Автор: Стиффлер Дж.Дж.  

Теги: электротехника   монография   информационные технологии   телекоммуникации   передача информации   теория связи  

Год: 1975

Похожие

Теория синхронной связи

Проектирование оптимальных систем производственной связи

Физические принципы и техника передачи дискретной информации

Сигналы. Помехи. Ошибки... (Заметки о некоторых неожиданностях, парадоксах и заблуждениях в теории связи)

Текст 
                    Дж. Дж. СТИФФЛЕР
Т'еория
u
синхронно и
связи
Перевод с а'НГЛИЙСКОГО
Б. С.Цыбакова
подред. Э.М. Габидулина
6et{,. ~ 9
-(! g1)


6ФО.1
С80
УДК 62 1.39 -072.9
O'11Ветственный редактор серии Б. Р. Л е в и н
Редакционная коллегия:
А . Г. ЗЮКО, Л . :М. ФIИНК, ,Б. С. ЦЫS.АКОВ, В . В , ШАХГИЛБДЯН,
Ю. С. ШИНI.АКОВ, Л. Н. ВЫЛЕГЖАНИНА
Дж. Дж. Стиффлер
С80
Теория синхронной связи. Пер. с англ. Б . С. Цыбакова
сзо4оt-о35
045. -75
под ред. Э. М. Габидулина . М., «Связь», 1975.
488 с. , с ил . , табл. (Статисти,ческая п~ория св язи).
К.ни,·а Стнфф л ера нвлл ется пока единств е нной в мнровой л11тературс
монографией, в которой си стематизирована н ясно изложена современная
теория синхронизации систем связи. Теория синхронизации излагается на ос­
нове теорн i[ реш е ний. Рассматривается синхронизация с помощью отдеJiьного
канала, а та~ок е непосредственно по последовательности сигналов , несущих
информацию.
Кнш·а рассчитана на ' шпрокий I<pyr научных работнин: ов, ннженероn.
аспирантов и студентов старших курсов, специализнрующнх с я в 06ласт11 пе­
редачи ннформацнн, в1"1чнслит ел1:01-1ой т е хники и киб е рн етн1..:н .
30401-035
с----25-75
045(01)-75
Tl1eory of syncl1ronous commtшications, Stiff]eг J . J .
Prenlice Hall, Inc., Englewood cliffs, New Jersey, 1971 .
25-75
6ФО.1
~
1 Перево,д- ,на ру..,с1шй язык, иэда1·е льство «Свя з ь », 197,5 r .


ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга Дж. Дж. Стиффлера ,«Синхронные системы связи» яв­
.1яется ~пока единственной 'В мире монографией, 1в которой систе­
м а тически излагается теория ,синхрон1иза1ци,и ,систем связи. В кни­
::-е ообраны и обобщены результаты, разбросанные по многочис ­
.1е нным, зачастую ,малодосту,пным для со:ветсжого читателя .источ­
ни кам . Отличительной особенностью монографии является рас­
оютрение щ:юблем оинхронизации в рамках общей теор,ии кодиро­
вания, модуля1ции и оптимального приема сообщений . Такой
п одход поз,воляет естественным образом обнару,жить тесную связь
~1 ежду весьма далекими, ,на лервый взтляд, областями, как на'При­
~1 ер, .между теорией систем ФАПЧ 1и теорией коррек'])ирующих
к одов.
В пер1вой части рассмотрены вопросы, в.ключае,мые обычно в
курсы под условным названием «Теория :передачи сообщений» .
Интересны результаты, относящиеся к последовательному mоиску.
Кратко ,и яс,но описаны дискретные :по времени системы связи и
системы ФАПЧ .
Во второй части рассмот,рены собственно ,вопросы теории син­
хр,онизации, а в третьей - вопросы теории кодирования примени­
тельно к задачам синхрон,изации . ,Многие результаты в этой об­
л асти ,принадлежат самому Дж. Дщ. Стиффлеру, причем некото­
рые из них п убликуются впервые.
Можно надеяться, что ,кн,ига будет полезна советским читате­
л ям, ж1елающим оз~на,комиться с сов,рем•енным состоянием теории
синхрон изаци,и.
Пр.и 1перев-о:д,е третьей (.и частич,но 1вт,ор,о~й) час'])И ,была1 ,опуще ­
ны доказательства ряда из1вес11ных ут.верждений . Эти доказатель ­
ст1ва можно найТ1и в литерату,ре mo 11еор,и,и кодир,01ва1н.ия, изда1Н1н-ой:
в нашей ст,ра,не. Кроме т,01го, ;произведены союращения вапомоо-,а­
тель,но:го материа,ла (математич,еских ,п,риложений, ;ря,да зада1ч,
историчеоких замечаний и т. ,п.) .
В заклlЮ'чени•е с,ч.итаю своим 1пр,иятным долгом ,побл.а['ода1р•I~Iть
Е. В . Воро1нона за ~помощь юри подготовке пер,евоща ,к итечаТIИ.
Э. М. Габиаулин


ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта кню·а 111~освящена синхро.низаци,и в системах связ.и. На .ран ­
ней ста дии ее создания четыре .последних слова составляли назва­
ни е юшги. Настоящее название получ,ило предпочтение по двум
прич ина м. Во-первых, хотя книга посвящена исключ,ительно систе ­
мам связи, в которых для эффективной работы необходим ,синхро­
низм между передатчиком и ·приемником, рассмотрение, тем не
,менее, не огра.ничивает•ся обсуждением только методов уста-новле­
ы,ия этог о синхрон,изма; значительная часть книги посвящена опи­
сан ию и исследовэ.нию самих систем связи : Во-вторых, неrооторые
вопр осы, .которые могли бы .r;ющпасть под первоначальное ;наз.ванне
книги (на1пр,имер, вопрос синх,ро.низации сети в случае, когда не­
которое ч,исло абонентов требует одновременного доступа к систе­
ме ограниченной емкости), здесь совершенно не исследуются .
Цель .кн иг.и - изложить основы теории .синхронных систем свя­
зя, ,принципы их функц,ионирования и характеристики, а также
представ,ить выв,оды теории ;в форме, удобной для использования
при проектиро,ван.ии систем -связи. В соответствии с первой из
этих зад ач теоре'Гические волросы излагаются достаточно подроб­
но и приводя.11ся д,оказа1'ельс11ва ш,сех ,наиболее важных ,результа­
тов . Для решения второй .из ука занных задач при теоре'Гическом
рас-смо трении упрощающие 1п редположения .вводились ,в тех слу­
чаях, когда только с .их помощью можно было .получить mоддаю­
щи еся iИ11-пер1претации р •езультаты (т. е. те, которые можно объяс­
•нить без о~б,раще~ния 1к • большим ,в ыч,исл.ителыным машюшм) .
Книга - состоит из тре х частей. В лер1вой части (с ,первой JIO
пятую главы) излагаются основы -стат~истиче.ской теории решений
,и статистиче,ской теории о~ценок; они применяются для а.нализа
некотор ых синхронных .систем -связи. Рассматривается также ряд
дополнитель.ных вопросов, ,в том числе теория поиска и теория
еистем фазовой авто.подстройки частоты несущей ( Ф.АJПЧ), .кото­
ры е важны для второй части этой книги. Нторая часть (.главы с
шестой .по девятую) посвяще.на методам устано1вления синхрониз­
м а, необх одимого для эффек11ивной работы систем связи. описа,н­
ных в ~первой части. В этой части даются отшеты, по крайней мере ,
част ично на во1Просы: ~«каков наилучший метод синхронизации?»,
•«насколько быстро можно войти .в оинхр~0низм?» и к<с какой точ­
ностыо можно поддерживать оинхронизацию?». Третья часть ю-шnи
посвящена теории кодиро·в а.н,ия и включает в себя .как кодирова­
ние источников сообщения, так .и кодирование для каналов связи .
В- с-оответ,ст,вии с общей направленностью книги значительное 1вни ­
моюr е уделено методам ;построения ходов, дающих возможность
установить и ,поддержать синхронизм между кодером ,и декодером.
В ~к онце 1ря1да J'Ла~в 1имеют,ся .задачи . Эти эадачи ш,ключены, глав­
ным о~б!разом, для т,ого, чтабы ра1сширить материал ,С/Вязанных с
ни-ми глав, а 1во .м,но~г.их случаях дать новый материал, который ;ИЗ­
З'а оr.гс-ут-сnв-ия места не мог rбыть в,ключен в ос;новной те,к,ст юшг.и.
4


М ы предполагаем, что читатель знаком с теорией случайных
:~р о це ссов и шумо,в. Для этого, нашример, вполне достаточным яв­
.1яе тс я материал леrвых девяти гла,в книг.и Давенпорта и Рута
.::: Введе ние в теорию случайных сигналов и шумов» (изд-во ИЛ,
196 0) ,или глав ,втvрой и т,реть ей книги Возенкрафта .и Дже1юбса
« Т ео ретические осно,вы техники связи» (изд-,во ,«Ми р», 1969). Для
чн т атс лей с такой подготовкой настоящая юrига будет содержать
в с е .не обходимые для ее понимания сведения. Конечно, ,не следует
.::r, у м а ть, что пр,ивлечен,ие .J,О'полнительного материала не рекомен­
д у е т с я, однако ,предполагается, что при чтении книги читатель с
о г ов о р енной выше подготовкой не п6чу,вствует необходимости об­
р ащ а ться к другим книгам.
Многи м я хотел бы выразить свою бла,годарность за их помощь
пр и п од го товке этой работы. Прежде всего, это от:носится к маей
ж е не, которая не только терпела мою работу над к,нигой в течение
п ос лед них несколышх лет, .но даже (чтобы ,от.влечь ее от мысл,и о
тре б о вании ком,пенсац.ии за 1мое ,пре,ступлен,ие) была нагружена
не од нокра тным перепечатыванием нескольких ,вариантов рукопи­
си. М.пе бы хотелось также особо шоблагодарить профессоров
Р . Штоль ц а и :и. Бл.эйк за чт,е,н,ие в,сей ,ру.1ю;писи .и за ,мно,гие по­
л езные mредложения, способствовавшие ее улучшению. Кроме то­
г о, я оч,е:нь благодарен шро:фессо1ру И . .Блэйк за 1пом,ощь 1при чте,нии
корректуры книги..Я обязан также моим коллегам, которые либо
доб ро во л ьн о, либо без сопротивления читали различные части ру­
коп и си и высказывали по лим свои мнения. К н,им относятся док­
тора Е . Б рукнер, С. Батмэн, Р. Эспозито, С. Фарбер, Р. Кинг, Дж.
Л эй ле,н д, Дж. Залыц, Г. Со.ломан и А. В.итерби. ,Я особенно !Пр•из ­
н ателен доктору Р. Турину, оказав шему существенную шомощь при
.пос лед н ем ,пер-есм-отре руко,писи, и П . Шоттле~ру, ~который не т,оль­
к о ч ит а л несколько глав рукошrси ,и делал по ним замечания, но
также п р очитал ко рре ктуру ·верстки ·всего текста книги. Выражаю
б ла год арность также Р. Холлу ,и Р. Джекобсону и их .коллегам .за
у ча стие .в оформлении всех рисунков. Наконец, хочу поблагода­
ри ть ·проф ессо,ра Т. Кайласа за ·предложение написать эту книгу ,и
з а ряд полезных предложен,ий и критических замечаний на на­
чал ьно й стадии, а также профессора С. 1Голомб а, который не толь­
ко с тиму л и ро,вал мой начальный ,инте.рес к этой области, но и сам
вн ес мног ое ,в . решение .проблем, рассма·триваемых в юr,иге. Кроме
тог о, в о вре мя одного из периодически ,возникавших у меня при­
с ту пов отч2.ян ,ия из - за отсутств,ия ,прог,ресса при написании, в ча­
стно с т,и , глав рукописи, посвшце н1-1ых с·инхрон.изации, он обратил
мо е вн има .ние на то, как уместны здесь слова Гамлета, которыми
я з ак анчиваю это лредисловие:
«Порвалась дней связующая нить,
Как мне ~брывки их соединить!»
(«Га,1:лет » , акт!, сцеиа 5) .
Дж. Дж. Стиффлер
!(онкорд, шт . Массачусетс


ЧАСТЬ I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Глава 1
СИНХРОННЫЕ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
1.1. Введение
Система связи может быть наз.вана с,инхронной, есл и
необход,имым условием ее удовлетворительной работы я,вляется
существ,ование общего для передатчика ,и приемника отсчет а iВре­
мени. Цель вводной главы состоит в том, чтобы выделить х а ра к­
терные свойства таких систем и указать различные функции, ко­
торые может выполнять этот общий отсчет времени. Постепенно в
дальнейшем будет ·выя.влено отношение ,различных вО1просов , об­
суждаемых в последующих главах, к общей теор,ии синхронной
с,вязи.
1.2 . Модель системы связи
~труктурная схема, изображенная на рис. 1.1, предста,в­
ляет собой обобщенную модель -системы связи. Эта схема :выбрана
не только потому, чт,о я.вляется достаточно общей ,и охватывает
_широкий
класс систем, но также потому, что каждый ее блок
,предъявляет определенные требования к синхронизации, т. е . тре-
6
""- {~---. '- ,..,.,....__,,,....,..,
~
YcmpoiJcтlJ,
'i::;
Пf}О113dоОЯ-
~ • Исто1шик щее dы-
~
00/JKU
1:::: ---
~ тель
Регене­
ратор
сооощенин
'{Полу1щ-
~ ,___
____.
,__;,__-~
l{oiJep
UCfflOI/HUIШ
Дeffoilep
истоvJшко
Рис. \.\ . Модель системы связи
!(otJep
ffOНaЛ(J
'CffOOllJJ
l((IН(JЛ(J
/rloiJyляmo.
ДемоiJу­
лятор
Кшшл


бова,ния, ,кото,рым должен удовл,е1шорять общий отсчет 1в1ремени.
Во м.ногих системах отсутствует од,ин или большее число блоков,
ук аз анных на рис. 1.1. Так как удаление какого-либо из блоков
уп рощает оставшуюся систему, то будем вначале ,рассматривать
си стему (имея в ,виду цели синхронизации), ,в которой присутст­
вуют все блоки .
Источник ~представляет собой просто •источ,ник ,информации, ко­
то р ую ,нужно передать. Его выход, по предположен,ию, является
сл учайным процессом; он может быть непрерывным ил,и дискрет­
н ым ,по ам1плитуде, а таюке по времени. Устройство, производящее
в ыборки, л.реобразiу'ет етот случайный ~процесс 1в слу,чайную лосле-
д овательность.
•
Кодер источника выполняет несколько функций. В наиболее
п ростом -случае он представляет собой преобразователь аналог­
ц ифра , iПреобразующий постушающие на его вход выборкn -в после­
довательность цифр некоторой удобной системы сч•исления (напр,и­
..\1 ер, часто, но не всегда, двоичной оистемы) . В более общем слу­
чае он я·вляется устройством для отображения ,выборок в слова,
т. е . в последооательности :цифр или си.мволов; это отображение
может сильно отличаться от того простого отображения, которое
обычно ассоциируется с работой преобразователей аналог-цифра.
Кодер ,источника может быть предназначен, на1пр,имер, для того ,
чтобы сниз,ить среднее число символов, необходимых для представ­
л ения типичной .последовательности выборок, ,с ,помощью уменьше­
ния избыточности, почти неизбежно присутствfющей в необрабо­
танных данных. Его функции ·могут олределять·ся и какими-либо
другими соображениями.
Как бы ,в силу ,иронии, кодер канала вводится для тало, чтобы
анести избыточность в последовательность .символов, постулающую
на е го .вход . Цель здесь состоит в том, чтобы дать ·возможность
приемнику iПрааильно о.познать сообщение, .представляемое те перь
кодовылtu словами канала, несмотря на некоторые ошибки, кото­
рые могут про;.~зойти при передаче. Оба этих кодера не нейтрали­
зуют друг друга, как это может ,показаться с первого взгляда .
Обычно естествелная ,избыточность, устраняемая кодером ,источ­
.н,ика, является .намного менее эффективной в борьбе с ошибками
при пе,редаче, чем контролируемая избыточность, вносимая коде­
ром канала. Даже если это и не так, уже то обстоят ельство, что
избыточность контролируется, позволяет использ-овать ее более ра­
цио на лы10.
Ф унк ция людулятора состоит в преобразовании последователь­
н ос11и оимволов на .выходе кодера в последовательность -си,налов ,
приг одных для передачи ло каналу связ,и. Каждый сигнал, в об­
щем случае, .содержит несущую (или поднесущую), обычно сину­
соиду , ам1плитуда, фаза или частота коте>рой изменяются ( модули­
руются) в соответствии с подлежащей передаче информацией .
Фи з,ические каналы часто можно представить как посл едова­
тельное соединение устройства -с некото.рой частотной х а,рактери­
с ти ко й Нс (ffi, t) и элем е нта , который лроизвод:!1Т сложение сигна л а
т


с мешающим шумом. В ~последующих главах, когда будет 'i-1еобхо­
димо указать более определенно тип канала, он всегда буде+ п ред­
полагаться широко.полосным и не за1висящим от време:~iи , т. е.
фующ,ия Нс·( ю, t) будет предполагаться не зав,исящей ,нй • о т ю
(в существенной для рассмотрения ~полосе частот), ни от t. Б олее
того, обычно будет предполагаться, что шум представляет со бой
.выборочную функцию белого (т. е. имеющего рав,номерR:fJО с~пек­
тральную плотность на :всех представляющих интерес ч: jсто тах)
гауссовского процесса. Получающийся ·в ,результате кана л явл яет­
ся удоб.ной (,но редко адекватной) моделью реаль.ного к ана ла.
(Возможно, что единственным физическим каналом, для к отор ого
все эти условия ,в действ,итель:ности выполняют,ся, является 1<ос ми­
ческий ,канал). Однако его ~важность обусловлена двумя с ледую­
щими обстоятепьствам,и: во-первых, его ,сра.внительно ~п росто а на­
лизировать; •во-вторых, ,результаты этого анализа ,показы вают, че­
го следует ож.идать пр,и исследовании более слоiкных канало в, и
во м.ногих случаях являются .необходимой основой для по л учения
более общих результатов.
На .приемном конце деikт,в.ия производятся в обратно м по ряд­
ке; каждый блок (см. рис. 1 . 1) .выполняет о,перац,ию, обратную по
отношению ,к соответС'nвующему .блоку на передающе м конце.
Демодулятор преобразует принятые сигналы в 1по,следов а тельн ость
символов, которую декодер канала переводит в тот :вид , кото рый,
как мы надеемся, был на входе .кодера канала. Зате м деко дер
источника преобра~ует лостушающую на его вход посл едоват ель-
1-юсть в последовательность импульсов различной амплит уды: О ни,
в свою очередь, используются регенератором сообщения для того,
чтобы произвести ,вычисление. оценк;и дей•ствительного ,вх ода ,источ­
ника, которая и поступает к получателю.
Описанная схема связи называется дискретной системо й связи
с кодированием. Если ч схеме опущены блоки :кюдера и де1шдера
жанала, то система все же остается д,иск,ретной rno своей [Iр и роде
(так как в ,ней ,использует,ся лишь конечное число сигналов ) ,и ,на­
зывается дискретной или дисrоретной по амплитуде импульсной си­
стемой связи. Если блоки .кодера и декодера .источника также от­
сутствуют, то система называется непрерывной по амплитуд е им­
пульсной системой связи. Хотя .информац,ия не имеет здесь дис­
кретной формы (кроме того случая, когда сам источник явл яе тся
дискретным), все же до ее передачи еще · производятся выборки
(диск р етизадия по времени). Наконец, если устраняются также ,и
устройст,во, ~производящее выборwи, и соответствующее устройство
;на приемном конце, то с,истема ста.новится аналоговой системой
связи.
При рассмотрении синхронных систем связи лоуч,ительно вна­
чале !Предположить, что в действительно.с11и имеется общий отсчет
времени, удовлетворяющий всем необходимым условиям. В соот-
1Ветстви,и с этим гл. 3 и 4 {следующие ~после вводной rлавьr (гл. 2) ,
в которой изложены некоторые основные 1по.нятия, необходимые
для изучения систем с.вязи ] посвящены описанию и ·исследо ва нию
,8


;ншуль.сных с,и.стем ·связи м, в частности, вида опт,имального деJ\н,­
ду.1ятора для таких систем. ]\1етоды кодирова.ния рассматриваются
3 г л . 10 и 13 . Глава 10 посвящена вопросам построения кодов и
устране ния избыточности (кодирование ,источника), а гл. 13 пос·вя­
ще.на в-оп,росам борьбы с ошибкам,и (кодирова.ние для канала).
Анало го1Вые системы, однако, здесь рассматриваться не будут, так
к ак они обычно .не являются ,си нхронными и поэтому выпадают
из круга во!Просов этой книги. Если в аналоговых оистемах необ­
ходим а синх роаи зация, то ~то неизменно связано с требованиями,
предъявляе,мым,и источ.ни ком (как, например, при передаче теле­
визион ных сигналов), а не самой с,истемой связи 1) . Поэтому и ме­
тод, ,и,спользуемый здесь для синх,ронизац.ии, также факт-иче.ски .не
з а1в.и1сит · от ,к,о~н~креТ'НО и-с1пользуемой ~схемы модуляции, а обсужд,е ­
tН Ие это:го ,метода ,не влечет за собой ,сооТ1ветст.вующее расс,мотре­
ние ,о,ставшейся части схемы.
1.3 . Задача синхронизации
Говорят, что две !Последовательности собы11ий являют,ся
синхронными, если соответствующие события в .них прои.сходят од­
нонременно. Синхронизация определяется просто как процес,с уста­
новления .и 1подд.е:ржа,ния синх,р ,он,но1го состоя•ния.
Что бы испою,зоватъ эти понятия при рассмотрении систем свя­
зи, нео бходимо лишь положить, что одна из двух посл едовательно­
стей событий, которые должны быть синхрониз.ированы, имела
мес то в ~передатчике, а другая - в приемнике. Обычно удобно ,как
для понимания лринщипа, так и для работы раздел,ить процеос
синхронизации на два различных типа, хотя в некоторых случаях
такое 1раз,делен-ие доволыно иоку.с1с11веюю. Первый тиlп, синхрониза­
ция отсче тов врел,~ени, необходим для того, чтобы отсчетьr време­
ни, ко торые регулируют обе последовательност,и, подлежащие оин­
хронизации (т. е. отсчеты времени в передатчике и ,в приемнике),
про,изводил ись ,с одной и той же око1ростью 2). Вто:р,ой ТИIП, синхро-
1шзация более высокого порядка, нужен для того, чтобы иден11и­
фицировать соо11ветст;вующие 1nа,ры со·бы-гий в д,вух 1после.дователь­
ност ях и осуществля1:ь их одновременное появление. Ясно, что если
одно и то же событие ~происходит в двух одинаковых 1последова­
телыюстях однов,ременно и если .последовательности раз.в,иваются
1 ) • Следовало бы сделать искщочение в этом утверждении для фазово-коге­
ре11т11ых систем амплитудной модуляции. Несущая дает общий отсчет времени
дл я передатчика и приемника, так что эти системы, по крайней мере, в некото­
ром эле ментарном смысле, являются синхронными. В любом случае . такие системы
тесно связаны с системами когерентной амплитудно-импульсной модуляции, кото­
рые 11од робно изучаются в последующих главах, и поэтому не будут рассматри­
ваться отдельно. (Пршл . авт.)
2 ) • В отечественной литературе к<отсчеты времени» часто называются такта­
МI!, а «синхронизация отсчетоз времени» - тактовой синхронизацией. Остав­
.,е нный в перевод е т е рмин больше соответствует той общей концепции, которая
развивается в книге. ( ПpttAt. перев.)
9


с одной и той же ,скоростью, то последовательности являются и
буду>г 1пр,о,должать оста,ваться си~нхро1низ,и,ровасr-ш-Iыми .
Если отсчеты времени в ~передатчике и .приемнике достаточно
стабильны, чтобы обес~печить требуемую точ,ность синхронизац,ии,
то синхронизация отсчетов времен,и может быть опущена . Однако
обычно этот случай не имеет места ,и для установления необходи ­
мой синхронизации отсчетов времени ,следует использовать подхо ­
дящий метод. Самым прямым методом являются ,использование
для отсчета времени в передатчике период,ического сигнала ,и пе ­
,редача •эт,ого сигнала вместе с информацией . Соот,вет,ствующим
образом отфильт,рова.нный принимаемый сигнал ,может быть затем
использован для отсчета времени в ~приемнике. Пр,и таком ~подходе
возникают два довольно фундаментальных вGпроса . Первый воп­
рос, относительно структуры оптимального фильтра пр.ием.ника,
являет,ся предметом гл. 5. Второй .вопрос, относителы-ю взаимосвя­
зи 1между используемым ,сигналом и качеством синхронизации от­
счет,ов ·времени, рассматривается наряду с д:ругими проблемами в
гл. 6.
Конечно, сама несущая могла бы быть использована для от­
счета ~времени. В фазово-когерентной с,истеме 1), в которой пред­
полагае'Гся, что при демодуляц,и,и фаза .несущей известна, должны
также быть ,с,инхронизированы принимаемая несхщая и местная
опорная несущая. Если фаза несущей связана некоторым з·адан­
ным и известным соотношением ,с отсчетом времени на передатчи­
ке, то местная опорная несущая также может быть и,с~пользована
для местного отсчета времени . Есл,и передаваемый сигнал содер­
жит спектральную ыомпоненту на частоте несущей (т. е . есл,и ,не­
сущая не ,имеет 100 %-ной модуляции), то возникающая ситуация
будет такой, как описано .выше . Однако, даже если такая ком­
понента не !Передается, часто можно извлечь .несущую из переда­
ваемого модулирован.наго сигнала. Соответ,ствующие методы опи­
саны в гл. 8. Заметим попут,но, что ,синхронизация несущей явля­
ется частным случаем оинхронизации от,счетов времени, и поэтому
она за1ведомо обсуждается в вышеупомянутых главах . В тех слу ­
чаях, .когда не требуется провюдить различ,ия, термины синхрони­
зация несущей (или поднесущей) и синхронизация отсчетов вре­
мени будут использоваться как синонимы.
После того как отсчеты в.ремени в передатчике ,и приемнике
синх.р0!низ-И1рованы, начинается ~второй этап с,и,нхрон.изации. Некото­
рые события, происходящие в каждом из блоков на приемном
конце схемы рис. 1.1, должны быть ,синхронизированы с соответ­
ствующими события1ми, происходящими в аналог1ичных блоках на
передающем конце. Для эффективной демодуляции необходимо ,
чтобы дем,одулятор был синхрониз,ирова·н с модулятором так, что­
бы было известно, когда кончается -сигнал, представляющий один
символ к·анала, ,и начинается другой ( синхронизация символов).
1) Системы, в которых работа демодулятора не основывается на знании
фазы несущей , называются фазово-некогерентными. ( При,н. авт.)
10


Де кодер канала не может правильно работать до тех ~пор, пока
о н не сумеет определить начало каждого .кодового слова ( синхро­
низация кодовых слов). Аналогично декодер ,источ.ника бесполе­
зе н, если поступающие на его вход сим·волы не могут быть ,разде­
:rены на группы, каждая из которых соответст.вует выборке ,сооб­
щения ( синхронизация слов сообщения) . Наконец, так как смыс л
любой ,конкретной выборки сообщения может быть определен
ли шь ее полож ен ием в последовательности выборок {или в блоке
(кадре), как ,ин огда говорят], генератор •сообщения ча,сто должен
быть синхронизирован с выборка•ми сообщения (синхронизация
кадров).
Если невозможно точно определить, !Происход,ит ли ,собьпие в
моме нт t или в момент .t+nT0 , где п-какое-либо целое число, то
го в о,рят, что существует неоднозпачность во времени, равная Т0
се кунщам. Минимальная ;пр,иемлемая неодноз1нач,ность 1во времен•и 1в
системе связи равна периоду ,события, требующе,го ,синхронизации
н аи в ысшего порядка (т. е . ~периоду кадра). Если бы период отсче­
та времени быJ1 равен минималыюй приемлемой не,однозначности .
во времени ил,и ра1вен некоторому целому кратному этой величи­
ны, то фаза пр ,инятого сигнала в.ремени ,сама бы давала всю необ­
х одимую информацию о синхронизации и синхронизация второго
11ипа была бы тогда избыточной. ,К сожалению, .редко бывает ра­
зумным ,использовать отсчет .времени, ,имеющий такой большой п е ­
риод. Таким об.разом, если период ,от.счета времени равен IЛТ се­
кунд, а минимальная приемлемая .неоднозначность во времени -рав­
на То секунд, причем Т0/ЛТ~ N> 1 1), то ,остается N-,~р•атная .не,сщ­
.нозначность, ,которая должна быть разрешена, прежде чем лроце,сс
си нхронизапщи будет считаться законченным . Цель с,инхронизац,ии
более высокого .порядка состоит в том, чтобы выполнить это раз­
решение.
Как и в случае -синхронизации от.счетов времени, очевидным
метод:ом ,передачи информации, необход,имой для синх,ронизации
более высокого .порядка, является использование отдельного ка.на­
ла ед,инственно для этой цели. Менее очевидный, ,но ,потенциалыю
более эффективный ~подход состоит в попытке осуществить тре.буе­
мую синхронизацию с помощью модулированных сигналов. Оба
эти мета.да деталыно изучаются в ~последующих главах . Рассмат­
р ива емые задачи включают 1в ,себя: задачу ,синтеза сигнала в ,с лу­
чае, когда используется отдель.ный канал для синхронизации
(гл. 6); задачу оптимизации процедур различения гипотез и оце­
.ниван,ия в ,применении к синхрон,изации для случаев, когда исполь­
зуе тся отдельный канал для синхрониза1ции (гл. 6) и когда ,и нфор­
мация для синхронизации извлекается непосредственно ,из моду­
лирующего ,сиг11ала (гл. 7). В гл. 9 раосмат.риваются вопросы о
том , к чему приводит несов е ршенная ,с,инхронизация, и во.прос об
опти мальном распределении мощности между с,инхроканалом и •
1) Символ ~ нспользуется в дальнейшем для обо з нач е ния равенства п о
определению. (При,11. авт. )
11


каналом для передачи информации. Наконец, гл. 11, 12 и 14 пос,вя­
щены а.нализу методов внесения дополнительных •ограничен,ий на
опособ, которым символы, представляющие сообщение, груп пиру ­
ются в слова -с тем, чтобы поЯ~вилась возможность ,с,инхрони за ции
слов.
Прежде чем закончить •эти вводные замечания, следует , воз­
можно, .сказать о методе, с помощью которого наиболее часто
уст,раняются неопределенности ·во времени. Есл,и каждый кадр со­
держит, скажем, n1 слов, кажд, ое слово содерж,ит п 2 символ ов и
каждый ,символ длится точно nз ,пер,иодо-в отсчета времени и е сли
эти числа n1, n2 и nз .нзвес·тны, то в.се требуемые типы синхрони­
зац,ии, в принципе, ·можно о,существить после того, как будет у,с та-
1-ювлена си.нхронизация кадров. Отсюда -следует, что нужно сосре­
доточить вниман,ие исключительно .на синхрониза,Ции блоков и по­
луч,ить всю остальную информацию о синхронизаци.и как ·вторич­
ный продукт. Это был бы разумный подход, если бы не бы ло ни­
каких отра.ничительных условий ·на сложность устройств, ИСIТТО ЛЬ­
зуемых на приемном конце; однако такой подход .не п,ракт и чен,
когда нужно работать ;пр,и -более привычных ограничениях. Ка к бу­
дет показано, время, иеобход,имое для разрешения N - кратной еин­
хронизационной .неоднозначности пр,и т,ишrчных ограничения х ап­
паратурного характера, юрямо пропорционально ,IV .и даже може т
быть пропорционально некотор,ой целой -степени N в завис имости
от обстоятельств. Таким образом, есл,и N =-n1n2nз •и если следует
разрешить всю ,N-крат1ную 1н-е,одноз,на·чность за одн,у , о~перац.ию,
то время синхронизащш будет порядка n1n 2nз. В противоп ол ож­
ность этому, если сначала устанавливается ,синхронизация сим во­
лов, затем, ,соот ,ветственно, синхронизация слов и кадров, то в ре­
мя, необходимое для оинхрониза,ци,и, будет пропорционально
п 1 +n2 +n3 , т. е. полная задержка с,инхрониз·ации равна задерж,ке,
.необходимой для ,раз,решения nз -:ырат,ной неод,ноз1начности в ,син­
хронизации символов, сложенной с задержкой для разреш ения
п2 -кратной нео,дно.з,начност.и 1в ,с,и:нхрониза~ц.ии слов .и ,з·адер жкой
для ,разреше1-гия п 1 -1к ра'Г•НОЙ неод1ноз1начн,о,ст,и -в с.инхро,ни зац,ии
кад,ров. Если использ ует,ся внутренняя под,структура, котор ая не­
обход,имо имеется в каждом кадре, то ;полное время -синхрон,иза­
ции может быть снижено в (существенное) ч,исло раз:
n 1n2n3/ (nr + n2+ nз). По этой 1пр ,ичине наиболее разумно начать,
вообще говоря, с синхрониза:ции само.го -низкого порядка (т . е. с
си,нх•ронизации для у,с'Гра,нения .наимень,ших :нео,дноз,на,ч.ност ей) и
затем последовательно ,перехо.д:ить к синхронизации более высо­
ких порядков.


Г/1. ава 2
ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ,
ТЕОРИЯ РЕШЕНИЙ И ПОИСК
2.1. Введение
Большая часть матер ,иала этой и последующик глав свя­
за н а со следующей общей задачей. Наблюдает,ся случайный про­
uе сс y(t). В результате наблюдения выделяет,ся ,множество ко ор­
.::~.и нат ил,и, проще говоря, наблюдаемых 1) У= {Yi}- Изве•ст.н о, что
эт и наблюдаемые порождаются источником, ,который может на хо­
.J.И ться в одном из нескольких возможных состояний. Стат исти че­
ск ие свойства наблюдаемых предполагаются известным-и для к аж­
дого состояния источника. Требуется оm~эеделить по этим набл~0-
,J.аемым ,истинное состояние ,исто чника . Основ.вые правила, по тю­
торым производится эт,о определение, будут ме:нять-ся. Иногд а чис­
.1 0 наблюдаемых в множестве У будет фиксированным. В друг,их
случаях число наблюдаемых будет •существенно неог.ранич енн ым,
н о решение должно быть построено на основе .как можно меньшего
их числа при усло,вии, что задано ограничение на надежност ь этогФ
.решения.
Иногда отраничения на -слож1ность а~ппарату,ры будут 11реlбо­
нать, что·бы реше1н-ие было с,делан,о ,в несколь,ко ·пр.иемов ; воз ­
можно, что за сщин .раз rбудет 1п1ро~ве,ряться толь.ко г:и1п,от,еза об од­
•ном состоянии. В д,ру,лих •случаях гшпотезы обо в-сех сост оя1ни ях
могут быть :проверены одн-о,вре,мен,но.
В любом случае важными являют,ся -следующие .вопросы: как
при зад,анных основных :правилах решения задачи наилучш им об­
разом ,использовать .находящиеся в раопоряжении ,наблюда ем ые,
чтобы у,становить сост,ояние источника; .насколько надежным явл я­
ет.ся окончательное .решение.
В этой главе предпринята попытка ответить на эти 1Вопро.сы для
разнообразных ситуаций , с которыми мы столкнемся в последую ­
щих гл,авах. Начнем, mо-видимому, с простейшего случая , [{О Гда
и-сточник имеет только два возможных состояния ·и ч,исло наблю­
даемых фиксировано .
1 ) Множество наблюдаемых У часто называются статис1'икой; терми н «ста­
тистшщ» обычно относится к любому отображению одного пространства набл ю­
даемых 1[в данном случае пространства ис ходного процесса y(t)] на другое (в
данном случае на пространство наблюденных координат У). Статистика назы ­
вается достаточной, если при этом отображении не теряется никакая информа­
ция, имеющая значение для потребителя . (Прим. авт.)
13


2.2 . Выбор между двумя простыми гипотезами
Предположим, что имеется множество наблюдаемых
У= {у1, У2, . . ., Ум} . Задача состоит .в том, чтобы 0I1ределить по
этим наблюдаемым, какая из следующих двух гипотез ,имеет мес­
то: нулевая гипотеза IfO о том, что источник находит.ся в нулевом
состоянии и наблюдаемые описываются условной :плотностью р1ас­
пределения р ( У IН0 ), или альтернативная гипотеза Н I о том, что
источник наход,ин:;я в альтернативном состоянии и .наблюдаемые
о,пи1сываюкя mлотностью раС!пределения p1(YI Н1) . Так ,как каждая
гипотеза относится только к одному состоянию источника, то она
называет,ся простой гипотезой. Выбор между ними иногда назы­
вается проверкой (тестом) гипотезы Н0 относительно альтернатив­
ной гипотезы Н1, но вопрос о том, производится л,и выбор между
двумя ги_потеза•м,и и принятие одной из них или ·вместо этого про-
1верка одной из 1них и ,принятие или оТ!Ве<рж,ение ее является, оч•е­
ищд!I-IО, .вошросо-м терминолоf1Ии. СущестВJУЮТ два ,в,и;да ошибок, :пр,и­
сущих этой процедуре прове,ркш гипотез. 1Гов,о,рят, что происходит
ошиб1ш первого рода, когда липотеза Н0 я,вляется верной, но от­
вергается в результате проверки. Аналогично ошибка второго рода
возникает, когда верна гипотеза Н1, а принимается гипотеза Но.
Вероятность ошибки пер·вого рода ·называется та.кже уровнем зна­
чилюстu теста ,и обозначается через а. Вероят.ность ошибки .вт,о.ро­
го рода обозначается В- Наконец, упомянем, что вероятность
1-В называется мощностью теста при проверке гипотезы Но отно­
с,ительно гипотезы Н1.
Обоз.1-1ачим через S ,пространство возможных значений наблю­
даемых У= {У1, У2, ..., Ум}. Задача проверки гипотез состоит в
том, чтобы разделить пространство S на д,ве ·непересекающиеся об­
л-а,сти Ro и R1 (1Ro+R 1 =S) так, что если У принадлежит Ro, то
принимается Н0 , а если У принадлежит R 1, то принимается Н1 (от­
вергается Н0 ). Вероят1-юст,и ошибок а и В можно выразить с по­
мощью интегралов 1), взятых по М-мерным областям 1Ro и Ri:
1- Jр(УIН0)dY= Jр(УIН0)dУ= 1- а;
R,
R0
1- Jр(УIн1)dY =
.fр(УIf-f1)dу=
~-
(2 .1)
R,
Ro
Для того чтобы осуществить оптимальный выбор обла,сти Ro,
необходимо задать критерий оптимальности. В :связ,и с ,этим ,при­
пишем численное значение, или стоимость, каждому возможному
решению. Эта стоимость предста·вляет собой потери (или выигрыш
в .случае, если стоимость я.вляется ,отрицатель·ной), ·возникающие
1 ) Если наблюдаемые у; являются дисl(ретиыми случайными величинами,
то интегралы могут быть заменены суммами, а плотности распределений '- ве­
роятностями. Оба этих случая могут быть, конечно, записаны в единой фор­
ме с ыомощыо интегралов Стильтьеса. (Прш,t. авт.)
'14


п ри каком-то частном решени:и . Так ~как стоимость отдельного ре­
ше ния часто .не нсна, то .разумно, ~по-видимому, предположить, что
с тоимость ошибочного решения болыше, чем стоимость правильно­
го решения. Это предположение в дейстВ'ительности достаточно для
того, чтобы -определ,ить оптимальное ·правило решения 1в общем . ви­
,J.е, которое определяет,ся здесь как правило, ·минимизирующее ма-
т ематическое ожидание стоимости .решения.
.
Обозначим через C;j ,стоимость принятия Г>Иlпотезы Hi ;в -случае,
когда верной являет,ся г.ипотеза Hj, и пусть p(Hi) обозначает ап­
риорную вероятность того, что Hi является верной липотезой . Тог­
да математическое ожидание стоимости некоторого частноr,о ре­
шения
Е (стоимость) = СО() rР (У IНо) Р (Но) dY +
я.
+ C01JP(YI H 1)P(H1)dY + С1~ rр(У/ l-f 0 )P(H0 )dY +
R0
R,
+ C11Jр(У / Н1) P(J-1 1)dY.
R,
Так ·как какое-то решение должно быть принято, то
f p(Y I Hi)dY+_lp(Y/HJdY= 1,
R0
R,
так что
Е (стоимость)= f [(С01 -С11) Р(Н 1)Р (У IН1) -
R•
__ ,)
-
(С10 -С00) Р(Н0) р (У/ Н0)1 dY + С11 Р(Н1) + С10 P(l-f
0
)
.
(2.2)
(2.3)
Математическое ожидан.ие стоимости решения, очевидно, дос­
тигает минимума при определении ,R 0 как области, соде'Ржащей
все те точки У, для которых ~подынтегральное :выражение в ,равен­
стве (2.3) отрицательно . Так как по предположению величины
С01 -С 11 ·и С1 0-С00 ·полож,ительные, то оптимальная область 1R0 со­
держ,ит все точки У, удовлетворяющ;!е неравенс11ву
р(УIНо) > (Со1- Сн)Р(Н1)
.
(2.4)
р (У IН1)
(С10 - Соо) Р (Но)
Если отношение плотностей вероятностей p(YIHo)/p(Y/Hi) превы­
шает постоя.иную (Со1-С11)Р(Н1)/(С10-Соо)Р(Но), то ,в соотвеrг­
ствии ,с э11им тестом ,принимается гипотеза Н0 ; в противном слуЧiае
гипотеза отвергается. Этот тест известен под наз.ванием байес;ав­
ского теста.
Может ,случить;ся так, что :выполняется равенство Со1-Сп=
= С 10-С00 , либо .предполагают, что оно верно за неимением .луч­
шей оценки дей,ст,вительных стоимостей. Опт,имальпое решение
тогда состоит в том, что следует ~принять гипотезу Hi, ,соответству-
15


ющую наибольшему ,из выражен,ий p(YIHi)P(Hi), Такого ти~па
ре:ш~нле ;по оче;вид,1ным rприrч:инам tНазывается ,реше,н,ием ,по макси­
мулtу апостериорной вероятности. {Иногда для этого пра,вила ре­
шен,ия используется тер·мин « идеальный наблюдатель». Заметим,
что когда Со1-С11 = С10-Соо, максимиза~ция математ,ического ожи­
дания стоимости Э'квивалентна минимиз,ации безуtсл,ов.ной rвероят­
ности Ре = ,аР(Но) +~Р(Н 1 ) ошибочного ,решен·ия.] Бели в добав ­
лен ие к этому апр,иорные вероятности P(Hi) ,равны (,или предпола­
гаются ра·вными), Р(Н0 ) =Р(Н 1 ), то ,решение осно·вывается толь­
ко на использовании функций P'(YI Hi), иногда .называемых функ­
ция.лш правдоподобия. Решение, состоящее в принятии гипотезы
Hi, для которой функция правдоподобия p(YIHi) 1прин~имает м,ак­
сималы-rое значение, обычно .называется решен-ием ,по максимуму
правдоподобия.
Если невозможно приписать стоимости ра0лич,ным решениям,
то иногда более пр,иемлемьrм являет~я .критерий Неймана-Пир:
сана. Co.rл·ac.if'o этому .юритерию :ве,р,оятность ,ошибочно отвергнуть
гип о тезу а заранее фиксируется и используется тест, который
имеет максим,альную мощность 1-~ среди
всех тесто13, имеющих
уровень з.начимост,и а. Независимо от значения ,а оптимальным по
этом у критер,ию оказывается тест, и,споль.зующий отношение плот­
ностей вероятностей. Для того чтобы минимизировать J:1 при фик­
сированном· а, ,введем ,множитель Лагра,нжа л ,и найдем такую
обла ,сть, Ro, для которой выражение
ла+~=л[1- _1р(УIН0)dY]+Sр(УIН1)dY
Ro
Ro
пр,иним ает максим,альное значен,ие. Но это ,выражение совпадает с
в ыр ажением (2.3) ,при Р(Н0 ) =Р(Н1) = 1/2; С10=2л; Со1 =2 и С11 =
=Соо=О. Так ка,к значения Со1-С 1 1 и С10-Соо положительны при
любом положительном л, то выполняются условия, необходимые
для оптимальности ,выражешrоr,о неравенством (2.4) теста, исполь­
зующето отноше:ние :плотностей ,вероятностей. Оптималыный тест,
соответствующий: кр,итерию Неймана-Пир,сона, приводит, следо­
вателыrо, ,к приня1.1ию гипотезы Но, осли
(2 .5)
и отвержению этой гипотезы в других случаях. Пар,аметр "л опре­
деляется, очевидно, из условия •a=l- Jp(YIHo)d,Y, где R состоит
R.
из всех тех множеств У, которые удовлеТtворяют ·неравенству (2.5).
Нак онец, есл,и стоимо.стные функции изве,ст,ны, но нет разум­
ного спос,оба определить априорные вероятности, то можно отдать
предпочтение правилу _ решения, которое М'инимизирует стоимость
реш ени я для наиболее неблатолрия·тного выбора этих ,вероятно­
стей. Так как математическое ожиданне стоимос1ш решения я·вля-
t6


е тся линейной фу,нкц,ией вероятности Р(Н0) = 1-Р(Н 1 ), то .макси­
:.1 у м с тоимости лолучает.ся л,и,бо, когда Р(Н0 ) = 1, либо когда
Р( Н 1) = 1. Та~@м образом, эквивалентным правилом является то,
.1 .1я ко торог,о мш~симум математического ожидания стоимостей ре­
шения в случаях, когда Р(Н0) = 11 и Р(Н1 ) = :1, минимален. Реше­
н н е , п ос троенно е в ,соответствии с этим правилом, называется ми­
н, илшксным решением . Из -равенства (2.3) ,получаем:
Е(стоимость\Р(Н0)= 1) = С10-S(С10- С00)р(УIН0)dУ;
Ro
Е(стоимостьIР (fi1) = 1) = С11 +S(С01- С11) р(У \ H1)dY.
н..
Е сл•и 'б ы выраж ен.н е ,для Е.(стоимость!Р(Н 0) =1) ,было ~наиболь­
ши м и з дву х 1п,рив е денных, то ма.к,симу,м математического ожи ­
д ан ия ст оимости мог бы быть уменьшен увеличением област,и R0 ;
если б ы н аибольшим было ,выражение дл я Е (стоимость· /Р(Н1) =
= 1), то м а1юиму м мог бы быть уменьшен у меньшением области
R0. О птим альная обла,сть Ro, следоват ел ьно, должна быть одной
из так и х областей 1R, для к,оторой
Е(стоимостьjР(Н0) = 1) = Е(стоимость\Р(Н1) = 1) =
= у Е (стоимость IР(Н0) = !)+(1 -у) Е(стоимость IР(Н1)--:- 1) =
= \ [(С01-С11)Р(У/ f-1 1) (! -у)- (С10-С00),р(УIff0) y]dY +
R••
(2 .6)
rде у- п роизво.:~ ьная постоянная. Т,ак как это последнее выраже­
.ние совладает по форме ,с выражением в ('2 .3), то максимум ма­
те-м ати ч е ского ож и дан·ия стоимости минимизируется при выборе
области Ro, дл н которой
р(У IНо) ----..
(Со1 - С11) (1 -1')
Р(УIН1) ,,,, (С10 - Соо) '\'
(2.7)
iГд е у в ыбирае тс я так, чтобы удовлетворялось пер в ое ,и з равенств
{2.6) .
.
Важ но то, ч т о эти решения, независимо от того , какое из пр,а­
в н л -р ассматри в а е тся, основаны на · ,сравнении отношения пл,от.но­
с т ей ве роятностей p(YIH0)/p1(YIH1) с ,некоторой заранеезада,,нно й
пост оя,н,н ой. Эт о о т1ю ш ение 1п,р·инято называ,т ь отношение~1⁄4 правдо­
подобия, _ а тест, основанный н,а этом отношении, - тестом отно­
шен ия плотно пей вероятностей. Оптима льная !Провер,ка пшотез
при л юбом и з ука занных выше определ ений оптимальности явля­
е тся тестом отнош ен ия плотностей :вероятностей.
В ,следующ ем параграфе ·вновь расс матри в ается ,выбор между
,J.ВУА1 Я лростым и ги потезами, но для случая, когд а число М наб­
.'l!О д а емь1х З•ар анее н е Ф,иксировано.
' '•"•, .._
-
•
-..:.
17
,. • ""- -- . 'leei.4 , r,,.,м,,<Jw;•n
П 5В 391 ;, ,::,_с:;~•к~: ~!~, .J~, ,
•
/


2.3 . Последовательный тест отношения
плотностей вероятностей
Тест, рассмотренный в предыдущем .параграфе, основан
на сравнении отношения P'(YIHo)/p(YIH1) с некоторои зар а нее
определенной постоянной С. ,Решение принимает,ся ~после тоr,о , .как
становятся известными ·все М наблюдаемых из множества У. Но
если М достаточ.но велико, чтобы гарантиро'Вать надежное реше­
ние почти для каждого случая, то, по-видимому, иногда 1праВ'иль­
ное решение становит,ся очевидным задолго до того, как ста ну т
из,вестны ~все М наблюдаемых. Например, пусть У ( п) будет мно­
жеством, состоящим из первых п наблюдаемых, ,и предположим.
что отн,ошение р(У(п) 1Но)/р (У'(п) 1Н 1 ) значительно больше (или
значительно меньше), чем константа решения С для некоторого
п< 1М. В ,лом случае предста·вляется р азумным и ,безо111асным при­
нять (или отвергнуть) нулевую гип о тезу даже тогда, когда для
вынесения решения используются ,меньше, чем М наблюдаемых.
Допуская та1кую !Гиб.кость, н,ай1дем, что ~математическое ожида•ние
числа наблюдений, необходимых для решения, может быть значи­
тельно уменьшено без увеличения вер оятности вынесения непра-
1шльного решения.
Последовательный тест отношения плотностей вероятностей
строится так, чтобы решение принималось 'В тот момент, когда это
впервые можно сделать с достаточной гарантией его верности .
Процедура состоит в следующем . Пусть У(т) обозначает множе­
ство наблюдаемых {У1, У2, .. ., Уш}. Для ,каждого т определяет,ся
отношение
л,(m) =р(У(т) 1Но) _
р(У(т) 1Н1)
(2.8)
Если л(т) больше, чем ,некоторое пороговое значение А, то
тест за:вершает,ся принятием гипотезы Н0 . Если л(т) меньше, чем
второе пороговое значение В, то Н0 отвергается. Наконец, если
В<л)(m) <А, то проводятся дополнитель,ные наблюдения, вычис­
ляется и снова сравн-ивается с А и В отношение л(т+ 1). Таким
образом, тест заканчивается при наименьшем значении m = M , для
которого л(М) ~А, или л,(М) i;,;B . Множества наблюдаемых У(т)
в среднем могут быть, по-:видимому, меньшими, чем те, которые
необходимы для теста с фиксированным объемом выборок. Теперь ,
однако, число наблюдаемых, использ,ованных в .данном тесте, яв­
ляется случайной величиной.
Ясно, что ~вероятности ,а и ~ - функции пороговых значе.ний А
и В. Чтобы найти 'ВИД этой зависимости, прещположим сначала,
что тест закончился принятием r,ипотезы Но. Пусть У(М) =
= {у1, У2, ..., Ум} 1П1ре,дста1вляет собой некоторое 1час11ное множест­
во, удовлетворяющее всем неравенствам В<).(т)<А, 1m= I ,
18


2,... , М-1, ),(М) ?А, и пусть Rм обозначает пространство . таких
~11-южеств У (М). Тогда 1)
со
1 -а= ~ S p(Y(M)IH0)dY(M)>
M=lRм
со
>А~ .\р(У(М)/Н1)dУ(М)=А~-
M=l Rм
(2.9)
А налогич,ю обозначая через Sм пространство множеств У(М),
приводящих после М наблюдений к отказу от гипотезы Н0, полу­
чаем
00
а= ~ Sp(Y(M)/H0 )dY(M)<
M=lSм
со
<В~ .\ р(У (М) 1H1)dY(M) = B(I -
~).
(2.10)
M=lSм
Так,им образом, А~ (1-, а)/В и В?а,/(1-в) .
З десь используются знаки .неравенств из-за того, что отноше­
ние л(т) может ;превысить А или 6ыть меньше, чем В, в момент
принятия или отказа от гипотезы . Но если наблюдаемые тако·вы,
что л(т) не меняется быст.ро ,с изменением т , то, так ,как
В < л(М-1) <А, от.ношение л(М) не может сильно отличаться от
А или В. Оче1аидно, при замене В на aJ,(1-B) и А на (1-а)/В
длина теста может увеличить,ся . Тем не менее 1При толыю что опи­
санных условиях это увеличение будет незначительным. Замена В
.на а/(1--В) и А на (1-a)/r, изменит также 1вер,оят,ност-и ошибоlК.
Однако, обозначая через а' и в' действительные вероятности оши ­
бок первого и второго рода соответ,ственно, когда А и В аппрок­
симируются таким образом, •из ра·венств (2.9) ,и (2.10) находим,
что (1-a')/B'?A=(l--,a)/r, и а'/(1-В')~В=а/1('1-В) . Следова­
тельно, B'~r,'/ (l-a')~r,/,(1-a), a'~a'/'(l-r,')~a/(:1-r,) и
а'+ r,'~a+ r,.
Так как а и r, в общем случае очень ,малы, возможное увели­
чение вероятностей ошибок из--за использования этих аппрокси­
маций для А и В .незначительно. В некоторых случаях предста·в­
ляет интерес лослед,овательный тест с В-+<0. Пр1и этом r,'-+O ·и
а'~ а независимо от значе.ния а. Аналогичное утверждение спра­
ведливо и при а-+0.
Опт.имальный тест с фиксир-ова:нным объемом ·выбор1ки состоял
в сравнении отношения плотностей вероятностей с !Пороговым зна­
чением, определяемым различными ,стоимост.ными функциями и
1) Для простоты здесь предполагается, что тест заканчивается с нероятно­
стыо, равной единице, для некоторого значения М. Это утверждение справед­
л11во, когда наблюдаемые статистически независимы, но его можно доказать
II при более общих условиях. (При,11 . авт.)
19


априорными вероятностями . Вероятности ошибок а и В, ,в свою оче­
редь, та,кже определялись этим пороговым з.начением. Как отме­
чалось в начале :параграфа, если ра.ссмат.рлваем,ое отношение плот­
ностей вероятностей либо значительно ·больше, либо значигельно
меньше, чем пороговое значен,ие, еще до того, как •собраны все на­
блюдаемые, то ,представляется довольно безопасным оборвать
тест в этой точке. Затем были определены два пороговых значе­
ния А и В и бы,rrо .разрешено закончить тест, когда отношение
плотностей вероятностей до,стигнет о~ного из ю,х. Вероятности
ошибок а и В вновь могли быть выражены через пороговые зна­
чения. Однако в этом .рас.суждении не р,ас,сматривался 'Вопрос о
стоимостях. При использовании ~последовательного теста появля­
ется ,н,о,вая стои,мость, ,кото1рая ,не уrчиты1вал·ась тестом с фиксиро­
ванным объемом, а именно, .сто имость .продолжения наблюдения.
В тесте ,с фш<,сированным объемом выборки ,с тоимость наб людения
не Зависела от принятого решения. Здесь же, так как длина тест-а
зав исит ·от вероятrюстей ,разл ичных р,ешений, сто·имость ,на,блюде­
ния является функцией ,сам ого те,ста. ·Математическое ожида.ние
стоимости последовательного теста можно з.аписать ·в виде (ер. с
ра·венством .(2.3) ]
Е(стоимость) = [ВС01 + (l - ~)C11JP(HJ) + [аС10 + (I-a.)C00 JP(H0)+
+С0Е(МIН0)Р(Н0)+С0Е(М\Н1)Р(Н1),
(2.11)
где Со-стоимость н-а,блюдения, а E(МilHo) и Е(М\Н1) -услов­
ные математические ожидания ,длины теста при условии, что вер­
ными гипотезами были Но и Н 1 соответ,ственно. Можно показать,
что независимо от конкретных значений •этих .стоимост,ных коэффи­
циентов (в пре дположени·и, конечно, что ,в.се величины Со, Со1~С1,
и С1 0-С00 положительны) ,существует последовательный тест от­
ношения плотностей вероятностей, который J11'Инимизирует матема­
тическое ожидание сто.имости решения . Более того, используя этот
факт, можно :~.,оказать, что среди всех тестов, приводящих к неко­
торому заданному множеству вероятностей а ,и В, ,математическое
ожидание числа наблюдаемых М, необходимых для решения при
люб ой гипотезе, минимизирует,ся !При лспользовании ,последова­
тельного теста отношения плотностей ·вероятнос тей. Эти доказа­
телыства, однако, довольно длинны, •и ·подробност•и читатель мо­
жет найти в литературе.
Эффективность последовательного тест,а отношения плотностей
вероятностей ,в ·сравнении с другими тестами , имеющим.и те же
самые вероят1юсти ошибочных решений, может быть измер ена с
помощью .ма тематического ож·идания числа М .на6.1юдений, тре­
буемых для выполнения теста. Вывод общего выражения для это­
го параметра не представляется возможным, однако оно может
быть найдено в важном частном случае, когда наблюдаемые Yi яв­
ляются од11наково распределенными, статистически независи­
мыми случайными :величинами и когда можн.о пренебречь «пере­
скоками границ» р.(М)-А, когда пр.инимается Но ,и В-л(М) , ког-
20


.::а она отвергается]. В частности, можно ,показать 1), что если
2i~ log{po(Yi)/p,(yi)], где pf(Yi) ~ p(yi / H j), и еслиЕ(z/Н0) л
~ E(z;IHo)=;i=O, то
Е(М / Но) = (1-a) logA+aiogB =
Е (z IН0)
(!-а) log(~- ~) + а I og(~)
E(zlH0 )
Подобно этому, если E(z l H 1)=;i=O, то
1-а
а
~ Iog --+(1-~) log --
E(МIf-!i)= -
-~
~_____!
_ .,__
~
Е (z IН1)
(2.12)
(2.13)
Часто пошзно иметь возможность описывать тест более полно,
чем с помощью только математического ожидания числа набл ю­
даемых, необходимых для реше.ния. Можно ~показать, что , напри­
мер, при определенных у,словиях распределение вел.ичины М яв­
ляется приближенно гауссовским . В любом случае ,ра,спределение
М может быть, по крайней мере, частично охарактеризовано дву­
мя параметрами: его математическим ожиданием и дисперсией .
Выражения для ди•сперсий М имеют вид:
var(MIHo) = E(M I Ho)var(zlH0) _ a(l-a)( l ogA-IogB)2 +
E2(zlHo)
E2(z lHo)
+ 2a(I-a) IogA-logB [E(M / H)-E(Mlff)]·
(2. 14"
1-а
-
~ Е(zIНо)
о,
1'
'
var (М/Н1) ='=
+ 2~(1-~)
l-a -~
Е (М If/1) var (z If/1)
~(1-
~) (logА- logВ)2 +
E2 (z lff1)
P(z l Hi)
IogА-IogВ[Е(М/Н)-Е(М/Н)J.
" Е(zIН1)
о
1
(2. 15)
Наконец, приведем без доказатель,ства следующий результат.
Если нижний порог В .принимается ра·вным нулю (а вер хний по­
рог А является конечным) и если незавИlсимые ,случайные ·в ел и­
чины Zi нормально распределены с математическим ожидан.ием
E(z) = ~ L и диспереией var(,z) =G2, то .ра,определение ч,исла набл ю­
даемых, необходимых для завершения теста пр.и усл овии , что он
за·вершается, является п·р.иближенно гау,ссовским. Среднее и дис­
персия этого распределения задают,ся равен,ствами (2.12)-(2.15)
соответственно. Это приближение становит,ся ,в.се более точным с
ростом (p./ G2)log А. Аналогичное утверждение с1праведливо , к,огда
В конечно, а А=оо. Заметим, что когда В=О, то а=О и в выра-
1 ) Так как результаты , представляющие для нас интерес, зависят от отноше­
ний логарифмов, то логарифмы могут быть взяты по любому удобному основа­
нию , и это никак не отразится на выводах. Однако в дальнейшем всегда , бу­
дет подра зумеваться натуральное основание е, если не оговорено иное . ( При.л.~.
авт.)
21


.жешш для var(M IНо) в ра·вен,ст.ве (2 .14) остается только 1пер,ВЫЙ
член . Аналоtг.ично, ,ко1гда А= оо, то ~ =0 .и iВто,рой и 11ретий члены
в выражении для var(M IН1) иечезают.
2.4 . Проверка сложных гипотез
Наблюдаемые, исследов,анные ра,нее, по предположению
удовлетворяли одному ,из двух условий: либо гипотеза Н0 была
веgной и наблюдаемые описывались плотностью •распределения
p(YIHo), либо гипотеза Н 1 была верной ·и наблюдаемые описыва ­
лись :плотностью распределения p(YIH1) . Каждая из двух гипотез
.соот ве тствовала одному един,ственному ,состоянию наблюдаемых;
обе они были простыми гипотезам,и. Часто, однако, источник наб­
лю д аемого явления может находиться 'В одном из нескольких воз­
можных состояний; наблюдаемые, относящие,ся к состоянию ·0,
распределены в ,соответ.ств.ии с плотностью вероятности р ( Yje).
В таком ,случа~ иногда достаточно разделить множест,во возмож­
ных состояний ла два непересекающихся подмножест-ва и опреде ­
лить лишь то подмножество, к которому принадлежит данное со­
стояние источника . Нулевая гипотеза Н0 состоит в том, что со­
.стоя,ние источника 0 является элементом из .подмножества Q 0, в то
время как альтернативная гипотеза Н 1 состоит в том, что 0 при­
надл ежит подмножеству Q1, причем
-
Q0 +Q 1 содержит ·все мн.оже­
s::тво возможных состояний. Каждая из этих г,ипотез называется
.сложной гипотезой, если соответствующее 1подмножес11во содержит
,бол е е чем одно значение •параметра, обозначающего состояние.
Задача проверки двух ,сложных гипотез возникает в целом ря­
де ситуаций . Можно, на.пример, .интересоваться только тем, попа­
дет или нет 0 в нек-оторое [IОдмножество, а не тем, что ·0 примет
какое-то частное значение, или 0 может быть вектором 6= (Ф 1 , Ф2, ... ) ,
-где ,па 1рамет,ро1м, [Iр -ед,ста,вляющим инт-ерес, я.вляе:тся только Ф1 .
Если Ф 1 может принимать толыш два значения, то, _ очевидчо, про­
вер .ка является проверкой двух гипотез, но из-з,а наличия других
неи.з,вестных параметров обе гипотезы являются ,сложными .
В любом ,случае мы должны заново .рас-смотреть как тест с
фю<iсированным объемом выборки, так и :последовательный тест
для того, чтобы понять, как ,они изменяются, когда гипотезы ста ­
новятся сложны ·ми.
ПроверI<а ,сложных гипотез ·при фик,с1ирован-
1-1 о м объеме выбор к и. Пусть С0{0) и С1 (0) стоимости, от­
носящиеся к гипотезам Н0 и Н 1 ,соответственно при у,словии, что
источник наход;:1тся в -состоянии •0, и пу,сть л: (0) - априорная ,плот­
ность р,аспределения вероятности параметра 0, описывающего со­
стояние. Пу,сть далее ,R 0 обозначает область ;Пр.и.нятия гипотезы
НO и Р (0) - ,вероятность ,принять Н O :при заtданном -состоя,нии е,
т. е.
Р(0) = \ p(Yj0)dY~f1-a(0),
°R.
)~ (О),
22


Тогда ;vютематическое о.ж,идание стоимости .решения
Е(стоимость)= .\ 3t(0)[С0(0)(1- а(0)) +С1(0)а(0)Jd0 +
0€'2 .
+ Sл(0)[С0(0)~(0)+С1(0)(1- ~(0))1d0= К+
0€2,
+ S3t(0)(С1(0)- С0(0))а(0)d0+
0€00
+ Jл(0)(С0(0) - С1(0))~(0)d0.
0€2,
(2.16)
Здесь К - постоянная, не зависящая от :правила решения. Опре­
делим AoWo('0) ~ (С1(0)-Со(10))л( 10)
и
л1w1(0) ~ (С0 ( 0)­
-С 1 ;(0))л(0) , где
sWo(0)d0= sW1(0)d0= 1.
0€20
0€2,
Теперь, если л,0 и л, 1 положительны (это аналог условий С01 >С 1 1 и
С,о> Соо в § 2.2), то оптимальное пра1вило решения ,состоит в ~вы­
боре такой области принятия гипотезы, которая минимизирует ве­
личину
S w1 (0H(0)d0 + л Sw0 (0)a(0)d0,
0€'2,
0E;Q 0
(2.17)
где л= .л, 0/л,. Оп:ре1делим теле1рь Н'0 ,и Н' 1 та.к, чтобы
р(УIН~)= sР(У10)w0 (0)d0;
(2.18)
0€'2о
Р(У\ н;) = s p(Yi0)w1(0)d0.
(2.19)
0sa,
Бели бы ,R0 была о-бла,стью ,пр·инятия (и Ro - областью отвер- .
жения) как простой гипотезы Н'0 , так и сложной гипотезы Н0 , то
а~sр(У1.Н~)dУ=ssр(У10)w0(0)d0dУ= sw0(0)а(0)d0;
R.
R. A€Qo
0€ а.
(2.20)
~~ SP(YIH;)dY = S w1 (0)~(0)d0.
Ro
0€'2,
(2.21)
Обдасть Ro, которая минимизирует величину fl+Aa, определя­
ется (в соответствии с обсуждавшимся ранее критерием Нейма­
на-Пирсона), неравенством
р(УIН~)!Р(УJн;)< 1/А.
(2.22)
23


Таким образом, область принятия -гипотезы Н0 , определен,ная
соотношением (2.22), также минимизирует математическое ожи­
д ание ,стоимости решения :при сложной гипотезе {см. ф-лу (2 :17) ].
Если
где ,Со и С1 по.Ji ожителыrые .по,стояш-rые, то этот тест приводит к
принятию Н0 только тогда, когда
.\ р(У10)л:(0)d0
eeQo
>s_
S
.
Со•
р(У10)л:(0)d0
. (2.23)
0€Q,
Иногда это т тест называется тестом среднего максилильного
пр авдоподобия.
Если функции Ci (0) -или априорная плотность вероя11ности л1(10),
ил и и то и другое неизвестны, то . функции Wi (10) не определены.
Тем не ,менее они часто могут быть определены .разумным способом
с помощью .некоторого другого критерия. Взвешенная средняя ве-
роятность ошибки .\ а (0) wo1(18) ,d10 + S r,{0) zeJ 1(0) d0 .по-прежнему
еео.
еео,
остается минимальной для теста (2.22) неза!висимо Ьт критерия, с
пом о щью которого определяются весовые функции. Один из воз­
мо жны х способов выбора весовых функций :при отсут,ствии 4оста­
точ ной априорi-IОЙ информации или информации о ,стоимости со­
стоит в том, что лолагают wd(H) =6(0-0') .и w1(0) = 10(8-1811 ), где
б(х) - дельта-функция Дира,к,а; ,0' принадлежит ,Q0, а 011 .принад­
леж и т Q1. В .некоторых важных случаях область принятия гипоте­
зы, о пределенаэя неравенством (2.22), ,с выбран,ными таки,м об­
ра зом функциями w0 (0) и W1 (0) может быть сделана независимой
ка к о т Н', так и от 1811 для неr<отор,оr'о ,А= -л(0', 011 ). ПолучающиЙrся
в результате тест, который называется равномерно наиболее лtощ­
ныл1 тестом ,с уровнем значимости а(0), являет,ся осЬ,беюю привле-
1<ателы1ым в этом 'случае, .по крайней мере, если aa=max а(0) ,и
0Е;2 0
p0 =max ~1(0) достаточно малы. _Тер·ми1-1 «ра,вномерно .наиболее
es o,
мощный тест» означает, что для любых 0о лз Q 0 и 01 из Q1 среди
вс ех тестов с уровнем значимости а(Во) этот тест имеет ма1~си­
ма л ьную мощность l- ~ (01) .
. Могут
быть определены т_акже другие ра~умные тесты, отлич­
ные от теста (2.22). Один 1из них, тест :по ма~симуму правдоподо­
бия, состоит в определении максимума плотностей р1 (У\ 0). Если
это т максимум достигает,ся для 0E,Q 0, то принимается гипотеза Но;
24


в ,протинном случае Н0 отвергает,ся 1) . .Тот же ,самый тест
общей форме мог бы состоять в сравнении отношения
тах·р (У 10)
0€0;
тахр(Уj0)
0€0,
в более
• (2.24)
с ,пороговым значением С и пр.иня'!'ИИ Н0 тогда и толь.ко 11огда,
когда пороговое знаrчение ·превышено.
Последовательные тесты для сложных .гипо­
те з. Как только что было указ1ано, области принятия г.ипотез при
рассмотрении сложных гипотез Н0 и Н 1 ча,сто могут быть опреде­
лены тестом отношения плотностей вероятностей . Если можно за­
дать разумный тест тако·го вида, то следующий очевидный шаг
должен состоять в ис,следовании nо,с ледовательной :процедуры ре­
шения. Однако, если отношение плотностей определено с помо щью
взвешенного ,среднего значения функций p(Yl0), как в ф-лах , (2.18)
и (2.19) , то последовательные наблюдаемые у1 часто не будут не­
з а1в.И1симыми 1п,ри любой .из этих ли1потез. То есть даж,е1при p!(Yl ,0) =
=Пp(yil0) 1величи1на ·
•
i
в общем ,случае .не равна П JP(Y i l0)wv(,0)d0 как для v=O, так
'
0E:;Q'\I
п для v = 1. Te:v1 не менее в рассуждениях, прив одя щих к ф-лам
(2.9) и (2.1 ,0), использовалось предположение о неза1виси11юсти
наблюдаемых Yi только для д,оказательства того, что тест ·в конце
концов заканчивается. Это свойство можнQ доказать и при значи­
тельно более общих условиях. При условии, что оло • имеет место,
соотношения (2.9) и (2.1 О) справедливы также в случае тестов
для сложных гипотез. Если верхний порог А равен (1-а)/~, а ниж­
ний порог В равен а/(1:-~), то равен,ства (2 .20), (2.21) также бу­
дут удовлетtВорять,ся для последовательного теста. Здесь примени ­
мы те же замечания, касающие,ся выбора весовых функций, что и
в случае теста с фиксир,ованным объемом выборки.
При выводе выр,ажеJJ:ИЙ (см. § 2.3) для среднего и дисперсии
числа наблюдаемых, .необходимых для решения при использовании
последовательного те.ста, довольно существенно используется пред­
положение о независимости на,блюдаемых. В общем случае, при
отсут,ствии независимости, т,рудно получить сравнимые результаты.
Однако наблюдаемые Yi остаются независимыми для некоторых
с п ециальных клас,сов весовых функций, таких, как wv (0) =
= ,б (:0-ev). В более общем случае, если 0 является вектором
0= (01, Ф1, Ф2, ... , Ф1<), если
1 ) Заметим, что это оЬределение теста по максимуму правдоподобия экви­
валентно приведенному в § 2.2 для случая, когда Но и Н1 были простые гипо­
тезы . (Прим. авт.)
25


w.., (6) = 6(0- 0,,)f1(Ф1)f2(Ф2)...fk(Ф1,) И р(У\6) = Пр(У;l0, Ф;), то
sр(У16) w.., (6)d6 = s...sПр(Yi 10..,, Ф;)fi(Ф;)dФ1...dФk =
i
= ПS Р(У;10..,, Ф;)f; (Ф;)dФ; =Пр (У;10..,)
i
i
и наблюдаемые статистически независимы . Тест эквивалентен раз­
личению двух простых гипотез .
Вероятность Р(0) того, что последовательный тест отношен,ия
пло111юстей вероятностей заканчивается :принятием ,нулевой гипо­
тез·ы Но, когда источник находит,ся в состоянии 0 в предположе­
нии, что наблюдаемые независимы и одинаково распределе.ны,
равн а
1- Bh (0)
Р(0)= ----
(2 25)
Ah(0)_ В''(0) '
•
где /i'(0) - единственное ненулевое ,решение ура,внения
Ф(h.) = Е(ehz[0) = 1 (z= loge .E.o_V/._)_).
Р1(у),
Математическое ожидание числа наблюдаемых, ,необходимых для
реше н ия при этих же условиях, ра,вно
Е(МIO)= Р(0)!ogА+(1- Р(0))logВ
Е(z10)
•
(2 .26)
Заметим , что если 0о ~предполагается ,состоянием, ,соответству­
ющим нулевой гипотезе, то /1(80) =-1 является решением уравне­
ния Ф (Ji) = l и вследствие того, что эт,о уравнение ·имеет толь,ко
одно ,ненулевое решение, имеем Р(100 ) =А (1-В)/(А-В) ='1-а .
Если 01 является состоянием, соответствующим альтернативной ги­
поте зе , то h(0 1)=1 и Р(0 1 )=(1-В)/(А-В)=~ . Так ка,к A>l и
В < \, то, если а и ~ -будут положительными, вероя111-юсть Р (10) яв­
ляется монотонно убывающей функцией 1h(0) . Таким образом, если
неравенство h ( 0) ~ih(0 1) = 1 удовлетворяется для всех 0 из Q 1, то
мак-симум вероятности принятия гипотезы Н0 будет равен ~ и бу­
дет иметь место, когда 01 является в действительности лаблюдае­
мым состояние.w. Подобно этому, если h(,0) <-1, то .нулевая гипо­
теза будет принята с вероятностью большей, чем 1 - а .
2.5 . Поиск
В лредыдущих параграфах задача ,состояла в том, что­
бы определить, к какому из двух возможных подмножеств Q 0 или
Q 1 при,надлежю состояние ,0. Предположим, однако, что требуе т,ся
большая информация относительно 0; в частности, предположим,
что ,множество -состояний Q разбит-о на N подмножеств ,cu1, ffi2, . . . , •f fi,v
и что за д ача -состоит 1в том , чтобы определить подмложество ffi i,
26


~ а илучшим образом ха.рактеризующее состояние источника !0. Ес-­
.1 и N>2, то тест называет,ся проверкой многих гипотез. Если w,;
п редставляет собой только одно возможное состояние 0, то соот ­
ветствующая ги п отеза Hi - простая; в противном случае она яв­
.1яется слож,ной. В любом случае проверка многих гипотез может
о казаться ·в вычислительном отношении значительно более слож­
н ой по сравнению с проверкой двух гипотез . В действительности
пра,ктичес-кие .соображения могут ,исключить возможность прове ­
дения такого теста. Если это так, то може11 возникнуть необходи­
мость, 1во-пер,вых, сгруппировать гипотезы Юi в два [IОдмножества,.
скажем, Е21 и Qi, причем >!:21 + 1Q1 содержит объединение подмно­
жеств ,Юi- В этом случае тест будет ,состоять в выборе множества
наблюдаемых У 1 и решении, следует ли принять нулевую гипоте­
зу Н,1 (~ ·принадлежит подмножеству Q 1) или альтернативную ги­
потезу Н 1 .(:0 принадлежит ,Q .1). Такое решение уменьшает число,
конкурирующих гипотез, оставляя гипотезы, принадлежащие либо,
подмножеству Qi, либо ,подмножеству ,Q 1. Если затем разделить
эт,и остающиеся гипотезы на два -новых подмножества Q 2 и :Q 2•
представляющих две гипотезы Н2 и Н2 , то второй ·тест ,по проверке·
двух гипотез, осна~ва,нный на использовании множества наблюдае ­
мых У2, ,снов,а уменьшает число ра,с-сматриваемых гипотез. Если
продолжить эту :п.роцедуру, выбирая надлежащим образом после­
довательные гипотезы Hi, Н2, Н3, ..., то, в конце концов, останется.
только одна •из конкурировавших гипотез. Будем называть этот
процес,с ,сведения 1проверки многих гипотез к последовательности~
mроверок д,вух ГИ1потез поиском .
Целью ,поиска является уменьшение ,сложности проверки мно­
гих гипотез, возможно, за счет увеличения 1времени, необходимого,
для решения. Хотя ,конечная ц ель ,состоит ,в у,казании определен,­
,1-юго подмножества Wi ,состоя н ий .исто чника, эта цель будет дос'Ги­
гаться с помощью получения ответов на :последовательнос1ь более·
·простых, как мы надеемся, вопросов. Этот подход является типич­
ным, .на пример, когда состоянием и,сточника является его mоложе ­
ю1е в простра,нстве или во ,времени . Ча,сто более эффективной про ­
цедурой является такая, когда не спрашивают: «Где он находит­
ся?», а «Находится ли он здесь?».
Если желательно ,существенно уменьшить сложность вычисле ­
ний с помощью процедуры поиска, то гипотезы Hi и Hi должны
быть такими, чтобы возникающие ·в результате тесты были на­
много проще, чем первоначальная проверка многих гипотез . Так
как Hi и Hi по ,всей вероятности будут ,сложными, если использует-­
ся только что описанная процедура, то часто на ·практике необхо ­
димы дальнейшие у~прощения. По этой прич1ине здесь и в следую >­
щем параграфе рассмотрены лишь такие ситуа'ЦИИ, в ,которых ,каж­
дое подмножество Юi характеризует одно единственное состояние·
источника 0i . На j - м шаге поиска будет ,проверяться гипотеза Hj:
0 = 0i (с i = j mo модулю N) [IO отношению к 1не,кото,рой, альтерна -
27'


тивной (;прещпол,ожитель,но ,п,рос'I'ой) 1г.и1потезе HJ (будем ,называть
это ю,ровер1кой состояния 8i). Проверка за,кан~чи,вает,ся то,nда, 1югда
выносится ,реше,н,ие, что ,не1к,ото,рое состояние я1вляется вер;ным. Бу­
дем та1,же раrсоматр.и1вать ра:зн,овидность этой ,сТlратег.ии, .в 1.кото,рой
поиск прекращается после того, как все N со.стояний проверены
по одно~1у разу. Если к этому моменту ,ни одно состояние не было
объявлено верным, то может быть использован некоторый другой
критерий решения; например, может быть выбрано состояние, со­
ответствующее наибольшему значению отношения правдоподобия.
Друг,ие ,р азновидности встречаются в з,адачах в ,конце этой главы
и в последующих главах.
Внача ле определим вероятность того, что .поиск я,вляется уе­
пеш ным в ,случае, когда раз·решается :продолжать его бесконечно и
когд а на каждом этапе поиска вероятность а неправильного отвер­
жения не за,висит от состояния истО1Чниюа, а вероятность непра­
·вильного пр,инятия ее не зависит от ·состояния, которое проверяет­
ся. (Эти ограничения впоследствии будут ослаблены.) Пусть
Р (1.1) = 1 ./N обозначает априорную вероятность того, что источник
находится в •~t-м состоянии. То.гда вер,оятность того, что ,состояние
источника определено правильно,
N-1 оо
Р"== ~ ~P(~t)(l-~ )i<N-IJ+μai(l-a)=
μ=О i=O
(l-a)[l-(1-f,)N]
N~[1- а(1- ~)N-l]
(2.27)
Этот результат приводит к упрощенной формуле, которая бу­
дет полез на в дальнейшем. А именно, если вероятность ошибки
мала, то должно ,выполнять ,ся неравенство
N~«. 1 -а (Ре« 1).
(2.28)
Действ ительно, ·11ак как Ре, очевидно, являет,ся убывающей
функцией а, 1и при а,= О
р_ 1-(1-~)N=l_N-1R_I
.
(N-1)(N-2) р,2+
с-
N~
2 t-'
г
5
t-'
••• ,
то ,веро ятность ошибки Ре= 1-Рс мала :по сравнению с единицей,
тол ько если Np« 1. Но если Np« 1, то равенство (2.27) можно
упростить, ,сохранив только главные члены в разложении в степен­
ной ряд функций (1 -r,) N ,и (l-p)N-1
.
В результате получаем со­
отношение
(2.29)
.неравенство (2.28) ·верно для в,сех Pe«il .
Для дальнейшего заметим, что приближение (2.29) остается
справедливым для любого значения Ре<!, если а-+!. Действи­
тель,но, из .равенства {2.27) следует, ~что выражение (l-p)N-I
должно стремиться к единице при a. - +l, если вероятность Ре не
стремится к нулю. Т,аким образом, снова N~« 1, ,и это предполо-
28


жение являет,ся единс11венным, .необходимым для справедливости
приближения (2.29) .
Вероятность того, что будут ,проверены v = jiN + 1i + 1 состояний
до 1 пр1и н ятия окончательного решения, равна
N-l
Рг(v=jN+i+1)=~Pr(v= jN+i+11ft)Р(μ)=
μ=О
=-
1 (1 - ~ i(N-l>ai ((1- ~)i(l-a)+
N
,
+iа~(1-
~)i- 1+(N- i-1)~(1- ~)iJ,
(2.30)
где
(1-~i(N-I)+iai(1- а), i=μ;
Pr(v _:_ jN+i+11μ)= (1-
~i <N -IJ+i-1 ai+I ~.
i>μ;
.(1- ~) j(N-l)+iai~,
i <μ.
Следо вательно, м атематическое ожидание числа n,роверенных
состояний
со
N-1 со
E(v)= ~vPr(v) = 1
~
~ ~(jN+i+l)Pr(v • jN+i+l). (2.31)
v=O
i=O j=O
Хотя'· эта су мм а л егко вычисляется, получающееся ·в результат е
в ыр а жен ие довольно неудобно для дальнейшего использования.
Однако если Ре « l, то ,согласно (2.28) имеем: N~« 1-а, и полу­
ч ает,стт :пол езная приближен1ная формула
Е(v)~Nа/(1- а)+(N+ 1)/2.
(2 .32)
Пр и этом ж е условии ,(Pe« ·l) находим, что
var (v) ~ Noа/(1- а)2 + (No- 1)/12.
(2.33)
Предыдущи е в ыражения были получены в предположении, что
пои с к м•ожет продолжа,ться ,бесконечно . Если по,иск заканчивается
после ис,следовани я N-го состояния, как указывалось ранее, то ма ­
тем атиче.ско е ожидание числа ,состояний, которые должны быть
п ро вере ны,
N-l
E(v) = ~ ~(i -f- l)Pr(v=i+l)-j -Na(l- ~)N- I
(2.34)
i=O
{ер. ,с ра венство м (2.31)]. Если N~ мало, то приближен.но
Е(v)~(N+1)/2+(N- 1)а/2.
Вер оятность ошибки
N-l
Р,=1-+~ (l -~)i(l-a) =
i=O
= 1-(1-а) 1-(~f3 ~)N~а+N21~.
(2.35)
(2.36)
29


где отказ от принят,ия оконч,ательного решения после ·про,в е р -ки
всех N ,состояний также от.несен к ошибкам.
Если а .и ~ зависят от рас,смат.риваемых состояний, то получен­
ные выше результаты все же остаются ,полезными при отыскании
границ для параметров :поиска . Приближенные выражения для
среднего и диспер,сии числа проверенных состоя-н,ий {равенства
(2.32) и (2.33)] являются монотонно возрастающими функциями а,
вероятность ошибки (ф-ла (2.27)) - возрастающей функцией как
а,таки~-
Таким образом, верхнюю и нижнюю границы для этих
,вел.ичин легко установить, •используя верхнюю ,и нижнюю границы
дляаи~-
Если ,на каждом этапе поиска проводят,ся те,сты с фиксирован­
ными объемами выборок и для выпол.нения каждого теста .необ~о­
димы М Н:аблюдаемых, то общее число Мт на,блюдаемых, требуе­
мых для поис-ка, точно равно ·математическому ожиданию числа
тестов E(v), умноженному на М. ~Как Мт, так •и Ре-вероятность
уопешно1го заверш ения !Поиска - ·фу~нюции а ,и ~ -
По-1видимому, эти
пара,метры могут быть согласованы так, чтобы минимизировать
Мт при условии, что вероятность Ре ограничена . Это может быть
сделано, ,однако (в случае, если заданы ,стат,истики теста), только
тогда, когда известно соотношение, ,связывающее М с а и ~- Поэто­
му дальней ш ее обсуждение этой ,стороны проблемы отложим до
рассмотрения более конкретных задач (,см. гл. 6). Случай, когда
.на ыаждом этапе проводятся :последовательные тесты, изучает,ся
более подробно ,в следующем параграфе .
Прежде чем закончить .параграф, у:помянем две .разновидности
приведенных выше стратегий поиска, которые не только интерес­
,ны сами по себе, но также указывают на некоторые недостатки ,
свойственные подходу с фиксированным объемом выборки . Пер­
вая разновидность -состоит в ,разбиении поиска на два (,или более)
этапа. На первом эта1Пе .производит,ся относительно быстрый
поиск; скорость достигается за ,счет довольно большого значения •
вероятности ошибочного ,принятия ~ ,по ,е:равнению с той, которую
хотелось бы получить в конце концов. После того как у-словно ото­
браны одно ил.и большее число состояний, переходят ко ~второму
этапу, когда каждое принятое ,состояние проверяется в течение
несколько ~более длинного периода времени, чем тот, который тре­
буется для принятия решения при первом рассмотрении. В конце
этого испытате!Iьного периода ,каждое рассматриваемое ,со-стоя,ние
окончательно ,принимается ,или отвергается. Поиск заканчивает,ся,
когда либо одно состояние принято, либо когда в.се состоя.ния были
отве-рmнуты. Очевидно обобщение Э1'ОЙ 1пр.оцедуры на случай, ,1юг­
да поиск осуществляется более чем в два этапа.
Преимущество этого ;подхода легко в1идеть . Предположим , что
.пе,р1Вый из те,стов ,включает М I на~блющаемых ,и что вероя'!'ности
ошибочного о'I'вержения ,и ошибочного принятия при этом тесте_
соответственно равны а 1 и ~1. Пусть М2, а2 и
~ 2 являются соответ­
ствующими .параметрами второго теста. Вероятность ошибочного
отказа для объединенного теста а= аI + а2'( 1-а1), в то В'ремя как
30


вероятность ошибочного пр,инятия гипотезы /3= 13 1132. Математиче­
ск ое ожидание чи,сла наблюдаемых для решения, когда проверяет­
с я правильное состояние, Мс=М1+(1-а 1 )М2, в то время ка.к •ма­
т ематическое ожидание, необходимое лри проверке любого друго­
го состоя,н,ия, Ме=~М1 +f31M2.
Та,к как 1по предположению /31, /32, а 1 .и а2 являются малыми, то
о ши·бочные состояния могут быть от,вер1rнуты с .намного большей
н адежностью, чем это можно было бы сделать ,с помощью только
.~ишь первого теста, в то ,время как прав,ильное состояние отвер­
гается лишь ,с немного большей вероятностью, чем ·ранее. Более
того , если М2~М1, то время :проверки ошибочных состоюшй уве­
.1ичивается значительно ло отношению ко времени проверки лра­
в·илыюr,о со.стояния. КО1Гда общее число состояний ,вел.и,ко (и имеет­
ся только одно правильное со.стояние), этот метод дает значитель­
ные преимущества.
П реимущество, связанное с увеличением относительного ,време­
ни проверки правильного ,состояния, реализуется также ,в другой
модификации поиска с фиксированным объемом выборки. Здесь
также имеется два этапа работы. На лер·вом этапе каждое сос·юя­
ние опять проверяется в течение относительно короткого проме­
жутка времени, но при этом никакое решение не выносится. Вме,с­
то этого запи.сывается отношение :правдоподобия. На втором этапе .
состояния исследуются в порядке убывающих значений их отно­
шений правдоподобия, и решение о принят.ин или отвержении каж­
дого состояния проводится так, как в случае, когда процесс ·поиска
не разбит .на этапы . Таким образом, сначала проверяются наибо­
лее вероятные состояния, ,поэтому время ~проверки ошибочных со­
стоялий, по всей вероятности, будет уменьшено .
Наиболее серьезным недостатком методов поиска с фикс.иро­
в анным объемом выборки является неэффективное использование
имеющейся в распоряжении информации. В начале :поиска, когда
некоторое число ,состояний уже отверr~нуто, эффективные априор­
н ые вероятности оставшихся •состояний у,величиваются . Порог, со­
ответствующий принятию гипотезы, должен бы поэтому соответ­
с тпенно уменьшиться. Учет этого факта, однако, привел бы к уст­
г,а11с1rию перво11ачалы-10го 1преимущества этой процедуры поиска, а
ю•rешю, ее простоты. Неэффективность еще больше возрастает,
е сли до ,принятия решения ,некоторые состоя.ния проверяются более
ч ем один раз. Для выяснения в i - й раз, нужно ли принять или от­
в ергнуть •состояние, испоJiьзуется отношение .плотностей вероятно­
с тей вида p0 (Y,,;)/p1(Yv;), где Yvi означает i-e множество наблю"
даемых, относящихся к v-му этапу. Это ,вся информация, вообще
используемая ,на каждом этапе. Заметим, однако, что после i не­
зависимых наблюдений отношение плотностей вероятностей
i
П'[po(Yvi)]![p 1 (Yvi )] являет,ся намного лучшей мерой того, наблю­
i=I
да е тся ли ·v-e состоя.ние или нет. Так как каждый из ,сомножителей
этого •произведения ,должен !был ·быть •О1Пределен .раrнее, то особен.!fо
31


неэффектив,но использование только одного из них для принятия
решения. Нее это приводит к мысли об использовании какого-либо
последовательного . теста.
2.6 . Последовательный поиск
Многие из трудностей, связанных с поиек,ом 1при фикси­
,рованном объеме выборки, могут .быть у,странены, если для каж­
дого исследуемого ,состояния можно осуществить последователь­
ный тест. Во-первых, исчезают недо,стат,ки теста с фиксированным
объемом выборки, •связанные с необходимостью м.ногократ.ных наб­
людений каждого ,состояния. Это происходит потому, что (в слу­
чае, .коff'да ,м-о~жно :прене.бlречь «,пе,рескокам:и :г,ра,ни,ц») 011ноше,ни,е
плотностей ,вероятностей Po{Yvi(Mi)]/pi[Yvi (Mi)] в конце i-го теста
равно постоянной В для всех тестов, кроме последнего. Таким
образом.
где В-заданная постоянная . Так как эта величина являе11ся од­
ной и той же для каждого отвергнутого состояния. то решения,
принятые во время ,i-й серии тестов, не будут меняться, даже если
принять ее вq внимание.
Другое преимущество последовательного поиска, которое может
быть существенным, ~сновано на .потенциальной возмож.rюсти
устранить операции !Проверочного типа, часто т.ребуемые при поис­
ке с фиксированным объемом :выборки . Способность распознавать
ошибочные решения для того, чтобы заново .начать поиск и одно­
:временно способность минимизирова'Гь вероятно,сть перехода к
повтор.ному поиску, если решение является правильным, присущи
последовательному поиску .
•
Прежде ч·ем 1по1дро6~но рассмотреть эти .во1п,росы, 01п1р,еделим
сначала математическое ожидание числа наблюдаемых Мт, необ­
ходимых для завершения последовательного поиска. Вероятность
Pr (v) того, что будут проверены v состояний до того, как будет
вынесено ,решение, дается .равенством (~ .3 0) независимо от того,
проводится. ли последовательный тест или тест с фиксированным
объемом выборки. Если распределение на·блюдаемых Yj:= {yPJ}
.в тесте зависит не от того, какое ,состояние ,ej проверяет,ся, а от
того, является ли ,оно истинным состо.янием ,источника 1), то услов­
ные распределения P(MIA) и P{M IR) ,чисел наблюдаемых, необ­
ходимых для того, чтобы принять или отвергнуть некоторое ко~­
кретное состояние, не зависят от проверяемого состояния. Матема-
1 ) Более общий случай рассмотрен ниже. (Прим. авт.)
32


- _: : ::ё:сr< ое
ожидание величины Мт :п оэтому ,м,ожет ,быть выражено в
:_z .::e
00
~
~ .\1т)= IPr(v)E(MтJv) = IfE(M\R)(v - 1)+
V=l
V=l
-Е(М /A)J Pr(v) = E(v - l)E(M /R) + Е(М \А),
(2.37)
~.::.е E(M/R) и Е(М/А) -математиче,ские ожидания числа наблю­
.::. ё::=:и й , необходимых, чтобы отвергнуть или принять проверяемое
:-:::та яние. Аналогично дисперсия числа наблюдаемых, необходи-
:::,,х для решения,
00
~н ( Мт) = Е (М})-Е2 (Мт) = IE (М} \v) Рт(v)-Е2(Мт)·
V=O
Но Е(М;-\v) = Е(t1мiy= (v - 1)Е(М2/R) +
~ Е(М2 /А)+ (v- I)(v-2)E2(M / R) + 2(v - I)E(M IR)E (М \ А),
так что
Yar(Мт)=Е(v- 1)var(М[R)+Е2(М/R)var(v- 1)+Yar(М!А).
(2.38)
Оба выражения Е(,, ) и var(v) были найдены в предыдущем
п араграфе. Среднее значение и дислер-сия числа наблюдаемых Мт,
r1еобходимых для решения, являются функциями как а, та-к и ~ -
Эти два параметра, однако, не являются . независимыми, при лю­
б ой заданной вероятности ошибки Ре они подчиняются равен.ству
(2.27). Ис1пользуя это равенс11во ,совмес11но с ф - ла -ми (2.37) и (2.38),
по лучаем -выражения для с,р,еД; н• ег-о з1на 1чения и диопе.р,сии величи­
н ы Мт через а (или В), вероятност,и ,ошибки Ре, ч•исла состоян,ий N
,i у,сло,вных моментов (;по ,предп,оложе,нию н-езависимых) :случайных
зеличин zi = log·[po (Yi)/p 1(у;) ] .
Так как получающиеся в результате общие выражения для
Е (Мт) и var (Мт) довольно сложны, то некоторые наиболее ,важ­
н ые ча -стные ,случаи приведены в табл. 2. 1 . Формулы упрощаются,
е сл и использовать приближения, полученные в предыдущем пара­
г рафе [равенства (2.29), (2 .32) и (2 .33) ]. Случай, когда обе вели­
чи ны а и В являют.ся малыми, представляет • интерес как для срав­
н ения с другим крайним случаем (а-+!), так и для .по.следующего
ср авнения с методом поиска при фиксированном объеме выборки,
к оторый обычно имеет ~практическую ценность только ;при а--+!.
Так как Е(Мт) становится бесконечным при а--+0, то осмысленное
сравнение возможно только при а>О. Чтобы ра-ссмотреть этот пре­
дельный случай, мы до некоторой степени произвольно .прирав­
н яем а ,к Ре/2 и В ,к Pe/(N-1). Заметим, что если а и - В 01Пределены
таким образом, то справедлив,о ·равенство (2 .36). Вероятность Ре,
с ледовательно, учитывает .событие, когда решение не , было лри-
2-281
33


с
,
.
)
,
р
,
.
У
с
.
п
о
в
н
я
О
б
щ
и
й
с
л
у
ч
а
й
Р
е
«
1
Р
е
«
1
Р
е
а
=
2
Р
е
~
=
N
-
1
Е
(
М
т
)
Е
(
v
-
1
)
Е
(
M
I
R
)
+
Е
(
M
I
A
)
(
N
-
l
)
(
I
+
a
.
)
2
(
1
-
а
.
)
а
,
1
l
o
g
~
μ
1
1
I
o
g
-
;
_
;
1
-
а
.
+
μ
о
l
o
g
(
N
-
1
1
+
а
,
)
+
Р
е
2
μ
о
2
N
-
1
l
o
g
-
l
o
g
-
-
N
-
1
Р
е
Р
е
-
-
-
-
+
-
-
-
-
2
μ
1
μ
о
~
Т
а
б
л
и
ц
а
2
.
1
v
a
r
(
M
т
)
Е
(
v
-
1
)
v
a
r
(
M
I
R
)
+
v
a
r
(
v
-
1
)
Е
'
(
M
I
R
)
+
v
a
r
(
M
I
A
)
1
l
o
g
2
-
(
N
2
-
l
N
2
a
.
)
а
.
-
1
2
-
+
(
1
-
а
,
)
2
μ
т
+
2
(
N
-
l
)
(
l
+
a
.
)
а
1
+
-
-
~
-
-
-
'
-
-
-
х
2
(
1
-
а
.
)
μ
f
1
<
J
6
[
(
N
-
1
l
+
a
.
а
.
1
]
x
l
o
g
-
-
l
o
g
-
-
-
-
;
-
-
-
I
o
g
-
a
.
μ
g
Р
е
2
1
-
а
.
а
.
1
а
,
J
o
g
2
-
_
_
а
.
(
-
1
+
_
1
)
2
(
Р
е
«
_
N
μ
о
)
(
1
-
а
)
2
,
μ
о
μ
1
'
μ
1
2
)
2
2
l
o
g
-
2
N
-
1
(
Р
е
N
-
1
а
1
2
-
-
-
-
+
-
-
-
J
o
g
-
+
1
2
μ
1
2
μ
f
Р
е
G
6
N
-
1
+
-
I
o
g
-
-
μ
g
Р
е


'
"
'
.
,
w
Q
t
а
-
-
-
1
,
~
-
+
О
Р
е
1
-
(
А
*
-
1
-
l
o
g
А
*
)
+
-
(
1
-
-
Р
е
)
Х
Р
е
~
(
N
-
1
)
/
N
μ
1
μ
о
(
А
*
-
!
)
Х
1
o
g
А
*
-
~
а
-
>
-
1
,
~
-
+
О
(
N
-
1
)
l
o
g
-
-
-
1
Р
е
«
I
N
-
1
Р
е
-
-
+
μ
1
μ
о
Р
е
«
1
,
~
=
0
1
l
o
g
-
(
н
е
п
р
е
р
ы
в
н
о
п
р
о
д
о
л
ж
а
е
~
-
1
ы
й
п
о
и
с
к
)
{
a
N
N
-
1
}
а
-
-
+
-
-
1
-
а
2
μ
1
а
=
Р
е
«
1
,
~
=
0
1
l
o
g
-
(
н
е
п
р
е
р
ы
в
н
о
п
р
о
д
о
л
ж
а
е
м
ы
й
п
о
и
с
к
)
N
-
1
Р
е
-
-
2
μ
1
а
-
+
1
,
~
=
0
N
-
Р
е
«
1
μ
1
(
н
е
п
р
е
р
ы
в
н
о
п
р
о
д
о
л
ж
а
е
м
ы
й
п
о
и
с
к
)
О
б
ь
з
н
,
i
ч
е
н
и
я
:
μ
i
=
1
Е
(
z
l
H
i
)
I
;
А
*
=
I
i
m
(
1
-
а
)
1
=
(
N
-
1
)
(
1
-
Р
е
)
а
:
-
1
~
р
~
-
о
е
а
т
=
v
a
r
,
,
(
z
l
H
t
)
;
No
а
т
а
6
N
-
1
-
+
(
N
-
!
)
-
+
-
(
1
0
g
-
-
-
1
)
-
μ
Т
μ
f
μ
g
Р
е
(
1
1
)
2
-
+
-
(
Р
е
«
N
μ
~
o
)
μ
о
μ
1
1
l
o
g
2
-
(
No
-
1
No
а
)
а
-
l
-
2
-
+
(
1
-
а
)
2
Т
+
2
(
N
-
1
а
N
)
0
1
1
-
f
-
-
-
+
-
-
-
l
o
g
-
2
1
-
а
μ
f
а
1
I
o
g
2
-
2
No
-
1
Р
е
N
-
1
a
l
1
-
-
-
-
-
+
-
-
-
l
o
g
-
1
2
μ
Т
2
μ
f
Р
е
No
N
<
J
i
-
+
-
μ
т
μ
f


нято к моменту времени, когда каждое состояние было проверено
точно ОДИН раз.
Обращаясь к табл . 2.1, можно увидеть, что в обычной ситуации,
когда величины E(zJHo) и E(zJH1) имеют один и тот же порядок
и N~logl[(,N -1)/Pe], время поиска для случая, когда величина а
1
мала, пр-иблизительно в - log (2/Ре) раз больше, чем время поиска
2
для случая, когда а-1. Аналогично дис п ерсия времени поиска
1
уменьшается, грубо говоря, в -log2 (2/Pe) раз iПри а-1.
12
, Возможность ошибки лри принятии ка.кого-то состояния в ка ­
честве истинного состояния источника может оказаться неприят ­
ным свойством процедуры поиска, использую щей схему контрол я ,
та,к как схема контроля может ошибочно .н ача ть ,вн овь весь поиск.
В послед,овательном тесте отношения плотностей вероятностей э то
неудобство можно иногда устранить, если ,положить вероятность ~
равной нулю. Это :предположе н ие эквивалентно тому, что порого­
вое значение А становится бесконечным, и, следовательно, тому,
что любое состояние 1ни11юrда не , будет !пр изнано 1прав·ильным.
Вместе с тем истинное состояние будет отве р гаться с вероятностью
а, а все другие ,состояния будут отвергаться ,с ,в ероя тностью 1.
Следовательно, с вероятностью 1 - а аппаратура :п ои,ска будет не­
способна отвергнуть истинное состояние и поэтому будет набл ю­
дать его бесконечное чи,сло раз. Во многих приложениях истинн о е
состоян•ие отыскивается только с целью продолжения наблюдений.
В •этих случаях такой .подход может оказаться В'полне удовлетво­
рительным.
Представление о никогда не завершающемся поиске равносиль­
но приз.нанию, что может быть получена новая информа·ция, кото­
рая приведет к тому, что временно принятое правильным состоя­
ние будет отвергнуто. Из-за этого свойства, а также для того, что­
бы отличать этот метод от более ~привычного, только что рас·смот­
ренного метода, будем называть ,описанную процедуру :поиска не­
прерывно продолжаемым поиском. Вероятность прав,ильного реше- -
ния будет идентифицироваться с вероятностью того, что в .неко­
торый момент времени истинное состояние было проверено и впо ­
следствии никогда не будет отвергнуто.
Если формально ·поиск никогда не прекращается, то нужно .не­
сколько •изменить определение времени поиска, чтобы оно имело
смысл . Так как состояние и,сточни~,а эффективно определено в тот
момент, когда аппаратура ,поиска начинает ~проверять .состояние,
которое не может быть 1в:последствии отвергнуто, то время поиска
можно определить как время, необходимое для достижения этого
момента. Это эквивалентно тому, что величины E(MIA) и
var(MJA) •полагаются рав.ными .нулю в выражениях для среднег,о
и дисперсии общего времени пои,ска. Получающиеся в результате
выражения для Е(Мт) и \'аr(Мт) (с ~=0) также приведены в
табл. 2.1 .
Зб


К ак и в •случае поиска с фиксированным объемом выборки, по­
.--: у че нные результаты могут быть ис.пользованы для определения
:-р ан и ц, -в которых лежат параметры поиска, даже в тех случаях,
:когда вероятность :пр,инятия ошибочного решения является функ-
ие й проверяемо г о состояния. Эт,от подход, однако, будучи в об­
.:це м довольно удовлетворительным для процедур поиска с фикси­
ров а.нн ым объемом выборк,и, может приводить к довольно :плохим
-ра ни цам для последовательного поиска . Лучшие гран,ицы можно
_;:ю,1у чить, если .принять во внимание, что в ,случае, когда а:льтер-на­
ти в н ая гипотеза в действительности является сложной (даже если
;~.1 я целей теста она заменена простой гипотезой), некоторые
о ш ибоч ные состояния могут быть отклонены в -среднем намного
быстрее, чем другие.
В двух сл у чаях, представляющих на·ибольший интерес, когда
<l --+l и ~-о и когда а = Ре/2 .и ~=Pe/;(N-1) (в обоих случаях
Ре « l), более точные оценки числа наблюдаемых Мт, необходимых
д.1я завершения теста, нетрудно получить даже при более общих
усл овия х, чем только что о п исанные. Пу:сть -в ра,ссматриваемом
случ ае y(iJ _ наблюдаемая, относящаяся к i-му ,состоянию, подле­
жа щему проверке, и ~пусть z(iJ = logl[p 0(y(iJ) /р1 (y(iJ)] - ,соответствую­
щая статис1'ика теста. Ес;ги источник находится в j-м состоянии,
то пусть статистика z(iJ характеризуется плотностью ра-с:nределе­
н ия p(.z(iJJj) с p(z(iJJ ,i) =p0 (z(i)) для всех .i . Плотность ра,спределе­
ю1я p(1z(iJ Jj) может ,быть функцией как 1i, так и j, но множество
функций {p1(z(iJ Ij), j = О, 1, ... , N-1} •по предположению будет счи­
т ат ься ,неза,в,и,симым -от i. (Это ;послед~н-ее у,словие .вс,егда удо,влет­
:в оряет-ся в рассматриваемых ниже применениях алгор 1итма .после­
доват ельного поиска. В дейс твительности р (z(i) 1j) будет -во в,сех
случаях функцией лишь разности i-j ·по модулю N.) Плотность
распределения альтернативной :гипотезы p 1,(y(iJ) по предположению
о преде,1яется так, что проверка <i -1го ,с, остояния оканчивается его
.принятием с вероятностью 11- а, если -источник в действительности
н аходится в этом состоянии, и с вероятностью самое большее ~ .
<если он находится в j - м ,состоянии для любых j=l=:i по модулю N.
Пусть v обозначает число состояний, проверенных до т,ого, .как
б ыло лри.нято решение, а Mi - ч1исло наблюдаемых, необходимых
для ,i -го теста. Тогда
Е(Мт)=Е (~ м,) =}: [Pr(v = п)IЕ(М11v =п)] =
1=1
n=l
t=l
о:,
00
= 2:_I Pr(v = п)Е(М1\v = п).
(2.39)
i=I n=l
.,
Замечая, что ~ Pr(v=n/v;;;,:1i)E (Mi/v=n) =E(Mi/v~i) и что
n=i
Pr(v =n) =Pr(v =n/v;;;,:,i)Pr(v;;;,:i) для всех n~ :i , получаем
00
Е(Мт)=}:Pr(v > i)Е(М11v > i).
{2.40)
i=l
37


1В общем ·случае ,случайная велич,ина М; не является неза­
ви,симой от события {v~i}, даже когда :все статистики ошибочных
состояний одинаково распределены. Если, на1Пример, i=N, то тот
факт, что ,N-1 состояний уже -были отвергнуты, увелич,ивает ве­
роятность того, что N-e состояние будет правильным. Так как чис­
ло наблюдаемых, необход,имых для решения, является функцией
проверяемого состояния, то это будет влиять на значение
E(M;Jv~i). Однако если а-1, то зависимость от ,проверяемого
состояния не существует. Так как все состояния (правильное и не­
:прав-ильное) отвергают,ся с вероятностью, равной единице, то ве­
.р,ояТtность того, что i-e состояние я1вляе11ся л.и:бо ш,равильным со­
стоя-ни-ем ,источника, либо ,каким-·либо $ада1нным ошибочным со­
стоянием, не изменяется предыдущими i-1 наблюдениями .
В ;этом случа,е
N-1
Е(MiIv>i)= Е(М;) =f~Е(MiIj),
(2.41)
i=0
где j - индекс правильного состояния. Так как множество плотно­
стей ра,спределения {p(.z(iJJj), j = O, !, ..., N -1 } не зави,оит от i, то
эта независимость сохраняет,ся для Е(М;) . Следовательно, из ф - лы
(2.26) получаем
N-1
Е.(М-)=Е(М)л _1 '1PjIogА+(1-Pj)logB
,
о=N/..J
• Е(z(0)fj)
'
]=0
(2.42)
где Pj- вероятность mр,и.н.ятия ~прав.ильным :нулевого состоя1н,ия,
КОIГД'а ИС 'ЮЧIНИК ,НаХQДИТ·СЯ IB j-м ,состоянии . Из ,раrвенств (2.40)-
(2.42) 1при а-+ 1 следует, ,что
со
N-1
Е(Мт)= ~~Р(v>i)~Е(М01j)=
i=l
i=0
N-1
= Е(v) '1PjlogА+(1- Pi)IogВ.
N .lJ
Е(z(O)Jj)
1=0
(2.43)
Но со•глаоно 1ги1потезе Pa = •(rl-a) и Pj~ В для в,сех j=l=O. Более
того, из соотношен,ия (2.32) лри Ре« 1 имеем: E(v) ,;::::;:,Na/(1-a), и
эта величина фактически не зави,сит от :вероятностей Pj, j=l=O . Та­
ким образом, если А= (1-а)/В и В=а/(1-В) и если ct-+l, в--о,
так, что верно соотношение ,(2.29) (при Ре« 1), то
_
_
_
1_ _ + (1ogT-1)
IE(z<0JIj)f
Е(z<0>1О)
N-1
Е(Мт) = IJj=l
(2.44)
(Ср. этот ,результат ,с mриведенным в табл. 2.1 для тех же самых
усло:вий.) Выраже:ни•е для Ре, ,конечrно , является верх1ней ;г,раницей
38


.::.1 я действителн ной вероятнос11и ,ошибки, так -как соотношение
2.2 9) было выведено для случая, когда Pj = В для всех j=f=O.
В другом крайнем ,случае, когда а и В являются малыми
=а =Ре/2, в=Ре/(N-1)], ·приближенное выражение для Е(Мт)
~о ж но получить, используя ,соот.ношен,ие
N
N
E (Mi lv>-i)~'1E(M;lj)P(j l v>-i)~'1
1 . E(M; i j), (2.45)
i.J
.
i.J N+I-i
f=i
f=i
_.J .e j снова обозначает индекс правильного состояния, а
Р (j Iv ~ ,i) - вероятность того, что j-e состояние является правиль­
з ым при услови.и {v~i}. Это .п риближение ,справедливо потому ,
ч то с большой вероятностью состоя.ние принимается тогда и тол.ь­
ло то1гда, коnда ,оно я,вля,ется ,пра,вилыным. По той ж,е самой :пр·и­
чи не P,(v~1i) ~ (N + 1-,i)/N, i= 1, 2, .. ., N. Объединяя равенс11ва
(2.40) и (2.45) и используя эту лоследнюю аплрок,симац:ию, нахо­
ди м, что
NN
Е(Мт) ~ ~ lJ ~E(M;lj).
(2.46)
i=l f=i
Это выражение допускает дальнейшие упрощения, если плот­
з ос ть распределения р (z(i) 1 j) является функцией лишь разности
i -j по модулю N; при этом
N-1 N-k
N-l
Е(Мт)~~~
.~
Е(М01k)=~ NNkЕ(М01k).
(2.47)
k=O i=l
k=O
Наконец, так как Р0 = l-a ,и Pj~ В для всех j=f=O ,и так как а
11 В являются малыми :[а=Ре/2, B=Pe/(N-\1), Pe~l], то
2
log--
PflogА+(1- Р1)logВ
Е(МоIj)=
Е(z(O)1i)
~
___
P_e _,
j=f=O;
IE(z(O)1j)I
N-I
log--
11
___
P_e_'
j=0
Е(z(O)1о)
N-1
N-1
log--
E( M )~!о _2_\1 N-k
I
+
Ре
т~ gР,i.J N IE(z(O)1k)I Е(z(0)iо)
k=I
N-1
N-1
log--
=
_1log_2
_
\1 ___!
__
+
Р,
2
РеlJIE(z<0)1k)I Е(z(O)1о)
k=I
(2.48)
39


,где ~последнее выражен.не оп~ра1Ведл,и.во :при принятых здесь ,пред­
:1юложе,н•иях из-за того, чт,о B(z(OJ/k) =E(12( 0J\N-k). Снова Ре я,в­
л.яет,ся ве1рхней лра.ницей для дей1с11вителыной ве1роятности оU:шбк,и.
2.7 . Об оптимальном последовательном поиске
.
Казалось бы, что для минимизации времени поиска ве­
роятно.с ть ошибочного отвержения а должна ,быть взята малой для
того, чтобы можно было выбрать правильное состояние с высокой
вероятностью в момент проверки (или, в случае непрерывно про­
должаемого .поиска, для того, чтобы не отвергнуть его). В дейсr­
витель,ности табл. 2.1 показывает, что слраведливо как раз пр,о­
тивоположное. I lри дифференцировании математического ожида- '
E{Nj)
7Тi
2,2
\
1,8
\
'
1
1
1
'
!'--
.. __
ния времени поиска по ;а можно
. увидеть,
что оно будет монотонно
убывающей функцией а для всех
::тачений N (.ТV~2) как в случае
обычного, так и непрерывно про­
должаемого
последовательных
поисков . },1атематическое ожида­
ние величию,~ Мг изображено на
рис. 2.1 как функция а, когда
N~to/~L1 велико, а Ре мало по срав­
нению с единицей (см. табл. 2.1) .
Заметим, что в тех же самых ус­
Jювиях математиче ские ожидания
вре м е н и поиска для обычного и
непрерывно продолжаемого поис-
10, D
0,2
0,4
О,б
а, ков совпадают.
Рис. 2.1. Математическое ожидание
времени
последовательного поиска
как функци5i а
Следует подчеркнуть, что ког­
да ·а-+ 1, число проверок каждого
состояния в про цессе поиска стре-
мится к бесконечности. Время
поиска ,остается конечным, .по тому что одновремен,но ,стремится к
н улю время исследования каждого состояния. Тем не менее это
обсто:пельство накладывает некоторые очевидные ограничения на
процедуру лоисi,а. Прежде в.сего, мы молчаливо предполагали, что
по своей природе наблюдаемые являются непрерывными; каждое
состояние могло rп,рю·в-еряться в,плоть ,до М •Jмента, когда его 011ноше­
ние шлотн,о,стей вер1оят1но·стей •ста1но1вилось меньше а и ,в этот мо ­
мент наблюдение мгновенно прекращалось. На практике наблю­
даемые час то являются дискретными (М - целое число) и, следо­
вательно, по меньшей мере одна наблюдаемая должна быть в на­
лич.ии, прежде чем может быть принято р е шение. Этот эффект
квантования .пр,иводит к тому , что чи.сло наблюдений для каждого
состояния не ·стr-емится к нулю при а-+1. Далее предполагалось.
что при переходе от И•ссл едов ания одного состояния к другому вре­
.мя ,не затрачивается. ПреД,положпм, что t0 секу!-Iд затрачивают'Ся.
чтобы выполнить кажд,ое наблюдение, ,и t 1 ,секу нд :в дей.с11витель-
40


ЕОС 1'И необходимы, чтобы перейти от одного состояния к другому .
рл этом математическое ожида.ние времени ·поиска
i:. (Ts)=E(v-l)t1+E(Mт)t0 •
(2.49)
=:-огда а-+1, 1перво"е слагаемое обращается в бесконечность незани­
сз~1 0 от того, насколько малым является t1, если оно отлично от
-=-_-л я . Тем не менее результаты, относящиеся к случаю, когда а-+1,
ос тают~ся ,полез1ными ,прл ·отыска,нии ·ожида•е~мых .границ дл·я ,пара-
•етр о,в, отн-о,сящихся к .ра·6оте идеаль.н,ой -схемы. Более то['о, тест
з е еще остается полезным даже, если а .несколько меньше едини­
-ы
и, как следствие, время, затрачиваемое :на проверку каждото
сос тоян,ия, :не стрем-ится к нулю, а число :проверок не стремится к
беско нечно.сти iер. равенство i(2.3 l) ]. Оба у.помянутые выше воз­
?а жен ия снимаются, по крайней мере до .некоторой ,с тепени , ког­
,:::а а несколыю меньше ед,иницы. ~Бели время t 1, необходимое для
п ерех ода от исследования одного состояния к другому, .известно,
70 фак11иче.ски возможно определить о.птималь.ное значение а.
Часто, однако, значение t 1 является настолько малым, что опти­
м ал ьное значение а, удовлетворяющее этому у.равнению, слишком
бп из ко к единице, что не позволяет оправдать пренебрежение эф­
фектом .квантования. В любом случае увел,ичение времени, вызы­
вае мое ,откло.нением а от единицы, не является чрезмерным, как
можно увидеть из рис. 2.1 .
-Сред,нее число наблюдаемых, необходимых для каждого теста,
~юж но определить с :помощью результатов § 2.3 . Когда •это число
.:~.ос титает, скажем, десят,и, то с достаточным основанием можно
счит ать, что эффект квантования не играет больше роли .
С этим•и оговорками математическое ожидание времени, необ­
х од имого для завершения последовательного поиска, м,ин.имизи­
руется .пр,и вероятности ошибочного отклонения, стремящейся к
еди,нице. В этом ,смысле по.следовательный поиск с а= 1 является
оп тимальным среди рассматриваемого -класса процедур поиска .
Но можно л,и сказать, что этот метод будет оптимальным в какои­
.1и бо более широком смысле? Ил,и какой алгор,итм поиска в более
об щем 1слу,чае минимизирует математичее1кое ожида1Н.ие .в.реме.ни
ло иока, если толыко одно еостояни·е ,может быть ,проrверено за -оди1н
ра з?
Хотя наибо.;iее общий ответ на этот вопрос представляет.ся не­
ясн ым, следующее правило является заманч-]Jвым, правда, не всег­
да усдачным ·кон,курентом о:птималь,н-ой с11ратегии (см . задачу 2.7) :
gcer дa проверять состояние, имеющее наибольшую текущую ве­
ро ятн ость быть прав.ильным. Предположим, что вероятности μ-то
сос тояния 0μ и v - го состояния 0v в один и тот же момент .поиска
равны Рμ и Pv соответственно и Рμ = Pv ~pi для всех li,f=μ, v. При
эrом ,мы ,пrроиз,води~м наблюден,ие Yjv) , относящееся к v-му ,с,остоя-
:!И ю. Тогда, есл;1
41


то ,новая вероятность v -.го состояния
р'=
Ро ( Y)v)) Pv
v Po(Y)v))Pv+P1(Y)v))(l-Pv)
pv
1
Pv+-'),_
- . (1-Pv)
V/
(2 .50)
где лvi=po(Y;v>)/pi(Y;v>)
отношение правдоподобия. Если Р ~
меньше, чем Pv, то μ -е состояние -становится наиболее вероятным .
Таким образом, если правило обязательной проверки текущего наи­
более вер,оятного ·состояния применено, то последование v-го ,со­
стояния на этот раз будет прекращено . Но Р: меньше , чем Р v• тог-
да ,и толь-ко тогда, когда лvi ме,ньше ед,ин,ицы . Бели лvi больше
единицы, то v-e состояние остается наиболее вероятным -состоянием .
и его и-сследование продолжает-ся . Фактически оно продолжается
до тех пор, пока произведение ,лvi лv,i+i "'v.i+ 2 • •• лv, i+I не станет
меньше единицы. У.словие, что в процедуре поиска всегда иссле­
дуется на,иболее вероятное ,со,ст,оян,ие, реал,изуетея, следовательно.
в последовательном поиске ·с ниж,ним порогом В=а/(1-~), равным
единице. Соответственно последовательный поиск с а = 1-~ ; [и,
сле ­
довательно, согласно (2.29) е а~ 1] можно рассматривать как ал­
горитм, реализующий эту интуитивно привлеченн ую стратегию.
2.8 . Проверка многих гипотез
Если те ,ил,и друJ',ие ограничения, напр,имер, связанные
со ,сл ожностью вычислений, не являются решающими, то часто вы­
годно выполнить проверку мн-огих гипотез, одновременно проверяя
все конкур,ирующие гипотезы, вместо того, чтобы осуществлять
поиск, который, вообще говоря, требует затраты большего време­
ни. В этом параграфе кратко рассмотрены некоторые ас·пекты ,про­
верки мног,их гипотез как для процедуры с фююированным объе­
мом выборк,и, так ,и для процедуры последовательного типа . Снова
рассмотрение огр·аничено только .простыми гипотезами. Обобще­
ние на сложные гипотезы во многих ·случаях является непосред­
ственным.
Тесты с фиксированными объемам,и выборок.
Если тест следует закончить в заранее установленное время (т. е .
если должно быть про.изведено фиксированное число наблюдений).
то оптимальный тест легко получить, обобIЦая результаты § 2.2 .
Пусть опять Cij обозначает стоимость принятия гипотезы Hi (0 = 0i).
когда правильной гипотезой являет,ся Hj(,0= ,0j). Тогд а математ,и­
ческое ожидание стоимости решения будет
Е(стоимость) = )l_CiiP(Hi) Sp(YIHi)dY,
(2.51)
ii
R;
где Ri - область принятия гипотезы Hi . Используя :прав-ило Байе­
са .и меняя ,порядок интегрирования и суммирования, 1Получаем
Е(стоимость) = I.\ !ciiP(Hi l Y)p(Y)dY.
(2.52)
iR;i
42


Математическое ож,идание ст,о,имости минимизируется поэтому
:::1 р-и включении У в область R ,, тогда и только тогда, когда выра­
жение
(2.53)
j
достигает своего минимального значения при i=v. Так.им образом,
· -я гипотеза Н v принимается тогда и только тогда, когда
~CviР(HiIУ)
j
LC;j P(HjIУ)
i
-------<1
~Ciiр(УIHj)Р(Hj)
i
(2.54)
,.1.1 я всех 1i=l=v. Эта процедура представляе т собой байесовскuй тест
.J.iI Я ,случая мног,их гипотез [ер. с равенством (2.4) ].
Опять возникают трудности при определении опт·имальногq тес-
а в ,случае, когда неизвестны либо ,ст,оимости, либо а:приорные
зероятнос ти р(Н;), либо и то, и другое. Ограничимся рассмотре­
н и ем ,случая, когда ,известны все априорные вероятности и стои­
мо сти всех ошибочных решений равны между собой:
с_{С0, i=j;
tj-
С1, i=/=j.
Требует,ся мннимиз.ировать выражение
~ CiiP(Hi IУ)= С1 ~ P(Hi IУ)-(С1 -C0 )P(Hi IУ)=
j
j
=С "'P(H-IY)-(C -C)p(YIH;)P(Hi)_
(2.55)
1 /.J
J
1
О
р (У)
i
Ст оимость манимизируется (если С1>Со) выбором той гипоте­
зы Н;, для которой вероятность
(2.56)
:~ри нимае т макс·имальное значен.ие . Эта ~процедура, очевидно, яв­
.1 яется тесто,и максимальной апостериорной вероятности для мно­
гих гипотез.
Обоз,начая через sv случайную величину p(YIHv)P(Hv), мож­
:=ю выразить вероятность ошибки в принятии решения этого типа
с.1е,:~:ующим образом:
N
Ре = L Р(Нμ) Ре(μ),
(2.57)
μ=1
где Ре(μ)= 1- Prfs>maxSvIНμ\ =
\μ
v'i= ,i
J
СХ> !;μ
~μ
= 1-J s .. . s P(s1, S2,••·, sнlHμ)ds1ds200•dsнdSμ·
оо
о
43


Подынтегральным выражен.нем является условная совмесТl!ая
плотность распределен·ия вероятности случайных величин ~v . Та к
как эт,и велич,ины обычно не являются незав,исимыми, то точное
вычисление вероятности ошибки часто затруднительно. Тем не ме­
.не,е м ожно •о~це,нить эту 1вероя11ность . Одну из таких :гран-иr.L м·о.ж ­
но получить, если учесть , что
N
IJ1,;μxPr{~i - ;μ>ОIНμ}<Р,(μ)<~Pr{6t- ;μ>О/Нμ}.
L=I
i"4=μ
Так как Pr {;; -- Gμ > О IНμ} = Pr{ GμIGi < 1/Нμ} (члены Si являются
плотностям-и распределений и, следовательно, не могут быть отри­
цательным.и), то
max S p(YI Hμ)dY <.Ре(μ)<
1-4=μ Аμ1<'μi
N
<~ S Р(УIНμ)dУ<. N~аμх. s р(УIНμ)dУ,
L=I дμ/<'μ1
лμi < 'μi
Цμ
(2.58)
где'),, Р(У!Нμ) и r . =
Р(Н;)
μI = p(YIHt)
μ,
Р(Нμ)
Последовательные тесты. Чтобыиметь возможно.сть
проводить последовательный те,ст для многих гипотез, нужно как­
то определить •)тношение ллотностей вероятностей вида
р (У (т) 1Hi)
(У(т)\нj)
(2 .59)
для каждой гипотезы Hj . Альтернативная r,ипотеза Н* j может быть
одной из конкурирующих гиюотез, но может и не совпадать н,и с
одной из них. Например, плотность распределения вероятности
р ( У IH*j) может представлять собой некоторое взвешенное сред ­
нее плотностей распределений, соответствующих всем алыер,на­
тивным гипотезам, т. е .
р(У(m) /Hj)=~w1(m)Р(У(m) 1Н1),
1-4=/
(2.60)
где ~wj(m)=l. Мы указывали на завиеимость весов Wi от числа
i$j
.наблюдаемых в множестве У(т). Тест, ,который проводится ларал­
лельно, включает в себя одновременную проверку всех гипотез Н;
до тех пор, лок;;; все гипотезы, кроме одной, не будут отвергнуты~
следовательно, одной из форм, которую эта зависимость может
принять , является равенство w;(m) = ·0, если Hi уже была отверг ­
нута. В только что упомянутом последовательном тесте для мно­
г.их гипотез все отношения (2.59) .рассматр иваются одновременно,
44


-
и потеза H.i отвергается, как только соответствующее отношение
::-:- а н ов,ится меньше некотор,ого порога В 1 . Отсюда следует, что
"'
=}: S p(Y(m)IHμ)dY(m)=
m=I Rμ (т)
"'
= ВμL S р(У(т)1Н~)clY(т),
m=l Rμ (m)
::-.:е Rμ( т) - область отвержения μ-й r,ипотезы, определяемая от­
:::оше ниями (2.5Э). Независимо от альтернативной гипотезы н: со­
-::,п ия , по которым производится суммирование в первой части
3-:-о го равенства, являются вза·имо.исключающими; если У(т) пр,и -
i':а ,:цежи т .Rμ ,(m), то У (l) не принадлежит ,R μ(l) для любых l<m
з.1и :пр•ове,р,ка μ-го сост-оя,ния зав-ершена до того , 1ка1к 1произ-ве1щшо
·п -е наблю~ение. Следовательн,о, эта ,сумма не ~превышает еди:ниЦ1у,
(2.61)
:1 ве роятность ошибочного отвержения гипотезы Нμ ограничена
з на че нием порога Вμ. К сожалению, в общем случае трудiно опре­
.:е.1и ть математическое ожидан.ие числа наблюдаемых , необходи­
~-.ы х для завершен,ия ·последовательного теста многих гипотез.
3 ольш инство относящихся сюда результатов получены эмпири­
с:е ски .
2.9. Оненка статистических параметров
Существенно е отличие оценивания ста'!'истических пара­
_: е т ров от провсрк·и стат.истических гипотез состоит в том, что , по
::~ р едположению, r,ипотезы образуют лишь дискретное множество,
з то время как параметры могут в общем случае лр1инимать кон ­
-и нуу м значений. Рассмотрим задачу оценивания одного единст­
зенно•го параметра х по наблюдаемым У. Чтобы обобщить методы
зычи сления математического ожидания стоимости решения в слу­
ч а е мн огих гипотез и сделать их при годными при оценивании па ­
р ю1 етра, необходимо только определить стоимостную функцию
л
(\ (\
С (х, х), которая указывает стоимость принятия оценки х=х(У),
ко гда пар аме тр в действительности равен х. Далее, видоизменяя
р а ве нство (2.52) ,приме н ительно к р ас сматр и ваемой с,тттуации, по ­
.1учаем
Е (стоимость) = SЕ (стомость [ У) р (У) d У,
(2.62)
.
/\
ГJ.е Е (стоимость IУ) = j С(х, х) р (х IY)dx . Таким образом, (\ для
ка ждого У, для которого р(У) =т!=О, нужно определить оценку х(У),
45


так, чтобы Б(стоимость I У) . было минималыным. Такие оrценки на­
зываются байесовскими оценками.
Одной из наиlболе,е ши1роко пс.пользуемых ст-о,и,мос11ных функций
является квадрат ошибки оценыи:
л
л
С(х-х) = (х-х)2.
(2.63)
Легко видеть, что для этой сто,имостной функции оптимальной
л
оценкой х величины х является ее условное математическое ожи­
дание
л
х=E(xlУ).
Рассмотрим '71Юбую \ll!PY.ГYIO ,о,ценкух, тогда
Е(стоимость IУ)= Е ((х- х)2 1 У)=
= Е[((х-~) - (х - ;) )2!У] = (х-;)2+
л
л
+ Е [(x-x)2 IYJ > Е [(х- х)2 /YJ,
л
(2 .64)
где ,ра,ве,нсг.но вы1пол1няе11ея тоJшко 1п,ри х=х. Можно 1по1Казать, 1что
,п.р·и некоторых до,вол ь но ,общих о гр аничениях на ~плотность раопре­
деле~ния р (х IУ) усло.вн-ое математическое ожидание Е (х IУ) я1в ля­
е'Гс.я -опт,ималыной ~фо,рмулой оценки 1) для . весьма широкого класса
сто.имостных функций. В частности, это утверждение сп раведливо,
если стоимостная функция является симметр,ичной функцией .раз-
л
ности х-х, ,неубывающей функцией ее абсолютного значения и
если плотность р(х / У) является унимодальной и симметричной
относительно своего среднего значения. Но если плотность р(х/ У)
унимодальна и ·симметр,ична относительно среднего значения, то
ЯС·НО, ЧТО •
л
maxp(xl У)= р(х I У), .
(2.65)
х
л
где x=E(x l У), т. е. условное среднее значение х равно условной
моде распределения х. Соответственно оптимальная формула ·
оценки в этих условиях является формулой оценки по максимуму
апостериорной вероятности .
Пр,и оценивании -стат.истических ,параметров так же, как при
:пр-овер,ке г.и,потез, мо.r~ут быть неизвест,ны априорные вероятности,
и, как и там, выбор критерия для формулы оценки в отсутствии
л
1) Термин «фор.мула оц е нки» используется для обозначения функции х=
л
л
=х(У). Оценка величины х есть значение х для любого заданно г о множества
У. (Прим. авт.)
46


это й информации является менее очевидным. Часто .ислол1:зуются
с.1 еду19щие меры при вычислен,ии формул оцено.к:
А
А
1. Смещение оценки. Если х является оценкой х и Е(х\х)=
•
А
= х +Ь(х), то Ь(х) называется ,смещением оценки х.
1\
2. Условная диспер,сия Ei[ (х-х-Ь (х)) 2 \ х] о:ц,енки. Любая оцен -
А
к а х величины х, основанная на множестве независимых одинако ­
зо рас.пределенных наблюдаемых У= {у;} (i= 1, 2,
.. ., N), имеет
.J.Испероию, для которой граница снизу определяется выражением
( db(x) .2
1+--1
Е[(:- х - Ь(x))2IxJ ::;,
dx
(2 66)
•
r
NE [(д log ~~у/ х)/1х] '
•
, J .e р(у\х)=р(у;\х)-условная плотность распределения наблю­
,1. аемых у;. Это неравеН,ство называется неравенством Крамера­
Рао.
В большинстве случаев предпочтительна оценка, которая яв­
.1 яется несмещенной ,и которая среди всех несмещенных оценок
им еет дисперсию, достигающую ,нижней границы (2 .66). Такие
о ценк.и на зываются эффективны.ми . В связи с этим оценка макси ­
_,,t алыюго правдоподобия, т. е. корень (или корни) 1 ) х уравнения
правдоподобия
_д_\оgр(УIх) = О,
(2.67)
дх
·и меет два весьма привлекательных свойства. Первое - если су­
ществует эффе-ктивная · оценка, то она является оценкой мак,си­
~I ального пр авдоподобия. Второе - даже если эффективная оце.нка
н е существует, то существует оценка максимального правдоподо­
б ия, которая является асимптотически эффективной, когда число
н аблюдаем ых становится большим.
Принцип максимума правдоподобия, использованный в преды­
дущих параграфа х этой главы, в рассматриваемой ,ситуации со­
стоя.'I бы в выборе в качестве оценки х такой велич,ины, которая
м акс.имизирует в области д:опустимых значений х функцию
р'(У \ х) l[ил,и, что эквивалентно, фунющю log р(У\х)] . Эта оце.нка
часто является решением уравнения :правдоподобия, но , конечно,
н е всегда (например, уравнение ,правдоподобия может не .иметь
р ешения в рассматриваемой области значений х) . Кроме того,
у равнение правдоподобия может иметь решения, ,которые не ма1{­
е,им,и зируют р (У Iх) . Для того чтобы в дальнейшем ,изложении
1 ) Иногда случается так, что р( У Iх) принимает максимальное значение при
нек отором х, не зависяще м от У. Такие оценки обычно отбрасываются в по,~ь-
А/\
зу н е 1<оторой др у гой оценки х=х(У), которая является функцией У и для кu­
торой p(Yix) достигает, по меньшей мере, относительного максиму,ма. (Прим.
авт.) •
47


различать между собой эти две формулы оценок, мы будем назы­
вать любую формулу оценки, -основанную на макс-имуме функции
p(Y lx), формулой оценки по прин,ципу максил,~ума правдоподобия
и резервировать термин «формула оценки максимального правдо­
nодобrИя» для тех формул оценок, которые определяются равен­
ством (2.Ы) .
Распростраiн~ни е результатов на более общий случай, когда не­
сколько параметров должны ·быть оценены одновременно, во мно­
гом является очевидным . Неизвестный параметр х теперь стано­
вится вектором Х=-(х1, х2, ..., Хт). Оценки iПараметров х1, х2, ..., Хт
по максимуму а,постериорной вероятностrИ, например, при задан ­
ных наблюда е мых У= {у;} - это величины, которые одновременно
максиМ'изируют выражеяне
р(хIУ)=р(х1, х2,... , ХтIУ),
(2 .68)
в то время КШ( оценки максимального правдоподоб,ия
чины х;, которые удовлетворяют уравнениям 1):
это вели-
д
-р(УIХ1,Х2,..., Хт) =О, i=1,2,..., т.
дх;
Задачи
(2.69)
2. 1. Пусть S -- двоичный источник; его выход представляет собой п оследо ­
вательность статистически независимых нулей и едuющ с Pr (О)= 1-Pr ( 1) = р.
Следует определить, используя шесть последовательных выходных символов ис­
точника S, находится лн он в СОСТОЯНИИ 0о с р=2/З ИЛ !! в СОСТОЯ НИ!! '01 с р= 1/2.
Показать, что в каждой из следую щих ситуа ций соо тв етствую щи м образом выб­
ранный тест прин имает гипотезу Но , что 18= •80 тогда и только тогда , когда
число появи вши хся нулей nпльше некот()рого числа v, и определить v в каждом
случае. (Обозначенн я здесь такие же, как в § 2.2):
э) Р(Но)=Р(Н1)=1/2; Со1-С11=С10-Соо;
б) Р(Но)=Р(Н1)=1/2; Co 1-C11=l; C ,o -Coo=lO;
в) Р(Но)=Р(Н1)=1/2; Со1-С11=10; C10-Coo=l;
г) а не превосходит l /9 ;
д) С 11 =Со 0 =0, С 01 =1, С 10 =10; априорные веро5:тности не11Звестны.
Определить а и ~ в каждом случае .
2.2. а) Указать посл е довательн ый тест отношения плот ностей вероятност е й
для определения состопния источника, описанного в пр едыдущей задаче . Найти
среднее и диснерсию числа выходны х символов источника, - необходимых для
последователь ного решения с а=~= 1/3. (Обратить внимание, что в этих
условиях влияние «перескоков границ» существенно, так что ответы будет лишь
приближенными.)
1) При одновр е менной оценке нескольких парам етров м111111мальная возмож­
ная дисперсия оценки некоторого частного параметра Ф i может быть боль ­
ше, ч е м в случае, когда им е ется единственный неизвестный параметр. В част­
ностi1, есл и методом макснмума правдоподобия оцениваются два параметра
Ф1 и Ф2, то асимптотич е ски е д 11сперс11и этих д вух оценок будут больше , чем
значении, задавао1Ые ф-лой (2.66), до тех пор, пока оба этих пара метра нс
станут 1-1езависимымн в том смысле, что
Е(д lоgр(у!Ф1, Ф2) д log,o(r1!Ф1, Ф2)_ ') = О
дФ1
дФ"
i•
(Пprtлt. авт.)
48


r ,) Предположим, что источник на самом деле выдает нули с ве роятно-
• 1•1,10 5/12 . Найти вероятность принятия при этих условиях гипотезы Н о и опре­
I,.,III Iт~ , ма тематическое ожидание числа наб л юдений, необходимых длп завер-
1II1• IIII1 I т~ста .
2. 3 . Как ие условия накладывает минимаксный критерий на пороговые зна­
• 1 1 1 II II11 n после.дювательном тесте?
2.4 . Используя тождество Вальда, показать, что ес ли E(z[0) = 0 ,
v1 II (: [0) *О, то равенства (2.25) и (2 .26) переходят соответственно в
\og в
1 \ogАlogВ 1
1 ' (0) ...,,, --~--иЕ(М[0)= ----
.
logВ- /ogА
,·ar(z 10)
2. 5. При последовательном поиске нужно определить состояние 0 источ-
11I11 ,: I. Рас пределение наблюдаемых z известно и задается плотностью Po(z),
1•1'JIII ('О стоя ние источника является тем, которое в действительности прове р я ет-
1·11, 11 плотностью Р1 (z) во всех остальных случаях. Эта ситуация отличается от
Jlll\'('МО тренн ой в § 2.6 , где априорная вероятность того, что источник находится
11 <' О · т о шши 0;, равна Р 0 для всех i (Ро - произвольная вероятность, не пре-
11111·х дяша я 1/N) . Поиск вводится для того, чтобы с вероятностью ошибки Ре
I1 IIр •1 t с л 1пь правильное состояние источника, когда оно в действительности яв­
J111,·тс 11 одним из проверяемых . Показать, что когда а-+!, ~-+О при условии,
11 I I р<' 1 tс юrем ом равенством (2.27) , математическое ожидание числа наблюдений,
111'1>1\хо дим ых, чтобы завершить поиск (ер . с табл . 2.1),
,/:' (Мт; Ро) =Е(Мт ; +)+(1-Pe)(I-NPo) Х
А*- 1 - logА*
μ1
А*-1 }
logA*---
.
А*
-
.
μо
•! ! о каз ать, что выражение, стоящее в правой части равенства, явля етс я по­
J1ож IIтелы!ЫМ при условии, что можно пренебречь «эффектом квантования»,
у 11 о мпнутым на стр. 40.
2.6. а) Поиск, · описанный в предыдущей задаче, следует модифи ци ровать,
1 1 II 1 с ршая его либо когда Р;(М)~Рс для некоторого i, либо когда P;(M)~Pr
1IJ11 I ncex i (i=l, 2, . . ., N), где Р;(М)-апостериорная вероятность того, что
1101· . 1 1 r М наблюдений источник находится в состоянии i. Показать , что если
1111 11 1· 1, пос троен так, чтобы проверять наиболее, вероятное состояние в каждый
м111 1 L· IIт, то матемагическое ожидание требуемого числа наблюдений
Ро
J·: (Мт ; Р0, Pr , Ре)=SЕ(Мт; х)р(х)dx,
Pr
I Jt1' С (М т; х) определено в задаче 2.5, но с
• >-Л '(x )=(l-x)P c/x (I-Pc), Р,=1-Рс и где p(x)=dP(x)/dx с
,V ,т : ю,ш е . Рассмот реть ряд усеченных последовательных поисков; ~-и поиск про­
I1о;t I I т с я с верхним и нижним порогами А; и В; соответственно, и усечение про-
11I I 1n1 tнт ся не только тогда , когда одна из статистик теста достигает А ;, но так­
>1<1\ т о гда, когда все N статистик теста дости гают В; . Показать , что математи -
1 I 1•с I ,ое ож идание числа наблюдений , необходимых для завершения такого поиска ,
р 1 IвIю произведению 1-Рг(В; [А ;, В;) на математическое ожидание числа наб ­
J 1Ю J tс 1 1 ий, необходимых для за вершения соответствуiощего неусеченного пои ска,
l'lt(' Рг(В; /А;, В;)-вероятность того, что все N статистик теста достигнут ниж-
49


него порога. Далее показать, что если Р; обозначает апостериорную вероятност1,,.
каждого из проверяемы х состояний в конце i-го усеченного поиска , если А;~
Л (I-P;-1)Pc/P;-1(1-Pc), В;Л (1-Р; --' 1) (Р;-1-Л;-1)/Р;-1(!-Р;-1+Л;-1) и ес­
lи Л;= (!-Р;)Л/, (1-NР;), то= при Л-+0 имеем: Р;-+Ро-i,Л. Сформулированный
результат теперь получается, если взять пр едел при Л-+0 взвешенной суммы
математического ожидания числа наблюдений, необходимых, чтобы завершить .
каждый последовательный усеченный поиск; веса определяются вероятностью
того , что поиск должен закон читься решением.
6) Используя результат п. а), вывести выражение для математического
ожидания числа наблюдений, необходимых для завершения последовательного .
поиска, когда априорные вероятности различных состояний не равны .
2.7. Один из методов определения, находится ли источник в состоянии 0о
или в состоянии 01, когда априорная вероятность того, что каждое состояние ·
является правильным, равна 1/2, состоит просто в проверке одного из состоя­
ний до тех пор, пока его апостериорная вероятность достигнет либо Ре, либо
1-Рс. Сравнить эту стратегию (используя математическое ожидание числа наб­
людении, необходимых для завершения теста) со стратегией последовательного
поиска, описанной в § 2.7. При каких услов иях последняя будет лучше? Являет­
ся ли более эффективной стратегия, которая всегда проверяет менее вероятное
из двух состояний?
2.8. Пусть У= {у;} - множество N н езав иси мых выборок случайной вели­
чиныус
р (у)= (1/У2ла) ехр {- (у- μ)2;2а2 },
но с неизвестными μ и а. Найти оценки на 1-rбольшего правдоподобия для μ, а ·
и а2 • Являются ли эти оценки смещенными? Эффективны ли они?


/'лава 3
НЕПРЕРЫВНЫЕ ПО АМПЛИТУДЕ И
ДИСКРЕТНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ СИСТЕМЫ
связи
3.1 . Введение
В этой ,и следующей главах рассмотрены некоторые си-
1· , · с м ы связи, наиболее интересные с точки зрен ,ия синхронизации;
11 ' э ти с·истемы будем называть импульсными ,или дискретныл1и
111 1 в реме!-lu системами связи. В таких системах в течение ,интер-
1 1. 1 .11а времени iTs<t< (i + 1) Ts передается сигнал, описываемый
,щно й из функций, ,принадлежащих ,некоторому множеству; эта
1(0 11к ретная функц,ия определяется ,источником информации .
И мпульсные системы связи могут быть разделены на два ти.па
11 ; 1 а вrюимости от того, используется ли ко.нечное (или бесконечное
(' '' · т11ое) множество функций .или несчетное бесконечное множе­
<' 1·11 0 (например, множество функций может быть семейством функ­
ll 11 i1 времени, зависящих от некоторого :непрерывного параметра).
!\то рой тил IЛ.~лульсных систем связи - непрерывные по ампли­
,l'!J де системы -- и является предметом этой главы. Рас.смотрение
с 11 с т е м первого типа, обычно называемых дис-кретными си.::темами
с 11н з и, проводится в гл. 4.
С истемы связи, рассматр·иваемые в · ·этой главе, включают в се­
!> н с нстемы с когерентной амплитудной модуляцией, некогерентной
11м 11 у ль•сной амплитудной модуляI1Jией и когерентной фазовой ма-
11 11 11 ул яцией. Предполагается, что во всех этих системах принимае­
~11 ,,i ·, сигнал имеет вид:
1·;1,l' v; - параметр, определяемый передаваемой •информацией, а
11 ( /) - белый гауссовский шум ,с односторон.ней спектральной ллот-
11ос т ыо N 0 . Источник предполагается стационарным, так что ста-
1 ·. 11 с т и1ш е,игнала x(t-iTs, vi) не зависят от :i. Целью рассмотрения
н1 1 J 1 я е тся определение вида оптимального демодулятора и изуче-
11 11 с о бщих характеристик этих систем. Для этого нужно, очевид-
11 11, 11 ыбрать некоторый критер,ий оптимальности ,и некоторые па­
р : , м е т ры, на основе которых будем сравнивать различные систе­
~11 ,1. Э тим вопросам посвящен § 3.3 . Еще более важной для обсуж­
J t1· 11 11 я импульсных систем модуляции является заранее предпола-
1 · : 1 l' М а я с.пособность удовлетвор·ительного представления .инфopмa­
lLII II последовательностью чисел, появляющихся со средней скоро­
t··1 · 1 , ю о дно число за каждые Т8 ,секунд. Если ,информация уже ,имеет
, , ·у д искретную .по времени форму, то никаких фундаментяльных
11р о бле м не возникает. Но если она является существенно непре­
р 1 ,111 11 о й функцией времени, то ее необходимо как-то превратить в
51


такую .последовательность в надежде, что пр·и -этом потер,и инфор ­
мации будут м.инимальны. Ощин из методов такого преобразова­
ния обсуждается в следующем параграфе.
3.2 . Теорема отсчетов
Пусть f(i) представляет собой выборочную функцию
стационарного случайного процесса. . Обозначим через Ь-с (t-ri)
периодическую функцию, изображенную на рис . 3.1. Импульсы ши-
оШо о.,
-
r+z
z
r+z
п+z
Рис. 3. 1. Периодическая отсчетная
функция
ри,ной в т секунд каждый расположены так, что их центрам,и яв­
ляются моменты t=ri+iT, ,i= .. .,
-1, О, 1, 2, ... , где r~-случай­
ная вел-ичина с плотностью распределения
P(ri) = f+
1о
приО<ri<Т;
в остальных случаях.
(3.2)
Так как функция Ь-с (t-ri) является периодичес~юй, то она мо ­
жет быть разложена в ряд Фурье: ·
00
(3.3)
где а0 = 1; ап = (sinwпт)/ronт и ron = 2 nn/T.
Рассмотрим теперь произведение g(t) =f(t)b-c (t-ri). Если .про­
цесс f(t) не зависит от ri, то автокорреляционная функция произ ­
ведения равна произведению автокорреляционных функц,ий:
Rg(y) = Е{f(t)f(t+у)b-c'(t-ri)b-c(t- ri +у)}= Rt(у)Rь(у).
(3.4)
Но
00
Rь(у)=а5+2) а~cosronу.
(3.5)
,._
n=\
Следовательно, спектральная плотность произведенля имеет
вид
00
00
Sg(ro)= JRg(y)e-lroydy= L a;S,(ro-roп),
(3.6)
52


1 ·де , по определению а_п = а,,.
l ~ сл и спектральная плот-
11 ость мощности S1(ffi) про-
1\Ссса f ( t) имеет вид, изоб­
ражен ный на рис. 3.2а, то
/( ( t) имеет спектральную
11 J 10тнос ть, показанную на
i)IIC. 3.26.
Из это го рассуждения
следуе т важное заключение,
•1т о есл и спектральная плот -
11 ость St((J)) равна нулю для
1 1сс х частот l1ffi/2л 1 ? W, как
11оказа но на рис. 3.2, то cJia -
а)
о {,J-
Рис . 3.2. Спектральные плотности мощно­
сти до и после отсчетов:
а) спектр сигнала; б) спектр отсчетов
сигнала
1: 1 см ые в первой части равенства (3.6) не перекрываются по часто­
п· 11ри условии W ~ 1/2Т. Отсюда следует, в принципе, возможность .
11ропустить процесс g(t) через фильтр. имеющий частотную харак ­
теристику
//(iffi)={ 1•
О,
l(J) l < 2nW;
Jro l >2nW,
11 оста вить только низкочастотное слагаемое a2 0S1 (ffi) =S1( w) . Но -
1,: 11, раз этот член являет,ся спектральной плотностью процесса f(i).
О 1 1ев.идно, что никакой .потер:И ,информаци,и в результате умноже-
1 1ш1 f(t) на функцию Ь, (t-ri) не ,произошло, хотя функция Ь. (t-ri)
1 ·о жде ствен:но со1В1па1дает с нулем большую часть ~времени.
Так как два совершенно .различных .процесса могут ,иметь один
11 тот же спектр, то это утверждение требует дальнейшего обос-
1 1 0 11·а ния. Чтобы дать это обоснование, нужно лишь рассмотреть .
· р сднеквад ратическую разность между ,f(t) и выходным с,nгналом
ф11льтра.
Пусть fi(t) - импульсный отклик фильтра с характер.истикой •
// (iw). Тогда
, :· {r (t)- _Ig(y) h (t-y)d у}'=
00
Rr(0) -2
. )Rtg(y-t)h(t-y)dy +
-оо
00
00
-со -оо
00
00
JS 1 (ro)[I-2H(iro)JduJ + \'Sg(ro)JH(iro)J2~.
2n
,
2n
(3. 7)"
-
00
( аметим, что ,RJg(a) = R1(a)E(b. (t-ri)) =Rt(a).) Это выражение
тождественно равно нулю, если Н (iw) определена так, как указа-
53.


J.НО выше, и если S1(w) =Sg(,w) для lwl < •wm и S1(w) =0 для
lwi >wm=2:n:W. В рассматр1иваемых условиях восстанавливаемый
лроцесс совладает в среднеквадратическом смысле с первоначаль­
ным ,процессом.
Заметим, что этот вывод не заю1сит от ширины импульса -r .
-::Устремляя -r -+0, заме чаем , что вся ,информация, содержащаяся в
процессе f(t) с ограниченной полосой, -содерж,ится в выборочных
значениях Mri +пТ); n=O, ± 1, ±2, ... ,; Т= 1/2W для любого YJ. От­
•,сюда следует, что сиг.вал может быть восстановлен с помощью про-
оо
пускания ,последовательности выборок g(t) =Т ~ f(t)б(t-nT)
n=-cc
16(t) - дельта-функция Дирака] через фильтр с имлульсным от­
кликом
00
-Ji(t)= - 1 JН (i w) ei(J)t dro = (sin2л: Wt)fnt.
2n
.
-
00
·таким образом, если f(t) имеет спектр мощности шириной W или
меньше, то
СХ>
(t)= \g(a)h(t-a)da=
_с ,;;
00
00
. \Tf(a)8(a-nT)h(t 1 a)da =
n=-oo -с:о
"'
\' f(пТ) sin2nW(t-nТ)
,;..,;
2nW(t- пТ)
n=-oo
(3.8)
-Э тот результат обычно на зывается теоремой отсчетов.
К сожалению, большинство представляющих интерес спектраль-
•ных плотностей мощности не равно нулю вне какого-либо конечно­
Рис 3.3 . Явление «мимикрии частот»:
а) спектр сигнала; б) спектр отсчетов снr­
нала
го интервала частот. На­
пример, никакой сигнал
конечной длительности не
может иметь спектр, об­
ладающий этим свойст­
вом. Наиболее типичная
спектральная
плотность
мощности
показана нз
рис. 3.За. Однако, хотя
может н е быть частоты,
после .которой опе-ктраль ­
н ая плотность обращает­
ся в нуль, для любых
процессов с конечной
мощностью доля общей мощности на частотах Ifl > fo, где
.f O -- некоторое достаточно большое, но конечное значение, яв­
. ляется
сколь угодно малой. Представляется разумным · в этом слу-


1 1 ае брать отсчеты фующи.и каждые Т= l/2f0 секунд, получая функ--
1\ИЮ с характер ным спектром, показанный на рис. 3.36. Ре зульта­
том та,кой ,процедуры будет ;«свернутый назад» спектр. Если теперь"
отфил ьтровать всю энергию на част,отах, больших ,f 0 , то по лучен-
1 1ый спектр .не будет ,совладать со спектром первоначального про- -
1\ссса и первоначальный процесс .не может быть точно восстанов­
,1 1 с н по периодическим отсчетам . Ошибка, вызванная этим «свора­
ч нва нием назад», часто называется ошибкой «мимикр.ии частот»;
' С легко определ,ить .с помощью равенства (3.7). В больш инстве
1 1р а.к тических случаев минимальная приемлемая частота отсчетов .
огра нич•ивается величиной допустимой ошибки ~«мимикрии частот»._
3.3. О расчете систем импульсной модуляции
Удобной мерой качества аналоговых систем свя зи явля­
l' ТСЯ отношение сигнал/шум, определяемое следующим об разом.
Есл и желаемым сигналом приемника является s(i), а действитель -
1 1ым - y(i), то мощность шума , .по определению,
т
1~
а2=lim -
\ [У(t)- s(t)J2dt.
"
Т~а::, 2Т ,
-Т
Мощность сигнала 1), очевидно,
т
а;=lim-1
-
Srs(t) - S (t)J2dt,
т-оо 2Т
-Т
;1 отно шение сигнал /шум
SJN = а~/а~.
(3.10)- ·
(3.11)
По аналог,ии определим отноше1-гие сигнал/шум в имп ульсной
·11с те11е связи как
S
var (si)
(3. 12 }-
N
!'де s; - отсчет, который должен быть передан на ,инте рвале-
11
,:Ts< t<l(.i+ 1) Ts, а S; - оценка -этого отсчета, выданная на выхо-
л
J\ e приемника. (Последовательно,сти s; и s; .предполагаются ста-
1\ио1-1арными, так что величина S/N в действительности не зависит­
от i.) Мерой качества имшульсной систе,мы связ.и будет служить •в
т
1) Средняя амплитуда сигнала s (t) = lim -
(' s (t) dt в идеале равна нулю._
т-,,, 2Т ,)
-Т
1·:сли s(.t) не равна нулю, то та же информация, в приаципе, может быть пepe-
Jla11a си гналом s(t)_: _ _s(t), и поэтому мощность си гнала определяется опять как_
)L11с персия s(t) . (Прим . авт.).


