Текст
Д. !О . ПА Н ОВ
СЧЁТНАЯ
ЛИНЕЙКА
ИЗДАIНН! шв:тнл.:щлТОЕ
ГOCYДAPC"fBfllHOE НздАТЕЛЬСТОО
ФИЭИl(О.МАТЕ.~l\ТИЧfQ\ОА .'111Т[;РАТУРЬI
518
П16
АН НОТА ЦИ Я
Наэначспн е
этой
юшrи-паучить
с11итать
на
счётноi\ .nинеАкс 11 служить спраnо•шнноы в да.1ь
неiiшсn работе д.1и тщ, уже умсющ11х полt.:JОват ься
т1иеflкой .
К11ю·а раз611та
центр обучает
н1 :е.
дсле11ие,
корн я),
1шmства
доступен
rra
два ко1щентра .
просrейu1иы
uозвсд1шнс
котор1.о1х
Пер вый
нь1числения"
в
ДОС'1'111'0ЧИО,
стспе11 ь ,
кон
(умноже ·
изв.1 счсш1е
1трочем,
дл я бо.1ь·
практических
расч~то D ;
этот концентр
.~юбо1-1у • штатс.1ю с ссмнк.1асс11ым ООра.
зованнсм. Bтopoit кон центр обучает ОО..1ее с..1ожщ,щ
11ычнслс1шям
(nк.1ючая
nычисдс11ня
с
nсре11t'р11у
тым
ЩШЖ КQМ,
лоr11рифмы,
тр11го11омстричесю1е
вычиедення
н решение тµёх 1 rле1шых
уравнешtii)
и I{~~{зет мо~~ш:~уж~~~ы;.~:=;~йпо:t~:о~~;,~
про хожде нш1
cooт11crcrnyющero
rемаТ11кн д.1я
учащнхся ш 1юл, техни кумов
Настоящ~
11эда~1ие
раздел а
11счат11еТся
с
ку рса
ма ·
и 11узоk!.
ок11rо•~ен11ем
~~ ~е~~~и." тшсl!ках с доой11ымн лоrзрнфмнчески~ш
8
Пан"" Дмитрий Юл~~и.'1.
СЧЕТНАЯ лина:АКА.
М. , Физм\l'Пкз,
l9G2
Рсда.кrор
Texn.
~Nlкn:>p Б1'11днt1 К. Ф.
г.,
IGOcтp . с и.11.11.
.Y.tapO<Ja If.
А.
Knppel<ТOp Си~а.с О. А.
Псриа я Обр:~зцоваи т1п1<.>1·рефuя " "е'ш А. А. Ждан<.>Q~
M'"'xvвci.:or<.> rop<:>дcкoru coыi1pxu$11. Mocкqu , Ж-:Н, в~ло11ая ,
28 .
ОГЛЛВЛЕНИЕ
Предисловие к четырнадuпоыу 11зданию
Dведе11не
• • • . . • • • • • • , • • • • • •
•••• • •••••
Лервыli конце нтр
1.
11.
На чёu основано )'tтроRство сч~т1юА п~щей.ю1
Отн:а1111е счёлюй .1нксliкн
•.
Ю: пr:::;:a_,:~:~~"~:e~~ec:i!~~~:!,~:~~ .~~:e.'1
11
V.
VI.
Vll.
Уыножешю н де.r1сш1е
Про11орц11н
JВ.
.• , • • • • • • . . . • . . • • •
• . • . . . . • • • • • . . . . . . • , • , •. , .
, •
Х. Особые 3начки 11а шка.1а.~
Jlщ1еИка как тJб.~ица
: : : : ." ." i : : ." ~
7
JБ
J7
К11адраты: н юыдратные корн11
v~~~ ~~бп:и~~:::~к;~;gr;~~я
XI.
• • • • . • , •••
·:::
." : ." :
•...•..•
•• • • • • • • • • •
27
34
37
43
45
47
49
Второй концентр
Xll. Пропо!!цпона.'!ьньш вычисления с квадрата:1111 ·и куба•ш ·• • • • • • .
50
XIJ I. Пере11Срты11<11ше д1шжка • • • • • • • • • • • • • • , , • • • • • • 53
XIV. Обратная шкма . , .
. • , , , • • • • •
65
XV.
XVI.
XVI!.
Лоrар11фиы
,
,
•
Триrоноиетр11чесю1е велн 1 11111ы
Лерс1ю;~ градусов в радианы
меньuщх 34'
Реше1mе урапневиil
• ••• , • • • • .
66
. . . . • • • . . . . . . . . • . . . 69
11 обратно. Ta11reнcbl н синусы углов,
95
XVlll.
xrx.
Прсо6разо11<:1ние декартоnых коорд11щ1т п ПО!!Ярные и обр~ТllО
. . . • . . . . . . . . . • . • . . . • . • • . 99
. • • . 119
XXll.
XXlll.
Сч~тные линейки с дооJlиышs лоrариф~1ическими шка.1а~ш
С•1\!тные лннеil"кн J.1a.1oro разыера • • • • • • • • . . • . . . . . . .
хх. ~~!~!~;~~=]~~я \IC!~O~O~bl~ ~11'1.IJ<~Ж~HHI!:, 110.1учае)!ЫХ пр1-1 ПОМОЩll с..п.оже~~и~ 121
XXI. Значк11, н1111есё1шые на л1111еl!:ке . . . . . . . . • . . . •
. J25
Оr11еты к задача»
••
126
156
. . . • • . . • • . . . . 157
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТЫРНАДЦАТОМУ
ИЗДАНИЮ
Kpy r лиц, д.11я которых в основноJ.1 преюtаэнач.ена эта книжка ,
это-читате.11и, имеющие уже нс6одьwую м<~н~матическую подго
товку.
Назщ1• 1спне книжки-11аучить
счатат~..
на
счётной
в извест11оti мере служить сnраво'!ник ом п да.1 1ьнейшей
• 1 словека, уже выучнвшегося по нeii с•1итат1"
Книга разбита на два концентра.
П е рвый
линейке
и
работе д.1я
концентр
заключает
в себе сведения, необходимые для того , чтобы выучиться делать на
линейке лростеttшие вычнсJ1ен11я, достаточные.
впрочем,
д.1я
боль
шинства пршпичсских расчётов; этот кон центр
может быть усооен
читатедями,
подготовку.
н~еющим11 самую незначительную
Второй
концентр обнимает более с.'!ожные вычнс.~1ения (вклю 1 1ая вЫ11исле1111.я
с перевернутым ;~.вижко:\.1, JJOrapиф:-..iы, тригонометрические
вычис; 1 с.
юtя н решен ие трСхчдс1111ых урав11сний).
·
В настоящее нзд г1 ше и:нижкн включён новый большой раздс;1,
rюсвнщенный с•1ёт11ым динейкю.1 с двойнw;-,ш .'!Оrарнф:-.шческими ШJ\а·
щщ11. Автор счёл нужю.~м включ11ть э"Гот рnзде.1 1 в книжку потому, что
за послед11 ее врсмн ч<~сто приходится ю1ст1, дело с вычис лс1111ю,ш, тре
буюш,им11 1юло611ых :вшеск. Линеiiю1 с дrюй11ы;-,1и .1огариф~шческими
шкалами пр11обрстают всё бо.1ьшсе
ловиях дать
сведения
о
таких
распростраие11ие.
ли нейках
При
nредстав:1яется
этих ус
пеоб хо .
димым.
Эта юшж1.:а рассчитана на то, •1тобы читатель, знакомящийся
по ней с работой на счi:'•тной .г~инеf!ке, не оr·раничнвадся одним •~тением.
Эту книжку н.с.1ьзя « nрочесты: сё можно то.1ько проработать с ка
ра11дашо~1 и счётной .11и11ейкой в руках.
Всех, познакомившихся с этой книжкой и желающи х nысказать
каю1е-ли60 сво11 соо6раже1111я о н.ей, просим писать по адресу:
Москnа, Jlен инсю1й пр ., 15, физматгиз, автору книги Д. Ю. Пан оnу.
Автор б•~аrодарит 11сех сво их миогочисле1111ых коррссповдептоrз,
нриславшnх отзывы об этоn книжке , и в частности тт. В11шняко&:1
(Грозн ый), Динабургскоrо (Хары<аD), Ливанова (Энгельс), Формаль-
r.
~~~~тi:6;:с~~~r~°!~'~~~~м:~:~~ы~0~~~~~,!~~ОС!~~~~р~~л;:~11~~
при
подготов ке
этого
издания,
ВВЕДЕНИЕ
1.
В настояшее вре:-.~я
ни один техни•1ески/l
ра6отнш• не :может
с•апаться по;шоuенным, если он не умеет считать на счt:тпой линейке.
Да это и понятно, На вопрос, сколько весит чугунная болванка диа
метром 130 .нм, длипой · 250 AfM, человек, нс умеющий считать на
линейке, считая
в
yi\1e,
отвечает,
примерно,
значит, площадь основания, JJримерно,
16
так:
130 1 :4·3,I,
«Дию"1етр
-
JЗО,
.это будет около
~ ·3,1, а это, примерно, ранно 4200·3,1=13000 мм 1 • ОбъёJ~: будет
00
около
13000·250=3250000
лr.лt=3,25.дА1~. Удельный пес чуrупа-
значит, вес болванки око.10 3,2Б·7,2=23 fC'l». На это уходит
времени по мен1>шей мере 11 / 1 минуты при бо.1ыuо.\1 навыке к вычис
лению в уме. Человек, умеющий сч1~тать на .шнейке, даст ответ на
7,2,
зтот вопрос через десять секунд:
(<l3ec
боJ.Iвапrш
23,G KZ)J.
Счётпая .'IJ::tHCiшa обладает цеаыы рядом достоищ:тв.
При сранюпельноИ своей
дить
расчёты,
1юобще
коi\шактности онг. rюзво.1нст произво-
говоря,
с
трем я
Берными
знака:-,ш
(чего
вполне достаточно д.'Iя всех по•пи nриктиuепшх вычисле11ий), притом
но много раз бысrрсс, чем на любом другvм сч~'Т!Юi\I ап!lарате, не
1·оноря уже о вычислениях «щ1 бумаrеJ); работа на счfтноil линейке
не
утомите л J, на, а обращение с ней о~;ень нес.южно.
По этим нрнчинаi\1 сч ё тнюr
линейка
чес1<их расчётон, сводя необходимую
примен}jетсн д"1н всех техни
вычис.1..:те.'rы1ую
работу н ми-
1шмуму.
Распространение
степени,
сч~тной линей:ни харантеризует, до не~шторой
техничt:ский уровень
сrрнны,
1ак кан там,
где привилась
счётнан .шнейка-консп расчетам «На rлаЗОI{>) и <<-На авось». Не
тол~.ко каждый инженер и тсхнин, но и рабочий высокой квалифи
каuии ДОJJЖНЫ уметь 110.~ьзоnаться счётН:ой линейкой. Мы ставим себе
в :пом руководстье задачу научить пользоваться тшей1<0й (по нраiiней
:.1ерс д"1п простейших нычис.1е1шй) даже нс очень квалифицированных:
работншсов заводов и ф:брик, тсхпичсс~шх и счётпых у<1реждений.
2.
Дди того чтобы выучитьси считать на счётной - линейке, необ
::юднмо 11е только усвоил. е~ устройство, принципы сё дсйствш1 и
приёмы счёта на ней, но-и это ошое г.швное--фа!.:тичесни
сч и 1· ать на нcii.
Вес юJ.чества хорошего счё·1чика ~быстроту,
ВВЕНЕНИЕ
л~rкость, точность, увереннос-rь в работе с пинеnкой
обрести только
непрестанноii
-
можно при
11рактикой.
З. В этой книжке нет разделения материала на пеорию» и «задачи».
И то и другое слито в одно органическое ue.rюe. Поэто~1у при чтепии
этоli книжки нужно проделывать ощюнременно все указанные в пей
уиражнсння и притом именно в том месте,
пускать их нет.эn:
при
пропуске
где 0 11и указа ны. Про
неноторых уnраж1 1ений все дал~
будет непоня11ю (в особенности это относится к первому
конпентру). Книжку нужно пр о работ ать с начала и до коиuп.
Для того чтобr,1 выучиться осно1шым приёмам сч~та, достаточно
11e iimee
первого концентра; чтоб ы узнать линейку лучше и подробнее, необ
ходимо проvаботать оба концентра.
Напечатан1юе
мелким шрифтом
без ущерба для поиимаm!}I книжк11.
неиия,
преднаэначеш1ые
для
nри
чтении
можно
По большей части
интересуюиu1хся
пропустить
это
-
математической
пояс
сто
ро1юй дела.
В конuе даны ответы на задачи вычислительного.характера; задачи,
содержащие наводяш,ие вопросы или 11редставляюшие собой задание
для са:~.юстоятелыюi! проработки, как пранило, даны б е э от нет о n.
Тол1.ко для таких вопросов, неверный ответ на которые может при
вести к неправиль11о:~.1у пониманию дальнейшего текста, даны ответы
В
f\OHUC
ННИГИ.
Нельзя злоупотреблять «оmветаыи»I Поыниrtlе, что в 11рак~
mu11ecкoii работе «Ответов» для проверки не бывает. Учитесь
•
сами
контролировать
свои ретения.
ПЕРВЫЙ КОНЦЕНТР
!. НА ЧЕМ ОСНОВАНО УСТРОЙСТВО СЧЕТНОЙ ЛИНЕЙКИ
Механическое сложение
§ 1. При помощи любого масштаба можно выполнять сложение.
Во з ьм~м циркулем по масштабу отрезок в 3 см (рис. 1) и приставим
одну ножку
4;
цирку.1Jя
к
штриху
тогда nторая ножка придётся
на. ruтрих,
щий
соответствую~
сумме
3 сы+4 см,
и, •1тоб1:.1 узнать, чему эта сумма
равна, нам нужно будет толь~ю
проч.ю:а ть •шсло, стоящее около
д
Рис.
1.
Рис.
2.
этого штриха, в данном случае 7. Пользуясь втиМ обстоятедьством,
можно построить простой прибор для механ ического сложения. Он
будет п редставлять собой линейку А (рис. 2), в па3у ~юторой может
передвигаться другая линейка
В. На
обеих
линейках,
подвижвuй и
пеподвижной, нанесена одна и та же шкала (как 11а масштабе рис.
2).
~~б;~~в:;;:а~:~Р~~~~gо;~ t 7~c~;:.Fo~~~=i.:~~~e~~~=;: ::;в:;~~~
0
линеl'i1<у так, чтобы её начало
на
псподииж1юй
линейке
-
(рис.
штрих О
3).
-
Тогда
приш.'!Ось против штриха
тот
штрих
8
11сnодвижноit
ЛЕРВЫЙ
l<OHUEHTP
линейки, который прид~тся протиD штриха 17на подrтжной, и ут(ажет
вам
величю1у
суммы.
Действие
сложе111m
1юмоши nерс~двигания nодвижrюй
лнпейки
nыполннется
и
здес1,
п ри
прочитывания roтonoro
17
Ри с.
результата . ПодR11жная
линсliка
3.
со
111 к<1Jюi1:
играет
в этом приборе
роль ниркул я.
Модель т11кой 11Иней1ш можно сдСJJап. 11з двух щ1ртош1ых полос01с.
l. 1)
/!еrко понять, •по такой ли11ейкоii можLю пользоваться и дл11
вы•1ита11ия. Сообразите, как 11l\1сщю.
Мсх~1шчсское ум11ош:е1ше
Лия е~'\ки, подобные о п v.са111юй
§ 2.
са:.юм
деле
нс
11 зготовлюотся ,
так
n
как
предыдущем параграфе, на
для
сложения
обытшоаетн-.1е С'-IL'ты являются бо;1се удобпы:.1
и
Г1Ы'-11tтанин
пристюсобление~1. Но
11 ри11щш устройства тшюй линсii 1ш оказынаетсн очень цс.~есообраз~
ь
'\
С)lмма
а
а+Ь
Рис:.
1 11..~м
при
постросниv.
4,
aнaлorii'-l<JOro
прибора
дд я
ум нож с
11 ия.
Механиэашiя uычиСJttню1 при помощи mшei'iкi-1 длн сложешш заклю
чается п то;-.1, что для сJJожсш1я двух чисе.'l а и /J достаточно nерс
дщшуть дн11жок ( n од1:J11жную линеiiку) и просто прочесть сумму
(рис.
4).
Ясно, что если бы удалось построить такую лm1ейку , в кота -
•) Жмрнымн uмфрами )'ll:rзa11ы HO'llepa вадач 11 у11ражисиий.
1IЛ ·1~м ОСНОВА НО УСТРОЙСТВО сч етной ЛИНЕЙКИ
рой при ;шалогичной передвижке против чис.1tа Ь получилась бы не
С'умма, 11 произведение a·h (рис. 5), то эта линейка представ·
лила бы собой прибор, меха11иэируюшиii ум н ожс11ие. Вся
~опрост1. здесь за1тючаетсп в шкал ах; 110старае :\-1ся разобрать,
1цшош,(
же
должны
быть
эти
пшалы
на
.1инcilt<c
для умножения.
о
Р1н:.
5.
Дony crn11, что у 11ас уже есть две wкa.riы, обе одишшоnые 11 дающие
произв еде ние таким же п утём, как обыкновенные шкалы масruтаби
;шют сумму. Это значит, что, уС'шноnив начало одной и з ш1<aJt против
•111 сл а а
11.:1
второir, получим произведение а·Ь на второй же шкале,
нротиn числа Ь 11 а пе рвой (рис.
G).
Прежде
всего разбсрЬ1 ВОПJЮС:
Нанос •шсло долшно стшпь в начале шкалы умножения?
§ 3.
так,
Обозначи)( это число через х и постilоим
чтобы
их
11ачат.ни е
штрих11 совпада.nи.
обе
Тоrда,
наши шrщ.rщ·
по основному
•
.....--+--t-ab
Рис.
l-'1ic.6.
7.
свойст~у пшал, nротнв какого-нибуд1, числа а верхней шкалы на
1шжней оrн1жется щюизведенне ах (рис. 7, см. та!(же рис. 6). Но
т<'lк как обе шкал ы одинаковые и начальные штрнхи их уста11оме1ш.
друг
против
друrа,
·ro
ах=а,
x=l.
Та1<им образом, в начале
шкалы для
ум1южешш до..1жна стоят~.
единица.
Это обстояrс11ьспю 1111тtстся н спосрелствснным с11сдс:шиси того,
ница
для
умноже11ик выпоJ1нясr ту же роль, по нуль
'ITO сдк·
д.1н с.1 ожс11ия: от ум1ю
же1 1 ня на сдншшу Jf от прн б:ные11н11 11у.1м 'IНС..Ш 11 t: ;!( е н 11етс11, и по
до61 ю то:11у как о6 ы•111ые 11~ка., 1>1, которые "южно 1 1р и•1сн1п~. AJlll с..1оженш1,
~11~1~1~.кrн;я
с
нуд
11,
шка.1а
д.1я у~.шожс 111111
должна
11ачи11атЬО1:
с
ед К·
1
L
ТТЕРНЫЙ KOHUEHTP
"'
Неравномерность шналы умножения
~
Лощюбуем теперь
4.
у11шожепи11,
или
подробнее
её изготовим.
и,
z
1
разобрать
логариф111ической
называется; для этого мы
строение
шкалы,
кш<
JП!(алы
она
чаrне
Отметим начальный штрих
1-2
выбрав отрезок
(например,
в 1 с,н длиною), нанесё:\1 штрих, со
ответствующий чис.'!у 2 (рис. 8, а).
а+--+1
2
ОтJюжив теперь от этого штриха тот
же отрезок 1-2, мы должны будем
отметить на нашей щкале против его
4
1<0!-нtа
пронзведепие
2 ·2=4
(рис. 8, h). Продолжая это построение
и рпсс_ужщт аналогичным образом, мы
нанесём
~1а
стнуюшие
штрихи,
соответ
(рис._8, с и
d).
zga~~~:~o~eп;~: ~~~:~~~н:ю п~:;~~
16
Рис.
шт<але
8, 16, 32, ...
всего мн види:\-1~ что новая шкал1t
значительно короче старой {рис. !));
8.
опя сжата, и притом неравномерно. В начале она даже не
сколhко шире , чем шкала дщ~ с.'Южения (например, про)1ежуток 1-2),
но зато к ковuу промежутки
всё
бол1,ше
укорачиваются, и nроме-
Шtrana уинаже1111я
1Б
о
1
Z
з
4
5
6
1
Шкаrю слож~'IUЯ
R q 10 11 12 13
Р11с.
жvток
8-16,
14
15 f6
9.
например, уже вчетверо нороче соответствующего про
межутка старой шкалы.
Итак,
шкала для умножен~ш неравном ер на.
На nостроешюй нами шкале умножения нанесены только те штрихи ,
rюторые соответствуют числам 2п. Если нанести
5
Рнс.
6
1
на шкалу штрихи,
8
9 ID
10.
соответствующие всем nелым числам от 1 до 10, то она будет имеп.
вид, изображённый на рис. 10. На это:.1 чертеже от чётливо видна
нера вноме рность
шкалы
Читзтс.1и~1.
умножения .
9накомыи
с
основами
депш rю!lять, как строится шка.,а
теор1ш
умножения.
дог11рифмо11 sакпючаетси, к11к пзвеспю, в тш1,
log(a·b)= log
а+
log
Ь.
логарифмов,
6у11ет
оч ещ,
Одно из OCHO!:IHЫJ: свойстu
по
НА ЧЕМ ОСНОВАНО УСТРОЙСГВО счr:тной ЛИНЕЙКИ
11
llоэтому, сс1111 шт р1tх ми ч1 1с.1J 2 1 юснш11т1> в ко1щс отрезка, JtЛK11a которого
равна т log 2 (здесь т - 11 1.~б 1ш 1щ111 сд и11иц3 м3с 1 1n<1ба, напрн)о!ер 100 мм),
111т р1tх 3- в ко нце отрезка д.11 111 0 11 т log З и т. д., то пр11 иоже1 1нн двух
ка~;их - 1111буд1> отре з ко в, 11 а нр11мср от 1 АО 2 (pJBHOl'O т Jog2) нот 1 до 3
(равного 111 log З), 1.11>1 110лу •111м о трезок, д.~ 1111а которого рJв11а:
mlog 2+ т log 3 = m(l og 2+ IQR' З) = т log2·3=mlog6,
т. е. такой отре зо к, п к о 1111с к ото ро1-о будет стоить штр1tх б, указыв11ю11111i1
нро11з11сдсн11с
:!-3.
=
J !а ч е рт. 10 11зоб раж с 11а шкала умножения при т
80 мм. Так как:
1(~ 10 = 1, т о 11ес1, от резок o·r 1 до 10 р~вен 80 мм. Штр11х 2 11a11ccl!1I
11 .а paccтu 1111111t 80-log:!=24,l .м.tr от начма, штрих 3 - на расстощ1кн
tsiJ -J oк3=38,2 .11м и т.
llJK aJl l>I CTOliT J 11 Jog J
л.
= 0.
Il1ю11 ср11 ть это
можно
по масштабу.
В начал е
Пер11одичность uжа.11ы умuоше1шя
§ 5. M1.i
nозпаномимся С очень
важным
сво11ство:-.t шкалы умно
жсння, ес..~и продо.'lжим е~ вправо от 10 или влево от
вторую wка:1у умножения (такую же, как на рис. 10)
сё к концу первой шт<алы (рис.
11),
.2
~
"
Б
1.
Изготовим
и приложим
так, чтобы стоящая в начале её
7 8 9 10
3D
20
А
5
б
40
50
607tl8DЗ<JJOO
789!0
Р11 с: 11.
единица пришJ1ась против 10 первой шка.'lы. Тогда пр одолже ние
11ервой ш калы можно нанести за 10 вправо: по основному
свойс1'ву
шка.1ы
умножения
11ер1:1ОЙ шкале до.'Iжен
штрих
30 11
против
11аходит1,сн
т . д. до штриха
100,
2
штриха
штрнх
20 1),
ыторой
против
шкалы
штриха
на
3-
который придётся против конца вто{Юй
ш 1<алы. Таким образом у ШiС получилось продолжсви е п ервой шкалы
до
100;
при.'!ожив нача;ю второi!
шкалы к новому штриху
100, мн
та1<им же путё:'l't сможем продолжить нашу ш налу до 1000 (=НЮ· !О)
и т. д. Совершенно ана.тто1·ич11ым оюсобом можно щюдолжить шкалу
и u лев о от един и u ы. Приложю1 вторую шкалу конuо~1 к началу
основ1юil (первой) шкалы; nри этом будут сов падать ш трих 10 вто1ю1i шксмы и штрих 1 первой. Сообразим, прежде всего, ка1юе число
должно стоять на ос.новноlt шкале против нач ала второй
ш калы . Пусть это число будет .х. Тогда, по оси_ощюму СRОйству
ткалы, против штриха /О второй шкалы. должно получит~.ся ЧИСJIО Юх.
Но мы установи.'ш вто рую шкалу так , что против 10 стоит 1, значит
10x = l ,
А теперь уже легко
11ротив
1
-.. )
2. 3 ...
21)=
нанести
т. е. х=О,1.
все 4Нсла первой
на второй. Оченидно, против
}0·2; 30= 10·3
И Т. д.
2
ткалы,
должно быть
стоящие
0,2
(так
ЛЕРБЬIЙ IIOHllEHTP
12
1шr~ 0,2 =0 ,l ·2), npOTiJB
нродолжсна меnо до O,
3-0,311
J, Т:шим
т . д. (рис. 12). Таю1м образом шкала
же тuчно способом мы можем про
до.~1жит1. е~ еще да;1ъше влево, сначала до 0.01, ~ютом до 0,00/ и т. д.
И з ca:vioro построе111н1 01.Jепид1ю, что отрезок шкалы от J до 2 в
'f0ЧНОС7И раnеп отрезку от /О ДО
20()0,
ИJIИ от
w
0,1
Ql
до
0,2
11
l!J
О.•
или от
20.
и т. д.; отрезок
s
з
б
Q5Qб!l.HBO.Э 1
А
Рис.
100-300; ·O,J-0,3
100 д.о 200, И..'IИ от 1000 ДО
1-3 равен отрезкам 10-30;
ag10
1
и т. д .; одним
S 6 78910,
12.
словом,
все промежут1ш направо
0
(J,1~J).т(o,~~o_-;/f)O)~ ~:~~~~О~ч~1от~т~· :о~~л~~ я~~ ~~=~~
ной пр омежуток от/ до 10; только числ а , .припнсы
ааем1.~с в них т ем же штри хам, в 10, 100, 1000, ... раз
больше 11ли :мен ь ше чис ел основног.о 11ро меж ут1<а.
2. Начертите иа прозрачной калы<е шка.'!у умножения (испмf>
зонав для этого рнс. 1О) в nредет1х от О, 1 до 1ООО. Разрежьте е~
1ш равные отрезки: от
0,0 1
до
от
0,1;
0,1 до 1; от 1 до 10; от 10
до НЮ; от 100 до 1000. Накладишш эти отрезки друг на д руга,
можно убедиться в соuшдении соответствующих штрих:ов (рис. 13).
____________________
J1
П
I
Ш
Рис.
IV
13.
Ита1', нжала умножения периодична.
те.'1ыю
В<IЖнос:
нu)iенит1, од11иr.1
0110
.......____..
а а~~~~ ·
Я!iSl.SRi!aЗ
Свойство это исключи
позr~оляет всю бсскоие•111ую
~ ОТjJе:~ком,
напр11:.1ср,
шка.чу
ос1юn111>1\1
умножения
лро.щ:жутком от
1 до 10. Дт1 перемнvженин 20 на 40 вOIJCC не нужны п ромежу'ши
mю:l.11ы от 10 до 100 и от 100 до 1000, хоти ~О и 40 лежат в первом
нз ннх, u щюизIJеде11и1.: 11х
от
1
до
10
800 -
но
втора~~.
Освошюй промежуток
позволист 11ni1т1t их произведение,
ст;нщть любоii
другоii
щю,1сжуток
шкалы,
так как может пред
и, пЕ'ремножая при его
помощи 20 и 40, мы r.южем де.11ать то же самое, что и JIPИ nерс
шюженнн 2 на 4, но отнет считать, l(Онечно, ранным не 8, а 800,
учитыван
нули,
которыr.111
кончаются
наши
сомножитеJ1и.
Итак, свойство периоди'ilfости позволяет замени ть всю бес
коне•шую Ш!\алу
од 1 1им
е~
о трезко м,
наuрнмер,
от
1
до
1 10, и 11ри его 1юмощи nроизводить всевозможны е умноже ния.
НА ч~м: ОСНОВАНО УСТРОЙСТПО счr:тной ЛИНЕЙКИ
13
Но, сделав такую замену, следует по~шить, что теперь уже
каждая пифр::~. на шкале изображает 11 е од по числ о, а все
получатошиеся из него умноже11ием на 10,
100, 0,001 (деле н ием па 1000) и т. д., одним слопом-умно
жением па любую степень десяти. И при умножении
ответ будет обозначать то или иное из этих чисел в завис имо
числа,
сти от того, ка~ювы были сомножители.
З11нко\t1,1е
с тсорнсй логарифмов 6еа труда разберутс~
Шl1JJIJ у .1ншжсн~ш 11epiюд11•rr1 a.
Де,10
D
в
том,
по• 1 ему
то:11, что, например:
log0,2 =!og2- 1,
1ок20 =log2+ 1,
Jog200.=log2+2;
иначе говоря,
мантиссы ncex э1"их
:~огарифмов равны;
л01·~1тфмы. от.,ичаются дру1· or дру1·~ нз целое ч:ис.ю едюшu.
Примеры
§ 6.
Пример
умпошения
Перемножить
20-30.
14 изображiSн отрезок ш"алы для умножения. Uифра 2
20, а 3-30. Как бы.110 выше показано, полу•~аем
На рис.
1.
самк
тенерь обозначает
6
1в91(J
~~~~~~~~~~~~~~~ ~
'~3
6
9 11)
14.
Рис.
в тсачестне прои.зведенил пифру
в
7
6, которая обоз!rач ает 600, таrс rfшr
каждый со~шожитель О!fан•швается ну.'lём и, слсдояательно, произве
дение
их-двумя
Пример
Для
На рис.
этого
15
2.
ну.1ями.
Пере:.шожить
примера
п уж на
2,3·20.
шкала
z
1r
5
! [
!~ - 1 ·:
Рис.
более
мел~ше
разряда.
с
бо.'!ее
мелкими дс.11ениями.
каждый из первых пяти про:.1ежутков разделён ещё на
Имея
де.11ения,
такие деления,
5
6 7 8 910
1 1 1 1 1-r11f!1
15.
соотяетствующие
2,3 (соответстпутощий е·яу
и 0,023 и 0,00023, и т. д. )
11роизведения
4
!; _,)u,;:i
uифрам
с л сдуто щ е
r
о
мы можем уже найти на щкалс число
штрих будет обозначать и
2,3,
и
230,
и
23,
и нолучить обычным способом в качестве
число, перваll цифра которого есть 4, а следующая 6.
ПЕРВЫЙ КОНЦЕНТР
14
ЧиС.'10 э;о есть
так
46,
как один сомножитель оканчивается нулём,
а второ11 имеет одиu знак после
запятой:.
Пример 3. Перемножить.., 20·60.
Если мы попробуем найти в этом случае произведение таким же
n двух
приёмо~, как и
о-rвст не
уд а~ т с я:
псрв1~х примерах, то
он полу•шется за
:
'r.
3
5
/j
[w,,,ььtмJ ! ;· !; ':'
1
! , ',
! , 't!,
1
1
ь,;,,Ь,',с:
6
16).
""!
6
L,мJ),iмJ)>.!}..: i. ::! ·,ЬьJ i j ! ~ 'j
1
(рис.
7вg10
6
!
окажется, что пОJ1учит1.
пределами шкалы
А
2
,,;J
1
!
11
Y,";J;,J,Jй;,t;;; J
20
6
10
5
6
7 8 910
11 1! 1!1!1!1!
10
Pttc. 16.
Чтобы разобраться, как
n
этом случае получить произведение, пред·
ставю1 себе, что употреб.1яемый нами отрезок шкалы от 1 до 10 наие.
сён на круге (мы можем ш1rJ1яд1ю представить себе это, вырезав шкалу
из бумаги и свернув её в кольцо 1'а!<, чтобы е~ начало и ~юнец со в.~
11аю1);
вrора я шю1Jrа пусть будет также нанесена на кружок, которьш
п~~~~ЧеИТВ~НЯ В~i~~И К~;~ОО:ОO;~~~~T~I~:
12
t
110 другого, 111ы можем производить ум-
•1
ножение то•ню
так же, как производили
его на лрsа1ых
шю1.1ах,
друг
относительно
передвигая
друга.
их
Лоnробусм
при помощи этих кружков сделать умно
жение
20·60;
выгода кругшю1·0 располо
жении uшалы по сравнению с прямоли
нейным
та,
что
кончается,
и
круговая
эдесь
шкала
11 с
невозможно
по
.'IШI<ение, изображё111юе на
черт. 16.
Поставнн протиr~ чёрточки 2 наружного
нружка чёрточку / внутреннего, мы
1-' щ:.
найдём ответ на наружном кружке против чёрточки 6 внутреннего; этот ответ
11.
равен
1200,
так как первая
ero
цифра
до;1ж1ш быть 1, вторая 2, н, кро~е того, два нуля на конце ввнду
па.1ичш1 ::~т11х нулей у 1<аждого из сомножителей.
На кружке
по.1у чить
11
нсё
выходит прекрасно; но тот
с п рямым и
ш1,алами:
же результат можно
ведь штрих
/2
нмеется
и
па прямой шкале . Вопрос в том, как к нему nритrи. Умножая при
помощи
круж1н1,
мы
устанавлива.1и
нач.ало
внутреннего
кружка
НА Чi!М ОСНОВАНО УСТРОЙСТВО СЧЁТНОЙ ЛИНЕЙКИ
15
11ротив 2 на паружноы и затем против 6 внутре1111 с rо читал и ответ;
1 ю с таким же успехом мы може;.1 схазать, что прот11в 2 был уста.
номен 1с о и е ц
соАnадают),
и
внутреннего
вот
это-то
кружха
и r1ротив
6
ней
1111
(ва
замечание
можно получить, установив против
прочесть
на
и
кружке
решает
начало
задачу.
и
конец
Резулr-,тат
одной шкалы к о и е u другой,
2
первой
искомое
чис;ю
{рис.
18).
12
4
т
J
5
6
l
в 1
5
11 9 ro
'
1 8 9!0
Рщ:..
18.
Этот способ умножения совершенно равноправен с тем, который был
указан
3.
прежде,
11
примс11ять его приходи тся так же
<Jасто.
Докажите, что одним из этих мух способов мож1ю выполнить
любое ршожсние.
Из сказанно20 следует, что, имел достаточно .мелко разде
лi!нный отрезок ло2арифыической rикалы, мы все2да можем
np()-o
изводить Jtrexaнu•tecкu любЬtе умноженllд.
Ноrда 11зобрели счётную динеИку
§ 7. Свойств;~ JЮГ3рнфмическоИ lh"t<a.1ы 61~1111 аамечены вскоре nослс нзобре
тс1ш11 .1101-арифмов-ещl! в XVII в ., 11 ttнрК)'ЛЬ &-(.ое;Диие11н11 с.,ооrар11фr.tнческоl!
111 ка.101i сдуж11.~ довольно удоб11ым ннструмснтои для ую10же1шя, пока нс 6ьt.'t0
пр11думано дальнейшее усоnершенствовJние: )'Странить циркуль, з в мс 11 н в е 1 о
11тороА шка.чоА, совсрше11110 тпждествеи вой с ncpвoii. Усо11ершс11стоова1111е
11нркулем
910
нужных
сделаJЮ
отрезков:
11з.1ишн11м
~•с,дснное н
nсё
Cfle.1ocь
дело
шкалы относительно друrоИ {р11с. 19).
6
Уже
5
6
кропот.,ивос
7
U рас•1(!т11ую nраКТШ<у. fl
XfX 11.
завершая е~ uнешнюю зволюцию. С
11аз11ачению:
стов
и
т.
д.
nоявл~:~ются
К ЛИltСЙКС:
5
6 1 8910
прндСЛЬ103ЮТ
сбеrунок-.,
ЗТИМ
гг••~и11сйк11 ста 1t0 11ятся уже пре.11.·
11 11ачннают 01е1(11а11нз1 1роваrьс1о1 110 сво
AJlll электриков., 11s:хан11ков, экоищш
J880-J89U
лИ11еiiки
одноА:
вхо..'1,Н.Т
19.
)tетом крупно1·0 фа6р~1ч1101·0 11ро11Зоодства
е11у
лн1 1еliка
891О
'
Р1н:.
откладываш1е
теперь к nсредтtже_иию
в ХVШ в. с 1 1\!111ая
11. ОПИСАНИЕ СЧЕТIЮЙ ЛИНЕЙКИ
§ 8.
Счi!:тная ли11еfiка изображена (не nо.'1ностью) на рис. 20. Она
состоит иэ трёх част ей:
А-диltейка,
В-движок,
С-беzунок {мсталJшческая р~:~мка со стеклом, на ко1·ороъ-1 нане·
сена черта
l - «MCTJ(a:t,
«Визирная лини11») .
Рнс.
Если 11а бегунке
три
20.
.ТJ. ин ии,
нужно
пользоваться
ср..:днсii. (1 боко1:1ых будет сказано позже.
Дnижо1< может ХОМ!ТЬ в пазах 1 линеiiни, вовсе nыииматься
nспшм:1т1,ся
в r1а,и1х
2.
n
лсревёрнутом виде и задом
напер~д.
Быунок
и
:ходи'r
На передней стороне лин еli rш и па псрсд;1ей н задш:й сто-
ранах дВ!tЖJ<а щшесень: .r.оrарv.:фмичсские шка,1ы (подробнее о них
виже).
111. ПРАВИЛА ОБРАЩЕНИЯ СО СЧ~ТНОЙ JIИHEЙliOi\
§ 9.
Счетн а н линсfша представляет собой ипструме11.т достатосшо
де.11икатный. Поэтому, прежде чем ею nо.1ьзоваться;- необходимо ус
воить правила обращения с нею:
1. Нельзя д ержать .линейку в zорячем или во влажном J.tecme.
Около печки, паровоzо отопления, па солн1{е .линейка рассохнется
:е:~:~~О::;~:бу~:е~а::/:::.ьч;1е;g:::~~~;д:пfд:~:z:;ь~:
::;;::
2. fiельзя остав лят ь линейку без футляра, коzда на ней не
работают. Положенная на стол ил u в портфел ь без футляра
.н инеiiка .ле~ко царапается. циркуля.мr1; перьяии,
перочинпы.м
lf.JJ-
жoм 1i тому 110iJo6HЬl.МU npeдAtemaAtu; царащtны. остаются, гряз
нятся и мешают работе. По этой же причипе нельзн. употреб
дять ее для 11ерчени.п и как мас 1ит аб.
3.
Нельзн ронять линей1'у со стол а; вна почти так же чув
ствител ы1а к удараА!, как цирку ли и рейсф едеры.
4.
Ее.ли шкалы линейки загрязнятся,
сп иртом (водкой),
CA!O'IUB
ei!
нуж но 11tьт1 ь винныА-t
в н i!м тря11оцку и протирад шкалу, но
не бензинuА!, денатуратом. дреsесним ст1ртом или водой.
зин растворяет краску,
Бен
а денатурат и древесхийспиртрссmtJо
ряют целлулоид; от воды разбухает
дерево.
Неболыиую
zрязь
мо~нЁс~~и~:.,';~ 0:я;:;g:,,f~~;::, ~~ Аtожн.о вuн.уть и проm!!реть
0
е20 боковые ребра воскоА-t или парафином, 1:0 ни в коем сл.у~ие
не 11одскабливать ножо.м ила чем-.либо ещi!.
6. Слитком дi!итй или тугой ход бегунка ucnpШJJ/Remcя осто
ро:жиым tюдгибанием закраr1нок, которыми он держится на ли
неfi/(е,
/7р(lвr:ла
5
11 б лучин1 бсеzо вы11 0А11ять
после
о:Jнщ,(н~ лен.ин.
оtш вьmОАшtютс1~ •4елов1:жом, опы1т11ttм в обращении с л11нсйко!1.
~· тем, кrт
!V. ШКАЛЫ ЛИНЕЙКИ; ЧТЕНИЕ И УСТАНОВКА ЧИСЕЛ
Все otuuбкu при работе на счi!тной .линейке происходят
§ 10.
от неверною чтения или неверной установки чисел на ei! zикалах.
Поэтоыу хорошее знание шкал cчi!mнoii линейки-первое
рсловие для счётчака.
•
Усвоив
шкалы с1tёпzной .линейки, вы овладели ею на
50°/ 0 •
Шкалы лииейни
§ 11 .
На лицевой стороне счётной линейr•И имеется шесть шкал:
К, А, В, С,
D, L (рис. !, см. вклейку между стр. 14 и 15); из
D, L - на линейке, В и С- на движке. Основные шка
D 1 ).
ШкаJ1Ы С и D совершенно одипаконые. Они прсдстамяют собой
отрезО J( .ТJ огариф11шческоИ ншалы от 1 до 10, разде.1ё1шый на мещсис
них К, А,
лы - С и
дс.11еюш с та~.: ю·1 расчётом, чтобы 11а них можно бы л о читап, и уста
наплинат1, трё х знач
11
ы е
чи ела .
В соотпетtт[IИИ с этим на шкалах С и
11ия т р ё х
цифры
раз ряд о в,
чис;ш.
деления эти
Та к
как
различны
опреде.1яюшILХ
при
в
этом
D
ризных
нужно различать
первую,
шка.~та
вторую
и
местах
деле -
третью
11 с равном ер 11
а,
то
шка.1ы.
Рассмотрите внv.мателыю рис. ll (01. ыа1ейку между стр. 14 и 15).
В его средней части изображена линейка со шкалами А, В, С, D по
средине.
В верхней и в нижней частях чертежа эти ш!\алы ЛJJЯ ясности
n
11зображсны
увеличспно:.1 виде;
при этом де"1ения разных разридов
изображены в разных местах. Шкалы Си D, по:-.н:щёнпыс внизу, прежде
всего раздс.~е1-1ы
на
1срупные
промежутки
чёрточками с
J, 2, ... , 9.
ствующис
')
Это-делен ия
первого
первой uифре устанавливаемого
Здесь и 11С1'1ти пезде
11
цифрами
разряда,
соотпст
и.ш читг.емоrо чис;ш
д<1лhнеИшсм описывается
1юр~1алhная .111неi\ка си
стемы « l'11Т11» со шкадами длиной 25 см, получищuая щшбо.1ьшсс распространс1ше
(«Проме тей», Трест точной мехмшt( К, ф-1(а «Союз» и т. л.). На лнненках послед11его вш1уска на дв11жке, между шкалами В и С, нанесена еще одна - «об11атн;и1.
шкала», с11.
§ 32.
Оп-юсктслы-ю маленьких ,1инеек со шкмами д-~иной
(стр .
1)6).
12,5
см см . разде,1ХХШ
ШКАЛЫ ЛИНЕЙКИ; ЧТЕНИЕ И }'СТАНОВКЛ ЧИСЕЛ
(см. шка.11у в нижней
'"'фрой
части
чертежа,
обозначенную
19
слева
римской
1).
4.
Найдите эти деления па линейке.
5.
Если первая цифра •шс.1Jа
2,
то в како:~1 промежутке оно бу
дет 1 ~аходитьси на шка.1е?
Каждый про:~1ежуток между дел ен иями первого разряда раздслён
на 10 бо.1ес ме.1ких 11ро:\1ежутrщв деле ниями uторо1·0 раз
ряда~ соответствующими
второй
цнф ре
нашего
7р~хзнач
н оrо ч•1сла. На рис. 11 они изображеи1,1 на 1111«1ле, отмеченной слева
римской цифрой 11. На cuмoil линейке эти делен ия отмсче111 ,1. штри
ха:~ш, н е:~шого выступаюнuши :ш линию, идущую пдоЛь вс е11 111калы 1 ).
В перnом промежутке (от 1 до 2) они отме•J епы, кром<: того, мелкими
цифра)IИ.
6.
Найдите эти деления на линейке .
7 . Обратите внижнше на пятые делсшш rю вс ех про~1ежутках,
11ачинш1 со второго (от 2 до 3 и т. А.) .
Че:.r эти дслепш~ отличаются от остады1ых делений нтороrо раз
ряда?
8.
Н айдите на •1ИНсй1<е
11а•1и11ающиеся цифрами
/
про:.1ежуток, н который
и
4;
uифрнми
3
и
попаду1· числа,
6.
В I1ро)1 ежу тках между делениями нт.ороrо разряда нанесены
дел с 11и я
третьего р азряд а, обозна•~ающие трет1.ю циф*
ру числа,
но
sти деления уже не
рашюцсвны
no
всех промежут1шх.
Причина этого та"она: промежутки между делениями второго
разряда идут сокращаясь , н ес;1и д.11ша п ервого промежу11'а (11 вача
ле шюм ы) равна
10,5 им, то пос J1сдниii про~1сжуто1( имеет длину,
1 мм, и по ня тно, ч то делить их одJшшсоэо не
можно сде.,ать и 10 де.1ениИ, а в п ослед11ем
рш:~ную уже то.~ько
roдwrcя:
то.1ько
D перпо~1
дnа.
ilоэто~1у деле11ия третьего разряда
сортов; они указаны на рис.
no
и"'1еются
жутках между дедениями первого разряда
деления
llI
ДеJ1ения
жуток
сорта -
I
между
Деления
вто рого
от
1ш 1:1сей остальной школе.
сорта -с ам ые
делениями
удобные :
второго
и соответствуют трет1 .ей цифре
11111
на линейке т р ё х
11.
Дедения J сорта нанесс1ш в промежутке между делениями n е pr o разряда от 1 до 2 (рис. 11); деле1111я fl сорта - в п роме~
2
до З и от
разряда
11а
3
до
4;
.
онн делят
каждыf1
дсснть
проме
частей
числа.
сорта делят каждый 11ромежуто1( между де лениями
разряда
11:1 пять •1 а ст ей; промежутки меж,ду ними
ll
~;~.И.111 11 аход1:щныиси }\СЖду дlJy.liи 1ч1J1мы.1о1н пишнwн, Нд)'щиы.н sдo-'!lo uccii
А
в
__,_,
____ 1
2
7
1
1
1
1 1 1
8
1
9 1
1 11
2
з
4
5
7
1
1
1
1
1 111
1
8 9 1
1 1 111
1
1 111
,
Lo
б
5
111
11
rf
1
•
11 1
2
•1
з
•
•
•• ••
u
1
,.
