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Текст
Euclide
GENI
della
MATEMATICA
La definizione degli
assiomi della geometria
Euclide
RBA
A Joan Puig Vüanova,
per la sua bontà, la sua amicizia,
la sua complicità e il suo senso della famiglia.
In memoriam
JOSEP PLAI CARRERA è professore emerito
dell’Università di Barcellona.
I Geni della matematica
Pubblicazione periodica settimanale
Anno I - Numero 10 - Milano, 11 maggio 2017
Edita da RBA Italia
Via Roberto Lepetit, 8/10 - 20124 Milano
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Responsabile marketing: Tiziana Mandameli
Direttore responsabile: Stefano Mammini
© 2016 Josep Pia i Carrera per il testo
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© 2017 RBA Italia S.r.l. per la presente edizione
Impaginazione e adattamento: Lesteia, Milano
Copertina: Lorenç Marti
Progetto pagine interne: Luz de la Mora
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Crediti fotografici: Archivio RBA: 16, 23, 41, 57, 81, 103s, 105bs,
105bd, 111, 118; Museo del Prado, Madrid: 103d; Museo e Gallerie
di Capodimonte, Napoli: 105a; Sébastien Bertrand, Parigi 39.
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Stampato nel 2017 presso LIBERDUPLEX
Tutti i diritti riservati. Nessuna parte di questa pubblicazione
può essere riprodotta o diffusa senza il consenso dell’editore.
Sommario
INTRODUZIONE 7
capitolo 1 Euclide di Alessandria 13
CAPITOLO 2 La struttura degli Elementi 35
CAPITOLO 3 II Libro I e la geometria dell’universo 6i
CAPITOLO 4 II metodo del tangram negli Elementi 87
CAPITOLO 5 La teoria della proporzione
e il metodo di esaustione 107
CAPITOLO 6 La quadratura del cerchio 129
CAPITOLO 7 L’aritmetica negli Elementi mi
CAPITOLO 8 La trasmissione degli Elementi 155
EPILOGO 161
LETTURE CONSIGLIATE 163
INDICE 165
Introduzione
Quando parliamo di Euclide, parliamo di geometria e anche - sep¬
pur in modo molto diverso, come vedremo - di aritmetica greche;
nello specifico, del risultato della sintesi di tre secoli di raziona¬
lità greca applicata al pensiero matematico. Il termine matemata
(paörpnxxa nella grafia originale), che risale a Pitagora, significa
«ciò che si può apprendere». La scuola pitagorica, attiva a par¬
tire dal V see. a.C., stabilì come base della conoscenza scientifica
quattro materni che permettevano di spiegare «l’ordine e l’armo-
nia dell’universo»: aritmetica, geometria, musica e astronomia.
Secondo l’insigne pitagorico Archita di Taranto, la «matematica
sarebbe la somma di questi quattro materni» (nel Medioevo essi
furono la base del quadrivio che, insieme alle tre arti del trivio
- grammatica, logica e retorica - costituivano le «sette arti libe¬
rali», la parte centrale del curriculum universitario). Nella Grecia
classica, ossia dal V al III see. a.C., la parola matemata è inscindi¬
bile dalla parola filosofia (<t>iXooo<|Ha), «l’amore per la sapienza»,
il cui uso venne introdotto per designare una certa inclinazione
verso la conoscenza.
Questo libro si serve della figura di Euclide e in particolar
modo del suo grande capolavoro, gli Elementi di geometria,
come riferimento ideologico e metodologico per analizzare i
contributi più rilevanti del pensiero matematico greco. Secondo
il filosofo neoplatonico Proclo, una delle fonti principali che ab-
7
biamo a disposizione sull’opera di Euclide, tale pensiero prende
le mosse dal celebre filosofo e matematico Talete di Mileto, nato
nel 624 a.C., uno dei Sette Sapienti di Grecia, nonché fondatore
di quella che talvolta viene chiamata la scuola filosofica di Mileto.
Questo avvio coinciderebbe, secondo lo stesso autore, con la na¬
scita del pensiero filosofico ellenico nel suo insieme.
Il primato di Talete sarebbe poi passato nelle mani di Pita¬
gora di Samo, nato intorno al 570 a.C. e fondatore della scuola
mistico-filosofica che porta il suo nome. Con essa si approfondi¬
sce la geometria e nasce l’aritmetica intesa come arte deduttiva.
Veniva così stabilita la distinzione fra la logistica o «arte pratica
dei numeri» (in cui rientrerebbe la geometria intesa come arte
della misurazione) e l’aritmetica o «teoria dei numeri». Le idee
filosofiche della scuola pitagorica esercitarono la loro influenza
anche sulla famosa Accademia di Platone, attiva dal 387 a.C. Fu
qui che si formò un matematico straordinario, Eudosso di Cnido,
il cui legame con l’Accademia (fu docente, alunno e ospite) è
tuttavia difficile da definire. A lui si devono due concetti fonda-
mentali che più tardi sarebbero stati ripresi da Euclide, la teoria
della proporzione, necessaria per stabilire i teoremi di Talete
sulle linee e le superfìci, e il metodo di esaustione, che è la base
teorica necessaria per il calcolo delle aree delle figure geometri¬
che piane e dei volumi dei solidi.
Durante il IV see. a.C. si consolidarono nuovi strumenti
logici, come quelli ideati dai filosofi stoici e da Aristotele, che
costituiscono l’impalcatura del testo euclideo. In particolare,
Aristotele fissò dei limiti al concetto di infinito, una nozione di
fondamentale importanza sia neH’aritmetica di origine pitago¬
rica sia nella geometria euclidea e soprattutto nel fondamentale
postulato delle parallele. Gli Elementi di Euclide sono eredità e
sintesi definitiva di questi predecessori. Nello sviluppo della ma¬
tematica greca, sostanzialmente in geometria, questo capolavoro
segna un prima e un dopo. Altri trattati fondativi - ossia di natura
teorica - di geometria, astronomia o aritmetica, come la Sintassi
di Claudio Tolomeo, YAritmetica di Diofanto e la Sintassi ma¬
tematica di Pappo di Alessandria, ne hanno ereditato lo stile de¬
duttivo. Ma il suo impatto va ben oltre. Lo storico Cari B. Boyer
8
INTRODUZIONE
definì gli Elementi il testo di riferimento più importante della
storia, e calcolò che solo la Bibbia lo superava per numero di
edizioni (circa 1000). Lo studiarono Cartesio e Newton, e opere
come i Principi della filosofia o i Principia mathematica, scritti
quasi duemila anni dopo gli Elementi, ne riprendono la struttura.
È con ogni probabilità il testo di matematica più importante che
sia mai stato scritto.
Quando ci si accosta alla biografìa di Euclide, non si può
prescindere dall’analisi degli Elementi e, attraverso di essi, dei
tre secoli di epistemologia della matematica e di pensiero greci
raccolti in questo testo. A esercitare la prima e più importante
influenza sull’opera sono la scuola platonica e quella aristotelica,
del cui pensiero matematico gli Elementi possono essere con¬
siderati la sintesi. Sebbene ci siano autori che riscontrano negli
Elementi una maggiore influenza della prima, la sua struttura,
come vedremo, è fondamentalmente aristotelica, senza che per
questo vada ignorato l’influsso dell’Accademia rispetto ai singoli
contributi geometrici di Teeteto, Teodoro o Eudosso, o alla co¬
struzione dei solidi platonici con cui si conclude l’opera. Ana¬
lizzeremo quindi il perché di alcuni dei postulati più importanti
- certi espliciti nel testo, altri impliciti - e della loro necessità
epistemologica e metodologica per lo sviluppo del testo eucli¬
deo. Vedremo anche come influisce il limite, o se si preferisce il
ridimensionamento, imposto da Aristotele al concetto di infinito
e quali sono le conseguenze che tale limite comportò per lo svi¬
luppo della matematica post Elementi.
Un altro tema centrale che affronteremo è la questione
dell’esistenza degli oggetti geometrici, sia dal punto di vista pu¬
ramente filosofico che metodologico. Analogamente, presente¬
remo nel dettaglio la questione della quadratura del cerchio, uno
dei problemi più importanti tra quelli ereditati dalla geometria
ellenica, che ci darà lo spunto per parlare del grande Archimede
e, nel mentre, di altre figure di rilievo della scienza antica, come
Apollonio, Tolomeo, Diofanto, Pappo e Proclo, senza le quali è
impossibile avere un’idea completa della “matematica greca” nel
suo insieme. Infine, ci occuperemo dei contributi aritmetici, di
origine pitagorica, che Euclide presenta nei Libri VII, Vili e IX.
INTRODUZIONE
9
La tabella seguente contiene i simboli usati nel testo per rife¬
rirsi ai segmenti rettilinei; agli angoli; ai triangoli; alle figure ret¬
tilinee chiuse di tre, quattro o più lati - triangoli, quadrati,
rettangoli, parallelogrammi; alla circonferenza (la curva formata
dai punti del piano equidistanti da un dato centro O) e al cerchio
(la superfìcie racchiusa dalla circonferenza).
Simboli usati nel testo e loro significato
AB
Segmento rettilineo con estremi A e B.
< ABC
Angolo con lati AB e BC e vertice nel punto B.
A ABC
Triangolo con vertici A, B e C.
UAC
Quadrato con vertici opposti A e C.
□/AC
Rettangolo con vertici opposti A e C.
oAC
Parallelogramma con vertici opposti A e C.
ABCD-M
Figura poligonale chiusa rettilinea con vertici
A, B, C, D M.
OOA
Cerchio o circonferenza con centro O e raggio OA.
io
INTRODUZIONE
585 a.C. Talete di Mileto:
geometria deduttiva.
540 a.C. Pitagora di Samo:
aritmetica pitagorica e geometria.
ca. 250 a.C. Opere di Archimede.
230 a.C. D crivello di Eratostene.
225 a.C. Coniche di Apollonio.
450 a.C. Parmenide e la sfericità
della Terra.
430 a.C. Morte di Zenone.
Opere di Democrito.
Astronomia di Filolao.
Elementi di Ippocrate di Chio.
212 a.C. Morte di Archimede.
180 a.C. La cissoide di Diode.
La concoide di Nicomede.
Ipsicle e la divisione
del cerchio in 360°.
140 a.C. La trigonometria di Ipparco.
428 a.C. Nascita di Archita;
morte di Anassagora.
60 a.C. Gemino e il postulato
delle parallele.
427 a.C. Nascita di Platone.
420 a.C. Trisettrice di Ippia. Compaiono
gli incommensurabili.
360 a.C. Eudosso: la teoria
della proporzione e il metodo
di esaustione.
350 a.C. Menecmo e le sezioni coniche.
La quadratrice di Dinostrato.
335 a.C. Eudemo: Storia della geometria.
ca. 325 a.C. Nascita di Euclide.
320 a.C. Le coniche di Aristeo.
300 a.C. Elementi di Euclide.
75 Opere di Erone di Alessandria.
100 Aritmetica di Nicomaco
di Cerasa.
Sferica di Menelao.
125 Teone di Smime e raritmetica.
150 Almagesto di Tolomeo.
250 Aritmetica di Diofanto.
320 Collezione matematica di Pappo.
415 Morte di Ipazia e chiusura
della Biblioteca-Museo
di Alessandria.
Fine della conoscenza
pagana greca.
ca. 265 a.C. Morte di Euclide.
485 Morte di Proclo.
260 a.C. Astronomia eliocentrica
di Aristarco di Samo.
520 Antemio di Traile
e Isidoro di Mileto.
INTRODUZIONE
11
CAPITOLO 1
Euclide di Alessandria
Della vita di Euclide non si conosce quasi nessun dettaglio.
Si sa che decise di stabilirsi ad Alessandria, all’epoca
uno dei centri intellettuali più importanti del mondo greco,
e che vi fondò una rinomata scuola di matematica.
Le opere illustri dei grandi sapienti dell’umanità
sono la sintesi dei contributi dei loro predecessori
e del proprio apporto personale,
frutto della riflessione e del genio creativo.
Questo è il caso di Euclide.
Non abbiamo quasi nessuna notizia sulla vita di Euclide, e le poche
disponibili provengono tutte dal filosofo neoplatonico greco Pro¬
clo, che le mise per iscritto sei secoli dopo la morte di Euclide.
Proclo racconta che Euclide lavorò ad Alessandria, città fondata
da Alessandro Magno (356-323 a.C.) nel 322 a.C., e che sotto il
regno di Tolomeo I, “Sotere”, “il Salvatore”, re d’Egitto, fu eletta
capitale del regno. Tolomeo vi fece costruire la famosa Biblioteca,
ampliata con il Museo dal figlio Tolomeo II Filadelfo. L’autore af¬
ferma che Euclide studiò all’Accademia di Platone e che cono¬
sceva l’opera di Aristotele. Dopo il trasferimento ad Alessandria
fondò una scuola e una tradizione matematica raccolta in vari
testi, fra cui gli Elementi, scritti senza dubbio in età matura.
A Euclide vengono attribuiti due celebri aneddoti. Alla do¬
manda del re Tolomeo I: «Non c’è una strada più breve di quella
che proponi negli Elementi per imparare la geometria?», egli ri¬
spose tagliente: «Non esiste una via regia per la geometria». Il
secondo aneddoto racconta la sua reazione quando un discepolo
gli chiese che beneficio gli desse lo studio della geometria. Chiamò
uno schiavo e gli disse: «Dagli tre oboli. Così trarrà un vantaggio
da ciò che apprende». Questo grande sconosciuto consolidò negli
Elementi una tradizione greca iniziata tre secoli prima e che sa¬
rebbe proseguita fino al VI secolo, nove secoli dopo la sua morte,
avvenuta intorno al 265 a.C. È dunque il grande sintetizzatore di
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
15
PROCLO DI LICIA
Il filosofo greco Proclo (410-485) fu
un’importante figura del neoplatoni¬
smo. Nato a Bisanzio, è conosciuto
come Proclo di Licia perché i suoi
genitori, originari di Xanto, vollero
che ricevesse la sua prima istruzio¬
ne, in età molto precoce, in questa
provincia sudoccidentale dell’Asia
Minore. Una volta cresciuto, si recò
ad Atene a studiare retorica con Leo-
nade di Isauria, che lo portò con sé
quando dovette emigrare a Bisanzio.
Dopo aver frequentato i centri di in¬
segnamento di Bisanzio. Prociò tornò
ad Atene, dove studiò con Plutarco
di Atene - da non confondere con
l’autore delle Vite parallele - e con il
filosofo neoplatonico Siriano di Ales¬
sandria, al quale successe nella dire¬
zione dell’Accademia, incarico che
gli valse il titolo di Diadoco, ovvero
«successore di Platone», e che ricoprì
per quarant’anni. Pur essendo vissuto nella fase di decadenza dell’ellenismo,
la sua opera si è rivelata molto importante per conoscere meglio Euclide e
i suoi Elementi. Della sua immensa eredità ci sono rimasti vari libri che si ri¬
feriscono alla “teologia platonica”, dato che all’epoca l’opera di Platone era
considerata divina, mentre le dottrine di Aristotele venivano studiate come
suoi testi introduttivi.
tre secoli di matematica greca che, vista la solidità della sintesi
euclidea, doveva essere una tradizione molto cospicua, soprat¬
tutto se consideriamo che dagli Elementi rimangono esclusi
molti temi che tuttavia erano oggetto di studio nell’Accademia.
Gli appunti biografici di Proclo si trovano nei Commenti al
Libro I degli Elementi di Euclide, un testo davvero importante
per lo studioso poiché fornisce valide informazioni storiche, epi-
16
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
stemologiche e metodologiche su Euclide e sui geometri che
vennero prima di lui. Proclo scrive:
Euclide, non molto più giovane di (Ermotimo e Filippo), quando
scrisse gli Elementi, sistematizzò molti lavori di Eudosso, perfezionò
quelli di Teeteto e diede una dimostrazione inconfutabile di ciò che
i suoi predecessori avevano presentato in modo vago.
Visse sotto il regno di Tolomeo I perché Archimede, che visse dopo
di lui, lo cita. [...] Euclide, pertanto, era più giovane dei discepoli di
Platone, ma più anziano di Archimede ed Eratostene, [...]- ed era
un sostenitore della filosofia platonica, tanto è vero che espose come
risultato del suo insegnamento degli Elementi la costruzione dei
solidi platonici.
Proclo non fa alcun riferimento al luogo di nascita di Euclide,
il che lascia presupporre che non lo conoscesse, ma gli attribui¬
sce il già menzionato aneddoto della via regia all’apprendimento
della geometria. La sintesi migliore della biografia di Euclide è
forse quella che il romanziere inglese Edward M. Foster propone
nella sua guida di Alessandria:
Di lui non sappiamo nulla; a dire il vero, oggi lo consideriamo più
una branca della conoscenza che un uomo.
ALTRE OPERE DI EUCLIDE
Sappiamo che Euclide scrisse altre opere oltre agli Elementi. Nel
prologo della seconda parte dei suoi Commenti, Proclo gli attri¬
buisce i seguenti testi:
Di costui ci sono molte altre opere matematiche di stupefacente
precisione e sapiente speculazione, come l'Ottica, la Catottrica e
gli Elementi di musica, oltre a un libro sulle divisioni; ma la più
ammirevole di tutte è l’insegnamento degli elementi della geome¬
tria, per l’ordine e la scelta dei teoremi e dei problemi considerati
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
17
come elementi, perché non vi incluse tutti quelli che avrebbe potu¬
to raccogliere, ma solo quelli utili a rendere conto dei primi prin¬
cipi geometrici. Apprezzabili, inoltre, la varietà delle forme di ra¬
gionamento, sia quando parte dalle cause che dalle prove sempre
inconfutabili, esatte e conformi alla Scienza, nonché i metodi dia¬
lettici, ovvero: quello che distingue diversi tipi di scoperte, quello
che definisce i concetti essenziali, quello dimostrativo che passa
dai principi alle cose ricercate e quello analitico che risale dalle
cose ricercate ai principi.
«Gli uomini passano, ma le loro opere restano.»
Ultime parole del matematico Augustin Louis Cauchy
all'arcivescovo di Parigi prima di morire.
Se a queste informazioni aggiungiamo quelle di Pappo di Ales¬
sandria (290-350) nel Libro II della Collezione matematica, otte¬
niamo le opere che compaiono nella tabella della pagina seguente.
Alcune, sebbene vengano attribuite a Euclide e siano solitamente
incluse nelle sue Opere complete, furono scritte in periodi succes¬
sivi da altri autori.
Nel complesso, queste opere evidenziano un programma di¬
dattico di matematica piuttosto preciso, con un ampio ventaglio di
interessi, geometrici (le prime tre sono di taglio elementare mentre
le ultime tre sono più difficili) e non (opere di astronomia, musica,
ottica e meccanica). A seguire, proponiamo un riassunto di ognuna,
dando maggior risalto ai testi di geometria e, dato che ovviamente
ne ignoriamo la cronologia, li elenchiamo in ordine alfabetico per
ciascuna categoria.
I Dati contengono novantaquattro proposizioni che analizzano
quali proprietà delle figure si possono dedurre quando «se ne
danno altre». Euclide osservò che i dati possono essere di gran¬
dezza (quando riguardano la misura), di specie (quando riguardano
il tipo di oggetto geometrico) e di posizione (quando riguardano la
loro posizione relativa) o una combinazione di questi tre. In realtà,
si tratta di un manuale di apprendimento della geometria piana
elementare.
18
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
Opere attribuite a Euclide
Elementi (di geometria): tredici libri (l-XIII, di Euclide) e due libri apocrifi (XIV, di
Ipsicle, e XV, di Isidoro di Mileto)
Dati
Elementari
Divisione delle figure
<
u
GEOMETRIA
Pseudaria o False conclusioni
1-
<
Luoghi superficiali
z
LU
1—
Superiori
Porismi
<
z
Sezioni coniche
ASTRONOMIA
Fenomeni
MUSICA
Elementi di musica
Introduzione armonica
(di Cleonide)
Sezione del canone
MECCANICA
Sulla leggerezza e la pesantezza
<
u
Sulla leva
co
LL
OTTICA
Ottica
Catottrica (di Teone di Alessandria)
LA PROPOSIZIONE 45 DEI DATI DI EUCLIDE
Un esempio del genere di questioni affrontate nei Dati è il seguente, in cui
partiamo da dati di grandezza e otteniamo un dato di specie. La proposizione
45 stabilisce che:
Dati un angolo < ABC [che nella figura corrisponde a a] di un certo triangolo e il
rapporto tra la somma dei lati AB e BC dell'angolo dato e il terzo lato AC, il triango¬
lo è definito per specie (è determinato).
B
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
19
Nelle proposizioni 84 e 85 di questo trattato vengono risolte
equazioni di secondo grado ax±x2=b2 come facevano i matema¬
tici della Mesopotamia - lo vedremo nel capitolo 4 - quando risol¬
vevano il seguente sistema:
y±x = a}
xy = b2.
n contenuto della raccolta Divisione delle figure tratta della
divisione di una figura data mediante una o più rette «sotto certe
condizioni» in modo che le superfici delle parti siano tra loro in un
determinato rapporto. Viene richiesto, ad esempio, di effettuare
divisioni di questo tipo:
Problema 20. Separare un terzo di un triangolo A ABC per
mezzo di una retta che passa da un punto dato D al suo
interno.
B
Si tratta di problemi di geometria che si iscrivono più nella
tradizione matematica babilonese - con un’applicazione più nu¬
merica - che in quella degli Elementi. I testi che conosciamo di
questo opuscolo sono di una versione latina del 1563, e di una
versione araba scoperta a Parigi nel 1851. Delle trentasei proposi¬
zioni contenute nell’opera le uniche quattro dimostrate rimandano
a proposizioni degli Elementi. Anche gli Pseudaria - o False con¬
clusioni - sono andati perduti. Ce ne parla Proclo, che dice:
Enumera separatamente e ordina le diverse classi di errori, facen¬
do esercitare su ognuna la nostra intelligenza per mezzo di teore-
20
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
mi di vario tipo, opponendo il vero al falso e confutando l’errore
attraverso la dimostrazione della verità. L’opera ha per scopo la
purificazione e l’esercizio dell’intelligenza, mentre gli Elementi
sono una linea certa per la spiegazione inconfutabile delle cose
geometriche.
LE CONICHE
Le sezioni coniche (o semplicemente coniche) si ottengono quando la super¬
ficie di un cono (doppio) viene tagliata da un piano e il tipo di conica ottenuto
dipende dall’inclinazione del piano. Come si vede nella figura 1. se il piano è
parallelo all’asse del cono si ha un ‘iperbole (con due rami); se è parallelo allo
spigolo, la parabola-, e se non presenta nessuna di queste due condizioni si
ottiene l’e///sse (che comprende la circonferenza). Nella figura 2 sono illustrate
le varie sezioni coniche in base alla caratterizzazione fuoco-direttrice.
Circonferenza Ellisse Parabola Iperbole
FIG 2
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
21
Pertanto è un vero e proprio testo didattico della cui perdita
dobbiamo rammaricarci, perché ci avrebbe chiarito fino a che
punto Euclide riteneva che gli errori fossero di natura geometrica
oppure logica. Un’altra delle opere perdute di Euclide, citata da
Pappo, è Luoghi superficiali. Si tratta di un insieme di testi di geo¬
metria superiore, il cui contenuto va oltre quello degli Elementi.
Secondo Pappo, si occupa dei «luoghi, ossia della posizione, di una
linea o di una superficie i cui punti sono soggetti a una proprietà» e
di «come si costruiscono tali luoghi» che sono linee, come ad esem¬
pio la quadratrice, la spirale su un cilindro, ecc., o superfici come
cilindri, coni, sfere o come quelle ottenute dalla rotazione di una
sezione conica (ellissi, iperboli e parabole). Il testo propone una
caratterizzazione fuoco-direttrice delle coniche che evita il ricorso
allo spazio tridimensionale:
D luogo dei punti la cui relazione fra la distanza da un punto [fuoco]
e da una retta [direttrice] dati rimane costante è una sezione conica:
un’ellisse, una parabola o un’iperbole a seconda che il rapporto sia
minore, uguale o maggiore di uno.
Dei Porismi - un testo di una complessità enorme per quanto
riguarda il contenuto: 171 proposizioni, 38 lemmi e 29 classi di
porismi - gli specialisti hanno affermato: «La loro scomparsa è un
peccato». Lo stesso termine porisma è polisemico e di conse¬
guenza ambiguo. In questo testo Euclide parla di come si possano
ottenere oggetti geometrici indeterminati, ossia non ben definiti
perché non sono date “tutte” le caratteristiche necessarie. Un po¬
risma, dunque, è un ibrido tra un problema e un teorema: bisogna
stabilirne 1’esistenza, ma non è possibile mostrarlo in virtù della
sua indeterminazione. Negli Elementi il termine porisma viene
usato nell’accezione di corollario, ossia una conseguenza imme¬
diata di un teorema già dimostrato.
A proposito delle Sezioni coniche, Francisco Vera, traduttore
spagnolo degli Elementi, scrive:
[...] sul loro contenuto possiamo fare solo delle congetture. La cri¬
tica moderna crede si tratti dell’adattamento di un’opera di Aristeo
22
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
LEONE
PAPPI
ALEXANDRINI
M ATHEMATICAE
Collcdboncs.
A FEDERICO
COMMANDINO
V P. B 1 N A T JZ
In Latinum ConucrfeJ& Cummenterijs
lüufbrJix.
V E N E T I I S.
A pud Francifcum de Francifcis Sencn/èm.
M. D. LXXXIX.
FOTO IN ALTO
A SINISTRA.
Questo ritratto
del pittore
fiammingo Justus
van Gent si intitola
Euclide di Megara
(1474), anche se
in realtà raffigura
Euclide di
Alessandria.
FOTO IN ALTO
A DESTRA
Copertina
dell’edizione
del 1589 della
Collezione
matematica
di Pappo
di Alessandria.
FOTO A LATO'
Francobollo della
Sierra Leone con
un dettaglio della
Scuola di Atene
di Raffaello, dove
è raffigurato
Euclide che usa
il compasso.
23
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
LA QUESTIONE 8 DELL’OTTICA DI EUCLIDE
L’Ottica segue la stessa struttura deduttiva degli Elementi. Nell’ottava propo¬
sizione del libro, Euclide presenta una prova geometrica del fatto che le mi¬
sure apparenti di due oggetti uguali e paralleli non sono proporzionali alla loro
distanza dall’occhio. Partiamo da due rette uguali AB e GD, poste però a di¬
stanza diversa dall’occhio E. Consideriamo i raggi AE ed EG e, prendendo
come centro E e come raggio EZ, tracciamo l’arco di circonferenza HZF. Os¬
serviamo che i triangoli aEZG, aEZD sono, rispettivamente, più grande e più
piccolo dei settori circolari EZH ed EZF.
Il rapporto
A EZG , a EZD
settore (EZH ) settore (EZF ) '
Sostituendo abbiamo
a EZG settore (EZH )
a EZD > settore (EZF )
E unendo otteniamo
aEDG m aEGZ i1a settore (E/-/F) settore(EZH) ^
a EZD a EZD + > settore (EZF ) settore (EZF ) + '
Ma AMQG^GD_xAB p0jché GD=AB.
A EZD DZ DZ
Posto che AB^zzßK., il risultato finale è
DZ ED
BE settore (E/-/F )
ED > settore (EZF ) ’
Il rapporto tra due settori di una circonferenza è uguale al rapporto tra gli
angoli corrispondenti. Ovvero:
BE : < HEF
ED < ZEF ■
24
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
sullo stesso tema e su cui poi si basò il trattato di Apollonio. Archi-
mede parla in varie occasioni di alcune proprietà delle sezioni coni¬
che che credeva incluse nel trattato di Euclide.
Anche questa è una delle opere perdute, e forse costituiva una
“messinscena” di tutto ciò che si sapeva all’epoca delle sezioni
coniche, con un obiettivo pedagogico.
Nell’introduzione abbiamo detto che i matemata pitagorici
erano quattro. Se Euclide voleva proporre una formazione mate¬
matica completa, doveva occuparsi di tutti e quattro. Non c’è dun¬
que da stupirsi che gli venissero attribuiti i testi seguenti.
«Le leggi della natura non sono altro
che i pensieri matematici di Dio.»
Euclide.
I Fenomeni sono un libro di piccola astronomia, ossia de¬
scrivono ciò che è visibile nella sfera celeste in movimento,
escludendo il moto dei pianeti. Fanno riferimento, dunque, al
sorgere e al tramontare delle stelle e presuppongono una cono¬
scenza della geometria della sfera che non si trova negli Ele¬
menti. Il breve trattato Elementi di musica, dalla paternità
controversa, contiene la teoria degli intervalli musicali che si rifà
alla tradizione pitagorica. L'Ottica è un testo sulla prospettiva
che, insieme ai Fenomeni, affronta il tema della conoscenza di
ciò che vediamo. Il suo obiettivo è stabilire la misura del visibile
rispetto alla posizione dell’osservatore e alla misura dell’oggetto
osservato. Euclide sostiene che la visione vada dall’occhio all’og¬
getto, un’affermazione data per certa fin quando l’erudito arabo
Alhazen (965-1040) nel suo Kitab al-Manazir (Libro delVOttica)
non affermò l’esatto opposto: noi vediamo perché l’occhio riceve
uno o più raggi di luce emessi dall’oggetto. Ciò nonostante, il
libro di Euclide è considerato uno dei più importanti lavori
sull’ottica tra quelli precedenti l’opera di Newton, e artisti rina¬
scimentali come Filippo Brunelleschi, Leon Battista Alberti e
Friedrich Dürer se ne servirono per elaborare i propri trattati
sulla prospettiva. La paternità della Catottrica è molto discuti-
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
25
bile. Va comunque sottolineato che in essa viene data una dimo¬
strazione geometrica molto rigorosa della legge di riflessione
della luce. Questa legge stabilisce che i raggi di luce si riflettono
secondo angoli uguali sull’asse orizzontale (o su quello verti¬
cale). Rifacendoci alla figura 1, diremmo che l’angolo di inci¬
denza 0 è uguale all’angolo di riflessione Per questo Euclide si
basa su una proposizione geometrica che dice, nella versione
inserita nel Libro I degli Elementi:
FIG 1
FiG 2
Proposizione 20. In ogni trian¬
golo, la somma di due lati di un
triangolo è maggiore del terzo
lato.