:этой ;главе отношение ,силнал / шу,м, 01п,редел-енное ра:венrст,вом (3.12) .
.Эквшвалент,ной мерой щр·и зада:нн,ой ,диоперсии си1гнала я.вляется
(\
,средне1квадратичес1кая ошибка Eblsi-si) 2].
Одной из мер стоимости достижения некоторого заданного
уровня качества является ширина полосы частот модулированного
•С'Игна .па. Имеется несколько ,разумных с.пособов численного опре­
делен.ия эт,ой меры. Ширина юолосы может быть, например, опре­
делена как ширина идеального полосового фильтра, необходимая,
чтобы ,пропустить, допустим, 90 % мощности сигнала. Эта мера,
конечно, делает необходимым определение действительного спект-
1ра сигнала.
Второй, часто используемой мерой ширины полосы, занимаемой
•сигналом, является его эффективная ширина полосы, определяемая
.
как обратная величина макоимальной плотност,и (в каналах на
-единицу ширины полосы частот), с которой каналы, передающие
sетатистически одинаковые с~игналы, могут быть уплотнены .по ча­
· стоте без взаимной интерференции. Это означает, что выходной
,сигнал демодулятора для любого канала должен быть независи­
мым от с,игналов, передаваемых по любым другим каналам .
Так как мы будем иметь дело ,исключительно с и:Мпульс.ными
,системам1и связи, то полезно следующее выражение для спектраль­
ной плотности мощности случайной ;последовательност,и статисти­
чески независимых им.пульсов:
- S(w) = )s Jp(μ) I Fμ(iw)!2 dμ- ;s 1Sp(μ)Fμ(iw)dμ l2 +
(3.13)
где Fv (iw) - преобразование Фурье временной функщии x(t, v).
Эта последняя функция ,определяет переданный сигнал x(t-iTs, Vi)
на ,каж:дом заданном и:нтервале iTs<f<'(i+ 1) Ts и ,п,ред!полагается
т
равнойнулю в.неинтервала (О, Ts), т. е. Fv(iw) =Jх(t, v)е-i 01 t dt;
о
. P,(v) в ф-ле (3.13) - плотность распределения вероятнос11и пара­
ме11ра v с,и,гнала. Равенст,во (3.'13) ,с;пра1недл.иво, к,ОIГда парам,е'I'ры
vi(i=...,
-1, О, 1, . . . ) ,в :перещаваемой ,по1Следо1вательно,сти я1вля­
,ются независимыми .и 1п·орождаются ста1Ционар,ным источником .
3.4. • Оптимальная демодуляция
Оп'I'имальный им.пульсный демодулятор непрерывного
: параметра в соответствии с критерием § 3.З мин1имизирует средне­
~квадратическую разность между переданным параметром v и вы­
л
.ходом приемника v. Таким образом, оптимальный демодулятор
-56


пв ля ется формулой оценки пара?v!етра в смысле, указанном в§ 2.9,
со стоимостью ошибки, равной ее среднеквадратической величине.
Для того чтобы свести рассматриваемую здесь задачу к дискрет-
11ому случаю (§ 2.9), пропустим принятый сиг_нал y(t) через иде­
аль ный фильтр ,нижн,их частот ,с •полос,ой В . Профильтрованный,
с нгнал может быть ,представлен множеством выборок У= {Yi} =
= · {Y1(iЛt)}, i=1, 2, ... , k=2BTs с Лt=l,/2B, где индекс:{ означает,.
1 1то фун-кция y(t) была -профильтрована до того, как были взяты
u ы б орк,и 1). Так как принятый сигнал не ограничен какой-либо ко-
1н с ч,ной шириной ,п,олосы В, то 1п,ри фильтрации некото,рая ,инфор­
ма ция, коне ч но, теряется . Вначале определим вид оптимального -
1\ е модулятора для наблюдаемых У при некоторой конечной шири-
11 е полосы В, а затем при В--+оо. В пределе никакая информац.ия,
1 1 е теряется, и п олучаю щийся демод улятор будет оптимальным без.
вс якого огра н ичения.
Как было показано в гл. 2, оптимальная формула оценки пара­
ме тра v, основачная на использовании наблюдаемых У, -когда
с тоимо-стная ф у нкция представляет с,обой сре·днеквадратическую.
о шибку, является условным средним
/\
v=E(vlУ).
,(3 ., 14)
Чтобы вычислить эту оценку, нужно знать апостериорную •плот­
,юсть р аспределеН~ия вероятности р (v IУ) :
Р(v\У)=Р(У[v)Р(v)/p(У),
(3.15 ),
гд е p(v) - априорная плотность рас,пределен,ия параметра v. За-
11исывая у;= YJ(i,Лt) =Ax1(iЛt, v) +щ(i,лt) ~ Axi (v) +n;, 'Где x1(t, v)
11 п1 (t) представляют ,собой профильтрованный сигнал и профильт ­
р о ванный аддитивный шум с,оответственно, получаем
Р(v[У)= К0Р[п1= У1- Ах1(v), nz = У2 -
-
Ax2 (v), ... , nk = Yk-Axk(v)] p(v),
(3.16),
г,.J,е Ко - нормировочная постоянная, не , зависящая от v. Более
то го, так как n(t) - в ы борочная функция белого гауссовсксго шу­
м а с односторонней спектральной ~плотностью No Вт/Гц, то.
р (п1, п2, ...,
nii) - многомерная гау.ссовская ,плотность распреде­
ле ния. Спектр этого шума после е го ·прохождения через идеаль­
н ый фильтр :нюкних частот с ши1риной ,полосы В имеет ,следующий
в ид:
sn(f)={io/2 при If1 -< В;
в остальных случая х .
(3.17)
Следовате ,1ьно, автокорреляlJ;ионная функция
Rп(•) = N0 Bsi n2nRi;
2-лВ~;
(3.18)
1 ) Так . как статистики сигнала не зависят от рассматрива е мого интервала ,
то можно без потери общности ограничиться рассмотрением сигнала y(t) =
= Ax(t, ,μ ) +п(t) для O<f<T,. (Прил~. авт.) .
57


'.!rl Rп(iЛt) =1Rп(i;2B) =0 для :i= 1, 2, . .., а Rn(O) =N0B. Таким об­
_:разо:\1,
(.З.19)
Р(vIУ) ~ (2 n N:~)'I' ехр [~ 2;,В tfY1 (iЛI) ~ Ах1(; ЛI, v)J']p(v)~
k
=K1P(v)exp{~N:B ~[y,(iЛt)Ax,(iЛt, v)-
~
2
x7(iЛt,v)]}, (3.20)
тде К1 также не зависит от v. Теперь, устремляя В-+оо (Лt-+0),
пол у чим
J>(vIу(t)) ~к;р(v)exp!:, J'12Ау(t)х(t, v)~А'х'(t, v)J dt1. (3.21)
Сл едовательно, оптимальный демодулятор вычисляет величину
·
·-~ =S vp(vly(t))dv,
(3.22)
хде функция p{v I y(i)] ~ p(v I y(t), O~t ~Js) задается равенством
(3.21).
В § 2.9 было замечено, что если р (v I У) - унимодальная слм­
мет,р,ическая функдия v, то у~сло,в:ное математическое ,ожида,ние v
_ равно условной моде распределения. Таким образом, ·в этом слу­
·чае эквивалентной операцией для оптимального демодулятора бу-
/\
дет отыскание та1<ой оценки v, для которой апостериорная плот­
/\
1юсть распределения pl[v Iy(,t)] достигает своего максимума .
Если априорная ,плот;юсть вероятности р (v) не известна, то
могут оказаться пригодными друг;ие формулы оценок, напр,имер,
.лtинимаксная формула оценки и формула оценки максимального
правдоподобия (ер . с § 2.9) . На самом деле оценка максимального
правдоподобия эффективна, если эффективная оценка существует.
В ~последнем случае она ста1Но:вится оптималь:ной оцен,1юй в сrред­
неквад ратическом смысле, если ввод!ится дополнительное ограни­
чение, чтобы оценка бьша несмещеююй. Даже если эффективная
· vценк а не существует, оценка максимального правдоподобия час­
·то ,имеет небольшое смещение, а дисперсия не на много превы­
шает теоретический минимум, который задается (2.66). Таким об­
ра з ом , ее можно ~предпочесть в качестве оценки даже, когда изве­
,стна априорная ,плотность p(v).
Нев ольно может возникнуть мысль, что оценка максимальнога
пр авд оподобия всегда будет эффективной в рассматриваемых
.здес ь условиях, так как число k яезависимых наблюдаемых Yi, на
-58


1<оторых основыва ется каждая оцен ка , стремит,ся к бес.конечности,:
11р,и с тремлении к бесконечности ширины -полосы В и , как по ка­
за н о в § 2.9, формулы оценок максимального правдоподоб;ия я вля­
Ю'т1ся а1с им1птотичеоки · эффек тивны м и. К ,сожалению , диюп е р сюr
N()B эт.их наблюдаемых -одно.вр еменно с тремятся к беск·он ечн ости •.
,1 1в у 11ве,ржден.ии § 2.9 1щред1пола,га-ется , на,прот и в, что с та тистикН'
1 1 е нез ависят от k. А~сим,птотичес юи е свойс11ва фор мул оце;нок
м а кс имального ,п ра•вдоподобия прояв л яются, однако, когда от но -
1 11 ен и е ,сигнал/ шум 1«на входе» R=A 2T8/ N0 достаточно велико (это,
Gу де т показано в дальнейшем) . Здесь Ts- непосредств ен ны й ана-­
J 1 о г числа независимых выборок, ко гда н а блюдаемы е дискр етны .
Ф ормула оценк,и максимальлог,о правдоподобия име е т и другое
11р е имущество ло ,сравнению с большинством других фор м ул оце--
1 1 о к; как будет .вскоре показано, ее часто легче р е ализов а ть . По,
·-пнм двум п ричинам формулы оценок максималь н ого :nравдоп одо­
lJ ня (или принципа ма1шимума пра в доподобия) образ уют класс.:
фор мул оценок, кото р ый наиболее широко •пр,именяет-ся для де мо ­
;lуляции.
А
О ценка максимального правдоподобия ,, .параметра v , по оп ре -­
Jl(: ле нию, является ре ш ением у равн е ния правдоподоби я
д
д
др[у(t)1v]
-
Iogp[y(t)lv]= v
=0.
uv
p[y(t) l vJ
11 сп ользуя байесовское правило и равенство (3 .2 1) , ,получа е м , что•
0 1l е нка макс,имального правдоподобия пред:ставляет ,собой реш ение­
у ра внения
Ts
~
Iogp[y(t)lvJ= 2А Sry(t)-Ax(t,v)Jдx(t , v)dt = O.
(3. 23}
cJv
N0
дv
о
Бе зотносительно к используемому критерию все ,оптим альные­
фо р мулы оценок имеют одно и то же важное свойство ; прин я тый.
·1 1 г нал входит в н,их лишь чере з посредство взаимокорреляцио нных
1 с оэ фф:ициелтов вида
т
\'1y(t)z(t, v)dt,
()
(3.24}
1 ·; \ е для .примера z(t, v) =x(t, v) l[см . равенство (3.21)] или.
.: (L, v ) =дх(t, v)/дv i[см . равенство (3 .23)]. Один и з способов oп p e ­
Jl ;1 е н ия этих коэффициентов состоит в проп ускании .принято го сиr-
11 с1 ла ч ерез фильтр, имеющий импульсный отклик :
li(t) = { z (Ts-t, v) при O<t<Ts;
(З.25):
О
в остальных случаях .
Та,1ю й фильтр , называется согласоваtmым, фильтром (он «с оr­
щ1 со1Ва н » с сиг.налом ,z ( t, v)). ,В~сегда можш-о, конечно, построить.
59'


,~о г ,1 асованный ф ил ьтр, как взаимный коррелятор, т. е. с помощью
_умноже ния y(t) на z(t, v) и интегрирования, как показано на
рис. 3.4а.
Часто z(t, v) имеет вид z(t, v) =s(t, v)V2sin l (fficif + Ф), где мно­
.. житель
j 1 2sin(wct+Ф) ·представляет собой несущую. Обыч.но бо-
т,
fdt ;,
о
z{t,u)
7s
ФНЧ
Jdt
о
·){f5[n(wc t.+<P)
s(t,u)
Рис. 3.4 . Схемы согласованных фильтрО1в :
а) реализация взаимного коррелятора;
б) взаимный коррелятор для модулирован­
ной несущей
· лее практичным в этом слу­
чае является демодулятор,
изображенный на рис. 3.46.
Единственное различие меж­
ду этим устройством и кор­
релятором рис. 3.4а состоит
во включении фильтра ниж­
них частот. Есл.и частота
сuс/2л велика по сравнению
с макс имальной существен­
ной частотной ком1Понентой
s(t, ,,), то выход первого ум­
ножителя состоит из двух
относительно узкополосных
составляющих: одной, скон ­
центрированной около нулевой частоты, и другой - около
'Частоты 2 ffic/2 л. В силу того, что система умножитель­
интегратор действует как фильтр с импульсным откликом
11.(t) =s-(Ts-t, v), она также представляет -собой фильтр, согласо­
ванный 1с низ1ко.час тотным ,сигналом s (t, v). Ка1к та1ков-ой, он .яв-
.ляет,ся - фильт,ро,м ,нижних ча -стот с шир,иной ,п,оло;сы, равной ши­
:РИНе полосы сигнала ,и, следовательно, малой по ,сравнен,ию с
2w,)2n. Есл.и .первый фильтр ,имеет большую ширину полосы ло от­
нош ен ию -к полосе согласованного фильтра, то он не оказывает
.значительного влияния на выход последнего фильтра и демодуля­
торы н а рис. 3.4а, 6 фактически эквивалентны . Однако есл.и шири­
.на полосы этого первого фильтра мала по сравнению с 2wс/2л, то
это пр иводит к устранению составляющих ,с удвоенными частота ­
ми по сле первой операции умножения . :В условиях, :принятых здесь,
-следовательно, не существенно, учитываем ли мы несущую .пр,и
анал изе изучаемых -систем ,связи или нет, поскольку мы вводим в
пр :иемник демодулятор, в котором предусмотрено умножен-ие на
,сигнал несущей.
В общем случае требуется континуум согласованных фильтров,
ЛIО одному для каждого возможного значения -v безотносительно к
том,у, как с;н и 1реализуюТ1ся . Д111я того .чт-обы демо1дулятор имел ка ­
кую-либо ,практическую ценность, нужно, конечно, сн.изить число
этих устройств до некоторого конеч,ного числа . В некоторых ,слу ­
чая х это означает, что нужно использовать .прибл,иженно опти­
мальный демодулятор. К ,счастью, как будет вскоре показано, оп­
т,имальные демодуляторы для систем модуля ции, рас,сматривае­
мых в этой главе, имеют только од,ин или два таких согласован­
ных фильтра.
,60


В заключение параграфа следует упомянуть, что принятый оиг­
на л м ожет содержать другие неизвестные :параметры, такие, как
а мплитуда сигнгла или фаза несущей. Если можно предположить,
что эти .параметры остаются постояннымл в течение всего време­
ни передачи, то их, вообще говоря, можно оценить (как указано в
§ 2.9) с достаточной точностью, что позволит обращаться с н,ими
ка к с известными. В другом крайнем случае, когда можно ,пред­
лоло жить, что они принимают независимые значения на каждом
Тs -се.кундном интервале, их можно оценить одновременно с каж­
д ым информационным .параметром v;, хотя сам,и по себе они не
несут информаци,и. В том случае, когда. известны априорные рас­
преде ления этих «мешающих» параметров, оценки информацион­
н ых параметров иногда можно усреднить по этим ,величинам , что
избавляет от необходимости их явной оценки . А именно, обозна­
ча я неизвестны е .параметры вектором Ф, вначале определяем функ­
ци ю pi[y(t) lv, Ф] или p[v l y(t), Ф], или Ei[vly(t), Ф], а затем усред­
н яем ее по неизвестным параметрам Ф, получая в результате
со
,p[y(t)jv] = j' p[y(t)/v, Ф]р(Ф\v)dФ
-со
(е р . с § 2.4). Част:ный пример вшер,вые 1рассма т р.ивается в § 3.6.
3.5. Когерентная амплитудно-импульсная
модуляция
Огибающая ампл.итудно-импульсномодулированного оиг-
11 ала представляет собой последовательность импульсов фиксиро­
ван н о й дл.ительности, равной Ts ,секунд; ампл,итуды импульсов ме­
ня ются в соответствии · с .передаваемой информа:цией v;. Если оги­
баю щие имшульсо.в ,пря1моу,гольны, то ,передаваемый сИ1гнал
х(t- iTs, vJ= ~Г2visinffii, iTs<t<(i+ 1)Ts.
(3 .26)
Ч тобы сохранить независимость сигнала от дли,ны интервала, по­
требуем, чтобы ffic=nr/Ts, где r-либо целое ч.исло, либо чи,сло,
много большее ·единицы.
Пусть y(t) обозначает сумму .принятого сигнала и ш ума:
y(t)==Ax(t, v)+n(t)=V2Avsinffii+n(t), O<t<Ts.
(3.27)
Из равенства (3.21) находим, что апостериорная плотность
раоп ре1деления ,величины v :при зада,нном y(t) O<t<Ts, ,имеет ,вид
р[vlY (t)] = Кр(v)ехр {2А jТ.sу(t)(V2vsin ffici) dt- v2 _!_}
N0
No
о
..
= Kp(v) exp {2R(vl -
~)},
(3.28)
где К - нормирующая •постоянная, ,не зав.исящая от v; величина
& =А2Тs .представляет .собой энергию принятого и мпульса, ес ли
61


т
v = 1; R = &/N0 •И / = (1/ATs){ y(t) V2sin fficid,t. Если случайная rве­
о
личина v имеет равномерное ,раопрещеле,ние
p(v)=l2
1
a
ов
при- а<.v<.а;
(3.29)
остальных случаях,
то
др fvly (t)J = [2R(/-v) + - 1
-
dp (v)] р [v\y (t)J
дV
р(·v) dV
(3 .30)
л
и p1[v \ y(t)]- унимодаль ная функция v с модой v=v, где
л1/при-а<./<.а;
v=-апри/<-а;
а при l>a.
(3.31)
Формула оценки по максимуму апостериорной вероятности случай­
л
ной величины ·v совпадает, следовательно, ,с величиной v, опреде­
ленной равенст,юм (3 .31). (Заметим, что рr[v\у(t)]-нееимметри ч-
л
ная функция v, кр,оме ~слrу,чая, ,ко.гда / =0, и v в ,о,бщем случае не
является опт,ималь.ной оценк,ой величины v в среднеквадратиче­
ском смысле.)
л
Оценка максимального правдоподобия v согла,сно равенств у
(3.23) совпадает ,с решением уравнения
Ts
дlog~[~(l)Jv] =:~ 5 [y(t)-V2AvsiПffict]V2sinffiJdt=0, (3.32),
о
и ,решение в ,э1'0,м cviyчae яшляется ед,и.нствен:ным для всех /:
Л
Ts
V=/
=
-
1-J V2 у (t) sin fficfdt.
(З.зз,
ATs
о
Независ,имо от того, ,какая ,из этих формул оценок используется,
демодулятор имеет вид, ;изображенный на рис. 3.5. Устройство ,
jJ{i)
~J Рис. 3.5 . Функциональная
~fтJdt 1
1
л схема демодуля-~,ора ко-
t~
)) герентной по фазе АИМ:
г,, .
_
.
1 - устройство, производп-
i2StnCvc t
·
щее оцею<у
производящее оценку, может быть весьма простым (просто корот ­
кое замыкание в случае оценки максимального правдоподобия)
или относительно сложным (как в случае формулы оценк и
~ =E[v Iy(t)]= J(s vp (v) ехр {2R(v/-(v2/2)) }dv.
62


Хотя нетрудно определить отношение сигнал/шум на выходе
.любого из эт,их демодуляторов, вычислим его только для демоду­
JJ ятора мак-симального правдоподоб:ия, для которого оно прини­
м ает ос обенно простой вид . Так как шум гауссовский, то оценка
/\
ма к с им а льного правдоподобия v величины v .[см. ф-лу (3 .33)] имеет
га у ссо ,в с к ое распределение с условным ,средним
/\{-v-Ts
}
Е(vlv)=Е v+-2
-
\ п(t)sin wcfdtlv = v
ATs ,
о
(3.34),
J I , сле довательно, является .несмещенной. Условная среднеквадра­
г н ч ес кая ошибка имеет в-ид
а~ = E[(~ -v)21v]= Е {А2~2 Ss 5'п(t)n(u)sinwcf sinwcududt} = 2
~ (3 .35)
sоо
,1111с зависит от v. Так как
(3 .36)
то о ценка максимального правдоподоб:ия величины v эффективна
( · м. § 2.9). Наконец, отношение сигнал/шум на выходе просто
р:11111О
2
Sas
2if
N
0-2
п
а'дс 8 =E(v2 ) 8 -средняя энергия принятого сигнала.
(3.37)
Д ля сравнения рассмотрим теперь оптимальные демодуляторы,
(' · J 1 • н амплитуда сигнала имеет гау,сс-овское распределение
1
- v2 /2a~
P (v) = -,-12--е
r лаs
(3.38)
13 это м случае
p [vly(t)] = К ехр {2Rv/-(R-+- 2:~) v2} =
=К'ехр {-(R + 2:~ )(v- ~)2 },
(3 .39)
/\
l 'J(C v=l/{l+(l/2Rcr2 s)]. Следовательно, р[v\у(t)]-также гауссов­
с 1 <а я ,пJJотность распределения, ,и она симметрична и унимодальна.
1l оэ т о му как оптимальная среднеквадратическая оценка , так и
t щс1 i ка по максимуму а.постериорной вероятности величины v имеет
J\1 1,IJ,
/\
I
v = E[v\y(t)]= --
1-
1+- -2
2Ra 5
I
.
(2s )-
1
'
1-г -
No
(3.10)
63


где вновь &= &а28 - средняя энергия принятого · сигнала: Более
того,
л
а2 = Е(v- v)2 = l/(2R+ 1/а2)
п
s•
(3.41}
так что
(-'i.42)
В противоположность этому формула оценки максимального
правдоподобия, которая не завие,ит от априорного распределения,.
остается такой же, как ранее, и .приводит к отношению сигнал/шум
(3 .37). Оце нка максимального п равдо,подобия, как уже отмеча­
;юсь, являет-ся ;1есмещенной. Оценка, дающая минимум средне­
квадрат,ической ошибки ,(3.ФО), однако, ,имеет смещение при лю-
бом конечном отношении оигнал/шум &/No :
Л
Е (/iv)
v
Е(vJv) =
~
=
_
(3.43}
1 + (2t,_/NoГ 1
1+ (2'tь/NоГ1
С помощью ф-лы (3.13) можно легко найти с,пектр и, следова­
телыю, ширину полосы АИМ сигнала . Ограничимся здесь, однако,
рассмотрением (имеющим скорее теоретический, чем пра.ктичес~ий
интерес) меры шир,ины полосы - эффектив ной ширины полосы,
в веденной в § 3.3. Напомним, что эта мера олределяется макси­
мальной возможной плотностью, с которой АИМ каналы могут
быть уплотнены по частоте без взаимной интерференции. Чтобы
определить е е, рассмотр,им идеальную ситуацию, в которой все ка­
налы имеют совершенную синхронизацию; l-й канал передает сиг-
нал в,ида 1-1 2 х1 siп w1t, где Х1 постоянно на каждом интервале
iTs<:f<(i+l)Ts для ,всех l. То,гда вых·од 1детектора· т-,го канала ,
вызванный им.пульсом, ,переданным по l - му каналу,
Ts
: х1 S sinw/sinwmtdt = О, l=f= т,
s
о
е сли w1 и Wm - целые, юратные велич·ине nTs. Та.к ,как ,два см-ежных
канала должны быть разделены по частоте хотя бы интервалом
l /2Ts герц, то эффективная ширина ,п олосы .канала, очевидно, рав­
на ВэФФ= ' 1/2Тs герц.
3.6 . Некогерентная по фазе амплитудно ­
импульсная модуляция
Считается, что в некогерентной с,истеме связи фаза Ф не­
с у щей является случайной величиной, равномерно распределенной
на интервале (G,2л), и не делается никаких п опы т ок оцен,ить ее
истинное значение . Неко герентная передача ведется тогда, когда
практически неразумно оценивать Ф непосредственно. Такая ,ситуа­
ция может •возникнуть либо из - за огра.н.ичений на сложность обо_-
64


рудования, либо потому, что Ф ,изменяется слишком быстро вслед.•
ствие н е стабильности генератора, что не позволяет сделать точную
оценку. В любом случае, если Ф - медленно меняющаяся фун.кци~
в р емени на .интервале Ts, то разумно (удобно) рассм.атрив ать ее
как равн омерно распределенную случайную величину, посто янную
ла любом интервале передач,и одного импульса . Более того, есл~
Ts мно го больше, чем период несущей 2л/wс, то не будет лротив0-­
реч,ия в предположениях (которые будут сделаны в этом парагра­
фе), что фаза несущей неизвестна, ,а фаза огибающей извести~
Т ЧJ-Ю.
Е сли необходимо произвести некогерентную обработк у, то пе­
р е дав аемый сигнал должен быть изменен, чтобы отра зить тот
факт, что знак величины v определить нельзя . Не ,существует спо­
с оба определить, была ли амплитуда равна v, а фаза н есущей Ф
11ли же ам:плитуда ,была -v, а фаза , несущей л+Ф . По этой лричк­
не, -если ,деиодулято1р должен ·быть ,некогерентным, обычно 0J1ранн­
чива ются только положительными значениями величин ы v. Дей­
с тви тельный сиг,нал s ,по предположению о.пять имеет нулевое
с реднее; поэтому v ,имеет вид s+a, например, когда p(s) = 1/2а,.
-
a<s<a.
С этой оговоркой передаваемый оигнал будет та:к;им же, как ю
ране е [ер. с ф-лой (3.27)], но теперь (при рассмотрен·ии зада ч, свя-
3а нн ых с анализом характеристик демодулятора) принимаемыйсиr-
11ал имеет вид x(t, v, Ф) = V2vsin(wct+Ф) и является функцией
; шух случайных параметров, лишь один из которых следует оце,.
1rить. Следовательно, необходимо в,идоизменить выводы § 3.4, что.­
б ы при.нять во внимание этот факт . Начне м с замечания, ч то опти­
маль ный демодулятор сигнала y(t) =Ax(t, v, Ф) +n(t) , когда фаза
][С'Сущей из,в-естна, О·СН'ОiВЫВается 'На иопользова,н,и,и IПЛО ТНОС'Г\{!
расп ределения [см. ф-лу (3 .21) ]:
р[v\Y (t).1Ф]=К'ехр [2R v fsу(t) l1 2sin(wcf+Ф)dt-R v2] Р(v!Ф)=
ATs.)
о
= К'р(v)ехр{-Rv2 + 2Rv[ХcosФ+УsinФ]},
(3.4~,
Ts
где Х=- 1
-J у (t) 112 sinwctdt;
ATs
о
Ts
У=-
1- (' у(t)·v2coswсtdt
ATs .\
о
и предполагается, что v не зависит от Ф. Безусловная апостериор-
11 а я плотность р аслределен.ия вероятности p,[v Iy(t) ], .следователь­
но, ,и меет вид
2:rt
p[viY(t)] = .\· р [v[y(t), ФJр[Ф[у(t)]dФ=
о
3-281


2n
=Kp(v) J р(Ф)ехр (-Rv2 +2RvMcos(0-Ф)}dФ,
о
(3.45)
где i\1l2=X2 + У2 .и 8= aгctg[Y/X]. Если р (Ф) = ;л:' О<Ф<п, то
2n
р [v /y(t)J = Кр (v) ехр {-R v2}-1 Jехр {2RM vcos(8- Ф)}dФ =
2л
о
= Кр(v)ехр{-Rv2} 10(2RMv),
(3.46)
rде In(x) - модифицированная функция Бесселя п-го порядка пер­
вого рода.
Та,к как величина ':: не может" быть отрицательной, то p{v / y(t) ]
не будет симметричнои функциеи v независимо от вида функции
p(v). Таким образом, оценка, оптимальная в смысле среднеквадра­
тической ошибки, мак,симальная апостернорная оценка ·И оценка
ма,ксимального правдоподобия в общем случае будут разл.ичны.
Рассмотрим здесь только последнюю оценк 1 . Оценкой максимума
правда.подобия величины v является решение уравнения
дlogр[у(t)lv] = 2R(м 11(2RMv) _ v)= О
(З.4?)
дv
/0(2RMv)
'
и, следовательно, оценка ,имеет вид 1)
л
л
л
v = М/1 (2RM v)//0 (2RM v).
(3.48)
Имеется несколько трудностей, связанных с этим результатом .
Во-первых, то, что оценка величины v является решение м транс­
цендент.ного уравнения, по меньшей мере, является неудобным.
Более того, решен,ие зависит от отношения сигнал/шум ,R= tF,/N 0 ,
кот,орое, следовательно, должно быть известным ,или должно быть
о ценено.
В отсутствии шума, когда ,R-+oo, -имеем I 1 (2RMv)/I0 (2RMv)-+1,
и оцен.ка максималыюго правдоподобия величины v
А
v= М.
(3.49)
Хотя эта оценка не является о.птимальной для любого уровня
шумов, она тем не менее имеет смысл даже тогда, когда стноше­
ние сигнал/шум не очень велико, и часто удобно ,использовать ее
вм,есто оценки мак,симального 1прамо:подобия. Функци,ональная
схема этой а1п1п,р•о.1юю,rации ,неко,герент,ного 1по фазе АИМ 1п р.ием,ни -
1<а максимал ьного ,пр а1вдо1подобия ,по.каза,на ,на рис. 3.6 2).
Интересно, что равенство (3.49) в точности описывает оценку,
которая получ.и.:1ась бы, если б ы одновременно оценивались ампли­
туда и фаза принятого сигнала. Оценка максимального rтравдопо-
1 ) Это уравнение имеет также решение v=O, которое отбрасьша е тся , т а ;<
:как оно не зависит от принятого сигнала . (Прим. авт . ) .
2· ) Друган ,реализацин рассмотрена n § 4.3 . (Прим. авт.).


добия величины v пр-и заданной Ф i[ф-лу (3.23)] удовлетворяет
у равнению
дIcgР[у(t)\,,,ФJ = 2R[ХcosФ+УsinФ- vJ=0
(3.50)
д,,
Рис. 3.6. Фующиональ­
ная схема демодулятора
н еког-ерентной п о фа.~е
АИМ
y(t)
fz si,n (J)ct
х
х
{j COS IJct
1._
)dt
А?:
х
j1⁄2 fdt
у
а оценка максималь,ного правдоподобия величины Ф должна быть
решением уравнения
дlogp~~t) \v, Ф] = 2Rv[YcosФ-XsinФJ = О.
(3.51)
Решая одновременно оба эти уравнения , находи м совместные
формулы оценок ма-к,с,имального правдоподобия для пары неизвест­
н ых параметры v .и Ф:
Ф=0= arctg[~];
(3.52)
/\
V= м =[Х2+Y2J'l2.
(3.53)
(Э то решение нс единственно. Другое решение , опред еляемо е ра-
/\
/\
nе нстваши v=O и Ф=-arctgi[X/Y], дает оце1шу амплит уды , к ото­
р ая не зависит от .принятого -сигнала, и поэто м у отбрасывается.)
Хотя при некогерентном приеме оценка Ф н е производится, ее
,южно построить по тем же наблюд аемым, которые исполь з уютсн
для оценки величины v. В силу того что по предположению фа за Ф
с читается медленно меняющейся во време н и (,схема .приемника,
о-писанная здесь, может быть использована только при этом пред-
л
п оложении), Ф; - оценка i - го импульса
-
должна .нест,и некото­
рую информацию относительно фазы (i + 1) - го импульса . Таiким
о бразом, в пр-инциле , некогерентный АИМ прием может быть улуч­
шен при использовании оценок фаз, которые можно , вообще гово­
р я, получить л-ишь с чуть большими усилиями .
/\
Чтобы определить среднее и дисперсию оценки v=M., зам етим,
1 1то , кoгдay(t)=V2A,1 sin(wct+Ф)+n(t), то Х и У им е ют совмест-
1 1 ое г ау ссовское распределение, причем
~(Х) = vcosФ, ·1
~(У)==
vsinФ;
G7


в:= Е(Х2) - Е2-(Х) = Е(У2) - Е2(У)=
_l;
2R
Е(ХУ)-Е(Х)Е(У) = О.
Та,ким образом,
·(хYI Ф)= -'-
{ (Х-
'VcosФ)2+(У-
'VsinФ)2}
Р.,v,
2ехр_
2
2nan
2ап
!Ш; мnагая (Х2+ У2) 112=М и arctg [; ] = Ф, получаем
р(М,01:v, Ф) = MRexp{-R[М2+v~ -
2v М cos (0-Ф)J},
n
О<М~ -:n:<0<:n:.
Тогда
:п·
:P(Mlv, Ф) = Jр· (М, 0IФ, v)d0 = 2RM exp{- R[M2 + v2]} Х
Xl0 (2MRv)=p(M/; v), О<М,
и это выражение не зав.иеит от Ф . Далее
С1О
Е(МIv) =JМр(М/v)dM=
о
=;:~~ e-R..,'/2 [(1+ R'v2)Io (R2v2) +Rv2l1 (R2v2)] ;
Е~(М2jv)=5М2р(М Iv)dM = ; (1+ R v)2.
V
Исп ользуя асим•п тотичеекое разложение функции
о,
J'
ех {' (,-1)1' Г(п+k+1!2)
,.(х)= (2J-tх)1/2 I.J k!Г(п- k + 1/2)(2х)п '
k=O
iiюлучаемЕ(М/,v)= v+ - 1
-
+О(-1
-
)и
4Rv
R2 v2
Е(М2 / v)1-E2(M / v) =
-
1 +О(-'-).
•
2R'
R2 v2
(3.54)
(3 .55)
(3 .56)
(3.57)
(3. 58)
(3 .59)
Следовательно, при больших отношениях сигнал/шум R эта
!~Ценк-а является несмещенной для любой амплитуды v=i=O и имеет
щ~,сперс ию, которая стрем,ится -к дисперсии для случая когерент­
ной обра ботки. Кроме того, так -как для любой ампл.итуды v имеем
Е=={(:vIogpfy(t) 1 v, Ф],п = 4R2E[ХcosФ+УsinФ - vJ2= 2R
•


fc p. с ф-лам·и (3.50), (3.51)], то дисперсия оценки асимптотичеоки
1 1 риб лижается к минимальной возможной диспер,сии, определяемой
/\
ф-лой (2.66). Таким образом, оценка v =М а,симптотически эффек­
т 1 1вна. Как отмечено ранее, параметр~игнала v должен иметь не-
1,от орое ненулевое среднее значение v, если демодулятор некоге­
рс.нтен по фазе. В частности, если v равномерно распределена на
11н терва ле (О, 2а), то 6 ~ &Б(v2 ) =4а 2 &/3 •и отношение сигнал/шум
11р,и некогерент.ной по фазе АИМ в случае больших &/N0 прибли­
же1шо равно
( ЛSI )неког. ~ 2е; =-
1 (_§__)ког.
АИМ
No
4 NАИМ
(3.60)
f.cp . с ф-лой (3.37J].
Эф фективная ширина полосы для нек,огерентной АИМ оцени­
пае тся также, как и в когерентном случае, с помощью определения
м и.1-r.имального разделения между каналами, которое устраняет
пза имную интерференцию. Однако в случае некогерентного прие­
м а на пр·иемни;(е не известна фаза .переданного сигнала. Выходной
си гнал пр,п емника для rп-го канала, вызван.ный импульсом, пере­
да нным .по l-му ка!-,!алу, равен (Х2 + У2 ) 112, где
т
т
,.s
"s
X ~ : J sin(wtf+Ф)sinwmtdt. и У~ j sin(co/+Ф)coswmtdt.
о
о
Что бы обе величины Х и У были равны .нулю, разность co1-com
дол жна равняться 2лk/Тs, где k- целое число и эффект,ивная ши­
ри на полосы при этом будет I/Ts, что вдвое больше, че·м лри ко­
ге рентно й АИЛ'\.
3.7 . Фазовая манипуляция
Если в соответствии ,с (дискретной по време.ни) инфор­
~ 1а цией меняется не амплитуда, а фаза несущей, то процесс назы-
1 1 с1с тся фазовой манипуля цией (или фазовой телеграфией, сокра ­
ще нно ФТ 1). ПринимаЕ мы й сигнал имеет вид:
!!(t)=Ах(t, v)+11(t)= v.2Аsin(w/+Ф;)+п(t); iTS<t<(i+1)Ts,
(3.61)
') Рассматриваемую в § 3.7 передачу чаще называют фазовой ~юдуляцией,
1 1 с тавJ1 яя термин ФТ для слу чая дискретного множества {Фi} (см . § 4.5). Од­
II ; II,о в ан глийском о ;нr гннале дю1 обоих случаев используется единый термин
«p\1 Jse s\1ift Keying»,' поэтому при переводе был таю1iе сохранен единый термин
Ф Г. (Прш,t. перев.).
69


где величина Ф; ( -л <Ф;<л) представляет собой сигнал, т. е.
Ф;=s;л/ а, где s;(-a<s;<a) - выборка, которая должна быть
передана на i-м импульсном интервале. К:ак и :в случае когерент­
ной АИМ, • частота We предполагается равной rл/Т,, где r - либо
целое чисто, либо число, много большее единицы .
Апостериорная плотность распределения Ф пр,и заданном y(t) ,
O,:;;;;t,:;;;; Ts, согласно§ 3.4 имеет вид
р{ФIy(t)) = Кр(Ф)ехр (;:J'у(t)V2sin(w/+Ф)di1=
= Кр(Ф)ехр {2R(X соsФ + YsinФ)}, :
(3.62)
Величины Х и
где К - постоянная, .не зависящая от Ф; R = & /N0 .
У о.пределены в .преды ду щем параграфе:
Ts
Х=
-
1- 1у(t) V2sinwctdt;
ATs .\
о
l \Ts
У=
-
у (t) V2cos wc tdt.
ATs,
о
Плотность распределения, очев,идно, несимметричная функция Ф,
кроме .некоторых частных случаев специального выбора величин
Х -и У; это утверждение справедливо незав,и.симо от априорного
распределения Ф. Среднее и мода 1плот.ности рl[Ф Iy(t)] обычно не
равны друг другу, так что оптимальная среднеквадратнческая
оценка и оценка по ;"11а·ксимуму апостериорной вероятности не эк­
вивалентны.
Если выборки сигна,1а распределены равно'V!ерно, то р(Ф) =
= l/2л; --п<Ф<л, и
др[ФLYJt)J= 2R[-Х sinФ+-УcosФ]р[ФIу(t)].
(3.63)
дФ
Оценка по :VJаксимуму апосте риорной вероятности величины Ф,
/\
следовате ,1ьно, имеет вид Ф = 8 = arctg1( У/Х). (Эта оценка одно-
х
,fj С05 l.,Jr t
Рис. 3.7 . Функцио наль ­
ная схема демодулятора
МШ{Сl!М3Л Ы!ОГ О
правдо­
подобия для ФТ
значна в интервале -л<Ф<л, есл.и знаки выражений Х и У запо­
минаются и испо.;~ьзуются д.1я определения фазового квадранта.)
Эп же оценка яв.1яется оценкой максимального правдоподоб!-!я
70


вели чи,ны Фi i[cp . с ф-лой (3.51) ,при v= 1] 1). Получающийся в ре­
зул ьтате демодулятор ,изображен на .рис . 3.7 .
В оптимальном ФТ приемнике исполь зуютс я , таким образом, те
же самые решающие переменные Х ,и У, что и в некогерентном
АИМ пр,ием.нике, ра·ссмотренном в § 3.6 . Там было показано, что
сели y(t)=V2,,A sin(.wcl+Ф) +n(t), то
м
р(М,0/Ф,v)=- Rехр{-R[М2+v2·-
2v М cos (0 -Ф)]};
:п:
О<М, -n<0<л:,
(3.64)
rде М= (Х2+ У2) 1; 2 и 0= arctg(У/Х). Здесь величина v= 1 является
л
11остоя нной, и представляет интерес распределение оценки '8 = Ф.
И·меем
лrл
R('
р(Ф)= Jр(М, Ф)dM = --;- .) Мехр{-R[М2+ 1- 2М cos0eJ}dM=
о
о
e-R
(R)1/2 0 -Rsin'е, 1
= --+
-
cos ,е
--=-
2:rt
л
-V2л
л
где 0е=Ф-Ф; -2л<0,<2л.
Вследствие того, что ллот.ность распр еделения о шиб ки 0е оценк•и
вели чины Ф симметрична относительно 0е=О, математическое ож,и­
; ~ а нне величины этой ошибки равно нулю и оценка .не смещена.
1 ) Оптимальную среднеквадратическую оценку такж е легко найти с по ­
~ 1 о щыо разложения Ф в ряд Фурье:
,,,
<D= ~+ (-l)n+lsiппФ; - :rt<Ф<:rt. Таким образом, Е[ФIу(t)]
n=l
оо
n
ro
=
2~ :Е ~ (-1)11+ 1 Jexp{2RMcos(Ф-8)} sinnФdФ=K~ ~ Х
n=l
-n
n=l
>< (- l)n+ 1 sinn8/11 (2RM), где М=(Х2 +У2 )1 12 ; 8 = arctg(Y/X) . Так так
П
00
.1· /l[Фly(t)]dФ=l; К= [/0 (2RМ)Г1 ,тоЕ[Фlу(t)] = ~ ~ (- l)11 + 1sinn8 x
Н
11=1
!,, (2RM)
<---.
Есл и 2RM» 1, то прибли жен но эта оценка будет иметь в11д
! о (2RM)
,,,
'1~( - 1)11+1 siп п 8 = 8 , т. е. будет эквивалентна оценке максимального npaв-
i.,,J п
"
1
JlО I IОдобия. (При1,1. авт.) .
71


Дисперсия ошибки, в общем, яв.тrяеrея довольно сложной функ­
цией отношения сигнал/шум R. Однако есл,и R велико, то величи ­
,на ·0е с большой ве,роятностью будет малой. В результате выраже­
ние (2R) 112 cos 0е будет велико и
1/2
(2R)
cos ее
S -х2/2d I ехр[-Rcos20е]
е
х~-
.....,.,==--'~--,--=-~~
V 2:n: (2R) 112 cos 0е
-оо
(3.66)
(3.67)
Более тог,о, если 0е мало, то ,cos 0e~ •l и sin 0е~ 0е, так что
р(0е)~_( : )
112
ехр[-R0;] .
(3.68)
Ошибка 0е имеет ас,имптотически гауссовское распределен,ие с
нулевым средним и дисперсией ,о2п= l/2R. Снова, как легко прове­
рить с помощью ф-лы ,(3.51), эта оценка аоимптотически эффек­
тивна (при v = 1); она не смещена и, когда R велико, имеет ми­
н,имальную дисперсию, задаваемую ф-лой (2.66).
Если амплитуда сигнала рас,пределена ра,вномерно, то диспер­
сля сигнала имеет в,ид
п
о2= _1_ sф2dФ =~
S
2:n: .
V
V
3°
(3.69)
-n
Энергия пр,инимаемого сигнала постоянна и -равна & =А 2 Т5 • По­
этому отношение сигнал/шум на выходе
(t)ФТ~2;2 ~ = ~2 (t)10ИМ.
(3.70)
Это приближенный результат, справедливый, когда отношение
с·игнал/шум на входе &JNOдостаточно велико.
Требования, предъявляемые к эффективной ширине· лолосы в
случае ФТ, в точности такие же, как при некогерент.ной АИМ . Рас­
,сужде,ния, .приведенные в § 3. '6, непосредственно применимы и
здесь. Следовательно, эффективная ширина ,полосы ФТ сигнала
вдвое больше требуемой для когерентного АИМ сигнала, хотя на
практи ,ке ширина ,полосы, ,которая должна быть отведена одному
каналу в обоих случаях, ло су ществу, одна ,и та же, что можно
понять, -рассматривая соответствующие этим сигналам спектры .
3.8 . Заключительные замечания
В этой главе ра,ссматривались на,иболее важные свой­
ства .непрерывных по амплитуде импульсных систем связи, а .имен­
но : вид оптимальных демодуляторов (при различных определениях
оптимальности); достижимое на выходе отношение сигнал/шум~
72


спектры с•игнала и требования к эффект.ивной ширине полосы .
Были изучены тр,и частные системы: когерентная АИМ, некогерент-
11 ап АИМ и ФТ. При равномерном распределении выборок сигнала
G ыло найде но, что отношение сиг.нал/шум при ФТ больше, чем при
ко г е рентно й АИМ в л,2/3 раз, а для не.когерентной АИМ это отно-
111 е.11ие в четыре раза меньше, чем для ,когерентной АИМ. Спектры
э тих трех систем почт.и одинаковы, но эффективная ширина поло­
с ы равна 1/Тs герц для ФТ ,и .некогерентной АИМ и 1/2Ts герц для
1<0rерентн ой АИМ.
Интересно отметить то количество а.приор.ной информации, 1ю­
торо е должно быть использовано различными демодуляторами
макс,имального правдоподобия. Для ·когерент,ного АИМ демодуля­
тор а [ер. с ф-лой (3 .33)] предполагаются ,известными мощность
принято го сигнала и фаза не.сущей сигнала, хотя от первого из
э т,их требова.ний ча,сто можно ,отказаться, если важна только отно­
сительна я ам.плитуда сигнала. При некогерентной АИМ демоду­
J1пции обходятся без знания фазы .несущей, хотя правильно спроек­
ти рованный демодулятор макеимального правдоподобия требует
з на~шя как уровня мощности сигнала, так и уровня мощност.и шу­
ма ,[ф-ла (3.48) ]. В случае ФТ нет :необходимости знать амплитуду
сигнала и уровень шума, но, очевидно, необходимо иметь в распо­
ряж ении опорную фазу, та.к как модулирующий ,сигнал ·может быть
о пределен толь,ко лишь по разности между этой опорной фазой ,и
фаз·ой л.ри:нятого с,итнала. («Некаге,рентная» ФТ обсужда•ется в
следующей главе.) Наконец, ФТ ,система обладает важным r~рак­
тнчески м преимуществом: постоянством передаваемой мощности .
В против оположнос,ть этому .при .ко герентной АИМ с равномерным
распределе нием ам,плитуды оигнала требует~ся .пиковая мощность,
пт р,ое большая ее средней мощности.
Хотя огибающие им.пульсов для каждой ,из рассмотренных в
этой главе систем :были прямоугольными, по существу, аналогич­
ные результаты могли быть получены для •произвольно й формы
о гибаю щей .f (t). В частности, если фильтр приемника согласован
с ,им пульсом ,f(,tjsinшct; O<t<Ts, где f(t) - медленно (по сравне­
нию с :пер,иодом ,не сущей 2л/,wс) меняющаяся функция, :и если при­
ним аемый сигнал имеет вид Af(t)sin(,wct+Ф) +n(t), ,то отношение
с иг нал/шум на выходе фильтра равно
(АJsf2(L)dtcosФ)
2
-
-
------ = 2cos2Ф ~
No'
(3.71)
~·де & - энергия принятого сигнала, а N 0 - спектральная плот-
1 1 ос ть шума. Очевидно, это отношение не зависит от формы ог.и­
иа ю щей импульса.
Более того, хqтя олт.имальные характеристики системы дости-
1 ·, 1ются, когда фильтры ,приемника ,согла-сованы с принимаемым
73


имлульсом , однако метод исследования характерист,ик , изложен ­
ный в этой главе , в равной мере п рименим и тогда, когда , фильтры
не являют,ся согласованным-и . Если принимаемый импульс ;имеет
вид, описанный в предыдущем абзаце, а импульсный от,клик фильт­
ра приемника -'- вид h(t)si nffic(T8 -t) , то отношение сигнал/шум
на выходе
(А1,f(t)h(Тs - t)dtcosФ)
2
Nоо
-f sh2(Ts - t) dt
-00
• (]00f(t)h(Ts- t)dt)
2
= 2cos2 Ф _.!.
--'-----
--
--'--
No
13
Л2усоs2 Ф- .
оо
""
-
No
sf2(t)dt sh2 (Ts - t)dt
(3 .72)
-со
-оо
Единственным результатом несогласованности фильтра будет
он ижен.ие отношения сигнал/ шум на выходе в у раз [эта величина
согласно неравенству Шварца мень ш е единицы, кроме случая, кот­
да функция 1h(Ts-t) отличается от ,f (t) только множителем] . При
эт о й модификации предыдущие методы могут быть использованы
даже тогда, когда фильтры приемника несогласованные.
Это утверждение, очевидно, должно быть видоизменено, когда
передается .последовательность импульсов, а импульсный отклик
ih(t) не равен тождественно нулю при t> Т8 • В последнем случае
на выход фильтра в моменты каждого отсче-та влияют как более
ранние ,им,пульсы, так и текущий им.пульс, и усредненная х аракте­
ристика системы, в общем , хуже, чем nредсжазанная на основе
рассмотрения одного единствен.нога им•пульса . Более того , утверж­
дение, что характеристика системы не зависит от формы импульса ,
также следует видоизменить, если канал связи не является кана­
лом с бесконечной шириной полосы и белым гауссовским шумом ,
что здесь предполагалось . Если, например, ширина :полосы канал а
невелика по -сравнению с шириной полосы еигнала или если в ка­
нале ,имеется многолученость с различными ,временами .задержки в
различ.ных лучах, то характерис1'ика системы в действительност и
будет функцией формы импульс а .
3а· да чи
3.1. а) Показать, что если (гауссовский
белый , то равенство (3.21) п ер е х одит в
{
Т5
р(vIу(t)) = l(p(v)ехр J[2Ау(t) z(t,
74
стационарный) шум не о бязател ьн о .


.
т
где z(t, v) определяется интегральным уравнен11ем x(t, v) = Js R11 (t-.:)z(т, v) ,dт,
о
а R,. (t) - автокорреляционная функция шума.
б) Пусть y(t)=x(t, v)+n(t); O<t<T, , где п(t)-гауссовскнй шум со
с 11сктральной плотностью мощности S п (,(J)), и пусть h(t) и Н (i(J)) - соответ­
ст пе нно импульсный отклик и частотнан характеристика обеляющего фильтра,
о пределнемого равенством IH(iw) l2S11((J)) =No/ 2. Показать, что если y(t) по ­
даетс н на вход такого фильтра, то выходом будет Yt(t)=s(t, v) +nw(t), где
т;
5(t, v) = Jх (т, v) 11 (t-t) ,dт и, гд-е n,v (t) - белы11 гауссовстшi'! процесс
о
в) Показать, ч,·о приемник, полученный в п . а), может быть реализован как
обеляющий фильтр, за которым следует приемник, который следовало бы ис -
11ОJ1ьз овать, -е-сли принимается сигнал ,из множссгва {s (t. v)} , определенного 13
,, б ) на фоне белого гауссовскоrо шума.
3.2 . а) Найти спектр АИМ сигнала, определенного равенство,-, (3.26), где
v ; - взаимонезависимые случайные величины, равномерно распределенные на
г-
11 11тервале (а, Ь) . Сравнить его со спектром сигнала J; 2Am(t-11)siп((J)ct+Ф),
,.·де m(t)=v;; iT,<l<(i+l)T,, а 11 и Ф-независимые случайные величины,
рав номерно распределенные на интервалах (О, Т,) и (0,2-:rt) соответственно.
б) Повторить п. а) для ФТ сигнала, определенного равенством (3.61), где
,,сличины Ф; - равномерно распределены на интервале (~л, л).
в) :Повторить п. а ) и б), когда огибающие импульсов косинусоидальны, а
11е прямоугольны, т . е. когда сигнал состоит из последовательности амплитудно-
или фазовомодулированных импульсов вида У/2 Ap(t)siп (,шсt+Ф), где p(t) =
= V 2/3(1-cos 2:rtt/T,).
3.3 . , Показать, что формула оценки, опр еделяемая равенством (3.40), явля­
ется оптимальной минимаксной формулой оценки амплитуды АИ:М импульса
11ри стоимостном критерии, определяемом среднеквадратической ошибкой, т. е.
1 1 0 1(азать, что эта формула оценки минимизирует максимум возможной средне-
1шад ратнческой ошибки, когда известна лишь дисперсия амплитуды сигнала (с
11улевым сред н им). (Указание. Показать, что среди всех распределений с нуле­
lJЫМ средним значением амплитуды и дисперсией ,а2 , гауссовское распределение
l!р11водит к наибоJiьшей среднеквадратической ошибке, когда используется эта
фор мула оценки.)
3.4 . ФТ модулированный сигнал s;(t)= У2А sin((J)ct+Ф;); iT,<t< (i+l)Ts
11р11нимается в присутствии белого гауссовского шума. Приемник строится так,
л
1 1тоб ы получить оптимальную оценку s;(t) принятого сигнала в смысле средне-
1шад ратического критерия и использовать фазу этой оценки как оценку вели-
1 111ны 8;. Показать, что получающаяся в результате оценка совпадает с оценкой
ма1,с имального правдоподобия величины 8i-


Глава 4
ДИСКРЕТНЫЕ ПО АМПЛИТУДЕ
И ПО ВРЕМЕНИ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
4.1. Введение
Схемы ,импульсной модуляции, рассмотренные в ,преды­
дущей гла.ве, были лре.,ZLназначены для с.иnн,алов, 1П1редставлявших
собой непрерывные функции некоторого параметра. Хотя о.пти­
мальный приемник для такого множества фун,кц,ий, очевидно, тре­
бует континуума согласова.нных фильтров, по одному 1на каждый
возможный принятый сигнал, рассмотренные системы •содержали
лишь один или два таких фильтра.
Этот случай не является общим. (Рассмотрите, например, опти­
мальный демодулятор, когда множество сигналов ,имеет вид
sro(.t)=V2Asiп .wt; O<t<Ts, где w-непрерывный параметр.)
В общем случае оптимальный прием1н,ик должен определять функ­
цию при.нятого сигнала для каждого •возможного значения оцени­
ваемого .параi11етра. В этих услов,иях для импульсной передачи не­
прерывного .параметра могут быть ,построены л.ишь праближенно
оптимальные приемники. Часто можно получить удобное лр.ибли­
ж•ен,ие, е1сл,и учесть, что .выход филь11ра, 1настроенноло на ,сиг.нал
Sa, (t), будет, вообще говоря, большим, когда принимается сигнал
Sa,' (t) ,с ~параметром а1, отл-ичающи,мся лишь !Незначительно от mа­
раме11ра а. Можно •пред1Положить, 'Ч'ГО шриемни,к будет «1П1рок,ва1н­
то,ван» ,плотным м1нюжес11вом со:rласованных фильт,ров, эаменяющих
теоретиче,е,ки .нео·бходимое беа1юнечное множес11во .
Хотя квантование сигнала на приемном кон,це упрощает систе­
му ,связ,и, ква,нтоrва,н.ие на 1пе,редающем 'Конце 1пrр.ивод·ит 1к еще боль­
шим у,прощениям. Иапользовани•е лишь .конечrно,го числа с•иrгна­
лов при,вод.ит, разумеется, к ошибкам ква·нтования вся.кий раз ,
когда предназначенная для передачи информация по своей приро­
де не является дискретной . Ошибка может быть, однако, абсолют­
но ,не 'Сущест:в·е,нной ·или 1даже лолез,ной, та'К как ,почти при ,каж­
дом мыслимом использовании этой информац,ии требуется лишь
определенная точность. И в любом случае (так как сигнал неиз­
бежно .шекажа,ется шу мо м ) 1достижшмая та,чн·ость ограничена, не­
зависимо от использ у емого метода модуляции .
Можно утверждать, что потери при ,квантовани,и сигнала до его
.передачи малы ,л, кроме того, ква ,нтование приводит к ряду лре,и­
муществ. Основное преимущество квантования состоит в легкости
наколлен·ия дискретной информации, а также ее перемещения или
передачи из одного места ,в другое . Некоторые из . менее очевид­
ных ,преимуществ ста.нут более ясными в последующих главах.
Главное преим у щество, которое использовано в этой главе , состо-
76


ит в сравнительной простоте анализа и реализации таких систем,
Рассмотрим в общих чертах работу системы: на вход передат­
чика дискретной системы связи поступает последовательность
цифр (в некоторой подходящей системе сч,исления). Он превра­
щает эти цифры в последов.ательность силtволов, каждый из кота.
рых выбирается ,из конеч1ного множества ,символов (будем назы­
вать его алфавитом, символов) и однозначно соответствует неко­
торому заданному отрезку последовательности входных цифр.
Кажд ый ,из этих символов представляется затем с помощью не-ко­
торого сигнала 1) s9 ( t); v = 1, 2, ..., N, где N обозначает число сим­
волов в алфавите. Каждые Ts секунд будет передаваться один сим­
вол; обычно ,предполагается, что ,сигнал .s-v (t) равен нулю вне и1и-
тервала (О, Ts).
Мерой .качества систем связи, рассмотренных в предыдущею
главе, было отношение сигнал/шум на выходе . Для дискретны:n:
систе:vr также можно определить отношение сигнал/шум ,на выходе
(принимая во вн.имаlН•ие, если нужно, ,среднеквадрат.ическую ошиб­
ку квантования). Одна-ко более естественной и в больщинстве слу­
чаев более удовлетворительной мерой качества является вероят-
1-юсть ошибки в cu/vtвoлe, т. е . верс.,ятность того, что символ на вы,
ходе :пр,Иемника отличается от переданного. Критерий среднеквад- .
рати ческой ошибки в случае аналоговых ,систем полезен, rлавm.11.&
об раз,ом, потому, что ее легко выч,ислить, ,а 1не потому, что он.а обя~
затель но является ·мерой качества, наиболее интересной для пот­
ребителя. Фактически, как следует из замечаний, изложенных 1,
предыдущих абзацах, постоянно ,существующие, .но малые по срав­
нению с требуемой для прин·имаемой ,информац,ии точностью ощиб,
ю1 передачи моrут быть намного менее непр,ия11ными, чем редкие,
но большие ошибки в этой информа,ции. В то же время средне­
квадратическая ошибка в этих случаях может б ыть одинаковой.
Вероятность ошибк,и в еимволе представляется разумно й осно,
вой для ,с равнения двух ,систем, ислользующих одно ,и то же чи_сла
символов . Но нужно сделать оговорку к этому утверждению, когщ1
сравниваем ые системы используют различное число символов "
А ·именно, есл.и алфа·нит сигналов ,содержит N символов, то каж­
дый принятый -символ •переносит 1og 2 N бит информации (т. е. та­
кое же количество информации, .к оторое ,содержится в l-og2 N дво­
ичных символах). Ясно, что две системы, ,имею щие неравные числа
символов, можно разумно сравнить тольк о , если они используют
одну и ту же энергию для передачи каждого бита информации~
С тоимость передачи оценивается полной энергией, необходимой дщJi
п е.редачи все1го соо:бщения, а 1не энер~гией, необходимой для удоо,
J 1 е т,ворительной лереда,чи ;некото р ·ОIГО с-им1нола.
1 ) Обычно будем использовать слово «символ» как применительно к епре­
J lСленному выше символу, так и для сигнала, который его представляет. Анало-
1 · 11ч110 термин жалфавит символов» будет обозначать как множество символов.
так II множество соотв етствующих сигналов. (Прил/. авт.).
71


Далее в этой главе мерой качества служит вероятность ошнб­
ки в сим,воле. Чтобы сравнить ,системы, использующие различные
ч исла символов , следует определить эту вероятность как функцию
средней энергии, затрачиваемой на каждый бит передан.ной инфор­
мац,ии . В процессе вычисления вероятности ошибки в символе
обычно одновремен,но определяются также вероятност,и ошибок
каждого вида (вероятност.и ошибочно вынести решение в пользу
s,,(t) вместо ,sμ (t) для любых μ и v). Эти величины всегда по же-
лан-ню можно использовать для •вычисления среднеквадратиче-ской
ошибки.
4.2 . Оптимальный когерентный по фазе приемник
и его характеристики
Если в гл. 3 рассматривалась статист,ическая оценка не­
ко т01рого ~параметра ,принято•го ,силнала, то здесь зада1чей яв­
л яет,ся ,проверка многих г,тшотез. Эта задача рассматривалась в
§ 2.8 , где было отмечено, что оптим.аль'ное решение в случае, когда
стоимость ошибки не зависит от конкретного вида ошибки, состоит
iВ ·выборе rиiПотезы, ииеющей наибольшую аrпостериорную вероят­
н ость быть верной. Так как требуется минимизировать вероятность
ошибки, то при рассмотрении все оши6кл равноценны, и оптималь­
ный приемник фактически я вляется прие.мн11ко1н 1накси.мальной
апостериорной вероятности.
Сигнал на входе приемника имеет вид y(t) =Asvi (t-iТs) +n(t);
Пs<t <(,i+l ) Ts, для некоторого значения v;= rl, 2, . . ., N 1). Апос­
те р,иорные вероятности P i[v Iy(t)] легко определить в предтюложе­
нии, что шум - белый гаус-совский . С ,помощью рассуждений, ана­
логичных ,проведенным в § 3.4, получаем
{
2А fтs
•
А2 sт,
P [vly(t)]=kP(v)exp -
y(t)sv(t)dt--
s;(t)dt =
No'
No
о
о
{
2А т1,s
А2К }
= kехр - у(t)sv(t)dt-
__
v
,
No.
No
о
(4.1)
где k - постоянная, ,не зависящая от i, а постоянные
Ts
N
Kv= .\ s~(t)dt- А~ logeР(v)
(4.2)
о
не з ависят от принятого сигнала y(t) . Оптимальное решение со­
сто ит в выборе сиг.нала s μ(t) , где μ- значение v, которое макси -
м·изирует выражение
Ts
AKv
zv = S y(t)sv(t)dt--2
-
.
(4 .3)
о
1 ) Как и в предыдущей главе, ,i полагае:гся равным нулю, а подстрочный
индекс у v опускается, если это не будет вызывать недоразумений . (Прим. авт.).
78


Оптимальный приемник, таким
образом, состоит из набора парал­
лельно соединенных согласованных
фильтров, как показано на рис. 4.1.
Г!о предположению аддитив-
ный шум n(t) - белый и имеет
Рис. 4.1 . Функциональная схема оптималь-
1-юго фазовокогереитн·ого демодулятора ( а"1 -
фавит с N символами); 1 - устройст во, вы-
/\
y(t)
S1 (t)
S2 (t)
носящее решение; на выходе s(t)
sN(t)
т.
j sdt
о
Ji;
dt
1
о
т.
J~t
о
гауссовское распределение. Тогда, если y(1t) = Asr(t) +n(t), то слу ­
чаиные ,в,еличины z; имеют га уссовакое раапределен.ие для любого
зада1нного значения ,r. Так как шум белый, то В[п(i)]=О и
Б[n(u)n(t)]= (N0/2)б(t-u), 1rде N0 -о~дносто1рон1няя опект,ральная
плотность шума. Следовательно,
Ts
AKv
11vИЛE(zv / r)= AJ s,(t)sv(t)dt--2
-
(4 .4)
о
а условная дисперсия ,случайной величины z"
т
Nss
N
cr2 (r) =
-
0
s2(t)dt= - 0 ~ = cr2•
v
2
v
2л2 v
v'
о
(4.5)
в ф-ле ·(4.5) &v -- энергия v- ro пр ,инятого
вариация велич.ин z" и zμ
символа. У.славн а я ко-
Е{[Zv- 11v(r)][Zμ- 11μ(r)]/r}
р(г)= ----------
vμ
Gv Gμ
т
1 N0s~
=
---
sμ(t)sv(t)dtЛPvμ = Pμv
(J'\I (Jμ 2
=
о
т а кже не зависит от :переданного символа .
(4 .6)
Если передается сигнал sr(t), то вероятность правильно го прие­
ма этого еигнала имеет вид
Pc (N; r) = Pr[z,>maxzk / r]
k=f=r
-оо
-со
-ао
(4.7)
где wi=Zi- 'Y]i; 'Y]i=ТJi(,r); W-)Зектор-столбец (w1, Wz,
..., WN);
wт - транопо:ниро,ва:н1ный ,векто1р-стол6ец, ·а Л - (невырожд6нная)
79


ковариа1ц·ион:ная матрица А= {crvcrμPμv}. Обозначение л-1 принято
дJJ я матрицы, обратной Л, а IА! - ее определитель. Окончательно
;зер·оя1'.Ность ,ошибки ,в -рас,сматришаемой системе связ·и ,Иlм•еет вид
(4,8)
wде опять P(,r) - априорная вероятность •символа sr(i). Вероят­
ность ·ошиб,ки, ;в юринципе, мож,ет ~быть 1вычИ1слена для любой ,не ­
в ырожд,ен,ной мат,рицы А 1по ф-ле (4.7). Но если на м;ножество си,г­
r:1 алов {s;(t)} ~наложены некоторые о~гра'Н'Иlчения, то можно 1полу­
ч.ить ,в некото.ром 011ношении -более удобное для ~работы выраже.н,ие.
И\ак у.казывалось, ,о1птималь,ный ш1риемник 1пр.ин.имает р•ешения, ,ис­
:нольз.уя :величины, 10iп1ределенные равен,ство,м :(4..З), .и, следо,ватель­
ию, 1подразуме,вается, что изве~стны амплитуда 1п1ринято,то си1Гнала А
и с пектральная плотность шума -1 ' -. / 0. Если, однако, сделать Kv не­
за в исимым от v, потребовав, чтобы энергия сигнала •&v и а.п,р.иор­
.!:iые вероятности P(v) не зав,исел,и от v, то ни один из этих пара­
метров не нужно будет измерять при реализации оптимального
nр.иемника. Это т,ре,бование у,до,бно .как с пра1ктичес1юй, так и ,с
ан алитической точки зрения .
К роме того, передатчик может работать более эффектив.но, так
)]{ЗJ( .передаваем,ая энергия будет относительно постоя1нна. Поэто­
му ,у~казанные требования 1дают болышие 1пра,Ктич,е,сrкие 1п1реимуще­
пва . Более т,ого, они обычно не влияют ·на на·иболее важсrые ре­
зул ьтаты. Средняя информац.ия, :передаваемая на один символ,
t> чев идно, максим-изируется, когда априорные вероя11ности симво­
л о в равны. В гл. 10 рассматриваю'Гся методы, .позволяющие пр,иб­
ли з-ить,ся к это:,1у случаю пр,и произвольной статистике ,источника.
А ес ли каждый символ апр.иори равновероятен, то каждый сим­
lВОЛ переносит одно и то же .количество информации. Следователь­
н о , н а .передачу каждого символа нужно тратить ·Одну и ту же
:.~ н ергию, есл,и этому .не мешают другие обстоятельства.
Е сли ,источник осуществляет ,выбор из N символов, имеющих
ра вные априорные вероятности, •И всем символам соответствуют
,r иг.н алы с равными энергиям.и, то о'Птимальный приемник просто
вычисляет величины
Ts
tv = Sу(t)sv(t)dt
(4.9)
!)
Jfl выбирает наибольшую ·из них. В этом случае все еще примени­
J•iю равенство (4.7) для вероятности правильного решения, но .пр·и
Ts
ЭТОМ 1Jv (r) =А _\ Sr(t)s.. (t) ,dt=A G ·Pv, И
о
о;= (N0/2)'c, = cr2 ,
(4.10)
Ts
rдеpij= _J.1 s;(t)sj(t)dt.
~.J
о


Равенст.во (4.7) лишь немного у,прощается при этих лредположе­
rrиях от1носительно ,сигнала; 1вычисление вероятности ошибки все
щ е можно 1вы1пол,нить только ,с зат,ратой значителыных уоилий. По­
э то му ,ра,С'смотрим несколько наиболе•е ~важных ча,стных случаев.
О 1рто~гональ :ны ,е ,симв ,олы. Бели ,p;j=0 для •вс,ех i=/=j,
то множество символов по очевидным причинам называется орто­
го нальным алфавитом. В этом случае равенство (4.7) можно зна­
ч ительно упростить . Прежде всего, в силу симметрии Pc(N; ir) не
зав исит от r. Вероятность лрав,ильноrо решения равна 1вероятно­
с п1 правильного определения (в приемнике) •переданного сигнала
не зависимо от то1го, .какой ча,стный с•игнал был 1пер-едан. Более тю­
го, та•к как ip;j =0, i=I= j, маТ1рИ'ца А ~просто ра1вна 1произв-еден.ию cr 2
1ra единичную матрицу 1. Подставим эти -соотношения в ф-лу (4.7)
~[ \; -Р/2 ]N-1
- f\;-( 2R)l/2J/2
Pe (N)= 1-Pc(N)= 1- j s;,r2п d s е -V2ic
d~ЛФн(Rь),
- 0:,
_
00
.
( 4.11)
где Rь =,Ri! og2 N = ( & /N о) Iog2 N - отношение энергии принятого
сrr гнала, приходящейся на один бит, к спектральной плотности
ш ума. Следовательно, если 1p;j = 0 для в-сех i=/= j, то вероятность
о шибки являет.:я функцией только числа сигналов N и отношения
с игнал/шум на входе R= &!No. Эта функция ФN(.Rь) была найде­
на !Численно . Она изо6,ражена на ,р.ис. 4.2 как ,функu:и .я Rь для
разл,ичных значений N.
Если имеются лишь два символа (двоичное ортогональ'ное м.но­
же.ство), то вероятность ошибки можно представить в несколько
бол ее удобной форме. Имеем
Рс(2)=Pr{z1>z2jl}=Pr{z1- z2> О1!}.
Та к как 21 .и 22 - независ·имые гауссовские случайные величины,
то 21-22= w - также гауссовская величина со средним, равным
ра з.ности среднnх величин 21 и z2, и дисперсией, равной сумме их
д rr с перс,ий. Такю,1 образом,
о:,
Ре(2)= Pr{w<О J 1}=-V~п se-<'12ds~+[1-erf(~(
2
]-(4.12)
Rb/2
Вероят:но,сть оши,6·ки, ко1гда .p;J=,p для :всех i, j,
i =I= j. Если все коэффициенты взаим.ной ,Корреляции pij(i=I= j) ра1в-
11ы р и .каждый символ имеет одну и ту же энергию & , то вероят­
нос ть ошибки опять не зависит от переданного сиг.нала в ,силу име­
юще йся симметрии. Хотя можно ввести преобразование 1перемен-
11 ых в равенстве (4.7), которое свод,ит этот случай к только что
расс мотренному ортогональному случаю, однако более простой
~ 1ст од определения вероятно.сти ошибки со-стоит в следующем. Сна­
чал а лредполож·им, что ,р>О, и расс'мотр,им множество .::.игналов,
11 олучаемое добавлением к каждому оим,волу sj{it), O<t<T's, из
орт огонального множества с N символами фиксированной фун,1щи,и
81


времени r(t), T's<t< Т8 . Корреля ция между любыми из получен­
ных символов .имеет нид
т
-<Х>
i -=1= j;
i=j,
N=2
ч
8
128
шs~'-о-'""1 ___. __.. ._.. .. .._~ f0.,_0
_
_ ..,_......,......._.._ _ _'\,L,1,-__.. _.,___. _ _,_ _fOZ
.
t/#n
Рис . 4.2 . Вероятности ошибок для ортогональных сим ­
волов:
--
-
когерент н ая по фаз е nередач·а;
-
-
-
-
не когерентная п о фа зе передача
где & " -энергия .r(t); &'-энергия si(t), а & - пол.ная энергия
каждого нового символа. Если &"/ & =;р, то ~шожество новых сим-
82


во лов, как и требовалось , содержит N символов, имеющих взаимо­
корреля,ционные коэффициенты Pij=p, .i=l=j. Но характерист,ики
с истемы связи, и,с~пользующей это мн,ожес11во слгнало;в, и системы с
о ртогональными -символами эквивалентны. Последние Т.s-Т'.s се­
к унд при вычислении .корреляции приводят к одинаковым резуль­
т атам для всех N символов и, следовательно, не могут быть исполь­
з ова.ны пр-и их различении. Использование определенных здесь
нов ых символов, следовательно, экв,ивалентно использованию
орто гонального множества символов, каждый ,из которых имеет
эн ергию & 1 = &-& "= & (1-р). Аналогично, если р<О, то можно
н ачать с перво!.fачального множества сигналов {si(t)}, O<t<Ts и
сфо рмировать нз .не го ортогональное м.ножество, добавляя к .каж­
д ?МУ из символов функn:ию •времени r(t), Ts<t<Т's, где
Ts
\ r2 (t) ,dt= IPI g =-,р&. Опять характерис11ики системы, ,1споль­
тs
зу ющей новы е (ортогональные) символы. и системы, использующей
первоначальные неортогональные символы, должны совпадать.
Энергия новых сим,воJюв равна g 1 = & (,1+ 1р 1) = & ( 1-:р). Так как
веро ятность ошибки являетс я функцией лишь .коэффициентов Pij
и отношения сиг.нал/шум, то отсюда следует, что любое множест­
в о •из N символов, каждый из которых ,имеет энерг-ию & , с коэф­
фи циентами взаимной корреляции ,Pij=p для 1всех i, j, ,i=I= j .приво­
д ит к той же самой вероятности ошибки, что и множество N орто­
гона льных симRолов, имеющих энергию & ( 1-р); имеем
(4.13)
где Фи определяется так же, как в равенстве (4.11). Это ,справед­
л•и,во .как для положительных, так и для отрицательных р.
Об оптимальном выборе р. Какбылопоказановыше,
э ффективная энергия некоторого множества сигналоз равна
& ( 1-р), где 6 - фактическая энергия каждого символа, а
р = ,Pi.i
-
коэффициент взаимной корреляции. Казалось бь1, что р
сл едует сделать как можно большим и отрицательным (р = --1)
дл я того, чтобы минимизи ровать вероятность ошибки. К сожале-
11и ю, это возможн о только тогда, когда N =2; в остальных СJ1учаях
коэф фициент р не может быть сделан столь малым. А именно,
е сли алфавит состоит из N символов, то коэффициент р огран,ичен
с низу величиной -l/ (N-1).
На самом деле можно доказать следующий более общий ре-
{
N
Т
}
1
1N0
5
•
..-=
-
--
'1-,-
-
1 si(t)sj(t)dt-N
=
N(N-1) 1,,,,J а;а; 2 .)
i,i=I
О
•
83


=
1
{No sтs[i,~]2dt-N} >--1- .
N(N-I) 2
i.J Ui
N-I
О i=l
-
(4.14)
Далее, так ка.к Рма~<с ~maxpij;:,"<pcp, то и Рмакс и Рср не мtньше
- i,j
iaf, j
--J /(1N-l). В частности, если () ij= ,p для нсех i, j, i=l= j, то отсюда
следует, что p;:,-1/(,N-1). Заметим также, что, есл·и р равно
- 1/ (N-1), то множест,во сигналов линейно зависимо, т. е .
N
~ si(t)/a;=O для всех t, O<t<Ts.
i=l
Если N велик,о, то 'Рмакс ,и ,Рср ограниче,ны сн,изу приближенно
нулем, т,ак что ортогональные алфав,иты близки к оптимальному в
смысле мини,мизации этих .коэф фициентов. Если p;j=-1/(N-l)
для всех 1i, j, i=I= j, то вероятность ошибки такая же, как ,и для
N-символь:ного ортогонального алфавита с энергией на символ,
равной {N / (N-1) J&- Такой алфавит называется трансортогональ­
ным алфав,итом или правильным симплексом.
,Можно было бы предположить, что так как эффективная э.нер­
гия пропорц·иональна 1-р, то ,о·птимальные множества с,игналов
будут таким.и, для которых Рмакс {и ipcp) достигают минимального
значения -1/(N-l). ОчеtВидно, это верно, когда все коэффициен­
ты корреляции p;j (i=l=j) должны быть равными по условию. Но,
хотя справедл.ивость этого утверждения кажется ·интуитивно ясной
даже для случая отсутствия усло'ВИЯ равенства коэффиц,иентов
•взаимной корреляции, оно остается ги•потезой .
Биортогональные мн,ожества сигналов. Рассмот­
рим другой случай, представляющий определенный интерес. Пусть
сигналы s 1(t), s2 (t), ..., sн12 (t) образуют множество N/2 ортого­
нальных символов. Рассмотри.м множест,во N символов sr(t),
s2(it), ... , ScNl2)+1 (t) =- S1 (t), Scнl2)+2(t) =-S2(t), ..., sн(t) = -Sн/2( f) .
Тогда
i О, i=l=j, j+N/2;
Pii=~ 1,
l-1,
i=j;
i= j+N/2
1
'1
1
и Рср= N(N- I)i.JPii=
-
N-1•
ij
i=I= j
Та.к как Рмакс=О>-1/(N-1), то это множество ,сигналов не ОП·
тимально в смысле, указанном выше, но Рср достигает нижней
границы. Кроме того, как станет вскоре ясно, такое множество ,
называемое бuортогональнылt алфавитом, имеет ряд значительных
преимуществ перед ортогональным алфавитом. Так как обе функ­
ции, si(t) и -si(t) , принадлежат алфав.иту, то оптимальный при-
тs
емн-ик вычисляет величины zi = ,\ у( t)s; ( t ),dt, i = 1, 2, ... , N12, где
о
84


снова .предполагается, что все сигналы имеют одинаковую энер­
гию, появляютс:я с равными априорными вероятностям.и. Пр,ием -­
ником выбирается величина zi, имеющая наибольшее абсолютное·
значение; з н ак zi указывает, какой из сигналов +si(t) или -si(t)'
на,иболее вероятен . Здесь, между проч.им, проявляется одно из наи­
более важных преимущест•в использования биортогонt~льного ал­
фав-ита, а именно: необх-одимы лишь N/2 согласов.ан.ных фильтров _.
для приема N символов.
Вероятность правильного решения 1) Pc(N) опять .не зависит от
того, какой ,из с,игналов был .передан, и равна вероятности того,
что если был передан SNl2 (,t), то ZNl 2 >/zil для в-сех i<N/2; имеем
Ре(N)=Pr[zN12> maxIZ;1\!!_]
.
i<N/2
2
Так как величина zi имеет гауссовское распределение, причем;
E(zi'N/2 ) --{0,
i<N/2; 11
"д2
var(z; 1N/2)=а7 =(1v0/2 )о,то
А~, i=N/2
Pe(N) = 1-Pc(N) =
оо [,; -с'/2 ](N/2)-1
-[,; -( 2R)l/2J2/2
1- r s-e-ds
е-
d~ Ф~(Rь),
.J
Y2rc
V2п
о-,;
(4. 15)
где Rь определено ранее. Выражение (4.15) было найдено числен­
ными методами, а вероятности Ф'н(Rь) ·изображены графически .и
табулированы, 1ка,к фу,Нlк-дия Rь для различных .значен.ий N. При,
любом N имеем: Ф'N(Rь) <ФN( ,Rь), .н о ~различие становится не ­
значительным для N~8.
Вновь, если N =2, то вероятность ошибки может быть выраже­
на .с помощью ;штеграла вероятности в ,виде
о,
1- _!_ J е-,;'/2dt. =
-
1 [1- erf (R1;2)] .
у2п
~
2
ь
-(2Rь) 1/2
(4.16)
Этот рез ульт ат можно также получить, замечая, что р 12 равно
-
11 для двухсимвольного биортогонального алфав,ита. Вероятность
ошибки для б:иортогональ.ного алфавита, когда N = 2, равна ве­
роятности ошибки для ортогонального алфав-ита с эффективным
Drноше ние,м 1с,шrшал/шум R (J-,p 12) =2,R.
Границы вероятности ош-ибк ,и. Выражение для ве­
роятно сти ошибки в системе связи с N ,символам-и громоздко и с
ним трудно работать, если нет никаких ограничен.ий на коэффи­
циент ы корреляции ,pij, и даже в толь.ко что рассмо'Грен,ных частны х
случаях -вероятность можно .найти лишь численно. К счастью, не-
1 ) Заметим, что ковариационная матрица А в этом случае вырождена так, .
что нельзя прямо применить равенство (4.7) . (Прш,t. авт.).


·трудно лолуч,ить простые границы для этого ,выражения, вполне
удовлетвор-ительные для мног,их .конк ретных приложений.
Простейшая и наиболее г,ибкая граница -сверху для вероятно­
сти ошиб.ки получается -из аддитивной границы, исп-ользованной
в § 2.8. Есл,и выходы корреляторов приемника обоз.нач,ить через zi
'[ф-ла (4.9)] 1), то ошибка возн-икает, еслл был передан r-й символ,
но Z;~Zr для некоторого ;i=l=r. Так как эти события не являются
взаимно исключающими, то
N
.Pe(N; r) < ~ Pr \z; > z,} < (N- I)maxPr{zi > z,}.
i=l
L'$Г
(4.17)
i=f =r
Более того, так как вероятность, по крайней мере, одного из
этих событий больше, чем вероятность какого-либо определенного
из лих, т-о
Ре(N; r)>maxPr{z; >z,}.
i
i,t =r
(4.18)
Необходимо лишь повторить
(4. 12) , чтобы Пс)лучить
рассуждения, лр-иводящие -к ф-ле
+{1- erf(:)
112
},;;;; Ре(N; [r) <
(4 .19)
тде R* = min R ( 1-р;,-). Наконец, -используя хорошо известные .нe­
i,t=r
равенства
е-х2;2 (1-
_1) <-1 [1-erf (~)j < е-:_'/2'
Y2:rt х
х~
2
-V2
у2п х
х>О,
находим, что
e-R*/2 (
I)
1•
{R*
}
1-- <Р,(N; r) <---ехр --_
+log (N-1).
(2:rtR*) 112 ,
R*
(2:rt R*) 112
2
е
(4.20)
Заметим, что верхняя граница для вероятност,и ошибки асим­
:птотически стремится к нулю, когда N- ..o o, есл-и R* /log2 iN =
=R*ь>21oge2.
Более точная в общем случае граница -сверху может быть по­
лучена ,с немного большим,и усилиями. Ограничим рассмотрение
.алфавит-ами с ()ртогональными символам-и, хотя результаты могут
быть распространены также .на пр-оизвольные множества сигналов.
Из ф - лы (4.11) имеем
(4.21)
1 ) Если априорные ве роятности и энергии сигналов не одинаковы для всех
символов, то Zi определяется равенством (4.3). (Прш,1. авт.).
,86


+[1 + erf ( +)] = 1-Jе;~2 dx = 1 -[S J-e_-_(x_~+_лY_'>_J2_ dxdy ]
112
>-
G
GG
[
оо 2n -г'12
11, 2
>1-
sr_е__rdеdr
=1-
_l_e-G'/2 .
.J 2л
J
2
i/z;:O
(4.22)
Неравенство справедллво в силу того, что каждая из велич·ин
х=rsin0и у=rcos0 больше, чем ~.
только если О <•8 < п/2 и
r ~ V2~; обратное неверно. Из (4.21) и (4.22), а также •из заме­
чаний, что J+erf (~/V2) ~О для всех ~ и что ,(l -х)и- 1 ::::;; 1-Nx
для всех х~О, получаем, что для любого ~1 ~0
G,
214 оо
(' e-<G-Go)'/2
N е- Go se-(G-Go/2)'
Pe(N)<.J у2л: d~+
2
у2л d~.
(4.23);
-оо
G,
Эт,а ,верхняя гран.ица миним-изируется, есл·и ~1 определяется ра,­
венством
N -ф2
-е
=1
(4 24}'
2
так хак тогда подынтегральное выражение ,п€рвого члена меньше ,
чем подынтеграль.ное выражение второго члена для в.сех ~<~ 1, и
больше для всех ~> ~1- Наконец, ,используя границ у (4.22) и ра­
венство (4.24), получим
оо е-~'/2 _..!._( G6 -Gi)
оо, e-G'/2
Р,(N)< sу2л;dG+е 2 2
J -V2лd~<
G. -G,
2(G, - ~)
)
J [ _(Go7,)'
-[ (G.-~ )
2
-+( GT- :6)]j _(Go~~ 1)
2
2е
+е
=е
' ~1<~0< 2~1;
~1 _ (Go-!.,)'
_!.._, ( G6
2)
1(G6
2)
•
1
2
-
2 2-G1
3 -2 2-G1
2е
+е
<2е
,
2~1<~0, (4.25)
t
где ~2o=2R л ~2 1 =2 loge(N/2) .
Вероятность ошибки стремится, следовательно, к нулю .асимттто­
тиче ски по N, если ~о>~ 1 ,и, следовательно, если Rь>loge2. (Из
рассмотр ения аддитивной гран,ицы следует, что это заключение
справ едливо только, если Rь>2 loge 2 .) Нетрудно проверить, что
это усл овие является необход•имым и достаточным для того, чтобы
вероя тность ошиб1ш асимптотически пр,иближалась к нулю; так,
в дейс твительности Pe(N) а.симптот,ически равна единице, если:
Rь<loge 2.


4.3 . Некогерентный по фазе прием
Д ля целей радиосвязи часто удобно .представлять пере­
- даваемые символы в ниде •
-:S;(t)= S;(t,Ф) = v2~i(t)sin(wcf+ej(t)+Ф)=
= V2а;(t)sin(wct+Ф)+'V2~;(t)cos(wct +Ф), 0<t< Т5. (4.26)
Ранее, ко,гда ,рассматри,вался ,случай точ,но ,извест,ных wc ·и Ф
:·акое представ ле ние не использовалось_ Тогда не делалось ника­
ких ~предположений отн,осительно формы иополь:зуемых сим.волов,
поскольку важны ,были только их коэффициенты ко'Рреля1ции. Если,
однако, как в § 3.6, мы не хотим или не можем определить фазу
·несущей Ф, то ,принимаемый -сим1в ол ,долже,н быть 1п,рлнят ,неко,ге­
: рентно и более детальное нредставление (4.26) необходимо для
т о го , ,чтобы ,вычислить характеристИ1к·и ;с,истемы 1) .
Если Ф, по предположению, является ,случайной величиной,
равномерно распределенной на интервале (О, 2:п:), а ai(i) и ~i(t)
- считаются известными ф у 1-ищиям·и 1Вiре,мени :[1п1рмположенля , ,кото­
рые состоятельны только, если ai ( t) и ~i ( t) медленно меняются
по сравнению с sin(wct+Ф) ] , то легко определить оптимальный
. фазовонекогерентный приемник (см. § 3.6). Апостериорная вероят­
ность того, что был передан i -й ,символ, если .принят сигнал y(t) =
=Asr (.t , Ф) +n(t) , а фаза Ф известна, равна
[
2А \Ts
се, ]
_
P;(i / y(t), Ф)= Кехр
-
y(t)s;(t, Ф)dt-~ P(i [ Ф) =
NoJ
No
о
=
KP(i)exp{11_ + 2А [Х;соsФ + YisinФJ} ,
No
No
(4 .27)
где К не заыюит от i . Здесь P(li) - априорная вероятность i-го
Ts
Ts
-символа и &,= JA 2s 2i(t, Ф)d,t; Xi=.) si(,t, O)y(t)dt ·И Yi =
о
о
т
= Js si(t, ; ) y(i)dt. Отсюда получаем, как в§ 3,6, что
о
.P(i [ y(t)) = KP(i)exp {- ~J I 0( 2i:;) ,
(4.28)
.где Zi= (X2i+ У\) i ;2_
Если P(i) и 6 i ,не зависят от ,i , то (так как Io(x) - монотонно
;возр а·стающая ,фун1кция х) P\(i ly(t)) максимизирует,ся, :~югда Zi
1 ) Сигнал , рассмотренный в § 3.6, имел вид (4.26) при ~;(t)=O. Более об­
щее выражение с необязательно равными нулю ~;(t) позволяет рассматривать
..: игналы с угловой, а также амплитудной модуляцией. (При,н. авт.).
88


достигает свое г о максимума.
Следовательно, п равило реше­
ния максимального правдопо ­
добия (по максимуму апосте­
риорной вероятности) утверж­
дает, что μ-й символ принят
тогда и только тогда, когда
zμ>maxz".
Приемник, соот-
"*μ
ветствующий этому правилу,
изображен на рис . 4.3 .
Другая интересная и полез­
ная реализация оптимального
некогерентного по фазе прием­
ника получается при рассмот­
рении выхода фильт р а, имею ­
щего импульсный отклик
Рис. 4.3 . Функциональная схема опти ­
мального фазовонек о герентного демо­
дуля тора ;
1- устройство, выносящ€е решен·ия
hi(t)={s;(Ts-t, Ф) при О<t< Т5;
О
в остальных случаях.
S,v(t , D)
S,v (t, Ji)
(4.29}·
Бели с,игнал y(t) подается на ,вход такого фильтра, то его вы­
х од в .моме.нт t имеет в,ид
со
t
. J y(-r:)hi(t- .:)d.:= S y(.:)si(Ts+-r: -t, Ф)d.:
-оо
t-T5
=
y i (t) cos (rocf- Ф')
-
xi (t) si п (roJ- Ф') = Z;(t) cos [(J)cf+0;(t)], (4 .30) ·
где
t
xi (t) = Jу(.:) [v 2а;(Ts +.: - t)siп(J)c't +V 2\3;(Ts+.:-t)cosffic.:Jd • ~
-
t-Ts
t
yi(t) = Jу(.:)[V 2a/Ts+ .: - t)cosffic.:+ v 2~i (Ts+.:- t)siп(J)c't]d-c;.
t-Ts
Ф' = rocTs+Ф; zi(t) = (Х;(t)+У;(t))1f2 ;
0; (t) = arctg (У; (t))-Ф'.
Х; (t)
Вы х од это г о фильтра является син у соидой с огибающей z; (t}
и фаз ой 0;(t). Так как z ;(Ts) представляет собой р е шающую ста­
тис ти ку z;, определенную в ф-ле (4.28), то оптимальный лр.v.емник,.
о ч е ви д но, также м ожно реализовать с помощью п а раллельно с-о е­
д инн ых фильтров, вид которых задается равенством (4.29), детек­
тора огибающей, у стройства, .производящего выборки, ,и устрой0
89·


стsа, выносящего решение (рис. 4.4). Фильтр ,hi(,t), который будем
называть некогерентным согласованным фильтром, согласован с
,сигналом s; (t, Ф) при произвоJiь н ой фазе Ф . Интерпретация Zi (t)
srt;
J
Рис. 4.4 . Реализация
схемы оптимального фа ­
зовонекогерентного демо­
дулятора с помощью со ­
гласованных фильтров:
1 - детектор огибающей; 2 -
устройство,
производящее
выборки; 3 - устройство, вы­
носящее решения
-,как ог.ибающей функции zi,(t) cos -
~ wct +10i(1t) ] являет-ся разум.ной,
а реализация детектора огибающей для выделения эт-ой огибаю­
щей возможна, есл,и zi(t) и ·0i(,t) относительно постоянны на лю­
бом 2п/wс - секун:дном интервале. Но та.к как изменения во времени
zi(t) и 0i(t) ,происходят всецело и з - за измЕ>зен,ий функций ai(t) ·и
~ i (it), то фактически этот случай и имеет мосто.
В качестве первого шага .при определении вероятностей пра­
виль.ного решения заметим, что Xi :;i Yi являются гауссовскими
случайным-и ве.1ичинами, причем
.
т
j,S
V'
~
/\
1JхЛЕ\Х; j г,' Ф}=А s,(t,Ф)s;(t,O)clt=: (p;,cosФ-p;,sinФ);(4.31)
о
т
.
'l'JyЛ Е{У; 1 r, Ф} = ('s s,(t, Ф)s;(t, ~) dt = ~ (;i,cosФ+РiгsinФ),
-
J
2
А
(4.32)
где
Ts
~
I,
Pir = ~ .\ [а;(t)а,(t) +-В;(t)Вг(t)jdt;
о
т
л
I,s
.
.
Р;,= -
_
( [а;(t)Вг(t)-
~i (t)а,(t)] dr
'&'о Jо
(4.33)
и & = 6 i - энергия .принятого сигнала, по предположению неза­
висящая от i, а & 0 = & /А 2 . Частота несущей •Wc по сра,БI-rению с
максимальной существенной частотой модуляции предполагается
достаточно высокой для того, чтобы можно было пренебречь инте­
гралами от Еомпонент удвое.нной частоты. Это предположение ,ис -
1,
,пользуется и в дальнейшем. Кроме того, так как Pii = 1 и •Pii = О,
то н аходим, что
No
о
var{X; 1г,Ф) = ~о2 =vаг{У;1r, Ф}Л <J";
Е{Х;У,1г,Ф}-Е{Х; 1г,Ф}Е{Уi Ir,Ф} =О.
90
(4.34)


Следовательно.
[ (Х;-
'lx)2 ]
[ (У;- TJu)2]
ехр -
ехр -
-
х
.
~
~
р(i,yiIr,Ф)=
-~-----= =-----= --
-------
Ji2n а
Y2n а
л
Положив Z;=(X 2 ;+Y2;) 112 , 8;=arctg(Y;/.X;), а;=р;,{; 0 и Ь;=р;,.{; 0,
и 1предлола~гая, что p(Фjr) =р(Ф) = 1/2:п:, О~Ф<2л, ,получаем, что,
для z; ;;;,,,O
<Х> со
p(z; 1 r) = j' J p(zi, 8i j т·, Ф)р(Ф)dФd8i =
-со -с:о
_
Z;
[
z; +а;+ ьfl/((с.;+ь;)112 z; )
-
-
ехр - ----- о
------
•
а2
2а2
а2•
(4.36):,
Эта функция иногда называется райсовской плотностью рас­
пределения. Если а;=Ь;=О, то функция p(z;jr) сво,1ится к релеев­
ской плот.ноет.и распределения:
Z;
(
Z~)
р(z. 11·) =
-
ехр--
z.>О·
'
а2
\
2а2•1
'
(4.37)-
Р(У; = z2 11')= J_ exp[-_!!J__], У;> О,
'
2а2
2а2
(4.38)
где р(у;) - плотность известного х-квадрат распределения ,с дву­
мя степенями сзободы .
Вероятность правильного решения P c(N), очевидно, выражает­
ся через совместную плотность распределения р (z 1, z2, ... , zн j r), а
не только через одномерные плотности распределения; имеем
Pc(N) = ~ P(1·)Pc(N; г),
....
где Pc(N; r) =Pr{z,.>max Z1, j r}
k=/ =r
{4.39)·
[ер . с равенствами (4 .7) и (4.8)].
Не уд:ивлтельно, что с этим выражением иметь дело ,1аже труднее,
чем с соответствующим выражением в случае когерентного пр ,ие­
м а. Как ,и ранее, нужно наложить .не1,оторые ограничения на вели-
л
чины p;j (и p;j), чтобы пол учить выражение, с которым легче ра­
б отать.
1\
Ортого .наль.ные символы. Если p; 5 =p;j=0 для вес.,
i, j, i=I= j, то говорят, что символы ортогональны. Вероятность оши6-
1, и в этом случае определяется довольно легко . Так как все гаус­
сО!вские слу,чайные вел.ичи.ны Х; и У; взаимно iНе .коррелированы и,.
следовательно, статист,ически незав.исимы [т. е. так как E(X;Xj)-
-
E(X;)E(Xj) =E(Y;Yj)-E(Y;)E(Yi) = No'fio ";; ..
и Е(Х;У)·)-
•
2
'1J
No ~fo ,'\
-
E(X;)E(Y.i)= --
2- р;1 д.;ш всех i, j], то с1учайные величины Z;
ка к функции независи.\1ЫХ с1уча й ных ве.1ичин таiРКе неза~исимы.


rВолее того, в силу симметр.ии вероят,ность ошибки
, с,ит от лередаваем,ого сигнала. В результате имеем
JPc(N)=Pr{z1>maxzk\r= 1}= S
00
p(z111)[ 2r p(zi 1
kФl
.)
-со
-со
Из ф-л (4 .37) и ,(4.38) имеем
2
2
z1
z1
z1
ij'
11·
- y/2cr2
-
2cr'
'
p(ziIl)dzi= -
е
dy=1-е
,
..
2а2 •
_-оо
О
,и, исцользуя это равенство с равенствами (4.36) .и
гая ,=,z/a ,и ,а= (2R) 1; 2 = (2 &/N0) 1; 2, получаем
00
[~2
. .. L~2J
(
-
~ )N-\
. Pc(N)=J,exp -~
/0(~~0) 1-е 2
d,.
о
Ис~пользуя биномиальное разложе,н·ие
N-l
, (1- e -G'l2)N-l = ~ (-; 1) (- 1); e-iG'/2'
i=O
находим, что
?
, ;ij N-l
оо
G'(i+l)
. Pc(N)=e--
2 ~ (N~ 1)(- li.J~e--2
-/
0 (,,0)cl,.
i=O
О
После д ний интеграл м ожно вычислить :
JCX)
-
, ; '(i+l)
1
{~2
'f
,е
2 /0(,t0)dt=--ехр - 0
-
,
•
-
-
i+I
2(i+I)
-о
так что
опять не зави-
]
N-l
1) dz;_
dz1•
(4.40)
( 4.41)
(4.40) и пола-
(4.42)
(4.43)
(4.44)
N
N
j-l
Pc(N) = e-R ~ С)(-1/-1 eR/i = 1 -+ }J С)(- l)i e--i R; (4.45)
~1
~2
_
здесь использовано тождество (N ~ 1
-)i~ 1= С;i)--J.r- и положе­
но j=,i+l.
Вероятность ошибки при некогерент,ном пр.иеме Pe(N) =
= 1-Pc(N) также была найдена ·численно . Она изображена на
рис. 4.2 к,ак функция Rь=R/log2N для различных значен,ий N.
Заметим, что если N =2, то
1 -R/2
. Ре(2)=1-Рс(2)=-е
- (4.46)
.2
92


I-1еортогональные символы. Выражения для вероят-
11 1; с тсй ошибок при .некогере.нтном ло фазе приеме неортогональных
с 11мполов обыч,10 получить труднее, чем соответствующле резуль­
таты для когерентного ло фазе приема. Приведенные выше рас­
с уж ден,ия, например, относительно метода ра,ссмотрения множе­
с тпа -символов, имеющих одинаковые J<аэффициенты вза,им.nой кор ­
реля ции Pij =1р, как состоящего частично из ортогональных л час­
т11чно из сов.падающих отрезков функций, имеют небольшую цен-
11ость в некогерентном случае, так как совпадающие функции
1щияют на решение. Пусть Xi=Xi+a и Yi=Yi+~. i=,l, 2, ..., N,
где а -и В не зависят от i, а х;, Xj, Yi и yj взаимно независимы при
все х i и j, i =1= j. Оптимальное решение строится на ос.нове максими­
за ци,и выражения •Zi= (X2i+ Y2;) 1;2={x2;+y2;+2axi+2~y;+a2 + ~2 ) 1; 2 •
rIаличие перекрестных членов ах; ·и ВУ; не дает ,возможност.и ска­
з ать, что решение не зависит от а ,и В, даже е,сли эти члены явля­
ю тся общими для всех Х; и У; соответственно.
Тем ,не менее можно ·полу чить компактное ныражение для ве­
роятности ,пра1виль,ного ,решения Рс ( N, р) ,при ,нек,о гер·~нтном л1р,ие­
ме с,имволов, имеющих одинаковые коэффициенты взаимнсй кар-
.
л
ре ляц,ии p;j= ,p;;?:0, если p;j=O. А именно,
се о,
Pc (N, р) = (!- p)e-R \' .\ хуехр [-+ (х2 + у2)] 10 [2R(I-p)1 12 х] Х
оо
•
!0 (рху) [I-Q(Vpy, x)]N-1dxdy,
(4.47)
о,
,,·де Q(а, ~) = rх ехр (- -1-(х2 + а2)) /0(а x)dx
-
табулированная
,)
\2
13
функци я, известная под назван.нем Q-функции Маркума. Выв-од
·но й формулы до,волыю длинен и не будет здесь воспроизведен.
l k роятность ошибки Pe( ,N, р) = 1-Pc(N, р) была найдена числен•
110 и табулирована.
Ес ли N = 2, то вере ятность ошибки при не.когерентном по фазе
/\
приеме является функцией лишь R и р ~ (р212 +р212) 1; 2. Найдено
1юлезное выражение для этой вероятности, а ,именно,
(4.48)
Границы для вероятност,и ошибк.и. Неравенства
(·1.20) , конечно, в равной мере применимы ,и для не1югерентного
110 фазе .приема л ,показыв.ают, что для произвольных значен.ий
/\
11, 1 = (p2ij +p2ij) 1; 2
(4 .49)
93


Вероятн::;сть Ре{2, •Pi,·}, определенная ф-лой (4.48), легко оце­
нить. Так как
n
л
О~Цх)=-;;-5excos 6cosn0d0-<-;-Jexcos 6d0=10(х)
о
о
n
и 1-,;:;:I&(x)-< -;;Jede=e,
о
,о из ф-лы (4.48) следует, что
R
.
R
1--
I-- (pR)
-е 2 -<Ре(2,р)-<- е 2 /0 -
Х
2
2
2
Х 1[+ 2~('--~п <+ с +:г e_R<<;-o)
(4.50)
(4.51 )
(4.52)
Так как граница сверху для Ре(2, .р) - ~1онотонно возрастаю­
щая функция р, то Pe(N; r) можно оценить с помощью величины
(\
р, 1 max-(p2ir+,p2ir) 112• Фактически, ,кажет-ся оче видным, что вe­
i=/=r
роятность ошибки PJ(N; r) достигает своего миним ума, когда
Pr=O . Так как решение основывается на абсолютных значениях
(\
решающих переменных, то -отр,ицатель.ные значения p;j и p;j, по-ви­
д.имаму, будут также неприятны, как и положительные значения .
По крайней мере, ,интуитивно кажется, что оптимальным множе­
ством символов для случая некогерентного по фазе приема будет
ортогональное множество.
Интересно сравн.ить эту границу сверху д.'IЯ вероят.ност.и ошиб­
ки в случае некогерент.ного .приема с соответствующей границей
для вероятност,и ошибки в случае когерентного приема [см. (4.20) ].
Из ф-л (4.49) и ( 4.52) для некогерентного nрие:-.1а .имеем
Pe(N; r)-<
-
1 ( 1+Р,) 112 ехр{-_в._(1--р,) + ]oge(N-1)}.
(4.53)
.2
1- р,
2
Аналогичный результат для когерентного приема равен границе
(4.53), умноженной на (2/ ( 1+-Pr) лR) 1; 2 .
Величины р,. .не обяза­
тельно, однако, одинаковы в обоих случаях.
Рассуждения, которые приводят к границе (4.25) для ве­
роятности ошибки лри когерентном ,прие:-1е ортогональных симво­
лов, .применимы также -и здесь после небольшой модификации. Ис­
пользуя ф-лы (4.42) и выражен.и я для гра ницы сверху (4.50) и
(4.51) для 10 (х), получаем, что при , 20=2R
"'
•
(~ - ;;.)•
P,(N) -< J,е--i--[1- (1- e-~'12)N-J]d~ =
о
~.
~6 со -с;;-,,.)')
= \ e--(~-,oJ'd~-т-Ne--4-\~e 4 d;
J
•
{4.54)
(J


ф2
)lJIЯ любых ~ 1 ;,,,О . Определяя е
=N/2 и считая, чrо Pa(N) пред-
· · 1·;1вляет верхнюю гран.ицу в ф-ле (4.25) для вероятност,и ошибки
11 сJ 1учае когерентного приема, для всех ~0 >~ 1 имеем
bl
(~-G ,) 2
J>1,(N)- V2л:~0P0(N)<j'(~- ~0)е-- 2
-
d~+
о
1(2ь6)"'.
-
(~- ~)2
\- 2е2 .;1--2 J(,- ;o)e
2 d,<.e-(G,-G,)'/2<-Po(N), (4.55)
ь1
такчтоРе(N) <(2VлR+1)Р0(N).
Границы вероятности ошибки при некогерентном приеме явля­
ю тся, очевидно, экспоненциально ,савладающим,и со сравнимыми с
1 1 . 11м·и гра,I-шцами для случая когерентного пр-иема, .и условие, нак­
щщываемое на Rь для того, чтобы ,соответствующие границы для
о шибок были малы:1ш, когда N велико, является одним •И тем же в
orio иx случаях . Это не уд.ивитель.но, так как фаза несущей, по
1 1р едположению, -остается постоянной во всем интервале некоге­
р с 1 1тного приема. При N-+oo ,интервал, на котором производится
•1 1рием, также ,стремится к ,бесхонечност,и и фаза С'Игнала, ,факти­
• 1 с с 1< и, оце.н.иваетс_я безошибочно.
4.4 . Генерирование ортогональных символов
В нескольких предыдущих параграфах рассматр,ивались
~ а р актеристики систем связи, ,использующих конечные множества
t' l l iVIВOЛo,в. Как было показано, вероятность ошибочного решения на
11р 11емном конце я вля ет,·. я фуюшией лишь числа символов N, их
1i0 э ффициентов взаимной корре,1яции rp;j ,И -отношен,ия Rь энергии
с 1 1 мвола на бит к спектральной плот,ности шума. Утверждалось
1 · ; 1 к же, что опт,,r~1алы-1ые значения коэффициентов взаимной корре­
т щи.и .при отс у тствии каких-либо других ограничений равны p; j =
-
1/(N-1) для когерентных по фазе систем и p;j=O для ·некоге­
р t• 1 1тных по фаз е систем при всех i, j, ·i=I= j. Следовательно , когда N
1н · .1 1ико, ортогонально е иножество символов, •по существу, я,вляется
01 1 т нмаль.ным для о б еих -ситуаций. Очевидно, важн-о уметь конст­
р у 1 1ро в ать так ое ,ш о жество символов, 1,оторое можно .использо-
11: 1 ·1ъ в практ,ич е сi(ИХ -системах. В этом параграфе о.писаны два лer­
li O р е ал.изуемы х и широко ,используемых ортогон а льных множества
1· 1 1 мво лов и исс .1 е;:;, о в аны их эффективные .полосы.
Сим.волы д.1я частотной ма.нипуляции. Множе­
(' 1 '1\0 символов, ис п ользуемых в системе связи с (дискретной) ца-
1· 1 · 0 ·,н о й манипуляцией (ЧТ) 1), ,имеет вид
·v· -
.
r
л k;)
0
s1(t)= 2 s1п(wc+ -- t, i=
, 1,2,
'
•
Ts
N-1
(4.56)
-
-
--
1) ЧТ- частогная телеграфия. (Прu;,1. отв. ред. )
95


где wc=лl/Ts, а l •и постоя.иные 1ki - целые ч.исла . Коэффициент ы
взаимной корреляции
Ts
_
2s·(+nk1)t•( +л:ki)tdt {1, ki=kj;
Plj--
SIП (jJC
-
SIП (jJC
-
=
Ts
.
Ts
Ts
О k-=/=k •
о
.
1
J•
(4 .57)
и сигналы Si(i) ортогональны независимо от величины N . Ортого ­
нальность в фазово:некогерентном смысле накладывает, однако ,
дополнительные ограничения на целые числа ki. Положив
s1(t, Ф) =Y2siп('w/_+ nk;t+ Ф) = Y2cos:rtk; tsin(wcf+ Ф)+
Ts
Ts
+ V2 sin л: k; tcos (wcf + Ф) = V2 a;(t) sin(fficf+Ф)+ V2~i(t)cos(cocf+Ф),
Ts
(4.58)
наход.им, что
т
'
lij= ;s Js[а;(t) ~j(t) -
~i(t) rJ.i(t)]dt = О,
(4.59)
о
толы1ю ;если ki-kj - четн,ое целое число.
Множество ортогональных символов, удовлетворительное для
когерентного ,и .некогерентного ,по фазе пр·иемо~В, определяется тог­
да равенством .(4.56) . Так как частоты СИГ;налов должны быть раз­
делены хотя бы интервалом l /2 Ts герц, чтобы гарантировать орто­
гональность в случае .когерентно·сти по фазе, то эффективная ши­
рина полосы такого множества в соответствии с определением
§ 3.3 равна N /2Т s, где N обозначает общее число символов . Есл и
ортогональные символы используются в некогерентной по фазе
оистеме , то эффективная шир·ина .полосы вдвое больше этой ,ве­
л,ичины .
Биортогональное множество всегда можно .пол у чить из ортого­
.нального (когерентного по фазе) множества .просто добавление м
символоn - si(t), i = 1, 2, ... , N к первоначальном у множеству. Эта
процедура не увеличивает шири.ну полосы по сравнению с ортого ­
:н.альным множеством, однако она удваивает число символов . Сле­
довательно, эффект,ивная ширина полосы биортогонального мно­
жества равна ,V/4Ts, что составляет полов,ину полосы ортогональ ­
ного множества того же ·самого объема .
Спектр мощности случайной последовательности каких-либо из
этих символов может ,быть найден с помощью метода § 3.3 .
Врем я-импульс н а я мани п уляция. Вторым множест­
вом сиг.налоJз, с которым часто лр .иходится встречаться, является
следующее:
!V2Nsincocf при iTs<t<(i + 1)~;
si(t)=
N
N
О
в остальных случаях.
(4.60)
96


Об ычно, чтобы сохранить одну и ту же энергию импульса, вы­
riн,рают 1Wc=lлN/Тs, г,де ,[-целое или l~l . Си,мволы iпредставля­
ются с ~помощью имmуль,со. в, 1полож-ение кото,рых и О1пре1Деляет со­
о тветст:вующий сим.вол . Сист,ема ,связи, иопользующая ,э ти ,с.имволы,
,1 1 аз ы1вается си1стем,ой с время-импульсной .манипуляцией (ВИМ) .
Так ~ка.к имiПульсы могут ~появляться толь.к,о 1в 1м оме,нты f =iTs/N,
ра ссматриваемая здесь система является дискретной ВИМ .
Определенные равенством (4.60) ,импульсы не ,перекрывают,ся
во времени; они, очевидно, ортогональны 1в обоих - фазово-коге­
рент ном и фазово-некогерентном -смыслах . Эффективная шири-
11а ,полосы J)ав·на N /2Ts герц в случае ,приема, когерентно.го по фа­
зе . Имеем
(i+l)TsfN
2N J sinw tsinw tdt=О,
С1
С2
iT5 /N
ес ли wc 1 ·И wc2 отличаются на целое, кратное величине .:rr,NJT рад/с.
В результате не возникнет ,интерференция между любыми двумя
оди наковыми ВИМ каналам.и до тех пор, лака их несущие ,часто­
ты будут отличаться на целое, кратное величине N/2Ts герц.
То же самое м:ножествЬ ,сИМ'волов в случае некогерентного лрие­
ма требует вдвое большей эффективной ширины .полосы . Это пpo­
(i+l)Ts/N
исходит ·потому, что лерекре,ст.ный член 2N S sin wc 1 t cos wc 2 tdt
iT5 /N
обращ ается в нуль, если потребовать, чтобы разность Шс1-wс2 рав ­
нялась целому, кратному величине 2roN /Т8 •
Опять е помощью добавления отрицательных импульсов
-si(t), i= 1, 2, . . ., N число СИМВОЛОВ можно удвоить. В резуль­
тате получим фазовокогерентное биортогональное множество, эф­
фектив ная ширина ,полосы которого равна половине полосы орто ­
г онального множества, содержащего то же самое число ,сиУI·волов .
Существуют, конечно, многие другие иепользуемые на практ,и ­
ке методы генерирования ортогональных множеств еигналоЕ.. Один
1rз мет одо1в, !Имеющий о,соб-ое зна1че,ние, 1Подр,06но 1раесмотре.н в
гл. 13.
4.5. Фазовая манипуляция ( ФТ). Когерентньrй
по фазе прием
Еще ·одним .м1ножестном ,сигн,ало1в, ,пр -ед•ста1Зляющим "Не ­
который интерес, является -следующее:
si(t) =У2siп(wcf+Фi), О<t< Ts,
(4.61)
где Фi=2лi/N, i=O, 1, 2, ..., N-11 ,и Wc=nl/Ts для :некото1ро1г0 цело­
го l. Система, использующая это множество сим.волов, отл.ичается
от 1ра·ссмотрентэй в 1tл. 3 ФТ ;с.ис темы толь,Iю тем, ~что здесь чисJIО
фаз сигн.ала конечно . Термин ФТ будет :пр·именять,ся к обеим этим
97


системам с оговоркой в тех случаях, коrд,а имеется опасность не­
доразуме:ния.
Коэффициенты ,взаимной корреляции пр.и ФТ (~лучай когерент­
ной фазы)
(•
") 2n
();j=COS l-J
-
.
N
(4.62)
Если N рав,ао 2, то p;j равно -1 для 1i=/=j, и множество являет­
ся оптимальным в смысле § 4.2 . Если N равно 3, то f)ij .равно -1/2,
i=I= j и снова множество оптимально. Если N равно 4, то p;j равно О
для Ii-jJ = 1 или 3 и f) i j равно -1 для Ji-jJ =2. Это множество
явля ет ся биортогональным ,и, Ю;!К таковое, ми:нюvr,изирует усред­
нен.ный коэфф,щиент взаимной корреляции . Вероятности ошибок
в этих ,случаях уже были определены в § 4.2. Для больших значе­
ний N , однако, точные выражения для ,вероятностей ошибок, по­
лученные в § 4.2, перестают быть применимыми, так как р;_1 не яв­
ляются :независимыми от i и j для ,i=/= j и множество не является
rб иорто,гональным. Выражения для ,лранИ1ц, ,приведенные в § 4.2,
конечно, остаются применимым.и . Однако в случае ФТ границы
можно существ~нно уточнить .
Легко найти для ФТ ,приемник маке,имальной апостериорной
вероятности. Согласl-!о равенству ,(3.62)
{2АSTS
-
Р[Ф; 1у(t)] = КР(Ф;)ехр
-
у(t)1/ 2siп(J)cfdtcosФi+
No
о
2А STS
-
}
+No
O
y(t)V2cos(J)cfdtsi □ Фi ,
(4.63)
где К -.не зависит от Ф;. Если Р (Ф;) также не зависит от i, то
апостериорная вероятность Рi[Ф; 1y(t)] максимизируется ,на таком
Ф ;, для которо,го ~величина
ХсоsФ1 + УsiпФ1
(4.64)
достигает м,аксимума, где
Ts
Х=-
1- 1 у (t) V2sin (J)cfdt и
ATs .J
о
Ts
У= _I
_
Jr y(t) )/2coS(J)c tdt .
ATs
о
Пола,гая Х=МcosФ и У=М sin Ф (Ф=arctg У/Х) , находим1
что апостериорная вероятность максим,изируется таким Ф;, ~ото­
рое миним,изирует значение IФ-Ф; 1, так как Х cos Ф; + У siп Ф; =
=М соs(Ф~Ф;) максимально, когда аргумент косинуса минима­
лен по модулю 2л:.
В силу того что имеются N сигналов, равноотстоящих по фазе,
о шибка при приеме не будет происхоД,ить тогда и только тогда,
когда раз:ность 0е между Ф и ,истинным значением фа,зы Фr лри­
нятог о сигнала огра.ничена по абсолютной sеличине значением
98


тr,/N. Если l 0e/ -больше, чем это значение, то разность IФ-Фт+11
11 N 1 разность Ф-Фт-1 I будет меньше, чем I Ф-Фтl, и в качестве
11р,иня того символа будет выбран некоторый другой символ. Сле ­
J \Оnательно,
п/N
P,(N)= 1 - S р(0,)dее,
(4.65)
--л/N
r;te р (0е) определяется равеяством (3 .65).
Э ту вероятность легко оценить. Заметим сначала, что согла,сно
(4.65) вероятность ошибки не завис,Ит от переданного сигнала.
Прн заданном отношении ,сигнал/шум она зависит только от чис­
ла равноот,стоящих фазовых углов. Более того, вероятность ошиб-
1ш не меняется, если в качестве множества ,возможны х фаз сиг-
11ала ,использовать {Ф'i} вместо {Фi}, где
.
-
L-- -
ф,_(·
1)2,i;
'
2N'
i=0,1, ...,N-1 .
(4.66)
Теперь, если передается Ф'о и если У .полож,Итель:на , то ошибка
об язательно произойдет. Действительно, если У>О, О<Ф<п, то
некото рая другая фаза Ф'i будет ближе к Ф, чем Ф'0 . Таким об­
разом,
•
{:n:
N+I
}
Ре(N)>Pr{У>ОjФ~}=PrN<Ф<-N-:rtIФ0 •
(4.67)
I То, кроме того,
Pe(N) =Pr{; < Ф<:rt!Ф0}+Pr{-: >Ф>+:rtlФo}<
<Pr{~<Ф< N+1пIФ}+Pr{-~>Ф>-N+I:rtIФ}
N
N
о
N
N
о,
11, след овательно, в силу симметрии
Ре(N) <2Pr{;<Ф < Nt1 пIФ0}=2Рг{У>ОIФ~}.
(4.68)
Так как У - гауссовская случайная величина со средним
/..:'{YI Ф10} =-sin(n/N) и д,исперсией vaг{YI Ф'о} =N0/2 &~ l/2R, то
Pr{У>ОjФ~}=+[1-erf(RI12sin ; )];
+[1- erf(RI12sin ; )]<Р,(N)< 1- erf(R112sin; ).
(4.69)
(4.70)
Веро ятность ошибки в этом случае оценивается намноr-о точнее,
11 м э то мож но сделать, испоJТ·,зуя методы § 4.2 ,[см. неравенство
(1 .20) ].
Если N велико, то, чтобы вероятность Pe(N) была мала , вели ­
чшrа Rь =R/log2 N д,олжна ,быть ~порядка No/n2 log2N. Следователь-
110 шван т-о ванная ФТ ,в общем случае с,равнима с системами моду­
лпции, которые обсуждались 1ра,нее, только тогда, когда N от,1-юси­
· 1 ·с J1ьно мало.
991


Приведенные выше аргументы можн,о ,использовать при опре­
делении точногu выражения для вероятности ошибки в важном
сл~уча,е, .'Когда N =12; в этом случае \В дейс'I1витель,ноtти достигается
нижняя граница Ре. Так, если Ф'0 =-rй/2=3л/2, то ошибка будет
происходить тогда .и только тогда, когда У положительно. Если У
отрицательно, л<Ф<2л ,и /Ф-(З,л/2)'1 будет :наверняка . меньше,
чем !Ф-(л/2) /. Следовательно, если N=2, то
Ре(2) = +[ 1-erf(R112 )],
(4.71)
что подтверждает полученные ранее выводы относительно биорто­
.гонального множества символов.
4.6. Фазовая манипуляция. Относительный
когерентный прием
Очевидно, что передача ,с помощью обычной ФТ невоз­
можна без опорной фазы, так ,как информация фактически содер­
ж,ится в фазе принимаемого сигнала. Вместе с тем, если бы инфор­
мация содержалась не в самой фазе, а в разности фаз последова­
тельных символов, то ,необходимость в опор.ной фазе отпала бы .
В этом случае необходимо лишь .предположить, что ,случайная фа­
за принимаемого сигнала остается строго постоянной в течение ин­
тервала 2Ts секунд, .и тогда можно извлечь информацию из .прини­
маемой последовательности с,имволов. А именно, если символ
si, (i) =V2sin(wct+:i 1 (2л/N) + а) передается на .интервале O<t< Ts,
а s1.(t- Ts) = V2sin(шc(f-Ts) +i2(2л/N)+a) - на интервале
Ts<1t<2Ts, ·И е,сли абсолютное значение изменения а на •интерва­
ле Ts секунд мало по сравнению с л/<N радианам.и, то влияние это­
го изменения на вероятность ошибочного решения относительно
разност,и фаз (i 1-1i2) (2л/N) будет пренебреж,имо малым. Система
связи, ·которая использует разность фаз последовательных ФТ сим­
волов, называется относительной когерентной ФТ или ОФТ си­
стемой.
Чтобы найт-и вид оптимального (по апостериорной вероятно­
сти ) когерентного ,приемника для относ,ительного приема, восполь­
зуемся обычной формулой Байеса:
р[i iI (t)а]= Р(у(t)1i1,i2,а)РU1,i21а)
1'2у'
р(у(t) 1а)
'
(4.72)
где 'i 1 обозначает символ, принятый на ,интервале времени O<t<Ts;
i2 -символ, принятый на интервале Ts<i<2Ts, и y(t) -принятый:
си,гнал, искаженный шумом на ,интервале 0<t<2T8 • Пр.и обычном
предположении, что вероятность Р (i1, i2) не зависит ,от конкретных
значений символов i 1 и .i -2, оптимальное решение ,состоит в выборе
пары символов 1i1, i2, максимизирующих функцию правдоподобия
2п
p[y(t) 1 i1, i2] = Jр(п1 (t), n2 (t) 1 a)p(a)da,
(4.73)
о
100
1


где р(а) = 1/2л, О~а<2л . ·Как обычно, предполагается, что функ­
ц.ии n1,(t) =У1 (.t)-si, (,t), O<,t<T. и r!,2(1t)=y(t)-1Si 2(1t), Тs<-t<2Т8-
бе лые rауссовские случайные процессы, а так как он.и расположе­
,ны н,а н-е:пер,есекающихс.я интер,валах ,времени, то он .и независимы.
В ,результате 1Получим
(4.74)
С этим интегралом мы уже сталкивались несколько раз; посту­
пая как в § 4.3, находим
2n+i1 (2it/N)
р[у(t) /i1, i2] = .!S___ s ехр{2R [ХcosФ+УsinФ]}d Ф=
2л:
i1 (2it/N)
= К/0 [2R(X2 + Y2)112J ,
(4.75)
где
~
2~
Х=
-
1- Sу(t)V2sin roidt + -1
-
'
у(t)V2sin (roc t + i 2л:)dt;
АТ8
ATs J
N
о
~
~
2~
У=-
1- Sу(t)V2cos roc tdt+-1
-
Jу(t) У2cos((J)i +i 2л: )dt
~
~
N
О
Ts
и Ф =1a+iifl,л/W; 1i=i~i1 .
,В силу то.го, что /0 (х) - монот,онно возрастающая функция х,
о птимальное ре ш ение состоит в выборе такого значения i=i2-,i1,
ко торое максимизирует вел.ич.ин,у Х2 + 1 У2.
Запи-сывая
V
+
•2Л:
•
• 2Л:
л=Х1 Х2COSt- +У2SШt- ;
N
N
у
.
. 2л:
. 2л:
.
= У1 -X2S1Пt - +Y2COS t -
,
N
N
(4.76)
J'J\C
iT5
Х;= АТ J у(t)V2sin(!)сtdt;
s (i-l)Ts
101


получаем
Х2+У2=Xi+Yf+Х~+У~+2(Х1Х2+у1у2)COS 2,t i +
,
N
(4.77)
ПолаГ!lЯ х1х2+ У1У2 =М cos Ф и Х1У2-Х2У1 =М sin Ф, находим
аналогично результату, полученному в •случае когерентного прие­
ма, что оптимальное относитель,но разности фаз ЛФ= (2л/N) Х
л
Х (i2-i1) = Ф2-Ф 1 решение состоит в выборе ЛФ, которая м.и:Ни ­
л
мизирует значение \Ф-ЛФ 1. Заметим также, что оценка макс•и­
мального правдоподобия величины Ф1 ~ a+i1 (2л/N) при заданном
л
сигнале y(t) имеет вид Ф1=arctg(y1/x1), а оценка максимального
правдоподобия величины Ф2=а+i2(2л/N) при заданном y(t) -
л
вид Ф2 = arctg (Y2i х2). Но
л
л
л
л
tgФ2- tgФ1
tg(Ф2- Ф1) =
лл
(4 .78)
1 + tgФ1 tgФ2
У2Х1 -Х2У1 = tgФ.
Х1Х2 + У1У2
Следовательно, доказан следующий, согласующийся с интуи­
цией, результат : оптимальный пр,иемник разности фаз ЛФ выби­
л
рает значение ,ЛФ, которое минимизирует разность
(4.79 )
л
л
где Ф2 и Ф 1 - оптимальные оце,нки фаз принятых символов St , (t)
и si,(t) соответственно .
Однако приемник, получаемый с учетом этого посл еднего за-
мечания, в некотором отношении является более сложным , чем это
необходимо. Более удобная практическая реализация пръведен а
на рис. 4.5; в · ней используется тот факт, чт,о оптимальное решение
требует знания только двух статистик Х1Х2 +У1У2 и Х1У2-Х2У1 [,см .
• (4.77) ]. Первая из этих статистик вырабатывается :на выходе верх -
!JФ Рис. 4.5. Функциональная схема демодуля ­
тора относительной когерентной ФТ :
1 - некогерентный согласованны й ф ильтр; 2 -
фильтр нижних частот; З - задержка на Т5 , с;
4- поворот фазы на 90°; 5 - устройство, выно­
с ящее решения
него фильтра на рис. 4 .5 {ер . с ф-лой (4.30) ], а ·вторая - .на выходе
нижнего фильтра . (Здесь (J)cTs, по предположен: ию, равн о четном у
целому числу, умноженно·му на л.) Устройство, выносящ е е реше-
102


1 ;;1п, взвешивает эти выходы в моменты выборок t=iTs в соответ­
с твии .с равенством (4 .77). ,В двоичном случае (N =2) этот прием­
,11и к становится еще проще, так ,как ,нужна лишь верхняя стати­
сти.ка, определяемая верхним фильтром, а решение зависит толь­
ко от зна.ка этог,о выражения.
Определение границ вероятност,и ошибки Ре в этом случае зат­
руд нитель.но. Можно подсчитать плот.ность распределения разно-
/\л
ст1 1 фаз Ф2-Ф 1 , но результирующее выражение будет громозд­
ким. Вместо этого ниже получено приближенное выражен'ие для
/\
Рс- Ошибка 0е1 = Ф1-Ф1 s оценке вел,ичин ы Ф1 ~фазы сим1Бола s 1, (t)]
з ад ается равенством {ер. с ф-лой (3.65)]
(2R) 1/ 2 cos8
e-R
(2R) 1/2
-R sin•0e1
el
( х•)
р(0,1)=~+ 2л: cos0elе
s ехр-2dx~
-оо
(2R)l/2
~ --cos 0el ехр (-R sin~ 0е1),
!: 'У2л:
(4.80)
где опять R = (A 2Ts/N0 ) . Можно возразить, что это последнее приб­
J IИЖ•ение в дейсТrвительности я.вляе11ся нижней границей для р(0е1)
пр и l 0e11:::::; (n/N) . Во всяком случае, чтобы система имела лрием­
J 1е мые характер.истики, величина l 0e11 должна с большой вероят-
1юстью быть меньше, чем n/N, а потому (2R) 1; 2 cos 0е 1 в общем
с J1учае велико п о сравнению с единицей, так что это приближение
л
1 1ме,ет ,р азум,ную тоrч,ность . АналО1гично, !Полагая 0е2=Ф2-Ф 2 , тде
л
Ф2 - фаза символа s i, ( t), а Ф2 - ее оптимальная оценка, полу-
1 11:1е м
(2R)l/2
.
р(0,2)~ _
cos 0,2 ехр (- R sш2 0,2).
-V2л:
(4.81)
Р шение относительно ,ЛФ будет верным тогда и только тогда,
1, оrд а l 0e 2 ~0e11 меньше, чем 2n/2N, и только 'В этом случае функция
/\
/\
/\
/\
1ЛФ - (Ф2-Ф1) 1= 1ЛФ-ЛФ +0е2+0е11 будет до.стигать минимума
/\
1 1р и ЛФ=,ЛФ. Более того, так хак 0е 1 и 0е2 должны быть малыми,
('С J!И выносится правильное решен,ие, то Isin (0е2-Не1) 1=
с I s in 0е2 cos 0e1-sin 0е1 cos 0e2 I ~ 1sin 18e2-sin 0е11- Поэтому
Р,.(N) = 1- Pr{10,а- 0,11< ;}~1-Pr{1sin(0е2-0е1)1<sin ;}~
~1- Pr{1sin0,2- sin0,1 1< sin ; }.
(4 .82)
(2R)I /2
(2R) 1/2
1Io р(а= sin0,1)~
_
ехр(-Rа2) и р(~=sin0,2 )~
--'--'--- Х
'
-V2л:
-V2л:
( ехр,(- R ~2), так что как а, так и j3 приближенно .имеют гаус­
!ОЗ


совские распределения с нулевыми средними и дисперсией l/2R.
В силу того, что а и ~ - независимые гау,ссовские величины, их
разность также гауссовская случайная величина с Е (а-~)=
=Е(а)-Е (~) =0 · и var(a-~) =Е (а2) +Е(~2) = 1/R. Таким обра-
зом,
Pe(N)~1- Pr{/а-~/<sin; }=
sin(n/N)
--l
__
С-'' ('-R ~)1_12
_
s(R)
{( R )112
}
.;V2л
ехр -2·у2 dy= 1-erf 2 sin; .
- sin(n/N)
,
(4.83)
Сравнение равенств (4.70) ,и (4.83) показывает, что вероят­
ность ошибки для относитель.ного когерентного приема, по суще­
ству, равна вероятности при когерентном приеме, если отношение
энергии ,сигнала к спектральной плотности шума в :последнем слу­
чае уменьшить вдвое.
Справедл,ивость этого выражения для вероятности ошибки
очень сильно зависит от приближения в равенстве (4.82). Это приб­
лижение, в свою очередь, зависит от предположения, что R •cos 0е
велико. Для больших значений N условие l 0e1-10e2 I<л/N доста­
точно для того, чтобы Не 1 и .0е2 были малыми ,и чтобы необходимые
предположения удовлетворялись . Таким образом, следует ожи­
дать , что оценка ве~роятн101сти ошибiки, юолученная здесь, будет
иметь смысл для достаточно больших N. ,В важном случае , когда
N=2, точность этого выражения сомнитель.на.
К счастью, другой способ прив,одит ,к выводу точной ф о рмулы
для вероятност,и ошибки, когда N =2. В этом случае ,имеются лишь
два возможных символа: is1(t) = V 2sin шсt и s 2(,t) =-·s 1(t). Для
определения разностл фаз между двумя последовательны м и сим­
волами требуется различить лишь два события: либо на ·ин тервале
(О, Ts) был принят слгнал ,s i(t), а на интервале (Ts, 2Ts) -с,игна л
si(i-Ts), либо был принят ,сигнал si(t), а затем сигнал - si (t-Ts) .
Ситуации одинаковы как при 1i= 1, так и при ,i=2, так как не ста ­
в,ится целью определить i. Независимо от i, следовательно, необ- ·
хо.п:имо лишь различлть два к<расширенных ,символа»: u1(t)=si(,t) ,
sv(t-Ts) (случай , когда два одинаковых символа si(t) следуют
друг за другом) и u2(t) =si(t), -si (t-Ts). Решение этой задач,и
полностью эквивалентно решению в фазовоrнекогерентной системе
от,носительно тог,о, был ли передан сигнал u 1(t) ,ил,и u2(,t) . Та к как
u 1(t) и щ(,t), очевидно, взаимно ортогональны ,и каждый ,и з них
имеет удвоенную по ,сравнению с символами s1(t) .и s 2 ( ,t) энергию ,
то вероятность ошибки согласно ф-ле (4.46) имеет вид
Ре (2) = +ехр (-R).
(4.84)
Бели же .'Вос,польз,о.вать,ся rф-лой (4.83), то для N =2
Ре(2) ~ 2e-R ./ 2/ V2nR,
что является довольно неточной оценкой .
104
(4.85)


4.7. Сравнение вероятностей ошибок в бите,
символе и слове
Мерой качества дискретных оистем связи, ,использован-
11о й повсюду в этой главе, была вероятность ошибки в с~~воле.
С ледует иметь в виду, однако, что даже если две системы 11меют
одн,у .и ту же вероя11ность ошибк.и rв символе , их ха1ра1ктер,ис11ики с
т очки зрения потребителя могут быть совершенно различными. На -
011ример, чем большее число битов приходится на .символ, тем боль­
ш е эти ошибки в битах группируются вместе . Если вероятность
о шибки в симв-оле равна ;Ю-3, то математическое ожидан,ие числа
без ошибочных символов между какими-либо двумя ошибочными
с и мволами равно 1000. Если каждый символ ,содержит один бит
,информации, то математическое ожидание числа битов , разделяю ­
щих д:ва ошибо,qных !бита, .ра1Вн-о 1000, rв то же .вре,мя математиче­
с кое ожидание этой величины, когда символ содержит 1О битов ,
ра вно 10 ООО бат. Естественно, что ошибка в симво,1е, вообще го­
n оря, создает больше ошибок в битах :во втором случае, поэтому
л роцент ошибок в битах примерно тот же самый, как мы скоро
у видим. Тем не менее эффект группирования может сделать одну
с истему более предпочтитель,ной перед другой даже пр.и одной и
то й же ча,стоте ошибок в символах. Какая из них предпочтитель­
нее , зависит от конкретной ситуац,ии.
Одной из доволы-ю часто встречающи~ся альтернатив меры ка­
ч ес тва для дискретных •систем является вероятность ошибки ,в бите,
а не ошибки в символе . Но эта мера качества имеет т-от же недо ­
с т а ток, что .и ве,роятность ошибки ·в символе , а ,именно : она не
о бя зательно является мерой, представляющей наибольший интере•с
дл я потребителя. Часто информационные биты могут быть объеди ­
не ны в ,информационные слова, ,скажем, по k бит каждое . Каждое
сл ово может, например, соответствовать одному наблюдению в
э ксперименте или одному отсчету данных . Бели этот случай имеет
м ест,о , часто оказывается, что приемлемой мерой качества являет­
с я вероятно,сть ошибки в ,информационном слове. Потребитель хо­
ч ет, чтобы принятое слово было правильным; е-сли ка,кой-нибудь
б и т в слове является ошибочным, информация , представляемая
сло вом , может оказаться бесполезной для потребителя . Нс срав­
н ив ать две системы .на основе их вер,оятностей ошибок в ,слове
; ~о в ольно непрактично, так как результаты сравнения будут раз­
J 1 ичн ыми при различных значениях ,k (число бит в слове) .
,Короче говоря, хотя вероятность ошибки в символе может не
u ыть м ерой, подходящей какому-то потребителю, но и любая дру-
1 · а я ме ра будет подходящей лишь для некоторых ,конкретных си­
т уаций . К счарью, каждая ,из альтернативных мер каче,ства, упо­
м ш rутых выше, т. е . вероятность ошибки в бите л вероятность
0 11.1,и~б.ки ;в слов-е, МО['УТ быть, ,вообще ,rо,во1ря, доrвольrно IП!росто ~ай­
) (СН Ы , исходя из "вероятности ошибки в символе .
Н иже эти вопросы рассматриваются подробнее .
105


1. Вероят -ности оши'бк ,и в бите; множества сим ­
волов с равными коэффициентами взаимно й
к о р реляции (pij=p) . Для того чтобы выразить вероятност ь
ошибки в бите Рь через вероятность ошибки в символе Ре в систе­
ме связ.и с N символам.и, в которой коэффициенты взаимной корре ­
ляции Pij=1p при всех ,i, j, i=;t=j, нужно лишь учесть, что вероят ­
ность того, что какой-л.ибо символ .п е рейдет в какой-либо другой
сим в ол, не завасит от того, какие конкр ет ные символы рассматри­
,ваются . Тогда · при условии, что произошла ошибка в символ е, пе­
реданная дво.ичная п-последователыrость (n=log2 N) с раR"ной в е ­
роятностью п ереходит в любую из 2п-, 1 возможных друга х п-по ­
следовательностей. Так как число п-пос ледовательностей, отлича ­
ющихся от данной п-последоват ельности в точности в i битах ,
ра'вно. (~), то математическое ожидание доли п битов, которая
i,
будет ошибочной при условии, что -символ является ошибочным .
равно:
У]ь=Е (доля ошибочных би тов j ошибка в символе)=
1 п i(n) 2n-l
= 2п_1~~i=2"-1;
(4.86 )
i=l
Рь='nьРе =
N Р;:::::; _1Р.
·•
2(N-1)е 2е
(4.87)
2. Пероятности ошлбки в бите; м:ножест-ва би­
ортого.нальных символов. Обозначая через Ре 1 вероят­
ность .перехода некоторого ,символа в некоторый другой заданный
сим,вол, отличный ·от до:полнения к ,первонагчальному, через Ре2 -
.вероят,ность ,пер ·ехода не~к,ото1ро,го 1с.им•вола в ето дополнение и че­
,рез Ре - 1вероятно,сть ошибки в сиi\шоле, mолучи,м
Ре=(N- 2)Ре1+Pez•
(4.88 )
Так .как Ре2 <Ре 1 , то математическое ,ожидание числа ошибоч­
ных б.итов, очезндно, ,принимает минимальное значение, к огда д о ­
полнительные п -лоследовательности представляются дополнитель "
JJ:ЬIMИ с.им:волами. В этом ~случае
n-1
Рь= Pel ~-;(;)+Ре2=(2n-l
-
1) Ре1 + Ре2= +(Pe+Pez);:::::; Р,/2.
i=I
(4 .89)
Приближение в последнем равенстве ф-лы ,(4 .89) справедливо
всегда, кроме случая малых значений N . Если N =2, то Ре =Ре2 и
Рь рав1rо Ре, а не Ре/2. Интереено , что вероятност,и ошибки в бите ,
ког,да N = 2 ·и N = 4 одинаковы, если только два множества симво ­
лов имеют qдну .и ту же энергию с,игнала на б.ит . Чтобы убедиться
в этом, обозначим через х выход фильтра, согласова:нного с од -
106


н им из N =2 биортогональных симв,олов, а через х 1 и х2 - выходы
фильтро.3, согласованных с двумя ,из ортогональных оимволов би­
о ртогонального множества с N =4. Предположим, что отображе­
н и е является таким, что, когда Х1 >'/Xz 1, принятый ,с.им вол отож­
дествляется с сообщением 00, а когда Х2 > /Х1 /, он отождествляет ­
ся с 01. Если передается символ 00, то ошибка в первом бите про ­
ис х.а~дит тО1гда и толыю тогда, когда Х1 +х2~О, так как если сумма
Х 1 +х2 .положительна, то либо х1> /х2/, либо х2> /х11- Таким обра­
з ом, вероятность ошибки в бите (в с.илу симметрии она одинакова
для каждого из двух битов) является вероятностью событ,ия
у ~ (х1 +х2)/2~0. Но та,К как х и у - гауссовские величины с
Е (у!ОО)=-1 E(xi/00)=E(x/0) и var(y)=-
1 var,(x1)+J..var(x2)=
2•
4
4
1
=
2 var(x1) =var(x), то Pr(y<OIOO) =Pr(x~O\O), ,и •вероятности
о шибки в ,б,Ите в этих двух случаях ,совпадают.
3.Вероятности ошиб,ки в бите; ФТ символы.
В этом случае вероятность перехода с,имвола в какой-либо из двух
« бл,ижайших» (1по фазе) символов, очевидно, 1мrного больше (если
ве роятность ошибки в символе достаточно мала), чеr,-1
в ероятность какой-либо ошибки другого вида . Отображая двоич­
н ые п-,последовательности в символы таким образом , чтобы .пара
п- последовательностей, соответствующих каким-либо двум смеж­
н ым символам, отличалась от каждой из ,остальных Л,ИШЬ в одной
д во·ичной ,позиции, ,можно добиться того, чтобы наw6олее ,вероятное
ч.исло ошибок в битах при условии ошибки в символе было Пiросто
ра вно единице. При таком отображении
Pь~Peflog2 N.
(4.90)
Отображение, удовлетворяющее ограничению, описанному в
п редыдущем абзаце, .называется кодом Грэя. Существование кодов
Г рэя п-последовательностей для всех целых п легко установить
методом индукции. Пусть g1, g2, . .., gи такое упорядочение двоич­
н ых п-последовательностей, что ,gi и gн 1 отличаются лишь одним
биrом ~для 1Всех ii=l, 2, ..., N 1(N+l=l). Далее ~пусть v 1gi обозна­
ча ет (п + 1) последовательность, .получаемую с помощью прибавле­
ни я двоич,ного символа v в качестве префикса к gi. Тогда яоно, что
Og 1, Ogz, .. ., Оgи, 1gN, lgN-1, ..., 1g2, lg1 является упорядочением
( п+1l )-,последо~зательностей, удовлетворяющим тому же ограниче­
юпо. Так как последовательность 0,1 предiставляет такое уа10рядо­
•1е ние для n= 1, то коды Грэя существуют для всех п.
4. Вероятности ошибок в слове. Есл1и k бит обра­
з у ют слово и если для пред,ста·вления каждого б.ита используется
од ин символ, то вероятность ошибки •в слове
Рw=1- (1- Ре)\
(4. 91)
где Ре -вероятность ошибки в символе. На рис . 4.6 сравниваются
вс роя~ности ошибки в слове, когда: 1) каждый бит пятибитового
107


информационного слова лередает,ся как биортогональный символ;
2) · когда каждое слово .передается как один из 32 биортогональ­
ных С.ИМВОЛО'В.
По-видимому, наиболее важ1ный вывод, который можно сделать
при сравнении ве,роятности ошибки .в сл,ове ,с вероятностями оши­
бок в б,ите или символе, вытекает из поведения этих ·вероятностей
при малых отношениях сигнал/шум R. Используя какую 0либо одну
из последних двух мер качества, находим, что для достаточно ма­
PUJ. 5оитlсим8ол 1оит/сим§ол
10
о
1/
!'>/
r-, \
'•\ \
'
'\
'
---
!
-5
10 !О-,
100
Рис. 4.6. Сравнение вероятнос­
тей ошибок, приходящихся на
слово (k=5)
лых значений 1R лучше использов ать
по возможности меньшее число сим­
волов. Это положение быстро меня­
ется, однако, с ростом :R. Если же
рассматриваются вероятности ошиб­
ки в слове, то в противоположность
этому всегда лучше использоват~,
символ для того, чтобы представить
слово, а не бит (ер. с рис. 4.6).
Э то свойство довольно легко объ­
яснпть. Если рассматривается ве­
роятность ошибки в слове, то в ка­
честве меры качества представ ляет
интерес вероятность перехода сиг -
нала, представляющего одно слово ,
в какой-либо си гнал, представляю­
щий неr<0торое другое слово, неза­
висимо от числа битов, соответст­
вующих каждому символу. Если же
каждый бит индивидуально пред­
ставляется с помощью, например,
одного трансортогонального симво­
ла (1p12=-l) и k битов составляют
слово, то корреляция между двумя
сигналами , (;п1ре\П;ставляющими сло­
.ва) из1меняется от ,p;j=(k-2)/k до -11 . Н,о в .когерентной системе
тран,сортогональ,ные а<оды, ,имеющие ,p; j =-1/ (2k - 1) для ,всех i .и j
,при ,i=I= j, 1по -шиди мому, ОiПТИмаль:ны ,при ,всех значен•иях R (ер. с
§ 4.2). Поэт.ому LП:олжно ;п1роя,влять,ся ,пре.имущество ,ото·бражения
слов юеред отображением о,тдельных ~бит,ов в трансорт,огональ,ные
символы. Так как характеристики множеств орт огональных и би­
ортогональ,ных с.имволо,в близI<и 1к характе1р·истикам Т1ран1сорто•г,о­
нальных множеств, то следует ожидать, что те же выводы справед­
ливы и для ранее ,ра,ссмотр1енных алфавитов.
Наконец, когда l слов отображаются одним символом, вероят­
ность ошибки в слове может быть выражена через вероятности
ошибок ,в ,с имволе а1Налог,и1чно тому, как это было сделано ,при ло­
лучени.и вероятностей ошибок в бите, выраженных через верОЯ1'­
ности ошибок в символе. В качестве примера предположим , что
пара сл,ов, содержащих k битов ,каждое , должна ·быть передана •в
виде одного лз 22k ортогональных символов. Математическое ожи-
108


дание доли ошибочных слов пр.и условии, что произош.11а ошибка
в сим:воле, .им·еет ,в:ид
1
flw = 2 Pr (первое слово правильное и второе слово ошибочное)+
1
+ 2 Pr (второе слово правильное и первое слово ошибочное) +Pr (оба слова
21i_l
22k_J -2(2k-J)
2k
ошибочны)=---+----~---'-=--
(4.92)
22k- 1
22k_ l
2k+1•
Следовательно,
2k
Pw= 2k+lРе•
(4 .93)
4.8. Заключительные замечания
Вероятность ошибочного ,приема в системе передачи, ис­
пользующей N символов равной энергии и канал с белым гауссов­
ским шумом, является фу1нкц.ией лишь уровней ,сигнала .и шума на
,выходах фильтров пр.иемника и корреляции (понимаемой как в
когерентном, так и в некоге,рент:ном смыслах) между этими раз­
личными выходами. ·Следовательно, замечания, аналогичные сде­
ланным в § 3.8, в равной мере уместны и здесь при соблюдении
тех же общих условий. В ,частности, ,не существенны конкретные
в иды сигналов, используемые в раосматр.иваемой здесь системе
связи; все алфавиты ,символов, имеющие одно ,и то же. множество
коэффициентов корреляц.ии, являются одинаково хорошими, если
они используются пр.и одних и тех же уровнях сигнала и шума.
Более того, анэлиз характеристик, проведенный в этой главе, при­
м еним не только к оптималыным .приемникам. Результаты легко
м огут быть распро,странены на приемн,ики, отличные от приемников
с согласованными фильтрами, е,сли можно определить уровни сиг ­
нала и шума на выходе и корреляцию между этими различными
в ыходами. Однако результаты, !Полученные пр.и использовании сог­
J1ас,ова1Нных фильтров, дают нижние границы для вероятности
о шибк.и, достижимой при использовании какого-либо другого мно­
же,ства фильтров.
Системы связи, рассмот,ренные здесь и в предыдущей главе .
сл ужат основой пр.и последующем рассмотрении ,проблем ,синхро­
ни з ации. Это вовсе не означает, что это рассмотрение охватывает
11се интересные •системы ,связи . На самом деле .некоторые очевид­
ны е вар .панты (например, дискретно-амплитудная АИМ, tнепрерыв-
1 1 0 -амплиТ1удная ВИ1\1\., частотная манипуляция ,и когеренТ1ная отно­
с ит ельная ФТ) и гибриды этих систем , (например, АИМ-ФТ) сра­
э у же напрашиваются сами собой. Тем не менее рассмотренные
с ис темы являются достаточно представительJНыми, чтобы дать воз-
1мо ж,1-юсть оiбсу,дить ,вол.росы синхронизации сrз до·стат,о,чно .общей
J 1 о становке.
109


Задачи
4. 1. а) Пр едположим, что принимается сигнал У2 у!; (t) sin ((J)ct+ Ф )+n(t);
,{) ,:с; t ~ Т s , где s (t) - один из двух равновероятных ортогональных сигналов рав­
ной э не рг и и, а n(t) - белый гауссовский шум . Фаза несущей
-
случайная ве­
личин а, равномерно распр~деленная на интервале (О, 2Jt) , а амплитуда сигна­
.ла у- сл у чай н ая величина с релеевским распределением р(у) =2у е-у•, у:;,,:О.
,( Если такие характеристики случайной амплитуды и фазы возникают вследствие
:в лияния ка н ала, то он называется каналом с рел е е вс килш залшраниялш или
.м ноголуч е в ьш каналом. Такой канал воз н икает, например, когда энергия сиг ­
н ала переносится большим числом лучей с примерно одинаковыми затуханиями,
н о м е няющи м ися задержками в разных лучах. Если у и Ф могут считаться
постоянными на протяжении каждого символа, как здесь предполагается, го­
в орят, что з а мирания являются медленными.)
Показать , что минимальная достижимая вероятность ошибки в символе
равна P , =1 / (2+,R), где R.-отношение средней принятой энергии на символ к
с пектрально й плотности шума.
6) Предположим теперь, что принимаемый сигнал имеет вид Y21;(t)sin roct+
+ Y2y1;(t)sin(roc.t+Ф)+n(t) с теми же обозначениями, что и ранее. (Первое
слагаемое, называемое спектралыюй компонентой, может возникать, если один
из лучей на м ного превосходит все остальные . ) [1оказать, что если использовать
для этого сигнала тот же приемник, который был использован в п. а) этой за­
дачи, то вероятность ошибки будет Р', = Ре exp{-P,R,}, где Р, определяется,
к ак и в п . а), а R s - отношение энергии спектральной компоненты к спектраль­
ной плотности шума .
в) Описать оптимальный приемник для сигнала, определенного в п. б) .
4.2 . [1оказать, что вероятность P,(N), определенная равенством (4 .8), удов­
летворяет неравенствам:
1{
(R* )112 }
N-l{
(R**)I/2 }
2 1- erf,Т
~Ре(N)~- 2
-
1-erf2
, гдеR.*=RХ
N
2
Х { ~ ~(l---p,)112 } ; R**l=m~nR(l-p,)
r=I
ством (4 . 19)] .
и Pr = min (1-р;,) [ер. с неравен­
i
i=/ =r


Глава 5
ОПТИМАЛЬНЫЕ ФИЛЬТРЫ,
СОГЛАСОВАННЫЕ ФИЛЬТРЫ
И СИСТЕМЫ ФАЗОВОЙ АВТОПОДСТРОйКИ
ЧАСТОТЫ
5.1 . Введение
Задачи, ра,ссмотренные в двух последних главах, в той
или иной мере были ,связа.ны с извлечением информации из -сигна ­
ла, искаженног-о шумом . В к·аждом случае сигнал •представлял со­
бой последовательность функций, каждая ,из которых, в ,свою оче­
редь, была функцией одного или больш его числа пара метров, ко­
торые по предположению оставались неизменными в течение
и звестного интервала времени длины Ts ,се кунд . Задача состояла
в определении (с возможно большей точностью) .параметра, пред­
ставляющего интересующую информацию . Это привело к рассмот­
рению согласованных фильтров л связанных с ними устройств.
Эту тла:ву .на11шем с иссле~ования вида «0tпт,имальног,о» фильт­
ра для намного более общего класса сигналов . А именно, прини­
маемый сигнал пред,ставляет ,собой выборочную функцию произ­
вольного стационарного в широком ,смысле случайного ,процесса,
описываемого лишь с помощью автокорреляционной функции (или,
что эквивалентн-о, с помощью спектральной плотности мощности).
Пусть входом фильтра (наблюдаемыми) будет процесс y(t). {В
об щем случае y(t) имеет вид y(t) =x(t) +n(t), где x(t) представ­
ляет собой .информацию, а n(t) обозначает шум]. Обознач,им вы-
л
ход фильтра через z(t), а желаемый сигнал - через z(t). Тогда
оптимальный филь11р определяется как фильтр, кото,рый дает :наи­
лучшее приближение в смысле ,среднеквадратической ошибки к
желаемому сигналу z(t), т. е. оптималы1ый фильтр выбирается
так, чтобы минимизировать ошибку
л
и;= Е [z (t) --z(t)]2 •
(5.1)-
Предполагается, что случайные процессы y(t) ,и z(t) стационарны,
а параметры фильтра не зависят от времени, так что ошибка а2е
тоже не зависит от времени.
Для того чтобы ,0tп,ределить структуру оптимального фильтра ,
обыч•но необходимо ,ввести ограничения на класс рас,сматриваемых
/\
устройств. Предположим , что фильтр линейный, так что z(t) бу­
дет линейн ой функцией наблюдаемых y(,t). Это ограничение имеет
двойное преимущество: оно не только приводит к относ-ительно
,простой процедуре оптимизации, но также позволяет физически
реалиэ,овать усТ1ройств,о (ил·и, 1по .1~раЙ~ней мере, аюлучить хорошее
нриближение). Частотная характ0рист,ика оптимального линейно­
го фильтра будет получена в следующем параграфе .
ш


Следует указать, что некоторые другие критерии ошибок, от­
личные от среднеквадратической ошибки, также могут быть удов­
летворительными, а в некоторых ситуациях ·И более адекватным.и.
Средняя абсолютная ошибка
л
еа=Е/z(t)- z(t)1
или МаJ<iсимум абсолютной ошибки
л
ем=тахIz(t)- z(t)1
t
(5.2
(5.3)
могут представлять, например, больший интерес для потребителя,
чем ореднеква,дратическая ошибка. 1Важна также средняя ошибка
л
fJ = E[z(t)-z(t)J.
(5.4)
Однако если ri отлична от нуля, то нетрудно показать, что сред­
неквадратическую ошибку можно легко уменьшит::,_ Предположим,
л
что z(t) - выход оптимального в смысле среднеква,tl.ратической
л
ошибки фильтра, и раосмотрим функцию cr 2e(a) =E~z(t)-a -z(t)]2 =
л
=Ei[1z(t)-z(t)]2--2ari +а2 . Так как cr 2e(a) - монотонно возраста­
ющая фу~нкция Ia-ri 1, то можно уменьшить среднеквадратическую
ошибку, вычитая из выходного сигнала фильтра постоянную 'YJ.
Во всех практических случаях при этом оптимальный в оредне­
квадратическом смысле линейный фильтр обычно не меняется при
наложен.и.и ·ограничения также и на среднюю ошибку. Во всех ин­
терес~ных случаях ,средняя ошибка на выходе такого фильтра фак­
тически равна нулю 1).
Причина предпочтения критерия среднеквадрат.ической ошиб­
ки перед д,ругими состоит, главным образом, в его удобстве. Ма­
тематические операп,и.и не являются громоздкими, а решение зада­
чи можно получить в явном ,виде; это последнее утверждение не
верно, вообще говоря, почти для всех других нетривиальных кри­
териев, которые можно было бы выбр,ать. Более того, с интуитив­
ной точки зрения среднеквадрат.ическая ошибка - довольно удов­
летворительная мера качества. В конце концов, она является
«мощностью» или, с точки з,рения статистики, диспер,сией ,сигнала
ошибки. Наконец, если необходимо дальнейшее обоснование для
выбора критерия с,редн.еквадратичес.кой ошиб:ки, уm,омя:не,м, что ,во
многих важных случаях получающий,ся в результате фильтр яв­
ляется опт,ималь,ным с точки зрения з•начительного более общего
класса критериев. После всего сказанного ра,ссматриваемая зада­
ча сводится к задаче оценки того типа, который обсуждался в§ 2.9 .
(К:ак и в предыдущих глав,ах, можно вначале профильтровать при-
л
1 ) 0то не эквивалентно утверждению, что оценка z(,t) величины z(,t) явля­
ется несмещенной tсм . § 2.9). Скорее математическое ожидание смещения равно
нулю . (Прим. авт . ).
112


нятый ,сиг н ал и с помощью теоремы отсчетов све,сти множество
наблюдаемых к диск;рет,ному м ножеству У, а затем долуетить, что
полоса ,чаетот фильтра станов.иrея бе,сконечной.) Задача состоит
в оценке ,случайн ой величины z(to) в некоторый момент t0 на ос­
н о;ве наблю(Да,емых y(t), ti < !t<,t2. ,(O6ычн,о ,в ;рассматр·иваемых
здесь задача t1 равно -оо, а f2~to.) Но, по § 2.9 оптимальная
л
о ценка z (t0) вел и чины z (t0) для широкого кла,сеа .критериев, вклю­
чающего в себя критерий среднеквадратической ошибки, имеет
л
.
вид ei(to) =E[LZ(to) \ У]. В части.ости, это dпра:ведливо, если с·тоимость
/\
о шибки e(t0 )
= z(t0) - z(t0
)
являет,ся какой-либо монотонной неубы­
в ающей функцией e(t0 ) и если ~плотность распределения p[z(t0 ) 1\ У]­
с имметричная унимодальная фун·кция :z(t0 ). Этот случай возникает,
например, когда и y(t), и z(,t) -совме•стно гаус,совские случайные
процессы. Интере,сно также отметить, что E1[1z(t0 ) \У] являет,ся л,и­
н ейной функ ц ией наблюдаемых У= {yi}, если случайные величины
z(to), Yi, У2, .. . имеют совместно гауссовское ,распредt:ление. Таким
о бразом, если y(t) и ,z(t) совмест•но гауссовские процес,сы, ограни-
.
л
чение, состоя щее в том, что оценка z(t0 ) должна быть линейной
функцией y(i), является из,лишним. Тот же самый результат ,по­
л учает,ся без этого о граничения для любой стоимостной функции,
1< оторая является монотонно неубывающей функцией ошибки
л
e(to) = z(to)- z(t0) .
5.2 . Оптимальный линейный фильтр
ОптиJVIальный линейный фильтр, в ,соответствии с дан­
ным выше определением, минимизирует ар е днеквадратичес кую раз­
ность ,cr 2e между некоторым желаемым е,игналом z(t) и выходом
л
ф и льтра z(t) . Таким образом, требуется найт,и фильтр ,с импульс ­
н ым откликом J·;(t), для которого величина
а~ = E [;(t)-z(t)]2 = Е {],,,y(t--r)h(-r)d-r-z (t)}
2
(Х)
(Х) "'
= Rz(O)-2 SRyz(-r)h(-r)d-r + S SRy(-r
-
ri) h (-r) h ('l'J) d-r d ri (5.5)
-со -со
J~остигает своего м,инимально возможного значения . Через Rarз (т),
1,а к о'бычно, обозна~чены сrщрреляционные ,фу:ющии R af3 (-r) = ,
= E (1a(1t) В'(t+'t)) ,и R а(,;) =iRaa('t) .
Ка к будет показано, оптимальный фильтр легко найти, если на
11 г о не накладывают,ся никакие дополН1ительные ограничен,ия. Од-
11 1ако, чтобы реше ние имело какой-нибудь практический смысл, од-
1ю ограничение В:се же должно быть наложено. Оно состоит в том,
• 1 ·rо1б ы фильтр был физически реализуемым, · т . е. ~что'бы СИ['нал на
113


выхо,де отсутствовал до 1моме,нта 1поя1вления сиг.нала .на wo входе и ,
следовательно, чтобы его им-пульсный отклик li(t) был тождествен ­
.но равен нулю для •всех t<O. Хотя это олра,н.ичение до некоторой
,степени усложняет анализ, оптимальный физиче,ски реал,изуемый
фильтр может быть найден лишь несколько большими ус:члиями .
Удобно также в последующих выводах предположить сущест­
вование частотной хара~ктер.истики H(iffi) 01птималь1ноrго филь11ра .
Легко .ви.деть, что это 1пред,положе.ни,е опращщливо, если фильт:р яв ­
ляется устойчивым, т. е. если каждый •оrрани,ченный входной сиr ­
:нал x(t) вызывает ограниченный выход1ной сигнал y(t). Чтобы !Про­
верить это у-гвержден.ие, ~покажем, что фильтр устойчив тогда и
только тогда, когда его ·им1пульсный отклик абсототно интегр и ­
руем:
00
S/h(t) /dt< оо .
(5.6)
Это у,словие является достаточным для существования преоб­
разования Фурье Н (iю), так как
Н(iffi) 1= 1I,h(t)e-Iffitdt1<. J,1h(r)//e-i(J)t\dt= I,1h(t)/dt.
Что-бы доказать эквивалентность устойчивости фильтра и абсолют ­
ной интегрируемост:и импульсной переходной характеристики, за ­
метим, что
1 y(t)I = IJ"" h(-r:)x(t-т)d т 1<. ]"" /h(т)I lx(t-т) ldт
00
и, если !x(t) !,;::;;Х для всех t, то Jy(t) i ,;::;;X J h(т)dт. Вместе с тем .
-оо
если для некоторого значения t входной сигнал
x(t-т)=sgnh(т)={ l,
-1,
h('т:)> О;
h(-т:) < О
00
для всех -т:, то для этого сигнала имеем: y(t) = J ih(-r) 1d-т:, и утвер -
ждение доказано.
Нетрудно показать, что им.пульсный отклик оптимального филь ­
тра удовлетворяет следующему интегральному уравнению, кото ­
рое .называется уравнением Винера-Хопфа :
00
5h(т)Ry(т-rJ)dт = Ryz(rJ)
(5.7 )
а
для всех У] >а. Если фильтр должен быть физически реализуе м ы м ,
-то а=О; в .противном случае а=-оо . Среднеквадратиче,ская ошлб-
1.14


1<а в случае, 1коnда .им1пульсный от.клик фильт.ра удовл€творяет
это му уравнению, имеет вид
00 00
o; =Rz(O)-J Jh('t)h(ri)Ry(-r-ri)d-rd11 =
аа
00
= Rz(О) - sRyz(-r)h(-r)d't,
а
по можно проверить, под,ставляя ф-лу (5 .7) в (,5.5) .
(5.8)
Для тоrго чтобы дока'Зать оптимальность ф.или1ра, rудовлетво­
ряющего ур-нию (5.7), покажем, что разность ошибок o2e[g(t)]-
-a2e[/i(t)] неот.рицательна; u 2Jg(t) ] означает среднеквадратическую
о шибку в случае, когда используется 1Произвольный фильтр g(t),
а a2e[h(t)] - аналогичную 'величину в случае, когда используется
ф ильтр, удовлетворяющий ур-н.ию (5.7). Бели фильтр h(t) должен
б ыть физически реализуемым, то, конечно, таким же должен быть
и фильтр g(t). В остальных случаях ограничения на фильтр g(t)
не накладываются . Используя (5.5) и (5 .8), получаем
<Х)
00 <Х)
а; [g(t)]- и; [h (t)l= -
2 J g (-r) Ryz('t)d-r + J S{g (т.)"g(ri) +
а
аа
00 <Х)
+ h(-r)h(ri)1Ry(-r -ri)d-rdri = -2 ' J J g(-r)h(11)Ry(-r-ri)d1:d t1 +
аа
00 00
+ J Jrg(-r)g(ri)+h(-r)h(ri)1Ry('t-1'])d-rdч = •
аа
ао оо
- .\ f [g(-r)-h(-r)J (g(ri)-h(ri)lRy(-r -ri)d-rdri =
аа
= ___!_
00
J I G(iro)-H(iro) \2 Sy(ro)dro:;;,, О.
2л
(5.9)
В rпо,следнсм выражении G(iro) и Н(iю) представляют собой
ча стотные характеристик;и этих двух фильтров, а Sy{ro) - спек­
т ральную .плотность мощности процесса y(t). Заметим также, что
решение h(t) единственно в том смысле, что разность ошибок ,рав­
на нулю т,олько тогда, когда G (i,ю) = Н (iю) для всех ro , для кото­
рых Sy(ro)=#=O.
Этот результат, однако, имеет небольшую практическую цен-
1-1ость до тех пор, пока каким-либо обр, азом не получено явное ре­
шен ие для h(t) или, что эквивалентно, для Н ( iю) . Для этого пере­
пи шем равенство (5.5) в частотной области . Делая подстановку
<Х)
R (,:) = _!_ JS (w) ~irot d-ю и меняя порядок ,Рiнтегрирования, находим,
2л
-со
115


что
00
cr; = 2: S [Sz (ro)-Syz(ro) H(-i ro)-Szv(ro)H (iro)+ Sy(ro) 1H(i ro) l2Jd (О=
-оо
00
=
-
1 s{\Ф(ro)Н(i ro)- Syz (со) 1
2
+ [sz (w)
2:п
Ф* (со)
1Syz (со) 1~]} d (J)
Sy (со)
'
(5. 1О)
-оо
где Ф(rо) -ф ункция, удовлетворяющая со-отношению jФ(,ro) \2 =
=Sy (w), и Ф'~ (ro)- ком п лек,сно - соп,ряженная функция. Функции
S z (ш) и Sy (,ffi) , как обычно, обозначают -опектральные плотности
мощностей процессов z(rt) и y(t) соответственно, а S 2y(ffi) - их
вза.имную спектральную плопюсть.
Если •Не требуется физиче,ск,ая реализуемость, то оптимальный
фильтр легко найти из равенства (5. 1,0) . Так как толь.ко первый
член последнего .подынтегрального выражения зависит от Н (i,ffi) и
так как этот член не может быть отрицательным, то ,среднеквад­
ратическая ошибка миним,из.ирует,ся приравниванием его нулю .
Таким ,образом,
(5.11 )
является частотной характеристикой оптимального физически не­
реализуемого фильтр а. Получающаяся среднеквадр а тическая
ошибка имеет вид
ос
cr2 __1_ (' Sy(со)Sz(со)- 1Syz(со) 12
о-2:пJ
Sy (со)
dw.
(5.12)
-со
,в с.илу то го что дополн.ительные ограничения на H(iffi) мо г ут
лишь увелич.ить ошибку, cr 20 , определенная равенством (5.12), час­
то называется остаточной ошибкой.
К сожалению, .импульсный от.клик фильтра, определяемый час­
тотной характеристикой (5.11), не будет равен нулю для отрица ­
т ельных значений .t, и, следователь но, такой фильтр не будет фи­
зиче,ск.и реализуемым. Чтобы :наложить услов.ие физической реали­
зуемости, удобно предположить, что спектр Sy(ffi) входного про­
цесса y(t) - рациональная функция ffi. Оптимизация не требует ,
чтобы спектр был рациональным, но rрас,суждения сильно упроща­
ются, когда рассматривается этот случай. Кроме того, спектр про ­
цесса y(t) может быть в ·общем ,случае а1шпрокс,ими1ро,ва1н сколь
угодно точно рациональной: функцией даже, если сам он не являет­
ся ,ра,Циональным.
Бели спектр Sy (w) рациональный, то его можно записать в
виде
S()= 2 (со-а1) .•. (w-ат)
Уwа
.
(со -
~1).. ,(со-~п)
(5.13)
Так ,ка к Sу(ю) - спектральная плот,ность процесса y(t), то она
должна быть действительной: неотрицательной: симметричной функ-
116


цией -со. Отсюда следует, что в приведенном выше выражении мно ­
житель а2 должен быть действительным; любые полюса и нули с
ненулевыми мнимым,и частями должны появляться в виде ,комп ­
лексно-сопряженных пар, и ,нее действитель·н ые iПолюса и нули
долж,ны и.меть четную ;.кра11ность.
Как ,следствие этих ограничений, накладываемых на с.пектраль­
ную плотnость процесса y(t), Sy (ш) можно представить в виде
произведения двух выражений:
S (ro)= a(ffi-a:1) ••• (ffi-a:m;2)a(ffi-a:? ••• (w-a:~2) Л'V(ro)'V*(ro),
У
(ffi-~ 1) • • · (ffi-~n/2) (ffi-~i) ... (ffi-~п;2) =
(5.14)
где (*) обозначена комплексно-сопряженная функция . Факториза­
ция такова, что все полюса и нули ЧГ (1ro) лежат в верхне~ полови ­
не, а для Ч'* (w) - в нижней половине ,ко мплексной rо-1плоскост,и.
(В последующих выкладках удобно предположить, что Sy(w) и,
следовательно, Ч'(rо) и Ч'* (w) не имеют особенностей на действи­
тельной w-оси. Если же Sy (,w) имеет такие особенности, то они
должны иметь четную ,кратность . Поэтому они могут быть сдвину­
ты с оси как комплексно-сопряженные пары с :помощью подстано­
вок вида w2 i--+W 2i +e2 i. Оптимальный фильтр можно определить
дл я этого модифицированного спектра, а требуемое решение полу­
чается теперь в пределе, когда 1ei ,стремится к нулю .)
Как было упомянуто, ~решение задачи фильтрации может быть
найдено, даже если спектр Sy(w) не является рациональным. В дей­
ствительности, если
о,
S \ \ogSy (w) 1 dw<oo,
1 + (ffi/2n) 2
-оа
(5.15)
то Sy (w) можно еще факторизовать и получить решение. Если, с
д ругой стороны, интеграл в ф-ле (5.15) бесконечен, то стационар­
ный процесс y(t) является детермuнuрова,mым ; будущее поведе­
ш1е функции может быть точно предсказано с помощью линейной
о перации .над его прошлым.
Для последующих рассуждений удобно ввести следующее обоз­
на чение. Пусть F(w) и ,f(t) - пара преобразований Фурье :
о,
f(t)= j' F(w) ei wt ~nw;
оО
F (ro) = sf(t) e-iwtdt.
-оо
_,, ,
Оп1ределим
f+(t) = {f(t), t > О;
О, t<O;
(5.16}
[ (t)={0•
-
f(t), t <0,
t>О;
(5.17}
так что lf(t) =f+{t) +f-(t). Теперь пусть F+(w) и f+(t); F_(,w) и
f- (t) - пары преобразований Фурье. Тогда F(0) =F+(1w) +F- (ffi),
117


где .преобразование первого из слагаемых является ненулевым
только !Пр.и t;,::O, а преобразование второго слагаемого - только
при t<O.
Возвращая,сь к рассматриваемой задаче, найдем частотную ха­
рактеристику Н (iw) физически реализуемого ф.ильт,ра, м.инимизи­
рующего среднек'вадратическую ошибку, задаваемую (5.10) . По­
лагая
F(w)=Ч'(ro)H(iro)-Syz(w) =F+(ro)+F_(ro),
(5.18)
11'* (w)
.можно переписать (5.Ю) с Ф( ,w) ='Y(,w) в виде
"'
00
о;= -
1 5 /F(ro)/2dw+ cr~ =
-
1 s [/F+(ro)/2+ F+(ro)F-_(ro)+
2n
2n
-оо
-о,
(5.19)
где cr20 определяется равенством (5.12) и не зависит от Н (iro). Но
о,
00
00
2~ JF+ (ro) р:_ (ro) d ro = 2: Jр:_ (ro) Jf+ (t) e-Jrot dtdro =
-о,
О)
О)
00
= sf+(t) 2~ sF- _(ro)e-irotdrodt= sf+(t)f-_(t)dt=O.
(5.20)
-оо
-оо
00
То же с1п,раве,дл.иво для инте~грала 2~ S F+ (ro)F_(ro)dro . Далее
-О>
F_(ro) = [Ч'(ro)Н(iro)J-- [Syz(w)] = ~
- [Syz (w)] .
11'* (w) _
1
11'* (w) -
(5.21)
Выражение (5.21) :не зависит от Н (iro). Это следует из того, что
(5.22)
rде фу.н1кции Ф(t) (1прео6раз.01Ван.ие Фу,рье ЧГ1 (,rо)) и h(t) .равны н,улю
для всех t<O 1). Таким образом, ,свертка в (5.22) равна нулю для
всех t<O; [ЧГ(w)H(i,ro)]-=0 и равенство (5.21) справедливо. Един­
ственный член в ф-ле (5.,19), зависящий от Н(iю), имеет вид
F+ (ro) = [Ч'(ro)Н(i ro)]+ - flSyz (w) ] = Ч'(ro)Н(iro)-[Syz (w) ] , (5.23)
11'* (w) +
'l'*((i)} +
что следует непосредственно из (5 .22) (т. е . преобразование Фурье
1 ) Следует помнить, что f(t) не равна нулю при t>O только тогда, когда
ее (рациональное) преобразование F(,(i)) имеет по,rюсы в верхней rо - полуплос ­
кости (левой s-полуплоскости, где s=iw) и не равна нулю при t<O только
тогда, когда F(w) имеет полюсы в нижней w-полуплоскости . (Прим. авт.).
118
·· ·····-'


функции ЧГ((J))H(i(J)) отлично от нуля лишь при t~O) . Частотная
характеристика оптимального физически реализуемого фильтра
теперь определяется приравниванием этого члена нулю :
H(i(J)) = -
1- [Syz (ro) ]
.
(5.24)
'1' (ro) 'l'*(ro) +
Любой другой физически реализуемый фи .1 ьтр необходим,о пр иво­
п:ит к 66льшей сред,неквадратиче-сжой ошибке.
Если выражение, стоящее в квадратных скобках в ф-ле (5 .24) ,
рационально, то Н (j.(J)) можно определить довольно легко, произ­
водя разложение этого выражения на простейшие дроби ,и остав­
ляя только полюса, лежащие в :верх.ней ,(J)-полуплос.кости . Если оно
нерационально, то вначале можно найти его преобразование Фурье
и затем оставить лишь ту ча,сть этого преобразования, которая со ­
ответ,ствует положительному времени. В результате получим
H(i (J))= _1_ s"" e-i(J)t [ -1 s"° ei (J)'t
Syz (ro') d (J)'] dt.
'1' (ro)
2л
'1'* (ro')
о
-оо
(5.25)
До сих пор мало было сказано о :желаемом сигнале z(t). Пред­
полагалось лишь, что Sz((J)) и Syz(-(J)) определены . В самом обыч ­
ном слу,чае y(t) =x(t) +n(t), где сигнал x,(t) .и шум n(t) - орто ­
гональные случайные процессы (Rxn(-c) =0), а z(,t) =x(t+to) для
некоторого постоянного t 0. (Если t 0 = -o o , что соответствует бес­
конечному времен.и задержки, то оптимальный фильтр опять физи ­
чески J.-Iереализуем (см. ф-лу (5 . 11) ]; считается, что сигнал извес­
тен на всем интервале -оо <t< + оо.) В этих условиях
Sy((J))=Sx((J))+Sп((J)) и Syz((J))=Sx((J)) ei(J)1• .
Е сли t 0 >0, то результирующий фильтр называется предсказываю­
щим фильтром.
Фильтр, лредста'Вляющий наибольший интерес , называется
сглаживающим фильтром .и соответствует случаю z(t) =x(t) и
y(t) = x ( t ) +n(t). Равенство (5.14) может быть несколько упроще­
но, когда t 0 = О, а спектры (орт,огональных) сигнала и шума рацио­
нальны . Для этого случая
H(i (J)) = _1_ [tSx (ro)] = _1_ [ '1' (ro) '1'* (ro) - Sn (ro)] =
'1' (ro) '1'* (ro) + '1' (ro)
'1'* (ro)
+
=
1-
_1_ [Sn (ro)]
(5.26)
'1' (ro) '1'* (ro) + •
Есл,и, кроме того, шум белый, Sn((J)) =No/2 и спектральная
111ло тность сигнала стремится к нулю для больших (J), то это выра­
жение можно упростить еще больше . Так как
]im 1F ((J)) 1f* ((J)) = ,!im [sx (ro)+ No] = No ,
ro-.. oo
(1)-оо
2
2
119


то Iim 'l'(ro) = lim 'l'*-(ro) = (N0/2) 112 и выражение Sn(1ro)/'Jf*(ro)
O)➔CD
(J)➔QO
имеет
ненулевой вычет при ш= оо. Однако
[~] = [(N0 )1/2 _ (N0 )1/2 '1'* (ro)-(iY
12
]+=
'l'*(ro) +
2
2
'l'*(ro)
= (N0)1/2_ (N0)1/2['1'*(ro)- (~)
112
],
2
2
'1'* (ro)
+
(5.27)
а этот последний член имеет ,нулевой вычет при ro = оо. Следова­
тельно, его раз.1ожение на .про-стейшие дроби -содержит только дро­
би вида Kl{ro+a)k (где k - положительное целое число) и, так
как все нули 'Р'* (w) лежат в нижней полуплоскости, т,о
[ '1'* (ro) -(N0/2)112 ] = о.
'1'* (ro)
+
Таким образом, если шум является белым и ортогональным сиг­
налу ,и если спектральная плотность сигнала Sx(,w) - рациональ­
ная функц,ия rro, а lim Sx(w) ,=0, то
ro-co
( N0 )1/2
Н(iro)=1- 1 [Sn(ro)] =1- 2
(5.28)
'1' (ro) '1'* (ro) +
'1' (ro)
Среднеквадр а тическая ошибка, соответствующая оптимально­
му фильтру, задается равенством (5.28). Представляют интерес
также э.квивалентные выражения в ча,стот.ной области
со
0";=2
~
S[Sz(ro)-Sy(ro) 1 H(iw)/2]dro =
-оо
00
=-
1 r [Sz(ro)-Syz(ro)H(-iro)Jdro.
2n ,1
-со
(5.29)
Когда z(t) = x(t); y(,t) =x'(,t) +n(t) и x(t) и n(t) - ортогональ­
ные процессы, эти равенства принимают ·вид
"'
<r;=-
1 s {Sх(ro)[1-1Н(iro)/2)- Sп(w)1Н(iro)/2}dro =
2n
-а,
"'
=-
1 SSx(ro)[l-H(iro)]dro.
2n
-оо
(5 .30)
Это выражение особенно удобно, если использовать либо ра­
!Венство (5.26), либо (5.28). В последнем ,случае
00
02=(No)1/2 s Sx(ro)dro.
е
2
'l'(ro) 2л
(5.31)
-со
120


Еще одно ·полезное выражение для среднеквадратической оши.б ­
ки при тех же самых условиях следует из равенства (5.10):
00
о; =-1 JfSx(ro)jl-H(iro)! 2 +Sп(ro)IH(iro)j2}dro.
2,i
-оо
(5.32)
Это равенство, в отличие от предыдущих выражений для ошибки,
справедливо даже тогда, когда Н (i,w) является характеристикой
нео1Птимально1го фильт,ра.
5.3 . Пересмотр теории согласованных фильтров
,В гл. 3 и 4 было установлено, что все без исключения
формулы оценок параметров и лриемники содержат согласованные
фильтры, т . е. фильтры с ,импульсными откликами вида
h(t) = f(t0 -t),
(5.33)
где функция f (t) (O<t<to) связана с ожидаемым сиг.налом. В этом
параграфе покажем ,интерееную взаимосвязь между оптимальны­
ми в смысле среднеквадратической ошибки фильтрами и согласо ­
ванными фильтрами. С этой целью поставим другую задачу, ко­
торая также имеет в ,качестве решения согласованный фильтр ви­
да (5.33), но решается методами, развитыми в предыдущем :па,ра ­
графе. З.адача состоит в ,следующем. Принимаемый ,сигнал имеет
вид y(t) = ,f(t) +n(t), где :f(t) -известная функция времени, а
n(t) - шум, ста,циона,рный в широком смысле ~случайный ~процесс .
Сигнал следует пропустить через линейный фильтр с импульсным
откли~Ком h(t) . Обозначим через g(,t) выход этого фильтра , кото ­
рый наблюдался бы в слу,чае отсутствия шума, и через а2п - сред­
неквадратическое зн1ачение шумовой компоненты выходного сигна­
ла фильтра . Задача состоит ·в отыскании фильтра с импульсным
от.клш!юм h(t), 1который ,ма!{jсим·изИ1рует отношен:ие
g2 (t0)fo'/i ,
(5.34)
где t0 -:некоторый фиксированный момент в.ремени 1). Так как
представляет интерес отношение сигнал/шум, а не уровень сигнала
сам по ·себе, эта максимизация может быть выполнена, есл,и потре­
бов ать, чтобы •.составляющая сигнала на выходе пр.инимала неко ­
торое фиксированное значение в момент времени f= fo, и :найти
фильтр, который минимизирует среднеквадратический уровень шу ­
ма. В соответствии с этим, та,к как
СХ)
00
g(t0) = Jh(t0 -t)f(t)dt= ~л: Sei(i)to H(iю)F(iro)dro ,
-00
-оо
1 ) Так как f(t) - известная функция времени, то процесс y(t) не явля ется
ста ционарным. Следовательно, в противоположность фильтрам, рассмотр ен ны м
в предыдущих пар аграфах, оптимальный фильтр , рассматриваемый здесь в об­
щем случае, будет зависеть от заданного момента времени to . (Прим . авт . ) .
121


00
где F(iw) = Jf(t)e-1001 dt, т,ребуется найти частотную характери-
-оо
с тику H(iw), которая минимизирует выражение
00
o;+лg(to)=-1 s{IH(i ro)l2 Sп(w)+J.__e 10010 H(iw)f(iw)+
2л:
2
-оо
(5.35)
Это выражение сО'впадает с (5. 1О) после подстановк.и величин
S n(,w); -(л/2)e-1 0010 f(-iw) и О вместо Sy(.w); Syz (, w) и Sz(ro ) со­
ответственно . Единственным ограничением, наложенным на эти
в ыражения при выводе ф-лы (5 .25) для оптимального физически
реализуемого фильтра , ,было т,о, что Sy(,w) (или в рассматриваемом
случае Sn(w)) фактор ,изуемо . Таким образом , •если Sn ( w)=
=ЧГ(w)ЧГ*(w) и все особенности ЧГ(,w) лежат в верхней w-полу­
ллоскости, то оптимальный физ,иче,ски реализуемый фильтр в 1ра,с­
сматриваемой задаче имеет частотную характеристику
00
00
H(iw) = _ k_se-irot_1 J eioo'(l-lo)F(-iro') dw'dt
(5.36)
'1' (ro)
2л
'1'* (ro')
'
о
-ос
где k=-л/2- постоянный коэффициент усилен.ин, который •Не
влияет :на отношение сигнал/шум . Если шум является белым,
Sn (w) =No/2, то
1 005 e 1ro'(t-lo) F( -iro' )
,
1
-
-
--
-
-dw =-~ f(t0 -t)
2л:
(No/2)1/2
(No/2)1/2
-00
О1>
и Н(iw) = kiSf(t0- t) e-lrotdt,
(5 .37)
о
где k 1 =2k/N0 - произвольная пост,оянная. Та к им образом, поло­
жив k1 = 1, ,получаем
h(t)={f(to- t), t>О;
(5.38)
О
t<O.
Если f(t) - тождественный нуль при t>to, то полученное вы ­
ражение в действительности представляет собой импульсный от­
I<лик ,согласованного фильтра, определенного в гл . 3.
5.4. Формулы оценок при отслеживании фазы
Предположи м, ч то Ax(t) -известный п ериодический
с игнал с периодом Т, имеет неизвестную задержку 1по времени
,: с е кунд и принимается на фоне аддитивного гауссов-ского белого
122