-•
•
••
•
~
•
•
'
• •
•
..
1,
'
•
"'
•
1.
~
1
'
..
;
'
• •'"
•
•
'
,.
• '
•
1
'
-·
•
30
,.
" ' '
20
"
'
•
>
А -8
~~
'
•
••
61)
••
"
'
,
•
•• ' , ••• •. •.'
•• ,, -•• 1.0 \lO
,
о
- --- ' --- '
э
'
(•
.
•
J ••
.8
•?
•
~
1
'
C-D
i
сорт
111
11
1
1
11
1
1
1 111
11
1
J
r
J
•
J
1
•
G
~
111
111
1
1 1
j
8
9
сорт
1 1
'
"\ 1
111111
1 ' 1'
1
i
1
1
z
сорт
з l 111
11
4
5
1
1
1
6
7
8
1
9
1
1
/;
ПF.РВЬIЙ KOHI tEHTP
20
соответствуют,
рида
следовательно,
(э1-:вивалентн1-~1.
днум
л в ум
дсле11иям
ед и и и
uам
третьеrо
раз
сорта).
1
Деления 111 сорта
соотАе тстuуют
пяти
единиuам
третьего разр пда (каждое де;1е11ие 111 сорта экDив.элtвтно пяти деле
ниям
1
рnда
только
сорта); они де.1ит про114ежут1ш r.1ежду де.11е11июш второго раз
на
две
частн.
Чтобы .'lучше рn:юб раться no всех этих де.1ениях, рассмотрите
еще рис. 21. На 11ем изображено, ка~< выr ля дела бы шк а..~ а ттей1си,
ес ли
бы
она
9
2
8
была
равно ~tсрная.
~mтtmтt-~-гrmтттт~-т--сm=ш=г
1
1 1
5
2
P11t. 21.
Наrляд~ю nокааано, что де;1ения П
ниА
1
сорта, а де.1ен~ш
111
сорта
-
в
сорта
11 и т ь
nд в о е
раз
бо.1ьше делс
бuльше их.
•Усвоение «l(ены делений», иными словами, умение отвечать
на вопрос. сколькюt единицам какоw разряда э11ш деления отве11ают,
-
оснопа сцl!та на линейке.
•На первых rюра.х ну:жно обращать особое внимание на де
ления 1( сорта (делешш иежdу 2 и 4); с ниш~ больте всеzо пу
таются
на•шнающие,
счш1шя
11.х
соответстоующими
не
двум
единицам третьего разряда, а одноii.
9. Найщ~тс нес эти де.1ения на mшс1iке.
10.
Обрат1tте
в11има 1111е ш1 1штш~ дс.qсния в 11ромежут1шх между
дсленню-1и второго раэряда,
шiхо.ru1щимися
между
1
и
2.
Чем
u1ш
sамечатслы1ы?
8 Чтобы уверенно различать деления третьего разряда, нуж
но заметить, на сколько частей раздел~н проА1е:нсуток
делеютми второго разряда: на
мeJtcdy
10, на 5 или на 2.
Чтение и устано11на
чисел
на
.пи11сйне
Задач.а 1. Дано чисдо: найти его меспw на шкаде.
Заднча 2. Указано .иесто на шкале; каково соопюетствую
§ 12.
щее число?
Реша» первую зада чу, мы устанавливаем число на rика.ле л11~
нейки; решаи нторую, чшпае.м •шсло на .JШнейке . Обе задач и оче1 1ь
просто решить, ec.rtи знать
шкалы.
ШКАЛЫ: ЛИНЕЙКИ; ЧТЕНИЕ И УСТАНОВКА. ЧИСЕЛ
21
Устаносха
§ 13.
М111 уже :зпае~1, что каждая цифра (и.'Iи, rзсрпсе, чёрто4I<а)
на шка.'1е обозна чзет пе одно онредеJJёпнос ч и сло, а все чнсла, полу
чающиеся из него умноженнем на .rаобую ст~::пень 10. Чис.тю 0,0 176
о;.:ажется щ1 л1-шеiiке
u
том же месте, что и
Поэто~~у нужно заломнить оспонпос
17,,6,176 и 17600.
правило
установки
чисеJJ.
Чttсла устанавливают
1на
зшттые
и
на
на
нуди
на
линейliе, не
h"OHtfe цислп .
обращая вниманап
.
Устанавтшая ч~1сJю, нужно читать просто ero цифрhl в nослсдов.ате.~ьном лорядке и, наИдн соответствующие им де.r1спия 1ш<алы,
опрсдс;штъ его место.
Лрим:ер 1. Где на пшале •н~с,10 17,1?
Читаем: один-сем1, - оди11. ~'ста~;авливаем: первыii раз
ряд-оди11, второй разряд-семь, третий-один (рис. 22).
· 1----- - ?
Первый разряд
2.
Установить чисJJо
Два-один-два.
разряд
Второй разряд
Р11 с.
Пример
1
~Третий
Первый
22.
2,12.
рuзряд-дви,
nтopoii
раэряд
один, третий разряд-два (рнс. 23).
В третье)\ разряде б~рём одно делtнис, та1' как оно соотнетствуеr
как
раз
11.
двум
~д1нннLам
третьего
Ус1·ановить бегунок на
42,5; 3,92; 1,12.
числа:
разряда.
l,36; 16,4; 6,45; 0,276; 895;
n~:rвнй KOHUEHTP
Где
12.
устанав.'lиваются
10,J
и
20,2? Начинающие с•1нтать
24. Верно ли это?
на
лн.11сйке делают это часто, как 11а рис.
13.
14.
Установите 3,64; 3,66 и 3,65.
Установить бегунком 2,35; 3,47;
329; 0,0223; 0,301; l,345.
l"''lm?""'' '1' "1' ·~' ''"") 1'Qiii 1 "l' " Р i· 'i'·"I' "l""l 11
I"''.\!. "l""J1"
,1,,
Третий разряд
. 2
- - - - - - - - - - - - #---Второй разряд
/ /1
. ле/}вЫй раа"j]ЯГ2_7---·-Рнс.
.
'.
23.
~
' J
)"""' " ""
""" ' . "'i·
• ' '""1""""
- ~·
'
.""
'
~: 1 :1: ~:;1 1 ·1~1 1111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1u1 .11l1№l 1 1/1~ 111 11l1111111:11i1 1 : ,ф1;1 1 !11 i11,i; 111
11J:111111
9.1 .
1
"Jo
g
1
g
~
1
11 ,.,," . ,
~
1
.~
'·'
\•
,.
·'
,"
,
·~
1;8
...
,J
"
111
'r
;JJ/',
20~?
I0,1?
Рис..
24.
Решая вопросы, поставленные в заданиях 13 и 14, мы уже ви
дели, что для некоторых
ходится
с та вить
на
чисел
гл а з
-
делешн1:
посредине
Это и понятно: в промежутке от
рез дnе
третьего
единицы,
разряда.
а
после
2
до
4 - даже
не
хват а е т
между
4
и
через
их
при
делениями.
дедения идут
пнт~.
ведь
че
ед ини ~~
ШКАЛЫ ЛИНЕЙКИ; ЧТЕН11Г: И УСI'АНОВКЛ
Пример 3. Установить 6,77 (рис.
Шесть - се мь -семь.
ЧНСf.Л
23
25).
Пtрвый разряд- ш е с 7 ь, лторой - с см ь. т ретий -
с см ь.
±tiШl l
Р11с.
25.
Но л третьем разряде у нас ес'rь де;1енис тоJ1ыю длл ш1ти, значит,
1 шм нужно 11 а г лаз Dоста1шть 6е 1·у11ок 1юсле этого деления так,
чтобы он отдеJJял две пятые следующего про:\!ежутка (7 =5+ 2).
Такую
устанопку
на
глаз
приходится
лрим еш1п,
очен1,
часто,
поэтому 11р1:1ктиковаться на этом следует nобо.11ьше.
Разделите прямую на отрс з ю1 по
15.
.1111тс
1
/
1
первого отрезка,
Проверьте
упражнение
деления
в
на
дру1·ом
4
нтороrо,
/1
миллиметры,
1
/1
5 ыл~
и затем ш~ гла:1 отде·
третьего,
заме1.'ЬТС
1
/
6
ошибки;
1 1еп:~ртого.
повторите
порядке.
Э-rа задача предназначена для развития г лазо~~сра в то И ~•ере, в
ка~юй 011 нужен при работе на линейке. У11ражнений такоr·о рода
~10ж110 придумать и nыпотшть самому сколько угодно. Следует. далее,
попробова ть дел11ть на глаз отрезк и более мелкие, че~t 5 .lfM.
16.
Установить бегунком
4,76; 327; 56,7; 0,0967; 7 ,08; 89,6; 66,6;
14,55; 16,67.
Уставовите 6,67 и 6,68. Теперь установите 6,675. Что 11 ро щс?
Заметьте 9тот случай простой установки. Уста1101;1ите ещ~ 53,25;
17.
79,75.
3 а дач а. Установить число 6,7789.
Мы уже видели, что, устананливан чжло 6, 77; пам лришлос~. по
след11юю цифру брать на глаз; ясно, что то же пришлое~. бы де.'ШТЬ
и с да.11ьнсйшю.rи цифрами. Но зто физи•1еск11 невозможно: никто нс
сумеет верно отделить на глаз; какого.нибудь отрезка·. Поэтому,
когда
нам
попадаются
такие
чнсла,
мы
их
округляе:\1,
ставя
н!.1есто 6,7789 просто 6,78 и сохраняя лишь те три 1щфрu, которые
1\ЮЖНО поставить и прочесть на ;шнейке.
/
ПЕРВЫР'!
24
KOHUEHTP
На линейке моЖн.о производить вычислеNия с тремя, самое
1 большее - с четырьмя зн.ак'ttми.
(Четыре знака можно брать для чисе.h, начинающихся с
навыке - и с 2.)
18.
1,
а при
На счётной линейке вычисляется объём бака высотой около
4 м и диаметром около 2,5 м. Чертёжник дал высоту и диаметр с точ
ностью до миллиметра. Целесообразно это или нет?
У к а з а н и е . Если размер около 4 м дан с точностью до милли
метра, то это значит, что в числе, начинающемся с 4, дан четвёртый
знак (1 мм=О,001 м; значит, даны: один знак до запятой и три знака
после запятой). Мо~1:Ю ли точно установить на линейке, например,
такое число, как 4, 126? Исследовать таким же образом, целесообразно
, ли аналогичное задание диаметра. Дать теперь точную мотивир.овку
решения задачи 18.
Чтение чисел на ш1шле
Пр им ер. Какое число установлено на чертеже
Ближайшее меньшее деление первого разряда - од и н,
§ 14.
разряда
-
д в а,
третьего
От в е т: од и н
Это может быть и
'
1
2
26?
второго
разряда - · с е м ь.
- д в а - сем ь (черт. 27).
127, и 0,0127, и 1,27 и т. д.
3
l:111l1111!1111l1111!111111l11l1111l1 .
'
?
Черт. 26
Черт.
27
Устанавливая числа на линейке, мы .не обращаем внимания на
запятые и нули на конце. Естественно, что, читая число, мы ничего
не можем сказать о месте запятой или числе нулей; прочесть число означает:
Пf>очесть его цифры в последовательном
же о месте запятой решается особо.
L
порядке;
·
вопрос
/
ШКАЛЫ ЛИНЕЙКИ; ЧТЕНИЕ
И УСТАНОВКА ЧИСЕЛ
19. Прочесть числа: сначала .отмеченные на
чёрточками, потом - пунктирными.
1
1
13
•• :
у
1,•:
1
черт.
25
сплошными
28
1;
1,6
17
·1,8
' 1
1,~
1
,1,5
1,6
1,i'
1.~
1,9
:
1
1
1НН1+ыJ11:11111111111111111111111111м~-•1111111:11111111
Черт.
:
1
1
28
Понятно, что при чтении также приходится читать деления на-
глаз. На Этом тоже надо напрактиковаться.
,
20• Определите на -глаз, сколько десятых дол~й всего отрезка
заключено между его началом (левым концом) и вертикальной чер
той (черт. 29).
~~~44
~ Lf--J L~ ~ ~ ~
Черт.
29
Проверьте ответы, измерив, сколько миллиметров между нача
лом и штрихом. Отрезки взяты по 10 мм .
Эту задачу мо)кно видоизменить ,таким образом: отметить на пря
мой отрезки по 10 мм и расставить в них чёрточ ки как попало; затем
оиределить,
сколько Десятых всего отрезка пришлось до чёрточки.
Ответы проверить по масштабу.
Черт .
30
21. Прочесть числа: сначала отмеченные на черт. 30 сплошными
чёрточками, потом - пунктирными.
Во всех этих заданиях числа читались просто в порядке их цифр:
один - два - семь и т. д. Чтобы вполне знать число, указы
вают ещё его «Порядою>. Порядком называют Число, определяемое так:
Для чисел> 1 «Порядком» числа называют число его цифр до
запятой.
Для
чисел<
1
«Порядок»
числа
-
число
нулей после запятой
до первой значащей цифры, притом взятое со знаком минус.
Порядок, следовательно,
и отрицательным для чисел
считают положительным для
<1.
чисел>
1
ПЕРВЫЙ KOHUEHTP
2G
Пример.
128 ООО
- порядок=+ 6
6 402,0127,251,6-
22.
.,,
»
'
0,267
-порядок=
0,0672
0,000301-
=+4
=+2
=+1
»
»
О
=-1
=-3
Указать тюрядок •-шсе.1:
2,46; 36,2; 0,07; 0,4001; 200; 4,01; 0,003; 20,00.
Если известны uифры числа в той последовательности, какую они
fl нём имеют, и указан порядо!<
числа,
то
число
это
FITTOЛH~ опре~
делено.
Пример.
Uифры
числа:
один-два-семь.
Порядок:+2 ,
тогда число: 12,7.
Порядок:+ 4, ЧИСJЮ: ] 270.
Порядок: -3, чис.1ю: 0,000127.
23. Н а писать •1исла задании 19, если их порядки такоRw:
сплошных:.
1, -2, О, +2, ....,....1, О,
пунктирных.
3, - 1, -3, О.
+
+
Ита1<,
что6ы полностью прочесть число на линейке, нужно:
l)
знать его .место на ш!(але,
2)
знать его порядок.
Нужно иметь в nиду, что ч те пи е ч и се .1 обычно отнимает
у
11а•1и1шющих
больше
всего
времени,
составляя
наибо
лее утощ~телъную часть работы; поэто~1у 11апрактиковатьсн в этом
нужно полу•~ше.
е ИзлпиLНе вzлядшзаться в линейку пристально, на ней ничего
нельзя заметать, кроме mozo, что видно уже при беzлол~ 8зzляде.
Результат нужно '!иmать быстро, делая оценку на zлаз без
1
1
8
~fi:r1м/%:~; /:~~::С~1:,н :а%о ~~~~~;и~7 ~'аб~1~:,~: с б~;:,ь;й1/оgе~:
утомляя
zлаз.
V.
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
Умнш1<ение
Пример 1. Перемножить 2·3.
П ередвигаем движок вправо тан, чтобы 1 на движке nришJ1ось
против 2 на линейке {рис. 31), fl против 3 на движке читаем на линейке
§ 15.
ответ.
7 8 910
24.
Проде.~айте этот же пример на л~шейке. Затем перемножьте
25.
Перемножь1е
2,12·3,16.
5,45·3,12,
имея в виду
п р и:нер
3
на стр.
15.
rtmo
при
е Обратите внимание на этот пример и аалtетьте,
умноженttи
мы, воспользовались
не
начальньи.t, а кон.е•tным
штри
хом дви:нска; делать так на.м прад~тся часто.
Когда надо псрс:-.1ножить числа вроде
1,2 · З,G,
то,
читая на ли
J1ейке orneт: че ты ре - два, нам ве придет в голову считать, ч то
31'0 может быть 42; 420; 0,42 и т. д . Яс но, что 1,2·3,5=4,2, но
тш<ой pac11~'r, основанный па приблизитс.'lьном предстанле·
ни и о величине про1rзведення, не всегда удобе11. Поэтому nот ттра·
ви.тrо, дающее
порядка
порядок
проиэведевия
в
зависимости от
сомножителей.
nРЛl!Н ЛО о П О РSI ДКР. nРЩIЗfll'.ДIЩИЯ
t:сш1
11(Jt1
nсрс~ню жеш111 двух ч11сел дпижок 11wдв11гастс11 в пр а
11 о
(т. е. переuножеанс щюизводн-ося 11ри по:мо щи 11.11'1.1.'IЬI LOГO штр1111а
двнжка), то 11орядок
проиэnедсиия раnен суы"е пo
pJ.tдKOQ соиножнте.,оll: ИJ.1Нус сди11ица.
upn
нен
Ес1!К JI!IИЖOK вы!1ви1·асrс я JJ.1CBO (т. е. nереwноже1111е nро11:1всод11n:я
rio:woщи конечного штр11ха дв11жка), то порядок 11роиэnеле1111я ра
суммо
порядков сомножителеlt.
ш:rrшй КОНЦЕНТР
Оснооано это пранщю Еот 11а чем: пор11док 11сеrда на ед11шщу больше ха
ракt~рнс.тн1щ логар11ф~а. Пусть nормок 'liIOta а е-сrь Ра· а 11оря1юк чис.J1а Ь есть
а lоgЬ=п 11 +ть, 1·де
Ptr EtJHI loga=n"+m",
11
ть-ианrиссы,
Состаш•и
·1·0
!og {а·Ь) = Jog а+ 10',,:" Ь = (11 11
n(J 11
пь-.1ара1псристнк11, ат 0
+ nь) +(т" + ть).
Здесь оозwожи~,~ дuа с.луча11:
J) ::::+:::~ 1':
В nервои с.~учае характеристика J'IОГариф\.lа а·Ь рав1111. n 0 +n~, во втором же
равна па+иь
no
+ 1,
т, с.
11
перво)~ случае порядоli (а·Ь) раве11:
1) Р11ь=nа+п11+1,
втором:
2)Раь =па.+пь+2,
l)Рпь=Р 11 - l+Рь-1+1=Р 11 +Рь-1.
2) Раь=Р"-1+Рь-1+2=Ра + Рь·
На .111111еRке же эти дпа сдуча11 как: раз теи и ра3J\11чаюп·.я, что при
nla
+ <1
ть
а П[Щ т"
26.
27.
•
движок 11дt!т влраuо;
+ ть ~ 1 дR!IЖОК
Пере~111ожил,:
Псрсм11ож1пь
l!.'tt!T llJIC!IO:
5.25·0,8; 0,015.З,б; 35·2,4; 2,96·7,5.
1,54·3,26; 2,18·4,65; 0,095· 17,S; 6,55·2 ,42.
При умноженrт нужно стараться ста.вить пwчнодвижок,
-
это уду'lmит результат.
С1 Хотя праsи.ш о поряд!<е во J.u1oiux случаях и у добно,
sci!
же
злоу11отреtJ.л11ть uлt не следует. Применение зтоzо правила эа
.медляет расчi!т. Поэто.лzу неоffходимо пр11учшпь себя обходиться
без неw, применять
ezu
только в крайних случаих.
В большин
стве практических расч/!тов это оtfлеzчается са.мим сущsствои
дела. При определении, например,
средней
скорости
поезда
переzоне, ЩJ.n.учив цифры пять-два, леzко догадаться,
будет не 520 км/час и не 5,2 км/час, а 52 км/час.
Пример
2.
Перемножить
1,2·3,6·2,5.
на
что это
Здес1, нужно Аыполнить
два умножения (1,2·3,6 и резуJJьтат на 2,5), 110 резуJ11,тат одного иэ
них 11е нужен. Чтобы не читать его зря, нужно 110ступить так: вы
дв1111ув движок на 1,2, nостанить бегунок на 3,6 (рис. 32); эатем,
11 е т р о га н б е r у н ка, псредrшнуть движок для следующего умно
жения, поставив его конечную черту против визирной линии бегунка.
Против
2,5-окончатсльнwil:
ответ:
один
-
нуль-восемь.
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
Порядок, очевидно,
С 'ГО ЛЬКО
ранен
единиц,
сумме
порнднов
сколько
н апр аво: 1+1+t=З;
р аз
29
сомножителей
движок
11 у с
выходил
Следовательно,
3-1=2.
ми
ответ:
J0,8.
,F,bl
• 5,
г
3
bl1j
32,
Рнс.
Перемно жить, не читая промежуточных результатов:
28..
2,65· 1,32 ·0,75; 4,65 ·О,07В5 ·0,196 · 2,48; 2,94 · 3,68 ·0,65.
ВычнСJJите вес сосновоА доски длиной
29.
шириной
45
4.,75 м, толщиной 6,5см,
сы. Удельный вес сосны-0,56 .
Сколько нуж1ю асфальта на покрытие двора
толщиной в l ,2cAt? Удеды1ый вес асфальта 1,10.
30.
•
48 Х 137 ,;~'.слос:\1
Прибли жl!нно ответы нужно r~рикидывать о уме . Это лшrt-.
н11ii раз гаранпшрует от 01аибки.
Делен11е
§ 16.
Пример
Поставим щюпщ
е дин и ц ы
1.
6
Разделить
на
6:3.
лине~н<е
Рнс.
3 1.
3-па
движке.
Тогда против
щшJющ 11а ли11еi1ке 11роч11тае::t1 •1астf1Щ~ (р 11 с.
Нз ка1<0:ч: снойстое
33).
33.
логарифмов
ос~юнано
таr<ое
выполf1ение
деления?
32.
33.
Раздетпь на липсйке 6,8:5; 36 : 2,5,
Как разде.т~ить на линеАке 20 на 5? Где
и п~ивр~<::~~~,,~11~~~~.g;ш3~;~J. 4 •
полу•1итсн
частное
ПЕРВЫЙ KOHUF.HTP
30
Аналогично
правилу о
nорядке
произuеде11ин
иногда
бывает полез 110
ЛРАUИJЮ о ПОРЯДКЕ члстноrо
Еслк 11ри делсш1и AВllJ!COK ВЫХQд11r
11 .i пр
а
uо
лучастс11 при помощи начадыюп> штркхu движка),
ного
11
р а в е
р а
3 11
о с т и
11ор1щ1ю11
дед11моrо
(т. с. частное
то
110-
11оряnок част
и
.11.с11ите.1я плюс
частное
ПОi1у•1ается при
CAHl\111\3.
Ec.rtн дш-rжок выходf!Т
1ю:.1.ощ~1 конечного ш1·рнха
р а э 11ост11
\\а
е во
(т.
дкижка),
то
J1
110рuков де..1ююrо к
е.
1юр 11док част1101·0
р а
n
е а
дсл11rе.1я..
Пример 2. Разделить 2,08:0,13. Сде..1.111 это на линейке, мы
fшдим, что движот< ныдвинулсн nправо. Про•1итанное число оди11ш есть, порндок делимого
1,
делите11я О. Следовате;1ыю, порядот<
частного l-0+1=2. Ответ: 16.
Из этого правила, однако, сс1ъ одно иск.'lючение. Лусть на).! надо
разде.о1ить 1 на 5. Мы можем это сделать двумя снособами:
1) Поставить 5 на шка.оrе С над левой сдиницсii шкалы D и
nро•1ссть ва ш~,але D 01'Rст. Движок эдесь вышел налево, nорядо1'
1 1аст1юrо по прашму ранен 1-1 =0, 1 :5=0,2.
2) Поставит~, 5 на rшшл е С над правоИ едшшней шкалы D. Тогда
начаJю двнжr'з укажет ва шка.1е D ответ. Это будет то же число 2, 1ю
порядок, сели применять нрави.оrо, рапсн 1-J + I
1, т. е. выходит, что
=
J, 5=2.
Тйким обраJом, пр :щ ило о порщщt: •шстноrо rод11тся во всех с11у1111нх,
1
1€рощ~
едного:
Нельзя. по.льзоватьсн nравило.м о порядке ч.остноzо, если
выио.лндетс1t деление l :а при двuJtеке, выдвrтутом вправо.
Чтобы избежать ЭТОJ1) исклю•1ения,
11од11·rь деле11ие J:a, выдвигая движок
При чина
этого
нсключе11ия
ясна:
мы условимся
влево.
всегд,1 лроиз-
rассмотр~ншыtl. случай
де,1е1шн ест~,
ед1шст11с1111ый cлy•1ail. дс..1е1 1яи, которы.1i 1.1ожет бып. вынопнсн пр11 обоих:
rю.1ожс1щ11х движка.
Так к ак ,'1,.1Я .каждого из :::.т11х 110.щженнИ 1 юридок
•1~ ст ноrо nолс 1 1итывастсн по-с1юо1у,
окажек~
35.
36.
37"
то ясно, что
11
о;ц~uм из с.,учае11
11равндu
н1:нер11ь~м.
Раэделнт1, 5,25:32; 11,3: 1,7; 0,19:0,48; 87:2,7.
Ра здслип, 6,15:2,46; 9,85:0,148; 19,6 :l,04j .43,5;2,74.
Сдел1.иая 11лата за изготовление детали- 3 р. 55 к., время,
потребное 11.а 11.зrотовле1ше е~ 1 -9,5 часа.
Ка1юва
почасовая
11.1ата?
Комбинированное умножение и делс11ие
§ 17. П р им ер 1. Вь.1ч1кдить ~. Здесь мы опять, как и в при~
2 (стр. :28) с тремя сомножителями, нмее;\t дело с двумя действия
мере
ми, прнLJем резудuтат первого нз 11их не нужен, важен то.оrько конеLJ~
ный результат.
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
Ставим
2
не читаем
протия
3
о'J'вета
т. е. просто читаем
(рис.
34),
против
ответ
ЗL
как это нужно для деления, 1ю затем
1,
а
сразу умножаем его на
против
так
5,
как
J
.5,
уже стоит
против нужноrо места.
''!
Рис.
34.
Пр им ер 2. Вычисли.те 3 ·~:~~·5 . Вычислим опять,
что 6Ь1Jю указаRо, выражение ; ; , по теперь уже n е ч и та е м
его, а отметим бегунком, Затем, не трогая бегунка, пере
двинем дв11жок так, чтобы 23 nриш;юсь nротнв визирной тшни
(деление на
23), и читаем ответ против 10,5 (умножение
Итак, выражения вида а;~/~4 вычисляются по схеме:
о
ь
на
10,5).
d
t:
"../"../'--..../
'
f
9
38. Вы•~ислите ·: 7~~. 4~· ; ·~6 ;:~}t.:.~
Л р и м е р 3. Выч11слить В, 1: ,;;•65
3
5
4
96
1 ' ·
1
1:
Рис.
35.
Вычисляя по обычному способу, мы видим, что после выпол
нения деления
прямо
прочесть
ответ против 465 нельзя, - 011
выходит
эа
шкалу
(рис. 35). Тогда нужно поставит~.
:,2
ПЕРВЫЙ KOHUEHTP
бегунок
на
начальный
штрих
движка
и
затем,
не
троГflЯ
бег у н к а, передnинутъ движок та1<, чтобы на место его началь ого
штриха стал нонечный . Тогда можно
Точно так же может встретитьс}I
прочитат1,
случай,
ногда
ответ
против
вместо
465.
нонеч
J1оrо
штриха
движка
нужно
будет
поставить
uа•1а.11ьный. Эту операцию можно назвать с. переброской» движ1<а.
ПJ>АВllЛО О flОР"ДКЕ ПРИ СОUМЕСТНОА1 УМНОЖЕНИИ И д.Е.1t:НИИ
Пор~;док дро(Jи7f./ равен р:~зности J~1ежду суимой порндков
сшн 1 ожите.1еl\
те11е плюс
штр.иJ:а
11 числителе
и сумм.о!!. порядков сом11ожите.1сй в з11амена
столъко еди1шц, скnлъко бы.10 перебросок к о 11е'!11 о
на
сколько6ы1tо
место
начал 1; 1101 ·0,
ne1~б!>QCOK
и
wинус
1111.ча.чь ноrо
с.только
штри ха
1ta
ro
едкииц,
иесто
ко11ечноrо.
Ч11.Юы
AOl(a3'\Tb
~но
разоб11ать случай лрООи ~
11рави.10,
,
Порядок
~1~:
с
р,
РезуJ1ь1 ат ч11таетс11 без nepc6pocк1i. Тог1;а 11 де J1 в и к о и у и п о же 11 и е
11ро11ао,111т 11p1t 0,1110!1 11 roii же установка д11ижка. Ес.,и двюкок выдвинут влево,
10 I IOjlllЛOK
1.
О
llЩJЯЛUK
ес.111 1 - вн;:оаво,
то
порsrдок
f=Pa-Pc+l,
n
rюр.сдо1:
2. Ec.n1 нужна псµеброска, то де.1е11ие происходит прн одноlt
у ст а по в 11 е д n 11 ж к а, а ум 11 о же 11 11 е - 11 р и др у r о
порпд~•е резулt тата 11рибав.111етс.11 и.1 и выч11таотся ед11ниuа.
tt. n
Разбершr.е второй
случт'! подробнее: miдa единт,а
пр116амнеrm:н, ко~да
Cu>Jumnemcн?
39.
Вычислить ·~~,'l5~;.~~~~.~ J·
4
2
1
;
9
·~~~6'.~~~gi' .
17
УдобnыJ.t подбором порядка перемноженuii ну:нсно старатьсн
uзбе~ать перебро сок движка.
Например,
0,356· 1,025·0,483· 7,54
75,8·0,905-J,7:l5
~':.1.НОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
33
rрсбует перебросок движка, по сели выпо.~нить действие так:
Щ!S
[\35/i
[\483
1,.)4
--;6:?'~
75.д.
Ш5
DJl)S
т 11еребросо1< не требуется.
• Правило о порядк е следует применят ь лишь тогда, когда в зна
Аtенателе на один множитель .~~еньше,чел~ в числителе.В осталы~ых
t"ду чаях порядок нужно подс1111тывать после каждоzо действия.
е Больше всего утомляет и отни.мает вре.мени
ffpu
работе на
л 11не1iке чтение чисел. Поэто.му каждое непрочшпанное промежу1110 •1ное произведение илtJ чрстное в комбинированных действиях
11редс тавляет собой tюдмuoii выигрыт.
11oэm0Aty
как
мож110
Ateньute
Нужно
читать
стараться
на
.линейке,
всюду , zде только возможно,заменяячтение уста,..
но в к о ii. б е z у н. к о. Кроме выиzрЬtша во времени это даст еще
tJ
увеличен и е
точности,
так как
nptl
всяк оы
прочтении и
после
дующей установке вкрадывается погрешность; установка же бе
гунка ыожет быть выполнена почти сооерще нно точно.
•
Не забывтiте о том, что ~рубая
прикидка ответа в уме
обереz.ает от оитбок.
•
и
Следует помнить также правила
о
порядке произведения
11а стного:
Если движок - вправо,
произведение -1
пю { частное
+1
По-фравцуэскио PRODUIT
QUOTШNT
1 QP.-+
Эти знаr1ни имеются и на самих лu1teiiкax.
2
Счет 11аJ1 .11в11еl11а
11
1
ПРОПОРЦИИ
VI.
Для того чтобы твердо усвоитЖ:J порядок выполнения умно
»<ения и делен1т, мо1к110 вос11ольэоватъся тем обс1'оятельством, что
§ 18.
при данном поло>ке1-1и1-1 дви>1а<а от1.~ошение сто.п щих друг · протав друга
чисел на шкалах С и D является nостояf1ным, в каком бы месте шкалы
мы эти числа ни читаJrи (рис. 111, см. в1<лейку между стр. 34 и 35).
Если, наnр1-1мер, двюr<ок стоит так, как на рис. III, то числа 2
и 16, 3 и 24, 4,5 и 36, 6 и 48 и т. д. стоят друг против друга;
"
и деиствительно:
. .
.
.
Это свойство очень легко эа.помнИть, если · считать прорез между
цвижком и линейкой за дробную ч~рту; · Тогда каждую_ пару стоя-
. щих
друг
против
друга
чисел
· на
шкалах
С и
D
можно считать
<<дробью», и все эти дроби будут друг' Другу равны. Это прави
ло,
разумеется,
и деления:
в
нисколько
самоl\1
не
деле,_
противоречит
при
правила м
перемноже нии
чисел
умножения
а
,
•
на рис .
.
.
.
а
'
·.
; .. ..
ь.
.
аь
Рис.
37,
Все
зада
I<
порциям ,
..
.
.
ь
%
а. "
·
'
про- .
приводя-
р
ре "
Аналогич-
что согласуется и с новым правилом:
.
-
и
но , деля а на
=а
а ·
-ь
36,
1.
.ь
а= a·bi
.
36.
Ь, движок ставят, как на рис.
ь
1
как
очевидно, что
•
щиеся
Ь по
ступают,
-
чи,
и
ис .
3
7•
u
шаются на линеике оче нь просто при однои установке движка.
1..
'
"
"
.
1-1 •
р,"
...,
- - "! '1'1
~
ь
'
~
:i:
'''''l' ' '""
• ••
•
IJJ
•
"
'
т
D
·~\~+..••
'
,.
"
J;'-
".,., ·r
••'·
·!
~~
Рнt.
=;;r
'
•
J
-
"Е
•
<О
" " ..,...,..
• A--=--'S
ь
"
.
IV
znr •
'
1
"
•
'
\'
••
-
•
••
l111C V
so
s
'
'
u
•"
... ,. ."
"
~·
70
•
••
u
•• •00.. ''" R
7::
••
•••
"'~
'
."
'• ••
'"'
""
"
<О
•
'
f:" ••• w.e" ....
"'
"'
•.-'О
••
•
"
~~
~
....
"~ sS.&1'
r
"~-.
"
}
ПРОПОРЦИИ
[1 р и J\t ер 1. Найти х, у ,
х
z, v
у
и =24=
и з уравнений:
z
1
48 =-v =o, 12s.
Здесь l\tоя<но раССl\1атривать 0,1 25 как дробь ( 0·~ 25 ); установив
О, 125 u1калы С над еди11 и1~ей (началом) шкалы D, мы, согласно
сказавно~IУ вы1uе, будем получать равные дроби, беря их числители
на шк аJiе С (та~1 >1<е, где OЬJ JJO взято О, 125), а знаменатели - на
111кале D (где взята единица) . Tar< как против 16 шкалы D на ш1<але с
стоит
2, то х=2; аналогично .У=3, Z=6; v нужно искать на
шкале D против единицы ш1<алы С; v = 8 (рис. 111).
Н а йти х 1 , х 2 , Х 3 , х, :
40.
Х1
1
1.,32 -
41.
Наl1ти
0: ,
1
3,05 -
Х1 _
5,75 -
.Х~
10,00.
а. 2 , а. 3 из уравнений:
а
При вычислениях
о
Х2 _
2,6 1 -
.1,69
вилам
•
= 4:,46 =·
а
)
2
б,25 = 7 70. :. .·
а
. ~
! .
с пропорциями можно
·-
пол1:>зоваться такиrv1 пра-
порядке:
ПРАВИЛО О ПОРЯДКЕ В ПРОПОРЦИЯХ
Для ка ждой па ры ч.исел .х и у, стоящих друг против друга на шкалах
С я D и об разу1ощих равные отношения (раВЕ!Ые «дроби»), разно ст ь
n о р яд 1< о в первого и .второго числа (числителя и знаменателя «дроби.»),
при од1 1 ом
и том
же положении дви>1<ка, од н а
.
и та же
•
До1<азать зто 0•1еаь · просто. Пусть nорn.цки · чисел ·х11 х2 " ." xk будут Р1•
Pt• • • . , Pk, а nорядtси •н1сел у 1 , у 2 , •.. , Yk _:соответственно q1, q1 , • •• , q4. Тогда
ИЗ ТОГО, ЧТО
-~1 _Х2
_xk
···-,
У1
Yt
Yk
-
следует, что и порядки этих дробей должны быть равны, т. е. или
Р1 - 1/1+1 =Р1 - 1/2+1 =
· · · =Pk -
l/k + 1,
ЯЛll
Р1 ...;... q1
= Р2 -
l/s = · · ·
= Pk -
1/11.
В обоих случаях.· правило док азаио.
'
Применять это прЭ'ВИЛО особенно удобно тогда, когда все числа
x 1 ,x1 ,
•• •
,xk
(илиу 1 ,у 1 ,
•••
,у.t)-одноrо и того же поряд1<а.
Тогда из этого правила следует, что и все числа у 1 ,у 1 ,
•• •
,yk (или
х"х,, •.. ,хt)-тоже
одяоrо
и
того
же
п орядка.
думать о nорндt<е вообще не приходится,- всё ясно и так.
2-
а
•Применяя это прави.110, мы до.лжны 110мнить, однако, об UCl(ЛI0-
11eнuti, указа:ном на стр.
отношение
1шца шкалf.>1,
1•
причем
30.
Если в наишх пропорциях попалось
единица в знаменателе-правая
еди-
то для этой 11ро11орцш~ порядок должен быть tюд
D,
с1штан особо; в это.м случа е нельзn сч1шють верным правило: <( если
1юрядки знаменателей рао11и,
rlIO
а 11орндки
числителей
равны».
о Эrпо npacflлO нельзя 11рименять также в тех случаях,
коzда требуетсн, 11ереброска движка. Разберитесь в этм.r. по
дробнее сами.
Пример 2. В задании 40 перnы с 4 отношения подчиншотся
правилу: из раn е11ства пор ядков знаме н а телей СJrедуст раRспство
порv.дков числите.1еf1 ; порядок всех чис.~итслей - едш1ица, как в
нерrюм от110шении. Но ес.1и nрисое,.:щ11ит1> последнее отношение, то
прави;ю нарушается: в ::~намс11атеJ1е пор ндок
сn по-прежнему
Пример
2,
а
n •шслителс
остает
l.
3.
?;=~=о.~24= 1~~5=~·
Здесь
порядюt
знаменателей
раз1ше;
значит,
поряд~ш х тоже
разш.~е. Разностr. 1юр11дкоп для дроби ~ равна нулю; значит, та же
величина до.~тжна 11олучатьс11 и д.~n остал1>ных дробей, rюлу 1 шемых
без переброски движка. Поэтому порядок х, = 1, порядок х,=1.
Для того , чтобы нr~йти х 1 11 Х 4 , движо к надо пере 6 рос и т ь.
Правило уже нс прюн:н имо и мы
рядок х" =+З.
полу чиУI п орндок Х 1
42.
Найтii. х 1 , х" х , , х , и з услоnия.:
43.
На йти
TT:6=0.~6i=1.~9.i=~ =~ ·
s,, sl' s1 ,
s~ иэ уравне11иii:
~=~=~=(},~ 1=~~0
44.
О11реде..1ит 1 . а, Ь, М,
13
п
N,
сс1и
ь
:\
491
пп=1уsо=%Т=м=N ·
= - 2,
по
VJI. КВАДРАТЫ И КВЛДР А ТНЫЕ J{ОРНИ
§ 19. 45.
Поставьте визирпую линию бегунка· мн деление
ней шкалы (шкалы
D)
2
ниж
и прочтите число, которое :эта линия отмети·r
на шюме А.
Поставьте визирнук) линию па
число на шкале А. Как связаны с
3 и
2 и 3
11ро•1тите соответстнующее
про<1итщшые чис.1а?
Возведение в квадрат и извлечение КRадрапшго корни на ;rинеИке
делаются моментально: шкала А (а также шкала В, в точности сонпа
щ1.ющая со щкалой А) разделена так, что
!'а >!f дом у
числ у
на шкале D соответствует его кнадрат па шкале А.
Поэтому, чтобы научиться ~юзоодить в квадрат и извлс1сат1, квад
ратные корни, нужно лишь озна~юмиты.:11 со шю1.1юй А.
На шкJле А
•1еи т1 u~каде
D.
делении
шшсссны в масштабе, ·11 дuа раза
Так
лелет111 ш1н1л1>1
i;a1(
шка111>1 А пропорщю11алы1ы
2 log п = !og 11•.
D
б о .1 ее
пропорШ1011а.11>1t1>1
Jog п,
мел
t{
о и,
то де.~ення
Шка.11ы А и В
Вся шкала А состоит из двух nо;~онин: пернw содержит деления
от 1 до 10; вторая поло1ш1ш-от 10 до 100-н то•Jности 1 1 онторяет
1iерную. Поэтому достаточно разобрать лишь перную нолошrnу.
46. Рассмотрите внимате ,1ьно первую половину шка.'rЫ А и найдите
делении первого, второго и третьего рюрядов. f lров~рьте по рис. ll
(вклей1<а между стр. 14 и 15).
47. Сколышм сдинишtм третьего разряда соответсгвуе·г каждое
деление третьего разрпда в про-'1ежутке от 1 до 2? Н прш1ежут"е от
до 5? Имеются ли деленш1 третьего разрnда в прщ.1ежутке от 5 до 1О?
2
48. Рассмотрите вторую полтшпу шкалы. Сосрьте соответствую
щие промежут~ш обеих поJЮrшн и убtдитссь, что они рашш и совер
шенно
одинаково
раздс.~спы.
Эта тождсстш:шюсть обеих по.1ошш
-
прпмос
слсдстuие второго
основного снойства логарифмичеоюй шка;~ы: числа правой половины
в 1О раз боJ1ьшс чисел левой.
о На некоторых линейках в правой полоrтне стоят и числа,
в точносrtш такие же, как и в левой: выесто
20
стоит
2,
вместо
ПЕРВЫЙ КОНЦЕНТР
и rn. д. По сути дела-это одно и то же, так кшс при
установке число ставят просто как ряд цифр: два, пять, три
30-3
в"1tесто: двадцать пять и три
(25,3).
Любое число можно ставить и в правой и в лево й половине шка;1ы.
Тем не менее, различие между этими половинами весьма существенно
при возведении в квадрат и изв:~счении
корня, как это в дальнейшем
будет видно при определении норядка результата .
Посташ..те в левой половине шкалы числа
895, 564; в п равой половине чис.1а 19,2; 2650;
49.
645,
При выполнении задания
шкале А
49
167, 248, 356,
97,5.
видно, что при установке чисеJ1 па
приходится брать на глаз гораздо больше, чем на шкале
D.
Это и понятно: Де.11ения зд.есь грубее, так как щш более мелком мас
штабе прих0дится чересчур мелкие деления выбрасывать. Из-за этого
результаты действий, производимых на шкалах А и В,
менее точны, чем на шкалах С и D.
Рис.
50.
38.
Прочитайте числа, сначала отмеченные на рис.
чертами, пото:-.1
-
38
сплошпыми
пунктирными (на этом чертеже изображены кусочки
шкал А и В).
Возпсдснис в
Как
квадрат
уже видно нз сказанного, самое nозnеденнс в квадрат- дело
в nысшсй степени простое: всё сводится только к установке визирной
Р11с.
39.
...~инии на число на шкале D и к чтению резул ьтата на шкале А (рис. 39);
единственная трудпость, и то небольшая,- в
резу;1ьтата.
определении
порядка
КВАДРАТЫ И КВАДРАТНЫЕ КОРНИ
ПРАl!ИЛО
Если oтllCT (квад11п
0
ПOPll'дKr; КUАДРЛТА
•шс;ы) 11нод11rся
11равп11. лотжи11е
11
то пор 11 док к11:~др11та ранен уд1юе111Ю\tу 1юр~дку
рат. Еспи в nen o il,-тo у.цuоешюму 11щ1~дку
Пр им с р. Наi!ти квадрат
-
0,002
1
•
чнс.~а.
.. IO
11
1 ш ад
е.1иниuа.
Беr·у1юr< ставите~~ на
Ответ: четыре-о .1еоо Н 1юло1ш не.
Порядок возвыш асмот •111сла - 2. Порядо1< кш:щрата:
1 = -5. СледОВSТС.'IЫЮ; 0,002 1 = 0,000СЮ4.
"' "'l''''J.
шк а пы А,
возводи м о1 · 0
м1111ус
2 (рис. 39).
(- 2) · 2 -
'н ~~"'
~~
70
20
90 100
,,
"
Рис.
Пример. Найти
40.
6,88 1 • Сы. рис. 40.
О твет: четыре-семь-три.
IJорядок числа , возводимого 11 квадрат:·+
Порядок кuадрата:
(
+ 1)·2=+2.
6 ,88 = 47 ,3.
1.
1
51.
Докажите правило о порядке квадрата, исходя из правила ()
порядке
произведения.
У казан не. Нужно перем11ож11ть число само на себя на ш1шлах
С и D и заметить, в какую uоловш1у шкалы А попадет квадрат (pai:111Ыi1
зтому произведе1111ю) и том случае, когда движок 11ыАдет 1:1пра1:10, н
1югда
-
мево.
313 ;~0 .~g~~ 1 .квадратw:
Если числа А
ООратно: числа
;1ы D суть
p1:1т11hle
-
2,36'; О,495 ; 79,5
1
кор11и
на чёрточку
о,968';
o,1os=;
кRадрнты соо1·ветствующих 'lliceл шкалr;r
wка-
D,
~
,
со-
Jlример l. Найти
ПоставL>те бе1·унок
114.
l,IG5•;
;
коад-~
1,
11 11 .
то.
1
~
ответствующих•
чисел А.
1
Изв.r1ечеш1с норня
+---~~,,-~,.,~
,,~~,
~---11:...------~---!1
Рис.
41.
4 шкuлы А и лро':lти·rе ответ на шка.1е D (р;1с. 41),
ПЕРВЫЙ KOH L! r.IПP
<О
V40.
Прим ер 2. Найти
Теперь бегунок HflдO поставить на 40
D правой п о ловин е шкалы А (или на 4, если на линейке
n правой полоRиис шкалы А стоят те же числ<1., •по и fl левой половюк~)
н ответ пОJJучится: 6,32 (рис. 42).
':"":w;tjd
1:
Рнс.
В перво~t
пример е
мы
42
ставили бсrу1ю1'
на
4
в левой половине ,
rю втором прим ер е - в правой полоттс и 1ю:~тому 1юлучшш раэнwс
ответы.