La dimostrazione è la se¬
guente: se il raggio visivo forma
due angoli uguali, avremo i raggi
AC e CB; se invece i due angoli
sono diversi, avremo i raggi AD e
DB. Simmetricamente al piano
orizzontale tracciamo la retta CE,
simmetrica al raggio AC, e la retta
DE, simmetrica al raggio AD. Ot¬
teniamo così il triangolo A BED, il
cui lato BE è più corto della
somma dei lati BD e DE. Per la
suddetta proposizione 20, il per¬
corso AC-CB è più corto del per¬
corso AD-DB (figura 2). Una volta
dimostrato che un raggio che ri¬
spetti la legge di rifrazione per¬
corre la distanza più breve tra i
punti A, C e B, Euclide ricorre a
un’ipotesi molto interessante: la
natura vuole che il percorso se¬
guito dal raggio sia proprio que-
26
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
sto, quello più corto. È il cosiddetto principio di minimo
cammino, e con tale elegante dimostrazione Euclide lanciò un’i¬
dea di straordinaria importanza: le leggi della natura procedono
per minimi, e ciò vuol dire che un’entità fisica coinvolta in un
problema, come ad esempio il percorso, il tempo impiegato, l’e¬
nergia utilizzata, ecc., deve essere la più piccola possibile. Molti
secoli più tardi, Pierre de Fermat (1601-1665) avrebbe ripreso
questa idea per formulare la legge della rifrazione, che stabilisce
cosa succede a un raggio di luce quando cambia elemento, ad
esempio quando passa dall’aria all’acqua. Fermat affermò che «il
percorso è quello attraversato nel minor tempo». Questa idea del
geniale matematico francese fu avallata da Gottfried Leibniz
(1646-1716), che la usò per dimostrare l’utilità del calcolo diffe¬
renziale, una delle cui applicazioni è per l’appunto la determina¬
zione dei massimi e dei minimi. Il principio generale della
determinazione dei minimi avrebbe condotto lo svizzero Le¬
onhard Euler, in italiano Eulero (1707-1783) a creare una nuova
branca della matematica: il calcolo delle variazioni. Tuttavia,
sarebbe stato Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698-1759) a
dare la formulazione esplicita del postulato in base al quale la
natura si regge sul principio di minima azione.
Infine, nell’ambito della meccanica vengono attribuiti a Eu¬
clide due testi, di paternità molto incerta, entrambi citati da al¬
cuni traduttori arabi dell’opera euclidea. Sulla leggerezza e la
pesantezza contiene l’esposizione più precisa che sia giunta fino
a noi della dinamica aristotelica dei corpi che si muovono libe¬
ramente; Sulla leva, invece, include una teoria della bilancia in¬
dipendente dalla meccanica aristotelica.
LA GEOGRAFIA DELLA MATEMATICA GRECA
Gli autori i cui contributi furono raccolti e ampliati da Euclide,
oltre ai principali commentatori della sua opera, disegnano una
costellazione di matematici e filosofi-matematici disseminati in
tutta la Grecia e nelle sue colonie, soprattutto quelle ioniche,
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
27
d’Egitto e di altre parti dell’Africa e dell’Asia. La cartografia del
pensiero matematico greco mostra una mappa che si estende
dalla Sicilia, a ovest, fino al Vicino Oriente, passando per l’Italia,
la Libia e la Turchia, e ha come centro la Grecia propriamente
detta: il Peloponneso, l’Attica, la Tessaglia, la Macedonia e le
isole del Mar Egeo. La maggiore concentrazione di autori la tro¬
viamo nella parte più orientale dell’Ellade.
Ciò che unisce tutti questi pensatori, ossia ciò che ci per¬
mette di parlare di matematici e filosofi greci, è la condivisione
di una lingua comune, sia parlata che scritta: il dialetto arcai-
co-cipriota, il dorico, l’eolico o lo ionico a seconda della zona di
provenienza. Alla fine del III see. a.C. comparve una forma mo¬
dificata del greco ionico-attico, la “lingua comune” o koiné, am¬
piamente utilizzata nel mondo ellenistico che lasciò dietro di sé
l’espansione macedone guidata da Alessandro Magno. Questa
varietà di greco è stata talvolta chiamata greco ellenistico ed è la
base del greco moderno. Pertanto non ci sarebbe da meravi¬
gliarsi se Euclide avesse scritto gli Elementi in questa lingua.
Luoghi di nascita dei matematici e dei filosofi greci.
BULGARIA
ITALIA
3 O ALBANIA
O 5_
MACEDONIA
14
O
4 O
GRECI
O
8
SIRIA
LIBANO
30 ISRAELE O
O
31 c"**
GIORDANIA
LIBIA
EGITTO
28
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
Territorio
Città
Nome
Secolo
Sicilia
1. Siracusa
Archimede
287-212 a.C.
Italia
2. Roma
Boezio
480-524 a.C.
3. Elea
Parmenide
570-475 a.C.
Zenone
490-430 a.C.
4. Crotone
Filolao
ca. 485-385 a.C.
Aristeo il Vecchio
370-300 a.C.
5. Taranto
Brisone
ca. 450-390 a.C.
Archita
400-347 a.C.
6. Metaponto
Ippaso
V see. a.C.
Libia
7. Cirene
Teodoro
427-347 a.C.
Eratostene
276-194 a.C.
Peloponneso
8. Elide
Ippia
465 - ca. 396 a.C.
9. Atene
Antifone
480-411 a.C.
Socrate
470-399 a.C.
Platone
427-347 a.C.
Teeteto
417-369 a.C.
Plutarco
V SECOLO
10. Cheronea
Plutarco
ca. 46-120
Macedonia
11. Mende
Filippo
IV-III see. a.C.
12. Stagira
Aristotele
384-322 a.C.
13. Abdera
Democrito
460-370 a.C.
Turchia
14. Bisanzio
Proclo
410-485
15. Cizico
Menecmo
380-320 a.C.
16. Cilicia
Simplicio
490-560
17. Pitane
Autolico
360-290 a.C.
18. Colofone
Ermotimo
IV see. a.C.
19. Clazomene
Anassagora
500-428 a.C.
20. Traile
Antemio
474-558
21. Efeso
Eraclito
535-484 a.C.
22. Mileto
Talete
ca. 624 - ca. 547 a.C.
Anassimandro
610-546 a.C.
23. Perga
Apollonio
262-190 a.C.
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
29
Territorio
Città
Nome
Secolo
24. Isauria
Leone
V SECOLO
Isole greche
25. Taso
Leodamante
IV SEC. A.C.
26. Chio
Enopide
500-420 a.C.
Ippocrate
ca. 470-410 a.C.
27. Samo
Pitagora
ca. 569-ca. 475 a.C.
Melisso
V see. a.C.
Conone
Ill see. a.C.
28. Rodi
Eudemo
370-300 a.C.
29. Cnido
Eudosso
400-350 a.C.
Egitto
30. Alessandria
Ipsicle
240-170 a.C.
Erone
ca. 10-70
Tolomeo
100-170
Diofanto
ca. 200-ca. 284
Pappo
ca. 290-ca. 350
Teone
ca. 335-ca. 405
Siriano
ca. 380-ca. 438
Vicino Oriente
31. Gerasa
Nicomaco
ca. 60-ca. 120
Quando Euclide raggiunse la notorietà, un folto gruppo di im¬
portanti figure aveva già contribuito allo sviluppo della matema¬
tica. Il terreno era pronto affinché la geometria greca raggiungesse
il suo splendore, come evidenzia anche il fatto che nello stesso
periodo diedero il loro inestimabile contributo personaggi come
Archimede e Apollonio.
PRIMA DI EUCLIDE
Nei suoi Commenti, Proclo riporta i contributi che vennero dati
alla geometria prima degli Elementi. È senza dubbio un elenco
di parte (si veda la tabella alle pagg. 32/33), con un’indiscutibile
enfasi posta sull’opera dell’Accademia, di cui era direttore, a sca¬
pito dei lavori del Liceo aristotelico. Il testo è lungo ottanta righe
30
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
TESTI GRECI GIUNTI FINO A NOI
L’analisi quantitativa dei testi greci di matematica suddivisi per materia ed
epoca offre la panoramica indicata nella tabella seguente. La maggior parte
(circa la metà) è di geometria; poi vengono quelli di astronomia e di mecca¬
nica. Emerge dunque un cospicuo interesse per la matematica applicata. I
testi sono ugualmente distribuiti nelle tre epoche. È giusto pensare che il
numero di testi perduti sia maggiore più l’epoca è lontana? In tal caso, il nu¬
mero di testi del periodo ellenistico dovrebbe essere maggiore. Dell’epoca
precedente a Platone e Aristotele conosciamo comunque solo le citazioni di
alcuni frammenti della Storia della matematica di Eudemo e di altre opere di
Autolico di Pitane. Per questo non è poi così sorprendente che nel Liceo
pre-aristotelico si siano preoccupati della storia della matematica dagli albo¬
ri fino a Euclide. Sarebbe stato Eudemo a elaborare, per temi, questa storia.
Sfortunatamente la sua opera è andata perduta e ne abbiamo solo una cono¬
scenza parziale e indiretta grazie alle citazioni di autori vissuti qualche secolo
dopo, appartenenti già alla nostra era.
Materie
Aritmetica
3
Geometria
34
Astronomia
15
Ottica
2
Armonia (Musica)
5
Meccanica
10
Geografia matematica
1
Geodesia
2
Logistica (problema dei buoi di Archimede)
(1)
Altro
3
Totale
75 (76)
Ripartizione per epoca
Epoca ellenistica (300 a.C. - 30 a.C.)
21
Epoca romana (30 a.C. - 300)
24
Epoca tarda (300-550)
20
Epoca ignota
10 (11)
Fonte: Ramón Masià, Corpus della matematica greca con introduzione.
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
31
e riportarlo integralmente sarebbe eccessivo. Di seguito ne pro¬
poniamo alcuni passaggi e una sintesi delle scoperte attribuite a
ciascun autore, nonché i requisiti che avrebbe richiesto una di¬
mostrazione corretta - come quelle degli Elementi. Scrive Proclo:
Dato che dobbiamo considerare quella attuale come l’epoca in cui
sono nate le scienze e le arti, diremo che molti autori credono che
la geometria, che ebbe origine dalla misurazione dei campi, fu inven¬
tata dagli Egizi [...]. E allo stesso modo che l’esatta conoscenza dei
numeri si debba ai Fenici, a causa dei loro traffici commerciali.
Talete fu il primo a importare dall’Egitto all’Ellade questa teoria [...].
Dopo di loro, Pitagora trasformò la dottrina in insegnamento [...].
Dopo di loro, Ippocrate di Chio scoprì la quadratura delle lunule e
Teodoro di Cirene [...]. Platone [...] diede grande impulso alla ma¬
tematica in generale e alla geometria in particolare. [... ] Grande ami¬
co dei discepoli di Platone fu Eudosso di Cnido [...].
Matematici che, secondo Proclo, precedettero Euclide
Nome
Citazione di Proclo
Enunciati dei vari libri degli
Elementi che si suppone
conoscessero
Talete
Il primo a importare questa teoria
dall’Egitto all’Ellade. Scoprì molte cose,
gran parte delle quali rese note ai suoi
successori, alcune in generale, altre con
maggiori dettagli.
LI, definizione 17; proposizioni
5,15, 26 e forse la 32.
LUI, proposizione 12.
Pitagora
Trasformò la dottrina in insegnamento.
Esaminò da capo i principi della geome¬
tria. Studiò i teoremi in forma astratta
e intellettuale e scoprì la difficoltà dei
numeri irrazionali e la costruzione delle
figure cosmiche.
LI, definizioni 1, 3 e 6; nozione
comune 5; proposizioni 2, 17,
32, 36, 37, 45 e 47.
LI 1, proposizioni 14 e 20.
LUI, proposizioni 11 e 14.
LIV, proposizioni 11,12 e 15.
LVI, proposizioni 25, 28, 29 e
31.
LVI 1, definizioni 3, 4, 5,11 e 13.
32
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
Enopide
Studiò molti problemi di geometria,
dando di alcuni la soluzione canonica:
usare riga e compasso.
LI, postulati 1, 2 e 3;
proposizioni 12 e 23.
Ippocrate
Scoprì la quadrature delle lunule.
Scrisse alcuni Elementi. Usò, per gene¬
ralizzazione, il principio di riduzione nel
caso della duplicazione del cubo.
LI, proposizioni 9,10,11,12,18,
19, 20, 23, 24, 25, 28, 29, 31,
32, 45 e 47.
Lll, proposizioni 6,12,13 e 14.
LUI, definizione 11;
proposizioni 3, 20, 21, 22, 26,
27, 28, 29, 30 e 31.
LIV, proposizioni 5, 9 e 15.
LVI, proposizioni 19 e 20.
LVII, proposizione 2.
LXIII, proposizione 12.
Teodoro
Famoso come geometra.
Risultati del Lll o LI,
proposizione 47.
Platone
Diede un grande impulso alla matema¬
tica, in generale, e alla geometria, in
particolare. Le sue considerazioni ma¬
tematiche suscitarono l’ammirazione di
tutti i filosofi del tempo.
Leodamante
Archita e
Teeteto
Contemporanei di Platone. Aggiunsero
nuovi teoremi e li presentarono come un
insieme unitario di carattere scientifico.
Risultati dei LX e LXIII.
*
Leone
Elaborò alcuni elementi e scoprì i dio-
rismi, che permettono di stabilire se un
problema è impossibile o no.
Eudosso
Aggiunse nuovi teoremi generali [...]
e molti punti sulla sezione, attraverso
l’analisi, che aveva iniziato Platone.
LV, definizioni 4 e 5,
e le proposizioni generali.
LX, proposizioni 1 e 2.
LXII, proposizioni 5, 6, 7 e 10.
:
Menecmo e
Dinostrato
Il primo fu allievo di Eudosso; il secondo
è conosciuto come “suo fratello".
Entrambi perfezionarono la geometria.
I
:
Filippo di
Medma
Seguì le indicazioni di Platone. Con lui
la geometria raggiunse la maturità.
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
33
Il testo è fortemente influenzato dalla Storia della geometria
di Eudemo di Rodi e dal neoplatonismo dell’autore. Mancano in¬
fatti i nomi degli astronomi che seguirono le orme di Eudosso;
analogamente, non vi è alcun riferimento agli aristotelici, Aristo¬
tele incluso; mancano Aristeo “il vecchio”, probabilmente il padre
dello studio delle sezioni coniche e dei luoghi, Ippaso di Meta-
ponto e Filolao; non vengono citati nemmeno i sofisti Antifone,
Brisone e Ippia di Elide, né gli atomisti Parmenide, Zenone o De¬
mocrito e neppure Autolico di Pitane; e per finire non sono mai
menzionati gli studiosi di aritmetica. Ciò nonostante l’elenco è
molto importante e merita attenta considerazione.
Per quanto riguarda Talete e Pitagora, diversi autori attribui¬
scono loro i medesimi contributi; nel caso di Ippocrate ci basiamo
sulla testimonianza del romano Simplicio, che rimanda alla Storia
della geometria di Eudemo.
34
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
CAPITOLO 2
La struttura degli Elementi
Importante quanto i teoremi che contiene
è la forma con cui Euclide strutturò gli Elementi:
partendo da un breve elenco di ipotesi,
l’autore procede alla dimostrazione
deduttiva di una lunga serie di proposizioni.
Questo processo dà all’edificio euclideo una solidità
all’apparenza inespugnabile. Ma questa solidità nasconde
degli assunti sulla natura stessa della matematica
che risalgono alla filosofia di Platone e Aristotele.
Come abbiamo già detto, gli Elementi sono eredi degli insegna-
menti di Platone e Aristotele. Per Platone gli enti materiali sono
ideali, ossia godono di un’esistenza propria sul piano delle idee.
Per Aristotele, no. Si può affermare che il testo di Euclide sia
essenzialmente aristotelico. Tuttavia, vale la pena di soffermarsi
sulla filosofia platonica della matematica, una delle questioni su
cui l’Accademia pose più attenzione, come testimonia il lemma
apocrifo del frontespizio dell’istituzione: «Non entri chi non è
geometra».
Nel caso di Platone ci limiteremo a commentare la similitu¬
dine della linea che troviamo nella Repubblica (si veda lo schema
a pagina seguente). Si distinguono tre rappresentazioni dell’og¬
getto «letto»: il «letto» creato da Dio, il «letto» costruito dal fale¬
gname e il «letto» che il pittore raffigura sulla tela. «Dio - dice
Platone - volendo essere vero creatore di un letto veramente esi¬
stente [...] lo creò per natura unico.» Il falegname, invece, fab¬
brica semplici imitazioni. E il pittore fa delle rappresentazioni
delle imitazioni del falegname, ma non del «letto vero». Quella
affrontata in questo esempio è la questione dell’esistenza, uno
degli assi portanti della filosofia platonica, dato che, per Platone,
non è possibile scindere l’epistemologia (la conoscenza o il
modo in cui ci si arriva) dall’ontologia (la realtà oggetto della
conoscenza). Vengono poste le seguenti domande: i letti sono
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
37
reali tutti e tre, solo alcuni, o nessuno? Che cosa intendiamo per
«reale», ossia, di quale realtà parliamo quando diciamo che la
conoscenza scientifica consiste nella «vera conoscenza del
reale»? Se restringiamo il campo d’indagine alla matematica, gli
interrogativi che vengono sollevati sono: «Come dobbiamo in¬
tendere (problema relativo alla natura epistemologica) gli og¬
getti matematici? Che cosa possiamo dire (problema relativo alla
natura ontologica) della loro esistenza?»
Per Platone esistono due realtà: quella del mondo ideale, si¬
tuata sul piano dell'intellegibile, e quella del mondo che ci cir¬
conda, che si trova sul piano dell'opinabile. Nella similitudine
della linea, Platone colloca il pensiero discorsivo sul piano
dell’intellegibile, intendendo che possiamo comprendere solo il
livello superiore, quello dell’immutabile, delle idee; il livello in¬
feriore, quello del mutabile, è suscettibile solo di opinione.
Similitudine della
linea. Libro VI
della Repubblica
di Platone.
Oggetti
Idee
archetipi
Conoscenza
Enti
matematici
Esseri viventi,
cose fisiche
Opinione
Intelligenza
— Mondo intellegibile
Pensiero
Credenza,
fede
Facoltà
Mondo sensibile
ir
Ombre,
immagini
ir
Immagina¬
zione,
congettura
A
v
38
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
L’ACCADEMIA DI PLATONE
L’Accademia di Atene era la scuola filosofica fondata da Platone intorno al
388 a.C. Venne costruita nei giardini di Accademo, il leggendario eroe greco
dell’Antichità, e fu rifondata per l’ultima volta nel 485, dopo la morte di Pro¬
clo. Nel 529 fu chiusa definitivamente dall’imperatore Giustiniano. Tra le sue
mura si svolse gran parte del lavoro filosofico e scientifico dell’epoca.
Nell’Accademia si studiò medicina, si perfezionò la retorica e si approfondì
l’astronomia, con un’attenzione particolare alla teoria eliocentrica: tutte arti
su cui si manteneva una discussione aperta e proficua.
Esterno dell’Accademia di Atene oggi con le statue di Platone e Socrate.
Secondo questa similitudine, gli enti sono mutabili (parte
bassa della linea), e pertanto oggetto di doxa (opinione), oppure
immutabili (parte alta), e suscettibili di gnosis (conoscenza). Gli
enti matematici sono immutabili, ma si collocano in un punto in-
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
39
termedio: non appartengono alla parte bassa, ma nemmeno a
quella più alta. Il testo stabilisce una differenza chiara fra il modo
di usare il pensiero nel discorso dialettico (proprio del filosofo) e
nel discorso scientifico (proprio del matematico).
Il procedimento matematico si serve di ipotesi, ma non vi
ritorna mai. La validità della matematica è limitata ed è una pro¬
vincia del pensiero. L’intelligenza - l’operazione più elevata
dell’anima, tipica del filosofo - va al di là delle ipotesi. Non fa
matematica - che procede dall’ipotesi ai teoremi - bensì filoso¬
feggia, interrogando la stessa matematica: che cosa giustificano
le ipotesi? Perché sono accettabili? Potrebbero essere diverse?
All’attività matematica manca il “risalire” - a ritroso - dalle con¬
clusioni alle ipotesi.
Rispetto alle figure matematiche, Platone dice:
- E sai anche che fanno uso delle specie visibili e su di esse discor¬
rono non già esse avendo in mente, bensì quelle astratte forme cui
esse assomigliano, parlando cioè del quadrato e della diagonale in
sé presi, non già di quella che materialmente disegnano, e così via;
e queste stesse forme che essi foggiano e disegnano, e di cui esi¬
stono anche ombre e immagini nell’acqua, le usano a lor volta
come immagini, cercando invece di vedere quelle realtà in sé che
uno non può vedere se non con il raziocinio.
- Dici il vero, disse.
Così, quando un matematico stabilisce la validità della pro¬
prietà di un triangolo, in generale, come ad esempio nella propo¬
sizione 16 del Libro I, non importa che tipo di triangolo sia
(acutangolo, rettangolo, ottusangolo) anche se la «figura con¬
creta» a cui ricorre per supportare il proprio ragionamento è un
triangolo acutangolo. E quando la proprietà che vuole dimostrare
dipende dalla natura del triangolo, allora fornisce un teorema per
ciascun caso, come avviene con il teorema di Pitagora generaliz¬
zato, da cui derivano tre teoremi: Libro I, proposizione 47 e Libro
II, proposizioni 9 e 10.
40
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
LA SCUOLA DI ATENE
Raffaello dipinse La scuola di Atene nel 1509 su commissione di Papa Giulio II.
L’opera rappresenta la filosofia, una delle quattro facoltà classiche insieme alla
teologia, al diritto e alla medicina. Raffaello riunisce nell’opera coloro che nel
Medioevo erano considerati i padri del pensiero, ma ispirandosi a personaggi
pubblici del suo tempo, ad esempio a Leonardo da Vinci per ritrarre Platone
o Michelangelo per ritrarre Eraclito.
I personaggi identificati:
1: Zenone di Cizio o di Elea. 2: Epicuro. 3: Federico II Gonzaga. 4: Boezio o
Anassimandro o Empodocle. 5: Averroè. 6: Pitagora. 7: Alcibiade o Alessandro
Magno. 8: Antistene o Senofonte. 9: Ipazia (Margherita) o Francesco Maria
della Rovere. 10: Eschine o Senofonte. 11: Parmenide. 12: Socrate. 13: Eraclito
(Michelangelo). 14: Platone (con il Timeo, Leonardo da Vinci). 15: Aristotele
(con VEtica). 16: Diogene di Sinope. 17: Plotino. 18: Euclide o Archimede (Bra¬
mante). 19: Strabone o Zoroastro. 20: Claudio Tolomeo. 21: Protogene. R: Apel-
le (Raffaello).
Platone sintetizza brevemente l’essenza della conoscenza ma¬
tematica nella lettera VII:
È necessario passare per tre fattori per accedere alla conoscenza di
ogni cosa esistente; il quarto fattore è la conoscenza stessa, e come
quinto fattore bisogna considerare l’ente conoscibile che esiste ve¬
ramente. Il primo è il nome; il secondo, il discorso; il terzo, l’imma-
gine e il quarto, la conoscenza.
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
41
Poi spiega in dettaglio i singoli fattori: il definiens (cerchio),
il definiendum (la definizione), la figura («si disegna e si can¬
cella») e Yopinione vera, ossia le sue proprietà intrinseche - nel
caso della matematica, i teoremi relativi.
Aristotele, invece, scrive negli Analitici secondi che la
scienza dimostrativa combina due punti di vista: quello relativo
al significato, che riguarda i termini, e quello dell’esistenza, on¬
tologico, che riguarda gli oggetti. Una seconda distinzione si in¬
terseca a quella precedente: bisogna distinguere i termini e
oggetti primi dai termini e oggetti (o proprietà) derivati. Gli
enunciati che stabiliscono il significato o 1’esistenza sono tesi;
nello specifico, quelli che stabiliscono i significati sono defini¬
zioni e quelli che stabiliscono 1’esistenza sono ipotesi. Le defi¬
nizioni «non dicono nulla dell’esistenza dell’oggetto definito»;
rispondono alla domanda «che cos’è?» e non alla domanda «esi¬
ste?». Le ipotesi, a loro volta, si dividono in nozioni comuni, di
cui l’intelletto non può dubitare poiché sono convincenti di per
sé, e in postulati, che sono meno evidenti e «impongono» resi¬
stenza di certi oggetti. Le nozioni comuni spesso vengono chia¬
mate assiomi, anche se i matematici moderni non notano una
differenza sostanziale fra nozioni comuni (o assiomi) e postulati.
Quanto agli oggetti matematici, ce ne sono di «primi», come ad
esempio l’unità in aritmetica o la grandezza in geometria, la cui
esistenza «è data». L’esistenza di tutti gli altri oggetti, invece, va
stabilita. Le proposizioni o teoremi si riferiscono a oggetti esi¬
stenti: «Se il soggetto non esiste, l’enunciato è falso». La que¬
stione dell’esistenza è fondamentale. Non si tratta, come in
Platone, di un’esistenza ideale, anteriore a tutto, bensì di un’esi¬
stenza che rimane fissata una volta accettato l’assioma di par¬
tenza o la dimostrazione che conduce a essa.
Negli Analitici secondi Aristotele dice:
Un’ipotesi è ciò che, data per vera, ci permette di stabilire una con¬
clusione. Come ha detto qualcuno, le ipotesi della geometria non
sono false. Mi riferisco a chi dice: «Non si può usare il falso, neanche
se un geometra afferma falsamente, sostenendo che la retta che ha
42
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
tracciato è lunga un piede quando non è così, o che è retta quando
in realtà non lo è». Il geometra non basa alcuna conclusione sulla
linea retta che ha disegnato anche se afferma il contrario. In realtà
si riferisce a ciò che illustrano le suddette figure. E inoltre il postu¬
lato e tutte le ipotesi sono affermazioni universali o affermazioni
particolari; le definizioni, no.
Aristotele fissò dunque il procedimento con cui si costruisce
il pensiero scientifico. Sembra simile a quello di Platone, ma in
realtà non lo è: non c’è una distinzione tra la validità dei postulati
e una validità ulteriore che è al di là della conoscenza possibile. Ci
sono delle verità che fissano 1’esistenza e delle nozioni comuni che
hanno un ambito di applicazione più ampio. La concatenazione,
come se fosse una concatenazione di sillogismi, va dalla verità
auto-evidente alla verità del teorema: la verità delle nozioni co¬
muni e quella dei teoremi hanno la stessa natura. Aristotele, tutta¬
via, ha bisogno delle definizioni, altro punto su cui il suo pensiero
(discepolo) differisce da quello di Platone (maestro): le condizioni
necessarie e sufficienti sono strettamente legate ai termini accet¬
tati e accettabili nelle definizioni, e le rendono corrette.
In sintesi, la filosofia della scienza - e in particolare della ma¬
tematica - di Aristotele si può riassumere nello schema seguente:
Struttura metodologica
aristotelica degli Elementi
Tesi
Assiomi
(nozioni comuni)
Ipotesi Definizione
(esistenza) (significato)
2
(con consenso) (senza consenso)
4
Postulati
3
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
43
IL CONTENUTO DEGLI ELEMENTI
Secondo la tradizione, i libri originali di Euclide riuniti sotto il
nome comune di Elementi sono tredici, scritti in «lingua co¬
mune», con simboli che indicano gli oggetti geometrici, soprat¬
tutto punti, grandezze e numeri. In seguito furono aggiunti nel
computo altri due libri: il XIV di Ipsicle e il XV di un autore sco¬
nosciuto, forse Isidoro di Mileto. Delle oltre mille edizioni degli
Elementi, la prima si deve a Erhard Ratdolt (1442-1528). La
stampò a Venezia nel 1482, appena trenta anni dopo la Bibbia di
Gutemberg, basandosi sull’edizione commentata dello studioso
italiano Giovanni Campano di Novara (1220-1296), che a sua
volta era partito dalla traduzione del monaco inglese Adelardo di
Bath (1080-1150). I primi quattro libri, che evitano il ricorso alla
teoria della proporzione e pertanto non sono da considerare
molto orientati alla didattica, sono dedicati alla geometria piana.
Tuttavia, sono diversi tra loro:
- Il Libro I è quello fondamentale: include, oltre a ventitré
definizioni, i cinque postulati e le cinque nozioni comuni.
L’argomento principale è la teoria dei triangoli. Fornisce
le nozioni di base della tecnica del tangram nelle dimo¬
strazioni e della costruzione con riga e compasso. Il libro
si conclude caratterizzando i triangoli rettangoli come
quelli che realizzano il teorema di Pitagora. Evidenzia il
potenziale deduttivo del metodo della riduzione all’as¬
surdo.
- Il Libro II contiene l’algebra geometrica, ossia i calcoli
algebrici di base (x±y)2=x2+y2±2xy, x2+y2=(x+y)(x-y) e i
loro derivati, non con numeri ma con grandezze (seg¬
menti) che, di conseguenza, richiedono una costruzione;
la risoluzione geometrica delle equazioni di secondo
grado lineari dei Dati; la costruzione del segmento aureo
e il teorema del coseno, generalizzazione del teorema di
Pitagora per i triangoli non rettangoli (acutangoli e ottu¬
sangoli). Questo libro, che contiene due definizioni, si
44
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
chiude con la proposizione 14, che fornisce l’anello man¬
cante della quadratura delle figure rettilinee multilatere.
- Il Libro III si occupa della geometria della circonferenza e
contiene undici definizioni.
- Il Libro IV descrive la costruzione, con riga e compasso,
dei poligoni regolari: triangolo equilatero (anche nel Libro
I, proposizione 1), quadrato (proposizioni 6 e 7), penta¬
gono (proposizione 11), esagono (proposizione 15) e pen¬
tadecagono (proposizione 16). Contiene sette definizioni.
I Libri V e VI, il cui contenuto è attribuito a Eudosso di
Cnido, contengono la teoria della proporzione e le sue applica¬
zioni alla geometria. Sono volumi tecnici, che costituiscono la
base del teorema di Talete per rette e superfici multilatere retti¬
linee e del calcolo delle aree e dei volumi.
- Il Libro V è fondamentale per comprendere la profondità
dei risultati della geometria greca nel periodo dell’Accade¬
mia. Contiene diciotto definizioni tra cui spiccano quelle
del rapporto e della proporzione. Stabilisce le proprietà
che governano la teoria della proporzione e compaiono le
proporzioni composte.