шума n(,t) (с одностQронней спектральной .плотностью Na). Пусть
требуется оценить -r по принятому сигналу y1(t) =Ax(.t+-t) +n(t);
lT<t<(l+1)T. (Так ,Как
- r можно оценить только с точностью до
пер.иода Т, то оно может быть либо отрицательным, либо •положи­
тельным.) Оценка максимального правдоподобия величины -r в
этих усЛL1Виях является решением уравнения (см . § 3.4)
/\
{
(l+l)T
л
л}
длlogeР(У1(t)1т) = д/\ )0 5[2Ay1(t)х(t+-r)- А2х2(t+т)J dt =
д,:
д,:
lT
(l+l)T
Л
= ;: \ У1(t/x(t~ -r:)dt= О.
iт
a-r:
(5.39)
В некоторых случаях, когда, например x(t) - синусоида, ур-ние
(5. 39) приводит к решен,ию в явном виде для ,оптимальной оценки
/\
.-
задержки -r (см. § 3. 7). В более общем случае это не так. В лю­
бом ,случае задача, которая здесь .рассматр·ивается, в ,некотором
отношении отличается от рассмотре,н,ных ,в (ГЛ. 3. Зде,сь 1пр,едrпола­
гае11Ся, что .-, в отличие от случая, ,коnда ,она 1приН'имает незав,и ­
симые значеню1 на каждом последовательном интервале в Т се­
кунд, является непрерывной функцией времени, .примерно постоян­
ной на любом заданном ,и.нтервале, но медленно изменяющейся от
одного интервала к дру,г,ому.
В силу того что .-
предполагается почти постоянной на любом
Т-секундном .инте рвале, можно было бы ,произвести независимые
оценки ее по максимуму правдоподобия на каждом из этих интер­
валов, используя формулу оцен.ки (5.39). Но так как
.--
медленно
меняющаяся функция в.ремени, то ее значения :на последо ва тель ­
ных интервалах будут сильно коррелированы . Игнорирование этой
корреляции пр.ilводит к ~поте ре полезной информации. Если было
бы возможно точно описать у,словную плотность распр еделе ния
/\
/\
p (i-1\i:1-1 , т1-2, . .. ) величины т на интервале lT<t<(l+·1)T при ус­
лови и , что заданы оценки величин .-
на предыдущих интервалах,
т о формула оценки ло максимуму апостериорной вероятност,и, в
при нципе, могла бы быть найдена .
Часто более практичным методом, позволяющим пол учить поч­
ти тот же самый ,результат, явля,ется метод, .использую щий тот
факт, что при соблюдении определенных условий регуля рност.и
li [( дlog,p:l(l) IQJ );-, <]~О;
(5.40)
Е [(''Iog,::~(11. l~I )~ •] ~-Е [( дlog,pд(~(II IQ) )~J]-(5.41)
123


Таким обр .азом, математиче,ское ожидание величины интеграла
(l+IJT
Л
еI sУ1(t)дх(t_; ")dt
(5.42)
lT
д-С
л
является монотонно убывающей функцией ,: в окрестности ,:~rr,
л
/\
положительной при 1:<1: и отрицательной при 1:>1:. Предположим
поэтому, что величины е1 нс.пользуют для управления изменением
/\
л
фазы т сигнала местного генератора, заставляя ,: уменьшаться,
когда величина ( е1) от.рицательна, ·И увеличиваться, когда она по­
л
ложительна . Вообще говоря, в случае, если ,:;=,:; - ед,инственное
л.
значение,:;, для которого выполняются соотношения (5.40) и (5.41),
'л
то ,:; будет сходиться к ,:; и отслеживать ,: . В действительно,сти, что-
л
л
бы использовать факт медленного изменения ,:; во вр,емени, ,: долж­
но упр.авляться взвешенным •оредним прошлых показаний индика-
/\
l
тора знака ошибки ,:-,:;, т . е. ·вел.ичиной вида 81+ 1 ~ l; 1a1-iei, а не
i=-oo
только одной величиной е1 .
Функциональная схема устройства, выполняющего описанные
операции, изображена на рис. 5.1 . Бели h(O) =0 и
\,,(t)= 0 at; iT<t<_(i+ 1)Т,
(5.43)
z
Рис. 5.1. Устройство отслеживания фазы:
1 - устройство, производящее выборки: 2 -
устройство, усредняющее с весом; 3 - фазо­
вращатель; 4 - генератор сигнала
Рис. 5.2. Структурная схема
системы ФАПЧ :
1 - фильтр ФАПЧ; 2 - генера ­
тор сигнала; 3 - ГУН
то входной сигнал фазовращателя на интервале (l+1)T<t<
< ([+2) Т можно представить в виде
l
е1+1 = ~ а1_1eiЛе((l+ 1)Т).
(5.44)
i=--oo
t
л
где e(t) ~ JY('YJ)x'(11+,:)ha( ,t-11)drri. Более того, если 't , как пред-
полагалось, относительно постоянна на любом интервале в Т се­
кунд, то разность ai-ai-t должна быть малой при всех i. Следо-
124


в ательн о , /ia ( ,t) может быть точно а1ппрокс.имирован-а непрерывной
(и даже дифференцируемой) функцией В!ремени, скажем h~ (t), и
в ходы фазос,п,ви гающег о устройства 1е1 могут быть заменены на
в ходн ой си гнал е (.t) без какого -либо существенного влияния на
х арактер истики ус тройства. Наконец, замет.им, что вместо того,
/\
чтобы уста навливать связь .-
непосредственно с функцией е (.t),
можно, что эквивалентно , установить с вязь межд у скоростью изме­
л
.нения .-
и производной этой функции:
t
/\
е'(t) = Jу(11)х'('1']+'t)h~(t- 11)d1'].
(5.45)
-
00
Рассмо.:рим теперь устройство, предста вленное функциональ­
н ой схемои на рис . 5.2 . Генератор, управляемый напр яжением
( ГУН), генери1рует колебания, частота которых в идеал е пропор­
циона льна напряжению на его ,входе. ,Выход ТУН используется
для синхро ни зации ген ератора си гнала, ,вырабатывающего мест-
/\
л
н ый сигнал х' (t+. - ), и тем самым регулирует скорость изменения 't .
Прин'и,ма я во .внимание ~результаты ,щредыдуще~го абза'Ца, можно,
сле.до1ва тельно, заключить, что если .им,пульсный 0 11кли.к .ф ильтра
ФАПЧ h(t) =h'a(t), то у,стройст,ва ,на JJИC . 5. ,1 ,и 5.- 2 фун1кциональ:н,о
э 1<,вивале нтны. Послед,нее уст,ройст.во известно 1по,д .названием си­
с темы фазовой автоподстройк.и частоты (ФАПЧ) ,и ,наибоJ1ее часто
.ио пользуе тся :на ~практике.
Систе ма ФАПЧ тогда является, 1по существу, уст,ройством с об­
ра тной связью, предназначенным для решения уравнения 11равдо-
11 юд оtбия (5.39). Еще н е олределенный точно фильтр ФАПЧ ,не­
обх одим потому, что фа за принимаемого сигнала . -
изменяется со
в р е менем, поэтому при оце·нке текущей фазы прошлое, вообще го-
1u о ря, не должно ,использоваться с одинаковыми весами . Возникает
за1д ача 01пределения 01пти мального ,фильТiра ФА!ПЧ, ;как функции
с та тистик процесса .:(t) . Однако , прежде чем решить эту задачу,
11со бходимо .раз,ра•ботать линейную -модель сист,емы ФАПЧ . Это
адсл ано 1в следующем iПа,ратра'фе. Для тоJ'о чтобы изб-ежать услож-
11 с 11 ия изл о:жения, предпо ложим, что x(,t) - синусоида. Получен-
11 1 ,1 е ~резул ьтаты обобщаютс я в •§ 5.8 та1кже :на 1нес'и нусоидаль ные
фу нкции .
П олез но вновь подчеркнуть , что одно из фундаментальных
р:1:1л ичий между методом сглаживающего фильтр а .и методом сог­
.11; 1 ,сов анно го фильтра в задаче оцен.ивания состоит в количестве
: 11 1риорных знаний о сигнале . Согла<:ованный фильтр требует пол -
1101·0 описан ия ожидаемого ,сигнала за исключением , быть может,
11 l('H · в естного, но постоян.н ого параметра или параметров ; сглажи-
11:~ ю щий фильтр требует лишь знания его статистических характе-
1р 11 ·11и к вто рого порядка . В рассматр.иваемом случае оба подхода,
1 111, о к а жетс я, применимы к одной и той же задаче. Согласован-
125


ный фильтр может быть использован ·в силу того, что функциональ ­
ный -вид ожидаемого сигнала ·известен, исключая неизвестный па­
раметр; однако теперь этот ла,раметр являетея случайным процес­
сом, а не случайной величиной. Сглаживающий фильтр потребует ­
ся, следовательно, для наиболее точной, 1по возможности, ,не.пре ­
рывной оценки этого меняющегося по времени параметра.
5.5 . Линейная модель
Функциональная схема системы ФАПЧ для от,сш:,кива­
ния фазы синусоидального ,сиг,нала ,изображена на рис. 5.3. Та к
как выход ГУН сам является синусоидой, генератор сигнала н а
Рис. 5.3 . Структурная схема ~и­
нусоидальной ФАПЧ:
1 - фильтр ФАПЧ; 2 - поворот Фа·
зына90°; 3- ГУН
Рис. 5.4 . Функциональная
схема линейной модели си­
стемы ФАПЧ
рис. 5.2 может быть заменен фазовращателем ,с поворотом фазы
на 90° или даже вовсе опущен. (Поворот на 90° необходим, если
выход ГУН должен служить копией принятого сигнала.) Точный
анализ ошибки отслеживания, связанной с этим устройством, яв­
ляется сложным. Из-за нелинейности дифференциального уравне­
,ния, связывающег,о ,выхощ и вход устройства, оно может быть ре­
шено ТОЧ'НО лишь в некоторых частных случаях. Для того чтобы
лолуч·ить пр.и,годные для работы 1рез,ультаты, каеающие,ся характе­
ристики системы, а также о@ределить ви1д 01птимально['О фильтра
ФАПЧ, ,необходимо сделать ,приближение, ,которое ~приведет ,к ли­
неариза:ции диффере.н,ц-иального ура1внен,ия системы. Опра1ведли­
вость этого лл.неЙ,н'ого л,риближе.ния зависит .от то1г,о, :н асколыко
велико отношение с'игнал/шу,м и, следовательно, насколь·ко мала
ошwбка о,тсл,ежи:вания . В rбольши.нстве 1применен.ий, которые 1нас
будут интересовать, это условие будет обязательно выполнено.
Если принимаемый сигнал ,имеет вид y(t) = VA siп[w0t+Ф 0 (t)]+
+n(t) и если выход сдвинутого по фазе ГУН равен V2cos(wot+
+Ф1 (t)], то при выполнении указанного выше условия Ф 0 (t) ~
~ Ф1 (t). Низкочастотная компонента ,произведения этих функций
Asiп(Фo(f)-Ф1(t)]~A i[Фo(t)-Ф1(t)] поэтому является прибли­
женно линейной функцией разности фаз . Кроме того, компонентой
удвоенной частоты этого произведени я можн-о полностью прене­
бречь вследствие того, что система ФАПЧ, по сущес тву , э квива­
лентна устройству на рис . 5.1 и, следовательно, реаг и р ует лишь
126


н а .интег,рал этого ~произведения ,по ~полному ,пе,рио,ду. Скорость
изме нения фазы (т. •е. частота) выхода ,ГУН теперь (1п,риближен-
1 ю) ~пропорциональна пр ·оф.ильтр·о,ва.нной и искаженной шумом
о ши бке отслеживания:
(5.46)
Следовательно, до тех пор, пока ошибка отслеживания являет­
с я малой, система ФАПЧ может быть представлена так, как .по­
казано на рис. 5.4.
Д.пя анализа этой мод.ели нужно определить статистические ха-
ра ктеристики входного шума ni,(.t) 11/2cos1~ffiot+Ф 1 (t)]n(t) ~
~ a(t)n(t). Ис,следован.ие, казалось бы, сильно усложняется зави­
с им остью между этим шумом :и фазой на выходе ГУН . Но эта фа­
з а завис ит не от самого процесса n(t), а от интеграла от ,профиль­
траванного произведения п (t) ,a(t). Если ширина полосы шума рав-
1rа Вп, то величины n(t) и п(t-т), по существу, независимы при
л юбых т>k/Вп, где k-обычно малое ч.исло . Так как фаза Фа (t)
110 предположению медленно меняется по сра·в.нению •С п ериодом
с иг нала 2л/,ffio, то оптимальная оценка Ф 1 (,t) фазы будет зависеть
о т значений входного ·сигнала в .последние 2лК/w 0 секунд, где
/( ~ 1 . В соответствии с эт.им, если {fJo/2лK ~В14:..Вп (а выполнение
··но го неравенства, конечно, .необходимо, чтобы ·назвать шум «бе ­
_; , ым »), то шум, 1п.ри нятый в ,послед,ние k/Вп секунд, бу,дет ,пренеб,ре­
ж имо мало влиять на Ф 1 (t). Поэтому Ф 1 (t) и, как следствие, а (t)
11с будут, по •суще,ству, зависеть от n(t) и
J;{п1(t)}~Е{п(t)}Е{а(t)}= О,
(5.47)
в то время как
fl{п (t)п (t)}~{Е{п(t1)а(11)а(t2)}Е{п(t2)} =О,
1112
Е {n2 (t1)} Е {а2 (t1)},
(5.48)
Но если входной шум-белый (т. •е. Вп'5?> В1), то Е {n.(t) n(t+т)}:::::,
N
~ ~ б(т), так что
2
П {n1 (t)n1 (t+-r)}~N; E{a2 (t)}8(-r) .
(5.49)
1 : сJ! И фаза Ф 0 (t) распределена равноме,рно, что предполагается, и
1•с,11н ошибка в фазе не зависит от Фа(t), что, очевидно, имеет мес­
то п системе ФАПЧ, то величина Ф1 (t) также равномерно распре­
' lt'.11ена на интервале (О, 2л). Следовательно, так как а (t) =
ll"°fcosi(w 0,t+Ф 1 (t) ], то E[a2 (t)]=l . Поэтому шум на входе линей-
1 1оi:r модели си,стемы ФАПЧ, по существу, является белым и ста­
ll! I она рным в широком ·смысле.
Спектр входного шума Sn.1 (w) только что был определен . Та1⁄4:
11 :tк при отыскании оптимального фильтра необходимо также зна-
1111 взаи мной спектральной плотности Sп1Фа(ш), то ее также сле-
127


дует изучить. Но та1к .как n(t1), 1по существу, Н€ за1висит от a(t1) и
совершенно не зависит от фазы сигнала Ф0 (i 2 ) 1При любом :t 2, Т·О
Е{n1(t1)Ф0(t2)} ~ Е{а(t1)Ф0(t2)}Е{п(t1)} = О
(5.50)
и спектральная плотно,сть Sп 1 Фо (,w) пренеб,режимо мала .
Наконец, в силу того, что .интересна ,не только дисперсия, но
также ,и ;распределение фазовой ошибки Фе (t) =Фа (t)-Ф 1 (t), по­
лезно дать п олное статистическое описание процесса n 1(t) =
=n(:t)1a(t), 1п1рЕщста1вляющего :ео~бой шум на входе. Для ~это1го у~доiб­
,но 1пред,полож.ить ,на неко'I'орое нремя, что ~перед системой ФАПЧ
находится полосовой фильтр ,с mолосой B~2:fa=2w0 /2n, ,симметрич­
но расположенной относительно частоты {0. Дисперсия шума cr 2 n
тогда равна NaB. Пусть п1 (,f) обозначает, что этот шум профиль­
тр,о.ван .и
n1(t)= па(t)cosroof- nь(t)sinroof.
(5.51)
Если n(t) - гауссовский п1роцесс с нулевым средним, то na(t)
и nь'(f) - взаимно независимые .гау,ссовские процессы, имеющие
средние, раВ'ные нулю, и дисперсии, равные диспер,сии n1(t). Так
как a(t) = V2cos[w0 t+Ф 1-(t)], то низкочастотные компоненты .про­
изведения п1 (t) а (t) могут быть за·писаны в виде
n1 (t) aU)]u = J2 {па(t) cosФ1(t) + nь(t) sinФ1(t)}.
(5.52 )
Положим теперь
V2[п1(t)а(t)]Lf = п'(t) = {па(t) cosФ1(t) +nь(t) sinФ1(t)}
(5.53 )
и n'1 (t)={na(t)sinФ1(t)-nь(t)cosФ1(t)} и рас,смотрим совмест­
ную плотность распределения случайных .величин п1, п11 , Ф 1 в ка­
кой-либо фиксирован,ный момент времени . Якобиан преобразова­
ния перехода от па, nь и Ф1, к 11-', n 11 и Ф1 равен . единице. Более
того,
__
1_
-
( п~ + п~)/20~
р(па,nь, Ф1)-
2е
р(Ф1).
2nan
По,следнее следует из того, что па ,и nь -независимые гаус-совские
величины, а (ка,к уже было показано) п1 (t) и, следовательно ,
na(t) и nь(f), по существу, не зависят от Ф(t). Но n2a+n 2 ь=
= (п1)2+ (п11)2 апоэтому
1 -[(n')'+(n")2]/2o2
р(п'_п'1, Ф1) =
--
2
е
п р(Ф1) ,
2nan
Наконец,
со 2п
- (n')'/Zo2
р(п')= ssp(n',n11 ,Ф1)dФ1 dn11 = , 1 1 е п'
у2ncrn
(5.54 )
-000
и однО1мерное ,рае,предел,ение шума на ,входе фильтра ФАПЧ
[щ(.t)x(t)]11 = (I/ V 2)n1 (t) является гау,ссов-ским с нулевы м сред-
128


ним ,и диоперсисй l/2cr2 n. Так как шир 'ина ,полосы низкочастотной
комлоненты вдвое меньше, чем ширина полосы фильтра , то двусто­
рон няя спектральная плотность этой компоненты равна
(l/2cr 2n)/(J/2B) =No/2, т. е. та же, что ,и у процесса n(t) .
Хо тя в предыдущих рассуждениях ,было удобно рассматривать
·п олосовой фильтр ,с шири.ной 111олосы B~2fo, стоящий iПеред систе­
мой ФАПЧ, наличие фильтра 1в щействительно.сти ,несущест,венно
дл я выводов. После умножени·я ·на 1а (;f) любая компонента шума
п не диапазона частот 0<t<2,f0 6удет расположена далеко за пре­
делами полосы пропускания системы ФАПЧ. Таким образом , В мо­
ж.ет быть произвольно большой, не влияя на выход цепи, и фильтр ,
фа,кти че.СJКи, мткно ~полностью устранить. В соотнетств-ии с э-гим
,при ~рассмотрении ,системы ФАПЧ, iПроцесс {п1 (,t) ]11 мож:но считать
бел ым гауссовским случайным процессом со спектральной плот­
rrост ью No/2. Снова высокочастотные компоненты процесса n1 (t)
не будут влиять на характеристики системы ФАПЧ и могут не
учи тыват ься.
5.6 . Оптимизация фильтра в системе ФАПЧ
Существует несколько подходов к оптимизации системы
ФА ПЧ, зависящих от предположен,ий относ,ительно с,иrнала. В за­
да че всегда следует учитывать ,случайные расхождения из-за не ­
с таби льностей генератора между фазой на выходе .ГУН и фазой
11р инятого сигнала даже в отсутствие шума . Хотя в эти случайные
флу ктуации в·носят вклад оба генератора, в общем случае удобно
расс матривать ГУН как .идеальный генератор, а генератор пере ­
;щ тчика - ка,к единственный источник этих изменений . Для боль-
1uинства случаев действительный источник является несуществен -
11ым, так как интересна лишь разность фаз. Если сшектр этих
флукту аций фазы извес-ген :или есл.и er,o можно найти 1прИ1бли­
жен но, то фильтр в системе ФАПЧ можно легко оптимизировать
так , чтобы миним.изировать среднеквадратическую разн-ость фаз .
00
Используя преобразования Лапласа '8; (s) = f Ф; (t) e-st dt, i = О, 1
о
00
11 H(s) = J..Ji(t)e-st dt, где s=a+iw, а~О, получаем в отсутствие
о
111ума {.ер. с рис . 5.4; Ф 1 (t), Ф 2 (t) и ,h(t) те же, что и определенные
11а рисунке], что
o.L (s) = у(s) 00{s),
(5.55)
1 щс .Y(s) - частотная характер·и.стика системы ФАПЧ
у(s) = АКН(s)
s+ AKH(s)
:3;t сь К обозначает усиление ГУН).
1, 281
(5.56)
129


Это соотношение .иллюстрируется рис. 5.5 . Для того чтобы оп­
ределить частотную характеристику оптимального фильтра H(s),
достаточно найти оптимальную частотную характеристику Y(s) и
.затем выразить ff(s):
Н(s) -
sY (s)
(5 57)
-
АК[1- У(s)]
•
Так как цепь, пригодная для каких­
•1шбо применений, должна быть устойчи­
вой, тu Y(s) должна быть частотной ха-
•рактеристикой устойчивого фильтра (ер .
Рис. 5.5 . Функциональная с ~ 5 .2). Таким образом, преобразование
схема линейной модели в Фурье У (iш) импульсного отклика этого
част отном представлении
фильтра также существует, и процедура
оптимизации, развитая в § 5.2, прямо
n-римен·има вдесь. Опrт,имальный фильтр ФАПЧ H(s) ~будет, одна­
ко, не обязат-ельно устойчwвым, ·как ~показано в дальнейшем.
В качестве примера предположим, что принимаемый сигнал
имеет вид
(5.58)
rде [-случайная частотная компонента со ,спектром S1 (ш) =
=2а21 ~/ ~ шЧ- 132), а ш0/2n - центральная частота ГУН. Тогда спектр
фазы
Оптимальный фильтр Y(i,(t)) является сглаживающим фильт­
ром, если сигнал имеет спектр SФ((t)), а шум является белым со
спектральной плотностью Sn('(t)) =Na/2A 2a. Так как шум является
белым, а с п ектр слгнала рациональным (.и асимптотически равным
нулю ) , о,птимальный фильт,р ош,ределяется та1к же, ,ка1к ,в ф-ле
(5.28} :
( N /2А2)1/2
у(i(t))= 1-
оо•
-
чr (ffi)
(5.59)
(5 .60)
131l'


Среднеквадратическая ошибка, об условленная ,наличием шума ,
имеет вид {ер . с (5.31)]
(J~ =-1 -s"" N~ /Y(iw)/2dw= No~L
.
2л
2А0
А0
(5.61)
-оо
где ширина полосы с,uстемы ФАПЧ BL={B20 +,(a--'~) 2]/4 a рав:на
ширине полосы идеального прямоугольного фильтра, который пр о­
пустил бы ту же самую мощность шума . Ошибка вследствые Др@­
ж ания частоты равна
~
2~
а21'= - 1 j' S0 (w) / 1-Y(iw)/2dw=~ .
s
2л
аВ0
(5.62)
-оо
Интересно 0тмегить ,связь между полученной: здесь фазовой:
о шибкой: из-за наличия аддитивного шума (5.61) и соответствую­
щим выражением при ,использовании оптимальной: формул ы оцен­
ки фазы, когда прин.имаемая фаза считается постоянной: (см . § 3.7).
С оответствующие выражения . для ошибок в этих двух ,ситу-..,ациях :
cr 2n =NoBL/A 20 и G 2 n=Na/2A2oT совпадают, если BL ,и 1/2Т равны.
Напомним, что Т - это время, в течение которого можно считать,
что .принимаемая синусоида ,имеет одну и ту же фазу , если произ ­
вод ится оценка максимального правдоподобия.
В большинстве практических случаев .наряду со случайными
флуктуациями фазы генератора ,существуют ,переходные процессы
из-з а относительных различий: между фазой принимаемого сигна­
ла .и фазой ;ГУН сигнала . Та-кой переходный: процесс возни кает,
на пример, когда сигнал принимается впервые и ~цепь входит . в еин ­
хр онизм. Другой причиной: возникновения переходного пр оцес,са
мож ет служить допплеровский: сдвиг частоты принимаемого сиг­
на ла, .приводящий: к отклонению от централь'ной: частоты цепи.
Час то эти переходные проце,с,сы влияют намного сильнее, ч ем слу­
чай ные колеба,Н'ИЯ фазы, ~поэтому фильт,ры •в оистеме часто вы6ира­
ются единственно из тех соображений:, чтобы избежать ошибок от­
сл еживания из-за прогнозируемых переходных процессов . Пр и этом
фильт р ФАПЧ сТ~р,оится так, чтобы 1минимизир·овать средне.~вад;ра­
тическую ошибку, вызван.ную аддитивным шумом при заданной
;~опустимой: ошибке, возникающей: из-за переходных проце \:сов..
Так же, как пр.и анализе согласованных фильтров в § 5.3, .проце­
дур а опт:имизации, использующая этот критерий: оптимальности,
сов.пада ет с процедурой:, описанной: для сглаживающего фильтр'а,
ели установить нужные соответствия .
О птимизация при у-словии ограничения на пере ходные процессы
nып олняет-ся следующим образом. Средне.квадратическая фа зов ая
о шибка, вызванная аддит,ив'ным шумом,
1 5.GЗ)
-оо
' 131


где Sn ((!)) =No/2A 2o, как раньше, - нормирован,ная спектраль~ная
плотность шума . Ошибка из-за переходных процес-сов определяется
как интеграл ог квадрата разности между фазами на входе и вы­
ходе. в отсутствие шума 1при условии, что :переход,ный ,процесс ~на­
чинается в момент t=0, т. е.
00
"'
о}= s[Ф1(t) - Ф0(t)]2dt = sФ~(t) dt.
(5.64)
о
о
Так как этот интеграл должен быть огран·иченным, то сущест­
вует, согласно теореме Пла.ншереля, такая функция 0e(i-(J)), что
(5.65)
-ао
-с,,
Более того, если Фе(t) абсолютно интегрируема, что также жела­
тельно потребовать, то
00
0e(i w) = SФе(t) e-ioot dt = ~i~0e(s) = 1~~0
/ 1- У(s)j0o(s),
(5.66)
-00
где снова s= ,a+i,w.
Требуется минимизировать о2п при наличии ограничений на пе­
рехощ1ную -ошибку, т. е . отьюкиваеТ1Ся фильт,р ФАПЧ, ко·юрый ,ми­
ним·из.ирует 1вы,р ажение
Е2= (i~+1<}0}.
(5.67)
(Множитель Лагранжа л определяется с .помощью задан.наго уров­
ня переходной ошибки, как сейчас будет •показано.) Таким обра­
зом, требуется найти переходную функцию Y(s), минимизирующую
00
Е2 =-1 s{J Y(iw) J2 Sп(w)+л2 j Y(iw)-1/2 I 8o(iw)j 2}d(t1.
2:тt
-оо
(5 .68)
Но равенства (5.10) и (5.68) эквивалентны, если в .первое вместо
Sz(w) подставль ,выражение л2 l·8o(i,w) J 2 и если Sz,i (w) =0. Поэто­
му оптимальные фильтры § 5.2 являются оптимальным.и и здесь.
Ясно, что :амым важным переходным процес-сом при нашем
рассмотрении является скачок частоты ·80 (s) =,Лw/s 2 , так как цент­
ральные частоты передатчика и ГУН никогда ·не будут в точности
равными. Систему ФАПЧ строят так, чтобы удержать ошибку ОТ··
слеживания, возникающую из-за этого различия, в разумных пре­
делах . Но так как
л,2 1 0 (iw) /2 = lim ".,2(Лw)z
(5.69)
о
в-о w2(w2+~2) '
то требуемое решение непосредственно вытекает из равенства
(5.60), если подставить л 2 (Л,w) 2 вместо ,a2 t~ и устремить ~ ,к нулю.
132


Олти:чальная част-от,ная характеристика системы ФАПЧ поэтому
бу,дет иметь вид
.
В6+У2В0 i(I)
У(1 ш)=
_
,
(5.70)
В6+ У2 В0 i W-(02
где B 40 ={4A 20 (J,Л,w) 2J/N0 . Как и ранее, средняя мощность шума на
н ыхо.J,е может быть записана как
00
а2--1 j'
"
2л
(5. 71)
-оо
1·де В L =1 (ЗВо /4 V2) - ширина полосы системы ФАПЧ.
Используя (5.57), где А =Ао, получим
H(s)= 85 +V2B0 s/A0 Ks.
(5.72)
Такии образом, оптимальный фильтр зав.исит от В 0 и А 0 и, сле­
д овательно, от амплитуды сигнала, отношения сигнал/шум, абсо­
л ютной ,величюrы скачка частоты и значения 'А, которое, в свою
о чередь, опр ед~ляет величину переходной ошибки . Чтобы убедить­
с п в этом, необходимо лишь заметить, что
00
е? =- /0 (iw)/2 1 l- Y(iw)l2 dw =----'---'-- рад2 с
1j'
(Лw) 2
7
2а
о
(BBL /3)~
-QO
(5.73)
11 о шиб1,а обра тно пропорцнональ,на 'J, ,, 3; 2 .
Ecmr мощность сигна ла А 2 1 и спектральная плотност ь шума N 1
отли чаются от принят ых при расчете значений А 20 и N0, Вт/Гц.
то дрожание фазы на вы ходе (в рад2 )
2_(BLN1)1[А1,]
а----2-~1
11
\
Ai13
Au,
б
'
2)
11·переходная оши ка (в рад с
е2 = (Лw)2 (~)2
Т(8~LуА1,
1·: lc BL определено ран ее .
(5.74)
(5.75)
Конечно, можно построить цепь так, чтобы ко м п енси р оват ь р аз ­
:111 ч 11ые :переходные 1процесс ы. Система ФАПЧ, изученная выше,
1 и1 с то .н аз Ь!lвается систе1ной второго порядка, та.к ка·к У ( s) имеет
:l1 1a ~по люса . Система первого порядк,а :получ ается, если ,п,от,ребо-
11п т 1, , чтобы ,переходные процесс ы, воз,ниа<ающие mри скач,ке фазы
011 (s) = Л0/s,
(5 .76)
( 1 1 ,1 л и ограниченн ь1 ми. В этом случае оптимальн ая п е редаточная
ф у.н,1.;:щия, к ак ле1г.ко .видеть, имеет в,ид
)"(s)= 4BL/(s -1-4BL),
(5 .77)
133


т,огда как
Н (s) = 4BLJA0K,
(5.78)
где BL = V2л (Л0) Aof4N~ 12
•
Среднеквадратическая фазовая ошибка, обусловленная адди­
тивным шумом, .и переходная ошибка (при произвольной ампл.и­
туде сигнала А 1 :и спе.ктральной плотности шума N 1/2) соот.вет­
стввнно равны:
а2= N1BL (~) •
пА2
,
(5.79)
1
Ао
е2 = (Л02)
(5 80)
Т
8BL(A1/Ao)
•
Для си:стемы ФАПЧ третьего порядка, опос,о;б1ной от,слеживать
линейные ,из1мене,н,ия частоты 0a(s) =IЛ1a/s 3, оптимальный фильтр
ФАПЧ, •оказывается, .имеет .вид
(~вL)з +2(~в1.,)2 s+ Е BLs2
Н(s)= 5
5
5
(5.81)
AoKs 2
где
=
-
вз (5 \\З ·v21,(Ла)Ао
L
6)
(No) I /2
Соответствующие ошибки
и шума равны:
для произвольных уровней с.и гнал а
а2= N1BL ~[4(А1/Ао)+1].
п
А2
,
1
5 4(А1/А0)- 1
(5.82)
(5,з
6) (Ла)2
eJ = --, ----
-,----
-
(;:)l4(;: )-1JBf
(5.83)
Легко продемонстрировать преимущества системы ФАПЧ вто­
. рога
порядка. Если на входе системы ФАПЧ первого порядка
возникает скачок частоты величины Лw, то фазовая ошибка
iсо
1\"
Лw
Лю{
-
48Lt}
Фе(t)=-. (l-Y(s))-estds= 48 1 - е
2л1
.
s2
L
-i ею
и е( оо) = 1Л,w/4Br, , так что остается нежелательная установ ив шаяся
ошибка. Система второго порядка дает при том же самом в ход е
нулевую устано1в ившуюся оши,б1ку . ,С друсr--ой стО1ро,ны, так ~как раз­
н·оеть частот двух генераторов, .вообще говоря, не увел.и'Чива ·ет•ся
(или умень[llается) ,бесконеч,но, то системы трет tего ~порядка редко
иапользуют,ся ·для еи:нх,ронизации.
Итак, было пок а зано , что с помощью соответствующи :v1 обра ­
зом выбранных методо в можно построить отслеживающий согла ~
134


с аванный фильтр. Фильтр можно ,сконструировать так , чтобы ском­
п-енсировать случайные флуктуации фазы :Или с равным успехом
переходные процессы (или и то, и другое одновременно). К сожа­
J1 е1шю, оптимальный фильтр в общем случае зависит от отношения
с и гнал / ш у м. В частности , показано, что ширина полосы оп т ималь­
н о й цели в ,каждой из трех только что рассмотр енны х систем
ФА ПЧ прямо пропорциональна некоторой дробной с теп е ни отно­
ше ния с и гнал/шум. Однако если параметры фи л ьтр а н е и з меня­
ю11ся ,при .изме.нен·ии ,от.ношения сИlг,нал/шум на ·входе , то эффек­
тив н а я ширина ,полосы •системы ФАПЧ-,функ'Ци я лишь а,м1пЛ'иту­
: lЫ с И1гнала {см. рав е,нст1В а (5.74), (5 .75) , ('5 .78), (.5 .79) и .(5.82),
(5.83) ]. В результате, хотя в каждой из этих систем среднеквадра­
т и ч е ская ошибка фа з ы и переходная ошибка уменьшаются , когда
м о щность сиг:нал2 ,возрастает шо аравнен.ию со з наче,н- ием , ,пр·иня ­
тым 1при ра•счете, ,но они не ум·еньшаются ш1роiпорцио ,налыю , .ка.к 1В
с лучае фильтра ФАПЧ, 01птимизирова.нног,о для ,каждого у,ро,в,ня
сиrн,ала.
На пра,ктике системам ФАПЧ обычно предшеств уют полосовые
о гр а ничители .или устройства автоматической регулировки услле-
11н я. Благодаря этим устройствам полоса цепи зависит от отноше-
1 , ия сигнал/шум, а не от у ровня сигнала, и, следовательно, з ависи­
м ос ть от этих парам е тров более .близка к оптимальном у случаю.
'- ·1·-
0 утверждение является прямым следствием двух особенностей
1, ол осовых ограничителей и устройств автоматиче.ской регули­
роnки уоиления:
1. Отношение сигнал /шум S' 1 /No1 B 1 ,на выходе таких .приборов
1 1Jн1 м о пропорционально отношению S1/N1B 1 на их в х оде , т . е.
S' 1/ N' 1B 1=kS 1/N1B 1, где л/4<k<2 для полосовых ограничит елей с
1 1 111р.иной полосы В 1 1) и , по - видимому, ,k= 1 для устройств автома­
·1· 11ч ес кой регулировки уси л ения.
2 . Полная мощность .на выходе так·их устройств по с тоянн а не­
: 1с1 1н1 с имо от отношения сигнал / шум на входе, т . е . S'1+N'1B1=К.
Тнким образом, s; = К
51
иN' = !5._
N1
S1+ N1B1/k
I
k s1+N1B1/k
В ,с оответствии с э ти м увеличение уровня принятого сигнала
11,1, п,чно проявляется на вх од е цепи как ум е ньшени е ур ов ня шy­
Mil. Ши рина полосы сист е мы поэтому ,с ростом уровня -сигнала y вe­
JI1 1 ч·ивается медленнее (-и , ,сл едовательно, она 6л.иже .к O1птимально­
~ 1 у слу ч аю) , чем в отсу тств ие 01граничителя . А·налогично увеличе-
11 11 ' у ровн я шума ~проя вл яет ся частично ,ка ,к ум-енышение ,мощности
, · 111· 1 1 а ла на вхо.де цепи. Это , в ,овою очередь, -приводит 1к у,м-еньше-
1 1 11 ю шир.и:ны ,полосы ,цеп-и, что '6Л'ИЖе .к ,ис11.еальной ,ситу ации .
11 л юбом случае обычно принято строить цепь так, чтобы рабо-
1 11 т1, оптимально в ~на ихудших о.жидаемых ус.rювиях. Хотя ,работа
11 1 1 с буде т оптимальной для других уровней, отличны х от номи-
11 ,1 .111, 1ю1rо, она все же будет .лучше, чем ;в эт,ом крайнем случае, .в
111 ·1' 01 rю м работа f ЧИта е тся удов летворительной .
') м. задачу 5.6 .
135


В •общем случае случайные флуктуации фазы (шум генерато ­
ра) присутствуют, даже когда цель строится та.к, чтобы компенси­
ровать лишь аддитивный шум и ожидаемые переходные процессы .
Шум генератора увеличивает среднеквадратическую ошибку .по
сравнению ,с пределом, который соответствует лишь аддитивному
шуму. Тем не менее ;в lбольши,нстве слу,чаев шолоса ,системы ФАПЧ,
нео'бхо.zi:и·мая 1для того, чтобы сделать 1п,рие,млемым.и !Переходные
процессы, · достаточ·но широка, чтобы сделать влияние шума гене­
ратора относительно малым по сравнению с влиянием аддитивного
шума. Это предположение будет использоваться в· последующем
а,нализе систем ФАПЧ.
Анализ, проведенный в этом параграфе , начинался с· лредполо­
же,ния, что линейная модель дает хорошее пр·иблюкелие к дейст­
в·ительному ~поведению сист-емы ФАПЧ . Эrюперименталыные ре­
зультаты показывают, что это имеет мест-о, когда среднеквадра­
тичес1кая ·ошибка ,отслеж.и,ва•ния це~пи .не ,превышает 1/4 рад2 . Не­
линейный анализ цепи :пер,во.го ~порядка д,риво.дит ,к ~результатам,
которые очень 6ли.зко с-огласую11ся с ,результатами л-инейно1го .ана­
лиза в том же и,нтер!Вале о:шибо.к. Дру1Гие !ПР'Иближе.нные нел.и­
нейные подходы также подтверждают этот -вывод для 'цепей более
высокого порядка. Во в,се х применениях, с которыми мы будем
сталкивать:ся, среднеквадратическая ошибка фазы, большая, чем
1/4 рад2, будет недоп устимой . В соответствии с этим линейная мо­
дель будет, как правило, приемлемой для наших целей. Исключе­
нием из этого правила является начальный процесс входа в ,сн.н­
х.ронизм, ко1rда .система еще не отслеживает 1при1Нимаемый сигнал..
Эта ст,о,рона задачи обсуждается в слещующем ,паралрафе.
5.7 . Время входа в синхронизм
В этом па,раграфе получим оценки для ·в ремени, необ­
ходимого для то1Го, чтобы ~привести систему ФА!ПЧ 1в со,стояние
синхронизма 1), когда 1началь:ная -разность м·ежду частотой ГУН !И
част,отой ,п.ринимаемо,го сиг:нала ра,вна ,Л:f. Та.к ;ка1к два независи­
мых тенератоrра ли~котда не буLдут ,работать точно ,на одной и той
же ,частоте, эта зада,ча 1неиз,бежно .возн,ика,ет .в ,начальной стщции
процесса входа в синхронизм. Система ФАПЧ второго порядка
способна отследить такой сдвИIГ час·ют с .нулевой установи,вшейся
ошибкой; ,системы ФАПЧ более ;высоко:го ~порядка также о,бла,дают
этим свойством, но так как для них возникает проблема устой.чи­
во:сти, .когда 1па,раметры сИ1гнала отл.ичаютс,я от номинальных зна­
че,ний, то, ,вообще ,го,в,оря, с,истемы ,вто,р.ого ,порядка 1п,р,едпочти­
тельнее. Более тО1го, .ка,к у:же было -отмечено, те 1п•ерех,одiные .пр,о­
це,ссы, кот-орые тре~буют ,введен,ия .цепей более ,высо1к10['0 ~по.рядка,.
.им-еют, .ка1К !Правило, ограниченную ,продолжительность. По этим
1) Говорят, что цепь синхронизации фазы будет в ~<состоянии синхронпзма» .
когда разность фаз между сигналом ТУН и принимаемым сигналом становится,
и продолжает оставаться меньше, чем :n: рад. (При.к авт.) .
136


,причинам огра.ничи,м наше влимание изучением ,процесса .входа в
с и~-1хро,ниэм лишь ,с.и.стемы ФАПЧ ;вт-орого 1По1ря~дка ,в слу,чае, когда
11ервоначальн ый сдвиil' частоты равен постоянной ,Л,f.
Вычисле,ние времени, необходимоtо для вхожден.ия в синхро -
11из м при использовании -сис'темы ФАПЧ, хотя и несомненно -свя­
з ано с поведенпем ц епи • в состоянии синхронизма, является по
с поему существу более трудным для анал.иза. Де ло в том, что
зде сь .нельз я иопользовать линейную модель ,системы ФАПЧ; оч-е-
1111д но, что до того, как ·произойдет захватывание, система должна
по О'бще ,го1воря, ,работать за mределами линейного участка диа,па­
:зо на. Ниже 1п•олучелы ~некоторы е лри'6 ;,1иже нные р-езультаты, ,в слу­
чае, коrща можно ,пренебречь ,шумом 'На :входе системы.. Так ка,к
оце.нки фазы должны ,быть ДОВОЛЫIО Т·О'ЧНЫМ,И для того, что­
()ы их можно было ис,п.ользавать · .в син•х,р,о,нных системах, -инте­
/JСС пред-ставляет случ,а й ,с большим значением отношения сиг­
ЩlJ f/шум. Поэтому время входа в
с1 ы1хро!-Iиз м системы ,в от,сутств·ие
11,у,мJ ·будет разумной о,це,Нкой ее
ха ,ра1пе:ристик в ,большинстве 1пр:и- , г,, •
v2 cos (IJ0 t +Ф1)
.11о же1!-шй , связалных с -си'Нх,рон·иза-
щ rей.
Н{!;)
Для анализа времени входа в
Рис. 5 .6 . Функциональная схема
с 1111 хронпзм вернемся к нетнrеа ри- нелинейной модели системы ФАПЧ
~юnа нной модели системы ФЛПЧ
(рис . 5.6). Высокочастотные со -
с тав:;яю шие на выходе умножит~ля могут не пр иним аться no
11 11н,.-1 ан ие, так как они опять-таки будут, фа1сгически, устранены
ф11льтром . Фильтр J-f(p) уже был 'Найден (р обозначает оператор
1//,(Lt ), так что анализ можно провести во време~ш6й области. Вы­
хо дная частота ГУН состоит :из постоянной .составляющей w0, т. е.
11,(' 11трал ь,ной ч;,стСJты, и сос тавляющей, пропорцион альной напря ­
жс1 1 :1ю на в х оде ff(p)A 0 siпФe(t) . Поэтому Ф 1 (t)=(К 0 Н(р)/р)Х
Х: Ао s in Фе{t), ,где Ко -,постоянная, обозначающая коэффициен т
у·нления ГУН, и
Ф0(/) - Ф1(t) = Ф0(t) - Н(р)АоКо sinФ,(t) = Фе(t).
(5.84)
р
'
Л 11ф фе ренцируя, ,находим
,tm1, (1) ' Н( .)А.К
• Ф(t)-dФо(t)-Л
ТрооS!Пе·
-
-
w,
(/1
•
dt
(5.85)
11ocJ 1 cд1-ree равенство следует нз . того, что первоначаль ная разность
1 1 1 1стот .ГУН и принимаЕ;vrого с:игнала по лредпо ложвнию равна
1\ 1,, рад/с; Фо(t) = 1 (Л,w)t+Ф 0 . Ха;рактеристика ,ф ильтра •системы
11 ·1 ·о·рого по·ря,дка, .который был введен в § 5.6 , имела вид
11(р)=К1(1 +т0р)/р.
(5.86)
() ( .11н о птимального фильтра
/(, В2о/А0!\0 ·и 1io= -ll 2/B0 .)
1111ффсренц.ируя, получаем
в соответствии с критерием § 5.6
Подставляя Н ( р) в (5.85) 11 опять
137


d2Фе+dФе К ·ф+К.ф d2Ф0(t)
--
--т
cos
sш
=---
dt2
dtо
•
е
е
dt2
•
(5.87)
где К =АоКоК1. Предполагается, что частота на входе пост оян на,
так что d2 Ф 0 (t) /dt2 =0. Удобно сделать подста,новку .:=.:0 Кt. Тогда
равенство (5 .84) упростится и примет вид
d2 Фе
rd Фе
1
•
1
-- +cosФе--+-2sinФe=f+fcosФ+ --
2srnФ=О,
d-c 2
d-c
К-со
•
К-со
(5 .88)
где Ф=Ф,(t); f=dФe(t) и f = daФe(t}
d-c
d-c 2
Таким ,образом,
j_ = !!!_/dФ= .!!1_ = -соsФ-sinФ
fd-сd-сdФ
4r,2f '
(5.89)
где ~2 = К.:2о/4.
Равенство (5.89) можно использовать, чтобы получ.ить прибли­
женное выражен.не для времени входа в синхро,низм. С этой uелью
умножим обе части (5.89) на sin ФdФ и лроинтегр:ируем в преде­
лах от Ф=2л/, до Ф=2л(k+1), где k-произвольное цело е число;
в результате получим
Ф=2:rttk+l)
2:rt(k+l)
2:rt(k+l)•
.\ sinФdf = -
S sin2Ф dФ= - r fcosФdФ
41;,2 f
J
'
(5.90)
Ф=2:rtk
2:rtk
2:rtk
где последний интеграл получен при интегрирова,нии по частям
первого интеграла. Аналогично умножая обе части (5.89) ,на fdФ,
интегрирrуя ·в тех же пределах и используя ф-лу (5.87), получим
2:rt(k+l)
2л(k+l)
- 1⁄2-rt 2(2n(k+l))-f2(2nk)]=-
5 fcosФdФ=- J.
'Z 'ltk
2:rtk
sin2Ф dФ.
4~2 f (5.9!)
Если функц;1я }' положительна, то последний интеграл пол ож и­
телен, и тот факт, что f[2л(k+l)]<f(2лk), означает, что независимо
от величины разности частот f каждый полный цпкл приво дит к
уменьшению этой раз:ности . Есл:и f отрицательна, что соответствует
измене.нию направления ·отсчета фазы на ,противо1п,оложное {от
2л(k+l) к 2л/<- рад], то ·интег.рал ,с,права ·отрицателен и lf(2лk } \<
< I Н2л (/,+ 1)]1 . Разность частот, таким образом,стремитсякну.'пu
незавиоо10 от первоначального значения. Теоретически частотный
диапазон захвата бесконечен.
Чтобы оuенить время, необходимое для входа 11 синх рnн изм,
напомню.1, что / =dФ/dт и, следовательно,
t = -,~\ = -colK s\Ф.
(5.92)
138


С умм ир у я равенство (5.91) .по п персt1од2м, на х ощв1, что
2,111:
f2 (2nn)-f(O) =
-
-
1 Jnsin2Ф ,dФ.
2,2
f
о
Д ля некоторого значения п имеем f2 (2пп) ~ О и
2=
2-
,
f2(0) -f2(21tn) = _1 J' sin2Ф dФ= ~-
1~~=2Гма
2,2
f
2t2Jf
То'
11
О
(5 .93)
!Где Тлr - время, необходимое для того, чтобы р,азность частот ста­
J1а лриб ,1иженно равной нулю в случае, когда начальная разность
рав на Лf = ,[т0Кf {О) /2л] Гц; 1а - некоторое число из интервала
О < а< 1. Поэтому
,
:n:2 ( 1+4t2 )з{Лf)2
Тлr= - --- --
8а~\ 4,
вf'
(5.94)
VJ;e Т м дано 1в секундах; BL =,(1/4т0 ) (1 + 4~2) - ширина полосы
с 11сте мы ФАПЧ в случае , когда фильтр ФАПЧ задается равенством
(5. 86). i[Если ·}юпользуется О1птимальный фильт,р, введе,нный в § 5.6,
' j'()
~
2 = :1/ 2 и То= ·v21во . Интерес.но отметить, что вр,емя ~входа в
,с 1111 х ро,низм согласно ф - ле ( 5.94) в д,ействительн,ост.и миним'изи1ру ­
(' т с я , когда ~2 = 1/2]. Хорошая в общем случае оценка для Т лt полу-
1 1 ;1ст ся, 1ко"Гда s in 2 х в (5.93) з2меняется на его ореднее значение
1/2 . Тогда ,а= 1/2 ,ш
7Г ~~(1+4~2 )з(Л./)2
(5.95)
лr~ 4~
4,
в.I •
В некоторых случаях возможно (и желателыщ) увеличивать BL
JIO в р е мя входа в ,синхронизм для того, чтобы уменьшить требуе­
мое вре мя, и уменьшать BL после входа в синхронизм . Однако ве­
.1 11,чин а, на 1,оторую можно измен и ть BL, ограничена шумом , так
1<; 11 , у,в е лнчение , ш ирины ~полосы системы усиливает вшшние адди­
' 1 ·.111111ого шума и, следовательно, общую вероятность неудачи лри
11ходс а с инхронизм .
Мы у,стааюв·и.пи, что время, необх•оlдимое для входа ,в ,синхро­
'1111 :1м, рас тет как квадрат разности частот ГУН и принимаемог,о
(' II J' 11 aлa . Когда началы1ая разность частот велика, время входа в
, • 1 111 х рониз м может быть чрезмерно большим . В этом случае wи­
,jH)J(O 1 1рименяется метод, который состоит в подаче на вход ГУН
J ll> 11 0J 111нтель:ного л.инейно возрастающего (или убывающего) на-
11рнжс1 rня, что приводит к качанию частоты ГУН в интервале не-
1> 11р с 1tе ле нности. Предыдущие рассуждения мож,но обобщить так,
1 1 ' 1• 0(,ы получить некоторые предельные резущ,таты для этого .слу-
111 111. [3 си лу того что
m1(!) 0КоН(р)А0sinФе(t)- -1 ~t2,
(5.96)
р
2
139


гд е f}-- скорость качания, ·рад/с 2 , равенство (5.85) прини ,1аtт вид
dФе (1) +А К H(p)sinФ ( t)=
dФо (t) + ~t.
(5.97)
dt
оо
е
dt
Подсттювка Н(р) и диффере1-щирование, как и ранее, даю т
~2Фе+_d Фе
т,Кcosф +Кsinф =
d~
Фо(t) +~
d/2
dtо
е
е
d/2 .
(5.98)
вместо (5.87). Равенство (5.89) принима е т в ид
df
ф + ~!K-sinФ
-
=
-
cos
dФ
4~2 f
(5.99)
Интегрируя обе час т и этого равенства в пределах от 2лk до
2л(k+l), •получаем
2:rt(k+I)
f(2л(!i + 1))-f(2nk)= 4
~
2
J ~/К7siлФ сlФ.
(5. 100)
2:rtk
Но теперь, е сли В> К, то полож:ителыюе з.начение t в течение
.любого одного .цикла означает, что f{2л (!г +1) ] больше, чем f (2nk),
в то время как отриц, ательная _разность частот означ ае т, что
f(2л.k)<.f(2л(k+l)), когда В<-К. В любо м из этих случqев раз-
1-юсть частот р;:~стет по абсолютной ве.;rичи1-1е н с1 любом е_дин·ичном
цикле. Более того, когда ,f мало по абсолютной величшне, равенство
(5.99) показывает, что f будет возрастающей функцией Ф, если
f>0 н B>l( и если f<0 .и в<-К. Соотв етст ве1-гно абсолютное зна­
~1ение f является во з растающей функцией времени при ма.1ых зна­
чен.иях !}'.
Эти два фактора заведомо приводят к неуст о йчивости
си·стемы, еош р ~по абсо,'lютной величин е ,превосходит К; ка ,к ,след­
ствие, вхожде~~ие •в •синхронизм ,ою1зывс1ется невозможны,,1 . Экспе­
риме,нта ~1ьны е д;:~нные и моделирование 1на ·вычисли'тельно{r ~r.зши­
,lе подтверждают этот вывод наряду с н еск олько более слабы:vr об­
ратным утверждением, что ,при I В 1 < К/2 захватывание Ю!еет мес­
то. (Прн малых отношениях сигна:r/шум I В I должно быть \1 ень ­
ше К. Однако при отношениях сИГl}]ал / шум, часто имеющих ,,1есто
пр.и когерентн•ой связи и ,в задачах оrнхрон·изации, ! ~ [ может
быть близко к К/2.) _
.Время, 'Необходимое для качания частоты !3 интервале не опре­
деле1шос11и Лf ,Г ц со ,скоростью B/2n Гц/с, равйо 2n,Л;f/ В сек унд .
Время входа в синхронизм п ри использован1-iи этого Уiетод а
-,
2лЛf 4лЛf
пЛf
т--
"-'
-
-------
м- -~-""' к - [4~/(1 +4~2)]2в[ •
(5 .)0])
Сравнивая ф - лы (5. 10 1) и (5.95),ч~аходим , ч .т о качание ч2 стоты
ГУН в области неопределенности становится эффективны м , если
(5. 102)
140


Эти оценки времени входа в еинхронизм 1не учитывают время, в
течение которого фазовая ошибка уменьшается до некоторого до­
статочно малого значения после того, как частотная ошибка была
устранена. Чтобы оцеiшть эту величину, рассмотрим случай, ког­
да цель первоначально нах,одится в синхро,низме, но фаза прини­
маемого сигнала изменяется скачком на величину ,л,е в момент
t = О. Если л,е не слишком велико, то опять может быть использо ­
ва на линейная модель системы ФАПЧ. Так как мы рассматриваем
систе~,rу вто,рого iпоряд.ка, то имеем
iею
1\Л0
/-
-D,11112 (V2Bt л)
0e(t)=- .
-[l-Y(s)Je1 ds=l 2Л0е
cos-2
-
0 +-4
.
2л1 ,
s
•
-i
со
Время, необходимое для того, чтобы огибающая этой переход­
ной ошибки умоньшилась приближенно до 1/4 ее первоначального
з начения, равно, следовательно, Т = 1/BL. Это, конечно, дает
.1ишь грубую оценку интересующей нас величины. Тем не менее,
е слп величина В L мала по ,сравнению с неопределенностью часто­
ты Л,f, то эта добавка к общему времен,и входа в синхронизм, mо ­
в идимому, пренебрежимо мала по сравнению со временем, необ•
ходимым, чтобы отследить ·п ервоначальный сдвиг частоты 1[(5.95)
!!ШJ (5 . !0rl)].
5.8 . Системы ФАПЧ и несинусоидальные сигналы
Рассмотрение, которое .привело к формул:ировке понятия
сис темы ФАПЧ в § 5.4, без особого обоснования ограничивалось
синусоидальными сишrалами. Тот же подход в равной мере ПР'Име­
ни м к любому периодическому сигналу X1(1t). Так как выход гене­
ра тора сигнала (рис. 5.1 :и рлс. 5.2) обозначен через x'(t), то это
у твержден-не можно шонять ,в том с,мысле, ч·то -01б,о,бщение п,роиз-
11о дится лишь · на дифференцируемые периодические функции. Од-
11 ак,о в деikт,вительно·сr.н .это .н-е являекя необходимым. Такое же
у,ст,ройство можно было бы ~предложить для отслеживания фазы
с1 1rнала x(t) ,при использован,и.и некоторого местного mер.иодичес·ко­
го сит,наJ,а, отлично:го от x'(t). Рассуждения§ 5.4, которые 1п.ривели
к обоснованию системы ФАПЧ, .изображенной на рис. 5.2, в равной
~·1 е ре пр:11менимы и тогда, когда местный сигнал является любой
11ериодической функцией -z(t), такой, что
т
_\'х(t)z(t+ .-)dt1,=о=О;
о
т
/-т:sх(t) z(t + .-) dt [,=о< О,
о
(5.103)
11ричем оба этих условия выполняются лишь в точке ,=0. В дей­
с твительности, используя ~некоторый местный сигнал z(t), отлич-
141


ный от х' (.t), можно бь1ло бы получить, по-видимому, существенно
лучшие характерист:ик;и отслеживания. Вскоре мы возвра11имся к
эт,ому 'в опросу .
Для того чтобы рассмотрение было ло возможности наиболее
общим, предположим, что местный .сигнал z(t) является периоди­
ческой фу~нкцией, в остальном .неопределенной. Однако z(t) :и x(t)
будут нормированы так, чтобы их мощность была равна единице.
Так как амплитуда А пр.инимаемоrо сигнала произвольна и так
как увеличение амплитуды сиr.нала z(t) эквивалентно, например,
увеличению усиления цепи, то такая нормировка не приводит к
потере общности.
Тогда, если условия, пр:иводящие к системе ФАПЧ, выполнены
л
(т. е. если .-
и т - относительно медленно изменяющиеся функции
времени), система ФАПЧ и устройство слежения, !Изображенное
н.а рис. 5. 1, являются эквивалентными. В этих услоВ:иях влияние
·принимаем-ото сИlrнала .x:(1t+.- ) 11-1а характеристику системы за-висит
всецело от корреляционной функции
л
т
л
Pxz('t-'t) = +J x(t+.-)z(t+т)dt.
(5.104)
о
Более того, если с достаточно большой вероятностью можно
"казать, ,что система ,раrботает ·в достаточно малой ,област,и ,в'близи
л
'!:ОЧКИ 't ='Т, ТО
л
л
Рхz(т-.-) ~ (.--т)л,
(5.105)
(Это, конечно, как раз то .приближение, которое лр:ивело .к линей­
иой системе в § 5.5.) Оказывается, таким образом, что пока ошиб­
к а отслеживания остается в пределах этой ограниченной области,
влияние вида функд:и и, которая описывает принимаемый сигнал,
п роявляется лишь с .помощью величины ,p'xz (О), так что все сиr~на­
лы x(t) .и z(t) с ·Одинаковым параметром p'xz(0) являются экви ­
валентными.
Одна;ко, чтобы -обосновать утверждение, что сущеетвенна толь­
ко корреляционная функция 1p'xz('t) или (в линей~ной области) лро­
,r:зводная этой корреляционной функции, необходимо также заново
л
исследовать произведение z (t+.- ) п (t), описывающее шум 1На входе
/1 /1
фильт-ра ФАПЧ. Фаза т = rr('t) эав·исит от .шума n.(t 1), ,но, .как и в
§ 5.5, только при ti<t. Таким образом, утверждение, что спектр
этого произведения является «белым», если n(t) занимает полосу,
большую, чем полоса системы, остается справедливым. Если дву­
~;:торонняя спектральная плотность мощности процесса n(t) равна
142


/\
N 0/2, то ,спектральная плотность процесса z(t + т)n(t)
§ 5.5 имеет вид
No
2
/\
No
2Е[z(t+т)J=2
.
со гласн о
(5,106}
Рассмотрим далее распределение амплит уды низкоча стотн1ых
/\
ко мпоне,нт пронзведе;ния z (.t +'t) п (t) в какой-л и бо мом е нт време­
ни. (Высокочастотные ,компоненты •снова буд у т устр а н ены благо­
да ря фильтрации, которую rвыполня е т цепь.) Дл я э того р азложим
п ериод,ический сигнал z (i+ri;) в ряд Фурье :
л о:,
2лi
z(t+,;)=~aicos(ш/+0i); ffi;= т .
i=O •
В р е менно введем перед системой ФЛПЧ параллел ьно со единенные
ид еальные полос,овые фильтры, центральная частота ;к аж~·осо •из
ко торых .равна одной ,из 1га,рмоническ·и х частот (J)i = '2л,i / Т, i ;;;,:: O и
каждый 1из которых имеет одну и ту же ширину полосы В ~ I/T
(з а исключением лолосы около •нул е вой ч а стоты, кото ра я ,равна
,поло~вине этой ,велич·ины) . Ка·к и ·в § 5.5, шум на .выходе i-го фильт­
ра можно записать в .виде
n;(f)=nc; (t)cosw;t-ns; (t)sinwit .
(5.107~
Тогда
{ z (t + ~)n(t)}11 = {~ ai cos(wJ + 0;) [nci (t)cosw/-nsi (t)sin wj t] } =
i,j
lf
<О
= ~.!!.!.... [пс. (t) cos 0; + ns. (t) sin 0;] + a0nc (t).
i,J 2
1
,
о
(5.108)
i=l
Э то выражени е пр едставляет ,собой просто вз веш е н ную сумму
1 1 ле нов в ида , определяемого равенством (5 .53) ; как бы ло показа-
11O, э ти члены являются га уссовскими сл у чай н ы м и в елич и,нами с
11 уле вым·и средаими :и с не з ависящими от врем е ни вторы ми момен­
т а м:и . Цель ,рассмотрения системы ФАПЧ с ;полосовым-и фильтра­
ми - птолучить удобное ,предста,влен·ие для шу ма . Но р ассуждения,
1 1 1р,ив одящие к (5.108) , справедливы даже тО1гд а , 1коiI1д а B = ,l/T,
т. е. когда в действительности вообще нет никак,их фильтров. По­
э тому заключаем, как в § 5.5, что низкочасто'Гн а я компонента шу­
м а н а входе фильтра цепи является выборочной ф у~нкцие й белого
( т . е. широк•О1полос,ного шо сравнению с шоло:сой систем ы ) ,г ауссов­
•ко го с лучайного .про:цесса .
Если z(t) - прямоугольная функция, пр ин и м ающая значения
т олько + 1 и - 1, то утверждение, что n(t)z(t) :имеет то ж е самое
р асп ределение, что и n(t) , когда n(t) является б елы м и симмет­
р1 1 ч1 1 O распред ел е нным .процессом, очеви дно . Распр еделе ния щэ0-
1\ 'сс ов n(t) и -n(,t) в точ1ности совпадают, и т а к ка к n(tJ и
11.(t -l
- e) независимы лри всех е=,,=О, то невозможно определить,
1 1 аблюдается ли n(t) или -n(t). Статистические характери.стики
143


шума остаются, очевидно, в этом ,случае ,неизменными. Предыду­
щие ра-ссуждения показывают, что тот же самый вывод справед­
лив для ,низкочастотных компонент произведения n(t)z(t), где
z(t) - любая периодическая функция . Как •подсказывает инту:и­
ция, {z(t)n(t)} -с.двинутый 1по частоте белый шум, и 1этот ед.вит не
меняет 'никаких свойств, ~потому что ,шу~м белый .
Объединяя э.ти два факта 1[т. е. (во-первых), что статистические
л
свойства шума n1 ,(,t) = {tt(t)z(i+i-) }11 фаiКТичесК'и не зависят от
z(t) и (во-вторых), что с·игнал ошибки в линейной модели цепи за­
висит не от самого сигнала z(:t), а от лроизnодной корреляцион ной
фу~нкции ipxz ( -r) ], приход:им к следующему выводу. Характериегика
системы ФАПЧ, построенной для слежения за произвольным пе­
риодическ·им сигналом Ax(,t) ,с периодом Т, совпадает с характе ­
ристикой системы, имеющей синусоидальный вход (как предска­
зывала , нел.инейная модель), когда корень квадратный из средне­
квадратичес.кого значения амплитуды синусоиды
А,=~~ JP:z(0) J.
(5.109)
Это за1ключение верно, ,пока си,стема ФАПЧ работает ,в -области,
в которой проilЗВОДl}!аЯ корреляционной функции Pxz ('t} относи­
тельно постоянна.
Возвращаясь к вопросу о том, .нужно ли .z(t) прирс::1в1-швать
x'(t), как предлагается в ра,ссуждениях § 5.4, заметим, что «•На:и­
лучшим» . ,с точки зрения равенства (5.109) является такой выбор
z(t), который дает корреляционную функцию с максимальной воз­
можной производной в окрестности i-=0. Поэтому оптимальный
выбор z(t) равен x'(t). Действитель.но,
т
т
P;z(0)J = /, +5x(t)z(t+i-)dt .
= +5х(t)z'(t)dt .
(5 . 110)
о
't=O
О
Интегрируя это выражение по частям и используя неравенство
Шварца, находим, что
1P;z(0)J=
-
1 ST [x'(t)z(t)dt -< [_!_ T\'rx'(t)}2dt]
1
/
2
[-1 ST z2(t)dt]
112
то··то
то
(5.111)
Но так как z(t) по условию имеет единичную мощность, правая
часть неравенства не зависит от этой функции. Сформулированный
вывод справедлив в силу того, что это неравенство переходит в
равенство тогда и только тогда, когда z(t) =kx1 (t) для некоторой
постояl}!ной k. Фактически, этот результат прямо связан с эффек­
тивностью формулы оценки максимального правдо·подобия вели­
чины -r (см. ф - лу (5.39) ].
Это, однако, ,не 1вее, что можно ,с,казать, та,к 1шк оистема ФАПЧ
1не все1гда .бу.п,ет ,работать -в линейной области ок,оло точки i- = 0,
особенно, если эта область мала. В 1пре,д;шествующем абзаце
144


ус тановлено, что оптимальный местный си11нал . z (t) для заданного
п рин,и маемого сигнала x(t) имеет вид - z(t) = x 1 (t) при условии, что
к орреляционная функция ,рхх' (. - ) пр ,иближешrо является линейной
фующией . -
в достаточно большой окрес'!'нос1;и точки т=О 1) .
Что!бы сделать ,в .ка'кой-то .м ере ,более -ошр-еделенными рас-сужде­
nия относительно важности расширения линейной области, пред­
полож им, что Р~z(т) -строго линейная функция т ' для l•I <L/2 11
что фаза принимаемого -силнала постоянна. Тогда в соответствии
с л,нне йной моделью вероятность того, что оши бка отслеживания
л
для систем ы ФАПЧ •е =т--, остс1нется в предела х этой области 2),
Pr{l,el < ~} = erf (2~\),
, , (5.112)
где a~=NoBL!Ae. Если Px z(,) не является строго линейной функ­
ц11ей .-
в области 1,1 ~L/2, а им ее т в,ид, изобр ажен ный . на рис. 5.7,
то все е ще слря.ведливо равеrн ство
Pr(1'Се1< ~)= erf (1;:::L~)
(5.113)
дл я некоторого k(-L) из интервала 'A(L) / 'Лo~k(L) ~ 1, где л(L) оп ­
ределе н а на рис. 5.7 . Значение этой вероятности , рас см атри ваемой
·J 1Iс. 5.7. Пример кop­
Jl l'J IH ILIIO ШIOЙ функции
11 связанных с нею
границ
'J-,, (L) =
ло,
Pxz
't
_1з
2
L-2
2
L1
L2 L3
т
23⁄4I-i:I3⁄42, 2-· 3⁄4 lтl 3⁄42
L2
Lз
23⁄4I't13⁄42
.Ь.:J
2
1) Так как производная синусоиды в р азумном приближении является л11-
11t• i'111 о й на з начительной доле ее периода, то мест ный сигнал [если x (t) - сину­
с•о 11 1 Lа] долже н , по-видимому , также быть сннусои дой, как пред по лагалось в пре-
1 1 1 ,1 1 L у щих па раграфах. Даже здесь, однако, другие критерии м огли бы прив ес т н
1 J Lруп1м в ыводам. Если бы считалось более важ 11ым , напр име р , расшир11ть
110,11с1 ст1., .ы1ней ности функции Pxz (т), то для того, чтобы мак•снмизн-ровать р'.,., (С ).
~1 1 1ж 11 0 было бы произвести д·ругой выбор z(t) . (Прил~. авт.).
.
~) Так как n предположения х, .которые используютси зде сь, ошибка отсле­
,1, 111 1: 111 1-111 явл яется линейной функци ей га уссовс ког о случа йного процессс1 (ер.
1' ~ 5. 5), она сама является гауссовск~ м слу чс1йным процессом. (Прим. авт.).
1
!45


как функция L, олределяет меру адекватности линейной модели
системы ФАПЧ для 1какой-либо част,ной рассматриваемой задачл .
Те же рассужде1шя можно использова.ть для оценки вероятно­
• сти потери синхронизма. В силу того что по определению ,потер:и
синхронизма возникают всегда, когда I Те 1 > Т/2 , то
рЛ Pr(потеря синхронизма) = Pr{!те1> : } ----,- 1 - erf ( у~ :Ф )
(5.114)
для некоторого !i; maxLл(L)/л0 T~k~1 . Если независимые вы-
L<.т
барки ошибки отслежива ,ния берутся до того, как была обнаруже­
на потеря ,с.инхронизма, то У1атематическое ожидание числа требуе­
мых выборок
с,,
Е(п) = L n(I-p)"P= 1 /р.
(5.115)
n=I
В силу того что минимальный временной интервал, разделяю­
щий независимые выборки на выходе цепи, имеет порядок l/2BL,
математическое ожида,ние времени до потери си ,нхронизма
Т=Е(п) ~
1
28L
28Lll--eгf( У;:Ф )J •
(5.116)
Хотя это рассуждение полностью эвристическое, его справедли­
вость может быть подтверждена для систем ·первого порядк а с по­
мощью -нелинейной модели. Есл.и, 'На,пример, ,Рхr(т) -синусоида,
то с,реднее ;в,рем.я ,до ,потер,и синх,ронизма для с'Истемы mер,вО1Го
порядка хорошо а,ппроксимируется для всех cr Ф < 1/2 рад равенст­
вом (5. 116), ,где k=2/л.
Задачи
5.1 . Сшнал y(l)=x(t)+n(i ) проходит через два сглаживающих фильтра,
л
по строен ных так, чтобы мнннмизнровать среднеквадратические оценки x(t) и
/\
n(t) для x(t) 11 n(t) соответственно.
л
/\
а) Сравнить д □ е оценки x(t) н y(t)-n(t) для x(t).
/\
/\
/\
б) Выразить y(t)o_ x(t)+n(t) через x(t) и n(t) .
5.2. Проверить равенства (5.77)-(5.83).
5.3 . Фильтр системы второго порядка, определенный ф-лой ,(5.72), имеет
вид Н (s) = а+ (b/s) н , следовательно, включает в себя ·идеальный интегратор,
На практике интегратор не будет идеальным и фильтр будет иметь вид H(s)=
= (as+b)/(s+б), где б мала, но не равна нулю. Определить ширину полосы
шума системы с таким фильтром, найти установившийся отклик системы на
ед иничный частотный СJ(ачок.
5.4 . Показать, используя, например, метод корневого годографа, что линей­
ные модели с_истемы ФАПЧ первого п второго порядков (с идеальным инте-
146


r р.атором и без него) являются устойчивыми независимо от отклонения уровней
,сигнала и шума от их номинальных значений. ' Показать, что это неверно для
с ист.ем третьего порядка.
5.5 . Точный анализ нелинейной модели системы ФАПЧ первого порядка при­
D одит к распр еделению фазовой ошибки, называемому распределением Тихонова:
р:(ФJ=ехр( RL g (Ф)J / lехр[ RLg (Ф)JdФ; 1Ф 1,( л,
ф
rде .g(Ф) = SPxz(Tri/2л)d1], а Pxz(T) определяется в (5.104), и где RL=4A/NoK;
-:11:
А 2 - мощность принимаемого сигнала; No - спектральная плотность шума и
К - постоянное усиление ГУН . (Этот результат справедлив, когда фаза прини­
маемого сигнала постоянна, шум является белым и гауссовским и фазовая
о шибка берется по модулю 2л:.) !Показать, что распределение фазовой ошибки
п действительности является приближенно гауссовс1шм длп достаточно больших
з начений RL с дисперсией а~ в соответствии с тем, что предсказывает линей-
11ая модель [с эффективной амплитудой сигнала, задаваемой ф-лой (5.109)].
Показа ть далее, что если Pxz (-r) - нечетнап функщrп
-r II есл и существуют ее
11 е рпые три производные , то гауссовско е приблнж енне справедливо длп всех RL,
J lЛЯ которых
а~«4~:
2
1 Р:2(О) 1·
Pxz (0)
5.6. Сигнал y(t) = У 2 А sin (wct+0) +п(t ) , где n(t) - белый гауссовский
111ум, проходит через полосовой фильтр с шириной полосы шума В I и централь-
1 ю i'1 частотой {!)с. Выхо,д фильтра, в свою -ачередь, проходит 'Чере з устройство
с 11с<1етной v-характеристикой [т. е. устройство, которое превращает вход x(t) р
выход /x(i) / vsgn (x(t)) ], за которым следует второй полосовой фильтр с ши­
р1 11~ой полосы шума В2 и центральной частотой Wc- 'Показать, что если
Л 2 « в 1« Wc и отношение сигнал/шум на входе достаточно велико, то отноше-
1111 с сигнал/шум на выходе обратно пропорционально 1+v 2 и, следовательно,
ш11< симиз ируется при v=O . (Здесь отношение сигнал/шум определяется как от-
1 ю 111е1ше среднеквадратического значения сигнала, которое наблюдалось бы в
о т с утствие шума, к разности между этим сигналом II n де йствительности наб­
; 11одаемым сигналом.) Показать , что точность, с которой эт от сигнал может
(i 1,m , отслежен системой ФАПЧ в этих условш1х в противоположность
11 1 ,1111 есказа нному, не зависит от v. (Указание: выразить вход устройства с v-ха ­
р 111 < тсристикой в виде В sin(wct+Ч') и найти синфазную и квадратурную ком-
1 ю 11 с 11ты основного сигнала на его выходе.) Как это сказывается (при рассмот­
/1 •111111 системы ФАПЧ) на увеличении на 3 д'Б отношеннн сигнал/шум, которое
1~о ; 1учается (когда это отношение велико) при пропуска1-11111 такого сигнала через
11 0; 10 с овой ограничитель? (См. с. 135).


ЧАСТЬ II
СИНХРОНИЗАЦИЯ
Глава 6
СИНХРОНИЗАЦИЯ
ПО ОТДЕЛЬНОМУ КАНАЛУ
..
.
6.1. Введение
Эта и две .последующие главы посвящены метод а м уста­
но в:1 ен и я сш-rх ро,1 1 изащш, необход'имой для эффективной работы
систем связи того типа, который был описан в гл. 3 и 4. Вероятно,
н а и б о ле е п р осты~,~ и самым -прямым способом дать такую информа­
цию я в л яется и с пол ьзование отдельного канала ·(или ка,налов)
св яз,и , отв ед енного е,'JJШственно для целей си1нхронизации. Некото ­
р ы е с то ро.ны этого подхода исследуются в этой главе .
Ка к обсуж д алось в г:1. 1, .п е рвый шаг процедуры синхрони за­
щ ~и с ос то ит обычно в то м , чтобы связать отсчеты времени ПJ)'Ием­
ник а и ,пер~датчика и посредством это го установить общий отrчет
вре мен и (н есущую) для всей системы. Вторым шаго·м является уве­
,тнч ен ,ие интервала в ремени, в котором отсутствует ,. неод:юзнач -
1 10сть, до з аранее выбранного интервала в То се1<унд.
Д л я того чтобы привязать отсчет времени приемника к отсч е ту
в р е м ен и п е ре д атчика, нужно передавать периодический сигнал
в;v1 есте с •с о общ ениеУI и отслеживать его фазу в .приемнике , Обыч,но
с и гн а .1 времени одновременно служит ,несущей или поднесущей и
по э тому ча,сто син усоидален . Однако н е зави,симо от того, какой ,пе ­
р иод ич ес к ий с и гна л используется , оптимальный приемник, по су­
ще ст ву , . ЯJзля е тся системой ФАПЧ, как мы .пытались пока з ать в
пр е дыдущей главе. Последующие два параграфа исследуют связь
~•r е жду сигналом времени и достижимой точностью отслеживания .
6.2. Синусоидальные сигналы времени
Если сиг,на л времени выбирается в виде си,ну~онды, то
приеюrи к , по-ви д имом у , должен ,содержать систему ФАПЧ , испо л ь­
з у ющ ую опорную синусоиду, как обсуждалось в гл. 5. В этих усло­
в ия х е дин ств е н но е , что осталось ·Оlп.ределить ,в с:111гнале .и стj,)уктуре
п р и е м,ника, - ча~стота си,г,нала ,и структура фильтра ФАПЧ . Более
того, 'выбор 1их нельзя mроиз1вести 'Неза,висимо . Как ,было пrжазано
148


в ,гл . 5, оптим а лыrый фильтр ФАЛЧ 1пошюстью о,пределяется от н о­
шение.м си1гнал/шум и стати,стичеошми св-ойст,вами фазы или пред­
оказываемыми фазовыми 1переход1ными процессами . Отношени е
сигнал/шум ошределя ет1ся внешними олра,ничениями. Аналогично ,.
фазовые ха:ракте,ристики 01пределе.ны 1по зада ,1шым стаrб:иль·ност я~1
rенерат·оров ~передатчика и ,пр,иемн-нка и 1по ·их о тно ситель.но му
у хО1ду. Е,:щ н ст,в е нная .н ео1пределе~н:ность ,в эти х характерис1'!-IКа х
связана с -величиной, которая, 1,ак будет сейчас показано, явля етстт
функцией частоты генератора. Таким образом, фактиче,ски е д ин­
ственным, что о-стается выбрать, является частота .
Если дисперсия фазовой ошибки равна 0 20 , рад 2 , а частота ,с иг­
нала равна w0 = 2л/Т0 рад/с, то диспер,сия ошибки отслеживания ,
выраженная в с\ равна о;;= o2 0/w 2 0 . Очеви дi но, ошибка синхрониз а ­
ции могла бы быть с1шже,~.rа •простым увеличе-ние м частоты сигнал а
времени от wo рад/с до, например, ·ш>(r)о ра.:1./с . Но это лишь одн а
сторона волр·о,са, та1к как характ~-ристика фильт:ра и, следо,ватель ­
но, ,Диспе,рсия фазовой ·ошибк'И 0 20. таюке являются ,функциями ш .
А ,именно, фи Jiьтр ФАПЧ .выби,рает,ся ,в результате комrпромисса
между ,не6бх·о1димостью уме,ньшить ·влияние случайно из,меняющей ­
с я или переходной фазьi сигнала и влияние аддитивного ш ума.
ЧтО1бы минимизировать ошиб1ку 011слеживанпя, обусловленн ую
а ддитивным шумом, шир3ша полосы системы должна быть с де ­
.~ана как можно меньшеи; что:бы минимизировать -переход ну ю
о шибку, ширина полосы должна быть ,сделана как можно большей .
Та к 1,ак величю-rа ,переходной ошибки, по-виJ:.имому, .прямо проп о р­
цноналыrа частот е сигн а ла, то чем выше <iастота , тем больше т ре -
1J \1 емая· ·ширина полосы системы. Таким образо,~r, если ,фиксиров аны
м ощность -сигч-rала и спектралыrая плотность шy:via, можно о жи­
л.а ть, что ошибка отслеживания фазы увеличнва е т,ся при у вели ч е -
1 r н· и . номина л ь·ной частоты системы ФАПЧ.
Однако это увеличение диоперсии ошибки ·с а'vюе больш ее п ря­
мо пропорционально ув еличе,нию ча -стоты. На -самом деле пр ису т­
с т в·ие аддитивного ш у ма и возяикающая вследстви е этого 1-rе обхо­
J lИМОсть компромисса между этими дву м я источниками ош и бок
об ычно приводят 1, увеличению ширины .полосы оптимальной цепи
11, следовательно, дне.перси.и фазовой ,ошибки, но .не про1порци10,наль-
11 0 -частоте сип-rала. Поэтому обычно ди:аперС'ИЯ фазо;вой ' ошиб,ки·
может 'быть записана в виде а20 ( ш/шь) r рад2 , где r - некоторое чис­
,110 из ,и,нтервала (0,1) i-r а~ = (а20/шr0) (1/w2-г) с2. Таким образом О'т
о(i ратно ,проrпощю,1тальна w1-" ;2 -и ум·еньшается - с ростом w.
Конечно, с,) ,не может быть -сделана произвольно большой. Ko-
p c rrь квадратный ·из среднеквадратического значе,ния фазовой
0 111н~бrки должен быть малым 1по 1сра,в1-rению с п/2 рад, если ,систе,ма
ФЛ ПЧ должна оставаться ,в режиме з·ахвата в течение большо.г о
11 е риода времени, т. е. условие
<Уо (W fшп)r12 = л/2k
,'l О л жно выполняться для некоторой достаточно большой постоян-
149 ,


н ой k. {З.начение k должно быть порядка 3 ил,и выше, если вероят­
~-юсть ,потери синхронизации должна быть достаточно малой (ер.
с § 5.8) ]. В ,соответствии ,с этим максимальная приемлемая часто­
та сигнала
ill = <&о (2k:о ('
(6.2)
и диаперсия (в рад2 ) ф.аз,авой ,ошибки ,системы ФАПЧ, ра1ботаю­
щей -на этой ~частоте,
а2= cr2@2=
_
,(Jf4 / r
( 4k2 )(2/.г)~I
Ф
rtO
;i:2
О·
(6.3)
Здесь для целей сравне.ния диспер-сия выражена через •перво­
н ачальный период То= 2л/ш 0 { т. е. 2л рад соответствуют ТO секунд).
Дис1пе,рсия фаза.вой ,ош.ибки системы ФАПЧ, иап,оль:зующей ма.кеи­
мальную ,приемл е;мую ча1етоту, .проmо,рциональна (2/r)-степени .дис­
персии а~0 ,системы ФАПЧ, ра'6отающей на частоте ш0 , 1п.р·и условии,
конеч~н•о, ~что эта ди,оперсия: м.ал .а по сра,внен.ию с единицей .
Для примера рассмотрим систему второго порядка, предназ ­
наченную для отслеживания скачка частоты вел1Ичины Л•ш/2л .
В соответ-ств·ии с изложенным в § 5.6 ,имеем
NcBL
3
( No )3/4
1;2
а6=-А2 -
1;4
-
2
(лЛш) .
,О
4 (2)
А0
Так как величина скачка частоты по предположению прямо про­
лорциональ,на частоте, то ,r в этом случае равно 1/ 2 1 ). (Обычно r
равно обратной величине 1поря,дка систе,мы; см . § 5.6) . 011<:юда
(J~= (2:)
6
а~=(2:)6( N~6
Lу,
(6 .4)
что обе-спечивает значительное улучшение, когда N 0BL/A 20 мало
по .сравне,нию с един,и цей .
6.3. Несинусоидальные сигналы времени
Ка -к было изложено в § 5.8, характеристика системы
ФАПЧ при отслеж·ивании ,сигнала y(t) =Ax(t) +n(t) с помощью
местного сигнала z(t) (см. рис. 5.2) совпадает с характеристикой
той же системы в случае, когда x(t) и z(t) -синусоиды, для ко­
торых корень квадратный из среднеквадратического значения ам­
плитуды принимаемого сигнал.а
А=АТо1,(О)[
е2nPxz
,
(6.5)
Г ,J,е Т0 - п ериод сигнала.
1 ) .Параметр 'л не зависнт от частоты; он просто представляет собой отно­
,с 11тельный вес, праписываемы~"! шумовой и п е реходной ошибкам. Чтобы прове­
·р нть это, заметим, что если л пост,Фянн.а, то a2 n и е2 т зависят от tЛ{u олинс1ково
( е р. с§ 5.6). (Прш.1. авl'.).
150


Приведем пример характеристики от,слеживан:ия, 1юторую мож­
но получить при использовании неси.1-1усоидальных сигналов; пусть
x(t) - периодиrJеский импульсный оигнал с длительностью имп•уль­
са ЛТ и периодом повторения Т0 . Так как форма •импульса для
дальнейшего имеет второстепен,ное значение (ер. с задачей 6.2), то
для удобства .предположим, что она прямоугольна:
ly--
лт
лт
Т0/ЛТ при- - <t<-
по модулю Т0 ;
х(t) =
2
2
О
в остальных случаях.
(6.6 )
Пусть мес-гный сигнал z(t) определяется равенством
1
УТ0/2Лt при- лт+лt<t<-лТ-Л t помодулюТ0;
2
2
z(t)= -УТ0/2Лt при ЛТ-Лt<t<лт+лt по модулю Т0;
2
2
О
в остальных случаях,
(6.7 )
где Лt~ЛТ. Эти функции изображены на рис. 6.1 вместе с их
в за ,имокорреляционными фу1-шц,иями Pxz (i-), которые в об J1асти,
11редставляющей основной интерес, имеют вид
Pxz(•) = -, -J/ 2/ЛТЛt; j,; 1 <Лt/2.
Производная корреляци ­
о нной функции Pxz (,;) в об­
л асти l•I <IЛt/2 обратно про­
п орциональна (1Лt) 112 . Это
м огло бы означать. что,
устремляя ,Лt к нулю, можно
м инимизировать ошибки от­
слеживания . В самом деле,
се ли М-+-0, z (t)-+x' (t), т . е.
с тремится к местному сигна­
лу, оптимальному с точки
з,рения максимума ,р'xz(O).
О ч е видно, однако, что ,Лt
1 ;с льзя сделать сколь угод-
.__
x(t) •
1
1 ,1Т
т
VT/2дt
tlТ_
2
(6 .8)
..
t
t
! IО малым, так как макси- ЛТ
i:
ма льная величина Pxz(,;)
,~ ря .мо
пропорциональна
(Лt) 1/ 2. Чтобы определить
{,1Т-Лi)
н а илучшее значение Лt, еле- Рис. б.l. Функции, определенные равенст-
J l ус т принять во внимание, вами (6.6)-(6.8)
1 1т о оптимальная ширина по-
.1осы
системы ФАПЧ Ве является функцией эффективной ампли­
т у!l ы си~глала Ае [,равенство (6.5)]. А именно: Be=BL(Ae/A)r, .где
П 1 . - шири.на ,полосы 01пти~мальной системы ФАПЧ, 1предна.значен-
110~1 д ля огслежи,вания си1ну~соиды с ам1плитудой А, ,и r за,висит .от
1 ю 1н1дкс1 системы. (Опять r •обычно ра-вно :обратной величине .пo­
/H l!lK a системы.) Поэтому среднеква~дратическая ,фазовая ошиб,ка,


· обусловленная аддитивным шумом, 1в случае ко.г,да x(t) . и . z(t) за­
даны равенс~вами (6.6)-{6:8),
(6.9)
где a:0 = NoBL/A 2 представляет. собой ошибку отслеживания, . если
сигнал является синусоидальным с 1П•е.р:иодом То.
Чтобы ра.венств,о ·(6.9) :было спра1ведливо, система ФАПЧ с
, большой вероятностыю должна ра•ботать в пи~нейной аблаtти
j т 1 ~ Лt/2. Для того чтобы быть уверенным, что этот случай имеет
место, и ,из~бежать трудностей, ,с,вя.за,нных со ст,ремлением Лt 1к ну­
лю, вв·еде1м дополн.ительно•е 01лрани·чение в .в.иде
плt
·аФ= -_-
--
kТ0
(6.1 О)
для некоторого достаточно большого k {ер. с § 6.2) . Объединяя ра­
венства (6.9) и (6.1 О) и разрешая •ИХ О'Гнос·ителыю ~Лt, находим,
что
,~
= (2л2 tl_! _ (2- ri/(2+r) ( k а0 )4/(2+г) ;
То\То)
n
используя это значение Лt, ,получаем
а~ = (2k лЛ т;тo)2[< 2-гi l < 2+riJ ail(2+ri.
(6.1 1)
Среднеквадратическая ошибка при отслеживании п рямоуголь ­
но:го импульса, наш,риме,р, .системой 1В1'01рого ~порядка лро1пор ­
циональна (N0 Br) A 2 ) ~;5, когда местный сигнал определяется равен ­
, ствам,и (6.6)-(6.8) и Лt выбирается в соответствии с п редыдущим
обсуждением. Это указывает на потенциально е улучшен.не по
,с равнению с ошибкой отслеживания •синусоиды того же самого пе ­
риода, хотя это улучшение значительно менее эффективно, чем то ,
которое (как было показано) до·с1'игается при ,использов ании вы ­
сокочастотных синусоид (§ 6.2). Рассмотренная схема имеет то
:преимущество, ч т•о в исходном интер.вале в Т0 секу1Н1д о,на не имеет
много1кратных точек, где шроисходит заХJват .
До сих пор параметр ЛТ (длителыность .прщшмаемого импуль -
.r а) подразумевался фиксированным и постоянным. Если это не
так, то его тож е можно опт.им·изировать почт,и таким же методом,
к а к параметр Л t. О бъе диняя опять, равенства (6.9) и . (6.1 О) · и ре­
шая их ОТНО·СИТ СЛ ЬНО Лt, получим
ЛТ
2(2-r)/2r k2/r a2/ r
о
-Т: = n (Лt/ЛТ)(2+п 1 2, '
где отношени е Лt /ЛТ временно -считается постоя,н1ным. Подставляя
по соотношение 13 (о.9) или в (6. 1 .О) . находим
,cr2 = (_j!!.__)(2/r)- l 0"4/r_
Ф Лt/ЛТ
о
(6.12)
152


Теперь ошибка отслеживания обрат,но пропорциональна Лt. Так
как равенства (6 .6)-(6.8) справедливы только для Лt-:::;;;, ЛТ {,и_
оче видно, выбор Лt>ЛТ не дает преимущества) , то оптимальной
величиной для ,Лt здесь является ,Л Т.. Таким образом, при ходим к
сл едующим выводам. Бели .пр,ин.имаемый ·импульс достаточ1-iо ши­
ро к, выгодно уменьшить по возможности дл ительность ме-стноrо-.
си гнала, но так, чтобы она согласовалась с требуемой вероятно­
стью потери синхронизации. Однако е-сли можно оптимизировать.
.длительность импульса передаваем-ого сигнала, то ее нужно выб­
рать по возможности малой при том же самом ограничении отно­
с ительно потерь синхронизации. Если эта возможность существует ~
то никаких других преимуществ нельзя получить, уменьшая дли­
тельность -им.пульса ме-ст,ного .-с,игнала. ,В то время как пр·и оптим,и­
з ации длительности местного импуль-са [равенство (6.11)] можно,
достичь лишь доволь-но скромн.ого улучшения, ,преимущества, ко­
торые могут быть ,получены при оптимальном выбор е длителыно­
сп1 передаваемого импульса, ,по с1уществу, будут таким.и же, как
при оптимизации частоты передаваемой синусоиды {ер. ,с равенст ­
в ами . (6.12) и (6.3)].
Иногда в качестве сигнала времени использует-ся не синусоида ,_
, 1 .прямоугольные импульсы, причем местный сигнал z(t) может
б ыть либо синусоидой, либо другой последовательностью прямо­
уг ольных импуJiь-сов. В этом случае легко выбрать оптимальную
час тоту -следования прямоуголь-ных ,импульсов, ·используя метод,.
рас смотренный ,в§ 6.2. Бел.и z(t) синусоида, имеем
2-V2 . 2зи;
Pxz (.-)= -:rt-sш То'
11 э ффективная ам,плитуда силнала равна (2V2/л)А, что ·пр.ив одит
к небольшому ухудшению по сравненшо со случаем, когда п ере ­
;~ава емый сигнал так?!{е являет-ся -синусоидой. Аналогично если
z (t) - последовательность прямоугольных ,импуль,сов, то эффектив -
1,ая амплитуда - -сигнала уменьшается еще больше, до велич.ины
2 Л/л.
Оптимальной коррелядио1}шой ~фующией Px z( •), очев,идно , д-олж-
1 1 а б ыла бы быгь прямО1угольная функ-ц'ИЯ с единичной амплитудой.
1 1 мсю щая бесконечную производную в точке 1:=О и абсолютное
: 1 11 ачение, ра-вное е.д:инице для в1Сех х=т!==О 1по модулю То, -К сожале­
нню, вза,имокорреля,ционная. фу,нюц.ия люlбых двух с-и-гналов конеч -
11ой энерги.и ,не ~может ,иметь та,~юго ;вища~ Точ1ное о,писани-е «01пт-и­
ма лы-юй» реализуемой к-орреляди-онной фу,нк-ции ,дать нел-егко, ,по­
мнм о ~прочего , 'ИЗ-IЗа тото, Ч'J\О трудно установить , ,КаiКие отклон-ения
о т .идеальной 1п,ря.моу,гольной ,корреляц,ионной функции 1наи,менее
IIС'Жел атеЛЬ'НЫ.
Есл и рассматривать лишь абсолютное значение ~производной
l,p'xz (O) 1 к-ор,реляцио.н,ной ~фу:ющи,и в точ:ке 1:=О,. то его мож1Но бы­
.1 10 б ы сделать сколь угодно большим с помощью любого из мето­
/ 1, оп, описа,нных здесь и в предыдущем параграфе. Это достигается
: 1а счет суже,ния Jшнейной области и внедения. многокра'J\НЫХ точек
1t1 х1З а та .или, в случае у'акоFо .импульса, q.a счет ·потен-циаль.ного
153


ув еличения времени входа ,в синхронизм из - за больших интерва­
лов т, в которых Рхz (т) и, следовательно, сигнал ошибки равны ·ну­
лю. Другой подход ,поэтому мог бы состоять в ,по·пытке максими­
з аu;ии величины \p 1 xz(O) 1 пр11 услов.ии, накладываемом на в-ею
функцию ·Рхz (т): например, при условии, что Рх z (т) монотонно не­
у бывающая функция т в области I т 1 ~ Т0/4.
Это условие удовлетворялось бы, например, для класса сигна­
лов, рассмотренных в этом параграфе, если бы ЛТ в ф-ле (6.5)
равнялось Т0/2. Как было 1указано выше, длительность импульса
м е стного сигнала Лt могла бы в этом случае быть минимизирована
( для того, чтобы максиМ'изировать l ,P1 xz(O) 1). Сравнительно скром­
ное улучшение, получаемое при этом по -сра•внению с испс:тьзова­
нием, например, синусоиды с частотой ,f = 1/То, является следстви­
ем того, что .нужно .платить за глобальные, а ,не за локальные огра- •
ничения на корреляционную функц·ию Рхz(т). Следовательно, для
того чтобы максимизировать эффективность ,использова ·ния ·имею­
щейся мощности, часто необходимо использовать высокочастотную
с инхронизацию ,и устранять возникающие в рез у льтате этого ,не­
определенности другими методам·и. В част~ности, это верно в тех
с лучаях, когда огра .ничения на пиковую мощность, или ширину по­
лосы, или время входа в синхронизм снижают эффективность ме­
т ода ,сужения импульса.
6.4 . Поиск метки
Если в целях уменьшеиия мощности, требуемой для син­
хронизации, период ,ЛТ сигнала времени выбирается меньше, чем
ооюв,ной ·интервал неоднозначн,оети дЛ'И'Н'ОЙ Т0 секунд, то проце­
д•у ра си•нхронизации ,не заканчивается входом в ,синхронлзм . Пр·и
эт,ом остаются NЛ То /ЛТ точек или меток в каЖ,!!;ОМ интер .вале Т0,
к аждая из которых может .представлять правильную опорную точ­
к у синхронизации. Определен,ие среди них правильной метки мож­
,но осуществить, передавая ·второй оигнал синхронизации x(t), пе­
риод которого равен минимальному периоду Т0 , и определяя фа­
з у этого сиг-нала в приеi\ышке.
С .первого взгляда этот ·подход, казалось бы, не дает •никакого
п реимущества перед использованием сигнала с .периодом Т0 для
самого от,счета времени. Однако наличие опорного отсчета времени
н еобходимо де'IЯ достижения требуемой точности отслеживания .
Ц е ль второго ,::илнала состоит лишь в разрешении остающейся
N -кратной неод,нознач,ности во времени . Как следстви е , мощность
э того сигнала значительно меньше той, которая была ,бы необхо­
д има для него в случае, если он был бы также ,сигн а лом ·времени .
Поэтому полная требуемая мощность может быть з,нач.ительно
с ниже,на при использовании двух с,илналов вместо одного .
Задача .прием1-шка теперь -состоит в определении того, какой из
сигналов Axv(t) =Ах(t-\•ЛТ), v=O, 1, .. ., N - 1 фактически был
принят на фоне обычного аддитивного белого га у ссовского шума.
154


Такая задача эквивалентна задачам пр,иема,. р,ас,смотрен.ным в
гл. 4. Решение по максимуму правдоподобия 1} состоит в форми­
.ровании корреляций
М-1 U+I)T 0
М-1
zv= I J y(t)x(t~vЛT)dtЛ I zvi; v=O,J, . . . , N-1 (6.13 )
i=O iТо
j=O
и выборе на,ибольшей ,из ,них .. Период ,наблюде~н,ия МТ0 здесь, в
.противоположность ,ситуаци,и, рассмотренной в гл. 4, .не обязатель­
но ограничивается длителы-юстью принимаемого ,сигнала , который
также может передаваться неопределенно долго. Более того, если
местный сигнал x(t) синхронизирова,н по времени с помощью вос­
становленного отсчета времени,. то часто не.пР'иятный случайный
уход разности фаз местного ,и принимаемого сигналов, по ,сущест­
ву, не будет воз,никать. Тем ,не менее обычно хотят принять реше­
ние от,нос,ительно мет,ки по воз·можност,и 6ыст,рее. В IСООТ'Ветствии
с этим цель параграфа - оценить м.инимальное значеН'ие М, такое,
для которого решение может быть принято с заранее установлен­
ной, достаточно малой вероятностью ошибки.
Эта ситуация имеет еще одно отличие от рассмот.ренной в гл. 4,
а именно: ограничения .на сложность устройства часто делают не­
nозможной одновременную обработку наблюдаемых, относящихся
к каждой из меток . В этом случае мож,но 'Использовать процедуру
поиска. К задаче, рассматриваемой в этом ,параграфе, .применимы
к ак алгоритм с фиксированным объемом ,выборки, так и алгоритм
.последовательного поиска из гл. 2.
Одн -оврем -ен·ное н аlблющение . Так как шум является
бе лым и ,гауссовским, ~переменные ,Zvi (решающие переменные) 2 )
раопределены 1по .Гауссу со средними
U+l)T0
11v (μ)~ E(zvi 1 μ)= \ Ахμ (t)x"(t)dt~ AT0 pt~ 1lt, v=O,l . . . , (6.14 )
/т.
11 ковариащ1ями
а2ЛЕ(z .z
·) -Е(z-)Е(z-)=
μv=
μJ VJ
μ1
VJ
U+l)To
1·
N
J хμ(t)х"(t)dt= -fТ0PtЛ a2pi,
No
-
2
(6. 15)
iТо
t 'де μ означает правильную метку, а i= μ-v по модулю N. (Без
1 ) Повсюду в этой главе будет предполагаться, что априорная вероятность
/1 (,,) того, что v-метка является правильной, не зависит от v; Р (v) = 1/N,
v ~ о, !, ... , N-1 . Таким образом, термины «синхронизация максимального прав­
l \ О 11Одобия» и «синхронизация по максимуму апостериорной вероятности» могут
r11 ,1ть использованы на равных правах. (Прилt. авт.).
2 ) Термин «решающие переменные» часто используется для обозначения
1·та т11 стик, на которых фактически основывается решение. (Прим. авт.).
155.


т.
по тер.и общности м ожно :сч и тать, что (1/Т0 ) Jxr~(t) lit=l, 1ак что
о
Jp;I ~,1).
Ситуация здес ь совпадает ,с той, которая была рассмотрена в
§ 4.2 . В частности, здесь 1непосредств е нно применимы границы
(4.20) . Вероятность оши бочн-ого решения огранлчена следующим
образом:
e-r'/2 (
1)
e -[(r' /2)- loge (N- 1)]
1/?
J- - <ре<
1/2
'
(2n)-r
r2
(2n)
r
(6.16)
оЛ .Е2(zv- zr,lv)
R
rде ,··=mш
_
= М (1-р); p~maxpi и R=A 2T0/N0•
μ,v
var(zv
z1,lv)
;,со
μ.-= v
•
Если ,вероят,ность •Ре должна ,быть малой, то r 2 должно быть вели-
1, 0 по сравнению с единицей . Таким образом, логарифмируя нера­
ве:нс11во (6 .16), лолуч,им
2loge(l/Pe) < r 2 < 21oge(1 /Pe) + 2loge(N- 1)
(6.17)
или, в более удабной . форм е ,
r 2 = 2KN loge(l/Pe),
(6.18)
1·де I~Kн~I +{loge(N-1)/loge(l/Pe)]. Члены порядка loger были
о пущены, так как они малы ,по сравнению ,с r 2 . Обычно вероят­
но сть Ре мала по ,сравнению с IJ,N, так что обе г.ран,ицы для r 2
бу;JJут довольно близк,им.и .
Как следствие, из ф-л (6 .17) , (6.18) получаем
М = [2KN1oge(I/Pe)J !R(I-p),
(6.19)
и требуемо е время -наблюдения равно МТа с е кунд. Если pi= ,p для
~сех i=;t=O, то 1' Jч.ное выражение для вероятности ошибки, ,получен­
ное в § 4.2 , разумеется, в равной мере применимо и здесь . Чтобы
п рименить эти результ а ты к настоящей задаче, нужно лишь под­
с тавить вел,ичину (l -
.p)M.R/log2 N вместо величи,ны Rь, указанной
на рисунке 4. 2 .
Поиск с фикс.ированным объемом выборки.
Ч тобы :примен:пь алгоритм .поиска, описанный в § 2.5, в ра,ссмат­
рив аемой здесь ситу ации, б удем проверять на v-м этапе поиска ну­
,1еDую гллотезу ffv ( что меткой принятого оигнала является v -я
м етка _ЕО модуmо N) относительно некоторой алыернатю~ной ГИ'ПО-
тезы Нv . Наблюд а е м ы ми б удут статистики z v, о-пределяемые ра­
ве нством (6 .13) 1).
Хотя алыернат ИВ, Ная гипо т е з а Hv очевидно, является слож­
н ой, разумно и цел есообр а зно заменить ее какой-либо простой ги-
1 ) Эти статистики, оч е видно, не являются достаточными; чтобы принять
оптимальное решение, нужны s ce статистики z,, 22,
..
.,
ZN. Но це.ль поиска в
п ер в ую очередь со стоит в том , чтобы избежать необходимости одновременной
о бработки всех этих величин. (Прt11,1. авт.) . ·
156


гютезой Нμ с любым μ=;i=v. Логарифм отношен,ия 1правдоподоб,ия
з де сь имеет вид
logр(zv\v) =logА =ТJo(l-р;)z - МТJ~(!-р~) ,
(6.20)
ер(Zvlμ)
еvμ
а2v
2а2
где 11 0, cr 2 и Pi определены ра,венствамн (6 . 14), (6.15) . Если имеются
ли шь две возможные метки, наиболее мощным тестом гипотезы Hv
при любом уровне значимости 1av будет принят,ие ее, есЛ'И решаю­
щая ,переменная zv превышает некоторый порог av ,и отвержение
ее в остальных случаях. Но так как ,Pi< 1 для всех i=;t=O, то область
лри шпия Hv при любом задан,ном av -не зависит от r,t. Тест (6.20)
ги потезы Hv поэтому является равномерно -наиболее мощным отно­
опел ьно всех альтернативных гипотез Н μ . НезавиС'имо от альтер­
ш1тивной гипотезы гипотеза Н v принимается, если zv превышает
1ю рог а.,, и отвергается 1в остальных случаях .
По ,причинам, указа,нным в § 2.5, ограничим·ся рассмотр ением
наиб олее простых алгоР'итмов поиска с фиксированным объемом
в ыборки. Каждая гипотеза будет ,проверяться ,п,ри одном и том же
у ров,не и будет проверяться достаточ,но долго, чтобы гарантир о ­
ва ть малую вероятность ошибочного решения. Поэтом1у ,порог av
б удет поддерживаться постоянным независимо от v и будет выби­
раться так, чтобы были малыми вероятности ошибок обоих родов.
J1 о ,предположению ошибка возликает и в том -случае, если реше-
1 111 е не будут вынесено к моменту, когда все N -состояний были про­
ве рены.
Чтобы оценить число наблюдаемых, ,необходимых для заверше­
,1111п поиска, обозначим через а вероятность ошибочно отвергнуть
J · 11потезу Hv , а через Bv (~t) - вероят,ность ее .принять, когда в дей­
<· тп1п ельности .правильной являет,ся ,μ-я метка. Далее ,пусть
a g MriJp+y(l-,p)] будет порогом пр,и решении, где p'l maxjp1I;
i1,0
II L' JJ·ичи нa У]о была определена выше. (Хотя величина 'У не была за­
J l , 1 ,на, это ,не н1кладывает какого - либо ограничения .на а . Однако,
,. · : 1н а r1 ~v {μ) должны быть малыми, у долж•н а, очевидно, леж ать
11111первале О~у~ 1) . Тогда
1
<1,, = а = Pr{zv <a lv} = 2 {1-erf [(l -y)rJ},
(6.21)
J'J lC r2 = М (!1-р) 2У] 2о/2а2. Аналогично
llv (μ)= Pr{zv>a/μ}< +[l-erfy,·JЛ ~.
l 'Jll' равенст во выполняется, если Pi=,P для
13 сли бы ,pi были одинаковы для всех
у 1шз анных выше (ер. с§ 2.5),
11
N-1 R
,:::::: а +--1 -1,
2
(6 .22)
всех i +О.
-i+O, то пр,и условиях,
(6.23)
157


Как ,а, так ;1 ~ являются фу.нкциям ·и у, ·поэтом1у можно опреде­
лить значение у, которое минимизирует Ре. Когда применимо пр:Иб ­
лижение (6.23), опт,ималь.ное з,начение у определяется урав·нением
da N-1d~ О
-
+ ---
=
, которое удовлетворяется, если
d'?
2 d'\'
О<у= -
1+- loge--<1.
1(
1
N-1)
2
,~
2
(6.24)
Подставляя это з,начение у в (6.23) ·и используя ас,имптоти че­
ское · разложение интеграла вероятности, получим
(6.25),
-Вновь, в силу того что r2 должно быть большим, если Ре долж­
.на быть малой, находим, логарифм,ируя обе ча,ст,и (6.25) и прене­
брегая членами ~поряд1<а loge r, что
r 2 = 4K~Ioge(lfPe),
(6.26)
где
К' = _1 +loge[(N- 1)/21 +_1(i+loge[(N- 1)/21)1/2 .
N
2
4Joge (!/Ре)
2
loge (1/Ре)
Если •Pi не обязательно ,равны, вероятность Ре мож1но все же
оценить следующим образом. Очевид'НО, вместо равенства (6.23)
оправедЛ'иво неравенство
р
N-1
е<а+-2-~'
(6.27)
где~ определе-но ф-лами (6 .21) и (6.22). Более того , так как с ве­
рояNюстью ~ ошибочно принимается, .по меньшей мере, одна мет­
ка и так как с вероят,ностью 1/2 она будет проверена ранее лра­
вилыной метки, то
(6.28)
Используя для решен,ия оптимальные пороги, определяемые
ф-лой (6.24), получаем следующие верхнюю и ниж,нюю границы
для Ре:
Р0 (2) <Ре< P0 (N)
(6.29)
[см . (6.25)] ,и, следовательно,
r2 = 4К; loge (1/Ре),
(6.30)
гдек;<к;<к~.
Математическое о:жидание времени поиска ,равно E(v)MTa ~
~ МтТо, где v - число меток, проверенных до завершения поиска.
158


Когда Ре~ 1, из равенства
из равенства (6.30) - что
М ~ 2(N+1)](~loge(1/Pei
т~
R(I- p)z
(2.35) след!ует, что Е (v) ~ (N + 1) /2, а
(6.31)
где R было определено ра,нее.
3 аде р ж а н но е решен ,и е . Интересной модификацией ме­
то,да с фиксированным объемом ,выбор.кн я,вляется такой, .пр'И .кото­
ром принимается задержанное решение относительно 1правильной
метки. То есть решение задерживается до тех ,пор, пока не будут
обработаны все наблюдаемые ev, v=O, 1, 2, ..., N-1, даже если
корреляции, которые дают эти ,наблюдаемые, вычисляются пооче­
редно . Несом,ненно, что наиболее простым .прав,илом решения яв­
ляе'Гся выбо,р в качестве правильной метки той, для которой значе­
ние v максимизирует 2v. (Очевидно, это решение я.вляется под­
опти.мальным; сейчас ,рассматривается оштималь.н,о,е заtд:ержаrнное
решен,ие.) .
Вероятность ошибки при вынесении такого решения удовпетво­
р яет тем же границам [ер. с ф-лой (6.16)], что и вероя'!'ность ошиб­
ки при парал,1ельном решении. Единственное отличие ,состоит в
т ом, что вычисление стат,истик ;zv производится не одновременно.
Таким образом, crJμ =0; μ=l=v ,и член r 2 в (6 . 16) следует опреде­
л ить так, как в равенствах (6.21) и (6 .22) . Поэтому здесь ра'!ЗеН­
с тво (6.19) приобретает вид
2NJ(N loge (1/Ре)
(6 .32)
Мт= R(l-p)2
Интересно сравнить равенства (6 .31) и (6 .32), особенно, 1coг­
JLa N велико и Ре<< 1/N, что является типичным. В этом случае все
l(N, К12, К1N 'И, следовательно, K11 N 'Приближенно равны едИr!ШЦе, И
о б а времени поиска, по ,существу, сов,падают. Испытываются ли
nc e метки .пооч<~ред:но и принимается (подоптимальное) задержан­
но е решение, или используется алгоритм поиска •С фиксированным
о бъ еrмом выборки - rэто лишь :н-езначительно .изменяет характе­
ри стику. Наиболее важным отличием является то, что время поиска
11 ·последн е м случае является случайной величиной ,и с .равной ве- "
ро ятностью принимает любое значение от .[2 / (N + 1) }МтТо до
J2N/ (N + 1)]МтТо.
Для того чтобы придать этим результатам более конкретную
фо рму и продемонстрировать один 'ИЗ недостатков алгор,итма по ­
о че редного .поиска с фиксированным объемом выборки, допустим,
1 1 то с игнал с.и , нхронизацли , имеет вид
O<t<~;
n
(6 .33)
~
< t<T
п
о
159


для ,некоторО1Го :целого п; 2~n~N; максималь:ная допустимая
о ,JJiознач.ность во ~времени ,равна To/N секунд. Т,01rда
не-
N
приJvk-;
п
(VТ )
•
11 - \'У..!!._ 1
р _о Лр_;
N
N=V
О в остальных случаях.
и p=11;,,axpv =1-(n/N). Подставляя эту величину в ф-лы (6.19) и
(6.32) .[или в (6.31)], получаем
Мт = 2NКн loge(lJP,)JnR
для однов.ременной обработки наблюдаемых и
Мт = 2NoКм loge (1/Pe)fn 2R
(6.34)
(6.35)
для поочередной обработки. ,Когда N велико, ограничение, состоя­
щее в необходимости поочередной обработки, может привести к
з,начителмrому ухудшению характеристИI<'И 1). Можно было бы на­
деяться, что этот .результат можно ул,учшить, когда п мало по
сравнению с N, ,но •поочередный поиск в том виде, как он представ­
.1ен здесь, очевидно, не является эффективным в этом случае. Все
(независимые) статистики iZv {•см. (6.13)] должны быть обработа­
ны (по крайней мере, методом задержанного решен,ия). Однако
лишь од1на .из них, наибольшая, ·влияет на решение. То, что 2 1 и
ZN-i долж,ны быть почти ,столь же велики, как и 2 0 (когда v=O
•представляет с'Jбой л,равилыrую метку), и то, что ZNl2 должна быть
намного меньше, чем каждая ,из этих величин, не принимается •в
расчет ,при решен,ии.
В действительности при заданных статистиках оптимальное ре­
шение (максимального :правдоподобия) ,состоит в лр,инят,и,и метки,
максимизирующей фу,нкц:ию правдоподобия р (rzo, 21,
...,
ZN-11 v).
Так как статистики 2 незаВИС'ИМЫ, когда ,наблюдения производят-
ся 'Поочередно, то
1
{ 1 '1 1 (zi+v-Mf!i)2 }
р(zo, Z1,
•••, zN-1\v)=(2лM)N/2aNехр -2μ Ма2
'
1=0
(6.36)
где подстрочные индексы у 2нv берутся по модулю N. Эта функ­
ция ма.ксимиз,и,руется с .помощью ·отЬDСкания максимума вел?ч:и,ны
(6.37)
1 ) Когда N велико по сравнению с п, ошибка синхронизации может быть
менее вредной, чем когда они более или менее равны. Это происходит потому,
что в первом случае наиболее частая ошибка состояла бы в выборе некоторой
меткн, близкой к нравильной метке. В некоторых случаях такие ошибки могут
быть терпимы . Но так КЗ)( время поиска зависит лишь логарифмически от Р,,
это является слабым утешением. (Прим. авт.).
160


N-1
Есл;и 'r];='Y)i для всех i=t=O, имeeмvv=(ri0 -111)zv+ri1 I z1,ИVv
i=O
максимизируется ·на том же самом v, что :и . z,,. Но для кахого-либо
др1угого множества средних значе,ний 'Y\i .решение лишь на основе
исполь з ования zv является лодоптимальным. Решение, оонова-н­
ное 1на статистиках zv, а не· ,на ,стат,истлках ,vv, будем назыв а ть
оптимальным задержанным решением .
Статис1°ики v,, являются суммами гауссовских случайных ве­
личин и поэтому также распределены по Гаус,су. В соответствии
с эт-им вероятнс,сть Ре .принять •непра•вильную метку в случае, ког­
д а пр,нним а ет,ся 01пт.имальное задержанное решение, может быть
о ценена обычным образом (v=0 соответствует правильной метке)
с п омо щью о тношения
(6.38)
[,ер. с (6.16)]. Когда сигнал имеет вид, задаваемый равенством
( 6.33), минимум отношепий E 2 (vμ-v 0 ),/var(vμ -v0) достигаетс я
при μ = 1. Таким образом, объединяя равенства (6.17), (6.18) и
(6.38) и, для упрощения результата, считая N/п целым числом, на ­
х одим, что требуемое время поиска равно МтТо секунд, где
М т = 2NoKN loge (1/Pe)/nR .
(6 .39)
По,иск с оптималыным задержанным решением -С}Пр€делен•но луч­
ш е ранее рассмотренных методов поочередного ~поиска, когда N
ве лико по сравнению с п (т. е. когда требуемое разрешение во вре­
мени мало по сравнению с ширлной ,импульса, ,используемого в
си нхроканале). Конечно, когда N ,равно п, оптимальный метод сво­
; ( итс я к описанному ранее задержанному поиску.
Последовательный по·иск. Длятогочтобыприменить
1 ю следовательный алгоритм ~поиска к рассматриваемой ситуаци,и,
11 с о бходимо лишь сравнить текущую сумму
~т ~т Р(ZvjIv)
l111 =
,.Л
loge
-
,
VJ=
р(Z •1v)
i=l
i=l
VJ
(6.40)
(' J L Ву мя порогами logeA и logeB. Гипотеза Hv (о том, что v-я м ет -
1<11 5! Вл яется правильной) ~принимается, если это от,ношение превос­
х <щ ит loge А и отвергается, е,сл,и оно падает ниже loge В. Если ни
()) L11 0 из эт.их событий не имеет места, тест п,родолжается, новая
(' Та ти с тика ~v. m+i добавляется к текущей сумме и Zm+i сравни-
11; 1 с тс я с теми же порогам.и.
Та к к ак тест отношения правдоподобия является здесь равно­
М<' РIIО наиболее мощным, то сложная альтернативная гипотеза бу-
0 281
161


дет заменена простой гипотезой Hv для некоторого v=/=-v . Вероят­
ность ,ошибочного 1Пр:инятия некотор,ой частной метки является ,ко­
.ы-ечно, ФуН!кцией 1про.веряемой ,метки. А именно, вероя11ность :при­
няти я μ-и метки
р_
1- Bh(μ)
μ - Ah(μ)~Bh(μ) '
(6.41)
где А 'И В пороги решения, а h(μ) - ненуле~вое решение уравнения
!и;; .
Е(е vi 1μ)~g(,11)=1.
В рассматриваемом здесь случае p(zvi!v) = (1 / -V2:п;о-) х
Xexp{~(zvi-rio) 2/2a2]} ; p(zvil~ = (l/-V21ю)exp{-{(zvi-YJi) 2/2a2]};
i = v -v по модулю N. Предположим ,на время, что р (zvi j μ) =
= (1/V2яa1 )exp{-[(zvi -ri) 2/2(a') 2]}. Тогда h(~t) является ненуле­
вым решением уравнения
1 =g (h)= е~> J'°, e-[(t. -'1] ' )2/2(o')'] d s= ef(h) •
Y2 na'
гд е У] 1 =ri +h(,a'/a) 2 (110-YJi) и f(h) =Urio-YJ;) /2a2Jh1[2YJ + (ri o- YJi) Х
Х (cr 1 /cr) 2•h-(rio+YJi)]. Так как .последне е равенство с,пра ведли в о
для любого конечного значения /,, необходимым услов'!1ем то го, ч то
g(h) равно единице, я•вляется равенство ,f(h) нулю , :И поэтому, есл,и
h=/=-0 и YJi =l=-'l'Jo,
h= h(μ) = (ТJ~~ТJ;) - 211
.
(: ) (110- l'j;J
(6.42)
Если а'~а .и 11~1'];, то h(μ)~l . .А:налоги·ч,но, если ,а и В я,вля­
ются ларамет.рам.и, определяющими пороги А и В (см . § 2.4),
Рμ~В- Более того, если а'~а и YJ~Y]o, то /1(~t)~ -
lивэтом
случае Рμ ~ 1-а.
Поэтому услов,ия, приводящие к ра1венствам (2.44) и (2.48)
уД;овлетворяются .з1десь, осл,и Y]i =шах 111=f]op и а' = ·а 1). Та.к к:~к ,в
/4'0
этом случае
t = _11~0<~1~р~) z - -
,1Б(i - p2J
~vi
а2
V/
2а2
то
(6.43)
:где i = -v -μ •по модулю N, ,p=maxp;, а R и 1pi О!пределены ранее.
•
i~O
1) Заметим, что если оценки вели чин l']o, р и а являются осторо ж ными , если
действитель ное значение величины 110, по крайней мере, не меньш е ее предпо­
лагаемого · знацения, ·если Pi<P для всех i=i =O и еслн истинная дисперсия не
больше, чем а, то тест, п о меньшей мере, им еет такую н адежность , ! которая ему
и:риписывается. (Прим. авт.).
Hi2


Математическое ожида,ние времени, необходимого для завершения
по:иска, равно ;юэтому МтТо, где
N-1
(1ogeNРе1 - с)
Мт=с~
1
+ -------'----'--
<
R(1- р) /,,,J (]+р -2р;)
R(1- р)2
б.44)
1=!
1
2
и где C=c=l ,при а---+О, ~-+-О · (Ре~1) л C=-loge- ;с=О ;ПrрН
2
Ре
а=Ре/2; ~ = Pe/(N-1):(Pe~l) kp. с ,равенст,ва~ми {2.44) и (2.48)).
Последоват ельный .поиск должен давать з•начительный выигрыш
по срав,нению с поиском ,с фиксированным объемом выборки, на­
пример, когда синхросигнал имеет вид (6.33), где N вел:ико по
сравнению с п. Б этом случае одни метки намного легче устранить,
чем другие. Поиск с фиксирова,нным объемом выбо,рки должен от­
водить ,од~но и то же КОЛ,ИЧеств-о ,времени для пров-ерки ,каждой
метки, а ,п,ри ,послмовательном ~по.иске мож,но тратить меньше ,вре­
мени ,на те метк.и, статисти:ки .которых значитель·но отл•и,чаются от
статистик mра,вилыной мет.ки. Равенство (,6.44) ·в этом случае (~в
пред1положе.н,ии, что N /п - делое число) ·имеет вид
Мт~2С (!!_)2[i+loge(2N _ i)+(N-2N/n-1) +
Rп
п
4(N/n-1/2)
+f(: )2 (loge N Ре 1 -с).
(6.45)
Таким образом, когда п мало, последовательный поиск с ма­
лым значением а, ,на самом деле, ·имеет худшие характеристик,и.
чем метод оптимального задержанного решения . При а-+-! после­
дователь,ный поиск имеет лучшие характер·истики для ,всех п~2 .
х отя 1п,р,и малых п это преимущество крайне мало. В другом край­
нем случае, когда n=N, последовательный .поиск mрибл-иженно ·в
четыре раза быстрее, чем .поиск с фиксированным объемом выбор-
1<и .при а =Ре/2 и , быстрее в 2 logei('2/,P е) ,рав 1при a---+il.
6.5 . Оценка меток
Хотя задача синхронизации в предыдущем параграфе
трактовалась как задача проверки гипотез, ее можно (и целесо­
об разно, когда огран:иче.ния на сложность уст,ройства делают не­
возм ожной одновременную обработку) сформул,ировать в виде за­
да чи оценки, рассматривая ,:=v,ЛТ как непрерывный .параметр.
В действительности в некоторых случаях, -например, когда N очень
вел ико -ИЛ'И когда не требуется общая временная . синхронизация,
лред1положение ·о том, 'ЧТО число ·1ю,нку!рнрующнх :метО!К .конечно,
н1вляется до ,некоторой степени искусстве.иным.
Если ,:
-
непрерывный .параметр, его оценка максимального
пра вдоподобия удовлетворяет уравнению .правдоподобия
мт.
2А sy(t) ~x(t + ,:)dt = О.
No
д,
дlogeРlч(t)1,)
(6.46)
о
16.З


Если это уравне.ние не может быть явно решено относи'Гельно т,
то ограниче,ния на обработку обычно заставляют л'Ибо использ-о­
вать устройство типа системы ФАПЧ для того, чтобы ,1-rайти его
решение, либо рассматривать только конеч,ное множество меток т.
Оба эти подхода уже были .ис,следованы в предыдущих парагра­
фах этой главы.
Однако для некоторых сигналов x(t) (6.46) может быть реше­
но относительн о т. Например, предположим, что x(t) синусоида
x(t) = V2sin шоi', где ш0 =2n/Т0. Тогдс1
(6.47)
где
М-1 (i+I)T0
M-l
{х}= _1 \1 r·у(t)\12{sinWotldtл '1_
_
{Х;}
У АТ0 /.J
.
cos w0t
.t.J У;
i=O iT0
i=O
и R =А2Т0/N0 . Поэ то му оценка мак-симального пр а,вдоподобия
име ет 1вид
;=::arctg(;)•
(6.48)
С реднее и ди,сперсия этой оценки могут быть легко опр еделе ны
113 с оответствующих ре зу льтатов § 3.7 . Для наших ц елей достато ч­
А
но напомнить , что т как оценка максимального 1правд о.по доб ия яв­
ляется а,симп'Готически несмещенной и имеет дис персию
.
2
-
f\
'
••I
Та
Е[(т-т)2 / т] =
-·
'•
---
(6.49)
4R2 wi МЕ [- X;sin w0-т + У; cos w0т]2 (2:rt) 2 2RM •
Сделаем попьп;к:у -~1айц~ ,другие ~инх'роси г,на.Jiы , которы е, подоб­
но синусоидалыrоivrу сигналу, поз воля ют · уменьшить · сло)юность
устройств, но, как мы ,надеемся, приведут к лучшим характ е ристи­
ка,м. Т ак-ое у~шрощен,ие, очевидно, ,возможно, ес'ли фу~н.К1ция 12 (t +-t) =
~дх-(t+т) /д't я,в,ляется . P•CfЗ.ifD_;Jlf;UMoй в т-рм с~мысле, что о.на выра­
:жаетсf I;J •виде , ._
,
-. _ .:;,,
1 •:,,•!i.
п.
J
j
1
;
:J
z(t+т) =~f;{t)g;{т}. , .,
,
(6.50)
Если ·это можi-iо · ,сде.tr-атЬ, то ' потребуется определить · лишь п ,ин­
тег ралов, ·и '6цейка ве:nлчию,i ' Т полrучается в · результат е ·. р е шения
уравi1ения
l1''
"
,•~r.
(6.51)
мт,
где 1; = Jу (t) fi (t) dt ,[ер: 'с (6:'46) ]. Чтоб~ сложно dtь устройства
о
164


могла !быть у.менышена ,на самом деле, п должно быть малым, а
ур-ние '(6.51) ,должно от,носительно -просто ,решаться.
В любом случае, так как z(t+'t) - 'Периодическая функц·ия вре­
мени, ее мож,но разлоЖiить в ряд Фурье:
п/2
z(t+ т) = 1а1sin(ffi1(t+ 't)+ 01) =
l=1
п/2
= I [a1 sinffitfcos{ffi1 't + 01
)
+ a1 cosffitf sin(ffi1 't+ 01 ) ] ,
1=1
где шv=2'Л;k)Т0 и Т0 -период ,z(t), а kv-целое
fvCt) и gv (т) из ра!венства (6 .50) можно ттоэтому
дующим образом:
f'V (t) =
'V
{sin ffi( +iJ/Z t, v - нечетное;
cos ffi.v/ 2 t,
v - четное
(6.52)
число. Функции
определить еле-
(6.53)
{
a(v+l)/Z COS (ffi(v+I)/Z "t + 0(v+l)/z), V-НеЧеТНОе;
g/т) =
av/Z SiП ( (J)V/2 "t + 0V/Z ),
V - ЧеТНОе.
Так как /i из (6.51) ,статистически независимы, когда функции
fv(t) определены согласно (6.53), то в этом методе требует,ся вы­
числение, ло меньшей мере п корреляций . Предположим противо­
положное, что интеграл в ф-ле (6.46) мог быть выражен в виде
т
2:: Jjg1 5('t) для некоторого множества функций g 1 j {-t) mри m<n.
i=I
Тогда
п
т
~ /fgj('t)= ~ Jд/'t),
1=1
j=I
и так 1<ак функци,и ,gi (1:) ортогональны 1на интер·вале (О , Т0 ) то
V= 1,2, ...,
n,
т.
/т.
где avi Л .\ g;(1:)g;(1:)d-c J g7('t)dт.
о
о
Но ,в этом случае ,переменные Jj могли бы быть выражены ,как л:и­
н с йные комбинации первых т переменных lv (е:сли эти перемен-
11 ые являюТ<;я линейно .независимыми). Это, в свою очередь, озна­
ч а ло бы, что существует линейное ,соот,ношение , между некоторы­
мн из ,переменных / v и 'Поэтому пр,иводило бы к протшворечию.
Мы уже обсуждали характеристику :синхронизатора, когда
функция z(t) определялась равенством (6.52), а n=2. В ,преды-
165


дущем абзаце ,оворилось о том, что эта характериеnика не может
быть улучшена без и:пользования большего числа ко.рреляторов.
Если п больше .1вуl(, ре:,ультирующе е уравнение максимьльного
лравдоподобt1я (6.51), аа первый взгляд, является достаточно
сложным, что -)().1:ычлвает его применимость. Од,нако это огра,ни­
чение мож:-ю ~1 "2:·· -1опегь с помощью раздельного решения каждого
из уравнений lv gv(т) +lv+i gv+i ( т ) =0, v - нечетное и использо­
вания решения уравнения, соответств ую щего максимальной часто -
,,,
те wv, для того чтобы ,найти оценку т величины т . Решение осталь­
ных уравнений можно затем использовать для устранения остаю­
щихся неолределен,ностей . Получ аю щаяся в результате оценка хо­
тя и является подоптимальной, вообще говоря, несущественно от­
личается от оптимальной оценки. В § 6.9 подробно обсуждается
нез.начитель,на я модификация этой схемы, которая ,привод,ит к осо­
бенно ·простой ,реализа,ции.
В действительности довольно эффективные формулы оценок мо­
гут быть иногда построены при испо льзовании -статистик, отлич­
ных от тех, которые получаются из ур -ния (6.46). Например, пред­
Та
2
по ложим, что синхросигнал
представляет собой периодиче­
скую последовательность пря­
моугольных импульсов дли­
тельности То/2 . Автокорреляци­
онная функция такого сигнала
изображена на рис. 6.2 . Заме­
тим что каждое значение .р (т)
Та 't из области (О, 1) соот,ветствует
Рис. 6.2 . Периодическая автокорреля­
ционная функция поСJiедовательности
прямоугольных импульсов ширины Т oi2
только двум возможным значе­
ниям т из интервала (О, То).
(Если р(т) =1, то значение •
однозначно определяется по мо­
дулю Т0 .) В соот,ветствии с этим хорошую оценку функции р(т)
можно было бы использовать для оценки т и далее для оценки
правильной метки (точки т = О) . Так как
Р(т)=1- 2lт:1; 1т1<:о,
то, .разрешая уравнение относительно Iт 1, ,получаем
/-r 1 = :0 [1-р(т)].
Оценим теперь р (i-) с помощью
l(т)= - 1
_
м[0 y(t)x(t) dt,
МАТ0 .)
о
(6.54)
(6.55)
(6.56)
где ,функщия x(t) определена ра1Венством (6.33) (с n=2) и y(t) =
166


=Ax(t-,;) +m(,t), 1и затем в качестве оценК1и 11:I использовать в.е­
личин1у
,,--...
Т0
л
11: 1= 2Р-р(1:)1.
(6.57)
Формула оценки макС'имального правдоподобия, если она су­
ществует, •величины Iт I при условии, что задана наблюдаемая
л
р(т), 1как раз ,и 01пределяется соот:ношение.м (6.57). При этом .во
лл
всех точках, кром·е точек rра•з,ры.ва ,производной dp(,r;)/d,;, имеем
л
л
л
л
О= дlogР[р(-r)I-r I = + k[р(,;)- р(1:)J,
(6.58)
л
д't
л
где k - постоянная, не зависящая от т. Это ура1вне!-!ие имеет един-
л
л
л
ственно е ,решение р(,;) =р(т). Поэтому если lrp{t) 1 ~1, то оценкой
максимального правдоподобия величины 1,; 1 будет Iт 1, где
л
21-rI л
р(,;)= 1 - т;-
=
p(-r).
(6.59)
л
Так как р(т) rимеет гауссовское распределение, то lтl имеет то
же распределение со средн·им и дисперсией, задаваемыми равен­
ствами:
л
ТJл = Е(1-r1)=(Т0/2)[1- Е(р(-r))] = (Тof2)[1 - р(,;)) = 1т1;
'li
л
л
т2
!J2л = var(1-r 1) = (Т0/2)2varfр(т)]= -
0
-
•
BMR
't
соответственно.
(6.60)
(6.61)
Этот метод оценки весьма близок как в смысле слож1ност:и тре­
буемого устройств а, . так и в ,смысле получаемых результатов, к
оценке максималь,ного пра'вдоподобия меток син~усоидаль,ного С'ИГ­
нала [ер. равенст,ва (6.49) и (6.61) ]. Это может ,показаться удиви­
тельным, так как последняя я~вляется оценкой максимального прав­
доподобия, основанной на наблюдаемых y(t), в то время как пер­
вая является оценкой максимума правдоподобия, ·ислользующей
л
л ишь статистиху р(т). На самом деле, если наблюдаемые y(t) .ис­
пользуются оптимально вместе с еигналом, имеющим автокор .ре­
л ядионную функцию (6.54), то получаются намного лучшие резуль­
таты . Время, необход,имое для обнаружения правильной метки
с реди N конкурирующих меток, можно уменьшить лример,но в
N раз 1по сравнению со време,нем, необходимым для оценива1ния
(ер. с § 6.4).
Для того чтgбы сопоста•вить эти результаты более детально с
р е зул ьтатами метода различения гипотез, mолучечными в преды-
167


дущих параграфах, будем считать, что ошибка ,синхрон,Изации про-
/'- .
·исходит, если оценка lтl отличается от lт l более чем на ЛТ/2=
=T0/2N секунд . Тогда
Ре= 1 - erf (M 112R112JN) .
и время поиска будет порядка МтТо, где
No.
1
Мт= -
loge -
.
R
Ре
(6 .62)
Поиск, однако, на этом не заканчивают, так как до сих пор мы
оценил.и лишь iт J, а 1не т. Необходимо дополнительное ,на блюде :
л /'-.
л
/'-.
ние, чтобы определить, какая оценка, , = 1т I или , = -1,1, лучше .
Это ·можно ,решить, наrп.ример, ис1пользуя те,ст ,с фиксированным
объемом выборки относи1ч,:льно меток т= 1т I и т= -1 т I и принимая
ту, которая дает наибольшую корреляцию. Ч,исло наблюдаемых
необходимых для решения, когда две метк,и исследуются поочеред­
но, может доходить до М'= (No/R)loge(• l/P e ) i[c.p . с (6 .33)]. Это
число , в силу иронии, .равно тому, которое .необходимо для перво­
.начальной оценки . Вместе ,с тем, если обе ко~нкур:ирующие метки
можно обрабатывать однов.ременно, ,используя лишь два корреля­
тора, необходимое число наблюдаемых согласно ф-ле (6.19) будет
самое большее порядка М 11 = М'/N, что при больших N дает ~прене­
брежимо малое увеличение общего времени оценивания.
Следует ,признать, что ·метод оце.нки меток более ,существенно
зависит от точ •ного знания амллитуды сиг,нала, чем другие рассмот­
ренные до с.их лор методы. Если амплитуда сигнала не известна,
она долж,на 6ыть оценена либо до .поиска, л:иб,о .в 1п.роце,ссе ,поиска .
В любом случае не.избежные ошибки этой оценки будут увеличи­
вать вероятность ошибки око.нчательного решения. Этот недостаток
может быть в какой - то мере устранен, если ,имеются опорные отсче­
ты времени. Если амплитуда пр,инятого сиг,нала времени находится
в ,некоторо~у~ изве·стном соотношении с амплитудой синхросигнала,
то оценка амплитуды может быть получена как побочный резуль ­
тат, ,связан.ный с нал-ичием опорных отсчетов времени. Таким обра­
зом, это предварительное условие для успешного применения про­
цедуры оцен~и меток может оказаться менее жестким, чем можно
было бы ожидать.
6.6. Ф.ззовонекогерентная синхронизация
Может случиться та~,, что синхронизация должна быть
достигнута без алриор,ного з,нания фазы несущей ка,нала синхрони­
зации. Это происходит .1ибо тогда, когда ограничения, -накладывае­
мые на систему, делают невоз'v!ожным когерентный •пр,ием, либо
тогда, когда по какой-то причине более выгодно сначала · устано­
вить -синхронизацию, а затем фазовую когерентность . Следует за­
метить, что наличие отсчетов времени еще не обеспечивает фазо-
168


вую когерентность. Если, на.пример, частота .несущей намного боль­
ше частоты от,счета времени, то отсчеты времени, по существу, не
дают никакой информац,ии относительно фазы несущей . В некото­
рых случаях можно даже установить синхронизацию без всякого
общего отсчета времени, если лри этом временная .неопределен­
нос ть на передатчике достаточно мала, чтобы можно было прене­
бречь ею в процессе синхронизации . Некоторые методы синхрони­
зации, развитые в 1предыдущи х ,параграфах, вновь ,рассматриваю т ­
ся здесь применительно к фазовонекогерент.ным каналам .
Некогере.нтr1ый по фазе ,пр.иемник макс·имального :правдоподо­
бия рас-сматривался .в гл. 3 и 4. ЕсЛ'и можно предположить, что фа­
за практически остается постоянной, по крайней мере, в течение
любого заданного интерва ла Та секунд, то некогерент.ный по фазе
синхронизато,р макс,ималыюго пра,вдоподобия должен вычислять
выражения
2:t
2:t
J •••.\"р(Фо,Ф1
..., Фм- 1) Х
о
о
'
[М-1 2А U+l)T0
]
Х Qехр No J. y(t)sv(t, Ф1) dt dФ0dФ1 .. .dФм-~,
(6.63)
где {sv(t, Ф)=V2;(t-vЛT)sin[ffic(t-vЛT)+0(t-vЛT)+Ф]}
означае т множество возможных принимаемых сиг н алов синх,рон:и ­
зации, а y(t) =Asr(t, Ф) +n(t) - ,принимаемый СИIГНал, сложенный
с шумом. Это выражение пропорционально апосте р иорной вероят­
ности v-й метки пр,и зада,нном ,сигнале .· y,(t), O<t< M Ta.
Выражение (6.63) выглядит довольно громоздким, даже если
то чно известна М-мерная плотность · распределения р ( Фа, Ф1 , ... ,
Фм-1) . Эта плотность ,распределения отражает, с,реди прочего, ско­
рость, с которой фаза ,принимаемой несущей уходит по от,ношению
к местной опорной фазе . В большинстве случаев ее можно опреде­
л ить лишь .прибл,иженно . Чтобы обойти эту трудность, огранич.им­
с я з десь рассмо ·~ре н:ием двух крайних случаев:
р(Ф0 , Ф1 , . . , Фм -1) = р(Ф0)6(Ф0-;--Ф1)8(Ф0-Ф2) . .. 8(Ф0-Фм-1)
и р(Ф0,Ф1, ..,
Фм-1)=р(Ф0)р(Ф1) . . . р(Фм-1),
г;~ е р(Ф;) = (1/2:n); О~Ф;<2л . В первом случае фаза постоя,н,на
в те чени е лер.иода синхронизации; во втором предполагается , что
0 11 а принимает неза,висимые з.начен.ия на различ1ных интервалах
J lJЫ1 н ой Та секунд. Фазовонекогерентная синхронизация фактически
озлач ает, что должшы -01дно .временно о,ценаваться м·етка ,пр:инимае­
мо.r,о си1гнала и фаза ело несущей , хотя ,последняя явно Гf!,е оце:ни -
1 н1 с тся. Че,м дольше фаза ,остает·ся ,постоянной, тем лучше она ·МО­
ж т ,б ыть оценена -и, следовательно, тем лучше может быть оценена
метка . Два рассматриваемых случая соотв~тствуют поэтому двум
1 р яйним зна чениям потенциальной характеристики с~•нхрон из а-
169


тора 1). Выражение (6.63) в этих условиях, соответственно, имеет сле­
дующий вид (ер. с § 4.3; как и там, предполагается, что Wc--;'?;>2n/Tu):
-
в первом случае
2n
мт0
-
ехр- y(t)s"(t,Ф)dtdФ = l 0 (2MRwv);
152А5
2n
N0
о
гдеwv = (а~+Ь~)112; R= ~/No; б=А2тs~(t,Ф)dtЛА2бо;
о
М-1
а"=~~ avl;
l=O
<l+l)T0
av1= ~ 5у(t)s"(t, О)dt;
М-1
bv=~:Еbvl;
1т.
(l+I)T0
bvl=;JY(t)sv(t, ;)dt;
l=O
во 'Втором ,случае
Мп-1 1 52:t
(2А (l+JI)To
-
ехр -
2л:
No
1-0
о
1т.
г,це zvl = (а~1+b~1)1f2 •
1т0
М-1
= ~ /0(2Rzv1)Л zv,
1=0
(6.64)
(6.65)
В первом ,случа·е wv сама может быть использована ,как решаю­
щая переменная, так как J0,(2MRw-;) - монотонная функция wv.
Рассмотрения § 4.3 показывают, что
Р(wv 1!,')= ~
(6.66 )
{2MR wvехр[-MR(w~ +p7)JIO(2MRp1wv); wv > О.
,~J
wv<O,
т.
Х Jsa(i, O)si(t, n/'2)dt. Результаты это,rо па,ра111рафа могут быть
о
1) Фаза, конечно, могла бы меняться даже внутри интервала в То секунд,
что приводило бы к еще большему ухудшению характеристики. Однако на прак­
тике эта ситуация маловероятна, по крайней мере, когда То - период символа.
Если То соответствует синхронизационному интервалу более высокого порядка,
то . полезно использовать известную последовательность символов в качестве
сигнала синхронизации и использовать метод, рассматриваемый здесь, для сим­
вольной синхр·онизации, а также применить методы синхронизации слов, изло­
женные в последующих главах, для того чтобы снять оставшиеся неоднознач­
ности. Если синхросиrнал представляет собой импульс длительности То/п, то,
конечно, единственное, что необходимо для удовлетворения второго условия -
это относительное постоянство фазы на · каждом интервале в Т oln секунд.
(Прил1 . авт. ).
170


л
здесь применены непосредственно. Например , если Pi и IPi равны
нулю для всех i=pO , вероятность правильного решения задается­
равенством (4.45) (где R следует заменить на MiR). Остальные
результаты § 4.3, включая граниuы для произвольных IPi, также
могут быть использованы здесь .
Поиск с фикоирова,нным объемом выборки основан на исполь­
зоваиии отношен,ия плотностей вероятностей вид а
р(U'v Jv)
e-MR / 0 (2MRwv )
P(wv J μ)
e-MRp~l0 (2MRp;wv) .
(6.67)
Можно показать, что от.ношение /0(ах)//0 (Ьх) - монотонно воз­
растающая функция х при а> :Ь. Так как p2i< 1 для всех i=pO, то
тест отношения плотностей 1вероя-гностей является односторонним
тестом w" ; v-я метка принимается тогда и только тогда, когда wv
превышает ,неiюторую фиксирован,ную величину. Следовательно,
тест является равномерно на;иболее мощным, и выбор альтер.натив­
ной г.ипотезы несуществен . Вероятность ошибки первого рода сог­
ласно § 4.3 (,,=О-правильная метка) имеет вид
а,
а=1-
.\Р(w0)dw0 = 1- Q[(2MR)112; (2MR)1120],
(6.68)
е
гд е Q(x, у) определена в ф-ле (4.47), а 0 такова, ~ч-го 1югда wv >0,
отношение (6.67) превышает требуемый по.рог. А1налогично для s е­
роят.нос ти ошибки второго рода , имеем
00
~" = \ Р (wv) dw" = Q [(2MR)112 Pv,(2MR)112е].
0
(\
(6.69)
Если Рμ и Pv равны нулю для ,всех v=pO - случай ортогональ-
ных ,е,иг.нало·в, то
(6.70)
Таким образом, можно, н апример, приравнять Ре к
a+ i[(N -1)/2}~ и выбрать 0 так, чтобы минимизировать вероят-
1юсть ошибки в § 6.5.
К: ~()жалению, условия, необходимые для ,справедливостп выво­
лов, к а:сающихся дл·ительности ,последовательного теста O111-юшения
1r ло тностей верl)ятностей (§ 2.3), здесь ,не удовлетворяют,ся. А имен-
110, от ношение p(w" lv)/p(wv !,μ) не может быть •в ыражено в виде
11r,роиз.ве1дения от:ношений вида p (wv 1 lv)/p(wv1I,μ). Такое разложение
оз,11ачало бы пренебр ежение зависимостью фазы несущей на после­
J lОВател ьных интер,валах . Есл.и бы такая завиС'имость не сущес11во­
нала, то решающие перем енные были бы такими, как в рассмот­
р с 1июм выше втором случае. При а.нализе прследователыюго поис-
1\а в с1том последнем случае мы, конечно, оД,новременно строим
t71


г.раницу снизу для характеристики последовательного поиска, ос­
нованного на иоnользовании решающих ,переменных ,w v· То же ут-
верждение . справедливо и для других ,процедур поиска. Более того,
анализ коге:роот,ной синхро.низа;ции, ~еодержащийся в !Предыдущих
параграфах, дает верх;ние границы для характеристики, которая
получается при исnользо,вании статистик •wv.
Теперь непосредст,венно перейдем к а,нализу характеристики
синхронизатора 1во втором случае. Поиск должен быть основан на
использовании статистик zv, определяемых равенством (6.65), или,
что более удобно, статистик
M-l
logzv = ~ logl0 (2Rz.,, 1).
(6.71)
l=O
rrи хак log z.,- сумма
большоr'Ь (по предположению) числа
независимых случайных .величин, то удо1влетноряются усло,В'ИЯ, 'Не­
обходимые для применимости центральной предельной теоремы 1),
и log zv приближенно имеет гауссовсю?е распределение. Этот факт
мож•но использо1Вать для упрощения анализа, когда ,статистики
zv являются решающими переменными. Однако на приемном кон-
це,. вообще говоря, 1неудобно вычислять функции Бесселя. Следую­
щее· замечание приводит к :простой и математически удобной ал ­
проксимации log zv. Наиболее тру~ная ,ситуация, очевидно, будет
m[Ща, когда от:ношение сигнал/шум д = & JN0 .мало. Если это от.но­
шение велико, то почти любая система синх,ронизаци:и будет ,рабо­
тать удовле11Ворительно. Но если R мало по сравнению с единицей,
то имеем
(6.72)
и решение можно пост,роить .на основе 1использования суммы квад­
ра:гов ,величин zv 1, а не суммы функц,ий Бесселя от этих величин,
чт,о ~приводит к вначительному у,проще~н.ию 2 ).
Определ.им
М-1
1'
=
'("\ 2
~v
2., zvl •
(6.73)
1=0
Здесь опять ~v
-
сумма большого числа независимых случай­
ных величин, и согласно центральной предельной теореме она
1 ) Существованuе вторых моментов одинаково распределен ных случайных
величин log fo ,(2Rzvl) я·вляется достаточным условием для справедливости этого
утверждения. (Прим. авт.j.
2 ) В другом крайнем случае; когда ,R велико по .сравнению с единицей
Ьvz = log. Io (2Rzv1) ::,:; 2Rzv1 и можно было бы и с пользовать сумму самих Zvz .
Но, как увидим, характеристика системы, использующей сумму квадратов ве­
личин Zvz . лишь немного хуже характеристики когерентной системы в случае.
когда R велико . Таким образом, возможное пр еимущество использования приб­
лижения к идеальному синхронизатору с большим отношением сигнал /шум,
по-видимому, невелико. (Прим. авт.).
17f


имеет приближенно гауссовское распределение. Напомним, что
большинство гра.ниц для времени решения, ·полученных в преды­
дущих параграфах этой гла:вы, зависит единственно от отношений
вида
.
Е2(хо- xv)
r2 = mtn----~
v+o var (хо- xv) '
где xv - гауссовские случайные .величины, соответствующие v-й
метке (,нулевая метка является правильной). В .рассмат,риваемом
СЛ'учае 1 )
Е(~v)=М(р~+-1⁄4);
(6.74)
var(~v)=М[~2 +;р~],
'И если μ- и v-я метки про в е р яются одновременно, то
var(~v- ~μ)= 2М{~2(1- р~)+
1[
~
(/\ /\'
~~
) /\(/\~ ~/\)]}
+R Р;+Р~- 2р, PvРμ+PvРμ - 2р, PvРμ- PvРμ
,
(6.75)
/\
где p2j=,p2J+p\ :и i=v-μ по модулю N. Используя , например, гра­
ницы (6.17), (6.18), ·находим, Ч'l'О в.ремя, необходимое для реше­
ния при параллельных наблюде1ниях, имеет порядо к МтТо секунд,
где
4kN loge (1 /Ре)
(6 76)
Мт=(1- р2)R2!(R+1)
•
и ,р2= max,p~.
Аналогично .время, требующееся для .поиска с фик-
v*о
_
сирован,ным объемом выборки, ~ра·вно приближенно МтТо, с, где
-
4Nk~ loge (1/Ре)
М = --------
(6.77)
т (l_ р2)2{R2/[R(1+р2)+1]}
[см. (6.30)].
1 ) Для даль н ейшего заметим также, .что если известно, что Ф принимает
ол 1~о 11з двух значений Ф=О или Ф=:n:, то решение должно основываться . на
п
,
~2
статистике ~ = ,ii,,,J avl• а не на статистике ~v, определяемой равенством (6.73).
l=O
Кроме того,
fl( ~;)~М(р~+1/2R)
11
vаг(~; - ~~) =Мj~2(1- р~)+~(р~+Pt- 2р;рμpv)}.
(// рил1. авт.).
173


Другие .результаты предыдущего параграфа также могут быть
обобщены на случай фазовонекогерентной с'Инхронизации, Так, на­
приме,р, алгор,итм последовательного поиска легче всего применить
к .настоящей задаче, если предположить, что статистики zJ1 имеют
гауссожкое распределение со среддим Е (z';1 1v) = ·rJo и дисперсией
a2 =max var (,z~ 1 1μ), :и выбирать в качестве альтернативной гипо-
μ
тетической ме1Жи м-ет.ку v, имеющую ореднее r]t =E(z~1 lv) =
=maxE(z~1 Iμ) и дисперсию -а2 . При этом поиск будет основан ,на
μ
решающих переменных
~ =ТJо- 1']1{z2 _ ТJо+ТJ1}
.
vl
а2
vl
2
,Математичеекое ожидание времени поиска можно оценить, ис­
пользуя ф-лы (2.44) ·и (2.48). Вероятность ошибки, соответствую­
щая эт,им выражениям, .не представляет, ко,нечно, действительной
вероятности ошибки, так как наблюдаемые z;1 :не ра•спределены по
Гауссу . Однако результаты § 2.6 от,носительно .влияния на уро•вень
значимости .и мощность теста того обстоятельства, что распреде­
ление наблюдаемых ·не соответствует ни нулевой, ,ни альтернатив­
ной гипотезам, могут быть использо:ваны для отьюкания действи­
тельной вероят,ности ошибки. [Ра-сп~ределение наблюдаемых ;zv1 за­
дается равенством (4.36) ].
Хотя решающие· переменные ~ .. .
являются оптимальными толь­
ко при очень малых отношениях сигнал/шум R, приятно заметить,
что если R велико, получающееся в результате выражение для М1·
[равенства (6.76) и (6.77) ], когда р =0, лишь вдвое больше соот­
•ветствующего ;зыражения -в случае когерентной -синх,ронизаци.и. Бо­
лее того, если R велико, требуемое время поиска в обоих случаях
стано.вится одним и тем же пр.и ,р-1 . Так как характеристика си.н­
х,ронизато,ра, иапользующег,о ,велич·ины •Wv ~равенст,во (16.64) ], огра-
ничена характеристиками: сверху - когерен'Гного синхронизатора
и снизу-синхро11шзатора, ,использующего величины ~v, ·ю он дол­
жен цр.и!Вод,ить лишь :к чуть лучшей характеристи.к·е, чем для синхро­
низатора с ~v в только что рассмотрен,ных условиях, даже когда
фаза может предполагаться постоянной на полном интервале поис­
ка ~мт0 секунд. Наконец, можно заключить, что ухудшение харак­
теристики за счет ис,пользования ~v вместо log z v мало .независимо
от от.ношения с·иг,нал/шум R. Когда R велико, предыдущие заме­
чания имеют силу; когда ,R мало, ~v и log zv, .по существу, .равны,
и любое улучшение при использова,нии последней величины будет
пренебрежимо малым .
Зависимость времени поиска ,от числа меток N од.на и та же
как 1при к,01ге,рен11ной, та•к ·И шр-и .некО1Герентной сихр-о;низации . За­
висимости времени поиска от от.ношения сигнал/шум ,R в этих д~вух
случаях также, ,по существу, являют-ся одинаковым.и, если R вел.и-
174


ко по сравнен.ню ,с единицей. Однако, когда R. мало, характери,сти­
ка фазовонекогерентного синхро,низатора заВ'исит как 1/R 2 от этого
пшраметра, а характеристика когерент,ного -синхронизатора - как
1/,Р .
До этого как закончить параграф, заметим также, что системы
ФАПЧ могут быть иногда ,использованы с ус,пехом даже тогда,
когда синхронизацию нужно установить ,некогерентно. Например,
прямоуголышй .импульс, рассмотренный в § 6.3, может быть от­
слежен системой ФАПЧ да'же лр,и отсут,ств:ии о'порной несущей.
Однако анализ ха,рактеристик такой цепи отложим на нежоторое
1вр·вмя, так 1как то же самое уст,ройство буtдет ·вновь 1рассмо11рено
13 •большей общности :В § 8:6.
6.7. Выбор синхросигнала.
Псевдошумовые последовательности
Все рас-смотренные в предыдущих параr,рафах схемы ре­
шения от,носительно меток приводили к таким ,выражениям для вре­
мени поиска ·ил.и, ,по крайней мере, для гра1ниц этого времени ло•ис­
ка, которые были монотонно возра,стающими функциями макси­
мального коэффициента корреляции 1Р (или в случае фазовонеко­
rерен'!'ной с:инхронизации - значеН'ия ,р 2 ). В соответствии с этим,
если мы свободны в выборе сигнала синхроканала, нужно, по-ви­
димому, пытаться минимизировать этот .пара·метр. Задача состоит
в отыскании периодического с'иrнала x(i) ,с периодом Т0, такого,
что в множестве N сигналов xv(t) =4t-(vTo/N) ], v=O, 1, .. ., N- 1
максимальный из коэффицие.нтов корреляции
т.
рv= -
1 S xμ(t)xv(t) dt
μ
't/,
(6.78)
о
является по возможности наиме,ньшим. Как было показано в
§ 4.2, нераве,нство
1
maxp ~---
(6.79)
μ,.vμv
N-1
μ ,fv
справедливо для любого множества N сиr,налов. Эта 1нижняя гра­
ница, очевидно, может быть использована здесь. Вскоре будет
у'казан класс сигналов, на котором достигается эта граница. Но
сначала з·аметим, что, когда N велико, ортогональное множество
(,с 'Pμv =0) почти олтималыю (.и вероятно опт-имально 'В некоге­
рентном случае). Сразу же мо)юно предложить один кла,сс ортого­
н а льных сигналов - сигналы ВИМ, рас-смотренные в § 4.4: если
x (,t)=V2Nsinwct, O~t<J0/,N, то 1P μv=O для всех μ=#=v, как и
J ребуется.
Таким об,разо-м, почти оптимальный -синх~росиrнал в ,случае, ког­
дс~ используется любая из процедур поиска, приведенных в преды-
175


дущих паралрафах , представляет собой прос'Го .импульс ,с длитель­
ностью T0/N, передаваемый каждые Т0 -секунд . Основной ,недо­
статок такоr~ сиr,нала состоит в том, что его амплитуда ,пропор-
циональна 1 N, и ,п,оэтому пикювая шереда,ваемая мощность будет
пропорц.иональ.на N, если требуется, чтобы -общая ,передаваемая
мощность оставалась постоя,нной. Это услов.ие жест~о ограничи­
вает значение N в реальных системах и тем самым оrраничи­
,вает возмож'Ность уменьшения ,пе.рвоначалын9й нео;r,1-юз1Начносrи
во в,ремени .
К счастью, можно ,не толь·ко генерировать ,сигнал, имеющий, по
существу, опт-ималыные коэффициенты корреляции Vvμ в от,сутствие
жесткого ограничения на пико,вую мощность импуль·са сигнала, ,но
.и делать это при дополнитель,ном условии, что его огибающая пос­
тоянна независимо от времен:и.
Рассмотрим следующую фун кц ию 1):
1
1, 0<t<T0/3;
x(t)= 1, T 0J3<t<2T0/3;
-
1, 2T0J3<t<T0
(6.80)
Эта функция, график которой изображен на рис. 6 . За, мож.ет быть
представлена последовательностью {1, 1, -1} . Г1рафик автокар.ре-
а)
x (t2
r
-1
о) p(i)
Та/J
2Та/J То t
2
Рис . 6.3. Пример после­
довательности и ее ав·то­
l{Орреляционной функции·
а) функция x(t) [см.
(6.80) ] ; 6) периодическая
автокорреляционная
функ ция
ляц.ионной фу,нкции р ('У)) приведен на рис. 6.36. Отметим, что
p(YJ) изменяется линейно в :интервалах между значениями, кото­
рые она принимает ·в точках YJ=O, Т0/3, 2Т0/3, .. . ; чтобы полностью
задать функцию, необходимо ее определить лишь в эп1х точках.
Ясно, что Э'ГОТ случай всегда имеет место, когда x(t) ·представляет
собой последовательность импульсоо постоянной амплитуды и оди­
наковой длительности ЛТ -секунд, т. е. всегда, когда x(t) может
быть предста,влена ,последовательностью + 1 и -1. Функция, опре­
деленная равенством (6.80), в дейст,вительности чуть пред,почти­
тельней (для фа з,о,вокогерентноrо ,случая), чем 1прямоу1rольный
1) Действительный передаваемый сигнал обычно будет иметь вн.r:_
x(t) У2 А si n wot. Здесь предполагается, что демодуляция несущей уже выпол­
нена. (Прим. авт.).
176


импульс с длительностью ЛТ=Т0/3. Но ее самое важ,ное преиму­
щество состоит в -постоянстве уро·вня мощности.
Жела.ние получить меньшую эффективную длительность им­
пульса .приводит к ,необходимости ст.роить более длинные последо­
вательности + 1 и -1, обладающие а1втокорреляц,ионными функ­
циям.и, которые достигают нижней г.раницы (6.79). Заметим, что
эффективная длительность им·пульса ~Л.Т сигнала такого вида не
может быть меньше, чем T0/N, где N -число символов (.в од·ном
.периоде) ,в двухуровневой .последовательности, представляющей
x(.t). Цель п·оэтому состоит •в том, чтобы ,найти двухуров.невую по­
следо вательность рер·иода N, имеющую ,рав.номер,но малую корре­
ляционную функцИ(Ю p('YJ) для всех 'YJ из интер1Вала :il0 +T0/N<'YJ<
< (i+ 1) T0-T0/.N . Ниже будет показано, что это можно сделать
для любого N вида N =2k-l, где k- целое число.
Чтобы ,продемонстрировать процеду,ру формирования такой по­
следовательности, укажем одно специальное свойство последова­
тельности {1, 1, -1}, котор•ое является ключевым для этого обоб­
щения. Заменяя символ -1 в этой ,последовательности нулем, ,най­
дем, что сумма по модулю два первых двух ,с им:волов ра,вна третьему;
су мма по модулю два второго
и третьего символов равна пер­
вому и сумма по модулю два
тре тьего и первого символов
равна второму. Эта последова­
тел1::ность может быть порож­
дена линейным рег и стром сдви ­
га с обратной связью, его
фу1н11щиональная схема изо6ра­
жена яа рис . 6.4а. Прям.оуг-оль­
нюш изображают элементы
ла1мяти, которые х,ра:нят ед.иНiи ­
Рис. 6.4 . Функциональные схемы генера ­
торов nоследовательностей регистра
сдвига
щ; или нуль в течение одной единицы времени (в этом примере -
Т0/3 секун,д) ,и затем одв·игают 1их 1в на1правлении выходной стрелки.
Цепь содержит !Элемент ЕIЭ - опецзна,к, ·обозна•чает сум•матор 1по
модулю два; ,он MIIiHOВбHHO .про,ИЗIВОДIИТ .сумми ро•вание IПО модулю
д,ва е1го ,вхо1дов и ~подает сумму в .направл-е.ни,н его выход:ной ,стрел­
ки. Легко ,проверить, что этот регистр сдвига .ген·ерирует ,периоди­
ческую до,следователь.ность .. .J 1011 О ...
Таким образом, двухразрядный (т . е. с двумя элементами па­
мяти) .регистр сдвига может ге,нер·ировать .последо•вателыность с
,периодом 3 = ,22 --',l. Т,рех-раз,ря;дны й ~регистр сдв·и~rа .изображен на
р-ис. 6.46 вместе с .последовательностью, которую он генерирует.
(Последов ательность следует читать спра,ва налево . Самый· юрай­
ний с имвол справа был пер:вым еииволом на выходе реги-стра.)
Всегда, когда те же самые три ,символа ·встречаю-гся ;второй раз,
последовательность вновь начинает повторять себя, так как любые
три по,следо,вател1,1-н~1х <:и,м,во,па о·предел5щ)т щтавшуюс:я ,пщ:ле,до­
ва 1·е.flьНО,сtь . Этот тре:хразрядныl\ регистр ед.в.ига генерирует меле-·
довател ыность с ,периодом 7=23-1 . Спра,ведл иво следующее утвер-
177


жде,ние: сущест.вует некоторое линейное устройст1Во с обратной
связью (т. е . такое, которое использует л,ишь суммирование по мо­
дулю два), с помощью которого k-зарядный регистр сдвига может
генерировать двоичную последовательность с периодом 2"-1 пр,1
любом целом !г. Доказательство этого утверждения следует непо­
оредственно из результатов, полученных в гл. 13, и здесь приведе­
но .не будет. Следует подчеркнуть, что не все линейные цепи с об­
рат.ной связью ,порождают 1после1До,вательности с [I·ериодом 2"-1 .
На самом деле лишь малая доля ,возможных УfТ,ройств с обрат,ной
связью при,водит к желаемым результатам.
Последовательность •с ,пери одом 2"-·1, по,рождаемая линейным
k-разрядным регистром сдвига, часто называется последовательно­
стыо макси.мальной длины линейного регистра сдвига. Основа,ние
для этого названия становится очевидным, если заметить, что пе­
риод этой последовательности равен минимальному числу ,симво­
лов, отделяющлх любые две одинаковые ·k-последовательности в
ней. Это про•исходит потому, что содержимое k элементо,в памяти
однозначно определяет последующий .выход. Далее, если все эле­
менты .памяти содержали нули в какой-то момент, то выход будет
нулевым все время, ,начиная с этого момента. Таким образом, са­
мая длинная последователь.ность на выходе k-.разрядного регист,ра
сдвига может -содержать каждую ненулевую k-последовательность
один .и только один раз до того момента, как она начнет повто­
рять себя . Так как существует точно 2"-1 таких (двоичных) k-по­
следовательностей ,и так как любая последовательность с пер,ио­
дом N ,содержит N {-,последовательностей для любого l~N, то
период последовательности .k-разрядного линейного регистра сд,ви­
га 1не может быть больше N =2"-1 .
Мы еще не показали, что желательные а1втокорреляционные
св-ойст,ва последовательности максимальной длины {1, 1, О} сох~ра­
няются ·в более длин,ных последовательностях. Это легко сделать,
е,сли учесть следующие два свойства последовательности макси­
мальной длины линейного регистра сдвига:
1. Сумма по модулю два ,последовательности максимальной
длины .и последователыностл, ,полученной путем любого цикличе­
ского сдвига ее самой на любое число позиций l, где .Z==i=O по мо­
дулю N, являет,ся некото,рой третьей последовательностью, полу­
ченной циклическим сдвигом той же самой последовательности.
2. Любая линейная последовательность максимальной дли,ны
21<~] должна содержать 211 - 1 .единиц ,и 2k-1
- l J-t.улей.
Докажем ооа этих у11верждения. Од,нако до этого рассмотрим
их следствия, касающиеся а,втокорреляционной фующии этих по ­
следовательноетей.
Автокорреляционная функция ·временной функции x(t), пред­
ставляемой ~последовательностью единиц и минус единиц, ка1к уже
было отмечеяо, определяется ,ее з1начениям·и 1в .т-очках 't;= jTriN.
Если х; является з,наче.нием ,i -ro элемента этой последовательности
(X1=+l или Х;=-1). то
178


(6.81)
где Хн+1=Х1 и Aj обозначает число случаев, когда Х;=Хнj, а Dj-
число случаев, когда х;+х;н- Последнее выражение в правой час­
ти равенст,ва (6.81) справедливо неза1висимо от того, .используется
ли последовательность единиц ,и минус единиц, или единиц и нулей.
Но ч исло случаев, когда х; =X;+j в последовательности единиц и
нулей равно числу нулей в N-последователыности {x;(±;)Xi+j} - Пер­
в ое из двух счойств линейной последовательности маК,симальной
длины, упомянутых выше, утверждает, что сумма последовательно­
стей {x';=x;(±;)Xi+j}, где j+,o по модулю iN я1Вляется просто цикл'И­
ческим адви,го·м 1последователыност.и {х;}, {х';=хн1 } для ,некоторо ­
го ц елого l. Второе овойство, ,в свою очередь, ут.верждает, что ч.ис­
ло нулей в 1последователь.ности {х;+1}, и, сле~дователь:но, ,в N-.после­
до.ва тельности {х; Et)x;+j} рав.но 21i-1
- l . Следо,вательно,
Aj-Dj
(2k-1_1)-(2k-l)
1
pj=
N-
2k- 1
=-N
(6.82)
для л юбого j+O по модулю N . Когда j =0 по модулю N, то, ко­
нечн о , A:i =iN и P.i = 1. Если эти два утверждения относитель,но ли­
ней 11 ых лоследова тельностей максимальной длины справедливы (а
они 1вско,ре будут доказаны), то временная функц'Ия x(t), ,соответ­
ст.вующая такой ,последо·вательности, .имеет а,втокоррелял,:ионную
фу,нк цию , график которой ,приведен на рис. 6.5. Т аким образом,
Ри с. 6 .5. Периодическа н
автокорреля ционн ая
функция последователь­
ности максимальной дли­
ны
п
Jg
п
для коэффициенто,в корреляции 'Pμv =Piμ-v 1=-(l/N), μ+,,, и они
подходят очень близко к нижней границе -[l/(N-1)], как указы­
в алось ра н ее. Фактически ,н.икакая двухуровневая последователь­
ность длины N, большей двух, .не может улучшить этот результат.
Дейс т вительно, из ф-лы (6.81) имеем ·P .i=l/N, где l- некоторое це­
л ое ч исло, а так как maxpj~- i[l/(N-1)], то l~ - - - - j[N/(N-1)]. Но
i
в си лу того, что l - целое число, оно должно быть больше или рав-
но -1 для всех N>2.
До кажем теперь оба утверждения, из которых следует справед­
л иво с ть ,равенства (6.82) . Второе ут,верждение, что линейная по­
с.n едов ательность максимальной длины 21i_ . 1 содержит 21<- 1
--l
н уле й и 2k-1 едшщц, следует почти непосредст.венно из сделанного
ра н ее з амечания, что каждая k-последовательность должна появ -
179·


ляться один и только один 1раз в ,последовательности максималь­
ной длины, имеющей длину 2k-1 . Каждый символ последователь ­
ности содержится точно ,в k посл·едо,вательностях длины k (.он явля­
ется первым символом в одной, вторым символом в другой после­
довательности и ,т. д . ) . Поэтому ч,исло единиц в mослед,ователь­
ности
2"
М=
_l '1m- =
_ ! (2" }!__) = 2k-I,
ki.J'
k
2
(6.83)
i=I
•
где mi - число единиц ·в i-й ненулевой , k-.последо,вательно.сти . Чис­
ло ;нулей, конеч,но, 1ра•вно 2k-l-M =2k-1
-1.
Первое из этих двух утверждений (т . е . что ,последовательность
{xi ffixi+j} является ,последовательностью вида {хн1} для некото­
ро1го целого ·l), ;необходимое, чтобы вычислить автокор,реляци-о,н­
ную функцию x(t), является следствием линейности регистра
сдвига, генерирующег-о эти ~последовательности. Любой элемент в
последователь,ности я1вляется линейной комбинацией k предыдущих
элементов
k
Х·= '\.-, а Х.
l
L V t-'V,
V=I
(6.84)
где сумии,ро.вание про-водится по модулю два. Коэффициенты av
равны либо единице, либо нулю и зависят от того, является ли
выхм соответс11вующе,го ,элемента !Памяти .входом для сумматора
по модулю два или нет. Сумма Х; Е9 X;+ j может быть записана ,в
виде
k
(xiЕ9х+·) = \' а(х. ffiх.+.,) .
</
.;.,.;
V <-V
< /-V
(6.85)
V=I
В соответствии с этим последовательность {x';=xiffixнJ так­
же может быть ,порождена той же самой логической цепью обрат­
ной связи, что и пер,воначальная последовательность {х;}. Так как
любая k-последовательность однозначно о-пределяет остаток этой
последовательности, то все ..ненулевые k-,последовательности долж­
ны где-либо встречаться в ,ней, если встречается какая-либо из них.
Последовательность либо содержит только нули, либо является
некоторой циклической перестановкой любой другой 1последо,ва­
тельности максi!мальной длины, порождаемой с помощью той же
самой логической ,цепи. Если две k-последовательности
Xi, хн1, . . ., хн1,-1 -и X;+j, хнн1 , . . ., хннk-1 не являются равным.и .
( а они равны только, если j =0 по модулю N), то последователь­
ность, порождаемая и х суммой, .не я,вляет,ся последовательнос тью
одних нулей. Следовательно, кроме ,случая, когда j = О по моду­
лю N , сумма любых двух циклических ,переста1новок одной и той
же последо•вательности максимальной длины линейного регист,ра
сдв.ига представля ет собой третью ·перестановку той же самой по ­
следозателыrос ти, что и док азывает ,первое у тверждение.
180