Для того чтобы ре шить , когда же нужно ст11нить числа в левой
- в правой, н у ж 11 о знат ь
nолови пе ш "алы А' и ко гда
ПГЛВНЛО И3!1ЛЕЧЕННЯ
КОРНЯ
от s~~:Т~i~c=~~= .;~~~~' ~111,r~a:~P11т:e~~i. з:па11;gJ:11~~1и "~н~11~ j~фpt.r, мсоо
2)
Посмот рите, с1юлh •.:О UJ1ф 11
l,
- олна нлн две - 11 кpall1,eA .,своА 1·pi!HH,
сс.щ.1 чис.~о ~
и.,и 11 тоА, ко1 ораи идет за сплошь нулевыми граняwи,
если чис.~о
1.
il) l ~c1111 1;~кнх uнфр тол1>ко ощ1а, то уtтанав.11111аАте •тело в левоfi
IIOЛOl\Hl!C шкалы А , CCl!lt ДllC, то в 11 paвoll,
<
4) Пnр!IД()!(
корнJ.1
если IJOДIIOj)CtlllOC Ч!LСЛО
< 1,
11зirroиy со
J1~1<CH
?.-
'll!CЛY
1, \t ч11с.чу
ncex 1·11a11cli
'!llCTO
:шако.1о1 i!llll)'C (11р1 1 ~тои
(11к.~КN3Н
"
HCПOl!l\l~C),
11) л е lt Ь1 х 1·pa11cii, СС.,11 0110
целых» за r pa111> не с•~ н·
t:.11ym.
1астс11).
•
Сравните зnю правило с пра ва.лом извлечения корня в алгебре
и обраптте вни1оюние на совпадение с110собов определения •tucдa
l{llфp в корне.
Пример 3. На~iти Vзоо
11
Vо,оооооз.
21
l)
1
3'00 -две ~рани.
1)
вые
2)
Во
второй
грани
-
од па
2
0,00'00'03-две чисто нуле-
rршш.
2) l3
грани , следующей за чи-
uифра.
3) Так •><ш цифра одна, уста-
сто 11уле1:11Jми,- одна 11Нфра.
3) То же: так1<81<цифра одна,
Нt11:1Ли1:1аем число
ло1:1 и не (рис. 43).
устан:шлннаем
по.rюнипе.
в JI ев о
il
по-
ч11сло
в
л с в ой
Проч 11тш11юе число; оди11-семь-три-два.
4)
Так
J(fl!<
порядок кор1111:
граней
+2.
д fl с,
От вето J/300= 17,32;
то
4) Так ка~< грапей
порядок корю~: -2.
J(0,000003=0,001732.
д
n е,
то
1\БАДРАТЫ И КБАДРАТНIМЕ КОРНИ
Пр:~ер 4. Найти
1)
V5000
3
50'00 -две 1'р а11и.
1)
0,00'00'00'50-три
11улев~..~с
В
цифры.
2)
крайне{~
rранн-дnе
n е,
чисто
гра1111.
В следующей за нулевыми
гранимн -д1Jе шiфры.
2)
Рис .
Э) Так как цифр д
41
и Vo,~.
43.
ставим число
n
праной половине (ряс .
44).
"' ·1····h ··1· "..,
1ем1
.....
"
7о
~
.
Гран ей
+2.
-
1
11 •.•
•"
44....._
две. Порядок 1юр-
- сем ъ.
4) Ч11сто
нулевых
rра11ей
-
три. Порядок корня: -З.
Ответ' ]f5000=70,7;
53.
1~0 ' 1 "'1'~0"
~1•111ч11111:~1
Р11,;.
4}
90
10
Прочитанное число: семь-нуль
пи:
~·о
'·' '·',
~
Yu,oooo005=0,000707.
Найти корни:
Jf52,5; J(O,G35; ]il4,4; VО,О7Т; ]f89Ь; УО,0002; ]!!08; ]!10,5.
При возnсден11и
для. определения
n
1{вадрат и
мест:.~
np11 измечснии
запитой
кnадрат1ю1·0 корня мuжно
по.rrьзоnз тьо1
eu1c
таким:
прис~юм:
Nю~r~~b требуе-rся наИ-rи (0,0162)".
0,0162= 1,62· IO-'; 0,0162' = 1,62' .10-•=2,G2· I0 -' =0,000262.
ПЕРВЫЙ KOHUEHTP
"
2) Чему равен VТ620?
1в20= 1в,2.10•;
3) Найти V 0,0005.
VRW= V16,2.10=4,025.10=40,25.
0,0005 = s,0.10-•; Vo,0005 =
vs.o. 10-• =
2,24. 10-• = ощ21.
Путь, следоЕJательно, таков:
При возведении в квадрат из данного числа
выделяется
в виде
ь1ножюеля такая степень десяти, чтобы оставшееся чис.10 бшю
ме~~ьше 10, а при иэвле•1ении корня-обязательно
четнан
/чтобы пол~юстью извлекся норень) , так что остается число, мень
шее
100,
Этот
D
уме.
прием
удобно
употреблять
д.'IЯ
грубой
проверки
ответа
VIII.
§ 20.
КУБЫ И НУБИЧЕСКИЕ l<ОРНИ
Для кубов, так же
каК' и для квадратов, на шшеА ке есть
отде.1Jь11ая шкала- шка.па К-с делениями, втрое более мелюtм н ,
чем на шкале D . Она состоит из трех идущю; друr за друrо~1 одина
ковых нжал (подобно тому каr< шкала А составлена иэ двух одщ1ако
вы:х). Деления на каждой иэ этих трех шкал в
же,
как
и
на
каждой
половине
то ч н о ст и
шкалы
А
та к н е
(только
помельче). Правила возведения в "Уб и извлечение корш1 такие:
ПРАВИЛО О ПОР}IДКI': ffYБA
Ес11и
порицок
куб
1 ыве 11
110 11учаек ~
в ПOC.llCJIHCll.
у rроенно111у порИ11ку
(r1paвoii)
трети
1юз1щ111ас~оrо
Если в
Ес..~н
шка11ы
Лр11мер
1.
К,
то
од и
11.
ero
числа.
cpe;111eli треп~, то - утрое11 1 юму порялку ы и 11 у с
11 11epooli (neooA) тре ти, то - утрос 1111 ому 1юрялку .ы
н
11
ус два.
Найти 1,725~ . Поставим бегунок на 172511а1ш<алсD.
Р~н::.
45.
Ответ приходится в первой трети (рис. 45). Проч.и.ташюе чис.10:
пять - один-три.
Порядок возвышаемого числа:+
1.
Порядок куб"' З·(+ I J-2=+1.
Ответ: I,723'=5,JЗ.
ПЕРВЫЙ КОНЦЕНТР
ПРАВИЛО ог, ИЗВJ!Е'IЕНИИ ютичвсноrо J<OPl-\Я
!,
Разделите
подкоренное
чис.10
па
rpaiщ
тр11
110
Ш1фрЬ1
D каждой·
<
ВЛСDО от ЗJl!ЯТСЙ, ес.1!1 ЧllСЛО ~ J, 11 (l[]j)aBO от .:~аш1 той, eCJIН. UIIO
1.
2. Посмотрите, ско.,ько ц11фр 11 кр;1й11сft лcr::oii rpa1111, сс.1н число ~ 1,
в нс1юсрецсrненио с.1сдующсli эа ч1ктu 11у-~е11ь~м11 rра1111~ш. ес.111 чи
и
сло
<1.
З.
1)
Если
таких
щ1фр
только
од11<1, то
стаuыс
число _ в перосй (ле
вой) трспt шк;~ды К;
11
~JЬ е;~~и д~!~~-:=.-Dв ct~~:.~~~~c1(~;;Jвoii) трети.
4. Пор~док корня равен •шслу rра11ей, ес1111
чис,,ч чисто ну.1евых 1 ·ране!1, если OtlU < 1.
подкорешюс
ч11сло:;,,,,
Пример 2. Найти V7700 и V0,0000077.
грани.
1) 0,000'007'7-одна
1)
7'700-дDе
2)
грани-одна
В
крайней
uифра.
З) Так «ак uифра одна, то
нулевая
(леDоЙ) трети шкалы К (рис.
2)
чисто
грань.
следующей
за
чисто
ну;1е
вой гранью-одна uифра.
устанав.1иDаем 77 в
п ер в ой
46).
""""--------.ш;·'шJЩ'· ~
·, :
,'
111:•11 1'" ',l'J:"
О.1'
В
1,
••
1, ,1 ,'
''1
Рис.
46.
Прочитанное число: один-девять-есмь-пять.
4) Граней - две. Пор}!док:
Ответо V7700=19,75;
+ 2.
4) Граней - ощ1а.
Порядо«:
- 1.
vo.ooooefff=0,01975.
54. Найти: 1,62"; 0,071 ; 0,645 ; 4,22 :.
55. Найти; V0,0043; V4,ti2; j/"О,ТUб; {У72,5.
3
1
На ш~кGторых щ1неИках пшалы К не1'. На них извлекать кубиче
сю1е 1щр1щ сложнt::с \см.
11
ко11нснтр, стр.
115).
IX. КОМБИНИРОВАННЫЕ ДЕЙСТВ!!~
§ 21.
Рассмотри~1 теперь некоторые комбинированные
дейстАия:.
56. До сих пор мы д-елали умножение на шкалах С и D. Попро·
буйте теперь произвести эти операции на шка.1ах А и В, например,
помножьте
6 · 2;
разделите
27: 3.
Задача. Вычисаить поf{ороче 2,65 · 1,78t.
Можно решить эту задачу так: возвести в квадрат
результат; затем поставить
жить его на 2,65.
Можно
шкале
D
полученное
1,78, записать
D и помно
число ш1 шкале
решить е~ короче так: поставить бегунок на
(рис.
47).
/,78
11а
Тогда визирная линия покажет ш1 шкаJiе А чИСJЮ
~i-r-----7--+--7:~---+-<:1
:::шj :::::::1;=-:6_5':.-:.-:.:::2J:::-.. .:. .
'-~--'·7_8':1
?"' '"
2
1
Ри~.
1,781 •
Не
читая
этого
чис ;~а
днижок так; чтобы его черточка
и
1
47.
пе
трогая
беrушщ,
переставить
совпа"~а с назирной юн11J~й. Тогда
против 2,65 на шкале В будет прочитан на нша.~е А весь ответ, так как
1
ясно, что при этом 1,78 помножится на 2,65.
Способ этот намного короче:
не надо чита·rь 1,78 1 ,
1)
2)
не надо ставить ет на шкалу.
ПЕРВЫЙ
46
KOJ-J UEHTP
57.
Подсчитайте f(Оротким способом
58.
ВычиСJiите ~ .
59.
СNолыю
метров
?42 8
-j 55 •
,
пролетит
свободно
nадающ11it
камс1 1ь
за
2
15,6 сек . , ecJtИ время отсчитывается от на•ш.11а падения (g= 98 l c.1.ticeк )?
60. Вычислите кю1етич.ескую энер гию товарного поезда н 2050 т,
идущего со скоростью 45 км/час . Не забудис, что масса рюша несу,
дtJJенноыу н<t g .
Х. ОСОБЫЕ ЗНЛ'IНИ
§ 22. 1)
1
тт=З,14159 ..•
1
llA ПШЛЛЛХ
на шка;~ах С и D (ино_r:,rа и па А и В).
Диаметр ведущего колеса паровоза-1570 мм. Сколько обора·
61.
тов делает колесо в минуту при скорости
62.
2)
1
75
км/час?
Сколько пойдет рельсов на кривую радиуса
стягиваемый кривой, раве н
45
м, если угол,
26"?
С=~ на ш"алах С и D.
1
Этот значок служит для вычислении площади по диаметру, и на·
оборот.
Ес,ш S - площадь круга диа~1t:тра
Отсюда следует также d =
1)
CJ/S,
d,
то. S = :f-=,!f=(
питому:
Чтобы по диаметру определить п.ющадъ
а ответ читают
на
шкале
f )1•
I(pyra, де"шт d на С,
А.
Чтобы по площади определить диаметр, посtупают наоборот .
П.r~ощадь ставят на шкале А, как rюшщренное число квадратного
2)
rшрня, персднигатот
читают на ш 1< а JJ е
Пример.
движок е;щ ни неii к установленной
против С ди аметр.
круга
0=16,2
е !20 6
Рис.
48).
Порядок шющади
d
порядку -с.
Ответ:
5=206
и1.
.и (см.
решение
на
:
0
рис.
площади и
D
Найти шющадь
48.
оnреде.'lнется как
оорядоr< квадрата по
П ЕРВЫЙ KOHUEHTP
63.
64.
Вычислить площадn стандартной цирковой арепы
Объr:м ци.1индричс:ской коробки 6300 см~, высота
0 = 13 д,
5 см. Вы~
числить ющметр.
При
онрсделетш
061.ема
ц_ил1111лра
щади осчования, таrс как фор:-.1улу
вычис.~rяп. сразу (ер. стр.
45,
не
надо
читать
пло-
V=Sl=(1:)' ·L 1\1Ож1ю
комбинированные вычисления) .
Уде~:;ы~к~~~к~у~;~:т :[гунная болванка 0=300 мц, h=800 м.и?
7
На не1соторых
линейках на беrунке есть три линии. Обе краНние
~ао
Рщ:,
49.
линии отстоят от сред11еn как раз на расстояшtи, равном С= J!'~,
так
что,
1юсташш
круга, на шкале
D,
среднюю
линию
1 1а
ч11с;~о,
указ 1..о1нающее д1tаметр
мож1ю 11рочитать площадь этого круга на шт<але А
nротив J1евой линни бегунка (рис. 49).
• Остальные значки на линеiiке менее употреби т ельны; о на.х
сказано дальше (стр.
95
и
125).
XI. ЛИНЕЙl<А КА!( ТАБЛИЦА
§ 23. 3 ад а ч а.
Составить
та~лицу
для neJlftвoдa
дюiiмоб в
миллиметры.
На тшейке эта эада 1 1а решается таю
1"=25,4
AtM.
Ставят 25,4 против 1. Тоrда против чисел 2, 3, ... будут, очевид~ю,
стоять числа, равные 25,4-2; 25,4·3 11 т. д., т. е. 11ереводящие дЮймы
в ми:1Jшметр1>1', То же самое будет
и
для
любого
другого
числа.
HaпQ6~eh:e~!;;~9,~ AI ~р=д~:ь;
Реомюра
Цельсия:
67.
1·раммы:
следующие
градусы
16; 28; 42; 19,5; 60; 85.
Перевести фунты в кило-
11; 16,5; 19,6; 180; 37,5;
9 1 ,З.
Р11с.
6 8. Перевести версты в КИJIО
метры'
69.
1560; 960; 70; 20,5; 1,45.
Уклон
канализационной
трубы раве11
0,03.
50.
Глубина заложе
ния около колодца а=2,65 ы. Какова глубина аа;южепия Ь н 15; 20;
.м от колодца?
У к а э ан и е. Укло1юм труб~.~: 1~азыв.:1ют отношение понижении
0
5
11
1
27; 40; 95
~~:~~~~ш~~РУ~~:~~~~~;
2) :а;~:; $9,cт1~:1 r ;~1et: ~a~~ r'~ ~g~~
ВТОР О Й К О Н ЦЕНТР
ПРОПОРЦИОНА Л ЬНЫЕ В ЫЧИ СЛЕНИЯ
XII.
С КВАДР АТАМ И И !(УБЛМИ
Познакомившись с простсiiши.J\JИ п риёмаы и вычислений: на
§ 24.
ли нейке,
можно
буд~:т
теперь
приступить
и
к
более
глубокому
о з1ш1{0)1Лению с её устройство;о,1 ; это по з волит иai\'I не толыю ре шать
б о .'IС е
сложные
пр иё мы
дл11
задачи по
nы•1ис.11ения
ю щихся в практических
имеют
готовым
выражений
расчёт ах ,
наn ыки н 11роведении
ход ится
выпоJ~нять
много
схемам, по
того
При
вычислений
раз,
или
это:-.1
и
создават ь
иного вида, встреча
наибольшую
11! кого
так ь:ак
Саl\ШМ
здесь,
nажность
рода, которые п ри
о чевидно,
незначи
тельное у.1 уч шение шш ухуд шение приёма может в итоге значите.11Ь1Ю
у м е нышпь ил11 у в елич ить объём работы .
В пс рвФ1 ко 1щснтре м1,1 у же столкну:шсь с некоторыми спосо
баj\ш вы 1 111и1 с нил 11а .m111cii1,c, 1юторы е ттоз в о-1tтн оче 1~ 1. б ыстро и
удоб но (при одной у сттюш< с юшжка) 11аход11п. целыii ряд зн а чений
од.ной и той ж е ве.1111 чины, 11роuодип, много одноти пных в ы числений
(01. §§ 18 и 23; <1 Лро порU1iИJ> 11 « Лю~ей1<а юж таб.1ица;)), Тспср1.
эти способ ы будут разби раться бо.1ее ш ироко и бо.1се подробно.
Про порuи01-шJJ ьные вычис.r1 енш1 будут и грать в дал1,нейше :\-1 боJJJ,
шую рот, ;
мы
начнём
с
вопроса, нримыкающе rо к
§ 18
(стр .
34).
§ 25. Мы уже знаем, что ес.1 и сд rшпу ть движо к , то стоящие дру г
проти в друrа числа пш а л ы D (к ото р ы е м r,1 буде j\~ обо з на чат ь б уrшой х)
и •шсла ш~шлы
С
(1юто рыс м ы обо знач ю1 чер е з у ) с вя заны
•
мостыо:
f=const,
tшыми слова ми , отнош ение
чисел
(ер.
х
и у
J1юбых двух стоящих друг против дру rа
сохраняет дл я всех т@иХ пар постоянную величину')
§ 18).
1)
ПJШ 11t:сд1ш11утш1 движке имеем триuиа.1ьный случаJ:I х=у.
ПРОПОРUИОНАl!ЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С КВАДРАТАМИ И !\УБАМИ
Обозначив числа шкалы А буквой
70.
z,
51
а ЧИСJJа шкалы К -·бук"
вой и, каnишите, каким соот11ошс11исм сnнзаны ч.исла
z
71.
их;
и
Каким соотношением связаны
движке? Чяс.'lа
z
и
х.
чис:1а
х и у
Указ ан и с. Воспользо ватьсн реше1111ем зада·•~•
х через
z.
при сдвинутом
и у? Ч11с:та ll и у?
70
н nыpaзwri.
Тогда, оче1:1идно, соотношение между х и у даст соотно
шение »ежду
z
и у, t:cл1t заменить
n
11ёn1 х его выращенисм через
z.
Ита:r, рассматриваи шка.'lЫ А и К в ко:\lбинации со шкалой С, мы
видим,
что
для
стоящих
друг
nрошв
друга
•tИсt:л
будут спраnедливы равенства:
этих
1ш<ат1х
-
v;;=v;= ... =..G
Y.t
у,
на
···=
11 v;l=v;;I=
Ys
У2
У1
или ина•1е (возводя эти раnснства
n
v;,:,
Yk
квадрат и в куб):
Эти~~и соотношениями можно во многих сду•~ш~х с удобством
110.1ь~.ю11атьсн; они, 11апри~1ер, оче11ь удобны для решения пижс11ри
и~дё1шых задач (и а~шлогичных
задач: для корней коадратвых и ку-
,
бичесюjх):
1.
Найти числа, пропорцио11ады11;1с квадрата :н данного ряда •1исел.
2.
Найти
числа,
11ропорционалы1ые
S=49It
Пример. Вычислить зиачешш
8,75.
кубам
1
данного
д.u1
рнда
чисел.
t=4; 4,2; 5,65;
t
EcJiи мы будем брать значения
на шкаJ1е С, то, оче1.1ид1ю, соот
ветствующие зиачеюm S будут получаться на шкале А. На сколыю
нужно сдвинуть движок-сообра:.~ить нетрудно. При
l имеем
S=491. Значит, конец движка (нлн начало) до.'lжен стоят~. протиu
491 ш калы А, на которой у нас получаю1ся ве:шчины S (ер. 59).
Ана.~оrичные рассуждения позвоJшют решап. ТаJ(Же задачи тuкоrо
t=
рода:
Задача. Найти и=z 1 •5 ="J.f'Zi. Очевидно, •по, постанив z па
ш кале А, мы пuлучим
и
прот11в
него на шкале К.
В
самом деле,
обозначая числа шкалы С чере з у, будем име'Ть:
z=y
Y=VZ;
2
,
и=у•,
и=(lfZ)'=VZ'.
Пример. Вычис.•шть ~.1 1 . > , Ст<.11:1ш.1
шюме К ответ;
3,0'1.
2,1
~ш шкале А и читаем на
ВТОРОЙ КО!iЦ~НТР
52
72.
Найти х 10 х 1 , х. 11ри х. =6,55:
73.
О11ределить a:J,
1~6i=1~·=1:~·=#i-·
«1 , а:а, «.:
~=°*=~=~=~.
74..
Вr,~:числить )., µ., "У из уравнениii:
~=~=~=~ (тr = З,14 1 6
... ).
75.
Ко11сервы выпускаются о ба11ках одит1коnой щ..~соты и раз1юrо диамеТра. Банка в 5 к~ имеет диаметр 265 .мм. J (аковы должны
быть диаметры банок на 2; J ,5; 0,75 кг?
Во всех 9ТИХ выч.ислеш~ях, тшс же ка1< и в вы •1и сле111шх с 06Ы'1ными пропор1\Иями (§ 18), линейка представляе т собой инструмент
исключительно удобный: без всяю1х передвижений, при одноlt уста
новке движка,
пол-учается
целая
серия
результатов.
Дли выч.исле11иii этого типа можно было бы дать 11равило о пор~щке,
аналогичное тому, которое дано было дmt пропорций, но оно получ.и
JJОС•• бы слиш1ю.\1 1·р0Jюзд1<И~! и нсудобны:'>t
оuе11и1шть результаты
11 росто
на
глаз;
в
n
работе. Поэтому лу•1шс
пропорц~юнальных
вычисле-
11».нх :::~то обычно сделать лсrко.
При вычислсни11х в некоторых случм1х здесь, как и везде, может
потребоватьс я 11ереброска. При этом следует ру1<0водстооватьсн пр:ш
тическнм
•
правило:-.1:
Ее.ли в 1шJ(О1tнtибJ•дь ВЫ'lисде11ии приходится сделать пере·
броску.
1110 сна'lала
мо:ясно поду'lиmь
зшщсать
нужно записать все те результаты. которьtе
без исµебрисн.и, nопю.м перебросить движок и
остальны.е.
Пример.
Найти х 1 , Х 1 , х 1 , х,, х, нз равснства
:~=*=7.=%=%=~ ·
Установнu
6,35 шкалы С nротиn 9,0 шкалы А (в левой е~ nОJJовине),
1шходнт: х, = 5,98; х 1 = 3,6i. Чтобы найти х 1 , дВнжок nеребрзсы~:юют
(0,5 берут в праооА nо.1ооине шкалы А}. но х, и Х6 отыскиваю1· 11
том же 110.1ожснни дu11)1ща, что и х 1 их•. Поэтому с11а1.Jала
находнт х" и А ~ , а пото~1 уже, перебросив двнжок,- последнее 4НСЛ0.х 1 •
ХШ. ЛЕРЕВ!ОРТЫВЛНИЕ ДВИЖК,\
§ 26.
u
Вынем движок из линейки, перевернf:м его <~вверх ншами;>
всrавим в таком
шю1лоi1
виде обратно (рис.
А окажется
_____
,_
5l ).
В
это:-.1
положении под
перевернутая шкала С, над шкаJюй
D-
пере-
__,
1----------11
.~
-~
1----------il -- 8'рх
Рис.
51,
вёрнуrая шка.т1 В (рис . 52). Начало движка придётся над конечным
штрихо~1 шю1лы D, а конец движк а -над · е~ начало~~ .
.----------------~ !":. ///халы;,
тnТгmcY-Г-1-'Т"-т-'г'--+<,.+1-W,u+L\illt--J- д..
l'нс.52,
76.
Поставьте низирную линию бегунка на число
2 шкалы D и
nроч·l'Ите число, которое при этом отметит впзирная линия па шкаJ1 е С
(эта шка.'Ш теперь наверху, под шкалой А, и цифры на ней стоят {(вверх
ноrамю)), Чему равно nроиз1Зедение этих двух чисел? То же для чисел
4, б, 8. Заметьте, •rro на ш~ревf:рнутой шкш1е С чнсла JJДJ'f, возрастая
ВТОРОЙ IIOHUEHTP
спр а в а налево (не так, каr< обычно на всех шкалах). Поэто)fу,
наnри)!ер , п ротив 4 i ia шкале D находится число 2,5 на шкале С,
а не
(рис.
3,5
53).
2,5
J.
1 1 1'1'11 ~~~1 '1'1' :l:''r.~c
4()
задачу
76 ,
nсревёрнутого
мы
60
1
~
nозна~юr.~ились
с
основным
своi1ство~t
днижкrt:
о Пptt перевi!рнутом доllжке произведения
против дµуw •mсел па ткалrrх С tl D равны.
стоящих
друz
:;J '·)А
Рнс.
Легко понnь, почсиу это
в
д11ижо~
сдвинут
так,
что
так:
его
54.
П}'СТь
иача.ш
npy1·
т1рот кп друга сrо11т •111с..1а р н
1 ~рн1~:однтс11
п ротив
Тогда, оче1111д110:
числа
а
(рис.
q,
54}.
lp+lq=l",
rдс
р,
lp. lq 11 la -
q,
расстояния, на котор1~с отстоит от нача11~
а. Ио ювест но, •1тu
lp=mlogp, 1,=m logq, lu=ml~a
(т
-
длкна еди ницы
1
"
53.
Рис.
Решая
50
иасшrаб а).
штрихи со 31J ач.ка~и
Л[РЕВl!РТЫВАНИЕ ДВИЖКА
m(Jogp+ logq) = m loga,
log lpq) = log 11,
pq = a;
р ане нет АО зто сr1равем11во д,1я л ю
6 ы х ч 11 .:с.1 р н q, стоящ11х друг про1ив Apyi·a.
В зтом докаэ~тсm.ствс осит111уrо ро.rн, играет 10 ООстонтс,1ьс10 0, что у ncpc~t;r111yтoro движк а иачало шкм 11р~1ход11тс11 т;~;1, ~·де 11 о61~'1110М ло.1оже111111 т1.
х<1л~1· rс л
ко
11
е ц.
При решении эадач11
76
получалось, что все щхщ з~дс ш1я раnпы
десяти:
2·5=10; 4·2,5=10; 5·2=10; 8·1,25,,.,10;
тш<
оно
и
выходит, если
считать
ед1tщщы. Но па nрактш<е часто
нин
равными
и ы ми
числа,
11аписщ111ые
вел и •1 и и а ми по
отношению
к
чисJшJ.1
случае r.южно сказать , что при перев~рнутом
таблицу обратных величин .
что
на
шкалах,
аа
удобнее с•штать вес эти nронзнеде
единице, то-tст1. считать числа шкалы С обрат
§ 27. До сих nop движо1< бьт
cro начало и конец совпадали
шкалы
D.
В этом
движ1<с линейка щ~ёт
полностью вдвинут R линейку, так
с концо:.1 и 11а•~ало:">1 шкал линей1ш.
Te11cpt. мы разберём, чт6 дает его 11 ередвиженис.
11. Сообразите, как nроизвод11ть умноженне ври nо:-ющи пере
ве рну1'оrо движка. Нужно llOM llНTb, что: }) ШК8.'1<1 С -«обратнан »
по отноще1шю к шкале D и •1то 2) произведение а·Ь·=а:}.
78.
Как вьшо.111:1ять деление?
7 9.
Останутся ли в силе преж11ие правила о поряд1<с произведе
ния и частного при таком умножении и делении?
У к а э ан и е. Если трудно разобрать этот вопрос в общем вид~.
то сначu11а 11уж1ю рассмотретr" чт6 происходит, на11римср, nри ую-!u
жении
2 1111 3,
80. l<аr<им
на
4,
на
5,
на
G 11
способом удобнее
т. д. Сделать отсюда выводы.
лроизводить
умножение:
стары:..1
или 11овым, и почему? Тот же 1:1Опрос относительно делении .
У 1< аз а и и е. Вспомшпе, что нри производстсе умножен щ1 у tшс
иногда
не
1 1олучался
ответ
(приходи;:ось
делать
умножение,
1~щщи гая дв1 1 жок мена), Может ли быть такое положевие щ>н 1ювом
с11особе умножения?
.
Чтобы свободно и уверенн о nримсннть линейку с 11ерс о~рнутым
щ1иж1<щ1, нуж1ю твёрдо лоющть основное свойст во nерев~рнуrого
дщtжка:
JI IOC>ьie
даJОТ
дпа сто!!щих .!tРУГ nµorиn др)'Га числа на ш~цма.х С
од1ю и
то же пронзnе11.ение.
11 D
ВТОРОЙ KOHUEl-ITP
Величину
зтоrо
произведения
число стоит на шкале
D
.'lerкo
узнать,
посмотреп,
против единицы шкалы
С,
какое
ил11 наоборот.
Ясно, ч·rо есди
то ;с
и есть
nеличи11а
произведения.
Пример 1. Найти вел ичин у произведения
навливают друг против друга 1,315 и 2,07 (рис.
1,315 на 2,67.
55). То1 щ1:
УСТd·
1,315·2,67= 1 ·3,51=3,51·1.
Число, r11,1ражающсе произведение на шка.'lе С, находится щ:ютиз
единицы на ш1н1.1е
D;
оно же находится на mкале
D-
против еди·
ницы на щкале С .
( 1 1 1 1
'
l·:r
X·l-a·b
Рнс.
1 1
1
+'
1
55.
lg·ь'
..
1
'
Ъ·х
Ц·f
Рнс.
р,
·"
l·U
1 1
56.
• rfp:~~e ~)?2. На ско.~ъко 1!адо умножить 2,67, чтобы получить
64
5
Устанав.1ивают
6,45
npoТllв
1.
Тогда
против
2,67
на одной из
ш"ал стоит иско:-.~.ое ч11сло на друrоИ uшале:
6,45· 1 =2,67·2 ,41 =1 ·6,45.
81а Решить одной установ1<0й движ1<а такие пропорции:
J,63·3, 12=X·2,S6; 0,0345-625= 7,05·..t;
Хотя
1Jce
эти зада•ш легко
Х·1,62=
1,975·0,825.
можно решить и при обычном: по;ю
женни движка, осё же уже и здесь
легко
заметить
некоторые осо·
бенности, хараrnеризующне псренёрнутый движок. Например: 11рн
пtрсnернутои движке удобнее производить умножение, а при 11ене·
ПЕРЕВ2 РТЫВАН111! ДВШККА
рсu~рнутом- делею1с; при перев~р11уто~1 двюкке удобнее решать
rтропорции, написанные D виде ра1:1С1ктва произnедениit, а пр и петте~
рев~р11утом ~в виде раnспства отиощс~шй и т. д. Однако осно R НШ·I
uенность
(стр.
леревёрну1·ого
движка
ВС!'JJОСтся
лишь
в
дальнейше м
60).
8 Ну:жно заметить, lfnIO всl сказанное до сих пор с11раведлпво
толысо для шкал С 11
D.
Если мы. будем расс.матривать стотцие
~~~t :;;:~~~ ~pri~~11~~c:c~1 ::Y,:;:u;~:д:н!;a~~u;;~11~в~р~~ то для
П ря м ая н о б ратн ая п роп Ор Ltнонал ыюстЬ
§ 28.
О
§ 23
6 1 .,,ло показано , ч то линейка с обы чным положен ием
движка может заменить собой табл1щу д.'Ш пере вода одн их мер и
дру гие. Это можно выразить следующими словами :
линейка с движком в обы чном положении даlт та(Jл ицу зна11 ений прямо пропорциональны х в еличин, свиз анн ы х зависимо
стью: y =kx .
При это~1 коэффющент пропор1щональности k - это то чисJю
шкал1;1 зш1чениi1 у, на ноторое устшшn.11ивается 1ш •1аJю (сд11ница)
Ш!<алы зш1чеш11i х (рис, 57).
Р11е.
Ч~сла,
движком,
стоящие
свлзаны,
друг
юш
п ро тии
быJю
iJ7.
дj"Jyra
показнно
ва miнeii[{e с nерен~рнуты м
n
предыду11.1.ем
ш1раrраф1.: ,
COOTHOIUCHШ;'M
xy=k.
Если считать, что 1ы одной из шюыt (наnр11~1ср С} мы берём з н а
чения х, то на другой шкале (D) щ:ют1ш этих з11а•11.:11иii х будут
стон1·ь
значения
k
у =х, т.
е.
динейка с перевlрнутьrд движком даl!т таблrщу знаr1ений обрат·
k
но припорцtf.ональных sели11ин, связанных зависимостью у=-;:
.
ВТОРОЙ КОНЦЕНТР
П ри этом коэффициент пропо рциональности k -
зто то число од1юй.
из шкал, п~ютин которого сто11т начало (нли конеtt) д ругой шкалы
(рн с . 58).
Это осноrшое р аз личие между
1 1 утого 1ю.1 оже11ия
дв wкк а
и
свойствами обычн ого и псревёр-
решает вопJЮС о тш1,
удобно н т1 нС'удоб1ю в том ИJ!ll
(IHOM
какое по;юже~.ие
ко11кретном с.1 учае.
l'11c. 58.
82.
та к и х
С каки:.1 t1оложе 11и ем дш1жка нужно 11рнме11ять д ииейку при
вычислениях:
а) умножение одного и то ~·о же •шс.1 ~а на рид чи се.1 (т. е. 11ахож-
Дt'НИС ве.111ч1ш а-Ь" а·Ь 1 , а·Ь. и т. д.);
б)
в)
г)
числа
де.1еннс одно~-о и того же чис.!Jа на ряд ч11сеJ1;
делевиt' ряда чисе.1 на одно 11 то же ч11сло;
решение задачн: сколыю процшfТОD состаD,1nет '!ИСl!О а от
Ь, дю1 одиоrо и того же числа а и ряда разных чисел Ь ,
н 11аоборот: дм1 одно го 11 тоrо же ч11сла Ь 11 ряда ч11се:1 а?
У к аз а
11 и t' 1.
Для
решения
задачи нужно
в в1щ1.: фор:>Аулы, ООоз11<.1ч<1я данное •вtc.'JO и::~
а искомое чнс.10- через у,
1 юрщю на.1ьнОСТh
Указ а 1111 е
имеетсн
2.
11
ПОСМОТ(>еТ Ь ,
между
•шслами
записать
ряд а
f1
ч
условие
се .r1 через х,
лрямаи или об ратная прох 11 у.
!Zсли а сосrавляст у 0 / 0 от Ь, то это значит, что
а=т11оЬ, т. с. у=~~-
Каждую 113 следующих задач надо реш ить
одно Н
уста1ювкой
Д!IJ1ЖКЭ.
В пи.тшндре nоздушной помпы пр11 riaccтoяi11111 норшrш от
дн.1 ци .шндра, равном 28,5 C.Af, 11 змереfЮ да в.1еи11е в 1,5 а тмосферы.
33.
Какое дав:~ение будет п р11 расстояннн 40, З5, 30, 25, 20, 15, 1О см?
ГI р 11 мс •ta пне . Предпо.1аrается
сnравед:1иным э<1ко н
Бойля
Мар11отта:
84.
произведение ве.r1и•1ин объё ма
11
давления
~юст ол нно.
Лр11работок за выполн ение сдел ьно й работы. вы 1ю~ше11ноif в
неуроч ное ~эремя, раоен 19 р. 80 к. Скодько процентов 1.:остамяет
он от месячной зар п.нпы в 45 р., 52 р. 50 к., 60 р., 67 р. 50 к.,
75
~~-
n 38
J2
экскаваторов вырыли кот.юва11ы д.1я фу11дамс11тов
дней. Во сколько д11е1i зuкончат ту же ра боту ! О,
nаторов?
'
25, 40
экска-
ПЕРЕВЕРТЫВАНИЕ ДВИЖКА
59
е В некоторых случаях 11p1L peuteн11u таких задац .может по-
:fд8:в0вва~~д:ч;ni{56fо~1С::О~»_!;~~:~л~~~·д~:~f ·з~~н:а~Z' ;;;п~~м;~:
боту
55
экскаваторов,- .мы уже
не с.моzли бы полуцить ответ
без переброски движка. Только передвинув движок так, •tтобы его
конечный rцтрих встал на место на•юльного, .л~ы peшuJ.t задачу.
Лсревёрнутый движок в 1юмб111 нщ11и со шкалами А и К
§ 29. Чис.'lа шкалы А -к~адрат1.1 чисел шка.'!ы D, а Чv.с.'!а щкалы
D - кнадрат111~с корни из чисеJ1 шкаш.~: А.
Числа
.х J.Ш<алы
и
D
ч11с"1а у
шкалы С сщrзаны Соопютсвие:.-1
xy=const.
86. Ка~<и~1
1111<aJ11..r С?
соотношением
Уnотрсб.'!яя
1.шшлы
А
и
свнзаю,~
z
числа
С (и nозnодя
в
111юмы А и ч исла у
кnадр<tт
nредыдущее
раве11с·rво), мы приходим к соотношению между •шслами
и •1ислами у шка.11ы С:
Vz·y=const,
z
шкаJJ ы А
или zy1 =const.
Таким образом, nри персвёрнутом дш1жке мы можем ощ юli уста
но~шой решать задачи п1ко1·0 рода:
1) Найти чltCJra, обратно пропорпиошмьпые · квадратам чисе.1 дан~
нога
ряда.
Найти числа, обратно пропорциональные юзадратны:\f коршо1
данного ряда, 11 т. д.
Пр им ер. И :шестно, что nри течении жидкости в трубах с1юрость
2)
из
чисел
тс•тс1шя чер ез трубу, имеющую данное ~
- 25.Z z;cмz
сечение, обронно
шади
ю,~,
этого
прuпорuиональна пло-
сечсшш.
дав..1ение
р
н
С дpy1·oii
скорость
старо-
v
течения
сыязаны 3<ШИСИМОСТЬЮ '):
--
р = /i,'7)''
.S >=J.5 t:Mf
Измерение давления жидкости, текущей
Рис.
59.
трубе, ;щдо 26,2 ~/сл1' в сечении,
плошцдъ которого s
15 cAr' (рис. 59). КаК"Ие надо ·взять площади
n
=
сс•1еннй, чтобы давления о 1шх быт1
Реше ir и е.
Обозначая
v=J!;--,
1)
или
15,0; 20,0; 25; 30
п.ющадь
vP=31-,
сечения
через
iJcм'1
s,
имеем:
т. е. sV/)=co11st.
За1»1сиw.остк :}1И в дсiiст11ятелt.ност11 с.южнее, )· 11азан111.~е в rекстс форw.улы
1·0д кы в каче стве
nepuo1·0
11ркбл11жеtшя.
ВТОРОЙ KOli UEf-ITP
Мы можем изобразить эту завис ю'tlость на шкалах А н С при nере
нернутом движ~<е (ер. стр. 57). Ш1<11 .1а А будет сJ1ужит1, ддя р, а щюма
С - для s. Ставим друг проти в дру 1 ·а 26 ,2 ш1 шкаде А и 1,5 на uп<але
С и сейчас же н аходим протиn 15,0 ш1 нп.:алс А - чис.ю 19,8 на
Шl<l'IJIC С ; против 20,О на ШКЗJJС А-ЧИС.'IО 17,2 ШI шка;1е с и т . д.
Отпет:
р 1 26,2
s
1
20,0 1 25,0 1 30,0 1
15.0
J
15
19,81 17,2
!
15,4 1 14,0
87~ В кру г.ч ай трубе Rода течёт через сече ние Q;\=25 см со ско
ростыо 0,93 Аt/сек. С ка кой скоростью будет течь вода че рез сечения
Q)= 12,0; 14,5; 19,0; 27,5; 32,4
Указ ан и е.
мере
Имейте
соопющени е
в
сноростью
трубы:
88.
CAt?
n
виду прнведённое
между
течения
рассмотренном
и
n.1 0JJыдью
при
сечснин
sv=const.
Уминенис дl сантиметров 11а г ружённой гру зом в Р ки..чоrр.'lм
мон 11рооолою1 дл иной
Jwётс я формулой
l
сантиметров и диа;о,1етром
d
сантиметров
Требуется подсчитать уд.ш.;иении д.чя 11 ров0Jюк раз ных диаметров:
d=0,75; 1,25; 2,50; 4,55
=
од1юй и той же дл ины l
гости Е=2200000 к~ /см•.
Примечание.
l
Нужно
и мет1,
в ·зида чс даны в раз ш;1х мера х
мм,
At при нагрузке в
(AtM,
н
н нду ,
10 к~. Модуль упру
что
ли 1 1с 1iпыс
размсрw
см, и). Их п адо принести к санти~
МСТjЮ М.
Основиа и вldroдa и удобство nсрсвернутоrо двю1ша за1fлю•~аютси
о
В-ОЗМОЖНОСТИ
для
У.СПОЛЬ30611 Н Шf
различных
с•1t!тной
с:1учаеu
JllШt:Й RИ
обратной
/{а
1{
та б
JI и u ы
ор олор 1~ио и аль-
11ос ·rи.
При
uе л
~..r й
одной
рид
и
той
ава;ю1·ич иых
же устапов1се дn иж ка мы
зада •~.
Это
-
в
решали
выс111ей стспt:н и важное
обстоя·~' ельспю. Длн того чтобы ли не(ша .б 1.1:~а использована с наи
больши м- эффе1аом. нри решении каждоii зада ч и нужно вы бирать
наибш'!ее
мож 1 :ость,
экономиЧ1 1 ы1::
не
С[lособы
1IсрсдвИ1' iiТь
е~
ис пот"зонанИJ-1 11 , 1·де
движкг.
есть воз
ПЕРЕВl!РТЫВАНИЕ ДВИЖКА
61
•Каждая передвижка - исmо'lник ио~решностей при установке
а бесполезная потеря времени. Движок нужно передвиють только
в случае безусловной необходимоспт. Нужно приучать себя к ако
но-tит в этом
отнои~ентt.
Если вы видите двух работников, счи·гающих 11а л11нсiiке, при•1ём
у
одиоrо
из
11их
заметите
одну-две
п еред~шжюt
дню1ша, за то времn,
за "оторое второ й сде.r~ал десять персд1шжск, - ~н;1 можете быть
уверены, что второй хуже знает uо змож1 юсти л11неiiки, хуже умее1'
считать, че~f первый.
Искуссnюо счl!та на линейке заключается не в быстроте пе
редqижений дви:жка, хотя « порхающий дuижок» и выг~1ядит эффе1rr1ю.
§ 30. Рассматривая стоящие друг против друга чnсла шкал К
и С при nерев~рнутом движ1<е, мы по11учаем, что для эт их чисе11
w
(11но1лы КJ и у (шкалы С) будут справедливы соотношения:
VW·y=const, W·Y'=const,
или
У=
89.
Вели•1и11ы
W
vw·
•
k
w=yr·
и р сняэаны соотношением
WV/i=k.
При р=
10,7
имеем W=36,З.
Чему раоно W при µ=3,15;
Чему равн о р при W = 45,0;
90. у
6,35; В,В; 12,6; 20,Ы
40,0; 35,0; 30,0; 25,0; 20,0?
=f.. Чему равна константа
k, если при х=О,42 имеем
у=О,036?
Порядо1t при в1.~числе11иях с перевёр11угым движ 1юм
§ 31.
Вопрос о порядке в большинстне ны•1ис.ле1-1ий с псрсвёрнутыъt
движком разрешается сам
собой:
ствующне друг другу з11ачения
когда,
напрю.1ер, даются соотuет
скорости и диаметра трубы (задача
87)-uри 0=25 см v=0,93 м/сек, щщому не придi:т в голову, •1то
при 0=27,5 см v=7,7 Аt/сек илиv=О,077 м/сек . Ясно, чтоправмь-
ныА ответ:
v=0,17
м/сек,-это
видно
из
срав~1с11ия
с
дан вой
неличиной скорости.
При выч11сле11иях с перевёрнутым щшжко:\1 справ~дЛIШО следую.
щее правило,
!IРАВИЛО
аналогичное
t 11 рав илJ
о
порядке в
uрщюрuш1х»:
U IIOl')!ДK~ lll'И IJ blЧllCJIEllИRX С llt:Pl!rlliPHY"lЪIA1 ДВИ ЖКШtl
При вычисJ1011<111х с пере11t!рнутым д11ижком ми к11жло;i napw чисел ~
и у, сто11щих друг uрот111.1 друга
нроизведеиия,
с ум 1о1 а
rюоожен11.t1. лв11жи11,
1
од
на
пор .11 и. к о в
11 а 11
та
шкалах
С
11
О и о6ра~ующих рав11ые
сом11011111тс.1еii,
же.
при
0;1 11ои
11
том же
ВТОРОЙ КО!ЩЕНТР
62
Цешюсть этого прави.1а вот в чёи.
Ес.11и при какой-нибудь установке движка друг щхrrив друга стоят
числах 1 иу 1 ,х,иу!ит.д. (рис. 00), причём Rce числа xi> х 1 ,".
одного и того же порядка,
у 1 ."
тоже
одного
то можно утверждать,
и того
же
что и все числа УР
порядка.
: Уз 1
1 "
1
g
: У~ 1
1 1 1 1
Рис. бО.
Почему
11
:но
т. д. Поря дки
т.:1к
-
ясно:
пусть
соотнетствующнх
порядоt< х 2
порядок
чисс.;1
Ч1<·
Yk
будет
Pi
Го1·да по npaвиiiy
должно быть:
Ест~ p 1 =p,=···=Pk> то должно быть и q 1 =~ 2 =
Пример.
Ретап
l ,63·3,12=.x·2,8t3.
1,63 и 3,12 (одно на
задачу
мы
81,
... =qk".
находили
.х из
пропорuии
Д:ш этого :мы устанощ1;1и друг протиn друга чис.rш
шкале С, друr-ое на ш1<а.1е
D).
Затем протип
2,86,
взятом ин одной из JUкал, мы прочли на друтй: один- с см J, восемь. Та!{ как ЧИСJJа 2,86 и 3,12-одного и того же порядка,
'l'O па основании правила ;,1 ы заключае~1, что ответ-того же пор;щка,
что и 1,63, т. с. х = l,78. Если бы было дано 1 ,GЗ.З,12 =х·О,286 , то,
0•1евидно, на оспонанv.и того же правила было бы лолучено Х= 17,8.
Mu1
рассуждали бы тс!I(:
чем
3,12;
0,286
и;;1еет порядок, на ед11нщ1у меньший,
значит, •1тобы сумма не изменилась , х должен иметь поря
док, на единицу больший, чем
1,63.
Доказ:~т~. зто пра1:шю о поря.:ше ле состав;1~ ет щшакоrо труда. Т:ш ка1\ все
ч1к.ы, стоящие друг пропш друга 11и шю1лах С и D, в Од\Ю~! 11 том Jl(C IЮ!Юже
нии
д13юrша
дешtf:I
дают
раю1ые
доджиw бытh
щю 1 1 Jиедеюш,
р;шны.