- Il Libro VI contiene i teoremi di Talete e quindi quelli
dell’altezza e del cateto del triangolo rettangolo, dai quali
si deduce, indirettamente, il teorema di Pitagora. È un ca¬
pitolo importante, con quattro definizioni, una delle quali
probabilmente è spuria.
I Libri VII, Vili e IX, attribuiti non senza polemiche alla
scuola pitagorica, contengono gli elementi dell’aritmetica sulla
base di una teoria delle parti aliquote o numeri razionali.
- Il Libro VII stabilisce che l’uno non è un numero: è un con¬
cetto in virtù del quale «tutto ciò che è, è uno». Definisce i
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
45
concetti di parte e numero primo, i fondamenti della divi¬
sibilità; stabilisce l’algoritmo e il lemma di Euclide. Con¬
tiene ventidue definizioni che coprono i tre libri aritmetici,
l’ultima delle quali è quella del numero perfetto.
- Il Libro Vili è dedicato allo studio delle proporzioni conti¬
nue di numeri naturali: sono le progressioni geometriche,
fondamentalmente a base due.
- n Libro IX contiene un teorema importante: 1’esistenza di una
quantità non finita di numeri primi, necessario (e forse suffi¬
ciente) per stabilire il teorema fondamentale dell’aritmetica.
- Il Libro X, con reminescenze di Teodoro e di Teeteto, con¬
tiene lo studio degli incommensurabili e la classificazione
delle linee irrazionali. Di tutti i libri degli Elementi è il più
lungo, il più tecnico e il più obsoleto. Contiene sedici defi¬
nizioni, non tutte originali di Euclide, e le linee che com¬
paiono nelle costruzioni dei solidi platonici del Libro XIII.
- Il Libro XII contiene il metodo di esaustione, un termine
controverso ma che è rimasto nel corso dei secoli. Con que¬
sto metodo si calcola l’area del cerchio e dei volumi della
piramide, del cono e della sfera. È un libro difficile e molto
tecnico, superato tuttavia dalla genialità di Archimede nella
risoluzione di problemi di questo tipo. Il suo contenuto
viene sostanzialmente attribuito a Eudosso.
- Il Libro XIII contiene la costruzione dei cinque solidi pla¬
tonici: il tetraedro, l’esaedro, l’ottaedro, il dodecaedro e
l’icosaedro. Viene dimostrato anche che esistono solo que¬
sti cinque. Fu nell’Accademia che Teeteto costruì l’ottae¬
dro e l’icosaedro che, a quanto pare, non erano stati
costruiti dalla scuola pitagorica.
I tredici libri di Euclide contengono 140 assunti basilari (130
definizioni, 5 postulati e 5 nozioni comuni) e 465 proposizioni
46
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
derivate da essi (93 problemi e 372 teoremi), così come alcuni
risultati complementari: 19 porismi e 16 lemmi.
«La matematica come scienza cominciò quando qualcuno,
probabilmente un Greco, enunciò proposizioni su qualunque
cosa o su qualche cosa, senza specificarne alcuna particolarità.»
Alfred North Whitehead (1861-1947).
Il Libro XIV è opera di Ipsicle di Alessandria (ca. 190 - 120
a.C.) e risale al II see. a C. L’introduzione è indubbiamente inte¬
ressante dal punto di vista storico. I risultati più importanti sono
le relazioni tra le superfici e i volumi dei solidi platonici. Il Libro
XV, opera di Isidoro di Mileto, risale al VI secolo. Molto inferiore
al precedente, stabilisce la possibilità di inscrivere alcuni poli¬
goni regolari dentro altri.
Vale la pena di esaminare come le proposizioni di ciascun
libro dipendano dalle proposizioni dei precedenti (si veda la ta¬
bella in questa e nella pagina seguente). I Libri VII, Vili e IX sono
autonomi, poiché si può facilmente prescindere da altre parti
dell’opera (Libri II e V) introducendo definizioni ad hoc. Il resto è
strutturato intorno a due basi concettuali, quella del Libro I e
quella del Libro V. Grosso modo, corrispondono ai contributi pre¬
cedenti e successivi all’Accademia. I Libri dal X al XIII dipendono
fortemente da entrambe le fonti.
Libro 1
Indipendente
Libro II
Dipende dal Libro 1
Libro III
Dipende dal Libro 1 e dalle proposizioni 5 e 6 del Libro II
(115 e 116)
Libro IV
Dipende dal Libro 1, da 1111 e dal Libro III
Libro V
Indipendente
Libro VI
Dipende da 11127, 31 e dai Libri 1 e V
Libro VII
Indipendente
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
47
Dipendenza delle
proposizioni dei
vari libri degli
Elementi.
GLI ELEMENTI PRIMI DEGLI ELEMENTI
È opportuno precisare che cosa si intende per elemento in geo¬
metria. Nei Topici, Aristotele è netto sulla loro importanza: «In
geometria è bene esercitarsi con gli elementi»; e Proclo, nei
Commenti, dice:
Se la geometria dispone di alcuni elementi, sarà possibile compren¬
dere il resto della scienza, mentre senza di essi non sarà possibile
comprenderne la complessità e risulterà inarrivabile.
È proprio Proclo a specificare le diverse accezioni attribuite
al termine. Per Ippocrate di Chio, l’elemento è una proposizione
che svolge un compito di fondamentale importanza per l’otteni¬
mento e l’organizzazione deduttiva di altri risultati; per Me-
necmo ha due accezioni: una debole, quando assume la forma di
un lemma precedente (come ad esempio la proposizione 1 del
Libro I rispetto alla 2 dello stesso libro), e una forte, che in¬
clude solo le definizioni, le nozioni comuni e i postulati. È pro¬
prio in virtù di questa accezione forte che il testo di Euclide
può intitolarsi a buon diritto Elementi, sebbene vi ritroviamo
anche la forma debole, poiché una volta stabiliti i principi, l’o¬
pera assume una struttura deduttiva e un alto valore didattico.
Per questo motivo gli Elementi non contengono tutti i risultati
48 LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
Libro Vili
Dipende da definizioni dei Libri V e VII
Libro IX
Dipende da 113 e 4 e dai Libri VII e Vili
Libro X
Dipende da 144, 47; dal Libro II; da 11131; dai Libri V e VI; da
VII4,11, 26; da 1X1, 24, 26
Libro XI
Dipende dal Libro 1; da 11131; da IVI; dai Libri V e VI
Libro XII
Dipende dai Libri 1 e III; da IV6 e 7; dai Libri V e VI;
da XI e dal Libro XI
Libro XIII
Dipende dal Libro 1; da 114; dai Libri III, IV, V, VI, X e XI
geometrici conosciuti, ma sono quelli che fanno da presuppo¬
sto a ulteriori sviluppi. In questo senso, supera altri Elementi
che lo hanno preceduto. Geometri come Archimede, Apollonio,
Eratostene, Tolomeo, Pappo o Proclo lo adottano come riferi¬
mento di base per lo studio della matematica. Ecco dunque per¬
ché il Libro I ha acquisito anche un contenuto epistemologico
molto importante.
La struttura del testo, come già detto, è essenzialmente ari¬
stotelica. Per quanto riguarda le nozioni comuni (si veda la
tabella), che ricordiamo essere verità auto-evidenti, ci con¬
centreremo su cinque e se possibile anche su una sesta. Le no¬
zioni comuni alludono alla relazione di tipo quantitativo
dell’uguaglianza e della disuguaglianza. Valgono per le grandezze
geometriche, i numeri naturali e i rapporti. La loro validità, dun¬
que, è più ampia di quella ridotta della geometria e infatti, se
consideriamo il procedimento metodologico-discorsivo, ven¬
gono prima da un punto di vista concettuale.
Nozioni comuni
1. Due cose uguali a una terza sono uguali tra loro.
2. Se a cose uguali si aggiungono cose uguali, si ottengono cose uguali.
3. Se a cose uguali si tolgono cose uguali, i resti sono uguali.
[3b. Se invece si aggiungono cose diverse, si ottengono cose diverse.]
Questa nozione comune compare solo in alcune edizioni.
4. Le cose che possono essere sovrapposte sono uguali.
5. Il tutto è maggiore della parte.
[6. Due rette non contengono spazio.] Questa nozione comune
compare solo in alcune edizioni.
Tuttavia, due nozioni comuni, la 4 e la [6], si sottraggono a
questa precisione, posto che si riferiscono semplicemente a og¬
getti geometrici e pertanto andrebbero incluse tra i postulati.
La nozione comune 4 introduce indirettamente il movimento: se
spostiamo due oggetti [geometrici] e coincidono, vuol dire che
prima di essere spostati erano uguali. E la [6], che Euclide usa ad
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
49
esempio nella proposizione 4 del Libro I, è geometrica: si riferisce
a oggetti geometrici e a questioni riguardanti la (non)-esistenza.
I postulati (si veda la tabella), invece, fissano delle condi¬
zioni di esistenza e in alcuni casi di un’esistenza che costruisce
determinati oggetti geometrici.
Postulati
1. Tra due punti si può sempre tracciare una retta.
2. Una linea retta si può prolungare illimitatamente.
3. È possibile descrivere un cerchio con un centro e un raggio qualsiasi.
4. Tutti gli angoli retti sono uguali.
5. Se due rette sono tagliate da una terza in modo che la somma degli
angoli interni di un lato sia minore di due angoli retti, allora le due rette
si intersecano dal lato in cui la somma degli angoli è minore di due
angoli retti.
I primi tre postulati si riferiscono a quella che viene chia¬
mata la costruzione con riga e compasso. Affermano che sono
valide, ossia esistono, le rette che hanno per estremi due punti
(e che inoltre si possono prolungare in una retta finita) e le cir¬
conferenze con centro e raggi dati. Il compasso però «non ha
memoria»: se solleviamo una delle due asticelle, il compasso si
chiude. Nella proposizione 2 del Libro I Euclide dimostra che un
simile compasso, tuttavia, si comporta come un qualunque altro
«dotato di memoria».
Fermiamoci un attimo a riflettere sull’esistenza degli og¬
getti definiti. Secondo Platone, 1’esistenza è una cosa «reale».
Una definizione non fa altro che dare un nome all’oggetto esi¬
stente, per permetterci di riferirci a esso, e ci consente di attri¬
buirgli un’immagine. Secondo Aristotele, la questione è molto
diversa. Per lui la definizione non dice nulla sull’esistenza: per
gli enti primi, 1’esistenza viene postulata; per gli enti secondi,
va stabilita. E ovviamente ciò introduce dei limiti all’esistenza.
Scrive Aristotele:
50
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
Se qualcosa non esiste, nessuno sa cos’è; di conseguenza, non sap¬
piamo a cosa si riferisce il discorso o il nome, come quando mi rife¬
risco all’ircocervo e nessuno può sapere a cosa mi riferisco quando
lo nomino.
La definizione, dunque, non implica 1’esistenza, ma per coe¬
renza deve corrispondere a una qualche realtà. In generale, resi¬
stenza in geometria va stabilita dopo una definizione precisa
dell’oggetto. Bisognerà prestare quindi la massima attenzione
nell’uso delle definizioni nelle dimostrazioni prima di aver stabi¬
lito che l’oggetto definito esiste.
«Bisogna presentar loro esempi di fatto, facili, intelligibili,
probativi, indubitabili; delle verità matematiche che non si
possano negare, come quando si dice: “Se da due parti uguali si
tolgono parti uguali, anche quelle che restano sono uguali.”»
Orientamenti metodologici per la conversione
DEGLI INFEDELI MESSI IN BOCCA A LOTARIO, DON CHISCIOTTE.
Vi è una chiara differenza fra le prime definizioni, che hanno
bisogno di concetti non definiti come «parte, larghezza, lunghezza»,
ecc., e le altre, che si basano sull’accettazione della conoscenza
degli enti geometrici studiati in precedenza, come ad esempio il
cerchio, il centro, il diametro, le figure trilatere e così via. Aristo¬
tele afferma che 1’esistenza di alcuni oggetti o concetti viene data
per certa: sono la «linea», «la linea retta» e la «grandezza», in geo¬
metria; e l’«unità» in aritmetica. Nondimeno mancano le incoe¬
renze interne. Nella definizione di diametro si legge: «Questa retta
divide il cerchio in due parti uguali», ma si tratta di una proprietà
da dimostrare, non di una definizione.
Alcune definizioni del Libro I
1. Un punto è ciò che non ha parti.
2. Una linea è una lunghezza senza larghezza.
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
51
3. Gli estremi di una linea sono punti.
4. Una linea retta è quella che giace ugualmente rispetto ai suoi punti.
8. Un angolo piano è l’inclinazione di due linee su un piano che non giac¬
ciano sulla stessa retta.
9. Se entrambe le linee sono rette, l’angolo si dice rettilineo.
10. Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa
angoli adiacenti uguali tra loro, ciascuno dei due angoli uguali è retto, e
la retta si chiama perpendicolare a quella su cui è innalzata.
15. Il cerchio è una figura piana delimitata da un’unica linea, la circonfe¬
renza, tale che a partire da un punto fra quelli che giacciono internamente
alla figura, sono uguali tra loro.
16. Quel punto si chiama centro del cerchio.
17. Il diametro di un cerchio è una retta condotta per il centro e con gli
estremi sulla circonferenza, che divide il cerchio in due parti uguali.
19. Le figure rettilinee sono quelle delimitate da rette: trilatere quelle
comprese da tre rette, quadrilatere quelle comprese da quattro rette e
multilatere quelle comprese da più di quattro rette.
20. Tra le figure trilatere, il triangolo equilatero è quello che ha i tre lati
uguali, quello isoscele ha soltanto due lati uguali e quello scaleno non ha
lati uguali.
21. Tra le figure trilatere, il triangolo rettangolo è quello che ha un angolo
retto, quello ottusangolo ha un angolo ottuso e quello acutangolo ha i
tre angoli acuti.
22. Tra le figure quadrilatere, il quadrato è quella che è equilatera e ha
gli angoli retti, il rettangolo quella che ha gli angoli retti ma non è equi¬
latera, il rombo quella che è equilatera ma non ha gli angoli retti, il rom¬
boide quella che ha i lati e gli angoli opposti uguali tra loro ma non è né
equilatera né ha gli angoli retti, e infine il trapezio non è nessuno dei tipi
precedenti.
23. Due rette parallele sono quelle che, trovandosi sullo stesso piano, se
prolungate illimitatamente in entrambe le direzioni, non si incontrano tra
loro da nessuna delle due parti.
52
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
IL METODO DEDUTTIVO DEGLI ELEMENTI
Abbiamo visto che le definizioni non determinano 1’esistenza, e
che tale esistenza va “stabilita”. A tal fine bisogna risolvere un
problema del tipo «esiste un oggetto come...». E nel trattato eu¬
clideo gli strumenti consentiti per la costruzione di oggetti geome¬
trici sono soltanto le rette e le circonferenze, nessun altro. Di
conseguenza, gli unici punti accettabili, ossia gli unici esistenti,
sono quelli dove si intersecano tali linee.
Una volta costruito l’oggetto e risolto il “problema”, dob¬
biamo assicurarci che sia effettivamente quello che volevamo,
ossia che «quanto costruito» rispetti i requisiti della sua defini¬
zione. Bisogna stabilire un teorema. I teoremi «danno 1’esistenza
per presupposta»; dicono «ecco [l’oggetto]» e constatano resi¬
stenza di un legame logico fra diverse asserzioni.
Nei problemi è richiesta l’analisi, ossia la conoscenza di al¬
cuni dati di base che permettano di arrivare all’oggetto. Ad esem¬
pio, a partire dal lato AB bisognerà vedere quali strumenti servono
per poter costruire il triangolo equilatero. A tal fine, è utile sup¬
porre 1’esistenza dell’oggetto come già costruito e vedere che cosa
tiene insieme i suoi componenti (si veda la costruzione del penta¬
gono regolare nel cap. 4). Nei teoremi, invece, l’essenziale è la
sintesi. Dai postulati al risultato richiesto. La proposizione 1 del
Libro I, pur molto semplice, ci consente di apprezzare la distin¬
zione tra analisi e sintesi. Di questa proposizione studieremo
anche la struttura interna.
Libro I, proposizione 1. Su
un segmento dato è possibile
costruire un triangolo equi¬
latero (si veda la figura).
In questo testo si osservano
chiaramente tutti gli estremi indicati
(si veda la tabella nella pagina se¬
guente). È un problema. Per la co¬
struzione si usano i postulati 3 e 1.
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
53
Parti di un teorema
Protasi (Enunciato)
Su una retta data costruire un triangolo
equilatero.
Ekthesis (Esposizione)
Sia AB una retta data.
Diorismo
(Determinazione)
Dobbiamo costruire un triangolo equilatero
su AB.
Kataskeue
(Costruzione)
/ Vv \
' Z X '
kQj
Con centro in A e raggio AB tracciamo
la circonferenza c>AB (postulato 3).
Con centro inße raggio BA tracciamo
la circonferenza oBA (postulato 3).
Dal punto C, intersezione delle due
circonferenze, tracciamo le rette CA e CB
(postulato 1).
Apodeixis
(Dimostrazione)
Posto che il punto A è il centro della
circonferenza jAB, CA è uguale ad AB
(definizione 15). Analogamente, posto che B
è il centro della circonferenza oBA, BC è uguale
a BA (definizione 15). Ma due cose che sono
uguali a una stessa cosa sono uguali tra loro
(nozione comune 1). Pertanto CA è anche
uguale a CB. Di conseguenza, le rette AB, CB
e CA sono uguali.
Syumperasma
(Conclusione)
Pertanto il triangolo a ABC è equilatero
e abbiamo costruito ciò che volevamo. C.V.D.
(come volevasi dimostrare)
La dimostrazione ricorre alla definizione 15, alla nozione co¬
mune 1 e aii principi minimi della logica. Va notato che la supposi¬
zione dell’esistenza del triangolo equilatero A ABC offre numerosi
spunti sia per la costruzione che per la dimostrazione ed esempli¬
fica l’uso dell’analisi; in questo caso è molto semplice. Anche la
dimostrazione, sintetica, si può intuire dall’immagine «ideale»,
poiché anche in essa i lati sono uguali e «formano» un triangolo.
In altri casi sarà molto più complicato, come ad esempio con il
pentagono regolare.
La prima proposizione è «un elemento», in senso debole, della
proposizione successiva, che permette di «applicare a un punto
54
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
dato una retta uguale su una
retta data» - il compasso non ha
memoria! - il che permette di
«aggiungere» segmenti per for¬
marne un altro, e anche della
terza proposizione, che per¬
mette di «togliere» da un seg¬
mento uno più piccolo.
Analizziamo altre due dimo¬
strazioni per verificare il metodo
logico-deduttivo degli Elementi:
Libro I, proposizione 5.
Nei triangoli isosceli gli
angoli alla base sono
uguali tra loro (si veda la
figura).
1. Sia A ABG un triangolo isoscele i cui lati uguali sono AB e AG
(definizione 20).
2. Prolunghiamoli, rispettivamente, nei segmenti uguali BZ e
GH (nozione comune 2, proposizione 2).
3. Uniamo Zcon G eHconB (postulato 1).
4.1 triangoli A AGZ e A ABH sono uguali (proposizione 4, cri¬
terio lato-angolo-lato, LAL, di uguaglianza dei triangoli) poi¬
ché hanno uguali, rispettivamente, i lati AZ e AH (nozione
comune 2) e AG e AB (per il punto 1) e l’angolo comune che
comprendono. Di conseguenza, gli angoli <AZG e <AHB
sono uguali, così come i lati ZG e HB.
5.1 triangoli AGBZ e A BGH sono uguali (proposizione 4),
quindi gli angoli <BGZ e <GBH sono uguali. Sottraiamo,
rispettivamente, gli angoli <ABH e <AGZ e gli angoli che
risultano (<ABG e <AGB) sono uguali (nozione comune 3).
C.V.D.
Libro I, proposizione 15. Se due rette si intersecano, gli an¬
goli opposti al vertice sono uguali tra loro (si veda la figura).
A
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
55
c
1. Le rette AB e CD si intersecano
nel punto E (enunciato).
B
2. Vogliamo dimostrare che gli
angoli <AED e <CEB sono
uguali.
D
3. La somma delle coppie di angoli
<CEB <CEA e <CEA <AED dà
due angoli retti (Libro I, propo¬
sizione 13).
4. Quindi la somma delle coppie di angoli <CEB <CEA e
<CEA <AED è uguale (postulato 4 e nozione comune 1).
5. Se togliamo, da entrambe le coppie, l’angolo <CEA, gli
angoli risultanti <CEB e <AED sono uguali (nozione co¬
mune 3). C.V.D.
Osserviamo il ricorso a definizioni, proposizioni già dimo¬
strate, nozioni comuni e postulati. Con essi, attraverso un pro¬
cesso di concatenazione di costruzioni ed enunciati, arriviamo a
ciò che viene richiesto a partire da ciò che viene proposto. E
notiamo l’estrema eleganza di tali dimostrazioni, effetto della
loro semplicità. Euclide però non ricorreva sempre alla dimo¬
strazione diretta; talvolta aveva bisogno di un metodo indiretto:
la riduzione all’assurdo. In questo metodo si postula il contrario
di ciò che si vuole stabilire - qui il maestro Euclide e l’“alunno”
lettore devono essere d’accordo - e, attraverso il ragionamento,
si arriva a una proposizione e alla sua negazione, un risultato
inammissibile. Quindi il postulato accettato all’inizio è falso, e il
contrario, cioè quello che si vuole dimostrare, è vero. Ecco un
presupposto logico che non viene mai esplicitato: di due affer¬
mazioni opposte, ossia se una è la negazione dell’altra, una è
necessariamente vera e l’altra falsa. Sebbene Euclide non abbia
mai esplicitato il metodo della riduzione all’assurdo, lo usò
molto spesso. Questo metodo di dimostrazione, difficilmente
giustificabile con l’analisi, è essenzialmente aristotelico e per-
tiene all’ambito della sintesi.
A questo punto, prendiamo in esame un nuovo esempio che
ci mostra come Euclide ricorresse, nelle dimostrazioni per as-
56
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
BOOK I
PROPOSITION I PROBI.» M
FOTO IN ALTO
Frammento
di un papiro che
contiene la figura
che accompagna
la proposizione 5
del Libro II degli
Elementi di
Euclide, ritrovato
nel sito di
Oxirrinco,
un’antica città
situata a circa
160 km dal Cairo,
in Egitto.
FOTO A LATO:
Presentazione
figurativa
della proposizione
1 del Libro I, opera
di Oliver Byrne
(1810-1890).
F SS {dcf. « 5-> ;
and unii'"um ZZ ■ (dcf. »
ss: «——~ atiom i.J;
*nd therefore A I« t»ir t«} nlueriJ tnen^k required.
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
57
ARISTOTELE E L’IRRAZIONALITÀ DI V2
Lo Stagirita usò il metodo della riduzione all’assurdo per dimostrare che:
Non c’è nessuna radice numerica il cui quadrato sia 2.
Nel linguaggio moderno questo significa: «>/2 è irrazionale». Aristotele parte
dall’accettazione del postulato opposto a quello che vuole dimostrare, ossia:
>/2 è razionale. L’illustre filosofo greco concluse che tale accettazione lo ob¬
bligava ad ammettere che «un numero pari è, a sua volta, dispari», il che è
impossibile. Il suo ragionamento, espresse in termini odierni, è il seguente:
Supponiamo (ipotesi aggiunta) che
2
con men due pari diversi. Quindi, 2n2=m2. Di conseguenza, m è pari (ossia,
m=2m') e n è dispari. Quindi 2n2=4m2. Ovvero, n2-2m'2 e n è pari.
surdo, a immagini di oggetti matematici assolutamente «ideali».
Come abbiamo già visto, una dimostrazione richiede di stabilire
che gli oggetti matematici costruiti siano corretti. Tuttavia, il
metodo della riduzione all’assurdo presuppone che all’inizio si
ammetta 1’esistenza di oggetti matematici come se fossero reali.
Poi si dimostra che questo presupposto è sbagliato, ossia che
implica la costruzione di oggetti non costruibili.
Questo problema si può risolvere solo accettando che, in un
modo o nell’altro, il processo di costruzione avviene nell’ambito
«ideale» delle figure. Pensiamo, ad esempio, a un cerchio e a una
retta: o si intersecano in due punti, o in uno, come nel caso della
tangente, oppure non si intersecano. Se si intersecano in due
punti, questi punti «esistono» nell’«ideale geometrico» o, se si
preferisce, nella «metodologia geometrica».
Quindi, ad esempio:
Libro I, proposizione 6. Se un triangolo ha due angoli
uguali, anche i lati opposti a essi saranno uguali.
58
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
Euclide usa la figura 1 (un
triangolo A ABC con gli angoli
<CBA e <ACB uguali e i lati oppo¬
sti, AB e AC, disuguali; uno, ad
esempio AB, più lungo e l’altro,
AC, più corto). Ma questa figura è
impossibile: effettivamente un si¬
mile triangolo non esiste. È un’ide¬
alizzazione figurativa del postulato
aggiunto che risulterà falso.
La figura 2 estrapola il ragio¬
namento di Euclide e sembra chia¬
rirlo. Tuttavia, ed è il motivo che ci
spinge a includerlo qui, evidenzia
le difficoltà del ricorso a «figure erronee». Anche se la ragion d’es¬
sere di queste figure è favorire la comprensione della dimostra¬
zione, quando sono false l’obiettivo si complica. Si è persa la
semplicità tipica dell’analisi ma è apparsa la profondità della co¬
noscenza geometrica e logico-deduttiva legata alla sintesi. Biso¬
gna specificare che questa tecnica dimostrativa, così lontana
dall’analisi, non era gradita a tutti i geometri greci. Questo spiega
perché, nei vari commenti agli Elementi, si tentassero dimostra¬
zioni alternative per evitarla. Un caso paradigmatico è quello di
Erone di Alessandria.
FlG 1 A
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
59
A ogni modo, la struttura degli Elementi fu abbastanza solida
da eclissare qualsiasi altro trattato precedente e probabilmente
questo è il suo lascito principale. Adesso dobbiamo esplorare i
contenuti nello specifico: passeremo in rassegna il Libro I e il me¬
todo del tangram, il ruolo dell’infinto, il significato e l’origine del
postulato delle parallele, la natura e l’importanza delle grandezze
irrazionali e del metodo di esaustione, la costruzione dei solidi
platonici e infine il grande contributo di Pitagora: l’aritmetica.
60
LA STRUTTURA DEGLI ELEMENTI
CAPITOLO 3
Il Libro I e la geometria
dell’universo
Lo studio del primo libro degli Elementi
ci pone di fronte a questioni fondamentali
sulla geometria proposta da Euclide.
Alcune sono di tipo tecnico e altre,
forse le più affascinanti, riguardano il modo in cui
il geometra affronta lo spinoso problema
dell’infinito o il rapporto tra le figure astratte
della geometria e la realtà naturale.
Quest’ultima questione, che parte dal celebre postulato
delle parallele, ci condurrà, in un viaggio
di quasi duemila anni, alla geometria non euclidea
che ha rivoluzionato la scienza nel XIX secolo.
Il Libro I degli Elementi di Euclide è l’unico a contenere sia no¬
zioni comuni che postulati. I primi tre, come abbiamo già detto, si
riferiscono agli strumenti ritenuti accettabili per «costruire» gli
oggetti geometrici e sono dunque molto importanti per la risolu¬
zione dei problemi. Gli altri due sono fondamentali per stabilire la
natura della geometria euclidea. Inoltre, e senza alcuna pretesa di
esaustività, il Libro I pone altri problemi che meritano un com¬
mento: il movimento, la torsione, l’infinito e il metodo tangram,
che affronteremo più in dettaglio nel capitolo 4. Vediamo innanzi¬
tutto in che modo il quarto postulato degli Elementi è collegato al
movimento in geometria. Il suddetto postulato stabilisce che:
Tutti gli angoli retti sono uguali fra loro.
Se torniamo alla definizione di angolo retto - Libro I, defini¬
zione 10 - leggiamo che:
Quando una retta innalzata a partire da un’altra retta forma con essa
angoli adiacenti uguali fra loro, ciascuno dei due angoli è retto.
Ovvero, quando i due angoli «sono uguali», sono entrambi
retti (figura 1). Ma allora viene da chiedersi se una coppia di an¬
goli è uguale a un’altra coppia di angoli, vale a dire se «tutti» gli
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO
63
fig 1
Y
3—
ò Y =
In base alla
definizione 10, le
coppie di angoli
a, (I, Yi i> e e, t sono
uguali. Ovvero,
u = p, Y = ò e e = Ç.
Quindi sia a che ß,
sia Y che ò, e sia e
che Ç sono
angoli retti.
angoli retti sono uguali, non solo
a coppie. La risposta, affermativa,
ce la fornisce il quarto postulato.
Nel caso specifico degli an¬
goli retti, Euclide impone una
certa uniformità del piano. Si
tratta quindi di un postulato che,
in un certo senso, racchiude il
movimento delle figure, cosa che
imponeva anche la nozione co¬
mune 5, ma non possiamo ricor¬
rere a una nozione comune per
giustificare una questione pura¬
mente geometrica. Di fatto, nella
geometria euclidea, nessun postu¬
lato garantisce esplicitamente che
due figure sovrapposte siano
uguali. Detto altrimenti: la nozione comune 5 avrebbe dovuto es¬
sere un postulato, come abbiamo già segnalato nel capitolo 2. Ciò
nonostante, Euclide non seppe - o meglio, non poté - evitare il
movimento, pur avendovi fatto ricorso molto di rado, ad esempio
nella geometria dello spazio, per generare, rispettivamente, il
cono e la sfera per rotazione di un triangolo rettangolo intorno a
uno dei suoi cateti e di un cerchio intorno al diametro. Lo im¬
piegò anche in due proposizioni del Libro I - la 4 e la 8 - per
stabilire i criteri di uguaglianza dei triangoli lato-angolo-lato
(LAL) e lato-lato-lato (LLL). Tuttavia, già nel criterio angolo-la¬
to-angolo (ALA) riesce a evitarlo. Vediamo il primo caso:
Libro I, proposizione 4. Se due triangoli hanno due lati
rispettivamente uguali a due lati e hanno uguali gli angoli
compresi fra i lati uguali, avranno anche la base uguale e
il triangolo sarà uguale al triangolo (figura 2).