В силу того что эти последовательности имеют ,некоторые об ­
щие свойства со случайными двоичными \Последовательностями
(ер . с гл . 13), они ча,сто называются в литературе псевдослучай­
ными или псевдошумовыми (ПШ) последовательностям.и . Послед ­
.нее назва1ние будет ис,пользо•вать,ся в последующем изложении для
обозначения последовательностей максимальной длины регистра
сдвига. Следует отметить, ·что сущестшуют также двоичные после ­
довательности, отличные от псевдошумовых последовательностей
и .имеющие требуемые двухуровневые корреляци о нные функции .
Хотя -эти последовательности дополняют псевдошумовые последо­
вательности (они могут ,иметь периоды, отл.ичные . от 2k-l) , они
обычно более трудны для генерирования и .поэтому иопользуются
не так часто.
Псевдошумовая •,последовательность дает метод реализации
сигнала с эффект.ивной длительностью им1Пу.1ьса ЛТ= To/N секунд
(с 1N = 2k-1) и в то же - время поз,вqляет сохранить . постоянной
.излучаемую мощность. Соответственно она м,ожет быть .использо"
ва1,на для целей синх ронизации почти таким же образом, как п1ря­
моугольный импульс той же самой эффективной длительности .
Рассмотрения § 6.3, в частности, касающиеся отслеживания
периодического прямоуголь,ного импульса с помощью системы
ФАПЧ, в равной мере пр,именимы к отслеживанию ПШ ,последо­
вательностей. Если принимаемый сигнал представляет собой ПШ
по.следо,вательность Ap(t), то сиr,нал ошибки, дающий дисперсию
фазовой ошибки (6.12) (с М=ЛТ), может быть реализован, напри­
мер, с ~помощью использо,ва,ния мес'Гного (имеющего единичную
мощность) с·иг.нала р* (t) = V .N/2 (N + 1)[р (t+ЛТ/2)-р (t-ЛТ/2) ].
Эффективная мощность сиг,нала ,в действителыюст.и больше . в
(N +1)-/N раз, чем в случае ,прямоугольного импульса длительно-
сти лr.
•
6.8 . Выбор синхросигнала. Последовательности,
быстро входящие в синхронизм
В предыдущих параграфах этой главы раосматривались
о ценки времени, ,необходимого для того, чтобы достичь требуемой
т очности време.ннбй ,синхронизации с помощью различны х алгорит ­
м ов поиска и разлиq,ных синх,росигналов. Хотя выбор того или ино­
г о метода поиска или синхросилнала; :ИЛ'И их обоих часто обуслов­
л ивался .внешними ограничениями, во многих случаях кон,структор
м ожет обладать шИiрокой овободой в выборе системы. Пр.и этом
,в озникает вопрос о том, какой метод синхронизации является оп­
т,им альным (в ,смысл·е минwм·ума 1в,ре,мени ,поиска) шр·и ,эт,их ослаб­
ле,нных ограничениях.
Если нет .никаких ограничений вообще (кроме обычных ограни­
чений ·на мощность), то оптимальный метод ,состоит, очевищно, в
пе р едаче лсевдошумовой последовательности (или ее эквивален­
та ) 1п,о си1нх•ро.каналу и .в ~принятии решения ма•кеимального пра,в­
д о,по:д:о'6:и я от,носит ель;но 1правиль.ной метки (ер. с § 4.2).
181


Как уже было отмечено, од,но :ИЗ на.иболее частых ограниче­
ний - ограничение на сложность устройств, пр·иводящее к тому,
что метки должны рассматрив,аться поочередно, а ,не одно.вре­
менно. Каков ,наилучший класс ,сиг,налов для использования в
этом случае? По оче,видным соображениям в этом случае также
часто используются псевдошумовые последовательности. Действи­
тельно, как показывает беглый просмотр предыдущих параграфов
этой главы, процедуры .поиска наиболее эффективны, когда
p=-1/N (.или в некогеретном случае, когда р=О). Если исполь­
зует,ся псевдошумовая :последовательность, усло.вия, пр,иведенные
в§ 2.7, удовлетворяются, и оптимальный поочередный по.иск явля­
ется ,последовательным поиском с а-1. Поэтому м·инимально ,воз­
мож,ное математическое ожидание времени поиска, которое можно
получить с помощью ПШ последоватмьно•СТ·И, ,прямо пропорцио­
нально дли.не .,юследователыности [ер . с (6.45) .при n=N].
Есть основания полагать, что время поочередного поиска могло
бы быть намного медлен.нее возрастающей функцией N. К этому
.заключению приводят довольно очевидные недостатки .процедуры
поочередного пои,ска, когда ·иополь.зуются псевдошумо,вые последо­
вателыюсти. Независимо от .используемого алгоритма, когда N
вел.ико, значителию большее время тратится .на отвержение оши­
бо,шых мет,ок, чем на ,принят,ие пра.в.ильной метки. Вместе с тем
от,вержение устраняет лишь од.ну метку среди конкурирующих, ~В
то время как лринят.ие устраняет N-1 меток. Плоды неп.ропор­
циональны усилиям. Метод оценивания меток, .предложенный в
§ 6.5, обходит эту трудность. Наблюдение дает одно :и то же кол·и­
чество информации независимо от того, какая из меток рассмат­
ривается на самом деле. Хотя требуемое для .принятия ,решения
вре.мя при иопользова.нии этого метода больше, чем математиче­
с1юе оЖ'идание времен.и поиска лри последовательном методе, по
крайней мере, если ~синхросигнал я,вляется псевдошумовой после­
довательностью, алгорлтм оценивания в некотором смысле я1Вляет­
ся более эффект.ивным.
Способом уменьшения ,времени mоиска является использование
·rакого алгоритма оцениван.ия меток совместно с алгор1И1\МОМ, кото­
рый выделяет одно ,и то же количество ·информации :из кажд,ого
наблюдения с 1пом-ощью эффекпшного !пр·и этом алгоритме класса
сигналов. Предположим, что синхросигнал таков, что наблюдае­
мые, относящиеся к какой-либо ча1ст,ной метке, . принимают в от­
сутствие шума одно из т •возможных з,наче,ний :в за.вис·имост.и от
того, какая метка яшляется правильной . Бел.и т равно N и каждое
в-оз,можное соотношение между .пршвильной и наблюдаемой мет.­
ками приводит к единственному ожидаемому значению наблюдае­
мой, то ~поиск заканч-ивается после принятия одного единственного
решения. Если m=No;2, то необходимы два таких решения. В об­
щем случае для любого значения .т вплоть до тr ~различных меток
мО'гут быть разрешены 1с .помощью r решений. Поэтому в идеале r
м ожет быть ,та:<им же малым, как наименьшее ,целое число, -равное
или большее logm N.
182


Для того чтобы мин,имизИiровать число необходимых решений,
т должно быть, по возможности, большим. Вместе с тем дис,пер ­
сия величины решающей переменной должна быть обратно прапор­
циональна :к;вадрату числа у~ровней, которые нужно различить, если
требуется принять надежное решение. В соответствии с этим вре­
мя , необходимое для приня-тия решения, грубо , должно бы ть , ·про­
пордионалыю т2 , а полное В1ремя .поиска про.порци онал ьно
m 2 logт N = (,m 2/loge m)loge N . Дифференцируя ,выражени-е m 2/loge ni
по :т, находим, что оно я:вляется 1возра~стающей функцией т пр й
m>e1; 2 :и убывающей функцией ,пр.и т<е 1 ;2. Так как ,m должн о
быть целым , его оптимальное значение ,Пlр,иближенно равн о 2.
Та·ким образом, ,пои~ек должен п:роизводиться на основ е двоич­
ного решения относительно каждой метки, та1К же как в большин,,
стве 1пр,оцедур поиска, описанных ранее, но -с одним важным отли­
чием. Каждое двоичное решение должно устранять половину ме­
ток, все еще конкур,ирующих ,на этом этапе поиска , независ-имо 01'
того, какая .метка рассматривается. Если это можно ,сделать, .пол ­
ное время ,поиска будет лропорцио,нально log2 N, а не N, что дает
значительный выигрыш, когда N •велико .
Легко выбрать такой сигнал, чтобы пер1Бое двоичное решение
ус11ранило половину конку,рирующих меток. Преддоложим, в ча-ст·
но:сти, что синхроеигналы s 1(,t) являются с.ину,соидами с единичной
мощностью ,или прямоугольными функциями с периодом 2To/N.
ПО!дuйдет та,кже любая функция времени f(t), :имеющая М.ИrНIИ­
мальный период 2T0/N и удо,влетворяющая у,слоВ'ию ,f[t+(To/N)]=
=-Ht), т. е. любая ан.ти,периодическая функция ..~О1эффиuиенты
а1вто'к0,рреляции ,p(-r,=iT0/N)Л Pi такого сигнала имеют в.ид
Pt=(-l)i.
(6.86)
РешеНlие максимального ,правдоподобия от,нос-ительно того, явля ·
ется ли номер .наблюдаемой метки четным или нечетным (относи ·
тельно правильной метки), 1пр.и,нимается на основе использо,ванюt
суммы :интегралов ,вида
(i+l)T0
Z1 (j)= s У1(t)81(t)dt,
(6.87)
iТо
где лр.ин:имаемый сигнал y 1(t) ,равен Asi(;t-,(iTo/N)]+n(,t) для не­
м-1
которого целого .i. Если сумма ~ iz1,(j) .положительна, то проверяе-
i=О
мая 1и пра:вильная метки, по-видимому, имеют одинаковую чет-
ность (т. е. они разделены нечетным чи,слом меток); есл,и эта •сум ­
ма отрицательна, они должны иметь разную четность. В любом
случае, в соответствии с нашим желанием, ,после решения будут
оставатыся лишь N /2 ко,нкур:и1рующих меток.
Но ,после того как это решен'ие будет принято , ситуация ,изме­
н.ится толыю в том, что останутся лишь :N/2 равномерно располо­
женных меток, а не N меток, ,как первоначально. Таким образом ,
второй синхроканал мог бы быть использов&н в точности таким ж е
о бразом, как первый канал, для того чтобы вновь снизить мвое
183


ч·исло 1ко,нку,р,ирующих меток. Нужно лишь ~передать ,по эwму вто­
рому каналу а.нтилериодический еигнал s2,(,f) с ,периодом 2T(}/N и
принять .решен:ие на осно,ве и.нтеграло1в вида
U+I)T0
z2(t)=
. \ !J2(t)s2(t)dt.
(6.88)
И ,в общем случае, если vV -степень числа 2, то число конку­
рирующих меток может быть снижено от N/2i-I до N/2i е по­
!У[Ощью передачи по i- му каналу антипериодического С'Иr,нала si(t)
с периодом 2iT0/N и образования iИН,тегралов
<i+ I )T0
Z;(j)=
.\ Yi(t)S; (t)dt.
(6.89)
Тре.буется лишь log2 N таких каналов .и, ·следовательно, log2 N
таких реше!IИЙ для того, чтобы определить правильную метку (,в
предположении, что нее решения делаю11ся пра,в'ильно).
Хотя эта процедура описана так, словно в распоряжении :име­
ют,ся log2 N ,раздельных оинхроюшалов, в действительности нужен
лишь ади,н канал. Это происходит потому, что сигналы si(t) явля­
ются ортогонаiiьными:
т.
-
1\ sv(i)s11(t)dt=О, μ=#-v.
То.,
•
(6.90)
о
Таким образом, 1пе р едавае.мый сигнал может 'Иметь вид
log,N
IJ S;(f),
(6 .91)
i=l
а каждая решающая переменная ,zi(j) может быть сформирова,на
так, чт о на нее не будет ,влиять присутс11вие любых других с,игна­
лов s,(J), l=l=i. Если амплитуда каждого 1из составляющих сигна-
лов s;(t) равна 1/ V l og2 N, как 'Указывает равенстsо (6.91), то
полная мощность п ринимаемого сип-rала не зависит от N.
Тогда на i- м этапе поиска реше.ние долж,но строиться .на осно ­
ве ,статистик zi(j) относительно того, ,сравнимы ли п о модулю 2i
метка ,принима~мого -сигнала ,и метка сигнала s;(,t) (гипотеза Hi)
или они не сравнимы (гипотеза Я;). Так как оба 1рода ошибок рав­
ноценны, если ра,ссматр·ивать их действие на результат по.иска,
то соответствующие .вероятности ошибок ,а и ~ должны быть ра1В­
ны. Опт,имальное :в смысле минимума математического ожидания·
требуемого времени решение на каж,дом этапе, конечно, будет по ­
следовательным ~решением . Математическое ожи,дание числа тре­
бующихся .наблюдаемых, ·в силу того что а=~' равно
1-а
(!- 2а)loge--
Е(М\Н;)=Е(МIН;)= Е(~i [Н;) а
(6 .92)
184


где ~; - логариф.м •отношения плотностей ,верояшностей
Ро(z;) =ехр{2~ z;} ;
Р1 (z;)
G'
(6.93)
Т)Л IЕ(z;)1 = АТ0/Vn; а2~- var(z;) = N0T0/2 и п1Llog2N.
Таким
образ ом, ма•темат,ическое ожидание времен.и поиска
се ку,нд, где
Мт= (log2N)Е(МIIii)=
-
-
loge -- (log 2 N)2
-
1-2а (1-а)
4R
а
рав,но МтТо
(6.94)
с R = А 2 Тo/iNо- Наконец, так как вероятность 1п1рш-1я т~Ия ошибочной
метки Ре п,риближенно равна п1а, когда na<f;.. 1 [ер. с § 2.6;
na{l-,[(n-1 )/2]а} ~Ре= 1-( 1-а) n~па], то получае м
м 1] (Jog2N} (Iog2N)2
т~4 oge-р-
R.
е
(6.95)
~Можно было бы также на каждом этапе про.изво дить решен ие
с фи1vеирован1ным объемом ·выборки . Получающееся в результате
время ~поиска, ,,огда 1ве:роятность Ре мала, прибл:иже.нно л че тыре
раза больше, чем время последова,тельного ,по.ис ка .в тех же самых
у1слови ях.
Хотя результат (6.95) в некотором отноше,ни,и х·уже, чем про­
порциональность первой степен:и ,величины log2 N, на которую было
указ ано ,в шредыдущих абзацах 1), он тем не менее дает знач.и.­
тельное онижеаие времен.и .поиска по срав,нен·ию с време,не м, кото­
рое требуется при исmользо:вании псевдошумовых последо ватель,но ­
сте й . Более того, кажется очев.идным, что при шоочере,дном поиске
нлк акое даль,нейшее снижен·ие невозможно, по крайней мере, есл и
ре шения должны быть д.во.ич.ными. Оигнал, использованный в каж­
дом «канале», был опт.ималь,ным в том смысле, что никакой другой
си гнал с той же са,мой энергией ,не мог бы сделать эти две воз­
можные гипотезы более различ.имыми. Так как каждое рt:шен-ие
бы ло одина1ково .важно для окончатель,ног,о результат а, то все
« каналы» должны ,иметь од.ну и ту же энергию, как в действит ель­
ности и было . Никакая процедура решения не является , в среднем,
более быс трой, чем по,следо·вательное реше,ние, так что время, зат­
ра ченное на каждое решение, минимально . И, нако.нец, ,в среднем,
правильную метку могут определить ,не менее чем log2 N двоичных
ре шений.
Недостаток этих с:игнало,в ло сравнению с псевдошумовыми ,по­
следовательностями сост,оит в ,непостоянстве переда,ваемо й мощно­
с п1 . Пиковая мощность [см. (6.91)] в log2 N раз больше ср ед.ней
мощ ности. Хотя это отношение значительно лучше по сра,внению с
1 ) Заметим, что если можно изменять п ередаваемый сигнал в п одход ящие
иоменты времени в течение процесса синхро н изациюнного поисха, то сигналы
s ;(./) мо гут передаваться поочередно. Мощность каждого составляющего сн гн а­
; 1 а мо жн ·о было бы при этом эффективно увеличить в Jog2 N ра з, 11 в р емя поиска
с т а ло бы, на самом деле, пропорциональным Jog2 N. (Прим. авт.).
185


отношен:ием N/1, характерном для ,им,пульсного сигнала длитель­
ност,и To/N, в.се же использование таких СJиг.налов может оказаться
неудоб1ным. В любом ,случае эти сигналы могут быть заменены
д·воичным.и последовательностями :ттостоя;нной мощности лишь с ми­
нимальным ухудшением характе;рист.ик.
Чтобы показать, как это можно сделать, ,пред,положим, что оиг­
налы si(,t) пря.моугольны, и заметим, что они могут быть одно­
значно представлены последовательностью Si= ' (cri 1, cri 2,
... ,
criN)
единиц :и жинус единиц; crij 1соответс11вует амплитуде сигнала Si{i)
на интервале (j-1) To/N <t<jT0/N. При этом сигнал s(,t) пред-
с та ,вляе тс я ,последовательностью
S = (f rтivJ,
~
i=l
n
n
)
•
"•
у cr~,
..
.,
,,сrлт
.
"' -1
..... ,
i=l
i=l
(6.96)
Цель состоит в том, чтобы •заменить эту последова·т ельность шо­
с л едовательностью s' = (01, 02, ... , 0N) единиц и минус единиц, соот­
ветствующей сиг,налу s'(i) таrки.м образом, чтобы миним:изи~ро,вать
увеличен.не математического ожидания времени ,с.инхронизационно­
го по111ска . Согласно (6 .94), это время поиска определяется лишь
в еличинам·и 11 и ,cr , где cr не за·висит от принимаемого сигнала. Та­
ки м обр азом, выберем s' так, чтобы максимиз:ировать вел:ич,ину
Т0
N
11;=АSs'(t)si(t)dt = А;о ~0р}
0
i=l
длявсехi=1,2, ..., п=log2N.Но
min 11; < ave 11;
i
пN
N
n
N
= АТо \1 \10_cri. = АТо\10_\1ai.<: АТо\1
!Nn l..J l..J ]/ Nn l..J ]l..J / Nn J:,J
.
-
i=l i=I
j=I
i=I
i=I
(6.97
где послед.нее неравенст,во пе:рехощит .в равенство тог,да и только
т огда, -когда
(6.98)
"
cri. < О.
......
/
i
OI'f ределение фующии sgn {х} rпри х=О ,несущественно при рас­
смот__Fjении этого последнего ут,верждения. Для удобства оп,редел:им .
sgn {О}= 1, хотя это расходит,ся с обычным определением, при ко­
тором sgn {О}= О. Как будет показано, если 0j определяется равен­
ством (6.98), величины шin 11'; и ave 11'; достигают верхней гра­
нrицы ·в (6.97). Таким ,образом, ~последовательность s', которая на­
зыва-ет,ся последователы-юстыо, быстро входящей в синхронизм,
являет,ся опт.имальной в тех условиях, которые здесь рассматр:и­
ваются. Посл_едовательность, быстро входящая в с•и,щ;:,ронизм, s'
!86


дли ны 1N =32 изображена на рис. 6.6 ,вместе с составляющим.и
последовательностями s;.
Для доказательства оптимальности последовательности s' за­
метим, что множество п-последовательностей {u 1j, u 2j,
.
.
.,
unj}
соде ржит каждую из N двоичных 11-,последовательностей (единиц .и
Рис. 6.6 . Последователь-
ность, быстро входящая s5
в синхронизм, и ее ком-
поненты (N=32)
,'
лшнус единиц) оди.н и только од.ин раз . Более того, та:к как 0j -
сим метричная функция ,<Jij и ukj, то
N
N
,
,_ АТO'1(k
i)е_АТо '1(; k)0_
,
,
rik- ' l')i - N I,,J (Ji-(Ji ;-N I,,J (Jj-(Jj j- 'l')i-l '}k
~]
~]
и, следовательно, ч';='1') 1k для rвсех ,i и k. В соот~ветств.ии с э~им
ave rJ';=rninrJ';, и все нера,в-е;нст,ва 1в (6.97) в действитель.ности
i
я-вл яются равенствам.и, если 0j Оi11ределяется так, как указано вы­
ше. Наконец,
N
,л
,=АТо~
' 1') = 'l'J;
Nп l.J
i=l
12~~~(:2 /) , п нечетное;
~\::• (~)
, п четное,
(6.99)
где К'Вадратные скобки обозначают целую часть находящейся в
н е й дроби. Последняя сумма опять выч·исляется с учетом то го, что
ка ждая из N двоичных п-последовательностей появляется точно
оди.н раз .в множест.ве {и1j, u 2j, ..., unj}.
Когд а п велико, применен:ие приближения Стирл,мнrа для би-
11 ом и,налыrых коэффициентов дает
ri' ~
----
--
VT
АТо
~
л (log2 N )I/2
(6. 100)
187


Единственной mлатой за замену передаваемого С'ИГнала s(t) на
s'( ,t) является увел.ичение времени поиска прибл1иженно в л./2 раз
[см. ф-лу (6.94), где нужно 1J заменить на r)'].
Интересно отметить, что последовательности, быстро ,входящие
в синх,рон.из;м, содержат с-вой собственный отсчет времени. А •имен­
но, есл.и такая последовательность подается на вход системы
ФАПЧ, если местный сигнал z(t) является прямоугольным, с ле­
р.иодо.м, ра,вным периоду .наиболее высокочастотной ком,поненты,
о пределяю щей последо.вательность, и если ширина полосы цепи
порядка l /2Ta или меньше, т,о эта ~компонента .будет отслежен.а.
Для системы последовательность оказывается чисто 1црямоуголь­
ной функцией с амплитудой Ar(, где ТJ' определяется ф-лой (6.99).
Ошибка отслеживания поэтому равна CJi=:(л/2)2.(N0BL/A 2 (ТJ') 2 )
(см. § 6.3).
Обычно значительно большую мощность следует :придать ком­
поне,нте, mo которой .произво,ц~ится от,счет времени, а не ~аким-либо
другим компонентам, определяющим соста,вную последователь­
ность, так как ,временная компонента ,о пределяет окончательную
точность синхрпниза,щш. Это можно выполн:ить с помощью просто­
го увеличения веса на.ивысшей частоты ,последовательности при оп­
реде лении составной посл едователь ности. Таким образом, напрrИ­
мер, когда iN = 16, можно так выбрать знаки сумм соответствую­
щих элементов в четы,рех последовательностях
2-2 2
_: __2
2-2 2
-2
2-2 2
-2
2-2 2
-2
-1
-1
1-1
-1
1 1-1
-1
1 1-1
-1
1
1 ....:: .. .1
-1
-1
-1
1 1-1
-1
-1 ':_1
1
1
1-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1,
чтобы получить ,составную послед,ователь,но,сть
1-1 1
-1
1-1 1
-1
-1
1-1
-1
-1.
Эта последов.ателыюсть :имеет :корреляцию Т)с~=З/4 с ,временной
ком1понентой и ТJ = 1/4 с каж,дой из остальных компонент последо­
вательности. В общем случае, если отсчет времени представляет­
·СЯ последова те,1ьностью а, -а, а, -а, ... , а д1руг.ие ко.мпоненты
представляютсн последовательностями + 1 и ~1, корреляцrИя меж­
ду сост,ав,ной последовательностью, сформирован.ной таким обр,а­
зом, и ,времелн6й компонентой, как легко 1ви1деть, будет равна
'Ylct = (2A-N)/N,
(6.101)
[(n-l+a)/2] n • l
(n- 1)
гдеА=2 ~ ( -; ) - п-~+а ,а n=log2N. Второй бино-
минальный коэффициент .берет,ся равным нулю, есл:и (п-1 +а) /2-
не целое число. Аналогично корреляция с каждой из остальных
компонент посл едо вательности равна
ТJ = (2В- N)/N,
188
(6.102)


где
[(n-I+a)/2] (п- 2) ( п- 2 )
[(n-l-a)/2] (п-2 )
В=2 ~
•
i
-
п-1+а+2~\i
i=O
2
i=O
(п-2)
-
п-~-~.
Заметим, что Y]cz=. l, У] =0, Iкоrда а>п-1, •И что 1'}cz=ri, когда а= 1.
Если п 0Т1носителы-ю велико, то можно лолучить почти любое тре­
б уем ое -с оот ношение между Y]cz и 11 ,пр.и ,Некотором а ,из интер,вала
l~a~n-1.
6.9. Заключительные замечания
Эта глава посвящена ме'I'одам установления синхрони­
з ациn, ,выбору сигнала для оинхро.низац·ии и методам ,эффектив­
ной е го обработки, когда имее11ся отдельный канал, .используемый
исключитель,но для этой цели. Следует з,аметить, что наличие от ­
д ельного ка,н:ала не обязательно требует отдельных передатчика и
приемника. Синхрооигнал может быть различным.и способами уп ­
л от.не.н с сигналаМ'И , ,переносящими ш-1фор,мацию, ;на,приме~р, ,с ,по­
м ощью использова,н:ия . раздельных поднесущих ,или чередования
д вух сиг.нало,в во времен,и. В некоторых -случ,аях ,с,истема связи мо ­
жет р'аботать в двух 1режи,мах; ,исходный режим уст а,нсj'вления сттн­
х ронизации i-1еобходим для ,следующегG режима пер едачи. Синхро­
низация поддержи вается либо с п омощью .постоян.ного отслежива­
н ия отсч,етов врем ени, либо она основывается на достаточной ста­
б ильно.ст.и гене р аторов 'В ,п ередqтчике 1:f в ,приемнике. Неза,в.иоим о
от используемой схемы уплот,Нения результаты этой главы могут
б ыть пр,имене,н ы в случае, если синхроканал можно рассматривать
к а к совершен.но отдельный.
Хотя это .не всегда так, п ер·вым шагом в процессе еинхрониз.а-
1(ни, вообще говоря, яв.(Iяется установлен.не общего отсчета време­
I1.и во ,всей сиqтеме связи, . Это приводит к ,передаче .периодического
с нг,1-1ала и отолеживан·ию его фазы в пр,ием,НIике. Есл,и пе,риод этого
сиг,нала времен.и равен (или больше) мин:имальному приемлемому
N11-rхроН,изац.ио-нному .интервалу н·еодJНО.з,На'Ч,Но-сти • Т0 секу,нд, то
да льнейшие о п еращии ,не нужны . .. Однако, если в целях снижения
, в р е мени входа в сщ1хр _ошчм используется , сиг,нал времени с лер,и,о­
i l О М .ЛТ < То, то остаются N =То/ЛТ не определенных синхронизаuи­
<~ IrIrых меток и -си,г нал долж-е.н ,устр,а.нит9• эту N-кратную ;неодноз~нач -
11 ость.
Оптимальная ,ст,ратегия для устр<j.'нения неодно~ашчности за­
I и I,си rг от .используемого для этой цели..с-игнала и огр?,н.ичений на
,<_·,11ожI-юсть оборудования. Главные выводы П? этому вопросу мож­
II 0 сформулировать -следующим образо.м:
189


1. Если нет оrраниче,ний на сложность оборудо•вания, а такж~
фо,рму ,синхрос,итнала, кроме, возможно, огра,н·ич-ения на ~пи.ко.
вую мощность, то оптимальным является псевдошумовой сигнал
или эквивалентный ему (пе,р.иодический ортого.нальный сигнал для
некогерентного ка,нала), а опт.имальным ·прием'ником являются па­
раллельно ,соединенные ,согласова,нные фильтры, по одному для
каждой из меток сигнала. Время решения пропорц·ионально тогда
log ,N, где ,N - число конкурирующих меток сигнала.
•
2. Если О1гран,ичения на слож,ность оборудования заставляют
.произ,водить поочередные наблюдения ,меток, то о,птимальным яв­
ляет,ся сиг,нал, который рассматр:И,вался в § 6.8 . Если существует
жест.кое ограничение пиковой мощности, то эти последовательности
могут быть прев,ращены в д,воичные п0rследовательности, быстро
,вх,одящие в с.инхрон,из.м , что приведет лишь к незначительному уве­
личению времени поиска. В любом случае время поиска будет по­
рядка (log N) 2 . Если в этих условиях используются псев,дошумо­
вые лоследо,ватель,ност.и, то ·время поиска ·будет ,порящка N. (Су­
щес11вуют методы объе,,:щ.нения несколь,ких 1псевдошумовых лосл-е­
довательн-остей для получения соста.вно1г,о сигнала . Нремя ~поиска
при иоrюльзо,ва:нии таких ,последовательностей меньше, чем ,тт,ри
исттользовани·и только ПШ ,последователыности с одной ком1по­
нентой, но ·больше, чем для последовательностей, быстро ,входя­
щих в синхронизм.)
3. Если .имеют•ся та1кже огра;н.иче,н1ия ,на фо,рму си:нхросигна­
ла, то оптимальным алгоритмом поиска может быть либо заде1р­
жанное решею1е при последовательном по:иске, либо оценивание,
зависящее от ко,нкретного вида используемого ,оигнала . В любом
случае ,время поиска будет, как правило, пропорционально No.
4. Если жест.кие ограничения ,на ,оборудование запрещают ис­
пользование всех ,алгор.итмов ·по.иска, кроме ,простейшего, (т. е . по­
следовательного поиска с фикс.ированным объемом !Выборки), то
,время поиска может оказаться про.порциональным No.
В той части выводов, которые относились к построению сигна­
ла, молчаливо предполагалось, что синхронизац,ион,ный канал 1име­
ет ,аr,раничение на отношение сигнал/шум, а не на шири.ну ~полосы.
На самом же деле, есл:н произведение длительности ·импульса ·на
ширину полосы порядка 3 или 4, ил.и выше, то можно потюстью
iП:ренебречь 01граничением на шир,ину, и ,выводы, от,н,осящ11еся к
построению си.гнала, не .нуждаются в корректировке. Одна1ко,
есл:и есть . ограничения на ширину . полосы, может ·оказаться,
ч·ю не.выгодно делать дл:ительно,сть импульса такой малой, .какой
она должна была бы быть ,при наличии· лишь ограничений на отно­
шение сигнал/шум . Тем не менее ,воз.можно с ,помощью изменения
формы ,импульса сузить эффективную длитель.ность импуль.са, не
нарушая ограничений на полосу .канала. Наиболее эффективная
форма .импульса определяется ,полосовыми характеристиками ка­
нала, и . трудно получ.ить какие-л.ибо общие выводы ,в этом .направ­
лении. Те же ога,ворки можно сделать относительно выбора часто­
ты оинусоидалыюй пмнесущей, :используемой для о~счета време­
,ни. Очев·идно, сиг,нал ,времени должен находитьс5f в пределах пo-
1qn


Jiocы пропускания ка ·нала , и !ЭТО может привести к тому, что его
частота окажется меньше, чем та, кото,рая предлагается в § 6.2.
Следует также отмеТ,ИТЬ второе предположение, которое лежит
в основе приведенных ,в ыше выводов. А именно, предполагалось,
что корреля ции, дающие решающие .переменные, выч1исляются за
некоторое целое число пери,одо:в ,сигнала синхронизац.ии. Если от ­
ношение ,силнал/шум и период сигнала синхроНlизаци:и достаточно
велик и, то можно принять ,надежное решение относ.ительно фаэы
с иг н ала еще до завершения наблюдения ,полного периода . В этом
слу ч ае приведенные ,выше результаты перестают быть слраведд:и­
выми. Коэффици еNты частичNой корреляции, получаемые ,путем ,вы ­
числения взаи м,ной корреляции ,псе·вдо шумовой п0:следовательно­
ст и и ее местного варианта или ,последовательности, быстро :входя­
ще й ,в .с:инхр о,низм, и одной ,из ·компонент этой последовательности
ли шь 1на час1ш этого периода, будут :иметь ненулевые дисперсии
да же в отсутствие шума. Псе,вдошумовые последовательности бу­
ду т в этом ,случае лучше поеледоsательностей , быстро вхо:дящих ,в
с инхронизм, и, если отношение сигнал/шум достаточно велико для
то го, чтобы оправдать :использ,ова ни е частичных 'Корреляций, будут
несомненно работать лучше н.их. Один 1и·з методов использоваН'ия
этой возможности указан в задаче 6.6.
В этой главе рассматривалось 01птимальное реш ение задачи
наи более эффекти1Вного использовани я имеющейся в распоряже­
нии мощности сигнала. Так же, как ·и в предыдущих главах, обоб­
ще.н1ие иоследований этой главы на ситуации, ,в которых рекомен­
да ци и ,п о достижению ,оптимума могут быть выполнены лишь приб­
ли женно, вообще говоря, являет,ся простым .
Что касается сложности оборудования, то ,н аиболее уязвимым
элемен том в аппар,атуре, которая необходима для реализации ме­
тод ов э той главы, не,сомненно является цепь от,слеж:и,вания. На са­
мо м де ле , оинхронизация, очевидно, возможна без таких устройств,
хо тя их устранение, <Вообще го.во,ря, весьма сущест,венно ск ажетс я
11а мощности сигнала, .необходимого для получения зара н ее зада:н­
ной точност:и.
Е сли приним,аемым сигналом является синусоида, то с.и.стема
ФАПЧ ра,бо тает .1<ак узко.полос•ный фильТ1р . Так ,как ~систем а
с пособ-на отсл еживать частоту сигнала, ее ширина полосы BL мо­
жет быть намного уже, чем динамический частотный диапазон Л,f
1rрин:имаемог о с,иrнала. Тем не менее прин:11маемый сигнал мог бы
б ыть отфильтрован пассив,ным фильтром , имеющим ширину поло ­
с ы частот В~ ,Лf- Отфильтрова,н ный ,сигнал тогда ·и.м ел бы в.ид
(ер. с § 5.4)
у1(i)=А sin(шсf+Ф)+п.,(t)=[А+n1(t)Jsin(шi+Ф)+
+n2(t)cos(шcf+Ф)~Asin (шсt+ Ф+п2(t) ').
'
А!
(6.103)
! 1риближе н.но е. рав енство имеет место тогда, когда I n1(t) 1 ~А, как
11 должно б ыть для того, чтобы извлеченный с:иг.н а л давал ·приемле-
191


мый отсчет времени. Таюим образом,
приближенно рав-на
~исперсия фазовой ошибки
а2= Е[п~(t)]
NoB
Ф
А~
А2
(6. 104)
где N0 - спектральная плотность шума. Для того чтобы получить
с фильтром, имеющим ширину полосы В, ту же оамую точность,
что .и -пр:и рабоге с оистемой ФАПЧ с ши,риной полосы BL, необхо­
димо увеличить ,мощность сиrшала в BJBL раз. Та•к как В~Л;f, в
то ·в-рем я ка1к, обычно, В L « ,Лf, то 11ребуемое у,велИ'чение мощност.и
может быть ощутимым.
Тот же общий ,вывод от.носительно влия,ния устранения цепи от­
слеживания остается справедл-ивым :и для ,с лучая, когда принимае ­
мый сиг,нал является несинусоидальным. Напр.имер, если оигнал
синх1ронизаци.и состоит из лер.иодически ,перед,аваемых коротк·их
импульсов, ,цепь отслеживания, оп,иса.нная в § 6.3, иногда заме­
н яется фильтром ·и следующим за ,ним пор ,оговым устройство м;
оцениваемая метка определяется моментом, в который выход
фильтра превышает некоторый порог 1). Вновь ценой устранения
цеп.и является значительное увеличен.ие лолосы частот -синхрониза­
тора (ер . с задачей 6.3) и, следовательно, соответствующее у,вели­
чеН1ие мощности сигнала, ,необходимой для получения удовлетво­
рителы1ых результатов.
Задачи
6.1. а) Сигнал х (1 _:_т) принимает с я в присутств и и аддитивного белого гnус­
совс I(оrо шума, имеющего одностороннюю спектральную плотность No. Фу н к ция
x(t) известна, н о время заде ржки -r является случай н ой величиной, равном е рно
распределенной н а интервале (-То / 2, То/2). Показать , что независимо от ме­
тода, ис п ользуемого для оценки т , среднiс'. квадратнч еская ошибка оценнва11ин
огра11ичеI-Iа с:Iюу нер,шенством
2
i:____ {
[ (! -- р(и))R 1112 )
о,: ;;,, шах
!- erf
J,
0< v<J,/2 8
2
гдеR = 'ЦN0;'t;=]~х2(t)dl и р(и) = 1;i(J00х(t)х(t+и)dt ) .
Указание. Р ассмотрите следу ющую зада ч у. П р и ни мается од и н из двух рав­
н овероятн ы х сиг н алов: Х1 (t) =x[t-(u/2) ] и xz(t) =xU+ (и/2) ]. Для то го чтобы
о п редел и ть, какой 11менно , оценивается время зад ержки сигнала т и реше н ие
/\
ст р оится с использовани ем з нака э той оце н ки т . Очевидно , Аероят н ость ошиб о ч­
ного решения
Ре=+Рг{Те >+1Х1} ++Pr {Те < -+1Х2} ,
1) , Задача си н хронизации в этом виде тесно связана с зада чей оце н ки вре­
мени заде р жI<и радиолокационного импульса при изме р ении расстоя н ия . ( Пр11-л1.
авт.) .
192


/\
где Те ='t-T - о.шибка оценивания. Получите сформулированный результат, нс0
11ользуя ф-лы (4.12) и (4.13) для того, чтобы оценить снизу Р, и неравенство
Чебышева Рг { lx 1;:;,k} ~Е (x2 )/k3 для того, чтобы провести дальнейшую оцен,ку
с низу.
6) Показать, что если
( (__!_)
112
приО<t<ЛТ;
х(t)= лт
О в остальных случаях ,
тоai;;;,k(ЛT)2/R2, где k= тах
[62
4
(1 - erf ~)] = 0,0925.
0<!;'<R/2
•
С р а вните эту дисперсию ошибки оценивания с той, которая . получается, когда
т о т же сигнал передается с периодом То и его отслеживание производится си­
стемой ФАПЧ с шириной полосы В,= 1/2То •(ер. с § 6.3) .
6.2. Корень квадратный из среднеквадратической ширины полосы Во перио­
J l11ческой последовательности импульсов x(t) ·определяется равенством
со
J((J)/2n) 2 1 Х ((J)) 12 d (J)
/36 = _-_оо______ ___
оо
11Х ((J)) /2 d (J)
J
-со
1'J lC Х ((J)) - преобразование Фурье x(t).
а) По1<ажите, что если такая последовательность импульсов должна быть
о т с лежена системой ФАПЧ, рассмотренной в § 6.3, то приближенное выраже-
1111 е для дисперсии фазовой ошибки при достаточно больших отношениях сиг-
11 ал/.шум имеет вид: at = NoBL/A 2B 2oТ2, где Т- период импульсной последо-
11 ,1т ельности; А 2 - мощность принимаемого сигнала; No - спектральная плот -
1 юсть шума; BL - ,ширина полосы системы и Во - (конечная) определенная вы -
111 с ширина полосы .
б) Используя неравенство Крамера-Рао, определите нижнюю границу дис-
11 с р с ии любой несмещенной оценки фазы такого сигнала и сравните с иреды•
11. ущим результатом.
в) Покажите, что метод оптимизации длительности импульса, рассмотрен-
11 ый в § 6.3, в равной мере применим к импульсам, имеющим конечные шири -
111,1 полос Во, и приводит, по существу, к тем же самым результатам.
6.3. Одним из распространенных методов установления синхронизации яв­
J 1н стся передача периодической последовательности коротких импульсов и уста-
11 о вления моментов, в которые амплитуда соответствующим образом профильт­
ро ванного принимаемого сигнала превышает некоторый порог. Показать, что
1 11н1 достаточно больших отношениях сигнал/шум среднеквадратическая ошибка
(' 111 1 хронизации будет равна ошибке при отслеживании того же сигнала систе­
мо i1 ФАJПЧ, имеющей ширину полосы В L = 1/2Т при частоте повторения им-
1 1у.1 1 ьс ов 1/Т. Показать, что это справедливо для прямоугольных импульсов и
J lJ I П импульсов, имеющих конечную ширину полосы В 0 , определенную .в зада­
•1е 6.2.
Указание. При больших отношениях сигнал/шум соотношение между кор-
11 (' М квадратным из среднеквадратическоrо значения временной ошибки <J't и
1 < о р11 е м квадратным из среднеквадратического значения шума <rn на выходе
ф1 и 1ьтра может быть аппроксимировано так, как показано на рис, 6 .7 .
Что является здесь аналогом вероятности потери синхронизации в систе­
мах ФАПЧ?
193


6.4 . Фаза ис1(аженного белым гауссовским шумом прямоугольного сигнала
с периодом Т должна быть оценена с помащью вычисления его корреляции
ощювременно с двумя прямоугольными сигналами, генерируемыми местным ге­
нератором и имеющими тот ~ке самый период; один из этих местных сигналов
задержан на время Тj4 относительно другого. IПри условии, что после вычис­
ления корреляции за МТ секунд нормированный выход одного коррелятора ра-
• Рис . 6.7 . Приближенное
соотношение между уров­
нем шума и временной
ошибкой
flopoгo/JыtJ
!J(lOiJe!lf,
Сигнол+ш11м
п(r) 11, z f~i:J
t--
вен х, а другого - у; показать, что формула оценки макснмальноrо правдо ­
подобия времени задержки принимаемого прямоугольного сигнала имеет вид:
лт
-r = 8 [2sgnу-sgnхsgnу- sat(хsgnу-уsgnх)],
где
{и,
sat и=
sgnu,
1и1<1;
{ 1,и:;;,. О;
иsgnu=
1и 1:;;,. 1
-
1,и<о.
Указание. Положите и=(х-у)/У2, v=(x+y)/Y2 и заметьте, что оценка
максимального
л
+[у-Е (у J-r) ]2} i ;2.
правдоподобия минимизирует величину
л
{[x-E(xJ-r)]2+
Определить среднеквадратическую ошибку этой оценки, когда отношение
сигнал/шум велико. Сравнить ее с соответствующим параметром, от н осящимся
к случаю, когда в качестве местного сигнала используется синусоида, а не
прямоугольный сигнал. •
6.5 . Лред n оложим, что синхросигнал является частотномодулированной не­
сущей, т. е. предположим, что принимаемый сигнал имеет вид У 2А sin[wc.t+Лf Х
Х j' s(t)dt]+n(t), где n(t) -широкополосный гауссовский шум. Хорошо изве­
стно и легко доказывается, что при отношениях сигнал/шум, превышающих по­
рог ЧМ демодулятора, выход демодулятора имеет вид: ·Лfs(t)+n'(t)/A, где
n'(t) - производная n(t). Этот сигнал должен быть отслежен системой ФАПЧ
с фиксированной шириной полосы BL, узкой по сравнению с Дf. Показать, что
справедливы следующие утверждения:
а) Если s(t) - синусоида, то достижимая точность синхронизации не за­
висит от ее частоты. (Это утверждение, конечно, справедливо при обычном
предположении, что ширина полосы цепи мала по сравнению с обратной вели-
чиной периода синхросигнала.)
•
б) Если s(t) - периодическая импульсная последовательность с периодом Т
и если maxs(t)=I, то дисперсия ошибки времени равна
t
194


т
где nеличина S; Л S (dis (1) /dii) 2dt предполагается конечной как при 1= !, так
о
и при i=2.
6.6. Рассмотрим следующую схему определения фазы искаженной шумом
11се вдошумовой ,последовательности длины 2k-l . В начале принимаются k после­
l\ Ов ателъных битов, относительно них строится решение (с использованием ме ­
т од ов гл . 4), и они заносятся в регистр сдвига , предназначенный для генериро­
ва ния такой же последовательности, как и принятая. Затем строятся решения
от носительно последовательно принимаемых битов и сравн ив аются с соответ­
ств ующим выходом регистра сдвига. Подсчитывается число случаев, когда вы­
ходы регистра сдв иг а и устройства, принимающего решение, совпадают, и на
ос нове этого подсчета выполняется последовательный тест для того, чтобы
о пределить, находятся ли в фазе местная и цринимаемая последовательности.
Ес ли принимается решение о том, что они не в фазе, то новое множество. из
11 битов, относительно которых приняты решения, •в.носится в perиc'J\p сдвига,
Jl начинается новый последовательный тест .. Эта процедура продолжается до
т ех пор, пока некоторый последовательный тест закончится принятием rипd­
тез ы о том, что две последовательности находятся в фазе. Оценить число при~
нимаемых битов, необходимых для завершения синхропоиска, при вероя:rност.и
о шибки, меньшей или равной Р,, и при выполнении следующих предположе,ний:
а) синхронизация битов уже установлена;
.
6) если две последовательности не согласованы по фазе, то совпадение n
не совпадение сравниваемых битов равновероятно: последовательные совпадения
11 несовпадения являются статистически независиМЫ\\iИ событиями .
При каких отношениях сигнал/шум этот метод лучше методов, рассмотрен-
11ыхВ§6.7И6.8?
•
•
6.7 . Показать, что псевдошумовая последовательность может быть отсле-
же на системой ФАПЧ, использующей какой -либо из местных сигналов
Z 1 = p(t)-p(t-ЛТ) или
Zz(t)=J
l-p(t).
р(t), lЛТ<t<(1++)ЛТ;
(1++)ЛТ<t<(l+1)ЛТ,l= . . .-
1,О,1, ..
, ·ле p(t) обозначает последовательность, а ЛТ - ее период в битах . (Такое ус1 -
ро йство называется систеАюй синхронизации с задержкой.) Сравнить результи­
ру ющие сигналы ашибок.


!Глава 7
СИНХРОНИЗАЦИЯ СИМВОЛОВ
ПО МАКСИМУМУ ПРАВДОПОДОБИЯ
7.1 . Введение
Глава 6 была посвящена изучению методов установле­
шия отсчета времени и синхронизации более высокого порядка пу­
тем использования дополнительных каналов . В большинстве остав­
ши хс я гла:в rак или иначе ра,ссматр.иваюкя методы :извлечения
этой информации непосредственно из принимаемого сообщения.
О~;:но в н ая цель состоит в том, чтобы полностью обойтись без всяких
вспомогательных каналов синхронизации .
Очевидно, что информация, необходимая, в частности, для ус­
тановления синхронизации символов, присутствует, фактически,
в . сам о м сигнале, переносящем сообщение. Очевидно, должно су­
ществовать ощутимое различие между принимаемыми символами
для того, чтобы была передана какая-либо информация. А так как
символы должны быть различимыми, можно, по-видимому, непо­
средственно по принимаемой последовательности определить, ког­
да именно происходит переход (во времени) от одного символа к
другому. Цель этой главы состоит в исследовании методов исполь­
зования этой возможности.
7.2 . Символьный синхронизатор максимального
правдоподобия
В этом параграфе принцип максимума правдоподобия
при меняется к задаче синхронизации символов. Решение макси­
мального правдоподобия относительно метки символа состоит в
при н я т ии такой метки 1) v, которая максимизирует функцию
pf y(t),\ vl и, следовательно, определяет метку символа, наиболее
пра вдоподобно отвечающую наблюдаемому сигналу у(>!) . Разви­
вая этот подход, будем предполагать, что все символы имеют рав­
ную и известную длительность Ts секунд . Всякое устройство, ко­
торое пытается установить метку символа, будет называться сим­
вольным сuнхронuзаторолt ; синхронизатор, который находит мак­
сим ум по v плотностей вероятностей p(y(t) lv], будет называться ·
символь ным сuнхронuзаторо1,f максимального правдоподобия.
Выв од м а тематического вида синхронизатора максимально го
:правдо п одобия аналогич е н выводу для приемника максимального
1) Так же, как и в гл. 6 , удобно ограничить рассмотрение в нач але лишь
случаем, в котором имеется только конечное число конкурирующих меток.
(Прим. авт.).
1.95


:п равдоподобия в гл. 3. Пусть принимаемый сигнал y(t) =Xj(t-
-v,ЛT) +n(t) 1пролус1кается через ищеаль:ный фильтр нижних ча­
.стот с шириной ,полосы В и 1про,из,водятся выборки .со скоростью 2В
выборок в секунду (см. § 3.4). Выходом является последователь­
ность выборок
.
{j=O, 1,
• •,ML+(N-I)k;
У1= X{_vk+ni
.
=12
1'
.
•·,п.
(7 .1)
Слагаемые n; - это независимые выборки гауссовского случай­
ного процесса, имеющего нулевое среднее и дисперсию u2=N0B,
где N 0, как обычно, обозначает одностороннюю спектральную плот­
,н ость шума. Надстрочный индекс j обозначает j-й символ из мно­
жества п возможных символов xit); L-число выборок на сим­
вол; k = 1 L1ЛT/Ts - число выборок в интервале, разделяющем любые
две последовательные метки символов; М обозначает полное число
:наблюдаемых символов. Наконец, метка v является некоторым це­
.лым числом из интервала {О, N-1}.
Так как множество наблюдаемых У= {у;} представляет собой
множество независимых гауссовских величин, то, когда j и v зада­
'НЫ, имеем
М-1 п
{
(1+1) L+vk-1
}
p(Ylv)=П~~ Lехр -2:2
~ (Y1 -xf_vk)2 P(j) =
l=O i=I (у а)
i=lL+vk
М-1 п { <l:+-1) L+vk-1
}
=К1П~ехр :2
~ y,x{_vk-+ ( x{_vk)2 P(j),
l=O i=l
i=IL+vk
(7.2)
тде P(j) - вероятность j-го символа и
{
ML+vk-1 }
1
1
К=
ех --
2
1
(Y2na)ML р
2а2l}У1•
i=Vk
Заметим, что крайние выборки Yi с номерами O~i<vk и ML+
+vk~i< (М + I)L в равенстве (7.2) опущены. Множество наблю ­
д аемых У обязатель.но соде.рж.ит все .выборки Yi, O~i<i(M + 1) L, так
к ак выражения р (У Iv) должны быть вычислены для всех v. П ре­
ы ебрежение этими крайними выборками приводит к потере неко­
торой информации, от которой может зависеть решение. Тем не
м енее, если число выборок ( М + 1)'L, требуемых для надежного ре­
ш ения, велико, то эти крайние выборки вносят пренебрежимо ма­
л ый вклад в общую имеющуюся в распоряжении информацию и
м огут быть без ущерба опущены. При очень больших отношениях
с игнал/шум это неверно, как вскоре будет показано. Однако с этим
ис ключением использование крайних выборок в нижеследующих
в ыкладках лишь усложнит результаты, не изменив их существенно.
С той же оговоркой множитель К1 в ф-ле (7.2), по существу, не
за висит от v и, следовательно, может рассматриваться как кон­
,с т анта.
197


Взяв предел в суммах . (7.2) при стремлении ширины по лосы В
к бесконечности и стремлении к нулю интервала между выборка­
ми, находим , что решение максимального правдоподобия состоит
в выборе той метки символа v, для которой достигает максимума
выражение
м-1 ( п 1 (1+1) Т5+vлт
])
~i~ехр }0 пJ~лт [2У(t)xi(t- ,,Л Т) -х7(t- vЛТ)]dt P(j) •
(7.3)
Это и есть та математическая операция, которую должен вы­
полнить синхронизатор максимального правдоподобия.
Другой часто используемый подход состоит в том, что одновре­
менно выносится решение максимального правдоподобия относи­
тельно метки и о символах Xj(t-vЛT). В этом случае (7.3) следует,
очевидно, заменить на
м-I [
1 u+11 т,+vлт
]]
П m;xехр }0
j' [2у (t) xi/t- \'Л Т)- х71 (t-,-vЛ Т)] dt .
l=D
I
tт 5+vлт
(7.4)
Так как некоторая информация неизбежно теряется при замене
(7.3) на (7.4), получающийся синхронизатор будет в какой - то мере
хуже синхронизатора максимальног.о правдоподобия. Однако, как
будет показано, ф - ла (7.4) часто приводит к намного более при­
емлемому для практики устройству. Более того, такой подход мо­
жет быть подходящим, когда неизвестны априорные вероятности
P(j). [Еще одной возможностью является вынесение решения по
максимуму апостериорной вероятности относительно символов и
решения максимального правдоподобия относительно метки. Един­
ственным отличием этого метода от только что рассмотренного яв­
ляется использование априорных вероятностей при отыскании мак­
симу,ма СОМНОЖ)'Пелей IПО j ,В ф-ле (7.4) .]
При получении (7.3) и (7.4) мы неявно предполагали, что точно
известен вид функций Xj(t-т), соответствующих символам, за ис­
l'Слючением случайной временной задержки т. Это предположение
часто оказывается справедливым. Например, если имеется фазово­
когерентныи отсчет времени, то эта предполагаемая возможность
воспроизведения символов (с точностью до их временной задерж­
ки) в приемнике может на самом деле существовать. Однако не
так уж редко имеются и другие неизвестные параметры , даже
тогда, когда делается попытка установить синхронизацию символов .
Параметром, который чаще всего не известен, является фаза
несущей. В этом случае распределение множества наблюдаемы х
У является функцией фазы несущей и метки ,,. Если предполагает­
ся, что фаза несущей постоянна в течение каждого интервала
передачи (это предположение согласуется с тем, которое было
198


сделано при обсуждении некогерентного по фазе приема) , то фазо­
вонекогерентный символьный синхронизатор максимального прав­
доподобия должен вычислять выражение
s...sр(УIv, Ф1 Ф2, ••. Ф м) Р (Ф1, Ф2,
.
.
.,Фм)Х
(7 .5)
где Фi - фаза в течение i-го интервала; iTs+vЛT <t< (i+ 1) Ts+
+v,Л Т. Как и в § 6.6, вид синхронизатора зависит от предположе­
ний относительно f!лотности распределения р(Ф1, Ф2, . .. , Фм) .
Рассмотрение здесь будет ограничено синхронизаторами, которы~
получаются в приближении
(7.6)
(Очевидно, можно предполагать, что статистики фазы также не
з ависят от метки символа v.) Если существует некоторая зависи­
мост ь фаз последсвательных символов (а она неизбежно сущест­
в ует), то это приближение приводит к подоптимальному синхро­
низа тору, в которсм некоторая информация о фазе отбрасывается
в место того, чтобы быть использованной. Тем не менее характери­
стика этого подоптимального синхронизатора служит границей
с низу для характЕ'ристики оптимального синхронизатора, в кото­
ром используется вся информация о фазе. Граница сверху для этой
х арактеристики устанавливается, конечно, с помощью фазовоко­
t' ерентн ого синхронизатора (ер. с § 6.6).
Используя равенство (7.6), находим, что максимально правдо­
подобной меткой символа будет ,,, которое максимизирует выра ­
жение
в(t. sр(Ф)(ех<il+]::'[2у(1)х; (1 - vЛ Т, Ф)
-
- ;~;/"':лТ,Ф)]']dl} d Ф Р (i)) .
(7 7)
Вновь непосредственным видоизменением синхронизатора мак­
,с 1-1 маль ного правдоподобия является такой, который выносит сов­
местные решения максимального правдоподобия относительно ме­
ток, символов v. возможно даже фаз. Этот синхронизатор находит
ме тку v, которая макси мизирует функцию
Лf1
1 и+1) тs+vлт
ПшахJр(Ф) ехр-1 J [2у(t) Xj (t-vЛ Т,Ф)
-
lt
Nu
l
i=O
IТ 5+,,·лт
-
[х,,(1- vЛТ, Ф)']dl}dФ
(7.8}
199


или функцию
м-1
(1+1) Т5+vлт
Пmaxехр-1 S [2У(t)xi1(t- vЛТ, Ф1)-
;1, Ф1 No
1=0
•
IТ 5+vлт
-
[xi1(t-vЛ Т, Ф1)]2 ]dt.
(7.9)
Кроме временной задержки и фазы несущей, могут быть неиз ­
вестными также другие параметры, например, амплитуда символа
или спектральная плотность шума не всегда известны точно. В об­
щем, однако , эти параметры можно достаточно точно оценить,
чтобы обращаться с ними, как с известными, и при определении
структуры требуемого синхронизатора связанные с ними неопреде ­
ленности обычно можно игнорировать .
7.3. Синхронизация символов АИМ
Для описанных в § 3.5 и 3.6 систем амплитудно-импульс­
ной модуляции рассмотрим фазовокогерентные и фазовонекоге ­
рентные символьные синхронизаторы максимального правдоподо­
бия. Начнем с случая синхронизатора, для которого фаза несущей
уж е была определена.
•
Принимаемый сигнал имеет вид y(t)= l/2Axsin(ffict+Ф)+
+ n(t), где А и Ф - известные постоянные, а х
-
случайная вели ­
чина, постоянная на каждом интервале iTs+v,ЛT <t< (i+ 1) Ts +vЛТ
и имеющая извесгную априорную плотность распределения веро ­
ятности р(х) . Сумма по j в ф-ле (7.3) становится здесь интегра­
лом , а вероятность P(j) - плотностью вероятности. Макс имально
правдоподобной метк9й v является та, которая максимизирует
оо ! ([+!) Т5+vлт
)
Пj'ехр N\o
,\
[2Axy(t)V2sin(ffict+Ф)-A2x2]dt p(x)dx.
-оо
!Т 5+vлт
.
Это прои зведение может быть записано в виде
П eRп~l 1e-R (x-av1)2 Р (х) dx,
l
--оо
где R=A 2Ts/N0 и
(1+1) r 5+vлт
avlл-1
-
r уtt) ~ 2sin(ffict+Ф)dt.
= ATs
.)
LТ 5+vлт
Интеграл
Rl/2 joo'
-R(х-а )2
--=
е
v t p(x)dx
Ул -оо
200
(7.1О)
(7.11)
(7.12)


является сверткой плотности распределения р(х) и
Rl/2
Ra2
р(а1)=-е-
vl•
vl
-Vn
(7 .13)
Это соотношение отражает тот факт, что экспоненциальному
члену exp(Ra~1) нужно дать меньший вес, когда av I существенно
отличается от тех значений, которые предсказываются априорным
р аспределением ее ожидаемой величины х. В общем, однако, этот
член не влияет си,rrьно на решение, принятое синхронизатором.
Для того чтобы обосновать это утверждение, когда х имеет
р авномерное распределение, рассмотрим интеграл из ф-лы (7.12)
в двух крайних случаях, когда R»1 и когда R~1. Если R»1,
экспонента e"""'R(x-av/J' пренебрежимо мала, за исключением случая ,
когда x;:::::,av 1 . Если p(x)=lf(xo-x1) для х1<х<хо, то .имеем
--= е
vl p(x)dx;:::::, хо -х1
Rl/2 sx• -R (х-а )2
11 приХ1<avl<Хо;
-Vn х,
О в остальных случаях.
Но когда R велико, av1 будут с большой вероятностью оставаться
в ну11ри и.нте,р,вала (х 1 , х0 ), так что вз,вешивающая функция ,почти
в езде постоянна.
Аналогично, если R<< 1, то e-R(x-av1J';:::;:, 1, кроме случая, когда
av1 значительно выходят из интервала (х1, хо) . В этом случае
Rl /2 xJ~
-R(х-а )2
R\ /2
--
е
vl р (х) dx ;:::::, --
-Vп
- ,rn'
Ха
и это выражение вновь, по существу, постоянно.
Когда х имеет гауссовское распределение р(х) =
= (1/ V2nas)e-x'f2cr;, ситуация становится даже более простой.
При этом
-Rl/2 ""5
-
R (х-а )2
1 (. 1 }112 -[R/(1+2Ro~)]а~1
--
е
vl p(x)dx =
--
---
Хе
уп"
•
-Vп 1+2Rа~
-=
.
и (7.11) 'Принимает вид
К П e[(2R~) / (1+2~0~)] а~1 .
l
Н о так как v, максимизирующее выражение К1П ехр(К2а~ 1 ), не
1
зависит от К1 и К2, то решение остается одним и тем же независи­
м о от того, включается ли множитель в интеграл (7 . 12) или нет.
В качестве последнего аргумента в пользу приравнивания вы­
ра жения (7.12) • постоянной, заметим, что ~огда производится сов­
ме стное решение максимального правдоподобия относительно сим-
•201


вола и метки ,[см. (7.4) ], это выражение заменяется на пос то янную
[
Rl/2 - R (x-avl)2l
Rl/2
шах --е
J=-- .
хул
ул
(7 .14)
С этими оговорками будем пр енебрегать интегралом в (7.11) ,
считая его постоянной и понимая, что получающийся синхрониза­
то р , возможно , будет подоптимальны м. Относительная пр о стота
статистики
2
,пRavl
z•=
е
V
(7. 15)
1
обычно вполне компенсирует эту возможную подоптим а льность.
Как обычно. более удобно работать с логарифмом статистш<и, а не
с самой статистикой. Определим с этой целью
Zv=La~. 1
-
(7.16)
1
Если число сла га емых в каждой из этих сумм велико, то м ожно
использовать центральную предельную теорему для того , чтобы
пока зать, что ,?v имеет приближенно гауссовское распределение 1).
Вероятность того, что правильная метка символа (которая без по­
тери общности будет пр ед полагаться нулевой меткой v= О) может
быть правильно опознана среди всех других меток, также можно
выразить с помощью первых и вторых моментов случайных вели­
чин 2\1 •
Пусть М обозначает полное число слагаемых в сумме (7.16) и
пусть m=E(x) - математическое ожидание амплитуды сигнала;
μi=Б[(x-m)i]- ее i-й центральный момент и R=A2Тs/N0 - отно­
шение сигнал / шум на входе (см. · § 3.5). Пусть далее л,.=vЛТ/ Тs=
=v/N. Первые и вторые моменты случайных величин z,, могут быть
выражены с помощью этих параметров следующим образом:
Чv=Е(zv) = М{[(1-
"'v)2+л.~]μ2+m2+2~} ;
(7.17)
а2- Ма2 +Ма2 ...LМа2
v-
sxs
sxn 1
-nxn'
(7.18)
+
где O'~xs = [л~ + (1-
"'v)2]2 (μi- μ~)+4[л.~+(1-
"'vY Jт μэ
2
R
+4"2(1_ л.)2μ2+4т2μ•а2
= r[(1_ л):1;+"л,2]μ.
-1... т2 '\
v
v
2
2, sxn
\.
V·
V
2'
j
1) Опять-таки легко устанавл11ваемое существован11е вторых мо~; ен тов оди-
"
2
наково распределенных случаиных величин avl оправдывает это утверждение,
Величины а~ 1 и a~,J+; статист11чески независимы для всех i*0,1. Следователь-
но,суммы ~ а~1н ~,
а~1. асимптотмческа имеют тауссовское ра<:·-
.,, ,,.,.!
-
110 нечетным l
по четным l
пределение, и так как zv является суммой двух га~ссовских случайных неличи,щ.
то z v также rауссовСI<ая величина. (Прим,_ авт.) ..
202


Подстроечные индексы в последних трех членах обозначают соот­
ветств е нно «сигнал/сигнал» (дисперсия, обусловленная лишь сиг­
н а лом), «сигнал/шум» (дисперсия, обусловленная взаимодействи­
е м сигнала и шума) и « шум/шум» (дисперсия, обяз а нная лишь
шуму) 1J.
О конча тельно
Л2 ЛЕ[(z -z )2]-E2(z -z ) = МЛ2 +МЛ2 +МЛ2 (7.19)
vμ_
\1
μ,
,,
μ
sxs
sxn
пхп '
где Л;хs= 4(Л,μ-
"v)2[I - (лμ+"v)l2μ4; л~хп= 4(лμ- лv)[1-(2лv+
+л)+злл]μ2_ •
л2=2(л-л)[1-(л-л)J-1
μ,
V,tR'пхп
,,
'V
μ
'\,'
R2
и μ?v . Вновь подчеркнем, что эти выражения были получены в
нредположении. что М - число наблюдаемых символов
-
доста ­
т очно в еликu для того, чтобы при рассмотрении опустить часть
с имвол о в в на~.але и в конц е интервала наблюдения .
Ес л и все метки пров еряются одновременно, то вероятность оши­
б очног о реше н ия, как обычно, оценивается следующим образом :
N-1
шахPr{z0- zi<О}3⁄4Р,= 1- Ргfz0>maxz;\3⁄4,~ Рг{z0- Z;<О}3⁄4
, i•O
\
i=l'O J ;::'J
.,;;:{N- 1)maxРг{z0- Z; < О}.
i=f=O
(7.20)
Когда М достаточно велико, чтобы оправдать использование
га уссовской аппроксимации для распределения случайных вели­
чи н zi, случайная Ееличина Yi=Zo-z; также имеет гауссовское рас-
11р е де л ение со средним з начением
т; = Е(у;) = r10-Ч;
(7 .21)
н дисперсией
о2 = Е( v,2)-E2(y-) = л2.
l
.
:., l
'l
Ot'
(7.22)
ко торые определяются равенствами (7. l 7)-(7.19) соответственно.
П роиз в одя решения так же, как в § 6.4, но параллельно, получаем,
что е сли вероятность ошибки мала, то наименьшее из отношений
т;
2Мл;(1- л;)μ~
(7.23)
-
а2
'
21,;о - л;) ~t,+2~t2tR+11R2
J\ол жно быть порядка
ог раничен
снизу
2KN loge 1/Ре. {Коэффициент K N, напомним,
единицей и сверху величиной 1+
1 ) В о всех этнх !ВЫраЖ!ениях Wc предполагается либо равной некоторому
~tсл ом у к ратному вели чины 2л /.ЛТ , либо достаточно большой по с равнению с
11шриной полосы сигнала , так что несущая может быть устран е на демодулято­
ром, к о т о рый формирует прои зведение (ер. с § 3.4). Это предположение нужно
J 1 1 1 шь для упрощения лолуч-ающихся резул.ьтатоц; оно существенно не изменяет
ycJIOBll5l. Если несуща51 н е удовлетворяет ни одному из этих предполо)!<ений, то
111р,е.мя ,сннхр.онпз.ащ-111, ло-в.идимому, уменьшится в силу того, что н е к01орые из
n, 0 111<у рарующнх .меток будут более явно отличатьс51 от пр а ви л ьной метки.
(.Прилt. авт.).
203


+log~(N-1)/loge(l/Pe); если, ,ка.к в обычно ~рассматриваемых
случаях, Ре~ 1/N, то KN, по существу, равен единице . ) Это отно ­
шение является возрастающей функцией Лi при лi< 1/2 и убываю ­
щей функцией Лi при лi> 1/2. Таким образом, оно Д(,)стигает мини ­
мума при лi=l/N (и Лi=l-1/N) . Полное число символов Мт, не­
обходимых для решения , следовательно, равно
Mт=2NKN1oge-1 [Y:L+~(-1
-+ -1
-)].
(7.24)
Ре Nμ§ N- 1 Rμ2 2R?μ§
Интересно сравнить этот результат с аналогичным результа ­
том гл. 6. Зависимость времени поиска от N в обоих случаях яв­
ляется одной и той же, если ширина автокорреляционной функции
синхросигнала порядка Т8/2 . Наличие выражений 1/R и 1/R2 в
(7.24) напоминает случай фазовонекогерентного приема, рассмот­
ренный в гл. 6. Это не удивительно, так как в обоих случаях при
принятии решения используется квадрат интеграла от сигнала ,
сложенного с гауссовским шумом .
Когда R стремится к бесконечности, отношение (7 .23) стремит­
с я к Мμ22/μ4, а это означает, что ошибки синхронизации возможны
даже в отсутствие шума . Это происходит потому , что краевые эф ­
фекты становятся все более и более существенными при R--+oo .
Тем не менее правильное решение может всегда быть принято на
основе статистики zv {равенство (7 :16)] даже после наблюдения
лишь одного символьного интервала в случае, когда шума нет .
Чтобы доказать это, необходимо лишь учесть, что выражение
т, [J,У2у(t) sin ffic (t -
't') dt Т
JifW&-~ ~'t------
't,
J2sin2 ffic (t - т) dt
['t,
]2
JУ2у(t) sin ffic (t - т) dt_
't1
.) 2sin2 ffic (t -
,:) dt
't
,
't'1 <17 <1:2
положительно, кроме случая, когда сигнал y(t) представляет собой
синусоиду с постоянной амплитудой в каждом из двух интервалов
интегрирования, т. е. кроме случая, когда y(t) =Х1 siп шс(t-17) ,
171 <-t<17 и y(t) =Х2 siп Шс(t-17), т<t<1:2 1> . Таким образом, сумма
двух последнцх ч,:~енов достигает максимума, когда 1:=vЛТ, где
,,-
правильная метка символа . Этот максимум будет единствен ­
ным, кроме случая, когда y(t) постоянна на всем интервале 171 <
.
1 ) Это утверждение является nрямым следствием неравенства Шварца.
(Прим. авт.).
204


<t< т2, что может случиться только, если два последовательных
си мвола равны (событие, которое имеет нулевую вероятность при:
рассматриваемых здесь условиях) или если область интегри рова­
ния полностью содержится в односимвольном интервале . Соответ­
стве нно абсолютно надежное решение может быть сделано на ос­
нове этих двух последних членов (в отсутствие шума) лишь тог­
да, когда интервал наблюдения по меньшей мере равен Ts секунд.
Одна ко только числители этих членов зависят от приним аемого
си гнала, и эти числители фактически являются статистиками вида
(7.16).
Если различные метки не могут быть проверены одновременно,
можно использовать те же самые решающие п е ременные 2 11 вме-
сте с каким-либо из поочередных тестов, рассмотренны х в гл. 6.
Ана лиз этих различных синхронизационных схем с пооче редной
об работкой аналогичен во всех существенных деталях соответству­
ющему анализу и:, гл. 6 и приводит к аналогичным результатам.
Синхронизатор максимального правдоподобия для фазов онеко­
rерентной АИМ согласно ф-ле (7 .7) определяет метку v, которая:
максимизирует
2n оо ! (1+1) тs+vлт
п_!_r rехр -1
s [2Axy(t)V2siп(coct+Ф)-
2n .)
.)
No
1
о -оо
tт5+.·лт
~А'х']d1) р (х) dxd Ф.
(7.25)
(Дл я некогере:пн~>Й АИМ мы приняли наши обычные предполо­
жен ия : принимаемый сигнал имеет вид 11 2 Ах siп(wct+ Ф) , где х
имеет априорное распределение р(х) и Ф равномерно расп р еделе-
11 а на интервале (0,2:п:). Кроме того, wc=2:n:k/Тs, где k-ли_бо це­
.п6е число, либо достаточно велико по сравнению с единицей.)
Сел и определить
(l+I) Т5+vлт
J V2у(t)siпwc tdt
1
а=-
vL
ATs
tт,+vлт
и
(1 -/- 1) Т5+vлт
Ь1=
-
1-
J V2у(t)cos wc tdt
v
ATs
••
tт 5+vлт
н поступить так же, как в слу:!ае фазовокогерентного
(7.25 ) можно привести к виду
2~
00
п 2: Jexp[Rc2v: (Ф)] Jехр[-R[х-с"1 (Ф)]2 ]p(x)dxdФ,
l
О
-оо
(7.26)
прием а, то
(7.27)
205


tде cv1 (Ф)=av1 co<;Ф+bv1 sinФ и R определено так же, как и ра­
нее. Вновь, либо считая интеграл по х практически постоянным,
либо вынося совместные решения максимального правдоподобия
относительно метки и символов {см. ф-лу (7 .- 8) ], получим выраже­
ние, по которому будет определяться метка:
2тс
КП2~ Jехр[~ ~t1(1 +cos2(0-Ф))]dФ,
(7.28)
1
О
где av1 = ~vpos 0; bv1= ~vl sin 0 и К (по крайней мере, приближен­
но) - постоянная величина . Выполняя интегрирование и пренебре­
гая постоянными членами, получим
Пехр( :i~~1)/0( : ~t1) •
(7 .29)
1
Как exp{(R/2) ~~ 1 ], так и /о[ (R/2) ~~1 ] являются монотонными
функциями ~~ 1
, а это зн ачит , чт о ~t 1 сама может быть использова­
на как удовлетворительная решающая · переменная. Фактически,
если R.« 1, то
2
)
(R/2) 'vl
.
,_, е
.
(7.30)
АеслиR~1,то
•
2
2
е<R12>~vl/ (__8_ ~2),_, еR~vl(1+_1_+
о2vl
R2
2~1
(7 .31)
Это выражение также получается, если решение максимального
правдоподобия принимается относительно всех неизвестных пара­
метров: всех величин х и Ф, а также v {см. (7.9) ]. Взяв логарифм
какого-нибудь из выражений (7.30) или (7.311), получаем для ре­
шающей переменной относительно метки выражение
zv= L~t1=~(at1+ь~1)·
(7.32)
1
1
Хотя эта решающая переменная, вообще говоря, подоптималь­
на, если известны априорные распределения х и Ф или одно из
этих распределений, относительная простота, с которой она может
быть вычислена в реальной системе связи, легко оправдывает ее
применение. Более того, из предыдущих рассуждений следует, что
получающийся в результате синхронизатор, по-видимому, будет
работать столь же хорошо, как и синхронизаторы, для которых
известны эти распределения.
Анализ характ~ристик полученного синхронизатора аналогичен
анализу для фазовокогерентного синхронизатора. Единственное
отличие состоит в том, что шумовой член в выражении для сред-
?()6


него значения и чJiен «шум/шум» в выражении для дисперсии в
равенствах (7.17)-(7.19) удваиваются по отношению к соответст­
ву ющим выражениям для случая фазовокогерентного прие ма. Для
дал ьнейших ссылок перепишем здесь эти выражения:
11v = Е(zv) = М{[(1- лv)2+лt]μ2+m2 + 2;_};
at = М(a;xs +а;хп+О'~хп);
a;xs = [(1- лv)2+лt]2(μ4- μ~)+4[лt+
+ (1- Лv)2]111 μ3 + 4л.t(1- Лv)2μ~/С1+ 4m2μ2;
2
а;хп={[(I- лv)2+ лtJμ2+ m2}.Ii;
О'~~п = Со/2R2;
Лtμ=Е(zv ~zμ)2]- Е2(zv - zμ) = М[Л;хs+ Л~хп + Л~хп];
Л~хs= 4(Лμ- Лv)2[1- (Лμ+лv)]2μ4/с1;
л2 =4(л-л)[1- (2л +л)+злл]Е1..•
sxn
μv
·v
.
μ.μvR'
1
л~хп=2со(лμ- лv)[1- (лμ- лv)]R2,
(7 .33)
где μ~v. Коэффициент с0 равен 1 в случае когерентного и 2 в слу­
чае некоге рентиого приема ; с 1 равен 1 в обоих случаях. Вскоре мы
поясним причину , по которой был введен этот последний коэффи 0
циент .
7.4. Символьная синхронизация для ФТ
Рассматриваемая здесь система обсуждалась в § 4.5 и
3. 7; в этой систем1:: с равными вероятностями на любом заданном
интервале символа Ts секунд передается один из п сигналов
xi(t) = V2A sin(u)ct+Ф+0i), где фаза Ф известна, а 0i=2тr.i/n,
i = 'l, 2, . . ., п . Из ф-лы (7.3) следует, что ,наиболее 1правдо,подобна~
ме тка символа соо11ветствует значен-ию v, которое максимизирует
, 1 1ыраже.н.ие
п
= п + ~exp{2R(avlcos0i+ьvlsin01},
(7.34}
l
i=I
207


rде
(l+I) т 5+vлт
а=_1_
vt АТ5
s
/Т5+vлт
O+I) т5+vлт
ьv,=-1- s y(t)V2cos(w,t+Ф)dt
ATs
IT 5+vлr
и R=A2Ts/No.
Опять-таки из - за трудностей реализации описываемого равен­
ством (7 .34) синхронизатора (не говоря уже о трудностях анализа
его характеристики) представляет интерес получить какие-либо
приближения к этому идеальному случаю. Вначале рассмотрим
приближение при малом отношении сигнал/шум. Разложение экс­
поненциального члена в ф-ле (7.34) в ряд дает
п
п
П ~ Eexp{2R(av1 cos8j+bv1 sin8j)} = П-; ЕР +2Rav1 Х
I
i=l
I
i=I
хcosej+ 2Rbvlsinej+ 2R2a~Icos2ei+ 4R2avlbvlsinejcosej+
+ 2R2b~I sin2ei + о (R3)].
(7 .35)
п
п
Таккак0j=2л_;/п,j=1,2, . . ., п, то
~cosk0i=~sink0i=О для
i-1
1-1
любого целого k, не кратного числу п. Равенство (7.35) поэтому
принимает вид
П[1+ 1+2бп2 2R2a~1 + 1-2бп2 2R2b;;z + О(Rз)] ~
l
~1K•f (~~, +~1), n> 2;
К2Iav1, п - 2,
1
(7.36)
rде «'iп2= 1, когда n=2, и равно нулю в остальных случаях и где
К1 и К2 не зав ися -, от v. Это приближение справедливо также для
непрерывной ФТ; суммирование по j становится в этом случае ин­
тегрирование м по 0.
Анализ характЕ:ристики приближения (7.36) к синхронизатору
максимально го пр авдоподобия полностью аналогичен приведенно­
му выше анализу для случая АИМ. Действительно, если n=2
(zv = ~ а~1), первые два момента величины zv совпадают с ана-
,
логичными мо~1ентами для решающей переменной в случае фазо­
вокогерен тной АИЛ'\. ![равенство (7.33) при m=O, μ2= μ4=Со~С1= 1] .
208


Если n>2 (zv = ~а~1 + Ь~1), первые два момента величины zv
l
также задаютс;:1 ф-лами (7.33), но теперь m=O, μ2 = μ4 = 1 и с0=
= с1 =2 1>. Таким об.разом (пр.и параллельном .на ,блюдении), ,надеж­
н ое решение относительно правильной метки получается, если чис­
ло наблюдаемых символов порядка
М~2Nкlog -1(-1+-1+-1)
(7 .37)
Т
N
еРе N
R2R2,
'=СЛИ п= 2, и порядка
мт~2NкNloge- --+ -+ - ,
1(1
1
!)
Ре 2N
R 2R2
(7 .38)
е сли n>2 {ер . с равенством (7.24)].
Интересно от,метить, что оптимальный синхронизатор для К·О­
герентных сигналов ОФТ при малом отношении сигнал/шум экви­
ва лентен (кроме случая, когда n=2) синхронизатору, полученному
для случая когерентного приема. В отсутствие опорной фазы вы­
р ажение (7 .34) заменяется на
п
2n
,
П--;;~2: Sехр{2R(av1cos(0i+Ф)+bv1sin(0i +Ф))}dФ=
l
j=I
О
= П/0(2R (а;1+Ь~1)112),
(7 .39)
l
где av 1 и bv1 были определены ранее i[см. (7.34)], но теперь имеют
произвольну ю ~естную фазу Ф. Используя разложение функции
Бесс еля для малых значе,-шй аргумента, так же как в § 7.3, полу­
чи м приближение к (7.39) для малого отношения сигнал/шум в
виде
(7.40)
l
э то означает, что решение относительно правильной метки символа
должн о основываться на выражениях
zv = ! (а;1+Ь~1)
(7.41)
l
неза висимо от значения п. Исключая случай, когда п~2, этот вы­
Dод совпадает с утверждением, полученным в случае когерентного
11риема, а соотве1ствующие синхронизаторы имеют одинаковые
ха рактеристики. Характеристика двоичного относительного · коге­
рентн ого синхронизатора, очевидно, эквивалентна характеристике
JlВ Оичного синхронизатора для фазовонекогерентной АИМ, рас­
с мотренной в предыдущем параграфе, если положить m=O 'И μ2 =
-= μ4=1.
1) Здесь последовательные фазы предполагаются статистически независи­
мы мп и равномерно ' распределенными. Для видоизменения ·этих результатов в
(' J 1 у ч ае, когда это последнее огра!fИчение снимается, см . задачу 7.1. (Прим . авт.).
209


Действительно, не должно удивлять то, что синхронизаторы для
фазовокогерентной и относительной когерентной ФМ совпадают.
Как в той, так и ь другой ситуации информация о метке символа
содержится в изменениях фазы при переходе от одного символа
к другому; характеристика синхронизатора зависит от разности
фа з , а не от самогu значения фазы.
В другом предельном случае, I<огда отношение сигнал/шум R
велико по сравнению с единицей , слагаемое в сумме (7.34), для
КОТОРОГО ВеJJИЧИН3 (avl COS 8j+bvl sin 8j) М3КСИМаЛЬН3, ПО-ВИДИМО­
МУ , будет много больше, чем остальная часть этой суммы. При
этом предположсЕии логарифм выражения (7 .34) будет пропор­
ционален
~ш~х{а,,1cos811 + bv, sin8iJ·
(7.42)
l
1l
Это выражение получилось бы, если бы мы попытались получить
совместное решение относительно метки и символов [см. (7.4) ].
Значение e j, максимизирующее выражение avl cos ej + bvl sin ej, рав-
но8,,, где/8- 8111,( ~; 8= arctg(bvziav1) (см.§4.5).Еслипве-
п
лико , то 8;:::::; ,е,, для некоторого k и
Шах{а COS8 -f-Ь sin8}=(а2 -f-Ь2)112COS(8-8k);:::::;(а2 -f-Ь2)112-
i
,,1
1
vl
I
vl
vl
,,l
vl
(7.43)
В противоположность этому, если n=2 (с 8j=0 или л) , то
(7.44)
Относительный когерентный синхронизатор (7.39) можно ап­
проксимировать , I<огда R вели·ко, испоJ!ьзуя асимптотическое раз­
ложение функции Бесселя
П /0[2R(а~1 +Ь~,1)112)~Пехр{2R (а~, +Ь~1)112}.
(7.45)
1
[
То же выражение получается, когда производится совместная
оценка максимального п равдоподобия для фазы Ф и символа j:
Пn:iaxexp{2R[а"1cos(8i1+Ф,) +Ь"1sin(8i1+Ф1)]} =
l 11Фt
= П ехр{2R (а~1 +Ь~1)112).
(7.46)
1
В каждом из этих случаев решение должно основываться на пере­
менных
z' = ,., (а2 +ь2 )1/2
(7.47)
v
,.;,,,,,
vl
vl
•
Наилучшее п риближение к синхронизатору максимального
правдоподобия зависит, очевидно, 1<ак от отношения сигнал/шум,
210


так и от числа возможных фаз . Однако, как и в § 6.6, можно до­
с таточно обоснованно ограничиться лишь приближениями для ма­
л ых отношений сигнал/шум. Это, в конце концов, представляет
наиболее трудную для синхронизации ситуацию. Более того, ха­
р актеристика такого синхронизатора дает нижнюю границу для
х арактеристики идеального синхронизатора . Наконец (и это , воз­
можно, самое uажное) для этих приближений к идеальному син­
х роiшзатору характеристика, относящаяся к большим отношениям
с игнал/шум (если интересуются лишь эффектами, связанными с
шумом), факт:1чески совпадает с характеристикой оптимального
с инх,р,о'низатора в отсутствие ·каiкой-ли~бо модуляции . .За,пас для
,п оз·можного улучшения характер,истики з,десь очень не.большой .
Ч тобы показать это, нужно лишь сравнить ф-лы (7.37), (7.38) ,
( 7.24) с (6.19) и заметить, что в рассматриваемом случае
max р (iTs/N) = 1-1/N.
i
7.5. Синхронизация ортогональных символов
В нескольких предыдущих параграфах подход к задаче
<.: инхронизации символов, описанный во введении к этой главе, был
применен к АИ1\1 и ФТ системам связи. Тот же самый ~подход в
ра вной мере п рименим к ортогональным (и биортогональным) си­
с т е мам связи, рассмотренным в гл. 4. Практическая значимость
э того подхода зависит от того, какое конкретное множество орто­
го нальных символов используется. В последующих главах будут
о писаны конструкции ортогональных символов, которые значитель -
11 0 лучше приспособлены к методам эффективной синхронизации ,
ч е м любая из двух конструкций (ВИМ и ЧТ), рассмотренных в
гл . 4. Поэтому обсуждение задачи синхронизации в применении
"э тим двум классам множеств символов будет кратким.
СинхронизацияЧТсимволов.Еслимножествосимво­
JIО В имеет вид
x1(t) = -V2sin@1t, O<t<Ts, i = 1, 2, • • •, п,
где @;=nk;/Ts; k;-1нжоторое целое . (с,р. с§ 4.4),
фаз овокогерентного синхронизатора максимального
G ия [см. (7.3)] принимают вид
"
П ·у ехр [2Rz,, 1 (j)] Р (j),
-
1 i=I
ГJLC
(1+1) т.,+vлт
zv, (j) = A~s
5 У.2y(t) sin@; (t- lT5 -
vЛТ)dt
IТ 5+vлт
(7.48)
то статистики
правдоподо -
(7.49)
11 R = A2Т8/N0 . ЗдеfЬ опять были опущены члены, которые не зави­
('НТ ОТ V.
211


По-видимому, чтобы вероятность ошибки синхронизации былЭJ
мала, система свя::,и должна работать с достаточно большим отно­
шением сигнал/шум R. Поэтому одно (или два, когда v=FO) из:
этих слагаемых суммы в (7.4.9) будет иметь тенденцию доминиро­
вать над остальными. Это приводит к совместной оценке макси­
мального правдоподобия метки и символов, при которой, следова ­
тельно, используется для решения следующая сумма:
zv ~}: Zvr ~}: m~x zv1 (j1).
(7 .50)
-
l
-
l
le
Так же, как и в предыдущих параграфах, можно оценип, число
наблюдаемых, необходимых для решения, требуя, чтобы отношение
,2= min Е2(zo- zvIО)
v
var(z0 -zvl0)
(7.51}
было порядка 2kN loge(l/Pe). Положив y(t) = l / 2A sinwr(t-lTs) +
+n(t); lTs<t<([+1)Т8 и y(t)= \/ 2Аsin1wJ[t-(l+1)Ts]+n(t)~
(l+l)Ts<l<(l+2)Ts и пренебрегая членами с удвоенной частотой,
получим
(i)r+WJ
Wr-Wj
cos
2
(N- v)ЛТsin
2
(N- v)ЛТ
(
( 1)krN-v
+
Z"z j)= -
N
•
w -w·
r
1 (N- v)ЛТ
2
uJ5+ uJj
ffis - (t),J
cos- -
~
vЛТsin--"----'---- vЛ Т
+(- 1/i_::!._
2
2
N
W5 -Wj
где
• (l+I > r5+vлr
--~vлт
2
n1= A;s
S i12n(t)sinffii(t--lT5 -vЛT)dt.
1Т 5+vлт
(7.52)
Рассмотрим вн&чале частный случай, когда kJ=2N(k+j), где
k - некоторое произвольное целое число. Конеч110, при этом часто­
ты разделены гораздо большим интервалом, чем это требуется для
простой ортогональности. Существуют случаи, в кот9рых такое
условие является весьма желательным. В любом случае это огра­
ничение даст возможность исследовать синхронизуемость ЧТ сиг­
налов в более общих условиях. Когда k.i = 2N( k + j), имеем
zv, J)=
-
--
u,1 +--б5; + n1,
(. (l ,,ЛТ)s,
vЛТ
Ts
Ts
где бiJ - символ Кронекера:
l:J. ={1,i=j;
1/
о..
' t*J.
212
(7.53)


Дальнейшее упрощение достигается в предположении, что от -­
ношение сигнал/шум достаточно велико, так что наибольший вы ­
ходной сигнал с большой вероятностью появляется н а выходе того,
коррелятора, который имеет наибольшее математическое ожида ­
ние вых,одног,о си:гнала . При этом 1пред,положении, если v:::;;_N/2 ,и,
е сли применима ф-ла (7 .53), числитель в (7 .51) равен
м2(п-1)2~
п
N2'
(7 .54),
а знаменатель -
М~п- 1[-1+_1 ~] '
Nп
R
пN
(7.55)
когда метки проверяются одновременно, и
(7 .56},
когда они проверяются поочередно. (Последовательные символы
предпол-агаются независимыми и равномерно распределенными;
если v>N/2 1по модулю N, то v ,в эт.их выражениях сл,едует заме­
нить на N-v.) Наихудший случай опять возникает при v= l (или,
N-1), так что число символов, необходимых для решения при па ­
р аллельном наблюдении,
М~2кlog -1 [!!__(-п-)+- 1
-]
.
т
N
еРеRп-1
п-1
(7.57),
Аналогично в случае поочередного поиска с фиксированным
о бъемом выборки общее число символов, которое нужно наблю-
1~ать,
М ~2к"log -1 [(-п-)2N3 + _!!__]
.
т
N
еРеп-1R п-1
(7 .58 )·
Порядок величины характеристики, получающейся при этом
11 одходе, следовательно, тот же, что и в случае синхронизаторов,
; ,ля АИМ и ФТ, рассмотренных выше . (Слагаемые l/R2 здесь от­
с у тствуют, так как мы начали с предположения о том, что отно-
111 е 1ше сигнал/шум R велико.) Другие методы, рассмотренные в
и редыдущих ш1раграфах (оценивание, оптимальное задержанное
решение и т. д.) . также применимы здесь и приводят, как легко
JJроверить, к той же самой сравнительной характеристике, как И'
от меченная выше.
Те же заключения справедливы для синхронизатора для фазо-
11 н е когерентной ЧТ при больших отношениях сигнал/шум. Если,
·ов местное peшeHjfe максимального правдоподобия выносится от­
" с ительно принимаемого символа и его фазы, то получающийся ·
<· r,пхронизатор выносит решение, используя функцию [см. (7.9)]
loge П maxexp{2R(щ (v) cosФ1+bi (•1) sinФ2)} =
/z, Фz
l
1
1
2R ~max(а~ (v)+Ь~ (v))112Л2R~ ,
(7.59),
,.:i 11
//
//
=
,,
t
213 ;


где
-
.
\
У(t)V2
dt.
ai1(v))- - ..
1- U+I) rs+vлr . .
-·
1sin @1(t- vЛ Т)]
Ь11 (v) АТ_. ·IТs+vлт
• cosffii(t- vЛТ)
(То же самое выр,1жение получается, если использовать приближе­
ние при большом отношении сигнал/шум к синхронизатору, опи­
сываемому функцней (7.8) .] Такое устройство может быть реали­
зовано, например, как параллельное соединение фазовонекогерент­
ных согласованных филь-гров, каждый из которых настроен на од­
ну из частот w;/2л и за каждым из которых включен детектор оп1-
бающей (ер. с § 4.'3).
В предположении большого отношения сигнал/шум математиче­
,ское ожидание величины выходного сигнала любого детектора
огибающей и дисперсия этого сигнала приближенно равны анало­
гичным величинам ;на ,выходе соот:ветствующего фазовокогерент­
ного согласован,но1·O фильтра '[ер . с (3.59) ]. Аналогично характери­
сгика синхрониза1O,ра для фазовонекогерентной ЧТ почти совпада­
е т с характеристит~ой ф.азовокогерентного синхронизатора, описан­
ного в предыдущих ,абзац,ах при тех же самых предположениях.
Следует подчеркнуть, что эти рассуждения использовали пред­
положение, что детектор с наибольшим математическим ожидани­
ем выхода будет с большой вероятностью детектором с наиболь­
шим выходом. Для величин v, близких к нулю или N, это предпо­
ложение равносильно требованию малости вероятности ошибки
•синхронизации. Однахо, когда v ,близко к N/2. два обстоятельства
изменяют эту ситуацию: 1) существуют не один, а два (или более)
детекто:ра, имеющих относительно большие математические ожи­
дания выходов fсм·. (7.53) ]; 2) увеличивается вероятность того, что
выход ,одного из ;В.ет-е:кто;ров с нулевым математическим ожидани­
ем на ,самом деле превысит выход другого, который имеет ненуле­
вое математическое 0жидание. Оба этих обстоятельства приводят
х тому, что матем,атическое ожидание величины максимального
выхода смещается и становится больше наибольшего из матема­
тических ожиданий этих .выходов. Такое смещение приводит к
умень шению .ы.адежности, с которой некоторые из меток могут
быть отвергнуты. Эт.о ,сильно не изменяет время поиска при па­
раллельном поиске или поочередном поиске с фиксированным
объемом выбо,rжrи, т:ак как они должны быть достаточно продол­
жительными, чтобы надежно отвергнуть наиболее трудную метку
(которая все еще будет, по-видимому, меткой v = 1), независимо от
того, какая метка наблюдается на самом деле. Процедуры поиска,
которые пр:Ршодят к экономии за счет того, что одни метки могут
·быть более .;11е гко отвергнуты, чем другие, теряют, однако, свою эф­
фективность, когда принимается во внимание это смещение.
Те же замечания справедливы (и даже с более сильными огра­
ничениями на отношение сигнал/шум), когда целые числа kj
[см. (7.48)1 не обязательно имеют вид kj = 2N(k+j). В этом случае
:2 '14


абсолютная величина матема тич еско го ожидания выхода j-го (фа ­
зо вокогерентного) детекто ра ограничена 1[см . (7 .52)] величиной.
N-v
N
Wr-Wj
sin -----'-( N-v)ЛT
2
w-w·
r
1 (N- v)ЛТ
2
Ws-Wj
sin •
.
vЛТ
2
<1,
(7.60}
Шs - (1)j
•
vЛТ
2
где строгое нерав е нство име ет место для всех '\, =1= 0, кроме случая ,
ко гда j = •r=s. Поэтому для достаточно больших отношений сиг­
нал/шум нулевая метка может еще быть опознана среди всех дру­
гих меток. Т е п Е:р ь. однако, в силу того, что несколько детекторов
будут иметь ненулевые математические ожидания выходов, харак­
теристика этой схемы синхронизации будет ухудшаться еще быст­
рее с уменьш е ние м отношения сигнал/шум. Хотя эту характери­
с тику можно оценить, удовлетворимся зде сь приведенными выше
з амечаниями относительно качественного п оведе ния методов син­
х ронизации ортогональных ЧТ сигналов. Как было уже отмечено·,
дл я случаев , когда синхронизация должна быть установлена на ос­
нове свойст в самих символов, существуют гора здо более эффектив­
ные множ ества ортогональных символов. Они детально будут рас­
с мотрены в посnедующих главах.
Синхронизация ВИJ\,'l символов. Рассматриваемое
мн ожество символов состоит из сигналов вида
X;(t )=V2nAsinwct; (i- l)Ts<t<iT,
п
п
i=1,2, .. .,п,
(7.61)
где Шc=2nkn/Ts д.rш некоторого целого k. Каждый символ имеет
длит ельность Ts секунд, в то время I{ак интервал, Fia котором ам­
плитуда не равна нулю (будем называть его подсимвольным ин­
тервалом), равен Ts/ n секунд. Одна из стратегий при си н х рони за ­
ции состоит, поэтому, во-первых , в сведе·нии задачи к идентифика­
ци и п меток , у которых амплитуда символа может изменитьсн от
нул я до ненулевого значения или наоборот. Во-вторых, нужно за­
т е м определить, какая из этих п оставшихся меток является: в дей­
с тви тельности праьильной меткой символа.
Если ограничения на оборудование не исключают такой воз·­
мож ности, то, конечно, быстрейшей процедурой является та, кото­
рая объединяет обе операции. Тем не менее , так как ср·еди этих
J~вух подходов двухэтапная стратегия, очевидно, лучше· с практич е­
' J< ой точки зрения, рассмотрение будет ограничеFiо задачей иден­
тифи кации подсимвольных меток , т. е. установлением подсимволь-
11 о й синхронизюши. Второй этап процедуры здесь не будет рас­
· м атр иваться, ;·ак как он принадлежит к классу задач, которые
р ассма триваются Е гл. 14 .
Дл я того чгобы определить вид подснмвольного синхронизато ­
р а мак симального правдоподобия, будем трактовать подсимво\llы
т а к, как будто они сами являются символами . Пе>Стуnая, так, бу­
д м пренебрегать зависимостью между последовательными под-
Z'!.Б,


· символами. Тогда информация, которую получит синхронизатор,
состои т в том, что l -й принимаемый подсимвол имеет вид:
,Y (t) = а 1 V2nAsiпcoc(t- vЛ Т) + n(t);
-lTs +vЛТ<t<(l+1)~
- +vЛТ,
п
п
(7 .62)
где n(t) - белый гауссовский шум. Плотность распределения слу ­
чайной величины а1 имеет вид
1
п-1
р(ад = -8(a1- I) +-- 8(а1),
(7 .63)
п
п
где б(х) - дельта - функция Дирака. Синхронизатор максимально­
го правдоподобия (7 .3) определяет максимум по v i[v =O, 1, ...
. . ., (N/n)-1] функции
00
!П Jехр[2Rzv1а1 - R а7]р(а1)dа1,
1 -00
'
тде
(l+I) ( Tsfn)+vлт
1
z=-
vl ATs
_S
y(t) V2nsincoc(t-vЛ Т)dt
1 ( Tsf n)+vлт
1и, конечно, R = A2Тs/Na. Используя равенство (7.63)
интегрирование, получаем требуемую статистику
(7.64)
и производя
,П[пп1+-;;/R(zvгl/2)]=П{-;;[e2R(zvгI/2)- 1] + 1} .(7.65)
1
1
Если п и R велики по сравнению с единицей и если вновь R
.должно быть . порядка log2n для того, чтобы вероятность ошибки
-была малой, то величины zv1 являются существенными (при рас-
-смотрени и синхронизатора) только тогда, когда они превышают
1/2. Отсюда полуqаем , что нужно вначале принять решение отно­
сительно того, имеется ли вообще подсимвол или нет, прежде чем
использовать соответствующую статистику при принятии решения
-относительно метки. Если, например, нужно вынести совместное
решение максимального правдоподобия относительно метки и под­
- символа, то синхронизатор должен определить значение v, кото­
рое максимизируег выражение
Пmaxexp[2Rzvl а1-Rал= Пехр[2R(zvl -+)] ,
(7.66) .
1al
LeL
тде L - множество подстрочных индексов l , для которых zv1 > 1/2.
Если вместо этого выносится решение относительно наличия или
-,отсутствия подсимвола на основе апостериорной вероятности этого
события, то получается то же самое выражение, но L следует ·оп­
,,ределить так , ч11обы в него вх0дили лишь те подстрочные индексы ,
~
216


1
для которых zv1"> 2 + (l/2R) Ioge(n-1). В любом случае решени~
может быть основ&но на использовании множества статистик вида
z" = ~(Z"1- +).
l€L
(7.67)
Если вероятность ошибки синхронизации мала, то величина z" 1 ,
вообще говьря, не будет вносить вклад в сумму zv, кроме случая ,
когда на самом деле имеет место ненулевой подсимвольный им­
пульс. При этом предположении число символов, требуемых для
ре шения, как легко видеть, будет, по существу, равно тому числу,
ко торое необходимо для определения правильной метки среди N/n
ко нкурирующих меток, когда импульс длительностью Ts передается
кажд ые Ts секунд по отдельному синхроканалу (что обсуждалось
в гл. 6) . Аналогичные утверждения справедливы при тех же самых
усл овиях для синхронизаторов фазовонекогерентной ВИМ.
7.6. Синхронизаторы, отслеживающие символы
Предыдущие рассмотрения касались первоначального
определе ния метки символа . Так как для всех предложенных для
э того схем неявно подразумевалось, что период принимаемых сим­
вол ов известен, то либо этот период должен быть весьма стабиль ­
н ым, либо отсчет времени на приемнике должен следовать отсче­
ту на передатчике (ер. с гл. 6). В последнем случае, в частности ,
с инхронизация символов заканчивается, в принципе, правильным
о познанием метки символа; любые последующие флуктуации мет-
1< и символа будут отражены отсчетом времени в приемнике . Тем
11 е менее часто выгодно иметь возможность прямо отслеживать.
изменения мет;ш символа, не используя вспомогательный отсчет
в ремени. Эта задача и рассматривается ниже.
Решение максимального правдоподобия относительно метки
с имвола -i: ~ -v;ЛТ при заданном наблюдении y(t), как было пока ­
:Jа но в § 7.2, основывается на плотностях распределения, имеющих
· ледующий типичный вид:
(
п I U+I) Т5+1:
р[Yz(t)1-i:J= К ~ехр Nlo zтlt 2у(и)xi(и-
-i:) -
-
xj (и-<)! du) Р (i)) .
(7.68}
Приемники ме т ок, описанные в предыдущих параграфах этой
1 ·; 1 ав ы, находили максимум по -i: функции:
М-1
pfy (t)l-i:J = П P[!{1(t)/-i:J.
(7.69}
1=0
217


Другой возможностью, которая рассматривается в этом пара •
графе, является иt.:пользование взвешенной суммы производны~
,дloge[Y1(t)j,]/д,:
(7.70)
для управления текущей оценкой величины 1:. Так как это выра­
жение равно нулю , когда ,: равно правильной метке символа .- 0, и
так как оно является монотонно убывающей функцией -с в окрест­
ности -с = -с0, то устройство с обратной связью, которое рассматри­
валось в гл. 5, сш,собно обеспечить сходимость -с к оценке макси­
мального п равдоподобин величины -со (ер. с§ 5.4). Описание и ана­
.лиз таких устройств отслеживания символов являются предметом
этого параграфа. Начнем с когерентной АИМ и бифазной ФТ.
Когерентния АИМ и бифазная ФТ. Функция
]ogep(y1(f) 1 -с) ()ыла аппроксимирована в § 7.3 выражением
[
U+I> т,+•
]2
Ка7(-с)=К A~s
S y(u~V2sin(wcи+Ф)du ~Kz[(l+I)Ts+•J.
lTs+•
(7 .71)
Отсюда следует. чго производную д\ogepi[y1(f) 1-с]/д-с можно аппрок­
симировать функцией
[z(t)- z(t- Лt)]/Лt.
(7.72)
Получающееся устройство отслеживания символов изображено
на рис. 7.1 . Выходной сигнал блока, ыазванного «генератор сигна­
ла», является периодической последовательностью выборок s(t) =
= ~ ·{o(t-Лt/2-iTs)-o(t+Лt/2-Z:Тs)], где o(t) - дельта-функция
l
Дирака. Фильтр цепи взвешивает последовательные входы z(t)-
-z(t-~Лt), t=-c+l1Тs, l'=l, l-1, l-2, ..., находя тем самым .сиг.нал
J(~ -
I~~
{Zs!n (чt ➔· Ф)
Сишал сшщюнизации
симоолоо
Рис . 7.1 . Структурная схема синхрониза­
тора символов, 1<оrерентная АИN\. н би­
ф1tзная ФТ:
ошибки на интервале lTs<it.<
<(l+I)Ts, как обсуждалось в
§ 5.4 . (Выражение 1/Лt вклю­
чено в коэффициент усиления
цепи.)
Анализ характеристики это­
го устройства проводится с по­
мощью установления его экви­
валентности обобщенной систе­
ме ФАПЧ, рассмотре.нной 'В
§ 5.8 . Как там было показано,
среднеквадратическая ошибка
1 - СОГЛасова н ныЙ фильтр: 2 - J<ВЗдраТИЧНОО ОТСЛе :ЖИВаНИЯ, СВЯЗаННаЯ С Та-
у с ТрОЙСТВО; 3 - фильтр ФАПЧ ; 4 - генератор
с игнала; 5 - ГУН
ким устройством, в отсутствие
каких-либо искажений, вызван­
ных переходными фазовыми процессами или дрожанием осцилля­
тора, является функцией лишь действующей амплитуды сигнала, ,
спектральной ш101ности шума на нулевой частоте Sn (О) на входе
фильтра ФАПЧ (.в ,предположе.1ши, как обыч•но, что .шириа-~а лолосы
211\


с истемы ФАПЧ ,мала ,по оравнению с шир,и,ной полосы ,предшеству­
ющей цепи) и ширины полосы шума цепи Br_ .
,Си1гrнал 1) .на вхо,:r,е си-стемы ФАПЧ
Е [z(t)] Л11 (t) .
(7.73)
( Без потери общности предполагается, что т:0 = О обозначает пра ­
uильную метку сигнала.) Поэтому эффективная а.мплитуда
Ts
А,=
-
1 s11(t)s'(t)dt =
2л:
о
Ts
-
1 111'(t) s(t)dt
'2л: .J
о
(7.74}
(ер. с § 5.8 . Так как это несущественно усложняет последующий
а нализ и так как получающееся обобщение имеет некоторый прак­
тический смысл, то сигнал обрат~юй связи s(t) может быть здесь
Ts
Jiюбой периодической функцией t, для которой Jsft)di=O) . Заме-
о
тим, что z(t) совпадает с zv из ф - лы (7.16), если v1ЛТ=т: и M=l .
Т а ким образом, 11(t) равняется 11" из ф-л (7.17), (7.18') при тех же
'i-lMЫX УСЛОВИЯХ.
Остающаяся часть входного сигнала
~(i)= z(t)- 11(t)
(7.75)
11р е дставляет собой тум. Поэтому ш,ум иа в-ходе фильтра ФАПЧ
имеет вид
IL(t)=h(t)s(t- i-).
) Lалее
С()
оо. Ts
811(О) = SR11(и)d'u = ~ SR11(и:+iTs)du =
-00
i=-CO Q
оо TsTs
Ts 2: .)SR"11(u+i:Ts, t)dtdu,
i=-C,, о о
(7.76 )
(7.77}
1') \ Rn(u, t) ~ Щn(t)n(t+uJ] и где символ JE(. . .)1 обозначает ус­
J) t'J\н ение по ансамблю. Так ка1к Rц. (и, t) ~ E'[h(tn(t+u)] и s(t) -
11' риодические фуЕкции. t с периодом Ts, то , Sn(O), может быть за-
1111сано в виде
оо Ts 1:s
8,, (0) ~ ;s ~ S SRG(u+i-Тs-, t)s(t-"U)s(t+и-'Тi)dtdu. (7.78}
i=-сю О О
1) Здесь аыпл11туда сигнаv~а· в любой момент вре-м.ени является случайной·
III •JIII 1 11111ой. Однако вновь, если ш и р и на п олосы цеп11 мала по сравнению с 1/Т ,,.
111 I I I ,I ход ГУН будет олределпться взвешенной суммой большого числа входных
IIмI I yJ I I,co u. Таюш образом,. для того, чтобы получить хорошую аппроксимацию
, I11•IIIIмI
11а вход е L,ели, можно его . заменить на его математическое ожидание.
( 1/ /11/Лt. а.в т.) ..
2Н!,


Сигнал s(t) считался детерминированным в этом последнем
:преоб!ра.зовании, несмотря на то , что ,его фаза случайно изменяется .
Это справедливо, если ширина полосы системы ФАПЧ мала по
,сравнению с шириной полосы принимаемого· сигнала (ер . с § 5.8) .
Рассмотрим теперь функцию
М
2
Л2 (и, t)~ lim - 1 Е(\1 [~(t+iT5 )-~(t+ и+ iT5 )]) =
-М--+оо М /.J
i=l
мм
= lim-1 \1\1{R,f(j-i)Т5,tJ- 2R,[и+(j- i)Ts, tJ+
М--+оо М /.J /.J
i=l i=I
О>
- -2R~(u+vT5 , t)+ R,JvT5 , t+и)= ~ [R,(vT5 , t)-2R,Ju+
V=--0>
+vТ5,-t)+R/vТ5,t+и)].
(7.79)
Это выражение апра,ве~ливо то.гда, .кОI1Да lim R,JvTs, t)-+0 . Объ-
v- 00
,единяя (7.78) и (7 .79) и вспоминая, что R., (vTs, t) и s(t) - перио­
Т.s
.дические функции t и что_\ s(t)dj;=O, получаем
о
Ts Ts
.Sп(О)= -'
-
1-s sЛ2(и, t) s(t-
,;)s(t+и- ,;)dtdu.
2Ts
(7.80)
оо
Ценность этого выражения для Sn (О) становится очевидной, ее­
.ли заметить, что
.Л2(иt)=Iim-1Л2
'
М--+оо /И vμ •
(7 .81)
где Л~μ определяется так же , как в (7 . 19) при vЛT=t, μЛТ=t+и
.ДЛЯ O~t~u+t,,,:;Js и vЛT=t+u-Ts, μ,ЛТ=t для o~ ·t<Ts<и+t<
<Ts+t. Отметим, что Л 2 (и, t) - периодическая функция t.
Возвращаясь к устройству отслеживания символов, изображен а
ному ·На ,рис . 7. 1, ,где s(t)=~{o(t-(.Лt/2)-iTs)-o(t+{лt/2)­
i
-i Ts)], находим и:~ ф-л (7.17), (7.18) , что математическое ожида­
.ние си лнала ,ошибки 'На входе фильтра ФАПЧ имеет ,в-и,д
1
-
2μ2 (1-
~)~'о ,;;;;1,;13⁄4~;
·ri (t+\t)-ri(t-Л/) = Лt ( Ts 2:s) Лt
2
Лt
-
2μ2-1-
-
'-
-< ,;:;;;;тs- -
'
Ts
Т,
2
2
(7 .82)
:220


тде t=.: по модулю Ts. Этот
,сигнал изображен на рис. 7.2.
Из (7.74) имеем
Ае= 2μ2 (1-
~).
nTs
Ts
Согласно (7.80) получаем
Sп(О)=Л2 (лt, .:- -\t)/Ts.
(7.84)
Хотя спектр альная плотность
шума зависит от момента вы-
Рис. 7.2. Сигнал ошибки в синхронизато­
ре, изображенном на рис. 7.1, с периоди­
ческой последовательностью выборок в
цепи обратной связи
борки .:, она относительно медленно меняющаяся функция этого
~параметра. В любом случае, есл.и сис'Ге,ма отслеживает в-ерно, то
,:~О ,и из ф-лы (7.81) ~получаем
s (О)~л2(лt -
~)/ т =2лt(1_ ~)[(2_ ~)~+_1 ]
п
'
2
s
т2
Ts
2Ts R
R2
'
s
<О~Лt-< ~.
(7 .85)
2
Наконе ц, среднеквадратическая ошибка отслеживания в радиа­
н ах в ивадра.те (,где 2л рад соответс-гвуют Ts секунд) имеет ,вид
()"2 = 2Sn (О) BL
2( Лt/Ts )[l_ ЗЛt)-!-+ _1-JХ
<р
А2 =2л: 1- Лt/Ts
4Ts ~l2 R 2u2Ю
е
,2
Х BL ТsЛ (-а-+_ь_) BL Т5 •
= μ2R
μ~R
(7.86)
Параметры а и Ь, как функции Лt/Ts, изображены на рис. 7.3 .
113 новь сталкиваемся со знакомой уже ситуацией, когда дисп е рсия
Рис. 7.3. Параметры из
равенств (7.86), (7.89) и
(7.95) :
1 - прямо у гольные нмпу.тrь ­
сы; 2 - синусоидальная об­
ратная связь; З - косннусои­
дальиые импульсы
о ш и б к и отслеживания и линейная область сигнала ошибки прямо
1 1 ро порционалы-1~r одному и тому же параметру, в данном случае
ЛL. К ак и ранее (ер., например, с § 6.3), Лt можно оптимизировать
J,r1к функцию отноше.ния сиnнал/шум систе.мы. Так ,ка ·к линей:ная
221


область ,раопрост:ра,няется лишь на -Лt-секунд.ный интер•вал, то ,Лt
.не может быть -сделано сколь у1годно малым iUпo крайней мере , ,е.сли
нужно оставить в силе (7.86) ]. Вместе с тем Лt часто может быть
зн ачительно меньше, чем Т,/2 секунд .
Синхронизатор символов, изображенный на рис . 7. I, та кже до­
пускает несколько различных реали з аций. Две из них выте кают из
следующего замечания. Пусть а1(т) обозначает интеграл
([+!) Ts+'t-(Лl/2)
а1(т)= - 1
-
S V2y(t)sin(шct+Ф)dt.
ATs
1Т5+-.+<Ы/2)
а ~ 1 (т) обозначает интеграл
lт5+-.+ (Лt/2)
f>1 (т) = А;~ s V2у(t) sin(ffic t+Ф)dt.
1Т5+,;- (Лl/2)
Сигнал ошибки на входе ГУН (рис . 7.1) также может быт ь выра­
жен как взвешенная сумма вида
~ Wz{[а1(т)+~1+1(т)]2- [а1(т)+~1(т)J2 }~
l
~}.:W1 ~1(т)[а1_1(т)- а1(т)].
(7.87)
l
Эти выражения для сигнала ошибки справедливы, если фильтр
ФАПЧ имеет ширину полосы, малую по сравнению с обратной ве ­
личи,н-ой пер.вода сим.вола Ts, т . е. ,если фу:нкции Wz медленно меня-
ются в зависимости от l .
•
Две схемы синхронизаторов, которые получаются после этих
преобразований, изображены на рис . 7.4 и 7.5. Первый из ни х, ко-
Сигнал
еижронизо­
ции сим!JолоJ
Рис. 7.4 . Структурная
схема синхронизатора с
отстающим и опережаю­
щим стробированием:
1 - взаимный
коррелятор;
2 - выборка и запоминание;
3 - квадратичное устройство;
4 - опережение на Лt/2 с;
5 - генератор сигнала; 6
-
ГУН; 7 - фильтр ФАПЧ;
~ - задержка на Лt/2 с
торый называется синхронизатором с отстающим и опережающим
стробированием (или синхронизатором с расщепленным стробом),
представляет собой один из вариантов (возможно, самый простой)
реализации более общего устройства, представленного на рис. 7. I .
.
Модифицированный синхронизатор с отстающим и опережаю -
222


щим с'I'робир-ованием изображен на рис. 7.5. Коnда систем.а верно
-отслеж ивает т;::::;: О, верхний интегратор на рис. 7.5 интегрирует по
п~реходной области, где происходит смена символа, в то время
J<ак нижний интегратор интегрирует по интервалу, в течение ко­
тор ого такой переход не возникает. В случае, например, двоичной
Рис. 7.5 . Структурная
схема модифицированно­
го синхронизатора с от­
стающим и опережаю ­
щим стробированием:
! - выборка и запоминание ;
2- задержка на (Т5-Л!J, с;
J - генератор сигнала отсче~
тов времени; 4- _ ГУН· 5-
·j)илhтр ФАПЧ; 6 - 3'1держка
наТ5,с
ФТ выход верхнего интегратора в идеале умножается на ноль, если
не происходит переход одного символа в другой (в этом случае
с инхронизационной информации нет), и на знак перехода + 1 или
-
1, если он происходит. Когда отношение сигнал/шум достаточно
в елико для того, чтобы можно было принимать надежные решения,
э то последнее толкование предлагает принимать твердые решения
о тносительно того , имел ли место переход или нет и в соответст­
u ии с этим взвешивать интеграл в области перехода , помещая,
н а пример, идеальный ограничитель после интегратора в нижней
ll С ПИ на рис. 7.5. По существу то же самое устройство получилось
u ы непосредственно, если бы мы с самого начала для аппрокси­
ма:ци.и ста1'исти'Ки, о.пр еделяюще й синхронизатор максималь,н,с)го
11равдоподобия использовали приближение большого отношения
с игнал/шум {см. (7.44) ]. В случае, когда каждое решение относи­
т ел ьно наличия и отсутствия перехода символов является правиль­
J1ым, дисперсия · ошибки отслеживания, достижимая при использо­
ва нии такого устройства, равна, как легко убедиться,
a i = 2:rt2~ BLTs
(7.88)
Ф
Ts
R
,Поэ,т о,му улучшение, ,с,вязанное с вынесением твер1дого решен.ия,
0 1- рани чено, по крайней· мере, областью больших отношений сиг­
Ш1Л/шум R. 1[Ср . ('/.86) и (7.88); см. также задачу 7.3.] Тем не ме­
н е е потенциальное упрощение при реализации этого модифициро­
тш1юго синхронизатора делает рассмотрение целесообразным .
Устр ойство отслеживания символов, изображенное на рис. 7.1,
м жет быть использовано также с другими местными сигналами
s (I). Если, на пример, s(t) - синусоида с периодом Ts, то по ф-ле
(7.74 ) Ae=2μ2/:rt2, а соотношение (7.80) (когда ошибка отслежи,ва-
111151 мала) принимает вид Sn (О) = 2Ts [~(1 + ~) + -1
-], так что
:л2 2R
4:л2
R2
2Sп(O)BL
[1(
15)
1]
п~D =
2
= i,:2 2R. 1+42 +-2-
BL Ts.
Ае
μ2'
:л
μ2 R2
.
(7.89)
223


Среднеквадратическая ошибка отслеживания снова имеет вид
(a/μ2д+b/μ2zR_ 2 )B1Xs . Для сравнения эти параметры а и Ь также
нанесены на рис. 7.3 .
Хотя характеристика синхро,низатора с синусоидальной обрат­
rной ,связью олрещеленно хуже ха.рактеристи1ки си,нх,ро.низатора с 1по­
СJ1едовательностью выборок, его более простая реализация может
вполне компенсировать этот недостаток, по кр<1йней мере, тогда,
когда R дост,аточн,о ,в·елико и BLTs достаточно мало . В ча,стности ,
это верно, когда система ФАПЧ с синусоидальной обратной связью
может быть заменена узкополосным фильтром, как это рассматри­
валось в § 6.9 . Ш,ири.на mолосы В1 в общем ,случае должна быть
значительно больше ши,рины полосы с.истемы ФАПЧ, :1юторую он
заменяет, но ,::реднеквадратическая ошибка отслеживания, зада­
ваемая теперь равенством (7.89), где BL заменяется на В 1 (по
крайней мере, если В1« 1/Ts), все еще может оставаться в допу­
стимых границах.
НекогерснтнаяАИМ, недвоичнаяФТиотноси­
тельная к о г ере н т н а я Ф Т. Синхронизаторы символов , опи­
санные выше, предназначались для сигналов когерентной АИМ
и двоичной ФТ . Обобщение, необходимое для того, чтобы они ра­
ботали , когда используется некогерентная АИМ, недвоичная ФТ
или относительная когерентная ФТ, является очевидным с точки
зрения результатов, полученных в § 7.3 и 7.4.
Единственным изменением, которое необходимо внести в выше ­
привед е нны е выводы для того, чтобы приспособить их к 0тим ти­
па м модуляции, является изменение определения z(t) в (7.71), а
именно :
z(t)=[ - 1 r y(u)V2sinfficиdu]2 +[-1 r y(u)V2cos•c :.dи]2
АТ, J
ATs J
t-~
~~
(7.90)
[ер . с (7.32) и (741)]. С этим видоизменением рассуждения про­
водятся точно ·;-ак же, как и раньше. Ошибка отслеживания будет
такой же, как определенная ф-лами (7.86) или (7.89), с тем исклю­
чением, что коэффициент при 1/R 2 удваивается {см. § 7.3 и 7.4 и
(7 .33) ].
Изменения ]]рИ реализации этого синхронизатора соответствен­
но незначительны. Следует лишь заменить когерентные согласо­
ванные фильтры в рассмотренных выше синхронизаторах на неко­
герентные согласованные фильтры, после которых включены де­
текторы огибающих (ер. с § 4.3) . Все остальное остается тем же.
Схема синхронизатора, изображенная, например, на рис . 7.1, те­
перь принимает внд, изображенный на рис. 7.6.
Ортогональныесимволы. Методы символьной синхро­
низации из § 7.f, также легко приспособить для схем отслеживания
символов. Рассмотрим разность d(.:) между выходом в момент
.:+ ,Лt/2 и выходом в момент т:-лt/2 фильтра, согласованного с ЧТ
224


с имволом или ВИМ подсимволом. Если правильная метка симво­
ла (или подсимвоJrа) - т0, если /~--т0 / <,Лt/2 и если символ, соот0
ветствующий рассматриваемому согласованному фильтру, был
пр инят на самом деле, то математическое
ожидание величины d (т), как легко ви­
деть, ~будет л.инейной фунащией т-то. Ве­
личин а d (т) поэтому может быть исполь­
з ована как сигнал ошибки для управле­
~ш я моментом выборки т. Более того, если
т ~ т0 , то надеж,ное р,ешение от,носит,ель­
но того, был ли принят этот частный сим­
во л или подсимвол, может быть построе­
но на основе выхода фильтра в момент
i- , а d (т) можно считать сигналом ошибки
только тогда, ко гда это решение является
ут вердительным.
Структурные схемы получающих-
ся устройств отслеживания изо-
~
4-Ji
Сигнал CШIXPOHUJ{JЦUU
r:uмdoлod
Рис . 7.6 . Структурная схема
синхронизатора
символов,
некогерентная АИМ и не­
двоичная ФТ:
1 - не ко герентный согласован­
ный фильтр; 2 - квадратичный
детектор огибающей; 3 -фильт J>
ФАПЧ; 4 - генера1<0р с игнал а;
5-ГУН
бра жены на рис. 7.7 для сигналов некогерентной ЧТ и на рис.
7.8 для сигналов когерентной ВИМ. . Устройство, выносящее реше-
1rия, о,пределяет, ·rшкой сим,вол ,был ,принят (1в случа·е ЧТ) , или ре­
шает, присутствовзл или нет импульс подсимвола ( в случае ВИМ.),
!J( t)
1
1
1
1
1
5
L,.
7
Демоilули о­
!Jонныи сигнал
Рис . 7.7 . Структурная схема
синхронизатора
,символов
ЧТ:
1 - некоrерентный со гласован­
ный фильтр /; 2 - детектор оги­
бающей; 3 - задержка на Лt, -с.;
4 - стробирующее устройство н
устройство. выносящее решения;
S - некогерентный со гласован­
ны~", фвльтр 2; 6-фнльтр · ФАПЧ:
7 - 11е когерентный согласован­
ный фильтр п; 8 - ге нератор
сигнала отсчетов врем·ени; 9 -
ГУН
11 в соответствии с этим стробирует с и гнал ошибки. Эти схемы
1 1 сс ьма похожи на схемы отсJrеживания символов для двоичной
ФТ при большом отношении сигнал/шум, описанные р,анее. Дис -
11 с рсия ошибки отслежива!ния в предположении , что решения от-
1 1 оси тельно нали ч ия или отсутствия символа все гда riравильн.JjI,
l(i l K легко показать, будет иметь вид
Лt BLTs
а2 = 4:it2-
-pR
{7..9 :1 )
Ф
Ts
где
1
р {два последовательных символа} = п - 1 ЧТ;
r
отличаются друг от друга
п'
р-
-
Pr {за подсимвольн_ ым импульсом} = п2 - 1 ВИМ.
не следует импулье
п2. '
Н -281
225


Ошибка отслеживания ЧТ импульсов определена здесь через пе­
риод символа (2л рад соответствуют Ts секундам), а ошибка для
ВИМ определена через период подсимвола (2:rc рад соответствуют
Ts/n секундам).
Рис. 7.8 . Структурная
схема
синхронизатора
символов ВИМ:
/ - фильтр, согласованный с
нодснмволом; 2 - стробнрую­
щее устройство и устройство.
выносящее ре ш ения; 3 -
фильтр ФАПЧ; 4 - задержка
наЛt,с;5- ГУН; 6- гене­
ратор с11г11ала отсчетов вре-
мени
Эта. иоследняя схема отслеживания символов, очевидно, при­
мени ма: в. любой импульсной системе связи . В том случае, если
оц:енка метки символа может быть сделана достаточно точной, на­
д:е,ююе w~ешение, по - видимому, может быть сделано и относитель­
но те ку щего ,прннимае-маго символа. После того как 1при1н.имаемый
е:имвол и область перехода символов становятся известны, послед­
няя может быть использована для уточнения оценки метки сим­
uола .. Применимость этого подхода зависит от не всегда справед­
ливого предположения об относительно большом отношении сиг­
!!а J1/шум и от возможности получить первоначальную оценку мет­
ки за достаточно J{Ороткий период Бремени.
7.7. Синхронизация непрямоугольных символов
В противоположность ситуациям, когда система нахо­
дится в синхронизме, характеристика импульсной системы связи
в режиме входа в синхронизм зависит от формы импульса даже
тогда , когда нет ограничений на ширину полосы . Так, например,
как и в гл. 6, точность отслеживания может быть увеличена (или
уменьшено время поиска) сужением эффективной длительности
используемых импульсов. Вмест~ с тем чем меньше длительность
импульса, тем быстрее падает напряжение на выходе фильтра, со­
гласованного с этим импульсом, при отклонении от момента наи -
6:ольшего значения выхода. Таким образом, требование к точности
со·ответственно возрастает, и ситуация, в общем, остается неиз­
менной.
Это не означает, что тщательный выбор формы импульса не
может привести к преимуществам при синхронизации. Одно потен­
циальное достоинство при выборе формы импульса, например, со­
понт в возможности упрощения аппаратуры, необходимой для
ошхронизации. С этой целью используется иногда модуляция с пас­
с11в1-юй паузой, когда энергия передается лишь в течение части
каждого периода символа. Это эквивалентно умножению симво­
лов ; иа последовательность прямоугольных функций, один из уров­
ней которой является нулевым (последовательность не обязатель­
но симМ'етричная) и, следовательно, при этом вносится частотная
22"6


компонента на частоте символа , которая мож ет быть отфильтро­
вана или отслежена. Если, например, энергия передается лишь в
течение первой половины каждого периода символа в ЧТ системе
и если частоты символов достаточно разнесены , то выходы согла­
сован ных фильтров (или детекторов огибающих) на рис. 7.7 пред­
став ляют собой неперекрывающиеся треугольные импульсы . Сум­
ма этих выходов - также треугольная функция (искаженна я шу­
мом); она может быть отслежена сис·темой ФАПЧ (или .от­
фильтрована узкополосным фильтром) для установления требуе­
мой символьноi'! сш~хронизации; таким образом, этот метод позво ­
ляет заменить ус1ройство, производящее выборки и выносящее
решен·ия (р-ис. 7.7), шр,остым сумматором. Если не считать п-крат­
ного увеличения уровня шума (только один выход содержит ком­
l[ОНенту сигнала н любой момент, в то время как все п выходов
содержат шум), характеристика такого устройства совпадает с ха­
рактеристикой системы ФАПЧ, отслеживающей треугольный сиг­
на л . При больши_-..: отношениях сигнал/шум п-кратное увеличение
,uума может быть приемлемой платой за снижение сложности ап­
п ар атуры.
Другим поводом для изменения формы импульса сигнала, и,с­
пол ьзуемого для целей синхронизации, является нейтрализация
стоха стических свойств сигнала. В рассмотрениях этой главы всю­
ду предполагалась статистическая независимость последователь ­
ных символов; это предположение редко выполняется строго . Если
в действительности последовательные символы имеют тенденцию
быть одинаковыми, то число переходов символов может стать зн а ­
чительно меньше, чем предполагалось в вышеприведенном анали­
з е, и характеристика синхро н изатора станет значительно хуже.
Вно вь для решения этой задачи может быть использована модуля-
1\ия с пассив н ой п аузой. Сходный метод для случая двоичной ФТ
с остоит в ие1п ользо·вании кода .Манчестера, в ,котором один сим,вол
сооб щен.ин ,и,м·еет ,вид
О<t<Ts/2;
T 5 J2<t<Ts,
а другой символ равен - x(t). Такая модификация формы симво­
JIОВ делает характеристику синхронизатора относительно независи­
мой от статистических свойств сигнала. За это приходится пла­
тить увеличением ширинъr полосы, требуемой для передачи этих
моди фицированных символов.
Вопрос об <~оп--::имальном» сигнале при заданном (в этом слу-
1 1ае) множестве требований к передаче и синхронизации, к кото­
рому неизбежно приводит рассмотрение подобного рода , здесь не
стави тся . Очевидно, что ответ, если его можно получить, зависит
о сильной степени от наложенных ограничений . Вместе с тем вли­
н 1ше ошибок символьной синхронизации на характеристику всей
нс.темы связи может быть, ,вообще гоноря, , пр-енебр-ежимо малым
11rри ис·пользова.нии эффектив;ных методов синх.ронизации незави-
227


,симо от формы импульса символа. (Ср. с гл. 9.) В любом случае,
следовательно, требования к синхронизации симво.rюв будут лишь
незначительно влинть на проблему выбора сигнала .
Результаты этой главы также могут быть обобщены на случай
непрямоугольных импульсов. Когда огибающая импульса p(t), О~
~t~ Т8 произвольна, равенства (7.33) изменяются , в частности,
следующим образом . Пусть
Ts
Лj= ;s5р(t'- Ts+iлТ)р(t)dt с Л,v = 1:
о
лоложим у1 =Лv; у2 =Лм-v; у3 =Лμ;
Y,,i: = Л,v_μ; '\'5 = "'<μ-v); '\'в =Л N- (μ-v) ;
а=μ4+4mμ3+4т2μ2- μ~; Ь=тμ3+2т2μ2иd= μ~+4т2Р·~·
1:о гда
fiv=μ2(Yi+У~)+т2(У1+У2)2+Со/2R;
б~хs=а(yf-1--У~)2+8ЬУ1У2(Yi -1--У~)
-1--4dYiу~/С1;
б~хп= 2μ2(Yi+У~)/R+ 2т2(У1 + У2)2/R;
{J,~ xn = Со/ 2R2;
Л;хs = а{( Yi + У~)- (У~+ '\'~)]2 + 8Ь (У1У2 - УзУ4) [( Yi + У~)­
-{ У~+ У~)]+ 4d (У1У2 - УзУ4)2/с1;
(7.92)
Л~хп = 2m2 [(У1 + У2)2 +(Уз+ у4)2 - 2 (У1 + У2) (Уз+ '\'4) (Ys + Yo)]/R +
+2μ2[Yi +У~+У~+У~- 2У1УзУв
-
2У2'\'4'\'о - 2У2УзУБ ]/R;
л2_
(1
2
2)/R2
,ш1- Со
-
'\'5 - Уб
•
Рассуждения, нспользованные при рассмотрении синхронизато­
р о1в из § 7.6, 1п,римеиимы ,в равной мере в случае, ·1югда рассмат­
ри;ваются импульсы любой фор-мы, если только 1п,рт1 этом ·использу­
ю т,ся согласованные с ним фильтры или взаим.ные корреляторы .
Сред,не~ва.драт,ическая ошибка ,от,слеживания, соответ,ствующая
<1:хеме .рис . 7.1, сохраняет rвид
(7.93)
где Л е и Sn(O} определяются ф-лами (7 .74) и (7 .80) соответствен­
н о . Од нако члены 11v и лiv, присутствующие в этих равенствах ,
заменяются в соответствии с (7 .92).
Как уже отмечалось , пригодносп какой-либо конкретной фор­
мы импульса в сю1ы-юй степени зависит от условий, в которых он
будет ислольаов,.пъся . Одним из наиболее широко используемых
228;


непрямоу г ольных импульсов является так называемый косuн,усоu­
дальный импульс, определяемый равенством 1)
p(t) = V2J3fl -cos(2:rtt/Ts,.)J, О ~t~ Т5 •
(7.94)
Таки м образом, для того чтобы проиллюстрировать влияние
формы импульса на характеристику отслеживающего синхрониза­
тора, выбе р ем косинусоидальный импульс в качестве практической
а льтерна т ивы прямоугольному импульсу.
Расс мотрим схему синхронизатора, изображенную на рис. 7. 1,
где s(t) - .последовательность ·выборок s(t) = ~ [б(,t-(Лt/2) +
i
+iTs) ]-o~t + ( ,Лt/2) +liТs)] и ['Де ~принимаемый си,г,нал 1представлнет
собой п оследовательность модулированных АИМ или ФТ косину-
соидальных импу.11ьсов (т. е. y(,t)= V2Ax(,t-iTs)sin(fficl+0)+
+ n(,t) , iTs <,t<(i-т-1)Ts, где информация содержится либо в х, ли­
бо в 0). С реднеквадратическая ошибка от,слежи.вания а1пять имеет
вид
а2 = (~+~)В Т,,
(7 .95)
Ф•tR
2Rэ L
(2'μ2
г де пар а м е тры a=a(Лt/Ts) и Ь=Ь(ЛТ/Тs) можно определить из
ф-л (7.80) и (7.92) .. Эти зависимости также изображены на рис. 7.3 .
( Средня я а мплитуда А:ИМ предполагается здесь равной нулю.)
С ледует от метить, что в противоположность случаю, когда импуль­
с ы прям оугольные, ошибка отслеживания, по существу, не зависит
о т Лt, осо бенно при Лt<Ts/4 . Аналогично форма сигнала ошибки
з начитель но меньше зависит от Лt. (Рис. 7.9. Амплитуда каждого
Лt=T_j.
~
~
.~
~
t=o
- qso
-О,25
Рис . 7.9. Сигнал ошибки в синхронизаторе косинусо­
идальиых символов
1 ) Од н т-1 очевидным преимуществом этого импульса по сравнению с прямо­
угольньш импульсом нвляется его более узкий спектр (ер. с задачей 3.2).
{ При,н. авт.).
229


сигнала ошибки нормирована так, чтобы соответствующие уровни
:шума во всех случаях были одинаковыми . )
Если форма сигнала ошибки не будет подвергаться вредным
искажениям, то, пu-видимому, выгодно ,Лt устремить к нулю в ф-ле
(7.72) и построить соответствующий этому случаю синхронизатор.
(На рис. 7.10 изображена более привлекательная с практическо й
Рис. 7.10. Структурные
схемы синхронизаторов
символов с дифференци­
рованием (фазовокоrе­
рентный случай):
1 - согласованный фильтр~
2 - квадратичное устройство ;
3 - фильтр ФАПЧ: 4 - гене­
ратор сигнала; 5 - ГУН
точки зрения реализация такого синхронизатора, чем та, которая
представлена на рис. 7.1 . Сигнал обратной связи здесь имеет вид
s(i) ='})б(t-iT,).) Среднеквадратическая ошибка отслеживания
получающегося символьного синхронизатора для АИМ или ФТ мо­
жет быть легко определена с помощью (7.92) и (7.93). А именно:
и2Ф=2л:2{~ +~ fl BL !r5(p' (t))2dt,
(7.96)
Х (R')2
.J
о
где R'=A2T8 ( ,p2 +m 2)/No, а p'(t) - производная огибающей им­
пульса p(i) (см. задачу 7.1).
Интересно птм<:;тить, что синхронизатор рис. 7.1 способен от­
слеживать косинусоидальные импульсы более точно, чем прямо­
угольные, когда Лt/Ts превышает величину, приближенно равную
0,1, и менее точно, когда Лt/Ts меньше этого значения. В общем
можно было бы ожидать, что чем круче переходы между после­
довательными ?..мпульсами, тем с большей точностью можно было
бы установить и стследить точку перехода. Это соображение под­
крепляется полученными выше результатами, но только в случае,
когда отношение сигнал/шум достаточно велико, чтобы можно бы­
ло полностью использовать это свойство . Только если отношение
сиrгнал/шум для системы относитель,н,о велико, Лt можJНо выбрать
малым, .и это ,не ,п,р:и.ве,1.ет а( не~пр.иемлемо большой 1вероятност.и ~по­
тери синхронизма (,ер. с § 6..З). И ,только ,в этом случае ·большая
,крутизна ,перехода ,между ~последова'I'ельными ~прямоугольным и
им.пульсами 1прлносит ,преимуществ-о.
Сле!дует также отметить при обсуждении относ,ительных ,до­
стоинств прямоугол·ьного и непрямоугольных импульсов с точки
230


зрения синхронизации, что синхронизационная информация может
быть извлечена и::s последовательности непрямоугольных импуль ­
сов даже в ,отсутствие какой-либо модуляции (ер. с задачей 7.1).
Это, конечно, неверно, когда импульсы прямоугольные. В этом
случае могут оказаться необходимыми ограничения на модуляцию,
чтобы получит,, минимально необходимое число переходов и тем
самым избежать возможной потери синхронизации .
7.8. Заключительные замечания
Эта глава была посвящена методам получения символь­
но й синхронизации непосредственно по принимаемой последова­
тельности символов, переносящих информацию. Были рассмотре ­
ны два типа синхронизаторов: задача первого состоит в определе­
нии правильной метки символа среди конечного множества меток;
второго - в том, чтобы отслеживать эту метку . При исследовании
си нхронизаторов первого типа внимание было сосредоточено на
так называемых синхронизаторах максимального правдоподобия.
Было найдено, что характеристика этого класса синхронизаторов,
по существу, сравнима с характеристикой, которая получается при
использовании метода двух каналов, рассмотренного в гл. 6, если
эффективная длительность импульса синхросигнала равна перио ­
ду символа. Но так как в методе двух каналов необходимо раз­
делить имеющуюся мощность между каналами передачи информа­
ц ии и синхронизации, а здесь вся мощность одновременно исполь­
зуется как для пtредачи информации, так и для синхронизации,
то одноканальный метод может оказаться эффективнее двухка­
нал ьного даже тогда, когда длительность синхроимпульса отно­
с ителыю мала.
Имеются три причины рассмотрения класса отслеживающих
с инхрониза торов , введенных в § 7.6 . Во-первых, это достаточно
общий класс, он включает в себя многие символьные синхрониза­
торы, представляющие практический интерес. Во - вторых, в него
вх одят как подкласс синхронизаторы, предназначенные для реше ­
ни я уравнения мы<симального правдоподобия (ер. с § 5.4), по
кр айней мере. в наиболее трудном случае. когда отношение сиг­
н ал/шум ,R мало. Следовательно, получающаяся оценка метки сим ­
во ла асим птот,.1чески оптимальна в среднеквадратическом смысле
(§ 2.8), Еогд а отношение сигнал/шум · для системы ФАПЧ стремит ­
с я к бесконечности, т. е. когда ширина полосы сиrтемы ФАПЧ BL
сгремится к нулю. (Конечно, это не гарантирует оптимальности при
1,а ком-либо другом множестве условий . )
Во - вторых , док2зательство асимптотич"'ской оптимальности фор­
мул ы оценки мш<симального правдоподобия использует определен-
11 ые условия регулярности, которые не выпоJшяются, если не на­
ложены ограничения на несколыю первых производных огибающей
l!мпульса. В реальных физических системах , конечно, ограничения
11а ширину полосы канала в любом случае не позволяют использо-
2 .зt


вать прямоугольные импульсы; так что эта оговорка не прив оди т
к серьезным последствиям . Выводы для прямоугольны х импульсов
остаются справедливыми, если такие импульсы могут быть прием­
лемой идеализацией реальных импульсов.
И, в-третьих, что, возможно, наиболее важно, можно получить
относительно простые аналитические соотношения, связывающие
среднеквадратическую ошибку отслеживания с отношением сиг­
нал/шум на входе приемника и другими физическими парамет­
рами .
3ада:чи
7.1 . а) rПусть p(t) - импульс произвольной формы , определенны й так же,
как в (7.92), и предположим, что первая и вторая производные импульса су­
ществуют и абсолютно интегрируемы на интервале O~;t,;:;;;J•. По каз ат ь , ч то если
в (7.92) μ=v+l, то
.
л;хs(,
')2
(,
')(
,
')
л~'!!о (Л Т)2 = 4а '\'1'\'1 -
'\ '2'\ '2
-
l6 Ь '\'1'\'1 -
'\'2'\'2
'\'1'\'2 -
'\'2 '\'1 +
+4d ('\'1'\';- '\'2'\';)2 /с1;
л;хп 2т2 {( ,
')2
"} 2μ2{(')2 ( ')2
д~~о(ЛТ)2 - R
'\'1 -
'\'2
--
('\'1 + '\')2'\'з + R
'\'1
•+
'\'2
-
(22)"}
-
'\'1 + 1'2 '\'з ;
л2
.
nxn
Со,,
л~~о(ЛТ)1= -
R2 '\'з '
Ts
где y(t)= _ ! _s р(и-Т.+t)р(и)dи; v'(t)=dy(t)/dt; -y"(t)=d2y(t)/dt2 и под-
Тs
о
строчные индексы 1, 2 и 3 обозначают аргументы т О liш vЛТ; т.-т и Т, соот­
-
лт-,о
ветственно.
б) Используйте этот результат, чтобы показать, что в случае достаточно
большого отношения сигнал/шум, когда ошибка отслеживания мала, дисперсия
ошибки отслеживания задается ф-лой (7.96) . Заметьте, что при этих условиях
среднеквадратическая ошибка отслеживания символов ФТ не зависит от мо ­
дуляции.
7.2. В ра.ссмотрен•иях, по.мещеиных 1В § 7.6 и 7.7, не принималась во в ниман ие
зависимость спектральной плотности шума S n (О) на входе системы ФАПЧ от
ошибки отсдеживания т [ер. с •(7.84) ].
а) [1оказать, что, когда BLTs мало и когда дисперсия о~ достаточно ма­
ла, чтобы оправдать линейное приближение в системе ФАПЧ, хорошей аппрок­
симацией служит
00
а~= Jи~(т)р(т)d• ,
-00
где oi (т) - дисперсия, получаемая теоретически, когда S n (О) оценивается в
точке.; р(т)= (1/ J/2л о-;) ехр(-.2/20~) при а. =(Тs/2л) оФ.
232


б) Используя этот результат, показать, что если принять во внимание за_;
висимосn. Sn (О) от т, дисперсия ошибки отслеживания, задаваемая (7.86), уве­
личивается в
r1_ (~+-з_1 BLТ5 ]-1раз.
с1μ2 2μ2R_) 1--(Лt/Ts)
7.3 . Рассмотрим устройство отслеживания, схема которого отличается от
схемы рис. 7.5 тем, что в ней после нижнего интегратора включен идеальный
ограничитель.
а) Показать, что, когда огибающие принимаемых двоичных ФТ импульсов
прямоугольны, дисперсия ошибки отслеживания (при линейной модели) для та ­
кого устройства рапна
9
(Лt) BLТ
аФ=2л2 Тs (l-2p)2R '
где р обозначает вероятность ошибки определения синхросимвола при отноше ­
нии сигнал/шум R' =R[l-,лt/T.].
б) Показать, что для малых отношений сигнал/шум R наличие идеального
ограничителя увеличивает дисперсию фазовой ошибки в л/2 раз, в то время как
в другом предель ном случае, когда R-+oo, оно
уме ньшает дисперсию в
.
3
[ l -(Лt;T.))/fl -(4 Лt/Т,)] раз.
в) Получить аналогичные результаты, когда огибающие импульсов имеют
коси нусо идаль ную, а не прямоугольную форму.
7.4. Оценить время, необходимое для установления символьной синхрони­
за ции для АИМ н ФТ непосредственно из модулированного сигнала при нсполь­
зов ании различных поочередных методов поиска, рассмотренных в гл. 6
[ер. с (7.33)].
7.5. Пш,азать, что, когда последователь н ые символы ФТ сигнала имеют
ст атистически независимые, но не обязательно равномерно распределенные фа­
зы, все еще можно использовать соотношение (7.92), но следует положить
rn2 =E(cosЛ01); μ2=!-т2 ; а=Ь=О и d/c1=E(cos 2 Лr01)+2E(cos.Лi01cosЛ81+1)­
-ЗE2 (cos Л01), где Л01=81-81+1, а 01 обозначает фазу импульса на интервале
lT,~ t~ (l+l)T8 •


Глава 8
СИНХРОНИЗАUИЯ НЕСУЩЕЙ МЕТОДОМ
МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ
8.1. Введение
Предыдущая глава была посвящена исследованию ме­
тодов установления синхронизации символов непосредственно по
принимаемому сообщению. В этой главе будет показано, что неко­
торые из этих методов применимы в равной мере I< задаче полу­
чения опорной несущей (или поднесущей) из модулированной не­
сущей. Так как фаза несущей будет неизбежно меняться во време­
ни, то задача состоит не в проверке гипотез относительно фазы, а
в отслеживанич периодичес1,ого сигнала, и здесь подходят мето­
ды, использованные в гл. 5.
Задача выделения опорной несущей из информационных сиг­
налов, когда спектр модулированной несущей содержит дискрет­
ную компоненту на частоте несущей, уже была рассмотрена в гл . 6.
Необходимо лишь определить отношение мощности компоненты
несущей к спектральной плотности шума в этом частотном диапа­
зоне, для того чтобы оценить точность, с которой может быть от­
слежена несущая. Поэтому в этой главе будут рассматриваться
только каналы передачи информации, которые не имеют дискрет­
ной частотной компоненты несущей, или, по крайней мере, мощ­
ность такой компоненты не достаточна, чтобы ее можно было от­
следить сколь-нибудь надежно.
В первых нескольких параграфах этой главы в предположении ,
что известна символьная синхронизация, рассматриваются и ана­
лизируются уст,ройст,ва отслеживан:ия несущей для 1раэл,ичных ти­
пов модуляции . Так как символьная синхронизация должна быть
установлена до того, как начинается демодуляция, и так как несу ­
щая отслеживается во всех режимах передачи, то это предположе­
ние полностью оправдано. В режиме входа в синхронизм символь­
ная синхронизация может быть, а может и не быть достигнута до
входа в синхронизм несущей. (Она могла бы быть установлена,
например, путем использования одного из фазовонекогерентных
методов гл. 7.) Если ее нет, то методы, развитые здесь, все же
продолжают работать, хотя и с меньшей эффективностью. В после­
дующих парагоафах это предположение о первоначальной сим-
вольной синхронизации будет снято.
.
Здесь рассматривается следующая проблема. Прини'маемый
сигнал y(i) имеет вид Y1(t) = Xj (t-т, Фо) +n(t); т+lТ.<.t<т+ (l+
+1)Т8;l=..., -1,О,1,2, ...;j1=1,2, ..., п, где n(t)- белыйгаус­
со·вский :шум; Фа обоз,начает фазу несущей, а ,:- метка символа,
которая вначале нредполагается известной. (Поэтому без потери
234


общности положим т=О.) Задача состоит в том, чтобы отследить
фа зу несущей Ф0 Подход, который развивается здесь, аналогичен
том у, который был использован в § 5.4 и 7.6, а именно, использует­
ся обратная свя31, для того, чтобы найти решение взвешенной
суммы уравнений правдоподобия
д loge р[yz (t)IФ]
дФ
где
(
•,i
! о+.\1; т5
Р[у1(!)1Ф] =К ~ехр )0 lTs [2У(t)Х1(t, Ф)-
~<) (1, Ф)]dlj P(j)).
(8.1)
(8 .2
(Это последнее равенство следует непосредственно из аналогич­
ных результатов § 7.2 .) Получающееся устройство называется син­
хронизатором максималь,н,ого правдоподобия для синхронизации
несущей. Это устройство оптимально в том же смысле, в котором
си стема ФАПЧ была оптимальной для отслеживания немодулиро­
ванной несущей.
Принимая этот подход максимального правдоподобия, мы, ко­
нечно, игнорируем любую информацию относительно фазы несу­
щей, которая можЕ:т быть получена с помощью предполагаемой
си мвольной синхронизации. Это может быть оправдано либо тогда,
ко гда фазы несущей и метки символа фактически независимы, ли­
б о тогда, когда ширина спектра сигнала мала по сравнению с его
центральной частотой. В последнем случае опорную синхрониза­
цию можно было бы рассматривать как точную с точки зрения от­
счета символо;з, но все же она довольно груба, если ее точность
с равнивать с периодом несущей . Если ни один из этих случаев не
имеет места, то фактически несущая отсутствует, но ее можно рас­
сма тривать как составную часть сигнала, соответствующего сим­
вол ам, и применять методы гл . 7.
8.2 . Синхронизация АИМ несущей
Если принимаемый сигнал имеет вид 1): y1(t) = V2 Х
XA x1sin(шct+Фo) +n(t); lTs<t<(l + I)Ts (где Xz обозначает ин­
формацию, n(t) -- белый шум, имеющий одностороннюю спек-
1) Огибающ~1е импульсов здесь предполагаются прямоугольными . Однако
11 х действительный вид не будет влиять на результаты, которые излагаются ни­
же, е сли ширина спектра получающегося сигнала будет мала по сравнению с его
uе нтральной частотой. Изменения, которые требуется внести в устройства отсле­
живани я для того,, чтобы они были пригодны для работы с непрямоугольными
11мпульсами, очевидны . (Прил~. авт . ).
235


тральную шютiюсть No, и Ф0 - фазу несущей), то можно посту­
пить так же, как в § 7.3, и показать, что хорошим приближением
для функции p[yz(t) IФ] служит
R.a 2 (Ф)
Р[У1(t)1Ф]=Ке 1 ,
(8 .3)
(l+I) Т5
где а1(Ф)=
-
1-
1 у (t) -V2sin (fficf + Ф) dt.
ATs J
IT5
(Напомним, что равенство (8.3) является точным, когда а мплиту­
ды АИМ импу,JJьсов имеют гауссовское распределение, и . кроме
того, является разумной аппроксимаuией для всех от ношений
сигнал/шум R=AZТs/N0 в случае других распределений. ) Исполь­
зуя (8.3), получаем
(1+1) Т 5
дlogeр[yz(t)1Ф]
дФ
2R
.\ у (t) -V2sin (ffic t +
lTS
(l+I) Т5
+Ф)dt .f y(t)l/2cos(ffict+Ф)dt.
(8.4)
IT5
Для анализ::~ хграктеристики получающегося устройства отсле­
живания несущей (рис. 8.1) положим, что Y1(t) = -V2Ax1X
Рис. 8.1. Структурн ая схема
синхронизатора АИМ несущей:
1 - согласованный
фильтр; 2 -
1<вадратичное устрой ство: 3-фильтр
ФАПЧ; 4 - генератор сигнала; 5 -
ГУН
Xsin i[ffict+Фo(t)]+n(t) - принимаемый сигнал и что z(t) = V2x
Xsin'[fficf+Ф 1 (.t)]-выxoд ГУН. ТО1rда ;входом фильтра ФАПЧ ,на
интервале (l+1)Ts<t<(l+2)Ts будет
[АТ5Х1 sin Фе(/)+ n1 (l)] [АТ5х1 cos Фе (l) + п2 (l)] =
-
1 А2Т~ х7 sin 2Фе ([)+
2
+ АТ5х1sinФе(l)n2 (l) + AT5Xz cosФе(l)n1(l) + n1 (l)п2(l),
(8.5) .
где фаза Фе([) =Ф 1 (t)-Фо(t); lTs<t<(l+ 1)Ts предполагается по­
стоянной на каждом Тв-секундном интервале и где
(l--J -1) Т5
n1 (l) = J n(t)Y2cos[ffict+Ф1 (t)Jdt;
lT5
(1+1) Т5
n2(l) = J п(t)-v:lsin[ffict +Ф1(t)]di.
(8.6)
lT5
236


Лишь первый член правой части (8.5) несет 1<акую-то информа­
цию относительно фазы принимаемого сигнала. Остальные члены·
описывают шум . Ес.1и ширина шолосы системы ФАПЧ ,мала ,по
сравнению -с 1/Ts (,и это будет, если, как мы ,пред~полаrали, Ф0 (t) ,и,
следовательно, Ф11 (t) и Фе(t) - медлен.но меняющиеся фующ:ии
времени), то 1вых,о,д ГУН будет 01пределять,ся ,1ввешенной суммой
большаго числа входных л11шульсов. Как .и в § 7.6, ,си гнал на входе
фильтра ФАПЧ может ,быть а~ппро,ксиМ'ирован усреднением 1по х1
лершог-о ·члена ,в 1п,равой 'Части ра,венства (8 .5 ) . Поэтому эффеапив­
лая ам,nлитуда С}!IГ.Нала ра,в'на
d[1
]
А=
-
-
А2Т2 Е (х2) sin 2Ф
=
А2Т2 Е (х2\
еdФ2
s
е
s
/,
е
Фе=О
{8.7)
где предполагается, что Е(х2) ~ Е(х21) не зависит от l (ер. с (5.109Н
Так как шум n(t) на входе устройства предполагается белым,
то шу,мы на вхо1де ф,ильтра ФАПЧ, соответствующие лю:бым ,двум
различным ;и1нтер,валам: lTs<t<(l+I)Ts, и mTs<t<i(m+l)T&.
l=l=m, ,неза ,висимы. А •так ,как
Е[nf(l)]= Е[п~(l)]= N; 1\ и Е[п_1(l)n2(l)J = О,
то автокорреляционная функция шума
!cr2(1- 12.1) 1,: 1& Т •
,:=
п
Ts ;'
___,,
s,
О, 1-r 1> Ts,
где
а~=Е{АТ5х1sinФ,(l)n2(l) +АТ.х1cosФе(l)n1 ([) +
+ п1(l)п2(l)}2= А2Т_;Е(х2)N; Ts+ (;)2Т;.
Таким образом,
S"(w) - о;}(1~ 1;,i)_-;ro,dт~" oSТ,( •'J:)2
•
~
2
(8.8)
(8.9)
(8.1 J➔
Как и в случае обычной системы ФАПЧ, схема устройства от­
слеживания, изображенная на рис. 8.1, теперь хорошо аппрокси­
мируется при малых ошибках отслеживания линейной схемой, из0-
браженной на рис. 8.2. Ширина полосы шума n'(t) порядка 1/Ts, н
так .как ширина полосы сист-емы ФАПЧ ш1редnолагается малой п@
сра внению с этой величиной, шум, по существу, является белым с
двусторонней спектральной плотностью Sn (О) = а2пТ8• Таким обра­
зо м, эдесь снова применимы результаты § 5.6. Дисперсия фазовой
ошибки, обусловленная шумом на входе, равна
а~~ 2S11 (О) BLJA; ,= BL Т5 ( 1/R' + l/2R'2),
(8.12)
23:l


где R'=А2Е(х2)Тs/Nо-отношение средней энергии сигнала к спеr<­
тра:rьной плотности аддитивного шума, а BL - ширина полосы шу­
ма эк1вивалентной системы ФАПЧ, :изображенной iНа рис. 8.2.
H(s)
Рис. 8.2. Функциональная схема
линейной модели синхронизатора,
изображенного на рис. 8.,1
Следует отметить, что сигнал
на выходе отслеживающего уст­
ройства, изображенного на рис.
8.1, может быть либо в фазе с при­
нимаемой несущей, либо отличать -
,
ся ,по фазе на 180°. Эта неодно­
з.на,чность ·в 180° неизбежна; оче­
видно, что устройство отслежи­
вания несущей не позволяет при
отсутствии абсолютной опорной
несущей различить сигналы Y2Axsin(ffict+Фo) и У2А(-х) Х
Xsin(ffict+Фo+л) Конечно, существует несколько способов раз­
реш ен ия этой неоднозначности. В общем случае либо естественная
избыточность информационной последовательности, либо избыточ­
носп,, преднамеренно вносимая для исправления ошибок синхро­
низации кадров или других целей, будут достаточны для того, что­
бы дать возмолп1ссть получателю различить правильное сообще­
ние и обратное к нему. В любом случае, хотя такие неоднозначно­
сти сразу же вызывают беспокойство, они редко приводят к серьез­
ньвr последствиям.
8.3 . Отслеживание фазы ФТ несущей
Пусть теперь принимаемый сигнал представляет собой
ФТ синусоиду, искаженную шумом Y1(t) = ·v2Asin [ffict+0/ +
+ Фo(t) ]+n (t); !Ts<t< (l+ 1) Ts, где ,0j=2лj/n, j= 1, 2, ..., п - фа­
за, содержащая информацию, а Ф0 (t) - фаза, которая должна
быть отслежена. С первого взгляда может показаться бессмыслен­
но!'~ попытка отслокивать Ф0 (t), когда 0j 1 также случайная вели­
чин а. Однако, если местная опорная фаза абсолютно стабильна, то
Ф0 равна нулю и G.i, может принимать лишь одно из п точно из-
вестllЫХ значений. Нестабильность опорной фазы вызывает расхо­
ждение между значениями, которые, по предположению, могут
принимать фазы 0,; 1, и значениями, которые они фактически при­
нимают. Друrи\Ш словами, Ф 0 (t) приводит просто к смещению на­
блюдаемых фаз. Если Ф0 (t) медленно меняется со временем , ос­
таваясь приближенно постоянной на ряде Т8 -секундных интерва­
лов . то это сме ще ние , по - видимому, можесг быть отслежено.
Функция p[y;(t) IФ] может быть здесь выражена в виде (ер . с
§ 7.4)
п
р[Yz (t) 1ФJ = !S___ ~ехр{2R[а1(Ф)cos ~j +Ь1(Ф)sin01]},
п 1,J
i=l
238
(8.13)


где
а1(Ф)1 1 (1+~ тs
-1siп(rocf + Ф)]
=
-
1 у(t)V2
dt.
Ь
АТ, ,
,,. (Ф)
•
1т
cos(roct+Ф)
Оценка максимального правдоподобия величины Ф при заданном
Y1(t), !Ts<t<(l+1)Ts является решением уравнения
дlogeрfY1(t)1Ф]/дФ =О.
( 8.14)
J\
Заметим, однако, что любая величина Ф=Ф, удовлетворяющая
уравнению
п
!!:_ '1 fa1(Ф)cos8j + b1 (Ф)siп8j]n = О,
(8.15)
dФlJ
i=I
также будет решением ур-ния (8.14).
Для того чтобы доказать это утверждение, вначале разложим
экспоненты из (8.13) в степеннь1е ряды, возьмем логарифм полу ­
чающегося выражения и после дифференцирования по Ф получим
_!5__ i, (2R)" dF" (Ф)
п~-v!
dФ
V=O
дlogeр[у1(t)1Ф]
дФ
p(y1 (t)IФ]
(8.16)
п
п
где F"(Ф) = ~[а1(Ф)cos8i +Ь1(Ф)sin8j]" = L[с1(Ф)ei6i + с;(Ф) Х
i=l
f=l
х e-iej]"; с 1 (Ф) ~ fa 1 (Ф)- i Ь 1 (Ф)]/2, а с; (Ф) комплексно-сопряженная
величина. Используя биномиальные разложения для отдельных
слагаемых, меняя порядок суммирования и замечая, что
п
'1eieiμ = {О, μ=1=О(modп);
~
n,μ=O(modn).
;:::;имп( :)jCz(Ф)j"+п[f
1
(v v μ п){fc1 (Ф)]μп + [с;(Ф)уш},
2
μ=l
2
(8.17
где [v/n] обозначает наибольшее целое число, не превосходящее
,,Jn, а биномиальные коэффициенты ( ;·) полагаются равными ну­
лю, если j не является целым числом. Но, как легко проверить,
1с1(Ф)1независиrотФи
:ФF• (Ф) ~ iп':~
1
μ(, :μ п) {[с1(Ф)J'"' - [ с; (Ф)]""}.
(8.18)
239


Эта сумма, очевидно , равна нулю, если сn1 (Ф) =[с*1 (Ф)]n, т. е. если
{d/dФ)Fv (Ф) =0 для v=n. Таким образом , если
(8.19)
v-нечетные
то числитель (8.16) равен нулю, и уравнение правдоподобия удов­
летворяется, что требовалось доказать.
Если на ,интерв.а.r1е lTs<t<.(l+ 1) Ts 1п,ринимается ,сиг:нал y1(t) =
= V2ATssi n(w , t+e,.+Фa)+n(t), то
а1(Ф)= cosФ'+п1; }
(S. 2O)
Ь1(Ф)= sinФ' + n2,
где Ф'=Фа-Ф+0г1 Фе+0, и
п1 ) 1 U+l)тs _(sin(u>ct+Ф))
=
-
1 n(t)"l/ 2
dt.
ATs
.)
n2
IT5
cos (u>c t +Ф)
Таки м образом. с1 (Ф) = (е-iФ'/2) +m1; с*1 (Ф) = (еiФ'/2) +т2, где
т 1 = (n 1-in2)/2; m? =m'''t и
п2
п2
in2 Е{сп1 (Ф)-fс'1 (Ф)]п }=--1 sinnФ' = --
1 sinnФe .
(8 .21)
•
•
2"-
2n-
Из равенства (8.21) следует , что один из корней функции, стоя­
щей в левой ч а стн (8.15), в действительности представля ет собой
несмеще нную оце1шу величины Фа. Кроме того , знак математиче­
ского ожидания этой функции будет положительным, . когд_а оценка
Ф вел ичины Ф0 меньше, чем Фа, и отрицательным, когда Ф превы­
шает Фа при I Фо-Ф 1 ~л/п. В соответствии с этим, если как вход
для ГУН использовать саму эту функцию после соответствующей
фильт р ации, то получающееся в результате устройство будет спо­
с-об1но отслеживать ,фазу .пр,инима,емой ,несущей. Эти системы отсле­
ж ивания ,фазы ФТ .несущей показаны ,на рис. 8.3 для n=2, 3 и 4.
Имеются, конечю , 2п-1 других значений Фе, для которых ма­
тематическое о ж идание (8 . 15) равно нулю . Математическое ожи­
да ние второй про изводной этого уравнения отрицательно для п- 1
и з его решений ; они опред ел яют все п возможных точек захвата.
То .же самое ~буд ет , есл и ·и опользуется ,формула оценки .максималь­
ного правдоподоби я, поскольку, как уже было показано, любое ре ­
шение (8.15) я вл?ется также решением уравнения максимального
п р авдоподобия. Н а самом дел е эта п-кратная неопределенность ,
о чевидно, являетсн неизбежной, если несущую нужно выделить не­
п оср едственно и з модул ированного сигнала 1J.
1) Сюда в ра в ной мере относятся те заме чания, которые были сделащ,r от­
носителы-rо ан алогнч1-10!"1 з адачи в предыдущем п а раграф е. Имеется еще другой
ме тод решения это й зад ачи для дискретных систем; он состоит в ра з ностном •
код ировании информацrш , т. е. в пр едставл ен ии информации в виде изменений
между сосед ни ми снмпопа:ми, а не с помощью самих символов (ер. с § I2.б) .
(Приu. авт.) .
240


Эти цепи отслеживания несущей: являются подоптимаЛЬI-!ЫМИ
только вследствие того, что математические ожидания произ в од­
ных в ур-ниях (~ . 1 4) и (8.15) не обязательно равны. Поэтому
а)
!J(i)
2
J
1/
2
2
J
!;
2
2
1/
2
Рис. !3 .3 . Структурные схемы синхронизаторов
ФТ несущей:
а) бифазный случай; 6) трехфазный случай :
в) четырехфазный случай
1 - согласованный фильтр; 2 - выборка и запо:мнна-
1ше; 3- ГУI-1; 4- фильтр ФАПЧ; 5- поворот фазы IIа
90°: б - нозведенне н J<вадрат; 7 - nозвсде11ие n I<уб
действ и те.;~ьная оценка максимального правдоподобия могла бы
иметь меньшую дис п ерсию. Тем не менее , когда отношение сиг­
нал / ш ум R=A 2 T,Лv 0 мало, разложение в (8.16) хорошо аппрокси ­
миру ется с по мощью лишь первого ненулевого члена. В этом слу ­
чае о бе ф ормулы оценок, по существу, тождественны . Поэтому
формула оценки, основанная на функции из (8.15), асимптотиче­
с 1ш о птим альна при R-+O. Более того, как будет показано , та же
с амая фо рмула оценки оптимальна также в другом крайнем слу ­
чае, когда R-"roo.
Ан али з ха,рактеристик этих систем ,проводится так же, как ,с,о­
о тветс тву ющий анализ с·истемы отслеж.ива1-1,ия ФТ несущей . Дие­
п е рси я фаэы в случае, когда ширина ·полосы шума эюви1Валентной
с н·сте~1 ы ФАПЧ BL ~н1ла ,по с,ра.вненюо с 1/ Ts,
о~ = 2о;, BL Т5/А~,
(8 .22)
где и;, = - п4 [Е{ с7 (Ф)-[с;(Ф)]"} 2 - Е2 { с7 (Ф)- [ с; (Ф)]п}] -- дис-
241


персия сигнала на входе фильтра цепи и где А1 - эффективная
амплитуда сигнала. После некоторых преобразований можно пр и­
вести дисперсию шума а2п к виду
n
а2 =~ ~( п )2k'-1
n
22n-З /,J k
•Rk•
(8.23)
k=l
Из ф-лы (8.21) получаем также, что эффективная амплитуда
сигнала
-
__!!_f~ • }
-
__!::_
Ае-
l n-1 SШnфе
-
п-1 •
dФе 2
Фе =0
2
Таким образом,
n
а2=вLТs~(п)2k!_1_
.
Ф
п2/,Jk
Rk
k=l
Когда R велико, получаем
о~~ N0BL/A2.
(8.24)
(8.25)
(8.26)
Так как это выражение представляет собой дисперсию фазы в от­
сутствие какой-либо модуляции, то, очевидно, дисперсия представ­
,1яет с•обой •ОIПтималытую характерист,и,ку, вообще достижимую на
1<аком-либо устройстве отслеживания фазы несущей. Это подтвер­
ждает, что о,пи,санные системы асимлтот,ичес1к.и оптималыны ,при
R-+oo. Они также оптимальны, когда R мало (если и BL доста­
точно мало), и в этом случае
2
ВТп!1
а~
--
Ф
Lsп2Rn
(8.27)
Очевидно, что таки·е системы rп,ре,дст,авляют тт:ра.ктический инте­
рес только для малых з.начений п, если R .не является относитель­
но большим.
8.4 . Отслеживание фазы несущей при большом
отношении сигнал/шум
Хотя только что 1рассм·отренные системы ,отслежи.вания
асим1птот.ичес1<;и оптимальны R-+oo, сущест,вуют уст,ройства, .кото­
рые. могут 1в нек,оторых случаях иметь лучшую ха,ра·ктеристику,
когда R велико, но конечно. Один из методов улучшения харак­
теристик состоит n использовании аналога (7.4) как функции, на
основании которой строится решение, т. е. в использовании функ­
ции
max ехр (-1 (l+r т\2у (t) Xj (t, Ф)-х; (t, Ф)] dtj .
(8 .28)
1
NoJ
/Т5
242


Этот метод, который называется обратной связью от решающе­
го устройства, заключается в определении вначале наиболее прав­
доподобного символа и последующей попытки оценить или уточ­
нить оценку фазы несущей.
В качестве примера рассмотрим еще раз ФТ систему из преды­
дущего параграфа. Если R велико и jz является значением j, мак­
симизирующим (8.28), то
(1+1) Т5
JУ(t).V2COS(ffict+0j1+Ф)dt.
(8.29)
lT5
Это соотношение приводит к схеме устройства (рис. 8.4), кото­
рое отличается от обычной системы ФАПЧ лишь наличием фазо-
вращателя, управляемого выхо- ;rt)
жка на Ts секунд необходима в
3
".
.
силу того, что нужно принять весь
символ прежде, чем вынести ре-
дом приемника символов. Задер- ~
11
2
__
xJ-x
1
шение относительно его фазы. За-
________.
тем это решение используется для Рис. S.4 . Структур,ная схема синхро­
изменения выхода ГУН так, что- низатора ФТ несущей с обратной
бы сформировать функцию, опре- связью от решающего устройства:
деляемую ф-лой (8.29). (Интегра- 1-приеш,ик символов: 2-задержка
""
б
Т5, с; 3- ГУН; 4- фильтр ФАПЧ; 5-
тор может ыть исключен, так фазовращатель
1<ак он ни на что в действитель-
1-юсти .не ·влияет, если, как 1пред1полагалось, ширина ~полосы систе­
:-,rы :ФАПЧ Вт" мала по сравнению с 1/Ts.)
Если приемник символов всегда принимает правильное реше­
ние, то характер~ктика этого устройства совпадает с характеристи-
1,ой системы ФАПЧ, имеющей тот же входной сигнал (но с немо­
;\улированной фазой) и имеющей тот же фильтр ФАПЧ. Влияние
1Iеправильного решения относительно символов состоит в сниже­
нии мощности сип-1ала на входе и в увеличении мощности шума.
Предположим, что принимаемый сигнал имеет вид y1(t) = V 2А Х
Xsin(ыct+0,.+Фo) и что прле:vншк выбирает фазы 08 . Тогда обус­
ловленная сип1а ;юм низкочастотная компонента на входе фильтра
ФАЛЧ в течение следуюших Ts секунд будет равна
(8.30
где Фе=Ф 0-Ф; Ф - текущая фаза ГУН и 0c=0,--0s. Первое сла­
гаемое здесь является желаемым сигналом, амплитуда которого
уме.нь:шена в cos 0е раз; вто-р-ое сла1гаемое характеризует шум. Лег­
ко показать, что этот шум будет некоррелирован с аддитивным
шумом
(8.31)
Рассматривая коррелятор с наибольшим выходом, отметим, что
на этот выход р ' приемнике символов шум влияет лишь через по-
243


средство члена • -v2n(t)sin(шcf+0s+ Ф ), который не зависит от
n1(t) . Выходы других корреляторов, конечно, не являются неза ви­
симыми от n 1(t), но вклад этих выходов, обусловленны й n1(t), мо­
жет с равной вероятностью принимать любой знак так , что р езуль­
тат не изменяется . Более того , некоррелированными также я вл яют­
ся импульсы шума Asiп Hecos Фе, соответствующие лю бмм двум
различным интервалам символов . Та:<им образом, когда BL << 1/ Ts,
этот шум добааляет лишь 1<оэффициент
a2Ts
(8.32)
к низкочастотной спектральной плотности шума, rде и2 =
= А 2Е { sinZ0ecos2Фe} ~ А 2Е { siп2;0e}.
Так как средняя амплитуда сигнала уменьшается в Е ( cos 0е )
раз, то дисперсия фазовой ошибки на выходе ГУН при бли женно
равна
(8.33)
Самой распространенной ошибкой при больших о тно ше ниях
сигнал/шум R явлпется выбор фазы, ближайшей к правш1 ъ но й фа­
зе. Таким образом, для п-фазовой ФТ \0е [ =2:л/п с боль шой веро­
ятностыо и
Е2(cos0е):,:::;[1- (1- cos 2:)PeJ2 ;
Е(sin2 0е) ~(sin2 2: )Р:,
где Ре - вероятность ошибки в символе.
(8.31)
Тот же метод 11рименим так же, когда для модуляци и исполь­
зуется ортогональная ЧТ или ВИМ . Фазовращатель на р ис . 8.4
должен быть заменен устройством сдвига частоты или строб ирую­
щим устройством соответственно . Так как сигналы ортогон альны,
то при ошибоч~юм решении относительно символа шум будет оста­
ваться неизменным, а сигнал полностью устраняется . Та к и м обра­
зом, д.1юперсия фазовой ошибки такой системы
(8.35)
где опять Ре - вероятность ошибки в символе. Это, коне чно, пред­
полагает наличие близкой к идеальной символьной синхр ониз ации,
позволяющей устранить символьную модуляцию до того , ка к сиг­
нал ~посту.пит на ·вход фильтра ФАПЧ .
Одним из возможных недостатков описанного метода я вл яетс я
требование задержки на Т, секунд . Если выход приемни ка с имво­
лов можно использовать для получения оценки текущего н аи более
вероятного принимаемого символа в каждый момент времен и, то
эту задержку •ложно вообще исключить . В случае двоич н ой ФТ,
например, оценка максимального правдоподобия символа , п рини-
244