1:орядков ст11южиrе.1ей,
11ли
Так
кж
ме11ы11е
то,
0•1е13ид1ю,
rю рщ1ок
этой
11 11орядки
11роно~веде11а н
cy11:11w
на
щюв:~ведешш 11олу•1аютсн н од~шшювы,t ус.'Юu1шх, то
эп~х
равен
ед1 1 11ицу,
и
1 1роиз11с
или ср~мс
таr(
как
все
(сохранш1. о6;>з1 ~а 'IС1111н 11ре
дыдущего доказател~.ства) ПОЛ)"tае:11:
и.111
В обоих с.1у•1а нх nра1ш.10 доказмю.
Кроме этого правил:а, в некоторых с"1учаяк будут небесполезны
с.оедующие замечания, облегчающие контроль вычислений:
l.
При nеревёр11утом движке ш1<ала С идёт, воэрастая, справа
налево,
а не С.'1 ена напраuо, !ШК нее другие Ш!{aJlhl на самой .'ШJ1ей1<е.
ПЕРЕВ!::РТЫБАНИЕ ДВИЖКА
63
Пользуясь атим аамечанием, ми узнаi!м, с каf{ой стороньt от
данноzо числа ну:нсно искать числа, бО.льише
ezo, и с
какой-меныиие.
УстанаВJ1ивая какое-либо число на щюме А (1ми К), нужно
ставить его так, как если бы ыы собиралис1. l!ЗВJ1С1<ать из него коре11ь.
В некоторых случаях это, может быть, и нс нужно, но зато п11шя
II.
привычка спасl!:т нас во мноrих случаях от ош11бки.
Польза этоzо правила заклю~юется в тои, что щm указанной
установ1'е ми всеWа спокойны, за верность норн.я из усm(}новленllоzо
•щсла на rакале
D.
А так кт€ пµи 11ес,евi!µнутом движке основнuАt
{:'ка;;ен;ел~. сё,э~~~~~t:z:~ с;~~;~';~иfУ;;r~п:,в ~fz~z~~~~::C:o~"rь
проверки вьшолнения именно этого уравнения особенно ценна.
е Нужно 1и.tеть, однако, в виду следующее: иногда установка
не на своей половине может спасти от переброски. В этом слу•ше
Е( едесообразнее; конечн.о, сделать такую установку . При эпwл~
нужно только более впимательно следить за вьtцuс.ленuе.t~.
Пр нм с р.
lloт 11р11мср примснен н~ эт 11х замечаш1!1:,
Рсш ею1е за,~ачн
90.
Да110, что у= .ff_ ; щж :с:= 0,42 у= 0,036.
Че му равно k?
Нструд~ю с006раз1пь, что
че11нii х - шка.1у
дµуг щют1111
(рис.
дпя
з11а•1с11нil
у мы рютрсб1tм шка ,1у К, для з11а
С. Так как у = О,СЗб цют11е·rствуст-х = 0,42, то ст.~тшы
npyr·;i;
при
зтоw
кор1111
(см. стр.
ст:ш11м у =
0,036
в с р с л нс И т 11 ·с т и
ю:
шка.1ы К
61) u соотuетст1нш с 11аме•ш1111см Н !!1О1·0 ш1рш·рафа и 11µавилом юн.1ечс11ия
Рис.
кубического
61.
за1-1ечзс", нмс11 в м,~у пра1111.•о 1,
'ПIС.113 шкалы С идут, возрастая на.1е110, и 1101ому х= t нaxo.r1111ci1 ел с iJ а
от 0,42 (на лссои конце дnнжк<1). Протт1 это го ле1tОГQ 1ю1ща, очеn11дно, н 11ахо
д11тся у =k на ш11а11е К.. Мы ч~наем на ш1tмс К щtфры дэ а-шесть - семь.
чtо
44).
Теперь
ВТОРОЙ КОНЦЕНТР
Опюситепыю ~юрядка ~но1·0 числа сомне1щll 6ыть не ио;~;ет: оно приходнтс~r в
JJeкoA трет11 шкалы К и, поско.~ьку 11 средней трети у нас с1011ло чнС!IО
111011101 Зllil'IИТI. 10Лl>IIO 0,00267 (чнс.1а 113.1СВО у6ы11ают).
0,036,
Or11e1: k=0,00267.
t'.c.t1t зто решение нс
совсеи ясно, нужно обраппь 111шиаиис J•a то, что ,ща.
ча; цифры, ианес!!нные на шка11~х. Так как щ1 щкалс С мы уиu 1щнили 0,42, то
ндущ11е нале1ю цифры
5,
б и т. д.
оз11ач;11от
0,5;
U,б и т, д. до
J,0,
На 111каде К
~~о0 ,62~т~1~"l~~~9 ~1Jg~Jo9~8~и6,oOOA~~~1.c .а. ~;}11~,062~ры о6означаю1·: З- о,щ
Вот ещё одно практическое правило, которое поможет
11<1:'<! ориен·
,-ироваться в нычис:1ениях со шю1JJЗМИ А и К.
а Чтобы ле~ко запомнить, на каких
шкалах какие величины
нужно ставшпь, замепшм следующее:
Употребляя щкалы. А и К, .ыы имеем дело со 1икалалщ более л1ел·
кими (шкала А мельче С 8 два раза, ~икала К мельче С в три раза).
На этих шкалах u числа надо устанавливать более Аtелкие, напри·
=
мер, если дано, что а'Ь
k, то чш:ла Ь «втрое мельче » чисел а
(числа а входят в кубе), 1ta шкале К ставят Ь, н.а шкале С ставят а,
Если дано, что
-VX·y=k,
то числах «одво"е мельче>) чисел у
(аз чисел х измечl!н корень), поэтому числах ставим на щка.ле А"
числа у
-
на rцкале С.
XIV.
§ 32.
ОБРЛТНЛ~ Ufl{ДЛЛ
На некоторых .'Швейках
шк а.ы - шю1"ш
носре;щне движка нанесена-третья
часто с красными uифра)!И (поэтоыу сё иногда назы·
R,
«!(распой ш1«1,1ой1)) (рнс. IV, вк,,1ей1<а между стр. 34 и 35).
эта-пе что иное, как пi!нссёппая в обратном ш111ра1:1леюш
шr.· и.ы С или, что то же , <сnеревёрпутая щ1<а.':а>> С. Лопятно ноэто~1)',
что на линсii1<ах с обратной шка.1ой нет необходимости неренёртывать
движок: нримс11яя обратную шка.лу кан шкалу С персвёр 11уто1·0
движ1н1,
:.~ы
можем
дс:тать
Отмстю1 спсциаJ1ьные
все
указанные выше
особенпости
вычислсни».
рабоп.~ с · линейка~~и.
имею...
щими обратную шка.1у:
I. Если линейка имеет обратную шкалу, 1110 для у.ынож:е1mя
нужно пользоваться обратной щкалоii, деля первый множитель,
озятый на !llкале D, на второй, взятый на lllнaлe R.
Это-изнестное ясе~1 хорошю1 счётчикам правило ((умнQження
посредстном красных цифр>). Выrоды зтоrо способа ясны из ретения
Э<IД::IЧИ
80.
На лпнейке с обратной mналой одной установкой движка
11.
вы'/uсляются выра:жения вида а·Ь·с.
У:.шожая а на Ь посrедстrю~1 обратной шкалы, мы имеем 1юзм01н
ност1"
не сдвиг а я
д в 11 ж к а,
и произведение аЬ на с . Здесь
-
обы•1ной линейке nыражсний вида
пщ1учить
по"111ю1
сщё
обычным
сnособом
аналоrш1 с nы•шслением на
1!_}",
Пользуясь этим за!'.1сч<111ие:-.1, мож110 соr{ратить работу нри: в1,1чис
лснии вr,тражспv.й
сели
вычисJштъ
~·де злак
>;;.
вида:
их
по
схеме:
a>[;b'>f,c>[;d~
"'*""
означr.ет умножение посредством обратной шкалы, а ~
обы•11101.: умножение.
91.
Вычислнт1" нримешш это пра~шло:
2, 13. 4,24. 4,86. 7,26. 3,08.] ,37; 0,063. 1 2,05.о,199. 8, 13. п.
Х\'. ЛОГАРИФМЫ
§ 33.
811нзу ли11ейк;t на11есен<1 wюэла
л 0,1·ар ифмов
чисе.т~
111калы
сы
L. Она спдержит м авт и с
D . Чтобы наilти 11yжr1h1ii
D и ч1пают мш1тнссу по
логарифм , ставят беrу110к на чис .~о шкалы
шкале
L.
Деле11ш1
его
разряда
2-4
шкалn~
шка.'lы
идут
D-
L - p а в но :.1е р11 ы е,
через
«де.1ешш
дnе
11
п р и 1 1Q-м
единицы
сорта »,
см.
(нак
рис.
11,
дсле111tя
в
треть
nро)lсж уткс
вк.1ейка между
стр. 14 и 15).
Та1<нм обраЗО1d, ню1р11:-.1ер, 11аш1санныс на рис. 62 ч~1сла - м ан
т и с с ы J1оrар11фмов соответстную11щх чисеJJ шкалы D. Характерн
стик~ вычнс.'lиются по обычны:о.i прзвнлам - без линсli кн.
~::·::"J•.'.:~·i~
~:з~
§!\О"
~
~~
l-'н(:,G2.
Пример
1.
log 3,5.
лннУ.ю на 3,5
Найти
Ставят визир ную
пять - четыре- ч ет ы ре.
на u11<але D. На 111каде
Зна>.JИТ, м<1нтисса
n я т ь -че-г ы ре-четы ре.
Хараюеристика,
L ч11тают:
log 3,5-
очевидно,-
нуль.
Ответ:
1og 3,5=0,544.
92. l!а i\т н log65,5;
таб.'lннам J1Оrарнфмоа.
Отсюда очев11дно,
log2,4-I; log 0,0167.
что
шюJлз
значные таблицы J1оrарифмов .
!.
Ответы
пров ерьте
по
с•1~тной m-шeiiюt заменнет тр ех
ЛО ГАРИФМЫ
б7
От ыскание числа по е го .~ огариф~1у также л rосто.
Пример
Дано, что
2.
Jog N=0,167 . На йти N.
Ста нит визирную ,тщнию н а од и 11- 111 есть- с емь на ш ю!.т::е L.
шкале
D читают: о дин-четыре-шест ь -д е вя ть .
Х арактсристи]{а - нуль; зна чит, чис.10 и:.1еет од 1 ш анак до з11пя той.
Отв ет: N=l,469.
11.1
93.
Вычислить N , е сли !og N=2,З43;
94.
Вычисл ит ь
--О , 067;-1,357.
У каз а ние.
0,967; 0,265; 1,960; 2,096;
_
10 1 •' ; IO' •z• ; J0° 1011 ; 10" 0 '~; 1 0-ж,н ; J0- 0 " ' ·
I:: с.ш log N=c:i:, то чему рав1ю 10"?
Лоrарифмичес н ие вычи с.'Jепш1 1ia л ине11не
§ 34. При наличии счётн~й тшеИ1ш прибегать к nо~ющи ло:-эриф
мо11
t1рнходится
почти
сп: ненных ныражений
искл ючит е.%н о
1
;
1,62°•'
вид<1.
при
0,5- 1 •t
и
вычислении
7.
сJю ж 1 1ых
д. или ттшх выра-
жений, в которые уже входит лог:~риф:Jы, наприме р: 106" ~.~ 5 , 1og 6,24,
и т. п.
1
Пример 1. На йти 1, 62° ,~ •
Есди х=J,62°, н , то Jog x =log
log 2,3
Ставят ви з ирную .тншию 1ш
два-один .
l,62
З ате)-1 умножают, как о б ычно,
З начит,
0 1tин
logx=0,191. Ставя т
шкале L и читают
на
д 11а .
0
)1
ею
с •1 а н и е .
Бсш 1 •шну
!о;.:: е
11 р11 ход и тс ~
цо в о.1ыю
•1аоо.
В те х
ню1
в ида
па
0,21
0,9 1.
бе гу н ок
D:
на
!iЭ
По.1уча16т:
0, 191 .
од нн -дсо я ть -
оди 11-ня т ь-11ять
\ ,62°• 1J = 1,552,
Т D е т:
Пр 11
о а т ьс я
l,62°' 01 =0,9 1·1og 1,62.
D. Чи тают ;1 а ш к а,1 е L
на шкале
log 1,62 =0,21 .
С .'lу чаях,
а-~
(с
]{0Гда
= 0,431
приходитсн
ноле.ню· nо;,.~ннть ,
много
о тр инате.1ы1 ы м
та!\ как поль:ю ·
раз в ычис.1ят 1, выраж е
11охазатс.1 ем },
нелс со-
u бр а з но в о спол ьзоваться с войсша~ш псревёрну тог о движка (ми обра т-
110й uжал ы, ес.1и она J.01сстся 11а .r..iщcfшe). Tar< как а=- а=~,топри
дётсп
вести
в ы числения д.,я
а',
а :.~атем
l:klЯTЬ обр<пную ве.1и•11·шу
ш1 i iдеп ного резу.1ьтата.
Пр и .\1ер .
В ычис .•шт~. 10-'•~ •
1
io-"н=iu~'".
Ста вят
бегуноfi: н а два
не на rшт ле
З•
D,
-
а на ш кале
семь
на шкг.'lе
R (движок
L,
а
ответ
читают
должен быть установлен та к,
НТОРОЙ IIOHllEНTP
68
чтобы его 11ачало и конец совпадали с началом и конuо).J .1тнейки
ес;1и шкалы R нет, 1·0 перевервите дnюкок). Получают: nять
три-семь. Tai' J(ак
10- а· "= 10-•.10 -v,п=О,001
то окончательно
10- 3 • 2 " =
96.
·0,537,
получается:
о,0005з1.
Опюшенне r.1ежду шшряжепИJiМИ
то чного тормоза даётся фор~1 у лой:
s]
и
s!
конuов ленты .r:tll~
s,:s,~r,
где µ-коэффшшент трен11я, х
-yro1J
OXflfl'ПI лснт1,1 (рис.
03)
в радиа
~щх; St=824 1а; 11 =0 ,39; х=~т~. Найти S,.
е Выч11.сляР. 1ю линейке выражение вида
log а~ Ь; 1og VйЬ и т. n., одним словоы, ло
zарuф.и такою выражения, которое может
быть самовычисленоналинеfисе, rюступают
всегда так: сначала вычисляют аыра:J1сен11е,
ло~арифм которого uщетсн, и по готовому
результату берут лоzарифы. Нужно ста
раться при эпюм, чтобы результат полу
Рис.
63.
чился на ~икале D. То~да, не читая eio, полу
чают одновременно и ло~арифм на шкале L.
П р н м е ч а н н е. Этот способ протаоо110ложен тоыу, который ыы nрименяли о ал
rебре. Там мы с11ачала ло~арифмирооали, tюлучали ло~щтфм ре
аультата и tю нему находили самый результат (если это было
11 ужно). На данейrсе же такое оычисдение -гораздо дольше и труд
нее, чем непосредственное отыскание резулыпата а уже потом
его .логарифма.
-
ТРllГОНОЛ\ЕТРИЧЕСЮ!Е ВЕЛИЧИНЫ
XVI.
Обрапrмt сторона дuюкка
§ 35.
Вы11ем
сторону. На
движок
ней
из
нанесен~.~
конце дr.шжка) стоят буквы
лш1ейюt
и
рассмотри:'I!'
"Три шкалы, против
«SJ},
(<Т>) , «S& T)~
1
).
его
обратную
которых (на
npaRO:'>!
Это- LШ<алы триrоно
ме·rрических вели•1ин: шкала синусоn (шка:та S), тангенсов (Т) и cm1y·
сон и тангенсов малых углов (S&1). Все эти 111калы свяаf!ны со шка.юй
(11а линейке), так же кш< уже 11зt:1ес:rная нам uжала логарифмов
(шка.1а L). Разниuа тш1ько в том, что шкr..~а L нанесена на самой
D
J1и~1сйкс, так же как и шкала
D,
а три~·шюметрнческие
шкмы на~н>
~~н~к;::а11д;,"11;;,7~ вr:o::o~'r ~ .:1~0~~ ~~%W:.~Э::Нт; n:~ ~=~:~
ст о р он ой к верх у и усп1ноnнть е го так, чтобы 11ачалы1 ые li
ко1iеч11ые линии всех 111кал совладали (см. рис. V, вклеАна междv
стр.
и
34
35).
Тепе р1. мож1ю, усте111аВ.1111вая бегуна~< на ю1кой - 11ибупь
ттрих ощюi'r из тр1н·онометри•1еских шкал, прочи1ъшать соответствую
щее чис.rю на шкале D и уэн~щат~. этим способо~1 неJ1Ичи11у ст1уса или
танrе1~ са того угла, который был отмечен на шr<aJ1c
S
или Т. Онеращш
эта ниснолы<о пе сложне~. че~1 отысю1нпн ие тю лоrс~ру,фму , отмечен
ному на нr1<:JJie
L,
соотнетствующеrо ему числа на шк але
D.
ТригоноУ~етричесюtе шf(а.111>1
§ 36.
нужно
Чтоб~~
~tзучить
по.1ьэоваться
их
ш1н1.1аr•JИ
S,
Т,
8&.Т,
прежде
всего
деле1шя .
Ш1нма
S
Это- са \far1 верхняя из ншал дннжка. На ней делеt1ия идут от
до 90° (почему шка.1а на• 1ю 1аетоt с Б 0 44' - будет скаэ1н1Q дальше).
Шкала эта , r<ак и вес шка.rrы ли11ейки 1 ) , неравномерна и вс;rсдСТ1JИе
5°44'
это 1 ·0
')
r)
разделена
З11зк
неодинтюно.
& 1Y111a•1aer сою:J С'к~: S & Т- «<: ю1усы 11 raнreнcw.
L.
Кроме шк;ш~
ВТОРОЙ КОНЦЕНТР
70
Она ра зделяется н а так и е участки:
-
у часток
1-ii
2-1\
3-ii
»
от 11а-ча ,1а до
- )
JO
)
JO",
20°,
20
)
40°,
~
40
70
80
) 70",
) 80°,
) 90°.
-
»
4 -й
)
-
5-ii
6-ti
)
В каждом из этих участко в шкала раздсJJена по-разному; та кое рю
нообраэие делений п роис ходит от того, что шкаJJЭ очень сил ьн о
сжата к лравому конuу ( к
шка.r,ы С и D.
90<)) - значительно
больше, че:о.1, на при мер,
В кажn.ом из у ка~ан11ых у <J аст 1<ов нанесены
сов и для минут (пока это во змож н о).
Рассмотрим внимател ьно
На н~~1
рис.
~1зображены тригонометрические
ссны на движке,
деления для граду
(вкле йка м ежду стр.
Vl
и, кро ме того, шкалы
70
и
шкалы так, как они
S
и
S&Т
71 ).
н аве
в увеличенном
виде
li притом так, что разные участки отде.r~ены друг от друга .
( Шкала Т не нарисована , та к как она sначительно проше, и ра зоб
раться в неА мы с ?tюже~1 и без особого чертежа.} Зай мемся шкалой S .
Прежде
О порны м и
все го
нгм
п ункта м.и
н а до разобраться
здесь
являются
деления, проти в котор ы х стоят числа
87.
в
делениях
на
градусы.
десятки r рад у с о Q 1О" 20" 30" • • , , 80.
:но
Найдите эти .nе.пения 11 а п инейке .
Каждый из nроr.1сжутков между этими делеtшями раздсЛён на
десять
частей
штрихами,
соответствуюшими
lta перво~ и второ;~.1 участках
8. 9. 10, 11. "., 20)').
В третьем участке
отдельны:-.1
гр адусам .
эти де..1ения отме чены uифрами (б,
(и двл ьше
-
в
четвёрто:~.1, nя1 o:i.1)
7"
градусные
деления распознавать ле пю: это - единст ве нные чё рто ~1ки, выступаю
щие в этих участках за горизон т ал ьную л инию, иду щ ую вдоль всей
шкалы.
9 8.
разных
99.
100 .
Кроме
тоrо, в З -м
участке отмечены цифрами
25°
и
35~ .
Найдите все эти деления и расс:-.tотрите их особешюсти на
у ч астка х .
Установите бегунок на такие деления:
~rста1ювите бегунок на
8'\ J 1°, 12°, 35°, 60°.
21°, 34°, 28°, 46°, 53°, 62° 1 G8°, 76°.
В промежу тках ме жду rр адус ныыи делениями ш~иес еп ы бо .1е е
мелкие де.'1еИ ИR. Эти де.пе ния - разны е в ра з ных у ч астка х. Мы н а
чнём со второго учас т ка . В этоы участке кажды й 1·радус
/промежуток r.1сжду двумя последоват ел ьны ми граду сными деле ниями)
разделён на шесть частей, так как в градусе 60 минут. I<аждое
nслен ие,
следовательно,
соотв етс т вует дес яти
м ин у т а м.
1) 1-111 11 еко1ор 1>1.х ш111е fi к а 1 отмече1ш то.'!Ьк О ч t: т 1 1ые чис ла.
,.:."1~..., ~-;_ ...., , {.;.
10
:!pJ.:ig .:05
6
Гр а8усw
20
30
40
50
1
1
1
1
1
7
8
9
12
1
IA
16
1
'
;
1
"
1
t
f!?,•g/1/l(:J
18
25
1
•
s
1
....... г; ::1'1'11
1
1
#-11uты
1
'
1
у
•
.....'.
1
ат
•
'
l1
1
~
2
'•
"'
"
"
"
..Ер(."'.-:~ 171 f" !.!
r
"-нуr.;
о-~
• 1
ч
,
а
с
п1
о
"
"
1
"
у
' ".
• l·.S!I
"
1t,.1 ,t
2
~ ч:::сток
11
у
•
~
•
1 11 ' 1 :
и_нуm оI
t:
с
t:{
;i '
ч
.•
\
а
с
J
'
1
1
/(
,,
о
1
~
.
'. 1
'-
j
1
••
l!3i
'
...
•• '
"
к
'
•
'
.
•
' J' • •
• 1 •
6°·55'
•
•
.• '. • • • • • •
•• ,·.• ' ... " ,..
•
5'
'•
~
1,46
к.
.
"'
3
..
[Y'4.f-6
'
4 участок
. ."
" '•
"
... ......_ ' 1-'-'-"
f,77
\
·230
1
5°43,77' ( tg 5°43,77 1= о, t).
. ' ." '
• l '"•J•• ' •.
. j
"
• •
•
"
.
•
о
к
1~0
P11t.
•
т
•
11
с
т
• 1•
о
"••
:' 4
/(
уч.
s
"'• ,k' SAT
т
дчасток
''
OSJ
·~
с
:u 1 30
1
..
а
1
1
J
ч
1:
Градусы
•
у
'
.1,.
т
3
•• 5 ..
~,.
-
'"
•
"
"
.
о
"
1•
.i
"••.
1 ••
"
~-
2. 4 2
1 '1
.
" "
'. . . '
'.
..
Lj
•
"
•
'
51.JQ
1
1
з
~~
n
4 lзо
()
J
2
vr
•
з
S&T
5
•••
.
~
."
•
·1•
• ., " s
'зо"зо' •• 34°25' "
"
'... ' " . • • " ' ' ' ' • r
.••
•
•
•
J,., ." ·'1::::tx:•
•
3, 98
(>цt .
'.'11
5,70
8,60
10
ТРИГ0t-!Оi\1ЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛ И Ч 1 1 /-JЫ
Эт о-деле ния
1
11 с рво м
уч а ст к е
на несен ы
ешё
(см .
де"1ения
11ро:\1сжуток между де.~1е11июш
п;.11 1>но,
п ят
11
il
VI. Де.~ения эти uродолжаются и в
рис. VI), но там, кро~1е этих делений,
11 у л с в о r о
с орт а,
делящие
попо.1Jю1
сорта на рис .
ми
11
1
сорта и соот ве·rствующие, с.11едова
у там.
101. Найдите эти деления на 1111<а ле S.
е Ну;ясно обратить внилшние
дел ениями
на следующее разли11ие
Jtr.eждy
I сорта в nepвoJt и во второл участках: в nepBOl'•f
у 1тстке деления 1 сорта выходят за wризонтальную линию,
идущую вдоль щкалы, а во впюром - не выходят. Следует так:ж с
я е путать деления нулевоw сорта в первом у'(астке с деления.ми
f сор та (в особенности в начал е ищалы, около 6°, гdе промежутки
.между делениями нулевого сорта 0 1tень крупны).
В третьем участке делений
II
I
сорта уже нет; эдесь идут де"1е11ия
II
сорта соотве·rствует, с.'lедоnателыю,
сорта. Каждый rрадус разде.пён эдесь на три части , 11 каждый
промежуто1< между деле нинми
д вад пати
102.
минутам.
Наi\дите эти деления на линейке.
Начиная с 40°, и эти промежутки оказы ваются уже с.1Jишко11
круrш ыми. В 4-;о.1 участ1<е 1•аждый градус разделён только на д в с
'1 а ст и IJO 30 минут 1шждая; это- деления 11 1 с о р т а.
ЮЗ. На йдите их на линейке.
Самы;-.ш удоб~1ы~ш являются, конечно,
ния м JJ и Ш сорта нужно привыкнуть.
деления
1
сорта, к
дело.
• Чтобы уверенно различать все anui деления, нужно заме"
тшпь, на сколько частей разделi!н градус: на
104.
Иыеются ли деления более мелкие,
участке (от
70°
ДО
6,
на
3
или на
2.
чем градусные, в 5-:W
80°)?
При:о.1еч:ание. На некоторых ланейках плтьиi. yчacmoJC на ...
11ин.ается с
60°
(а не с
vду т только до
60",
70°, как на
600 до 80°
а с
рис.
VI);
деления
!II
сорта
илсеются талыш zµадусные
деления. На таких линейках промежуток от
оовсе не имеет делений.
80°
до
90°
о6ычно
Наконец, в 6-:0.1 участке (от 80° до 90°) даже градусные деления
нанести невоэ111ожно. В н ~м нанесены только три штриха, со
ответствующие по порядку 82°, 84° и 86°. Дальше 86° делений нет.
Теперь шкала
S
разобрана nолностыо.
105. Установите беrvнкиr на шкале S: 8,5°; 11,5°; 16°30'j 42°30';
24°20'; 13°50'; 7°25'; 21'20'; 21°40'; 21°30'; 37°50'; 51°40',
10&. Установите 11°24'; 15°5'.
!:П'Оl'ОЙ l(OHЦF:l-ITP
72
107.
Про чти-rе отмеченные ч ёрто•нн1 м11 уr.1ы (в градусах
т::~х) на рис.
+7
IJ
111
l'Я
,~' 1 1
19
11i
:-.ш11у·
М
1 1
114 1111:151
~1'5"""'1 ~o '=r:fu'i"' '""".\·о'' "'6Ь"l1б~J
е Если
11
64.
вы
хорошо
у,·оошi1ь строение щкал
f
s
разобрали
uщалу
S, пам Оудет де,!ко
S& Т и Т, а вАtест е с те,11 и аыnолнять
есе тригоно.+1етри1tескае оьlчислена я .
Знан ие шк ал
-
ос11ова
c•1i;ma
на ;шнеiiке.
Шкала
S&
Т
Шкала S & Т н роще шкады S. Оиа 1юстроепа 110чт11 n то •ш ос т11
так же, как шкащ..~ С и D. Расс:'>fотрим её на рис. Vf (на вклс~iкс
между стр. 70 и 7 J) . Самые круп111.~е деJ1спин·, идущие •1ерез щ;ю
111каJ1у - r рад у сны е. Эrи де;1е111ш о·rмечены цифрами 1, 2, ... , 5
(ш1,ала S& Т охватывает пр омежу ток от 0"34,38' до 5"44' - до тоrо
мt-с.та, с. которого 11ач1111астся шкала S).
t08.
Най д11те градусные деле ния 11а линеiiке.
Каждый градус 1ю 1iceii ткале S & Т разде:1ё11 на G частеii шт1JН·
хами, отмечающ11ми де с я т к 11
м 11 нут.
lllтрихи эти
во всех
уч<~ стках шкал~.~ (см. р1н~. V 11:1 ши1сiiкс ме;1щу стр. 34 и 35) даж:ко
ВIJХОдят за
rоризон т а.•1ы1ые
mн1и~1
д1ш1юм участке); ~<рощ~ тоrо ,
дt:J1енкя, соответсп~ующие
полови ны гр адусов: J "3()'
шк<1:1ы tда.%ШС,
•tC~t
все друr11е
некоторые нз них отмсче ш.~
0"40'
и
0"50',
и
чёр11>11ки,
1i
щ1фрами:
отделяющ11е
11 2°30'; ... ; 5"30'.
109. На йд11те эти де;~ення н а линейке.
110. Устанu1111те 11а шка.11е S& Т: 1"' 20'; 3"40'; 4°; 4 ~ 30'; 5"; 5"30';
5°40'; 1°50'.
Десятки м11нут rн1зде.тrепы на 61J1ec меJtкие деле1111я, 1ю эт 11де.11ен11и
уже не одинакоаы: в нервом уч:н.:шс{от нача11а до ! " )деления ~~дут
через
nолмннуты:
(каждый
деся ток
разде.нl}н 11 а
двадцать
частей)'), по втором у частке (от 1 N> 3") де; 1с11~н1 идут qерез о л. н у
м 11 нут у (каждый десяток разде.•1е 1 1 на 10 ч:астей), в третьем участке
(от3до5g)-чере:1 две минуты (Щ."'Ситок ра:ще;1ё1t на 5 частей)
11, пакопец, в четвертом (01' s~ до конца)-через
1111ть м1111ут
(деление па
')
')
2
1 1асти)').
Н;:. щ"кО'fорых л111 1 еiiках эn1 де.1~1111я идут через од11у ~!ННУ1У·
!lолез1 1 0 срав1шть \Ни делении с дслс11и11мн 1, r1 11 111 со1на 1и1
11 О (см. стр. 1!1
11 рис. 11
иа вклсАкс между стр.
14 11 IUJ.
шка1111х С
тrигоноМЕТРИЧЕС1(11С 8РJ1ИЧ111-1111
111.
От1-.1щ ите эти де;~ения
на
73
ли11еl\1{е. Рассмотр и те пятые деле-
t~ия 1f&~ду~~~==·~ \.zo~;,~~J[~es zн;: 0~~;1~юz;lя;'; 2"19';
f>0 5';
5"2Э';
3°6'; 403 1':
2°5!'30".
11=h&!nuш!r.-Xjm,,&-J\rk=1=,,cmЬ!·1"df7=t/d=m,}
· S&T
""""Jлi=, ,-,,-":.~.~~tmJJ-,"~~
Р1к.
G5.
С I З. Прочт ите oтMC'ICHHIJC у 1·л ы на 1шщле
S & Т lш рис. 65.
е В случае педоразумеиuя со mкалами
обращаться /С рис.
Эта ш~<ала (от
т ри чес1шх.
ш rш л .
S
или
S&
Т нужно
V.
5°44'
Она
до
45°) -
самая 11ростая из
р аздслеиа на
1·радус 1.r
1JCcx
и щ1 их
т рнrоно:-.tс~
ш есты~.:
част и
(десятк и минут), и, щю~е тоr'О, в леной ноловнне 111ка.-11~ (до 20°)
~<ажда я т сстая часть разделе1 1 а ещё по1юлам {пить мш 1ут). Если м ы
uннматеJ1 ыю рассмотрим её, то леrко о ней ра збсµё~~ся .
114.
Найд ите
градусные де.1ении
11<1 ш1иле Т. 1l ротив f<д!{ИХ из
них стоят нифры, прот и в 1{аl{ и х. u.ифр 1 1 ст?
.
!~:~.: .~: .:': ' ·,: ·,~:.'~~::.:::::::::+
Рнс.
115. Устано вит~
21°50'; 9°35'; 6°23';
116. Проч итайте
66.
на 1ш;:але Т: 14°; 28°; 33°;
~7°35'; J6C)<23' .
44°; 45°; 7°30'; 10"40';
отмечен ные уrл1~ на ш~<але Т (см. рис.
66).
Н а" на йти сн 1 1ус 11 та н rе11с да11 11 оrо у гла и, обрат но,
ка к по с и н у су и.1111 тан 1 ·с11су найти у rол
§ 37. I<a1< уже было сказа1ю (см. стр. 69), все тРиrонометри•1 сскис
11J1<ал1 .:1 связаш,r со wналой. D. Но, прежде •1ем п ереходить к 11одроб·
ному разбору ~пой снязи, нужно oт:vieтirru следующее обстояте.rrьстrю:
ЩJ ШЮ:l.JШХ. счётной JIИttей ки можно, lШК МЬI уже rooopt1/JИ , yCTdH<IВ.llИ~
rurть лю'б1.rе
ч. исла,
пр ич~~1 каждый ттр их шкалы
D
изображ<1ст
~~с~:."~о:~~~~~~~у~~ :;::,ев.;;~~=ш~~сл~а ~~~it:~~e~~~~), л:с~~
(и
0,243 ,
и 24,З, и
0,0243,
и т . д . ). Совсем иначе обсто1п щ:ло, 1югда
ВТОРОЙ КОН 1 tEHTP
1111>0.гн~ D исnо,1ьзуется
нанесё11ных: на шка.1ах
мя отыскания синусов и тан~'енсон уиюв,
S, Т или S & Т. В этом с,·1учае шю~лу D при~
ходитси расо.1атривать каt< охватывающую уже впо.'l11С определённыИ
интерва,:1
и
1шждой
её
•1ёрточ1>е
станить в
соответствие толь к о
одно чис.•10, так кr.к ясно, что на нопрос, 1<акоF1, напрю1ср, siп35",
Nожет бr,rп, только один ответ.
JlC
Jl11.:a.1ы S н Т нанесены на .'!Инейr<е с тем расч~то:.1, что на шю1~
1-ШХОДНТСП ЧИС.'1<1 ОТ 0,1 ДО l,0. И TaJ< Ю!К
sinS0 43,77'=0,099B;:::;0,100} (
, )
lg 5"43,77'=0, 1003 ~а.100
в пределах ТО ШОСТИ .'IИJICИl<l l'
D
1
siп
90°
= 1,000,
1g 45°
= J ,ООО,
то 110.1учаеТся, •по !.1Н<а.1а S охватывает yr.%1 с 5с43,77' до GO", а
шкала Т- yr.1JЬ1 с 5°43",77' до 45°,
JJJ1.;a,1a S & Т является юш бы ттродо;rжением обеих шкал (S и Т)
1цсво. Так каJ{ уже при
делах
точности
5°43,77'
.1инейк и
значения синуса и тан генса
сонпадают,
то
ясно,
что
и
в
нре
nри меньших
уг"1ах ощ1 будуr совпадать. Этим и объясннется, что для продО.'JЖС11ия двух Ш!\3.'1 (S 11 Т) употреб.11е1ш тольно одна шка.11<1 S& Т.
Сопоставляя 11ша.'!у D с этой щюt."ТОЙ, !'>IЫ до.'Iжны считать, с.1едо
Рате.'JЬ1Ю, правую ед11ниuу шка.1ы D (её правый r<0нсц) за О, 1, а
.~евыli, R такоi\1 случае, 0•1евидпо, за 0,01 (в десять раз меньше).
Шкала
S&
Т юн< рю и начинается с
sin 0°34,38'
0"34 ,38 ',
= 0,0099998
tg 0°34,38' =0,0 100003
ТЮ> как
} ....... 0 OlOOOO
-
'
,
Чтобы луч111е разобрап.ся n этом, рзссмотрим рис. 67. На нём
1111,ала S & Т с;ши11ут<1 влево относителыю шкал S и Т, и под ней
1 щчер чен соответствующий 01·резок шкш1ы D (от 0,01 до 0,1); на
0°34'
5'44'
Рис ,
67.
са:-.юм де.11е на .,иней1<е, как известно,
все
одна nод дру1'ОЙ, и разни~~а между ни:.~и
три
(IJo
и.~ш Т, 11ы доююrы считать её идущей от
шк<1т:.1
расположены
отношению к ншале
сказывается тоJ1ько в том, что, применяя шка.~у
D)
D параллельно с S
О, l до 1; лрю.1еняя же сё
Tf'ИГOH OM ETPllЧE CIOIE вr~нчины
однонремешю с
Т- от
S&
до
0,01
0,1.
Теперь без нс11коrо
труда
~10ж1ю отыскивать си11усн и танге11 с 1.~ зад анных уг1100. Псё дело
CfIO·
дитсл к тому, чтобы, устаноRнR 11 а одной нз тр~х три гоно ~1 стрических
шкал да1111ый
ш шка.1е
D
угод
посредст1ю'1
вюир ноii
линиft
бегунка, прочесr ь
отмсчеш1ую 1'0!1 же 1н1-
ве.rти1.1и11у с1шуса ил11 т11нrе11са,
аириоii линией.
Прf1мер 1. На11ти sin·IO".
Бегунок стаRн Т против 40" щ1 шка.1е
(рис.
68):
40°
l,J,
S. На 1111,алс D читают
шссть -чст1.1рс-тр 11 .
1 .'.
J~
1
)0
),
J.
1
1
J, \ )_,
.
' ",( ·1
1
1
..Ч.~ ..
ю
•Ю
,о~ 3 ~о! ~&Т
'
"
т
1
"1~
:~
'
"
0.643
J,; \· 3
);:
rис.
"
1
1
68.
ЛО.'1~~:;~~: то, что было тол~7~ ~~OO~K~~l!g, о BCJJH'IШ!e •шссл ШКJ.'ТЫ D,
15'
"
~~~
· .: ·. ·.··"
· " ;·:·:·;•;"~:";;;;:tЕ:~·т
•а
IJ
.\
•
1
Р11с.
При.мер
69.
2. f-laiiтиtg!5' .
Бегунок стаиrtт
д ва-111 есть
-
11<1
15~ шю111Ь1 Т. На шкале
носем ь:
lg
1 5~
'~ ·~
.~.
1
0,268
so
NI
= 0,2GS.
D •щта1от (рве . бЭ) :
ВТОРОЙ KOHUEHTP
76
Пример З. Найти
Т11к как 3" меньше
шкале
D
sin3°,
5°43,77', мы ставим З" на
70): nнть-д ва -три.
ч11таем (рис.
Рис.
Помня, что мя
0,10,
uшалы
получаем:
S&
ш~< але
S&
Т. На
70.
Т числа
шкмы
D
идут от
0,01
до
sin3°=0,0523=Jg3°,
10.
118,.
119.
НаАти
sin 36°; sin 42°30';
Найтн
tg8"37'; s!n5°5)'; tg'26°J8'; sin2°37'; tg1°12 ,G'.
siп
16° 15'; tg 17850'.
Сообразите, как искать cos а.
Указание. cos(90°-a.)=?
120. На/.!ти cos 73°30'; cos 46°30'; cos
121. НаАти х, ecJJи:
tgx=0,264,
sinx=0,67,
siox=0,136,
122.
ВычиСJJИ"J'ь
23°.
t~x=0,1965,
COSX=0,312,
sln .х = 0,0263.
arctg-0,3; arctg0,96; arcsin 0,165;
arcsin0,0355;
arctg 0,0725; arccos 0,01575.
Указание.
Если
П р им сч а н 11 е.
arctgx=y,
то
.X=tgy.
Во всех случаях вычисления обратных круrових
фу11кuиА требуется найти их Н31'tмевъшие
•
110ложитеJJы 1 ыс знач1.;ния .
BнuJ.tatneльнo следите, в особенности при вычuслении обрат
ных кpyioвtllx функи,юi, за те.м, когда нужно r1ользОfJаmься шка
лой S& Т.
TPl'IГOI ЮМГ:ТРИЧГ:Сl<ИЕ ВЕ.ПИЧИt"IЫ
•И rюыните
таНГС!JСЫ углов
И
ОЙ
s&
шка.11.1
Д ССJI ТОЙ.
у1·,1щ1 шкалы
1!
S
т 3JK.1 IO Ч C!lhl \IС ЖД)'
11 1шс1ш ~ Т эа 1( .'1 юче 1ш \le)l{лy
e.'\f1H llHCii.
Дейстоня с тригонометрическими величинами
§ 38.
Пример
1.
Нычис.r1ить
2·tg15".
задачи можно, конечно, зная, 'ITO tg 15" = 0,2R8
(cr.I. пример 2 § 37), nы нуть ;цшжоrс, АСтавить cro лицtлой стороной
Для
решсщы
в линейку и обычным обра:юм по.~у<Jитr, на шкалах S и D произве
дение 2-0,268 = 0,536. Но можно сделать гораздо цроще. Не пере
ворачивая
движка
на
лицеву_ю
сторону,
сдвинуть
его
вправо та~<, •1тоfiы нач11 .rю шю1лы Т пришлось l(aK раз над нифрой
шiшm.i
0,536
2
Тоrда против 15" шкальr Т на 11жале D будет ответ:
(рис. 71). Почему это та~,, - нсно. Когда днижок стоил у 11ас
D.
t_g15°~0,26Bt=
' I_ _ _ _
1
~~
'IL'I---'--+---,-~-тl:~ r
f--0, 536
t12·tgl5°
2·0,266
Рис.
71 .
в таком nОJюжении, что начала шкалы Т и
шкалы
D
соrтадали,
то
15" на шкале Т приходились как раз протип числа 0,268 на шкале D,
т. е" другими слов<:1ми, отрезок шкалы Тот нач.ала до 15" в точ
ности
начал а
равеп отрезку шкалы
до
у rютрсбитr.
А
0,268.
штрих
дли
ШlШJIUI т ИJIИ Ш1'рих
123.
раз
так,
«0,268»
Проделайте этот же
D
(иди, что то же, шкалы С) от
то совершенно Резразлично,
получении
произведения:
какой
штрих ли «15"»
пщалы с.
пример на
линейке.
Затем- щ~•~ислитс
J,6·tg ]1°30'; 2,42•tg2J 0 ]5',
124. Вычислить 5,65·tg3G".
В последней задаче надо найти сначала, ч.ему равен
обычным способом
найти 11рои звсдевие
tg36",
:;ia-re~1
:>"N
и носле этоrо, срашшв
ВТОРОЙ tIOHUEHTP
78
r;ычv.слет1е с ныч 1 1сле1шсr.1,
11роделв юшм
в лр1-шедешюм
uшue 11рн-
11;t_-р~. сообра:щть, н:ак иайп1 11рои.эведенис, ве перtворс1<1 111j11Н двнжJ\в
лин..:оой
стороной.
са Длн,
11wzo чтобы
леи;о и сsободно обрпщаться со 1штлrши три
rо.чоJ1е111р1111ескт1х величин, можно предиповлять их себе так: щкд
лы S, Т, S & Т, это- maJ1ce са.11011 ткила С, которую ми постоянно
употреб.л1мu д.ля умноJ1сенrт, но с 11азван11ями •tuceл, иак бы
переsедl!нны.~m на иностранные языки: язык ст1уrов ила тан~енсов.
/ianptt1rtep, 110-обычному иы ruшюл11 на шна.ле С: два-щесть
в о r ем ь, п на mкале Т пют же самый штрих мы называем 1т языке
тш1генсов так: танzенс uятнадt{ати ~радусов. Но от
ътоzо нти сиособ обращениn со mтр11.халш не меняетсн; ее.Аи каАt
11уж1ю выrиiслтпь выра:ясение: 2.1~ li.lc, то это не составляет д.Ая
1шс затруднений: л:ы пользуемся д.т полуцен~:я. произвсде1тп, нall
и всеzда, ткала.шt
С, но так как
D 11
назван на ЯЗN!(е тан~енсов
(tg 15"),
второй множителr, на.1 r
то, 11тобы избежать
11редиа
р11тельноzо перевода этого названия на обы•111ы/i нзьt1(, .ни бepl!J.t
8.11есто иитлы С ei! перевод на язык танzенсов, т. е. щ1тлу Т,
11 на ней сразу находим тот штрих, л:оторый нам назван.
1lрн ncex
nычислениях
с
тригоно:'>tетри<>ескими
вe.1Jи•1fJНШi11t
со
хршшютс>1, конечно, в по,1но'1 си:тс ЩJави..1а о пор>1д1<е лрuи эuеденин
и чac·r11oro (см. стр. 27 и 30). Чтоб ы .'Jerкo их nрю1е11нть, :и1мt.:ТН'd, что
г
1lof)lllt(JI(
чщ:е.1
')
Гlp11\1CJJ
s 11 Шl<<l"•I~ т pa~CIL 11 }' ., ю.
s & т ;•;н (.'1 1 "JI 11 }"с с .111 11 и uc.
lll!1;'1.1 1A
! l ор>1Д<)К Ч!!СС.Ч Шl'J.lt~
2.
~~~~20i =?
Чтобы разделить
60,5
на
tg38"'2 0',
поступают т11к,
1.:ак со1и бы
0
шка.~а Т бы.~а 11ша.11ой С, т. е. ставят 3~ ;Ю' 11а шкме Т вротиn 60,5
ш1 шка.~е D. Прошв . J<ОНЩ! 11.11<<1.1t.1 Т (едшшпы, ·rак к<:1к tg4 5°= 1)
•;итают ш1 111ки.1е
D
(рнс.
72}:
с е11 ь
-
шесть-пять.
Пор.идО!< 60,5-дв.з, nорндон 1g - ну.1ь, движокпош~.1 влево,
зт,чит, 11орядок •1аст1ю1'0;
2-
О=
2.
Отнt:т:
t~ ;~~:!U' =
'i
Под. •111c.;1~)11t шкал
1111усо11
и
н1111·снсо11 .
S,
Т н
S &
76,5.
т щ.t111:~~~01ся
11е.111 •ш щ• соотое1сп1ующи1
ТРИГОIЮМР.ТРИЧ ЕСl\И!: BEЛИ'fИfibl
П ример
3. Hriifrи A=l,4G.siп56'30•.
Так
56'30'
S&
как
< 5"43',
то
11а~1
Т.
11ридется
Для умножения ставим ее- 11ача,10 11рот1m
1J
11рот11в 5G'зо• читаем н а t 11 ю1.rrc
D:
улотреб.1ять
1,46
111 калы
D
шh"алу
(ри с .
73)
дв;~-четыре.
38°20'
Порядnfс
S & 11),
!,46-один,
днижо!< 1юшl·.1
11орядо1< si11-ы и 1 ~ ус о,1и11
u о; норидок 11роизведешн1:
п пр н
[1+(-1)]-l=-1.
Отrн.~1·: А=О,024.
125. Вычислить 5=5,75·siп26~; t= 1 ~·~~;;
Т=~; a=20,5·tg3G~O'.
(ншалз
,,
ВТОРОЙ К ОIЩГ:НТР
Н нрнмоуruлыюм треуго,1ьпикс (р11с . 74) дано:
126.
