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Текст
ENCYCLOPEDIA
DELLE
MATEMATICHE ELEMENTARI
E COMPLEMENT!
CON ESTENSIONE ALLE PRINCIPAL!
TEORIE ANALITICHE, GEOMETRICHE E FISICHE
LORO APPLICAZIONI E NOTIZIE STORICO-
BIBLIOGRAFICHE
L. BERZOLARI, G. VIVANTI E t D. GIGLI
VOLUME II, PARTE I
FONDAMENTI DI GEOMETRIA (f Piero Benedetti). — PRO-
PRIETA ELEMENTARI DELLE FIGURE DEL PIANO E DELLO
SPAZIO (Emilio Artom). — TEORIA DELLA MISURA (t Duilio
Gigli e Luigi Brusotti). — GEOMETRIA DEL TRIANGOLO
(t Virginio Retali e Giuseppina Bioggiogero). — GEOMETRIA DEL
TETRAEDRO (Giuseppina Bioggiogero). — POLIGONI E POLIE-
DRI (Luigi Brusotti). — SISTEMI LINEARI DI CERCHI E SFERE
(Bonaparte Colombo). — TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
ELEMENTARI (Ugo Cassina). — PROBLEMI GEOMETRICI ELE-
MENTARI E CLASSIC!, FUNZIONI CIRCOLARI E IPERBOLI-
CHE, TRIGONOMETRIA PIANA E SFERICA (Amedeo Agostini).
EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO
ENCICLOPEDIA
D E U E
MATEMATICHE ELEMENTARI
ENCYCLOPEDIA
DELLE
MATEMATICHE ELEMENTAL
A CURA DI
L. BERZOLARI, G. VIVANTI e D. GIGLI t
VOLUME II, PARTE I
ULRICO HOEPLI
EDITORE LIBRAIO DELLA REAL CASA
MILANO
1937
Ristampa anastatica 1958
TUTTI I DIRITTI SONO RISERVATI
Industrie Grafiche Italiane STUCCHI - Milano, Via Marcona, 50
(Printed in Italy}
Rietampa Anastatica 1958 - RICORDI Off. Graf. S.p.A. - Milano li
PREFAZIONE
Dopo oltre quattro anni dalla pubblicazione della Parte Seconda
del Volume Primo delV Encyclopedia, esce ora la Prima Parte del Volume
Secondo. Le cause del ritardo sono varie, e tutte dolorose. Prima fra
esse, la immatura scomparsa del Prof. Duilio Gigli, nostro valente
e diligentissimo collaborator, che lascia nella Direzione un vuoto
non facilmente colmabile. Lo stesso Prof. Gigli aveva assunto la re-
dazione dell’Art. XXIII; ma di lui rimasero soltanto alcuni appunti,
dei quali si giovb il Prof. Luigi Brusotti per la compilazione dell’arti-
colo. In analoghe circostanze, Fart. XXIV, preventivamente affidato
al compianto Prof. Virginio Retail, fu compilato dalla Prof. Giusep-
pina Biggiogero, alia quale e al Prof. Brusotti porgiamo vivi ringra-
ziamenti per il prezioso aiuto concessoci.
La morte del Prof. Piero Benedetti lascid poi alia Direzione
Fonere completo della cura della stampa del suo art. XXL
Ci auguriamo di poter presentare al pubblico, in un termine
relativamente breve, la Parte Seconda del Secondo Volume, dedicata,
come la presente, alia Geometria.
Intanto ё in preparazione il Terzo ed ultimo Volume, relativo
alle applicazioni, e alle question! storiche e didattiche, per il quale
abbiamo ottenuto la volonterosa collaborazione di alcuni tra i piii
illustri nostri Colleghi. Ci lusinghiamo pertanto di pfctere, in un non
lontano avvenire, presentare completa quest’opera , modes ta nei suoi
fini, ma certo non inutile al progresso degli studi matematici in Italia.
settembre 1936-xiv.
L. Berzolari
G. Vivanti
INDICE
Elenco delle abbreviazioni...........................................Pag.
XXI. Fondamenti di Geometria di Piero Benedetti f................ »
XXII. Propriety elementari delle figure del piano. e dello spazio di
Emilio Artom a Torino............................................... »
XXIII. Teoria della misura di Duilio Gigli f e Luigi Brusotti a
Pavia............................................................... »>
XXIV. La Geometria del triangolo di Virginio Retali f e Giuseppina
Biggiogero a Milano................................................. »
XXV. La Geometria del tetraedro di Giuseppina Biggiogero a Milano »
XXVI. Poligoni e poliedri di Luigi Brusotti a Pavia..................• »
XXVII. Sistemi lineari di cerchi e di sfere di Bonaparte Colombo a
Torino.............................................................. »
XXVIII. Trasformazioni geometriche elementari di Ugo Cassina a Milano »
XXIX. I problemi geometrici elementari e i problemi classici di Amedeo
Agostini a Livorno.................................................. »
XXX. Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche. Trigonometria
piana e sferica di Amedeo Agostini a Livorno........................ »
Elenco degli Autori citati........................................... »
Errata .............................................................. »
xi
1
49
119
175
215
255
323
369
483
541
617
633
Veggasi al priricipio di ciascun articolo il relativo indice analitico.
ELENCO DELLE ABBREVIAZIONI
Abh. Gesch. Math....................
Abh. Leop. Car......................
Acta Ac. Petrop.....................
Acta Enid...........................
Acta math...........................
Amer. J. Math.......................
Analyst ............................
Ann. Ac. sc. Fennicae ..............
Annals Math.........................
Ann. Fac. Sc. Toulouse .............
Ann. math, pures appl...............
Ann. mat. pura appl.................
Ann. Sc. norm. Pisa ................
Ann. Soc. scient. Bruxelles ........
Archeion............................
Arch. Gesch. Naturw.................
Arch. Math. Phys....................
Assoc, fr., Congas .................
Astr. Nachr.........................
Atti Acc. Napoli....................
Abhandlungen zur Geschichte der mathema-
tischen Wissenschaften, mit Einschluss ih-
rer Anwendungen, Leipzig.
Abhandlungen der K. Leopoldinisch-Carolin-
schen deutschen Akademie der Naturfor-
scher, Halle a S.
Acta Academiae imperials scientiarum, Pe-
tropoli.
Acta Eruditorum, Lipsiae.
Acta mathematica, Stockholm.
American Journal of Mathematics pure and
applied, Baltimore.
The Analyst, a monthly Journal of pure and
applied Mathematics, Des Moines (Jowa).
Annales Academiae scientiarum Fennicae,
Helsinski.
Annals of pure ana applied Mathematics,
Charlotteville, poi Cambridge (Mass<).
Annales de la Facultd des Sciences de I’Uni-
versitd de Toulouse.
Annales de mathdmatiques pures et appli-
qudes, Paris.
Annali di matematica pura e applicata, Pisa
poi Bologna.
Annali della R. Scuola normale superiore di
Pisa poi Bologna.
Annales de la Socidtd scientifique de Bru-
xelles.
Archeion, Archivio di storia della scienza,
Roma.
Archiv fur Geschichte der Mathematik, der
Natur wissenschaften und der Technik,
Leipzig.
Archiv der Mathematik und Physik, Leipzig.
Congrds de 1’Association fran^aise pour I’a-
vanceme'nt des Sciences.
Astronomische Nachrichten, Kiel.
Atti della R. Accademia di Scienze Jisiche e
matematiche della Society Reale di Nap^K.
XII
ELENCO DELLE ABBREVIAZIONI
Atti Acc. Nuovi Lincei ..............
Atti Acc. Torino ....................
Atti 1st. Veneto ....................
Atti Soc. Nat. Mat. Modena ..........
Bibl. math...........................
Boll. Acc. Gioenia Catania ..........
Boll. mat............................
Boll. Mathesis.............:.........
Boll. mat. sc. fis. nat..............
Boll. Un. mat. It....................
Bull. Ac. sc. Belg...................
Bull. bibl. mat......................
Bull. sc. math. astr. phys. ch.......
Bull. sc. math, et astr., Bull. sc. math. .
Bull. Soc. math. France .............
Bull. Soc. philom....................
Canbr. Dublin math. J................
Comm. Bonon..........................
Commentat. Soc. Gott, recent.........
Comm. math. Helv. ...................
Comm. phys.-math. Soc. sc. Fennicae .
Corresp. Ёс. polyt...................
C. R. Ac. sc. Paris..................
Atti dell’Accademia Ponrificia dei Nuovi Lin-
cei, Roma.
Atti della Reale Accademia delle Scienze di
Torino.
Atti del R. Istituto Veneto di Scienze Lettere
ed.'Arti, Venezia.
Atti della Society dei Naturalisti e dei Mate-
matici di Modena.
Bibliotheca mathematica, Stockholm.
Bollettino delle sedute dell’Accademia Gioenia
di scienze naturali in Catania.
Il bollettino di matematica, Firenze.
Bollettino della «Mathesis» Society italiana
di Matematica.
Il Bollettino di maternatica e scienze fisiche
e naturali, Bologna.
Bollettino dell’Unione matematica Italiana,
Bologna.
Bulletin de I’Acaddmie Royale de Belgique -
Bulletin de la Classe des sciences, Bruxelles.
Bullettino di bibliografia e storia delle scienze
matematiche, Roma.
Bulletin des sciences math&natiques, astrono-
miques, physiques et chimiques, Paris.
Bulletin des sciences mathdmatiques et astro-
nomiques. Dal Vol. 20: Bulletin des sciences
mathdmatiques, Paris.
Bulletin de la Socidtd mathdmatique de France,
Paris.
Bulletin de la Socidtd philomathique de Paris.
The Cambridge and Dublin mathematical
Journal.
De Bononiensi scientiarum et artium Institute
atque Academia Commentarii, Bologna.
Commentationes Societatis Regiae scientiarum
Gottingensis recentiones. Gottingen.
Commentarii mathematici Helvetici, Zurich.
Societas scientiarum Fennica. Commentatio-
nes physico-mathematicae, Helsngfors.
Correspondance sur 1’Ёсо1е polytechnique &
1’usage des dldves de cette Ёсо1е, Paris.
Comptes-Rendus hebdomadaires des sdances
de I’Acaddmie des sciences, Paris.
Educat. Times .........................
Encycl. des sc. math...................
Encykl. d. math. Wiss..................
Lsseign. math..........................
Mathematical questions and solutions, from-
the «Educational Times», with many papers
and solutions ni addition to those published
in the « Educational Times », London.
Encyclopedic des sciences mathematiques pures
. et appliquees, Leipzig-Paris.
Encyklopadie der mathematischen Wiss ens chaf ten
mit Einschluss der Anwendungen, Leipzig.
Enseignement mathdmatique, Gendve.
Elenco delle abbreviazioni
xiii
Eserc. mat. del Circ. mat. di Catania .
G. mat. ..... i......................
Hist. Ac. Berlin.....................
Hist. Ac. sc. Paris .................
Hist. Ac. sc. Paris, M ёт............
Interm, des пмйЬёт...................
Jahresb. deutsch. Math.-Vereinig. ...
J. asiatique ........................
J. Ёс. polyt.........................
J. math. ё1..........................
J. math, pures appl..................
J. math, врёс........................
J. reine ang. Math...................
Kzani, In mem. N. I. Lobatschewskii .
Leipz. Abh...........................
Leipz. Berichte .....................
Math. Ann............................
Math^sis.............................
Math. nat. Mittheil. Wurttemberg . ..
Math. Zeitschr.......................
Mem. Acc. Lincei.....................
Mem. Acc. Torino ....................
Mem. Ac. Lisboa......................
Мёт. Ac. sc. Belg....................
Esercitazioni matematiche, pubblicazione del
Circolo matematico di Catania.
Giomale di matematiche, Napoli.
Histoire de I’Acad&nie Royale des sciences et
des belles 4 ettres de Berlin, avec les Мё-
moires.
Histoire de ГА^ёпие Royale des sciences
de Paris.
Histoire de l’Acadёmie Royale des sciences,
avec les Мётокев de matl^matiques et de
physique, Paris.
L’Intermёdiaire des matl^maticiens, Paris.
Jahresbericht der deutschen Mathematiker-
Vereinigung, Leipzig.
Journal asiatique, Paris.
Journal de I’ficole polytechnique (in origine
Journal poly technique), Paris.
Journal de mati^matiques ё1ётеп takes, Paris.
Journal de mati^matiques pures et арр^иёез,
Paris.
Journal de matl^matiques 8рёс1а1ез, Paris.
Journal fur die reine und angewandte Ma-
thematik, Berlin.
In memoriam N. I. Lobatschewskii, Kazan.
Мёт. Ac. Turin .....................
Мёт. cour. Ac. Belg.................
Abhandlungen der physisch-mathematischen
Klasse der SSchsischen Akademie der Wis-
senschaften, Leipzig.
Berichte uber die Verhandlungen der Siichsi-
schen Gesellschaft der kWissenschaften,
Leipzig.*
Mathematische Annalen, Leipzig.
Matl^sis, Recueil matl^matique й Г usage des
ёсо1ез зрёс1а1е8 et des ё1аЬН88етеп18 d’ins-
truction moyenne, Gand.
Mathematisch-nat urwissensc haftliche Mitthei-
lungen des mathematisch-naturwissenschaf-
tlichen Vereins zu Wurttemberg.
Mathematische Zeitschrift, Berlin.
Atti della R. Accademia dei Lincei. Memorie,
Roma. (Classe di Sc. fis., mat. e nat.).
Memorie della R. Accademia delle Scienze di
Torino.
Memorias da Academia Real das Sciencias de
Lisboa.
Мётокев de ГAcadёmie Royale des sciences
et belles-lettres et des beaux-arts de Bel-
que (Sciences), Bruxelles.
Мётокев de ГAcadёmie des Sciences de
Turin.
Мётокев соигоппёз et autres Мётокев pu-
Ь1ёв par l’Acadёmie Royale des sciences et
belles-lettres et des beaux-arts de Belgique,
Bruxelles.
XIV
Elenco delle abbbeviazioni
Mdm. cour. et sav. dtr. Ac. Belg.
... Mdmokes couronnds et Mdmoires des sa-
vants dtrangers publids par 1’Acaddmie
Roy ale des sciences et belles-lettres et des
beaux-arts de Belgique, Bruxelles.
Мёт. Inst. Paris ................................ Mdmoires de 1’Institut national des sciences
et arts de Paris.
Mem. 1st. Bologna
Memorie dell’Accademia delle scienze del-
1’Istituto di Bologna.
Мёт. Lit. Phil. Soc. Manchester ...
Memoirs and Proceedings of the Manchester
literary and philosophical Society.
Mem. mat. fis. Soc. It. sc........
Мёт. Soc. royale Lidge............
Мёт. Soc. sc. math. Bordeaux .....
Мёт. Soc. sc. phys. nat. Bordeaux .
Memorie di matematica e fisica della Sodetfr
Italiana delle scienze (detta del XL).
Mdmoires de la Socidtd Royale des sciences
de Lidge.
Mdmoires de la Socidtd des sciences mathd-
matiques de Borddaux.
Mdmoires de la Socidtd des sciences physiques
et naturelles de Bordeaux.
Messenger .......................
Mitteil. naturf. Ges. Bern ...........
The Messenger of Mathematics, Oxford,
Cambridge, Glascow.
Mitteilungen der naturforschenden Gesell-
schaft in Bern.
Monatl. Corr. Erd-Himmelsk.......
Monatsber. Ak. Berlin ...........
Monatliche Correspondenz zur Beforderung
der Erd-und Himmelskunde, Gotha.
Monatsberichte der Konigjichen Preussischen
Akademie der Wissenschaften zu Berlin.
Monatsh. Math. Phys.
Monatshefte fur Mathematik und Physik,
Wien.
Nachr. Ges. Gott..................
Nieuw Arch. Wisk..................
Nouv. Ann. math...................
Nouv. Corr, math..................
Nouv. Mdm. Ac. Belg...............
Nouv. Mdm. Ac. Berlin.............
Nachrichten von der Georg-Augustus Univer-
sitat und der Gesellschaft der Wissenschaf-
ten zu Gottingen (math.-phys. KI.).
Nieuw Arkief voor Wiskunde, Amsterdam.
Nouvelles Annales de mathdmatiques, Paris.
Nouvelle Correspondance mathdmatique,
Lidge.
Nouveaux Mdmoires de I’Acaddmie des scien-
ces et belles-lettres et des beaux-arts de
Belgique, Bruxelles.
Nouveaux Mdmoires de I’Acaddmie des scien-
ces et belles-lettres de Berlin.
Nova Acta Ac. Petrop. . ..........
Nova Acta Leop. Car...............
Nov. Comm. Ac. Petrop.............
Novi Comm. Soc. Gott..............
Nuovi Saggi I. R.Accad. Scienze Padova
Nova Acta Academiae scientiarum Imperialis.
Petropoli.
Nova Acta Academiae Leopoldina-Carolinae
Halle a. S.
Novi Commentsrii Academiae scientiarum Im-
perialis, Petropoli.
Novi Commentarii Societatis Regiae scientia-
rum Gottingensis.
Nuovi Saggi dell’I. R. Accademia di scienze
lettere ed arti di Padova.
Period, mat.
Periodico di matematica per I’inaegnamentc
secondario, Livorno (1886-1920); Periodic*
di matematiche (dal 1921), Bologna.
Elenco delle abbreviazioni
XV
Period, mat, Suppl....................
Phil. Mag.............................
Phil. Trans...........................
Pitagora .............................
Pro£. London math. Soc................
Proc. math. Soc. Edinb................
Proc. R. Iresh Ac.....................
Proc. R. Soc. Edinb. .................
Proc. R. Soc. London .................
Quart. J..............................
Rass. mat. fis........................
Rend. Acc. Lincei.....................
Rend. Acc. Napoli.....................
Rend. 1st. Bologna ...................
Rend. 1st. Lomb. .....................
Rend. Palermo ........... ............
Rev. math.............................
Riv. fil..............................
Riv. fis. mat. sc. nat................
Riv. maritt...........................
Riv. mat..............................
Scientia..............................
Sitzgsb. Ak. Munchen .................
Stzgsb. Ak. Wien......................
Stzgsb. Uorpat Naturf. Ges............
Stzgsb. Ges. Naturw. Marburg..........
Stzgsb. math. Ges. Berlin.............
Tidsskreft............................
Supplement© al Periodic© di matematica, Li-
vorno.
The London, Edinburgh and Dublin philoso-
phical Magazine and Journal of natural Phi-
losophy.
The philosophical Transactions of the Royal
Society of London.
Il Pitagora, giomale di matematica per gli
alunni delle scuole secondarie, Palermo.
Proceedings of the London mathematical So-
ciety.
Proceedings of the Edinburgh mathematical
Society, London.
Proceedings of the Royal Irish Academy, Du-
blin©.
Proceedings of the Royal Society of Edinburgh,
Edinburgh.
Proceedings of the Royal Society of London.
The quarterly Journal of pure and applied
Mathematics, London.
Rassegna di matematica e fisica, Roma.
Atti della R. Accademia dei Lincei. Rendi-
conti (Cl. di sc. fis., mat. e nat.), Roma.
Rendiconto dell’Accademia di Scienze fisiche
e matematiche della Society Reale di Napoli.
Rendiconto delle sessioni de 11’Accademia'delle
scienze dell’Istituto di Bologna.
Rendiconti del R. Istituto Lombardo di
scienze e lettere, Milano.
Rendiconti del Circolo matematico di Pa-
lermo.
Revue de math6matiques (1896-1901). Re-
vista de mathematics (1902-1906), Torino.
Rivista italiana di filosofia, Roma. Dal 1899 :
Rivista filosofica, Pavia.
Rivista di fisica, matematica e scienze natu-
rali, Pavia.
Rivista marittima, Roma.
Rivista di matematica, Torino.
Scientia. Rivista di scienza, Bologna.
Sitzungsberichte der Bayerischen Akademie
der Wissenschaften zu Munchen.
Sitzungsberichte der Akademie der Wissen-
schaften zu Wien.
Sitzungsberichte der naturforschenden Ge-
sellschaft, Dorpat.
Sitzungsberichte der Gesellschaft der Natur-
wissenschaften, Marburg.
Sitzungsberichte der Berliner mathematischen
Gesellschaft.
Matematisk Tidsskreft, Kobenhavn.
XVI
Elenco delle abbreviazioni
Tdhoku math. J.......................The Tdhoku mathematical Journal, Sendai.
Trans. Amer. math. Soc...............Transactions of the American mathematical
Society, New York,
Trans. R. Irish Ak...................Transactions of the Royal Irish Academy,
Dublin.
Unterrichtsbl. f. Math...............Unterrichtsblatt fur Mathematik und Natur-
wissenschaften, Berlin.
Verb. Ak. Amsterd...................... Verhanelingen der Akademie van Weten-
schappen te Amsterdam.
Versl. Med. Akad. Wet. Amsterdam . Verslagen en Mededeelingen der K. Akademie
van Wetenschappen te Amsterdam.
Z. Astronomic........................ Zeitschrift fur Astronomic und verwandte
Wissenschaften, Tubingen.
Z. math. nat. Unterr.................Zeitschrift fur mathematischen und natur-
wissenschaftlichen Unterricht, Berlin.
Z. Math. Phys......................
Z. Realschulw......................
Zurich Vrtlj........................
Zeitschrift fur Mathematik und Physik, Leip-
zig.
Zeitschrift fur Realschulwesen, Wien.-
Vierteljahrsschrift der mathematischen Gesell-
schaft zu ZQrich.
XXI
FONDAMENTI DI GEOMETRIA
di PIERO BENEDETTI t
Piero Benedetti nacque il 17 ottobre 1876 a Castel del Piano, in proVincia di
Grosseto. Allievo dell’University e della Scuola Normale Superiore di Pisa, altamente
stimato da Maestri e da condiscepoli, ivi si laured in Matematica il 6 luglio 1898.
Professore dal 1900 nelle RR. Scuole normali, poi dal 1920 nei RR. Istituti tecnici,
membro del Consiglio Superiore della pubblica istruzione, incaricato di Matematiche
complementer! nella R. University di Pisa, a vantaggio della Scuola volse la sicura
dottrina, la solida esperienza, la costante operosity.
Iniziata 1’attivity scientifica con un pregiato lavoro sulle forme iperalgebriche, la
continud in campi meglio rispondenti all’indole Sua, particolarmente atta a veder
nettamente nelle questioni relative ai fondamenti. Agli studii sul problema dell’esten-
sione toccd il « premio ministeriale 1921 ».
Il rigore, temperato in Lui — docente efficacissimo — da una vigile e squisita
sensibility, Lo guidd nella redazione dei trattati elementari, cfr’Egli pubblicd da sold
о col compianto amico Prof. Carlo Rosati.
Insegnante nel'R. Istituto tecnico di Pisa, Piero Benedetti era ancora nel pieno
del vigore intellettuale, quando, il 16 Marzo 1933, dopo breve malattia, cessd di vivere,
lasciando largo desiderio di Sfe.
INDICE
I. - Concetti primitivi e postulate
Pag.
1. Indirizzo sperimentale e indirizzo ipotetico-deduttivo...................... 5
2. Definizioni implicite e per astrazione...................................... 7
3. I cinque gruppi di postulati.......................................:..... 8
A) Postulati di associazione.
4. Concetti primitivi e postulati del gruppo A................................. 9
5. Compatibility dei postulati • del gruppo A ......*......................... 10
B) Postulati di ordinamento.
6. Insiemi ordinati e sistemi lineari.......................................... »
7. Ordinamento della retta..................................................... 12
8. Postulati di ordinamento di D. Hilbert....................................... »
9. Sistema geometrico di G. Peano.............................................. 13
10. Figure convesse............................................................ 14
11. Ordinamento nelle forme di pfima specie..................................... »
12. Angoli e poligoni ....................................................... 15>
13. Versi delle figure......................................................... 17
14. Compatibility dei postulati dei gruppi A e В............................... 18
C) Postulati di congruenza.
15. L’uguaglianza secondo D. Hilbert........................................... 19
16. L’uguaglianza secondo G. Veronese ........................................ 20
17. L’uguaglianza in Euclide................................................... 21
18 ., I postulati del movimento di G. Peano................................... 22
19. Uguaglianza in senso largo e in senso stretto ............................. 23
20. Postulati del movimento di M. De Franchis ................................ 24
21. L’uguaglianza secondo M. Pasch............................................. 25
22. Discriminazione fra uguaglianza diretta e uguaglianza inversa .............. »
23. Figure indefinite ........................................................ 26
24. Compatibility dei postulati dei gruppi А, В, C...................... »
25. Interpretazione notevole dei postulati dei gruppi А, В, C ................ »
D) Postulate delle parallele.
26. Compatibility di due ipotcsi coi postulati dei gruppi А, В, C............. 27
4
Piero Benedetti
E) Postulati di continuity
Pag.
27. Sistemi lineari continui ..................................................... 28
28. Postulate della continuity di R. Dedekind.................................... 29
29. Compatibility del postulate E coi precedent!, e sua indipendenza da essi .. 30
-30. Continuity secondo K. Weierstrass.............................................. »
31. Postulate di Archimede........................................................ 31
32. Continuity in senso ristretto .. ............................................. ».
33. Postulate della continuity di G. Cantor....................................... 32
34. Postulate di integrity di D. Hilbert ........................................... »
35. Postulate della continuity di G. Peano........................................ 33
36. Sufficienza dei postulati dei gruppi А, В, C, D, E.............................. »
37. La irriducibility dei concetti primitivi e Гindipendenza dei postulati..... »
38. Sistema geometric© di G. Veronese ............................................ 35
II. - Linee, superficie, solidi.
39. Concetto razionale di linea.................................................. 36
40. Superficie e solidi........................................................... 39
III. - EqUIVALENZA NEL PIANO E NELLO SPAZIO.
41. Scomponibility di poligoni in parti rispettivamente uguali, e question! relative »
42. Equivalenza e postulate d’Archimede............................................ 41
43. Uguaglianza di volume dei poliedri e scomponibility in parti rispettivamente
uguali ............................................................................ 42
4». Il principio fondamentale dell’equivalenza per i poliedri ..................... 43
45. Superficie piane e solidi di prima specie....................................... *
46. Superficie piane e solidi di seconda specie................................... 44
47. Equivalenza come equiscomponibility in infinite parti....... ................. 46
48. Lunghezza di una linea e area di una superficie curva........................... »
L — Concetti primitivi e postulati.
1. Indirizzo sperimentale e indirizzo ipotetico~deduttivo. —
1. Nei principi della Geometria si possono distinguere due indirizzi :
uno sperimentale, Faltro ipotetico-deduttivo. Secondo il primo di essi,
i concetti geometrici fondamentali vengono stabiliti in conformita
delle idee che si acquistano per induzione sperimentale da certi oggetti
e fatti fisici ; in tai modo la Geometria si presenta come una Fisica
delVestensione1). Secondo Faltro indirizzo, la Geometria e una scienza
puramente deduttiva, in tutto speculativa ed astratta, i cui oggetti sono
posti liberamente dal pensiero.
2. Gia B. Pascal2) osservava che in qualunque scienza non si
pud tutto definire e tutto dimostrare ; infatti dimostrazione e defini-
zione sono processi riduttivi, naturalmente se si intende la definizione
come nominate, cioe come una semplice applicazione di un nome a una
cosa gia perfettamente nota3). Gli enti non definiti, nel senso ora detto,
di un sistema geometrico, e mediante i quali si costruiscono tutti gli
altri, si dicono concetti primitivi 4) ; fra questi non si annoverano perd,
generalmente, quei principi « che appartengono alia logica pura e sono
necessita delFintendimento umano»5 6), detti nozioni comuni (come
gruppo, insieme, elemento, appartenere, aggiungere, togliere, corrispon-
denza, gruppo finito, numero intero, ecc.).
3. Ma poiche i concetti primitivi non sono, logicamente parlando,
che parole о simboli, occorre enunciare delle proposizioni che espri-
mano i rapporti piu elementari fra essi, e fra quelli e le nozioni comuni ;
tali proposizioni primitive sono i postulati od assiomi^). NelFindirizzo
’) M. Pieri, Mem. Acc. Torino, (2) 48 (1899), p. 1.
2) U Esprit geometrique, Oeuvres, 3, Paris 1889, p. 1G5.
3) B. Pascal, loc. cit.2).
4) Vengono detti anche concetti indecomposti (M. Pieri, loc. cit. p. 2) ; ma
tale denominazione sembra meno opportuna.
5) G. Veronese, Fondamenti di Geometria a piii dimensioni e a piu specie di unita
rettilinee, Padova, 1891, p. VIII; il quale perd comincia con le proposizioni (p. 1) :
Penso. Penso una cosa о piu cose. Penso prima una cosa, poi una cosa.
6) Questi termini vengono usati talvolta come sinonimi, tai altra con significato
di verso. Sembra che per i geometri greci gli assiomi fossero le verita cosi dette « in-
discutibili », principio di ogni ragionamento (come « la parte ё maggiore del tutto »,
ecc.), e i postulati quelle di carattere sperimentale ; ma non mancano altre interpreta-
6
Piero Benedetti
sperimentale essi affermano proprieta degli enti geometric! ricono-
sciute dall’esperienza, о meglio, dato il carattere ideale dei concetti
geometrici7), dall’intuizione ; hanno quindi un relativo grado di cer-
tezza8), e tanto maggiore quanto piu sono semplici. Secondo alcuni,
anzi, essi dovrebbero essere dedotti dall’esame di una parte limitata
ed accessibile dello spazio 9). Nell’indirizzo deduttivo, invece, i po-
stulati sono in pieno ar bitrio del geometra, salvo 1’obbligo di non im-
plicare contraddizioni10 *).
4. Perb la questione dei due indirizzi ha importanza piu filosofica
che matematica; infatti, per lontana tradizione, la Geometria diviene
in ogni modo e per tutti, dopo il primo stadio di posizione dei concetti,
un organismo puramente logico, nel quale gli enti valgono non per
quello che sono, ma per quello che se ne ё affermato. E d’altra parte,
anche in una Geometria concepita come sistema ipotetico-deduttivo
che non voglia essere una esercitazione logica priva di reale interesse,
i postulati, per quanto liberi, non possono essere senza riferimento
allo spazio fisico-intuitivo, e devono esprimere proprieta riconosciute
da tuttiu). Cosi rimane appagato tanto il logico che I’intuitivo 12 * * 1). Della
liberta si vale il geometra per saggiare tutte le ipotesi che possono non
contraddire all’esperienza, per misurare la capacita, 1’importanza, la
necessita dei postulati, per studiare estensioni di note vole valore cri-
tico e di interesse non solo matematico.
zioni: F. Enriques, Questioni riguardanti le matem. elem., 3a ed., 1, Bologna 1924,
p. 29; G. Vailati, Verh. Math.-Kongv. Heidelberg, Leipzig, 1905, p. 575 (Scritti,
Leipzig-Firenze 1911, p. 547). Alcuni considerano come assiomi le leggi della logica
deduttiva, come postulati le affermazioni di carattere geometrico. Per G. Veronese
(loc. cit. 5), p. XVI) gli assiomi esprimono le propriety che si intuiscono osservando
gli oggetti estemi, i postulati о ipotesi sono «affermazioni che non contraddicono
Tesperienza ». D. Hilbert (Grundlagen der Geometric, Leipzig 1899, 7a ed. 1930,
p. 3; (le citazioni si riferiranno sempre alia 7a edizione) adopera solo il termine « as-
sioma »; in Italia si usa ora quasi esclusivamente «postulate».
7) R. Bettazzi, Period, mat., (1) 1 (1886), p. 170.
8) Il pensiero della discutibilit^ dei postulati ё tutto modemo. Per B. Pascal
(loc. cit. 2)) e R. Descartes (Discorso sul metodo, trad. G. De Ruggiero, Firenze 1925,
p. 26, 38, ecc.) la certezza ё ancora assoluta. E lo stesso E. Kant (Pensiero ed espe-
rienza, a cura di G. De Ruggiero, Bari 1913, p. 70) dice che «le proposizioni della
Geometria sono conosciute sinteticamente a priori e con apodittica certezza ».
9) G. Veronese, Appendice agli Elementi di Geometria, Padova 1898, p. 14. A
questo concetto si ispirano M. Pasch, Vorlesungen uber neuere Geometric, Leipzig 1882;
F. Schur, Grundlagen der Geometric, Leipzig 1909. Vedi a tale proposito le osserva-
zioni di B. Levi (Jahresb. deutsch. Math.-Vereinig., 19 (1910), p. 301), per il quale
1’espressione stessa «postulati in una parte limitata di spazio » ё in её una contraddi-
zione.
10) Sul carattere e la derivazione delle proposizioni primitive, v. per es. F. En-
riques, Riv. fit, 4 (1901), p. 171; Problemi della scienza, Bologna 1906, p. 261; Prin-
cipes de la G6om6trie, Encycl. des sc. math., Ill, 1 (1911), p. 3-8; Per la storia della
Logica, Bologna 1922, specialmente cap. IV; J. W. Young, I concetti fondamentali
dell*Algebra e della Geometria, trad. D. Mercogliano, Napoli 1919, Cap. I-V; D.
Mercogliano, Boll, mat., 17 (1920-21), p. 217.
n) Tale pensiero trovasi espresso nettamente in G. Peano, Riv. mat., 4 (1894),
p. 52 e 75.
1S) H. PoincarS, Period, mat., (3) 2 (1905), p. 201.
XXL - Fondamenti di geometria
7
2. Definizioni implicite e per astrazione. — 1. Che i concetti
primitivi debbano ritenersi non definiti ё evidente, se essi si conside-
rano come dati dall’intuizione, esprimendo i postulati non tutto cid
che e nel concetto intuitivo, ma solo quanto occorre per la deduzione.
Se invece i concetti primitivi sono enti assoggettati soltanto alle condi-
zioni espresse dai postulati, ed ammettono quindi interpretazioni di-
verse, si pud anche dire che essi sono definiti implicitamente dai postu-
lati13). Quella forma Speciale di definizione che ё detta implicita (o
anche per condizioni о per postulati) non pud ritenersi illegittima, va-
lendo essa, come la definizione nominale 14), a distinguere nettamente
un concetto о un gruppo di concetti da ogni altro13 14 15 16). Una differenza
fra i concetti primitivi veri e propri e altri concetti definiti implicita-
mente, oltre che nell’origine intuitiva dei primi, si potrebbe trovare
in questo : che la posizione di un dato concetto come primitivo implica
un postulato esistenziale, ossia contiene I’affermazione della possibility
di tale concetto16), e percid della compatibility logica delle condizioni
che gli si impongono ; mentre dando di un concetto una definizione
implicita rimane impregiudicath la questione della possibility, la quale
deve essere dimostrata quando non sia evidente ed occorra fondare
su essa una deduzione 17 18).
2. Altre definizioni alle quali non si pud rinunciare sono quelle
dette per astrazione19). Quando gli enti di una classe C sono divisi in
13) F. Enriques, Conferenze sulla Geometria non euclidea, Bologna 1918; Pro-
blemi della scienza10), p. 175.
14) C. Burali-Forti (Logica matematica, 2a ed., Milano 1919, p. 339) afferma
anzi che la definizione di un ente ( mediante i postulati pr , p2 > ..., pn si pud esprimere
*otto forma di una definizione nominate, ponendo :
£ • = • « ente soddisfacente alle condizioni pr, p2 , ..., pn ».
Sta perd di fatto che f comparisce nel 2° membro, nelle pi , p2 , ..., pn .
15) J. D. Gergonne (Ann. math, pures appl., 9 (1818-19), p. 1-36) svolgendo
la teoria della definizione ammette la necessity delle definizioni implicite.
ie) Molti dichiarano con postulati 1’esistenza degli enti primitivi; anzi per B.
Levi (Mem. Acc. Torino, (2) 54 (1905), p. 327) questa d condizione logica primordiale
a cui deve soddisfare qualunque sistema di postulati. In D. Hilbert (loc. cit. e)) ammet-
tendosi un concetto come primitivo se ne dichiara implicitamente 1’esistenza; noi ci
atterremo a questo uso.
17) G. Peano, Period, mat., (4) 1 (1921), p. 175, afferma che «1’esistenza della
cosa definita non d necessaria », e porta questo esempio : Se si dice che la derivata ё
il limite (ove esista) del rapporto incrementale; qualora il limite non esista non si pud
concludere che la derivata non esiste. L’we esista va dunque soppresso, e allora la
derivata d definita, ma pud esistere e non esistere. Ma se di una funzione ci occorre
la derivata, d necessario supporre о dimostrare 1’esistenza di essa.
18) Argomento sul quale si sono versati fiumi di inchiostro, e veramente inte-
ressante dal punto di vista logico. Ma mentre esso cerca la sua definitive sistemazione
d lecito riflettere che senza astrarre non si par la nd tanto meno si pensa. Vedere, per
es.: A. Bindoni, Boll, mat., 11 (1912), p. 153; C. Burali-Forti, loc. cit.14), p. 350;
Enseign. math., 1 (1899), p. 246; Rend. Acc. Lincei, (5) 21 (1912, 2° sem.), p. 677 ;
Boll, mat., 20 (1924), p. 128; Id., 21 (1925), p. 136; S. Catania, Boll, mat., 10 (1911),
p. 12; Id., 13 (1914), p. 72; Boll. Mathesis, 8 (1916), p. 54; F. Enriques, Questioni
riguardanti le mat. elem., 1, 2a ed., Bologna 1912, p. 569; Period, mat., (4) 1 (1921),
p. 237; Per la storia della logica10), Cap. II; Period, mat., (4) 7 (1927), p. 73; D.
8
Piero Benedetti
gruppi ben distinti secondo un determinate criterio, tutti gli enti del
medesimo gruppo si possono identificare rispetto a quel criterio, ossia
(se e permesso esprimersi cosi) si pud estrarre da essi la nota per la
quale sono identici e per la quale appartengono al medesimo gruppo,
facendo astrazione da tutte quelle per le quali differiscono. Si ottiene
cosi quello che G. Cantor19) chiama concetto generale, G. Peano20)
proprietd comune, e altri concetto astratto. Cid equivale a definire una
nuova classe di enti C' assoggettata alia sola condizione di essere in
corrispondenza biunivoca con la classe dei gruppi della classe C. Si
tratta dunque, sostanzialmente, di una definizione implicita a), che non
involge alcuna contraddizione logica, giacche la classe C si pud co-
struire, per es., considerando come suoi elementi i gruppi stessi della
classe С22), о estraendo un determinate elemento da.ciascuno dei gruppi
di С23), о notando qualche cosa che sia comune a tutti gli elementi di
uno stesso gruppo di C e ad essi soltanto 24). Ma si pud intendere che
in tali modi si ottengono van sistemi di simboli per rappresentare gli
enti della classe astratta C', che in questo senso rimane, percid, unica.
3. I cinque gruppi di postulati. — D. Hilbert25 * * * * *) divide i po-
stulati della Geometria in cinque gruppi: A. Postulati di associazione
(o di appartenenza) ; B. Postulati di ordinamento (o di distribuzione) ;
C. Postulati di congruenza ; D. Postulati di parallelismo : E. Postulati
di continuity.
Noi seguiremo questa classificazione, per quanto essa non sia adat-
tabile a tutti i sistemi. Trattando successivamente dei vari gruppi,
introdurremo i concetti primitivi che vi si riferiscono, i quali perd
hanno la loro definizione implicita in tutti i postulati complessivamente ;
cosi, per es., il postulate della continuity (gruppo E) pone una limitazione
Gigli, Annuario del R. Liceo Gbmasio di Pavia, 4 (1926-27), p. 211; E. Maccaferri,
loc. cit.21), p. 165 ; Period, mat., (3) 12 (1915), p. 87; A. Padoa, Comun. al 2° Congr.
Soc. Filos. Italiana (in Questioni filosofiche, Modena 1908, p. 91); G. Peano, loc.
cit.20); Boll. Mathesis, 7 (1915), p. 106; M. Pieri, Boll. Acc. Gioenia Catania, 87
(1906), p. 14; (lettera postuma) Boll, mat., 21 (1925), p. 49; B. Russell, loc. cit.22),
p. 115; M. Pieri, loc. cit. x), p. 3, distinguendo « definizioni del поте » e « definizioni
di cosa », non esclude dalle prime i processi d'astrazione e di induzione completa.
le) Loc. cit. 31), p. 130.
20) Introduction au Formulaire de mathtmatiques, Torino 1908.
21) E. Maccaferri, Rend. Palermo, 35 (1913), p. 165.
22) Si ha cosi la classe di classi di B. Russell (Rev. math., 7 (1901), p. 121), il
quale dice perd chiaramente che « si pud sempre prendere per I’individuo indicate
dalla definizione per astrazione la classe stessa a cui esso deve corrispondere ». Si tratta
percid soltanto di preferenza per una soluzione particolare.
23) Per es., su un raggio fissato si ha un unico segmentu avente un estremo nel-
1’origine, uguale о equivalente a infiniti segmenti e spezzate, e atto a rappresentame
la lunghezza.
2<) A. Padoa, loc. cit.18), p. 98, ed E. Maccaferri, loc. cit.21), p. 167, notano e
dimostrano con esempi, appunto, questa molteplicit& di soluzioni, che C. Burali-
Forti aveva cercato di evitare mediante un apposito postulate logico. V.: C. Burali-
Forti e R. Marcolongo, Elementi di calcolo vettoriale, Bologna 1909, p. 160.
й) Loc. cit. •).
XXI. - Fondamenti di geometria
9
al concetto di uguaglianza dei segmenti (gruppo C), perche ne deriva
che, dati due sepmenti, esiste uh multiplo delFuno che e maggiore del-
I’altro ; ecc
A) Postulati di associazione.
4. Concetti primitivi e postulati del gruppo A. — 1. Co-
minciando dal gruppo A, al fine di permettere la considerazione, utile
in varie question! critiche, degli spazi a piu di tre dimensioni (iperspazi)2*)
assumeremo come concetti primitivi quelli di : punto (s0); retta (sj ;
piano (s2) ; spazio ordinario ($3) ;spazio a 4, 5,..., n—1 dimensioni
(s4 , sb , Sn-i), e stabiliremo i seguenti postulati (nei quali Findice i
pud avere i valori 1, 2, n— 1) :
Ai . Ogni Si e un insieme di punti.
A2 . Una retta che contiene due punti di un Si e contenuta nellsi.
A3 . Esiste un sf che contiene x’+l punti dati.
A4 . In ogni Si esistono x’+l punti non contenuti in alcun s^ .
A5 . Esistono n + 1 punti non contenuti in alcun sn_r .
Si pud allora definire F$n come Finsieme di tutti i punti.
La concezione della retta, del piano, dello spazio come insieme di
punti e moderna, ed e un portato delFindirizzo ipotetico-deduttivo.
Stando al concetto intuitivo, infatti, e facile affermare che su una retta
esistono infiniti punti, ma la retta stessa apparisce quasi come il soste-
gno di questi punti, о come una sintesi che non e semplice riunione *).
Ё certo pero che dal punto di vista deduttivo e sufficiente identi-
ficare la retta con Finsieme dei suoi punti a).
2. D. Hilbert * 27 28 29) pone come primitiva anche la relazione di ap-
partenenza fra punto e retta e fra punto e piano (concetto « esser si-
2e) La introduzione degli iperspazi per via sintetica si deve a G. Veronese, loc.
cit.5).
27) In alcuni trattati, non dei piu recenti, si awerte espressamente di non pen-
sare la retta come composta di punti; e A. Faifofer {Elementi di Geometria, la ed.,
Venezia 1880), per indicare uno dei trattati che hanno avuto maggior fortuna, osserva
(p. 8 della 16a ed., 1909) che, рокЬё se due punti si toccano essi si confondono in un
punto solo, se una linea fosse composta di punti si ridurrebbe a punti distinti. Altra
curiosa annotazione ё (5a ed., 1886, p. 6) che fra un solido e la porzione di spazio che
esso occupa с’ё la sola differenza che il solido si pud concepire in movimento, e la por-
zione di spazio ё immobile. In tutti i vecchi trattati ё, piu о meno, la tormentosa incer-
tezza dei primi concetti; v. anche, fra i migliori, A. Sannia - E. D’Ovidio, Elementi
di Geometria, Napoli (la ed., 1869), 8a ed., 1891, p. 5.
28) Per comprendere la distinzione pensiamo che uD punto sia una tema di numeri
(x, y, z); una retta sia un sistema di due equazioni lineari indipendenti in x, y, z; un
piano sia un’equazione lineare in x, y, z. Un punto si intenda « situato su >> una retta
о un piano, quando le sue coordinate sono una soluzione del sistema costituente la
retta, о dell’equazione costituente il piano. Allora su una retta о su un piano sono situati
infiniti punti, senza che questi enti siano dati come insieme di punti. Ma basta modi-
ficare leggermente la concezione della retta e del piano, e сюё dire che essi sono, non
un sistema о un’equazione, ma 1’insieme dei punti che vi soddisfano, per eliminare il
concetto « situato su », il quale viene sostituito dalla relazione fra parte e tutto.
2e) Loc. cit. e).
10
Piero Benedetti
tuato»), e definisce invece una retta come appartenente a un piano
quando i suoi punti sono sul piano ; una retta non ё dunque presentata
come un sistema di punti; ma poi un segmento ё definite come tale.
Del resto D. Hilbert non rifugge dal moltiplicare i concetti primitivi,
in vista delle interpretazioni varie che intende dare ad essi. I suoi
postulati di appartenenza differiscono alquanto dai precedent! ; intanto
si limitano all’s3 , inoltre egli afferma 1’uniciti del piano per tre punti
non allineati, e la propriety di intersezione di due piani che hanno un
punto comune.
3. Osserviamo che da A3 e A2 seguono 1’esistenza e la unicity della
retta per due punti, e la .cosi detta propriety fondamentale del piano
(la retta che contiene due suoi punti...). Rimane percid esclusa fin d’ora
la possibility di una Geometria nella quale due rette possano avere due
punti comuni, e quindi la Geometria riemanniana del 12° tipo (sistema
sferico) 30). Da A4 si ha che un st non pud contenere un , e da A6
che l’sn non pud coincidere con un .
5. Compatibility dei postulati del gruppo A. — I postulati
Aj — A6 sono possibili, ciod compatibili, e anzi l’sn pud per ora essere
costituito anche di soli n + 1 punti. Se, infatti, ar , a2 , ..., an , an+1
sono n + 1 elementi qualunque e si definisce come piinto ogni ah ,
come retta ogni coppia (ah , afc), ..., come Si ogni gruppo di i + 1 ele-
menti, tutti i postulati sono soddisfatti. Essi non involgono dunque
alcuna contraddizione logica.
B) Postulati di ordinamento.
6. Insiemi ordinati e sistemi lineari. — Un gruppo di ele-
menti si dice ordinato se la frase «1’elemento A precede 1’elemento В »
ha un significato preciso, con le condizioni : 1. Di due elementi qua-
lunque, uno determinate precede 1’altro ; 2. Se 1’elemento A precede
В, e В precede C, anche A precede C31). Si dice poi che В segue A,
quando A precede В ; e gli elementi compresi fra A e В sono quelli che
seguono A e precedono B. Un tratto о una parte di un gruppo ordinato
О ё un insieme di suoi elementi considerati nell’ordine stesso che hanno
in О e tale che, se A e В appartengono ad esso, vi appartiene pure ogni
elemento di О compreso fra A e B. Se un gruppo ordinato possiede un
30) Quando si volesse evitare, per il momento, questa esclusione, *si dovrebbe
aggiungere il postulate: Se due rette, che contengono un punto M, hanno comune
un altro punto Mogni altra retta contenente M contiene M'; e detti opposti i punti
Mt M' si dovrebbe limitare ГА2 ai punti non opposti. Ma, piii radicalmente, si do-
vrebbe seguire tut?altro sistema, come hanno fatto G. Veronese, loc. cit.5) ; B. Levi ie),
p. 281, ecc.
31) G. Cantor, Math. Ann., 46 (1895), p. 481 ; Ges. Abh., Berlin 1932, p. 282 ;
traduzione di F. Gerbaldi, Riv. mat., 5 (1895), p. 145. V. anche Tart, di A. Schoen-
flies-R. Baire (Theorie des ensembles) neWEncycl. des sc. math., I, 1 (1909), p. 498.
Ma il concetto ё gi& diffuse anche nei trattati elementari.
XXI. - Fondamenti di geometria
11
elemento senza precedent! о uno senza seguenti, questi si dicono estr emi ;
quando esistono ambedue, il gruppo e limitato. Due gruppi ordinati
О e O' si dicpno inversi se sono costituiti degli stessi elementi; ma, es-
sendo A e В due qualunque di essi, se A precede В in О, В precede
A in O'.
Gli insiemi ordinati cosi definiti sono aperti; meno agevolmente
si enunciano i caratteri dell’ordinamento chiuso 32), ma essi risulteranno
dalla nozione piu larga di sistema lineare. Intendendo per serie elemen-
tal e un gruppo ordinato limitato, e dicendo due serie element ar i coor-
dinate quando una e un tratto dell’altra, chiameremo « sistema lineare »
qualunque insieme di elementi nel quale siano determinate delle
serie elementari a soddisfacenti a queste condizioni :
1. Esiste una a che contiene due elementi dati A e В di 5.
2. Ogni tratto limitato di una a e una a.
3. L’inversa di una a e una a.
4. Due a che hanno comune solo un estremo costituiscono
un’unica a.
5. Se due a che hanno I’origine in un elemento A non hanno
altri elementi comuni, ogni altra a di origine A e coordinata a una di esse.
6. Se un elemento A non e origine di due a senza altri elementi
comuni, due a qualunque di origine A sono coordinate.
Due a si diranno di ugual senso о di senso contrario secondo che
sono о no coordinate fra loro о ad una stessa a ; si dimostra allora fa-
cilmente che una a e la sua inversa o' sono di senso contrario ; due a
con la sola origine comune sono di senso contrario ; due о di egual
senso rispetto a una terza sono di ugual senso fra loro ; ecc.
Per un sistema lineare 5 si danno solo due possibility : che due
elementi siano estremi di una sola serie elementare, о di due che non
hanno altri elementi comuni ; nel primo caso 5 dicesi aperto (limitato
о no), nel secondo chiuso. Quando 5 e aperto, si possono considerare
su esso due ordinamenti inversi, che sono i suoi due semi; quando e
chiuso, cib si pud fare considerahdo un elemento qualunque come ori-
gine e termine, cioe aprendo il sistema in un elemento a piacere. Uno
dei due ordinamenti e, in ogni caso, determinato quando sia data una
serie elementare a e si voglia che i tratti di quell’ordinamento abbiano
il senso di a33).
32) Non pud ritenersi soddisfacente la definizione: gruppo ordinato chiuso ё un
gruppo ordinato aperto con gli estremi coincident!; пё ё accettabile la definizione di
G. Veronese, loc. cit.5), p. 56, per la quale un sistema ё chiuso se « applicando la
legge di costruzione a cominciare da un elemento A si ottiene di nuovo quelfelemento
dopo aver ottenuto tutti gli altri»; tanto piu poi quando si rifletta che « applicare la
legge di costruzione » significa passare da un elemento al consecutivo. F. Palatini,
G. mat., 42 (1904), p. 150, pone una definizione che ё veramente tale, ma non sem-
plice, usando i concetti di segue ntey piu seguente, meno seguente. G. Vailati, Riv. mat.,
5 (1895), p. 75 e p. 183 (Scritti e), p. 26 e 30), stabilisce i caratteri deH’ordinamento
chiuso partendo dal concetto ‘primitive di coppie che si separano.
33) Gli insiemi ordinati e i sistemi lineari sono, dunque, definiti implicitamente,
12
Piero Benedetti
7. Ordinamento della retta. — 1. I postulati di distribuzione
tendono ad affermare, nella Geometria euclidea, le proprieta seguenti :
Bx . Una retta e un sistema lineare di punti, aperto, illimitato
in ambedue i sensi, nel quale fra due punti ne sono sempre compresi al tri.
В 2. Due rette costituite degli stessi punti coincidono anche per
Гordinamento.
B3 . Un s^ contenuto in un s* [: = 1,2,..., я] determina una
divisione dei punti di st , esclusi quelli delCs^ , in due regioni у in modo
che il segmento di retta che ha per estremi due punti di st incontra о no
I'Si-} secondo che essi appartengono a regioni diverse о alia stessa regione.
Le due regioni sono, come si vede subito, perfettamente deter-
minate ; non c’e bisogno, quindi, di postularne I’unicita. I punti di
una di esse, insieme a quelli dell’s* _!, costituiscono un semi-Si.
Da Bj segue I’infinita dei punti di una retta e di un segmento, e
che una retta e divisa da ogni suo punto in due tratti illimitati (semi-
rette о raggi) ; da B2 si deduce che due punti sono estremi di un seg-
mento unico. Rimane esclusa da ora anche la Geometria riemanniana
del 1° tipo, giacche in questa la retta e un sistema lineare chiuso.
2. I postulati precedenti includono un nuovo concetto primitivo,
che e quello de\Vordinamento naturale dei punti di una retta3*). La ne-
cessity di speciali postulati di ordine fu messa in evidenza primiera-
mente da M. Pasch * 35), il quale li stabili partendo dalla nozione pri-
mitiva di segmento ; i geometri anteriori ammisero tacitamente 1’esi-
stenza di due sensi naturali sulla retta, come del resto su ogni linea.
8. Postulati di ordinamento di D. Hilbert. — D. Hilbert36),
pur ispirandosi all’opera di M. Pasch, assume come concetto primitivo
la relazione «situato fra»37), e pone le condizioni :
В/. Ay By C essendo tre punti di una rettaу se В e situato fra A
e Cy e situato anche fra C e A.
ma con condizioni logicamente compatibili. Esistono, infatti, effettivamente sistemi
lineari aperti e chiusi. Si consideri, p. es., la serie R dei numeri reali relativi ordinata
aritmeticamente, e si chiami elemento di un insieme il gruppo dei numeri di R che
hanno fra loro differenza uguale о multipla di 10 ; di modo che se a fa parte di un ele-
mento di ne fanno parte tutti e soli i numeri della forma a + 10 k (k intero). Preso
un intervallo a.ft della serie R tale che sia la — ft | < 10, consideriamo come serie
clementare di 1’insieme degli elementi di di cui fanno parte i numeri dell’intervallo
a...ft, ordinati come sono tali numeri in questo intervallo. E facile vedere che queste
serie elementari soddisfano a tutte le condizioni 1 — G, e che quindi 5 e un sistema
lineare chiuso. Invece della serie R dei numeri reali si pud considerare quella dei nu-
meri interi relativi (e allora 5 e di soli 10 elementi) о quella dei numeri razionali re-
lativi (e allora il sistema 5 e di infiniti elementi, ma non e continuo).
M) Si noti che B<3 non contiene un concetto primitivo di verso da quello di Bi ,
perche il criterio per il quale due punti sono da ritenersi appartenenti ad una stessa
о a diversa regione e fissato quando si conosca 1’ordinamento della retta. Il postulate
B3 non fa altro che affermare la possibility della divisione.
35) Loc. cit. 9), p. 5.
36) Loc. cit. 6), p. 1.
37) G. Vailati, Riv. mat., 2 (1892), p. 71 (Scritti6), p. 9), eonsidera, in modo
analogo, come primitiva la relazione «seguente»>.
XXI. - Fondamenti di geometria
13
B2'. A e C essendo punti di una retta, esiste su essa un punto В
situato fra A e C, e un punto D tale che C sia situato fra A e D.
B3'. Di tre punti di una retta, uno e uno solo e situato fra gli
altri due.
B4'. Se А, В, C sono tre punti non allineati di un piano, e r una
retta di esso che non ne contiene alcuno, dei segmenti AB, AC, BC due о
nessuno ha punti comuni con r38).
I primi tre sono lineari, il quarto planare, e da questo deriva la
proprieta di divisione del piano con una retta e dello spazio con un
piano39). Se ne deduce anche questa proprieta lineare : Quattro punti
А, В, C, D di una retta possono essere ordinati in modo che В sia situato
fra A e C e fra A e D, e C sia situato fra A e D e fra В e D. Cid era
ammesso da D. Hilbert come postulato nella la ed. delle Grundlagen ;
di poi venne mostrata 4°) la dipendenza di tale fatto dagli altri.
9. Sistema geometrico di G. Peano. — G. Peano usando fe-
licemente i metodi e il simbolismo della Logica matematica sottopone
ad esauriente esame il sistema di M. Pasch perfezionandolo 41), e ri-
duce i concetti primitivi necessari per Pappartenenza e Fordinamento
[e quindi per la Geometria proiettiva 42)] ai soli punto e segmento ;
M. Pasch aveva anche quello di regione piana. Introdotto il segmento ab
(dal 'quale sono esclusi gli estremi), i suoi prolungamenti sono il luogo
dei punti x tali che b sia nel segmento a x о che a sia nel segmento
bx ; retta ab e la classe dei punti dei prolungamenti di ogni segmento
che abbia gli estremi sul segmento ab. Se a, b, c sono punti non allineati,
triangolo abc ё la classe dei punti dei segmenti che proiettano da a i
punti di be, e il piano abc e la classe dei punti dei prolungamenti di
ogni segmento che ha gli estremi sul triangolo abc. Spazio e la classe
di tutti i punti; ma si considera poi anche il tetraedro abed43), simil-
mente al triangolo, per mostrare come in esso valga, opportunamente
inteso, il teorema sui triangoli omologici di G. Des argues, il che per-
mette di introdurre, come fa M. Pasch, punti impropri o. ideali che
completando lo spazio lo rendono sufficiente, senza 1’aggiunta di altri
postulati, alia Geometria proiettiva. I postulati di G. Peano pongono
tutte le condizioni per questa armonica costruzione, che agevolmente si
pud estendere all’sn .
M) Questa proposizione ё ricordata col nome di postulato di Pasch •), p. 21.
39) Si ricordi che D. Hilbert ha gi& ammesso che due piani con un punto co-
mune abbiano comune una retta. Inversamente cid sarebbe dimostrabile ammettendo
un postulato analogo a B'4 per lo spazio.
40) Vedi D. Hilbert e), p. 6-7. Pure D. Hilbert riteneva di aver dimostrato
1’indipendenza dei suoi postulati; il che prova la delicatezza di simil genere di affer-
mazioni.
41) G. Peano, I prindpii di Geometria logicamente esposti, Torino 1889.
42) B. Levi14), p. 322, ha osservato poi che la Geometria proiettiva e indipen-
dente dai postulati di ordine.
43) G. Peano, Sui fondamenti della Geometria^ Riv. mat., 4 (1894), p. 73.
14
Piero Benedetti
10. Figure convesse. — Nel sistema di G. Peano hanno una
note vole parte le figure convesse, cioe quelle che, contenendo due punti,
contengono tutto il segmento da essi determinato **). Da una figura
convessa, per proiezioni e sezioni, si hanno sempre figure convesse, ecc.
Il concetto e sostanzialmente quello stesso della figura rettilinea di
G. Veronese 44 45), per il quale la figura rettilinea di un sistema di punti
e individuata dai segmenti che hanno per estremi i punti dati, dai seg-
menti determinati dai punti dei segmenti suddetti, e cosi via. Non e una
definizione molt о soddisfacente, e 1’idea rimane alquanto iridecisa ; ma
la figura rettilinea di un sistema di punti e, in fondo, la figura minima
che li contiene, la quale e detta da M. De Franchis 46) figura convessa
determinata da quel sistema di punti, e costruita come 1’insieme dei punti
comuni a tutte le figure convesse contenenti il dato sistema 47 *).
11. Ordinamento nelle forme di prima specie. — 1. Se O,
A, В sono tre punti non allineati di un piano, e sulle rette О A, OB
si considerano due punti A', B' dalla parte opposta di A, В rispetto
ad O, dal postulato B3 risulta che i raggi di origine О che proiettano
i punti della spezzata ABA’B’A sono tutti e soli i raggi del piano
uscenti da О (i quali costituiscono il fascio di raggi di centro O). Poiche
la spezzata А В А’ В' A e un sistema lineare chiuso di punti (le cui
serie elementari sono i segmenti AB, BA', A'B', B'A, le loro parti e le
spezzate che si ottengono per riunione di alcune consecutive di esse),
per la corrispondenza biunivoca si ha che anche il fascio di raggi e un
sistema lineare chiuso ; si dimostra che 1’ordinamento e indipendente
dalla scelta delle rette О А, О В e dei punti А, В, A', B' su esse.
Poiche risolvendo in punti il fascio di raggi di centro О si ottiene
1’intero piano, si ha che questo e costruibile per mezzo di rette a par-
tire da tre suoi punti non allineati ") ; che e unico ; e dal postulato A2
segue che, se tre punti non allineati appartengono ad un si9 il piano che
essi individuano e tutto in st.
44) Secondo F. Severi, Boll, mat., 25 (1929), p. 81, questo concetto di figura
convessa e di H. Minkowski.
tt) Loc. cit.5), p. 221.
4>) M. De Franchis, Geometria elementare, Palermo 1909, p. 24. Si ispira molto
ai Principii di G. Peano ; definisce il semipiano come ombra di una retta da un punto, ecc.
47) Ё utile osservare come in ogni figura convessa F appartenente ad sn e con
soli punti intemi, nella quale cioe si siano soppressi i punti di frontiera (ossia quelli
che hanno vicini quanto si vuole tanto punti di F che punti di sn non appartenenti
ad F), si possano interpretare tutti i postulati di appartenenza e di ordinamento. Basta
intendere per s0 i punti di F, per Sj i tratti di retta contenuti in F, per s2 Iе sezioni
piane di F, e cosi via. Per es., se F e una sfera senza superficie, gli s2 sono cerchi
senza contomo, gli Sj sono corde senza estremi. Con questa rappresentazione si vede
come, al punto in cui siamo, la figura rettilinea determinata da due rette che si incon-
trano non sia sempre un piano, come per un punto possano passare infinite non-se-
ganti a una retta, ecc.
4e) Di qui si vede una possibile definizione del piano ; per attuare la quale oc-
correrebbe, perd, un adatto sistema di postulati per la retta.
XXI. - Fondamenti di geometria
15
2. Analoga considerazione si pud fare nello spazio ; dati quattro
punti О, O', A, В non complanari, si considerino i piani OO'A, OO'B
e su essi i punti A', B’ da parte opposta di A, В rispetto alia retta 00';
i semipiani di origine 00' che proiettano i punti della spezzata A BA'B'A
sono tutti e soli i semipiani di s3 che hanno per origine 00' ; un fa-
scia di semipiani di s3 e dunque un sistema lineare chiuso. Si vede anche
che Fs3 pud essere costruito, a partire dai punti О, O', Л, B, per mezzo
di rette. E cosi contimiando si ha in generale che Finsieme di tutti i
semi-Si-г di un st aventi come origine comune un st_2 (cioe un fascio
di semi-Si^) ё un sistema lineare chiuso ; dati i + 1 punti non appar-
tenenti a un (ossia indipendenti), questi individuano un siy il quale
pud essere costruito a partire da essi per mezzo di rette ; se gli i + 1
punti appartengono a un sk , tutto F^ che individuano appartiene all’s*.
3. Come si vede, i postulati di distribuzione completano le rela-
zioni fra gli spazi appena adombrate da quelli di appartenenza4e) ;
per es., risulta immediatamente che Finsieme dei punti comuni a due
spazi (qualora ne esistano) e uno spazio, loro intersezione, mentre esiste
un unico spazio di dimensione minima che li contiene (detto spazio
cui appartengono). Se due spazi sh , s* hanno come intersezione uno
spazio Si ed appartengono a un sa , fra le dimensioni esiste la relazione:
i + a = h + k .
12. Angoli e poligoni. — 1. Secondo Euclide * 50), angolo ё la
mutua inclinazione di due rette ; questa definizione riporta un concetto
ad altro ugualmente ignoto, ma fa comprendere come «angolo» о
«inclinazione» sia un concetto astratto legato alia figura costituita di
due rette che si incontrano, da non confondere con la figura stessa пё
con altra da essa determinata. Ma come Fastratto distanza di due punti
si concreta nel segmento che li unisce, cosi Fastratto angolo di due rette
si concreta in una delle parti nelle quali esse dividono il piano, регсЬё
per confrontare due angoli devono confrontarsi le corrispondenti parti
di piano. Per un processo non nuovo in Geometria, ё avvenuta la iden-
tificazione dell’astratto col concreto, сюё di un angolo con una parte
di piano51) ; lieve deformazione del concetto originario, giustificat
dalla maggior chiarezza e sempliciti di linguaggio che per essa si ot-
tiene in una nozione cosi fondamentale. *
*•) Si noti che dai postulati Aj A5 (§ 4) non risulta neppure la impossibility
di intercalate altri spazi fra gli $0 , , ..., sn in modo che nel nuovo sistema i postulati
stessi rimangano ancora verificati; cosi per es. potrebbe essere $0 un punto, una
retta, s2 lo spazio ordinario, $3 = sn lo spazio a 4 dimensioni. Col postulato B8 cid
rimane escluso, регсЬё una retta non divide lo spazio.
50) J. L. Heiberg, Euclidis opera omnia, Leipzig 1883-88, 1, p. 2. V. anche G.
Vacca, Euclide: il primo libro degli Elementi, Firenze 1916; F. Enriques, Gli Ele-
menti di Euclide e la critica antica e modema - Libri I-IV, Roma 1924.
61) La definizione dell’angolo come parte di piano ё in L. Bertrand, D&veloppe-
ment nouveau de la partie eUmentaire des maMmatiques, Ge^ve 1778, 2, p. 6.
16
Piero Benedetti
Per altri, angolo e una rotazione 52) ; definizione che non e migliore
di quella di Euclide se non si introduce convenientemente la « ro-
tazione» come operazione che trasforma un raggio in un altro con la
stessa origine.
D. Hilbert53) considera I’angolo come coppia di due semirette
aventi comune I’origine ; dopo aver osservato che un angolo divide
il piano in due regioni con certi caratteri, definisce come interna all’an-
golo quella che contiene i segmenti che hanno gli estremi sui lati. In
sostanza, dunque, gli angoli di D. Hilbert sono gli ordinari angoli
convessi ; si noti che anche Euclide esclude gli angoli concavi e piatti.
Per F. Enriques-U. Amaldi 54) un angolo e Finterferenza di due se-
mipiani, percid e convesso.
Per G. Veronese 55) un settere angolare e un sistema a una dimen-
sione il cui elemento e il raggio, cioe una parte limitata di un fascio
di raggi, e la grandezza intensiva di tale sistema ё V angolo ; concetto
che si avvicina, dunque, a quello di Euclide 56). Considerazioni ana-
loghe si possono fare per i diedri di s3 о di st 57 *).
2. Una spezzata chiusa ma non intrecciata s determina una sepa-
razione dei punti del piano, non appartenenti ad essa, in due regioni,
interna ed esterna ; ogni spezzata che ha per estremi due punti di re-
gione diversa incontra s, mentre due punti della stessa regione sono
estremi di spezzate che non incontrano s. La regione interna e definita
e la esterna e indefinita (§ 23) ; e sembra che sia questo il solo carat-
tere per il quale si distinguono le due regioni M).
Il teorema, caso particolare di quello detto di Jordan (§ 39), e
enunciate, ma non dimostrato, da D. Hilbert 59) ; in ogni modo e certa
la sua dimostrabilitA col solo sussidio dei postulati dei gruppi A e B,
e se ne ricava un concetto generale di poligono 60 * * 63). Analogamente, de-
52) V, per es. A. Sannia-E. D’Ovidio, loc. cit. 21), p. 24.
63) Loc. cit. ®), p. 13.
M) Elementi di Geometria, Bologna, la ed., 1903, 2a ed., 1905, p. 10.
“) Loc. cit.6), p. 281.
6e) Perd lo stesso G. Veronese negli Elementi di Geometria trattati con la coIla-
borazione di P. Gazzaniga, Padova 1877 (la ed.), p. 39, d& il nome di angolo al settore
angolare (insieme di raggi) e chiama angolo piano la regione da esso occupata.