маемого в любой момент времени t, описывается з наком вы хода
коррелятора в момент t, т. е. функцией
t
s (t)~sgn Jу(t)V2sin(ffict+Ф)dt; !Т5< t<(l+1)7\.
(8 .36)
1Т5
Таким образом, когда используемым типом модуляции я вля ется
двоичная ФТ, задержку в устройстве, изображенном на ри с. 8.4 ,
мож но устранить, а фазовращатель заменить на умножител ь, име­
ющий в качестве одного входа выход ГУН, а в качестве д ру гого
входа - функцию s(t).
Очевидно, что это модифицированное устройство будет хуже
устройства, имеющего задержку, так как начальные оцен ки s (t}
будут неверными с вероятностью, близкой к 1/2. Дисперси я фазы
в обоих случаях будет задаваться ф -л ой (8 .33) при E(si112.0 e) =0,
Е 2 (cos ·0e) = ( 1-2Рс) 2 . Для цепи с задержкой Р0 обозначает вероят­
ность ошибки в символе . Для модифицированной цепи Р 0 о б озна­
чает процент времени, когда s(t) имеет неправильный зна к, т. е.
Тs
[2R (I/Ts)]l/2
1
11('
.\·
е-х' 12 dxdt ===
Ро=2-т";У2лJ
о
о
(2R) 1/2
=
2 -V~л j' (1- ;;)e-x'12dx = +-+(1- 2
~
)erf (R112)-
o
1
-R
(8.37)
2лI12 R112 е
Следовательно,
(1 -' 2Ро)2 = [(1 - 2~) erf (Rl/2) + Rl/21л l /2 е-lт::::::;
~! 1, R»1;
~
.!.о.R R« 1
(8.38)
9л'
-
и
I
BLTS-1
, R»1;
a;z,::::::; BL Ts {R (1 ~ 2Ро)2}::::::; 9л В TR _1_
R~1.
•
16 LsR2'
(8.39)
Для цепи отслеживания с задержкой при двоичной ФТ имеем
(2R) 1/2
р= _1
-
_1_ s e-x'/2dx = _21 (1-erf RI/2)
е2
J/ 2л
(8.40)
u
и
\
BLTs-
1,
R» 1;
{1
•
R
а2 ~·в Т ----} ,,.._,
Ф~L s R(l- 2Ре)2
~
л
1
·
-ВТ- R//J
4LsR2'
"-"-
•
(8.41)
245


Оба эти выходl, не учитывают эффекты второго порядка, кото­
рые в действительности приводят к более быстрому ухудшению
х.арактеристики спстемы при уменьшении отношения сигнал/шум
R. При определении Ро и Ре считалось, что опорная несущая точно
известна . Однако при уменьшении R опорная фаза несущей будет
становиться все менее и менее точной, приводя тем самым к умень­
шению эффективного отношения сигнал/шум на входе и, следова­
тельно, к дальнейшему увеличению Ре и Ро. Тем не менее, если
,<Ji достаточно мала, то этот эффект будет фактически оставаться
пренебрежимо малым, и приближенные выражения (8.39) и (8.41)
будут давать близкие к истинным характеристики этих систем .
8.5. Система Костаса и квадратичная система
Все методы отслеживания фазы в предыдущих парагра­
фах предполагали предварительное установление символьной син ­
хронизации. Эта операция в действительности не столь существен­
н а для ха,ра,ктеристики системы огсяежи1Вания. В хуlдшем случае,
котща сим,вольная синх,р·он.изация имеет ,ошибку в Ts/2 секунд, сред­
няя а,млЛ'итуда сип~ала на ,входе фильтра системы уменьшается
л ишь в два раза, ,на.пример, для ФТ 1и АИМ (когда раапределен,ие
амплиту,ды символа симметрич,но относительно нуля). Поэтому
дисш,ерсия фазов-ой ошнб1ш у,величивается самое tболь~шое ,в четыре
раза ,при отсутс"Гв.и:и с·им•во лыrой синх,ронизации .
В этом параграфе, однако, будет показано, что можно получить
даже меньшее ухудшение характеристики, когда символьная син ­
хронизация не осуществлена, если устройство отслеживания стро ­
ится без предположения о наличии этой информации. Метод состо-
1п лр,осто в заие.не интеграто,р,ов .в системе фильтрами нижних ча­
с т о т. Так как лишь для этих интеграторов требуегся си.м,вольная
!J(t )=f2A(t)sin(1Jct +-Ф,JО +n(t )
H(i1,J)
2
синхронизация, то измененная си-
стема буд·ет абсолютно .незав,иси­
мой ·от этой инфор-мации . Хотя
тот же ,п одход может быть ис­
;пользо·ван для ~всех систем из
§ 8.3, ,ниже о:r:ра.ничимся лишь ои-
Н(i,,;)
стемам:и для АИМ ,и двоичной ФТ.
р85с
Эти д,ве системы ·иде:нт.ичны и
нс. . . труктурная схема цепи
Костаса:
имеют ,вид, изо-браженный .на рис .
1 - ГУН; 2 - фи л ьтр ФЛПЧ; 3 - по n о- 8.5, КОrГДа ИНТеГратОрЫ ЗаМ•еНеJНЫ
рот фазы на 90°
ф
Э
.про.изволь.ными , ильтра,ми.
то
устройство часто называется систел10й Костаса. :Эта система может
быть исследована методом, который во многих чертах совпадает с
использованным для обычной системы ФАПЧ. Пусть принимаемый
сигнqл имеет вид y(t) = Y2A(t)sinl[wct+Ф0 (t)] +n (t). Тогда сиг­
нал на выходе верхнего фильтра (рис. 8.5) может быть записан в
виде A 1 (t)sinФe (t)+n1 (t), где A 1(t) - результат фильтрации A(t),
Фе(t) =Фо(t)-Ф 1 (t) и где n 1 (t) - профильтрованное произведение
'24€


n(t) V2"cos[wct+Ф1(t)]. Аналосично сигнал на выходе нижнего
фильтра имеет вид A 1(t)cos Фе(t) +n2(t), где n2(t) - профильтро­
ванное произведение n(t) V2sini[wct+Ф1 (t)]. Если эти фильтры
ши,ро·ко1пол-осны ,по отношению к ,ширине 1поло.сы си·стемы BL {w
так как ширина ,nолосы фильтр,ов будет 1по,рядка 1/Ts, вто ,пр е;щю ­
ложение совладает со сделанным ,в ,предыдущем .па,ра~г,рафе), то
результаты § ,5.5 применены здесь в р.авной мере. В •част,ности.
отождес"Гвляя V 2п1 (t) с п' (t) из (5. ,53) и V2ni(t) с n",(t) из того
же самого равенства, получаем, что n1(t) и n2(t) - независи-мые
совместно гауссовские .процессы и с точки зрения осталыной части
цепи, по сущест·:.1у, белые. (То есть Е {n1(t)n1(t+т)} =Е {n2(t)n2(t+
+т)}::::::: О для . -~ l/B11 , где В 11 обозначает ширину полосы шума
каждого из фи.1ьтров.) Более того, так как Фе(t) - медленно ме­
няющаяся функция времени (т . е. так как ширина полосы uепи
мала), то n1(t2) , по существу, не зависит от Фе(t1 +.- ) и, следова­
тельно, также от А 1 (t1 +т) при t 1 ~t2 и.-~ 1/Вт, {и аналогично для
n2(t2); см. ·§ 5.5]. Таким образом, находим, например, что
Е{n1(t)n1(t+ т)А1(t)sinФе(t)А1(t + .-) sinФе(t + .-)} :::::::
fЕ{n1(t)п1(t+ т)}Е{А1(t)А1(t+ .-)sin2Ф2(t}}, .- « 1/BL;
::::::; 1 E{n1 (t)A1 (t)sinФe(t)A1 (t +1:)sinФe(t +т)}E[n1 (t+.-)J =0:.-2?1/Вп
и если B 11 ~BL, то имеем
Е{n1(t)n1(t + т)А1(t)sinФ;(t)А1(t + .-) sinФе(t + т)}:::::::
::::::: Rп, (.-) Е {А1(t)А1(t + .-) sin2 Ф, (t)}
дл я всех.-.
(8.42}
Используя (8.43) и аналогичные аппроксимации для других
математических ожиданий того же самого вида, приходим к сле ­
дующим выводам:
l) Сигнал A21(f)sin Фe(t)cos Фе(t) = J__A 21(t)sin 2Фе(t) на выхо-
2
де фильт.ра ФАПЧ не коррел.ирован с шумом n'(t) =ni(t)A2(t) Х
Xcos Фе(!) +n2(t)A2(t)sin Фе(t) +n1(t)n2(t) на этом входе.
2) Автокорреляционная функция шума R,i' (,;) может быть вы­
ражена в виде
Rn' (т) = R"i (.-) Rл, (т) + R;. (•},
(8.44}
'
где R,1. (,;) =Rn, (.- } =Rn, (. - ) и, конечно, Rл, (. - ) =E{A1(t)A1(t+. - )} .
На~онец, опять-таки, из-за того, что BL<< 1/Ts, амплитуда сиг­
нала на ,входе фильтра ФАПЧ может 'быть а,п1проксим.и,рова•на сред­
ним значением, ЮiК в § 8.2 . В соответствии с этим, если Фе(t) ос­
тается :малой, система ·отсл,ежива.ния (см. ,рис. 8.5) .хорошо а1п.прок­
сими,руется ,обыч~:iой линейной .моделью системы ФАПЧ (ер. с
рис. 8.2), ,входом ,которой я·вляется функция Фо(t) + n'(t)/ЩA 2 1(t)).
247 '


Поэтому диоперсия фазовой ошибки, ,обусло,вленной .а,щдит.и.вным
шумом, п~р:и,блн же;юю равна
а2- 2BLSn,(0)
( 8.45)
Ф- Е2 [A~(t)] '
где BL - ширина полосы шума линейной модели цепи; из (8.44)
получаем
СО
00
00
Sп,(0) = SRп,(1:)d1:= SSл,(f)Sп;(-f)df+ SSn1 (f)Sп;(-f)df.
-оо
(8.46)
Но
00
А1(t) = Sh(,:) А(t-1:)d1:,
(8.47)
о
где 1'1(t) - импульсный отклик фильтров, стоящих перед умНО)КИ­
телем. Следовательно, если Sл(f) - спеI<'rральная плотность про­
цесса A(t), то
00
E[A;(t)] = 5Sл(f) \ H(i2nf)\2 df.
(8.48)
Аналогично , когда n(t) - белый шум с односторонней спект­
ральной ПЛОТНО1..'ТЫО No, то
(8.49)
00
00
Sп' (О)= N; sS_д.(f)\H(i2nf)\4df+(;)2 s\!f (i 2nf) 14df.
(8 .50)
-00
-00
Таким образом ,
с"';',
Nsco
•
б;, ~ N,А 1_-_Joo_s_л_<f_)_1н_(i_2 _:rt_f_) _l
4
- df_+_;___oo_lн_(i_2_:rt_f_)'_
4
_d'-1
l [J00 SA (f)IH(i2:rtf) ]2 df J
J
(8.51)
Считается, ,чт о о,птимаш,1ный фильтр H(iw) - это фильтр, кото­
рый мин имизи рует cr1 - Но минимизация cr~ эквивалентна мини­
мизации числителя в (8.51) при условии, что знаменатель остается
постоянным или, что более удобно, остается постоянным корень
квадратный из зшiменателя. Таким образом, требуется найти ча­
стотную характеристику Н (iw), которая минимизирует выражение
248


00
5{[Sл(f)+N0/2]\Н(i2nf)14 - i.SA(f)\Н(i2nf)]2} df=
-ао
= s"' {[SA(f)+No/2][1H(i2nf)\2 -
лSA(f) j2
-
2[SA(f)+(N0/2)]
-ао
(8.52)
Этот интеграл, очевидно, достигает своего минимального значения,
когда
\Н(i2л:f)\2 =
(л/2) SA (f)
(8.53)
SA (f) + (No/2)
Это и есть частотная характеристика оптимального фильтра.
Так как (8.53) явдяется условием, относящимся лишь к \H(iffi) /2 ,
то Н (i,ffi) может, очевидно, описывать физически реализуемый
фильтр. Постояннгя л/2 произвольна, так как она не влияет на
отношение (8.51). Когда Н (iffi) определяется согласно (8.53), это
отношение будет равно
NoBL
oz = --- ------
Ф
J<»,
s~ (f)
df
SA (f) + (No/2)
-оо
(8. 54)
Для АИМ или двоичной ФТ с прямоуголь ными импульсами
спектр процесса А ( t) имеет вид
S (f)=PT (sinnfTs)2
(8.55)
А
ss
n fTs
'
где Ps - средняя мощность принимаемого сигнала. Хотя общее
выражение для о~ довольно громоздко, если спектр SA(,f) задает-
ся равенством (8.55), легко найти его асимптотические выражения
при больших и малых отношениях сигнал/шум . Если No/2<:f:.SA(if)
(для всех f, для которых вклад Sл (t) в общую энергию сигнала
является существенным), то
о~;:::::; N0BL/Ps = BL Ts/R,
(8.56)
где R=PsTs/N0. Это выражение (между прочим, не зависящее от
спектра сигнала) описывает дисперсию фазы, которая имела бы
место в отсутствие какой-либо модуляции. В другом крайнем слу­
чае, когда No/2~Sл(f) для всех f, имеем
02 ,.._.,
N~ BL
3N6 BL
3 BLTS
(8.57)
-
--
•
ф,.._.,
00
4P~Ts
4R2
2
5S~ (f)df
-00
249


Дисперсия Фазовой ошибки, которая получается при использо ­
вании систем предьщуще,го па,ра1графа для АИМ и двоичной ФТ,
как 6ыло ,по.каза1ю, равна
id~ = BL 1' 5 (1/R+ 1/2R2).
(8 .58)
Таким образом . когда R велико, хорактср 1 1сп11щ в :Jrrrx :Р 1ух
случаях почти сов н адают; когда R мало, :шс п ерсI1п c: 1c 101Lr Кос­
та-са больше в 3/2 ,раза. В качестве ,последнего сравнения оценим
чу1оствительность системы к неолт.имальному выбору фильтра
Н ( i•ffi); mреД1положи•м, ,что выб1рали
!1,
Н(i2nf)=
О,
1
lfl < Ts;
lfl>)s -
(8.59)
l/T5
т
рт 1 (sin~fTs)2df~Ps,
-огда,таккак ss \ ---
,_
то
.
nfTs
-I/T5
cr2 ~ BLNo(Ps+No/Ts) =ВТ(_!_+
_1_)
.
Ф
Р;
Ls'R
R2
(8.60)
Можно получить интересное видоизменение этого метода Костаса
для отслежива,ния фазы. Пусть y(t) будет ,входом системы Ко·ста ­
са и ,пусть h(,t) обозначает им.пулы,ный отклик каждо:го ,из v1.вух
фильтр-о·в, стоящих ~перед ум.ножителями. Тогда ~выход ,верхне1го
фильтра
00
JУ(т)V2cos[fficт+Ф1(,;)Jh(t- т)dт.
(8.61)
-со
Но так как этот фильтр, по предположению, считается широко ­
-полосным .0~1-юсиl'елыно шир.ины ,полосы системы, то ,Ф1(т) ~Ф(t)
для всех т, для которых значения h(t-т) не являются пренебре­
жимо малыми. Таким образом, выход верхнего фильтра может
быть записан в виде
(]~у (т) cos ffic't h (t - т) dт) v.2cos [Ф1 (t)J -(_IУ(,;)siпffic't h (t -
-
't) d 't) V2siп[Ф1 (t)J ~ у (t) ·v2cos Ф1 (t) - х (t) V.2sin Ф1 (t). (8.62)
Аналогично выход нижнего фильтра равен
у(t)V2sinФ1(t) +х(t)v2cosфl(t),
(8 .63)
200


так что ,входом фильтра ФАПЧ будет
[У2(t) - Х2(t)Jsin2Ф1(t)+2Х(t)У(t)cos2Ф/(t).
(8.64)
Рассмотрим теперь в момент t квадрат выхода фильтра, имею­
щего импульсн:,rй с,тклик h(t)cos wct:
(j.9(т)h(l~т)cos[oo,(l~,)Jd,)' ~ +[X'(I) + Y'(l)J+
+_l[У2(t)- Х2(t)]cos2ffict+х(t)у(t)sin2wct.
2
(8.65)
Если этот сигнал умножить на 4sin2'[w<:f+Ф 1 (t)], то полученное
низкочастотное ,сла гаемое ~будет задаваться соотношением (8.64).
Таким образом, дру1гой реализацией системы Костаса, ,назы­
ваемой квадратичной цепью, является та, которая изображена на
рис. 8.6. Так как сигналы ошибок в обеих цепях одни и те же, то
Рис. 8.6 . Структурная схема квадра- !/~
1
~
-
5х :-
тичной цепи:
-~
1 - полосовой фильтр; 2- квадратичное
устройство; З - фильтр ФАПЧ; 4 - ГУН;
5 - умножитель на 2
они дают одинаковые О1порные ,несущие . Выбор между этим,и д,ву­
мя устройствами производится исключительно с точки зрения про­
стоты реализации, которая, в свою очередь, зависит от частот и
ширины полос рассматриваемых устройств. То же справедливо,
когда h(t) является характеристикой согласованного фильтра, при
этом h(t)cos wc(f) будет представлять некогерентный согласован­
,ный ,фильтр. Поэто.му олтимальные системы отслеживания :несущей
для АИМ и двоич!-!ой ФТ из § 8.2 и 8.3 также могут быть реализо­
ваны как ква~дратичные систе-мы. Наконец, ,очевид1ным обобщением
Э'!'ого ,рассуждения можно ~показать, чт-о сист-ема отслежива;ния ,не­
сущей для п-ичной ФТ из § 8.3 эквивалентна системе п-й степени.
В ~последней за 1фазовонекогерентным согласо,ва:шным фильт.ром
включается уст,ройство, ,возводящее в п-ю сте1пень, а его выход от­
слеживается -обычной с:истемой ФАПЧ (с умн-ожителем частоты
в п ,раз, .включенным после ГУН).
8.6 . Отслеживание символов, имеющих
«тонкую структуру»
Принци,пиальное отличие диоперсий ,оши'6о·к отслежива­
ния в 1це1пях отслеживания сим~нолов, оюисанных в rгл. 7, от дис.пер­
сий в системах ,отслеживания несущей, рассматри,ваемых ;В этой
главе, с-остоит в то-м, что 1послед1ние от:носит,ельно :независимы от
сим вольных -статИ'стик. Эта неза,нисимость 'Возникала из-за то1го,
что ча,стота несущей п,редполаrгалась большой 1по сра1В1нению с об­
рат ной величиной . лериода с:имвола. Таким образ-ом, каждый сим­
пол состоял из м,ногих ,пе-риодав несущей, ·и .коррелЯ1ция между
251


местной 01порной несущей ,и ~принимаем-ой .несущей, .вообще гово1ря,
не за ,виседа от относите.1ьно :ред1~и.х шереходов символо.в. Системы
отсл е жива1ния символов в !П,ротивополож.ность этому ,иапользовали
част н ч1-ю (или 1попностью, ка,к ·в случае ,прям.оу~гольных им.пуд ьсо,в)
наличие ~переходо в сим1волов ,при формировании си1~нала ошибк1и.
Е сш1 не использовать переходы символов, то преиму щества оче­
видн ы, в о с обенности , когда последовательные символы не явля ­
ются ст атистически независимыми . Для реализации этого преиму­
щес тва следует придать символам «тонкую структуру», подобную
той , которую имеет несущая. В частности, можно допустить , что
v-й си мвол имеет вид x..,(t)u(t), где х.., (t) определяется так же, как
в гл . 3 и 4, и зависит от вида модуляции, а u(t) задает тонкую
стру ктуру . Здесь мы будем предполагать, что сигнал a(t) имеет
период Ts, равный периоду символа. Если бы период a(t) был
мень ше, чем Т,;, T 'J тонкая структура могла бы быть отслежена без
пом о щи однозначЕо устанавливаемой символьной синхронизации,
и вв едение этой структуры потеряло бы во многом свой смысл .
Системы отслеживания , расомотренные ,в § 7.6, в ,равной мере
м ож но исшольэо.вать и тогд а , ~когда символы имеют вид x..,(t) ,a(1t).
Со1глас,01ванные ~фидьтры, конеч:но, должны теперь быть согласо ­
ваны с этими и з мененными символами. Один из методов реа­
лиза ции этой модификации иллюстрируется рис. 8 . 7а для ко ­
герен тн ой АИМ и двоичной ФТ и рис. 8.76 для некогерентной АИМ
и недвоичной ФТ. Так как сигнал умножается на a(t) до того, как
он п роходит чере з блоки, названные «согласованным фильтром»,
то эт и фильтры соi'ласованы с импульсом, который наблюдался бы
в отсутствие тонко й структуры.
Здесь также можно использовать методы анализа характери­
стик систеи, ,ра,звитые в § 7.6 . Дисле:рсия (,в радианах ,в квадрате)
о r uиб ки отслеживания
(8 .66)
гдеА,=-1 1.!!_Е{'(-. +~) -, (-. -
~)}./ и S,,(О)
=
2:п; д 't
2
2
(С=О
лz(Лt• -
лt/2) при Л2(и,t) = Jim -1 var[~(t)-
, (t+и)J [ер. с
Ts
М-+оо М
равенствами (7.74) и (7.84)]. Функция
~(t) обозначает (нормиро ­
ванный) выход ювад,ратичног•о устройства си-стемы (р•ис. 8.7) в мо ­
мент t.
Т ак как цель введения тонкой структуры - сделать сигнал
ошиб к и , по существу, ,неза ,висимым от сим·вольных статис1ик, то
мт1,н о п редположить, что фующия u(t) такова, что эта цель до ­
стип-1у та. В соответствии с этим среднее и дисперсия случайной ве­
личи ны ~(t) определяются так же , как в ·§ 6.6 [равенства (6.74),
(6.7.5 ) при ~.., = r( t =,,ЛT)], и являются функциями лишь отношения
сигнал /шум и ав токорреляционной функции р(-.) процесса u(t) .
252


Чтобы преобразовать равенство (8.66) к более удобному виду,
предположим, что a(t) является псевдошумовой последователь­
ностью с периодом Ts и с длительностью бита ,Лt= Ts/n. Тогда
Те
1- n+I~ 1•1<Лt-
-
п лt,
'
r (,;) = Ja(t)a(t + -r:)dt =
\'t1:;;,, Лt(mod Т5)
о
i5)
!!(i)
п
Рис. 8..7 . Структурные схемы устройств отсле­
живаIшя символов, имеющих тонкую струЕ­
туру:
а) когерентный случай; б) некогерент ный слу­
чай
1 - (. 0ГЛ3совnнныii фнльтр; 2 - 1<вадратич ное устрой­
ство; З - выборка и запоми нани е; 4 - генератор сиг­
на л~: 5 - ГУН; 6 - фильтр ФАПЧ; 7 - 1-1екогер<'нтныii
сог.rт:1сованны ii фильтр; В - 1,ва дрnтнч11ыii детектор
огибающей
и для бОJlЬШИХ п имеем
2 = 2:п:2 (~)
2
(-1 + ..Ео....) В Т
ОФ
Ts
R
R2
Ls,
где
R = {А2Е (х2) Ts! N0 для АИМ [ер. с (8. 12)];
A2TsfN0
для ФТ;
{ 1 для когерентной АИМ и двоичной ФТ;
Со = 2 для некогерентной АИМ и недвоичной ФТ.
(8.67)
(8.68)
253


Эта дисперсия выражена в радианах в квадрате ( 2л рад соответ­
ствуют Ts секундам).
Заметим, что корень квадратный: из среднеквадратической
ошибки отслеживания не только не зависит от символьных стати­
стик [исключение составляет член Е(х2) в случае АИМ], но и про­
п0рционален множителю (Лt/Ts) . Это очевидное преимущество ис­
пользования длинной последовательности полностью сводится , од­
нако, на нет гем, что допустимая ошибка отслеживания умень ­
шается в то же чнсло раз из-за наличия последовательности. Бо­
лее того, так как эффективная амплитуда сигнала Ае увеличивает­
ся, когда добавляется последовательность, ширина полосы цепи
BL также, по-видимому, должна быть увеличена из-за ее присутст­
вия (см.'§ 6 .3). Часто наиболее важным ограничением на длину
последовательности является, однако, ограничение на ширину по ­
лосы; ширина полосы, которая требуется для того, чтобы вместить
модифицированные- символы, увеличивается в Tsf,Л,t раз . Так как
это отношение должно быть разумно большим для того, чтобы
тонкая структура была эффективной:, то вопросы расширения по­
лосы при этом подходе, вообще говоря, приводят к наиболее
серьезным проблемам.
Этот метод введения тонкой структуры в поток символов для
целей синхронизации легко обобщается на случай, когда требуется
синхронизация бо::ее высокого порядка. Если a(t) , например, яв­
ляется псевдошумовой последовательностью с периодом kTs, то
отслеживание это~'1 последовательности в приемнике приводит к
определению одной единственной точки в каждой последователь­
ности k символов. Если отношение Ts/,Лt поддерживается большим ,
то ошибка отслеживания будет по-прежнему приближенно зада­
ваться равенством (8.68). Причина, по которой этот результат яв­
ляется лишь приближенным в рассматриваемом случае, состоит в
том, что теперь фильтры, стоящие перед квадратичными устрой ­
ствами, согласованы только с отрезками полной псевдошумовой
последовательности . Таким образом, сигнал ошибки определяется
не автокорреляционной: функцией: (8.67) (в силу того, что Ts боль­
ше не является периодом ПШ последовательности), а множеством
функций
(1+1) Ts
P1('t') = f a(t)a(t+'t)dt.
(8 .69)
iT5
Однако эти функции частичной автокорреляции описываются все
еще приближенно выражением (8.67) (с соответствующей: норми­
ровкой:), если ,Лt достаточно мало по сравнению с Ts.
Так как дисперсия фазовой ошибки (8.68) не з ависит от сим ­
вольной: модуляции, то это выражение должно быть справедливым
даже в отсутствие какой-либо модуляции. Поэтому оно представ­
ляет собой также фазовую ошибку при отслеживании некогерент ­
ной: псевдошумовой последовательности или, что эквивалентн о, по­
следовательности прямоугольных импульсов длительности Лt (е р.
254


с § 6.6). В последнем случае устройство, производящее выборки в
схем е рис. 8.76, может все же потребоваться , например, если фаза
11есущей, будучи относительно постоянной на любом Лi-секундном
инт е рвале, не остс:ется постоянной в течение Ts секунд. Однако,
е сли фаза несущей, по существу, постоянна на любом Т8 -секундном
и.нтервале (это ,пред,положение неявно 1подразуме.вает-ся , есЛ'И a1('t)
н е равно нулю на всем интервале Ts с~кунд и если принимаемые
с им1волы не модулированы никаким д,р углм ,сигналом) , то устрой­
ство , производящее выборки (рис . 8.76), очевидно, не является
необходимым; выход детектора огибающей представляет собой
нужный вход для цепи отслеживания в любой момент времени.
Отсутствие устройства, производящего выборки, не изменило бы
характеристику отслеживания, если бы не нелинейный элемент,
стоящий перед ним . Наличие этой нелинейности может улучшить
характеристику системы, если нет символьной модуляции , при уст­
р анении устройства, производящего выборки .
Анализ устройства, изображенного на рис . 8.76, в случае, когд а
исключается устропство, производящее выборки, и когда согласо­
в анный фильтр за.мешяе'Гся .на 1произволь.ный, ~проще а•нализа си­
стемы Костаса из § 8.-5 . Произ·водя ОiПе~рации, аналогичные ,о,писа,н­
н ым в этом паоаграфе, можно проверить, что если a(t) является
псевдошумовой: последовательностью с периодом бита Лt, диспер­
с ия фазовой ошибки на выходе этой модифицированной цепи от­
слеживания (когдJ отношение полос до цепи и цепи велико)
и~= 2л2 (~)
2
{_!_+~~5""\N(iffi;14d(JjBLTs.
,Ts
R R2:n:
-00
(8.70)
З десь Н (iffi) - щ:,еобразование Фурье li(t) , а h(t)cos fficf пре д­
ставляет со бой импульсный отклик фильтра , предшествующего
к вадратичному уорой:ству. Если h(t) - прямоугольный: фильтр с
п олосой В= I/2Ta. то дисперсия фазовой ошибки здесь, по-види­
м ому, совпадет с полученной при использовании согласованного
ф ил ьтра, за которым включено устройство, производящее выборки .
Есл и h(t) п редста:sляет собой фильтр, согласованный с прямоуголь­
п ым импульсом длительности Ts, то, устранив устройство , прои з ­
в одящее выборки, получим в действительности небольшое улучш е -
1ше.
Это утверждение, казалось бы , находится в противоречии с ре­
зультатами § 6.6 относительно оптимального фазовонекогерентно -
1·0 синхронизатора. Однако противоречие возникает с моделью фа­
з о в ой ст атистики , приводящей: к указанным результатам , а не с
с а мими результатами. А именно, включение устройства , произво­
д ящего выборки, является следствием того условия , что фаза не­
с уще й Ф(t) постоянна на каждом интервале iTs<f<(i+I)Ts, но
11с н а ·и~нтер,вале Пs+т<t< (i+l) Ts+t для любого т=#=О ,по м0~ду­
.11ю Т.,. Как было указано ранее, эта модель в некотором отношении
sшлнется и;:r,еализ·ир-ованной.
255


8.7 . Заключительные замечания
Самым прямым методом получения необходимой для си­
стемы связи синхронизации является использование трех ( или бо­
лее) отдельны,( каналов: одного для передачи отсчето в врем ени
• (и несущей или поднесущей), одного для синхронизации более вы­
сокого порядка и одного для самой информации. У этого подхода
имеются два недостатка . Первый состоит в том, что эти три кана­
ла должны быть каким - то образом уплотнены, чаще всего по вре­
мени или по частоте. Это не только увеличивает сложност ь систе­
мы, но часто :1риnодит к межканальной интерференции , кот орая
может ухудшить характеристику системы. Второй состоит в том,
что мощность, предназначенная каналам синхронизации, представ­
ляет собой мощнuсть, которая могла бы быть использов ан а для
передачи ~анных, есл.и 1бы :имела:сь .во-зможность уста.но-в ить си1н ­
хронизацию каким-либо другим образом.
В соответствии с этим в последних двух главах были иссл едо­
uаны методы, позволяющие устранить необходимость использова­
ния одного или обоих вспомогательных каналов. В гл. 7 были опи ­
саны и изучены процедуры, дававшие возможност ь пр оизв ести
символьную синхронизацию непосредственно по последов ате льно­
сти принимаемых символов, что позволяет устранить, по крайней
мере, частично необходимость использования одного из ка налов
синхронизации . (Методы установления синхронизации более вы­
сокого порядка, использующuе поток данных, исследуют ся в по­
следующих rла~вах; см . также § 8.6 .) Настоящая глава 1продолж'ила
это направление, в ней рассматривались методы выделени я отсче­
тов времени непосредственно из модулированной несущей.
Не должно удивлять то, что во всех случаях точность , с кото­
р о й синхроинформ,щия мьгла быть определена непосредственно из
модулированно,о сигнала, была меньше, чем в случае использова­
ния отдельных каналов, когда оба канала имеют одну и ту же
мощность сигнала . На самом деле, вероятно, следовало ож идать
более ярко выраженного различия между этими двумя ситуа циями .
Но так как доля мощности, выделенная каналу синхрони за ции, по
возможности должна быть малой, предпочтение может бы ть отда­
но синхронизационным оценкам, получаемым непосредственно из
модулированного сигнала. Однако, чтобы подтвердить эту гипоте­
зу, нужно найти оптимальное распределение мощности между ин­
формационным каналом и каналами синхронизации. Это одна из
проблем, исследованных в гл . 9.
Задачи
8. 1. Получить результат (7 .96), используя метод, приведенный в § 8.2.
8.2. Показать, что система отслеживания для п-ичной ФТ из § 8.3 эквива ­
лентна в условиях, ко'I'орые были введены в § 8.5 при рассмотрении к•вадратич­
ной •системы, системе п-й степени, т. е. системе ФАПЧ, которой предшествуют
полосовой фильтр и устройство , ,возводящее в п-ю степень.
256


8.3 . Рассмотреть систему отслеживания несущей из предыдущей задачн для
четырехфазной ФТ , заме нив согласованные фильтры прямоугольными полосо­
выми фильтрами с шириной полосы 2/Т, . Показать, что в этом случае диспер ·
с и я ошибки отслеживани я приближ е нно равна
а~=(1/R+ 36/R2+ 18/R3+ 8/R4) BLТ5•
С равнить этот результат с соответствующим результатом, от;юсящимся к сл у 0
чаю, когда используют ся со гласова нны е фильтры .
8.4 . Решить задачу 5.6 , если y(t) - искажен н ый шумом сигнал, двоичной:
ФТ y(t)= Jl2Asin(wct+01)+n(t), lT,<t<(l+l)Т,, 01=0 и.1и л, есл11 устрой­
ство, возводпщее в н е четн ую степень v, заменяется устройством, возводящим в
четную степень v(x(t)-+lx(t) lv ), и если В2 центри.рована относительно 2wc.
Показать, в частности, что в условиях, указа нны х в задаче 5.6 , отношение сиг­
нал/шум на выходе теперь обратно пр о порцио нально z+ (v/2) 2 , но точность, с
которой н е сущая может быть восстановлена по этому выходному сигналу ,
опять-таки · не зависит от v.
8.5 . С помощью ф-лы (8.13) пок азать, что идеальная система отслеживания
н есущей для двоичной ФТ будет та кой, как изображена на рис. В . За, н о верх­
IIяя цепь будет содержать нелинейность вида tl1[2R ( •) ] . ,Сравнить эту систему с
сIIс темами, которые обсуждались в § 8.3 и 8.4 . В частности, показать, что, когда
. R, - +co, эта система совпада е т с системой, рассмотренной в § 8.4 , но имеющей за­
держ ку.
8.6, Дисперсия всех систем отслеживания несущей, рассмотренных в этой
главе, стремится к BLT,/,R при возраста нии отношения сигнал/шум R. Та же са­
мая дисперсия наблюдалась бы, если бы несущая была немодулированной, а
с IIнхронизатор представля л бы собой обыч ную систему ФАПЧ . Будет ли ши­
рн на полосы цепи BL одной и той же в этих двух случаях? Будет ли одной и
то й же вероятность потери синхронизации?
!) 28·1


Глава 9
ЗАДАЧА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ . МОЩНОСТИ
9.1. Введение
Каков бы ни был метод, использованный для установле­
ния требуемой сию,ронизации, эта синхронизация всегда будет не­
совершенной. Очевидно, что эта неточность будет приводить к не­
которому ухудшению характеристики системы . Одной из задач гла ­
вьi является оценr.а этого эффекта. Знание такой оценки необходи­
мо при вынесении суждения о всей системе связи в целом и для
ответа, среди прочего, на вопрос о том, является ли предлагаемый
метод синхронизации •удовлетворительным для рассматриваемой
ситуации. Эта информация, кроме того, даст возможность сказать,
выгодно ли затра1ить большую мощность для целей синхрониза­
ции или система уже фактически «пересинхронизирована» в том
смысле, что некоторая мощность, используемая для синхрониза­
ции, могла бы быть более эффективно использована для передачи
информации. Воп;:ос о распределении мощности между синхрони­
зационным и информационными сигналами также исследуется в
этой главе.
Если известны статистические свойства ошибок в опорных сиг ­
налах, то, в прию;ипе, легко определить их влияние на характе ­
ристику системы. I\огда, например, мерой характеристики системы
является отношеюiе сигнал/шум на выходе и когда ошибки в син­
хронизации несущей, поднесущей 1) и символов равны соответст ­
венно Ф 1, Ф2 и Фз. необходимо вначале рассмотреть результирую­
щее отношение сигнал/шум на выходе как функцию этих ошибок,
т. е. (S/N) = f(Ф 1, Ф2, Ф 3). Зная его, можно определить усреднен ­
ную характеристику системы
(S/N)AvE= SSSt(Ф1 ,Ф2 , Ф3)р (Ф1 , Ф2 , Ф3)dФ1 dФ2 dФ3 ,
(9.1)
где р(Ф 1, Ф2, Ф3) - совместная плотность распределения ошибок
трех опорных сигналов .
1) В предыдущих главах не делалось явного различия между несущими и
поднесущими. Рассмотренные методы синхронизации были, в рамках использо­
ванных ограничений, одинаково применимы к случаям , когда используется одна
или большее число несущих . (В когерентной системе с многими несущими, ко­
нечно, нужно предложить какой-нибудь метод получения опорных сигналов для
всех несущих.) Однако неточное знание каждого из опорных сигналов приводит
к ухудшению характеристики системы и поэтому должно быть принято во вни­
мание при ее вычислении. Даже в этом случае обычно одна из несущих буд~т
иметь наибольшее значение для рассматриваемой характеристики. Поэтому, а
также и потому, что все равно нельзя рассмотреть все непредвиденные обстоя ­
тельства, большая часть последующего рассмотрения ограничена случаем, когда
имеется одна единственная несущая. (Прим. авт. ).
258


Аналогично в дискретных системах, в которых имеет смысл ве ­
роятность ошибки, эта вероятность может быть вычислена как
функция ошибок отсчетов времени и проинтегрирована по этим
ошибкам для определения средней вероятности ошибки
Р, = SSS Р,(Ф1, Ф2, Ф3)р(Ф1, Ф2, Ф3)dФ1dФ2 dФ3•
(9.2)
Функция Р,,(Ф1, Ф2, Фз) обозначает вероятность ошибки при
условии, что заданы ошибки опорных сигналов Ф1, Ф2 и Ф 3. Важ ­
но заметить, что ,_оотношение (9.2) справедливо в случае, когда
р ас сматриваются с.шибки несущей и поднесущей, только если эти
ошибки остаются относительно постоянными на интервале симво­
ла. В противном случае вероятность ошибки в символе зависит от
всех прошлых ошr;бок опорного сигнала на символьном интервале.
Оба эти параrv,етра, среднее отношение сигнал/шум и средняя ·
вероятность ошибки, зависят от плотности распределения р(Ф 1 ,
Ф2, Фз) фазовых пшибок. Главное внимание в трех предыдущих
главах было обращено на отыскание дисперсий этих ошибок при
и с пользовании раsличных оценивающих схем. К счастью, с хоро-
111 им приближением фазовые ошибки являются гауссовскими поч- ·
ти во всех слу,1аях, представляющих практический интерес , и это ·
св ойство не зависит от процедуры оценивания . Более того, различ-
1rые фазовые ошибки неизменно являются либо статистически не­
з ависимыми (еслн они получаются из различных сигналов), либо
11рямо пропорщ!ональными друг другу (если они получаются из oд­
rroro и того Же сигнала). Таким образом, представляют интерес
л ишь одномерные плотности распределения р(Фi), а если Фi -
г ауссовские случайные величины, то эти плотности полностью за­
J t а ются с помощью дисперсий величин Фi. ![Вообще говоря, Е (Фi)
б удет равно нулю. Если, как рассматривалось в гл. 6 и 7, осуществ­
л яется прием метки си,мвола и строится 1п,ро'верка ,гшпотез, а не от­
слеживание, то ошибочное решение, конечно, будет приводить к
1~остою-шой ненулевой ошибке.]
Для того чгобы обосновать утверждение о том, что фазовые
п шибки имеют приближенно гауссовское распределение , заметим
uначале, что оно, очевидно, справедливо, когда оценка фазы яв­
; 1яется линейной функцией гауссовского шума, наложенного на
с игнал. Таким образом, гауссовское приближение справедливо, ког­
J t а оценка производится на выходе системы ФАПЧ при условии,
•1то дисперсия ф:1зовой ошибки достаточно мала (меньше, чем
1/4 рад 2 в случае синусоидальных сигналов; - см. § 5.5). В боль-
111инстве пред~тавляющих для нас интерес ситуаций дисперсия
ф а зовой • ошибки в действительности достаточно мала для того,
1 1тобы оправдать это предположение; если это не так, то, прежде
в се го, вероятаость потери синхронизации будет неприемлемо
бо льшой.
ДополнителLноr обоснование справедливости предположения о
1 · ; 1 у ссовском распределении фазовой ошибки требуется при рас-
01 отрен'И:и системы отслеживания, •которая содержит (.или ,перед
n•
259


которой содержатся) .и нелиней1ные элементы (1гл. 7 и 8). Из-за не­
линейностей шум на входе фильтра цепи перестает быть гауссов­
ским, как предполагалось в § 5.5 . Тем не менее, если ширина по­
лосы системы много меньше ширины полосы фильтров, стоящих
перед нелинейными устройствами (это предполагалось обычно в
рассмотрениях гл. 7 и 8), то фазовая ошибка, относящаяся к лю­
бому моменту, представляет собой взвешенное среднее большого
числа по существу независимых шумовых слагаемых. Поэтому,
чтобы доказать, что даже в э то м случае фазовая ошибка будет
иметь приближенно гауссовское раснределение, может быть при­
менена центральная ~предельная теорема.
В последующеrvi рассмотрении синхронизационный и информа­
ционный каналы будут считаться независимыми, и мы будем пре­
небрегать любым влиянием сигнала и шума одного канала на дру­
гие каналы. В некоторых случаях это предположение легко оправ­
дать, как, ,на,пример, тогда, ког~а юба канала д•остат-очно разнесены
друг от друга по частоте. Однако часто оно справедливо лишь при
дополнительных 01 раничениях. Если, например, с ин хрониза ция ус­
танавливается не:!осредственно по модулирующему сигналу, как
было в последних двух главах, или если синхронизационный и ин­
формационный каналы пересекаются по спектру, то шумы на вы­
ходах этих двух каналов могут не быть независимыми. Эти шумы,
однако, становятсп. по существу , независимыми, если они рассмат­
риваются на выходах фильтров с сильно отличающимися ширина­
ми полос. В этом случае шум на выходе узкополосного фильтра
составляет пренебрежимо малу,о часть выхода широкополосного
фильтра, и, следовательно, он почти не коррелирован с ним. Так
как ширина поло;:-ы демодулятора, вообще говоря, имеет порядок
I/Тв, то это условие удовлетворяется, если ширина полосы шума
с инхронизатора В 1, мала по срав нени ю с I/Ts 1). Это ограничение ,
напомним, постоянно возникало из других соображений при рас­
смотрении синхронизаторов в пр едыдущих двух главах. Даже тог ­
да, когда шумы в этих двух каналах могут считаться независимы­
ми , может происходить взаимная интерференция сигналов. В даль­
н е й шем будем ею пренебрегать. Однако следует сделать предосте­
р ежение о том , что в некоторых случаях интерференцию нужно
принимать во знимание для того, чтобы и мел смысл анализ харак­
теристики сист~мы l[cp . с задачей (9.3)].
С л едует указать, что среднее отношение сигнал/шум и средняя
в ероятность ошибки являются в некотором смысле произвольными
мерами. В некоторы х случаях лучше й мерой, например, может
б ыть доля времени, в течение которого вероятность ошибки пре ­
в.ышаст опредес11енное значение или отношение сигнал/шум нахо­
дите-я ниже некоторого заранее заданного уровня. Тем не м е нее ,
в силу того, что среднее этих величин является наиболее часто
испол ьзуемой мерой, рассмотрения пос.1:едующих параграфов свя-
1 ) Это также справедливо при д овольно нереальном п р отивопол о жном ус­
ловии BL» 1/Т,. (При.11. авт.).
260


.заны лишь со средним отношением сигнал/шум или средней веро­
ятн остью ошибки независимо от нужд приложений. В случае необ­
ходимост и можно легко обобщить этот подход на другие меры.
9.2. Влияние неточностей в опорных сигналах.
Амплитудно-импульсная модуляция
Расс~10трим вначале влияние фазовой ошибки несущей
(или поднесущ~й) на наблюдаемое отношение сигнал/шум в АИМ
- системе. Если принимаемый сигнал имеет вид
у(t)= v2АхsinШсt+пU)
(9.3)
и местной оценкой несущей является V2sin (шсt-Ф), то приемник,
рассмотренный в гл. 3, вычисляет интеграл
Ts
1=
-
1- 5у(t)i1T sin(шсt- Ф)dt.
ATs
(9.4)
о
Так же, как и в гл . 3, определим отношение сигнал/шум на вы­
ходе как отноwенпе дисперсии сигнала к среднеквадратической
о шибке оценивгния . В соответствии с этим для любого заданного
Ф имеем
(S\
var (х)
2R
5
1' N}Ф = E(l-x) 2 = I+2R'(l-cosФ)~
'
(9.)
где R= (А2Т8/Nа)\Т,н(х) и R' = (А2Т8/N0)Е(х2) .
Если ошибка фазы опорной несущей имеет гауссовское распре­
деле ние, то
(s)
2R
~\' __
ех_р_(-_Ф_2/_2а_~_)_
'NAVE= у'2лаФ
~
1 + 2R' (1-соsФ)2 dФ.
-00
(9 .6)
Так как (l ...Lx)- 1
~
1 -х для всех действительных значений х, то
со
(~)
>.
-~
('ехр(-Ф2\[l- 2R'(1- соsФ)2]dФ =
N AVE
~2л(Jф j"'
2а~ )
=
2R[1- 3R'+4R'ехр(- :~) - R'ехр(-2а~)J~
~2R[1-
-%-R'а;р].
(9 .7)
Э та граница в действительности дает хорошую оценку для средне­
го отношения сип1ал/шум только тогда, когда аФ достаточно мало,
та к что 2R'(l -co.s Ф) 2 ~1 для IФl~ЗаФ . П_оследнее приближение
u ф-ле (9.7) справедливо также при этом предположении.
261


Для того чтобы определить влияние ошибки в выборе длитель­
ности (прямоуголъного) 1) символа, заметим, что интеграл в ф-ле
(9.4), если ошибка с'И'НХ1ро:ни:зации символов ра1вна т секунд ('В
предположении, что частота несущей велика по сравнению с 1/Ts
так, что несущей 1\'.ОЖНо пренебречь), принимает вид
't
для т?О и
о
1\
1
I=
-
х0(t)dt + -
ATs .
ATs
't"
Х2 (t) dt
(9.8)
(9.9)
для т<О,
Таким образом,
если х 0, х 1 , и х, предполагаются независимыми и одинаково рас­
пределенными. то
где X;(t) =Ax;+n(t); iTs<t< (i+ l)Ts.
(S)
var (х)
[
2R
]
Ni-=
Е([-х)2=
·
,(т\9
•
1+4R -,
'Ts
.
(9. 1О)
Если ошибка в опорном сигнале ~ ~- т /Т s
имеет гауссовское рас­
пределение с нул евым средним и дисперсией cri , то ф-ла (9.1)
дает
оо ехр (-+,-)
,-Rехр( BRl' 2 )
(s)
2R
r
а~ds=U~
,
as
Х
N .4.VE =
,f2:rt а J
1+4R' ~2
r2
(R') 1/2 а2
6 --00
6
Х{1-erf[ 2а6 (;.R')l/2 ]} ~ 2R { 1- 4R'ао.
(9.11)
Таким образом, влияние несовершенства в символьной синхро­
низации состоит в уменьшении отношения сигнал/шум в ( 1-4R' Х
Ха f ) раз. Аналогич ные рассуждения приводят к тому же заклю-
чению для фазоr;онекогерентной АИМ, когда R велико (ер. с
§ 3.6).
l-iаконец, рассматривая совместно эффекты, возникающие из­
за ошибок синхронизации несущей и символов, получ аем
Т5+т
f=-
1- 1 y(t)V2sin(wct-Ф)dt.
ATs .)
(9. J2)
1) Наиболее частой причиной использования непрямоугольных импульсов
является желание сузить спектр сигнала . В результате широко исполLзуемые
непрямоугол ьные импульсы имеют более широки е автокорреляционные функции
по сравнению с п р5Iмоугольными импульсами, и в соответствии с этим система
связи. использующа5I такие импульсы, подвергаетс5I меньшему неблагоприятно­
му влиянию за счет неточностей в синхронизации символов. (Приы. авт.) .
262


Если ffic~ 1/Тs, то
(S'
[
2R
]
!N)ф~= 1+2R'(1- cosФ)2+4R' 1sIcosф(1- cosФ)+4R's2cos2ф
'
(9.13)
·где обозначения ТЕ: же, что и ранее. Если а Ф и ,а~ малы, то
(i)AvE~2R[1- 4R'at- 2R' cr~ cr6(V~- 2cr6)-+R' cr~] •
(9.14)
Только что поj[ученный результат был выведен в предположе­
~ни и, что ошибка синхронизации символов и фазовая ошибка несу­
щей независимы . Часто обе они получаются с помощью одного и
того же опорного сигнала. В этом случае s=Ф/лт, где т- число
лолупериодов несущей на символ (ffic=лm/T8) . Тогда
(~J ={-1 +(1 - cosФ)2+2f(Ф)[f(Ф)+(1- cosФ)JJt-1_!i , (9.15)
NФ 2R'
R'
,где f(Ф) = -
1 '[ Ф cos Ф-sin Ф]. Так как последний член в ф-ле
лт
,( 9.15) имеет порядок I Ф5 1 /Злт при малых Ф, а второй член - по­
;ря док Ф 4/4, то для разумно малых значений аФ последним членом
можно пренебречь независимо от значения т. Это приводит к за­
J<лючению, что ухудшение характеристики определяется в основ­
.нам лишь фазовой ошибкой несущей, если синхронизация, как не­
-сущей, так и СИМRОЛОВ получается с ПОМОЩЬЮ ОДНОГО и того же
,опо рного си г нала [ер. с (9 .5 )].
Итак, отношение сигнал/шум на выходе для АИМ уменьшается
,пр иближенно в
.lr1- 4R' cr2
-
2R'cr2 cr (V-?- - 2cr)--3
-R' cr4
]
(9.16)
s
Фs
Л
s
2
Ф
;р аз (когда дисперсия фазовой ошибки несущей равна cri , а дис­
п ерсия ошибки символьной синхронизации равна а~ ) . Если оба
о порных сигнала нолучаются с помощью одного и того же сигнала,
то уменьшение возникает, по существу, лишь из-за фазовой ошиб-
11ш несущей r[это уменьшение определяется ф-лой (9.16) при cr~
=0].
9.3. Влияние неточностей в опорных сигналах.
Фазовая манипуляция
В этом параграфе исследовано влияние неточностей
,о порных сигналов на характеристики различных ФТ систем, расе
с мотренн ых в гл. 3 и 4. Начнем с двоичного случая. Если местная
о порная несущс1я ,имеет ошибку Ф рад, то математическое ожида­
лие выхода коррелятора приемника (см . § 4.5) равно
263


Ts
Е(11Ф) =
-
1-1
· (+ v2Аsin(()сt)V2sin(ffict-Ф)dt= + cosФ,(9.17)
ATs J
u
где, по nредпоJiожению, ffic=nm/Ts, а т либо равно целому числу,
либо велико по сравнению с единицей. Так как дисперсия этого
выхода не за виси r от Ф, то единственным следствием ошибки при
определении опорной несущей является снижение действующей ам­
плитуды сигнала в cos Ф раз. Таким образом, если фаза опорной
несущей имеет ошпбку Ф рад, условная вероятность ошибки в сим­
воле равна
Ре(Ф)=
-
1 [1 - erf (R112 cos Ф)],
(9.18)
2
где R=A2Т s/N0 fcp с (4.71)]. Если Ф имеет гауссовское распреде ­
ление с дисперсией О'(j:, то вероятность ошибки в символе равна
00
00
Ре= 1"р(Ф)Ре(Ф)dФ=
-
1- 1'ехр(' -
~') Х
j
:rtaф j
2о2
-оо
u
ф
00
ХJехр
(9 .19)
У2R112соsФ
Эта вероятность была о п ределена численными методами и и з обра­
жена на рис . 9.1 как функция ,R для различных значений О'Ф. От­
метим, что при R-+oo Ре стремится к ненулевой постоянной (кото­
рая называется иногда остаточной вероятностью ошибки) при лю­
бом ненулевом значении дисперсии О'~ -- Увеличение отношения
сигнал/шум становится все менее и менее эффективным, не при ­
водя к соответствующему уменьшению ошибки опорного сигнала .
Остаточная вероятность ошибки, конечно, является вероятно­
стыо того, что фазовая ошибка в опорном сигнале Ф выходит и з
интервала (-л/2, л/2) по модулю 2л. Так как гауссовское при­
ближ ею1е к ра(.'пределению Ф, очевидно, становится п лохим для
знач е ний Ф, превосходящих л/2 рад, то вероятность ошибки, опре ­
деляемая (9 . 19) при R- .. o o, будет соответственно менее точной
оценкой для истинной вероятности ошибки, чем в случае малых
значений R. В общем случае ошибка, возникающая за счет гаус ­
совского приближения, становится ощутимой для значений R, пре­
восходящих 1/ (20'~ ) , так как вероятность фазовой ошибки, боль­
шей, чем л/2 _рад. при этом перестает быть пренебрежимо малой
по сравнению --~ в<:роятностыо
ошибки, обусловленной аддитивным
шумом (ер . с задачей 9.1). Этот случай имеет малую практиче­
скую ценность, поLкольку в правильно построенных системах, как
мы знаем, ai ~почт.и всегда меньше, ,чем l/(2R). Тем не м енее не­
которые из кривых на рис. 9.1 были продолжены за точку R =
264


= 1/ (2с,~), чтобы дать грубое предст авление (в общем оптимисти­
ческое) о вероятности ошибки, кото р ая могла бы ожидаться, если
бы система работала при этих условиях 1) .
Ре
100
7
5
J
2-
1,
trJ
7
s
J
2
102
7
5
3
2
103
7
s
3
2
4
!О
7
s
J
2
.... ,
-
~"
~
"
['\.
~ "',
1~ '\
\:,
'-
.
-
,\\
'
\'\,
\,\
\\,
\\/
'\
\"" /
\\\
\'
\
1
L
1
"-......
--
---
_, ,, ,6rp =fl/JI
/
-
/
/
,,,,0,2
/
,,,,о,з /
/
0,5 /
\
\
\
\
/05
10
о
2 J 4s 7.91fl1
234S79102
R
Рис. 9.1. Вероятность ошибки в символе для двоичной
ФТ при несовершенной синхронизации несущей
1) Если в качестве опорного сигнала использовать выходной сигнал снсте ­
м ы ФАПЧ, то можно было бы использовать вместо гауссовского распр еделен!!Я
в (9 .19) распределение Тихонова (ер. с задачей 5.5) или подхо дящее обобщен!!е
.; го для получения, в общем, более то ч ной оценки вероятности ошнбкII. Однако,
1, роме некоторых частных случаев (например, системы первого поря дка без сдви-
1 · а ч асто ты), трудности в ычисления прн анализе увеличиваютсп во мно г о раз , и
11 J11обом случае р езульта ты дос таточно хорошо , согласуются с те ~Iи , ~;оторыt
'2
J I ОJIучаются при гауссовском приближении для всех а Ф ~ 1/ (2R). ( При ,и. авт.).
265


Влияние ошибки символьной синхронизации на вероятность,.
ошибки за,в,исит ,от •нал·ич1ия или отсут,ств.ия 1перех,ода символол.
Если два последоnательных (прямоугольных) символа одинаковы.
то неправильное определение положения символа никоим образом
не повлия ет на вероятность ошибки. Однако если два последова ­
тельных симво.J:а различны, то величина математического ожида­
ния на вы ходе коррелятора уменьшается в 1-('2 J-c 1/Ts) ,ра.з, ,где
i- - временная ошибка [ер . с ф -лами (9.8) и (9.9) при Х1 = 1, Хо=
= х2 = --1 ]. Поэтому вероятность ошибки при условии, что задана,
временная ошибка -с секунд,
Ре (i-) = Pr (ошибка I переход, -с) Pr (переход J-c) + Pr (ошибка I перехо­
да нет, ~-)Рг(перехода нетJ-с).
(9.20)-
Если последовательные символы независимы и принимают с
равными вероятностями одно из двух значений, вероятность пере ­
хода равна 1/2 и временная ошибка 'f:,=i-/Ts распределена по Гаус ­
су, то
Q
00
ХSехр (- ~) dxd~+2; 2:rt
Sехр(-х;)dx.
(9.21)
(2R) 112 (1-2 / Ш
(2R/ 12
На р·ис. 9.2 эта вероятность ошибки изображена как фу~нкп:ия R
для .несколь,ких ,различных значений а~ .
Чтобы определить одновременное влияние фазовой ошибки и
ошибки сигнала синхронизации символов, допустим, что прини-
маемый сигнал имеет вид ± V 2Asin wct, местный опорный сигнал
имеет вид V 2sin (wct-Ф) и временная ошибка для символа рав­
на i- секундам . Тогда, как легко проверить, математическое ожи ­
дание выхода коррелятора
Е(/ JФ, s) = соsФ- 28 {scosФ- -1 -[sinФ + sin(2nms-
2nm
-
Ф) J }sgn (s),
(9 .22)
где 8= 1, когда имеется переход символов, и 8=0, когда он отсут­
ствует . Здесь вновь wc=mn/Ts, а m либо равно целому числу, либо
т~1.Если ,m~1,то
Е(l\Ф, ~) = (1-28\~\)соsФ =E([JФ)E(l\~).
(9 .23)
В противоположность этому предположим, что для установле­
ния синхрон·изации фазы несущей и символьной синхронизации ис­
пользуется один и тот же опорный сигнал . Тогда s=Ф/nm и из
ф-лы (9.22) имеем
266 ·


Е (/ 1 Ф, ~) = соsФ- :~[ФcosФ-sinФ]Xsgn(Ф).
(9.24)
Так 1как sinФ~Ф cosФ ,при О~Ф~Фо Ф0>п и sinФ~Ф cosФ
при -Ф 0 <Ф~О, Ф 0 >л: ; то ухуд шени е из-за наличия одновре-
о
fе
!О
8
J
3
2
-
10
1,.,._
,,
-
~""
~
~
~
~"
1\..
5
J
2
-2
JO
'~
...
l'\ ~
,,, 1'\ '\
'~\~
1'\ .
""'-
,5
3
2
-з
~ !\~~
r--.. .... .._
70
5
J
2
101/
\~
_
\ ----- Jl6/7J...
-
1~ \ -\, ----- oj
V
-
-----
0,2
/
\1\\-~
/
\\'
'
0,3
~\\ \
'
0,1//
\\1 \
~5
''
\\
\
'
\
'
\\\
\'\ \
2}4S79101
234579102
R
Рис. 9.2 . Вероятность ошибки в символе для двоичной
ФТ при ,несовершенной ,симв•ольной синхронизации
м енно символьной ошибки и ошибки в фазе несущей, всегда мень ­
ше , чем ухудшение, связанное лишь с ошибкой в фазе несущей.
Верхн яя граница для случая одновременного участия двух ошибок
получаетс я, следовательно, с помощью рассмотрения лишь ошибок
в фазе несущей . Для б ольших значений т отличие этих двух слу­
ч аев является, конечно , пренебрежимо малым.
267


Другой интересный случай возникает, когда вместо синусои­
дальной используется прямоугольная несущая (поднесущая). В
этом случае уменьшение уровня сигнала, вызываемое временной
ошибкой т секунд (если как синхронизация символов, так и син­
хронизация несущей получаются с помощью одного и того же
опорного сигнала),
E(lis)=[l-4 l sl+4oJs//mJ, s<l/2,
(9.25}
где ~=т/Т0 ,и ;где Т0 =2Тs/т-,период ·несущей. Отр.ицательный член
связан лишь с фазовой ошибкой несущей. Опять результат, отно­
сящийся к одновременным синхронизационным ошибкам , может­
быть оценен , если пренебречь ошиб1<ой символьной синхронизации.
Эта граница быстро сходится к точному выражению при возраста­
нии ./11 .
Вывод аналогичных результатов для q - ичной ФТ при q>2 вы­
полняется с помошью простого (хотя и несколько громоздкого)
обобщения предыдущих рассуждений. Этот анализ можно упро­
стить при использе,вании метода оце н ки вероятности ошибки из,
§ 4.5. Видоизменяя эти границы применительно к рассматривае­
мому случаю, найдем, например, что вероятность ошибки в симво­
ле для q-ичной Ф"I системы при условии, что фазов а я ошибка
, опорной несущей равна Ф, ограничена неравенствами:
1
-
{Р0 (q; Ф) + Р0 (q;- Ф} ~ rпах {Р0 (q; Ф); Р0 (q;--Ф)}<
2
<Р,(q; Ф)<Р0(q; Ф)+Р0(q; - Ф),
(9.26),
где Р0(q; Ф) = _!._
-
_!._
erf (R1l 2 siп (п/q-Ф)). Средняя вероятност1,,
2
2
ошибки поэтому хорошо аппроксимируется с помощью выражения
(9.19) при замене cos Ф на sin [ (л./q)-1 Ф 1]. Аналогично, если ошиб­
ка символьной синхронизации равна т секундам и ~ели разность
фаз двух символов, влияющих на некоторое частное решение, рав­
на ЛФ рад, то
1
-[P0 (q; т, ЛФ)+Р0 (q; 1,, - ЛФ)J<Ре(q; т, ЛФ)<
2
<Р0(q;т,ЛФ)+Р0(q;т,- ЛФ),
(9.27}
где Р0(q; т, ЛФ) =+-+erf {R112 [ (1 -1 s1) sin~- +] sI sin( ;-ЛФ)]}
и s=т/Ts. Среднюю вероятность ошибки можно оценить путем ус-
1реднения по s ~и ЛФ .[,ер. с (9.21) ]. Заметим, 1что о.цен.ки снизу 1в
(9.26) и (9.27) оf\ращаются в равенства, когда q=2 . Более того,
когда q=4 , этн же самые нижние границы представляют собой
вероятности ошибск на бит, если фаза опорной синусоиды имеет
ошибку Ф, а ошибка сим,ноль.ной синхро,н,изации ра'Вlна х . Это ут­
верж,ден-ие не:пооредственно следует ,из ,рассм,от,рения § 4.7.
Более простая, хотя и приближенная, мера влияния синхрони­
зационных ошибоr( в ФТ системе связи получается при использо -•
268


вании приближенног о рас п ределения ошибки оценивания фазы,
описанного в § 3.7 . В ч астности, если принимаемый сигнал имеет
вид V2Asi n (wct+ Ф +Фe) +n(t), г де Ф,е-Фазовая ошибка опор-
ного сигнала, то рас пр еделение оценки Ф принимаемой фазы мож­
но приближенно пr.;едст авить в виде
/\
/R[(/'
)2]
р(Ф[Ф,) ~ 1 лехр -R Ф-Ф-Ф, .
(9 .28)
Следовательно,
Xexpr-
(сi-2Ф/ ] ,
(9.29)
L
2ао -
где а2о = (1 + 2a~R) /2R и где а~ = Е (Ф2е). Следовательно, неточ­
ность фазы опорного с и гнала увел и чивает дисперсию ошибки оце­
нивания о т значеЕия l / 2R до значения а20 = (! +2а~ R)/2R и, сле­
довательно, увеличивает вероятность ошибки от значения
Р,(аФ=О)~1- erf( ; R112) •
до значения
1
-
п
R'l2
]
Р,(аФ) ~ 1 -erf _11 (1 +2a~R)1;2 •
Это приближение особе н но полезно, когда q велико.
(9.30)
(9.31)
Из (9.29) следуе т также, что с р еднее отношение сигнал/шум в
непрерывной по гм п л итуде ФТ системе при условии, что имеется
фазовая ошибка в о порн ом с и гнале,
(S)
n2
п2
2R
(9.32)
NAVE= За5 =3(1+2а~R)'
где а~ - дисперсия этой ошибки опорного сигнала.
Относительная когерентная система ФТ, конечно, не нуждается
в фазовокогерент!-'ой опорной несущей . Это утверждение может,
однако, привести к заблужд е нию. Если, например, демодуляция
вы полняется с 1юыощью оценивания посл едо ватель н ых фаз симво­
лов и наблюдения разностей фаз 1[ср. с (4.79) ], то, очевидно, зара­
нее предполагается, что имеется в распоряжении точно известная
опорная несущая. Хо тя установившаяся фаза этого опорного сиг­
нала является несущественной, его кратковременные флуктуации
фазы должны быть малыми, в противном случае будет вноситься
сме щение в оцениьаемые разности фаз. Точно также, если исполь­
зуется схема с задержкой, изображенная на рис. 4.5, то эта за­
держка должна 'быть весьма точной. Если она будет иметь ошиб-
269


ку ЛТ секунд, то при каждом сравнении фаз будет возникать ошиб­
ка, дающая смещение wсЛТ рад. Влияние этих ошибок, а также
Jiюбых ошибок символьной синхронизации может быть оценено с
помощью введения необходимых изменений в сuответствующие ре­
зультаты, относящиеся к когерентной ФТ. Возросшая вероятность
ошибки (из-за постоянной ошибки, вызывающей фазовое смеще­
ние, или из-за нестабильностей символьной синхронизации) в дво­
ичной относительной когерентной системе, например, может быть
определена, если заменить функцию 1-erf (х) на е-х' в ф-лах
(9.18) или (9.21) соответственно. Когда q>2, необходимо лишь
уменьшить вдвое отношение сигнал/шум в результатах, относящих ­
ся к фазовоког~рЕътному случаю, чтобы найти аналогичные выра­
жения для относи·:ельного когерентного случая (ер. с§ 4.6).
9.4. Rлияние неточностей в опорных сигналах.
Ортогональные символы
Так )Ке, как и в системах связи, рассмотренных выше,
в системе с ортогональными символами основной причиной, приво ­
дящей к ухудшению характеристики, вообще говоря, является фа­
зовая ошибка несущей. Это, в частности, верно, когда частота не­
сущей велика по сравнению с обратной величиной периода симво­
ла и когда все опорные сигналы, в том числе опорная несущая,
получаются на основе одного и того же источника . В силу этого,
а также того, чт'J влияние других синхронизационных ошибок
сильно зависит от конкретно используемого ортогонального алфа­
вита, ограничимся здесь лишь рассмотрением влияния неточностей
опорной несущ(:Й.
Предположим, что сигнальный алфавит состоит из множества
сигналов единичной: энергии
s_ (t, Ф) = V 2ai(t)sin(wct + Ф) + v2~1(t)cos(wct + Ф), о <t < ts
(9.33)
[см. (4.26)]. Пр.нем.ник ,по принятому с.игналу y(t)=Asr(t, Фа)+
+n(t), O<t<Ts определяет корреляции
Ts
!1=
-
1- \ у(t) s1(t, Ф1)dt,
ATs .
о
(9.34 )
где Ф 1 - оцененная фаза несущей. (Предполагается, что ошибка
символьной синхронизации пренебрежимо мала.) Математическое
ожидание величины !; при заданной величине Ф = Фо-Ф1
~
/\
E(J11Ф) = .РгiсоsФ+РгisinФ
(9.35)
[ер. с (4.31), (4.32); как обычно, частота несущей wc предполага етс я
достаточно большой для того, чтобы бьто 331(0!-II·!ЫM пренебреже -
270


ние компонентэ.ми удвоенной частоты]. Если множество сигналов
является ортогона.1ьным в фазовонекогерентном смысле, то
Е(liIФ)= JсоsФ,i= r;
(9.36)
l О, i=j=г,
и фазовая ошибк а уменьшает амплитуду сигнала в cos Ф раз.
Бо многих пра ктических ситуациях, когда приходится рассмат­
ривать ошибку опорной несущей, в общем стоит по возможности
увеличива ть uнрину полосы , чтобы выбрать множество сигналов,
ортогональное в фгзовонекогерентном смысле. Если фазовая ошиб-
1,а Ф все гда дnстгточно мала, так , что можно прен ебречь членом
/\
p,.;sin Ф , то фазовuкогерентная ортогональность возможно будет
достаточной. В любом случае математические ожидания выходов
корреляторов, по ,-уществу, будут такими, как в ф-ле (9.36).
Дисперсия 'них выходов , очевидно, не зависит от фазовой ошиб­
ки опорного сигнала, так что единственное изменение в характери­
стике системы возникает из-за снижения эффективной мощности
сигнала в cos 2 Ф раз. Таким образом, из ф-лы (4.11) для средней
вероятности ошиб~;.и получаем
со
со
1
1•(ф2)\(х2),•
Р = 1------ ехр
---
ехр---х
е
(2n)(N+IJ/2 а ,
2а2 ,,
2,,
ф -со
\
ф -со
[х+ V:1 R112cosФ
]N-I
Х I" ехр(-!:)dy dxdФ.•
(9.37)
Эта вероятность ошибки изображена на рис. 9.3 как функция
Rь=R/log2N для различных N и О'Ф. Эти кривые (подобно кривым,
изображе нным на рис. 9.1 и 9.2) дают оценку снизу для Ре, когда
вероятность соGытия {IФI ?л/2} не мала по сравнению с Ре, т. е.
когда О'~' больше 1/R. Однако вновь в правильно построенной си -
( теме О'~ почти всегда будет меньше, чем 1/R.
Тот же подход, что и для ортогонального множества, очевидно,
может быть испо.1ьзован для биортогонального множества сигна­
лов. В силу того что характеристики биортогональной и ортого­
нальной систем б:шзки, когда используется более четырех симво­
л ов, влияние неточности фазы опорной несущей будет почти оди-
1r ак овым в этих двух случаях.
Следует подчеr,кнуть, что результаты , относящиеся к влиянию
синх ронизационных ошибок на вероятности ошибок в символах, ос-
1ювываются на предположении, что синхронизационные ошибки
остаю тся постоян~-шми в течение любого интервала корреляции.
I3 другоы краЙ!-:rем случае, когда синхронизационные ошибки могут
з начительно мсня~ъся на интервале интегрирования, может ока­
:3;:~ ться более разумным определить среднюю эффективную мощ­
ность сигнала и использовать эту среднюю мощность для оценки
271


Ре
tо". ~--------т--------------,
----N=2
-----N=8
······---··••N=·J2
-----N=t28
2 J45878вш2
Rь
Ри с. 9.3. Вероятно сть ошнбкн для ортогональных с н мволо,в
при несовершенной синхронизации несущей
веро ятности ошибки . Так , например, в только что рассмотренной
ситуации средняя амплитуда на выходе правильного коррелятора
,
""
1,(ф2,
( а2)
Е(/г);:::; _:
ехр--2
-
)соsФсlФ=ехр - 2Ф .
(9.38)
у2лаФ "
2аФ
-ro
,
При этом мерс,й ухудшения ха рактеристики будет уве,nиче ние
вероятн ости ошибi,и в символе , когда R уменьшается от значения
A2Тs/fli0 до (A2Т JNa)exp (-и~ ) . Для одной и той же величины и Ф
272


это ухудшение бу;:~ет значительно меньшим , чем то, которое опре­
делялось ф-лой (9.37). Тем не менее оно более точно отражает из­
менение вероятности ошибки, когда Ф изм е няется быстро.
9.5 . Оптимальное распределение мощности
Часто бывает так, что практические соображения опре­
деляю т мощность. которая может быть выделена передаваемому
опорному сигналу. Если это так, то анализ, проведенный в преды­
дущих параграфах, дает возможность определить необходимые па­
раметры (отноше!-iия сигнал/шум или вероятности ошибок) систе­
мы связи. Если, однако, другие ограничения являются менее жест­
rшми, то может оказаться возможным изменить долю общей мощ ­
ности, выделенной синхронизационному каналу. Очевидно, что ес ­
ли вся мощность используется для п ередачи информации и не де­
лается попытка установить синхронизацию, то система будет рабо­
тать очень плохо, J<ак и в том случае, если вся мощность исполь­
з уется для синхронизации и ничего не остается для передачи ин­
формации. Следовательно , между этими крайними случаями рас­
пределения мощности должен существовать промежуточный, когда
характер.истика системы будет лучше или ·в ~райнем случае 1не
хуже, ч-ем ,при любо.м дру,гом раоп~ределе~нии мощности ~1 ежду
информа ционными и синхронизационными сигналами.
Целью этогп параграфа является получение относительно про­
с ты х выраже ний для условия оптимального распределения мощно­
ст и. Поскольку, как мы уже знаем, наиболее ощутимое влияние на
ха рактеристику системы обычно оказывает ошибка опорной несу­
щей , то мы огра!-!ичимся рассмотр е нием задачи распределения
м ощности между !1,•одулированной и немодулированной частями не­
с ущей. Опорная нrсущая будет выделяться из немодулированной
несущей отслеживанием с помощью системы ФАПЧ, имеющей ши­
ри н у полосы шума BL Гц (aJ =NoBL!Ps, где P s - мощность не­
м одулированной несущей). Обобщение исполь зуемых здесь мето­
д ов на другие задачи распределения мощности осуществляется
прос то. Если, ,{апример, система имеет не только несущую, но и
1юд несущую и опорные, поднесущая и несущая незав•исимы (если
о ни получаются из одного и того же источника , то опорная под-
11 е сущая, по-види м ому, будет более точной), то мощность, в об­
rцем . может быть удовлетворитель но распределена между тремн
r<а налами методом супе рпозиции . Мощность, необходимую для не­
модули рованной несущей , можно определить с помощью ттолучен -
11 ых зде сь результатов в предположении , что опорная подне с ущая
является абсолютно точной. Аналогично эти же результаты можно
ис п ользо вать для отыскания мощности опорной под.несущей в пре-
11 сб режении искажениями , вызываемыми неточным знанием н е су­
щей . Есл и оба ('Порных сигнала являются достаточно точными , ка·
1< нми он и и должы.ы быть для того, чтобы сирема работала удов ­
J 1 с т вори тельно, то эффекты второго порядка, обусловленные одно-
273


временным присутствием ошибок в обоих опорных сигналах, обыч­
но пренебрежи .vю малы с точки зрения задачи оптимального рас­
пр еделения мощности.
Общий метrщ 5удет проиллюстрирован исследованием задачи
распредел е ния мощности между модулированной и немодулирован­
ной несущими для каждой из систем, рассматривавшихся в преды­
дущих параграфах.
Амплитудно-импульсная мод ул я ц и я. Записывая ве­
личину , обратную к дисперсии фазы, в виде
1/а~ = Р5 ТД/N0 ,
(9.39)
где Q= ( 1/ТsBL ) . rюлучаем
R + 1/Qa~ = (Ps +Рт)Т5/Nо = P0T5/N0f:_R0,
(9.40)
где Ps - мощность немодулированной несущей; Рт
-
средняя мощ­
ность модуляции ;;; Ро - полная мощность, имеющаяся в распоря­
ж:ении, по предположению ограниченная . Тогда
1+-1 d(l/cri)=O·
(9.41)
Q
dR
'
дифференцируя (9 .7) (где R' =R) 1п.р.и этом усло1вии, находим 1приб­
лиже:нно условие для экстр·ему-ма (который, как ле.r~ко ~показать.
будет макс,имумом) среднего отношения си,гнал/шум:
R=
-
1-.
!(1 + _i_
_g__)I/Z- 11.
(9.42)
2Qа2 1
3 cr2
J
ф
ф
Если Q2.Ro>J> 1. то оптимальное отношение мощности несущей к
полной мощнос·и
(9.43)
Отношение мощности синхронизационного сигнала к полной мощ­
ности обратно r:ропорционально Q. Это соотношение, которо е будет
появляться во все---: зодачах распределения мощности, является ти ­
пичным.
Фаз о в а я манипуляция. Приравнивание нулю производ ­
ной (9.19) по R при условии, что R+ 1/Qa~ постоянно, дает
00
Jехр (- х; ) exp[-Rcos2 (aФx)Jcos(crФx)dx =
о
"'
= Ra~Qsexp(- ~2 )exp[-Rcos2(aФx)Jxsin(crФx)dx.
(9.44)
о
Это уравнение также было решено численно. Решение, выражеIIное­
как о т ношение Р,/Ро, представлено на рис . 9.4 как функция Ro для
различных зна•че.~шй Q. У:р-1н.ие (9.44) решается ~приближенно, если
аФ~l, т . е. ,если ,cosaФx;::::;1-,(aix 2/2) и xsinaФx;::::;x2,aФ. Пола-
274
_
,r .f.:,, -· :