а:..= 1 5,З
а~
, ,· ,-,
7,бl
a=lO
~
с=32 ,5
>
А=23"5;
Ь=?
11 ~ 36' 20';
ь~1
А=Э2Q;
/J --= ?
А=16~ 40';
а= ?
А =86...53';
Ь == ?
а=-:0,082;
A=:tc 35';
с=?
а=2,02;
8=65Q;
С е:= ?
С=
•
c.~z;
26,8
»
:»
Pttc. 74.
117. На протяжении 200 ы по гори :ю 1па.r1и (рис. 75) дорога опу
снаетсн под углом I QЗO' к горизонту. На какую глубину /1 опустю
ся 1юлот1ю доро ги в ко нuе с11 уска?
Pti~.
НаИтн
128.
75.
ctg ЗОQ .
Ук а зани1:. ctgЗOQ= tg~IOQ .
•
Полезно за.метить реrиение задачи
можем искать
нотанzенсы,
хоmя
12 8.
Этим с1юсобо1tс ыы
дальше л1и поз11акомимсд и
с другими пµиi!мами на.хождения котангенсов.
129.
Н ttйт 1 1
ct g40", ctg27°40', ctg6°15', ctg2°37'.
130, В J<а 1шх пределах заключены котангенсы углон, находящихсfl
на шк:мс
131.
n
Наftт и
tg 7'1.".
У1<азан 1 1~.
•
tg72°=ctg(90° - 72°) = ctg 18".
З<аzетыпе реш. ение задачи
132.
§ 39.
Наfiти
tg
и
ctg
131.
таких углов:
50°30';
В те..'{ слу•1аях, коrда приходит с и
56с ;
61°10'; 82°15'; 86° 1J'.
nычис.1ять выражения,
в
которые Rход;п 11роизn~:денис иди частное синусо" и танге нсов, мож но,
конечно,
применять
нее
те
(1< о мбш1и рован 11ые дейс тни н).
приЬш, t'Отор ые
бы.1и указа 1 1ы в
§ 21
ТРИГОНОМЕТРИ 1 1 1:С l<ИЕ НЕШl 1 !ИНЫ
11р11 мс р . Uь!'шслнт1,
Jj
Выражение это можно вNчис.1ят1, так, ю1к
НИ)'! вида
81
= ~f~~·~~}Z' .
'!.:f
Вf,[•1исляются
выраже
(см. § 17). Прежде nсего дст1т 0,05 на tg24Q (т. е.
устанавливают 24° 1111<f1ЛЫ Т щютив О,бr1 11а 1ш<м. с D, р11с. 76) 1t
22° 24'
1
!
~~
~0,65
Рис.
• 1ит ают отnст на шка.•1е
11()
D
против
Bbl 1 JИCJICIJИIO в1,1раже1шй вида
06.1
че 111юго частно го tg'
Ответ:
24 0
на
76.
22°
шкмы Т (:зто , ю1к уже известно
7. Э]{BИl:l<!.~CJJTHO умножению
tg22").
Jj=0 ,;'°19.
Пор1111ок 11, очевидн о, 11y.1 i,, т~к к:~к порядок 0,65 10i1iC 11y.1h, и, 1 ю 11р;шИ,1)'. 1юр1щuк т1=0 + 0-0=0.
13 3.
11 у.1ь,
Н1;1•1ислить:
O:_~i~~~~ ; 1,4-sin 12°·tg 10°30';
4,85·s1112б 0
lg::\9°40'
134.
HOJJy"
Читшот: 11 ит 1.-дсвят 1 •.
;
106·tg 2"40"
!~ J3C40'
Н аiiти
A= sin J5°· sin 21Y';
sin2°-sin3°·sin40'
. ta IO" ·tg:.!0°
rю р ~до~
танrе нсоо
nтоr>Ой IIOH I IEHП)
Коэффиuиснт
135.
(рис. 77)
вычисляется
по.'!езного
действия
чсрвя•~ной
переда•н1
формуле:
110
7i1=t;{~ +~?)'
r.a.e
для
~-yro.'I
?=4°
подЬlма
червшса,
а
р-уrод тре11ия.
Вычис;нт.
11,
н р=6',
"f~
,.
·:
Ра,;.
136.
духа,
Рис.
77.
Какав показатель nрелом.'l'ен11я
если
у=21° (рис.
yro.1
i8)?
ладt11ия
.'!уча
а.
78.
оскJ1а µ от1юситс.1ыю nоз
равен
35°,
а
уl'Од лре!!О.\l.'lенин
s!n::i
µ=si11-r·
Пра тр~1онометр11чесхих вычислениrrх очеш. полезно приме·
§ 40.
ш1ть всЕ. то. что 61.~.1ю с1•аза1ю о про1юршшх д.'!я обьшиовенных вы
•1ис.1ениJ1 (стр. 31, § IS). В частности, особенно полезно по:~.~нить дра·
вило о раве!1стве всех «дробей~, образованных стонщим11 друг против
друга числа~1н щ·н1д С и D (стр. 34). Тах как мы уже знаем, что, при
~1сняя шка.1ы
S,
Т 11,11н
S&
Т, мы пользуемся тoii же шкалой С, только
персведённой на другой язы1,, 10 легко будет сообразить, какие с.1сд
ствин O'l'CIOд<I ВЫТСЩ!Ю'r для ~них ткал
S,
т и
s & т.
Установиы, например, двнжок так, как это сделано
(см. вклсй1{у между стр.
tg
70
н
~~~~·77' = ~n;;5' = ~ =
'
'
tg
рис.
VI!
;s;~s· = t~ ~1;;0· = !К..~;gо· =
'~tR3:~25~,
И.1и сщё, та~' щ1к tgG~43,77'=0,l, можно
веллч1111а всех эт11х. оттюшеш1!1 есть:
0,1_
на
мы получаем, ЧТ()
71),
1
Т!fu-!4,1j'
'
напнсатт.,
'
•~то общая
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
137.
стр .
70
BEJIИ'IИHh!'
Сделайте та кую уста новку, как на р11с.
11
7 1),
у себя на
лш~еliкс
с<11 1 ы от1юшения. Сравните с рис.
и
81
VIJ
(вн.1е11ка между
проверьте, 11равиль110
.111
заш1-
111.
Заметьте, •mю
а) Когда .ttы писали аналоzиttные равенства 011тощенщi для щкал
•
С и
D,
ряд1шв,
ми NOZЛtl брать в •tислит ел я.х дробей числа
разных пи
следя лиш/.J за те.м, чтобы во всех 11.дробях » разноrть по-
1тдков 'iи сли телн и знаменателя бьtЛа rюстоянной. Теперь у нас
все •шсл11111ели одноlо и того же rюрядна (порядон тан?енса на
шкале Т - нуль); поэтому .мм и в зна менателях обязаны писать
чи сла одного и того
но
Jtce
поридка. Можно, нащтмеµ,, пи сать :
~();,~· =
fj ~:.~·
tg 6°55'
tg 9°25'
='
rтсать
-пт=--щ-=···
11ельзя. При это.м надо, однако, 1юмн1ш1ь об и сключе 1ши, указан
ном на стр. 30 и насающемся отношепия вида Т, коWа в зна
менателе стоит правая ед11н1ща (правый коне~<) 1штлы D. Так,
11апример,
в
Hйfl/l COHH ЫX {}Ы /Uе
Qmношенинх
tg 5°43,77'
0,1~
1-="'-----c:__
___J
tgG 0 55'
= -т,п- =
= tg ~.:~· = ... = tg 3~25'
-----т;;i6
ЦО!]
Шямо
S~0,1
O!~I-~~----т-~-~'
вrе знам ена тели одного и того
Рас. 7~ .
:же порядка, нро.ме последнего.
11склю'lение это не создаi!т, однако, 6олыиих затруднений, так
как всеlда легко сообразить, какое число дол:жно стоять в том
или другом отно1иении, сравнивая е го с соседними.
6)
Особенно часто приходшпся полыоватьсяпервы.м и последнuАt
отttоmениями 11з наtтсаннооо выше ряда, т. е. отношенщ1л:и типа:
Of ; ~~;
~·
Чтобы с удобствоп nрименять правила о 11рО!tО/ЩШIХ к тригонометрtиеским тналам, нужно 110.1111uть , чт о (рис. 79).
начало ткал
коне14
»
на чало щналu
конец
S ll Т соответствуt; т
S " Т
'
S & Т
:о
S & Т
»
0,1,
J,
0,01,
0,1 .
ВТОРОЙ КШШЕ НТ Р
"
Пример
1.
Найти уrол х, эttaR, что
tg x
3
tgi a 0 зo•=5 ·
Пользуясь пропорuиеИ, м1,1 м о~т е нталыю решнм Э'rу задачу. Оче1:11tд1ю,
что
V= 1g1:03Q·
Поэтому устанаwmваем
То1 ·да протин
{рис,
3
на
нша.11е
19°30' 1111<ал ы Т пр отнв 5 па шкале D.
01<а жется иciю:.i1,1iJ y1'QJ1 lla ш rсале Т
n
80}. В дан1юм c.1;"rae х =- 12°.
f ' !"",'' '' 1Ь~Т
Рнс.
138.
80.
Найти х нз равенств, приводи их
"
виду пропорций :
а) t~~=~:
6)
tR~~o·=~;
в)~=~ ;
r) B·tgx = 2,24 -tg3I 0 ;
д) ~~ = ~.
139. Найти arctg
f; arctg-}; иrctg ~; arc!>in -} .
Указ а 11н с. Еслиаrсtg-}=.к,
это з11ачит, •IТО
tgx=.}.
А !ПО можно на11 ис<11ъ в виде:
~=-}.
или
t)!:X
3
tg45° =-=r·
е Заметьте, что во всех задачах, которые AtЬt сейчас реиюлrt,
было вьа10лне11и требование о том, 1tmo порядки вна.м енателеli
в дробях
должны быть одинаковыми.
Как быть в том СJ1 у ч ае, ко 1·да
это
пе 'l'ак,- мы се11 час увидим.
ТРИГОНОМЕТ РИЧЕСКИЕ !ЗГ-ЛН'IИНЫ
Рассмотрим рис.
же1ш~. в какое он
Если мы постатtм д1Jижок D такое же 110.по
посrаВJ!ен на р11с. VIJ (пача.~о триrо1юметрнче
81.
с1н1х шкал np<Yr:ш ч ерточки с l ,4611
1.11кэлы
D),
1 ю в:.~есто шка.щ Т
rЗ4, эе'(1gЗ4,З8'=цо1J
,.
j
".
fW'
ZA?.
3,98
Рок.
nозьмём ш1а1лу
как
"
S &
:(Щs':f'.;s'
2·14·
1-f
1
1,46 ITT
81.
~бD
'"
Т, то, · очевидно , на точно тшо"IХ же осноFщшшх,
д.~1я 111101ды Т, сможем 11аписать рнд равенств
0.01
t~
11: 4 1,6'
s.r
1U
57'
ti;
1°33,7'
tg2°14'
l,46 =--т:;1- = 2,42'" =---;цш- = 5;7U'
1):
4:: 3°55'
= 8;60 = -'°-.
t_I':
3°22,5'
Но
и, таким образом, мы можем
полу•1ен111..~с для шкалы
чс11н1.rс для
шкальr Т,
11оследних
в
10
раз.
приравннт 1! вес отно ш снип,
Т, и все отнош101 ия, nо.пу
увеличим
знаменатели.
S&
CCJI H
В самом деле , 0•1св11дно, что
tv;1 ~~;J' = щ1~~:5• =
tg
= '~\~f = i;}J' =
~~~~5'
=.. =1Ri~2!i' =?f.ь=
щ ~1~g;.т = ... = t~ з1оg~· = ~.
Вы вод из этоrо такоit:
Есл~1 н нропорщшх
tga 1 =t_v,a 1 =
а,
911аJ1ен:1тсm111е
11се
.. =t.\.'"ff
t11
11"
о.паоrо пор11 дl!а,
чающяхсн 11а сдt11111цу, то
:1
yr111;i,
дву.,
р аз л 11чн 1>111:, от.,м
соотнетс·rвующнс бUл ьш нw
энам е 11 а тел ям, Gудут r 1а ходн тьо1 щю1нв них на шкале Т, а
соотнетствующие мен t. ши м з 11 а и е 1 1 ате11 яи-н а шкале Sl:T
1
)
tg3'1,J8'=0,01.
ВТОРОЙ IIOHUEHTP
86
Пр им е ч а
шкалы
S
и
S &
1111 е 1.
Очсвшню,
а11~11оrич1юс
правшто буде1 спраuедлшю д.ц
·
Т 11 щю..:с11с11ии к 11ро11орнням:
stn" 1
s!11at
sш а,,.
а;=---а;=".=а;пр 11исч11. и 11 с
· соответсп1уt0т
П.
EcJ111
угл1,( шкалы
Hanp.i~t..!p, пропор•l•tЮ
сщ~с.1у
110
S &
Т,
10,
за)lачи
66.1ьш1131:
з11амс11ате.,яи уже
очсвндно, правиJЮ зто 11р111о1е11 ять 11с.1ь•1J
siпx
siп3°
~=70
уста1ювить на ЛIНlеАкс, пол~,зуяс~. s.тим щ1а1ш.~()Ы, тrевоз~ожно.
ПркмсчJ1111с
сди1111цей шк.ыы
11!.
D.
Надоимсп, 11ннду11сключс1ш е, с.11~эашюе с пр~воВ
Чтобы .'tcrкo запо:.шитъ это осношюс правило, заметны, ч:rо на
шка.,е S & Т nомещаюгся ма.1еньннс углы, а на 111ю1.~е S
(1J.,11 1)- срав11ительно бод ь 111 и е. Тогда правило можно сформ у~
11Ир(J!Jать так:
е Больищм углам отзе11ают
ким
-
болыиие
знаыенатели,
11tалень~
.маленыте.
Пр11:.1ер
2.
Зная, что
t',!.2a,=t;,~!=:~.~·=':,;~=t~~o
11aitт11 углы ~" а,. а,, а: 1 •
Рсше11ис.
Соrласно
nравнлv
о
1
зн<1l-1енателнх
уrо.'Т
на пшале Т, остаю,ные у1·лы-1ш" 11rr{aлe S & Т. Установив
Т против
а., будет
20" шкалы
5 пжалы D. получнм (µнс. 82):
а.,=50' ; «~=1°30'; а.,=7°5,5'; a.t=3°32,5'.
3. Найти х из уравне1шя: 5sin3°= 0,7 sinx.
11 е. Лсре11нсываем данное уравнение так:
При~tер
Рсшен
s.ln3°
sinx
от=т·
Т:~к как tю[Нlдок эна~1енате.'IЯ у siнx больше на единицу, чем у
зf!аменатс.л11 sin З", то х ищем 1111 щкале S, устююоав 3" шкаJ11.r
S & Т 11ротив 7 шка:rы D. Протн11 5 шка.'lы D находим 11а шкале S
отмет~су
2( 0 50'.
Ответ~ х=21"56',
TPIJГOI JОМЕТР11 1 11':СКИЕ ВЕЛИ' IННЫ
Пример 4. arctg~=?
Р стение. Если x =arctg~, то tgx =~ ИJIИ ~=~·
Порядок 214 раuен 3, порядок 12 равен 2; l=tR45° находитаJ
1ш шкале Т; зщ1•шт, х будс:v~ искат1, на 1111fале S & Т. Устnно шш консu
1r11•алт ,~ Т 11 р о ти в 214 шка.'1 1 .1 D, •впuсы 1щ шю1ле S& Т против 12
шкаJ1ы D : х=3°12,б',
Отлет:
•
3"12,6'.
Заме1т1м,
oд1tat{O,
11110 иногда разтща tt порядках знаме·
1
нателей может бьаиь уничтожена. Вот при.мер:
Пример
Рассуждая
5.
так
-
arctg~=?
1fa1< n
же ,
лриж:ре
4,
мы пр и ходим
к
равенству~
~=~.
но. eC.Jlи
109,
теперь
мы
захотим,
установ1т
лроttесть, чему равен х на ш 1<але
но 11е11.
шка:~ы
Т протн1.1
Т, то это Шt)( не удасТ('н:
S&
~~т~~~ ~~и~~~а;яы ~:J~б~~~ьп~~~~~:~~: ~1~з(;ы U~T:J~· ~~~ял~ОЛl,''~.н·~~
ус1·а1 1 ав.'lинать
та~<ую
nроrюрuию:
tgx=~I ~=ft.9•
А теперь мы видим, что зна~1енатели - од11ого порядка, 11 потому
.х найдётся на шкале Т против 25 шка.1ы D, если 11а•ы .10 шкалн
Т лостащt ·rь прот1ш 10,9. Мы получим Х= 12°55'.
Ответ: 12°55'.
З :t м е •1
n пи е.
То
обстоятельство,
что
ответ
nо.'lуч 11тся
1111
1111<але Т, можно бы.ю предвидеть заранее: foЪ>O,l=~tib~• а, к:tк
м1.~ энаем, yr.!Jы, тан 1·енсы
которых
бо.'!ьwе
0,1
и меньш~
шаются на шка.'lе Т.
140 .
Проделайте все эти примеры на линейке.
14е . Найдите углы ?Р ~ •. ~ 1 • ~ •• ~,. ~. иэ уравненr1й:
~~о~4 =~о~= ~u~7 = ~~1~~ = ~~1~з = ~~2~10 = ~.~~: •
1
142.
JЗычислить х"
s1n 50°
xi, , . , , х1 ,
s!11 х,
,
если
sln х,
s!11 х~
--з-=-г=s1nx 1 =-u,5""=u;з=
sln ~.
от
1,
ПО:'dе
143.
Вы•шслить а 1 , а 1 ,
t.1;:
20"
lg 15"
218 =а:144.
•• •
,
а,, есл и
ti;: 9"
1.; 7°
t i;: 5°
tR 2°
= -а; = о;-=~= и;-
Найти х из ура1шс11ии:
145. Найти arctg j-.
25, Gtg 3° = 8, \ si11 х.
~'к аз а пи е. Так 1<ar< -} > 1, то исrтмый arctg > 4f'1° и 11с у~1е
стится 11а шкале Т; однако е го можно 1шйти, имея
x= arctg-} ,
13
виду, что ес.1и
tgx=-},
то
ctgx= ~ = tg (OO'' -x).
ПО3Тому с11 а•1м~а можно найти (90" -
х), .а затем уже н х.
Рис. 8~.
l.t8.
Радиоыа• 1та в 45 At ш.~соты удерживается канатами (р11с. 83).
Haim1 yro.rr ~~· образуемый 1ш1 ш·rом AQ, зат<реплСнны,'1 13 точ1<е А,
н 25 м расстоиния от ос1101:1а~ шя О ма•пы.
,,
ТРИl'ОНОМЕП'И'IЕС\(ИЕ ВЕЛИЧИНЫ
В 1юсоугольном треугольнике (р ис.
!47.
дано:
84)
а=26,Зсм; В=36"; С=7 1" ; шt i iти Ь , с, А.
а= 17,1 см; В=45"; С=60° ;
Ь, с, А.
а=О,296;
а= 106;
Указание.
В= 15°;
fJ=5°;
С=26";
С = 1 0~ ;
8оспо,1ь з уй тесь
Ь, с , А.
Ь, с, А.
с ноИспю м
А +в+ с = !80°
1'соремой синусов (е р. за дачу ~42 ), по:.ш н , ч то
1148.
'l..
В 1сосоу г о;1шо~1 тр...:уm.%11И!(~ да но;
А:=~?~:
А-vЗ,
А= 126";
iЗ =I.! ~.";
a=2U,7;
а=О,61;
А = 2°30';
Н=З";ю';
a":I J_?.'5;
а-О,1,
•
и
sin (1 80" - а) = siП
на iiти/J, с, С.
П=63,
IJ=Зl";
Прежде чем peutamь
Ь,с,С.
Ь, с, С.
ь, с, с.
следующую
задацу,
l'ис. 1Н.
нужно вспомнить из трщ,онометрии случай ре
шения треу~ольника по dвум сторонам 11 углу,
противолежащему одной из 1mx. В эпюй .'Юдаче надо uсслеdовать,
имеется ли два решения, одно peuteнue ила ни одного.
149. il
косоуго.11,ном тре уrол~.нике
а=90;
а=4,27;
a=lb,3;
а=О,Об;
z;:: g,142d;
Ь=53,5;
Ь=О,15;
(рис.
84) шшо:
~;:: fg:; нейти ~:
А=20°;
А=25";
g:
~:
В, С, с.
В, С, с.
Как узнать, не делан снециального исследовани11, а тоJrыш по
тем отиетам, 1шторые даёт Jш11ей1ш, имес r ли данная задача J(ш1,
одно или ни одного реrпепия?
Обрнтите внимание на то,
n
то м
случае,
когда
за1tача
чему равна
не
имеет
су;-.1ма
уиюв треуmJ1ы1икQ
рс111е11и11.
Придумайте
C<J:vi:И
примеры всех тр~х типов.
§ 41 .
Точно так же, юш: мы перевёртывали д1шжо1с для обыкнонtн~
ных вычисле1шй (см. стр.
гонометрических
nыиrрыш
в
ниона;1ьщ.~:ми
синусам
LJИсла
синусов
на
ряд
53),
вычислен ий .
случаях
."южно его
3дес1"
ВЫ'IИСлений
И.'НI
нелнчинами,
та11rс11са1>1,
и.1 1и тангенсон
псренёртывать и для три~
!(arc и там, это даст большой
с
и
де.'1ешш
т.
обратно
однЬrо
и
пропор
того
же
п.
Ита1с, вынем движо1' и:1 .1инейки и встаиим его обратно так, чтобы
111
10
11
;:~~ ~.м~~р=:~~::: :~~~:аы за~~>~-~; ~1~ес~~ ~iи:~~й :юи ~a~~eti~o~:'l;~:
нем его прито~ в .швейку так, •~тобы начало шкал движ~ш совнало
с концо~ шка.л линейки . Теперь wicaлa Ту ю1.с будет самой верхней,
а шка.~а S- самой нижней. М1.1 уже знаем, '!ТО при неревiфнутоj\1
ВТОРОЙ KOHUEHTP
90
ДRЮ!(1<е 1u на.1а С да~т 06рат11ые ве.'lичины чисел шкалы D
(см. с тр. 57), 1tл11, что то· же самое, шка.1а О м~ обратные rе.л;-~
чины ч11се.1 ш ка.lЬl С. Теперь у 1шс имеются з;шек.июuн1е шкалу С
111к а"1 ы
S,
Т
Т. Ясно, что щка.1а
11 S &
чины си11усов и.'lи тангенсов углоn,
! Jр
11 "''с р 1. Против 30°
стоит дна. Это э11а•1 и т, •по
D
будеr давать обратные вели
11омещё1шых на Э'r их
перевёрнутоii
шкалы
S
ш1<а11ах.
н..~ шка;~е
D
sdз~ = csc30"'=2i
та к ка~< с инусы иа шка .1е
зак..ночены между
S
ные nеличин ы :зак.mчены между
(50.
151.
Haliт:t
10
O, l 11 1, то
их обрат
1.
11
csc42", csc2 1°30', csc
0
15с6', с.оос/ 15 ' .
Найтн
sc 67°, scSOO, sc 82°30'.
csc(9(J'-«) =sc :i:.
152. Наiiти csc5"5', csc 1°30', sc80"'20'.
Указание .
Пр им е чан и е. Обратить вни~нэ.ние на порrтдок!
153. Наiiти ctg40°, ctg27''40' 1 ctg6°15', ctg2c37'.
129.
154. На~1тн tg83", tgG2°, tg56'\ tg70°35',
Сраrтить С за-
дпчеii
Ук.1зан ие.
•
ctg(90° - a.J=tga,
Мы впдюr, что перевfрнутан шкала
обuцuой шкалы Т за
45°,
Пр
11 мер 2.
З11а•1сшш
Т даl!т гrродолже1ше
только 11шftpьt перевi!р~утой utкa.L.ч Т
нпdо 'ltmmmь не так~ как 01т
/
на писаны,
обрuтно
а вы•тuшя и.х 11з
11poпopuиo11<JJ1ь111..i
siп а;
90".
щш
а = 4 1 ° з начение l=l,8. На 1iт и l дл я а. =35°, 26°, 17°, 8°. Для
ю:щах а. з начения / будут рав11w 2,0; 2,5; 3,0; 5,0?
Решение. Устанавливают перевернутый дшtжон таr,, что 41'°'
шкалы S приходится прот!iв 1,8 шка.'11>1 D (рис. 85). Тогда nрот1ш
дштых а. ч1п<JЮТ на шщ1.1е D з начения /:
1 3"
0
' 12,06
а протliв данных
l
на шнале
'
~
S
126° 117" 1
2.•9 <.оз
J
J
30
J •·'"
ИСНО)tЫе о.:
2,0 1 2,5 1 3,0 1 '·'
а ~ 36'°'10'128"10'! 23°10'1 13Q39'
Ч то кзсгется nорядко в,-ср . стр .
61.
Т РИГ0f-10МЕТРИЧЕСКИЕ ВЕЛИЧИНЫ
91
2
155. Вычислип. у= ~~ ~ для х = 10°, 15°, 20°, 25°, 30°, Зii", 40°
45".
J\
t56~ Тросы А ;Н, ВМ,
(см .
рис.
83),
обр азуют
DM,
СМ и
с
nодде ржиn а юшие рад иом ачту
rюве рхностuю
земли
угл ы
а.: 1
= 21~',
41'
f
'
. ".~~
~~·· 1 ~1~.,,1" !-r
1 ,.
.,'
'
1,8
r11c. 8.5.
Р,=23СЗО ' , У 1= 1 5°40' и а, = 18°, Р асстоян ие А0=25
р а сстон ния В О , СО ,
Найт и.
DO.
llычисдепия с три rонометр 11чесним1t ве.11.ичип ами
без пере вертываtш я движка обратно й стороной
§ 42.
До сих
nop
мы де.тrали все тр игон о метрические вычис.тепия
с движ1юм , вст аrщенн ы ,\I об р ат1юii стороной наружу. Одшко бывают
с.ч·чаи, когдd это неудобно·.
Есш1 во nрсм я
длин но~ о
нужно н а йти только один
uы таски вать
Чтоб:..~
расчёт а с обыкновенными
раз
1.:а коii-нибудь
и nерес та нюп1. движок дл я
обойти
это ма.тrеныюе
синус
или
чнсла'.\1И пам
тангенс , то
этого с.тишком долго.
неудобство,
на
линей1•е
сдел а но
особое присrюсоб.тrе н ие. Возьмt:м .~ ин ёйку с движко?.1 в обычнол~ поло
жеюш 11 л сревернЬ1 · её так, "ак nо~<а з ано на рис. 86. На ct.: задней
стороне мы увидим два выреза: пониже середины
-
видна, но на не й пе.'iьЗя де.тать отс•J t:тов) ( рис .
87).
слева
-
и по вы ше
середи НЫ"'--СправiJ , В элtх вырезах мы найдём уже знаrю~1ые пам...
111ю1лы : в п раво~! - S и S & Т, в лево:-.1- Т ( шка :щ. S & Тв нём mжс
стороне э тих
вырезов
прот ив
н: а ждой
чёрточ.ки д.тrя от счётов, которые
соответст вую щие им пт:а.'iы
S,
мы
Т,
S&
Н а внутрен ней
и з ука::шнных ш кал нанссенJ.I
бу дем
обозначать т<1к же, как
Т (ри с .
86).
Если м ы уст::ш овю1 движок так , ч тобы на лицевой сто роне сов па
дали нача лы1ыt шт ршш шка.'1 д;шж кn и .тине й ки, то и нприхи в выре-
92
RТОРОЙ KOHUEHTP
эах придутся как раз против начального штриха шкалы Т и конеч
ных штрихов шкал S & Т. Чтоб1>1 сообразить, ка~\ при помощи этих
штрихов делаются отсчёты, нужно зnмстить, что пшалы
Prtc.
S,
Ти
S &Т
Sб.
соответствуют шк~ л е С. Шкала С нанесена на .~иuевой стороне движка ,
тригонометрические шкалы-на оборот1юИ. На яссх шкалах двНжка
(и на С и на тригонометричесних) начала и rюнцы с о впадают
'-Р11с .87.
{убеднт ~,ся н этом можно, вынув движок и рассмотрев его). Но в таком
СJ1учае яспо, что ко1·да мы ныднипtем движок (например, направо) ,
то конец шка.11ы D и соответствующий штрих в пра~
вом вырезе (например S) от м ечают одновреме н но
па
ТРИГО!iОМ Е тr и•1 r. с к и r. I3ЕЛИЧИНhl
ПJJ{але
р ис.
88,
С
и
на
на нём
rпка ле
изображены
одно
S
и
то
одно nремсюю
же
и
.место
нередню1
и
(см.
заднян
стороны ли ней1ш) .
•1срточка
1гn-prnrnщ~· '
S
•.•
'
88.
Рис.
Иначе rоворп, вот ка кое ю1еетс я
ЛРЛШfЛО д.1\.1 ОТЫС](АНIJЯ С И НУСОВ пr и по мощи \! ЫРЕЗЛ в Л И Н l':i,КЕ
Ко11 с ц Ш!( J ЛЫ D ук_азыв<tст на
от~еч~емuго 1J r ·1· p11xo~t S на 1111>а:1с
шка ле
Сопсршсшю ана.~01 ·ичное правило
S &
Т и штрих а
157.
S &
С нс .1и•1ю rу
сш 1 у..:а угла,
S.
будет
справед.1иво
для шюlJll.J
Т.
Соста вьте это п рав ило, провер ьте его (найдя при его помощи
3 FJ § 37, стр. 76), а~шу
sin 3°
и сверив ответ с рt:ш е нием пr им ер а
ратно
запишите
здес ь :
ПРЛПИЛО ДЛЯ ОТ Ы С](АНИ}I СИН)' СОВ И
МЛЛhl){ УJ ' ЛОТ!
T AH!'Y.IJC OB
ПР И ПОМОЩИ JJhll'l'.З A 1! J!ИНt:ЙIЩ
Для отыска ния т ангенсов угло в ,
зовать шкалу
б6л ы1шх
'
0
Б 43',
Т. Единственное отли'-lие от описанных
нужно f1СПОJIЬ
уже
нриёмов
будет здесь заключат1,ся в том, •по дnижо1< прид~тся двип1т1. вле
во (так ка1' вырез находится сдева) и веЛИ'-IИНУ танrспса будет укэ.31,шать
шкалы
иа
D.
шюме
С
соответс т венно
это~1у
не
конец, а нач а JI о
ВТОРОЙ КОНЦЕНТР
f58.
Составьте соответствующее правило
орю1ер 2 в § 37, стр. 75}, запишите:
11,
провериl'I
его (е р.
п rлвило ОТ ЫСКМННI ТА11ГЕНСОU П РИ помощи ВЫ?ЕЗ-1. н ЛИНЕl!нЕ
Ф Все
правила о порRдке и вели•mне синусов и тан~енсов со
храняются при это.ч способе .
859.
Если
мы
выдв1шем
движок
влено,
то
1~ачзло шкалы
D
оп1ечает 1ia шю:l.'Jе С тангенс уг.'lа, стоящего против •Jёрточки Т.
Д окажите, ·что конец шкалы С отмс•1ает на шкале D
котангенс
того
же
y r .1a.
~'к аз ан и е. Используйте возможность представления nропор~щй
на шк<1.'1ах С н D (ер. стр. 34).
rso.
Что да~т НЗЧ3J10 шкалы с на шка.1е
нин лв11жк<J. вправо?
ISI. Наi!т11 arcsin
У 1; аз ан и е .
OTHOJJICllllH -} 1111
:юж!-lо,
i
Задача
D .в
с.11учае ВЫДВИГ<J·
nри помоu111 выреза S.
будет
решена,
если
мы получю1 величину
111ка.11е с Над КОИIЮ.\1 ШIOJ!lbl D. Достигнуть 3Т010
01шл.-таю1
соста1мя я
uропорции .
XVll. ПЕРЕВОД ГРАДУСОВ В РАДИАНЫ 11 ОБРАТНО.
Т ЛНГЕНСЫ И СИНУСЫ ~·r ЛОВ, МЕНЬШИХ 34·
0
Звач1ш р , р', р"
На болы11н11стве линеек на ш ка.1е С н.1и
обеих сразу) нанесены з11аЧ1<11:
§ 43.
D
{а шюrда н
rra
р =~=57,30 (точнее, 57,2957G),
0
р'= 36~~60 =3438 {точнее, 3437,747),
р~ =
Все
эти
минутах
360
~~·GO = 206 265 (то•шес, 206264,8).
числа дают вел~1чнну радиана
(р')
На 11с1<оюрых
11 wсч111ческоfi
(р) в градусах
(;;0},
и сс1<ундах (?Т
тmсй11ах
}Т/\ОВОЙ
шшсс~11 еще'!; з11а•1ок
мере -
с1кте111с )Т~о11ых мер прямо!!
100 ca.1п11rpuo8, так чrо
11
~то.,
СОТЫ.t
ДОЛ\\Х
дс.~11тс11
11а
f",
заюut11!1 Rе-щч1шу ради.ша
«Са11rнграда~. (В
100 rpa1011 11
MCTpllЧCCH•);j
liaждыll. ~·рад 1.1.а
Pw= 400.1:!~ · 100 =636 620.)
Уnотребмт, с1·0 1ючпt нс пр11ход11тсн,
)ICj)
ПО1'а
IJC
так как иетр11чс.:кан сисrе"1а уrповыz:
110Л)'Чlt.Ы. IШl !JOKOl·o pai:l!pOCT l)<llle lШll.
К ак уnотрсб.1ять знач 1 ш р0 , р', р"-ясно.
Пр им ер 1. Перенести 0,6 рад 11ана в rрадусы.
Реше 11 и е. Очевидно, 1·радусная м ера у1·ла в 0,6 радиана р<~вна
0,6р •
0
Ум1южаем 0,6 на ? , по лvчаб-1 : три-чстw ре- ч етыре.
Порндок р"- дна, порядо" 0,G..:...вуль. Д1111жок nош~"1 rмсво. Поря·
11 роиз~~едения дnа.
От6с r: 0,6 радиава=34,4°=34°24'.
0
док
ВТОРОЙ КОНЦЕНТР
162. ПеревестИ этот же угол (О,6 рuдшшаJ о минуты и сскупды.
• Порядок р0 -два, p" - •temЬtpe, р~- щесть.
163.
164..
165.
Псревесrи в минуты
0,02; 0,175; 1,06;
О,ВЗI.
Пере~rести н секунды 0,003; 0,001365; 0,52.
В 1юiщс прош.'!01'0 века был предложен фантастический про·
el<"r nод~С)tИОЙ са~юкатвой дороrн, соед1111яюще{1 по примой д ишш
Москву
каним
с
Лснинrра;~т1
yr.10i\J
(рис.
уходищ1 бы дорога
BU). Под
n зе)!.'1!0
в t.·\оо<вс и в Jl с1 1 иш·радс? Радиус земного
nнipa
6,37 · 10 1 м, р асстоян ие r.rсжду Моск
вой и Jlспищ·радо.:;1 050ки = U,5·10" л~ (1ю
nоверхтюст11 зе~ 1лиJ.
Ри..:.
Перс!Юд гр<щуснwх мер n р<1диа11ные
также 11е представляет затруднений.
Пр 11 мер
2. Перевест11 в радианы ·
89.
18'20'32",
Реr1 1 е11 и с. 18°=? радиа1юr~=0,3141
(лорндок р 0 =+2),
2
(тторндо~с р'=+4),
20'= ~
=0,0058/ 2
32"=~
=0,0001j55
(пuрnдок p"=+GJ,
0,3201 '),
Отпет:
18°20'32" = 0,3201
р11диана.
• Из этмл примера видно, что npu вычислении на линейке
давать секунды dлн у ~лоо у:нсе в 18°' (а д.лн б6лыиих и подавно)
6есполез110. Это будет за предела.ми точности линейка.
166.
167.
168.
Персnести н радианы
Вычнсднтт. 11лощидь круготю1 ·0
uентраm,ным углом в
•
57°36'; 24°19'; 10°35'.
57'36''; 2'27 ,з~.
Пере1:1ести в радинны 2°40'36п ;
сектора радиуса
1,6
м и с
8°36'.
1/а некоторых л11неiiках значка i;
иожно или sаn.омнить
его значение:
0
нет.
В этом случае
Пt:Pl:ROД ГРАДУСОВ
али пользоваться вместо р
ll
PAЛl-IAlllJI И
OljPATI
91
Ю
дробью:
0
180
исходя из того, что
,_ЗGО _IНО ·
1
?-~ - 11
1
Пример 3. Перевести n f~~иamo1 lb-o.
Реш с н и е.
?16 .
Вычнсляея ТiЮ вместо
_
(Вычисление де.1тается
одной установкой дnижю1 1~0 'Гrшу выражений ~.) По;1учасм два Се)tЬ-девять-четырс.
Порядоl(
16-два,
од1111, порядок 180-три. Порядок рсзущ,тата
Отнет: 16°= 0,2794 радиана.
Сн11усы
та111'е11сы упюв, меньших
11
норндок
п
2+ 1-3=0.
31'
§ 44, До сих пор мы рассмnтрива.~и тр11гонометричсские фу11кuи1f
УГЛОВ, 66.'JЬШИХ 34,38'.
169.
Переведите
в
рад1Jшн..1
СКО.'ТЬКИ/\1 i\IИHYT8\f рав110 р' (см.
Нам уже иэнес,гно (см. стр.
торо го ш1 1 шнаетс11 шка.rта
S &
34-,38'. Получи в
§ 43, стр. 95).
74),
что
отnст, посмотрr1·1·е,
.
34,38' -:;то
тот у1'ол, с 1ю
Т. Для это1·0 угла :.ш имеем:
sin34,38' = tg34,38' =0 ,01.
Реша11 задачу
1691
мы то:1ыю что на11.1.1и, что
34,38' = 0,01
радиана.
Вывод отсюда та1юй:
Для у~ла в 34,38' величина синуса а.
тан~енса уже
вается равной величине само~о у~ла (в радианах).
6удет и для умов, меньших 34,38'.
оназы.~
То же са.мое
Та1<им обра:.с~ом:
е Для углов, не превосходнщих
34,38',
crmycы и тангенс~ вы
чис ляются, исходя uз соотнотенип:
sin1X = tg1X =rt,
где а. -у~ол, выра.женньиi о радианах.
170.
Найти
sin
3·32~;
tg26'21"; cos 80°42'31"; ctg89"30'.
1281 1291 1311 132.
У к а э ан и е, Сравните зnдач11
171.
Горкзонталы1ым·
обра.юванньrй
прямыми,
пзраллаксо.м
п0 Солнаа называется уго:1,
соедиияющи.\ш.
це11тр
Солнца
S
с 11ентрФ1
д
P;.i.::. 90.
Земли Т н с точкоА А на поверхности земли, пр11ч!!м угол
11рямоn (см. рис. 90).
TAS -
Наблюдttшями 11аАде110, что
тr0 =8 ,8()"' ,
Найти расстояние TS Земли от Солнца, если а (радиус Зс:.ы1н)=
=6370 км.
• Чтобы ле~че запол~нить, как переводят радиа11ЬJ о градусы
и обратно; заметим, что:
а) д.ая зтих целе/i на линейке есть значки
р', р', р•
(эпш
секунdы);
зна11кu~11ис.11а ил1енованные:
градуt.Ьl, минуты,
б) рад11аны-числа отвлеч.i!нные;
s) перевt.Юн радианы 8 градусы (и.пи tJ Аiинутьt, илu
tJ
секунды),
А~ы из 011юлечi!н1tого числа dелаем именоtJан.ное и 11отол1у должны
мн:,~е~:~~=а г~а~~:~ ?~· ~1Ьианы, мы, наоборот, ун1J1mюжаелt
0
нau.~teнOtJaнr1e: получаем от11лечеиное число; зиачит, эдесь наоо
0
делить иа р (и ли р', р").
XVIII. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Нвадратные уравнен~1я
§ 45.
Для
ре~uения
юшдратного уравнения
на
счётной
.'Iинейке
с.:го шщо привести к особоыу виду. Вuт как это деш1еТСJi.
Дано уравнени е:
ах'+ьх+с=О .
Де.'!юt его на а:
x +px+q=O (Р=%, q=~)·'
2
1)
Эт о уравнедие делим
на х:
х+р+~=О.
Перенос ю1 р направо:
(r=-p).
Преобразование
закончено.
по.1ожите.11ьными, так
Преобразованное
ние.\1
и
к
в ·норма.~ьном
Сба
•-ш сла
q
и
r
отрицательными.
виду
(1)
уравнение будем назынать уранне·
виде,
Пр им ер. Привести к норё1-1ально"у виду урав11епие:
2х +7х-5=0,
1
Решение .
2)
3)
4)
1
l) 2х +7х-5=0.
х +З,5х-2,5=0.
2
х+З,5-~= 0.
x-.?f =-3,5.
Ответ :
х-~=-3,5.
'J
JJре;що.1агается, чrо х
;6
О; и11аче было бы
q=U и х'+рх=О, Ш111
ирешаrь6ыдоС>ыиечеrо.
4•
(!)
могут быть
x(x+pJ=O, Х1 =0, Х1 =-Р
НТОРОЙ l<O liЦEliТ!'
100
172.
Привести к нормальному виду уравнения:
0,2x. 1 -З,lx-j-
l ,7=0; 3,25x 1 +5,0lx+9.62=0;
I,4 15.x 1 -2,90x- I,66=0.
§ 46.
Рснrсn ие на линейке уравнения, привед~нноrо к пормнлыю~1у
в;щу ,эакJJЮЧ8 С'Т Ся просто в IJодборе та1ю 1·0 чисда х, которое, будучи ию
жено (в ашс64)аическо;'.! смысJJе) cf, даёт r. ВыnОJ1няется этот под
Gор просто 11ри по~ющи перевернутого дГ1ижка 1-ми обратной шкалы.
173.
протин
Перенсрвите движок и уста1юв11те его консп (и.1и начало)
ш1 шкале D. Ктюе чf1CJIO будет стонт1, на nсре1:1ер11утой
q
шкале С щ:ютин х на шкале
4; 5.
Сравните стр. Ы и рис.
Мы
в1u111м,
что
?
173, числа х и
nри
D? Возы.щте,
57.
11апрю1ер,
q = 8,
х
= 2;
тшю~i уста1101:11{е, нотора11 ошtс1н1<1
11 эада че
оказываются стоящюш непосредственно друr
(~~;и:а дJJ~:1:н~: ~,~~~ R'~~:eo~~~~6~ ;o~:~;;E~8;~~~r~,fйrJ~:~:~~1)~
11
0
сс.1 и , на~счая низирноИ ланией беrушш стояшие друг против друга
•шсла на ~тих шкалах, мhl найдЬ1 'Г'dKJIO napy, которая, будуч 11
влгсбраичесtm сложена, даст r, то наше ура 1ше11не решено.
Число х tra шкале D- иском1.~11 J(Орень .
При.мер 1. РешfП'I> ураАнсние х 1 -З,8Ох+2,97=0.
Прежде uсего прщюдим это ура1:1нс11ие
1<
нормальному виду:
х+~=З,80.
Устанамиваем па•щло персвlфнутоrо двюrша 11ротив 2,97 на
пшале D (рис. 91 ). Начинаем подбирать х. Длн этого эамстю1
11рсжде всего, чт о пара (2,97; J), rюторая соответствует начt1ду
/tнижка, да~ сумму 3,97, т. е. боль ш е, чем 11уж1ю. Поr1робусм
1 10йти влеJ:JО п о ш нале D. При х = 2 находю1 на шкале С протш-1 него
ч1кло 1,485, fi1<ачестнесу:vшы получае:-.12+ 1,485=3,485, т. е. мень·
;~~· э~~~.е1~~:~~~~::iо~~~с:з:~т~ :а~~-~:ы ({;;~ {2:~~~~~~)ид:~-~c~;fi:;
3,69,-маё'JО;
(2,7; J,10)
пера
даЬ сумму
(2,6: 1,1 4)
3,80,- нак
дu~
сум..,1у
3,74,-мало;
ш~ра
раз то, что нужно. Итак , х=2 , 70-
1<0ре11ь данного ураuнения. Но одноsременво :о.1ы 11а ш.~и 11 второй
t.:орень. Он paвefl 1,10-1{ак раэ TO;\-ty чис.~у шr<а"1ы С, которое стоит
11ротив 2,70. В саt-юм деле:
Но тоrда
2,70=№о
СУММЫ
3,485
1,485
З,69
3,74
3,80
З,97
1,0
ВТОРОЙ IIOHUEHTP
!02
и
ОLJсв1:дно,
что
равенство
х+~=З,80,
спраnедлиnое
при
Х=2,70,
будет
справедливо
и
при
x=l,10:
1,10+2.70=3,80.
Но тогда
х,=2,70; х,=1,10.
ЗаNеmыпе, что оба норнл л1ы noлylfaeu одновреJlfенно.
Провср1.те найдсщюе решение юши~1-либо способом, напри
874.
мер,
no
изnсстной Q.юрмуле:
X=-%±Vlf-q.
175.
Д;rя решения уравнения в при!\1ере
1 1111>1
сташ1.1.н нач а л о
движка Jlротив 2,97 на шка.r1е D. Могли JШ ~JЫ най<и корень, поста
вив против 2,97 к он е и движка (выдвинув его вnрано)?
Указ ан и е. Посмотрите, 1'акие сумм ы получаются для тех пар,
которые м~ находим nрн такой установке.
Лриме-р 2. Найти корни уравнениях•+ J,бОх-2,97=0.
Р с ш е 1-1 ие. Нор·малы1ый вид:
х-~=-1,[Ю.
Установка
нам
уже
двю1ша
нужно
преж1~яя
уч1!тыыiтt.
(2,97; 1). Теперь, с1ашдывгя
входят в (А), мы по.~учим:
(рнс.
з1т1<
2,97
и
92).
(Л)
Теперь,
корней.
1
Начнём
nодбирая пары,
опять
с
нары
с теми зшшами, с каким11 они
+2,97-1=+1,97,
т. е. миоrо больше, чем нам 11уж110.
по.1учим паеу (2; 1,485) с суммой:
Пойдём
налево.
При х=2
-J-2-1,485=+0,515
все еще r.нioro; дальше для пары (1,50; J ,98):
+1,50-1,98=-0,48,
И, наконец, для
(1,10; 2,70):
+ 1,10-2,70=-1,50.
Таким образом, для х 1 мы находим значение:
X 1 =l,IO,
(В)
·!.!О
ш
'
-0,48
1,50
'
·- ;
1,sa
.
-~-
'
'
+О,515
2,0
!'