La dimostrazione, che si basa tutta sulla sovrapposizione dei
due triangoli e sulla nozione comune 5, recita: mettiamo i triangoli
A ABC e A A'B'C', uno sopra l’altro (movimento) in modo che
64
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO
l’angolo <ABC coincida con l’an¬
golo <A'B'C. Com’è ovvio, i lati
AB e BC si collocano rispettiva¬
mente sopra i lati AB' e B'C. Ma
per i punti Af=A'J e C[=C] passa
una sola retta (nozione comune 7).
Quindi i triangoli si sovrappon¬
gono alla perfezione e, in base alla
nozione comune 4, erano uguali
prima di essere spostati. Di conse¬
guenza, i triangoli A ABC e
A A'B'C' sono uguali. Arrivati a
questo punto bisogna precisare
che il ricorso incoerente al movi¬
mento da parte di Euclide non si
deve a una sua incapacità. L’unico
modo per essere coerenti, in que¬
sto caso, è annettere la proposizione sotto forma di postulato,
come avrebbe fatto qualche secolo dopo il matematico tedesco
David Hilbert (1862-1943) nella sua assiomatizzazione, molto più
rigorosa, della geometria.
LA RETTA MAI ESISTITA
Si noti che Euclide, nonostante le definizioni 2, 3 e 4 del Libro I,
non spiegò mai che cos’è una retta, che proprietà ha e quali carat¬
teristiche deve rispettare. Tuttavia, ha chiarito molto bene che le
rette sono finite e che hanno per estremi dei punti. In realtà, Eu¬
clide si occupava di segmenti rettilinei. Ma quando parlò di
uguale lunghezza dei diametri nella definizione del cerchio, ri¬
corse al concetto di distanza. Per vedere quest’ultimo associato al
concetto di retta dobbiamo invece aspettare l’assioma 1 - «la di¬
stanza più corta fra due punti» - di Sulla sfera e il cilindro di
Archimede. Come abbiamo appena visto con la proposizione 4,
Euclide usava «postulati» che non aveva stabilito. Nella dimostra¬
li. LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO
65
FIGURE CHE SI CONTORCONO
Una questione che soggiace agli Elementi è quella della torsione. Prima di
usare il postulato delle parallele, Euclide stabilisce un risultato molto parti¬
colare:
Libro I, proposizione 17. In ogni triangolo la somma di due angoli, comunque
presi, è minore di due angoli retti.
Per comprendere correttamente il problema dobbiamo osservare il ragiona¬
mento di Euclide. Vuole dimostrare che la somma degli angoli <BAG e <AGB
è minore di due angoli retti. Per
questo, «trasporta» un angolo
uguale all’angolo <BAG - l’ango¬
lo <EGZ - accanto all’angolo
<AGB e osserva che, sommati,
non sono uguali ad <AGB più
<AGD. Come fa a «trasportare»
l’angolo? Costruendo un trian¬
golo che ce l’abbia come ango¬
lo. In che modo? In base alla
seguente dimostrazione:
1. Divide il latO/AG a metà: ottie¬
ne il punto E (Libro I, proposi¬
zione 10).
zione della proposizione 1 del Libro I, analizzata nel capitolo 2, c’è
un’affermazione che ora andremo a esaminare in dettaglio:
Dal punto C, intersezione delle due circonferenze, tracciamo le rette
CA e CB.
Che cosa ci garantisce, secondo Euclide, che il punto C esi¬
sta? Niente, tranne l’immagine che accompagna la dimostra¬
zione. Ma è un metodo inammissibile, perché l’immagine è giusta
solo se il punto C esiste (ricordiamo le false immagini di trian¬
goli impossibili nella dimostrazione per riduzione all’assurdo).
66
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO
2. Unisce Bed E (postulato 1) e lo duplica (postulato 2 e Libro I, proposizio¬
ne 2). Ottiene il punto Z.
3. Lo unisce al punto G (postulato 1). Ottiene due triangoli uguali (Libro I,
proposizione 4), posto che i lati ZE ed EG del triangolo AZEG sono rispet¬
tivamente uguali ai lati BE ed EA del triangolo &BEA, per costruzione, e
gli angoli <GEZ e <AEB sono opposti al vertice e pertanto uguali (Libro I,
proposizione 15). Quindi, i due triangoli sono uguali e l’angolo <EGZ (che
si somma all’angolo <AGB) è uguale all’angolo <BAG, che era ciò che
voleva dimostrare.
Euclide otteneva questo risultato perché il punto Z cade all’Interno dell’ango¬
lo <AGD. Ma non avrebbe potuto cadere all’esterno? Dalla figura si vede che
ciò è possibile. La risposta alla
domanda di prima, che Euclide
non arriva a formulare per il
semplice motivo che non se l’e¬
ra nemmeno posta, è no, per¬
ché le “sue” linee rette non su¬
biscono torsione. Euclide lo dà
per scontato, ma quando più
avanti analizzeremo il postulato
delle rette parallele, vedremo
che queste mancanze logiche
compromettono fatalmente al¬
cune dimostrazioni.
A
È curioso che Euclide, nel postulato 5, stabilisse che «in certe
condizioni» due rette si incontrano - «esiste un punto che appar¬
tiene a entrambe» - e che invece, nel caso delle circonferenze, lo
desse per evidente e inconfutabile tanto da non ritenere di doverlo
prescrivere. Si tratta nuovamente, a tutti gli effetti, di un postulato
“occulto”.
Il triangolo equilatero costruito sul segmento AB della propo¬
sizione 1 «esiste» perché la costruzione euclidea è corretta; ma
tale costruzione dipende dall’esistenza del punto C. In un universo
in cui questo punto non esistesse, non esisterebbe nemmeno il
triangolo. Molte delle prime dimostrazioni degli Elementi di Eu-
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELUUNIVERSO
67
elide dipendono proprio da questo fatto. In effetti, la “costruibi-
lità” degli Elementi dipende dalla costruibilità dei punti. Euclide
stabilisce la condizione necessaria e sufficiente perché due rette
si incontrino e pertanto fissa opportunamente i punti costruiti in
questo modo. Tuttavia, non definisce in che condizioni si incon¬
trano una retta e una circonferenza e dunque i punti generati da
questa forma sono “invalidi”.
«Sono sempre più convinto che non sia possibile
dimostrare la necessità della nostra geometria
mediante l’intelletto umano, né per esso.»
Carl Friedrich Gauss.
E non sarebbe stato troppo difficile, nel caso delle circonfe¬
renze, ad esempio, gli sarebbe bastato precisare:
Postulato sull’intersezione di due circonferenze. Se la
distanza fra i centri di due circonferenze è minore della
metà della somma dei loro diametri [ossia minore della
somma dei raggi delle due circonferenze/, le circonferenze
si incontrano in due punti.
Analogamente, è facile fissare una condizione che permetta di
assicurare 1’esistenza di «due punti» frutto dell’intersezione di una
retta e una circonferenza: una retta e una circonferenza si incon¬
trano [in due punti] quando la perpendicolare che va dal centro
della circonferenza alla retta è minore del raggio. Ma al riguardo
Euclide tace.
IL POSTULATO DELLE PARALLELE
Tutti gli studiosi dell’opera euclidea sono concordi nell’attribuire
la struttura degli Elementi e in particolare il postulato 5 (che
chiameremo P5) a Euclide in persona. È il famoso postulato delle
68
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO
parallele, che nella formulazione euclidea afferma che «in deter¬
minate condizioni due rette si incontrano inevitabilmente». Eu¬
clide non si serve di questo postulato fino alla proposizione 29 del
Libro I. La geometria che non dipende dal postulato 5 prende il
nome di geometria neutrale. Pertanto Euclide ci offre una tren¬
tina scarsa di proposizioni di geometria neutrale. Il contenuto
letterale del postulato è il seguente:
Postulato 5 (P5). Se due rette sono tagliate da una terza
in modo che la somma degli angoli interni di un lato sia
minore di due angoli retti, allora le due rette si interse¬
cano dal lato in cui la somma degli angoli è minore di due
angoli retti.
Tuttavia, di solito il postulato delle parallele non si studia
nella sua formulazione originale, ma in quella presentata dallo
scozzese John Playfair (1748-1819), professore di matematica e
in seguito di filosofia naturale presso l’Università di Edimburgo,
che dice:
Postulato di Playfair (PP). Per un punto esterno a una
retta si può tracciare una e una sola parallela alla retta data.
Questo enunciato è equivalente a quello di Euclide ed eviden¬
zia come P5 abbia bisogno di due diversi presupposti: da un lato
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO
69
UNA CURVA E IL SUO ASINTOTO
Con il postulato 5, Euclide
evita che la «torsione» delle
rette assuma un carattere
asintotico, come succede
con un’iperbole e il suo
asintoto (questa precauzio¬
ne è tanto più necessaria se
teniamo conto che, come
abbiamo già visto, Euclide
non dà una definizione
compiuta di linea retta, di
cui pertanto non conoscia¬
mo le caratteristiche di base). Nel caso delle curve, ad esempio, il fatto che
una si avvicini sempre più a un’altra non è garanzia del loro intersecarsi, come
si vede nella figura: un’iperbole si avvicina sempre più a una retta - il suo
asintoto - senza mai arrivare a toccarla.
che esista una cosa come «una retta parallela a una retta data da
un punto esterno a essa», e dall’altro che tale retta sia unica. Per
l’esattezza, 1’esistenza la fornisce Euclide nella proposizione 31,
che recita:
Libro I, proposizione 31. Per un punto P esterno a una retta
AB è sempre possibile tracciare una parallela alla retta data.
Tracciamo per P la retta PQ perpendicolare ad AB (Q si trova
P R
'_l *
1 angolo retto
1 angolo retto
70
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO
sulla retta AB o su un suo prolungamento e si può costruire con
riga e compasso in base alla proposizione 12). Allo stesso modo,
tracciamo per P la retta PR perpendicolare a PQ. È evidente che
le rette PR e AB sono parallele perché in caso contrario si incon¬
trerebbero in un punto, ad esempio R, e avremmo un triangolo
AQPR con due angoli retti. Ma questo è impossibile (sarebbe in
contraddizione con la proposizione 16 del Libro I) e quindi viene
così dimostrata 1’esistenza della retta parallela. Arrivati a questo
punto, dobbiamo ancora dimostrare che tale retta è unica. Non è
possibile farlo senza ricorrere a un oggetto geometrico “falso” (o
“ideale”), ossia un oggetto geometrico che presupponga la tesi che
si vuole dimostrare. L’unicità della retta parallela, in definitiva,
non si desume da nessuno degli altri postulati. Questa constata¬
zione portò un’autentica rivoluzione, come vedremo più avanti,
soprattutto perché significava mettere in discussione un’autorità
del calibro di Euclide.
LA DIMOSTRAZIONE DELL’UNICITÀ DELLA PARALLELA
Non si può dimostrare l’unicità della retta parallela a meno di assumere la
“verità” della geometria euclidea, ossia dal suo “interno”.
Per un punto P esterno a
una retta AB si può tracciare
una e una sola parallela alla
retta data.
Se ci fossero due rette parallele
alla retta AB (figura annessa:
una figura ideale perché deriva
da un assunto falso) sarebbero
la prima (che forma un angolo
retto con PQ nel punto P) e PR. Quindi l’angolo <QPR sarebbe minore di un
angolo retto (Libro I, proposizione 31). Pertanto la somma degli angoli <BQP
e <QPR sarebbe minore di due angoli retti (nozione comune 4). Per il postu¬
lato delle parallele (P5), le rette PR e AB si incontrano. Contraddizione!
Quindi bisogna abbandonare l’ipotesi secondo la quale PR è una parallela.
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO
71
LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE
Una domanda che non si può evitare quando si parla di geometria
è: qual è la vera geometria della natura? Perché non vi è dub¬
bio che uno degli obiettivi dell’assiomatizzazione consiste nel
«captare la verità di ciò che è». Potrebbe anche darsi che in
realtà stiamo semplicemente «captando la verità di ciò che pen¬
siamo», ossia una creazione della mente umana, non necessa¬
riamente reale.
Le due geometrie “reali” dell’epoca di Euclide erano la “ge¬
ometria del cielo”, ossia la geometria sferica, necessaria per
comprendere i processi astronomici tanto cari ai Greci e ancor
prima agli Egizi e ai Babilonesi, e la “geometria del cortile di
casa”, quella in cui era impegnato Archimede, quando, secondo
la leggenda, il soldato romano lo trafisse con la spada. La prima,
che oggi è conosciuta anche con il nome di geometria ellittica,
è equivalente a quella che possiamo disegnare sulla superficie
di un globo terracqueo. In questo tipo di geometria i punti sono
definiti normalmente, le rette no. Se intendiamo la retta come
faceva Archimede, ossia la linea più corta che unisce due punti,
noteremo una particolarità: le rette non possono non incontrarsi.
Immaginiamo un caso reale: due persone si mettono a cammi¬
nare in linea retta sul globo terrestre finché non ritornano al
punto di partenza. Entrambi disegneranno necessariamente un
cerchio massimo (cioè quella sezione della sfera che la divide in
due emisferi perfetti), e i cerchi massimi di una sfera finiscono
con rincontrarsi necessariamente (nella figura 3, i due cerchi
massimi r e r' si incontrano nel punto P). Di conseguenza, data
una retta, non è possibile tracciare alcuna parallela a essa che
passi per un punto dato.
La seconda geometria, quella del cortile di casa, è tipica di un
cortile delimitato da mura dentro le quali si può disegnare solo
quanto consentito dalla sabbia che copre il suolo. In questa geo¬
metria, per un punto P esterno a una retta r possiamo tracciare un
numero infinito di rette parallele (figura 4). Così, ad esempio, dal
punto P si fanno passare le rette r', r" er'". Solo la retta r" taglia
la retta r all’intemo del cortile. Ce ne sono però delle altre: tutte
72
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO
quelle dentro l’angolo con vertice
inPe avente per lati le rette che
escono da P e si congiungono agli
estremi della retta r. Questi punti
si trovano sul muro del cortile,
non a terra: a terra non esistono.
Pertanto r e r'" non si incontrano:
sono parallele. Le rette che non
si trovano all’intemo dell’angolo
sono, come i suoi lati, rette paral¬
lele alla retta r.
Una rappresentazione gra¬
fica molto nota di questo tipo di
geometria, oggi conosciuta come
iperbolica, è quella che si disegna
sopra una superficie simile a una
“sedia da montare” (figura 5). Su
una superficie di questo tipo, un
triangolo equilatero assume una
forma strana, per cui la somma
dei suoi angoli è inferiore a 180°.
Due rette parallele, invece, tende¬
ranno ad allontanarsi all’infinito
(in altri casi, le parallele fanno il
contrario, ovvero si avvicinano
sempre più).
Questa seconda geometria la
scopriranno, ognuno per proprio
conto, l’ungherese János Bolyai
(1802-1860) e il russo Nikohy Iva-
novij Lobacevskij (1792-1856),
all’inizio del XIX secolo. Quest’ul¬
timo cominciò ad avere molte
riserve sulla necessità della geo¬
metria euclidea (ossia rispetto al
fatto che fosse l’unica possibile)
già dal 1823, proprio in virtù dei
FIG 3
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO
73
tentativi fino ad allora vani di dimostrare l’unicità della parallela
a partire dagli altri postulati di Euclide.
La pubblicazione nel 1829 di un articolo di Lobacevsky, inti¬
tolato Sui principi della geometria, segnò la nascita ufficiale di
quella che prese il nome di geometria non euclidea. In quest’o¬
pera, il matematico russo rese pubblica la prima geometria co¬
struita su un’ipotesi che contraddiceva il postulato euclideo delle
parallele: per un punto C esterno a una retta AB può passare più
di una retta parallela contenuta nel piano ABC senza intersecare
la retta AB. A partire dal postulato così riformulato, Lobacevsky
desunse una geometria armoniosa e coerente.
«Finora non è stata scoperta alcuna dimostrazione
rigorosa della sua verità.»
Nikoláj LobaCevskij a proposito del postulato delle parallele
IN UNA BOZZA GENERALE DELLA GEOMETRIA REDATTA NEL 1823.
Tuttavia, lo status di Euclide e della sua opera nel mondo
matematico era tale che Lobacevskij decise di non dare troppo
peso alla nuova geometria e per i primi anni, quasi vergognando¬
sene, si riferì a essa con l’appellativo di “immaginaria”. Fra il
1835 e il 1855 riscrisse interamente almeno tre volte il suo nuovo
sistema. Lo scrittore e matematico scozzese E.T. Bell, nel suo
celebre libro I grandi matematici (1937) affermò, con la sua
proverbiale pomposità:
Per 2200 anni abbiamo creduto, in un certo senso, che Euclide aves¬
se scoperto una verità assoluta o una forma necessaria di percezione
umana nel suo sistema geometrico. La creazione di Lobacevsky fu
una dimostrazione pragmatica dell’erroneità di questa credenza.
L’audacia della sua opposizione e il suo trionfo hanno spinto i mate¬
matici e gli scienziati in genere a contraddire altri assiomi o verità
accettate, per esempio la legge di causalità che per secoli era sem¬
brata necessaria al pensiero come lo era stato il postulato di Euclide
finché Lobacevsky non lo ha eliminato. Probabilmente non si è fatto
sentire ancora del tutto l’effetto provocato dal metodo di negazione
74
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO
degli assiomi di Lobacevsky. Non è un’esagerazione definirlo il Co¬
pernico della geometria, ma la geometria è solo una parte del campo
più ampio che ha rinnovato. Per questo sarebbe più giusto definirlo
il Copernico di tutto il pensiero.
Parallelamente (e l’espressione è assolutamente appropriata)
a Lobacevsldj, l’ungherese János Bolyai arrivava alle medesime
conclusioni. Suo padre Farkas aveva passato quasi tutta la vita a
cercare di dimostrare il postulato delle parallele, senza riuscirci.
Sebbene la scoperta di János fosse contemporanea a quella di Lo¬
bacevsldj (1829), l’ungherese non la pubblicò fino al 1832 per ti¬
more delle conseguenze che avrebbe potuto scatenare una simile
eresia matematica, e per questo talvolta la priorità della scoperta
della prima geometria non euclidea viene attribuita in esclusiva al
matematico russo.
Farkas scrisse una lettera al suo grande amico Cari Friedrich
Gauss, il più celebre matematico allora vivente, chiedendogli
un’opinione sui lavori del figlio, e Gauss rispose che non poteva,
in tutta onestà, lodare l’opera di János perché sarebbe stato come
elogiare se stesso, data la coincidenza dei loro punti di vista sulla
questione. Da questa lettera si evince che anche Gauss era arriva¬
to alla conclusione che il postulato delle parallele, così come re¬
datto da Euclide, non si desumeva dal resto della sua opera e ave¬
va sviluppato, non sappiamo con quale grado di precisione, altri
sistemi geometrici coerenti. Forse è proprio la rinuncia di Gauss
a pubblicare le proprie scoperte in materia, pur essendo il mate¬
matico più rispettato allora in vita, a darci un’idea chiara di quan¬
to fosse rischioso mettere in discussione l’opera del grande Eucli¬
de. La prudenza di Gauss fu tale che egli si rifiutò addirittura di
sostenere pubblicamente i lavori sia di Bolyai che di Lobacevsky,
anche dopo la loro pubblicazione, per paura, come disse lui stes¬
so, dello «scherno dei beoti».
Quanto alla geometria sferica, l’altra grande geometria non
euclidea, si dovette aspettare il lavoro di un altro conoscente di
Gauss, il grande matematico tedesco Bernhard Riemann (1826-
1866), che in una delle tesi più famose della storia della scienza
(Sui fondamenti della geometria) generalizzò questo e altri casi
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO
75
nel quadro di una visione della geometria di estrema eleganza che
si occupava esclusivamente della curvatura metrica dei diversi
spazi e delle proprietà che ne derivavano. Riemann dimostrò che
lo spazio eucüdeo - e con esso la geometria euclidea che lo defi¬
nisce - era un caso particolare di spazio con curvatura costante di
valore 0. In questo tipo di spazio la somma degü angoli di un trian¬
golo è 180°, ma ce ne sono degli altri. C’è ad esempio lo spazio
sferico, con curvatura positiva, dove la somma degli angoli di un
triangolo è maggiore di 180°, o quello iperbolico, con curvatura
negativa, dove, come abbiamo già visto, la somma degli angoli di
un triangolo è minore di 180°.
«Per amor di Dio, ti prego, dimenticatene.
Abbine timore come delle passioni sensuali perché,
come queste, può arrivare ad assorbire tutto il tuo tempo
e a privarti della salute, della pace dello spirito e della felicità.»
Farkas Bolyai in una lettera al figlio János quando venne a sapere che egli aveva intrapreso
IL SUO STESSO lavoro: dimostrare il postulato euclideo delle parallele.
LA VALIDITÀ DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
La comparsa di queste geometrie alternative scatenò un dibatti¬
to filosofico riassumibile con le parole dell’articolo postumo del
logico tedesco Gottlob Frege, Sulla geometria euclidea:
Nessuno può servire due signori allo stesso tempo. Non è possibi¬
le servire il vero e il falso. Se la geometria euclidea è vera, la geo¬
metria non euclidea è falsa. E se la geometria non euclidea è vera,
allora quella euclidea è falsa. [...] O dentro o fuori! Quale bisogna
eliminare, la geometria euclidea o quella non euclidea? Questo è il
problema.
Non è però così semplice. Perché se lavoriamo a partire dall’i¬
potesi che una geometria è giusta - quella eucüdea, ad esempio -
76
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO
LA TRATTRICE
E LA PSEUDOSFERA
Se si prende una trattrice - la
curva caratterizzata da seg¬
menti tangenti che hanno tutti
la stessa distanza dall’asse OY
(si veda la figura) - e la si fa
ruotare intorno a OY (il suo
asintoto), si ottiene la pseudo¬
sfera, il primo modellino della
geometria iperbolica.
al suo interno possiamo “fabbricare” delle superfici - come la
sfera - con geometria ellittica e altre - il cortile di casa, ma ben
costruito: il primo esempio fu la pseudosfera di Eugenio Beltrami
(1835-1900) - con geometria iperbolica. Lo stesso succede se si
ammette la validità di una qualunque delle altre due geometrie.
Sarebbe a dire che la validità di una implica la validità delle altre,
poiché in tutte quante esistono superfici o spazi in cui sono va¬
lide le altre.
Nel 1899 Hilbert pubblicò i Principi di geometria, in cui “ri¬
scrisse” gli Elementi di Euclide, ben fondati e senza ricorrere né
all’intuizione né ai disegni. Gli oggetti basilari - che siano «punti,
rette e superfici» o «sedie, tavoli e boccali di birra», dice Hilbert
- sono definiti esclusivamente da assiomi che stabiliscono le rela¬
zioni esistenti fra di essi. Ciò nonostante, è curioso osservare che
Euclide aveva scelto come geometria “vera” - al posto di quella
sferica - una geometria ideale, ossia un tipo di geometria che si
basa su costruzioni valide solo in quanto espressioni pure che tra¬
scendono l’esperienza. La sola spiegazione possibile è un’ascen¬
denza platonica che spinse Euclide a riconoscere tacitamente
1’esistenza di questa geometria ideale, e pertanto non soggetta a
una realtà diversa da quella implicita nell’idea stessa di geometria
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO
77
E LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO È...
Ma nell’universo la geometria è legata alla superficie, ossia agli
oggetti geometrici che si studiano. Immaginiamo che, come un
moderno Archimede, mentre siamo nella vasca da bagno vo¬
gliamo fare della geometria disegnando linee rette sulle sue pa¬
reti: alcune sarebbero rette in senso euclideo - sul fondo della
vasca, altre sarebbero curve ascendenti (quelle che vanno dal
fondo alle pareti laterali), altre sarebbero curve discendenti
(quelle che vanno dalla parete al bordo superiore). Poniamoci
ora la seguente domanda: perché alcune hanno diritto a essere
chiamate linee rette e altre no? Nella geometria della vasca, inol¬
tre, le linee si deformano quando ci si sposta e da rette senza
torsione si passa a rette con torsione.
Nella teoria della relatività generale, Einstein stabilisce che,
in presenza di grandi masse o di grandi energie, lo spazio - e di
conseguenza le rette - si deformano: si pensi a una pesante palla
di piombo nel centro della superficie di un grosso tamburo; la
membrana del tamburo si deforma, ossia si curva, e se una pal¬
lina più piccola girasse lungo il bordo “cadrebbe” a spirale verso
il centro. Nello spazio avviene una cosa simile: le grandi masse,
come la palla di piombo dell’esempio, fanno curvare lo spa¬
zio-tempo con ripercussioni anche sulle altre masse. Lo spazio,
dunque, è simile alla superficie terrestre, anch’essa non uni¬
forme. E tuttavia nessuno nega che, nel complesso, la superficie
della Terra sia sferica. Allora c’è da chiedersi: qual è la geometria
dell’universo? Sebbene le grandi masse e le grandi energie ne
alterino localmente la geometria, l’universo, nel suo complesso,
è euclideo, iperbolico o ellittico? La risposta va cercata al di
fuori della matematica perché ai suoi occhi sono valide tutte e
tre le geometrie. Hanno tutte dei principi formali e una loro coe¬
renza. La risposta va quindi ricercata nella “realtà”: la vasca non
serve; è artificiale come i risultati matematici.
Più di un secolo fa Cari Friedrich Gauss si fece la stessa
domanda che ci stiamo ponendo noi qui. Com’è l’universo?
Che geometria ha? Gauss arrivò alla conclusione che se avesse
potuto misurare i tre angoli interni di un triangolo formato da
78
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO
tre stelle lontane, avrebbe ottenuto la geometria dell’universo.
Sappiamo che:
>180°
Se la somma dei tre angoli è
= 180°[,
<180°
la geometria dell’universo è
ellittica (sferica)
euclidea
iperbolica
Tuttavia, né i calcoli dell’astronomo e amico di Gauss, Frie¬
drich Bessel (1784-1846), né quelli di Lobacevskij approdarono a
un risultato. Nel 1981 il fisico statunitense Alan Guth (1947) intro¬
dusse il concetto di densità dell’universo: la massa totale di ma¬
teria per unità di volume. Esiste un valore critico pQ= 4 • IO-27 kg/m3
che determina la natura geometrica dell’universo, nonché la sua
evoluzione futura (si veda la tabella).
Possibilità per la geometria dell’universo
Densità
Geometria
Futuro
>Po
Sferica
Collasso
=f>0
Euclidea
Espansione dolce
KPo
Iperbolica
Espansione violenta
La massa calcolata finora ammonta a un 10% di pQ. Al mo¬
mento, quindi, pare che l’universo sia iperbolico e che si espanda
violentemente. Tutto questo dà nuova credibilità a queste celebri
parole di Galileo:
La filosofia è scritta in questo libro aperto davanti ai nostri occhi -
mi riferisco all’universo -, ma ci sarà del tutto impossibile compren-
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO
79
derla se prima non siamo capaci di captare il linguaggio e appren¬
dere i segni con cui è scritta. È scritta in linguaggio matematico.
I simboli sono triangoli, cerchi, ecc. senza i quali è impossibile com¬
prendere qualunque parola. Se non li comprendessimo, ci ritrove¬
remmo erranti in un labirinto oscuro [... ]
A quanto pare, bisogna ricorrere alla geometria per poter ca¬
pire l’universo, opinione che Isaac Newton avrebbe condiviso e
che avrebbe trovato la sua massima espressione proprio nei suoi
Principia Mathematica Philosophiae Universalis (1687).
L’INFINITO NEGLI ELEMENTI
Non possiamo - e non dobbiamo - dimenticare l’influenza dei filo¬
sofi sul pensiero del matematico greco. È ad esempio il caso di
Aristotele in relazione al concetto di infinito, a cui nella Fisica il
filosofo dedica grande attenzione. Sin dall’inizio scrive:
Melisso afferma che l’essere è infinito. Ma allora l’essere sarebbe
quantità, perché ciò che è infinito lo è in quantità, poiché nessuna
sostanza può essere infinita, né tantomeno una qualità né un’affe¬
zione, a meno che non lo sia in forma accidentale [...] Perché, per
definire l’infinito, dobbiamo usare la quantità, ma non la sostanza
né la qualità. Pertanto, se l’essere è sostanza e quantità, è due e non
uno. Ma se è solo sostanza, allora non sarà infinito né avrà grandez¬
za, perché avere una grandezza vorrebbe dire avere una quantità.
L’analisi più dettagliata sull’infinito si trova però nel Libro III,
dove si interroga sulla natura e sull’esistenza dell’infinito e sui tipi
di infinito. Dopo un’analisi filosofica particolareggiata conclude
che esiste «un infinito per addizione» per i numeri (aritmetica) e
un altro «per divisione» per le grandezza (geometria). Entrambi
gli infiniti «sono - esistono - in potenza», non «sono - esistono
- in atto». Vale a dire che nella scienza l’infinito non esiste come
totalità; nessun oggetto può considerarsi infinito. L’infinito è solo
80
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO
FOTO IN ALTO
A SINISTRA,
immagine di
Euclide in un
francobollo delle
Maldive (1988).
FOTO IN ALTO
A DESTRA
Busto di
Aristotele.
FOTO IN BASSO
A SINISTRA
Nel 1975, il
matematico John
Playfair propose
di riformulare
l’enunciato del
postulato 5 di
Euclide; tale
postulato è
conosciuto come
Vassioma di
Playfair.
FOTO IN BASSO
A DESTRA'
Il matematico
tedesco David
Hilbert nel 1886.
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO
81
un processo generatore. In sintesi, l’infinito in atto non è accet¬
tabile né nel «mondo ideale» come idea possibile, né tantomeno
quando lo si vuole applicare al mondo della matematica. Resta
quindi l’infìnito in potenza, che è la «possibilità» di andare sem¬
pre oltre, ma sempre di un numero finito di passi. Il processo
non si esaurisce mai: l’infinito rimane sempre nell’ambito della
possibilità. E in questo senso Aristotele è convincente quando
fa riferimento alla necessità che i matematici possano avvalersi
dell’infinito in atto:
La mia tesi non toglie nulla allo studio dei matematici, sebbene neghi
l’esistenza dell’infinito nel significato di esistenza effettiva, intenden¬
dolo come qualcosa che cresce in modo tale da rendere impossibile
andare oltre perché, di fatto, non hanno bisogno di andare all’infini¬
to né di usarlo; hanno solo bisogno che l’infinito - per esempio, la
retta - possa avere la lunghezza necessaria. Per quanto riguarda le
dimostrazioni, fra i due, non vi è alcuna differenza.