б
4
2
о
/;
2
о
4
2
111
·-
--
-
-
'5fl =1
---
----r
-
--
-
--
;:_::
5
--
--
1-
~ ---
1--
--
-- --
-
-
-
~--
~
1--1--,__\
------
-
~""~
шv
~
~'-
I Л5о
~~
--
.......
.:::,
~~
..........__
~
~
-
..,,
~
~~~
100
-
""'- .
-
1'-
~
~ !ООО
r-,. ...
......
/~
~
--
r--,...
.....
!О" 2
f/б101
2
4б!022
--
4
R
Рис. 9.4 . Оптимальное распределение мощности между с,~г,нал,()~1 ,1во­
ичной ФТ и несущей
гая их=(!-2и~ N_)-112, .
получаем в этом приближени и следующее
ус ловие:
или
а~ (l + 2RQа~)
1=---------
(У45)
2 (I- 2а~R)
275


Последнее равенство может быть записано в виде
~ = ________!_ __ __ ___
Ро (я __1)lI+ _R_o_(Q_+_2)_)1/2_ Il
0
4
(R-1/4)2
J
(9.46)
Эта фунI<ция изображена штриховой линией на рис. 9.4. Вероят­
ность ошибI<и u сЕмволе представлена как функция Ro на рис. 9.5
б
4
1---+ - -+ -tl..., . . .-<--- -1-- -e+-< !ООО 1-- ~- - 1- - -,
2
trf4
r;
4
2
105
100
\1
2 46'101
1
11
2 451022
R
Рис . 9.5 . Вероятность ошибки в символе
для двоичной ФТ при оптимальном распре­
делении мощности:
I - о тно сительная 1..:огере1-1тная ВИЛ'\; 2 - н е 1<ог е ­
ра1пнаs (ортогональная ВИМ)
в случае, когда мощность
распределена оптимально
между каналами для не­
сущей и информации; сим­
вольная
синхронизация
предполагается б ез оши­
бочной. Для сравнения
там же пр.и ведены лрафи­
ки вероятностей ошибок в
символах , получа ющих ся
при относительном коге­
рентном и фазовонекоге­
рентном приеме опять - та ­
ки в случае безошибочной
символьной -е.инхр,ониза­
ции .
Заметим, что если два
рассматриваемых сигнала
не являются противопо­
ложными, но имеют коэф­
фициент взаимной корре­
ляции р, то эффективное
отношение сигнал/шум
сниж:ается в (1--р)/2 раз
по сравнению <: этим отно­
шением в случае противо­
положных сигналов (ер. с
гл . 4). Если в предыдущем
рассмотрении R заменить
на ,R(l-. p)/2=R' и Q на
Q'=2Q/(1-,p), ТО, I<aK
легко видеть, приведенные
результаты справ едл ивы
для произвольного р.
Тот же самый подход
можно применить для ве­
роятностей ошибки при
q>2 l[т . е. для (9.26) ], но
вычисления будут громоздкими, а результаты не очень поучитель­
ными. Вместо этого перейдем прямо к приближенным выражениям,
получающимся из ф-лы (9.29). Как для дискретной, так и для не­
прерывной по амплитуде ФТ цель распределения мощности в ус-
276


ловиях используемого приближения состоит в минимизации дис •
персии G2o 1[см. (9.29) ). Дифференцируя это выражение по
.R при
условии, что ,R + ( 1/QG;p ) постоянно, получаем следующее условие ·
экстремума среднего отношения сигнал/шум:
2(Ji QR2 = 1.
(9.47},
Следовательно, отношение мощности несущей к полной мощности
Ps
1
Ро 1 + (Q/2)1/2 ,
Заметим, что, когда Q велико по сравнению с Ro, оптимальное
распределение ,,ющности в двоичном случае приводит к сл е дующе- .
му выражению для мощ н ости несущей:
ps ~ PjRь/2 QI/2
(9.49);
(ер. с (9.46) ). В противоположность этому, если число фаз q вели­
ко, мощность нс.~сущей в тех же условиях
Ps~ P 0/(Q/2/ 12
(9 .50) ,
(ер. с (9.48)), что дс1ет увеличение в (2R0 ) 112 раз .
Орт ого н 1 льны е с им в о л ы. Дифференцирование выра­
жения (9.37) при условии, что R + (1/Q,оФ2 ) постоянно, дает
со
dPe
Ir
[z2)1[
R3Q•
-
=-
--
\ехр1- -
--
1-12 cosGФz-
GФ zsшGФz]Х
dR
·J12n .
\
2 (2R)
Х [{ :а рN (а) }a=Y2RcosaФ z] dz,
где
ао
rх+а
]N-1
PN(a)= -- Jexp{-х2),1 \' ехр(-Y
2
)dy
dx.
(2:rt)N/2 -оо
\
2 L__::'oo
2
(9.51),
Оптимальное рс1с п ределение мощности, в принципе, определяет ­
с я путем приравнивания этого выражения нулю и решения полу-­
чающегося уразнЕяия относительно G~ , ч то д а ст в оз мож но ст ь в ы-
1разить а~ через R. Числе.иное реше:ние (ра,счет), одна11ю, весьма
громоздко 1). О;r,·нако ,с ,по.мощью .некоторых ,приближений можно ·
получить ,отн-о-с.ителыно простое аналитическо,е выра ,жение для оп - ­
т и,мального ра,с;пределе,ния мощност,и. Будет ,показано, что ре­
зультаты хорошо ,согласуются {: результатами 6олее точного ч.ис­
л енного решения для ,всех отношений ·сигнал/шум, .пред,ставляю ­
щих ,интерес .
1) В другом численном методе фиксируется полная мощность и для нее
вычисляется Ре при различных значениях R и cr~ .
Расчет может быть выпол-
11 е н и графически путем нанесения на кривых рис. 9.3 геометрического места ,
то чек, соответствующих фиксированной полной мощности, что относительно прос ­
т о для любых заданных множеств параметров N, Ro и Q. (Прим. авт.).
27Т


Начнем с замечания, что для достаточно больших значений а
(9.52)
Это заключ~ниt:: подтверждается рис. 4.2, из которого следует,
что скорость изменения вероятностей ошибок (с точностью до по­
-стоянного множителя) не зависит от N. Чтобы обосновать это ана­
.литически, заметиы, что
00
Рн(а) =-=-
ехр -- 1- -erfc--= -
~
1 s(х2)[
1
х+a]N-1 dx ~
,12л
2
2
у2
-оо
со
~--
ехр -- , 1- --erfc-= - dx
1 j·,
('х2)1
N-1
х+а]
у2л
2L
2
у2'
(9.53)
-со
где
х+а
rerfcа+_хЛ1- erfх+_а= 1-
r~
sехр(-lL)dy.
Jf2=
У2
}' 2л
,
2
-(х+а)
Приближение в ф-ле (9 .53) справедливо, когда а велико и, следо­
вательно, eгfct(x+a)/2] мало для всех х, для которых ехр(-х 2/2)
значительно боjJЬШе нуля. Тогда
_d_Р_н_(а_)~(N- 1) _d f- ~ sooехр(-_х2) Х
da
da \ 2,12л
2
-со
Хerfc(х+_а)d.x.,} = (N- 1)dP2(а)
,12
da
(9.54)
и из ф-лы (9.51) получаем
-СО
Х-Р.а)
_
dz.
[{d
}
]
da 2 ( a=V2RcosaФ z
(9.55)
"Приравняв это выражение нулю, легко видеть, что полученное ра­
венство не зависит от N. Так как при N = 2 оптимальное распреде­
ление мощности получается, когда удовлетворяется (9.44) (где
R заменяется на R/2, а Q на 2Q, так как здесь р=О), то оно яв­
. ляется хорошим приближением к оптимальному распределению
мощности для всех значений N. Но так как выражение (9.46) яв­
ляе т ся приближенным решением ур-ния (9.44), справедливым, ког­
да uФ << 1, то оно применимо и для всех N при том же самом ус-
.ловии. (Здесь также Ro следует заменить на Ro/2, а Q на 2Q.)
Следует отметить, что параметр R является отношением энер­
ТИ'И сшгнала, 1пр,н,ходящейся :на символ, к спектральной [IЛотност.и
·.278


шума. Как было указано в гл. 4, R должно возрастать пропорцио­
нально log2N, если вероятность ошибки должна оставаться посто­
янной при увеличении N. Кроме того, если скорость в битах 1/Т0,
фиксируется, то величина Q = 1/BLTs= l/BLTьlog2N будет обратно,.
пропорциональна log2N. Так как Q должно быть большим для
справедливости предположения относительно постоянства опорной
фазы на любом интервале интегрирования, то ограничение на В L
становится более жестким с увеличением N; BL должно быть ма­
лым по сравнению с 1/Ts= 1/Tь\ogzN.
В заключение отметим, что приведенные выше рассуждению
могут быть использованы, по существу, без всякого изменения для,
биортогонального, а не о р тогонального множества сигналов. Опти- ­
мальное распределение мощности остается, по существу, таким же .
9.6. Сравнение синхронизации по отдельному
каналу с синхронизацией в случае единого
канала
Эта глава посвящена исследованию влияния неточностей.
опорных сигналов синхронизации на характеристику различных .
систем связи, а также задаче распределения мощности между син­
хронизационным и информационным каналами. Вместе с тем Jt.
гл. 7 и 8 были исследованы несколько методов получения этой син­
хронизационной И!-!форма ции непосредственно из сигнала, модули­
рованного информацией. Теперь можно определить эффективность
э тих методов на основе р езультатов настоящей главы. В этой свя­
з и сразу же возникают два вопроса: хуже ли синхронизационные ·
о ценки, получа~мые непосредственно из модулированного сигнала ,
ч е м те, которые получаются с помощью отдельных каналов при оп­
тимальном распределении мощности? Выгодно ли дополнять эти·
о ценки оценка ми, производимыми в отдельном канале, если вооб­
ще это возможно сделать? Вообще говоря, ответы на эти вопросы.
пв ляются отрицат?ЛЬНЫМИ.
Для того чтобы обосновать это утверждение, нужно лишь срав­
IIИ ТЬ дисперсии этпх двух оценок. Пусть а21 будет дисперсией син­
х ронизационной оценки, получаемой непосредственно из модули ­
р ованного сигнала, а а22 - дисперсией соответствующей оценки, по ­
л учаемой с помощr,ю второго канала при оптимальном распределе­
IIИИ мощности. Заметим, что
_ 1 =~QRo
0~
Ро
(9.56 },
и так как оптимальное отношение Ps/Pu в каждом из случаев , как
бы ло показано, порядка Q-r, где O<r< 1, то 1/,а22 будет порядка
Qs, где O<s< l. В противоположность этому 1/,а21, как было пока ­
:1 <11-10 в гл. 8, неизменно прямо пропорционально Q. Оч евидн о , что•
С'сли Q= 1/BLТ.s достаточно велико, то оценка, получаемая непо -
редственно из передаваемых данных, будет лучше.
279·


Практически выражение «достаточно велико», в общем, охва­
тывает все представляющие интерес значения Q. Так, например,
·обрат ное значение дисперсии опорной несущей АИМ, передаваемой
по отдельному каналу, в оптимальном случае равно
1/cr; = (3QR6)113
(9.57)
i[ом. (9.43) J. Обратная величина д,и1сперсии оценки с помощью си­
стемы ,Коста,са или ·квад ратичн ой системы
1/crf ~ QRБl(R0 + 1)
[см. (8.60) ]. Таким образом, последняя оценка лучше, если
,Q > УЗ(Rо + 1)312/R~.
(9.58)
(9.59)
Выражение ;3 правой части этого неравенства стремится к нулю
при ,Ro, стремящемся к бесконечности, и равно лишь 2 V6, когда
Ro= 1. Системы Костаса и связанные с ними устройства были рас­
,смотрены ,в 1пр ед,п0,ложении, что BL<< 1/Ts. Следовательно, эти с.и­
стемы имеют -очевидное превосход:ство, л•о крайней мере, 1пр ,и рас­
-смотрении опор.ной не.сущей АИМ для ·всех з.на1Чений Q, для ~юто­
рых справедлив проведенный ранее анализ.
Аналогично в случае синхронизации несущей для двоичной ФТ
система Костаса будет давать более точный опорный сигнал, если
(9.60)
Если , например, вероятность ошибки должна быть I0-3 , то Ro дол­
ж11ю ~быть ~порядка 5 и .иопользо.вание системы Костаса ,более вы­
тод1-ю дл я любых Q, больших, скаж·ем, че,м 0,57. Для того чтобы
.провести ,сра внение этих ,д,вух методов более на1Глядно, .график ве­
.роятности ошибки в слм,воле, относящийся к случаю, ко1Гда -опор.пая
несущая ,получается ,с 1п,омощью системы Коста,са, изображен на
.Р'ИС. 9.6. Его ,следует сра1в1нить с со,ответст,вующими кри·выми на
:рис. 9.5. Кроме ,слу чая малых от:ношен.ий сигнал/шум, метод, ис­
•Пользующий ,си•стемы Костаса, ~приводит .к результатам, •которые
, совшадают или лучше ,результатов для относительной когерен11н,ой
,схемы 1при всех Q~2 . Интересно ,отметить, чт,о характеристика, ,ко ­
торая ~получается .при использовани,и 01птималь"Ной ,систе,мы •отсле­
живания ФТ .несущей из § 8.3 вместо ,системы Ко,стаса, ,по сущест­
ву, со.В1падает (.при Q =2) с характе,р•истикой, шолучающей,ся ,п,ри от ­
носительн,ом когерент.ном .приеме для любых -отношений силнал/:шум.
'Если Q =2, ,имеем BL= (,I/2Ts), и ширина .полосы системы отслежи­
вания равна ш.и.ри1не .полосы Т8 -секундно1г.о .интегратора . Следо,ва ­
тельно, ,почти ~полная эквивалентность этих ,д,вух результатов ,не
должна удивлять. Од1на1ю раосмот,рен·ия § 8.3, ра,вно как и 1пред1по­
ло.жение о ,гауссовском раопределении фазовой ошибки, в лучшем
, случае я·вляются лишь ,прнбл.иженными, есл.и Q= (BLTs)-1 невели­
IЮ . В любом случ,ае ухудшен.не характеристики п1ри .ислользован·ии
,системы К о стаса для ~получения опор1ной :несущей ,пренебрежимо
,мало даже для срав.нительно малых значений Q.
;280


Сравнимые результаты получаются и для других с истем моду­
л яции и других задач синхронизации, рассмотренных выше. Ухуд­
шение характерис~ики бифазной ФТ системы вследствие несовер ­
шенства (прямоугольной) символьной синхронизации, например,
оказывается малым (при R< 10), если среднеквадратическое от­
клонение синхронизационной ошибки -аФ Л 2лщ равно или м ен ьше-
0,2 ,рад (рис. 9.2). Дис~персия ошибки с-истемы ,отслежи ван·ия сим ­
вол о.в (§ 7.6), ~ка.к было .показа но [см. (7.86) ], ,ра•вна
0"2 = _1( Лt/Ts )[f1_ ЗЛt)_1+_1l·
(9.61)
~ 2Q 1- Л1/Тs
\
4Тs R
2R2
Так как сигнал ошибки линеен в области 11: 1 ~ ,Лt/2, то отноше -
ние Лt/Т., может быть по-
рядка 1/6, когда а~ = О, 1/ JТ Р2~-~-~~--.---.---,---.---гт---.
без на рушения условий
§ 7.6. Таким образом, ее- 10-'1---т-'-'c-t.--,--,--1---t-+--~-+--+-+-+---t
5
'\\1\\
ли R = , то стандартное
,...\
......,\...-.-,н,
~-,-+-+-</ I
отклонение синхрониза- 6 ',. \\ \ \\
vv
п
ционной ошибки может 4 \. ~~- ' ~
< v/;=1
быть порядка 0,2 рад при
\'~ \\Vvv/ 4
Q~20.
2
V
Для ответа на второй
i \\::v~v8
вопрос о том, стоит л_и ис- ti2
\,.,,,
.,,
.vо0
пользовать отдельный син -
t--+ -' t-1\iUtН-'tt-~
,,,,--+,.,,71""---,---t--t-t-t--·-1
х ронизационный канал во
вспомогательных
целях,
з аметим, что если синхро­
низация по единому кана­
лу является более точной
по сравнению с синхрони ­
за цией по отдельному ка­
,налу, юхда
МОЩНОСТЬ
распределена оптимально,
то вообще не следует вы­
делять никакой мощности
си н х ронизационному ка­
налу. Предположим, что
об а метода (синхрониза­
ции по единому каналу и
1ю отдельному каналу)
б ыли использованы одно ­
вре менно. Если бы объ­
ед иненная оценка была
;1 у чше, чем оценка при ис-
11ользовани и отдельного
t<а нала с оптимальным
рас пределением . мощно­
с ти, то харак теристика си-
6'
\\~
41---+---\-11\-\\--4--+-1---+--+--1-++---1
'
~1
2 1---+ - -+<..i =-+ -l---+---+--+ ---+ -<--- -4
~
Фз1---1--+н';+1Н-,г--t--+---+-+-+---1
\
б t----+-- -1- -1,w 1
4 t--+ -- -,t--t+;r~-+ --+ ---+ --1 -++ -- -i
2
\
'
104
li
4
\
2
fOS
!О2
'J_
R
Рис. 9.6. Вероятность ошибки в символе
для двоичной ФТ Г!РИ использовании систе­
мы Костаса для получения опорной несущей
4б10124li102
28[


-стемь1, очевидно, могла бы быть улучшена с помощью выделения
,б ольшей мощности информационному каналу , так как син­
х ронизационная сценка ухудшается при таком перераспре­
.д елении мощнос1и даже менее быстро, чем в случае, когда
для получ е ния этой оценки используется лишь синхронизационный
ка н ал. И так как характеристика могла бы улучшиться с помощью
·тако г о перераспределения мощности, когда имеется возможность
использовать лишь одну оценку, это утверждение должно оста­
.ваться справедливым, когда используются обе оценки. Таким об­
разом, характеристика системы будет улучшаться по мере пере­
распределения 1v1ощности от канала синхронизации к информаци­
·онному каналу, по крайней мере, до тех пор, пока опорная синхро­
.низация не перестанет быть более точной, чем при использовании
.лишь отдельного канала с оптимальным распределением. Но есл~1
сам опорный сигнал при синхронизации по единому каналу в дui­
ствительности является более точным, чем эта величина, то кана­
-ЛУ синхронизации не нужно выделять вообще никакой мощности.
Поэтому в такой ситуации отдельный синхронизационный канал
не м ожет быть использован с выгодой.
Следует подчеркнуть, что предыдущие замечания относились
к сравнительному анализу к а чества синхронизационных оценок по
-отдельному и :10 единому каналам . Интересной мерой качества яв-
-Ляются, чаще r,с е го, конечно, отношение сигнал/шум на выходе и
.вероятность ошибки в символе . Так как в случае еди_ного канала
вся находящаяся в распоряжении мощность · используется для пе­
редачи информации, то полная характеристика такой системы мо­
жет быть лучше, чем характеристика системы с отдельным кана­
.лом даже тогд а. когда бол е е точная синхронизация получается при
использовании отдельного канала. В любом случае, когда Q вели­
ко, оба метода синхронизации приводят к почти оптимальной ха­
_рактеристике, и решение относительно того, какой из них должен
·быть использован, будет основываться на других соображениях.
Напримr.р, при ис1,оль з овании единого канала не возникают труд­
iНости при упл о гн е нии, и поэто м у он может быть легче реализован.
Вм е сте с те м абсолютная опорная фаза, которая получается при
·исполь з овании отдельного канала, могла бы сделать его более
прив лекательным , та к как без н е го нужен некоторый другой метод
для ус траненщ~ возможных неоднозначностей в информационных
последовательностях (ер. с § 8.2 и 8.3) .
9.7 . Заключительные замечания
Ос н овн ые выводы и з результ а тов этой главы могут быть
сформулирова ны следующим обра зом:
l . В когер е нтной систем е, в которой восстанавлива е мая несу­
щая служит также для отсчета времени в приемнике, фазовая
ошибка несущей является определяющим фактором ухудшения ха­
рактеристики. В некогерентной системе, в которой отсутствуют вы-
282


сокочастотные временные отсчеты, или в когерентной системе, в ко­
торой символьная синхронизация не связана с опорной несущей .
ошибка символьной синхронизации также может иметь значение.
В действительности наличие относительно точного отсчета време­
ни может быть главным достоинством когерентной системы по,
срав нению с некогере нтной.
2. Однако даже для умеренно больших значений параметра
Q = 1/В LTs влияние неточностей опорных синхросигналов будет от­
носительно небольшим . В частности, это верно, когда синхрониза­
ция получается непосредственно из модулированного сигнала, од ­
нако утверждение также остается в силе, когда используется от­
дельный синхрони:-:ационный канал с соответствующим распределе­
нием между дзумя каналами имеющейся в распоряжении мощ -
1-юсти.
3. За исключением случая довольно малых значений парамет­
ра Q синхронизация , получаемая непосредственно из модулирован­
ного сигнала, заведомо лучше синхронизации, получа емой с по­
мощью отдельногс канала при оптимальном распределении мощ­
ности.
Рассмотрения этой главы всегда подразумевали использование
де модуляторов из гл. 3 и 4. Как было показано, эти демодуляторы
оп тимальны при совершенной символьной синхронизации, а в слу­
чае когерентного приема также и совершенной синхронизации не­
су щей. Интересным обобщением этих результатов было бы опре­
де ление вида оптимального приемника, в котором учитываются не­
избежные неточности синхронизации. В общем случае эта задача
оказ ывается довольно сложной и, с точки зрения результатов на­
ст оящей главы, 01части представляющей акад ем ический интерес .
Од нако в некоторых частных случаях ответы могут быть получены,
и они являются наглядными и поучительными.


· чАСТЬ 111
КОДИРОВАНИЕ
r лава 10
КОДИРОВАНИЕ ИСТОЧНИКА .
ОДНОЗНАЧНОСТЬ ДЕКОДИРОВАНИЯ
10.1. Введение
При рассмотрении в гл. 4 систем передачи данных пред­
-полагалось, что имеется возможность представления информации
Jз виде последовательности дискретных по амплитуде символов.
Наи;более ~простым методом ,пре,вращения 1информаци.и (если •она
не дисК~рет:на 1с •самО!го начала) в такую tфор.му ,служит дискрети ­
зация по времени сообщения на выходе источника .и квантование
выбранных значений; частота выборок и шаг квантования опреде­
ляются величиной допустимой ошибки. При этом подходе неизбеж ­
ны некоторые огр2ничения. Например, число уровней квантования
и, следовательно, результирующее число символов могут быть
больше, чем число сигналов, используемых в системе связи. Кроме
того , такое представление сообщения может не быть особенно эф­
• фективным, поэтому часто целесообразно кодировать информацию,
т. е. отображать ее в некоторое более удобное множество симво­
лов, которые буде!У. называть кодовыми символами (источника).
Один из распространенных методов уменьшения (или в некото­
рых случаях увеличения) числа различных символов, необходимых
для представленш, информации, называется импульсно - кодовой
модуляцией. (ИКМ). (Термин «Модуляция» в этом названии в из­
вестной мере uводи,:г в заблуждение, так как здесь не делается
никаких предположений относительно конкретных сигналов, ис­
пользуемых для представления информации.) Предположим, что
информационные выборки квантуются на N уровней, а сигнал н,1
выходе модуля·гор;:1 представляет собой один из r возможных сиг­
налов. Тогда каждую выборку можно представить в виде после­
довательности log,.N (или наименьшего целого числа, большего,
чем log, .N ) г-ичных символов. (Если r больше, чем N, то в каждый
кодовый символ можно отобразить несколько выборок). Тем са­
мым алфавит ucтo 1ilUlKa (т. е. множество символов, представляю­
щих информа,цию) согласуется с алфавитом кан ала , (ор.сгл.1). Ин­
·тересен также другой метод, который называется дельта-модуля­
цией. и состоит в увеличении частоты выборок до такой величины,
:284


когда становится возможным представить каждую выборку лишь
,одним r-ичным символ ом (в этом случае r=2), указывающим з нак
разности между теку щей и предшествующей выборками. Очевидно
возмож ны мносочисленные р аз новидности обоих этих методов.
Даже 11осле того, как источник был согласован с каналом (или,
возможно , до этого), во зникает необходимость в дальнейших пре ­
образова ния х . В гл. 4 обычно предполагалось, что последователь­
ные символы на входе модулятора были независимыми и с равны­
.м и вероятностями принимали значение любого символа из алфави­
та. К сожалению, источники редко работают таким образом. Чем
больше источник отличается от этой идеальной модели, тем мень­
шую эффективность имеет система в ц елом, если не предпринима­
ются какие-либо меры для компенсации э т ого отклонения.
Одна из причи!-I несоответствия реальных источников и идеаль­
ных моделей состоит в том, что в большинстве источников различ­
ные с имволы появляются на выходе с разными вероятностями.
Для иллюстрации получающейся невысокой эффективности пред­
положим, что алфави т источни ка состоит из чеiъ1рех символов а,
Ь, с и d, появляющихся с вероятностями Р(а) = 1/2, Р(Ь) = 1/4 , Ре=
= P(d) = 1/8. Эти символы можно, конечно, представить с помощью
четырех двоичных последовательностей длины два: 00, 01, 10 и 11;
при этом для каждого символа источника требуются два двоичных
I<одовых символа. Однак о если отобразить а в 1, Ь в 01, с в 001 и
d в ООО, то для половины символов источника потребовалось бы
три КОДОВЫХ OIMBOJia, НО среднее число кодовых символов, необ­
ходимых для представления символа источника, было бы равно
1
1
1
1
3
--1+--2+--З+--3=1-, что дает сокращение на 12 ,5%
2
4
8
,
8
4
по сравнен ию с первым методом. Отсюда возникает предложение
использовать такое соответствие между вероятностью каждого
с имвола и числом кодовых символов для его пр едставления, когда
,более вероят н ым символам источника относят более короткие п о­
следов ательцости кодовых символов. Алгоритм фактической мини­
мизаци и среднего числа кодовы х символов, необходимых для пред­
,ст авления символа источника, описан в § 10.3 .
Второй недостгток реальны х источников (по сравнению с иде­
ал ьными) состоит в почти неизбежной зависимости между после­
д овательными выходными символами источника. Ча с то источник
м ожно моделировать с помощью марковского источника конечного
nо,рядка; мар1ювский 1исю,чник п-,го ,поряд,ка ошрещеляется как ис­
·1 , очник, в котором распределение вероятно с ти текущего выходного
с имвола при условии, что зада ны все прошлые выходные символы,
nвл яется функцией лишь п предыдущих выходных символов. Если
марковский источник п-го порядка способен производить N различ­
ных выхо дных символов, то для полного описания статистических
сво йств текущего выходного символа необходимы Nn условных
1нюпределе ний; 'В этом ,случае ,говорят, что источник имеет Nn
IJозможных состоfишй. Однако, какой бы ни 'была эта зависимость
между ъых,одными символами ,исrоч1ника, она оз,начает, что
285


,по-сле;:r,овательность соо'бще.н·ий содержит лз,быточность. К:аждый
символ переносит меньше информации, чем он способен переносить ,
так как до некоторой степени он предсказуем по предыдущим сим­
волам. Имеется целый ряд схем для уменьшения этой избыточно­
сти в выходных символах источника и, следовательно, для умень­
шения среднего числа символов, необходимых для представления
сообщения. Эти схемы обычно называются схемами для устране­
ния избыточности в сообщении или для сжатия данных.
Другие ограницения, такие, как ограничение на сложность обо­
рудования, на простоту кодирования и декодирования, требование
сохранить некоторый определенный порядок отображения симво­
лов .источника в ,кодовые с.имволы т-а.кже 'В ,большей или м-еньrшей
степени, влияют на выбор метода кодирования. При любом крите­
рии выбора некоторого конкретного кодирования, однако, всегда
каждый выходной символ источника (или каждая последователь­
ность выходных символов) представляется последовательностью
кодовых символов 1J. Так как в общем случае для каждого выход­
ного символа источника требуется более одного кодового символа,
то по необходимости кодовые символы объед и няются в слова; каж­
дое слово состоит из нескольких символов. Множество допустимых
слов называется кодовым словарем (источника).
Чтобы словарь имел какой - то практический смысл, он должен
удовлетворять одному важному требованию - условию однознач­
ной декодируе.мости . Последовательность слов из словаря D одно­
значно декодируема или просто декодируема тогда и только тогда ,
когда ее невозможно интерпретировать как некоторую другую по­
следовательность слов того же самого словаря. Словарь D декоди­
руем тогда и только тогда, когда каждая конечная последователь­
ность слов из D декодируема. Это понятие лучше всего проиллюст­
рировать на примере словаря, который не имеет этого свойства ,
как, например, словарь {w1 = 0, W2= 10 , Wз= 1001}. Невозможно оп­
ределить, является ли последовательность символов 10010 после­
довательностыо слов w3w1 или же слов W2W1W2. Этот словарь не
является однозначно декодируемым и, следовательно, не может
быть использован на практике. (Можно было бы возразить, что
между словами всегда можно поместить «пустой интервал», и это
гарантирует их декодируемость даже, если словарь неоднозначно
декодируем. Но если декодер способен отличать интервал от дру­
гих символов, то интервал также может быть использован как сим­
вол. Использование этого символа - интервала только для разделе­
ния слов обычно не является оптимальным, как будет показано.)
Хотя любая кснечная последовательность слов однозначно де­
кодируемого словаря может быть декодирована лишь одним спо-
1 ) Еlли, J<aJ< это п редполагается здесь, выходные символы источника объе­
диняются в блоки до кодирования и при этом каждый блок содержит заранее
определенное число выходных символов, то получающийся код иногда назы­
вают блоковым кодол-1 . Зарезервируем, однако, этот термин для более ограни­
ченного класса кодов, в котором каждое кодовое слово также содержит одно и
то же число кодовых символов . (Прим. авт.).
286


собом, отсюда не следует, что текущая последовательность слов
,обладает этим свойством. Как следствие, может понадобиться не­
которая задержка прежде, чем окажется возможным декодирова­
ние некоторой последовательности слов. Рассмотрим, например,
словарь D= {101, 00110, 10111, 11001}. Последовательность слов
10111, 00110, 11001 нельзя отличить от последовательности
101, 11001, !О! 10, 001 10 ,
пока не будет получен пятнадцатый символ. Словарь D является
декодируемым, но для однозначного опознавания первого кодового
.слова может понадобиться пятнадцать (или более) символов.
Число dc символов в самой длинной последовательности слов деко­
дируемого словаря, необходимое для однозначного декодирования
первого слова этой последовательности, называется задержкой де­
кодирования.
Задержка декодирования декодируемого словаря не обязатель­
но является конечной, как показывает словарь D' = {l О 1, 00111,
10111, l 1001}. Можно пока зать, что этот словарь является декоди­
руемым. Тем не менее последовательность 101110011100111 . .. мо­
жет быть декодирована как 101, 11001, 11001, ... или как 10111,
00111, 00111, ... Длина самой длинной неоднозначной последова­
тельности в этом случае неограничена.
Существует множество различных ограничений, которые могут
,быть наложены на кодирование источника, однако результирую­
щие словари должны во всех случаях быть декодируемыми, для
того чтобы иметь практическую ценность. Исходя из этого, боль­
шая часть ГJiазы посв ящена исследованию свойства декодируемо­
·СТИ произвольных словарей, а не рассмотрению некоторых частных
.с ловарей. Единственным исключением является§ 10.3, где, как уже
было упомянуто, приведен алгоритм минимизации среднего числа
кодовых символов, необходимых для представления символа источ­
ника, 1,огда известны вероятности этих символов.
10.2. Неравенство Крафта и полные словари
Приведем необходимое и достаточное условие существо­
:вания декодируемого словаря, имеющего N слов с длинами (числа­
ми кодовых символов) l1, l2, ... , lN. Начнем с необходимого усло­
в ия.
Теорем а 10.1. Если словарь из N r-символьных слов с дли-
.н ами l1, lz, ... , l:v ЯВJIЯется однозначно декодируемым, то
N
'\
"' r-li ,(; 1.
(10.1)
,"'- ,j
1=1
(Это неравенство часто называется неравенством Крафта или Кра­
фта-Сцилларда.)
То, что это неравенство может обращаться в равенство для не­
ко торых декодируt:::мых словарей, почти очевидно, так как , словарь,
для которого l,=' l (i= 1, 2, ... , N), является декодируемым, если
287


1
все кодовые слова различны. Условие ~• , 1=Nr-1= 1 просто при­
,,,,,.
i=l
равнивает N величине r1. Так как имеются в точности г1 различных
/-последовательностей из r символов, то условие равенства может
удовлетворяться д:1я декодируемого словаря. То, что кодовые сло­
вари существуют для всех множеств чисел li, удовлетворяющих не ­
равенству, может показаться более удивительным.
Последовательность р, состоящая из r-ичных символов, назы­
вается префик,ом слова w, если w = ps, где s - некоторая после­
довательность, содержащая один или более символов. Соответст­
венно последовательность s называется суффиксом слова w. Опре­
делим кодовый словарь со свойством префикса, как словарь, в ко­
тором никакое кодовое слово не является префиксом никакого дру­
гого кодового слова. Если словарь имеет свойство префикса, то
каждое кодовое слово может быть однозначно д е кодировано сразу
же после того, как оно полностью принято . Такие словари называ­
ются мгновенно декодируемыми. (Требование еще более короткой
задержки, т. е. требование , чтобы самые длинные слова можно бы­
ло декодировать еще до того, как они были полностью приняты,
очевидно, было бы непрактичным; если бы оно было возможным,
то окончания этих слов, не необходимые для декодирования, могли
бы быть опущены в самом начале). Очевидно, для того чтобы сло­
варь был мгновенно декодируемым, он должен обладать свойством
префикса . Эти два термина являются синонимами . Сформулируем
теперь теорему о том, что словари со свойством префикса и, в силу
этого , декодируемые словари со словами, имеющими длины {/i},
(i = 1, 2, . .. , N), существуют для всех множеств {/;}, удовлетворяю­
щих условию ( 10.1).
Теорем а 10.2 . Для любого множества {/;}, удовлетворяюще­
н
го условию ~ г1 ; ~ 1, существует словарь со свойством префикса,
,i ,, ,,J
•
i=l
использующий /-СИМВОЛЬНЫЙ алфавит и состоящий из кодовых слов
с длинами l1, /2, ... , lN.
Рассмотрим пример: r=2, 11= 1, /2=2, lз=З, /4=/5=4. Тогда
5
)~ 2 -1 ; = 1 и словарь, обладающий свойством префикса, существу-
-
i=1
ет. Все словари (10.2) действительно обладают свойством пр е фик­
са , а длины их слов удовлетворяют у1«J занному необходимому ус-
ловию:
1
1
о
о
о
о
0101000010101111
001 ООО О11 010 1IО 111 100 1О1
(lО 2)
0001 OQlO 0]00 О11О 111О 11О1 1О11 1001
0000 0011 0101 О 111 1111 1100 1010 1000
288


Интересно, что декодируемые словари не только не обязаны
быть однозначными для любого множества допустимых длин слов ,
но даже при дополнительном свойстве префикса словари могут
быть реализованы многими способами. Действительно , имеется
(r)
lr 2 -rn)
•
ni
способов выбора первых п1 слов, \ п2 1 способов выбор а
следующих п2 слов и т. д., так что общее число мгновенно декоди­
руемых сло.ва,рей (здесь L - на•и'6оль,шая .из дли1н слО1в)
N {li} = (r ·)(r2
-
rn1 )
n1
.
11⁄2.
.
.
• ( •rL-rL-1 n1 -
.••
nL
(10 :3)
Даже то.гда, !Ко1гда зада:ны длины li ,код,о,вых слов и требуется, ч.то ­
бы словарь был м1гно,венно ,д,ексщируемым, ;о:н обычно ·шродолжает
оставаться нед,оо.п:ред,еленным и .к нему моiгут быт,ь предъявлены
до1полн1ительные 11реб-ова,ния.
N
Роль суммы L г-li становится более ясной после введения пo-
i=l
нятия полног:о словаря. Полным словарем называется такой сло ­
варь, что для любой полубесконечной последовательности симво­
лов найдется хотя бы одно кодовое слово, которое является пре ­
фиксом ет·ой mоследо,вательности. Как следств.ие эт01го, каждая ко ­
нечная ,последq·вателын,ость слмвол-ав может быть ,интер1претиро·в а­
на ка.к лоследователь:ность 1кодовых . слов, оканчивающихся либо
ходовым слО1вом, либо ,префиксом ·кодовог,о слова.
Те о р ем а 10.3 . Если словарь · с N словами является полным, то
N
L r-1i ~ 1, где li - длина i-го кодового слова.
i=I
Теорем а 10.4 . Любые два из свойств
1) свойство полноты; 2) свойство префикса; 3)
з а собой третье.
кодового словаря :
N
~,.-
1i = 1 влекут
~
i=l
След ст ,в и е. Если сло,варь является mолным и декодируе­
мым, то он ,обладает свойством 1п,реф.и~са.
Следующие теоремы, относящиеся к полным словарям , буду~r
полезны для дальнейших исследований.
Те о р е м а 10 .5. Если D - полный декодируемый словарь; .р
-
префикс некоторого слова из D, а D(p) - множество всех суффик­
сов si, таких, что psi является словом из D, то суффиксное множе­
с тво D(p) также является полным декодируемым словарем .
Теорем а 10 .6 . .Если декодируемый словарь D, использующий
r-символьный алфавит , имеет N слов и является полным, то число
р азличных префиксов слов из D равно (N__ . :_r)/(r~l) .
10- 281
289


Следствие . Самое длинное слово в полном декодируемом слова­
; ре D с N словами имеет длину L~ (N-1)/(r-1).
Следствие. Полный декоди р уемый словарь D с N словами суще­
ствует только тогда, когда N=r+л.(r-1) для некоторого неотри­
цательного целого числа '"л .
J0.3 . Коды Хаффмана
В это. м 11араr:рафе описан алгоритм построения мгновен­
но декодируемых словарей, который минимизирует (по всем та­
ким словарям) среднее число символов, необходимое для кодиро­
вания сообщения, при условии, что каждый выход источника ко­
дируется индивидуально независимо от предшествующих и после­
дующих выходов (Это, конечно, не исключает возможности пред­
варительной обработки с целью уменьшения избыточности в выхо­
дах, как ук.азыnалось в § 10.1 .)
При описании алгоритма кодирования удобно ввести понятие
r-нчного дерева (рис . 10.1, r=З); каждый узел является началом
Рис. 10.i. Троичное дерево
для r ребер; к<1ждое ребро, в свою очередь, заканчивается узлом .
. Эти
узлы называются непосредственными потомками начального
узла. Если некоторый узел может быть получен из другого узла
mo последовательности непосредственных потомков, то он называ­
ется потомком этого узла. Приняты следующие обозначения: пер­
вый узел никак не обозначается; его r непосредственных потомков
обозначаются r символами алфавита. В общем случае, непосредст -
. венные·
потомки у з ла, обозначенного a,az ...а;, в свою очередь, обо­
значаются а1а2 .. а;В, где ~ принимает значения r различных симво­
лов алфавита . Ясно, что все !-последовательности из r-символьного
алфавнrг а представляются как узлы на дереве такого типа. Сло­
варь определяется посредством отождествления некоторых из этих
у злов с кодовыми словами и игнорированием остальных.
Если словарь должен обладать свойством префикса, то ника­
кой из потомков кодового слова не может быть, в свою очередь,
кодовым словом . Если узел такого словаря является кодовым сло­
вам, то в1sе узлы, являющиеся его потомками, должны быть вы­
брошены из . дерева; каждое кодовое слово при этом является око­
нечным узлом, кторое не имеет потомков . Дерево такого типа на­
зьfВ'а ется кодовым деревом . Кодовое дерево, соответствующее ело -
• ва рю , {О.,. r, 20, 21 , 220, 221, 222}, изображено на рис. 10:2. Так как
291);


все сло вар и, которые могут быть представлены кодовым деревом:,
оч евидно , яв ляются мгновенно декодируемыми , то мы доказали
сле дующую т еорему.
о
220
221 • 222
Рис . 10 .2 . Кодовое дерево
Теорем а 10.7 . Словарь является мгновенно декодируемым
тогда и только тогда, когда он может быть представлен в виде
кодового дер ева.
Зам етим , ч то некоторые из оконечных узлов дерева не обяза­
тел ьно будут принадлежать словарю, т. е. они могут соответство­
вать «символ ам источника» , появляющимся с нулевой вероят­
но стью .
Т е ор е м а 10.8 . Множество длин {li} слов любого словаря , -ко­
тор ый мож ет быть представлен в виде кодового дерева , удовлетво­
ряет границе (10 .1) со знаком равенства . (Опять, для того чтобы
усеч ь дерево , с'vrожет оказаться необходимым включить нек оторые
код овые слов а, имеющие нулевую вероятность.)
Процедур а построения мгновенно декодируемого словаря, ·ко­
тор ый мини мизирует среднее число кодовых символов, необходи­
мых дл я кодирования символа источника, была предложена Хафф­
ман ом . Метод состоит в следующем. Пусть S 0 обозначает множест­
в о N си мв оло в источника, каждому из которых нужно поставить в
соотв етстви е некоторый узел кодового дерева. Возьмем r узлов, со­
от ветств у ющи х r символам источника, имеющим наимень шую ве­
роя тность по явления, и соединим их с помощью r ребер ,с одним и
тем же сост авным узлом. Оставшиеся N-r узлов вмест е с состав­
ным уз лом м ожно рассматривать как новый источник S 1, в котором
со ставн о й узел представляет новый «символ», имеющий вероят­
н ость, равную сумме вероятностей соединенных с ним узлов. Ана­
л огично соединим r наименее вероятных узлов источника S 1 с од•
ни м узл о м и опре;;.елим тем самым другой источник S2 с N-2 -(r-
- 1 )' символами . Продолжим эту процедуру до тех пор , пока ,не ..ос-­
та нется ли шь один узел . Это и определит кодовое дерево. ·Ч:исл0
ра ссматриваемых узлов уменьшается на r-1 на каждом шаге , по- ·
э тому на предпоследнем шаге останется в точности r узлов тогда к
то лько тогда, когда
N=r +л.(r-1),
( 10.4~
где 'Л, - некоторое целое число. (Отметим, что в таком виде можнt<t
представить число N=ra, где а - некоторое целое.) Если N не
имеет такого вида , то следует ввести «фиктивные» символы источ­
ник а , каждый из которых имеет нулевую вероятность , с тем, чтобы
10*
29!


а)
· Сооб щения
Вероятности
А1
0,40 0,40 0,40 0,40 0,40 1,0
А2
0,20 0,20 0,20 0,20 0,40
Аз
0,10 0,10 0,12 0,.18
0,20
А1
0,08 0,08 0,10 0,12
А,
0,05 0,08 0,10
А6
0,05 0,05 0,05
А;
0,05 0,05 0,05
Ав
0,03 0,04
А9
0,02 0,03
А10
0,01
А1,
0,01
6)
1110 {А 9)
Рис. 10.3. Множество с имволов источника с
их вероятностями ( а) и дерево . кода Хаф­
фмаиа для ·него (6) (r=3)
общее число символов, с
учетом добавленных фик­
тивных символов, удовлет­
воряло равенству (10.4).
Пример на рис. 10.3 1юмо­
rает понять эту про­
цедуру.
Кодовое дерево опреде­
ляется алгоритмом Хаф­
фмана не однозначно. Так,
например, на рис. 10 .36
символы А,, As и А6 могут
быть, очевидно, перестав­
лены, и это не повлияет
на среднюю длину сооб­
щения. Символы А5, А 6 и
А 7 также могли бы быть
лереста,влены, так ,как ·ве­
р -оя11ности 1каждого из Н'ИХ
одинаковы.
Пр.едположим, что символы источника S с N словами представ­
ш:поrrся словами или некоторым словарем D. Тогда средняя длина
кодового слова определяется равенством
N
L = \_,, P,•l.
"-
"
(10.5)
i=I
где li - длина код,ового слова, представляющего i-й символ источ­
·ника, а Pi - вероятность того, что этот символ появится на выходе
источника. Очевидно, что, по крайней мере, когда каждый символ
источника кодируется независимо от предыдущих и последующи х
символов, среднее число символов, необходимых для представ.пения
последов.ательности символов источника, минимизируется при ми­
ним.иза•ции L. Чтобы словарь 1был однозначно декодируемым, мно­
же,ство..длин .кодовых слов {li} должно удовлетворять rра1нице ( 10.1).
292


Теорем а 1О.~. Никакой мгновенно декодируемый словарь не
д ает более короткую среднюю длину слова при представлении сим­
волов источника, чем соответствующий словарь Хаффмана.
Следствие. Никакой однозначно декодируемый словарь не
д а,ет более к.ор,о:гкую с:реднюю дшгну сло.ва, чем ,соответ,ству19щий
сло,ва,рь Хаффмана.
•
Алгоритм Хаффмана, таким образом, идеально подходит для
,с итуации, когда с помощью предварительной обработки зависи­
м ость между последовательными информационными символами
,б ыла сведена к минимуму. В этом случае код Хаффмана исполь­
зует каждый из r-!ич,ных коJI,овых символов ~приближенно ( 1/r)-ю
д олю в1реме1ни ,и ·каждой символ ·в за~юдиро,ванной 1п1оследователь­
:ност,и дает ,мын;имум информ,ации от.носителыно -следующего за ним
.с иивола. Это ле,гко увидеть с 1по,мощью раесмотрен·ия ,соотв-етству­
ю ще1Го кодово,го ,де,рева. ,Каждый :нешосредст.венный ~rютом-ок ,неко­
торо,г.о узла п_редставляет событие, вероятн-о,сть ,ко11орото .при.мер:но
р а·вна ,вероятност;и -событий, 1пред:ста,вляемых друr:им.и непосредст­
,венными лот-ом-ками этог,о узла . - Соответ,ствен:но ,п,римерно рав,ны
в ероя11ности появлеюrя любо;го симв-ола вслед за любым другим, •и
л юбой символ используется приблизительно с одинаковой частотой.
10.4.. ПрОУверка произвольного словаря
на однозначную декодируемость
Полезным средством при анализе свойства декодируемо­
сrи какого-либо частного словаря является суффиксное разложе­
н ие словаря. Суффиксное разложение словаря состоит в определе­
н ии множеств 5;; эти множества определяются следующим обра­
з ом. Множество 5 0 представляет собой сам словарь, 5 0 =D. Мно­
ж ество 5; состоит из всех последовательностей символов s; (кото­
iрые :назьr.в,аются сег;11ентами), та·ких, чт·о ли1бо S;-1 1S;,=,c, либо s;_1=
= cs;, где с--: некоторое слово из D, а s;-1
-
какой-либо сегмент из
Si-I · Заметим, что каждый сегмент в каждом множестве 5;, i? 1
я вляется суффиксом кодового слова. Для примера пусть D = {О, 1О,
12 , 21, 112, 1122}. Тогда суффиксное разложение D может быть за­
m.исано в .виде:
S 0 =D={0, 1,0, :12 , 21,112, 1122}, 51={2}, 52={1},
53= {О, 2, 12, 122}.,
54= {1, '2}, Ss= {О, 2, И, 122, 1} ...
Пр.ичем все множества S; со,вшадают ,п,р~и i?5. Над:о 1помн1ить, что
им еются два критерия для включения последовательности симво­
л ов в некоторое частное множество . Множество 5 4, например, со­
лержит элемент 1 потому, что 21 принадлежит D и 2 входит в 5з.
Э лемент 2 содержится 1в S4, так .как 12 1пр,и1наJI:лежит D, а 122 - Sз.
Укажем следующую теорему, связывающую свойство однознач-
1 ю й декодируемости с ограничением на суффиксное разложение D.
Эта теорема ~первые была доказана Сардинасом и Паттерсоном.
293


Теорема 10. 10. Кодовый словарь являете-я однозначно дека,..
дируемым тогда и только тогда, когда никакое кодовое слово не
содержится ни R каком множестве Si (i~ 1),.
Чтобы более наглядно проиллюстрировать этот критерий, рас ­
смотрим кодовый словарь D= {11, 010, 100, 110, 101, 0011} . Суф­
фиксное разложение словаря начинается следующим образом:
So=D
s,
s.
s.
s.
s~
11
о
J.O
о
10
о
010
011
l
011
1
100
1
0()
110
00
10
101
01
01
0011
11
Как видим, м1-южество Ss G:одер-жит кодовое слово 11. Для того
чтобы построить неоднозначно декодируемую последовательность ,
выберем Xs=S5= 11; X4=S4=00 (так что S4S 5 - кодовое слово); Хз=
=Sз= 1 (S3S4= 100); X2=S2= 10 (s~з= 101); X1=S1=0 (s1S2=010) и
Xo=So=ll (s0s1=110). Последовательность s0s1s2sзS4Ss=1101010011
может ,быть декодиро·вана .как 111 ,. 01 ,0, 100, 11 ,и •как 110, 101 , 0011 .
Пусть D* обозначает словарь, получаемый обращением (считы­
ванием справа наJ1ево) слов из словаря D (например, D= {1, Ot ,
02, 012} , тогда D* = {1, 10, 20, 210}) . Тогда справедлива
Теорем а 10.11 . Словарь D является однозначно декодируе­
мым _ тогда и только тогда, когда словарь D* однозначно декоди­
руемый.
Пусть Ns обозначает число различных суффиксов слов из сло­
варя D, ,которые сами не принадлежат D, и пусть N* s - соответст ­
вующее число для словаря D*. При этом справедлива
Те о ре м а 10.12 . Чтобы определить, является ли данный сло­
варь D декодируемым, необходимо исследовать не более по мно­
жеств, включая МЕожество S 0 =D , где n0 ~l+min(Ns, N*sJ.
В качестве примера рассмотрим кодовый словарь 10, 01, 011 ,
111 . Суффиксами являются О, 1, 11, так что Ns = 3. Обращенный
s,
s,
10
1
о
01
11
011
111
294
1
11
s.
о
11
1
сло·варь 01, 10, 1Ю, li11 име­
ет ,суффик,сы 1, О, 10, 11, ·так
что N's = 4. Не-о'6ходимо ,ис­
следовать лишь четыре м1но­
же.стна из таблицы . Так
ках ни одно .из этих че­
тырех множеств не содержит
кодового слова, словарь яв­
ляется однозначно декоди­
руемым. Фактически не бьr­
ло необходимости рассмат-


р ивать даже ,четверто-е множ·ество, .все суффиксы 1появились в ,пер ­
в ых двух м,ножест,вах . Кодово.е слово, если бы оно ~вообще 1появи ­
~1 ось, было бы замечено в одном из первых трех множеств. Или,
чт о еще проще, ни одно из этих множеств не может содержать ко­
довое слово, так как в множеств.ах Si содержатся лишь суффиксы
и так как никакой суффикс из D н<е является кодовым словом из D .
Д аже суфф.иксное разложение не было необх,одимым .
Интересно заметить, что, несмотря на то, что N* s>Ns, доказать
однозначную декодируемость обращенного словаря D* еще проще.
Е сли So=D*, то множество S1 пусто: ·
В се остающиеся множества также пусты, и
D* (и, следовательно, D) является одно­
з начно декодируемым словарем. Заметим,
ч то D* обладает свойством префикс.а и без
да льнейших исследований ясно, что этот
с ловарь является однозначно декодируе­
м ым . _ Все множества в суффиксном разло­
ж ении какого-либо словаря, обладающего
:с в ойством префикса, будут, очевидно, пус­
т ыми, так как никакой суффикс не может
01
10
110
111
в соединении с к,,ким-либо кодовым словом дать другое кодовое
сл ово. Обращение словаря, обладающего свойством префикса, дает
словарь, обладаюший свойством, которсе можно назвать свойством
суффикса: никакой суффикс кодового слова не является кодовым
сл овом. Это следует либо из теоремы 10.11, либо из рассуждений
;п,реды,цущего абза1Ца ·011носительно ·ю1го, ,что слова,рь, обладающий
.с в ойством суффикса , всегда однозначно декодируем .
Число различных суффиксов Ns кодовых слов из словаря D
б ыло использовано для того, чтобы получить границу числа мно­
же ств в суффиксном разложении словаря D, которые нужно рас­
с мотреть, чтобы вынести суждение об однозначной декодируемо­
с ти. Теперь используем это число Ns для других целей (например ,
для установления условия ограниченности задержки декодирова­
н ия кодового словаря). Полезно получить верхнюю границу для Ns
с помощью свойств самого словаря, не исследуя детально его суф ­
ф иксов и не подсчитывая, сколько из них различных. Следующая
те орема дает такую границу.
Теорема 10 .13 . Пусть D является словарем с N словами, со­
,с та вле.н,ными ·из r-си.мвольного алфа,вита; обоз-нач.им чер,ез Do ~под­
мн ожество D, содержащее N 0 слов ( l ~No~N) из D , которые не
:51 в ляются суффиксами каких-либо других слов из D . Тогда число
Ns различных суффиксов из D, которые одновременно не являются
с ло вами D, ограничено неравенством
N5 <: ~im;-N0[logrN0] +,. ,.
1 ( rpogrN•]-I
-
1),
i
где mi - число слов в D 0 длины i. Квадратные скобки обозначают
це лу ю часть величины, которая находится внутри них.
295,


Используя суффиксное разложение 'Кодового словаря, можно,
получить также необходимое и достаточное условие конечности за­
держки декодирования.
Теорем а 10.14 . Кодовый словарь D является декодируемым
с конечной задержкой тогда и только тогда 1 когда мыожество Sn ·
о,
в суффиксном разложении D является пустьrм для некоторого,
no~Ns+ 1.
Теорем а 10.15 .j Если кодовый ·слuваръ является декодируе­
мым с конечной задержкой dc, то
[ ~]lмнн ~dc ~ [поt1] Zмакс,
гдеSn -
1
первое пустое множество в суффиксном разложении ело~
о
;
варя, а lманс и !мин - числа симв.олов в кодовых словах максим аль.-
ной и минимал!:>ной длины соответственно .
Величина по в теореме 10.15 ограничена сверху величиной Ns + I .
а не минимумом из Ns+ 1 и N*s+ 1. В то вр;емя как обращение де­
кодируемого кода декодируемо, обращение кода с конечной задер­
жкой декодирования не обязательно имеет конечную задержку.
Например, возьмем словарь D= 10, 01, 011 и 111 , который рассмат­
ривался ранее. Хотя как D, так и D* декодируемы, последователь­
ность 01101110111()11101110111 ... могла бы возникнуть как при пе­
редаче кодовых слов 01, 10,111,011, 10, 111, 011 . . ., так и при пе­
редаче кодовых слов 011, 011, 10,111,011, 10, 111, 01. Для разре­
шения неоднозначности необходимо эту последовательность слов из
D продолжить до бесконечности. Напротив, обращенный код D~•
имеет задержку дl'кодирования, равную трем,, так как он облад.ае'Jf
свойством префикса .


r лава 11
СИНХРОНИЗИРУЕМОСТЬ
11.1 . Введение
Условие декодируемости для кодового .словаря дает во з ­
.-1\10:жно·сть разбить любую последовательность слов из словаря од­
н оз начно на о,де.1ьные слова, составляющие эту посл е довате л ь "
н о сть , при условш.,.:, что задан на ч альный символ последовател ь но­
.с та . Во многих применениях, однако, начальный символ может н е
б ы ть и_з вестен; наприм е р, возможно, что была начата п е редач а со­
об щения до того, 11.ак приемник начинает свой прием, или во зяик ­
шие ранее ошибю~ привели к не правиJiьному декодированию п е р­
n о начальной части сообщения . Если такая ситуация во з никла ,
мож ет оказаться необходимым, чтобы ,сло·ва,рь ~был ,не только деко­
дируемым, но и с11нхронuзuруемым . Последовательность слов, н а ­
ч ин а ющаяся с кодового суффикса, называется синхронизиру емой с
:з ад ержкой ds, rсш: для однозначного определения начального сим­
вола, ,по к,райней мере, одного ,,из ее ,ело.в ;нужно знать не бол ее
l i s символов . Говорят, ·что сло1В арь является с.инхронизир уемым с
з аде ржкой d s, ·если он ~екощируем и если ,каждая 1последо·ват е ль-
1. юс ть с и .мволов, составленная из -слов этого ,сло·варя, ,син ~ро1н:и з.и­
ру е ма с за.цержкой ds или ме,ньшей. Есл·и те,рмлн « си,щсрониз,ир.уе ­
м ос ть » будет ис,пользоs аться без ,какой-либо ог-овор.ки, т,о бу,!I;ет
J 1 од раз умеваться син.хрониЗ'и_руемость ,с ко,нечн ой задержкой .
Эта глава начинается с описания некоторых общих свойств, ко­
тор ыми должен обладать словарь, для того чтобы быть - син хрони­
з и руемым. В ,следующем 1па,ра1графе ,введено ,поняти е с амосuнхро­
н uз uруемост11 и иссле,д-ованы некоторые свойст.ва словаря , связа н­
,н ые с ·этим ,понятием 1). В §. 11 .3 дана ,верх1няя ,гран·ица для чи,сла
с лов различной длины, которые м-отут входить в какой-либо еин­
х ро низируемый словарь. Наконец, в § 11.5 описана констру кция ,
и-о по льзуя которую, ,вс егда можно достичь этой лра:ницы.
11.2 . Проверка словаря на синхронизируемость
Требование, чтобы словарь был синхрони з ируе мым , на -
1 <л а дывает на любую принимаемую последоват ельность кодовь1х
-с лов одно из следующих двух ограничений : Каждая последова­
т е ль ность символов, получаемая из последоват е льности слов с по­
м о щью отбрасывания, по крайней мере , одного начального симво­
J 1 а (но не большего числа, чем в полном слове) , является либо не-
1) Представленные, в § Jl.2 методы разработаны В. И. · Левенштейiюм.
.(Прим. ,авт.). •
297


декодируемой , .'!ибо декодируемой , но такой , что правильная син­
хронизация автоматически устанавливается после того, как пер ­
вые несколько слов декодированы. Примером словаря, удовлетво ­
ряющего обоим условиям , является словарь , который состоит и з
слов W1 =01 ; W2= 100; Wз= 101 ; ',W4= , I:101. Если , Q-!аmример , ~первые
два символа 1последова'Гельности , нач·инающейся с Wzw 4w i•• · , не м о ­
гут быть использованы при декодировании , то выходом декодера
будет последовательность W1 , w 3, wi . .. и синхронизм достигается ко
времени приема w, независимо от индекса i . Напротив , если в той
же самой последовательности был опущен лишь первый символ, то
декодер получит вначале символы 00. Так как никакое кодовое
слово не начинается этим префиксом, то декодер опознает , что
произошла синхронизационная ошибка и выберет в качестве на­
чального какой-либо другой символ .
Те о р е м а 11 . 1. Декодируемый словарь синхронизируем с ко­
нечной задержкой только тогда, когда он и его обращение декоди­
руемы с конечной задержкой.
Доказательство . Предположим , что з адержка декодировани я
для словаря D неограничена. Тогда существует некоторая после­
довательность с н е огранич енной длиной, которая н е может быть
декодирована одно з начно. В сбо з начениях § 10.4 , где ci - слово , а
si - кодовый суффикс в D, типичная недекодируемая по сл е дова­
тельность имеет вид
(11.1)
где отметки ука з ывают два во з можных варианта декодирования :
Предположим , что нижни е отметки соответствуют переданным ко­
довым словам. Тогда отбрасывание из префикса этой последова­
тельности символов, составляющих С1 = CoS1, приводит к последова- ·
тельности декодируемой с неограниченной задержкой , несмотря н а
то, что синхронизация ошибочна .
Аналогично предположим, что обращенный словарь D* не деко­
дируем с конечной з адержкой. Тогда опять в обозначения х § 10.4 -
существует некоторая недекодируемая последов а тельность
11
1
1
1
\
sllС10SgSвS7s6Ssс.,,С3s'};slСо'
(11.2)
1
1
1
111
1
\
которая теперь читается справа налево. (Здесь ci и Si . ..sh - слов а
первоначального кода D. При считывании справа налево они яв­
ляются словами обращенного кода. Аналогично все Si , если читатт-.
справа налево, являются суффиксами и, так как задержка декоди­
рова;ния не огра1ничена, ~префиксами в D* . Бел.и их читать сле,ва на ­
право, то они, следовательно, будут как суффиксами, так и пре- .
фиксам;и в D.) Так как .s1 1, :на.пр.и ме р , является суффиксо м к одо.в а­
го слова из D, то последовательность ( 11 .2) , читае~ая слев.а на - ,
право, могла бы оказаться последовательностью слав из D с от-
298


б рошенными начал~-,ными ,символами . Отметки под последователь­
н остью соответствовали бы декодируемым словам, а верхние от­
метки - переданным словам. Синхронизация не будет достигнута
д,о 11ех пор, ~пока не бу~дет ~принято с1. Но •если задержка декодиро­
ван,ия ,о'6ращен,но,го кода D* .не •огра,ничена, то ,последователь.ность
( 11.2) может быть произвольно большой. Таким образом , в этом
случае синхронизационная задержка словаря D также не ограни­
ч ена ■ (здесь ·и ~далее ■ - к,онец .,1;оказательс11ва).
В параграфе 10.4 было .определено суффиксное разложение
с ловаря D. 'Пусть S - множество суффиксов D; рассмотрим суф­
фик.сн.ое разложен.и.е множества S, получаемое при использовании
S , ·а не D в :качестве So -1пе:р·во['О множества разложения. Вновь
используя о·боэначе~ния § 10.4, {)Тметим, ч110 любая д,екодируе,мая
паследо.вательность ,слов. ;начи1нающаяся ,с суффикса, может быть
з аписана в в.иде
SoX1XzX3X4 • •
·,
(11 .3)
, де, как и ранее, Х; обознача ·ет либо кодовое слово ci, либо суф­
фикс слова si. Снова любая подпоследовательность этой последо­
вательности вид-а S;Сн1Сн2 ...ci+j-1S;+j является кодовым словом. Бо­
л ее того, если ни одно из первых т множеств суффиксного разло ­
жения не является пустым, то последовательность вида ( 11.3) су­
ществует и содержит т элементов.
Теорем а 11 .2 . Декодируемый словарь D является синхрони­
з ируемым тогда и только тогда, когда некоторое множество Sn 0 в
суффиксном разложении множества S суффиксов D является пу­
стым при некотором целом n0 :::;;min[Ns, N*s) + 1. Величины Ns и
N* s обозначают числа таких различных суффиксов, которые одно­
в ременно не явлюGтся кодовыми словами в словарях D и D* соот­
ветственно.
Доказательство Рассмотрим цепочку 1 ) сегментов из суффикс­
н ого разложения множества суффиксов S. Очевидно, что все по­
следовательности кодовых слов, которые могут быть декодированы
после того, ка:< некоторые начальные символы были отброшены,
х арактеризуются какой-либо такой цепочкой. Если словарь яв­
ляется синхронизируемым, то для всех этих последовательностей
должна всегда иметь место одна из следующих двух ситуаций,
о писанных выше: Jшбо в процессе декодирования должно быть до­
стигнуто место, после которого нев{)зможно произвести дальнейшее
декодирование, либо декодирование должно войти в · синхронизм
и привести к правильному кодовому слову. Первые из этих ситуа­
ц ий соответствуют условию, в котором некоторый сегмент из цепоч­
·к и не является элементом следующего множества. Если имеет ме­
сто второй случай то слово, которое должно в конечном счете быть
де кодировано. является либо суффиксом переданного кодового сло­
ва , составляющего эту часть последовательности:, либо имеет в ка­
честв е суффикса э? о переданное кодовое слово. В любом случае
1) Ср. с § 10.4. (Прим. авт.).
299


соответствующий сегмент из суффиксното разложения будет кодо ­
вым словом . Но по теореме 11 .1, если словарь является синхрони ­
зируемым с конечной задержкой , то он такж е должен быть деко ­
дируем с конечно(~ задержкой. Таким образом, когда сегмент яв ­
ляется кодовы~,r слово м, цепочка, следующая з а этим сегментом ,
должна по теор е ме 10.14 иметь конечную длину . Следовательно ,.
все цепочки должны иметь конечную длину, и некоторое множе­
ство должно быть пустым для того, чтобы словарь был синхрони:­
з ируемым. И , наоборот, если некоторое множество пусто, то вс е
цепочки имеют конечную длину и либо невозможно декодироват ь.
соответствующую последовательность дальше при заданной на­
чальной точке, либо декодирование должно войти в синхронизм с
переданной последовательностью слов .
Чтобы оценv,ть число сегментов, которые могут появиться в це ­
почке ограниченной длины , заметим снова , что ни одна из них не
должна содержать повторяющихся сегментов . Так как множество
S 0 содержит суффикс, то самое большее N s-1 оставшихся суффик­
сов может быть 1шлючено в какую-либо цепочку . Учитывая вто­
рой режим достижения синхронизма, можно сказать, что один и з
эти х сегм е нтов может быть кодовым словом , а не суффиксом , но в
с илу того, что словарь является декодируемым, лишь один сегмент
в цепочке может содержать слово. В соответствии с этим самая
длинная цепочка может содержать самое большее Ns + 1 сегментов ,
и множество S 11 0 должно
быть пустым для некоторого цел ого•
no~Ns+ 1.
•
Предположнм теперь , что существу е т некоторая цепочка, содер­
жащая больш е . ч е м N* s + 1 сегментов. Эта цепочка при чтении
справа налево соответствует некоторой це почк е в суффиксном
разложении суффпксного множества словаря D*. Так как D* де­
кодируем , то эта цепочка может также содержать самое большее
одно кодовое слово в качестве сегмента . Если она содержит боле е
чем N* s+ 1 сегментов, то некоторый суффикс D* должен быть по ­
вторен и может быть построена бесконечная цепочка. Следователь-
но, n0 ~N* s+1 , и теорема дока­
D,
01
101
110
001
о
01
10
s,
01
10
s,
о
1
01
10
зана ■i.
В качестве примера рассмот­
рим словарь D1 из слов {01, 101 ,.
110, 001}. Так как D 1 обладает­
свойством пр·ефикса, то он, оче­
видно , является декодируемым.
Но суффиксное разложение суф -­
фиксного множества словаря D 1
имеет вид, показанный в таблице ,.
и так как S 2 = S1, то все последующие множе·ства будут совпадать.
с S 1. Словарь не является синхронизируемым. В частности, после -
довательность
1
1
101101
1
300
1
1
О11О1
1
1


может быть бесконечно продолж ена, причем невозможно уста·но­
в ить правильную синхронизацию , если неизвестна начальная по­
зи ция.
В противоположность этому словарь D 2 ={ 101 , 00110 , 10111 ;
11001}, который, как доказано в § 10.1, является декодируемым ,
является также и синхрони з ируемым в силу того , что
D,
S0=S
101
о
00110
10111
01
11001
10
11
001
110
111
0110
О 111
1001
и Ss пусто.
s,
01
10
001
0110
Olll
1001
111
s,
01
10
111
0111
1001
s'
01
111
О 111
1001
s'
01
0111
1001
Теорем а 11.3 . Если словарь D является синхрони зируемым, '
то задержка синхронизации d s ограничена неравенством
шах{dс-lмакс; а;-zмакс, lпо 2 1 ]zюш}+ l ,;;;;ds,;;;;[n°; 1 Jzмa><c- l,
(11.4)
где dc и d '''c - з адержки декодирования словарей D и D* соответ- .
ственно; l м,шс 11 lмин - числа символов в кодовых словах D макси­
мальной и минимальной длины и Sn 0 -первое пустое множество в
суффиксном разложении множества суффиксов D.
Доказательство. Вывод верхней границы аналогичен использо­
ва нному в -теорем·е 10.15, ,но слегка усложне:н тем , · что 1пер,вые т
с имволов (О :s;;; т ,,:;;:Zмакс-2) несинхронизируемой последовательно­
сти максимальной длины не обязательно содержатся в соответ~;:т-,
ву ющем суффиксном разложении множества суффиксов D. {Первое
ко довое слово, которое принимается полностью , может начинаться
( т+ 1)-м символом, второе - k-м при некотором k и з интервала
m<k<,lмaкc• Очевидно, что, если k~lмакс, то (т+ 1)-й символ од- ·
нозначно восстанавливается как первый символ первого правиль ~
1-юго кодового слова . ] Как я ра.нее, ;есл,и по четное, то существует
четное число · не п устых мю:>жеств в суффиксном разложении (о~
301


S o до Sп :1;1-1), и дJiина самой длинной последовательности, соответ­
€твую щей этим по множествам, не превосходит (по/2).lманс симво ­
лов. Та к к ак суффиксу из S 0 могут предшествовать в действитель­
ности вплоть до lманс-2 дополнительных символов , фактически не
входя щих в суффиксное разложение , то ds~ (nо/2).lманс+lманс - 2 .
Если по н еч етное , то длина последовательности максимальной дли­
ны, не с одержащая суффиксы множества S0, ограничена величиной
f(no--l) /2}lмaнc , Эта 1последователыность следует за суффиксом сло ­
ва (,по крайней мере, часть ·к•О'I'Орого [11рлна.длежит So) , ·коrорый
не мо жет содержать больше ,lманс-• l символ,ов. Следо1вательно, если
по неч етное, d s~ ((no+l)/2)lм a н c -l, и теорема о верхней границе
доказана.
Если словарь имеет задержку декодирования dc, то существует
последовательность длины dc-1 вида ( 11.1), где ни один из двух
возм ожных вариантов декодирования не может быть отброшен до
тех пор, пока не будет принят dс·Й символ. Отбрасывание с0 из пре­
фикса этой последовательности приводит к последовательности
длин ы dс-1-Оманс-1) (или большей длины), которая не являет­
ся синхронизируемой. (В с0 могут входить самое большее lманс-1
си м волов, так как cos 1 является кодовым словом . Если бы не было
отброшено все слово со, то можно было бы заключить на основе
оста вшегося суффикса, что в действительности было принято с0.
И так как оба варианта декодирования этой последовательности
нач и наются с первого символа Со, то в этом случае не было бы
си нхронизационной неоднозначности.) Аналогично, если обращен ­
ный словарь имеет синхронизационную задержку d*c, то существу­
ет последовательность длины d* с-1 вида ( 11.2), для которой еще
пе устрюrена неоднозначность декодирования. Та же самая после­
довательность, читаемая слева направо , является последовательно­
стью из D, начинающейся суффиксом слова из D и имеющей дли­
ну, по меньшей мере, равную d*с-1-(,lманс-1), и не являющейся
t!ин хронизируемой . Как и ранее, величина lманс-1 должна быть
в ы ч тена , так как по предположению можно завершить последо ­
затель.ность ~после получения ,первого символа .из со. На.конец, ,рас ­
суждения , приводящие к нижней границе в теореме 10.15, могут
быть использованы здесь для того , чтобы показать, что d;~
:;;i[(по-1)/2]lмш,, Это завершает вывод нижней границы ■ .
11.3. Самосинхронизирующиеся кодовые словари
Мы рассмотрели два механизма , посредством которых
мо ж н о осуществлять синхронизацию . Один из этих механизмов ра ­
ботает , когда ~принимаемая ,п-оследователыrость неде.кодируема
11осл е определенного места: в этом случае обнаруживается потеря
си нх рони з ации (в предположении , что ни один из символов не яв­
ляется ошибочным) , и декодер должен начать декодирование по­
е:;ледовательности вновь, начиная с другого начального символа .
Эта процедура им<оет то _ преимущество, что она обнаруж~вает син -
302


хронизационную ошибку . Слова, декодированные, пока эта оши(>­
ка не была обнаружена, можно отбросить, а принятая последова­
тельность декодируется вновь после того, как установлена пра­
вильная синхронизация .
Было также отмечено, что в некоторых случаях синхронизм по­
лучается автоматически . Декодер начинает работ у с ошибочной
синхронизацией, ни в процессе декодирования фактически входит
в правильный синхронизм , никогда не достигая места, которое он ·
не может декодировать . Синхронизационная ошибка никогда не
обнаруживается, и поэтому не делается попытка исправить непра­
вильно декодированные до установления синхронизации слова. Тем
не менее этот :11етод синхронизации имеет важное преимущество.
состоящее в том, что он не приводит к дополнительному усложне­
нию аппаратуры . Декодер достигает синхронизма без какого-либо
видоизменения.
Последовательности, которые имеют то свойство , что дек одер .
автоматически входит в правильный синхронизм даже тогд а, когда
начальные символы составляют суффикс слова, а не само кодовое .
слово, будут называться самосuнхронизuрующимися П'D'СJiедова­
тельностями. I::слн любую последовательность слов из дек оди руе­
мого словаря D, t,ачинающуюся с какого-либо суффикса какого- ·
либо слова из D, можно сделать самосинхронизирующейся после­
до.вателыностью, !Присоедини.в к ,ней в ,конце mоследо,в ательность .
конечной длины, со,ст•оящую ,из слов, то D называется абсолютно .
самосuнхронuзарующuмся словарем. Если некоторые или никакие
из этих последовательностей не могут быть сделаны самос инхр о­
низирующимися, :-о словарь называется соответственно частично
с амосuнхронuзирующuмся словарем или никогда самонесuнхронизи­
рующuмся словарем. Здесь не накладывается никаких ограни чений
на время до возникновения самосинхронизации; такие коды могут
б ыть , а могут и не быть синхронизируемыми с конечной задерж­
кой. Однако даже в случае, когда задержка является по тенциаль­
но бесконечной, вероятность того, что бесконечная последователь- ·
ность слов, выбираемых случайно из самосинхронизирующегося
с ловаря, в конечном счете не войдет в синхронизм, рав на нулю.
Действительно, вероятность того, что на каком-либо этапе не бу­
дет выбрана обязательно синхронизирующая последовательность.
меньше единицы, так что это событие может произойти беск онеч- ·
ное число раз только с вероятностью ноль.
Часто желательно, чтобы словарь был либо абсолютно само­
си нхронизирующимся, либо никогда самонесинхронизирующи мся в·
за висимости от того, является ли простота процедуры декод ирова­
ния более или менее важной по сравнению со способностью обн а­
руживать момент, когда происходит ошибка синхронизации. Час­
тично самосинхронизирующийся словарь, в силу того что он дол ­
жен производить синхронизацию при отсутствии самосин хронизи­
рующейся последовательности, не обеспечивает ни снижения слож­
ности декодера, ни гарантирует обнаружени~ всех ошибок синхро­
низации.
303


Теорем а 11.4. Словарь D будет никогда самонесинхронизи­
рующимся в том тт только в том случае, когда никакие суффиксы
D не являются одновременно кодовыми словами D.
Доказательство. Если имеется такая самосинхронизирующа~ся
последовательность, как, например, (в обозначениях § 10.4) после­
довательность
(11 .5)
в которой верхние отметки (представляющие декодированные сло­
ва в присутствии ошибок синхронизации) и нижние отметки (от­
мечающие переданные кодовые слова) будут находиться в фазе
после получения суффикса sв, то суффикс s 6 сам должен бьпь ко­
довым словом. Наоборот, всякий раз, когда суффикс s 0 в ,Р являет­
ся также некоторым кодовым словом с0 , последовательность so, по­
лучаемая отбрасыванием префикса из кодового слова с этим суф ­
фиксом , является самосинхронизирующейся . ■
Словарь D 1 из § 11.2 порождает некоторые самосинхронизирую­
щиеся последовательности , поскольку все сегменты суффиксного
разложения суффиксов словаря D 1 содержат слово 01. Очевидно,
однословная последовательность 101 является самосинхронизирую­
щейся при удалении первого символа, так как 01 также является
кодовым словом. В противоположность этому словарь D2 из того
же самого параграфа согласно теореме 11.4 будет никогда самоне ­
€инхронизирующимся.
Абсолютно самосинхронизирующийся словарь D должен обла­
дать следующими двумя свойствами :
I. Любая полубесконечная последовательность слов из D дол­
жна быть декодируемой в виде другой (возможно отличной) после­
довательности слов из D независимо от числа начальных символов,
Qтброшеиных в этой последовательности. Словарь, обладающий
эr,и,м ,сJЗ'ойством, называется разбиваемым.
•. 2 . Должны существовать конечные синхронизирующие последо­
вате:льн01сти, состоящие из кодовых слов, которые способны обес­
печить достижение синхронизма для любой из этих разбиваемых
последов,ательностей. Это означает, что для каждой последова­
тельности кодовых слов у, которой пред.шествует любой суффикс х
.цюбого кодового слова, должна существовать синхронизирующая
последовательность ·z кодовых слов, такая, что последовательность
xyz может быть полностью декодирована. (Так как z состоит толь ­
ко из кодовых слов и так как по .следовательность xyz должна окан- .
ч1,1ваться словом, з. не префиксом, то декодер должеа достичь син­
хронизма, по !<райней мере, ко времени, когда, будет полностью
декодирована последовательность xyz.)
, . Сдедующая тео.ремса ттредставляет собой прямое следствие вто­
рого из этих свойств.
~04


Теорем а 11.5 . Если декодируемый словарь является абсо­
лютно самосинхронизирующимся, то он должен обладать свойст­
вом ~префикса.
Доказательство. Предположим, что рассматриваемый словарь
не обладает свойством префикса, так что р одновременно является
кодовым словом и префиксом слова ps. Так как словарь является
2 бсолютно • самосинхронизирующимся, то должна существовать
декюдируемая ~последовательность .sz, где z -1послед_о-вательно,сть
кодо:вых слов. Но тогда декодирование ,последователыности psz
возможно, mo ме.ньшей мере, д,вумя опосо,бами: в одн,ом ,случа,е де­
кодиро,ва.ние .начинает,ся к-одо.вым слово,м р, -во вто~ром - кодовым
словом ps. ,Следовательно, ,словарь не может :быть одно·временно
самосинхрон,изирующимся JI .декодируемым, если 01н не облада,ет
свойством :префикса. ■
Разбиваемость, которой требует абсолютная самосинхронизиру­
е мость словаря, очевидно, имеет место, когда словарь полный, но,
к сожалению, нужно иметь в виду некоторые другие соображения.
Те о р е м а 11.6 . Синхронизационная задержка декодируемых .
полных словарей является бесконечной, кроме случая, когда все
с лова содержат только один символ.
Доказательство. Если некоторое слово из словаря содержит
более одного символа, то имеется, по крайней мере, один символ
(назовем его а), кс,торый не является кодовым словом. Это утверж­
дение является · следствием того, что словарь должен обладать свой­
ством префикса (теорема 10.4). Тогда последовательность ааа . . .
представляет собой последовательность кодовых слов длины два
или больше, так как словарь является полным , а символ а не яв 0
ляется кодовым словом. Но эта последовательность, очевидно, не
с инхронизуемая. Если отбросить первый символ, то последователь-
1-юсть останется той же самой; не существует способа определения
первого символа любого слова этой последовательности .
В силу этого может быть полезным рассмотрение словарей, ко­
торые обладают свойством префикса и которые являются разби­
ваемыми, но не полными. Для того чтобы описать такие словари,
удобно определить пополнение D' словаря D таким образом, чтобы
о бъединение D и D' было полным декодируемым словарем. Если
D облад2ет свойством префикса, но не является полным, то всегда
можно добавить к нему слова так, чтобы получить словарь, кото­
рый будет полным, но все еще будет обладать свойством префикса .
Систематический метод выполнения этого построения состоит в вы­
Jiисывании всех L-последовательностей (где L - длина самого
длинного слова из D) и определении тех, которые не имеют в каче­
с тве .префиксов ,слова из D. Эти 1послед~ние L-,последовательности
могут быть отнесены к множеству {У. Хотя такая 1<онструкц1:51
11риводит к неоднозначному определению D', она будет использова­
н а в последующем рассмотрении. Пусть далее S будет множеством
с уффиксов {si} в р и пусть S 1 будет множеством элементов {х;},
нричем х; принадлежит множеству S 1, тогда и только тогда, когда
305


SjXi=c' для некоторой L-последовательности с' из D' и некоторого
суффикса s j из S.
•
Теорем а 11.7. Словарь D, обладающий свойством префикса ,
будет разбиваемым тогда и только тогда, когда никакой элемент
из множества S 1 не является префиксом в D и не допускает пред­
ставления в виде последовательности слов из D, за которой сле­
дует, ,возможно, ,п,рефи.кс .и:з D.
Доказательство. Если условие теоремы нарушается, то сущест­
вует, очевидно, некоторый суффикс некоторого слова из D, который
в случае, когда за ним следует последовательность слов из D, дает
последовательность слов, содержащую некоторое слово из D'. Так
как словарь D+D' обладает свойством префикса, то эта же после- .
довательность не может быть декодирована в виде последователь­
ности слов лишь из D и D не будет разбиваемым . .
Обратно, 1пред1положим, что .имеется некоторая ,последователь­
ность ,слов .из D (,начинающаяся суффиксом из S), которая не яв­
ляется разбиваемой. Тогда первая недекодируемая часть этой по ­
следовательности должна начинаться словом из D'. Это может
произойти , только если существует суффикс в S, за которым мо­
жет следовать последовательность из нуля или более слов из D,
оканчивающаяся, возможно, префиксом из D, что даст слово из D'.
Такая последовательность была бы элементом из S 1 и имела бы
вид, запрещенный условием теоремы. (Заметим, что никакой эле­
мент из S не может сам быть словом из D', так как все последние
имеют длину L, в то время как все первые имеют длину, меньшую,
чем L.) Это доказывает теорему ■.
Для того чтобы показать, что множество разбиваемых , но не- ·
полных словарей не является пустым, рассмотрйм словарь D 1 =
= {1, 01, 001, 0001}. Единственным словом, которое необходимо до­
бавить для того, чтобы сделать множество полным, является 0000.
Но, так как S={l, 01, 001}, то S1 является пустым, и D 1 является
разбиваемым. В качестве второго, менее очевидного примера, рас­
смотрим словарь D2-= {1, 001, 0001, 011, 0101, 01001, 010001}. Тог­
да D'={OOOOOO, 000001, 000010, 000011 , 010000}, S={l, 01, 001, 11 ,
101, 1001', 0001, 10001} и S1= {0000}. Поскольку никакая последо­
вателыность слов из D 2 не нач.и,нается с 10000, то D2 ,разби.ваемый.
До сих пор мы имели дело с первым из двух условий, необ­
ходимых для того, чтобы словарь был саl\iосинхронизирующимся.
Напомним, что второе условие требует существования синхрони­
зирующей последовательности для каждой возможной последова­
тельности слов, начинающейся суффиксом слова.
Для того чтобы облегчить рассмотрение необходимого и доста­
точного условия существования синхронизирующих последователь­
ностей, введем суффиксное множество Q, определяемое как мно­
жество таких суффиксов некоторого словаря D,' которые не явля­
ются словами из D и не имеют в качестве префиксов слова из D .
Так, если D= {О, 100, 101, 1Ю, ,1'110, 1И 1}, то Q= {1, 10, 11, 111} .
306


Т е о р е м а 11.8 . Разбиваемый декодируемый словарь D являет ­
,с я абсолютно самосинхронизирующимся тогда и только тогда ,
когда каждый из элементов обращения Q* суффикс ного множест ­
в а Q содержится, по крайней мере, в одном множ еств е суффикс­
н ога разложения обращенного словаря D* .
Доказательство. При заданном разложении D* мож но по­
,стр.0ить последовательность вида (ер. с§ 10.4)
1
1
1
5sS7СвС5С4SзS2С1,
1111
11
rд~ последоват,ельность читается справа налево. Отметки отделя­
ют подпоследовательности, которые являются словами из D*, а
при чтении слева направо сJrонами из D. В этом частном примере
sв является суффикс9м из D и верхние отметки отмечают декоди­
рование, начинающееся с ss, которое приводит к синхронизму, ког­
да 1пр,инимается слово с1, что указано с помощью нижних ,отметок.
Если такая последовательность существует, то существует, оч е ­
видно, синхронизирующая последовательность для любой после­
довательности кодовых слов. которая, будучи декодирована асин­
хронно, оставляет в качестве суффикса элемент, отмеченный в
данном случ.ае через ss . Так как Q содержит все возможные суф­
фиксы из D, которые не могут быть частично декодированы сами
по себе, то словарь абсолютно самосинхронизирующийся, если каж­
дый •элемент Q* содержится в не~ютором сегменте ,разложения D* .
Обратно, если имеется некоторая синхронизирующая последо"
в.ательность для некоторого суффикса из Q, то можно разложить
е е на сегм.енты так, как это было сделано выше в частном приме­
ре. Эти сегменты, читаемые справа налево, определяют элементы
последовательных множеств суффиксного разложения обращенно­
г о словаря D* . Рассматриваемый суффикс должен содержаться в
некотором множестве этого разложения, так что условие, указан­
н ое в теореме, является как необходимым, так и достаточным. ■
Рассмотрим опять словарь D1={l, 01, 001, 0001} . Здесь Q яв­
л яется пустым, так что условие теоремы 11 .8 тривиально. Очевид­
но, что поскольку каждый суффикс является кодовым словом, с.10-
в арь является абсолютно самосинхронизирующимся и в дейстнЕ­
т ельности является синхронизируемым с минимальной задержкой .
Вторым из рассмотренных разбиваемых словарей является сло­
в арь D2 ==:c {1, 001, 0001, 011, 0101, 01001, 010001}, для которого
Q = {01}, Q"'={~O}, а первые два множества в разложении D*~
S 0 =D*i={1 , 100, 1000, 110, 1010, 10010, 100010};
S 1 = {О, 00, ООО, 10, 010, 0010, 00010}.
Т ак как S 1 содержит единственный элемент Q*, то этот слоnарь
та кже является абсолютно самосинхронизирующимся.
В противоположнрс;ть этому словарь Dз= {11, 00, 01, 1000, 1001,
1О iО, lО11} является полным и декодируемым. Но Q= {О, 1, lО};
307


Q*={O, 1, 01}. и разложение D*з имеет вид S(}=D*3 ={11 , 00, 10,
0001 , 1001, 0101 , 1101}; S1={01}; S2= {01}; S 3= {01}. Все последую­
щие множества содержат лишь 01, так что \/) 3 не является абсолют­
но самосинхронизирующимся словарем. В частности, никакая по­
следовательность оюв 1не может -быть пр'исоедин.ена к !Какой-либо
последовательности, начинающейся с суффикса, имеющего нечет­
ную длину, для того чтобы сделать ее самосинхронизирующейся,
так как все последовательности слов имеют четную длину и любая
последовательность начинающаяся суффиксом, имеющим нечетную
длину, за которым следуют кодовые слова из D 3, будет иметь не­
четную длину. Это рассуждение можно, очевидно, обобщить и сфор­
мулировать следующую теорему.
Теорем а ! 1.9. Любой словарь, имеющий слова с длинами, об­
щим делителем которых является некоторое целое число Ь, боль­
шее единицы, не может быть абсолютно самосинхронизирующимся.
(Заметим, в частности, что это относится ко всем словарям, имею­
щим одинаковые длины слов Ь> 1.)
Поскольку множество Р всех префиксов слов словаря, по-види­
мому, более удобно для использования, чем множество Q, то полез­
ной оказывается следующая теорема.
Теорем а 1·1 .10. Если множество Q в формулировке теоремы
11.8 заменить на Р (множество префиксов словаря D), то теорема
остается справедливой ,
Доказательство. Ясно, что для того, чтобы словарь был разби­
ваемым, все элементы Q должны содержаться в Р. Условие теоре­
мы 11.8 при замене Q на Р, конечно, будет достаточным. Для того
чтобы доказать необходимость этого условия при замене Q на Р,
покажем, что каждый элемент Р* должен содержаться в некотором
множестве суффиксного разложения D*, если это утверждение
справедливо для каждого элемента Q*. Это следует сразу же в си­
лу того, что любой элемент р* из Р~' может быть использован для
построения слова, имеющего либо вид w"'t =w*2w*3... W*zp*, либо
вид w*1=q*w*2w*з... W*zP*, где w*i - слова из D*, а q* принадле"
жат Q*. Поскольку в каждом из этих двух случаев все слова из
D* содержатся в множестве So и все элементы Q* содержатся в
некотором множестве, то же должно быть верным для всех эле­
ментов Р*. ■
Оценим теперь число множеств суффиксного разложения D* ,
которое нужно исследовать для того, чтобы узнать, можно ли сло­
варь D классифицировать как абсолютно самосинхронизирую­
щийся.
Теорема 11.1 11. Если разбиваемый декодируемый словарь D
является абсолютно самосинхронизирующимся, то требуется про­
верить не более п 1 множеств суффиксного разложения D*, чтобы
У.становить, .выполняются ли условия теоремы Н.8, ~де n1~Np д
~де N Р - число ,пр·ефиксов ,из D.
•
1()8


Доказательство. Прежде всего, заметим, что N Р =N*s,' т . е .
число префиксов D равно числу суффиксов D* . Доказательспю
после этого становится аналогичным доказательству теоремы 11.2 .
Каждая зап ись элемента в некоторое множество зависит только от
элементов предыдущего множества. Поэтому после некоторого
множества, содержащего только элементы, которые уже появля­
лись в предыдущих множествах, никаких новых элементов в раз­
ложении не появится. Необходимо лишь выяснить, как долго будут
появляться новые сегменты в каждом множестве. Так как сущест­
вует лишь N*s=Np .возмож ных сегме~нто.в, теорема доказана. ■
Наиболее простые разбиваемые словари - это полные словири .
Основной недостаток этого класса словарей состоит в их неогра­
н.иченной синх•р•он.иза,ционной ;задержке (теорема 11.6) . Этот .недо­
статок можно преодолеть, однако, используя универсальную син­
хронизирующую последовательность. Универсальной синхронизи­
рующей последовательностью называется последовательность , ко­
торая эффективно декодируется независимо от предшествующего
ей суффикса. Если периодически вставлять такую последователь­
ность в поток 1шдовых слов, то можно быть уверенным, что деко­
дер будет в синхронизме после декодирования этой последователь­
ности, даже если до этого он не был в синхронизме. При этом, ко­
нечно, вносится избыточность в систему, но то же самое происходит­
и при всех других методах синхронизации, рассматриваемых в этой·
главе. Другие рассматриваемые методы используют более сильные
ограничения на число слов в словаре по сравнению с тем ограниче­
нием, которое наложено условием де1,одируемости. Метод универ­
са,1ьной синхронизирующей последовательности по зволяет исполь­
зовать полностью декодируемый словарь, но при этом необходимо
периодически включать кодовые слова, не переносящие информа­
цию. Покажем теперь, что такие последовательности существуют~
Теорем а 11. 12 . Для любого абсолютно самосинхронизирую­
щегося словаря существует универсальная синхронизирующая по,­
следовательность .
Доказательство. Так как словарь является абсолютно само­
синхронизирующимся. то для каждого суффикса s существует по­
следовательность кодовых слов cr. такая, что любая последователь ·­
ность кодовых слов п9сле приема . пос.[!~довательности scr будет
декодирована синхронно. Постр·оим универсальную синхронизирую­
щую последовательность следующим образом. Пусть wL -
од}ю
из кодовых слов максимальной длины L. Оно будет первым словом~
в синхронизирующей последовательности . Любая несинхронно де­
кодируемая последовательность, за которой следует слово wL, бу­
дет . дават.ь в остатке один из L-1 возможных суффиксов этого,
слова. Если последнее декодированное слово было словом wL или
суффиксом wL, то синхронизм уже достигнут. Предположим поэто-­
му, что остаток после последнего декодированного слова является
таким суффиксом s1 слова wr., который не , является кодовым С-110-
вом. Тогда должна существовать . синхронизирующая последова-
309


-тельность а1 для этого суффикса s1. Предположим вместо этого,
·что остается суффикс s2. Обозначим тогда через
·s '2 суффикс, остаю­
щийся после декодирования сегмента s2a1, и присоединим синхро­
·:низирующую последовательность а2 этого суффикса к универсаль­
ной синхронизирующей последовательности, которую мы строим.
:В общем случае ,суффикс si приводит после декодирования после­
довательности Si,a1a2... ai-1 к суффиксу s'i, для которого, в свою оче ­
·редь, синхронизм достигается с помощью последовательности с.лов
ai. Поступая таким образом, можно построить универсальную син­
хронизирующую последовательность вида ~ = wL·a 1,a2 a 3 " . aL-1 , так
что, есл,и .суффикс si слова wL •остается, когда дек,одер В1первые
,сталк.ивается .с этой посл·ед()lвательностью, 'ГО синхр,онизм бу1дет
д.остиг н ут ко времени, когда будет получена подпоследовательность
,ai, ,и, ко;нечно, !:ИIНх р-он.из,м сохра.н.ится 1во время де,кодирован·ия ос­
:г.а вшейся части синхронизирующей последовательности L. ■
Рассмотрим в качестве примера полный словарь D= {00, 111,
.1100, 1101, 1000, 1001, lOIO, Юl 1, 0100, 0101, 0110, 0111} .-
Имеем
:D= {00, 111, 1100, 1101, 1000 , 1001 , 1010, 1011, 0100, 0101 , 0110,
О 111};
P=Q= {О, 1, П, 100, 01, 101, 10,010,011, 110};
.So=D* = {00, 111, 0011, 1011, 0001, 1001 , 0101, 1101, ОО· Ю, 1010, 0110 ,
HlO};
•
.:S1 ={П,Ol , 10, · О-};
S2 = {il, 01, 110, 11, О, 011, •001, 101, 010, .110} .
-Поскольку множество Р* содержится в S2, то словарь является аб­
,солют но самосинхронизирующимся. Универсальная синхронизи-
рующая последовательность может начаться, например, с четырех­
симв-ольн10,го .слова wL=Ol 11 . ТО1Гда, есл,и суффикс, остающийся
после декодирования последнего слова, предшествующего этой по~
,следователыноег.и, 1равен s 1 = :111, то синхронизм уже достиг.нут.
Если су,ффиксо.м будет s2 = 11, то с.инх,рон.изирующая 1шJ,следова­
тельность для него будет 'состоять из одного слова 00, т. е.
•
01 11100 1
1
1
1·•
""L'ак что универсальная синхронизирующая последоватедьность при­
обретает вид 011100. Наконец, если остается суффикс sз= 1, то
,суффиксом s'3 будет 100 и в качестве а3 можно выбрать слово О 111.
Полная универсальная синхронизирующая последовательность при
этом равна ~ =0111000111 . Другая последовательность могла бы
быть построена , если начать с некоторого другого четырехсимволь­
ного слова . Наиболее короткая унив~рсальная синхронизирующая
·последовательность 1000111 поJrучается, например, когда выби­
рается WL= ЮОО.
Тео, ре ма 11.13.-
Каждый самосин:х:ронизирующийся кодовый
,,с ловарь· имеет универсальную синхронизи -рующую . последоват_ель-
.з10
;


ность д.~шны не большей, чем л, где J. ~
[ п,_.iз] L(J:----'1')' и· где n1
определяется ·так же; как в теореме 11.1; ~ - длина максимально­
го кодового слова, а квадратные скобки обозначают целую часть
стоящей в них дроби .
Доказательство. Для заданного разложения D* можно так же.
как и в доказательстве теоремы 11 .8 , построить синхронизирующую;
последовательность для любого суффикса из Q. Самая длинная из~
таких 1последо.вательностей ~будет содержать п 1 сегменто,в и кмо ~
вое сло·во в конце. Последовательность , ,пос11роенная из эт.их сег'­
ментов (см. § 10.4), такова, что любые два смежных • сегмента
имеют длину н~ более L символов. Следовательно, длина любой та­
кой последовательности не больше, чем {(n1i2) +l]L, символов, если'
n1 четное, и [ (п1 + 3) /2JL символов , если п 1 нечетное. Согласно кон­
струкции из теоремы 11.12 универсальная синхронизирующая по ­
следовательность состоит не более чем из L-1 таких последова -­
тельностей. Таким образом, теорема доказана . ■
Мы говорили, что обычно словари должны быть либо абсолют-­
но самосинхронизирующимися, либо никогда самонесинхронизи-­
рующимися . Первые имеют то преимущество , что они не требую т­
какого-либо дополнительного оборудования для получения · син -­
хронизации. Часто, однако, здесь возникают трудности из-за воз­
можной . неограниченной задержки синхронизации . Как было пока ­
зано в теореме 11 . 12, ее можно устранить с помощью периодичес ­
кой передачи универсальной синхронизирующей последовательно ­
сти; такие последовательности существуют для всех абсолютно са­
мосинхронизирующихся кодов . Кроме того, хотя все полные коды,
имеют недостаток (неограниченную задержку), не все самосинхро ­
низирующиеся коды таковы. Любой словарь вида Dп= {1, 01, 001 .
001, 00001 ... } (содержащий все слова вида 00... 01 вплоть до дли-­
ны п), 1в котором все суффиксы та'Кже являются кодо'Выми слова-­
ми, очевидно, является самосинхронизирующимся с конечной за-­
держкой. В действительности эти коды можно было бы назы вать.
✓игновенно сuнхронизируе.мы.ми , так как синхронизм получается •
автоматически после приема любого полного суффикса. Длины,
слов в - этом частном словаре D;, таковы, что
С1едовател.ыrо, Dn почти достигает верхней границы в неравенстве·
Крафта, определяющем свойство декодируемости . Ограничение на
синхрониз,ируемость ,не обязательно значит€льно ув-ел1ичи~вает ·из,бы 0 -
точность кода, 110 сравнению с той, которая требуется лишь для·
одноз-начной декод.ируемост,и. Вопрос о максим,альном числе слов в1
си~нхронизируемом словаре рассматривается · в следующем •пара­
графе.
31 11


,11.4 . Верхняя граница для числа слов
в синх;ронизируемом словаре
Пусть w обозначает п-последовательность, а wi - обо ­
. з начает п-последовательность, получаемую циклической переста ­
новкой символов w на ,i позиций вправо . Таким образом , есл и
:w = ((()oU:)1. ,. (i)п-1), то wi= ((i)n-•i(i)n-i+1 ... (i)71-fl(i)Q ... (i)п-i-1) . Если , W1=
=wi2 для некоторого целого i, то говорят, что ,w 1 и ,w 2 принадле­
жат одному и тому ?!(е _ классу эквивалентности . Максимальное чис­
л.о _ разш,-чных . слов длины п в классе эквивалентности равно, оче­
видно, п, так как W"=w для любого слова w_ Некоторые классы
эквивалентности, которые щ1зываются вырожденными, содержат
1v1еньше, чем п слов. i[Слово w = (00 ... 0), например, является единст­
венным словом в своем классе экнивалентности . ] Если w принадле­
:жит вырожденному классу эквиы1лентности, то w = wi для некото­
рого цел_ого i из интервала 1,:::;;i,:::;; n-1 .
Если словарь синхронизируем (с конечной задержкой), · то ·он,
очевидно , не может содержать двух слов из одного и того же
класса эквивалент ности _ Если не считать префикс , то последовс1-
тельности слов www ... и
'i .Q. 1iwiwi_ ..
тождественны и не существует
,,с пособа определения начальнuго символа такой , последователыю­
сти, если как 'i .Q ',
так и wi принадлежат словарю. Аналогично ни­
какой синхронизируемый словарь не может содержать никакого
,слова из вырожденного класса эквивалентности. Если w = wi, то
бесконечная последовательность шww ... не изменяется, когда пер­
вые i символов отбрасываются и не существует способа определить,
1<акой символ является начальным симнолом кодового слова .
Таким образом, показана справедливость следующей леммы.
Лемм а 11 . 1. Число п-симво.rrьных слов в любр м синхронизи­
руемом коде, составленном из r-символьного алфавита, ограниче­
·н о величиной N(n, r), где
N(п,r)=W(п,r)/n
( 11.6)
и где W(n, ,r) - число п-последовательностей, принадлежащих не­
вырожден ным классам эквивалентности.
Рассмо'Грлм в качест,ве -примера множ·ест.во дво·ичных .последо­
вательностей длины 4. Классы экв~ивалештности, содержащие 1по­
след овательности длины 4 0000 и 1111, ,имеют только ,по одному
элеме,нту, кла,с-с, содержащий шоследовательности длины 4 0101,
101 О, содержит лишь эт.и два элемента . Оставшиеся 24 -2 -2 = 12
4-последо~вательностей ,П'ринадлежат невырож,J,енным ,классам экв·и­
~з ален1шости. ~Следователь.но, имеется точно 12/4=13 так-их классов,
каждый из которых вносит са м ое большее одно слово в любой
,,словарь, который будет синхронизируемым. Существование син­
хронизи руемого словаря е тремя словами доказывается примером
множества {0001, 0011, 0111}.
Если n°посJiедовательность :имеет то свойст.\ю, что w = w v ,'1.'IЯ
некоторого целого · v,;: то · говорят, что она периодическая с перио -


дом v. Слово длины п принадлежит вырожденному классу · экви ­
валентности тогда и только тогда, когда оно является периодичес­
ким с некоторым периодом 0<v<n. Следующие две леммы _ будут ·
полезны при определении числа слов W(11, т) в невырожденных..
классах эквивалентности.
Лемм а 11.2 . .Если последовательность w длины 11 является пе­
риодической с периодами ,'1, v2, ••· и если v 1 наименьший из этих пе­
риодов, то
1. v1 \ "'i для всех i (т. е. v,; = liv1 для некоторого целогп li);
2. V1 11.
•
:
Доказательство. Пусть v; =,q;v1+r1, где qi - неотрицательно~
целое число, а r, -
целое число из интервала 0~ri<v1. Если w·
•
•
v.
q.v,+r•
является периодической с периодам_и v; и v1, то w = ,w ' =.w' '
'-
r,
= w ' . Так как \' 1 является наименьшим целым i, для которого
wi=w, то отсюда следует, что ,ri~v1 или ri=O. Но так как r; при­
надлежит интервалу O~,ri<v1, то ri=O и Vi=qiv1 для некоторого,
целого Qi- Это справедливо для всех периодов vi последовательно­
сти w, в ·,том ч исле для vi == п. Лемма доказана. ■
Лемм а 11.3 . Пусть А
-
подмножество элементов множест­
ва S, имеющих свойства а; обозначим через iN (А) число элементов.:
в А. Тогда число элементов в S, имеющих какое-либо из свойств
а1, а2, .. ., am (т. е. число элементов в множестве A 1+A2+ ... +Am) ,
равно
,
~
~, -.
N(А1+А2+...+Ат)=~N(А;)---~N(А;Ai)+
i
i i<t
(11 .7),
ij<ik<i
где N(Ai,Aj ... Av) - число элементов, имеющих все свойства ,
ai, aj,••·, av (т. е. число элементов в . множестве AiAj... A J .
Доказательство. Доказательство проводится индукцией по т ..
Очевидно, если т = 2, то
N(A1 +А2) =N(A1) + N(A2)-N(A1A2),
так как число элементов в А1А2 включается как в N (А1), так и в,
N ( А2) и, следовательно, подсчитывается дважды в сумме N ( А1) +
+ N ( А2). Предположим теперь, что лемма справедлива дJ1я неко­
торого т~2. Тогда, положив B=A1+A2+ ... +Am, получим
N (Ат+~+ В)= N (Ат+~)+ N (В)- N(Am+l В) .
(11.8) ,
Но так как В и Am+1B представляют собой сумму (объединение)
т подмножеств, то как N(B), так и N(Am+1B)=N(A1Am-н+
+A2Am+1 + .. .+АпАm+1) удовлетворяют равенству ( 11.7) согласно ,
предположению индукции. Объединяя ( 11. 7.) и ( 11.8), . получаем вы е•
ражение, эквивалентное ( 11.7), но содержащее т+ 1 подмножеств, .
и доказательство леммы следует из принципа индукции.
Теперь можно доказать следующую те_орему.
ЗJ З;


Теор ем а 11.14. Число п-символьных слов из ,r-ичноrо
та в синхрониз,ируе,м,ом коде не может ,быть ,больше, чем
'
1'1
N (п, r) = -;; I.Jμ (d) rn/d,
d/n
алфави -
(11.9)
.где суммирование производится по всем целым d, которые являют­
с я делителями пи где 1)
!1приd=1;
,μ(d) = (- l)k приd=р1р2• ..рk(Р1, Р2,... , Рг-различные простые; числа);
.
,О
в остальных случаях.
Доказательство . Предположим, что w - вырожденная п-по­
-следовательность с минимальным периодом v. Согласно лемме 11 .2
период rv должен, очевидно, равняться n/d, где d - некоторый це­
лый делитель п. Очевидно, что w также вырожденная последова­
тель;ность с. ~периодом l" ,где L - некоторое целое число. Та1к как
.любое ,целое d м-ожно за1писать в в.иде m.ро,изведения стеmеней ~Пр1ос­
тых чисел, то шолу,чаем, что v=n/d<n я·вляется mериодом w только
тorJJ.a, ·когда .Zv =n/p, 1где р -некото'рЫЙ ,прос1'оЙ делитель п . Для
того чтобы найти число Wd(n, r) вырожденных п-последовательно­
,стей, необходимо, следовательно, лишь подсчитать число тех п-по ­
•следовательностей, которые имеют какой -либо из периодов п/pj,
тде (Р1, р2, .. ., р1) - множество простых делителей п. Но если
·w яв­
ляется п-последовательностью с периодом n/d, то она должна иметь
:в ид w = ss .. .s, где s - некоторая (п/d)-последовательность . Так как
любая п- последовательность такого вида является периодической
,с периодом n/d, то существуют точно rn/d п-последовательностей ,
;имеющих этот период. Таким образом, используя лемму 11 .3 и за ­
(Мечая согласно лемме 11 .2, что w будет вырожденной с периода­
ми п/рj для всех j=j1, j2, ... , jμ тогда и только тогда, когда она
также вырождена с периодом п/р i, Pi, .. . Pjμ , получаем
'- -,
п/р. '\" '\-,
п/р. рi
wd(п,r)=Lr '-kJL;r ' +
i
i i<i
+ L~ ~ /IP;PjPk___ -(-1)1/IP,P, .. . pl .
(11 . 10)
i i<i k<j
Поэтому число невырожденных п- последовательностей равно
W(n, ,r) =rn-Wd(n, r); максимальное число п-последовательностей
в синхронизируемом коде равно 1/п-й этой величины (лемма 11 . 1) .
Теорема доказана.
Теорема 11.4 основана на том, что никакие два слова с одной и
той же дл,и,ной в синх,ро.низи1руемом .коде ,не мо,rут ,принадлежать .к
од!-fОму и тому же классу эквивалентности и что ни одно из слов
1) Функция μ (d) называется μ-функцией Мебиуса . Она часто встречается в.
комбинаторных задача х . (Прим. авт.) .
.3 14


\
не принадлежит вырожденному классу эквивалентности . В случае•.
когда словарь содержит слова неодинаковой длины, та же самая
идея может быть использована, чтобы улучшить границу для числа
слов в оинхрониз.и.руемом .коде . Пр,едJпол,ожим,. что д1Ве различных
1последо1вательшост.и слов оказались :в одном .и том .же iКлассе эюв,и ­
валентност.и {напр·имер , преддюло-жи,м, что не-кот·орую 1ци:клическую·•
перестановку п-символьного слова можно было бы также получить ,
если поместить за k-символьным словом (п-k)-символьное слово ~
все три слова принадлежат одному и тому же словарю] . Если бы·
две последовательности S1 и S2, составленные из различных кодо­
вых слов, были фактически тождественными, то код не мог бы да­
же быть однозначно декодируемым. Если бь1 они были связаны цик­
лической перестановкой, то бесконечные последовательности
... S1S1S1 .. . и
.. . S2S2S2... не могли бы быть различены : без помощи:
какого-нибудь постороннего метода, используемого для определе ­
ния начального символа, и код был бы несинхронизируемым .
Для того чтобы сделать это условие более точным, определим,
класс эквивалентности по слова.м, в противоположность классу эк -·
вивалентности по символшvt, как множество всех последовательнос­
тей слов, которые отличаются лишь циклической перестановкой
слов в последовательности . Так, например ; если w1 =0011 , W2=0l
и Wз= 10, то последовательности• символов W1=0011 и W2Wз=Ol lO!
принадлежат одному и тому же классу эквивалентности по симво ­
лам. Однако последовательности слов w1 и W2Wз не находятся в од ,
ном и том же классе эквивалентности по словам, так как одна из :
них не мо:жет быть получена с помощью циклической перестановки
другой. В противоположность этому последовательности слов,
w1w2wз; wзw1w2 и w2wзw1 все пр:инадлежат одному и тому же клас ­
су эквивалептности по словам. Заметим, что символы, которые со -­
ставляют слова, не играют роли в определении , класс.а эквивалент - ­
ности по словам .
Предыдущие рассуждения ,. относящиеся к требованию , чтоб ы:
различные последовательности G:Лов • принадлежали различным
классам эквивалентности по символам, приводят к следующему·
выводу.
Лемм а ·111.4. Если словарь D является синхро;нивируе-мым, то,
число не.вырожденных класоов. экв-ивалентности слов ,из D, имею ­
щих ,пол1ную дл,ину п, не м-ож,ет ~быть больше числа ,невырож~енных.
классов эквивалентности последовательностей символов длины п
при любом целом п.
Доказательство . Пусть S 1 и· S2 - две различные последователь­
ности символов, соответствующие последовательностям слов W1 и,
W2 соответственно . Предположим далее, что S 1 и S2 принадлежат
о дному и тому же классу эквивалентности по символам, но что
W1 и W 2 принадлежат двум различным классам эквивалентности по,
словам. Бесконечная последовательнос;rь ... S1S1 .. . может быть ин-­
терпретирована либо как ... 1i'f'i W1... , либо как :.. W2W2 .. ., в зависимо­
с ти от того, какой символ принимается в качестве начального. Но
315•


·w1 и W2 не связаны циклической перестановкой. Следовательно, в
отсутствие априорной синхронизации возможны два различных
<{;ПОсоба декодирования, и словарь не является синхронизируемым.
Аналогично, если S 1 вырожденная последовательность, а W1 - не­
вырожденная, тогда либо S 1 неоднозначно декодируема, либо по­
,следовательность ... S1S1 ... может быть декодирована двумя различ­
ными способами, если начинать с различных символов .
Синхронизируемость требует, таким образом, чтобы любые две по­
. следователы-rости слов из различных невырожденных классов экви­
валентности по словам приводили к двум последовательностям
.символов, которые были в различных невырожденных классах
эквивалентности по символам. Таким образом, лемма доказана. ■
Заметим, что до тех пор, пока не будут наложены ограничения
на допустимые последовательности слов, так же как на сами сло­
ва, все циклические перестановки какой - либо последовательности
.с лов, очевидно, будут возможным.и. Си1нхронизируемость более въюо­
кого порядка может привести к запрещению для использования
всех, кроме одной, последовательностей слов из каждого класса эк­
вивалентности по словам . Это означает, что второй уровень коди­
рования можно было бы установить для самих кодовых слов, что­
бы, 1,апример, получить возможность определить синхронизацию
r<адров так же, как и синхрони::зацию слов непосредственно по по ­
, следовательности символов.
Для того чтобы найти число классов эквивалентности слов,
имеющих длину п символов, рассмотрим вначале число способов
представления п в виде суммы положительных целых чисел (т. е.
числа упорядоченных разбиений целого числа п) . В качестве нри­
мера число 4 может быть зсшисано в виде
4 =1 +1+1+1 = 1+1+2=1+2 + 1 = 2+1+1=2+2=
= 1+3=3+1=4.
Назовем два разбиения п эквивалентными, если одно является цик­
лической перестановкой другого. Множество разбиений, состоя·
щих из одного представителя из каждого класса эквивалентности ,
называется множеством полуупорядоченных разбиений S числа п .
Г1олуупорядочен1~ые разбиения числа 4, в частности, могут быть
предст авлены последовательностяу~и 1111, 112, 22, 13, 4 .
-
Разбиение S числа п является
316
s
1111
112
22
13
4
р
112
2
13
4
s(P)
4
1
2
последовательностью целых чи­
сел . Пусть v - м·инлмаль.ный ~пе­
риод этой последовательности S,
обозначим через Р первые v це­
лых чисел из S и через s(P) -
е,:.~_инсnве.нное целое ,число, такое,
что S=РР ...Р=ps(P), где после­
довательность Р повторяется s ( Р)
раз. Таким образом, когда n=4,
имеем (см . табл.).


Предположим теперь, что синхронизируемый словарь D содер­
жит ai слов длины 1i и пусть S=ij... kij... k ... ,k=Ps<P) - разбиение п.
Лемм а 11.5 . Число различных невырожденных классов экви­
в алентности, представленных словами с инхрони з иру емо го слова­
ря D, имеющими соответствующие длины, представл яем ы е разло­
жением S=Ps<PJ числа п, равно
N[s(P), aiai ··• ak] ,
(11.11)
где rN(п, r) определено ф-лой (11.9).
Доказательство. Имеются -p=ia,;a;••· a,, множеств слов D, соответ­
ствующих последовательности ij... k. Рассматрива.я каждое из этих
множеств как один символ нового - алфавита, можем рассмотреть
первоначальную последовательность слов как последовательность
s(P) этих новых «символов». Очевидно, что имеются M[s(P), р] не­
вырожденных классов эквивалентности, представленных «словаlУШ>->
этого вида, что и требовалось доказать. ■
С помощью этого результата легко доказать следующую тео­
р ему.
Т е о р е м а 11 . -1 15. Если D является синхронизи,руемым слова­
рем, имеющим ai слов длины i, то
~N,[s(P). a;ai...ak]<N(n,1"),п =1,2,...,
s
(11.12)
гд е суммирование проводится по всем полуупорядоченным разбие­
ниям S=Ps(P) числа пи где P=<ij ... k.
Доказательство . Согласно лемме 11.4 число эквивалентных
1,лассов последовательностей символов какой-либо длины п долж­
но быть, по крайней мере, таким же, как число 'Эквивалентны х клас­
с ов последовательностей слов этой длины. Но для каждого разбие-
1-шя S -существуют tNl[s( Р), aiaj ... a,J классов эквивалентности по сло­
вам, представленных с помощью слов из D_ (лемма 11.5). Очевид­
но, что 1последо,ват,ельности слов, ,со ,ответст!Вующие ~различным ,раз­
биениям, должны принадлежать различным классам эквивалентно­
с ти. Общее число классов эквивалентности по словам при любо1v1
з аданном п поэтому задается суммой, стоящей в левой части нера­
венства (11.12) . Число классов эквивалентности по символам этой
дл ины равно просто N(n, r), что и доказывает справедливость не­
ра венства ( 11 .12) , которое должно удовлетворяться для всех це­
лыхп.•
Приведем пример: при n=4, r=2 имеем
L N,[s(P), a;ai·· · ak] = N(4, а1) + N (1, afa2) +
s
+N(2,а2)+N(1,а1а3)+N(1,а4)
и по теореме 11, 15 это выражение должно бы,ть ограничено величи­
но й N(4,2)=(24--22)/4=3. Таким образом, так как N(l,a4)= ,a4, то
317


<J4 не может быть больше 3, и если :cr.,=3, то cr1 и ,cr2 должны быть
равны нулю из -за членов ,N (4, ;cr1) и N (2, cr2} соответственно.
Подобные рассуждения могут быть использованы для того, что ­
бы установить границы, в которых могут находиться длины слов .
Однако 1Получе.нная :rра.н.ица 1не всеr1да удобна для mрименений
(очевидно, утомительно перечислять все существенные множества
{cri}, для которых существование синхронизируемого кода не иск­
лючается этой границей) . (Напомним, что эта граница должна
удовлетворяться для всех длин последовательностей , а не только
для n.=4.) Тем не менее если множество {,cri} таково , что граница,
(11 . 12) удовлетворяется для всех п, то может быть построен син­
хронизируемый код, .имеющий эти <Ji (см . ~предыдущий §).
11.5 . Максимальные синхро-низируемые словари
Здесь будет показано, что выполнение неравенств теоре ­
мы 1-1 .15 является достаточным , а также и необходимым условием
для существования синхронизируемых кодов, т . е . можно построит ь
синхронизируемый код, имеющий ai слов длины -i, если неравенст·
во (11 . 12) удовлетворяется при всех п. Эта конструкция вместе с
тем дает коды , обладающие свойством префикса , определенным в
гл. 10 . Более жесткое ограничение, принятое в настоящей глав е .
конечно, приводит, вообще говоря, к меньшим словарям , чем в тех
случаях , когда требуется лишь декодируемость.
Конструкция словаря будет следующая. Начнем со словаря D u,
с ·r словами, в котором каждый и з ·r символов алфавита одновре ­
менно является словом. Если cr1 = r, то Do уже представляет собо й
требуемый словарь . Если cr1 <r (ясно ,. что cr1 не может бы т ь боль ­
ше r) , то пусть L обоз начает максимальное з начение ,i, для которо ­
го <Ji=#:0 . Обозначим через (Do - wo) множество слов , остающихся
после того, как односимвольное слово ·ша будет устранено из Do, и
через p(Do-wo) - мн_ожество, образующееся с помощью приписы­
вания в начале каждого слова из (Do-wo) префикса , представляю­
щего собой последовательность символов р . То есть если Do=
= {а, Ь, с, d...}, тогда p(D0-a) = {рЬ, ре, ,pd~... } .
Словарь D 1 определяется как объединение множеств D1 =
= (Do-wo) +wo(Do-wo) +wowo(Do- wo) + ... +wawo ... wa(Do,-Wo) ,
где префикс максимальной длины WoWo ... wo с остоит из L- 1 симво ­
лов w 0. Выбор слова w0 произволен . Так, например , если r =З , L=
=4, то
Da= {0, 1, 2}; O(D0 =0)={01, 02}; 00,(Do,--:O) = {O'Ol , 002};
OOO(Do-1)={0001 , 0002}.
В общем случае ,i-я итерация этого процесса состоит в отыска ­
нии наимень1Шего значения j, такоiГо, что числ•о слов в D,_1 длин ы j
318


-б ольше , чем '<Jj, выбора произвольного слова wi-1 длины j из Di-1 и
и спользовании его в качестве префикса для построения Di по пра­
в илу
.D ; = (Di-1 -Щ-1) + Wi-1 (Di-1
-Wi-!)+ Wi-1Wi-1(Di-1
-Wi-1)+ ...
... + Wi-1 Щ-1 ... Wi-1 (Di- 1-Wi-1).
Самый длинный префикс wi-1W;-1 . . . w;-1 должен быть таким, что ­
·бы самое короткое слово из множества Wi-1W;-1 ...,wi-t (Di-1-wi-t)
имело длину, не меньшую, чем L-j+ 1, так как использование бо­
.л ее длинного префикса привело бы только к словам , имеющим
-большую максимальную длину. Этот процесс , который будем на­
з ывать префиксной проtfедурой построения, оканчивается тогщ1,
когда число слов каждой длины j при последней итерации будет
равным или большим <Ij -
Продолжая предыдущий пример, предположим, что r=3, L=4,
- <J1= 1, ,а2=2, ,аз=6 , а4=9 и <Ij=O для j>4. Неравенства (11.12) , как
.11еrко проверить, действительно удовлетворяются этим множеством
{ai} . Словарь D1 определяется, как и выше . Так как он содержит
два слова длины .единица и так как а1 = 1, то выберем слово · w1 = 1
в качестве префикса и построим D2 следующим образом :
D2 = {2, 01, 02, 001 , 002; 0001, 0002, 12, 101, 102, 1001, 1002, 112 ,
11 01, 1102, 1112}.
Так как D2 содержит три слова длины 2 и так как ,а2=2, то выбе­
р ем слово W2=01 в качестве префикса и построим D3 следующим
о бразом:
D 3 = {2, 02, 001, 002, 0001, 0002, 12,101,102, 1001, 1002 , 112 , 1101 ,
1102 , 1112, 012, 0102, 0112}.
С ловарь Dз содержит одно слово длины единица, два слова длины
д ва, шесть слов длины три и девять слов длины четыре. Описан­
н ые ранее условия удовлетворяются. и построение оканчивается .
К ак было упомянуто ранее, это построение дает коды, обладаю~цие
с войством префикса. Это утверждение легко доказать по индукции.
Теор е м а 11.16. Все кодовые словари, определяемые префикс­
н ой процедурой построения, описанной выше, обладают свойством
п рефикса .
Доказательство . Очевидно, что словарь D0 обладает свойством
п рефикса, так как все его слова имеют длину один . Предположим,
чт о Di обладает свойством префикса, и пусть zv i исполь з уется в ка­
честве префикса при построении D,+1- Тогда все слова из Dн1
имеют вид W;W; ...w;wv , где wv - слово из Di, а число повторений
п рефикса wi произвольно . Если слово wiw;...w;wv из Dн1 является
пр ефиксом некоторого другого слова wiwi···ш ;wμ , то либо WiW; ...
w ;w v должно быть префиксом w~i • либо wv должно быть префик­
,сом W;W; ... w;w,.._
(например, если wiw;wv __:_ префикс w;wμ, то
319


w;wv -- префикс w μ ) . В любом из этих двух случаев одно из слов
W;, wμ или wv должно было быть префиксом одного из других,
что противоречит гипотезе о том, что D; обладает свойством пре­
фикса. Таким образом, по индукции все такие словари должны
обладать свойством префикса, что требовалось показать. ■
Теперь мы должны показать, что, во-первых, эта процедура
построения фактически приводит к синхронизируемым кодам и,
во-вторых, с помощью этого метода можно получить по меньшей
мере ,а; кодовых слов длины ,i при условии, что все неравенства
( 11.12) удовлетворяются для множества длин {а;} .
Для того чтобы доказать первое из этих двух утверждений, опи­
шем сначала алгоритм установления синхронизации для этого
класса кодов. Пусть D; определяется, как и ранее, и пустъ Dv -
фактически иопользуемый словарь . Пусть далее D\ (расшире­
ние D;) 01Пределяется .как словарь, ,кото:рый получается на
,i-м шаге префиксной процедуры построения, если не накладывает­
ся никаких ограничений на длину максимального слова. Для при­
мера, рассмотренного выше, D'o=Do, но D't =tD1+ {00001, 00002,
000001, 000002... } и т. д., и каждый из словарей D';, 1i>O содержит
бесконечное число слов.
Рассмотрим теперь произвольную последовательность слов и з
Dv возможно начинающуюся суффиксом из Dv . Эта последова­
тельность, очевидно, может быть разбита на слова из D'0 с по­
мощью запятых, помещаемых после каждого принятого символа .
Затем для того, чтобы разбить последовательность на слова и з
D'1, необходимо лишь отбросить запятые, поставленные после каж­
дого появления слова wo, которое используется при построении D1
с помощью Do. Ибо, если любое слово, кроме Wo, принадлежит D't,
то и любое слово вида wowo ... wow μ с μ=J,0 также принадлежит 'D't.
Продолжая эту процедуру и на i-м шаге отбрасывая те запятые ,
которые поставлены после каждого слова W;-1, можно последова­
тельно разделить принимаемую последовательность на слова и з
D'D'D'
D'.
0,
1,...,
v-l и, наконец, на слова из v·
Если принимаемая последовательность, на самом деле, начи­
нается полным словом из Dv , очевидно, что эта процедура пра­
вильно разобьет эту последовательность на слова из Dv . Если бы
было не так, то было бы возможно декодировать последователь­
ность как две различные последовательности слов из D~ , что за­
прещено свойством префикса D~ .
(Заметим, что теорема 11..16 не
накл ад ывает никаких ограничений на длины слов, остающихся в
каком-либо из словарей D;.) EcJiи, однако , принимаемая последова ­
тельность начинается суффиксом из Dv, то з:апятая, поставленная
после этого суффикса, могJiа бы быть устранена . Это, в свою оче­
редь, меняет форму принимаемого первого слова и, как следствие,
приводит к устранению запятой, следующей за первым фактически
принятым словом. Это ошибочное устранение запятых может про­
должаться дальше; если устраняется запятая, следующая з·а j- м
принятым словом на некотором шаге , то запятая, следующая з~
320


(j + 1)-м принятым словом, может быть устранена на некотором
последующем шаге. Свойство префикса D~ гарантирует, что ни ­
какое слово не является префиксом другого слова. Однако оно не
гарантирует того, что одно слово не может содержаться в другом
слове или что суффикс одного слова не может быть префиксом дру ·
гого. Тем не менее свойство префикса гарантирует , что запятая ,
следующая за каким-либо словом из Dvo, не будет устранена, кр о­
ме как после устранения запятой, предшествующей ей. Устранен и е
идущей сзади запятой до ведущей запятой (или одновременно с
ней) было бы возможным лишь, если слово из D~ также было бы
префиксом из D~ . Таким
образом, так как требуется лишь v ша­
гов для того, чтобы разделить принимаемую последовательность
на слова из D~, то запятая, следующая за ,,-м принятым словпм ,
не будет устранена. Начиная с этого места, последовательность бу ­
дет правильно разделяться на слова из Dv опять вследствие того ,
что этот словарь обладает свойством префикса . Следовательно,
максимальная синхронизационная задержка ограничена величиной
- vL +L-1, где L обозначает длину максимального слова из Dv , а
L-1, очевидно, представляет собой длину наибольшего возможно­
го суффикса из Dv .
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорем а 11.17. Словари Dv, определяемые префиксной пр о­
цедурой построения, являются синхронизируемыми с синхрониза •
ционной задержкой, не большей, чем (v + 1) L-1 символов.
Остается доказать второе из сформулированных выше утверж­
дений от н осительно этих словарей, т. е. о том, что в действитель­
ности они являются максимальными.
Теорем а 11.18. Можно построить словари вида D;, имеющие
Gj слов длины j, для любого множества целых чисел {,а;}, удовлет­
воряющих границам (11 .12).
Доказательство этой теоремы проводится очень легко с по­
мощью следующей леммы.
Лемм а 11.6. Если словарь D, строится из словаря D;-1 при
использовании слова W;-1 длины k в качестве префикса, то грани­
ца (11.12) удовлетворяется со знаком равенства для всех n=k+ 1,
Ji + 2, ... , L ( L вновь обозначает длину самого длинного кодового
слова, остающегося в каком-либо из словарей D;).
Доказательство. Единственными последовательностями слов,
которые могут быть построены из слов словаря D;-1, а не из слов
D;, являются те, которые оканчиваются словом w;-1 . Все такие по­
следовательности, имеющие длину, большую, чем k, имеют вид
(11.13)
где W1 - ело.в а ,ИЗ Di-1• Если
• Wt=I = Wi-1 iдЛЯ некоторОIГО W1 'ИЗ ЭТО,1
последовательности и общая длина последовательности не больше,
чем L, то некоторая циклическая перестановка ( 11.13) является
последовательностью слов, оканчивающейся w1, и является такой,
11-2&1
321


которая может быть построена ю слов Di. Если последователь­
ность ( 11.13) состоит только из слов wi-1, то она принадлежит вы­
рожденному классу эквивалентности . Отсюда следует, что rзсе не­
вырожденные классы эквивалентности, представляемые п о следо­
вательностями ,сло,в из Di-I с о·бщей длиной п, где k+ 1~n~L,
также предст а вляются последовательностями слов из Di . Все гра­
ницы (11.12), которые удов.т1етворяются на словаре Di-i для
k+ 1~n~L, также удовлетворяются на Di. Наконец, так как гра­
ницы ( 11.12) удовлетворяются, очевидно, со знаком равенства для
всех п на словаре Do и так как процедура построения такова, что
длина префиксов, используемых при переходе от Di-i к Di, является
неубывающей функцией i, то доказательство леммы следует по
индукции. 11
Докажем теперь теорему 11.18.
Доказательство. Пусть sij - число слов длины j из Di. Если
u1=r , то D0 является требуемым словарем и теорема доказана.
Если 10"1 <r, то D 1 строится с помощью слова (символа) из D 0 в ка­
честве префикса, как было описано. Это построение можно продол­
жить до тех 1пор, ~по,ка не бу~дет вы1полнять-ся равенст1во cr 1 =st 1•
В общем случае слова длины j используются в качестве префиксов
для того, чтобы построить словарь D; до тех пор, пока sij = 1<Jj. Для
того чтобы процесс продолжался до тех пор, пока все необходимые
слова не будут построены, нужно показать, что если sij =•CJj для всех
j= 1, 2, ... , k, то siн+1~<Jн1- Если бы это было неверно, то никакой
из словарей D1, i> i не содержал бы достаточного количества слов
длины k + 1. Если это условие выполняется, то по индукции будет
существовать некоторый словарь D1, такой, что s 1j~O"j для всех j, и
теорема доказана. Но из леммы 11.6 известно, что словарь Di (по­
строенный из Di-l при .иопользовании ,префикса длины k) являет­
ся таким, что
~N[s(Р), s~ st...s~] = N(k+1, 1·).
s
Согласно гипотезе имеем
LN[s(Р),аμа..,... crμ] <N(k+1, r).
s
(11.14)
(11.15)
Лишь слова длины k+ 1 или меньшей могут быть включены в
последовательность с общей длиной (числом символов) k+ 1. Так
как Gj=Sij для всех j из интервала 1~j ~k, то единственными
члена'ми в обеих суммах (11.14) и (11.15), которые не равны, бу­
дут те, которые включают в себя ,сrн1 и siн1- Так как N ( 1, G1<+ 1) и
N(l, si1<+1) являются единственными такими членами, то, устраня я
одинаковые члены из обеих частей неравенства
IN[s(P), crμcr.., .. . crтi] < N(k+ 1, r)= 2N[s (P), s~ st ...s;1],
s
s
получаем N(l, ан1) ~N(l, si1<+1) ·и, ~ледовательно, <J11+1~si1<+1, что
и требовалось доказать. fi!ii
322


Теорем а 11.19. Число слов а, длины i, 1 ~i ~ .L, порождаемых
префиксной процедурой построения, равно коэффициенту при xi
м;ногоч:1ена
(11.16)
где а; обозначает число слов длины i, использованных в качестве
префиксов при построении последнего словаря.
Доказательство. Прежде всего, заметим, что выражение (11 . 16)
справедливо для всех значений L длины cJioв максимальной дли­
ны, сохраняющихся в процедуре построения. Следовательно, вели­
чины a j , j> .L представляют ,собой число слов длины j, которые бы­
:1и бы в словаре, сохраняющем эти слова (т. е . числа слов длины j в
расширении рассматриваемого словаря) . Имея это в виду, опре-
с,:;
делим Р(х) =2, ,аjхз и покажем, что Р(х) задается равенством
i=I
( 1I.16).
о,
Пусть Pv (х) имеет вид Lаз(v)хЗ, где аз(v) - число слов дли-
i=I
ны j в словаре Dv (словаре, полученном, когда некоторое слово из
Dv-1 используется в качестве префикса для построения нового
словаря, как описывалось выше). Тогда число слов длины j в
Dv-1- -Wv-1) представляется коэффициентом при xj в многочле ­
не Pv-I (х)-х1, где l - дл.ина Wv-1. Аналогично число слов раз­
личных длин в множестве wv-r wv_ 1
...wv-I (Dv-I
-
wv_ 1) задается
ыногочленом xμ 1[Pv-1 (х)-х1], где μ - число повторений префикса
Wv-l . Таким образом,
""
n
Р 1(х)- xl
=
1_1 -Р.._
1 (х)
Р(х)=[Р (х)- xl],:хμ1=
_ v- ____
•
"
v-1
i..J
1- xl
1 -xl
'
μ=О
так что 1-Pv (x)=(l-Pv-1(x))/(1-x1) ·и по инду,кции
1_ р(х) = ____1
__
Р"'-0 (-'-х-'-)____
(1-х)а,1 (1 - x2)a,2•••(t - x1)а,1
Tar( как Ро(х) = rx, то теорема доказана. ■
Рассмотрим пример, когда r = 3, а,1 = 2 и а2 = I (этот случай был
рассмотрен ранее), имеем
Р(х)= 1- (1-~)~:-:_х2) =х+2х2 +6х3 +9х4 + 15х6 + ...
Интересно заметить, что в этом рассуждении не используются
никакие предположения относительно порядка использования пре­
фиксов , они не обязательно используются в порядке возрастающей
дл ины. Теорема 11.17 также не учитывает какого - либо частного
323


упорядочения префиксов. В качестве следствия получаем, что рас­
смотре н ный алгоритм приводит к максимальн ым си н хронизируе­
мым словарям независимо от порядка устранения префикса . Повто­
рим построение словаря с r = З, 1<J1 = 1, <J2 =2, <J:t=б и <J4 =9, устра­
няя префю<сы в порядке, отличном от использованного ранее. По­
лучим:
D0={О,1,2};
DI = {1, 2, 01, 02, 001, 002, 0001, 0002};
D2 = {1, 2, 02, 001, 002, 0001, 0002, 011, 012, 0102};
D3 = {2, 02, 001, 002, 0001, 0002, 0 11, 012, 0102, 12, 102;
1001, 1002, 1011, 1012, 112, 1102, 1112}.
Хотя этот словарь является синхронизируемым и содержит то же
число слов ка:ждой длины, что и соответствующий словарь рассмот­
ренного ранее примера, эти два словаря не тождественны.
Если цель состоит в построении синхронизируемого словаря,
имеющего максимально возможное число слов длины, не превосхо­
дящей L, то она. очевидно, может быть достигнута при использова­
нии самого короткого слова в качестве префикса на каждом шаге
построения. ТЭто означает, что каждое слово длины l из интервала
L-(v+ l)j<l,;:;;;L-vj в множестве (Dн-Wi- 1) дает v слов дли н ы,
не превосходящей L, принадлежащих ,Di, когда wi-i имеет длину j.
Очевидно, что добавляемое число слов является невозрастающей
функцией j.] Общее ч,и,сло ело.в длины L (или меньшей) в Di будет
не меньше, чем число таких слов в Di--1, тогда и только тогда,
во-первых, когда длина j использованного префикса не больше, чем
t;L/2), ,и, 1во -.вто1рых, когда 1при четном L имеются, 1по м-енышей мере,
два слова в Di- 1 с длиной L/2. Если L нечетное, то все слова длины
(L - 1)/2 могут быть использованьr в качестве префиксов всех слов
длины (L+ 1) /2 так, что число слов в Di никогда не будет меньше
числа слов в Di- 1, если j,;:;;; (L-1) / 2. Если ,L четное, то до тех пор,
пока имеются, по крайней мере, два слова длины L/2, одно из них
может быть устранено и использовано в качестве префикса другого
без уменьшения общего числа слов длины L и меньше. В соответ­
ствии с этим, когда ,L нечетное, никакие слова длины, меньшей, чем
(L+ 1)/2, не остаются в последнем словаре Di, в то время как при
четном L он будет включать в себя лишь одно слово длины L/2 и
ни одного с меньшей длиной. Все последовательности слов с пол­
ной длиной п из интервала l[L/2)+ 1,;:;;;n,;:;;;L должны состоять из од­
ного слова. Но согласно лемме 11 .6 число таких последовательнос­
тей равно числу невырожденных классов эквивалентности по сим­
во"там для всех п из этого интервала. Таким образом, общее число
L
слов в окончательном словаре точно равно ~ N(n, r) плюс одно
n=[L/2]+1
иставшееся слово длины L/2, когда L четное . Этот результат сфор­
мулиро~ан в следующей теореме.
324


Теор ем а 11.20. Максимальное число слов длины L или мень ­
шей в синхронизируемом словаре
L
~ N(n, r).
n=[L/2]+1
Если бы использовались лишь слова длины L, то число слов просто
было бы равно N(L, r).
Очеви~но, что к01н.стру1~ция .максимальных синхронизируемых
.словарей, рассмотренное в этом параграфе, не является единствен­
но возможным. Суффи1{сная конструкция, например, в которой вы­
брошенные слова используются в качестве суффиксов, а не в ка­
ч естве префиксов, была бы столь же эффективна . Конструкция ,
рассмотренная здесь, обладает свойством префикса со свойствен­
ными ему преимуществами, которые были указаны в гл. 10.
В заключение докажем еще одно интересное свойство расширен­
лых словарей D~, определенных ранее.
Теор ем а 11 .21 . Расширенные словари D~ , полученные с помо­
щью п рефиксной процедуры построения, являются полными.
Доказательство . Теорему легко доказать по индукции. Очевид­
'Н О, что D'0 является полным. Так как D~ обладает свойством пре­
фикса, то этот словарь полный тогда и только тогда, когда
"'°
-l-(V)
~r'
=1, где l;(v) - длина i-го слова из D~ (ер. с теоремой
•l-1
10.4). Предположим, что ~~ является полным. Тогда, так как каж-
дое слово длины l; (μ) в Еμ (исключая wμ ) дает одно слово дJIИ­
ны 1;(μ) + jlμ(μ) в D~+' при всех j=0, 1,...
(где lμ (μ) - длина
.wμ),то
~ -/1 (μ)
00
00
~Г
·~
r-1; (μ+1) = '1 '{1 r-[! 1 (μJ+i 1μ (μ)1 = i=f =μ
=l,
1.J
/,,,J l.,J
-1μ (μ)
i=I
i=O icf=μ
l-
,
и теорема доказана.
Таким образом, если не накладывается никаких ограничений на
длину максимального слова, то синхронизируемые словари могут
удовлетворять со знаком равенства границе, выведенной ранее для
м енее ограниченных декодируемых словарей. Однако следует от­
метить, что в то время, как могут быть построены декодируемые
с ловари, им•еющие любое множество длин слов, удовлетвО1ряющих
э той г.ра;нИ1це, длины сл•ов 1в синхронизируемом словаре удовлетво­
р яют ограничению, IВЫраженному ,неравен•ствами (11.12). Бо­
л ее того, синхронизационная задержка, соответствующая расши­
ренным словарям D ~, не ограничена для всех v>0, так как сама
длина слова является неограниченной (ер . с теоремами 11.6 и
11.17).


Глава 12
СИНХРОНИЗИРУЕМЫЕ БЛОКОВЫЕ КОДЫ
12.1 . Введение
Если наложено ограничение, чтобы все кодовые слова в
словаре имели одну и ту же длину, то такой код обычно называет­
ся. блоковым кодом (ер . с § 10 .1). Очевидно , что блоковый код яв­
ляется декодируемым. Более того, результаты § 11.5 также пока­
зывают, как построить максимальные синхронизируемые словари :в
этом частном случае . Тем не менее часто требуется наложить до­
полнительные ограничения на синхронизируемые словари. Може~
быть полезным наложение более жесткого ограничения, например,
на ,допустимую ~с-инхро.низац.ио.нную задержку, или дальнейшее ,су­
жение класса словарей для того, чтобы упростить синхронизацию и
проце~.дуру декодирова,н,ия, связанные с кодом . .В этой ,главе и,с.сле ­
дуются некоторые методы, позволяющие достичь эти различные
цели. Начнем с 1пос11роения синхрон,изируемых 1блоко.вых .кодо.вых
словарей, для которых синхронизационная задержка значительно
меньше той, которая гарантируется общей 1,онструкцией из
§ 11.5.
12.2. Коды без запятой
Пусть D будет блоковым кодовым ~ловарем, содержа­
щимсловаwi,i=l,2,..., N,где
Wt = ffi\ Ф~...Ф~ .
( 12.1)
Стыком слов Wi и Wj ,назовем лю'бую п-.последователыность вида)
;
r. ,i
(!)i r. ,j roi roi
( 12.2)
Фk+I "'k+2··· п "'1 2··· k
для любого k из интервала 1~k ~ п - 1. Словарь D называется с.110-
варем без запятой тогда и только тогда, когда никакой стык лю­
бых двух (не обязательно различных) слов из D сам не является
словом из D. Пусть
pik = w;1(J);2 ... wi1,
обозначает префикс,
а sin- k = roikHWik+2····ffiin обозначает суффи.кс ~слова W; 1п1ри не­
котором k из интервала 1~k~n -1. Тогда следующее опре­
деление, очевидно, эквивалентно определению словаря без запя­
той. Словарь D будет словарем без запятой тогда и только тогда,
когда для каждого префикса pi" и каждого суффикса sin-k, таких ,
что w; = piksin-k является сло.в-о,м из ело нар я D, либо pik ,не явля­
ется суффиксом из D, Л'Иiбо sin- k н·е я~вляется префиксо-м .из D.
326


Очевидно, что словарь без запятой D является синхронизируе­
м ым с синхронизационной задержкой самое большее 2п-1 симво­
ло в (где п длина слова). Для любой последовательности слов
из D никакой стык слов не может быть перепутан с кодовым сло­
,вом. Как только наблюдается кодовое слово, устанавливается син­
хронизация. Но любая последовательность длины 2п-1 долJ!~на
,содержать одно полное слово, так что максимальная задержка рав­
на 2 п-1. В действительности эта задержка может быть уменьше­
на на один символ, учитывая, что если 2п-2 последовательных сим­
ВОJ10В не содержат слова, то слово обязательно должно начинать­
с я п-м принятым символом.
Максимальное число п-симвоJ1ьных слов из r-11чного алфавита
:в синхронизируемом словаре, как было найдено в § 11.4, ограниче­
но величиной
N(п,r)=
-
1 '\1 μ (d) rn/d.
.
п 1,,J
(12.3)
dln
Эта граница применима также к кодам без запятой. Так как
<< свобода от запятой» является значительно более жестким ограни­
чением по сравнению с только синхронизируемостью, можно было
бы предположить, что эта граница не может, вообще говоря, до­
,стиг аться в классе кодов без запятой. Но, как сейчас будет пока­
зано, в действительности могут быть построены коды без запятой
{: N (п, r) словами для всех нечетных значений п. Хотя были найде­
ны также некоторые коды без запятой с N ( п, r) слова ми четной
длины, не существует общей конструкции для таких кодов. В дей­
.,с твительности никакая общая конструкция для всех четных п не­
возможна, так как известны множества параметров п и r, для ко­
торых эта граница не может быть достигнута . Максимальное чис­
.ло слов, например, в словаре без запятой со словами из двух сим­
волов в алфавите из четырех символов известно и равно пяти, в то
время как N(2, 4) =6 . Максимальный словарь с п=4, r=4 содер­
.жит 57, а не N(4,4) =60 слов; другие контрпримеры, включая бес­
конечный ряд значений п и r, для которых граница ( 12.3) не может
быть достигнут а, также были найдены .
Построение максимальных кодов без запятой нечетной длины,
котор ое здесь будет описано, является просто переJiожением пре­
фиксной процедуры построения из § 10.5 , ДопоJiнительное услови~
состоит в том, что на каждом шаге построения префиксное слово
w; должно быть самым коротким словом нечетной длины, остаю­
щимся в D;. (Если имеется несколько слов этой длины, то может
быть выбрано любое из них.) :Как уже было показано (лемма 11.6),
граница (11.12) удовлетворяется со знаком равенства для слов из
D; при всех n=l+ 1, l+2 ,... , L, где l - длина префиксного слова
w;_ 1
_
Таким ,обраэом, ,продолжая ,префиксную :пр ·о1цедуру .по-строе­
ния до тех пор , пока самое короткое слово, остающееся в Dv , будет
длин ы l для любрго l из интервала (п+ 1)/2.,,;;;l.,,;;;n.,,;;;L, получим,
'ЧТО
327


~N[s(Р),aiai···akJ=N(1,ап) =ап =N(п,r)
s
(12.4)
{ер . с ( 11.12)] и число <Jn слов длины п из D в действительност и
равно N(n, r). Требуемый словарь D(n, r) получается выбрасыва­
нием из Dv всех слов, кроме тех, которые имеют длину п. То, что
D(n, r ) я•вляе тся ~синх,ро.н;изируемым ,с .ко.неч.ной задержкой, •сразу
следует из § 11 .5. Однако, как показано в следующей теореме, он
на са м о м деле является словарем без запятой.
Те орем а 12.il . Словарь D=D(n, r) с п-,символьным.и слова,ми
и з r-ичного алфавита , опредеденный выше, является словарем без
запятой для любого нечетного цедого п и любого целого r.
Доказательство. Так как слова в D имеют нечетную длину, то
стыковое сдово может совпадать с кодовым словом , только есл и
некоторый префикс четной длины из D явдяется также суффиксо м
в D . Следовательно , дJ1я того чтобы показать, что D - словарь без
запятой , нужно дишь показать, что это событие не может и м еть
места .
Пусть р - префикс четной длины из .D и w _: __ п-последователь ­
ность, имеющая р в качестве суффикса. Так же, как и в § 11 .5, по­
ставим запятую после каждого символа как в р, так и в w, и затем
последовательно будем устранять их . На j-м шаге устраняютс я те
запятые, которые поставлены после каждого слова Wj, использо ­
ванного при построении Dн1 по Dj. После каждого такого шаг а
w и р могут быть выражены в следующем типичном виде :
W=
.
Р=,.
с;
с;_ 1 с;_2
с;
(12.5)
где Ci и с*; обозначают числа символов между i-й зс.пятой (справа)
и самой крайней справа запятой в w и р соответственно, а точки
обозначают сами символы . l[Удобно раздичать запятые в w и р па
их ·раоположениям: ,из .контекста будет яс.но, иапользует,ся л.и C j
(или с'\) как отметка для i-й запятой в w (или в р) или как число ,
соответствующее ее положению] . После того как будет устранена
какая-либо запятая, остающиеся запятые переобозначаются вновь
для согласования с этими правилами, а / переопределяется так,
чтобы с* 1 всегда соответствовало запятой, предшеств у ющей пре ­
фиксу, как показано в ( 12 .5).
Доказательство состоит в демонстрации того, что если запятые
одновременно устраняются из w и р в соответствии с упомянутой
выше процедурой, то со будет устранено одновременно с с*о. Так
как р я,вляется ,префиксом, то с* 0 в КО!Н,це концов , долж ­
но быть устранено; поэтому, так как со также устраняется .
w не может быть кодовым словом.
Для начала заметим .
что если cv= с~ на любом этапе процедуры устранения за -
328


пятых, то Ci = с* i для в,сех i<v. Далее,
.mк
ка.к р я.вляет,ся
префиксом и так как при построении D ( п, r) были использованы в
качестве префиксов лишь слова нечетной длины, то с*1-с* 1_1 дол ­
жно быть нечетным. Будь это не так, с*1-1 нельзя было бы никогда
устранить, и р имело бы слово из Dv в качестве префикса , что не­
возможно, в силу того, что Dv обладает свойством префикса (см.
§11.5).
Покажем далее, что после каждого шага в процедуре устране­
ния запятых остающиеся запятые будут иметь одну из трех конфи­
гураций:
1.
2.
з.
Cz=с;;
с1 > с;, с1-1 = с;_1,
с1<с;<Cz+v• с1-1 =с;_1 и сi+; - c1+i-1 четно для всех ci =О,
1, ..., v-1.
В ·каждом случае с*1 обозначает ~положение запятой, предше­
,ствующей р, как показано в (12.5).
Вначале, очевидно, запятые соответствуют конфигурации 1.
Если запятые соответствуют конфигурации 1 на j-м шаге и все за­
пятые, кроме с1, устранены, то они остаются соответствующими
этой конфигурации. (Заметим, что cv и < устраняются одновре­
менно при любых v<1.) Если устраняется с1, то они должны соот­
ветствовать тогда конфигурации 2. Аналогично, если они соответст­
вуют ко;нфигураци.и 2, то эта конфлгурация будет сохраняться 1до
'Тех пор, пока на некотором шаге не будет устранена c*i-1 или Cz-1 .
Но С1-1 нельзя устранить ни на каком шаге . Это следует из того,
что слова, использованные в качестве префиксов при построении
Dн1 по Dj, были выбраны в порядке увеличивающейся (нечетной)
длины. Так как с1-С1-1>с*1-с*1-1 и так как c*z-C*z-1 нечетны, то
~ *1-1 была бы поэтому устранена до Cz- 1 и запятые тогда соответст­
вовали бы конфигурации :З. Более того, c*z_1 не будет устранена ни
при какой конфигурации (в предположении, что с* 0 уже не была
устранена), если только с*1-1-с*1-2 (и, следовательно, С1-1-С1-2) не
является четным. Если c*z-1-c*z..2 нечетно, то с*1-с*1--2 будет чет ­
ным, и с*,_2 не может быть, следовательно, устранена, и р не может
быть пр.ефиксом из D. В результате, если с*1-1 устранена и конфигу­
рация 2 перешла к конфигурации 8, то (если запятые переобозначе­
ны) Cz-Cz- 1 будет четным . Дальнейшие устранения запятых , обозна­
ченных с*1-1, приводят к общему условию, соответствующему кон­
фигурации 3. Таким образом, соответствуя конфигурации 3, сн не
может быть устранена до С1. Запятые, следовательно, будут оста­
ваться в этой конфигурации до тех пор, пока не будет устранена
-Ci, и в этом случае они возвратятся к конфигурации 2.
Существенным во всем этом является то, что после каждого
шага процедуры устранения запятых Ci-1 и c*z-1 будут совпадать,
по крайней мере, до того, как устраняется с*о. (Следует помнить,
· ,что после устранения каждой запятой l переопределяется так, что-
329


бы с'''1 всегда соответствовала запятой, предшествующей р. ) В со ­
ответствии с этим, так как ш и р должны содержать, по меньшей,·
мере, одну запятую в одинаковых ,местах слева от с0 ,и с* 0 , то .с0.
будет устраняться одновременно с с*о. Исключением из этого ут­
верждения ~был бы слу~чай, пюгда c*1-i .и с* 0 -с•о.в:падают. Но так как
с*1-с*1-1 всегда нечетно, а с*1-с*о всегда четно, то это невозмож­
но, и утверждение остается справедливым. В конце концов, про­
цедура устранения запятых приведет к устранению с0 из w. Следо­
вательно, w не может быть словом в D, никакой префикс четноi'r
длины из D не может также быть суффиксом в D, и JJ - словарь.
без запятой, что и требовалось доказать . ■
Таким образом, существуют максимальные словари без запятой;
для каждого нечетного целого п. К сожалению, доказательство это­
го факта хотя и является конструктивным, но не вселяет большой
надежды на легкость реализации процедур кодирования и декол. и­
рования этих кодов. По этой причине полезно ввести дальнейшие·
ограничения на словарь с целью упрощения его реализации, прини­
мая во внимание тот факт, что эти дополнительные ограничения не­
сомненно приведут к уменьшению числа слов в словаре. Ряд таких
ограничений будет исследован в нескольких последующих парагра-
фах.
•
Ограничение, которое будет рассмотрено в следующем парагра­
фе, накладывается не столы{о для того, чтобы упростить кодирова ­
ние и декодирование получающихся кодов, сколько для того, чтобы
уменьшить еще более число символов, необходимых для установле­
ния синхронизации. Словари, получаемые с этим ограничением, бу­
дут не только несколько более легкими для синхронизации по­
сравнению с обычными словарями без запятой, но также во многих
случаях будут обладать неожиданными преимуществами, состоя­
щими в более легком кодировании и декодировании, несмотря на
то, что первоначальная цель наложения ограничений состояла в
другом. ·
Однако до этого рассмотрим вновь ограничение, которому
удо"Вл•е11воряют коды без заmятой для случая, когда длина слова п
является четной. К сожалению, теорема 12.1 справедлива лишь.
для нечетных п. Как уже упоминалось ранее, доказано, что грани­
ца (12.1) не достигается для некоторых значений п и r, так что,
очевидно, невозможно дать общую конструкцию для построения
кодов без запятой четной длины, удовлетворяющих этой границе.
Тем не менее существует относительно простая конструкция для
словарей без запятой с четной длиной слов, которая приводит к
кодам, параметры которых лежат вблизи этой границы.
Сначала построим словарь без запятой D (2, r) с двухсимволь­
ными словами. Разобьем r-символьный алфавит на три непересекаю­
щихся множества S1, S2 и Sз. Первый символ слова W = {u1w2 из,
D (2, ·r) должен быть либо из S1, либо из S2, но если w1 принадле­
жит S1, то -w2 должно быть либо из S2, либо из Sз, а если w1 при­
надлежит S2, то w2 должно быть из Sз. Легко установить для тако­
го словаря, что он является словарем без запятой. Любой стык.
330


должен иметь вид <Cu2W1, где w2 принадлежит либо S2, либо Sз, а
w1 ;.~аходится либо в S1, Jlибо в S2. Никакой такой стык не может
быть кодовым словом. Очевидно, что число кодовых слов в D (2 , r)
максимизируется, если взять числа символов в каждом множестве
по возможности равными. Таким образом, обозначая через N (S,)
число символов в множестве si, получим:
N(S1) =l[r/3], N(S2) =i[(r+ 1)/3] и N(Sз) ={(r+2)/3], где квадратные
скобки обозначают целую часть заключенной в них дроби. При
этом число слов в D (2, r) будет равным
N(S1){N(S2) +N(S3)}+N(S2) N(S3) = [ ,; ]-
(12 .6)
Для того чтобы построить словарь без запятой с п-символьны­
ми словами, fде n=2 т, m> 1, обозначим через S4 подмножество
-слов из D (2, r), а через S5 - множество всех упорядоченных пар
символов, не входящих В s4 (т. е. s4 +s5 содержит все ,, 2 различные
пары сиrмволов аЬ). Словарь Dt(2m, r) содержит ,вс.е ·сло.ва вида
а1а2.. .атЬ1Ь2 .. . Ьт, где пара а1Ь1 принадлежит S1;, а пары aibi, i=J= 1
принадлежат Ss. Словарь D ('2т, r), очевидно, также является сло­
варем без запятой. Единственный стык, который мог бы быть сло­
вом из D (2m, r), имеет вид b1b2 ... bma1a2 ... arn, но то, что множество
пар а1Ь1 само образует словарь без запятой, исключает эту возмож­
ность.
Используя те же обозначения, что и ранее, найдем, что число
слов в D (2m, r) будет равно N(S4){N(S5)} <nf 2>- 1
•
Если п;;,:::6, мож­
но считать, что N(S4) содержит '[r2/ (п/2)] элементов, что дает
{2~
2
] {г2 -[2;2 ](n/2)- l
слов в D (2.т, г). Когда п велико, это выражение приближенно
принимает вид
1
2,n {
2 }n/2
2,n
-
1-- >-·
п
п
еп
Но из ф-лы ( 12.3)
N(п,r)<rn/п
(12.7)
(12.8)
для всех п, так что эта конструкция дает словари, содержащие, по
меньшей мере, 100 (2/е) %~ 73,5 % слов от теоретически возможно­
го граничного значения.
12.3 . •Коды без запятой с инвариантными путями
Ограничение на кодовые слова в этом параграфе будет
,следующим. Если блоковый словарь D содержит п-символьные
-слова, то для однозначного установления синхронизации должно
быть принято не более п последовательных символов. Ясно, что та­
кие словари будут словарями без запятой. Однако они составляют
более ограниченный класс, чем все коды без · запятой, так как по-
331


сл.едние могут потребовать до 2п--1 символов до установлениЯ'
синхронизации.
Для того чтобы описать конструкцию для словарей с этим свой ­
ством, введем понятия «путей» и «инвариантности путей». Для ил­
люстрации этих понятий рассмотрим код без запятой с параметра -
ми r=3, n=3:
.
{100, 101,102,200,201,202,211,212}.
(12.9)
Так как в,се слова в это,м словаре .имеют в,ид сЬа с с>Ь, Ь ~а,
то легко увидеть, что он является словарем без запятой, а так как
N (3, 3) == 8, то словарь является максимальным. Определим теперь.
матрицу шщuден,тн,остu rXn из О и 1 : ij-м элементом матрицы бу­
дет 1, если i-й символ алфа1в·ита ,(при к,аком-либо ушорядочеюш),
появляется на j-й символьной позиции какого-либо слова, и О, ес­
ли это не так. Пусть первый символ алфавита словаря ( 112.9) бу,­
дет О, второй 1 и третий 2; поставим в соответствие этому словарю,
матрицу инциденпюсти:
Позиция
Символ
121
1
3
о
о1
1
1
(12.10)
2
о
Путе,11, на матрице инцидентности называется .циния, проходя­
щая через одну 1 в каждом столбце, например,
О
_1.
1
О11
/
-1-
(12.11)
11'1
/
"'
:._1_ О
-1-
/
1О
(12.12)
Имеется взаимооднозначное соответствие между п-последова­
тельностями r-ичного алфавита и путями на матрице инцидентно­
сти, а именно: если путь проходит через элемент aij= 1.
•то j-й символ п-последовательности является i-м символом.
алфавита. В матрице (12.11) путь соответствует слову 212; это сло­
во из словаря без за·пятой ( 12.9). В матрице ( 12.1'2) путь соот,­
ветствует сл,о,ву 210, 1ютор,ое не ~принадлежит ело.варю.
Эта констру1щия дает средства для проверки словаря на свой­
ство «свободы от запятой». Рассмотрим стык, образующийся из.
суффикса (для слова) длины l и префикса (для слова) длины n-l .
Все такие стыки соответствуют путям . на матрице инцидентности,.
получающимся, когда последние l столбцов матрицы инцидентно:­
сти словаря ставятся вп~реди ее первых n-l столбцов (т. е. полу­
чаются с помощью цикл.ической перестановки столбцов на l пози­
ций вправо). Все первоначальные пути из j-го столбца к (j+l)-мy
332


столбцу остаются неизменными iU-й столбец в исходной матрице те ­
.перь ,будет (j + l) -м столбцом :по модулю п], кроме, :~юнечно, случая,
когда j+l=n. Пути можно пополнить , соединив каждую единицу в
l-м столбце переставленной матрицы с каждой единицей в (l+ 1)-м
столбце. Это соответствует условию, что любой префикс мшкет
следовать за любым суффиксом . Эти «стыковые» матрицы проил ­
люстрированы ниже для словаря (12 .9) вместе с самой матрицей
инцидентности словаря; каждый путь соответствует слову или сты­
ку слов:
Эt,
(12 . 13)
1=0
1=1
1=2
Обозначим через .i\!I исходную матрицу инцидентности, а через
Рм - М!Ножест,во !Путей н-а М, •которые соотве'J'lствуют кодовым сло­
вам. Обозначим далее через М (j) матрицу М, циклически перестав.
ленную на j позиций вправо, и через Рмш - множество путей на
M(j), таких, как были определены выше .
Теорем а 12.2 . Код является кодом без запятой тогда и толь •
ко тогда, когда никакой из путей в множестве Рм не входит ни в
какое множество Рмсл•
Доказательство следует прямо из того, что имеется взаи_моодrrо­
значное соответствие между каждым путем в Рм и кодовым сс'ю­
вом и между каждым путем в Рмел и стыком, состоящим из посл~д­
них j символов одного слова, за которыми следуют первыJ п- -j
символов другого слова. ■
Те орем а 12.3 . Словарь с п-символьными словами является
синхронизируемым с задержкой, не большей, чем п символов ,
тогда и только, тогда, когда никакой путь из какого-либо множест­
ва Рми,> не принадлежит никакому другому множеству Рмu
j1, jз=О, 1, 2, ... , п-1, j1=l=j2.
Доказательство. Если множества Рми,> и Рмсы, j1 =1= j2 содержат
общие пути и если принимается соответствующая п -последователь­
ность, то невозможно понять, является ли началом правильного
слова (j1 + 1) - или (j2+ 1) -й сим1юл. Наоборот, если никакой · путь
из одного множества не принадлежит какому-либо другому мно­
жеству, то любая п-последовательность, которая може1· быть со­
ставлена из последних j 1 символов одного слова, за которыми сле­
дуют первые n-j1 символов второго слова, не может быть сформи­
рована для какого-нибудь другого значения j. Таким образом, юо­
бая принятая п-последовательность однозначно устанавливает зна­
чение j и, следовательно, правильную синхронизацию. ■
В то время как теорема 12.2 предлагает метод определения то ­
го, является ли " некоторый частный словарь словарем без запятой
333


или нет, теорема 12.3 чрезвычайно полезна, если ее использовать в
качестве основы алгоритма пμи настроении более ограниченного
класса кодов без запятой, как указывалось выше. Рассмотрим в
связи с этим (rХп) - матрицу М из единиц и нулей, обладающую
тем свойством, что все пути, соединяющие единицы в последова­
тельных столбцах, принадлежат множеству Рм и, следовательно.
соответствуют кодовым словам. Словарь теперь полностью опреде­
ляется его матрицей инцидентности М. Так как все возможные п у ­
ти соответствуют кодовым словам, то множество Рм нет необходи­
мости задавать явно . По этой причине такие коды называются
кода,ни с инвариантными nyтЛJ,tu. Для нас представляют интерес
коды с инвариантными путями, которые являются одновременно
кодами без запятой. Такие коды, если они существуют, конечно
удовлетворяют условию теоремы 12.2, и, кроме того, для них спра­
ведлива следующая теоре!'.!а.
Теорем а 12.4 . Коды без заIIятой с инвариантными путями и
длиной слов п имеют синхронизационную задержку самое большее
п символов. Более того, любая циклическая перестановка кода без
запятой с инвариантными путями представляет собой другой код
без за,пятой •С и,нва-риант,ными пуТЯ,МИ.
Доказательство. Оба эт,и утвержLдения следуют из то·г-о, что все
возможные пути во всех матрицах M(j), j = O, 1, ... , п-1 соответст­
вуют кодовым словам или стыкам слов . Предположим, что путь з
матрице M(j1) также является путем в матрице М(М. Тогда путь
в M(j1-bl ,будет та.кже путем .в мат,рице М (О) =М, и код не бу­
дет кодом без запятой. Таким образом, все пути во всех матрицах
М (j) являются одиночными, и согласно теореме 12.3 синхрониза­
ционная задержка самое большее равна п символам. То же саУюе
рассуждение показывает, что каждая матрица М (j) должна так­
же соответствовать коду без запятой, и так как в матрице прове­
дены все пути, то каждый такой код является кодом с инвариант­
ными путями.
Следует подчеркнуть, что в общем случае словари без запятой
не являются словарями с инвариантными путями. Путь в матрице
(12.12), например, не соответствует никакому кодовому слову в
слова ре ( 12.9).
Одна из конструкций, которая порождает коды без запятой с
инвариантными путями, состоит в сл!дующем. Пусть с и d - два
двоичных вектора - столбца и пусть с является дополнением к с.
Рассмотрим теперь матрицу
{п/2] столбцов
[(п-1)/2] столбцов
М-{---
--::::--}
-
се с... с
ddc, .. d
(12.14)
Любая матрица М (j), получаемая с помощью циклической пе­
рестановки столбцов М на j позиций вправо, такова, что либо ее
первь1й столбец есть с (если {(n--l)/2]+l~j~n-l), :тибо
(j+l)-й столбец есть с (если l,c;j~[n/2]). (Если п четно, то оба
334


случая имеют место, когда j=n/2.) В каждом из этих двух слу ­
чаев очевидно, что никакой путь в М (j) не может также быть пу­
тем в М, так как, по крайней мере, один из столбцов М заменяет­
ся на его дополнение в JvI (j) . Следовательно, доказана следую­
щая теорема.
Теорем а 12 .5. Матрица инцидентности (12 . 14) соответствует
коду без запятой с инвариантными путями при любых выбо­
рахсиd.
Если с содержит l единиц, а d содержит т единиц, то имеются
l(r-l)[n/2]m[<n-1)/2]
(12 . 15)
различных путей в М и, следовательно, столько же различных
слов в словаре. Для того чтобы максимизирЬвать число кодовых
слов, т следует, очевидно, положить равНЫ!"f r ( d должно быть
столбцом, со-стоящим Л,ИШЬ ·из -еди;н,и,ц), а l ,следует выб.р•ать ·так,
чтобы
(l- l)(r-l+ l)ln/2J < l(r-l)[пJ2J;
(12.16)
(l + 1) (г -l- l)[пf2J < l (r-ziп121 .
(12.17)
Если бы l была непрерывной переменной, то выражение
l(r-tin121 принимало бы максимальнQе значение, когда !=
=r/(1 +{п/2]). Так как l>O, то для того, чтобы в словаре были
какие-нибудь слова, оптимальное значение l должно быть равно
единице всегда, когда {п/2]+ 1~r. Таким образом, всегда, если п
насто,ТJько велико, что удовлетворяется это неравенство, то число
КОДОВЫХ слов равно
Nw = (r- J)[n/2] r[(n-1)/2] = _!! __ { 1 -
_ 1 )[п/2] ..с':.._
(12 . 18)
r\
r
п
Отношение числа кодовых слов, которое дает эта конструкция, к
числу кодовых слов в максимальном словаре без запятой стре­
мится к нулю с ростом п. Основное преимущество словарей без
занятой с инвариантными путями состоит в уменьшенной синхро­
низационной задержке и в получающейся отсюда возможности
более простой реализации. Так, например, когда п достаточно
велико для того, чтобы можно было приравнять l единице в ф-лах
(12.16) и ( 12.17), синхронизация может быть достигнута путем
поиска местонахождения символа, который во всех словах должен
стоять на первом месте, и дальнейшей проверке того, появится ли
такой же символ в какой-либо из следующих [п/2] позиций. Если
нет, то этот символ и будет соответствовать началу кодового слова.
Неожиданным преимуществом этих словарей перед обычными
словарями без запятой является относительная простота их коди­
рования и декодирования. Чтобы продемонстрировать это, рассмот­
рим опять случай, когда l равно . единице. Кодовые слова, опреде­
ленные матрицей (12.14), все начинаются каким-то одним фикси­
рованным символом, за которым следуют {rz/2] символов, каждый
из которых может быть любым символом алфавита, но не этим
335


начальным, и за ними следуют 1[ (п-1) /2] символов, на которые не
наложены никакие ограничения. Следовательно, информация мо­
жет быть отображена в последовательность чередующихся
[ (п-1) /2]-последовательностей, составленных из ,r-символьного
алфавита и {п/2]-последовательностей, составленных из (r-1)-сим­
вольного алфавита. Операции кодирования и декодирования по­
этому легrш реализовать.
12.4. Префиксные коды
Дальнейшее ограничение на словари, которое будет ис­
следовано, также вводится для упрощения синхронизации путем
ог раничения числа символов, необходимых для определения пра­
вильной синхронизации. Оно состоит в использовании одной и той
же т-последовательности в качестве префикса перед каждым кодо­
вым словом с п символами. Синхронизация устанавливается после
обнаруже ния этого пр еф икса в некотором месте принимаемой по­
след овательности . Чтобы быть уверенным в том, что этот префикс
всегда указывает начало слова, необходимо запретить появление
этого префикса в качестве части кодового слова и.1и стыка кодово ­
го слова и префикса. Это означает, что если префикс состоит из т
символов 'V1V2Vз .. ,Vm, а кодовое слово имеет вид 'V1Vz ... vma1a2aз.,.aa,
то ни одна из т-последовательностей
l<;i-<:m-1;
а1+1 а1+2... а1+т,
О<i<п-т;
а1+ 1 a 1+2... an'VI···Yi+m-n,
n-m+1<i<п-1
(12.19)
не должна быть равной v1y2 ...- ym, Словари, удовлетворяющие этому
условию, называются префиксными кодовыми словарями 1).
Это условие можно было бы слегка ослабить без ослабления
си нхрони зируемости словаря. Если, в частности, ни на одну из l
т -п оследовательностей
а1+ 1 а1+2".а1+т •
а1+1•·· UnYl·. ·· У1+т-п•
n-l<.i<.п-т;
n-m+l<i<.n -1
(12.20)
не наложено ограничение, то первая т-последовательность '\'1'\'2 .. ,Ут
1чогла бы предшествовать префиксу слова, но не более чем,
на l •сим·воло1в, .в то время ·как ,первая такая т-1по.сле~д•ователь­
ность не могла бы появиться после правильного префикса до т'ех
пор, пока не были бы получены, по крайней мере, n-l+ т допол­
нительных символов, следующих за префиксом . Правильный пре­
фикс мог бы, следовательно, быть опознан, если l<n-l+m или
l< (п+т)/2. Впоследствии мы сделаем ряд замечаний по поводу
1) Следует различать префиксные кодовые словари и словари, обладающие
свойством префикса (гл. 10). В силу того что префиксные коды пр едставляют
соб ой класс (в строгом смысле) блоковых кодов, то, очевидно, они , обладают
свойством префикса. (Прим. авт.).
336


модифицированных префиксных кодовых словарей, удовлетворяю­
щих этому ослабленному условию .
Заметим, что как префиксный , так и модифицированный пре­
фиксный кодовые словари являются словарями без запятой со сло­
вами из (п+т) символов. Это следует из того, что каждое кодовое
с лово начинается одной и той же т-последовательностью и ника­
кой стык кодовых слов не может обладать этим свойством . (Или ,
в случае модифицированных префиксных кодов , каждое кодовое
слово должно начинаться одной и той же т-последовательностью,
которая не может появиться вновь в кодовом слове до тех пор, по­
ка не будут приняты, по крайней мере (т+п)/2 символов . Очевид­
но, что никакой стык кодовых слов не будет обладать этим свой­
ством . ) В силу того что как префиксные коды, так и модифициро­
ванные префиксные коды являются кодами без запятой при неко­
тором дополнительном ограничении (состоящем в том, что для ус­
тановления синхронизации необходимо рассмотреть лишь т симво­
лов одновременно), следует ожидать, что словари будут содержатr..
чуть меньше слов, чем N(n + m, r) из (12.3). Однако в этом случае
асимптотически с ростом длины слова число слов префиксного ко­
да имеет тот же порядок величины, что и N(n+m, r), в противопо­
ложность тому, что было для кодовых словарей без запятой с ин­
вариантными путями, рассмотренных в предыдущем параграфе. К
сожалению, хотя префиксные коды легче использовать для синхро­
низации, чем обычные коды без запятой, они не имеют тех преиму­
ществ при кодировании и декодировании, которые были свойствен­
ны кодам с инвариантными путями .
Можно вывести производящую функцию числа слов в макси­
мальном префиксном кодовом словаре. Для этого введем следую­
щие опредеJJения:
1. Префикс из т символов будет называться повторяющимся с
периодом v (O<v~m), если
'\'t'\'2•• •'\'v v1v2 ... '\'m-v =v1'\'2··• '\'m- (Заме­
·тим, что все префиксы длины т являются повторяющимися с пе­
риодом т. Следует подчеркнуть различие между повторяющимися
ттоследо:вательностями и периодическими последовательностя:-.ш.
Все периодические последовательности являются повторяющимися,
но не наоборот. Непериодическая последовательность 101, напри­
мер, является повторяющейся с нериодом два.)
2. Говорят, что i-последовательность a1·a2 ...ai будет хорощо
оканчивающейся по отношению к некоторому префиксу 'V1'\'2 , .. ym,
если последовательность 'V1'V2'Yз- .. vina1•a2 ... ai не имеет в качестве суф­
фикса последовательность 'V1'V2• •·'Yv, тде v - ,не:~юторый ~пери-од ,по-
вторения для этого префикса.
Теорем а 12.6. Пусть У1'\'2 .. y,r. является префиксом слов длины
(п+.т) из алфавита, содержащего r символов, принадлежащих
максимальному префиксному словарю Dm(n), и пусть этот префикс
имеет периоды повторения v1, v2, . . ., v1, v;+1 Л т. Положим
Лi~{1,i =Оилиi..=viдля некоторогоj, 1<.,j<l+1;
-
О, для всех остальных i < т .
337


Пусть di=гЛ;-1-Лi и ,пусть Vi ,обоз1ючает число i-1последо•ватель.но ­
стей, хорошо оканчивающихся по отношению к '\'1'\'2,..'\'m • Тогда чис ­
ло Nm(n) слов в словаре Dm(n) для всех п~ 1 равно коэффициен ­
ту при xn в производящей ф унк ции
G(x) = [(1-гх) 111
V;x' + Vmxrn ]/ [ 1-~
1
d; xi]-
(12 .21 )
Доказательство. Рассмотрим (2 т + n-I) -последовательность
'У1 'У2 •·· 'Yrn а1 CGz. •. Ctn 'У1-- . Yrn-1
.
( 12.22)
Если a1a2 ... an
-
хорошо оканчивающаяся, то должно существо­
вать некоторое наибольшее целое k, O~k<n, такое, что либо
'Ун+1Ун+2 - .. ута1а2 . . .·ан =у1у2 . . ,'\'т, l,<!m, либо ан-т+1а1,-т+2 ... щ, = Y1)'2 . . - 'Vm ,
k~m .
Заметим, что если k<m, то k должно быть периодом повторе­
ния для префикса Y1'\'2 .. ,'\'m, т . е . Лн.= 1. Тогда (п-k+т)-последова­
тельность, нач1шающаяся символом Ун.+ 1 (если k<m) или ан-т+ t
(если k~m) и оканчивающаяся символом 1an, должна быть словом
из Dm(n-k). Следовательно, ДJIЯ каждого слова из Dm(n-k).
k < т, существует единственная (2 т + n- I) -последовательность
вида ( 12.22), где ,a 1a2 ... an хорошо оканчивающаяся п-последова­
тельность тогда и только тогда , когда ,Лh= 1. Если k~m, то сущест­
вует точно rk-m таких (2 т+ п-1 )-последовательностей для каждо ­
го слова из Dm(n-k), так как символы a1a2 ... ak-m являются при
этом произвольными. Таким образом,
п-1
l: ЛkNm (n-k) = Vn,
(12.23}
k=O
где лk~/-т, k:;;,,,. т.
Далее если n>m и если ,an-m+1CGm-n+2 ... an хорошо оканчиваю­
щаяся последовательность, то такой же будет а11а2".ап и наоборот .
Таким образом, Vn=rn-mVm для n>m.
Умножая обе части равенства ( 12.23) на xn и суммируя по п.
получим
CD n-J
00
00
l: L ЛkNm(n-k)xn = ,! Лkxk I Nт(n-k)xn-k =
n=I k==O
k=O
n=k+I
CD
CD
CD
= l:лkxk}:Nт(l)Х1 =~Vпxn •
(12 .24)
k=O
1=1
n=l
Таким образом,
CD
m-1
ОС)
~ Vnxn
~ Vnxn + Vmxm/(1-rx)
о '1N
n=I
n=I
(х)~ l,J т(п)хп = - 00
---
-
-m _-
1 ---------
n=i
~ Лпхп
I Лпхп +хт /(1-гх)
n=O
n=O
338


и, умножая чис ли тель и знаменатель выражения, стоящего в пра­
вой части, на 1-rx, получим искомый результат. а
С JI ед ст в и е. Число слов Nm(n) в максимальном префиксном
словаре Dm(n) задается рекуррентным соотношением
т
Nт(п)=~diNт(п-i)
(12.25)
l=I
для всех n>m.
Доказательство. Этот результат получается непосредственно,
т
если умножить обе части равенства (12.24) на 1- ~ dixi и прирав­
i=I
нять коэффициенты при xn. ■
Например, лред:положим, что ,префиксом является 1010 и r=2.
Так как у1у2=узу4, то префикс является повторяющимся с периодом
два. В силу того что он является единственным периодом повторе­
ния, Ло= 1, ,Л1=0, Л2 = 1, Лз=О, Л1,= 1 и
N 4 (n) = 2N4 (n- 1)-N4 (n-2) + 2N4 (n-3)-N4 (n-4) .
Далее, как легко проверить, V1=2, V2=3, V3 =6, V4=12 и, следова­
тельно, из ф-лы (12.23) или из (12.21) получаем, что N4 (1) =2 ,
N4('2) =3, N 4 (3) =4 и N4(4) =9.
В то время как ур-ние ( 12 .25) полезно при определении числа
слов Nm(n) в максимальных префиксных словарях для большинст­
ва интересных на практике длин слов п+т, производящая функ­
ция наиболее полезна при определении асимптотического поведе­
ния Nm(n). Чтобы найти асимптотическое выражение для Nm(n),
фактически необходимо лишь найти наименьший по модулю корень
(или корни} знаменателя D(x) дроби iG(x). Это утверждение Jier-
1<0 проверить, производя разложение на элементарные дроби
G(x) с помощью корней Xi его знаменателя. При этом типичным
членом такого разложения будет
(А;~)~-
~: (1+~+х;2-+...),
Xi 1-
L
1"j
X-Xi
(12.26)
и ,коэффицие нт ~пр.и xn в мно1гочлене G(x) име,ет,в·и.д: -~ ( А ;/ х 7+ 1 ).
I
(То же заключение справедливо и тогда, когда некоторые из кор­
ней являются кратными.) Асимптотически, следовательно, при
n-+ -oo этот коэффициент будет абсолютно подавлен членами, кото­
рые соответствуют м,инимальному по модулю корню или ко,рням.
В качестве примера испоJ1ьзования производящей функции для
-отыскания асимптотического поведения Nm(n) рассмотрим дробь
G(x), когда префикс не имеет периодов повторения (т. е. _кor.'La
Л;=О, i=F0; каждый из префиксов аа ... аЬ, аа ... аЬЬ, аа . .. аЬЬЬ, ... ,аЬЬ .. . Ь
обладает этим Lвойством). Ясно, что все п-последовательности бу­
дут хорошо оканчивающимися по отношению к неповторяющемуся
префиксу при 1~n<m, кроме самого префикса, представляющего
339


собой m-последовательность, ](ОГда п = т. Таким образом, Vп = rn ',
I~n<m, Vт= ;гm-1 и из ф-льr (12 .21) имеем
G(x) = 1/(1-rx+xm)- I .
(12 .27}
Значения всех корней знаменателя D(x) дроби rG(x) легко най ­
ти с помощью метода корневого годографа . Рассмотрим уравне ­
ние K/x(xm-1
-r) =-1 . При К-+0 ТОЧ](И х=х;, для которых это•
уравнение имеет решение, стремятся к корням уравнения х(хт-1_
-г) =0, т . е. стремятся к точке х=О и к (т-1) равноудаленнымr
точкам ·x=rl/(m-1) e2л1[k+(I/2)J/m
k=O I
-1К
"
-
,
,
,..., т
.
орневои го
дограф, показанный на рис.
12.1, при т = 10 типичен для
всех т. С увеличением К ко­
рень х=О и корень x=or1/<m- 1)
стремятся друг к другу по дей­
ствительной оси, в конце кон-•
цов, встречаются и расщепля­
ются на два комплексно-сопря­
женных числа. Модули других
т-2 корней монотонно воз­
растают вместе с К и, следова ­
тельно, по меньшей мере, рав ­
ны ,- 1/<m- 1) для всех К.
Интересная ситуация воз ­
никает, когда К= 1. На основе
предыдущего получаем, что,
D(x) имеет либо два по­
ложительных действительных
Рис. 1~ . 1 . Геометрическое место точек корня
либо ни одного
корнеи
'
•
.
Но так как D(lk) >0 и
D{m/(m-1)r} =-{1/(m-1)],[1-mm/(m-I)m-1rm]<O для т~З, то
D(x) имеет действительный корень хо, где (1/r) <xo<[m/(m-l)]X
Х (1/r). Другой положительный действительный корень должен
быть равен · некоторому числу х.1 ~1. 0то становится ясным, если
представить D(x) в виде (х-хо) (x-x 1)f(x), когда т четное, или
(х-хо) (х-х1) (x-x2)f(x), когда •т нечетное, где f(x) - многочлен ,
имеющий все невещественные корни D(x) . (Если т нечетное, то,
имеется вдьбавок к двум положительным действительным корням
отрицательный действительный корень х2 функции D(x).] Так как
корни f(x) должны появляться в виде комплексно-сопряженных
1пар,тоf(1)>О, атак;какD:(1)~Оиx0<il, то х1~1.
Таким образом, установлено, что D(x) имеет только один ко ­
рень Хо, по модулю меньший единицы. Как следствие, показано, что
п1
·
.,
не только Nm:(n) •стремится ,к А 0/хо+ при n-+oo [см . (12.26)], но и
что входящие в Nт(п) члены, которые отбрасываются, асимптоти­
чески равны нулю. (Исключение может составлять член, соответст ­
вующий возможному корню х = 1. В любом случае влияние этого­
члена пренебрежимо мало.) Более того, так как Хо - простой ко -
340


рень , . то Ao=Iim(x-xo)G(x)=N(xo)/D'(xo), где N(x) является чис ---
х-хо
лителем Ю(х), а D'(x) - производная его знаменателя.
Для того чтобы закончить вывод асимптотического выражения .
для Nm(n), следует, однако, уточнить нашу оценку положени я кор­
ня хо. С этой целью положим Yo=1--(1/rxo) . Поэтому D(x0)=0 тог­
да и только тогда, когда Yo[1-(m-1)yo]<yo(1-yo)m- 1 =r-m<y0•
Отсюда сразу же следует, что y0 =rm+O(mг2m) и
-1
[.l -т+О( -2т)]
Хо=r
-
r
mr
.
(12.28),.
Таким _образом, когда префикс
меньших, чем т, получаем
не имеет периодов повтор ения,
Nт(п)~- N(x0 ) _1 _ =
____
D' (хо) х0+ 1
r- тx;;i-1 х0+1 '
(12.29):,
где Хо определяется выражением ( 12.28).
Теорем а 12 .7. Асимптотически при больших длинах слов lf
максимальный префиксньiй словарь содержит, по меньшей мере, .
[(r-l)r11 (r-l) logre]-1 (rN/N) слов.
Доказательство. Пусть n+m=N и m=logr(N/c), где с выбрано ,
так, чтобы т было целым . Тогда, используя ф-лы ( 12.28) и (12.29)
и рассматривая с как постоянную, найдем, что
Nт(N-m),__,(:Jn ~(1-; { rN-m ~се-с(~).
(12.30►
Чтобы максимизировать это выражение при условии, что m=
= logr(N/c) - целое число, заметим, что се-с монотонно возра стает­
е увеличением с при с< 1 и монотонно убывает с ростом с при .,
с> 1. Далее некоторое значение с из отрезка c0 ~c~ rc0 должно,
приводить к целому значению т при любом со>О . Положив.
c0e-c0 = •rc 0e-,c. или Co = . (loger)/(r-1), можно удовлетворить не- ­
равенству се-с;:?:{ (r-1) r 11 <r-l) log,.e]-1 для некоторого с, такого, что"
т -- целое. Тогда асимптотически
1,НNN
[(
.l /(r-1) 1 1-1
,N
77Г> т( -m):;;,,.
г-,---1)1
og,e
- ---g- ·
- (12.31),
где граница сверху справедлива в силу того, что се-с~е-1 . ■
Рассмотрим теперь префикс аа... а (т. е. префикс, имеющий все ·
периоды повторения: 1, 2, ... , m). Некоторая п-последовательность.
а1а2 .. . ап, п~т, будет хорошо оканчивающейся по отношен ию к
этому префиксу тогда и только тогда, когда •an=l=a. В соответствии·
с этим Vn = (r-l)гп-1 , 1~п~т и из ф-лы (12.20) получаем
G(х)=(r - 1)х(1-х)/[1- rх+(r - I)хт+1].
(12,32)•
Так как знаменатель D(x) этой производящей функции имеет тот ·
же вид, что и рассмотренный ранее, то могут быть использованы:
34~ .


фактически те же самые аргументы относительно положения его
корней. В частности, D(x) имеет только один корень
.х =- 1--- -+о
-
,
1(
r-11
(т))-1
Оr
r
rm
r2m
(12.33)
-с модулем, меньшим единицы. Так как этот корень меньше, чем ко­
рень Хо, найденный в пред ыдущем примере, то префикс аа... а обе­
щает более быстрый рост Nm(n) по сравнению с тем, что дает не­
повторяющийся префикс aa ...ah .
На самом деле, эти два префикса соответствуют крайним зна­
чениям скорости роста N,,,(n). Это значит, что минимальный по мо­
дулю корень х110 знаменателя D(x) производящей функции G(x)
попадает в интервал х1о~х11о~Хо, где х0 и х10 задаются ф-лами
( 12 .28) и ( 12.33) соответственно для всех префиксов фиксирован­
ной длины т. Чтобы проверить справедливость этого утверждения,
заметим сначала, что знаменатель
т
т-1
,D(x)=1-~d1x1= (1-rх) ~ л, х1+хт
(12.34)
1=1
i=O
является положительным при х= 1/r и отрицательным при х =
=,[m/(m-1)}[1/r] (так как Л0 = 1). Таким образом, многочлен 1f(x) Л
д D(x)/(1-rx) должен иметь корень х110 из интервала l/r<x110 <
<Im/(m-1)}[1/r}. Но f(x) монотонно возрастает как по х, так и по
коэффициентам Лi для всех х из этого интервала. Увеличение ка­
~ого-либо ,Лi приводит, следовательно, к уменьшению х110 . В соот­
ветствии с этим х110 достигает своего минимального значения (х 10 ),
11<огда~Л1=Л2 = ... = 1Лm-1=l, и своего максимального значения (хо),
когда Л1=1Л2 = .. . =Лm-t=О.
В силу иронии, несмотря на то, что префикс аа".а гарантирует
;наибо.11ьшую скорость роста объема словаря для заданного значе­
,ния т, всегда можно (по крайней мере, когда r=2] найти словарь
·боJ1ьшего объема, имеющий ту же самую длину слов (п+т) и ис­
шользующий префикс аа...аЬ (шш какой-либо другой неповторяю­
щийся префикс), который соответствует наименьшей скорости рос ­
·та. Разрешение этого парадокса состоит в том, что значение т в
этих двух случаях не будет одним и тем же. На самом деле, опти­
мальная длина префикса в последнем случае будет всегда больше,
·чем в первом. Причина этого очевидна . В любом кодовом слове за
,префиксом 111 ... 1 из т символов должен всегда следовать О, что­
,бы не принять за префикс также т-последовательность, начинаю­
щуюся вторым символом слова. Любое слово тем самым фактичес­
'КИ должно начинаться префиксом 11 ... 10 длины (m+l). Тот же са­
мый словарь оказался синхронизируемым с помощью этого нового
префикса, а не первоначального . Но если используется этот пре­
,фикс, то теперь в словарь могут быть включены некоторые добавоч­
ные слова и, в частности, те, которые оканчиваются серией из од­
ной или большего числа единиц. Таким образом, для того же са­
мого N объем словаря может быть увелиуен с помощью перехода
-от префикса 111 ... 1 длины т к префиксу 111 ... 1О длины т + 1. •
.,342


Прежде чем закончить этот параграф, сделаем ря д кра тки х заме - ­
чаний относи тельно объе ма словар я в случае, ко гда огра ничени1:­
на префиксный код слегка ослабляется, что приводит к ранее упо-­
мянутым модифицированным префиксны м кодам. Модиф и цирован -­
ными префиксными кодами, напомним, являются коды, в которых.
все слова из N символов имеют один и тот же префикс длины т
с им волов и составлены так, что этот преф икс не может появиться
как как а я-либо т-последовательность, н а ч и нающ ая с я i- м с и мволом ·
при любом .i из интервала 2::::;;i::::;;'[( N/2) +-1]. Если был опозн ан п ра­
вильный префикс, то другой префи кс не появится до тех пор, пока·
не будут приняты, по меньшей мере, i( (N/2) + 1] символ о в. Если пре -­
фикс обнаружен в любом другом месте , то второй пр еф и кс всегд а.
будет обнаружен еще до того, как пройдут ,[(N/2) +- 1] сим во лов .
Т аким образом, установление синхронизации л иш ь немн о го слож-­
нее, чем это было ранее, а число кодовых слов может быть ув ели ­
чено. Один из методов построения такого словаря состоит в при ­
соединении в качестве суффиксов к каждому слову из обычн о го·,
словаря префиксного кода длины m+- l[(n+-m)/2] всех возможны х
{(п-т+ 1)/2]-последовательностей. Очевидно , что ни одн а из т-по ­
следовательностей, начинающихся i-м символом любого сло ва и з"
результирующего словаря, не будет совпадат ь с используемым пре ­
фиксом при любом i из интервала 2:::;;;i:::;;;m+{(n + m)/2]-(m- 1) =
= i[(N/2) + 1], что и требовалось. Это построение для некото ры х:
префиксов приводит к чрезмер н ым ограничениям , так как он о м о­
жет наложить не являющиеся необ х одимыми ограничения на те ·
т - последовательности, которые начинаются с ({N/ 2) +2]-г о по ­
:[(N/2) + т]-й символы. Тем не менее в соответствии с ф -лой (12. 30)-
это п остроение приводит к
Nm ([ ~ ])r{[(N+I)/2]-т} ~2се-с ( ~)
( 12.35►
кодовым словам . За счет модификации асимптотически удва иваетс я.,
объем словаря. Интересно отметить, что здесь верхняя граница, ко ­
торая получается при приравнивании с к 1, в точности совпадает с
нижней границей ( 12.7), которая достигается для непрефи кс ной,
конструкции из ~ 12 .2.
В этом параграфе было показано, что асимптотически в пре ­
фиксном кодо·вом словаре содержится столько же слов, ско л ько и•
в обычном словаре без запятой с той же самой длиной слов а [ер .
( 12.3) и ( 12.3 1) ]. Как было сказано ранее, основное преимущество,
префиксных кодов состоит в относительной легкости, с которо й о ни·
могут быть синхронизированы. Если словарь является просто сло­
варем без запятой, необходимо рассматривать последовательност и·
из N символов для определения того, было ли принято какое-л и бо ­
кодовое слово, и проделывать это для всех N возможных н ач аль ­
ных позиций. В противоположность этому для префиксных кодов.
нужно лишь рассмотреть последовател ьные т-последовательност и
(т,...,, 1ogrN) и для получения синхронизации- опознать местонахож­
дение префикса. К сожалению, процедуры кодирования и декоди-
343;


·;р ования при использовании префиксных кодов могут оказаться
,столь же сложными, как и в случае использования кодов без за­
n ятой. В следующем параграфе исследован другой класс синхро­
:Н изируемых блоковых кодов, в котором эта трудность во многих
-отноше ниях обходится .
12.5 . Коды с запятой
Другим методом уста новления синхронизации слов яв­
..ляется периодическая передача запятой или специальной последо­
;в ательности длины т для определения правильной синхронизацион­
,ной позиции. Запятая называется сингулярной по отношению к сло ­
,варю D, есл и она может появиться в последовательности слов из D
·только там, где она намеренно поставлена; в этих условиях D бу­
дет называться словарем кода с запятой. Таким образом, для то­
го, чтобы запятая была сингулярной, все т-последовательности,
,состоящие из стыка двух кодовых слов, кодового слова и запятой
или з·а1пятой и .кодово['О сло,ва, долЖJны ,быть отличны от за1пятой. В
модифицированном коде с запятой можно было бы допустить, что­
•:бы за1п.ят,ой был толыю стык .кодо.вого слова и за,пя ·юй, 1но не
-стык запятой и кодового слова (или наоборот).
Сингулярная запятая может передаваться всегда, когда возни­
•кает потребность в синхронизационной информации . Как только
:nриемник опознает запятую, синхронизация устанавливается . Нет
.необходимости передавать запятую вновь до тех пор, пока что-либо
не вызовет потерю синхронизма, так как длина слова здесь, так же
, как и в других параграфах этой главы, считается одинаковой для
-.всех слов. Однако в типичных случаях запятая периодически пе­
редается через умеренно короткие интервалы после каждых k ин­
, формационных слов, для того чтобы гарантировать, что в случае
поrери синх,ро;н,изации ,прошло ,не очень много времени до того,
• как она вновь будет установлена.
Если k = 1, то коды с запятой представляют собой просто пре­
"фиксные коды предыдущего параграфа. Если k> 1, то возникает
,·новая ситуация. Теперь нужно ввести дальнейшие ограничения на
: кодовые слова для того, чтобы т - последовательность, образован­
•· ная стыком любых двух из них, не была запятой; сама запятая не
~разделяет каждую пару п-последовательностей, как было в случае
1 п рефиксных кодов .
Эти коды будут менее эффективны (будут более избыточны),
·чем префиксные коды . Так, если N=nk+m, то код с запятой будет
• сра вним с префиксным кодом, имеющим тот же самый префикс
. длины
т символов и длину слова, равную N. Очевидно, никакая
N-последовательность, не принадлежащая префиксному коду, не
:может являться последовательностью слов кода с запятой . Некото­
· рые N-последоват ельности префиксного кода могут, однако, не
-быть какой -либо последовательностью слов кода с запятой . Напри­
мер, ни одна из этих последних последовательностей не может
;.344


оканчиваться i -последовательностью, котор а я яв л яе тс я н ачалом,
запятой, если .существует также какое-то слово , котор о е имеет в,
качестве префикса последние m-i символов запятой.
Вместе с тем эти коды могут быть проще в ре а ли з ации. Более­
того, ограничения на код не зависят от k (при k~(т+п- 1)/п) ,
так что частота, с которой переда ется запят ая, может меняться в.
соответс11вии с требова .ниям,и системы ·без с1ко л ько-.ни:будь значи ­
тельного изм,енения кодирующей ·и деко.д,ирующей а1П1п аратуры.
Структура I<одовых слов, конечно, б удет з ависеть от з на чений,
т и п. Хотя можно получить результаты для все х соотноше н и й меж ­
ду т и п, ограничимся тремя наиболее интересными случая ми.
Теорем а 12 .8 . Максимальный словарь кода с з ап я т ой из,
r-символьного алфавита в случае, когда запятая им е ет дл и ну т, а
кодовые слова длину п.. содержит Мщ(п) слов, где
1. M1(n)=(r-I)n;
2.
[/
,[(п+I )/2] _ 1
Мп(п) =rn-rn2] -------
r-1
п>I;
3. М211(п)=rn- I.
В последних двух случаях оптимальной з апятой являе тся т-после -­
довательность вида ааа .. .аЬ (или Ьа . . . а), состоящая из т-1 п овто -­
рений одного из r символов а, за которыми следует некоторый дру­
гой символ b=J=a ил.и -ее обращение.
Доказательство. Случай 1. m= 1 (в качест:ве запятой исп ользу - ­
ется лишь один символ) . При этом при построении кодов ы х слов
могут быть использованы лишь r--1 оставшихся символов ; все го,
имеются (r-I)n таких слов.
Случай 2. m=n> 1. Пусть запятой будет y 1y2 ... Vn• Тогд а для
всех i, 1::::;;i::::;;n-1 либо никакое слово из словаря не может о кан­
чиваться i-последовательностью si ~ Y1V2•-•Yi, либо никакое сло во не­
может начинаться (п-,i)-последовательностью Рп-i~ vн1Vн2-- -Уn-­
Запрещение использования si в качестве суффикса устраняет rn - i
слов из словаря, в то время как запрещение использования р; в ка ­
честве префикса устраняет ri слов. Предположим, что Sz явля е тс я,
самым коротким запрещенным суффиксом. Тогда (n-l+ !)-п ос ле ­
