Автор: Финк Л.М.  

Теги: электротехника   общая радиотехника   радиотехника   телекоммуникации   передача информации   теория связи  

Год: 1978

Похожие

Сигналы, помехи, ошибки.. Заметки о некоторых неожиданностях, парадоксах и заблуждениях в теории связи

Антенные решетки подвижных обзорных РЛС. Теория, расчет, конструкции

Будущее открывается квантовым ключом

Теория сложных сигналов

Текст 
                    Л. М. ФИНК
. СИГНАЛЫ,
ПОМЕХИ7
ОШИБКИ ...
6:)_,/ , 3qf
ер sg
(ЗАМЕТКИ О НЕКОТОРЫХ НЕОЖИДАННОСТЯХ,
ПАРАДОКСАХ И ЗАБЛУЖДЕНИЯХ В ТЕОРИИ
СВЯЗИ)
"'1 \_
г,'
,_
Jr' V.,; \
-
t
,.; С'
[1]
Москва <tСвязы 1978
..,;
... ~
....-
•
• .,.._.._
··'-~
.; ,•
-
t:-:'·
.:....!,
f r ~··.' :. ...."t.:::~r.i~ ( ··~i:•."'J~,•~=::?:~:~:
i
l,. otlt< ·'~
(
~ ~з;а~~~~~ам~ _ \


32 .84
Ф59
УДК 001 ,ЗЭВ
Финк Л. М.
Ф59 Сигналы, помехи, ошибки ... (Заметки о не-
которых неожиданностях, 'Парадо~сах и заб­
луждениях rв теории ,связи) - М . : Связь,
1978. - 272
с., ил.
,
55 коп.
Представляет собой заметки различного содержания, от­
носящиеся к статистической теории связи. Наряду с воспоми­
наниями о ~адачах, которые приходилось решать автору на
протяжении сорока пяти лет его научной работы, здесь разби­
раются некоторые парадоксы, а также часто встречающиеся
ошибки. Основное внимание в книге уделяется не законченным
решениям задач, а процессу поиска решения.
Предназначена инженерам и аспирантам, специализирую ­
щимся в теории связи и радиотехнике, будет полезна препода­
вателям и студентам институтов связи, а также широкому кру­
гу читателей, интересующихся историей и практикой науки.
30401 - 139
Ф 045(01)-78
ИБNo1
12- 78
ЛЕВ МАТВЕЕВИЧ ФИН!(
СИГНАЛЫ, ПОМЕХИ, ОШИБl(И
РедакторыВ. Л, Черняк,Т. П. 1(оврова
ХудожникЕ. Н. Ал.ексеев
Художественный редактор А. И . Мои се ев
Технический редактор !(. Г. М а р к о ч
!(орректор Г. Ф. 1(цоева
ББК 32.84
6ФО .1
Сдано в набор 25/V 1977 r.
Подп . в печ. 24/VI! 1978 r.
Т-15202 Формат 70Х100 1 /з, Гарнитура литературная, печать
высокая. Бумага тип . No 2 11,05 усл.-печ. , 1. 11,06 уч.-изд . л .
Тираж 10 ООО экз. Изд. No 17288 Зак. тип. 657. Цена 55 к.
Издательство «Связь». Москва 101000,
Чнстопрудный бульвар, д. 2
.
.
От п ечата"~;о с набора типографии издательства «Связь», Москва
101000, ул . Кирова; д. 40, в Московской типографии No 4 Союз ­
полнrрафпрома Государственного комитета СССР п о делам
изд ательств, полиrрафии II книжной то р говли
r. Москва, И -41, Б. П е р еяславская, 46
© :ИзщателЬ1с1iво «,Овя-зь», 1978 ['.


1
L
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая читателям книга на з вана «Сигна­
лы, помехи, ошибки ... », т. е . посвящена основным
понятиям теории связи. Но речь в ней идет не
столько об ошибках, ~вызываемых помехами при пе- ·
редаче сигналов, сколько об ошибках, с которыми
автору приходилось встречаться в различных стать­
ях, учебниках, диссертациях, вьrступлениях и т. Ji., . .
Наряду с ошибками рассматриваются и некоторые
мало известные и подчас парадоксальные факты
теории связи.
Каждая глава представляет собой самостоятель­
ный очерк и может читаться независимо от других
глав, хотя определенная корреляция между глава·­
ми -есть :и их ,последовательно•сть не ,случ-айна.
Книга предназначена в основном молодым спе­
циалистам, особенно тем, кто собирается посвятить
себя научной деятельности. Предполагается, что
читатель является специалистом в области связи
или радиотехники, знакомым со статистической те­
орией связи по крайней мере в объеме курса соот- .
вет,ст.вующих :вузов. Тем не менее а·втор пытался
написать эту книгу так, чтобы -ее чтение было не
только ,полезным, но и в какой-то мере приятным.
На•сiюлько ему удалось .оправиться -с этой задачей,
смогут судить читатели .
Многие темы были подсказаны автору его това­
рищами, за что он их горячо благодарит. Особен­
но большую помощь при обсуждении материалов
книги оказали Д. Е. Вакман, Ю. А. Гольдштейн,
В. И. Коржик, Б . М. Машковцев, Ю. Б. Окунев,
Е. 3 . Финкельштейн и К. Н. Щелкунов.
Отзывы и замечания следует направлять в из­
дательство «Связь»: 101000, Москва-центр , Чисто­
пр удн ый бульвар, 2.
3


1
f
ОБ ОШИБКАХ, ПАРАДОКСАХ И ЗАДАЧАХ
этои книги
(Вместо введения)
1.1 . Об этой книге
К:нига эта посвящена в основном различным вопро­
сам теории связи . За последние 15-20 лет в нашей
стране и за рубежом появилось множество моно­
графий и тысячи журнальных статей, посвященных
этой сравнительно молодой области науки. Зачем
же автору понадобилось писать еще одну книгу?
Не будут ли в ней еще раз пережевываться давно
известные истины, слегка уточня ться оценки веро­
ятностей ошибок и пропускных способностей, отта­
чиваться доказательства старых теорем и т. д.?
Автор надеется, что это не так. Предлагаемая
читателю книга как по своему содержанию, так и
по форме отличается от большей части написанно­
го (или, по крайней мере, изданного) по теории
связи.
Во-первых, она не представляет собой система­
тического изложения теории связи или какого-ни­
будь ее раздела. Это сборник отдельных заметок,
4


----------------l
связь между которымй скорее ассоциативная, чем
.
логическая. Каждую из них можно читать незави­
симо от остальных.
Во-вторых, в настоящих «серьезных» моногра­
фиях и журнальных статьях обычно излагаютс~
окончательные итоги исследований, а поиски, до­
гадки, раздумья, ошибки и их преодоление остают­
ся, как правило, за рамками публикаций. О них
знают только сами авторы, да и то с течением вре­
мени забывают. В этой же книге, напротив, самое
пристальное внимание уделяется не описанию гото­
вых результатов, а процессам их поиска. Именно с
этой позиции проводился и отбор материала. Ко­
нечно, для систематического курса или для моно­
графии такой подход был бы кра-йне неэкономич­
ным. Но эта книга и не претендует на то, чтобы за­
менить систематическое руководство по теории свя­
зи, которых написано достаточно много и на любых
уровнях сложности и строгости. Она призвана до­
полнить их путем показа «кухни» научных иссле­
дований. Думается, что она должна при.нести пол:ь­
зу молодым специалистам, особенно тем, которые
собираются посвятить себя самостоятельному на-
учному творчеству.
.
Третья особенность данной книги предопределя­
ется предыдущими и отражена в ее названии. На­
ибольшее внимание здесь уделяется «подводным
камням», вс-гречающимся на пути исследователя.
Это различного рода ошибки, которые уже совер­
шали-сь предыдущими поколениями ученых и от
которых не гарантиро:ваны их 1последователи.
Это также различного рода парадоксальные ре­
зультаты, заставляющие призадуматься и более
тщательно проанализировать изучаемую проблему,
а иногда и пересмотр еть общепринятую точку зре­
ния.
5


С одержание предлагаемых з аметок довольно
разнообразно. Однако они все так или иначе зат­
раги n ают основные ра зд елы теории связи, а им енно
теорию сигналов (в том числе вопросы модуляции),
теорию оптимальной обработки сигналов и помеха•
устойчивости, . теорию информации. В частности,
возникновение многих парадоксов и ошибок вызва­
но смешением «мгновенной частоты» сигнала и ча­
стоты его спектральных составляющих ·. Еще боль­
ше примеров ошибок дали «изобретатели» всевоз­
можных «вечных двигателей» в связи. Под этим
понимаются различные лжепроекты устройств или
способов модуляции ,и обработки 1сигнал()IВ, якобы
позволяющие превысить пропускную способность
канала или, еще чаще, снизить вероятность ошибки
по сравнению с минимально возможной при опти­
мальном приеме.
Столь же многообра1зны эти заметки по ,свое­
му жанру . Одни из них представляют воспомина­
ния автора о решавшихся . им отдельных задачах,
другие - короткие статьи, посвященные истории
связи или какой-либо мало исследованной пробле­
ме, третьи - методические соображения о препода­
вании, четвертые - отдельные мысли, могущие по­
родить плодотворные идеи. Автор позволил себе в
некоторых местах даже нарушить существующую
традицию и вести изложение от первого лица.
Таким образом, этр. книга не представляет со­
бой «серьезной» монографии. Но в то же время это
и не научно-популярная книга, рассчитанная на
среднего образованного человека, желающего по­
лучить общее представление о неизвестной ему об­
ласти науки.
6


1.2. Ошиб1tи
Прежде че.м приступить к соб_стJЗенло содержадию
книги, следует остановиться на том, что же пред­
ставляют собой · те ошибки и парадоксы, которым
посвящена значительная часть последующих заме­
ток. Что такое ошибка - ясно каждому. Это ре­
зультат, не соответствующий реальной действитель­
ности. При'l:ины ошибок в научных исследованиях
весьма многочисленны и разнообразны. Конечно,
тривиальные ошибки, возникшие в результате
обычного недосмотра или описки при расчете, не
. представляют
особого интереса и здесь рассматри­
ваться не будут. Известным литературным приме­
ром такой ошибки, повлекшей крах задуманного
предприятия, является ошибка героев Жюля Вер­
на, попытавшихся выпрямить земную ось за счет
отдачи при выстреле из гигантской пушки. При
расчете была допущена описка, в результате кото­
рой ожидаемый эффект оказался в 106 раз больше
действительного.
Значительно полезнее анализ ошибок, вызван­
ных более скрытыми причинами . Такими часто яв­
ляются не адекватная исследуемому .явлению ма­
тематическая модель, некорректная аппроксима­
ция, смешение сходных, но не тождественных по­
нятий, догматический перенос закономерностей,
справедливых для ограниченного круга явлений, на
другие и т. п. Говоря об источниках ошибок, нель­
зя не упомянуть о ряде психологических факторов,
способствующих появлению ошибок и мешающих
их виновникам осознать их и исправить. Здесь и
изящество полученного результата, с которым труд­
но расстаться, и многообещающие практические
прим ен ен ия, которые произвели бы переворот в
технике , если бы все было верно, и убеждение ав-
7


тора в том, что он непризнанный гений. В большин­
стве случаев все это является результатом низкой
общей и научной культуры и недостаточной при­
вычки к самопроверке и самокритике.
Вероятно, еще ни один исследователь (в том
числе и автор этой книжки) не смог избежать тех
или иных ошибок. Важно, чтобы он не упорствовал
в своих заблуждениях, когда они стали для всех
очевидными.
Иной раз даже очень крупные ученые ошибались. Так,
выдающийся ф.изик Хевисайд, много сделавший для изучения
распространения эл,ектромаnнитных волн, в овое время кате­
горичеоки отрицал возможность создания волноводов . В сво­
ей клаосичеокой работе о теории элект.ромаг.нет,изма он пи­
сал следующее (цитирую по книге [8]):
«... Возникает вопрос, можем ли мы пропустить электро•
магнитную вол-ну вдоль внутренней поверхности трубы напо­
добие светового луча? Мы, безусловно, можем сделать это
при наличии внутри трубы второго провода, потому что это
не отлнчает,ся . сущест,венно от случая двух проводов, каждый
вне другого. Но это -не представляется возможным без внут­
реннего цровода, ибо если мы ег о уберем, то внутри не оста­
нется ниче_го, на чем могли бы окончиться . т рубки сме щен и я
и вдоль чего о н и мо гли бы распространяться .. .»
Так,ое выоказывание звуч,ит особенно странно, если
учесть, что Хевисайд в то время достаточно яоно представ ­
лял, что электромагнитные волны могут раопространяться в
свободном пространстве, причем силовые линии замыкаются
сами на себя.
Другой пример того же рода относится к более близко­
му нам nремени. В 50-х годах два очень крупных ученых,
много оделавших для развит,ия теории связи, подверг ли кри•
тичес1юму пересмотру известную формулу Шеннона для про­
пускной способности С канала с полосой пропускания F и
аддитивным гауссовским белым шумом
С= F log2 (1 + Рс/Рш),
(1.1)
где Ре - мощность сигнала; Рш
-
мощность шума.
Вместо этой формулы они получили другую, «уточнен­
ную» :
C=F[log2 (1+Pc/Pщ)·-l] .
(1.2)
&


Их не смущало то обстоятельство, что вычисленная по
их фо,рмуле пропус1шая способность при Ре =Рш оказывает­
ся равной нулю, хотя все знают, что и при равенстве мощ­
ностей сигнал-а и помехи можно худо-бедно какую-то инфор­
мацию передать. Их даже не удивило, что при переходе от
двоичных к друг.им ед1иницам для количества информации,
например к натуральным, т. е. при замене • дваич,ного лога­
рифма натуральным, прапускная способность окажется нуле­
вой при Рс/Рш,::::; 1,71828. Заметим, что по верной ф-ле (1.1)
пропуск•ная способiшсть равна нулю лишь при Р 0 /Рш=О не­
зависимо от единиц измерен.ия инфармации. Замена основа­
ния логаrшфма приводит лишь к соотв-е11Ствующему переходу
к другим единицаы, а не изменяет ха,рактер зависимости С
от Рс/Рш, как это происходит с ф-лой (1.2). Лишь через не ­
сколыко лет авторы ф-лы ( 1.2) фактически отказались от
нее.
Значительное число примеров различных не три­
виальных ошибок будет приведено ниже. Сущест­
венное внимание будет уделено анализу причин, ко­
торые привели к ложному результату.
1.3. Парадоксы
От ошибок следует отличать парадоксы. Термин
«парадокс;> имеет ,много значений. В логике ,пара­
док,сом называет-ся такое рассуждение, которое за­
кономерно приводит ·к двум •противоречивым rвы­
водам.
Парадоксами часто называют такие рассужде­
ни~, которые приводят к противоречивым резуль­
татам вследствие некоторых мало заметных пог­
решностей в постановке задачи и принятых опре­
делениях.
Приведем простой, может быть даже тривиаль­
ный, пример, в котором неточность формулировкl{
легко бросается в глаза . Пусть некоторый сигнал
передается одновременно по двум параллельным
каналам . Каналы между собой статистически неза-
9


висимы, н вероятность ошибочного приема в каж­
дом из -них Р1 = Р2 = О,1. Изве{:тно, что в одном из
этих каналов сигна л прин ят оши б очно. Какова
при этом условии вероятность, что он принят оши­
бочно в обоих к аналах?
Первоерешение. В одном канале, поусло­
вию, сигн а л принят ошибочн о. Во втором канале он
с вероя тн остью 0,1 принимается также ошибочно,
а с вер о ятн остью 0,9-правильно . Таким обра з ом,
при указанн о м условии вероятность того, что ошиб­
ка произошла в обоих канала х , равна 0,1.
Второе решение. При передаче сигнала по
двум каналам возможны четыре безусловных ис­
хода:
а) в обоих каналах сигнал принят верно. Веро­
ятность этого исхода равна Ра=О,9 2 =0 ,81;
б) в первом канале сигнал принят верно, а во
втором ошибочно. Вероятность этого равна р5=
=0,9 -0, 1 =0,09;
в) в первом канале сигнал принят ошибочно, а
во втором верно . Вероятность этого исхода, как и
предыдущего, равна Рв=О,09;
г) в об оих каналах сигнал принят ошибочно.
Вер оятность этого равна Рг=0,l2=0,01.
В соответствии с условием з адачи известно, что
исход «а» не имел места. Вероятность · того, что при
этом условии возник исход «г» , очевидно,
Ргl(Рб + Рв + Рг) = 0,01/(0,09 + 0,09 + 0,01) = 1/19.
Этот результат почти вдвое меньше, чем получен­
ный :в 1Пер.вом решении. Какой же из них ·в ерен?
Причиной неодно з начности ответа является не­
которая двусмысленность условия задачи. Выраже­
ние «в одном из этих каналов сигнал принят оши­
бочно» можно понимать двояко. Если оно означа­
ет « в одном, определенном канале (например, в
10
1


том, которому присвоен номер 1) , сигнал принят
ошибочно», то возможны только. два исхода для
второго канала и !ilравилы-rым яв ляется первое ре­
шение. Если же с мы сл сформулированного усло­
в и я заключается в то м, что «в каком-то одном и з
двух каналов сигнал приня т оши б очно » , то верно
второе решени е .
Различие между эти ми двумя пониманиями ус­
ловия м ож но более наглядно пояснить с помощью
формул. Пусть А - событие, заключающееся в
том, что ошибка воз никла в первом канале, а В -
независимое от А (и, следовательно, совместимое 1 >
с ни м ) событие, заключающееся в возникновении
оши бки во втор ом канале. В первом решении
ищется условная вероятность Р (А и BIA) или рав-
. ная ей условная вероятность Р (А и В IВ ) . Она,
очевидно, равна Р(А и В)/Р(А) или, учитывая не­
зависимость А и В, Р(А) Р(В)/Р(А)=Р(В) . Во
втором решении отыскивается другая условная ве­
роятность, а именно Р (А и В IА ил и В). Она рав­
наР(А иВ)/[Р(А иВ)+Р(АиВ)+Р(А иВ)],
где А озна ч ает событие, п р от ивоположное А. Если
бы формулировка условия в задаче была более оп ,.
ределенной, то никакой двузначности решения не
возникало бы .
•
Заметим, что аналогичные парадоксы, овнзанн ые с неточ­
ностью фор.мули ро выи услов,ия, давно известны и упоминают-
1) Кое-где в литературе встречаются упоминания о собы­
тиях «независимых и в то же время несовместимых». Это,
конечно, основа·но на недоразумении , посколы<у несовмести­
мость подразумевает весьма «сильную» зависимость. В самом
деле, если события А и В .независимы, то это значит, что
Р(А/В)=Р(А) и Р(В/А)=Р(В). Если же они несовместимы,
то Р(А/В)=О ,и Р(В/А) = О . Объеди1няя эти равенс11ва, :полу:
•шм Р(А)=О и Р(В)=О. Следовательно, независимыми и не­
совместимыми могут быть одновременно только события,
имеющие нулевую вероятность.
11


ся во м,ногих популя·рных книгах . Типичный пример такой за­
дачи - у Иванова двое дiетей, известно, что один из них
мальч·ик; ка~юва - вероятность того, что у нег о два маль чика?
С другой стороны , у Петрова тоже двое детей , причем из­
вестно, ч то старший мальчик ; к акова вероятность того, что у
Петрова два мальчика? Пр ещполагается, коне ч но , чт о р ожде ­
ние мальчика или девоч ки - события независи м ы е и ра вно­
вероя11ные . После -о~б1сужsд-ения [!р едьl!дущет о- [!ри мер а чит ате ль
л-епко ,сюGб,раз,ит, 1tпо 1в-ер•оя т,н о1с ть ,иметь д,в,ух . ,мальчИ,к о,в ,р а!В1на
для Ива,но,ва -1 /3, .а щля Петро·ва- ,1/2:.
Иногда термин «парадокс», или «парадоксаль­
ное решение» применяют и к вполне однозначному
и закономерно полученному выводу, если он про­
тивор ечит тому, что ожидалось получить интуитив­
но, или, ,как иногда говорят, проrгиворечит «здра­
вому смьiслу». Приведем в заключение пример та­
кой з адачи .
Три пеленгатора одновре менно п еленгуют не­
который объект . Если бы пеленгование производи­
лось абсолютно точно, то три линии пеленга, про ­
веденные от каждого и з пеленгаторов, пересеклись
бы в одной точке, в месте
нахождения
пеленгуемого
объекта (предполагается,
что объект не лежит на од­
ной прямой ни с одной и з
пар пеленгаторов) . В дейст ­
вительности пеленг получа­
ется с некоторой ошибкой, и
поэтому линии пеленга пере­
секаются не в одной точке
Рис. !.! . Пеленгов а ние (рис. 1.1), а образуют неко­
тремя п ел е нгаторами
торый треугольник АВС.
Очевидно, что если ошибки
пеленгования малы, то объект находится где-то не ­
далеко от точек А, В и С : Лет тридцать тому назад
среди специалистов, занимающи хся практи кой п е- 1
12


ленгования, было очень распространено мнение, что
в отсутствии систематических ошибок пеленгуемый
объект с большой вероятностью (во всяком случае
с вероятностью, большей 1/2) находится внутри
треугольника АБС. Проверим это утверждение.
Введем естественное допущение, полагая, что
угловая ошибка пеленгования является случайной
величиной, принимающей с равной вероятностью
положительные и отрицательные значения. Найдем
при этом предположении вероятность того, что пе­
ленгуемый объект находится внутри треугольника
АБС.
Решим эту задачу, предполагая, что пеленгуе­
мый объект О находится вне треугольника аЬс, в
вершинах которого расположены пеленгаторы.
Для определенности выберем обозначения пеленга­
торов так, чтобы прямая ОЬ лежала вну,:ри угла
аОс.
Существует восемь равновероятных сочетаний
знаков угловых ошибок пеленгования, которые по­
казаны на рис. 1.2. Легко видеть, что только при
двух сочетаниях, когда ошибки пеленгаторов а и с
имеют одинаковый знак, а ошибка Ь ~ противопо­
ложный им знак, пеленгуемый объект оказывается
внутри треугольника АБС. Не менее легко убедить­
ся в том, что этот результат не зависит от величин
ошибок, а только от их знаков. Поскольку все во­
семь сочетаний знаков ошибок равновероятны, ис­
комая вероятность того, что объект пеленгования
находится внутри треугольника АБС, равна 2/8=
=l/4.
Совершенно аналогично и с тем же результатом
рассматривается случай, когда объект пеленгова­
ния находится внутри треугольника аЬс. Различие
заключается лишь в том , ЧТQ при таком располо-
13


Ри с . 1.2. К задаче о трех пеленгатора х
жении благоприятными являются два случая, ког­
да знаки всех трех угловых ошибок одинаковы.
Неожиданность полученного решения состоит
. не только в том, что найденная вероятность оказа­
лась значительно меньшей, чем это ожидалось.
Примечателен тот факт, что эта вероятность не за-
. висит ни от дисперсий угловых ошибок, ни от вида
распределения - их вероятностей (которые могут
быть и не .одинаковыми), ни от раеположения
-пеленгаторов. Достаточно, ,чтобы зна,ки угловых
ощwбок для каждого ,пеленгатора были равно-
13ероятны. _
Такой результат, на первый взгляд, даже проти s
-воречит здравому смыслу. :Как может быть, что
для очень точных пеленгаторов , у которых диспер­
·сия ошибки ничтожно мала, искомая вероятность ­
. такая . же; как и для самых грубых? Одна~<о если
J-Ieмнor;O' вдуматься, то никакой нелепости в этом~не
обнаруживается . При точных пеленгаторах треу,-
J4


гольник АБС будет, как правило, очень малым, а
при грубых пеленгаторах -:- больщим. Поэтому, не­
смотря на то, что вероятность нахождения объекта
внутри этого треугольника в обоих случаях одина­
кова, точные пеленгаторы позволяют оценить его
положения значительно лучше, чем грубые.
Приведенные здесь примеры имеют лишь весь­
ма отдаленное отношение к теории связи . Ниже бу­
дут рассмотрены ошибки и парадоксы, характер е
ные для проблем связи. Главы 2- 8 посвяп..1.ены в ·
основном детерминированным сиr:налам и цепям.
Далее наибольшее внимание уделяется статистиче­
ской теории связи и некоторым смежным с ней
вопросам.


2
СПЕКТР И МГНОВЕННАЯ ЧАСТОТА
2.1. Спор о спектре амплитудномодулироваиного
сигнала
Частота и спектр - это, пожалуй, два понятия, ко­
торыми больше всего пользуются современные ин­
женеры связи. Трудно поверить, что, например, тех­
ника радиосвязи развивалась в течение десятка
лет без использования каких-либо представлений
о спектрах радиосигналов. А между тем так оно и
было. Даже тогда, когда в технику телефонной свя­
зи спектр сигнала вошел в качестве одной из осно­
вных инженерных характеристик, в области радио­
связи (в те времена главным образом радиотеле­
графной) о спектре сигнала почти не говорили.
Причину этого понять нетрудно. Спектры приме­
нявшихся тогда радиосигналов (пачек затухающих
синусоид, подвергнутых амплитудной манипуляции,
а позднее - амплитудноманипулированные незату­
хающие синусоиды при частоте манипуляции, не
превышающей нескольких десятков герц) были
значительно уже, чем полоса пропускания контуров
в передатчиках и приемниках. Поэтому вопрос о
16
1
1
1


~i1
111l
l
спектре радиосигнала с точки зрения инженерной
практики был совершенно неактуальным .
Положение изменилось с появлением радиоте­
лефонии, которая осуществлялась вначале тоJ1ько
с помощью амплитудной модуляции. Передавае­
мый сигнал s(t) при этом может быть представлен
в форме
s(t) =А(t)cos{ro0 i+rp0
),
(2.1)
где А (t) - огибающая (или «переменная амплиту­
да») сигнала; wa=2nfo - его круговая частота 1J;
(J)o - его начальная фаза.
Отл·ичие этого сигнала от чисто гармонического
Acos (,w01t+i(J)o) с постоянной амплитудой А на пер ­
вый взгляд ничтожное. Все дело только в том, что
в одном случае А - постоянная, а в другом
-
пе­
ременная величина . Однако, как хорошо известно,
спектры этих сигналов качественно различны - в
случае постоянной амплитуды А весь спектр состо­
ит из одной единственной составляющей с частотой
roo (монохроматический спектр), в случае перемен­
ной А спектр оказывается сложным и характер его
определяется видом функции А (t). В частности,
при модуляции одним тоном с частотой Q < ,wa сиг­
нал имеет вид
А0[1+тcosQt]cos(ro0 t+(J)0
)
= А0cos(ro0 t +(J)0 )
+
+ ..!!!:.. А0cos[(ro0 + Q) t + rp0] + .!::_А0cos[(w0 -
2
2
-Q)t+rp0J,
(2.2)
т. е. разлагается на три гармонические составляю-
1> В дал,ьнейшем везде слово «круговая» будет опускать­
ся и ве.пичина w будет называться просто частотой. Исполь­
зование в (2.1) косинуса, а не синуса ,11е меняет ·ничего -пр,ин-.
ципиально, но оказывается более удоб·liым в· .дальн:ейш&М,.
-
~с.tQ,с ..,:;17:,
о 7Г) L li.1 ') : ,~_:.-:~\~'6Сiс;.,Щ\ ',;$-'К,,ь ;'
1J(JU'L.}~··•·
=и
,_,...,о j


щие с частота ми wo (несущая частота), (l)o+Q (вер ­
х н яя б окова я частота) и ,Wo-Q (нижняя боковая
частота).
Все это сейчас отлично известно любому сту­
денту и трудно поверить, что в 20-е и даже в 30-е
годы нашего столетия некоторые крупные инжене ­
ры, в том числе изобретатель вак уумно го диода
ан глийский ученый Флеминг [47 ], возражали про ­
тив концепции боI{овых частот. Конечно, это воз­
ражение не было направлено против ф - лы (2.2).
Никто не собирался опровергать тригонометричес­
кую формулу разложения произведения косинусов.
Флеминг [47] не отрицал, что при сложении сиг­
налов от трех точно сфазированных генерiторов
гармонических колебаний-А co&(ffioi+<po), (т/2) Х
XAocos[(ffio+Q)t+i<po) и (m/2)Aocos[(ffio-Q)t+
+rq:>o] - можно получить в точности такой же сиг­
нал, как и при модуляции гармонического колеба­
ния гармоническим же низкочастотным сигналом
cosQt с глубиной модуляции т. Спор шел о том,
содержатся ли реально боковые частоты ffio+Q и
ffio-Q в модулированном сигнале.
Флеминг и его единомышленники полагали,
что преобразование (2 .2) является одним из мно- 11
гих возможных математических представлений л
ничего не говорит о реальном существовании бQко-
вых частот .. Например, даже простой гармониче- ·
ский сигнал можно всегда разложить различным
образом на сумму нескольких других сигналов.
Обозначим, например, через M(t) периодическую
«треугольную» функцию с периодом T=2л/ffio, оп­
ределяемую на интервале -Т/2,:;;)~Т/2 выраже-
нием
М(t) ={1+4t/T при t<О, }
1- 4t/T при t ::;;,-. О
13
• (2.3)


l
и периодически продолженную вне этого интерва­
ла, а через N(t)-функцию, равную coswot-M(t)
(рис. 2.1). Тогда по определению
cosro0t = М(t)+N(t).
(2.4)
Но можно ли на основании этого утверждать, что
в косинусоиде реально содержится «треугольная»
функция M(i)?
Рис. 2.1 . Разложение
гармонического
сиг­
н ала
Что же касается модулированного сигнала
(2.1), то мы видим, говорит Флеминг, что его час­
тота равна wo. Поэтому никаких других частот в
нем на самом деле не содержится, какие бы мате­
матические преобразования с ним не производили.
Как видите, доводы Флеминга были далеко не
так наивны, как их иногда представляют . Не со­
держат ли они некоторое рациональное зерн о?
К этому вопросу мы еще вернемся. Пока же от­
метим, что сл_едующий шаг в рассуждениях Фле­
минга был безусловно ошибочным. Он утверждал,
что поскольку в сигнале (2.1) существует только
частота roo, то его может выделить контур, настро-
19


енный на эту частоту, и чем острее будет резонанс­
ная кривая этого контура, тем лучше он отделит
этот сигнал от других сигналов с другими частота­
ми ,w1, w2, ... , лишь
бы эти частоты отличались от
w0. Отсюда делался вывод, что, в принципе, можно
в заданном диапазоне частот разместить сколько
угодно амплитудномодулированных (АМ) сигналов
и они не будут мешать друг другу, если их выде­
лять контурами с достаточно высокой добротно­
стью. Поэтому нет никаких оснований к установ­
лению частотных интервалов между полосами, от­
водимыми различным радиостан ц иям, и «плот­
ность населения эфира» лимити руется только се­
ле-ктивностью приемника.
Ошибочность этого вывода была полностью до­
ка з ана в х оде протекавшей в 1930 г . дискуссии .
Больш ую роль в ней сыграл и з вестный советскии
ученый , академи к Л . И. Мандельштам . Многие
участн ик и дискуссии отмечали, что боковая часто­
т а (и вообще любая составляющая спектра) ста­
новится реальной , как только используется селек­
тивная система , способная ее выделить. Это отно­
с ит ся н е только к гармонической составляющей.
Можно выделить, например, составляющую M(rt)
(2.3) из косинусоиды (2.4) , построив селективную 1
систему в виде пара м етрического фильтра, для ко-
~
торого треугольная функция М (t) является собст­
венной фун кцией (подробно см . ·[8]) . Однако мож-
н о и н е поль з уясь представлением о боковых час-
тота х пока за ть , что повыш е ние добротности конт у -
ров не позволит разместить без взаимных помех
сколько угодно АМ сигналов в заданной полосе
частот. Дл я этого достаточно вспомнить , что чем
выше добротность контура , тем больше и его инер­
ционн о сть , и поэто м у приходится больше времени
затрачивать на любое измененf!е ампщпуды коле,
20


баний в контуре. При увеличении добротности во з ­
никают условия, при которых, например, АМ сиг­
нал (2 .2) вызовет в контуре колебания, амплитуда
которых за период частоты Q не будет успевать за­
метно измениться. Со сп ектральной точки .зрения
это значит, что контур практически пропускает
только несущую частоту и сильно . ослабляет боко­
вые частоты.
Взгляды Л . И . Мандельштама хорошо изложе­
ны в книге [ 13] и поэтому подробно здесь не об­
суждаются. Проб л ема реальности б ок овых частот
уже давно стала досто я нием истории . О ней писа­
лось много раз в различных работах . Мы вспомни­
ли здесь об этом не для того, чтобы еще раз дока­
зывать существование боковых частот. Нас интере­
сует первопричина ошибки Флеминга. Но прежде
чем говорить о ней , вспомним еще об одной дискус­
сии, которая велась примерно в те же годы .
2.2. Спор об узкополосной частотной .
модуляции
В ходе полемики о боковых частотах АМ сигнала
практически всем специалистам стало ясно, что вся­
кое изменение а•мплитуды сигнала приводит к рас­
ширению его спектра. При амплитудной модуля­
ции гармоническим сигналом с · ча·стотой ,Q спектр
не может быть уже, чем 2,Q, и поэтому в диапазо­
не частот шириной Л нельзя разместить больше чем
Л/2Q АМ сигналов так, чтобы их можно было раз ­
делить ли н ейными част отно-,селекти1вными цепями.
Здесь п од ,Q нужно понимать максимальную часто­
ту спектра модулирующего сигнала. При радиоте­
лефонии (модуляции речью) обычно ·Q"'='2л,3000 Гц.
А все же расставаться с идеей более эффектив­
ного щ:пользовщпщ диапазона ча1;тот не хотелось.
21


И вот, у некоторых инженеров появилась мысль -
заменить амплитудную модуляцию частотной. Из­
ложим эту мысль примерно так, как ее описывали
в те далекие времена, когда теории частотной мо­
дуляции (ЧМ) еще не су ществовало.
Итак, пусть исходным модулируемым колеба­
нием будет гармонический сигнал А cos ffiot. Но,
в отличие от АМ, будем сохранять амплитуду А
постоянной. Вместо нее будем модулировать час­
тоту ffi, положив ffi = lffio+.Лffix (t), где х (t) - первич­
ный модулирующий сигнал, в простейшем случае
x(t) =cos<!:U. Предполагается, что x(t) - безраз­
мерная функция, принимающая значения в преде­
лах от -1 до + 1, величина ,Лffi - девиация часто­
ты, выбираемая, вообще говоря, произвольно.
Поскольку амплитуда А остается постоянной,
боковых __частот здесь не возникает. Правда, час­
тота та1юго 1си,гнала иэменяет,ся, но только- в преде­
лах от ffio - iЛffi до lffio+ ,Лiffi. Величину же девиации
Лrо можно выбрать достаточно малой, например
300 Гц или даже 30 Гц. Таким образом, можно пе­
редавать такой сигнал в узкой полосе частот, со­
ответственно равной 600 Гц или 60 Гц, вместо
6000 Гц при АМ, т. е~ в 10-100 раз увеличить чис­
ло каналов, размещен1ных в заданном диапазоне
частот. Прием же таких сигналов осуществляется,
в принципе, очень · просто - сигнал подается на
слегка расстроенный колебательный 1интур так,
чтобы средняя частота ffio соответствовала середине
того участка резонансной кривой, которую с неко­
торым приближением можно считать линейной. На
выхо,п.е такой цепи частотномодулированный сиг­
нал оказывается дополнительно промодулирован­
ным по амплитуде (рис. 2.2), после чего обычный
амплитудный детектор может восстановить первич­
ный (модулирующий) сигнал. Из рис . 2.2 видно,
22


что величина дентации никак не должна сказывать­
ся на рассматриваемы х операциях, если только
добротность контура выбрана таr,, чтобы его поло­
са пропускания, отсчитываемая на уровне 0,5, была
н е много больше удвоенной девиации. Поэтому, со-
Рис. 2.2 . Детектиро­
.
ванне ЧМ сигнала на
скате
резона ноной
крн,вой
t
A(t)
------►
{J
t
вершенствуя колебателышrt_ контур и добиваясь
повышения его добротности, можно уменьшать ве­
личину девиации и, следовательно, размещать _ все
большее число каналов в заданном диапазоне час­
тот.
Ошибочность такой точки зрения еще задолго
до выступления Флеминга отметил Карсон [ 17].
Сигнал ЧМ имеет спектр, в состав _ которого вхо­
дят боковые частоты вида ·u> 0 ±kQ, где k - любое
натуральное число, и, таким образом, теоретиче­
ски занимает бесконечно широкую полосу. Если
даже ограничиться той полосой частот, в которой
расположена только наиболее существенная часть
спектра, то и тогда необходимо будет учитывать.
хотя бы первую пару боковых частот, т . е. частоты
ш 0 ± ,~. Таким образом, спектр ЧМ сигнала опреде-
23


ляется не только девиацией и не может быть более
узким, чем спектр АМ сигнала при одинаковых мо­
дулирующих сигналах. Несмотря на ясность этого
вопроса, еще . в 1929 г. некий Робинсон получил в
США патент на применение узкополосной ЧМ для
сужения спектра передаваемого сигнала.
К:ак известно, в дальнейшем применение ЧМ
вело к расширению, а не сужению спектра, что уве­
личивало помехоустойчивость связи. Но сейчас нас
интересует не это обстоятельство. Поставим следу­
ющий вопрос - нет ли какого-то общего источни­
ка погрешности в рассуждениях одних авторов,
отрицавших реальность боковых частот при АМ,
и других, пытавшихся сузить используемую полосу
частот применением узкополосной ЧМ.
2.3 . В чем корень ошибки?
Действительно, такой источник ошибочных рассуж~
дений существует и рассмотрение его может быть
весьма полезным. К: сожалению, в известной учеб­
ной и монографической литературе ему не уделе­
но достаточного внимания. К:ак будет показано
ниже, и в настоящее время отдельные специалисты
совершают ошибки, в основе которых лежит неуме­
ние четко различать два похожих, но отнюдь не
совпадающих понятия - мгновенная частота сигна­
ла и частота его спектральной составляющей. При
спектральном представлении сигнала в виде ряда
Фурье он выражается суммой гармонических со­
ставляющих, каждая из них является функцией, за­
данной на всей бесконечной оси времени и характе­
ризуемой ам'Плитудой, ча,стотой ,и начальной фазой.
Строго говоря, понятия «амплитуда» и ·«частота»
можно применять только к такой гармонической
функции, как А cos (wot+cp), существующей при
24


1t1
t1
- o o<t<oo. Процессов, описываемых такими функ­
циями, в природе, по-видимому, не существует. Од-
1-rако, представляя реальный процесс рядом Фурье
(или, с некоторыми несущественными оговорками,
интегралом Фурье), его разлагают именно по та­
ким бесконечно существующим функциям с неиз­
менными амплитудой, частотой и начальной фазой.
Но спектральное представление сигнала не яв­
ляется единственно возможным и далеко не всегда
самым удобным. Часто реальный сигнал записыва­
ют в виде
s(t)=А(t)cos[w0t+ер(t)].
(2.5)
По своей форме такая запись очень похожа на вы­
ражение гармонического сигнала. Отличие заклю­
чается лишь в том, что «амплитуда» А (t) и «на­
чальная фаза» ер (t) (в 2.5) зависят от времени.
Частный случай такого выражения уже встречался
в (2.1). !Заметим, что в форме (2 .5) можно запи­
сать и финитный сигнал, т. е. отличный от нуля
только на некотором отрезке времени - от
.f1до f2.
Для этого достаточно положить <р ( t) = rr,/2-iwot
при .t<t1 и t>tz.
Величина ,w0 в (2.5) не зависит от времени и на
первый взгляд играет ту же роль, что и частота ffio
в представлении простого гармонического сигнала:
Аcos(Ф0t+ер0).
(2.6)
Однако удобнее определить «частоту» несколько
иначе.
Рассматривая выражение (2.6) и обозначая в
нем «полную фазу» (т. е. аргумент косинуса) че­
рез Ф (t) = 1w 0t+1ep 0, легко виде_ть, что частота ffio
равна производной начальной фазы dФ (t),/dt. Ана­
логично для сложного сигнала (2.5) обозначим и
определим «мгновенную частоту» ffi (t) =dФ/dt=
25


= ,w0 +dcp/dt. Она является функцией времени и в
общем случае не равна ,w0 .
Автор приносит извинения искушещщму читате­
лю за то, что он пересказывает широко известные
определения. Однако это оправдано необходимо­
стью подчеркнуть некоторые факты, на которые
иногда не обращают внимания.
Итак, сигнал (2.5) характеризуется мгновенной
амплитудой (или огибающей) А (t), мгновенной
ча,стото~ ffi (t) и м-гновенной начальной фаз•ой ер (t).
Но этот же сигнал можно представить в виде · сум­
мы спектральных составляющих, каждая из кото­
рых характеризуется своей . амплитудой, своей час­
тотой и своей начальной фазой. И в том и в дру­
гом случаях применяется термин 1«частота» по ис­
торически сложившейся традиции. Однако свойства
мгновенной частоты и частоты спектральной состав­
ляющей во многом различны. Одинаковой для них
является только размерность (радиан в секунду
или после деления на 2:п.; - герц). Что же касается
других свойств, то их различие представлено ниже.
Мгновенная ,,астата
!. Является функцией
времени
2. Для данного сигнала
в да~нный момент вре­
мени принимает одно
единствен,ное значение
3. Может
изменяться
26
при прохождетш сиг ­
нала через линейную
цепь
с постоянными
па,раметрами
Ч астата гармонической состав­
ляющей спектра
Не зависит от времени
Для данного сигнала в .'!юбой
момент времени существует
конечное, счетное или несчет­
ное множество спектральных
составляющих
с различными
частотами
При прохождении сигнала че­
рез линейную цепь с постоян­
ными
параметрам.и частоты
спектральных составляющих не
изменяются. Могут из .мениться
только их амплитуды и на ­
чальные фазы
1


1
'l
l~!
4. Не может являться
аргументом передаточ ­
ной функции цепи
Является аргумЕ1нтом переда­
точной функции линейной цепи
Некоторые другие свойства мгновенной частоты
будут рассмотрены в гл. 6.
Обратим внимание на третье свойство спект•
ральных составляющих. Именно оно является при•
чиной столь широкого использования спектрально­
го .представления сигналов. Учитывая свойство су­
перпозиции, характеризующее линейные цепи, мож­
но свести изучение прохождения сложного сигнала
через линейную цепь к прохождению отдельных
его составляющих. В качестве таких составляющих
удобно принять гармонические сигналы, так как
после прохождения через линейную цепь с постоян­
ными параметрами они остаются гармоническими и
сохраняют свою частоту. Если знать изменения,
которым подвергается амплитуда и фаза такого
гармонического сигнала при прохождении через
цепь (т. е. другими словами, передаточную функ­
цию цепи), то, пользуясь методом суперпозиции,
можно сразу получ_ить результат прохождения все­
го сложного сигнала.
Представление (2.5), в свою очередь, очень
• удобно при изучении прохождения сигналов через
безын ер ционные нелинейные цепи, например квад­
ратор. При определенных условиях A(t) и ш(t)
оказываются медленно изменяющимися функциями
времени, что позволяет получить ряд полезных точ­
ных или приближенных результатов. Но для изуче­
ния прохождения сигнала через линейную цепь
представл ение (2.5) не всегда удобно.
Ваметим также, что для идеального гармониче­
ского сигнала А cos (ш 0 t+ср0 ), -=<t<oo, мrно-
27


веhhая частоtа m0 является постоянной и совпада­
ет с частотой его ед и нственной спектральной со­
ст авляющей .
После этого краткого отступления легко понять,
что явилось первоприч и ной ошибок в спорах о
существовании боковых частот при АМ и о полосе
частот, занимаемой узкополосным ЧМ сигналом.
Только в результате сме ш ен и я п онятий мrнове н ной
частоты и часто ты спектральной составляю щей
могли возникнуть re недоразумения, о которых
здесь идет речь.
Действительно, АМ с игна л (2.1) s (t)=
=А (t) cos (,w0 t+cpo) имеет переменную огибающую
A(t) и постоянную мгновенную частоту 1w 0 . По ана ­
логии с простым гармоническим сигналом (2 .6)
Флеминг и его единомышленники отождествляли
эту мгновенную частоту с частотой якобы единст­
венной спектральной составляющей . Точно так же
изобретатели «узкополосной ЧМ » н е видели раз­
ницы между множеством частот, входящих в
спектр сигнала, и множеством значений, принимае­
мых мгновенной частотой. Поэтому они отождеств­
ляли ширину спектра с областью изм е нения мгно­
венной частоты сигнала .
Отметим одно интересное обстоятельство. В те
времена, о которых идет речь, радиоинженеры, го­
воря о частоте негармонического сигнала, обычно •
имели в виду мгновенную частоту, хотя этот тер­
мин тогда еще широко не исполь з овался. Такое
представление о частоте для человека, привыкше­
го оперировать с простыми гармоническими сигна­
лами, проще и естественнее спектральных представ­
пений. Именно на этой почве возникали парадоксы
и ошибочные · заключения, подобные изложенным
выше .
28
J4'1


2.4. Обжегшись на моло:ке .. .
Время шJю, ра з личные виды модуляции вl!едрялис ь
в технику связи, возникали многообразные задачи
о прохождении сложных сигналов через линейные
цепи, эти задачи решались чаще всего методом
спектрального анализа с использованием переда­
точной функции цепи. Примитивный подход с под­
меной спектральной частоты мгновенной приводил
к ошибкам, а спектральный анал из , применение
амплитудно-частотны х и фаза-частотны х х аракте­
ристик становились вс е более обычными и понят­
ными инженерам . Неудивительно , что в р ез ульта­
те этого у ряда специалистов в озникло п редубе ж ­
дение против самого понятия « мгновенная частот а»,
которое к тому времени уже было явно сформули­
ровано.
Пожалуй, в наиболее ярком виде это н еприятие
мгновенной частоты выразил Дж . Ш е кел в своем
«пи1сьме ,в редакцию » ж урнал а ,«Pюceedi ngs of the
Institute of Яadio Engeneers» [54] , в кот ором го ­
ворилось следующее:
«В недавно напечатанной ста тье си сте матически
применяется термин «мгновенная , частот а» . Многи е
авторы уже отмечали , чт о эт о т термин является
ошиб о чны м и вводя щи м в заблуждение, особенно
при рассмотрении частотной модуляции. Ниже мы
пред п олагаем показать, почему этот термин не при­
меним, и надеемся, что после этого он навсегда ис ­
ч е з нет из словаря инженеров связи» .
Далее в этом письме говорится , что мгновенную
частоту можно определить , совмещая в данной точ ­
ке заданную функцию и две ее производные с си­
нусоидой, удовлетворяющей, как известно, диффе ­
ренциальному у равнению
29


f"+(1)2f=о.
(2.7)
Поэтому мгновенную частоту любого сигнала сле­
дует в ыч ислять как
ш = V-f"Jf.
(2 .8)
Приведя такое п роизвольное определен и е мгно •
венной частоты, Шекел применяет его к сигналу
f(t) = sin g(t), причем «мгновенная частота» оказы•
вается равной V (g')2 - g" ctg g вместо, как он ГО•
варит, ожидаемого ,« интуитивного» значения g' (t) .
Получ и в явно нелепый результат, Шекел вместо
того, чтобы отвергнуть свое определение, ополчает­
ся, в первую очередь, на представление частоты как
производной фазы и в итоге вообще отвергает поня.
тие мгновенной частот ы .
Заканчи~ая ,свое ,nисьмо, Шекел 1Пишет:
«Поэ тому легко понять кажущиеся парадоксы в
такого рода утверждениюс: ,«максимальный отклик
резонансного iR ,LC контура на напряжение с пере­
менной частотой имеет место не тогда, когда мгно­
венная частота совпадает с резонансной частотой
контура» или ,«спектр ЧМ колебания значительно
шире области изменения мгновенной частоты». Эти
утверждения ошибочны, поскольку они основаны на
«интуитивном», но нев е рном понимании термина>>
(см . также ,[55]).
Обратим внимание на интересный факт. С
1929 г,, когда Робинсон получил патент на узкопо­
лосную ЧМ, до 1953 г, , когда Шекел опубликовал
свое письмо, прошло 24 года . За это время отно­
шение к спектру и мгновенной частоте в корне из­
менйлось. Робйнсон считал реальными только
мгновенные частоты, Шекел - только спектр.
:30
J
•


В одном из писем с. возражениями Ш е кеJiу Хок
(52] спр~ведJiиво заметил, что обобщать ур-ние
(2.7) на случай перем~нндй '!Ч rаюке нелепо
(improper), как подставлять uJ{1) непосредственно
в
выражение для
гармонического
сигнала
А cos (,ffit +(!)).
Не следует думать, что Шекел был одинок . Он,
может быть, только в более категоричной форме
высказал мысли, которые в 50-х годах разделяли
многие ученые . Приведем в качестве примера одно
,место из работы академика А. А. Харкевича [49],
которая в то время была бесспорно лучшей из книг,
трактующей вопросы спектрального анализа сигна­
лов, во многом опережала аналогичные зарубеж•
ные работы и сыграла выдающуюся роль в воспита­
нии не одного поколения инженеров связи. В од­
ном из ,«добавлений» к этой книге автор ее рас­
сматривает широко распространенную в те времена
теорию частотномодулированного радиолокационно-
го альтиметра.
•
Напомним современному читателю сущность
этой теории. Альтиметр предназначен для измере­
ния вьiсоты самолета над поверхностью земли. Для
этого с самолета посылается сигнал, модулирован­
ный по частоте по треугольному закону. Отражен­
ный от земли сигнал принимается бортовым прием­
ником. Его частота изменяется по тому же закону,
но с запаздыванием на -т:=2h/с, где h- высота, с
-
скорость электромагнитных волн.
На рис. 2.3 сплошной линией показано измене­
ние частоты излучаемого сигнала, а пунктиром -
принимаемого. На протяжении большей части вре­
мени разность частот передаваемого и принимаемо­
го сигналов остается постоянной и пропорциональ­
на -r , а следовательно, и h. Сложив излучаемый и
отраженный сигналы , получим биения разностной
31


частотой, которую можно выделить и измерить час­
тотомером, определив тем самым высоту полета.
По этому поводу А. А . Харкевич писал:
«Странно, что это наивное и в корне Rеверное
описание удерживается в течение долгих лет в тех­
нической литературе, тогда как общие ошибочные
fn=rra=
Рис. 2.3 . К пояснению
э- действия ЧМ альти ­
t метра
представления о частотной модуляции давно уже
ра з облачены и отброшены. Ошибка настолько оче­
видна, что прямо-таки бросается в глаза. Она ос­
нована на смешении спектральной и временной то­
чек зрения и вытекающем из этого смешения лег­
комысленном обращении с понятием частоты» .
«Дело в том, что периодически модулированное
по частоте колебание есть квазипериодический про­
цесс. Следовательно, такой сигнал обладает дис◄
кретным спектром с интервалами между линиями,
равными частоте модуляции . Но спектр отраженно­
го сигнала и м еет точно такой же вид, так как сдвиг
по времени не влияет на спектр амплитуд. Следова­
тельно, и сп е ктр результир у ющего сигнала (т. е.
32


суммы прямого и отраженного сигналов) будет об­
ладать спектром из так же расположенных дискрет ­
ных линий, и никаких плавно изменяющихся час­
тот, пропорциональных запаздыванию, не возника ­
ет и не может воз никнуть , какую бы нелинейную
обработку этого спектра мы ни предприняли» .
Вслед за этим в упомянутой книге излагается
«строгая» теория ЧМ альтиметра, в которой поня­
тие мгновенной частоты не используется . Правда,
построить такую теорию исхьдя из спектрального
представления очень трудно . Поэтому использует­
ся временное представление сигнала, . а для упро•
щения задачи линейная модуляция частоты заме ­
няется модуляцией по гармоническому закону .
Точку зрения А. А . Харкевича вполне можно по ­
нять. При подмене частот спектра сигнала его
мгновенной частотой во з никает много ошибок . Не ­
удивительно , что у ряда исследователей появились
предубеждение против использования мгновенной
частоты и стремление описывать сигналы только с
точки зрения и х спектральны х с оставляющих. По­
смотрим , к чем у ведет т а кая боязнь нестрогости в
использовании спектральны х представлений .
2.5 . Попробуем быть последовательными
Примем на время точку зрения, выраженную
А. А. Ха р кев ичем и еще более определенно Шеке ­
лом в приведе н ны х цитатах. При этом нельзя поль­
зоваться пр едставлениями об ам п литуде или час­
тоте, кото р ые изменяются во времени. Каждая
функци я может быть либо строго гармонич еской,
либо негармонической. В последнем случае ее мож­
но описывать некоторым аналитическим выраже н и­
ем, в частности, рядом или интегралом Фурь е . Под
запрет должно попасть и понятие мгнове н ного с п ек•
2 Зак. 657
33


тра, так как все сп е rпральные составляющие суще­
ствуют вечно.
Тогда мы должны объявить неграмотными или
не имеющими смысла следующие фразы:
«При частотной манипуляции частота излучае•
маго сигнала меня е тся скачком в моменты време­
ни, кратные Та» ..
.«В
нашем передатчике используется высокоста•
бильный генератор, частота которо го в течение су•
ток меняется не более чем на 3 1Гц».
«Спектр сигнала, модулирующего радиовеща•
тель н ый передатчик, изменя етс я при переходе от
речевой передачи к музыкальной».
«Утром я в ключи л генератор гар м онич ес кого
сигнала».
Вместо первой фразы нужно было бы говорить,
что «при частотной манипуляции сигнал описыва­
ется ф о рм улой s(t)=Aa[лcos 1w 1t+ (1 -л ) cos ,w2t],
где л - случайная величина, принимающая значе­
ние О или 1, опре д ел яе м о е передаваемым сообще ­
нием и могущее и зм енятьс я в моменты времени,
кратные Та».
Вм е ст о втор о й фразы : «Наш передатчик излуча­
ет спектр, часть которого, лежащая вблизи несу­
щ е й частоты ·,wa, сосредоточена в очень узкой по ­
лосе» (для количественной характеристики степени
стабильности пришло с ь бы ввод ить много вспомо ­
г ательных величин) .
Ч1~0 касается третьей фразы, то мысль о разли­
ч и и спе ктров речевой и м узыкальной передач, ка •
жется, вовсе невозможно выразить , отказавшись от
понятия мгновенного сп е ктра.
Последняя фраза оказывается недопустимой
потому, что сигнал, начавшийся в некоторый момент
времени, не может быть гармоническим.
34


Еще больше затруднений возникt-Iеt при попьi'Г •
I{ e пояснить частотную модуляцию , н е прибегая к
понятию о мгновенной частоте .
Таким обра з ом, отка з от представления о пере ­
менных амплитуде и частоте, хотя и предохраня­
ет от опасности впасть в некоторые заблуждения,
приводит к огромным неудобствам при описании
простых и привычных явлений. Представление
сложных (негармонических) сигналов в форме
(2.5) и введение огибающей, мгновенных фазы и
частоты чрезвычайно полезны . Необходимо только
помнить, что с мгновенной частотой н ельзя обр а­
щаться как с частотой со ставляющей спектра, в
частности, при и з учении прохождения с игнала че ­
рез линейную цепь .
Примерно так же обстоит дело с понятием о
мгновенном спектре, точнее о спектре, изменяю,
щемся во времени. - Представление о таком перемен ;­
ном спектре очень наглядно и широко использует­
ся инженерами, обычно не задумывающимися о его
физическом смы сле и математическом 1шражении .
Об этом задумался С . М . Рытов ,[36] , который по ­
I{азал, что сущность такого представления заключа­
ется в недоведенном до конца пр еобра з овании Ф у­
рье. Грубо говоря, вместо того чтобы рассматри­
вать спектр всего сигнала, заданного на бесконеч­
ной оси времени, мы ограничиваемся его спектр аль­
ным разложен и ем на конечном интервале длитель­
ностью Т. Ясно, что на различных таких интерва­
лах и «спектры» будут в общем случае различны.
Такое п редставление весьма удобно и адекватно ре ­
шаемым техн и ческим задачам , если используемы е
приборы не могут ,разделять или различать часто­
ты , отличающиеr,я на 1;Jеличину rюрядка 1/Т .
2*
35


2.6. R теории ЧМ альтиметра
Примитивная теория ЧМ альтиметра, подвергнутая
кр итике А. А. Харкевичем, коне ч но, н е может быть
п р и знана строгой, но ее достоинством является на­
гл ядность .
Можно, и н е отка з ываясь от понятия мгновен ­
ной частоты, и используя п редставление (2.5), а
также сп ектральные п р едставлен и я, изложить т ео ­
рию ЧМ альтиметра достаточно строго и намного
проще, чем это сделано в упомянутой книге [ 49].
Не останавливаясь на подробностях, покажем, что при
сложении двух частотномодулиров анных сигналов с постоян­
ными амплитудами возникают «биения», т. е. изменения оги­
бающей с частотой , равной р аз ности мгновенных частот . Ра с ­
смотрим с умму дв ух таки х силнало ,в
S1(t)+S2(t)=А1cosФ1(t)+А2cosФ2(t)
(2. 9)
с мгновенными частотами w1 =dФ 1 fd,t и w2 =dФ2/dt. Пу,сть
для определенности Ar~A 2. Обозначив Л(,t)=Ф2 (t)-Фr(t),
можно записать
s1(t)+s2(t)= А1cosФ1(t)+А2cos[Фi(t)+Л(t)]= Ai Х
ХcosФ1(t)+А2cosЛ(t)cosФ1(t)- А2sinЛ(t)sinФ1(t)=
= [Ai+А2cosЛ(t)]cosФ1(t)-А2sinЛ(t)sinФi(t)=
= V[Ai+А2cosЛ(l)]2+А~sin2 Л(t) cos[Ф1(t)+ЧГ(t)],
где
-А2 sinЛ (t)
ЧГ (t) = arctg -~~- -
А1+А2cosЛ(t)
Оlnиб.ающая -V [A1+A 2 c osЬ(t)]2+A 2 2 sin2 ~(t) =
-V А21+А22+
+12A1A2rcos ,Л, (t) ::::::<A 1i[l +A 2/A 1 oosЛt(t)] ,сум,ма,р1но1Го с иr~нала
изменяется с мгновенной частотой d,Л/d,t = ,w2 (,t)-w 1 (t) . Так
как эта разность частот значительно меньше значений, при­
нимаемых мгновенной частотой силнала, огибающую можно
легко выделить с помощью детектора и изме,рить ее частот у .
Таким образом, обычное описание ЧМ альтиметра при мо­
дуляции частоты в дост ато чно больши х предела х вполне обо­
сновано .
36


2.7 . Существуют лn реально спектральные
составляющие?
Вернемся опять к 1930 г., когда Флеминг отри ц ал
реальность существования боковых частот в АМ
сигнале. По этому поводу во многих книгах напи­
сано, что ошибочное мнение Флеминга было опро­
вергнуто экспериментально, когда боковые частоты
были выделены из АМ сигнала резонансными си­
стемами. Один из наи,более эффектных демонст­
рационных опытов был предложен Л. И. Мандель­
штамом и описан в книге [ 13]. На обычный языч­
ковый частотомер, используемый для измерения
частоты проМ):,1шленного переменного тока, пода­
дим напряжение от сети, включив последовательно
с источником телеграфный ключ. Когда ключ замк­
нут, резонирует один из язычков, настроенный на
частоту 50 Гц, если ча~стота сети соответствует но ­
миналу. Будем теперь периодически прерывать ток
ключом, замыкая и размыкая его, например, 2
раза в секунду. Спустя некоторое время наступит
установившийся режим, при котором частотомер
отметит, помимо несущей частоты 50 Гц, наличие
. двух
боковых частот: 52 Гц и 48 Гц.
Говорят, что этим опытом Флеминг был повер­
жен и реальность существования боковых частот
была доказана. Но позвольте, как следует пони­
мать слова ;«реальность существования»? То, что
было доказано описанным опытом и многими дру­
гими экс:пе,риментами, ето ·во1зможность rвыделить из
сложного модулированного сигнала простую гармо­
ническую составляющую боковой частоты. Допус­
тим, что нам бы не удалось этого сделать. Тогда
боковые частоты следовало бы объявить реально
несуществу ющими? Стать на такую точку зрения
37


довольно опасно. Покажем это на следующем при­
м ере.
Рассмотрим нмпуJiьс Jiюбой формы, дJiящнйся
от t=O до t=T. Известно, что его спектр представ­
лен интегра ло м Фур ье . На некоторой частоте u> 1
он содержит гармоническ у ю составляющую, опре­
деленную на всей оси времени - oo < t< oo. .Мы
убеждены, что эта сост а вляющая «реально суще ­
ствует». Значит ли, что ее можно (хотя бы в п ри н ­
цип е) выделить из импульса? Если бы это был о
так, то н арушился бы з акон причинности - га рмо­
н ич еская составляющая появила сь б ы до того, ка к
возник сам импульс 1 ) .
Таким образом, нужно либо признать, что спек­
тральные с ост а вля ющ и е импул ь са реально не су­
ществуют, либо отказаться от отождествления ре­
альности существования с возмо ж ностью выделе­
ния резонансной системой . По-видимому, целесо­
образнее считать, что всяко е математическое пред ­
ставление сигн а л а в вид е суммы каких-то составля ­
ющих, если оно записано верно, определяет ре­
ально существующие слагае мы е. Эта р е альность
выра ж ается в в оз м ожности пользоваться данным
представлением при лю бых , расчета х . · Важно уметь
выбирать представл ение, удо б ное для решаемой
задачи .
По этому поводу Л . И . .Мандельштам говорил,
что число 10 можно с равным основанием предста­
вить как 5+5 или 2 +8" Однако для вязальщицы
1> Е сли читателя смущает т о о бс тоятельство, что выде­
ляемая гармонич еск ая составляющая имеет бесконечно ма­
лую амплитуду, то можно поставить вопрос о выделении ча­
сти спектра импульса , лежащей в некот ором интервале ча­
стот (w1, w2) и имеющей конечную энерr,ию. В общем случае
это тоже связаrю с нарушением закона причинности.
38
1
1,
'


перчаток адекватным
является представление
10=5+5.
Итак, нет никаких сомнений в том, что Флеминг
и другие авторы, отрицавшие реальность боковы х
частот АМ сигнала, заблуждались. Однако нельзя
безоговорочно ,согла·сить·ся и •с теми из их оппонен­
тов, которые считали, что только, выделив спект ­
ральную составляющую резонансной системой ,
можно доказать ее реальность. Быть может, в ар­
гументациях Флеминга было больше здравого
смысла, чем обычно считают.
2.8 . Ошибки живучи
Когда рукопись этой книги уже была подготовлена к печа­
'I'И, автору попался на глаза американокий радиолюбительский
журнал со статьей [2], в которой сущес11вование боковых по­
лос в АМ сигнале хотя и не отвергает,ся, но трактуется как
недостаток, вызванный неудачной схемой модулятора. Автор
статьи отмечает известный факт, что амплитуда составляющей
несущей частоты при АМ остается постоянной, и утверждает,
что в обычных модуляторах несущая фактичес-ки не модули­
руется, а использует,ся как опорное колебан•ие для формиро­
вания боковых полос .
В статье предлагается «амплитудная модуляция с по­
давленными боковыми полосами» (?!). Она противопо.ставля­
ет ся обычной амплитудной и однополосной модуляции. За­
чем, пишет автор ,статьи, избавляться от несущей, которая
не занимает места на шкале частот, и сохранять боковую
пoJiocy, имеющую протяженный спектр? Не л,учше ли из-ба­
uиться от боковых и сохранить тоJiько несущую, а для пере­
дачи информации менять ее амплитуду? Заметьте, это писа­
лось ие во времена Флеминга, а в 1974 году!
Далее предлага,ется схема, которая в первом приближе­
нии не отличается от давно известного амплитудного модуля­
тора с регулируемым уровнем несущей. В .нем поддерживает­
ся практически постоянный коэффицие.нт модуляции, близкий
к единице, так как при и з менении уровня первичного сигнала
пропорционально ему меняет.ся амплитуда несущей . Это дает
определенный энергетический выигрыш по сравнению с обыч-
39


ной АМ, так как в паузах несущая не передается и ее сред­
ний уровень значительно снижается. Достигается этот вьы,г­
рыш ценой существенных искажений. Что же ка,сается спект­
ра полученного сигнала , то он, конечно, содержит, помимо
несущей, две боковые полосы . К обычным боковым частотам
здесь добавлены еще более близкие к несущей боковые, об­
разованные инфразвуко,вой модуляцией несущей по закону
изменения огибающей первичного сюшала. Автор же статьи
без каких-либо до,казательств утверждает, что его сигнал вов­
ое не содерж,ит боковых частот, а состоит из одной несущей
с пе.ременной амплитудой и поэтому имеет нулевую ширину
спектра. Здесь, пишет он, «полоса частот является только
функцией селективности приемника».
Ита~,, а1В'тО,р ~статьи 1П{),В"Ю1ряет •.букваль-но 'ГО, что шкал
Фл_ем и нг и что было опровергнуто 50 .~ет назад.