La domanda, molto importante dal punto di vista metodolo¬
gico nell’ambito matematico pertinente all’attività di Euclide, è
la seguente: ha ragione Aristotele quando dice che la sua filosofia
dell’infinito non riguarda il matematico? Fino a che punto Eu¬
clide rispetta lo Stagirita e fin dove si vede obbligato a infrangere
il limite aristotelico? A questo proposito, Euclide pensa che le
«rette» siano «segmenti rettilinei» e i loro estremi - che esistono
- siano punti, ovvero che le rette siano finite. Definisce solo i
segmenti rettilinei e sono queste le rette di cui si occupa. Nel
postulato 5 evita di dover ricorrere al parallelismo che, come
vedremo più avanti, comprende l’infinito. In aritmetica e, nello
specifico, nella proposizione 20 del Libro IX, dice:
Esistono sempre numeri primi in numero maggiore di
quanti numeri primi si voglia proporre.
L’enunciato permette a Euclide di fare una dimostrazione
diretta; invece se avesse accettato l’infinito in atto, come d’al¬
tronde si fa oggi a scuola, si sarebbe visto costretto a dare una
82
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO
dimostrazione indiretta. Questo è uno dei problemi che pone
spesso l’infinito: ci obbliga a ricorrere a dimostrazioni indirette,
per riduzione all’assurdo. Di seguito osserveremo le differenze
metodologiche fra i due tipi di dimostrazione. Cominciamo da
quella diretta, partendo dall’enunciato eucüdeo. Immaginiamo di
avere una quantità finita di numeri primi: a, ö,..., m. Consideriamo
il numero N=(axbx...xm)+Ì. Se N fosse un numero primo, ci sa¬
rebbe un numero primo diverso da a, b, ..., m. Al contrario, se N
fosse un numero composto - non primo - avrebbe un divisore
primo (Libro VII, proposizione 32) e, per la costruzione di N, do¬
vrebbe essere diverso da ciascuno dei numeri primi, b,...,m.
Vediamo ora la dimostrazione indiretta. Partiamo da un enun¬
ciato alternativo della proposizione 20:
La serie dei numeri primi è illimitata.
Diversamente ci sarebbe una quantità finita a, ò,..., m che
conterrebbe la «totalità» dei numeri primi. Se ora copiassimo la
dimostrazione precedente, otterremmo un numero primo diverso
da a, ö,..., m; quindi, a, ö,..., m non sarebbero «tutti».
Pertanto Euclide non può evitare del tutto l’infinito in atto.
Così, ad esempio:
Libro I, definizione 23. Due rette parallele sono quelle che,
trovandosi sullo stesso piano, se prolungate illimitatamente
in entrambe le direzioni, non si incontrano fra loro da nes¬
suna delle due parti.
Nella definizione compare in forma esplicita il termine «illimi¬
tatamente», che implica l’infinito in atto. Inoltre, sempre nel Libro
I, la stessa parola viene esplicitata anche in due proposizioni;
nell’enunciato, nella prima, e nella dimostrazione, nella seconda.
Sono due problemi:
Libro I, proposizione 12. È possibile condurre a una data
retta illimitata, da un punto dato a essa esterno, una linea
retta perpendicolare (figura 6).
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL’UNIVERSO
83
FIG 6
A • •
Libro I, proposizione 22. È possibile costruire un trian¬
golo dati i suoi tre lati (figura 7).
Qual è il motivo che spinge Euclide a sfidare il limite aristo¬
telico deirinfìnito in atto? La risposta è semplice. Egli vuole che
quanto stabilisce «sia generale», ossia che non dipenda dalla par¬
ticolarità suggerita dal disegno. Conviene che la retta di cui vo-
84
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO
gliamo tracciare la perpendicolare sia lunga abbastanza da
garantire che il punto sia sopra di essa, indipendentemente dal
punto «concreto» nel disegno. Nell’altro caso, deve portare i tre
lati dati sopra una retta: la retta deve contenerli indipendente¬
mente dalla lunghezza «concreta» di ciascun caso particolare;
per questo serve una semiretta infinita. Quindi, in un certo senso,
il limite di Aristotele «toglie» qualcosa al lavoro dei matematici.
Sarebbero passati nove secoli da quando Aristotele aveva fissato
i suoi limiti all’uso dell’infinito a quando Proclo, nei Commenti
al Libro I degli Elementi di Euclide, diede la sua opinione al
riguardo, analizzando la proposizione 12 del Libro I:
Bisogna esaminare in che modo l’infinito possiede, in generale, un
fondamento. È evidente che, se una retta è infinita, il piano che la
contiene sarà anch’esso infinito, e questo in potenza effettiva [...].
Rimane dunque la possibilità che l’infinito esista nell’immaginazio¬
ne senza che l’immaginazione concepisca l’infinito, perché l’imma¬
ginazione concepisce e applica insieme una forma e un limite a
tutto ciò che concepisce [...]. L’immaginazione non concepisce
l’infinito, bensì, trovandosi nell’incertezza rispetto a tale oggetto,
sospende ogni ulteriore giudizio e chiama infinito tutto ciò che ri¬
pudia in quanto non può essere né misurato né abbracciato dal
concetto [...]. L’immaginazione crea quindi l’infinito per la potenza
indivisibile di poter avanzare senza fine e, invece di concepire l’in¬
finito, lo concepisce come presupposto [...]. Cosicché se inserisce
la retta infinita nell’immaginazione come le altre figure geometriche
[...], non ci stupisce che questa retta sia infinita in potenza effetti¬
va e che, considerata in forma indeterminata, venga applicata ai
concetti determinati. D’altro canto, la conoscenza ragionata, da cui
discendono i ragionamenti e le dimostrazioni, non usa l’infinito
nella scienza [...]. Non ammette l’infinito in relazione a ciò che è
infinito; lo ammette in relazione a ciò che è finito [...]. Per cui, se
approfittiamo del difetto insito nella certezza che l’immaginazione
abbia dei limiti e che ciò costituisca il fondamento della creazione
dell’infinito, la scienza presuppone 1’esistenza dell’infinito per poter
usare tale esistenza, mantenendo la linea finita, in modo perfetto e
inconfutabile.
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO
85
Con questo testo facciamo un balzo in avanti di diversi se¬
coli rispetto al «pensiero dell’infinito». Ciò nonostante, abbiamo
dovuto attendere i fondamentali contributi dei tedeschi Richard
Dedekind (1831-1916) e soprattutto di Georg Cantor (1845-1918)
- solo cinquantanni dopo che Lobacevskij e Bolyai si erano sba¬
razzati del quinto postulato - affinché la matematica abbrac¬
ciasse l’infinito in atto, mettendo così fine a una tradizione
filosofico-scientifica durata più di duemila anni.
86
IL LIBRO I E LA GEOMETRIA DELL'UNIVERSO
CAPITOLO 4
Il metodo del tangram
negli Elementi
Uno dei risultati più importanti
della geometria cinese fu l’uso del tangram
per disegnare forme diverse ma equivalenti.
Questa tecnica, sviluppata in modo autonomo
dai geometri greci, acquisì, grazie a un processo
di generalizzazione, una potenza deduttiva enorme.
Nello specifico, permise a Euclide di dimostrare
uno dei teoremi paradigmatici delle geometria greca
- il famoso teorema di Pitagora -
e di risolvere problemi millenari ereditati
dai popoli mesopotamici.
Il tangram cinese classico è un metodo geometrico elementare
che si basa sul seguente fondamento concettuale:
Due figure composte da parti uguali sono equivalenti.
Il suo nome originale è qi~ qiao ban che significa «le sette
tavole della saggezza». Conosciuto in Cina da tempo immemore, nel
XIX secolo fu introdotto in Occidente come gioco di scomposizione
e come tale è diffuso oggi in tutto il mondo. Nella forma originaria,
i sette pezzi che lo compongono di solito sono disposti a forma di
quadrato (si veda la figura 1 a pagina seguente). Pertanto, le varie
forme che si possono costruire usandoli tutti sono equivalenti al
quadrato originale (figura 2). Questa proprietà permette, tra le altre
cose, di «mostrare» il valore della diagonale del quadrato. Quindi, il
quadrato di partenza può essere scomposto in altri due equivalenti
(figura 3). In questo modo si osserva che con la diagonale del qua¬
drato a destra di quest’ultima figura se ne può costruire un altro
(quello di partenza) con un’area doppia. È un mostrare perché si
basa sulla semplice osservazione delle figure senza ricorrere ad
alcun principio logico-deduttivo.
Si tratta di un ragionamento strettamente legato al testo pre¬
sentato da Platone nel Menone, un dialogo sulla reminiscenza, in cui
Socrate mostra che lo schiavo sa ciò che non sa di sapere, ma sa.
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
89
Il ragionamento di Socrate è sulla
falsariga di questo: prendiamo un
quadrato (quello con i contorni più
spessi, come si vede nella figura
4). Ripetiamolo quattro volte: otte¬
niamo il quadrato con il lato trat¬
teggiato, nella stessa figura. Poi
tracciamo la diagonale del qua¬
drato dato e su questa costruiamo
un quadrato: quello con il lato trat¬
teggiato messo in obliquo. È evi¬
dente che il quadrato è equivalente
a due quadrati uguali a quello di
partenza.
Il tangram funziona allo
stesso modo: si usano triangoli
rettangoli isosceli come quelli che
si ottengono a partire dalla diago¬
nale del quadrato tangram di par¬
tenza. Euclide si serve spesso del
metodo del tangram generalizzato
nella sua geometria (ossia, quella
che dipende dal postulato delle pa¬
rallele). Lo impiega nell’applica¬
zione di aree quando divide un
segmento in modo che le parti for¬
mino un rettangolo con un’area
maggiore, minore o uguale a quella
del quadrato dato e, in particolare,
nella risoluzione geometrica di un problema mesopotamico che
serve a risolvere le equazioni di secondo grado; nella quadratura
dei poligoni multilateri lineari - costruire un quadrato equivalente
al poligono multilatere - e infine nella determinazione del seg¬
mento aureo, operazione che consiste nel dividere un segmento in
due parti tali per cui la minore, unita al segmento intero, formi un
rettangolo equivalente al quadrato creato dalla porzione maggiore
del segmento.
90
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
Euclide aveva a disposizione uno strumento base, il paralleli¬
smo, che gli permise di dimostrare risultati come:
Libro I, proposizione 29. Gli angoli alterni sono uguali
tra loro.
Libro I, proposizione 32. La somma dei tre angoli interni
del triangolo è uguale a due angoli retti.
Libro I, proposizione 34.1 parallelogrammi hanno lati e
angoli opposti uguali tra loro.
FIG. 3
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
91
D primo e il terzo consentono di fare delle scomposizioni con
il metodo del tangram generalizzato, che consiste nell’applica¬
zione del metodo del tangram senza limitarsi ai pezzi originali. Per
questo servono dei teoremi che stabiliscano l’equivalenza di tali
figure. Questi teoremi sono i seguenti:
Libro I, proposizione 35 e 36. Parallelogrammi che siano
posti sulla stessa base e tra le stesse parallele sono uguali
fra loro.
Libro I, proposizione 37. Triangoli che siano posti sulla stessa
base e tra le stesse parallele sono uguali fra loro.
La figura 5 si riferisce alle proposizioni 35 e 36 del Libro I.
Euclide dice che i parallelogrammi dBC e nlH sono equiva¬
lenti. Con il linguaggio aritmetico-algebrico delle scuole di oggi,
questa ci sembrerebbe un’affermazione ovvia. Hanno la stessa
base e la stessa altezza e l’area si ottiene moltiplicando queste
due quantità (quest’ultima affermazione, tuttavia, andrebbe di¬
mostrata). Ebbene, la geometria greca usa grandezze - cioè seg¬
menti rettilinei - che, per via dell’incommensurabilità, non
hanno lunghezza. A causa dell’incommensurabilità può succe¬
dere che uno - o entrambi - i segmenti non siano misurabili
(questione che verrà affrontata con maggior dettaglio nel capi-
FIG 5
B D I J
92
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
tolo 5). Di conseguenza, bisogna ricorrere a uno stratagemma
per dimostrare che le due aree sono uguali. Euclide ricorse alla
nozione comune 1. Se fosse riuscito a dimostrare che i parallelo-
grammi oBC e nAJ - che hanno una base in comune - erano
uguali e che il secondo era uguale al parallelogrammo oIH - con
cui ha una base in comune - allora anche i parallelogrammi oBC
e a IH sarebbero stati uguali.
«Un punto segna la fine di una linea o il suo principio?
Chi lo sa. Nessuno.»
Mo Jing (Mozi) (479-372 a.C.).
Partiamo dalla prima domanda. Euclide analizza i pezzi (me¬
todo del tangram cinese) e applica le nozioni comuni 2 e 3. I
triangoli A BAI e A DCJ sono formati da un pezzo bianco e da un
pezzo grigio chiaro che hanno in comune. Se, da entrambi i trian¬
goli, togliamo il pezzo in comune - «da cose uguali sono sottratte
cose uguali» - risulta, rispettivamente, che i quadrilateri BAMD
e IMCJ sono uguali anche se non hanno forma identica. A questi
due quadrilateri aggiungiamo ora il triangolo AAMC (grigio
scuro), che hanno in comune. Posto che, «a cose uguali sono
aggiunte cose uguali», risulta che i parallelogrammi oBC e nAJ
- con base comune AC - sono uguali. Che differenza c’è tra il
caso che abbiamo appena dimostrato e il caso generale degli
enunciati delle proposizioni 35 e 36 del Libro I? La differenza sta
nel fatto che, come già visto, in questo caso non si tratta solo di
due basi uguali, ma della stessa base (nella coppia oBC e nAJ,
il segmento AC, e nella coppia nAJ enIH, il segmento IJ).
Per la dimostrazione precedente probabilmente Euclide ri¬
corse alla proposizione 4 del Libro I (criterio LAL), che stabilisce
l’uguaglianza dei aBAI e A DCJ. A tal fine gli servirono alcune
proprietà che dipendono dal postulato delle parallele (in partico¬
lare le proposizioni 34 e 29 del Libro I). Una volta stabilito questo
risultato, da allora in poi Euclide poté usare il metodo del tan¬
gram con pezzi che non si sovrapponevano ma che avevano la
stessa area. Questa è l’idea del tangram generalizzato che Eu-
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
93
elide usò con grande maestria. La proposizione 37 del Libro I è
un semplice corollario delle precedenti, poiché si riduce alla di¬
mostrazione che l’area dei triangoli è esattamente la metà di
quella del parallelogrammo (figura 6).
«Il cervello non è un vaso da riempire,
ma un fuoco da accendere.»
Plutarco.
Euclide, come prima di lui avevano fatto altri geometri greci,
illuminò e sviluppò la geometria attraverso la generalizzazione
di risultati semplici ed evidenti. Nel caso che ci interessa ora,
stabilì - senza esporlo in forma esplicita, bensì usandolo nelle
dimostrazioni - che con pezzi di forma diversa (parallelogrammi
o triangoli) possiamo calcolare le aree.
Un altro elemento geometrico che permise a Euclide di
usare il metodo del tangram generalizzato è lo gnomone. Ero¬
doto lo cita in un suggestivo passaggio del Libro II delle Storie:
Sesostri fece la divisione dei campi, dando a ciascun egizio il suo
lotto di terreno quadrato e di pari misura; decisione grazie alla quale,
imponendo alle campagne una certa tassazione, poté fissare le ren¬
dite annuali della corona. Con questo sistema, se accadeva che il
fiume distruggesse parte di qualcuno di questi lotti, il proprietario
94
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
doveva rendere conto dell’ac-
FIG 7
caduto al re, il quale, informa¬
to del fatto, gli riconosceva
nuovamente la proprietà attra¬
verso i suoi periti e la faceva
misurare affinché, considerato
quanto terreno aveva perso,
pagasse meno all’erario, in ra¬
gione della porzione di terra
che gli restava. Nata così la
geometria in Egitto, ritengo
che si sia trasmessa in un se¬
condo momento alla Grecia,
congettura non bizzarra, poi¬
ché i Greci appresero dai Babi¬
lonesi l’orologio, lo gnomone e la suddivisione del giorno in dodici ore.
Euclide definì lo gnomone nel Libro II, sebbene già nel Libro
I avesse stabilito la proprietà che lo rende così utile. Ecco, innan¬
zitutto, la definizione:
Libro II, definizione 2. Si chiami gnomone, in ogni pa¬
rallelogrammo, uno qualsiasi dei parallelogrammi posti
intorno a una sua diagonale insieme coi due complementi.
E la sua interessante proprietà:
Libro I, proposizione 43. In ogni parallelogrammo i com¬
plementi dei parallelogrammi posti intorno alla diagonale
sono uguali tra loro.
Come si vede dalla figura 7, lo gnomone - in base alla defini¬
zione 2 del Libro II - è la figura grigia, formata da quattro pezzi: i
due parallelogrammi a IH, nGC e i due triangoli AIGD, e A JDG,
chiaramente uguali. Basta osservare che i triangoli in cui la diago¬
nale divide il parallelogrammo sono uguali, così come i triangoli
bianchi e grigio scuro, in virtù dei criteri di uguaglianza dei trian-
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
goli: si applica quindi la nozione comune 3. Dunque, pezzi diversi
(non sovrapponibili) sono equivalenti: ecco definito opportuna¬
mente il metodo del tangram generalizzato.
LA DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA DI PITAGORA
Il gioco del tangram, per generalizzazione, permise a Euclide di
dare una dimostrazione molto elegante, e al tempo stesso molto
originale, del teorema di Pitagora.
Dimostrazione di Euclide dalla proposizione 47 del Libro I:
Teorema di Pitagora. L'area del quadrato costruito sull'i-
potenusa BC del triangolo rettangolo A ABC è uguale alla
somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti AB e AC.
Come si vede nella figura 8, dal vertice A si traccia una per¬
pendicolare all’ipotenusa BC, prolungandola finché non incontra
il lato opposto HI del quadrato □ BI. Si ottengono così i due ret¬
tangoli üjCJ e tz\BJ. Bisogna dimostrare che il rettangolo tz\CJ è
uguale al quadrato BAD e che il rettangolo \uBJ è uguale al qua¬
drato BAG. Euclide costruisce quindi i triangoli AACI, aDCB.
Sono uguali per il criterio LAL, come si può facilmente verificare:
hanno uguali due lati (congruenti) e l’angolo tra di essi compreso
(nozione comune 2). Ebbene, il triangolo AACI condivide il lato
CI con il rettangolo aCJ e ha il vertice A sulla stessa parallela, A J,
dove il rettangolo cnCJ ha il lato KJ opposto al lato CL. Quindi
l’area del rettangolo cjCJ è doppia rispetto a quella del triangolo
A ACI. Allo stesso modo, l’area del quadrato BAD è doppia ri¬
spetto a quella del triangolo ADCB. Di conseguenza, l’area del
quadrato BAD è uguale a quella del rettangolo BIK, (prima ugua¬
glianza che volevamo dimostrare). Per analogia, l’area del qua¬
drato BAG è uguale a quella del rettangolo tz\BJ (seconda
uguaglianza che volevamo dimostrare). Quindi, per la nozione
comune 2, il teorema è stato dimostrato.
96
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
IL TANGRAM
GENERALIZZATO
NEL LIBRO II
Il termine “algebra geometrica” è
stato oggetto di discussione e di di¬
saccordo, ma è comodo perché
breve. Si tratta di stabilire risultati
relativi ad aree di rettangoli e qua¬
drati espressi nel linguaggio nume¬
rico di cui furono pioniere figure
come Diofanto di Alessandria o i
matematici arabi. Ad esempio, la
famosa proprietà distributiva del
prodotto rispetto alla somma, ossia
l’espressione algebrica ax(b+c+d
+ ...) = (axb) + (axc) + (axd) + ...
espressa in termini geometrici,
come avviene negli Elementi, dice:
Libro II, proposizione 1. Se
si danno due rette, e si di¬
vide una di esse in quante
parti si voglia, il rettangolo
compreso dalle due rette è
uguale alla somma dei ret¬
tangoli compresi dalia retta
indivisa e da ciascuna delle
parti dell’altra (figura 9).
riG 9
b c d e
a
Analogamente, vengono stabilite altre identità algebriche,
come ad esempio: (a±6)2=a2+62±2a6, (a+6)x(a-6)=a2-62,ecc.
Ci concentreremo solo sull’identità (a+ò ) x (a-b)=a2-b2, che in re¬
altà non è enunciata esplicitamente in questa forma. Ci affideremo
a una formulazione alternativa della proposizione 5 del Libro II.
Partiamo dalla figura 10. «Spezzettiamo» il rettangolo cnHJ. Per
prima cosa, usiamo la proprietà dello gnomone per stabilire che i
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
97
rettangoli □/'TV eia NB sono equi¬
valenti. Inoltre, per costruzione, il
rettangolo \uNB è equivalente al
rettangolo \uBI dato che DB=
DF=a, BJ=FH=b, DJ=a+b, J/=
DH=a-b. Risulta quindi che il ret¬
tangolo cjHJ è composto dal qua¬
drato \JKD (che è a2) posto che i
rettangoli \uGJ e \uFN sono
uguali, però avanza il quadrato
\JMG (che è ò2).
Una seconda applicazione
del tangram permette di verifi¬
care che le figure a più lati retti
si possono trasformare in un
quadrato equivalente. Per dimo¬
strarlo, ridurremo poco alla volta
il numero di lati della figura mul-
tilatera (detta anche poligonale)
fino a ottenere un triangolo. Con¬
sideriamo una figura poligonale
rettilinea ABCDEFG (figura 11).
Uniamo due vertici qualunque tra
quelli separati da un altro vertice
come, ad esempio, i vertici D e F.
Per il vertice E tracciamo una pa¬
rallela. Prolunghiamo il lato CD
finché non interseca la parallela in
/. Uniamo I e FA triangoli AIFD
e A EFD sono equivalenti (Libro I,
proposizione 35). Risulta quindi
che le figure poligonali ABCDEFG
e ABCIFG sono equivalenti, ma la
seconda ha un lato in meno della prima. Se ripetiamo il proce¬
dimento, arriveremo a un rettangolo equivalente alla figura ret¬
tilinea iniziale. Di conseguenza, ogni figura poligonale rettilinea
è triangolabìle. Di seguito, dimostriamo che qualsiasi triangolo
98
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
z /
>1 71
rettangolo si può trasformare in un rettangolo equivalente, ossia
qualsiasi triangolo è rettangolabile. La figura 12 parla da sé.
Rimane un ultimo passaggio: qualsiasi rettangolo è quadra-
bile (Libro II, proposizione 14). Supponiamo di avere un rettan¬
golo nAD e di volerlo trasformare in un quadrato. Osserviamo
la figura 13. Portiamo il lato CD sul prolungamento del lato AC.
Dividiamo a metà il segmento AB nel punto G. Con centro in G e
raggio GB tracciamo una semicirconferenza. Tracciamo la semi¬
corda FC perpendicolare ad AB nel punto C. Il segmento FC è il
lato di un quadrato equivalente al rettangolo iniziale.
Fin qui la costruzione, che si può compiere interamente
con riga e compasso. Bisogna dimostrare che FC realizza le
condizioni che vogliamo dimostrare. Se prendiamo i segmenti
r[=GF=AG=GB] e s[=GC], vedremo che il rettangolo è equivalente
a (r+s) (r-s), il cui valore è
uguale a r2-s2. FC è un ca¬
teto del triangolo rettangolo
AFCG. E, per il teorema di
Pitagora, il suo quadrato vale
r2-s2. Pertanto il rettangolo
□AD è uguale al quadrato
FC, l’equivalenza che cerca¬
vamo. Euclide seguì questo
ragionamento usando il tan-
gram; noi abbiamo utilizzato
l’espressione algebrica per
semplificare la spiegazione,
ma senza falsarla
• 8
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
FIG 14
LA SEZIONE AUREA
o
a
<
b
a + b
È noto come sezione aurea il
rapporto tra due segmenti aeb
tali per cui il rapporto tra la
somma delle loro lunghezze,
a+b, e il segmento più lungo a è
uguale al rapporto tra a e 6 (fi¬
gura 14). Questo nome poetico
si deve - ma è solo una supposi¬
zione - al fatto che troviamo la
sezione aurea in numerose co¬
struzioni architettoniche e
opere artistiche a cui dona,
sempre secondo alcuni autori,
grande armonia. È conosciuta
anche con i nomi di segmento
aureo (nel cui caso è implicito
un segmento più grande usato
come riferimento), numero
aureo, rapporto aureo, propor¬
zione divina o, secondo la ter¬
minologia di Euclide, rapporto
estremo e medio. Si indica con
la lettera greca phi (O) e corri¬
sponde al valore:
» 1,618033988749894848204586834365638117720309...
2
È un numero irrazionale, cioè un numero che non si può
esprimere come tra zione di nessuna coppia di numeri interi. Da
un punto di vista geometrico, per costruire un segmento aureo
bisogna dividere un segmento dato AB in un punto E in modo che
il quadrato costruito sulla parte maggiore AE coincida con il ret¬
tangolo che si ottiene con il segmento minore EB e il segmento
iniziale (Libro II, proposizione 11), come si vede nella figura 15.
100
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
LA STELLA PITAGORICA
Euclide usò la sezione aurea in
un passaggio intermedio della
costruzione del pentagono rego¬
lare; nello specifico, per ottenere
un triangolo isoscele avente gli
angoli alla base doppi rispetto
all’angolo al vertice. È una costru¬
zione sorprendente che si spiega
solo ipotizzando che Euclide si sia
trovato davanti un pentagono già
costruito - e pertanto "ideale” - e
che dall’analisi di tale figura ab¬
bia concluso di aver bisogno del
suddetto triangolo; siamo quindi
di fronte a un nuovo esempio di combinazione di analisi e sintesi, su cui abbia¬
mo posto l’accento nel capitolo 2. Infatti, osservando la figura del pentagono,
si vede che due diagonali e un lato formano un triangolo isoscele avente gli an¬
goli alla base doppi. Allo stesso modo, due diagonali - EBe AD nella figura - si
incontrano in un punto F che le divide entrambe in rapporto estremo e medio.
È possibile che il pentagono regolare abbia avuto un’importanza particolare
per la scuola pitagorica, che si dice avesse come simbolo la stella pentagonale,
che si ottiene tracciando le diagonali della figura (linee discontinue).
D
IL RETTANGOLO AUREO
Il segmento aureo permette di costruire un rettangolo avente per
lati il segmento iniziale AB e la parte più lunga della sezione
aurea, AE, e che pertanto prende il nome di rettangolo aureo.
Nella figura 15 osserviamo che, in effetti, il punto E divide AB in
rapporto estremo e medio. Questo rettangolo ha la particolarità di
potersi autoriprodurre mediante il seguente procedimento (figura
16): la parte piccola BE divide, a sua volta, la parte più grande AE
in rapporto estremo e medio diventando così la parte maggiore
della nuova divisione (si veda il punto J che divide il segmento
BH(=AE) in rapporto estremo e medio). Il rettangolo AH è un
rettangolo aureo, così come EH, LH, ecc., all’infinito.
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
101
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
/
/
/
\
\
\
" — —
B
IL RETTANGOLO AUREO
E IL DODECAEDRO
Gli Elementi si concludono
con la costruzione dei cin¬
que solidi platonici e con la
dimostrazione che esistono
solo questi cinque. Platone,
nel Timeo, classifica gli ele¬
menti della natura in base a
cinque solidi (figura 17): il
tetraedro è il fuoco, per la
sua leggerezza; il cubo o
esaedro è la terra, per la sua
stabilità; l’ottaedro è l’aria, per la sua instabilità; l’icosaedro è
l’acqua, per la sua fluidità, e il dodecaedro, l’elemento del cosmo,
la quinta essenza, perché è l’elemento degli dèi. Riguardo queste
costruzioni Euclide afferma:
H
Libro XIII, proposizione 18. Non è possibile che, oltre alle
cinque figure suddette, sia costruibile una qualunque altra
figura solida compresa da poligoni equilateri ed equiangoli.
I cinque solidi
platonici.
Da sinistra a
destra: tetraedro,
ottaedro,
icosaedro,
cubo e
dodecaedro.
Dimostrazione. Immaginiamo di avere sul foglio un punto e
disegnamogli intorno 3, 4 o 5 triangoli equilateri, 3 o 4 qua¬
drati e 3 pentagoni. Il punto non ne ammette di più, se con¬
tiamo i gradi degli angoli. Quindi non possono esistere altri
solidi regolari oltre a quelli derivanti da questi casi.
F1G 17
102
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
IL RETTANGOLO AUREO
IN DUE CAPOLAVORI
Si afferma talvolta che il rapporto
aureo sia presente in diverse opere
d’arte. A titolo esemplificativo citia¬
mo qui due casi: il Partenone di Ate¬
ne e Las meninas di Velázquez. An¬
che quando l’arte rompe gli standard
dell’eredità classica - nel cubismo, ad
esempio - il rettangolo rimane ele¬
mento strutturante del quadro. Il Par-
tenone è uno dei più importanti tem¬
pli dorici giunti fino ai nostri giorni; fu
costruito tra il 447 e il 432 a.C. È
lungo circa 69,5 m e largo circa 30,9
m; le colonne sono alte 10,4 m. È de¬
dicato alla dea Atena, che gli Atenie¬
si consideravano loro protettrice.
Quanto alla tela di Velázquez, misura
318x276 cm e fu dipinta nel 1656.
Come si vede nelle immagini, le pro¬
porzioni di molti elementi chiave di
entrambe le opere disegnano dei
rettangoli aurei. In ogni caso, va pre¬
cisato che, pur non essendo ciò frut¬
to di una costruzione volontaria, sa¬
rebbe molto strano che si sia trattato
di semplice casualità.
Ma i cinque solidi platonici esistono? La costruzione dei primi
tre è relativamente semplice; quella dell’icosaedro e del dodecae¬
dro, invece, è complessa. Euclide le spiega e fornisce anche lo
spigolo in funzione del diametro della sfera circoscritta. È il con¬
tenuto delle proposizioni dalla 13 alla 17 del Libro XIII. Tutto si
riduce a vedere come si costruisce il cerchio che circoscrive una
faccia del solido, una costruzione frutto dell’analisi. A titolo esem¬
plificativo, vediamo la costruzione della faccia del tetraedro rego¬
lare (si veda la figura).