57) Molte* dimostrazioni elementari non sono rigorose регсЬё, per cid che riguarda
la posizione di tahini elementi, confidano sull’intuizione della figure. Il postulato B3 d&
un criterio preciso per decidere se due punti di un piano sono dalla stessa parte о da
parti opposte rispetto a una retta, ecc. Un punto ё intemo a un angolo convesso se,
rispetto alia retta di ciascun lato, ё dalla parte dell’altro lato, о se ё su un raggio che
esce dal vertice e incontra una corda dell’angolo. Analoghi principi si possono stabi-
lire per le circonferenze, archi -e corde di esse, come: i due archi nei quali una circon-
ferenza ё divisa da una segante sono da parti opposte rispetto ad essa, ecc. F. Pala-
tini, Rass. mat. fis., 5 (1924), p. 12, si occupa di queste «proposizioni geometriche
neglette ».
“) F. Enriques, Principes de la Geometric, Encycl. des sc. math., Ill, 1 (1911),
p. 26.
63) Loc. cit. tt), p. 10. Una dimostrazione dA A. Errera, Mathesis, 36 (1922), p. l'B.
®°) F. Palatini, Boll, mat., 20 (1925), p. 101, d& una costruzione-definizione
della superficie di un poligono per mezzo di corde.
XXI. - Fondamenti dt geometria
17
finendo la superficie poliedrica chiusa e dimostrando che essa deter-
mina una separazione dei punti dello spazio ecc., si ha un concetto
generale di poliedro. Si present a poi il problema di stabilire nettamente
quali siano gli angoli di un poligono e i diedri о gli angoloidi di un po-
liedro 61) ; ma tutte queste difficolta, insospettate prima che le proprieta
di ordinamento fossero sottoposte a severa critica, appariscono spro-
porzionate alia modestia dei risultati e alia chiarezza del concetto in-
tuitivo, onde si evitano generalmente limitando la considerazione ai
poligoni, angoloidi e poliedri convessi.
Se in un sn consideriamo piCi semis n che abbiano un punto interno
comune, la loro interferenza e un poliedro convesso di sn , indefinite о
definite secondo che contiene о no un raggio. Dei semisn che determi-
nano un poliedro P, alcuni possono non essere necessari ; gli altri hanno
in P una parte della loro origine, che e una faccia di P, ed e un poliedro
di un ; ecc.62).
Si pud poi definire, piu in generale, come solido poliedrico un in-
sieme di poliedri convessi (in numero finite) due qualunque dei quali
non abbiano punti comuni, о abbiano comuni solo punti della super-
ficie. In questo modo si ripara all’esclusione dei poliedri concavi (e,
analogamente, dei poligoni concavi).
13. Versi delle figure. — La teoria dei ver si nello spazio sn si
pud costruire coi soli postulati dei gruppi A e В ; senza, percid, 1’ag-
giunta di un nuovo concetto primitivo. Per procedere nel modo piu
uniforme e chiaro, si dovrebbe stabilire il verso di un gruppo di tre
punti (o di un triangolo) nel piano, di quattro punti (o di un tetraedro)
nello spazio, di n + 1 punti [o di un (n + l)-edro\ di sn ; dati sempre
i punti in un determinate prdine. Si potrebbe per questo partire dal
principio seguente, che enunciamo per il caso dello spazio ordinario :
Se A, By C, D sono punti indipendentiy e D' e un punto dalla stessa parte
di D rispetto al piano А В Су i gruppi А В C D e А В C D' sono equi-
versi. Dati due gruppi А В C D e M N P Qy applicando piu volte il
suddetto principio si pud trasformare il gruppo А В C D in M N P Q
о in M N Q P ; se si riuscisse a stabilire che M N P Q e M N Q P non
sono equiversi, cioe che non e possibile trasformarli Гипо nell’altro
col procedimento descritto, ne seguirebbe la divisione di tutte le pos-
sibili quaterne di punti di s3 in due categorie, ciascuna di quaterne
equiverse, ma le quaterne dell’una contraverse a quelle dell’altra.
Ma la dimdstrazione non e agevole, e si raggiunge solo partendo
dalla considerazione dei versi degli angoli nel piano, dei trispigoli nello
spazio, degli nspigoli nelFsn ; о anche, dei diedri пе1Г$3 e nell^n , sup-
posto perd stabilito un verso sulle rispettive costole. G. Veronese 63),
,!l) F. Palatini, loc. cit. 60), p. 102. e Boll, mat., 22 (1926), p. 18; G. Marletta,
Boll, mat., 5 (190G), p. 160.
G2) P. Benedetti, loc. cit.1R0), p. 12.
*') Loc. cit.5), P- 341 e 412.
18
Piero Benedetti
che per primo ha tentato una compleja sistemazione logica di questo
argomento, parte dal concetto che due angoli di uno stesso triangolo
siano equiversi quando i loro sensi determinano, sui lati opposti, sensi
corrispondenti a uno stesso senso del contomo ; cosi vengono fissati
due versi degli angoli nel piano, e per determinare uno di essi basta
dare un angolo con un senso assegnato. Un verso del piano determina
un verso in una Stella ad esso prospettiva, e versi concordi in due stelle
di s3 aventi i centri dalla stessa parte del piano ; cosi e possibile con-
frontare i versi di due trispigoli di s3 , e per fissare un verso basta dare
un particolare trispigolo. Con lo stesso procedimento si sale all’s*n <
Non si pud dire che I’esposizione di G. Veronese, tanto nei Fon-
damenti che negli Elementi64), sia del-tutto soddisfacente ; la teoria
non ammette sommarieta, essendo molto delicata, e d’altra parte il
completarla in tutti i particolari riesce faticoso anche dopo i migliora-
menti apportati da altri. B. Levi 65) I’ha resa piCi elementare e rigorosa ;
per confrontare i versi di due fasci di un piano, li sega con una retta
non passante per i centri e confronta i versi che determinano su essa,
distinguendo il caso che la retta non incontri о incontri il segmento dei
centri ; confronta analogamente i versi di due fasci di piani di s3 , sup-
posto stabilito un verso su ciascun asse. E. Veneroni 66) partendo dal
lavoro di B. Levi si riaccosta a G. Veronese per l’s3 e il suo processo
e estendibile all’sw . Guido Ascoli 67) riprende tutto I’argomento ispi-
randosi, pur senza eccessivo simbolismo, ai concetti della Logica mate-
matica. E perd probabile e da sperar^, data I’iiriportanza della teoria,
che essa non abbia ancora raggiunto il massimo di semplicita di cui e
suscettibile e8).
14. Compatibility dei postulati dei gruppi A e B. — 1. Una
questione fondamentale e quella della possibility logica del sistema
costituito dai concetti primitivi e dai postulati, cioe della loro compati-
bilita. Un sistema di m postulati involgenti n concetti primitivi si pub
paragonare a un sistema di m relazioni algebriche fra n variabili ; come
non sempre esse sono compatibili, perche pud darsi che fra le infinite
relazioni che sono conseguenza algebrica delle date ve ne sia una as-
surda, cosi pub awenire che fra le proposizioni che si possono dedurre
dal dato sistema di postulati ve ne sia una^ssurda, della forma A e non-A,
о due contraddittorie, della forma A e В e A e non-B (essendo A e В
enti di cui risulta 1’esistenza). L’accertamento della compatibility dei
postulati e dunque essenziale 69). Se concetti primitivi e postulati sono
desunti dall’esperienza, si ha una assicurazione intuitiva della loro pos-
sibility, che perd non appaga il matematico ; a questo occorre una cer-
64) Loc. cit. 56), p. 187.
Period, mat., (3) 1 (1904), p. 207.
6e) Period, mat., (3) 8 (1910), p. 15.
67) Period, mat., (3) 10 (1913), p. 193.
“) L’argomento e trattato anche da F. Schur, loc. cit.9), p. 79.
69) C. Burali-Forti, loc. cit.14), p. 337.
XXL - Fondamenti di geometria
1»
tezza logica, che pud raggiungere dando ai concetti primitivi una in-
terpretazione in un campo del quale sia riconosciuta I’esistenza, e ve-
rificando in esso la validita di tutti i postulati.
2. Il numero intero si pud definite nominalmente per mezzo di
soli concetti logici7°) ; ammesso il numero intero, si costruisce la classe
dei numeri reali, ecc. Percid e da ritenersi che I’Aritmetica* abbia lo
stesso grado di certezza della Logica 70 71). Ora consideriamo uno spazio>
convenzionale nel quale punti siano tutti i possibili gruppi di valori
reali di n variabili xr , x2, x3 v.., xn (coordinate), e spazi st (i = 1, 2,
n — 1) siano gli insiemi dei punti le ctii coordinate sono
(a) xr = ar 4” br 0 cr tp -|- hr q
[r = 1, 2, ..., n\ ,
con ar, br , cr, ..., hr costanti e 0, 92, ..., q parametri in numero di
che assumono ogni valore reale. Per i coefficienti ponianio la condizione
che la matrice
||6г,сг,...,Лг||
sia di caratteristica i. Le coordinate dei punti di una retta sono cosi
xr = aT + bT в [r = 1, 2, ..., n\
coi coefficienti bT non tutti nulli ; consideriamo come ordinamento dei
punti della retta quello che corrisponde all’ordinamento naturale dei valori
di 0. Si potri verificare che nello spazio cosi costruito valgono i postulati
Aj — A6 e Bi — B3 , dei quali rimane percid provata la compatibility.
Se aT , br , cr, ..., hr [r = 1, 2, ..., n\ sono le coordinate di i + 1
punti indipendenti dello spazio convenzionale, 1’^ che essi individuano
e dato dalle equazioni (a); ai valori nulli di q corrispondono i punti
di un contenuto in s{, che e un iperpiano arbitrario di s{; ai va-
lori q > 0 e q < 0 corrispondono i punti delle due regioni determinate
dall ’Si-i nell’^ secondo il postulate B3. Si ha cioe che le (a) con q > 0
о q < 0 sono le equazioni di un semi-Si.
C) Postulati di congruenza.
15. L’uguaglianza secondo D. Hilbert. — 1. Si dice congruenza
l’uguaglianza geometrica72). D. Hilbert73) ne stabilisce la nozione
assumendo come primitivi i concetti «segmenti uguali» e «angoli
uguali» (intendendo sempre angolo convesso), coi seguenti postulati :
70) B. Russell, The principles of mathematics, Cambridge 1903.
71) D. Hilbert, Verh. des III intern. Math.-Kongr. Heidelberg 1904:, Leipzig
1905, p. 174. V. anche F. Enriques, loc. cit. “), p. 11.
72) I piu intendono per congruenza soltanto l’uguaglianza diretta, ciofc la sovrap-
ponibilitfc.
73) Loc. cit. ®), p. 11.
20
Piero Benedetti
C\ . Su un raggio esiste un segmento, e uno solo, con un estr emo
nell'origine e uguale a un segmento dato. Un segmento e uguale a se stesso,
indipend entemente dal? or dine degli estremi.
C2 . [Proprietd transitiza dei segmenti].
C3 . Se А, В, C e A', В', C' sono punti cosi ordinati di due rette,
da AB — A’B’ e BC = B'C' segue AC = A’C’.
C4 . Su un semipiano esiste un angolo, e uno solo, avente per lato
un raggio dato deli origine e uguale a un angolo dato. Un angolo e uguale
a se stesso, indipendentemente daltordine dei lati.
C5 . [Proprietd transitiva degli angoli].
C6. Due triangoli, che hanno due lati e Vangolo compreso uguali,
hanno rispettivamente uguali anche gli altri due angoli.
Da C6 seguono 1’uguaglianza degli angoli alia base di un triangolo
isoscele, tutti i casi di uguaglianza dei triangoli e le note relazioni fra gli
elementi di uno e di due triangoli. Due figure vengono dette congruenti
quando esiste una corrispondenza biunivoca fra i loro punti, nella quale
i segmenti e gli angoli determinati da punti omologhi sono uguali74) ;
definizione simmetrica ma sovrabbondante, essendo sufficiente 1’ugua-
glianza fra segmenti omologhi.
I postulati di Hilbert sono soltanto lineari e planari, ma bastano
a sviluppare il concetto deH’uguaglianza nello spazio sn ; uguaglianza
intesa in senso largo, cioe comprendente la diretta e I’inversa.
2. Si noti che i primi tre postulati riguardano il concetto «seg-
menti uguali», i due successivi « angoli uguali», e il sesto pone in re-
lazione i due concetti ; esso e necessario, cioe indipendente dai prece-
dent! 75). Per vederlo, consideriamo lo spazio euclideo ordinario, un
punto О e una superficie convessa 27 simmetrica rispetto ad О (per
es. un ellissoide di centro O) ; assumiamo come criterio di uguaglianza
per gli angoli quello ordinario, cioe la sovrapponibilita, e confrontiamo
due segmenti А В e C D nel modo seguente : condotti О M e О N
uguali in senso ordinario e parallel! ad А В e C D. e dette M', N' le
intersezioni dei raggi О M e О N con 27, diciamo convenzionalmente
AB^CD quando О M, ON sono proporzionali a OM’, ON’.
Vengono cosi soddisfatti i postulati Cx — C5 ma non il C6. Se, infatti,
valesse anche il C6 , un triangolo О M N, con О M e О N uguali nel
senso convenuto ma non in senso ordinario, avrebbero gli angoli О M N
e О N M uguali. cioe sovrapponibili, il che non ё 76).
16. L’uguaglianza secondo G. Veronese. — Nel sistema di G.
Veronese77), che qui esponiamo nelle linee generali, perche il seguirlo
74) Loc. cit. b), p. 27. Perd per figura e qui inteso un gruppo finito di punti.
75) D. Hilbert, loc. cit. 6), p. 85, studia una Geometria piana nella quale non
vale il postulato CG о vale con limitazioni; nella quale percid gli angoli alia base di un
triangolo isoscele non sono uguali. Mostra anche, sotto certe condizioni, il legame fra
la proposizione C6 e il teorema di Desargues sui triangoli omologici.
76) Si trovera in seguito (§24) una conferma dell’indipendenza di Ce dai precedent!.
77) Loc. cit. 5), p. 51, 213, ecc. ; loc. cit.56), p. 11 e segg. Ma specialmente
XXI. - Fondamenti di geometria
21
nei particolari ci porterebbe fuori del nostro schema, il solo concetto
primitivo e «segmenti uguali » ; conservando i postulati C, , C2 , C3
di D. Hilbert, sostituiamo agli altri i due seguenti :
C4'. Se A, B,C e A', B', C sono due terne dipunti con AB -A' B'9
A C = A’ Cf, В C = Bf Cf, e D, D' appartengono ai raggi А В, A' B'
ed e A D = A’ D'y si ha anche C D =- C' D’y e, se C coincide con D, an-
che C' coincide con D'.
C5'. Dati tre punti А, В, C non allineati, un semipiano di ori-
gine a, e su questa due punti A’, B' tali che A В = A’ B', esiste sul se-
mipiano un punto C' tale che AC=A’C e В С = В’ C'.
Che questo punto e unico si pud dimostrare. Due figure si dicono
uguali quando esiste una corrispondenza biunivoca fra i loro punti
nella quale i segmenti che hanno per estremi punti omologhi sono
uguali78). Il confronto di due angoli si riduce al confronto di due loro
corde, i cui estremi distano uguahnente dai rispettivi vertici.
I sistemi di D. Hilbert e di G. Veronese sono equivalent!, perche
ambedue sufficient! per sviluppare il concetto dell’uguaglianza (in
senso largo) nell’sn .
17. L’uguaglianza in Euclide. — Come si vede, non e neces-
sario far ricorso al mozimento per stabilire i principi della congruenza.
Pure H. von Helmholtz dichiara che « non si pud parlare di congruenza
se non si possono muovere dei corpi rigidi о sistemi di punti, senza
deformazione, 1’uno verso 1’altro» ; per I. Newton la Geometria non
e che «una parte della Meccanica ». Per contro, G. Veronese afferma
che la definizione dell’uguaglianza per mezzo del movimento «non
pud essere accettata senza che si venga meno al rigore»79). Queste
affermazioni appariscono oggi tutte eccessive.
Si ritiene, о almeno si dice comunemente, che la definizione del-
l’uguaglianza col movimento sia in Euclide. La verita e che Euclide,
il quale pure tenta di definire il punto, la retta e il piano, non sente nes-
sun bisogno di definire Г « uguaglianza», che e in hii un concetto pri-
mitivo neppur dichiarato per tale, come, del resto, quello di « gran-
dezza»; e fin dalle prime proposizioni fa uso di quest! termini senza
dare su essi alcuna delucidazione.
Ё poi da notare che un concetto generale di « uguaglianza delle
figure», come e inteso oggi, in Euclide non esiste, perche le «figure»,
euclidiane sono linee, superficie, solidi, insommagrandezze, e non si parla
mai d’altro che di uguaglianza di grandezze 80). Ё naturale che avendo
v. I’esposizione che dei principi di G. Veronese ha fatto I< Palatini, G. mat., 42
(1904), p. 162.
7B) Veramente, G. Veronese (loc. cit. p. 23) pone questa definizione di ugua-
glianza per due figure rettilinee (§ 10), stabilendo che ai segmenti dell’una corrispondano
segmenti uguali dell’altra, e dice poi uguali due figure non rettilinee quando si corri-
spondono in figure rettilinee uguali. Tale complicazione si pub evitarc perche dal С/
segue che, in figure uguali, a punt? allineati corrispondono punti allineati.
T9) Veggasi G. Veronese, loc. cit. *’). p. XXXV.
80) Cid e tanto vero che quando Eiclidf vuole indicate l’uguaglianza di due
22
Piero Benedbtti
ammessa I’idea di grandezza vi abbia incluso quella di uguaglianza,
perchc non si pud avere la prima senza la seconda. Solo dopo parecchie
proposizioni nellequali abbondano i termini «grandezza» e «uguale»
si trova un assioma tt) affermante che le cose che si possono far coincidere
sono uguali; la sovrapponibiliti ё posta dunque come condizione suf-
ficiente per l’uguaglianza, non necessaria. Di questo assioma non si
poteva evidentemente fare a merio, dovendo il movimento servire (perd
il meno possibile) come mezzo di dimostrazione. Ma si potrebbe esclu-
dere il movimento dalla Geometria di Euclide assumendo come postu-
lati le poche proposizioni dimostrate col sussidio diz quello81 82).
I geometri posteriori fraintendono Euclide e d’altra parte notano
I’indeterminatezza dell’idea del movimento, al quale aggiungono per-
cid 1’attributo «senza deformazione» ; cadendo cosi, oltre tutto, in
un circolo vizioso. Questo almeno non si pud in alcun modo attribuire
al grande geometra greco83 *).
18. I postulati del movimento di G. Peano, — 1. Il movi-
mento si pud considerare in atto, come un sistema continuo di posi-
zioni di una stessa figura dipendenti da un parametro (tempo), e il
suo studio appartiene alia Cinematica. Ma poSsiamo limitarci ad esa-
minare i rapporti fra due posizioni di una figura, senza occuparci delle
posizioni intermedie, e questo si pud considerare Come studio geo-
metrico M).
Assumendo come primitivo il concetto di «movimento», e defi-
nendo poi come «figure uguali» quelle trasformabili con un movi-
mento, G. Peano 85) svolge tutta la teoria della congruenza con alcuni
postulati che sostanzialmente (estesi а1Г$я) sono i seguenti:
Cj" . I movimenti sono trasformazioni puntuali dello spazio in
se stesso, che formano un gruppo,
C2" . L'inverso di un movimento ё un movimento.
C3" . Un movimento trasforma rette in rette ordinatamente, doe
conservando For dine dei punti.
C4" . Dato un punto A, una retta r uscente da A e di essa un
raggio rr , un piano a uscente da r e di esso un semipiano , uno spazio
/3 uscente da a e di esso un semispazio , e.cosi via fino a un sn_r , a, e
di esso un semi-s,^ , , e dati analogamente A', r^, ..., af ,
poligoni о poliedri nel senso modemo, usa 1’espressione sindli ed uguali (ciofc, di ugual
forma e ugual grandezza).
81) Nella traduzione di J. L. Heiberg, loc. cit. 80), 1, p. 10, gli assiomi sono detti
< communes animi conceptiones ».
8Z) Lo stesso Euclide ha dato un esempio di cid, assumendo come postulate
ia proposizione «tutti gli angoli retti sono uguali», che avrebbe potuto dimostrare
per sovrapposizione.
Con cid non vogliamo apporre il sigillo della perfetta logicitfc al sistema ipo-
tetico degli Elementi, che, secondo 1’espressione di F. Enriques, loc. cit. 8), 2a ed.f 1912,
1, p. 23, sarebbe « dal punto di vista modemo, al di sotto di ogni critica ».
M) G. Peano, loc. cit.4S), p. 75.
“) Lpc. cit. **), p. 78 e segg.
XXI. - Fondamenti di geometria
23
esiste un movimento che trasforma A in A\ rx in in in ...,
(Ti in of .
C5" . I movimenti che trasformano un raggio in se stesso tengono
fermo ogni punto del raggio; quelli che trasformano un semipiano in se
stesso tenendo fermi i punti deWorigine tengono fermo ogni altro punto
del semipiano.
Da Ci" e C2" segue che fra i movimenti e anche Fidentita ; C3"
esprime che i movimenti sono particolari affinita, cioe corrispondenze
che trasformano punti all’infinito in altri punti all’infinito 86). Da C5"
(il quale, si noti, e soltanto lineare e planare) si deduce che ogni mo-
vimento che lascia fermi k + 1 punti indipendenti di sn lascia fermi
anche tutti i punti dell’s*, da essi determinato. Dallo stesso C5" segue
che un segmento e un angolo non sono trasformabili in loro parti, con
le quali abbiano un estremo о un lato comune, che debba corrispon-
dere a se stesso.
2. G. Peano con Faiuto dei postulati di appartenenza e di ordina-
mento di cui gia parlammo (§ 9) e del postulato della continuity (§ 35)
studia le simmetrie, le traslazioni e le rotazioni, ed arriva a dimostrare
Finvertibilita del segmento e dell’angolo 87). Ё da osservare che Finver-
tibilita del segmento e stabilita con considerazioni planari ; ma si po-
trebbe stabilire anche considerando la retta in se stessa, ossia limitando i
postulati Cj" — C5" al solo , sempre con Faggiunta del postulato
della continuity. Infatti da questo segue il postulato di Archimede
(§ 31), e L. Gerard88) ha osservato come, ammettendo che un seg-
mento non sia invertibile, si possa ottenere in esso una successione
indefinita di punti Ar , A2, A3 , ... tali che AL A2 sia trasportabile in
A2 A3 , questo in Л3Л4 , ecc. Cid e assurdo, appunto per il postulato
di Archimede. Da questo, percid, si pud far dipendere Finvertibilita
del segmento, posti convenientemente gli altri postulati.
19. Uguaglianza in senso largo e in senso stretto. — Fissati
i movimenti di sn , consideriamo quelli che trasformano un sk (k < ri)
in se stesso, e chiamiamo «movimenti disk» le trasformazioni che
essi determinano in sk. Vediamo che anche per questi movimenti di
sk si verificaho tutti i postulati Ci"—C5", e fissati k punti indipen-
denti di sk esistono due movimenti e due soli (fra i quali Fidentita)
che li lasciano fermi.
Se invece consideriamo n punti indipendenti di sn , non si pud
affermare che esistano sempre due movimenti di sn che li lascino fermi;
possono essere cosi due come uno solo (Fidentita). Sono cioe permesse
due ipotesi, ugualmente compatibili coi postulati Ci" — C5" :
a) Esistono due movimenti che tengono fissi n punti indipen-
denti di sn .
8e) V. anche F. Enriques, Conferenze ecc., cit.13).
87) Loc. cit.43), p. 88 e 90.
M) Period, mat., (1) 11 (1896), p. 23.
21
Piero Benedetti
P) Esiste uno solo di tali movimenti (Fidentita).
Adottando Fipotesi P rimane escluso che F$ n si possa considerate
come immerso in un sm (con m > n) nel quale siano realizzabili i postu-
lati — C5" ; si ha cioe che Vipotesi /3 limita ad n le dimensioni dello
spazio. Con Fipotesi p si ha in solo Fuguaglianza diretta, e con la
a Fuguaglianza in senso largo (diretta e inversa).
Notiamo infine che i postulati C^' — C5" con Fipotesi a costi-
tuiscono un sistema equivalente a quelli di D. Hilbert e G. Vero-
nese.
20. Postulati del movimento di M. De Franchis. — 1. An-
ziche come trasformazioni dello spazio in se stesso, si possono intro-
duce i movimenti come trasformazioni di figure in figure; questa
concezione si awicina maggiormente alFidea intuitiva del movimento,
quale e accetto dalla maggior parte dei geometri, per es. da A. Fai-
fofer89), ma logicamente non e piu semplice delFaltra.
2. M. De Franchis 90) introduce i movimenti con una defini-
zione implicita accompagnata da un postulato di esistenza, come « ope-
razioni fatte su punti di una qualunque figura» e soddisfacenti a certe
condizioni, che tendono, in sostanza, a stabilire i fatti seguenti :
1) I movimenti sono operazioni biunivoche costituenti gruppi,
nei quali insieme ad ogni operazione e contenuta Finversa, e percid
anche Fidentita.
2) Un movimento trasforma un segmento in un segmento, e
non pud trasformare un segmento о un angolo in una loro parte.
3) Un segmento si pud trasportare su un dato raggio, e un
triangolo, che ha un lato sulForigine di un semipiano, si pud traspor-
tare sul semipiano stesso.
4) Non esiste un movimento diverso dalFidentita, che lasci
fermi tre punti non allineati.
L’uguaglianza e, dunque, in senso stretto.
3. Quando un movimento riguarda tutto lo spazio, ha significato
dire che due figure sono trasformate dallo stesso movimento ; se, in-
vece, un movimento riguarda una figura determinata, esso non e mai
identico a quello che riguarda un’altra figura, e due tali movimenti
non si possono porre in relazione senza un opportuno postulato che
permetta di estendere il movimento di una figura ad un’altra piu ampia
о a tutto lo spazio (postulato d*ampliamento). In M. De Franchis manca
tale postulato, о per lo meno non e sufficientemente chiarito come
movimenti che si riferiscono a figure diverse possano considerarsi come
uno stesso movimento ; e questo apparisce come una lacuna, che d’al-
tronde e possibile colmare 91).
K9) Loc. cit. 27). Ma il sistema ipotetico di A. Faifofer ё, per verity, molto di-
scutibile.
90) Loc. cit. 46), p. 59.
81) Leggiamo, p. es., 1’enunciato (p. 60): Un movimento fatto su un segmento
XXL - Fondamenti di geometria
25
21. L’uguaglianza secondo M. Pasch. — Si deve perd ricono-
scere che, spogliata 1’idea del movimento della sua essenza intuitiva,
essa diviene superflua, identificandosi logicamente con quella di «fi-
gure congruenti», che si pud assumere direttamente come primitiva w).
Cosi fa M. Pasch il quale considera la congruenza come una rela-
zione primitiva fra gruppi finiti di punti, stabilendo alcuni postulati
riguardanti coppie, terne e quateme di punti, con un postulato di am-
pliamento che pud enunciarsi cosi : Se a e a' sono gruppi congruenti,
ed M e un punto qualunque, esiste un punto M' tale che i gruppi (a, M)
e (a!, M') siano ancora congruenti.
Il concetto generale di uguaglianza si ha poi con la definizione :
Due figure sono congruenti quando esiste una corrispondenza biuni-
voca fra i loro punti, tale che due gruppi finiti qualunque di punti omo-
loghi siano congruenti.
L’uguaglianza di M. Pasch e in senso stretto, perche un postulato
stabilisce che, se i gruppi А В C D e А В С E sono congruenti, neces-
sariamente D coincide con E.
22. Discriminazione fra uguaglianza diretta e uguaglianza
inversa. — 1. Supponiamo che si sia adottato un sistema di postulati
per la congruenza, per i quali questa sia in senso largo (cioe, limitandoci
allo spazio ordinario, due figure simmetriche rispetto a un piano siano
uguali) ; si presenta il problema di distinguere l’uguaglianza diretta
dall’inversa. Cid pud ottenersi definendo, come trasformazioni speciali,
traslazioni, rotazioni intorno a un asse, simmetrie rispetto a un piano,
e, mostrato che da una figura si pud ottenere ogni sua uguale col pro-
dotto di alcune di esse 92 93 94), dicendo l’uguaglianza diretta о inversa se-
condo che, nel prodotto, figura un numero pari о dispari di simmetrie.
Oppure si pud osservare che, se in figure uguali due trispigoli omologhi
sono equiversi, cio avviene per due altri trispigoli omologhi qualunque,
e dire le figure direttamente uguali in questo caso, inversamente nel
caso contrario 95).
2. Se la congruenza e stabilita in senso stretto, e percid figure so-
lide simmetriche rispetto a un piano non sono uguali, si possono intro-
duce come inversamente uguali due figure, una delle quali sia uguale
alia simmetrica dell’altra rispetto a un piano, e allargare Cosi il con-
cetto dell’uguaglianza 96).
A В lo trasforma in un altro segmento C D e trasforma i prolungamenti di quello rispetti-
vamente nei prolungamenti di questo. Ma un movimento fatto sul segmento AB, e che
quindi ё un’operazione sui punti di A B, come opera sui punti dei prolungamenti?
Occorre dunque dire che il movimento di A В si pud estendere a tutta la retta.
92) Lo stesso G. Peano, loc. cit 43), p. 76, avverte che « invece di parlare del
moto si pud parlare di figure uguali ».
93) Loc. cit. 35), p. 103.
M) B. Levi, loc. cit. 65), p. 212.
G. Veronese, loc. cit. 5), p. 353 ; A. Borriero, Period, mat., (3) 2 (1905),p. 274.
96) Questo punto di vista e completamente sviluppato in C. Rosati-P. Bene-
detti, Geometria, 2, la ed., Napoli 1925; 3a ed., Roma 1930, p. 102.
26
PXERO BENEDETTI
23. Figure indefinite. -4 La classificazione delle figure in indefi-
nite e non si pud ottenere coi sbli postulati dei gruppi A e B, conside-
rando come indefinite quelle che non possono essere contenute in un
poliedro ; piu facilmente la distinzione avviene dopo i postulati di con-
gruenza. Figure indefinite si possono dire quelle nelle quali, qualunque
sia un segmento dato, esistono d|ue punti la cui distanza ё maggiore di
esso ; come applicazione dellfc propriety elementari dei triangoli si
ha allora che una figura non indefinita pud sempre essere racchiusa in
una sfera di centro arbitrario, che una figura composta di un numero
finito di figure non indefinite non e indefinita, ecc.
24. Compatibilita dei postulati dei gruppi А, В, C. — 1.
Abbiamo esposto vari sistemi di postulati per la congruenza, tutti equi-
valenti fra loro ; e percid sufficiente stabilire la compatibilita di uno di
essi coi postulati dei gruppi A e B, che gia abbiamo dimostrato essere
compatibili fra loro (§ 14).
Se, nello spazio convenzionale costruito al § 14, definiamo come
distanza di due punti xT, x2, ..., xn e yr , y2, ..., yn il valore assoluto di
V («I—У1)2 + (*2—J2)2 + - + (хп—уп)2
e diciamo uguali due segmenti А В, A' B' quando la distanza fra A e
В *ё uguale alia distanza fra A' e B', si verificano senza difficolta tutti
i postulati C\ , C2, C3 , C4', C5' .
Possiamo anche considerare come movimenti le corrispondenze
fra punti rappresentate dalle formole di cambiamento degli assi della
Geometria analitica ; si verificano cosi, nello stesso spazio convenzio-
nale, i postulati Ci" — C5".
2. D. Hilbert w) dimostra la compatibility dei suoi postulati (per
lo spazio ordinario) definendo opportunamente distanze e rotazioni;
mantenendo poi la stessa interpretazione per le rotazioni e variando il
concetto di distanza, e precisamente definendo come distanza fra x±,
*2, *з e Ji, , y3 il valore di
V (*i — У1 + хг — у г)2 + («2 — А'г)2 + («3 — 7з)2 ,
dimostra che sono yerificati i postulati Cx — C5 ma non il Ce , che
percid risulta indipendente dagli altri ").
25. Interpretazione notevole dei postulati dei gruppi А, В, C.
— Ma ё interessante vedere come tutti i postulati dei gruppi А, В, C
siano verificabili (con opportune convenzioni) in una regione non in- * ••)
97) Analogs definizione propone R. Bettazzi, Boll, mat., 1 (1902), p. 85, il quale
usa infinite per indefinite; ma ё bene riservare la prima denominazione alle grandezze.
M) Loc. cit. •), p. 34.
••) Loc. cit. ®), p. 45.
XXI. - Fondamenti di geometria
27
definita dello spazio ordinario. Limitandoci per semplicita al piano,
consideriamo in esso una conica c, la quale viene trasformata in se
stessa da infinite proiettivita ; queste trasformano in se stesso Finterno
di c, e percid trasformano una corda di c in un’altra. Se diciamo punti
i punti ordinari interni a c, rette le porzioni delle rette ordinarie del
piano che sono interne a c, conservando in esse I’ordinamento natu-
rale, e consideriamo come movimenti le proiettivita suddette, limitate
all’intemo di r, si pud vedere come in tale piano convenzionale, che e
Finterno di f, rimangano verificati tutti i postulati dei gruppi А, В, C100).
Ё questo un caso particolare * della cosi detta metrica proiettiva di
A. Cayley101). Se Л, В, Л', B' sono punti interni a c, i segmenti AB
e A' В' sono uguali quando esiste una delle proiettivita considerate che
trasforma A В in A' Bf, e cioe quando, detti P, Q i punti nei quali la
retta A В incontra с, e P', Q' i punti analoghi per A' B', i rapporti
anarmonici {P Q AB) e (P' Qf A' B') sono uguali. Cid equivale a de-
finire come distanza fra A e В il valor e di tai rapport о anarmonico, о
meglio, per conservare la proprieta additiva, il valore di
log (PQA B)102).
Una analoga Geometria si pud costruire nello spazio s3 assumendo
una quadrica fondamentale q [per es. una superficie sferica103)] Fin-
temo della quale si considerera come spazio, ecc. Come concetto di
distanza si potra conservare ancora il precedente, о si considereranno
come movimenti le trasformazioni dell’interno di q che si ottengono con
le proiettivita dello spazio ordinario che trasformano q in se stessa.
D) Postulato delle parallele.
26. Compatibilita di due ipotesi coi postulati dei gruppi
А, В, C. — 1. Se, nello spazio convenzionale gia considerato ai §§ 14
e 24, г e una retta di equazioni
= ai + bi 0 [/ = 1, 2, ..., n\
e С e un punto fuori di essa, di coordinate q , c2 , cn , si trova
che nel piano a determinato da г e С/ avente per equazioni
Xi = at + bi 6 + ct(p ,
esiste una e una sola retta passante per C e senza punti comuni con r.
10°) F. Klein, Math. Ann., 6 (1873), p. 140; Ges. math. Abh.t 1, Berlin 1921,
p. 338-339; F. Enriques, Confer enze, ecc., cit.13), p. 16.
101) Phil Trans., 149 (1859), p. 82; The coll. math, papers, 2, Cambridge 1889,
p. 583.
102) Per una esposizione diffusa ed elementare v. M. Sittignani, Period, mat.,
(3) 5 (1908), p. 121.
103) D. Hilbert, loc. cit. •), p. 38.
28
Piero Benedetti
Consideriamo, invece, lo spazio .costruito al §.prec., costituito
dai punti interni a una quadrica q ; A e В essendo due punti di q, il
segmento A В (esclusi gli estremi) rappresenta una retta r ; se С e un
punto fuori di r, il piano г С e costituito dai punti interni alia conica у
intersezione del piano ordinario ABC con q. Tutte le rette che giac-
ciono sul piano r C, passano per C e sono comprese negli angoli adia-
centi ad A С B, non hanno punti comuni con r.
Cid prova che coi postulati dei gruppi А, В, C sono conciliabili
due sistemi geometrici, in uno dei quali su ogni piano esiste una sola
retta passante per un punto dato e non secante rispetto a una retta data,
mentre nell’altro ne esistono infinite.
2. Piu precisamente, considerata una retta r e un punto P fuori
di essa, delle tre ipotesi : Per il punto P e nel piano P r
1) esiste una sola retta non segante rispetto ad r ;
2) esistono due rette non seganti rispetto ad r ;
3) non esiste alcuna retta non segante rispetto ad r,
le prime due sono compatibili coi postulati dei gruppi А, В, C. Una
analisi piu approfondita dimostra poi che, se si verifica una di esse per
una retta r e un punto P, si verifica la stessa per ogni retta e ogni punto.
Il postulato delle par allele (D) ha lo scopo di fissare una di queste
ipotesi, che nella Geometria euclidea e quella della non segante unica.
Si dovra cioe stabilire, in una forma о nell’altra 104), la proprieta ;
D. Esistono una retta e un punto tali che, fra le rette che passano
per il punto e giacciono nel piano che esso determina con la retta, те ne
sia una sola che non abbia punti comuni con quella105).
Da quanto gia si e detto risulta la compatibility del postulato D
coi precedent!, e la sua indipendenza.
Non insisteremo oltre sulle question! connesse al postulato delle
parallele, per le quali pud vedersi Fart. XXXVIII di questa Enciclo-
pedia 104).
E) Postulati di continuitd.
27. Sistemi lineari continui. — 1. Due gruppi di elementi,
Gj e G2, di un sistema lineare aperto a si dicono separati se nessun
elemento di G2 e compreso fra due elementi di G2; un elemento di
a separa i due grjippi, ossia e un loro elemento di separazione, quando
divide a in due tratti in uno dei quali stanno gli elementi di Gj , nel-
1’altro quelli di G2.
104) Per le varie forme che si possono dare al postulato euclideo delle parallele,
v. Fart. XXXVIII di questa Encicl. (G. Fano, Geometric non euclidee e non archimedee),
§§ 1-7, 16.
105) Con questo postulato si ottiene la Geometria parabolica di Euclide ; ammet-
tendo la 2a ipotesi si avrebbe la Geometria iperbolica di N. I. Lobacevski ; con la
3a ipotesi (per ammettere la quale, perd, occorrerebbe modificare i postulati dei gruppi
А, В, C) si avrebbe la Geometria ellittica di B. Riemann.
XXL - Fondamexti di GEOMETRIA 29
Il sistema a si dice continue secondo il concetto di R. Dedekind 10b),
se due gruppi separati qualunque posseggono in esso un elemento di
separazione. Quando il sistema e chiuso, devono essere continui i due
tratti nei quali e diviso da due suoi elementi. Affinche un sistema sia
continuo e sufficiente che lo siano i suoi tratti limitati.
2. Ponendo la restrizione che i gruppi che si considerano debbano
esaurire a, non si ha un concetto di continuity diverso da quello ora
posto. Infatti, dati Gr e G2 che non esauriscano a, fissiamo in a il senso
nel quale Gr precede G2 , e consideriamc il gruppo Г1 formato dagli
elementi di GT e da ogni elemento di a che precede un elemento di Gr,
e il gruppo Г2 di tutti gli altri elementi di a ; se I\ e Г2 , che esauri-
scono a, ammettorio un elemento di separazione, questo e elemento di
separazione anche di Gx e G2 . Dunque ammettere 1’esistenza di tale
elemento nel caso ristretto equivale ad ammetterla nel caso generale.
3. Se Г e un insieme qualunque di elementi di un sistema lineare con-
tinuo a limitato, esiste un trattoMN di a che contiene/^, senza che que-
sto sia contenuto in alcun tratto M'N' interno tfd Л/Л'106 107). Si pud dire
MN il tratto minimo di о contenente Г. Inversamente, dall’esistenza di
tale tratto minimo per ogni insieme Г si deduce che о e continuo108).
Cosi, per es., i numeri reali costituiscono un sistema lineare con-
tinuo ; ogni gruppo Г di numeri compresi fra due numeri a e fl e con-
tenuto in un tratto minimo a' fl', i cui estremi sono rispettivamente il
limite inferiore e il limite superiors di Г.
28. Postulate della continuita di R. Dedekind. — I postulati
di continuita hanno il fine di porre le condizioni affinche la retta sia
un sistema lineare continuo. Essi possono quindi ridursi a questa unica
proposizione (postulate di Dedekind) :
E. Due gruppi separati qualunque di punti di una retta ammettono
un elemento di separazione.
Una forma equivalente e : Se i punti di un segmento si dividono
in due gruppi separati, о in quello che precede (in un senso fissato)
esiste un ultimo punto, о nell’altro esiste un primo punto 109).
Poiche una spezzata chiusa e un sistema lineare continuo, tali sono
anche un fascio di raggi (§ 16) e una circonferenza 110).
106) Stetigbeit und irrationale Zahlen, Braunschweig 1872, p. 11 ; Ges. math.
Werke, 3, Braunschweig 1932, p. 322.
10T) M e 1’elemento di separazione fra il gruppo Gr formato dagli elementi di cr
che precedono Г e il gruppo G2 formato degli altri elementi di a; ed N e 1’elemento
di separazione fra il gruppo G.»' degli elementi di cr che seguono Г e il gruppo G/
degli altri elementi di o.
108) Perche se Gr , G2 sono gruppi separati, essi sono contenuti in tratti minimi
А В e C D anch’essi separati; allora, о В e C coincidono nell’unico elemento di separa-
zione fra Gj e G2, о tutti gli elementi del tratto BC sono elementi di separazione
fra Gt e G2.
109) F. Giudice, Period, mat., (3) 6 (1909), p. 265, osserva come dal postulate
di Dedekind segua che una retta non e divisibile in due parti identiche.
110) Ё manifesto che, se due sistemi lineari si possono porre in corrispondenza
biunivoca ordinata, essendo continuo 1’uno lo e anche 1’altro.
30
Piero Benedetti
29. Compatibility del postulato E coi precedent!, e sua
indipendenza da essi. — 1. Che il postulato E sia compatibile coi pre-
cedenti dei gruppi А, В, C, D ё evidente, регсЬё nello spazio conven-
zionale costruito al § 14 e considerate poi ai §§ 24 e 26 una retta, es-
sendo i suoi punti in corrispondenza biunivoca e ordinata coi valori
reali di un parametro, ё un sistema continuo. Ma рокЬё la stessa pro-
priety ha anche la retta del sistema geometrico costruito al § 25, si ha
che il postulato E ё compatibile anche con la ipotesi contraria alia D,
сюё con la Geometria iperbolica di N. I. Lobacevski. Ed ё anche com-
patibile coi postulati .della Geometria ellittica di B. Riemann.
2. Possiamo poi vedere che il postulato E ё indipendente dai pre-
cedent!.
Se, infatti, consideriamo, fra i numeri reali, solo quelli che si ot-
tengono dall’uniti con un numero finite di operazioni razionali e di
estrazioni di radice quadrata, si ha un insieme di numeri algebrici che
ё, per questQ, numerabile ; ordinandolo secondo la grandezza se ne
ricava un sistema lineare di numeri, co, che non ё continuo. Costruiamo
lo spazio del § 14 dando alle variabili xr , x2 , ..., xn e ai parametri
0, 99, ... solo i valori del campo co ; in questo spazio valgono ancora i
postulati А, В, C, D, ma non vale il postulato E.
30. Continuita secondo K. Weierstrass. — 1. Un elemento H
di un sistema lineare ст ё un elemento limite (o elemento di accumulazione)
per un gruppo у contenuto in a quando in qualunque tratto M N di
cr contenente H sono contenuti elementi di у diversi da H. Dal postu-
lato E segue allora che ogni gruppo infinite у di punti di un segmento A В
possiede almeno un punto limite (teorema di Bolz ano- Weierstrass) ш).
Basta, infatti, dividere i punti di A В in due gruppi Gx e G2, ponendo
un punto X in Gr о in G2 secondo che in A X ё contenuto un numero
finite о infinite di punti di у ; 1’elemento di separazione di Gx e G2 ё
un punto limite di y.
In particolare si ha che :
E'. Ogni successione indefinita di punti di un segmento, Лх , A2,
A3 , ..., An , ... ordinata secondo uno dei sensi del segmento, possiede un
punto limite.
Questa proposizione, che ё conseguenza del postulato di Dedekind,
ё il postulato della continuita di Weierstrass* 112).
2. Dalla E' si pud dedurre che ogni gruppo di punti di un seg-
mento ё contenuto in un segmento minimo113), e quindi che la retta ё
un sistema lineare continuo. Dunque le proposizioni E e E' sono equi-
11]) S. Pincherle, G. mat., 18 (1880), p. 237.
112) F. Enriques, loc. cit.58), p. 37.
113) Se in un segmento А В e contenuto un gruppo у di punti, diviso A В in
2m parti uguali sia Аг Вг il segmento minimo, limitato da due dei punti di divisione,
nel quale e y. Diviso poi A В in 2W (n > m) parti uguali, sia Л2 B2 il nuovo segmento
minimo nel quale e y, e cosi via. Le succession! Alt A2 , .... e Blf B2, .... hanno due
punti limiti M, N, ed M N ё il segmento minimo nel quale ё contenuto y.
XXI. - Fondamenti di geometria
31
valenti, cioe il concetto di continuita di K. Weierstrass coincide con quello
di R. Dedekind.
31. Postulato di Archimede. — Dalla proposizione E' segue
molto facilmente che in un segmento A В non pud essere contenuta
una successione indefinita , Л2, An , di. punti, tali che i seg-
menti A A1 f AxA2y A2A3, ... siano tutti uguali ; e cioe, poiche A Ax
e A В possono essere uguali a due segmenti arbitrari a e si ha che
dati due segmenti a e esiste un intero n per il quale si ha
n a > /3 .
Tale proposizione, conosciuta oggi col nome di postulato di Ar-
chimede, e gia adombrata da Euclide114 115), e da O. Stolz116) oltre 1’at-
tuale denominazione ricevette il riconoscimento della sua notevole
importanza. Il postulato di Archimede e dunque conseguenza del po-
stulato di- Dedekind.
Dal postulato di Archimede segue, come e evidente, che i succes-
sivi summultipli di un segmento costituiscono una serie indefinitamente
decrescente.
32. Continuita in senso ristretto. — Poiche il postulato E include
il postulato d’ARCHiMEDE, si pud domandare se esso non sia divisibile in
dueproposizioni indipendenti delle qualiunasiail postulated’Archimede.
Cid e effettivamente possibile. Se, dicendo contigui due gruppi
separad di punti di una retta quando la distanza fra un punto dell’uno
e un punto dell’altro e piccola a piacere, limitiamo la portata del po-
stulato E con la condizione che i gruppi ivi considerati siano contigui,
otteniamo quello che potremo chiamare postulato di Dedekind in senso
ristretto ; allora le due proposizioni :
E/'. Postulato di Archimede,
E2". Postulato di Dedekind in senso ristretto
equivalgono insieme alia E ; I’una non consegue dall’altra e ciascuna e
indipendente dai postulati А, В, C, D.
D. Hilbert116) costruisce uno spazio nel quale valgono i postulati
А, В, C, D ed E2" senza che valga E/' ; G. Veronese117) da una гзр-
presentazione del continue ndn archimedeo (E2" e non E/') nello spazio
ordinario. Sulle geometric «non archimedee» v. Part. XXXVIII di
questa Encicl.104), §§ 34-40. Ma piii efficacemente I’indipendenza di
E/' e dimostrata da tutto lo sviluppo della Geometria non-archimedea
(art. XXXVIII). Viceversa, la indipendenza di E2" da E/' si constata
considerando lo spazio che ha servito al § 29 per mostrare I’indipendenza
del postulato E ; in esso, infatti, vale la proprieta E/' ma non la E2".
И4) 4a jef dei Jibro у degli Elementi. V. loc. cit. 50) (Heiberg), 2, p. 2.
115) Math. Ann., 22 (1883), p. 504.
116) Loc. cit. 6), p. 47.
117) Loc. cit.5), p. 166.
32 Piero Benedetti
33. Postulate della continuita di G. Cantor. — Un caso par-
ticolare della proprieta E2" e la seguente :
E2"'. Due successions convergent! di punti di una retta, AY , A2 ,
A3 , ..., An ,...; ..., Bn , ..., B3, B2, Br , tali doe che il segmento A* B{
sia contenuto in A^B^ e divenga piccolo a piacere, ammettono sempre
un punto limite,
Ed effettivamente, in questo caso, punto limite ed elemento di
separazione sono la stessa cosa. La proposizione E2"' e il postulato della
continuita di Cantor118). Esso indica una struttura particolare dei
gruppi contigui considerati in E2", e quindi lo limita apparentemente,
ma insieme a E/' costituisce un sistema equivalente a quello di E/' e
E2", e quindi ad E 119).
Altra forma del postulato di continuita in senso ristretto e quella
di G. Veronese120) : Un segmento che ha gli estremi variabili in sensi
opposti e diviene indefinitamente piccolo contiene un punto fuori del
campo di variability dei suoi estremi.
34. Postulato di integrita di D. Hilbert. — Si vedranno al-
trove le applicazioni dei postulati di continuita alia teoria della misura
(Art. XXIII di questa Enciclopedia) ; qui osserviamo solo che e suffi-
ciente il postulato di Archimede per far corrispondere ad ogni segmento
un numero reale, sua misura rispetto a una unita stabilita, mentre oc-
corre almeno il postulato della continuita in senso ristretto affinche, in-
versamente, ogni numero reale sia misura di un segmento. Se, dunque,
si aggiunge ai postulati А, В, C, D il postulato E/', diviene possibile
stabilire un sistema di coordinate cartesiane nello spazio sn ; ma, mentre
ad ogni punto di sn corrispondono n valori reali аг , a2 , ..., an , non
si pud affermare che a ogni gruppo di n valori reali corrisponde un
punto di sn . Percid sn apparisce come una parte di uno spazio carte-
siano ; il che equivale a dire che sn si pud ampliare in modo che nello
spazio ampliato continuino a valere i postulati А, В, C, D, E/'. Basta
negare questa possibility di ampliamento per far coincidere sn con tutto
lo spazio cartesiano, che e continuo ; ossia, il concetto di continuita si
pud stabilire aggiungendo ai postulati А, В, C, D, E/' il seguente :
E2iv. Lo spazio e un insieme di elementi che non pub essere ampliato
in modo che rimangano validi tutti i postulati А, В, C, D, E/'.
La proposizione E2IV e il postulato di integrita di Hilbert 121) ; il
118) G. Cantor, Math. Ann., 5 (1872), p. 128; Acta math., 2 (1883), p. 342;
Ges. Abh., Berlin 1932, p. 97. Questa proposizione coincide con quella che A. Prings-
heim (Encycl. des sc. math., I, 1, p. 156) chiama postulato J’Ascoli. V. Giulio Ascoli,
Rend. 1st. Lomb., (2) 28 (1895), p. 1060.
119) Considerando due gruppi Gx , G2 di punti di un segmento A B, che si pud
supporre lo esauriscano, si divida A В in 2n parti uguali, e siano An , Bn due punti di
divisione successivi, dei quali An sia in Gx e Bn in G2. Dando ad n i valori 1, 2, 3,.,
si ottengono due succession! come quelle indicate nel postulato E2"', e la distanza
An Bn tende a zero per il postulato d’ARCHiMEDE. Esiste dunque un punto limite, che
e 1’elemento di separazione fra Gr e G2 .
12°) Loc. cit. 5), p. 150.
121) Loc. cit. 6), p. 30.
XXI. - Fondamenti di geometria
33
quale es^rime la continuita mediante Ex" e E21V. Come abbiamo veduto,
ammessi i postulati А, В, C, D, Ex", le condizioni E2", E2"', E2lv sono
equivalent!.
35. Postulato della continuita di G. Peano. — Se, in un
piano, un segmento о un arco di circonferenza A В ha I’estremo A
interno a una circonferenza c e I’estremo В esterno, esiste un punto
di c su A В ; infatti il gruppo di quei punti X di A В tali che il tratto
A AS di A В sia tutto intern^ ace contenuto in un tratto minimo A H,
e H e necessariamente su c.
Questa proprieta, data sovente come postulato, e dunque conse-
guenza del postulato E. E analogamente si dimostra :
Ev. Data una figura cpnvessa, un punto A di essa e un punto В
fuori di essa, nel segmento A В esiste un punto H tale che i punti compresi
fra A e H siano della figura, e quelli compresi fra H e В siano fuori,
Inversamente, da Ev segue che ogni gruppo di punti di un seg-
mento e sempre contenuto in un segmento minimo, e quindi il postu-
lato di Dedekind. La Ev e stata assunta da G. Peano122) come postu-
lato di continuita123).
36. Sufficienza dei postulati dei gruppi А, В, C, D, E. —
Non ci fermiamo sulle numerose applicazioni del postulato della con-
tinuita, di alcune delle quali sara cenno nel seguito.
Oltre i postulati dei gruppi А, В, C, D, E gia discussi, nessun altro
postulato e necessario per lo sviluppo della Geometria euclidea.
37. La irriducibilita dei concetti primitivi e 1’indipendenza
dei postulati. — 1. Question! che interessano molto i logic! sono
quelle della irriducibilita dei concetti primitivi, della semplicita о meglio
indecomponibilita dei postulati, e della loro indipendenza.
Dato un sistema di concetti primitivi А, В, C definiti implicita-
mente dai postulati P. Q, R,...y se C si pud esprimere con A e В per
mezzo di termini noti, sostituendo in P, Q, R, ...a C la sua espressione,
se ne ottengono dei postulati P', Q’, R', ... che riguardano i concetti A
e В soltanto. Per es., ammessi i concetti punto e retta risulta costruibile
il piano*, il concetto primitivo «piano» si pud dunque eliminare124).
2. Alcuni geometri hanno raggiunto la riduzione di tutti i con-
m) Loc. cit. 43), p. 74.
123) M. -De Franchis, Boll, mat., 25 (1929), p. 149, osserva che il postulato
della continuity si pud enunciate in questa forma: Sulla retta le sole figure convesse
(non. riducibili a un sol punto) sono i segmenti, privati о no degli estremi, e la retta
(e, aggiungiamo, i raggi, con о senza 1’origine).
la4) Per le molte definizioni о tentativi di definizione di retta e piano v. per es.
Fart, di U. Amaldi in Questioni riguardanti le mat. elem. raccolte da F. Enriques, 1,
3a ed., Bologna 1924, p. 43 e 47 ; F. Enriques, loc. cit. “), p. 15 ; R. Bettazzi, Period,
mat., (1) 8 (1893), p. 16 e 49; G. Veronese, loc. cit. 5), p. 568. R. Bettazzi, Ann.
mat. pura appl., (2) 20 (1*892), p. 1’9, col concetto « coppia di punti» giustifica la de-
finizione di A. M. Legendre della retta come minimo cammino.
34
Piero Benedetti
cetti primitivi a due soli, «punto » e «movimento»125), о «punto»
e «distanza»126); ma cid a spese della naturalezza dei postulati. Si
deve dunque dire che i sistemi proposti rappresentano un progresso
decisivo rispetto ad altri, come per es. a quello di D. Hilbert che e
sovrabbondante nei concetti primitivi? Se si riflette che la parte, ipo-
tetica della Geometria e composta di concetti primitivi e postulati, si
vede che sarebbe unilateral preferire a priori un alleggerimento degli
uni a scapito degli altri, e che la questione e essenzialmente di oppor-
tuni ta, di chiarezza e anche di eleganza127).
3. I postulati dovrebbero essere indecomponibili, cioe uno P di
essi non dovrebbe essere sostituibile con due proposizioni P± e P2 delle
quali P fosse il prodotto logico ; ma B. Levi128) ha bene osservato che,
se P determina una certa limitazione nel campo delle interpretazioni
possibili per i concetti primitivi, si potra sempre trovare un postulato
Px che dete. mini una limitazione minore, e un altro P2 che insieme
a P} determini la stessa limitazione di P. Ё dunque illusorio che un
postulato possa essere veramente indecomponibile ; e solo si dovra
chiedere che in una stessa proposizione non siano contenute afferma-
zioni diverse, separabili in postulati distinti.
Solo a questa condizione ha importanza la questione indipen-
denza dei postulati, giacche se si riuniscono parecchie affermazioni in
una sola e bene facile che due postulati possano esprimere fatti sostan-
zialmente diversi almeno per una loro parte. Ё certo che se un postulato
P non e indipendente da Q, R, ..., ossia se tutti gli enti che verificano Q,
R, ... verificano necessariamente P, questo postulato e inutile, e il man-
tenerlo costituisce una imperfezione del sistema di postulati129). Se non
che e difficilissimo constatare I’indipendenza assoluta di un sistema di
postulati, tanto piu che generalmente uno di essi presuppone i prece-
125) M. Pieri, Mem. Acc. Torino, (2) 49 (1900), p. 173.
126) A. Padoa, C. R. dudeuxieme Congres intern, des math., Paris 1900, Paris 1902,
p. 353 (trad, in Period, mat., (3) 1 (1904), p. 74); G. Peano, Atti Acc. Torino, 38
(1902-03), p. 6 ; M. Pieri, Mem. mat. fis. Soc. it. sc., (3) 15 (1908), p. 345.
127) Ё anche da osservare che definendo un ente di cui si possiede gia un’idea
intuitiva, che si vuol rispettare, si rischi’a invece di falsarla. Per es. se con G. Mar-
letta, Period, mat., (3) 2 (1905), p. 237, si definisce Vangolo di due semirette come
1’insieme dei punti delle loro corde, si ha una figura che solo ammettendo il postulato
delle parallele coincide coll’angolo come insieme di raggi. G. Marietta lo identifica
senz’altro con questo (come si vede dalla dimostrazione del suo teorema 12, p. 262) ma
erroneamente; e se fosse identificabile, sarebbe superfluo il postulato delle parallele
che poi, invece, introduce (p. 264).
128) Loc. cit.le), p. 284. In questa memoria coi concetti primitivi «punto»
e *congruenza fra coppie di punti» si stabilisce un sistema di postulati (esclusi quelli
di ordine) applicabili alle tre geometric ellittica, parabolica, iperbolica, e ad altre.
129) Si pud osservare, perd, che coi successivi postulati si pongono sempre mag-
giori limitazioni ai concetti primitivi, e che ё interessante vedere la 'portata di ciascuna
nuova limitazione. Per es., l’invertibilit& del segmento ё conseguenza del postulato d’Ar-
chimede, e questo del postulato della continuity; ma ё da condannare se si comincia
in tan to ad affermare la prima, poi il secondo, infine il terzo? All’opposto, ё utile osser-
vare 'fin dove si- pud giungere senza il postulato della continuita, fin dove col solo po-
stulato di Archimede.
XXL - Fondamenti di geometria
35
denti ; gli autori о non danno alcuna prova dell’indipendenza dei loro
postulati, о la danno affrettatamente e in modo poco convincente 13°),
о la danno solo per una parte130 131). Piu agevole pud essere constatare
Vindipendenza ordinata dei postulati, cioe I’indipendenza di ciascuno da
quelli che lo precedono ; B. Levi132) ha indicato come, da un sistema
di postulati ordinatamente indipendenti, se ne possa ricavare un altro
dotato di indipendenza assoluta.
4. In conclusione, pur ammettendo la opportunity di non intro-
duce postulati dei quali non sia stata riconosciuta la necessity, si deve
ritenere che la eventuale mancanza di un tale riconoscimento non in-
firma la solidita di un sistema geometrico, ne.pud distruggere altri
suoi pregi133). La sola questione veramente essenziale e quella della
compatibilita.
38. Sistema geometrico di G. Veronese. — Tra i sistemi geo-
metrid che non rientrano nello schema da noi seguito e specialmente
notevole quello di G. Veronese134). Nei suoi Fondamenti (opera po-
derosa, larghissima di informazioni, vivacemente polemica, ma alquanto
difficile a penetrare e non priva di nebulosita e di indeterminatezze,
che in ogni modo ha avuto il grande merito di eccitare, in Italia, lo zelo
di molti ammiratori e divulgatdri135). dando impulso agli studi sui
principi della Geometria) si trova esposta, per la prima volt a, una trat-
tazione per via sintetica della Geometria degli spazi lineari a n dimen-
sioni, indipendente dal postulato d’Archimede e con un sistema di assiomi
valevole per le tre geometric : ellittica, parabolica, iperbolica. I cinque
assiomi, veramente assai naturali e dedotti dall’esame di una parte ac-
cessibile dello spazio, lasciano la possibility della retta sia aperta che
chiusa, determinata о no da due suoi punti. Concetti primitivi sono :
«punto», «retta» (che e la forma fondamentale) con un suo proprio
ordinamento, «congruenza» per i segmenti (impropriamente detta
identita) ; le considerazioni si svolgono nello spazio generate, cioe in « un
130) Cosi lo stesso D. Hilbert, i cui postulati, viceversa, almeno nella la ed.
delle Grundlagen, non erano tutti indipendenti, se egli stesso ne ha potuto sopprimere
uno nella 2a edizione, V. nota 40).
131) G. Peano, loc. cit. 43), p. 62. dichiara di essere ben lungi dall’aver comple-
tata la prova dell’indipendenza dei suoi postulati. M. Pieri, loc. cit. 125), e B. Levi,
loc. cit.le), mostrano I’indipendenza ordinata di parecchi dei loro postulati, ma non
di tutti.
132) Loc. cit.ie), p. 284.
133) R. Bettazzi, Period, mat., (1) 1 (1886), p. 172, afferma invece che il con-
servare. fra i postulati uno che sia conseguenza logica degli altri sarebbe non gia inutile
ma erroneo, apparendo esso verity arbitrana mentre e verita necessaria. G. Veronese,
loc. cit. 5), p. XIX, osserva che «I’indipendenza degli assiomi e certo utile, ma non
bisogna disconoscere che e di una grande difficoltd provarla ». M. Pieri, loc. cit. ’),
p. 4, dichiara che quelle della irriducibilita e indipendenza sono « condizioni che toc-
cano quasi la perfezione ideale ’>.
134) Loc. cit. 5).
135) V. specialmente F. Palatini, Period, mat., (1) 9 (1894), p. 7 ; G. mat.. I±
(1904), p. 149-185; Period, mat., (4) 2 (1922), p. 150.
36
Piero Benedetti
sistema di punti tale che data о costruita una sua figura qualunque vi
e almeno un altro punto fuori di essa»136 137).
Aggiungendo ai cinque assiomi opportune ipotesi о postulati, cioe
principi astratti che non contraddicono all’esperienza », G. Veronese sta-
bilisce anzitutto una Geometria da cui scaturiscono due sistemi gene-
rali, nei quali sono compresi i sistemi particolari di Euclide e di B. Rie-
mann. In essa la retta e chiusa ; ma se 1’unita che si adotta e infinite-
sima rispetto alia retta completa, nel campo finito intorno a un punto
si ha solo una parte di retta, la quale possiede degli effettivi punti al-
I’infinito. Le parallele condotte da un punto a una retta sono quelle
rette che la incontrano nei punti all’infinito, e rispetto all’unilA adot-
tata coincidono in una sola ; si ha cioe il sistema euclideo. Se si assume
invece come unita un segmento finito rispetto all’intera retta, questa
rimane priva di punti all’infinito, e non esistono rette parallele ; si ha
cosi il sistema riemanniano.
Il fascio di raggi si ottiene come proiezione di una retta da un
punto ; e i punti di un fascio di raggi costituiscono un piano. La pro-
prieta fondamentale del piano (di contenere ogni retta che abbia comune
con esso due punti) viene dedotta dall’assioma IV (se un lato di un
triangolo diviene indefinitamente piccolo, la differenza degli altri due
diviene pure indefinitamente piccola). Dal piano per proiezione si ot-
tiene l’s3, da questo per proiezione l’s4, ecc.
Per ottenere la Geometria di N. I. Lobacevski occorre ritornare
ai cinque assiomi ed aggiungere altre ipotesi ; la definizione del piano
va modificata, e questo e, senza dubbio, un difetto. Ma il difetto si
aggrava quando la costruzione di G. Veronese si vuole elementarizzare
escludendo le considerazioni sull’infinite e 1’infinitesimo, secondo le
linee tracciate dallo stesso autore e sviluppate poi negli Elementi131),
Vengono allora a differenziarsi anche i piani euclideo e di B. Riemann,
e gli assiomi divengono meno intuitivr ; definita la parallela ad una retta
come la figura simmetrica di essa rispetto a un punto (e che tale figura
sia una retta si deve postulare), occorre postulare, inoltre, la simmetria
di due rette parallele rispetto al punto medio di ogni segmento che
abbia gli estremi su esse ; il piano si costruisce poi proiettando una
retta da un punto e aggiungendo la parallela alia retta da questo ; in
modo quindi legato all’ipotesi della parallela unica.
II. — Linee, superficie, solidi.
39. Concetto razionale di linea. — 1. Come si e veduto, la
nozione generale di linea non e necessaria nei principi della Geometria,
bastando la considerazione di linee particolari (rette, spezzate, circon-
ferenze, archi). Euclide defini una linea come lunghezza senza larghezza ;
13e) Un severo giudizio sui Fondamenti di G. Veronese fu dato da G. Peano,
RiV. mat.,' 2 (1892), p. 143.
137) Loc. cit. fie).
XXI. - Fondamenti di geometria
37
meglio fu poi considerata una linea come traiettoria di un punto mobile,
ma il concetto rimase denso di riferimenti intuitivi. Costruita la Geo-
metria indipendentemente dal concetto di linea, questo si pud defi-
nite con tutto rigore.
Secondo G. Cantor 138), che si pone da un punto di vista proprio
della Teoria degli insiemi, una linea piana e un continuo senza punti in-
terni ; perd in questa definizione rientrano figure molto lontane dai
concetto intuitivo di linea139). A. Schoenflies140) ha aggiunto alcune
condizioni, tendenti a dare a una linea il carattere di limite comune a
due regioni del piano. Ma piu utilmente adattabile a lino svolgimento
elementare e la definizione di C. Jordan 141), per il quale linea e il luogo
dei punti le cui coordinate x, y, z sono funzioni continue di un parametro
t in un intervallo finito о infinito. Veto e che anche in questa definizione
rientrano figure non corrispondenti al concetto intuitivo piii comune di
linea ; G. Peano 142), e dopo di lui altri, hanno costruito una linea di
Jordan che riempie totalmente un quadrato143). Ma cio non awiene
se la linea non ha punti multipli о nodi, о se ne ha un gruppo soddisfa-
cente a certe condizioni.
2. Da un punto di vista sintetico si ottiene un concetto di linea
equivalente a quello di C. Jordan attribuendo ad un sistema lineare
di punti solo alcuni caratteri della retta e della circonferenza, quali la
continuity nel senso di R. Dedekind (continuita interna secondo F. En-
riques) e un’altra forma di continuity la quale assicuri che i punti che
precedono о seguono un punto A rimangono, per un primo tratto,
vicini ad A [continuita esterna secondo F. Enriques 144)] ; cioe linea e un
sistema lineare, aperto о chiuso, di punti, continuo nel senso di R. Dede-
kind e tale che, se А В ё un suo tratto, esiste una parte A C di A В con-
tenuta in una sfera di centro A e raggio e dato apiacere145). Non si esclude
che il sistema lineare possa avere anche punti multipli о nodi.
Partendo da questa definizione si pud dar fondo al concetto ra-
zionale di linea e ottenere, precisandole, tutte le propriety di cui si fa
frequentemente uso e che si deducono dall’idea intuitiva.
138) Acta math., 2 (1883), p. 404; Math. Ann., 21 (1883), p. 574; Ges. Abh.,
Berlin 1932, p. 192; Math. Ann., 21 (1883), p. 545; 46 (1895), p. 481; Ges. Abh.,
p. 165, 282; ma la denominazione di linea cantoriana ё di L. Zoretti, J. math, pures
appl., (6) 1 (1905), p. 8.