3
О КОМПЛЕ КСНОМ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
СИГНАЛА
3.1 . Обобщение символического метода
Гармониче,ский ,сигн а л u(,t) =A 01co s (ffi oi+cp0) мож­
но записать в экспоненциальной форме
и(t)=~о(е!(w0t+,p0) + e-i(w01+,p0)) ,
либо
и(t) = Re{А0е1<w.t+'Po) }.
(3.1)
(3 .2)
При механической интерпретации выражение
(3.1) означает замену колебательного движения
вдоль прямой двумя вращательными движениями
с постоянными угловыми скоростями + tffio и -cuo
(рис. 3.1), а выражение (3.2) - представление КО•
лебательного движения в виде проекции одно го
вращательного движения с "положительной угло·
вой скоростью lffio (рис . 3.2). Выражение в фигур­
ных скобках (3.2) является комплексной функцией
действительной переменной
и (t) = А0 е1 <w.H-,p.) = А0 [cos (ffi0t -f--cp0)-f--i sin (w0t-f --cp0)],
(3 .3)
41


действительная часть которой сов п адает с .исход­
ным гармоническим сигналом u(t) , а мнимая часть
v(t) =Ао sin (1шoi+.rpo) отличается от исходного t.:иг,
\и10
'
о
'
,
и(t)
-А
.,,,. .,,,....
А
,,,,
/и)о
..;;..
lJ
Jmu
t(t)
о
и(t) еи
Р.ис. 3. 1. Колебание как с у м ма Рис . 3.2. Колебание как
двух вращений
проекция вращения
нала поворотом фазы на -л/2 и может быть наз­
вана сопряженным гармоническим сигналом.
При решении многи х задач теории цепей удоб­
но вместо гармонического сигнала рассматривать
комплексный сигнал й (t) или его комплексную ам- 1
пл1пуду А=А 0 еЩо_ Как известно , метод решения
задач п утем замены де йствительной гармонической
функции комплек с ной амп л итудой называется сu.м­
волu<tеским 1v1 етодом и на ход ит широкое примен е -
ние .
Обобщением с имволич е ского метода являетс я
представление сложного (т. е. не гармонического)
сигнала u(t) в виде дейст вительной части комплек­
сного сигнала
tl(t) = И(t) -f-iV(t),
где v(t) - пока н е определенный
ж енный с u(t). Перепи с ав (,3.4) в
ной форме
•
42
(3.4)
сигнал, сопря­
экспоненциаль -


1•
•
и(t)= А(t)е1Ф(1) = А(t)[cosФ(t)+isinФ(t)], (3.5)
где, очевидно,
А(t)cosФ(t)= и(t), А(t)siпФ(t)= v(t),
(3.6)
можно определить огибаю1.цую сигнал а ,
А(t) = [и2(t) +v2(t)J112,
(3:7)
его полную мгновенную фазу
Ф (t) = arctg (v (t)/u (t))
(38)
и мгновенную частоту
(J)(t)= dФ= v'(t)и(t)- и'(t)v(t)
( 3_9)
dt
u2 (t) +v2 (t)
'
где штрихи обозначают производные по t .
Наконец, задавшись некоторой сред.ней частотой
w0 и . определив мгновенную начальную фазу
<р(t)=ф(t)- Фоf,
(3.10)
можно ' записать исходный сложный сигнал u(t) в
квазигармонической форме , аналогичной (3 . 1):
и(t)=А(t)cos[ffi0t+ер_(t)J
(3.11)
или в форме
u(t) = Re{A(t)e10001 },
(3.12)
где А (t) ~А (t) eiq;(t) - комплексная огибающая сиг•
нала .
В ам ена с и гнала u(t) его компл ексной огибаю.
щей удобна при р ешении многих задач и представ.
ляет собой распространение символи1~еского метода
на сложные сигналы.
3.2 . Однозначно ли определены огибающая
и мгновенная частота?
Прежде в се го заметим, что мгновенная нача льн ая
фа за <p(t) и комплексная огибающая А (t) за вися т
43


от выбора средней частоты ,ш 0 , а поскольку ш0 за­
дается произвольно, то об одно з начности определе•
ния cp(t) и А (t) говорить не приходится . Однако
действительная огибающая А ( t), мгновенная пол­
ная· фаза Ф(t) и мгновенная частота l(J)(t) от выбо­
ра ,ш 0 не зависят и целиком определяются функци­
ями u(t) и v(t) п о ф-лам (3.7), (3.8) и (3.9). В
частности , ,ш(t) = 1ш 0+d1cp/dt не зависит от 1ш 0 , так
как при изменении v:>o соответс т венно изменяется и
dcp /,dt . Поэтом у если установить некоторое прави­
ло, по которому из сигнала и (t) определяется со -
-
пряженный сигнал v(t), то тем самым будут одно­
значно определены A(t), Ф(t) и ,ш(t). З ам етим,
что если из четырех функций - и(t), v(t), Ф(t) и
А (t) - задать две любые, то остальные определя­
ют,ся одноз начно, по у р -ниям (3.6).
Таким обра з ом, вопрос об однозначном опреде­
лении огибающей, мгновенной полной фа з ы и мгно­
венной частоты сигнала сводится к определе нию со ­
пряженного сигнала v(t) по сигналу u(t). Вероят­
но читателю и з вестно, что обычно сопряженный
сигнал выбирают как преобразование Гильберта от 1
u(t). Впрочем, если читатель этого не знает, то ,DH
может с п окойно продол'жать чтение, так как все
необходимые сведения о преобразовании Гильбер- -
та будут далее изложены. Почти во всех работа х,
где этот вопрос ра ссмат ривается , отмечают " что
огибающая, мгновенные фа за и частота удов летво­
ряют некоторым естественным и удобным требова­
ниям только при том условии, что функция v(t) со­
пряжена с и (t) по Гильберту. Это, вообще говоря,
верно. Но при перечислении указанных требований
многие авторьr совершают грубую ошибку, заслу•
живающую упоминания на этих страницах . Сей-
час уже тр удно ,ска за ть, кто ошибся ~первым . Но в ~
течение более десяти лет в ряде учебников и моно-
44


графий переписывается с небольшими вариациями
с лед у ющее утверждение .
Для заданной функции u(t) огиба_ющую A(,t) в
в (3.1) можно определить ра з личными способами.
Потребуем, чтобы функция А (t) удовлетворяла
следующим двум условиям, к<fгорые, собственно
говоря, и оправдывают термин «огибающая»:
1) при любом значении t, A(t,)~\u(t)\ ; 2) при
тех значениях t, при которы х предыдущее неравен­
ство обращается в равенство, т . е . огибающая
A(t) и функция I u(t) 1 имеют общую точку, их
производные такж е совпадают , т . е . их графики
имеют общую ка с ательную .
Тогда огибающая, удовлетворяющая этим усло ­
виям, определяется однозначно, как модуль ком ­
плексного сигнала u(t) (3.4) , где v(t) - преобра ­
зование Гильберта от u(t) .
Приведенное утверждение глубоко ошибочно.
Перечисленные два условия удовлетворяются не
только при выборе в качестве мнимой части ком­
плексного сигнала преобразования rильберта от
u(t), но и при совершенно прои з вольном выборе
любой непрерывной функции в качестве v(t). • В
этом легко убедиться . По определению огибающей
A(t)=lи(t)i = -v u2(t)+v2(t) = \u(t)IХ
ХVl+v2(t)/u2(t) > 1и(t)\.
(3.13 )
Здесь везде радикалы обозначают арифметическо е
значение корня. Неравенство (3.13) обращается в
равенство пр и тех знаtiениях t, для котоJ>Ых
v(t) = 0. Производная огибающей
А'(t)=
__!!:_V u2(t)+v2(t) =и(t)u'-(t)+v(t)v'(t) .
dt
•
-V и2 (t) +v2 (t)
(3.14)
45


Положив в (3 . 14)
совпадения А (t) и
А' (t) = /и (t)I".
v(t) =О, найдем, что в точках
/u(t) /
(3.15)
Таким образом, для выполнения условий 1) и
2) вовсе не требуется, чтобы непрерывные функции
u(t) и v(t) были связаны преобразованием Гиль­
берта.
Почему же, в таком случае, в качестве мнимой
части комплексного сигнала it(t) почти все авторы
используют преобразование Гильберта от u(t)?
Этому вопросу и посвящена в основном настоящая
глава1>.
Короткий ответ на этот вопрос заключается в
том, что использование преобразования Гильберта
вместо произвольной функции v(t) позволяет, по­
мимо условий 1 и 2, выполнить и ряд других уело-
/ _вий, при которых удобнее пользоваться огибающей
и мгновенной частотой. Впрочем, далеко не все по­
желания, касающиеся естественности и удобства
огибающей и мгновенной частоты, удается выпол•
нить с помощью преобразования Гильберта . По­
пробуем разобраться в этом подробнее.
Предварительно введем одно определение. Бу"
дем называть комплексный сигнал (3.4) гильбер.
товским, если в качестве сопряженного сигнала
v(t) выбрана функция Ci(t), являющаяся прямым
преобразованием Гильберта от u(t).
3.3 . Что такое пре~бразование Гильберта?
Здесь пора выполнить обещание и напомнить читателю, что
такое преобразование Гильберта. Пусть сигнал u(t) интегри­
руем в квадрате в бесконечных пределах, т. е. несобственный
1> Многие мысли, изложенные в данной главе, заимство­
ваны из статьи [6].
46


00
интеграJJ Ju2( t)dt сходится. Тогда, как нзвестно, существуеt
-оо
•
преоб р азовап н е Фурье сиг,нала u(t), ранное
о,
S(iro) = Jи(t)e-iwt dt,
(3. 16)
-оо
назыв аем ое сшжт ральной пло тностью сигнала и позвол я ю щ ее
представить u(t) в· спектральной форме
00
и(t) -
SS(iro) eiwtdro,
-
2n
(3. 17)
-00
Сп ектральная плотн о.сть S (iro) де й ст в·ит ел ь ного сигнала
и(.t) является эрмитовской, т. е. ее действ,ительная часть яв­
ляется ,четной, а мнимая часть - нечетной функцией от w.
Это видно из (3.16), так как при изменении знака w действи­
тельная часть интеr,рала остается ,неизменноf1, а мнимая часть
меняет знак.
Рассм отр им ф у,нк цию
~
1-iS(iro) оо>О,
S(i ro) =
О
ro=O ,
iS(iro)
ro <О.
(3.18)
которая, очевидно, также является эрмитовской. Тогда ее
обратное цреобр азование Фурье
00
и(t)= -
S(iro)e'w dro
/\.
1s~
.t
2n
(3. 19)
-
00
и называется преобразованием Гильберта от u(t) .
Друг.ими с ло вам и , u(,t) и u ( t) имеют одинаковые модули
спектральных плотностей, а аргумент (фаза) спектрал.ь1<1ой
плотности S(iro) сдв•инута ОТIНосительно S(iw) на -
.n/2 в о.б­
ласти положительных частот и на n/2 в области отрицатель­
ных частот. Таким образом, преобразование Гильберта явля ­
ется естественным об.общением мнимой части в ф-ле (3.3).
Можно и прямо определить прямое и обратное инте­
гральное преобразование Гильберта, минуя преобразованле
47


Фурье, а имбнно:
00
Л I sи(т)
1
1
и(t)=-
--
-
dт,
n
t-т
~~ s00 t(т) t
и(t) =
-
-
-- dт,
n
t-т J
-<У.>
(3 .20)
где интегралы понимаются в смысле главного значении Ко­
ши. Формулы (3.21) легко выводятся из (3.1 9) и (3.20) . Для
·дальнейшего важно понимать, что «сопряженные по Гильбер­
ту» сигналы u(t) и й(,t) имеют сп ект,раль ные п лотн о сти , от­
личающиеся только поворотом фазы на ± ~л/2 .
Заметим, что вмес'J'о тради ц ионной записи преобразова­
ний Гильберта (3.21) удобнее пользоваться другими форму­
лами, получающимися при зам ене переменных t- 11' 1=х :
00
ЛIs
и(t)= -
lim
пе-о
и(t- x)-,-u(t+х)
х
в
00л
л
(3. 21)
и(t) =
-
1- \iш5
.
:rt е-о
и (t +х)-и (t- x)
х
е
Определени.е преоб,разования Гильб ерта (3.21) или (3 .20)
можно теперь распространить на бол,ее широкий класс оиr ­
налов, чем интегрируемые в к вадрате , в частносru , на перио­
дические и почти периодиче.ск:ие сиrналы 1 !. Нап,ример, для
гармонического сигнала u(t)=A cos (ш0t+ср) сопряженный по
Гильберту сшнал легко най'I'и из (3.21) :
00
Л А s· cos [шо (t-x) +cp] -cos [ш0 (t+x) + ер]
и(t)= -
Iirп ------~ ---
~ --- -dx=
л: е-о
х
е
#
1) Некоторые достаточны е (но не необходимые) условия
с уществования ограниченного прео,бразования Гильберта сфор­
мулированы в работе [45] .
48


"'
2А
s
=-
sin(w0 t + q,,) -lim
:п:
е-о
е
"'
sinw0х
х
Ssinro0 х
:n:
так как --x --d~ =
2.
о
dx=Asin(w0 t+q,,),
•
(3.22)
Заметим, что при этом выводе молчаливо цре,ддолага-
лось, что ыо> О . в Пj)О'l'ИВНОМ случае
и
л
"'
Jsinro0 x
---clx=
х
о
и (t) = -А sin (ro0 t +q,,) = Asin (1ro0 1t-q,,).
:п;
2
Итак, для гармонического сигнала преобразован.не Гиль­
берта сводится к повороту начальной фазы на - :п:/2 . Отсю­
да ~следует, что О1ГИ1бающая та1рмониче1слюго с,игнала
У u2 (t)+U2 (t)=A со,В1па11Lа,ет с ,его 106ы1Ч1ной ам~пли'I'уд,ой, а
л
d
и (t)
.
мrг,новеН1ная 1t1а1с'тота dt arctg и (t) = w0 с,0tвl!!а1дает с ча~стотои
его ~щннст~в,енной 1сmе1ктр.алыной со,ста,вляющей.
Таким образом, гильбертовское определение огибающей
удовлетворяет естест.венному у,словию:
3) огибающая должна быть опре,и,елена так, чтобы для
гармонического сигнала она совпадала с обычной его ампли­
тудой, а мгновенная частота - с обычной частотой 1 >.
Вот это условие, как легко проверить, выполняется не
при любом выборе сопряже,нной фующии v(t) . Теперь уже
вид.но явное преимущество гильбертовского сигнала, у кото­
рого v(t)=il(t), перед другими ком1шеконым,и представления­
ми с произвольным выбором сопряженного сигнала v(t). Од­
нако является ли гильбертовское преобразование единствен-
1-1ым, удовлетворяющим условию 3?
1> Заметим, между прочим, что если определить сопря­
женный сигнал не как прямое, а как обратное преобразова­
ние Гильберта от u(t), то огибающая для гармониче.ского
сигнала по-прежнему равнялась бы А, но мгновенная часто­
та была •бы от,рицательн,ой ,и 1рав,ной ---,wo. Б ф-ле 1(3.18) з·на­
ки выбраны так, чтобы для гильбертовакого гармонического
сигнала ro(.t) = ,wo,
49


3.4 . Другие определения сопря,:кенного сnг:нала
На поставленный выше вопрос приходится ответить отр ица­
тельно. Можно различными способам.и определить сопряжен­
ный снnн ал v(t) , чтобы вытекающие из этого определения
· значения
огибающ ей и мгновенной час т оты удо влет в ор я ли
условию 3. Многи е авторы прямо или к осв енно предлагали
для узкополосных сиrналов u(t) следующее компл ексное
п,ред,ставлени е:
и·(t)= и(t)+iи'(t)У-и(t)/u" (t),
(3.23)
При та к ом определении сопряж-енною сигнала огибающая
А(t)= уи2+v2= у и2- (и')2и/и"
(3.24)
(для упрощения записи аргумент t опущен).
Лепю проверить, что для любого гармонического сигна­
ла отсюда получаются в полном соответствии с условием 3
значвния A(t)=A и w(t)= ,wo.
Несмот,ря на это, преобразование (3.23) не удовлетво­
ряет другим естественным требования,м . Дело в том, что при
незначительны х изменениях и (.t)
P.
(t)
"_,
.
..
1
;,,. функция v (t) может изменяться в
,,
..
огромных пределах. Например, за -
меним в гармоническом' сигнале
~ t и (t) на небольшой доле периода
синусоиду прямой линией, как по-
.
а)
казано пунктиром на рис. 3.3 . Это
может быть, например, вызвано
ц fff.t ') /,,04
{'//ш
добавлением очень слабой помехи
и почти не отражается на ходе
и (t). В то же время на этом участ­
t кеu"(t)=0,такчто v(t),асней
и «огибающая» принимают беско­
нечное значение. Более того, при
ничтожно малых приращениях
Р,ис. 3.3 . Слегка ,из1м енен­
ная си,н у~соида ( а) и ее
,вторая 1п~роиз,вод,ная (6)
и(t) вторая производная может
изме нить знак и тогда в (3.25)
вообще нельзя извлечь корни.
В сооJ·ветствии с этими со -
пряжениями в ,[6] введены два ус­
ловия , которым должны удовлетворять огибающая, мгновенная
фаза и мгнов·енная частота для того, чтобы этими понятиями
можно было пользоваться на практике:
50


4) малым (в смысле среднег,о квадрат,ичного отклонения)
измен е ниям исходного сигнала u(t) должны с оответствовать
также малые изменения A(,t) и ro(t) ;
5) мгновенные фаза и часто т а н е д олжн ы зависеть от
мощности сигнала.
В [6] показано, что из условий 4 и 5 следует линейно.сть
оператора преобраз ования u(t) в v(t). Единственным же ли­
нейным оператором , при котором дJIЯ всех гар м онических
сигналов выполняется условие 3, являетс я преобр а зование
Ги л ьберта .
В. И . Тихонов [40] п.р едл.ожил определять сопряженный
сигнал следующим образом:
о(t)=
-
(l/ro0) (du/dt),
(3. 25)
где ro0 - средняя частота сиr,нала.
Это преобразование такж е яв л яется л инейны м и удов лет­
воряет условиям 4 и 5. Что же касается условия 3, то он?
выполняеrся только для гармонического си гнала с заданнои
ч астоrой •ro 0• При переходе к гармоническ ом у сигналу с дру­
гой частотой нужно в (3 .25) из мен ить коэффицие нт , а для
э того частот у нуж но зн ать з ара нее . Еели ра.спространять это
определение на негармоническне сигналы, то возникают за­
трудн ения в выборе roo . Тем не м енее част о у твер ждают , что
д ля достаточно узкополосны х сигнялов сред н я я частота вы ­
ражена ярко и никаких затруднений в применении ф-лы
(3 .27) не возникает .
Многие авторы, например [11 , 24, 30] и др., полагают,
что для широкополосных сигналов вообще не следует гово­
рить об огибающей и мnновенной частоте. Эта точка зрения
подкреплнется тем обстоятельством , что дл я узкополосны х
сигналов любой инженер может црактиче с.ки однозначно по­
строить огибающую г,рафичес.ки на основе ее_ свойств 1 и 2,
как показано на рис. 3.4, тогда как для широкоп о лосно г о
сиг.нала (напри.мер, рис . 3.5) такое построение весьма зат,руд­
нительно.
Тем не менее сущесrвуют две причины, не позволяющие
отказаться от представления широкополосных сигналов в
форме (3 .1 1) . Во-первых, нельзя установить разумную грани­
цу межд у узкопол,осными сигналами, у которых огибающая
существует, и широкополосными, не имеющими ее. Во-вто­
рых, отказ от комплексного представления широкополосных
оигналов заставит отказаться от простой и изящной теории
однополосной модуляции, а также затруднит понимание про­
цесса амплитудной и частотной модуляции, детектирования,
преобразования частоты и т. д.
51


Заметим еще, что оба оп ределения - (3.21) и (3.25) -
в применении к узкополосным сигналам дают почти одина~ш­
вые значен ия соп р яжен ног о сигнала, причем разл и чие между
ними тем меньше, чем уже спектр си11нала. Здесь имее'I'ся в
в иду, конечно, относительная ш и ри на сп ек-nр а, т. е. отношение
A(t) ·u(t)
n
t
'•
Рис. 3.4 . Узкополооный сиг­
нал и его огибающая
\
Рис. 3.5 . По,строить огибаю­
щую широкополосного сиг ­
нала трудно
ее абсолютной ширины 1 > к средн ей частоте. В предельном слу­
чае при ширине сп ектра, равной нулю , т. е . для гармониче­
ского сигнала, оба определения , как уже отмечалось , совiПа ­
дают .
Предлагались и некоторые другие определения огибающей
и мгновенной частоты . Примером мож,ет служить упоминав ­
шееся в предыдущей главе определение мгновенной частоты
(2 .8), п,редложенное Ше1,елом. Как у ж е отмечалось, из опре­
деления мгновенной частоты непо средственно вытекает опре­
д еление «сопряженного » сигнала и огибающей . Как ни ст,ран-
1-10, это определение, недостатки которого отм ечал и предло­
живший его Шекел, время от времени пр едлагается вновь
как алг,оритм для измерения м1·новенной частоты негармон-и­
чеокого сигнал,а .
Еще одно определени е огибающей для сигнала со ср ед ­
ней ча,стотой спектра Шо основано на введении в качестве
1> Под абсолютной шир,иной спектра можно понимать, на­
пример, ширин у облас11и частот, в которой сосредоточено
95 % энергии или мощности сигнала . Впрочем , во з можны и
J1юбые другие разум ные определения ширины спектр а.
52


«сопряженного» сигнала v(t), отличающегося от u(t) только
сдвигом во време н и:
v ( t)=и(t-t0),
(3.26)
где t с = •л/2w 0 - четверть пер:иода средней частоты . При этом
о п ределении огибающая A(t)= У u2(t)+u2( ,t-t0 ).
3.5 . Конкурс определений
Какое же из определений сопряженного сигнала яв ­
ляется наиболее удобным? Все рассматриваемые
определения для узкополосны х сигналов согласу­
ются с интуитивными представлениями об огибаю­
щей и о мгновенной частоте. Со с редоточим внима ­
ние на и ндивидуальных· особенн остя х , присущих.
каждому из определений .
Прежде всего отметим, что определения (3 .2 3)
и (3 .25) обладают очень удобным свойством - ло­
калыюстью. При э ти х опр еделения х сопряженный
сигнал, а следовательно, и огибающая и мгновен ­
ная частота в некоторой точке t, в которой функция
u(t) непрерывна и дифференцируема , однозначно
определяются значениями функции u(t) в сколь
угодно малом интервале окол о этой точки . В част­
ности, если на конечном интервале времени u(t) =
=0, то по определению В . И . Тихонова и v(t) =О
на том же интервале .
Что Л{е касается гильбертовского определения
сопряженного сигнала, то оно не является локаль­
ным. Как видно из (3.21) или (3.22), если сопря­
ж е н ный с и гн ал v(t) по определению . ·положить
равным и (t) , то для вычисления его значения в
одн ой то ч ке t необходимо, в принципе, знать в с ю
ф ункцию u( t), -00<1t<oo. Правда, из (3.22) вид­
но, что модуль подынтегральной функции велик
лишь при значениях х, близких к нулю, и поэтому
существе нную роль п ри определении u(t) в данной
т о ч ке играет п оведение функции u(t) только вбли-
53


зи этой точки. Такая «относительная» ло к а ль н ост ь
проявляется тем больше, чем узкополоснее си гн ал
u(t). Однако строгой локальн ости здесь нет и в
частности, v(t) может принимать самые различные
значения при u(t) =О.
Почему же, не,смо·рря на это, п од а вляющ ее
б ольшинство исследов ателей п ользуются б ол ее
сложным и менее наглядным преобразованием
Гильберта вместо простой ф-лы (3.25)? Не являет­
ся ли это просто данью традиции?
Нет, не яв ляется. О пределени е сопряженного
сигнала и огибающей на основании преоqразования
I ильберта обладает важными преимуществами, ра•
ди которых стоит пожертвовать наглядностью пред­
ставления широкополосных сигналов. Помимо от­
меченны х выше пяти свойств параметров комплек­
сного представления сигнала, у кажем еще два, ко­
торым удовлетворяют только гильбертовские сиг- ,..-·
налы :
6) для того чтобы комплексный сигнал был
гильбертовским , необходимо и достаточно, чтобы
его спектральна я плотность тождественно равня­
лась нулю при w<O ;
7) при умножении гильбертовского сигнала на
e iчi, где 'Ф - произвольный угол, или на etvt, где
v > O, результирующий сигна л остается гильбертов­
ским. .
Предоставим чита теJiю самостоят еJiьно убедить ­
ся, что свойство 7 вытекает из 6. Несколько слож­
нее показать , что из 7 следует 6. !Это сделано, по
существу, в [21], где поставлена задача отыскания
общей огибающей семейства кривых, представляю­
щи х ре зультат сдвига начальных фаз всех спект­
ральных составляющих сигнала на любой угол 'Ф,
и показано, что эта огибающая равна модулю гиль­
б ертовскоrо сигнала . Таким образом, требование
54


инвариантности огибающе,~ (или мrнове1-1ноf1 часто­
ты) при любых изменениях начальной фазы сигна­
ла оказывается достаточным для того, чтобы гиль ­
бертовский сигнал был единственным возможным
комплексным представлением сигнала.
Из свойств 6 и 7 вытекает, что всякий сдвиг на­
чальных фаз сигнала можно выразить умножением
гильбертовского сигнала на ei(J), а всякое преобра­
зование частоты (транспонирование спектра)
вверх, в частности однополосную модуляцию, мож­
но выразить умножением - гильбертовского сипr ал а
на eivt. Именно это позволяет представить сигнал
s(t), являющийся результатом однополосной моду­
ляции первичного (низкочастотного) сигнала x(t),
аналитически, минуя преобразование Фурье:
s(t}=Re{х(t}eivt_} =Re{х(t)eivt+i;(t}eivt}=
л
= x(t)cosvt-x(t)sin vt,
(3.27)
где v - несущая частота при однополосной моду­
ляции; x(t) - преобразование Гильберта от x(t);
x(t) =x(t) +ix(t) - гильбертовский (комплексный)
сигнал.
Ни при каком другом определении сопряженно­
го сигнала ф-ла (3.27) не описывает однополосную
модуляцию. Действительно, спектр комплексного
сигнала х (t) e1vt будет лежать выше несущей часто­
ты v тогда и только тогда, когда спектр x(t) отли­
чен от нуля лишь при w>O, а это согласно свойст­
ву 6 характери?.ует гильбертовсю,й сигнал.
Из ф-лы (3.27) следует, между прочим, извест­
ный способ осуществления однополосной модуля­
ции без применения фильтров (фазокомпенсацион ­
ный метод однополосной модуляции).
Аналогично примен ение гильбертовских сигна­
лов позволяет построить стройную теорию преобра-
55


зования частоты, при котором огибающая сохраня­
ется неизменной, а мгновенная частота смещается
на заданную величину . При построении теории оп­
тимальной обработки сигналов в каналах с флукту ­
ациями фазы и аддитивным шумом, в частности в
различных дисперсивных каналах, только испол ь ­
зование гильбертовско го представления позволяет
получить достаточно простые и наглядные алгорит ­
мы и расчетные формулы . Это также обусловлено
свойствами 6 и 7 гильбертовских сигналов.
Перечисленные возможност и, возникающие
только при использовании гильбертовских сигналов,
уб еждают в том, что именно гильбертовское пред­
став л е ние комплексного сигнала должно приме­
няться для определения огибающей и мгновенной
частоты сигна ла . Ради этих возможностей можно
примириться и с уже известными недостатками
гильбертовских сигналов, а именно с отсутствием
свойства локальности сопряженного сигнала и не­
сохранением финитности при преобразовании Гиль­
берта.
3.6 . :Как же быть с финитными сигналами?
По.следний недостаток гильбертовского представления
сигналов , собственно гово:ря, д а же не является недо.статком,
а вытекает из природы вещей. Если некот,арый строго фи­
нитный сигнал подается на вход канала, в котором фазы
все х составляющих спектральной плотности поворачиваются
н а одинаковь1й угол 'Ф , не кратный :ri: , то на выходе канала
сиг нал оказывается нефинитным . Поэтому • если к определе­
нию огибающей предъявл,ено требование инвариантности от­
носительно сдвига фаз спектральной плотности, то огибающая
любого сигнала не может быть финитной.
◄
Тем не менее при исследовании синхронных систем пе,ре-
1
дачи ,щискретных сообщений, когда все реализации сигнала
финитны и имеют одинаковую длительность Т, кажется не-
ест,ественным ,рассматривать неф,инитные сопряженные сигналы
"
и нефинитные огибающие. Вых-од из этого положения найден
56


t
довольно давно. При рассмо1'рении сияхронных систем сигнал
s(i), задан,ный на отрезке (О, Т) и интегрпруемый с квадра­
том на этом отрезке, периодически продолжается в обе сто ­
роны . Для получившегося периодичес1шго сигнала u(,t) пре­
образованием Гильберта является также пе~риодический сиг ­
нал t1(t) с тем же периодом Т. Один пе,рnод сигнала t1(t) на
интервале (О, Т) можно принять за оигяал, сопряженный с
финитным сиг.налом s(t) . Если теперь определить огибающую
s(t) на основе этого соцряженяого сигнала, то она также
окажется финитной. Такое «,модифицированное» преобразова­
ние Г:ильбер1'а и,спользоваяо в [46]. Б.олее строгая и изящная
теория такого прео.б~разо,вания дана в статье В. И . Коржика
[22]1> . Сущность этого обобщенного преобразования, которое
можно назвать преобразованием Гильберта-Коржика, заклю­
чается в следующем. Сигнал и(t),заданный на отрезке (О, Т),
можно представить в виде ряда Фурье в комплексной форме
00
(t) = ~ ci.eikQt ,
(3.28)
k=- c,,
где Q = 2n/T.
Тогда преобразованием Гильберта- Ко,р ж ика от u(t) являет ­
ся сигнал
л
ll(t)=
00
L ~ei/,Qt ,
(3. 29)
k= -oo
l-iст,при k>О,
где~= Оприk=О,
[ iст,при/г<О.
Комплексный сигнал, построенный на основе преобразова­
ния Гильберта-Коржика, удовлетворяет условиям 1, 2, 4, 5.
Что же 1<асается условий 3, 6, 7 , то они удовлетворяют,ся в
слелка изм,ененном виде, а име.нно:
3') огибающая отрезка гармонического
сигнала
А cos (w 0t+,cp), O<t<T, совпадает с его амплитудой А, а
мгновенная частота - с частотой w0, если Wo кратна 2:rr,/T ;
1> В [22] преобразование Гильберта ,ра спростран ено и на
д и скретное время, а также получены более общие рез у ль -
таты.
•
57


6') дJш того чтобы 1,омплексный с игн ал, заданный на от ­
резке, был гилъбертовс1шм (в смысле обобщенного преобра­
з ования), необходимо и достаточ но, чтобы коэ ффици енты его
ряда Фурье равнялись нулю для вс ех отр~щательных гармо­
ник;
7') при умножении гильбертовс~юго сигнала, заданного
на отрезке (О, Т), на ei1/J, где ф -- произвольный
' угол, или
на e1v 1, где v - положительная частота, к,ратн ая 2п/Т, ре­
зультирующий сиг нал остае тся гильбертовским на том же
отрезке .
Различие между J<лассическим преобразованием Гильбер­
та и преобразо,ванием Гильберта-Коржика состоит, по су­
ществу, в том, что п ервое определено на прост,ранстве сигна­
лов L2 (-oo, оо), т. е. для сигналов, заданных на всей оси
времени и интегрируемых на этой оси в квад:рате, тогда как
второе определено на прос11ранстве L 2 (О, Т), т. е. для сигна­
лов, заданных и интег,р,ируемых в квадрате на отрезке (О, Т).
Для того чтобы яснее представить различие между клас­
сическим .. преобразованием Гильберта и преобразованием
Гильберта-Ко,ржика, рассмотрим ограниченный сигнал и(t),
отличный от нуля TOJIЫ<O на интервале (О, Т) 1>. Ег.о .можно
рассматривать как зада,нный на бесконечной прямой (-оо ,
оо), но равный нулю rrpи t<O и t>T. В этом случае сигнал
интегрируем в квадрате на всей оси и к нему применимо
классическое преобразование Г,ильберта. Ол,ределим с его по ­
мощыо соцряженный сигнал Иоо(t) и огибающую Aoo(t). Обе
эти функции , как уже 011меч ·алось, не являются финитными.
Но тот же сигнал u(t) можно рассма11ривать как задан­
ный .на интервале (О , Т) и определить сопряженный сигнал
Ctт(t) с помощью преобразования Гильберта-Коржика, а за ­
тем и огибающую Ат(t).
Обе различные огибающие Aoo(t) и Ат(t) являются ин­
вариантными относительно одвиrа фаз всех спект,ральных со­
с таrвляющис{ к:шrг нала tv(t), ,,ю ,в раз,1-юм С1М ЬJ1сле. Длп Aoo(t)
инвариантность имеет место, если сдвю·ать фазу на всех ча­
стотах спектральной плотност,и, т. е. заменить S(iro) на
S(iro)e1,P sgn ffi. Для Ат(t) инва.риантность выполняется, если
сдвинуть на угол ,μ фазы составляющих ряда Фурье, т. е . в
(3.29) умножить все C1t на е1'~ sgn k_
В отличие от «огибающей», определенн.ой по Тихонову,
Aoo(t) и Ат(t) не являютсп локальными характерисТИJ{ами
с игнала, хотя функция Ат(f) финитна.
1> Этот инте,рвал, разумеется, можно было бы заменить
л юбым другим инт ервал.ом в,р емени с длительностью Т .
58


Для относительно уэ1юпопосноtо си11напа u(t) различие
между A oo (t) 1и Ат(t) заметаю толыю 1Вблиз,и грапшц и,н­
тервала (О, Т) . Чем меньше отношение ширины спектра сигна ­
J1а к средней частоте, тем бJшже друг -к другу огибающие
Aoo(t) и Ат(t). Поэтому на практике часто не оговаривают,
какая из огибающих имеется в виду, а иног,да над э~им и
не задумываются, что также может приводить к досадным
ошибкам.
3.7 . Занимательная задача
Чаще всего огибающая, определенная на Qснова ­
нии преобразования Гильберта, хорошо согласуется
с интуитивным представлением инженеров . Рас­
смотрим сигнал u(t)=cosw1tcosffi2f и найдем его
огибающую. Предварительно попробуем опреде­
лить 'ее интуитивно.
_
Предположим, что ffi2~ffi1. Тогда наш сигнал
выглядит так, как показано на рис. 3.6, и огибаю-
Рис. 3.6. Про.изве­
дение двух гармо­
нических функций
и его огибающая
щая, показанная пунктиром, описывается форму­
лой А (t) = 1cosw1 1f 1- Аналогично должна оnреде­
ляться огибающая и в случае, когда w1 ~ ffi2, но те­
перь она будет равна А (1t) = 1cosffi2t 1- Если же час­
тоты ш 1 и ,ffi 2 близки друг к другу, то интуиция от­
казывает. Во всяком случае, многие инженеры, ко­
торым я задавал этот вопрос, становились в туq_ик.
Решим теперь эту задачу с помощью преобразо-
59


вания Гильберта. Сигнал u(t) предс т авим в виде
и(t) = 0,5cos(ffi1+ffi2)t+0,5cos(ffi1- ffi2)t.
(3.30)
Учитывая (3 .22 ) и замечание, прив еде нно е после
этой формулы, сопряженный сигнал за пишем в ви­
де
и(t)= 0,5sin(cu1+ffi2) t+0,5sinIffi1- ffi2[t.
(3.31)
Отсюда квадрат огибающей
л
А2(t)=и2(t)+и2(t)= 0,25[cos2 (ffi1 +ffi2
)
t+
+ cos2(ffi1- ffi
2
)
t+sin2
( ffi
1
+ffi2)t+sin2
( ffi
1
-
ffi 2
)
t+
+2cos(ffi1 +ffi2) tcos(ffi1 -
ffi2) t±2sin(ffi1+ffi2) tХ
X:Sin (ffi1 -'- ffi 2 ) tJ,
(3.32)
где знак «плюс» следует брать при ffi1 >l(t)2, а «ми­
нус» - при ffi1 < ,ffi2. Таким образом, при w2>ffi1
А2(t)= 0,5{1+cos[(ffi1 +ffi2) t+(ffi1 -
ffi2) tJ}=
=
0,5(1+cos2ffi1t)= cos2ffi1t иА(t)=Vcos2ffi1t =
= [ cosffi1 tl,
(3 .3'3)
при ffi1 >ffi2
А2(t)= 0,5{1 +cos[(ffi1 +ffi2
)
t- (ffi1 - ffi
2
)
t]} =
=
0,5:(1+cos2ffi2t)= cos2ffi2t
иА(t)= 1cosffi2t[.
(3 .34)
Таким образом, инт уитивное решение остается
верным для гильбертовской огибающей, даже при
небольших различиях значений частот.
60
1
"'.•1


4
КАК НЕ СЛЕДУЕТ ПОЯСНЯТЬ ТЕОРЕМУ
КОТЕЛЬНИКОВА
4.1 . Сущность теоремы
Как известно, основным содержанием теоремы Ко­
тельникова или «теоремы отсчетов» является воз­
можность точно восстановить (интерполировать)
сигнал u(t) по его значениям (отсчетам), взятым
в точках f1<=k1Лt, k= ...
-2, -1,О, 1,2,3, ..., если
спектральная плотность сигнала S (i,ш) финитна,
т. е. существует такое значение Q, что S(i,ш)=O
при I ш 1 >Q, а M~n/Q. Свойства функций с фи­
нитным спектром подробно описаны и здесь повто­
ряться не будут .
Теорема дает также способ осуществления точ­
ной интерполяции с помощью ряда Котельникова
00
и(t)= '1 u(kЛt) sinQ(t-:--kЛt)
i,,J
Q(t-kЛt)
k=-oo
(4.1)
Известно (см., например, [53]), что функция с
финитным спектром является целой, а целая функ­
ция не может принимать нулевых значений ни на
каком интервале . Следовательно, функция с фи-
61


нитным спектром сама финитной быть не может .
Однако часто рассматривают функцию, выражае ­
мую рядом (4 . 1) при rЛt=n/Q, в которой только
конечное число коэффициентов и (kЛt) может быть
отличным от нуля, например коэффициенты со зна­
чениями k в пределах k1~k~k2; такие функции
рассм атриваются, например, в [56]. Точки отсчета
с отличными от нуля значениями в этом случае
занимают интервал времени Т, ра в ный (k2-k1) Лt=
= .(k2-k1)n/Q=2(k2-k1) /F, где F = Q/2n- шири ­
на спектра сигнала в обычных (не круговых) час­
тотах.
Такой сигнал можно точно восстановить, задав
значения отсчетов u(kлt) при ll1 <k<k2. Число та­
ких отсчетов N= k2~k ,+ 1. Выражая k2-k1 из ра­
венства Т = 2 (k2 - k1)/F, получим известное соот­
ношени е
N=2FT+1~2FT.
(4. 2)
К сожал ению , иногда равенство (4.2) трактует­
ся вульгари зов а нно. Е ще и поныне приходится счи­
тать , что отрез ок сигнала длительностью Т, спектр
которого л еж ит ниже частоты F, можно однознач­
но опредеJiить , з адав 2РТ значений его отсчетов
через интервалы времени Лt. Это было бы верно
лишь в том частном случае, когда все остальные J
отсчеты в моменты, . кратные Л1t, равны нуJiю, т. е. 1
фактически то же з аданы. Заметим, что в промежут-
ках ме жду нулевы м и отсчетами си гна JI нулю не
равен.
В общем же случае, как видно из (4.1), значе­
ние сигнала в любой момен т t, не совпадающий с
т очкой отсч ета , определяется 'В•с еми от-счета м и и,
з начит, дл я точного восстановления сигнала необ­
ходимо знать бесконечное множество его отсчет­
ных значений.
62


Правда, поскольку с увелич е ние м I х I максиму­
мы абсолютны х значений функции sinx/x довольно
быстро убывают, основную роль при вычислении
з начения функции u(,t) в определенный момент
времени t играют от счеты, взятые в м оменты kЛt,
не очень далекие от t. Поэтому при FТ.» 1 ф-ла
(4.2) приближенно выражает число отсчетов, су­
щественно влияющих на значение функции u(t) со
спектром , лежащим ниже частоты F, на интервале
длительностью Т .
Сейчас это приближенное соотношение нас ин­
тересовать не будет. Сосредоточим внимание на
сущности теоремы, сформулированной в начале
этой главы . Заметим, что, хотя в этой формулиров­
ке для точного восстановления сигнала необходи­
м о знать бесконечное число отсчетов, справедли ~
вость теоремы далеко не очевидна . В са м ом деле,
речь идет в сущности о проведении кривой через
и зм еренные в моменты kЛt точки. Но каждому
студенту хорошо известно из личного опыта, что
эту кривую можно провести различными способа­
ми. Два таких варианта показаны на рис . 4.1 . Тео-
Рис. 4.1. Через за­
данные точки можно
пр овести
п лав,ну ю
кривую
различным
_ .. .. ___ ___ ____ ___.,.
обра з ом
рема же говорит о точной интерполяции,
еди нственности такой кривой. Очевидно ,
единственнос т ь вызвана о г раниченностью
сигнала.
т.е.о
что эти
с п ектра
63


4.2 . Попытки наглядного пояснения теоремы
Вряд JIИ найдется лектор, который при изложении
этого вопроса хотя бы раз в жизни не поддался
искушению пояснить студентам теорему так. Пос­
кольку спектр сигнала содержит частоты не выше
F, то за время М= 1/ (2F), т. е. равное половине
периода самой высокой частоты спектра, сигнал не
может претерпеть значительных изменений. Поэто­
му кривая должна проходить через точки так, что-
.бы
между ними изменяться плавно, и, как следует
из (4.1), определяется по точкам отсчета однознач­
но.
Это весьма «правдоподобное» объяснение МО)!<­
но найти даже в некоторых кщ1гах. Однако оно со­
вершенно ошибочно. В действительности дело об­
стоит не так просто, о чем свидетельствует теоре­
ма, доказанная в 1957 г. Д. В. Агеевым.
Пусть на интервале (t 1, t 2 ) заданы любая не­
прерывная функция u(t) и произвольная частота
F. Тогда .можно построить функцию, спектр кото­
рой не содержит частот выше F, сколь угодно близ­
кую (в среднеквадратичном смысле) - к u(t) на
интервале (t1, f2).
Например, можно на интервале времени в 1 с
задать функцию, меняющую свой знак миллион
раз (скажем, задать отрезок синусоиды с частотой
l МГц), и продолжить ее вне этого отрезка так,
что спектр продолженной функции будет охваты­
вать только область частот ниже 100 Гц, или
10 Гц, или 0,1 Гц ...
Это утверждение на первый взгляд представля­
ется совершенно неправдоподобным. Функция с фи­
нитным спектром на интервале, меньшем полупери­
ода высшей частоты, может, оказывается, совер­
шать сколько угодно осцилляций. Пишущий эти
64


строки хорошо помнит, что, когда Д . В. Агеев до­
ложил содержание и доказательство этой теоремы
на Всесоюзной научной сессии Научно-техническо­
го общества им . А. С . Попова в Москве в 1957 г.,
большая часть слушателей не поверила в справед­
ливость этой теоремы и стала искать погрешность
в доказательстве.
Действите,1Iьно, в это трудно было поверить лю­
дям , привыкшим _ связывать ширину спектра со ско ­
ростью пер.едачи информации. Ведь можно взять
отрезок широкополосного сигнала, например, с
длительностью 1 с и равномеР'ной спектральной
плотностью в полосе частот до 1 МГц, который со­
держит до 106 различных независимых отсчетов и,
следовательно, может нести соответственно боль­
шое количество информации, а затем в согласии с
теоремой Агеева продолжить этот сигнал вне за­
данного отрезка так, чтобы он занимал полосу час­
тот в 1 Гц. Тогда в канале, пропускающем частоты
не выше 1 Гц, можно будет передать этот сигнал
без необратимых искажений и тем самым передать
за 1 с очень большое количество информации в ка­
нале с полосой пропускания 1 Гц. Все это не вяза­
лось с привычными представлениями . :К тому же
изложенное Д. В . Агеевым доказательство при всей
его строгости было довольно сло:жным и за путаi-r ­
ным . По этой же причин е мы не будем приводить
это доказательство здесь. Вместо этого дадим нес­
колько более слабую, но столь же « парадоксаль­
ную » формулировку этой теоремы, которая зато
имеет весьма прозрачное доказательство. Это дока­
зательство позволяет в то же время уяснить причи­
ну того, что совершенно верное утверждение на
первый взгляд противоречит здравому смыслу .
Аналогичная теорема при равномерной аппрокси­
мации доказ.:н~а в f53], с. 184-187.
3 Зак. 657
65


4.3. Ослабленная теорема Агеева
Сформулируем следующую теорему .
Пусть на интервале (t 1, tn) заданы п точек, и зна­
чения величины и (t) в этих точках. Тогда каково
бы ни было конечное число п, при сколь угодно ма­
лом значении F можно построить сколько угодно
различных функций u(t), принимающих заданньи;
значения в указанных точках, спектры которых ff.e
содержат частот выше F.
Прежде чем доказывать эту теорему, заметим,
что она не менее парадоксальна, чем сформулиро­
ванная выше . Действительно, поскольку число п не
ограничено, можно задать его так, что на интервал
в 1 с будет приходиться, скажем, миллион точек.
Если, например; знаки значений функции в этих
точках чередуются, то функция проделывает не ме­
нее миллиона осцилляций на интервале в 1 с и
тем не менее может иметь спектр, лежащий ниже
1 Гц.
На первый взгляд предложенная формулировка
в корне противоречит теореме К:отельникова. Если
п точек заданы через Лt = 1/ (2F), то согласно вуль­
гаризованной трактовке теоремы К:отельникова они
должны однозначно определить функцию u(t) со
спектром, огр· аничет-11-тым частотой F. Здесь же ут­
верждается, что таких ф ункций может быть сколь­
ко угодно . Это противоречие, конечно, кажущееся.
Сформулированная выше теорема не только не
противоречит теореме К:отельникова, но, как будет
сейчас показано, является ее прямым следствием.
4.4. Доказательство теоремы Агеева
Обозначим и; (i = 1, ... , п) заданные значения функ­
ции u(t) в заданных точках ti. Представим иско­
мый сигнал со спектром, занимающим полосу час-
66


тот ниже заданной F, в виде ряда (4.1), гдеQ=2л:F,
Лt= l/(2F) , u(kЛt) - пока неизвестные коэффици­
енты ряда К:отельникова.
Для упрощения доказательства предположим,
что ни одна из точек ,fi не совпадает с точками
kЛt, -оо <k< оо. Читатель сможет без большого
труда обобщить доказательство, отказавшись от
этого допущения.
.
Выберем 1произ1вольно п !Целых чисел kj и обо­
значим неиз1J3естные эначения ·и,ском ой функции в
точках kjлt, j= 1, ... , п через UJ.
Будем строить функцию u(t), удовлетворяющую
условиям:
а) она выражается рядом (4.1) и, следователь­
но, ее спектр не содержит частот выше F ;
•
б) она принимает заданные значения Иi в за­
данных точках ti;
в) она равна нулю в точках kл.t при всех /г, от­
личных от kj.
С учетом условия «в» ряд (4.1) вырождается в
конечную сумму, содержащую п слагаемых вида
sinQ(t- kjЛt)
и1Q
л , в которых Uj=u(kjЛt) неиз-
(f-kj t)
вестны. Для нахождения их подставим в правую
часть (4.1) f= 1fi, а в левую u(ti) =Ui , Таким обра­
зом получим п линейных уравнений с п неизвест­
ными Uj.
Коэффициентами при неизвестных являются вe­
sinQ(ti - kjЛt)
личины --~----
Для того чтобы эта cиc-
Q(ti- kiЛt)
тема имела решение, необходимо и достаточно, что­
бы матрица, составленная из этих коэффициентов,
была невырожденной . Если это условие не выпол­
няется, то можно, заменив хотя бы одно из произ­
вольно выбранных значений k.i, получить невырож­
денную матрицу. Таким образом, построенная си-
3*
G7


стема определяет неизвестные Uj, подставив кото­
рые в (4.1), получим функцию , удовлетворяющую
условиям «а» и «б», а следовательно , и условию
теоремы .
Изменив выбранные з н а чения k j, можно пост ­
роить сколько угодно функций, удовлетворяющих
условию теоремы . Все они будут различны, пос­
кольку их значения в точках отсчета не совпада­
ют. Можно также построить различные функции ,
удовлетворяющие условию теоремы, отказавшись
от условия «в» и задав вместо нулевы х з начений в
точках отсчета kЛt, отличных от k}Л!t, любые про­
извольно выбранные значения . Таким образом, су­
ществует бесконечное число функций, принимаю­
щих заданные значения на конечном числе задан-
Рис . 4.2 . Построение функци11 с финитным спектром , про ­
ходящей через произвольно заданные точки :
n=6 , X-ui, 0-и;
68


ных точек, спектр которых не содержит частот вы ­
ше F, что и требовалось доказать .
На рис . 4.2 показан пример функции с ограни­
ченным спектром, проходящей через шесть задан­
ных точек, обозначенных кружками. Вычисленные
значения U j в выбранных шести точках отсчета
обозначены крестиками.
С л ед ст в и е . Существует бесконечное числ о
функций u(t), спектр которых не содержит частот
выше F, принимающих заданные значения ui (i=l,
. . . , h) в заданных п точка х отсчета ti=kiЛt, где
Лt= 1/ (2F) .
Это следствие является частным случаем дока ­
занной теоремы при специальном выборе точек ti ,
В то же время оно явно свидетельствует о несосто­
ятельн,ости широко распространенной вульгаризо­
ванной трактовки теоремы Котельникова . Чтобы
определить u(t) однозначно, нужно задать u(kЛt)
при всех k, -оо <k<оо.
4.5 . Можно ли передать мегабит за секунду
в полосе 1 Гц?
Из доказанной теоремы следует, что отрезок сигна­
ла длительностью в 1 с, содержащий , например,
106 независимых двоичных отсчетов (т. е. отсчетов,
принимающих два з начения, выбранных равноверо­
ятно и независимо друг от друга), можно продол ­
жить так, что его спектр целиком уложится в
полосу частот шириной в 1 Гц. Отсюда как будто
бы вытекает, что по каналу, пропускающему час­
тоты не выше 1 Гц, можно в течение секунды пе­
редать инфор,мацию в 106 бит.
Та кой вывод верен лишь с существенными ого ­
ворками . Во-первых , следует с большой осторожно­
стью обращаться с понятием количества информа-
69


ции, передаваемой в канале с ограниченной поло ­
сой пропускания . Об этом подробнее будет сказано
вгл.5.
Во-вторых, отрезок сигнала длительностью в 1 с,
о котором идет речь, будучи выделен из остальной
части сигнала , имеет спектр весьма широкий и по­
этому сам по себе не может быть передан в рас­
сматриваемом канале . Для того чтобы передать та­
кой отрезок, его нельзя выделять из всего «узкопо­
лосного» сигнала, продолжающегося теоретически
от t=- o o до t= + оо. Практически нужно переда­
вать узкополосный сигнал достаточно долго, . преж­
де чем в нем сформируется отрезок длительностью
в 1 с, значения которого в выбранных точках мало
отличаются от заданных. Попробуем оценить не­
обходимое время передачи.
Для этого вспомним ход доказательства теоре­
мы, в котором определение продолженного сигнала
производится путем нахождения п значений отсче­
тов в моменты времени, кратные Лt. Между пер­
вым и последним из этих отсчетов проходит время,
не меньшее чем пЛt. Очевидно, что по меньшей
мере все эти отсчеты должны быть последователь­
но поданы на вход канала для того, чтобы выход­
ной сигнал содержал отрезок сигнала, несущий
приблизительно 1 ) заданные значения в фиксирован­
ных точках. Следовательно, сигнал нужно переда­
вать в течение времени, не меньшего пЛt.
В нашем примере п=I06.лt=1/(2F)=0,5с
(при F= I Гц) и пЛt=5-105 с (т. е. около 135 ч) .
Конечно, в канале с полосой пропускания 1 Гц за
такое время можно, в принципе, передать 106 бит,
так как средняя скорость передачи при этом будет
1> Приблизительно, потому что время воздействия сигна ­
ла на вход канала коне,1но.
70


равна 2 бит/с, что соответствует так называемому
пределу Найквиста 1>.
Интересно отметить еще одно обстоятельство.
Если заданные значения сигнала на интервале
(t1, fп) много раз меняют свой знак на протяже­
нии полупериода частоты F, то средний квадрат
значений Uj котельниковских отсчетов продолжен•
нога сигнала, не равных нулю, значительно боль­
ше среднего квадрата заданных значений щ сигна­
ла. Это легко понять, если учесть, что при большом
п в формировании сигнала на заданном отрезке
участвует много членов суммы (4.1), в том числе
такие, для которых Q (t - kЛt) достигает или пре ­
вышает 2лп. Очевидно, эти члены по порядку абсо­
лютной величины должны быть близки к заданным
•отсчетам щ, а поэтому хотя бьс некоторые коэффи­
циенты и(kЛt) должны быть примерно в 2лп раз
больше. Отсюда следует, что если узкополосный
сигнал совершает много осцилляций на протяже­
нии одного периода высшей частоты его спектра,
то средний уровень сигнала на этом отрезке суще­
ственно ниже, чем вне его. Более точно эта особен­
ность будет сформулирована и обоснована в гл. 6.
Таким образом, возможность передавать в уз­
кой полосе частот большое количество информации
осуществляется в данном случае путем увеличения
как времени занятости канала, так и средней мощ­
ности сигнала . В этом уже ничего парадоксально­
го нет.
1 > Некоторые замечания по поводу этого предела чита­
тель найдет в гл. 5.