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
103
Dividiamo il diametro AB della sfera passando per un punto
C in modo che AC=2BC. Facciamo passare per C una retta per¬
pendicolare ad AB che intersechi la semicirconferenza ABD nel
punto D. Con raggio CD, tracciamo una circonferenza e conside¬
riamo il triangolo equilatero in essa inscritto. Si ottengono tre
punti E, F, G. Per il centro H del triangolo EFG tiriamo la retta
HK, perpendicolare al piano che lo contiene e uguale ad AC.
Uniamo K con i vertici E, F, G e otteniamo il tetraedro. Osser¬
viamo che, ancora una volta, per realizzare questa costruzione
bisogna aver condotto prima un’analisi, come spiegato nel riqua¬
dro dedicato alla costruzione del pentagono regolare. Senza tale
analisi la costruzione è impossibile, perché non sapremmo cosa
fare.
Nel caso dell’icosaedro e del dodecaedro, tuttavia, non è
così semplice. È per questo che Ipsicle dedicò una parte impor¬
tante del Libro XIV a rifare queste costruzioni. Ma la costruzione
davvero straordinaria è quella dell’icosaedro proposta dall’ita¬
liano Luca Pacioli (1445-1514 o 1517) nel De divina proportione
(1494), il testo che diede al rapporto estremo e medio uno dei
suoi nomi più evocativi, la cui fama si deve sia alle sue qualità
scientifiche sia alle splendide illustrazioni di poliedri opera di
Leonardo da Vinci in persona. Con il suo capolavoro, Summa di
arithmetica, geometrica, proportioni et proportionality il cui
intento principale era razionalizzare le pratiche contabili dell’e-
104
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
FOTO A LATO:
Il frate
francescano
e matematico
italiano Luca
Pacioli raffigurato
in un quadro dei
1495 mentre
sviluppa uno dei
problemi esposti
negli Elementi
di Euclide.
Museo e Gallerie
di Capodimonte,
Napoli.
FOTO IIN BASSO
A SINISTRA
Copertina della
prima edizione
inglese degli
Elementi
di Euclide,
pubblicata nel
1570 da Henry
Billingsley.
FOTO IN BASSO
A DESTRA
Copia latina
del XII see.
degli Elementi
di Euclide.
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
105
poca, Pacioli “chiuse” la matema¬
tica del XIII e XIV secolo e aprì la
strada all’era moderna dell’alge¬
bra. Nel 1507 egli scrisse sicura¬
mente una traduzione latina degli
Elementi. Come si vede dalla fi¬
gura, Pacioli tagliò perpendicolar¬
mente a due a due per la parallela
media tre rettangoli aurei uguali.
Quindi gli bastò unire i vertici
contigui. Per costruire il dodecae¬
dro, unì i centri delle facce dell’i¬
cosaedro. Un sublime esercizio di
chiarezza concettuale.
106
IL METODO DEL TANGRAM NEGLI ELEMENTI
CAPITOLO 5
La teoria della proporzione
e il metodo di esaustione
Uno dei maggiori successi elaborati
dall’Accademia platonica è la teoria della proporzione,
attribuita a uno dei grandi matematici
dell’Antichità, Eudosso di Cnido.
Grazie a essa, Euclide andò oltre le rette
e le circonferenze e poté occuparsi dei volumi.
Un’altra delle più importanti creazioni
della matematica classica, il metodo di esaustione,
gli permise, tra l’altro, di risolvere un problema
ereditato dall’antico Egitto: il volume della piramide.
Abbiamo già detto che il Libro V degli Elementi è indipendente dai
quattro precedenti anche se, una volta stabilita la teoria della pro¬
porzione tra grandezze, ne ha bisogno per poter applicare la teoria
generale alla geometria del triangolo e del cerchio, nonché all’arit-
metica. Questa metodologia viene attribuita quasi unanimemente
a Eudosso di Cnido.
IL CONCETTO DI GRANDEZZA
La prima difficoltà - analoga ma più complessa rispetto a quella
presentata dal concetto di retta - risiede nella nozione stessa di
grandezza, che Euclide usò pur non dandone mai una definizione.
È curioso osservare che Archimede invece la evitava e si riferiva
solo a «rette, superfici e solidi». La mancanza di una definizione ha
portato a una discussione filosofica con importanti implicazioni
matematiche. L’interrogativo intorno al quale si sviluppò tale di¬
scussione è: le grandezze sono divisibili aH’infinito? Fu Zenone di
Elea a lasciare la traccia più profonda al riguardo con le proprie
aporie o paradossi.
Zenone diede una sua formulazione della domanda relativa
alla grandezza chiedendosi se il tempo e lo spazio fossero indivi-
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTONE
109
sibili all’infinito o si componessero, rispettivamente, di istanti e
di intervalli indivisibili. Entrambi i casi sono inaccettabili per la
mentalità greca: il primo porta con sé l’accettazione dell’infinito
in atto, che nel IV see. a.C., come abbiamo visto, sarebbe stato
rifiutato in modo esplicito e radicale da Aristotele. La seconda ha
in sé il seguente paradosso: com’è possibile che unendo «istanti»
o «intervalli indivisibili» - privi, rispettivamente, di tempo e di
spazio, ossia nulli - si arrivi a un intervallo temporale e spaziale
non nullo? Zenone si spinse ancora oltre e pose quattro paradossi,
raccolti nella Fisica di Aristotele: due emergono dalla considera¬
zione che il tempo è atomico, composto da istanti senza tempo; gli
altri due, invece, dal presupposto che la grandezza - sia il tempo
che il percorso - sia divisibile all’infinito. Ne riproponiamo due,
uno per ciascun tipo.
«Incontro costantemente persone che dubitano,
di solito senza alcun motivo, della loro abilità potenziale
come matematici. Per prima cosa bisogna vedere se capiscono
qualcosa di geometria. Il fatto che non amino o trovino difficoltà
in altri argomenti di matematica non importa.»
John E. Littlewood.
L’APORIA DELLA FRECCIA
Pensiamo alla freccia che Ulisse scoccò per dimostrare di essere
lo sposo di Penelope, di essere ritornato a casa e di volerla difen¬
dere dall’oltraggio dei pretendenti. In un “istante” del suo percorso
la freccia “non si muove”, perché se si spostasse di un certo inter¬
vallo di spazio, avrebbe bisogno di “mezzo istante” per percorrere
la metà del suddetto intervallo spaziale. Ma tale metà non esiste,
perché stiamo supponendo che l’istante sia il più piccolo inter¬
vallo di tempo possibile. Quindi, in realtà, la freccia non si muove.
Ma se «non si muove in nessun istante del percorso», come pos¬
ilo
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
ZENONE DI ELEA
Zenone nacque a Elea, nell’odierna
Campania, nel 490 a.C. È uno dei
cosiddetti filosofi presocratici. Fu
discepolo di Parmenide (ca 570-
475 a.C.) insieme al quale, a metà
del V see. a.C., si trasferì ad Atene
dove conobbe, secondo la testimo¬
nianza di Platone, l’allora giovane
Socrate. Morì nel 430 a.C. nel ten¬
tativo di liberare la sua patria dal
tiranno che la governava. Racconta
la leggenda che si tagliò la lingua
per non rivelare i nomi dei congiu¬
rati. Di Sulla natura - che difende le
tesi di Parmenide - si conservano
cinque frammenti che, grazie al
commento di Simplicio (490-560)
alla Fisica di Aristotele, sono ritenu¬
ti autentici. È un testo composto da
argomenti (logoi), in cui riduce
all’assurdo le ipotesi dei suoi oppo¬
sitori per confutarle e dimostrare
quindi le proprie tesi (una sorte di riduzione all’assurdo applicata però alla
filosofia). Le sue aporie ne fanno il padre del ragionamento paradossale: non
cercava mai di dimostrare direttamente le tesi del suo maestro; confutava
sottilmente l’avversario arrivando a conclusioni di per sé inaccettabili. La sua
filosofia sostiene che esiste solo l'“essere”, unico e immobile. La pluralità e il
movimento portano all’incoerenza concettuale. Grazie ad Aristotele cono¬
sciamo i suoi quattro paradossi: quello della freccia, della tartaruga, della
corsa e dello stadio.
siamo dire che è andata dall’arco al petto di Antinoo, il primo dei
pretendenti raggiunto da Ulisse? Si potrebbe rispondere che, in un
istante di tempo, la freccia si sposta di uno spazio indivisibile: uno
spazio senza spazio. Ma questo ci riporterebbe al punto di prima:
come si ottiene uno spazio aggiungendo «spazi indivisibili» (nulli,
privi di spazio)?
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
111
L’APORIA DI ACHILLE E LA TARTARUGA
Era impossibile che Achille, il piè veloce, riuscisse a raggiungere
la tartaruga, se questa aveva su di lui un certo vantaggio. Achille
partiva da un punto A intenzionato a raggiungere una tartaruga
che si trovava più avanti nel punto B (si veda la figura). Per
quanto Achille fosse rapido - a meno che non corresse a una ve¬
locità infinita, il che è inammissibile - quando fosse giunto al
punto B, la tartaruga, per lenta che fosse, si sarebbe spostata nel
punto Btra i punti B e B{ c’è un certo spazio - visto che suppo¬
niamo che lo spazio sia divisibile aH’infìnito, il che significa che è
privo di infinitesimi e, di conseguenza, tra due punti c’è sempre
un certo spazio. Ad Achille serviva un determinato tempo per
coprire l’intervallo BBl e, nel trattempo, la tartaruga si sarebbe
spostata nel punto B2 e così all’infinito. In un tempo finito, Achille
non avrebbe mai raggiunto la tartaruga.
Bisognava dunque superare questa dualità se si volevano
dare dei fondamenti rigorosi alla geometria. Le grandezze geome¬
triche - linee, superfici e solidi - sono divisibili all’infinito o sono
atomiche? Euclide, implicitamente, negli Elementi, e Archimede,
sotto forma di postulato, in Della sfera e del cilindro, stabili¬
scono che:
Le grandezze sono divisibili all’infinito e pertanto sono prive di atomi.
Achilie e la Così, scegliendo tra due situazioni possibili ugualmente ac-
tartaruga. cettabili (o inaccettabili), essi superavano lo scoglio dell’assenza
112
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTONE
di una definizione precisa di grandezza. È molto probabile che al
geometra non importi tanto “cosa sono” le grandezze quanto
“come maneggiarle”. Tuttavia, ciò non esclude che la mancanza di
chiarezza filosofica, qualunque essa sia, possa portare a situazioni
paradossali forse impreviste in un primo momento. I postulati
degli Elementi accolgono questi enti matematici di nuova crea¬
zione? Questo influisce sullo spirito di ordine e rigore che è uno
dei loro obiettivi?
LE GRANDEZZE INCOMMENSURABILI
Già nella scuola pitagorica si verificò quella che alcuni autori
hanno definito la prima crisi dei fondamenti della matematica.
Fino ad allora si era supposto che «due segmenti sono sempre
commensurabili». Ovvero: dati due segmenti AB e CD è sempre
possibile trovare un segmento UV «comune» ai due segmenti, dal
punto di vista della misura; o, detto altrimenti, esiste sempre un
segmento UV che misura esattamente i due segmenti. Quindi:
AB=mxUV e CD=nxUV. Possiamo anche dire che c’è «una rela-
INDIPENDENZA DELL’UNITÀ DI MISURA
k
Se ad esempio invece di UV scegliessimo U]V] = k x UV = UV + ■ • ■ + UV, allora
AB-jxuy, e CD-Zxuy,,
o, detto altrimenti. kxAB=mx uyv kxCD=nx uyv II suo rapporto è poi¬
ché, per la proposizione 3 del Libro V,
AB _kx AB _ m x Uy} _ m
CD ~ kxCD ~ nxUy}~ n'
Se si ricorre al rapporto tra grandezze non è necessario avere un’unità di
misura per ogni “tipo” di grandezza.
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTONE
113
FIG 1
D
A
zione» tra AB e CD, il suo «rap-
porto», che esprimeremo come —
c o m:n. Il concetto di rapporto e
molto importante perché permette
di “eludere” il segmento concreto
di misurazione UV. È indifferente
usare metri, centimetri o chilome¬
tri: il rapporto, ossia la relazione in
cui sono tra loro le lunghezze, non
varia se cambiamo l’unità di mi¬
sura della distanza. Non sempre,
però, possiamo stabilire un rap-
B porto numerico tra grandezze: non
è possibile ridurre tutto a un cal¬
colo numerico (con numeri natu¬
rali, cioè con gli interi positivi). Quindi, per il teorema di Pitagora,
si può calcolare la «diagonale AC di un quadrato di lato arbitrario
AB» (figura 1). Poiché AC=AB:
AC2=AB2+BC2=AB2+AB2=2xAB2.
Supponiamo che AB e AC siano incommensurabili.
Avremmo: AB=mxUV, AC=nxUV. Quindi, AB2=m2xUV2,
AC2=n2xUV2. Da cui, n2xUV2=2xm2xUV2 e, di conseguenza,
n2=2xm2, che è impossibile. La diagonale di un quadrato è incom¬
mensurabile. Quanto detto finora (che non compare esplicita¬
mente negli Elementi di Euclide, ma che ci permette di capirne
meglio risultati e limiti) fu una tragedia per la scuola pitagorica,
che sosteneva:
Il numero [naturale] è il rapporto di tutto.
Sarebbe a dire che secondo i pitagorici tutto può essere mi¬
surato con i numeri naturali; o, detto altrimenti, tutte le gran¬
dezze (di una stessa specie) sono commensurabili tra loro. Ma,
in base all’esempio esposto, esistono segmenti che non ammet¬
tono alcuna misura comune. E, fatto ancora più grave, Teodoro
114
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTONE
FIG 2
ßc = VT
BD=\fz
BE = VÃ= 2
BF = \Ji"
eG = Vi"
BH = yJT
bj = Vb = 2V2
di Cirene stabilì un metodo per costruire geometricamente un
numero infinito di segmenti incommensurabili. Si tratta della co¬
siddetta spirale di Teodoro che si costruisce a partire da un seg¬
mento di valore uno il quale, attraverso un processo iterativo,
rimane il cateto corto di una successione di triangoli rettangoli
con un vertice in comune (figura 2).
I triangoli rettangoli che formano la spirale hanno un’ipote-
nusa che assume man mano i valori radice di due, di tre, di quat¬
tro, di cinque, di sei, di sette e di otto (anche se il terzo valore
della serie è un numero naturale, il due). La maggior parte di
questi valori è un numero irrazionale, ossia non esprimibile
come trazione (rapporto) di due numeri naturali. Oggi diremmo,
usando un linguaggio molto più numerico, che qualsiasi numero
reale - un concetto alieno alla matematica greca - espresso
come yfñ, con n naturale che non sia un quadrato perfetto (ov¬
vero il quadrato senza decimali di un altro numero intero), è un
numero irrazionale. Euclide dedicò il Libro X allo studio delle
linee incommensurabili.
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
115
METODO ITERATIVO PER COSTRUIRE LATI E DIAGONALI DI QUADRATI
E possibile dare una di- o
Ç
mostrazione dell’incom¬
mensurabilità della dia¬
gonale del quadrato
- anche per riduzione
all’assurdo - compieta-
mente geometrica. Si
tratta di un procedi¬
mento iterativo: parten¬
do da un caso partico¬
lare, si generano altri
casi più piccoli che
mantengono lo stesso
rapporto. Consideriamo
un quadrato □ ABCD
a
\
/
* D’
con lato a -AB e diago¬
nale d=AC. Portiamo il lato sopra la diagonale. Otteniamo una retta AB'.
Tracciamo la tangente all’arco di circonferenza BB' nel punto B'\ interseca il
lato BC in A’. Uniamo B' e A' e completiamo il triangolo rettangolo isoscele
ACB'A' per ottenere il quadrato □ CB'A’D’. Abbiamo costruito un nuovo
quadrato il cui lato e la cui diagonale sono, rispettivamente, A'B'=AC-
AB' [a'=d-a] e A'C-BC-A'B [d'=a-a'], in cui ovviamente AC>A'C eAB>B'C. È
chiaro che se u misura, allo stesso tempo, a=AB e d=AC, misurerà la sua
differenza a' e quindi la differenza d'. Possiamo ripetere ancora il procedi¬
mento e ottenere le coppie (a,d) > (a\d’) > (a",d’’) > (a"',d'") > •■• di lati e dia¬
gonali di quadrati commensurabili. Arriverà un momento in cui la diagonale
o il lato saranno minori dell’unità di misura u che li misura. Impossibile.
IL CONCETTO DI RAPPORTO
In questa situazione, ossia quella dell’incommensurabilità, biso¬
gna chiedersi se sia possibile prendere in considerazione il rap¬
porto delle grandezze incommensurabili. Affrontando tale
questione, emerge la figura del geniale Eudosso di Cnido, padre
delle idee contenute nei Libri V e VI. Cominceremo l’analisi del
Libro V esaminando le sue prime quattro definizioni:
116
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
Definizione 1. Una grandezza è parte di una grandezza, la
minore di quella maggiore, quando essa misuri la maggiore.
Definizione 2. La grandezza maggiore è multipla di quella
minore, quando sia misurata dalla minore.
Definizione 3. Rapporto tra due grandezze omogenee è un
certo modo di comportarsi rispetto alla quantità.
Definizione 4. Si dice che hanno tra loro rapporto le gran¬
dezze le quali possono, se moltiplicate, superarsi reciproca¬
mente.
Nei concetti di “parte” e “multiplo” sono contenuti quelli mol¬
teplicità e di commensurabilità o divisibilità. Un multiplo è la ripe¬
tizione di una stessa grandezza un certo numero di volte: se la
grandezza è A e m è un numero naturale arbitrario, abbiamo il
multiplo mxA. Questa grandezza è equivalente alla somma di m
copie della grandezza A. Un divisore o parte D di una grandezza A
è una grandezza della «stessa specie» di A, tale per cui A è multi¬
plo di D\ ovvero, tale per cui esiste un numero naturale ben deter¬
minato m, tale per cui A=mxD. Questi concetti presuppongono
che sappiamo quando una grandezza «è minore, uguale o mag¬
giore di un’altra», il che, come vedremo, è fondamentale.
«Zenone ed Eudosso rappresentano due scuole forti
e opposte del pensiero matematico [...]: la critica distruttiva
e la critica costruttiva. La mente di entrambi possedeva
uno spirito critico [...] penetrante.»
E.T. Bell, I grandi matematici.
Esistono oggetti che verificano la definizione - cosa che, a sua
volta, le dà un senso, dato che, in caso contrario, non definirebbe
nulla e sarebbe pertanto inutile; si tratterebbe in realtà di una pro¬
prietà che andrebbe stabilita attraverso un postulato o una propo¬
sizione - ma ce ne sono anche degli altri che non la verificano.
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
117
EUDOSSO Dl CNIDO
Matematico e astronomo greco, Eudosso
(ca. 408-347 a.C.), figlio di Eschine e di¬
scepolo di Platone, nacque e morì a Cni-
do. La sua era una famiglia di medici e
per questo venne spinto a studiare me¬
dicina, professione che esercitò per di¬
verso tempo in Grecia. A ventitré anni
partì per Atene ed entrò nell’Accademia
di Platone, dove studiò filosofia. Qualche
anno dopo venne a conoscenza degli
studi astronomici che in quel momento
si stavano effettuando in Egitto e, entu¬
siasmato dalla materia, si organizzò per
trasferirsi a Eliopolis con il patrocinio e la
raccomandazione del re Ageliseo, grazie
al quale ebbe accesso alle osservazioni e
alle teorie dei sacerdoti della città. Di ri¬
torno in Grecia, fondò una scuola di filosofia, matematica e astronomia. Più
tardi scrisse la sua prima opera, i Fenomeni, in cui vengono descritti la nasci¬
ta e il tramonto degli astri. La sua geometria, con la teoria della proporzione
e il metodo di esaustione, influì molto su Euclide. La prima fu la soluzione più
antica al problema dei numeri irrazionali; il secondo gli permise di affrontare
il problema del calcolo delle aree e dei volumi, come quello della superficie
del cerchio, che è proporzionale al quadrato dei diametri, e il volume della
La domanda che viene da porsi è la seguente: negli Elementi ci
sono coppie di grandezze non legate da alcun rapporto? Perché
«imporre» che «tutte le grandezze, a due a due, hanno tra loro
rapporto» è qualcosa che una definizione non può né deve fare.
Archimede non cadde in questa trappola e nell’assioma V di Della
sfera e del cilindro si legge:
Date due linee, due supeìfici o due solidi diversi, se l'eccedenza di
uno di essi rispetto all'altro viene aggiunta a se stessa un certo
numero di volte, si arriva a superare l'una o l'altra delle grandez¬
ze messe a confronto.
118
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
piramide, che equivale a un terzo del prisma avente la stessa base e la stessa
altezza. Le definizioni 3 e 4 sono molto interessanti. Nella terza, quella del
rapporto, l’espressione «un certo modo di comportarsi» non ha senso: che
cos’è «un certo modo di comportarsi»? Inoltre, introduce il concetto «rispetto
alla quantità» che, nei casi di incommensurabilità, non esiste. La quarta defi¬
nizione richiede un’analisi più attenta:
Si dice che hanno tra loro rapporto le grandezze le quali possono, se moltiplicate,
superarsi reciprocamente.
La definizione stabilisce in quali condizioni due grandezze «hanno tra loro
rapporto»; se non rispettano queste specifiche, «non avranno tra loro rappor¬
to». Mettiamo a confronto la definizione precedente con le seguenti:
Oggetto
Definizione
Due rette sono parallele
se prolungate illimitatamente
non si incontrano.
Una retta è perpendicolare
a un’altra
se quando viene intersecata forma
angoli retti.
Due grandezze hanno tra loro
rapporto
se moltiplicate si superano
reciprocamente.
Un numero è primo
se ammette solo l’unità come parte.
Due numeri sono primi tra loro
se l’unica parte comune è l’unità.
IL CONCETTO DI PROPORZIONE
In realtà, però, al matematico non sta tanto a cuore 1 aspetto on¬
tologico (che cos’è?), quanto l’aspetto metodologico (come fun¬
ziona?). Quindi ciò che interessa al matematico è sapere se due
rapporti sono uguali o se uno è maggiore dell’altro, pur non
avendo molto chiaro cosa sia un rapporto. È proprio questo il con¬
tenuto delle definizioni 5, 6 e 7:
Definizione 5. Si dice che quattro grandezze sono nelle stesso
rapporto, una prima rispetto a una seconda e una terza ri-
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
119
spetto a una quarta, quando, presi equimultipli qualunque
delia prima grandezza e della terza ed equimultipli qualun¬
que della seconda e della quarta, secondo che il multiplo della
prima sia maggiore, uguale o minore del multiplo della se¬
conda, Vequimultiplo della terza è corrispondentemente mag¬
giore, uguale o minore dell 'equimultiple della quarta.
Definizione 6. Grandezze che hanno lo stesso rapporto si
dicono proporzionali.
Definizione 7. Quando, degli equimultipli, il multiplo della
prima grandezza è maggiore del multiplo della seconda, ma
il multiplo della terza non è maggiore del multiplo della
quarta, si dice allora che la prima grandezza ha, rispetto
alla seconda, rapporto maggiore di quello che la terza ha
rispetto alla quarta.
Siano AeB due grandezze della stessa specie e T, A, elitre due
(non viene mai definito cosa si intende con l’espressione «della
stesse specie», ma è chiaro che due superfici, due numeri, due so¬
lidi, ecc., lo sono; invece una linea, un numero, un solido, ecc., non
lo sono). Ciascuna coppia forma un rapporto, che scriveremo come:
A r
— e —.
La domanda è: quando possiamo dire che
A
B
— e quando che — > —?
A B A
Consideriamo ora i due multipli - arbitrario -mdiA, Tendi
B, A; mxA, nxB sono grandezze della stessa specie e, di conse¬
guenza, possono essere messe a confronto; lo stesso avviene con
mxT, nxA. Allora, se, qualunque siano i multipli men, ogni volta
che abbiamo
mx A
nxB-
<
120
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
C NE
Abbiamo rispettivamente
>
m x r
nxA.
<
Diciamo che
A T
B~ A ‘
Invece, se c’è una coppia di multipli men per i quali s
mxA>nxB ma, mxY<nxA, allora
A r
B> A
Perché Euclide ha bisogno di una definizione così com¬
plessa? Per via dell’incommensurabilità. Per capirlo, dimostre¬
remo la stessa proposizione in due casi diversi: uno in cui i
segmenti sono incommensurabili e l’altro in cui non lo sono.
Libro VI, proposizione 1.1 triangoli e i parallelogrammi
che hanno la stessa altezza stanno tra loro come le rispet¬
tive basi.
Vediamo la dimostrazione nel caso in cui c’è commensurabi¬
lità. Se le basi dei due triangoli fossero commensurabili, po¬
tremmo usare la misura comune per scomporli entrambi in
triangoli equivalenti con il metodo del tangram (si veda la figura).
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
121
Se AB e TA sono le basi di due triangoli che si trovano tra le stesse
parallele e sono commensurabili, esiste una misura LM comune
che divide la base AB in m parti, e la base TA, in n parti. Se uniamo
i punti che queste parti determinano sulla base con i vertici C ed
E avremo, rispettivamente, men triangoli equivalenti al triangolo
àLMN, dove N è un punto qualsiasi della parallela CE alla retta A.
Quindi, A ABC= m x ( A LMN ), A AT£=m x ( A LMN ). Di conseguenza,
AB _ m x LM _ m x (àLMN) _ A ABC
ÃT ~ nxLM ~ nx(ALMN) ~ aArE '
Ma, come abbiamo visto, quando AB e TA sono arbitrari, non
possiamo sapere se sono commensurabili. Di fatto, ogni seg¬
mento ha infiniti segmenti a esso incommensurabili in numero
molto maggiore degli infiniti segmenti commensurabili. La dimo¬
strazione precedente, quindi, non è generale, anzi, è molto parti¬
colare. Vediamo la dimostrazione nel caso generale, ossia
quando c’è incommensurabilità. È necessaria un’altra dimostra¬
no 3
FIG 4
C E
122
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
zione basata sull’idea che, se non si può usare il tangram all’in¬
terno, non vi è motivo per non usarlo all’esterno. Invece di
cercare un triangolo comune da collocare dentro ognuno dei
triangoli dati, costruiamo multipli di ciascuna base dei triangoli
e uniamo i punti che si creano man mano con il vertice, come si
vede nella figura 3. Si ottengono così due triangoli che sono i
multipli men dei triangoli iniziali:
AA"CB = mx(AACB), aN'"PM = ux(aNPM).
«Non bisogna dare credito alcuno alle previsioni fatte
a partire dagli oroscopi basati sulla data di nascita,
poiché le influenze astrali sono così complesse da calcolare
che non c’è nessuno sulla faccia della Terra in grado di farlo.»
Eudosso.
Ora, dobbiamo solo sapere se tra i due triangoli compresi tra
le parallele (ovvero aventi la stessa altezza) ha area maggiore
quello con la base maggiore. La risposta è chiaramente afferma¬
tiva (figura 4). La base AB è minore della base TA. Possiamo
quindi portarla dentro TA (uso intuitivo del concetto di «essere
minore, essere maggiore» - «il maggiore contiene un esemplare
congruo al minore» - che non viene mai esplicitato negli Ele¬
menti ma che viene sempre usato all’occorrenza) e costruire un
triangolo uguale al triangolo A ACB dentro il triangolo AVE A.
Quindi è maggiore il triangolo avente la base maggiore. Di con¬
seguenza, se
allora
mxAB
n x fA,
mx(AACB)
n x (A rEÁ).
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
123
Adesso la definizione di Eudosso si applica alla perfezione e
abbiamo che
AB AACB
VA ~ AVEA’
C.V.D.
Nell’esempio precedente è stata stabilita l’uguaglianza di rap¬
porti tra coppie di grandezze di diversa specie: di rette, la prima, e
di superfici, la seconda. Da qui la necessità della precisazione con¬
tenuta nella definizione 5 del Libro V. Grazie a queste definizioni
Euclide disponeva di uno strumento molto utile per fornire risultati
concreti di geometria delle rette e delle figure poligonali rettilinee.
Questi risultati costituiscono il grosso del Libro VI in cui Euclide
presenta, tra le altre, le proposizioni indicate nella seguente tabella.
Ecco il nucleo geometrico della teoria della proporzione.
Applicazioni della teoria della proporzione alla geometria
Proposizione
Nome
Enunciato
2
Teorema di Talete
Se si traccia una retta parallela a uno dei
lati di un triangolo, essa dividerà propor¬
zionalmente i due altri lati del triangolo.
19
Per lati
Due triangoli simili stanno tra loro come
i quadrati dei due lati omologhi.
5. 6 e 7
Per superfici
Il criterio di proporzionalità dei tre tati;
quello dei due lati e quello di uguaglianza
di un angolo.
11,13
Criterio di somiglianza
dei triangoli
Si possono costruire a partire da due rette
date.
12
Terza e media
proporzionale (teorema
dell’altezza dei triangoli
rettangoli)
Si può costruire a partire da tre rette date.
8
corollario
Quarta proporzionale
Se in un triangolo rettangolo si conduce la
perpendicolare dall’angolo retto sulla base,
la stessa perpendicolare divide il triangolo
in due triangoli simili al triangolo e tra loro.
124
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
IL METODO DI ESAUSTIONE
La teoria della proporzione diventa uno strumento matematico di
potenza enorme - e insospettata, da qui la genialità di Eudosso -
quando viene applicata alla determinazione comparativa di aree e
volumi. In questo caso, il «metodo del tangram deve proseguire
all’infinito», cosa impossibile per il limite aristotelico. Per cui si
deve ricorrere alla. «doppia riduzione all’assurdo». Questo proce¬
dimento, a partire dal XVII secolo, sarebbe stato conosciuto come
metodo di esaustione. Euclide lo applicò per stabilire le seguenti
proposizioni:
Libro XII, proposizione 2.1 cerchi stanno tra loro come i
quadrati dei diametri.
s2 " 4'
Libro XII, proposizione 7. Ogni prisma che abbia base
triangolare si divide in tre piramidi uguali tra loro ed
aventi basi triangolari.
Ä-i
n, 3
Libro XII, proposizione 18. Le sfere stanno tra loro in ra¬
gione triplicata rispetto a quella dei propri diametri.
El <
E-<£■
Tuttavia, a sfruttare tutto il potenziale di questo metodo fu Ar¬
chimede, senza dubbio il matematico più importante dell’Antichità.