довательность Рп-1+1 не должна использоваться в качестве преф и к­
са кодового слова, и из словаря исключаются, по меньшей м е р е, .
r"-1+ , 1--1
-
1 п-последовательностей и запятая . (Вычитание еди н и ­
цы необходимо потомv, что одна п--последовательность могла б ы.
иметь как ,суффи,к-с s1: так и ,П'рефи.к•с Рп-1+1-) Но
rn-1 + rl-1 > r[n/2] + {/<n+I)/2] _ I}/(r _ I)
для всех l<i[n/2]. ТаК:ИМ обра·зом, -самый
суффикс и, по аналогии, самый короткий
должны содержатr;,, по меньшей мере, {п/2]
бы граница Мп(п) была достижимой.
к•орот.кий за,п,рещенн ый,
запрещенный префикс­
символов для того , что -
345,


Если п четное, то либо суффикс, либо префикс длины п/2 долж­
'\1--fЫ б ыть запрещены. Предположим, что запрещены самый корот­
:кий суффикс Sп/2 и самый короткий префикс P<nl2)+1 (рассуждения
,будут такими же, если запрещены префикс Рпl2 и суффикс s 1nl2J+1).
Тогда ни ка кое кодовое слово не может иметь либо один из префик­
,сов P(nl2)+1 или Р(п12)+2, либо ОДИН из суффиксов Sn/2 или S(n/2)+!.-
Тогда, если Sn/2 не является суффиксом S(nl2)+i или P(nl2)+1 префик­
,сом P< nl2)+2, различными будут все устраняемые слова, кроме, самое
большее, четырех пар_ Но, как легко проверить, когда п~8, rn/2 +
+2 r<n;2J- 1 +r<n; 2J- 2-З шту1, 11 - последовательностей тем самым само­
устраняются (включая саму запятую), так что число слов, допус­
- тимых для словаря, становится меньше, чем Мп(п) . Таким образом,
для того чтобы указанная граница была достигнута, либо Sn/2 дол­
_жен быть суффиксом S(n/2)+1, либо ,O(,J2J+ 1 должен быть префиксом
.P(nl2)+2, либо и то, и друг ое. Но обе эти ситуации могут существовать
одновременно только, если запятая состоит из одного единственно­
го повторяемого символа у 1у2. ..уп=аа ... а. При этом ограничение на
·{:ТЫК кодового слова и запятой, например, устранило бы все слова _
из словаря, имеющие односимвольный суффикс а . Одно это не дало
бы возможность достичь границу Мп(п). В соответствии с этим ли­
· бо Sn/ 2 является суффиксом S(nl2)+1 и запятая имеет вид аа ...
,ау(пf2)+2... уп, либо Р(пl2)+1 является префиксом P<nl2)+2 и запятая имеет
вид v1v2.. •Y<nl2J-2a ... a . В первом случае все слова, имеющие либо
,суффикс Sn/2, либо какой - нибудь из префиксов Рп-i, .i=O, 1, ....
(п/2)-1, будут различны ми . Во втором случае все слова, имеющие
-ё,/И = J'
' • s НО;))IИффл;) 8И O9иrr-IjO)IE)[ O9иrr ',+(z,u)d ;))!Иф;}dU O9иrr
(п/2) +1, ... , п, будут различными . В любом из
этих случаев, как
легко видеть, число остающихся кандидатов для словаря ограниче­
но величиной Мп(п). Частные случаи n=2. 4 и 6 легко рассмотреть
отдельно и показать, что для них справедлива та же самая граница.
Когда п нечетное можно использовать, по существу, те же са­
мые рассуждения, чтобы показать, что любая запятая, п риводящая
к максимальному словарю, либо начинается, либо оканчивается
(п+ 1) /2 повторениями одного и того же символа. (Подробный вы-
вод о ставляется читателям в качестве упражнения . ) Отсюда немед­
ленно следует указанная граница .
Ра ссмотрим теперь словарь Dп(п), содержащий все 11-последо ­
вательности, кроме тех, которые начинаются каким-либо из пре­
·фиксов Р[п/2]+ 1 , P[n/2]+2, ,... , Рп, где р; имеет вид аа ... аЬ для всех i
и, кроме тех. которые заканчиваются суффиксом s [<n+1)!2] = а ... а.
Очевидно, что та к ой словарь содержит Мп(n) слов. Считая, что за­
пятая имеет вид аа .. .аЬ, заметим, что никакой стык кодового слова
и запятой, запятой и кодового слова или кодового слова и кодового
слова не может образовать запятую; соответственно Dп(п) являет­
· СЯ слова рем кода с запятой, содержащим Мп(п) слов . (То же са ­
м0е доказа тельс тво, очевидно, справедливо для обращенной запя­
той Ьаа .. .а.)
346


Случай 3. m=2 п . Если запятая представляет собой 2п-последо­
вательность ааа ... аЬ, то нужно устранить из списка кодовых слов.­
лишь одну п-последовательность (п - последовательность аа.. .а). Ни­
какой стык запятой и ,слова или слова и запятой не может образо­
вать запятую, и если бы какой-либо стык, включающий три слова,.
содержал запятую, то среднее слово непременно было бы не ис­
пользуемой п-последовательностыо аа... а . Таким образом, разре ­
шенными для словаря будут r"-1 п-последовательностей. Незави­
симо от соотношения между т и п, чтобы запятая была единствен­
ной, из словаря должна быть устранена, очевидно, по меньшей ме­
ре, одна п-последовательность. СледоватеJ1ьно, рассматриваемая·
запятая является оптимальной. (Ог,ять-таки, обращение этой запя­
той является столь же эффективной запятой.) ■
Код с запятой при ,m = 2n является особо привлекательным с
точки зрения реализации. Необходимо лишь позабот иться, чтобы
было исключено сообщение, не приводящее к кодовому слову
аа ... а . Обычно это доволы!о легко выполнить на практике . В этом
случае сообщения могут передаваться прямо с пер11одически встав­
ляемой запятой. Синхронизация устанавливается всегда, когда опо­
зпается п-п·оследовательность аа ... а . за которой следует п-последо-­
вательность аа.. .аЬ.
Другие соотношения между п и т также могут иметь, по край- ­
ней мере, теоретический, если не практический интерес. Если
(m/2]<n<m. то рассуждения, использованные для случая m=n,
могут быть обобщены, по существу, без изменений. Тогда можно.
показать, что число слов в максимальном словаре с запятой
м ( ) rz rz-[(m+J )/2] ( ,rz-[m/2]
l)/(. l)
111 n=r-r
--
1
-
1-
,
(12.36)
[т/21 <n<m.
Вновь максимальный словарь получается, когда используется запя­
тая аа... Ь (или аЬ .. .'ЬЬ) и когда все префиксы вида аа .. . аЬ и дюшы
,[m/2]+ 1 или большей ,и суффикс аа ... а дли~ны [(m+l) /2] запреще­
ны . А н алогично, если m~2 п, может быть использована запятая
аа ... аЬ и, как и .в слу,чае m=2n, необходимо уст-ра!Н'ить из -слО1ва рR
лишь слово аа... а. Таким образом,
Mт(n)=r"~1, n<=[;].
(12.37}
Рассмотрение становится более сложным, однако, когда п>т,
так как теперь запятая не должна появляться ни внутри кодовог()
слова, ни на стыках двух или большего числа кодовых слов. Поло­
жение здесь а1салогично тому, которое возникло при обсуждении
префиксных кодов. Максимальное чисJ10 слов в словаре легче всего
определить рекуррентно.
Этот параграф закончим исследованием избыточности кодов с
запятой. когда длины слов становятся большими. Для того чтобы
облегчить сравнение с другими синхронизируемыми блоковыми ко­
дами, обозначим через N = m+kn полную длину, когда запятая, со­
стоящая из т символов, должна передаваться после каждых k ко-
347


. дов ых слов длины п символов . Множество N-последовательностей,
· получ аемых с помощью каждого возможного последовательного
- ,с оединения k слов из словаря кода с запятой и стоящей перед ни-
м и за пятой, является, очевидно , словарем без запятой со «словами»
.и з N с имволов. Как уже отмечалось, это множество будет более
и з быточным по сравнению с обычными кодами без запятой или
'Жiрефи ксными кодами той же самой длины из-за добавочного огра­
.н и че ния, накладываемого на коды с запятой. Определим здесь
. лишь качественно, какую избыточность нужно добавить по сравне-
нию с другими кодами, когда N велико. Для этого зафиксируем N
: и вы берем п так, чтобы максимизировать число N-последователь­
.н осте й Lm(N), которые можно сформировать , используя слова дли­
- н ы п с имволов из словаря кода с запятой при трех ограничениях ,
· п редставляющих наибольший интерес, а именно: m = 1, m = n и
.m=2n.
Когда m= 1, независимо от значения п имеем L1(N) = (r-l)N- 1•
Для сравнения с границей для кода без запятой запишем это вы-
ражение в виде
.L 1 (N)= N(l,~l(r)N ,;
•
(12.38)
. Когда m=n и п четное, получаем
Ln(N)= [Мп(n)]k = ,н [1-
_
r _ ___!!-!!_ (1 - ап )](N/n)- 1 ~
,п
r-IN
rN
(12 . 39)
-где а = а(п) =N/пrn;2 и N/n предполагается большим .
Ле гко убедиться в том, что как функция от п (при фиксирован­
• н о м N ) это посл~днее выражение максимизируется, когда
l= _ r_ а(!оgге+_1_)~_r
_
_!!-_ .
r-I
п
2
r-I2
Та ким о бразом, когда N (и , следовательно, п) велико, Ln(N) мак­
,с и миз ируется при
.N = anr"12 :::::::; 2 (r -- 1)пr[(nf2>-I].
( 12.40)
Так как для любого s >O имеем rn12<пrn12<r<n12><1+e) при до­
- ет аточ но больш о м п, то отсюд а следует, что асимптотически , когд а
N удовл етворяет ф-ле (12 .4 0), rn ,_, l[rN/2(r-1)]2 и из (1 2. 39) по­
лучаем
.
(r-I')24
,N
Lп(N)~- ,-
е2N т·
(1 2.4 1)
Если п н е четное, подо б ные рассуждения дают
(r-1)2i,н
.Lп (N) ~r 2r-l
e2N 7Г'
( 12.42)
348


а--де N~f2(r-l)/(2r-l)]nrcn+1>1 2. Наконец, если m=2n, имеем
L (N) - ( п 1)<Nln)-2
-
r
1
r
-а (12.43)
N(
1 )(N/n)-2
N
'
2n
-
r-
-
Тп--п-
~2nе '
r
r
где a=N/пrn. Это выражение максимизируется по п, когда а~2.
- С.-,едовательно, поступая, как и ранее, получаем
(12.44)
Конеч н о, эти асимптотические выражения справедливы только
.для тех N, которые связаны описанными соотношениями с п, а не
.для произвольных N. Здесь также можно применить метод, ис ­
пользованный в _ §12.4 для того, чтобы оценить снизу Nm(n)
(ер. (12.30) и (12.31)] и тем самым оценить асимптотическое зна­
чен,ие Lm(N) щля всех N. Един-ств,е,нное ,отличие будет состоять в
.небольшом уменьшении постоянной, которая в этих выражениях
умножается на rN/N2. В любом случае, так как здесь N было введе­
но довольно искусственно единственно для того, чтобы была осно­
.ва для сравнения с другими кодами без запятой, граница для про­
шзвольноrо N вряд ли является интересной.
12.6 . Блоковые коды, синхронизируемые
при использовании ФТ
При демодуляции r - ичного ФТ сигнала с помощью опор­
ной несущей, получаемой непосредственно из модулированного
-сеигнала (т. е. с помощью использования методов гл. 8 или исполь­
.зования относительного когерентного метода), выход детектора бу­
_дет иметь r- кратную неоднозначность. Выходные символы могут
быть выражены в виде ... ai-1 + В, щ + В, ан1 + р,,... , где величины а
известны, но где из-за отсутствия абсолютного опорного сигнала В
может быть любым из r символов алфавита.
Один из методов устранения этой неоднозначности состоит в
-относительном кодировании информации; это означает, что инфор­
мация представляется в виде разности по модулю r между после­
довательными символами канала, а не в виде самих символов. Этот
метод имелся в виду, например, при рассмотрении ОФТ в § 4.6 . Ин­
тересно отметить, что нужны лишь N + l символов при использова­
нии относительного кодирования дJIЯ того, чтобы передать N сим·
в олов информации. В действительности, следовательно, использует­
·СЯ минимальное возможное число r-ичных символов (один) для уст­
р анения r-кратной неоднозначности.
В любом c,rryчae это отсутствие абсолютного опорного сигнала
приводит к дополнительной трудности при синхронизации слов.
Для иллюстрации рассмотрим двоичный словарь D= {00001, 01001,
0 1101, 10001, 11001, 11101}. Этот словарь входит в класс словарей
б ез запятой в обычном смысле, как показано в · § 12.2. Теперь, од­
,н ако, из-за неопределенности опорного сигнала принимаемые сло -
349


ва могут быть либо из словаря D, либо из 15, т. е . из дополните .1ь-·
наго к нему словаря. В отсутствие заранее установленной синхро ­
низации поэтому последовательность ... 00001000010000100... , напри­
мер, может соответствовать одной из двух последовательностей
слов ... W(Ш1W1 . .. или
... WвWвW5 ... (где W1=00001 и w6=11101). Следо­
вательно, возможная синхронизационная задержка неограничена .
Очевидно, что словари, которые синхронизируемы при обычных ус­
ловиях, не являются необходимо синхронизuруе А1ылщ при исполь ­
зовании ФТ (т. е. синхронизируемыми, когда они используются в
ФТ системе связи без абсолютного опорного сигнала).
Приведенный выше пример показывает, что, по меньшей мере ,
требу ется наложить следующее ограничение на кодовые словари
для того, чтобы они были синхронизируемыми при использовании
ФТ. Если словарь Dn со словами длины п. состав л енными из r-ич­
ного алфавита. содержит кодоЕое слово
то он не може т тогда содержать 1шка,< ого сл о ва вида
w' = ( ro;+1 + ~) (ro;+2 + ~) .. .(rо;+п+~)
( 12.45)
(12.46)
при любых i = 1, 2, ... , п-1 и при любом кодовом символе В (В= О,
1, 2, .. ., r-1). (Сложение ffii+.i+ В производится по модулю r, в то
вре м я как сложение в подстрочном индексе понимается по моду ­
лю п). Это, конечно, исключает возможность того, чтобы само сло­
во ш и111ело вид w ' для некоторого i=l=0 по модулю п.
Число слов в синхронизируемом словаре при использовании ФТ
может быть оценено так же, как в § 11.4, путем подсчета числа не­
вырожденных к л ассов экви в алентности п-последовательностей .
Только теперь класс эквивалентности нужно определить иначе ,
rж:ночим в него все сjюва, связанные как w и w' [см . ( 12.45), ( 12.46) }.
Это означает, что два слова 1пр.инадлежат теперь одному
и тому же классу эквивалентности ( классу ФТ эквuваленпюсти) ,
если одно может быть получено из другого путем циклической пе­
рестановки на некоторое число позиций и прибавления к нему по­
стоянной п-последовательности ВВ-- - В при любом В (В=О, 1, ... , r-1) .
Любое слово, принадлежащее классу эквивалентности, содержаще­
му м,енее чем nr различных п-1последо.вательностей, ~будет назы­
ваться ФТ вырожденным. Так как любое ФТ вырожденное слово
может быть превращено в другое слово, из его класса эквивалент­
ности с помощью операции того вида. который указан здесь, по­
лучаем, что справедлива следующая лемма.
Лемм а 12 . 1. Синхронизируемый при испо л ьзовании ФТ сло­
ва рь может иметь самое большее одно слово из каждого невырож­
денного класса ФТ эквивалентности.
Теперь докажем вторую лемму, которая нужна для оценки чис­
ла слов в максимальном синхронизируемом при использовании ФТ
словаре.
350


Лемма 12.2. Число решений,? уравнения kq=O (mod ,r), О~
";;;Ji<r равно (r, q), где (r, q) обозначает наибольший общий де­
литель целых ,чисел q и r.
Доказательство. Если (r, q) =·v, то r= Bv и q='Vv, где В и 'У - це­
лые числа, не имеющие общих делителей, т. е. (В, v) = 1. Уравнение
kq=O (mod г) удовлетворяется при этом тогда и только тогда, ког­
да ,?= l ( B/v), где l равно целому кратному v. и, следовательно, тог­
да и только тогда, когда k = ав для некоторого целого ,а. Так как
·vB=r, то целые k; = ,iB<r дают единственные решения уравнения
kq=O (modг) для всех i=O, 1, 2, ... , v- -1. Следовательно, имеются
точно (r, q) =\,' ·,-а1шх решений.
Теорем а 12.9. Число слов в словаре, синхронизируемом при
использовании ФТ и состоящем из слов длины п с символами из r
символьного алфавита , не превосходит величины
N'(n,r)= -1
-'1 (r, d) μ(d) rnfd,
rn l..J
.
d/n
гд<:: суммирование проводится по всем целым делителям п, (,r, d)
обозначает наибольший общий деJJитель r и d, а μ(d) - μ-функ­
ция Мёбиуса:
1приd=!;
μ(d) = (-l)v при d =P1 ,P2 ••• pv, где Р1,Р2,... ,
Рv-различные простые
числа;
.О
во всех остальных случаях.
Доказательство. Если w принадлежит ФТ вырожденному клас­
,су эквивалентности, то должно существовать некоторое наимень­
шее целое v и некоторая п-последовательность kп~ (kk ... k), O~k<
< r, таrше, что ш = wv + kп, где wv обозначает п-последовательность.
получаемую с помощью циклического сдвига символов w на'\' пози­
ций влево. Ясно, что v должно быть целым делителем п (ер. с лем­
мой 11.2). Тогда также w= (wv+kп)v+kп=w 2v+ (2/~)п и, вообще,
w= м,i''+(ik)п для любого целого i. Приравнивая первые d=n,lv
-символов w и wiv+ (ik)п и считая, что s обозначает произволы-rую
v-последовательность, получаем, что w до,1жно иметь вид
W = (s, ·s+kn/d,S+(2k\1d,..., s+[(d-1)kJn/d)·
(12.47)
Далее, так как u,dv+ (d!i)п=w+ (dk)п=W, то произведение dk
до.лжно равняться нулю по модулю r. Таким образом, имеются
гn1d (п/d)-1последователыностей s и (r, d) целых чисел k (ле,м­
ма 12.2), представляющих различные ФТ вырожденные п -последо ­
вательности вида ( 12.4 7). Эти же самые п-последовательности яв­
ляются :вырожде:нными с 1периодо-м п/d (в ·смысле 1'1.4) 'Гогда и
только тогда, когда k = О (по модулю r). Следовательно, имеются
( r, d) п-последовательностей, ФТ вырожденных с минимальным
периодом n/d, для каждой п-последовательности, вырожденной с
-тем же саr,:ым периодом в обычном смысле. Оставшаяся часть до-
351


казательства полностью аналогична доказательству теоремы 11.14;
необходимо лишь подставить (r, d)rn;d вместо ,rn;d в доказательст­
во теоремы 11.14, чтобы получить, что число ФТ невырожденных
п-последовате.ТJы-юстей
\V'(п, r) =! (r, d)μ(d)rn/d_
( 12.48)
din
В силу того что каждый ФТ невырожденный класс эквивалент ­
ности содержит точно nr п-последовательностей и, так как словарь.
синхронизируемый при использовании ФТ, может содержать самое
большее. по одному слову из каждого класса эквивалентности
(лемма 12.1), то теорема доказана. ■
Приведем теперь конструкцию максимальных словарей D'п, син­
хронизируемых при использовании ФТ, для всех длин слов п. Пусть
Dn является максимальным синхронизируемым словарем со словами
длины п . (Такой словарь может быть построен методами§ 11.5. Бо­
лее того, если п нечетное, то Dn может в действительности быть
словарем без запятой, как показано в § 12 .2 .) Пусть Sn - подмно­
жество слов из Dn, сумма символов в которых равна нулю по мо­
дулю r. Например, если r=2 и D 0 является кодом без запятой
{00001, OiOOI, 01101, 10001, 11001, 11101}, то S 5 = {01001, 10001,
11101 }. Словарь D'n состоит из всех слов вида
-
W.=
О, <У1, <У1 + <У2, <У1 + <У2 + <Уз, · ··, <У1 + <У2 +<Уз+···+ <Yn-1 =
(12.49)
где а1 а2... ап является словом из Sn.
Теор е м а 12.1 О. Словарь D'п является синхронизируемым прн
использовании ФТ.
Доказательство . Рассмотрим произвольную последовательность
слов из D'n---WiW;+1 ... wnw'iw'2 w's••·w'i-1ш'i .... Взяв разность по моду­
лю r между последовательными символами, получим последова­
тельность ... <Yi+t;<Yi+2·· Лп-110'п<У 11 а'2.••
[Замечание. Первый с,имвол слова ,на ~выходе ра.вен O-(cr1 + cr21+
+ ... +сrп -1) = i<Jп в силу того, что по построению ,<J1 +cr2+ ... +сrп =
= О (шоd r) ]. Т1ак .как ,полу чен:ная ,после,довательность 1Предста·вля,ет
собой после.довательность слов из синхронизируемого словаря Dn ,
то она синхронизируемая. Синхронизационная задержка для D'п
лишь на один символ больше, чем аналогичная задержка для Dn
в отсутствие r-кратной символьной неоднозначности. ■
Теорема 12 . 11 . Словарь D'n состоит из N'(n, r) слов (см .
теорему 12.9) и поэтому является максимальным.
Доказательство. Имеются в точности rп- 1 п-последовательностей
а 1 а2 ...а11 , таких, что a1+a2+ ... +crn=O (modr). Первые п-1 симво­
лов могут бы ·;ъ выбраны произвольно, а последний тогда опреде-
n-1
ляется одн,означно из соотношен,ия ап=- ~ O'i - Любая ·вырожденная
п -~юследовательность (в смысле § 11.4) должна обладать тем свой-
352


ством, что w=ss ... s для некоторого s=a1a2... -crпlq . Число таки х п-по ­
следовательностей, сумма символов которых равна нулю по моду-;
лю r равно (r, q)r<n;q)- 1 , так как первые (n/q)-1 символов s могут
быть выбраны произвольно, а последний должен быть выбран так,
n/q
чтобы удо:~злетвор-ялось уравнение q ("2, ai) = О (mod r); согласно лем -
1=
ме 12.2 это уравнение имеет (r, q) решений. Так же, как и в дока ­
зательстве теоремы 11 . 14, нужно лишь подсчитать число тех вы ­
рожденных п-пос.педовательностей, которые имеют · период nlq;
где q - произведение простых чисел, для того чтобы учесть каж ­
дую такую п-последователыюсть один и только один раз . В соот ­
ветствии с этим имеются
n-1
~(
)(nfP;)-1 ~~(
) (nfp; Р j)-1
1
r
-
~r,Pir
+L ,!_,
r,PiPi r
+... ,
1
i i>i
•
+ (- 1)m(r, P1P2···Pт)r(n/p, р, • •• Рт)-I
(12.50)
невырожденных п-последовательностей, символы которых в сумме
равны нулю по модулю r. Разделив ( 12.50) на п, найдем, что чис­
ло различных невырожденных (снова в смысле § 11.4) классов эк­
вивалентности, имеющих слова с этим свойством, равно -N' ( п, r) .
Так как каждый невырожденный класс эквивалентности дает одн о
слово в Dn (т. е. так как Dn -- максимальный словарь), то каждый
невырожденный класс эквивалентности, содержащий п-последо ва -
тельности, сумма символов в которых равна нулю, дает одно сло­
во D'п- Таким образом, D'п является максимальным словарем, и
теорема доказана.
12.7 . Заключительные замечания
В этой глав е был нзучен ряд ограничений , которы е на­
кладывались для того, чтобы гарантировать син х ронизируемость
блоковых кодовых словарей. Интересно сравнить эти ра з личные
огран·ичения пи избыточности, которую они вносят. Пусть D будет
словарем, содержащим W слов длины N из r-ичноrо алфавита .
Тогда каждый символ содержит в среднем (!og·2W)/N бит информа ­
ции. Если на D не накладывается никаких ограничений, то W рав­
но rN и каждый символ содержит log2r бпт . Избыточность D поэто­
му может измеряться отношением
л. = [log 2 r -(log2 lV);NJ/log 2 r = 1-log, WJN.
(12.51 )
Сама по себе синхронизируемость накладывает условие W ~
~ 1-N /N и, следовательно , л~ (!ogrN)/N. Эта нижняя граница, н а
самом деле , достигается не только в классе синхронизир у емы х
кодов, но и в классе кодов без запятой со значительно более жест ­
кими ограничениями, как было показано в § 12 .2. Префиксные ко ­
ды , по крайней мере, аси м птотически, так же достигают этой ниж ­
ней границы (см. § 12.4) . К:оды без запятой с инвариантными пу -
12-281
353


тями из § 12.3, будучи более просто реализуемыми, имеют избыточ-
1
ность ''л ~ 2 0-logт(r-l)] [ер. с (12. 18)], которая в противополож-
1:1 ость то му, что справедливо для обычных кодов без запятой , не
стремится к нулю асимптотически с ростом N.
Н есо мненно, что кодами , имеющими наибольший практический
интерес как с точки зрения реализации, так и с точки зрения син­
хронизации, являются коды с запятой. Если запятая помещается
после 1, аждых k слов и k выбирается подходящим образом (см.
§. 1·2 .5), то получающийся словарь из «слов» длины m+kn=N сим­
вш1ов является словарем без запятой с избыточностью
л~{(2log,N)JN, т =пили m= 2n;
(l2.52)
1- log,(r~ 1), m = 1.
_
Та ки м образом, если m=n или m=2 п (последний случай приво­
дит к простой практической реализации) , то избыточI;Iость лишь
sдвое больше той , которая может быть достигнута на синхронизи­
!J) уемых словарях. Когда m= 1, получающиеся коды с запятой
111меют Избыточность вдвое большую по сравнению с кодами без
з апят ой с инвариантными путями. Последние, на самом деле, при
больших N представляют собой, по существу, модифицированные
коды с запятой для т = 1; модификация разрешает использовать
односимвольную запятую в последней половине каждого кодового
слова .
Н ако нец, если требуется, чтобы код был синхронизируемым при
использовании ФТ (§ 12 .6), избыточность оценивается неравенст­
вом "л~ (log"N + 1) /N и асимптотически совпадает с избыточностью
nри условии обычной синхронизируемости .


Г ;iaвq 13
· · 'кодИРОВАНИЕ ДЛЯ УСТРАНЕНИЯ
ОШИБОК
•
•
•
', ·'
'·.!
13.1 . Введение
Предположим, · что канал связп подвержен влияни ю шума, · и н ~
т енсивность которого достаточна, чтобы создать трудно сти для пра ­
вильной иденt·ифюi ации-, в приемнике фактически переданн ых си м ­
волов 1по сигн•алам, исжажен.ным шумам·и . По-видимо му/довол ьн о
часто будут возникать ошибки. Чтобы увеличить надежность с ист е­
мы, может оказаться целесообразным кодирование подлежа щей
передаче информации, возможно, путем передачи , п о мим о ин ф о р ­
мационных символов, еще некоторы х символов, которые д адут в о з­
можность проверить верность информационных си м волов . Наи б о л ее
просто посылать каждый информационi-1ый символ дв а р аза. Если
два соответствующих принимаемых символа совпадают, то к этой;
части . сообщения возникает большее доверие, чем если бы сим.вол
передавался один раз . Если, напротив, принимаемые симв олы ра за
лпчны, то, .по крайней мере , один из них должен быть ошибо чн ым ч
решение относительно переданного символа может быть с оотве т.ст 7
венно обесценено.
Декодер для этого кода с одним повторением мог бы ра бот а т ь
в режиме обнаружения оuтбок. Если какой-либо один и з этой пар ы
символов, соответствующей одному информационному симв олу, яв ­
ляется ошибочным, то декодер может :обнаружить это событ ие н
сообщить потребителю о своей неспособности принять реш ение. Ес­
ли произойдет двойная ошибка (т . е . если оба повторенны х сим в о­
л а ошибочно определены на приемнике) , то будет иметь м есто не ­
о бнаруж:енная ошибка, но это событие, как мы надеемся , и меет
много меньшую вероятность.
Рассмотрим теперь ситуацию, когда символ повторяется н е оди н
раз, а дважды . Тогда ' декодер может принять в качестве правиль ­
ного символа тот, который он . определяет чаще . Это означа ет, :что
е сли в последовательности трех выходов приемника символ s 1 воз ­
никает дважды (или три раза), а символ s 2 - один раз ( или ни
разу), то приемник считает , что в действительности был переда н
s1 (и ло,вторен tЦважды) .• В · с.илу . того что . принять два или . три
последовательных ошибочнь~х решения , по-видимому, н еправдопо;­
добно, вероятность ошибочного решения тем самым сниж а е'ГС Яi.
При этом , если при передаче трех символов происходит лишь одна
ошибка, то будет вынесено правильное решение, и говорят , ч то
;прием1ник ,ра-ботает в .реж,име ис,правления ошибок.
Для того чтобьi сделать предыдущие рассуждения более кон­
кретными, предположим , что имеются лишь два символа канала ii
12 ''
35_5


чт9 вероятность неправильного приема для каждого из них равна р.
(I\онечно, эти две вероятности ошибок не обязательно должны быть
равными, но очень часто они равны друг другу.) Далее предполо­
жим, что все ошибки в символах представляют собой статистичес­
ки независимые события. Тогда, если используются только что рас­
смотре нные код и алгоритм декодирования, вероятность правиль­
ного решения равна Р'с= 1-3р2 (1-р)-р 3. Она больше, чем веро­
ятность Ре= 1-р правильного решения, когда символ передается
лишь один раз при О<р< 1/2; это значит, что сказанное справед­
ливо всегда, когда неправильный прием символа менее вероятен,
чем правильный.
В ·случае :кода с од.ним rповторение.м ·и декодера с оiбна,руж-е.ни­
ем ошибок вероятность неправильного решения равна р2, что, оче­
видно, меньше, чем соответствующая вероятность в отсутствие по­
вто рения для всех О<р< 1. Вместе с тем вероятность Р"с правиль-
1ного решения при использовании этого кода равна 1-2р(1-р)-р2,
что меньше, чем Рс=1-р для всех О<р-<.1 . Достоинство этого ко­
да, очев идно, состоит в способности указывать на некоторые ошиб­
ки, когда они происходят, а не в способности их исправлять.
Метод повторения можно использовать неограниченно; если
символ повторяется четыре раза, то могут быть исправл е ны одиноч­
ные ошибки и обнаружены двойные ошибки или могут быть обна­
ружены одиночные, двойные и тройные ошибки. Аналогично пять
повторений позволяют исправить даже две ошибки в пяти сим3о­
лах. Стоимость повторений очевидна: если каждый символ повто­
ряется п раз, то каждый символ переносит лишь 1/п-ю долю ин­
формации . Другими словами, п-1 из п повторяемых символов яв­
ляются избыточными; они добавля10тся только для того, чтобы
создать защиту от шума в канале.
Очевидно, полезную избыточность можно ввести в передаваемый
сигнал способами, которые отличаются от прямого повторения.
Прещположим, наrпрИrмер, что !После каждО1го блока из k информа­
ционных с,и,мволо,в !Передается проверочный симrвол, кото.рый -оrпrре­
деляется как сумма k предыдущих символов. (Это имеет смысл
только в случае, если сумма определяется подходящим образом.
Например, r си'У!волов могут быть целыми числами О, 1, ... , r-1, а
,сумма понимается по модулю r. Или, если r степень простого числа,
то символы могут быть заданы как элементы конечного поля, а
сумма определяется над этим полем.) Здесь избыточным будет
только один из k+ 1 символов. Тем не менее одиночную ошибку все
:.ж;е можно обнаружить . Это следует из того, что если любой из k+ t
символов принят ошибочно, то (k+ 1)-й символ не будет больше
суммой предыдущих k символов и будет отмечено появление ошиб ­
ки. Две или большее число ошибок могут пройти необнаруженны­
ми. Если, однако, вероятность ошибки в символе р достаточно ма­
ла так, чтобы наличие двух или большего числа ошибок в k+ 1 пе­
редачах было весьма неправдоподобным, то эта способность обна­
; руживать одну ошибку может быть удовлетворительной .
' 356


Концепция исправления ошибок также может быть расширена.
Очевидное обобщение состоит н разделении множества k информа­
ционных символов на ряд подмножеств и передаче, кроме этих k
символов, проверочного символа для каждого из этих подмножеств.
Так, например, за последовательностью из трех информационных
символов можно передать проверочный символ для первого и вто­
рого символов, а затем - второй проверочный символ для второго
и третьего символов. (Рассмотренная выше схема повторения,
между прочим, может трактоваться как передача последовательно­
сти одинаковых проверочных символов для единственного инфор­
мационного символа.)
Каждая из этих процедур кодирования представляет собой при­
мер более общего метода кодирования, т. е. отображения блоков k
информационных символов в блоки n>k кодовых символов, назы­
ваемые кодовыми словами. (В дальнейшем множество кодовых
слов будет называться кодовым словаре,н или более кратко кодом.
Отношение k/n, т. е. доля информационных символов в кодовом
слове, называется скоростью передачи ш-1.формации.) Имеется мно­
жество возможных способов определения такого отображения.
Один из классов образуют отображения, например, состоящие в
присоединении n-k проверочных символов к каждым k информа­
ционным символам. Задача состоит в определении наилучшего ото­
бражения при заданном множестве условий, где наилучшее пони­
мается в смысле полученю'! либо минимума вероятности ошибочно­
го приема кодового слова, либо максимума вероятности его пра­
в ильного приема . (То, что эти два критерия не обязательно совпа­
дают, можно понять на примере обсуждавшегося выше режима об­
наружения ошибок.) К сожалению, они являются довольно неудоб­
ными критериями для исследования. Более простая мера качества
н екоторой частной схемы кодирования следует из рассмотрения со­
отношения между вероятностью принять одно кодовое слово вместо
другого и числом соответствующих символов, которыми отличаются
эти два слова. Предположим, что d;j из соответствующих симво­
л ов двух кодовых слов W; и -Ш j не равны друг другу (например, ес­
ли wi=00111 и WJ=10100, то d;j=З). Очевидно, что если передает­
с я одно из этих слов, то должны произойти самое малое d; 5/2 оши­
бок при передаче для того, чтобы принятое слово стало «ближе» ко
второму слову, чем к первоначальному (отличалось меньшим чис­
лом символов от второго слова), Вообще, если d - число символов,
в 1, оторых отличаются два ближайших слова, то могут быть исправ­
л ены, по меньшей мере, е = (d--1) /2 ошибок путем отождествления
п ринят о й п - последовательности с ближайшим к ней словом из сло­
в аря. А налогично всегда может быть обнаружено любое множество
d -1 ил и меньшего числа ошибок.
Отметим попутно, что можно было бы исправлять некоторые
о шибки и обнаруживать другие . Например, все те принимаемые
с лова , которые находятся в пределах расстояния е от кодового сло­
ва , можно было бы считать возникшими из эт,ого слова, в то в_ремн
к ак принимаемые слова; отличающиеся от всех кодовых слов на
357


Р ,<;1сстояцие, большее е, могли бы рассматриваться как не падлежа ­
щце декодированию. Тогда, ,если d -:- расстояние между блищайпш­
ми кодовыми словами, то будет считаться, что все принимаемые
слада, которые содержат, пр меньшей мере, е+ 1 ошибок, но не бо­
лее чем d-e-1 ошибо1<;, содержат ошибки, но не будут декодиро­
ваться. Если код должен исправляп~ вп,лоть до е ошибок, а также
обнаруживать все принимаемые слова, содержащие более чем е,
но не более чем i=d-e -1 ошибок, то d должно брПр, очевидно,
равным, по меньшей мере, t+e+ 1.
Во всех этих случаях вероятность ошибочного декодцрqвющя ,
связана с минимальным расстоянием d между любыми дI\УМЯ ко 0
довыми словами. Эта мера расстояния, т. е. число соответствую­
щих символов, которыми отличаются два кодовых слова, называет­
ся хэмминговским расстоянием.
При последующем исследовании кодов, исправляющих ошибки
и обнаруживающих ошибки, словари будут сравниваться и оцени­
ваться с помощью связанного , с ними минимального расстояния d,
разделяющего любые два слова; наилучшим словарем при любых
заданных параметрах п и k будет тот, для которого это минималь,­
ное расстояние d максимально. Следует указать, что наилучший
словарь в этом смысле не обязательно будет наилучшим в смысле
максимума вероятности правильного приема или минимума веро­
ятности ошибочного приема. Эти меры связаны с минимальным
хэмминговским расстоянием, но они не обязательно монотонно за­
висят от него. Впоследствии мы возвратимся к этой стороне задачи.
13.2 . Линейные коды
Чтобы описать более общие конструкции для
кодов, исправляющих и обнаруживающих ошибки, в кодовый сло­
варь нужно ввести структуру. Наиболее успешно используемая
структура состоит в том, что кодовые символы считаются элемен­
тами некоторого конечного поля GF(q), а кодовые слова образу­
ют векторное подпространство п-последовательностей над GF(q).
Такой код называется линейным (п, k) - кодом; п обозначает число
символов в каждом 'Кодовом слове, а k - размерность подпро 0
странства.
Слова линейного кода могут быть построены, если взять все
линейные комбинации множества {gj}, состоящего из k базисных
векторов (или порождающих), сп компонентами
(13.1)
i=I
где aij - элемент поля GF(q), над которым определены кодовые
слова. Словарь, порождаемый k линейно независимыми векторами,
содержит qk кодовых слов. Матрица G с размерами kXn, строки
которой являются кодовыми словами gj, j = 1, 2, ... , k, будет назы­
ваться порождающей матрицей линейного (п, k)-кода .
S58


Рассмотрим, · например, линейный словарь D= {ООО, 202, 122 ,
0 21. 220, 110, 012, 101, 211}, определяемый над троичным полем.
Так ' как он содержит девять кодовых слов, то его размерность .!г
р авна двум (32 = 9). Все кодовые слова, например, являются линей­
н ыми комбинациями первых двух ненулевых слов . (Заметим, что
к аждый линейный словарь в силу того, что он определяет вектор­
ц ое · пространство, должен содержать нейтральный элемент, т. е.
\''
.
.
.
.
.
в ектор , все компоненты которого равны нулю.) • •
Одним из основных преимуществ при ограничении класса кодов
л инейными является относительное удобство определения мини­
мальпого хэмминговского расстояния между двумя кодовыми сло­
в ами. Пусть вес вектора определяется как число его ненулевых
компонент. Тогда l'vrинимальное хэмминговское расстояние, разде­
ляющее любые два кодовых слова в линейном коде, . _
равно _весу
ненvлевого кодового слова, имеющего минимальный вес в этом сло­
в а ре. Это немедленно следует из того, что хэмминговское расстоя ­
н ие между любыми двумя кодовыми словами Wr и w. равно весу
в ектора, представляющего собой разность векторов Wr-Ws, т . е.
к омпонента Wr-W s не равна нулю тогда и только тогда, когда со­
ответствующие компоненты в Wr и Ws различны . Но так как код
я вляется линейным, то слово Wt =Wr-Ws само является словом из
к одовог о словаря и его вес равен расстоянию между Wr и w •.
Второй причиной особого внимания к классу линейных ко­
д ов является то, что он ·включает в себя ·важный .класс кодов с
проверками, р:~ссмотренный ранее. Как сейчас покажем, эти два
класса кодов фактически совпадают, если концепция проверок
о бобщается следующим образом . Пусть (ffit, ffi2, . .. , f f i п )
-
множество
и нформационных символов, определенных над некоторым полем
GF(q) , и пусть проверочные символы (!);, k<i~n определяются
k
уравнениями ~ t);jffij+ffi;=0, где суммирование производится над
.
i=I
GF(q). Это выражение можно записать следующим образом:
п
I '1Jii (J)i = О,
i=I
(13.2)
где 'l'Ji j =O для всех j>k, кроме j=i. Использованное ранее опреде­
л ение проверочного символа ограничивалось случаем, когда t)ij
р авнялось -1 (или О) для всех j~k. Обобщение состоит - в том,
ч тобы рассматривать 'l 'Jij, j~k как любые элементы из по­
л я GF(q).
Множество ур-ний ( 13 .2) можно представить в более удобной
ф орме, используя матричные обозначения . Пусть вектор w=
= (ffit•ffi2... ffin) соответствует кодовому слову, а h;-1t=:(Т);1Т);2...t)in),
i ==k+ 1, k+2, ... , п представляют собой (n-k) проверочных вектора .
Тогда сущест.вует проверочная матрица Н ~вида
Н = [An-k, kln-kJ,
'
(13 .3)
где An-k, k - матрица (n-k) Xk, а In-k
-
единичная матрица
359


(n-k) Х (n-k), такая, что любая строка hi из Н удовлетворяет
уравнению whi=O для любого w из кода. Обратно любая п-после­
довательность w, удовлетворяющая уравнению whi=O при всех hi
из Н, является КО!Lовым словом. Таким образом, словарь D кода с
проверкш,tu можно определить как множество всех векторов w,
удовлетворяющих уравнению 1)
wНт=О~(О,О,..., О).
(13.4)
Доказательство эквивалентности кодов с проверками и линей­
ных кодов легко выполнить, если заметить, что все порождающие
матрицы линейных кодов комбинаторно эквивалентны (эквивалент­
ны, быть может, с точностью до перестановки столбцов) порож­
дающей матрице вида
G = [lk вk, n-k1,
(13.5)
где lk - единичная матрица kXk, а Bk, n-k
-
некоторая матрица
k Х ( n-k). Это следует в силу того, что по определению линейный
код порождается (kХп)-матрицей W, имеющей строчный ранг {и,
следовательно, столбцевой ранг) k. Выражая W в приведенно-сту­
пенчатой форме, получаем матрицу в форме G. Матрица G порож­
дает тот же самый код, что и W, возможно лишь с точностью до
порядка его символов (т. е. до перестановки ее столбцов). Ясно ,
что это не меняет расстояния между двумя любыми словами кода ,
так что результирующие коды обладают теми же самыми расстоя­
ниями. Коды, которые могут быть порождены матрицей вида ( 13 .5),
,называются систематическими кодами 2) . Пер,вые k с-имвол,ов каж­
дого кодового слова можно отождествить с информационными сим­
волами. Это значит, что если k информационных символов {а1 ,
(1⁄2, . .. , ak) ia ,кодируются в сло·во
w=aG,
(13.6)
то i-м символом кодово1го сло,ва будет са,мо ai lдЛЯ .всех ri из инте,р­
вала 1~i ~k и все информационные символы видны явно.
После этих предварительных замечаний можно сформулировать
следующую теорему .
Теорем а 13 . 1. Любой систематический код является кодом с
проверками и наоборот .
13.3. Границы для минимального расстояния
между кодовыми словами
Число кодовых словарей, которые могли бы быть п о­
етробны, 01г,ромно ,почти для любого множ-ества 1па'Ра:мет,ров. Пусть
нужно выбрать из ,qn п-последовательностей над GF(q) подмноже -
1 ) Транспонирование матрицы обозначается здесь надстрочным индекс ом Т .
(Прим. авт .).
2 ) Иногда ис пользует ся вместо этого термин «канон ический код», а наз r:'·
ние к< систе мати ческий код» дается любому коду, который эквивалентен канони ­
ческому коду при перестановке столбцов . (Прим. авт.) .
360


ство qk в качестве словаря . Существуют N1 = (;:) способов сделать
э то: число N1 чрезвычайно велико даже при умеренных значениях
п, k и q. Если представляют интерес лишь линейные коды, то все
еще необходимо рассматривать N2 =L(n, k, q) таких кодов, где
L(r, s, q)Л (qт-1)(qr-q)(qr-q2) .. . (qr_,qs-l)-ЧtИCЛO СIПОСО.бов вы­
бора множества s линейных независимых векторов ,-мерного век­
торного пространства над GF(q). {Выражение для ,L(r, s, q) легко
получить, если учесть, что первым вектором может быть любой из
qr векторов подпространства, кроме нейтрального элемента, вто­
рым - любой из qr--,q векторов, линейно не связанных с первым ,
третьим - любой из qr-q2 векторов, который не является линей ­
ной кпмбинацией первых двух и т. д.) Однако число неодинаковых
линейных кодов меньше, чем N2, так как каждый из них может
порождаться более чем одним способом. Но даже, если исполь ­
зуется какой - нибудь метод, чтобы избежать вторичного рассмотре­
ния того же самого линейного кода, все еще остаются N 3 =
= ,L(n, k, q)/L(k, k, q) различных кодов. Для доказательства заме­
тим, что при заданном линейном словаре имеются L(k, k, q) раз­
личных с п особов выбора порождающего его множества. Число
L(k, k, q) представляет собой кратность, с которой какой-то част­
ный код будет порождаться, когда выбираются все N2 различных
порождающих множеств. Наконец, число конкурирующих словарей
можно да.1Jее снизить, рассматривая лишь систематические коды .
В силу того что каждый линейный код комбинаторно эквивалентен
систематическому коду, это ограничение в действительности не
устраняет какие-нибудь линейные коды, но уменьшает до некоторой
степени число различных словарей, которые нужно исследовать .
Так как существует q<n-k)k различных {kX (п-k)]-матриц Bk, n-k,
которые могут быть использованы при определении порождающей
матрицы для кода в виде (13.5), то существуют ,M. =, q<n-k)k различ­
ных (но не обязательнь комбинаторно не эквивалентных) система­
тических (п, k)-кодов . Но даже N4 очень велико для того, чтобы
можно было выполнить исследование с какой-.r;ибо степенью полно­
ты. Имеется, например, более 32 млн. различных систематических
двоичных (10,5)-кодов, и это число растет очень быстро с ростом
п,kиq.
Гла вное здесь состоит в том , чтобы подчеркнуть невозможность
исследования кодов с помощью перебора и, следовательно, под ­
черкнуть, как важно иметь возможность оценить заданный код ка­
к им-то методом, который отличается от метода сравнения его со
вс еми остальными кодами с теми же самыми параметрами . В этом
параграфе приведены несколько верхних границ для максимально­
го минимального расстояния кодовых словарей. К:роме того, описан
метод построения словарей, имеющих заранее заданное минималь­
ное расстояние, и посредством этого устанавливается нижняя гра­
н ица для наилучшей возможной конструкции .
Неко торые верхние границы. В последующем рассмотрении бу­
дем обозначать через Dq(n, N, d) словарь, состоящий из N слов
361


длины п, определенщ,1й над q-симнольным алфавитом, любые два
'слова из которого разделены хэмминговским расстоянием, не мень ~
шим d. Далее пусть V п ( q) - множество всех qn п-последователь­
ностей, определенных над некоторым q - символьным алфавитом . Ес­
ли Dq(n, rN, d) - линейный код, то он будет называться (п, k, d)-
словарем над GF(q) c ·k=logqN. В этом случае Vn(q) будет п-м:ер­
ным векторным пространством над GF(q) . Выражение для первой:
грш-rицы, которое будет выведено, является следствием из двух при­
водимых ниже лемм.
Л ем м а 13 .1. Пусть D является слова рем с N словами, опреде­
ленными над q - символьным алфавитом, и пусть Sp (х) обозначае!
хэмминговскую сферу радиуса р в Vn(q) с центром в х(т. е. Sp (х)
состоит из всех п-последовательностей, которые отличаются от х в
р или менее компонентах). Тогда существует такое х, что Sp (х) со­
держит самое меньшее Np слов из D, где
а символ {l} означает наименьшее целое число, большее или рав­
ное l.
Доказательство. Пусть Np (х) - число слов из D в S 0 (х). Тог­
да, так как каждое кодовое слово w содержится точно ~
р
.
L (~) (q-I)i различных сферах радиуса р, то
l=O I
и лемма доказана.
(13.7)
Лемм а 13.2 . Если Sp (х) содержит М~2 CJl OB, принадлежа­
щих D, то, по меньшей меое, два из них лежат на хэмминговском
расстоянии d друг от друга·, где
1
.
[Мо(2р q)2]
q-I
.
mш М-1 -п q-I
'
Р' р.,.;;: -q -n'
d., .;;:
M(q-1)
q-1
--~--п , p>-- n.
(М-1)q
q
Доказательство. Пусть А будет таблицей с размерами МХп,
строки которой - кодовые слова из S 0 (х). Пусть Sj(i) - число
появлений символа aj(i) в i-м столбце А, где ao(i) Л Xi (i-я компо ­
нентах) и где другие aj(i) определены произвольно, но так, чтобы,
конечно, выполнялось условие аμ (i)=t=r:x,, (1i), μ=i=v . Наконец, пусть
362


d;j - расстояiiие Между кодовыми словами W; и Wj, а 1 - мнnже­
ство индексов i, таких, что w; принадлежит Sp (х) . Тогда
п Q-1
mi_n М (М-1)d11<: ~ d11= '{1 '{lsi(i)(М-si(i))=
i, /6/
I.J
I.J I.J
.
i=j=j
i, jEi
i=I j=O
•
l+f
п q-1
п q-1
п
= М 1J!J s1(i)- 1J!J s7(i)- 1J s6(i).
(13.8)
i =IJ=O
1=1 i=I
i=I
п q-\
Согласно неравенству Шварца имеем: n(q-1) ~ L sj(i) >
. 1""'1 i=I
п q-1,
Но L ! s;(i) пpeд­
i=l /=l
::::л::т;:б;.~,п:0::08::::ук::!(%~: (:)•:•~(:)):::~~:::.о~
п q-1
р = : t IJ·s/(l)и замечая, что r~P, получаем, что
i=I i=I
minM(M- l)du <: М2р{2- Р _g _1
.} <:
i,м
пq-
1=/=i
· 1м2р{2- ...е.._ _q_} ' р <: пq- l ;
п q-l
q
<:
2 q-1
q-1
М п--, p>n--
.
q
q
(13.9)
Так как d, очевидно, ограничено сверху величиной 2 р, то это до­
казывает леммv. ■
Объединяя ·леммы 13.1 и 13.2, сразу получаем следующий ре­
зультат.
Теорем а 13 .2 . (граница Элайса). Словарь Dq(n, N, d) не мо­
жет существовать, если не выполняется неравенство
d <: min{..!!J__P ( 2- ~ _ч_), 2р}
NP-1
п q-l
Po<P<[(q-\ )/q]n
где Np - на~меньшее целое число, равное или большее
р
; ~ (;) (q-l)i, и где ро - наименьшее значение 'Р, для кото-
1=0
,.
рого Np ~2.
363


Следе т~в и е (~раница Хэмминга). Нео,бхо,:щмым условием для
существования словаря D=Dч(n, N, q) является выполнение нера­
венства
d нечетное,
(13.10)
d четное.
Следствие (граница Плоткина). Словарь D=Dч(n, N , d) не
может существовать, если не выполнено условие
d<N(q-1)п.
(N-l)q
(13.11)
Теорем а 13.3 . Если существует словарь D=Dч(n, N, d), то
существует словарь Dч(п-1), {N/q}, d) 1).
Теорема 13.4 (граница Грайсмера) . Если D - лин е йный
(п, k, d)-словарь над 1GF(q), то существует также линейный
(n-d, k-1, {d/q} )-словарь над ,GF(q) .
Доказательство. Пусть G= {g;; i= 1, 2, . .. , k} - множество по­
рождающих векторов кода D; без потери общности предположим,
что G содержит вектор g,, веса d. Для удобства предположим, что
первые n-d компонент gk равны нулю. (Это, возможно, потребу ­
ет перенумерации компонент.) Предположим, что w является не­
нулевым словом в D, имеющим d' ненулевых компонент среди пер­
вых n-d. Тогда, так как w+1agk также принадлежит D при любом
а из iGF(,q), то D должно содержать некоторое слово, имеющее
среди первых n-d точно d', а среди последних d - самое большее
d-{d/q} компонент, отличных от нуля . В соответствии с этим если
w=fcagk для какоrо-ли1бо а из GF(q), то d' +d-{d/q} ~d и d 1 ~
~ {d/q}. Пусть D' является линейным (n-d, k-1) - словарем, по­
рожденным G' = {g\, i= 1, .. ., k-1}, где g'i состоят ·из 1пер.вых n-d
компонент g;. Очевидно, что любые два слова из D' находятся
друг от друга на расстоянии, по меньшей мере, d', что и следовало
доказать.
Следствие. Линейный (п, k, d) - код над GF(q) существует
только, если
k-1
п:;;,. L di,
(13 . 12)
i=O
где do=d и d;= {dнf,q}.
Последние две теоремы могут быть использованы как незави­
симо, так и совместно с теоремой 13.2, для того чтобы оценить
максимум минимального расстояния d, который можно достичь на
1 ) Здесь и далее вновь {/} обозначает наименышее целое, большее или рав­
ное l. (Прим . авт.).
364


словарях D, содержащих N слов, длины п. Как следует, например ,
сразу же из теоремы 13.3, существование словаря Dч(п, N, d) вле­
чет за собой существование словаря Dч(n-t, {N/q'}, d) при любом
t~ {logчN}-1 . Положив t= logq{N-1}, получаем далее, что сло­
варь не может иметь N слов из п символьного алфавита, разделен ­
ных минимальным расстоянием d, если не выполнено условие
d <. n-{logqN}+ 1.
(13.13)
В случае, по крайней мере, линейных кодов теорема 13.4 может
иногда приводить к более точной границе, чем граница в теоре­
ме 13.2 . Последняя граница, например, не запрещает существова­
ние словаря D2 (10, 16, 5), но согласно теореме 13.4 никакой ли­
нейный двоичный код не может обладать этими параметрами . Ана­
логично двоичньrй линейный ( 15, 8, 5)_-код мог бы существовать .
если бы существовал ( 10, 7, .З)-код (ер. с теоремой 13.4) . Послед­
ний код запрещен, однако, границей из теоремы 13.2, хотя запре­
щение не распространяется на словарь. D2 ( 15, 256, 5). Таким обра­
зом, может существовать нелинейный код с этими параметрами, но
не линейный 1) .
Обсуждение верхних границ закончим, доказав еще два следст­
вия теоремы 13.4 .
Следствие. Линейный (п, k)-код над GF(q) с расстоянием
k~I
/.-!
d=~оqk-1
-
r~iq'
_,
i=l
существует только в том случае, если
k-1
п :;;,-. ~0(qk- 1)/(q- l)- L ~1(q 11 -1)/(q- l).
i=l
(13.14)
(13.15)
,След ст 1в и е 2). Если линейный q-ичный (п, k)-код ,имеет ,м,и­
нимальное р,асстоя1ние d~qk-1
,то
п :;;,-.
_ q _(d- 1) + k-logчd.
q-I
(13 . 16)
Нижняя граница Гилберта. Прежде чем закончить обсуждение
границ, убедимся в том , что существуют линейные коды, по крайней
мере, хоть с какими-то способностями к исправлению или обнару- ·
жению ошибок . Вывод границы Гилберта показывает, что можно
построить q-ичные линейные (п, k)-коды с заданным минимальным
расстоянием. Основания для этого построения дает следующая
лемма .
1) Интересно отметить, что существует-таки нелинейный код с этими па ­
раметрами. Наилучший линейный ( 15,8)-код имеет расстояние 4. Это один из
нескольких случаев, когда известно, что существует нелинейный код, имеющий
большее минимальное расстояние, чем допустимое для линейного кода с той
же самой длиной слова и размерностью. (Прим. авт.).
2) Иногда эта граница также ,называется границей Плоткина. (Прим. авт.) .
365


, ( Лемма ЛЗ:.'3. Если имеется·:кс5дов.ое словоЧ: весомг d, порож­
денн d.е м ·а:грицей G; то должна существовать линейная зависимость
м еikду точно '-d сто.тiоцам-и· r~.щ5Gждающей матрицы Н нуль-простран-
,с тва и наоборот;
: .;:---
Это л емма является основной дл.я конструкции Гилберта . Чтобы
шостроить Jt!-шей,ный (п, k)-код с минимальным •расстоянием не
1'-'rеньшим d, нужно .выбрать ст-оЛ,бцы (n-k) ~k-м,ат,рицы Н _ .так,
ч·юбы н·икакое множество из d-1 .ил.и меньшего ,их ч-исла не было
JIИ!-tейно ,iз'ави61л1ым . Та.к, первый ст,ол,бец hr матрицы н может
быть любой (п-.k)-,поrследовательностью над GF(q), кроме чисто
,,нулево1го вектора от. Второй столбец h2 может быть любым, к,ро­
ме от , или (если d>2) hr, умноженного на любой из q-1 ,иену­
.левых элеме,нтов 1GF ( q); h3 ,может быть любым, :кроме' От, h 1, h2,
умноженных на любой из q-'1 ненулевых элементов ,G,P(q) (если
d>2) или (q-1) 2 л,инейных ком·б.инаций, включающих ,в себя ,ка-к
hi, так и h2 ( если d>З). Вообще, (j +1) 0 й столбец 1из Н может -быть
вьr:.бран и оставшихся (п-k) -1по·следо1вательност-ей лишь после тог,о,
как все возможньiе линейные комбинации из d-2 или меньшего
числа j ранее выбранных столбцов Н были исключены. Это гаран­
тирует, что никакие из d-1 или меньшего числа выбранных столб­
цов не являются линейно зависимыми. В худшем случае все эти
устраненные (п-k)-последовательностй являются различными, по­
этому можно заведомо выбрать п-й столбеu из Н. если после того,
как все, возможно различные
d-2
2 (n~ 1)(q-1)i~N(n,q,d)
(13.17)
/=0 /
(п-k)-последовательности были устранены, остался, по крайней
мере, один столбец. Так как имеются q<n~k) различных (n-"-k)-по­
следовательностей, то это возможно, если N(n, q, d) <qn-k . Так как
ранг Н не может. быть больше. чем n-k, то словарь должен содер­
жать, по меньшей мере, qk сло,в . Следовательно, доказана следую-
щая теорема.
•
Теорем а 13.5. Можно построить q -ичный линейный (п, k)-сло­
варь с минимальным расстоянием d~2 для всех п, k и d, удовлет­
воряющих неравенству
qk < qn /~(n-;l)(q-I)i,
(13.18)
13.4. Циклические коды
За некоторыми важными исключениями поиск хороших
конструкций линейного кода, исправляющего ошибки, оказывался
успешным только после того, как были наложены еще большие
ограничеция на кодовую структуру. По мере того как математичес­
кие ограничения, которым должен удовлетворять код, становятся
более жесткими, подмножество допускаемых кодов становится, ко-
366


нечно, меньшим, и наилучшие коды с самого начала могут даже
быть исключением из рассмотрения. Вместе с тем те коды, которые
останутся, ·будут легче .поддаваться а,нализу, и хорошие :коды ,в
этом ограниченном классе будет легче описать .
Ограничение, которое применяется наиболее эффективно, со­
стоит ~з требовании того, чтобы линейный код был цuклически,и .
Обозначим через wi циклическую перестановку символов кодового
сло.ва w на i .позиций ·влево [если w= ,wO'w 1... Wn-I, то wi=
= ( w i w н 1 . .. Wn-1WoW1 ... wi-1)]. Линейный словарь D называется цик­
лическим тогда ,и только тог.да, ко.г~да он вме.сте ,с каждым слово,м
w из D содержит также слово w i для каждого целого ,i. Все эти пе­
рестановки не обязательно должны быть различными. Например~
каждый из словарей 0000, 1111 и 0000, 0011, 0110, l 100 , 1001,
0101, 1010, 1111 является циклическим .
Послезно ассоциировать с каждым кодовым словом w=
= ( WoW1 ... Wn-1) многочлен
w(x) = Wo +W1X +W2X2+... +Wn-l xn-l,
(13.19)
Если код является циклическим, то многочлен x 1w(x) также
должен представлять собой кодовое слово; здесь показатель степе­
ни берется по модулю п; x 1w(x) соответствует слову, которое по­
лучается с помощью циклической перестановки симводов w на l по ­
зиций вправо (на n-l позиций влево). Более того, так как код ли­
нейный, то произведение p(x)w(x) представляет собой кодовое ело~
во при любом многочлене р(х) с коэффициентами, которые являют­
ся элементами поля, над которым определен код. Очевидно, что
приведение по модулю п показателей степеней в многочлене р (х)
эквивалентно приведению многочлена по модулю многочлена xn· -1 .
[Если р(х) =q(x) (xn-1) +r(x), где r(x) - многочлен степени ,
меньшей чем п, то р(х) = •r(x) по модулю xn-I.]
Теорем а ·1з.6. Каждое кодовое слово в циклическом (п, k)-
коде может быть представлено многочленом вида a(x)g(x), где
а(х) - многочлен степени k-::-1 или меньше в зависимости от рас ­
сматриваемого кодового слова, а g(х) является нормированным 1)
делителем МНОiГОчлена хп~ 1; и1меет степень n-k и •опре1деляется
един,ст:венным образом.
Многочлен g(x), определенный в теореме 13.6, будет называть­
ся порождающим многочленом (п, k)-кода.
Пусть теперь мно_гочле_н v; (х) опреде.пяется как
п-1
V*(х) = Vn-1 +Vn-2Х+Vn-3Х2+...+V0xn-\ = -~
Vn-l-i Х1,
i=O
( 13.20)
где (vov1 ... Vn-1) - п-последовцт~л:ьнdсть в нуль:пространстве рас­
сматриваемого кода; рассмQтрим произведение w(x)v*(l), в кота,
,ром ~показатели степеней берутся 1110 модулю п, w(x)v*(x)='
1 ) Нормированным многочленом называется многочлен_, старший , коэффи­
циент которого равен '!. (Прим . авт. ) :
367


п-1
= I (vowн1 +v1W;+z+ ... +v,~-1w;)xi. Коэффициент при xi в произ-
i=О
ведении многочленов является скалярным произведением, пред­
,ставляющим собой одно из проверочных соотношений, , которому
должен удовлетворять вектор wi+1. Следовательно, если w(x) яв­
ляется многочленом кодового слова, а v*(x) - проверочный много­
член, определенный выше, то произведение w(x)v*(x) должно быть
равным нулю, если показатели степеней приводятся по модулю п.
Другими слова ми, произведение w ( х) v* ( х) должно делиться
на xn-1:
w(х)v*(х)=р(х)(хп- 1).
(13.21)
Теорем а 13.7. Нуль-пространство циклического кода также
является циклическим кодом с порождающим многочленом h(x) =
= (xn-1)/g(x).
Доказательство. Очевидно, что a(x)h(x) ~(x).g(x) =а(х) ~(х) Х
Х (xn-1) = р(х) (xn-1) и любая п-последовательность, соответст­
вующая какому-либо из многочленов a(x),h(x), находится в нуль­
пространстве кода, порождаемого многочленом g(x). Обратно пред­
положим, что и* (х) соответствует некоторой п-последовательности
в нуль-пространстве. Тогда g(x)v*(x)=p(x)(xn-I) = p(x)g(x)h(x),
так что
v*(x) =р(х)h(х).
(13.22)
Все многочлены, представляющие п-последовательности из ну.iть­
пространства, имеют вид (13.22) и (наоборот), где h(x)=
= (xn-1)/g(x), что и требовалось доказать. ■
Заметим, что пространство циклического кода, порождаемого
n-k
многочленом g(x) = L g;xi, натянуто на векторы
i=O
go gl
gn-k
о
о
.о
оgo
gn-1,-1 gn-k о
о
G=
оо
go
gl
g2 .. • gn-k-
а его нуль - пространство натянуто на векторы
-
ho h1
. hk-1 hk
о
о
оho•••hk-2hk-1hk...о
Н=
оо
.
ho
h1 h2...hk
368
(13.23)
(13.24)


k
iГде h(x) = L h1<-;Xi - порождающий многочлен нуль-пространства .
i=O
Более того, матрица G из равенства ( 13.23) может, очевидно,
быть записана в виде (13.5) с помощью последовательности эле­
ментарных операuий, выполняемых только со строками. В силу
того что эти операции со строками оставляют результирующий
словарь неизменным, все циклические коды являются систематиче­
скими .
Кодовое слово ,v= (шow1 .. .Wn-1) принадлежит циклическому
(п, k)-кодовому словарю тогда и только тогда, когда
k+l
k
~Wjhi-1=~wi+lhi=О
(13 .25)
j=l
i=O
для всех l=O, 1, ... , n-k-1, !Где h= (hoh1 ...hнO ... O) - п-1последоs,а­
тельность его нуль-пространства. Это сразу же следует из выраже­
ния ( 13.24) для порождающей матрицы нуль-пространства . В соот­
ветствии с этим символы любого кодового слова должны удовлет­
ворять рекуррентному соотношению
k-1
W1+k= -
-
1- '1W.+1hi,l =О,1,..., n-k-I.
hk lJi=O
(13.26)
Символы w5 при всех k~J~n -1 однозначно определяются по
первым k символам wo, w1, ... , w,,-1 с помощью
этого разностного
уравнения.
.
Стандартная процедура отыскания решения линейных разност­
ных уравнений состоит в нахождении решения в виде ,w1=x1 и о п р е ­
делении корней образующtгося многочлена. При этом решение за ­
дается равенством w1= ~1, где ~ - ·
.1юбой корень многочлена
k
k
~hi х;+1 = xt+k~hk-jx-i = x1+k h(--;-),
(13 .27)
i=O
j=O
h(x) было опреде.п ено ранее. Корни h(l/x) существуют в некото-
ром расширении поля :GF(q), над которым определен код .
.
Один из корней многочлена (13.27), очевидно, есть х=О. Так
к ак xhh ( 1/х) является многочленом степени k, то существуют вплоть
до k дру~гих 1решений W1= ,~1;, где h(~- 1;) =10, и так как разносТ1ное
уравнение является линейным, то любая линейная комбинация
этих k решений также должна быть решением. Общее решение по­
этому должно иметь вид
k
W1= ~Ci~;,
(13.28)
i=I
где с; - постоянные, 1<0торые должны быть выбраны так, чтобы
удовлетворялись начальные условия:
369


k
k
k
k
Wo= ~ci;W1=LCt~,; w2= I Ct~7,···,wk-l = ~ci~J-1
•
i=I
i=I
i=I
1=1
Это означает, что вектор С= (с1, с2,... , с,,) должен
удовлетворять
уравнению
Мст=;т
'
(13 .29 )
где
-
1
1
~1
~2
М=~т~~
.
~~ -1
~~-1
и W= (wo, W1, ... , W1,-1).
Ураю-;ение ( 1,З.29) будет иметь решение с тогда и только тогда ,
когда матрица М имеет ранг k, и поэтому тогда, когда определи­
тель матрицы М не равен нулю . Но при всех k> 1 имеем
k
detM= П(~;-~i) .
. i,1=1
i>j
(13.30)
Чторы показать это, заметим, что обе части уравнения ( 13 .30)
я1:1.щ1_ю,тс5J многочле1;1. ами р (~i) степени k-1 от 1<а~<ого-либо одного
•
_ ,.,.'
..
'•
'
··
·'
·
k-1
из переменных ~i (т. е. р (Bi) = 1dз~Ji]. Более того, если ~i = BJ для
•
i=O
любых j=l=-i, то det М=О , и поэтому p(~i) имеет делитель Bi-~J -
Taк как обе части соотношения ( 13 ..ЗО) являются многочле J-Iами
одной и той же степени и имеют одни .и те же делители, то они от ­
личаются самое боль ш ее на rюстоян н ый множитель . Но поскольку
коэффициент при 1 ~2 В2з. ~-й-1 совпадает для обоих многочленов, то,
на самом: деле, они должны быть равньrми . (Этот· определитель,
между прочим, называется онределителем Вандермонда.)
Поэтqму получаем, что det M=i=-0, если все корни ~i различные .
[Если они не являются различными, то решение все же. можно по­
лучить, хотя оно и не имеет вида (13.28). Во всех представляющих
для нас интерес ситуациях, однако, ·Bi будут различными .] Таким
образом, можно записать решения относительно коэффициентов Ci
так,- чтобы удовлетворялись начальные условия . Так как W1 в
( 13.2 8) удовлетRоряют как рекуррентным соотношениям, так и на­
чальным условиям, то в действительности они должны быть симво­
лами кодового слова, имеющего эти k заданных информационных
символов.
370


Фактически r;rы лишь у1<азали другой сh·особ определения сим­
волов слова циклического кода по информационным символам. Так
как М?ЖНО было бы сделать это значительно проще с помощью дру­
гих методов, _то казалось бы, что результат едва . ли заслуживает
затраченных усилий. Польза vр-ния ( 13 .28), однако, станет ясной
после следующих замечаний. ·прежде осего, корни Bi многочлена
h ( lix) всегда могут быть выражены в виде Bi= ВоВе;; где ei - це­
лые числа, а Во и В - элементы некоторого поля iGF(qm) . (В част­
ности, f,i = c/i , где а - примитивный элемент этого п6ля.) Но если
Bi = BoJ3e 1 , то ур-ние (] 3.28) записывается в виде
k
Wz = ~i 1ci(~ei )l.
(13.31)
1=1
В соответствии с этим каждое кодовое слово из словаря можно ас­
соц иировать с многочленом
k
gw(х) =I:ciХе1
( 13 .32)
•
1=1
так, что Wz~B 1ogw(B 1). Эти многочлены в литературе по теории ко ­
ди рования обычн о' называются лщогочленами Маттсона-Соло-
.мона:
1
Предположим теперь, что max ei=s. Тогда gw(x) является мно-
1<1<k
гочленом от х степени s. Имеется самое большее s решений х= В 1,
для которых gw(B 1) =0. Если В является элементом порядка е, то,
следова тельно, самое меньшее fn/e]( e-s) величин wi должны бьtть
ненулевыми. Так как это снраведливо для любого ненулевого кодо­
вого слова из словаря, то сам словар·ь должен обладать минима.11ь­
ным весом d~{n/e](e-s). Часто этот метод удобен для оценки сни­
зу минимального веса циклического кодового словаря. Отметим,
что ни В, ни целые числа ei не определяются однозначно соотноше­
н ием F,i = ВоВе; и s может быть различным для различных элемен­
тов в. Тем не менее нижняя граница d~ ;[п/е](e-s) справедлива
дл я всех f,, удовлетворяющих этому соотношению. Резюмируем эти
результаты следующей теоремой.
Теорем а 1.З :8. Пусть D - циклический кодовый (п, k)-сло­
варь , нуль-пространство которого порождается многочленом h(x),
и пусть h(x) имеет (различные) корни 13-11, в- 12, ... ,
в-11t. Тогда для
1,аждого слова w= (wow1 ... Wn-1) из D существует ассоциированный
k
1\шогочлен Маттсона-Соломона gш(х) = ~ ci/i такой, что Wz=
i=I
= B1ogw(B 1). {Целые числа ej определяются соотношением /3о/3'е1 = /3;,
i = 1, 2, ... , k, а коэффициенты Ci ур-нием (13.29).] Вес слова с мини­
мальным весом из D ограничен неравенством d~l[n/e](e-s), где
s=тахeiие- порядок/3.
l<i<k
371


13.5. Некоторые важные циклические коды
Для того чтобы h(x) порождал нуль-пространство цик­
лического (п, k)-кода, h(x) должен делить хп-1, т. е. (xn-l)/h(x)
должен быть многочленом с коэффициентами из кодового поля. По­
этому один из методов выявления всех циклических кодов, которые
существуют для заданного значе ния п, состоит в определении всех
неприводимых деJiителей многочлена x"- l над рассматриваемым
полем. Например, поскольку над двоичным полем х1-1 = (х+ 1) Х
Х (х3 +х+ 1) (х3 +х2 + 1), то существуют циклические (7, 1) , (7, 3),
(7, 4), (7, 6) и, конечно (7, 7)-коды. Но так как многочлены х+ 1,
х3+х+1 и х3+х2+1сами неприводимые над этим полем, то не су­
ществуют никакие другие двоичные циклические коды длины семь.
Эти коды легко найти. Так как (7, 1)-код соответствует многочле­
ну li(x)=l+x, то кодом будет множество 0000000, lllllll . Коду
(7, 3) соответствует h(x) =х3 +х+ 1, так что I<од имеет вид 0000000.
1110100, 1101001, 1010011 , 0100111, 1001110, 0011101, 0111010.
Код (7, 4) соответствует fi(x) = (х3 +х+ 1) (х+ 1) =х•+ х3 +х2-+ 1
и содержит все слова из указанного выше (7, 3)-кода, так как если
многочлен w(x) (х3 +х+ 1) равен нулю по модулю х1-1, то это
справедливо и для w(x) (х3 +х+ 1) (х+ 1). Кроме того, многочлен
w(x), представляющий ненулевое слово из (7, 1)-кода, удовлетво­
ряет условию w(x) (х+ 1) =0 по модулю х7-1, так что w(x) (х+
+ 1) (х 3 +х+ 1) =0 по модулю х7-1, и вектор, СОСТОЯЩИЙ ИЗ ОДНИХ
единиц, также явJiяется словом (7, 4)-кода. Код (7, 4) поэтому яв­
ляется объединением указанного выше (7, 3) -~<ода с его смежным
классом, содержащим п-последовательность из одних единиц . Заме­
тим, что другой (7,3)-код 01П,ределяется с .помощью много­
члена h(x) = (x3 +x2 + il), а другой (7,4)-код - с помощью много­
члена fz(x)=(x 3 +x2 +1)(x+l). Эти последние коды являются
,нуль -:про·странства,ми соот,ветственно '(7,4) и (7,3)-х,мо~в, о,писан.
,ных выше.
Хотя этот подход и поуч.ителен, но, очевидно, что он неудобен
для больших значений п. Поэтому важно иметь возможность опре­
делить общие классы кодов, которые существуют для многих па­
раметров п и k, и найти относящиеся к ним расстояния. Это и яв­
ляется задачей настоящего параграфа.
Начнем с сильно ограниченного класса кодов, в котором все
слова, кроме чисто нулевого слова, имеющегося в любом словаре,
являются циклическими перестановками любого из этих слов и в
котором все такие перестановки являются различными. Такие ко­
ды будут называть циклическими кодами максимальной длины.
Смысл этого названия станет ясным после следующей теоремы.
Теорем а 13.9. В циклическом (п, k)-коде максимальной дли­
ны, о,пределенном над ~п-олем GF(q), длина кодовых слов п должна
быть равной qk- 1.
Ясно, что для того чтобы все п циклических перестановок сло­
ва из k-мерного циклического кода были различными, п не должно
3.72


быть больше qk-1 . Поэтому их называют циклическими кодами
максимальной длины.
Любое слово в циклическом коде максимальн ой длины долж н о
после сложения с любой из его циклических перестановок , умн о ­
жен ной на скаляр, давать другую циклическую перестановку са­
мо го себя. Это верно потому , что код является линейным (так что
все линейные комбинации кодовых слов также являются кодовы­
ми словами) и потому, что все ненулевые кодовые слова являются
циклическими пер естановками одного слова. (Отметим отличие
этого кода от обычных циклических кодов. В пос ледних все цикли­
ческие перестановки каждого кодового слова являются кодовыми
словами, но все кодовые слова не обязательно являются цикличе­
скими перестановками всех других слов.) В качеств е примера рас­
смотрим двоичный (7, 3)-код, рассмотренный ранее. Этот код яв­
ляется циклическим кодом максимальной длины. Сумма слова
111О100 и любой из его циклических перестановок, напр име р ,
1101001 должна быть другой его циклической перестановкой; в.
этом случае - 00I'l 101. Это свойство кодов иног да называют ад­
д итивно циклическим свойством 1J.
Теорем а 13.10. Многочлен h(x) поро~д ает нуль-простран­
ство циклического (п, k)-кода максимальнои длины над полем
GF(q) тогда и только . тогда, когда h(x) - примитивный многочлен
[т. е . тогда и только тогда, когда корни li(x) поряд1<а n=qk- 1] .
Следст.вие . Сущеегвует циклический (qk~1, k)-код макси­
мал ьной длины для каж,11.ого q=pm, где р-1прос то,е, а т-целое­
число, и для каждого целого k.
Расстояния в uиклических кодах максималь ной длины ле гк о
определяются с помощью следующей леммы.
Л ем м а 13.4. Пусть D является матриuей qя. Х п, а строки D·
представляют собой кодовые слова линейного кода длины п над
полем GF(q). Тогда любой столбеu D, имеющий хо тя бы одну не­
нулевую компоненту, содержит каждый . эле мент поля точно,
q1,- 1 раз.
Те о р е м а 13 . 11 . Каждое ненулевое слово UИI<Лического ко да
максимальной длины содержит qk-t раз каждый ненулевой эле­
мент поля и qh-1
- - 1 раз - нулевой элемент. Поэтому такие ко ды
имеют минимальный вес d= (q-1)qk-t _ В силу тог о что он являет­
с я максимально возможным минимальным весом для (q 11 -1, k)-ко­
да в соответствии с границей ( 13.11), эти коды являются оптим а ль­
ными.
Следующие кодовые слова, объединенные со всеми их цикли­
ческими перестановками и п-последовательностью из одних ну­
лей, дают примеры циклических кодов максимальной длины:
1 ) То , что все слова двоичного кода максимальной длины являются ц икли ­
ческими перестановками последовательности линейного регистра сдвиr·а с об­
ратной с-вязью (см . § 6 .7). б уде т (если это еще не стало очевидным) воко·ре
показано. (Прим. авт.) .
373


(п=1,
(n=2,
(п=4,
(n=:t,
(ri=7,
(n= 15,
(n=8,
(n=26,
k=l;
k=1,
k=1,
• k=2,
k=З,
k=4,
k=2,
k=З,
q=2):
q=3):
q=5):
q=2):
q=2):
q=2):
q=3):
q=3):
1
21
2431
11О
1110100
l00il0l0llll000
11202210
20212210222001012112011100
Каждое ненулевое слово циклического кода максимальной дли­
ны имеет ряд свойств, которые характерны для чисто случайной
q-ичной последоват·ельности. Поэтому эти п-последовательности ча­
сто называются псевдослучайными или псевдошумовыми последо­
вательностями.
Имея в виду рассмотрение; проведенное в § 13.4, не следует
удивляться, что циклические коды иногда более удобно описывать
с помощью корней порождающих их многочленов . Наибольший и
самый важный класс циклических кодов, обычно называемых БЧХ
кодами, определяется именно таким образом. (Буквы БЧХ состав­
ляют начальные буквы фамилий Боуза, Чоудхури и Хоквингема,
которые впервые описали конструкцию и свойства этих кодов.)
Теорем а 13.12. Пусть ·~ - элемент порядка п в поле
-
GF(qm)
и п усть g(x) - многочлен наименьшей стеnени с •коэффициентами
из GF(q), имеющий корни :~mo, вmо+1 , вmо+2, .• .,
вmo+t-1. Тогда g(x)
,по.рождает цикличе,ск.ий (п, k)-код н,ад GF(q) для некоторого k~O
с минимальным расстоянием, по меньшей мере, равным d=t+ 1.
Кqщ,1 этой теоремы и есть БЧХ коды. Заметим, что длина сло­
ва п должна быть делителем числа qm- 1 при некотором целом т.
Это соотношение определяет наименьшее поле GF(qm), содержа­
щее В, т. е. ,т - наименьшее целое число, для которого qm= 1 по
модулю п .
Наиболее важными классами БЧХ кодов являются те, которые
получаются при т 0 =0' и при то= 1. Размерность 1k легко оценить
снизу для каждого из этих случаев. Пусть mi(x) - многочлен наи­
меньшей степени над полем GF(q), имеющий корень вi. Тогда эле­
менты ,~i q i также являются корнями mi(x) при всех j= 1, 2, .. . ,т.
Так как каждый корень вида вт, где r делится на q, является
1<орнем некоторого многочлена mi(x) с i<r, то необходимо вычис­
л,ить самое большее ,!-i[l/q]=[{(q---1l)/q}(l+1l)] многочленов mi(x)
для всех корней ~i, i = 1, 2, ..., l (квадратные скобки обозначают
целую часть стоящей в ней дроби). Так как •~ является элементом
GF ( qm), то все мЕогочлены mi (х) имеют степень, не превышаю­
щую т. Элемент В 0 , конечно, является корнем минимального мно­
гочлена х-1. Таким образом, многочлен
g(x) =
374
t-' 1
п
l(x- 1), т0=О;
mi(х)Х
L~: .
"''1':'i•
т(х) т
1
i=l
___
,
~
t,
О=
i,fO mod q -.:.ce .J
._..._.


является многочленом степени
v=
[qq1(d- 1)]т+1, т0=О;
[qq1d]т,
то= 1.
(13.33 }
Очевидно, что порождающий многочлен g(x) делит g(x) ; его
степень n-k не превышает, следовательно, v и k~n -v, что и дает
требуемую границу.
Рассмотрим в качестве примера класс двоичных БЧХ кодов с
т = 6. Классы сравнений и порядки е соответствующих корней при­
ведены ниже:
О
'·'
е=I
1248163263
361224483321
5102040173463
.7
14285649359
91836
-
112244
132652
153060
21 42
234629
275445
7
25503763
41193863
57513921
3
58534363
7
31626159554763
(13 .34)
Если · g(x) - минимальный многочлен, имеющий примитивный
корень а, то t=2 [так как а2 также является корнем g(x)] и полу­
чающийся (63, 57) -ко.ц имеет минимальное расстояние d~З . С по­
.мощью . последовательного включения все больших степt:ней при­
митивного элемента а в определение g(x) получим, используя при­
веденные выше классы сравнений, коды со следующими парамет­
рами:
п636363636363636363636363
k5751
d35
453936302418
7911131521
16107
23273163
Отметим, что последние восемь из этих кодов имеют размерно­
сти, большие гарантированных ф-лой (13.33). Это типично, когда k
мал6 по сравнению с п. Если корень а0 также включается в мно­
жество корней, определяющих g(x) (т. е. если то=О), то получим
то же самое множество параметров, но с k, меньшим · на единицу,
и с d, большим на единицу.
375


Не.примит,ивные эле.менты GF(26) также мо.гут ~быть ис1пользо­
ваны для определения БЧХ кодов . Вновь в соответствии с множе­
ством классов сравнений в (13.34) и при выборе корня ~ = ,а3 по­
рядка 21 получаем, что существуют БЧХ коды с параметрами
п2121212t21
k151264
d357921.
Аналогично элементы ~= ,а7, Р=а9 и ~=а21 определяют БЧХ
кодысn=9,k=З,d=Зи n=9,k=1,d=9;с n=7,k=4,d=Зи n=
=7, k= 1, d=7 и с n=З, k= 1, d=З соответственно.
Конечно, действительное построение любого из этих кодов тре ­
бует задания неприводимого многочлена, соответствующего каж­
дому из классов сравнений в (13.34). Эта задача значительно об­
легчается при q=2 в связи с тем, что имеются таблицы неприво­
димых многочленов.
В заключение приведем один подкласс БЧХ кодов, представ- •
ляющий особый интерес, а именно, коды Рида--Соломона, кото­
рые получаются при п =,q-1. Эти БЧХ коды имеют размерность
k;?,:n-d+1 [ер . с (13.33); так как d должно быть меньше, чем q=
=n+l, имеем ({(q-1)/q}d]=d-1 для всех d]. В силу того что d
никогда не может превысить n-k + 1 [см. ( 13.13) ], эти коды явля­
ются оптимальными 1).
13.6. Перфорированные циклические коды,
укороченные циклические коды и коды Хэмминга
В этом параграфе кратко рассмотрены некоторые дру­
гие кодовые конструкции, отличные от конструкций циклических
ходов из предыдущего параграфа, но связанные с ними . Первая
iИЗ них состоит в укорачивании циклического (п, k)-кода: требуют,
чтобы i из k информационных символов были всегда нулевыми и
отбрасывают эти символы из кодового слова . В силу того что цик­
лический код является систематическим (теорема 13.12), такое
множество можно получить, если потребовать, чтобы первые i сим­
волов каждого слова были нулевыми. Образующийся в результате
укороченный циклический код, имеющий длину n-i и размерность
k-i, очевидно, остается линейным кодом, но перестает быть цик­
лическим. В силу того что все остающиеся кодовые слова пред­
ставляют собой укороченные слова первоначального циклического
словаря и в силу то го, что i опущенных символов были равными
нулю в каждом из этих слов, минимальное расстояние между лю-
1 ) :Можно показать, что каждый БЧХ код над полем GF(q) будет под­
пространством (возможно укороченного) кода Рида-Соломона над некоторым
более широким полем GF(qa); его кодовые слова состоят из всех тех слов кода
Рида-Соломона, символы которых принадлежат лишь полю GF(q) . В этом
смысле коды Рида-Соломона образуют более общий класс кодов. (Прим. авт.).
376


быми двумя сл о вами, по меньшей мере, будет таким же, как и в
первоначальном словаре. В качестве примера рассмотрим двоич­
ный циклический (7, 3)-код с расстоянием 4 (ер. с § 13.5), кото­
рый может быть укорочен, , если взять только те слова, начальный
символ в которых равен нулю, и затем отбросить этот символ, что
даст укороченный циклический (6, 2)-код, также имеющий рас­
стояние 4: 000000, 100111, 011101, 111010.
Порождающий много ч лен g(x) для циклических кодов является
делителем мно г о члена хп-1, поэтому словарь состоит из слов, со­
ответствующих всем многочленам вида p(x}g(x) по модулю хп-1.
Обобщение это го класса кодов получается, когда g(x) определяет­
ся как делитель некоторого другого многочлена п - й степени f(x) =1=
=1=хп-1 и кодовые слова представляются многочленами вида
p(x),g(x) по модулю f (x). Такие коды называются псевдоцикличе­
скими кодами. Можно п оказать, однако, что каждый псевдоцикли­
ческий код с минимальным весом, большим 2, является укорочен­
ным циклическим кодом и, обратно, каждый укороченный цикличе ­
ский код является псевдо циклическим кодом. Поэтому, кроме слу­
чая d = 2, эти два класса кодов эквивалентны.
(Оптимальные коды с d=2, оказывается , существуют для всех
значений п и ,q. Из границы Хэмминга при d=2 имеем qk~qn-1
.
Код, образующийся присоединением к каждой из qn-1 (п-1)-по­
следовательностей над GF ( q) проверочной компоненты таким об­
разом, чтобы сделать сумму всех п компонент равной нулю, оче­
видно . имеет минимальное расстояние, равное 2, и поэтому являет­
ся оптимальным.)
Другой класс кодов, перфорированные циклические коды, полу­
чается при выбрасыван и и из п орождающей матрицы циклического
q-ичного кода максимальной длины некоторых ее столбцов. Раз­
мерность кода остается той же, но некоторые из проверочных сим­
волов опускаются. Начнем рассмотрение этих кодов, сформировав
следующую теорему.
Теорема 13.13. Пусть G" является матрицей разм ер ов
k Х qk-1 из элементов GF ( q), строки которой порождают цикличе­
ский код максимальной длины. Тогда каждая из q"-1 q-ичных
k - последовательностей, кроме чисто нулевой k - последовательности,
появляется один и только один раз в качестве столбца Gk.
·След ст ·в и е . Каждая ненуJ1е.вая q-ичная k-последовательность
л-оявляется один и толь.ко один р.аз в ·виде k ~последовательных ,е,им­
волов (Wi •w н1 . .. wн1<-1) в любом слове циклического 1юда макси­
мальной длины (n= •qk- 1) w= (,w0 w1 ... Wn-1). [Подстрочные ин ­
дексы у символов •Wi следует привести по модулю п. Например ,
если i = п-2, то, по существу, k-последовательностью будет ( ,Wn-2
Wn-1 Wo Wt ... ,Wн-З)
.]
Пусть теперь столбцы Gk разделены на (,q-1) классов так, что
если столбцевой в,ектор u принадлежит первому классу, то a2u при­
надлежит второму классу; a 3u принадлежит третьему классу и
т. д., где ai - элемент поля, над которым определяется G" с ai=I==
377


=l=a j, i=l=j и a i =l=O, a1=l. С помощью подходящей перестановки
столбцов Gk ( которая, конечно , не меняет расстояния в результи­
рующем словаре) получаем эквивалентную порождающую М?ТРИ·
цу G*k в виде
•
G*k=a1Hk, 1а2Н 1, , азН k, ..., ,aq-1Hk,
где Hk является порождающей
= ( qk-1)/(q-l) = ,q1н+q11.-2+ .. . + 1.
матрицей kXm с m=
Т еорем а 13 .14 . Каждое ненулевое кодовое слово из словаря,
порождаемого Hk, имеет вес do=•q11.-
1.
С лед ст в и ,е. Код, ,порождаемый мат,рицей, ,которая tполучается
с .помощью выбра•сыван,ия . (,перфо•риро.в,ания) любых r классо,в :поро­
ждающей матрицы G11. циклического кода максимальной длины с
размерностью k. имеет длину слова n=(q-l-r)[(qk-1)/(q-l)]
и расстояние (q-1-,-r)qk-1_
Мы привели примеры перфорированных циклических кодов .
Для того чтобы обобщить алгоритм перфорирования, будем счи­
тать , что G1 является . матрицей, содержащей все столбцы G11., име ­
ющие нули в одних и тех же k-l их компонентах . Матрица G1
будет- порождать некоторую перестановку слов (q1-l, l)-кода мак­
си.м а льiНой длины , но каждое слово будет повторе.но qk-l рав . Это
является следствием того , что все q1- 1 ненулевые !- последователь­
ности представляются ненулевыми отрезками столбцов G1 .
Разделим теперь порождающую матрицу Gk на q-1 классов,
как было указано выше . Эта процедура также одновременно раз­
делит подмнож е ство G1 матрицы Gk на ,q-1 I<ласс . Каждая строка
каждого класса подмножества G1 содержит либо (q1- 1
-l)/(q-l)
нулей, либо (в случае чисто нулевой строки) (q1-l)/(,q-1) нулей .
Следовательно, каждая из этих строк содержит самое большее
q1- 1 ненулевых элементов.
Обобщенный алгоритм перфорирования состоит в следующем.
Вначале отбрасываются q-1 -t классов матрицы Gk . Далее от­
брасываются из r оставшихся t классов G11. все те столбцы, кото­
рые принадлежат G1 . Кодовые слова, остающиеся к этому момен­
ту , имеют длину n={t(qk-1)/(q-1)]-r(q1-1)/(q-1)], и мини­
мальный вес равен d = tqk-1
- rq1- 1; размерность кода остается рав­
ной k. Затем эта процедура продолжается; выбирается другое под­
множество Gt' столбцов Gя, содержащих все столбцы, которые
и меют нули во всех компонентах, кроме заданного множества из
l' компонент . Если множества ненулевых компонент столбцов G1
и G ( не пересекаются , то множества G1 и Gi' определенно не бу­
дут пересекаться. (Очевидно , что это возможно тогда и только тог­
да , когда l+l'~k .) Таким образом, можно также удалить из r'
этих t классов Gk все столбцы, которые принадлежат G1 ' , образуя
код с размерностью k, длиной слова n'={t(qk-1)/(q-1)]-
- {r(ql-l)/(q-1)]--l[r'(ql'_l)/(q-1)] и минимальным весом d'=
= tq11.-1_rqz-1_г' ql' -1 . Этот процесс приводит к доказательству сле­
дующей теоремы.
378


Теорем а 13.15. Перфорированные циклиgеские (п, k)-коды с
расстоянием d существуют для ' всех • n=ro(qk-1)/(q-1)-
m
т
••
_ ::_ ~ r;(q1;-l')!(q-1) и d=r0qk-t _~ ri,q1г1 : при условии , что
l=l
i=l
т
q-1,~ro;:;,,m,;;ixri;:;,,0 и L li~k. . Эти ко.п:ы лежат на границе
(1_J
.
'
• iF-1
\
(13.14:); (13.1 _5) ц, следо;в_<1тельно, являются оптимальными.
Так KiJ.K нуль - ттространство подпространства само является под ­
прос:транст:вом, то· оно также _определяет линейный код. Рассмот­
РИ1'4 поэтому нуль-пространство кода, натянутое на какую-либо
одну порождающую матрицу из кдассов циклических кодов мак­
симальной длины. Полученные коды называются · кодами Хэм­
минга 1J.
Теорем а 13.16. Коды Хэмминга представляют собой линей­
ные (п = (q 8 -l)/(q-1) ·, k=[(q8-J)/(q-1)]-s)-кoды с минималь ­
ным расстоянием d=З, - и они существуют для всех положительных
целых s. НИКiJ.КОЙ код, исправ,11яющий . одну ошибку и имеющий
длину слова п = (q8 -l) / (q-1), не содержит больше слов, чем код
Хэмминга с той же самой длиной слова.
13. 7. Кронекеровское произведение,
кронекеровская сумма и каскадные коды
Один довольно заманчивый метод построения больших
кодовых словарей, исправляющих ошибки, состоит в объединении
двух или большего числа меньших словарей так, ч1'обь1 сохранить
желаемые их свойства в полученном большом коде. Основная
трудность, с которой сталкиваются • при использовании больших
кодов, состоит в неизбежно связанной с ним возрастающей слож­
ности кодирования и особенно декодирования . Если большой код
поJiучается с помощью объединения меньших кодов, то методы ко­
дирования и декодирования часто оказываются лишь немного бо­
лее с,11ожными по сравнению с аналогичными методами, которые
используются для отдельных составляющих кодов. В этом пара­
графе рассматриваются два метода эффективного объединения
кодов.
Первая общая конструкция использует кронекеровское произ­
ведение порождающих матриц G1 и G2 составляющих кодов . Кро­
некеровское произведение АХ В двух матриц А= {ai1} и В= {biJ}
с элементаМ'и .из ,одного и тот,о же mоля F ,сJ1пределяется следую­
щим образом:
1 ) На самом деле, Хэмминг ограничился исследованием двоичных кодов.
Здесь мы называем кодами Хэмминга все коды, которые имеют параметры, ука­
занные в теореме ,13.16. Определенные, таким образом, коды Хэмминга явля­
ются циклическими только в двоичном случае. Существуют другие __циклические
коды Хэмминга, хотя не для всех возможных параметров. (Прим. авт.).
379


~а11В а12В •••а1пВ~
АХВ= °'2_1В °'22В .. .а2пВ
:
:
'
а~18 av2°8 . . .av~8
(13.35)
матрица А имеет размеры vXn. Если В имеет размеры μXm, то
кронекеровское произведение имеет размеры μvXmn. (Произ­
·ведение аВ обозначает матрицу, получаемую с помощью умноже­
ния каждого элемента В на элемент поля а, причем умножение,
конечно, выполняется над ~полем F. Про.из.ведения АХВ и ВХА
оказываются в общем случае не равными, хотя, как легко видеть,
эти матрицы будут комбинаторно эквивалентными.)
Если G1 и G2 являются порождающими матрицами двух линей­
ных кодов, то кронекеровское произведение кодов представляет
собой код, порождаемый матрицей G1 Х G2.
Теорема 13.17 . Если Gi является kiXni матрицей, которая
порождает линейный (ni, ki)-код Di, имеющий минимальное рас­
стояние di, над GF(q), то кронекеровское произведение кодов, по­
рождаемое G1 Х G2, представляет собой ( n1n2, kjl/i2)-кoд, имеющий
минимальное расстояние d1d2.
Другая полезная процедура построения связана с методом кро­
некеровского произведения, но приводит к кодам с меньшими раз­
мерностями и с большими минимальными расстояниями по сравне­
нию с последним рассмотренным кодом. Из-за отсутствия лучше­
го ,н .азвания назонем эти коды кронекеровской суммой 1) кодов.
Кронекеровская сумма А1+1В двух матриц А= {aij} и В= {~ij} оп-
ределяется так :
[а11+В а12+В
AJ+JB=
:
-
аμ1 +В аμ2+В
( 13.36)
где А- μХm-матрица, а В -vХп-матрица, и обе они определены
над одним и тем же полем F . Сумма а+ В означает матрицу, по­
лучаемую с помощ ь ю прибавления а к каждому элементу В над F.
Теорем а 13.18. Пусть А является матрицей словаря из М
слов длины т с хэмминговским расстоянием между любыми дву­
мя словами, равным с.амое ме,ньшее dA .и самое большее m----dA.
Аналогично пусть В - словарь, содержащий N слов длины п и
имеющий минимальное хэмминговское расстояние dв . Тогда мат­
рица C=Ai+[B соответствует словарю, имеющему NM слов длины
тп и минимальное хэмминговское расстояние dc такое, что dc~
~minl[mdв, nd.t].
Следствие. Бели А ,и В - линейные (п 1 , k)- и (п2, k2)-коды со­
ответственно с минимальными расстояниями d1 и d2 и если макси-
1) Этот термин не следует путать с термином «прямая сумма». (Прим. авт.).
380


мальный вес любой строки из А не превышает n 1-d1, то кронеке­
ров с кая сумма кодов, представляемая С, также является линей­
ным кодом с соответствующими параметр-ами n1n2, k1 +k2 и dc=
= miп ( n1d2, n2d1) ,
Иногда кронекеровские произведения кодов называются также
итеративными кодами; можно считать, что они получаются в ре­
зультате итерации процедуры кодирования, Предположим, что ин­
формационные символы вначале группируются в блоки по k2 сим­
волов и кодируются в слова длины n2, Процесс далее может быть
итерирован путем груп пирования этих слов в блоки по k1 слов и
добавления nг-k 1 проверочных слов к каждому блоку . Если берут­
ся i-e сим волы каждого из k1 слов и осуществляется кодирование
этих kJ символов в слово длины п1 при каждом i= 1, 2, . .., п2, то ре­
зультирующий ( n1n2, k1k2)-код, как леп<о видеть, будет кронеке­
ровским произведением кодов. Конечно, процесс итерации может
бы ть повт орен, Э:го эквивалентно определению кронекеровских
произведений кодов через коды, которые сами являются кронеке­
ровскими прои зведениями кодов.
Эта интерпретация кронекеровских произведений кодов приво­
дит к довольно интересному и полезному обобщению. Предполо ­
жим, что· вместо того, чтобы охватить второй кодовой структурой
си.мволы слов, образующихся после первого кодирования, мы за­
код ир уем сами слова, рассматривая эти слова как элементы
GF(q"z) , Это можно было бы сделать, ассоциируя с k2 информа­
ционными символами а 1 , а2, . ,
.,
ak каждого слова многочлен
k2
р(х) = L a;xi-1 и выполняя арифметические операции по модулю
i=l
неприводимого многочлена степени k2. Проверочные «символы»,
определяемые структурой второго кода, могли бы тогда быть
представлены как слова первоначального (п2, k2)-кода. [На прак­
тике операции кодирования, по -видимому, проходили бы в обрат­
но м порядке; информация вначале кодировалась бы над GF(qkz) и
получающиеся «символы» затем кодировались бы над GF(q) .]
Если второй 1юд является линейным (п 1 , k1)-кодом (i!-I.aд 1поле.м %З
q1<z элементов), то код, получающийся после объединенного коди­
рования, я,вляет,ся линейным (n1, n2, k1, k2)-коtЛ:ом над полем из q
элементов. Бол~е того, расстояние между любыми двумя слоtами
этого кода, как легко показать, равно d1d2 - произв едению рассто­
яний двух отдельных кодов (т. е. любые два qkz-ичных кодовых
слова долж ны отличаться, по крайней мере, в d 1 «символьных» по­
зициях, и люб ые два различных «символа» должны отличаться, по
ме,ньшей м•ере, в d2 местах). Т,акой код .называ,ется каскадным.
С первого взгляда кажется, что каскадные коды не дают ни­
каких преимуществ по сравнению с кронекеровскими произведе­
н иями кодов. В обоих случаях объединение (n1, k1)-кода с мини­
мальным расстоянием d1 и (п2, k2)-'кода с ,мин,и-мальным ·расс'Гояни­
ем d 2 дают (п 1 , n2 .' k1, k2)-!код с ,минималь~ным рас·стоянием d1d2. Од­
нако оба кода, являющиеся составлнющими кронекеровского про-
381


изве.цени:я, бы.ли олределены над полем из q элементоIJ, в тq вре ­
мя. Е:~\К ' щ:йш •riз кодов, на которqм основывается каскадНI?IЦ код,
бьrл . О,Uрl)делен . uад полем Иq qk2 элементов . Если ,Р 1 яв,Jiяется
(n1 , :k1)-кодом над GF(qk) , то максимально достижимое минцмаль­
ное. расстоян11е между любыми двумя его словами будет, по мень ­
шей ~ере, таким же при k> 1, каким оно является при k= 1. В ча ­
стно~ти, , ,Р 1 моrкно реализовать в вцде кронекеровского произведе­
нця "(п1, k1)-кода и (k, k)-кода, каждый из которых определен на д
пол~м :_(]F(q). Словарь, который получается при интерпретации ре ­
зультйруюrцего кода с k= 1k 2 как (п1, k1)-кода над GF(qk2) 1 и при
каскадировании его с (n2, k2)-кодом, тождествен словарю, который
получается при формировании кронекеровского произведения ис ­
ходн,ых (п1, k1)- и (п2, k2)-словарей. Следовательно, каждо е кро ­
нек~ровское произведение кодов можно реализовать в виде кас­
кадного кода . Обратное утверждение неверно.
Основное преимущество при qбъединении малых кодов в боль­
шие коды состоит в том, что полученные коды могут быть декоди­
рованы с помощью последовательно соединенных декодеров, свя ­
занных . с каждым из составляющих кодов . Каскадные коды, на ­
пример, могут быть декодированы с помощью разделения, внача­
ле принимаемой последовательности символов на блоки по п2 сим ­
волов и декодирования каждого блока в соответствии со словаре м
Р2. Выход этого декодера можно затем · интерпретировать как по­
следовательность п 1 -символьных слов над GF(qk2) и декодировать
в соответствии со словарем Р1. Аналогичные методы могут быть
использованы для кронекеровского произведения и кронекеровской
суммы кqдов . П~этому сложность .1;1.екодера будет увеличиваться
лишь арифметически, в то время как размерности кодов возра­
стают геометрически. Последовательное соединение декодеров , од­
нако, может не исправить все ошибки, которые в действительности
являются исправимыми . Некоторые комбинации, состоящие лишь
из ( d1 + 1) ( d2 + 1) /4 ошибок, могут привести к ошибочному деко­
дированию, когда, например, декодируются каскадные коды или
кронекеровское произведение кодов, в то время как , в принципе ,
можно исправить вплоть до (d1d2-1)/2 ошибок. Вместе с тем мно­
гие комбинации ошибок веса, большего, чем (d1+l)(d2+1)/4, бу­
дут исправляться последовательным соединением декодеров, и ,
если- составляющие коды выбраны подходящим образом, суммар ­
ный результат может быть весьма удовлетворительным .
К наиболее интересным классам кодов, .получаемых при ис­
пользовании кронекеровских сумм, относятся классы кодов , кото ­
рые получаются при последовательном кронекеровском суммиро -
вании двоичной матрицы D1 = r~ ~] с самой собой. Результи­
рующая матрица после i-й итерации имеет вид
D - D ·1-1D -[Di-1
t-
1+ l-1
-
•
,-
Di-1
382


D;-1
-
дополнение Di-1 (матрица, получаемая при замене каж ­
дого символа D;--1 на его дополнение) . Обозначая через di мини­
мальное расстояние между любь1ми двум.я строками D;, _согласно
следствию теоремы 13. 18 получаем, что так как d1 = 1 =n1/2, то di =
= n;/2 для всех i. ~ежду про'чим, эти матрицы при объединении с
их дополнениями D; дают хорошо известные коды Рида~Маллера
ттервого порядка. Вскоре мы встретим эти же самые коды в дру­
rам , контексте .
В заключение параграфа следует упомянуть, что рассмотренные
здесь методы объединения малых _кодов для построения больших
1юдов также могут быть применены к нуль-пространствам кодов
для построения новых нуль-пространств, что иногда приводит к
полезным результатам.
13.8 . Сверточные коды
Другим методом увеличения эффективной длины кодо­
вого слова без соответствующего увеличения сложности связан­
ных с кодом кодера и декодера является сверточное кодирование.
По-видимому, проще всего сверто'чные коды определить с помощью
порождающей структуры. Порождающая матрица G сверточного
кода 1:1меет вид
~
G0G1G2
.
Gm-1 о
о
о•• ·J
G=ОGoG1
.
Gm-2 Gm-1 о
о ...
(13.37)
ооGo
Gт-зGm-2Gm-1о. . '
где G1, l=O, 1, .... т-1
-
μХv-матрица с элементами из некото­
рого поля GF(q); 01= {g(1);j}, а О обозначает μХv-матрицу из ну­
лей. Таким образом, если Х= (хо, Х1, ...) обозначает последователь­
ность информационных символов [также определенную над GF(q)],
у= (уо, у1, ...) обозначает последовательность символов, которые
должны передаваться, то
y=xG.
( 13.38)
Скоро,сть 1пере~дачи ,информации равна μ/v.
Вообще говоря, матрица G может быть полубесконечной. По­
этому сверточный код в противоположность другим кодам, рас­
смотренным в этой главе, не является блоковым кодом; при этом
отсутствует взаимооднозначное отображение (конечных) блоков
информационных символов и блоков кодовых символов. Заметим,
однако, что любой символ из первых μ информационных символов
влияет только на первые mv кодовых символов. Как будет вскоре
обнаружено, эта длина кодового ограничения n~1mv во многих от­
ношениях аналогична длине блока (длине кодового слова) в обыч-
383


ных кодах, исправляющих ошибки. В последующем рассмотрении
будет [Iрещполаrгеться, что матр·ица G С,Истемат.ическая, т. е .
!1, i=j=1,2, .. ., μ, l=O;
g(~>
=
О••
•=1= •
l=О·
IJ
,
t,j -<μ,t
j,
,
О, при всех i, · j-,;;;: μ,
l=1=О.
(13.39)
Таким образом, информационные символы будут явно появ­
ляться в кодовой последовательности у, где Xiμ +j =Yiv +j при всех
i~O, O~j~μ-1.
Так же как и в блоковых кодах, показателем относительного
I<ачества различных светочных кодов может быть минимальное
хемминговское расстояние между любыми двумя кодовыми сло­
вами. ·Однако в силу того, что кодовые слова в сверточном коде
являются (вообще говоря) бесконечно длинными, подходящее для
этого случая определение расстояния менее очевидно, и оно , на
самом деле, зависит от конкретно используемого алгоритма деко­
дйрования. Одним из полезных определений является минимальное
расстояние d между любыми двумя различными начальными сло­
вами Уо= {Уо, У1, ..., Уп-1}, по крайней мере, одно из которых име­
ет некоторый ненулевой информационный символ Yi, 0~,i~μ -1.
В силу того что сверточные коды (при данном здесь определении)
линейны, d соответствует минимальному весу любого начальног о
слова, имеющего, по крайней мере, один ненулевой символ среди
первых μ символов.
Смысл этого определения d состоит в следующем . Вследствие
того, что длина кодового ограничения равна п = mv, первые μ ин­
формационных символов Xi=Yi, O~i~μ-1 влияют только на на­
чальное слово у0 . После т,ого как ~первые п ·с,им,воло1в ,получены на
приемном конце, можно вынести решение относительно этих μ ин­
формационных символов. (Более надежное решение, однако, мож­
но принять, если задержать момент вынесения решения . ) Воо-бще
i-e множество информационных символов X;μ+J=Yiv +j, j = O, 1, ..
μ-1 влияет лишь на i-e слово Yi ~ {Yiv, Y;v +1, ... , Yn+iv-1}. И в слу­
чае, если предшествующие т-1 множества информационны х сим­
волов были определены правильно, и х влияние на Yi будет и з вест­
ным и фактически Yi также будет начальным словом. Таким об­
разом, если ранее не было совершено никаких ошибок декодиро­
вания, то d задает меру надежности, с которой может быть опреде­
лено i-e множество информационных символов. (Декодер, который
использует ранее декодированные символы при последующем де­
кодировании, так как это указано здесь, называется декодером с
обратной связью.)
Если при декодировании была сделана ошибка, то, конечно,
влияни е предыдущих информационных символов не будет учтено
верно и последующие ошибки декодирования будут намного более
вероятными . Из-за этой тенденции ошибок к распространению
сверточны е код ы на практике часто усекаются. Это можно сделать,
раздели в информационные символы на блоки, например, длины
384


K=t(L'"--m+l)μ. и . поместив . после , каждого блока (m-1)μ н улей .
Получающийся в результате усеченный сверточный код фа ктиче­
ски представляет собой блоковый . (N, . К)-код с длиной блок а N =
=Lv, хотя, когда L велико , это обстоятельство не оч ень важ н о .
Так как минимальное расстояние d между начальными слова- .
ми, имеющими нетождественные начальные информацио н ны е сим­
волы, представляет собой сверточный аналог для рас ст оян и я в
блоковых кодах, которое рассматривалось в начальных п араг р а ­
фах этой главы, то интересно найти границы для этой в елич ины,
подобные- . тем, которые бьши , приведены в ,§ 13.3 . Следующие две
теоремы · дают .такие гра!Ницы для) рi:1сстояния d, которое в даль­
нейшем будем называть начальным расстояние.м.
Теор е IYI а 13,.19 . . Сущест~уеr q~ ичный сверточный ( n= mv,
k=1тμ)-код ;' и'меюrir.ий минималь'ное 'расстояние, по крайней мере.
равное d при любом d, удовлетворяющем неравенству
•
d-1~;,
•
'
I}.[(; ),-(n:~ Jμ.) J(q- l)j < (~k. ,
(13 .4 0)
f=l .
'
,
Доказательство. Пусть Уо= {уо, Yf, . .... , Уп-1} - q-ичная п-по сле­
довательность, по крайней мере, с одной ненулевой компоне н той
Yi ~;три некотором i < μ и пусть N (у()) - максимальное число р аз­
личных сверточных (тv, тμ)-кЬдов, в которых любая такая п - по­
следовательность является начальным словом . . Далее обозн а чим
через N(d) полное числр п-посл .едов~~:ельностей вида у0 с весом,
меньшим ' d. •Наконец, пусть N(mv; щμ) обозначает число разли ч­
ных сiз~ртоtrнь1х rf?iV, тμ)-кодов. Тогда, если
N(,Yo)N(d)<. •N(~v, ~μ), ,
•
(13 .41 ,)
то должен существовать, по крайней мере, один сверточный (тv,
mμ)i-код, никакое ,начальное ело.во к•от.оро1го (отл·ичное от тех , кото­
рые начинаются μ или большим числом нулем) не имеет вес, мен ь­
ший, tieм d, и · который, следовательно, имеет начальное расстоян ие ,
по меньшей мере, равное d.
, Ясно, чтЬ N ( d) • можно получить, вычитая из полного числа
q-ичн'ых ;п-последовательностей' веса, меньшего, чем d, число таких
п-последовательностей, начинающихся μ или большим числом .,ну­
лей, т. е.
d-1
N(d)·-
.~
l(;)~(п-;-μ )}(q- 1у . .
(13.4 ~)
•
i=l
Более того, так как имеются точно q<v-μ)μ разли1tJных мат,ри ц Gt
(см . •(1,3.,37) и (13.39)] и так как m такиJС ,матриц определяют св ер-
точньiй (mv, · mμ-код, то
•
N(imy, тμ) =qrn,v -μ)μ_
(13.43 )
Остается лишь найти N(yo). Для этого обозначим через 'llJ т­
компонентный · вектор, содержащий (iv+j,)~e компоненты Уо, i =
13-28'1
385


=0, 1, ..., т-1, т. е. ТJj ~{yj, Yv +j, .. ., Ycm-1)v+-J - Пусть Mi обозна-
чaeт треугольную тхт-матрицу:
о
rx~μ+i
М-= х
х
1
~μ+i
μ+,
X(m-l)μ+i
Х;
о•••о J-
O...О
Х;
.
0,
Х;
где (х;μ, Х;μ +1, ... , Хсн1)μ-1) = (Y;v, Y;v +1, ..., Уiv+μ-1)представляет
собой 1i-й блок информационных символов в у0. Пусть, наконец,
i.. = (g(0)· g(l)
g(m-l))T
'I .J
ij' ij'
••
•'
ij
'
где g(l)ij - (i, j)-й элемент матрицы G1. Тогда (13.38) означает, что
μ-1
'Y/j= ~ M;i;j, j=μ, μ+ 1, ~ .., v-1.
i=0
(13.44)
По крайней мере, один из х; (пусть Х; 0 должен быть отличен
от нуля. Так как М; 0 при этом будет невырожденной, то ф-лу
(13.44) можно переписать в виде
r;.1 = м;-:-1 {11j-· %
1
М;iij},j=μ,μ+1, ..., v- 1.
(13.45)
i1ai 0
Все эти уравнения должны удовлетворяться для любого сверточ­
ного кода, способного порождать начальное слово у0 . В соответст­
вии с этим для любого заданно го у0 произвольные т (v-μ)-эле­
ментов из т матриц G1 однозначно задаются с помощью других
m(v-μ) (μ-1) таких элементов и
(13.46)
Подстановка ф-л (13.42), (13.43) и (13.46) в неравенство (13.45)
приводит к требуемому результату.
Эта граница является сверточным аналогом границы Гилберта
для блоковых кодов. Если блоковая длина отождествляется с дли­
ной кодового ограничения, размерность блокового кода - с тμ
(длиной кодового ограничения, измеренной в информационных сим­
волах), а кодовое расстояние для блокового кода -с начальным
расстоянием в сверточном коде, эти две границы фактически сов­
падают при μ= 1 и q=2. Однако граница Гилберта была конструк­
тивной, а ее сверточный аналог, представленный здесь, является
ш1шь , теоремой существования.
Верхние границы для расстояния, достижимого на блоковых
(п, k)-кодах (§ 13.3) также, очевидно, применимы к начальному
расстоянию, достижимому на сверточных кодах при замене п на
длину кодового ограничения т,, и k на μ. Такие границы, конечно,
не учитывают влияние возможных ненулевых информаuионных
символов (х;μ,Х;μ+1, ... , X(i+1)μ-1),i>O, на вес начального слова Уо-
386


Типичная более плотная граница, которая принимает во внимание
это влияние, приводится к следующей теореме.
Теор е ,м а 13.20. Мин,имально,е началыно,е ,р,асст,оя,ние d q-.ично­
го сверточного (n=mv, k=тμ)-кода ограничено сверху неравен ~
ством
q-J{
V}
d<.
--
п+-μ-- .
q'
q-1
(13.4 ~)
Доказательство. Очевидно, что d не может превосходить сред­
него веса dл VE всех начальных слов Уо, имеющих, по крайней мере ,
один ненулевой начальный информационный символ Yi, i~ μ -1 .
Все эти слова содержатся в подмножестве слов, порождаемых мат­
рицей М 1 , состоящей из первых mμ строк и mv столбцов матрицы
(13.37), но не порождаемых матрицей М2, состоящей из последних
(т-1)μ строк и (m-l)v столбцов М 1 . Если М 1 (и, следовательно,
М2) не имеет чисто нулевых столбцов (такие столбцы не вносили
бы вклад в расстояние получающегося кода), то она порождает
словарь, содержащий в общем N(mv, тμ, q) ненулевых q-ичных
символо.в, где N(n, k, q) ~ nqk-1 (q-1) , (см . лемму 13.4). Таким
образом,
(qμ-_1)q<m-i)μdлvE=N(mv, тμ, q)-N[(m-1)v, (т-1)μ, q], (13.48)
и отсюда прямо следует утверждаемое неравенство.
Методы построения хороших сверточных кодов разработаны
гораздо в меньшей степени, чем методы для блоковых кодов. Боль­
шинство сверточных кодов строится с помощью некоторых про­
цедур поиска или случайного выбора в сочетании с некоторыми
эвристическими ограничениями, имеющими целью ограничить мно ~
жество конкурирующих кодов теми, которые кажутся наиболее
заманчивыми. ОдЕой полезной в ряде случаев схемой построения
сверточных кодов по блоковым кодам является следующая. Пусть
G(l), l = 1, 2, . .. , т - набор т матриц, где G(l) - порождающая
матрица линейного блокового (v, lμ)-кода с минимальным рассто ­
янием d1 и где код, порождаемый G(l), содержится в коде, порож-:
даемом G<1+1>, при всех l= 1, 2, ..., т-1. Тогда код, который' IJО­
лучается при использовании · в качестве матрицы Gi в ( 13.37) по­
рождающей мат,рлцы G(i+I) (а ,не матр·ицы G(i)), будет све,рточным
(mv, тμ)-кодом с минимальным начальным расстоянием, оч,евид ­
но, ограниченным снизу неравенством
т
d>~d1,
(13.49)
!=.- J
.
Заметим, что получающийся сверtбчный 1{0Д может быть приведен
к систематическому виду с помощью тai{OtO же приведения G<m).
В качестве примера положим μ,== l и будем считать, что G<m) -
кронекеровское произведеtш~ hорождающей матрицы перфориро­
ванного циклического (qm-1, m)-кода с расстоянием d= (q-1)qm-' -'l.
(§ 13.6) и r-последовательности, сt)стоящей только из ненулевых
13*
381


компонен т. .Обозначая
.
чер~з 90 rqт- 1 -последовательность макси-
мального веса в GrmJ, п,олучц_м
Ir
d=•·{гqт-1' • :l==1~
L
т· (q·- I)qm-'- 2
,
1<'l<т.
Т ~ки м образом, описанная конструкци~ дает s::hерточный
(,r.mqm- 1
,
т) - код с начальным расстоянием согласно ф - ле (13.49),
0граниченным неравенством d ~do ~ rq»;-t(q-1 )im + 1]. Но с.оглас­
но (13.48)· do=d:л..vE, так что d~do,· и r:юлучающийся код \rмeei:; мак­
симально возможное на4альное расстояние. Tar< как 'd '=dлvE, то
все :начальные слова, имеющ~е, по крайней м_ере, qдин 'ненулевой
начальный 'информационньiй •• символ, должны обл ар.ать _ весом d;
такие КОДЫ называются рсизно1⁄4ерными сверто,чными кодами: .
Другой класс сверточ~ых . к,одов получается, когда м,ат.рица G(I)
шорождает БЧХ К~)Д ·или ' его кqдqвое подпро~транство. Это озна­
чает, что G(IJ можно . щrределить как подмножество порождающих
матриц некоторого Бl.JX (п, k) - кода (где k~μl - размерность наи­
меньшего Б~Х кода), содержащего . ще п9рождающие, матрицы из
множеств G(iJ при i<Z: Так, если q=2, v=63 и μ= 1, то G(1J можно
взять в виде порождающей матрицы двоичного БЧХ . (63, 1)-кода;
G(i) _ в виде подмножества гtорождающих м'атриц БЧХ (63, 7)-ко­
да для всех 2~):::;;;7 и т. д. , Поступая подобным образом , получим
множество расстояний (ер,. 12 § 13.5):
63,l·= l.,
31,
,,
·2<l<7;
а; · :;;,. ~7,
•8~l1<10;
1
'
23, 11< l< 16; 11\)
2'1, 17<l<18.
1,.
Если, н'апример , rn= 18, то п6Jiучающийся св_ерточный КОД имеет
д,лину код?ВОГО ()Гран,ичен'ия ;·> 1:1- ·~ 1),34 ,и расст?~ние d~'510. , Для
сравнения верхняя ' граница из теоремы 13.20 _ограничивает Ы вели­
чи ной 598. Аналопiчiщ если μ =7, получаем
•
[;__1,
l=2,
l=3,
l=4,
l=5ит.д.
и ес.ци m=5, то ,i ~ 315 i;r d~93, ~ ТО вре~IЯ iак _jеоре(м'а ~3 . 7Ь,1~~ра-
ни~и.вает d свер,ху ~еличинои _157 .
.
"
•
:
(
,
1
\
•
)
<
t
"
",
,
•
.
~
Итак, было показано, , что, минимальное на'!альное расстояние,
,ко.то.рое дос~:;ига,ется . н~ свертрчны~ кодах; , удо~летворяет гра:ницам,
уди·вит;е..т:iьно похож.им .на т,е, которые бьч:ш получены paf{ee д~я
388


,блоховых кодов ,с длиной блока, равной дли111:: кодt1вого ограниче­
ния сверточного кода. Хотя оказалось, что найти хорошие общие
конс трукции сверточных кодов более трудно, чем конструкции для
.блоковых кодов. достаточно хорошие и в некоторых случаях опти­
м.альные сверточные коды иногда можно построить с помощью по­
рождающих м.атриц блокового кода. В силу того что с точки зре ­
ни я расстояний сверточные и блоковые коды оказываются сходны ­
ми, преимущества, если таковые имеются, сверточных кодов непо­
средственно не очевидны. К обсуждению этого вскоре возвратимся
е ще ра.з.
13 .9 . Кодирование и декодирование линейных
кодов
Достоинства различных методов кодирования, рассмот­
ре нных выше, нельзя полностью понять, не ответив на следующие
два вопроса: насколько трудно реализовать требующиеся кодер и
декодер? Чему равна вероятность ошибки декодирования? Цель
этого и следующего параграфов - дать, по крайней мере, частично
ответы на эти вопросы .
Очевидно, что эти ответы взаимосвязаны; оба они зависят от
конкретного аJ11горитма декодирования. Ка•к будет ,показано в
§ 13.1 О, вероятность ошибки Ре обычно является экспоненциально
убывающей функцией длины кодового слова п. Сложность опти­
м.альногt> декодера может, однако, экспоненциально возрастать
вме сте с п. Это порождает сильное желание найти более просто
реали.зуемые (возможно подоптимальные) процедуры декодиро­
вания, которые все е щ е сохраняют это экспоненциальное соотно­
шение между Р~ и п. Даже если получающаяся вероятность ошиб­
ки окажется больш е, чем вероятность при использовании опти­
мального для заданного декодера п, более простой декодер веро­
ятно мог бы быть использован при много большей длине кодовых
слов, и поэтому он имел бы лучшую характеристику. Эта пробле­
ма декодирования была предметом интенсивных исследований, и
сейчас известен ряд эффективных алгоритмов. Детальное описание
алгоритмов выхо.дит за рамки этой главы. Однако главные черты
на иболее важных ,из них будут ~приведены здесь.
Прежде чем начать рассмотрение конкретных декодеров, уме­
ст но спросить , не возникают ли подобные же ограничения из-за
свойств кодера. Вообще говоря, это не так, по крайней мере, когда
рассматриваемый код линеен. Кодер линейного кода изображен
и.а рис. 13.1 . Длинные блоки на рис. 13.1 изображают циклически е
за поминающие устройства, а кружки обозначают умножители, вы­
ходы которых равны произведению в GF(q) двух входов. Ком­
поненты k-последовательностей ( а1, а2, ... , а,, _),
которые должны
быть закодированы, используются в качестве одного из входов
ка ждого умножителя, а k порождающих gi= (gi 1, gi2,
.. .,
gin), i=
389


= 1, 2, .. ., k, (п, k) - кода дают другие входы. Таким образом, вы­
ходом будет п - последовательность
k
g= )'aigi,
--
i=l
что и требовалось получить .
gnf
1
f
9п-1 !/п-
1
вшоil
(13 .50)
Р;1с. 13.,! . Стр у ктурна я
схема кодера ли н ейl!ого
~юда :
I - су мматор в GF.(q)
Для циклических кодов мож н о строить даже более экономич­
ны е кодеры. Напомним, что согласно § 13.4 циклический код ассо ­
циирован с проверочным вектором h= (h0, h 1,
.
.
.,
h1,) , таким, что
V= (v0, v1, ..., v,, _ 1) является кодовым словом то гда и только тогда ,
когда
k+r
k
\.- .,
h.V·=
\' h;v,.+r = О
~ t-Гl
,., _
(13 .51)
i=r
i=O
для всех r=O, 1, ... , n-k -1. Поэтому символы V; при i?::,k о п ре­
деляются - по юrформац ио,нным символам Vj, j=O, 1, ..., k-1 рекур­
рентным соотношением
k-1
/е- 1
vk·', =
-
-
1- '1hiv+ Л{1a;v·+ ,
•Т
hk i.J
',=lJ',
( 13.52)
i=O
i=O
1<оторое реал и зует декодер, изобраzкенный на рис. 13.2. Такое ус­
тройство, называемое регистро;11, сдвига с обр атной связью 1), со­
стоит из k ячеек памяти, соединенных так, что при поступлении
импульса отсчета времени (который не изображен на рисунке)
содержание каждой я ч ейки сдвигается на одну ячейку вправо, в
то время как их взвешенная [в GF(q) ] сумма сдвигается в I<рай­
нюю левую ячейку. Если начальные данные v0, V1 ,
.
..,
V1<-1, соот­
ветствующие информационным символам, помещаются в k ячеек
регистра сдвига, то первые п выходных символов, выходящие из
1) См. вновь § 6.6. Там бы .~и рассмотрены (двоичные) регистры сдвига мак­
симальной длины и были указаны свойства получающихся в результат~ после­
довательностей. Здесь рассматривается регистр сдвига с точки зрения цик­
лического свойства кодового словаря и потому значительно многостороннее, чем
в § 6.6. Заметим, что обрат н ые св я зи определяются порождающим многочле­
н ом h(x) нуль - пространства. (При1,~. авт.).
390


крайней правой ячейки схемы, представляют собой требуемое ко­
довое слово. Таким образом, весь кодер весьма компактен. По
крайней мере, в случае двоичных кодов элементы кодера легко
построить; умножитель по модулю два представляет собой корот -
Рис. '13.2 . Структурная
схема кодера с регист­
ром сдвига для цикличе­
ского кода:
I - су мматор в GF(q)
кое замыкание, если a1i = 1, и размыкание, если a1i =0, а сумматор
по модулю два реализуе1'Ся на обычных логических элементах 1 ).
Сверточные коды столь же удобны при реализации; устройство
на рис. 13.3 дает пример такой реализации. Устройства, обозна­
ченные Gi, i=O , 1, ..., т-1, представляют собой линейные бло-
Рис. 13.3 . Струю ур н ая
схем а кодера сверточно­
го кода:
1 - суммат ор в Gl'(q)
ковые (v, μ)-кодеры вида, изображенного на рис. 13.1 или 13.2 .
Информационные символы подаются на вход первого из этих ко­
деров блоками по μ символов; после того как будут порождены v
кодовых символов, эти же μ символов передаются блоком в сле­
дующий кодер, а в первый кодер помещается новый блок инфор ­
мационных символов. Кодовые слова, которые получаются с по­
мощью суммирования [в GF(q)] символов на выходах каждого из
этих кодеров, I<ак легко заметить, будут теми, которые порожда­
ются матрицей вида (13.37).
Хотя при любом точном определении сложности кодера (или
декодера) нужно принимать во внимание конкретную используе­
мую реализацию, показатель этой сложности можно получить с
помощью подсчета общего числа операций (сложений, умноже ­
ний и т. д.), необходимых, чтобы закодировать (декодировать)
каждый информационный символ . В соответствии с этим слож­
ность кодера, изображенного на рис. 13.1, пропорциональна длине
кодового слова п, в то время как аналогичная величина для коде ­
ра, изображенного на рис. 13.2, пропорциональна n/k. Подобно
этому, сложность сверточного кодера имеет порядок самое боль -
1 ) Возможно также r,однровать цrшлические коды с помощью (п-ll)-раз­
рядноrо регистра сдвига, что пр11воднт к очевидным преимущеt:твам при
k>n/2. (Прим. авт.).
391


шее т•.; = п. Следовательно, исключая · случай, когда к кодеру при
реализации предъявляются намного ·, . более · жесткие требования:, .
чем к декодеру, сложность кодера редко представляет собой огра·
ничивающий фактор.
Возвращаясь к проблеме декодирования, отметим, что сущест­
вует другое важное обстоятельство, которое нужно принять во,
внимание при любом рассмотрении обменных соотношений между
сложностью декодера и характеристикой, а именно, вид выходно­
го сигнала приемника. В простейшем случае выходом приемника
является один из q возможных кодовых символов; .·в другом край­
нем случае он может состоять из q уровней напряженця, со9твет- ,
ствующих выходам фильтров, согласованных с каждым из q сим­
волов канала. С первого взгляда кажется, что твердое решение от­
носительно каждого п ринятого символа должно приниматься до
того, как производится декодирование. Однако, по-видимом ;r:, при
декодировании будет сделано меньшее чисдо; ошибок, еслv де.ко~
дер,. имеет более полную информацию относительно пр!fflятых
символов. Вместе с тем ис п ольз0вание этой информации несомнен­
но потребует более сложного де-кодера. С этой точки зрения, если
имеется возможность выбора вида выходного сигнала приемника,
то это обстоятельство также должно быть введено в характери-
стику декодера наряду со сложностью.
,
Для того чтобь1 сделать эту добавочную степень свободы, удоб­
ной для рассмотрения, допустим, что выходом приемника будет
один из символов приемника rv ,v=O, 1, ..., N-1. Эта модель со­
держит не т олько два упомянутых выше экстремальных случая
(,с N = q .и N--roo ооот,ветственно), но также !Включает .в ,сrебя мно ­
гие промежуточные каналь1, представляющие ПР'актический инте­
рес. Ощ-rако здесь ограничимся, кроме двух экстремальных слу­
чаев, некоторым частным случаем общей модели приемника. В
этой более ограниченной модели каждый выход приемника отож­
дествляется с одним из возможных кодовых символов si, i = О ,
1, ..., q-1 . Кроме то го, он сопоставляется с классом верности
С j, j = 1, 2, ... , J, который дает меру уверенности, с которой это
отождествление производится. Таки м образом, символы приемника
rv принимают вид sU!i, где подстрочный индекс обозначает кодо­
вый символ, с которым отождествляется r "' а надстрочный ин­
декс - его класс верности.
Пусть Pr {sU\ 1s,J обозначает вероятность получения sUJi, если
послан символ sv. Канал (который, конечно, включает в себя при­
емник), связанный с этой моделью, будет п~;Jедполагаться симмет-
ричным в том смысле, что вероятн.асти Pr { s(i) 1 s } Л JPcj, v = ~~
i,
v =ip,j, v=/=i
не зависят ,н,и от 1i, ни от , ,. Для удобства ,классы верности у~поря­
дочены так, ч'Гобы Pr{si \sUJ;} (~вероятность того, что ~был ,передан Si,
когда принимается sU\) была убывающей функцией j. В общем,
будет предполагаться также, что PcJ больше или равны PeJ при
всех j.
392


З:а _исключением случая q=2, приемники с классами верности
-vбычно разрушают существенную информацию относительно при­
нятых символоg даже тогда, когда число классов J стремится к
бесконечности. ' Тем не мене~ :эта модель описывает многие прак­
тически интересные ситуации . Если, например, J =2 и выход прием­
ника отождествляется либо с одним из q кодовы х символов, либо
•С '(q' f 1j-tм . ~имволом, к-оторый с· равной вероятностью м ож ет быть
любым из них (Рс2=Ре2}, то получающийся· канал назы в ается ка­
налом со стира°!-i,ияжи. Обычно эта модель возникает, когда симво­
.лы приемника нолучаются. . с помощью кв-антования наибольшего
выхода из q-выходов согласованных фильтров, опять-таки при
предположении, что вероятность ошибочной замены одного симво­
л-а на другой не заЕ1исит от обоих рассматриваемых -символов.
- после этих предварительных замечаний оqишем , некоторые из
наиболее важных алгоритмов декодирования.
Д етсодирование . /п:аксимального правдоподобия . Обозн.а1чим че­
;рез ,w vv-e п-символьное сло'lю , в кодовом ,словаре, а через v - п-по-
следовательность символов приемника, . соответствующих некото­
рому принятому слову. · Тогда · в предположении, что все · слова ко­
да передаются - с равными вероятностями , оптимальный декодер
(в сi),'!ысле . мили,мума ,верою,1юсти ошибки в -слоне) д е кодиру е т
в~ктор v_\1· виде - w,, где
max Pr{:v1 / 'w'\I} = Pr{v I wJ,
(13.53)
·v
.
·-,
.
.
т. е. оптималь,ный. ' декодер является дек:одвром максимального
правдоподобия. Если сtатист~ки в канале че .зависят от символа,
•
,
'
I
то,
.
..
-
п
Рг {v l , wv}= ' П Pr{'11~i fcйμ ·(v)},,-
(13 .54)
где (i);(v) ' и ·_ТJμ;-~соответственно μ-·е символы в wv и V. в общем
случае для любого μ 1(юкдьiй из кодовых символов Si . будет ис­
пользоваться . как μ-й символ не~оторого кодового слова . Следо­
вательно, 'декодер максимального правдоподобия должен тем или
иным образом _.найти nq . вероятностей Pr {11,Jffiμ (v)} и сформ:иро­
вать qh разл;ичнь~х произ11едений этих вероятностей. Сложность де­
кодера (1;13 ииформационный с;имвол), следовательно, пропорцио­
нальна .(n/k,)qh и чри фи-кс~,ров.анной скор9сти _k/n фактически . яв­
ляется экспоненциально :возрастающей функцией длины блока п.
Трудность вы1:1исл.е.r1и~ вероятности, Pr {11μ/ ffiμ (v) }, очевидно, за­
висит от статистик кан;:чrа .. Как было показано в гл. 4, они, на­
ттример, ОТНОСИТеЛЬНО легко J-IаХОДЯТСЯ, КОГДа канал ЯВЛЯеТСЯ фа­
ЗОВОКОГереНТНЫМ га_уссовским каналом, и несколько труднее, к ,огда
канал фазовонекоrер,ентны~. , В любом случае часто. удобно огра;­
!НИ _чить алфац11ит :приемника;, : З;начитель_ное упрощение декодера д9-
·стигается, · - ко~:да щ;н,1емник _ я~,rrяе_тся ,приемником с классами . вер-
393
•'


ности того типа, который был описан выше. При этом (13.54) за­
писывается в виде
J""
J
Pr{v I w }= ПPneip~ci=exp'"'{n-logp --n" .log(PcJ_)}
"
еj CJ
~1
с;
eJ
•
.
'
i=l
i=l
Ре 1.
(13.55)
где n"cj - число случаев, когда символ вида s{j\ в v соответствует
символу si в wv; n"cj - число случаев, когда sЩi в v соответствует
sμ в w" для некоторого μ=p,i, а nj=n"ej+n"ij не зависит от v . ДЕ-­
кодер максимального правдоподобия декодирует при этом v в виде
w1 в том случае, если
J
J
d Л \1 n". loge (Pci!Pej) Л '1 an".
"= lJ eJ 1oge (Рс1/Ре1) = lJ 1 е;
i=l
j=I
(13.56)
принимает максимальное значение при v=l. (Если это имеет место
для более чем одного значения l, то может быть выбрано любое
из таких кодовых слов w1.)
Если J = 1, то d"представляет собой просто хэмминговское рас­
стояние между выходом канала v и v-м кодовым словом w", и де­
кодер максимального правдоподобия отыскивает кодовое слово,.
ближайшее в смысле Хэмминга к принятой п-последовательности.
Это обстоятельство делает возможным использование алгебраиче ­
ской структуры кода для снижения в какой-то мере сложности де­
кодера максимального правдоподобия. Так как v теперь является
q-ичной п-последовательностью, то оно принадлежит некоторому
• смежному классу линейного кодового словаря D. Декодер макси­
мального правдоподобия поэтому должен лишь найти смежный
класс, к которому принадлежит v, и вычесть из v вектор, который
называется лидером смежного класса (и который определяется
здесь, I<ак любая из п-последовательностей минимального веса в
смежном классе). Действительно, если v-c принадлежит D, то v
и с должны лежать в одном и том же смежном классе; так как с
является элементом с минимальным весом в смежном классе, со­
держащем v, то в D не может быть слова, более близкого к v, чем
v-c.
Относительно простой метод определения смежного класса, в
котором находится принятое слово, описывается следующей теоре­
мой. Пусть Н - порождающая матрица нуль-пространства (п, k)
кодового словаря D. Тогда определим синдром s вектора v, как
s=vHт . Вектор s имеет над GF(q) размерность n-. ,k.
Теорем а 13.21 . Векторы v 1 и v2 принадлежат одному и тому
же смежному классу линейного кодового словаря D тогда и только
тогда, когда равны их синдромы s 1 и s2.
•• Таким образом,
декодирование может быть выполнено, если
хранить в памяти qn-н лидеров смежных классов, отождествив их
со связ·анными . с ними синдромами. Когда принимается v, опреде­
ляется синдром s=vHт. Соответствующий лидер смежного класса
394


затем вычитается из первоначального вектора v. Во многих слу­
чаях этот метод реализуется н2много проще, чем более прямая
процедура отыскания расстояния между каждым словом словаря
л принятым слоном. Это, в частности, справедливо в случае цик­
лических кодов, так как произведение vнт находится с помощью
умножения соответствующего многочлена v ( х) на порождающий
многочлен li(x) нуль-пространства и приведения результата по мо­
дулю х 11 -1. Эту операцию нетрудно реализовать .
Для эффективного использования структуры кода не обязатель­
но, чтобы алфавиты кода и приемника совпадали. Декодеры мак­
симального правдоподобия были разработаны . для некоторых ко­
дов, построенных с помощью кронекеровских сумм, и они требуют
лишь примерно п loge п операций даже в когерентном гауссовском
канале. (Скорость передачи для этих кодов стремится к нулю
:асимптотически по п, так что это утверждение нужно принимать с
соответствующей оговоркой.)
Алгебра.ическое декодирование. Если алфавиты
приемника и кода совпадают, то принятое слово v имеет вид v=
=w+e, где w - кодовое слово, а е= (е1, е2, ... , еп) - вектор ошиб-
1ш с компонентами из кодового поля GF(q). Если рассматривае ­
мый код линеен и если Н - порождающая матрица его нуль-про­
странства, то, считая, что v, \V и е являются векторами-строками,
имtем
( 13.57)
Таким образом. структура кода определяет систему n-k урав­
нений с п неизвепными е;. Это система уравнений не будет иметь
однозначного решения; каждая такая система в действительности
имеет q1' решений, так как, если е
-
решение, то решением также
будет e+\v при любом кодовом слове w. Тем не менее свойства
расстояния в 1,оде гарантируют самое большее одно решение с
I(d-1) /2] или меньшим числом ненулевых компонент. В соответ­
ствии с этим, по 1<райней мере, когда число ошибок при передаче
не превышает {(cl-1)/2], уравнение (13.57) может быть решеао
однозначно относительно е и может быть определено правильное
кодовое слово w=v-e .
,
Термин алгебраическое декодирование относится к классу ал­
горитмов декодирования, в которых с помощью регулярного мето­
да отыскивается решение е системы ур-ний ( 13.57) с минималь­
ным весом. Чаще всего эти алгоритмы заведомо работают только
тогда, когда существует решение е с весом l[(d-1)/2] или меньшим .
В частности, высокоэффективные алгебраические процедуры деко­
дирования были развиты для циклических БЧХ кодов, рассмотрен­
ных в § 13.6 . .(:ложность БЧХ декодеров может быть доведена до
величины порядка п loge п, что означает значительное улучшение
по сравнению с экспоненциальной зависимостью от длины кодово­
го слова, типичной для декодеров максимального правдоподобия.
Требуемые декодерь1 становятся, однако, значительно более слож-
11ыми при попытке исправлять более чем I(d-1)/2] ошибок.
303


, Все операции при алгебраическом декодир ·ован:Ии выполняютсЯ'
в пол·е GF(q), над которым определен I<Од, Это означает, что ал­
фавиты приемника и кода должны совпадать, Однако с помощью­
небольшого увеличения сложности · алгебраические декодеры могут
быть приспособлены также для обра6'отки стираний, Арифметиче­
ские операции в этом случае продолжают выполняться над GF(q) ,
но декодер также опознает возможные «пустые символы» , которые·
он считает абсо.1ютно •неизвестными ;
-
Легко видеть, что любая комбинация е ошибок · и t стираний
может ·быть исправлена, если 2e+t<d, где d - минимальное хэм­
минговское расстояние между любыми двумя I<одовыми словами.
Так, если два п - символьных слова отличаются, по крайней мере , В­
d символах,- то подмно:,кество любых n-t их символов должно· от­
личаться, по крайней мере, в d~t позициях. Таким образом, долж­
но произойти самое малое ((d-t+ 1) /2] ошибок для того, чтобы
кодовое слово, в котором произошло t стираний, трансформирова­
лось в веiпор, который, по крайней мере, также близок ко второму
I<одовому слову, как и к первоначальному.
Удивительно, что незначительная модифю<ация в сочетании с
обычным приемником с классами верности позволяет эффективно,
применять алгебраический декодер в случае, когда имеются как,
ошибки, так и стирания,
В основе этого утвержденюr лежит следующая лемма .
Лемма13.5.Пустьk1иk2имножества{m,i}и{nj},j=1, 2, . . .
. . ., J представляют собой произвольные постоянные, и пусть­
{аj} - множества из J коэффициеРIТО13, т@.,1щх, что l~a1;;?,a2~ ---~
~aJ;?,0. Тогда неравенство
J
J
L'ajlnj</,1 - k2~(1 -;-ai)п1
( 13.58)
i=I
/=l
вл~чет за coбt)i't
1
J
i-nij<k1-k2•• \' п;.
( 13.59),
j=I
f=I+ J,
для некоторого O~l ~•,;;J 1).
Те' орем а l~ .2 2. Пусть f) - линейный (п, k) кодовый словарь ;
имеющий · минимальный хэмминговtкий 'вес ·d. '
Пусть v- выход
приемника с классами верности, соответст_вующий некотороw.у пе-.
реданному кодрвому слову w μ •' и п у с ть , а3 - iзе'с, приписанный j-му
классу верности Ci, где 1~а 1 ~а2;?,- . . -~ 'aj~O. Далее пусть:
nvej - число случаев, когда j-й символ кла~са верности в прш-1ятоi),:
', v·-J. .
,.·
-
:
1) Суммы вида ~ - XJ счцтаются ,равными нулю. (Прим. авт.) .
i=v
'
•
396


п-последовательности v · отличается ot соответствующего символа
в кодовом: слове w"' и лусть nj~ полное чттсло символов в v из
этого класса ;верности. J Тогда, если существует тако е wv , ч т о
{1 '3.60)
то. справедливы следующие утверждения : 1) w " е д инст венн о ;
2) wv входит' в · множество ' СЛОВ,' получ аемых с помощью алгебра­
лческо,г,о , декмиро'ва,н,ия V •С С:ИМ·ВОЛаМИ :ИЗ J-1 КЛаССО'В rНаИМеНЬ­
шеЙ в~рн.ости, рrассматриваем~ыми • .в •• каrчесnве стираний, и ос­
тальньi~и, которь_IМ прчписывается вес едию,ща для всех l из ин-
тервала (1, J].
'
.
•
'Напомни':rvi, что декодер максималь}iого правдоподобия, :евяза н­
ный с приемником с классами верности, декодирует принятую п-по­
следовательн.ость v как w v т9лы{о тогда , когда обобщенн ое .мини-
.
'
'
J•,,
мальное расстояние' _dμ ~ }: ?jn'~j д~стигает минима~ьног о зна ч е-
'
i=I
.
·,
·
.
ния ПРУ,! μ_=v . . Смь;сл , теоремьi
.1"3.22 состоит :. в том, что есл,и dv
1
.
'
•
'
•••
J•
•
•
'.
,
1,'
r
'
.:
меньше, чем ' {,fd-'- - ~ ( 1-aj)'J,j]/2} дл~ н~коtорого v, то а лге браи-
111
.,•
.:
f\~j='I'1
•
;,
'.
•
.-
(
:
'
чес·кий декодер, способен найти слово w", рассматривая в с е п риия~
тые симв-олы ш ' l-'-. f 1кл.а ,ссах на.именьшей · верности 1как стир.а ния, а
остающиеся символы как максимально надежные. После к аждого
такого декодирования декодированное .1 слово, если таковое ока­
жется, может 1 б1:iтЬ проверено с те'м, чтобы узнать , удовлетв оряет
ли оно неравенству · (13 .60) . Если удовлетворяет, то ·декоди рова­
ние ·оканчивается; естrи нет, критерий стирания изменяется , и де~ '
лается · новая попытка. Предполагается, что такой декодер может
отысr<:ать ·• слово, удовлетворяющее неравенству ( 13.60) при каж­
дом используемоivi, зн'ачении [.' Тем не менее лишь одно с амое бол ь0
шее из этих Сл'ов 1 будет удЬвлетворять •нер·авенству· ( 13 .60). Более
того, число попыток декодирования самое бол,ьшее равно [ (d + 1) /2].
Дело в · том, что _ пр_ и 'нали<tии t + 1: с,т~р~ний_ (декодер может .ис пр а ­
вить · столько же· ошибок, сколько · и при наличии t стирании, если
t и ,d либь оба; четны, либо Ьба нечетньr. Таким образом, если t + 1
стираний : вознйкают вследствие cт'иpiirblя символов в (J--'.z) клас­
сах ; наименыirей ; вернdсти, а 1t tтираний- из-за стирания в ( J....:. .. . f.:. -
-1) '' классаХ: 1 i4аименьiiiей вернщ:тй, то ' вторую hогiьr'тку ·можно не
делать·,' она не сможет дать какое-либо ' слов'о , уже не найденное
при -·проедьщущей попытке. Далее ; если· ,t гiревшшает d-1 , то не
ну~кньi обе попытки, так каК ' В этом 'случае условие (13 .60) , по- ви -
димому i не · может' быть · удовлетворено. -
Во: все111 ' эrо:м • рассмотрении -единственньiми условиями, 'н ала ­
гаемьrми 'на коэффициенты aj, бЬlли ' требоваiшя ; чтобы ·они лежа ли
в инФервале @~а1 ::;;; 1 и чтобы они : -щУедставля.ли собой невозр ас-
з9i


тающие функции j. При этих условиях для определения обобщен ­
ного расстояния dv можно использовать любое множество коэф­
фициентов. Как было показано , оптимальный выбор aj при декоди­
ровании максимального правдоподобия задается соотношением
( 13.56) . Однако эти коэффициенты не обязательно являются оп­
тимальными при декодировании по максимуму обобщенного рас­
стояния. Этот вопрос будет изучаться в § 13.1 О.
Вероятностное де к од и р о в а н и е. При использовании
методов алгебраического декодирования пытаются уменьшить
сложность декодирования по сравнению , со сложностью декодиро­
вания максимального правдоподобия с . помощью использов·ания
алгебраической структуры кода. При использовании методов веро­
ятностного декодирования стараются достичь ту же цель с по­
мощью замены одного сложного решения (относительно того, ка­
кое кодовое слово было получено) рядом более простых . По су­
ществу , для этого используются делею,1е принятого слова на от­
резки и определение, возможно временное, подмнож ества , ко,z;r.,овых
слов, наиболее правдоподобно согласующихся с каждым последо­
вательным отрезком. Если эти _ подмножества взаимно состоятель~
нь1 (т . е. если, по крайней мере, одно кодовое слово принадлежит
каждому подмножеству), то декодер продолжает декодирование
до тех пор, пока он, наконец, не придет к единственному слову.
Е_сли в какой-либо момен :г времени эта процедура столкнется с
трудностью (если ни одно из кодовых слов , которые все еще оста­
ются среди конкурирующих, не обещает в перспективе ьказаться
верным), то возможно возвращение назад для пересмотра ранее
принятых решений и выбора . для щз.льнейшего рассмотрения дру­
гого подмножества кодовых слов.
Таким образом, вероятностный декодер рассматривает лишь
малую долю принятых кодовых слов в любой момент времени, и
отсюда следует, что связанная с ним сложность реализации умень­
шается. Число операций, однако, и, следовательно , время, необхо­
димое для вынесения решения, часто теперь является случайной
величиной (зависящей от конкретного используемого алгоритма)
и может в ряде случаев превышать время до момента, когда воз­
никает необходимость декодирования нового слова .
.Среди
наиболее эффективных вероятностных схем декодирова­
ния следует назвать алгоритмы последовательного декодирования,
предназначенные для использования со сверточными кодами. При­
чина, по которой вероятностный подход особенно эффективен для
сверточных кодов, очевидна. Первые v кодовых символов сверточ­
но'го кодового слова полностью определяются первыми μ инфор­
мационными символами (см. § 13.8). Таким образом, предвари­
тельное решение относительно этих μ информационных символов
может быть сделано после того, как будут приняты лишь v кодо­
вых символов. Это первоначальное решение фактически снижает
число конкурирующих кодовых слов в q-μ раз, так же как и каж­
дое последующее решение, выносимое после поJ1учения каждого
последующего блока из v символов. Если какой-либо из · этих бло-
398


ков по v символов содержит слишком много ошибок, то будет при ­
нято неправильное решение, и правильное кодовое слово окажет ­
ся среди тех, которые временно будут устранены из рассмотрения.
Однако при дальнейшем декодировании, вероятно, будет сделано
предположение, что произошла ошибка на ранней стадии (никакое
из конкурирующих кодовых слов не будет удовлетворительно со­
гласовываться с последовательными блоками принимаемых сим­
волов), и это ошибочное решение с большой вероятностью будет
пересмотрено в некоторый более поздний момент.
Вероятностный подход может также быть эффективно использо­
ван для некоторых классов линейных блоковых кодов. В этом слу­
чае правильность решения относительно каждого последовательно­
го символа оценивается на основе всех тех принятых символов. ко­
торые вместе с ним входят в проверочные соотношения, опреде­
ляемые структурой кода. Если бы каждая оценка была верной, то
слово было бы декодировано сразу после п таких операций . (В
действительности было бы достаточно k операций, так как долж­
ны быть определены лишь информационные биты.) Однако в об­
щем случае ·некоторые из этих оценок будут неверными и потре­
буется несколько итераций, причем каждая оценка предыдущей
итерации будет пересматриваться на основе других оценок, полу­
ченных во время этой итерации. Если все оценки являются состоя­
тельными (т. е. если текущие оценки удовлетворяют всем прове ­
рочным соотношениям), то принимаемая п-последовательность де­
кодируется. Фактически число конкурирующих кодовых слов вре­
менно снижается на каждом шаге процедуры декодирования с по ­
мощью оценивания одного из принимаемых символов. Если оценка
верна, то принимаемое слово должно принадлежать подмножеству
кодовых слов, имеющих этот символ на этой позиции; если оценка
ошибочна, то сохраняется надежда, что она будет исправлена на
одной из последующих итераций.
Более . подробные сведения относительно вероятностных алго­
ритмов декодирования можно найти в литературе . Здесь достаточ ­
но будет отметить, что такие методы могут быть весьма эффек­
тивными во многих приложениях . В то время как число операций,
необходимых для алгебраического декодирования слова, примерно
постоянно и не зависит от числа ошибок, которые оно содержит,
вероятностные алгоритмы декодирования обычно требуют случай­
ного числа операций, которое сильно зависит от возникших в ка­
нале помех. Тем не менее при вероятностном алгоритме среднее
число операций при декодировании может оказаться меньшим для
заданной длины слова или длины кодового ограничения п по
сравнению с алгебраическим. Фактически среднее число операций
• на информационный символ, необходимых для последовательного
декодирования сверточного кода, оказывается функцией лишь па­
раметровμ и v (ер. с§ 13.9) и статистик канала; оно, по существу,
не зависит от длины кодового ограничения п.
Пороговоедекодирование.Преждечемокончитьрас­
смотрение методов декодирования, упомянем · еще один подход к
399


g адач е декодирования ,- ~oтoptI,rЙ l{e является. полностью ни вероят­
ностщ,rм , ни алгебраичесю~!Vi, :. но цмеет ряд . общих с ними rч~рт .
Этщ м етод д~код,:ир,qвания , , ко.т.Qрьrй .н.азыва:ется пороговым , деко­
дированием, особеюю эффектив_еIJ. для некоторых . классов · кодов
как бл оковых, так,,и свертО \J НЫ Х. · Для т,ого чтобы ,использовать этот
алгррит м , необходимо • Отобрать " и з множества проверочных урав­
нений, порождаемых, цр,оверочдой ,· матрицей Н подмножество Ei
уравне ний , ортогональных . дл~ i-го" символа wi кощового .слЬв•а .
Это' озн ачает, что ,каждое урющен:ие·, из : множества ~ Ei Д0ЛlliHO ' ·сь­
держа ть w; . в пров е рочJ:IОМ .: соотнqшеющ , наряду с · другими симво­
лами Wj, j=l=i, но т;з.к, чтобы ,ни одиЕ · символ, кроме , wi;;, не входил
более ч ем в одно rr з. этих ураJ;1:Нений , ,· L· :
,
Предположим . что пр.ини!V),ается •, последовательность -' (w1 +e·1 ,
w2+e2, ... , w,, +e.,.), где Wj, :0,зы-ачае'!' j-й си_мвол . некоторого кодово­
го снова, а ej -,- - -' ,симJЗол ; ошибки .1 l(а?Кдnе уравнение из 0ртогона:ль-
.
.\.~
..
.
.,
.,.
..
,i
Лr1,,f
1•1,
.
ного м нож ества Ei дает тогда н,е.~~висим:у:ю , оце}rк;;т ,tv; вел,и'\1,ины Wi,
Л.
.
1
:,
•
.,.
,
,
,
t
•
~
т. е,. wi (v ) - коцовый символ, ' который .удовлетворяет у - му уравне­
нию и з множества Е; . Если · Ei ·содержит: d';_:1 ур·авнений ,' то в ·си­
лу того, что i-й лринятый символ : w:;+е; так:ж:е дает независимую
оценку для . w i, деl\одер может ле•F КФ - определить d'; · таких оценdк .
Если не более ( {d'; +1) /2~ ,: аимволов ошибок e j, ' входящих в эти
ур авн ения~, отличны · •от нуля; 1 то , более половины получаl<1>щихся
оце,но к будут определены верно ; , и прФстое ' решение по · бЬльшин­
етву, этих оценок будет да,ват,ь -. правильное зна:чение w;. В · соответ­
ствии с эт.им, если каждое •множеств0 Ei, . i= 1, 2, : . ., п содержит,
хю меньшей мере : d'-1 уравнений И ( если принятое ~ кодово·е , 1сJ1ово
содержит {(d'-1) /2] или меньше: ошибок , то слов·о будет правиль­
но декодировано деющером, работающим по э 'Jiому принциnу. ·На
это м и . основан пороговый r алгоритм декодирования. ' '
Е сли множества Е; могут быть - яайдены . для , .каждого i • и они
<tодержат , по крайней мере ,, ,d-' - -:' lt ,уравнений, где d ·-
минимальное
хэм минговское расстояние между,· любыми двумя словами :.кодоiзо­
rо сi1.о варя ; то говорят ; ·что к0д rпо:лностью ор·тогона:лизуемьtй:. Еtли
код полностью ортогонализуемый •. (а некоторые к,одьi являются
таковы ми), то поро;говый де,:кддер : может ;и:,с,r'I,р13!ВЛять любую комб'и­
наци.ю. о шибок, "Которую · могли I бы ,, исправить .. · большинство1 · а:лге­
браи 9еских декодеров . Более того ; ·; пороговь1м1 декодер ·ом , могут
быть : исправл,ены многие комбинации • ошибок; содержащие ' более
чем е с=={ (d-,-1) /, 2) ошибок ; ; Хотя алгебраич е ский декодер также
иногд а можно видоизменить ,так, чтобы он исnравРi ял бо л ее чем е
ошибок, это можно сделать лишь за счет значительного увеличе-
ния сложности. '
)•)'
В общем случае не вtе> ур-а•iзн~ния из ' ' мнЬжества -Ei содержат
,
•
'·
.•
•
11·.,,
: ,.·
,
._'
;
::
,
,,:
1
'
..'Л.'
',
(')ДНО и то же число приНЯ;ТЬ~Х · СIIМВОЛО_В . .На:деЖНОС'FЬ iоценки: , щ,i(:v)'
очевидно, будет зависеть до...некотqрой. <с;rепеви: , от чи,с.1ц1 :ттри:нят.ых
CJJM~IOJ\ OB , ко 1 орые _исполь_зу~<УfСf! ,, ;цр_и: i отьн;кании ; этой 1 ~щенки .
Всл едствие этого ха ра~тер,И GТ~к~ ·:пррого.воrQ _де~одера щю11да , мо-
~


л
жет быть улучшена с п'омощьiо в'з!:iешив·ания каждой оценки ·w; (v)
в i ~.отrветствии . с вероятностью того, . что она верна, а не так , как
это : делается. , при описанно·м . выше построении решения по боль-
шинству , ~тих оценок.
, 1·,
,;
; ;13.1 О .' Вероятност~ ': ошибочного • декодирования
·
J
·
1jl
Вероятность ошибочного декодирования зависит не толь-
ко от статистик канала и конкретно выбранного кода, но, очевид­
~!~, ,) N<же" от . ,алгоритм· а деко,q.ир0Еащ1я. · • Даже , об л' ад'fя этой нн­
фо,р~мациеи, часто трудно о,пр,едел,ить '!'Очные выражения для .веро­
ятности ошибки . Например, -вероятность ошибки, свя з анная с ; де~
КQ~~рова,ни.~~ . !у\аКСИМ1?-JI,ЬН,9ГР , пр;э.вдоподобУ!я линейных кодов, мо­
щет .•быть ~айде.на. : тол~;,ко, . есщ1 . изв~сп1а вся . ,весовая струк тура
кода. Вероятность спутчь , одно сло;во с другим явщrется фу;нк­
цией 'расстояния между ' двумя рассматриваемыми кодовыми сло­
вами независимо от минимального расстояния кода.
Ситуация усложняется еще больше, когда число ~ символов
приемника велико по сравнению с числом кодовых с'имволов. Од­
нако обычно намного легче получить полезные границы для веро­
я,п~ос,ти ошибки. Например, .границы г.т,r. 4 прямо применимы
здесь, если канал является фазовокогерентным гауссовским кана­
лом. Декодер максимального правдоподобия для .. такого канала
~!iзii~i~iз~~1r ' максимум ·' чо ' V '; функqии ' ~йд_а 1
1
I'oge,Pr {v IwV} =; =
~~ loge ·Pr {11μ 1 ffiμ (v)} (см . § 13.9). Так как logePr {11μ 1 ffi~t (v)}
•. •i~o•;
"<
•{
•
\1
,
•'
✓,_.
L
r:11
,
:
,
'
I _;"
1
я.~з~яется .тiИI-Lу~ной функцией .. корреляци11 , ме)К:дУ принятым:- сигна~
ЛQJ\'1}1:, сигнало_м~, представ~щощим wμ ,(v), тр, рушение_ относительно
пр,инятого сл0вs. остается тем же самым ,, независимо от . того, осно­
вы~ается , , ,1и процедура j],екодирования .на , посимвольном решении
(~ силу :грго, что .1--;е теряется , никакая информ·ация) или прю1ятое
слово коррелируется с каждым из возможных кодовы х слов. J;дин­
с;~;в-ещ.юе влияние · структуры кода на · принятьrй сигнал состоит ·• в
потенциальном снижении сложности приемника, которое она до­
пускает .
- :t : В ,,этом 1 параграфе ·будет получена в1ерхняя граница для вероят­
с~ости ошибки в слове, когда используется декодирование по обоб­
щенному . минимальному расстоянию, определенное , в §· 13.9 •: , Рас­
смотрим этот частный случай в силу нескольких причин. Во-пер­
вь~х., в силу общности этого правила декодирования сама граница
является весьма гибкой. Во-вторых ; она показывает iз ' удобной фор­
ме связь между вероятностью ошибки и имеющими к ней отноше­
ние парамет,р·ами · кода : И, наконец, она также приг,одна в качестве
границы ., для вероятн0стей ошибок, св,я'Занных : с многими другими
представляющими интерес правилами декодирования , включая не
только декодирование максимального правдоподобия, но и все те
алгоритмр~;, ~ - к оторых
вь1х9д 'приемника · содержит (а : декодер ис~
пользует) 'бощ,ше информации, чем приемник с классами верности
~~:!~ЛО себе.


Граница определяется следующей теоремой.
Теорем а 13.23. Если q-ичное п-символьное слово из словаря
/J с минимальным расстоянием d передается по каналу с шумом- и
декодируется по обобщенному минимальному расстоянию, то ве­
роятность Ре ошибочного декодирования ограничена неравенством
Р,<minехр{--п[s~ - μ(s)l},
( 13.61)
s:;.O
n
\
J
гдeμ(s)=loge I {Pc;es(I-ai)+(q- 1)Peje5(1+ai)} ;pej , Pcj И a .i опреде-
i=I
лены ранее (см. с. 392 -и тео,рему 13.22).
Доказательство. Ошибочное декодирование совершается только
тогда, когда неравенство (13 .60) нарушается при условии , что w v -
в действительности переданное слово. Таким образом.
! d- L(!-aj)ni
)
Ре=Pr ~аi~~i>
i2
1v=
=Pr{L [(l +aj)n~'i+(I-ai)n~i] :;;,.d I v} .
1
(13.62)
Пусть у; - дискретная случайная величина с распределением
р(у;)= ~ {(q-l)Pe.iб{y;-(l+aj)]+Pcjбi[y;-(1-aj)]}. Тогда у;
j
принимает значение (1 +aj) с вероятностью (q-I)Pej (это вероят­
ность того, что символ приемника находится в классе C.i и отож­
дествляется с каким-либо q-ичным символом, отличным от факти­
чески переданного) и значение (l-aj) с вероятностью Pcj (это ве­
роятность того, что символ приемника находится в классе Cj и
отождествляется с переданным символом). В соответствии с этим
( 13.63)
J
где z=. L у;. Пусть {z.i} обозначает множество значений , прини-
'=1
маемых случайной величиной z. Тогда для любого s;:,::O имеем
Pr{z>d} = L p(zj)< e-sd I /ziР(zj),
(13.64)
по всем
Z(;,, d
по всем
Zj
где неравенство следует из · того, что e-s(d-z) является неотрицатель- ·
ным для всех z и, по меньшей мере, равно единице для всех z;,::d .
Продолжая, получаем
Р,~Pr{z>d} < e-sdЕ( esz) = e-sdЕ с~ esyi) = e-sd i~ Е( eSY;)_
(13 .65)
402


Последнее равенство является следствием п.редполагаемой не­
зависимости по следовательных ошибок в символах, а значит, слу ­
чайных величин у;. Так как
Е (е'У; ) = ~ [(q - 1) Pei es(l+aj) + Pcj es(l-aj) J,
( 13.66)
i='l
то теорема док азана .
Наиболее точная верхняя граница для Ре получается, когда по­
казатель экспо ненты в квадратных скобках в ф-ле (13.61) макси­
мизируется по s, т. е. когда μ1( s) = d/n. Как легко проверить, μ11 ( s)
п0ложительна при всех s (за исключением тривиального случая,
в котором все ai равны и 1: Pcj = О или 1). Таким образом, по-
i
скольку μ 1 :(=) =rnax(1 +a.i) >d/n, функция s(d/n)-μ(s) имеет
.
.
'
j
единственный м :аксимум для некоторого .s, O<s< = только тогда,
когда ,μ 1 (O)<d/n. Но, если μ1 (0)<d/n, то верхняя граница (13.61)
является экспоненциально убывающей функцией длины слова п.
Параметръr ai также можно выбрать так, чтобы минимизиро ­
вать границу для Ре. Дифференцируя показатель экспоненты гра ­
ницы ( 13.61) по a i и вспоминая, что ai должны лежать между О и
1, найдем , что наименьшая граница получится, если
·
·11 при ]oge Pei > 2s;
(q- 1) Pei
ai= Оприloge Pei
,:;;: О;
11
.
Р _(q- 1) Pei
-·
-
loge
eJ
в остальных случаях .
'- 2s
(q- 1) Pei
(13.67)
Наилучшая граница сверху для вероятности ошибки ( 13.61)
получится, если a.i определяются т ак, как выше, а параметр s пос ­
ле этого выбирается так, чтобы удовлетворялось равенство μ1 (s) =
=d/n.
Интересно сра внить эти оптимальные параметры ,а; с теми, ко­
торые были найд ены в § 13.9 для декодирования максимального
правдоподобия, т . е. с
aj= loge (Ре~ )/!oge (Ре~) •
(13 .68)
Ре1
Pet
Хотя оба эти оп ределения совпадают, когда J = 1 (и Ре> 1/2), обыч­
но они различны, что отражает различие этих двух правил деко­
дирования (и то, что а5 здесь выбираются так, чтобы минимизиро­
вать тра,ницу для Ре, а не Ре)-
Когда 1=1 и Pc~1 -(d/2n), граница (13.61) пр 1ИНИiМа ет в.ид
Ре~ ехр{-п [(1-
_!!__\}loge( 1- d/2n)+_!!__loge{ d/2n )l} (13.69)
2n
Ре
2n
1-РеJ
и является экспоненциально убывающей функцией п для в<;ех Ре>
> 1- (d/2n). Так как математическое ожидание числа ошибок в
403


п принятых СИ'Jволах равно· · п ( 1--Рс), то условие 'экспон'еiйiиаль­
ног0 убывания гр2ницы для вероятности I ьшибки яв·ляется прост о·
условием того, что математическое ожидание числа ошибок в
символах меньше, чем d/2; это, очевидно , необходимо и
достаточно для того, чтобы . • вероятность ошибки была
мала. В общем случае граница теоремы 13.23, как можно по­
казать, является экспоненциально наиболее точной; никакая · гра­
ница вида Pe-:s;;;e-cn с c>max(s(d/2)--;μ(s)] неверна для достаточ-
,
.
s:;;,O
'
••
но qольших п : _ Граница ( 13.64), использованная при . получении
этого результата, обь1чно назыв .ается границей Чернова.
.
Соотношение между , минимальным расстоянием d для кодового
словаря и корректирующими способностями словаря очевидно при
рассмотрении границы теоремы 13.23. Ясно, , что вероятность оши- •
бочного декодирования монотонно убывает по d, когда решения
при декод'ировании основываются на, обо9щенном : минимальном
расстоянии. Однако это не обязателы-ю, когда декодирование осу­
щест'в'-!Jяется по максимуму правдоподобия, 'ка'к показывает цри-
мер следующих двух словарей:
'
1
•
•
,
D1= {0000,
Dz= {0000,
0011, 1100,
ООО1, ••11 lО,
1111};
1111} .
Если символы приемника являются двоичными, любое слово из D1
правильно декодируется по методу макси'маль'ного правдоподо­
бия с вероятностью 1, если вектор ошибки е имеет вес нуль; с , веро­
ятностыо 1/2, если он имеет вес один; 'с вер,о~тность'ю 1/4, если он
отличен от кодового слова и имеет вес два :и декодируется ошибоч­
но во всех остальных случаях, АнаЛЩI;!ЧljО любое слово из -D2 де­
кодируется правильно, если е = 0000, 001 О, О 100 •или 1ООО и деко­
д!-fруется неправильно в остальных случаях . , Таким :Образом, . ве­
роятности •',ош~бочног9 де\<Одирования ,· , для . D1 и D2 равны Pt'=
= 1-:(1-p) 4_: _2p(l-p)3- . -p2 (l-, -p) 2 ,и. , Р2= l-(1-p) 4-;- -3p(l~p) 3
соответственно, где р - вероятность ошибки в символе, и Р2<Р1
для 1;1.сех р< 1/2. Однако D1 имеет минимальное., расстояние 2, в то
время !(а~ р2. имеех , ми,нималь!-fое расстояние щ1шь. 11. Общее соо1 :
ношение между вероятностью ошибочного декодировщшя ,_ и , ми.н,и~
мальным расстоянием, связанными с кодовым словарем, тем не
менее ютражается границей теоремы 13.23, границей, ,:котор-ая :спра­
ведлива для де.кодирования максимального пр·авдоподdбия, равно
ка:1< и для·. декодирования . по минималыюму . р ·асстоянию . •
,·.,,
Можно получить а нало гичные' границы, ·связывающиё.f,длину ко•
да-Вого ограничения сверточных кодов с вероятностью ~шибочного
декодирования. Действительно, если св·ерточный код декодируется •
с помощью алгоритма декодирования t обратной . связью, 1 т-о гра­
нид,а . теоремы 13.23 без _ изменения .мо~ет . б~:,rть при~·еlнена для ве­
роятности первого ошибочного декодиров'ания, если. •п отЬждест0
вить с дли-ной кодового ограничения, а d с начальным расстояни­
ем рассматр'иваемого ' кода. • Одн·ако; если · буМт совершен::~ . ошиб­
ка, последуiощие ошйб6чiше ·декодир'ован1ия будут много •более
404


вероятными. Вместе с тем, если правило декодирования позволяет
пересматривать начальные решения, то в дальнейшем первое оши­
бочное декодирование может быть исправлено и вероятность оши­
бочного декодирования может оказаться даже меньшей, чем дл я:
блокового кода ·с теми же самыми параметрами.
Тот факт, что вероятность ошибки экспоненциально убывает с·
ростом длины кодового ограничения сверточного кода п и то, чт о,
сложность последовательного декодера почти не зависит от п~
когда скорость μ/v поддерживается постоянной, является основ­
ным аргументом в пользу этого метода. Длину кодового ограниче­
ния: можно увеличить так, что вероятность ошибочного декодиро­
Вqния будет пренебрежимо мала. После этого основным парамет ­
ром станет вероятность отказа при декодировании. Эта возмож ­
ность появляется вследствие того, что число операций, требуемых.
для декодирования информационного символа, является случайной 1
величиной. При неблагоприятных условиях декодер не будет спо­
собен декодировать символы с той же скоростью, с которой они:
принимаются, и поэтому должен будет запоминать эти символы до­
тех пор, пока он сможет до них дойти. Отказ при декодировании
происходит тогда, когда объем памяти декодера недостаточен для;
того, чтобы вместить необработанные принятые символы,
Прежде чем закончить этот параграф, обратим вниrvrание 1-ш
два пр,едположения , которые были приняты во всех J)'ассмотрени 0
ях, но которые не обязательf[о всегда справедливы. Первое состо-·
ит в том, _ что единственной мерой эффективности кода была веро­
ятность ошибочногq декодирования. Как было отмечено в § 13.1,.
на ·пример, для кода может быть · важнее обнаруживать появление·
определенных ошибок в принятых символах, а не исправлять эти
ошибки, Это, в ча 'стf!ости, верно, . когда можно затребовать повто­
рение перед~чи. Если этот. случай имеет место, процесс декодиро­
вания мож~т проходитr;, так · же, 1,ак и раньше, но с дополнитель ­
нь1м ограничением, состоящим в том, что если декодированное и:
принятое слова от.'шч.аются более чем на заданную величину (ка­
кая . бы мера для этого не использовалась) , то декодированное·
CJIO)ЗO отбрасываете.я. В, этом случае очевидно, . что вероятность
оrриб.~:и .не является достаточной характеристикой; ее можно в дей­
ствительности сделать равной нулю, если просто отбросить все·
принятые слова. Более осмь1с.i:rенной мерой в этой ситуации могла•
бы быть вероятность правильного решения.
•. Втррым предположением, , которое
по,q.разум·евалосъ при рас­
смотрении, было то, что искажае·мые шумом последовательные·
вь1 .1-04ы прие,~щща были статистиче_ски независимыми. рр_и нару-­
ш~нщ1 этщо условия может возщшнуть несколько альте.рнатик
Одна ·из них состоит в том, чтобы пер'естав~ять символы несколь­
ких слов и посредством этого разделять символы любого частного
слова интервалом, достаточным, чтобы гарантировать независи­
мщть, во:щействующеrо , на них . шума. . Другой метод предполагает,
ЧТ(j) шум приводит ю появV1ению па"!ек ошибок .• Известен целый ряд
консtрукций •для кодов, ' uсправляюЩliх iiaчкu ошибок. Кроме то-
405


то, многие обычные коды, исцравляющие ошибки, в частности, цик­
.лические коды, как можно показать, будут_ эффективными в кана­
.лах с пачками ошибок. Это показывает следующая теорема .
Теорем а 13.24 . Любой циклический (п, k)-код способен об­
наруживать любую пачку ошибок длины 1), не превосходящей
n-k, обнаруживать любые две пачки ·с суммарной длиной, не пре­
восхо дящей n-2k+ 1, :или ;исп_равлять любую одиночную пачку
длины, не превосходящей (n-2k+ 1) /2.
Эффективными для борьбы с пачками ошибок могут оказаться
такж е коды, определенные над большими алфавитами, в которых
I<аждый кодовый символ представляется несколькими символами
канала . Если, наприм е р , над GF(q1) определен код с минимальным
расстоянием d, и каждый кодовый символ представляется l q-ич­
ными С)'IМволами канала, то, чтобы изменить ( (d+ 1)/2] кодовы х
символов и , следовательно, привести к ошибочному декодирова­
нию, пачка шума должна воздействовать, по крайней мере, на
l[(d-3)/2]+2 символов ка,нала .
13 . 11 . Кодирование для канала с белым
гауссовским шумом. Полифазные коды
В предыдущих пар.а~рафах этой главы рассматривалась
з адача кодировзния для каналов, которые были существенно сим­
метрu 1t ныл1и. Вероятность того, что какой-либо символ будет пере­
.путан с другим, сс1италась независимой от обоих рассматриваемых
с имволов или, по крайней мере, такой, что качество любого задан­
ного кода могло быть оценено с помощью минимального хэммин­
говского расстояния между любыми двумя его словами. Эта мо­
дель справедлива, например, когда кодовые слова представляются
ортогоналы1ь1ми функциями с равной энергией и равной длитель­
ностыо по времени.
Во многих случRях, конечно, такая модель канала не приме­
нима . Исследование одной из таких ситуаций составляет предмет
настоящего параграфа. А именно, требуется построить N- символь­
ный алфавит для использования в' канале с белым гауссовским
шумом, соединяя _ определенным образом элементы r-чных ФТ сиг­
налов:
V-(
2:rtxv)
2sin fficf+-
_
-r-
;
(13.70)
.
где шc=kn/Ts, а k либо равно целому числу, либо велико по сравне­
нию с единиц~й, и где х"'- целое число, O~xv ~ •r- 1 (ер. с гл. 4).
Сами символы при этом принимают вид
1) Длиной пачки ошибок называется число символов, разделяющих первый
и последний кодовые символы, искаженные пачкой (включая сами эти симво­
лы). Символы, лежащие внJтри , .могут быть, а могут и не быть ошибочными.
(Прим. авт.) .
406


~13.71 ,-
при (v-1) Ts<f<vT8, v= 1, 2, ..., пс xtE {О, I, . .. , r-I}. (В общем
случае, конечно, N будет меньше, чем rn, так что некоторые после ­
довательности не будут представлять собой символы . Преимуще­
ство такого типа конструкции символов станет вскоре очевидным . )
Если требуется, чтобы прин;ятый сигнал был демодулирован
когерентно (см. § 4.2), то вероятность ошибки, связанная с таким
множеством сигналов, при заданном отношении сипrал/шум яв­
ляется функцией лишь нормированных коэффициентов коррелящш:
пТ5
п
Pzm=-
1- lXz(t)Хт(t)dt= -
1 ~cos2л(xt-х::) =
nT5 .J
пkJ
r
О
v=l
= Re! +te(2пi/r)( xt-v ~n)},
l v=l
(13.72}
где Re(z) обозначает действительную часть z: Для случая неко-­
герентной демопуляции (см.§ 4.3) параметры
пТ
п
л
1"s
л
1~ 2л
Ptm = -J Xz(t)xт(t)dt = -
sin-(x1 - х"')=
nTs .
п
r
v
v
О
v=l
(13.73)
/\
также имеют важное значение . Здесь Xm(t)= V2cos[wct+
+(2nx;tr)]; (v--l)Ts<t<vTs и Im(z) -мни:мая· часть ком.плекс-
1 ~п (2ni/r) ( xt- х;),
ной переменной z. В обоих случаях сумма·
-
е
п·
v=l
я-вляется мерой, которая .представляет интерес 1).
Поставленная ::>адача может, таким образом, быть рассмотрен а
как задача кодирования, в которой кодовые символы являются·
элементами из множества {,(v)} ~ {ехр (2л: iv/r) }. Цель состоит в :
том, чтобы составить из этих символов N кодовых слов длины п
,1 = {,(х11 ), ,(х1,.), ... , ,(х1п)}, причем эффективность любого задан­
ног.о кодирования измеряется с помощью скалярных произведений
,1 .,т, 1=i=m [ер. с (13.72) и (13 .73)]. Так,ие коды. будут называться·
полифазными или. более просто, фазовыми кодами .
Удобно ввести структуру в множество п-последовательностей
ха= (ха1, ха2, ..., хап), состоящее из показателей степеней слов фа-
1) Связанной с ней мерой, которая приводит 1~ нек0торым интересным кодам ;.
являетсн метрика Ли. (Прим. авт.).
40Т


~ ового кода . В частности, предположим , что множество, G = {ха}
·О бра зует абелеву группу относительно операций покомпонентного
сложения по модулю r, т. е. ха+хВ=,(ха1 +хВ1, ха2 +хВ2, . .. ,
хап+
+ х В п) . П олучающийся фа з овый КОД на з ывается группов ь tм кодом,
а G - кодовой степен.н.ой группой 1). (От м етим, что если r простое,
то G та кже является векторным пространством.) Тогда · все коэф­
•-Фициенты корреляции (13.72) и (13.73) содержатся в множестве
.
_ :_'
l ~п.· (2rti/ r)x~
·Ра- -
е
,
п•'
а=1,2·,
.
.•.,N.
(13.74)
v=l
Так же как и в случае кодов, исправляющих ошибк~, наличие
-структ уры упрощает задачу определения «хороших» кодов. Фазо­
вый код , конечно, описывается не с помощью его весовой структу­
_ры, а с ,п,о,мощью мложества :параметров ,ра., ~ют-о•рые ,ап,ределены:
соот н ошением ('1.З.74) 2).
'.
•
• Теорема 13.25. Пусть ·~,а=(~а1, ~ь2, ... , ~ап), a=l , 2, ..., N
являются N п-компонентными векторами, определенными над по­
.лем комплексных чисел и пусть
"
·
.
_
_1_ i:a. . J:13__1 ~ ,-а( 1:В)*
Р [3-
'О':>-
~v <:,v
,
а
п
п
)'= 1
.тде Рсщ = 1 для всех а и где · (~~ ) * - компле~сно-~~пряженная ве­
/\
.личина . Пустьдалеера.13 =Re(pa.f3) и р413 Im(1pa.f3). Тогда
1. Если Ра.в =0 для всех a=I=~ , то N~n.
2. Если Ра.[3 =-l/n для всех а+~' то N~n+ 1.
/\
.'
3. Если Ра.в ='=О· для всех а.=1=. ~, то N ~2п.
.
.
'
•
•
i
.
4. Суμ~.ествуют фазовые коды, содержащие N п-символьных
,слов, для всех п, удовлетворяющих ограничениям 1, 2 и 3, такие,
что в каждом из случаев N равно соответствующей верхней гра ­
:нице.
_ Доказ(lтельство. Утверждение • 1. Пространство V, содержащее
п~компонентные векторы sa, принадлежит пространству п-последо­
ват.~льностей над , полем l(Ом,nлексщ,1х : чисе;JJ; .и, следовательно, им-е­
ет макоималчную_, · размерность п. Это значит , . что максимальное
• 1 .) Сам фазовый кодовый сл'о·варь является: , rpy-riпoй п-последовательностей
,относительно операций покомпонентного умнож.ения. Однако обычно более у доб-
110 . оп-исывать код с - помощqю степеней ,э;гих последовательностей. (Прим. авт.)'.
2) Заметим, что; ·ко,г~ц r=2, то. .r~ = ()i_: _2.da. ' )/n, где. d~......., хэммш;1говский вес
·п-последовательности _ха . Так К0аК ; ДВ0ОИ'\НОе· вект9J;>\i~-~ 'lРОСтранство так.же . обра­
зу ет г руппу то все двоичные. к.оды , рассмотрешi. ые в предыдущих парагра_фах,
м·ожно использовать для определения фазовых кодов. 'Го же самое можно ска­
зать б соответствии между словарем троичного кода, исправляющего ошибки, и
,рои;,:;rого фаз_ового кор в . случае _фаз~воко~ерен,тног.9, п,ри~г:1а. Та~1 _в ~том , слу -
чае р~ = '(n-d а) /п, где da определено ранее'. ( При>,1 .. аiзт). .
,... ,
' , ,,,1.·
,
4Q8


число 'линейно независимых вектор·ов в V равно п. Но если мно 0-
жеств о векторов {~а} удовлетворяет условиям Pai3 =0 для всех a=f-=
=1= ~' то , очевидно, они являются линейно независимыми . Макси­
мальное число векторов, удовлетворяющих утверждению '1 , равно ,
поэтому п, и утверждение доказано.
•
.
Утверждение 2. Предположим, что п-компонентные векторы 5а..­
удовлетворя,ют утверждению 2. Тогда корреляция р~13 ~ежду век-
торами 'l'Ja и '1']13, где 1) 1=(1, '611, 612, ..., 61n), равна р~13 =1/(п+1)+
+п/(п+1)(-1/п) =0 дшr всех a=I= ~-
Таким образом, согласно ут-­
верждению 1 N::;:;; п + 1. .
Утверждение 3. Предположим, что N векторов 5а удовлетворя •­
ют утверждению 3, и определим 2п-компонентные векторы
а- {!:а(!:а)*}- {ta ta
ta ('ta)~'- 1=а *
ta*}
'У) -
':, ,
':,
-
'::,1'
'::,2 '
'
•·'
'::,11 •
'::, I
•~':,2)•'·'
'•
( '::,11 )
'
Тогда
_1 'У/а .'1/13 = _1 {/;а. 1;13 + (/;а. 1;13)*} = _1 Re {/;а. 1;13} =р ~ О.
2n
2n
п.
аlЗ
Следовательно, утверждение 1 гарантирует максимум 2n таки х~
векторов 'l')a и поэтому макс~мум 2n векторов · sa, что и требова­
лось доказать.
Утверждение 4. Пусть Do - словарь, определяемый степенной
группой G0, содержащей все кратные по модулю ., - r 0 последова­
тельности (О, 1, 2, .. .,
. r-1). Тогда корреляция между любыми:
двумя различными словами из D0
r-1
р=
_!_ ~ e(2лi/r)(a- jЗ)v = О
а13 rL.
V=O
для всех •a =I= ~- Так как сл овар ь D0 содержит .r слов по г символов ·
в каждом, то он .п:ежит на границе; укз.занной в утверждении 1:
Аналогично, если G1 - группа (r'-1 )-последовательностей, обра­
зуемая при опускании пер во го нуля из каждого элемента в Go, то ·
Ра!3 =-1/(r-1), a =I= ~ и, . соответствующий
словарь D 1 лежит на,
границе 2. Наконец, словарь D2=D1 U (й.D1) (где iD1 - словарь,
образуемый умножением каждого символа из D на i) содержит-
2п слов с раlЗ = О, a=I= ~ и, следовательно, лежит на границе 3. Это ,
завершает доказательство теоремы.
Словари, лежащие на границе, задаваемой утверждением 1, на­
зываются ортогональными; лежащие на границе, задаваемой ут­
верждением 2, называются трансортогональнымu, а лежащие на :
rpaниI..I:e, задаваемой ут.верждением 3, ортогональными в фазово-­
когерентном смысле.
Теорем а 13 .26. Пусть А и В матрицы размеров Мхт и·
Nx п, строки которых являются словами групповых фазовы х ко­
дов А и В соответственно . Пусть SA= {ра(А)} - множество коэф ­
фициентов корреляции между любыми парами ! слов ив : А, а Sв=
40g,


= {р 13 (В)} - аналогичное множество для В. Если С=АХВ яв­
ляется кронекеровским произведением А и В, то строки С образу- ·
ют групповой фазовый код С из MN mп-символьных слов, и если
Sc = {ра(С)} - множество коэффициентов корреляции, связанных
с С, то P:v (С) =ра(А)р13 (В), где y= •aN + В относится к у-й строке
матрицы С, а к •а-й, а В к f3-й строке А и В соответственно.
Доказательство. То, что строки С= АХ В образуют группу, сле­
дует из эквивалентности кронекеровского произведения матриц
фазового кода и кронекеровской суммы, связанной со степеннь1ми
матрицами. Кронекеровская сумма двух групп, как легко прове­
рить, сама является группой.
В соответствии с этим множество коэффициентов корреляции С
является множеством {р.,(С)}, где
1 тп (2лi /r)z'\'
,Р (С)= -
'1е v
V
mn /,,J
(13.75)
V=I
.и где (z11 1, z 112,
... ,
z"тп) - элемент степеннои группы, соответству­
ющий у-й строке С. Но если у= aN +В, то
J_ '1 e(2ni/r)z~ =
_l_i,'1e(2ni/r)(у~+х~)=
тп I..J
тп lJ 1.J
V=I
μ~1 V=I
(
1 т (2:rti/r)x~) ( 1 ~п (2n i /r)y~)
=
- 'fle
-
е
,
т 1,J
п
μ=1
v=I
(13.76)
где (ха1, ха2, ..., хат) и (yf\, у/32, ... , у13п) являются элементами сте ­
пеннь1х групп, соответствующих а - и В-й строкам А и В . Таким
образом, Ра(С) ~ р.,(А)р 13 (В), и теорема доказана.
След ст в и е. Получаемый с помощью кронекеровского про­
изведения ортогонального (r, 1) - словаря на самого себя k раз,
(rk, k)-словарь (т. е. словарь n=rk, N=rk) также является ортого-
нальным словарем .
Доказательство сразу же следует из теоремы 13.26, так как
либо Ра(А) =0 или .р 13 (В) =0, либо справедливы оба равенства для
любого 'Y= ,a,N + Bci=O.
1
Следств ,ие. Трансорто1гональные фазо·вые (rk-J, ,k)-коды
существуют для всех r и k и могут быть получены отбрасыванием
первой компоненты из каждого слова соответствующим образом
выбранных ортогональных словарей.
Доказательство. Первая компонента каждого из слов ортого ­
нального (r, !)-словаря, как указывалось при доказательстве тео ­
ремы 13.25, равна 1. Это свойство, очевидно, сохраняется для кро­
некеровского произведения любых двух таких словарей. Таким
образом, опуская этот первый символ из каждого слова, получаем
р~= (Np-l)/(/1/-l), что и требовалось доказать.
410


К,ак у~помя,нуто в ,гл. 4,. т,рансортоrональные коды, ло-.видимо ­
му, оптимальны для фазовокогерентных (а ортогональные коды
для фазовонекогерентных) каналов с б€лым гауссовским шумом .
В силу того что N-словный бифазный (О и 180°) ортогональный и
трансортогональный, а также 2N-словный четырехфазный (О, 90,.
180 и 270°) фазовокогерентный ортогональный словари существу­
ют для всех N =2k, возможное преимущество других методов ко ­
дирования ставится под вопрос. Но если . информация переносится
фазовым кодом, содержащим N п - символьных слов, то каждый бит
информации 1пред•ставляе11ся n/log2 N .кодовыми си,м,волами . Есл.и
фиксирована скорость передачи информации, то требуемая полоса·
увеличивается по сравнению с полосой при передаче той же ин­
формации при использовании двоичного кодирования во столько
же раз. Ортогональные (и трансортогональные) коды могут поэто­
му быть использованы ТО./Iько в случае, когда коэффициент рас­
ширения полосы n/log2 п является допустимым. Очевидно, что это
накладывает ограничение на допустимую длину кодового слова.
Однако, как было показано в гл -' 4, вероятность ошибки экспонен­
циально убывает с ростом п, даже когда •Рмакс (или / ,рмакс /) боль­
ше нуля . Это означает, что когда ограничена полоса частот, может
оказаться целесообразным использование отличных от ортогональ­
ных кодов, которые имеют большие коэффициенты корреляции, но
зато меньший коэффициент расширения полосы частот. Этот об­
Мен выгоден, конечно, если длина елова п может быть увеличена
настолько, чтобы компенсировать увеличение коэффициентов кор­
реляции, не нарушая ограничения на ширину полосы частот. Хотя
относительно тсго, как произвести наиболее выгодный обмен, из­
вес тно, в общем, немного, методы фазового кодирования были ис­
пользованы для этой цели с некоторым успехом.
Один из методов увеличения числа слов в фазовом кодовом
словаре при фиксированной длюrе слова состоит в следующем.
Пусть G - степенная группа ортогонального фазового кода; при­
соединим к G ее смежные классы С1, С2, .. . , С, -1 ,
где Cv обозна­
чает смежный класс G, содержащий п-последовательность (v, v, . . .
. . . , v). Число слов в соответствующем словаре фазового кода уве­
личвва,ет{:Я благода·ря этому в r раз . К•орреляц.ия между степенью
любого слова из Cv и степенью любого слова из Сμ
n
(2ni/r) ( ха -х13 )
.
1~
1 1 (2ni/r)(v~μ)
Pμv=
-
е
е
,
п
(13.77)
i=l
где ха и х13 - п-последовательности из G. Таким образом,
{О,
ас#=~;
Pvu =
(2n i /r) (V-J.t)
R
е
, а=""
иrnaxPv = cos(2n/r), r >3.
v,eμ
μ
Когда r=2, число слов в словаре просто удваивается за счет
включения в него также отрицательных значений этих слов . Это ,
411


:р азумеется, дает бuортогон,альный словарь (см. § 4.2). По анало­
гии для произвольного значения r такие словари будем называть
r- ор:,;огон,альн,ыми словарями . Тот же метод, между прочим, может
быть использован для увеличения объема кода даже тогда, когда
основной ортогональный . код не является фазовым кодом (напри ­
мер , когда он является множеством ЧТ символов) или когда сте­
пени фазового кода определяются по модулю, отличному от того
значения .r, которое используе тся в о пр еделении смежных классов.
Однако довольно часто возмож н о убедительное уменьшение слож­
.ности оборудования, если для получения требуемого множества
сигналов используются групповые фазовые · коды, в отличие, на ­
пример, от ЧТ методов. Информация может кодироваться так, как
если бы она должна была передаваться по ,r-ичному симметрич ­
.ному каналу, а получающаяся последовательность ·r-ичных симво­
. лов использоваться для фазовой модуляции синусоиды . Кодер мо­
жет иметь вид, изображенный на рис. 13.1 .
Например, как легко понять (см. теорему 13.26), · сте пенная
группа двоичного биортогонального (2 1• -1 , ,k)-кода состоит из 2k
линейных комбинаций над двоичным полем, составленны х из k
21<- 1 -лоследовательлостей 1):
111111111
,010101010
,001100110
000000000
11
01
11
11,
(13.78)
т. е . из двои_чных ,последовательностей с периодами 1, 2, 4, 8,
. .., 2k-1
.
Запоминающие устройства в схеме 13.1 могут поэтому
быть заменены в этом случаf k-разрядным двоичным · счетчиком.
Выходы последовательных разрядов такого счетчика представля­
ют собой точно требуемые последовательности. Соответствующий
.б иортогональный код, сщ~довательно, генерируется особенно
просто.
Реализация приемник а · м ожет быть также значительно упро­
щена при испопьзсвании фазовых кодов вследствие того , что если
y(t) - принятый искаженный шумом сигнал вида (13.71), то кор­
реляция между ним и l-м кодов ым словом равна
(13 .79)
V=l
.
l
!
(2111/r) xv 1
.
тде ~v= е
; Xv обозначает фазу l-го кодового слова на интер-
вале (v-1) Ts<t<vTs и где
vT5
vT5
11v =
-
1 s y(t)siпw/dt =
_i
\ y(t)coswcfdt .
Ts
Ts
.J
(V-l)Ts
(v-l)T5
-
--
--
!) Заметим, что эти векто ры порождают (2 1<- 1
,
k) :код Рида-.\!\аллера, оп­
_ределенный в § 13.8. (Прим. авт.).
-
412


Необходимо лишь опредеJiить величины 'YJv, выполнить'. матричную
операцию
..,
Му= z,
_i
1
•
•,·'
(13.80)
где М-NХп-матриц~ {s! },' l= ·(2, .. : , :( ·-
v=l,2, ..., п, а у=
= (111, 1]2, ... , 'l'}п) т_ Компонента z, имеющая наибольшую действи­
те льную часть (или в случае фазовонекогерентного приема, имею­
щая наибольшее абсолютное значение), . ука_зыва:ет _тогда наибоJiее
.вероятно принятое слово. Матричное умно.нение можно выполнить
численно с помощью специализированн .ой . или ущшерсальной
цвм: · Известны особенно эффективные ал_-оритмы для выполне­
ния этог'о умножения, когда кодовый словарь является кронекеров-
~ким пр6изведением словарей. •
-
' •Вероятности ош 'ибок, • СВ?Iзанные с орт61 ональньiм, биортого­
нальнь1м •ti •трансортогона_льным . множества мн сигналов, были уже
иссл'едованы 1в гл. 4. Конечно; границы, полученные в этой главе,
м'ожнd применить , к любому фа~овому коду, когда шум является
аддитивным белым и' гауссовским.
•


Глава 14
СИНХРОНИЗИРУЕМЫЕ КОДЫ,,
ИСПРАВЛЯЮЩИЕ ОШИБКИ
14.1 . Введение
Коды, исправляющие ошибки, так же как и менее из­
быточные коды, рассмотренные в гл. 10, имеют значительно боль­
шую практическую ценность в случае, когда они являются также
синхронизируемыми. Так как слова в кодах, исправляющих ошиб­
ки, обычно все имеют одну и ту же длину, то они обязательно од­
нозначно декодируемы. Но они редко являются синхронизируемы­
ми без какого-либо изменения; все линейные коды, например, со­
держат чисто нулевое кодовое слово. Изменение кодов, исправля­
ющих ошибки с целью сделать их синхронизируемыми, является
предметом этой главы.
Как впервые было указано в гл. 11, термин синхронизируемый
словарь применялся к таким словарям, для которых декодер мо­
жет определить синхронизацию слов непосредственно по принято­
му потоку символов в отсутствие какой-либо дополнительной ин­
формации относительно этой синхронизации и после того, как бу­
дет принято лишь конечное число символов. Это определение, ко·­
нечно, должно быть дополнено словами «в отсутствие ошибо·к в
символах» (или, по крайней мере, «в отсутствие определенных
комбинаций ошибок») для того, чтобы оно было полезным для ка­
налов с шумами, так как неудачно расположенные ошибки в сим­
волах, очевидно, могли бы бесконечно задержать синхронизацию
слов независимо от того, какой код используется. На самом деле
из-за возможности ошибок в символах первоначальная синхрони­
зируемость может оказаться недостаточной для кодов, которые
нужно использовать в каналах с шумами. Тем не менее требова­
ние синхронизируемости накладывает такие ограничения на при­
нимаемую последовательность символов, что, по-видимому , пр· а­
вильная синхронизация может быть получена после достаточно
длинного периода наблюдения даже в присутствии ошибок. Этот
вопрос будет в дальнейшем разобран детально (см. § 14.5). Пер­
вые несколько параграфов этой главы посвящены методам изме­
нения кодов, исправляющих ошибки, для превращения их в син­
хронизируемые в первоначальном смысле. Это исследование име-­
ет дополнительную цель создать фундамент для материала даль­
нейших параграфов, в которых этот подход будет обобщен и видо­
изменен.
Хотя в этой главе явно не будут исследованы возможные син­
хронизационныr свойства сверточных кодов, упомянем, что, по,
крайней мере, некоторые методы, которые рассматриваются• здесь,.
414


легко обобщить т акже и на эти коды. Это , очевидно, верно, когда
(как это часто делается) закодированная последовательность сим­
волов п е риодичес11.и обрывается (см . § 13.8) и поэтому превра­
щается в блоковый код некоторой (в общем, большой) блоковой
длины N. Однако независимо от того, обрывается код или нет , де­
кодер должен, по крайней мере, быть способен разделять приня­
тую последовательность на v - символьные отрезки, соответствую­
щие μ - символьным блокам информационных символов, поступаю­
щим на вход кодера . (Тер,м,ин,ологию см. в § 13.8 .) Ино-г~да эта за­
дача называется задачей синхронизации узлов или ребер . Одним
и з методов ее решения является такое рассмотрение закодирован­
ного потока символов, как будто бы он представляет собой после­
довательность слов линейного блокового (v, тμ)-кода. (Конечно ,
при этом не учитывается зависимость между последовательными
v-символьными отрезками , которая вводится структурой сверточ­
ного кода.) Методы, которые разработаны в этой главе для того ,
чтобы декодер получил возможность отличать правильные (блоко­
вые) кодовые слова от стыков слов, можно будет затем непосред­
ственно применять и использовать для того, чтобы снабдить свер­
точные коды дополнительной структурой, необходимой для уста­
новления более легкой синхронизации узлов. Как будет показано,
эффективность этих методов обычно является убывающей функци­
е й скорости передачи информации. Поэтому в действительности
может оказаться выгодным рассматривать последовательность
принятых символов как последовательность слов блокового (iv,
(m+i-1 ) ·~L)-кода для некоторого целого i> 1 и посредством этого
использовать кодовую структуру боле е эффективно . Будет ли ре ­
з уль т ирующее уменьшение времени синхронизации вызывать при­
емлемое сопутствующее увеличение сложности син х рони з атора, за­
висит, однако , как от кода , так и от параметров канала . В любо м
случае применимость для синхрони з ации узлов м е тодов , рассмат­
риваемы х ниже, должна быть оч е видной .
14.2 . Префиксные коды и коды с запятой,
исправляющие ошибки
Одним из методов для превращения блоковых кодов в
синхронизируемые, исследованных в гл. 12, было приписывание в
качестве префикса каждому слову некоторой !-последовательно­
сти, такой, чтобы эта [-последовательность нигде не появлялась в
любой последовательности кодовых слов. Второй метод состоял в
периодической передаче запятой в последовательности кодовых
слов; словарь при этом выбирался так, чтобы гарантировать то,
что эта запятая не появилась во всех случаях, кроме того, когда
он-а специально передается. Эти два метода применяются и здесь
к кодовым словарям, исправляющим ошибки.
Каждая из q" р азли ч н ы х k -п оследовательн о стей п оявляется в
каче стве началь н ых k символов некоторого сл ов а в любом с и сте -
415


Аt, ат(!,ческQм q-ич,~•ом (п, k)-кoJ.i.qвoм сл·о,ва.ре. В ,равной . м,ер,е •это·
утв1:;ржд~ние применим.о к , JII9бoмy см~жном;у классу систематиче­
сrщго кода. Следовательно, если qk-c_лoвн~ri1:. код явля_ется система­
тич(:'скщvr (и часто _ даже; ес;ли он не является таковым) , то любой
префикс для того, чтоб111 С\1;!-, бьr,![ , единстве1;Iным, должен содержать,
по !VJеньшей . мере, k+ 1 с;имволов. Ilрисоединяя такой префикс к
каждому слову, получаем, следовательно, уве.rщчение его избыточ­
ности, по меньшеfI , мере, , на ,k+, 1 си~волов _без .какого ;либо улучше ­
ния свойс;тв , расст,ояния в коде. Ецш k: ма~о ;по сравнению с п, этот
мет9д может быт):, удобным;, , ,1-10 ~СJ;!(И k увели~шщется, то эта , доба,
во.чщщ ,избыточность стан9вится_ более ,.серьез.ной проблемой . Тем
не менее следующqя теорема , гарантl'!рует . существование простого
метода,, посредством которо~о люб,ой щщщrческий код может быть
сделан синхронизируем,ым с пом,ощI=?ю легко реализуемой процеду ;
ры СrJНхронизаци~.
_, 1.
:Ге0рема 14.1 . Любой · циклический (п, k)-кЬд можно · превра ­
титъ в префикtный код, ес:ли перед каждым сл·овЬм поставить пре­
фикс Q00 .. .О а, состоящий из k нулей ; за которыми · следует какой­
либо ненулевой <шмвол алфавита. Никакой более кЬроткий пре-
фикс для этой не:ли использовать нельзn. •
,.
~"
•
•
• ·д~kазател'ьство. Так ' ~~щ , префикс 00. .·~оа не имеет; дру;~·го ·пе­
риода' повторения, кроме k+ 1 (с~. § 12.4) , то никакое стыковое
слово, образуемое двумя СЛОВqМИ _ снабженного префиксом кода, не
может содержать этот префикс. в · силу ' того что .первоначальный
код систематический, k+ 1 -й' и последующие символы определяют­
ся ' с ,помощью .проверок для . ,первых k сим·воло.в. Есл,и 1пер- •
вьr'е ,k с·имво,тrов нуле1?ые, то таким же . дол~•е•н ·быть и k+.1-й