13e) H. von Mangoldt-L. Zoretti, Les notions de ligne et de surface (Encycl. des
sc. math., Ill, 1, Paris, 1911, p. 158).
140) Die Entwickelung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten, 2, Leipzig, 1908,
p. 199.
,u) Cours d* Analyse de I’Ecole Poly technique, 1, 3a ed., Paris 1909, p. 90.
142) Math. Ann., 36 (1890), p. 59.
14a) Di tali linee, dette curve di Peano, tratta ampiamente A. Schoenflies, loc.
cit.140), 1 (1900), p. 115 e 2 (1908), p. 216.
144) F. Enriques, Conferenze di Geometria (litografia), Bologna 1894, p. 45;
Rend. Palermo» 12 (1898), p. 22; loc. cit. “), p. 77. In quest’ultimo luogo, sebbene
per le variety lineari su una superficie, la propriety ё espressa in modo del tutto analogo
a quello da noi usato.
145) P. Benedetti, Period, mat., (3) 1 (1904), p. 231; Id., (3) 8 (1911), p. 113.
38
Piero Benedetti
Una linea potra essere indefinita о no, come ogni altra figura (§ 23) ;
e se aperta sara limitata о illimitata secondo che possiede due estremi
oppure uno solo о nessuno. Per es., Finsieme dei punti interni a un
segmento e una linea illimitata ma non indefinita.
Se una linea priva di nodi ha i suoi punti su un’altra linea limitata о
chiusa priva di nodi, coincide necessariamente con un tratto di questa146).
Si dimostra poi che la distanza di un punto dai punti di una linea
limitata о chiusa ha un massimo e un minimo 147) ; segue che una linea
limitata о chiusa non e mai indefinita. Ne viene anche che qualunque
punto dello spazio il quale sia limite dei punti di una linea limitata о
chiusa nel senso della Teoria degli insiemi, cioe tale che in ogni suo
intorno siano punti della linea, appartiene alia linea stessa ; la quale
percid costituisce un insieme di punti chiuso (perfetto secondo C. Jor-
dan). Se la linea e priva di nodi, qualunque punto che sia limite di altri
sulla linea (nel senso detto al § 30) ё anche limite di essi nello spazio, e
inversamente ; questa proprieta pud servire ad esprimere la continuita
esterna, ma soio quando la linea e limitata о chiusa e priva di nodi148).
I punti di цпа linea definita come sopra si possono porre in corri-
spondenza univoca, ordinata e continua coi punti di un segmento, in-
clusi о no gli estremi di questo 14 9); da cid risulta la possibility di rap-
pr esen tare parametricamente una linea e la identita del concetto sin-
tetico con quello di Jordan.
3. Se diciamo campo a n dimensioni 15°) un insieme di punti di sn i
cui punti sono tutti intemi (tali cioe che esista un intorno di ciascuno
di essi appartenente al campo), e frontier adi un campo Tinsieme
dei suoi punti limiti non appartenenti al campo, si dimostra che ogni
linea limitata A В di sn, che abbia Festremo A interno a un campo C e
Festremo В esterno, ha necessariamente un punto comune con la fron-
tiera di C152) ; si generalizza. cioe la proprieta dimostrata al § 35.
4. Ma del massimo interesse e il cosi detto teorema di Jordan,
cioe : una linea piana chiusa e priva di nodi divide il piano in due campi
connessiy dei quali essa e la frontiera comune. Esso si dimostra sia partendo
dalla rappresentazione parametrica1БЗ) che dal concetto sintetico154).
,4 b) P. Benedetti, Period, mat., (3) 8 (1911), p. 124. Ne deriva che una linea
limitata о chiusa e priva di nodi non pud essere una curva di Peano.
147) Loc. cit.14e), p. 121.
iw) Percid la definizione riportata in F. Enriques, Questioni riguardanti ecc.,
1, 3a ed. 1924. p. 214 (art. di G. Vitali) non ё perfettamente equivalente alia nostra,
se si vuol lasciare al concetto di linea tutta la sua generality.
149) Loc. cit.146), p. 128.
,5°) Questo concetto, di campo ё di K. Weierstrass, Gesammelte Werke, 2, Ber-
lin 1895, p. 71, ma ё ormai comune. Nel passato alcuni autori hanno usato « campo »
in senso gencrico d’insieme; cosi G. Peano, Applicazioni geometriche del Calcolo in-
finitesimal e, Torino 1887.
151) Jordan, loc. cit.141), p. 20.
,b2) Loc. cit.146), p. 119.
r‘3) Loc. cit. 141), p. 91. Di poi ne sono state date altre dimostrazioni; v. p. es.
A. Errera, Mathesis, 36 (1922), p. 374.
,54) P. Benedetti, loc. cit.14e), p. 188; Period, mat., (4) 3 (1923), p. 103. Dimo-
XXL - Fondamenti di geometria
39
40. Superficie e solidi. — Come superficie piana in generale, e
come solido a n dimension^ si intendera un campo piano о di , inclusa
о no la frontiera о una parte soltanto di essa. Altre definizioni sono
state proposte, ma legate alia Teoria dell’estensione о al concetto di
poligono, in ogni modo con restrizioni non necessarie 155).
Piii arduo e il concetto generale di superficie nello spazio ordinario
о in sn , che permetta uno sviluppo parallelo a quello accennato per le
linee e la dimostrazione, nello spazio, di un teorema analogo a quello
di Jordan. Un caso particolare, nel quale sulla superficie si trovano dei
fasci di linee soddisfacenti a date condizioni, viene considerato da
F. Enriques156).
III. — Equivalenza nel piano e nello spazio.
41. Scomponibilita di poligoni in parti rispettivamente
uguali, e questioni relative. — 1. La teoria euclidea dtW equivalenza
(o uguaglianza di area) dei poligoni si fonda su alcuni principi о po-
stulati, che qui enunciamo con la nomenclatura moderna : 1. Poligoni
uguali sono equivalent! ; 2. Poligoni equivalent! ad uno stesso sono
equivalent! fra loro ; 3. Somme. di poligoni equivalent! sono equiva-
lent! ; 4. Differenze di poligoni equivalent! sono equivalent! ; 5. Un
poligono non e equivalente a una sua parte. Ma il concetto di area ri-
mane primitivo ; cosi per i geometri successivi fino ad A. M. Legen-
dre, R. Baltzer, A. Amiot e per lo stesso A. Faifofer, cui pure spetta
il merito di aver rinnovato, didatticamente, questa teoria.
2. Dallo stesso svolgimento di Euclide, che si pud modificare
strazione riportata in F. Enriques, loc. cit.148), p. 216. Ma la data definizione di «li-
nea » corrisponde esattamente al concetto intuitivo? Ё discutibile se una tale domanda
si possa porre; il concetto intuitivo e vago, e certamente diverso da un individuo al-
I’altro (loc. cit.139), p. 158), mentre la definizione e precisa; questa illumina quello
e finisce, per il geometra, col sostituirlo. Il fatto della dimostrabilita del teorema di
Jordan, che dopo 1’ordinamento lineare esprime la proprieta piu caratteristica della
linea, pud assicurare che la definizione contiene quanto basta.
Del resto, anche linee definite meccanicamente possono presentare bizzarrie
notevoli. Si possono, invece, studiare quelle restrizioni che permettano di approfon-
dire lo studio di sempre vaste e interessanti categorie di linee ; F. Severi, Rend. Pa-
lermo, 54 (1930), p. 51, chiama curve intuitive quelle linee di Jordan che soddisfano
a parecchie condizioni relative alia tangente,. alia curvatura, ecc. Minore limitazione e
supporre che ogni punto di una linea sia origine di‘due tratti (o di uno solo, se quel
punto e un estremo) convessi piccoli a piacere ; si dimostra allora che se la linea e limitata
о chiusa e formata da un numero finito di tali tratti (P. Benedetti, Period, mat., (3) 9
(1912), p. 23), ed e facile comprendere quale semplificazione cid rappresenti; per
es., una tale linea e sempre finita (§ 48). Ma non affermiamo che in questo modo si e
maggiormente afferrato il concetto intuitivo ; piuttosto, si e limitato.
155) M. De Franchis, loc. cit.46), p. 396, definisce una figura come superficie
piana finita quando contiene superficie poligonali ed e contenuta in altre, e le une e le
altre (rispetto all’estensione) formano gruppi contigui. Cosi F. Palatini, Geom. per
le sc. medie sup., 2, 2a ed., Torino (senza data), p. 178. Insomma, questi autori uniscono
al concetto della superficie quello della sua misurabilita.
156) Rend. Palermo, 12 (1898), p. 222.
40
Piero Benedetti
in modo da evitare I’applicazione del 4° principio, risulta che due po-
ligoni equivalenti sono sempre decomponibili in parti poligonali rispet-
tivamente uguali157 158 * * * * * * * * 167 *) ; e poiche, inversamente, poligoni composti di
parti rispettivamente uguali sono equivalenti per i principi 1° e 3°, si
traggono due conclusioni : che la relazione di equivalenza e sufficiente-
mente determinata dai postulati 1, 2, 3, 5 ; che si puo eliminare il con-
cetto primitivo di area, sostituendolo con una definizione fondata sulla
equiscomponibilitdlbS). Cosi facendo, le propriety espresse dai postulati
1, 2, 3 divengono subito corollari della definizione о teoremi ; la pro-
priety espressa dal principio 5° invece resiste e per vario tempo rimase
dubbio se essa dovesse essere conservata come postulato.
3. In un primo periodo, perd, tale questione non fu sollevata. Fu
A. De Zolt 169) a osservare come, nella nuova teoria dell’equivalenza,
fosse rimasto un principio intuitivo che egli enuncio in questa forma:
Scomposto un poligono in parti, non si pud con esse meno una riconi-
porre il poligono primitivo. Ma e questo un postulato о un teorenj^?
A. De Zolt stesso proponeva una dimostrazione, non soddisfacenteieo) ;
dopo altri vani tentativiiei) e lunghe discussioni162), furono finalmente
date varie dimostrazioni ineccepibili163). Alcune di esse differiscono
157) Fu rilevato da P. Gerwien, J. reine ang. Math., 10 (1833), p. 228.
158) La possibility di questo fu dimostrata da J. M. C. Duhamel, Des methodes
dans les sciences de raisonnement, 2, 2a ed., Paris 1866, il quale diede la nota dimostra-
zione dell’equivalenza dei parallelogrammi fondata sul postulato di Archimede. Poi
A. Faifofer svolse nel suo trattato scolastico, cit. 27), le idee di J. M. C. Duhamel,
con molte dimostrazioni proprie. Sul contenuto di tutto questo § vedasi U. Amaldi
in F. Enriques, Questioni riguardanti le matematiche elementari, parte la, vol. 2°, 3a ed.,
Bologna 1925, p. 1.
15e) Principi della eguaglianza di poligoni (equivalenza di poligoni) preceduti da
alcuni cenni critici sulla teoria della equivalenza geometrica, Milano 1881; Principi della
eguaglianza di poliedri e di poligoni sferici, Milano 1883.
1?°) Cosi fu ritenuto da R. De Paolis, Period, mat., (1) 1 (1886), p. 44, che nei
suoi Elementi di Geometria (Torino 1884) ammette la proposizione come postulato
(percid fu detto anche postulato di De Paolis ; ma generalmente si dice postulato di
De Zolt).
lei) A. Faifofer, dopo un primo. inutile tentative di dimostrazione (Period, mat.,
(1) 1 (1886), p. 13) e un altronuovo tentative molto inf elice nella 5a ed. degli Elementi
di Geometria (Venezia 1886), piuttosto che arrendersi all’adozione del principio di
De Zolt come postulato, voile tomare, nelle successive edizioni del suo libro, al con-
cetto dell’area come primitivo. Mk Gremigni [Gli elementi di Euclide, libro 1®, Fi-
renze 1893 (nc)J d& un’altra dimostrazione errata, come fu rilevato da G. Lazzeri,
Riv. mat., 2 (1892), p. 189 e 3* (1893), p. 121.
iea) G. Biasi, Period, mat., (1) 9 (1894), p. 52, esprime il dubbio che la defini-
zione di equivalenza per equiscomponibilit& non sia applicabile all’intera classe dei
poligoni.
Ebbe qualche fortuna 1’idea di considerare il principio di De Zolt implicito nel
fatto che la superficie del poligono ё finita, il che significa che non pud essere equiva-
lente ad una sua parte; v. p. es. G. Frattini, Period, mat., (1) 10 (1895), p.' 153. Alla
stessa idea toma, poco tempo dopo, G. Biasi, Period, mat., (2) 5 (1903), p. 2*/б. Si
confonde 1’indefinito coll’infinito; per affermare che un poligono ё finito si deve invo-
care il principio di De Zolt.
1вз) F. Schur, Stzgsb. Dorpat. Naturf. Ges., 13 (1892), p. 2; traduzione in
Period, mat., (1) 8 (1893), p. 153; O. Rausenberger, Math. Ann., 42 (1893), p. 275 ;
XXI. - Fondamenti di geometria
41
per poco ; notevole e quella di D. Hilbert164), perche indipendente
dal postulato d’ARCHiMEDE. D. Hilbert stabilisce infatti, senza ricor-
rere a questo postulato, ma con I’aiuto, invece, del cosi detto teorema
di Pascal, un calcolo segmentario 166) che conserva quasi tutte le pro-
prieta formali del calcolo numerico ; dicendo indice di un triangolo il
prodotto dei due segmenti base e altezza, dimostra la indipendenza
dell’indice dal lato scelto come base, e la propriety additiva dell’indice
quando un triangolo si scompone comunque in altri triangoli. Definendo
poi come indice di un poligono la somma degli indici dei triangoli nei
quali pud venire scomposto, trova che esso e indipendente dalla scom-
posizione, e ne segue che 1’indice di un poligono e uguale alia somma
degli indici di altri poligoni nei quali sia diviso. Ma gli indici sono seg-
menti, e per questi vale il principio analogo a quello di De Zolt ; il
quale risulta percid dimostrato per i poligoni.
4. Analoghi problemi si presentano per 1’equivalenza dei poligoni
sferici; per questi piCi agevolmente si dimostra il principio di De Zolt
facendo corrispondere ad ogni poligono il suo eccesso sferico166).
42. Equivalenza e postulato d’Archimede. — 1. Nell’ordina-
ria teoria dell’equivalenza non si riesce a dimostrare 1’equiscomponi-
biliti di due parallelogrammi о triangoli di ugual base e uguale altezza
senza ricorrere al postulato d’ARCHiMEDE ; si tratta qui di una reale
impossibility. Se, infatti, A В CD e un parallelogrammo, e si scompone
in un numero qualunque n di parti poligonali connesse, la somma dei
perimetri di queste e minore di n volte ii perimetro p del parallelo-
grammo ; comunque si dispongano tali parti, una adiacente all’altra,
e in modo che il vertice A appartenga alia nuova figura F cosi formata,
la distanza di un punto qualunque P di F da A sari sempre minore
di np, cioe tutta la figura F rimarra nella regione intorno ad A i cui
punti hanno da A distanza minore di un multiplo di p. Ma se il postu-
lato d’ARCHiMEDE non vale, esistono anche punti fuori di questa re-
gione, e si pud costruire un parallelogrammo ABC'D' con la stessa
base A В e la stessa altezza di А В C D. ma con la base C Df fuori
della regione suddetta ; allora e certo che, scomponendo А В C D in
poligoni, non si pud, con questi, ricomporre А В C' D'. e cioe А В C D
e ABC D' non sono equivalent!.
G. Biasi, Period, mat., (1) 9 (1894), p. 85 ; G. Veronese, Atti 1st. Veneto, (7) 6 (1894-95),
p. 421^ e loc. .cit. *), p. 54; G. Lazzeri, Period, mat., (1) 10 (1895), p. 77 ; L. Ge-
rard, Bull. Soc. math. France, 23 (1895), p. 268; W. Killing, Die nicht-Euklidischen
Raumformen in analytischer В ehandlung, Leipzig 1885, p. 49 ; EinfUhrung in die Grund-
lagen der Geometric, 2, Paderborn 1898, p. 24; F. Palatini, Boll, mat., 11 (1912),
p. 1; P. Benedetti, Boll, mat., 14 (1915), p. 193.
1M) Loc. cit. ®), p.. 69.
le5) Loc. cit. •), p. 60. Questo calcolo ё strettamente connesso alia teoria delle
proporzioni fra segmenti; una esposizione molto elementare di B. Levi, Period, mat.,
Suppl., 6 (1903), p. 114.
iee) G. Lazzeri, loc. cit.163), p. 153; B. Levi, Enseign. math., 7 (1905), p. .193.
42
Piero Benedetti
2. D. Hilbert167) stabilisce una teoria dell’equivalenza dei poli-
goni indipendente dal postulato d’Archimede e da quello della conti-
nuita (integrita) considerando, oltre 1’equiscomponibilita (Zerlegungs-
gleichheit), anche la uguaglianza di area (Inhaltsgleichheit), che e una equi-
valenza per differenza ; dicendosi di uguale area due poligoni quando
aggiungendo ad essi poligoni equiscomponibili si possono avere poli-
goni equiscomponibili168).
43. Uguaglianza di volume dei poliedri e scomponibilita
in parti rispettivamente uguali. — Mentre 1’equivalenza dei po-
ligoni pud essere sempre ridotta alia equiscomponibilita, non avviene
altrettanto per i poliedri ; Euclide, per paragonare prismi e piramidi,
dovette ricorrere al cosi detto metodo di esaustione, col quale, per dimo-
strare l’uguaglianza di due grandezze A e By si mostra che non pud
essere ne A > В ne A < By intese convenientemente queste relazioni.
La questione, se un prisma e una piramide equivalenti secondo il con-
cetto primitivo del volume siano о no equiscomponibili, e stata risolta
da M. Dehn169) dopo tentativi di altri170). M. Dehn raggiunse ele-
gantemente il seguente risultato : Quando due poliedri sono equiscompo-
nibili, esiste una combinazione lineare dei loro diedri che e uguale a un mul-
tiplo di л. I coefficienti di tale combinazione sono numeri interi soddisfa-
centi ad alcune date relazioni111).
Il teorema di M. Dehn stabilisce, dunque, una condizione neces-
saria per la equiscomponibilita ; risulta poi che alia stessa condizione
soddisfano due poliedri che si ottengano come differenze di poliedri
equiscomponibili.
Si vede cosi senza difficolta che un tetraedro regolare e un cubo
non possono essere equiscomponibili. I tipi conosciuti di piramidi
equiscomponibili con prismi sono i cosi detti tetraedri di Hill 172) che
si ottengono dal romboedro e la piramide di Juel 173), una delle sei nelle
quali pud scomporsi un cubo, con vertice nel centro.
167) Loc. cit. 6), p. 69.
168) M. Dehn, Math. Ann., 60 (1905), p. 166, dimostra che si pud svolgere la
teoria dell’equivalenza nel piano indipendentemente anche dal postulato delle paral-
lele, ossia coi soli postulati di congruenza.
169) M. Dehn, Nachr. Ges. Gott., 1900, p. 345; Math. Ann., 55 (1902), p. 465;
Id., 59 (1904), p. 84; v. una chiara esposizione di U. Amaldi in Boll, mat., 4 (1905),
p. 1. Altra dimostrazione fu data da B. Kagan, Math. Ann., 57 (19 03), p. 421. Un’esno-
sizione del teorema di M. Dehn si ha in O. Chistni, Period, mat., (4) 14 (1932), p. 279.
17°) R. Bricard, Nouv. Ann. math., (3) 15 (1896), p. 331, affermd con una dimo-
strazione insufficiente il risultato di M. Dehn; G. Sforza, Period, mat., (1) 12 (1897),
p. 105, considerd solo scomposizioni particolari (parti annodate).
171) O. Nicoletti, Rend. Palermo, 37 (1914), p. 47 e 40 (1915\ p. 194, appro-
fondisce la ricerca, stabilendo relazioni necessarie anche fra gli spigoli.
172) M. J. M. Hill, Proc. Lond. math. Soc.,» (1) 27 (1896), p. 39; O. Nicoletti,
loc. cit.17T), p. 71.
173) C. Juel, Oversigt over det Kongelige Danske Videnskabemes Selskabs
Forhandlinger, 1903, p. 65; O. Nicoletti, loc. cit.171), p. 72.
XXL - Fondamenti di geometria
4 3
44. Il principio fondamentale dell’equivalenza per i po*-
liedri. — Insieme alia dimostrazione del principio di De Zolt per i
poligoni si ottenne quella dell’analogo principio per i poliedri174). Sc-
guendo il concetto di D. Hilbert, si pud definire come indice di un
tetraedro il prodotto dell’indice di una faccia per 1’altezza corrispon-
dente, e come indice di un poliedro la somma degli indici dei tetraedri
nei quali e scomponibile175) ; si ottiene cosi una corrispondenza fra
poliedri e segmenti (indici) che gode della proprieta additiva. Ё da no-
tare che il metodo di dimostrazione del principio di De Zolt, sia nel
piano che nello spazio, e tale da eliminare la necessita del principio
stesso ; infatti, ottenuta una corrispondenza, come quella ora detta,
fra poligoni e segmenti о fra poliedri e segmenti, i poligoni e i poliedri
vengono senz’altro caratterizzati come classi di grandezze, isomorfe
a quella dei segmenti.
Risulta altresi che, definendo la equivalenza di due poliedri come
eguaglianza degli indici, si riuniscono tutti i poliedri, equiscomponi-
bili о no, in un’unica classe. Due poliedri equivalenti in questo senso
si ottengono Гипо dall’altro о disponendo diversamente gli stessi te-
traedri, о sostituendo a un tetraedro un altro tetraedro di ugual base
e uguale altezza. Un tale concetto di equivalenza e indipendente dal
postulato d’Archimede, e si pud estendere all’s„
45. Superficie piane e solidi di prima specie. — 1. Limi-
tandoci aU’equiscomponibilita in parti poliedriche, si ha in ogni modo
che i prismi costituiscono una classe di grandezze, la quale, identifi-
cando tutti i prismi fra loro equivalenti in un unico ente, potremo dire
classe dei volumi, come classe delle aree e quella che si ottiene da tutti
i poligoni. Dicendo, per brevita, solidi di la specie quelli equiscompo-
nibili con prismi, abbiamo che a ciascuno di essi corrisponde un de-
terminate volume col solo criterio della equiscomponibilita. Ma basta
passare alle piramidi per avere solidi che non sono general mente di
la specie, e nel piano basta uscire dai poligoni per avere superficie che
non sono di la specie.
2. Il criterio della equiscomponibilita non pud esser sufficiente per
superficie piane о per solidi in senso generale, neppure se si ammette
la massima liberta per la natura delle parti. M. R£thy l76) ha determi-
nate le condizioni affinche due superficie piane a contorno curvilineo
174) G. Veronese, loc. cit.163); G. Lazzeri, loc. cit.163), p. i l<>; F. Palatini,
loc. cit.163), p. 5 ; P. Benedetti, loc. cit. le3) (quest’ultima dimostrazione vale per 1’jn);
O. Schatunowski, Math. Ann., 57 (1903), p. 496; B. Niewenglowski-L Gerard,
Cours de Geometric elementaire, Paris 1898-1900.
175) G. B. Halsted, Rational Geometry, New-York 1904 (trad, franc., Geom.
rationnelle, Paris 1911) segue questo procedimento non a scopo dimostralivo, ma addi-
rittura per porre il concetto dell’equivalenza fra poliedri. Per altri solidi pone a base
il principio di Cavalieri ; per linee e superficie da definizioni convenzionali, che pos-
sono apparire arbitrarie.
17e) Math. Ann., 38 (1891), p. 145.
44
Piero Benedetti
siano divisibili in parti rispettivamente sovrapponibili ; U. Amaldi 177)
dimostra semplicemente I’impossibiliti di tale divisione per un cer-
chio e un poligono.
3. Se di due superficie piane (o solidi) non equiscomponibili A e
В si potesse affermare la possibility di scomporre 1’una e 1’altra in parti,
in modo che le parti di una determinata di esse (per es. A) fossero uguali
ad alcune delle parti dell’altra, si potrebbe dire A suvvalente а В e В
prevalente ad Л, e definire due superficie (o solidi) equivalent! quando
uno non e ne prevalente nd suvvalente all’altro. Ma una tale afferma-
zione non si pud fare senza porre qualche limitazione per le frontiere
delle superficie о solidi considerati; F. Enriques-U. Amaldi 178 179 *) sup-
pongono i contorni for mat i di segmenti e archi di circonferenza e le
superficie dei solidi costituite di parti piane, sferiche, cilindriche, co-
niche, ed introducendo un postulato 17 9) costruiscono la teoria dell’equi-
valenza nel modo suddetto. Perd il postulato e superfluo, perche la
teoria stessa (come diremo) si pud svolgere senza postulato alcuno an-
che per categorie pifi ampie di superficie e solidi.
46. Superficie piane e solidi di seconds specie. — 1. Gene-
ralmente il confronto fra due solidi S e S' (e lo stesso si pud dire per
le superficie piane a contomo qualunque) si fa per mezzo dei solidi di
la specie contenuti in essi, costituenti due gruppi Gr e G\ , e di quelli
che li contengono, costituenti due altri gruppi G2 e G'2 ; i gruppi Gr
e G2, G\ e G'2 sono, nei casi ordinari, gruppi contigui di grandezze
(volumi о aree). Allora, о si ammette un concetto intuitivo generale
di volume con carattere di grandezza, e i volumi dei solidi S e S' (gia
esistenti) vengono semplicemente determinati dall’essere elementi di
separazione dei gruppi contigui Gj e G2, G^ e G* 2 ; oppure, senza
ammettere un nuovo concetto primitivo, si definiscono S e S' come
equivalent! quando tutti i solidi di Gx hanno volume minore di quelli
di G’2, e quelli di G\ di quelli di G2.. Il postulato della continuity as-
sicura poi che esiste un prisma equivalente a S e S'.
2. Ma lo sforzo che si fa per i casi particolari ai quali generalmente
ci si limita, considerandoli uno ad uno, e poco meno di quanto occorre
per affrontare in pieno il problema deWestensione1^) nello spazio sn :
Far corrispondere ad ogni solido di sn un determinate elemento della classe
dei volumi (rappresentata dai prismi disn) in modo che siano soddisfatte
le condizioni: 1. A solidi uguali corrispondono volumi uguali; 2. Un so-
lido composto di altri (in numero finite) abbia volume uguale alia somma
dei volumi di quelli; 3. Un solido cohtenuto in un altro abbia volume non
maggiore del volume di questo ; £*. Ai prismi di sn corrisponda quello stesso
volume che essi rappresent ano.
177) Loc. cit.158), p. 23.
178) Loc. cit. 54), p. 192.
179) Modificato utilmente da E. Maccaferri, Period, mat., (3) 11 (1914), p. 135.
18°) P. Benedetti, Boll, mat., 19 (1923), p. 1 e 51.
XXL - Fondamenti di geometria
45
Dicendo, con G. Peano181), volume interno di un solido il limite
superiore dei volumi dei solidi di la specie contenuti in *S, e volume
esterno il limite inferiore dei volumi dei solidi di la specie che conten-
gono 5 (limiti esistenti per la continuita della classe dei volumi), qua-
lora i due volumi coincidano si pud assegnare ad *S, come volume, il
valore comune dei due limiti (volume proprio), e rimane cosi risoluto
il problema dell’estensione per una gia vasta categoria di solidi. Questi
si dir anno solidi di 2a specie.
C. Jordan 182) ottiene i due limiti di Peano (che chiama estensione
interna e esterna) dividendo lo spazio sn in cubi e considerando i solidi
costituiti dai cubi contenuti in e da quelli che hanno punti comuni
con ; il quale vien detto misurabile (quadrabile se e piano) quando i
due limiti coincidono.
.Tutti i solidi della Geometria elementare sono di la о di 2a specie ;
ma, assumendo il concetto piu generale di solido, se ne trovano anche
di quelli per i quali Festensione interna e Festerna non coincidono. In
essi la frontiera e un insieme di punti, la cui estensione esterna non e
nulla, mentre e nulla Finterna 183). Non tutti i solidi, dunque, sono di
la о di 2a specie184).
3. La risoluzione del problema dell’estensione per i solidi che non
sono di 2a specie ha un interesse limitato per la Geometria elementare,
mentre lo ha grandissimo per la Teoria degli insiemi e per FAnalisi,
riattaccandosi al problema della misura degli insiemi di punti genialmente
risoluto da H. Lebesgue185) e da G. Vitali186). Conviene perd sostituire
la condizione 2 del problema con Faltra : Un solido composto di un nu-
mero finito о di una infinita numerabile di solidi, senza punti comuni due
a due, abbia per volume la somma dei volumi. Infatti Fesame accurato
del problema dimostra che le frontiere о parti di esse non sono sempre
trascurabili per il volume, come si e abituati ad ammettere. Per i solidi,
compresi gli indefiniti, si raggiunge una completa risoluzione del pro-
blema187), posta un’ovvia restrizione circa la parte di frontiera che
si vuol considerare come appartenente al solido, quando non sia la fron-
tiera totale188).
181) Loc. cit.15°), p. 158.
182) J. math, pures appl., (4) 8 (1892), p. 77 ; loc. cit.141), p. 28.
183) W. F. Osgood, Trans. Amer. math. Soc., 4 (1903), p. 107, e H. Lebesgue,
Bull. Soc. math. France, 31 (1903), p. 197, costruiscono delle curve di Jordan (piane)
che hanno di per se stesse un’area non nulla, e che quindi limitano superficie la cui area
interna ё minore dell’estema.
184) C. Jordan, loc. cit.141), p. 106, dimostra che ogni superficie piana limitata
da una linea chiusa di lunghezza finita ё quadrabile. Altri casi di superficie piane e so-
lidi misurabili indica P. Benedetti, loc. cit. 18°), p. 27.
185) Ann. mat. pura appl., (3) 7 (1902), p. 282 ; Lemons sur Г integration, Paris
1904, p. 102.
18e) Rend. Palermo, 18 (1904), p. 116.
187) Loc. cit. 18°), p. 68.
188) Loc. cit. 18°), p. 11.
4G Piero Benedetti
47. Equivalenza come equiscomponibilita in infinite parti.
— G. Veronese189) ha mostrato di voler fondare la teoria generale
dell’equivalenza per i solidi sulla equiscomponibilita in un numero
anche infinite di parti di natura qualunque ; altri19 °) hanno fatto ana-
loga proposta. Ma 1’analisi completa del problema, che si pud condurre
con la guida dei concetti generali suesposti191), dimostra che un tai
tentativo non pud riuscire se non limitatamente ai solidi di 2a specie,
e ammettendo che anche le parti siano di 2a specie. Ponendo questa
limitazione e procedendo con le cautele necessarie in un argomento
cosi delicato, si viene a sviluppare una teoria molto complessa, di froute
alia quale quella fondata sui concetti di G. Peano e C. Jordan ha pregi
di semplicita e chiarezza incontestabili.
48. Lunghezza di una linea e area di una superficie curva.
— Il concetto di equivalenza per le linee si svolge completamente de-
finendo, con G. Peano192), come lunghezza di una linea il limite supe-
riore dei perimetri delle spezzate inscritte ; distinte le linee in finite
e infinite, si ottengono senza difficolta, per le linee piu generali, i se-
guenti risultati193) : La lunghezza di una linea limitata e uguale alia lun-
ghezza della linea illimitata che si ottiene da essa sopprimendone gli estremi;
la lunghezza di una linea divisa in un numero finite di tratti e la somma
delle lunghezze dei vari tratti; su una linea finita si pud trasportare qua-
lunque lunghezza data, minore di quella della linea; in particolare, si pud
dividere una linea finita in un numero qualunque di tratti di ugual lun-
ghezza; ecc.
Per le linee convesse si dimostra poi che esse sono di lunghezza
finita, e minore di quella di qualunque altra linea che le inviluppi194) ;
di modo che tutte le linee limitate e chiuse nelle quali ogni punto e
1’origine di due tratti convessi (o di uno solo se quel punto e un estremo)
sono finite195).
2. Ben di verso e il caso dell’area di una superficie curva ; la que-
stione e troppo nota per le difficolta che presenta anche quando si af-
189) Atti 1st. Veneto, (7) G (1894-95), p. 424. Pare abbia voluto seguire lo stesso
concetto negli Elementi, cit. 5e), p. 236. V. anche G. Scorza, Boll. Mathesis, 4 (1912),
p. 245.
19°) S. Sbrana, Riv. mat., 4 (1894), p. 147; « Analyticus », Pitagora, 19
(1912-13), p. 1 ; S. Catania, id., p. 60; M. Cipolla, id., p. 65.
191) Loc. cit.1R0), p. 72.
192) Loc. cit.150), p. 161.
193) P. Benedetti, Period, mat., (3) 9 (1912), p. 1.
l94) Loc. cit.193), p. 18.
195) V. nota154). G. Mignosi, Pitagora, 19 (1912-13), p. 49, da una particolare
definizione di dominio convesso, procede alia quadratura del dominio stesso e ne ret-
tifica la frontiera con un procedimen to simile a quello comunemente usato per il
cerchio. F. Severi, Boll, mat., 25 (1929), p. 81, considerando le figure piane convesse
e le linee che le limitano, definisce le estensioni delle une e delle altre per mezzo dei
poligoni convessi contenuti e contenenti. G. Vizzini, Boll, mat., 26 (1930), p. 41, di-
mostra che i domini convessi di G. Mignosi coincidono con le figure convesse di
F. Severi e sviluppa le vedute di quest’ultimo.
XXI. - Fondamenti di geometria 47
fronta coi metodi del Calcolo integrale196). Nella Geometria elemen-
tare ci si limita a definizioni caso per caso, non essendosi ancora tro-
vato un chiaro concetto unificatore197).
196) F. Sibirani, Period, mat., (3) 3 (1906), p. 32. V.- Fart. XVIII di questa
E’icicl. (G. Vivanti, Elementi di Analisi infinitesimal e), nota 92).
197) Se pure questo non possa trovarsi nella definizione di H. Minkowski, loc.
cit.196), p. 43, e L. Brusotti, Period, mat., (4) 2 (1922), p. 49.
Il problema si semplifica notevolmente quando si limita alle superficie di figure
solide convesse, considerate nella loro interezza ; ma si complica di nuovo quando si
v^gliono considerare parti di esse.
XXII
PROPRIETA ELEMENTARI DELLE FIGURE
DEL PIANO E DELLO SPAZIO
di EMILIO ARTOM a Torino
INDICE
I. * Intrqduzione.
Ред.
1. La geometria elementare....................................................... 5 В
2. Cenni storici .............................................................. 54
3. Didattica e libri di testo................................................ 64
II. - Geometria piana.
4. Primo gruppo di postulati .................................................. 66
5. Uguaglianza ................................................................ 67
6. Angolo....................................................................... 68
7. Il triangolo ; triangoli uguali ............................................. 71
8. Disuguaglianze tra elementi di un triangolo ................................. 73
9. Mediane, altezze, bisettrici ............................................... 74
10. Figure piane simmetriche rispetto ad un punto о ad una retta................ 75
11. Proiezioni ortogonali....................................................... 76
12. Poligoni, poligoni uguali ....................................... ......... »
13. La circonferenza ; prime propriety ......................................... 77
14. Relazioni tra una retta e una circonferenza complanari ..................... 80
15. Relazioni tra due circonferenze complanari.................................. 81
16. -Poligoni inscritti e circoscritti ........................................ 82
17. Rette parallele: prime proposizioni ....................................... 83
18. Postulato delle parallele e sue conseguenze............................... »
19. Rette antiparallele rispetto ad una retta .. . . :......................... 86
20. Parallelogrammi e trapezi.................................................. 87
21. Equivalenza di poligoni piani.............................................. 89
22. Parallelogrammi e triangoli equivalent^.................................... 90
23. Trasformazioni di poligoni ................................................. »
24. I poligoni come grandezze .........................................*........ »
25. Teorema di Pitagora e sue conseguenze ..................................... 91
26. Altre relazioni di equivalenza............................................. 98
27. Proporzionalit^ tra grandezze ............................................. 95
28. Principal! propriety delle proporzioni..................................... 96
29. Triangoli cogli angoli rispettivamente uguali ............................. 99
30. Relazioni tra proporzionalit^ di segmenti ed equivalenza di rettangoli .... 100
31. Figure simili ............................................................ 191
III. - Stereometria.
32. Postulati e prime proposizioni............................................ 102
33. Angoli di una retta e di un piano......................................... 104
34. Angoli di due piani (o diedri) ........................................... 105
52 Emilio Artom
Pag.
35. Angoloidi................................................................... 107
36. Osservazioni sulla sovrapponibilit^ delle figure........................... 108
37. Triedri polari............................................................ 109
38. Uguaglianza di triedri e di angoloidi ..................................... »
39. Rette e piani parallel! ................................................. 110
40. Distanza di due rette sghembe ............................................ 112
41. Poliedri .................................................................... »
42. Poliedri equivalent!....................................................... 114
43. Cono ...................................................................... 115
44. Cilindro .................................................................. 117
45. Sfera.................................................................... 118
46. Figure simili nello spazio................................................... »
I. ~ INTRODUZIONE
1. La geometria elementare. — Ricordando il significato della
parola «Elementi» [-Еихдеш1)], si potrebbe dire che la geometria ele-
mentare si occupa dei punti, delle rette, dei piani, e delle piu semplici
figure che si possono dedurre da un numero finito di tali enti; ma cosi
risulterebbero assai incerti i suoi limiti e specialmente gli indirizzi se-
condo i quali vanno considerati detti enti. Ora la geometria elemen-
tare tratta quasi esclusivamente propriety di uguaglianza о di simili-
tudine di figure, anzi le propriety che essa studia sono generalmente
di tai natura che, se valgono per una figura, valgono altresi, non solo
per le figure uguali ad essa, ma per le figure ad essa simili. Persino la
terminologia della geometria elementare (parallelogrammi, rettangoli,
quadrati, cerchi, angoli, diedri, ecc.) ё tale che il поте di una figura ё
pure il nome di ogni figura ad essa simile2). F. Klein 3) osservo che i
vari indirizzi, secondo i quali si pud studiare la geometria (elementare,
proiettiva, affine, topologica), sono caratterizzati da un gruppo di opera-
zioni, rispetto al quale le propriety che si studiano sono invariant! ;
per la geometria elementare si tratta del gruppo delle similitudini (che
comprende quello delle uguaglianze).
Nell’uso comune il significato dell’espressione «geometria ele-
mentare» dipende anche dalle condizioni della cultura matematica nei
vari luoghi e nei vari tempi e persino dai programmi scolastici.
Cosi ai tempi immediat^mente posteriori ad Euclide pare che si
riguardasse come elementare la geometria contenuta nei classici Ele-
menti, попсЬё quella esposta in alcuni trattatelli sulle coniche che an-
darono perduti. Oggi invece la teoria della misura, introdotta da Erone
nella scienza, fa parte della geometria elementare, insieme con alcune
delle scoperte di Archimede, nel campo della stereometria, mentre le
г) Procli Diadochi, In primum Euclidis elementovum librum Commentarii, ex
recogn. G. Friedlein, Leipzig 1873, Prologue II, p. <57.
2) Cfr. G. Ascoli, Complementi di geometria, Livorno 1912. Tutto cid si trova
implicitamente nella definizione di similitudine di G. W. Leibniz : « Similia sunt, in
quibus per se singulatim consideratis inveniri non potest quo discernantur »: Math,
Schriften, 7, ed. С. I. Gerhardt, Halle 1863, p. 30. Cfr. pure B. Bolzano, Betrach-
tungen uber einige Gegenstande der Elementargeometric, Prag 1804, § 16.
’) Vergleichende Betrachtungen Uber neuere geometrische Forschungen, Progfamm
zum Eintritt in die phil. ‘Fakultat, Erlangen 1872 ; Ges. math. Abh., 1, Berlin 1921,
p. 460 ; trad, italiana di G. Fano, Ann. mat. pura appl., (2) 17 (1889-90), p. 307.
54
Emilio Актом
coniche ne sono escluse generalmente in Italia, ma si trovano, insieme
con qualche altra curva, nei trattati francesi 4).
Sotto un altro aspetto, la geometria elementare ё caratterizzata
dai metodi di studio, che devono essere quelli dei geometri classici.
Non fa quindi parte della geometria elementare ogni ricerca condotta
coi metodi della geometria analitica, о della geometria proiettiva, о
del calcolo infinitesimale. E allora la geometria greca, fino ad Apol-
lonio, ad Archimede ed a Pappo, rientra tutta nella geometria elemen-
tare ; ma vi rientrano anche molte propriety di geometria proiettiva,
per esempio quelle delle proiettiviti e delle involuzioni, come si svol-
gevano prima dell’introduzione degli elementi all’infinito. In questo
senso, anche argomenti lontanissimi dalla geometria classica, come
p. es. la geometria non euclidea, possono venir trattati elementarmente.
Ma anche questo e un criterio relativo, che subisce modificazioni col
tempo. P. es. la trattazione elementare delle proporzidni sarebbe sol-
tanto quella che — come in Euclide — si fonda sul solo concetto di
numero intero, о al piu razionale, e 1’uso degli irrazionali, e quindi
delle misure, uscirebbe gii dalla geometria elementare.
In modo poco profondo, ma abbastanza preciso, la geometria ele-
mentare pud esser definita come la parte della geometria che si occupa
degli argomenti che si trovano negli Elementi di Euclide, seguendo i
metodi della geometria greca. In questo articolo ci atterremo all’incirca
a questa definizione.
2. Cenai storici.5 *) — La geometria (уесо/хетрш) nacque, come
dice il nome, dalla necessity di misurare i terreni e di tracciare su di
essi linee divisorie. La scienza che si occupa dei punti e delle figure
da essi generati conservd il nome di geometria anche quando la mi-
sura cessd di esserne lo slcopo principale.
Una tradizione e), in parte confermata dalle scoperte degli egit-
tologi, vuole che gli antichi Egiziani fossero assai progrediti nella co-
noscenza delle proprieta delle figure geometriche ; ma il fatto che parte
delle regole da essi adoperate sono errate mostra che i loro metodi
di ricerca dovevano essere puramente empirici e quindi assai lontani
da quelli a noi trasmessi dai Greci7).
*) V. anche M. Simon, Ueber die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX
Jahrhundert, Jahresb. deutsch. Math.-Vereinig., Erganzungsbande, 1 (1906), p. 1.
5) Per la storia della matematica in generale, v. M. Cantor, Vorlesungen uber
Geschichte der Mathematik, 4 voll., Leipzig 1880-1908 ; G. Loria, Le scienze esatte
neWantica Grecia, 2a ed., Milano 1914 ; e per le connessioni fra la scienza e la filosofia:
F. Enriques e G. De Santillan д, Storia del pensiero scientifico, Milano-Roma 1932.
Ё uscito il I volume : Il mondo antico. Rispetto alia matematica elementare v. J. Tropfke,
Geschichte der Elementar-Mathematik, 7 voll., 2a ed., Berlin-Leipzig 1921-1924.
•) Erodoto, Historiarum libri IX, a cura di H. Kallenberg, Leipzig 1906, li-
bro II, cap. 109, p. 181, fa coincidere la nascita della geometria egiziana con certi la-
vori catastali del re Sesostri. Anche Proclo x), p. 65, dice che la geometria dovette la
sua nascita alia necessity in cui gli Egiziani si trovavano, di tracciare ogni anno i con-
fini delle propriety cancellati dalle inondazioni del Nilo.
7) Si tratta specialmente del famoso papiro Rhind, illustrate da A. Eisenlohr :
XXII. - Proprieta elementari delle figure del piano e dello spazio 55
Talete8) nel VI secolo av. Cr. avrebbe portato in Grecia il gusto
per le ricerche geometriche, fatte perd con uno spirito assai diverso
da quello dei predecessor!, che pare cercassero solo proprieta utili о
curiose, senza curarsi del loro concatenamento logico. Invece da Ta-
lete in poi i geometri greci, mentre scoprono i teoremi piu notevoli
della geometria, fermano la loro attenzione su proprieta sempre piu
semplici, dalle quali possano dedursi le piu complesse, e, compiendo
cosi questo cammino a ritroso, finiscono per istabilire i primi principi
о postulati della geometria. Cosi a Talete stesso si attribuisce lo studio
delle prime proprieta degli. angoli e dell’uguaglianza dei triangoli ; a
Pitagora 9), vissuto a capo di una celebre scuola filosofica a Crotone
nel VI sec. av. Cr., lo studio delle proporzioni e poi degli irrazionali,
ai quali egli giunse probabilmente partendo dal teorema che porta il suo
nome, gia noto prima di lui in qualche caso particolare, ma solo allora
riconosciuto vero in tutta la sua generalita. La dimostrazione di questo
teorema, ma piu ancora la scoperta dei segmenti incommensurabili10 *),
conferma nettamente il nuovo carattere delle ricerche geometriche,
non piu fondate su metodi sperimentali, i quali non avrebberomai po-
tuto condurre a tali ritrovati. Notiamo di sfuggita che la scoperta dei
segmenti incommensurabili deve aver fatto respingere 1’ipotesi che ogni
segmento di retta contenga un numero grandissimo ma finito di punti,
ipotesi che aveva facilitate la teoria delle proporzioni dello stesso Pita-
gora, e probabilmente da questo momento i geometri avranno influito
notevolmente sui filosofi studiosi del problema dell’infiniton).
Altre proprieta note a Pitagora, о almeno ai Pitagorici, furono
senza dubbio quelle sulla somma degli angoli di un poligono convesso
e sulla divisione in media ed estrema ragione, che stanno a base della
costruzione del pentagono regolare, e quelle che permettono la costru-
zione dei poliedri regolari.
Si pud dire che a questo punto quasi tutte le propriety piu impor-
tanti della geometria elementare sono scoperte ; ma molto tempo deve
passare prima che I’affinamento delle indagini critiche permetta la
redazione di un trattato quasi definitive come quello di Euclide, seb-
bene, secondo Proclo, gia ad Ippocrate si deve la алаусоут], owero la
concatenazione sistematica delle proposizioni geometriche12). La col-
Ein math. Handbuch der alten Aegypter, Leipzig 1877. Ё un trattatello di carattere molto
elementare, di un tale Ahmes (circa 1800 a. C.), ricavato da opere molto piu antiche,
contenente fra altro regoje pratiche per Ife aree. Ma, secondo W. Struve, il cosi detto
papiro di Mosca, da lui edito e commentato (Mathem. Papyrus des Staatlichen Museums
der schonen Kiinste in Moskau, Berlin 1930) lascia presumere che le cognizioni degli
Egiziani fossero assai piu proforide di quel che si era potuto ricavare dalFoperetta di
Ahmes, modemissima e corredata di disegni troppo grossolani.
8) Proclo1), p. 65.
9) Proclo8).
10) Sull’ipotetica conoscenza dell’irrazionalit^ di certi rapporti, da parte degli
antichi Indiani, v. A. Burk, Das Apostamba-Sulba-Sutra, Zeitschr. der deutsch. mor-
genland. Gesellschaft, 55 (1901), p. 543.
n) F. Enriques, Per la storia della logica, Bologna 1922, p. 9.
12) Proclo1), p. 212, 213.
56
Emilio Artom
laborazione della filosofia a questo difficile lavoro e importantissima,
ma pud essere piuttosto intuita e ricostrutta che documentata13) ; li-
mitiamoci qui a citare Zenone, Parmenide, Platone e Aristotele,
attraverso le indagini dei quali si intravvede il progress© della logica
matematica fino ad Euclide.
Ma per restare nel campo strettamente matematico, ricordiamo che
con Archita e Eudosso 14 15) viene risolta la difficolti dei rapporti irra-
zionali e viene fondata la teoria delle proporzioni, anche per grandezze
incommensurabili, coll’uso dei soli numeri interi ; con Democrito 1б)
e Eudosso viene studiata 1’equivalenza dei solidi, con Platone, coi
precedenti e con Aristeo le) e Menecmo 17) la duplicazione del cubo,
la teoria elementare delle coniche, con Ippocrate18) vengono risolte
parecchie question! grafiche e metriche relative al cerchio, mentre si
vanno risolvendo i principal! problemi risolubili colla riga e col com-
passo, il tutto con uno spirito strettamente teorico, anzi, con un voluto
disdegno per tutto cid che sa di materiale e di meccanico. Notiamo a
questo proposito che per la geometria classica la retta e il cerchio oc-
cupano un posto privilegiato ; Fuso delle coniche о di altre curve nelle
costruzioni grafiche e considerate illegittimo, e alcuni strumenti poco
piu complicati del compasso ordinario vengono riguardati come stru-
menti imperfetti, da usarsi, occorrendo, per la pratica, ma indegni
di penetrare nel tempio della geometria pura.
Euclide19) finalmente riassume negli Elementi (Етощыа) le prin-
cipal! ricerche dei matematici che lo precedettero, completandole e rior-
dinandole cosi perfettamente, che la sua opera ha sopraffatto tutte
quelle dei geometri precedenti, in guisa che di esse ci e solo pervenuto
qualche frammento e qualche notizia.
Prima di dare un rapido riassunto dell’opera di Euclide, notiamo
che, salvo qualche oscurita nelle prime proposizioni, e particolarmente
13) v. F. Enriques11), cap. 1, e L. Brunschvicg, Les etapes de la philosophic
mathtmatique, 2a ed., Paris 1922, cap. 1 e 4.
14) Archita di Taranto «ultimus pythagoraeus », vissuto nel IV sec. a. C., si
occupo di varie parti della geometria, fra le quali la duplicazione del cubo. V. il com-
ment© di Eutocio al 11 Libro di Archimede Kept acpaLpat; xai xuXtvSpou (De sphaera et
cylindrd) ; Opera omnia, ed. J. L. Heiberg, 3, Leipzig 1915, p. 85 ; Eudosso di Cnido,
nato verso il 408 a. C., si ritiene che abbia portato un notevole contributo alle question!
di geometria elementare che oggi si trattano con considerazioni di limiti о di classi
contigue.
15) Ё il noto filosofo di Abdera, del V sec. a. C.
le) Aristeo il Vecchio, ricordato da Pappo, Еиуаусоутд34), ed. F. Hultsch, 2,
p. 635 ; ed. P. Ver Eecke, 2, p. 477.
17) Secondo ogni probability, filosofo Platonico, forse maestro di Alessandro
Magno : cfr. Proclo 1), p. 67.
18) Ippocrate di Chio, vissuto nel V sec. a. C.
le) Fiori ad Alessandria sotto Tolomeo I. Le scarse notizie biografiche che si
hanno di lui provengono da un passo di Proclo x), p. 68 e 69 ; altre fomite da autori
arabi sono meno attendibili. Un errore di Valerio Massimo lo fece confondere con
Euclide di Megara, filosofo ; I’errore si ripetfc sino alia meta del sec. XVI, finch£
F. Commanding lo corresse: v. G. Loria 5), pp. 193, 194.
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 57
nelle definizioni, e la mancata enunciazione di qualche proposizione
primitiva, della quale si fa uso implicitamente, I’opera si presenta pres-
soche perfetta, specialmente dal punto di vista logico, essendo ben de-
terminata la deduzione di ogni teorema dai pfecedenti о dalle proposi-
zioni primitive, e sempre ricondotta ogni costruzione a quelle fonda-
mentali, postulate come possibili. Particolarmente ammirevole e la
teoria delle proporzioni, trattata in modo da valere anche per i seg-
menti incommensurabili.
Quanto alia forma, il linguaggio non e cosi strettamente tecnico,
come nei libri modemi, non essendo molto ampia la terminologia Spe-
ciale fuori del linguaggio comune. Euclide usa le lettere dell’alfabeto
per indicare i punti, cosicche le lettere appaiono come nomi dati ai
punti; questo uso, conservatosi poi, differisce da quello di Ippocrate 20).
Il primo libro incomincia con un elenco di termini (ogot) accom-
pagnati da alcune spiegazioni, che, interpretate come definizioni, sareb-
bero poco soddisfacenti in quanto che le parole usate nella definizione
andrebbero alia loro volta definite. In realta si tratta di chiarimenti,
о di postulati sugli enti introdotti, ma talvolta 1’espressione e oscura.
Si e anche supposto che in queste primissime pagine siano avvenute de-
formazioni poco felici, per opera di scribi о di commentatori superficiali.
Un secondo gruppo si compone di proposizioni chiamate оЦиага
che hanno il vero ufficio di postulati : le prime tre servono a giustifi-
care le costruzioni geometriche (p. es. si ammette che da ogni punto
ad ogni punto si possa condurre una linea retta); delle ultime due 1’una
afferma che tutti gli angoli retti sono uguali, e 1’altra e il famoso po-
stulato delle parallele, che, per essere assai piu complesso degli altri,
provoco fin dall’antichita tentativi di dimostrazione, riusciti vani [v.
Fart. XXXVIII di questa Encicl. 114)].‘ Infine si hanno le nozioni comuni
(xotvai Ewotai), о proprieta comuni a tutte le grandezze.
Cid premesso, incomincia la serie dei problemi fondamentali e
dei teoremi sull’uguaglianza e la disuguaglianza dei triangoli e dei loro
elementi ; sulle parallele, sui parallelogrammi e sull’equivalenza di
alcuni poligoni, fino al teorema di Pit agora ed al suo inverso, come se
lo scopo del primo libro fosse di giungere rapidamente a questa singo-
lare proprieta.
Il secondo libro contiene i principal! teoremi, che possiamo chia-
mare di «algebra geometrica», e che oggi si potrebbero esprimere,
come fece G. Oughtred 21), colle formole :
(a + b + c + ...) m = am + bm + cm + ...,
(a + bV = a2 4- 2 a b + d2
20) Secondo Eudemo, Ippocrate avrebbe designate i punti con lettere posce
accanto ad essi, dicendo p. es. то ёф'.ф x (quello presso il quale x) e non тб x, come
dice Euclide. Cfr. C. A. Bretschneider, Die Geometric, und die Geometer vor Eudides,
Leipzig 1860, p. 114.
21) Chwis mathemutica, Londra 1631.
58
Emilio Artom
senza, ben inteso, voler vedere rappresCntate dalle lettere le misure dei
segmenti anziche i segmenti stessi, e ricordando che i simboli a b e a2
rappresentano il rettangolo che ha per lati consecutivi a e 6, e il qua-
drate di lato д, e che il segno = rappresenta I’equivalenza.
Terminano il libro i problemi sulla trasformazione di un poligono
in un rettangolo di data altezza e in un quadrate.
Il terzo libro e destinato allo studio del cerchio e delle relazioni
fra i segmenti determinati da una circonferenza su due rette incident!,
dimostrate coi teoremi di equivalenza.
Il quarto libro e dedicate ai poligoni regolari inscritti e circoscritti
ad un cerchio.
Nel quinto libro e contenuta le teoria generale delle proporzioni
fra grandezze, introdotte con una ingegnosissima definizione che fa
uso dei soli concetti di moltiplicazione per un numero intero e di con-
fronto fra due grandezze omogenee. Come i libri precedenti contengono
argomenti in sostanza gia noti alia scuola di Pitagora, cosi questo libro
contiene le teorie dovute ad Eudosso di Cnido.
La teoria dei poligoni simili si trova nel sesto libro, che termina
coi problemi di applicazione delle aree (dei Pitagorici) e colle proposi-
zioni sulla proporzionalita degli angoli al centro di una circonferenza
agli archi corrispondenti.
I libri settimo, ottavo e nono riguardano I’aritmetica dei numeri
razionali. Contengono cosi la parte elementare della teoria dei numeri
e la teoria delle frazioni. Ё presumibile che siano stati aggregati alia
geometria come necessaria premessa allo studio di certi irrazionali con-
tenuti nel decimo libro.
Infatti questo decimo libro e una monografia sugli irrazionali
quadratic! e biquadratic!; manca solo I’idea, tutta moderna, di defi-
nire in qualche modo, sia pure per astraziorie, il numero irrazionale.
Partendo dalla definizione di segmenti commensurabili, e poi di seg-
menti commensurabili in potenza (se sono commensurabili i loro qua-
drati, owero tali che il loro rapporto sia un radicale quadratico), Eu-
clide introduce poi anche, sotto forma geometrica, i radical! quarti,
e studia con ampiezza le note proprieta dei radicali doppi. In questo
libro si trova il celebre procedimento di Euclide per la ricerca del
massimo comun divisore di due segmenti. Tutto il libro costituisce
probabilmente uno dei contributi originali portati da Euclide alia
geometria, e in esso si vede chiaramente come le relazioni che oggi ci
paiono strettamehte aritmetiche fossero allora studiate sotto forma
geometrica, о piuttosto costrette sotto tale forma, non volendosi intro-
durre il concetto di numero irrazionale.
Il libro undecimo contiene i principi di geometria nello spazio, e
vi si nota una minor acciiratezza che nei libri di planimetria.
Il libro dodicesimo e destinato alle questioni di equivalenza nello
spazio. Si tratta di proposizioni probabilmente dovute ad Eudosso e
dimostrate col metodo di esaustione, dovuto a lui e ad Ippocrate, e
poi usato largamente da Archimede. Come nei trattati di Archimede,
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 59
le regole dei volumi sono date mediante il rapporto fra il volume di una
figura che si studia e quello di una figura in semplice relazione con
essa, e mai ricorrendo ad unita di misura fisse. In questo libro si trova
pure il teorema sul rapporto di due cerchi, qui collocato forse per Гапа-
logia che ha col teorema sul rapporto di due sfere.
Il libro decimoterzo ed ultimo contiene relazioni fra i poliedri
regolari e la sfera circoscritta ; in particolare vengono trovati i rapporti
fra i loro lati e il diametro della sfera, premesse alcune proprieta della
divisione di un segmento in media ed estrema ragione.
Altri due libri furono aggruppati ai tredici libri di Euclide, 1’uno
da Ipsicle (II sec. a. C.), I’altro da autore controverso, e contengono
ulteriori ricerche sui poligoni e sui poliedri regolari.
Tale in riassunto Горега di Euclide, sulla quale non ci soffermiamo
oltre, rimandando per maggiori particolari ai capitoli seguenti, nei
quali 1’esposizione delle varie parti della geometria elementare verra
sempre messa a confronto con la trattazione euclidea.
L’importanza di quest’opera, sempre viva dopo 2200 anni, fu
grandissima nella storia della scienza, poiche si pud dire che il ritorno
ad Euclide segno sempre il risorgimento della matematica dopo periodi
piu о meno lunghi di decadenza.
Come in tutte le opere dell’antichita, anche negli Elementi di Eu-
clide si trovano gl’inconvenienti inevitabili nei libri trasmessi in copie
manoscritte da scrivani che peccano talvolta per ignoranza e talvolta
per eccesso di zelo 22 *).
Il testo critico di J. L. Heiberg tiene conto di otto manoscritti,
uno solo dei quali indipendente d^Wedizione di Teone di Alessandria,
e pud ritenersi assai prossimo al testo originale Preziosissimo e il
commento, gia citato, di Proclo, purtroppo esteso solo al 1° libro.
Di assai minore interesse scientifico e storico gli Scholia compilati in
gran numero in margine. alle antiche copie di Euclide24).
Oltre che nel mondo classico, fu rapida la diffusione degli Ele-
menti presso gli Arabi, fin da quando i califfi Al-Mansur (754-775) e
Al-Mamun (813-833) ne ottennero una copia dai Bizantini e ben presto
ne ebbero una traduzione per opera di Hajjaj ben Yusuf ben Mat ar
ai tempi di Harun al Rascid (786-809) 25 *). Fra le numerose traduzioni
e i comment! posteriori ricordiamo quelle di Al-Nairizi (X secolo)2e).
и) Euclide, v. J. L. Heiberg, vol. 5, Continent elementovum qui feruntur libros
XIV-XV et scholia in elementa, cum prole gomems critids et appendicibus, Lipsiae 1888,
pp. XXIII e segg.
®) J. L. Heiberg, Paralipomena zu Euclid, Hermes, 38 (1903), p. 46-74, 161-201,
321-356.
24) J. L. Heiberg, От Scholierne til Euclids Elementer, Kjobenhavn 1888. Ё se-
guito da un breve riassunto in francese.
25) H. Klamroth, Zeitschr. der deutsch. morgenland. Gesellschaft, 35 (1881),
p. 303.
2e) J. L. Heiberg, Euclidis Elementa ex interpretatione al Hadschdschadschii cum
comm, al Narizii, Hauniae, part. I, 1893, 97 ; part. II, 1905. La traduzione latina di
Gherardo da Cremona si trova, edita a cura di M. Curtze, nei suppl. ad Euclidis
Opera omnia, ed. J. L. Heiberg e H. Menge, Leipzig 1899.
60
Emilio Актом
Presso i. Romani, come ё noto, la scienza pura fu poco coltivata,
e non risulta che Euclide venisse tradotto in latino, forse anche per la
diffusa cohoscenza del greco. Magno Aurelio Cassiodoro cit a bensi
nella sua opera enciclopedica De artibus ac disciplines libercdium lite-
varum una traduzione del contemporaneo A. M. T. Severino Boezio,
ma I’operetta attribuita a Boezio che ci e pervenuta non ё che un in-
sieme di definizioni e di teoremi senza dimostrazione
Solo dopo il 1000 compaiono le prime traduzioni latine ; citiamo
quella di Gherardo da Cremona, fatta attraverso traduzioni arabe e
accompagnata dalla traduzione dei commenti di Al-Nairizi ®) e quelja
di Giovanni Campano da Novara (fine del sec. XIII).
Nel 1482 esce la prima edizione a stampa, che riproduce la tra-
duzione del Campano, presso Erhardus Ratdolt a Venezia27 * 29), nel 1505
quella di Bartolomeo Zamberti, e nel 1533 la prima edizione greca a
cura di Simone Grynaeus, presso Giovanni Hervagius a Basilea.
Molto diffuse furono nel sedicesimo secolo ed anche in seguito la
traduzione' latina di F. Commanding (Pesaro, presso Camillo Fran-
cischinus, 1572) e la traduzione italiana di Nicolo Tartaglia, ricavata
dalle traduzioni latine del Campano e dello Zamberti, ma arricchita di
commenti che a volte prendono 1’atteggiamento di polemiche contro
lo stesso Campano30).
In seguito le edizioni nel testo greco e in tutte le lingue modeme
si moltiplicano incessantemente. Citiamo le piii note :
C. Clavius (Christoforo Schlussel), Euclidis elementorum libri XV.
Roma, presso Vincenzo Accoltus, 1574.
Pietro H Trigone, Cursus mathematicus, 1, Paris 1634.
I. Barrow, Euclidis Elementorum Libri XV breviter demonstrati,
Londra 1655. Riassume, cerca di semplificare le dimostrazioni e fa uso
di simboli, imitando in parte P. H^rigone.
Giacomo Alfonso Borelli, Euclides restitutes, Pisis 1658 ; ed.
italiana col titolo Euclide rinnovato, Bologna 1663.
Henry Billingsley, The Elements of Geometric of the most ancient
Philosopher Euclide of Megara, 1570. Opera ricchissima di notizie sto-
riche e commenti ; notevole didatticamente il fatto che il libro XI ё
corredato di modelli in carta per la costruzione nello spazio delle figure.
27) De institutione arithmetica libri duo, edidit G. Friedlein, Lipsiae 1867. Cfr. H.
Weissenborn, Abh. .Gesch. Math., I 2, p. 185 e segg.
“) V. nota2®).
29) V. P. Riccardi, Saggio di una bibliografia euclidea, Bologna 1887-1893 ; e
H. Weissenborn, Die U ebersetzungen des Euclides durch Campano und Zamberti, Halle
a. S. 1882.
80) La prima edizione ё introvabile. La seconda porta nel frontispizio : Euclide
Megarense philosopho, solo introdottore delle scientie mathematiche, diligentemente ras-
settato, et alia integrita ridotto, per il degno professore di tai scientie Nicolo Tartalea
Brisciano secondo le due tradottioni con una ampla espositione dello istesso tradottore di
nuono (sic) aggiunta, talmente Mara che ogni mediocre ingegno, senza la notitia ower
suffragio di alcurialtra scientia, con facilitd sera capace a poterlo intendere. In Venetia,
appresso Curtio Troiano, 1565.
XXII. - PboprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 61
Robert Simson, Euclidis Elementorum libri priores sex, item unde-
cimus et duodecimos, Glasguae 1756.
Robert Simson, The Elements of Euclid, viz. the first six Books
together with the eleventh and twelfth, 1756. Le due opere sono fatte
in base alia traduzione del Commanding, ma con correzioni, note cri-
tiche e geometriche.
F. Peyrard, Euclidis quae super sunt. Les oeuvres d'Euclide en Grec,
en Latin et en Franfais, Paris 1814-1818. Opera molto pregiata per il
testo greco riprodotto in base a manoscritti studiati dal Peyrard.
I. W. von Camerer, Euclidis Elementorum libri sex priores, Berolini,
2 voll., 1824, 1825. Edizione accuratissima e ricca di note.
E. Betti e F. Brioschi, Gli elementi di Euclide, Firenze 1868.
J. L. Heiberg, Ё-l’edizione critica gia citata.
T. L. Heath, The thirteen Books of Euclid's Elements translated
from the text of Heiberg with introduction and commentary, Cambridge,
3 voll., 1908. Edizione ricchissima di note scientifiche, storiche e cri-
tiche, una vera enciclopedia euclidea.
F. Enriques, Gli Elementi d'Euclide e la critica antica e moderna,
col concorso di diversi collaborator!. Sono usciti i tre primi volumi
nella collezione : Per la storia e la filosofia delle matematiche, Roma
1925-1932. L’opera si prefigge appunto lo scopo di illustrare Горега
di Euclide in relazione col pensiero scientifico e filosofico modemo.
Citiamo ancora gli opuscoli di E. Bertini, Euclide, libro quinto,
e di O. Tognoli, Euclide, libro sesto (Torino e Roma 1880), nei quali
il 5° e il 6° libro degli Elementi sono esposti in forma piu moderna, inoltre
quello di G. Vacca, Euclide, il primo libro degli Elementi, Firenze 1916,
contenente il testo greco e la versione italiana, con note, del 1° libro.
Con Euclide si e iniziato il periodo aureo della storia della mate-
matica, che suol chiamarsi anche greco-alessandrino perche in Ales-
sandria si e portato il centro principale degli studi, sebbene dei tre
massimi geometri Euclide ed Apollonio siano nati altrove ed Archi-
mede non abbia forse mai dimorato ad Alessandria. Archimede ed Apol-
lonio segnano il culmine della matematica greca, costringendo i metodi
euclidei a dimostrare sottili e profonde proprieta geometriche intuite
probabilmente per vie diverse. Il primo 31 *) completa la trattazione della
rettificazione della circonferenza e della quadratura del circolo e del
volume del cono, e trova per primo (a meno che abbia qualche fonda-
mento Fipotesi ingegnosa di W. Struve che ne attribuisce agli an-
tichi Egiziani la scoperta) I’area della sfera, iniziando anche le ricerche
sl) Archimede Siracusano, vissuto dal 287 al 212 a. C. Edizione critica delle sue
opere: Archimedis Opera omnia cum cornmentariis Eutocii, a cura di J. L. Heiberg,
Lipsiae, tre volumi, 1880-81, ristampata poi con aggiunte. Una traduzione italiana
di V. Viviani fii scoperta da A. Favaro in Firenze. Si vedano anche T. L. Heath,
The works of Archimedes edited in modern notation, Cambridge 1897 ; Les oeuvres com-
petes d’Archimede, traduites du grec en francais, par Paul Ver Eecke, Paris-Bruxelles
1921 e E. Rufini, Il < Metodo »' dyArchimede e le origini deWanalisi infinitesimale nel-
V antica Grecia, Roma 1926.
s2) V. il citato Math. Papyrus 7).