5
ПРЕДЕЛ ИЛИ БАРЬЕР НАЙRВИСТА
В гл . 4 был затронут вопрос о передаче информа­
ции сигналами с финитным спектром. Об этом в
учебной и журнальной литературе накопилось
столько взаимопротиворечивых высказываний, что
даже перечислить их трудно . Для того чтобы не­
много разобраться в сущности противоречий, вос­
пользуемся очень старым литературным приемом -
диалогом.
Итак, послушаем беседу профессора с тремя ас­
пирантами.
Профессор: Слышали ли вы когда-нибудь о так
на з ываемом пределе Найквиста для скорости пере­
дачи информации?
1-й аспирант: Да, я читал, что, как установил в
1928 г. Найквист, в канале с полосой пропускания
F Гц за время Т с не может быть передано боль­
ше чем 2FT бит информации. Другими словами,
можно передавать информацию со скоростью не
свь1ше 2 бит в секунду на герц.
2-й аспирант : Это не точно. За время Т в поло­
се F можно передать 2FT независимых величин.
Это и утверждал Найквист [31] и это вполне со­
гласуется с теоремой Котельникова. Различие ме-
72
1j
'


жду рассуждениями Найк·виста и Котельникова, ес­
ли память мне не изменяет, заключается в том, что
Котельников ·разлагал •сигнал в ряд (4.1) и опреде­
лял 2FT отсчетных значений сигнала, а Найквист
разлагал сигнал на интервале пТ в ряд Фурье и
определял необходимую для его восстановления
полосу частот. Но и в том, и в другом случаях
отсчеты сигнала могут принимать много значений.
Если, например, можно надежно различать т зна­
чений отсчета, то информация в каждом отсчете
составит log2 т бит'>. Поэтому правильнее будет
сказать, что Найквист показал возможность пере­
дачи со скоростью 2 отсчета в секунду на герц, или
2 Бод на герц, если под бодом понимать единицу
скорос'i'и передачи дискретных сигналов, равную
одной ,«посылке» в секунду. Если же говорить о
битах в секунду, понимая под битом двоичную еди­
ницу информации, то за время Т в полосе частот F
можно передать 2FT log т бит. Величина т опре­
деляется, например, помехами, чувствительностью
измерителя в приемном устройстве и т . д. Впрочем
об этом Найквист не говорил. Он ограничивался
утверждением о возможности передать 2FT посы­
:лок.
1-й аспирант : .Я согласен с этой поправкой, но
хочу ввести еще одну. Все это справедливо лишь
при больших значениях произведения 2FT. Поэто­
му лучше говорить не о количестве информации,
переданном за время Т, а о средней скорости пе­
редачи информации, достижимой при длительном
использовании канала. В этом случае скорость пе­
редачи информации в канале, пропускающем час­
тоты до ,Р, не может превысить 2F log т бит/с.
1> В дальнейшем вместо log2 будем писать log, считая,
что основание логарифмов всюду, где не оговор ено против­
ное, равно 2
73


3-й аспирант: Я решительно не согласЕ'н ни с
вами, ни с Найквистом, если он утверждал то, что
вы ему приписываете. Сигнал, прошедший ·через
фильтр, не пропускающий частот выше F, являет­
ся сигналом с финитным спектром . Такой сигнал
вообще не может передавать никакой· информации,
на что в свое время обратил внимание Н. А. :ж:е­
лезнов (14] .
1-й аспирант: Как же так? Чем такой сигнал
хуже любого другого?
3-й аспирант: Тем, что он детерминирован . Из­
вестно ведь, что сигнал с финитным спектром яв­
ляется целой функцией . Мы читали об этом в книге
Хургина и Яковлева [53] . А целая функция беско-
нечно дифференцируема. Поэтому по любому не­
большому отрезку такой функции можно построить ,·;; ,
ряд Тейлора и экстраполировать ее, т . е. совершен-
но точно предсказать все ее будущие значения. Зна-
чит, никакой новой информации эти будущие зна-
чения уже нести не могут. - Скорость передачи ин­
формации оказывается равной нулю. Для того что-
!
бы сигнал передавал новую информацию, его -
спектр должен отличаться от нуля на всех часто- J
тах, кроме отдельных дискретных точек.
2-й аспирант: Тут что-то не так . Я согласен, что
после того, как мы приняли отрезок сигнала, про­
анализировали его и произвели экстраполяцию,
дальнейший прием сигнала ничего нового нам не
даст . Но это происходит потому, что всю информа­
цию мы уже извлекли из принятого отрезка сигна­
ла. !Значит, проанализировав конечный отрезок сиг­
нала с финитным спектром, можно получить ин­
формацию обо всем бесконечном сигнале, харак­
теризуемом бесконечным числом независимых от0 -
счетов. Следовательно, скорость передачи инфор ­
мации окажется не нулевой, а бесконечной.
74


1-й аспирант: Час от часу не легче. То скорость
была нулевой, то она вдруг стала бесконечной! Мне
совершенно ясно, что бесконечной она быть не мо­
жет, так как это, во-первых, противоречит пределу
Найквиста, с которого мы начали ...
2-й аспирант: Вовсе нет. Мы ведь установили,
что по Найквисту скорость передачи информации
ограничена величиной 2F log rm. Но поскольку ни­
каких помех мы не учитываем и полагаем, что при­
нятый сигнал измеряется абсолютно точно, то
т= оо и отсюда следует, что скорость передачи ни­
чем не ограничена.
1-й аспирант: С етим, пожалуй, можно согла­
ситься. Но бесконечная скорость противоречит и
принципу относительности, согласно которому ско­
рость передачи сигнала ни в каких условиях не
может превзойти скорость света 1>.
•
Профессор: Тут уж я должен вмешаться . Не
следует путать скорость передачи сигнала по кана­
лу I! смысле количества каких-то элементов (посы ­
лок, носителей информации), передаваемых в еди­
ницу времени, имеющую размерность . 1/с, и ско­
рость прохождения сигнала в канале, в смысле
длины пути, пройденного сигналом за единицу вре­
мени, имеющую размерность метр в секунду . Пос­
ледняя, конечно, не может превысить скорость све­
та. Мы же здесь говорим о скорости передачи в
первом смысле, которая ничего общего со скоро ­
стью света иметь не может, хотя бы потому, что
имеет совершенно другую размерность . Но я жа ­
лею, что перебил вас. Ра з горевшаяся между вами
дискуссия очень интересна, и мне бы хотелось, что-
1> Этот «довод» не выдуман авто.ром. Он был выдвинут
одним ,из участников дискуссии на научной конференции в
конце 50-х годов.
•
75


бы вы сами довели ее до той истины, которая рож­
дается в спорах .
1-й аспирант: Прошу прощеt~ия за то, что аппе­
лировал к не относящейся к делу скорости света.
Сейчас мне кажется, что вы оба правы. К.огда на­
чинается передача сигнала с финитным спектром,
из самого начального отрезка МОЖRО выделить всю
информацию, содержащуюся во всем будущем бес­
конечном сигнале. В этом отрезке времени скорость
передачи информации бесконечна. Во все же осталь­
ное время скорость передачи равна нулю, так как
сигнал ничего нового для получателя уже не содер­
жит. Интересно бы вычислить, исходя из этого,
среднюю скорость передачи информации.
3-й аспирант: С таким компромиссным решени­
ем я согласиться не могу. Представьте, например,
что вам нужно передавать информацию о футболь­
ном матче и вам для этого предоставили канал со
строго финитной полосой пропускания. Сформи­
рованный вами сигнал детерминирован. К.ак же вы
сможете ввести в него информацию о неожиданно
забитом голе? Может быть она уже заложена в
самом начальном отрезке сигнала? Значит, про­
анализировав его, можно заранее предсказать ис­
ход матча и его ход со всеми подробностями. По­
скольку это невозможно, скорость передачи инфор­
мации по такому каналу все время равна нулю.
2-й аспирант: Вероятно здесь нужно учесть
групповое запаздывание сигнала в канале. В иде­
альном канале со строго финитной полосой пропус­
кания это запаздывание бесконечно. Но не будем
требовать идеальности канала. Если канал имеет
амплитудно-частотную характеристику, очень близ­
кую к П-образной и физически реализуемую, то
время группового запаздывания в нем должно быть
огромным, скажем, должно превышать длитель-
76


ность матча . Значит, сигнал с почти финитным
спектром сформируется на выходе канала в то
время, когда матч уже з акончился и весь репор ­
таж о нем уже произнесен перед микрофоном . По ­
мехи мы считаем отсутствующими. Тогда ничего
странного не будет в том, что, проанализировав са­
мое начало сформировавшегося сигнала, можно вы­
явить из него всю передававшуюся информацию.
Это !1одобно тому, как по небольшой части голо­
граммы можно восстановить все заложенное в ней
изображение.
1-й аспирант: Мне не нравится, что мы все вре­
мя пренебрегаем помехами. Что изменится, если мы
их учтем?
•
3-й аспирант: Абсолютно ничего, если помехи
тоже прошли через наш канал и имеют финитный
спектр в той же полосе, что и сигнал. Значит, сум­
ма сигнала и помехи является целой функцией,
которую можно экстраполировать с любой точно­
стью, и, следовательно, она не может быть носи­
телем информации .
2-й аспирант: Почему же помехи обязательно
должны пройти через тот же канал? Ими могут
быть тепловые - шумы приемника или, если фильтр
является частью приемника, тепловые шумы эле­
ментов аппаратуры, включенных после фильтра.
Тогда спектр суммы сигнала и помехи не будет
финитным. Точная экстраполяция окажется невоз­
можной, и скорость передачи все время будет не­
нулевой .
1-й аспирант: Смотрите же, до че~го мы дого·во­
рились! Если сигнал , прошедший через канал со
строго финитной полосой пропускания, поступает
на приемник без помех, то скорость передачи ин- ·
формации равна нулю . Если же подмешать к нему
шум, то скорость передачи информации становит-
77


ся ненулевой! Согласитесь, что это нелепый резуль­
тат ~ добавление шума не может увеличить ско-
рость передачи информации .
•
•
2-й аспирант: Почему же? Я могу привести дру­
гой очень простой пример с таким же результатом .
Предположим, что для передачи сообщений по
некоторому дискретному каналу используется си­
. стема, в которой каждый кодовый блок повторяет­
ся 15 раз подряд и решение принимается по мажо­
ритарному принципу, т. е. по большинству · приня­
тых за 15 раз значений каждого символа . llусть
вначале помех в канале нет. Тогда при первой же
передаче кодовый блок принимается без ошибок.
Следовательно, остальные 14 повторений того же
блока не несут информации и скорость передачи
_после того, как первый блок закончен, равна нулю.
Но если только в канале имеется шум, то при пер­
вой передаче блок может быть принят с ошибками
и· тогда все его повторения несут некоторую инфор­
мацию, так как они уже не известны априори.
1-й аспирант: Пожалуй это так. Добавление по­
мехи может в некоторых случаях увеличить ско­
рость передачи информации на некотором отрезке
времени. Но оно, по-видимому, не может увеличить
средней скорости передачи информации за все
время использования канала. Если повторять 15
раз кодовый блок в канале без помех, то средняя
скорость передачи информации будет равна
I(X, X)/I5T0, где J(X, Х) - количество информа­
ции, содержащееся в передаваемом блоке, Т0 -
длительность однократной передачи блока. Если же
в канале имеются помехи, то средняя скорость пе-
- редачи
информации равна !(У, Х)/15То, где !(У,
Х) - количе<;тво информации, содержащееся в при­
нятых блоках У относительно переданного блока
Х. Собственно говоря, эта формула справедлива и
'ts


в отсутствие помех, но в этом случае
вестно, что / (У, Х) ~! (Х, Х). Поэтому
У=Х. Из­
добавле-
ние помехи не может увеличить среднюю скорость
передачи информации . По-видимому, то же самое
имеет место и в канале с финитной полосой про­
пускания . Там очень большое количество инфор­
мации передается 'В первый же ,момент, вслед
за чем скорость передачи информации падает до
нуля . Но средняя скорость за все время функцио­
нирования канала остается, вообще говоря, конеч­
ной. Я уже говорил, что предел Найквиста отно­
сится только к средней скорости - она не может
превысить 2F log т.
2-й и 3-й аспиранты: Да, это похоже на исти­
ну. Но все же многое еще осталось неясным.
Профессор: Совершенно с вами согласен. В ва­
шем споре возник пока что зародыш истины. Для
полного его развития нужно еще многое додумать.
Я не стану этого делать за вас, но попытаюсь дать
вам некоторые наводящие идеи .
Прежде всего сама постановка вопроса не впол­
не корректна. Цепь с финитной амплитудно-час­
тотной характер истикой физически не реализуема.
Следовательно, такого канала в природе существо­
вать не может . А поэтому незаконно ставить во­
прос о его пропускной способности . · Как показали
Пэйли и Винер [32], амплитудно-частотная харак­
теристика К (ю) физически реализуемой цепи дол­
жна удовлетворять условию
"'
SIlnK(ro) 1 dю < оо.
1 +ro2
(5.1)
о
- Это
условие не выполняется, если К (w) = О хотя бы
на конечном интервале. Оно не удовлет·воряется ·и
в том случае, если при больших ш величина К (w)
79


• уменьшается быстрее, чем
некоторая степень ffi.
Следовательно, таких каналов быть не может и о
скорости передачи информации в них говорить не
следует.
К:онеч·но, можно рассматривать последователь­
ность каналов К1 , К2 , ... ,
амплитудно-частотные ха­
рактеристики которых стремятся в некотором смыс­
ле (например, в смысле равномерной сходимости)
к П-образной характеристике идеального фильт­
ра, и отыскивать предел их пропускной способно­
сти . Однако этот предел ничему реальному не со­
ответствует, так 1,ак время заде ржки в канале Кп
стремится вместе с п к бесконечности. Уже поэто­
му можно утверждать, что по такому .«идеально­
му» каналу информацию передавать нельзя.
1-й аспирант: Хорошо, не будем говорить о ка­
нале с финитной полосой пропускания . Пусть ка­
нал пропускает без искажений и задержек все час­
тоты. Но сигнал-то может иметь финитный спектр.
Мы можем его сформировать, задавшись некото­
рым конечным числом «котельниковских» отсче­
тов uk, k= 1, ... , п, положив все остальные отсчеты
равными нулю, подставив их ,в ряд
п
и(t)= '1и sinQ(t-kдt)
~k Q(t-kдt) '
k=I
(5.2)
Лt = n/Q,
и подавая на вход канала полученные значения
и(t), скажем, от t=O до t=nЛt. Эте>т сигнал име­
ет финитный спектр . Передать его отрезок можно
без всякой задержки. Мы можем вложить в неrо
при формировании информацию, выбирая •значе­
ния uk. Следовательно, отрезок сигнала с финит­
ным спектром может передавать инфорi:rацию со
скоростью, определяемой пределом Найквиста.
80
j
1


3-й аспирант: Это не верно. Если вырезать от­
резок функции с финитным спектром на интервале
(t1, t2) и 'ПОJ!ожить е.е равной нулю вне этого интер­
вала, то спектр полученного отрезка уже не финит­
ный. Поэтому-то и понадобился канал с неограни­
ченной полосой пропускания. Следовательно, сфор­
мированный отрезок сигнала не является детерми­
нированным (хотя бы потому, что он может закон­
читься в любой момент). С другой стороны, п усть
получателю сообщения заранее известно, что пере­
даваемый сигнал выражается суммой (6 .2), и неиз­
вестны только значения коэффициентов и,,. Тогда,
если помех в канале нет, вовсе не обяз 9 тельно пере­
давать отрезок этого сигнала от t=O до t=hЛt. Мож­
но ограничиться передачей сколь угодно короткого
отрез ка сигнала и даже не обязательно лежащего
внутри интервала (О, пЛt). Достаточно даже пере­
дать ненулевые значения ,ui = и (ti) в любых п раз­
личных точках t;, так как по ним можно восстано­
вить все uk.
2-й аспирант: Мне кажется, что мы пришли к
тривиальному результату . Формируя сигнал u(t)
(6.2), мы ставили перед собой цель передать ин­
формацию о последовательности п действительных
чисел Иk, Далее оказалось , что вместо сигнала
u(t) можно передать п других чисел - значений
u(ti) в п точках, не обязательно совпадающих с
точками kЛt. Это совершенно естественно, так как
ф-ла (6.2) определяет взаимно однозначное соот­
ветствие между совокупностями п чисел uk и п дру­
гих чисел щ. А отрезок сигнала с фин~тным спект­
ром здесь вовсе не при чем .
Профессор: Давайте подведем итог. Прежде все­
го я хочу вам посоветовать не терять чувства ис­
торической перспективы. Работа Найквиста [31]
появилась задолго до тоtо, как возникло современ-
81


ное понятие пропускной способности канала . В ра­
боте Найквиста даже термина ,«пропускная спо­
собность» нет, он появился впервые, да и .то не в
современном смысле, в статье Котельников а в
1933 г.
Интересно все же отме т ить, что у Найквиста
уже применяются понятия информация и и з быточ­
ность (redundance), причем в них вкладывается
смысл, очень бли з кий к современному. Вот перевод
основных те з исов статьи • Найквиста:
«1. Требуем1;1.я полоса частот прямо пропорцио­
нальна скорости передачи (signaling speed).
2. Повторяемый телеграфный сигнал 1) можно
рассматривать как состоящий из синусоидальных
компонент . Если амплитуду и фазу или действитель­
ную и мнимую части этих компонент отложить по
оси ординат, а частоты - по оси абсцисс и ось час­
тот разделить на части, каждая из которых пред­
ставляет полосу частот,· численно равную скорости
передачи 2), то оказывается, что информация, со­
держащаяся в этих полосах, идентична, и можно
сказать, что эти полосы взаимно избыточны.
3. Минимальная полоса, требуемая для точной
интерпретации сигнала, численно равна скорости
передачи и не зависит от числа используемых зна­
чений тока» .
Отсюда видно, что Найквист хорошо понимал
возможность увеличения количества передаваемой
1> Речь .идет о периодическом повторении отрезка сигна­
ла, состоящего из п элементов, дл.я пояснения разложения в
ряд Фу,рье.
2) Далее Найкв.ист уточняет, что он понимает под ско­
ростью передачи: «Скорость п е,ре,j!.~Ч:И:. S.. обыч_но обозначается
числом точек, переданных в ceiv~дy; . -1 1 определяется как чис­
ло элементов сигнала в секунду; разделенное на 2». Таким
образом, величина S вдвое меньше той величины, которую в
настояще~ время называют технической скоростью передачи .
82


информации путем перехода от двоичных посылок к
т-ичным. Он устанавливал только предел для ко­
личества посылок, передаваемых в секунду.
Конечно, говорить о пропускной способности ка­
нала без учета помех, вообще говоря, бессмыслен­
но. Однако иногда удобно вместо непосредствен­
ного учета помех наложить ограничения на число
значений принимаемых сигналом в определенные
моменты вр€менн. Пусть, например, сигнал может
принимать в моменты времени tk = kЛt, k = 1, ... , п
лишь одно из двух значений: + 1 или -1, а в мо­
менгы времени kЛt при k< 1 или k>n он равен
нулю . Такой сигнал может иметь финитный спектр
с верхней частотой F= 1/2,Лt и в этом случае пред­
ставляется суммой (5.2). Количество информации
в этом отрезке сигнала на интервале Т=пЛt, оче­
видно, равно n=2FT бит. Это иногда и называют
«пределом Найквиста». Однако слово «предел»
здесь . не очень уместно. Во-первых, как понимал
уже сам Найквист, это количество информации
можно увеличить в log т раз, если различать в мо­
менты времени kЛt не два, а т уровней сигнала.
Во-вторых , как мы уже видели, 2FT бит информа­
ции можно передать отрезком сигнала (5.2) дли­
тельностью Т 1 << Т. Правда, при этом нужно в ка­
ких-либо п точках различать не два уровня сигна­
ла, а значительно больше, тем больше, чем меньше
Т1/Т . Практически это возможно лишь при ничтож­
ном уровне аддитивных помех.
Как :бы то ни было, отсюда следует, что тер­
мин «предел Найквиста» неудачен, он не устанав ­
ливает никаких строгих предельных соотношений,
аналогичных, например, пропускной способности
Шеннона или потенциальной помехоустойчивости
Котельникова.
83


1-й аспирант: Так не лучше ли вообще отка­
заться от понятия «предел Найквиста»?
Профессор: Думаю, что полностью от него отка­
зываться не стоит, и вот по какой причине. В на­
стоящее время разработано много различных си­
стем передачи дискретных сообщений для разно­
образных каналов, в том числе для таких, у кото­
рых амплитудно-частотная характеристика доволь- .
но быстро падает за пределами полосы частот F.
Ее условно можно назвать полосой пропускания ка­
нала. Скорость передачи 2F бит/с также условно
можно назвать «скоростью Найквиста». Среди раз­
личных существующих систем связи имеются и ра­
ботающие со скоростью, большей найквистской. Но
вот что примечательно. Все более или менее прос­
тые системы в каналах с различными помехами
обеспечивают скорость передачи не более 0,3-0,5
от найквистской. Для достижения скорости Най­
кви,ста систему 1приходится ·заметно усложнять, а
превышение этой скорости требует еще значитель­
но большего усложнения.
Применяя грубую аналогию, можно сказать, что
скорость Найквиста в теории связи играет не та­
кую роль, как скорость света в физике, а скорее
такую, как скорость звука (,«звуковой барьер») в
авиации. Достигнуть ее и превзойти можно, но это
требует значительных усили_й.
О причинах трудной преодолимости «барьера
Найквиста» можно было бы говорить много. Оста­
новимся лишь на одном поясняющем примере.
Рассмотрим канал с отношением мощности сиг­
нала к мощности аддитивного гауссовского шума
на выходе канала Рс/Рш при передаче сигналов, за­
нимающих условную полосу частот F. Пропускная:
способность такого канала при равномерном спект­
ре шума равна по Шеннону
84


(5.3)
Известно, что при приближении скорости пере­
дачи к пропускной способности канала требуется
резко усложнять кодирование.
Для приб.1иженной оценки положим, что гра­
ница между приемлемой и чрезмерной сложностью
кодирования имеет место при скорости передачи
R = С/2. Тогда для относительно простых систем
где RN=2F - ~<скорость Найквиста» (условная).
Отсюда легко получить
4R/RN
Ре/Рш:;;:,, 2
-
1.
Если необходимую мощность сигнала при ско­
рости, равной четверти найквистовской, принять за
единицу, то для достижения половины найквистов­
ской скорости потребуется сигнал с мощностью 3.
Для того же, чтобы добиться полной найквистов­
ской скорости, нужно увеличить мощность сигнала
до 15. Дальнейшее повышение скорости за преде­
лом ,«барьера Найквиста» потребует еще бо.hее рез­
кого увеличения мощности сигнала. Так, для пре­
вышения «барьера» в 2 раза мощность сигнала
должна быть в 255 раз выше, чем при iR.=RN/4.
Если надлежащий запас мощности сигнала име­
ет1ся, то «барьер» можно преодолевать различными
способами. Так, можно передавать •«посылки» с
найквистовской скоростью 2F отсчетов в секунду,
но уа~личить число уровней т. Можно, наоборот,
сохранить небольшое число уровней посылок, но
передавать и х чаще , чем 2F в секунду . При этом
возникает межсимвольная интерференция, но опа,
85


в принципе, не препятствует извлечению информа­
ции из принятого сигнала, если уровень аддитивно­
го шума мал . Возможны и другие методы пере ­
дачи.
Этот вопрос приобретает практическую актуаль­
ность, если необходимо передавать бо·льшие пото­
ки информации по каналу, имеющему ограничен­
ную полосу пропускания при низком уровне адди­
тивных помех и малом затухании сигнала. Кон­
кретная система связи, работающая выше «барьера
Найквиста», должна выбираться с учетом всех осо­
бенностей канала, таких, как мультипликативные
помехи (замирания), многолучевое распростране-
'
ние сигнала и т. д.


6
ЕЩЕ О СПЕКТРЕ СИГIIАЛА И ЕГО
МГНОВЕННОЙ ЧАСТОТЕ
.
~ ,1. Сущность вопроса
Выше говорилось о разли ч ии между мгновенной
частотой сигнала и частотами его с п ектральных со­
ставляющих. Можно ли, однако, утверждать, что
между мгновенной частотой и спектром сигнала
нет никакой связи? Например, может ли существо­
вать сигнал, спектр которого сосредоточен в пре­
делах от 100 до 300 Гц, а мгновенная частота при­
нимает значения от 400 до 500 Гц?
Вероятно, каждый инженер ответит на этот во­
прос отрицательно. Тем не менее, ·вряд ли многие
из них сумеют точно сформулировать сущность
связи между спектром сигнала и зависимостью его
мгновенной частоты от времени.
Этот вопрос заинтересовал автора уже очень
давно, во всяком случае раньше 1954 г. Интерес к
свойствам мгновенной частоты не был вызван од­
ной любознательностью - он был тесно связан с
задачами, решавшимися в проводившейся тогда
автором разработке . Тем не менее, разработка · бы­
ла успешно завершена, а ясности в поведении мгно-
87


венной частоты так и не удалось установить. С тех
пор прошло уже около 25 лет, и все эти годы автор
продолжал между делом размышлять о связи ме­
жду мгновенной частотой и спектром . Основные из
полученных при этом результатов опубликованы в
[45] . Они оказались полезными также для теории
линейных цепей. Однако, по-видимому, еще многое
можно сделать . в этой области, в частности отыс­
кать более удобные формулировки уже известных
соотношений. Основное содержание данной гла­
вы - рассказ о поисках автора в этом направле­
нии.
6.2. Некоторые заблуждения
Первая мысль, которая приходит в голову, заклю ­
чается в том, что область изменения мгновенной
частоты должна совпадать с полосой частот, зани­
маемой спектром сигнала. · Назовем эту мысль
предположением А. Оно явно ошибочно. На нем
базировались предложения об использовании узко­
полосной ЧМ для размещения большого числа сиг­
налов в узком диапазоне частот (см. гл. 2). Тем не
менее, в различных видоизмененных формах эту
мысль продолжают проповедова rь и сейчас. Оши­
бочность такого предположения проще всего демон­
стрируется на примере АМ сигнала А (t) cos (J)at с
постоянной мгновенной частотой ,w0. Как известно,
его спектральная плотность не сосредоточена на
частотах ± w0 , а содержит также боковые полосы,
которые при достаточно широком спектре огибаю­
щей A(t) могут простираться очень далеко от w0.
Если постоянная составляющая A(t) равна нулю,
то А (t) cos w0t ~представляет ,сигнал •С балансноi"i
модуляцией и вовсе не содержит составляющей на
несущей ча,стоте wa.
88


Итак, область частот, содержавшихся в спект­
ре сигнала, и множество значений, пробегаемых
мгновенной частотой, не совпадают.
Легко опровергнуть также сл_едующие два при­
ходящие в голову взаимоисключающие предполо ­
жения.
Предположение В: спектр сигнала занимает по­
лосу чжтот, не 1Превышающую обла,сть изменения
мгновенной частоты.
Предположение С: мгновенная частота может
принимать только значения, не выходящие за пре­
делы полосы частот, занятой спектром сигнала.
Предположение В сразу опровергается тем же
примером амплитудномодулированного
сигнала
A(t) cos co 0 t. Если спектр A(t) лежит целиком ни­
же частоты 1w 0 , то мгновенная частота такого сиг­
нала постоянна и равна l(!)o, тогда как спектр
со­
держит боковые полосы и имеет ширину, равную
удвоенной ширине полосы спектра огибающей
A(t).
Предположение С опровергается другим приме­
ром - суммой двух гармонических функций с близ­
кими значениями частот и амплитуд. Пусть u(t) =
= а 1 cos w1i + а2 cos w2i. Спектр этого сигнала дис­
кретный и содержит две составляющие . Сопряжен­
ным по Гильберту сигналом является
л
и(t)=а1sinw1t+а2sin w2t.
Мгновенная частота определяется ф-лой (3 .9)
.
л
л
w(t) = и'(t)и(t)- и'(t)и(t) _
л
и2(t)+u2t
ro1 af+ro2 а~+(ro1 +ro2 )
а1а2 cos (w2 -ro1 )
t
ai+ag+2а1а2cos(ro2- w1) t
(6.1)
89


и; следовательно, является периодической функцией
с периодом 2л/ (ffi2 - ffi1) .
Пусть для определ енности а2 <а 1 . Обо з начим
a2=a1(l-:e) , ffi2----,ffi 1 =Лrffi . Тогда
ro(t)=roi [l + Лw (l-e)2 +(1-e) cosЛwt ] . (6
_
2)
wi 1+(1- е)2+2(!- в) ~osЛwt
.
Если 1Л1ro~ lffi 1 , то второй член в квадратны х скоб­
ках на первый взгляд значительно меньше едини­
цы, так что мгновенная частота близка к частоте
ffiJ той спектральной составляющей, у которой
больше амплитуда. Это можно _проверить для край­
них случаев. Если ,е=О, то второй член равен
~
w+w
-
, так что ro(t)= ro1+Лrо/2=
1
2,
как и
2w1
2•
можно было ожидать из соображений симметрии.
Еслижее=1,товторойчленравенОи w(t)=ffi1.
Однако не будем торопиться. Рассмотрим промежу­
точный случай, когда О<е~ 1. На рис. 6 . 1 пред ­
ставлена функция 1{J) (t) для трех значений 18=0,8;
0;5 и 0,1 при ,Л,щ/iffi 1 =0,2. При очень малых е мгно­
венная частота отклоняется от ffiJ значительно
больше, чем на величину Лw, которая представля ­
ет собой ширину спектра.
Действительно, в моменты времени, когда Л-wt
принимает значения: (2k + 1) л, из (6 .2) имеем
ffi(t)= ro1 +Лrо(в2- е)/в2=:сffi1+Лffi(1-1/в) =
.
= ro2- Лffi/e.
(6.3)
При достаточно малых значениях ,в мгновенная .
частота может стать сколь угодно большой (если
Лffi<0) или скоJiь угодно малой и даже отрицатель ­
ной') (если Л,w>О) .
1> В отличие от некоторых других работ, мы называем
•
dФ
!dФ!
dФ
мгновеннойчастотой& ,ане& ине& - w0•
90


1
r
•
Кривые эти вы­
глядят довольно па­
радоксально. Сам9е
странное то, что рез­
кие
отклонения
мгновенной частоты
происходят в сторо­
ну,
противополож­
ную расстройке ЛСu
более слабой состав­
ляющей. Однако они
вполне реальны -
их можно наблюдать
на экране осцилло­
графа, подключенно­
го к выходу частот­
ного дискриминато­
ра, если на вход его
ограничителя подать
сумму двух гармuни­
ческих сигналов.
6.3 . Поис:ки
3
о
Ji,
z:,; , ЛIJt
Рис. 6.1 . Мгн,овенная частота
суммы двух гармонических сиг­
налов:
J-e=0,8 (а2/а1=0,2); 2-
е=О,5 (а2/а1=0,5); 3-е=О,1
(а2/а1=0,9)
Итак, ширина спектра может быть сколь угодно
уже и сколь угодно шире области изменения мгно­
венной частоты или, как говорят, удвоенной девиа­
ции, понимая под девиацией предел отклонения
мгновенной частоты от среднего значения в одну
сторону. Поэтому связь между значениями мгновен­
ной частоты и частотами спектра должна быть не
столь однозначной.
Рассматривая различные другие прим,еры, автор обнару­
жил, что чем больше отклоняется мгновенная частота от
своего средн~го значения, тем быстрее она возвращается об­
ратно в область значений, близких к среднему . Кроме того,
эти ()редние значения, как показывает опыт, близки к средней
91


ча~..:тоте спектра. Эти наблюдения позволили автору выдви
нуть в 1955 г. следующее предположение (назовем его D):
Мгновенная частота сигнала может принимать любые зна­
чения, однако неравенство w (t)°> 2:n: (f маsс +Лf) или
w(t)<2:n:(.fмиu-iЛf), где fмин И fмаис - нижняя И верхняя
частоты спектра, может выполняться только в течение проме ­
жутка времени, не превышающего 1/Ц.
Это предпо11Lожение было провер ено на большом числе
примеров . Однаu,о попыт1ка стро•гого до.казательства удалась
лишь при не~юторых дополнительных условиях, наложенных
на сигнал.
Продолжая ра з мышлять над этим вопросом, естественно
было попытаться заменить точную ширину спект.ра, имеющую
смысл только для ф.инитного спектра, шириной некоторой ус­
л.овной полосы частот. Среди различных определений такой
полосы (наприме·р, полоса, в которой сосредоточено 99 %
мощности сигнала, или полоса, за пределами кота.рой ампли­
туды дискретных соста,вляющих спею1ра не превышают за ­
данной величины, ширина прямоугольника, равновеликого
фигуре, образуемой спектральной плотностью мощности, и
т. д.) наиболее привл.екатель~ным является определение сред­
ней квадратичной ширины спектра, по-·видимому, впервые
предложенное С. М. Рытовым (35 ], используемое многими ав­
торами, в частности В. И . Бунимовичем {4], и представляю­
щее собой второй центральный момент положительной ветви
нормированной энергетической спектральной плоТ1Ности. Эта
привлекательно.сть вызвана, во- п ервых, тем, что в оп ределение
этой полосы не входит никаких цроизвольных величин (вроде
99% мощности либо высоты эквивалентного прямоугольни­
ка), во - вто•рых, тем, что оно применимо практичеСJш для всех
сигналов, как детерминированных, та"' и случайных (стацио­
нарных), в - третьих, тем , что моменты уже широuю применя ­
лись для решения многих воцросов теории связи.
Будем обозначать частоты спектра (аргумент
спектральной плотности) 1w,
а нормированную
энергетическую спектральную плотность - g (w).
Напомним, что для детерминированных сигналов
1•
g(w) = -lim
2л r-ro
92
11и(t) e-iwt dt 1
2
т
sи2 (t) dt
-т
(6.4)


в частном случае для сигналов, интегрируемых с
квадратом, эта формула дает
g ((!)) = 1s(i (!)) 121в,
(6.5)
Оо
где S(i,w) J u(t)e-1001 dt- обычная спектральная
-Оо
00
плотность сигнала; Е= f u2 (t}dt - его энергия .
-00
Для сигналов с конечной мощностью из общего
оп р еделе н ия следует
т
g((I)) = _1 lim _1 sи (t) e-iwt dt,
Р Т-оо 2Т
-т
т
Р=Iim-1 Jи2(t)dt
т-оо 2Т
-Т
-
средняя мощность сигнала.
(6.6)
(6.7)
Для случайных стационарных сигналов в со­
ответствии с теоремой Винера - Хинчина
g ((!)) = +sR (t) cos (!)'t' d-r, l
о
t
(6 .8)
R(-r) = 2Jg(ы)cos(!)td(!), 1
где R (,:) - нормированная корреляционная функ­
ция (или коэффициент корреляции) процесса u(t)
(см . , например, ,[26]) . При таком определении
"'
всегда g(w)=g(-w) и J g(w)dw=I .
-оо
93


Средней частотой спектра называется величина
(первый начальный момент функции g( l,w 1)
00
00
W1 = J lwlg(w)dw=2Jwg(w)dw,
(6 .9)
-оо
о
если этот интеграл существует 1 J.
Средний квадрат частоты спектра определяется
как второй начальный момент g(w) :
00
00
w71 = Jw2g(w)dw = 2 Jw2 g(w)dw,
(6.10)
-оо
о
а средний квадрат ширины спектра - как второй
центральный момент
00
(бw)z = J ( 1 w 1 -w1)2g(w)d(J)=ffiJ1-(J)J·
(6.11)
-оо
Здесь также предполагается, что все эти интегралы
существуют.
В отличие от спектральных частот ,w, мгновен­
ную частоту будем обозначать ,Q. Она является
функцией времени и . может характеризоваться
средним значением по времени:
т
Qcp = lim-1 SQ (t) dt.
т-оо 2Т
-т
(6.12)
При попытках найти связь между числовыми ха ­
рактеристиками спектра и мгновенной частоты воз­
никло новое предположение Е: средняя мгновенная
частота равна средней частоте спектра шr.
1> Более общее определение ffir и других вводимых ниже
моментов, когда соответствующие интегралы расходятся, при•
ведено в [4] .
94
1
J
i;
i1


[
►
Известно, что это равенство выполняется для
стационарного нормального процесса с нулевым
средним значением и симметричным спектром 1 ).
Далее легко убедиться, что это же равенство вы­
полняется для любых сигналов с чисто амплитуд­
ной модуляцией вида
и(t)=А[1+тх(t)]cos(ffi0t+(!)),
(6.13)
у которых 1Q (t) = шо = const = Qcp- Это же справед­
ливо и при балансной модуляции (АМ без несу­
щей), когда u(t) =x(t) cos (шоt+(!)), где x(t) -лю­
бой модулирующий сигнал с нулевым средним зна­
чением (т. е. без постоянной составляющей), при­
чем предполагается, что весь спектр x(t) располо­
жен ниже частоты шо 2). Следующим рассмотренным
примером был сигнал с чисто угловой модуляцией
и(t) = А cosФ(t),гдеА = const,Ф(t) - произволь-
dФ
ная функция, Q (t) = -
. Этот
пример также вы-
dt
.
держал проверку, для него шr=Qcp•
После стольких проверок предположение Е
представлялось весьма правдоподобным и автор
прищтся отыскивать для , него доказательство,
справедливое в общем случае или хотя бы при не­
сильно ограничивающих дополнительных условиях.
Однако доказательство никак не клеилось . И тог-
1) Для такого процесса верно также следующее соотно­
шение:
т
liш-1
-
sI Q(t) 1 dt=Wu.
Т-с,о 2Т
-Т
2 ) В противном случае I х (t) 1 не является оrиба101дей в
смысле определения, основанного на преобразовании Гильбер­
та, а следовательно, w 0 не является постоянной мгновенной
частотой, что затрудняет проверку равенства Qcp=W1.
95


да автор вспомнил мудрый совет, сформулирован­
ный одним из его учеников: если некоторое предпо­
ложение кажется почти очевидным , но строго до ­
казать е го никак не удается , то скорее всего оно
не верно.
Действительно, рассмотрев еще несколько более
сложных случаев, удалось найти опровергающий
пример .
6.4 . Находки
После многих попыток найти более универсальное
предположение о связи между численными харак­
теристиками спектра и мгновенной частотой воз­
никла идея использовать оr:ибающую сигнала в
качестве весового множителя при определении
средних значений мгновенной частоты. Таким об­
разом, можно ввести понятие средней (взвешенной)
мгновенной частоты
т
\А2(t)Q(t)dt
Г\ 1· .::.т
~'1=IШ__Т
___
_
т-оо
sА2 (t) dt
-т
(6. 14)
среднего (взвешенного) квадрата мгновенной час­
тоты
т
sА2 (t) g2 (t) dt
Q7I = Iim-
__
т_____
т-оо т
96
sА2 (t) dt
-т
(6.15)


и среднего (взвешенного) квадрата девиации
т
sА2(t)[Q(t)- Q1]2dt
(бQ) 2 = lim _-_т_______ =
Q; 1 -Q7.
т-оо
т
sА2 (t) dt
-т
После введения этих величин все пошло
гладко. Сразу удалось доказать теорему 1:
(J)/ = Q/,
а затем и теорему 2:
т
sА'2 (t) dt
ro71 = Q;1 + lim-
__
т ___
T-<YJ Т
sА2 (t) dt
-т
(6.16)
очень
(6.17)
(6.18)
Очевидным следствием этих теорем является
связь между средним квадратом девиации и сред­
ним квадратом ширины <;пектра :
(бrо)2 = (бQ)2 +}~~ (1/' 2 (t) dt / 1А2 (t) dt) . (6.19)
Обе эти теоремы справедливы, если фигуриру­
ющие в них интегралы существуют, а сигнал удов­
летворяет некоторым условиям, практически не су­
жающим область применения. Они подробно пере­
числены в [45] , где такж е даны строгие доказа ­
тельства этих теорем . Для стацион а рны х сJiучай ­
ных процессов эти теоремы верны и при з амене ус ­
реднения мгновенной частоты по времени усредне­
нием по ансамблю . В этом сл у чае
Q1 = (1/2cr2) <A2Q>, }
(6.20)
Q;1 = (1/20-2) < А2 Q2~> .
4 Зак. 657
97


где. cr 2 - дисперсия случайного сигнала, угловые
скобки обозначают математическое ожидание.
В [48] дано более простое доказательство тео­
ремы 1, применимое , однако, лишь к детерминиро­
ванным сигналам и з L2 (т. е. с интегрируемым
rшадратом) .
Остановимся на выводах, вытекающих из упомя­
нутых теорем. Во-первых, они свидетельствуют о
наличии глубокой связи между спектром сигнала и
его мгновенной частотой . Средняя взвешенная
мгновенная частота всегда в точности совпадает со
средней частотой спектра . Из (6.14) и (6.19) лег­
ко видеть, в каких случаях должно выполняться
предположение Е, в соответствии с которым Qcp=
= ffi1. Очевидно, для этого необходимо и достаточно
выполнение равенства ;Q 1 = Qcp или
где угловые скобки обозначают усреднение либо
по времени (для дет ермини рованной реализации
сигнала), либо по ансамблю (для случайных сиг­
налов). Это равенство выполняется, в частности,
при A(t) =const, т. е. для сигналов с чисто угловой
модуляцией, и при Q (t) = const, т. е. для сигналов с
чисто амплитудной модуляцией. Кроме того, оно
выполняется при некоррелированных значениях А 2
и :Q в одинак_овые моменты, когда <A2 (t) Q (t) > =
= <A2 (t) > < ,Q (t) >. Это имеет место для гаус­
совских сигналов с симметричным спектром, не со­
держащих регулярной составляющей.
Если бы не существовало теоремы 2, то мгно­
венная частота могла бы сколь угодно отклонять­
ся от своего среднего значения ,Q 1 независимо от
изменения огибающей, лишь бы эти отклонения
распределялись в известном смысле симметрично
98


относительно ,Qr. Вторая теорема ограничивает эти
возможности, но не абсолютно. Отклонения могут
быть действителыrо любыми и даже несимметрич­
ными, как в приведенном ранее примере суммы
двух гармонических составляющих с близкими час­
тотами и амплитудами. Но большие отклонения
мгновенной частоты обязательно сопровождаются
значительными уменьшениями огибающей, обес­
печивающими выполнение неравенства Q 2 п~ tw 2 п,
вытекающего из (6.18). Поэтому же большие от­
клонения частоты не могут быть длительными -
вспомним предположение D.
Из (6.19) можно сделать важное качественное
заключение. Средний квадрат ширины спектра про­
извольного сигнала состоит из двух частей, одна
из которых опр еделяется угловой модуляцией и
равна среднему квадрату девиа ц ии, а вторая - ам­
плитудной модуляцией. Ширина спектра бiw может
равняться нулю только в отсутствие как угловой,
так и амплитудной модуляции, т . е. только для гар­
монического сигнала. Интересно отметить, что для
нормального случайного процесса- - с симметричным
спектром обе части (б1w) 2 , а именно (81Q) 2 и
т
т
(6л1w) 2 = /тmоо [ JА'2 (t) dt/ 5А2 (t)дt], одинаковы,
-Т
•
-Т
каждая из них равна О,5(бw) 2 , так что для нор­
мального шума ширина спектра в одинаковой мере
определяется изменениями его огибающей и фазы.
Минимальную ширину спектра при заданной
огибающей имеет сигнал с постоянной мгновенной
частотой, для которого Qr = Qн = Q и бQ = О. Ана­
логично при заданном законе угловой модуляции
минимальную ширину спектра имеет сигнал с по ­
стоянной амплитудой, когда А' (t) =О.
4*
99


6.5. Разочарование
В течение десяти лет автор очень гордился пол у­
ченными ф-лами (6.17) - (6.19) . Они оказались по­
лезными в некоторых случаях для решения прак ­
тических задач и к тому же были достаточно кра­
сивы . А получить красивый математический ре­
зультат - это большое удовольствие особенно для
не математика.
И лишь после того, как эта глава была написа ­
на, автор решил еще раз перелистать работу ,(35],
которую он читал в 1950 г., и- о ужас! Он
нашел в ней эти самые формулы!
Правда, они получены там только для периоди­
ческих сигналов. Но теперь уже единственное, на
что может автор претендовать - это на обобщение
известного ранее результата и на его популяриза­
цию.
Ничего не поделаешь. Лишний раз убеждаешь­
ся, что новое - это хорошо забытое старое. А так­
же, что размышляя над проблемой, не вредно по­
читывать литературу.
6.6. Кое-что о линейных цепях
Действительная и мнимая части передаточной
функции К (iw) физичеоки реализуемой линейной
цепи, как известно, с.вязаны преобразона1нием
Гильберта. Поэтому в-се результаты, полученные
для гильбертовокого сигнала, можно применить и
к лин€йным цепям, и наобо•рот. При этом нужно
только иметь в ви:ду, что в выражении для гильбер­
товского .сиnнала ар·rументом является в-ремя, а для
передаточ1ной функции - ча•стота. Соответственно
преобrразова,нием Фурье для сигнала является его
спектральная пло11ность, аргументом ~отарой слу -
100


1
f
1f
rt
жит ча,стота, а для перма"Гочной фуН1кции преобра­
зованием Фурье является импулысная характери­
стика h(:t) с временем 1в качестве аргу,мента. Обра­
тим внимание на то, что для физичеоки реализуе­
мой цепи h(t) =0 при t<O так же, как для анали­
тического ,силнала S(iw) =0 ,при w<O.
Продолжая эту аналогию, мож1но составить
-таблицу соотв,ет:ствия параме11ров , хара,ктеризую­
щих цепи н ,сигналы1):
Сигнал
Время t
Част,ота спект р а w
Гильбертовский сигнал it(t)
Спектральная
S(iw) •
Огибающая A(t)
Полная фа за Ф(t)
пло тность
Мгновенная ч астата
dФ
Q(t)=-
dt
Средняя чаеr,ота спеiпра
00
JwIS(iw)l2dw
о
о:,
sIS(iw)[2dw
о
Фи з и 11ески- реализуе1,тя r;епь
Частота w
Время t
Передаточная
функция
K(iw)
Импульснан ха,рактеристика
h(t)
Амплитудно-частотная ха-
рактеристика (АЧХ)
IK(iw) 1 =C(w)
Фаза-частотная хара1(тери­
стика (ФЧХ)
fp(w) = -arg K(iw)
Групповая задержка
dfP
1i(w)=-
dw
Среднее запаздывание им­
пульсного отклика
с,:,
.\ th2(t) dt
о
00
sh2 (t)dt
о
1) Для простоты огра .ничимся сигналами из L2 , длн кото­
рых существует спектральная плотность S(iw). Это позволяет
также обойтись без предельного перехода в ф-лах (6.14),
(6.15) и др.
101


Средний квадрат частоты
опектра
ос,
Jы21S(iы)i2dы
2.о
rou= -'--00-------
JIS(iы)12dы
о
Средний квадрат ширины
спектра
(бro)2=ro2rr-Ы2r
Средняя -мгновенная частота
со
sА2(t) Q(t) dt
-оо
00
sА2 (t) dt
-оо
Средний квадрат мгновен ­
ной частоты
00-
sл2 (t) g2 (t) dt
2
-оо
QII =
_
_
_
""______
sА2 (t) dt
-оо
Средний квадрат девиации
(бQ)2=Q2II_Q2I
Средниi'1 квадрат запазды­
ваниf! импульсного ОТКЛИ·
ка
00
Jt2h2 (t) dt
t;/ = _о_со_ _ __
sh2 (t) dt
о
Средний квадрат длител1, ­
ности ИМЛУЛЬ·СНОГО ОП<ЛИКа
(бt) 2=.t2 r r-t2r
Среднflя задержка .цепи
со
.f 1: (ы) С2(ы)dы
о
00
Jc2 (ro)dro
о
Средний квадрат задержки
1\Е'ЛИ
"'
s1:2 (ы) С2(ы)dы
1:71 = _о____ ___
00
Je2 (ы) dro
о
Средний квадрат диспер­
сни1>
1> Здесь термин «дисперсия» используется в «оптическом»
смысле как разброс скорости прохождения волн с различны­
м.и частотами.
102
•


По аналогии с теоремами, полученными для
::игналов, можно за.писать следующие равен,ства:
fl = 1:/,
t71 =1:7 1 + Jc' 2 (ro)dro /Jc 2 (ro)dw,
о
.
о
(бt)2 = (б.-)2 + fC' 2 (ro)dro/ SC2 (ro)dro.
о
о
(6.21)
Непосред1стве1щый вывод этих формул в других
обозначениях и с другой терминологией дан в [46],
с. 510-513. Там же эти ,соо'тношения используют­
ся для до,казателыства того, что пр,и за.данной
АЧХ C(w) - ·наименьший ореtд:ний 1шадрат дли­
т,ельности ·и.м:пуль,сного 011клика - имеет цепь с
линейной ФЧХ, для которой . -( -ro) = 'const и, следо­
вателию, диопер,сия б.-=0 . Этот результат поле­
зен для к-орректирования хара,кте,ристй,к · канала с
целью уменьшения межоrм1волыной - интерферен-
ЦИ,И ,


7
ВОКРУГ ЧАСТОТНОЙ МОДУЛЯЦИИ
,· . 1 . Применяется ли частотная модуляция
на пра:кти:ке?
Прежде ~всего, что та,кое ча1стотная мо,дуля,ция?
Просма1,ривая раз,ные старые работы, •с удисr3ле­
нием замечаешь, что по:цход к ра1осмотрению лю­
бой модуляции претерпел за по,следние 20 - 30 лет
гл,убокие изменеJния . В 1на1с'Гоящее время, говоря о
том или ином ,виде моiДуля1ции, мы ·прежде всего
ра,ссматриваем требуемый •конечный результат.
Так, например, пр,и фазовой модуля,ции (ФМ) не ­
сущего ,колебания А cos w0t первич,ным сигналом
x(t) требуется ,с интезировать сигнал
s(t)=Acos[w0 t+μx(t)].
(7.1)
При часто'Гной же модуля,Ции (ЧМ) синтезируе'Гся
си,гнал
s(t)=А cos[w0t+μ1/)(t)],
d'Р
где -
=x(t),ит.п.
dt
(7.2)
После того ка1к сформулирована цель , мо,жно
ставить вопрос о ,реализационной ,схеме, позвол5Тю­
щей 01сущес1,вить та~кой синтез на практи,ке .
104


Не та,к давно по,а:ход был дру,г,им. Все начина-
. лось
со схемы. В ча'Стности, ЧМ ОПiределяла,сь как
операция ,воздействия с'игнала x(t) на 1юнде,нсатор
или катушку контура а1втаге~ератора, ,в резуль1'а'те
чего емкость или инду, ктиlВн-ость из,ме1няется по за­
кону C(t) = Co + ЛCx(t), а затем дОlказывалось, что
получаемое колебание при определенных условиях
принимает в первом приближении фо:рму (7.2) .
При так-ом старом подходе модуляция путем изме­
нения ,резонаноной ча,стоты контура автогенера'юра
нсегда о•стается чаrе-готной независимо •QT' за1кона из­
менения ~резонансной частоты 1 ).
Будем придерживаться с·овременно,го определе­
ния ЧМ и других вадов угловой модуляции, в со­
отве11ствии с которым силнал A ,cos Ф(t) ,считается
модулированным по ча,стоте силналом x(t) только
dФ
в том случае, если -
=wo+.μx(t), и несколько
dt
уточним по·ста1Вленный в заголо1вке вопрос - нахо­
дит ли в 1на,стоящее в:ремя широкое применение ча­
стотная модуляция для передачи речи и музыки.
Правильный ответ звучит неожида1нно: в настоя­
щее в,ремя частотная .модуляция для передачи зву­
ковых сообщений, в ча1с11ности для ра,диовеща,н,ия,
почти никогда не применяется.
I(а,к же та,к?! - восклиК!нет читатель .
-
У ме­
ня есть 1Пiриемник 1-гю клаоса с УК:В диапаэоном ,
специалыно предназначенным для приема высокока­
чеегвенных ЧМ ,радиовещательных .проr-раrМ'М . В
моем телевизоре прием зву~кового сопро,вож,дения
ведется с помощью ча,стотного детектора, значит ,
передается ,оно путем ча,стотной ,модуляции . Да и
в описании т,елевизора об этом говорится .
1) Этот принцип классификации рекоменд:ован, например,
в [35].
105


Нее это верно, если чаеютной модуляцией на­
зывать в1сякий вид модуляции, в котором мгновен­
ная частота изменяе11ся и несет информацию о пе­
редаваемо:м сообщении. Но ,сейча,с для этого при­
меняе:гся те~рм,ин «у:гловая ,модуляция», частотной
же называ,е11ся толыко та ее 1разновид:ность, при ко­
торой откло•нения мr~новенной ча,стоты пропорцио­
нальны первичному ('низкоча,стотному) сигналу
x(t). Этому •соо11ветствует ур-ние (7.2), ·югда как
(7.1) определяет фа,зовую модуляцию .
В -современ ных передатч111ках с угловой моrдуля­
цией первИ•Ч'НЫЙ ,сипr ал воздействует 11-ia контур за­
дающего генератора, изменяя генерируемую ча­
стоту. Од!нако первичrный (модулирующий) сигнал
подает-ся на управляющий эле~мент ·не непо1сред,ст­
венно, а _че,рез корректирующую цепь, выполняю­
щую та,к называе·мую операцию предьюкажения.
Сущность ее, как обычно пишут, заrключается в
подъеме усиления на верх1них ча,стота)( спектра
первичного ,сиr,нала. Принятый ,силнал подвергается
часто11ному дете -ктиР'ова1нию, после чего поступает
на вос1станавли1вающую це,пь, .которая с~нижает у,си­
ление на верхних ча,стотах, rюмпен1сируя тем са­
мым предыокажения в .передатчике. Пр,и пояонении
этой последо,вателыности обработки ,сигнала обыч­
но говорят следующее.
На выходе ча,стотно,го детекто,ра шум, как изве­
с11но, имеет пара:боличес,кую опеrrтральную плот ­
ность мощности, так что верхние ча1стоты ,спектра
модулирующего ,сигнала ,силынее поражены шумом,
чем ·нижние. С другой стороны, верхние ча,с-готы ре­
чевого спектра ~менее ·мощны, но более информа­
тив,ны, че1м ниж1ние. Пое~iому ,их важн,о передать
как можно вернее. Для этого осуществляют преды­
с,кажения, подни'мая мощность верхних частот и
по1вышая тем самым о1'ношение сrпектра,льных плот-
106


пастей сигнал/шум на верх,них ча,стотах, конечно,
за ,счет соо·11ве11ст1Вующе.го снижения 011ношения на
нижних ча,стотах. В воюстанавливающей цепи полу­
ченное 011ношение сохра1няе11ся, а исходная форма
спе:к11ра восетана1вли,вае11ся.
Нее как будто бы ясно, если не ,считать не
вполне уместной с,сылки на спектр ре:чи и инфор­
матив,ность верхних чаrстот. .Впроrчем интересно, ,со­
храняется ли при этих операциях общее о'l\ноше:ние
мощно,стей сигнала и помехи 'На выходе приемни­
ка. Ведь ,на верхних ча1стотах в резуш,тате преды­
с,каже:ния оно повысилось, а на ,нижних - пони­
зилось . Сохраняется ли общий ба,ланс? И тут-то
оказывает,ся , что в системе с предыскаже:нием и
выра1внива1нием су1ммар1ное 011ношение мощноrстей
сигнал/помехи втрое хуже (!), чем ПJРИ отсутст,вии
предыскажений 1 J. Почему же это ,выгоlП!но?
В,се становится зна:чительно проще и яснее,
есл,и подойти к этому вопросу с другой стороны.
~едь обычное ,пре:дьюкаже:ние (с повышением уро,в­
ня на 6 дБ на октаву) есть не что иное, ка,к диф­
фере:нцирова,ние силнала. Окаэывае11ся, на часlfот­
ный М'одулятор подает,ся не сигнал x(,t) , а на;П1ря­
жение, пропо:рцио1нальное его произвощной dx/dt.
Поэтому млновен~ная ча1стота модулированного вто- .
ричного ои,гнала проп01рциональна dx/dt, а з,начит,
мгновенная начал ыная фаза про,порциона,лына x(t).
Следовательно, это модуляция фазо1вая , соответст­
вующая ф-ле (7.1). И детектируе11ся принятый
с,игнал в 1юнечном счете по фаэе - ,сначала ча­
сто11ный детектор выделит напряж,е:ние, .пропорцио­
нальное мгно,венной ча~стоте, т. е. dx/d,t, а затем
оно интегрируется в цепи восстановителя и в ре-
1> См. сравнение выигрышей систем ЧМ и ФМ, например,
в[15,16,19]идр.
107


зультате получается напряже,ние, пропо:рцианаль­
ное ,MilHOBe<HHOЙ фаэе.
В более общем сл учае первичный си,гнал x(,t)
поступает .на предыскажающий филь'Гiр, имеющий
не,котарую заданную передаточ1ную фун1Кцию К (iro) ,
не обязательно равную или близкую к передаточ­
ной фу,нюции идеалыюго дифференциатора
iaro sgn ro. Видоизменен1ный этим фильтром первттч­
ный ,сигнал y(t) модулирует вторич·ный ,сигнал по
ча•стоте. Пр,и этом ни мгновенная фаза, ни мг,но­
венная ча,стота не пропорцио~нальны x(t), след,ова­
телЬ'но, получившая-ся уг,ловая модуляrЦия не явля­
ется ,ни фазювой, ци ча1стотной .
В большинс"Гве случаев в радиовещании и в
м.ногоканальJНой радиорелейной и спутниковой ,свя­
зи с «частотной» модуляrЦией 1 ) используют преды­
окажение, близкое к диффе,ренцироrваrнию, та;к что
получаемая у,гловая мо:дуляrЦия близ,ка к фазовой.
Причи1на этого в многоканальных системах ясна -
11олько ,при фа,зовой мо~цуляr.х,ии r0пектр :нормалыi:ого
шума на выходе детектора равномеР'ен в поло·се
ча,с·11от модулирующего группового ,сигнала и по­
этому на всех подне1сущих обеопечива,ется одинако­
вая помехоу,стойчивоrсть. В случае радио,вещате-ль­
ного -сиг,нала ,важ1но то обстоятельrс11во, что для вы­
сокого качества художествен1но1г6 восприятия верх­
ние частоты речевого или музыкальrного с11гна,ла
должны превышать уровень шума не в меньшей
степени, чем нюк,1-ше.
Итак, на вопрос, по•ставленrный в заголовке
раздела, . мож,но от'ветить отр,ицателЬ'но - s ч·иrсrом
виде ча1сто'Гная модуляция п,ра,кт,ичеrски не .применя-
1> Имеется в виду частотная модуляция несущей груп по ­
вым сигналом, который мож,ет быть получен сложением лю­
бым способом промодулированных поднесущих .
108


ется, а применяемая угловая мадуля1ция в боль­
шинс11ве ,случаев значителыно ближе 1к фазо,вой, чем
к частотной.
7.2. Ширина спектра при угловой модуляции
Теоретически ширина спектра при у~гло,вой мо:Цуля­
ции бесконечна, даже если первичный (модулирую­
щий) сигнал имеет фи1:1итный опектр. Но инжене­
ра интересует та полоса ча1стот, в ,которой располо­
жена ,существен1ная часть спектра и кото:рую гнуж­
но по воз:мож1ности передать без .за'мет,ных иiскаже­
ний, чтобы за'Гем после детектирова1ния удо,влетво­
рителыно воостановить первичный .сигнал.
Этому вопросу у1де,ляет,ся ВIН'имание в учебной
и справочной литерату,р,е. Очень чаrст,о п,ри этом
пользуются фор,мулой Ма1наева [29], согласно ко­
торой максималыный порядок боковых полос в су­
щественной ча,сти спектра оп,рещеляе'l'ся приблизи­
телыно, как n = 1+т+ Vm, где т - и,нде1кс частот_­
ной модуляции.
Эта формула получена из п:реддоложения, что
можно пренебрегать боковыми чаrс1ютами, амплиту­
ды которых в 100 и более раз меньше ,немодулиро~
ванной несущей.
,
Против этой фор,мулы иногда возражают исхо­
дя из того, что амплиту1ды отбрасываемых со,став­
ляющих .спектра сJiедует •сравнивать не с амплиту­
дой •1-1емодуJiи·рова1н1ной несущей, а с а,мплитудой
максимальной сохраняемой составляющей . В [25]
приведены формулы типа 2Лffi*=AЛffi+BQ, где
2Лffi* - ши,рина сущес11венной ча1сти спектра;
Лffi - девиация частоты; Q - модулирующая ча­
стота; А и В - .коэффи,циенты, за1ви1сящие от отно­
шения максимальяой амплитуды отбрасываемых
109


соста1вляющих спектра к ма1юсималЬ1ной амплитуде
сохраняемых.
В.се эти формулы обла.цают ,суще:с-гвенным недо­
статком ка,к с инженерной, та,к и с мето:дичеокой
точек зрения - они получены путем иоследова,ния
спектра ЧМ сигнала пр,и модуляции гармонической
функцией с ча,стотой Q. Это затрудняет использо­
вание формул в реальных у,сло1виях, ко,г.ца первич­
ный ,сиnнал являе-гся слож1ным, и ,поэтому ни ча,сто­
та Q, ни девиация Лffi строго не определены . В не­
которых учебниках рекомещдуют .при этом вести
расчет по верхней частоте Qмакс первичного сигна­
ла, что, однако, ниче.м не обосновано, поо:~юлык:у
при настоящей ЧМ индеюс модуляции. для ниж,них
ча,стот з1начителЬ'но выше, чем для верхших.
С метощической то,чки зрения эти фор,мулы опа'С­
ны тем, что они п,риучают молоlдо ,го инженера
«мыслить синусоидой» . В данном случае это не
вызывает гру,бых ошибок, однако в дальнейшем
бу.дут приведены примеры, . ,когда та1кое «синусои­
далыное мышление» пр,иводит к нелепым результа­
там.
Попробуем подойти к :во,просу о ширине апек-гра
сиг.нала -с угловой модуляцией, не огра1ничивая·сь
гармоничес·ким пе:рв,и,чным сигналом. При этюм не­
обходимо задаться опрмелением меры ширины
опеК'Гра, ,КОТОJрый, ка1к уже отмечалось, по сущест•
ву, бесконечен.
Для теоретиче,с:~шх исследован,ий наиболее
удобной мерой является ,срещняя квадратичная ши­
рина -опектра, определеН1ная ф-лой (6.11). Если из­
вестен первич1ный -сигнал и па·раметры модуляции,
то средняя ква:дратичная шиrрина ,опек11ра получает­
ся из ф-лы (6.19) с учетом того, что для угло·вой
модуляции A'(t) О:
(&о)~ = (бQ}~.
•
(7 .3)
110


где для случай'Ного первнчн:Qго сигнала средний
квадрат девиации (бQ) 2 оцределяется его вероят ­
ностными характери,стиками и глубиной уг.ювой
модуляции.
Заметим, что, так ка,к при угловой . модуляции
A(t) =const, ф-ла (6. -
16) упрощается и сре.д:ний
квадрат де:виаци,и о:пределяется как (бQ} 2 =
1т
=lim -f [Q(t)-Q1]2dt или для случайных сиг-
т-оо 2Т-Т
.
налов (бQ) 2 =<,[Q(t)-Q1]2> .
Полученный результат очень прост, однако он не удов ­
летворяет разработчика, которому нужно знать расчетную
полосу пропускания цепи для прохождения ЧМ сигнала с
допустимыми искажениями. Эта полоса обычно шире средне­
квадратичной ширины спектра, так как за пределы последней
попадают мноше спектральные составл.яющие, отбрасывая
которые можн.о заме11но исказ,ить ход мгновенной частоты. К
сожалению, дать универсальные формулы для расчета такой
полосы по средней к-вадратичной девиации принципиально не­
возможно, так как эта полоса зависит и от тонкой структу­
ры первичного сигнала. Поэтому подробуем найти хотя бы
оценки, позволяющие определить границы необходимой поло­
сы пропускания.
Будем считать, что существенная часть спектра располо­
жена в поло.се частот, за предел.ами которой содержится лишь
некоторая заданная небольшая доля в энергии -или мощности
сипrала 1 >.
Обозначим минимальную полосу частот, обfадающую
этим свойств0м Лw 8 . Пусть известно,
.
что ореднии взвешен­
ный квадрат девиации сиnнала равен (бQ) 2 и больше ничего
о модулирующем сигнале неизвестно. Найдем максимальное
возможное значение '6.w е.
Эту задачу удобнее решать «наоборот», Зададимся неко­
торым значением Лu) е и отыщем минимальное значение сред-
1> Обращаем внимание читателя на то, что такое опреде­
л ение коренным образом отличается от тех, где за пределами
существенной части спектра допускается существование со­
ставляющих с амплитудами, не превышающими определе.нпой
величины, что имеет смысл только для дискретного спектра.
111