'-·
+1,97
~
!,00
ZJП
·'
@
Ри.: .
92.
104
ВТОРОР'! КОНЦЕНТР
Каково же теперь х/
Ответ на это нам даёт опять шкала С. Там мы читаем против
х 1 =1,10 .число
Значит:
2,70.
2 70
'
2,97
=IТО·
Но теперь (в отличие от примера 1) слагаемые в (В) разных знаков,
и потому, беря х 2 =2,70, мы цели не достигнем ( +2,70-1, 10=
зато, взяв х 2 =-2,70, получим как раз то, что нужно:
+1,60),
(-2,70) - ( -;: ;~) = - 1,60.
Итак, х 1 =1,10; х 2 =-2,70.
Разумеется, мы могли бы отыскать х 2 и без этих соображений
путём поисков в область отрицательных значений х и таки х же проб,
как раньше (нетрудно убедиться, что другого корня среди положитель
ных х быть не может).
Итак, мы видим, что весь процесс решения сводится к подыскива
нию корня путём проб. Вначале кажется, что эти пробы i'ребуют так
много времени и внимания, что проще решать уравнения по обыкно
венным правилам, известным из алге бры; однако это не так,- уже
после небольшой пр актики вы увидите, что решение на линейке дело очень простое, и почти моментально будете находить искомый
корень. Нижеследующие соображения вам в этом помогут.
Отыскание интервала. в котором за1<лючён корень урапнениS1
§ 47.
помощи
Для того чтобы быстро решить квадратное уравнение при
линейки,
нужно
знать
п р И м е р н у ю
в е л и ч и н у
корня (вапример - равен ли он нескольким десяткам или несколь
ким сотым, или нескольким единицам) . А так как по rщду уравненuя
составить себе представление о величине его корней не так легко,
то
прежде
всего
мы
будем
искать
промежуток,
в
котором
корень
заключается.
Мы уже знаем (из самого начала этой книжки, стр. 12), что шкала
линейки может изображать любой из промежутков : от 1 до 10,
ОТ 10 ДО 100, ОТ 100 ДО 1000 И т. д.; ОТ 0,1 ДО 1, ОТ 0,01 ДО 0,1, ОТ 0,001
ДО 0,01 И Т. Д.
Определить, в каких из этих промежутков находятся искомые
корни, и является нашей первой зада чей.
Пусть наше уравнение уже приведено к нормальном.у виду, и мы
установили перевёрнутый движок так, как нужно, т. е. так, что его
D
начало (или конец) приходится против
числа
q
на шкале
D.
Иссле
дование промежутков мы для удобства начнём с того из них, в кото
рый попадаtт число
q.
Если, например,
жуток, изображаемый шкалой
(так как О,01<0,045<0,1).
D.
q=0,045.,
то, очевидно, проме·
будет простираться от
0,01 до O,J
r
,
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
Каким
876.
промежуткам будет
!С5
соответствовать шкала
D
при
q= 0,69; . 0,00105; 4; . 10,5; 3,06?
Ilpи _ исследовании вопроса - о том, имеется ли в этом промежутке
корень
д в е
уравнения
ч а ст и:
приходится
допустим,
или
нет,
нам
придётся
!) от начала до числа q и
делать
мы
2)
разбить
промежуток
от числа
q до
на
конuа. Это
вот почему:
установили
н а
ч ал о перевёрнутого
движка
проТI!В
числа q (движок
вы
двинут влево). Тогда мы можем
искать корень только
от
числа
q,
промежутка,
от
q
т.
· е.
в
Черт.
налево
той
которая
93
части
простирается
от
начала его до
q.
Направо
поисков производить мы не можем, потому что та м нет д !;\и ж к а
(и нужной нам
перевёрну
той шкалы С) (черт. 93).
Чтобы получить возмож
q
ность
10
Черт.
искать
корень
на
право от q, нам придётся
переброситьдвижок на пра
94
вую сторону, установив его
к он е
u
против
числа
(черт.
q
94).
Итак, проведём исследование для левой части шкалы D, взяв для
простоты кою<ретны й пример: уравнение
х 2 -12,65х+О,63=0, или
о
63
(в нормальном виде) х+-'-= 12,65. В этом случае
q=0,63; значит,
левая часть· ш1<алы D будет содержать числа от 0,1 до 0,63. Может ли
х
быть в этом промежутке корень? Если бы он там был, то это зна чило
бы, что для какого-то числа х из этого промежутка мы получили бы:
о 63
х+ 7
= 12,65, а это невозможно. На правом конце промежутка
•
(при х=О ,63) мы получаем
(черт.
95, 1):
0,63
0,63+053=0,63+1,0=1,63.
На левом конце (при х=О,1):
О, 1 +6,30=6,40.
Если же мы возьмём несколько значений х в н у т р и промежутка,
то
увидим,
что
соответствующие
будут заключены между
в
этом
промежутке
1,63
корня
и
им
6,40.
величины
выражения
о
63
х+-·
х
Но это как раз и значит, что
нет.
Мы видим, что можно судить о наличии корня внутри проме
жутка по тем значениям х, которые стоят на его концах. Это и яв
ляется сущностью н.ашегQ способа Qmы.скания промежутка, содер:)!Сащего
к.ощт.ь.
ВТОРОЙ КОНЦЕНТР
106
ИтЭ!f,
иски
в про:ыежутке
в другие
(0,1; 0,63)
промежутки .
То
корня нет. Перенесем 11ащи по
же
самое
nо.поженне движка даёт
нам возможность исследовать промежутки (0,01; 0,063), (0,001; О,ООGЗ,1,
(1; 6,3) , (10; 63) и т. д. Обрат.мен к промежутку (0,01 ; '\J,063)
(рис . 05, 11).
Правый
величину
од
конец это го 11 ромежутка
10,Оf?З;
'3 - --
в левом
-
;~
1
дает щш выражения х+х
(при х=О,01) ыы nолу ч ае:.t
tO
SJ.[l
63,0 1.
Этн
----•00
аг<-1-1-,~
:1 J
,~
ci.1----•б.J
··~:§~о.о"
! 6.401----1.63
63.01 -~ff,Jj~]- 10.08 .
Pitc, 95•
.1!13<1 чии.а позво.r1яют · nред110.1ожип, что в рассма·rривае:.10:-1 nроС11е
жутке
ю1еетс:J
корень.
в Ci:IMOM де~~е:
10,063
< 12,65 < 63,01,
и для какого-то промежуточного х можно получать:
х+~= 12,65.
Действительно, для х
= 0,05
мы находи11:
0,05+ 12,60= 12,65.
Итан, х 1 =0,05. Ясно, что в горой корень х, = 12,6; од11ако д..1я
.1учшеrо .усвое11ия
систе:-.1ы
поисков буде:'tl считd·rь, что он нам не-
:~:~:е~~м~'J:;,~'::иж:Я и~t~:че:И~~н;< ъ:оr~5fс~~~в:,т~т~~т с~~и~~с;:;
как уже для х=О,01 мы получили:
0,01 +63,00=63,01;
для меньших х будут по.1учатuся числа еще б6J~ьшне. Значит, ну:ншо
идти в сторону
возрастания х.
177. Проведите иссле;:юеание для промежутков {1; 6,3) и (IOj 63).
В какоы из них может быть коре11ь?
РЕШЕ/iИ Е УРАВНЕНИЙ
107
Все эти исследования были сдеJJаны при одной устаtюRке движr!а
(такой, каn: на рис. 93). Однако иногда может потрсбоватhся и иссле
дова ние с л ере броской движюз в такое положение, ка~' на
р11С.
94.
178.
879.
Исследуйте промежутки (0,063; О, 1), (6,3; JO).
ИссJ1едуйте ттро:v~ежуток (O ,fJ З; J ,О). Л1оже)J .ТJи
на осно
1111,r
вании исследования значений на 1юнuах этого про"1ежутка
;;~акл ючение об отсутствии Ш'Ш на:rичии в нём кор~1я?
Промежуток такого сорти, "а1<
(0,63; J ,О)
в задаче
179,
сделать
яв.ТJиетс я
ис"лючнтельным промежутком.
Таких про;>.1ежутков для каждог о
ураннения может быть то.rтько два (а )Южет и не быть вовсе). Про
межутки эти (по концам которых нельзя
судить о
на.1 rич1ш
шп1 оr
сутст1:1ии внутри них корней) :.ш будеi\1 называть кр и т н ч с с 1< им и.
Дли того чтобы исс.rтедовать крити<1еский про~1ежуток, на~1 придётса
не
ограннчшшться конщ1.:\-ш, а нос:-.ютреть, что делается внутр и не1·0"-
11ерепробова ть песко:1ыю значеннй х.
Признак 1\ритическоrо 11ромежутка для квадратного у11авнения
Промежутон является 1iрuтuческ11ы тогда, и только тоzда1
когда он содержит 1mсло
Примечание
ческою
Если
1.
проме:жутка
Примечание
ll.
VQ.
q-отрицательное
вовсе
Если
q-положительно,
промежутков-два (соответственно
содер:Jl:Са.ть
J1t0Jfcem
то щюп111~
то критических
+ vq и -11q),
но
корю~
J!Шllb од11н из них (какой, - ясно по знаку
Имея этот ттризнщ "ритичеою1.·о проi\1сжутка,
жем отыскинать
число,
нет.
про~1ежут к и,
содержащие
корни
).fbl
r).
без труда смо
данного
уравненют,
11ри~1сняя такие же пр11ём ы, как в О!lИСанном выше случае.
Правмло отыскан11я промежутка, содержащего кuрень
Для
moz,o
чпюбы узнать, содержит данный про.межу ток карень
11ли нет, следует,
к ритu чес кий,
в том
слу1юе,
если этот промежуток не-
вычислtт1ь величину выражения
S=x+f
в
левом и право"~ кщще промежутка. Если одно из эmих двух чисел
S.и~ и S.,_P 11 ~ меньше, а друz,ое
болыие
r
(правой част11 уравнения
х+;-.=г), пю промежуток содержит корень; есл1~ оба чи
сла, и S.щ и Snpa,,, одновременно .меньше или больше r, то корня
в
нi! At
нет.
нияc~:a~o~%л:C;:1:i7:lc~i~~1;fn~:nк~:.~:aк:~~;1ч ~ ~;'~~~~ ;~~~,:~~:1~
11
ВТОРОЙ КОНЦЕНТР
108
значениях х внутри промежутка, и этим nyml!лi оты.скать ко
рень или убедиться 6
ezo
Примеч ан ие. При
отсутствии.
веАичина
x=VQ
S
достиwет
своеzо
наu.6одьшего zыи наиыеньтего значения.
Доказателы:1110 11оложе11иll, высказан11ых 1:1зтомправилс, 1 1 е tосннмяет 1111какого
труда. Рвссматр~ша11 леuую часть ура11 11ення х+f -г=О ~;ак фу11ю111ю х, мr.i
11аi1одш1, ч10 ощ1 Ймест "м<снмум н.лн Аtн11н)lум nрн х= Vii. rа к как дпя /(х)=
=х+~-rН)!ССм/'(;к,)= 1-~i· Отсюда 11мее"' крнтнчес1.ос !на•1е1111ех=У1·
l ij
Ш2
Рис.
96.
Но то гда во всех nромежуткаJ1, нс содержащ1tJ1:
Jrq («не
критических~),
1 ютоюю возрвс т вет или }'бь~наст, отну.11.а и слсд)'СТ правноо
Пр им ер. Решить ур<1внс11ие х
1
+ 37 ,006х -
1).
f(x)
мо-
1,292 =О.
Приводя уравнен11е к нормальному ниду, 11олу•шем:
.х~ ·~=-37,9бG.
1
В этом случве естественно поставнть лротнв 1,292 к он е ц дuюю<а,
выдвинув его вправо (рис. 96) (11алево остгЬсн очен ь мме11ы<11й
кусочек шкалы D). Начинаем исследоRВние. Прежде всего находим
критичесниi1 промежуток. Имеем
VQ =
ки, которые могут бhlть 11сследош1.ны
1,137. Зна11ит, все промежут
nри такой
установке, кщс
на
рис. 96-некритические.
Начинаем t щюмежутщ1
(1,292; IO). Зна•1еt1ияS: +О,292
и
+9,8708.
Нужно идт11 в сторону уменьшения х, притш1 дово;1ыю далеко. Бе
рем про межуток (О,01292; 0,1), проп}'Сю.1я (0,1292; 1,0).
Получаем:
s.ш:::;
та к
-99,9;
sпрм :::::-
-12,82;
как
')Следует отметить еще, что х=О !точка разрывJ /(х)! нс 11О11адае1 1ш
один из 11ромежуrков 1 которыf! ноже1' бы1Ь рассматрнваех HJ ;швейке,
n
PГ:IIIEl!11E )';'РА Ш t f3НИЙ
109
т о н э1:ом промежутке сеть 1<орс111". Путем подбора 11аходю1:
Х 1 = 0,034.
Абсо.11ютнап Rелич1ша второ1 ·0
корня
стоит
на шюще
xJ:
С nроти1З
1х,1= 38,000.
Сообра з:.1п. , канон з11ак второго корня, 11етрудно. Окон4атслыю:
х,
От нет:
Х,
=-
=0,034;
38,000.
Xi=-38,000.
• Заметим, l/tno при вм1mслен11и значений S ffe нужно подсlfи
тывтпь их точно. Достаточно самого приблиз11тельноzо 11одс чi!1110;
1юэтому отыска1ш.е иро.меJ1сутка с корнеи-dело Оl/ень простое,
11 tюсле небольшой пратпики вы буд ете делать ати 1юи с ки оченfJ
ле~ко и быстро.
8 Длн вычи сления зна11ений S нам приходится rюдс читывать
величину дроби-%; нужно rюмнить, что велu1тны эптх дробей
ст оят у нас на nepeвi!pнymotl шкале С, причем tюрндоf( их л е~ко
определить, и сход п из зна•tений х, "оторы.е ftIЬl берём на mкале
В частноспш, пр11
x =q
на щхале С оказывается
D.
едштца; при
10
x= q н.atuкплe C-дecнmfJ;ЩJllX = IOt/ на шкале С - нулtJ целых
одпа десятая и т. д.
•
OчeutJ бодtJи~ая оыwда 11редварительноzо определении проме·
жутка, содержащею корень, заключается в том, что 11ри этой
системе отпадает необходимость определения n оря дк а кори я;
это делается автоыат11чески. Между теы, порядок корня обычно камень претюювени н. для начинающ его вычислителя.
Отыска11не корня
§ 48.
Когда лромежуток, аак.1ючающий
никает ооорос о нахо ждtн ии
самоl'О
корень,
ко рня.
дл n этой u щ:рации 1 1сл1.зя, да и бо.~ьшоii
Дать
н ужды
опредсл ~ н.
удобные
в
ЭТО\!
воз·
нра~:шла
нет.
Уже
n результdте са~юn 11сбо.'!Ь1 1 юй щхштики выр абатыnаютсн l:f этr~м
деле чуть(; и умен ьt JIOLJTИ J'.ЮМента.~ ь но «С Х13йТИ'ГЬ>J 1<0рень. 11оэто.\lу
сдинстнс:шю, что u дЗННО)! слу•те мож!I О восонетовать,- это побольше
11ракт ш:оват ь ся . ll11ачале придl~т:::я делать дО R<мьно много п роб та1юrо
рода, кеш
n
сокращатьсн
11ри11н:рах
!
и
2 § 46;
затем •тсдо проб будет rюстепсшю
и от r.1скание корня сдеJJае1ся
поч.ти
ая1·оматн•1ес1сим .
ДJНI то го чтобы леr<1с этому научит1,ся, 0 1 1снь 1ю.:11::зпо
себя прос:1сживать не;шч.ину сум:.щ
всей шкалы . Этот nриём,
•1еских
11 ро:11ежут1<ах,
1<0торый ттриходится
очепь
11риуч11т ь
x+-f. персд1шгая бе1·уно1< вдо.%
по!\югает
на~<
11ри)f~нят1,
у}!с11е11ию
рtшения, так и иС СJ1едовашно отдс.1ы1ых уран11е1111 й.
n
крити~
общеi!.
схе.\Jы
ВТОРОЙ KOHUE! 11 ·р
JJO
180.
1)
2)
3}
4)
5) х
1
•
+
Реш!iть уравнения:
х'-9,бlх+ В,34=0;
х=- J,62x 3,41 =0;
x'+ J,73x- 2,IБ=О;
х'+в,вох+ 15,52=0;
О,01525х-О,0000546=0;
6)
о,017х'+2,sзх+
85,7 =0;
5,0x'-5,lx !100,4=0;
'!)
В)
7,2x:-~7,lx
х +о,овх
9)
10)
13~,6=0~
9,24 =0,
.x•-6.x-J,562=0.
Для провеµки ретения удобнее всеzо
rшльзоваться uзsecm~
ныии cвoiicr111;a.11u корней уравнения
а
именно:
X 1X 1 =q,
х,+х.=-р.
S81.
решении
Если вы ещ~
квадратных
не чувств уете достаточной уверенности при
уравнений
nри
1101~,ющи
Jrnнсйки,
»Зять алгебраический задачник и 11срерс1ш:ть оттуда
то
полеi:!нО
сто.~ько задач,
с1<одько потребуется для приобретения 1~авыка.
882. Возьмите каr<0е-н11будь уравнение, не имеющее деi\ствите.'!Ь11ых корнеii, нtшример х•+ l,8x+ 1,2=0, н пос~ютрите , юш '$'ГО об
стоятельство скаэ~.rвается на результате тех
выполИ11ем обычно при рt::шении на линейке.
оnераци~. которые ш•
Н}б1tческис )'ра uне tшя:
§ 49.
Если вы научилнсь решать квадратные урав11е11ия, то реше
ние нубических никаких трудностеЛ уже не представит; на ;mнt:йке
щю выполняется 1'ОЧН~ таt<им же способом, как и решение квадрат
ных. Для простоты мы начнём не с u о J1 но r о нубичес1щго уранне~
11mia.x•+ьx•+cx+d=O, асболее11ростоговида:
x•+px+q=O.
Ypani1eш1e х•+рх+ч=й
Если ·раэдеJiliть ура1шею~е
x'+px+q=O
па х и перенести свободный
нvр~1аль1-1L,JЙ
член в
вид кубического
правую
часть, то онn примет
уравнения:
РЕШЕ;:НИЕ УРЛВНЕНИЙ
111
Если мы подобра:ш 1'акое число х, ч1'о су~~ма х 1 и
на
r,
то это число и сеть кореН1. уравнения. Са:t!ый
-f будет рав·
подбор осуще
ств..Ъlется точно так же, как и д.~я квадратного уравнения при помощи
переОСрнутого движка, с ·~-оИ раэниаей, что теперь
?
дывать число х~, стоящее на шкаJ1е А, и
мы
(на
будем
скла-
перевёрнутой
~·--·
q;--:==~:)
1~
м~тдШ;:,;,;;,,-
;;/
;; ;;
,
11
r
Рис.
97.
ш1<але С); оба они стоят против х на пшале
D (рис. 97). Разумеется,
при сложении необходимо учитывать и nорядt\И
и
знаки С.'Jаrаемых.
Все сказанное при ~шении кшщратных уравнений об отысюнши
промежутков,
содержащих
корень,
остаётси
в
пол11ой
силе,
кроме нризнака критического про;ш;жутка, который зю1е~1яется таю1111:
l"lризнак критичсскоrо nромежутка к:убиqескоrо :урапнсния
Промежуnю!С нвляетсл кр1тшческиц тогда, и mолько тогда,
когда он содержит 1шсло
J!1.
Примеч:ание. Для каждоzо уравнения .x'+p.x+q=O име~
ется один кр11тичеС1сuй щюме:жутuк; при иззлеrtенuи корня из
числа {нужно, нонецно, иАrr1mь _в виду знак q.
До1tазатсльство. Функции f(x)=x=+;.-r лост11rае~r свое1·0 щкс1~-
v+, так К3К
му11а iolll:И МННИМума ПJJ!t х=
2-х--;.=о даёт 2x'=q 11 х=
В
соответствии
с этим
f'(x)=2x-f.
И ypaiНICILHO::
Vf·
новым
признаком
критического
проме·
жутка изменяется и uриме'lапие к «Пранилу отыскании про,1,1еЖ.'r'ТJ{а,
содержаще 1'0 корень» (стр. 107); оно знменяетсн таким:
Выражение S=.x1
1наименынего
1
+-f достиzае'!!__ своего
V f.
зна•tения при .х =
наибольщеюиJШ
ВТОРUЙ КОНЦЕНТР
112
Разобраться во всём этоы будет легче на конкретном нри мс ре.
Л ри мс р. Реши ·rь уравнение ..t~ - 6,68х+ 2,97 = 0.
Р ~ ш е 11 и е .
Пр111:юдн уравнение " 1юрмш1ьному виду, получаем:
x 1 +~=6,G6.
Устанавл1таем
перею€рпуt· ыii
дтшжок
протиn
2,97
на
1111<а"1е
D
(рис. 98) ~t на•1шн:1ем 11сс1едоnd11ие нромежуткон.
Прежде все1·0 опрсделяt:м 1<ритнчес1шfi промежуток
q =2.u1;
V1=
1. 14.
Значит, критнчсс~<иii промежуток 1щi.:т от
очередь
МЬI
и
исс.1сдуем.
ВЬIЧНС-1\Ш
! до 2,97; его в первую
ЗIHIЧCIJllJL
1ю1:1щ1х :;;тоrо промежутка, м 1~ находим s"н =З,97
Но тю<
н11утри
S=x 1
+f
на
S"P",=9,l:S2.
ка1< промежуток критический, то Аычисю1,\1 ещё несколько S
него, чтобы вернее nрос.~сднть его веJ~и•ш11у. При х = 1,35
11
1~о.11у•шем:
х 1 = 1,82; ~=2,20;
S= 1,82+2,20= 4,02.
Пpii х =2, 02 S=5,55. Нанонеu, при х=2,32 11аходю1
Зн :.1чит, х=2,32 118/IЯL"ТСЯ корне.:11 ураr111енин:
S=6,66.
Х 1 = 2,32.
Сей.час мы исследопа.т1 лро~1ежуто1< (1; 2,97); оченr. удобно теперь
1
же 11сследовать соответствуюший отр11щ~тс.1 ы1ыii промежуток ), т. е.
промежуток (-1; -2,U7).
На лесом конuс лО,'Jучаем (при х
1,0):
= -
s.щ= 1,00-2,т
11а правом {при .х
= -
= - 1,97;
2 ,97):
s ,.,=8,B2-1,00=7.s2.
-1,97<0,66<7,82 и промежутоr'
0
Так кан:
некритический,
то
н нёы есть 1юрень.
nucлe 11еско.пьних проб находи:.t его:
х 1 =-'2,78.
Переходим к даJ1ьнейшим noиcr<ar.1.
~южно иссл~;:довать щ.юмежуток (О,!;
'J lloтo.11y чrо а6со.1ют11ыс пе.111•ш11ы х! 11
::;
В том же положении движка
0,297).
f
Ощ~а1ю ~то исследование:
11с .-.~ет1ютсн,
ilYЖHO ·10,1~~0 вычесть -~ ll~ х• \llMCCJU CllOЖC!lllИ).
11 AJ1!I
110.1у•1е11ня
3,97
4,02
-
~:
2,02
i"
i
""
~
~
~
EI')
'j
4,081
1,47
5,55
5,381 .
1,28
~
8,82!
1,00'
9,82
BTOPOI;i KOHUEHTP
114
показывает, что корней в
нём нет (черт. 99,I); Sлев=29,71;
S рав = 10,09. Аналогичный отрицательный промежуток также не
с~держит корней (Sлев=-29,69; Sправ=-9,91). Итти дальше влево
ни для положитеJ!ьных, ни для отрицательных значений х смысла
нет. Перебрасываем движок в другое положение (выдвигая направо)
1 29,71
10,09
""~
~ ~
о
~
С>
9
~J ч
~
i
=t
0.297
QI
Jl
Черт .
и смотрим, что получается здесь.
мы вычисляли
S
99
В проделанном . уже исследовании
при
x=l ,0 [Sлев для промежутка (1; 2,97)] и при
(0,1; 2:97)]. Получен~1е нами значения были:
х=О,297 [Sправ для
3,97
и
10,09.
Так как одно из них меньше 6,66, а другое больше, то мы - уве
ренно можем искать корень в промежутке (0,297; 1,0) (черт. 99, 11) .
Таким образом, получаем третий корень:
х 3 =0,4'б11 .
Ответ: х 1 =2,32; х 2 =-2,78; х 3 =0,461
Для проверки решения вычислим сумму всех корней. В резуль
тате должен получиться нуль 1) .
Действительно:
2,32+ 0,46- 2,78=0.
+
§ 50. Мы видим, что решение уравнений вида х 3 рх + ·q= О
нисколько не труд!fее решения квадратных уравнений. Требуется
только немного больше работы, таr< как приходится искать три
корня, притом каждый в отдельности (не так, как в квадратном урав
нении, где, найдя один корень на шкале
на шкале С), но это не существенно.
+ +
+ +
D,
получаем сразу и второй
') Так ка!( (х 1
х2
х 3 ) равно коэффициенту при х 2 , взятому с обратным зна
ком. В уравнении х 3
рх
q = О этот коэффициент равен нулю.
l
РЕШЕНИЕ УР АВНЕНИУI
115
Вот ещё несколько замечаний, которые помогут нам в этом деле.
8
Если мы нашли два корня кубического уравнения х3
тQ тр~тий .мы можем найти из соотношелий:
+q= O,
+ рх +
"
или
т.
е.
взять
или
Формулы эти иногда дают корень с меньшей то~тйстью, чем при
получении его обычным· процессо.м, но для определения приблизитель
ной величины корня во всяком случае полезны. Они же мQгут служить
для проверки решения.
8 В уравнении
x 3 +px+q=O
могут быть или
три действитель
ных корня (равных или неравных) или один действительный и два ком
плексных. Если нуж-Но найти все три корня в последнем случае, то, найдя
+ +
действиiпельный корень уравнения х1 , д'елим х3
рх
q =О на х - х1 ;
из получающегося в результате деления кsадраrтщго уравнения нахо
дим по формуле · комплексные корни.
8 В частном случае, когда р=О, мы, решая описанным приёмом
у равнение
находим
x3 +q=O,
v q.-
Этим способом можно отыскивать
кубически~корна на тех линейках, на которых нет шкалыК(ср.стр.
44).
\
183. Найти действительные
1) x3 - 3,92x+6,R)5=0;
2) 3 - l,05x-3,75=Q;
3) х3 2х +
1=О;
4) х3 +2,72х+ 1,55=0;
x
корни
уравнений:
5) х3+ 1,03 х-10,3 =0;
6) х3 -О,32 х+ 0,015=0;
7) х3 + О,256х - 1,455 =О;
8) х3 + 12,5 х+ 2,61 =0.
+ сх + d =О
уравнение ах3 + Ьх2 + сх + d=O
Уравнение ах•+ Ьх2
§ 51. Полное кубическое
водится к форме х3+ px+q=O так:
при-
·
1) Делением на а его преобразуют в следуК?щее:
.
~3 +Ах 2 +Вх+С=0 (А=~; В=:; С=:)~
А
·
.
1
2) Обозначают х + 3 через ·z и отыскивают СJiачала z. После этого
находят х=г-
А
3
в•
.
IЗТОРQЙ KOJЩr:HTP
116
Чтобы
наilти
x=z- 3А
п
z,
поступают
так:
есди
rюдставить
ыыражение
ур<1011ен11е
х'+Ах'+вх+С=О,
то полу•11пся ураu нс11ие мн 0 11редсления
рассмотреннто вида:
В
ca}IOJ.t
z,
прич~м оно будет у:же
z'+pz+q=O.
де .1е:
Раскрыва11 скоб1t11 н дсла11_11р1шсдс 1111с 1 юдоGш~х ч.1с1ю1<, 11 (муч асм:
.i: 1 -Az' +
А"
Л'
2
А'
АВ
3 z- 27 +Az"- 3 A"z+g+Bz- 3 +c=O,
А') ::+ ('
::•+ ( В-3
:дА'2•+pz+q=O
( р=в-
А' ;
АВ
) =О,
т+с
2А'АВ)
q=zr3 +c .
3
Вычист1ть ко::~фф~цие1!1'ьt р и q удобнее всего так:
Коэ4r.f>ицие11т1.~ уращ1с 1 11ш х'+Ах~+вх+с ~ о нишутсл в одну
стро•JКу:
в,
''•
л,
р
Схема
Затем,
1.
h_::, - ~ умножается на первый коэффиuиевт
( = 1)
и под·
письшаетси -под nтopЬL'd 1щэффюще11том (А); А и lt· 1 складываются,
по.,учается чис.по А 1 • Это чис:ю А 1 Уr.(Нf•жас1·ся 11а h 11 подпись~·
взется под третьим коэффициентом
{8);
В и
hA 1
склады1:1аются, по
•1учается В,. Умножая В 1 на h и складыыя произведение с С, полу~
Затем 1·а1шл. же операция проделываетсн. с чис;1ами
•iaI01' q.
1, А" В"
и nоJ1у•шется nоэффищ1ент р.
при од 11 ой
Все умноженин делаются
установке д1шжr(а (движок станится 1щ
h).
11а линейке
РЕШЕНИЕ УРАВl-!ЕllИ Й
117
Вычислен ие расnолгrается так, как на схеме
1.
Чтобы леГ'tе за
пом1шт1, пор ядок RЫЧИСJ1ен11я, рассмотрите еще схему
д
Схе ма
184.
2.
с
8
2.
Докажите, •по при тако:.f вычислении
q = %f-~+c.
p=B-f;
Пр им ер
l. Преобразовать урав11ение
1
З,lx - I0,7x +7,5x - 12,3 = 0 н виду: z'+pz+q=O.
Решение. Дсли:.1 урав11 е ние на З, 1. Получаем:
х• -З,45х'
2,42.х-З,97 =0.
1
+
А=-3,45; h=-~=J,15; x=z+h=z+i,15.
IЗыч.исляе:'d по
cxer.1e:
h=1,15
'-~:1g~~:~E:~:~~
1
h=l,15
2,30-0,23-4,23
l,J5 - l,S2 -
1-1,1 5 - ~
Итак, р = -1,55;
q=-4.23 .
.У ра в нение переходит в та кое :
z1 -J,55z-4,23=0; x=z+l, 15.
Ответ:
ГТрнмер
z"- l,55z-4,23 = 0; x = z + 1,15.
2.
Решить у ра впе1ще х '+ 4,ВОх 1 + J,02х-З,59 = 0.
Решение. 1) h=-~=-1,60; x=z+h=z- J,60.
2)
1±1:~~1:~~+~:~
1 +з.:.Ю- 4 ,r О.r.2,91
-
1,110 -2.Г~б
1 + 1 ,ьо-~
-
ВТОРОЙ КОНЦЕНТР
118
Итак, уравнетtе переходит в тшюе:
+ 2,97§ 49,
=О.
z' -6,66z
Но
ero мы уже решили (см. приr-1е1> в
Имеем:
стр.
112).
z, =2,32,
z,=0,461,
z,=-2,78.
Значит :
x,=z,±h=
2,32 -1,60=
~:~~;+Z~-~:i~
Ответ: х 1 =0,72;
0,72,
=~:~8 ==~:1~~·
1
х, = -1,139;
х,=-4,38.
Лроверн:.1 наше рсшен11е. Д.'lи :tто1·0 достаточно подставить в задан .
вое
110
уравнение шtiiдс1шыА коре11ь. Эtу rюдстанш~ку можно делать
схеме 1. Есю1 мы возьмём B:'decтu 11 наnденныii 1<0рень и проде·
лаем те же онсршщи, которые нужно вы11олнить, чтобы ПОJJучит1,
то в
случае
пр.1ви.лыюrо
рещении
Во1· проверка д:1я корня
у
нас
д<мжен
+i:~~t~:~+~:~
h=+0,72
+ 5,52 + 4,99
~
3на<1ит, 1юреиь на1'1дсн верно.
185.
Решить ура1шеюш :
l)
х• - ~.йх'
2) O,G85x' Э} 2,26х'
4) 1,21х'
G)
6)
О,17х'
6,20х!
+- 7,0txt
+ 7,20xt
-
3,lx + 10,0
+ 14,0rix
i,f'){)
4,St1
+
- 8,54
-
8,825х7,20х
4,85х' -18,34х'
+~s.nx
=0;
::_Q,
=0;
=0;
1,575 = 0;
-17,46 =О.
О,531х'- О ,512х+
q,
получиться нуль.
0,72:
XJX. ПРЕ О БРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ
В ПОЛЯРНЫЕ 11 ОБРАТНО
§ 52.
к о6раТ11О
Вы•111 сле н11е 110.1вр11ых коорд1111ат точки
-
де1(артовых
по
1юд11р11ы11
-
110
е~ декартовы~~ коордJtннм,1
11с1реч астси
11а npaкnrкc
8eCb}ta
ч;~~
10.
1!o-п0Ji1y
щмез 11 0 р1е1ь 11сыьзо11атъся лннсnкоii ,11.:111 рсше111111 зт11х sадач.
Декарто~:ы коор;111на1ы (х, у) 1>ЩJ<~жаются череэ полярные (r, TJ nосредс 1·воы
формр:
x=rcos,,
y=rSID'f.
Быч11с.~енне х и у
no
зпн.~ itopмyщiu
ныnо.1н яетс11 с11особа1о111, )'Казанным 11 в§
шшакн,;
38.
Опредетпь
в
перnом
случае
c:os ""
а.
тру.п1юстсА не nредстав.111еt н
Единственное ватрул11еш1е, с K()IЩJl~u
~д;~~юи~~~.в = 9:j~"~~д~пс11 с1алкиватьс11,- зто
1ю
1.ыч1~с:rе11110
втором
затр1)1П1~с~ь1~~·; лвu :т:~ ~л~чао~.~~к~~~а~,~ст~~~~~ ~~
x=L.
2f'fтри
'f,
Сi11 11Зком к 90°;;-сначала tтaliт11
11
с.1учае
с:..ч чао
r
sin 'f
9,
б.ы:1ке;rо
на лине11кс
sln 'i"
~;ircи ш1рс:~е.11пь
x =rcosq>,
а:~теи оnрез.е111нь
у =х tg 'f=xctg(90° - 'f)=tg(90" _<у>).
По1нрные
коорд1ша1ы
выражаютск
•Jсрез д~карrоны мен ее удо6ным11 фор
.~ула~ш:
'=arcti;:*,
r=V~.
Что к асается ncpвoll из 1111х (д.•я J1ыч11с.11е11нА
(!ы,1и уже р;~зобра11 ы в
§ 37, 11
,), 10
11.ыч11с.1еш111 такого
BЬl 'I ИCЛllCtC ll
ro
прежде
у год
a=arctg f;
')
Предnо.'1.!lrается, что
рпда
здесь можно сделать :олько нсско.1 1,ко зa1ite•1J:шi1
ДЛi1 t~~~~':~м~~:~~eJ;~i.ч11ce.1 lx\ и \у\, а q - бот.шее,
cos111
siл'f 11р1111сАе11ы к первой четверти.
ecc:ro
~поРОй конш:кт~.>
12()
Ко1·да 11аliден
yru.1
0:, то у 1·ол
2-я
9
опредслнетс.я ло нему тшс
'~~~>IYI·
J-яче·r вср rь:
9=НЮ. -«
'f'= l80°+a
/f=;{tilJ 0 -a
ЬJ 1~};ij,I Y_!:,
9
0
:t
3-•
4_,
'f'<=9U"
+:ii
'f'=270~-a
1'=270°+а
1
П1ю11еr111т1, эти формулы .~e!'l(O, учтн знаки 11 абсотuтные 11е11 11•1 1111ы х и J.'.
д.•А UЫ'IHCJ1c_i1нw r 1 1р11ходн1с~ 11/ШMi' !tnт i. форму11у, 11еудо611 ую тем, чru в нс\!
р
BXOДllT с.,ожещ1 с. 61.о1ч1к.,еннс
11ш1 с.rюс.о6?м, ук~занным в §
r MOЖllO Bbll l(MHЯTI•
53, нли нри поиощн
т;~ко&.1~р;е:~ 11:11еюr те же з11..:чс1111я, что и выше,
то, 0•1е1ш;щu(ра,·.
--_ q
р11 с., НЮ.
8 -
1()0):
r=ч+гtg-i"
i1
(Так и~к трс тол1>ш1к Of'A - рав1ю•Jсдрс1шы11,
/1
то, оr1уст1111
ilJ'IH}I
11:-1
О нhlС(Л}' на стороау РА, иы
известно
а,
т11
r
110 оно\"i фор.нуле
tg.;.
об~.1 •1·
во w110ro меш,ще 1~ерво1"0 чле11 а; так как q >p, то tg]-<tg22°30'=(/,4J4,
Пркwе11. Вы•1нс1шт~. nо.1яр11ые коордш1пы точкl!- ( - 1,87; 5,G5),
Pcwcu нс. Х=-' J,87; у=5,65; p=l,87; q=5,bli; 2-н ч е 1ссрт 1.:
c:=arctg~=J8°J8',
'f=90°+JH0 J8'=J08:18'
i=9°9'
l
p tg f=0,3Ul:.!, q=f>,65
Ответ:
f =5,95 12; tp=
r=5,65+0,30l2=5,9v12
1 08~ 1 8'.
181.
Вычнс1111 ть декар10вы коордк наты точе":
181.
ВычНСJ!ИТЬ полярные коордюыты то11ек:
188.
Лрсобразовать к виду пf? комт:сксныс чнсла:
;~~~
X=i,:'!2
Jl='J,97
110-
тр е}'Гол1;11111.:, лодо611 1>1й РВА.)
Когд а
нахо:u~тся точнее н щюще, чeJoi 1ю о6ь~ч1ю" ~юрмупе с 1<ор11 см. Ч11ек
I~9~
f~зо·
1,3[6
94~20·
-lfi,:~
-5,72
2,38
::11,5 - 0,31 - 1,69
- 0+1i; -J,7+3,6i; -0,9-1,бi; -0,03 - 0,61/,
l
1
ХХ . В ЫЧИСЛЕНИЕ НЕ Н ОТ ОРЫХ ВЫРАЖЕНИЙ ,
ПОЛУЧА ЕМ ЫХ ПРИ ПОМОЩИ СЛОЖЕНИ Я И ВЫЧ ИТАНИЯ
§ 53.
1'11 но 1· 11с ны1мжс 1шя, часто у 1 ютрс6.1нсмые в ·rс.1:11нче;,:.к11х раечtых, 1 кmу·
чзются 11ри
поиоЩ11
с., зже11ю1
11
в;~ч.1 1 анн11,
11 ащ11111ср;
l(orдa пр и ходн ·r с.11 вы•1иt1ыт~. иного одюJ аtюеых 11ырщ11~1111Н таtюrо ткща,
нож~зен особы ii пр11~111. Ш)З llUЛll:OШИii [lblf!O.lHll'rl> 111.:е BЫЧHC;tCllllИ JICЛl! "\OH, llKJII0•1a11
с.южс иие и 11ы'1111а 1111с, н а счёт1юй .1111 1 ciiкc.
Чтобы ле гче рае1u6рат ьс11 11 да.11ы1сдши1t 11 рниерах, рассмочщu с~1 ача.ы н ~:ю
с т сИшсе вы ра жса11с
3ro1'0
рода:
~
П риё ..:, у 11отреал11ю щнИс 11. ддя сложе11 и11 11 а сч~тиоlt л1111 с Ик е, за к.1 ю ч ае тс11
11 замене сложс111111 с ч 11с.1КJн Ь с.J1ожс 11 нси с с д и 11 и ц с И. Уста1ю11ка 11а .111 нcll11e
11 -JО6р11же 11;, 1 1 а р11с. 101.
Рис .
Гl рш11е111111 11 раn н.10
а
u
101.
проnораиях, 11м есJ;1, очс1ш..uю;
Ь
х
:с
а
п+1
-;;-+1
т =ь=-,,-; -,-=а ; х-=11
( /1и
+ J)
=Ь+а=а +ь.
Таки111 обраЗОJ.1, д.1я полученш1 'PIMЬI а+ь уста 1 1амавас•1 О,1.щ) с.1а1·ас•1ое 11<1
шкаJtе С про1 ио 1 111ка.1ы О:, 11ро1·н в 1поро10 c.1arae~o..o 11а шка.,с С ч11н1е11 npo"eжyтoчtihlti рсзу.'IЬТJ r на шка.чс D; до6 а в.1ие1<1 к 1ю'tty с д и 11 11 ц у 11 прот1111 110..1у~
чс н1~оrо чисда на шк:тс D 11ах1Jдш.1 оннrь на шк1ме С суwму.
ВТОРОЙ 1юнщ:нтР
122
IG9. 1\ак полу•1аеrс;~ разность?
190. Продсыrь деfiствю1: 2 3; 5
+
«!
+ 2;
2,~
Конечно. \'щJтреблять л1111ейку йлл
+ 6,5; 8 + 7; 5 -
2; 5,5 - 4,5.
простого сложеншr
6ессмысмнно.
но когда с.~оженае входит 11 качестве 11ромежvто,11юю действия в формуле
типа
Va 1 +bi,
это может ока;щться 11ы2одн~.;.п.
Уа'±Ь'
При
.1 ады ват ь к 1! ад р ат ы.
сохраняется с з;а1е1101! u11>з
вы•rис:1енни такого выражения прю:однтс11 с к
Поэтому схемз с.1<.."'Женин, даннаи дл11 с.1учая
а+ь,
лы D, с..~ужнншсii д.1я nрш1ежуточ11ых резу.'!Ьтато1;1, шк а
.1 о А А (рис. 102).
i-'иc.JU2.
При 1ном окон'!ате.1ь11ый ре~ультат (Jfa"+b') во.1учаетс11 тан же, как н п
с.лучае щ:юстоll суммы: (а+ Ь), оп» т ь 11а шка.r1е С. Буква ~ на рш:. 102 обозна-
-
.
ч;ier 11ро:.1сжуточныи результат
( ") ,
Е=~
Пример. Быч11с,1ип, V1,25•+2•.
t,(2,56) ~ +1(3,56)
Рис.
11
1
103.
1
1
двоn~: 3 ~ к~л~'~ '1~~.~~ё ~ 2,W~ ~;a 1~1~а~~l~\~:~~а·~~ю~~:' ~"+1 ~э3µ;ч~~иш~=м~
!li:Йдl.!и ll~ ШKJJ!C с рС<!J'.1Ы'Э:r: }'I,25"+2"=2,36.
~~ ·?: 5- ,.~.5•1
1 :J
®
,..
r-
1,93
2,97
~
'
.;
'" '·
...
i
_Е, ., : ".1
-
НТ<Л-'ОЙ KOJ-lltEHTP
124
191, Вычис.шп, )/"3,46'+4,12', Jrб,95'
+ 1,161,
Y;j,l' -
'V2,47' +5,67',
yu92•+11 2•· у"212-162
'за ие'ч а ;1 и е. 'Нуж~ 'учитывать 11орядо1С е
11,
Цi 1 ,
если нужно, 11р11менять
переброску движка.
Вы1Jаже111ш нил:а У а~ можно в~;~чис.лить ещi! 11 други~1 способом с по
мощью тригонометрических шкал. Для этого надо вынут1> движок ив .ншсйки и вста
вить его обратной сторо11ой так, •побы u 11\ала тю11·енсов Т 011аза,ысь 11е11осредствен
но 11а д
1111(а.10И
1 1 роти~
6();1~,ше1·0
D.
Пос.1е
из
1но1·0 над1>
чисе.1
1 1!ктав11Тh
ан Ь на
конец
D,
шкале
111nал1.1
н бегунок
второго (мснынс1·0) iiз этих двух ч~кел, вз1!f! его также на шкале
щючссп, уго.1, от мсчснныi1 бсrушюм
на шкале
Т
и,
и с
Т (1ле
111ка.1с
D
11энтыlt
11;1
шк11.1е
с ину сов
S.
45°)
Затем сщщует
D.
сдвиг а я
передНИl l)'Тh ДllИЖОК так, 'IТOCibl к О.ИЗJJрной •1Иll\Щ IJО);ОШёл тот же с
но уже
стоит
установит~. против
11
м
6ег
Nй
у
у
11
r
к а,
о л,
ТогJ1<1 конец шкалы Т отметит на
искомый резущ,тат.
Этот способ ОС IЮ И<Ш на
113ВССТl\Ы Х
COOТllOНIC!IЩIX
м ежду сторОltаМИ и уrлаш1
1~~~~нь7оугuлыюм треу1·0.11>шше. О•1ени11.110, 11 трсу1 олы111ке ОРВ (рис, JOO) буде!~
r = 'Jfp' +q2,
p=qtga,
p=rsina.
Отсюда
Г=~f!i-a,
угол а оnрсде.1i!н так, ~tто
Устаиавливая конец шкалы
та~п·е11сов
на этой шкале
а,
т~коИ
угол
11р1нив
котор1~fi
q
на
шкале:
удовлстворяс-т
D,
мы 11айдё~1 nротив р
ЭТО\tу р~вещ:тну. Ра:1де.1нн
~нем р 11~ sin а, длн чен1 к визнр1юЯ лншщ 11а:ю подвеrтн уrол cz на шкале
щю<1иrат~ ответ 11 а шка.1е D 11ропш ко1щ<.1 шкал1>1 S, мы получим ответ.
Пример.
S
и
Пу\Тh н адо наt\ти тrз • +4•, Станим конеu Ш!(JШ:l Т против 4 на
1
~;,~~~Й ~~i~и~?:r~~1 ~т~:;;, ж;:~~1~а ~~ ~::;~KD т~к,ч:~~~ ~~~:~~л:и~1~Fой™:и17~~
встал )ТО.11 Зб'\53' 11<1 шкале S. Против коица шк<1.1ы Т читаем на шка1ю D оr
вет:
nятh.
8
Соо6разш11е, каu с 1Ю.1tощью тр11wнометри_ческ11х ш11:ал .t~ожно находить
вираженrт У а• - Ь'.
-k+{=~·
~айп1 х ю такого уравне11)1я, нужиос.юж1пт., обр~т11ые вс.1и
~ и 11 ы да11ных у.исе.1 и тняrh
~ы вооюл~:.:ч'емся с1юitстнами
обратную недн•шну рсзу.11ьта1-а. Д.'Ш sтofi операции
11ерсвёрнутоrо дВJJЖКа . Перевернув движок и взяв
~ "ачестве основной шка.11>1. (для усы1101жи а, Ь
(те11ерь
чисс.1
псрсаёрнутую),
шн;цы
С
шкалу
мы
D.