62
Emilio Artom
sulle quadriche e sulle spirali e determinando in piu modi le aree del
segmento parabolico e dell’ellisse. ApolloNio di. Perga9?) scriveun’o-
pera monumentale sulle coniche, nella quale si ttovano dimostrate le
piu importanti proprieta di queste. curve.
Se anche poche sono le opere scritte in questo periodo giimte fino
a noi, e probabile che le conoscenze dei Greci siano in massima parte
raccolte nei libri di Euclide, Archimede, Apollonio. Siamo invece
un po’ allo scuro sui metodi di ricerca sfruttati in quei tempi, poiche
la forma euclidea viene imposta ad ogni trattazione. Ma le ricerche
degli storici moderni della matematica fanno ritenere che alcuni pro-
cedimenti analoghi a quelli della geometria cartesiana e a quelli che
precedettero il moderno calcolo infinitesimale fossero noti agli antichi,
almeno come metodi di scoperta.
Altri matematici si occuparono di question! speciali e la raccolta
di Pappo 33 34), insieme con qualche opera importante pervenuta attra-
verso le traduzioni arabe ed ebraiche (p. es. la Sferica di Menelao),
ci da copiose notizie di tali indagini, alcune delle quali ci conducono
proprio sulla soglia della modema geometria proiettiva.
Frattanto i geometri abbandonano la purezza euclidea (negli scopi,
non ancora nella forma) e si rivolgono a questioni pratiche ; cosi To-
lomeo35 36) nelle sue indagini astronomiche trova le principal! proposi-
zioni, che, rivestite di forma piii acconcia, costituiranno la trigono-
metria.
Un posto a parte merita, Erone, vissuto probabilmente intorno
all’inizio dell’era volgare 3e). Nella sua opera MetQixtf tratta per la prima
volta sistematicamente le questioni relative alia misura37). Mentre
Euclide ed Archimede, come gia osservammo, non danno che rela-
zioni di equivalenza fra grandezze geometriche о rapporti fra la gran-
dezza che si studia e un’altra opportunamente scelta, Erone introduce
finalmente nella scienza le unita di misura fisse. Senza dubbio fin dai
tempi piu antichi le unita di misura dovevano essere state usate, ma solo
per fini pratici; ne Euclide, ne i geometri dei periodi precedenti ne
avevano fatto uso, forse per non potere о voler introdurre i numeri
irrazionali. Erone invece sorvola su questa difficolta. Altre notevoli
33) Per notizie su Apollo что e sulla sua opera intorno alle coniche (xoovtxa) v.
Part. XXXII di questa Encicl. (G. Lazzeri, Teoria elementare delle sezioni del cono
e del cilindro rotondi, § 1).*
34) Suvaycoy?) раЯт)ратьх7), scritta verso il 295 dopo C. ; Pappi Alexandrini
Mathematici, Collectiones a Federico Commanding Urbinate in latinum conversae,
Veneris 1589. Edizione critica: Pappi Alexandrini Collectionis quae super sunt e libris
manu scriptis, edidit latina interpretatione et commentariis instruxit F. Hultsch, 3 voll.,
Berolini 1876-77-78. Trad, francese di P. Ver Eecke, Pappus d*Alexandrie, La col-
lection mathematique, due voll., Paris-Bruges 1933.
35) Claudio Tolomeo (II secolo dopo С.), Ма&туютхт) ctuvtoc^ic; (Almagesto) ;
Opera, ed. J. L. Heiberg, 2 voll., Leipzig 1898. Cfr. ancheTart. XXXI di questa Encicl.
(A. Agostini, Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche).
36) Incertissime le notizie intorno a questo autore о ai diversi scienziati che ne
portano il nome. Cfr. G. Loria 5), p. 580 e seg.
37) V. Tart. XXIII di questa Encicl. (D. Gigli e L. Brusotti, Teoria della misura).
XXII. - Propriety elementari delle figure del piano e dello spazio 63
ricerche appaiono nelle opere di lui, ma non e facile distinguere quelle
original! da quelle soltanto riferite.
Senza soffermarci su altri matematici greci, posteriori a quelli
citati, osserviamo sbltanto che, se anche gli Elementi di Euclide ri-
masero base e modello di ogni esposizione geometrica, il lavorio critico
compiuto dalla scuola greca, da Talete ad Euclide, non termina con
lui, ma prosegue, come rileviamo da Рдрро e da Proclo-, sebbene non
sia sorto un altro trattatista ad esporre la geometria fondata su prin-
cipi diversi da quelli di Euclide.
Nell’alto medioevo in Europa, piii che di progresso della geometria
si pud parlare di conservazione di essa, anzi di parte di essa. Infatti
si ricordano con onore Boezio e Gerberto che scrivono trattatelli di
gran lunga inferiori agli Elementi ; a Gerberto perd va attribuito anche
qualche originale tentativo di modificazione dei principi.
Agli ultimi matematici di lingua e cultura greca si riattaccario perd
in qualche modo i matematici indiani che nel primo medioevo tengono
ancora alta la fiaccola della geometria. Usando promiscuamente di
metodi algebrici e geometrid puri, Aryabatta, Brahmagupta e Bha-
scara continuano (sia pure con minore esattezza ed eleganza) I’opera
di Erone e di Tolomeo, ma le loro ricerche, come quelle posteriori
degli Arabi, per quanto notevoli, non sono tali da meritare piii che un
cenno in questo rapido riassunto ; tanto che possiamo dire che, quando
nel XV e nel XVI secolo si avra una vera rinascita della matematica e
in particolare della geometria, essa sari dovuta piuttosto allo studio
delle opere greche Conservate e trasmesse dagli Arabi che ai ritrovati
di questi ultimi. Ma gli studi dei geometri del ’600 come E. Torricelli,
B. Cavalieri, I. Newton, R. Descartes, B. Pascal, G. Ceva, R.
Simson e molti altri, che appaiono da principio come estensioni dei
ritrovati dei geometri greci, sia nel campo metrico, che in quello grafico,
conducono rapidamente all’invenzione della geometria analitica, del
calcolo infinitesimale e della geometria proiettiva, che si staccano cosi
a poco a poco dalla geometria elementare.
Il carattere di grande generality presentato dai nuovi metodi, e la
copia delle proprieta scoperte per mezzo loro, misero in rilievo il fatto
che la geometria classica faceva uso di metodi sempre vari, scelti volta
per volta per superare questa о quella difficolti ; sembro quindi che
ormai la geometria elementare, mirabile testimonianza dell’ingegno di
coloro che la costruirono, dovesse considerarsi come chiusa о quasi.
Senza soffermarci a ricordare i tentativi di ricostruzione simbolica
della geometria di Euclide, da parte di G. W. Leibniz38) e di P. НЁ-
rigoNe3®), notiamo che segue nel ’700 un periodo di minor interesse
per la geometria elementare. Ma ecco che, alia fine del secolo, A. M.
Legendre pubblica un trattato 40) che porta notevolissimi contributi
“) Characteristica geometrica, Math. Schriften, ed С. I. Gerhardt, (3) 5, Halle
1858, p. 133.
3e) Cursus mathematicus, due voll., Paris 1634.
M) Elements de geometric, Paris 1794. Tra le molte successive edizioni ci riferi-
remo alia 12*, Paris 1823, di cui le posteriori non sono che riproduzioni.
64
Emilio Artom
alia geometria elementare, sia perche le sue ricerche sulle parallele e
i nuovi modi di presentarle preparano la via alia risoluzione del mil-
lenario problema del postulato V di Euclide, sia perche rielabora quasi
tutti i capitoli, modificando e spesso migliorando le trattazioni tradi-
zidnali, proponendone altre, che dopo di lui entrarono nei testi di geo-
metria elementare accanto a quelle di Euclide. Ne il favore con cui
fu accolta quest’opera e estraneo allo spirito rivoluzionario dell’epoca
che ama mutare ogni cosa. Ma Legendre, seguendo gli altri trattatisti
di quel tempo, presuppone lo studio dell’aritmetica e dell’algebra, il
che, non solo guasta la purezza della trattazione euclidea, ma non e
esente da critiche, perche 1’uso delle misure delle grandezze geome-
triche richiede necessariamente una teoria rigorosa dei numeri reali,
che al tempo del Legendre non era ancora stata stabilita.
Percid la trattazione legendriana delle grandezze geometriche,
dopo aver avuto una larga diffusione, venne abbandonata in Italia,
quandot nel 1867, per iniziativa di L. Cremona41 *), fu prescritto che
nelle scuole secondarie classiche la geometria yenisse insegnata col
ipetodo di Euclide.
Ma se questi ultimi secoli segnano per la geometria elementare
un accrescimento di proprieta, notevole piuttosto per il numero e la
singolarita che per la vera importanza, il progresso effettivamente com-
piuto va cercato nell’affinamento del senso critico, che passo dalle in-
dagini rese necessarie dallo sviluppo dell’analisi, ai campi intomo ai
quali i geometri lavoravano da oltre duemila anni. Notevoli soprattutto
sono le ricerche sui postulati fondamentali, e particolarmente sulla geo-
metria non-euclidea, sulla rettificazione della circonferenza e la qua-
drature del circolo, sulla teoria dell’equivalenza nel piano e nello spazio,
ricerche per la storia delle quali rimandiamo ai capitoli e agli articoli
particolarmente destinati ad esse.
3. Didattica e libri di testo. — Da due secoli, per non par-
lare di tentativi di antichi, si moltiplicano i testi di geometria, spesso
dovuti ad illustri scienziati, che cercano di renderne lo studio piu acces-
sibile alle menti giovanili.
A. C. Clairaut pubblica nel 1741 il suo trattato col quale,
come dichiara nell’introduzione, rompe la tradizione euclidea, e crede
di scrivere un libro facile e gradito agli scolari43).
All’opera di Legendre abbiamo gia accennato, ma dobbiamo ri-
conoscere che la notevole fortuna del suo libro, considerate come trat^.
41) G. mat., (1) 7 (1869), p. 51 ; Opere mat., 3, Milano 1917, p. 133.
*2) Elements de geomttrie, Paris 1741.
43) Egli attribuisce la forma strettamente logics della trattazione euclidea alia
necessity in cui 1’autore si trovava di chiuder la bocca ai sofisti; venuta meno questa
necessity, egli crede si possa procedere piu spediti. « Tout raisonnement qui tombe
sur ce que le bon sens seul ddcide d’avance, est aujourd’hui en pure perte et n*est
propre qu’& obscurcir la vdritd et й ddgoAter les lecteurs ». E M. Simon 4), p. 27, com-
menta : « Das Original ist von eine£ verbluffenden Kuhnheit; der Bruch mit der Eucli-
dischen Methode kann nicht starker sein ».
XXII. - Proprieta elementari delle figure del piano e dell© spazio 65
tato scolastico, e dovuta specialmente alia enunciazione della teoria
delle proporzioni e all’uso della misura, fin dalle prime pagine, senza
alcuna giustificazione.
L’opera dei grandi pedagogisti, da J. J. Rousseau a Herbart, ri-
chiamando 1’attenzione degli insegnanti sulla importanza dell’osserva-
zione di oggetti concreti e sull’attiva partecipazione dell’alunno all’o-
pera del maestro, influisce sull’insegnamento della geometria e sui
testi di geometria razionale, sebbene questi siano proposti a giovani
che negli studi precedenti piu elementari dovrebbero gia aver acqui-
stato Fintuizione degli enti geometrici principal! e sebbene la parte
piu proficua dell’istruzione venga data dalla viva voce dell’insegnante
e non dal libro **).
Secondo altri, e necessario specialmente mostrare agli scolari l’u-
tilita pratica dello studio della geometria 44 45).
Un particolare movimento, che negli scorsi decenni desto note-
vole interesse, e quello dei cosiddetti «fusionisti», che, partendo dal
presupposto che i sensi ci rivelino prima i solidi e poi le superficie e
le linee, o^ per lo meno, non queste prima di quelli, proposero di svol-
gere contemporaneamente la stereometria e la planimetria, rompendo
la tradizione che voleva riservare a questa il primo posto 46).
Al sorgere di nuovi trattati di geometria contribui pure il desi-
derio di giovarsi in essi dei metodi dei nuovi rami della matematica e
in particolare del calcolo infinitesimale, о almeno del concetto di nu-
mero reale о di limite 47).
Ma anche all’infuori dal desiderio di allontanarsi dai metodi clas-
sici, i progressi della scienza hanno dato occasione a trattati nuovi e
degni di nota, che in parte si riattaccano a quello di Legendre, del
quale correggono alcune mende, in parte si riaccostano ad Euclide,
in parte cercano vie veramente nuove.
Grande importanza ebbe quello di R. Baltzer ") che, se sotto
certi aspetti risente ancora dell’influenza di Legendre, pud riguar-
darsi per la copia delle proposizioni recenti che riporta, per le copiose
notizie storiche e per lo spirito di modernita che lo informa, come una
ottima preparazione allo studio della geometria superiore.
44) Cfr. D. Mercogliano, Boll, mat., 18 (1922), p. 62, 89 ; G. Friedrich, Die
Aufgabe als Basis des geometrischen Unterrichts, Tilsitt 1883.
45) H. Laurent, Enseign. math., 1 (1899), p. 38.
4e) Un primo passo verso il fusionismo pud notarsi fin da Gerberto (papa Sil-
vestro II), che inverte Tordine delle definizioni di Euclide, premettendo il solido alia
superficie, alia linea e al punto ; Geometria, in Opera mathematica, ed. N. Budnow,
Berlin 1899. Fra i modemi, v. A. Mahistre, Traite de geometric, Chartres 1840 ; Ch.
M£ray, Nouveaux elements de gfometrie, Paris 1874; R. De Paolis, Elementi digeometria,
Torino 1884 ; G. Lazzeri e A. Bassani, Elementi di geometria, Livorno 1891, tradotti
in tedesco da P. Trevtlein, Leipzig 1911. Per notizie in proposito, v. G. Loria, Pe-
riod. mat., 15 (1900), p. 1.
47) D. Besso, G. mat., (1) 7 (1864), p. 431 ; R. Sturm, Z. math. nat. Unterr., 1
(1870), p. 474 ; E. Borel, Boll. Mathesis, 1914, p. 89 ; G. Castelnuovo, ibid., 1919, p. 1.
“) Die Elemente der Mathematik, Leipzig 1853 ; trad, italiana di L. Cremona,
Genova 1867.
66
Emilio Artom
Fra i trattati francesi, che risentono ancor sempre dell’influenza
legendriana, ma generalmente raccomandabili per la copia delle pro-
posizioni e la chiarezza dell’esposizione, citiamo quelli di A. Amiot 49),
e di E. Rouche e Ch. de Comberousse 5o).
Oltre a quelli citati, ricordiamo fra i trattati italiani piii impor-
tant! per la correttezza dell’espressione e per Foriginalita dell’esposi-
zione di alcune parti, quelli di A. Faifofer 51), A. Sannia e E. d’Ovi-
dio 52), G. Veronese53), G. Ingrami m), F. Enriques e U. Amaldi 55),
F. Palatini 5в), M. de Franchis 57), C. Rosati e P. Benedetti m),
F. Severi 59).
IL - GEOMETRIA PIANA
4. Primo gruppo di postulati. — Enunciamo sugli enti funda-
mental! (non definiti) i seguenti postulati eo) :
1) Due punti determinano una retta che li contiene.
2) Tre punti non allineati determinano un piano che li contiene.
3) Se due punti distinti appartengono ad un piano, appartiene
al piano la retta determinata da essi.
4) Un punto P di una retta la divide in due parti (dette semi-
rette), tali che ogni punto della retta appartiene all’una о all’altra, tranne
il punto P, che appartiene ad entrambe, e si chiama engine di esse.
1Я) Elements de geometric, Paris 1855.
50) Traite de geometric elementaire, 2 voll., Paris 1864-1866 (8a ed 1912). Ci-
tiamo anche gli Exerdces de geometric comprenant P expose des methodes geometriques,
par F. G. M., Tours-Paris, 5a ed. 1912, contenenti molte notizie, sebbene senza una
chiara linea d’insieme.
51) Elementi di geometrid, Venezia 1878: di carattere strettamente euclideo, ma
con notevoli ritocchi, specialmente nella teoria dell’equivalenza. Esistono numerose
edizioni per ogni or dine di scuole.
62) Elementi di geometria, Napoli 1869 ; ricco trattato contenente una bella teoria
delle grandezze geometriche.
53) Elementi di geometria, con la collaborazione di P. Gazzaniga, 2 voll., Ve-
rona-Padova 1897 : tratta in modo originale i fondamenti della geometria ; notevoli
particolarmente le teorie dell’uguaglianza, del parallelismo, dell’equivalenza. I contri-
buti originali apportati dall’A. alia geometria elementare vengono illustrati nella:
Appendice degli elementi di geometria di G. Veronese, Padova 1917.
5<) Elementi di geometria, Bologna 1899.
56) Elementi di geometria, Bologna 1903 ; in accordo colle recenti critiche sui
fondamenti della geometria, si fonda su un sistema di postulati ispirato a quello di
D. Hilbert. Esistono numerose edizioni per ogni ordine di scuole.
5e) Geometria, Torino 1920, fondato sopra un sistema di postulati, ispirati a quelli
di M. Pasch, Vorlesungen uber neuere Geometric, Leipzig 1882 ; 2a ed., Berlin 1926,
con un’appendice di M. Dehn.
57) Geometria elementare, Palermo 1909.
58) Geometria, Milano-Genova-Roma-Napoli 1926.
6e) Elementi di geometria, 2 voll., Firenze 1926, 1927 ; si stacca in parte dalle trat-
tazioni tradizionali, cercando di scegliere, nell’introduzione dei concetti geometrici,
le vie che paiono piii accessibili all’intuizione dei giovani. Varie edizioni per i vari
tipi di scuole.
e0 ) V. I’art. XXI di questa Encicl. (P. Benedetti, Fondamenti di geometria).
XXII. - Propriety elementari delle figure del piano e dello spazio 67
5) Se P e Q sono due punti distinti di una retta, tutti i punti
della semiretta che ha per origine P e non contiene Q stanno in una
sola delle semirette determinate da P, mentre la semiretta determi-
nata da P che contiene Q e la semiretta determinata da Q che contiene
P hanno in comune almeno un punto diverso da P e da Q (e quindi
infuiiti punti).
L’insieme dei punti comuni alle due semirette ora considerate si
chiama segmento PQ ; i punti P e Q si chiamano estremi del segmento.
I punti di un segmento diversi dagli estremi si dicono interni al seg-
mento о compresi fra gli estremi* Le semirette di origine P e Q, appar-
tenenti alia retta PQ e che non contengono il segmento PQ, si chiamano
prolungamenti del segmento PQ, dalla parte di P, о di Q.
6) Una retta r di un piano lo divide in due parti (dette semi-
piani), ciascuna delle quali contiene dei punti, e tali che ogni punto del
piano appartiene ad uno dei due semipiani, tranne i punti di r che ap-
partengonb ad entrambi (e la r si chiama origine dei due semipiani).
7) Se P e Q sono due punti distinti del piano appartenenti allo
stesso dei due semipiani determinati da una retta r che non contenga
пё P пё Q, il segmento PQ non ha punti comuni con r ; se P e Q appar-
tengono a semipiani diversi, il segmento PQ ha un punto comune con r,
e si dice che incontra r.
Si dimostra facilmente che, se due rette r ed s di un piano hanno
in comune un punto P, le due semirette determinate da P su r stanno
una nell’uno e una nell’altro dei due semipiani determinati da s, e che
il segmento determinate da un punto di г e da un punto di s diversi
da P sta tutto in uno dei due semipiani determinati da r e in uno dei
due semipiani determinati da s.
8) I punti di una retta si possono immaginare ordinati in due
versi opposti uno all’altro, tali che, in ciascuno di essi, di due punti
distinti resta determinate quale precede e quale segue, mentre non esi-
ste un punto che preceda, пё un punto che segua tutti gli altri. I punti
che in un dato verso precedono о seguono un dato punto sono i punti
(diversi dall’origine) dell’una о dell’altra semiretta individuate da quel
punto el).
5. Uguaglianza “). — Esiste fra certe coppie di segmenti una
relazione detta di uguaglianza, che si' esprime dicendo che il primo
segmento ё uguale al secondo, о scrivendo il segno = fra i due sim-
boli che rappresentano i segmenti. Il concetto di uguaglianza si as-
sume come primitivo, non essendo riducibile ai precedenti. L’ugua-
glianza gode, oltre che delle propriety riflessiva, simmetrica e transi-
tiva, delle propriety seguenti:
1) Se i segmenti AB e CD sono uguali, esiste fra i loro punti
“) Per il collegamento di queste proposizioni vedasi Part. XXI di questa Encicl.“),
§§ 3-11.
“) V. Fart. XXI di questa EncicL “), §§ 15-21.
68
Бмпдо Актом
una corrispondenza biunivoca tale che ad A corrisponde С, а В cor-
risponde D, e che, se Af, N sono due punti di AB e M', N' i corrispon-
denti di CD, e pure MN eguale a M' TV'.
2) A punti di un segmento che si seguono in un dato verso cor-
rispondono punti che si seguono in un verso.
3) Il segmento AB e uguale al segmento BA.
4) Data una semiretta di origine A e un segmento a, esiste sulla
semiretta un solo segmento di origine A uguale ad a. Ne segue che su
ogni retta, dato un punto Л, esistono due e due soli segmenti con un
estremo in A uguali ad a.
5) Se un segmento AB non e uguale ad un segmento CD, о
esiste in AB un punto E tale che AE = CD, о esiste in CD un punto
F tale che CF = AB, ed una ipotesi esclude 1’altra. Nel primo caso
si dice che AB e maggiore di CD, nel secorido che AB e minors di CD.
Se un segmento AB e diviso da un punto C in parti AC e CB
rispettivamente uguali a due segmenti m ed я, si dice che AB e la somma
di m e n (AB = m + n). Valgono le propriety formali della somma dei
numeri assoluti e le conseguenze che se ne traggono definendo la dif-
ferenza e il prodotto per un intero.
Vale il postulato di Archimede ю) :
6) Dati due segmenti, esiste un multiple dell’uno che supera
i’altro. Ne discende la teoria della divisione come nell’aritmetica dei
numeri razionali.
Due figure si dicono uguali se si pud porre fra i loro punti una
corrispondenza biunivoca tale che a segmenti determinati da due punti
dell’una corrispondano segmenti uguali dell’altra.
Valgono le seguenti proprieta :
7) Due rette sono sempre uguali, e si pud ad un punto P ar-
bitrario dell’una far corrispondere un punto P' arbitrario dell’altra, e
ad una delle semirette di origine P dell’una una arbitraria delle semi-
rette dell’altra.
8) Due piani sono sempre uguali, e si pud ad una retta dell’uno
far corrispondere, negli infiniti modi visti, una retta arbitraria dell’altro
e ad un semipiajio determinate da quella retta uno arbitrario dei se-
mipiani determinati dall’altra. Due semipiani sono sempre uguali, e si
pud far corrispondere, negli infiniti modi visti, alia retta origine del-
l’uno la retta origine dell’altro.
Le proposizioni 7 e 8 valgono in particolare se le due rette, о le
due semirette; о i due piani, о i due semipiani, sono sovrapposti.
9) Figure corrispondenti in figure uguali sono uguali.
6. Angolo M). — Si chiama angolo convesso 1’insieme dei punti co-
muni a due semipiani determinati da due rette che hanno un punto
in comune. * •*)
«) V. Fart. XXI di questa Encicl. 60), § 31.
•*) V. Fart. XXI di questa Encicl. e0), § 12.
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 69
Due tah rette, determmando due cdppie di semipiani, determi-
nano in conseguenza quattro angoli convessi.
Si chiamano : vertice dell’angolo il punto comune alle due rette ;
lati le due semirette determinate sulle rette date dal vertice e che ap-
partengono a uno dei semipiani che determinano I’angolo. I punti
dell’angolo convesso che non appartengono ai lati si chiamano anche
punti interni all’angolo, e tutti gli altri punti del piano, sempre fuori
dei lati, esterni all’angolo.
Dalle proposizioni del § 4 discendono le seguenti:
1) Le semirette che hanno per origine il vertice e contengono
uh punto intemo all’angolo hanno tutti i punti interni all’angolo. Esse
si chiamano semirette interne all’angolo.
2) Le Semirette che sono prolungamenti di semirette interne
all’angolo hanno tutti i punti esterni .all’angolo e si chiamano esteme
ad esso.
Ё noto come si estendano le definizioni di angolo agli angoli piatti,
concavi e giro вб).
L’uguaglianza degli angoli rientra nel concetto piu generale di
uguaglianza delle figure, $ valgono le seguenti proprieta :
3) Se due angoli sono uguali, al vertice dell’uno corrisponde
il vertice dell’altro, ad un lato dell’uno un lato dell’altro (ad arbitrio),
ai punti interni all’uno i punti interni all’altro.
4) Un angolo pub essere messo in corrispondenza di uguaglianza
con se stesso facendo corrispondere a ciascun lato 1’altro lato (I’angolo
e invertibile). In conseguenza due angoli uguali sono tali in due modi
diversi.
5) Esistono due angoli uguali a un angolo dato aventi un lato
su una data semiretta. La somma e la differenza possono venir trattate
in modo perfettamente analogo alia somma e alia differenza dei seg-
inenti, colla sola limitazione imposta dal fatto che I’angolo giro e il
massimo angolo.
Da un altro punto di vista, I’angolo puo essere riguardato come
la rotazione che porta una semiretta su un’altra avente 1’origine in co-
mune colla prima. Allora si possono anche considerare angoli maggiori
di un angolo giro. Nella geometria elementare tali angoli non vengono
perb introdotti che per comodita.di linguaggio in poche proposizioni
sui poligoni e sui poliedri.
Due angoli si dicono rispettivamente supplementari о esplementari
se la lord somma e un angolo piatto о un angolo giro, e ognuno di essi
si chiama rispettivamente supplemento о esplemento dell’altro ee).
Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono i pro-
65) Questi concetti, estranei ad Euclide, risalgono ad Erone, Heronis Alexan-
drini Opera quae super sunt omnia, 4 voll., Lipsiae 1899-1914: Definitiones cum variis
collectionibus, p. 26 e 28, def. 20 ; ma i nomi ora in uso appaiono verso il 1500.
ee) La paroh supplemento pare usata la prima volta da P. H Trigone ae), poi pro-
miscuamente colla parola complemento (cfr. nota ®9)) fino ai tempi piti recenti, in cui
il significato viene ben fissato ; la parola esplemento trovasi in F. Palatini se).
70
Emilio Artom
lungamenti dei lati dell’altro, e si dimostra facilmente che due angoli
opposti al vertice sono ugualie7). Due angoli che abbiano un lato in
comune e gli altri due lati semirette di una stessa retta, si chiamano
adiacenti. Essi sono supplementari.
Due rette che si incontrano si dicono perpendicolari se due degli
angoli adiacenti da esse determinati sono uguali. E allora sono uguali
tutti e quattro, e ognuno di essi si chiama angolo retto “).
Due angoli aventi per somma un angolo retto si chiamano comple-
ment ar i, e ognuno di essi comptemento dell’altro ee).
Gli angoli convessi maggiori dell’angolo retto si chiamano ottusi,
acuti quelli minori.
6) Ogni angolo si pub dividere per meta.
Cib risulta dall’effettiva costruzione, che pub essere data.piu tardi,
о dal postulato della continuita * 70 71), in base al quale si dimostra che esi-
ste il sottomultiplo di un angolo secondo qualunque numero intero.
In particolare, un angolo piatto pub essere diviso per meta mediante
una semiretta passante per il suo vertice ; le due parti sono allora angoli
retti; la retta sulla quale stanno i lati dell’angolo piatto, e la retta della
quale fa parte la semiretta che lo divide, sono perpendicolari. Ne discende
che per ogni punto di<una retta esiste una e una sola perpendicolare
ad essa.
Per il caso del punto esterno, v. § 8, prop. 3.
Le bisettrici di due angoli adiacenti sono perpendicolari; le bi-
settrici di due angoli opposti al vertice sono semirette della stessa retta ;
sicche le bisettrici dei 4 angoli di due rette che s’incontrano appar-
tengono a due rette perpendicolari.
Osservazione sui versi di rotazione. — La nozione intuitiva dei
due versi degli angoli di un piano — per la quale, date due semirette
OA e OB, i due angoli AOB, 1’uno concavo e 1’altro convesso, si pen-
sano generati da due diverse rotazioni del lato OA fino a sovrapporsi
ad OB, cosi fatte che qualunque altro angolo del piano, quando se ne
distinguano il 1° e il 2° lato, e generato da una rotazione Concorde colla
prima о colla seconda delle due rotazioni determinate dagli angoli
AOB, — pub essere precisata e fatta dipendere dai postulati prece-
dent! n).
Osservazione sulle costruzioni. — In seguito, 1’espressione « costruire
un punto, una retta, una figura, che soddisfi date condizioni» sari usata
*?) Euclide, I, pr. 15. Secondo Proclo j), p. 299, il teorema ё dovuto a Talete.
e8) Euclide (I, def. 10,11,12) considera 1’angolo retto (6p$H) ycovla), 1’angolo
acuto (o^eta yawla) e 1’angolo ottuso (apL^kcTa yama), e le coppie di rette perpendi-
colari, chiamando una di esse x<x$£TO<; rispetto all’altra.
et) La parola complemento fu usata per la prima volta da Platone da Tivoli, De
inotu stellarum (trad, di un’opera di Albattani, del sec. X).
70) Cfr. 1’art. XXI di questa Encicl. e0), §§ 27-35.
71) Cfr. E. Veneroni, Period, mat., 26 (1911), p. 15 ; G. Ascoli, ibid., 28 (1913),
p. 193 ; G. Scorza, Complementi di geometria, Bari 1914, p. 26 e segg. V. Part. XXI
di questa Encicl. ”n), §§ 6, 7. 8. 11-
XXII. - Proprieta elementari delle figure del piano e dello spazio 71
come equivalente dell’altra: «considerare un punto, una retta, una
figura, che soddisfi a date condizioni», e sara implicitamente о esplici-
tamente accompagnata dalla dimostrazione che 1’ente da costruire esiste.
V. Part. XXIX di questa Encicl. (A. Agostini, I problemi geometrici
elementari e i problemi classici).
7. Il triangolo; triangoli uguali. — Se А, В, C sono tre punti
non collineari, si chiama triangolo12} ABC la figura formata dai seg-
menti AB, ВС, CA e dai punti comurii ai tre angoli convessi ABC,
BCA, CAB. I punti A, B, Csi chiamano vertici ; i segmenti AB, BC,
CA, lati\ gli angoli convessi ABC, BCA, CAB, angoli interni (o sem-
plicemente angoli) del triangolo ; la figura dei punti di AB, BC, CA,
perimetro (e talvolta anche la somma AB + ВС 4- CA prende il nome
di perimetro).
I punti del piano che non appartengono al triangolo si chiamano
punti esterni al triangolo ; i punti del triangolo non appartenenti al peri-
metro punti interni. Gli angoli (supplementari a quelli del triangolo),
aventi un lato comune con un angolo del triangolo e I’altro sul prolun-
gamento dell’altro lato di cotesto angolo, si chiamano angoli esterni13).
Un triangolo con due lati uguali si chiama isoscele ; coi tre lati
uguali equilatero ; coi tre lati disuguali scaleno1*).
Dalle definizioni e dalle proprieta fondamentali del piano e del-
1’angolo discendono immediatamente le seguenti proprieta di apparte-
nenza e ordinamento :
1) I punti interni a ogni segmento che congiunga due punti
del perimetro di un triangolo, senza essere un lato, sono tutti interni
al triangolo.
2) Ogni retta del piano, che abbia un punto interno ad un trian-
golo, incontra il perimetro in due punti.
3) Le rette passanti per un vertice possono avere un segmento
interno al triangolo, о contenere un lato, о avere tutti i punti esterni
al triangolo, tranne il vertice per cui passano, secondo che la retta con-
siderata ha una semiretta interna all’angolo del triangolo avente il ver-
tice in quel vertice del triangolo, о una semiretta che sia lato di questo
angolo ; о entrambe le semirette esterne a questo angolo.
4) Le tre rette di un triangolo dividono il piano in sette parti :
una e il triangolo ; tre sono angoli (opposti al vertice a quelli dei. trian-
golo) ; tre sono figure limitate da un segmento e due semirette. Queste
sette parti sono convesse, cioe due punti di una di esse sono congiunti
da un segmento che non ha punti comuni col contorno.
Nel lavorio di riduzione dello studio di figure complesse a quello
di figure sempre piu semplici, al quale accennavamo nelle pagine pre- * * *
72) Euclide, 1, def. 19, usa il termine TpiirXcupov о/7)р.а (figura trilatera) od
anche altrove Tptycovov (triangolo).
73) Sono considerati da Euclide nella pr. 16 del I libro.
74) Euclide, I, def. ; loooxsXsc (^ di gambe uguali); tooTrXeupov (= equi-
latero) ; oxaXiqvov (disuguale, oscillante).
72
Emilio Artom
cedenti, e senza dubbio uno dei risultati piu important! raggiunti dai
geometri preeuclidei la riduzione dello studio delle figure uguali a quello
di alcuni elementi.
In quest’ordine di idee troviamo anzitutto i cosiddetti criteri di
uguaglianza dei triangoli, dimostrati da Euclide nelle prime pagine
degli Elementi, ma cert amen te gia noti assai prima.
L’importanza delle proposizioni seguenti e particolarmente della
prima, dalla quale discendono le altre, sta nel fatto che, mentre 1’ugua-
glianza di due triangoli, comunque si definisca, e in generale 1’ugua-
glianza di due figure, richiederebbe a priori infinite verifiche, merce
queste proposizioni basta 1’esame di tre coppie di elementi per conchb
dere sull’uguaglianza dei triangoli.
5) Se in due triangoli due lati dell’uno sono rispettivamente
uguali a due lati dell’altro e I’angolo compreso fra i primi due e uguale
all’angolo compreso fra gli altri due, i due triangoli sono uguali.
Siano ABC, A* B' C' i due triangoli, e sia per ipotesi : ABC =
= A' Bf C' ; AB = Af В' \ ВС = В' C. Fra le due corrispondenze
di uguaglianza che intercedono fra i due angoli, si scelga quella che
alle semirette BA, BC fa corrispondere rispettivamente le В' А', В' Cf ;
allora ai punti A e C dovranno corrispondere i punti A' e C, quindi
i due triangoli ABC e А' В' C' saranno figure corrispondenti nell’u-
guaglianza che intercede fra i due detti angoli e percid saranno figure
uguali. In conseguenza AC = A' С' ; ВАС = В' A' C' ; BCA =
= B' C' A’75).
6) Corollario. — In un triangolo isoscele gli angoli opposti ai
lati uguali sono uguali.
Infatti, se nel triangolo ABC e AB = BC, i due triangoli ABC e
CBA sono uguali per il teorema precedente 76).
Dati in un piano un triangolo ABC e un segmento A' B' uguale
ad AB, esistono due triangoli uguali ad ABC, aventi A' B' per lato,
uno da una parte e uno dall’altra della retta A' B'.
Discende dalla prop. 3 del § 6 e dalla prop. 5 di questo paragrafo :
7) Se in due triangoli due angoli dell’uno sono rispettivamente
uguali a due angoli dell’altro, e il lato che congiunge i vertici dei due
angoli del primo e uguale al lato che congiunge i vertici dei due angoli
del secondo, i due triangoli sono uguali77).
75) Euclide, I, pr. 4, dimostra il teorema in «modo sostanzialmente uguale, ma va-
lendosi del movimento/ Cfr. Tart. XXI di questa Encicl. eo), § 17.
76) Euclide, I, pr. 5, probabilmente per evitare la considerazione un po’ astratta
del triangolo ABC distinto dal triangolo CBA, dimostra il teorema prendendo nei
prolungamenti di BA e BC due segmenti A D e С E uguali e considerando i due trian-
goli, pure uguali, BAE e BCD. La dimostrazione che consiste nel far rotare il triangolo
intomo alia bisettrice dell’angolo ABC si riduce a quella da noi riportata. Aristotele,
Anal. Prior a, I, 24, 41, 6, 13-22, dA una curiosa dimostrazione che presuppone nume-
rose proposizioni tacitamente ammesse.
77) Euclide, I, pr. 26. Vi si tratta pure il caso in cui i lati uguali sono opposti
a due degli angoli uguali, e la dimostrazione e fondata sui teorema dell’angolo estemo.
XXII. - Proprieta elementari delle figure del piano e dello spazio 75
8) Corollario. — Se un triangolo ha due angoli uguali, e iso-
scele.
9) Due triangoli aventi i tre lati rispettivamente uguali sono
uguali те).
8. Disuguaglianze tra elementi di un triangolo. — 1) Un
angolo estemo di un triangolo e maggiore di ciascuno degli angoli in-
terni non adiacenti7e).
2) Corollario, — Un triangolo non pud avere piii di un angolo
che non sia acuto. л
In conseguenza di questa proposizione, un triangolo pud essere
sokanto: rettangolo, se ha un angolo retto; ottusangolo, se ha un angolo
ottuso ; acutangolo, se ha tutti gli angoli ^cuti78 79 80). Si completa allora la
proposizione sull’unicita della perpendicolare data alia fine del § 6 :
3) Per un punto si pud condurre una sola perpendicolare a una
retta.
Nel triangolo rettangolo si chiamano ipotenusa il lato opposto al-
1’angolo retto e cateti gli altri due81 82 83 * *).
4) Se in un triangolo due lati sono disuguali, gli angoli opposti
sono disuguali nello stesso senso “).
Questa proposizione completa quella sul triangolo isoscele ; ri-
sulta cioe che in un triangolo ABC, secondo che AB BC, anche
ACB ВАС. E per la legge delle inverse il teorema precedente e
invertibile.
Un ovvio corollario ci dice che in un triangolo rettangolo (o ottu-
sangolo) 1’ipotenusa (o il lato opposto all’angolo ottuso) e il maggiore.
5) Un lato di un triangolo e minore della somma degli altri
due “).
Il teorema ё attribuito da Proclo x), p. 352, a Talete, che se ne sarebbe valso per de-
terminare la distanza di una nave dalla sponda.
78) In Euclide, I, pr. 8, la dimostrazione ё per assurdo e si fonda sulla prop. 7,
secondo la quale non possono esistere due triangoli distinti aventi una base comune
e i due lati adiacenti rispettivamente uguali. Proclo г), p. 266 suggerisce la dimostra-
zione che si fonda sulla costruzione di un triangolo uguale al secondo, avente un lato
in comune con esso e situato dalla parte opposta.
79) Euclide, I, pr. 16, dimostra il teorema con facili considerazioni di triangoli
uguali; un’altra dimostrazione assai semplice si fonda sul postulato delle parallele e
sarebbe dovuta, secondo Proclo x), p. 305, a Filippo di Mende (V sec. a. C.).
80) Questa classificazione, data da Euclide fra le definizioni (Df. 21), trova solo
assai piu in 1Й la sua giustificazione.
81) Euclide chiama il lato opposto all’angolo retto : 7) лХсира ttjv dpO-TjV ycovLav
U7roTEtvouoa (il lato che sta opposto all’angolo retto) ; solo piii tardi uiroTEtvouoa passb
a significare opposto all’angolo retto, апгкйъё solo opposto (Erone ®5), p. 178, def. 12).
Gli altri due lati, pensati uno orizzontale e uno verticale, furono chiamati anticamente,
p. es. da Erone, pdcotq e xaOcroq (nota ®5), p. 178), poi entrambi cateti.
82) Euclide, I, pr. 18.
83) Ea dimostrazione di Euclide, I, pr. 20, tuttora seguita, si fonda sul teorema
precedente. Proclo1), p. 322 e segg., riferisce altre dimostrazioni di Erone e di.PoR-
firio, e racconta come questo teorema fosse particolarmente oggetto di scherno per gli
Epicurei.
74
Emilio Artom
Questa proprieta fu talvolta considerata come evidente ed anche
posta come definizione della retta84).
Discende immediatamente da essa (ma pud anche essere dimo-
strato direttamente) che ogni lato di un triangolo e maggiore della dif-
ferenza degli altri due.
Affinche tre segmenti possano essere lati di un triangolo, e dunque
necessario che ciascuno sia compreso fra la somma e la differenza degli
altri due. Ma tali condizioni sono anche sufficienti, come vedremo a
proposito delle relazioni fra due circonferenze ; anzi basta che uno dei
tre segmenti sia compreso fra la somma e la differenza degli altri due,
perche esista un triangolo che ha i lati uguali ai tre segmenti85).
Fra i criteri di uguaglianza non figura quello relativo a due trian-
goli che abbiano due lati e Fangolo opposto a imo di essi uguali. E real-
mente tale criterio sarebbe falso, come risulta subito considerando i
due triangoli determinati in un triangolo isoscele da una trasversale
che passi per un punto della base diverso dal punto medio e per il ver-
tice opposto. Il detto criterio vale invece se si aggiunge la condizione
che i lati opposti agli angoli uguali siano i maggiori in ciascuno dei
due triangoli, о che gli angoli che non si sono supposti uguali e che
sono opposti a lati uguali siano entrambi acuti о entrambi ottusi. La
dimostrazione si fa agevolmente per assurdo86).
Applicando questa proposizione a due triangoli rettangoli che
abbiano Fipotenusa e un cateto uguali, si ha un criterio d’uguaglianza
per i triangoli rettangoli.
6) Se due triangoli hanno due lati rispettivamente uguali e gli
angoli compresi disuguali, i terzi lati sono lisuguali nello stesso senso
degli angoli opposti87 *).
Di qui segue una dimostrazione per assurdo del terzo criterio d’u-
guaglianza.
9. Mediane, altezze, bisettrici. — Si chiamano : bisettrice di un
triangolo relativa ad un vertice il segmento che, bisecando Fangolo del
triangolo che ha quel vertice, termina al lato opposto ; mediana relativa
ad un vertice il segmento che congiunge quel vertice col punto medio
й4) A. M. Legendre 40), p. 1 e 11.
*5) Si pud anche dimostrare direttamente che, se un segmento e compreso fra
la somma c la differenza di altri due, altrettanto avviene per ognuno degli altri. Queste
proposizioni compaiono implicitamente nella prop. 22 del I libro d’EuCLiDE, che in-
segna a costruire un triangolo del quale si conoscono i tre lati.
se) Questa proposizione, erroneamente attribuita a Proclo da J. W. von Ca-
merer (cfr. T. L. Heath31), p. 306 e J. Tropfke 5), p. 77), non figura che nei trattati
moderni. Ma in Euclide, VI, pr. 7, si trova 1’analogo teorema per i triangoli simili.
87) In Euclide, I, pr. 24 si trova la dimostrazione che viene ripetuta anche
oggi, conipletata in vari modi. Gia Proclo x), p. 34.’>, 1’aveva completata altrimenti ed
aveva esposta una dimostrazione di Menelao. Egli osserva anche che i due triangoli,
pur non essendo uguali, possono avere area uguale. Del detto teorema vale 1’inverso
(Euclide, 1, pr. 25), e pud servire a dimostrare per assurdo il terzo criterio d’ugua-
glianza.
XXII. - Propriety elementari delle figure del piano e dello spazio 75
del lato opposto ; altezza relativa ad un vertice il segmento di perpen-
dicolare condotto dal vertice alia retta del lato opposto e limitato da
questa88). Si dimostrano immediatamente le seguenti proprieta:
1) L’altezza e la mediana di un triangolo relative a un lato sono
minori della semisomma degli altri due lati.
2) La somma delle tre altezze e minore del perimetro, e, se il
triangolo e acutangolo, maggiore del semiperimetro.
3) La somma delle tre mediane di un triangolo e minore del
perimetro e maggiore di 3/4 del perimetro.
In particolare, pei triangoli isosceli :
4) La mediana, la bisettrice e l’altezza di un triangolo isoscele,
uscenti dal vertice comune ai lati uguali, coincidono ; vice versa, se due
di questi segmenti coincidono, il triangolo e isoscele.
5) Le due mediane (o le due bisettrici, о le due altezze) relative
ai lati di un triangolo isoscele sono uguali ; viceversa, se due mediane,
о due bisettrici, о due altezze di un triangolo sono uguali, il triangolo
e isoscele.
Le proposizioni dirette sono facili esercizi, e cosi pure le inverse,
eccezion fatta per il caso delle bisettrici. Proposto questo, forse per la
prima volta (1840), da D. Ch. L. Lehmus e dimostrato da J. Steiner 89),
fu poi oggetto di studi numerosi. Per le bisettrici esterne non e vero 90).
Ricordiamo ancora la proprieta d’immediata dimostrazione, che
la congiungente i vertici di due triangoli isosceli, aventi la base in co-
mune, biseca i due angoli al vertice e quindi la base. Essa serve ad una
nota costruzione per dimezzare un segmento о un angolo 91). La detta
retta e poi Vasse del segmento base comune dei triangoli isosceli ed e
il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento.
10. Figure piane simmetriche rispetto ad un punto о ad
una retta 92). — Dato un punto O, si chiama simmetrico di un punto A
rispetto ad О (detto centro di simmetrid) il punto A' estremo del seg-
mento О A' uguale ad О A e situato sulla semiretta opposta ad О A ; e
si chiama simmetrica di una figura F rispetto ad О la figura formata
dai punti simmetrici di quelli di F rispetto ad O.
Due figure simmetriche sono uguali^ poiche due segmenti congiun-
genti punti corrispondenti sono uguali. Se infatti i punti A, В hanno
w) Lo studio sistematico di questi segmenti figura soltanto nei trattati recenti.
Oltre alle bisettrici qui considerate, dette taivolta bisettrici interne, si considerano pure
le bisettrici esterne, che bisecano gli angoli esterni e sono limitate dai lati opposti, che
incontrano, eccezion fatta per le bisettrici esterne dell’angolo al vertice del triangolo
isoscele.
°) J. reine ang. Math., 28 (1840), p. 375 ; Werke, 2, Berlin 1^82, p. 321.
90) Si trovano copiose notizie in J. Tropfke 5), 4, p. 71 e F. G. M.50), p. 235,
dove e riportata la semplice dimostrazione di Descube.
91) Euclide, I, pr. 9 e 10. Gli agrimensori romani chiamavano caput bubuli la
relativa figura.
9-) Cfr. 1’art. XXVIII di questa Encicl. (U. Cassina, Trasformazioni geometriche
elementari), I-X.
76
Emilio Artom
per simmetrici A' e B', i segmenti AB e A' B' riescono uguali per 1’u-
guaglianza dei triangoli AOB, A' OB', a meno che AOB e per conse-
guenza А' О В' siano allineati, nel qual caso la tesi e immediata.
La figura simmetrica di un segmento ё un segmento, di una retta
e una retta. Una retta e la sua simmetrica non possono aver un punto
in comune, a meno che la retta data passi per il centro di simmetria,
ma allora essa coincide colla sua simmetrica 93).
Data una retta r (asse di simmetria), si chiama simmetrico di un punto
A rispetto a questa retta il simmetrico di A rispetto al piede della per-
pendicolare condotta da A ad r, e simmetrica di una figura rispetto ad
r la figura formata dai simmetrici dei punti della figura data.
Anche due figure simmetriche rispetto a una retta sono uguali;
e due rette simmetriche rispetto a una retta non hanno punti comuni
ne colla retta ne fra di loro, a meno che la retta data abbia un punto
in comune coll'asse della simmetria, nel qual caso la retta e la sua sim-
metrica formano angoli uguali coll’asse di simmetria.
11. Proiezioni ortogonali. — Il piede delta perpendicolare cpn-
dotta da un punto ad una retta si chiama proiezione ortogonale del punto
sulla retta. Proiezione di un segmento e il segmento che ha per estremi
lexproiezioni degli estremi del segmento dato.
1) Fra i segmenti che congiungono un punto ai punti di una
retta il segmento di perpendicolare e il minimo. Esso prende il nome
di distanza del punto dalla retta.
2) Fi;a due segmenti che congiungono un ptmto con due punti
di una retta ha luogo la medesima relazione di uguaglianza о di disu-
guaglianza che fra le loro proiezioni su quella retta ; invece, di due
tali segmenti, se uno e maggiore, minore, od uguale dell’altro, 1’angolo
acuto (o eventualmente retto) che il primo forma colla retta e minore,
uguale о maggiore di quello formato dal secondo.
3) Fra i segmenti che congiungono il vertice di un triangolo
isoscele coi punti della retta sulla quale sta la base, quelli interni al
triangolo sono minori dei lati uguali, quelli esterni sono maggiori.
4) Se due triangoli rettangoli hanno le ipotenuse uguali e due
cateti disuguali, gli altri due cateti sono disuguali in senso opposto.
12. Poligoni, poligoni uguali. — Dati in un piano n punti di-
stinti Al , A2, , ..., An disposti in un determinato ordine, si consi-
derino i segmenti che congiungono ciascuno di essi col successivo e
1’ultimo col primo. Si pud dimostrare che, se i segmenti cosi ottenuti
non si incontrano fuorche nei vertici che ciascuno di essi ha in comune
col seguente e col precedente, la figura formata dai segmenti stessi
divide il piano in due parti, una delle quali finita (ogni retta individuata
da due punti di questa contiene almeno un segmento interno ad essa
ю) G. Veronese m) parte da queste considerazioni per introdurre la relazione di
parallelismo fra due rette.
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 77
e, oltre ad eventual! segmenti esterni, due semirette esterne) ed una
infinita (che contiene per intero delle rette). La parte finita, aggregando
ad essa anche i segmenti A1A2i A2A3, ... (detti lati), si chiama poli-
gono 94). Se poi il poligono si trova tutto dalla stessa parte rispettq a cia-
scuna delle rette Ar A2, A2 Л3, ..., esso si chiama convesso, in cascbcon-
trario concavo. Nel caso dei poligoni convessi si dimostra che ogni angolo
convesso Лд.х Ah Ah+1 contiene tutti i vertici (e i lati) del poligono.
Ognuno di tali angoli si chiama angolo interno del poligono, о sempli-
cemente angolo. Si estendono poi ai poligoni le definizioni di perimetro,
punti interni, punti esterni, ecc. date per i triangoli w).
Si chiama diagonale ogni segmento che congiunge due vertici e non
c un lato. Un poligono di n lati ha ------------ diagonali. Un poligono
и
si dice regolare se ha tutti i lati uguali e tutti gli angoli uguali.
1) Due poligoni sono uguali se e possibile porre una corrispon-
denza biunivoca fra i vertici dell’uno e dell’altro, tale che i lati compresi
fra vertici corrispondenti siano uguali e gli angoli compresi fra lati
corrispondenti siano eguali 9e).
La dimostrazione si svolge dimostrando che esiste una figura uguale
ad uno dei poligoni dati, per es. ABCD..., tale che ad AB corrisponda
A' Bf (uguale per ipotesi ad AB), e alia semiretta BC la В' C, e che
tale figura coincide con il secondo poligono А' В' C'...
La dimostrazione stessa pud facilmente tradursi col linguaggio
del movimento e mostra che i due poligoni riescono uguali anche se
non si fa alcuna ipotesi su : 1° due lati e Fangolo compreso ; 2° tre an-
goli consecutivi ; 3° due angoli e il lato compreso. Di qui scendono
tre criteri di uguaglianza per i poligoni.
Notiamo le seguenti proposizioni, facili corollari dei teoremi sui
triangoli.
2) Un lato di un poligono e minore della somma degli altri.
3) Se di due poligoni convessi uno e interno all’altro, il peri-
metro del primo e minore del perimetro del secondo.
13. La circonferenza; prime proprieta. — Il secondo dei ter-
mini introdotti nella geometria di Euclide (libro I, def. 2a) e
che significa linea. Come gia osservammo, queste prime pagine di Eu-
clide sono talvolta oscure, e tai altra pare che diano, piuttosto che
•4) O. Veblen, Trans. Amer. math. Soc., 5 (1904), p. 365, 366. Altre citazioni
in L. Zoretti-A. Rosenthal, Encyhl. d. math. Wiss., II, c. 9, n. 13, p. 917. V. anche
Part. XXVI di questa Encicl. (L. Brusotti, Poligoni e poliedri), §§ 1-4.
•5) Euclide considera figure rettilinee poligonali (<тх^Ната Ео$>бурац(ла тгоХи-
ттХеира) senza approfondime lo studio ; analisi accurate si trovano solo nei libri
modemi. V. oltre all’art. XXVI di questa Encicl. ®4), F. Palatini se). I termini тр(-
rcXeupx (trilateri), тетратгХсира (quadrilateri), тсоХбтсХЕира (multilateri) sono forse do-
vuti a Euclide, регсЬё Platone e Aristotele non li usano.
Questa proposizione pud essere scelta come definizione di poligoni uguali.
Cfr. F. Enriques e U. Amaldi 55).
78
Emilio Artom
definizioni scientifiche, chiarimenti in linguaggio comune dei concetti
primitiyi che vengono introdotti. Cosi la linea ё definita lunghezza
senza larghe$za (prjxos йлЛатес). Questa frase venne riprodotta come
definizione di linea nei libri di geometria fino agli ultimi decenni w),
ma ora ё scomparsa dai migliori trattati регсЬё, mentre da un lato Гар-
profondita analisi del concetto di linea w) ha mostrato come esso mon
possa essere introdotto che in uno stadio assai piu elevato degli studi
geometrici, dall’altro si osserva che la geometria elementare, occupan-
dosi soltanto di alcune determinate figure, fra quelle che rientrano nella
classe piii ampia delle linee, non ha bisogno di servirsi del concetto
generale di linea.
La geometria euclidea piii propriamente considera, fra le linee,
soltanto la retta e il cerchio, e, se anche le definizioni di questi enti,
nella redazione a noi pervenuta, affermano che essi siano delle linee,
tale affermazione riesce negli ulteriori sviluppi ргеззосЬё inutile. A dir
vero, qualche uso Euclide ne fa, quando tacitamente ammette alcune
propriety della retta e della circonferenza, in quanto esse, о loro parti,
servono di contomo a certe parti di piano, ma рогсЬё le propriety delle
linee, applicate a questi casi, non sono state postulate accanto alia de-
finizione di linea, 1’uso di tali propriety ё abusivo.
I geometri greci, precedent! e seguenti Euclide, che studiarono
altre linee, come le curve che servono per la duplicazione del cubo о
la quadratura del cerchio, hanno perd un certo ritegno a servirsene
nelle trattazioni teoriche ; 1’uso delle stesse linee di second’ordine pare
ad essi legittimo soltanto quando possono venire introdotte come se-
zioni di un cono ottenuto partendo da una circonferenza e da un punto
fuori del suo piano, come se la retta e la circonferenza avessero una
reale esistenza prima e al di sopra di ogni altra linea ®°).
Percid qui introdurremo il concetto di circonferenza prescindendo
dal fatto che essa sia una linea. Le propriety delle quali essa gode come
tale verranno ricavate in seguito, come conseguenza della definizione.
Si chiama circonferenza la figura formata dai punti di un piano
equidistant! da un punto dato nel piano100). Questo punto dicesi centro
della circonferenza ; ogni segmento che ha un estremo nel centro e uno
sulla circonferenza, raggio. Ogni segmento che ha gli estremi sulla circon- * 10
°7) V. fart. XXI di questa Encicl.60), § 39.
*°) A. M. Legendre 40), p. 33, segue ancora la definizione di Euclide ; fra i
trattati piii recenti citiamo quelli di E. Rouch£-Ch. de Comb^rousse 60) e quello di
A. Faifofer B1), che, introdotto prima il solido, come parte di spazio, e poi la superficie,
come limite di un solido, definiscono la linea come contomo di una superficie, mentre
R. Baltzer60), senza allontanarsi da quest’ordine di idee, si limits a discorrere nel
primo paragrafo della planimetria di solidi, superficie, linee, considerandoli come
generati dal movimento.
•°) E. Artom, Period, mat., (4) 10 (1930) p. 204, 296.
10°) In altre parole, la circonferenza ё il luogo dei punti di un piano, ecc., usan-
dosi il termine luogo per mettere in evidenza che si vogliono considerare tutti e soli
i punti che godono di questa propriety. Si tratta della traduzione letterale della parola
TMtoc, gilt in uso presso gli antichi Greci. Cfr. Euclide, I, pr. 15, 16, 17.v
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 79
ferenza si chiama cor da101) e, se passa per il centro, diametro. In questo
caso il centro e intemo alia corda e precisamente nel punto di mezzo.
1) Una circonferenza non pud avere due centri, perche, se tali
fossero P e Q, ed А, В i punti della retta P Q distanti da P di un seg-
mento uguale al raggio, il segmento AB avrebbe due punti di mezzo :
P^Q- .. .
2) Tutti i raggi sono uguali. Tutti i diametri sono uguali e doppi
di ogni raggio.
I punti del piano che hanno daj centro distanza minore (o maggiore)
del raggio si chiamano punti interni (o esterni) alia circonferenza.
3) La circonferenza divide il piano in due parti, una costituita
dai punti interni, una dai punti esterni, che godono di proprieta ana-
loghe alle parti determinate in un piano dal perimetro di un poligono
convesso102).
4) I punti interni a una corda sono interni alia circonferenza.
La figura formata dai punti della circonferenza appartenenti a un
angolo avente il vertice nel centro si chiama arco. Estremi dell’arco sono
i punti di esso che a'ppartengono ai lati dell’angolo. Si suoi dire che
quell’angolo al centro comprende questo arco, e che la corda che ne
congiunge gli estremi sottende 1’arco. Due punti della circonferenza
sono estremi di due archi. compresi nei due angoli al centro, uno con-
vesso e uno concavo (o eccezionalmente entrambi piatti, oppure uno
nullo e uno giro) che hanno i lati passanti per quei due punti103).
5) Archi della stessa circonferenza, о di circonferenze con ugual
raggio, compresi in angoli uguali, sono uguali, perche si corrispondono
in ciascuna delle due uguaglianze che intercedono fra i due angoli al
centro, uguali per ipotesi104).
6) Le corde che congiungono gli estremi di archi uguali sono
uguali.
7) Se le corde congiungenti gli estremi di due archi della stessa
circonferenza, о di circonferenze aventi ugual raggio, sono uguali, e
se gli angoli al centro sono entrambi acuti, о entrambi ottusi, о entrambi
piatti, gli archi sono uguali.
Riferendosi solo ad archi della stessa circonferenza, о di circonfe-
renze uguali, si pud definire la somma di due archi a e (un arco avente
1’angolo al centro somma degli angoli al centro di a e /?), poi il prodotto
di un arco per un intero, ecc., e si ottiene cosi una teoria degli archi,
riguardati come grandezze, perfettamente analoga alia teoria degli an-
goli (§ 6). Si noti che queste considerazioni sono concettualmente ben
distinte da quelle relative alia lunghezza degli archi.
101) Euclide usa i termini paou; тои тр,т](лато(; oppure 7) тф xuxXco (evOeia)
уредхт). La parola corda paie introdotta da Platone da Tivoli.
i°2) у. •«) e Fart. XXI di questa Encicl. ®°), § 39. Talvolta si chiama cerchio Fin-
sieme dei punti della circonferenza e dei punti interni ad essa.
1<B) Euclide, III, def. 7, 8, 9, 10, 11.
104) La dimostrazione per sovrapposizione ё anche immediata. Euclide, III,
pr. 12, definisce simili due parti di cerchio (anche di cerchi diversi) che siano comprese
in angoli al centro uguali.
80
Emilio Artom
8) Se A e В sono due punti di una circonferenza di centro O,
risulta dalle proprieta del triangolo isoscele AOB che una medesima
retta gode delle seguenti proprieta :
congiunge il centro con il punto medio della corda ;
e la perpendicolare condotta dal centro alia corda ;
e la perpendicolare alia corda nel suo punto di mezzo ;
biseca ciascuno degli angoli al centro che hanno i lati passanti
per gli estremi della corda.
9) La retta passante per il centro che gode delle suddette pro-
prieta divide ancora per meta i due archi determinati dalla corda nella
circonferenza ; inversamente la congiungente i punti medi di cotesti
archi passa per il centro.
10) Ogni diametro e asse di simmetria per la circonferenza.
11) Due corde di una circonferenza ugualmente distanti dal
centro sono uguali, e, se una di esse e piii distante dal centro dell’altra,
questa e maggiore di quella105).
14. Relazioni tra una retta e una circonferenza compla-
nari. — 1) Ogni retta avente dal centro di una circonferenza distanza
minore del raggio incontra la circonferenza in due punti106).
Di qui segue che :
2) Una retta avente un punto inter no ad una circonferenza, la
taglia in due punti.
3) Ogni retta avente dal centro distanza maggiore del raggio
di una circonferenza ha tutti i punti esterni alia circonferenza.
4) Ogni retta avente dal centro distanza uguale al raggio ha un
solo punto sulla circonferenza, e precisamente il piede della perpendi-
colare condotta dal centro alia retta.
Queste due proposizioni, di immediata dimostrazione, esauriscono
colla precedente i casi possibili ; valgono percid i teoremi inversi.
Una retta si chiama secante, esterna о tangente rispetto a una cir-
conferenza, secondo che ha due, nessuno, о un solo punto in comune
colla circonferenza107). Il punto di cui si tratta nell’ultimo caso dicesi
punto di contatto della tangente con la circonferenza. I teoremi prece-
105) Euclide, III, pr. 15. La dimostrazione di Euclide e un po’ complicate. Тёо-
dosio di Tripoli (II sec. a. C.) si fonda sul teorema di Pitagora. V. Les spheriques de
Theodose de Tripoli, trad, francese di P. Ver Eecke, Bruges 1927, libro I, prop. VI, p. 7-10.
loe) La dimostrazione di questo teorema si fonda sul postulato della continuity.
Poiche nei trattati scolastici si suole rimandame 1’enunciato a piu tardi, per ragioni
didattiche, si postula qui una proposizione che, in sostanza, ne ё un caso particolare.
P. es. si postula addirittura il teorema о la proposizione 2) о qualche proposizione
•equivalente.
107) La teoria delle tangenti a un cerchio e svolta da Euclide nelle prop. 16, 17,
18, 19 del III libro. Egli considera la tangente come la retta che, uscendo da un punto
di una circonferenza, si awicina a questa piu di ogni altra, e dimostra che fra la tangente
e il cerchio non si pud condurre un’altra retta, usando invero termini poco precisi, ma
assai espressivi. Egli chiama xep xtoelStjc; у Wot 1’angolo dell’arco colla tangente (an-
golo a forma di сото). Queste considerazioni hanno avuto una certa importanza fino
all’introduzione del moderno calcolo infinitesimale, e servono a preparare allo studio
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 81
denti offrono facili criteri per riconoscere se una retta e secante, esterna
о tangente rispetto a una circonferenza.
Da quanto si e detto risulta che :
5) Per un punto di una circonferenza passa una e una sola tan-
gente.
La tangente in un punto P pud essere riguardata come il limite
di una secante, che incontri la circonferenza in P e Q, per Q tendente
a P, ed e facile, anche per questa via, dimostrare che la tangente ё per-
pendicolare al raggio passante^jer il punto di contatto. Tuttavia questa
trattazione non e opportuna nei libri di geometria elementare, регсЬё
dovrebbe essere preceduta da un’acconcia teoria dei limiti.
Notiamo ancora che, siccome nessuna retta pud avere con una
circonferenza piu di due punti comuni, nessun segmento pud far parte
di una circonferenza, cioe la circonferenza ё un insieme di punti essen-
zialmente distinto dal segmento e dalla retta.
6) Fra i segmenti che congiungono un punto di un piano con
i punti di una circonferenza che non lo contenga, il massimo ё quello
che contiene il centro, il minimo ё quello il cui prolungamento contiene
il centro loe).
15. Relazioni tra due circonferenze complanari. — 1) Due
circonferenze distinte non possono avere piii di due punti distinti in
comune, регсЬё se А, В, C fossero tre punti comuni, le due circonfe-
renze avrebbero entrambe come centro il punto comune agli assi di
AB e AC, quindi coinciderebbero 108 109).
Si considerino ora due circonferenze distinte e la retta che con-
giunge i centri О e O' (se i centri coincidono, le consideraziorii seguenti
valgono per una retta qualunque passante per il centro). Se А, В sono
le intersezioni di questa retta con la circonferenza di centro О e C, D.
le intersezioni coll’altra, possono presentarsi i seguenti cinque casi:
le coppie AB e CD non si separano e sono una esterna all’akra ;
le coppie AB e CD si separano ;
le coppie AB e CD non si separano e I’una ё interna all’altra ;
le coppie AB e CD hanno un punto comune e gli altri due da
parti opposte ;
le coppie AB.e CD hanno un punto comune e gli altri due dalla
stessa parte.
della tangente per le curve diverse dal cerchio, il che non avviene seguendo le defini-
zioni del tipo di quella da noi riportata, che vale soltan to per 1’ellisse (o le linee di se-
condo ordine nel campo proiettivo) о per le curve ovali (nel campo reale). Apollonio
invece, Kcovtxdc83), libro I, prop. 17 e 32, ed. J. L. Heiberg, 1, Lipsiae 1891, p. 69. 95 ;
ed. francese di P. Ver Eecke, Bruges 1924, p. 40, 58, riguarda come tangente una retta
che abbia un sol punto comune colla conica e gli altri esterni.
108) Euclide, III, pr. 7 ; Euclide complete il teorema confrontando fra loro i
segmenti diversi dal minimo e dal massimo, ma la dimostrazione non e perfetta. N.
Tartaglia 30) termina la dimpstrazione colla frase curiosa: « e sappi che la figura de
questa proposizione e detta dal vulgo coda di pavone ».
1Q9) Euclide, III, pr. 10.
82
Emilio Artom
Poiche О cade nel diametro AB ed O' nel diametro CD, questi
cinque casi corrispondono biunivocamente alle cinque distinte rela-
zioni fra i raggi R, r e la distanza dei centri (supporiendo R>_ r) :
1°) О O' > R + r,
2°) R — r < О O' < R + r,
3o) OO'<R- r,
40) О O' = R + r,
50) О O' = Я — r.
In questi casi si ha rispettivamente :
1°) le due circonferenze sono ciascuna estema all’altra;
2°) le due circonferenze hanno due punti in comune, e questi
punti dividono ciascuna delle due circonferenze in due archi, dei quali
uno e intemo e uno e estemo all’altra ;
3°) la circonferenza di raggio minore ha tutti i suoi punti in-
temi a quella* di raggio maggiore ;
4°) le due circonferenze hanno un sol punto comune e gli altri
punti di ciascuna sono esterni all’altra ;
5°) le due circonferenze hanno un sol punto comune e gli altri
punti di quella di raggio minore sono interni all’altra.
Le proposizioni precedent! sono invertibiliuo).
2) Se due circonferenze hanno un sol punto comune, in quel
punto hanno la medesima tangente, perche la tangente e la perpendi-
colare alia retta dei centri che passa per quel punto.
3) Se due circonferenze hanno due punti comuni, la corda che
li congiunge e perpendicolare alia retta dei centri, perche questa con-
giunge i vertici di due triangoli isosceli colla base comune.
In ciascuno dei cinque casi considerati le due circonferenze son
dette 1°) esterne, 2°) secanti, 3°) una interna alTaltra, 4°) tangenti ester-
nament e, 5°) tangenti internamente.
16. Poligoni inscritti e circoscritti. — Un poligono avente i
vertici su una circonferenza si chiama inscritto in essa, e la circonfe-
renza circoscritta ad esso. Un poligono avente i lati tangenti ad una
circonferenza si chiama circoscritto ad essa, e la circonferenza inscritta
in esso.
Tutti i triangoli sono inscritti in una circonferenza e circoscritti
ad un’altra circonferenza.
no) In Euclide, III, pr. 11, 12, 13 la questione delle relazioni fra due circon-
ferenze e trattata in modo non del tutto soddisfacente ; v. un’ampia critica in T. L.
Heath, citato al § 2, vol. 2, Cambridge 1908, p. 25, il quale riferisce le osservazioni
di J. W. von Camerer e aggiunge le proprie ; v. anche Pappo 34 * * * * *), ed. F. Hultsch, 2,
Berolini 1877, p. 821 e seg.; ed. P. Ver Eecke, 2, Paris et Bruges 1933, p. 633 e seg.