/
него квадрата девиации /(I\Q) 2, которое соrласно (7.3) равно
среднему квадрату ши"рины спект,ра (бrо) 2. По определению
00
(~ro)2= 2J(ro- ro1 )2g(ro)dro,
(7 .4)
о
где g(,ro) - нормированная энергетическая спектральная
плотность. Требуется найти g (ro), минимизирующее (бrо) 2 при
условии
Лffi
(i) +-е-
/
2
2 J g(ro)dro=l-e .
Лffi
е
(i)/ --2-
(7 .5)
Здесь предполагается, что полоса частот, содержащая су­
щественную часть спектра, расположена симметрично относи­
тельно средней частоты ror. Перепишем (7.4) так:
Д(i)
е
(i)/--2-
(бro)2 =2
S (ro-ro1 )2g(ro)dro+
о
Лffi
ffi +-е-
/
2
+2
J (ro-ro1 )2g(ro)dro+
Д(i)е'
(i)/- -2
-
00
+2J
Лffie (ro -ro1 )2g (ro) d ro
(i)/ + -2-
(1 .6)
и будем минимизировать полученную сум,му при условии
(7.5). Очевидно, что средний интег,рал принимает минималь­
ное значение, равное нулю, когда спектральная плотность
g(,ro) в пределах полосы Лrо е целиком сосредоточена на сред-
112
Jj


ней частоте со1. :Крайние интегралы в сумме дадут наимень ­
шее значение, когда остающаяся часть g (,со) сосредоточена на
частотах со 1 ± ,Лео 8 /2. Итак, нормированная спектральная
плот,ность, минимизирующая (8.4) при условии (8.5), имеет
вид
g(со)=О,5[ael\(1со1- со1+Лсо8/2)+(!- е)б(1со1
-со1 )+(1-a)ell( 1 со 1 -со1 -Лсо8 /2)],
где а - любое действительное число, такое, что о:,;:;;;а:,;:;;; 1.
Пр~ этом
(бсо)2 = (I\Q)2 = е (Лсо8 /2)2
(р,ис. 7.1) .
1-6
Рис. 7.1. Спектр аль-
ная плотность МОЩНО·
сти ЧМ сигнала с
rx,E,
максимальным ОТНО·
(t-rx,)ё
шением
ширины
спектра к средней
квадратичной дев и а-
(,JJ - L) (.JE/2
uJ/ t tJf,JtjZ
Си
ции
(.JI
Таким образом, ширина полосы Лео"' при фиксированной
средней квадратичной девиации iSQ ограничена сверху величи­
ной
(7 .7)
Обычно при расчетах удобнее пользоваться не сре,щней
квадратичной девиацией I\Q, а ее пиковым значением
бQманс =lШП, где П - пикфа,ктор первичного сигнала при
ЧМ или его производной при ФМ . В общем случае угловой
модуляции П - пикфактор закона изменения мг,новенной ча­
стоть,. При этом
(7.7а)
113


Для рече!!Оtо сигнала n~ 3+4, а nри переАаче музыки
П~5+7. Если задаваться значением е=О,\, то правая часть
неравенства (8 .7 а) принимает значение порядка (\+2)
бRманс, если же определять полосу ·прапу1ска ния, исходя из
более жест,кого требования е=О,01, то она возрастает до
(3+6) бRманс-
-
Граница (7.7) практичооки достигается при малых ин­
дексах модуляции. Чаще возникает задача оценки ширины
спектра сигнала при больших индексах угловой модуляции,
т. е. при медленном (по сравнению с величиной девиации)
изменении мгновенной частоты. В этих условиях допустим
квазистационарный подход. Пользуясь методом стационарной
фазы (см., .например, [5]), можно показать, что энергетичес1{ая
спектральная плотность ЧМ сигнала на частоте w при боль­
шом среднем индексе модуляrщи примерно пропорциональна
в·ремеии нахождения мгновенной частоты Q(t) в интервале
(,w, w+dw) . В частно.сти, при модуляции случайным первич­
ным сигналом, если индекс модулющи велик, форма энерге-
- тической
спектральной пло11ности приблиз.ительно совпадает с
формой одномерной плотности вероятности модулирующего
сигнала.
Исходя из этих соо.бражений, ширина спектра еигнала с
угловой модуляцией может быть определена приближенно
как удвоенная максималъная девиация:
Лw2 ~ 2бRмакс•
(7 .8)
Это равенство сnра.ведли-во при з.начениях е, тем меньших,
чем больше средний индекс модуляции. Робинсон, запатенто­
вавший узкополосную частотную модуляцию (см. гл. 2), оши­
бался «толы~о» в том, что применил эту формулу при очень
малом индексе.
114
'
t


L1•
8
НА ОДНОЙ БО:КОВОй
8.1. Рекорды однополосной модуляции
-
Ка,кой из из·вестных В'Идов м,одуляции мож­
но считать •самым простым? - спрашивает про­
фе~ссо1р на Э'l~замене.
-
Однополосную модуляцию,-отвечает сту­
дент. Она пrре1П:ставляет .собой про1сrго перено,с спе1кт­
ра пер·вич1ного си,гнала из области низких ча1стот в
обла:сть ВЫООIКИХ ЧаlСТОТ. к этому еще иногда до­
бавляе'I'СЯ инве1р1сия -спек11ра, если передает,ся 1ниж­
няя боковая полоса . Модуляция и детектирова1ние
здесь сводятся, по существу, к преобразо-ванию ча­
стоты . Одно:полоrоная модуляция линейна, т . е . ,К
ней применим принцип суперпозиции. При однопо­
лосной мо,дуляции сохраняе11ся ширина спектра
сигнала и не измешяе'I'ся 011ношение -сигнал/по1меха.
Нее это овшдетель~ствует о юрай~ней простоте одно ­
полосной модуляции .
-
Вы со1вершеюю правы, - говорит профес­
сор. - 'Могу ,поста1вить вам «отлично». Кто следую­
щий?
-
51, - говорит подошедший д:ругой студент.
115


-
Вот ва1м вопро,с. Ка,кой из из,вестных ва1м 'ВИ­
дов модуляции МОЖ1НО считать самым ·СЛОЖНЫМ?
-
Пожалуй, одно,поло1сную моlдrуляцию. При
однополосной моду.пяции изменяю-ген и огибающая
сигнала, и его ,м1r:новенная фаза, и его мгновешная
чаегота, так что в ней объединяются и амплитуд­
ная и угловая модуляции. Но ни ог,ибающая, ю1
м~гновенная фаза, ни м~гновенная чаiстота , н·и ка­
кой-либо дру,гой пара1метр втор,ич1ного сигнала не
повторяет перВИЧ'НЫЙ ,сипнал, ка1к это иrмеет место
почти во в,сех остальных видах модуляции. Сам
процесс од1ню1полосной модуляции чреэ1вычайно сло­
жен. Обычно сн;э.ча.па на низкой поднесущей ча,сто­
те ,осущес11вляе11ся балансная модуля,дия и фильт­
ром выделяется нужная боковая полоса, затем
этот процесс повторяе'f\ся на более высокой подне­
сущей и т. д., пока не будет до•стиnнуто не-обх,оди­
мое положение опек11ра на оси ча1стот. Существуют
и друлие. способы, но в:се они, каже11ся, еще более
сложны. Для воостановления фо·рмы первич1ного
сигнала прихю~1щ11ся при,менять та'Кже сложную
процедуру демодуляции - воостановить подавлен­
ную несущую ча,стоту, к тому же в определенной
фазе, и дете,ктир,овать сигнал Вiместе с ней. Пр·и
это,м не лепю обеспечить неис-каже:нное детектиро­
вание. Для в<юста1новле1ния: несущей обычно прихо­
дит,ся пр:именять ПИЛОТ-IСИIГнал. Одним сло:во:м,
труд'но перечислить все сложности, связанные ·с
ОД!·ЮПОЛОС'НОЙ модуляцией.
'
-
Вы совершенно •правы, - ·говорит профес­
сор. - Вам та,кже ставлю «отл_ично» .
-
Но позвольте, - вмешал,ся слуша1вший все
это третий ,студент. Два диаметраль'но противопо­
ложных ответа вы оценили одинаково высоко. Ка­
кой же из :них верен на самом деле?
Оба вер1ны. Зде.сь случай, коnда явления че-
116
J1
'


ресчур многогранны и . к ним ,нельзя подходить с
поз:иrщй ФоР'маль·ной логики и «и,с,ключе·н,ного
11ретьего». Та~кую же ситуа,цию еще в древ·но,сти
под,метил Эзоп, 1югда ему по·ру~чил,и ку,пить rна
рынке са1мое лу,чшее, а затем са,мое хущшее. Как
из,вес~но, он в обоих случаях -купил языки. Я:зык
поз'Воляет людя·м общатыся, обмениваться и1нфор­
мацией, без языка невозмож1ны ни наука, •НИ ис­
ку,сство, ,ни даже развитое мышление. Но язык же
по.родил ложь, клевету, ,брань, доносы .. .
Оставим, однако, нашего профеосора и его сту­
дентов и погюворим серьезно об од:нопол,осной мо­
ду,ляции . Бели бы первым изобtретенным ,видом мо­
дуляции была однополо,сная модуляция (ОМ), то
она, вероя11но, все1ми во1с,принимала1сь бы ,к а,к са:мая
про•стая. Ее бы то,гда и не 1назы'Вали .о,п;нополо1сной,
так ка,к нююму бы в голову не пришла мысль
стро1ить ,сигнал -с двумя боко,выми поло:сами. Мо ­
дуляцию ,описыва1ли бы просто .как перенос спектра
первично!iо ,сигнала вверх, а демодуляцию - как
воз,вращение вниз .
Но в дейс11вительнос'!1и первым видом модуля ­
ции Яlвилась амплитудная (АМ). Когда ее спе,к'J1р
был проа·нализиро,ва1н и инженеры пр·ивыкли к то­
му, что АМ ,сигнал сод~ржит несущую частоту и
две бо1ко1вые полосы, некоторым из них пр·ишла
мысль о том, что без ущерба для .пермаtВае.мой и,н­
фор,мации ,и с немалой выгодой можн·о избавитыся
от несущей частоты, а та,кже от одной ,из бо1ювых
полос. Так и была изо,бретена модуляц,ия , которую
nначале называJ!'и просто «пермача на одной боко ­
вой по·лосе», сокраще-нно ОБП, а позднее, по,сле
того, ка,к появились IНОIВЫе В'ИДЫ модуляции - фа­
зовая (ФМ) и ча,сто·11ная (ЧМ), некот,орые стали
на зывать «амплитудная модуляция с одн,ой боко ­
вой п,Qло,сой». Ей проти.вопоста1влялись обычная
117


а1мплитуд1ная модуляция, а та,кже «амплитудная
модуляция без несущей с двумя 60,1ювыми полоса­
ми» (ДБП).
Разумее'Гся, сразу поя13'или,сь изобiрета'тели,
предложившие применя"Гь и фазовую о:П;нополо·с­
ную модуляцию, и частотную О1днополо1сную моду­
ляцию, осуществляемые, например, путем выделе­
ния филы1рпм ча~сти ,спектра, раоположенной выше
(1или ниже) несущей час·юты в обыч~ном ФМ или
ЧМ оигнале. Неяюным оста1вался толыко в,опрос,
для чего это нужно. Спектр таrких сигналов шире,
а по'Мехоустойчrивость хуже, чем пр·и обыч~ной
ОДrНОПОЛОСНОЙ МОДУЛЯЦИИ.
Хотя такой подхоsд еще можно ВiСТретить в не­
давно из·да1Н1ных книrгах, а1втор глу~боко убежден,
что он уrста,рел. Для построения хорошей теории
модуляции нельзя ·в ос;нову кла1ссифика1Ц'и1и и опре­
делений ста1вить ме11од схемной реализадии, как
.
это делали примерно д~ 50-60-х годов, о чем уже
ранее гово·рилось (см. •стр . 105) . Однополосную
модуляцию (ОМ) не ,следует ра,оома11рИ1вать как
разновидность а'М,плитудной. Каrк уже отмечало1сь,
при ОМ изменяю-гся и оnи',бающая, и фаза, и мгно­
венная частота. Это осо,бый вщд ,м,одуляции, так же
ка1к и двухполос1ная бала'Н'оная модуляция, и1мею­
щая свои особенности и доволыю обширную об­
лаrстъ 1ПР1:i• менения.
Мы .видели, ч·ю ОМ можно раюомат,ривать и
ка,к са1мую простую, и ка·к са,мую слож,ную м0r,1~у­
ляц~ию. Ей принадлежат и не1юторые другие ре­
корды, но среди 1них е,сть один печальный - ни об
одтюм виде м,о\дуляции не было опубл,ико1ва1но
столько взаимно проти,во1речивых и ошибочных вы­
сказываний, как об ОМ. Не,которые из наиболее
поучительных ошибок будут описаны далее. Но
пред~а1р'И'Гельно займем~ся опреiделе1нием ОМ.
118


8.2 . :Ка:к записать однополосный сигнал?
Пусть задан первичный ,силнал x(,t). Определить
вид модуля;цтш - это значит (,с с овр е,менной точ ­
ки зрения) выраз'Ить ч,ерез x(t) вт,орич:ный сигнал
s(t), ка.к это сдела·но, ·например, для ФМ в (7.1)
или для ЧМ ,в (7.2). Соотв~тст,вующая запись для
ОМ может иметь следующий вид [ом. ф-лу (3 .27)] :
s0м(t) = С [х(t) cos ((1)0t-tcp) +;(t) sin ((1)0 t + ер) J,
(8.l)
г,де С - прошз•вольная постоянная; w0 -
несущая
частота; .i(,t) - преобразова,ние Гильберта от
x(t); ер - началь~ная фаза пода1вле,нной не-сущей
ча,стоты.
В зависи,мос11и от выбора знака «-» или « + »
в (8.1), получаюТ'Ся разно:вид•ности ОМ с верх1Ней
или ·С нижней бо•ковой полооой.
Если в (8. l) оnрапшчюься пер,вым членом, то
получим выраже'Н'ие для двухполос•ной ,модуляции
без несущей (бала•нсной модуляцИ!и)
sдвп(t) = Сх(t)cos(со0t+ер).
(8.lа)
Более на1г,лядная запись ОМ
ся из (8.1), если представить
x(t) в форме
х(t) = х(t)cosф(t),
си·гнала полу,чает­
первичный сигнал
(8.2)
где X(t) - огибающая пер,вич1ноло ,с игнала, опре ­
делеНJная по ф-ле (3 .7) . Тогда
s0м(t) = СХ(t)cos[w0 t± Ф(t)J,
(8.3)
откуда сразу ВИД'НО, Ч'Ю ом ОВОДИ11СЯ К од,вигу
первичного ,сигнала в1верх по о·си ча•стот на величи­
ну (J)o . Бели в (8.3) выбршн зна,к «-», тю, ПО'МIИ'МО
119


сдвига, происходит также инверсия (замена знака
МJlновенной фазы), в результате чего передается
не верхняя, а н1ижняя боковая полоса .
8.3 . :Как выглядит однополосный сигнал?
Речь пойдет, конечно, о том, как выглядит ОМ
сигнал на ЭК!ране осциллографа. О11ветить на него
очень пр,осто . Если несущая ча,стота w0 лежит зна­
чителыно выше ,спектра первичню~го ·сИ1гнала, что
пра:ктически .всегда ;выпотrяется, то ,в (8.3) CX(,t)
является гильбертов-скюй огибающей. Она .и 1наблю­
дае11ся при определенной скорости ,развертки в ка­
честве граничной линии светл,ого уча1ст,ка экра~на
осциллографа . Очевидно, она совпадает с гильбер­
товской огибающей пер1вично,го сигнаkllа (а не с са­
мим первичным .силналом, как это было бы при
АМ); это показано на рис. 8.1.
Предполож1им теперь, что в качес11ве первично-го
сигнала на о~нополосный ,мо;Цушrтор посдано на1пря-
х
t
Рис. 8.1. Осциллограммы сигналов:
а) низкочастотного модулирующего; б) однополос,ного
жение от з,ву~1ювого генератора. Полагая, что гене­
рируемое напряжение гар1мон1ичес,кое, x(t) =
=Xcos (wм,t+Ф), и за·мечая, что его огибающая
Х =const, мы ожидаем получить на о,сциллографе
120


изображение ОМ сигнала, пока-за,нное на рис 8.2,
т. е. изображение гармоничеокого сигнала.
Около 40 лет назад такой экюпер·имент был
проделан в лабораторИlи, где рабоrгал аюор этой
кшиги. Это делал,01сь не 'ИЗ любопьгnс11ва - необхо­
димо было про.верить, пра,вилыно ли ра.ботает со­
бранный ,макет однололосноr,о мюдулятора. К наше-
Рис. 8.2. Однополос­
ный сигнал при мо­
дуляции гармониче­
ок-им колебанием
[[[1[IJl1m
Р.ис. 8.3. Фактически на­
блюдаемая осциллог,рамма
при однополосной модуля­
ции сиг,налом звукового ге­
нер_атара
му удивлению и огорче1нию поJiуч-енное изобtраже­
ние выглядело та,к, как показано на рис. 8.3
-
огибающая полученного ,сигнала была заметно про­
модулирована син;у,соидалыюй 1Н1из,к,оча,стотной
фу,нюцией. Моlдуляция И1мела глубину поряд1ка не­
скольких !Процентов и лег.ко наблюдала-сь ·при над ­
лежащей •синхронизацюr ·развертки .
Очень огорченные, мы решили, что модуля"юр
ра6атает плохо. Либо недостаточно поlдавлена •не­
сущая частота, либо остается за1метный остаток от
второй боковой частоты. Из,мерив ча,стоту оги­
бающей и обна·ружив , ч·ю она совпщдает с часто­
той ffiм перiВичного сигнала , мы отб~росили пр~дпо ­
ложение о пл,охо.м подавлении второй 601ювой ча ­
стоты. Ведь в 011су11стви-е несущей две боковые ча-
121


стоты дают биения с ча,стотой 2rом. Поэтому в,се
внимание было уделено пода,влению не,сущей.
Сняв модулирующее нап,ряжение, мы убеди­
лись, что остато.к несущей ча1стоты, «пролезаюЩIИЙ»
через балансный модулятор, ниже пюювого уро:вня
по ме1ньшей мер·е на 60 дБ, та,к что глубина па1ра­
зитной модуляции оги,бающей не должна была бы
превышать О, 1%, в дейс11вительшости же она была
раз в 50 больше . Тогда вовникло пюдоз-рение, что
вс.лед!ст.вие нео•дина11ювых хара1кте1ристик д,иодов,
входящих в балансный ,модуляrюр, сиrм;метрия схе­
мы, у1стан,о-вленная в отсу11с11В1ие модули:рующего
напряж·ения, нарушает,ся при подаче последнего.
Это предпол·ожение было про:верено, но ра,счет,
проведенный на оонаве измеренных реальных ха­
рактеристик, показал, что вюз,мож,ная разбаланси­
ровка должна давать эффект раз в 15 меньше об­
наруженного.
Лишь -опу,стя несколько дней мы доrадал·И1сь о
причин·е этоr,о явлен.ин, кото~рая оказала,сь веrсь·ма
простой. Нее дело в том, что пер·вич1ный сигнал,
снимаемый с звуко-воrо ге·нера'юра, только номи­
налыно я·вля-ется гармоничеаким. Фактичеоки он
содерж1ит, помимо о•сноВ1ной rармоr-шчеакой соста,в­
ляющей с частотюй rом, также высшие гармоники
с ча,стота,ми, , юратными wм, приче.м · их уровень даже
в хороших ,оовре:менных лабораторных генераторах
ча,сто достигает 1-2%, а в те време.на доходил до
5-6% . Поэто·му и сформиро:ванrный одно1юлооный
сигнал даже при идеальном пода1влении несущей
оказывае11ся не чисто гармоничеюким 1и в его спект­
ре, помиrмо ча,стоты roo+roм, при•су11ствуют roo+
+2wм, rоо+З-wм и т~ д. Биения меж~у ·НИIМИ про.ис•
ходят по зако1ну, близко,му к гармони,чес1юму, с ча­
стотой (()_м .
В этом лег.ко убедитысн, оnраничивши·сь для
122


простоты только 2-й гар,монжкюй и приняв Э'МПЛМ­
туду 1-й гармо~ншш за ед,1шицу. Тотща
х(t)= cosrомt+аcos(2rомt+'Ф),
где а. - вел~ичи~на порядка неС'IЮЛЬ'К:ИХ сотых; 'ljJ -
произ,волыный ,сдви,г фазы. Со,пряженный сигнал
выражае11ся формулой
л
х(t) = sinrом t---j-аsin(2rомt+ч,)
и огибающая пер~вич1ного сиrшала
Х(t) = У х2(t) +:2(t) = V1+а2+2аcos(roмt+'Ф)~
~J+аCOS( (!)Мf+'Ч'),
Подставив это .выражение в (8 .3), вид1им, что оги­
бающая однополосного ,сиг-нала промощулирована
и глубина модуляции равна а.
Огибающую Х (t) перв.ичного .сигна,ла непосред­
ст,венно на осциллографе наблюдать нельзя, так
как э110т сигнал не является узкополо1сным, а в
этом ,случае <~наглндность» огибающей 011су1с11вует.
Но при однополосной модуляции фо1р1ми,руется уз­
кополосный ,сигнал с той же оnибающей и тут-то
она и проявляе11ся ·в явно'М, на1гля-11Jно1м виде и
иногда, ка'К в опИJса:нном ,случае , Вlносит смятения
в умы малоопы11ных иоследоват,елей.
8.4. «Формула Костаса,>
Начиная с появления ОМ, в учебниках, журналь ­
ных с1'атьях и 1мо1но,графиях усиленно дебатировал ­
ся вопрос о т,ом, ка1кой выигрыш дает переход от
АМ к ОМ. По этому вопросу было вьюка,за'но 'МНО­
го разноречИJвых мнений . В ,на'Ч але 60-х годов аме­
риканский ученый Дж. Кост.а,с ,писал, что, просмот-
123


ре,в обширную журнальную литератуrру по однопо­
лосной модуляции, он 06на1ружил в каждой статье
с,вою оценку энергетического выигрыша ,относитель­
но а1мплитудной МО\/1.уляц,и<и, ,от 2 до не,скольких де­
сятков и более. В результате анализа оrн у:стаrfю­
вил, что выи1грыш в децибелах, указываемый iВ
каждой статье, соста1вляет примерно (З+N!) дБ,
где N - число ооа,второв ДаiНIНОЙ ,с,татыи.
Бели эта шутка и не точна, она нее же пра -•
вильно отражает тот разнобой, который суще­
ствовал в те годы. Помимо того, что разные а,в·ю­
ры пр·оиз.водили сра 1внение в различных у,сло'В'иях
и по-разному опре.п;еляли э~нергетиче,окий выигрыш,
они та,кже допуокали 1не~мало разлиЧlных ошибок.
Вот примеры некоторых раосуждений.
1. При обычной АМ, полагая мощность несущей частоты
равной 1, имеем мощность пары боковых частот, равную
m2 /r2. При ,ма~сималыно,м сrюэ:фф:ищиент,е ,м,од::ул,яци,и m= 1
rмощност,ь 1боrко1вых частот ,раrв,на 1lfi2, т. е. 10О1Ставляет -1/.3 от
поJLн·ой ,мощно1с11и 1с1и,пнала. Оlст.альные 2/,3 rмощ,нос·ти тра­
тя'Гся •На ,несущую <ча<Ст,оту, rкото,рая н,е ,н,ес.ет ,и,нфор1Ма,ции
и в этом смысле бесполезна . При переJюде от АМ к ОМ вся
мощность сигнала затрачивается на полезную боковую поло­
су. Следовательно, выигрыш равен 3.
2. При обычной АМ коэффю.щент модуляции т в сред­
нем не []ре,вышает 0,4:5. ПоэТО'М'У ,МО,Щ!Ю·СТЬ 60iКОВЫХ !ПОЛОС в
среднем составляет 1/10 от мощности несущей или 1/11 от
пол.ной мощности сигнала. Следо,ват,ельно, п р и переходе к
ОМ полезная мощн:ость возрастает в ореднем в 11 раз.
3. В предыдущем рассуждении не учтено то, что в пере ·
датчике ог.раничена пиковая мощность, которая в моме нты,
когда m= 1, достигает значен.ия 3/2 от мощности несущей.
Поэтоrму ,с,редrняя 1иощ1но,сть бО1ковых ча,стот [].рrи тер = 0,45
составляет 1/10 от мощносш несущей или 1/ 15 от пиковой
1
мощности передатчика. Перейдя к ОМ, можно использовать
j
всю пиковую мощность передатчика, т . е. получить выигрыш
._
в 15 раз.
"!1
4. В предыдущем рассуждении не учитывало.сь, что одно-
~
полосный сигнал имеет такой же пикфактар, как и модули­
рующий первичный оигнал. Пусть пикфакт,ор п,р .имерно равен
П=3. Следовательно, средняя мощность ОМ сигнала в П 2 =9
,/
124


раз меньше пиковой мощности передатчика, , тогда как при
АМ средняя мощность полезных боковых пол.ос в 15 раз
меньше пиковой мощности (см. предыдущее рассуждение).
Таким образом, энергетичеmшй выигрыш составляет всего
15/9 ~ 1,67 раза.
5. При АМ выигрыш в отношении сигнал/шум на выходе
идеального приемника (по отношению к входу) равен В =
= т2/ ( 1+ т2/2) или при т = 1 равен 2/3. Далее цитирую бук­
вально, по монографии [37]:
«При расчете выигрыша отношение полос частот 1 > было
взято равным 2. Факш1чес.1ш это отношение ,нес1юлько боль­
ше, вследствие чего значение В ближе к единице. В практике
часто принимают значение В при АМ равным единице (?!).
«Анализ обычных методов приема при АМ и л.юrейном
детектировании в случае малых шумов показывает, что по
помехоустойчивости этот способ не отличается от идеального.
Анализ обычных методов пр.нема при синхронном детектирова­
нии, при квадратурной модуляции, при работе без несущей с
двумя боковыми полосами и при одной б()il{овой полосе так­
же показывает, что и в этих случаях достигается потенциаль­
ная по"Мехоустойчивость. Отсюда следует, что для этих си­
стем коэффициент В= 1» .
Продолжая эту мысJJ.ь, приходим к заключению, что ни­
какого выигрыша ОМ относительно АМ не дает.
6. Будем сравнивать АМ и ОМ сигналы при одинаковой
пиковой мощности. Это значит, что максимальные значения
амплитуд в обо.их случаях равны. Но максимум амплитуды
АМ сигнала равен Ин(l+т), где Ин - ам,плитуда несущей.
При m= 1 половина максимальной амплитуды приходится на
долю несущей частоты, а полов,ина - на долю боковых. При
переходе к ОМ вся маа,симальная амшштуsLI.а используется
баковой частотой. Поэтому ее мощность оказывается в 4 ра­
за больше, чем мощность боковых при . АМ. Таков выигрыш в
передат.чике. Но к этому нужно прибавить еще выигрыш в
приемнике. Последний обусловлен тем, что ОМ сигнал зани­
мает вдвое более узкую полосу частот, чем АМ сигнал, и,
следовател.ьно, мощность шума при переходе к ОМ умень­
шается в 2 раза. Та~им образом, общий выиr.рыш равен 8.
.
7. К: выигрышу, определенному предыдущим рассужде­
нием, нужно добав.ить еще дополнительный выигрыш в слу­
'Iае коротковолновой радиосвязи. При связи отраженными
волнами имеют место селективные замирания, которые в слу-
1> Имеются в виду полосы на входе и выходе детектора.
125


чае АМ могут значительно исказить пе,ре.1tачу, так как верх­
няя и нижняя боковые частоты могут получать различный
сдвиг фазы относителыно несущей. Это снижает средний уро­
вень продетект.ированног-о сигнала и вносит дополнительные
искажения, до .некоторой степени эквивалентные увеличению
шума. В то же время при ОМ селективные замирания могут
только изменить сооwошен.ие амплитуд .и фаз отдельных со­
ставляющих спвктра восстановленного сигнала, что мало
влияет на его разборчивость. Это преимущество ОМ можно
оценить как дополнительный выигрыш в 2 раза, так что об­
щий выигрыш оказывается равным 16.
Последняя цифра - выигрыш в I О раз, или на 12 дiБ,
хотя и очень туманно обоснованная, почему-то получила
наибольшее распространение и из·редка появляется в печати
даже сейчас, чаще всего без всяких обоснований, как якобы
давно установленный фюп.
Чя1сло примеров мож1но было бы еще умножить,
но и э·юго достаточно. Бсе приведенiные раюсужде­
ния ,стра,дают в О'С'Новном ,одн-им недо1статк·о1м -
отсу-гствием чет•кой поста•нов1ки задачи. Поскольку
условия при1менения модуляции бывают разные, то
и хара,ктеризовать выигрыш ОМ относительно АМ
одним ,числом невозможно.
СовремеН1ная теория ,связи понш1ма,ет под эвер­
гетически1м вьшлрышем некоторой сиrстемы А О'I'НО­
сителЬ"н·о системы В число, показывающее, ·во
с1юлько раз нужно увеличить оред,нюю мощно,сть
сигнала в системе В, чтобы по.лучить в обеих си­
стемах одина,к·овый результат на выходе. В ,идеаль ­
ном случае, ~когда сигнал в канале не подвержен
за.миран~ия1 м, несущая ча,стота при приеме в ТОiЧIIЮ­
сти изшест.на, помехой являе11ся аддитивный белый
гау,с.совекий шум, а мо,делью •сигнала служит ,ста­
ционарный •случайный процес,с, ,выигрыш ОМ от­
носительно АМ, вычи•слен1ный на о.сно:ва1нии теори:и
потенциалЬ"ной помехоустойчивости при о,пт.ималь­
ной обработке ,сигналов в обоих сJiучаях, оказыва­
ется раВJным (т 2 +П 2)/т 2, где т - коэффициент
126
1!
1
J


модуляции, П - ПИiкфактор модулирующего сиг­
нала. Наименьший выигрыш им е ет мес ·ю при
m=1иравен
В=l+П3•
(8.4)
Если П~З, то В~10. Такой же в т,оч1ности
выиI'рыш дает система ДБП (две боковые поло:сы
без несущей) относительно АМ (,см., напр1шмер,
[15, 19]).
За,мети.м, что в этих у,словиях ни1каNой разницы
в помехоу,стойчиности м-ежду сиеrема,ми с одной и
с двумя боковыми . полосами нет, хотя при ДБП
спектр вдвое шире и поэтому мощность шума, не ­
избеж,но попадающего в приемни,к, в1двое больше,
чвм при ОМ. Это леI'ко объя,снить те:м, что в про­
цес-се дете:к;тирr01вания ДБП составляющие С'Иnна­
ла, расположеншые сим1ме11рично 0111-юситель:но ·не­
сущей , скла,дываю11ся когерентно, а оопу11ствующие
им соста~Вляющие помехи - нека1герентно. Это
дает увеЛ1ичение отношения сигнал/,по1меха в 2 ра­
за, в точности компенсирующее добавление .второй
полосы помех. К!ста11и, это об:стоятелыство со·вер­
шеI-Гно не уч:итЫ1валось в «1ра,с,сужде1нии 6», пол у ­
чившем широкое ра,спростра1нение, ,где с окращение
полосы пропу,ска1ния прием:ника вдвое при перехо­
де к ОМ ра1сцен ивалось как соо·11ве11ствующий вы­
игрыш в помехоу,стойч.ивости .
•
Иначе 06:сто,ит дело, ,когда фаза ,сигнала в кана­
ле флуктуирует, тем более, когда флуктуирует
мгновенная ча,стота (на1пр1имер , в,слещс11в·ие не,ста ­
билы1юс'I'и ча1стоты пер,едаrгчика или эффект а д,оп­
плера) . В это;м случае дл я приема сигнала ОМ с
воостановлением формы передава,е мого сообщения
н ео бходим о и с пользо·в а11ше пилот-1сиnнала , со,де~р ­
жащего информацию о ча,стот е и фазе не,сущей: .
При обычной АМ несущая ча,стот а са,ма присут,ст-
127


вует в пр·ин,имаемом сигнале, а при двухполо,сной
модуляци1и без несущей она легко вооста·на.вливает­
ся по боковым полоса,.м [42] . Нследе11вие за11раты
лишней мощности на передачу пилот-сигнала, а
также всле.д!ствие .меньшей точ1ности 011слежи,ва1ния
несущей ,система ОМ 1Проигрывает системе ДБП, а
ее ,выигрыш отно1сителыно обычной АМ у1меньшает­
ся. Степень этого у,меньшения ра,злична в за1в1шси­
мости от ·свойств пер.в:ичного сигна,ла и от зако1на
флуктуации фазы. Для пер1вич1ных сигналов, моде­
лируемых ма1рковюким .случайным пр·оцессом, а
также при ,описании флу1ктуапщй фазы 1марко1В1С'КИМ
процеосо1м, ,результаты мож1но ,найти ,в [42], где да ­
на та1кже обширная бlи,блиография. Можно 011ме­
тить, что по ·сравнению со случаем, когда фаза 'И
ча1стота не флуктуируют, величина вьшnрыша ОМ
относительно АМ 1меняе11ся ~незначительно.
В коропювол1но,вой ма,гис11ралыной радиоовяз:и,
когда вследствие перегруженн01сти диапаз,она ос­
новной причиной 1на1рушения ,овязи Я'Вляю11ся вза1Им­
ные ,помехи, а флуктуационный шу~м отно1Сительно
мал, 1нужно ,совершенно иначе подхо1дить к о,цен1ке
преимуществ ОМ. В этом слу,чае задачу можlНо
сформулировать та,к: на,сколько из,менится вероят­
ность поражения •c1I-IiГlнa.na мощной ,ста1нционной по­
мех-ой при переходе ,от АМ х ОМ. Совершенно оче­
видно, что эта вероя11ность уменьши11ся, но сте­
пень уменьшения зависит от Мiногих факrоров -
от плотности помех, ,от ра1спределения шир1и 1ны
спектра помехи и т. д.
При ча,стотном упло11нении ка1налов с прене6ре­
жи1мо малым уро1вне1м помех ОМ позволяет у~вели­
чить кратность уплот,неншя вдвое по сра1внению с
АМ. Го1ворить об энергетическом вьшnрыше в этом
случае не имеет 1смьюла .
Бели сч,итать зада1нной не среднюю, а пиковую
128
1
l1
111


мощность, то выч;исленный выше выигрыш 1+ п~
нужно ум1ножить на 011ноше1ние к,вадра110,в ПИК,фа;к­
·юра,в АМ сигнала Плм и ОМ сигнала Пом, так что
выигрыш ОМ по пиковой мощности относителЬ'но
АМ составляет Вшш= (1+ П2 ) П2лм/П2ом. Напом­
ним, что П- пикфактор пер1Вичног,о сигнала.
Величину Плм леnко выразить через П. Из
преД;ставлеН1ия АМ сигнала
sAM(t) = А[1+тх(t)]cosffiot
(8.5)
легко найти ,пиковое значение
SАМ(f)макс = А [1+тхмакеJ,
или если первич1Ный сигнал x(t) нор1м.ирован так,
ЧТО Хманс = 1, ТО
sлм (t)"a"c = А(1+т).
(8.6)
Средний квадрат АМ сигнала
s'iм(t) = А2 [1-+-т2х2(t)+2тх(t)]cos2ffiot~
~А2[1+т2х2(t)+2mx(t)] cos2ffi0t.
Здесь мы воспользовались те м, что огибающая
A[1+mx(t)] меняе11ся з·начительно ме!дленнее вы­
сокоча,стотного заполнения cos wot, что позв,оляет
у;сред,нять oos 2 ffiot, полагая з,начен1ие 01гибающей за
период несущей частоты пос·ю5rнным .
Далее, обыч,но x(t) =0, так как пер•вичный сиг­
нал не содержJИт пос·юя~нной ,составляющей , и
x 2 (t) 1/П2, поскольку Хмаис= 1. Поэтому , уч1иты­
вая, что cos 2ffiof=0,5 , получим:
s;..м(t) = 0,5А2 ( 1+т2/П2),
(8 .7)
п~м = ( SAMИмакс)2/s'2дм(t) = 2(1+т)2/(1+ m2/П2) = .
=_21I2(1 + m)2/(П 2 + т2).
(8.8)
129


В наиболее интересном случае, 1югда 1n= 1,
liiм== 8112/(1+ П2).
(8 .9)
Что же ка,сает,ся однополоон,ого сигнала, выра­
жаемого ф-лой (8.3), то аналогичное вычисле,ние
дает
Щ)М = fX (f)макс] 2/0,5Х 2 (t)],
(8.1 О)
где X(t) - огибающая первичного сигнала.
Боли ,первичный ,сигнал (8.9) достаточ1Но «узко­
полооен», та1к что при .выч,wслении его среднего
квадрата x2 (t) = X2 (t) ,oos 2Ф(t) мож1но ра'Зделыно
усреднить X2 (,t) и cos 2Ф(t), причем cos 2 Ф(t) =0,5,
то легко в~идеть, что П=Пом. Это приблизительно
верно .при телефонной ,мо1дуляции. В этом случа-е
Впик = (1-\-- 112) 8П2/(П2 -\-- 1) 112 = 8,
(8.11)
что совпадает с цифрой, полу,чеш1ной при интуитив­
ной оцеН1:к;е приме1р:но в тех же условиях. Однако
при моду.тшци1и более широко-поло~сным перв1ичным
силнало·м обычно Пом> П и выигрыш по пиковой
мощности оказывается ме1ньше 8.
Предоста'ВIИМ читателю ,са,м◊1стоятельн·о убедить ­
ся, что при двухполосной .мму,ляции без несущей
ф-ла (8.11) ,спра,ведлива для вьшгрыша по пико ­
вой ,мощности (отн,оrсителыно АМ), каков бы 1ни
был пер,вич1ный ,аи,гнал, лишь бы его спектр лежал
существенно ниже несущей чаrстоты.
8.5 . Как детектировать однополосный сигнал?
Рассмотрим ,сначала другой вопро,с - как в,ск-ипя­
тить чайни.к. Точ1нее сфо,рмулируем задачу так:
имею'Гся пу,стой чай~ник, водопроводный кран, не­
зажженная газовая плита и спички. Тrребует,ся по-
130


лучить чаtrник с I<!ипящей водой. Решение этой за­
дачи доста'ючно известно. Нужшо, во-первых, на­
полн1ить чайник водой из краiна, во-вторых, зажечь
газ, в-третьих, поста,ви1ъ чайник 1на огонь и, на,ко­
нец, подождать ·некоторое вре,мя, пока вода заки­
пит.
Один математик, впоЛ1не у,с,воишший э·то реше­
ние, оказался .в -несколько иной -оитуации - вода в
чайнике уже была, а газ был зажжен. Ка,к быть в
таком случае? Очень просто, - сказал OIH.
-
Я
выливаю воду из чайника ,и гашу газ, после чего
задача сводится к предыдущей, решение кота,рой
на,м уже из,ве,стно.
Этот а:Некдот невольно прлхощит в голову, когда
ч,итаешь в некоторых юнигах, что для приема ОМ
сиг,нала (а такж-е и для приема двух,полооного сиг­
нала без не,сущей) нео6Х:од1шмо добавить к приня­
тому сигналу не,сущую, пре.вра11ить его тем са, мым
в АМ ,сиш1ал, а затем уж за1дача аводится к изве-ст­
ной - к детектированию АМ сигнала с помощью
амп111итуд,но,го детектора.
В случае доба,вления восстановленной несущей
к д'Вухполое;ному ,сигн алу ее фаза долж,на точ:но
совпадать с фазой «пода1влен,ной» не~сущей. Тогда
ве,рХ'ние и нижние бок,О1вые ча,с·юты будут располо­
жены симметрично относительно ~несущей, ка,к по­
казано на векторной диагра,м.ме 1 ) рис. 8.4а. В про-
1швном случае, ког1да фаза не.сущей вос-становле,на
неверно (рис. 8.46), су,м,ма принятого ,сиг,нала и
восстановленной не,сущей оказываеТ~ся промодули­
рова,нн-ой ка,к по амплитуде, . та1к и по фазе. Это
видно из рис. 8.46, где .пунктиром показано переме­
щение конца резуль'I'ирующего вектора, который
1> Для простоты здесь по1<азан случай модуляции одним
тоном. Предполагается, что плоскость чертежа вращается с
уг лавой скоростью w0 .
5*
131


.J
изме.няе1' не толысо -Сi:юЮ длину, но и напра,вление.
При этом огибающая, выделяемая амплитудным
детекrгоро1м, 1И,скажается, т. е . не повторяет фор,му
Ht:G
•
а)
r--
1
1
1
1
1
1
1
1
о)
Рис. 8.4. Двухполосиый сигнал с восстановленной несущей
частотой при установке фазы:
а) точной; 6) неточной
первич,ного сигнала, а ее ·велич1ина уменьшае11ся по
сра,внению со ,случаем, когда фаза несущей вос­
становлена точно.
На рис. 8.5 показана зависимость коэффициен­
та •rа,рмони1к Кг от неточн6,с-ги 1jJ вооста1но1вле:ния фа-
АKr
1----==---т-,-----,---~~ Рис. 8.5. Коэффициент
гармоник Кг и амплиту ­
да А продетект.ированно­
го двухполосного сигна­
ла с восстановленной
несущей в зависимости
от погрешности фазы не­
сущей:
о
JO"
132
50°
Еп/Еб -=20;
90°1J1 ---Еп/Еб=2


зы ле,сущей при детекти ро,вании двухпоJ1ооноrо
сиI1нала амплитудны,м детектором. Там же показа­
но 011ношение ам,ш11итуды полезного .аигнаJrа на
выходе детектора •К ее ,тачению л,ри 'ljJ=0. Кривые
пос11роены для двух значений 011ноше,ния амплиту­
ды вос,становле~н1ной несущей к амшлитуде од!ной
боковой ча1стоты: Инес/И6 =2 (что соо11ветст,вует
коэффициенту ,модуляции 1) и Инес/И5=20.
У1неличивая а1мплитуду воr0ста11ювленной несу­
щей, МОЖl!Ю снизить нелИ!нейные ,иокажен1Ия до до·
пустимой величИ!ны, е,сли неточность фазы 'Ф не
очень близ:ка к 90°, ос1щако при любой
амплитуде
несущей допустимая велич1и~на 'Ф не должна превы­
шать 20-30° для тог,о, чтобы амплитусда пр1одете~к­
тированного ,сигнала не была ,существенно ониже­
на. Здесь следует обраТИ'ТЬ JЗ!J-l'има,н1и·е на то, что
шум на выходе дете,ктора пра1к:11ически не за1ви,сит
от от,кло1нения фазы ~несущей 'Ф,. так чт,о при боль­
ших 'Ф ухудш:аеТ1ся отношение ,силнал/шум на вы­
ходе детект,ора.
З1начит,ельно проще и благополучнее дете~ктиро­
ва1ние двухполосного сигнала без несущей о,суще-
• с'tвляется 1синх,ронным детектором . Для этого сиг­
нал, .выраженный ф-лой (8.1 а), у,м,ножает,ся на на­
пряже,ние опор,ного гете~р,о,дJИна («во,с,стан0;вленную
несущую») acos(root+'Ф), где 'ljJ-<p=чY - погреш-
1юсть при восстано,влении фазы несущей:
s(t)аcos(ro0t+'Ф)=Сах(t)cos(ro0t+<р)cos(ro0t+1JJ)=
ас
.
ас
=
2 x(t) cos[2ro0 t +<р +,JJ] +2 x(t)cos(<p-'ljJ).
(8.12)
Пер1вый член пра1вой ча,сти предJста;вляет высо­
кочастотную составляющую произведе1н1ия, кото:рая
отфильт,роrвывае11ся. Вт,орой же член я1вляется ре­
зультатом детектиро1ва1ния и пропорционален пер-
133


вичному сигналу x(t). Та,ки,м об-ра з ом , при син­
х, ронном детектирова,нии двух,поло,оного сиг,нала ни ­
каки х и,с,кажений ·не ,возникает, каковы бы ни б ыли
амплитуда а и 1нача ,льная фаза 'Ф воостановле~нной
несущей. Неточность фазы 'Ф вызывает ·юлыко
уменьшение уроВIНЯ продетектирова1н1ного ,сиr,нала,
пропорциональное cos (<p-"\jJ). Бели потребо,вать,
чт,обы напряжени.е продетектирова•нного сигнала
уменьшалось не более че,м на 1О%, 1Необходимо
вооста,нОВIИТЬ фазу несущей с ТОЧIНОСТЬЮ ± 15°,
если же rсчитать допу,стимым онижен,ие .напряжеrния
на 30%, то тре.буемая точность фазы составят
±45°.
Преимущество синхронного детектирова•н.ия пе­
ред детектировани,ем огибающей .сум~мы сиf\нала и
во.остаrновленной несущей очевидно . ПР'и обыч·ной
АМ, когда в .пришимаемом сиr,нале уже со,держ1и'!'ся
несущая, дете:кто1р огибающей наиболее прост и
поэтому прак1'ически только 01н и использует1ся.
При передаче без несущей последнюю все раВ'НО
приходи11ся «.вос,станавли:вать», т. е . синтезировать
в пр,иемнике . После ,этог,о с,и,нхрошное дете,ктирова­
НIИе 1выполняется ,ст,оль же просто, ка.к и де'Гектиро­
вание огибающей.
Приблизительно так же решае11ся задача де­
тектирова1ния ОМ с,игнала. Слож,е,ние с вос,ста1нон­
леН1ной несущей и амплитудное детектирование
полученнрй ,су,ммы «линеЙlным» 1денжто,ро'М, воо,б­
ще говоря, приводят к неЛ1инейщ,1м искажениям,
для уменьшения которых приход,ится у.величивать
амплитуду воостановлен,ной несущей. Примеrнение
синхронного детектора избавляет от ,нелинейных
искаж,ений. В.прочем сохраняют,ся линейные иска­
же,ния, за,ключающиеся в сдвиге фаз всех соста,в­
ляющих продете.]{'11ированного сипнала на величи­
ну, противоположrную погрешно·сти фазы во-сста-
134
j
j1


новленной несущей. Дейст.вителшю, используя за­
пи,сь ОМ сипнала (8.3), получим п0rсле с1и1нхро·нного
дет ектирова1-1ия
s0м(t)cos(w0t+ 'Ф)=СХ(t)cos[w0t+ Ф(t)+ q:>]Х
Хаcos(w0t+ 'Ф) =а~ X(t)cos[2w0t+ Ф(t)+ Ч>+'ФJ+
+ас Х(t)CQS [Ф(t) + ({)-'tjJ].
(8. 13)
2
Полезным здесь является второй низкочастот­
ный член. Он с точностью до постоянного множи­
теля представляет первичный сигнал x(t) с фаза­
ми, сдвинутыми на ,ср -
'tjJ .
Как уже юв-орил-ось, ОМ ,представляет собой, в
сущност.и, транспони:рование спектра -сигнала
вверх, а синхронное детектирование - транспони­
рование вниз. Как при всяком транспонировании
спектра (преобразовании частоты), здесь сохраня­
ется огибающая сигнала, мгновенная же частота
сдвигается на величину ±wo, где wо-частота ге­
теродина. Начальная фаза при этом также смеща ­
ется на величину, равную начальной фазе гетеро­
дина. Это хорошо видно из выражений (8 .1), (8.3)
и (8.13) . Здесь полезно еще раз напомнить, что
огибающая первичного сигнала отличается от фор­
мы сигнала. Последняя поэтому может существенно
изменяться при изменении начальной фазы.
На рис. 8.6 для примера пока з ано изменение
формы сравнительно простого периодического сиг ­
нала при сдвиге фаз. его составляющих на 45 и 90°.
Поэтому если требуется передать точную форму
первичного сигнала , т о восстановленная несущая
при ОМ должна точно совп а дать по ф а зе с подав­
л е нной несущей . В этом случае принимать дв ух­
полосный сигнал ДБП проще, так как там допу-
135


стимы отклонения фазы восстановленной н есущей в
пределах rпо край-ней мере ± 15°.
Однако дело коренным образом меняется, если
первичный сигнал x(t) является звуковым, т. е.
рассчитан на восприятие слухом. Слуховой анали­
затор человека (и, по-видимому, всех :животных)
устроен так, что он не воспринимает непосредствен-
х
/
Ii
./
//
,
/
.'/
t
Рис. 8.6 . Измене­
ние формы низко ­
часто:гного сиг-на­
Jiа при сдвиге фаз
но фазовых соотношений составляющих звука 1).
j
Поэтому какова бы ни была начальная фаза 'Ф
1
опорного сигнала, звук воспринимается одинакqво,
лишь бы сохранился его амплитудный спектр. В
этих условиях ОМ сигнал принимается проще, чем
сигнал ДБП, так как допустимым является любое
1> Впрочем, слух отличает звук, у о{оторого фазовые соот­
ношения гармоничеоких составл-яющих остаются постоянны­
ми, от звука, у которого эти соотношения изменяются со
временем. В первом случае воспринимается звук, идущий от
~
одного источника, с обертонами. Во вто.ром случае гармони-
i
ческие составляющие воспринимаются как и сходя щи е от р аз-
личных источников .
136


значение начальной фазы восстановленной несу­
щей.
В ряде книг указывается, что при детектирова­
нии ОМ сигнала фаза восстановленной несущей
может быть любой, но не оговаривается, что это
справедливо только для звуковых сигналов. В
частности, если бы при телевизионном вещании
сигнал изображешrя формировался с помощью од­
нополосной модуляции, то необходимо было бы в
приемнике предусмотреть синхронный гетеродин:,
фаза которого каким-то образом устанавливалась
по крайней мере с точностью до 1-2°. Это было бы
трудно осущест1вить, и !Поэтому ОМ ;в телевидении не
применяется. Для того же, чтобы сократить спектр
излучаемого сигнала, в стандартном телевизионном
сигнале одна из боковых полос частично отфиль­
тровывается, но составляющая на несущей частоте
сохраняется. После детектирования огибающей та­
кого сигнала с частично подавленной боковой по­
лосой пtрвичный сигнал восстанавливается с су­
щественными нелинейными искажениями, но при
зрительном восприятии они практически незамет­
ны. Такие искажения в основном вызывают изме­
нения шкалы контрастности, но не отражаются на
положении контуров изображения на экране и на
общий характер переходов между частями изобра­
жения. Наоборот, линейные искажения в виде сдви­
гов фаз всех составляющих сигнала изменяют ха­
рактер переходов, вызывают дробление точек, сгла­
живание резких контуров, иногда возникновение
новых контуров и поэтому существенно нарушают
зрительное восприятие.
При всяком преобразовании частоты существует
возможность прохождения «зеркальной помехи»,
которую после преобразования невозможно пода­
вить методами линейной частотной селеrщии, так
137


как ее спектр ле>I<ИТ в той же области частот, что
и спектр полезного сигнала . Это же явление имеет
место при обычном синхронном детектировании ОМ
сигнала. При детектировании верхней боковой по­
лосы зеркальная помеха расположена ниже несу­
щей частоты и наоборот. Существует однако спо­
соб детектирования ОМ сигнала с подавлением зер­
кальной помехи непосредственно в детекторе. Для
этого используются два перемножителя, в которых
фазы опорного напряжения отличаются на 90°,
широкополосный фазовращатель (преобразователь
Гильберта) 1) и сумматор (рис . 8.7) .
Рис. 8.7. Синхронный детектор однополос­
ного сигнала с фазокомпен,сационным по­
давле,нием зеркальной помех-и:
1 - источник опорного напряжения; 2 - фазовра­
щатель опорного напряжения; 3 - перемножнтель;
4 - ФНЧ; 5 - шир о"о пол ос ный фазовращатель на
90° (пр еобразова тель Гильб ерта ); 6 - сумматор
Представим сигнал в виде (8.3), полагая для
простоты С= 1, а зе ркальную поме ху, лежащую по
1> Хотя преобразование Гильберта я вляется физически не
реализуемой операцией, ее можно ос у ществить · с любой за­
данной точностью, допустив достаточную задержку. Разумеет­
ся, эта задержка должна быть с,компенсирована такой же
задержк ой посл е другого перемножителя.
138


другую сторону от несущей , можно записать так:
п(t)= У(t)cos[ш0t+ ЧГ(t)].
(8.14)
Примем для определенности, что передается вер­
хняя боковая полоса, т. е. в ф-лах (8.3) и (8.14)
выберем верхние знаки. На выходе !-го перемно ­
жителя получим
[s0м(t)+п(t)(acos(ш0t+'Ф)=О,5аХ(t)cos[2ш0t+
+Ф(t)+'Ф]+О,5аУ(t)cos[2ш0t-Ф(t)+'IJ]+
+О,5аХ(t)cos[Ф(t)- ч1]+О,5аУ(t)cos[Ф(t)+1р],
а на выходе 2-го перемно:жителя
[s0м(t)+п(t)]asin(ш0t+1р)= О,5а{Х(t)sin[2ш0t+
+Ф(t)+1р]+У(t)sin[2ш0t- ЧГ(t)+1р]-
-
Х(t)sin[Ф(t)- 'Ф]+У(t)sin[ЧГ(t)+1р]}.
Выделив низкочастотные составляющие этих вы­
ходных сигналов и поверн ув фазы во втором из них
на- 90°, получим
О,5Х (t) cos [Ф (t) -
'IJ] + 0,5аУ (t) cos [ЧГ (t) + 'Ф]
и
О,5аХ (t) cos [Ф (t) -
'IJ] - О,5аУ (t) cos [ЧГ (t) + ч1J . (8.15)
При написании этих выражений учтено то, что ко­
синус -является четной ф у нкцией и поэтому можно
зафиксировать любой знак (в данном случае « + »)
перед Ф(t) и ЧГ(t), лишь бы сохранилось соотно­
шени е знаков слагаемых в аргументах косинуса.
:Заметим, что если бы огибающие и фа з ы низко ­
частотных •сигналов определялись н е с помощью
преобразования Гильберта, то выражение (8.15)
было бы неверным, так как только для гильбертов .
ских сигналов поворот фаз всех спектральных со-
139


ставляющих экюiвалентен повороту мгновенной
фазЬI.
Теперь легко видеть, что, сложив полученные
сигналы (при передаче на верхней боковой поло­
се), можно восстановить первичный сигнал x(t) (с
точностью до постоянного коэффициента и поворо­
та фаз на -\j)) и скомпенсировать зеркальную поме­
ху. При передаче на нижней боковой полосе такой
же результат получается при вычитании сигналов
(8.15).
Заметим, что и при обычном преобразовании
частоты можно воспользоваться компенсационнои
схемой (рис. 8.7) для подавления зеркальной по­
мехи.
8.6 . Фантазии о квадратичном дете1tтировании
ОМ сигналов
Пусть в приемном устройстве имеется восстаноп­
ленная с точной фазой несущая частота, но ее
амплитуда не превосходит во много раз уровень
детектируемого однополосного сигнала, а детекти­
рование осуществляется путем выделения огибаю­
щей суммы боковой полосы и несущей с помощью
линейного амплитудного детектора. Такая ситуация
может иметь место, например, в «совместимых»
однополосных системах, когда в канал посылается
боковая полоса и несущая.
· Предположим
«дJIЯ простоты» (1<ак это принят,о
во многих учебниках), что модуляция осуще ствля­
ется одним гармоническим сигнаJiом («чистым то­
ном») с частотой .Q. Тогда, выбрав отсчет времени
так, чтобы начальные фазы равнялись нулю, мож­
но записать несущую частоту как Е0 cos ,w0 t, а боко­
вую частоту как Е 1 cos(ш 0 ±Q)t. Для нахождения
14-0


огибающей суммы боковой и несущей частот
s(t)= Е0[cos@0t+(Е1/Е0)cos(@0±Q)t]
воспользуемся сопряженным по Гильберту сигна­
лом
д
s(t)= Е0[sin@0t+(Е1/Е0)sin(@0±Q)t].
Тогда огибающая
E(t) = Vs2(t) + ~2 (t) =Е0[1 +(Е1/Е0)2+
+ 2 (Е1/Е0) cos Q t] 112•
(8.16)
На рис. 8.8 изображена форма огибающей при
различных отношениях Е 1 /Е0 . Только при Е1/Е0 « 1
форма огибающей близка к косинусоидальной. Раз­
лагая (8.16) в ряд Фурье, можно показать, что
Риt. 8.8 . Форма огибающей суммы одно­
полосного гармоничеокоге> ~игнала с несу­
щей
141


при Е 1/Е0 = 1/2 коэффициент 2-й гармоники равен
0,1, а при Е 1 /Е0 = 1, когда форма огибающей прини­
мает вид, показанный пунктиром на рис. 8.8, коэф­
фициент гармоник достигает 0,25.
В учебнике [ 12], откуда заимствован рис . 8.8,
по этому поводу сказано :
«Совершенно ясно, что в случае линейного де­
тектирования, когда выходное напряжение воспро­
изводит форму огибающей входного напряжения,
отношение Е 1 /Е0 должно быть значительно меньше
единицы, так как в противном случае возникают
значительные искажения. При квадратичном же де­
тектировании выходное напряжение, пропорцио­
нальное квадрату огибающей,
Ивых(t) = К [Е(t)]2 = КЕ5 [l +(Е1/Е0)2 + 2(E1JE0) cos Q
воспроизводит частоту модуляции Q без искаже­
ний».
На эт ом в упомянутом учебнике рассмотрение -
однополосной модуляции заканчивается и у читате­
ля остается убеждение, что для неискаженного де­
тектирования ОМ сигнала достаточно восстановить
точно несу щую частоту , сложить несущую с ОМ
сигналом и подать сумму на квадратичный детек­
тор. Подобные утверждения содержатся и в ряде
других книг.
Все это, конечно, верно, но лишь при ус ловии,
что передается один-единственный гармонический
сигнал. Если первичный сигнал содержит х отя бы
две гармонических составляющих, все коренным об­
разом изменяется. Пусть, например, первичный сиг­
нал равен Е1 cos Q1t + Е2 cos Qzt. Сумма верхней
боковой полосы с несущей частотой пропорцио­
нальна
s(t) = Е0cosffiot+EJ cos(ffi0+Q1)t +Е2cos(ffi0+Q2)t.
142


г
Используя сопряженный сигнал
л
s(t)=E0 sinffi0t+E1 sin(ffi0 +Q1
)
t+Е2sin(ffi0 +Q2 )
t,
найдем огибающую
Е (t) = Е0 [1 +(Е1/Е0)2 + (Е2/Е0)2+2 (Е1/Е0) cos Q1t+
+ 2 (Е2/Е0) cos Q2 t + 2 (Е1Е2/Е5) cos (Q1
-
Q2
)
t]112•
(8.17)
Легко убедиться, что при квадратичном детекти­
ровании, хотя и не возникают гармоники частот
первичного сигнала, избавиться от комбинационной
частоты ,Q1 -
1Q2 не удается . При более сложном
первичном сигнале искажения на выходе квадра­
тичного детектора могут даже превысить искаже­
ния на выходе линейного детектора. Для неиска­
женного детектирования в общем случае необходи­
мо применить синхронный детектор или (если по­
чему-либо желательно выделять огибающую сум­
мы несущей частоты и боковой полосы) обеспечить
большое превышение амплитуды несущей над все­
ми амплитудами боковых частот .
На этом примере можно убедиться, как легко
совершаются ошибки, если мы привыкаем «мыслить
синусоидой», т. е. представлять первичный сигнал
всегда гармонической функцией, о чем уже говори­
лось ранее (см. ,стр. 110) . Получаемый при этом
результат пытаются без проверки отнести и к об­
щему случаю. В приведенной цитате это привело к
ошибочному выводу о якобы существующем преи­
муществе квадратичного детектора при детектиро­
вании суммы однополосного сигнала и несущей
частоты.
143


8.7. О требуемой точности восстановления
несущей частоты
Известно , что при передаче речи с помощью ОМ не
только фаза восстановленной несущей произвольна,
но и сама несущая частота может быть восстанов­
лена не абсолютно точно . Это легко понять. По­
скольку зв у ково е восприя т ие практич е ски ,не з ави­
сит от начальной фазы опорного сигнала в син х рон­
ном детекторе, то и медленные изменения этой
фазы не должны ощущаться на слух. К этому, в
частности, сводится случай, когда значение восста­
новленной несущей частоты несколько отличается
от истинного . Действительно, при однополосной пе­
редаче речи и даже музыки расстройка опорного
сигнала относительно несущей частоты до 1-2 Гц
совершенно не ощущается. При дальнейшем увели­
чении расстройки постепенно становятся заметнее
искажения звука, которые обычно характеризуют
как появление хрипа и «металлического» призвука.
При расхождении частот в 50-100 Гц эти искаже­
ния становятся весьма неприятными, однако раз­
борчивость речи сохраняется достаточно высокой
вплоть до расстроек порядка 200 Гц и более.
Впрочем передача музыки фактически не достига­
ет цели уже при расстройках в 3-10 Гц.
Рассмотрим, чем определяются приведенные
цифры . При восстановлении несущей частоты с
погрешностью ЛJf все спектральные составляющие
первичного сигнала оказываются сдвинутыми на
Лf. Если бы передавался один тон (гармонический
сигнал), то его смещение по частоте на не очень
большую величину Лf оказалось бы незамеченным.
Известно, что слуховой анализатор человека очень
плохо различает абсолютную высоту звука, т. е.
его частоту. Лишь отдельные люди, чаще всего
144


опытные музыканты, умеют это делать с точностью
примерно до 5-1 О%. Это свойство называется аб­
солютным слухом. Однако практически все люди
хорошо различают отношения частот двух одновре­
менно или последовательно звучащих тонов . Так,
если частота одного тона точно вдвое больше, чем
другого, то их совместное звучание воспринимается
как « консонанс» - чистая октава . Если же отноше ­
ние эти х двух частот будет равно не 2, а, скажем,
15/8 или 17/8, то их совместное звучание восприни­
мается как диссонирующий интервал - большая
септима ИJIИ малая нона . Однако ощущение фаль­
ши при восприятии совместного звучания двух зву ­
ков наступает уже тогда, когда отношение их час­
тот отклоняется от целочисленного (или выражае­
мого дробью с малым числителем и знаменателем,
например ,3/2, 5/4, 6/5) на несколько процентов. На
сколько именно? Попробуем оценить этот допуск,
не прибегая к трудоемким экспериментам и обсле­
дованиям учащихся музыкальных школ.
Вероятно, читателям известно, что музыкальные
инструменты с фиксированной настройкой (напри­
мер, фортепиано, орган, флейта, баян и т . п . ) на­
страиваются так, что только для интервала октавы
соблюдается точное целочисленное отношение час­
тот 2 : 1. Для остальных же интервалов эти отноше­
ния отклоняются от рациональных, определяемых
так называемым натуральным зву,корядом . Делает ­
ся это для того, чтобы получить одинаковые интер­
валы между соседними звуками звукоряда, который
в этом случае называется темперированным . Темпе ­
рация возможна потому, что средний человеческий
слух не отличает темперированных интервалов от
нат у ральных.
Величина интервала между двумя звуками с
частотами f1 и f2 измеряется величиной log (f2N1).
145


Uбычно используют основание логарифма 2, так
как при этом важнейший интервал - октава
-
ока ­
зывается равным единице . В современном темпери­
рованном зв укоряде октава раз делена на 12 равных
(в логарифмическом смысле) частей. 1/12 октавы
называется пол утоном. Таким образом, пол утон яв­
ляется интервалом между дв у мя соседними з в у ками
темперированного (хром атическоrо) звукоряда.
Заметим, что в натуральном зву1юрпде все интервалы
соотве'Гствуют рациональным отношениям частот . Следова­
тельно, вел.ичина натурального интервала, т . е. двоичный ло­
гарифм этого от.ношения, не может быть ·рациональным чис­
лом, за исключением
того случап, когда отношение частот
равно целой степени основания логарифма 2. Но в этом слу­
чае интервал равен октаве или нескольким октавам. Таким
образом, все натуральные интервалы, отличающиеся от ок­
тавы или целого числа октав, измеряются иррациональными
числам.и.
Наоборот, в темперированном строе все интервалы изме­
ряются рациональными числами, кратными 1/12 октавы. Сле­
довательно, отношение частот, образующих темперированный
интервал, за исключением октавы, не может быть рациональ­
ным . Так, например, интервал квинта в натуральном звуко -
ряде соответствует отношению частот 3/2. Двоичный лога-
~
рифм этого отношения, т . е. величина этого интервала, если
за единицу принята октава, я>аляется иррациональным числом
0,58505 ... В темперированном звука.ряде к.винта аппроксими-
руе'!'ся рациональным числом 7/12=0,58333... Различие между
натуральной и темперированной квинтами составляет, та,КИМ
.
образом, около 0,0017 октавы, или немного больше 2 центов
(центом называется сотая часть полутона, или 1/1200 оJ,та­
вы). Такая разница не улавливается даже самым изощрен·
ным музыкальным слухом.
Наибольшее отличие между темперированным
и натуральньiм интервалами дают увеличенная
кварта и уменьшенная квинта, которые в темпери­
рованном строе не различаются и составляют по­
ловину октавы. Неточность представления соответ ­
ствующих натуральных интервалов составляет
±0,015 октавы (18 центов). Следовательно, суще-
146


ствозание темперированного строя доказывает, что
отклонение интервала на 0,015 практически не вли­
яет на восприятие звука слуховым анализатором.
Пусть теперь в спектре первичного сигнала со­
держатся частота 1f 1 и ее вторая гармоника 2f 1. При
детектировании ОМ си гнал а с погрешностью Л,f они •
преобразуются соответственно · в f1+М и 2f ,+ ,Лf ,
так что вместо интервала 1 (октава) получится
i = Iog 2fi+Лf =Iog'211O+Лf/2f1) =
f1+Лf
f1(1-Лfff1)
= 1+ Iog[1 +Лf/2/1]-Iog[1 +Лfjf1].
Так как Л{4:_1f 1 , можно воспользоваться приближе­
нием Iog(l+Л,f/f 1 )= Л,f Ioge,
откуда i=l+
Г1
+ [,Лf / (2f 1)-,Лf/f 1] Х log е= 1-1,4'5 Л,f/ (2f 1) .
Такой сдвиг спектра будет мало заметен на
слух, если l,45l ,Л,fl/(2f 1 )~0,015 для всех частот f1
в спектре первичного сигнала, в том числе и для
f1 =.fмин - нижней частоты этого спектра . Тогда до­
пустимая расстройка несущей оказывается равной
1 ,Л.f I доп= 0,02 fмин• При передаче речи в стандарт­
ной полосе частот 300-3400 Гц, 1,Лf I доп= 0,02 · 300 =
=6 Гц. Действительно, такая неточность оказыва­
ется практически н езаметной. Она была бы столь
же незаметнои и при передаче м у зыки, если бы
воспроизводил ась та )!{е полоса частот . Но обычно
при музыкальном в е щании стараются передать час­
тоты в более широкой полосе, по крайней мере от
100 Гц. Но в этом сл у ч ае неточность восстановле­
ния несущей будет нез а метной только при условии,
что она не превышает 0,02 - 100=2 Г ц .
Бол е е з начительные неточности при передаче
речи приводят к том у , что вместо гармонических
147


(целочисленных) первичных соотношений частот
будут слышны негармонические. Например, вместо
частоты 300 ;Гц и ее гармоник 600, 900, 1200,
1500 Гц при смещении спектра на 20 ,Гц получатся
частоты 320, 620, 920, 1220, 1520 Гц, ни одна из ко­
торых не кратна нижней частоте. 320 Гц.
Напомним, что при колебаниях тонкой натяну­
той струны ее спектр содержит частоты, с большой
точностью кратные основной частоте. Если же вмес­
то струны заставить колебаться толстый металличе­
ский стержень или рельс, то его спектр будет со­
стоять из частот, существенно отличающихся от
кратных. В несколько меньшей степени такая не­
кратность частот обертонов наблюдается при коле­
бании голосовых связок человека, воспалившихся
вследствие простуды. Поэтому, как только мы
слышим речь со смещенным спектром , в котором
слегка ощущается нарушение кратности частот
обертонов, мы воспринимаем это как «хри поту», а
при большем смещении спектра возникают ассоци­
ации со звуком, издаваемым металлическим стерж­
нем, и мы говорим о «металлическом тембре» го­
лоса.
Даже при сдвигах спектра на 100-200 Гц раз­
борчивость ·речи в значительной мере сохраняется,
хотя тембр ее становится крайне неестественным и
неприятным .
Для объяснения разборчивости следует исходить
н_е из законов слухового восприятия гармонических
звуков, а из принципов опознавания членораздель­
ных звуков речи. К сожалению, ~ы з_наем о вос­
приятии речи значительно меньше, чем о восприя­
тии музыки . Однако в первом приближении можно
воспользоваться несколько устаревшей, но все же
удовлетворительно описывающей факты, формант -
148


ной теорией. Согласно этой теории звуки речи раз­
личаются по размещению максимумов энерг~тиче­
ского спектра в определенных полосах частот, на­
зываемых формантными областями. Полагая шири­
ну формантных областей порядI{а 200-300 Гц, лег­
ко понять, что сдвиги спектра речи на 100-200 Гц
не должны уводить его максимумы за формантные
области н поэтому некоторая разборчивость долж­
на сохраняться, что и наблюдается на практике.
При сдвигах спектра на 300-400 Гц и более про­
исходит «перепутывание» формант и речь становит­
ся неразборчивой.