Euclide fornisce la seguente definizione del metodo di esau¬
stione:
Libro X, proposizione 1. Date due grandezze disuguali, se
si sottrae dalla maggiore una grandezza maggiore della
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
125
ARCHIMEDE E LA QUADRATURA DELLA PARABOLA
Esaminiamo come Archimede applicò il metodo di esaustione alla quadra¬
tura della parabola. Per certi versi, assomiglia alla quadratura del cerchio
realizzata da Euclide. L’idea di fondo è riempire l’area della parabola con
triangoli inscritti e sommarne le aree, che sono note. Dice Archimede:
Quadratura della parabola. La superficie di un segmento di parabola
sta al triangolo inscritto come quattro sta a tre.
Nel segmento di parabola ADCEBA consideriamo il triangolo inscritto aACB,
dove il punto C è il punto della parabola per il quale la tangente alla parabola
è parallela alla corda AB. In queste condizioni Archimede affermava che la
superficie a (ADCEBA) è uguale a quattro terzi della superficie del triangolo
T=aACB. Ovvero,
a(ADCEBA) = | x a(AABC) = | x T.
Resta ora da riempire con i triangoli i segmenti di parabola successivi
T, = aADC, T2 = aBEC\ poi i triangoli inscrivibili in ADA, DCD, e in CEC, BEB\ e
così all’infinito, dato che le grandezze sono divisibili all’infinito. Tutti questi
triangoli, che sono infiniti, coprono una superficie uguale a un terzo del
triangolo T=aACB. Tuttavia, ricorrere all’infinito non è un’opzione, nel mo-
metà, dalla parte restante un'altra grandezza maggiore della
metà, e così si procede successivamente, rimarrà una gran¬
dezza che sarà minore della grandezza minore inizialmente
assunta.
Questa proposizione è equivalente alla definizione 4 del
Libro V: se una è corretta, è corretta anche l’altra, e viceversa.
Archimede se ne accorse e decise di concederle il rango di po¬
stulato. Oggi essa è nota con il nome di postulato di Archimede
che, riassumendo, dice:
Principio di Archimede. Date due grandezze della stessa
specie A e B, esiste sempre un numero naturale n tale per
cui nxA>B o nxB>A.
126
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
mento in cui ci viene in aiuto
il metodo di esaustione. Va
osservato - ed è possibile
vederlo con il tangram - che i
triangoli T^&ADC, T2=aBEC
«coprono, rispettivamente,
più della metà del segmento
di parabola ADCA, BECB».
È evidente che il triangolo
T,=aADC vale esattamente
la metà del rettangolo cjAH
Tuttavia, il segmento pa¬
rabolico ADCEBA è minore
del rettangolo □ AH. Di con¬
seguenza, T^hADC, copre
più della metà del segmento
parabolico ADCEBA. Avvie¬
ne lo stesso con T2=aBEC .
il segmento parabolico CEBC
e il rettangolo aCF. Questo ragionamento è valido, in forma iterativa, per
ciascun segmento di parabola restante. Ed è importante osservare che, pur
essendo stato applicato al segmento di parabola, vale in generale anche per
altre curve e in particolare per il cerchio.
Con la dimostrazione della proposizione 7 del Libro XII, Eu¬
clide risolse un problema che proveniva dalla matematica egizia:
il calcolo del volume della piramide. La domanda sulla possibi¬
lità di risolverlo con il metodo del tangram finito occupava la
terza posizione nella lista dei 23 problemi selezionati da David
Hilbert all’inizio del secolo scorso come quelli di particolare in¬
teresse per lo sviluppo della disciplina (la risposta, ovviamente,
è «no»). La proposizione 2, invece, risponde a uno dei problemi
più importanti della geometria classica, a cui è dedicato il pros¬
simo capitolo.
LA TEORIA DELLA PROPORZIONE E IL METODO DI ESAUSTIONE
127
CAPITOLO 6
La quadratura del cerchio
Uno dei maggiori successi della scuola
pitagorica fu l’aver capito che era possibile realizzare
la quadratura di qualunque figura multilatera lineare.
Ma valeva lo stesso anche per il cerchio o,
più in generale, per le figure con uno o tutti i lati curvi?
Questa domanda affascinò non solo i matematici
ma anche i pensatori di ogni disciplina,
e con il tempo l’espressione
“quadratura del cerchio” è diventata
sinonimo di un’impresa impossibile.
Il metodo del tangram permette di realizzare la quadratura di
qualunque figura multilatera lineare. L’ansia di generalizzazione
dei greci li portò naturalmente a domandarsi se si potessero qua¬
drare le figure con lati curvi e, in particolare, quella perfetta per
eccellenza: il cerchio. A lanciarsi per primo nell’impresa fu il
geniale Ippocrate di Chio. Egli trovò tre lunule quadrabüi (la
lunula è una figura racchiusa da archi di circonferenza): una
sopra la semicirconferenza, un’altra sopra un arco più piccolo
della semicirconferenza e un’altra sopra un arco più grande di
una semicirconferenza. La dimostrazione di Ippocrate - basata
sul metodo del tangram - ha bisogno di due risultati:
- Il teorema di Pitagora.
- Il rapporto fra l’area di due cerchi è uguale al rapporto dei
quadrati dei loro diametri.
È improbabile che Ippocrate avesse le dimostrazioni gene¬
rali di questi risultati; è più facile che ne avesse intuito 1’esistenza
e la validità. Di seguito, analizziamo in dettaglio la dimostrazione
della quadratura della lunula sopra la semicirconferenza.
Su un lato AB di un quadrato UADEB consideriamo l’arco
AGB della circonferenza che lo circoscrive e una semicirconfe-
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
131
FIG 1
D*~
renza ACB. Si ottiene la lunula
AGBCA, evidenziata in grigio
nella figura 1. È possibile dimo¬
strare che la superficie di que¬
sta lunula è uguale alla
superficie del triangolo isoscele
A ACB.
La lunula è composta dal
triangolo A ACB meno il seg¬
mento S più i due segmenti
uguali Sl e S2; ossia:
area ( AGBCA )=area (aACB)
-S+OVSJ.
Un uso elegante del me¬
todo del tangram; tutto si ri¬
duce, quindi, a verificare che
S=Sl+S2. Per il teorema di Pita¬
gora sappiamo che:
AB2=AC2 + CB2. (*)
Dopodiché è sufficiente unire le superfici S con i suddetti
quadrati. Abbiamo già detto che Ippocrate supponeva che i cer¬
chi si comportassero come i quadrati dei loro diametri, ovvero
che verificassero la relazione:
S Sl S2
AB2 AC2 CB2 '
Quindi,
S Sx+S2
ab2~ ac2+cb2
(per il Libro V, proposizione 12). In virtù di (*), risulta che S=S{+S.y
Davvero elegante! Si apriva così la strada alla quadratura del cerchio.
132
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
IL PASSAGGIO ALL’INFINITO
I sofisti greci Antifone (480-
411 a.C.) e Brisone (ca. V see.
a.C.) affrontarono la questione
della quadratura del cerchio e
arrivarono a una conclusione
in apparenza semplice e incon¬
futabile. Secondo Antifone, il
cerchio si può ricavare per ap¬
prossimazione di poligoni re¬
golari in esso inscritti, ottenuti
continuando a dividere a metà
ciascun arco, ossia passando
dal quadrato all’ottagono, all’e-
sadecagono, ecc. Per Brisone,
il cerchio si può ricavare per
approssimazione dall’intemo e
dall’esterno con un procedi¬
mento analogo. Si ottiene così una successione di figure piane
rettilinee che racchiudono il cerchio (figura 2). Tutti i suddetti
poligoni sono quadrabili, quindi deve esserlo anche il cerchio. In¬
scrivendo e circoscrivendo un quadrato, un ottagono, un esadeca-
gono, ecc., si ottiene la seguente successione di figure piane
rettilinee che racchiudono il cerchio, tutte quadrabili:
Pi<P»<PK<-- <Pr <•• <£<
< — <Pr < ■<Pv,<Ph<Pv
Ma attenzione! Che cosa ci garantisce che la “quadrabilità” si
mantenga in questo “passaggio all’infinito”? Ricordiamo che Ari¬
stotele lo aveva espressamente proibito per rendere impossibili
tali ragionamenti. Consideriamo la seguente proposizione, chiara¬
mente falsa:
I due lati di un triangolo sono, per lunghezza, uguali al
terzo lato (figura 3, pagina seguente).
IG ?
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
133
Osserviamo che la succes¬
sione di linee spezzate che vanno
da A a B hanno la stessa lun¬
ghezza dei lati AC e CB:AC+CB=
=ACl+ClAl+AlC\+C\B.
Se «portiamo al limite» il
processo, la linea spezzata si
«trasformerà» nel lato AB, il
che sembra dimostrare la pro¬
posizione - falsa - di partenza.
Assumere che una verità «prima del limite» è certa dopo averla
portata al limite può risultare fallace.
LA SUPERFICIE DEL CERCHIO NEGLI ELEMENTI
Euclide apre il Libro XII con due proposizioni che stabiliscono lo
stesso teorema per i poligoni regolari inscritti in un cerchio e per
il cerchio.
Libro XII, proposizione 1. I poligoni simili inscritti in
cerchi stanno fra loro come i quadrati dei diametri dei cer¬
chi stessi.
Libro XII, proposizione 2. I cerchi stanno fra loro come i
quadrati dei diametri.
La prima è una conseguenza immediata del teorema di Tale te
applicato alle superfici, poiché basta osservare che ciascuno dei
triangoli centrali in cui si scompongono i poligoni regolari verificano
il teorema di Talete. La seconda si potrebbe stabilire direttamente per
“passaggio all’infinito”, ma il tipo di ragionamenti che implicano l’in-
finito non sono accettabili per la mentalità greca (anche se in questo
caso sarebbe corretto farlo). Euclide avrebbe potuto «portare al li¬
mite» la proposizione 2 del Libro XII facendo questo ragionamento:
se per ogni poligono n della forma n=2k, si ha che
134
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
e, nel caso limite, è Sl e
P" è *S2 e supponiamo che la
proprietà precedente si con¬
servi quando si passa al li¬
mite - cioè dai poligoni
regolari al cerchio - allora
risulta
C.V.D.
Scartato il passaggio al
limite, non resta che proce¬
dere per esaustione. Biso¬
gna cioè dimostrare che il
quadrato inscritto in un cerchio copre più della metà della sua 1 poli9°nì.r®9°lari
superficie; se ora aggiungiamo i triangoli mancanti per passare dal i6... iati
quadrato all’ottagono, ci avanza più della metà di ciò che rimane Sem^°più ia
dopo aver tolto il triangolo, e così via. Arriverà un momento in cui *^cehr*cie del
il cerchio poligono regolare inscritto P>k riempirà S in modo tale
che ciò che avanza, una volta tolto, sarà minore di una qualunque
superfìcie data prima (figura 4). Notiamo che, analogamente a
quanto esposto nel capitolo precedente riguardo al segmento di
parabola, il triangolo isoscele che abbiamo aggiunto a ogni lato
del quadrato per ottenere un ottagono regolare “copriva” più della
metà del segmento circolare, ossia un quarto di ciò che rimane del
cerchio quando togliamo il quadrato inscritto; poi abbiamo appli¬
cato lo stesso ragionamento ai triangoli isosceli che vanno ag¬
giunti a ogni lato dell’ottagono regolare per ottenere l’esaedro
regolare e così via. Ogni volta si copre «più della metà», che è
quello che serve per poter applicare l’esaustione.
Avvalendosi di questo strumento, Euclide fece due supposi¬
zioni: o il rapporto fra le superfici è maggiore di quello del quadrato
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
135
DIMOSTRAZIONE DELLA PROPOSIZIONE 2 DEL LIBRO XII
Nel caso
supponiamo che esista una superficie S<S2 tale per cui
s df
Poi consideriamo la superficie E=S2-S. Il metodo di esaustione garantisce
l’esistenza di un certo poligono P^ inscritto in S2 che lo riempie in modo tale
che S2-P?*<E = S2-S.Ciò porta alla disuguaglianza S< POra consideriamo il
poligono Pf inscritto nel cerchio S, (ossia p2*<S1) simile a P^. Per la proposi¬
zione 1 del Libro XII, sappiamo che
con n = 2k. Per la nozione comune 1, abbiamo che
Pn di S'
con S<Pjke P2*<S1, il che contraddice la definizione di uguaglianza dei rappor¬
ti (Libro V, definizione 5). Di conseguenza, il caso (1) è falso.
Euclide trattò il caso
il
S2
á.
dì
(2)
in modo analogo e concluse che era anch’esso falso. Quindi deve per forza essere
ÌL.jSi
dì di'
dei diametri, oppure è minore; esemplifichiamo entrambi i casi
con le formule seguenti:
n)5.<ì o(Z) -S.>i
arrivando a una contraddizione in entrambi i casi. Pertanto la rela¬
zione che lega le superfìci e i quadrati dei diametri è di uguaglianza
136
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
Questa dimostrazione solleva due interrogativi. Come faceva Euclide a sape¬
re cosa doveva dimostrare? Ovvero, perché ha stabilito proprio la relazione
fra superfici e diametri? Usò informalmente il passaggio al limite che abbiamo
spiegato prima? Non lo sappiamo. D’altra parte, per dimostrare (1) Euclide
suppose l’esistenza di una superficie S<S2 con la quale
Si ç£.
S“df
ciò vuol dire che, date le superfici Sv df, df, suppose «l’esistenza di una su¬
perficie S che è la quarta proporzionale». Euclide però dimostrò solo l’esisten¬
za della quarta proporzionale di tre rette, non di tre superfici.
LA DETERMINAZIONE DI JT
Un papiro egizio conosciuto come papiro di Rhind (dal nome
dell’inglese Henry Rhind, che lo comprò a metà del XIX secolo),
datato intorno al 1650 a.C., e che a sua volta è una copia di un pa¬
piro del 1800 a.C., conteneva dei problemi sulla determinazione
del volume di silos cilindrici in cui conservare il grano. Il suo au¬
tore, lo scriba Ahmes, aveva bisogno di conoscere la superficie del
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
137
cerchio che faceva da base al cilindro, cosa che lo portò a stabilire
il valore che oggi chiamiamo n. Nell’Antichità, era normale consi¬
derarlo pari a tre. Tuttavia, Ahmes propose un valore “migliore”
per jt, che ottenne approssimando la circonferenza a un ottagono
(si veda la figura), in questo modo:
Sia dato un quadrato di 9 unità di lato. Dividiamolo in nove qua¬
drati, ciascuno con lato pari a 3 unità. Togliamo i quattro trian¬
goli rettangoli dai vertici che si ottengono tracciando la diagona¬
le. La superfìcie deWottagono risultante vaie:
92_4x^ = 81-18 = 63
2
unità quadrate. Costruiamo la superficie del cerchio con diametro
pari a 9 unità uguale a 64 unità quadrate [che è un numero qua¬
drato]. Il valore n che si ottiene con questa approssimazione è
71 =
16
9
= 3,16...
Questo valore di jt, che è valido in generale (ossia per qualun¬
que valore d del diametro), si ottiene mettendo a confronto le su-
perfici di due figure piane: il cerchio e un determinato ottagono.
138
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
Più di mille anni dopo, Archimede, il saggio di Siracusa, nella
sua brevissima opera intitolata Sulla misura del cerchio, apportò
due nuovi risultati:
Proposizione 1. La relazione L/d che c’è fra la lunghezza L
di una circonferenza e il suo diametro d si trova fra 223/71
e 22/7.
Proposizione 2. La superficie S di un cerchio è uguale a
quella di un triangolo rettangolo T i cui cateti sono il raggio
r del cerchio e la lunghezza L della circonferenza.
Nella proposizione 2, Archimede usò l’esaustione come aveva
fatto Euclide nella proposizione 2 del Libro XII; egli suppose che:
(ì)S>T,e(2)S<T
per poi constatare che sia (1) che (2) portavano a una contraddi¬
zione. Pertanto, doveva per forza essere S=T. Ma come fece a in¬
tuire 1’esistenza di questa relazione? Non lo sapremo mai.
Nella proposizione 1, invece, Archimede usò le lunghezze lG,
lw A,- A- L' Ai- Am> lw As> Aio- rispettivamente, dei poligoni re-
golari inscritti e circoscritti di 6, 12, 24, 48 e 96 lati. Per determi¬
nare tali lunghezze diede un algoritmo iterativo che, a partire da
lti, permetteva di calcolare la lunghezza l.,nì e quella di Ln, quella
di L2h, dove n assume come primo valore 6. Alla fine diede le di¬
suguaglianze £%<L<L% che lo portarono al risultato indicato:
223 L 22
71 < d < 7 '
La cosa più importante di questo risultato è che Archimede si
accorse che il rapporto fra la superficie S di un cerchio e il qua¬
drato del raggio r2 e il rapporto fra la lunghezza L della circonfe¬
renza e il suo diametro d=2r sono uguali. Il valore numerico di
questo rapporto è oggi conosciuto con il nome di pi greco e indi¬
cato con jt.
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
139
Vale a dire che, con queste espressioni, Archimede stabilì che
S L
Abbiamo verificato fino a che punto i risultati ottenuti da Eu-
dosso all’Accademia, e sistematizzati da Euclide, permettono di
giungere a successi molto importanti per quanto riguarda il cer¬
chio e la circonferenza. Va notato che Archimede ricorse ai peri¬
metri, mentre nel papiro di Rhind e nel testo di Euclide si usavano
le superfìci.
UN SOGNO IRREALIZZABILE
La quadratura del cerchio “alla greca”, ossia con riga e com¬
passo, sfuggì ai geometri per secoli. Già nel 414 a.C., il dramma¬
turgo ateniese Aristofane creò un personaggio che si vantava di
aver realizzato la quadratura del cerchio caratterizzandolo come
ciarlatano. Le difficoltà non impedirono a molti illustri matema¬
tici di tentare di trionfare là dove avevano fallito i loro antenati
greci. Nicola Cusano (1401-1464), Oronzio Fineo (1494-1555) e
Grégoire de Saint Vincent (1584-1667) pubblicarono dei fantoma¬
tici metodi per ottenere la quadratura del cerchio, che ben pre¬
sto si rivelarono falsi. Contemporaneamente, James Gregory
(1638-1675) e Johann Bernoulli (1667-1748) svilupparono diverse
tecniche per avvicinarsi alla quadratura del cerchio per altre vie.
Il tedesco Johann Lambert (1728-1777) fu il primo a dimostrare
che ti era un numero irrazionale. Nel 1880, il suo connazionale
Ferdinand von Lindemann (1852-1939) dimostrò che n era anche
un numero trascendentale, cioè un numero che non era la radice
di nessun polinomio con coefficienti razionali. Questo risultato
implicava l’impossibilità di realizzare la quadratura del cerchio
solo con riga e compasso. Veniva così abbandonato un problema
che si trascinava da millenni e svanivano le illusioni della legione
dei “quadratori del cerchio”, che fra le sue fila aveva annoverato
il filosofo inglese Thomas Hobbes e persino Napoleone.
140
LA QUADRATURA DEL CERCHIO
CAPITOLO 7
L’aritmetica negli Elementi
Gli Elementi sono fondamentalmente un trattato
di geometria. Contengono, però, tre libri di ispirazione
pitagorica, indipendenti dal resto dell’opera.
In essi Euclide propone i risultati basilari
della teoria numerica della divisibilità,
compreso il celebre algoritmo per trovare
il massimo comune divisore.
Per capire i risultati dei Libri VII, Vili e IX bisogna avere una certa
familiarità con alcuni concetti di base. Nel secondo capitolo del
primo libro Euclide dà una volta per tutte le definizioni aritmeti¬
che che gli serviranno nei libri successivi; non dà, però, nessun
postulato. Le definizioni più importanti sono:
1. Unità è ciò secondo cui ciascun ente è detto uno.
2. Numero è una pluralità composta da unità.
3. Un numero è parte di un altro numero, il minore di quello
maggiore, quando esso misuri il maggiore (= lo divida).
4. È parti invece di un numero, quando non lo misuri (= non lo
divida).
5. Un numero maggiore è multiplo di un numero minore,
quando sia misurato dal minore.
6. Numero pari è quello che è divisibile in due parti uguali.
1. Numero dispari è [...] quello che differisce di un'unità
da un numero pari.
L'ARITMETICA NEGLI ELEMENTI
143
8. Numero parimente pari è quello che è misurato (-è divi¬
so) da un numero pari secondo un numero pari.
9. Numero parimente dispari è quello che è misurato (=è
diviso) da un numero pari secondo un numero dispari.
10. Numero disparimente dispari, è quello che è misurato
(=è diviso) da un numero dispari secondo un numero
dispari.
11. Numero primo è quello che è misurato (=è diviso) sol¬
tanto dall'unità.
12. Numeri primi fra loro sono quelli che hanno soltanto
l'unità come misura (=divisore) comune.
13. Numero composto è quello che è misurato da (-ha per
divisore) un qualche numero.
20. [Quattro] numeri sono in proporzione quando, a secon¬
da che il primo sia multiplo, sottomultiplo, o una fra¬
zione qualunque del secondo numero, corrispondente¬
mente il terzo sia lo stesso multiplo, o lo stesso sottomul¬
tiplo>, o la stessa frazione del quarto.
23. Numero perfetto è quello che è uguale alla somma delle
proprie parti (=dei suoi divisori).
La prima definizione è puramente filosofica e nega all’unità
la natura di numero - concetto che non viene spiegato con pre¬
cisione fino alla definizione seguente - sebbene, quando lo ri¬
tenne opportuno, Euclide l’abbia usata come tale. Analogamente,
egli introdusse una differenza fra «parte» (il 2 è parte del 6 per¬
ché lo divide) e «parti» (il 5 è parti del 6 per la ragione opposta).
C’è una forte analogia con le definizioni del Libro V, sebbene in
144
L'ARITMETICA NEGLI ELEMENTI
quel caso «parti» diventi «rapporto», un concetto molto più com¬
plesso. Tuttavia, la nozione di «parti» è la base di molte dimo¬
strazioni aritmetiche del testo di Euclide: difatti, il Libro VII si
occupa di frazioni, a cui fa ricorso anche nei Libri Vili e IX. Eu¬
clide stabilisce anche la distinzione fra numero pari (N=n+n=2n)
e numero dispari (N=2n+1 ) e propone una classificazione (im¬
precisa) dei numeri in base alle forme che oggi esprimeremmo
in questo modo: 2™, 2m (2th-1), (2m+l)(2w+l). I concetti più im¬
portanti del Libro VII sono comunque quelli di numero «primo»,
«composto» e quello di numeri «primi fra loro». La definizione
20 oggi verrebbe scritta
m _p
n q
se, e solo se, esiste un XEQ tale che, se n=Xxm, allora q- Xxp.
Euclide conclude con una definizione molto discussa - quella di
«numero perfetto» - che non sembra appartenere alla scuola pita¬
gorica del VI secolo. Ci sono persino autori che la attribuiscono a
Ippocrate di Chio.
«La matematica è la regina delle scienze
e l’aritmetica la regina della matematica.»
Carl Friedrich Gauss.
L’ALGORITMO DI EUCLIDE
Il Libro VII si apre con il celebre algoritmo di Euclide, quello che
si insegna a scuola e che dice:
Dati due numeri men, esiste il «numero maggiore p che è parte
dime n».
L’idea è questa: dal maggiore dei due, m, ad esempio, si sot¬
trae il minore n tutte le volte che si può; con il resto r<n, si
L’ARITMETICA NEGLI ELEMENTI
145
forma la coppia n, r; si ripete il processo e si ottiene una succes¬
sione di coppie: m,n; n,r; r,s; s,t; t}u;... x,y; y, z. Arriva necessa¬
riamente un momento in cui la parte z minore della coppia
misura esattamente la maggiore y: ciò significa che «non c’è più
resto». Se seguiamo il procedimento inverso, verifichiamo che z
misura esattamente x. Alla fine, z misura sia m che n e pertanto
^èun divisore comune di men. Non solo, è il maggior divisore
possibile, posto che qualunque divisore d, comune amen, di¬
vide anche 2.
Si dice quindi che z è il massimo comune divisore della coppia
iniziale men. L’insieme dei divisori comuni v dei due numeri m e
n si indica di solito come v = (m,n). Se è l’unità - cioè, se è 1 = (m,n)
- si dice che men «sono primi fra loro». Questo metodo - o pro¬
cedimento - di sottrazione reciproca per determinare le relazioni
fra numeri si chiama antiferesi. Lo abbiamo già visto, in forma
geometrica, quando abbiamo analizzato, ad esempio, ^incommen¬
surabilità» del lato e della diagonale di un quadrato. Una differenza
L’ALGORITMO DI EUCLIDE ALL’OPERA
Dall’applicazione óe\Valgoritmo di Euclide si ha che:
m=qQn+r]
r<n
n=q{r+r2
r2<r1
rrQ2-r2+r5
rz<r2
rk-ì=clk'rk
Da un lato, rk_=qk_y-rk_y+rk e dall'altro, rk_=qk-rk. Così, rk_=qk_,<qkrk)+r=(qk^ -qf+1 )rfc
dove q^ q^+l è un numero naturale. Quindi rk misura esattamente rk_2. Attra¬
verso un ragionamento analogo al precedente, ma proiettato in avanti, si
verifica che se d divide men, dato che, per costruzione m=q0-n+r], allora
r=m-qQ-n, con m=m]-d, n=nyd. Quindi r=mì-d-(q0-n,)-d=(m}-(q0-nì)-d.
Pertanto, d divide rv come volevasi dimostrare.
146
L'ARITMETICA NEGLI ELEMENTI
molto significativa fra le due applicazioni è che, nel caso dell’arit¬
metica, Euclide suppone che il procedimento debba fermarsi
per forza. Invece, negli esempi geometrici, prosegue all’infinito.
Nel Libro X, Euclide applica questo procedimento alle
grandezze in generale, che siano numeri o no, e stabilisce la
seguente classificazione: Yantiferesi si conclude se, e solo se,
entrambe le grandezze sono commensurabili e pertanto ricon¬
ducibili a numeri. In altre parole, se sono incommensurabili,
Yantiferesi non ha fine: è infinita. Sono le proposizioni 2 e 3 del
Libro X. Nonostante queste assunzioni, Euclide non sfruttò la
potenzialità del metodo come riuscirono a fare invece i mate¬
matici indiani e cinesi.
IL NUCLEO ARITMETICO DEGLI ELEMENTI
Nell’ambito dell’aritmetica, il testo euclideo contiene i seguenti
importanti risultati:
Libro VII, proposizione 17. Se un numero ne moltiplica
due altri, i prodotti avranno fra loro lo stesso rapporto dei
numeri moltiplicanti, [proprietà commutativa del prodotto]
Libro VII, proposizione 18. Se quattro numeri sono pro¬
porzionali
m
n
, lo sono in forma alternata (ossia, = ^).
Libro VII, proposizione 19. Se — = — see solo semxq=nxp.
n q
Libro VII, proposizione 20. I numeri più piccoli fra
quanti abbiano tra loro lo stesso rapporto, sono equisotto-
multipli dei numeri che hanno tra loro a due a due lo
stesso rapporto, il numero maggiore del maggiore e quello
minore del minore.
L'ARITMETICA NEGLI ELEMENTI
147
Libro VII, proposizione 24. Se (p,m) = 1 (p,n) = 1, allora
(p,mxn) = 1.
Libro VII, proposizione 29. Se p è primo e p non è parte di
n, allora (p,n) = 1.
Libro VII, proposizione 30. Sep è primo e divide a (è parte
di) mxn, allora p è parte di uno dei due fattori men.
Libro VII, proposizione 31. Ogni numero composto ha per
divisore un numero primo.
Libro VII, proposizione 32. Ogni numero o è primo o ha
per divisore un numero primo.
Libro IX, proposizione 14. Se un numero che sia il più
piccolo possibile è diviso da certi numeri primi, esso non
sarà diviso da nessun altro numero eccetto quelli che ini¬
zialmente ne siano divisori.
Libro IX, proposizione 20. Esistono sempre numeri primi in
numero maggiore di quanti numeri primi si voglia proporre.
Nella dimostrazione della proposizione 31 del Libro VII, Eu¬
clide si serve di un postulato implicito. Il saggio alessandrino ra¬
giona in questo modo: sia N un numero composto; avrà un divisore
(una parte) N’<N. Supponiamo che non sia primo. Quindi a sua
volta è composto e ammette un divisore (una parte) N”<N’<N e
via di seguito... Non è possibile che non si trovi mai un numero
primo P} perché avremmo la successione decrescente infinita
... < Nn) <... < N" < N' < N. E questo, dice Euclide, è impossibile. Per¬
tanto stabilisce l’impossibilità di successioni decrescenti illimitate
di numeri naturali.
Pierre de Fermat avrebbe denominato questa proprietà prin¬
cipio della discesa infinita che usò per raggiungere risultati im¬
portantissimi che avrebbero segnato una vera e propria rinascita
dell’aritmetica.
148
L’ARITMETICA NEGLI ELEMENTI
Quanto alla proposizione 14 del Libro IX, si discute se sia il
teorema fondamentale dell’aritmetica (ogni numero intero mag¬
giore di 1 o è primo o può essere espresso sotto forma di pro¬
dotto di numeri primi, e tale forma è unica), espresso con i limiti
del linguaggio matematico dell’epoca. Per chiarire la questione
bisognerebbe sapere se i numeri primi che misurano il numero
sono diversi o possono essere uguali; in questo secondo caso
avremmo infatti l’enunciato del teorema.
«Dio creò i numeri interi; tutto il resto è opera dell’uomo.»
Leopold Kronecker (1823-1891).
L’INFINITA DEI NUMERI PRIMI
Nei capitoli precedenti abbiamo parlato dei limiti imposti da
Aristotele all’uso dell’infinito. Nella proposizione 20 del Libro
IX (Esistono sempre numeri primi in numero maggiore di
quanti numeri primi si voglia proporre), Euclide rispetta tale
limite e fa molta attenzione a non parlare di «infiniti numeri
primi». Tuttavia, esiste un algoritmo per ottenere sempre più
numeri primi? Euclide non si pronunciò al riguardo. Bisognerà
attendere XAritmetica di Nicomaco di Gerasa (ca. 60-ca. 120)
per conoscere il crivello di Eratostene, il metodo impiegato dal
matematico omonimo:
Tale metodo fu battezzato da Eratostene con il nome di crivello,
perché se prendiamo tutti i numeri dispari, possiamo pensarlo come
uno strumento selettivo, come il crivello, in quanto permette di se¬
parare i numeri primi dai numeri composti. Il crivello funziona così.