по.1у•1аем
По:;~тому
н
11
1ю.: 1у<1 сю1и х) нее ту же шкалу С
1шчсствс
схема
шкалы
с.~ожении
трсб.1Яем д.1 1и 11ро~ежуто•111ых реэул~,rатов llllia.'I)'
рсзу.1~-.тJт находюся 11<1 11срсвёрнутой шка.1е С).
обратных
сохраfшется,
D (дJннr•е
ве.1нчин
д;1я
ес.~н мы упо
числа и окончатс.'!Ьныft
При м ер. l-'ешит~:. уравнс1шс ~+тk=+·
Про~~='~S-f~,1~~~1Со~а~тоа;:: )~~9:~1~~1~11~~ ~п~1j~541;1~~ч+а1 i~~};~~н:~~PJ~,~~c~o~~
шка.чу С, по11)"J<:1ем х=
1,17,
Зl!А'IКИ. HЛHECF:!ilJhlE llA ЛИН!·~Йl{F:
192.
'"'
Решить ураш1сю1я·
~+~=+; 1 ,~65+т,k=+; i.оз+Ш=*·
8
Схема м1ч11слс1111я остаеiпся. rю всех слу•щях одна а та же: меняются
тол~ко
при.меняемые
ш.1шлы .
XXI. ЗНЛЧIПI, llЛНЕСЕННЫЕ НА ЛИНЕЙКЕ
тт=3,141Б9
С= У~= 1,12838
А, В, С,
с,= ~=3,56825
с
М=
+=0,31831
А,В
-i=0,78540
А,В
1=
р0 =
~=57,206
D
с
с
р'
=3437,8
?~
=20б 265
C,D
р
=63б620
С,
с
у =V2i=4,42a
Букр,ы А, В, С,
ука~ыщ1юr,
D
шка ][ ах
11а
D
rц1к11х
наносите~~ да11·
IIЫЙ 31\аЧ(Ж.
с
§ 54. На линейках разных систем бывают нанесе111.1 и разные
з11а<1ки. Обычно 1-щ линей1'е наносятся не все перечисJ1енные значки.
Зпа•1ки М, р 0 и
v-
нстречаются реже остаю,ных.
Зна•1ки Ми 1 наноснтся обычно в праной половине 111ка.1
А и В.
Значок
v- бывает
полезен при гидравлических расчётах, при
которых часто бынает нужна величина
V2i,
Употребление остальных зпач1юв ясно или же было уже разобрано.
На специальных .1Jи11сйrщх (для электротехников, железобетонщи
ков и т. п.) есть много других специаJ1ьных значков, употреб;1ение
которых
линейки .
разбирается
в
руководствах
фирм,
выпускающих
такие
XXII. СЧЕТНЫЕ ЛИНЕЙКИ С ДВОЙНЫМ И
ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ ШКАЛАЛШ
§ 55. В пос.1еднее вре)ш всё бо.чьшее распространение получают
счётные .1инейки с двойными логарифмическими шкалами, дающие
вооможность вести вычисления с н атуральными логарифмами (лога
рифмами по основанию е), вы числя ть значе н ия показательной функ
ш1и е•, решать .1оrарифмичес1ше и п ш<азате.чьные уравнения и легко
вычислять степени с дробными показателями. Расчёты такого рода
часто
встречаются
в
термодинамике,
радиотехнике,
электротехнике,
гидравлике и других инженерных ди сциплинах. Их )ЮЖНО выполнять
11 на обычной .1инейке, но на линейке с двойными .чогарифмическими
шкалами
выполнять
Счётная
их
гораздо
проще .
линейка с двойными логариф~~ическими
предложена
в
конце
прошлого
ве1<а
и
раньше
шкалами была
•1асто
называлась
J1инейкой системы "Дуплекс.>. В этой книжке описывается счётная
линейка «Кейфе.чь и Эссер с 20 шка.1 а)ш . На 11е1<оторых линейках
имеется меньшее количество ш1<а.1; в этом с.1учае, сравнивая линей
ку с чертежами в 1шижке, легко установить, какие шкалы на ней
отсутствуют.
Шкалы л и нейки
На лицевой стороне сч ётной линей 1ш <! двойными логариф
мическими шкалами имеется 10 шкал (рис. VШ, см. вклейку между
стр. 126 и 127), обозначенных С, D, CF, DF, С!, C/F, L, LL/, LL2,
LLЗ. Шкалы С, С/, CF, C/F нанесены на движке, остальные-на
корпусе линейки. Шка.чы С и D- обычные .1огарифмические шкалы,
такие же, как шка,1ы С и D на обыкновенной логарифмической
линейке. На этих шкалах вып олняются все обычные вычисления.
Шкала С/ - обратная шкала, которая на обыкновенной линейке
обоэнача.лась буквой R (буквы С/ обозначают «C-Iпverse», т. е.
«С-обратная»). Шкалы CF и DF представляют собой шкалы С
и D, сдвинутые на тт, так что некоторому чис.1у N на шкале С
соответствует число ттN на шкале CF; то же самое справедливо
относите.1ьно чисел на шка.1ах D и DF. Очевидно, что на шка.чах
§ 56.
CF
и
DF
лах С и
можно также
D.
выполнять
в се
вычис.ления, как и на шка
k., ...
LLI L "?j.L
..........i........J......w.....1" 3 t ••" • •
DF Р. ,, ••• ".1•• ,,1,,,,1,,.,,,, ,f,,",,",1,.,, 1 .~,",...,iJ .....".а....1....1.
CF
CIF
~.
,.", '.,,".," ••,••" ,.••. ".,." ••• "".,.", ••• -·
С/
.."""..". -
r.
D
LL.3 1'"'•''' ,... 11-ч•• ' ' о ' • , .", .,,,
Lt2 f" 'ili'll''"'i""f''"l"''l'""l""lt'• ~-·1 ··•t
' 1
1;';.:!"'""ft"' "··~····
-t-t-\~"".I..
Р1«. VПI
Д ЕЛЕНИЯ ШКАЛЫ
1
з
LL2
2
5 1 УЧАСТКИ
:111 СОРТ
- - - -- - ~--L-- -: : 11 СОРТ 3 РАЗРЯД
4
L---------------
1
:
----
!Шll!!LШJJ!!Ш!w:l!Шl.---- - - - - - - - - - - t- - - - - - - - - - - " - -.L - - - -
: \ СОРТ
\1
СОРТ
1
СОРТ
- ---
2
1
1,11
1.3
1.2
2
РАЗРЯД
1.5
1.4
е
-4
5
8
9
10
1 1 12 13 1 14 1 УЧАСТКИ
\11 СОРТ
1
~--------r------r - - 1
1
'
1
7
6
З РАЗРЯД
з
2
з
2
1
о
е
з
4
5 6 7 / 910
•
1
•
' I. 1
'
15 20 30 40 50
1 СОРТ 1
'1
100 200
ДЕЛ ЕНИЯ ШКАЛЫ LLЗ
1
2000 10000
5000 20000
РАЗРЯД
Л.ВОЙНh!Е ЛОГАРИФМИЧЕСК И Е Шl<Л ЛЫ
193.
Расс мотрите вни;\~ателыю шкады С и
чнс~10 стоит в начаJJе и конце шкал
на шкале С стоит
в
делениях
1
между
на шкале
CF
сп
ч~рто чк ами,
Это - uшала
и
е~
способ
логарифмов
употреб.r~е1шя
DF?
DF.
од11юш
и
разнищ1
теми
же
DF?
шкале
чисел
подробно
Какое
Против 1<акоrо числа
I:: сть ли какая - 11ибу.!l.ь
отмеченными
цифрами на шкалах С и CF или D и
Шкала L в точности соотn етствует
.пиней1еах.
и
127
и
D. CF
11а
L
ш каю,1
описаны
н
обыюювеш • ых
D. Деления сё
§§ 33 и 34 этой
книжки.
Шktiлu
LLl
Ш/(ОЛОLLЭ
шkола с.Lг
,QIQ
LIU~
Nll3
Рн с.
Шка лы
22Q26
105.
LLl, LL2. LLЗ -новые . Этих шкал на обыкновен ной
л и11ейкс 11ет и их надо И:1)"ШТЬ подробно. На ри с.
между стр.
ucero
IX
(см.
вклейку
126 и 127) показана система делений этих шкал. П режде
заметим,
что
эти
тр и
шкалы
яе.'1.яются
продолжением
одна
дру гой: там, г де 1юн•~ается шкала LL/, 11ачш1астся шкала LL2, а
там, rде кончается шкала LL2, начинается шкада LL З (рис . 105).
В начале ш~<алы LLI (опа расположена в »ерхнсй половине корпуса)
стоит ЧИСJЮ 1,010; конпу э·toii шкалы соответствует число 1, 105.
С этого же чис ла· начин ается шкала LL2 (внизу 1юрпуса л инейки ),
которая заканчивается числоl\1 е=2,7 1В ( основание натуральных
лоrар11фмов). Шкала LLЗ начинается ЧИСJIО:".1 е и заканчи вается чис
лом 22026. Мы начнё:-.1 изу•1ен ие шкал LL/, LL2 и LLЗ, которые
и являются двойными ло~арифмическими mкалами, с последней
из ннх
-
шкалы LL З.
Illюмa LLЗ крайне неравномерна. Она состоит из
раздел~1шых по-разно.чу. J.'частки эти т аковы:
1
участок: от е
:.!
участок: от
3
4
участок: от
Д()
ДО
5 )''1/ICТOI<: ОТ 15
до
у •1асток: от
4;
ДО б;
4
6
10
до
6
участок: от
30
ДО
7
участок: от
GO
ДО
10;
15;
30;
50;
100;
14 учJсткоs 1
8 у<~асток: от НЮ
ДО 200;
9 учас~:ок: от 200
ДО 500;
10 участок: от 500 до 1000;
11 у• 1 асток: от 1ООО до 2000;
12 участок: от :юоо до 5000;
13 у ча сток: от 3000 ДО 10000;
J4 участок: or 10000 до 220:tб
(до конца).
ВТОРОЙ К Ot ЩЕНТJ->
128
19 4.
Найдите нее эти У'Jастки на шшейке.
Запшшитъ, как разделены все эти участки, невозможно: их
СЛIJШКОМ много. Да это и не нужно, Т<:Ш ЮН{, имея llCifOТOphlЙ
навык в работе с линейкой, ны уже зтшсте, 1шк следует разбиратьсн
в
делениях
НОАЫХ
соответстnую'r
н
шка.~1.
каждом
Прежде
всеrо
промежутке
надо
J~е.~енин
посмотрет1"
тт с р в о
rо
чему
р а эр и
д а, соотнстствующие перной uифре чис.1а; потом разобраться н
дс;rешн1х кт о рог о разряд а,
соответствующих второй цифре
числа; затем н дс.'!спиях третьего разряда.
На рис. IX изо:..
бражены деления пс р А ого разр н да в каждщt из промежутков.
Э ти деж:нин такот,1:
195.
196.
Найдите
эти деления на линейне.
nCc
Установите бегунком па
tll!ШiJC LLЗ такие
ЧИСJJа:
10; 20;
50; 60; 90; 200; 400; 600; 800; 3000; 7000; 0000; !0000; 20000.
riронерт,те р~;.о~ульппы по рис.
Чтобы разобраться в
rx.
дс.11еюшх
нто р о
rо
разряд а,
смотреть, на сколько частей ра:щtJ1ён nромсжутон
нерного разря да н
нмеются
каЖдо:м из участков.
tpex сортов.
1 сорта де.'1ят
Де.'1сния
nерво1·0 разряда
Де .'1снин
разрnда
на
Де.'lеюm.
разряда
В
II
на
десять
промежуток
III
то."ько
ра:шых
nе
сортоn,
1-6
шка.rrы
разрящ1
дслспияr.ш
делениями
первого
М!.:жду делениям и
LLЗ
пер1юю
нанесены
деления
именно:
/{al<HC н~не <:С НЬI
л• ~~н~~ 2 1>0зр~д~
1 сорт а
сорт~
lсо1на
1
:между
част п.
а
!1
7
8-9
10
д
у•1астках
''"~'"'1
второго
частей.
сорта делят nромежу1·ки
на
надо ПО·
между делениш.ш
частей.
сорта де.'ШТ тт ромсжутки )!Сжду
пять
рю.rшчных
разряда
ю.1ждый
Де.'!ения
П1 сорта
[[,";<;,"[
i
11
12
13
14
J(aк•eнaнecei!l.r
11•01Сан•2vцрмо
1
rr
1
сорт<1
сорта
111 сорта
\ cop·ra
второго
ДВОЙ!-IЫЕ ЛОГЛРИФМ114[Сl(ИЕ Шi(АЛЫ
Найдите
197.
Помните,
что
все
эт и
вы сейчас
делен1tя
втоrоrо
изучаете де ;1ен ня
т. е. де,!Jеliия, соответствующие
второй
Установите на шкале LLЗ чис.1Jа:
198.
129
разряда на
вт о рог о
цифре
линсАке.
ра эр л да,
•1и сла.
3,5; 4,5; 4,J; 3,8; 2,8;
5,9; 7,6; 9,l; ll; 18; 23; 37; 44; 120; 150; 190; 300; 400; 250; 450;
230; 370; 1500; 1700; 15 000; l l ООО; 21 ООО;
У становите на шкале LLЗ следующие числа, помня, что
199.
они находятся в та1<их
второго разряда: 56: 68;
участках шка.rJЫ, где нет де.1 ений l сорта
72; 83; 57; 650; 850; 670; 830; 6500; 7500;
6300; 8600; 3200; 4600; 3700. Чтобы лучше разобраться в задаче,
nосмотрите еще раз рнс. 1Х.
ДсJJения
лы
LLЗ:
и
J<ax 2
нанести
их
200.
третъеrо
в
5-
участках
деления
нсJrьзл,
разряда
нанесены
лишt. о начале шка·
1 11 4 нанесены де11еиия I l сорта,
111 сорта (рис. J Х). В остальных
та~<
ка~<
они
оказыва10тся
слишком
в участ·
участка11:
мелкими.
Найдите эти деления третьего разряда на лннейкс.
201. Установите бетуакш.~ на шкале LLЗтакие числа: 3, 12; 3,88:
4,35; 5,85; 12,4; 14,8; 17,5; 23,5; 28,5; 3,77; 4,23; 5,67; 13,5; 14,l;
22,3. Помните, что на шкале LLЗ для уста110ВКJ1 третьей
цифры числа не существ)L-еТ делений 1 сорта.
Вы видите, что на шкале LLЗ приходится устанавливат1, числа
на
глаз
чаще,
чем
1ш
других
w1<ал ах,
с
которыми
вы
щJСЛ!f
дело
.J!.~'"''' 'l,.,.,.,.,!'''"""'1'''''''"1'"''"1"'1~•..l,J.~,.,l,.,~.!.."'"}
"!.: "J"~.J", . J.,.,.;,1." . .,".\1). . ,J. ." '. 1..1"·. ,".J . ,..l"''
цз
,,, l"•
Рис.
105.
до с11х пор. Это про~.:сход1п потом у, что шкала охватывает очень
бщьшое количестDо 1шсел (от 2,718 до 22026) и в си.~у этого очень
сжата 11 очень неравиомерна. Из-за этих же nричин н разделена
она более СJ1ожным образом, чем друше шка лы . При на11есеннн
де.~ений их приходится нодбирать так, ч.тобы их было no оозмож·
ност11
больше
(чтобы
шкала
была
подроби~)
и
в
то
же
время
так, чтобы: он11 не были • 1е ресчур мелкими.
202.
Прочтите
отме•н::нпые
чёрточками
на
рис.
106 числа
ШК iМЬI LLЗ.
Шкала
Ш 1{ ала
уже
было
LL2
нанесена
ска•ано,
LL2
11епосредственно
11влястся
сё
под
шкалой
п1юдо.'1же1шем
влеrю,
LLЗ и, как
охватывая
числа от
J,1052 до 2,718. Она гораздо лрощс шкаJ1ы L/д.
На рис. I Х её деления иэоб раж сш>1 в верхней лоJЮDине рисунка.
5
Сч~тu а " л11ue.li11~
ВТОРОЙ
130
l(OHUEHTP
На этой шкале имеется только
Эти участки таковы~
участков, разt~.елённых по-разно~у.
5
участок: от
1
2
участок:
от
З участок:
от
участок: от
4
б участок: от
до
1,1052
1,2
1,4
1,8
2,5
до
до
до
1,2;
1,4;
1.8;
2,5;
до е.
Деления этой шкалы имеют следующую особенносты де.'!епия пер
во го
разряда
первая цифра
В левой
я
числа меняется
части
правом
соответствуют
шкалы
конце
все
ШIOJ.Jlы
цифре
пределах
шкалы
qисла
стоят
начинаютсл
чнсла,
числа,
лишь
с
цифры
на•шнающисся
ОчеDидно,
что
третьей
цифре числа, а дел~ния третьего
nёртой
деления
в
второй
второго
разряда
так
как
один
раз.
и лишь
1
с
цифры
будут
2.
отвечать
разря.ц.а-чет·
цифре.
Деления первого разряда
идут вдоль осей шкалы через
O,l.
Они отмечены чис4ами: 1,2; 1,3; ... ; 1,9; 2; 2,5.
203. Найдите деJ1ения первого разряда шкалы LL2 на линейке.
204. Установите бегунком на шкале LL2 числа: 1,2; 1,4; 1,7;
2,0; 2,3; 2, 7.
Кажд~;>е деление первого разряда до
штрихами,
Пятые
2,5
разделено па
имеющими длину, несколько 66льшую,
штрихи,
отмечающие половины делений
1О
частей
чем остальные.
первого
раз ряда,
ещё длиннее. В начале шкалы эти штрихи отмечены: числами
1,25; 1,35. Кроме того, в самом начале шкалы отмечен штрих
1, 15;
1,1]
(чтобы: легче запомли.ть, с какого числа начинается шкала). Следует
помнить при этом, что началу шкалы LL2 соответствует
число 1,1052, а не -1,11. Число же 1,11 стоит на шкале правее.
Конец шкалы LL2 от штриха 2,5 до штриха е=2,718 разделен
иначе. Здесь каждый промежуток между де;1ениями первого раз·
ряда
разделён
на
5
частей.
Таким
мы имеем деления второго разряда
1f
образом, в этой
части
шкалы
сорта.
205. Найдите эти деления па линейке.
206. .~{ста новите на шкале LLZ.. 1,15; 1,13; 1,18; 1,24; 1,27;
1,35; 1,31; 1,36; 1,47; 1,52; 1,68; 1,92; 2,14; 2,47; 2,52; 2,66.
Or- начала шкалы LL2 до штриха 1,8 (т. е. в первых трёх
стках)
Имеются
участ1{е
(до
ещё
штриха
деления
1,2)
третьего
они-
I
сорта,
между делениями второго разряда на
(от
1,2 до 1,4) эти деления -
II
208.
е.
частей;
сорта (делят на
участке (от 1,4 до 1,8) они 111 сорта
ше 1,8 дмепий третьего разряда нет.
207.
10
разряд а.
т.
делят
В
уча
nepnoм
промежуток
во второ:-.1 участке
5
(деление на
частей); в третьем
2
части).
Даль
Найдите эти деления на .1ш11ейке.
Установите на шкале LL2 такие числа:
1,396; 1,575; 1,785; 1,227; 1,343; 1,502; 1,935.
1,113; 1,167; 1,268;
ДВОЙliЫЕ ЛОГАРИФМИЧF.Сl{ИЕ ШКАЛЫ
209.
wкалы
Прочтите
отмеченные
чёрточкюш
на
131
рис.
107
LL2.
'""""':l'l'l'l'l'J1 '1'1 1 1 1 1' 1'Pl'J'l'l'IЧ'l' l~l'--i,l'l'l'l'l'IWl'·l'l'l'l'." 1 J,, 1'" 1!""j'"'!'"i'~'"1'~'"'1'"'1"'/
1,
"
t6
t'&
l't
107.
Р11с.
Шка.1Jа
LLI
Шкала LLI помещена в верхней частн корпуса линейки с лице.
её стороны. Она охватывает •шсла от 1,0100 до J,1052 11
вой
пвляется продолженне~t
ее очень
просты:
она
деле11ия
LL2
шка.1ы
разделена
ч то и основная шкала Jшнейки
в
в;1ево (см. рис.
точности
шкала
-
по
тo:'lfy
Ш5).
же
Де.'!ения
принципу,
Вдоль все r1 шкалы иду·r
D.
первого разряда, соответствующие
0,01 .
Эти деления
отмечены числами 1,01; 1,02; ... ; 1,09; 1,lO. I(ажды ii из проме·
ж уrков между де..1ен11ями первого разряда разделё 11 11а 10 частей
делениями второго разряда. Деления тр е ть е го разряда
11 меются трех сортов: в промежутк е от 1,01 до 1,02 они дел ят
к аждое де.11ение второго разряда на 10 частей (дс.:~ения I сорт.а);
в промежутке от 1,02 до 1,05-на 5 частей (де:тевил II сорта) и,
н аконец, от
1,05
до конца-на
2 части (деления 111 сорта). Таким
об разом, на шкаде можно читать 11 устанавливать 11ят11 з в а ч н ы е
ч нСJ1а, начинающиеся с цифр 1,0 или 1, 1 и имеющие сверх того
три
цифры,
соответствующие деле1111я~1
перв~го,
второго
и треть~
его разрядов.
210.
Рассмотрите
внимате.льно
шкалу
LLJ
с хему делений этой шха"1ы, аналогичную тем,
на рис. 1Х для шкал LL2 и LLЗ.
и сами
которые
составьте
изображены
211. Уста новите на шкале LLI числа: 1,0 14 ; 1,016; 1,0173; 1,0198;
1,0238; 1,0346; 1,0427; 1,0565; 1,0635; 1,0832; 1,1033.
,,.·~.,. ......""""."."""". ,."."~.-.,"~·-·1···"··········· т··"".•".""..r~·-1ш
....1..."J.... ~
1
~.1.1.1.!.1.1.1Н.,. 1Г.1,1.1", .1.~•• 1.~1.,,1.~,'/!jrш.м~
Р11с..
212. Прочтите
шкалы LL/.
s·
от~1ечснныс
108.
•1ёрто11кам11
на
рис.
108
11ис.11а
ВТОРОЙ КОНЦЕНТР
132
§ 57.
На
оборотной
стороне JJинейки
(рис. Х, см. вк.1Jейку между стр.
D/,
К,
S,
Т,
S &
Т,
и
132
имеется
также
шка;1
10
обозначенных А, В,
133).
Шкалы В,
LLO, LLOO.
Т,
S,
S &
D,
Т нане·
сены на движке, остаJ1ь11ые- на кор11усе JJИнейки. Шкалы А, В,
D, D/, К, S, Т, S & Т-те же самые, что и на обычных .r1иней
ках. Они нам уже хорошо знакомы. Шкалы А и В- шкаJJЫ кваk
ратов. Шкала D- основная шкала, которая для удобства повторена
на оборот н ой стороне ли 11ейки. ШкаJJа DI - обратная шкаJJа по
щkaЛOLLO
шkала иоп
0,999
0,000045
0,90'18
Рис,
отношению к шкале
D
(её
109.
обозначение
происходит
от
т. е. «О-об ратная »). Шка ла К- шкаJ~а кубов. Шкалы
шка лы
сов малых углов)
Новыми являются только шка лы
1
).
(синусов, тангенсов,
«D-Inverse»,
S,
триrонометрические
Т,
синусов
S &
Т
и танrе11-
LLO
и
LLOO,
которые нам и придётся изучить. Это опять двойные логарифмиче ·
ские шка;1ы, во нанесёнпые в обратном на1~µавлении (справа на·
лево, так же, как обратная шкала
на обычных линейках) . Шка·
R
ла
LLOO
(рис.
являющаяся
109)
её
идёт от
Цифры
на этих шкалах
шкале,
чтобы
которые
nычис.rштель
меньше,
стоят
в;1ево,
помнил,
правее,
в
а
0,9048,
идёт
красные,
-
до
0,000045
продолжением
от
что
на
отличие
шкала
0,9048
так же, как
этих
от
до
LLO,
0.9990.
и на обрnпюй
шкалах
числа,
обы чного
рас1ю·
ложения.
Шкала
LLOO
Ш кала LLOO очень неравномерна в своей правоfi части. Он а
состоит из 7 участков, раздел~нных
по-разному.
Эт и
участки
таковы:
1
2
3
4
5
6
7
участок: от 0,90~8 до
участок: от
участок: от
участок: от
0,8
0,1
0,05
до
до
до
учзс101с от
0,01
до
участок: от
0,001
0,0001
до
участок: от
до
0,8;
0,1;
0,05;
0,01;
0,001;
0,0001;
0,000045.
Puc.
'
LLO
.ДЕЛЕНИЯ WКАЛЫ
•
х
1
1
0,999
о
о
1
З :
2
'
4
:
6 :7; УЧ А СТ К И
5
2 РАЗРЯД
1
rl
1,
019
1
0,8
01 7
0,6
0,5
•
0,4 0,3
1· :
!
:
1
'
0,2
ДЕ Л ЕНИЯ ШКАЛЫ
"
i
О, 1 0,05
LLOO
'1: '
'
0,01
t
'' '
:
'
;
•
1 СОРТ 1 РАЗРЯЦ
~001 0,0001
ДВОЙНЫЕ ЛОГА Р ИФМИЧ ЕСКИЕ ШК.АЛЫ
Деления пер вого разрнда
первого
в этих
участках
133
Це на
ДC:JJ ('JJИЙ
разряда такова:
№участка
1
Це>Ш
до.шт' ~
1
1-2
3-4
5
,'/vу'lасгка
разрнда
0,1
1
ц,",
6
7
0,01
0,001
1
213.
214.
раз11ые.
!
'"'" ""'
р<1зрял;а
n,0001
0, lJOUOI
1
11
Найдите все эти участки на линейке.
У становите бегунком
на
шкале
LLOO следующие числа:
0,8; 0,4; 0,2; 0,1; 0,05; 0,06; 0,09; 0,01; 0,03; 0,001; 0,006; 0,0001;
0,0007 ; 0,00008; 0,00005,
Каждый промежуток между делениями первого разряда в уча·
стках No 1 и № 2 разделён на 1О частей делениями второго
разр яд а. Это деления
I
сорта. В участке №
4
про~1ежутки между
дсж ниями первого разряда разделены на 5 частей. Здесь на11есе11ы
ДеJJения второго разряда II сорта. Наконец, в участках № Э, 5, 6
промежутки разделены лишь
на
2
части;
здесь
нанесены
деления
11торого разряда III сорта. В участке No 7 делений второго разряда
уже нет. Деления третьего разряда имеются только в уча·
стке №
1,
где каждый промежуток
ряда разделён на
5
в
где промежутки
участке
№
2,
тр етьего разряда
215.
·111
частей
между делениями
(деления
третьего
разделены
разряда
на
2
второго раз·
II
сорта) и
части (деления
сорта).
Найдите все эти де.ТJения на линейке.
216. Установите на шкале LLOO такие числа: 0,836; 0,864;
0,735; 0,265; 0,140; 0,065; 0,032; 0,0065; 0,0085; 0,00025; 0,00090.
217. Прочтите отмеченные чёрточками на рис. 110 числа шкаА
ЛЬ!
LLOO.
Рис .
е Помните, что шкала
число
0,836
LLOO
стоит левее числа
.ll O.
идёrп
0,800.
справа
налево/ На
неа
ВТОРОЙ КО НЦЕНТР
134
Шкада
LLO
Шкала LLO гораздо проще шкалы LLOO. Она состоит всего из
двух участков (рис. XI, см. вклейку между стр. 132 и 133). Уч а
сток
№
1 идёт от 0,999 до 0,990, а участок No 2~от 0,990 до
В участке No 1 деления первого разряда идут через
0,9048.
0,001,
а
в
ряд а
в
обоих
участке
No
2-через
участках
очень
Деления второго раз
0,01.
просты,
между дс:Ленюши первого разряда на
Так же, как и в случае шкал LL2 и
они
делят
промежуток
частей (деления I сорта).
LLI, на шкале LLO де.ГJения:
10
нерного разряда соответствуют не первой- цифре числа, а второй
в участке No 2 и даже третьей в участке № 1. По этой причине
на шкале
нет
делений
третьего
разряда;
и без п нх уже
.можно получить четырёх- и пятизначные числа, а бОльшая точность
всё равно не нужна, поскольку при других вычислениях мы её пе
получим.
218. Найдите все ук::-:за п ные деления на линейке.
219. Установите бегунком на ш1сале LLO следующие
0,9986; 0,9959; 0,9937; 0,986; 0,953; 0,918; 0,907.
220. Прочтите отмеченные черточками на рис. 111
шкалы LLO.
tco•r
J "' ' '
'""''t~'' '.'
1', .'!',' ' ' '' J.~"'"j'~~""l,::i~"."""",""",,,.""","
1 '.
c'!'""""l\',""""'!'," "";r"1'"'1:'1""'~'"
Рис.
е Шкала
LLO,
так
же
lll.
как ·и
шкала
LLOO"
идет
справа
налево . Не забывайте об этом!
О На_ всех двойных логпрuфАtических шкалах LLЗ, LL2, LL!,
LLOO, LLO числа имеют только те значения, которые указаны
на
в
этих
10"
шкалах.
Их
нельзя
раз, подобно тому, как
считать
больше
или
меныие
это делалось для шкал А, В, С,
D.
Вычис.11ения с двойными .11оrариф ми ческ11 мн шка,щмн
§ 5·8. При выполнении вычислений с двойными логарифмиче
ск ими шкаJJами следует иметь в виду, что шкалы LLЗ. LL2, LLI
связаны со шкалой D, а шкалы LLOO и LLO-co шкалой А. Свя;Jь
эта такова: на шкалах LLЗ"
LL2
и
LLI
стоят
значения
показа-
ДВОЙНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИ Е ШКАЛЫ
тельной
135
D.
LLOO и LLO стоят з11ачени11 фу н к ц 1111 с-", L'C.'111 зн:1•1с112 ноказано, каким ш1тср1шлаы
функции
На шкалах
е",
если
значе11ия х брать
11а шка1rс
..
11ия х брать на шкале А. На рис.
1,010
та
2202&
шkапа LLг 1 шk апа нз 1
OJ
1
10
1,105
1 шkana LLt
1,01
шкала
D
Рис.
з начений х на
LLЗ,
D
LLJ.
шкале
LL2
и
112.
отвечают
э11ачення
На
11 3
рис.
0.90\6
[ шl<ала LГ..0 1 Шkana
0.001
О.01
0.1
1
функции
е"
на шка
то же самое сдела 110 дш1
U,999
0.00 00\\
LLOO
е'
[
Х
10
шkала А
Рис.
113,
фу нкции е-"', коrда х берется иа шкале А, а эш:1 11е 1111я е-" на шка
.r1а х LLOO и LLO. Рассматривая эт11 рисунки, мы ВИД}IМ, •1то шкалы
LLЗ, LL2 и LLI в совокупност11 дают нам значения функции е"
д-I Н значен ий х от 0,0 1 до 10, а шкалы LLOO и LLO дают значе11ш1 е-" для значений х от 0,001 до 10. Это пос;1ед11ес обстою'е.!tь·
~.:тво можно вы.разить еще и так: шкалы LLOO и LLO дают значс1 11iЯ той же самой функции е"', но для отри1jатсльных значе1//lй х, "~ежащих в промежутке 01 х=-0,00 1 до x=-JO,O.
[сл 11
стать
на
эту
точку
зрения,
то
двойные
шка .1ы дают значения показа-rелыюn функции
х= -10,О .!!.О
x=+IO,O
(см. рис.
Небольшой ттромежуrок око;ю 11ули
от
-
114).
х = - 0,001
лоrар нфм11.ческие
е" для зпа чени ~i О'.1'
дох=
+0.01
(на рис.
114
~1;,лзаа ~~хf+нJ, искпючаетсn, но в это:>.! промежу тке cпpaDewi111щ простая фор-
@ · ~1@)
шkала А
!
IG
1
шkала О
Рис.
114.
которая , как .~еrко онАе1Ь, оыnол11яеrся с точ11ост~.ю, доспtж11 \ю/\ на яи нейке, II
11рн х=+О ,01, н лр11 x=-0,0Cll. В oepno1111 случае ми. лолучаеN зиа•rе1111е
ВТОРОЙ КОНЦЕНТР
136
D на•1гле ШKЗJ!t.i LL/, т. с.
е~• 01 =
а 110 второ~1
J,OIO= J,oOO+O,OI,
значение в конце шка.%1
-
е-о,оо•
LLO,
котоµос будет р~r.но
=0,999= l,OUO - U,001.
Устанавливая соотношение между чнслами двойных
логарифми
ческих шкал и числами шкал А и D, мы, очевидно, уже не можем
считать числа шкал А и D произвольными. Так же, как и в с.11у
чае триrонометри<1сских шка.'l,
предсщ~х. Эти пределы таковы:
Числа шкалы
для uщалы LLЗ-.... от
для ~икал.ы
они
D
будут
.'!ежать в определенных
лежат в пределах:
1 до 10,
для шкалы
LL2-... от О, 1 до J,
LL/-....om 0,01 до 0,1,
для шкалы
для шк~лы
LLOO-....om 0,1до10,
LLO-.... от 0,001 до 0,1.
Числа шналы А "Лежат в пределах:
221.
Сообразите, п очему пределы значеп ий чисел шкалы А раз
ня1ся в сто раз, в то время как пределы значений чисел ШЮ.J.ТIЫ Dтолько в. десять раз? Вспомните, как связаны 111ежду собой числа
шкалы А
и шкаJ1ы
D.
Теперь, зная связь между шкалами А и
мическими
которых
шю1 лш'IШ,
мы
мы
разберем
можем
в
решать
первую очередь:
D
много
и двойными логар иф
новых
задач,
среди
отыскание значений пока
зательной функции и натуральных логарифмов, возведение ч11сt',1
в дробные степени, решение показательных уравнений и вычисление
логарифмов
по
пр оизnолыюму положительному основанию.
Деления на двоiiн1>1х .'lоrэрифмичесю1х щкщщх 11анесеr11>1 с.'Jедующ11м образом:
на этих шка.'Jах дюша
•шслу
N.
L
отре<1кэ от начала шкалы до штриха. соо'шетст11ующеrо
р!!1.ша
L=m (lg JgN.- lgJge),
где m-модуль шкалы, а е=2,718-осиование натуральных Jюгарифмов. На
шкале D ц.'!ииа соотнетствующеrо отрезка будет р авна т lg х, и полу•1ается, СJ~е
ДОl!ательио.
что
т
lgx=m( lg lg"N- lglge),
откуда
lgx=Ig ~~
1
lgN
x=1ge·
Это можно заnисать также в
виде
JgN=xlgc
N=e"".
ДВОЙНЫЕ JlOГAPИФ,\\IJtJ EC KИE Шl{ МIЫ
137
Ка к найти значение 11 ок азате.11ы 1ой фу11 кц11н и щ1.тура.~ь 11оrо
логарифма
§ 59.
Как уж~ бы ло ска зано , шкалы LLЗ.
LL '!, LU свs1заны со
шка.·ю й D. Ес.ш на шк а:~е D уст.::шовлсно бегунком некоторое
чис ло х, то виз ирная J1инин покажет на од.но,i из шкад LLЗ, LL2
или LL I зна ч ение е". На какой именно из этих шкал окажется зна11ен ие е"', б удет за висеть от того, i; каких пред е.1ах за клю
ч е 11 о ч и с .'I о х. Если оно зак.110чс1ю между 1 н 1О. то зн а чею1е е"
11адо чнтать на ш ка,1е LLЗ, сели между О , 1 и 1,- на шкале LL2,
0 ,01 и 0,1,-на шк11ле LLI. Ес.']11 чис;ю х заключе110
между О и 0,01, то значение e:f вычисляетс я с досrаточ 1ю й точно
L'CJ111 между
сть ю по про.::то й форму:1е
e'= l + x.
11
потому ШIOJJJЗ
показательной функции е"
для х,
меньш их
0,01,
на .1и ней ке не помещеш1.
Пр 1tмер
1,43
на
t.
Ш!{аж~
Вычислить
D.
Ответ
е ' н.
1
будет
Р11 с.
Поставю1 бегунок
на шкале LLЗ,
п ро1·11в числа
та !{
как
1,43
115.
J1е жит в интервале от 1 до 10. На шкале LLЗчитаем четы:
ре- однн - восемь (рис. 115). Эти цифры дают влолне олреде ·
J1ён иое 11исло 4, 18, так как числа шкалы LLЗ лежат межРJ
2,7 18 и 22026 (посмотрите рис. J 12). Итак,
1
е " '= 4,18.
ВТОРОЙ КОНЦЕНТР
]38
Пример 2. Вычислить е 0 • . . . . При той же установке бегунка,
что и в предыдущем примере, читаем ответ на шкале LL2, та к
еО.01;с
"""'"'""lll""""'ll!llllUll/ll'lllll<
LL1
е'
е 0,1Х
Рнс.
1и1.1с
116.
число 0,l43лежит между
и] (см. рпс.
0,1
ответ: один-один- пять-четыре (рис.
112).
Читаем
115).
Значит,
0
е '
Пр и мер
3.
141
=1,IБ4.
Вычислить е°' " ~'.
Бегунок опять стоит в ТО.\1 же по
ложении (рис. 115). Но ответ теперь находится на шкале LLI, так
как чис.110 0,0143 лежит между 0,01и0,1 (рис. 112). На этой
шкале 1штаем: один -и о JI ь- оди в - четыре- четыре. Итак,
eo,OIH=
Соотношение шкал LLЗ,
1,0144.
LL2 и LLI со шкалой D можно опи
сать сщё иным способом. Можно счи
тать, что шкала
ствует
D
всегда соответ
одном у
и
тому
же
промежутку от 1 до 10, а на шка
JШХ LL3, LL2 и LLJ помещены раз
н ы е функции: на шкале LL3-функ
ция еХ, на шкале LL2 - фуикция е 0 "",
11а
шкале
116).
на
LLJ -
функция
е• ,оц;
(рис.
Это полезно иметь в виду, так как
некоторых
немецких
лротив
линейках,
Jшнейках
например
«Арнсто~
соответствующих
на
(Aristo),
шкал
стоят
именно такие обозначения.
Чтобы лучше разобраться во всем
этом, продедаем ещё один пример.
Рис.
117.
Пример 4. Найти е" для х=О,585.
Решение. Способ 1. Число х лежит в промежутке от 0,1 до 1. Этому
промежутку
(рис.
112).
на шкале
соответствует
Устанавливаем бегунок против
LL2;
0,585
шкада
LL2
на шкале и читаем
один-семь-девять-пять (риr..
117).
Д13QЙНЫI! JЮГАРИФ:\IИЧ ЕСКИЕ ШКАЛЫ
Способ
Считаем
2.
l
межутку от
до
D
шкалу
10.
Штрих
соответствующеП
139
ос11ов1юму
пять - восемь -пя ть
шкале означает, следоватещ, но, число
ш1
щю
этоii
5,85. Нам да1t0 число 0,585 =
=0, 1·5,85.
Значит. ответ надо нскат~.. на шкале, rде л омсщс1 1 ы
з11аче11ия функции с'· '" . Это~шкала LL2. Установка бегунка 11 ре
зультат,
конечно, тот же, что 11 n р и с п особе
Ответ:
222.
223.
224.
1.
e'· '""= i,795.
Найт11 е'·"; е'·'"; е" '' ; е~· ·•; е•· 0 '; е'·'"; е'·".
0
0 1
Найти 1/• 1 " ; е 0 ·' 11 ; е" · " 1 ; е•· 11 • ; е'·"'' ; е •'"; е • ; е'·"" .
0
0 011
Найти е 0 ·""': с"· '" ; е •
•
т;
, , ;; ;;;;; ;;;,
i
fnI
, ; тлттттт
1L З '~
;;;;тmттт
D
t:s
Ч:
1: '"'"'"'"""'""""'; ' / """"'""'"""""'"'""""'""
Рис.
§ 60.
дnоit ных
•шСА Q
иым
(rнс .
118.
Если •шслу у н а шка ле D соответстnует
одноil нi
лоrа рифщ1 чес ких ш1\ аJ1 •111с1ю x=1V', то, очев11д110, •н о
у
жзляется
лruарифмоА1
нагпураль
числа
0,270
х
3,i'8
118):
y=!nx.
Пр и мер
1. Числу 3,78
на шкале О соответствует на
111ка11е LLЗ число 43,8(рис. 119).
:>то оэпачает, что
1.
-•~4'"1""'4--~~~Ф"1
е•·а=43,8
11
одн овременно,
что
ln 43,8 = 3, 78.
П р и мер
2.
Н айти
43,8
1,31
ln 1,31.
Рис.
119.
Стт:~и м
~гунек 11 рот11в
1,31
11<1 шкале LL2 (зам ет11м, что из всех тр ех шка.r~ LLЗ,
LL2
и
LL/
толыи на шкале LL2 имеется число 1,31) и чит аем на шкале D
ы~ : д ва-сем ь -11011ь (рис. 119). Так как в дан1юм случае
шкала D связана со шкалоН LL2, то надо
!IJходится о nром~жутке от 0, 1 до 1, т. с .
ln 1,31 =0,270.
считать, ч1·u
наш отнст
ВТОРОЙ
110
8
При
еы•тслении
натуралы1ых
мание на то. какой из
эуетесь. и
помните,
KOHl\EHTP
двойных
<tmo
логарифмов
обрсицайте
логарuф,nических
для шкалы LLЗ
и1кал
вы
вни
поль
от вет будет эаключ;н
п промежутке от 1 до JO,
длн щколы LL2 - о промежутке от
до 1 и, наконщ, для шкtl№4 LLl- в 11ромежутке от O,O J
0,1
до
0,1.
225.
226.
Найти
§ 61.
Подобно тщfу как
ln 1,35; 1n4 ,00; Jn 2,03; ln 1,08; in 1, 148; 1111,045; ln 50.
Решить уравнение
е" =5, 9.
мы
исnользошми
шкал у
D
вместе
со
шка,1ами LLЗ, LL2 и LL/ дш1 uычисления з11аче11 ия функции е'\
можно нспОJ1ьзовать шкалу А для О1>1Чис.лен11я значен ий фу 1жции е-х
11а шкалах LLOO и LLO.
0
Пример l . Н айти е- ·'"".
Мы
бсрём
значен ие
х =О, 1 68
на
шкале А.
Сооп1сrствующее
3 начение функции е-х н.аii.дётс~1 на шкале LLOO или LLO. Так как
ю1ачепие х леж ит между О, 1 ii 1О, то отвс1' должен быть на
шкале LLOO (посмотрите рис. 11 З). Мы ставим беrу нок против
О,
168
11а шкале А
11
притом в её левой поМJВин е, та к как вся шкала
0,9782
0,845
0,022
Р11с.
P1t1" 120.
12 1.
охватывает промежуток от 0,1 до 10, а её левая 1юJюви1~а-nроме
жуток от О, 1 до l . На шкале LLOO читаем ответ: в о семь - ч с
т u ре- n я т ъ (рис. 120). При этом мы учитываем , что шка;1 а
LLOO- это
шкаJщ
с красными
цифрами,
Ита к.
е-•· 111 =0,845 .
нду ща~1
спрма
налево.
ДВОЙН ЫЕ ЛОГАРИФ.\tИЧ Е С К И Е ШК д.rlЫ
При мер
2.
Найти е- •
.....
З на че н не х леж ит в щюмежутке от
вой половине
0,001
ва я
(р1 1с.
этого
п ромежутка ,
до
от
0,0 1, а
0,01 до
113). Ответ
не кат ь
11 а
Шi{ але
111 1 нс
в нравой
шк а .1 ы
А
0,01
кг.к
11олона
nр1по~ 1 в п ра
0, 1,
поло в и н а
идёт от
е-х
L L.O.
и
до
.~свал
е ~ 0 . 01.х
~~::в·~~~~,~~'а б:~У:~
-два
т ак
лrа·
О, 1
надо
"::::::::;:::::::::::::::::::::::~:~ ~Е8а
r::::::::::::::::::::::::,
a.i
i
J-- - --+- - - - - - - 1
:~~л; е ~~~ ь~~е: ьс:_ '-----+-------.а
по сем ь - два
(рис.
121). П о 11 у•1 ае м
Рис. 122.
е-' · '"=0, 9782.
Т а к же , как и при отыс ка юш зн а чений функц и 11 е" , мож н о сч и
та ть, что числа шкал ы А
л ежат
вс е г д а
в
одн ом
н
то м
же
п р о м е жутке от 0, 1 до 10. То гда шкала LL OO будет давать
зн аче ни я
фу нкции е·" , а шка ла LLО -эначенliя функ
н и и е- 0 • 1 '" ( р ис. 122).
П роделайте на линейке п р име р 1 н n р 11 мер 2.
227.
228..
е-~.~ ;
Н а йти е - •· " 1 ; е- 0 • 111 ; е -• ·•" ;
е -•·•• ; е- 0 • 1 " ; с - 1 ·" ; е-•· ;
11
е- • ,н .
229.
Н айти е- •· 0 ~ 11 ; е -' ·"н; е - •·"' ; е- 0 • 0 '" ; е - 0 •
0 11
•
Вычис:л е н~tя с: показател ь ным и функ циями и натуралы1 ым и
л о г арифмами
§ 62.
1.
П р имер
Дл я реше ния этого
де ние
1,8 Х 2,16.
Найти
P= e'· s· 1 • 11 ,
приме р а
п режде
все г о надо
н а йти произве
Это можн о сде;т ат ь об ычным путе м на шкала х С
[ . ~\ шш k +В ~i
.:z--- ----.:_---------_:_ - ------ -- - - ~L3
1.а
e '·s· 2· =48,9
16
Р ис.
и
D,
пост а в и в
1
iJ
шка.~ы С протtJВ
123.
1,8
иа ш к але
D.
З атем 11 адо по-
ВТОРОЙ I<ОНЦЕНТР
142
ставить бегунок nротив 2,16 шкалы С; но ответ читать не па
шкале D, а на одной из шкал LL. В нашем случае- па шкале
LLЗ (рис. 123), так как 1,8·2,16 меньше 10 и больше единицы.
Таким способом мы получим
Р=е1,1 - 1,1 •= 48,9.
230.
Сообразите, как анадогичным образа"'
вычислить выраже
ния:
l)e~;
3) ~lлЬ.
2) alnb;
231.
t, <.$
е~.11 ·•,•о; ео,11- 1, 12; е• .011-0,и;
232.
Груз в
Q кг
под нимается
при
того через металлический цилиндр
приложить для
подъёма
линд~?
Коэффициент
х=т=
1,571
этого
e"i:I";
o,tit
ео,;;; З,2!n3,З.