9
СВЯЗЬ С СОБРАТЬЯМИ ПО РА3У:М:У
9.1; Готовьтесь :к межпланетной связи
Внеземные цивилизации ... Что может быть увле1<а­
тельнее задачи их поиска? И, кон е чно, этот поиск ,
а затем и установление связи с ними мыслится сей ­
час только с помощью электромагнитных волн. В
настоящее время в ряде стран, в том числе и в Со­
ветском Союзе, проводятся систематические работы
по поиску радиосигналов, которые может быть по­
сылаются с неведомы х планет далеки х галактик.
Но обнаружить сигналы - это е ще только самое
начало. Нужно научиться их понимать и отвечать
на них. О трудностях, лежащих на этом пути, хо ­
рошо и образно рассказано в [34], и мы не будем
на них останавливаться. Предположим, что они уже
позади - мы научились хорошо понимать друг
друга, договорились о коде , и теп е рь задача со­
сто ит в том, чтобы сообщнть разум ным сущ ествам
планеты Х как можно более подробные сведения о
человечестве, его истории, современном состоянии
и чаяниях. Сколько на это потребуется времени?
Такой вопрос затрагивается в книге [60], где на
с. 266 приво дятся следующие рассу:ждения.
150


r
1
r,
~1
r
«Известно, что за всю историю челове ч еской
культуры было написано около ста миллио1-10в книг
и рукописей. Будем считать (условно), что средний
объем одной кн и ги - десять авторских листов. Та 1,
как в одном авторском листе содержится, по суще­
ствующим стандартам, 40 тыс. печатных . знаков, то
поJню е количество таких знаков в 100 млн. книг
будет 4 • 1о~з_ Если каждый знак кодировать в дво­
ичной системе ..., полное число знаков двоичного
кода, которое должно быть передано, будет поряд­
ка (1+2)-10 14 . Если теп е рь полоса частот пере­
дающегося сигнала будет 1000 М,Гц, ... , то потребу­
ется 10 5 с, или всего лишь немногим более суток,
чтобы передать содержание всего, что когда-либо
было написано людьми!».
Такой результат, конечно, поражает читателя .
Подумать только, все то, что человечество накап­
ливало за тысячи лет существования цивилизации,
можно передать за какие -то сутки . Поневоле хо­
чется преклониться перед достижениями техники
связи.
Однако не _б удем преждевременно радоваться.
В приведенной цитате •вопрос ра-с,смотрен только с
одной стороны - нео'6ходимой полосы ча,стот ,в со­
ответ,стви.и •с пределом Найквиста (с м . гл. 5). Но су­
ществуют еще много други х проблем, в частности
проблема энергетических ресу рсов. Попробуем оце­
нить энергию, необходим ую для передачи количе­
ства информации порядка 10 14 бит .
9.2 . Передача в диапазоне сантиметровых волн
Предположим, что единственной помехой при при­
еме сигналов является тепловой шум. Пусть прием ­
ни к находится при температуре жидкого гелия
( = 4 К) и коэффициент шума его равен единице.
151


Средняя частота сигнала в соответствии с предыду­
щим расчетом - порядка f = 10 10 Гц, что соответст­
вует длине волны л=З см. При этом спе ктральная
плотность теплового шума, в Вт/!Гц,
No= hf,10-7
~6,5-lo-24~5,2·10-23.
(9.1)
e/1f /kT __ I
еО,!18_ 1_
Здесь h"""б,5-10-27 эрг - с - постоянная Планка;
k""" 1,38- I0- 16 эрг/град - постоянная Больцмана;
Т - абсолютная температура.
Поскольку в этих условиях hf4{:'_kT; т. е. No"""kT,
квантовыми эффектами можно полностью прене­
бречь, а шум считать белым гауссовским. В этих
условиях пропускная способность канала связи на
единицу времени, в бит/с, выражается известной
формулой Шеннона
С= F Iog (1 + Pпp/N0F) < (Рпр/N0) }og е,
(9.2)
где F - ширина спектра сигнала; Рпр
-
мощность
сигнала на входе приемника. Неравенство · в (9.2)
следует из оценки ln х~ 1-х, в которой равенство
имеет место только при х= 1.
Пусть на передачу М бит затрачено tм секунд.
Тогда М~Сtм<(Рпрtм/N0 ) Ioge=(Eм./No) loge, где
Ем - энергия сигнала на входе приемника, необ­
ходимая для передачи М бит информации, которая
в соответствии с полученным неравенством огра­
ничена ,снизу .величиной
Eм>MN0/]oge ,
(9.3)
Подставляя сюда М = 10 14 бит и N0 =5,2, 10-23
Вт/,Гц, получим, что к приемнику на планете Х не­
обходимо подвести энергию сигнала, не меньшую
чем 5-10-9 Дж. Если при этом tм=10 5 с (прибли­
зительно сутки), то мощность сигнала, подводимая
к ·приемнику, Рпр>Б· J0-14 Вт .
152


1
~
t1
Перейдем теперь к передатчику. Мощность сиг­
нала на входе приемнике при распространении в
свободном пространстве
Рпr,=Ризлл2 G1G2/(4rсr)2,
(9.4)
где Ризл - излучаемая мощность; r - расстояние
между передатчиком и приемником; G1 0 2 - коэф­
фициенты усиления передающей и приемной ан­
тенн соответственно.
:К тому времени, когда удастся установить кон­
такт с внеземными цивилизациями , радиотехника
уйдет далеко вперед. Поэтому примем, что на вол ­
не ,л=З см коэффициенты усиления антенн G1 =
=:02 = 106, что превышает сегодняшние возможно­
сти . Угол раствора диаграммы направленности та ­
кой антенны составляет около 20'.
Для того чтОiбы ·вычислить ,излучаемую мощ-
1-юсть , недостает еще одного параметра - расстоя ­
ния от Земли до планеты Х. Здесь можно только
га д а ть, опираясь на высказывания специалистов. В
[34] приводится сводка мнений раз л ичных ученых ,
занимавшихся этой проблемой . Среднее расстояние
между двумя пла11етами, на · которых существует
разумная и достаточно технически развитая жизнь,
по их оценкам колеблется от 10 световых лет (по
Билсу) до 1000 световых л ет (По Хорнеру) . По
работам других у чены х (Саган, :Камерон, Опарин,
Фесенков , Шкловский) это среднее расстояние бли­
же к 100 световым годам. Таким образом, сущест­
вует разброс точек зрения на два порядка . К тому
же существует и разброс истинных расстояний от•
носительно среднего.
Предположим, что нам ,« повезло » и планета Х
на х одится всего лишь на расстоянии около 35 све­
товы х лет , что составляет 3-1019 см . Подставив эту
153


величину в ур-ние (9.4), оценим нео-бходимую мощ­
ность излучения
•
Рпр (4п)2 г2
5, 10-11
. 158- 1039
рнзл = л,2 0102 ;:::::;
g, 106 _106
;:::::; 101• Вт .
Такую мощность порядка 10 9 МВт могли бы
дать 100 тысяч Красноярских ГЭС. Конечно, рас­
считывать на получение такой мощности радиоизлу­
чения даже через несколько столетий совершенно
не реально. Давайте, однако, помечтаем. Проявим
максимум оптимизма и будем полагать, что мощ­
ности радиопередатчиков для космической связи к
моменту установления контакта с планетой Х до-
• стигнут 100 МВт 1 J. Тогда принимаемый сигнал бу­
дет по ф-ле (9.4) иметь мощность около 5. 10-21
.
Так как для передачи информации в 10 14 бит нуж­
но довести до приемника 5 • 1О- 9 Дж, то на это
уйдет время
fм;:::::; 5 .10- 9 /5-10-21 = 1012 с;::;; 30 ООО лет,
т. е. в 3 раза болыше тех ста веков, в течение ко­
торых человечество добывало и создавало эту ин­
формацию!
9.3. Связь в оптическом диапазоне
Нельзя ли, однако, получить более обнадеживаю­
щие результаты, выбирая другие параметры систе­
мы. связи?
Конечно, можно уменьшить требуемую мощ­
ность (или требуемое время при данной мощности),
1> Следует заме'tить, что эдесь речь идет о средней, .а не
о пиковой мощности, подводимой к антенне передатчика . Пи­
ковая мощность в импульсном режиме может на мно го поряд-
1,ов превосходить среднюю .
154
j
j


снижая: температур у приемника . Если снизать ее с
4 К, скажем, до 0,4 К, то все полученные цифры
уменьшатся в 10 раз. Но это уменьшение врпд ли
можно считать существенным. Надеяться на еще
большее •снижение тем,п ерату,ры не реально.
Глядя на ф-лу (9.4), можно подумать, что к же­
лаемым результатам приведет увеличение длины
волны, но это только кажется. При увеличении
длины волны уменьшатся коэффициенты усиления
антенн (при тех же размера х и сложности) и в ре­
зультате числитель уменьшится. Но может быть
лучше не удлинять, а укорачивать волну?
Действительно, этот путь кажется перспектив­
ным. Дело не только в том, что при этом можно
увеличить направленность излучения, но и в умень­
шении интенсивности теплового шума с повышени­
ем частоты, что видно из ф-лы (9.1).
Уменьшим, скажем, длину волны в 50 ООО раз,
взяв л=б-10-5 см, что соответствует видимому
свету 1 J, и применим в качестве передатчика сверх­
мощный лазер, который сейчас еще не существует,
но несомненно будет построен к моменту орга­
низации связи с планетой Х. Тогда ,f=S-10 14 Гц, и
даже при комнатной температуре Т= ,300 К hf/kT=
=103 и из ф-лы (9.1) получим -N0 =3-10-441 Вт/iГц,
т. е. примерно в 10 425 раз меньше, чем в предыду­
щем примере!
Что же, знач ит во столько же раз уменьшится
требуемая мощность сигнала? Тогда для передачи
«всей» информации за сутки вместо 10 15 Вт потре­
буется всего лишь 10- 42 1 Вт? Зачем же тогда гово­
рить о сверхмощном лазере? Ведь самый маломощ-
1J При меня ть еще более короткие волны уд астся только
в том случае , если передатчик будет вынесен за пределы
земной атмосферы, сильно поглощающей ул ьтраф.иолетовое
изл у чени е.
155


н ы~r из существующих лазеров обеспечивает несрав ­
ненно большую мощность.
К: сожалению, это не так. Действительно, при
Т=ЗООК: тепловой шум на ча·стоте 5-1014 Гц ,прак­
тически полностью отсутствует. Но зато необходи­
мо учитывать ошибки , воз никающие из-за кванто­
вой структуры и з лучения. Дело в том , что для пе­
редачи определенного объема информации необхо­
димо, грубо говоря, послать достаточное количест­
во фотонов.
Разб еремся в этом примере п одробнее. Для
идеального квантового канала, в котором не суще­
ствует тепловых шумов и поглощения фотонов, в
[27] получено приближенное выражение пропуск-
ной способности (в бит на степень свободы): •
С~п(1+ln ~)logе~пIog 3⁄4,
(9.5)
где п ~ 1 - среднее число (по ансамблю сигналов)
регйстрируемых фотонов 1 >.
Для того чтобы найти максимальное количество
информации, которое может быть передано в по- ~
лосе частот F за время fм, нужно умножить С на
Рfм. Пусть полоса F составляет 20% от несущей f,
т. е. F = 10 14 Гц. Для того чтобы передать 10 14 бит
информа ции, . необходимо затратить время tм и
1J Выражение (9 .5) .имеет ма,ксим ум при n = e-1, но оно
выведено в предположении п ~ 1. В той области значений
h , для которой оно сп,раведливо , пропускная способность
монотонно возрастает пр.и увеличении п. Заметим, во избе­
жание недоразу,мений, что, х отя общее число регистрируемых
фотонов всегда целое , среднее число фотонов на степень
свободы (напри.м ер, при одной моде за 1 с в полосе 1 Гц)
может быть дробным и, в частности, много меньше единицы .
Это просто означает , напри мер , что в полосе 1 ГГц фотоны
регистрир у ются значительно реж е, ч ем 109 р аз в секунду .
!56


t'l
число фоrонов пfм, удовлетвор яющие уравнению
-
1
пtм log-=. .- F = 1014.
(9.6)
п
Выразим ii через мощность принимаемого сиг­
нала Рпр, Есл,и в секунду принимается iiF фотонов,
а энергия каждого из них, как известно, равна fif,
то
Рпр = nFhf,
или
(9.7)
Излучаемая мощность связана с принимаемой
мощностью ф-лой (9.4), которую удобнее для оп ­
тического диапазона представить в следующем
виде:
Рпр= (S1S2/Г2 Л2) Ч Ризп,
(9.8)
где S1, S2 - площади пе.редающей и приемной «ан­
тенн» соответственно (в данном случае это, по­
видимому, площади зеркал телескопов); 'YJ - коэф­
фициент , учитывающий поглощение света в оптиче­
ской системе, атмосфере, приемном устройстве.
Оставаясь на почве, близкой к реальности, бу­
дем: считать, что диаметры телескопов равны 2 м.
Тогда S 1 = S 2 ~3-104 см 2 . Коэффициент 'YJ обычно
бывает порядка 10-2
.
Будем задаваться различными значениями ii и
вычислять время tм, необходимое для передачи
М = 10 14 бит информации , и требуемую для этого
мощность Ризл по очевидным из предыдущего
формулам:
fм= М / (Fn1og ~),
(9.9)
157


р - г" 1-2 12/(<:;S 11)- -,, l..'faf,-212/с,S
нзл -
лрлL12
--
,,
,'
Js L)l 21].
(9.1 О)
ПолучеJшые ,резул ьтаты ,сведем •в табл . 9.1.
ТАБЛИЦА 9 . 1
-
11
1~'
1 Рнзл IМ I Примечание IМ
1/128 7
2,35 2,3-1017 7,2 l ,7 , 1O1s
10-3 10
0,3
3, 1016 40 1,2. 1Q18
10-6 20 3. 10-4 3-1Q13 20 ООО 6, 1017 Около шести ча-
сов
10-9 31) 3. 10-7 3- lQlO 1,3- 107 4,5. 101 7 Примерно 150
'1
суток
10-12 40 3. 10-16 3. 107 1010 3. 1017 Около 300 лет
10-1 5 50 3.10- 13 3-104 8, 1012 2,5-1017 Около 240 ты-
сяч лет
Примечание. Здесьполож:ено: f=5 •1014 Гц, F=l
•
10
14 Гц,
S, =S,=3 • 104 с,1', 1·=3 • 1019 см и 1']=0,01 .
Таким образом, для того чтобы пер ед ать всю на­
копленную человечеством информацию даже не за
24 ч, а за 150 суток, потр ебовалось бы совершенно
не мысли мая средняя мощность излучения в 30 ООО
МВт. При средней мощности изл учения лазера в
30 кВт ,п ередача займет около 240 тысяч лет .
Эти результаты не лучше, чем для волны 3 см.
Они свидетельствуют о невозможности передать
всю накопленную человечеством информацию за
в ремя, существенно меньшее, чем длительность су ­
ществования цивили зации на !Земле.
9.4 . Где выход?
Нельзя ли, однако, выбрать параметры системы
связи так, чтобы передать 10 14 бит информации,
158


если не за сутки, то все же за приемлемый отре­
зок времени, используя более или менее реальную
мощность излучения? Чтобы ответить на этот во­
прос, рассмотрим произведение Риэлfм, равное об­
щей излученной энергии. Из (9.9) и (9.10) имеем
Е = Ризлfм = Mhc 'Ar 2/S1S 2 'l'J log ( 1/п),
(9.II)
где c='Af- скорость распространения света.
Эта энергия зависит от ii, которая, в свою оче­
редь, определяется мощностью, длиной волны и
шириной спект1ра 1). Но та-к как ii входит ,в аргумент
логарифма , то его изменения мало влияют на треб\,._
емую энергию. Это подтверждается предыдущей
таблицей, так как при уменьшении ii в 10 12 ра з
произведение Ризлfм ,снижается лишь в б раз. Если
отвлечься от этой слабой зависимости, то из (9 .11)
следует, что уменьшения необходимой энергии мож ­
но добиться только, увеличивая . S 1 и S2 и 11 и
уменьшая ,'А.
Что касается площадей антенн S, то трудно на ­
деяться на возможность их существенного увели­
чения (под существенным увеличением здесь пони ­
мается увеличение на несколько десятичных поряд ­
ков) . Коэффициент 11 по своему смыслу меньше
единицы. Так что остается единственный реальный
путь - у корочение длины волны "л .
Если задаться целью передать 10 14 бит х отя бы
за 30 лет (т. е. = 109 с), излучая при этом сред­
нюю мощность, не превышающую 10 5 Вт , то прои з­
ведение Риэ лfм составит 10 14 Дж. В рассмотренном
выше примере при "л=б - 10- 5 см это произведение
1) Этим квантовые каналы, межд у проч.им , отличаютс,:
от идеальных «кла ссических », в 1юторы х м инимальная энер­
гия , кото р ая должна быть доведена до приемника , определя­
ется лишь объемом информации и у ровнем аддитивного шу­
ма и не зависит от мощности сигнала.
159


было порядка 10 18 Дж. Следо в ательно, можно, в
принципе, достичь цели, укоротив длину волны при­
мерно в 104 раз, т. е. выбрав л~ 10-8 см, или 1 А.
Это значение лежит в диапазоне жеспшх рентге­
новских волн.
Итак, если мы когда - нибудь научимся излучать
(и модулировать) волны длиной в один ангстрем с
мощностью порядка 100 кВт да еще сумеем фоку­
сировать их «антеннами» с диаметром в '3 м, а
при передаче поглощаться будет не более 99% , то
мы сможем за 30 лет передать на планету Х всю
накопленную человечеством информацию. Трудно
все же поверить, что мы научимся все это делать
за несколько ближайших столетий .
Как же быть?
Очень просто. Не будем стараться передать все,
что было когда-либо написано . Ограничимся, ска •
жем, передачей Большой советской энциклопедии,
содержащей «всего лишь» около 109 бит . Если мы
будем обладать «сверхлазером» с мощностью
10 кВт на волне, л=б· 10-5 см и телескопом с S=
=3·104 см2, то мы сможем это сделать за 6 лет или
за 60 лет при более реальном значении мощности
в 1 кВт. Но прежде всего нужно найти эту планету
Х с разумными жителями и научиться понимать
друг друга.
j


10
ЛУЧШЕ НАИЛУЧШЕГО
10.1 . Изобретатели «вечного двигателя»
За последние 20-25 лет автору приходится время
от времени консультировать различных изобретате­
лей систем связи. И примерно каждые 3-4 года
среди них появляется очередной изобретатель «веч­
ного двигателя» в связи. Под этим названием я
подразумеваю различные спосо-бы передачи и прие~
ма сигналов с помехоустойчивостью, превышаю­
щей потенциальную, т. е. ту, которую можно теоре­
тически получить при оптимальном приеме в дан­
ных условиях.
Среди этих изобретателей встречались разные
люди. Они по-разному реагировали на критику. Не­
которые (очень немногие) сразу понимали свою
ошибку и отказывались от своих заблуждений.
Другие, разобравшись в слабых местах своих рас­
суждений, все же не хотели отбросить основу сво­
ей идеи и упорно пытались «подправить» и «обос­
новать» ее. Третьи просто не хотели ничего слушать
и объясняли все возражения тем, что их оппонен­
ты - рутинеры, отставшие от жизни, не понима­
ющие новых идей и цепляющиеся за «устаревшие»
6 Зак. 657
161


представления о потенциальной помехоустойчиво­
сти. Нередко в подтверждение своих идей они при ­
водят неизвестно т,ак и где полученные «экспери­
ментальные результаты». Впрочем некоторые из ав­
торов «вечного двигателя» - очень приятные люди
и в общем весьма квалифицированные специалис•
ты, отлично владеющие методами теории связи, но
упорно допускающие ту или иную ошибку при ана­
лизе своей системы.
В ряде случаев з начительно легче разобраться в
сущности сделанных •ошибок, чем в психологии
«изобретателей».
В качестве примера можно привести мою переписку с од­
ним инженером, длившуюся более двух лет, в которой речь
шла о двоичной системе связи, ююбы позволяющей при не­
когерентном приеме ортогональных сигналов получить такую
вероятность ошибки , которая теоретически возможна лишь
при когерентном приеме противоположных сигналов. Сущ­
ность этой системы и ее многочисленных вариантов (в каж­
дом новом письме вно·сились новые «усовершенствования»\
излаг.ать не будем. В ней нет ничего поучительного, и ее оп ­
ровержение сводилось к отысканию тривиальных ошибок в
выкладках . Так, в третьем или четвертом пись ме п.редлага­
лась модификация решающей схемы, в к,оторой отношение
сигнал/помеха оказывалось пропорциональным 1/ (No 1 -No2),
rде N1 ,и N2 - .интеноnв,ности шу:1,юв ,в щ,вух 1ве1'вях •решающей
схемы. Повторив сделанные в письме выкладки , я сразу об­
наружил, что в этой формуле ошибочно записан знак, так
что вместо No 1 -No2 в знаменателе должно быть No 1 +No2 и
никакой сверхъестественной помехоустойчивости не получает­
ся. Указав в своем ответе на эту и еще на одну ошибку, я
закончил его следующей фразой:
,«Я rачень lбо-юrсь, rчто, 1цр.оrчтя это m1и1сы,ю ,и 1убед!И,ВШ!Иiсь в
его справедливости, Вы начнете «подправлять» и «сове.ршен­
ствовать» свой алгоритм, стараясь все-таки превзоЙ1'И потен­
ц.иалЬ'ную помехоустойчивость. Не уподобляйтесь тем изобре-
тателям вечного двигателя, которые считали, что у них недо-
i
работана только одна небольшая деталь, а юiгда она будет
j
улучшена, вечr-1ы1~r двиrателr, заработает».
11
В ответ я получил письмо, автор ·которого категоричесJ<f!
отрицал свою явную ошибку . Он писал :
IG2


«1Jасхожде,нип в знаках в формулах (8) и (9) объясняют­
сн тем, что при выкладках Ны не имели возможности учесть
временную струюуру процессов в ве'J\вях графа: разъяснение
деталей технологии не входило в задачи материала».
Другими словами, главная «шестеренка» вечного двига­
теля оказалась засекре:ченной - тут уж ничего возразить
нельзя.
Справедливости ради нужно сказать, что примерно через
три года мой керреспондент до1< 11адывал о своем алгоритме
на одной научной конференции и указанные ошибки были им
исправлены. Но, конечно, никакого превышения потенциаль­
ной помехоустойчивости уже не было. При обсуждении док­
лада выяснилось, что этот алгоритм ничем не л.учше извест­
ных.
В чем же корень :в,сех, заранее обреченных на
неуспех, попыток ~преодолеть за~юны природы?
В пе,рвую очередь он за,ключае'J\ся 1В отсутствии
самО1кр ,итичного от ношения ,к ,своим результатам.
К сожалению, далеко не ,все преподаватели вузов
воспитывают ,в овоих учен;иках привычку быть
в-сегда ,самым ~строгим ~ритиком своей работы и
соблюдать нез ыблемое пра,вило- •пасле ~получения
ка1когю-ли60 результата прежде в-сего _старать·ся
его опровергнуть, и лишь после того, как он вы­
держал все · испытания, выставлять его на нсеоб­
щее обозрение.
Другим 1к·ор1нем ЯIВЛЯе'I)СЯ весьма похваль"Ное же ­
лание -сделать •великое О'Гкрытие, ,принес11и пользу
чел.овече,с11ву, ,ну и за ·одно просла1виться. Если это
жела1ние не ,сдерживается ,самокритикой, то часто
• оно приводит -к плачевным результатам . Хуже в: се­
го, rкогда автор уже ,с1выwся ,с мыслью , что он изоб­
рел нечто ~небывалое, и ему очень трудно с пей
раостаться . Так :рож,даю11ся ,«·не,призпа,нпые ·гении»,
которые .принимают всякую критику как проявле ­
ние за ·вист,и .
И, наконец, в ОТ!дель::ных ,случаях немалую ро-ль
и,грают недостаточная техничес.кая грамотность и
6*
163


непонимание 001-юв статистической теории связи .
Иногда «изобретатели» даже ,не ,догадываются о
том, что их ,результаты протiИв-01речат тео-рии . Чаще
они :пытаются объяон.ить эти противоречия тем,
Ч'Ю они глубже и пра·вильнее пО1нимают сущно,сть
помехо:)Лстойчиности, чем их оппоненты, и могут
внести «попра·в,ки» в существующую теорию. При­
ходилось слышать следующие ,пояснения :
,«Котельников :в теории потенциальной помехо ­
уrс'!'ойчиво:сти · раrссмат,ривал толыко линейные мето­
ды ,обработки сигнала, а у меня -нелинейная схе­
ма, и поэтому я могу обеопечить более высокую
помех,оу,стойч1ивость»;
«Котельникаrв исходил '!'олько из представленrия
сиnнала как фу:ныции времени или из разложения
этой фушкщии в ряд Фурье, если же учесть различ­
ные другие ювойс'I'ва сигналов, то можно найти
резервы для повышен1Ия по•мехоустойчи1вости»;
•«Котельни1юв 1ра,осматривал только белый шум,
но ;в природе белого шума 1Не бывает, и по1этому
вероятrность ошибки ,может быть сколь угодно ма­
л·ой, если придумать хорошую систему»;
«Т~ория потенциальной помехоус·юйчивости
давно опровергнута Шенноном, который до,казал,
что инфор:мац1иiо МОЖIНО передавать со с.коль угод­
но малой вероятностью ошибки, если скорость пе­
редачи меньше пропу1скной ,спюсо6нос11и канала»
ит.л.
Все эти доводы, к,онечно, несостоятельны. При
пос11роении тео1рии :потенциаль-ной помехоустойчи­
вости В. А. Котельников и проДrолжатели его ра­
боты не постулиро•вали линейности метюдов обра­
ботки с1Игнала. ЛИ1нейная ,система оказывается оп­
тимальной тольк:о для гауссоrв1с,кой помехи при пол­
ностью иэвестном 1с.илнале. В других случаях оп­
тимальная ~схема получае'!'ся нелинейной . Точно
164
J
j
j1


так же никаких . ограничений в пр едставлении с иг­
нала ·в теоР'ии Котельюпюва не т . Запись прини­
маемого ,сигнала в виде фушкции времени ,содер­
жит ·всю доступную иrнфю.рмацию о нем, и никакие
преобразования этой записи не смогут вьшвить но­
вой _ 11нф,ормац,ии, а ,сле,щовательно, и ,не позволят
получить .результаты, лучшие, чем в синтезирова:n ,
ной по ~выбранному юрите,рию юптимальной ,схеме 1).
Тот факт, что в работе В. А . Котельникова [23]
рассматривается ,в основном только помеха ,в виде
белого гауосоВ1с,1юго шума, ,вовсе не nоворит о воз­
можности ,получения 1скюль угодно малой вероятно­
сти ошибо·к при небелом шуме. Нижняя гра·ница
для вероятности ошибок при небелом гаус•совском
шуме опред:еляла,сь во многих работах других а,в­
торов, наприме;р :в (44]. Эта граница ~становится
равной rнулю в та1к называемых сингулярных слу­
чаях, например, 1юnда ·в ~некоторой частотной обла­
сти, занятой ,сигналом, помеха отсут,ствует. Одна­
ко 1в •реальных ,ситуациях 1сингуля1р~ные •случаи в.оз­
ник,нуть не могут, хотя бы ·вследствие все,гда при­
сутс11вующегю те1Плового шума, а та,кже кванто·вых
за1юномерностей . Сингулярности ,возникают толь­
ко 1«ша бумаге», когда принятая ,матема·тиче,с,кая
модель канала ,связи физически нереализуема и,
следовательно, неправильно описывает реальный
ка1нал. К тому же ~изобретатели «,оверхоптималы-ю-
1> Конечно,
используя дополнительную информацию ,
можно снизить вероятность ошибки . Например, если вместо
скалярной функции - напряжения на входе приемника
-'-
задать пространственную картину электромагнитного поля
вблизи приемной антенны, то возни.кают новые возможности -
нс.пользования поляризации пол.я , осуществления простран ­
ственно-разнесенного приема и т. д . Ничего похожего не б у­
дет, если, например, помимо сигнала, задать его производ­
ную, поскольку она новой информации не содержит.
165


го приема» , с сылающиеся на о.крашиваемость шу ­
ма, ·В ,своих .работах рассматривают обычно несин­
гуля1рную модель, но получают вероятность ошиб­
ки если не ,сколыю угодно ~малую, то ,все же мень­
шую, чем это возможно в о,птималыной решающей
схе.ме .
Совершенно незаконным является противопо­
ставление теорий Котелы-шкова и Шоннона. В тео­
рии потенциальной помехоу1с11ойчм1вости Котелынт ­
кова считается заданным ·конечный а·нсамбль сиг­
налав и отыс-ка:вается вероятность ошибок пр.и оп­
тималыном при е.ме этих ,сигнал ов по критерию
ма,:к1симальн.ой апосте,риорной вероятности, тогiЦа
как в теории ~информации lllен•нона задан только
канал, а 1сигналы 1выбирают,ся оптимальным обра­
зом в процессе 1ю,Iщ'Рова.ния. Уменьшение вероят­
ности ошибок имеет место при росте длины коди­
руемого сообщения , когсда -ра,стет также и число
реализаций ,с,игнала. Впрочем и в {23] показано,
что с увеличе-нием основания ~ода вероятность
ошибки (пересчитанная на двоичный символ)
уменьшается.
После этих общих ,соображений пе,рейдем к
знаком:ству с :некоторыми конюретными ,способа-ми
ни,спрове.ржения теории ·связ·и. Ограничимся толь­
ко т.ремя типичными примера•ми.
10.2. Широ:кополосная частотная манипуляция
Эта «идея» в законченном 1виде была обнаружена
в ру,1юписи •статыи, ~которая, .к ,сча,стью, не была
опублико1ва1на. А,втором ее была а,спирантка Пиво­
вар{)!ва, и, ,как пото,м ,вьыюнилось, в статье излага­
лось одно 1из основных положений подготовлен1ной
ею диосертации (•все ф амилии « иэобретателей» в
этой глав е изменены) .
166


rr,.
Суть дела соеюит в ,следующем. Известно, что
ПР'И некогереятном прие:ме двоичных сигналов с
ча,сто11ной ·манипуляцией (ЧМ) на фоне гау,ссов­
ского шума ·с раВ1номерным ,сhек11ром обычl!ю при­
меняют пару фильтров, •разделяющих две реали­
зации сигнала, и дифференциальный _ :П;етектор
(рис. 10.1). Решение принимают по з·на,ку напря-
Рис. 10.1. Прием ча­
стотноманипулированных
сигналов
разделитель ­
ными фильтрами:
Ф - фильтр; Д
-
детектор
Рис. 10.2 . Прием Ч/11.
силналов по мгновенной
частоте:
ЧД - частотнын . детектор ;
ФНЧ - фильтр ни :жнн:х час~
тот
жения ,в моменты от,счета на •выходе детектора.
•При достаточно большой разности частот сигна_ лов
и до•статочно широких, но ,r-rеперекрывающих1ся по­
лосах пропу,ска1ния фильтров ,вероятность ошибки
о 5 -q'/2
р='е '
(10.1)
где q2 -отношение мощности сигнала к мощности
помехи .на выхо,де фильтра .
Бели фильтры сотлаоованы с сигналам·и, а пос­
ледние ·взаимно ортогональны, то в (10.1) •величи­
на q2 лринимает :макс,ималыно возможное значе­
ние, .ра•вiное 011ношению энергии си-гнала на входе
приемника ,к ,спектралыюй плотности шума, кото­
рое принято о-бозначать h2. В этом случае схема
оказывает,ся оптимальной по критерию максимума
правдоподобия . Таким образом, 0,5 е-11'/2 представ-
167


ляет наименьшую вероятность ошибки лри некоге­
ренпюм приеме щво,ичных ЧМ сигналов. К ней
можно 1приближать,ся, используя и не1юторые дру­
гие ,схемы, 1на,при:мер прием по мnновенной час110-
те ·с последе'I'ектор,ным фильтром (рис. 10.2) (,см . ,
например, [46], с. 262-291).
Тов. Пиновар,ова обнаружила, что в этих рас­
суждениях имеется неточность. Пр,и детектирова­
нии ЧМ ,сигнала, ка,к из,вестно, отношение мощно­
сти ,сигнала к ,мощности помехи •воз.ра•стает в
Зт2/П2 раз, где т - инде,к,с частотной модуляции,
П - пикфактор ,модулирующего сигнала (см., на­
пример, [15]). В ~случае ча,стот,ной ма,нипуляц,ии
гармюничеокого переносчика пикфа,ктор равен 1, а
за ин•де,кс модуляции :м ожно в первом приближе­
нии принять k=Лf/Fa, г,де Лf- девиация час'I'оты,
равная •половине разности час'I'ОТ ,двух реализаций
(«нажат,ия» и ,«отжатия»), Fo - частота манипуля­
ции, т . е. величи,на, обрат,ная длительности ill!BYX
элементов сигнала, 1/ (2Т).
.
Пра•вда, этот выигрыш имеет место только при
ус ловии, что отношение 1сиnнал/помеха на вх·оде
приемника превышает ,не,1юторое пороговое значе­
ние, которое при ЧМ блиэко к 3. Но это на п,рак­
тике в,сегда выполняет,ся, если качество связи хотя
бы пр,иближает,ся к удовлетво рительному .
Исходя из этого аопирантка Пивоварова пред­
ложила увеличивать помехоу,стюйчивость, приме­
няя ЧМ с большой девиацией. Пусть, например,
передача идет ,с о с1юро1стью 100 Бод, т. е . Р0 =
= 50 Гц, а отношени-е э,не:ргии элемента сигнала к
спектральной плотНО!СТ,И помехи ~на входе прием­
ника h2 = 10 . Применяя схему ,рис. 10.1 с согласо­
ванными фильтрами и •выбирая Лf=liFo, где k -
любое целое чи.сло (это обеспечивает ортогональ-
168
J...


---~__,,-~_...........,...._,,,__..,.......
ность сигналов), ,получим ,вероятность ошибок по
ф-ле (10.1)
•
р=o,se-5~3,3•10-3
неза1висимо ют з·начения k.
Тю•в. Пинова,рова прмлагает использовать дое­
таточшо большое значение k>l, например, хотя бы
k=2 1), и ·вести прием по схеме рис . 10.2 . По,сле
час11отного детектора и фильтра ютж,них ,частот
получим прямоугольные ·видеоим.пуль,сы с отноше­
нием силнал/помеха в 3т2/П 2 =3k2 = 12 раз боль­
ше, чем h2, т. ,е. ра1В:ное q2вых= 1 120 . Полагая в пер­
вом приближении помеху на выходе детектора
также гауссовской (что не может ·существенно по ­
влиять на результат), ,будем ,вычислять вероят­
ность 1ошиб>ки ,при приеме двух1поля,рных видеоим­
пульсов на фоне гаусоовекой помехи при о'!'ноше­
нии мощностей ,сигнал/помеха q2= 120. Она равна
Р= o,s [1- Ф(V2q)J,
(10.2)
11- х
-s212
где Ф(х) = J1 ~ Sе ds-функция К.рампа .
о
Воспользовавшись известным нераве1-r,ством
Ф (х) ~l -e-x'l2ds, справедливым при х~О, полу­
чим р~О,5 е-ч'=О,5 е-120 <,10-51, т. е. практически
прием ,будет безошибочным!
Из 0того делался вЫ1вод, что для приема дис­
кретных ЧМ сигнало,в нужно пользоваться только
схемой ~рис . 10.2 (прием по мгновенной ча,стоте),
так rка.к, ,выбирая при этом достаточно большие
и1нде.~<1сы модуляrции, :можно получить практически
1> Большее значение k в данном пр,име·ре брать не сле ­
дует, так как иначе отношение мощности сигнала к полной
мощности помехи на входе приемника, которое, очевидно,
равно q2 =h2/k, окажется ниже порогового .
169


безошибочный пр.ием в условиях, юогда более рас:­
прос'Г'раненная ,схема рис. 10.1 дает ,вероятно,сть
ошибок порядка 10- 3
,
превышающую допустимое
значение 1в ,системах передачи данных. В · ,статье
делался также ~вывод, что система с ЧМ -при прие­
ме по ,схеме рис. 10.2 знач,ительно более помехо­
у,стойчива, чем ,с фазо•вой (ФМ) или фаза.разност­
ной (ФРМ) манипуляцией. Правда, в статье, на,с­
колько помни 11с я, не ,подчеркивалось, ч то получен­
ная 1помехоус'I'ойчи,вость выше поте,нциальной .
На етюм месте ре~юмендуем читателю отложить
книгу и попытатыся •с ообразить, ,где кроется ошиб­
ка в рассуж,дениях аопира·нтки Пивоваровой .
К этом ,вопросу мы еще вернем,ся, а пока займем­
ся .другим предложением, поз,воляющим, по сло­
вам его а,втора, ,существенно по,вьюить помехоус­
тойч·ивость ,радиотелеграфной связи.
10.3. Интервальная манипуляция
Доцент одного .вуза (назовем его Дьяюовский),
долгое время занимавшийся ,радиолокацией, обра­
тил внимание на то, что достаточно надежное оп­
ределение дальности до цели по ,времени прихода
радиоло,кационного ,имлулыса обеспечивается при
столь низких отношениях ,мощности сигнал/поме­
ха, при которых радиотелеграфный прием пра1кти­
чески невозможен . Размышляя об этом, он при­
шел ·к ~выводу, что :применяемые в настоящее :вре­
мя радиотелеграфные ·сиг,налы выбраны неудачно .
Основной их порок он видел •в .использовании дво- •
ич1rюго кода, придуманного, как он го:ворил, «ме ­
хаником Бода, ничего 1не .понимавшим 1в ,вопро,сах
передачи 'инфор:мации». Взамен двоичного кода
Дья•ковский предложил неравномерный интер.валь­
ный код, при rю'I'ором .информация о передаваемой
170


букве заJiожена в дJiитеJiьности интерваJiа между
двумя ,соседними импульса ,ми аналогично тому,
как 1В .ра,диолокаци,и дальность до цели ' определяет­
ся ,длиной интервала между пе,реданным и приня:
тым от;раженным им1Пулысо:м. Каждая буква (кро­
ме перной) пере.дается одш1м импульоа~м; интер,вал
отсчитывается от импульса предыдущей бук1Вы
(,рис. 10.3, где для примера показана последоrва­
тельность импуJiьсов при передаче cJioвa «едва») .
Е
л
А
dА
7I lV\ ➔t
Рис. 10.3 . Пояснение неравномерного интервального кода
С этим предJюжением тов . Дьяковский высту­
пал в течение мнотих лет па .различных научных
к,онференциях · и ·семинарах. Постеленно от сырой
идеи он подошеJI к построению не1юторой теории ,
в 1юторой ,сравнивались ,различные параметры су­
ществующих и предлагае:мото ,способов рад!иотеJiе­
графии. Эту теорию можно изложить сJiедующим
образом.
В суще-ствующих телеграфных системах каж­
дая бу,к1ва передается с помощью пяти или, в
стартстопном ~варианте, ~семи та·ктовых интер1валов.
ДлитеJiьность тактового интервала обознач,им Т.
Ширину ,спектра ·силнала F можно оценить в пер­
вом приближении величиной k/T, где k- коэффи­
циент, завися щий от формы -сигнала и чаще всего
принимающий в1начение между 1,5 и 5.
Пусть в системе, предложенной Дьяко,вс.ким,
испоJiьзуют,ся импулысы сигнала такой же дли-
171


тельности и формы и, следователь-но, с такой же
шириной 1спе,ктра. Интер•валы между буквами
кратны Т/2. По.скольку вре,мя, затрачи~:ваемое на
передачу .различных бу1кв, не,одина'Ково, оценим
·::реднюю длительность буквы. Если бы 32 буквьr
передавал.ись с ра1вной вероятностью, то средняя
длителыность ра1вняла,сь бы
Т6ер=Т+.I_(l+2+ ·· ·+32)= 8,75Т. (10.3)
•
2-32
Однако если при построении Кiод·а учесть неравно­
вероятность использования бу,кв в осмысленном
те~сте и ,назначить самые кор·откие интер,валы час­
то в,стречающимся буквам, а -самые длинные -
рещким буквам, то ,величина Тб.ср уменьши-гся при­
мерно , до 6Т, т. е. будет даже .меньше длительно­
сти буКiвы в современной стартеюпной системе.
Будем ,считать, что в канале присутст,вует ад­
дитивный белый гау,ссовс:кий шу,м •СО спектральной
плотностью No. Сигнал ,вместе -с шумом проходит
через ·сог ла,сованный ,с ,силналом фильтр (фильтр
Норса) 1). Решение о переданной бук•ве принимает­
ся ;путем измерения момента пересечения огибаю­
щей ,сигнала некоторого порогового уроВ'ня. В от­
сутствие помех этот момент точно соответ1ство,вал
бы моменту передачи импульсов, так что все ин-
1> 1:\ 11екоторы х своих выступлениях тов . Дьяковский ут­
верждал, что одним из преимуществ его системы является
возможность осуществить оптимальную (соrJLасованную)
фильтрацию, которая якобы невозможна в системах с двоич­
ным кодом, поскольку длительность отклика фильтра на
сигнал равна 2Т, а два импульса сигнала могут присутство­
вать рядом. Читателю, надеемся, ясно, что это утверж,дение
пе имеет под собой никакой почвы. Согласованный фильтр
вовсе не противопоказан и при двоичном коде, поско,л,ьку 1,
моменту отсчета отклика фильтра на второй импульс его
реакцин на предыдущий полностью затухает,
172
j


!1
t
тервалы между импульсами измерялись бы без
искажений и 1решение о переданrной букве прини­
малось бы безошибочно . Помеха, однако, искажает
ход огибающей, и момент ее пересечения ,с порого ­
вым у,ровнем может на,ст упить несколь,ко раньше
или не-сколько позже, чем ,в . отсутс'!'вие помех
(рис. 10.4) .
--- --- --
/'
(
/ .... __ ,,,.-,,,..,,.,_1,,_,
t
Рис. 10.4 . Оrибающая принимаемого импульса ( 1 - по ­
роговый уровень):
-
-: - - без помех;
-
-
-·
с поы ехо1';'1
В i[23], где дан полный анализ этой задачи, по­
каза,но, что откло н ение Лt измеренrного момента
прихода импульса от истинно ,го является с хоро ­
шим шриближением гауссонс1юй случайной вели­
чиной ,с нулевым математическим ожиданием .' Его
дсиперсия а2 ,определяе'!'ся . для идеального прием­
ника 1> ф-лой (7.13) упомянутой работы, которая в
1J Идеальный приемник анализирует весь ход огибающей.
Для реального приемника, отмечающего момент пересечения
переднего фронта огибающей с пороговым уровнем, диспер­
сия увеличивается примерно в 1,8 раза, если порог.о.вый уро­
вень выбран оптимальным . Однако если в приемнике отмеча ­
ются пересечения обоих фронтов с пороговым уровнем и бе­
рется их средняя величина, то дисперсия оцен;ки практически
оказывается такой же, как и в идеальном приемнике.
173


наших обозначениях имеет 'ВИД I)
а2=
=6N0/(2лF) 2 Q 2 =6/(2лhF) 2 , где Q 2 -эне ргия им­
пульса; h2 =Q2/N0.
Ошибочное ,решение о принятой букве произой­
дет ,в том ,случае, кюгда IЛt I превзойдет половину
шага в шкале интервалыного кода, которую мы
приняли равной Т/4, т . е . вероятность ошибочного
решения
-Т/4
оо
P0w=P{Лt>T/4}= J ш(Лt)dЛt + J4w(Лt) dЛt =
-со
TJ
00
=
;а se-x•f(2a') dx = 1-Ф(:) =
.-V2 Т/4 .
= 1-Ф(;;;у~1-Ф(О,64kh),
(10.4)
гдеk=РТ.
Сравним эту ·верояпюсть ошибки ,с той, кото­
рая 1может быть получена при двоичном коде, на­
пример, при наиболее помехоустойчивой фазовой
манипуляции ,с когерентным ,приемом . При той же
пиковой мощности ,сшшала вероятность ошибочно­
го приема двоичного ,символа
р = 0,5[1-Ф(V2h)],
(10.5)
Легко •видеть, ·что при достаточно большом k
вероятность ошибки, определяемая по ф-ле ( 10.4),
меньше, чем по ф-ле ( 10.5) . На·п,ример, !f!РИ h = 2 и
k = 4 ф-ла (10.4) дает Рош~ 10-1
,
тогда как по
ф-ле (10.5) - р~2,5 • 10-3
.
1 > В работе Коте~1ьш1кова [23] фигурирует дисперсия б2
оценки безразмерноr.о параметра л, равного в данном случае
Лt/О,25Т, а через cr 2 обозначена величина N0.
174


1
Та1ким образом, уже на этом этапе рассужде­
ний 1виден заметный выигрыш, даваемый предло­
жением Дьюювсколо по .сравнению ,с двоичной фа-
зовой манипуляцией.
•
Одна,ко сравнивать величины Рош 'ИЗ (12.4) и р
из (12.5) не ,впол,не .корректно. Первая из этих ве­
личин дает 1Вероятность ошибочного приема бу1шы
(из алфа,вита в 32 буквы), а 1вторая - двоичного
символа. Буква при передаче двоичным безызбы­
точным кодом ,будет принята ошибочно, е,сли хотя
бы один из 'Пяти входящих в ее 11юдовую ,комбина­
цию ,си,Мволов о:кажет,ся неверным. Вероятность
этого для рассмат,риваемой модели канала, в ко­
торой ошибки .происходят независимо друг от
друга,
Р0щ=l-(1-р)5 =1--1 [l+Ф(V2!i)]5 , (10.6)
32
что дает при h=2 для ,системы двоичной ФМ
Рош,;::;;:; 0,0125.
Итак, при одина ,ковой пюювой мощности сиг­
нала предложенная система по зволяет уменьшить
вероя11но,сть ошибок примерно в 100 тысяч раз по
сраш;:ению с д,воичной системой ФМ. Для того что ­
бы получить ,вероятность ошибочного приема бук­
вы в двоичной ,системе ФМ порядка 10-7, потребо­
валось бы значение h около 4, т. е. пиковую мощ­
ноеть ,сигнала нужно было бы увеличить в 4 раза.
Для иллюстрации на ,рис. 10 .5 показа·ны зависи­
мости Рош от h, вычисленные по ф-лам (10.6) и
(10.4) при /г=4.
Но и это еще не все. Донолыно часто приходит­
ся ,сра,внивать ,системы связи ,не по пиковой, а по
средней ,мощности. При этом выигрыш системы
Дья1ювс1юго ,возра,стает еще приме,рно в 6 раз, так
как ,в системе ФМ , пауз 11ет, а .в предложенной си -
175


стеме n ,среднем один импулыс длительнос1и Т при­
ходится на интер,вал времени 6Т .
Наконец, из (10.4) вадно, что , увеличивая ко­
эффициент k, т. е. расширяя спект,р сигнqла и при­
ближая форму его огибающей к лрямоуголыной,
1i'1 --l\-+\--t- - -1
1i/1-+ + - -+- - ->+---+ - -t
1i/1---t--•н---~--1
10'1 -_ L_- \t--f-·f --r -----l
1071----.-'--+--1--Н------1
1!/1--t--+--t - -- 'l- - -t
О1
Рис. 10.5 . Вероятности
ошибочного приема бук­
вы для системы Дьяков­
ского [по ф-ле (10.4)] и
для ФМ
о
т
zt
Рис. 10.6 . Изменения
мгновенной частоты ЛЧМ
сигнала и гетеродина:
-
-
-
частота сигнала пос~
ле линии задерж1<и
можно еще уменьшать вероятность ошибочного
приема, т. е. увеличивать энергетический выигрыш
системы Дья1ковского 1) .
После всего сказанного приходится удивляться,
почему )]!О ,сих пор •система Дья,ковюкого не реали ­
зована, ав11ор ее не стал Нобеле,воким лауреатом,
а ,все его ,выступления перед к·валифицированной
IJ В ф-ле ( 10.5) коэффициент k не фигурирует. Известно,
что вероятность ошибки в д,юичной системе с противополож­
ными сигналами пр.и оптимальном приеме в канале с гауссов­
ским аддитивным белым шумом не зависит от формы или
спектра сигнала и определяется только отношением э н ергии
сигнала к спектральной плотности шума ,
176


аудиторией встречались, весьма иронически, Отве1'
на этот вопрос мы пока отло,жим и перейдем к рас­
смотрению еще одного ,предложения, поз,воляюще­
го превысить потенциальную помехоустойчивость
при передаче диск,рет1ных ~сообщений.
10.4. <<Сверхоптимальный,> прием
В отличие от многих других изобретателей «вечно ­
го двигателя» в связи, тов. Маляров весьма эруди ­
рован, хорошо знает теорию потенциальной поме­
хоустойчивости и ,владеет математическим аппара ­
том. К тому же он безусловно талантливый инже­
нер и очень приятный -собеседник. Его предложе­
ние ,состоит в использовании ,сигналов с линейной
часто1шой модуля,цией (ЛЧМ) при специальном
«многоканальном» способе обработки принятого
сигнала .
Сигнал ЛЧМ можно записать в ,следу19щем
виде:
s(t)=U0cos(ro0t+:rtyt2+ср2), О<.t<. Т,
(10.7)
где v=Лf/T, Лf- ширина полСJсы, в которой изме ­
няется мгновенная ча,стота ·
d
.
ro(t)=
-
(u>0t+:rtyt2+ер)= w0+2:rtyt.
dt
(10.8)
Из (10.8) видно, что мгновенная ча,стота изменя­
ется по линейному закону (рис . 10.6). Выберем
значение v настолько большим, что Лf =vT"5P 1/Т.
Двоичную .манипуляцию такого сигнала можно
осущест,вить, например, изменяя исходную часто­
ту w0, или направление изменения ча,стоты (знак
v), или начальную фазу ер и т . п . Для упрощения
примем, что используется амплитудная ма1нипуля­
ция (АМ), т. е. ,сигнал s(t) либо присутствует, ли-
177


ба о'i1сУ'11сtвует , 1· а,;( чт о задача ,сво.дится к обнар у ­
жению сигнала s(t) на фоне тауссовско го шума .
Один из возможных методов приема за·ключа­
ется 1в пспользовании ЛЧМ гетеродина, генери,ру­
ющего папрчкеiпrе
иг(t)=Игсоs(w,, t+луt2 +'Ф) ,
(10 .9)
мгновен,ная частота которого изменяется по тому
же закону , п о с о ,с,двиго,м ·на величину Лw 0 =
=w0-wг, как показ ано на рис, 10,6, причем ч ас­
тобы выбраны так, что Л,w0 <<wг<wo.
Перемножив принятый ·сигнал на на·пряжение
гетеродина (рис . 10,7), 1Получим в точке а
s (t) иг (t) = +И0Иг{cos [Лw0 t + <:p-'tj,] + cos [((1)0 +
+ (J)г)t+ 2луt2+ <:р+ф]}.
Опе,ктр 1Перного члена в фигурных скобках со ­
стоит из одной составляющей ,на час-юте Лw 0 , а
оановная часть опектра ,второго члена распределе­
на в полосе частот (w0 +roг) + (,wо+@г + 4лЛf) (см.
гл. 7), Таким образом, в точке а сигнал представ­
ляет собой отрезок гармонического колебания на
частоте Лwо, другими словами, обычный сигнал с
АМ плюс далеко отстоящий по спектру второй
член,
Фильтр ·согласован ,с полученным гар'Маничес­
ким сигналом на частоте Лw0 , и его э квИJвалентная
полоса ,пропуска·ния равна 1/Т . Если ·на вхо,де при­
емника присутст,вует аддити•в,ный гау,с·совский бе­
лый шум ,со спектральн ой плотностью N0, то и в
точке а шум б удет та уссовским, так ,как операция
умножени;:I на напряжение гетеродина являет•ся
линейнюй , Отно ш ение .мощности ,сигнала к мощно ­
сти шума в точ,ке Ь ра,в н о отн·ошЕ'lнию энергии
178


сигнала Es к спеК'гральной плотности шума No на
входе :приемника 1>, которое обоз,начим h2• Таким
образом, по величине напряжения на выходе филь­
тра в момент о'Гсчета можно ,судить о том, присут­
ствует или от,сутст·вует ·сигнал. Вероятность ошиб­
ки при этом определяется отноше,нием ,сигнал /шум
h2.
,r
Рис. 10.7 . Схема приема
ЛЧМ силнала:
1 - ЛЧМ гетеродин; 2 - пе­
ремножитель; ф - согласо­
ванный фильтр
s(t)
Рис. 10.8 . Прием задержанно­
го ЛЧМ сигнала:
1 - ЛЧМ гетеродин; 2 - пер емно­
житель; 3 - линия задержки; Ф
-
согласованный фильтр
Рассмотрим теперь, что произойдет, если сиг­
нал пере,п. п одачей на перемножитель задержать
на время z~ 1/Лf (откуда следует z~T). Тогда в
точ,ке а рис. 10.8 ,получим ,напряжение
s(t-"z)ur(z) = И0Иг{соs [ro0 (t-z) + лy(t-z)2 +
1
•
+(!)]COS[rог(+луt2+'Ф]}= 2 И0ИгCOS[(ro0- Фг)t-
-
2лyzt--ro0 z + луz2 + ср-'Ф] + Х (t),
(10.10)
1> В этом месте в рассуждениях Малярова имеется не-
точность, так как после перемножения в полосе пропускания
фильтра Ф будет присутствовать не только та часть шума,
которая возникла от полосы входного шума, лежащей вокруг
частоты Wo, но и «зерu{альная» полоса, лежащая восr{руг ча­
стоты 2wг-Wo, так что в действительности отношение сиг­
нал/шум в точке Ь будет равно h2/2. Однако это обстоятель­
ство н~существенно для последующего, к тому же, в принци­
пе, з еркальную п_омеху можно подавить - фильтр ом на входе
приемника.
179