A. M. Legendre 40) segue una via analoga a- quella qui riportata, ma si fonda sui prfe-
supposto che possa essere costrutto un triangolo avente per lati tre dati segmenti,
quando uno di essi e compreso fra la somma e la differenza degli altri due ; A. Sannia
e E. D’Ovidio 52), F. Enriques e U. Amaldi 6b), F. Palatini 5e), F. Severi 5e) d&nno
dimostrazioni rigorose e poco diverse.
XXII. - ProprietA elementari dellr figure del piano e dello spazio 83
Per le propriety particolarmente important! dei poligoni regolari
(§ 12), che sono sempre inscritti e circoscritti, rimandiamo all’art. XXVI
di questa Encicl. 94), § 8. Qui ricordiamo il semplice teorema : Condi-
zione necessaria e sufficiente регсЬё un quadrangolo sia circoscritto ё
che la somma di due lati opposti sia uguale alia somma degli altri due.
17. Rette parallele; prime proposizioni. — Due rette com-
planari si chiamano par allele se non hanno punti comuni111).
Una retta r, che ne incontri altre due a, i, e non passi per il loro
eventuale punto comune, forina con esse otto angoli convessi. Detti
A e В i due punti a r e b r, si chiamano esterni gli angoli di vertice A
che non contengon В e quelli di vertice В che non contengon A ; in-
terni gli altri quattro. Un angolo di vertice A e uno di vertice В si chia-
mano alterm se sono entrambi interni о entrambi esterni e da parti
opposte rispetto a r ; corrispondenti se uno ё intemo e I’altro estemo^
ma dalla stessa parte rispetto ad r ; coniugati. se entrambi interni о en-
trambi esterni, ma dalla stessa parte della r112).
1) Se due rette complanari formano con, una trasversale angoli
altemi uguali, sono parallele.
Infatti, detti A e В 1 punti d’inconto della trasversale con le rette
date, e C I’eventuale punto d’incontro di queste, il triangolo ABC
avrebbe un angolo estemo uguale ad uno dei due interni non adiacenti,
il che ё assurdo.
Ne discende subito che il teorema precedente vale ancora se, an-
ziclte supporre uguali due angoli alterni interni, si suppongono uguali
due angoli altemi esterni, о due angoli corrispondenti, о se si suppon-
gono supplementari due angoli coniugati113).
2) Dati una retta e un punto fuori di essa, passa per questo
punto una parallela alia retta data. Basta infatti osservare che, condotta
peril punto una qualsiasi trasversale c alia retta data я, esiste per quel
punto una retta i, tale che c deter mini con a e b angoli altemi uguali.
18. Postulato delle parallele e sue conseguenze. — Per 1’in-
versione dei teoremi precedent! occorre un nuovo postulato. A questo
argomento, che ha un’importanza fondamentale nella storia della geo-
metria, ё dedicate uno speciale articolo di questa Enciclopedia114).
U1) Euclide, I, def. 23. Piii propriamente Euclide definisce il parallelismo di
due segmenti.
1U) Euclide non usa questa nomenclatura, ma delle perifrasi (p. es. al £vaXXa5
ycovlat: I, pr. 27). Leonardo da Pisa, Practica geometrica, 2, p. 2, chiama gli an-
goli altemi: anguli qui permutati sunt invicem; D. F. Rivard, Elements de giomitrie, 1,
Paris 1739, §§ 89, 90 usa i termini: corrispondenti, altemi e interni (o esterni) dalla
stessa parte; S. F. Lacroix, Elemens de giomitrie Paris, an. VII, p. 24 lo segue e
diffonde 1’uso di queste parole.
113) Euclide,. I, pr. 27. Ё probabile che queste proposizioni siano dovute a Ta-
lete, che si occupd di varie question! relative ad angoli.
114) Art. XXXVIII (-G. Fano, Geometric non euclidee e non archimedee). N. anche
Fart. XXI della stessa Encicl. ®°), § 26.
84
Emilio Актом
Qui ci limiteremo percid ad enunciarlo sotto una delle varie forme
equivalent!, sotto le quali lo si pud presentare, e a notame le principal!
conseguenze nel campo della geometria elementare.
Postulato, — Se due rette sono parallele, ogni loro trasversale de-
termina con esse angoli coniugati supplementary.
Si prova immediatamente che pgni loro trasversale determina
altresi angoli altemi uguali e che, se queste ipotesi non si verificano,
le rette non possono essere parallele. In particolare, se due angoli co-
niugati, p. es. interni, non sono supplementary le due rette s’incontrano
precisamente, rispetto alia trasversale, dalla parte alia quale apparten-
gono due angoli coniugati aventi somma minore di un angolo piatto.
Sotto questa forma ё enunciate il postulato delle parallele da Euclide,
ed ё immediata la deduzione da esso delle proposizioni precedenti e
in particolare del postulato nella forma qui prescelta ue).
Un’altra conseguenza immediata ё la seguente :
1) Per un punto dato passa una sola parallela ad una retta data.
2) In un piano due rette ^distinte perpendicolari ad una terza
sono parallele fra loro, e, se una retta ё perpendicolare ad un’altra retta,
ё pure perpendicolare ad ogni parallela a quest’ultima.
3) Due rette distinte di un piano, parallele ad una terza, sono
parallele fra di loro.
4) Due angoli dello stesso piano coi lati paralleh sono eguali
о supplementary Pivi precisamerite, se si chiamano equiverse о contra-
verse due semirette parallele che rispettivamente giacciono о no dalla
stessa parte rispetto alia congiungente le loro origini, saranno uguali
due angoli aventi le coppie di lati entrambe equiverse о entrambe con-
traverse, e supplementari due angoli aventi due lati equiversi e due
contraversilie). Se due semirette sono equiverse', il prolungamento di una
di esse ё contraverso all’altra ed equiverso al prolungamento dell’altra.
5) Due angoli dello stesso piano coi lati perpendicolari sono
uguali о supplementari.
6) Segmenti di rette parallele compresi fra due rette parallele
sono uguali.
Siano infatti AB, CD due segmenti di parallele compresi fra le
parallele AC e BD. Le semirette AB e CD saranno equiverse (регсЬё
in caso contrario BD taglierebbe AC), percid AB e DC sono contra-
verse. Ne viene che gli angoli BAD e ADC sono altemi rispetto alle
parallele AB, CD tagliate da AD, e quindi uguali'. Analogamente si
vede che sono uguali gli angoli BDA e DAC ; percid sono uguali i trian-
goli ABD e DC A e quindi i segmenti AB e CD.
Come cbrollario :
7) I punti di una retta sono equidistant! da una retta parallela
alia prima115 * 117).
115) Euclide, I, post. V.
lie) P. Ramus (Pierre de la Ram&e), Geometria, Basilea 1569, p. 43, d& il teo-
rema senza distinguere i versi.
117) Questa proposizione, che esprime una delle propriety piti intuitive delle cop-
XXII. “ ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio
85
Una delle piu riotevoli conseguenze delle proposizioni precedent!
sta nel teorema seguenteш) :
8) La somma degli angoli di un triangolo ё uguale a un angolo
piatto118 119 *).
La dimostrazione si svolge facilmente, conducendo per un verticd
la parallela al lato opposto ; i tre angoli determinati da essa e dai due
lati del triangolo che passano per quel vertice sono rispettivamente uguali
ai tre angoli del triangolo ed hanno per somma un angolo piatto “°).
Come corollario, si ha un complemento del teorema 1) del § 8:
9) Un angolo estemo di un triangolo ё uguale alia somma dei
due angoli interni non adiacenti.
Basta osservare che ogni poligono convesso di n lati si pud scom-
porre in я — 2 triangoli mediante le diagonali uscenti da un vertice,
per concludere che la somma degli angoli interni di un poligono ё u-
guale a n — 2 piatti.
Ma la somma di un angolo intemo di un poligono e di uno degli
esterni col medesimo vertice ё uguale a un angolo piatto ; dunque la
somma di tutti gli angoli esterni ё uguale a 2 angoli piattiш).
Una bella applicazione del teorema 8 ё la teoria degli angoli in-
scritti in un arco di circonferenza129).
10) Ogni angolo alia circonferenza ё meta dell’angolo al centro
che comprende il medesimo arco123).
pie di rette parallele, ha suggerito a Poseidonio (secondo Proclo1), p. 176 e 177),
e probabilmente ad altri geometri prima di lui, di definire due rette parallele come
equidistanti. Rimandando all’art. XXXVIII di questa Encicl.114), §§ 1 e 2, per la cri-
tica di questa definizione, ci limitiamo qui ad osservare che essa richiede anzitutto
che о si dimostri о si postuli che il luogo dei punti equidistanti da una retta ё una retta.
Vedi F. Severi ••).
118) Dovuto probabilmente ai Pitagorici: Proclo x), p. 379.
119) Euclide, I, pr. 32. La dimostrazione qui riportata ё attribuita da Proclo
ai Pitagorici; ma Eutocio, nel commento ad Apollonio ”), ed. J. L. Heiberg, 2,
Lipsiae 1893, p. 173, riferisce che essi abbiano dato diverse dimostrazioni per i 'di-
versi tipi di triangoli. Che la dimostrazione generale sia perd anteriore ad Euclide,
risulta anche dal fatto che Aristotele vi allude manifestamente nella Metafisica. La
dimostrazione di Euclide si fonda sull’osservazione che una semiretta parallela a un
lato e passante per un vertice divide I’angolo estemo in due parti uguali agli interni
opposti. Un’altra dimostrazione presuppone la conoscenza della somma degli angoli
esterni. Sulle ipotetiche dimostrazioni dei Pitagorici, suggerite forse dall’esame del
rettangolo costrutto a partire da un dato triangolo ABC, v. T. L. Heath110), 1, p. 319.
12°) B. F. Thibaut, Grundriss derreinen Mathem. 2a ed., Gottingen 1809, p. 177, dA
la dimostrazione che si fonda sulla rotazione di una semiretta parallela a un lato. Per
le* verifiche che si servono della piegatura della carta, v. T. S. Row, Geometry-exer-
cices in paper-folding, Madras 1893, p. 63 ; H. S. Hall e F. H. Stevens, A School geo-
metry, London 1903, p. 47.
" 121 122) La stessa conclusione si ottiene conducendo per un punto le parallele ai lati
del poligono, percorsi in un verso. Per i poligoni non convessi, v: R. Baltzer tt), 4,
p. 31 e 113.
122) Si pud ritenere che queste proposizioni fossero giA note ad Akchita 14).
^) Euclide, III, pr. .20 e 32. La dimostrazione si svolge in piti casi, ultimo
dei quali quello in cui I’angolo ha un lato tangente. Esso ё un caso limite dei prece-
dent!, ma una tale considerazione non pud avere che un ufficio euristico, se non si ё
premessa un’appropriata teoria dei limiti.
«6
Emilio Актом
In conseguenza :
11) Tutti gli angoli'iscritti in mezza circonferenza sono rettim).
12) Gli angoli inscritti in un medesimo агсо, о in archi uguali,
-di una medesima circonferenza о di circonferenze uguali sono uguali,
регсЬё sono meti di uno stesso angolo al centro о di angoli al centro
uguali124 * 126 127).
Inversamente :
13) I vertici degli angoli uguali, i cui lati passano per due punti
-dati, stanno su due archi di circonferenza aventi gli estremi nei punti
-dati. Solo se gli angoli dati sono retti i due archi (che in tai caso sono
semicerchi) appartengono ad una sola circonferenza126).
14) Ogni angolo avente il vertice interno ad una circonferenza
i uguale alia semisomma degli angoli al centro die comprendono gli
archi interni all’angolo dato e al suo opposto al vertice.
15) Ogni angolo avente il vertice estemo ad una circonferenza
e i suoi lati tali che uno incontri la circonferenza in due punti A e В
e I’altro in due punti C e D, ё la semidifferenza .degli angoli al centro
che comprendono gli archi AC e BD interni al dato angolo ш)«
16) Condizione necessaria e sufficiente регсЬё un quadrangolo
convesso sia inscrittibile in una circonferenza ё che gli angoli opposti
siano supplementari.
19. Rette antiparallele rispetto ad una retta. — Due rette a,
b si dicono antiparallele rispetto ad una retta c se b ё parallela alia sim-
metrica di a rispetto a r128).
La relazione di antiparallelismo ё simmetrica.
1) Due rette che s’incontrano sono sempre antiparallele rispetto
ad infinite rette, che sono le parallele ad una о all’altra delle due bi-
settrici dei loro angoli.
2) Se due rette sono antiparallele rispetto ad una retta, sono
pure antiparallele rispetto ad ogni parallela a questa, ed anche rispetto
ad ogni perpendicolare alia medesima. Percid si usa a volte la dicitura
di rette antiparallele rispetto ad una coppia di rette, intendendosi di
parlare di rette antiparallele rispetto alle bisettrici degli angoli di quelle
due rette. Ne viene che, se r ed r sono, antiparallele rispetto ad a e b
e incontrano a in A e Л', e b in В e B', e se a e b s’incontrano in O,
i triangoli О AB e OA'B' hanno gli angoli rispettivamente uguali.
124) Euclide, III, pr. 31.
1M) Euclide, III, pr. 21.
12e) La proposizione si trova implicitamente contenuta nelle propp. 23 e 33 del
III libro' di Euclide.
127) Secondo R. Baltzer “), 4, p. 48, questi teoremi di Alhazen si trovano in
Vitellione, Optices, p. 55.
U8) L’espressione rette antiparallele fu introdotta da A. Arnauld nei suoi Nou-
-veaux elements de geometric, Paris 1667, pubblicati senza лоте d’autore. Cfr. F. G.
M. 50), p. 1147 e segg. L’uso di esse ё spesso utile nella recente geometria del triangolo :
v. I’art. XXIV di questa Encicl. (V. Retali e G. Biggiogero, La geometria del trian-
goto), § 16.
XXII. - Propriety elementari delle figure del piano e dello spazio 87
Fra le applicazioni delle propriety ora esposte, riportiamo i se-
guenti. teoremi:
3) I quattro punti А, А', В, B' nei quali due rette r ed s incon-
trano due rette parallele a e b rispetto alle quali sono antiparallele, stanno
su una circonferenza ; viceversa, se due rette parallele a e b sono ta-
gliate da una circonferenza nei punti Л, A', B, B.', le rette AB, A'B'
sono antiparallele rispetto ad a e b.
4) Se due rette sono antiparallele rispetto ad altre due a e b
tra loro parallele, e le incontrano rispettivamente in A, A' e in В e.B',
anche AB' e A'B sono antiparallele rispetto ad a e b.
5) Se i punti А, В, C appartengono ad una retta r e i punti
А', В', C' ad una retta r', e se AB' ё parallela ad A'B e AC' ad A'C,
anche ВС' ё parallela a B'C128). Si costruisca infatti la circonferenza
per В, C, A' che taglia ulteriormente r' in A". Le rette A'B, A"C ri-
sultano antiparallele rispetto a r, r', quindi sono tali anche AB' e A'C.
Ma allora А, В', A", C stanno su una circonferenza, quindi sono anti-
parallele rispetto ad r, r' anche AA" e B'C. Analogamente si dimostra
che sono antiparallele rispetto ad r, r' le rette AA" e BC', percid anche
BC' e B'C sono parallele.
20. Parallelogrammi e trapezi. — Si chiama parallelogrammo
un quadrangolo che abbia le coppie di lati opposti paralleli * 13 * * *°).
1) Diagonals ё il segmento che unisce due vertici opposti. Un
parallelogrammo ё necessariamente convesso, регсЬё, se fosse concavo,
uno dei lati che non lasciano il poligono tutto dalla stessa parte dovrebbe
tagliare il suo opposto.
2) Un parallelogrammo ё diviso da ogni diagonale in due trian-
goli uguali.
3) I lati opposti di un parallelogrammo sono uguali.
4) Gli angoli opposti di un parallelogrammo sono uguali.
5) Le diagonal! di un parallelogrammo si incontrano e si di-
mezzano.
Valgono i teoremi inversi :
6) Se in un quadrangolo le diagonal! si dimezzano, esso ё un
parallelogrammo.
ue) Questo teorema ё un caso particolare del celebre teorema di Pappo 34), libro
VIГ, prop. 138, ed. F. Hultsch, 2, p. 885 ; ed. P. Ver Eecke, 2, p. 685, che alia sua
volta ё un caso particolare del teorema di Pascal : v. Fart. XXXIV di questa Fncicl.
(B. Segre, Geometria analitica, § 36), e Fart. XXXV della stessa (E. G. Togliatti,
Geometria proiettiva, § 25). La dimostrazione ё di G. Ascoli, Period, mat., Suppl., 18
(1915), p. 129. V. anche G. Ascoli, G. mat., 53 (1915), p. 203. L’importanza di queste
dimostrazioni sta nel fatto che sono indipendenti dall6 teorie delle proporzioni e del-
Fequivalenza.
13°) Euclide usa il termine /coptov каракк^кбурарцхоу (spazio parallelogrammo),
о semplicemente 7гараккт]кбурар.[хоу, senza dame un’esplicita definizione. La desi-
nenza in a data da alduni autori italiani non ha fondamento etimologico grammaticale.
A. Faifofer61) lo chiama rombo, riserbando il nome di losanga a quest’ultimo.
88
Emilio Artom
7) Se in un quadrangolo convesso i lati opposti о gli angoli
opposti sono uguali, esso e un parallelogrammo131).
8) Se in un quadrangolo convesso due lati opposti sono uguali
e paralleli, il quadrangolo e un parallelogrammo132).
Come casi particolari del parallelogrammo si presentano il rombo
(o losangd), il rettangolo,. il quadrate, caratterizzati il primo dall’avere
due consecutivi e quindi tutti i lati uguali ; il secondo uno e quindi
tutti gli angoli retti, о semplicemente due angoli non opposti, e quindi
tutti gli angoli, uguali ; il terzo da entrambe le propriety. Di queste
figure, note dalla piii remota antichiti, diamo le proprieta caratteri-
stiche di immediata dimostrazione :
9) Le diagonal! del rombo sono perpendicolari e bisecano gli
angoli interni del rombo.
10) Le diagonali del rettangolo sono uguali.
11) Se un parallelogrammo ha le diagonali uguali, e un rettangolo.
Un quadrangolo particolare e ancora il trapezio1^), ossia il qua-
drangolo convesso che ha due lati opposti paralleli. Si chiamano basi
i lati paralleli ; lati obliqui, о semplicemente lati, gli altri due sui quali
non si fa alcuna ipotesi e che potrebbero essere paralleli. Percio i pa-
rallelogrammi sono particolari trapezi.
12) La congiungente i punti medi dei lati non paralleli di un
trapezio e parallela alle basi e uguale alia loro semisomma134 *). La pro-
posizione vale anche nel caso in cui il trapezio degeneri in un triangolo,
uno dei lati paralleli riducendosi a un punto.
Un trapezio dicesi isoscele se ha uguali i due angoli adiacenti ad
una base (e quindi anche all’altra). Esso ha uguali i lati obliqui. Non
sussiste la proprieta inversa, cioe un trapezio coi lati obliqui uguali
non e necessariamente isoscele, poiche pud essere un parallelogrammo,
che e un trapezio isoscele solo quando e un rettangolo.
Una generalizzazione del teorema ora enunciato e il seguente, fon-
damentale per la ordinaria teoria dei segmenti proporzionali :
13) Se piii rette parallele staccand su una retta segmenti uguali,
о disuguali in un certo senso, altrettanto accade rispettivamente per
i segmenti che esse * staccano su ogni altra retta che incontrano136).
E possibile fondare sopra questi tporemi una teoria della simili-
tudine indipendente da quella delle proporzioni e in particolare dal
131) Tolta la restrizione che il quadrangolo sia convesso, si pud avere 1’antiparal-
lelogrammo, che ё un poligono intrecciato.
182) La coridizione che il quadrangolo sia convesso pud essere sostituita dalla
condizione che i lati siano paralleli e concordi.
138) Trapezio = тратсе^а = tavola.
134) La dimostrazione si svolge facilmente conducendo per il punto medio di un
lato la parallela al lato opposto, la quale incontra una base in un punto intemo e 1’altra
in un punto estemo. Se il trapezio ё un parallelogrammo, la dimostrazione si semplifica.
13ft) Questa proposizione, che si dimostra con facili considerazioni di triangoli
e parallelogrammo, non figura esplicitamente in Euclide, ma risulta subito dal cosi
detto teorema di Talete che, a differenza di quel che oggi suol far si, ё stabilito indi-
pendentemente da essa.
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 89
postulato di Archimede* 13e). Anzi si pud dire per definizione che quattro
segmenti sono proporzionali, se costruendo su una semiretta di origine
V due segmenti V A, V В uguali ai due primi e su un’altra semiretta
non opposta alia prima due segmenti V С, V D uguali ai due ultimi,
le rette ЛС, BD riescono parallele. Questa definizione e legittima,
perche si dimostra che, se il detto parallelismo si verifica costruendo
quei quattro segmenti su due semirette, si verifica pure costruendoli
su due altre qualunque. Ne viene il teorema sui triangoli omotetici;
14) Se due triangoli ABC, A'B'C' son tali che le coppie di
vertici A, A’ ; В, В'; С, C' siano allineate con un punto oppure giac-
ciano su tre rette parallele, e se le coppie di lati corrispondenti AB,
A'B' ; BC, B'C' appartengono a rette parallele, anche gli altri due lati
appartengono a rette parallele.
21. Equivalenza di poligoni piani. — Il concetto di ugua-
glianza di estensione, acquisito fin dai tempi piu antichi, fermo ben
presto 1’attenzione degli studiosi su questioni geometriche, anzi, come
si pud arguire dalla parola, la geometria nacque dal confronto di esten-
sioni di terreno. L’importanza data a tali questioni risulta palese non
solo dalle notizie che abbiamo sulla scienza egiziana, ma anche dal
fatto che la scuola di Pitagora si occupo specialmente di quella parte
della geometria che oggi si chiama teoria dell’equivalenza ; anzi tale
indirizzo trapela ancora nella geometria di Euclide137).
Ma, perche l’uguaglianza di estensione, nel senso intuitivo della
frase, possa essere oggetto di studio rigoroso, e necessaria un’analisi
approfondita, che manca in Euclide, e fu compiuta soltanto in tempi
recenti : vedasi Part. XXI di questa Encicl. 60), §§ 41-47.
Due poligoni piani si dicono equivalenti se sono scoinponibili in
poligoni rispettivamente uguali. Poiche due poligoni uguali sono scom-
ponibili in triangoli uguali per mezzo delle diagonal! uscenti da due
vertici corrispondenti, la definizione precedente pud anche enunciarsi
dicendo che sono equivalenti due poligoni scomponibili in triangoli
uguali.
L’equivalenza gode delle proprieta riflessiva, simmetrica e tran-
sitiva138).
13e) V. Fart. XXI di questa Encicl. eo), § 31.
137) Si vedano i citati trattati di storia della matematica, e gli studi di W. Struve
sulla geometria pre-greca, ricordati da R. Marcolongo, La matematica di quaranta
secolifa, Atti della Soc. italiana per il progresso delle Scienze, 20 (1932), vol. I, parte la,
p. 244. Il primo libro degli Elementi di Euclide pare sia condotto in modo da guidare
lo studioso quanto piu rapidamente possibile ai teoremi sull’equivalenza ; i poligoni,
anche quando i punti interni non hanno alcuna importanza, sono considerati come
parti di piano ; la stessa teoria dei segmenti proporzionali ё fondata sulla equivalenza.
D’altra parte Euclide chiama uguali (toot) due poligoni equivalenti, come se 1’area fosse
quel che piu importa di un poligono. V. anche A. Andreini, Period, mat.,. 2
(1887), p. 6.
«*) V. Fart. XXI di questa Encicl. w), § 41.
90
Emilio Artom
22. Parallelogrammi e triangoli equivalents — 1) Due pa-
rallelogrammi tali, che uh lato e la relativa altezza dell’uno sono rispet-
tivamente uguali a un lato e alia relativa altezza dell’altro, sono equi-
valent 139).
2) Un triangolo ё equivalente a un parallelogrammo che abbia
un lato uguale a met& di un lato del triangolo e la relativa altezza uguale
all’altezza del triangolo corrispondente a quel lato. Per la propriety
transitiva dell’equivalenza, si deduce :
3) Due triangoli aventi due lati uguali e le relative altezze uguali
sono equivalenti.
23. Trasformazioni di poligoni. — 1) Dato un parallelogrammo,
si pud costruime uno ad esso. equivalente, che abbia un lato о 1’altezza
uguali a un segmento dato.
2) Dato un poligono, si pud costruime uno equivalente, che
abbia un lato di meno.
Le costruzioni si fondano . sulla possibility di sostituire a un trian-
golo che sia parte del poligono un triangolo equivalente scelto in modo
opportuno. Ripetuta piu volte la seconda delle costruzioni, si trasforma
un poligono in un triangolo, che alia sua volta pub essere trasformato
in un parallelogrammo, e poi in uh rettangolo di data base.
24. I poligoni come grandezze. — La teoria euclidea dell’equi-
valenza presuppone che i poligoni formino una classe di grandezze e
quindi soddisfino ai seguenti postulati:
Poligoni uguali sono equivalenti. Poligoni equivalenti a uno stesso
sono equivalenti. Somme о differenze di poligoni equivalenti sono
equivalenti. Un poligono non e equivalente a una sua parte.
Seguendo invece la via prescelta in questo articolo, risulta per ora
soltanto che 1’intera classe dei poligoni pud essere trasformata nella
classe dei rettangoli (univocamente equivalenti a quelli) di data base,
e, secondo che i rettangoli di questa classe corrispondenti a due poli-
goni A e В hanno altezze uguali о disuguali in un certo senso, A e В
risultano equivalenti о uno dei due, ben determinato, ё equivalente a
una parte dell’altro ; ma non ё escluso che, cambiando il modo di co-
struire la classe dei rettangoli, muti la relazione fra i poligoni A e B.
Insomma le relazioni di equivalenza, prevalenza, suvualenza non appaiono
fra di loro contraddittorie. La difficolty cade quando si ammetta la pro-
posizione di A. De Zolt140), che nei trattati elementari si suole assu-
mere come postulato : Un poligono non ё equivalente ad una sua parte.
Allora la corrispondenza fra i poligoni e le altezze dei rettangoli
di data base diventa biunivoca ; e la classe dei poligoni risulta una classe
di grandezze, dove, ben inteso, si considerino come uguali due poli-
goni equivalenti ; si dica che un. poligono ё somma di due poligoni
Euclide, I, pr. 35. e 36. Notevole la dimostrazione di R. de Paolis <e ,
che si connette col metodo degli indivisibili di B. Cavalieri.
140) V. Part. XXI di questa Encicl. w), § 41.
XXII. - Propriety elementari delle figure del piano e dello spazio 91
quando e scomponibile in parti equivalenti a questi due poligoni; si
dica che A > B, quando A sia un poligono somma di В con un altro
poligono, ecc. Si potranno ajlora definite la differenza di due poligoni,
quando il primo sia prevalente al secondo ; la moltiplicazione e la di-
vjsione per un intero ; e dimostrare i principi di Archimede e di R.
Dedekind [v. Fart. XXI di questa Encicl.60), §§’28 e 31].
Nasce di qui una specie di calcolo geometrico-algebrico, che formal-
mente coincide con Fordinaria algebra delle formole di secondo grado 141).
Se si rappresenta con a b il rettangolo che ha per lati a e b, con
a2 il quadrato di lato a, col segno = Fequivalenza, si hanno le formole :
ab = ba ; a(b + c + ...) = ab + ac +
e, se a > b:
c (a — b) = ca — cb ;
(a + b) (a — b) = a2 — b2 ; (a ± b)2 = a2 ± 2 ab + i2,
che esprimono teoremi sui rettangoli, di immediata dimostrazione142).
25. Teorema di Pitagora e sue conseguenze.
1) Primo teorema di Euclide. — Il quadrato costrutto su un
cateto di un triangolo rettangolo e equivalente al rettangolo costrutto
sull’ipotenusa e sulla proiezione di quel cateto sull’ipotenusa143).
2) Teorema di Pit agora 144). — La somma dei quadrati dei
141) G. OUGHTRED21).
142) Con opportune convenzioni si possono anche introdurre aree negative, op-
pure, con analoghe considerazioni stereometric he, si pud passare a formole di terzo
grado ; la teoria della misura permette poi di dare maggior generality a queste formole,
ma il significato di esse muta completamente.
Con D. Hilbert [cfr. Tart. XXI di questa Encicl. eo), § 41] si pud invece fondare
questo calcolo in modo del tutto indipendente dalla teoria dell’equivalenza, e servir-
sene per la dimostrazione del postulato di De Zolt.
Lo studio delle opere dei geometri greci mostra che essi si servivano di queste
proposizioni, come i modemi delle formole algebriche, ma in modo piii immediate,
leggendo, per cosi dire, le relazioni di grandezza sulle figure, anzichd sulle formole.
Solo cosi si valutano in modo appropriate alcuni teoremi di Euclide, che non hanno
altro scope che di fomire relazioni utili alia risoluzione dei problemi. Citiamo fra questi
le due proposizioni di Euclide che fomiscono la trasformazione ancora oggi in uso
per la risoluzione' dell’equazione di secondo grado, la quale consiste essenzialmente nel
preSentare il primo membro in guisa da far apparire una volta sola 1’incognita.
143) EUclide, I, pr. 47.
14<) Euclide, I, pr. 47. Questa celebre proposizione era nota, almeno in alcuni casi
particolari, agli antichi Indiani, i quali se ne servivano per la costruzione dei loro al-
tari. Vedi G. Thibaut, Asiatic Soc., 44 (1875) ; A. Burk, Zeitschr. der deutsch. morgen-
landischen Gesellschaft, 56 (1900), p. 543 e segg. SulFeventuale priority dei Cinesi,
v. K. L. Biernatzki, J. reine ang. Math., 52 (1856), p. 65. Sulla possibility della deri-
vazione da queste fonti della matematica di Pit agora secondo la tradizione classics:
B. Baldi, Vita di Pitagora, pubbl. da E. Narducci, Bull. bibl. mat., 20 (1887), p. 197.
Anche gli Egiziani erano a conoscenza almeno del triangolo rettangolo coi lati propor-
zionali ai numeri 3, 4, 5, e usavano come squadru una corda divisa da due nodi in tre
-segmenti proporzionali a quei tre numeri. Democrito anzi chiama ’АртгеЗоуоигтол, о
92
Emilio Актом
cateti di un triangolo rettangolo ё equivalente al quadrato dell’ipote-
nusa. Ё un’immediata conseguenza del teorema precedente.
3) Il quadrato di un lato di un triangolo, non opposto ad un
angolo retto, ё equivalente alia somma dei quadrati degli altri due,
aumentata о diminuita del doppio del rettangolo costruito su uno di
questi lati e sulla proiezione dell’altro su di questo, secondo che 1’an-
golo opposto al primo lato ё ottuso о acuto 144b‘e).
Inversamente :
4) L’angolo opposto ad un lato di un triangolo ё retto, ottuso
о acuto secondo che il quadrato di questo lato ё equivalente, prevalente
о suvvalente alia somma dei quadrati degli altri due14®).
tenditori di corde, gli agrimensori egiziani. La dimostrazione di Pitagora non ci ё nota,
ma ё probabile che egli abbia intuito la veritA del teorema da vari casi particolari e tro-
vata la dimostrazione mediante la similitudine dei triangoli ottenuti conducendo 1’altezza
dal vertice dell’angolo retto. Tale dimostrazione, non estranea ai procedimenti degli
Indiani, si trova nel Visagamta di Bhaskara (ed. Colebrooke, p. 220). V. anche G.
Loria, Come venne scoperto il teorema di Pitagora, Boll. Mathesis, 11 (1919), p. 123.
Ё noto (Cicerone, De natura deorum, III, cap. 36, § 88) faneddotodel sacrifizio offerto
da Pit agora per la gioia della scoperta, nel noto epigramma di Apollodoro:
'Hvtxa Пи^аубрт)? тё KepixXeit; еирето ypdqqia
xetv *e<p* бтср kaqi7rp9)v ^ycro
Vedi D. Fellini, Boll. Mathesis, 12 (1920), p. 162. Numerosissime le dimostra*
zioni del teorema di Pitagora oltre a quelle che si fondano nel teorema di Euclide.
Vedi I. Hoffmann, Der Pyth. Lehrsatz mit 32 teils bekaimten, teds neuen Beweisen,
Mainz 1818 ; F. Graup, 46 Berueise des Pyth. Lehrsatzes, Leipzig 1880 (trad, dal russo
di J. Wipper) ; W. Lietzmann, Der Pythagoreische Lehrsatz, 3a ed., Leipzig-Berlin
1926. Molte dimostrazioni sono riportate da I. Ghersi, Matematica dilettevole e curiosa,
Milano 1913, p. 555. Per notizie storiche e per altre dimostrazioni vedasi ad es. H.
Brandes, Inaug. Diss., Halle 1907 ; J. Wipper, Sechsundvierzig Beweise des Pythago-
reischen Lehrsatzes. Berlin 1911; L. Bernini, Period, mat., (4) 8 (1928), p. 371 ; O.
Chisini, ibid., (4) 10 (1930), p. 166 ; Err. Bortolotti, ibid., p. 86 ; ibid., (4) 13 (1933),
p_151 ; R. Cantoni, ibid., (4) 11 (1931), p. 245 ; B. Levi, ibid., p. 301 ; A. Lidonnici,
ibid., (4) 13 (1933), p. 74, 137, 193, 310 ; ibid., (4) 151 (1935), p. 22 ; F. Enriques,
Gli elementi di Euclide etc., citati al § 2, libri I-IV, Roma 1925, p. 132 e seg.
Fra le generalizzazioni del teorema di Pitagora che possono anche offrire, come
casi particolari, nuove dimostrazioni di esso, citiamo quella di Euclide (VI, pr. 31) e
quella dovuta a Pappo 34), libro IV, pr. 1, ed. F. Hultsch, 1, p. 177 ; ed P. Ver Eecke,
1, p. 131. Se si costruiscono su due lati di un trjangolo due parallelogrammi qualunque
esterni al triangolo e se ne prohingano i lati opposti ai lati del triangolo, la somma dei
due detti parallelogrammi ё equivalente al parallelogrammo che ha per lati il terzo
lato del triangolo e un segmento uguale e parallelo a quello che unisce il suddetto punto
d’incontro col vertice del triangolo comune ai lati prima considered. Questa dimostra-
zione e quella, anche assai semplice, che si fonda sulFosservazione che triangoli rettan-
goli simili stanno fra loro come i quadrati dell’ipotenusa, fu ritrovata come nuova
molte volte: cfr. M. Simon 4), p. 112.
iMbie) Queste proposizioni sono attribuite ad Ippocrate. Vedi F. Rudio, Urkunden
zur Geschichte der Mathematik im Altertum, Heft I, Leipzig 1907, p. 56. Euclide (II,
pr. 12, 13) d A una dimostrazione del tipo algebrico-geometrico ; Gregorius a S.to Vin-
centio, Opus Geometricum quadr. circuli et sect, coni, Antwerpen 1647, p. 597,, ne dA
una dimostrazione geometrica. V. anche T. L. Heath, The thirteen Books..., citato
al § 2, 1, pp. 404, 405, 407. Erone calcola la proiezione di un lato su un altro in fun-
zione dei tre lati: Opera, 4, .Leipzig 1912, p. 234.
146) Euclide, I, pr. 48 per il triangolo rettangolo ; per gli altri casi v. Alnarizi,
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 93
5) Secondo teorema di Euclide. — Il quadrato costrutto sul-
1’altezza di un triangolo rettangolo relativa all’ipotenusa e equivalente
al rettangolo costrutto sulle proiezioni dei cateti14e).
Entrambi i teoremi di Euclide conducono facilmente a trasformare
un rettangolo, e quindi un poligono qualunque, in un quadrato.
26. Altre relazioni di equivalenza. — I teoremi del § prece-
dente permettono di giungere facilmente a parecchi teoremi che piu
spesso si dimostrarono come conseguenze della teoria delle propor-
zioni.
1) Dati in un piano un punto ed una circonferenza che non lo
contiene, se per il punto si conducono ad arbitrio delle secanti, i ret-
tangoli che hanno per lati i segmenti di esse compresi tra il punto e le
due intersezioni con la circonferenza sono equivalent!* 147).
Infatti, detti P il punto, О il centro della circonferenza, A e В le
intersezioni con essa di una secante per P, e Q la proiezione di О su
AB, si ha :
AO2 == OQ2 + QA2 = OP2 — PQ2 + QA2 = OP2 ± PA • PB,
dove i segni + e — corrisponddho ai casi di P intemo ed estemo. Ne
viene che il rettangolo PA • PB dipende solo da AO e OP, i quali non
variano al variare della secante.
Se per P si conduce una tangente al cerchio, i due punti A e В
vengono a coincidere, e il teorema vale ancora, PA • PB diventando
un quadrato 148 * 150). Da queste proposizioni, delle quali valgono le inverse,
discende la teoria degli assi radical! dei cerchi e della potenza di un
punto rispetto a un cerchio 14e).
Si chiama sezione aurea di un segmento quella sua parte il qua-
drato della quale e equivalente al rettangolo dell’intero segmento e della
parte rimanente 15°).
ed. a cura di M. Curtze, 26, p. 109,110 ; Clavius, Roma 1574. Intomo a curiosi teoremi
sui triangoli coi lati sodisfacenti a un’equazione del tipo an = bn + cn, v. I. Sacchi,
Nouv. ann. math., (2) 1 (1862), p. 330, 5, p. 413, 479.
14e) Euclide, lemma alia pr. X/ 33. Vedi A. Urciuoli, Boll. Mathesis, 10
(1918), p. 65.
147) Euclide, III, pr. 35 e 37.
14e) Euclide, 111,’pr. 36.
14в) V. Fart. XXVII di questa Encicl. (B. Colombo, Sistemi lineari di cerchi e
di sfere), § 3.
150) La ricerca della sezione aurea ё espressa da Euclide colla dicitura: dividere
un segmento in media ed estrema ragione, II, p. 11 ; VI, pr. 30 (tixpov xal piaov
A6yov T^irvew) ; il nome « sezione aurea » appare soltanto al principio del sec. XIX:
cfr. J. Tropfke 6), 4, p. 186. La costruzione riferita nel testo vien dimosfrata da
Euclide con 1’equivalenza ; pKi comune la dimostrazione di Erone (v. J. Tropfke 5).
4, p. 185) mediante il teorema sopra la tangente e la secante a un cerchio. Curioso
1’entusiasmo suscitato in parecchi geometri dalla teoria della sezione aurea: Luca Pa-
cioli intitola Divina proportions un suo trattato (Venetiis 1509) ; J. Kepler, Opera
omnia, ed. C Frisch, 1, Francoforti-Erlangae 1858, p. 377, la chiama pure sectio di-
94
Emilio Artom
La sezione aurea, se esiste, ё unica, регсЬё, se X e Y fossero due
punti distinti di un segmento AB, tali che AX e AY ne fossero sezione
aurea, e AX > AY, e quindi BX < BY, p. es. da AX* = AB • BX
si ricaverebbe AY* < AB • BX < AB • BY, mentre AY* = AB • BY.
La costruzione, pud farsi costruendo un triangolo rettangolo LMN
avente un cateto ,LM uguale al dato segmento e Faltro LN uguale alia
sua meti : il segmento cercato e la differenza tra MN e LN.
Per provare facilmente come la sezione aurea serva per la costru-
zione del decagono (e del pentagono) regolare, conviene premettere il
seguente teorema, servendosi dei soli teoremi sull’equivalenza:
2) Se due triangoli hanno gli angoli rispettivamente uguali e
si chiamano corrispondenti i lati opposti ad angoli uguali, il rettangolo
di un lato dell’uno e di un lato ad esso non corrispondehte dell’altro ё
eqjiivalente al rettangolo dei lati ad essi corrispondenti. Siano ABC,
A'B'C' i triangoli ; A = A', ecc. Il rettangolo di AB e A'B' ё eviden-
temente equivalente a quello di A'B' e AB. Per dimostrare che, p. es.,
il rettangolo di AB e B'C' e equivalente a quello di A'B' e BC, si co-
struiscono sulle semirette BA e BC i due segmenti BD e BE rispetti-
vamente uguali a B'C' e A'B'. I quattro punti A, E, D, C risultano
sopra una circonferenza, e il teorema 1) dimostra la tesi.
Vale 1’inversa : Se in due triangoli ABC, A'B'C' il rettangolo di
AB e B'C' ё equivalente al rettangolo di BC e A'B', e se A = A', an-
che В = В' ; С = С'.
3) Se in un triangolo isoscele la base ё la sezione aurea del lato,
I’angolo al vertice ё un qumto d’angolo piatto.
Inversamente : Se un triangolo isoscele ha I’angolo al vertice
uguale a un quinto d’angolo piatto, la base ё sezione aurea del lato151).
4) I lati del decagono, del pentagono, dell’esagono regolare
inscritti in una stessa circonferenza sono lati d’un triangolo rettan-
golo152 *).
5) Teorema di Tolomeo. — Гп tin quadrangolo inscritto in una
circonferenza, la somma dei rettangoli dei lati opposti ё equivalente
al rettangolo delle diagonali1БЗ).
Vale 1’inversa154).
vina. Vi fu chi voile trovare in essa il segreto di riposte armonie anche nelle belle arti
e nelle dimension! del -corpo шпйпо. Vedi H. E. Timerding, Der goldene Schmtt,
2a ed., Leipzig und Berlin 1925.
151) Euclide, IV, pr. 10.
152) Euclide, XIII, pr. 10.
158) Almagesto8Б), Opera, ed. J. L. Heiberg, 1, Leipzig 1898, p. 36. 11 teorema
racchiude in linguaggio geometric© i teoremi di addizione del seno e del coseno. Vedi
M. T. Zapelloni, Period, mat., (4) 8 (1928), p. 60 ; inoltre Tart. XXXI di questa Enci-
clopedia8?), § 3.
184) V. per es. A. Sannia ed. E. D’Ovidio “), 9ft ed., Napoli 1895, p. 319 ; C.
Toffqletti, Boll, mat., 13 (1914), p. 194 ; G; Ascoli, Period. Mat., Suppl., 18 (1915),
p. ,117 ; A. Aindi, Boll, mat., 14 (1915-16), p. 119. Un elenco di molti altri autori si
ha in M. Simon 4), p. 114 e in M.'Zacharias, Encykl. der math. Wiss.„III AB 9 (1920),
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 95
Fra gli innumerevoli altri teoremi che scaturiscono da considera-
zioni analoglie alle precedenti, citiamo ancora quelli dell’altezza, della
mediana e della bisettrice :
6) Il rettangolo che ha per lati un’altezza di un triangolo e il
diametro del cerchio circoscritto e equivalente al rettangolo degli altri
due lati156).
7) Il doppio del quadrato di una mediana di un triangolo ё
equivalente alia somma dei quadrati dei due lati che la comprendono,
meno meta del quadrato deljato corrispondente16e).
8) Il quadrato di una bisettrice d’un triangolo e equivalente
al rettangolo dei due lati che la comprendono, meno il rettangolo dei
segmenti che essa determina sul lato corrispondente* 167).
27. Proporzionalita tra grandezze. — Quattro grandezze, in
un dato ordine, si diconp proper zumali, se le due prime sono omogenee,
le altre due omogenee, e se due equimultipli qualunque della prima e
della terza sono insieme maggiori, uguali о minori di due equimul-
tipli qualunque della seconda e della quarta168).
In altri termini, la scrittiira A ' В = C : D significa che, A e В
essendo grandezze omogenee, C e D pure omogenee, scelti ad arbi-
trio due interi positivi m e n, a seconda che :
m A > n В ; m A = nB ; m A <n В
si ha sempre, rispettivamente:
mC > nD \ mC = nD \ mC < n D 159).
_Una definizione di proporzione come eguaglianza di rapporti sa-
rebbe legittima soltanto se preceduta da una rigorosa teoria dei numeri
realileo).
nota 418. Per generalizzazioni v. A. F. Mobius, Leipz. Abh., 2 (1855), p. 529 (§§ 26 e
44) ; Werke, 2,. p. 280 e 306.
1M) R. Simson, aggiunte al VI libro cTEuclide. M. Chasles, Aperpu historique
sur I'origine etc., 2a ed., Paris 1875, p. 428, I’attribuisce a Brahmagupta. V. anche
F. van Schooten, Exercitationes math., Lugd. Bat. 1657, p. 65.
15e) Pappo34), libro VII, prop. 122 ; ed. F. Hultsch, 2, p. 857 ; ed. P. Ver Eecke,
2, p. 662.
1б7) A. M. Legendre40), p. 91.
158) Euclide, V, def. 7.
15e) Si presume che Pit agora abbia dato una teoria della proporzionalita fondata
sul concetto di rapporto (razionale), presupposto sempre esistente fra due grandezze,
ma la scoperta dei segmenti incommensurabili toise ogni valore scientifico a questa
teoria.
16°) A. M. Legendre40), p. 44-47, 60 e segg., presuppone svolta la teoria della
misura ; in conseguenza identifies le proporzioni fra grandezze alle proporzioni fra le
loro misure ; ma рогсЬё la misura ё un rapporto, andrebbe premes'sa la teoria dei rap-
porti. Sopra una definizione di rapporto secondo Galileo v. E. Artom, Boll, mat., 24
(1928), p. 50.
96
Emilio Актом
Volendo seguire questa via, si dimostra dapprima che due grandezze
omogenee ammettono sempre un rapporto, cioe che esiste un numero che
moltiphcato per la seconda riproduce la prima ; poi si dimostra che, se
il rapporto fra A e В e uguale a quello fra C e Z>, le quattro grandezze
sono in proporzione anche secondo la definizione di Euclide (poiche,
la coppia di classi di numeri razionali che individua il rapporto fra
A e В coincidendo con quella che individua il rapporto fra C e Z>,
si ha subito che, se A^ — B, anche C^ — D), e viceversaiei). I due
< n < n ' '
modi di introdurre le proporzioni non sono dunque essenzialmente
distinti.
Vie completamente diverse sono invece quelle che in vari modi
si fondano su principi piii strettamente geometrici162). Secondo H.
Grassmann163), si possono definire proporzionali quattro segmenti se,
costrutti a partire dal vertice di un angolo (пё piatto, пё nullo, пё giro)
su un lato i due segmenti uguali ai primi due e sull’altro i due segmenti
uguali agli altri due, la congiungente gli estremi del primo e del terzo e
la congiungente di quelli del secondo e del quarto riescono parallele. La
definizione dev’essere integrata dalla dimostrazione che la relazione di
proporzionalita si mahtiene mutando I’angolo ad arbitrio. H. Grass-
mann giunge a questo risultato ed alle principali propriety delle pro-
porzioni ricorrendo a considerazioni di equivalenza e stereometriche.
Particolarmente importante ё il calcolo segmentario di D. Hil-
bert 164), che ё indipendente dal postulato d’ARCHiMEDE e da ogni con-
siderazione stereometrica.
28. Principal! proprieta delle proporzioni. — Sono conse-
guenze immediate della definizione euclidea le seguenti :
1) Se A : В = C : D si ha che, secondo che A B, anche
C|D.
2) Se A : В = C : D, si ha :
a) В :A = D:C ,
b) C:D = A : В ,
c) D:C = B:A,
iei) Cfr. Part. II di questa Encicl. (D. Gigli, Aritmetica generale\ §§ 38 e 43.
1#2) Vedi G. Vailati, in F. Enriques, Questioni riguardanti le matematiche ele-
mentary 3a ed., 1, Bologna 1924, p. 143.
le3) Die lineale Ausdehnungslehre, Leipzig 1844, p. 118 ; 2a ed., Leipzig 1878,
p. 118 (§§ 75-78) ; Ges. math, undphys. Werke, li, Leipzig 1894, p. 138-140. Non molto
diversi sono i procedimenti di L. Raiola Pescarini, di R. Hoppe e di G. Biasi, per
i quali pud vedersi G. Vailati ie2), e quello di F. Schur, Math. Ann., 57 (1903), p. 205.
V. anche F. Enriques, Encycl. des sc. math., Ill, 1, pp. 59, 60, 61.
1M) Grundlagen der Geometric, 7a ed., Leipzig-Berlin 1930, p. 51. Una esposi-
zione assai semplice in H. T. Thieme, Die Elemente der Geometrie, Leipzig 1909, p. 52
e in G. B. Halsted, Geometrie rationnelle, Paris 1911 (trad, dall’orig. inglese), p. 73.
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 97
che si dicono dedotte dalla data : a) invertendo i rapporti ; ft) scambiando
i rapporti; c) permutando i medi e gli estremi.
3) Nelle medesime ipotesi e se m, я, />, q sono quattro interi
positivi, si hanno le proporzioni:
n q n q
(A + В) : В = (C 4- D) : D (componendo),
e se A > В :
(А — В) : В = (C — D) :D (dividendo),
(A 4- B): (A — В) = (C + D) : (C — D) (componendo e dividendo).
4) Se le quattro grandezze sono omOgenee, e se
A : В = C : D,
si ha :
a) Se A C, anche В D ,
ft) A : С = В : D .
Per la a) si osservi che, se A > C, si possono trovare due interi
positivi m, n tali che:
m A > n В > m C ;
ma se m A > n B, anche m C > n D, quindi n В > n D e В > D.
Per la ft), dall’ipotesi risulta m A : m С = n В : n D.
Ma, per la a), a seconda che m A n B, anche m C n D, donde,
per la definizione di proporzione, la tesi.
.5) Unicita del quarto proporzionale. — Se A : В C : D e
A : В = C : D'9 si ha D = D'. Infatti, se D' > D, si determini un
intero positivo n tale che C/n'< D' — D. Allora, se m e quell’intero che
gode della proprieta che:
It <b<
n n
sara pure:
— C < D < m + 1 C;
n n
ma:
— C + — <D + D' — D = D',
JI n
ossia:
n
98
Emilio Artom
contrariamente al fatto che da:
discends:
D' <^-Lc.
n
6) Dalle due proporzioni:
A:B = C:D ; A : В = C' : D'
discende la :
C : D = C': D' ,
come conseguenza immediata della definizione.
Se una proporzione, necessariamente fra grandezze tutte omo-
genee, ha i medi uguali, si chiama proporzione continua ; il 4° termine
si chiama terzo proporzionale dopo i primi due ; il 2° (o il 3°) medio
proporzionale о medio geometrico fra il 1° e il 4°. Euclide da in tai caso
il nome di ragione duplicata della ragione del primo al secondo al rap-
porto (o ragionej^fra il primo e il quarto. Se si considerano i rapporti
come numeri, se:
A : B= В : C, si ha : A : C = (A : В) x (В : C) = (A : B)2165).
7) Se A : В = C : D = E : F = ,
si ha :
(A + С + E + ...): (B + D + F + ...) = A : B.
8) Teorema di Talete165 166). — Se due coppie di rette tutte tra
loro parallele sono tagliate da due trasversali, i due segmenti dell’una
e i due segmenti dell’altra trasversale compresi fra le stesse parallele
formano una proporzione. Siano ЛВ, CD i due segmenti della prima
trasversale r, A'B', C'D' quelli della seconda r', essendo AA', BB',
CC', DD' rette parallele. Se m, n sono interi positivi, e si costruiscono
i segmenti AB • m = AE; CD • n = CF, le parallele ad AA' per E e
per F tagliano r' in due . punti E', F' tali che A' E' = A' B' • m\
C' F' = C'D' n.
Ma se AE^CF, anche A' E' ^C' F', onde la tesi.
165) Interessante il commento di N. Tartaglia alle osservazioni di G. Campano,30),
p. 88.
Nella def. 12a Euclide introduce anche la ragione triplicata, dicendo che, se
A : В = В : С = С : Z>, А : D ё la ragione triplicata di quella fra A e B. ’
lee) L’attribuzione a Talete di questo teorema non ha fondamento storico: cfr.
per es. F. Enriques, Gli elementi di Euclide etc., citati al § 2, libri V-IX, Bologna 1930,
p. 85. Conserviamo la dicitura регсЬё in uso in Italia. La dimostrazione qui riportata
appare nei trattati solo nell’800. Per quella di Euclide, v. le7).
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 99
9) In circonferenze uguali due archi e i relativi angoli al centro
sono quattro grandezze in proporzione.
10) Due parallelogrammi (o due triangoli) aventi altezze uguali,
e le loro basi, sono quattro grandezze in proporzione le7).
Queste proposizioni possono essere enunciate sotto forma legger-
mente diversa introducendo la dicitura di classiin corrispondenza di
proporzionalitd, о grandezze variabili proporzionali. Cosi il teorema di
Talete si enuncia : Se due rette sono tagliate da un fascio di parallele,
e si chiamano corrispondenti due segmenti di esse compresi fra le stesse
parallele, i segmenti dell’una e i segmenti dell’altra trasversale formano
due classi di grandezze proporzionali.
L’uniciti del quarto proporzionale dopo tre segmenti permette di
invertire in vari modi il teorema di Talete.. P. es. si pud dire : Se .le
rette AA', BB', CC', DD’ determinano’ su due trasversali i segmenti
proporzionali AB, CD, A’B’, C'D'; se le prime tre rette sono parallele
e se le coppie AB, CD e A’B’,.C'D' sono insieme di versi uguali о di
versi opposti, anche DD’ e parallela alle prime tre rette.
L’emmciato euclidedle7) si inverte cosi : Se una retta taglia i lati
AB e AC di un triangolo in due punti D ed E tali che AD : DB —
= AE : EC, la retta DE e parallela al lato В C.
Altra conseguenza del teorema di Talete e dell’uniciti del quarto
proporzionale e il seguente teorema :
11) Dati sopra una retta tre segmenti AB, men, esistono sulla
retta un solo punto X interno ad AB e un solo punto Y esterno ad ABt
tali che:
AX:XB = m:n , AY :YB = m:n .
Si suoi dire che X e У dividono il segmento A В internamente
ed esternamente in parti proporzionali ad m e n.
12) La bisettrice interna di un angolo di un triangolo taglia il
lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati168). E la proposi-
zione precedente permette di invertire il teorema. Vale il teorema ana-
logo per la bisettrice esterna (purche non si tratti della bisettrice del-
1’angolo esterno al vertice d’un triangolo isosceie).
29. Triangoli cogli angoli rispettivamente uguali. — 1) Se
due triangoli hanno gli angoli rispettivamente uguali, hanno i lati op-
posti ad essi proporzionali16e).
2) Se in due triangoli un lato dell’uno sta a un lato del secondo
come un .altro lato del primo a un altro del secondo, e se gli angoli dei
ie7) Euclide si vale di questa proposizione per dimostrare il teorema di Talete
nel caso particolare in cui una parallela passa per il vertice A di un triangolo, la quarts
contiene il lato opposto BCf la seconda e la terza coincidono con una retta che incontra
gli altri due lati in D e in E. Si ha allora : ADE : EDB = AD : DB ; ADE : DEC =
= AE : EC, ed essendo EDB e DEC equivalenti, segue la tesi.
ltt) Euclide, VI, pr. 3.
1W) Euclide, VI, pr. 4.
100
Emilio Artom
due triangoli compresi tra quelle coppie di lati sono uguali, anche i
terzi lati sono in proporzione coi primi, e gli altri angoli opposti ai primi
od ai secondi lati sono rispettivamente uguali170).
3) Se i lati di un triangolo sono proporzionali ai lati di un altro,
gli angoli opposti nell’uno e nell’altro triangolo sono uguali171).
Alcuni autori chiamano simili, indipendentemente da una teoria
generale della similitudine, i triangoli considerati nelle proposizioni pre-
cedent!.
30. Relazioni tra proporzionalita di segmenti ed equiva-
lenza di rettangoli. — 1) Se quattro segmenti sono in proporzione,
il rettangolo dei medi e equivalente al rettangolo degli estremi. Siano
a, 6, с, cF quattro segmenti tali che :
a : Ь = c : rf,
e si' considerino i tre rettangoli ad, b c, b d. Abbiafno :
ad :.b d = a*.b,
Ь c : .b d — c : d,
dalle quali e dall’ipotesi segue :
a d: b d = b c : b d,
onde ad e equivalente a b c.
2) Se due rettangoli (o due triangoli, о due parallelogrammi)
sono equivalenti, la base e l’altezza dell’uno sono medi, la base e 1’al-
tezza dell’altro sono estremi d’una proporzione172).
Se due triangoli hanno gli angoli rispettivamente uguali, le loro
aree sono in proporzione coi quadrati di due lati opposti ad angoli uguali.
Premesso che in tali triangoli le altezze Л, h' relative a due lati
17°) Euclide, VI, pr. 6.
Euclide, VI, pr. 5.
172) Euclide, VI, pr. 14-17. Queste. proposizioni corrispondono alle propriety fon-
damentali delle proporzioni numeriche, e le dimostrazioni sono la traduzione di quelle
in linguaggio geometrico. Anzi, se ё stata premessa la teoria delle aree, i teoremi geo-
metrico e aritmetico, formalmente coincident!, si ricavano Гипо dall’altro.
I medesimi teoremi servono a collegare la teoria delle proporzioni con quella
dell’equivalenza, anzi molti dei teoremi sull’equivalenza sono spesso dedotti, mediante
dimostrazioni piii semplici, da considerazioni sui triangoli cogli angoli rispettivamente
uguali. In Euclide si trovano teoremi di questo tipo dimostrati due volte (per es. II,
pr. 11 e VI, pr. 30), e queste ripetizioni sono come un’eco di tentativi di superare
quelle difficolta presentate dalla teoria della prfiporzionalit^, che indussero i geometri
anteriori a cercare di evitare 1’uso di questa nello studio dell’equivalenza. Cfr. H. G.
Zeuthen, Geschichte der Mathematik im Altertum .und Mittelalter, Kopenhagen 1896,
p. 109 ; ed. francese, Histoire des. mathdmatiques dans Vantiquitd et le moyen age, Paris
1902, p. 90.
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 101
a, b opposti ad angoli uguali sono in proporzione coi lati stessi, si os-
servi che i triangoli stanno fra loro come i rettangoli a h, ah' ; ma:
a h : a2 = h : a ; a' h' : a'2 = Л' : a',
quindi:
ah:ai=a,h,t a!2 ,
a h : а1 Л' = a2: a'2,
onde la tesi173).
31. Figure simili. — Due figure si dicono similiy se e possibile
porre fra i loro punti una corrispondenza biunivoca tale, che la classe
dei segmenti determinati dalle coppie di punti dell’una riesca diretta-
mente proporzionale alia classe dei segmenti determinati dalle coppie
di punti corrispondenti dell’altra174).
1) La similitudine gode delle propriety riflessiva, simmetrica e
transitiva.
2) In due figure simili, a un segmento corrisponde il segmento
che ha per estremi i corrispondenti degli estremi del primo ; a una
retta una retta, a una semiretta una semiretta che ha per origine il punto
corrispondente all’origine del primo, ecc...
3) Due segmenti sono sempre figure simili.
4) Due angoli uguali sono figure simili in cui si corrispondono
i vertici e i lati, ma ad un lato dell’uno si pud far corrispondere un lato
arbitrario dell’altro e inoltre a un punto di un lato dell’uno un punto
arbitrario del lato corrispondente dell’altro.
5) Se Ay By C sono tre punti d’una figura e A’9 B’9 C i punti
corrispondenti in una figura simile, gli angoli ABC e А' В’ C' sono
uguali.
Poichd nel concetto intuitivo di uguaglianza di forma, о simili-
tudine, ё insita la condizione dell’uguaglianza degli angoli al pari di
quella della proporzionaliti fra i segmenti corrispondenti, ci si pud doman-
dare se l’uguaglianza degli angoli potrebbe venire assunta come defini-
toria per la similitudine. Si hanno a questo proposito i seguenti teoremi:
6) Se fra due figure non rettilinee si ha una corrispondenza
biunivoca tale che un angolo convesso (o piatto) ABC sia sempre uguale
all’angolo A'B'C' (essendo Ay Af ; B9 В' ; С, C' tre coppie di punti
corrispondenti qualunque) le due figure sono simili.
7) Se fra due figure si ha una corrispondenza biunivoca tale
che, fissati due punti Ay A' corrispondenti, i segmenti della prima fi-
gura che hanno un estremo in A siano proporzionali ai corrispondenti
1Я) Se si ammette nota la teoria della misura, il teorema si pud esprimere senz’al-
tro dicendo che il rapporto fra i due triangoli ё uguale al quadrato del rapporto di due
lati omologhi. Il teorema ё stabilito da Euclide, VI, pr. 19, mediante il concetto di
ragione duplicata.
174) Euclide, libro VI, tratta soltanto di poligoni simili. Sull’argomento v. Tarti-
colo XXVIII di questa Encicl. M), § 28.
102
Emilio Artom
(che hanno un estremo in Л'), e gli angoli convessi (o piatti) CAB
siano uguali ai corrispondenti C'A'B' (essendo С, С" ; В, B' due cop-
pie qualunque di punti corrispondenti), le due figure sono simili. Questo
teorema offre una facile costruzione di una figura simile a una figura
data, nella quale a un segmento della prima corrisponda un segmento
arbitrario.
8) La figura simile di un poligono e un poligono y corrispon-
dendosi i vertici, i lati compresi fra vertici corrispondenti, ecc.
9) Due poligoni simili sono scomponibili in triangoli simili.
10) I perimetri di due poligoni simili sono proporzionali a due
lati corrispondenti, e le loro aree ai quadrati di due lati corrispondenti.
11) Se in due poligoni si possono far corrispondere i vertici
in modo che i lati compresi fra vertici corrispondenti siano propor-
zionali e gli angoli compresi fra lati corrispondenti siano uguali, i due
poligoni sono figure simili. Basta osservare che, se si costruisce una fi-
gura simile al.primo poligono e con un lato uguale al lato corrispon-
dente del secondo, il poligono cosi costrutto ё uguale al secondo po-
ligono dato175 *).
12) Due poligoni regolari di ugual numero di lati sono simili ;
i loro lati sono proporzionali ai raggi dei cerchi circoscritti ed agli apo-
temi (raggi dei cerchi inscritti).
13) Due archi di circonferenza, о due settori, corrispondenti
ad angoli al centro uguali sono figure simili. In consegiienza, dato un
poligono (od una poligonale) inscritto о cifcoscritto in un arco di cir-
conferenza, esisteri un ’poligono (o una poligonale) simile inscritto о
circoscritto in un arcp di uguale angolo al centro.
III. - STEREOMETRIA 17e)
32. Postulati e prime proposizioni. — Nell’esporre la geome-
tria elementare dello spazio si pud essere guidati fino a un certo punto
dall’analogia colla geometria piana ; ma non sempre 1’analogia e molto
stretta, ne pud essere stabilita in un sol modo. Cosi, ad esempio, certe
relazioni che hanno luogo fra due rette nel piano (perpendicolarita,
parallelism©, angolo, ecc.) potranno essere nello spazio studiate fra
due rette, fra una retta e un piano, о fra due piani. Si avrebbe invece
una piu stretta ahalogia, e in certi casi Fidentiti, fra la geometria del
piano e quella della Stella propria о impropria ; ma per ragioni storiche,
didattiche, ed anche inerenti alia natura stessa della geometria elemen-
tare, non e il caso di servirsi dello studio di queste forme come inter-
mediarie fra il piano e lo spazio.
175) Ё chiaro che fenunciato contiene ipotesi sovrabbondanti.
17e) La parola stereometria ё di Filippo di Opus. Vedi E. Sachs, Die fiijtf plato-
ttischen Korper, Philolog. Untersuchungen, Heft 24, Berlin 1917, p. 155. Li stereo-
metria si sviluppd assai piii tardi della planimetria, tranne che per quel che riguarda
i poliedri regolari e i volumi dei solidi.
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 103
Seguendo dunque la via tradizionale, coi necessari complement!,
e rimandando all’art. XXI di questa Encicl.e0) per uno studio appro-
fondito dell’argomento, enunciamo i seguenti postulati:
1) Dato un piano, esiste un punto fuori di esso.
2) Tre punti distinti e non allineati individuano un piano che
li contiene.
3) Un piano divide lo spazio in due parti (dette semispazi) tali,
che ogni punto appartiene all’una о all’altra, tranne i punti del piano, che
appartengono ad entrambe (e JI piano si chiama origine dei semispazi).
4) Se P e Q sono due punti distinti appartenenti allo stesso dei
due semispazi determinati da un piano a che non contenga пё P ne Q,
il segmento PQ non ha punti comuni con a ; se P e Q appartengono a
semispazi diversi, il segmento PQ ha un punto in comune con a.
Il primo postulato afferma che la classe dei punti dei quali ci oc-
cuperemo e piii ampia che la classe dei punti di un piano ; il terzo e
il quarto limitano invece questa classe allo spazio a tre dimension!.
Dai postulati terzo e quarto si deduce, come nella geometria piana,
che, se una retta ha un punto comune con un piano, ma non vi giace,
le due semirette determinate da quel punto stanno una in un semi-
spazio e una nell’altro.
Questi postulati vanno aggiunti a quelli gia posti in geometria
piana ; nei primi paragrafi eviteremo perd 1’uso del postulato delle pa-
rallele, per tenere distinte le proposizioni che valgono in geometria non
euclidea.
Si dimostrano poi facilmente i seguenti teoremi :
1) Due rette che abbiano un punto in comune (incident!) indi-
viduano un piano che le contiene.
2) Un punto ed una retta che non lo contenga individuano un
piano che li contiene.
3) Se due piani distinti hanno un punto comune, hanno una
retta comune177).
Siano a e p i due piani, A il punto comune. Si prendano in a due
rette b e c passanti per A. Se una di esse giace pure in /?, il teorema
e dimostrato. In caso contrario, si scelgano in b un punto В diverso da
A e, sulla semiretta di c che appartiene a quello dei semispazi determi-
nati da p diverso da quello in cui giace B, un punto С. Il segmento BC
taglia P in un punto D e la retta AD e comune ad a e p.
4) Esistono coppie di rette tali che nessun piano le contiene
entrambe.
Infatti, se a e una retta, si prenda un piano a che la contiene ; sia
В un punto di a fuori di a e C Un punto fuori di a ; a e BC non am-
mettono alcun piano che le contiene, perche, se P fosse un tai piano,
avrebbe in comune con a la retta a e il punto B, che non appartiene
ad a. Percid a e p coinciderebbero, sicche C giacerebbe su a, contro
1’ipotesi.
177) Euclide, XI, pr. 3.
104
Emilio Artom
Due rette tali, che non esista un piano che le contiene entrambe,
si chiamano sghembe1™).
33. Angoli di una retta e di un piano. — 1) Se una retta e
perpendicolare a due rette di un piano che si incontrano in un punto,
essa e perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per quel
punto (17e).
Una retta e un piano che si trovino in tale condizione si dicono
mutuamente perpendicolari180).
Vedremo fra poco che una retta che incontra un piano e sempre
perpendicolare ad una retta di questo piano. Dunque, avendosi una
retta e un piano che si incontrano, si dAnno due soli casi : la retta e
perpendicolare a una sola о a tutte le rette del piano che passano per il
punto comune.
2) Teorema delle tre perpendicolari, — Se una retta e perpendi-
colare ad un piano, e per il suo punto d’incontro col piano si conduce
una retta qualunque nel piano, ogni retta perpendicolare a questa e
giacente nel piano e perpendicolare al piano delle prime due181).
3) Le rette perpendicolari a una retta in un suo punto giacciono
in un piano 182).
4) Dati un punto e una retta, esiste uno e un solo piano passante
per il punto e perpendicolare alia retta.
5) Dati un punto e un piano, esiste una e una sola retta passante
per il punto e perpendicolare al piano183).