помощи
(рис.
трения
каната,
µ=0,4,
трения каната о ци
охвата
yroJJ
96.
233.
каната
радиана.
Указ ан и е. Необходимая для расчёта формула
зада<ш
перекину·
124 ). Какую силу Р надо
груза с учетом
При реш;.~ии
предыдущей
задач.и требова.тюсь
выражение вида е -;-_ Мож~о ли выч.ислять
движка выражения вида е с
дана в условии
при
одной
вычислить
установке
и как sто делать?
~:~---111Рис.
234.
124.
Рис.
125.
Луч света силы J, падает перпендикулярно на стек.~lЯнную
пластинку толщиной
s=2,65
прохождения
ш1астинку
через
см
(рис.
125).
оказывается
Сила
света
меньше
в
J,
2,5
после
раза.
ДВОЙНЫЕ лоrАРИФМИЧЕСJ{ИЕ ШКАЛЫ
143
Выч ислить коэфф ициент поr.тющення стекла
c={tn(~)·
8
При
рифмами
решении задач
надо
величиной
очен.ь
с
показательными
внимательно
показателя
степени
функциями
следиmь
функции
за
С
ри фма, чmобы не путать шкалы LLЗ~ LL2~
и
и
лога·
приблизительной
аргумента
лога·
LLJ.
Возведение чисел в дробные степени, решение показательных
уравнений н отыскание логарифмов при произвольном
положите.11ьном
§ 63.
Легко
сообразить,
н1к а.т1ы, можно очень просто
что,
основании
имея
выполнять
двойные
возведение
логарифмические
чисе.'1
n
любые
сте пени. Вы уже вычисляли выражения вида еа · Ь. Но так как
a=elna,
.
11, 'значит,
аЪ=(еlnа)Ъ=еЬ·!nа,
выражения
в ида аъ ничуть пе труднее, чем
ны числять выражения вида е 11 · Ь.
Пр и мер l. Вычислить 3 •
Ясно, что вычисленне можно
соб ом, если написать
4
выполнить уже разобранным спо·
З начит, надо найти 1n3, поставить против
н п ротив 4 на шка.ТJ:е С прочесть ответ на
него начало шкалы С
шкале LLЗ. А чтобы
на йти l nЗ, надо на шкале LLЗ взять число
3. Тогда на шкале D
f~'
ш ·~.-----i3
F,J'
~?------------••
lз
з'
=
81
P1tc. 126.
л ротив него будет стоять lпЗ . В результате следует: поставить
на чало шкалы С против 3 на шкале LLЗ и против 4 на шкале С
пр очесть ответ на шкале LLЗ. Это будет 81 (рис. 126). Итак,
3'~81 .
ВТОРСй КО!ЩШ
144
ITP
Пр им ер 2. I !ай'f 11 3,32 1•11 •
Ставим начало шкалы С на движке против 3,32 на шкале LLЗ
(рис. 127) и протиu 1,86 на шкале С читаем ответ опять на шкале
1,86
Р1•с.
127.
LLЗ: дев, ять-три-два. Учи тыв ая,
11исJ1 а шкалы LL3 1 rroJJyчaeм ответ:
Пр и мер
Haiiт11
3.
в
к аких
лреде.~ах лежат
3,32'·" ~ 9,32.
3,32'·' 11 •
Как и в предыдущем при мере, начало
шкаJJы С надо поставить
против числа 3,32 на шкале LLЗ и ответ ис ка ть проти в штриха
однн-nосемь-шесть шкалы. Нотелерьэтот штрих шкалы С
изображает чнс.r10,
не
на
n ять,
tuкале
в
LLЗ,
и нолучаем,
10
а
раз
на
меньшее, н потому
щкале
учнтывая
LL2,
ответ надо читать
Читаем:
однп-два
н редел ы ДJЕЯ ч-исел шкалы
LL2:
з.22°·"'=\,25.
При решении примера 3 мы 1шде.т1, что уменьшение показателя
стс11е11и в JO раз требует пере хода со шкалы LLЗ на ш калу LL2.
Чтобы JJучше
0.01
это
1 10;шть,
t.иkала
и.1/!ала
lll
С
можно
предстап.ить
О.! шkалаС
u.tkaлaLL2
Рис.
себе
шкалы
tмkала С
LLJ,
10
tw/raйuLLЗ
128.
LL2, LLЗ как сднную шкалу нока:;~атслuноil функции ех, разрезан
ную на 3 части . Ei1 будет соответствовать шк а л а значе11нй х,
nолуч ающаяс я п овторение.~1 шкалы D и;ш шкалы С (рис. 128). Так
как вы уже знаете, что переход по шкаJJс С ИJIИ D n соседний
ДВОЙ ll ЫF. JJОГАРl-IФЛШЧЕСКИЕ llJl{ЛJ1bl
143
участо к соответствует увеличе111110 или уменьшению n 10 раз тех
•н~сел, которым отвечают штр11х11 шl\алы (см. § 5). то это как раз
11
10
оз11 ачает, что, умен~,шая покаэаrед1, х функции е ·-с в
раэ, т. е.
11ереходя в соседниii сл ева участок шка.1ы D, мы до:1ж1 rы 11 на
(·дин оii шка;1с 11оказатслъной фушщни е"' перейти в соседний слева
у•~асток, н а шкал у
LL2.
Это
можно формулиропать
О Числа щкалы LLЗ ямлютсл десятым ~~
1щ\.ал ы.
LL2
ещё
и так:
степеням11
чисел
и сотымtt степенями чисел щкалы
Соотношение между числами Шl\aJ1 LLЗ,
LL2
и
LLI.
LLI
иwбражено
ш.1 рис.
129.
235. Hailт11 5'; 5"';
5"·".
236. Найти 1,25' 0•
Пример
4.
~
а
Найти 1,За 11 1,ЗJ при
помощи двойныхлоrарифмнческнх шкал.
По-преж нему установим иача.~о шк<~ -
ь ·~
о.°'1
0
Ь 10
~~о·~ппрrн,~а l~к~~ешёал~1;;;~ ~~~~~
11рочесть значение
1,31=1,69
на шкале
воп ьпаться таким же путём на i:тн
1,3",
Ь
0,01
L'ис.
LL2
(рис.
LL3 ~
LL' о
lLt ~
129.
130).
Но если
то оказывается, что сделать
2
З,71
1.3
Рис.
130.
этоrо нельэя, т;1к н:ак штрих 5 на ш;<але С выходит за пределы шкa
J1 LJLL2(pнc. JЗО,а). Это и нонлтно: ответ должен получитьснуже на
11родо лж ен и•t ш калы LL2 влр11во, т. с. на шкале LL3.
Чтобы наiiт11 этот ответ, надо rrоставнть 11ротив
н с на•1ало, а конец шкалы С 11 против числа
•1есть ответ на шк а.~ е LLЗ (рис . ] ЗU , 6).
237.
Проде.1айт~ это на л 1tнеiiке.
J,3
5
11а шкаJ1с
LL2
этоii ш1шлы про
'1
ВТОРОЙ !(ОНЦЕНТР
146
Найти
4 54". 2 50'· 2 а2•·
239. Наriти 1:o4 1 i 1 • ' ' '
238.
У казан ие.
Сначала
найдите
11
•
'
3 21-.i•
'
•
затем
1,04 1 • 11 ,
сообразите,
где
надо читать ответ для задашюй задач11.
Найти
240.
l,14 1 ; 1,25 1 •11 ;
86~·щ;
1,812' ; 63'•" 1 ; 27°• 111 ;
47~·'" ;
1, 177' •'; l,IOJ '·'.
241. Найти
1/741':
Указа1-1ие. V7ТТ1=741'1•=741м.
242. Найти
V 906; VTT.
ДJrя того чтобы уверенно
§ 64.
при возведении чисел
в
дробные
определять
степени,
порядок
полезно
результата
ориентировочно
прикидывать, в каких пределах он до;~жен зак.'!ючаться. Это дает
возможность легко решать oonpoc и о 11ыборе той шкалы, на кото
рой следует ч 11тать отnет.
При мер l. Найти 8,73'·ш _
Решение. Чтобы установ итh, в каких
пределах
будет заклю
чё11 результат , сна ч а.1а округлим и основание и показатель, умен ь
wа
я их, а затем
увел н ч и в а я.
в,оо• .о"
Очевидно, можно написать
<8, 731,". <9,001,00•
llЛИ
8<8,73 ·щ<8l.
1
Так
как вс~
числа
между
2, 718 и 22000 лежат на шкале LLЗ.
результат надо искал. на этой шкале. Ставим начало шкалы nраrив
8,73
па шка11с LLЗ
11
читаем аrвет на этой же шкале против
1,724
шкалы С.
Ответ:
8,73"" 4 =41,9.
114
Пр и мер 2. Найти 1,04
•
Решение. Число 1,04 ' 11ежит на шкалеLL J . Значит число 1,04''
111
находится н а шкалеLL2, а число J,04.
нашкале LLЗ (см. рис. 129).
Очевидно,
1,04' 00 <1.04 1 "
11, следовательно, ответ может находиться только на этой же шкале.
Установи.в начало шкалы С пратив 1,04 на шкале LLI, читаем ответ
на шкале LLЗ п ротиn штриха два-три-четыре шк алы С.
Ответ:
J,(H".=9680.
Пример 3. Найти 155°• 111 •
Реше11 11 е. Очев идно,
155'·'< 155°•m< 155 1 •
Число 155 находится 11а шкале LLЗ, чис.'lо 1551 • 1Значит, ответ может н аходиться или на шкале
чис ла
155'•1.
или на шкале LLЗ .'lевсе числа
на шкале
LL2.
LL2 n р а вее
155. Путем пробы
ДВОЙНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ШКЛЛЫ
147
убеждаемся, что надо ставить конец шкалы С прот 1ш 11исла 155
шкалы LLЗ. и тогда ответ вайдётся в левой части шкалы LLЗ
11ротнв числа
0,257
шкалы С.
Ответ: 155"""=3,655.
НаНти:
243.
g~ t:~т~·;:: 11~ ·~~~·;~~.~:~ ;:ь1 вз"';
31
n) 8,55 1 • 1 ; 8,55°•'"; 8,5so.e••;
г)
1,043 1 ·'; 1,043"'.
§ 65.
Решение
показаТСJ1ы1ых
уравнений
на
счёт11оft
.'Jинейке
с л.nойными логарифм11ческющ шка,1ам11 также просто.
Пример
1.
Решить уравне н ие
5' = 12.
Решение. Установим начало шкалы С против
5
на шкале LLЗ.
Тог да, как бы Jю показано nыше, при возведении 5 в сте~1с1111, пока·
з;пели которых будут стоять на шкале С, мы будем получать
рсзуш,таты на шкале LLЗ. Значит, надо найти на шкаJ1е LLЗ ре·
:1у.1 1 ьтат, равный 12, и посмотреть , к11кому показателю .х ш1 шкаде С
он соответствует (рис. 131). Находим
x = l,544.
Ответ: х=
1,544 .
Ркс.
131.
flо,1учен ный результат можно представить
ещё и таким образом: по
0 11реде.11ен и10 доrарифма, если
5"'=12,
ТО
X= lg 1 12.
Поэто:-.1у установка, изображенна~ на рис.
131 ,
решает также задачу
rпоrой KOIIU E tП P
118
оты с к а н ия
тельном у
л ога р ифма
Ре1uнгь ура!нtения
про изnоJJ ьном у
nо:1ожи
245.
Н айт11
27..:.=8 1; 4,02"'"=8,4; 7,2"= 83,2.
lg,32; lg, IOJ; lg•. 1 7,34.
8
При решени и
тельн о сл едить за
ваться
по
осно в ан ию.
2 4 4.
дан ные
пока:Jател ь нNх у рш1н ен ий необходи мо ОНUАШ
те.н , на кшщх щкш1ах должны устан авли
задач.и
и
какой
должт
получ иться
п ор .чr.Jсж
результ ата .· Решая эти вощюсы, следует mxmyl/ amь так же ,
как и при peutenuu зада ч на возоедение ч исел в 11роизволмую
степень.
Решить уравнение 32"'"
246.
Сообр ази те,
как ой
щтрнх
= 4.
шкал ы
С- началын.~й
н адо исnолL>ЭОва п " Q п редел ите nО;JЯДО К
вы •1 иСJ1еш1 е м
ответа.
или
к о н еч н ыii
П ровср~..те
-
решен ие
на бумаге. без .'l и 11е11к н .
2 4 7. Реш 1п ь уравt1сни я
1,3"=7, 2; 1,541 ..;= 9, 96.
107"'"=5,78;
248 .
Решить ура~н сн ис 2 , 66'х =
249.
250.
Рещить уравн ен ие 2,З7х+ • =4,02.
I-l aij ти
12·{=7, 137;
81"= 10;
12.
lg, 8,70; lg 111 43,2 .
Пропор'ц и о11ал1,ны е в ы •1 : 1 с леюн1 с двойными
лоrарифми• 1 ескимч
§ 66.
ш 1,а.11ами
13сс, что было сказано о nропор цш1х,
применимо н 1< вы
ч ислен и ям с двойным11 .~огарифмичсским и шщ1:1амн.
Л р и м ер
1.
Н айти х нз урав не ни я
а
Ь
fiJN =lilX ·
Мы уже з наем, цто есл и считать , что на шкал а х
то 11 а ш ка,1 ах С и
D
сто ят 11 х натуральн ые
вая, как обыч 1 10, проре:Jь между
ную черту
и
имея
в
друга ч исеЛ ш к ал С
виду
1J
D
шкалой
D
про п ор ционал ь ность
нри
;1ю{iо м
стоящи х
п оложе н и и
следователь но . утверждат ь, что, пос тав ин а н а
на шкале -LLЗ (нли другой подход ящей шкал е
11а шкале L LЗ п рот и в Ь н а шк але С ( р и с.
LL
сто ят ч 1 1 сла ,
.1огар иф.'dы. Расс матр и
и шкалой
С
как дроб
др у г
движ к а,
л ропш
можем,
ш кале С против N
LL ), п р о чтём ответ
132).
'·'
Прим ер 2. Вычислить 1,46815;"81 .
Мож но, конечно, снач ала выпол~шть делеНие 5, 1 па 0,32, а потом
1,468. Н о мож но п ос т упит~. и и наче.
возвести в эту степень числ о
Напи шем:
'·'
х = 1 , 4 68о.Т:i.
ДВОЙНЫЕ ЛОГА Р ИФМИЧ ЕСКИЕ UIKЛJ\bl
Ло 1-.:1рифмирун, подучим:
149
1
Jпх= 05,'32 In1,468,
отк уда
А\ы можем нсnосрсдстве11но
1n°i~~68=~·
установить
эту
пропор r щю
па линейке
ь
Оро5нар
<1ерта
P1tC. 132.
110 схем~, показанной на рис. 132. Устанавливаем 0,32 шкалы С
11 1 ютив 1,468 шкалы LL2 (надо всегда помнить,
11~тствуют каким шкалам!).
какие
числа соот-
Тогда против штриха пять-од ин
шкалы С получится ответ. Он получился бы тоже на шкале
0,32
5,1
.~J..J::t:,~~-~-~-:~,~·. . . .L
LL2~
.. . ~..
,.J•• ",•.
•".".1 .•. t";-·'"~,Jд~...;""~~'· '·'·'·'·~· ····fe~.,.,.1. •. 1.•.•.• 1n,,,.1.1 .•. ,.• ~•.rc•...•1.".1,1~
,,
''
'
1,468
Рис.
если бы пять -один означало
в
IU
133.
0, 5 1. J-lo
так как н::.1м дано число
раз большее, то ответ надо читап.. на шкале LLЗ(рис.
133).
ВТОРОЙ К:ОНЦЕНТР
150
Он будет
455.
Итак,
."
1, 468;:;%=455.
О Для вычисления еыражен.ий. о ида
x=N"
устанавливают
•шсло
Ь
шкалы
С
против
числа
N
одной
иэ
шкал LL и против числа а шкалы С читают ответ на соотвеm·
стоуюи{ей шкале LL. Чтобы л~ite запомнить зто прсюило, по
.А1ните, ftmo надо ставить основание протtю знаменателя .
Пример 3. Вычистпь Vзб,4.
Полагаем
х = 36,4т.
Стао11м число 3 шкалы С протнn
шкат,~ С (т. с . её на11ала) чнтаем
тр 11 - оди н . Итак ,
36,4
на
шкалы LI~З и пр от и в l
шкале LL З отпет три
Vзu.4 = з,з1.
251.
Сравните
по спссобу
§ 63,
реше ние п рим ера
с
3
решением этой же зада чи
п о.'Jаrаи
36,4+ =3б,4°•m .
252.
253..
254.
Рсшrпе эадачИ 241 и 242 новым спосо бом.
Ре шите пр и помощи про11орций н ример 1 из
Найтн
•.•
"·"
~.•J
§ 65.
~"1
7!
6,47;:;; 3,821."li'"; 42,5;,п; 1,318...-;;; 14 sШ;
343i1,1;
4,86'-.
11 ,7
255.
256.
Н айти 1 ,0733и,;; 1,07ЗЗШ ;
1 ,07ЗЗ0:Ш.
Пр и ади абати ческом расширении газа, за 11н мающеrо ООъём
11
~~л~~нх=~~~:1~~:е:~~пе~:~~~и~~ ~.~:1~~о м pli. д~ ~~~~~~~11~/~;~й
Т •' будут 11 меть место форму.1J.Ь1:
~=(Н"·
';!=("' )'-"'.
р.
1,
где х- показатель
адиабаты ,
Вычислить OT IIO ШC Hll H
равный
V, 1 V, IJ
•.
т :т,.
для
f.:с.'Ш
двухатомных
P.JP.=7,5
rа аов
и
1, 4.
x=l,4 .
ДВОЙНЫЕ ЛОГАРНФМ11ЧЕСК:ИЕ ШКАЛЫ
151
Пропорциональные вычисления можно вести, разумеется,
шк амх LLO и LLOO в соединении со шкалами А 11 Н.
О,б4
х•О,298
LLOO
.т--~--1н--..---~н-,-,..,,...ч л
о:г ----
б.Э~
17,2
Рис.
134.
Пример 4. Вычислить х = О,64 •Т..
Ставим «0с1ю1:1ание• (в нашем случае 0,64) на ш1н1ле LLOO нро
пш « Знаменателя » (у нас 6,34) на шкале В. При этом д1шжок nы
ход11т влево. Число 6,34 мы став11м u левоi'I 11 :.1ст11 шкалы В.
так
как
в
наше й
задаче фигурирует еще ч11сло
J 7,2,
д.1fl каrорого
также н ужно наНти место на ш каJ1е В 11 которое мw будем ста.
щпь в правой част11 этоi1 шкалы. llpoтiш это1·0 • 1нс•1а ч итаем
на шка.r1е LLOO ответ: х=О,298 (рис. 134).
8
Не забывайте, сипо шкалы
LLO
а
LLOO
11.дут
справа
на
лев о.
257.
•
·~
'·"
i.•
Найти 0,4761"; О,5ООШ; 0,265...-; 0,265 .....
Вычисление некоторых спещ1алы1ых выраженн1i
на двойных логарифмических
§ 67.
Используя
двоiiные
шка.~ах
лоrарифмич~кие
шкалы
совместно
с друг ими шкалами .линейки, можно вычислять целый ряд выраже·
ний , встречающихся п р и решении тех или иных технических зада'!.
Мы укажем некаrорые 11з них; способы вычнсля·rь другие вы лег
ко найдете сам11 по аналогии.
Функция e-/f11'"
Qбыqно шкалы LLO и LLOO используются со шкалами А и В.
Но можно использовать их также и совместно со шкалой D . Легко
сообразить, что тогда получится. Чис.1Jа шкалы А суп. к в ад р ат ы
ч11 сел шкалы D. Шк алы LLOO н LLO дают значе111н1 фующий e-:i
11 е-мJх, если х береrсн на шкале А (см. рис. J22). Взяв х из
ВТОРОЙ КОНЦЕ НТР
152
шкале
А число
D и установив прот~ш пеrо бегу1101{,
y=O,l х' (множите.% 0,1 ноюштся
е
мы получим на шка;1е
потому,
<1то шкала
D
_~.001х2.
е-о.1х2.
но
f - - --+---"-"'-"-"'-"'-"'-"'-"'-"'--11' LLOO ~
!О
Р11с.
идет от
1
до
10,
метит на шкале
а шкала А -от
LLOO
Найти
1.
"
135.
0,1
до
10).
Значпт,
значение е-У=е- 0 ·'"'.
значеиие е- •·~'У= е- o,o<J 1 -"' (рис.
Пример
"
б::::гунок
от
а на шкаде LLО
135).
e-Q·'·'· 4 ' .
Ставим бегунок против
чита~м ответ: 0,562.
2,4
на
шкале
D
(рис.
136).
На шкале
LLOO
0,562
7,0
Рис.
Пример
2.
Р11с.
136.
Вычпсдить значение функции
х=7.
Ставим бегу нок против
7
па шкале
девять-пять-два (рис.
D
137.
Ф(х)=е-~ · 0 Q 1 "'
и на шкале
LLO
п ри
читаем:
137). Итак,
Ф(7)~0,952.
Пр им ер
x=l,29.
3.
Вычислить
значение функции
<р (х) = в-о,•JХ' при
ДВОЙНЫЕ JЮГАРИФМИЧЕС !(ИЕ ШК:А Л Ы
Решение.
153
Ставим начало шкалы В протнu чис т~
На шкале А начало шкалы В отметит число
нрочтём тогда произведение
дем нужный ответ.
на
0,26
Разбсрём
(l,29)t
только,
в
В.
D.
На шк а ле А м ы
и на шкале
какой
ш ка лы
Став11м тепер 1,
(1,29)' .
бегунок против штриха два-шесть шкалы
1.29
L/дО
полоnипе
най
шкалы
В
надо брать штрих два-шесть. Очевидно,
видеть по шка,1е А, в то же время
1,29'>1, но, какJ1еrко
1,29' <2. Число 0,26· 1,29' бу
дет, следовательно, меньше 1, т. е. должно находиться в левой
по:ювине шка.'!ы А, где стоят числа от 0,1 до \ .Но тогда, конечно,
иштрихдва-шесть надо брать в левой половипешкалыВ.
0,649
о
0,26
1,29
Рис. JЗS.
Выполнив
установку,
читаем
на
резул~,тат:
шесть-че-
тыре-девят1,
Ответ:
258.
(рис. 138).
qJ(l,29)=0,649.
Проделайте 11ример
3
на линейхе.
Вq~числите затем зна-
чен2яs::~~и~~от~~~е:=~;·";е~~,~, х~д~~:; j~i; ~р~~~м способом.
Будет JIИ он выгоднее?
Указ ан и е. Выньте движок из линейки и вставьте его обрат
ной стор01шй так, чтобы против шка,1ы
где напесепы шкалы
на шкале А, а
0,26
200.
и
х=
LLO
1,29
D
Вычис.r~ите знанения функции !р 1
1,84.
В
чём
на той стороне линейки,
и LLOO, оказалась
на шкале С.
будет
шкала
С.
Поставьте
(x)=i:- ~.,х• при Х= 1,29
разница по сравнению
с
решением за·
дачи
258?
261. Вероятность
личин
x;(i = 1,
2,
того, что отклонение среднего значения Х ве
.. " п) от их математического ожидания а
ВТОРОЙ J(ОНЦ[НТР
154
удовлетворяет
неравенству
JX -• 1<21 -(Т, [~ ~м. o.L;(x,-a)')
/= 1
будет Uольше, чем 1 - 2е- 1 '.
Подс•штать нижнюю границу вероятности неравенства
!Х-аj<б У*·
Функции еи•~пх
§ 68.
и
eatix
Вы уже зrтаете, 11то шкала синусов и шкала танrенсов nред
став.1яют собой как бы
11 с язык тангенсов :. (см.
перевод шка.1ы С на
§ 38). Пользуяс ь этим
JH:rкo вы•шсю1ть значения функц11й е"
Пр им ер
l.
Наrtти &1 11 "•н•
Выне;-..1 движок из л ин еiiки
ной та1t, чwбы шк а:ш.
S 11
и
и е"
«язwк синусоu»
обс:тоЯТСJ1ьством,
'" ".
e1i: '' "'.
вставим ero назад обратной сторо
11
Т на движке бЬl.'Ш с
е sin о.в~ 1,0141
sin
1111 х
0
той
же
стороны,
Sin 16°30'
о.в·
1,344
1,328
Рис.
139.
где и шкалы LLJ, LL2 и LL3 (рис. 139). Установив движок про
тив 16,5" (16°30') на шкале S, прочтем ответ 11а шка.'lе LL2: один три-два-восемь. Если установюъ беrунок против 16,5<1 на
шкале Т,
то
на шкале
0
LL2
прочтём:
четы.ре. Итак, es 111 •• ••'=l,З28, е 1 1:
8
Если
110
один-три-четы.ре
"'=1,344.
на линейке бегунок двусторонний
( т.
е.
д щщu па нём :.н1еюr~я с обеих. сторон и 11ри усталовке
визирные
бегунка
ДВОЙНЫЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ШКАЛЫ
155
указывают одно и та же деление на шкале D и с лицевой,
и с оборотной стороны ланейки), то вынимать движок не надо.
Всё J.южно сделать, оборачивая всю линейку целиком.
8
дет
При использовании шкалы
получаться на
шкалах
S
и
Т
ветствует шкала
8
шкале
и
S
Т ответ всегда бу
от О, 1 до
1,
которым и соот
LL2.
Тригоно.~1етрическuе шкалы
носятся с
шкалы
так как синусы и тангенсы на
LL2,
uлtеют значения
на новых линейках
десятичным делением градусов,
градуса на десятые и
сотые доли,
а не на
т.
иногда на
е.
с делением
минуты
и секунды.
Это надо учитывать.
Пример 2. Найти esino,• •
Синусы и тангенсы yrлon, меньших 5"44', нанесены, как вы
энаете, на шкале S & Т. Поэтому поставим бегунок па деление 0,8"
0
шкалы:
S&T.
Огвет
один-ноль-один-четыре - один
nрочтём на шкале LLI (рис. 139).
8 При использовании шкалы S
•ються
S&
на
шкале
LLI,
так
Т u.J.1eюrn значения от
шкала
LLI.
262.
263.
Найти
e•1 n1•"••';
0,01
&Т
как
до
etg" 0 • • ' ;
Найти e• 1n •.~"·; etg .~",.
Пример 3. В ы числ ить e•. нl n
Р11с .
ответ всегда
синусы
0, 1,
esin ••"••';
11
и
будет
тангенсы
которы.tt
el g•т "• ';
и
полу
на щкале
соответстаует
es111•1.• 0,
••
140.
Вставляем движок в линейку так же, как и при решении при·
мера 1. Сдвигаем его так, чтобы начало шка.пы S пришлось против
штриха од.. ин - два шкалы D (рис. 140). Ставим бегунок против
156
ВТОРОЙ l(OJЩFHTP
штриха один на дца тъ
r
рад уса D шкалы
S . Тогда
бегунок отмстит
на шкале D nроизведе1111е 1,2 · sin l l ,
а прот11в него на шка.т~е LL2
0
будет ответ: один-два-пять - семь. 11 так, e'· 1
= l,257.
0
•i""
8
При решении пода61Ш.Х зада•~ ответ может полу•1атьсл не
только на и:кале LL2, но и на щкале LLЗ и на щкале LLI.
Все теперь будет заоисеть от величины множителя.
Пример
4.
e•. t •lt1•0•.
Вы 1 щсли1ъ
Против ч1iсла
4,6
D теперь надо ставить н: он е ц шкалы S.
30° шк ад ы S, читае~1 ответ на шкале
шка.1ы
Поставив бегунок против
LLЗ, так :как теперь показатель степени больше
нриw1осъ использовать конщ
шкалы
вя1 ь -семь. Таким образом, е•· •
264. Вычислить е•·• 1м н•.
265.
Выч11слmь ·е""'''
11
"
190
11
Получаем
S).
единицы (наы
де в ять-де·
11•0"=9,97.
•
Чтение за пределами шкаJJ
§ 69. При выtшсле1шях могут встретиться с.1учаи, когда резу;1ь
тат получается больше или меньше тех чисс.11, которые нанесе~-:ы
1 1 а двойных логар ифм ических шкалах. В
об разов ы ват ь
вы •1 ислясмое
этих
выражение
и
случаях
надо
вы1111слять
п ре
результат
по частям . Дат ь какие-либо стандартные правила для этого трудно,
нуж но соображать, что будет лучше.
При мер 1. Найти
Решение. Сrнх:об
24 1 •
1. Очевид1ю,
24'=24'Х~4'.
Находим
24 ' = 13820 и 24= =576. Затем пере~шожасм и получаем
24'=7960000.
Способ 2. Очевидно, 24'=6' Х 4'. Находим 6' =7780и4 = 1 021 .
Перемножаем и получаем опять 7 960 ООО.
1
Способ 3. Очевидно, 24"=2,4'Х 10 • Н аходим 2,4'=79,6 и ум11ожаем на 100000. По;1учаем 7960000.
Ответ: 24i=7,96· IO•.
266. Н айтн 8,5•; 12'1. 1 · 1 ; 2,7 11 • 1 •
1
XXlll. СЧЕТllЬ\Е ЛИНЕЙКИ МАЛОГО РАЗМЕРА
обычных .11нН.('('1( со шка.~аМI! д.n111101\ 25 саН1"ИМ~тро11, 11 продаже н1оrе
.111.llAЫi! с'!Ст11ые J1ннейкн со юка..11ам1t Д.11Ннсil 12,5 .:м. На этих .llltllCЙкax
l(po1.1e
ются
~.~~1~~~~~n~::~1 ;_i: 1~~~ii ч;.~ы ~l~~ат:Кяа.11:х ш~а-:;~х0 т~~~:о л;~~:а"~ с;::~~
1t1•pooro
разrяда, соотвстсmующие 11epвoii
uнфрс
уста11а.nтtвас:чоrо
11 .~и
•mтaeмuro
ч11сл.~; эти Д(.'.,С!ННL с11абже11ь~ щ1фрамн, так же как и на о6ы•111ы~ .1н11еirк11х. Каж
)1.t.1.Й
11з
nромсжутков
меж;\у
СТ(.'Й делешщии второrо
vазделе11.ь~ 11ро.\!ежу'f1ш
llCPtlOl"O
дспсншщи
разрнда
разрядJJ. Да.11.н~е жr иадо
между дсдсниями птороп~
раадf'ле и
смаrреть,
рас~рщш.
н;~
де<:ять
~а
11а скОJ11>КО частеl1
Рассм:отрсn шка.~у.
11
2
=~11~~~~Г:~~~а~~1~:11; ;;~:~ д~~::1~~я:,Z:::Uн~i~·ы~~~~ия .::i
.1е 11ышх лнисiiках 11ыпО.1111я101ся тоо;ио та к же, как и ~ш о6ычных..
:;=
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
5.
7.
12.
В промежутке от
О~ш
нс:wноrо
13.
рис.
до
3.
.~инннее
Нет, nра11и.1ьная
накна
2
ОСТЗJJьных.
уста1,011ка
такая,
141.
Чнс.nо З,65 уст~шамивастся 1юсrе·
дине между 'lёрто•1кю.ш 3,64 и З,бб.
Приме•~ание. Pc uraя задачу 13,
мы аостаnили бегунок nос~диие
между
чёрточнами
совсем
3,64
и
3,66.
Это
liC
Рис.
верио, та к как расстоя1ше между чёр.
точкоА 3,64 н 3,65 (если (')ы она бЬ1Ла
нанесе11а) дмж110 быть неск()..1ько 00%шс, чем между 3,65 11 З,бб \ПОдо6110
тому
как
расстояние
от чё~nо•1кн
4
до
'li1JJo'IKИ 5 болыие, чем от чёрточк и 5
до чёрточки 6;, но рмщща эта
на·
столькu мала,
не
wожно
•rто пра кти чески ('ю 1шо.1·
пr~е1tсбречь
(в
самом
де.1е:
~~ёз,(i '~ 1og з~~:~д;~sб~~~.3&t~t~
1 11
=0,00119
11
logЗ,65 - !og3 ,G5 =
=0, G6348 - 0,56229 = 0,00119, и 'Ю.111> 1{0 беря шестнзи<~чиые ,11ог<1рифм1•, мь~
~O~tl2~З~·o.5~1 1 0f ~65.001 ~2~·
1
1
54
=:
log 3,66--log З,6.5=0,55.3481-0 ,562293=
0,001188).
1; 2; -L: О; 3; \; -2; 2.
6,7U.
17,00.
4,20; 0,0525; 8-1; 2'1,2.
21. 5,02; 10,14; l,б!:JI; 15,85.
28. 2,62; О,1"/ 74 ; б,99.
29. 77,8 кг.
=
22.
24.
25.
26.
141.
30. 86,8 т.
31. Лоrарифм
логарифм ов
частного· рзвс11 р.азиостя
дел11:11оrо
и
делнте.111.
32.1,36; 14,4.
33. Ч астное nму•rnтся
на 1щ<;J\J1e D npo11111 KO!lt'l lJUЙ 1 1eJHЪI ДllllЖKll.
84. 42; 0,5.
35. 0, 1641: 6,65; 0,396: 32,22.
36. 2.5; 66,б; 18,85; 15,88.
37. 37,4коп.
38. 2,08; О,01!:1 64.
:f9. О, 784; 0,000 1602.
40. i.~!i~ll.; .r,=2,31;
.r1 =4,36;
'"'
41.
42.
43.
44.
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
ci 1 =0,2195;
х,=17,50:
а..=О,579; а, =0,812.
х1 =0,!942; х, =2,21;
:.·~б.~~·1; r, =0,0493; r =0,00Q774;
~·~1t~: b=l9,6l;M=38,4;N=
1
=б,28·!0'.
45. Прочи'!'а1111uе на шкале А числа 4
к
9
суть
кnадра1ы
чисел.
2
113.
47.
В про.-'~сжутке от 1 до 2 - доум,
в 11ро1.1ежуткеот2до 5-пяти;от
~е:о ~-делеинi! ;ретьеrо разрядn
52. 5,57; 0,245. 6,32 -10'; 1,357; O,OJIO;
0,937; 11,Зб: 0,0000479.
s:i. 7,25: о,797: 3,80: о.266; 29,9; о.ОШ4;
0
54.
1s,1s.
55. О,J62б; 1,ббG; 0,473; 4,17.
1. :ii: 5:~а; о,268;
57.З,78.
58. 3,22.
59. 1193,7 м.
61.253,4.
62. 20.42 м.
63. 132.7 м•.
64. '10,()5
СМ,
65. 407 !(г.
66. 12,8; 22,4; 33,13: 15,б: 48; 68.
67. 4,5; 6,76; 8,00; 73,7: 15,36: 37,4.
б!!.1661: 10'.!4;74,7; 21,9; 1,547.
~~- ~·:х~~·~~З~~б;х~~;,5~.= V::
71.~=COllSf;~=oonsf;
;;:
vи=comf.
~1 ~~-~Ш1;х~=~·i.~{·~.~~·.н1;
1
l~o~si~·
"=
14.
µ = 1,093;
1.m.
75. 168 мм; 14.5 мм; 102,G мм.
80. Нов~~; лри этом способе нс может
быть
1акого
ведсине
шкiiлы
случая,
получается
(и,
когда
з11
11роиз·
пределам11
с.1едооа1t',,ыю,
11ужна
11среброска).
81. 1,778; 3,06; 0,353.
82.
а) С о6ычt1ым,
86. VZU=const.
87. 4,04 м/сек; 2,75 м/сек; 1,61 мj«к;
О , 769 м/~; 0,558 мfe6r.
88. О, 103 см; 0,0370 см; 0,00926 см;
0,0028 см .
89. W: 5-1,б; 43,2; 38,7; 34,4; 29,2.
р: 5,62; 8.00; 11,9; 19,0; 32,8; 64,0.
90. k=0.00267.
91. 1344,б; 3,858.
92. 1,8162; U,3874; 2,223.
93. 220,3;9,27; 1,84 1;91,2\ 124,7;0, 1358;
О,04.З95.
94. 39,8; 1,698-10'; 1,233: J\8,8;0,00157;
2
96.
117.
11 8.
119.
с
перевернутым,
в) с обычным, r)
с перевёрнутым,
обыЧJШ~.
в
пероом случаt
оо
1пором - с
83. J,069; 1,221; 1,425; J, 71; 2,14; 2,85;
4,28.
84. 44%; 37,7%: 33%; 29,3%; 26,4%.
85.45,G; 18,2; 11,4.
1,515; 11,32;
4,!>3.
422'1 кг.
0,588; 0,676; 0,279; 0,322.
0,1515; О, 1019; 0,494; 0,0157; (',0211.
0
Так как cos(9U -a) = sir1a, то
вме<:"!'о cosa ищут sl11(9U"-a).
121). 0,284; 0,690; 0,9".Ю.
121. 14•47•; 12"4'; Т'49'; 11°7'; 71°49':
1°20'26".
122. JG 0 42'; 43°50': 9°30'; 2°2'; 4~8' 11":
89°5'51".
123. 0,326; 0,94 1.
:~:: 1·~·2.52; t = З.З8; Т = 76.4: а =
5
b~ 3~ri°J; Ь = 5,60; b=lб,Ol; а=
126.
=9,32; b=l,451; o= l ,8J9;
с=
=б,20.
127. h =200· tgl 0 30'=5,2·1.
~:: ~"i~;
130. 0r l
131.
132.
1,007; 9,13; 21,9.
10.
ДО
З,08.
tt: 1,213; _1 ,483; 1:8\fi;
O.'&J·824, 0,675, 0,551.
?·~; 15,00:
О,136 1,
;~~: ~·~ 6.~~9-6 ~sg,;~~2.
5
135.1] 1 =0,36.
;~: ~)=!~~\ б) 26°!1'; 1!) 14°32';
139. 21з0~;~·;1:J3~·:~j•2•; Збс52'.
141
б)
~"~ 0,0001455: 0,739;
95.
·
~~Гil'/~~=IJa~{; 33~~;11~2s~
~.=16"3-i' .
142.
;1 ~ ~g"zб!:'; x:~!~f~;;
х:=1•27•47•,
143.
144.
145.
:;~i~~~;a~~2i;9~; а 1 =73,6;
х=16°2'.
б9°2' .
ОТВЕТЫ
146.ff:J'57'.
147. А=73",
А =15",
Ь=16,16,
Ь=
R!
о=26,О;
с=15,33;
12,52,
А=139", Ь=О,1168; с=О,1979;
A=Jti.'i~. Ь=35,7,
148
•
с=71,1.
g~~~=: t~i:~8~. ~~ь~~в~;
191. 1) 5,38; 2) 7,05; 3) 6,18; 4) 2,711
5) 1,Фt9; 6) 1,36.
192.1)2.31; 2)0,812; 3)2,18.
193. 1) В 1ш <Jале и в кщще шкаn CF
и DF стоит число 11:. 2) Единиuа на
щкале CF стоит nротив числа л 1ш
шкале С. 3) Никакой разницы нет.
Шкалы С и CF, D 11 DF разде.пе·
С=2 3~,
Ь=I8,9;
С=174° , Ь=О,854,
c=l4,34;
c=l,462.
149. l)B=5.3°39',C=106"21, с=252,5;
B=l2fi"2l', С=33 °39',с=145,8;
W!!:J52J,;~1:'cc~ li~~~:,:~~~4~;
3)
В=90",
С=10",
с=50,3;
4) 6~f~e~~~a=~ ~~;~~~~~ ~llP~J:.~
731(
В
как
О,15>0,06.
должен
то
р.зrшяться
(=180"-6~4'), но
уrм
173°56'
тогда
л+
+В>180"].
150, 1,494; 2,73; 3,84; 7,92.
ны
x+~=l5,5;x+ 2 : =-l,85,
6
221.
в
0,бlle''" /=0,61 1 ~ - i,ш.
А
D.
Ясно, '!ТО из
COOТllC1.'CTBO!JaTh
из~епсние
D
на
11 1о== 100
222.3.525; 10,8;20,5;105;424;7,71·101;
14,8·10' .
223.1,1818; 1,2129;1,339; 1,468;1,640;
1,850; 2,226: 2,547.
224.1,01035;1,0555; 1.1030.
225. 0,300; 1,386; 0,708; 0,077; 0,138;
0,044, 3,912.
226. x = l,775.
228. O,IORG; 0,752; 0,628; 0,440; 0,393;
0,198; 0,0287; 0,000225; 0,000019.
229. 0,9982; 0,9956;0,9822;0,9738; 1,9305,
230. l)Г!оставит~.11роти11•щслаана шка ,qе
D чис.10 Ь 1111 11rкале С. Ответ чи
тать ш1 mкaJJe ИЗ (и.тш LL2, или
LL/) против наца.%!\ОГО 11,111 КОИс'l
J-\ОГО штриха шкаJ1Ь1С;2)постаrшть
бе1· увок против •~исла Ь
на
шкаJJе
L/.З(или LL2, !IJIИ L/J); иачаж:~ (11ли
KOl!('ll) ШKllJIЫ с l1lJСН!ПИТЬ 11роти11
виз11рноii Jll!!l!IИ бегу1ша. Отnст чи
та ть па шка.1е D нротив •1исл.1 а
ш1;~.1ы С; 3) поставить 6егуно1< пpo
Тlll' 'IИCJla Ь нашка11еИЗ(111шL/-2,
х=-0,0994,
.
раз будет
раз.
y=l,312,
187. l) tp=71°37', r=4,1837;
2)cp=l J7U22',r=35,47;
~i ~ ~ ~~:~~·, . ;~ ~: ~~~:
IВ8. r:~~::~::~i:~·~\ м;,
10
шкале
186. 1) X= l,!}()9, y=J,387; 2) х=
=-5,98, у=5,2; 3) х=-6,01,
4)
Шка1ш А ямяется u1кадойквадра·
тов ч1i ceJ1 П!К'алы
мсне1щю вещ1ч11иы числа шка.~ы
х- 1,~73 =2,05.
у=-0,261;
одинакооо.
202. 2,96; С\ , 62; 4,451 10,8; 12,6; 17,5;
22,0; 37 ,О; 5.3; 74; J 20; ~Ч.0; 370:
750; 2400; 3800.
209. 1,113; 1,159; 1,2)8; 1,316; 1,455;
1,6З; 1,86; :.1,10; 2.24.
212. 1,0103; 1,0138; 1,0182; 1,0238;
1,0294; l,Q.136; 1,0625; 1,0835.
217. 0,872; 0,818; 0,765; 0,615; 0,525;
О,315; 0,235; 0,125; 0,044; 0,032;
0,0113; 0,0085; О,(Ю215.
220. 0,9989: 0.9984; 0,9973; 0,9963;0,9951;
0,9906;0,984;0,971,О,951;0,9"16;0,937.
151.2 ,55;5,76;7,бб.
152.11,29;38,2; 15,64.
153. 1,192; 1,907; 9,13; 21,9.
154.8 ,14 ; 1,881;1,483;2,84.
155. 0,!Jl9; 0,605; 0,445; 0,347; 0,281;
0,23 1; 0,193; 0,162.
156. 80=22,l м; С0=34,2 м; DO=
=29,5 м.
160. Косеканс yrJJa, отме•~ениоrо чер
точ коi1 S 1щ ШK~Jle S.
162. 2,06·10' минут; l,2..18-l ot секу1щ.
163. 68,8' = 1"8,8'; 602' = 10°2';
36H'=60u44';i857'=47"37',
164.619' = 10'19.;282"=4'42";
1.013•.10>.
165. 2° 55'~3°.
166. 1,005; 0,424; 0,1847.
167. 0,0467; 0,01676; 0,000714.
170. О,001028; 0,00766; U,00509; 0,00873;
171. 1,193· 10' км.
172.
159
ЗАДАЧАМ
нли
LLJ);
тппь
1 11
231.
чис.10 а шкалы С nоста
против внзнрной
гунка.
Оп~ет
ч11п1ть
1
0
на
тшин
шкме
бе
D
~~r~ : 1~6~~~а { 0~29; н2~М~~к~~б~~
3,821.
ОТВЕТЫ !( ЗАДАЧАМ
160
232. Р = е' Q. Полагая µ.=0,4, nOJ'JY·
•~аем е 0 ••· 1 •п 1 = l ,88 (ответ на шкале
LL21), Так11м образом, Р
l ,88Q.
=
233 . .Можно. Надо обычным образом вы ·
· ч11сл11ть
при одной уст;шовке движка
а·Ь
выражен ие С 11а · шкалах
(см,§
D,
234.
235.
236.
238.
239.
240.
17),
С и
а на шкалеLL3(нлнU2,или
с= 2 _165 ln 2,5 =
LLJ).
0,346.
125; 1,621; 1,0495.
9,31.
.
425; 244; 73,9; 15440.
135 (на шкале U3) .
1,925; 8,00; 4,41; 116,2; 32,9; 3,00;
18,О; 2,ЗЗ; 1,362 (на шкале LL2).
241. 14,06.
242. 5,49; 1,615.
243.
D
110 ответ читать не на шкале
246.
На до 11сnол1;3овать коне'lный штр11х
шкалы С·х=::.О,4=?./5. О11еnидно,
247.
х=О,375;
з2•t•=(iY")'= "="
0) 47,6; l,472; 1,0393;
r) 1,1154; 2,98.
244. х = 1,333; х
1, 530; х = 2,24.
245. 5,00; 2,366; 1,762.
=
х=О,524;
=-
~~~: К ~~75~ t:~i~/tfв22;' ki~~З.
258. 0,415; 0,168; 0,0036,
259 •.М ожно;
11ооыn способ выгоднее для
решения задачи
ответы
258,
по.11уч.аются с
так
как
uce
его 11омощью
при одноil установке дои:жка.
260.
О,0132 ('11пая ответ на шкале
внимательно следите за
лений!); 0,000150.
LWO,
ценоА
де
'
~Q~&Юе1;2з~·= : ~-=j;~o~;~
262.
263.
264.
265,
266.
l - 2e - f1 =0,99975. Ответ; 0,99975.
1,260; 1,325; 1,436; 1,668; 1,702.
1,02532; 1,04182.
28,0 (на шкале LL3).
1,100 (на шка .~е LL/).
3,77·10'; 5 · 10~; 2,47·101 •
261
~~ : :~~ J:~~; ;J~Ыг,
х=О,791;
х=7 ,53; х =5,32.
248. х = 0,848.
249. х
0,379.
250. 3, 12; 0,75.
254. 27,64; 19,97; 132,1; 1,361; 2,864;
21,60; 3,'19.
255. 1,935; 1,0682; 736.
1
5