где через X(t) обоз1начена составляющая «суммар­
ной частоты» со 1спектром, ра,сположенным вблизи
ча,стоты (!)о+ (!)г, киорая не пройдет через фильтр
Ф1 и поэтому не предста,вляет интереса. Полезный
член предста,вляет собой .отрезок гармонического
колеба,ния на ча,стоте Л(1)1=(1)0-(!)г-2:п:vz=Л(!)о­
-2лvz. Именно на эту ча1стоту настроен фильтр
Ф1. Длитель·ность этого отрезка ра,вна Т- z, так
что отношение мощностей •сигнал/шум на выходе
фильтра будет равно h21,=Ec(1-z/T)/N0. При
z<<T h 1 почти не отличается от h, так что вероят­
ность ошибки ,в схеме рис. 10.8 практически такая
же, ка.к и в -схеме ,рис. 10.7 1).
Объединим теперь обе схемы (,рис. 10.9) . Здесь
сигнал по·ступает на два перемножителя, причем
на один из них через линию задержки . На выхо­
дах фильтров Ф 0 и Ф 1 получим два сигнала, оди­
наковых, если не считать сдвига по ча,стоте на
yz~ 1/Т. Шумы на выходе этих фильтров лежат в
н·епере-секающих1ся полосах частот. Поэтому они
некоррелированны. По ,существу, здесь получились
две ·ветви раЗ1несенного приема с кор1релированны­
ми сигналами и некоррелированными шумами.
Осуществив некогерентное сложение этих сигна­
лов, получим на выход,е сумматора отношение сиг­
нал/шум, практически рав:ное 2Ec/Nd=2h2 . Соот­
ветственно вероятность ошибки при обнаружении
сигнала уменьшится.
,
Дальнейшее обобщение очевидно. Используем
линию задержки с k отводами через интервалы
вреиени z. Бели при этом kz« Т, то можно полу­
чить k ветвей разнесенного приема с примерно
1J Очевидно, такие же соотношения будут иметь место,
если задержать на z не сигнал, а напряжение ЛЧМ гетеро­
дина.
180


одинаковым отношением ,сигнал/шум h2 и с некор­
релированными шумами (рис. 10.10). После сло­
жения результатов детектирования получим отно ­
шение ,сигнал/шум около kh2 . При достаточно боль­
шом значении v=Лf/T можно обеспечить сколь
Рис. 10.9. Двухканаль­
ный прием ЛЧМ сигна­
ла:
1 - ЛЧМ гетеродин; 2
-
пе­
ремножитель; 3 - линия за·
держки; 4 - детектор; Ф
-
согласованные фильтры
Рис . 10.10 . Многока -
нальный
(«сверх•опти-
мальный») прием ЛЧМ
сигнала
(обозначен,ия
те же, что и на ,рис. 10.9)
угодно большое k и, следовательно, сколь угодно
большую помехоустойчивость приема по схеме
рис. 10.10, которую тов. Маляров назвал схемой
сверхоптимального приема.
На различных обсуждениях предложения Ма ­
лярова чаще всего можно было услышать, что шу­
мы в сформированных ветвях разнесения не будут
некоррелированными. На первых порах тов. Маля­
ров просто ссылался на общеизвестный факт, что
процессы, выделен:ные 'ИЗ белого шума фильтрами
!81


с непересекающимися полосами, некор,релирован­
ны. Когда же его внимание обратили на то, что
в рас•сматриваемой сх ем е шум не просто разделя­
е'!'ся фильтрами, а проходит ,сначала через пере­
множители и при етом ·станови11ся нестационарным,
он ,представил ·расчет фующии взаимной · корреля ­
ции шумов. Пр.иведем этот расчет, огра:ничившись
для простоты ,слу,чаем двух ветвей (см. рис . 10.9).
Пусть шум n(t) на входе являет,ся белым и
имеет спектральную плотность N0 . По-еле перемно­
жителей получим напряжение п(t)иг(t) и
n(t-z)иг(t) . Обозначив импулысные характеристи­
ки фильтров Фа и Ф1 ,соответственно go(t) и g1 (t),
получим напряжения шумов на выходах фильтров:
· ~,(t)-{g,(x)n(t-x)и;(t-x)dx, ]
'l'J1U)= Jg1 (y)n(t-z-y)uг(t-y)dy. 1
о
1
(10.11)
Взаимная корреляционная функция этих про­
цессо1в в совпадающие моменты времени равна по
определению
тт
01 (О, t) = <'1']0(t)1')1(t)> = .\Jg0(х)g1(y)<n(t-x)Х
оо
(10.12)
Здесь угловые с1юбки означают математичес­
к ое ожидание.
Эта функция зависит не только от сдвига z, но
и от t, так как процесс после перемножения не­
стационар,ный . Найдем среднее значение по вре­
мени
182


1' tt
R01(О, t)=+
.fdtJSg·0(х)g1(у)Иг(t- х)и"(t -
о
оо
-у) <n(t-x) п (t-z-y)> dxdy .
(10.13)
Так как шум на в х оде белый и стацио1шр:ный,
то
<n (t-x) n(t-z- -y)>=0,5N0 б (х- y-z). (10.14)
Подставляя (10 .14) и (10.9) в (10.13) и инте­
грируя по t, получим 1)
Noттт
Ro1(0, t)=Ro1(0)=т ssSgo(x)g1(Y)б(x-z-
2ооо
-
у)и~cos[ffiг(t- х)+лу(t-х)2+'Ф]cos[ffip(t--у)+
Nu2тт.
+Л')'(t-у)2+ЧJ]dxdydt= ~sssrnny(х- у)ТХ
4
ny(x-y)T
оо
Хg0(х)g1(у)б(х - z - у)cos[wг(х-у)-лу(х2-у2)+
+2лу(х- у)Т]dxdy;
далее, используя фильтрующее свойство о-фу1-11щии ,
пр·оизведем интегрирование по у
т
01 (О)= -- -~-
g0 (х) g1 (х- z) cos [ffiг z--
R
N0Иг sinnyzTs
4
nyzT
о
-
2:rty zx - п-v z2 + 2:n:y zT] dx.
( 10.15)
1> При этом учтено, что инт еграл от быст,ро осциллирую­
щей функции с множителем cos {uг (2t-x -y) практически
равен ну,rю .
183


Для согла,сованных фильтров
go(t) = {cosЛro0 t, О< t-<. Т, 1
О,
t<_O; t>T;
g1 (t) = {со3Лrо1 t, О< t-< Т,
О,
t<O; t>T.
(10.16)
Подставляя эти значения в (10.15), получим
NоИ~ sin пу zT sт
R01(О) = -- ---'---
cosЛrо0хcosЛrо1(х- z) Х
4
nyzT
о
Х cos (2:n:11zx + 'Ф1)dх,
(10.17)
где через 'Ф1 обоз,начена не зависящая от х вели-
чина:
'Ф1=rогz- n'\'z2+2:n:'\'zT.
Произвед~ интегрирова ;ние и учитымя, что
Лrоо-Лrо1 = 2:n:yz, а (Л,ffio+Лro1) Т»2л, имеем
NоИ~Т sinпуzT
R01 (0) = --- -~-cos(Лro1 z-'\j)1 ). (10.18)
8
nyzT
Пусть теперь отводы в линии задержки сдела­
ны через интервалы времени 1/Лf. Тогда :для лю­
бой :пары отводосr3 z=,r/Лf, riдe r - целое число (не
равное нулю). Так ка,к у= ,Лf/Т, то yzT= 1r, откуда
(10.19)
Итак, помехи на выходе фильтров действитель ­
но некоррелированны. Что же касается огибающих
помех, то, используя известное выражение для ко­
эффициента корреля'ЦИИ р* ('t) огибающей через
коэффициент корреляции процесса р (т)
р*(т) = О,92р2 (т) + О(р4 (т)),
(10.20)
184


'1
!r
l
и замечая, что р(О) =0, ,соглас,1-ю (10.17) получим
р*=О.
Таким образом, •сформированные «ветви разне­
сения» 1имеют •некор,релированные помехи и, уве­
личивая их число, можно сколь угодно повышать
помехоустойчивость «сверхоптимального» приема .
10.5 . Давайте разберемся
Надеюсь, читатель отчетливо понимает, что во
всех трех описанных выше ра ,ссуждениях содер­
жатся ошибки . Это не подлежит сомнению, по- ·
скольку совершенно строго установлено, что при
белом гаус,совском шуме существует предельная
вероятно,сть ошибки, ·которую при заданном множе­
стве , сигналов нельзя уменьшить никакими ~схем­
ными ухищрениями ,И она 1во ~всех трех случаях
выше Т·ОЙ, которую берутся обе,спечить «и·зоб­
ретатели». Тем не мен€е, было бы неправильным
огран,ичить их ,критику классической формулой:
«Этого не может быть, потому что этого не может
быть никогда», которой в ·сущности довольно час­
то пользуются многие выступающие при обсужде­
ниях подобных предложений. Необходимо в ,каж ­
дом конкретном случае указать, в чем именно зак­
лючае'!'ся ошибка.
Возмож,но, что читатель уже эти ошибки на­
шел, в таком ,случае он может этот раздел пропус ­
тить.
Итак, начнем с идеи Пивоваровой . Ее ошибка
заключает,ся в том, что она ра,с сматривает сред­
нюю мощность шума на выходе частотного детек­
тора, не обращая ~внимания на ее распред,еление .
Как известно, шум на выходе частотного детекто­
ра состоит из двух ·составляющих - нормальной и
аномальной . Имен·но нормальная составляющая,
185


имеющая в первом приближении гауссовс,:кое рас­
пределен·ие, «подавляется» сигналом, в результа­
те чего при большом индексе модуляции происхо­
дит выигрыш в отношении ,сигнал/шум . Это подав­
ление вызвано тем , что мгновенная частота сум­
мы ,сигнала и помехи мало отличается от мгновен­
ной ча,стоты сигнала, если огибающая сигнал а
больше огибающей помехи . В этuх условиях суще­
ствует только нормальная ,составляющая шума на
выходе детектора . Поэтому, увеличшзая девиацию ,
можно уменьшить •среднюю :квадратичную погреш­
ность воспроизведения аналогового (например , те­
лефон:ного) сигнала, т. е. повысить помехоустой­
чивость .
Вторая юrомальная составляющая имеет им­
пульсный ха·рактер, им.пульсы возникают в . те мо ­
менты, :когда огибающая помехи на входе превос­
ходит огибающую сигнала . В этом случае мг,но­
венная частота суммы сигнала и помехи мало от­
личается от .мгновенной частоты помехи. Это пояс­
няет рис . 6.1, где показано, что при з·начительной
разн·ице амплитуд двух ·сину1соид (кривая а) мп10-
венная частота близка к ча,стоте составляющей с
большей амплитудой .
При приеме телефоного сигнала с ЧМ а,номаль­
ные импульсы ощущаются как небольшие щелчки .
Если отношение сигнал/помеха на входе детекто­
ра превышает некоторый пороговый уровень (за­
висящий от требуемого качества приема), то эти­
ми щелчками можно пренебречь, так как они воз­
никают крайне редко. Ниже порогового уровня
щелчки происходят часто и мощность аномальной
соста·вляющей помехи ·может з·начительно превзой­
ти мощность нормаJ1ьной составляющей .
Ра,с,смотрим теперь прием дискретных ЧМ сиг­
налов и пр едположим , что длн сравн ения один и
186
1
J1
1
1',
j1


r тот же принятый сигнал подан на две решающие
схемы - с разделительными фиJ1ьтрами (рис . 10 .1)
и ,с ча,стотным детектором - ЧД (рис . 10.2).
Пусть в течение .некоторого тактового интервала Т
огибающая сигнала на входе решающих схем пре­
вышает огибающую помехи. В этом случае ано­
малыrые импульсы не возникают и на выходе ЧД
будет только :нормаль:ный шум, причем отношение
сигнал/шум на ,выходе детектора может быть в де­
сятки и даже сотни раз (щти большой девиации)
больше, чем на входе. Конечно, в этих условиях
схема ЧД обеспечивает ,безошибочный прием . Но
при этом и в схеме с разделительными фильтрами
ошибка невозможна, так как да,же если вся поме­
ха попадет в фильтр, в котором нет сигнала, то
все же напряжение, созданное на фильтре с сиг­
налом, будет больше напряжения на фильтре с по­
мехой.
Ошибка в .схеме с разделительными фильтра ­
ми может произойти с не,которой вероятностью
(меньшей 0,5) только в тех тактовых интервалах,
ко·гда вследствие выброса шума •его огибающа51
превзойдет огибающую силнала. Очевидно, что в
этом такто·вом интервале на выходе ЧД возникнет
аномальная помеха, так как мгновенная ча· стота
будет ·определяться шумом. При этом знак .напря­
жения на выходе ЧД с почти · равной вероятноётью
может быть положительным или отрицательным ,
так что в половине таких случаев произойдет
ошибка.
Таким образом, «выигрыш» в от,ношении сиг­
нал/шум в ЧД имеет место только на тех такто­
вых интервалах, когда ошибка не может произой­
ти и в схеме с разделител ьными фильтрами. В тех
же случаях, когда ошибка может произойти, ЧД
дает не «выигрыш» , а «проигрыш» и вер'оятность
187


ошибки в схеме рис . 10 .2 будеt :не меньше, а, вооб­
ще говоря, больше, чем в ,схеме рис. 10.1, или ;з
лучшем случае такая же. Увеличение инде.кса мо­
дуляции k не влияет на вероятность ошибок в схе­
ме с разделительными фильтрами, а в схеме с ЧД
не уменьшает, а увеличивает вероя'Dность ошибок,
так как в более широкой rюлосе частот больше
мощность шума II чаще возникают аномалыные им­
пульсы .
Итак, только при .передаче аналогового сооб­
щения можно повысить помехоустойчивость (точ-
1-юсть воспро'изведеН'ия ,сообщения), увеличивая
девиацию. В дискретных же системах, когда поме­
хоустойчивость характеризуется вероятностью
ошибки, такого эффекта не возникает.
Очень похожая ошибка вкралась и в рассуж­
дения Дьяковокого . Он учитывал только искаже­
ния, воз1t1Икающие rн:а выходе 1Приемника сипналов
с интервальной импулысной модуляцией и вызы­
ваемые сдвигом фронтов им.пуль-сов при ,сложении
сигнала и шума. Но, помимо этого, ошибки могут
возникать и в те моменты времени, когда импуль,с
сиг-нала отсутствует, если выброс шума достигнет
та~юй величины, что его огибающая пересечет по­
рог сра,батыва,ния, ка .к показано на рис. 10.11.
188
,. --,
___
_j_
_
_.\._
__
_
/
1
/1
/
'
/
\
/
\
I
_,,,,,/
, ___ ,,,,.
Рис. 10.11. Возникновение аномал,ьных
-ошибок при интервальной манипуляции
( 1 - пороговый уровень)
i
J
1'1
i
j
'1
1
f11
'


Кроме этого, могут возникать еще допол·нительные
ошибки в случаях, когда шум оказывается rв про ­
тивофазе с ,с~rгналом и огибающая импуль,са умень­
шает,ся на,сто!!ько, что не пересекает порога сра-­
батыван·ия. Однако вероятность пропуска импуль­
са обычно значителЬ'но меньше вероятности лож­
нато срабатысвания и поэтому будем учитывать
только последнюю.
Заметим, ч·ю при лож,rюм С'J)абатывании в си­
стеме Дьяковского не просто искажае11ся переда­
ваемая буква, но и возникают две ложные бу1rвы
вместо одной переданной.
Оценим вероятность ложного срабатывания. Для
гауссоВ'с:кюго шума с дисперсией а2 одномерное ра,с­
пределение огибающей Х (t) являе'l\ся рэлеевским
w (Х) = (Х/а2) ехр:(Х2/2а 2).
При амплитуде импульса ,сигнала Ис порог сраба­
тывания обычно устанавливается на уровне около
И с/2. Вероятность того, что огибающая шума в не­
КО''I°'О'J)ЫЙ момент времени окажется выше этого по­
рога, т . е. вероятность лож!Ного срабатывания,
р<1вна
00
00
Р
Jw (Х) dX~=
f (Х/а2) е- (Х'/2о') dX =
л.с
Uc/2
Ис/2
-U~/ва• -h '/4
=е
=е
(10.21)
где последнее равенство написано в предположе­
нии, что мощность сигнала ранна И2 с/2, а отноше­
ние мощностей сигнал/помеха после согласован­
ного фильтра равно h2.
Белый шум, прошедший через оогласова·нный
фильтр, имеет интервал корреляции, равный Т. По­
этому, учитывая, что для гауссовских процессов
189


некоррелированность означаеt независимость , зна­
чения огибающей, взятые через интервалы, крат­
ные Т, неза·висимы. Следовательно, 11олагая, что
между двумя импульсами ,сигнала инте рвал равен
аТ, вероятно·сть появления хотя бы одного ложно­
го срабатывания
Рл.с (аТ):;,,, 1-(1- e-h'l4)laJ ,
(10 .22)
где ,[а]- целая ч1:1.сть а .
Здесь з·на·к неравешства определяется двумя со ­
ображениями. Во-первых, величина а может быть
д'робной и тогда {а]<а, во-вторых, если во всех
выбранных '!'очках отсчета огибающая шума не
превышает порога срабатывания, то все -же она
может пересечь· этот ,порог где-то между точками
отсчета. Отсюда вероятность «аномальной» ошиб­
ки при неко'Горой средней длительности интервала
Ран:;,,, 1- (1- e-h'/4)а,
(10.23)
где а-,среднее значение а, приблизительно рав­
ное в нашем примере 6. Для ·рассмотренного при­
мера h=2 получим Ран>О,96. Даже при h2 = 16 из
этой формулы Ран>О,11. В этих же условиях для
двоичной системы ФМ ,при когерентном приеме из
(10.6) имеем Рош~2- 10-1
.
Комментарии излишни.
Бели ,сравнение двух систем производить не по
пшювой, а по сред•ней мощности, то для двоичной
системы h2 = ,16/5=3,2 и тогда по ф-ле (10.6)
Рош~О,03, т. е. все же меньше, чем в си·стеме Дья­
ковского.
Конечно, повышение основания кода при про­
чих равных у,сло1виях . позволяет ,повысить верность
приема. Это отмечалось уже в [23]. Но сигналы и
метод ·приема 1в системе Дья,ковского выбраны да­
леко не лучшим образом, поэтому по сравнению с
двоичной системой она ,не уме·ньшает, а увеличи-
190
j1!


вает вероятность ошибки. Так,ого рода сиг.налы ,с
большой ·скважностью целесообразно использо­
вать талыш в таких каналах, в которых в паузе
отс угствует шум. Действительно , в квантовых ка­
налах при отсутствии шумового фона и при очень
низкой интенсивно1сти ,сигнала их применение
целесообразно.
Переходя к «сверхоrптимальному ~приему» !Маля ­
рова; заметим прежде всего, что в его доказатель­
стве "Некоррелированности шумов на выходах
фильтров различных отводов содержится «избы­
точно1сть». Дело в том, что если подставить сразу
значение z· = 1r/Лf в (10.15), а не в (10.18), как бы­
.'IО •сделано в его вывоiде , и учесть, что ·интеграл
в (12.10) для любых импульсных реакций ga(t) и
g· 1( t) физически реализуемых фильтров конечен 1>,
то окажется, что R01,(O) = О. Это значит, что шумы
на выходах фильт,ров различных отводов в сред­
нем :некоррелирован"Ны, каковы бы ни были пере­
даточные функции этих фильтров. Это уже на·во­
дит ·на раз1мышления . Не зря еще в древности го-
. вари ли:
кто доказывает больше, чем нужно, тот
ничего не доказывает .
Продолжая размышлять в этом напра,влеrнии,
ра,ссмотрим два узкополосных стационарных гаус ­
совских процесса с н улевым математическим ожи­
да,нием :
s1= А(t)cos[ro0t -+-е(t)J,
}
s2 = А(t)cos[(ro0+v)t-+- е(t)J,
(10.24)
где А (t) п 0 (t) - низкочастотные стационарные
случайные проце1ссы, так что s, (t) отличается от
s2 (t) только сдВ'игом на частоту v.
1> Это СJiедует из конечности обJiасти интегри,р ования и
!{ОНеч1юст.и модуля ттодыи.нт ег ральной фун~щии.
191


Функция взаимной ,корреляции в совпадающие
моменты времени 1для si и s2 равна по определе ­
нию
Rl,2 (О, t) = <s1(t)S2(t)> = 0,5<А2(t)cos[(2roo +
+v)t+20(t)]>+0,5<А2(t)cosvt>.
(10 .25)
Эта функция зависит от времени t, хотя оба
процес,са ·стационарны . Дело в том, что они не.ста­
ционарно связаны . Если теперь усреднить эту
функцию по времен·и на бесконечном интервале,
то, как легко убедить·ся, R12 (О, t) = О. Тот же ре­
зультат получится и при у,среднении на конечном
интервале T=2nn/v, если ro 0 кратна v, или прибли ­
женно, если ro 0,>>v.
Можно ли, однако, из этого сделать вывод, что
и о·гибающие этих 1процеосов , х отя бы в среднем,
некоррелированны? Ни в коем случае. Функция
корреляции для огибающих в совпадающие момен­
ты •времени равна <A2(t) > = ·2-cr 2, где cr2 - диспер­
сия проц-ессов ~1 ' (t), s2 (t) , та,к что нормированная
фу.нкция (коэффициент) корреляции р* (О)= 1.
Что же ка·сается ф-лы ( 10.20) , то она верна толь­
ко для стационаР'но ,связанных гауооовских процес­
сов .
Легко понять, ч ·ю такой же результат получит­
ся и в том •случае, если процесс s2 (t) сдвинуть по
времени :на величину z, т . е . положить
1;2(t) = А(t- z) cos[(ro0 + v)(t-z)+ 0(t-z)],~(10.26)
с той лиш Б разницей, что теперь не р* (О), а
p*(z) •= ,l .
Заметим, что р* (О) очень мало отличается от
р* (z), так как ттнтервал корреляции огибающей
порядка Т, а по условию z«T.
192


Теперь все ,становится я,сным. Огибающие шу­
мов на выходах фильтров отводов в схеме рис.
10.10 жес11ко коррелированны. В этом проще все­
го можно убедиться, заменив схему рис. 10.9 со ­
вершенно эквивалентной по конечн-ому результату
схемой рис. 10.12 . Здесь ·напряжение гетеродина,
так же как и сигнал, задер­
живается на интервал вре­
мени z, так что на выходах
перемножителей присутству­
ют совершенно одинаковые
сиг н алы и шумы, но только
сдвинутые на время z. За­
тем с помощью дополнитель­
ного преобразователя часто­
ты сигнал и шум на выходе
второго
перемнож:ителя
сдвигаются по частоте на
3
величину v=2:n:yz. После Рис. 10.12. Схема, по­
прохождения через фильтры
Ф1 и Фо получатся в точно­
сти такие же напряжения,
как и в точках на рис. 10.9.
зволяющая получить та ­
кие же выходные сигна ­
лы, как и схема рис. 10.9
Но, с другой стороны, если шумы на выходе
фильтра Ф 0 на рис. 10.12 обозначить как s1 (t) в
(10.24), то на выходе Ф 1 они представятся ф-лой
( 10.26) и, .как было показано, их огибающие жест­
ко коррелированны. Поэтому, с1юлько 0Т1водов ли­
нии задержки ни делать, все равно получится лишь
много калий од:ног,о и того же сигнала с той же
реализацией помехи, толыю сдвинутых по частоте
и по времени. При сложении огибающих как сиг­
налы, так и помехи будут ,складываться когерент­
но и никакого улучшения отношения сигнал/поме­
ха не получится. Не спасает и то обстоятелыство,
что вследствие сдвига по времени коэффи ц иент
7 За1<. 657
193


корреляции огибающих в совпадающие моменты
времени не в точности равен единице и, следова­
тельно, цри сложении огибающих двух сигналов
з начение шума не ,в точности удваивается . Это с
избытком комл е нсируе'!'ся тем обстоятельством,
что и значение сигнала не удваивается, поскольку
~,юпользуемая энергия сигнала, сдв'инутого на вре­
мя z уменьшается на долю z/T.
Но может быть удастся воспользоваться тем,
что жестко коррелированны только огибающие шу­
ма, а сами шумы в С'реднем некоррелированны?
Что будет, если отказаться от некогерентною сло­
жения, т. е . от амплитудных детекторов, и каким­
либо образом осуществить когерентное сложе1ше?
Но и здесь ничего не получится. Непосредственно
складывать сигналы, отличающиеся едвигом по
частоте, бес,смысленно, так как их разн1ость фаз
будет ноорерывно изменяться и когерентного сло­
жения не получится. Если же осуществить допол­
нительное преобразование частоты и авести все
сигналы к одинаковой частоте и фазе, то и поме­
хи во всех отводах окажутся совершенно одинако­
выми и когерентное сложение не даст ·выигрыша.
Итак, природу обмануть не удается. Минималь­
ная ,достижимая вероятность ошибки при двоичной
системе в канале ,с адд'итивным белым гауссовским
шумом однозначно определяется отношением э;нер­
гии ,сигнала к сшектральной плотности шума, и
уменьшить ее нельзя.
Это же верно и для любой т-ичной системы,
если т>2-фиксированное число . Лишь в том
случае, когда т ничем ·не ограничено, можно в со­
ответствии с теорией Шеннона обеспечить сколь­
ко угодно малую вероятность ошибочного приема
сообщения, если, конечно , скорость передачи мень­
ше nропу~скной ·способ1юсти канала .


11
ПАРАДОКС ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИИ
11.1. Порог помехоустойчивости
Начнем с хор,ошо известных фактов. При переда­
че непрерывных сообщений нелинейные методы мо­
дуляции позволяют получить «выигрыш» в отно­
шении сигнал/шум. Это ,з,начит, что отношение
мощности полезного сообщения на выходе демоду­
лятора к спектральной плотности выходного шума
(которым является погрешность оценки передан­
ного сообщения) может быть больше отношения
мощности сигнала к спектраль,ной плотности поме­
хи на входе приемника (или на выходе ка:нала).
Для простоты будем говорить только о канале с
аддитивным гауссовским белым шумом [15]. Так,
при ЧМ этот выигрыш равен g ~м=3m2/П 2, где
т- индекс ЧМ, П
-
пикфактор переда1Ваемого
сообщения, или, учитывая, что при больших индек­
сах модуляции ширина спектра сигнала в канале
Fи приблизительно равна 2mFc, где Fc - ширина
спектра сообщения,
g~м~(3/4П2)(Fк/Fс)2,
(11.1)
При временной импульсной модуляции (ВИМ)
7*
195


и- оптима:л1;i-1ом выборе формьi импульса
g~им ~ (0,6/П2) (F"/ Fc)2·
(11.2)
Ряд други х примеров м ожно найт и в любом
учеб-нике, например в {1 9]. Из ни х вид но, что для
увеличения выигрыша -нужно расширять спектр
сигнала .
Хорошо известно таюке, что обязательным ус­
ЛО'вием пол у ч е,ния этого выигрыша являет ся д ост а­
точно высокая мощность сигнала Ре на входе при­
емника . Существует пороговое значение мощности
Рпор, такое, что при Рс>Рпо р можно пользо·ваться
ф - лами (11.1), ( 11 .2) и аналогичными им. При
уменьшении Р с ниже порогового выигрыш умень­
шае11ся и может даже стать меньше единицы. Так ,
при ЧМ получение выигрыша (11 .1) опре д еляется
условием, что огибающая шума на входе ЧД не
должна превышать огибающую сиг.нала . Конечно,
е,сли шум гаус-совский, то его огибающая может
достигать, в принципе , любых значений. Однако
если вероятность того, ч то огибающая ш у ма пре­
высит амплитуду ЧМ ,сигнала А, м е н ь ше, скаж е м,
0,001, то ,с достаточным приближением можно
пользовать,ся ф-лой ( 11.1).
Плотность распределения вероятностей огиба­
ющей В гауссовского шума с мощностью (диспер­
с-ией) Рш, как известно, равна
(11 .3)
и, следовательно, вероятность того , что В>А,
со
р{В>А} = Sw(B)'dB = ехр(-А2/2Рш) =
А
= ехр(-Рс/Рш),
где Рс=А 2/2 - мощностr, с игн а л а.
196
1
,j


г
Положив эту вероятность ра вн ой 0,001, полу ­
чим пороговое значение мощности силнала из
уравнения ехр(-Рпор/Рш) =0,001 :
Рпор~6,9Рш.
(11.4)
Бели линейную ча,сть приемника до входа час­
тотного детектора (ЧД) можн,о считать полосовым
фильтром с полосой пропускания, равной ширин е
с,пектра ,сигнала I) Fн, то Рш=N0Fн и
Рпор ~ 6,9N0Fк.
(11.5)
Таким образом, пороговая мощность ЧМ сиг­
нала пропорциональна ширине его спе,ктра. Если
для увеличения выигрыша повышают индекс мо­
дуляции, что ведет к ра,сширению спектра сиг.ва­
ла, то рано или поздJно мощность сигнала окажет­
ся ,ниже пороговой и для дальнейшего улучше­
ния верности пр'Иема придется ее увеличивать.
Иначе обстоит дело при некоторых им,пульоных
методах модуляции, в ча,стности при ВИМ. Мо­
мент прихода импульса регистрируется при пере­
сечении его огибающей уровня орабатывания, ко­
торый обычно уста,на,вливается пример·но на поло­
вине пикового з:начения импульса. Выигрыш ( 11.2)
имеет место в том случае, когда . в паузах между
импуль:сами шум не достигает уровня срабатыва­
ния. При этом условии шум на выходе демодуля­
тора возrникает только в результате того, что ад­
дитивная помеха перемещает положение фр,онта
импульса («нормальный шум»). В противном слу­
чае возникает дополнителЬ'ный «а,номальный шум»,
!) Здесь рассматривается «классическая» схема приема
ЧМ сигналов . В современных помехоустойчивых системах ис­
пользуются следящие фильтры или следящие гетеродины, по­
зволяющие сократить полосу пропускэния и тем сам ым сни­
зить Рпор-
197


имеющий импульсный характер и воз:никающий в
результате того, что демодулятор воопринимает
выброс помехи ка,к имп уль,с сигнала.
Пусть при некоторой ширине спектра сигнала
и некотором уровне срабатывания помеха, про­
шед:шая через входной фильтр приемника, имеет
такую мощность Рш=NоFк, что аномальный шум
практически отсутствует. Предположим, что для
увеличения выигрыша ширина спектра сигнала Fк
увеличена в п раз. Как вид:но из (11.2), выигрыш
при этом должен воз,ра,сти в п2 раз . Мощность по­
мехи на входе демо,дулятора в результате расши­
рения полосы про,пускания воз'растет в п раз, а ее
выбросы - в п 1 12 раз. Может показаться, что те­
перь возникнет аномаль~ный шум, так как выбросы
помехи окажутся выше уровня срабатывания. Од­
нако не,обходимо учесть, что при расширении спек­
тра сигнала длительность ти импульса ·становится
короче также в п раз, возрастает скважность и
при сохранении средней мощности си-гнала можно
увеличить его пик-овые з1начения в п 1 12 раз. Всле,д­
ствие этого оптимальный уровень срабатывания
повысится также в п 1 i2 раз, т. е. пропорционально
выбросам помехи. Следовательно, вероятность то­
го, что величина шума превысит этот уровень, сох­
ранится прежней . Другими ,словами, если при ши­
рине спектра FR аномальный шум практически от­
сутствовал, то он не возникнет и при ширине спек-
~а п~.
~
Вот что написано об этом, например, в [19]:
«Независимость Рпар от поло-сы частот - сущест­
венное преимущество импульсной модуляции по
сравнению с ЧМ или ФМ. Выбирая, например, до­
статочно малое значение Ти (т. е . достаточно ши­
рокополосный 1слгнал), можно увеличить выигрыш
системы без повыиtения пороговой мощности :сигна-
198


ла» (курсив мой - Л . Ф.). Такой же вывод можно
найти 1в любом учебнике, где этот 1вопрос рж·смат­
ри.вается. То же •Самое многократно ·говорил, да и
-
продолжает 1говорить, автор в своих лекциях.
11.2 . Пропускная способность
Посмотрим теперь, какие из этого можно сделать
выводы. Предположим, что ВИМ ис пользуется для
передачи ,непрерывных сообщений в канале ·с ад­
дитивным белым гаус-совским шумом, причем н а
шир ину спектра сигнала не наложено никаких ог­
раничений, а мощность Ре сигнала на выходе ка­
нала превышает пор,оговое значение Рпар, которое,
как мы ВИlдели, не зависит от ширины спектра сиг­
нала.
Зададимся сколь угодно малой величиной е>О
и по11ребуем, чтобы ,средний квадрат ошибки оцен­
ки сиr~нала (мощность «шума на выходе приемни­
ка») не превышал е2 . При этом, как обычно, пико­
вое (или квазипиковое 1)) значение сообщения при­
нято за единицу. Легко видеть, что это требова•ние
будет выполнено, если g~им ~N0Fc/ (Рсе2 ) . Для
этого выберем столь малую длительность импуль­
са (или столь широкий спектр сигнала), чтобы в
соответствии с ( 11.2) выполнилось неравенство
(0,6/П2) (FнfFc)2 :;;,. N 0Fcf(P~ е2),
или
FкfFc:;;,. 1,3 (П/е) VNoFcfРе,
(11.6}
что , в ,принципе, всегда можшо сделать.
1> I<вазипш<овым значением случайного процесса x(t)
называется величина Хнп, такая, что вероятность неравенства
\x(t) 1>хни равна 0,001 или другой обусловленной величине .
199


При этом количество информации, передавае­
мое по каналу в единицу времени, равно эпсилон­
энтропии сообщения Н в при среднем квадрате
ошибки i:--2, которая с уме ньшением е становится
с!<'оль угодно ,большой IJ_ O-гсюда следует, что ка­
нал с аддитивным гауссонским шумом в 011сутст­
вие ограничений .н а используемую полосу частот,
е,сли мощность сигнала выше некоторой постоян­
ной, имеет бесконечную пропуокную способность!
Но ведь это противоречит известной формуле
для проrпу~кной способности такого канала
limC = limFкlog(I + Pc/N0Fк) = (Pc/N0)loge, (11.7)
Fк-"" Fк-оо
из которой видно, что при конечной мощности сиг­
нала пропускная способность при любой ширине
спектра остается конечной. Следовательно, в на­
ших ржсуждениях есть ошибки.
11.3. Небольшие уточнения
Действительно, при более тщательном проведении
рассуж·дений удается обна,ружить даже не одну, а
две небольшие ошибки . Собственно говоря, един­
ственный непреложный вывод из рассуждений о
пороге помехоустойчивости состоит в том, что ве­
роят.1-юсть воз1шк·новения аномального импульса
(т. е. пересечения огибающей помехи и уровня
сраrбатывания) не зависит от ширины спектра сиг­
нала. Оценим эту вероятность . Пусть А - макси­
малЬ'ное значение о·гибающей импульса. Тогда
1) Если, например, сообщение является гауссовск.им про-
цессом с равномерным в полосе Fс спе1пром, то Н 8 =
=Fc log (1/е2) =-2Fc log е.
200


А/2-уров е нь срабатывания , и согласно (11.3)
о:,
р(В>А/2) = .\ w(В) dB = ехр{-А2/(8Рш)}.
А/2
Мощность ,сигнала
Ре= k1 (А 2/2) (ти/Т),
(11.8)
(11. 9)
где lг1 - коэффициент, близкий к 1, определяемый
формой импульса и не зависящий от ширины его
спектра; ти- длительность импульса, отсчитывае­
мая, нап,ример, на уровне А/2; Т - средний период
следования импуль·сов сигнала [интервал Котель -
никова 1/ (2F с)].
•
Из (11.8) 'И (11.9) имеем
р(В>А/2) = ехр{-РсТ/(4k1тиРш)}.
Заменив Рш его значением N0Рн и учитывая,
что Fн=k2/ти, где k2 - также коэффициент, близ­
кий к 1, получим окончательно
р (В >AJ2) = exp{-(T/4k1k2) (Pc/N 0)}.
(11 . 10)
Итак, вероятность появления аномального им­
пульса определяется отношением энергии сигнала
за интервал Котельникова Т= 1/2Fc к спектраль­
ной плотности шума и не изменяется при сокраще­
нии длительности импульса и соответствующего
расширения его спектра.
Далее, одна'ко, было сдеJtапо два молчаливых
допущения, которые при бJtижайш ~ м рассмотре ­
нии оказываются ~неверными :
а) мощность аномального шума в системе
ВИМ, которой можно практически пренебречь (по­
роговая мощность), не зависит от отношения Fн/Fc;
б) мощность аномалЬ'ного шума зависит толь­
ко от вероят1юсти появления аномального им­
пулыса .
201


Ошибочность первоrо допущения сра~у стано­
вится очевидной, если ,сра·внить мощности аномаль­
ного и нормального шумов. Мощность нормаль•
ного шума Рн=е2 и согласно (11.6) может быть
сколь угодно уменьшена при увеличении отноше­
ния Fн/Fc. Если бы при этом мощность аномаль-­
ного шума Ран оставалась постоянной, то с расши­
рением спектра сигнала мы рано или поздно пр·и­
шли бы к полож-ению, когда Рп<<Ран, и дальней­
шее расширение спек-гра уже не могло бы улуч­
шить верность приема сообщения. Поэтому пор__о•
говую мощность аномального шума нельзя уста­
навливать одинаковой для в,сех значений Рн, Бели,
например, при Рн= 10-4 и Ран= 10-5 можно ано­
мальным шумом полностью пренебречь, то при
Рн= 10-7 и ТО'М же значении Ран именно аномаль•
ный шум является определяющим.
· Раэ умно
принять за условное определение по­
рога помехоустойчивости такое отноше:ние сиг­
нал/шум, когда Ран=Рн, т. е. выигрыш оказывает­
ся вдное меньше расчетного.
Второе допущение также ошибочно. Для опре­
деления мощности аномалЬ'ного шума нед-остаточ­
но знать .вероятно·сть аномально-го -им:пуль,са (11.10).
Для того чтобы получить об этом хотя бы общее
представление, рассмотрим случай, когда модуля­
ции нет, т. е. сиnнал представляет собой равномер ­
ную последовательность импульсов, воз·никающих
в моменты времени пТ (п=О, 1, 2, ... ) с длитель­
ностью Ти~ Т. Широко пр·именяемый метод прие­
ма сигналов ВИМ заключается в том, что выбо­
рочное значение оценки х*(пТ) принятого сообще­
ния полагае11ся равным (fп-nT)/T; где fп - мо­
мент первого пере1сечения импулысом уров•ня сра­
батывания огибающей приходящего сигнала на
интервале (n-l/2)T<t<(n+ 1/2)Т. Именно для
202


такого метода приема вычислен выигрыш ( 11.2).
Легко видеть, что .в · отсутствие помех такой метод
позволяет точно :восстановить переданн-ое выбороч- ­
ное значение сообщения х(пТ). А1Номальный шум
воз:никает, если до ,прихода импульса сигнала, т. е.
на интервале (п-1/2)Т<t<пТ, огибающая ,помехи
пересечет уровень срабатывания.
При ши·рине спектра помехи F1, , полагая, что
спектр ее в этой полосе равномерен, в каждую се­
кунду существует 2Fн независимых 011счетов поме­
хи. В интервале ·времени от (п-0,5) Т до пТ суще­
ствует FнТ независимых отсчетов помехи. В пер­
вом приближении можно ·считать, что аномальный
импульс возникает в том случае, если хотя бы
один из этих отсчетов превысит ур,овень срабаты­
вания А/2. Вероятность этого равна 1-
-(1-р) Fкт ,;::::;рFиТ, где через р обозначена ве­
роятность р (В> А/2), определяемая ф-лой ( 11 .1О),
а приближенное равенство написано в предполо­
жении рFиТ << 1, что всегда выполняе11ся при до­
пустимом качестве приема. Заметим, что при этом
предположении можно совершенно не ,считаться с
возможностью появления более одного аномально­
го импульса на одном тактовом интервале.
Очевидно, что аномальный импульс может поя­
вить'ся с равной вероятностью в любой момент
времеrни t на интервале от (п-1/2) Т до пТ. При
этом возник·нет ошибка оценки сообщения Лх =
=x*-x=1(t-nT) /Т. Таким образом, условная
плот1юсть вероятности момента прихода аномаль ­
ного импульса
w(t) = 2/Т,
(n- l /2)T<t<nT .
Средний квадрат этой ошибки (при условии, что
она !Произошла)
203


пТ
<Лх2> = J (' т птyw(t)dt =
(11-1/2) Т
пт
s
2(t-пТ)zdt=_1_ .
т~
12
(11-1/2) Т
С учетом вероятности появления аномального
им:пулыса, вычисленной выше, средняя мощность
аномалЬ'ного шума на .выходе
Ран~РFкТ<Лх2> =FкТ ехр{--Т- Ре}. (11.11)
12
4k1k 2 No
Таким образом, мощность аномального шума
определяе'Гся не одн·ой вероятностью р, а еще и
множителем, пропорциональным Fп.
Чтобы довести иссJiедование до конца, оценим
пороговое значение мощности cиnнaJia. Со.гла'Сl-10
усJiовию порог помехоустойчивости имеет место
приРа 1г=f, 2 илииз (11.6) и (11.11) при
П2NF3
F
ТР
I67
° с = ктехр{--- ~}.
(11.12)
'
рр2
12
4kif;,2 N0
ск
Полагая k1 =k2= 1 и обозначая, как обычно,
РпарТ/Nо' =h 2пор, Fн/Fc=a, а та ,кже учитывая, что
Т = 1/2Fc, сведем это ураВ'нение к виду
h2 /4-lnh2" =
In(cx.3/30,7ll 2).
(11.13)
лор
пор
При боJiьших з'начениях а (например, при
а> 1ООО) пор,оговое значение h2пор мно-го больше 1
и в левой части можно пренебречь ln h 2пор по срав­
нению с h2пор/4. Тогда, возвращаясь к пороговой
мощности ·сиnнала Рпар= h2пapN0/T, получим асим­
птотичееки
Рпор ~ N0Fc In (а3/30,7 П2).
204
(11.14)


Таким образом, пороговая мощность сигнала
ВИМ с у,величением а не остается постоянной, а
возрастает. Для получения ,сколь угодно большой
верности передачи непрерывного сообщения недо­
статочно увеличивать а, как следовало из ( 11.6),
в пренебрежении аномалыным •шумом, но необхо­
димо также увеличивать Ре в соответствии со
смыслом ф-лы ( 11.7), и «парадокс» полностью ,ани­
мается.
Можно ли на основании этого утверждать, что
системы с импульсной модуляцией не имеют преи­
муществ перед такими,
как ФМ или ЧМ? Конеч- Рпар g'
но, нельзя. Сравнивая
~fc.--"---r-----,---r--,-,
(11.14) с (11.5), замеча-
ем, что в системе ЧМ по- 10000
роговая мощность сигна -
ла растет пропорциональ- 1000
но Рш=NоFн, т . е. прапор-
ционально а, тогда как
при ВИМ зависимость по­
роговой мощности от а
при а» 1 логарифмичес-
кая 4):
На рис. 11 .1
показана
за"Висимость
Pпop/NoFc от а при П2 = 10
дляЧМиВИМ.Тамже
показаны зависимости g-'
от а для тех же систем.
Пороговая мощность для
ВИМ возрастает по срав-
100
100 7000 !OOOOr;1,
Рис. ! 1.1 . Зависимость по­
рогопой мощности и выиг­
рыша от ширины спектра
сигнала дли ЧМ и ВИМ:
порогован мощ ­
ность; - - - - выигрыш
1) Рекомендуем читателю доказать (пользунсь поннтием
«эпсилон-энтропии»), что из ф-лы ( 11.7) также следует ло­
гарифмическан зависимость необходимой мощности сигнала от
средней квадратичной погрешности е, которан при ВИМ .
пропорциональна 1/а.
205


нению с ЧМ настолько медленно, что ее можно дей­
ствительно считать почти постоянной. Именно это
позволяет использовать при ВИМ очень широкий
спектр сигнала и осуществлять выигрыш g' поряд­
ка нескольких тысяч. При ЧМ это практически бес­
смысленно, так как пороговая мощность оказыва­
ется столь большой, что выгоднее применять узко­
полосные методы модуляции, например однопо­
лосную.
Таким образом, фраза, набра·нная курсивом на
стр. 198, неверна. Мощность ,сигнала, ,при которой
аномальный шум «,практич·ески О1'сутствует», нес-
колько воз1ра,стает с расширением спектра. Тем не ~
менее цитата из учебника, приведенная там же, в
первом приближении справедлива. Можно было
бы уточнить ее, заменив набра~ные курсивом сло-
ва: вместю «независимость» написать «оч-ень сла-
бая зl·висимость», а перед «без повышения» доба-
вить СЛОВО «:ПОЧТИ».
Пра'ктичес·ки - при расчете системы связи с ВИМ
это незначительное повышение порога помехоус­
тойчивости можно во~•се не учитывать. Но для тео­
рии оно очень важ1Но, так как только его учет сог­
ласует верность приема с пределом пропускной
способности канала .


12
БЕРЕГИСЬ НЕТОЧНЫХ ФОРМУЛИРОВОR!
12.1. Занимательные парадоксы
Все мы еще в школе удивлялись различного рода
«доказа т ельствам» того, что 2Х2=5 или все числа
равны друг другу и т. п. Конечно, никто эти ут­
верждения всерьез не принимает и цель таких до•
казательств заключается в том, чтобы / научить
юных математиков отыскивать логические или ана­
литические ошибки в доказательствах и подчерк­
нуть необходимость тщательных и точных формули­
ровок. Чаще всего такие арифметические миниатю­
ры основываются на неявном делении на нуль, на
неучете двузначности операции извлечения квад•
ратного корня, на умножении неравенства на отри•
цательное число без изменения знака неравенства,
на некорректном применении полной математиче­
ской индукции и т. п.
!Здесь ·будут изложены два такого же рода «до­
казательства» нелепы х результатов, относящихся к
теории связи. В отличие от ошибок, описанных в
дру гих главах, никто никогда эти результаты не
с читал верными. Однако ошибки в рассуждениях
здесь не сразу бросаются в глаза и отыскание их
207


может быть полезным для более глубокого понима ­
ния некоторых свойств гауссовскйх случайных ве­
личин и процессов .
12.2. Количество информации, 11ередаваемо:й
в гауссовс:ком :канале с неопределенной фазой
Рассмотрим непрерывный канал связи с неопреде ­
ленной фазой, пропускающий сигналы в некоторой
полосе частот F со средней круговой частотой ш 0 .
При прохождении сигнала через канал фаза всех
его составляющих поворачивается на одинаковый
случайный угол Л, равномерно распределенный на
интервале (-п, п) и не зависящий от передавае­
мого сигнала. Аддитивной помехи нет (или ею мож ­
но пренебречь).
Будем подавать на вход канала узкополосный
гауссовский процесс
х(t)= A)i)cos[00t+0(t)]= а(t)cosro0t - ~(t) х
Хsin@0 t :.__
Re {[а(t) + i~(t)] eiwot = Re {s(t) eiw,t},
(12.1)
где a(t)=A(t) cos H(t); ~(t)=A(t) sin0(.t) - неза­
висимые гауссовские процессы с нулевым матема­
тическим ожиданием и одинаковой дисперсией, ко ­
торую обозначим cr 2 ; s(t) =a(t) +i~(t) - комплекс­
ньiй гауссовский процесс [комплексная огибающая
процесса x(t)].
Сигнал на выходе кана,ча
у(t)= А(t)cos[ro0t+0(t)+Л]= [сх(t)cosЛ- ~(t)Х
Х sinЛ] cosro0 t- [~(t) cos Л + а (t)sinЛ] sinro0 t =
= Re{1'](t)e1w•t},
(12.2)
208


г-
1
ri(t)=а(t)cosЛ- ~(t)siпЛ+i[~·(t)cosЛ+
+а(t)siпЛ]= s(t)е1л
( 12.3)
-
также гауссовский комплексный процесс [ком­
плексная огибающая у (t) ].
Количество информации, содержащееся в неко­
тором отсчете у относительно отсчета х, 1 (У, х),
очевидно совпадает с количеством •информа цю~
! (YJ, s), содержащимся в отсче т е ri относ ительно s,
поскольку комплексные огибаю щ ие (пр и фикс иро­
ванной частоте ш 0 ) полностью определяют соответ­
ствующие сигналы .
Найдем коорреляционный момент
к(YJ, s) =<чs*> = <1 s12е1л>,
где угловые скобки означают усреднение по ан­
самблю.
Так как по условию s и Л - независимые слу­
чайные величины, то
<1;12 е1л> = <1 s l2><е1л> = <1 s/2><cos Л +-
+isiпЛ>= <1s[2> [Sп_]_cosЛdЛ+
2л
-п
+i{2~sinЛdл]=О. •
-п
( 12.4)
Таким образом 'S и fJ некоррелированные, а
п о с к ольку они гауссовские, то и независимые слу­
ч айные величины 1). Так , в известной книге (26] на
1J Леnк,о уiбед,итыся, ,,по и О"nсчеты Gi(t1) 1и 11:(t2), ~зятые
в различные м оменты времени, также некоррелированны,
так как < ~*(t1)ri(t2) > =<i*O, )Ut.J > < еiд> =!О .
209


с. 64 сказано: «... дмr дв ух нормальных
случайных
величин некоррелированность означает также неза­
висимосты> (к урс и в а втора).
С другой стороны, хо рошо известно (см., напри­
мер, теорему 2.3.2 {1 О]), что для статистически неза­
висимых s и 11 1(11, s) =О, а отсюда следует, что
!(у, х) =0 . Итак, мы показали, что в канале с не­
определенной фазой при подаче на его вход гаус­
совского сигнала информация не передается даже
в отсутствие аддитивного шума. Не правда ли,
странный результат?
В самом деле, если продетектировать сигнал
y(t), то можно точно восстановить огибающую
A(t) переданного сигнала x(,t) и, следовательно,
получить сколь угодно большую информацию. Рас­
суждая более формально, можно исходить из из­
вестного и очевидного неравенства
I (У, х).>- I (/ 't'J \, \ sf) =/(А, А)= Н (А)= оо, (12.5)
так как А принимает значения на континууме. В
реальных условиях вследствие неизбежного адди­
тивного шума эта информация конечна, но может
быть сколь угодно велика при достаточно слабом
шytle и уж во всяком случае не равна нулю при
конечном отношении мощностей сигнал/шум.
Таким образом, мы получили два противополож­
ных результата- взаимная информация l(y, х) со­
гласно первому выводу равна нулю, а согласно вто­
рому - сколько угодно велика. Всякому, кто пере­
давал информацию по радио или другим высоко­
частотным каналам и использовал некогерентный
прием, ясно, что ошибочен первый вывод. Но в
чем же ошибка?
Многие из тех, кому автор задавал этот вопрос,
на ч-и н али ,сомневаться 1в том, что отсчет 11 являет,ся
гауссовской случайной величиной. Однако эти сом,
210


нения легко рассеиваются. Обозначим "л=а cos Л­
-B sinЛ; μ=вcosЛ+asin ,Л, где а, В и Л-сов­
местно независимы. Тогда плотность вероятнос­
ти "л
п
п
w("л) = Jw("л / Л)w(Л)dЛ= (1/(2л)) Jw("л ! Л)dЛ.
-п
-п
Но w (л IЛ) предста1вляет ,собой плотность веро­
ятностей разности •а cos Л - В sin Л при некотором
фиксированном Л, каждый из членов является гаус­
совской случайной величиной с дисперсиями соот­
ветственно и2 cos2 ,Л и 0'2 sin 2 1Л и, следовательно,
л - также гауссовская величина с дисперсией 0'2 .
Аналогично то же самое можно показать и относи­
тельно μ. !(роме того, легко убедиться, что 'А и μ
статистически независимы. Таким образом, 11 =
='А+ iμ является комплексной гауссовской величи­
ной, так что это возражение отпадает.
Суть дела проясняется, если рассмотреть четы­
ре действительные гауссовские величины: а, В, 'А и
μ. Нетрудно видеть, что они попарно некоррелиро­
ванны и независимы. Более того, любые три из этих
величин имеют совместное нормальное распределе­
ние вероятностей, например:
w(a, ~, 'А)= w(a)w(~)w(л) = -(2-ла-2~)31=2- Х
Хехр{--1
-
(а2 -1- ~
2-1-л2)}•
2а2
(--{2.6)
Но как только мы попробуем учесть еще и чет­
вертую .величину, то сразу наталки.ваемся на за­
висимость
а,2+~2=л2+μ2=А2.
(12.7)
Таким образом, значение 1μ 1 полностью определя­
ется значениями ,а, В, л. Поэтому совместную четы-
211 -


рехмерную пло'I'ность вероятностей для них следует
за писать так:
w(a, ~' "л,μ)=
1 312 ехр{- -1-(а2-f-- ~2+"л2)} х
2(2ito· 2 )
2а2
х tб(μ-у а2+~2-"л2 )+б(μ+Vа2+~2-"л2 )] .
(12.8)
«Лишняя» двойка в знаменателе учитывает равную
вероятность значений + μ и -μ.
Вспомним теперь, как доказывает,ся эквивалент­
ность понятий «некоррелированность» и «независи­
мость» для нормальных случайных величин. Для
этого записывается совместное нормальное распре-
,
деление п величин, корреляционная матрица пола-
гается диагональной (что означает попарную не­
коррелированность) и тогда оказывается, что п­
мерная плотность распа·дается на произведение п
одномерных плотно стей ( что означает независи ­
мость). Поэтому правильная формулировка этого
свойства должна звучать так: «для совместно нор­
мальных случайных величин некоррелированность
означает также независимость» . Слово «совместно»
часто опускают, и в результате возникает неточ­
ность.
В нашем случае s и YJ, будучи каждая в от­
дельности гауссовской, совместно гауссовскими не
являются, так как четырехмерное распределение
для их составляющих (12.8) негауссовское. Поэто­
му, хотя s и YJ некоррелированны, они не являются
независимыми и взаимная информация между ними
не равна нулю.
12.3. О рэлеевских замираниях
Канал с рэлеевскими замираниями можно опреде­
лить след ую щим образом. Если на вход канала по-
212


дан сигнал cos w1t, то на выходе наблюдается сиг ­
нал
(12.9)
где μс 1 (t) и μs 1(,t) - стационарные и стационарно
связанные гауссовские процессы с нулевым мате­
матическим ожиданием и одинаковыми автокорре­
ляционными функциями, вообще говоря, зависящие
от w1. Кроме того, для них по определению имеет
место соошошение <μс1 (t) μs1 (t') > =-< μs1 (t) ><
Хμс1 (t') >,
откуда ,следует также, что
<μс1 (t) ~Ls1 (t) > =0, т . е . в одинаковые моменты вре­
мени μс 1 и μs1 ,взаимно некоррелирО'ванны. Будем
полагать μс 1 и μs 1 «медленными» ;процессами. Это
значит, что их нормированные автокоррели1рован­
ные функции
<μcl (t) μcl (t + т)>/<μ~1>
практич ески не отличаются от дл sf значений т,
меньших периода частоты входного сигнала Т 1 =
=2л/w1 .
Очевидно, что z 1 (t) представляет также гауссов­
ский процесс (узкополосный). Менее очевидно, что
процесс z 1(t) стационарный в широком смысле.
Однако в этом можно убедиться, вычислив автокор­
реляционную функцию z 1( t) для двух моментов
времени t и ,t':
Bzl(t, t'.) = <z1(t)Z1(t')>= <[~Lc1(t)COSW1t+
+μ51(t)sinW1t[Х[μс1(t')cosW1t' +μ51(t')sinW1t']>=
= <μcl(t)μcl(t')COSW1fCOSW1f'+μcl(f)μSl(t')Х
Хcos(J)lfsinW1t'+μsl(t)μCl(t')sinЫifcosW1t'+
+μ51(t)μ51(t')sinW1tsinro1t'>.
(12.1 О)
Учитывая, что <1μс1 (t) μс1 (i') > = <μs1 (t) μs1 (t') > =
=Вр. (f'-f), -<1μc1(f)μs1(f')>=<μs1(f)μc1(t')>=
= I3μ (t'-t), это выра:жение упрощается:
213


Bz(t, t')= вμ(t'-
t)cosФ1(t' -
t) +вμ(t' -
t)Х
Х sinro1 (t' -t).
(12.11)
Таким образом, корреляционная функция BzU,
t') зависит только от разности t'-t, а так как ма­
тематическое ожидание z1 (t) равно нулю, т. е . по­
стоянно, то z1 (t) является стационарным в широком
смысле гауссовским процессом.
Подадим теперь на вход канала сигнал, состоя­
щий из двух гармонических составляющих:
cos 1(1) 1t + cos,ro 2 t, (1) 1 =#=ffi2 . На выходе сигнал представ­
ляет сумму двух стационарных гауссовских про­
цессов:
z(t)= Z1(t)+Z2(t)= μс1(t)~cosФ1t+μs1(t)sinro1t +
+μС2(t)cosФ2t+μS2 (t)siп(J)2t.
( 12.12)
Эта сумма является также гауссовским процессом,
Включим теперь на выходе канала два фильтра
с амплитудно-частотными характеристиками, близ­
кими к прямоугольным, и неперекрывающимися по•
лосами пропускания так, чтобы один из них пропу­
стил ,си11нал Z1 (t), а другой - z2 U). Это всегда
можно сделать со сколь угодно большой точностью,
даже при очень близких частотах ffit и ro 2 , если все
μ (t) изменяются очень медленно. Так, если спектр
μ( 1t} занимает частоты ниже 1 Гц, как это часто
бывает в коротковолновых радиоканалах, то часто­
ты ro 1 и (J) 2 могут различаться, скажем, на 1О Гц.
Для стационарных случайных процессов дока­
зано (см., например, [41]), что сигналы, выделен­
ные такими фильтрами с неперекрывающимися по­
лосами пропускания, взаимно некоррелированны
при любых сдвигах времени. Следовательно, мож­
но утверждать, что z1 (t) и z2 (t} взаимно некорре­
лированны по крайней мере с той точностью, с ка-
214


J
кой их моя<'но разделить фильтрами . Но если не­
коррелированны гауссовские процессы z1 (t) и z2 (t),
то они и независимы, а следовательно, независимы
И их огибающие μ1= V μ 2c1+μ 2s1 И μ2= V μ 2c~+μ 2s2,
представляющие коэффициенты передачи канала
для двух близких частот: ffii и w2. Следовательно,
даже при очень малых сдвигах по частоте рэлеев­
ские замирания должны быть практически полно ­
стыо селективными!
Здесь тоже явно Ч'!'о-то не так. Инженеры, зани­
мающиеся коротковолновой радиосвязью, знают,
что для того, чтобы замирания на двух частотах
.были слабо коррелированными, разность частот
должна достигать по крайней мере 200-300 Гц, а
иногда и более. Почему же мы получили неверный
результат?
Не будем долго интриговать читателя и раскро­
ем •секрет. Все дело в том, что, хотя z1(t) и z2(t) -
стационарные гауссовские процессы, их сумма не
является стационарным процессом. В этом легко
убедиться, вычислив функцию автокорреляции для
z 1 (t) +z2(t), аналогично тому, как это сделано в
(12.10) . При этом получатся «перекрестные произ­
ведения», т. е. члены вида μс 1 (t) 1μc2 (t') cos ffi1i cos ffi2t'
и аналогичные, которые никак нельзя представить
функциями только разности t' -
t.
Теорема о некоррелированности сигналов на вы ­
ходах неперекрывающихся спектров к нестационар- •
ному процессу z(t) неприменима. Лишь в том слу­
чае, когда 1μс 1 (t) и μs 1 (t) некоррелированны соот­
ветственно с •μс2 (t') и μs 2 (t'), перекрестные произ­
ведения имеют математическое ожидание, равное
нулю, и автокорреляциоюr'ая функция для z(i) бу­
дет зависеть только от t' -t. Но в этой ситуации,
когда z(t) будет стационарным процессом, замира­
ния на частотах w1 и w2 действительно независимы
215


и ничего удивительного в полученном результате не
будет.
К сожалению, ошибочное мнение о стационар­
ности суммы двух стационар­
ных процессов довольно рас­
пространено среди инженеров
и на этой почве нередко возни­
кают недоразумения.
Поучительным примером
является поведение суммы цен­
трированного
стационарного
процесса x(t) с процессом
Рис. 12.1 .
Сумма
двух реализаций ста­
ционарного шума, от­
личающихся сдвигом
ПО ча1С1'0Те
Хо (t), полученным путем сдви-
га спектра исходного процесса
на некоторую частоту Q. Про­
цесс, сдвинутый по частоте,
можно представить в виде
..
/\
х0(t)=х(t)cosQt+х(t)sinQt,
( 12.13)
,.. где x(t), как и ранее, - преобразование Гильберта
от x(t). Он, конечно, также является стационар­
ным.
Суммарный процесс z(t) = x(t) + x(t) cos Qt +
+x(t) sin Qt нестац1:1онарен. Чтобы убедиться в
этом, достаточно вычислить его дисперсию
<z2(t)> = 2D[1 +cosQt],
( 12.14)
где D = <x2(t)> = <x2(t)> - дисперсия исход­
ного процесса.
Из (12.14) видно, что процесс z(t) нестациона­
рен, так как его дисперсия зависит от времени, из­
меняясь от нуля до 4D. Это можно очень эффектно
продем ,онстрировать на осциллографе. Сумма x(t) +
+хо (t) имеет вид шума, модулиро1ванного по ам1плп-
туде по закону -v1+ cos Ш= 1 V~oos (Qt/2) 1
(рис. 12.1) .
216