Si comincia dal tre e poi si cercano i numeri misurati dal tre, saltan¬
done due ogni tre, escludendo il terzo. Poi si passa al primo numero
non eliminato, il cinque; ne saltiamo quattro ed eliminiamo il quinto;
poi facciamo lo stesso con il sette, e via di seguito, ripartendo sempre
dal primo numero non eliminato.
L'ARITMETICA NEGLI ELEMENTI
149
NUMERI PERFETTI
Sebbene Euclide abbia dato la definizione corretta e un teorema che serve
per generare i numeri perfetti, non ne fornì alcun esempio. L’enunciato della
proposizione corrispondente può sembrare poco chiaro, probabilmente per¬
ché è presentato in forma descrittiva:
Libro IX, proposizione 36. Se, partendo dall’unità, si prendono quan¬
ti si voglia numeri raddoppiando successivamente sino a che la loro
somma venga a essere un numero primo, [...] il prodotto sarà un
numero perfetto.
Dati i numeri, dice quanto segue:
Se 1, 2, 22, 23 2" vengono raddoppiati successivamente, la loro somma
è Sn = 1 + 2 + 22 + 23+...+ 2" = 2n+1 -1; se Sn è un numero primo, allora
Pn = 2" xSn= 2nx (2n+ì -1) è un numero perfetto (pari).
Euclide riuscì a ottenere questo risultato perché nella proposizione 35 del
Libro IX aveva dato la formula necessaria per sommare i termini della succes¬
sione 1, 2, 22, 23 2". Aveva osservato anche che gli unici divisori propri - gli
unici, fra cui l’unità, presi in considerazione da Euclide - di Pn sono 1, 2, 22, 23
2" e Sn, 2xSn, 22xSn, 23xSn,...,2n ,xSn. Li sommò e ottenne il risultato del teore¬
ma: la somma dei divisori 1, 2, 22, 23 2n è Sn = 2n+1 -1 e la somma dei divisori Sn,
2xSn, 22xSn, 23xSn,..., 2"-1xSn è (2"-l)xSn. La somma dei due risultati è Pn-
=S„+ (2" -1) xS„ = 2" x S„ = 2nx(2n+1 -1). C.V.D.
I primi esempi
NeH'A/v'fmef/ca, Nicomaco di Gerasa (ca. 60-ca. 120) stabilisce che i numeri
perfetti sono 6, 28, 496 e 8126. Da ciò trasse alcune conclusioni:
1. I numeri perfetti (pari) finiscono per 6 e 8 (vero).
2. Si alternano (falso).
3. Ce n’è uno per ogni ordine decimale - della unità, delle decine, delle cen¬
tinaia, delle migliaia, ecc., (falso).
Già nel XVIII secolo, Eulero dimostrò il teorema reciproco di quello di Euclide:
ogni numero perfetto (pari) ha la forma 2nx(2n+'-l), con 2n+1-1 primo. Oggi ci
sono ancora alcune questioni aperte relative ai numeri perfetti: non si sa se i
numeri perfetti pari sono infiniti, né se esistono numeri perfetti dispari.
150
L'ARITMETICA NEGLI ELEMENTI
In questo testo si spiegano chiaramente due fatti. Partiamo dalla
successione c
ei numeri dis]
pari:
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
81
83
85
87
89
91
93
95
97
99
101
103
Partendo dal 3, consideriamo i numeri di tre in tre, e otteniamo:
3
5
7
11
13
17
19
23
25
29
31
35
37
41
43
47
49
53
55
59
61
65
67
71
73
77
79
83
85
89
91
95
97
101
103
Partendo dal 5, consideriamo i numeri di cinque in cinque,
e otteniamo
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
49
53
59
61
67
71
73
77
79
83
89
91
97
101
103
E così via. L’elenco dei numeri primi inferiori a mille è:
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
43
47
53
59
61
67
71
73
79
83
89
97
101
103
107
109
113
127
131
137
139
149
151
157
163
167
173
179
181
191
193
197
199
211
223
227
229
233
239
241
251
257
263
269
271
277
281
283
293
307
311
313
317
331
337
347
349
353
359
367
373
379
383
389
397
401
409
419
421
431
433
439
443
449
457
461
463
467
479
487
491
499
503
509
521
523
541
547
557
563
569
571
577
587
593
599
601
607
613
617
619
631
641
643
647
653
659
661
673
677
683
691
701
709
719
727
733
739
743
751
757
761
769
773
787
797
809
811
821
823
827
829
839
853
857
859
863
877
881
883
887
907
911
919
929
937
941
947
953
967
971
977
983
991
997
L'ARITMETICA NEGLI ELEMENTI
151
LE TERNE PITAGORICHE ARITMETICHE
I numeri quadrati
successivi 1, 4, 9,
16 (n-1)2, n2.
Per passare da
cn=n2 a cn„=(/7+1)2
bisogna
aggiungere lo
gnomone che vale
esattamente 2n+1.
Si passa dunque
da uno all'altro
per mezzo dei
numeri dispari.
Un ultimo problema che vale la pena di citare è quello dell’algo¬
ritmo per ottenere le teme pitagoriche aritmetiche: tre numeri na¬
turali che verificano il teorema di Pitagora, ad esempio, 3,4,5; 5,12,
13, ecc. Ossia, tre numeri naturali a, ö, c tali per cui a2 + b2=c2.
Pare che i Babilonesi conoscessero un metodo per determi¬
nare le teme pitagoriche, come mostra la tavoletta mesopotamica
conosciuta con il numero di catalogo Plimpton 322, che contiene
«certe» teme pitagoriche aritmetiche espresse in sessantesimi.
Dall’altro lato, si attribuisce a Pitagora un metodo per ottenere
teme pitagoriche basato sullo gnomone dei numeri quadrati. Un
numero è un numero quadrato quando si può disporre a forma di
quadrato (si veda la figura). Abbiamo quindi ri2 + (2n +1) = (n +1)2.
Per essere una tema pitagorica, dove un cateto e l’ipotenusa sono
due numeri successivi, anche lo gnomone deve essere un qua¬
drato; ossia 2n + 1 = /c2, per un certo numero k dispari. Quindi
n = ^2^, k dispari.
Così si ottengono le teme, che sono: n = - , k, n +1 = ,
con k dispari, che generano la tabella nella pagina seguente:
f- - - f T
•
T "T
1 1
1 1
i- - - 4
i_
1 1
1 1
1 1
II
lT
il
c3 = 9
2n+1
152
L'ARITMETICA NEGLI ELEMENTI
a:= k dispari
3
5
7
9
11
13
15
b\=n =
4
12
24
40
60
84
112
c := n +1 =
5
13
25
41
61
85
113
In questo modo si ottiene un’“infinità” di teme pitagoriche,
ma non tutte; manca, ad esempio, la tema 8,15,17, in cui il cateto
e l’ipotenusa differiscono di due unità.
Si attribuisce a Platone la generalizzazione del metodo pita¬
gorico per ottenere tali teme. Bisogna passare da (n-1)2 a (n+1)2.
Ciò si ottiene sommando due gnomoni: 2n-l, che permette di
passare da (n-1)2 a n2; e 2n+l, che permette di passare da n2 a
(n+1)2. In totale, bisogna aggiungere 4n. Ovvero (n-l)2+4n=(n+1)2.
Basta quindi che n sia un quadrato: n=k2. Così si ottengono le
teme A;2-l, 2k e A;2+l. Per k=4, otteniamo la già citata tema 8, 15,
17. Si ottiene quindi la seguente tabella:
k
2
3
4
5
6
7
8
a:=k2-1
3
8
15
24
35
48
63
b\=2k
4
6
8
10
12
14
16
c:=k2+1
5
10
17
26
37
50
65
Esiste una differenza fa le due tabelle: nella prima le teme
sono semplici, cioè non hanno divisori comuni; nella seconda,
invece, le colonne che corrispondono a valori dispari di k si pos¬
sono semplificare per due, ottenendo così i valori della prima
tabella. In un certo senso, la prima tabella contiene la seconda.
Ma esiste un algoritmo che dia “tutte” le teme pitagoriche arit¬
metiche? La risposta è sì e a darla è lo stesso Euclide nel lemma
1 del Libro X:
È possibile trovare due numeri quadrati che insieme for¬
mino un altro quadrato.
L'ARITMETICA NEGLI ELEMENTI
153
Senza entrare nello specifico, possiamo dire che Euclide ri¬
corre all’algoritmo a=X2-p2, b=c=\2+\k2 dove k, ^ devono
essere primi fra loro e di parità diversa se vogliamo che non si
ripeta nessuna tema e che esse siano tutte semplici, senza fattori
comuni. Di fatto, le terne semplici sono le uniche importanti,
poiché è evidente che, qualunque sia il numero naturale k, sono
naturali anche 3k, 4k, 5k, dato che lo sono 3, 4, 5, ma questo non
ci interessa. Quanto detto vale in generale per ogni tema pitago¬
rica a, b e c.
154
L'ARITMETICA NEGLI ELEMENTI
CAPITOLO 8
La trasmissione
degli Elementi
Non c’è prova più convincente dell’importanza
storica di Euclide e della sua opera delle numerosissime
copie ed edizioni che sono state fatte dei suoi testi.
Nessun’altra opera classica dedicata alla conoscenza
ha infatti una storia tanto variopinta di traduzioni,
edizioni e commenti.
Gli Elementi raccolgono e sintetizzano brillantemente tre secoli
di pensiero matematico greco. Il valore di questa eredità fu rico¬
nosciuto già all’epoca di Euclide e poi, nel corso della storia, da
culture diverse, in un processo che attraversa il mondo romano,
arabo, europeo medievale fino ai giorni nostri, attraverso edizioni
critiche più o meno definitive e nei supporti più disparati.
Il testo venne fissato per la prima volta nell’edizione del 370 a
opera di Teone di Alessandria; da questa versione parte quella che
può essere considerata la “tradizione centrale” delle edizioni suc¬
cessive.
La grande tradizione è quella araba. I matematici della Casa
della Sapienza di Baghdad dei secoli IX e X - un’epoca e un luogo
storicamente indimenticabili per quanto riguarda la scienza in ge¬
nerale e la matematica in particolare, ma anche nel quadro più
ampio della cultura mondiale - furono in grado di riconoscerne il
valore e grazie ai loro studi, alle loro traduzioni e ai loro commenti
(fra cui spiccano quelli di Al-Nayrizl e AMayyänl) l’opera di Eu¬
clide - come quella di tanti altri pensatori greci - sarebbe tornata
in Occidente a partire dal XII secolo. Risalgono a quest’epoca le
edizioni latine degli Elementi, nelle quali giocò un ruolo impor¬
tante la famosa scuola dei traduttori di Toledo e anche, in misura
minore, quella di Ripoll.
LA TRASMISSIONE DEGLI ELEMENTI
157
MANOSCRITTI ED EDIZIONI
Il manoscritto più antico che si conserva degli Elementi di Eu¬
clide risale al IX secolo (se tralasciamo il frammento datato fra
il 75 e il 125). Fu scoperto in una discarica della città greca di
Oxyrhynchus, l’attuale el-Bahnasa, a circa 160 km dal Cairo, du¬
rante le esplorazioni condotte da Bernard Payne Grenfell e Ar¬
thur Surridge Hunt per conto dell’Università di Oxford fra il 1896
e il 1897. Nella tabella seguente sono elencati, in sintesi, i mano¬
scritti più importanti degli Elementi, di alcuni dei quali abbiamo
un solo esemplare.
Luogo
Biblioteca
Secolo
Oxford
Bodleian Library
IX
Vaticano
Biblioteca Vaticana
X
Firenze
Biblioteca Laurenziana
X
Bologna
Biblioteca Comunale
XI
Vienna
Nationalbibliothek
XII (?)
Parigi
Bibliothèque Nationale
XII
Il manoscritto conservato a Oxford fu redatto nell’881 da
Stefanus, un esperto calligrafo bizantino, su incarico di Areta di
Cesarea (860-935), all’epoca arcivescovo dell’omonima città
della Cappadocia. Le lettere sono larghe, vagamente quadrate e
leggermente inclinate a sinistra. Dello stesso stile è anche il fa¬
moso manoscritto dei Dialoghi di Platone, redatto sempre su
incarico di Areta, e conservato nella stessa biblioteca.
L’importanza dell’opera nell’Europa medievale è testimo¬
niata dal fatto che la prima edizione stampata di cui si ha notizia
risale addirittura al 1482; fu realizzata dall’editore tedesco
Erhard Ratdolt, che scelse di pubblicare l’edizione commentata
di Giovanni Campano da Novara della traduzione latina fatta
dall’inglese Adelardo di Bath nel XII secolo (probabilmente da
un originale arabo).
158
LA TRASMISSIONE DEGLI ELEMENTI
Principali versioni degli Elementi
Anno
Città
Autore
Lingua
Titolo
1482
Venezia
Giovanni
Campano
da Novara
Latino
(dall’arabo)
Preclarissimum opus
elementorum Euclidis
megarensis una cum
com mentis Campani
perspicacissimi in arte
geometrica.
1505
Venezia
Bartolomeo
Zamberti
Latino
(dal greco)
Euclidis megarensis phitosophi
platonici mathematicorum
disciplinarum Janitores...
elementorum libri XIII cum
expositione Theonis insignis
mathematici.
1509
Venezia
Campano,
revisione di
Luca Pacioli
Latino
1533
Basilea
Simon
Grayneaeus
Greco (edizione
principe)
1572
Pesaro
Federico
Commandino
Latino
Euclidis elementorum libri
XV, una cum scholiis antiquis.
1574
Roma
Cristoforo
Clavio
Latino
Euclidis Elementorum libri
XV.
1654
Anversa
André
Tacquet
Latino (Libri
1-VI ; XI-XII)
Elementa geometriae planae
et solidae.
1703
Oxford
David
Gregory
Greco
e latino
1804
1808
Parigi
François
Peyrard
Greco, latino
e francese
Euclides quae supersunt.
Les Oeuvres d’Euclide.
1883
1888
Copenaghen
Johan Ludvig
Heiberg
Latino
Euclidis opera Omnia.
Ispirandosi aìYAritmetica di Giordano Nemorario (XII se¬
colo), Campano include un’assiomatica dei libri aritmetici e, in
particolare, decreta che «non esistono catene discendenti infinite
di numeri naturali». L’edizione di Ratdolt contiene oltre quattro-
cento incisioni e può essere considerata un capolavoro, perché
una delle prime edizioni stampate di un testo di carattere matema¬
tico. A questa edizione ne seguì poco dopo un’altra, proveniente
dalla tradizione centrale, opera di Bartolomeo Zamberti, e nel
LA TRASMISSIONE DEGLI ELEMENTI
159
EUCLIDE DERUBATO
Napoleone Bonaparte amava accaparrarsi tesori di ogni genere e portarli a
Parigi per arricchire i musei francesi. Di ciò sono un esempio la Stele di Ro¬
setta e i quattro cavalli veneziani di San Marco, che per qualche anno tro¬
neggiarono in cima all’Arco di Trionfo. Quando invase l’Italia, Napoleone
portò a Parigi un manoscritto degli Elementi custodito nella Biblioteca del
Vaticano. Poco dopo, nel 1804, il parigino François Peyrard pubblicò gli
Éléments de géométrie d'Euclide, ispirandosi a questo manoscritto. Peyrard
si accorse che il testo non era basato, come quasi tutti gli altri, sulla versione
di Teone di Alessandria, ma su una fonte ancora più antica, il che fa presup¬
porre una maggiore aderenza all’originale euclideo. Il manoscritto ritornò
poi alla Biblioteca del Vaticano.
1572 quella di Federico Commandino, la più rigorosa fra le tradu¬
zioni latine, nonché base di importanti edizioni successive, come
quella di Gregory. Nel 1533 era stata stampata la rinomata editto
princeps (cioè di riferimento) greca, opera di Simon Grayneaeus.
L’ultima edizione citata nella tabella è Yeditio princeps latina, di
Johan Ludvig Heiberg, scritta fra il 1883 e il 1888, che contiene
l’opera omnia di Euclide in otto volumi e un supplemento, sia i
lavori dell’alessandrino che quelli attribuiti ad altri, come abbiamo
visto nel primo capitolo. A partire da questa edizione il corpus
euclideo è ormai consolidato e le versioni successive si limitano a
completarlo.
Dalle edizioni principali degli Elementi (una decina) all 'editto
princeps di Heiberg ce ne sono alcune molto curiose come quelle
del gesuita e direttore del Collegio Romano, Cristoforo Clavio, che
alle 468 proposizioni euclidee ne aggiunse 671 di sua invenzione.
Fu questa edizione che Matteo Ricci, anch’egli gesuita, portò con
sé in Cina e fu tradotta in cinese.
Basti quanto detto finora a rendere omaggio all’importanza di
questo sublime testo scientifico. Con le debite differenze, dovute
logicamente alla diversa natura del contenuto, solo le opere di
Omero, Sofocle, Platone e Aristotele toccano vette simili nell’am¬
bito dell’eredità scritta lasciataci dalla cultura greca.
160
LA TRASMISSIONE DEGLI ELEMENTI
Epilogo
Per quanto riguarda la geometria, il XIX secolo termina con il
testo paradigmatico del geniale matematico prussiano David Hil¬
bert, Fondamenti della geometria (Grundlagen der Geometrie).
Con quest’opera si conclude, anche se potrebbe sembrare che
si consolidi, un certo modo di fare e intendere la matematica.
Hilbert «assiomatizzò» la geometria euclidea, ma lo fece senza
bisogno di ricorrere all’intuizione geometrica. Come amava dire:
Dovremmo essere capaci di leggere tavoli, sedie e boccali di birra
invece di punti, linee e piani.
La differenza tra i due testi, quello euclideo e quello «hilber-
tiano», sta nel ricorso all’intuizione e alla figura che soggiace al
primo e che il secondo vuole sradicare. Per farlo, Hilbert si appog¬
gia a un rigoroso formalismo: gli assiomi stabiliscono i legami fra
gli oggetti geometrici (che non necessitano di altre definizioni
oltre agli assiomi stessi) e a partire da questi, e grazie agli stru¬
menti fomiti dalla logica formale, si stabiliscono i teoremi. L’ine¬
ludibile coerenza di una teoria così sviluppata - l’impossibilità di
dedurre un’affermazione e la sua negazione, requisito su cui si
fonda la riduzione all’assurdo - implica necessariamente, secondo
Hilbert, 1’esistenza degli oggetti geometrici. Quello di Hilbert fu un
tentativo di dare una base solida alla matematica dopo il falli¬
ci
mento del punto di vista basato sulla teoria dei tipi di Russell.
Sarebbe stata questa nuova concezione del pensiero matematico
a portare l’eminente studioso francese Jean Dieudonné a escla¬
mare «Abbasso Euclide» in un seminario del 1969. L’intento non
era affatto quello di denigrare la figura e l’opera del geniale mate¬
matico alessandrino, bensì di criticare la sua eccessiva presenza
nell’insegnamento della geometria nelle scuole dell’epoca. Na¬
sceva così quella che, a partire dagli Anni Settanta, sarebbe stata
conosciuta come “matematica moderna”, un nuovo modo di spie¬
gare la matematica che ebbe un successo strepitoso. Lo stesso
Hilbert aveva detto che:
Il mio pensiero è questo: a dispetto dell’alto valore pedagogico ed
euristico del valore genetico, il metodo assiomatico merita [...] di
essere privilegiato per la presentazione definitiva della nostra cono¬
scenza e della sua piena certezza logica.
Tuttavia, due decenni dopo esso si rivelò un metodo «eccessi¬
vamente moderno». Più di duemila anni dopo gli Elementi, si ria¬
priva la discussione sul valore pedagogico - con una valenza forse
molto più genetica - del punto di vista eucüdeo.
162
EPILOGO
Letture consigliate
Acerbi, F., R silenzio delle sirene. La matematica greca antica,
Carocci, 2010.
Bell, E.T., I grandi matematici, Rizzoli, 2010.
Boyer, C., Storia della matematica, Mondadori, 1990.
Courant, R. e Robbins, H., Che cos'è la matematica?,
Bollati Boringhieri, 2000.
Euclide, Tutte le opere. Testo greco a fronte, Bompiani, 2007.
Hilbert, D., Fondamenti della geometria, Franco Angeli, 2012.
Kline, M., Storia del pensiero matematico /, Einaudi, 1999.
Kline, M., Storia del pensiero matematico //, Einaudi, 1999.
Livio, M., La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero
che dura da tremila anni, Rizzoli, 2007.
Odifreddi, P., C*è spazio per tutti.
R grande racconto della geometria, Mondadori, 2010.
Panza, M. e Sereni, A., Il problema di Platone. Un'introduzione
storica alla filosofia della matematica, Carocci, 2010.
163
Indice
algoritmo di Euclide 46, 76,139,141,
145-147,149,154
analisi 31,33,53,54,56, 59,80,101,103,
104,116,119
angolo 10,19,24,26, 50, 52, 55, 56, 58,
63-67, 69, 71-73, 76, 78, 79,91,96, 101,
102, 119,124
retto 50, 52, 56,63,64, 66, 69, 71,91,
119, 124
opposti al vertice 55,67
Antifone 29,34,133
Apollonio 9,11,25,29,30,49
Archimede 9,11,17,25,2^31,41,46,49,66,
72,78,109,112,118,125,126,139,140
Aristotele 8,9,15,16,27,29,31,34,35,37,
41-43,48-51, 58, 80^82,85,110, 111,
125,133,149,160
aritmetica 7-9,11,34,42,45,46, 51, 60,80,
82, 109, 141,145-149,152,153,159
assioma 42,43,65, 74,75, 77,81,118,159
aureo / aurea 44,90,100-103
numero 100
rapporto 100,103
rettangolo 101-106
segmento 44,90,100,101
sezione 100,101
Autolico di Pitane 29,31,34
Bolyai, János 73,75,76,86
Brisone di Taranto 29,34,133
cerchio 9-11,42,46,50-52,58,64,65, 72,
80, 103, 109,118,125, 126, 127,129,
131-140
massimo 72
circonferenza 10, 21, 24, 45, 50, 52-54,
66-68, 99,104, 107, 116,131, 132, 134,
138-140
Commandino, Federico 159, 160
compasso 23, 33,44, 45, 50, 54, 71, 99, 140
coniche 11,19,21,22, 25,34
ellisse 21,22
iperbole 21, 22, 70
parabola 21, 22, 126, 127, 135
curvatura 76
definizione 42,43, 44-56, 63-65, 70, 83, 95,
109, 113, 116, 117-119, 121, 124-126,
136, 143, 144, 145, 150
definiendum 42
deßniens 42
Democrito 11,29,34
Dieudonné, Jean 162
Diofanto 8, 9, 11,30, 97
Erone di Alessandria 11,30, 59
esistenza 9,22,37,38,42, 43, 46, 50, 51, 53,
54, 58, 67, 68, 70, 71, 77, 80, 82, 85, 136,
137,139,161
Eudemo di Rodi 11,30,31,34
Eudosso 8, 9,11, 17, 30,32-34,45,46,107,
109,116-118,124,125,140
Euler, Leonhard (detto Eulero) 27,150
165
Fermat, Pierre de 27,148
Filolao 11,29,34
filosofìa 7,9,17,35,37,41,43,69, 79,82,
111, 118
Gauss, Cari Friedrich 68, 75, 78, 79,145
geometria 7-9,11,15,17-20,22,25,30-33,
4245,48,49, 51, 61,6^65,68, 69,
71-80,87,90,92,94,95,109,110,112,
118, 124, 127, 141, 161,162
della vasca da bagno 78
ellittica 72, 77, 79
euclidea 8,63,64,68,69, 71, 73,
76-80, 161
iperbolica 73, 77-79
del cortile di casa 72
non euclidea 61, 74-76
sferica 72, 75,77, 79
grandezza 18,19,42,44,49, 51,60,80,92,
109,110,112-114,116-120, 124-126,147
commensurabile 113,114,116,117,
121, 122, 147
incommensurabile 11, 46, 92, 113-116,
119, 121-123, 146, 147
proporzionale 24,120,124,137,144,147
Hübert, David 65, 77, 81, 127, 161,162
incommensurabilità di V2 92,116, 119,
121, 122, 146, 147
infinità 149, 153
dei numeri primi 83,149
infinito 8,9,61, 63,80,82-85,86,110,125,
127, 133, 134, 146, 149
esistenza del 80,82
in atto 80,82-84,86,110,134
in potenza 80, 82,85
per addizione 80
ipotesi 26,35,40,42,43, 58, 71, 74, 76, 111
Ippaso di Metaponto 29,34
Ippia di Eüde 11,29,34
Ippocrate di Chio 11, 30, 32-34, 48,131,
132, 145
Ipsicle di Alessandria 11,19,30,44,47,104
Isidoro di Müeto 11,19,44,47
Leibniz, Gottfried Wilhelm 27
Leonardo da Vìnci 41,104
Lindemann, Ferdinand von 140
Lobaõevsky, Nikohy 73-75, 79,86
lunula 32,33,131,132
massimo comune divisore 141,146
matemata 7,25
Maupertuis, Pierre-Louis Moreau de 27
metodo 8,11,44,46,53,55,56,58,60,63,74,
89,90,92-94,96,107,116,118,122,
125-127,131,132,136,146,147,152,153
del tangram 44,60,87,90-94,96,122,
125, 127,131, 132
di doppia riduzione aü’assurdo 125
di esaustione 8,11,46,60,107,118,
125-127, 135, 136, 139
di riduzione aü’assurdo 44,56, 58,67,
83, 111, 116
metodologia 7,9,17,43,49,58,82,83,109,119
Newton, Isaac 9,25,80
Nicomaco di Gerasa 11,30,149,150
numero 9,31,33,46,58,82,83,97,98,100,
114, 115, 117-120,126,138-140,
143-146, 148-150,152, 154
composto83,110, 111, 144,145,148,149
perfetto 46, 144,145, 150
pi greco (ji) 139
primo 46,83,144, 148,150,
oggetti matematici 38,42,56, 58
esistenza 9,22,37,38,42,43,46, 50,
51, 53, 54, 58, 67, 68, 70, 71, 77,80,
82,85,136,137,139,161
natura
epistemologica 38
ontologica 38
Pacioli, Luca 104-106, 159
Pappo di Alessandria 8,9,11,18,22,23,
30,49
paradosso 109-111
Parmenide 11,29,34,41, 111
passaggio al limite 134,135,137
piramide 46,107,119,125,127
volume della 46,107,118,119,127
Pitagora di Samo 7,8,11,152
Platone 8,11,15-17,29,31-33,35,37-39,40-
43, 50, 89, 102, 111, 118,153,158, 160
166
INDICE
poligono regolare 45,47,133-135,139
esagono 45
quadrato 10,40, 45, 52, 58, 89-91,
96-100,114-116,118,131,133,135,
138-140,146,152,153
ottagono 133,135,138
pentadecagono 45
pentagono 45, 53, 54,101,104
triangolo equilatero 45, 52-54, 73
postulato 8,9,11,27,33,4244,47-50,53-56,
58-60,61,63-67,68-71, 74-76,80,82,86,
90,93,112,113,117, 126,143,148
di Archimede 126
delle parallele 8,11, 60,61,66,68,69,
71, 74, 75,90, 93
Proclo 7,9,11,15-17, 20,29,30,32,39,48,
49,85
proporzione 5,8, 11,44-46,95,100,103,
107, 109, 118, 119, 124, 125,144
pseudosfera 77
punto 10, 20, 22,26,39,4244, 50, 51, 52-56,
58, 65-74, 77,82,84, 85, 93, 99-104, 112,
116,122,123,126,161
quadrato 10,40, 45, 52, 58, 89,90, 91,96,
98-100, 114-116, 118, 132-136, 138-140,
146,152,153
diagonale del 40, 89, 90, 114, 116, 146
quadratura 32,33, 45,90,126,131
del cerchio 9,126, 129,132,133,140
della parabola 126,127
delle figure poligonali 90,98, 124
delle lunule 32,33,131
quadrivio 7
Raffaello 23,41
rapporto 19, 20, 22, 24,45,49, 100-102, 103,
113-120, 124, 131, 135, 139,145,147
aureo 100,101, 103
Ratdolt, Erhard 44,158,159
retta 20,22,24,26,43,45,49-56, 58,63,
65-74, 77, 78,82-85,97, 104, 109, 116,
119,122,124,131,137
perpendicolare 52,68, 71,84,85,96,
104, 119, 124
rette parallele 52,67, 71-73,83
rettangolo 10,52,90,91,96-103,127
riga 33,44,45,50,71,99,140
Saint Vincent, Grégoire de 140
segmento rettilineo 10,65,82,92
sezione aurea, si veda rapporto aureo
similitudine della linea 37,38
sintesi 7-9, 13, 16, 17, 32, 43, 53, 56, 59, 82,
101, 158
Sofocle 160
solidi 8,102-104, 109,112, 118,120
cubo o esaedro 46,102,135
dodecaedro 46,102-104,106
icosaedro 46,102-104,106
ottaedro 46,102
platonici 9,17, 46,47, 60, 102,103
tetraedro 46, 102-104
stella pitagorica 101
Talete di Mileto 8,11
tangram 44, 60,63,87,89,90,92-94,96-99,
122, 123, 125,127,131,132
Teeteto 9,17,29,33, 46
Teodoro di Cirene 9, 29, 32, 33, 46, 115
teorema 17, 21, 22, 32,33,35, 40,4247, 53,
54, 87,92,96, 97, 99, 114,124, 131, 132,
134, 148-150, 152, 161
di Pitagora 40, 44, 45, 96, 99, 114, 131,
132, 152
di Talete 8, 45, 124, 134
teoria
della proporzione 8, 11,44,45,107,
109, 124, 125
dei tipi di Russell 162
Tolomeo, Claudio 8, 9,11, 15,17,30,41,49
Tolomeo I, Sotere 15, 17
Tolomeo II, Filadelfo 15
trattrice 77
triangolo 10,19, 20, 24, 26, 40, 44, 45,
52-55, 58, 59, 64-68, 71, 73, 76, 78,80,
84, 90-96, 98,99,101, 102, 104, 109,
115, 116, 121-124, 126, 127,132-135,
138, 139
criteri di uguaglianza 64,95
rettangolo 44,45, 52, 64, 96, 99,115,
116,124, 138, 139
somiglianza 124
trivio 7
unità 42,51,79,119,138,143,144,146,150,153
di misura 113-115,116
Zenone 11,29,34,41,109-111,117
INDICE
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