6) Il luogo dei piedi delle perpendicolari condotte dai punti
di una retta, non perpendicolare a un piano, al piano stesso, e una
retta 184).
7) Il piede della perpendicolare condotta da un punto ad un
piano si chiama proiezione del punto sul piano. Si dimostra (cfr. il § 11)
che la minima distanza fra un punto e i punti di un piano e data dal
segmento che unisce il punto colla'sua proiezione sul piano.
Se si chiama proiezione di una figura il luogo delle proiezioni dei
”8) Euclide non ha considerate esplicitamente le rette sghembe. Esse furono
studiate da A. M. Legendre 40), p. 305.
17e) Euclide, XI, pr. 4.
18°) Euclide, XI, def. 2.
181) Pappo34), libro VI, pr. 43 ; ed. F. Hultsch, 2, p. 571 ; ed. P. Ver Eecke,
2, p. 437.
182) Euclide, XI, pr. 5.
183) Euclide, XI, pr. 12. La dimostrazione si svolge applicando il teorema prece-
dente. Euclide consider a dapprima il caso del punto esterno al piano ; se il punto giace
sul piano, conduce prima la perpendicolare per un punto esterno e poi la parallela a
questa per il punto dato. Ma non e necessario far dipendere il teorema dalla nozione
di parallelismo. Per il punto A esterno al piano Euclide conduce la perpendicolare AD
ad una retta qualunque В C del piano ; poi la perpendicolare DE nel piano а В C;
la perpendicolare A F a D E e la retta cercata.
184) La dimostrazione consiste essenzialmente nel riconoscere che le perpendico-
lari in due punti distinti sono complanari, e vi si giunge p. es. mediante il teorema
delle tre perpendicolari.
XXII. - Proprieta elementari delle figure del piano e dello spazio 105
suoi punti, il teorema precedente si enuncia dicendo : La proiezione
di una retta su un piano non perpendicolare ad essa e una retta.
8) Fra gli angoli che una semiretta avente 1’origine su un piano
non perpendicolare ad essa forma colle semirette del piano aventi la
stessa origine, il minimo e quello che essa forma con la sua proiezione.
Si suoi definire come angolo di una retta con un piano I’angolo
acuto che la retta forma colla sua proiezione. Qui la parola angolo sa-
rebbe intesa piuttosto- nel significato classico di inclinazione. L’angolo
di una perpendicolare ad un piano col piano stesso non risulta cosi
definite. Si suoi dire in questd caso che I’angolo e retto. Per giustifi-
care questa definizione si pud notare che, mentre una retta non per-
pendicolare ad un piano non forma angolo retto colla sua proiezione,
se una retta tende a diventare perpendicolare ad un piano, I’angolo che
essa forma col piano ha per limite un angolo retto.
34. Angoli di due piani (o diedri). — La teoria degli angoli
determinati da due piani nello spazio coincide con quella degli angoli
determinati da due rette nel piano. Dal punto di vista elementare cid
deriva dalla corrispondenza di proporzionalita che si pud porre fra i
diedri di un fascio di piani e gli angoli del fascio di rette che si ottiene
segando il primo con un piano perpendicolare alia retta comune ai
piani considerati.
Da due piani che s’incontrano lo spazio e suddiviso in quattro
regioni, dette diedri. Con procedimento perfettamente analogo a quello
esposto al § 6, si inizia lo studio dei diedri, coi loro spigoli e le loro facce
(che corrispondono al vertice e ai lati degli angoli) ; si definiscono i
diedri adiacenti, opposti allo spigolo ; si estende il concetto di diedro
considerando diedri piatti, concavi, giro, si definisce la somma, ecc.,
e si dimostrano le principali proprieta.
Un piano che incontri lo spigolo di un diedro, ne incontra le facce
secondo due semirette ; i punti comuni al diedro e al piano sono i punti
di uno dei due angoli determinati dalle due semirette, convesso о con-
cavo secondo che e convesso о concavo I’angolo diedro. Quest’angolo
si chiama sezione del diedro ; se il piano e perpendicolare allo spigolo
della sezione, si chiama sezione normale183).
1) Una figura uguale a un diedro e un diedro, e alle facce del-
l’uno corrispondono le facce dell’altro, allo spigolo dell’uno lo spigolo
dell’altro. La corrispondenza si pud porre in modo che a una semiretta
qualunque dello spigolo dell’uno corrisponda una semiretta arbitraria
dello spigolo dell’altro, ad una faccia dell’uno una faccia arbitraria
dell’altro. Sicche, se due diedri sono uguali, sono uguali in infiniti modi,
e un diedro e uguale a se stesso in infiniti modi.
2) Le sezioni nbrmali di due diedri uguali sono uguali. Infatti, 185
185) Euclide, XI, def. 4, chiama inclinazione dei due piani I’angolo acuto delle due
rette della sezione jiormale ; poi aggiunge nella 5a def. che le inclinazioni di due coppie
di piani sono uguali se sono uguali quelle delle sezioni normali.
106
Emilio Artom
in ciascuna delle uguagliarize che intercedono fra i due diedri e fanno
corrispondere al vertice della sezione normale del primo il vertice della
sezione normale del secondo, le due sezioni normali sono figure corri-
spondenti e percid uguali. In particolare tutte le sezioni normali di un
diedro sono uguali.
3) Se due diedri hanno sezioni normali uguali, sono uguali.
Siano infatti ABC e A'B'C' le due sezioni normali. Delle due cbrri-
spondenze d’uguaglianza che per ipotesi gia si hanno tra i due angoii,
se ne scelga una ad arbitrio. Da un punto Q del primo diedro, e fuori
di ABC, si conduca la perpendicolare QR al piano ABC, e si faccia
corrispondere a Q il punto Q' posto sulla perpendicolare condotta per
il corrispondente /?'di R e tale che si abbia P'R' = PR e Q' giaccia
da una parte del piano ABC, che sia la stessa per tutti i punti corrispon-
denti ai punti del primo diedro posti in uno dei semispazi determinati
da ABC, mentre sia I’altra per gli altri punti. Ё facile riconoscere che
la corrispondenza che cosi nasce e una uguaglianza.
Si verifica immediatamente che diedri acuti, ottusi, retti, piatti,
convessi, concavi hanno per sezioni normali angoli della stessa specie,
e che un diedro somma di due altri ha per sezione normale la somma
delle sezioni normali degli addendi. Quindi la proporzionalita fra i
diedri e le loro sezioni normali e l’uguaglianza delle loro misure, se si
prende per unita di misura dei diedri quel diedro che ha per sezione
normale 1’unita di misura degli angoli.
Le piii semplici proprieta dei diedri si possono allora ottenere
mediante la considerazione delle sezioni normali.
Il confronto dei diedri mediante le loro sezioni si potrebbe anche
effettuare se le sezioni non fossero normali? Se le sezioni sono arbi-
trarie, evidentemente no, ma la risposta e parzialmente affermativa se
si considerano le sezioni ugualmente inclinate186).
Se a e P sono due angoli convessi, un angolo che ha per lati due
semirette a e b giacenti una nell’una e una nell’altra faccia di un dato
diedro, uscenti da un medesimo punto P dello spigolo di questo, e for-
manti angoli rispettivamente uguali ad a e P con una medesima semi-
retta dello spigolo, si chiama sezione avente inclinazioni a e P del diedro
dato. Dati due diedri, una sezione dell’uno e una sezione dell’altro
aventi uguali inclinazioni si chiamano sezioni ugualmente inclinate dei
due diedri.
Le sezioni normali sono le sezioni aventi per inclinazioni angoli
retti, e due sezioni normali sono sempre ugualmente inclinate.
4) Se due sezioni ugualmente inclinate di due diedri sono uguali,
i due diedri sono uguali. Per la dimostrazione, si suppone dapprima che
le inclinazioni delle due sezioni siano date da angoli entrambi acuti.
Allora prese sui due diedri due sezioni normali coi vertici ugualmente
distanti dai vertici delle date sezioni, si riconosce con facili considera-
18e) F. Enriques e U. Amaldi 55), p. 458; F. Palatini, Boll, mat., 15 (1917),
p. 36.
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 107
zioni di triangoli che le sezioni normali, e quindi i diedri, sono uguali.
Se i due angoli sono entrambi ottusi, saranno acuti i loro adiacenti, e
si ricade nel caso precedente. Se uno e ottuso e uno acuto, si conside-
rano, invece delle sezioni normali, due sezioni ugualmente inclinate,
ma con angoli acuti tali che i loro lati incontrino i lati degli angoli dati,
e si dimostra come prima che queste nuove sezioni sono uguali e quindi
per il caso precedente anche i due diedri.
Inversamente : Se due diedri sono uguali, due loro sezioni ugual-
mente inclinate sono uguali. Questa proposizione discende pure imme-
diatamente dalla corrispondenza d’uguaglianza che passa fra i due
diedri187).
Due piani che si incontrano si chiamano perpendicolari, se due
adiacenti dei diedri da essi determinati sono uguali. E allora sono uguali
tutti e quattro. Le loro sezioni normali si ottengono con un unico piano
normale allo spigolo e sono tutte e quattro angoli retti188).
5) Se una retta e perpendicolare a un piano, ogni piano che
la contiene e perpendicolare al primo piano189).
6) Se due piani sono perpendicolari, ogni retta dell’uno per-
pendicolare alia loro intersezione e perpendicolare all’altro.
7) Se due piani perpendicolari a un terzo si incontrano, la retta
comune e perpendicolare al terzo190).
Questi tre teoremi discendono immediatamente dalla considera-
zione della sezione normale.
8) Per una retta non perpendicolare ad un piano passa uno e
un solo piano perpendicolare al piano. Esso e il piano che contiene la
retta e una qualunque perpendicolare al piano condotta per un punto
di essa, ed e unico per il teorema precedente. Si noti che questo piano
taglia il piano dato secondo la proiezione della retta data su di esso.
35. Angoloidi. — La geometria della Stella (e in particolare del
triedro e dell’angoloide) pud essere svolta ad imitazione di quella del
piano (e in particolare del triangolo e del poligono), per la parte che
riguarda i teoremi sull’uguaglianza, tenuto conto della definizione di
uguaglianza data nel § 5. Sotto altra forma, i medesimi risultati si otten-
gono altresi come proprieta di geometria sferica, considerando una
sfera che abbia il centro nel vertice della Stella. Ma poiche l’uguaglianza
nelle figure della Stella non coincide colla sovrapponibilita, se se ne e
fatto uso in geometria piana occorre fornire per la geometria della Stella
nuove dimostrazioni.
Sorvolando sulle definizioni dei triedri, e, in generale, degli an-
goloidi, degli spigoli, delle facce, che corrispondono a quelle dei trian-
goli, dei poligoni, dei vertici, dei lati, diamo le principali proprieta.
187) V. p. es. F. Palatini *•), p. 202.
188) Euclide, XI, def. 6.
18e) Euclide, XI, pr. 18.
19°) Euclide, XI, pr. 19. Nel comment© di Eutocio ad Archimede il teorema
ё attribuito ad Archita M).
108
Emilio Artom
Una faccia di un triedro e minore della somma delle altre191).
Il teorema si estende agli angoloidi qualunque, come il teorema
analogo di geometria piana si estende ai poligoni (§ 12).
La somma delle facce di un angoloide e minore di un angolo giro192).
36. Osservazioni sulla sovrapponibilit& delle figure. — La
trattazione qui seguita dell’uguaglianza e indipendente dal fatto fisico
della sovrapponibiliti delle figure. Tuttavia, sia perchfe nella geometria
classica si fa uso di -essa, sia per 1’importanza che ha nelle applicazioni
pratiche, e forse anche nelle intuizioni che stanno a base del concetto
di uguaglianza, accenniamo a questo argomento, che, come vedremo,
ha un particolare interesse nella geometria solida.
L’intuizione ci dice che due rette, due segmenti uguali, due angoli
uguali appartenenti a un medesimo piano sono sovrapponibili, cioe
che e possibile collegare p. es. un segmento con un segmento uguale
mediante una serie continua di segmenti uguali fra di loro.
Ma quando si passa a figure piane piii complesse, p. es. a due terne
uguali di punti А, В, С, e Л', B'9 C' complanari, si osserva che pud
essere possibile il passaggio da ABC ad A'B'C' mediante posizioni
intermedie tutte contenute nel loro piano, oppure pud essere neces-
sario il ribaltamento di una di queste terne intomo ad una retta del
piano. Basta pensare, per la seconda possibility, a due triangoli com-
planari ABC e ABC' simmetrici rispetto ad AB (e con AC non eguale
a BC).
Lo studio di figure uguali complanari piii complesse non porta
a maggiori complicazioni, poiche esse sono sempre sovrapponibili me-
diante moti piani, о mediante una rotazione del tipo anzidetto seguita
da moti piani.
Nello spazio 1’esperienza insegna che, oltreche due figure piane
uguali, anche due diedri uguali son sempre sovrapponibili, e in piu
modi, potendosi a una faccia arbitraria dell’uno sovrapporre una faccia
arbitraria dell’altro, e a un punto dello spigolo dell’uno un punto ar-
bitrario dello spigolo dell’altro ; ma, imposte queste condizioni, a un
verso sullo spigolo dell’uno corrispOnde un verso determinato sullo
spigolo dell’altro.
Consideriamo ora due quaterne Л, В; C, D e А', В', C, D', uguali
di punti (ciascuna delle quali non consti di quattro puriti complanari).
Una persona in piedi nell’intemo del triangolo ABC, con la testa verso
D, e una persona nell’interno del triangolo A'B'C', colla testa verso D',
possono vedere i punti ABC e A'B'C' seguirsi nello stesso verso о in
versi opposti, e nel secondo caso un movimento non potra mai portare
la prima quaterna sulla seconda. La possibility di due quaterne di que-
sto tipo e mostrata dall’esempio della quaterna ABCD e della simme-
191) Euclide, XI, pr. 20. Cfr. A. La Barbera, Boll, mat., 25 (1929), p. 107.
192) Euclide, XI, pr. 21. Nella pr. 22 egli inverte i teoremi precedent!, dimo-
strando che con tre angoli che sodisfino alle condizioni enunciate si pud costruire un
triedro.
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 109
trica ABCD' rispetto al piano ABC (supposto che i segmenti DA, DB,
DC non siano uguali). Dunque nella geometria spaziale la sovrappo-
nibiliti non coincide coll’uguaglianza da noi definita193).
37. Triedri polari. — Dato un triedro abc di vertice V, si con-
ducano per V le semirette a', b\ c' perpendicolari alle facce be, ca,
ab, in modo che ognuna si trovi, rispetto alia faccia alia quale e perpen-
dicolare, dalla parte del triedro. Il triedro a' bf c' si chiama polare di
air194).
Il triedro polare di a'b'c' e abc, cioe la polarita e una relazione sim-
metrica.
Infatti, essendo a' perpendicolare a be e br ad ac, sara la retta ac
perpendicolare al piano a! V ; e analogamente b perpendicolare ad a! c'
e a perpendicolare a tic'. Inoltre I’angolo • a a' e acuto, perche а' ё ri-
spetto al piano b c dalla parte di a ; dunque a e rispetto a br c' dalla
parte di a'.
Se, dati due triedri polari, si dicono corrispondenti uno spigolo
del primo e la faccia perpendicolare ad esso del secondo, ed anche un
diedro del primO e la faccia del secondo perpendicolare allo spigolo
di quel diedro, abbiamo :
Una faccia di un friedro e la sezione normale del diedro corrispon-
dente sono supplementari.
La considerazione dei triedri polari permette di dedurre dai teo-
remi relativi a facce e diedri teoremi analoghi relativi a diedri e facce.
Si ottengono cosi i teoremi :
La somma di due diedri di un triedro e minore del terzo diedro
aumentato di un diedro piatto.
La somma dei tre diedri di un triedro e maggiore di un diedro
piatto.
38. Eguaglianza di triedri e di angoloidi/— 1) Due triedri
aventi rispettivamente uguali due facce ё il diedro compreso sono uguali.
La dimostrazione si svolge come quella del teorema 5) del § 7
sui triangoli.
2) Due triedri aventi le facce rispettivamente uguali sono u-
guali196). Infatti, per il teorema 4) del § 34, sono uguali due diedri
1B3) Che la possibility di figure dello spazio uguali ma non sovrapponibili non
fosse ignota Rgli antichi, si pub arguire da Euclide, XI, pr. 26, e da Archimede, Ilepl
xtovo£c8£cov xai <T<pacpoei8£cov (De conoidibus et sphaeroidibus), pr. 20 ; Opera, ed. J.
L. Heiberg, 1, p. 341ed. P. Ver Eecke, p. 186 ; ma una sistemazione logica dei fatti
qui osservati non fu tentata che in tempi recenti. A. M. Legendre 40), p. 154-156,
distingue due specie di uguaglianza nello spazio, chiamando uguali per simmetria, о
semplicemente simmetrici, due angoloidi uguali ma non sovrapponibili. A p. 163 e seg.,
e a p. 306 considera anche poliedri simmetrici. V. ancora A. Frajese, Period, mat., (4)
14 (1934), p. 211.
1M) La nozione di triedro polare ё suggerita dalla geometria sferica ed ё dovuta
a F. Vi£te (1593) : cfr. J. Tropfke •), 5, p. 125, e Fart. XXXI di questa Encicl. 8i), § 16.
1M) Questo teorema ё implicito in Euclide, XI, pr. 25 e 26: cfr. A.. Agostini,
Period, mat., (4) 8 (1928), p. 185.
110
Emilio Artom
opposti a facce uguali, perche queste sono sezioni uguali ed ugualmente
inclinate dei due diedri. Si ricade cosi nel caso precedente.
3) Due triedri aventi rispettivamente .uguali due diedri e U
faccia compresa sono uguali.
Basta osservare che per la proposizione 1) i triedri polari sono
uguali e quindi sono tali anche i triedri dati.
4) Due triedri aventi i tre diedri rispettivamente uguali sono
uguali. Si dimostra come il precedente, applicando il teorema 2).
Sull’uguaglianza degli angoloidi in generale si hanno le proposi-
zioni corrispondenti a quelle sull’uguaglianza dei poligoni, date nel § 12.
39. Rette e piani paralleli. — Mfentre i teoremi dei §§ prece-
dent non dipendopo dal postulato delle * parallele, introdurremo ora
i concetti di parallelism© fra rette e piani. Per una piii precisa distin-
zione fra le proposizioni seguenti, in quanto dipendono о no dal detto
postulato, vedasi Fart. XXXVIII di questa Encicl.114) lee).
1) Due rette perpendicolari ad uno stesso piano in due punti
distinti sono parallele * 197).
Infatti, se a e b sono le due rette che incontrano il piano a perpen-
dicolare a entrambe in A e B, il piano а В e perpendicolare al piano a ;
ma in esso la perpendicolare ad A В in В riesce perpendicolare ad a,
percid coincide con b. Dunque a e b sono complanari, e manifesta-
mente non possono incontrarsi.
2) Se due rette sono parallele e una di esse e perpendicolare a
un piano a, anche 1’altra e perpendicolare ad a198 *).
Se a e parallela a b ed e perpendicolare ad a, si conduca per un
punto di b la perpendicolare V ad a ; essa e parallela ad a per il teorema
precedente e percid coincide con b.
3) Due rette parallele a una terza sono parallele fra loro. La
dimostrazione planimetrica cade in difetto, perche non e piii vero che
se due rette non s’incontrano sono parallele. Ma basta qui osservare
che, se a e b sono entrambe parallele a r, un piano a perpendicolare
are perpendicolare ad a e b (teorema 2) ; quindi b e c (teorema 1) sono
parallele lee).
4) Due angoli coi lati paralleli e concordi sono uguali. Se gli
angoli giacciono nello stesso piano, sono uguali per un teorema di pla-
nimetria (§ 18). In caso contrario si consideri il diedro che ha per facce
19e) Per la trattazione di questo argomento, quando si definiscano come parallele
le rette equidistanti, v. F. Severi 5#), 2, pp. 168 e segg.
197) Euclide, XI, pr. 5. La dimostrazione di Euclide consiste nel mostrare che,
se А В, C D sono le due perpendicolari ad a coi piedi in В e Dt e sulla perpendicolare
in D a В D nel piano a si prende D E uguale ad A Bt i triangoli A В D e В D E sono
uguali e percid sono tali anche ABE e ED A ; dunque A D E ё retto, quind? E D ё
perpendicolare al piano D В A, che in conseguenza contiene C D. Si noti che questa
dimostrazione include quella del teorema delle tre perpendicolari (§ 33).
iee) Euclide, XI, pr. 8. La dimostrazione di EucLide ё del tipo della precedente.
1M) Euclide, XI, pr. 9.
XXII. - PropmetA elementari delle figure DEL PIANO E DEI.LO SPAZIO 111
i piani determinati dalle coppie di lati paralleli e concordi dei due
angoli; questi ne fomiscono due sezioni ugualmente inclinate e sono
perci6 [§ 34, 4)] uguali 20°).
Considerando un angolo come parte di piano (§6), due semirette
sghembe non determinano un angolo. Ma si definisce come angolo di
due tali semirette I’angolo di due semirette parallele e concordi a quelle
condotte per un punto arbitrario, poiche il teorema precedente ci as-
sicura che questo angolo e indipendente dalla scelta del punto.
In particolare* due rette sono ortogonali, о formano angolo retto,
se I’angolo di due loro semirette e retto.
Il teorema fondamentale sulla perpendicolare [§ 33, 1)] pud essere
generalizzato nel modo seguente :
5) Se una retta e ortdgonale a due rette non parallele di un piano>
essa e ortogonale a' tutte le rette di questo piano200 201).
6) Se una retta e parallela a una retta di un piano, ma non giace
su questo, essa non ha alcun punto in comune col piano 202).
Una retta e tin piano che non hanno alcun punto in comune si
chiamano paralleli 1’uno all’altro 203).
7) Se un piano passante per una retta parallela a un piano in-
contra questo piano, la retta d’intersezione e parallela alia prima retta.
8) I punti di una retta sono equidistanti da un piano parallelo
ad essa.
9) Date due rette sghembe, passa per ognuna di esse uno e un
sol piano parallelo all’altra : e il piano che passa per la retta considerata
e contiene la parallela all’altra condotta' per un punto fissato ad arbi-
trio su essa. *
Si dicono paralleli due piani che non hanno punti comuni 204 205).
L’esistenza di tali coppie di piani e provata da una coppia di piani per-
pendicolari a una retta in due punti distinti 206).
10) Se una retta incontra un piano, in contra ogni piano ad esso
parallelo.
11) Se un piano incontra un piano, incontra ogni piano ad esso
parallelo, e le due intersezioni sono parallele 20e).
12) Se due piani sono paralleli, e uno di essi e perpendicolare
a una retta, anche Faltro e perpendicolare a questa retta207).
Da questo teorema e dal precedente risulta che per due piani la
200) Euclide, XI, pr. 10. La dimostrazione di Euclide, ancora seguita da pa-
recchi autori, si fonda sulle propriety dei parallelogrammi.
201) Di qui si deduce in modo immediato il teorema delle tre perpendicolari
(§ 33).
202) Euclide non considera qtiesta relazione fra rette e piani.
203) Per una trattazione fondata sulla equidistanza dei punti della retta dal piano,
v. F. Severi 5e), 2, p. 169.
204) Euclide, XI, def. 6. Anche per la trattazione dei piani paralleli come equi-
distanti, v. F. Severi 6e), 2, p. 172.
205) Euclide, XI, pr. 14.
20e) Euclide, XI, pr. 16.
207) Vedi Euclide, Tartaglia 30), p. 243.
112
Emilio Artom
condizione di essere paralleli coincide con quella di essere perpendi-
colari a una stessa retta, о a rette parallele. Questa relazione permette
I’immediata dimostrazione di molti teoremi. P. es. :
13) Due piani paralleli a un terzo sono paralleli fra loro.
14) Se un piano contiene due rette incidenti parallele a due
rette di un altro piano, i due piani sono paralleli 208).
15) Se due piani sono paralleli, i punti dell’uno sono equidi-
stant! dall’altro.
40. Distanza di due rette sghembe. — Date due rette sghem-
be, esiste uno e un sol segmento che abbia gli estremi su esse e sia per-
pendicolare a entrambe ; esso e il minimo fra i segmenti che congiun-
gono un punto dell’una con un punto dell’altra209), e si dice distanza
delle due rette.
41. Poliedri. — Si chiama superficie poliedrica la figura formata
dai punti di piu poligoni convessi, ciascun lato dei quali appartenga
a due di quei poligoni, e tale che due poligoni qualunque aventi un
lato comune non giacciono nello stesso piano.
I detti poligoni, i loro lati, i loro vertici, si chiamano rispettiva-
mente facce, spigoli, vertici della superficie poliedrica.
Se tutta la superficie poliedrica sta dalla stessa parte rispetto a
qualunque piano contenente una faccia, essa si chiama convessa. Ne
segue che, se un piano ha punti comuni con una superficie poliedrica
convessa (senza coincidere col piano di una faccia), essi, о si riducono
a un solo vertice, о a un solo spigolo, о sono il perimetro di un poligono
convesso ; in conseguenza, se una retta ha punti comuni con una supef-
ficie poliedrica convessa (senza giacere sopra una faccia), essi si ridu-
cono a un sol punto, о ad una coppia di punti. Il segmento da essi de-
terminate si chiama corda della superficie poliedrica convessa.
Si chiama poliedro convesso la figura formata dai punti di una su-
superficie poliedrica convessa e dai punti delle sue corde. E i vertici,
gli spigoli, le facce, le corde della superficie poliedrica convessa si chia-
mano anche vertici, spigoli, corde del poliedro.
Una superficie poliedrica convessa divide lo spazio in due regioni :
una, che si puo chiamare finita in quanto non contiene semirette о rette,
e il poliedro convesso, I’altra e infinita210).
Un poliedro che ha per facce quattro triangoli si chiama tetraedro.
Esso esiste poiche, presi quattro punti А, В, C, D non complanari, i
triangoli ABC, ABD, ACD, BCD formano una superficie poliedrica
convessa.
2W) Euclide, XI, pr. 15.
20e) A. M. Legendre 40), p. 305. La retta contenente il segmento considerato
ё 1’intersezione dei due piani passanti per le rette date e perpendicolari a un qualsiasi
piano parallelo a queste.
210) Per un esame piii accurate delle cose precedent! v. fart. XXVI di questa
Encicl. •*), § 17.
XXII. - Proprieta elementari delle figure del piano e dello spazio 113
Un poliedro che ha per facce un poligono convesso di n lati e n
triangoli si chiama piramide (triangolare, quadrangolare, ecc. secondo
che n = 3, n = 4, ...). Esso esiste, poiche, preso un poligono convesso
Ai A2 A3 ... An e un punto В fuori del suo piano, il poligono dato e
i triangoli A± A2 В, A2 A3 B, ecc... formano una superficie poliedrica
convessa. П tetraedro e la piramide triangolare.
1 particolari poliedri (piramidi) qui considerati possono anche
essere definiti come parti di angoloide determinate da un piano che ne
incontra tutti gli spigoli senza passare per il vertice211).
In modo analogo, considerando gli angoloidi impropri, si giunge
alia classe dei prismi212).
Dato un prisma convesso indefinite, si considerino due piani pa-
ralleli a e ft, non paralleli agli spigoli. La parte comune al prisma e ai
due semispazi determinati da ciascuno dei piani a e p e contenenti
Faltro, si chiama prisma definite о semplicemente prisma.
Il prisma definite e un poliedro convesso : quello che ha per facce
le due sezioni dei detti piani col prisma indefinite (basi) e i parallelo-
grammi staccati sulle facce del prisma indefinite dai due piani paral-
leli (facce laterali). Le basi di un prisma sono uguali, perche sono po-
ligoni aventi i lati e gli angoli rispettivamente uguali213).
Un prisma avente per base un parallelogrammo si chiama paralle-
lepipedo. Due sue facce laterali si chiamano opposte se contengono due
lati opposti delle basi: esse sono situate in piani paralleli e sono uguali;
e i dodici spigoli sono uguali a quattro a quattro.
In conseguenza un parallelepipedo appartiene a tre distinti pri-
smi indefiniti, ogni faccia potendo riguardarsi come base.
Un prisma avente il piano della base perpendicolare agli spigoli
laterali si chiama prisma retto, e un parallelepipedo retto cha abbia per
base un rettangolo si chiama parallelepipedo rettangolo. In un prisma
retto le facce laterali sono rettangoli. Un parallelepipedo rettangolo
ё retto rispetto a qualunque sua faccia presa come base, e tutte le sue
facce sono rettangoli. I tre spigoli uscenti da un vertice si chiamano
le sue dimensioni.
Si chiama altezza di un prisma la distanza fra le due basi. In un
parallelepipedo si hanno quindi tre altezze. Nel prisma retto l’altezza e
uguale allo spigolo laterale.
Un parallelepipedo ha quattro diagonali, dandosi questo nome
ai segmenti che congiungono due vertici, senza essere пё spigoli, пё
diagonali delle facce. Esse si dimezzano scambievolmerte in un punto
comune. Le quattro diagonali d’un parallelepipedo rettangolo sono
uguali, e vale un teorema analogo al teorema di Pitagora, роюЬё il
quadrato di una di esse ё equivalente alia somma dei quadrati delle
tre dimensioni.
m) Euclide, XI, pr. 14. Ma la parola лирар.^ ё egiziana.
*“) Euclide, XI, def. 9, considera il prisma definite e particolarmente quello
triangolare. Прьара, da лр£со, sego.
81S) Euclide, XI, pr. 21, dove si tratta del caso particolare del parallelepipedo.
114
Emilio Актом
Il parallelepipedo rettangolo che ha le tre dimension! uguali si
chiama cubo. Le sue facce sono quadrati.
42. Poliedri equivalenti. — Riferendoci alle considerazioni gene-
ral! premesse nel § 21 sulla equivalenza dei poligoni piani, ricorderemo
brevemente che, о si ammette che i poliedri siano dotati di una gran-
dezza, detta volume, o, date opportune definizioni dell’equivalenza,
si chiamano di egual volume due solidi equivalenti. Seguendo la se-
conda via, osserviamo subito che nella teoria dell’equivalenza, nel senso
di equiscomponibilita, ai poligoni della planimetria corrispondono nella
stereometria solo i prismi v o, piu in generate, i solidi scomponibili in
prismi (solidi prismatici), poichi solo per essi vale la proprietiche due
solidi о sono equiscomponibili (scomponibili in un numero finito di
parti rispettivamente uguali) о uno di essi, ben determinate, ё equi-
scomponibile con una parte dell’altro a<).
Per 1’equivalenza dei poliedri valgono le propriety transitiva, sim-
metrica e riflessiva.
Si pud iniziare lo studio dei prismi equivalenti dai parallelepiped!
о dai prismi triangolari. Seguiremo con Euclide la prima via.
Due parallelepiped! aventi basi uguali e altezze uguali sono equi-
valenti аб).
Due prismi triangolari aventi basi e altezze uguali sono equiva-
lenti ae).
Due prismi aventi basi uguali e altezze uguali sono equivalenti.
Un prisma qualunque si pud trasformare in un parallelepipedo
equivalente di data altezza о di data base, poichd basta trasformare la
base in un rettangolo ABCD equivalente, con un lato, p. es. AB, uguale
alia data altezza, conservando 1’altezza del dato prisma. Il parallelepi-
pedo rettangolo cosi ottenuto, riguardandone AB come altezza, risolve
il primo problema. Se invece ё data la base ABCD, si trasformi come
prima il prisma dato P in un parallelepipedo rettangolo avente uno
spigolo uguale ad AB ; poi si trasformi una delle facce lateral! di questo
in un rettangolo di base uguale a BC; riguardando questa faccia cosi
trasformata come base, sari BC 1’altezza, вгссЬё il parallelepipedo
rettangolo cosi ottenuto sari equivalente al precedente e quindi anche * 215
21<) V. Fart. XXI di questa Encicl. M), §§ 43-47.
215) Euclide, XI, pr. 29, 30, 31. La dimostrazione si svolge supponendo dapprima
i parallelepipedi con una base comune, dalla stessa parte rispetto al piano di questa,
e distinguendo due casi, secondo che le basi opposte hanno due lati (rette) in comune
oppur no.
2ie) La dimostrazione si svolge attraverso la considerazione dei parallelepipedi.
Dato un prisma triangolare di base A B,C, si considers il parallelepipedo che ha per
base il parallelogrammo А В M C (del quale А В ё una base) e per spigolo laterale il
segmento A N, met& dello spigolo laterale del prisma dato uscente da A ; i due prismi
hanno allora in comune un prisma triangolare di base А В C e spigolo A Nt e conten-
gono in piii ciascuno un prisma uguale a questo. A. M. Legendre40), p. 171-176,
osservd che questi due prismi non sono sovrapponibili; v. anche G. Rozzolino, Boll,
mat., 16 (1919), p. 70, 147.
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 115
al prisma P, ed avendo una faccia uguale ad ABCD, sarA il prisma
richiesto.
In questo modo la classe dei prismi pud essere posta in corrispon-
denza univoca colla classe dei segmenti (1ё altezze); ma i prismi po-
tranno essere riguardati come una classe di grandezze, nel senso spie-
gato a proposito dei poligoni, solo se si dimostreri che, comunque av-
venga la traaformazione, 1’altezza sia sempre la stessa.
Per i poliedri diversi dai prismi si rimanda all’art. XXV.
43. Cono. — Chiamasi superficie cornea indefinita rotondo. la figura
costituita dalle semirette di una Stella che formano un dato angolo con
una semiretta fissa della Stella. La semiretta fissa si chiama asse; le
semirette che formano la superficie conica generatrici; il centro della
Stella vertice; 1’angolo, angolo della superficie conicaa7).
I punti delle semirette diverse dalle generatrici si chiamano in-
term о esterni alia superficie conica, secondochi tali semirette formano
coll’asse angoli minori о maggiori dell’angolo della superficie conica.
Si chiama cono rotondo 1’insieme dei punti di una superficie conica e
dei punti interni ad essa. Si dice pure asse, vertice, ecc. di un cono
anzichfe di una superficie conica.
Un piano perpendicolare all’asse di un cono lo taglia secondo un
cerchio {sezione normale), che ha per centro 1’intersezione del piano col-
l’asse e per circonferenza la sua intersezione colla superficie conica.
Un piano a passante per il vertice di un cono ha tutti i punti (tranne
il vertice) esterni al cono, oppure ne contiene una generatrice, о due
generatrici, secondo che 1’angolo acuto che esso forma coll’asse del
cono ё maggiore, uguale о minore dell’angolo del cono.
I piani delle tre specie considerate si chiamano rispettivamente
esterni, tangenti, secanti del cono. Il piano tangente lungo una genera-
trice ё perpendicolare al piano assiale che contiene quella generatrice.
Per una retta esterna al cono e passante per il vertice, passano due
piani tangenti: sono i piani determinati dalla retta e dalle tangenti
ad un cerchio sezione nofmale condotte per 1’intersezione della retta
col piano della sezione.
Un piano non passante per il vertice di un cono e incontrante tutte
le generatrici divide il cono in due parti. Si dice cono rotondo finito la
parte cui appartiene il vertice. Se il piano secante ё perpendicolare al-
l’asse, si ottiene il cono retto21*).
Piii in generale si pud considerare la superficie generata dalle rette
che congiungono i punti di una circonferenza, detta base219), con un * * * *
U7) Euclide, XI, def. 18, 19. Propriamente Euclide considers il cono finito
(xcovo^) generate dalla rotazione di un triangolo rettangolo.
яв) Ё questo il cono studiato da Euclide217).
^•) Apollonio considers questo cerchio come base, e come cono Is psrte com-
press fra il vertice e il cerchio base, pur definendo superficie conica quella formata
dalle congiungenti il vertice coi punti della circonferenza, prolungate da entrambe le
parti. V. Ktovtxdt “), libro I, def. 1 e 2 ; ed. J. L'. Heiberg, 1, p. 7 ; ed. P. Ver Eecke,
p. 3-4.
116
Emilio Artom
punto (vertice) fuori det suo piano. Se il vertice giace sulla perpendi-
colare condotta al piano della circonferenza per il centro di questa,
si ritrova il cono rotondo gia considerato, о piu precisamente il doppio
cono rotondo ; altrimenti si ha il cono obliquo.
Le sezioni piane di un cono obliquo con piani paralleli al piano
della base sono cerchi, di cui il centro sta sulla retta che unisce il ver-
tice del cono col centro della base.
Oltre a questo, esiste uno ed un solo altro fascio di piani paralleli
secanti il cono lungo cerchi 220).
Infatti (fig. 1) siano V il vertice del cono e О il centro del cerchio
base, e si consideri il diametro AB di questo cerchio, che appartiene
all’intersezione del piano del cerchio
col piano ad esso perpendicolare e
passante per la retta VO. Sulle rette
VA e VB si prendano due segmenti
VH e VK rispettivamente propor-
zionali ai segmenti VB e VA. Al-
lora il piano passante per HK e per-
pendicolare al piano VAB taglia il
cono secondo un cerchio. Infatti sia
P un punto qualunque della sezione
conica ottenuta, ed M il piede della
perpendicolare condotta da P alia
retta HK e quindi al piano VAB:
Il piano passante per M e parallelo
al piano della base del cono taglia
il cono stesso secondo un cerchio,
di cui la retta A' B' parallela ad
А В e un diametro, mentre P M ne
e una semicorda perpendicolare ad
А’ В'. I triangoli V A' B' e VKH, essendo simili al triangolo VAB,
sono simili tra loro ; sono quindi simili anche i triangoli M H A’ ed
MB' K, avendo gli angoli rispettivamente eguali. Percid:
MA' :MH = M K:MB',
da cui:
MA' MB' = MH • MK.
Ma: _
PM2 = MA' MB',
quindi: ___
PM2 = MH -MK.
220) Apollonio, Kcovtxdc33), libro I, pr. 5; ed. J. L. Heiberg, 1, p. 17 ; ed.
P. Ver Eecke, p. 9 ; R. Descartes, Epistolae, 2*ed., Frankfurt 1692, p. 267 ; Oeuvres,
ed. Ch. Adam et P. Tannery, 3, Paris 1899, p. 707.
Per la teoria elementare delle coniche pensate come sezioni piane di un cono
rotondo vedasi Fart. XXXII di questa Encicl. “J.
XXII. - ProprietA elementari delle figure del piano e dello spazio 117
Il luogo del punto P e dunque un cerchio di diametro HK,
Senza difficolta si dimostra che, inversamente, ogni sezione cir-
colare si ottiene con la costruzione precedente.
I centri dei cerchi ottenuti con i piani ora considerati si trovano
sulla retta che unisce V col vertice di un nuovo cono, circoscritto, lungo
il cerchio base del cono primitivo, alia sfera passante per questo cer-
chio e per V.
Due sezioni circolari, prodotte da due piani appartenenti 1’uno
all’uno, I’altro all’altro dei due fasci precedenti, sono situate sopra una
stessa sfera. Inversamente, per due cerchi appartenenti ad una mede-
sima sfera passano due coni (dei quali uno pud essere un cilindro)
44. Cilindro. — Chiamasi superficie cilindrica indefinita rotqnda
la figura formata dalle rette parallele a una data retta e distanti da essa
di un dato segmento. La retta fissa si chiama asse ; le rette che formano
la superficie cilindrica generatrici ; la data distanza raggio del cilindro222).
I ptmti delle rette che hanno dall’asse distanza maggiore о minore
del raggio si chiamano rispettivamente esterni о interni.
Si chiama cilindro 1’insieme dei punti di una superficie cilindrica
e dei punti interni ad essa.
Un piano perpendicolare all’asse di un cilindro lo taglia secondo
un cerchio che ha per centro 1’intersezione dell’asse col piano.
I piani parallel! all’asse hanno tutti i punti esterni al cilindro о
ne contengono una generatrice о due generatrici, secondo che la loro
distanza dall’asse e maggiore, uguale о minore del raggio, e si chiamano
rispettivamente esterni, tangenti, secanti del cilindro.
Il piano tangente lungo una generatrice e perpendicolare al piano
contenente 1’asse e quella generatrice.
Per una retta estema al cilindro e parallela all’asse passano due
piani tangenti.
Si chiama cilindro rotondo finite la parte di un cilindro compresa
fra due piani parallel!. Se questi sono perpendicolari all’asse, il cilindro
si chiama retto.
Con il linguaggio del movimento lo si pud definire come generato
da un rettangolo che ruota intorno a un lato.
Per il cilindro obliquo a base circolare, definite come insieme delle
rette che passano per i punti di un cerchio e sono parallele ad una
retta che incontra non perpendicolarmente il piano del cerchio, si
hanno come per il cono (§ 44) due sistemi di piani parallel! secanti
lungo cerchi.
ш) Per una trattazione elementare dell’argomento v. E. Rouch£ e Ch. De Com-
b^rousse50), 2, p. 221 e seg. ; cfr. anche ibid., p. 473 e seg. V. pure H. Schroter,.
Theorie der Oberflachen zzoeiter Ordnung etc., Leipzig 1880, p. 51 e seg.
*“) Euclide, XI, def. 16. Il cilindro considerate da Euclide ё il cilindro retto
finito, generato dalla rotazione di un rettangolo intorno ad un lato. V. il trattato di
Sereno di Antinoeia (IV secolo dell’era volgare) sul cilindro: Sectio cylindri, ed. la-
tina di F. Commanding, Bononiae 1566 ; ed. J. L. Heiberg, Leipzig 1896.
118
Emilio Artom
45. Sfera. — Il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso si
chiama superficie sferica. Se ne definiscono il centro, i raggi, i diametri,
i punti interni ed esterni come per la circonferenza.
Si chiama sfera 1’insieme dei punti di una superficie sferica e dei
punti interni ad essa; e il centro, i raggi, ecc. di una superficie sferica
si chiamano anche centro, raggi, ecc. della sfera 223).
Un piano passante per il centro di una sfera la taglia secondo un
cerchio avente lo stesso raggio e lo stesso centro. Tali cerchi si chia-
mano cerchi massimi^).
Una retta ha due, uno о nessun punto comune con una sfera, se^
condo che la distanza della retta dal centro ё minore, uguale о maggiore
del raggio. Basta osservare che gli eventual! punti comuni alia retta e
alia superficie sferica sono i punti comuni alia retta e alia, circonferenza
sezione della sfera col piano individuate dalla retta e dal centro.
Un piano ha in comune con una sfera un cerchio, un punto о nes-
sun punto, secondo che la distanza del piano dal centro ё minore,
uguale о maggiore del raggio.. Il secondo ed il terzo caso si trattano come
gli analoghi per il cerchio ; per il primo, sia О il centro della sfera, H il
piede della perpendicolare condotta da О al piano. Essendo per ipotesi
О H minore del raggio, esiste un triangolo rettangolo che ha per ipo-
tenusa il raggio e un cateto uguale ad О H; il cerchio situato sul piano
secante e avente per centro H e per raggio il secondo cateto di quel
triangolo ё il luogo dei punti comuni alia sfera e al piano.
Sulla geometria sferica vedasi I’art. XXXI di questa Encicl.85),
§16 e 17; per la proiezione stereografica della sfera v. Part. XXVIII
della stessaM), § ol-
46. Figure siknili nello spazio. — Per questo argomento Vedasi
Part. XXVIII di questa Encicl. “), § 66. **)
**) Euclide, XI, def. 10; atpottpa — palla. La sfera ё qui considerata come su-
perficie generata dalla rotazione di un semicerchio intomo al diametro.
“*) M^yturo? xvxXoc; secondo Archimede, Ilepl acpodpou; xal xuklvSpou, prop. 25,
Archimedis Opera omnia, ed. J. L. Heiberg, 1, De sphaera et cylindro, 2s ed., Lipsiae
1910, p. 98 ; ed. P. Ver Eecke, De la sphere et du cylindre, Paris-Bruxelles 1921, p. 51.
ххш
TEORIA DELLA MISURA
di DUILIO GIGLI + a Pavia
e LUIGI BRUSOTTI a Pavia
La redazione del presente articolo ё dovuta al Prof. Luigi Brusotti, il quale
si ё perd giovato di alcuni appunti a tale scopo prepared dal compianto Prof. Duilio
Gigli, che, come autore e come appartenente alia Direzione, gii aveva a questa En-
cyclopedia dato opera altamente preziosa per intelligenza e per assiduity.
Nacque Egli a S. Sepolcro, in provinda di Arezzo, 1'8 Gennaio 1878 e, percorsi
con onore gli stud! dassid in Pavia e quelli univereitari in Pisa, come allievo* di quella
Scuola Normale Superiore, ivi si laured con lode in Matematica ed ivi poi si trattenne
per un anno di perfezionamento.
Subito dedicatosi, con grande amore e fervore, all’insegnamento medio, profes-
sava dal 1910 presso il R. Liceo-Ginnaaio di Pavia, essendo anche nel frattempo prima
Aasistente, poi, conseguita la libera docenza in Analisi algebrica, Incaricato presso la
R. University, quando il 10 Maggio 1933 improwiso malore Lo toise, fra il generale
cordoglio, alia famiglia, alia scuola, agli studi.
Rimangono di Lui pregiati scritti d’indole sdentifica, storico-critica, didattica.
Ma ё sovr’ogni сова ben vivo il ricordo della solida e varia culture, del limpido ingegno,
del fine gusto, dell'animo eletto di Lui.
INDICE
Pag.
1. Grandezze commensurabili ed incommensurabili . .......................... 123
2. Il primo criterio euclideo per distinguere fra commensurability ed тсопъпеп-
surability (criterio delle divisioni successive) ........................... »
3. Il rapporto in Euclide .................................................. 124
4. Il secondo criterio euclideo per distinguere fra commensurability ed incom-
mensurability (criterio del rapporto)......................................... 126
5. Esempi di coppie di grandezze incommensurabili.......................... »
6. Il rapporto fra due grandezze ed il numero- reale........................ 128
7. Misura................................................................... 129
8. Proporzioni fra grandezze e proporzioni fra numeri...................... *
9. Rilievi sistematici e storici sulla Teoria della misura ................. 131
10. Eguaglianza, equiscomponibility, equivalenza; grandezze di 1°, 2°, 3° genere 134
11. Misura delle grandezze di 1° genere. Segmenti. Angoli (grado, radiante).. 137
12. Misura delle grandezze di 2° genere. Poligoni. Prismi. Angoloidi (poligoni
sferici)................................................................ 140
13. Aree di poligoni. Volumi di prismi ..................................... 143
14. Misura delle grandezze di 3° genere. Il metodo di esaustione............ 147
15. Volumi di poliedri ..................................................... 150
16. La misura per altre classi di grandezze di 3° genere.................... 153
17. Poligoni inscritti e circoscritti ad un circolo......................... 155
18. Ciclometria ............................................................ 156
19. Cilindro e cono......................................................... 159
20. Sfera................................................................... 163
21. I metodi elementari in relazione a quelli dell’Analisi infinitesimale.. 167
1. Grandezze commensurabili ed incommensurabili. —
Euclide, nel Libro V degli Elementi1), svolge una teoria delle grandezze,
ma non pone distinzione fra coppie di grandezze commensurabili e
coppie di grandezze incommensurabili. Se, come in un certo senso e
lecito, nel Libro V si vede una teoria dei numeri reali2), pud dirsi che
Euclide non distingua ivi tra numeri razionali ed irrazionali.
La distinzione interviene nel Libro X, e precisamente colla prima
delle definizioni (8goi) che lo iniziano s):
Svfipexga [teyi&i) ieyerai rd аитф pEtgovp.eva, йоущлехда
ie9 wv p/ri&v hdexTfcai xoivbv pet gov yevea&cu 4).
Qui jjlecqov (misura) ё da intendersi nel senso di summultiplo.
Per i segmenti Euclide colla def. 2a introduce un’ulteriore di-
stinzione, della quale non ё rimasta traccia negli sviluppi modemi,
ma che qui conviene ricordare. Precisamente6):
Evfreiai 8vvdtuei ovfifiexQoi etow, 8rav rd avrcov T&tgdycova тф
аитф %oqI(d fietgfjtai, dov/Aftetgoi de, 8rav -tois dzi avian TergaycovoiQ
jjwiibv Ivdexmai %a>giov xoivov. peigov yeveo&ai e).
2. П primo criterio euclideo per distinguere fra commen-
surability ed incommensurability (criterio delle division! suc-
cessive). — Se A, В sono grandezze omogenee (B non nulla), pud
scriversi, e in un sol modo :
A == В -|- B,
ove q ё un intero positivo (eventualmente nullo) ed R (eventualmente
nulla) soddisfa alia:
R <B;
x) I..L. Heiberg, Euclidis Elementa, 2, Lipsiae 1884, p. 2-71.
*) Cfr. Fart. II di questa Encicl. (D. Gigli, Aritmetica generate), § 45.
’) Cfr. I. L. Heiberg1), 3, Lipsiae 1886, p. 2.
*) Trad. : Si chiamano commensurabili quelle grandezze che sono misurate
dalla stessa misura ed incommensurabili quelle di cui non esiste una comune misura;
cfr. F. Enriques, Gli Elementi d* * Euclide e la critica antica e moderna, Libro X, Bologna
1932 (trad, di M. T. Zapelloni, note di Ruth Struik), p. 15.
®) Cfr. I. L. Heiberg1), 3, Lipsiae 1886, p. 2.
•) Trad.: Le rette sono commensurabili in potenza quando i quadrati costruiti
sopra di esse - sono misurati dalla stessa superficie; sono invece incommensurabili (in
potenza) quando non esiste una superficie die sia misura comune dei quadrati costruiti
au di esse. Cfr. 4), p. 15.
124
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
A, B, q, R potranno rispettivamente dirsi dividendo, divisore, quoziente,
resto (e Foperazione dirsi divisione).
Partendo dalla coppia A, В di grandezze non nulle (ove conviene
supporre A > B, onde q > 0), si svolga il procedimento (delle division!
successive) qui indicato :
A = q В -|- R ,
В = R + Ri
R = q2 R\ + Rz
, <R ,
, R2 < R^,
il quale si arrestera soltanto se, trovato un resto nullo, questo non possa
ulteriormente utilizzarsi come divisore. Prescindendo dai casi ovvii
in cui si annulli R od , avverra allora che, trovato un certo resto
Rn summultiplo del precedente Rn-lt risultera nullo Rn+1', ed ogni
summultipla di Rn sara summultipla comune di A e di B, e reciproca-
mente (onde Rn massima summultipla comune di A e di B).
Comunque, se il procedimento finisce, A e В sono commensura-
bili. Reciprocamente, se A e В sono commensurabili, il procedimento
finisce.
Ora si danno casi (§ 5) in cui il procedimento non finisce ed allora
A e В sono incommensurabili (e reciprocamente)7).
Il criterio delle divisioni successive non pud considerarsi come un
criterio pratico, in quanto non sempre si esaurisce in un numero finito
di prove (il che del resto e nell’indole della questione). Tuttavia (§5)
pud applicarsi anche ad esempi concreti.
Oss. - L’importanza storica del procedimento delle divisioni suc-
cessive (applicato alia coppia di grandezze incommensurabili) dipende
anche dalla circostanza che in esso pud rawisarsi la prima origine del-
I’algoritmo infinite della frazione continua8), in quanto il rapporto
(§ 3) della grandezza A alia grandezza В pud rappresentarsi nel modo
seguente :
3. П rapporto in Euclide. — Nel Libro V degli Elementi, Eu-
clide introduce il rapporto (Ябуос) colle definizioni 3a, 4a e 5a 9).
7) Il criterio qui esposto trovasi nelle prop. 2a e 3a del Libro X degli Elementi di
Euclide. Cfr. I. L. Heiberg1), 3, Lipsiae 1886, p. 6-13. Per il procedimento delle di-
visioni successive in Aritmetica cfr. Tart. IV di questa Encicl. (M. Cipolla, -Teoria
dei numeri. Analisi indeterminate?), § 1.
®) Cfr. Part. XVII di questa Encicl. (G. Vitali, Limiti, serie, frazioni continue,
prodotti infiniti), § 15, e specialmente nota 23). Cfr. anche 21) e 125) del presente art.
•) Лбуо? Suo dpLoyevcov хата 7ггрлхбттг]та тсоьа rr/latq.
Лбуоу ё/Eiv ярд? йХХ^ка p.Ey&h) Хбуетаь & Suvatat яоХХаяХаспаСбцЕУа dtXXiqXcov
UKEp^xsw.
XXIII. - Teoria della misura
125
Di queste, la prima presenta il rapporto come un carattere quanti-
tative della coppia di grandezze omogenee* 10), mentre la seconda ne
circoscrive la considerazione al caso in cui sia soddisfatta la proposi-
zione di Archimede11). L’ultima infine stabilisce quanto segue: Date
quattro grandezze, si dice che la prima alia seconda e la terza alia quarta
sono nello stesso rapporto, quando, assunte comunque due equimul-
tiple della prima e della terza e due equimultiple della seconda e della
quarta, secondo che la multipla della prima sia maggiore, eguale о mi-
nore di quella della seconda, anche la multipla della terza sia risp. mag-
giore, eguale о minore di quella della quarta. L’omogeneita delle prime
due grandezze (risp. delle ultime due) vi e sottintesa.
Una veduta moderna pud interpretare Fintroduzione del rapporto
negli Elementi come una definizione per astrazione.
Ed invero, assunta una coppia A, В (ordinata) di grandezze omo-
genee, si formi la classe di tutte le coppie (ordinate) di grandezze C,
D (con C, D omogenee), per cui awenga che, scelti comunque gli in-
teri m, n, secondo che sia :
(1) n A = m В,
sempre risp. sia pure :
(2) n C $ m D ;
di tale classe fa parte la coppia A, B. Con un procedimento di astra-
zione dalla classe di tali coppie si assurge alia concezione di una nota
comune a tutte le coppie ; e tale nota comune e il rapporto di A a В
(e di C a D, ecc.).
Il posto privilegiato che nella costruzione della classe spetta alia
coppia А, В e solo apparente, perche se C, D ed E, F sono coppie quali
si vogliano della classe, scelti comunque gli interi n, m, secondo che sia:
n C D ,
sempre risp. risulta :
n E Ц m F ,
cdsicche la classe potrebbe costruirsi a partire dalla coppia C, D12).
’Ey тф аитф Хоусо р.ёубО-7) Хрустан, sLat крытоу ярбс; Зеитероу ха1 тр(тоу ярде;
т£тартоу, бтау та тои крсотои ха1 тр(тои todxLc; лоХХатгХааих тсоу той Зеит^рои xai
тетартои tadxLq 7гоХХакХаст1соу хаЭ7 огахоуоиу лоХХалХастьаарсоу ёхатероу ёхатгроо 7]
£р.а йкер^хт) 7] ара ioa vj ара 6ХХе(тгг) Хт)ф&£ута хатаХХ7)Ха.
Cfr. I. L. Heiberg x), 2, Lipsiae 1884, p. 2.
10) La traduzione letterale latina di I. L. Heiberg 9) ё : Ratio est duarum eiusdem
generis magnitudinum secundum quantitatem quaelibet habitudo.
n) Per la proposizione di Archimede cfr. Fart. II di questa Encicl. 2), § 36. Di
fronte ad essa, in questo punto del trattato, Euclide si mantiene agnostico. Tuttavia
di essa egli si serve nella dimostrazione della prop. la del Libro X [I. L. Heiberg l),
3, Lipsiae 1886, p. 4]. Cfr. anche101) e 102).
12) Per quest’ultima constatazione vedasi la prop. lla del Libro V degli Elementi
[I. L. Heiberg 9, 2, Lipsiae 1884, p. 34] :
126
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
4. П secondo criterio euclideo per distmguere fra commen*
surabilita ed incommensurabilita (criterio del rapporto). —
Euclide nei libri aritmetici13) fa uso del rapporto (Myos) fra numeri
(interi). Poichi perd negli Elementi il numero intero e da in-
tendersi come grandezza e precisamente come aggregate formaio col-
Funita (jwvas)14 15), cosi il concetto di rapporto fra due numeri (interi)
e compreso in quello di rapporto fra due grandezze. Tuttavia Euclide
alia def. 5B di Libro V (§ 3) sostituisce nel caso dei numeri apposita
definizione16), che perd in quella sostanzialmente rientra16).
Nel rapporto fra due numeri (interi) si pud rawisare la frazione
delle odieme trattazioni aritmetiche.
Nelle proposizioni 5я, 6®, 7я, 8* di Libro X17), Euclide stabilisce
che condizione necessaria e sufficiente per la commensurabili ti di due
grandezze ё che il loro rapporto sia lo stesso di quello fra due numeri
interi (e cid nel senso della citata definizione 5я di Libro V).
Se, xome altrove, negli sviluppi di Libro V e di Libro X si vede
una teoria dei numeri reali, si pud dire che Euclide viene cosi ad iden-
tificare il numero rationale colla frazione.
Il 2° criterio euclideo qui esposto ё sostanzialmente in accordo
colle vedute modeme (e sotto questo aspetto preferibile al 1°, di § 2).
Oss. - Alle prop, di Libro X qui richiamate si pud awicinare la
prop. 9я 18), la quale come condizione necessaria e sufficiente per la
commensurabilit& di due segmenti di che il rapporto fra i loro quadrati
sia lo stesso di quello fra due numeri quadrati.
5. Esempi di coppie di grandezze incommensurabili. —
Le definizioni ed i criteri dei precedent! §§ trovano un complemento
essenziale nella dimostrazione dell’esistenza di coppie di grandezze
01 тф avrco Хбусо ot aurol xal dXX^Xou; elalv ol auroi.
Se nella def. 5* si scorge la definizione di eguaglianza fra rapporti (se si vuole, tra
numeri reali), nella prop. 11* si rinviene la propriety transitiva dell’eguaglianza tra
rapporti (se si vuole, tra numeri reali).
Tuttavia, per la retta interpretazione del testo euclideo ё da osservarsi che Eu-
clide non usa la parola tooc; (eguale), ch’egli riserva all’eguaglianza fra grandezze,
ma costantemente la parola аитбс; (lo stesso). E cid pud confermare nella interpreta-
zione del procedimento di astrazione che da tutte le coppie della classe assurge ad uno
stesso rapporto (Хбуо?).
Per la def. 5* cfr. anche 2e).
13) Ciod nei Libri VII, VIII, IX. Cfr. I. L. Heiberg x), 2, Lipsiae 1884, p. 184-415.
14) Per le definizioni euclidee di numero e di unitd cfr. la nota ’•) dell’art. II di
questa Encicl. 2). Che negli Elementi i numeri (interi) siano assimilabili a grandezze,
risulta implicitamente dall’impiego che del rapporto di due numeri si fa nel Libro X
e dalla rappresentazione dei numeri (come delle grandezze) cbn segmenti. Di questa
rappresentazione ё traccia nelle notazioni usate; p. e. in prop. 4* di Libro VII [I. L,
Heiberg 13), p. 200] il numero ВГ ё presentato come somma dei numeri BE, EZ, ZT.
15) Ё la def. 20» di Libro VII; cfr. I. L. Heiberg 13), p. 188.
le) Per il raffronto fra le due definizioni fatto da H. G. Zeuthen, cfr. F. Enriques *),
Libri V-IX, Bologna 1930, Libro VII (per cura di G. Rietti), p. 173.
17) Cfr. I. L. Heiberg1), 3, Lipsiae 1886, p. 16-23.
ie) Cfr. I. L. Heiberg1), 3, Lipsiae 1886, p. 24.
XXIII. - Teoria della mtsura
127
ineommensurabili. Anzi storicamente deve intendersi che la scoperta
di casi particolari abbia preceduto la teoria.
Il criterio delle divisioni successive (§2) pud utilmente applicarsi
in taluni casi; con esso agevolmente si dimostra che un segmento A e
la sua sezione aurea В sono ineommensurabili; invero la divisione di A
per В di per quoziente q = 1 e per resto la sezione aurea di Вie), e poiche
questa considerazione si ripete nelle successive divisioni, il procedi-
mento non finisce »).
Se due numeri (interi) a, b primi tra loro non sono entrambi nu-
meri quadrati, in modo elementare possono costruirsi due segmenti
Л, B, tali che il rapporto del quadrato di A a quello di В sia lo stesso
rapporto di a a b; ed allora (oss. a § 4) A e incommensurable con B.
In particolare (per a = 2, b = 1) la diagonale A di un quadrato
ed il lato В di esso risultano fra loro ineommensurabili a).
1в) Ё questa sostanzialmente la prop. 5a di Libro XIII degli Elementi. Cfr. I. L.
Heiberg 1)> 4, Lipsiae 1885, p. 258.
*°) Il corrispondente sviluppo in frazione continue (cfr. Oss. a § 2) ё dunque :
u) L’esperienza non pud. direttamente condurre alia scoperta di coppie di gran-
dezze ineommensurabili. Tale scoperta non si pud quindi intendere se non collegata
ad una sistemazione razionale delle matematiche.
Una congettura largamente accolta porta a supporre che in una prima sistema-
zione della Geometria, da attribuirai alia Scuola pitagorica, la commensurabilit& delle
grandezze geometriche potesse ritenersi implicita nella concezione stessa del punto,
la cui idealizzazione incompleta ne conservava il carattere di una particella costituente
i corpi; ma che, nello stesso ambito della Scuola . pitagorica, la conoscenza di proposi-
zioni, quali p. e. il teorema di Pitagora, conducesse alia scoperta di coppie di gran-
dezze ineommensurabili (p. e. diagonale e lato di un quadrato), creando un disagio
spirituale,«di cui rimane traccia in qualche aneddoto leggendario. Cfr. p. e. H. G. Zeu-
thkn, Histoire des Mathematiques (trad. J. Mascart), Paris 1902, p. 29; F. Enriques
e G. De Santillan a, Storia delpensiero scientifico, 1, Bologna 1932, p. 94.
Tutt a via una piii sicura e mature posizione della questione sorge piii tardi con
Teodoro e Teeteto (entrambi del 5° secolo a. C.), in relazione al riconoscimento della
incommensurability (fra segmenti) rispondente all’irrazionalitA di y/~n, con n intero
non quadrato, risp. per n < 17 (Teodoro) e per n qualunque (Teeieto), e fors’anche
8—•
(TEeteto) all’analoga questione per \ n ; come risulta da un passo (147 d, e ; 148 a, b)
del dialogo platonico Teeteto (cfr. PIatone, Oeuvres computes, 8, , Paris 1924, p. 164-
165); una traduzione e notizie su ulteriori risultati di Teeteto in 4), p. 5-6.
La ricerca di un assetto della teoria, rivoltasi forse prima al procedimento delle
divisioni successive (§ 2) ed alia relativa successione di quozienti interi [cfr., anche
per notizie, O. Becker. Quellen u. Studien, Studien, 2 (1933), p. 311-333, p. 368-387],
si conclude in forma definitiva coll’introduzione del rapporto (Хбуо^), secondo la si-
stemazione dovuta ad Eudosso da Cnido (c. 410-356 a. C.) e riprodotta nel Libro V
degli Elementi di Euclide (§ 3).
Sull’argomento della presente nota cfr. (anche per ulteriori notizie): F. Enri-
ques, L'evoluzione delle idee geometriche nel pensiero greco ecc., in F. Enriques, Que-
stions rigvardanti le Matematiche elementari, 1д, Bologna 1924, p. 8-11; J. Tropfke,
Geschichte der Elementar-Mathematik 2a ed., 2, Berlin und Leipzig 1921-1924, p. 62-67.
128
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
Esempi di coppie di segmenti incommensurabili fornisce il Libro X
degli Elementi d’EucLiDE, insieme a criteri di classificazione 22).
6. Il rapporto fra due grandezze ed il numero reale. —
Date due grandezze A, В della stessa specie :
I. - Se A e multipla di S, onde :
(3) A = m В ,
si coordini alia coppia Л, В il numero intero m, dicendolo «rapporto
di A a В ».
II. - Se A, senza essere multipla di В, e con questa commensu-
rabile, onde :
,л В m
(4) A = m------=-----B,
n n
alia coppia Л, В si coordini il numero razionale m/n, dicendolo « rap-
porto di A a В ».
III. - Se A e incommensurabile con S, si formi la classe (Cx)
[risp. (C2)] delle grandezze della specie considerata commensurabili
con В e suvvalenti (risp. prevalenti) ad Л, indi la classe 1?! (risp. R2)
dei rapporti delle grandezze della classe (C2) [risp. (C2)] alia gran-
dezza B. Le 1?! , R2 forniscono una sezione nel senso di R. Dedekind,
ed alia coppia A, В si coordina il numero reale :
(5) a = (Rl , Z?2) ,
dicendolo « rapporto di A a S»23).
Se per le grandezze della specie considerata si e introdotta una
proposizione di continuita 24 *), reciprocamente dato il numero reale a
e individuata (astrattamente, cioe con tutte le equivalenti) la grandezza
A tale che il rapporto di A a В sia a [includendosi anche i casi I e II,
•purche nella definizione di (Cj) leggasi«suvvalenti od equivalent!»].
In armonia colle (3) (4) si scrivera :
(6) A = a В .
Si ha cosi Voperatore a sinistra di C. Burali Forti “).
Ricondotto il rapporto al numero reale secondo R. Dedekind, si
22) Cfr. Part. XXII di questa Encicl. (E. Artom, Proprieta elementari delle figure
del piano e dello spazio), § 2.
23) Cfr. Tart. II di questa Encicl. 2), § 42, § 50.
24) Cfr. 1’art. II di questa Encicl. 2), § 37. Tale proposizione manca negli Ele-
menti di Euclide, i quali del resto rifuggono da proposizioni esistenziali d’indole ge-
nerale ; anzi ё forse questo il piu note vole carattere distintivo fra la trattazione euclidea
e le trattazioni modeme.
®) Cfr. 1’art. II di questa Encicl.2), § 44.
XXIII. - Teoria della misura
129
osserverA come analogamente si possa procedere per ciascuna delle
teorie analitiche dei numeri reali “). Piii immediate e il riferimento
ad una teoria sintetica * 27).
7. Misura. — Si considerino tutte le grandezze di una data specie
5 e fra queste, ad arbitrio, se ne fissi una U non nulla, che si dira unita
di misura \ assunta allora in 5 una grandezza Л, e individuate (§ 6) il
rapporto a di A ad U. Tale rapporto si dira la misura di A (in relazione
alia scelta fatta per U).
Reciprocamente, data la misura a e (astrattamente) individuata
la grandezza A.
Nella corrispondenza biunivoca in tai modo sfAbilita fra le gran-
dezze di una data specie 5 e le relative misure, alia somma di due gran-
dezze corrisponde la somma delle misure. Onde, se a (risp. ft) e la mi-
sura di A (risp. B), essendo A, В omogenee e riferite ad una stessa
unita, secondo che sia A prevalente, equivalente о suwalente a B, sara:
a > fl , a = fl , a < fl .
Di piu, se a e la misura di A, e m a quella di m A.
8. Proporzioni fra grandezze e proporzioni fra numeri. —
Quattro grandezze A, B, C, D, le prime due (risp. le ultime due) omo-
genee, si diranno costituire proporzione [dvadoyla 28)], quando il rap-
porto di A a В sia lo stesso di quello di C a Z>, nel senso di § 3, ossia
(per la def. 5* del Libro V degli Elementi di Euclide29)] quando, scelti
M) Cfr. Fart. II df questa Encicl.2), §§ 49-57. In particolare cid si pud fare per
una teoria dei numeri reali fondata sul numero decimale illimitato. Anzi da alcuni si
giudica meglio rispondente alle odieme esigenze di un insegnamento elementare 1’im-
mediato passaggio dalla coppia di grandezze al numero decimale (limitato od illimitato),
soppressa ogni considerazione anteriore sui numeri frazionari ed irrazionali. Cosi p. e.
H. Lebesgue, Enseign. math., 31 (1932), p. 173; 32 (1933), p. 23; 33 (1934), p. 22,
p. 177, p. 270 ; 34 (1925), p. 176.