'..
1
,
t
13
КАК ОЦЕНИВАТЬ ВЕРНОСТЬ ПЕРЕДА-ЧИ
СООБЩЕНИЙ?
13.1. Вероятность ошибочного декодирования
Вопрос, поставленный в заголовке главы, не так
прост, как это может показаться. Когда-то о нем
велись бурные споры, да и сейчас еще нередко
приходится встречаться с необоснованными мнения­
ми.
Математики, •занимающиеся теорией кодирова­
ния, интересуются главным образом асимптотиче­
ским поведением системы, например, при увеличе­
нии длины кодового блока. Оценивая два метода
кодирования, они сравнивают, насколько быстро
уменьшается вероятность ошибочного декодирова ­
ния Ро.д при росте длины блока п . Как известно, в
первом приближении вероятность ошибочного деко­
дирования · уменьшается с ростом п по экспоненци­
альному закону. Коэффициент Е при п в показате­
ле степени зависит от избыточности ~юда, измеря­
емой скоростью передачи R, которая в блочных ко­
дах равна отношению k/n, где k - число информа-
217


ЦИОННЫХ символов 13 блоке длиной п:
Ро .д=Ае-Е(R)п_
(13.1)"
Коэффициент А обьJtшо также зависит от R и от
п, впрочем довольно- слабо. Поэтому решающую
ро·ль при сравнении двух методов кодирования иг­
рает величина E(R). Чем она больше, тем лучше
метод кодирования, по крайней мере, для боль­
ших п.
Против такого метода сравнения нельзя ниче­
го возразить, если действительно рассма'Тривается
поведение кода при возрастании п. Однако нередко
две системы сравниваются по величине Ро.д при
фиксированных значениях п, к тому же различных.
Это иногда приводит к необоснованным сужде­
ниям.
Простейшим примером является такого рода
рассуждение о целесообразности применения поме­
хоустойчивого кода, с которым автору приходи­
лось встречаться в некоторых статьях и авторе­
фератах. Пусть в дискретном двоичном канале ве­
роятность ошибки равна р. При кодировании блоч­
ным кодом длиной п вероятность ошибочного деко­
дирования равна Ро.д (впрочем, ее иногда обозна­
чают так же, как и вероятность ошибки в канале,
усугубляя этим путаницу). Тогда, рассуждают ав­
торы этих статей, условием целесообразности ко­
дирования является неравенство Ро . д<Р и чем оно
сильнее выполняется, тем лучше код. Если же
Ро.д~Р, то кодирование _ явно нецелесообразно 1 ).
Ошибочность такого вывода проще всего пока­
зать на численном примере. Предположим, что тре­
буется передать некоторый объем информации в
1> В этой главе сложность кодирования и декодирования
не учитывается.
218
;j
i


1000 бит. Пусть ошибки в канале происходят неза­
висимо друг от друга с вероятностью р= 10-3 • Ве­
роятность того, что, не прибегая к помехоустойчи­
вому кодированию, мы сможем передать верно
(т. е. без единой ошибки) весь объем информа­
ции,
Q = (1- p)lOO() = (1-0,001)1°00 ~ 0,37.
(13.2)
Предположим, что предложено использовать
блочный код, в каждом блоке которого содержит ­
ся 100 информационных двоичных символов, а ве­
роятность ошибочного декодирования в данном ка­
нале Ра.д= 10- 2
.
Стоит ли принять это предложе­
ние?
К:онечно, нет, скюi:<ет упомянутый выше «мате­
матик». Ведь Ра.д>Р, так что мы только проиграем
при использовании этого кода . Но не будем торо­
питься с выводом. Подсчитаем, какова будет веро­
ятность Q безошибочного приема всего объема ин­
формации в 1000 бит, который теперь состоит из
10 блоков по 100 бит в каждом. Так как вероят­
ность правильного декодирования блока равна 1-
-Ра . д, а ошибки возникают независимо, то вероят­
ность того, что все 10 блоков будут декодированы
верно, составит
Q = (1- Ро.д)IО = 0,9910 ~ 0,9,
(13.3)
т. е. значительно выше, чем в случае передачи без
помехоустойчивого кодирования, так что примене­
ние предложенного кода в данном случае повыша ­
ет верность приема .
13.2. Эквивалентная вероятность ошибки
Инженеры давно убедились в недопустимости не­
посредственного сравнения величин р и Ро.д• Уже
в первых работах по исполь з ованию помехоустой-
219


чивого кодирования многие авторы оценивали вер­
ность приема с помощью остаточной вероятности
ошибки Рост, т . е. вероятност11 того, что двоичный
символ после декодирования окажется принятым
неверно. Попробуем применить этот подход к рас­
смотренному выше примеру .
При передаче 1<одового блока, содержащего
100 бит информацин, вероятность правильно при­
нять все символы в нашем примере равна 0,99. С
вероятностью 0,01 декодированный блок содержит
несколько ошибочных символов. Сколько именно?
На этот вопрос нельзя ответить, не зная в точ-
ности структуры кода. Однако если код достаточно
1
«мощный» (а в данном случае это, вероятно, име-
)
ет место, так как блок содержит 100 информаци -
◄
онных символов), то при появлении в канале не-
исправляемого сочетания ошибок еще очень много 1
«до·полнительных ошибок» вносится при декодиро-
j
вании. Поэтому в первом приближении можно. счи-
тать, что в ошибочно декодированном блоке от чет-
верти до половины всех информационных симво-
лов регистрируются ошибочно . При этом предпо­
ложении Рост= ( 1/4+ 1/2) Ро.д или в нашем приме-
ре Рост= (2,5+5) -10-3 >р.
Получилось не то, что мы ожидали. Остаточная
вероятность ошибки в двоичном символе при ко ­
дировании оказалась больше исходной вероятности
ошибок в канале. Это значит, что в декодирован ­
ной последовательности символов будет больше оши­
бочных, чем в случае передачи их без кодирования.
Что :ж, отсюда следует, что предложенный код в
данном канале использовать не следует? А как же
с предыдущим расчетом, показавшим, что вероят­
ность правильно принять 1000 бит при кодирова­
нии выше, чем без кодирования? Неужели здесь
кроется опять какой-то подвох?
220


i.
Нет, здесь все верно. Несовпадение оценки объ­
ясняется различными критериями . В первом слу­
чае мы потребовали, чтобы массив информации
длиной в 1ООО бит с большей вероятностью был
принят без ошибок, и при этом кодирование оказа­
лось полезным. Во втором же случае мы хотели
просто получить как можно меньшую вероятность
ошибочного приема каждого символа, и при этом
подходе кодирование оказалось вредным. Отметим
также, что ошибочно принятые символы в отсутст­
вие кодирования возникают, по условию задачи,
независимо друг от друга, т. е. более или менее
равномерно располагаются во всем массиве инфор­
мации (поток Бернулли) . При кодировании же деко­
дированные ошибочные символы груп п ируются в
пределах отдельных ошибочно декодированных
блоко'в.
Именно поэтому, хотя при кодировании ошибок
оказалось больше, промежутки между ошибками
(т . е . интервалы безошибочног-о приема) в среднем
длиннее, чем без кодирования.
Так, какой же критерий вернее? На этот вопрос
однозначно ответить нельзя. Все зависит от назна­
чения систеw.ы связи и от свойств источника сооб­
щения. Если источник выдает сообщения с большой
избыточностью, то обычно можно считать допусти­
мым некоторое количество ошибочно принятых сим­
волом. В первом приближении верность приема
можно оценить остаточной вероятностью ошибок -
чем она меньше, тем точнее восстанавливается пе­
реданное сообщение. Примером может служить
синтетическая (вокодерная) телефония, телефония
при импульсно-кодовой или дельта-модуляции
и т . п. Вдесь за счет большой избыточности речи
сообщение остается разборчивым при некотором
числе ошибочно принятых символов. В этом слу-
221


чае применять код, увеличивающий Рост, конечно,
не следует.
Иначе обстоит дело, когда передаваемые сооб­
щения не имеют избыточности или когда эту из­
быточность не удается использовать для восстанов­
ления сообщения . Тогда всякая ошибка искажа-ет
принятое сообщение и во многих случаях обесце­
нивает его полностью . .Ясно, что в этих условиях
критерием верности является вероятность безоши­
бочного приема всего сообщения. При таком под­
ходе для нас безразлично, будет ли в ,принятом со­
общении одна ошибка или их будут сотни. Все
равно сообщение искажено и не может быть ис­
пользовано . В нашем примере, если длина сооб­
щения равна 1000 бит, то из (13.2) и (13.3) видно,
что применение кодирования целесообразно.
Но здесь возн~икает вопрос, что сч,итать дли1ной
сообщения, если ,сшстема связи работает непрерыв­
но. Это ,опять-тшки 01предел,яется авойст,вами сооб­
ЩЕШИЯ. Обычно в,сегда его можно разделить на не­
которые от:резки, имеющие самостоятельное з1Наче­
ние, так что ошибочный прием одного из них не
влияет на и,спользова,ние о,сталыных. Так, при теле­
r~рафной свя,з1и такИ1м,и отрезка,ми являются 011дель­
ные телеграммы. При пе~ре~цаче да,нных обыч,но та,к­
же можно выделить отдельные масоJJвы информа­
ции, неза~исимые .по своему целевому ,наз1Наче,нию.
Для того чтобы по воз,можно,сти полнее харак­
теризо•вать верность ,некото.рой диакретаой систе­
мы связи ОДНИМ числом, ,необхо,ди:мо И·СКЛЮЧ,ИТЬ за­
вис1имость от длины сообщения. Таким чи·сло1м,
удобным для систем, в которых требуется безоши­
бочный прием с-оо-бщений, является ,экв-и.валентная
вероятность ошиб:ки Рэ• Напомним, что под этим
понимается ве,р-оят:но,сть ошибки в двоич,ном сим- _
метр·ичном канале с независимыми ошибка1м1и
222
J


t (ДСК), обе,спечивающем без п,рименения ,избыточ­
н,ого ·1юдирова11-шя ту же асимптотичеокую вероят­
ность безошибоч~ного цриема сообщения. Другими
словами, е•СЛIИ в системе связи Q( k) - ;вероя-гность
безошибочного приема ,сообщения, СОlдержащего k
бит информаU;ии, то Рэ олределяет:ся из .выражения
lim (Q (k)J(I - РэУ' = 1.
k-oo
( 13.4)
Приведем несколько простых примеров. Для системы свя­
зи в двоичном симметричном канале с вероятностью ошибки
р, в которой использует,ся блочный (п, !г)-1юд, позволяющий
исправлять t ошибок, эквивалентная вероптность ошиб,ш вы­
числпется без пред ельного перехода. Как легко убедитьсп,
ощ1 р,ш11а
[
1
]1/k
Рэ=I - ~С~i(1-рyi-i
t=O
(13 .5)
Для системы связи, не использующей помехоустойчивого
кодирования, в симметричном т-ичиом канале без памяти
/Jэ = p/log т,
(13.6)
где р - вероятность ошибки в т-ичном канале.
Вообще для систем, работающих в канале без памяти,
эквивал~нтную вероятность ошибки можно вычислить без
предельного перехода.
Обычно ут:верждают, что эwвивалеюшая вероят­
но,сть ошибки х,орошо ха,рактеризует толь,ко те ди­
С!{;ре'Гные системы ,связи, в ко'Горых 11ребуе11ся без­
ошибочный прие,м длинных ,с,ообщений. Од,на,ко
мож1но о,бо,бщить это по1Ня-гие, ввещя эювива.лен11ную
вероятность оши<бки при за~а,нно,м 1wрите,р·ии верно­
с-ги . Пусть, .например, принятое сообщение (после­
довательность щв-оичных ,символов) может счи­
таться прие,млемым, е,сЛ1и доля ошибочrно принятых
СИМ'во.лов не превышает в. Тогда эквивалентная ве-
223


роятность ошиб~<;и Рэ(в) при этом критерии верно­
сти оп,ределяе'!'ся 'ГОЙ же ф-лой (15.4) с заменой
Q(f!) на Qв (k) - вероя11ность того, что среди k
принятых символов соде1ржится не более вk оши­
бочных . Заметим, что в эк;вивалентном ДСК тре ­
буется безошибочный прие1м сообщений той же
ДЛIИ,НЫ. При 1вся1юм другом определении не удается
!1Збежать про"гиво,речий. С увеличешием допуска е,
эквивалентная !Вероятность ошиб:к,и, при про,чих
равных условиях, уменьшае11ся, что вполне е,стест­
В'енно.
Можн,о 1ра,спр,01странить это понятие даже на си­
стемы передачи ,непрерывных сообще1ний . Пусть
Н8 (Т) - эпсилон-энт~ропия (в битах) сообщения
длительностью Т, т. е. м,ини1малнное ,коли,чество - ин­
формации, которое необходимо передать ,по каналу
связи для тог,о, чтобы восста·но,вить ,сообщения с
да1нным кри-гери,ем верноети в. Здесь в может опре­
делятЬrся каlК угод,1но, например через среднюю ква­
дратич,ную ~погрешность, через а,р11икуляцию и т. д.
Если Q 8 (Т) - вероятность ·юго, ч·ю в данной си­
стеме с,вязи прин,ятое ,с ообщен,ие удовлетворяет
устано,вш~нно'МУ Кiритер,ию, то ф-ла (13.4) естествен­
но преобразуется ,в следующую:
(13.7)
ТаlКим образо,м, эквивалениrая верОЯ'1'ность оши­
бок Яiвляется весыма уни,версалыным параметром
для с,равнения и сопоставле1ния систем ,связи по их
помехоу,стойчивос11и. С11ран1но, что очень долго это
понятие не находило широкоrо прrименения, да и
сейча,с м,ногие 1инженеры его :не используют . Авто­
ру пришлось, нап,ример , в течение пяти лет убеж­
дать в р, азум,ности этого понятия О!П!Ноrо очень та-
224


лантливого исслед:ователя, котQрый предпочитад
пользоваться .01статочной верояп1ностью ошибки,
гораздо хуже ха;рактеризующей верность прием3.
13.3. Где применять разнесенный прием?
Однажды рецензенту о~ного жу~рнала при,слали
статью о целесоо,б,раз1ню,сти применения т-,ичных
кодов в системах передачи дисюре11ных сообщений.
Тот факт, что ,переход от (!):ВОИЧ!НОГО 'К'Осда к m-'И'ЧIНО­
му при т>2, вообще говоря, увеличи,вает вер­
ность, общеиз'ве,стен и, в частности, был п·оказан в
[23]. Но автор стать,и •ставил вопрос, в ка,1шх слу­
чаях этот переход дает больший эффект - в ка,на­
ле без замираниi1 илч в канале ,с замираниями.
Статья была в целом на,писана грамо11но . Сра ·вне­
ние с·истем ,с двоичным и т-ичным кодом произ1во­
дилось при оди1на1к,01вой с,к,01рос11и передачи ,инфор­
мации, одинако ,вых мощно1стях силнала и одина ,ко­
вой спек11ральной !Плотности белого шума, по эк­
вива,лен11ной ,вероятности ошибок.
Как показал ра1счет, в канале без за,мираний
при некогерентном пр·иеме орт:0го1наль ,ных сигналов
переход с,истемы с m=2 к m=·32 ~позволяет, на­
пример, снизить э1к,вивалентную вероя11ность ошиб­
к,и с 8-10-2 до 1,5-10-4, т. е. почти в 600 раз. В ка­
нале же ,с рэлее;вс,ки,ми З?·МИра1ниями та:rюе меро­
приятие снизит экви~валентную вер-оя1шость ошибки
с 8-10-2 примерно :п:о 1-10-2; т. е. ,в~сего л,ишь в
8 раз. На этом основан1ии в статье 1ре1юмендо1ва­
лось при:ме.нять m>2 в пер,вую очередь для ка1на­
лов бев замираний, где та1кое 1мероприя11ие дает
на,ибольший эффе,кт .
Статья была забракована _ на том ос1новании,
что эта рек,омендация невер,на , по край1ней мере
для радиосвязи, о которой и шла речь . Прежде
чем пер~йти ,к объяонению та,кого заключения, по-
8 Зак. 657
225


стави,м щругой воп:рос - где лучше применять
прием на раз,не:сенные а1нтенны - в ,канале без за­
мираний или •в ,канале с з ам-ираниями?
Имен.но этот вопрос рецензент задал а,втору
статьи , когда он пр,иехал к нему •объясняться ,по по­
воду рецензии. Он отве'ГИЛ , ,не зщдумывая:сь, так же,
ка к ОТ'ветил бы любой опытный ра:диоинженер.
Конечно, разнесенный прием следует применять в
каналах ,с замираниями . В ка1Налах без зами~ра1ний
его ни,кто нююгда не пр~и1меняет, да и вообще ос­
новная идея :разнесенного приема за,ключае1'ся ,в
уменьшении вредщого действия за1мира1ний.
Совершенно ,верно, ответил рецензент. Ну, а
теперь займемся небольши1м ,сравнением.
Сравним одиночный и ·сдвоенный 'Приемы на
разнесенные антенны
двоичных ортогональ-
р
ных сигналов. Прием
"-
1i31----н--+---+--"--<--"<---~1-----;
Рис. 13. l . Ве.роятности ошибок
при одиночном ( 1) и сдвоен­
ном (2) некоге.рентном приеме
в канале :
без замираний;
-
-
-
-
с рэлеевскими зами­
раН'иями
226
будем для упрощения
расчетов считать неко­
герентным и использу­
ем метод квадратично­
го сложения. Ветви
разнесения будем счи­
тать статистически од­
нородным11, а аддитив­
ную помеху - белым
гауссовским шумом .
На рис. 13.1 пред­
ставлена зависимость
вероятности ошибки от
среднего отн о шения ha2
энергии
сигнала
к
спектральной плотно­
сти шума при одиноч­
ном и сдвоенном прие-


ме для канала без замираний и с рэлеевскими за­
мираниями. Эти кривые заимствованы из (18]. Из
них видно, что применение разнесенного сдвоенного
приема в канале без замираний позволяет, напри­
мер, ,снизить вероятность ошибки ,с 1,5• 10-2 до
1• 10-3
,т.е.в
lб раз. В канале ,с р'Элеевскими зами­
раниями те же меры уменьшают вероятность
оши:бки с 1-10- 2 до l •10-3 , т. е. только в 10 раз.
Что же ,пол уч,ило·сь? Разнесенный прием еще
более эффективен в канале без замира1ний, нежели
в канале с 1рэлее,вс~кими за1мира11шями. Куда же
смотрят инженеры? Почему они уrпорно применяют
разнесен,ный п1рие1м в каналах с замиrрания,м,и и
игнорируют sозможность получить 15-кратный
выигрыш, используя ра3,несен1н ый прием ,в канале
без замира1Ний, например, для св,язи на метровых
волнах в пределах пр.1rмой вщдимо·сти?
Уопо,койтесь, читатель, инженеры поступают
правильно. Раосмотрим этот rвопрас 1с позиций ·раз­
ра,бо-гч,ика дискретной оистемы радиоавя-зи.
Пусть необходимо о6ес,пе,чить вероятность ошиб­
ки не выше 10-4 в канале без замира1ний . Взгля­
нув на те же кр·Иlвые, легко усмотреть, что при1ме­
нение сдвоеш,но-го
пр'Иема поз1воли:т •СЭ'Коно:мить
3 дБ на велич.ине h20. Это З1начит, что ,мож,но буД;ет
Пр'И,менить либо передатч,ИJк с Вlдвое меньшей мощ­
но·стью, чем при 0JJ,и11-ючном 1црие1ме, IIIИбo более де :
шевый прием,ник с ,к,о•эф,фициентом шу~ма , увеличен­
ным на 3 дБ, лиrбо ,немного более простую пере1даю­
щую а,нтешну •с вдв•ое меньшим 1коэффиц1иентом у,си­
ления 1 !. В пода,вляющем большиrн'ст,ве случае1в ни
оД;но ,из этих упрощений не окуiПИТ расходы [IO
у,ста1новке двух ·ра'Знесен~ных приемных а .нтенн,
1> Здесь предполагается, что помехи в основном опр еде­
лшотся шумами прием•ни:ка .
8*
227


двух rприемников и у1сТ:рой1ства сложения . Поэтому
всякий разу,мный ,разработч,ик 011каже111ся от ва1ри­
анта с раз1Несенным приемом .
П у~сть теперь ту же верность 11ребуе-гоя обеспе­
чить в ка1нале .с рэлеев1сю11мrи замирания1ми . ТеtПерь
энергетиче,ский выиnрыш ,сдвоенного пр 'иема, как
ВИд'но из rрис . 13.1, ,составляет 17 дБ. Это позволит,
например, пр,именить в 50 раз менее моЩ1ный пере­
датчик, скажем в 200 Вт вместо 10 юВт . С та:кюй
экономией уже нельзя не ,очитатыся. Она безу,с.ло1в-
1НО О'Ку1пит ра,с.ходы по у,стройству ,одвоеннного п,рие­
ма . В нек,оторых ситуациях, коnда аппаратура
должна быть лег1юй и :компактной, только разrне­
сенный прием позволяет обеспечить требуемую
вер~-юсть. Нот почему о:н широко иопо.льзу,ется в
диапазоне дека1мет,ровых волrн, в котором обычно
вс-гречаются глубо:к;ие за~мшрания .
Здесь полез,но заме11ить, ч'ю энергетический
вь1,игрыш раз·несенного приема в l 7 дБ вовсе 1Не
означает, что после ,сложения принятых сиnналов
отношение сигнал/rпомеха действительно увелич1и т ­
ся на 17 дБ . Согла1сrно из,вестной теореме Бр,е,н1нана
[3] сД1военный прием при оптималыном сло~е•нии
позrволя ет у~велич,ить это от,ношение толыю на 3 дБ.
Эrнергетичес1кий выигрыш пр,и раз1несенном приеме
показывает, како·му увеличению этюrго отношения
соответст,вует уменьшение вероятности ошибо1к, ко­
торое при замираниях определяется в ос~но:в1ном
уменьшением д1испер1сии у,ров~ня сигнала. Поэто1му
энергет,ичес·кий выигрыш (хотя •И нес1юлыко мень­
ший) имеет место и при раз,не,сенном приеме по
схе.ме а втовы6ора, ыогда 1ни1ка1кого реального уве­
личения отношения ,сиnнал/помеха н•е происхосдит .
Этот в оп р ос хорошо о,с,вещеш в [38].
Вер1немся теперь к вопросу о целе,сообразности
применения m-·ич,ных кодо,в . Ра1счет показЫ!вает ,
228


что при экв,ивалент,ной вероятности ошибо.к поряд­
ка 10-4 переход от m=2 .к m=32 в каrнале без за­
мира1ний дает энергетич,есжий выигрыш приме1рно
5 дБ, тогда -как ,в канале с рэлеевюкими замира­
ния1ми он достигает почти 1О дБ. Здесь раз1ница,
1юнечн,о, не ,с11оль ,велика, -как в случае раз1несенно­
го приема, но в,се же эффЕжтив,но1сть повышения
ос'нова,ния коща в канале •с зам ,Иiра11шями выше, чем
в канале без зам,ираний, что д'иаметралыно проти­
вО1положно выво1ду, сдела1нно1му ,в ~неудачной статье,
о которой говор.ил.ось в начале этог,о раздела.
13.4 . Критерии верности телефонного сигнала
В больпшнстве теоретичеоких раб-от о ,передаче не­
прерывных ,сообщений используют оцен,ку вер1ности
приема по срt:щней ,wвадратич1нюй оши,бке. Иногда
о.говаривают, ч·ю критерий оред.ней кша.цратич'НОЙ
ошибк,и и,спользуется за неимением лучшего. Вго
обос,но,вывают ча,сто тем, что он при,годен для лю­
бых видов непрерьшных 1с,ообщений, а также тем,
чт,о телефонный сигша.л, принятый с .малой оре:дней
кваД;ратич1ной ошибкой, будет на1верняка разбо,р­
чи1в. В,се же O'CIHOIВIHЫM Д;ОСТОИ'НС11ВОМ ЭТОГО кр 1итерия
является .лишь т-о, что о,н сра 1внителыно просто по,д­
дается ра1счету.
Тем не менее сред,няя ква,щратичная ошибка
плохо хара1Кстери.зует качеС'гво прИlнятого слух·овО'ГО
сигнала. Стремление ее минимизировать п,р,иводит
к тому, что ,рассчита1Н1ные оптималь-ные фун,кцио­
налыные .схемы дл ,я ~приема мо,дул1ирован1ных з,вуко­
выми со.обще1Ниями ошналов ча1сто содержат та,кие
элементы, как регулируемые уеилители, компенса­
торы задерж,к,и, у,стройст,ва подстройi!ш фазы и
т. п., которые в реальной а,ппаратуре обычно не
применяют.
229


Пу1сть передае11ся нешр,ерьшн·ое сообщение x(t),
~оторое бу~де,м полагать нор1мированным так, Ч'то
<x2(t)> = 1,
(13.8)
где угловые окоб.ки оз1на,чают уоред1не1ние по ал­
самблю. Бели обовна:чить при.ня1'ое сообщение y(;t),
то сред,ний ква:драт ошибки 8 2, по 1ю1'орому оцени­
ва е11ся верность,
82 = <[х(t)- у(t)]2>.
(I3.9)
Обычно требуют, чтобы 8 2 не превышало не,с,юоль ­
ких ,сотых.
Покаже,м, что к-р·итерий миrниму,ма 8 не аде1Ква­
ген условия,м телефон.ной связ,и. Пу,сть, например,
из-за ,из.быт,очного усиления в тра1кте y(t) =2x(t),
т . е. принима,ется ,неиокаж·еШIНЫЙ по фО1р,ме телефо.н­
ный силнал, 1но с уровнем на 6 дБ выше передан­
ного. Естественно пюла:га'ть та,кое измене,ние не•су­
щест,венны м . Однаrко при этом
82 = <[х(t)-2х(t)]2> = <х2(t)> = 1,
(13.10)
ч то оз.начает очень си.ль:ное ,rюкаж-ение.
Анало,гич,нь1й результат получи'Гся, если y(,t) =
• х ( t--c), т. е . принятое сообщение .запаздывает
011нооитель.но переда 1нн,ого на некюrгорую величиrну
t, превышающую инте,рва.л корреляции x(,t). Яс1Но,
что за1Паздыванrие даже на нес:ко.лыко деся'Гков 1мил­
лисеку1нд ·никак не отражается ,на ка,честве теле­
фо,н1ной связи, осднако по ф-.ле ( 13.9) величина 8
может ,оказаться даже больше едиrницы.
Некотюрые .специалисты, 1ют•о·рым а1втор гово­
рил о:б этом неrсоотв-етствии критерия ( 13.9), отве­
чали, что в эт,ой формуле следует по.и, y(t) по1ни­
мать нормирова•н,ный пр,иrня·тый 1си11нал, да еще при
окампенсирова,нном запа.здывании. Однако О? это1м,
каже·гся, нигде не написано .
230
1
•1
1
'◄
1
11
~
(
1


Но этого еще мало . i{а,к y}ke оtмечал.ось в гл. 9,
сдвиг на1чалщrых фаз всех ,со,ставляющих сигна.ла
на не'!юторый уr,ол qJ не .влияет на слуховое вос ­
прия'Тие. Это уже ника,к не пощразу1ме.вается в
ф-ле (13.9).
Мюжно сформул,ировать ,критеР'ИЙ, знач.ителыно
бо.л·ее аде,кватный телефоН1ной с·вя.зи, а именно
л
е2 = miп<[ах(t- т) cos:ep_+ ах(t- т)siпер-у(t)2]>,
q>, ' t,a
(13.11)
где x(1t) - преоб1раз,ование Гиль·берта от x(t). Это
значит, что леред вычитанием IПР'Инятог-о сообщения
из переда1нного его фа,за повора,чивае11ся на ер, он
сдвигае11ся по времени .на т и у~м,ножает,ся на мно­
житель а, причем велич,и1ны ер, t и а выбираю11Ся
• та ,к, чтобы .по.лученшое в ре.зуль'Тате ,сообщение как
м,ожно меньше (в среднеа@адрат.ичiНОМ омысле) от­
личало1сь от пр,инято:го. Мож,но .при ,э11ом задать 1до­
пу,сти,мые границы изме1нения пара1метров_ t и а.
Оставшая.оя после этих операций сре~!J!няя квадра­
тичная погрешно ,сть зна1чительно лучше характери­
зует гка,чество приема телефО!ННОIГО силнала.
Замет,им, что и.зменешия а, т и q:>, до,пуст,имость
1юторых легла в осно,ву ф-лы (13.1 ,1) , не только
не влияют ,на разборчивО1сть, но -вообще не ощу­
щаются слухо1м ка1к ,искажение. Необходи1мость
ограничооия з.наче,н•ий а вызвана тем, ч110 очень ти­
хий, равно ка1к и очень nро1м~к;ий, сИ1nнал для полу­
чателя .нежелателе,н. Ог.раничение допустимой за­
держюи т тр,ебуе11ся лишь при дву,сторонней теле­
фонной •связи, так ка1к пр.и задерж,ках с,выше деся­
тых долей секунды нарушае11ся ощущение непо ­
сред,стве~Н1ноnо :~юнтакта с еобеседJю111юм. В.еличина
ер может пр,инимать любые значения от О до 2л: .
231


ВовмоЖJны и другие и~скаже~ния формы сигнала,
пра,ктичеоки не влияющие на раз·борчи1во·сть, на­
пример не очень -сильные лИ1нейные иакажения, на­
р у шающие ра 1с пр еделение мощности в спе1ктре сиг ­
нала . Однако 01ни во1спринимаю11ся ·слухом ка,к ис­
каж-е1ния, хотя и 1не затру;д,няющие понима .ния речи.
Поэ11ому они у читываю'Гся ф-лой ( 13.11) толь·ко
своим ,вли я1н,и е м на е та1к же, ка,к и д1ру,гие, напр11-
мер нелинейные, искажения и помехи .
Ав1'ор вовсе не претендует 1на то, чrобы ф-ла
(13.11) была принята за о-снову при ,оценке верно­
сти в телефоН'ии. Вероятно, отыскивать по ней ве­
личину е ЭtI\iспериментально будет нелег,ко. Но воз­
мож1но, что в теоретичеоких работах она смогла бы
найт-и прлменение . Ее цен,нос·ть была бы до1казана,
если ·бы на ее основе удалось ,синтезировать
более 111ростые оптимальные схемы, чем на осно- .
ве (13.9).
.
При эК:спери1ментальной оценК:е т-елефонных си­
стем .овязи .к,ритерием еред:ней ,к,вадратичной ошиб­
ки обычно не поль-зуются. Вме:сто этого оцвнивают
линейные иокажения в системе путем снят,ия ча­
ст.отных хара, кт-ер rистик и определения у,ровня шу­
ма, а 1нели·нейнь1е - путе1м измерения коэффициен­
то,в гармоник, а иногда и ком6И1наци0rнных ча,стот.
Допуrстимые 'нор1мы пр,и этом устана:вли1вают на
основе опыта и закрепляют в ,официальных доку­
м-ештах.
Более п олная Эiкслеримоотальн ая оценк а с и ­
стем, пре,дназ1нач,енных для передачи речи, осуще­
ствля-е11ся путем артикуляционных и1с.пытаний. В
принципе они вполне соответствуЮ'т измерениям
вероятности оши6к,и в диокретных ,систе1мах .связи.
ОоноВlное отличие за:ключается в 'ГОМ, чт,о в роли
решающей схемы при артикуляционных ис:пыта-
1-шях выступа,ет человек, пос1кольку моделир,овать
232


процесс ра,спознава;ния речи пока не удает,ся . Для
того чтобы и,сключить индивидуальные особенно­
сти, и1спользуют бригады артикулянт,о,в.
Осмысленная речь содержит очень бо.л.ьшую избыточ•
ность, позволяющую правильно воспринять передаваемый
текст даже при очень плохом воспроизведении сигнала . По·
этому вероятности правильного приема осмысленных фраз и
даже отдельных слов в более или менее удовлетворительных ·
системах связи близки к единице и дл.я их точной оцеюш
пришлось бы передавать 011ромные массивы текста. Значи­
тельно точнее и быстрее проводят с я ар т икуля ционные испы­
тания, если уст р ан и ть или су ществе нн о уменьшить избыточ ­
ность текста. Для этого чаще всего передаются таблицы от­
дельных слогов, не имеющих смысла, составленные так, что­
бы по возможности их сочетания не вызывали никаких ассо­
циаций .
Вероятность правиль.ного цриема слога, выраженная в
процентах, называется слоговой артикуляцией или коэффи­
циентом разбо.рчивости. Она играет роль, подобную вероят­
ности правильного приема символа в дискретных системах.
Аналогично определяются артикуляции слов и артикуляция
фраз, соответствующие вероятности правильного декодирова ­
ния блока в дискретных системах. Всщщствие большой избы·
точности речи артикуляции слов, а тем более фраз значи­
тельно выше артикуляции слогов, так же как вероятность
правильного декодирования блока при избыт,очном кодирова•
н.ии ча-сто превышает вероятность правильного приема сим­
вола.
• Например,
при слоговой артикуляции 80% артикуляция
слов достигает 99%, а артикуляция фраз (смысловая артику-
ляция) очень близка к 100% 1>.
•
Конечно, смысловая артикуляция очень зависит от ан­
самбля фраз, используемых при испытаниях . Если этого не
учитывать, то можно сильно ошибиться в оценке качества
системы. Очень показателен в этом отношении случай, рас­
сказанный автору Б. П. Асеевым и пересказанный в следую­
щем разделе .
1> Для расч,етов электроакустических систем часто ис­
пользуют артикуляцию формант - величину , которая при
артикуляционных испытаниях непосредственно не измеряется,
а определяется пе.ресчетом.
233


13.5 . Чем кормnть кошку?
Борис Па,влоiВИ'Ч Асеев (1901 ~ 1956) быJI выдаю­
щи,мся ученым, одним из пио,неров сове1'ской ра­
диотехники. По его кни1га,м училось 1не од1но поко­
JIЫ!Ие инженер ов ,овя:зи. Однажды, в ко1н це 3 0 -х го­
дов, Борис Павлович возглавлял ко:миссию по
пр;иеМJке ощной в аж,но й разра:бо11ки, сущес1'.ве:нной
ча;стью 1юто,рой являлась радиотелефонная систе­
ма . Разра,ботанная ап па рату:ра у,опешно выдержа­
ла .испыт а1Ния по всем показател.Я!м, юроме сло,го,вой
артикуляции, ,которая ока,зала,сь з1начительно ниже
ого,вор•енной в тех,ниче,оюих у:сло1виях. Коми1осия
пришла к решению забра11ювать на этом основа1Нии
си,с тему ,и вер1нуть ее на дорабо1'ку .
Разработчики, естес'l'венно, возмутились этим
р-ешением и стали доказывать, что сл:ого~ая артику­
ляция - это надума1нный тео,ретIIками па,ршметр,
а ваЖ'на л,ишь разборчиво,сть оомысленной речи,
которая в их системе удовле11во:ряет всем разу,м­
ным требованиям. Для докаэателыства один из ра з ­
работчик,о,в •схватил телефо,нную тру6ку, выз1вал
авоего коллегу, находящ егося на дру111ом конце, и
меж1ду ними произошел следующий разговор:
-
Алло, Иван Пе11рович! I(а,к вы меня слыши­
те? Раз, два, три, четыре, пять. I(а,к ,слышите, как
слышите?
-
Слышу ва1с отлично. А :Как вы меня ,слышите?
-
И я вас слышу отлич1но. Р,аз, два, т,ри, ч·еты-
ре, пять. Вы все понимаете?
-
Да, я ва,с отлично понимаю .
-
Ну, вот ви,п.ите, 5орИ1с Павло1вич, раз,борчи -
вость превосходная, а ваш и артикуляци онные ис­
пытаrния .просто вводят в .з аблуждение.
Поз·вольте-,ка .мн е поrnоворить, - сказал Бо-
234


рис Павлович с•воим хорошо 1юста ·влешным ба100,м и
взял у нею тру,бку.
-
Алла:, алло, Ива:н Петрович, с ва,м.и го:ворит
Асеев. Ка1к вы меня ,слышrrге?
-
Слышу ва:с п~реrк·рашю, Бор'Ис Павлович, ,раз~­
бО!рчивость лоJiная.
-
А ,скажите, Иван Петро.вич, [!Ы коr-да-!Н[16удь
вашу .кошку груша:ми корrмнли?
-
Что?
:-- Вы кошку ,nрушами ,кормили?
-
Не понимаю. Повторите еще раз.
-
Я: ,опрашиваю, ,вы вашу кошку rруша1ми кор-
мил.и?
Но сколы1ю ни пов1101рял Борис Па•влович с-вой
во:прос, стара,ясь произнос1ить слова вня·11но и мед­
леНJно, его собесе,щн;иrк ничего понять .не мог. После
это·го эксперимента разrработчики уже.не пытались
возражать пр~0ти.в решения .ко,мис~сии.
Разумется, набор •стандар11ных ф~раз, вроде
«:~шк вы меня слышите?», пр-едrставляет м1ножес11во
со значительно большей избыточностью, нежели
обычный телефо:нный разго.вор. Поэтому даже при
очень низ.кой сло.го,вой арт,иrкуля,ции такие стан­
да1ртные фразы <~е.кодирую11ся» безошибочно. Но
стоило выйти за пределы ста,нда1ртног,о набора и
за,дать вопро,с хотя и оомысленный, но -ДО[!оль.но
необыЧlный, ~как артикуля,ции не хватило.
На эт,о:м воспоминании _ мы за1ко•нч,им разговор о
методах сравнения систем связи, 1юто1рые, пожа­
луй, за1служ,ивают отделмrой монографии.
235


14
НЕМНОГО ИНФОРМАЦИИ
14.1. О постулатах теории информации
Теория информа~ции за,родилжь как математиче­
ская те•ор,ття связи. Именно так 1назы1вала,сь статья
Шеннона [56], в .которой впер,вые были сфо1рмул,и­
рова1Ны о,онов1ные по1нятия и теоремы. Конечно, по­
нятие «•связь» можно тракговать •в очень ширО1ком
омысле, чт,о и было сдела1но м,ногими ис,следоiВате­
лями в различных обла,стях науки, на,пример ли,нг­
вистике, теоретической физике, э:коном,Иlк,е и т. п .
В ряде случаев дело сводит,ся к механичес~ко,му
переносу тер,мино,в теорИiи информации, иногда без
я,сного по1Нима,ния их •смысла. Возникла опа,оность
дискрещ·итации основных ид·ей теории информации.
ПервЫ1м, забившим тревогу по этому поводу,
был ,са·м ШеН1нон [59] . После его выступления по­
·юк публикащий, в которых понятия теории инфор­
мации тра1ктую11ся весь,ма ра{:ширитель-но, нес1юль­
ко пqредел. Одншко 1и д:о сих пор время от нре.мени
поя·вляю11ся работы, в которых идеи теор.и,и инфор­
мащrи пр.им,е.няются к са·мым раз,лич1ным пробле­
мам точ1Ных, ест•е,с1;вен1Ных и ['уманитар:ных наук .
Следует признать, что мног,ие из этих работ содер-
236
''1
1


жат весьма полез:ные и достатоЧiно обоюнова1нные
результаты .
На·ряду с этИ1м появилось немало работ, в ко1то­
рых подвергаются критиК'е некот,орые уже ста:вшие
кла,осиче,оwИ1м,и цриложения теории информации, в
том чи;сле и .к вопросам теории ,свя:Зи.
Оста,вив 1в ст,ороне содержа1Ние этих работ, по­
пытаемся четко сформут~:рова-гь у~сло,вия (п,осту ­
латы)· , при которых ,в теории информации иосл-еду­
ются системы .связи. Некоторые из этих услю1вий
обычно подразумеваются, 1но да-1Iеко не ,всегда ука­
зываются в яв1ном Вlиде. Для облегчения задачи
огра1Ничимся толь,ко передачей ди:скретных сообще­
ний:
1. Источник оообще,н~ия осущес11вляет выбор со­
общения из некоторого множества с определенными
вероятностя ·ми.
2. Сообщения могут передаватыся по ка1налу
овязи в за'ко.диро·ванном вид:е. К01дирован:ные со­
общеню-1 образуют м1н,ожеств-о, я1вляющееся вза,им­
но однозначным отображением множес11ва соо6ще­
ний 1 ). Правило декод1иро,ва,ния извес11но декодеру
(запИ1са.но в его програ,м,ме).
3. Сообщения ,следуют друг за другом, причеl'I!
число сообщений, от ,которых занисит ко,!I.овыи
сим:вол (дли~на ~юдо,вых огранич,ений), может быть
сколь угодно бо,льши-м .
4. Сообще,ние ,сч,итае11ся пр:инятым вер1но, если в
результате д,е~юдирования оно может быть в точ­
нос11и вооста1новле1но. При этом безразлично, сколь­
ко вре1ме1ни прошло с момента передачи ,сообщения
до момента око:нча:ния де1юд1ирования , а такж,е ка-
1) Вообще говоря, кодирование м о же т производиться и
неоднозначно. Важно, чтобы однозначно происходило деко­
дирование (в отсутствие шума).


кова слоЖJность оп ераций ·код1ирова.ни я и де 1юд-иро ­
ва~ния .
5. Количество ,информации ,не з ависит от с;мыс­
лового содержания сообщения, от его эмощиональ­
ного во здей~с11вия, от его полез-нос11и и д аже от его
0111-юшения .к реалыной дей~сТ1JЗ1Ите,л~,но,сти .
Из этих услоВ'ИЙ толь,ко пер1в,о:е 1сформу,ли,ро·ва1но
ч,е 1;ко в рабо·та х Шею-юна, а также в больши1нс11ве
монограф.ий о теории информации. ОдJнако лелко
убедиться, что :нарушение любого из них либо не
по :шоляет опред ел ить кюличес11во информациги, ли­
бо существенно влияет на смьюл теор-ем кодирова ­
н-ия Ш-енно1Iа. Ра•осмо·тр,им ,их по поря,дку.
14.2. Первые три условия
На возмож,но1сть нарушения першого у1словия и на
затруюrения в оп.ределении при это1м кол ,ичес тrва
инфор1мац,ии, по -1в1идимому, впер,вые JКазал а!Каiде­
мик А. Н. Колмогоров [20]. В ча1спюс-ги, он пИ\са л :
«... Пракгически мож , но сч,итать, на.п,р,имер, вопрос
о·б «энтро•п ии» потока лоздра,вительных телеграмм ...
корректно поста1вле'Нlным в е го вероятнос11ной т,рак­
товке и пр~и обыч,ной замене верояТlностей эм,пири ­
чеекими ч а,стотами... Но ка~кой реа.ль,ный омысл
имеет, например, говорrить о « 1юл-ич еств е информа­
ции», содержащейся в те юсте «Вой,ны и мира» .
Мож1н о ли включить ,разумным обр а зо'м этот ром ан
в совокупность -«,возмож,ных ,романов», да еще по ­
стулировать в этой сов•о,купности некоторого рас­
пределения ,вероят,но,стей? ... »
Существуют и д:ругие оитуации, в которых т~руд­
но говорить о ка,ких-,либо ,вероятностях. В работе
[61], содержащей немало глуб<жих мыслей, отме ­
чается, что .нельзя задать ве р оятность поя1вле,н1ия
238


1
r111
~
самолета над дан1Ным райо,ном. Поэтому нель.зя
определить 1И энтропию сообщения, выдаваемого
радиолокащиоrнной ,станцией обна,ружения. В.ряд ли
с эти~м ут:нерждением ,можно соnла,ситыся (см. ни ~ .
же).
В упо1мя1нутой ,работе А. Н. Колмог-орова наме­
чаются ,не.к:оrгорые ,пу11и определения ,количества ИiН·
формации без и1спользавания поня11ия вероят'НО!С'ГИ.
К сожалеНJию, эти идеи ·не довед1ены д10 конца.
Второе у,сло,вие обычно выполняе-гся в системах
овязи. Однаrко сущеетвуют ситуации, когда прави­
ло декодироваrния получателю ,неизвестно. O,LI;нa из
них возникает пр,и n:р,иеме шифро,ва1Н1ного сообще­
ния, е,сли принцип ши:фроrваrния или хотя бы ис­
пользова,нный ключ неизвес-nны. Этому в,опроrсу,
между про,чи1м, поrсвящена работа Шен1нона [57].
Друг-ой пример 011НО1С1И1iСЯ К :ОВЯ,ЗИ С Иrнопла1не11НЫ'МИ
цивилrизациями. о~.южем ли мы обlмени:ватыся с
ними iИ1Нформацией , ,не дого,ворившись за,ра·нее о
коде?
В 1967 г . в обсеrр1ватор.ии Кембриджюко,го у1ни­
верситета при ,изучении ,1юсмич<Е~ских радиоизлуче­
ний на чаrстотах порядка 100 МГц обнаружили пе­
риодическую последовательность коротюих .радио­
импульсов, прих,одящих из одной точки Галакти'Ки.
Эти импуль,сы имели чрезrвычайно ,ста-бильный пе­
риод ,следования, нем1н,ого больше 1 с. Они ,на­
столыко отличались от о6ычш,ого 'ИзлучеН1ия косми­
ческих объеrктоs, ,имеющих ха1ра1ктер гау,ооов,окого
шума •С не,ра •в1но1мер!ны1 м сшжтром, и та 1к походили
на сиnналы наших земных рад1ИомаЯ'!юв, что в пер­
в~1й момент об1щруживший ' их проф. Хьюиш ,не
сомневался в том, что это ,сигналы, посылаемые
разумными сущест,ва1ми. Именно по-этому ОIН не то­
ропился с публ~икацией и . продо1Лжал изучать эти
импульсы. Оказалось, ч-го таких источников радио-
239


и,мпульсов (пулЬ!са,ро!В) суще,с11ву,ет д,01вольно много
и вско,ре появило·сь несколько гипо'Гез 06 их приро­
де, объяоня1вших периодичность и другие особенно­
сти импулысо1В без предположения об участии в
этом инопла,нетных ци,вилизаций. В ,на1стоящее .вре­
мя .сч1итает-ся, Ч'Ю пуль,сары - это быстро вращаю­
щиеся нейт,ронные звезtды .
Но да,вайте пофа,нтазиру,ем. Предположим, что
об1шружено ,коемичеокое излучен,ие, пред<став.ляю­
щее •последовательность импулыоов (едиiНиц) и
пауз (нулей), напри1Мер, такого хара ,ктера:
000100100011010001010110011110001001 и т. д.
На первый взгля,д это довольно х,оатиче,с:кая по­
следовательность. Одна1ко, разбив э1ш ·символы .на
группы по ч•етыре, легко обнаружить, Ч'Ю о,ни пред­
ставляют двоичную четыре~разря.п,1Ную запи,сь по­
следователыности натура,льных чисел: 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9 и т. д. Можно ли у11верждать, что это
излучение посылаеТ1ся разумными ,сущест,вами?
Оценить вероя111юсть такой гипотезы практ,иче­
ски невозможно, хотя бы потому, что об а,приор­
ных вероятностях ~уществова ·ния цивилизаци:и в
некотором уча,стке Гала1кт,ики на1м в ,сущно·сти ,ни­
чего неизвестно. Можно , однако, говорить о прав­
доподобии этой ,гипотезы, которое довольно веЛ1и ­
ко, та к как если предположить 1сущес11вование ино­
п л ане11ных ра зум,ных суще,с11в, которые хотят у,ста­
нов,ить контакт с «,собратьями по р азуму», то .с
большей вероятностью они пошлют имеtто такого
рода оигналы.
Вполне возможно, что будет ,высказа,на и прот,и­
вополож,ная гипоте з а о «не,разум,ном» происхожде­
нии этого излучения, тю если не будет !Найдено ни­
какого правдоподобного объяонения воз·ниж1новения
такой последовательности импулысов в результате
240
i~
1j
1j1


1
t
1~
физ:ических !l]роцес1соrв, то можно будет у11верждать ,
что ,мы из1влЕжли ,из ,1юдиро1ваНiного сигнала инфор­
мацию о сущесмовани1и внезе:мной ци,вили!Зации,
не д1ого,ворившись заранее о коде .
В [34] ра1с,ока,зывает,ся об э·юопери,менте, про1ве­
денном •на ;ра;диоа1стр-оно1мическюй кюнферен.ции в
ГрИiн Бэнк (США) , где уча,стника1м роЗiДаJI,и ле,нты
с rюследовательностью нулей и едини1ц и предло ­
ж;или ~расшифровать эту «за:пись С'илнала из кю:смо ­
са». Большин,ство уча,стюшюв у,спешно оправили,сь
с этой зада.чей, догадавшись, что они имеют дело
с развер11кой изоб~ражения на п.лос.кос·ти . Во,сстано­
вив э110 ~и:зображение и проявИiв еще мног,о догад­
ливос11и, они могли судить об обJiип~е суще,ств, по ­
славших -сиnнал, об их планетной системе ,и о м;но­
гом другом. Это тоже под11вrерЖ;дает, что , не доrго­
ва риваясь о ,коде, можно извлекать н1нформац,ию
из ,оигнала.
Еще примеры - иоследуя • .спектр излучения
з,везды, мы из·влекаем инфоР'ма,цию о ее х1им1иче­
око1м -составе, теМ1перату, ре, скорос-nи движения от ­
носитель~но ·солнечной си1стемы, ма1гни11ном поле и
т. д . И , 1:в,се это ·т,оже без дого,в,оренности о коде.
Таким об.разом, для получе1н1ия инфор!мации в
принципе моЖ:но и ,не зп,ать, ка1к за1 кО1ди.ровано со•
общение, если этот код .мож1но раюкрыть. В:сегда
ли это возможно? На это а1втор о-nветить не берет­
ся. Лично он думает, что :не воелда. Фа1кт «ра,окры­
тrия» :кода спектральных линий не может служить
опрове.рже,нием, та·к ка1к они наблю1rщлись и ,в ла­
бораторных у,словrиях, юогда ,и1сrочник излучения и
его физиче,01юе состояние были хорошо изнес·11ны .
Раюкрытие генетического кода, .которое считают
одним из кру,пнейших достижений современн,ой
нау,ки, облегчалось тем, что на;ряду ,со ст1ру.к1Гу,рой
молекулы дезоксирибонуклеиновой кислоты {ДНК)
9 Зак. 657
241


и,сследава'ГеJIIИ ·наблюдаJiiИ и синтезирова,нный ,с ее
помощью белок.
Итак, можно сч1итать, что д,ля примени,м~,сти
теорем кодирования теори1и информации в общем
случае т,ребует,ся нал1ич·ие у декодера предrвари­
тель1ной информации о ко:це .
Треть,е у,сло:вие также совершен1но необхо·димо
для пр~именимо,сти тео,рем ,код,и,рова1н,ия, посколЬ'ку
о,ни имеют аси,мпто11ичеокий смысл. К а1втору неод~
нократно обращалИ1сь за 1совета1ми та1юго ха1ракте­
ра: :ка1к за1кодировать сообщение, соJJ.ержащее :всего
л,ишь 10 бит, чтобы о.но было прИIIiято в ер,но с ве­
роятностью l • 10-6 , если вероятность ошибки в ка­
на,ле р ра1вна 10-2, а передать мож1но не более 20
ДВО.ИЧIНЫХ С•ИiМ,ВОЛОIВ. в ответ aiBIO·p 'ГО ЛЬIКО раз.во­
дил рука-ми и пр1изна,вал1с я в своем беюси.л,ии.
-
Как же так? - возмущался ,спрашивающий.~
Ведь пропускшая спосо,б1юсть щвоич,но·го симме-гр1ич-
1юго канала ра1вна 1+,р log р+ (1 -р) Iog (1-р),
что составляет при р= 10- 2 более 0,9 бит на сим­
вол. Слмовательно, по тео,рем·е 1код1иро,ван.ия до,ста­
точно иметь хоть ,немн,ого бо.лее 10% из,быточных
с·имволо·в, ч11обы декод.и,ровать ,со ,сколь угодно ма­
лой вероя'Гностью оши6юи. А я допу,акаю даже
50% - 10 избыточных аим,волов из 20-ти. Вероят­
но, вы просто не знаете х•ороших кощо,в.
Что можно ·на это воз.разить? Конеч,но, если бы
длина ~юдов,о,го бло1ка была 100 п,ри 50 информа­
ционных символ ах, то задача бы летко реша,ла,сь.
В Да!ШОIМ же случае, е!СЛ И даже В ЫIТ Ор I101В ать у за­
каЗЧИIКа л1ишний про1вероч1ный сим1вол, лучшее что
можно применить - это укороченный код Голлея
(21, 10), 1юторый в э11их у,сло.В'иях для ,ка1Нала без
памяти позволяет получить вер~оятность ошибоч1но­
го де1юдирова ,ния около 5-10- 5
, т. е. в 50разболь­
ше ·допу,стимой. Еще хуже будет в ка1нале ,, па-
242
f
1
1


1
1
f
мятью, хотя - его пропуокшая спо-собность и выше,
так ка,к в этом случае а,симптотИlка проявляется
лишь при длине кода, превышающей инте,рваJI
с.ильной кор,реля,ЦИIИ ~между ошибками.
14.3 . Информап;ил ,JI время
В че1)Ве•ртом у,сло,вии -са,мы!М важным являет,ся: воз ­
мож~-юсть задерж1и1ваrгь соо6щеН1ия 1на сколь угодiНО
большое время . Строго го:в,ор ~, это условие ,на
пра·ктике ншюгда не выпо,лняет,ся. Даже поздрави­
телыная телеграмма, пришедшая через неделю пос­
ле дня ро,жде,ния, ,не до1стаmит ;радо,сти получателю.
Пра1вда, такие заJJ,ержки вызы,ваю'г,ся обычно 1Не •
процеосами 1юд:ирования и де;1юд1И1рова-ния, а д,руги­
ми прич:инам1и. Одна:ко бывают ,не,ред,ко случаи,
кюгда и малые задерж;ки ,недоmустимы, что на ,кла­
дывает огра:ничения на длИ1ну ко1да и не поз,во11шет
в пол~ной мере применить теоремы кодирова,ния.
Это воз,можно, на,пр1имер, при передаче ИIНформа­
ции в автоматиз,и,рованных ои~стемах упра ,в1ления
различными техноJюгич,ес,кими процеосами . В этих
случаях обычно говорят о передаче в реальном
ма,сштабе време1Ни. Но этот термин никаlК не впи­
сывает~ся в понятия теор•ии .информацИ1и.
Следует особо о~ме'Гlить один .вид сообщений, к
которо·му тео-р,ия и~нфор:ма,ции, по-:в,иiимому, не пр·и­
менима из-за нарушения чет,вертого условия.
Это - сообщения, отно~сящиеся к са·мому времени.
Представьте себе, 1;1то с сигналами точного време­
ни, передаваемыми в сети ·радиовещания, по1сту,пи­
ли та,к же, ка:к 06ыч1но постушают с iразли,чно1го ро ­
да радиорепортажа , ми, музыкальшьnм1и передачами
и т. п., т. е. сначала записали на плеаf!ку, а потом
во,спроизве.mи. Конеч,но, та,кие оиnналы ни,какой и,н­
ф,орма.ции о времени уже не ,содержат. Поэтому
9*
243


нельзя гово'Рить о ка ·ко~м-то ко 1дироIвании сигналов
времени. То же самое (хотя и ,с некот,а:рьrми оговор­
ка·ми , ОТIЮСЯЩИ'МИIСЯ К периодИЧНОiС11И) МОЖJН:О ска­
зать о передаче ,и1нфо1рмаl]J,ИИ, не.о,бходи,мой для с1ин­
х,ро:низац1ии каких-лИiбо процессов, в чаIст,rюсти са­
мого цро,цеоса обра6от1ки и деко1диро1Вания ои,r1на­
лов. И хотя нетруд,но вычислить количество инфор­
мации, необходимое для 0Iсущес11вленIия ,си·нхро,Нlиз­
ма с заданной точ1ностью, пере,да,ва·ть ее необходи ­
мо с учетом ее специфики . Это, конечно, не 011но­
си'Гся ,к «цикловой с~и,нхро·низаци•и», задачей кото1рой
являет,ся не привяз,ка к опреде.ТI,енно.му моменту
времени, а указание на пер,вый симIвол в :~юдо\Вом
блоке .
Интересн ,о с этой точки зрения ра,осмотреть условия пере­
дачи информации об обнаружении са.мол.ета радио.тюкацион­
ной станцией . Автор работы [61] полагает, чт,о невозмож­
ность задать вероятность появления самолета над данным
районом в да·нный 0Т1резок в•ремени препятст,вует применению
тео,рии информации в данном слу,чае. Однако всегда можно
приблизительно оценить эту вероятность снизу и оп,ределить,
насколько можно сжать п'ередаваемую информацию. Пусть,
например, в условиях воен•ных учений самолет появля,ется в
среднем 1 раз в 3 ч, а фиксировать момент появления нужно
с точностью до 1 с . Т,огда вероятность поя;вления самолета в
данном секундном интерваJI,е р< 1О- 4 и энтропия источника
н,е IП·рЕJвьnшает :вел.иrч,ины Н=--Р log P----'(ll-P)logl(l.>-P) < · 1,.2Х
Х 10-3 бит. Такое количество информации требу,ется переда­
вать в ,каждую секунду.
В сутках содержится 86 400 с. Пронумеруем их и будем
в конце каждых суток передавать номера секунд, в 1юторые
отмечалось появление самолета. Для передачи каждого номе­
ра ПО'I'ребуется log 86 400< 17 бит. В среднем за сутки само­
леты появляются 8 ,раз или с учетом в·озможного разброса
до 12 раз. Следовательно, можно передать информацию обо
всех появлениях самолетов за истекшие сутки кодов.ой после-
довател,ьностью, содержащей 204 двоичных симв.ола . В пере-
j
счете на секунду это получится около 2,3 • 10-3 символа, что
превышает энтропию меньше чем вдвое . Можно еще лучше
il
сжать информацию и приблизиться к предельному значению
J
окорости передачи, если посылать сообщения сразу за десять ~
244


суток Беда лишь в том, что эта задержанная информация
ника,кой ценности не пре:д ставляет - о появлении самолета
необходимо сообщи:ть немедленно. Итак, невозможность
сжать информацию, передаваемую от .радиолокационной
станции, обусл,овливается нарушением не первого, а четвер­
того условия.
Ин'Гер,е,сно было бы решить такую задачу. По
каналу с шумом передаю11ся 1измер,еш,ные з·наче1ния
ныюторой фуН1кци,и в,рем,ени. Получатель должен
з,нать зна,чения, ко110,рые при,нИJмает функция, в
каждый даН1ный момент без зад~рж1ки. Бели пе,ре ­
давать оигналы без по1мехоуr~стойчИ1вого кодирова­
ния, то задерж,ка будет очень мала и, э.юстра:поли­
руя принятый сиnнал, полу,чатель смог бы хо•рошо
оцетLвать нужные ему зна,чешия фуНiкции, если бы
не помехи, вно,сящие за,метные ошибки. Для за­
щиты от этих ошибок мож,но нве:сти помехоу,стой­
чи,вое кодиро,ван,ие. Но тогда задержка силнал·а
з,наЧ'итель·но у,величит,ся, Эil~стра[Iолиро1Вать прид,ет­
ся на больший и1Нте,р1вал в,ремеши и поя/Вя"nся ошиб­
ки эК"страполяции. Т,ребуе11ся найти оптималь·ный
ме:тод КОДИрОIВа!НИЯ, МИНIИМИЗИ:руюrщий су,мма,рную
ошиtбlку от помех и ЭКiст,ра,поляцни. Решение, ко­
нечно, должно за1в:исеть от хара1ктер'И1стик кана ,ла и
от · корреля.цио,н,ной функции переда,ва•еiМ!О['О соо6-
щен~ия. Оно представило бы .серьезшый ,вклад в по­
строеН1ие раздела теории свяв1и, поавяще·нного пере­
даче .ста1реющей инфор·ма,ции.
14.4. Семантическая информация
Пя.тое у,словие о'Гнос·и11ся не к применимости тео­
рем 1юдиро,ва1Ния, а к ,са1мому опр,еделению количе­
ст,ва инфо,рмации. Оно я,вляе11ся совершенно е,сте­
ствен~ным для ,с,и,с·тем свя.з1и. В само1м деле, .инжене­
ру, проектирующему, строящему или эксплуати -
245


рующе,му, на1при,мер, телеграфную ,систему, необхо ­
диr,ю обеспечить передачу всех во з'мож,ны х теле­
грамм :неза 1висимо ,от того, ра.до.стные они или пе­
ча,льные, 011нося11ся ли к важнейшим политиче,с,юим
собы11ия,м, юрупным научным открь111иям или сооб­
ща ют о п,р,иезде тета Маши . В за~ачу инженера­
свя з иста вО1все -не входит проверять, соо11веТ1ствует
ли дейо~вителыюсти теле.гра1мма о там, что т,ав.
Иванов заболел и ,не может вер1нутыся в срок из
отпу,ока. Его И1нтересует чисто количес11в-енный ас­
пект и,нфо·р'Мадии, определяющий в конечно'М счете
мwн,имальные э1нерге11ические затраты, ,в,ремя и по­
лосу ча1стот, ,необходимые для ее пе,редач,и.
~огда же понятие «информац:ия» пытают,ся
применить к обла,сти гума'нита,рных ,нау~к, в ча1стно­
сти к языкоз1нанию, то ,неизбежно в.оплывают воп­
ро,сы ,о семантичес-ко;м (,с1мЫ1словам) содержшни,и.
К сча1стью, в ,клаосичес,кой теории ~информации име­
ю11ся понятия, довольно хорошо др~юпо,ообленные
для у,ста1н,овления 1юличес11вшIJных соотношений с
учетом с'мыслово-го ,со,держания сообщений. К та­
ким понятиям в пер 1вую очере.ц ь относят,ся вза,и1м­
ная и~нформащия !(х, у) и у,слmЗ1Ная взаимсr-~ая ин­
формация l(x, y/z).
Пусть У - множ,е,ство со6ьг11ий у, ,овя,зан1ных
между собой некоторЬ!lм омыс.ловы:м еодержан,ие.м,
а х - сообще,ние. Тогда / ( х, у) предста,вляет ~со­
бой 1юличесТ1вr0 инфо,рма,ции, содержащееся в х от-
носитель'но события у. Если известны 1Ве-
роя11ности р(х), р(у), р(х,у), то l(x, у)=
=Iog {p(x, у)/[р(х)р(у)]}. Матема 'т,ичео1юе ,ожи­
да·ние этой ,вел,ич1ишы п:о ,сО1в-ме1с11ному а,нса,мблю ХУ
называ,ется юрещней 1Вза1имной инфор1мацией и 060-
значает,ся !(Х, У). В отличие от энтро1ПИИ Н(Х),
к,оторую можно раюсма11ривать ка1к ,среднюю и1нфор­
мацию !(Х, Х), ~содержащуюся 1в ,с.ообще1нии х от-
246