символ. Так как код циклический, то . за 'всеми . послед9вательно­
стями из k последовательных нулей должен следо'вать нуль . Сле­
довательно, комбинация OOQ .. .Оа J'l:1ОЖет возникнуть только на ме­
сте префикса и никогда не r;.,rожет возникнуть в другом месте, и
расширенный код (т. е. код, получающийся, когда каждому слову
предшествует рассматриваемый префик с) является префиксным
кодом: То, что никакой более короткий пр ефикс• н-е может быть ис­
пользован, чтобы получить это свойство, было уже доказано. (За­
метим, что этот результат справедлив, даже если k=n).
Расширенный код, конечно, не является больше линейным. Од­
нако это не сушественно, · так как префикс используется только для
синхронизации принимаемой последовательности слов; он может
не учитываться при ,операциях кодиро,вания и д,екод.и,рова,ния, и
1п,ре1,I,муществ.а л.иней н ых кодов в-се еще можно :Иополь•зо1Вать.
Более слабый результат можно получить для линейных кодов
в общем случае, заметив, что, если код имеет минимальное хэм­
минговское расстояние d, то все кодовые слова (кроме чисто ну­
левого слова) имеют, по меньшей мере, d ненулевых элементов .
Длина самой длинной серии нулей в любом (кроме чисто нулево­
го) .ющовом ,слове ,поэтому не может быть больше n-d. Это ут­
вер.ж~ает следующая теорема.
416


Теор~ м а 14.2. Любой линейный кодовый словарь с п-сим­
вольными словами и минимальным расстоянием d можно превра ­
-тить в префиксный код, добавляя к каждому кодовому слову пре­
фикс ООО. . .Оа длины n- d + 2, где а - какой-либо ненулевой сим­
\В ОЛ алфавита.
Так как для любого линейного кода n-d+2?k+1 (см.§ 13,4),
то этот метод всегда менее эффективен, чем тот, который описан
для циклических кодов.
,
Другой метод для синхронизации блоковых кодов, рассмот­
ренный в гл. 13, состоял в периодической передаче т-символьной
запятой. Любая запятая, которая должна быть сингулярной по от­
ношению к циклическому (п, k) - коду, должна иметь длину, по
меньшей мере, 2,k+ 1. Это следует из того, что каждая k-последова­
тельность может появляться как в начале некоторого .кодового
слова, так и в конце его. Стыковые слова должны поэтому содер­
жать любую возможную 2k-последовательность.
Теорем а 14 .3 . Существует запятая длины 2,k+ 1, которая яв­
ляется сингулярной по отношению к любому циклическому ( п, k ) -
коду при всех п и k, k~n -1 :. Никакая более короткая запятая не
обладает этим свойством.
Доказательство. Последнее утверждение уже было доказано.
(Между прочим, это утверждение в равной мере применимо к лю­
бому смежному классу циклическо го кода.) Существование сингу­
лярной запятой длины 2k+ 1 становится ясньн1 при рассмотрении
запятой 0000.. ,Оа О . ..О,
состоящей из ,k нулей, за которыми сле ­
дует какой-либо ненулевой символ алфавита и еще k нулей. Что­
бы доказать, что эта запятая сингулярна,' заметим, что, во-первых,
никакая перестановка п-последовательности х=ООО .. .Оа не являет­
•СЯ кодовым словом и, во-вторых, никакая из двух (k+ 1)-последо­
вательнос тей s1 =ООО .. .Оа и s2 = аОО .. .О н,е Jюявляется ни в како,м
кодовом слове. Оба утверждения немедленно следуют из того, что
в циклическом коде никакое слово, кроме чисто нулевого слова, не
-содержит последовательности, состоящей из более чем k-1 после­
довательных нулей. Но для того, чтобы стык двух или бо,т~ьшего
числа кодовых слов образовал запятую, какое-либо одно из слов
должно содержать s 1 или s 2 или должно со;3падать с некоторой
циклической перестановкой х. Никакая из этих: ситуаций невоз­
можна. Аналогично для того, чтобы некоторый стык, в котором
участвуют как кодовые слова, так и запятая, образовал запятую,
по меньшей мере, ,k+ 1 символов этой запятой должны быть вне­
сены одним кодовым словом; опять-таки это кодовое слово дошк­
но было бы содержать либо s1, либо s2 или быть некоторой пере­
ст ановкой х, и, следовательно, оно не существует. Эт6 доказывае.т
теорему.
Другим методом построения кода с запятой, обладающего так­
же способностью исправлят~ ошибки, является тот, который опре­
деляется теоремой.
14 -281
417


Теорем а 14.4 . Пусть D - любой циклический (п, k)-кодовый
словарь, исправляющий ошибки, и пусть D' -
словарь, получае ­
мый выбрасыванием из D чисто нулевого кодового слова. Тогда
запятая ООО .. .Оа, состоящая из 21k- l н улей, за которыми следует
какой-либо ненулевой элемент, является сингулярной по отноше­
нию к D'.
Доказательство. Никакое слово из D' не м ожет содержать ну­
левую tk-последовательность. Однако для того, чтобы какой-нибудь
стык кодов ы х слов образовал запятую, одно из слов должно со­
держать нулевую k-последовательность . Очевидно, что никакой
стык, содержа щий запятую, не может образовывать запятую, и
теорем а доказана . (Нет необходимос -:- и здесь требовать , чтобы
k<n;см.§12.5 .)■
Так же, как и в случае линейных префиксных кодов, можно до­
казать отчасти более слабый результат для произвольных линей­
ных кодов с запятой.
Теорема 14 .5 . Запятая 000 ...Оа длины 2(n-d)+2 сингуляр ­
на по отношению к любому линейному словарю , содержащему п ­
символьные слова, разделенные минимальным расстоянием d, из
которого удалено нулевое слово.
Доказательство. Так как самая длинная последовательность из
нулей, образующаяся из стыка двух слов, и ме ет длину 2(n-d)
(если последние n-d символов одного слова и первые n-d симво­
лов второго слова являются чисто нулевыми) , то 2(n-d) + 1 нулей
будут отмечать присутствие запятой, конец которой указывается
символом а.
14.3 . Коды без запятой, исправляющие ошибки
Одно из ограничений, которое полезно, как было показа­
но, наложить на блоковые коды, состояло в требовании «свободы
от запятой». Используя лишь около 1/п общего числа имеющихся
в распоряжении п-последовательностей, можно добиться того, что
все возможные стыки кодовых слов будут принадлежать м ноже­
ству исключенных п-последовательностей. Так как коды , исправ­
ляющие ошибкч, также используют в качестве кодовых слов лишь
подмножество всех п-последовательностей , можно было бы на­
деяться, что выбрасывание нескольких дополнительных п-последо­
вательностей превратит его в код без запятой. В § 14.4 будет до­
казано , что, действительно, по крайней мере, когда код цикличе­
ский и достаточно избыточный, некоторые из его смежных классов
будут кодами nез запятой. Таким образом, он может быть очень
просто превращен в код без запятой без какого-либо дополнитель­
ного исключения п-последовательностей из словаря и без потери
каких-либо алгебраических свойств, которые полезны для кодиро­
вания и декодирования. В этом параграфе дано довольно простое
правило определения того, существует или нет смежный класс ли­
нейного кода, который является кодом без запятой.
· 418


Код будет называться неуязвимым при синхронизации на т-й
позиции, если посJJедовательность
( 14.1)
не является кодовым словом, где а1а2 .. .ап и Ь 1·Ь2 , ...,Ьп
-
какие­
либо два (не обязательно различных) слова из кода. Если код не­
уязвим на всех т позициях (т = 1, 2, ..., п-1), то, конечно, он яв­
ляется кодом без запятой. Если код линейный, то, очевидно, что
он не является неуязвимым ни на какой позиции, так как он дол­
жен содержать слово 00 .. .О. Однако можно прибавить вектор с к
каждому кодовому слову для того, чтобы сформировать смежный
класс, который является неуязвимым, по крайней мере, на некото­
рых позициях. Смежный класс обладает теми же самыми свойст­
вами исправлять ошибки, что и первоначальный код, так как он
имеет те же самые расстояния.
Пусть G kХп-матрица, строки которой являются порождающи­
ми векторами подпространства над GF(q). Тогда любой вектор из
подпространства (рассматриваемый как вектор-строка) можно
представить в виде xG, где х является q_-ичной k-компонентной
вектор -строкой . Если код является смежным классом подпростран­
ства, порождаемого G, то любое кодовое слово w представляется
в виде
w=xG +c
(14.2)
при некотором векторе х. Пусть теперь G разбивается на матрицы
G1 и G2 размеров kXm и kX (п-т) соответственно:
G=(G1, G2);
(14.3)
аналогично пусть с разбивается на векторы с1 и с2 с т и п-т ком­
понентами в каждом:
( 14.4)
Число совпадающих координат в любом кодовом слове и любом
стыке· слов вида ( 14.1) может быть теперь определено с помощью
подсчета числа нулей в векторе вида
xG +с-у (G2 , От) -z (Оп-т, G1)-(c2, С1) =
= [х, -у, -z] [G2, GОп-т] + с- [С2, С1].
(14 .5)
От, G1
Матрицы 0 1 являются kХl-матрицами, все элементы которых
являются нулями, а х, у и z - k-компонентные векторы. Если
смежный класс, который должен быть использован в качестве сло­
варя, является уязвимым при синхронизации на т-й позиции , то
су ществует некоторый 2k-мерный q-ичный вектор-столбец v, такой,
что
Mv=b.
J4*
( 14.6)
4.19


где
Для того чтобы доказать, что код неуязвим на т-й позиции,
достаточно показать , что не существует вектор, для которого напи­
санное выше уравнение имеет решение . Но это уравнение имеет ре ­
шение тогда и тою,ко тогда, когда
р(М) =1р(М, Ь),
(14.7)
где р(А) обозначает ранг А, а (М, Ь) является пх (3k+ 1)-матри­
цей, получаемой присоединением вектора-столбца Ь к матрице М.
Следующая леvrма полезна при изучении свойств неуязвимости ли­
нейных кодов.
Лемма 14.1. Пусть М-пХl-матр,ица; Ь= : (Ь1, Ь 2 , ... ,
Ьn)т­
векюр-стол•бец с элементами ,из GF(q) и пусть mi= (mi!, mi2, ... , mil),
i == 1, 2, .. .,п обозначает i~ю строку М. Тогда соотношение р(М) =#=
=J=p(M , Ь) выполняется тогда и только тогда, когда существует
п.
множество элементов {ai} из GF(q), таких, что \'1 aimi = O (где
.. .1
i=l
п
О- нулевой вектор), в то время как~ aibi=#=O.
'
i=l
Доказательство. Если р(М) = .р, то должны существова гь р ли­
нейно независимых векторов Шj, такие, что
р
'
m,=~~у>mjдляВСР.Хi.
j=l
(14.8)
Ясно, что соответствующее множество векторов {m\} из (М, Ь)
также образуег линейно • независимое множество. Если также
р(М, Ь) =р , то это множество {m\} должно порождать простран­
ство (М, Ь) и
р
m;=~ ~Ji>m; длявсехi.
/=1
(14.9)
Для любого заданного i коэффициенты ~(iJj в ф-ле ( 14 .8) опре­
делены однозначно. Если бы это было не так, то можно было бы
указать линейную зависимость между векторами {mj}, Следова­
:гельно, так как первые L' : компонент m; и m'i совпадают, то то же
самое справедливо для коэффициентов ~(i)j в ф-лах ( 14.8) и ( 14 .9) .
Теперь
п
р
~а,mi= ~ 'Y1m1.
(14.10)
i=l
i=l
420


п
гдеYi= ~ai~JOи
i=I
п
р
~ a;m; = ~yjm;_
(14.11)
i=I
j=I
Согласно предположению суммирование в ф-ле (14.10) дает
нулевой вектор О. Это означает, что yj=O для всех j, та.к ,как век­
торы {mj} лин-ейно нез,ависимы. В свою оче,ре.дь, ,это о•з,начает, ЧТG
сумма в ( 14.11) также равна О, что противоречит предположению
о ·юм, что ~ ai,bi =l= O. Т,ак.им образом, если ~ aimi=O I!E
i
i
~ aibi=l=O, то для любого множества коэффициентов {ai} имеем
i
р(М, Ь) >,р(М). Обратно, если для любого множества {ai} , для
которого ~ a;mi,=0, также ~ aibi = O, то, очевидно, р(М, Ь) =
i
i
= :р(М), и лемма доказана.
Следовател1,но. можно заключить, что словарь является неуяз,
вимым при синхронизации на т-й позиции тогда и только тогда,
когда условия nредставленной выше леммы удовлетворяютс я дл,;;~:
некоторого м-нож,ества ~Элементов {ai} .и Ми Ь, определенных ( 14.6).
Пусть {ai} - множество элементов GF(q), таких, что
( 14.12)
Тогда, вспо м иная определение матрицы М l[см. (14.6)], на:хqдu м,
что долж н ы вы11олняться следующие три равенства :
ll
1
~aigi=О.
_. ..,j
i=I
п-т
п
L, ai gi+m = L ai-mgi= О,
i=I
i= m+I
где gi представляет собой i-й столбец G. Но п о о п ределению ·век­
тор h= (h1, h2,
... , hп)
п ринадлежит нуль - пространству кода , поро­
ждаемого G, тогда и только тогда, когда .
п
~h;gi=О.
(14 .1 4)
i=I
Следовательно, (14.14) удовлетворяется на множестве {ai} тогда
и только тогда, когда нуль-пространство кода, порождаемого G. со­
держит векторы h= {а1, а2, ... , ап}; h(J)= {an-m+I, Ctn-m+2,
..., йn,
О, О, ..., О} и h<2J= {О, О, ..., О, а1, а2, ..., ап-т} . Этот вывод •совмест­
но с приведенной выше леммой доказывает следующую те0рем у.
15-281
42]


Теорем а 14.6. Если линейный (п, k) - код имеет смежный
класс, который неуязв,им при синхронизации на т-й позиции, то
его нуль-пространство должно содержать три вектора: h=
{h1, h2, ... , hп}; h(l) = {hп-m+l, hп-т+2, ..., hп, О, О, ..., О}
И h(Z)=
= {О, О, ..., О, h1, h2, .. ., hп-т}, такие, ч·ю h-c:#=h•Cm, где с= {с1, с2, ...
• • . , Сп} - некоторый лидер смежного класса, а ст ~ {Cm+1, Cm+z, .. .
.
.
.,Сп, С1 ..., Ст}.
Таким образом, можно установить, может ли линейный код
быть сделан неуязвимым при синхронизации на любой т- й пози ­
ции, определив, порождает ли его нуль-пространство три вектора,
удовлетворяющие приведенным вы ш е условиям. Это значительно
облегчает определение возможного свойства такого кода быть ко­
дом без зап я той. Если код является циклическим, можно указать
даже более простые необходимые и достаточн ы е усло в ия су щест­
вования смежных классов без запятой. Их рассмот рен ие является
предметом следующего параграфа.
14.4 . Циклические коды без за пя той
Если G порождает циклический (п, k)-код, то нуль - про ­
странство кода также циклическое. Далее (см. § 13.4) нуль - про ­
странство кода порождается (n - k) Хn-матрицей вида Н = {hij} =
= {hн+1} с h1=0 для l, не принадлежащих интервалу 1~l~k+ 1,
но с неравными нулю /i 1 и hн1- Это, совместно с результатами пре­
дыдущего параграфа, дает возможность доказать следующую тео ­
рему.
· Теорем а 14.7. Любой циклический (п, !~)-код можно сделать
неуязвимым при синхронизации на всех т позициях при 1~ 1т 1 ~
~n-k-1, ( 1ml ~ min(m, п - т)) просто сложением некоторого
ненулевого элемента кодового поля с первым символом каждого
кодового слова.
Доказательство. Если 1~m ~n-k-1, то нуль-пространство
кода содержит, очевидно, три вектора h= (h1, h2 , ... , h1,,+1, О, О,
...
. . ., О);h(1J= (О,О, ..., О) иbl2)=(О,О, ..., h1,h2, ..., hнi, О, ..., О).
Таккакс=(а,(J, .
. , О) для некоторого а:#:0, то
(14.15)
если 1~m ~n -k -1, и условия теоремы 14.6 удовлетворяются.
Точно такие же рассуждения приводят к тому же выводу для
l~n -m ~n -k-1. Следовательно, ур - ние (14.6) не будет иметь
решений, когда с определяется. таким образом при любых т,
удовлетворяющих .нера.венствам 1~ 1m 1 ~n -k-1; теоре,ма до­
казана.
Другие смежные классы, отличные от тех, которые образуются
еложением элементов с первым столбцом, могут также обладать
аJ-Iалогичным свойством. Например, в равной мере эффективным
будет сложение ненулевого элемента с каждым членом последнегn
етолбца.
Справедлива также теорема, обратная теореме 14.7.
~22


Т,е .о,р ем а 14.8 . В.се смежные классы любого систематического
(п, k)-кода уя:звимы при синхронизации на всех т позициях, где
n-k ~m ~k
Доказательство. Первые k столбцов порождающей матрицы G
любого систематического кода должны быть линейно независимы­
ми. Если n-k~m~k, то никакое подмножество из первых п-т~
~
,k столбцов G и, следовательно, из первых n-im строк М не мо­
жет быть линейно зависимым. Но, кроме того, никакие из послед­
них т~!, стро:{ М не могут быть линейно зависимыми, так как
столбцы G1 линейно независимы. Поэтому р(М) =n и условия тео ­
ремы 14.6 не выполняются. !И
Следствие. Если k~ (п-I)/2, то любой циклический (п, /,)-
код может быть превращен в код без запятой. Если k> (п-1)/2,
то ншсакой смежный класс никакого циклического (п, !,)-кода не
образует код без запятой.
Доказательство следует из того , что все о ш ибо ч но синхр о низи­
р у емые позиции могут быть сделаны неуязвимыми, когда
n-k -1~ k, т. е. когда k ~ ( п-1) /2. Так как все циклические ко­
ды являются 1::истематическими кодами, то применима теорем а
14.8, и если ik>(n-1)/2, то все те величины ,m, которые лежат в
интервале (n-k, k), являются уязвимы м и пр и синхронизации не ­
зависимо от рассматриваемого смежного класса . m
Возникает ;зопрос, имеют ли нецикл и ч€ские Jlинейные коды ·, ис­
правляющие ошибки, смежные классы без з а пятой и, в частности,
существуют ли такие смежные классы при 1k> (п-1)/2. Интуи т ив ­
но можно был.J бы предположить, что условия теоремы 14 .6 вы~
деляют циклические коды среди всех кодов с точки зрения свой­
ства «свободы от запятой». Однако представляется трудным по­
строить общее утверждение относительно этого свойства для смеж ­
ных классов Н•?.линейных циклических кодов, хотя частные коды
или классы кодов иногда легко исследовать, используя указанные
здесь методы.
Рассмотрим в качестве примера класс укороченных циклич е­
ских (п-,,, k-v)-кодов, получаемых отбрасыванием v информа -
1 1 ионных битов из циклического (п, /,)-кода (см. § 13.6). Нуль-про ­
странство такого кода порождается матрицей Н v, получающейся_,
когда отпускаются первые v столбцов порождающей матрщщ
нуль-пространства первоначального циклического кода. Имея это
в виду, нужно лишь повторить доказательство теоремы 14.7 (счи ­
т ая h (,,+ 1)-й строкой Hv) для того , чтобы доказать следующее .
Теорем а 14.~.
Любой укороченный цик л и че с к ий (п-,1, k-v)-
код можно сде.'1ать неуязвимым при синхронизации на вс е х гюзи­
циях m для 1::,;; 1 т 1 ~ n-k -v -1, просто складывая некоторый н е ­
нулевой элемент с первым символом каждого кодового слова .
Хотя теорема 14.8 применима также и к укороченны м цин:ли­
ческим кодам, строгое обращение теоремы 14 .9 оказывается в об ­
щем случае невозможным. Двоичный циклический (7, ~) - код мо -
15*
423


:il{eт, например, быть сделан неуязвимым при синхронизации на
т -й позиции для всех 1~ 1т 1 ~3 и поэтому превращен в код без
запятой. Теорема 14.9 уста навливает существование укороченного
циклического (6, 2)-кода, который неуязвим на позициях
I ~ \ml ~2, и (5,1)-кода, неуязвимого только на позициях 1ml =1.
Легко проверигь, что ранг ма трицы М (см. § 14.3), соответствую­
щий укороченному циклическоi\fУ (6, 2)-коду, равен 6, когда m= 3,
так что все его смежные классы являются, на самом деле, уязви­
мыми на позиции m=3, несмотря на то, что k<(n-1)/2. В проти­
воположность :~тому укороченный циклический (5, 1) -код имеет
смежный класс без запятой.
Рассмотрим второй пример класса нециклических кодов. Пусть
G - nХ k-матрица, строки которой порождают слова циклического
двоичного хэммин говского (п, k)-кода (2n-k=n+ 1; см. § 13.6) и
nусть G' получается из G некоторой перестановкой столбцов. Тог­
.d.а G' также порождает двоичный (п, k)-код с теми же самыми
расс тояниями я поэтому с теми же самыми корректирующими
свойствами, ка,< и код, порождаемый G. Все такие коды будут на­
зываться здесь ющами Хэмминга, хотя в общем случае они не
будут циклическими. (Между прочим, можно проверить, что все
двоичные линейные коды, исправляющие одну ошибку и имеющие
2"=2"'/(п+ 1) слов. могут порождаться матрицей вида G'.) Так как
k>(n-1)/2 для всех таких кодов, кроме (3, 1)-кода, то никакой
с межн ый ~<ласе никакого циклического хэмминговского кода не
будет кодом без запя той при любых k> 1. Возможно, однако, что
неkоторый смежный класс нециклического хэмминговского кода
моt бы быть кодом без запятой даже при k> 1.
Для того чтобы показать, что это невозможно, достаточно
опя ть-та ки доказать, что р(М') =n для некоторой уязnимой щ>зи­
ции т, где М' определяется через G' равенством ( 14.6). Каждая
строка матрицы нуль-пространства двоичного хэмминговского ко­
да содержит ровно (п+ 1)/2 единиц (см. § 13.6). Рассмотрим ыат­
рицу М', когда m= (п-1)/2. Так как в любое проверочное соотно­
шение должны входить ровно (п+ 1)/2 столбцов G' и так как в
этом сл учае G'i содержит лишь (п-1) /2 столбцов, то никакое под­
множество нижних (п-1)/2 строк М' не является линейно зависи­
мым. Единственной остающейся возможностью является то, что ли­
нейно зависимыми окажутся верхние (n+ 1)/2 строк М'. Легко
заметить, что это означает, что
(n+l)/2
п
Ig~=
~
i=I
i=(n+l)/2
rде g'i обозначс1ет i-й столбец порождающей матрицы G'. В свою
п
очередь , отсюдэ сJiедует, что L g\=0, т. е. линейная .комб,ина­
t=О
i,;I, (n+l)v2
ция п-1 столб1юв G' должна быть равна нулю. Это противоречит
услови ю , что ровно (п+ 1)/2 столбцов должны быть использованы
·« ·24


в любом т аком соо тношении, если только не имеет места случай
n - 1=(n + 1)/2, т. е. случай n = 3. Следовательно, (3, 1)-код являет­
ся единственным двоичным хэмминговским кодом со смежным
классом без запятой. ,
Полезное видоизменение вида уравнения уязвимости ( 14.6) ча­
сто можно получить, представляя векторы, входящие в это уравне­
ние, в виде многочленов, как в § 13.4. В этих обозначениях ф-ла
(14.7) примет ,зид
w(x) +qm(x) +хn-трт(х) = с(х) (xn-m _ 1), (mod xn - 1), ( 14.16)
п-1
где w(x) = L ш;хi представляет собой некоторое слово W =
i=O
= (wo, W1, ... , 1:е•п - 1) из словаря D, порожденного G; qm(x) - мно­
гочлен степени, самое боль ш ее, п--,т-1, соответствующий суффик ­
су из D, а Рт(х) - многочлен степени, самое большее, т- 1, соот­
ветствующий П1)ефиксу из D. Многочлен с(х) соответствует лидеру
смежного класса. (Заметим, что здесь термин «лидер смежного
класса» обозначает любой элемент в смежном классе, а не обяза­
тельно элемент минимального веса.)
Если код является циклическим, то Рп.(х) является также суф­
фиксом, а qm(x) - префиксом из й. Если это так, то уравнение
уязвимости можно выразить более просто в одном из двух видов
w(x) =с(х) (xn -m _1) - xn- -- -:mpm(x) или
zv(x) = с(х) (xn-m _ 1)-qm(x).
(14.17)
При этом словарь является уязвимым при синхронизации на
позиции т тогда и только тогда, когда правая часть ( 14.17) яв­
.пяется кодовым словом. Вспомнив, что согласно § 13.4 многочлен
р(х) представляет собой слово циклического кодового словаря D,
порождаемого многочленом g(x), тогда и только тогда, когда син­
др,ом {р(х)} ~ r(x) тождественно раве,н нулю ![где р(х) =
=q(x)g(x) +r(x)] ,п олучаем условия 1неуяз·вимости 1на т-й .позиции
{с(х) (xn -m_ 1) -xn-mpт(x)} =#= О или
{с(х) (xn - m _1)-qm(x)} =#=О.
(14.18)
Ис п ользуя этот подход, можно очень просто доказать теоре­
мы 14.7 и 14.8 (для циклических кодов). Во-первых, если с(х) = 1
и если т~п-.lг - 1, то {хn -т_1-хп-трт(х)} = {хп-4:1-хт­
-Рт(х)]} =#=О, так как Рт(х) имеет степень, самое большее, т-1,
а g(x) имеет степень n-k . Аналогично, если 1~n -m ~n-k-1,
то {xn - m _1 - qm(x)}=#=0. Во - вторых, для того чтобы доказать тео­
рему 14.8 для циклических кодов, нужно лишь заметить, что
{с(х) (xn-m _l)-xn - mpm(x)} является многочленом степени, самое
большее, n-k- 1 . Так как Рп(х) представляет собой префикс из D,
то его первые k коэффициентов соответствуют информационным
символам и, сл"'довательно, могут быть произвольны. Если n-k~
~ m ~k, то должен существовать многочлен Рт(х), такой, что
:(xn-9[c(x) (1-хт)-рт(х)]} = 10 независимо от многочлена с(х).
425


14.5. Синхронизация в каналах с шумами
Когда шума нет, синхронизация слов обычно устанав­
ливается, если она может быть установлена вообще, с абсолютной
надежностью . Как только появляется синхронизационная комби­
нация или как только устраняются все возможные декодирования
последовательности (в силу того, что они приводят в некотором
месте к :после1до,вательности, которая ,не явля,ется ,слов-ом), кроме
одного, ,с,инхронизация будет .до,ст,и:г.нута. Наличие шу,ма м,ожет
видоизменить задачу синхронизации в нескольких направлениях .
Если, например, синхронизация должна устанавливаться опозна­
нием некоторой специалыюй т-последовательности и кодовый сло­
варь был тщательно выбран с тем, чтобы запретить появление
этой т - последоаательности в каком-либо неожиданном месте, шум
может вызвать ложную синхронизацию, так изменив т-последова­
тельность, появлян_1щуюся внутри последовательности слов, что она
будет воспринята приемником как синхронизационная комбина­
ция . Более того. шум может увеличить синхронизационную задерж­
ку, изменив синхронизационную комбинацию и приводя к тому ,
· что
она пройдет незамеченной. Аналогично если синхронизация
слов основывается на том, .что ошибочно декодируемые последо­
вательности с длинами, превосходящими некоторую конечную дли­
ну, н е существуют, шум может аннулировать это свойство. Неде­
кодируемая последовательность может перейти в декодируемую
последовательность из-за наличия шума, в то время как первона­
·,а л ьно декодируемая последовательность может стать недекоди­
руемой .
Возможность ошибочной синхронизации в присутствии шума
даже для синхронизируемых кодовых словарей неизбежно изме­
няет процедуру синхронизации . Теперь нужно выносить статисти­
ческое решение . Должна быть выбрана «наиболее близкая» деко­
дируемая последоЕательность или комбинация, наибольшим обра­
зом напоминающая синхронизационную комбинацию, с последую ­
щим повторением процедуры через правильные интервалы. Если ,
например, используются Еоды без запятой с длиной слова п, то
синхронизация устанавливается с помощью наблюдения всех при­
нимаемых п - последовательностей для определения, являются они
сJiовами или нет. Так как в отсутствие шума никакой стык слов не
является кодовым словом, то наиболее вероятно даже в при сутст­
вии шума, что правильныt слова будут опознаваться как кодовые
слова, а стыки - нет. И так как правильные кодовые слова дол­
жны наблюдаться после приема каждых п символов, то можно
увеJiичить надежность синхронизационной оценки с п омощью по­
следователь н ого опознавания кодовых слов, разделенных ров н о п
символами. В качестве примера предположим , что слова из слова ­
ря без запятой D= {010, 011 , 020, 021, 022, 120, 12 1, 122} переда­
ются по 1,аналу с шумом и прини~1ается последо в ательность:
425


w
w
w
w
ш
w
ш
w
w
J_
l_
1
J_
L l__
L
!
L
-
w
w
w
w
w
{J~i
w
w
w
1
1
1
1
1
1
1
1
1
о1оl2О12 22 О1оо
О2О 22О1О222
1
1
/х
1
xl
1
1
1
/х
1
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
где символы, обоз11аченные х, ошибочны. Так как при декодирова­
нии, которое представлено нижней разбивкой, сталкиваются лишь
с щвумя «не словюш» (w), в Т·О в,ремя .как в двух ,других ,случаях
почти все время сталкиваются с «не словами», то, по - видимому,
нижняя разбиGка соответствует правильной синхрони зации . Те же
соображения применимы к другим методам синхронизации , рас­
смотренным в :·1редыдущих главах.
Это изменение в поисковой процедуре синхронизации, обуслов­
ленное присутствием шума, может изменить относительную при­
влекательность различных ограничений, наложенных на бло1<овые
коды с цел ью сделать их синхронизируемыми. Два варианта син­
хронизацион ных ограничений из гл. 12, имеющие смысл, когда в
канале связи .'1:ействует шум, рассматриваются в нескольких сле ­
дующих параграфах.
14 .6 . Последовательности Баркера
Первый вариант предусматривает _ослабление одного из
ограничений гл. 12. Код с запятой подчинялся ограничению, кото­
рое предотвраrцало появление некоторой специальной т-последо­
вательности в любой произвольной последовательности слов из это­
го словаря. Ко rда бы эта т-последовательность или запятая не
на блюдалась приемником, она была установлена преднамеренно и
поэтому давала требуемую синхронизацию. Как уже было отме­
чено, в присутствии шума ситуация не является столь простой. По ­
видимому, необходимы многокра тные Р:аблюдения запятой, чтобы
увеличить вероятнJсть того, что, на самом дел е, была именно при ­
нята она и что это не был просто шумовой эффект. Один ОЧ(;:ВИд­
ный и простой ме1од синхронизации слов, который часто приме­
няется, когда все равно приходится выполнять нескол ько наблю­
дений, состоит в периодической передаче запятой, как и раньше.
но с отказом от каких-либо ограничений на остающуюся переда­
ваему ю последовательность.
Предположим, что в качестве запятой используется т - последо­
вателыюсть и она передается после каждых N-m информацион ­
н ых с имвол ов. Запятая может теперь появиться в информацион­
ной последовательности даже в отсутствие шума. Но если инфор ­
ма ция представляет собой случайную последовательность r-ичных
с имволов , выбираемых независимо и равнов е роятно, то вероятность
л юбой заданной информационной т-последовательности быть за-
427


пятой равна ,,т. Далее, так как шум принуждает в любом случае
выполнять многократные наблюдения, то вероятность того, что за­
пятая появится l раз, разделенная ровно N символами (что необ­
ходимо для того, чтобы произошла ошибка при декодировании пра­
вильной запятой), равна г1т. Таким образом, достаточно длинное
наблюдение должно опознать правильную комбинацию, которая
повторяется периодически (несмотря на то , что иногда она изме­
няется шумом) в условиях, когда информационные символы не
подвергаются .,граничению. Фактически возможное уменьшение
времени, необходимого для вьшесения надежного решения , которое
достигается благодаря дополнительному ограничению на инфор­
мационную последовательность, часто бывает незначительным .
С первого взгляда можно было бы предположить, что любая за­
пятая была бы столь же хорошей, как и любая другая, так как
все последовательности заданной длины появляются случайно с
одной и той же вероятностью. Это было бы, по существу, верно ,
если бы не было также необходимости проводить различие между
запятой и тем!1 m-последовательностями, которые начинаются ка­
ким-либо из ее т-1 суффиксов или оканчиваются каким-либо из
ее т-1 префиксов. Выбор запятой, состоящей из т повторений
одного и того же символа, например, был бы, очевидно, плохим .
Если бы такой запятой предшествовал или бы за ней следовал тот
же самый символ, то, по меньшей мере, две подряд идущие m - по­
следовательносrи были бы идентифицированы как запятые.
Пусть di - хэмми.нговское расстояние между i-символьным
суффиксом запятой и ее i - символьным префиксом. Среднее рас­
стояние запятой от т - последовательности, начинающейся ее i-сим­
вольным суффиксом и оканчивающейся m - i независимыми r-ич­
ными информационными символами, в отсутствие ошибок равно
r-1(
•
r-lr
(·
r d\l
di+-m-i)=-т-i--
i}J.
r
r
r-I
(14.19)
(Эта величина равна также расстоянию запятой от т - последова­
тельности, начинающейся m-i информационными символами и
оканчивающейся i-символьным префиксом запятой.) Имея в виду
сделанные замечания, подходящей запятой могла бы быть некото­
рая m - последовательность, для которой расстояния (14.19) макси­
мальны для всех i. Это означает выбор последовательности, для
которой величина
с-Л i--, --d ·
z=
r-1 '
(14.20)
достигает минимально возможного значения для всех i, O<i<m.
Граница , определяемая следующей теоремой, будет полезна в
дальнейшем.
Теорема 14.J0. Пусть с; определяются согласно (14 .20). Тог-­
п.а для любой r - ичной m-сим.вольной за1пятой
i<:i~:~1 С;~~,;-1С;> ; - 21r- 1),-(т - 1)[m
2
('r
1
)]'
428


где квадратные скобки обозначают целую часть заключенной в них
дроби.
Доказательство. Пусть D - словарь, состоящий из m цик-rrиче ­
ских перестановок запятой. Среднее хэмминговское расстояние
dл VE между запятой и ее т-1 различными циклическими пере ­
становками, очевидно, равно среднему расстоянию между любыми
двумя словами из D. Это расстояние ограничено границей Плот­
кина (13.11) следующим образом: dлvE~ 1m2 (,r-1)/(m-1)r. Те­
перь из (14.20) имеем
т-1
~ .. с, =m(m-I)_r(m-1)
~•
--'---~ dave·
;;;t
1
2(r- !)
(14.21)
В ,силу то1го что (т-1) ave должно быть целым, отсюда нешоср,ед­
ственно следует утверждение теоремы. ■
Первые исследования в этой области были выполнены Барке­
ром и ограничивались последовательностями из двоичного алфа­
вита. При первоначально наложенных ограничениях последова­
тельности считались приемлемыми, только если max с;~О. Рас ­
смотрим вначале сJlедствия этого условия.
Теорем а 14.11. Если существует двоичная последователь­
ностьдлинытсС;~Одлявсехi,i=1,2, ...,т-1, то
{ О, i четное;
ci = -1, i нечетное.
Более того, такие последовательности могут существовать с длиной
m>2, только если m=4t-1 для некоторого целого t .
Доказательство. Если r = 2, то величина С; = ri- 2d; должна быть
четным целым числом при четном i и нечетным целым числом при
нечетном i. Предположим, что у1у2 .. •'Ym - последовательность, для
которой
ci = {-~:
нечетное;
четное.
Тогда ~
1
ci= -
[;],
L=I
и эта сумма находится на границе из теоремы 14.10. Любая по­
следовательность v'ty'2...у'm, имеющая некоторые параметры с';<
<с;, обязательно имеет, по меньшей мере, один член c'j, больший,
чем соответствующее c.i. Это означает, что c'j;?::cj+2;:;::: 1 и , следо­
вательно, нарушается условие max с;~О.
Чтобы доказать второе утверждение теоремы, отметим, что для
любой двоичной последовательности У1'\'2 . . - Ym справедливо равен­
ство
т
aJ'> ci+cm-i =~ (l-2yv)(l-2yv+;)=
V=i
129


m
11i
= т-4~ '\\,+4~YvYv+i =т - 4l
(14.22 )
V=I
V=I
для некоторого целого !. (Подстрочные индексы у Yi пон!'lмаются
по мод улю т.) Но, как мы только что показали , когда т четное и
max Ci~0 ,
__
,
_
{ О, i четное;
а;-С; т Cm-i -
- 2, i н.ечет,ное
При этом нарушается условие ( 14.22) (кроме случая m=2)
так, что т не может быть четным целым числом, большим, чем 2.
Если т нечетное, то а;=-1 для всех i=f=O по модулю 1m и из ф-лы
(14.22) m=4l- l , что и требовалось показать. ■
Баркер смог построить последовательности с требуемым свой­
ством (при m>2) для длин m = 3, 7 и 11 и предположи л, что не
существует никаких других таких последовательностей. (Если m=
= 1, то, очевидно, требуемым условием удовлетворяет тривиаль­
ная последовательность 1, а если т = 2, то такой последователь­
ностью является последовательность 10.) Впоследствии было до­
казано , что это предположение верно. Последовательности, най­
денные Баркером, были следующими:
m=3 110
m = 7 1110010
m= ,11 !Jil000100010.
(Эквивалентные последовательности получаются при обращении
этих последовательностей и замене либо четных, либо нечетных
символов на дополнительные. Баркер, между прочим, заметил, что
при построении этих последовательностей полезно знать, что всег­
да должны удовJtетворяться соотношения y;=f=Ym+1 - i для нечет­
ных i и y;=Vm-н-; для четных i. Это легко доказать методом ин­
дукции по i.)
В силу того что при первоначальных баркеровских ограничени­
ях существуют только три неэквивалентные последовательности ,
то были предприняты попытки найти другие последовательности
при несколько более слабых ограничениях . Первым очевидным
ослаблением огра?ичения на коэффициенты Ci является разреше­
ние иметь с;= 1 для некоторых значений i. Более того, так как, по­
видимому, нет преимуществ от того, что величины Ci будут прини­
мать большие nтрицательные значения (ер. с теоремой 14.11) а ,
наоборот , это может иногда принести вред, то сразу же возникает
условие 1Ci 1 ~ 1. O<i<m. Двоичные последовательности, удовле­
творяющие этому условию, обычно называются последовательно­
стями Баркера; OI-JИ найдены для длин m= 1, 2, 3, 4, 5, 7, 11 и 13.
Было показано, Ч '!'О такие последовательности не существуют для
нечетных длин m> 13. (Тем самым, конечно, доказывается несуще ­
ствование каких-либо последовательностей , удовлетворяющих пер­
воначальному условию Баркера, для любых длин m> 11).
430


Теорем а 14.12. Пусть Y1Y2··•Ym - двоич,ная ,гюследоватеJiьность
с коэффициентами ci, ограниченными по абсолютной величине еди­
ницей для всех ,i= 1, 2, ... , m-1. Тогда, ,если т чет,н,ое ~целое число,
большее 2, т-о m=4v2, где и-целое. Бели m ,н~ч,етное, то Ci=
= (-l)(m-t)l2, когда i нечетное и ci=O, когда i четное, 0<i<:m.
доказательство. Если ,1Ci 1 ~ 1, то I ci 1 = 1 для всех нечетных i и
с;=О для всех четных i. Таким образом, когда т четное,
Qi=ci-+cm-i=
'
.
{О
i четное, i =1= О;
О, +2 или - 2, i нечетное.
Но из (14.6 .4) следует, что ai - aj=4l для некоторого целого l и для
всех целых i, ,i. Аналогично если т четное и больше 2, то ai = О для
всех ,i= l, 2, ... , т-1. Полагая а1= l--2y,, находим
т
тт
(т \2
\'a-=m=~~_a;a·+·=
~а-) =t2
.,'-,1 i
." "11~
,
1L
],_ ,
J
i=l
i=li=l
j=l
(14.23)
для неrюторого целого i. Так как т четное, то t должно быть чет­
ным и m= (2 v) 2 для некоторого целого v. Если т нечетное и
lcil ~1, то а; = (- l)(m- 1>; 2 {ер. с (14.22)]. Таким образом, так как
с; четны, когда i четное, и нечетны в противном случае, то с;=
= (-l)(m- 1>;2, когда i нечетное, и Ci=O, когда i четное. 11
Не существуют баркеровские последовательности четной длины
при всех v из отрезка от 2 до 54 (16~т~ 11 664) 1). Существова­
ние каких-либо баркеровских последовательностей с длинами, от­
л ичными от приведенных выше. кажется крайне невероятным.
Дальнейшее обобщение основывается на замечании, что для
больших значений т полезно ослабить далее ограничения на Ici !-
Представляется, что довольно трудно получить теоретические ре­
зул ьтаты, когда ICi I не ограничены единицей. Последовательности,
для которых I ci 1 ~2, были найдены для всех длин т~21 и д.11я
m =25 и 28 ; в случае, когда накладывается ограничение I с; 1 ~3, из­
вестны последовательности для всех длин т~34.
Очевидно, что коэффициент Ci не может бьпь равномерно ма­
лым, если это свойство не ,в ы1полняется для ai = •С;+ Cm-i • Обр ,атное
этому утвержде ние, что Ci будут равномерно малыми, если малы а;,
конечно, не обязательно верно. Тем не менее поиск последователь­
ности б аркеровского типа можно бьиrо б ы начать с последователь­
ностей, про которые известно, что они имеют малые значения ai,
на при мер, с последовательностей регистра сдвига максимальной
длины (см. теорему 13.11). В силу того что коэффициенты Ci раз­
личны для различных циклических перестановок последовательно­
с ти, каждая последовательность максимальной длины с длиной т
может порождать вплоть до т неэквивалентных синхронизирую­
щих последовательностей . В качестве примера рассмотрим последо­
вательность S 0 = 1110100 и определим Si как последовательность So,
1 ) Последовательность 111 О и все ее перестановки являются баркеровскими
последовательностяыи длины 4. (Прим . авт.).
4311


циклически сдвинутую на i позиций вправо . Коэффициенты Ci для
этих с еми последовательностей приведены в табл. 14.1. Хотя вс е
эти последовательности ведут себя достаточно хорошо с точки зре­
ния максимального значения коэффициента с,, но лишь одна и з
них S4=0100111 является баркеровской последовательностью:
Таблица 14.1
С;
So
S1S2SзS4Ss
s6
Се
о-2о
о
о-2
-2
С5
1-1
-
3-1
-
1-1
С4
о-2
-
2-2
о
о
2
С3 -1
1
1-1
-1
-
3
С2 -2
-
2о
2
о
о
о
С1 -1
,~
1-1
-
1-1
Очень мало известно о п оследовательностях баркеровского типа
в недвоичном случае. Однако снова множество последовательностей
регистра сдвига максимальной длины (когда r - простое число или
степень простого числа) представляется подходящим множеством
для поиска в нем последовательностей баркеровского ти п а. Среднее
значение коэффициентов Ci, связанных с этими последовательно ­
стями, как легко проверить, по крайней мере, достигает нижней
границы, данной в теореме 14.1 О.
14.7 . Индекс свободы от запятой
Другой метод получения синхронизации слов в присутст­
вии шума состоит опять-таки в кодировании информации, но при
ограничении, более жестком, чем обычная свобода от запятой. Ус­
ловие свободы от запятой гарантирует , что каждый стык слов отли-·
чается от каждого кодового слова, по меньшей мере, в одном s:им­
воле. Шум с большой вероятностью может устранить это различие
и привести к удлинению времени синхронизационного поиска. Од­
нако если каждый стык слов отличается от каждого кодового сло ­
ва, по крайней мере, s > 1 символами, то вероятность того, что шу м
нейтрализует это различие, должна соответственно понизиться.
Следовательно, кодовые слова могли бы легче отличаться от стыка
слов, что привело бы к увеличению быстроты установления син­
хронизации слов и ее надежности. Коды, которые удовлетворяют
требованию, что каждый стык слов отличается от каждого кодово­
го слова, по меньшей мере, в s позициях, будут называться к.одалщ
без запятой с индексом s 1).
1) Используется также термин «код с разделением s». (Прим. отв. ред. ).
432


Некот,орые ·из мето.дов 1пост,роения ко.дов без заiпятой (гл. 12)
можно обобщить для того, чтобы получить коды с большими ин­
дексами свободы от запятой. Однако в дальнейшем не будем сле­
довать этому подходу в силу того, что возникают довольно серьез­
ные ограничения при практическом исполь зовании таких кодо в, на­
пример, недостаточная защищенность против ошибок после установ­
ления синхронизации . Два кодовых слова в коде без запятой е
большим индексом могут различаться лишь одним символом. Пред­
полагается, что шум относительно легко трансформирует один
символ в другой, иначе не было бы необходимости использовап.
большой индекс свободы от запятой. При этих условиях будет про­
исходить много ошибочных декодирований. В то время как потеря
синхронизации может быть исправлена с помощью дальнейших на­
блюдений, ошибочно декодированное кодовое слово обычно не по­
вторяется второй раз. Следовательно, разумно потребовать чтобы
ми нимальное расстояние между кодовыми словами было бы, по
меньшей мере, таким же, как минимальное расстояние между ко­
довыми словами и стыками. В общем случае мы будем интересо­
ваться словарями, для которых первое расстояние значительн о
больше, чем второе.
Довольно простую границу для числа кодовых слов в таких
словарях может дать следующее утверждение . .
Теорем а 14.13. Если ·r- ичный словарь D, содержащий N
п-символьных слов, имеет индекс свободы от запятой s и мини­
мальное расстояние, по меньшей мере , равное s, то
N<N5(п,г) =W5(п, r)Jn,
(14.24)
где 1f1.,(n, r) - максимальное число п-символьных r-ичных слов а
словаре (не обязательно линейном), имеющем минимальное хэм­
минговское расстояние s .
Докаэательство. Каждая циклическая перестановка каждого ко•
дового слова не должна совпадать с каждой циклической переста ­
новкой каждого другого слова и с каждой другой циклической пе­
рестановкой самого себя, по меньшей мере, в s символа х, если код
является кодом без запятой с индексом s и одновременно обладает
минимальным расстоянием s. Словарь, содержащий все п цикл иче­
ских перестановок каждого кодового слова из D, имеет тогда nN
кодовых слов, которые должны быть разделены минимальным хэм­
минговским расстоянием s. Не может быть более чем Ws(n, r) та­
ЮiХ СЛОВ. ■
Заметим, что, когда s= 1, получаем границу N ~rnJп, которая,
конечно, справедлива, но не является минимальной границе й для
числа слов в обычных кодовых словарях без запятой.
След ст ·в и е. Словарь, ,соJJ,,ержащий N п-символьных r - ичных
слов, не может иметь индекс свободы от за1пятой, больiШИЙ , чем
s<min
{NP
p0 <p<[(r- 1)/r]n Np -1
р (2-
__p_
_r_), 2р},
п r-1
(14.25)
433


где Np - наименьшее целое число больше или равное (nN/rn)x
р
Х lJ (:) (r-1) , а 'Ро - наименьшее целое, такое, что Np 0 ?:':2.
i=O
Доказательство. Это утверждение следует немедленно, если ис·
rrользовать границу теоремы 13.2 для Ws(n, r) в теореме 14.13. ■
В некоторых случаях может оказаться более важным обнаружи­
вать потерю синхронизации, а не определять ее вначале непосред­
ственно по последовательности кодовых слов. Эта ситуация может
возникнуть, например, тогда, когда режим входа в синхронизм
предшествует режиму передачи (что дает возможность установить
необходимую начальную синхронизацию), но когда вероятностью
последующей потери синхронизма нельзя пренебречь. Потеря син­
хронизма часто возникает из-за того, что местный сигнал отсчета
слов сдвинулся на несколько символьных позиций от правильной
позиции.
Поэтому полезно определить индекс неуязвил10сти sm, указываю­
щий, что любой стык, начинающийся (т + 1) -м символом одного
слова и кончающийся т - м символом второго слова, должен от.пи·
чаться, по меньшей мере, sы символами от любого правильного ко­
дового слова. Ранее указывалось на некоторые преимущества ис­
пользования словаря с большим индексом неуязвимости на всех
позициях т из некоторого отрезка - ~i~m~ ~ t за счет, возможно,
полнсrо отсутствия неуязвимости для других значений т. Буде~11
характеризовать с помощью индекса неуязвил10сти s степе1-ш μ
любой словарь с индексом неуязвимости, по меньшей мере, равным
s на всех позициях щ 1~ 1т 1~ μ. Очевидно, что если μ=![п/21,
где п - длина кодового слова, то словарь является словарем без
запятой с индексом s . Границу теоремы 14.13 можно легко обоб­
щить так, чтобы охватить коды с индексами неуязвимости произ·
вольной степени.
Теорем а 14 . lЗа. Если r-ичный словарь D, содержащий Л1
п-символьных слов, имеет индекс неуязвимости s степени ~t~n -1
и минимальное расстояние, по меньшей мере, s, то N,:;;:
~ Wls(n, r)/(~t+1), где Ws(n, г) было определено ранее i[см. (14.24)].
Доказательство. Пусть w - слово из D, а wm -п-последо­
вательность, получаемая при циклическом сдвиге символов vv на т
позиций вправо. Пусть S - множество всех п -п оследовательностей
wm,гдеw- любоесловоизD,ат - любоецелоечислоизот­
резка --{μ/2]~m~t[(μ+ 1)/2]. Белл любые две .из этих п-последова­
тельностей, скажем, w'r' и w;' находятся на расстоянии cr одна
от другой, то кодовое слово w 1 находится на расстоянии ,cr от сдви­
нутого кодового слова wm ,-m,: "" Так как по построению Iт2-т11 ~
~ ~t , то (μ+ 1)N п-последовательноетей из S должны быть отделены
друг от друга расстоянием, по меньшей мере, равным s, и теорема
доказана.
434


14.8. Вычисление индекса неуязвимости
смежных классов линейных кодов
Используя обозначения §14.3, напомним, что смежный
класс линейного кода, порождаемого столбцами матрицы G, яв­
ляется уязвимым. при синхронизации на т-позиции тогда и толыш
тогда, когда уравнение
Mv= Ь
( 14.26)
имеет решение, т. е. тогда и только тогда, ~югда
рМ=р(М, Ь)
(14.27)
где М и Ь определены в ф-ле ( 14.6). Предположим теперь, что для
некоторого значения т и некоторого вектора v
Mv-b=e(v, т).
(14.28)
Предположим далее, что матрица G такова, что
min le(v, т) 1= le(vo, то) 1= lel =s,
V,т
1:::;; щ=::;; ~L,
(14.29)
где I e(v, т) 1 обозначает хэмминговский вес e(v, т). Смежный
класс, получающийся при сложении с со словарем, порождаемым
G, имеет тогда индекс неуязвимости s степени ~L. В этом случае
р(М) = р(М, Ь+е)
(14.30)
для т = то, но это равенство не справедливо для любого е меньше­
го веса при любом т из отрезка 1~ 1т 1~ μ.
К сожалению, не существует достаточно удобного метода опре-·
деления минимального значения Iе I в случае, когда оно не равно
нулю. Следующий метод полезен, когда хотят получить верхню ю
границу для I е I при заданной матрице G, когда хотят найти I е 1
для заданного смежного класса, и в н~к оторых случаях для по­
строения оптимального лидера смежного класса для заданной по­
рождающей матрицы G. Однако с ростом длины кода необходи­
мые вычисления становятся весьма громоздкими, и первая из этих
задач является, по-видимо му, единственной, для которой этот ме­
тод является полезным при лю бых, но относительно малых кодо­
вых словарях.
Процедура состоит в следующем. Определяется операторная
-мат,рица А, .которая .при.вод.ит М к приведенно-стуленчатой кано ­
нической форме
(14.31)
где В - ро ><Зk-;vrатрица; ро
-
ранг М, а О - нулевая матрица.
Умножая обе части ( 14.28) на А, получаем
AMv=Ab+Ae
(14.32)
В силу того что р(М) = ро, первые Pl, написанных выше уравне-
435


ний могут быть раз.решены. Левые части каждого из остающихся
n-po уравнений равны всегда нулю, поэтому е должно выбираться
так, чтобы удовлетворялось уравнение
АЬ =-Ае,
(14.33)
rде тильда обозначает усеченные векторы, состоящие лишь из
п-----1ро последних компонент. Имеются q n способов выбора е шщ
GF(q), НО имеются ЛИШЬ qn-Po векторов Ае . Можно систематически
nереби рать все эти векторы, начиная с вектора е наименьшего веса
и пе реходя к векторам все большего веса до тех пор, пока все
qn -P o векторов из множества Ае не будут представлены хотя бы
один раз. Вес s вектора максимальной длины, который завершает
множ ество;, дает границу для индекса неуязвимости словаря на по­
зиции т. Этот индекс можно реализовать, если существует век­
тор с, удовлетворяющий ( 14 ..ЗЗ). Если для каждого другого значе­
ния т из отрезка 1:::;; 1т 1:::;; μ с также приводит к вектору е веса,
по меньшей мере равного s, то словарь имеет индекс неуязвимо­
сти s степени μ .
Из ур - ния ( 14.32) следует, между прочим, другая довольно по ­
лезна я граница для индекса неуязвимости, достижимая на линей­
ных кодах .
Теорем а 14 . 14 . Ин.деке неуязвимости Sm ,на ~пози ц ии т лю6о­
rо смеж ного класса линейного кода, порожденного G, не может
превосходить п-,р 0, где p0 = rp(M) - ранг матрицы М из (14.26).
Доказательство. Для того чтобы привести М к приведенно - сту­
пенча той канонической форме, необходимо лишь выбрать Ро линей­
но нез ависимых строк М, сложить эти строки, умноженные на под­
ходя щие коэффициенты, с каждой из остальных и с оставшимися
строками М и, наконец, переставить строки полученной матрицы.
Есл и А - матрица, выполняющая эти операции, а е
-
-
вектор с ну ­
лями на :р 0 позициях, соответствующих этим линейно независимым
строкам М и с произвольными компонентами на остальных пози ­
циях, то Ае представляет собой просто перестановку е, при которой
ненулевые компоненты е переставлены на n - tpo последних п озиций.
Так как эти компоненты произвольны, то равенство ( 14.33) всегда
можно удовлетворить вектором е веса, не большего п-ро. ■
Следствие. Индекс неуязвимости систематического (п, k) - ко­
да на любой позиции т
Sm< {
n- lml-k, 1ml<k, n- k;
n-2k,
lml>k,
(14.34)
где Iт l~min(m, п - т).
Доказательство. Если матрица G порождает систематический
код, то п ервые ее k столбцов линейно независимы. Предп оложим,
что т:::;;п/2. То,гда ~первые т ,столбц,ов G1 ,в ( 14.6), если m:::;;k ,и
т:::;;п-k, или первые k <:толбцов, если k<m<n- k, также явдяют­
ся линейно независимыми. Матрица М должна поэтому содержать,
436


по меньшей мере, k + т и 2k линейно независимых строк соответ­
ственно этим двум случаям, и ранг ,р 0 матрицы М соответствующим
образом ограничен снизу. Если т заменяется на Iт \, то та же са­
мая граница, очевидно, справедлива при m>n/2. Так как sm,;:;;;n-p0
(теорема 14.4), то следствие доказано.
14.9. Индекс неуязвимости циклических кодов
К.?.к было доказано в § 14.4, смежный класс циклического кодо­
вого словаря D является неуязвимым при синхронизации на т-й
позиции, кроме случая, когда многочлен
c(x)(xn-m_1)-xn-mpm(X)
(14.35)
либо, что эквивалентно, многочлен с(х) (хп-т_1)
qm(x) пред-
ставляет собой кодовое слово из D по модулю многочлена xn-1.
Многочлен с(х) соответствует лидеру смежного класса, а Рт(х) и
qm(x) - многочлены степеней, не больших т-1 и п-т-1 соот­
ветственно. Обобщая это доказательство, заключаем, что мини­
мальное число коэффициентов любого многочлена из ( 14.35), ко­
торые должны быть изменены так, чтобы получился многочлен ко­
дового слова, равно индексу неуязвимости Sm на позиции т дан­
ноrо рассматриваемого смежного класса. Заметим, между прочим,
что для любого смежного класса любого циклического кода Sn-m=
=Sт, Это следует из того, что если S,n соответствующих коэффици­
ентов многочленов с(х) (xn-m __ 1)-xn -mpm(x) и w(x) отличаются
друг от друга, то же самое справедливо для Sm коэффициентов мно­
гочленов с(х)(1-хт)-рт(х) и xmw(x)=w'(x). Но, если w(x)
представляет собой слово циклического кода (а не смежного клас­
са), то w' ( х) - тоже кодовое слово, а если Рт(х) является пре­
фиксом из этого кода, то он также должен быть и суффиксом.
Теорем а 14.15. Пусть Da и D - циклические (п, ko)- и
(п, k)-словари, порождаемые g(x) и m(x)g(x) соответственно, где
т(х) - многочлен степени ko-k, имеющий, по меньшей мере, один
корень порядка 8. Если минимальное расстояние между любыми
двумя словами из Do равно do, то индекс неуязвимости Sm смежно­
го класса D сп-последовательностью g(x) в качестве лидера смеж­
ного класса ограничен неравенством
{d0- [ml, JmJ<min(п- d0, в - 1);
Sm>
2d0- п, п -d0<Jт1<в-1.
До,шзательство. Если 0<m<8, то все корни многочлена
xn-m_ 1 имеют порядок меньший, чем 8, и xn-m _ 1 не является де­
лителем т(х) . Следовательно, п-последовательность, представляе­
мая с(х) (хп-т_1) :[где с(х) =g(x)], и поэтому также слово, пред­
ставляемое w'(x) =с(х) (xn-m_1)-w(x) (где 'W(x) соответствует
~лову из D), входят в D0 и не входят в D . Пусть Рт(х) префикс
длины т из D. Тогда, так как любое слово из D, содержащее этот
префикс, должно отличаться от любого другого слова из Da, по
437


меньшей мере, в d0 местах, то самое большее min(m, n-do) соот­
ветствующих коэффициентов многочленов xn-mPm(x) и w'(x) могут
быть равными. Таким образом, c(x)(xn-m_l)-w(x)-xn-mPт(x)
является многочленом, по меньшей мере, с do -min {m, n-do} нену­
левыми коэффициентами. Любой стык слов должен поэтому отли­
чаться от любого кодового слова, по крайней мере, на эту величи­
ну, и теорема доказана. iJI
Рассмотрим .в качестве ,примера двоИ'чные БЧХ коды с п-15
(ер. с § 13.5). Классы сравнений степеней и соответствующие мно­
гочлены л,риведены ,в табл. 14.2 ![в таблице ,п риведены делите.111
х15-1 над GF(2)].
классы сравнений
многочленов
248
36129
510
7141311
о
Соответствующие многочлены
p1 (x)=x 4 +x+l
Р2(х) =х4+х3+х2+х+ 1
Рз(Х)=х2+х+ 1
р4(х) =х4+х2+ 1
p5(X)=x+l
Таблица 14. 2
Порядок корней
многочленов
15
5
3
15
Таким образом, если положить g(x) =р1(х)р2(х) и т(х) =рз(х) ,
то получим ,смежный класс БЧХ ( 15,'5) -кода с минимальным ,рас ­
стоянием 7 и с индексом неуязвимости sm ;;:::= 5- \ т I для всех
1т\ ~2=Б-1. Аналогично определяя g(x) =р1 (х) р2(х) и т(х) =
= р4(х), получим ( 15,3)-код с минимальным расстоянием, не мень­
шим 5, и индексом неуязвимости sm;;:::=5--lm\ для всех т~4 .
Заметим, что минимальное расстояние d между любыми дву;v1я
словами из D может быть, а может и не быть большим d0 в зави­
с,и,м ости от многочлена т(х). Может оказаться, что в некото,рых
классах более важно иметь большее •Б, чем получить d, превосхо­
дящее d 0 и т(х) должно ~быть выбрано в соо11ветст,в.ии с этим .
Параметры некоторых БЧХ кодов, которые получаются с по­
мощью конструкции, указанной в теореме 14.1 Б, и имеют смежные
классы, обладающие свойством неуязвимости, сведены в табл. 14.З ,
А
гдеSm-
верхняя граница для Sm [см. ( 14.34) ].
Этот подход особенно уместен в случае кодов Рида-Соломона
n-k -1
(§ 13.5). Пусть g(x) = ГI (x-ai), n=q-1 и а. - примитивный
i=l
элемент GF(q), и пусть, например, т(х) = (x- an-k); при этом по­
лучаем (п, k)-код с минимальным расстоянием n-k+ 1 и инл.ексом
неуязвимости
Sm:>{
n-k -lml,
n-2k,
438
1ml < min(k, е-1);
k<1ml<в-1,
(14.36)


Таблица 14 .3
J5
11
3
1
15
1-lml
о
4-lml
15
9
3
3
3
3-lml
2
6-lml
15
7
5
3
5
3-lml
2
8-\ml
15
5
7
5
3
5- lml
2
I0-1mJ Jml -s:::5
5
lm1>5
15
3
5
515
5- /ml
4
12-lml !ml::;;;3
9
!m\:;;,3
15
2
10
6
15
6-!ml
5
13-lml 1т1::;;; 2
11
!m /;;i:2
15
l
15
7
15
7-lml
6
13
где е - порядок элемента an-k _ Если e ~n-k+ 1, то получающий ­
ся код имеет индекс неуязвимости на всех т позициях , лежащий на
верхней границе (14 .34). Например, код Рида-Соломона (4, 1) над
GP (5), порождаемый многочленом . g(x) = (х-3) (х-4) (х-2),
имеет смежный класс D {с с (х) = ( х-3) ( х-4) 1с индексом свободы
от запятой s=2 : D= {2310, 3421, 4032, 0143, 1204}.
Ограничивая рассмотрение векторами, принадлежащими неко­
торому циклическому (п, ko) -коду, мы, очевидно, ограничиваем
множество возможных лидеров смежных классов, которые могли
бы быть использованы. Преимущества этого подхода, по существу,
связаны с общим и свойствами циклических кодов, а именно, с тем,
что, во - первых, их математическая структура приводит к возмож­
ности получения результатов и, во-вторых, относительно легко по­
рождаются лидеры смежных классов. Тем не менее иногда полез ­
ны также другие подходы . Один из них изучается в оставшейся
части этого параграфа.
Лемм а 14 .2. Если D является циклическим (п-k)-кодовым
словарем с минимальным расстоянием d и если бm из первых (мень­
ших по порядку) п-т коэффициентов многочлена c(x)(xn-m_J)
п--т- 1
[т. е. многочлена ~ ( С;+т- С;)хi] отличны от нуля, то смежный
i=O
кл асс D с лидером смежного класса с= {со, С1, ... , С п-1}
имеет ин ­
декс Sm, для которого справедлива граница снизу:
Sm ~min{бm, d-lml-бm} .
(14.37)
Доказательство. Независимо от многочлена Рт(х) многочлен
(14.35) должен иметь самое меньшее бm и самое большее т+бm не­
н улевых коэффициентов. Так как любой ненулевой м н огочлен ко­
дового слова должен иметь самое малое d ненулевых коэффициен­
тов и так как для циклических кодов Sт = Sп-т, то неравенство
( 14.37) С'пр ,аведливо для всех т, 1::;;;т::;;;п-1 ■ .
439


Поэт01му лрмставляет инте,рес следующая лемма.
Лемм а 14.3. Пусть
[(б-1)/2]
с (х) = !. Xi (μ+1)-б0 + Хп-1,
(14.38)
где l\ ={О, 8 четное; и где μ < (п- [~]}'/[6+1] (здесь i[o] обозна-
1, о нечетное
2
2
чает целую часть ,а). Тогда ровно б среди первых п-т коэффи­
циентов многочлена (xn-m _l)c(x) не равны нулю для всех т из
отрезка 1~т~~L.
Доказательство . Рассмотрим многочлен
[(б-1)/2]
(хп-т_ 1)с(х)= ). (xi(μ+1)-00-т)_ xi(μ+1)-00) +
+ хп-т-1 _ хп-1.
-
i=бо
Так как m~μ<(n- [f])/[6; 1]. то наибольший показатель сте­
пени под знаком суммы меньше, чем п-т-1. Более того, никаю1~
два слагаемых под знаком суммы не имеют одинаковых показате­
лей, если 1~т~μ . Поэтому, когда б нечетное, суммирование дает
2{ (,б-1) /2] = о --1 ненулевых коэффициентов, соответствующих по­
казателям из отрезка (О, п-т-1). Когда б четное, бо = О и среди о
слагаемых под знаком суммы толыю первое имеет показатель, ле­
жащий вне требуемого отрезка. Так как коэффициент при хn-т-1
не равен нулю, то ровно б среди первых п-т коэффициентов
(xn-m _,I) с(х) 1н,е равны ,нулю .в каждом из этих двух случаев . ■
Теор ем а 14.16. Любой циклический (п, k)-код с минимальным
расстоянием d может быть сделан неуязвимым при синхронизации
с индексом Sm =s на всех позициях Iт 1~ μ, где
(14.39)
Доказательство. Используя лидер смежного ~<ласса, представ­
ляемый многочленом с(х) из леммы 14.3 согласно лемме 14.2, полу­
чим, что s~min{б, d- μ-б}. Таким образом, если μ~d-2б, то для
индекса неуязвимости имеем s~б. Вторая граница сверху для ~L
являет,ся условием, к-ото,рое накладывает-ся леммой 14.3. ■
Заметим, ,что когда s= 1, то с(х) =хп- 1 . Соответст,вующий лидер
смежноrго класса делает, ·конечно, любой циклическ,ий (п, k)-.код не­
уяз·вимым 1пр·и ,е,инхр-онизации на в,сех ·позициях т, Jm J ~n-k- 1,
хотя т,еорема 14.16 гара.нтирует это только для случая 1ml ~d -2.
Kor.z:r.a s=2, то с(х) = 1+хп- 1 , и шолучающийся код буJI.ет неуяз,ви­
мым с индексом 2 на всех позициях ,т при 1ml ~d -4. Если
440


d~l[n/2]+4, то такой к-од ~поэтому является кодом без запятой с
индекс-ом 2. Однако ета :конст,рукция никогда не ,м-ожет 1га·ра,нтиро­
вать 1получе,н.ие .и1щ1,екс.а сво,боды от ·за1пятой, больше1го 2, так как μ,
должно быть меньше, 'Чем ,(n--i[s/2])/1[s+:1)/Q].
Лидер смежного класса, представляемый многочленом с (х)
(14.38), не является единственным, который имеет требуемые свой­
ства. Однако очевиден принцип, лежащий в основе его выбора; не ­
нулевые коэффициенты многочленов с(х) и xn-mc(x) не пересе ­
каются при всех Iml ~ ,μ. В резульса т е величина Om (лемма 14.2)
постоянна при всех т в указанном интервале независимо от поля .
над которым определен многочлен с(х). Хотя условие постоянства
От легко достичь, оно не обязательно является наиболее эффектив­
ным. Заметим, например, что От может увеличиваться с уменьше­
нием т без нежелательного влияния на индекс неуязвимости [см.
( 14.37) ]. Этот факт часто можно с выгодой использовать, особенно ,
если с(х) подогнано к заданному коду или к классу кодов. Однако•
независимо от м н огочленов с(х) максимальный индекс неуязвимо­
сти, гарантируемый этой конструкцией, не может быть больше
(d-1 т 1) /2 {см. опять ( 14.37) ]. Таким образом, конструкция того ,
типа, который описан в теореме 14.15, в общем предпочтительна
всегда, когда do больше, чем ( d + 1т 1) /2.
Д.тrя целей сравнения результаты, полученные при применении
конструкции из теоремы 14.16 к БЧХ (15, k)-кодам , сведены в.
Таблица 14.4
п
k
d
15
11
3
1
3
15
9
3
1
5
15
7
5
1
7*
15
7
5
2
1
15
5
7
1
7*
15
5
7
2
3
15
5
7
3
1
15
1
15
2
7*
15
1
15
4
6
15
1
15
5
4
15
1
15
6
3
15
1
15
7
1
Пр им е ч а и и е, Звездочкой отмечены коды без запятой
табл. 14.4 (ер. с табл. 14.3). {В качестве лидера смежного класса
используется ( 14.38) ]. Величины !rn l"анс, указанные для случая
S=l, являются возможными, как показывает теорем~ (14.7).
441


14.1 О. Коды, исправляющие ошибки
синхронизации
При введен~и понятия синхронизационной неуязвимости
· было отмечено, что если синхронизированная система вдруг теряет
• синхронизацию, то это часто происходит из-за сдвига лишь на
небольJШое число 1п оз,иций в ,ка,ком-ли.бо из н,а,пра.влений. В силу этой
причины, как было указано, иногда полезно выбирать лидер смеж­
ного класса так, чтобы гарантировать большой индекс неуязвимо­
• сти на всех позиuиях I т 1 ~ μ для некоторого относительно мало­
го μ вместо того, чтобы пытаться сделать код «свободным от запя ­
той». По этой же са,мой 1прич,ине выг, одно та.кже иметь возмо:жность
определять не только то, что произошла ошибка синхронизации, но
также и то, какая именно позиция т в действительности наблюда­
•ется. Это позволило бы исправлять ошибки за один шаг, избегая
использования иногда довольно длительной процедуры поиска.
Коды, :кото:рые ,дают возможность декодеру и-сп р.а·влять синхро­
низационные ошибки таким способом, называют кодами, uсправ­
.ляющu,1⁄4u оuшбкu синхронизации 1). В этом параграфе рассмотре-
но несколько методов построения таких кодов.
•
Подход, предложенный в предыдущих параграфах для обнару­
жения синхронизационных ошибок, состоял в требовании, чтобы
все стыки кодовых слов вида ат+1ат+2 ... а.,~Ь1Ь2 ... Ьт отличались в воз­
можно большем числе позиций от всех кодовых слов для всех пред­
• ставляющих интерес значений I т 1- Очевидным обобщением этого
услов ия, которое необходимо для того, чтобы синхронизационные
ошибки были исправлены или обнаружены, является требование,
чтобы все такие стыки с т = m 1 отличались по возможности в боль­
шей степени не только от всех правильных кодовых слов, но и от
всех других стыков с m=/=m 1 опять-таки для всех представляющих
ин терес значений Iт J. Если расстояние между любыми двумя сты­
ками, соответствующими различным значениям т, lm 1 ~ μ, больше
или равно t, то величина и направление любой синхронизационной
ошибки величины I т 1 ~ ~~ могут быть правильно распознаны всег­
да, когда ошибочными были не более [ (t+ 1) /2] соответствующих
символов. В этом состоит основная идея конструкций, которые
рассматриваются ниже 2).
1) Эти коды не следует путать с кодами, исправляющими вставки и выпа­
дения. Если причиной синхронизационной ошибки является вставка или выпа­
дение одного или большего числа символов в некотором кодовом слове, то ме­
тоды, которые исследуются здесь, будут применимы к первой принимаемой
п последователь н ости, которая следует за такой ошибкой. Никакой по пытки
. исправить слово, содержащее вставленные или выпавшие символы, предприни ­
маться не будет. (Прим. авт . ).
2 ) Иногда в литературе используется другое название - коды, восстанав­
. ли вающие синхронизацию, - для обозначения кодов, которые указывают если
не величину синхронизационной ошибки, то, по крайней мере, знак этой ошибки
, (т, е. такие коды способны отличать синхронизационные ошибки на +m1 сим­
:волов и на -mz символов для всех 0<m1, mz::;;; 1μ).
(Продолжение на стр . 443)
442


Первая конструкция в точности совпадает с той, которая опи ­
сана в теореме 14.15. Если максимальное значение 1ml ограничить ,
еще больше, то получа·ющиеся коды могут быть использованы для
исправления синхронизационных ошибок, как показывает следую­
щая теорема.
Теорема 14.17. Пусть D0, D, g(x), т(х), е и d0 определены
так же, как в теореме 14.15; рассмотрим вновь смежный класс D с­
вектором, представленным g(x) в качестве лидера смежного клас­
са. Расстояние между любым стыком слов, начинающимся на .nю­
бой позиции т1, и любым стыком слов на любой другой позици и,
111,z для такого словаря
t > {d0- 2Jmj, Jml.:,;;;:п- d0;
3d0- 2n, 1ml > n-d0,
где Iт 1= max{ 1т11, 1т2\} <е/2.
Доказательство. Любой стык слов, начинающийся на любой по-·
зиции т, может быть представлен многочленом
Qm(х) =хп-тс(х)+хп-тРт(х)+qm(х) =хп-тс(х)+w(х)+
+хп-тр~(х)=хп-тс(х)+w' (х)+q~(х).
( 14.40)'
,[Обозначения те же, что в (14.17), т. е . c(x) = g(x) - многочлен ли­
дера смежного класса; w(x) и w'(x) - слова из IJJ; Рт(х) и
р'т(х) - многочлены степени т--1 или меньшей, соответствующие
префиксам из D, а qm(x) и q'm(x) - многочлены степени п-т-1
или меньшей, соответствующие суффиксам из D.] Расстояние между
стыком слов, начинающимся на позиции т1, и стыком слов на пози­
ции m 2 равно числу ненулевых коэффициентов многочлена
Qm, (х)-Qт, (х). Чтобы упростить доказательство, предположим ,.
что т1~п/2 и m2;;:;_n/2. Минимальное расстояние меж:ду двумя сты ­
ками слов при этом предположении дает нижнюю границу для,
расстояния в общем случае, что легко проверить. При этом
Qт,(х)- Qт,(х) = с(х)хп-т(1- xlm,l+lm,I)+w'' (х)+
1
n-m1 ,
'
,
Х Рт,(х)- qm,(х)
(14.41),
где w"(x) - слово из D, а 1ml =min(m, п-т). Если Jm1I +
+ \т2\ <е, то первое выражение и поэтому сумма первых двух вы­
ражений в ( 14.41) соответствуют словам из Do, не принадлежа­
щим D (см. доказательство теоремы 14.15), и, таким образом, они
имеют по меньшей мере d 0 ненут:ных коэффициентов. Тогда, посту­
пая так же, как и в доказательстве теоремы 14.15, получаем, что -
Так как, по-видимому, различие как в избыточности, так и в сложности,
реализации кодов, исправляющих ошибки в синхронизации, и кодов, восстанав­
ливающих синхронизацию, невелико, то лишь первые из них будут рассмотрены,
здесь сколько - нибудь подробно. (Прим. авт . ).
443


расстояние t между рассматриваемыми стыками
неравенством
t :;;,. {do - (lm1I + lm2I),
d0 -2(n-d0 ),
и теорема доказана. ■
lm21 < n-d0;
lm21 < n-d0;
слов ограничено
(14.42)
В случае (п, k)-кодов Рида-Соломона d0 =n- k и, если е>2 ~1,
то
.t
>
'
{n-k-2μ μ <k;
μ :;;,.k.
п-Зk,
Этот результат нельзя существенно улучшить, как показывает
,следующая теорема.
Теорем а 14.18. Пусть D' -
смежный класс циклического
{п, k) - кодового словаря. Тогда минимальное расстояние tμ между
любым стыком его слов на позиции ~L и любым стыком на пози­
ции -
~L ограничено неравенством
.t<п-3k,
k<μ<(п- k)/2;
!
n-k - 2μ, μ<k,(n-k)/2
μ
2(μ - k), (n-k)/2,k < μ;
О,
(n-k)/2<μ<k.
Доказательство. Рассмотрим два вектора
V1 = ап-μ+1' ап-μ+2•· .. ,
ап, Ь1, Ь2,··· ьп_μ;
V2=·Cμ+I• сμ+2,•••, Сп, d1, d2, ••• ,
dμ,
где a=(an-μ+I , ... , ап)
и C= (cμ+l'"'' Сп) - суффиксы, а Ь = (Ь1, ... ,
Ьп_μ) и d= (d1, ... , dμ) - префиксы из D'. Так как D' является смеж­
ным классом циклического кода, то имеется некоторая μ-последо­
вательность а, такая, что первые б=min(~L, k) компонент v1 совпа­
дают с первыми 8 компонентами v2. Аналогично и по той же самой
причине последние 8 компонент V2 могут совпадать с последними
,8 компонентами V1. Наконец, так как (п-μ) -последовательность Ь
является пока произвольной, можно выбрать ее так, чтобы ее пер­
вые y=min(k, п-2μ) компонент равнялись соответствующим ком­
понентам v2 . Таким образом, tμ ~п-28-у, и отсюда следует ут-
верждение теоремы.
Следствие. Никакой циклический (п, k)-код не способен ис­
правлять все возможные синхронизационные ошибки, если не вы­
полнено условие k~r[(n-1)/3].
Доказательство. Если k~n/3, то (n-k)/2~k . Следствие ера•
зу же становится очевидным, если положить ~L= (n-k)/2, так как в
этом случае согласно теореме 14.18 tμ =0.
Это условие в противоположность тому, которое было найдено
ранее для требования свободы от запятой (§ 14.4), является необ-
444


ходимым но не достаточным, как показывает полное рассмотрени е
(4,1)-кода (0000 ) . Тем не менее любой циклический: (п, k)-код
llll
и,меет см-еж,ный: .класс, который: ИСJправляет ошибки еинхронизаци,и
на всех позициях lrml ~(n-k-2)/2 (ер. с теоремой 14.18), как по­
казывает следующая теорема .
Теор ем а 14.19. Пусть D' будет смежным классом циклическо­
го (п, k)-кодового словаря D с лидером смежного класса, представ­
ляемым с(х) = 1+хп-1 . Тогда все стыки слов из D' на позиции т1
отличаются от всех стыков на позиции .т2 при всех m1=l=m2,
μ~ maxlm1I, lm2l}~(n-k -2)/2.
Доказательство. Как уже было замечено, минимальное расстоя ­
ние между двумя стыками слов, одно из которых на позиции m 1,.
0<m1~n/2, а другое на позиции т2, n/2<m2~n, равно минималь­
ному числу ненулевых коэффициентов в многочлене (14.41) . Дв а
стыка слов могут быть равными при этом только тогда, когда мн о ­
гочлен
х с(х) (1- xm,+lm,I) +хр~,, (х)- xm,+I q~12 (х)
представляет собой кодовое слово из D. Но если с(х) = 1+хп-1, то
этот м,ног.очлен ·име,ет степеsь т1 + 1m2 I + 1 или меньшую. Если ,
следовательно, n- m1-Iт21-2 ~ k, то он не может представлять
собой слово из D, если только оно не является нулевым словом, что
невозможно здесь из-за того, что коэффициент при х0, очевидно, не
равен нулю. По существу, такое же доказательство применимо ,
когда 0~m2<m1<n/2 и когда n/2~m1<m2~n, что доказывает
теорему 1) .
Лидер смежного класса, использованный в теореме 14 . 16, такж е
появляется в словаре с некоторой: способностью к исправлению оши-
бок синхронизации.
•
Теорем а 14.20. Пусть D
-
смежный класс циклического,
(п, k)-кода с минимальным расстоянием d и с лидером смежного
класса того вида, который представляется многочленом ( 14.38) , 110
где μ заменено на 2μ . Тогда любой стык слов этого словаря на лю­
бой позиции т 1 отделен расстоянием, по меньшей мере , равным t ,
от любого стыка слов на любой другой позиции т2=1=т 1 для всех
lm1I, lm2\ ~μ, где
.
{ d-2t- l
μ<=mш
2
,
п- [(t+3)/2]}·
2 [(t + 2)/2]
Доказательство . Повторяя во всех существенных деталях дока­
зательства лемм 14.2 и 14.3, легко проверить , что:
1 ) Заметим, что с помощью такого же до1<азательства можно показать, что,
D' обла д ал бы способностыо к восстановлению син х ронизации при ncex
μ,:;; (п-k-1) /2, если с(х)= 1 (или хп-1). (Приы. авт.).
445


1. Расстояние между стыком слов на позиции m 1 и стыком на
позиции m2 ограничено снизу неравенством
t
>minrо
d-μ' -
о
}
nz1, 1п2
t т1,m2'
т1,nz2 '
тде
и о т,т, - число ненулевых членов в первых п-μ 1 коэффициентах
многочлена
( Хп-т,-/т,J - 1) С (х),
с(х), очевидно, лидер смежного класса.
2. Если с(х) определяется согласно (14.38), но с заменой вез -
.
1
11
п-[б;2]
деμ на 2μ, то 8- 1~8т. ,п ~8, т1\, т2 ~μ< -----.
,,,
2[(б+ 1)/2]
Объединяя эти два утверждения, находим, что
t~mintm т :;;,,,min{o-1, d-2μ-б},
m1m~ i,
.z
.
rдeμ[Лmax{lm1\, /m2/}~n-l-[б/2J_
=
2 [(б + 1)/2]
Сформулированное в теореме утверждение получается теперь, ес:ш
потребовать, чтобы d-2μ-о;:;=,,б-1. ~
До сих пор мало было сказано относительно методов использо­
вания возможностей линейных кодов исправлять и обнаруживать
. ошибки в синхронизации, рассмотренные в этом и нескольких пре­
дыдущих параграфах нгстоящей главы. В действительности отно­
сительная предпочтительность различных возможных подходов в
значительной l\'Iepe занисит от физических ограничений. Наиболее
удовлетворительное решение в случае, когда проблема синхрониза ­
ции в основном состоит в первоначальном входе в синхронизм и
когда потеря синхронизации нроисходит не часто, не обязательно
будет таким же, ка;, в случае, ~югда потеря синхронизации проис ­
ходит довольно регулярно.
В первой из этих ситуаций может оказаться целесообразным,
· чтобы декодер работал всегда так, r,ar< будто бы синхронизация яв­
ляется верной . Справедливость этого предположения можно было
бы затем проверить с помощью измерения расстояния между каж­
дой принятой п-последовательностью и соответствующим выходом
446


декодера, что пред.пагалось в § 14.5. EcJJи используемый код имеет
достаточно большой индекс неуязвимости на рассматриваемой по­
зиции, то этот факт должен б ыл бы отразиться в таком изменении
статистики измеряемого расстояния, которое поддавалось бы на ­
блюдению. Если на основе этих наблюдений обнаруживается син­
хронизационная ошибка, то можно начать (или продолжить) син­
хронизационный поиск. Этот метод исследуется далее в § 14.16 rL
14.17. Если испол ьзуе мый код может как исправлять синхрониза­
ционные ошибки, так и обнаруживать их, то с помощью дальнейших
наблюдений, по - видимому, можно было бы опреде,ттить правильну ю,
синхронизацию слов без какого-либо поиска, хотя реализа ция это­
го метода могла бы быть слож ной.
Когда потеря синхронизации происходит относительно часто .
только что описанный статистический подход может оказаться не­
эффективным; среднее время между потерями синхронизации
может оказаться недостаточным для построения надежного реше­
ния. В этом случае более разумныУI методом было бы разделение
множества принимаемых п-последовательностей на два или более
подмножеств. Если принятая п-последовательность попадает в под­
множество п-последовательностей, которые достаточно похожи на
настоящие кодовые слова, го можно предположить, что синхрониза­
ция правильная, и приступить к операции декодирования. Если
нет, то можно было бы вновь начать поиск или в зависимости от
подмножест ва, 1< которому принадлежит принятая п-последова­
тельность, можно было бы немедленно произвести исправлени е­
синхронизации. Этот подход в противоположность предыдущему
почти неизбежно уменьшает r:юзмож нос ти кода испра влять ошибки
в синхронизации. Другими с ловами, для достижения той же са мой
синхронизационной характеристики должны быть использованы бо­
лее избыточные коды. Этого следов ало ожидать . так как от кода
требуется больше, чем просто способность исправлять (или обна­
ружив ать) ошибки. В общем случае этот последний тип синхрочи­
зации может привести к значительным тр удно стям при реализации .
Однаr<а, как и при обычном исправлени и ошибоЕ, связанные с рес1-
лизацией задачи часто можно значительно упростить, используя
алгебраическую структур у предлага емого кода, за счет, возможно .
более низкой способности к исправлению или обнаружению ошибок
в синхронизации. Этот подход изучается в следующем параграфе.
14.11 . Алгебраически синхронизируемые коды,
исправляющие ошибки
Для того чтобы проиллюстрировать применение алгеб­
раических методов для одновременного исправлени я ошибок заме­
щения и синхронизационных ошибок, рассмотри м еще раз код, оп ­
ределенный в теореме 14. 15. Алгоритм декодирования будет следу ­
ющим. Декодер вначале вычитает последовательно сть , соответст­
вующую лидеру смежного класса. из каждой принятой п-последо-
447


·вательности и декодирует результат так, как будто бы она была
,,словом из словаря Do (определение терминов см. в теореме 14 . 15).
Синдром декодированного слова затем вычисляется по отношению
к словарю D и используется для определения как величины, так и
направления синхронизационной ошибки.
Для того чтобы понять, как и при каких условиях работает этот
алгоритм, предположим, что декодер в действительности начинает
.д екодирование на позиции т. Принятое слово после того, как из
него был вычтен лидер смежного класса, представляется многочле­
ном
с(х)(xn-m
-
I)+w(х)-хп-тРт(х)+е(х),
где е(х) - многочлен, представляющий ошибки замещения, а
с(х) =g(x) - порождающий многочлен кода D 0. Пусть число не­
нулевых коэффициентGв в е(х) ' (т. е. число ошибок) равно е. Тог­
да, если е+т~ (do-1)/2, то выход декодера будет иметь вид
,c(x)(xn-m_I)w(x). (Напомним, что декодирование производится
так, как если бы принятая п- последовательность была словом из
Do.) Синдром sm(x) получается с помощью деления этого много­
члена на g(x)m(x). Таким образом,
. sт(Х) = {с(х) (хп-т_ 1) +w(x)}т(x)g(x) = { Хn-т}т(х),
где последнее выражение означает остаток после деления (xn-m_
-
1) на т(х). Предположим, что В - корень т(х) по­
рядка 8. Тогда Sm(B) = в п-m_I_ Очевидно, что никаки е два
синдрома Sm, (х) и Sm, (х), m 1cf=m 2 не могут быть равными, ес­
ли Iт11 + 1т21 < е; следовательно, каждая синхронизационная
ошибка, величина которой не превышает μ~ (е-1)/2, при­
. водит
к однозначном у синдрому . Для того чтобы завершить опера-
цию декодирования, нужно лишь изменить синхронизацию декоде­
ра в соответствии с этим синдромом. Если синдром равен нулю, то
первоначальный выход декодера предст авлял собой правильное
- слово 1[в предположении, что действительное число ошибок не было
большим (do -1 ) /2 -1 т 1] и процесс декодирования может продол­
жаться расс мо трением следующего принятого слова.
Один из минусов этого алгоритма декодирования состоит в
уменьшении эффективного хэмминговско rо расстояния словаря D
"о т зн,а1чения d до значения d0 (,ил,и, что э квивале,нтно, в уменьшени,и
размерности Do от значения ko до значения k). Конечно, можно де­
кодировать принятое слово, как слово из D, а не как слово из Do,
и избежать этой потери в синхронизационной характеристике. Од­
нако такой способ значительно усJiожняет решение относительно
того, была или не была потеряна синхронизация, и фактически
заставляет декодер выносить статистическое решение по этому по­
воду, как было описано ранее. Причина этого состоит в том, что
если прини маемый поток символов декодируется в соответствии с
D, то все корректируемые комбинации ошибок в действительности
будут исправлены. Лишь среднее расстояние между первоначаль­
ными п -п оследовательностями и декодированными вариантами и,
-448


возможно, число неисправленных комбинаций ошибок будут ука­
зывать на возможность синхронизационной ошибки.
Однако эта трудность реализации всех синхронизационных по­
тенциальных возможностей алгебраически синхронизируемых ко­
дов, :иопра·вляющих ошибки, иногда может быть преодолена, ка.к ~по­
казывает следующая конструкция. Пусть D0 - циклический
(п, k)-код, порождаемый g(x) и имеющий минимальное расстоя­
ние do=d, и пусть D - укороченный циклический ,[п-(2μ+ 1),
k-(2 μ+ 1)]-код, получаемый при оставлении в D0 только тех слов,
которые начинаются μ + 1 нулями и оканчиваются μ нулями, и
дальнейшем отбрасывании этих нулей. Пусть далее D' -
смежный
класс D с лидером смежного класса, представляемым многочленом
.с(х) = ,wt(x), где wo(x) какое-либо слово из Do, начинающееся
(μ+ 1)-последовательностью 00 ... 01 и оканчивающееся μ-последова­
тельностью 00 ... 0. ~[Заметим, что такое слово должно существовать
в силу молчаливого предположения о том, что 2(μ+ 1) ~k.] Тогда
верно следующее утверждение.
Теорем а 14.21 . Слова из словаря D', определенного в преды­
дущем абзаце, можно декодировать алгебраически, так что: 1) все
1юмбинации ошибок, содержащие (d - 1) /2 или меньшее число оши­
бок, будут исправлены, когда декодер находится в синхронизме с при­
нимаемой последовательностью слов, и 2) если декодер в действи­
тельности начинает декодирование на поз и ции т, то при lm 1 ~μ как
величина, так и направление этой синхронизационной ошибки будут
определены при условии, что число ошибок замещения не больше,
чем fr(d - l)/2J-2lml-1.
Доказательство. Алгоритм декодирования будет следующим:
1) Принимаемая последовательность символов разбивается на
·блоки длины п--2 (μ + 1).
2. Каждый блок снабжается префиксом в виде (μ + 1) -последо­
вательности 00 ... 01 и суффиксом в виде μ - последовательности
00 ... 0, и результирующая п- последовательность декодируется в со­
ответствии с Do.
3. Если ее первый ненулевой символ появляется на i - й позиции,
то декодированное слово циклически сдвигается на μ+ 1-i пози­
ций вправо (если i~μ+ !) или на i-μ - 1 позиций влево (если
i> ~t+ 1) и из результата вычитается лидер смежного класса.
4. Если первые (~t+ 1) и последние μ символов результирующей
п -последовательности являются нулевыми, то эти символы опуска­
ются и остаток принимается в качестве декодированного слова.
Кроме того, выносится: решение, что декодер начинает декодирова ­
ние на позиции т = μ + 1-i и производится соответствующая под­
стройка до того, как декодируется следующая (п-2μ-1) -последо­
вательность.
5. Если условия п. 4 не выполняются, то результат регистри­
руется в виде отказа при декодировании и декодер переходит к
следующей (п-2μ-1) - последовательности без какой-либо под­
стройки синхронизации.
449


Чтобы проверить, что характеристика этого де1{одера является
такой, как указано в теореме, рассмотрим ситуацию, когда декодер
начинает декодирование на позиции т~ ~1 . Образуемая декодеро м
п-последовательность может быть представлена многочленом
Q(х) = хμ+хμ+!qm+2μ+i (х) +хп-μ-тРт(х) +е(х),
где q1(x) и р1(х) ,предста ,вляюг собой (п - l) -сим1вольный суффикс
из D и L-символьный префикс из D' соответственно, а е(х) - ко м ­
бинация ошибок замещения. Так I{aI<
хμ + xμ+I р' (х) + xμ+i+mq
(1::) = w(x)+w(х)
m
111+2μ+1 •
О
•
где w,( х) слово из D; р'т( х) - т-символьный префикс из D' и
wo(x) было определено ра!-!ее, то получаем
Q(х)=хμ+хп-т(w(х)+w0(х))- хμ-т -
xμ-m+i р~ (х) +
+Хп-μ-тРт(х)+е(х).
Следовательно, выходом декодера будет слово, представляе:v1ое
многочленом w'(x) =xn-m1[w(x) + rv 0 (x)] при условии, что число не­
нулевых коэффициентов в многочлене Q(x)-w'(x) не больше, чем
(d-1)/2. И это заведомо будет так, если e+2m+l~(d-l)/2,
m=/=O, или если e~(d-I)/2, m=O, где е - число ошибок замеще­
ния. Тогда первый ненулевой сюrвол в декодированном слове по­
явится на позиции i = ~• + 1-m п как синхронизационная ошибка ,
так и принятое слово будут правильно опознаны. То же самое до­
казатель-ство, оче.видно, 1при:vrени:v10 в с,1учае, когда декод,ер ,нач,и­
нает декодирование на позиции m ?,=n-μ, и теорема доказана. ■
Таким образом, укороченны е циклические коды имеют смеж­
ные классы, дающие возможно с1 ь исправлять сищlрониза1~ионные
оши6ки ,без ухудшения опособности }!С'Правлять с'инх,ронные
ошибки замещения. Дело н то.м, что нужно выбрать лидер
смежного класса так, чтобы синхронизационные ошибки выглядели
как ошибки замещения в символах, которые в действительности
никогда не передавались. Однако к этому утверждению следует
сделать две оговорки. Во-первых, укороченный код, на самом дeJie ,
может иметь минимальное расстояние, боJiьшее, чем у первона­
чального циклического кода; если это так, то алгоритм декодирова­
ния, рассмотренный здесь, не использует этого обстоятельства .
Во-вторых, уязвимосп процедуры исправления синхронизационных
ошибок по отношению к ошибка ы замещения увеличивается вдвое
быстрее с ростом I т I по сравнению с предыдущей конструкцией .
Третья конструкция для а"1гебраически декодируемых кодов, ис­
правляющих сннхро rшзацию, 1,сторая будет описана здесь, пред­
ставJiяет любопыт н ый контраст лu отно шению к предыдущему е!е­
тоду; вместо того чтобы укоротить циюшческий 1,од, мы его фа1с!l­
чески удлиним. Эта конструкция хотя и уве,1нч1ш3ет избыточностЕ;
кода без увеличения его способности к исправ с'~ ению ошибок заме­
щения, но приводит к коду, который яв,1яется не более уязвимы м
450


по отношению к ошибкам замещения при неверном синхvuн.н:1м~,
чем rз cJJyчae, когда декодер находится в правильном синхронизме
с принятой последовательностью. Идея этой конструкции станет
понятной, если заметить, что уязвимость по отношению к ошибкам
замещения для кодов, описанных в теоремах 14.15 и 14.17, увеличи­
вается с ростом т только тогда, когда стык слов составлен из двух
различных кодовых слов '[т. е. когда Рт(х) =рО]. Этот дефект можно
устран ить, если снабжать каждое передаваемое слово подходящи­
ми «буферными последовательностями» в качестве суффикса и пре­
фикса.
А именно, пусть D, D.o, g(x), т(х), d0 и е определяются так же,
как в теоремах 14.15 и 14.17. Построим новый (n+mr+m1, k) -
словарь Ds, содержащий слова вида
W5 = Wn-m1Wn- m1+1 ...Wn- 1W0W1
... Wn- 1w0w1... Wm,-1,
(14.43)
где W= (wow1 ... Wn-1) - слово из смежного класса D, имеющего
лидер смежного класса, представляемый многочленом g(x). Сло­
вар ь Ds отличается от этого смежного класса лишь повторением
его последних т1 символов и его первых mr символов.
Пусть теперь алгоритм декодирования будет следующим. Сна­
чала отбрасываются т1 начальных и mr конечных символов приня­
того ( п +т1 + mr)-символьного кодового слова. Затем вычитается
лидер смежного класса, и остающееся п-символьное слово декоди­
руется так, как если бы оно было словом из Do. Если синхрониза­
ция является верно й и если во время передачи произошло (do -1) /2
или менее ошибок замещения, то переданное слово будет декоди­
ровано верно. Но, кроме этого, ec.irи синхронизация была ошибоч ­
ной, но не более чем на т" символов вправо или т1 символов влево,
то вход декодера ,[если не считать (do-1) /2 или меньшее число
ошибок замещения, которые исправляются] будет некоторой цикли­
чес~шй перестановкой некоторого слова из смежного класса D, по­
рожденного g(x). Доказательство теоремы 14.17 прямо применимо
в настоящем случае, однако здесь префиксные многочлены Рт(х) и
суффиксные многочлены qm(x) равны нулю. Повторяя доказатель ­
ство теоремы 14.17 с этим видоизменением, получаем, следователь­
но, приводимый ниже результат.
Теорем а 14.22 . Определенный выше (п+т,.+ т1, k)-словарь
Ds может исправлять вплоть до (do· - 1) /2 ошибок замещения и од­
новременно исправлять все синхронизационные ошибки из отрезка
- m1=:,;;m=:,;;mr, m1+mr<e.
14.12. Синхронизируемые коды, исправляющие
пачки ошибок
Не должно удивлять, что коды, построенные для борьбы
с пачками ошибок, должны быть эффективными также и при об­
на ружешш и исправлении синхронизационных ошибок. Действи­
тельно, если код циклический, синхронизационна.я ошибка сама мо-
451


жет быть представлена, как пачка ошибок. Если использовать смеж­
ный класс этого кода с лидером смежного класса, представленным
с(х) = I+хп-1 (где п - длина кодового слова), то можно гаранти­
ровать, что любая пачка ошибок из-за ошибочной синхронизаци и
будет выглядеть для декодера как концевая «круговая» пачка , т . е.
как пачка, которая начинается суффиксом, а оканчивается префик­
сом того же самого кодового слова. При синхронной работе та ж е
самая комбинация ошибок наблюдалась бы обычно только тогда ,
когда появились бы две последовательные пачки, разделенные ~л е ­
вее чем длиной кодового слова , что, по-видимо му, является мало­
вероятным событием. Так как циклические коды, исправляющи е
пачки ошибок, тем не мене е способны исправлять концевые круго­
вые ошибки точно так же, юш и обычные пачки ошибок, то эта не­
использованная способность может быть применена для исправле­
ния или обнаружения син х ронизационных ошибок. Докажем, в
частности , следующее утверждение .
Теорем а 14.23. Пусть D будет циклическим (п, /~_) - словаре м,
способным обнаруж ив ать все пары пачек ошибок с общей длиной ,
не большей bd 1), и пусть D' будет смежным классом D с лидером
смежного класса, представленным многочленом с(х) = I +хп- 1 .
Тогда, если исключена возможность п оявления концевых круговых
пачек ошибок, то декодер для D' можно построить так, чтобы либо
обнаруживать одновременное появление пачки длины Ь, или ме н ь­
шей, и синхронизационной ошибки величины ~l , или меньшей, при
любых μ + Ь ~ bd-2, либо исправлять синхронизационную ошибку
величины, не ~большей μ~max{ (,bd-4) /2, (п-k-2) /2}, и :пачку оши­
бок длины ,b ~bd/2, где μ+b~b d-2 при условии, что они не появ­
ляются одновременно.
Доказательство. ДоказатеJiьство этого результата следует поч­
ти непосредственно и з рассуждений, приведенны х выше. Декодер
может декодировать принятую пос лед овате ль ность символов, вычи­
тая из каждой последовательной п-пос ледова те л ьн ости лидер смеж ­
ного класса и декодируя ре зул ьтат в соответствии с D. Если он на­
чинает декодирование на позиции т, то в отс утствие пачки ошибо к
п-последовательность на входе декодера представляется м ног о ­
членом
с(х)(Xn-m
-
1)+w(х)- х"-тРт(х),
или c(x)(xn-m_I)+w(x)-qт(x), ; <.m< nJ[cp. ·c (14.40)]. В лю­
бом случае влияние синхронизационной ошибки состоит в том, что
ююд.ится концев.ая круговая ,пачка .дл,ины I т 1 + 2 с неше~ресекаю ­
щимися мно,жества,м,и ~пачек , со,ответст,вующих каждому т, 1 т 1 <
<(п- 1) /2. Отсюда сразу же ,сл,еду ет, что од.новре,менное лоя·вле­
ние этих двух типов ошибок можно обнаружить, если 1ml +2+Ь:;;:;;
1 ) Напомним, что сагласно § 13.1 О Ь d ~ n- 2k+ 1 для любого uиклического
(п, k)-кода . (Прим. авт.).
452


~bd, и что л юбая из ошибок может быть исправлена, если она по~
является одна и если как I т 1 + 2, так и Ь ограничены сверху вел и­
чиной bd/2 1{ср. с § 13 . 10]. Ошибки этих двух типов можно различит~.
так как синхронизационная ошибка всегда приводит к концевой кру ­
говой пачке , в то время как согласно предположению обычная па ч­
ка ошибок та .кого ти п а появиться не может . То , что синхронизац и­
онные ошибки величины (n-k-2) /2 1В .д,ейст,вительност,и мо,гут ис -­
правлять•ся !При отсутствии други х ошибок, уже было доказа .но .в
теореме 14 . 19. Однако для того, чтобы ~были ,иепра,влень1 синхрон:и~
заu,ионные ошибки большие , 1чем (bd/2)-2 , необходимо , чтобы с<;>­
ответ,ственно возросл,а апо,собность .к ис.п,равлению пачек •ошибок
так, чтобы пач.ки и синхронизационные ошибки вс,е еще можно 6 ь~ ­
ло различить . Это требо.ва.н,ие, очевидно , удовлетво,ряется, ес ~.и
μ+2+b~ ,bd, где μ = maxlml . ■
· Очевидно, что результаты предыдущи х параграфов ; относящиеся
к способности линейных кодов исправлять и обнаруживать ошибки
в синхронизации , когда имеютсн произвольные ошибки замещен и я ,
применимьi также в случае , когда ошибки появляются пачкам и.
Иногда в случае, когда ошибки появляются только пачками, , эти
результаты можно усилить, как показывает следующая теорема .
Теорем а 14.24 . Определенный в теореме 14 . 15 словарь , ·пред ­
ставляющий со б ой смежный класс, сп о собе н исправл ять все па ч ­
ки ошибок длины Ь и меньшей и одновременно исправлять все
синхрою1заuионнь1е ошибки вел ичины , •не большей μ<е/2, е_сли
μ+Ь~ (n.__:._3k 0 +2)/2.
Доказател ьство. П о вторяя д ок азательство теоремы 14 .1?, полу­
чаем, что любые д.ва стыка слов - -- один, начинающийся на пози·­
uии т1, а другой- .на :позиции т2-; ,содержащие :пачки ошибок
длины · Ь1 и Ь2 соответственно, будут отличаться, если
с(х)хп-т,(1- x1m,J+!m,I) +w"(х)+хп-т,р' (х)'- q' (х)+
,
т1
т,
,
+Ь1(х)+Ь2(х)=!=О
(14.44)
для любого слова w11 (x) из D. Обозначения здесь совпадают с те­
ми, которые использованы в ф-ле (14.4 l) с · тем исключением, что
два м ногочлена Ь1 (х) и Ь2(х) пр едставляют собой пачки ошибок
длины Ь1 и Ь2. Как и в теореме 14.1 7, предположим, что О~т1~
~n/2<m2~ n . То же доказательство лишь ·с небольшими видоиз­
мен е н иями . (в д ей стви тель н ости пр и более слабых условиях) спра­
ведливо также для других - случаев. Теперь для любых 1!11-11+
+ \т2\~е (где е определено в теореме 14.15) первый член и, сле­
довательно, сумма первых двух членов в ф-ле (14.44) представляют
с обой слова из Do, н о н е из D. Таким образом, условие (14.44) на­
рушится тол ько тогда, когда
Р(х)~хп-т,р~,(х)-q;n, (.х) +Ь1(х)+Ь2(х)= w0 (х),
(14.45)
где w0(x) - некоторое ненулевое слово из D0 (но не из D) . Так как
xn-r», р' т, . (;,c) ~ q'm, (х) . мож но и н терпретировать как пачку длины
,453


т1+ \mzl, то условие (14.45) нельзя удовлетворить во всех сл учаях,
кроме того, ко гда некоторое ненулевое слово из D0 может быть
представлено в виде суммы трех пачек ошибок с длинами I m 1 1 +
+ /т2\, ,Ь1 и Ь2. Но если Iт11 + lm2 I+Ь1 +Ь2~п-3kо + 2, то, ло край­
ней мере, один из интервалов, отделяющих две из этих пачек оши ­
бок, содержит ko или большее число символов. Так как D0 является
циклическим (11, kо) - словарем, то лишь нулевое слово может содер­
жать последовательность k0 или большего числа подряд идущих
нулей. Если l m1I, l m~I ~~t и если Ь1, Ь2~Ь, то (14.45) нельзя удов ­
летворить при указанных условиях, и теорема доказана.
Если словарь из предыдущей теоремы о п ределяется над двоич ­
ным полем, то в некоторых случаях можно повыси т ь границу дл?.
максимально дозволенной суммы Ь + μ. Предполож и м, что мно г о­
член Р(х), определенный ф - лой ( 14.45), содержит в целом v «еди ­
ниц». Очевид~-;о, что Р(х) не может представлят ь собой ненулевое
слово из Da , кроме случая, ко гда v~do, где da - вес слова мини ­
малы-юго веса из Da. Но если Р (х) является словом из Do, тu
(l +x)P(x) также будет словом и если Р(х) содержит в целом у
единиц, то (1+х) Р (х) может иметь самое большее 2( 1 т1 1+ 1 т2 1 +
+ Ь1 + •b2- v) +6 единиц :поскольку си,мвол в (1+х) Р(х) является
единицей только тогда, когда в качестве одного из соответствующих
сим,воло~в Р(х) ,или хР (х) 1появляет-ся нуль, а в качестве друг о ­
го - единица. Для того чтобы (1 +х) Р (х) представляло собой сло­
во изDo, должно быть либо у=п, либо 2(1т11+ 1m2I+Ь1+ b2- v)~
~ d0-6. Если как Р (х), так ,и (1 +х)Р(х) ,должн ы 1п,ре.д,с т авлять
слова из Do, то
!m11+lm2I+Ь1+Ь2>min{3(d0- 2)/2, п} = 3(d0- 2)/2.
Это последнее р а вен ство сл едует непосредственно и з границы
(13.11) , т. е. поскольку здесь ko~2 , то п~Зdо/2. Тем самым дока­
зана следующая теорема .
Т е орем а 14.25. Если словарь в те оре м е 14 .24 определяется
над -GF (2) , то о,н м-ож ет иопра.влять все ~пачки ошибок дли ны, ме,нь­
шей или равно й Ь, и нее синхрони з ационные ошибк и ве л ичины,
\-tен ьшей или равнойμ, где μ+Ь ~ (Зd0-7) /4 .
14.13. Индекс свободы от з апятой в
кронекеровском прои з ведении кодов,
кронекеровской сумме кодов и в каскадны х кодах
Один из полезных методов построения кодов, имеющих
большие индексы свободы от з апятой, состоит в с ост а вл ении кро­
некеровского произведения либо кронекеровской суммы (см. § 13.7)
пары меньших кодов, каждый из которых является кодом без заня­
той с индексом, по меньшей мере, р авным единице. Вывод грани­
цы для индекса свободы от запятой в образующемся коде, выра­
женной через индексы составляющих кодов, является первой из за­
дач етО\Г•О .параграфа. Р е зультаты ~приведены в сл едующей теореме .
454


Теорем а 14.26 . Пусть МХт и NXn - матрицы Am и Вп пред-­
ставляют собой два линейных кодовых словаря, ка:ждый из кото0
рых содержит состоящее из единиц кодовое слово 11... 1 . Пусть Cr"
будет т-последовательностью, а dn п-последовательностью, таки ми.,
что соответ,ствующие коды Ат+ Ст и Вп + dn :буду т иметь индексы
свободы от за1пятой sm и Sn . (,Матрица Ат+ Ст ,предста,вляет собо й
словарь, который получается с помощью почленного сложения в
поле GF(q), над которым определены обе матрицы Ат и Вп, п-по­
следовательности Ст с каждой строкой Ат и аналогично для матр и ­
цы Вп + dn). Далее пусть Стп представляет собой словарь , порож­
даемый кронекеровским произведением порождающих матриц A,r;
и Вп, и ,пусть Dmn будет кронекеровской суммой Ат и Вп . Тогда ин­
декс свободы от запятой Smn в словарях Стп + (Cml--t -ldn) и Dnш +
+ (c»\l+ldn) ограничен неравенством Smп~min(nsm, тsп) . Здесь
тп-последовательность Cml+idn является кронекеровской суммо ii
Ст = (y1y2...ym) И dп= (8182... Оп), Т. е. Cml+idп= (y1+dn, Y2+dn ,.,.,
Ym+dп), где у;+dп= (уi+б1, 'Vi+б2, ... , 'Vi+б~
Доказательство . Теорему довольно легко доказать, отметив сл е­
дующие два свойства любого слова w из Стп ШIИ Dmn:
1) w имеет вид w=b,. Ь,. .... Ь1 ,
1
2
m
где bi - слова Вп;
2) символы uJin+j, .i = O, 1, ... , m~l, сло.ва W= ((1)1(1)2 ... (i)mп) обра­
зуют кодовое слово из Ат при любом w и любом j= 1, 2, ... , п. '[Оба
эти утверждения отражают просто то обстоятельство, что если w
является словом из линейного словаря D, определенного над полем
GF(q), и если D содержит состоящее из одних единиц слово w0 =
= (11...1), то как aw, так и awo+w являются словами из D при лю­
бом а из GF(q).] Прямыми следствиями этих двух утвержде ний
будут следующие утверждения, справедливые для любого слова
w' ИЗ Cmn+(Cm(+ldn) ИЛИ Dmn+(Cml+idn) :
la) w' имее1~ид w'= ·b: Ь,. ...ь,: -:Где Ь\ слова из Вп+dп;
l.1
2
m
2а) сим.в-алы -(l)'in+j, .i=O, 1, ... ,т-1, слова w' = , ((1)' 1•(1)'2 . .. (l)'mn ) об­
разуют кодовое слово из Am+cm при любом w' и любом j=l, 2, ... ,п.
Пусть те:перь w ,и w' -
слова либо из W= Стп + (Ст1+1 d11), ли·оо
из W = Dmn + (ст l+idп); рассмотрим любой стык последовател ьно­
сти ww' , начинающийся (i + 1)-м символом w и оканчивающийся
i-м символо м w'. Если i:i=O по модулю п, то этот стык являе11ся по­
следовательностью из т п-последовательностей , каждая из кото­
рых могла бы появиться в качес тв е стыка слов Вп + dп. В соответ­
ствии с этим все эти стыки слов должны отличаться самое меньшее
в Sn местах от любого слова из Вп + dn и, по меньшей мере, ms"
символов любого такого сты ка должны отличаться от соответствую­
щих символов в любом слове из W. Аналогично , если i = О по мо­
дулю n(i=vn, v :i=O) , СИМВОЛЫ (l)vn+i (i)(v+l)n+i , • •• , (i)(m-l )n+jШ 1j'(i) 1n+j,••-,
(i);...,_ 1>n+i составляют (при каждом j= 1, 2, ... , п) т-последователь-
ность , которая мо гла бы появиться в качестве стыка двух слов из
455


Am+cm. Таким образом, каждая из этих п т-последовательностей
должна отличаться, по меньшей мере, в Sm местах от любого слова
из Am+cm и соответствующий стык ,vw' должен отличаться от лю­
бого слова из W, по меньшей мере, в nsm местах. Так как все не­
тривиальные стыки любых двух слов из Стп + (Cm\+ldn) или Dmn +
+(Cm\+ldn) были учтены в этих рассуждениях, тополучаем, что
Smn;::, minj[ns,,.., msп],
( 14.46)
и теорема доказана. ■
В утверждении этой теоремы требуется, чтобы оба составляю­
~их кода содержали слово, состоящее из единиц. Это нужно для
тог.о, чтобы гарантировать, что все стыки кодовых слов, появляю­
щихся в кронекеровской сумме или кронекеровском произведении
словарей, могли бы также появляться в составляющих словарях.
Очевидно,' что если 75 - словарь, содержащийся в D, и 75 ИСПО.11Ь­
зуется вместQ D в определении кронекеровской суммы или произве­
дения словарей, то получающийся словарь имеет индекс свободы
o:r . запятой, по меньшей мере, такой же, как словарь, определенный
с помощью D. Таким образом, нет нротиворечия между ·предполо-
, жениями теорем 14 .26 и 13 . 18. (Напомним, что последняя требова­
ла, чтобы слова одного из двух словарей, входящих в кронекеров ­
скую сумму, имели rv1аксимальный вес, меньший, чем п.) ;Заметим
также, что если, по крайней мере один из двух составляющих слп ­
в'арей в кронекеровской сумме или если оба словаря в кронеке­
ровском произведении содержат кодовое слово, состоящее из еди­
ниц, то такое же слово содержит получающийся словарь. В соот­
ветствии с этим процесс можно итерировать; кронекеровское произ­
ведение и кронекеровская сумма словарей без за пятой могут быть
иtпользованы для того, чтобы породить еще большие кронекерон­
ское произведение и сумму словарей без запятой.
Аналогичный результат справедлив для каскадных кодов. Пусть
(п 1 , k 1) 0код D 1, определенный ,над GP(qk•) .и имеющий инде,к,с с1вобо­
ды. от залятой s1. Аналогично !Пусть (n2, k2)-.код D2 над GF(q), имею­
щий индекс свободы от запятой s2. Каскадный: код образуется - прп
од:нозначном сопоставлении с каждым элементом GF(,qk,) слова Ис{
l??-- , Требование, чтобы D1 и D 2 были кодами без запятой. ничего 1:1
менf\ет при рассмотрении синхронизирующих свойств этого кода.
Од.нцко каскадный код теперь также будет кодом без запятой с ин­
деkGОМ свободы от запятой (в терминах ,q - ичных символов):
(14.47)
..
~,
.
где d2 -- минимальное расстояние между двумя. любыми словами
и·з D2 . Рассмотрим опять стык слов, начинающийся (i + 1) симво ­
лом одного слова и . оканчивающi.:rйся i-м симв.олом другого. Если
i~O по модулю n2 (но не по модулю n1n2), то свобода от запятой
v~· гарантирует, чтО этот" стык слов будет отличаться от любого ко~.
дd,вого ,слова, 1по ·м-еньшеи мере, s 1 q k,~ич,ными •симв-олами и, следо­
,В:ательно, 1по ,меньшей мере, s1,d2 q-ичным,и символам.и. Бели i=FO 1П•о
456


модулю n2, то расстояние между стыком слов и любым правильным
словом будет, очевидно, по меньшей мере, равно n1s2 .
В действитель1;1ости это свойство каскадных кодов довольно не­
существенно, так как цель каскадирования состоит не просто в .10 -
рождении больших q-ичных кодов, а дополнительно в получении
более удобного декодирования (ер. с § 13.9). Предположим, что
словари без запятой D1 и D 2 объеди.няются с помощью каскадиро­
вания или с помощью образования их кронекеровского произведе­
ния или кронекеровской суммы . Тогда любая последовательность
слов из этого объединенного словаря также является последова­
тельностью слов из D2 (или ,D1 в зависимости от ,порядка, в кото­
ром объединяются эт,и два словаря). Синхронизация слов, таким
образом , может быть выполнена в два этапа; первый ,тап состоит
в определении начальных символов слов из D2, а второй --- в раз­
решении остающейся неоднозначности. Первый этап 11( , :i можно
производить так, как если бы использовался один слон. -,, clz. Вто­
рой этап после этого будет состоять в поиске по п 1 о-:: а ющимся
позициям, основанном на свойстве отсутствия запятой : ., 1. В ре­
зультате общее число позиций, которое нужно рассмот ;1еть, будет
равно n1 + n2, а не n1n2, как в случае, когда эта подструктура не
учитывается.
В заключение этого параграфа суммируем некоторые известные
результаты, касающиеся свойств свободы от запятой кодов Рида ­
Маллера первого порядка, упомянутых в§ 13.7. Напомним, что эти
коды могут порождаться с помощью последовательного кронеке-
-
D [оо]
.
6•
ровского суммирования матрицы 1 = 0 1 с са мои со ои и после-
дующего присоединения к полученному словарю его дополнения.
Таким образом, словарь Di представляется матрицей
Di = [D;_1 D;-1 l
Di-1 D;_,J
и (2"- 1, k) - словарь Рида-.Маллера ;nредставляет собой ;nросто
D1< - 1 U D1<-1 - Тот же самый словарь D1<-1 в равной мере можно опре-·
делить с помощью кронекеровской суммы любой из пар матриц
Dj и D1< - 1- j, l~j~k -1, что легко проверить. Поэтому для того,
чтобы показать существование кодов Рида-Маллера без запятой
всех размерностей, необходимо лишь указать их для меньших раз-
мерностей. Фактически, если словарь D1 U D1 можно было бы сде­
лать свободным от запятой, то теорема 14.26 гарантировала бы,
что то ж~ самое справедливо для кодов Рида-Маллера всех боль­
ших размерностей.
К сожалению, словарь D1 UD1 содержит все двоичные 2-после­
довательности и, очевидно, не может быть сделан свободным от
запятой. Более того, граница из теоремы 14.13 показывает, что ни-
какой из словарей D1<-1 UDн.-1 не может бы;ь словарем без запятой
при любых k<4 . Код Рида-Маллера с k=4 также не может быть
сделан свободным от запятой. как легко проверить, используя ме-
·16 - 281
457


тоды § 14.3. Например, ранг матрицы М. определенной соотноше­
нием (14.6), равен 8, если m=5. Чтобы показать существование ко­
дов Рида-Маллера без запятой для всех размерностей k~5, мы
должны получить их для размерностей k=5, 6, 7 и 8 (например,
1<роне керовская сумма словаря D4 с самим собой дает словарь D8,
а Dв UDв является словарем Рида-Маллера с k=9). Такие коды
были найдены и с помощью вычислительной машины были вычис­
лены их индексы свободы от за пятой . Результаты вместе с верхни­
ми границами s' для этих индексов приведены ниже :
k
s
s'
5
2
2
6
7
8
7
16
34
7
22
56
(14.48)
Первые две границы сверху (k=5 и 6) были получены при ис­
пользовании методов, 011исанных в § 14 .8, последние две - с по­
мощью двух различных методов. Все эти границы более точны, чем
граница ( 14.24). Лидеры смежных классов, дающие оптимальные
словари с k=6, были найдены методом перебора (с помощью вы­
числительной машины) снова с использованием результатов § 14.8 .
14 .14 . Фазовые к9ды без запятой
Синхронизируемость фазовых кодов (§ 13.11) также мо­
жет быть улучшена превращением словарей в коды без запятой.
Мерой, которая представляет интерес в этом случае, является кор­
реЮщия между словом и стыком слов . а не хэмминговское расстоя­
ние между ними. Это означает, что . есл,и У= (yJy2 ... yn) .-: - вектор по ­
казателей степени принятой п-последовательности, а хμ= (xμ1x'L2 . ..
Хμп) - вектор показателей степени кодового слова, то рассматри­
вается асинхро!-lный коэффи циент корреляции
_
I п (2:rti/r) ( х~- uv)
р (у)=-. \"l е
.
(14 .49)
•μ
n 1-J
V=l
Так как декодер по предположению является корреляционным
приемником, ть эти (искаженные шумом) коэффициенты состав­
ляют основу для его решений ,относительно принятого слова. Син­
хроt1изация слов, очеющно, легче всего получается по самой после­
довательности данных, если множество коэффициентов корреляции
Рμ (у) в случае, когда п-пос,ледовательность у предс~::авляет пра-
вильное кодовое слово, знач ительно отличается от коэффициентов
корреляции в случае, коrда она является стыком двух кодовых
слов.
Следующая теорема илшострирует . соотношение ме)кду этими
коэффипиента .ми корреляции . ,и индексом свободь! от запятой, свя­
за 'ш-1ым с кодовой стеленной группой (опреде.1ения терминов см. Е
§ ·JЗ.1 J}.
~58


Теорем а 14.27 . Пусть С
-
некоторый смежный класс груп­
пы 1G, • состоящей из п-посJiедовательностей целых
чисел по моду­
лю г и пусть каждая из 1-1,-последовательностей из С определяет по­
казатели ·степени слова из фазового кодоваr.о словаря D . Предпо­
ложим, что словарь С, рассматриваемый как словарь п-символьных
r- ичных слов, имеет индекс свободы от запятой s. Тогда
maxRe{pμ(Y)} < 1- _! __ _(l - cos 2л).
у,μ
п
r
где Рμ (у) определяется соотношением (14.49). Более того, если ,G
содержит п-последовательность из единиц gп= (11 ... 1), то
~.а:JРμ(y)j < [1- 2
-;-(1-- -;-) (1- cos :л )]112
Доказательство. Первое из этих утверждений очевидно, так как
maxRe{ Рμ(У)} < Re {n-s +
_!___e2ni/r} = 1- _!___(1- cos~)<1.
у,μ
п
п
п
r
(14.50)
Доказательство второго утверждения почти столь же просто.
Во-первых, заметим, что IPμ (у) 1= 1Рμ (y-ygo) 1 для любого цело­
го у. Пусть у будет значением (или одним из значений), приним ае­
мым наибольшим числом (скажем, l) компонент у-хμ. Тогда
1
_1_+п- lе2ni/rI
z> _1!:_ •
п
п
'
2'
1 Рμ (y-ygo)J <
+11+e2ni/rJ, l<f,
(14.51)
так как 1,Рμ (y-ygo) 1, очевидно, достигает наибольшего значешш.
когда аргументы у" -х~ -у, ,,= 1, 2, ... , п, по возможности близки
друг к другу. Поскольку iG содержит go и является кодом без запя­
т,ой с .индексом s, то l~n -s и от,сюда следует уКJазанная ,в теореме
верхняя граница для IРμ (у) 1- (Эта граница может быть сделана
более точной, если s больше, чем п/2.) ■
Как ,следствие, результаты, касающиеся кодов без заттятой и 1п01-
лученные в предыдущих параграфах, имеют смысл и здесь. Однако
следует подчеркнуть , что, кроме как в двоичном и в троичном фЗJ­
зовокоrерентном случаях, эти две меры являются различными н
что наилучшие коды без запятой не обязательно порождают нам:­
лучшие фазовые коды.
Фазовыми кодами, которые представляют наибольший интерес,,
несомненно являются ортогональные и r-ортогональные фазовые
коды, рассмотренные в§ 13.11. Они соответствуют в высшей степе:­
ни избыточным кодам, исправляющим ошибки, и, как следовмо
бы ожидать, можно найти такие коды, асинхронные коэффициеип,r
корреляции которых имеют значения, значительно меньшие едиш-1J­
цы. Как бы: 1 0 показано в § 13.11, с помощью метода кронекероR-
16*
459


скоrо произведения моrут быть построены r-ортоrональные фаз о вые
коды с произвольными размерностями. Поэтому представляет 11н­
терес следующая теорема относительно максимума асин х ронного
коэффициента корреляции кронtкеровскоrо произведею1я сло­
в арей.
Теорем а 14.28. Пусть Ат и Вп
-
словари фазовой кодов ой
гр уппы (смежные классы), состоящие из М и N слов пот и п сим­
волов в каждом соответственно; пусть оба они определены над мно­
жеством символов {ехр (2лiу/г) }. Пусть далее смежные классы сте­
п енной группы обоих этих словарей будут смежными классами
г рупп, которые содержат т- (п)-последовательность из единиц
( 11 ... 1) . Наконец, пусть Рт и ,Рп
-
асинхронные коэффициенты кор­
р еляции, имеющие максима .ТJьные абсолютные вел ичины в этих
двух словарях . Тоrда
IРтп/ .:s;;: max{I Рт/, 1Рп /},
где ,ртп - асинхронный Еоэффициент корреляции кронекеровскоrо
п роизведения этих двух слонарей, имеющий ма ксимальн ое абсо­
л ютное значение .
Доказательство прямо следует из доказательства теоремы 14 .26.
Кронекеровское произведение фазовых кодов соответствует кроне­
керовской сумме смежных классов их ·степенных rрупп (т. е. соот­
ветствует смежному классу, который получается с помощь ю сл о­
жения каждого из эле м ентов кронекеровской суммы их групп с
!{ронекеровской суммой соответствующих им лидеров смежно г о
1,л асса . Таким образом , если i=plO по модулю п, то IPmnl ~
·l1Pn1, а
,если i = О по модулю п, то IРтп 1~ 1Рт 1, и теорема доказана.
Далее выводится полезная граница снизу для асинхронного ко­
э ффициента корреляции, достижимого на ортогональных словарях
( и в силу этого на ~-ортогональных словарях).
Теорем а 14:29. Пусть D является словарем ортогонального
фазового кода· с п словами по п символов в каждом, имеющим мак­
симальный (по абсолютной величине) асинхронный коэффициент
корреляции Pn• Тогда I Pn 1 ~ 1/ 11 п.
Доказательство. Обозначая через {sn} множество слов из D, а
через 11 любой стык любых двух слов D, получим
п
Yi=~Рμ~μ.
(14.52)
μ=1
Это следует в силу того, что пространство п-последовательностей,
определенных над комплексным полем, является линейной оболоч­
кой множества .ортогональных векторов sμ. Более того, так как
~ \ ·'l")=fl!pv, ТО
п
+(1J·1J)= 1=~\Рμ\2•
(14.53)
μ=1
460


Предположим теперь, что max I Рμ 1 < 1 Vп.
μ
п
.
Тогда~ 1Рμ (< 1,
μ=1
что приводит к противоречию, доказывая тем самым теорему 1).
В двоичном случае IPn 1= / 1-(2s/n) 1, где s - индекс свободы
от запятой; в этом случае обе меры эквивалентны . Коды Рида­
Маллера первого порядка для меры, рассматриваемой в этом па­
ра графе , являются биортогональными, так что рассмотрения преды­
дущего параграфа, касающиеся (2k-1, k)-кодов Рида-Маллера без
запя той , прямо применимы здесь. Величина асинхронных коэффи­
циен т ов корреляции, которая достигается на этих кодах, может
непосредственно быть получен а из ( 14.48) .
Если r=p является простым числом, большим 3, то легко пока­
зать, что при всех k~2 существуют р-ичные р-ортогональные
(pk- 1, k)-коды с асин,хронными ,коэффиЦ'иентами ,кор,реляцни, имею­
щими ма.кс.им,альные а'бсолют.ные ,значения, ,меньшие единицы. Ес­
ли существуют такие коды для k=2, то существование всех других
кодов ,гара,нт.ируекя теоремой о кронекеровс1юм 1произ,веденни ко­
дов . Чтобы проверить, что коды с k = 2 можно сделать свободными
о т за.пятой, необходимо лишь заметить, что код, ~порождаемый с
помощью всех линей,ных комбинаций над GF(p) двух р-1посл•едо-
вательностей
[о12з...(р-I)],
1111...1
(14.54)
является циклическим. Следовательно, результаты § 14.4 показы­
вают, что смежный класс, который получается с помощью сложе­
ния какого -либ о ненулевого пелого чисJiа с последним (или пер­
вым) столбцом ,это1го кода, я·вляется ,с,вО'бодным от за1Пятой. Это
справедливо при k::::;;_ (п-1)/2, т. е. при р~5. Действительно, ког­
да р> 7, можно использовать лидер смежного класса, указанный в
теореме 14.16, чтобы сделать эти коды свободными от запятой с ин­
дексом 2. Несомненно, что большие индексы свободы от запятой
возможны для больших значений р.
14.15. Фазовые последовательности Баркера
Пред.положим, что нуж,но 1пере,дать инфор,мацию ло гаус­
со вскому каналу с помощью последовательностей ФТ символов
Sv (t) = V2sin[w ct+ (2лJ,r) ~.у), SvE (О, 1, ... , r-1) длительность Ts с~­
к у,нд и ;что синхронизация должна быть ~получена с помощью ошре­
д еления на ;приемном конце 1пер,иодически 1переда,ваемой 1последо-
з ательности {zv (t) = V2sin (ffi c: t+ (2л/r)xv ), (-v-1 ) T,<if<·vT.s} ,
·1·= 1, 2,..., п,
1 ) Эта граница вместе с некоторыми усовершенствованиями составляет ос ­
но ву для иоследних двух верхних границ, п·риведенных в (14.48) , (Прим. авт.).
461


представляющей собой запятую. (Последовательность {х.., } будем
называть фазовой запятой.). Если по предположению информ<'!ция
состоит из взаимонезависимых символов, равномерно распределен­
ных на алфавите сигнала, то рассуждения § ,14 .6 можно обобщить
и считать. что адекватной мерой здесь является апериодический
коэффициент корреляции
n-k
')..k = ~ ~v '~+k•
(14.55)
V=l
(2ni/r)x
где~" =е "
.
«Хорошей» синхронизирующей последовательно­
стью в этом с,11учае могла бы быть такая, для которой по определе­
нию lлkl::::;1 для всех k=l, 2, ... , п-1. Это является очевидным ана•
логом условия, введенного в § 14.6.
Пара·метр Лk тождестве,н ~параметру с1,, из § 14 .6, ког-
да r=2, и в фазовокогерентном случае, когда r=З. Та ­
ким образом, в этих двух ситуациях непосрелственно применимы
результаты § 14.6. Несколько' последовательностей баркеровского
типа (последовательностей, для которых lл,, 1~ 1 для всех k) про­
извольной длины известны для значений r, больших 2. Если r=
=Г1Г2, то над г-ичным алфавитом, очевидно, могут быть построены
последовательности, которые, по крайней мере, столь же хороши,
как и те, которые можно получить либо над r1 - ичным, либо над
r2-ичным алфавитами. Для этого 11росто можно использовать фазо
вую последовательность {r2x), где {xv} - фазовая запятая на).
r1-символьным алфавитом. Таким образом, если r=4, то последо­
вательности, удовлетворяющие ограничению !"лv 1~ 1 для всех k,
существуют для длин n=2, 3, 4, 5, 7, 11 и 13, поскольку существуют
двоичные последовательности для всех этих длин. Кроме того,
существует 4-ичная последоватеJ1ьность с Iл.11, 1~ 1, 1~k~ п-1 для
n= 15. Извес11ны другие недвоичные ФТ последовательности, удов­
летворяющие этому ограничению, когда •r=6, для всех п из отрез­
ков 2~п,;;:; 13.
Вообще говоря, приемлемые фазовые последовательности бар­
керовского типа можно получить, выбирая некоторую циклическую
перестановку псевдошумовой последовательности. Для любой фазо­
вой последовательности справедливы неравенства:
n
n
max jлk+"'п-k1>- ave !лk+л.n-kl= -
1- \1\1zkz;+i- пi=
O<k<n
O<k<n
n- 1 i.J/,,J
k=l j=l
~ п 1 1 ( t.•• '-пj >-[n/(n-1)].
(14 .56)
Псевдошумовые фазовые последовательности, лежащие на этой
границе, представляют собой, по-видимому, естественный источню,
пос:1едовательностей баркеμовского типа.
462


Другим методом построения длинных фазовых последователь ­
носте й баркеровского типа явJrяется использование кронекеровской
суммы двух более коротких фазовых последовательностей , как
предл агает следующая теорема.
Теорем а 14.30 . Апериодические коэффициенты · корреляции
лн , свя занные с кронекеровской суммой фазовых последовательно ­
стей
Х1+У1,Х1+У2,•·•, Х1+Ут,Х2+У1,.Х2+У2,•••, Xl+Ут,
опр еделяются с помощью апериодических коэффициентов корреля­
ции лk (х) и 'А1,.(у) двух суммируемых последовательностей {хμ },
μ=!,2,..., lи{Yv},v=1,2,..., т:
л1е =
"'i(х)'Ah(у)+'Ан1(х)л:_h(У), k= jm+h,О~h<т.
(2ni/r)x
Док азательство . Пусть av=e
v
(2ni/r)v
и~v=е
v . Тогда при
k='im +h, O~h<m, имеем
l-jm-h
1'" = LIаμ~v(aμ+i ~v+h)*+
μ=1 '11 =1
1- (i+I) т
l-j
m-h
+ ~ ~ аμ~v(aμ+i+I~v-(m-h))• = ~ аμa~+i~~v~~h+
it=l v-т-h+I
μ=1
'11=1
1-(i+I)
h
+ 2": аμ a~+i+I L ~:, ~v'+m-h = лi (х) л11 (у)+ 'Ai+ 1(х) л:!:_(У),
μ=1
'11'=1
(14.57)
что и требовалось доказать ■.
Заметим, что результаты не обязательно остаются те ми же в
случа е, когда две последовательности в кронекеровской сумме ме­
няютс я местами. Заметим также, что максимальное зна чен ие нор ­
мирова нных апериодически х коэффициентов корреляции 'Ak/n нель­
зя сни зить, используя эту к онструкцию .
14.16. Синхронизация слов и кадров .
. Выбор
статистик
В пр едыдущи х параграфах этой главы и в гл . 11 и 12 бы­
ли иссле дованы различные методы установления синхронизации
слов . Рассмотренные методы можно разделить на две категории 1):
1. В поток данных лериодически помещается специальная син-
1) Третий метод, в равной мере применимый к синхронизации слов, выборок
с ообщения или символов, использует дополнительный синхронизационный канал
( или, что эквивалентно, использует канал связи в двух различных режимах, ре­
жиме синхронизации и режиме передачи данных). Этот· подход подробно изучен
в гл . 6 и здесь не будет рассматриваться. (Прим. авт.) .
.· 463


хронизирующая последовательность (или префикс, или запятая) .
Опознание ее приемником устанавливает требуемую синхрониза­
цию. Для удобства методы, относящиеся к этой категории, будем
называть префиксны.ии методами .
2. Используется различие между правильными словами и сты­
ками слов для того, чтобы различить эти две ситуации. Хотя пр и
этом подходе не обязательно используются словари без запятой
(см. гл . 7), наибольший эффект по:лучается, когда словари свобод­
ны от запятой, и поэтому метод будет называться м етодом свободы
от запятой .
Следует подчеркнуть эквивалентность с более общих позиций
синхронизации слов и выборок сообщения. Заменяя «слово» на
«символ» и «выборку сообщения» на «слово», с равным успехом
можно использовать все методы синхронизации слов для синхро­
низации выборок сообщения. Если каждое слово содержит k
q-ич:ных информационных символов, то кадр может быть рассмот­
рен как слово, составленное из qk-ичных символов. Относительная
привлекательность различ .ных ~подходов, конечно, ,может .изме ­
няться, когда рассматривается синхронизация выборок сообщения,
а не синхронизация слов, но существенная эквивалентность этих
двух задач будет оставаться неизменной.
В следующем параграфе будет оценена синхронизационная за­
держка, свойстве,нrная как л,рефиК~с,ному метоrду, 11а•к и методу сво­
боды от запятой. Под синхронизационной задержкой здесь под­
разумевается число слов или символов, необходимых для первона­
чального входа в синхронизм с заранее заданной надежностью .
Следует отметить отличие этого определения синхронизационной
задержки и того, которое было использовано в гл. 11 в ситуации,
когда отсутствовал шум. Родственная задача возвращения в син­
хронизм после его потери отличается от задачи первоначального
входа в синхронизм только изменением априорных вероятностей
различных конкурирующих синхронизационных позиций и отдель­
но не будет здесь рассматриваться.
Однако до того, как приступить к этой зада ч е, нужно выбрать
статистику, на основе которой будет принято решение относитель ­
но того, была или не была достигнута синхронизация. С этой
целью представим сигнал диск р етным множеством наблюдаемых
У= {yi}. (В случае гауссовского канала эти
.1/i могут быть выбор­
ками принимаемого сигнала, взятыми через равные интервалы
времени; если канал является уже дискретным, как в случае q - ич­
ного симметричного канала, то эти величины являются символами
на выходе приемника.) Так же, как и при рассмотрении символь ­
ной синхронизации, удобно разделить полный период неоднознач­
ности Т на конечное число N меток v, v=O, 1, 2, ... , N-1, где N =
= Т/Лt. Обычно в предположении, что синхронизация более низко ­
го порядка уже была установлена, это квантование по времени
является весьма естественным.
Рассмотрим вначале ситуац и ю, когда в информационный по­
ток периодически помещае т ся синхронизирующая последователь -
464


ность или префикс . Разделим множество выборок у; на два под­
множества У1 и У2, где У1= Y1(v) содержит те выборки у;, которые
берутся из префиксной части принимаемого сигнала в предположе­
нии , что v-я метка является верной, а У2 = Y2(v) - множество,
остающееся после того, как У1 будет удалено из У. Обозначая че­
рез p(AjB) вероятность (или плотность вероятности) события А
при услов ии события В и предполагая, что шум действует на по­
следовательные выборки независимо, получим
p(Yjv) =~p(Y2 ID, v)p(D)p(Y1 JS, v).
( 14.58)
D
Каждое из множеств D является множеством информационных
выбо,рок, которые наблюдал,ись бы .в отсутствие шума с ве,роя'tно ­
стью P(D). Аналогично S является множеством выборок, характе­
ризующих ,п,рефик•с ,в отсутст,вие шу,ма. Оптимальное решение
(максимального правдоподобия) состоит в выборе такой метки ,,,
для которой ма~,симальна вероятность Р (У\ v) . (Это соответствует
случаю, когда одно и то же множество наблюдаемых У использует­
ся для проверки всех меток, т. е . случаю параллельного поиска.
Однаl{О, как и R гл. 6, будем использовать одно и то же правило
решения как для параллельного, так и для поочередного поиска.)
Суммирование по D в ф-ле ( 14.58) весьма неудобно с практи­
ческой точю, зрения и хотелось бы иметь возможность приравнять
эту сумму постоянной , не зависящей от v. К: сожалению, 0та с11ро­
гая независимость наблюдается крайне редко . Если информацион­
ная 1Последовательно ,сть состоит из неза.висимых символоs .и все
последо.ватель,ности равной длины равновероятны, 1и если выбор­
ки у; <берутся по,сле того, .как выносятся жесткие ,решен.ия
относительн.о каждо1го 1принято,rо сим,вол,а, т-о сумма 1на самом
деле, ,не з.а,висит от v. Однако в более общей ситуации эт,от
случай не имеет места. К:роме случая, когда жесткие решения уже
были сд~ланы, шум неизбежно будет приводить к тому, что неко­
торые множества выборок Y2(v) будут напоминать информацион­
ную последовательность более сильно, чем другие. То же самое ут­
верждение спр2вt:щливо, когда на информационную последователь-
1-юсть наложены какие-либо ограничения , например, когда она за­
кодирована с целью защиты от ошибок или с uелью не допустить
появления синхронизирующей последовательности.
Те м не менее вследствие того, что с· точки зрения реализации
получающийся синхронизатор имеет практические преимущества и
в силу того, что упрощенный синхронизатор более удобен для ана­
лиза, не будем учитывать суммирован,ие 1по информационной IПОСЛе­
довательности в (14.58) . Следует, однако, признать , что получаю­
щийся синхронизатор, использующий теперь единственную решаю­
щую переменную
Zv =p(Y1 \S,v),
(14.59)
в общем случае является подоптимальным.
465


Для ка.нала с белым 1га ус•совс;ким шумом .решающая ~п еременная
zv после отбрасывания выражений, которые не зависят от v, и пе-
рехода к пределу, когда частота выборок стре мится к бесконечн о ­
сти, принимает вид
i т,+т5+vлt
zv= ~ S у(t)s(t- vЛt)dt.
(14,60)
i i т,+vлt
Здесь Т,. - временной интервал между последовательными появ­
лениями пр ефикса; Тз - длительность префикса ; y(t) - прини
маемый сИlгнал 1и s(t) ;префик-сный сигнал uпри~чем s· (t+iTт) =
=s(t) при вс ех i].
Решающая переменная для q-ичного симметричного канала
также легко может быть найдена. Если расстояние Хэмминга меж ­
ду j-м повторением предполагаемого префикса в множеств е выб о ­
рок У1 (v) и действительным префиксом , представляемым множест-
м
"""
dv
Mn-dv
вом S, равно nj(v) и если .l ..lni(v)dv, тоz" • р (1-р) ,гдер-
i=I
вероятность ошибки в си м воле; п -- число символов в синхрон изи ­
рующей последовательности, а М - число повторений преф икса,
используемых для решения. Если р< 1/2, то метка, выбранн ая с
помощью критерия максимального правдопо доб ия, минимиз ирует
сумму
d'Y ,= ~ni (v).
(14.61 )
j
Для упомянутого выше второго метода синхронизации, метода
с.во•боды от за1пятой, ,вероят,но,сть p(Ylv) ,обыч.но выр,ажается в виде
p(Y/v) = 2-P(YID, v)P(D),
(14.62)
D
где обозначения те же самые, что и в ( 14.58) . Так как при этом
отсутствует синхронизирующая последовательность, то вся инф ор­
мация теперь содержится в сумме по D. В силу того что мы интер е ­
суемся прим-енением этого метода, когда информация кодируетс я с
помощью словаря без запятой, будем предполагать, что информа­
ция представляется последовательностью слов, каждое из которы х
выбирается случайно из словаря, содержащего N слов w;, i = 1,
2, ... , N. Тогда, разделив У на непересекающиеся подмножества
У j = .Yj ( v), соответствующие интервалу, на котором принимаетс я
jce слово при условии, что правильной является v-метка, будем
иметь
p(Y/v) = -1 П ~ p(Yi/w1, v).
.
N
/.J
(14.63)
j
Это, конечно, равносильно ситуации, с которой мы сталкивались
при исследовании методов символьной синхронизации (см . гл. 7),
466


В случае синхронизации слов в особенности справедливо то, что
одно из слагаемых p(Yj/1wi, v), по-.видимому, будет 31н,ачительно
больше, чем остальные, когда ,, в действительности является пра ­
вильной меткой. (Если это не так, вероятность ошибки при синхро­
низации слов, вообще говоря, будет неприемлемо высокой.) Следо­
вательно, если правильной является v-я метка, то имеем
p(Ylv)~ ·-
1 Пmaxp(Yilw,,v) .
(14.64)
N
i
j
Решение максимального правдоподобия состоит в выборе той мет­
ки, для которой вероятность р(У Iv) достигает максимума. Так ка.к
р (У 1,μ) можно хорошо аппроксимировать выражением ( 14.64),
когда μ является правильной меткой, и так как
p(Y\v) :;;,,-
1 Пmaxp(Yilw ,,v)
N
i
j
для любой метки v (все отброшенные слагаемые неотрицательны),
то решение не должно быть значительно менее надежным в случае,
если оно основывается ,на 1прwбл,ижени.и (14.64), а не на точном
выражении ( 14.63). Преимущества использования этого приближе­
ния ,очевидны. (Между ,П!рочи.м, та же самая ,решающая переменная
получится, если производится совместное решение максимального
правдоподобия относительно как принимаемой последовательности
слов {,w;}, так и метки v.)
Для канала с белым гауссовским шумом решающая перемен­
ная, которая получается после того, как берется логарифм ( 14.64)
и отбрасываются выражения, не зависящие от v, имеет вид
U+I) тw+vлt
zv=~miax
J [y(t)wi(t_:_vЛt)-+w7(t-vЛ Т)]dt,
i
iTw+vлт
(14.65)
где Т w -- длительность слова 1). Синхронизатор выбирает μ-ю мет­
ку , если zμ >zv при всех v=pμ.
Решающая переменная для q-ичного симметричного канала, ко­
торая получается из приближения ( 14 .64), имеет вид
dv=~m~nni(j;v),
( 14.66)
i
/
где n;(j; v) - хэмминговское расстояние между принимаемой на
i-м интервале последовательностью и j-м словом кодового словаря .
При этом синхронизатор выбирает μ-ю метку, если d μ <dv при
всех v=I=μ.
1 ) Это не что иное, как решающая переменная фазовокоrерентноrо синхро­
низатор 11 . Обобщение на фазовонекоrерентный случай аналогично во всех су ­
щественных моментах соответствующему обобщению в ·гл. 7. (Прим. авт.).
467


l4J 7. Синхронизация слов и кадров.
Синхронизационная задержка
Несмотря на то, что в некоторых частных случаях отн о ­
сительно просто получить точные ответы, здесь рассмотрим лишь
один метод приближенного определения задержки, необходимой
для . получения синхронизации слов или ){адров. Оправдание этого
подхода состоит в общности и интерпретируемости результатов, а
также в том, что более точные оценки можно получить (если это
вообще возможно) только за счет зн;:~чительного усложнения анс1: '
лиза. Эт-о !приближение ,использует, во-,первых, 1границу
P0 <,Pe<,(N-1)P0 '
(14.67 )
для вероятности ошибочного решения о синхронизации, где
!~х Pr { zμ < zv}, гауссовский канал;
Ро=
.
maxPr { dμ > dv}, q-ичный симметричный канал,
V-j,μ
.
а μ обознача~е.т 1пра·вильную ,мет~ку. Для удобства и .без .потери о~бщ­
ности в последующем рассмотрении положим μ = О. Далее заметим ,
что статистики zo; zv, do и dv обычно явля_ются суммами большого
числа независимых ,случайных ,величин ,и можно ~применить це,нт­
ралыную !Предельную 11ео,рему к ,рr азно.сти
У=о
v•
{z - z гауссовский канал;
v
d; -d0 , q-ичный симметричный канал.
(14.68)
При етом так .же, как и rв тл. 6 ,и 7, для -оценки оинхрон.изацио,н­
ной задержки можно использовать решение уравнения
Е2(у )
l
r 2~min
v
= 2k loge-.
(14.69)
~V-j,O var (Yv )
N
Ре
Напомним, что постоянная kN ограничена неравенством 1~kN ~
~ l+,[loge(N-1)/Joge(l-Pe)], так что в большинстве случаев
kN,;::;:, 1.
Этот метод оценивания синхронизационной задержки хорош л и­
бо когда наблюдения, относящиеся к различным меткам, произво­
дятся одновременно, либо когда они производятся поочередно в
соединении с поиском с фиксированны м объемом выборки (см.
гл. 6) . Хотя этот вопрос и не исследуется здесь, алгоритм последп­
вательного поиска, по - видимому, также можно было бы использ о ­
вать с целью получить некоторое преимущество при определении
меток слов или кадров. Однако, так как ·наблюдаемые в обще м
случае подчиняются довольно rпр,и,чудливым ,рас1п,ределениям, обыч­
нс., осуществляется аппроксимация оптимального теста.
Рассмотрим теперь некоторые частные примеры.
Префиксный метод; q-ичный симметричный канал. Если можно
предполагать, что информационные символы взаимно независимы
468


и имеют равномерное распределение, то когда v~m (где т обозна­
чает число символов t3 префиксе) и когда до вынесения решени я
,произнодится М на'блюде,ний, то
Е(d0)= Мтр; Е(dv) = Мт(q- 1)/q; .
)
··
,
[
!] (14.70)
var(-dv--тd0) с-;-.:v'ar(dv) +var(d0)= Мт р(1- р)+qq2 •
где р - вероятность ошибки в символе. Предполагается, что пре­
фикс выбирается так, чтобы метки v<m были более легко отличи­
мы от правильной метки по сравнению со случаем v~m. В дейст­
вительности последовательности баркеровского типа удовлетворяют
отран,и,чения,м, . обес:печи.вающим как раз это свойство. Из ( 14.69)
mри это,м ,получаем
M=p(i-p)+(q -l)fq 2 2k loge-1
-
.
(14.71)
т(1-1/q-р) 2
N
Ре
Это и есть приближенное число наблюдений префикса, необходимое
для того, чтобы достичь вероятности ошибки Ре (в случае, когда
все метки н.аблюдаются одновременно) , Конечно, поочередное на­
бл юдение будет продолжаться в N раз дольше.
Возникает вопрос относительно преимущества запрещения пре­
фиксу появляться в случайном потоке данных, что могло бы быть
в ыполнено с ·по м ощью использования либо префиксных кодов, ли­
б о к одов с запятой. Преимущество довольно очевидно, когда веро­
я тность о шi,~;бки очень мала и необходимы лишь несколько наблю­
дений для того, чтобы вынести надежное решение . В противополож­
ность это м у, 1,огд а вероятность ошибки в символе имеет достаточ­
но б ольш у ю ве.~ичину, то требуется относительно большое числ J
наблю д ений i(и тем самым справедливы приближения, приводящие
к ф-ле (14.71 ) ] и эти преимущества исчезают. Единственным влия ­
н ие м эти х ограничений на последовательность данных является не­
бол ь шое увеличение Е (d v ) и некоторое уменьшение var ( dv) · Нн
о дн о из этих изменений не меняет существенно результат ( 14 .71) .
Тот же самый вывод н,ес,праведлив, мнако, при условии, что ,и.н ­
ф о р мшщ онн;:~я часть принимаемого сигнала не опускается при оп­
реде лен ии ре1шно щей переменной i[см ( 14.58) и следующее за ним
о бсуж де ние]. В этом случае процедура синхронизации будет при­
н а длежать к 1,J1accy методов свободы от запятой, а не к префикс­
ному ;классу в смысле терминов, ,введен,ных выше).
Префиксный метод - канал с белылt гауссовским шумом . Если
сит,нал, ,переносящий информац,ию x(t), статистичес,ки орт,огонал1ен
к ,префиксу s(t) и если s(t) ,имеет едщ-шчную среднюю мощность ,
то
Е(z0) = МАТ5; Е(zv[vЛТ>Т5)=О;
var(z0)= МN0Т5/2;
var( z.., [vЛТ>Ts) = МN0Т5/2+МА2Т~сrБ,
469


где
aJ- Е1[), J'x(t + vЛ Т) s(t)di) ]' vЛТ >Т,1·
(14.72)
а N,,- односторонняя спектральная плотность шума. Тогда, поло­
жив .Rs=A 2 Ts/No, находим, что требуемое число повторений прt:'­
фикса приближенно равно
M=[(l + Rso5)!Rs]2kнloge(1/P,).
(14.73)
В еще более частном случае как префикс, так и информация
nредставляются последовательностями двоичных символов вида
± -V2 sin (J)t, где каждый символ имеет длительность Tsl т секунд.
Тогда, если последовательные информационные символы взаимно
независимы и равномерно распределены, то
т
oi = 2!~ }J(7)(1- ~~ )2
=~.
(14. 74)
1=0
Метод с·вободы от за.пятой; q-ичный симметрич­
ный канал; коды, исправляющие ошибки. Вобщем
случае трудно оценить синхронизационную задержку в случае отсут­
ствия запятой без детального рассмотрения конкретного используе­
мого словаря. Трудность появляется потому, что теперь решение осно­
вывается не на расстояниях между принимаемыми п-последователь­
ностями при некоторой заданной метке и известным префиксом, а
на расстоянии между этими п-носледовательностями и ближайши­
ми к ним кодовыми словами. Имеются фактически q'' префиксов
вместо одного.
Предположим, что расстояние между принимаемым стыком слов
и ближайшим кодовым словом (пусть ш;) в отсутствие ошибок рав­
но 6. Математическое ож11дание расстояния между этой п - последо­
вательностыо и w; равно
(n-б)p+б(1-L)=np+8II--q- P).
(14.75)
q-1
\
q-1
когда вероятность ошибки в символе равна р.
К сожалению, это верхняя границ_а для математического ожи­
дания расстояния м_ежду принимаемой п-последовательностью и
ближайшим кодовым словом, так как ближайшее кодовое слово
ттосле того, как произошли ошибки, может уже не быть словом wi,
Несмотря на это, если рассматриваемый словарь имеет мини­
мальное расстояние d и индекс снсбоды от запятой s, если s мало
по сравнению с d/2 и если вероятность ошибки в слове (при нали­
чии синхронизации) мала, то граница (14.75) (где o=s) дает ра­
зумную оценку для математического ожидания минимального рас­
стояния междv стыком слов и словом. Если стык слов в действи­
тельности отлЙчается лишь s символами от любого кодового сло­
ва, то (14.75) ограничивает сверху математическое ожидание ми-
470


нимальноrо расстояния, как уже б ыло отмечено. Но если произош­
ло менее чем (rl/2)-s ошибок, то первоначально ближайшее слово
будет и далее оставаться ближайшим словом, а так как вероят­
ность (d/2)-s или большего числа ошибок должна быть малой при
указанных предположениях, то этот эффект , по-видимому, будет
сравнительно малым . Более того , хотя гарантируется, что мини­
мальное расстояние в отсутствие ошибок равно s, в наибплее об­
щем случае оно будет превьrша ть s, и так как математическое
ожидание расстояния ( 14:75) является возрастающей функцией о,
то оцепка, полученная приравниванием о к s, является в этом смыс­
ле консервативной.
Для оценки синхронизационной задержки положим
E(d0 ) = Мпр;
Е(dv)•= Мпр+Ms(1-
_q_Р);
q-1
var (d0) = var(dv) = Мпр(1- р).
(14.76 )
Дисперсии, приведенные здесь, являются дисперсиями расстоя­
ния между рассматриваемой 11 - последовательностью и ближайши м
словом при отсутствии ошибок; следовательно, они являются верх­
ни ми границами для действительных дисперсий величин do и dv.
Заметим, что d 0 и dv не являются независимыми в случае, если эти
две метки наблюдаются одновременно. Тем не менее, так как для
любых двух случайных величин х и у
Е(х- у)2= Е(х2)+Е(у2)- 2Е(ху)<Е(х2)+Е(у2)+
+ 2 Е112 (х2) Е112 (у2) = [Е112 (х2) + Е112 (у2)]2,
то получаем
var( y )<{2Мпр(1-р),
v
4 Мпр (1-р),
поочередное наблюдение;
параллельное наблюдение.
(14.77)
В соответствии с этим находим приближенную оценку общего
числ а кодовых слов, которые должны быть приняты для того, что­
бы гарантировать надежное решение:
{ 2p(l -p)
1
2kп loge-, поочередное наблюдение;
[-;-(1- q q 1р)г
Ре
М--
4(1)
1
(14.78)
1
_
Р-Р
2 kп loge -- , параллельное наблюдение .
п[_!___ (1 -
_qР)]2
Ре
~п,q-1
Следует подчеркнуть, что эти результаты дают лишь оценку
синхронизационной задержки; они не являются ни границей снизу,
ни границей сверху для этой задержки.
М,етод свобо.ды от за1пятой; 'Канал с белым•га­
уссовским шумом; ортоrональные коды. ЕслиD--
471


ортогональный (п =rk, k) - словарь с максимальным асинхронным
коэффициентом корреляции р,," то можно доказать, чт о
Е (z0) ~ МАТw;
.}
(14.79)
Е(zv) <:;,:: MATwPm + М(N0Twf2)112V2logeп+О(1/Vloge n-) •
Так как все слова имеют равную мощность Pw= A2, т о второе
слагаемое под знаком интеграла, определяющего z" (см. ( 14.65) ],
здесь , было о.пущено . Величина Тw - длительность слова, а N0 -
о~н'осторонняя опектральная ~плотность шума. Аналогично
var(z0)= MN0Tw/2; var ( zv) ~ Мл,2N0Тw/24 Ioge п.
(14.80)
В соответствии с этим из ф - лы ( 14.69) получаем
1
n (1 + л:2/12\ogeп)2kп loge(1/Ре)
поочередное наб .пюдение;
2Rь(log2 n) [(1-pm)-(loge2/Rь) 112] 2 '
М~ (I+л:/fl2 1ogen)2 2kп loge(I /P,)
(l4-8l)
-
----~---~~-~-, параллельное наблюдение,
2 Rь (log2 п) [О-Рт) - (loge 2/Rь/12]2
где Rь = А 2 Тw!Nolog2n- отношение энергии сиг н ала на бит к спект­
р альной плотности шума. Очевидно, что достаточным для синхро­
низируемости ортогональных кодов является условие
Rь> loge 2/(1- Рт)2•
( 14 .82)
Вероятность ошибки в слове при использовании ортогонального
мн ожества сигналов была найдена в § 4.2, она стремится к нулю
асимптотически с ростом числа слов п только если Rь>loge2. Так
как, 1по:,в.идимому , •Pm должн•о стре,миться ,К нулю 1при п___,,,_оо (хотя
это и не было доказано. то условие для синхронизируемости орто­
гональных кодов, по крайней мере. асимптотически совпадает с
условием малости веронтности ошибки в слове.
Тем не менее условие ( 14.82) дает чрезвычайно консервативную
оценку отношения сигнал/шум, требуемого для синхронизации. Од­
ной из главных причин этого является предположение, которое не­
явно присутствует в (14.79) , что любой стык слов имеет максималь­
но возможную корреляцию с каждым кодовым словом. За исклю­
чением, возможно, очень больших ортогональных словарей, тако е
прмполож,ение делает ,нес,праведливым утверждение теоремы 14.29.
Большинст,во стыков слов не ~будут коррелир,о,ваны так ,сильно ,с ка ­
ким-либо словом словаря и, конечно, не будут коррелированы так
одновременно со всеми словами. Значительно более точные оцен­
ки синхронизационной задержки, связанные с ортогональными ко ­
дами без запятой, были получены при использовании оrраниченн51,
приведенного в теореме 14.29. Однако даже эти границы остаютс51
весьма консервативными. Экспериментальные да н ные показывают,
что в типичном случае требуется л и шь несколько (5-10) принятых
слов для того, чтобы вынести решение относительно какой-либо
частной метки с приемлемо малой вероятностью ошибки.
472


АЛФАВИТНО-ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно самосинхронизирующиеся
коды 303
, универсальная ·синхронизирующая
последовательность 309-311
, условия 304 - 309
Аддитивная г раница для вероятности
ошибки 44, 86
Адд итивно-циклическое •свой ст во 3,73
АИМ 61-69 (см. также Амплитудно­
импульсная модуляция)
Алгебраически синхронизируемые ко­
ды, испра,вляющие ошибки
447-451
Алгебраическое декодиров а ние
395-3Я8
Алфавит
источника 284
канала 284
символов 77
Алtтернативная гипотеза 14
Амплитудно -и мпульсная модуляция
, нлияние несовершенной синхрон и ­
зации 263 - 2i73
, ,с:нмвольная синхронизация 200--
207, 2. : 7-2.26, 226-23 1
, системы ФАПЧ 234-238
оптимальное распределени е мощ­
ности 2173 -279
фазов,окогерентная 61-64
фазово н екогерентная 64-69
Апериодwческий коэффициент корре­
ля ции 462
Асимптотически эффекти·вная оцен к ;~
47
Асинхронный коэффициент коррел я ­
ции 458-461
, границы 458-461
кронекеровского прои зведения к о -
дов 459-461
Ба йесовская оценка 46
Байесовский тест ·15, 43
Баркера последовательности 427-432
обобщения 430-432
Баркера фазовые последовательнос п!
46 1-463
Белый шум 8
Биортогональный код 412
Биортогональный символьный алфа -
вит 84-85
Б л оковые коды 286, 326
.
их синхронизируемость 326--354
Бо у за - Чоудхури-Хокв,ингема коды
374-376 (см. такж е БЧХ ко­
ды)
БЧХ !(ОДЫ 374-376
их смежные классы, неунзвнмые
при потере синхрони з ации
438-439, 441
Вандермонда определитель ,370
Вероятностное декодирование
398-399
Вероятность ошибки в символе 77, 9 1,
105-106 (см. также Вероят­
ность ошибки на бит, В е ­
роятность ошибки в ,слове)
, биортогональные символы ,84-85
, границы ,
, когерентный прием 85-87
, некогерентный прием 93
, ортогональные символы
; когерентный прием 81-82
, некогерентный прием 92
, при несовершенной синхрониза­
ции 270---:273
, равнокоррелированые символы
, когерентный прием 8:1-82
, нек,огерентный прием 92
, трансортогональные символы 84
ФТ
, кюгерентный прием 97-100
, отнооительно когерентный при­
ем 102-104
, при несовершенной синхрониза­
ции 263 - 270
В е роятность ошибки в слове (см. так­
же Вероятнасть ошибки на
бит, Вероятность ошибки в
-символе)
, , · раница 402'----404
, связь с минимальным расстояни­
ем 403-404
, сравнение с вероятностью ошибки
в символе 105--,109
Веронтность ошибки на бит 10 5~109
(см. также Вероятность
ошибки в символе, Вероят­
ность ошибки в слове)
д л я двоичной ,ФТ
при несовершенной символьной
синхронизации 264-267
при несовершенной синхрони з ац1111
несущей 263-266
при опорной несущей, получае­
мой с помощью системы
Коста са 280-28 :
при оптимальном распредел е нии
М-ОЩНОСТИ 276
Вероятность ошибочного декодирова ­
ния 401-406
, граница 402-404
Вес вектора 359
473


ВИМ (см. Время-импульсная УliШ11пу-
ля ция)
Вин е р а фильтр 111-120
Винер а.-Хопфа уравнение 11 4
Влияние неточной синхронизации
258.-2 73, 282-283
А!ИМ 26 1-263
, двоичная
ФТ 26 3-270, 282-283
ортогональные сим в олы 270- 273
, ФТ 263-27(}
Время в х ода в синхронизм ( см. так -
же Синхронизаuионная з а -
д ержка)
для систем ФАПЧ 136-141
для последовательностей, бы стр о
вх одящих в синхронизм 185
, единый канал 203-204, 209, 213
, отде льный к ана л 155-163, 16l7-
i68, 173
Время-импульсная манипуляция 96,
97
, символьная
синхрони з ация 21 5-
217, 224-226
Выбор ок с ообщения синхр о н из аш ~я
11, 463-472 (см. также С лов
с инхронизация)
Вы р ож д енный класс эк ви вал ентностJI
3,12
в см ьгсле ФТ 350
Высо к о г о порядка синхрони зация 9,
154-192
Ген ер а тор, управляемый на п ря же -
нием 125
Гильберта граница 365, 385 - 386
Гипотез а
а льтернативная 14
нулевая 14
Гр а йсмера граница 364
Границы ( см. также Вероя тность
ошибки в символе, Вероя тн о сть
ошибки в слове, границы для
них)
, а ддити,вная 44, 86
ве роятно·сти ошибочного декоди ро-
вания 402 ~ 404
з аде ржки декодирования 296
индекса н е уязвимости 434, 435-43 7
индекса свободы от запятой
432-434
максимального коэффициент а кор ­
реляции в фазовых кода х 408
минимального начально-го рассто я ­
ния в сверточных кодах 3'8 5-
387
~ IIIнI1мальноrо расстояния в код а х,
исправляю щ их ошибки 360---
36'6
мини м ального расстояния в к о дах ,
исправ л яющих ошибки с инхро -
низации 444.
-
474
си нхроннза цио11но й заде ржк и 301,
302, 321
сннхронизацион110й ош11бки отсле-
живани я 13 1. 164
ТОЧНОСТ.JI оце1111Iза I111 я 47
Чернова 404
чис.1а слов в с1II-IхронIIз11руеуIЬJх
словарях 312- 318, 327
числа слов в словарях, сиI1хрони­
зир уем ых при 'l! СПОЛЬЗОВа нии
ФТ 351
Групповой код
, фазовый код407
Грэя код 107
ГУН 125
Двоичная ФТ 100, 104
влияние несовершенной с11нхрони­
за ции 264-267
опт.имал ьно е распр еделе ни е мощ­
н ост н 274-277
, сю1 в о.1ы-1ая
синхронизация 208-
20 9, 222-224
, с и нхронизация
несущей 240-241
Декодеры (см . также Декодир ова ­
ние)
и сточника 8
канала 8
Деко ди ров ание 393 - 401, 412-41 3
а .1гебраическое 395-398
вероятностное 398-3199
!l!акси маль11 ого правдо-подобня
393,-395
, отказ при декодирован11н 405
о шибо к и стираний 396
по обобщенному максимально му
расстоянию 397
граница для вероятностн ош и б­
ки 402-404
по рогово е 3199-401
п оследовательное 398-399
сверточных кодов 398---. 401
с о братной связью 384
фазовы х кодов 412-413
Деко дир уемые коды 286
, п роверка
декодируемости 29 3-
296
Де .1ыа-модуляция 2•84
Дем одулятор 8, 56-61 (см. также
Приемники, Устройство оцени­
вания)
АИМ
когерентный 6 1-64
некоrерентный 64 - 69
к орреляционный 59 - 60
м аксимальной апостериорной ве­
роят н ости 58
м аксимального правдоподобия
58-59


с минимальной средпеквадратиче­
ской ошибкой 57
с согласованными фильтрами
59-60
ФТ 69-72
Детектор огибающей 89
Детерминированные сигналы 117
Дискретные системы ,связи 8, 76-110
Длина пачки ошибОJ{ 406
Достаточная статистика .13
Задержка декодирова иия 287
, граи,ица 296
, условие
ограниченной задержки
296
Запятая 344
Идеальный наблюдатель 16
ИК,\!\ 284
Импульсно-кодовая модуляция 284
Импульсные системы связи
дискретные по амплитуде -8, 51-75
непрерывные по амплитуде 8,
51-75
Инвариантные пути
, избыточность 353,-354
, коды без запятой с инвариантны­
ми путями 331-336
Индекс неуязвимости на т-й по з и-
ции 434
БЧХ КОДОВ 438-439
, границы 435-437
кодов, исправляющих пачки оши­
бок 45,1-454
кронекеровского произведения, кро ­
некеровской суммы и каскад­
ных КОДОВ 454-457
, проверка 434
Рида-Соломона к·одов 438
циклических кодов 437-442
Индекс неуязвимости степени 434
, ,границы для него 434
Индекс свободы от запятой 432
Информационный символ 356
Источника кодер 7
Источника кодирование ·284-287
, декодируемые коды 284-296
, проверка декодируемости 293,-
2196
, синхронизируемые
блоковые ко­
ды 326--331
без запятой 326--331
без запятой с инвариантными пу-
тями 331-336
префик сн ые 33-6--344
при использо·вании ФТ 349-353
с запятой 344-349
, с инхронизируемые коды 297-325
, граница для числа слов в них
312-318
, построение
максимальны х сло ­
ва•рей 318-326
проверка синхронизируемости
297-302
с амосинхронизирующнеся
302-312
Хаффма на коды 12,90-:293
Источник информации ,7
l(адр (данные , сообщение) 1r
Канал 7
с белым гауссовским шумом 8
м ноголучевой 110
симметричный 406
Ка·с кадные коды 3:81-383
, индекс свободы от запятой 454-
458
Кв адратичная система 251
Ква нто~анная iфТ 97 - 100 (см , так­
же Фазовая манипуляция)
Классы векторов в порождающей
матрице 377
Класс верности Зi92
Класс эквивалентности
в смысле ФТ 350
вы рожденный 312
п-последовательностей 312
си мволов ~15
сл ов 315
ФТ вырожденный 350
Ко герентная система 70 (см. также
Фазово-когерентные системы)
Код (см. такж е Словарь, Декодируе­
ыые коды, Синхронизируемые
коды, Коды с запятой, Коды
без за пятой, Коды, испр авляю ­
щие ошибки, Фазовые коды,
Префиксные коды)
, Грэя 107
Ма нчестера 227
Ха ффмана 290-293
Кодер (см. также Кодировани е)
и сточника 7
к анала 7
Код ировани е
л инейных кодов 389
от носительное 240
св ерточных код ов 391
фазовых кодов 412
u икю1ческих кодов 390
Кодовое дерево 290
Кодо3 ое ограничение в свер точны х
кодах 383
Кодов ое слово 7, 286 , 357
Кодов ый символ 284
.1
Ко,довый слова р ь 286
Коды б ез запятой 326-331
, избыточность 353-354
; ма ксимальное чи сло слов 327
475


, построение максимального слова­
ря 327-328
; доказательство свободы от за­
пятой 328-330
, построение кодов с четной длиной
слов 330-331
префиксные 33·6-344
с инвариантными путя:-1и 331 - 336
фазовые 458-461
Коды без запятой, исправляющие
ошибки 418-427
Коды, восстанавливающ и е синхрони ­
зацию 442
Коды, исправляющие ошибки 335 -
413
без запятой 418-42 -7 (см. также
Коды без за,пятой, иправляю ­
щие ошибки)
, границы для
минимального рас­
стояния 360-366
, и справление пачек ошибок 405-
406
итера'J\ивные 381
кано нические 360
каскадные 381-383
, кронекеровское произведение Э80
, кронекеровск ая сумма 380
линейные .358-360
, проверка Э55-.З56
Рида-Маллера 38Э
, связь 111ежду расстоянием и воз ­
можностью исправлять и об­
наруживать ошибки 357- .35 8
с запятой 418
синхронизируемые 414-472 (см .
также Синхронизируемые коды,
исправляющие ошибки)
систематические Э60
Хэмминга 379
uиклические 366-. 376 (см. также
Циклические к оды, исправляю­
щие ошибки)
Коды, исправляющае пачки ошибо к
405-406
, синхронизируемость 451
Коды, исправляющие ошибки в син­
хронизации 442-447
Коды, обнаруживающие ошибки Э55,
356, 4'05 (см. также Коды, ис­
правляющие ошибки)
Коды с запятой Э44-Э49
• избыточность .353-354
исправляющие ошибки 417 -418
, связь с кодами без запятой Э48-
Э4.9
, число слов в ма!,с и м альном сло­
варе .345-348
Корневого годографа метод 146
для определения а·симптотики чис­
ла слов в преф11ксном коде 340
47n
Корреляuионный приемник 59-60
Косин усоидальный импульс 75, 229
Костаса система 2416-251
Крафта неравенство 287-290
Кронекеровская сумма кодов 380-
.38 1, 395
, И"Ндекс свободы от запятой 454-
457
Кр1текеровское произ ведние (сум-·
ма) баркеровских фазовых п о ­
следователь ностей 463
Кроне к еровское произведен ие кодов ·
380, 409-410
, асинхронны е коэффициенты
кор­
реляции 460-461
, индекс свобод ы от запятой 454'-
458
Лидер смежного класса 394
Ли метрика 407
Линейная моде,1ь системы ФАП Ч
126-129
Лин е йные коды 358-360 (см. также
Сверточн ые коды, Циклические
к оды, исправляющие ошибки)
, к одирование
и декодирование
389 -401
не,,; яз ви мость по отношению к по-
"тере синхронизации 418-422
пор ождающие 358
, пров ер очная матрица 359
Рида-.!vlалл ера 3-83
с:верточные .383-389
, св язь с кодами с проверками Э60
си стематические 360
Хэмминга Э79
М ак симального правдоподобия деко­
дер Э9Э-Э95
N\.акс има л ьноrо правдопо.з.обия демо­
дvл ятор 58 -59
, АИ1v\. ,52
, ФТ70
.\'\ а ксималь н о г о правдоп о добия оцен­
ка 47
,
а си м птотическая эффектIIвность
47
М акс има л ьно г о правдоподобия лри-
емник
биортогональных сигналов 84
когере н тный 79
некогерентный 88>-89
ФТ
ког ерентный 9.8
, относительный когерентный
,100-103
J\'\ак с има ,1 ьного правдоподобия прин­
щш а оценка 4,8
Мак оимального правдоподоб ия сим­
вольная синхронизация 196-
200
, AИJv\. 200 -207, 224 - 226


непрямоуголь ны е символы 226-
231
, ортогональные символы 211-217,
224-226
, вим 215-217, 224-226
, чт 211-216, 224--226
, отслеживание 224-227
ФТ 2{)7-21 ,1, .224- - -226
Максимального правдоподобия син-
хронизация несущей 234
, АИМ 235-238
большое отношение сигнал/шум
242 - 246
ФТ 238-242
М;ксимального пра,вдоподобия тест
различения гипотез j6
Максимальной апостериорной вероят­
ности демодулятор 59
, АИМ62
, ФТ70
Максимальной апостериорной вероят­
ности оценка 46
Максим11льной ап.остериор.ной вероят -
ности приемник
к огерентный 7'8 - 79
некогерентны й 88-89
ФТ
, некогерентны й пр ием 98
, относительный
когерентный при­
ем 100-103
Максимальной апосте риорн ой вероят­
ности тест
, две гипотезы 16
, много гипотез 43
.\'\аксимальной длины линейные по­
следовател ьност и
регистра
сдвига 178-181 (см. та](же
Псевдошумовые последовател ь ­
ности)
Ма](симальной длины циклические
к оды 372-373
,
аддитивно - циклическое свойство
373
, распределение весов 373 - 374
.vlаксимальные синхронизируемые ко­
довые ·словари 3 18-325
,
граница для синхронизационной
задержки 3211
, г раница для числа слов
, блоковые коды 314
, неравномерные коды 317
, ,построение 318-321
, свойство полноты 325
, свойство префикса 319
, свойство
свободы от запятой
326- 327
Манчестера код 22;7
Марковский источник 285
Маркуса Q-функция 93
Ма т риц а и н цидентности для кодов
без за пя той 332
Маттсона -С оломона многочлены 371
Мгновенно де1юдируемый код 288
, достаточное условие существова­
ния 289
, необходимо~ условие существова­
ния 287.:. .. . 288
, ЧИСЛО КОДОВ 289 •
Мгнове нно синхронизируемый код 311
Мебиуса функция 314
Метка 154
, обнаружение 155,' Иб-217
, отсле:ншвание 217--'231, 251-255
, оценивание 163-168, ,2 17
, поиск 154-163, 168--169
,Метод свободы от запятой для .син-
хронизации слов 464
Мимикрии частот ·ошибка 55
.Минимаксная оценка 58, 75
Минимаксное ре~μение 1'7
,Минимально-среднеквад ратиче ская
оценка 46
Минимально -сред неквадра тиче ские
линейные фильтры 111-126
Минимально -среднеквадратиче ский
демодулятор 57-58
, АИМ64
', ФТ71
Многолучевой ](анал 110
Модулятор 7
Модуляция с пассивной паузой 226
Мощность теста различения г ипотез
14
Наблюдаемые 13
Найквиста теорема отсчетов 52-55
Начальное .расстояние в сверточны х
кодах 385
, границы 385-387
Начальное слово 384
Неймана-,Пирсона критерий 16
Некогерентный 10 (см. также Фазо-
во -не когерентный)
Некогерентный согласованный фильтр
89
Неоднозначность во времени 1 1
Неравенство Рао-,!(рамера 47
Несущая 7
Нес у щей синхронизация 10, 14 8-154,
234-257
АИМ 234-238
, большое отношение сигн а л / ш ум
242-246
, квадратичная система 25 1
, обратная
связь от решающего
устройства 242"- 2 46
, система Костаса246-251
, система п-й степени 251
, ФТ 234-238
Неточность опорной фазы, ее вл11шше
, АИМ 26!-263
477


, орто,rональные символы 268-273
, ФТ 266-270
Неуязв,имость при синхронизации на
т-й позиции
, индекс 434 (см. также Индекс не­
уязвимости степени μ)
к одов Хэмминrа 424-425
, проверка неуязвимости 419-422
укороченных циклических кодов
423--424
циклических кодов 422-423
Никогд, а сам•онесинхронизирующиеся
КОДЫ 303
Нулевая гипотеза 14
Нуль -пространство
линейных кодов 360
циклических код о в 367-368
Обеляющий ф ильтр 75
Обнаружение меток 155, 196- 200
Обобщенное м инимальное расстояние
397
, декодирова н ие 395-398
Обратна я связь от реш ающег о уст­
ройства 242-246
Обращенный код 294
Ограничитель в системах ФА ПЧ
135-,136, , 1 4б---147
Огибающей детектор 89
Оптимальное распределение мощно-
с ти 273-279
, А!И},1 274
, ортогональные символы 277-279
, ФТ 274-277
Оптимальные линейные фильтры
111-126
Опти~шзация фильтра системы
ФАПЧ 129-136
Ортогонализированные коды 400
Ортого нал ьные коды 409
Ортогон ал ьные проверочные уравне-
ння 400
r - орто гона льные фазовые коды 412
О ртого нальный символьный алфавит
81
, r енери,рова ние 95~97
О ртого нальных символов вероятность
ошибкп 80-83, 91-92 (см.
также Вероятность ошибки в
CIIMBO.le )
Ор тогональны х символов си нхрони­
заци я 2. 11-217, 224-22'6, 273-
282
Остаточн ая о шибка
в синх ронной системе связи 264
на выходе линейного фильтра 116
Отдельный канал синхронизации
148-195
478
h1 етки
, оценивание 1:63-168
поиск 154-163
, отсчеты времени
, несинусоидальные 150-154
синусоидальные 14:8-150
последовательности, быстро вхо -
дящие в си н хронизм 181-189
, псевдошумовые
последовательно­
сти 1175-181
фазовонекогерентный прием 168-
,175
Относительная когерент н ая фазовая
манипуляция 100-104
, символьная синхронизация 209-
210, 224
Относительное кодирование 240
Относительный когерентный прием
100
Отслеж и вающие фазу устройства
оцен ива.ння 124-126
От счетов в р емени синхронизации 9
(см. также Несущей синхрони­
зация )
Отсчетов теорема 52- 55
ОФТ (см. О т носительная коге р ентная
фазовая манипуляция)
Оценивание
, граница точности 4.7
статистических па р аметров 45- 48
Оценка {см . также Оцен и вание, ~'ст ­
ройство оце н ивания (формула
оце н ки)]
а •оимптотичесю1 эффек'!'ивная 47
байесовская 46
максимального правдоподобия, 47,
58•
минимаксная 58-75
минимизирующая среднеквадрати­
ческую ошибку 46, 57, 1Ы-
113
по максимуму апостериорной ве­
роятности 46, 58
по принципу максимума правдопо­
добия 48
эффективная 47
Ошибка
второго рода 14
первого рода 14
Ошибок вероятности ( см. также Ве­
роятность ошибки на бит, Ве­
роятность ошибки в символе,
Вероятность ошибки в слове)
границы
для кодов, исправляющих ошибки,
402-404
при фазовокоrерентном приеме
85
при фазовонекогерентном приеме
93
сравнение вероя т ностей ошибок на
бит, в с имволе, в слове 105-
lOg


Ошибок и стираний декодирование
396
Переходные ,ошибки в ,системах
ФАЛЧ 132
Пери од повторения для префикса
337
Пери од п -по следо вательности
312-3'13
Перфорированн ые циклические коды
37'6 - 379
Плоткина граница 364
Поднесу щая 7, 258
Поиск 26-42, 154 -163
меток 154-163
непрерывно продолжаемый 36
о птим алы~ый 3,9 -40
последовательный 32 - 40, 1,61, 163
с задержа нным решение м 159-161
с фиксированным объемом выбор-
ки 29-32, 156-161
Полифаз ные коды 407-4 10, 458-461
(см. также фазовые коды)
По.~нос тью ортогонализируемые коды
4,00
По.чн ый словарь 289-290, 325-326
Полуупоря доченные разбиения цело-
го числа 316
Пополнение кодового словаря 305
Пороговое декодирование 3:99-401
Порождающая матри ца
, линейные коды 358
, св ерточные коды 3.83
, циклические коды 368
П о рождаю щий м,н огочлен
нул ь-пространства циклическог о ко­
да 369
цикличе ских кодов 367
Порождаю щие линейного кода 358
Последовательное декодирование
398-399
Последовательн о сти, быстро входя­
щие в синхронизм 181-189
Последовательный поиск 32 -40, ,!6 1,
163
Последовательный тест ,отношения
плотностей вероятностей
, м ного гипотез 44-45
, простые ,гипотезы lfi'-22
, сложные гипотезы 25-26
Потери синхронизации вероятность
146
Правдоподобия принцип 47
Правдоподобия уравнение 47
Правдоподобия функция 16
Правильный симплекс в качестве ал-
фавита 84
Предсказывающий фильтр 11'9
Префикс кодового слова 288
Префиксна я процедура построе ни я
максимальных синхронизируе­
мых кодовых словарей 319-
321
, д оказательство опт им альности 322
, доказательст во
синхрони зируе мо­
сти 320-321
, порождающая функция для числа
·слов в словаре 323
Префиксные к оды 336-344
, исправляющие ошибки 415-417
модифицированные 337
, число слов в них 33,7-344
Префиксный ме тод синхро низа ци и
слов 464
Приемник
максимальной апостерио.рн ой ве­
роятнос т и 78, 88-89
с класса·ми верности 392
с ,согласованными фи льт р амп 79
некогерентный 89
фазово к огерентный 78-8 1
фазо в о некогеретн ый 88-91
ФТ 98
, относительной когерент ной
ФТ
100•-104
Проверка 356, 359~360
, вектор 359
, матрица 359
, порожда ющий многочлен 368
символ 356
Проверка гипотез (тест)
, много гипотез 42-45
, простые ги пот ез ы 14-17
, сложные гипотезы 22-26
Проверка гипотез пр и фик снро13ан-
ном объеме выборк и
много гипотез 42
, простые гипотезы ·14
, сложные гипотезы 22
Псевдосл учайные последова тельност и
(см . Псевдошумовы е по с ледо­
вательности)
Псевдоциклические коды 377
Псевд·о ш умовые последователь нос ти
,175-181, 253-254, 372-381
Путь на кодовой матрице инцидент­
ности 332
ПШ-последовательности (см. Лсевдо-
шумовые -последовате льности)
Равномерно наиболее мощный тест 24
Равномерные сверточные коды 388
Разбиваемый код 304
, необходимое н достаточное усло­
вие 306, 308-309
Райсовское распределение 91
479


Ра с п ределение мощности в синхрон­
ны х системах связи 258-283
( см . также Оптимальное рас­
пред е л ение мощности)
Ра сст ояние
Л11 407
нач альное 385
обобщ енное минимальное 397
хэ мминrов ское 35'8
Расши рени е максимального синхро­
низ и ру емого словаря 320
Расще пл1сн ный строб
синх рон и з атор
с
расщепленны м
стр обом 222-226
Рацион ал ьный спектр 11.6
Ребер син хр онизация 415
Регист р сдв ига, ли нейный с обратной
связью 177, 373, 390
Ре л ее вс кие замира ния в канале 110
Релее вское рас пределение 91
Решающие переменные 155
Рида-_lv\а.л .;J ера коды 383
, юц екс св ободы от запятой 457-
458. 461
Рида-Со.1 юrона коды 376
, индекс
неуязвимости 440-441
, исправ л яющие
ошибки синхрони­
зации, 443-444
Сам о снн хр о низирующиеся коды
3(}2 - 312
Сардин а са -Паттерсона алгоритм
293-295
Сверточ,н ые коды 383- 389
, декоди р•ование 398-401
, д л нн а кодового огр аничения 3-83
, нач а льное расстояние 384-385
, граница 385-387
, н11ча л ьное слово 384
по рожд ающая матрица 383
, скорость
передачи информации
383
СDободы от запятой индекс 432-
434 , 441
, гр ани ца 432-433
крон е;, е ровского произведения, кро­
не к е р овской •суммы и каскад­
ных кодов 454-458
Рид а - .\1а.~лера кодо'3 457-458,
461
Свойство п рефикса 288, 319
Сглаж ив ающий фильтр 119
Се гм ент суффиксного разложения
293
Сигна л /ш уч. отношение в импуль с ­
ных с 11стемах связи 55
Симво л
данных 7
инфор ,1а щ111 355
источ ни ка 284
кана.1а 77
4SO
кода 284, 355
приемника 392
проверочный 35б
Символы приемника 392
Символьные синхронизаторы 1196-233
АИМ 200-
.20 7, 2·1\7 -23-1
максимального правдоподобия
196-200, 217
,
непрямоугольные символы
226-231
, ортогональные символы 211 - 217,
224-226
отслеживание 217- 226
, символы, имеющие «тонкую с тру к­
туру», 251 -256
с отстающим я опережающим стро­
бированием 222-22.6
ФТ 207-211 , 2'17-231
Символьные синхронзаторы с диффе-
ренцированием 229-230
Симво,1ьный алфавит 77
Симметричный канал 406
Сингулярность запятой 344
Синдром 394-495, 425, 44 '8
Синхронизатор с отстающим и опе-
режающим строби рованием
2·22 - 223
Синхронизаторы, отслеживающие
символы 217-222
, когерентная
АИМ, бифазная ФТ
217-224
, некогереитная
АИМ, иедвоичная
ФТ, относительная когерентная
ФТ 224
, непрямоугольные символы 226-
23,1
,
ортогональные символы 224-226
Синхроиизаuиои иая задержка 297,
414- 415
в канале с гауссовским белым шу­
мом
метод свободы от запятой
470-471
, префи кс ный
метод 469-470
в каналах с шумами 468-472
в q-ичиом симметричном канале
470 - 471
,
метод свободы от запят ой
470-471
, префиксный
метод 458-469
, границы 301-302, 32,1
для кодов без за пятой 326
для кодов без .запятой с инвариант­
ным.и путями 333
, условие ограничениоспr задержки
298-299
Синхронизационная ошибка отслежи­
вания
, границы 131, 164, 1192-195
, ошибка
отслеживания несущей


, АИМ 237-238
, большое отношение снгнал/шум
244-245
при отдельном канале 150, 152,
153
ФТ 242
оши бка отслеживания символа
АИ~v\ ФТ 221, 223-224, 229-
230
, ортогональные символы 224-
226
системой ,Костаса 248-250
Синхронизация 9 (,см. также Несу­
щей синхро низац ия, Выборок
сообщения синхронизация, Сим­
вол, Слово)
в каналах с шумом 426-427
, выбор символов для синхрониза­
ции 175-188
высшег о порядка 10, 154---'l 92
, границы
для точности 13 1, 164,
192-194
кад ров сообщения 11
несу щей (отсчетов времени) 10 ,
148-154, 234-257
, неуязвимость на т-й позиции
419-422
, ура.внение для неуязвимости 419
по отдельному каналу 148-195
ребер 415
символов 1о, 196----233
слов л
'
, сравнение синхронизации ,по еди­
ному ка,налу с синхронизацией
по отдельному каналу 279-282
узло'в 415
фазовонекогерентная 168-175
Синхронизируемщ:ть 297 ( см . также
Синхронизируемые коды)
Синхрониэируемые коды 297 (см.так­
же .Коды с запятой, Коды без
запятой, Префиксные коды,
Синхронизируемые при исполь­
зовании ФТ коды, Синхронизи­
руемые коды, исправляющие
ошибки, Синхронизируемые фа­
зовые коды)
блоковые 3.25.:._35 4
, избыточность 353-354
, построение 327- 328, 331
, граница для числа слов 3-12 -318,
327
с различными длинами слов 297-
325
, максимальное число слов дли ­
ны L лли меньше 325
, проверка 298-299
, построение, 318-325
Синхронизируемые коды, исправляю­
щие ошибки 414-472
алгебраически синхронизнру е ,·!Ые
447-451
, границы для расстояния 444
, коды без запятой 418-425
, коды, исправляющие пачкн оши-
бок 451-454
, коды с запятой 417--418
, преф.иксные коды 415-417
, циклические ко ·ды 437-44 1
Синхронизируемые при .использ о вании
ФТ коды
, избыточность 349-353
Синхронизируемые фазовые к оды
458-461
Синхронизирующие посл.едо ва тельно­
сти 304-305
Синхрон ная система связи 6
Система синхронизации с задержкой
•195
Системы отслеживания при большом
отношении сигнал/шум для не­
сущей 242-246
Систематические коды 360
граница для индекса не у язвимо­
спr 436
, уязвимость ,по отношению к по­
тере синхронизации 423
Системы отслеживания при наличии
«тонкой структуры» 251-255
Системы ФАПЧ 125-146
вероятность потери синхрониза­
ции 146
, время входа в синхронизм .136-
141
второго порядка 133
с неточным лнтегратором 146
для несинусоидальных сигналов
141 - 14б, 150-154
, линей.ная модель 12.6
обобщенные
для отслеживания модулирован­
ной несущей 234 - 251
для символьной синхронизащии
217-231
, оптимизация 129- 13.6, 148-154
, ошибка отслеживания
131-134
первого порядка 133
, построение сигналов 148-154
, среднее время потери синхрониза-
ции 146
третьего порядка 134
, ширина полосы 131
, эффективная
амплитуда сигнала
1144, 150-151 , 219
Скорость передачи информации 357
для сверточных кодов 383
Словарь
декодируемый 2&3
, исправляющий ошибки .357
кодовый 286
481


мгновенно декодируемый 288
обращенный 294
полный 289
Сло во
кодовое 7, 286, 357
данных 7
Сл ов синхрон изация 11
, блоковые ,коды 326-354
, выбор статистик 463....:.._468
, код ы, исправляющие ошибки,
414-472
, неравномерные коды 297-3-25
синхронизационная заде ржка в
канале с шумами 468-472
Смеж,ный класс фазового кода 411
Смещение статистической оценки 47
Согласованные фильтры 59
, некогерентные 89
Состояние источника ,13
Спектраль н ая плотность мощности
импульсной последовательности
56
Спектр импульсной последователь­
ности 56
Среднее ,в ремя потери ,синхронизма
14'6
Среднеквадратическая •ошибка, зада­
ющая стоимостную функцию
46
Среднеквадратическая ширина поло­
сы :ш3
Статистика 13
, п-ой степени система 251
Степенная группа фазового кода 408
Стираний декодирование 396
Стирающий канал 393,
Стоимостная функция 45
Стоимость статистического решения
14
Суффикса свойство 295
Суффик·с кодового слова 288
Суффи~сное разложение
, кодовый словарь 293
множества 299
Тест отношения ,плотностей вероятс110-
стей 17
Тест среднего максимального правдо­
подобия для различения .гипо­
тез 24
Тихон ова распреде.~ение 147 265
Трансортогональный код 409'
Тран сортогональный символьный ал -
фавит 84
Узлов син хронизация 415
Укороченные циклические коды 37'6-
379
а ." 1 гебраически синхронизируемые
448-449
неуязвимые по · отношению к доте­
ре синхронизации 423-424
Универсальная синхронизирующая
последовательность 309-311
Упоряд оч енные разбиения цел ого чи;:­
ла 316
Уровень значимости теста р азличения
гипотез 14
Устойчивый фильтр 11'1
Устранение избыточности в сообще­
нии 286
Устройство автоматической регуш~ ­
ровки усиления 135-136
Устройство оценивания (формула
оценки) 46
меток • 163-lб8
модулированногQ сигнала 217
, минимизирующее среднеквадрати­
ческую ошибку ,113. - -:126
фазы 69-72, 123-126, 141-146
модулированной несущей 235-
251
Фазовая манипуля ц ия ( см . такж е
Двоичная ФТ)
, влияние неточной синхрониза цип
263
, дискретная амплитуда 97 - 100
квантованная 97-100
непрерывная по амплитуде 69-72
, оптимальное распределение мощ-
ности 273-279
относительный когерентный пр нем
100-104
, символь ная синхронизация 207-
2 11 , 217-231
системы отслеживания несущей
238-246
Фазовокогерентные ортогональные
КОДЫ 409
Фазовокогерентные системы 10
Фазовокогерентный прием дискре т­
ных символов 78-S7
Фазовонекогерентная символьная син­
хронизация 168-175, 1198-200
, АИМ 204-207, 224, 225
, символы, имеющие «тонкую стру­
туру» 251-256
Фазовонекогерентные системы IО
Фазовонекогерентный прием дискрет ­
ных символов 88-95
Фазовые коды 407 - 413, 458-461
без запятой 458-461
биортогональные 412
границы для ,максимального к о ­
эффициента корреляции ·Ю8
, кодирование и декодирование
412-413
ортогональные 4;09


ортогональные в фазовокогерент-
н,ом смысле 409
r-ортогональные 41 .2
, степенная группа 408
трансорт.огональные 409
Физически реализуемый фильтр 113
Фиксированный объ ем выборки
, поиск 26-32
Фильтр системы ,ФАПЧ
, оптимизация 129-1'36
ФТ 69-72 , 97-100 (см. также Фа­
зовая манипуляция)
Q-функцня 93
Хаффмана коды 2'90-293
Хорошо оканчивающаяся i-последо­
вательность 337
Хэмминговская граница 364
Хэмминг.овские коды 379
, не уязвимость п о отношению к п о ­
тере синхронизации 424-425
Хэмминговское раостояние 358
в сверточных кодах 384-389
в циклических кодах 371
, границы 360-366
Цепи
фильтра оптимизаци11 129-134
, ширина полосы, 131
Циклические коды без за •пятой
422-426
Циклические коды, исправляющие
ошибки Э66-З.76
, алгебраически синхронизируемые
4'47 -448
, без запятой 422-425
БЧХ 374-37 '6
, индекс неуязвимости 437-441
,
исправляющие и обнаруживаю­
щие пачки ошибок, 405-406
исправляющие ош11бки синхрони­
зации 442 -447
, максимальной д л и н ы 372-373
, ми нимал ьное
расстояние 371
, неуязвимость по отношенню к по­
тер е синхронизации 422-423 ,
425
, п ерф ори ров анн ые 377-379
, порождающая матрица 368
, порождающая матрица
нуль-про­
странства 368
, порождающий многочлен 367
пров ерочный много чл ен 368
, псе вдоциклические 37,/
, укороченные 376-377
, Хэмминга 379
Частичной автокорреляции функция
254
Частичной корреляции коэффициенты
:19.1
Частично самосинхро ни зирующийси
код 303
Частотная манипуляция 95
, символьная
синхронизация 211-
215, 224-22 '6
Чернова граница 404
ЧТ (см. Частотная манипуляция)
Шум
белый гаус сов•ский ,8
небелый гауссовский 75
Элайеса граница 363
Эффективная амплитуда сигна ,1 а в
системах ФАПЧ 144 , 150-151,
218-219
Эффективная оценка 47
Эффективная ширина полосы 56
АИМ
, к огерен тный прием 64
, некогерентный прием 69
, ВИ.М. 97
, ФТ72
'
чт 72
«Эффект квантования » при последа·
вательном поиске 40, 49


ОГЛАВЛЕНИЕ
Преди сл овие редактора перевода
Предисловие
Часть !
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Глава 1
Синхронные системы связи
l . l . .Введение
l .2 . Модель системы связи
l.3. Задача синхронизации
Глава 2
Проверка гипотез, теория решений и поиск
2. 1 . ,Введение
2.2. Выбор между двумя простыми гипотезами
2.3. Последовательный тест отношения плотностей вероятностей
2.4. Проверка сложных гипотез
2.5. Поиск
2.6. По следовательный поиск
.
2.7. Об оптимальном последовательном поиске
2.8. Проверка многих гипотез
.
2.9. Оценка статистических параметров
Задачи
Глава 3
Непрерывные по амплитуде и дискретные по времени системы связи
3.1 . Введение
3.2 . Теорема отсчетов
3.3 . О расчете систем импульсной модуляции
3.4 . Оптимальная демодуляция
3.5. Когерентная амплитудно-импульсная модуляция
3.6 . Не1,огерентная по фазе амплитудно - импульсная модуляция
3.7 . Ф азова н манипуляция
3.8 . Заключительные замечания
Задачl!
Глава 4
Дискрет н ые по амплитуде и по времени системы связи
Стр.
3
4
6
6
9
3
14
18
22
26
32
40
42
45
48
51
52
55
56
61
64
б9
72
74
4. l . Ввttдение
76
4.2. Оптиыальный когерентный по фазе приемник и его характеристики
78
4.3. Некогерентный по фазе прием
88
4.4. ,Генерирование ортогональных символов
.
95
4.5. Фазовая манипуляция (ФТ) . Когерентный по фазе прием
97
4.6. Фа з овая манипуляция. Относительный когерентный прием
100
4.7 . Сравнение вероятностей ошибок в бите, символе II слове
HJ5
4.8 . З а ключrпельные замечания
109
Задачн
110
484


Глава 5
Оптимальные фильтры, согласованные фил~тры и системы фазовой
автоподстройки частоты
5.1. Введение
5.2. Оптима,1ьный линей ный фильтр
5.3 . Пересмотр теории согласованных фильтро в
5.4. Формулы оценок пр и отслеживании фазы
5.5. Ли11ейная модель
.
5.6. Оптимизация фи льтра в систем е ФАIПЧ
.
5.7. Время входа в синхронизм
5.8. Систеыы ФАtПЧ и несинусоидальные сигналы
Задачи
•
Часть i !
СИНХРОНИЗАЦИЯ
Глава 6
Си нхрони за ция по отдельному каналу
6.1 . Введение
6.2 . Синусоидальные сигналы времени
6.3 . Несинусоидальны е сигналы времени
6.4. Пои ск метки
6.5 . Оцен ка меток
6.6 . Фазовонекогерентн ая синхронизация
6.7 . Выбор синхросигна ла . Псевдошумовые последовательности
6.8 . Выбор с11нхросигнала. Последовательности, быстро входя щие в
хронизм
6.9. Заключительные замечания
Задач11
ГлаRа 7
Синхронизация символов по максимуму правдоподобия
7.1 . Введение
7.2 . Символьный синхронизатор максима льн ого правдоподобия
7.3 . Синхронизация символов AИ/Vl
7.4 . Символьная синхронизация для ФТ
.
7. 5. Синхронизация ортого нальных символов
7.6. Синхронизаторы, отслеживающие символы
7.7. Синхронизация непря моугольн ых символов
7.8 . Заключительные замечания
Задачи
Глава 8
Синхронизация несущей метод ом максимального правдоподобия
син-
111
113
121
122
126
129
136
141
146
148
148
150
154
163
168
175
181
189
192
196
196
200
207
211
217
226
231
232
8.1 . Введение
234
8.2 . Синхронизация АИМ несущей
235
8.3 . Отслеживание фазы ФТ несущ ей
238
8.4 . Отслеж ивание фазы несущей при большом отношении с игнал /шум
242
8.5 . Система Костаса и -квадратична я система •
246
8.6. Отслеживание символов, имеющ их ·«тонкую структуру»
251
8.7. Заключительные замечания
256
Задач н
256
Глава 9
Задача распределения мощности
9. 1. Введение
.
.
9.2 . В л и я ние неточностей в опорных сигналах. А~шюп у дно- _импульсная мо­
дуляция
9..3 . Влияние неточностей 13 опорных сигналах. Фазовая ман ип уляция
258
261
263
485


9.4 . Влияние неточностей в опорных сигналах. Ортогональные символы
9.5 . Оптимальное р ас пред еле ни е мо щн ости
9.6 . Сравнен ие си нхрони зации пс, отлельном у каналу с с инхронизацией в
случае еди ного канала
9.7 . Заклю чите,1ьные заые ч а ния
Часть ///
КОДИРОВАНИЕ
Г лава 10
Кодирование исто•tника. Однозна<Jнос т ь декодирован ия
270
273
279
282
10.l. Введение
284
l 0.2 . Неравенство Крафта и пv.1н L1е сл о ва ри
287
10.3 . Коды Хаффма н а
290
10.4 . Проверка пр оизвольного с:ю в аря на однозн а чн у ю декоди р уемост ь
293
Гл аоа ll
Синхронизируемость
ll . l. Введенне
l l.2 . Проверка словаря на синхр о низнруемость
11.3 . Самосинхронизирующиеся 1,одовые словари
11.4 . Верхняя граница для числа ,с лов в синхронизируемом словаре
l l .5 . Максимальные синхронизируемые словари
.
Глава 12
Синхро11Изируемые бJюковые коды
12.1 . Введение
-
12 .2 . Коды без запятой
12.3 . Коды без запятой с инвари а н тн ыми пуТЯl\1!1
12.4 . Префиксные ~<о д ы
12.5 . Коды с запятой
12 .6 . Блоковые коды, синхронизир у е м ые н ри испо:1ьзовании ФТ
12 .7 . За ключительные заме чани я
Глава 13
Кодирование для устранения ошиб ок
13.1 . Введение
13.2 . Линейные коды
13.3 . Границы для ми1-шмалыюго рассто яния между кодов ыми словами
13.4 . Циклические коды
13.5 . Некоторые важные ЦИ](.~ичес1,ие 1< оды
13.6 . Перфорированные циклические коды, укороченные циклические коды
и коды Хэмминга
.
.
.
13 .7 . Кронекеровское произведе нне, кр о некеровская сумма и каскадные ко-
ды.
.
.
• 13.8 . Сверточные коды
.
.
.
13.9 . Кодирование и декодирование ли нейны х кодов
13. 10. Вероятности ошибочного декодирования
13. 11. Кодирование для канала с бе.11ым г ау ссовским шумом. Полифазные
КОДЫ
Глава 14
Синхронизируемые коды, исправ.~яющие ош ибки
14 .1 . Введение
.
.
.
.
14.2 . Префиксные коды и коды с за п ятой , исправляющие ошибки
14.3 . Коды без запятой, и с пр авляющие ошибки
.
.
14.4. Цикл ические коды бе з запятой
14.5 . Синхронизация в каналах с шум а ми
486
297
297
302
312
318
326
326
331
336
344
349
353
35.' j
358
360
366
372
376
379
383
389
401
406
414
415
418
422
426


14 .6. Последовательности Барке р а
427
14 .7 . Индекс свободы от запятой
432
14.8. Вычисление индекса неуязвиыости смеж н ых J{лассов ли н ейных кодов 435
14.9 . Индекс неуязвимости циклических кодо в
437
14.10. Коды, исправляющие ошибки синхрон и зации
.
442
14.11. Алгебраически синхронизируемые коды, исправляющие ошибки
447
14.12 . Си н хрон и з и руемые коды , исправляющие пачки ошибо1{
451
14. 13. Индекс свободы от запя11ой в кронекеровском произведении кодов,
,кронекеровской сумме кодов и в каскадных кодах
454
14 . 14 . Фазовые коды без запятой
458
14. 15. Фазовые последовательности Баркера
.
461
14.16. Синхронизация слов и кадров. Выбо р статистик
463
14.17 . Синхронизация слов и кад:ров. Синхронизационная задержка
468
Ал фа 1111 т но-предметны II указ ат е л ь
473


Дж. Дж. Стиффлер
Теория синхронной связи
Пер. с англ. Б. С. Цыбакова
под ред. Э. М. Габидулина
РедакторС.Т.Симонова
Техн. редактор К- Г. Мар к о ч
ХудожникА.В.Львов
Корректор Л. Н. Л еще в а
Сдано в набор 10/XI 1974 г.
Подписано в печ. ,10/IV 1975 r .
Форм. 6Ох90/ 16
Бумага писч. No 1
30,5 усл . -п. л.
ЗЗ,25 уч.-нзд. л.
Тираж 7 700 экз.
Изд. No 16374
Зак. No 281
Цена 2 руб. 90 коп.
Издательство «Связь~, Москва 101000,
Чистопрудный бульвар, д. 2
Типография издательства «Связь»
Госкомнздата СССР
Москва 101000 , ул . Кирова, д. 40