27) Cfr. Fart. II di questa Encicl. 2), § 41.
Si pud qui anche stabilire un raccordo fra la trattazione secondo Euclide e quella
secondo R. Dedekind. Ed invero, se, ammessa per ogni grandezza della specie consi-
derata 1’esistenza di ogni summultipla (il che Euclide evita), le (1), (2) di- § 3 si scri-
vono :
(!•) — B = A (2*) — D = C ,
я > n >
i numeri razionali per cui vale il segno < (risp. il segno >) costituiscono la classe
n
Ri (risp. Rt) nella sezione (R1, Rt) di R. Dedekind.
M) Nella def. 6a del Libro V degli Elementi di Euclide si legge : Ta Se xdv aurdv
ё/ovra X6yov |iey&h) dvdXoyOv xaZeiorco. La parola dcvtxXoyta compare in def. 8a.
Cfr. I. L. Heiberg1), 2, Lipsiae 1884, p. 2-4.
M) Percid la def. 5a pud intendersi come una definizione nominate di coppie di
grandezze proporzionali. Cosi in D. Gigli, Defimziom in Matematica, Annuario R.
Liceo di Pavia, 4 (1926-27), p. 211-217.
130
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
comunque gli interi я, m, secondo che sia :
n A | m В
sia altresi:
n C $ m D .
Il che modemamente si scrive "J:
A.B= C:D\
Tale definizione di proporzione pud applicarsi anche quando, in
luogo di grandezze omogenee, intervengono numeri reali (per i quali
hanno significato la nozione di multiplo ed i segni >,=,<) 31).
Se allora A, В sono due grandezze omogenee ed a, P le rispettive
misure con una stessa unit& U, sussiste in tale senso la proporzione:
A: В = a: ft
[perchd (§7), secondo che sia n A $ m В, ё pure n a $ m fl}.
Segue che, se Л, В sono grandezze di una stessa specie 5 ed a, P
le rispettive misure con una stessa unit& U, mentre C, D sono gran-
dezze di una stessa specie T e у, d le rispettive misuse con una stessa
uniti V (ove pud T coincidere con 5 ed in tai caso, quando si voglia,
V coincidere con IT), qualora sussista la proporzione :
A.B = C.D,
sussiste anche la:
a : p = у : d ;
e reciprocamente.
Nell’Aritmetica pratica32) si svolge perd una trattazione sulle
proporzioni aritmetiche nella quale una proporzione (fra numeri reali)
ё definite come eguaglianza di quozienti (ai quali peraltfo si suoi dare
il nome di rapporti).
Conviene allora osservare che, se fra i numeri a, /?, у, d sussiste
la proporzione:
(7) a : 0 = у : d
nel senso euclideo, essa sussiste altresi come eguaglianza di quozienti:
a _________________________________ у
e reciprocamente.
*) Cfr. fart. XXII di questa Encicl. ”), $ 27; si pud ricordare anche 1’altra scrit-
tura :
A : В :: C: D.
S1). Del resto i numeri reali possono considerarsi come grandezze perchd posseg-
gono le propriety caratteristiche delle grandezze stesse; cfr. percid u).
”) Cfr. fart. Ill di questa Encicl. (Ett. Bortolotti e D. Gigli, Aritmetica
pratica), § 23.
XXIII. - Teoria della misura
131
Ed invero I’affermazione che, secondo che sia:
n a $ m ft ,
ё rispettivamente:
n у m 8 ,
comunque si svolga la teoria dei numeri reali, equivale all’altra che,
secondo che sia :
m < a
~r>T’
ё pure:
m < у
n > 6 ’
ossia alia (8).
Si conclude che la constderazione della proporzione fra quattro
grandezze pud sostituirsi con quella della proporzione fra le loro misure
(intesa quest’ultima nel senso della trattazione aritmetica), e si procura
cosi il fondamento sufficiente a tale trattazione, in quanto si applichi
a problemi concementi grandezze studiate con metodo euclideo.
Oss. - In particolare, se a (risp! а') ё la misura di una grandezza
A coll’uniti U (risp. £/'), si ha :
(9) a' = fjL a ,
ove и e costante (al variare di A entro la specie) e pud interpretarsi
come la misura di U coll’uniti U' (o come il reciproco della misura
di U' coll’uniti U).
La (9) fomisce la regola per il cambiamento delTunita di misura.
9. Rilievi sistematici e storici sulla Teoria della misura. —
Le trattazioni odieme di Geometria elementare svolte con metodo ra-
zionale, pure scostandosi nei particolari dagli Elementi di Euclide, ne
raccolgono la tradizione, attenendosi per la maggior parte degli argo-
menti al metodo puramente geometrico e, nei casi di maggiore aderenza
al modello, mantengono sostanzialmente anche la teoria delle propor-
zioni nell’assetto del Libro V, ad essa ricorrendo per quanto si riferisce
alia similitudine piana о spaziale 33).
D’altra parte perd sono ben noti i vicendevoli aiuti che, nello svi-
luppo storico delle matematiche, si sono scambiate fra loro Geometria
ed Analisi, aiuti che bggi si manifestano in un senso colle varie rappre-
sentazioni geometriche di enti analitici (grafici di funzioni, piano di
C. F. Gauss...} e nell’altro colla Geometria analitica (di cui sono dira-
mazioni la Geometria differenziale e la Geometria algebrica) 34). * •*)
••) Cfr. 1’art. XXII di questa EndcL ”), § 31.
•*) Cfr. Tart. XVIII di questa Encicl. (G. Vivanti. Elementi di Analisi infinite-
simale), § 1; Fart. П di questa Encicl. s), § 70 ; Part. XXXIV di questa Encicl. (B. Segre,
182
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
Piu modestameilte, nel campo elementare, mentre nel Libro II
degli Elementi di Euclide e data veste geometrica a proposizioni che
oggi meglio si tratterebbero col calcolo letterale e che costituiscono la
cosi detta« Algebra geometrica dei Greci » “), nelle trattazioni odierne
invece intervengono le «applicazioni dell’Algebra alia Geometria ».
Ora in tali trattazioni 1’anello di congiunzione fra le dottrine pu-
ramente geometriche e le « applicazioni dell’Algebra alia Geometria » e
appunto fomito da un particolare capitolo al quale si pud dare il nome
di«Teoria della misura».
L’introduzione delle «misure » permette di utilizzare rapporto al-
goritmico dell’Aritmetica e dell’Algebra, indipendente dalla specie di
grandezze considerata.
Sotto questo aspetto ё perd da osservare con G. Peano 38), che ё
lecito operate senz’altro sulle grandezze, ригсЬё le«marche» colle
quali si iiidicano le singole wiit& di misura accompagnino (a guisa di
fattori) il procedimento algoritmico, assoggettate alle leggi stesse del
calcolo letterale; il che, se nella maggior parte dei casi gi& si usa dai
pratici, pud ricevere una sistemazione formalmente ineccepibile
Del resto le esigenze della pratica, alle quali risalgono le prime
ragioni dell’indagine geometrica, si sono fatte sentire in ogni tempo.
E la stessa Geometria greca, per dir solo dei maggiori, se con Euclide,
Archimede ed Apollonio 38) ci ha dato mirabili modelli di trattazioni
puramente geometriche, ci ha fomito con Erone Alessandrino 39)
Geometria analiticd); Fart. XXXIX di questa Encicl. (O. Chisini, Geometria elemen-
tare e Matematiche superior*), §§ 2, 3, 7, 8, 9.
«) Cfr. Fart. XXII di questa Encicl. 22), § 1, § 24.
*) G. Peano, Atti Acc. Torino, 57 (1921-22), p. 311-331.
”) Cosi in G. Peano “). L’osservazione ha particolare importanza per le gran-
dezze fisiche, ove si introduce il sistema c. g. s., od il sistema definitive di G. Giorgi
[cfr. p. e. R. Serini, Atti Acc. Nuovi Lincei, 86 (1933), p. 424], od altro analogo sistema,
in quanto, se tutto si riduce alle « marche » delle unitA assunte come fondamentali, si
pone in rilievo la legge di omogeneitd.
Il punto di vista di G. Peano trova un precedente in G. Bellavitis, Atti 1st.
Veneto, 1855-56, p. 107. Altre notizie in G. Peano m).
Calcolando su grandezze, ё lecito introdurre il rapporto fra grandezze anche
eterogenee; esso ё di regola una grandezza [cfr. percid L. della Casa, Atti Acc. To-
rino, 51 (1915-16), p. 1175 ; G. Peano m)] ; ed ё lecito operare cambiamenti dell’unitA
di misura (Oss. a § 8).
®8) I. L. Heiberg, a)x); b) Archimedis opera omnia cum commentariis Eutocii,
2B ed., Lipsia 1910-15; c) Apollonii Pergaei quae graece extant cum commentariis an-
tiques, Lipsia 1891-93.
”) Heronis Alexandrini opera quae supersunt omnia, Lipsia 1899-1914. Per il
presente articolo interessano specialmente le opere seguenti:
a) Teoria della misura (Merpixdc); Opera, 3 (H. Sch6ne), p. 1-185;
b) Defimziom (wOpoi); Opera, 4 (I. L. Heiberg), p. 1-169;
c) Delle misure (Ilepl p.6rp<ov); Opera, 5 (I. L. Heiberg), p. 163-219;
a cui sono da aggiungersi scritti di varia provenienza raccolti sotto i titoli:
d) Geometrica*, Opera, 4, p. 171-449;
e) Stereometrica; Opera, 5, p. 1-162.
Sari peraltro citato anche :
f) Della diottra (Пер1 йбтстрои;); Opera, 3, p. 187-315.
Qui particolarmente si allude ad a), c), d), e); Erone a fondamento delle applies-
XXIII. - Teoria della misura
133
1’esempio di opere destinate ai cecnici e sistematicamente rivolte al
caso numerico in cui e essenziale il ricorso aH’uniti di misura.
Nel risveglio degli studi matematici in Italia, per quanto si attiene
alia Geometria, operano costantemente su casi numerici Leonardo
Pisano *°), Luca Pacioli °), Pietro Franceschi 42), R. Bombelli 43),
ma N. Tartaglia nettamente distingue fra trattazione puramente geo-
metrica e trattazione rivolta ai casi numerici, il che risulta cosi dall’or-
dinamento del General trattato44) come dall’esplicita dichiarazione
dell’autore tf).
Si vuole inline richiamare 1’attenzione sull’indole delle question!
che saranno oggetto degli ulteriori paragrafi del presente articolo.
L’assegnazione di una classe di enti geometrid alia categoria delle
grandezze negli Elementi di Euclide e sempre implicita, ma si rivela
nei conseguenti sviluppi col ricorso alle xoivai ewotai (nozioni co-
muni) 4e). In una trattazione modema tale assegnazione e da conside-
rarsi come un preliminare necessario alia teoria della misura, e si ri-
solve nello stabilire un Sistema di convenzioni e di deduzioni, da cui
scendano, per la classe degli enti considerati, le propriety caratteristiche
di una specie di grandezze, propriety che sono state oggetto di metodico
studio in altro articolo 47).
zioni poneva perd la parte dottrinale, come si desume da b) e da passi delle altre opere.
Nelle applicazioni di regola ё fatto riferimento a concrete unit& di misura, di cui si
fomiscono elenchi e comparazioni in Opera, 4, p. 182-207, p. 400-415; ma in а) ё
fatto spesso riferimento all’unit& astratta (povdc^), per un criterio di generality espli-
citamente espresso dall’autore (cfr. Opera, 3, p. 6).
*°) Scritti di Leonardo Pisano matematico, pubblicati da B. Boncompagni, 2,
Pratica Geometriae, Roma 1862, p. 83. Notizie su Leonardo Pisano in nota18) del-
Fart. Ill di questa Encicl. 32).
41) L. Pacioli, Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalitate,
Venezia 1484, Toscolano 1523 e precisamente il Tractatus geometriae (che chiude la
Summa con « carte » aventi numerazione propria). Cfr. anche *2).
*2) Di P. Franceschi (detto Pier della Francesca) si vuol qui ricordare il breve
trattato De corporibus regularibus, pubblicato da G. Mancini, Mem. Acc. Lincei (Classe
scienze morali ecc.), (5) 14 (1915), p_ 446-580. Notizie (anche in relazione alia Divina
proportione di L. Pacioli) in nota188) dell’art. XXVI di questa Encicl. (L. Brusotti,
Poligoni e poliedri).
**) R. Bombelli, L* algebra, Libri IV e V, Bologna 1929 (pubblicati da Et. Bor-
tolotti su manoscritto del 1550 circa).
**) N. Tartaglia, General trattato di numeri et misure, Venezia .1556-1560;
cosi ё fatto costante riferimento al caso nqpierico nel Libro I, nel Libro II e nel Cap. Ill
del Libro III della Parte 4a (1560), mentre ё seguito il metodo puramente geometrico
nei Cap. I e II del Libro III di detta Parte 4a e nei tre libri della Parte 5a (1560), a
prescindere da qualche esemplificazione numerica di Libro I e di Libro III, di regola
preceduta da formale awertenza.
tt) Cfr. **), Parte 3a, Venezia 1560, cart. 1, ove leggesi: La general pratica geo-
metrica dividemo in due parte over specie, la prima delle quali ё quella che nelle gran quan-
tity et figure si mescola colla pratica arithmetica, сюё la si denomina, et rappresenta con
numeri di misure linecdi, over superficial!, over corporee, et la seconda la qual ё рига geo-
metrica non ё mista con numeri, come al suo luogo s'intenderd.
*•) Cfr. I. L. Heiberg x), 1, Lipsiae 1883, p. 10. In particolare ё usata la parola
toot; [cfr.18)]. Cfr. anche Fart. XXII di questa Encicl. ”), § 24.
*7) Cfr. Fart. II di questa Encicl. 2), §§ 32, 34, 36, 37. Ivi le propriety stesse ven-
184
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
Quando una classe di enti geometrid venga presentata come una
specie di grandezze, la scelta dell’uniti di misura e teoricamente arbi-
traria (§7). Ma giova spesso per una data specie scegliere come units
una grandezza che sia о per se preferibile, о in qualche modo legata
ad unitA prescelte per altre specie di grandezze ; e questo pure compito
della teoria della misura.
Dopo cid conviene talora che la misura di una grandezza sia espressa
mediante quella di grandezze (anche di altra specie) ad essa collegate
e nasce cosi un insieme di problemi la cui risoluzione conduce a for-
mole utili.
10. Eguaglianza, equiscomponibilita, equivalenza; grandezze
di 1°, 2°, 3° genere. — Quando si assegnino certi enti geometrici
alia categoria delle grandezze (§9), ciascuno di tali enti pud consider
rar si ad un tempo come «grandezza» e come «figura».
Evidenti ragioni d’opportuniti impongono :
a) una scelta del criterio di equivalenza (cioe di eguaglianza
degli enti come grandezze) per cui enti eguali come figure risultino
equivalenti <8).
ft) una scelta della definizione di risultante о somma per cui,
se uno E degli enti, pensato come aggregate de’ suoi elementi (punti,
semirette, rette, semipiani, piani, ...), si decompone in certi enti Er ,
E2 ,..., En della stessa specie {parti di E), I’ente E, pensato come gran-
dezza, sia somma degli enti Ex, Et, ..., En pensati come tali.
Da a) segue che la relazione di eguaglianza (geometrica) о coincide
con quella di equivalenza od in questa rientra come caso particolare.
Da a) e fi) segue 4e) che, se due enti E, E' ,pensati come figure,
si decompongono in parti rispettivamente eguali, gH enti E, E\ pensati
come grandezze, risultano equivalenti; onde la relazione di equiscompo-
mbilitd) о coincide con quella di equivalenza, о in questa rientra come
caso particolare (mentre lo stesso pud dirsi della relazione di eguaglianza
rispetto a quella di equiscomponibiliti).
Per le varie specie di enti geometrici assegnabili alia categoria delle
grandezze nasce cosi la seguente classificazione:
gono contrassegnate con numerazione romana da I a XV (o XVZ, о XV"), alia quale
talora вагУ fatto riferimento anche nel presente articolo.
Le propriety da II a XII riguardano I’equivalenza, la prevalenza e suwalenza,
la risultante (o somma) ed i rispettivi mutui legami (la I afferma 1’esistenza di quante-
sivogliano grandezze della specie; la differenza fra due grandezze ё considerata ivi
al $ 32, 5). La XIII afferma la divisibility in parti eguali; la XIV ё la proposizione di
Archimede. La XV (o XVZ, о XV") ё una proposizione di continuity [cfr. **)].
**) Ё, sostanzialmente, la 7a delle « nozioni comuni» (xotval £woiat) degli Ele-
menti d’EuCLiDE: Kai та &papp,6^ovra bt* taa &tt(v: I. L.-Hei-
berg г), 1, Lipsiae 1883, p. 10 [trad.: E le cose che si sovrappongono Tuna all’altra
sono eguali tra loro]; cfr. F. Enriques 4), Libri I-IV, Roma 1925 (Libro I per cura di
F. Enriques e M. T. Zapelloni), p. 48. Per il segnificato di too? cfr.12).
4e) Si applica qui la propriety X [cfr. u)] per cui somme di grandezze risp. equi-
valenti sono equivalenti.
XXIII. - Teoria della misura
135
I. Grandezze di primo genere, о grandezze per cui la relazione
di equivalenza coincide con quella di eguaglianza.
Tali sono:
a) i segmenti rettilinei, i rettangoli di data base, i parallelo-
grammi di data base e di eguale angolo alia base, i prismi retti di data
base, i prismi obliqui le cui basi sono sezioni parallele di uno stesso
prisma indefinite, le strisce piane, gli strati, i cilindri retti circolari
di data base, ...;
b) gli angoli piani, i diedri, gli archi di uno stesso circolo (o di
circoli eguali), i settori di uno stesso circolo (o di circoli eguali), le stri-
sce limitate da coppie di generatrici sulla superficie di un dato cilindro
drcolare indefinite о finite e retto, gli spicchi di un tale cilindro, i fusi
di una stessa sfera (o di sfere eguali), gli spicchi di una stessa sfera (o
di sfere eguali), ...
II. Grandezze di secondo genere, per cui la relazione di equiva-
lenza coincide con quella di equiscomponibilita (senza coincidere con
quelle di eguaglianza).
Tali sono:
I poligoni piani (a lati rettilinei), i poligoni (i cui lati sono archi
di circolo massimo) di una stessa sfera (o di sfere eguali), gli angoloidi,
i prismi (o piii in generale i solidi prismatici, decomponibili cioe in pri-
smi), ....:
III. Grandezze di terzo genere, per cui la relazione di equiva-
lenza non si esaurisce in quella di equiscomponibilita (per cui esistono
cioe coppie di grandezze equivalenti ma non equiscomponibili).
Tali sono :
a) i poligoni piani a lati rettilinei e circolari, о (piu in generale)
le superficie piane a contomo qualunque (in un senso da precisarsi),
gli enti analoghi sulle superficie sferiche di date raggio (e gli« angoli
solidi» che se ne deducono per proiezione dal centro mediante semi-
rette), ...;
b) i poliedri a facce piane, о (piii in generale) a facce pertinenti
a piani, a cilindri circolari retti, a coni circolari retti, a sfere, о (ancor
piii in generale) i solidi comunque limitati da superficie (in un senso
da precisarsi), ...;
c) gli archi di circoli di raggio arbitrario riuniti in una stessa
specie coi segmenti rettilinei, о (piii in generale) gli archi di linee quali
si vogliano (in un senso da precisarsi),...;
d) le superficie pertinenti a cilindri retti circolari od a coni retti
circolari od a sfere ed a contomi determinabili in modo elementare
riunite in una sola specie colle supeficie piane a contomo analogo, о
(piii in generale) le superficie coiqunque introdotte e comunque limitate
(in un senso da precisarsi),...M).
M) La clausola « in un senso da precisarsi » ripetuta nei casi a), b), c), d) ё intesa
ad eliminare questioni critiche estranee all’indole del presente articolo (curve di C.
Jordan, rettificabilitA, quadrabilitA, ...). Per alcune di esse cfr. Part. XXI di questa
Encicl. (P. Benedetti, Fondamenti di Geometria), specialmente § 48. Certo sono da
136
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
Per le grandezze di 3° genere si pud ulteriormente distinguere
fra un 1° tipo [casi a), 6)] ed un 2° tipo [casi c), J)], perche per il primo
tipo la relazione di suwalenza pud sempre identificarsi con quella di
equiscomponibilita fra una delle grandezze ed una parte dell’altra (e
pud quindi sempre ricondursi alia subordinazione di un aggregate ad
un altro), mentre per il secondo tipo un tale procedimento non e sempre
possibile 61).
L’assegnazione di una classe di enti geometrici al primo genere
oppure al secondo tipo del terzo genere non off re difficolt&; ma, quando
siansi escluse tali eventuality, la scelta fra le due alternative dell’asse-
gnazione al secondo genere oppure al primo tipo del terzo genere pud
offrire difficolta notevoli, anche perche 1’immediata intuizione reca
scarso sussidio [come avviene ad esempio per l’assegnazione al secondo
genere dei poligoni (a lati rettilinei) ed al terzo genere dei poliedri62)].
Nella Geometria greca (ove manca ogni distinzione dottrinale)
la tacita assegnazione al terzo genere si rivela coll’uso dei metodi di
esaustione (cfr. § 14) 53).
Oss. la - Per tahini enti geometrici l’assegnazione alia categoria
delle grandezze richiede che venga estesa la primitiva definizione. Cosi
accade per il primo genere b); p. es. nel caso tipico dell’angolo si deb-
bono intrpdurre angoli maggiori dell’angolo giro.
Oss. 2a - In ciascuna delle esemplificazioni del presente § e sot-
tintesa la scelta del criterio di equivalenza; in esse certi enti geometrici
compaiono pnTVolte come compresi in classi vie piu ampie ed il criterio
per la classe meno ampia rieiitra in quello per la classe piu ampia.
Oss. 3a - Una diversa classificazione degli enti geometrici asse-
gnabili alia categoria delle grandezze potrebbe trovare fondamento
sopra un criterio dimensionale; ma interverrebbe allora anche la scelta
dell’elemento generatore (p. es. i settori di un dato circolo risultano
bidimensionali od unidimensionali secondo che si assuma come ele-
mento il punto od il raggio del circolo). * 51
escludere le superficie ed i solidi«пё di prima пё di seconda specie » nel senso dell’art.
cit., § 46; ove le espressioni« la e 2a specie » rispondono a quelle « 2° e 3° genere » del
presente articolo.
51) La maggior difficolta concettuale del secondo tipo rispetto al primo si rivela
anche nello sviluppo storico; • grandezze di secondo tipo non figurano in Euclide,
mentre si incontrano in Archimede. Cfr. lle),12e), w),iao).
Modemamente si pud osservare che per il secondo tipo intervengono funzionali
discontinui (semicontinui inf er iorment e). Cfr. p. e. L. Tonelli, Fondamenti di Cal-
colo delle variazioni, 1, Bologna 1921, p. 226.
®8) L’assegnazione dei poligoni al secondo genere pud farsi risalire a P. Gerwien,
J. reine ang. Math., 10 (1833), p. 228-234; quella dei poliedri al terzo ё dovuta a M.
Dehn, Math. Ann., 55 (1902), p. 465-478, su quesito di D. Hilbert, Nachr. Ges. Gdtt.,
1900, p. 253. Ulteriori notizie sulle due questioni in U. Amaldi ®7), °°), e nell’art. XXI
di questa Encicl.®0), §§ 41-46. Cfr. anche O. Chisini, Period, mat., (4) 12 (1932), p. 279.
®s) I geometri greci hanno applicato metodi di esaustiofie soltanto laddove la
critica modema ha dimostrato necessario il ricorso о a tali metodi od a metodi equi-
valenti. In questa, come in altre analoghe circostanze (postulato delle parallele, pro-
blemi classici, ...), essi hanno presentito quelle necessity logiche alle quali hanno por-
tato conferma gli studi recenti.
XXIII. - Teoria della misura
137
11. Misura delle grandezze di 1° genere. Segmenti. Angoli
(grado, radiante). — Per le grandezze di 1° genere, coincidendo la
relazione di equivalenza con quella di eguaglianza, la trattazione e
scevra da difficolta.
Di piii, secondo che, a norma dell’esemplificazione di § 10, I,
la specie considerata appartenga al gruppo a) od al gruppo 6), la tratta-
zione, attraverso a proporzionalita di immediata verifica, pud sempre
ricondursi al caso dei segmenti rettilinei od a quello degli angoli,
Percid diremo soltanto di tali esempi tipici.
Per i segmenti rettilinei la scelta dell’unita di misura U e teorica-
mente del tutto arbitraria, nel senso che nessuna ragione teorica di
preferenza pud invocarsi per un dato segmento. Cid pud collegarsi alia
circostanza che sulla Geometria elementare domina il gruppo delle
similitudini e che, dati due segmenti, esistono similitudini che tra-
sformano 1’uno nell’altro 54).
I criteri pratici di scelta sono di spettanza di altro articolo K).
Scelta comunque tZ, i sottomultipli di essa possono costruirsi
elementarmente M), ed e quindi elementarmente determinabile con ap-
prossimazione comunque prefiSsata la misura di un segmento A dato
ad arbitrio. 1
Ed invero, volendosi 1’approssimazione a meno di —, costruito
— tZ, esisteranno due multipli successivi di questo soddisfacenti alia:
— U < A <”* + 1 U,
n n
. m I , m + 1 \ л . 4
e sara --- |nsp. --------- la misura di A approssimata per difetto
n у n J ।
(risp. per eccesso) a meno di —, rispetto all’unita U.
Per gli angoli la scelta dell’unita U di misura pud essere consigliata
da ragioni teoriche. Le scelte che^i presentano maggiormente spontanee
sono le seguenti:
U = T = angolo del triangolo equilatero,
54) Piu precisamente il sottogruppo delle eguaglianze muta in её il sistema X
dei segmenti eguali ad uh dato, ma il gruppo delle similitudini opera transitivamente
sui sistemi S. Cfr. Fart. IX di questa Encicl. (L. Berzolari, Elementi della teoria dei
gruppi), § 13; Fart. XXII di questa Encicl. *2), § 1, § 31; Fart. XXXIX di questa
Encicl. ’4), § 6.
Ё da osservarsi che le considerazioni qui svolte non sono applicabili alle Geo-
metric non euclidee, ove esistono unitA privilegiate. Cfr. Fart. XXXVIII di questa
Encicl. (G. Fano, Geometric non euclidee e non ar chimedee), § 13.
“) Un articolo sui sistemi d’unitA di misura comparirA nel vol. Ill di questa Encicl.
“) Cfr. Fart. XXII di questa Encicl. «), § 20, 13. Negli Elementi di Euclide si co-
struisce solo la metA del segmento [prop. 10* di Libro I; I. L. Heiberg 1, Leipzig
1883, p. 30]. Per una costruzione generale di An-Nairizi cfr. Th. L. Heath14), 1,
p. 326.
138
Duilio Gigli f Luigi Brusotti
U = R = angolo retto ;
e cid si riscontra anche storicamente 67).
Cosi T come R sono costruibili elementarmente68), e, assunto
uno di essi come uniti C7, elementarmente possono introdursi i sotto-
multipli del tipo U ••), che, con limitazioni del tipo:
a
<A <m U,
permettono di fomire la misura di ogni angolo A con approssimazione
prefissata a piacere.
Se si seguisse il criterio di assumere come uniti U un sottomul-
tiplo comune di R e T, costruibile elementarmente ed in modo semplice,
si sarebbe condotti a scelte dei tipi seguenti®°):
p. es. ad:
u=u*4t)R=4)T-
Si ё invece assunto:
U = -4“ (/• = R = -^7- T=grado sessagesimale el),
о У0 bO
57) Fondate congetture attribuiscono la scelta di T agli antichi Babilonesi [cfr.
E. Hoppe, Arch. Math. Phys., (3) 15 (1909) p. 304; Mathematik und Astranomie im
klassischen Altertum, Heidelberg 1911, p. 22], mentre gli Egizi ed i GreCi si attengono
a quella di Rt del resto accolta anche modemamente [p. e. R. Mehmke, Jahresb. deutsch.
Math.-Vereinig., 8j (1900), p. 142, strive: «der rechte Winkel die wahre Einheit
ist»]. Notizie in J. Tropfke M), 1, p. 37-38.
Negli Elementi di Euclide, la circostanza che la prop. 1* di Libro I riflette la co-
struzione del triangolo equilatero potrebbe rivelare una preferenza per T (benchfe
possa altrimenti giustificarsi), ma ad Rt introdotto con def. 10* e postul. 4° di Libro I,
sempre si riferiscono gli angoli, come ivi in prop. 13*, 14*, 17*, 32* [cfr. I. L. Heiberg x),
1, Lipsiae 1883, p. 2, p. 8, p. 10, p. *36, p. 38, p. 44, p. 76].
58) Per T cfr. 57 58), per R le prop. 11* e 12* di Libro I degli Elementi di Euclide
[I. L. Heiberg1), 1, Lipsiae 1883, p. 10, p. 32-34].
“•) Mediante successive introduzioni di bisettrici [prop. 9* di Libro I; I. L.
Heiberg1), 1, Lipsiae 1883, p. 28].
•°) Per il secondo tipo interviene sostanzialmente la costruibiliti elementare del
poligono regolare di 15 lati; cfr. 1’art. XXVI di questa Encicl. tt), § 8, § 10.
81) Il grado sessagesimale risale agli antichi Babilonesi, che lo indicarono talora
col simbolo ♦, il quale sembra stabilire un legame coll’angolo T [cfr. *7)]. Ma esistono
rapporti di interdipendenza fra tale introduzione del grado e Гизо praticato dai Ba-
XXIII. - Teoria della misura
139
che non e costruibile elementarmente e2); oppure :
U = y— R = grado centesimale 63),
che non e ne sottomultiplo di T, ne costruibile .elementarmente6*).
Introdotta la rettificazione degli archi di circonferenza (§ 18), si
pub assumere come unita il radiante, cioe 1’angolo al centro corrispon-
dente all’arco che rettificato riproduce il raggio (angolo indipendente
dal raggio, come risulta per similitudine, applicata anche al processo di
rettificazione) 65).
bilonesi di una numerazione a base 60, secondo la quale era appunto da considerarsi
la divisione dell’angolo T in 60 parti uguali, onde il grado [o, se si vuole, la divisione
in 60s = 3600 parti uguali dell’angolo giro = 6 T, da cui facilmente si risale a quella
in 360 parti, ossia ancora al grado]. Notizie in J. Tropfke11), 1, p. 38-39 ; cfr. I’art.
XXX di questa Encicl. (A. Agostini, Le funzioni circolari ele funzioni iperboliche), § 1;
sulla numerazione a base 60 cfr. anche G. Loria, Histoire des sciences mathematiques
dans Vantiquiti helUmque, Paris 1929, p. 3-6, e I’art. Ill di questa Encicl. 31), § 2. Del
resto ancor oggi si divide il grado in 60 minuti, il minuto in 60 secondi, scrivendo p.
es. 35° 21' 50" (e solo per le ulteriori approssimazioni si ricorre a frazioni decimali
di secondo).
Ai tempi di Aristarco da Samo (3° sec. a. C.X di Archimede (287-212 a. C.),
di Eratostene (276-193 a. C.), come risulta da passi di tali autori, 1’uso del grado non
era ancora penetrato nella scienza greca, il che awenne intomo ad 200 a. C. Invero
tale uso notasi in Ipparco da Nicea ed in Erone Alssandrino ; esso era passato alia
civilty greca alessandrina dalla babilonese, come apertamente dichiarano Gemino e
Tolomeo. Per queste ed altre notizie cfr. J. Tropfke 21), 1, p. 40-41.
®2) A partire da U*, costruibile elementarmente, il grado sessagesimale si ot-
tiene per trisezione; e 1’equazione di 3° grado a questa relativa non ammette abbassa-
mento di grado. Per la non costruibilitA elementare del grado cfr. H. Weber-J. Well-
stein, Encyclopadie der Elementar-Mathematik, 2, Leipzig 1905, p. 262 ; per la tri-
sezione I’art. XXIX di questa Encicl. (A. Agostini, I problemi geometrici elementari
ed i problemi classici), $ $ 28, 30. L’equazione di 3° grado ё qui sostanzialmente quella
per 1’iscrizione del poligono regolare di nove lati [cfr. I’art. XXVI di questa Encicl. 41),
§ 10].
es) Se [cfr.e1)] la scelta di T e 1’adozione della numerazione a base 60 conducono
al grado sessagesimale, la scelta di R e 1’adozione della numerazione a base 10 condu-
cono al grado centesimale, oggi dunque raccomandabile. Cfr. R. Mehmke57), p. 143,
ove la divisione decimale di R ё detta « die rationellste Winkelteilung ».
Tuttavia a questa veduta si obbiettano ragioni di opportunity per i legami fra
le misure angolari e le misure temporali e fra queste ultime e la tradizione.
Cfr. i rapporti di R. Mehmke 57), p. 139, p. 175 ; J. Bauschinger, Jahresb. deutsch.
Math.-Vereinig., 8! (1900), p. 159; A. Schulke, ibid., p. 164; E. Pasquier, Ann.
Soc. scient. Bruxelles, 24, (1901), p. 59-104; J. Thirion, ibid. 24x (1901), p. 123.
Tra i fautori del grado centesimale possono ricordarsi J. L. Lagrange, anche
nella sua quality di Direttore della Classe matematica dell’Accademia delle Scienze di
Berlino [cfr. R. Mehmke57), p. 145], e G. Bellavitis w), p. 11,0.
Notizie storiche in J. Tropfke 11), 1, p. 41, e specialmente in R. Mehmke (cit.).
Cfr. anche I’art. XXX di questa Encicl. ei), § 1.
84) РегсЬё la costruzione del grado centesimale si riconduce elementarmente
alia iscrizione del poligono regolare di 25 lati, la quale [cfr. I’art. XXVI di questa En-
cicl. "J, § 10] non pub compiersi elementarmente.
M) La voce « radiante » fu introdotta da G. Peano, FarmuLrrw mathematico, 5,
Torino 1906, p. 265, traducendo la voce inglese radian, proposta dalla Physical Society
of London nel 1875, su rapporto di Everett,
140
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
Se ё у (risp. q) la misura di un angolo rispetto all’unit& « grado
sessagesimale » (risp. « radiante »), si ha (cfr. oss. a § 8):
180 n
y = — Q ’ е = Л8б-у-
Segueee) che, a meno di un centesimo di secondo, il radiante equi-
vale a:
57° 17' 44", 80.
12. Misura delle grandezze di 2° genere. Poligoni. Prismi.
Angoloidi (poligoni sferiei). — Nello svolgimento della teoria del-
1’equivalenza per una specie di grandezze assegnabile al secondo genere,
il trattatista pud (logicamente) optare per 1’una о per 1’altra delle due
seguenti posizioni67):
a) assumere come criterio di equiyalenza I’equiscomponibilita;
0) approfittare della circostanza che la specie di grandezze
rientra in una piii ampia (assegnabile al terzo genere) ed assumere il
criterio di equivalenza a quest’ultima pertinente.
La scelta a) off re il vantaggio della semplicita del criterio, ma ri-
chiede 1’opportuna introduzione di proprieta formali [proprieta transi-
tiva dell’equivalenza; di due grandezze la prima ё suvvalente, od equi-
valente, о prevalente alia seconda68) ; ...], proprieta su cui la trattazione
dovri ritomare a proposito della specie piii ampia.
La scelta 0) obbliga all’anticipo del criterio piii generale (colle
relative proprieta formali)ee).
Indipendente dalla scelta ё peraltro 1’applicazione della teoria
della misura, di cui qui brevemente si diri per i poligoni (piani, retti-
linei), per i prismi (e solidi prismatici), per gli angoloidi (ossia per i
poligoni sferiei).
Per i poligoni piani si assume come uniti di misura U il quadrato
avente per lato 1’unita lineare и [сюё 1’unitiL iz assunta (§ 11) per i seg-
menti] TO).
“) Cfr. p. e. E. Viglezio, Rass. mat. fis., 1 (1921), p. 146, ove il radiante ё
calcolato in gradi (sessagesimali) e frazioni decimali di grado fino alia 34a cifra dopo
la virgola:
57°,29577 95130 82320 87679 81548 14105 1703.........
®7) Cfr. con quanto per i poligoni piani (e sferiei) si legge nell’art. XXI di questa
Encicl. w), § 41. Cfr. pure Fart. XXII di questa Encicl. 22), § 21; ed U. Amaldi, Sulla
teoria del?equivalenza in F. Enriques, Questiom 21), lt, Bologna 1925, p. 1-59.
®8) A codeste esigenze si connettono (per i poligoni) i successivi assetti delle
trattazioni fondate sui criterio a); cfr. ancora®7). Per le propriety ricordate cfr. *7), ••).
®8) Il ricorso all’equiscomponibilitA per stabilire teoremi d’equivalenza, neces-
sario colla scelta a) (almeno nei primi sviluppi), pud essere opportune anche colla
scelta p), perchfc rende piu significativi i risultati (ad e$. la trasformabilitd di un poli-
gono in un quadrato viene a significare la possibility di decomporlo in poligoni racco-
stabili in maniera da costituire un quadrato).
70) Le prime unity superficiali, introdotte per uso^gricolo, si riferirono al terreno
XXIII. - Teoria della misura
141
Dato un poligono Л, lo si trasformi in un rettangolo di base и e
ne risulti a 1’altezza. Segue la proporzione fra grandezze :
A: U=a:u,
onde la misura di A coll’uniti U si riduce a quella di a coll’uniti u.
Per i prismi si assuma come unit& di misura U il cubo avente per
spigolo l’unit& lineare u* 71).
Dato un prisma A, lo si trasformi in un parallelepipedo ortogonale
avente per base il quadrato U di lato u, e ne risulti a 1’altezza. Segue la
proporzione fra grandezze :
A.U=a:u,
onde la misura di A coll’uniti U si riduce ancora a quella di a coll’u-
niti u.
Per i poligoni sferici (di una data sfera) si assume come unit& il
fuso U di apertura eguale all’unit& и scelta per gli angoli (§ 11), od il
triangolo birettangolo U' col terzo angolo eguale ad u.
Dato un poligono sferico A e trasformatolo in fuso od in triangolo
birettangolo, subito segue:
A : U =a :u,
A:U' = a': и ,
nve a (risp. a1) sia 1’apertura del fuso (risp. il terzo angolo del’triangolo
birettangolo). Onde si fe ricondotti alia misura dell’angolo a (risp. a')
coll’uniti u.
Ma piu rapidamente si procede ricordando che un poligono sferico
di eccesso sferico e fe equivalente ad un fuso di apertura e/2 72 * *) (risp.
arato in una giomata od a quello producente in grano 1’unitA assunta per gli aridi. No-
tizie in G. Peano *).
Ma giA in Erone (e certo molto anteriormente) si assume il quadrato di lato
unitario. Cosi in Erone, Opera 39), 3, p. 4 (da Merpixd) si legge : КаХеТтаь 8ё 7v^xu?
pAv 6tocv x<op(°v rerpdycovov bcdor/jv nXEupdv 8/7) 7d)xeo<S • ^pLolcoc; 8A
xal ApipaSdc; тгоис xaXerrai, 6tocv x<op(ov Terpdyovov AxT) £*d<rrz)v тсХеирау тсо8д<; Av6c.
E se qui s’introducono il braccio superficiale ed il piede superficiale (superficiale =
ёцРа86<;), subito dopo (p. 6), generalizzando [cfr. ••)], si usa come unitA (ptovdc;) per le
superficie il quadrato avente per lato 1’unitA (piovdc;) lineare. Vedansi pure i due passi :
Erone, Opera "), 4, p. 91 (da *'Opot); 4, p. 393 (da Geometrica), nel secondo dei quali
sono distinte le tre specie di piede (тсои^) : cv9i>p.erpix6^ (lineare), АтгСтсеЗо? (piano),
qTEp£6<; (solido).
71) Cosi in Erone, il quale per i solidi (oreped стсоцата) introduce come unitA il
cubo di spigolo eguale al braccio od al piede: xu^oc; ^x<ov bcdonjv TtXeupdv ^toi
7rf)Xeo< tco&m; cfr. Erone, Opera **), 3, p. 4 (da Merpixdc); ma piii innanzi
(p. 92), generalizzando [cfr. **)] usa come unitA (povd^) per i solidi il cubo di spigolo
eguale all’unitA (p,ovd<) lineare? Vedi anche Erone, Opera °), 4, p. 91, p. 393 [cfr.70)].
7t) La equivalenza di un triangolo sferico al fuso di apertura e/2 ё esplicitamente
affermata in B. Cavalieri, Directorium generale urarwmetricum, Bologna 1632, p. 323,
come conseguenza della proposizione seguente (ivi p. 316): Superficies Sphaerae ad
142
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
ad un triangolo birettangolo di terzo angolo e), onde la misura di A
coll’unita U (risp. U') coincide con quella di e/2 (risp. e) coll’unita u73).
Analogamente per gli angoloidi, proiettando dal centro mediante
semirette.
Se per и si assume (§ 11) I’angolo retto /?, 1’unita U (risp. U') e
il fuso ortogonale (risp. il triangolo trirettangolo); da cui per gli ango-
loidi si passa al diedro retto (inteso come angoloide) ed al triedro tri-
rettangolo ; unit& queste che si presentano come la naturale estensione
dell’unita R per gli angoli.
Se per и si assume {§ 11) il radiante, e si ricorre al corrispondente
triangolo birettangolo U\ la misura dei poligoni sferiei coincide con
quella che si otterrebbe includendoli in una specie piu ampia di gran-
dezze di terzo genere (p. e. delle superficie sferiche e piane; cfr. § 10)
ed assumendo come unit& il quadrato di lato eguale al raggio della sfera
(ed invero in entrambi i modi la misura del triangolo. trirettangolo e
zr/2). Proiettando dal centro della sfera si ha cosi una scelta dell’uniti
per gli angoloidi che si presenta come estensione della scelta del ra-
diante per gli angoli.
Oss. la - Negli sviluppi del presente § la misura per una specie
di grandezze del secondo genere e sempre conseguita estraendo dalla
specie una sottospecie di grandezze di primo genere (rettangoli di base
u, parallelepiped! ortogonali di base t/, fusi sferiei о triangoli ЫгеПад-
goli), tale che ogni grandezza della specie sia equivalente ad una detla
sottospecie. Cosi si e ricondotti al primo genere e praticamente ai casi
tipici del segmento e dell’angolo. S’intende che il procedimento e com-
patibile anche colla scelta a) per il criterio di equivalenza.
Oss. 2a - Si parla di area (di un poligono), di volume (di un pri-
sma) intendendo, a seconda degli autori, dire di una grandezza о di
un numero reale.
Considerati tutti i poligoni equivalenti ad un dato, con un pro-
cess© di associazione e di astrazione, si assurge ad una grandezza astratta74),
che si dice area del poligono (e di ogni altro equivalente)* 76).
superficiem cuiuscumque Trianguli Sphaerici in eadem descripti, eandem habet rationem,
quam quatuor recti ad dimidium excessus summae angulorum eiusdem trianguli supra duos
rectos. Cfr. anche B. Cavalieri, Trigonometria plana et sphaerica, linearis et logarith-
mica, Bologna 1643, p. 29. Una lacuna nella dimostrazione di B. Cavalieri ё rilevata
da G. Vacca, Bibl. math., (3) 3 (1902), p. 197.
7’) Notizie sull’intervento di e nella questione, anche in relazione a precedent!
di Th. Harriot ed A. Girard rispetto a B. Cavalieri 7t) (e piii in generale sulla mi-
sura di angoloidi e triangoli sferiei) in G. Vacca 7t), p. 191-197 [ed in J. Tropfke S1), 5,
p. 128-130]. Cfr. anche Part. XXX di questa Encicl.61), § 21.
7<) Per il concetto di grandezza astratta in generale cfr. Fart. II di questa Encicl. *),
§ 32, 2.
7б) Ё questo sostanzialmente il punto di vista dei pratici, i quali, compiuta la
misura, non disgiungono mai il numero reale a ottenuto dalla considerazione dell’unitA
U adottata, ed hanno quindi presente come area la grandezza a U.
In questo senso Erone, Opera **), usa frequentemente la voce ^xPa86v, sia con
riferimento all’uni tA astratta [come p. e. in Opera ’•), 3, p. 6] sia con riferimento ad
unto concrete [come p. e. in Opera ••), 4, p. 200-202].
XXIII. - Teoria della misura
143
Oppure: fissata 1’uniti di misura U dei poligoni, dices! area del
poligono la misura (con tale unit!) di esso (e di ogni altro equivalente).
Qui (e nei casi analoghi) dei due modi si accogliera il primo76 77).
Similmente per il volume di un prisma (e per Varea di un triangolo
sferico).
Oss. 3a - La considerazione dell’area per poligoni piani о sferici
intrecciati spetta ad altro articolo ; il caso dei prismi intrecciati si
tratta in modo analogo.
13. Aree di poligoni. Volumi di prismi. — Se, fissate (§§ 11,
12) le unitA u, U per i segmenti ed i poligoni, con a, 6, x si indicano le
misure risp. dei lati e dell’area di un rettangolo /?, si ha la:
(10) x = a b .
A questa si giunge per vie formalmente diverse :
I. Qualunque sia il criterio d’equivalenza per i poligoni78),
sempre segue79) che, se due rettangoli sono equivalenti, i lati dell’uno
(risp. dell’altro) sono medi (risp. estremi) di una proporzione (in senso
euclideo); ne discende (§ 8) la proporzione fra le relative misure. Ma,
trasformato R in un rettangolo R' di base u, saranno (§ 12) 1 ed x le
misure dei lati di R', onde:
x : a = b : 1 ,
ossia la (10).
II. Si parta dalla proporzionaliti dei rettangoli di eguale al-
tezza alle rispettive basi *), proporzionaliti trasferibile (§8) alle misure.
Se ne fa applicazione ad R ed S (per cui, 6, 1, у siano le misure risp.
dei lati e dell’area), poi ad S ed U. Si ha
x: у = a : 1 ,
jr: 1 = b: 1 ,
quindi la (10).
III. Supposto che и sia summultipla comune dei lati (onde
a, b interi), la (10) e conseguenza immediata della decomposizione di
R in a b quadrati U. Si fa poi 1’estensione al caso dei lati comunque
commensurabili con u. (a, b comunque razionali), indi al caso generale
(a, b comunque reali) M).
n) Cosi P. Benedetti ; cfr. Part. XXI di questa Encicl. ®°), § 45.
77) Cfr. Fart. XXVI di questa Encicl °), §§ 7 e 13.
7e) Con riferimento alle due scelte a) e P) di cui fu detto al § 12.
7t) Ё sostanzialmente la prima parte della prop. 14B del Libro VI degli Elementi
di Euclide. Cfr. L L. Heiberg41), 2, Lipsiae 1884, p. 110.
M) Essa rientra in prop. 1B di Libro VI degli Elementi di Euclide : cfr. I. L. Hei-
berg1), 2, Lipsiae 1884, p. 72.
n) La regola espressa dalla (10) ё esplicitamente esposta su paradigma in Erone,
Opera M), 3, p. В (da Merpixdc) e giustificata col procedimento III, limitato perd al
144
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
Alla (10), coll’uso di teoremi geometrici d’equivalenza, possono
ricondursi le varie formole concernenti aree di poligoni, delle quali
qui si riportano le piii notevoli, indicando costantemente con a la mi-
sura dell’area.
I. Parallelogrammo:
(11) o = bh
(b, h misure di base ed altezza) * 82).
II. Triangolo:
(12) a =^aha = hb = hc ,
(13) a = \/ s (s — a) (s — ty (s — c) ,
(14) abc 4R ’
(15) a = r s ,
(16) о = ra (s — a) = rb(s — b) = rc (s — c),
(17) о = у/rrarbrc ,
(18) ~ rarbrc • (J = 5
(a, 6, c, ha , hb, hc, 5, /?, r, ra , rb , rc misure dei lati, delle rispettive al-
tezze, del semiperimetro, dei raggi dei cerchi circoscritto, inscritto,
ordinatamente exinscritti) 83).
caso di a, b interi; il qual caso veramente pud bastare ai pratici, quando assumano
come unitA lineare и quella rispondente alia migliore approssimazione raggiunta.
82) La formola (11) si riconduce alia (10) mediante la prop. 36a del Libro I degli
Elementi di Euclide [cfr. I. L. Heiberg1), 1, Lipsiae 1883, p. 87]. In Erone, Opera 38),
la (11) non ё data. L’altezza (di una figura) = ифо<;, ё introdotta negli Elementi di
Euclide colla def. 4a di Libro VI [cfr. I. L. Heiberg1), 2, Lipsiae 1884, p. 72].
83) La (12) si riconduce alia (11) mediante la prop. 41 del Libro I degli Elementi
di Euclide [I. L. Heiberg x), 1, Lipsiae 1883, p. 96] e trovasi applicata incidentalmente
in Erone, Opera 39), 3, p. 84 (da Merpixdc). La definizione di altezza di un triangolo
[che rientra in quella euclidea 8Z) di altezza di una figura] ё la def. 72 di Erone, Opera38),
4, p. 49 (da ''Opoi).
La (13) ё nota sotto il nome di formola di Erone, ed a cid si connette la denomi-
nazione di eromani data ai triangoli per cui le misure dei lati e dell’area (per opportune
scelta dell’unitA lineare) siano numeri interi. Su tali triangoli cfr., anche per notizie,
C. Rovetti, Period, mat., (4) 7 (1927), p. 50. Cfr. pure A. Padoa, Atti Soc. Ligust.
Sc. Lett., 4 (1925), p. 254; G. Biggiogero, Period, mat., (4) 7 (1927), p. 82.
Di fatto la regola contenuta nella (13) trovasi in Erone, Opera38), 3, p. 18 (da
MeTpixdc), ove essa ё esposta su paradigma (come atta a fomire 1’area in funzione dei
lati, senza ricdrrere ad altezze: /wpL; xodHrou), indi (p. 20) ё dimostrata (con inter-
XXIII. - Teoria deixa misura
145
HL Trapezio:
(19) <т = |Л(^ + 4а)
(^i, b2 , h misure delle basi e dell’altezza) M).
IV. Rombo:
(20) a = | d, d2
(d1 , d2 misure delle diagonali) te).
V. Quadrangolo inscritto in un circolo:
(21) о = (s — a)(s — b) (s — c) (f — d) ,
. . +.cd)(ac + db)(ad + be)
(22) a- -----------------------------
(a, 6, c, d, s, R misure dei lati, del semiperimetro, del raggio) м). * 3
vento del cerchio inscritto); tale passo ritrovasi parzialmente in Opera s”), 3, p. 281-285
(da Ilepl Зсбтетрас). Cfr. anche Opera ’•), 4, p. 248, p. 320, p. 322 (da Geometrica), ove
la regola ё soltanto applicata.
Tutt a via la attribuzione della {13) ad Erone contrasta colla esplicita attribuzione
ad Archimede da parte dell’arabo Albiruni, autore bene informato e presumibil-
mente in possespo di altre opere di Archimede, oltre quelle a noi pervenute, nelle quali
la (13) non si ritrova. Cfr. Abul-Raihan Muh-el-Biruni (trad. H. Suter), Bibl. math.,
(3) 11 (1910-11), p. 11-80, specialmente p. 39-40.
Ulteriori notizie sulla (13) in J. Tropfke11), 4, p. 128 ; 5, p. 46, p. 86. Qui, oltre
agli agrimensori romani, si ricordano Leonardo Pisano *°), p. 40 e L. Pacioli 41),
Tractatus geometriae, Cap. 9 [ove s’insegna « comme ciaschuno triangulo senza inve-
stigatione del catetto si possa misurare », mediante la regola contenuta nella (13)] e
Cap. 11 (ove la regola si dimostra).
Alla (13) si pud raccostare la :
° = I V (? — wc)>
con ma, mb , mc , q misure delle mediane e della loro semisomma (cfr. A. L. Crelle,
Lehrbuch der Elements der Geomstris und der sbenen und spharischen Trigonometric, 1,
Berlin 1826, p. 143-145).
La (14) si riconduce alia (12) mediante la :
nota ad Erone [Opera ••), 4, p. 438 (da Geometrica)], che espone la regola su para-
digma, ed a Leonardo. Pisano *), p. 103.
La (15) ё implicita nella dimostrazione di (13) data da Erone. Le (16) sono in
K. W. Feuerbach, Eigenschaften einiger merkwurdiger Punkte des geradlinigen Dreiecks,
Nfimberg 1822, p. 2. La (17), che trovasi in C. L. Mathieu, Ann. math, pures appl., 1
(1810-1811), si ottiene per prodotto da (15) e (18). Quest’ukima ё di C. F. A. Jacobi
[cfr. J. Tropfke11), 5, p. 90].
M) La regola contenuta nella (19) ё esposta su paradigmi in Erone, Opera ’•), 4,
p. 300-303 (da Geometrica), con riferimento a trapezi ortogonali, in relazione a due
diverse posizioni della figura, considerandosi (p. 300) i due lati paralleli come altezze
(xdUteroi), oppure (p. 207) 1’uno come sommitd (хорифТ)) e Faltro come base (растц).
№) La regola contenuta nella (20) ё applicata in Erone, Opera ••), 4, p. 270 (da
Geometrica).
w) La' (21) trovasi negli scritti del matematico indiano Brahmagupta (n. 598
146
Duilio Gigli « Luigi Brusotti
VI. Poligono circoscritto ad un circolo:
(23) o=lpr
(p, r misure del perimetro e del raggio (apotema)] w).
Analoga alia (10) e la:
(24) x = a b c ,
con a, 6, c, x misure degli spigoli e del volume di un parallelepipedo
ortogonale, assunte come uniti per segmenti e prismi risp. и ed U
(§§ 11, 12). I procedimenti dimostrativi per (24) sono analoghi a quelli
(II e III) relativi a (10) w).
A (24) collegansi:
(25) V = P h ,
(26) V = у I
[Л, Z; P, у; V misure (risp. colle uni6 u, U, U, §§ 11, 12) di altezza,
spigolo, base, sezione normale, volume di un prisma]. Le (25), (26)
si riducojio ad una (p = y, h = Z) per il prisma retto 8e).
Oss. la - Nelle formole da (10) a (26) le lettere rappresentano
puri numeri. Ma, secondo il punto di vista di G. Peano 3e), potrebbero
anche rappresentare grandezze, immaginando che la lettera rappre-
senti il numero preceduto dalla relativa « marca ». Cosi con riferimento
d. C.). Cfr. H. Th. Colebrooke, Algebra with Arithmetic and Menruration from the
Sanscript of Brahmagupta and Bhaskara, Londra 1817, p. 296. Ulterior! notizie in
J. Tropfke 21), 5, p. 87, p. 95.
La (22) ё implicita in una formola di A. Girard, Trigonometric, La Haye 1626;
cfr. M. Chasles, Aperfu historique, 2a ed., Paris 1875, p. 440 (1* ed., 1837) ; R. Baltzer
(trad. L. Cremona), 4, Planimetria, Genova 1867, p. 314.
Sull’area di poligoni inscritti nel circolo, con n > 4 lati, cfr. A. F. Mobius, J.
reine ang. Math., 55 (1828), p. 3; Wcrke, 1, Leipzig 1885, p. 405.
87) Per il caso del triangolo si ricade in (15)« Se il poligono ё regidare (di n lati),
trovasi la :
n i
n «=----I r
2
(I misura del lato). Tutto risale del resto a (12).
88) La regola contenuta nella (24) ё esplicitamente enunciata su paradigms da
Erone, che (nel caso di a, b, c interi) la dimostra con procedimento analogo a III (сюё
per decomposizione del parallelepipedo in a b c cubi U). Cfr. Erone, Opera **), 3, p. 92-94
(da McTptxd). Qui vale un’osservazione analoga a quella di 81 * * * * * 87 88 89).
89) Mediante note proposizioni sulla equivalenza fra prismi, la formola per il
prisma retto si pud ricondurre alia (24) (trasformata la base in rettangolo con P = ab,
h = I = c); indi dal caso del prisma retto si pud passare alle (25) e (26) del caso generale.
Erone, Opera *•), 3, p. 98 (da MeTpixa), con riferimento a prismi di base esago-
nale regolare, supposta valida la (25) per il prisma retto, 1’estende all’obliquo appli-
cando 1’equivalenza di prismi d’egual base ed altezza. Indi (p. 100) calcola altresi il
volume di un prisma triangolare, come met& di quello di un parallelepipedo.
XXIII. - Teoria della misura
147
al rettangolo avente lati di m. 3 e di m. 5, la (10) afferma che, assunta
FunitA m2, la misura dell’area del rettangolo fe:
15= 5 - 3 ,
ma potrebbe anche esplicitamente affermare che’ 1’area ё:
m2 15 = m. 5 • m. 3 .
Osservazioni analoghe in condizioni analoghe saranno sottintese.
Oss. 2s - Nelle formole del tipo:
°=f(a<y
concementi aree, essendo le misure di segmenti, mutata FunitA di
misura и (e di conserva t/), ciascuna delle viene moltiplicata per un
fattore costante k (cfr. oss. a § 8), ma a per Л2. Onde f (a<) ё funzione
omogenea di secondo grado nelle . Ne segue che, applicata al poli-
gono una similitudine di rapporto Л, a viene moltiplicata per Л2.
Analogamente in casi analoghi, anche per i volumi (mutato per
questi 2 in 3).
14. Misura delle grandezze di 3° genere. П metodo di esau*
stione. — L’assegnazione di enti geometrici alia categoria delle gran-
dezze, nel caso di specie pertinenti al terzo genere (§ 10), quando non
venga postulata о sottintesa, in un assetto modemamente concepito
conduce sostanzialmente (sia pure prescindendo dal nome) al concetto
di integrate definite w). Le considerazioni relative possono perd anche
presentarsi elementarmente ed eventualmente anticiparsi, impiegandole
giA nelle trattazioni riguardanti grandezze di 2° genere [quando (§ 12)
per queste si assuma il criterio d’equivalenza Д)].
Cid posto, la scelta dell’unitA di misura [teoricamente arbitraria
(cfr. § 7)] viene di fatto operata utilizzando FunitA giA assunta per una
sottospecie di grandezze assegnabili al primo od al secondo genere, e
1’effettiva misura ё generalmente ricondotta all’equivalenza con gran-
dezze della sottospecie, о altrimenti gia note, applicando il concetto о
di estremo superiore о di elemento di separazione о di limite o, in par-
ticolare, di somma di una serie, ecc. w).
Riservahdo piii minuto studio a svolgimenti singoli, si raccolgono
qui alcune osservazioni generali sul metodo di esaustione, che nell’ar-
•») Cfr. I’art. XVIII di questa Encicl.M), §§ 27, 41, 46, 47, 54, ed U. Amaldi •’),
p. 29. E da osservarsi che la nozione di integrate di campo pud ricondursi a quella
di integrate definite.
Sull’argomento del presente § cfr. pure I’art. XXI di questa Encicl. *°), §§ 46-48.
") Cfr. gli art. di questa Encicl.: II «), §§ 36, 37, 49-55; XVII »), §§ 1, 7;
XXXIX ,4), § 9, nei quali tali concetti sono applicati sia a grandezze, sia a numeri
reali.
148
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
gomento e caratteristico della Geometria greca e delle trattazioni ad
essa ispirate.
Negli Elementi di Euclide i Libri XI, XII, XIII M) sono di regola
presentati come dedicati alia Stereometria; ma il XII piii esattamente
si pud considerare come destinato a raccogliere tutti gli argomenti che
richiedessero 93) il ricorso a metodi di esaustione 94).
Questi metodi, che debbono tuttavia farsi risalire a geometn an-
teriori come, se non Ippocrate da Chio w), certamente Eudosso da
Cnido и), trovarono piii larga e generale applicazione in Archimede
hanno costituito fino alia comparsa del Calcolo infinitesimale la norma
preferita, se non di ricerca, di sistemazione, ed ancora oggi si usano
nell’insegnamento della Geometria elementare. Del resto lo stesso nome
ё d’origine relativamente recente 98).
A fondamento del metodo sta la proprieti che di due grandezze
della stessa specie la prima ё о suwalente od equivalente о prevalente
alia seconda "•); e Fequivalenza fra le due grandezze confrontate si
dimostra con un ragionamento per assurdo, escludendo i due casi della
suwalenza e della prevalenza.
Ma di regola od interviene una classe di grandezze di cui ciascuna
•8) I. L. Heiberg1), 4, Lipsiae 1885.
®3) Ed effettivamente richiedono, salvo 1’uso di metodi sostanzialmente equi-
valents Cfr.68).
•4) Euclide nel Libro XII ordinatamente tratta : dell’area del cerchio (prop. 1-2),
del volume della piramide (prop. 3-9), del volume del cilindro e del cono (prop. 10-15),
del volume della sfera (prop. 16-18).
*) Cfr. p. e. nota186).
••) Cfr. p. e. nota107).
®7) Cfr. I. L. Heiberg 88), b); e per una traduzione francese : P. Ver Eecke,
Les oeuvres d'ArchimSde, Paris-Bruxelles 1921. Le opere di Archimede che qui oc-
соггегй citare sono le seguenti:
A) Intomo alia sfera ed al cilindro (Ilepl crqpalpac; xal xuXlvSpou); 38), b), 1,
p. 1-229; trad, franc., p. 1-124;
B) Misura del circolo (KuxXou р-ётр^слс); 88), 6), 1, p. 231-243; trad, franc.,
p. 125-134;
C) Intomo ai conoidi e sferoidi (Ilepl xwvoiS&ov xal oqpaipoi36cDv); ”, b), 1,
p. 245-445; trad, franc., p. 135-236;
D) Delle spirali (Ilepl iXtxcov); M), 6), 2- p. 1-121; trad, franc., p. 237-299;
E) Quadratura della parabola (TeTpaycDViapidi; теараРоХтф; °8), b\ 2, p. 261-
315; trad, franc., p. 375-404.
A 'queste ё da aggiungersi la lettera in cui Archimede informa Eratostene su
di un metodo utile per la previsione di proposizioni geometriche ma fondato su con-
siderazioni di Statica [Ilepl tov p.7)xavixGSv <0ecop7)p.dlTcov терд? * * ••)EpaToa8£vy)v £90805
(brevemente : ’’EtpoSot;);M), b), 2, p. 425-507] ; trad, franc., p. 475-519; trad, italiana
in E. Rufini, Il« metodo » di Archimede e le origini dell'Analisi infinitesimale nell'anti-
chitd, Roma 1926, p. 105-182. Cfr. anche188).
•8) Exhaustio da exhaurire, che trovasi in Gregorius a St. Vincentio, Opus
geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, Antwerpen 1647, p. 739, ove si legge :
« Parallelepipeda ilia ita posse nudtiplicari ut corpora ipsa, quibus inscribuntur, exhau-
riant ». A tale passb pud farsi risalire la denominazione del metodo, la quale non sembra
quindi rispecchiare appieno 1’atteggiamento dei classici, come osserva C. R. Wallner,
Bibl. math., (3) 4 (1903), p. 246-259 (specialmente p. 252).
°8) Ё [cfr. 47)] la propriety II dell’art. II di questa Encicl. 8), $ 32.
XXIII. - Teoria della-mbvea
149
delle grandezze confrontate e estremo superiore oppure una coppia
di classi contigue di cui ciascuna di quelle e elemento di separazione 10°),
onde, modemamente, 1’equivalenza risponde all’unicita dell’estremo
superiore, risp. dell’elemento di separazione.
In tale ordine di concetti occorre perd un principio che, prefissata
una grandezza <r, permetta la considerazione di grandezze la cui diffe-
renza (non nulla) sia suvvalente a a; ed a cid soccorre la proposizione
di Archimede * 101); ma, presso i classi ci, questa nel congegno della di-
mostrazione e sostituita da un’altra che ne dipende e, generalmente,
da' una delle due seguenti:
a) Date due grandezze A, В della stessa specie (A prevalente
a B), se da A si toglie piii della meta, dal resto piii della meta di questo
e cosi si prosegue, si giunge ad un resto suvvalente a B,
ft) Date due grandezze A, В della stessa specie (A prevalente
a B), si possono trovare due segmenti (diseguali) tali che il rapporto
del maggiore al minore sia minore di quello di A a B102).
Il ragionamento per assurdo, che della dimostrazione e la parte
essenziale, si svolge poi, salvo il linguaggio, sopra uno degli schemi
seguenti:
I. Se H, К sono le grandezze da confrontarsi e G una grandezza
della classe di cui ciascuna delle H, К e estremo superiore, sara:
(27) G < H , G < K.
Supposto:
(28) H < К ,
10°) Veramente Euclide ®2), ®4), sempre (sostanzialmente) ricorre all’estremo su-
periore. Invece Archimede [cfr. I. L. Heiberg ae), ft)] piii spesso ricorre (sostanzial-
mente) all’elemento di separazione. Cosi in ®7), А), В), C), D); non in ®7), E), ove (so-
stanzialmente) ricorre all’estremo superiore.
101) Per essa cfr.n). Dovuta probabilmente ad Eudosso da Cnido, essa ё da
Archimede cosi postulata : *Eti 8ё tcov dviacov уроцхр.соу xal tg>v dviacov ftirupavetcov
xal tcov avlocov trrepeojv тд той &aaaovo<; unep^/eiy тоюбтсо, 6 (tuvti&£(jlevov
оситб ёоитср Зиуатбу bw йтгербхеьу Ttavrftc; тои 7гроте9£уго? tcov тсрбс; &ХАт)Ха Хеуорьбудо
[I. L. Heiberg ae), ft), 1, р. 8, da Пер1 асраСра? xal xuXlvSpou г), А)].
W2) La а) ё la prop. 2a di Libro X degli Elementi di Euclide [I. L. Heiberg x), 3,
Lipsiae 1886, p. 4]; la P) ё la prop. 2* di Ilepl acpaLpac; xal xuXivSpou di Archimede
[I. L. Heiberg ae), ft), 1, p. 10; ®7), A)].
Euclide ®2), •*), sempre si attiene ad a); Archimede in ®7), A) ricorre costante-
mente a P) ; ma altrove fa uso di a) ; cosi in ®7), С) [I. L. Heiberg ae), ft), 1, p. 337].
La dipendenza di a) dalla proposizione di Archimede negli Elemeiiti di Euclide
si esplica per il tramite della def. 4a di Libro V [cfr.11)] ; quella di P) ё invece da Ar-
chimede direttamente stabilita [cfr. I. L. Heiberg ae), ft), 1, p. 12].
Alle а), P) si pud ravvicinare la prop. 4a di Ilepl di Archimede [I. L.
Heiberg ae), ft), 2, p. 16 ; ®7), D)], ha quale afferma che, date due linee diseguali, un seg-
mento ed una circoqferenza, ё possibile trovare un segmento minore della maggiore e
maggiore della minore. Il postulato di Archimede interviene nella dimostrazione.
Modemamente in a) si pud rawisare un criterio di confronto col termine della
progressione geometrica di ragione }; in P) I’affermazione del principio che la classe
dei numeri reali maggiori di 1 non possiede minimo.
160
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
si sceglie, corn’d lecito, G in modo che sia:
K — G <K—H,
e ne segue:
(29) G > H,
in cbntrasto con (27), onde si esclude (28). Similmente si esclude:
H>K;
ed H, К risultano equivalenti.
II. Siano К le grandezze da confrontarsi a Glf G2, grandezze
risp. delle due classi contigue di cui ciascuna delle H, К e elemento
di separazione.
Supposto:
<30) H < К ,
saiA :
Gx < H < К < G2,
onde :
(31) G2 — Gx >K—H.
Ma per la definizione di classi contigue si possono scegliere Gx e
G2 in modo che sia:
G2 — Gx < К — H ,
in contrasto con (31); onde si esclude (30). Similmente si esclude :
H >K;
ed H,K risultano equivalenti103).