НОС,Ителыно ~самого ,себя, и 11ю11орая rни:как не ,связа­
на ,с ,смыслоsым 1содержан1ием х, а толию 1с ,ра,сп~ре­
деле~нинм1и ~вероя11нос1тей 1на :множес·11ве сообщений,
величина /(х,у) ,завИ1сит от 1омыiсла. Та1к, од1но ,и
то же газе1шое ~сообщение может 1со.цержать очень
большую и1нфор1мацию о хо.п.е 1чемпионата 1ст,ра,ны
по футболу, очень :малую инфор:ма;цию о пого.це :и
никакой информацИ~и о пол1ит1ичесюих юобытиях в
м,ире.
Величи:на / (х, YI z) =log(p(x, у lz)/p(x Iz)p(yl z))
может иметь ,ра1зли,чную 1содержа ,тельную интер­
претацию, 'В частно,сти, ее 1\ЮЖ!НО т,ра1к11овать 1ка,к
инфор:маЦtию, юодержащуюся /В ~сообщении х 011Носи­
тельно ,собы11ий у, ,пр,и услови1и , 1что ,полу,чате_лю до ­
ступна инфор,мация , 1содержащая1ся ,в z . Математи­
чеокое ож1ида1ние этой величи,ны 1по 001в!местнО1му
а1нса1мблю XYZ назЫ1вается 1средJней 1взаиМ1ной услов­
ной информацией /(Х, YIZ).
Важно ,011метить, что значение /(Х, YIZ) может
быть как больше, так и меньше / (Х, У). Это ле1гко
показать на простых при:мерах. Пу,сть, на,пример.
x=y=z. Тогда, очевидно, /(Х, Y)=l(X, Х)=Н(Х),
тогда как /(Х, YIZ) =0</(Х, У) . Дру,rой .пример­
пусть Х = {0,1}, У= {0,1}, Z= {0,1} , п1р,ичем у=
=x+ z (шоd 2) . Если х 1и ,z ,пр ,ин~имают вначе.ния О
и 1 ,с ~р а вными 1В ер,оя,тн остя1ми и х !Не ,за1вие~ит от z,
то ,легко убедить,ся, что ,и у не ,зависит от х и с
ра,вн ыми нероятностям и :при:н,и1мает 13начения О, 1.
TorJJ:a ,е,с.л1и IZ неи э,вестно, х iИ у 1неза'ви1оимы. Поэто­
му !(Х, У)=О. Если же значение z 0адано, то х
определяется по у од,нюз1нач,но и / (Х, У IZ) =
=Н(Х)=1 , т. е. I(X, YIZ)>l(X, У) .
Таким обра з ом, 1не:кото.рые 1пр,мварительные
з:1-rания ,могут в о,д,них ,случая х увел:ичивать, а в
других ,случаях у,меньш ать по,лучаемую и:нформа­
цию. В этом отношении условная взаимная инфор-
247


мация отл1ичае11ся от у1сл,овной энтроп,и1и H(XIZ),
которая ни1когда не 1мож,ет быть ~больше 1безус,ло1в­
ной : H(XIZ)~H(Z), причем 1ра,ве,нс11во и~меет ме­
сто толь.ко при 1не,за1висимых Х и Z .
К 1сожа1лению, понятия Э1н11ропии 1и ,взаимной ин­
фО1рмации 1ИIНОГда путают. На этой IПIОЧ!Ве воэ1ни1ка­
ют дОlсадные :недоразу~мен1ия. Та,к, ,напри1м~ер, в
[61] 1Доказывае11ся, что ,понятия <~кла,ссичеюкой» rгео­
рии инфор;Мации не 1приме1нимы 1К «1семан11ичеокой»
теории информации, 1изу,чающей 1вопр0:сы ,извлече­
ния смысла 1из 1сообщен~ия. А1в11о~р исходит ,из оче­
видных положений:
«.. .Челов ·ек, изуча1Вший 1не1которую оrгра,сль 1нау-
1ш, :из,влечет из юпециального теКiста по этой от­
расли, 1вообще го1Iюря, , больше, чем !ДО обучения .. .
В:озымем в 'Качес11ве при~мера 1соо1бщешия rге1кст учеб­
ника по тео ,рии 1вероятнО1сти и дщщим lд!Ву,м лицам -
приемника1м :и1нфор1мации: школьнику 11ретьего
кла,сса ~ .. и, ,скажем, 1сту1Дешту-мате'мат:ику, который
знает ана1лиз, оrсновы ,матема11июи, шо не изучал
теО"рии 1Вероятно1стей. Кт,о 1из 1них иЗ1влечет ив этого
учебника больше и1нфо-р,ма~ции? Ответ я1се1Н - [!ОЛУ­
чит больше iИНфор'мации 1сту1Дент ... ~01неч1но, 1В'С'Гре­
чае11ся и обратная ,картина, 11юnда ~количество п:рrи-
1шмаемой -инфор1мации уме~нь,ша,е11ся ,с увеличением
априор1ноnо ,зна1ния».
Нее это оовершеНiно -вер1но и мо,жет быть ле,гко ,
описа1но 1В те1р1ми1нах ·11еории инфор1ма1ции . Пу,сть
х ~ 'текст учебника, у - ~сумма 1В1сех с01времен1ных
з1наний челО'вечества о теории азероятно1стей, z1 -
в,се оведения, хранящиеся ·в пшмяти шкюлыника,
z2 - студента и zз
-
К\РУПIНОГiО ученого, сшщиа­
л,иста по т,еории азероятностей. Тогда, очеви,дlНО,
l(x,ylz1)<l(x,ylzz)>l(x,ylzз), т. е. ,с увеличе­
нием объ,е;Ма з1на'ний 1количестiВо полу,чаемой инфор­
мации с1Нача 1ла :воз1ра1стает, а за'Гем у~бывает. И ~ни -
248


чего противоречаще-го 1кла1с,сичес1кой тео•рми шнфор­
мащии здесь нет . О.щна;ко ,в [61] ,го·вори11ся следую­
щее:
«Заrм,етим, что эта 01собенно.сть ~модели ,сема~Нти ­
чес1юй Иiнфорrмапми 1сущес11Венно ,отличает ее от
кла•осичеакой 11еории иrнфоrр;мации... В ,послед1ней
увеличение а1пр1иор1ной информа!Ции вrсегда умень­
шает 1количес11во ~информации, И•Зlвлека,е,мой из даlН­
ного .сообщения».
Последrнее утверждение, ка1к ,мы ВИiЦ•ели, явно
невер1но. Объя.снить ,его ,мо,жно ·только тем, что а:в­
то1р [61] ~спутал ~вз аимную информацию (,информа­
цию, извлекаемую из ~1щн1ното ~сообщения) .с энтро ­
пией (~мерой 1неопределен~ности, или :максималыной
ишфо1р1мацией, 1юо'юрую можно извлечь из ,сообще­
ния) .
Следует отметить, что в ц,ити.р,ава1нной ра1боте
[61] 1еодержатся и дру,гие дово1ды о:б оnранич~ен,но­
ст,и 1кла1ссической теории информации. Некоторые
из 1них ,спра1ведли,вы :и ,за.служrивают ,в-ни1мания . Од­
на•ко м-ин 1довод, та,к ж·е кшк ,и ,раюсмотре1нный ,вы­
ше, оенова1н на ,н·е!Пiоразу,мении. При1веiЦем еще одну
цитату из той же ~работы:
«Сущес11ву,ет ,целый ;рящ :ситуаций, ,ко,гда я.оно,
ч·ю для юпи1сания информа,Цtии ,нужны хара 1кт,ери­
с11и1ки -ее ,содержания, а ,н е ,статистичес:кше свойства,
овязанные 1с ча1с'110Той пере·д ачи тех или ИIНЫХ ~с игна­
лов. Э110 :м ожrно 1видеть у,же из ,с.1н•.щующего фа·кта.
В статистической теории информации чем реже
источник передает данный символ, тем большее
количество - информации связано с этим символом
(,курси,в .мой - Л. Ф). Одна1ко :хор~ошо ,известно,
что ,в процес,се пюrнимания 1смыrсла ·теюста 1на естест­
вен1ном язы,к,е реtПJко ,в,с11речающиеся э,лем,е,нты не ­
сут rоравнительшо ·малую долю информащии. Та·к,
ха;рошо из1ве.стно, что 1сощ_ержа1ние (ГеКJста iВПолне
249


nоняшю человеку , вла д еющему ,лишь частью сло!Ва •
ря данного языка , состоящей и з са м ы х частых слов,
которые составляют меньшую часть языка» .
Ошибочность утверждения, 011м:ечеН1ного курси­
вом, ясна всякому, :зна:комю,му 1с т,еорией 1инфор,ма­
ции . Дей~с11вителыно, 1Пу1сть верr0ятно1сть i-го сло,ва в
слова.ре ра1в1на Pi• Срещняя собст,веН1ная информа­
ция или эштрюпия !На OJJJHO слово (если ,не учиты-
• вать ,овяз ·ей 1МеЖ'ду
словами) ,ра1вна ~Pilog(l/pi),
nде ,сумми,ро1вание прои.зводи·11ся ,по 1Вiсе:м ~словам
я.зыка. Нклад i-:го ,слова 1в эту ,су,м.му 10,п,ред!еляе11ся
величиной Pilog ( 1/pi), 1кото·рая ,имеет 1макоиму,м
при Pi= ,1/e, а с •у~меньше:ние1м з.начения Pi моно­
тонно убывает. Та1к rшк ·в ,любом естес11ве1нном явы­
к·е все Pi~ 1/е, то отсюда следует, ,что ~наибольшая
часть инфо1р,мацИ!и овяза1на с 11-Iаиболее ча1стыми сло­
ва1ми 1в 1Полном 1соютне11ст,вии 1с 1Пра·к'fiИiкой.
Мы дал,еки от ·мысли, ,что теория 1и1нфо:рмации
Шен1нона мюжет ~без 1в,сякого переоамыслива'ния и
далынейшего ·раввития ,применяться :ко 1все:м вопро­
сам языкюз1на.ния. Одна1ко 1кр1итика ее, 1соде.ржащая­
ся 'В [61], в большей ,авоей ча1сти не обо,с,нова1на 'И
может толыко внести 1в .за,блужщение читателей.
'1!
(j


1
t,
15
МЕЛОЧИ
15.1 . ФМ=ДБП?
Хорошо из,вестно ("ом., :в ча,сnност,и, !ГЛ. 7), что од!Ин
и тот же ,модулированный ,сигнал s(t)=
=Aoos[ffi(}t+mчr(t)] моЖ!но ,ра,осмат,ри,вать как
модулиро1ва•нный Iпо фазе или по ,чаеюте . Но в пер­
ВО,М ,случае моду,лирующим (пер1вич1ным) ,сигналом
является ЧJ'(1t), а во 'Втором cлyчae - .ю(t)=dЧJ'/dt.
Ра,с-смотрИ1м щругой ,вопро:с - сущесТ1вует .ли та11юй
перви,ч,ный ~сигнал x(t), ,кото.рый дает ,одина1ко1вый
результат, если Iим ·модул,ировать ,си.нусои:ду по фа­
зе И JIИ по амлли,туде (с ,по:даtВленшой !Несущей).
ДруГИIМИ 1СЛОiВаIми, ,при ·ка~ком x(t) IВО<ЗМОЖНО ра•
венство
Ах(t)cos(ffi0t+ер)' Аcos[ffi0t+тх(t)+'ljJ]? (15.1)
О11вет очень .прост. Это IраIвенст,вr0 ,с.п·ра·ведливо,
если x(t) прюпrмает только ,Д;ва з·начения: + 1 и
- 1, -m=:rc/2 и t\j)=cp-:rc/2.. Та:ким образом, д•воич­
ную фазовую маIнипуляцию можно .с та,юи:м же ос­
нованием ра·соматри,вать 1ка1к « бала~ноную ма,нипу­
ляцию». От-сюда, •юста11и, вытекает щдентич,но,сть
синх:ро,нного и фазов.ого детекторов.
25!


3 аметим, что если к Iс•игналу ( 15.1) доба1вить
несущую, соХ1раIнив услоiВие, наложенное на x(t),
то получится ,сиnнал ,с амшл1иту~,щной ма1н,ипуляцией
А [ 1+ х ( t)]1cos ( root + qJ) . Бели ·в ампл.итуд,но,м аIнипу­
лиров анно:м ,си.г,нале пода'ВIить не "ЮЛЬIКО несущую,
но и юдr-rу из бо;ковых 1полоIс, то :получится сиrнал
до,вольно ,е,ложной ф0iрмы, модуЛ'ированный каIк 1по
амплитуде, так и по фа1Зе. В ,ча1с11но,сти, е.ели x(t) -
период,ическая фу~н1rоц~ия, пр:ишимающая .поочеред1НО
з1Начения + 1 и -1 на та,ктавых интервалах дли­
ны т, то ,при О.П.'НОПОЛОСНОЙ модуляции получи"I1СЯ
фун:к;ция s(t), у ~которой чиоло п~реходо.в черев
нуль 1в о,щном такто,вом •интер·вале Iс х= - 1 на 'д!Ва
бо,льше, ч•е1м 'В ,соседнем, Iс х=-1, если пермаеТ1ся
нижняя ·боко:вая 1Поло,са, и ~наоборот, если передает­
ся ~верхняя 601Ковая ~полоса . С ~некоторой 1натяж1кой
такой ,сигнал ,можн·о навIвать ·ма,нИ!пулИ!роваIнным
по ча ,стоте.
15.2 . Немного о белоn~ шуме
По·ня11ие «белый шум» - 1мат,емаТ1ическое, а .не фи­
зическое, _так же кшк и дельта-фун:кщия Дира1ка.
Белый шу,м, по юп.р•еделению, имеет ,бес1ко1неч1ную
диспе:р,сию или, другими ,слова•ми, 1м ощность 1 ). Су­
ще;ет,вова~ние источника белого шума 1даже ,со околь
угодно •малой, 11-IO IIIOH•eЧIHOЙ ОП.еiК'Гральной плот­
ностыо противоречит за ,кону ,сохранения энергии.
1> Некоторые исследователи вводят понятие «белый шум
с конечной мощностью», т. е. процесс, спектральная плотность
мощности которого G((J)) постоянна для всех частот, а мощ-
сю
ность, т. e, l G((J))d1(J), конечна. Это можно было бы пони-
-"'
мать в предельном _смысле, когда G((J))-+0 цри всех (J). Но
пена, что такой «белый шум » с нуленой спектральной пл.от­
ностью не может быть ни помехой, ни переносчиком инфор­
ма ции.
252
11
1
11


:К сожалению, об это,м ,часто забывают. Таки~м про­
цесоом , ,с беаконеЧ'ной диоп~рюией долж,но быть, с
точки з1ре,ния ;кла,ссической (до1каанто,вой) физики,
и.злучение абсолютно черноr10 тела. Имен1но это об­
стоятель,с'tво побудило МаКiса Пла1н·ка перес,мо"греть
представления :кла,ссичес1юй элек11родинам,ИiКiИ и
выдrвинуть 1кванто1вую теорию, 1постули1рующую ди­
окр•етно,сть ~излучаемой энергии. С ,учетом ква1Нто­
вых я,влений ,спектральшая ПЛОТНОIС'ТЬ МОЩНЮIСТИ
теплового шу,ма определяется ф-лой (9.1), т . ,е . за­
висит от ча,стоты 1и на 1вы1соких час11отах быстро
убывает.
Белый шу,м 06ыч1но определяют 1ка,к 1стацио1На,р­
ный процес,с с ,корреляциа1нной фующией В (т) =
= ,(No/2) б (т), где No - одщос·то:рон1няя ,опеК11раль- .
ная плотность мощности, не зависящая от частоты .
:Каковы ·ра,спрещеления ~вероятностей белого шу ­
ма? Этот во,прос, ·строго говоря, не имеет ,смысла.
:Как отмечено 1в (26], •« раапределение ,вероятностей
белого шума в обычном ,смысле не существует» .
Почему же тогда ча,сто говоря,т о тау,ссов,с,ко:м бе­
лом шуме?
Этот ,вопрос хорошо пояснен в [10] и [39] . Бе ­
лый шум s(t) ЯВЛЯеТСЯ 060;6.ЩеlН.НЫiМ проце,с,со1М , КО ·
·юрый , ,как и обобщенная фу~нкция, ,получа,ет реаль­
ный ,смысл только ·в подынте,гральных выраже­
ниях фуюl)!дионалов, п1р1ичем для ~·сякой функции
со
g(t) из L2 интепрал s g(t)s(t)dt ЯIВЛя.ется по оп-
-со
ределению_ ·rаус,со,в.с-кой величи1ной с 1нуш:~,вым мате­
матическим ож1ида:нием и с ди~сперсией, ранной
ею
(N0/2) f g 2 (t)dt. От-сюда следует, что
253


о,
11(t) = .\ s(т)g(t-т)dт
(15 .2)
-о,
является обычным стадиона1р1ным га,уюсо1вс1ким шу­
м ом .с конечной дисперсией ·и ·корреляцио,н.ной
фу1н,кцией
00
<'YJ (t) 'У) (t + т)> = (N0/2) Jg (t) g (t + т)dt. (15.3)
-СХ)
Будем .ра,сс1ма'liривать •стационарный процес с­
~ (t) с очень малым 1интер,вало~м ~корреляции Л •ка,к
некоторое приближение к математичоокому по,ня­
тию «,белый шум». Подади1м его 1на вход линейной
цели с им,пуль,с'Ной •хара:кте~ристикой g(t). То,г.ца
Пiроцесс ri (t) ,на выхоiде фильтра выражае'J\ся ф-лой
(15.2) ,с заменой s(t) на ~(t). Бели иrнтер,вал Л
J
значительно 1ме!Ньше 1Протяже1ннос;11и импуль·с,ной
,
хара~ктеристикf! фильтра g(t), то ·на ,основа1Нии
J
центральной предель,ной тео~ре.мы ~можно ут.верж-
~
дать, что 111роцесс ri (t) будет ·близок к гау~ссо,всжо-
му шуму, :ка,ковы >бы 1ни был.и раопределения •ве-
,
роя'Гности ~(t) . Поэт.ому ,белый гауюсо1оокий шум
мож,но наглядно пред,ста,влять ка1к ~предел стацио-
,
нарного процесса ~(t) при Л-+0.
В ,с,вп зи с этим 11-rепонЯ"Ген с1мысл у11верж:дений,
которые еще ,недавно м,ож•но было ,вс'!1ретить в .кни­
гах, о ·то.м, что белый шум м,о,жет ·быть •не толыко
гаусоо1в,с1ш,м, но и любым другим, на ,при1мер рэлеев­
ским. Са ,м 1по себе белый шум 1ка1к обобщен,ный про­
цес,с 1Не имеет никшшх ра,спре,делений вероятно­
стей, а по,сле «прохождения через фильтр» он ,всег­
да пре,вращает,ся в гауосо1вский процесс. Гово,рить
о iНегау,с,со,в~с,ком 6ел01м шуме, по убеждению а1вто ­
ра, бессмысленно.
254


15.3 . Почему сигналы случайны?
Сигналы, П€/ре,да,ваемые по . каналам овнз и, пред­
ста·вляют собой •множес11во фун11щий времен.и (,не- •
прерывного или диаюрет.ного) 1с 1вероя11нос1шой ~ме­
рой, зада:нной на .это~м ,м1ножестве. Э110 оовпа,дает ,с
определе.нием ,слу,чайного процеоса . В вырожден-
1ном ,случае, когда 1М1ножество ~состоит и.з одной
футщии и ,ее ,вероят,ность поэтому ,раВ1!:lа единице,
энтро~пия 1процеоса ра,в:на шулю 1и он не может быть
пере1носч,и1шм инфо1рмации.
Автор ,про1сит прощения у q,итател я з а пере,ска з
давно из·вес·тной 'ИJстины . Он не ,стал ,б ы этим з а1ни­
·маться, · если бы 1в отделыных книгах, в· т,ом числ е
учеб11-шках, не 1В1стречались бы ,вьюкаэ ыва1н·ия ;в1роде
та.:кпnо :
«Сущность связи состоит и в том, чтобы · пере-
1дать ,получателю неиз,вес11ные ему оведения . Сигна­
лы, несущие такие сведения, на приемном конце
за,ра,нее также будут неиз·вестными . Сиr1на,лы и тем
более помех·и для получателя являю11ся случайны­
,ми (1недетерми1Нирова,н~ными).
Необх•одимо подчер,кнуть отно1сителыность :поня­
тия недетер1ми1нированнос11и. Сигнал щля отпра~ви-ге­
ля 1на передающем конце щетерминиро,ван , та1к как
при зада!-!IНО'М апо.собе пере,да,ч,и он ·оп1реде ляет,ся
извес11ным ,сообщением. Для получателя тот ж,е сиг­
нал !НЕщетер,миниро·ван, та:к как ,переща,ваемое ,со­
общение на приемно,м .ко1нце неи,Зiвест;но» [ 16].
Здесь ,слу,чайность т.ра1кту,ется субъе:кти,вно. По
суще,отву, в ;цриведенном отрывке математичес,кое
понятие .«,случайно1сть» под,меняется ~бытовым, по
мнению аа:~торов - более 'ДОХОДЧIИ/ВЫ/М IСМЫСЛО'М это­
го ·слова: для .меня -случайно · то, ·чего я ,се~ча ,с не
знаю . Если 1Стать 1на эту точку врешия, то ~можно
абъя·вить любую физичес,кую констайту, :наi:Iри,ме"р
255


заряд электрона, случайной .величиной, поскольку
я ее 1зна"Чения не 1по1мню. Ксоnда же я загляrну в
опра1вюч~ник, она перестанет быть для ,меня слу,чай­
ной.
Вряд л·и так,ое 1су1бъе:ктивистокюе толкование
случаfuно,сти полез1Но даже для поя1е1нения ,студен­
там . В,ероя11ность, каlК и информацию, ~следует раrе­
сматр1ивать объе1ктивно. Сиnнал слу,чае,н •не потому,
что кто - то его вара 1нее не ,знает, а только по·юму,
ч·ю он выбирается с опреtделенной ,вероятно1с11ной
мерой 1из некоторого мнюж•е,ст1ва. Вся,кая же реали­
зация с игнала являет ся ,детерми1нирова1нной функ­
цией .
15.4 . Оценка энтропии текста методом
отгадывания
В одной из •рабm Шен.нона [58] оlбсуждае11ся за­
дача 1вычИ1сления энт;ропии англиЙ<С'юого те~кста. По
определению Э1нтропия •в ра,счете 1на одну · бу;юву
ра1вна
Н = <Iog (lJp)>,
(15.4)
rще р - вероятность бу1ювы ,в щанно1м :конте•Кiсте.
Эта 1не:роятно1сть является слу~чай1Ной величиной, за­
ви,сящей ка1к от самого зна"Ч•е.ния tбу1ювы, так 1и от
всего предыtдуще:rо текста .
Если бы мы ·раопола1га,ли табл,ища,ми вероятно­
стей длиН1ных последовательностей бу:~ш в :множе­
с11ве текстов lЦЛЯ даtННОГО я.зыка, то IMOЖJHO было бы
вычислить ЭIНтропию по фор,муле, ·вытекающей из
(15.4):
Н = -1 <Iog(l/pn)>,
п
(15.5)
где Pn - вероя11ность после:цова11елыности из п
букв, а п - 1с11оль большое ,число, IЧ.ТО !Вероятност-
256


ные овя-з.и между буювами дальше п не ра,спро­
страняю11ся .
К: сожалению, та1кие таблицы 1для .различ1ных
языко·в существуют толыко пр:и п::;;;3+4, то,гда .как
вероя11ностные свя-зи ,прости~рают.ся знач,Итель~но
дальше. И .вот 1И1дея Ш·еннона . за~ключала,сь в 11ом,
что эти таблицы может зам,ениrгь ,челове,к, :,юрошо
вла~деющий данным язь~'1юм, ·1юторый в ряде ,слу­
чаев ~может безошибочно определить - букву, сле­
дующую за данным отрыююм теюста . К:О1нечно,
это ,не значит, что он мог бы состав·ить rгаблицу 1Ве­
роя11ностей ра з лич1ных по,слмо1в а т,ельностей бу1кв
или Т·ем боле,е у~каза•ть .алгоритм , ,с помощью кото­
рого о:н уга,дывает ,следующую бу1юву . Многое из
того, что про,исходит ,в нашем ,сов1нан1ии, трудно или
даже невоз,можно описать алгоритмо1м, на.пр,имер
мы все еще ,не знаем, ка •к опознаются различные
слуховые или зрителыные ,об~разы. Тем не менее,
та,кие алгори11мы, на~м ,неиз,вес11ные, ,существуют и
мы им.и повсед,не1Вно поль зуемся .
Рабочая гипотеза, выдвинутая ШеннО1но-м, за­
ключается в ·юм, что ово6одно ,владеющий языком
челове,к может :быть «идеалыны1м пре~ц,сказателем».
Это значит, IЧТО, о'I'гадьnвая ~следующую букву , он
все,гда называет ту, которая я,вляет,ся 1наи6олее ве­
роятной .в данном ,конте·юсте . Бели ,О\Н ее не 011rадал
и ему сообщили об етом, '!10 в слещующей ПО1ПЫ1же
он ,назовет вторую по нероят,ноег,и ,бук,ву и т. д.
Если ·теперь запи1сать последоrват,елыность чисел,
определяющих ЧИ!СЛО по,пыто1к !При отгадыва1нии
каж~дой ,бу1tвы, ''Ю эта лоследовательность будет со­
д~ржать !Полную информацию о теюсте. Действи­
тельно, другой «идеалыный лр,ед:окаэатель» при ана­
логичном ,испыта~нии должен 1навы1;Jать бу:квы в том ·
ж,е порядке, а так как .полученна.я ч,исло.вая после­
довательность укавыва,ет, на ·ка,кой бу,юве слещ.ует
257


каждый раз остановиться, то ,ве.сь те1<"ст будет ;~ю.с ~
ста,1-ювлен ПОЛНОIС-ТЬЮ .
'
Та,ким 06разо1м, э~н11ропия текста раiВiна энтро­
пии rюлученной последо.вательжj,сти чИJсел, а пос­
лед1нюю оценить вна'Ч'Ительяо проще, хютя бы пото­
му, что в ней значи11ельно меньше проявляются 'Ве­
роят,1-юстные свя.зи между симшола,ми (числами).
Интересующих,ся пощюбно-с11ями этой оце.НJюи от­
сылаем к упо,мя,нутой статье [58].
Не следует думать, что И1Сшользаван,ие человека
в этом ЭI<юпер.имеште, о,31начает ,подмену объекТJив- ,
ного поня-r·ия вероятности ,субъективным, аналогич­
ным тому ·пониманию ,случайности, коюрое щрити­
ковалось в ,предыдущем пара,г.рафе. Нет, з,десь
имеется в вищу вер,оятню,сть ,в строго научном, объ­
екти:в.ном смысле . Но ,в соответс11ви~и с гипотезой
Шен·нона человек, влад:еющий я.зыком, у,меет есл,и
не определить точно верояТ~ности ра,зличшых букв,
следующих за даsным 011рыв1юм, то хотя бы раз­
местить их 1В порядке у,бьrвающих вероятностей.
Ни:кто ни:1югда не утверждал, что эта гипотеза
абсолютно ,верна, 1но о,на, по-,в·идим,ому, .не ща,лека
от истины (1опять-таки 1в вероятно;с11ном смысле), и
поэ11ому предложеНtная процедура годится для при­
бл,иженного эюопери:менталь.ного 1измерен,ия энтро­
пии текста.
Многие лингвисты использовали 1пр,е.щложен1Ный
метод для определения энтропии те.юсто1в на раз­
личных языках. К •сожалению, 1пр,оцеду~ра 011гады­
ва~ния, описанна,я Шен1ноном, ,в применении к до­
статочно длинному теюсту ( а это необх-ощи,мо для
того, что·бы учесть .в1се дальние 1вероят,но,ст.ные свя­
з,и) д:оволыно длительна и утомительна. И вот .не-
1ю11орые экспериментаторы решили ее рационали­
зировать. Вместо одного 011гадывающего они ,ис­
пользовали бригащу, 1НапрИ1ме.р 50 чело,век. Каж-
258


!
i~
t1
l
t
11
дый из уча,с11ников iнаэывает пр,едполагаемую сле­
дующую бу:к,ву. Отн:0:ситель:н.ое ч:исло голосОiв, по­
данных эа да·н,ную буКiву, пр,инимается эа ее .вероят­
ность р. Это поз1воляет ,сра,зу оп,ределить значен.ие
log 1/р и, усреднив его по всем бу1к,вам в тек,сте,
найти ,статистическое значение энтропии по ф - ле
( 15.4) ,с за:меной ·мате.матиче~ско1го ожида·ния ё:тати ­
стич,еоким •сред,ним. Не правда ли, црешрас,ная ра­
ционализация?
Тшк может ,показаться 11ол1:11ю_ ,с первого взгля­
да. В дей1с11вителыности «рационализ,ирова:н,ная»
процедура ниче,м -не обоонована. Если прещполо­
жить, что В:се участ,ники бригады я,вляются идеаль­
ными пред,с1{азателя, ми, т. е . удовле11в,оряют г.ипо­
те з е ШешнОiна, то все они ,в,сегда д,олж·ны называть
одну и ту ж,е бу,юву, наиболее вероя11ную, даже
если ее вероя11ность з:на,qительно меньше полови­
ны. А ,в соо,11ветст,в,ии с выбра1нной 'П!роцедурой ее
вероятность будет принята за едИ!ницу. Бели же в
б,ригаде имеютоя ,разногласия, то это св·иде'тель:ет­
вует лишь о ·юм , что участни~ки бригады не идеаль­
ные пред,сказатели . Но мож,но ли по числу их го.л,о­
сов ,судить о ,вероятност,и наз,ва1нных им~и букв? Это
было бы так, если ,бы мож1но было утверж;дать,
• чт, о та кой «неидеальный» предсказатель
называет
ожидаемую букву случайно, прич·е,м 1вероя'Шюсти
Рв .выбираемых им ,бу:юв совпа1дают .с вероят,1-юстя­
ми р появления .бу1@ в тек,сте. Э~та гипот,еза пред­
ставляется мало ,правдоподобной. Ведь каждый из
участнико,в бригады бу1дет называть ту букву, ко­
торая предста .вляет,ся ему наиболее вероятной, и в
тех ,случаях, 11югда верояшюсть ка:кой: -то · буквы за­
меыrо превышает вероят,ности каж1дой из осталь­
ных, ,скорее в,се1го все назовут именно ее.
Конечно , испо.льзован,ие бригады, в принципе,
может улучшить процедуру Шенш01на, одна:ко не
259


при такой тра:ктоrвке р·езулЬ'та:'ЮВ. Правилынее бы­
ло бы ра,ссма'1'ривать решение большинст,ва ,как
близкое к :решению «1щцеального rпр,ещсказателя».
Поэт,ому нужно не подсчиты1вать голоса, поtда1Н1Ные
за другие буквы, а от,б!расывать их. Бели же rна­
з,ван!ная больши·нство1м бу:ква у['адана ,неве1р1но, то
нужно ,сообщиrгь об э·том rи предло,ж,ить всей бrрига­
де •назвать другую бу~юву та:к же, ~ак это делал
Шенно,н с ОЩИ!НО'ЧIНЫМ пр·едс.казателем. Это \Не о,б­
легчит и не ус•ко ,р'ит про:цедуру, но сделает ревуль­
тат более надежrным, если б,р,иrаtда в целом ближе
к «ищеалыно,му предска:зателю», чем любой из ,ее
членО'в .
15.5. :Кое-что о терминах
Говорят, что молодые ученые не обращают внимания на
чистоту терминологии и используют первые пришедшие в го­
лову слова, лишь бы они были строго определены. В зрелом
воз,расте насту,пает обычно здравое отношение к терминоло­
ги и. Старые же ученые, по мере того как их творческая ак­
тивность угасает , начинают п,ридавать терминологии все
боль ш ее значение, пишут о ней, критикуют чужие работы
не за их содержание, а за терминологию и т. д. Автор, по­
видимому, уже перешел в третью категорию и поэтому не
смог удержаться от включения этого параг,р-афа в настоящую
юшгу.
Мы не будем говорить об общем положении с термино­
ло ги ей в обла-сти теории связи. Остановимся только на не­
скол ь к и х случаях, свя занн ых с у потреблением отдельных тер­
минов и с ОТJШОНениями ОТ общих ЯЗЫIЮВЬJ}[ норм, с IЮТО­
рыми при ходится встречаться.
В свое время, ра,ссмат,ривая оптимальный прием сигналов
на фоне небелого («·окрашенного») га уссо вского . шума,
В. А. Котельн.иков ввел вспомогательный фильтр, преобра­
зующий ОJ{рашенный шум в белый. Этот фильтр впоследст­
вии стали называть «обеляющим», что вполне соответствует
смыслу . Обелить - значит сд,елать белым . Но в последние
годы все чаще этот фильтр называют «отбеливающим». Хо­
рошо ли это? Слово «отбеливать» тоже означает сделать
белым, но оно имеет явный химико-технологический оттенок.
260


1
1
Можно сказать ·«обелил свою совесть» и «от беливает полот•
ню», но наоборот вряд ли кто -либо скажет. Белый шум явля•
ет,ся вее же математической абстракцией, и глагол «обелить»
подходит к нему больше, нежели «о т белить».
От собственного имени Гаусс можно произвести два при •
лагательных - «гау.ссовский» и «гау,ссов», так же как от
имени Петр можно произ,вести «петровокие в,ремена» и «пет•
рово творенье» . Одна,ко все чаще и чаще, сначала в диссер•
тациях, а теперь уже и в журнальных статьях пишут «гаус ·
с-овый шум» и «гауссовая по.меха» . Но такое словотворчество
в корне противо.речит законам и духу ру,сского языка. Ни­
кто ведь не скажет «петровый дво,рец». И никто, к счастью ,
не пишет « рэлеевые замирания» или «вин,еровый фильтр» .
Как же это мо гло произойти?
Лет десять назад такого слова встречать не дриходи­
лось. Писали и склоняли « га у,ссов шум», «гауссо ва шума»,
«гауссо,ву шуму» и т. д. Но в выражении «канал с гауссо­
вым шум.ом» фдрма «гауссовым» со.впадает и с творительным
падежом от «гауссовый». И как-то по инерции стали изме•
нять и другие падежи и писать «гау,ссов.ого шума» вместо
«гауссо·ва». Это было начало, а в последние 2-3 года ста,л.и
уж прямо писать «гауссовый» даже в именительном- падеже.
Может быть я и ошибаюсь, но мне слышится в этом слове
неуваж,ение к памяти великого математика. Куда смотрят
редакторы?
Как же лучше писать, гау.ссовский или гауссов? Мне 1,а­
жется, что обе эти формы ,Diопустимы. Но все же некоторые
нюансы в этих вариантах следует .различать. Форма «гауссов»
несколько архаична. Кроме тола, она означает «п р.инадлежа­
щий Гауссу», и поэт,ому ее н ежела тел ьно дрименять к тем
понятия м, с кото·рыми Гаусс в свое время не сталкивался.
Фо·р.ма «гауссовокий» значит «относящийся к Гауссу» и
имеет более широкую область применения. Так, по-видимому,
можно писать «гаусс,ово расп,ределение», по.rnюльку оно дей­
ствительно полу,чено Гау,ссом и принаtдлежит ему. Еще луч ше
избегать архаизма и писать «раоцределение Гаусса». Шума ­
\!И же во времена Гаусса не занимались, и поэтому лучше
применять форму «!'ау.ссовс1~ий шу.м», а не «гауссов шу.м» и
не «шум Гаусса ».
Часто встречаются технические и математические диссер ­
тации, написанные без соблюдения . литературных и даже
грам ма тич е ск их норм, бесцветные и неудобочитаемы е . Заме­
чания оппонентов по этому поводу считаю"nся .несущественны­
ми, и наобо,рот, если . в отзыве указывается, что диссертация
изложена хорошим языком и легко читается, то это воспри -
261


нимается не как выполнение обязательного условия, а как
редкое достоинств-о.
.
В вопросах терминологии и словоу.потребленип следует
внимательно прислушиваться к советам, даваемым филолога­
ми. Впрочем, здесь иногда тоже возникают курьезы и недо ­
разумения. Так, несколько лет тому назад в «Литературной
газете» была опубликована статья, в которой автор в-озму­
щался пр .оизвольными искажениями научных терминов и, в
частности, отмечал, что раньше единицу информации называ­
ли «бит», а в последнее время все чаще пишут «б айт». Ему
и невдомек было, что «бит» и «байт» - это не разночтеНИSJ,
а две различные единицы.
Еще раньше, в той же «Литературной газете» в заметке
о языке научной литературы, высказывалось недоволь·ство
словом «усреднять», .1юто,рого якобы в литературном русском
языке не существует, и предлагалось пользоват ь ся «правиль­
ным» словом «осреднять». До сих по.р не могут понять, чем
префикс «у» хуже «о» . Ведь и тот, и другой широко приме­
нюртся для придания глаголу смысла законченного действия,
хотя и имеют некоторые семантические различия . Например,
мы говори м и пиш ем «остановить» и «устано.вить», «окра­
сить» и «украсить», «ох,ватить» и «у1еватить», «оправлять» и
«управлять» и т. д. Никто ведь не предложит вместо «удли­
нять» пи сать «одлинять». Чем же вызвало немилость привыч­
ное и ясное понятие «усреднить»?
К сожалению, при о.бучении инженеров мал.о внимания
уделяют прив итию им культуры речи. А эт.о совершенно не ­
обходимо. Без точности языка не мож-ет быть ясности мысли
15.6 . Нес:коль:ко :курьезов
В первые послево енные годы , задолго до начала космической
эры, од-ной из важнейших задач в области телевидения было
отыскание способа передачи телевизионных программ на боль ­
шие расстояния. Радиорелейных ли ний был о очень мало, ко­
аксиального кабеля еще меньше, а об иску,сственных спутни­
ках Земли мечтали толь.ко лисатели-фанта-сты .
В эти годы одновременно во многих странах возникл а
мысль и спользова т ь Луну в качестве па сс ивного ретрапсют­
то,ра. В частно ст и, расчет ами такой системы занимались и в
лаборатории, которой в то время руководил автор. И вот на
отчет, посвященный опред елению энергетических параметров и
эффективности такой системы, поступила рецензия, в которой,
в частности, говорилось:
262


«В отчете утверждается, что отражения •от Луны позво­
лят 0'6е с1Печить 1Переда,~у •п,роРра ,мм ;це,1-iтрал,ын,ого тел,е,в1иде.ния
в удаленные пункты страны п-римерно в течение 9-10 часов
в сутки. Но там не учитывается, что каж,дый месяц н-а:сту­
пает новолуние и в течение ·нескольких суток Луны на небе
вообще нет, так что регулярного телевизионного вещания
осуществить не удастся». Комментарии, надеюсь, излишни.
В одной рецензии на диооертацию содержалось-- примерно
такое замечание: «Диссертант ошибочно утверждает, 1по ве­
л.ичина А пропорциональна х2. Как видно из его формул, А
пропорциональна величине х2/2».
Вообще терминам «пропорционально» и «обратно про.п,ор­
ционально» очень не везет. Много раз приход,илось встречать­
ся с ут,верждениями, что А обратно пропо.рционально В, тог­
да как в действительности имеет место лишь монотонное
убывание А с воз,растанием В. Такая неаккуратность в обра­
щении с понятием пропорциональности вызывает часто забав­
ные, а иногда и п_ечальные посл е.п,ствия. Так, например, из­
вестно, что в канале с рэлеевс к ими замцраниями вероятность
ошибки приблизителыю обратно пропорциональна мощности
сигнала. В рукописи одного учебного пособия я вместо это.го
прочел следующее: «В канале с рэлеевскими замираниями
вероятность правильного приема пропорциональ·на мощности
сигнала». Автор пособия, как выяснилось в беседе с ним, счи­
тал обе формулировки сове,рше_нно эквивалентными. Тогда я
его спросил, какой станет вероятность правил.ьного приема
при мощности сигн а ла 2Р, если при мощности Р о.на равна
0,6. И только тут он призадумался.
15.7. РедаRторы и :корректоры
Что бы мы без н1их делали? Трудно переоценить
роль редакторов и корре,кторов Пtри выпу1ске книг.и
и даже журнальной статьи. Ча,сто мы го.варим, что
книга ,написа:на хорошИ!м я.зыком и лепю читается,
даже не подозревая, что рукопись была написа'На
косноязычно и толь:ко упорная ра.бота редаr.ктора
позволила пршдать ,ей удобочитае,мый ,вид. М1Не по­
счаст.ливилось чаще всего ра,ботать ,с ~орошими ре­
дакторами. Но !Нет пра~вила без исключения и о
них-то я и хочу здесь ра,с•аказать.
263


В давние в-ремена, когда я еще только начинал препода­
вать, а вопросы теории связи только начинали вводиться в
программы обучения свя_зистов, я написал и издал на рота­
торе учебное пособие «Системы связи и помехозащищен­
ность», в котором излагались для будущих инженеров основ ­
ные пол.ожения теории ввроятностей и помехоустойчивости.
И вот редакто·р всюду изменил в рукописи термин «бино ­
миальный» на «биноминальный». Коr,да я возмущенный при ­
бежал к нему, он показал мне словарь, каж·ется, подготовлен­
ный Академией наук, в котором действительно слова «бино­
миальный» не было, а было слово «биноминальный». Как это
мorvto произойти - я д·о' сих пор не понимаю. Ведь этимо­
лоrически CJJOBO «биноминальный» должно означать «имею­
щий два номинала», а вовсе не «относящийся к биному». Ко­
нечно, сейчас я не потерпел бы такой вольности и настоял
бы на своем. Но тогда я был начинающим автором и бороть ­
ся с редактором мне было не п од силу. Так и вышло это
пособие с «биноминаль ным распред,елением».
Несколько позднее , коrсд:а я издавал книгу в солидном
издательстве, я обнаружил только в верстке, что «рэлеевские
замирания» всюду изменены на «релеевские». В ответ на мой
недоуменный вопрос редактор сослался на орфографический
словарь, где указывалось, что слово «реле» пишется через
«е», а не «э», и был оч-ень_ удивлен, когда я заметил ему,
что «рмеевские замцрания» происходят не от слова «реле»,
а от фамилии «Рэлей». Это написание так и сохранилось в
кн иге, так как исправление всего набо,ра сильно задержало
бы ее выход в свет, а транскрипция иностранных фамилий в
кон це конца.в допускает некот-орый произвол.
В другом издат,ельстве в одной переводной книге редак­
тор заменил выражение «М-ичный» на «М-й», что, кон-ечно,
затруднило понимание . Это выяснилось тоже только в верст­
ке, а исправление потребова,ло бы переверстки значительной
части набора. Пришло.сь согласиться с ва,риантом редактора и
ограничиться разъяснением сокращения в подстрочном прим.е­
чании .
Иногда самостоятельным «творчеством» занимаются и
корректоры. Однажды в жу,рнальной заме11ке корректор, не
проконсульт_ировавшись с редактором, заменил обозначение
1. i . .m . (предел в среднеквадратичном смысле) на lim ( обыч­
ный предел), полагая, что · точки по.ста,влены ошибочно. В
друг-ой раз, в :юниге было использо,вано обозначение кванто·ра
о-бщно1сти: V е>,О 1 (т. е. для 1в,сех ,е , 1б 6л ыших 1н1уля). Все было
наб.рано верно, благО1IIолучно прошло верстку и сверку. В по­
следний же момент, перед выпуском тиража, типог,рафский
264
1
j
!1


корректор спохватился, заметив, что буква А перевернута и
поторопился « исправить» это, не опросив у редактора .
Еще ху же было с другой книгой, к которой авт,ор, прав­
да, отношения не имел. Типоr,рафскмй корректор обнаружил
в послед ний момент на титульном листе непонятное ему вы­
ражение «транзисторные у,силители», счел его опечат~ой и
за м енил (без ведома редакции) на ясное и понятное любому
пассажиру - «транз,итные усилители» .
:К сча1стью, такие казу1сы происходят тепе1рь
рмко. Наши высо1юквалиф,ицирова1н,ные редакто­
ры, коррект,о1ры и все работники и:зrдателыст,в и
типографий делают 1все для .того, чтобы наши юниги
и журн ал ы были хороши во ,всех 0·11ноше1Ниях, у,с­
пешно л аквид ируют недоста11юи ру1юп,иси и заслу­
ж ивают са1м ой большо й бла1го~арности от а1вто1ров .
Конечно, это ·отн осится .в полной мере и '!{ этой юни­
ге-. За все те недостатки, кото1рые в ,ней сох1ра~ни­
лись, полная ответсТ1Венность ле,ж1ит 1на .самом ав­
т,оре, 1юто1рый хоч,ет ее за1юнчить словами приз!l:!а­
телыности, обращен-ныМ'и ко ~всем, помо,гавшим ему
в ее ,создании.


Список литера•rурьi
1. Агеев Д. В. Активная nолоса ч,астотного спектра функ­
ции !Времени. - «Труды ГПИ», 1955, 'I' .
11, No 1,с.5- 10.
2. Attaway N. G . Suppresed Si deband А-М Telephony. QST,
1974, v. 58, N 4, р. 49-50.
З. Brennan D. G. On the Maximum Signal-to -Noise Ratio
Rea\izaЬ\e from Several Noisy Signa\s. -
.«P IRE», 1955,
v. 43, N 10, р. 1530.
4. Бунимович В. И. Флуктуащюн·ные процессы в рад!Иопри ­
емных устройствах. М., «Советское радло», 1951. 360 с.
5. Вакман Д. Е. Асимптотичеокие ,методы в линейной радио ­
тех1-I!Ике. М., «Со.ветокое радио», 1962. 247 с.
6. Вакман Д. Е. Об определении понятий амп л итуды, фазы
и мгновеН1ной частоты сигнала. - «Радиотехника и элек­
трон,ика:<>, 1972, т. 17, No 5, с. 972-978.
7. Введенс1шй Б. А., Аренберг А. Г. Радиоволнюводы. М.,
ГостеJсиздат, 194'6. 191 с.
8. Виннищшй А. С. Модулироващ1ые фильтры и следящий
прием ЧМ сигналов. М . , «Со.ветское радио», 1969. 547 с.
9. GаЬог D. Theory of Coпimunicatioп.-<«Jourп. 1. Е. Е.», 1946,
v . 93, N 26, part III, р. 429-457.
. 1О. Галлагер Р. Теорин инфор.мации и надежная свя.зь. Пер.
,с а1нгл. [ЮЩ ред. М. IC. ,'Пи1н1с,кора .и Б . ,С. Цыба .к о,ва. М.,
«Сове'!'ское радио», 197 4. 719 с.
1 1. Гоноровский И. С. Радиотехн.ически е цепи и си гналы.
Ч . 1. М., «Советское р а д!Ио», 1966. 4,39 с.
12. Го н оровс1шй И. С. Радиотехнические цепи и сиrнаJт ы. М . ,
«Оовеккое р адио», 197 1. 671 с.
13. Горели:{ Г. С. Коле б а Н1ия и волны. М.-Л., ГИТТЛ , 195 0.
551 с.
14 . Железнов Н. А. О 1П ринципиальных вопросах те о рии с и г ­
· н алов и зад а чах ее дальне й шего разви1~ия на основе но ­
вой стохас'!1ическ.ой 'Модели. - «Радиотехника» , 1957, т. 12,
No 11, ,с. 3-12.
•
15. Зюко А. Г. Помехоу с т о йчивость и эфф ективность оистем
свпзи. М., «Соязь», 1972 . 359 с.
266


16. Зrоко А . r ., Коробов Ю. Ф . Теория передачи сигналов.
М., «Свя зь» , 1972. 280 с.
17. Ca1·son J. R. Fгequency Modulation.-«PЩE», 1922, v. 10,
N 57, р. 243.
18. Кловский Д . Д. Потенцналы{ая п омехоустойчивость при
разнесенном _л рне:ме дискретной ин,форма ции. - «Радио ­
техника», 1961, т. 16, No 3, с. 22-30.
19. КJювский Д. Д. Теори я передачи сигналов. М., «Связ ь »,
197 3. 376 с.
20. Колмо г оров А . Н . Три под ход а к определен.ню понятия
«1ю л1Ичество информащш» . -
«Проблемы передачи ин­
. фо рмации»,
·1965, т. 1, вып. 1, с. 3-11 .
21. Коржик В . И. Ог,ибающая аиг~,ала .и н еко торы е ее св ой ­
ства. - «Радиотехника» , 1968, т. 23, No 4, с. 1-6.
22 . Коржик В . И. Ра,сширенво е преобразование Гильберта и
его прим енение в теории с11гналов. - «Про блемы пер еда ­
чи информации», 1969, т. 5, -вып. 4, с. 3-18.
23. Котельников В. А. Теорня поте нц и альной п ом ехоустой ­
чивости . М.-Л., Госэнерюиздат, 19 56. 151 с.
24. Крамер Г., Лидбеттер .М. Стаrщонарные случайны е пр о ­
цессы . Пер . с ,англ. под ред . Ю. К. ,Беляев а . М., «Мир»,
1969. 398 с.
25. Кушнир В. Ф ., Ферсман Б. А. Теория нелинейных элек­
трич еских цепей. IМ., «Связь», 197 4. 383 с.
26. Леnин Б . Р. Теоретические основы статистической радио­
техники . Ч. 1. М ., «Советокое радио», 1974 . 550 с.
27. Левитин Л. Б. Пер енос ивформации в ид еал ьном фотон­
но м канале. - «Проблемы передачн ,инфор,ма!.i,1ш», 1965 ,
т. 1, вып. 3, с. 71-80.
28. Литлвуд Дж. Ма т ематическая смесь. Пер. с ан гл . под
ред. В. И. Левина . IМ., «Наука», 1973. 142 с .
29. Манаев. Е. И . О ширине по лосы при приеме ЧМ сигна­
лов.-, «Радиотехника», 1948, т. 3, No 5, с . 54-61.
30. Мидлтон Д. 1В·в еде ние в стат,ист:ическую теорию связи.
Пер. с англ , лод ред . Б. Р . Ле~ива. М., «Советс1юе ра­
д,ио», 1961, т. 1. 782 с.
3 1. Nyquist Н. Certain Topics in Telegraph Tr a nsmission Theo-
ry. - «Transact. Ат . I. Е. Е .» , 1928, v. 47, iN 2, р. 617-644.
32 . Вин ер Н., Пэли Р. Преобр~зование Фурье в комплексной
области. Пер. с ажл . Ф. В. Ши ро,кова. М ., «Наука», 1964 .
267 с.
33 . П ет рович Н. Т . Перед ача д1Искретной информации в ка­
налах с фазовой .манипуляцией . М., «Советское радио » ,
1965. 263 с.
267


34. Пе11рович Н. Т. ,«Кто Вы?». IМ ., к<Мол,од,ая ,11в -а,рд,ия», 1970.
239 с.
35. Рытов С. М. Модулиро,ванные колебания и волны.
«Труды ФИАН», '1940, т. II, вып. 1, с. 41-133.
36. Рытов С. М. О неко1'орых «па ра доксах», связа нных со
спектральным ,разложением . - «У,спехи ф113ических наук»,
1946, т. 29, вып. 1-2, с. 147-160.
37. Смирнов В. А. Осно вы радиосвязи на уль'Г рако ротки х
волнах. М.., Овязьиз:дат, 1957 . 819 с.
38. Стейн С., Джоне Дж. Принципы современной теории
связи ,и их применени е к передаче дискретных сообще ­
ний. Пер. с англ. под ред. Л. М. Фини,а . М., «Связь»,
1971. 3 76 ,С.
39. Стратонович Р. Л. И збрюrн ы е вопросы теории флюктуа-
111ий Б радиотехнике . \М.. , «Совет,ское радио», 1961 . 558 с.
40. Тихонов В. И. Один .способ опр еделен,ия ог.ибающей ква­
зи гар ,мон,ичесюих флюктуаций. - «Радиотехника и элек­
троника», 1957, т. 2, No 4, с. 562-5'68.
41 . Тихонов ,В. И. Статистическая ра,rщотех,ника. М., «Совет­
окое радио», 1966. 680 с.
42. Тихонов В. И., Кульман Н. ,К. Нелинейная фильтра ция и
квазикогерентный при ем сигналов. М., «Советское ра-
дио», 1975. 704 с.
1
43. Трахтман А. М. Введение в' обобщенную спектральную
теор,ию си11налов. М., «Сове11ское радио», 1792. 352 с.
44. Турин Дж. Лекции о цифровой связи. Пер. с англ. под
ред. Р. 3. Хасьминс){оrо . М., «Мир», 1972 . 104 с.
45 . Финк Л. М. 1С,о,отношен1и,я 1мелчцу 1С1ПбК11Р:О'М 1и 'М!1НО!Вен,ной
ча,стотой с игнала. - «Проблемы п ередачи информа ции »,
1966, т .2, вып. 4, с. 26-38.
46. Финк Л. М. Теория передачи дискретных сообщений. М..,
«Советское радио», 1970. 727 с .
47. Fleming А., Fortescue С. L. and oth. Notes оп Modulatio n.
-- '«Nature», 1930, v. 125 , р. 92, 198, 271, 306.
48. Френкс Л. Теория ,аи rна лов . Пер . с англ. под ред. Д. Е.
Вакмана. М . , «Сове11окое радио», 1974. 343 с .
49. Харкевич А. А. Спектры и анализ. М.-Л., ГИТТЛ, 1952,
192 ,с.
50. Harman W. W . Instantaneous Frequency. -,«PIRE», v. 42,
N 13, р. 599.
51. Хворостенко Н. П. Ога :nи1сТ1ИчЕ'!с1кая тео,р,и я дем,од,у ляции
дискретных с,иг,налов . М., «Связь», 1968 . 335 с.
52 . Hok G. Frequency Modl!!ation and Instantaneol! s Freqlleп­
cy,-«PIRE», 1953, v. 41, N 12, р. 1786.
268


53. Хурrин Я. И., Яковлев В. П. Финитные фушщин в фи­
зике :и технике. М., ~< Наука», 1971. 408 с.
54. Sl1ekel G.
•« Instantaneous»
Frequensy. -
«PIRE»,
1953,
v. 4/1!, N 4, р. 548.
55. Shekel G. . Оп tlle Term Instantaneous Frequ ency. -
«PIRE»,
1954, v. 42, N 6, р. 1024.
56 . Шеннон К. !Математическая тео-рия связи. - В кн.: Ра­
боты по теор,я-и ,инфо,рм,ации ,и JШбернетш,е. Пер. с англ.
под ред. Р. Л. До6рушина и О. Б. Лупанова. М., (<ИЛ»,
1963, с. 243-332 .
57. Шеннон ,К. Т еор1Ия св язи в секретных системах.
-
JB кн.:
Работы по т-еории rинформации и кибернетике . Пер . с
англ. 1Под ред. Р. Л. Добрушина и О. Б . J!упанова. М.,
«ИЛ», 1963, с. 333-402.
58. Шеннон К. Предсказание и энтропия печатного англий­
око го текста. - В кн.: Работы по тео.рии информации и
киберн,ет,ике. Пер. с англ. под ред. Р. Л. Добрушмна и
О. IБ. Jiу.панова. М . , «ИЛ», 1963, с. 669-686.
59 . Шеннон К. Бандваюн. В 1ш.: Работы по теории инфор­
мац,ии III кибернетике. Пер. ,с англ. под ред. Р. Л . Добру­
шина и О. iБ. Лупано,ва. IМ., «ИЛ», 1963, с. 667-668.
60 . Шкловский И. С. В•селенная, л~из,нь, разум. М., «Нау«а»,
1976. 336 с.
61 . Шрейдер Ю. А. О семантич,еских аспектах теории инфор ­
м,аu,ии. - В кн.: Информация и кибернетика. Под ред.
А. И. Берга. М., «Советское радио», 1967, с. 15-47 .


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
1. Об ошибках, парадоксах и задачах этой 1шип1
(Вместо введения)
1.1. Об этой книге
1.2. Ошибки
1.3. Парадоксы
.
2. Спектр и мгновенная частота
2.1 . Спор о спектре амплитудномодулврованноrо си г -
нала
.
.
.
.
.
.
.
2.2 . Спор об узкополосной частотной модующш1
2.3. В чем корень ошибки?
2.4. Обжегшись на молоке
.
2 .5. Попробуем быть последовательными
2.6. К теории ЧМ альтиметра
2.7. Существуют ли реально спектральные составляю-
щие?
.
2 .8 . Ошибки живучи
3. О комплексном представлении сигнала
3.1 . Обобщение символического метода
.
3.2 . Однозначио ли определены огибающая и мrновен-
иаячастота?......
3.3 . Что такое преобра зование Гильберта?
.
3.4 . Другие определения сопряженного сигнала
3.5. Конкурс определений
.
.
.
.
3.6 . Как же быть с финитными сигналами?
3.7 . Занимательная задача
4. Как не следует пояснять теорему Котельнююва
4.1 . Сущность теоремы
.
.
4.2. Попытки наглядного пояснения теорем ы
4.3 . Ослабленная теорема Аге е ва
.
270
Стр.
3
4
4
7
q
16
21
24
29
33
36
37
39
41
43
46
j
50
53
56
59
1J
61
•
64
1
66
~'


Стр.
4.4 . Доказательство тео ремы Агеева
66
4.5 . Можно ли пере дать мегабит за секу н ду в полосе
lM
W
5. Предел или барьер Найквиста
72
6. Еще о спектре сигнала и его мгновенной частоте
6.1 . Сущность вопроса
87
6 .2. Некоторые заблуждения
88
6.3 . Поиски
91
6.4 . Находки
96
6.5 . Разочарование
100
6.6 . Кое-что о линейных цепях
100
7. Bor<pyr частотной модуляции
7.1 . Применяется ли частотная модуляция на практике?
7.2. Ширина спе ктр а при угловой модуляции
8. На одной боковой
8.1. Рекорды однополосной модуляции
.
8.2. Как записа ть однополосный си гн ал?
8.3. Как выгляд ит однополосный сигнал?
8.4 . «Формула Костаса» ✓
8.5. Как детекти ровать однQполосный сигнал?
8.6. Фантазии о квадратичном детектировании ОМ сиг-
налов . .
8.7. О тре буем ой точности восстановлен ия несущей
частоты
9. Связь с собрать ям и по разуму
9. 1. Готовьтесь к межпланетной связи
.
.9 .2 . Передача в диапазоне сантиметровы х nолн
9.3. Связь в оптическом диапазоне
9.4. Где выход ?
10. Лучше наилучшего
10.1 . Изобр етатели «вечного двигателя»
.
10.2 . Широкополосная частотная ма нип уляция
10 .3 . Интервальная ман ип уляция
.
10.4 . « Сверхоптимальный» прием
10 .5 . Давайте разберемся
.
104
109
115
119
120
123
130
140
144
150
151
154
158
161
166
170
177
']85
271


11. Парадокс импульсной модуляции -
11. 1. Порог помехоустойчивости
11.2. Пропускная способность
11 .3. Небольшие уточнения
12. Берегитесь неточных формулировок
195
199
200
12 . 1. Зани м ательные парадоксы
.
,
207
12 .2 . Количество информации, передаваемой в rауссов-
ском канале с неопределенной фазой
208
12.3. О рэлеевских замираниях
212
13 . Ка1< оценивать верность передачи сообщений?
1.3 . 1, Верrо,я11но ,сть oшiи1бюl!Ji!lroro щеко1д~и,р,о'ван1ия
13.2. Эквивалентная вероятность о ш ибки
13.3. Где применять разнесенный прием?
.
13.4 . Критерии верности телефонного сигнала
13.5 . Чем кор м ить кошку?
14. Немного и н формации
14.1. О пост улатах теории информации
.
14.2 . Первые три условия
14.3 . Информация и время
14.4 . Семантическая информация
15. Мелочи
217
219
225
229
234
236
239
243
245
15.1. ФМ = ДБП?
251
15 .2 . Немного о белом шуме
.
252
15.3. Почему сигналы случайны?
.
.
255
15 .4 . Оценка энтропии текста методо м отгадывания
256
15.5 . К:ое -что о терминах
.
260
15.6. Несколько курьезов
.
.
262
15.7 . Редакторы и корректоры
263
Список литературы
266
1... ,
1