15. Volumi di poliedri. L’assegnazione dei poliedri alia ca-
tegoria delle grandezze [secondo quanto sempre avviene per le gran-
dezze di 3° genere104 *) e di 1° tipo (§ 10)] pud fondarsi su opportuni
postulati a partire dalle posizioni seguenti. Se A, В sono poliedri, si
definisce la suwalenza di A a В come I’equiscomponibilita di A e di
1M) Sui metodi di esaustione e sugli argomenti che vi si connettono cfr. pure :
O. Chisini, Aree, lunghexxe, volumi nella Geometria elementare, in F. Enriques, Que-
*tiomn\ lf, Bologna 1925, p. 61-131; E. Rufini r), p. 41-60; e per taluno di questi
anche E. G. Togliatti, Period, mat., (4) 2 (1922), p. 305-326; inoltre Fart. XXXIX
di questa Encicl. 84), § 9; e per ulteriori notizie J. Tropfke n), 4, p. 199, p. 234; 7, p. 21.
1M) Per l’assegnazione dei poliedri al 3° genere cfr. ”).
XXIII. - Teoria della misura
151
una parte di B, indi I’equivalenza di A, В come la negazione della suv-
valenza sia di A a B, sia di В ad Л106).
Comunque si compia tale assegnazione, essa implica per il volume
del poliedro 1’unicita, сюё la indipendenza dal procedimento seguito
per determinarlo, ed il carattere distributivo rispetto alia decomposi-
zione in parti106).
Poichi ogni poliedro convesso ё decomponibile in piramidi (p. e.
proiettandone le facce da un punto intemo) ed ogni poliedro non con-
vesso c decomponibile in poliedri convessi, cosi la questione veramente
essenziale ё la ricerca del volume di una piramide (ossia di una rela-
zione semplice fra questo ed il volume di un prisma).
Ora gia a Democrito d’Abdera era nota la proprieta che il volume
della piramide ё 1/3 di quello di un prisma di egual base ed altezza, e
ad Eudosso da Cnido ne ё dovuta la dimostrazione107), probabilmente
quella che trovasi negli Elementi di Euclide. Questa si fonda special-
mente su due proposizioni: la proporzionalita di due piramidi triangolari
di eguale altezza alle rispettive basi108 *), e la decomponibilita del prisma
triangolare in tre piramidi triangolari per cid appunto fra loro equiva-
lenti 1M). La prima di queste proposizioni viene dimostrata con un pro-
cedimento di esaustione, che muove dalla decomposizione di una pi-
ramide triangolare in due prismi triangolari fra loro equivalenti ed in
due piramidi eguali fra loro e simili alia data110). La circostanza che la
somma dei due prismi supera la meta della piramide, e la possibility
di riapplicare la decomposizione alle piramidi man mano introdotte,
permettono 1’impiego di un metodo di esaustione fondato sulla a) di
§ 14111 *).
1<to) Per tutto cid cfr. U. Amaldi e7), p. 32, p. 51 (ed anche p. 26), salvo il diverso
linguaggio usato. Cfr. pure I’art. XXI di questa Encicl. M), § 46.
lM) Qui « volume » s’intende nel sensa analogo a quello chiarito in Oss. 2a a § 12.
107) Tutto cid pud desumersi da un’esplicita dichiarazione di Archimede, cosi per
Democrito come per Eudosso ; cfr. I. L. Heiberg se), 5), 2, p. 430 [da "EtpoSoc; •’)];
E. Rufini 97), p. 107. Per 1’eventuale conoscenza da parte di civilta anteriori, cfr.113).
108) Ё la prop. 5a del Libro XII degli Elementi (I. L. Heiberg x), 4, Lipsiae 1885,
p. 164); per lo scopo basterebbe stabilire I’equivalenza fra piramidi triangolari di
basi equivalenti e di eguale altezza, il che potrebbe dimostrarsi con analogo procedi-
mento. Colla prop. 6a si estende la prop. 5a a piramidi con un numero qualunque di
facce.
10#) Ё la prop. 7a del Libro XII degli Elementi (I. L. Heiberg x), 4, Lipsiae 1885,
p. 172).
11в) E la prop. 4® del Libro XII degli Elementi (I. L. Heiberg '), 4, Lipsiae 1885,
p. 156).
nl) Nelle trattazioni didattiche per la determinazione del volume della piramide
si ricorre ai cosiddetti«scaloidi » inscritti e circoscritti (od anche solo agli inscritti).
Tale metodo deve tuttavia avere origin! antiche, se Archimede se ne serve per la cu-
batura del segmento di una quadrica di rotazione a punti ellittici [cfr. I. L. Heiberg 3e),
b), 1, p. 336-445; da ”), C), ed anche § 21, specialmente nota 132)]; il teorema sul
volume della piramide ё da lui citato come ormai acquisito alia scienza [cfr.107), ed an-
che M), 6), 1, p. 4, da *7), A) ; 2, p. 264, da ”), E)], quindi senza dimostrazione.
Cosi il procedimento euclideo come quello degli scaloidi possono ricevere inter-
pretazioni modeme. Cfr. percid O. Chisini 103), p. 86, p. 88 [e I’art. XXXIX di questa
Encicl. M), § 9].
152
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
Assunta 1’unita U gii adottata per i prismi (§ 12; § 14), segue la:
(32)
(Л, /?, V misure dell’altezza, della base, del volume della piramide colle
unita щ (7, U)112).
Analoga alia (32) e la :
(33) v= |(£ + у77 + у)л
112) La (32) trovasi enunciata ed applicata in Erone 3e), 3, p. 102, p. 132 (da Me-
Tpixa) ed applicata ivi, 5, p. 28 (da Stereometrica), Che la piramide sia la terza parte
di un prisma di egual base ed altezza leggesi ivi, 3, p. 96 (da MeTpixdc).
A. M. Legendre, Elements de G4om£triet 3B ed., Paris 1800, p. 207, attenendosi
al criterio di fare largo ricorso nelle trattazioni geometriche alia misura (al numero
reale), direttamente stabilisce la (32) per la piramide triangolare con un metodo sug-
gerito da quello di esaustione euclideo; indi (ivi, p. 210) compie la estensione alia pi-
ramide generica.
Nel caso della piramide triangolare о tetraedro Аг Ал At A4 , per la determina-
zione di V possono supporsi date le misure aii (itj = 1, 2, 3, 4) dei sei spigoli AiAi.
Cosi gid N. Tartaglia **), Parte 4a (1560), Libro II, p. 35, che pone e risolve il pro-
blema su caso numerico. A L. Euler, Novi Comm. Ac. Petrop., 4 (1752-53, ed. 1758),
p. 158-160, devesi una formola esplicita che si pud scrivere :
~ 12 918,34 4“ 913,48 4- 914,23 Ф1 Фа Фз фТ,
ove, detta m, я, p, q una qualunque permutazione degli indici 1, 2, 3, 4, pongasi:
Фтп, VQ = amn (amp* 4“ amQl 4“ 4“ ant? amn*
Фт = an^ aqn* >
cfr. percid anche G. C. Ch. von Staudt, J. reine ang. Math., 24 (1842), p. 255.
Introdotta la misura R del raggio della sfera circoscritta al tetraedro, si hanno
altresi le formole :
0 ala* *13’ a142
1 .— <?ti’ 0 *аз’ aa42
= , con Д= —
24 R *si’ *з«’ 0 aa42
*41’ *42* *4з’ 0
A. x/4--------------------------------------------
6 2? v 5 (S aia aa4) (S aia a4a)t (S a14 aaa),
con :
S = J (flia <Za4 4“ *13 <*42 4“ *14 *2з)»
che trovansi entrambe in F. Joachimsthal, J. reine ang. Math., 40 (1850), p. 33-34.
La seconda ё di A. L. Crelle, Sammlung mathematischer Aufsatze, 1, Berlin 1821, p. 117,
ed ё dimostrata anche da G. C. Ch. von Staudt, J. reine ang. Math., 57 (1859). p. 88.
Formole concementi il volume V del tetraedro sotto altri aspetti nell’art. XXV di
questa Encicl., § 28; nell’art. XXXIII di questa Encicl. (C. Burali-Forti, Elementi
di Calcolo vettoriale), § 5; ndl’art. XXXIV di questa Encicl. a*), § 49. Cfr. anche G.
Sansone, Period, mat., (4) 3 (1923) p. 20-50; R. Cantoni, Period, mat., (4) 10 (1930),
p. 235; (4) 12 (1932), p. 231.
XXIII. - Teoria della misura
153
(Л, P, у, У misure dell’altezza, delle basi, del volume del tronco di
piramide) U3).
Per un poliedro circoscritto ad una sfera114) vale la:
(34) V=^ra
(г, a, V misure del raggio della sfera, della superficie del poliedro, del
volume di questo); essa e riconducibile alia (32)115).
16. La misura per altre classi di grandezze di 3° genere. —
Per le areeue) di superfine piane limitate da contomi qualisivogliano
[cfr.50)] o, se si crede, soltanto di «poligoni piani» a contomi formati
con segmenti e con archi di circonferenza (in particolare per Гагеа del
cerchio), e per i vohimi117) di vegiom spaziali comunque limitate [cfr.w)]
o, se si crede, di«poliedri» le cui facce siano regioni о di piani о di
superficie cilindriche, coniche, sferiche a contomi definibili elementar- * 4
lia) La regola contenuta nella (33) trova esplicito enunciate in Leonardo Pi-
sano *°) 2, p. 174 (da Pratica geometriae) : lEmbadum curtae pyramidis... prouenit ex
ductu tertiae partis altitudinis ipsius... in summam arearum basis, et capitis Ulins, et su-
perfwiei, que est in proportions media inter superficiem basis, et superpeiem capitis».
Ma essa risale nel tempo, almeno in casi particolari, tra i quali ё notevole quello
delle basi quadrate, con :
(33)* V = i (a2 -I- a b +b*) h
(a, b misure dei lati delle basi).
Della regola contenuta in (33)* ё gi& traccia nell’esercizio 14° della raccolta del
papiro egizio «di Mosca », assegnato al 1850 a. C. (e giudicato anteriore al papiro
Rhind). Cfr. W. W. Struve, Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der
sch&nen Kiinste in Moskau, Berlin 1930. Pud darsi che la regola sia stata suggerita da
un criterio di media, ma pud anche darsi che implicasse la conoscenza del volume della
piramide. Per questa seconda congettura cfr. P. Luckey, Z. math. nat. Unterr., 61
(1930), p. 145; e per commenti, raffronti e notizie Ett. Bortolotti, Period, mat.,
(4) 15 (1935), p. 87.
Il tronco di piramide (TtupoqiU хбкоиро?) viene poi considerato da Erone cosi
nel caso delle basi triangolari [M), 3, p. 104-112 (da MsTptxdt)], in particolare triango-
lari equilatere [3®), 5, p. 40-42 (da Stereometrisa)], come in quello delle basi rettango-
lari [’•), 5, p. 142-144, p. 158-160 (da Stereometric a)], in particolare quadrate [3®), 5,
p. 30-34, p. 42-43, p. 140-142 (da Stereometrica)] ; ed il calcolo del volume, quando
venga effettuato, conduce a risultati sostanzialmente concordanti colla (33) [in parti-
colare colla (33)*].
Erone determina inoltre il volume di poliedri analoghi al tronco di piramide,
ma con basi rettangolari non simili [’•), 3, p. 112-116 (da Merpixdt); 5, p. 34-36 (da
Stereometrica)].
Notizie sulla (33) in relazione agli ulteriori sviluppi storici in J. Tropfke57), 7,
p. 25-26.
114) Fra questi sono i poliedri regolari (platonici). Per essi cfr. Fart. XXVI di
questa Encicl. 41), § 28.
115) La considerazione del volume per i poliedri intrecciati (in quanto ё possi-
bile) ё oggetto di altro articolo. Cfr. Fart. XXVI di questa Encicl. “), § 26 [per i polie-
dri regolari (di L. Poinsot) cfr. ivi, § 29 e specialmente nota **)].
lie) Qui (e piii sotto) area s’intende nel senso chiarito in Oss. 2е a § 12.
w) Qui volume s’intende nel senso chiarito in Oss. 2* a § 12.
154
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
mente (in particolare per i volumi di cilindri, coni, sfere), la teoria della
misura pud presentarsi cogli stessi metodi validi [cfr. § 15 e postil-
la106)] per i poliedri (a facce piane). Si tratta invero di grandezze asse-
gnabili al 1° tipo del 3° genere (§ 10) per cui la suwalenza pud ricon-
dursi alia equiscomponibiliti rispetto ad una parte.
Per le lunghezze118 119) di archi qualisivogliano [cfr.60)] o, se si crede,
soltanto di archi di circonferenza di raggio arbitrario, in una coi seg-
menti (in particolare per la lunghezza della circonferenza), e per le aree
di superficie curve qualisivogliano [cfr.60)] o, se si crede, soltanto delle
superficie di cilindri, coni, sfere e di poligoni su di esse comunque de-
finiti (in una colle superficie piane), si presenta invece il caso nuovo
di grandezze assegnabili al 2° tipo del 3° genere (§ 10). Tuttavia si pud
pensare ad una trattazione analoga a quelle concernenti il 1° tipo (p. es.
con metodi di esaustione ; cfr. § 14) quando si introduca un criterio di
suwalenza (in sostituzione, od a complemento, di quello gia richiamato
per il 1° tipo).
Tale esigenza non sfuggi alia sicura intuizione di Archimede, il
quale all’inizio della sua opera Hegi oyaigas xai xvkivdgov [ °7), Л)]
pone i seguenti quattro postulati (Aa/z/favd/zEva)ue):
I. Fra le linee aventi gli stessi estremi (ледата) ё minima la retta.
II. Delle altre linee poi, se, complanari, abbiano gli stessi estremi,
due sono disuguali, quando entrambe siano concave da una stessa banda
e Puna о sia tutta compresa fra I’altra e la retta avente gli stessi estremi
od abbia parti comprese e parti comuni; ed ё minore la linea compresa.
III. E similmente fra le superficie aventi il medesimo contorno
(rd aired ледата), se hanno il contorno in un piano, ё minima quella
piana.
IV. Delle altre superficie poi aventi lo stesso contorno, se il
contorno sia in un piano, due sono diseguali quando siano entrambe
concave da una stessa banda, e 1’una, о sia tutta compresa fra I’altra
superficie e quella piana avente lo stesso contorno, od abbia parti com-
prese e parti comuni, ed ё minore la superficie compresa.
Benchd in tali postulati non si esauriscano tutti i casi di confronto
rispondenti a piu generali ipotesiiao), pure essi bastano ivi (ed in con-
dizioni analoghe) a dare fondamento rigoroso agli ulteriori sviluppi.
118) Alla lunghezza si giunge con un procedimento di astrazione anajogo a quelli
di cui fu detto in Oss. .2* a $ 12 a proposito dell’area e del volume. Percid, cosi intesa,
la lunghezza ё una grandezza (astratta) e non il numero reale che risulta dal misurarla
coll’unit& scelta (come spesso s’intende).
119) Cfr. I. L. Heiberg m), 6), 1, p. 8. Segue ai quattro postulati il quinto, ciod
quello detto ordinariamente di Archimede ; per esso cfr. u),101). Precedono sei
(ibid., p. 6) aventi carattere anche di definizioni. In essi ё, fra altro, precisato il signifi-
cato del linguaggio usato nei postulati; p. es. ё definita la nozione di linea piana (risp.
superficie) concava (хо(кт)) da una banda mediante il comportamento dei segmenti
congiungenti coppie di punti assunti sulla linea (risp. sulla superficie).
1M) P. es. sfuggono gli archi di linee spaziali (o gobbe), per esplicita esclusione,
e le superficie che oggi si direbbero a punti iperbolici (od a curvatura negativa) per
esclusione implicita nella definizione di superficie concava da una banda [cfr.lie)]-
XXIII. - Teoria della misura
155
Ё peraltro da osservarsi che nelle trattazioni elementari talvolta,
per motivi didattici, si isola in certo modo la trattazione singola rela-
tiva ad una determinata figura, ed i criteri di suvvalenza (e prevalenza)
vengono allora introdotti solo in relazione ad enti particolarmente legati
alia figura studiata. Anzi spesso, per preoccupazioni di rigore formale,
tali criteri rimangono implicit! in una definizione che si introduce caso
per caso, e cid vale cosi per il 1° come per il 2° tipo.
Una trattazione dell’argomento in tutta la sua estensione conduce
invece ai metodi dell’Analisi infinitesimale [cfr. § 14 e nota90)].
Comunque si proceda, si assumera poi come unita per le lunghezze
1’unita lineare u, gia assunta per i segmenti (cfr. § 11), per le aree il
quadrato U di lato и (cfr. § 12) e per i volumi il cubo U di spigolo и
(cfr. § 12, § 15).
Nei §§ 17-20 sara abbandonato I’ordine piu strettamente aderente
alia distinzione di § 10 tra l°.e 2° tipo, e si preferiri I’ordine tradizionale,
secondo il quale successivamente si considerano circolo, cilindro, cono,
sfera. Nel § 21 saranno raccolte notizie e considerazioni intese a stabi-
lire qualche connessione fra gli indirizzi elementari e gli indirizzi del-
l’Analisi infinitesimale.
17. Poligoni inscritti e circoscritti ad un circolo. — Per i
poligoni (convessi) inscritti e circoscritti ad un dato circolo valgono le
proprieta seguenti:
I.‘ I perimetri dei poligoni inscritti sono minori dei perimetri
dei poligoni circoscritti.
II. La classe dei perimetri dei poligoni inscritti (risp. circo-
scritti) non ha massimo (risp. minimo).
HI. Fissato un segmento e ad arbitrio, esistono due poligoni
1’uno circoscritto e 1’altro inscritto, tali che la differenza dei loro peri-
metri sia minore di s.
I*. Le aree dei poligoni inscritti sono minori delle aree dei
poligoni circoscritti.
II*. La classe delle aree"dei poligoni inscritti (risp. circoscritti)
non ha massimo (risp. minimo).
HI*. Fissata un’area rj ad arbitrio, esistono due poligoni 1’uno
circoscritto e 1’altro inscritto, tali che la differenza delle loro aree sia
minore di ij.
Da I, II, III Segue 1’esistenza e I’uniciti di un segmento c che
pud definirsi:
a) Come elemento di separazione di due classi contigue cdsti-
tuite dai perimetri dei poligoni risp. inscritti e circoscritti [ma non
appartenente (cfr. II) ad.alcuna di tali classi].
fl) Come estremo superiore (risp. inferiore) della classe dei pe-
rimetri dei poligoni inscritti (risp. circoscritti).
Da I*, II*, III* segue 1’esistenza e 1’uniciti di un’area C (di cui
pud assumersi come rappresentante un triangolo T di base c e di al-
tezza eguale al raggio), area che pud definirsi:
156
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
a*) Come elemento di separazione di due classi contigue costi-
tuite dalle aree dei poligoni risp. inscritti e circoscritti [ma non apparte-
nente (cfr. II*) ad alcuna di tali classi].
/J*) Come estremo superiore (risp. inferiore) della classe delle
aree dei poligoni inscritti (risp. circoscritti).
Le considerazioni precedenti possono riferirsi anche ai soli poli-
goni regolari; ma allora с e C possono altresi definirsi rispettivamente :
y) Come limite della successione dei perimetri dei poligoni
regolari inscritti (o dei circoscritti) al crescere indefinite del numero
dei lati.
y*) Come limite della successione delle aree dei poligoni rego-
lari inscritti (o dei circoscritti) al crescere indefinite del numero dei lati.
L’intervento dei poligoni regolari e ad ogni modo utile nella dimo-
strazione delle propriety III e III*.
Per gli ulteriori sviluppi giova poi ricordare che, se con pn , qn
si indicano le misure dei perimetri del poligono regolare inscritto e
risp. del circoscritto di n lati e con Pn , Qn si indicano le misure delle
rispettive aree, sussistono le seguenti relazioni:
(35) q2n = ' = ?2n >
Pn г qn
(35)* Qin = P.n = \/PnQin,
nei secondi membri delle quali figurano rispettivamente medie armo-
niche e medie geometriche.
Segue che in ciascuna delle succession!:
1 1 1 1 1 1
Qn Pn Qtn Ръп Qin Pin
1 1 1 1 1 1
Qn ’ P n ’ Qbn ’ Pin ’ Qin ’ Pin
ogni termine, a cominciare dal terzo, e alternatamente media aritme-
tica о geometrica dei due precedenti.
18. Ciclometria. — Il contenuto del precedente § implica solo
conoscenze relative a segmenti (§ 11) e poligoni (§ 12-13), tuttavia esso
costituisce il fondamento necessario alia trattazione dei problemi ciclo-
metrici.
Quando sia svolta una teoria generale, sia pure non completa121),
(36)
(36)*
121) Per indicazioni su una teoria completa cfr. Fart. XXI di questa Encicl. w),
$ 48.
XXIII. - Teoria della misura
157
delle lunghezze, colla relativa introduzione (§ 16) di criteri di suwa-
lenza, ha senso dire che la lunghezza della circonferenza e compresa
fra i perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti e fondandosi sull’u-
nicit& deU’elemento di separazione, о dell’estremo superiore od infe-
riore о del limite [o sopra un equivalente procedimento di esaustione
(cfr. § 14)] concludere che la lunghezza della circonferenza e eguale
a quella del segmento c (onde c pud dirsi circonferenza rettificata).
Ma si pud anche limitare la considerazione alia sola circonferenza,
introducendo la definizione: Per lunghezza della circonferenza si in-
tende quella del segmento c. Tale introduzione, formalmente rigorosa,
richiede perd un comment© fondato sulle esperienze teoriche eseguite
con un«filo flessibile ed inestendibile» da adattarsi successivamente
ai contorni di poligoni inscritti e circoscritti ed alia circonferenza; ove,
ad evitare petizioni di principio, e da awertire che il«filo flessibile
ed inestendibile » si assume come idealizzazione di modelli fisici le cui
propriety fisiche vanno considerate nel loro complesso.
Similmente, se si e svolta una teoria generale (sia pure incompleta)
sulle aree di superficie piane a contomi anche curvilinei, col relative
criterio di suwalenza valido per le grandezze di 3° genere e di 1° tipo
( §§ 10,15,16), ha senso dire che Гагеа del cerchio^ compresa fra quelle
dei poligoni inscritti e circoscritti e fondandosi sull’unicit^ deU’elemento
di separazione, о dell’estremo superiore od inferiore о del limite [o
sopra un equivalente procedimento di esaustione (cfr § 14)], conclu-
dere che Гагеа del cerchio coincide con C (p. es. coll’area del trian-
golo T).
Ma e attuabile anche in questo caso un procedimento per defini-
zione, del quale basti dire come sia analogo a quello sopra descritto.
Dato il raggio del circolo, la determinazione del segmento c (risp.
di un poligono, p. es. T, di area C) risponde al problema detto della
«rettificazione della circonferenza» (risp. della «quadrature del cer-
chio »). I due problemi (p. es. coll’intervento di T) si riducono elemen-
tarmente 1’uno all’altro, ma non sono elementarmente risolubili122).
Da considerazioni di similitudine cosi sulle aree come sui peri-
metri dei poligoni inscritti (e circoscritti) risulta la costanza, al variare
del raggio, cosi del rapporto di c al raggio (al diametro) come del rap-
porto di C al quadrato del raggio (del diametro).
Anzi, p. es. coll’intervento di T, si trova che il rapporto di c al
diametro e eguale a quello di C al quadrato del raggio.
Onde, se con у, Г, r si indicano le misure di c, di C e del raggio,
si hanno le formole:
(37)
у = 2 n r ,
(37)*
Г = лгг ,
*”) Cfr. percid I’art. XXIX di questa Encicl. •»), §§ 28, 32, 33. 34; cfr. pure133).
158
Duiuo Gigli e Luigi BrusOttj
ove n fe il detto rapporto; e dalla trascendenza di л121 * *) dipende la im-
possibility di risolvere elementarmente i problemi ciclometrici.
Al calcolo approssimato di n per via elementare giovano le leggi
che govemano la successione (36) [risp. (36)*] del § precedente, suc-
cession i cui termini fomiscono valori con approssimazione crescente,
ma alternatamente per difetto e per eccesso, di 1/2 n (risp. di 1 /л)»
quando si supponga r = 1.
I due metodi fondati su tali considerazioni diconsi risp. « metodo
dei perimetri» e « metodo delle aree ». A questi sono da aggiungere il
« metodo degli isoperimetri» ed il « metodo degli equivalenti», in cui
risp. intervengono succession! di poligoni regolari isoperimetri od equi-
valenti, per i quali ancora il numero dei lati vada successivamente rad-
doppiandosi124 *).
Per i problemi della«rettificazione dell’arco di circonferenza» e
della«quadratura del settore circolare » valgono (dal punto di vista
dottrinale) sviluppi analoghi a quelli del presente e del precedente §,
coll’intervento di spezzate inscritte e circoscritte all’arco (eventual-
mente regolari). Se con c' si indica 1’arco rettificatd, Гагеа Cz del corri-
spondente settore e pure quella del triangolo Tz avente per base c' e
per altezza il raggio. Dette poi yz e Г' le misure risp. di c' e di Cz, si ha :
(38) y' = a v ,
(38)* Г = | a r* ,
ove a fe la misura in radianti (cfr. § 11) del corrispondente angolo al
centro.
Le aree della corona circolare, del segmento circolare ad una base
(compreso fra la corda ed uno degli archi sottesi) о a due basi (ottenuto
per interferenza ilella superficie del cerchio colla striscia compresa fra
due secanti parallele) ecc., mediante operazioni di addizione e sottra-
zione possono ricondursi ad aree note126).
1Л) Cfr. Part. II di questa Encicl. •), § 84; e, per il legame coi problemi ciclo-
metrici, anche Fart. XXXIX di questa Encicl. a4), § 9. Cfr. pure ie).
1M) Per i metodi qui ricordati cfr. A. Sannia-E. d’Ovidio, Elementi di Geo-
metria, 2» ed., Napoli 1871, p. 313-322; U. Cassina, Calcolo numerico, Bologna 1928,
p. 303-306. Per notizie cfr. anche J. Tropfke m), 4, p. 218-222.
ie) Prescindendo da conoscenze anteriori, probabilmente estranee ad una siste-
mazione razionale (e di cui si dir&), sono qui da ricordare Ippocrate da Chio (c. 440
a. C.) ed Antifonte da Rodi (c. 430 a. C.), sui quali notizie, almeno in parte risalenti
ad Eudemo (c. 334 a. C.), sono fomite dal commento di Simplicio (sec. VI d. C.) ad
Aristotele [cfr. Siihplicii commentarii in octo Aristotelis physicae auscultationis libros
etc., Venezia 1526 (aldina); L. Spengel, Eudemi Rhodii Reriputetici fragmenta quae
superiunt, Berlino, la ed., 1866, 2a ed., 1870, specialmente p. 113-137 ; F. Ruolb, Bibl.
math., (3) 3 (1902), p. 7-62; 4 (1903), p. 13-18].
Ne risulta che Ippocrate gi& aveva dimostrato (secondo P. Tannery, Bibl. math.,
(3) 3 (1902), p. 343, con un metodo d’esaustione) la proporzionalitA delle aree dei circoli
ai quadrati dei diametri (anzi di quelle dei segmenti circolari simili ai quadrati delle
basi) e se ne era servito per stabilire in modo elementare I’equivalenza fra particolari
XXIII. - Teoria della MISURA
159
19. Cilindro e cono. — Cilindro e cono, salvo diverse awiso,
vengono qui intesi come i solidi general! dalla rotazione di un rettangolo,
risp. di un triangolo rettangolo, attorney ad un lato, risp. ad un catetc.
« lunule I» e poligoni (drcendosi lunula la regione compresa fra archi circolari ad estremi
comuni). Cfr. percid F. Rudio, cit., 3, p. 1ft, Si pud notare che gli studi sulle limule
quadrabili e su argomenti affini (originati forse dalla speranza di quadrare elementar-
mente il circolo) sono stati piii volte ripresi fino ai giomi nostri. Cfr., sul contribute
di Leonardo da Vinci, R. Marcolongo, Atti Congr. int. mat? Bologna 1928, 1 (1929),
p. 281.
Ne risulta poi che Antifonte, per la quadrature del circolo, ricorreva ad una suc-
cessione di poligoni regolari inscritti a numero di lati raddoppiantesi (presumibilmente
con n = 4, 8, 16,... lati) e che egli opinava che, crescendo opportunamente я, il po-
ligono si confondesse col circolo, onde questo fosse come quello quadrabile. Cfr. percid
F. Rudio, cit. 3, p. 13; e, per una minore valutazione, P. Tannery, cit.; un’interpre-
tazione in F. Enriques e G. De Santillana u), p. 253.
Ad ogni modo la successione di poligoni regolari inscritti di 4, 8, 16... lati ё uti-
lizzata da Euclide nel rigoroso procedimento di esaustione col quale egli dimostra
(prop. 2* di Libro XII) la proporzionaliti delle aree di due circoli ai quadrati dei rispet-
tivi diametri (I. L. Heiberg x), 4, Lipsiae 1885, p. 140). Da tale proposizione segue la
costanza del rapporto dell’area del circolo al quadrato del raggio. onde in essa ё impli-
cita la rigorosa introduzione di тс.
Ma il merito del calcolo di valori notevolmente approssimati di тс, ed ancor piii
della simuftanea visione dei due problemi della ciclometria, spetta ad Archimede.
Egli nell’opera КихХои [лётртрьс [w), B)] giunta a noi alquanto manomessa [cfr. I. L.
Heiberg w), 5), 1, p. IX] stabilisce 1’eguaglianza dell’area C con quella di T [I. L. Hei-
berg M), 5), 1, p. 232], considera cosi il rapporto di C al quadrato del diametro come
di c al diametro, ed, utilizzando poligoni regolari (inscritto e circoscritto) di 96 lati,
giunge a valori approssimati da cui pud trarsi: 10
10
71
£
7
Di Archimede sono altresi da ricordare alcune proposizioni di Ilcpi офоарас
xal xukiv$pou [*7), A)], e specialmente la prop. 3a di Libro I, intesa a costruire due poli-
goni regolari 1’uno circoscritto e I’altro inscritto, tali che. il rapporto dei rispettivi lati
sia minore di quello fra la maggiore e ia minore di due grandezze (diseguali) prehssate
[il che ё da porsi in relazione con p) di nota101)].
I risultati di Archimede trovano applicazione in Erone, cosi al cerchio [’•) Opera,
3, p. 66-68 (da Merptxdt), 4, p. 332-350, p. 374-388, p. 442-444 (da Geometrica)], come
al semicerchio (^txdxXiov) [”) Opera, 4, p. 352-356 (da Geometrica)] ed alia corona
circolare (Itu^) [’•) Opera, 3, p. 68 (da Merpixot), 4, p. 374 (da Geometrica); essa ё
detta anche атеф&лд in 4, p. 36 (da *'Opot)] ; ё assunto per тс il valore 22/7, pur con ac-
cenno [’•) Opera, 3, p. 66] a migliori approssimazioni raggiunte da Archimede in opera
a noi non pervenuta. Del segmento circolare (тр5)р.а xuxkou) Erone fomisce quadra-
ture approssimate [••) Opera, 3, p. 70-82, p. 173 (da Merpixi); 4, p. 356-374, p. 444-
448 (da Geometrica); 5, p. 184-190 (da Ilepi (ifrpcov)].
Indipendentemente da sistemazioni razionali, le varie civile offrono esempi di
rettificazioni e di quadrature, implicanti valori approssimati di тс, talora soddisfacenti
come il valore (16/9)* degli Egizii [che gii compare nel papiro Rhind ; cfr. 1’art. II di
questa Encicl. *), p. 88] ed il valore degli Indiani [cfr. p. e. J. Tropfke u), 4,
p. 208]. Frequente ё I’uso del valore 3, sufficiente per gli scopi pratici meno raffinati;
esso trovasi nella Bibbia [libro I dei Re (7, 23); libro II dei Paralipomena (4, 2)] ed in
Vitruvio (c. 15 a. C.), De architectura, Leipzig 1867, p. 263.
Per ulteriori notizie sui valori approssimati di тс e sulle questioni connesse cfr.
p. e. G. Peano, FormuLxire de Mathcmatigues (poi Formulario mathegiatico), 2, Torino
1897, p. 142-145; 5, Torino 1906, p. 254-260; J. Tropfke *), 4, p. 195-238; U. CAS-
160
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
Cosi dicasi per il tronco di cono e per la rotazione di un trapezio rettan-
golo attomo al lato perpendicolare alle basi12e).
Introdotti i prismi inscritti e circoscritti, per le aree delle relative
superficie laterali (risp. per i volumi dei prismi) si hanno proprieta
analoghe alle I, II, III (risp. alle I*, II*, III*) di § 17.
Se ne deducono 1’esistenza e 1’uniciti di un’area L (di cui pud ,as-
sumersi come rappresentante il rettangolo avente per lati la circonfe-
renza rettificata c della base del cilindro e l’altezza di questo), area che
pud definirsi:
a) Come elemento di separazione di due classi contigue costi-
tuite dalle aree delle superficie laterali dei prismi risp. inscritti e circo-
scritti (ma non appartenente ad alcuna di tali classi).
P) Come estremo superiore 4 (risp. inferiore) della classe delle
aree delle superficie laterali dei prismi inscritti (risp. circoscritti).
Similmente si deducono 1’esistenza e FunicitA di un volume S (di
cui pud assumersi come rappresentante il «prisma avente per base il
triangolo T di § 17 e per altezza l’altezza del cilindro), volume che pud
definirsi:
a*) Come elemento di separazione di due classi contigue co-
stituite dai volumi dei prismi risp. inscritti e circoscritti (ma non appar-
tenente ad alcuna di tali classi).
P*) Come estremo superiore (risp. inferiore) della classe dei
volumi dei prismi inscritti (risp. circoscritti).
Se si introducono prismi regolari, allora L ed S possono rispetti-
vamente definirsi:
y) Come limite della successione delle aree delle superficie la-
terali dei prismi regolari inscritti (o circoscritti) al crescere indefinite
del numero delle facce.
y*) Come limite della successione dei volumi dei prismi rego-
lari inscritti (o circoscritti) al crescere indefinite del numero delle facce.
Se si ё svolta una teoria generale (anche non completa) sulle aree
delle superficie curve, ha senso dire che Parea della superficie laterale
sina 1’<), p. 293-313 [ove, p. 312, ё riportato il valore (approssimato) di/r calcolato da
W. Shanks (1873) con 707 cifre dopo la virgola] ;'Period. mat., (4) 9 (1929), p. 238-250,
p. 320-335. Cfr. anche per la controversa interpretazione di valori approssimati di к
come ridotte di frazione continua F. Audisio, Period, mat., (4) 11 (1931), p. 11, p. 149;
Ett. Bortolotti, Period, mat., (4) 11 (1931), p. 110.
Qui si riporta il valore calcolato da Ludolph von Ceulen (1540-1610), Fimda-
menta arithmetica et geometrica, trad. W. Snellius, Lugd. Bat. 1615, 4, p. 144:
к = 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50..
Pud osservarsi che, nel calcolo approssimato di тс, ё lecito 1’impiego di poligoni
inscritti e circoscritti (non regolari) scelti in modo da evitare nei calcoli estrazioni di
radice; sostanzialmente si utilizza la rappresentazione parametrica del circolo come
curva razionale. Cfr. percid, anche per notizie, P. Luckey, Z. math. nat. Unterr., 62
(1931), p. 433-443; 64 (1933), p. 48, p. 247-248.
1M) Nel seguito si riterr^ nota 1’ordinaria nomenclature (basi, altezza, superficie
laterale,... del cilindro; vertice, base, altezza, lato od apotema, superficie laterale,... del
cono; basi, altezza, lato od apotema, superficie laterale,... del tronco di cono).
XXIII. - Teoria della misura
161
del cilindro ё compresa fra le aree di quelle dei prismi inscritti e circo-
scritti ; onde tale area si identifies con L. Similmente dicasi per i vo-
lumi in generale e particolarmente per quelli dei prismi e del cilindro,
identificandosi quest’ultimo volume con S.
Ma anche qui sono leciti procedimenti per definizione, analoghi
a quelli di § 18.
Qualunque sia la via seguita, introdotte poi (come gii al § 16) le
unitA и, C7, (7, ed indicate con г, Л, Л, 27 le misure del raggio di base,
dell’altezza del cilindro, di L, di S, risultano le formole:
(39) Л = 2 я r h ,
(39)* 27 = л 72 h .
La trattazione riguardante il cono pud svolgersi parallelamente a
quella riguardante il cilindro; basteri sostituire piramidi a prismi.
Rappresentante dell’area L della superficie laterale del cono sari un»
triangolo di altezza eguale al lato del cono e di base eguale alia circon-
ferenza rettificata c della base del cono; rappresentante del volume S
del cono sari una piramide di altezza eguale a quella del cono e di base
eguale al triangolo T di § 17.
Se con г, Л, Z, Л, 27 si indicano le misure del raggio, dell’altezza,
del lato, di L, di S, risultano le formole:
(40) Л = л r I,
(40)* 27= |лг2Л;
e, ricordata la:
Z2 = 72 +.A2,
se ne ricavano le espressioni di Л e 27 in funzione di due qualunque
fra le г, А, I.
Alle (40), (40)* possono raccostarsi le analoghe valide per il tronco
di cono, ove perd con 7., r2 (гг > r2) si indicano le misure dei raggi
delle due basi; e ciod:
(41) Л = л (r1 + r2) I,
(41)* ^=4" (7 2 +7.7,+ 7,2) h ,
о
colle quali ё da ricordarsi la :
P = (Tl-7# + h2.
Oss, la - Una superficie la quale si deformi in modov che tutte
162
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
le linee su di essa giacenti si comportino come fili flessibili ed inesten-
dibili si pud considerate come un drappo flessibile ed inestendibile.
Una superficie dicesi sviluppabile, se, per ogni suo punto P, sia lecito
delimitate su di essa una regione per cui P sia interno e che, deforman-
dosi come drappo flessibile ed inestendibile, possa ridursi ad una regione
piana. La superficie laterale di un cilindro о di un cono (salvo il com-
portamento eccezionale del vertice) e sviluppabile e lo sviluppo si pud
effettuare praticando preventivamente un «taglio» lungo una genera-
trice.
Se si postula che, per la deformazione di un drappo flessibile ed
inestendibile, I’area di una regione sia un «invanante », si pud assumere
come area L della superficie laterale quella della regione piana ottenuta
mediante sviluppo. Per il cilindro questa si identifica col rettangolo
gia considerato; e si ritrova (39); per il cono si identifica essa con un
settore il cui raggio e eguale al lato del cono e la cui base e di lunghezza c ;
onde [cfr. (38), (38)* di § 18] si ritrova (40). Analogamente per (41).
Oss. 2a - La determinazione del volume per il cono e per il tronco
di cono pud effettuarsi altresi col metodo degli scaloidi [cfr.111)]. Si
ritrovano le (39)*, (40)*.
Oss. 3a - Se per i punti di un circolo (perimetrali ed interni) si
conducono i segmenti paralleli, eguali ed equiversi ad un dato (non
parallelo ne perpendicolare al piano del circolo), si costituisce un solido
che dicesi cilindro (circolare) obliquo. Se tali punti si congiungono con
un punto (fuori del piano del circolo e della perpendicolare al oiano
nel centro), si costituisce un solido che dicesi cono (circolare) obliquo.
Nei casi di perpendicolariti esclusi, si ricade nell’ordinario cilindro о
cono (circolare, retto).
Estesa 1’abituale nomenclatura [cfr.126)], si estendono al cilindro
obliquo ed al cono obliquo le (38)*, (39)* ; cosi dicasi, introdotto il
tronco di cono obliquo, per (40)* 127).
127) Il cilindro (xuXtvSpo^) ed il cono (xwvo^) sono introdotti da Euclide, colle
def. (6pot) 21a e 18* di Libro XI degli Elementi [I. L. Heiberg x), 4, Lipsiae 1885,\p. 6],
le quali cdncordano con quelle poste all’inizio del presente §. Nel Libro XII [cfr. •*)]
egli dimostra corf metodi di esaustione che il volume di un cono ё la terza parte di
quello di un cilindro di egual base ed altezza (prop. 10*; ibid., p. 186), che coni (o ci-
lindri) di eguale altezza sono proporzionali alle basi (prop. 11*; ibid., p. 196), che coni
[o cilindri) di egual base sono proporzionali alle altezze (prop. 14*; ibid., p. 218) ecc.
In conformity all’indole della trattazione euclidea mancano esplicite determinazioni
di volumi. Nulla vi ё detto [cfr. fil)] delle relative superficie.
Nell’opera Ilepl otpaipa^ xal xuXlvSpou [•*), A)], Archimede riporta senza di-
mostrazione le proposizioni euclidee, attribuendole genericamente ai propri prede-
cessor! [I. L. Heiberg’•), 6), 1, p. 72-74]. Ma F1),lle)] egli ё in grado di aggiungere,
risp. nelle prop. 13*, 14*, 16* di Libro I, risultati sulle superficie laterali del cilindro,
del cono, del tronco di cono che, tradotti in formole, condurrebbero risp. alle (39),
[40), (41). Cfr. percid I. L. Heiberg ae), 6), 1, p. 52, p. 62, p. 71. P. e. dimostra che
I’area della superficie laterale di un cilindro eguaglia quella del circolo il cui raggio
sia medio proporzionale tra il raggio della base e l’altezza. Le dimostrazioni sono af-
fidate a metodi di esaustione.
Archimede indica esplicitamente che il cono di cui tratta ё retto circolare, o,
com’egli .scrive,« isoscele » (xcovoq looaxcXTjt;). Di piii (prop. 18*-20*) introduce col
XXIII. - Teoria deixa misura
163
20. Sfera. — La determinazione dell’area della superficie sferica
e del volume della sfera, affidata a metodi di esaustione о fondata sui
corrispondenti concetti modemi (di elemento di separazione, di estremo
superiore, di limite) richiede I’introduzione di certe classi di enti. Ma
mentre nelle analoghe questioni per il circolo, per il cilindro, per il
cono (quando per quest’ultimo si prescinda dal metodo degli scaloidi,
§ 19, Oss. 2s) fe spontaneo il ricorso a poligoni inscritti о circoscritti,
a prismi inscritti о circoscritti, a piramidi inscritte о circoscritte, per
la sfera la scelta si presenta meno immediata.
a) Si possono introdurre « poliedri pseudoregolari П» (inscritti
e circoscritti).
Si consideri percid la seguente ripartizione della superficie sferica.
Mediante m > 3 semicirconferenze di circolo massimo (meridiani)
aventi a comune gli estremi (poli) si divida la superficie sferica in m
fusi eguali. Indi si divida ciascun meridiano in n > 2 archi eguali; i
punti* di divisione si distribuiscano sopra n — 1 circonferenze (paral-
lel!) aventi i centri sferici nei poli. Tale sistema di m meridiani e di
n — 1 parallel! ripartisce la sfera in m n poligoni sferici, i cui lati non
sono perd tutti archi di circolo massimo [precisamente m (n — 2) tra-
pezi e 2 m triangoli].
Se ai lati di uno dei poligoni sferici si sostituiscono le rispettive
corde, si ottiene un poligono piano (triangolo о trapezio). I poligoni
piani cosi costruiti sono le facce di un poliedro inscritto nella sfera [po-
liedro pseudoregolare (m, n) inscritto].
Per ciascun fuso introducasi il meridiano bisettore e per ciascuno
degli n archi di questo interni risp. agli n poligoni sferici del fuso si
consideri il punto medio. Si ottengono cosi m n punti della sfera. I
piani tangenti alia sfera negli m n punti sono i piani delle facce di un
poliedro circoscritto alia sfera [poliedro pseudoregolare (m, n) circo-
scritto] 128).
nome di«rombo » (p6p.£o<;) il solido ^ottenuto giustapponendo per le basi (eguali) due
coni [cfr. I. L. Heiberg b), 1, p. 76-86].
Erone, in *Opot [••), 6)], introduce le definizioni di enti concementi il cono [’•)
Opera, 4, p. 54-58] ed il cilindro (ibid., p. 60); il tronco di conn ё ivi detto хбХоиро^
(ibid., p. 58). Egli applica ad esempii numerici le regole c .ntenute in (39) [’•)
Opera 3, p. 84 (da Merptxdt); 5, p. 18-20 (da Stereometfica)], in (40) [••) Opera, 3,
p. 86 (da Merptxd); 5, p. 16-18 (da Stereometrica); 5, p. 198 (da Ilepi pirptov)], in
(41) [••) Opera, 5, p.‘198-200 (da Ilepi pirptov)], le prime due ottenute mediante
sviluppo (cfr. oss. la del presente §) ; ed inoltre quelle contenute in (39)* [••) Opera, 3,
p. 98 (da Merptxd), per il cilindro retto od obliquo; 5, p. 18-20 (da Stereometrica)],
in (40)* [••) Opera, 3, p. 96 (da Merptxdt), cosi per il cono retto (xcovo<; dp04^) come
per il cono obliquo (x£>vo$ стх<хХт)у6<;); 5, p. 10-12, p. 16 (da Stereometrica)], in (41)*
[’•) Opera, 5, p. 12-16 (da Stereometrica)]. Ma riguardo al volume del cilindro, retto
od obliquo, la regola rientra in una considerazione affatto generale riflettente il caso
di una base di forma qualunque, con esemplificazione concemente una base ellittica
[cfr. ••) Opera, 3, p. 94 (da Merptxi)].
1M) Poliedri inscritti di tale tipo si incontrano [cfr.1M)] in Euclide., La denomi-
nazione « poliedri. pseudoregolari» trovasi in P. Predella, Leziom di Geometria, 2*
ed., Torino 1911, p. 31, ove si utilizzano poliedri circoscritti.
164
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
b) Si possono invece introdurre«superficie di rotazione в»
(inscritte e circoscritte) nel modo seguente.
Si divida una semicirconferenza di circolo massimo (meridiano) in
я archi eguali. Gli estremi (poli) e gli n — 1 punti di divisione sono
vertici di una spezzata regolare inscritta. Le tangenti nei punti di mezzo
degli n archi sono le rette dei lati di una spezzata regolare circoscritta.
Colla rotazione attomo all’asse congiungente i poli il meridiano
descrive la superficie sferica, la spezzata inscritta (risp. circoscritta)
descrive una superficie в inscritta (risp. circoscritta).
Per le aree delle superficie dei poliedri П (risp. per i volumi di essi),
per le aree delle superficie 0 (risp. per i volumi dei solidi da esse limi-
tati), valgono proprieta analoghe alle I, II, III (risp. I*, II*, III*)
di § 17.
Segue 1’esistenza e 1’unicita di un’area $ (di cui pud assumersi
come rappresentante il rettangolo R di cui siano lati la circonferenza
rettificata di circolo massimp ed il diametro), la quale pud definirsi:
a) Come elemento di separazione delle classi contigue delle
aree delle superficie dei poliedri П inscritti e circoscritti (oppure delle
aree delle superficie 0 inscritte e circoscritte).
P) Come estremo superiore (risp. inferiore) della classe delle
aree dei poliedri П inscritti (risp. circoscritti) [oppure delle aree delle
superficie 0 inscritte (risp. circoscritte)].
Segue altresi 1’esistenza e I’uniciti di un volume S (di cui pud
assumersi come rappresentante la piramide avente per base il rettan-
golo R e per altezza il raggio), volume che pud definirsi:
a*) Come elemento di separazione delle classi contigue dei
volumi dei poliedri П inscritti e circoscritti (oppure dei volumi dei
solidi limitati dalle superficie 0 inscritte e circoscritte).
/?♦) Come estremo superiore (risp. inferiore)'della classe dei
volumi dei poliedri П inscritti (risp. circoscritti) [oppure dei solidi li-
mitati dalle superficie 0 inscritte (risp. circoscritte)].
Si possono anche definite s ed S rispettivamente:
y) Come limite della successione delle aree delle superficie 0
(p. e. inscritte) al crescere indefinite di n.
у*) Соте*, limite della successione dei volumi dei solidi limi-
tati dalle superficie 0 (p. e. inscritte) al crescere indefinite di я.
Analoghe considerazioni possono farsi per i poliedri П con my n
entrambi indefinitamente crescenti.
Se si ё svolta una teoria generale (anche non completa) sulle aree
delle superficie curve, ha senso dire che 1’area della superficie della
sfera e compresa fra quelle delle superficie dei poliedri П inscritti e
circoscritti (risp. fra le aree delle 0 inscritte e circoscritte) ed identi-
ficare 1’area della superficie sferica con s. Analogamente per il volume
deUa sfera e per S.
Ma sono logicamente accettabili anche procedimenti per defini-
zione.
Si pub osservare che f ё il quadruple dell’area del circolo massimo
XXIII. - Teoria della misura
165
ed e I’area della superficie laterale del cilindro avente per base un cir-
colo massimo e per altezza il diametro, mentre 5 e f del volume di
detto cilindro.
La determinazione del volume della sfera si pud anche ricondurre
a quella del volume dell’emisfero mediante «scaloidi» [cfr.m)]. Non
e possibile determinare I’area della superficie sferica mediante sviluppo
perche tale superficie non e sviluppabile (cfr. Oss. la di § 19).
Introdotte le unita u, U, U, ed indicate con r, a, S le misure del
raggio, di r, di S, valgono le formole:
(42) a = 4 n rz ,
4
(42)* 27 =-^лг3.
о
Lo strato limitato da due piani paralleli, ciascuno dei quali sia se-
cante о tangente alia sfera, determina per interferenza colla superficie
una « zona » (che si riduce ad una « calotta » se uno dei piani fe tangente,
alia superficie sferica se entrambi lo sono) e per interferenza colla sfera
determina un solido detto « segmento sferico» oi regola a due « basi »
(ad una base quando uno dei piani sia tangente, la sfera stessa quando
lo siano entrambi); l’altezza dello strato dicesi altezza della zona (o
calotta) e del segmento.
I raggi della sfera proiettanti i punti di una zona (o calotta) riem-
piono un « settore sferico »; quelli proiettanti i punti di un fuso riem-
piono uno « spicchio sferico ».
Le rispettive aree ed i rispettivi volumi possono introdursi con
metodi analoghi a quelli sopra descritti, ottenendo i risultati seguenti.
Indicate con h e a le misure dell’altezza e dell’area di una zona
(o calotta) e con 27 quella del volume del corrispondente settore, si
hanno le:
(43) a = 2 л r h ,
(43)* 27=|тгг2Л,
le quali si riducono a (42), (42)*, per h = 2r.
Per il segmento sferico ad una base valgono le:
(44) 27 = |лЛ2(Зг —Л) ,
(45) 27 = & h
(hybyS misure dell’altezza del segmento, del raggio della base, del
volume del segmento); e per quello a due basi le:
(46) |я [^(Зг-ЛО-ЛаЧЗг-А*)] ,
(47) 27 = £ л h3 + | я ft/ h + | л bii h
166
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
(Л, h19 h2 misure delle altezze del segmento proposto e dei due ad una
base dai quali ricaVasi per differenza, ht > h2; bu b2 misure dei raggi
delle basi).
Infine, dette a, a, S la misura in radianti (§ 11) dell’apertura di
un fuso, la misura dell’area di questo e quella del volume del corrispon-
dente spicchio, valgono le :
(48) a = 2 a r2 ,
(48)* 2?=§аг3,
le quali si riducono alle (42), (42)* per a = 2 n.
La (48) rientra nella:
(49) a = e r2
per un poligono sferico di cui e sia la misura in radianti dell’eccesso
sferico12e).
Le (42)*, (43)*, (48)* rientrano nella:
(50)
ove a e S sono le misure dell’area di una regione della superficie sferica
e del volume del solido riempito dai raggi proiettanti i punti della re-
gione.
Alla (50), mediante la (49), pud ricondursi il caso della piramide
sferica * 13 * * * * 18°).
12e) Alla (49) pud raccostarsi qualcuna delle considerazioni svolte sui poligoni
sferici al § 12.
13°) Euclide, nella prop. 17a di Libro XII [I. L. Heiberg, г), 4, p. 228] dimostra
che, date due sfere concentriche, ё possibile inscrivere nella maggiore un poliedro la
cui superficie non abbia punti comuni con quella della sfera minore; ed utilizza po-
liedri П {cfr.122)]. Nella prop. 18a (ibid., p. 242) dimostra che i volumi di due sfere
stanno fra loro come i cubi dei diametri, con un procedimento di esaustione (§ 14)
fondato sulla prop. 17a e sulla tacita ammissione che, assegnato un volume, sempre
esista una sfera di tai volume [tacita ammissione questa che si rirrova in A. M. Le-
gendre112), p. 298, generalizzata per un settore sferico simile ad uno dato]. Colla prop.
18a Euclide chiude il Libro XII, senza dire [cfr. 51)] della superficie sferica.
Archimede nell’opera Ilepl oqxxlpa? xal xuXlvSpou [w), A)], colle prop, da 24a
a 32a di Libro I, introduce le superficie di rotazione 0 (inscritte e circoscritte) ed i
solidi da esse racchiusi, considerandone aree e volumi; indi, colla prop. 33a [I. L.
Heiberg 88), b\ 1, p. 120], applicando un metodo di esaustione, stabilisce che Гагеа
della superficie sferica ё quadrupla di quella di un circolo massimo e, colla prop. 34a
[ibid., p. 124], similmente che il volume della sfera ё quadruple di quello di un cono,
di cui la base ё un circolo massimo e 1’altezza il raggio; dopo di che, in un corollario
(7t6pujp,a), aggiunge [ibid., p. 130] che il volume della sfera (risp. 1’area della superficie
sferica) ё } del volume (risp. dell’area della superficie totale) del cilindro di cui base
ed altezza sono circolo massimo e diametro della sfera (cilindro circoscritto alia sfera).
La sfera col cilindro circoscritto fu riprodotta sulla tomba di Archimede, come risulta
dal seguente passo di Cicerone [M. Tullii Ciceronis, Tuscuianarum disputationum
ad M. Brutum libri quinque (G. Tischer), Lipsia 1854, p. 241] :.Archimedem. Cuius
XXIII. - Teoria della misura
167
21. I metodi elementari in relazione a quelli dell’Analisi
infinitesimale. — Nell’ambito del presente articolo, i mejtodi elemen-
tari possono porsi in relazione con quelli dell’Analisi infinitesimale
[cfr. •°)] sotto due diversi aspetti: sotto 1’aspetto storico, in quanto inte-
ressi il passaggio dai metodi di esaustione (§ 14) a quelli propri del-
1’Analisi infinitesimale, e sotto 1’aspetto didattico, in quanto sui me-
ego quaestor ignoratum ab Syracusanis, quum esse omnino negarent, saeptum undique et
vestitum vepribus et dumetis indagavi sepulcrum. Tenebam emm quosdam senariolos, quos
in eius numumento esse inscriptos acceperam, qui declarabant in summo sepulcro sphaeram
esse positam cum cylindro. Ego autem cum omnia collustrarem oculis (est enim ad portas
Agragianas magna frequentia sepulcrorum) ammum adverti columellam non multum a
dumis eminentem, in qua inerat sphaerae figura et cylindri. Atque ego statim Syracusanis
{erant autem principes mecum) dixi, me illud ipsum arbitrari esse, quod quaererem. Immissi
cum falcibus multi purgarunt et aperuerunt locum. Quo quum patefactus esset aditus ad
adversam basim accessimus. Apparebat epigramma, exesis posterioribus partibus versi-
culorum dimidiatis fere. Ita nobilissima Graeciae civitas, quondam vero etiam doctissima,
sui civis unius acutissimi menumentum ignorasset, nisi ab homine Arpinate didicisset.
Sempre nell’op. cit., Archimede, colle prop. 42, 43 di Libro I (ibid., p. 156-158),
dimostra che I’area della calotta eguaglia quella del circolo il cui raggio ё la corda che
va dal vertice alia circonferenza di base, colla prop. 44 (ibid., p. 160) eguaglia il volume
del relative settore sferico (to[aed<; oqxx(pa<;) a quello del cono avente per altezza il
raggio e base d’area eguale a quella della calotta e colla prop. 2 di Libro II (ibid., p.,174)
determine il volume del segmento, ad una base (тцт)р,а trepaipat;), in modo corrispon-
dente [cfr. form. (44), (45)] alia formola :
те b* h(3r — Л)
3 2 r — h
Indi risolve i problemi della trasformazione di un cilindro (o cono) in una sfera
(ibid., p. 170), della divisione della superficie sferica in due calotte in dato rapporto
(ibid., p. 184), della divisione della sfeia in due segmenti in dato rapporto (ibid., p. 186),
della costruzione di un segmento sferico simile a un dato ed equivalente ad altro
dato о con calotta equivalente ad altra data (ibid., p. 186, p. 194). Infine, colla prop. 9
di Libro II (ibid., p. 222) dimostra che, fra i segmenti sferici le cui calotte hanno aree
eguali, ha volume massimo quello emisferico.
Erone, in "Opot [••), d)], dedica ad enti concementi la sfera le def. 76-82 [31)
Opera, 4, p. 52-54] ; ed in piu punti delle sue opere applica a casi numerici i risultati di
Archimede, spesso con espliciti riferimenti. Cosi per I’area della superficie sferica e per
il volume della sfera fa uso di regole- corrispondenti alle formole (42), (42)* [cfr. 3e)
Opera, 3, p. 86, p. 122 (da Метрсха); 5, p.2-8, p. 58, p. 64, p. 68 (da Stereometrica);
p. 190, p. 200 (da Ilepi pixpcov)], ma considera altresi 1’emisfero (^puotpaipov) e
la corrispondente calotta [••) Opera, 5, p. 58-60 (da Stereometrica)] e, piii in generale,
il segmento sferico (ad una base) e la corrispondente calotta [*’) Opera, 3, p. 88, p. 122
(da Merptxa); 5, p. 66-68, p. 70 (da Stereometrica)], valendosene anche per varie
applicazioni [••) Opera, 3, p. 124 (da Метрьха); 5, p. 60, p. 74-76, p. 114-116 (da
Stereometrica)]. Di piii risolve i problemi archimedei sulla divisione della superficie
sferica e della sfera [••) Opera, 3, p. 170, p. 184 (da Метрьха)].
Fra i risultati anteriori alia Geometria greca, va particolarmente segnalato quello
concemente I’area della calotta emisferica (come doppia dell’area del circolo base),
risultato implidto in un problema del « Papiro di Mosca ». Cfr. percid W. W. Struve 113);
Ett. Bortolotti 113); dubbi sull’interpretazione del testo solleva peraltro T. E. Peet,
J. Egyptian Archaeology, 17 (1931), p. 100-106.
Propriety riflettenti volume ed area del tutto analoghe a quelle della sfera pos-
seggono gli « osoedri » (1751) di V. Caravelli, dei quali sono caso particolare i «po-
liedri cilindrici» di N. di Martino (resi di pubblica ragione nel 1768, ma forse altri-
menti giA noti). Per tutto cid e per le dtazioni relative cfr. Part.XXVI di questa Encicl.41),
§ 32 [e specialmente nota™)].
168
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
todi usati nell’insegnamento della Geometria elementare abbiano in-
finite i raffinamenti critici e le conoscenze generali che si accompagnano
agli sviluppi dell’Analisi.
a) Sotto il primo aspetto ё intanto dai osservare che uno studio
approfondito della Geometria greca ed in particolare dell’opera di
Archimede pud attenuate il distacco fra il periodo classico e I’attuale,
sia per la notevole estensione dei risultati ardiimedei sostanzaalmente
equivalenti ad integrazioniш), sia регсЬё, se i metodi di esaustione
costituivano I’unico mezzo di sistemazione giudicato legittimo, mag-
giore scioltezza e maggiore modernity di vedute si riscontra nei metodi
puramente euristici181 182 * * *).
181) Oltre ai risultati piii elementari giA incontrati [cfr.186),117),1W)], sono qui
da citarsi:
I. Determinazione delFarea dell’ellisse; cfr. I. L. Heiberg38), b)t 4, p. 276
[da”), C)].
II. Determinazione dell’area del « segmento » di parabola; cfr. I. L. Heiberg38),
6), 2, p. 261-315 [da •*)» E)]» 2, P* 434-438 [da *ЕфоЗо<;] ; E. Rufini •*), P- 112-116.
III. Determinazione del volume dell’ellissoide di rotazione e di un «segmento »
di esso; cfr. I. L. Heiberg m), b), 1, p. 392-444 [da *7), C)]; 2, p. 446-454 [da лфоЗо<;] ;
Е/ Rufini "), P- 124-130.
IV. Determinazione.de! volume del «segmento » di paraboloide di rotazione;
cfr. I. L. Heiberg m), 3), 1, P- 344-370 [da 87), C)]; 2, p. 454-458 [da *ЕфоЗо<;]; E. Ru-
fini П, P- 130-133.
V. Determinazione del volume del«segmento » di iperboloide di rotazione
(a punti ellittici); cfr. I. L. Heiberg m), b\ 1,. p. 370-392; [da •*), C)]; 1, p. 484 [da
‘'ЕфоЗо^]; E. Rufini 87), p. 160.
VI. Determinazione del volume dell’ «unghia cilindrica » staccata da un ci-
lindro (retto, circolare) mediante il piano individuato dal centro di una base e da una
tangente all’altra; cfr. I. L. Heiberg m), b\ 2, p. 484-506 (da ’'ЕфоЗо^); E. Rufini •’J,
p. 161-178.
VII. Determinazione del volume del solido comune a due cilindri inscritti
in un cubo; cfr. per 1’enunciato I. L. Heiberg 88), b), 2, p. 426-428 (da ”ЕфоЗо<;) e,
per una ricostruzione della dimostrazione perduta, E. Rufini ®7), p. 179-187.
VIII. Determinazione delFarea della regione descritta dal raggio vettore di
una spirale di Archimede ; cfr. I. L. Heiberg w), b), 2, p. 86-120 [da •7), D)].
Si prescinde qui dalle integrazioni implicite nella ricerca di centri di gravitA.
188) La classica compiutezza delle dimostrazioni di Euclide e di Archimede
fondate sui metodo di esaustione non pud essere che il risultato di una revisiqne fri-
tica di procedimenti meno rigorosi. Il che in parte pud ritenersi anche stoncamente
accertato.
Perd sotto questo aspetto ha avuto particolare importanza la scoperta (I. L. Hei-
berg, 1906) di un codice contenente (fra altro) il manoscritto del Metodo CEcpoSoc;)
di Archimede in cui questi, scrivendo ad Eratostene, liberamente lo informa sulle
vie seguite per raggiungere i risultati piii tardi rigorosamente dimostrati.
Le considerazioni di statica ivi esposte [che in certo modo si possono rawicinare
a quelle, puramente geometriche, su cui B. Cavalieri fonderA la sua teoria degli indi-
visibili, cfr.187 188)] implicano sostanzialmente il concetto di integrals definite.
Vedasi per tutto cid E. Rufini •7).
Del resto le somme di parallelogrammi e gli scaloidi che intervengono nelle di-
mostrazioni archimedee per esaustione possono raccostarsi ai sommatori che figurano
nella definizione di integrate secondo A. L. Cauchy e B. Riemann [cfr. Fart. XVIII di
questa Encicl. 84), § 27], preceduti da P. Mengoli [cfr. p. e. Err. Bortolotti, La
scdola matematica di Bologna} Bologna 1928, p. 39-40, e 1M),1M). Soltanto manoa in
Archimede Fesplicito uso del «limite » e rimane la profonda differenza fra i metodi di
XXIII. - Teoria della misura
169
Storicamente ё tuttavia da rilevarai come i modelli greci siano
presumibilmente passati attraverso al periodo medioevale nella loro
sistemazione formale fedele ai metodi di esaustione, e come i primi
passi verso i metodi dell’AnaCsi infinitesimale sembrino diretti a sosti-
tuire i metodi classici con procedimenti piii redditizi регсЬё piu spediti
e piu vicini alia immediata intuizione. La fiducia in questi ultimi era
peraltro sostenuta [cfr. p. e. 147),ш)] dalla persuasione che i risultati
con essi conseguiti fossero altresi dimostrabili Coi metodi classici.
A tale proposito si diri qui brevemente di Luca Valerio (1552-
1618), di Johannes Kepler (1571-1630), di Bonaventura Cavalieri
(1591-1647), di Evangelista Torricelli (1608-1647).
L. Valerio138) stabilisce un metodo generale da lui esposto per
una classe di figure piane dotate di diametro (risp. di figure solide do-
tate di asse ed a base circolare od ellit-
tica), che modemamente corrisponde alia
introduzione di due classi contigue o, se si
vuole, di due succession! convergenti, col-
I’intervento (cfr. fig. 1) di figure piane in-
scritte e circoscritte composte di paralle-
logrammi (risp. con quello di scaloidi in-
scritti e circoscritti composti di cilindri) e
colla considerazione dell’elemento di sepa-
razione delle due classi contigue, ossia
del limite comune alle due succession!
convergenti1S4).
Tale considerazione ё resa fruttifera da un teorema 186) modema-
mente rispondente alia constatazione che, se E, F sono grandezze va-
riabili insieme in modo che sempre sia :
E.F=C.D
esaustione atti alia rigorosa dimostrazione di risultati sostanzialmente posseduti ed i
metodi dell’Analisi atti alia scoperta di risultati nuovi.
1M) De centro gravitatis solidorum Libri tres, 1* ed., Roma 1604; 2* ed., Bologna
1661. Commenti in H. Bosmans, Ann. Soc. scient. Bruxelles, 37 (1912-13), p. 211-228;
ed in O. Chisini10®), p. 100-104.
w) Coi seguenti enunciati:
Omni figurae circa diametrum in alteram partem deficients, figura quaedam ex pa-
raUelogrammis inscribi potest, et altera circumscribi, ita ut circumscripta superet inscriptam
minori spado quantaeumque magnitudine proposita [18®), 1* ed., 1, p. 14; 2®6d., p. 13].
Omni solido circa axim in alteram partem deficienti, cuius basis sit drculus vel el-
lipsis, figura quaedam ex cylindris, vel cylindri purtionibus aequalium altitudinum inscribi
potest, et altera circumscribi, ita ut drcumscripta superet inscriptam minori excessu qua-
cumque magmtudine proposita P“), 1® ed., 1, p. 26; 2® ed., p. 14].
1M) Eccone il testo : Si motor vel minor prima ad una maiorem vel minorem se-
cunda, minore excessu vel defectu quantaeunque magmtudine proposita, nomsnOtam ha-
buerit proportionem ; prima ad secundam eandem namsndtam habebit proportionem. Cfr. *®®)э
1* ed., 2, p. 6-8; 2* ed., p. 74-75; interpretazione letterale e concettuate in H. Bos-
mans 18®), p. 219; in O. Chisini 1o®), p. 103; ed in E. Rufini *), p. 59.
L. Valerio per Fintroduzione del concetto di limite. sembra qui precorrere P.
Mengoli ; per quest’ultimo cfr. I’art. XVII di questa Encicl. ®), § 1; Err. Bortolotti
*”), p. 38; e la nota14<). Di piii ё evidente 1’analogia fra i .metodi usati da L. Valerio
e quelli del Calcolo integrate.
170
Duilio Gigli e luigi Brusotti
(con C, D grandezze costanti) ed inoltre abbiasi:
lim E = A , lim F = В ,
allora si ha pure:
A : В = C : D .
J. Kepler, prendendo le mosse da Archimede di cui ripresenta
i risultati senza riprodume le dimostrazioni, prosegue in una spregiu-
dicata applicazione di metodi infinitesimal!, pervenendo anche a nuovi
risultati concementi specialmente solidi di rotazione136).
B. Cavalieri introduce la teoria degli indivisibility di cui qui si
dara breve notizia.
Data una superficie piana, si assuma nel piano una retta (la re gold)
e si considerino tutte le rette parallele a quella e su ciascuna di queste
il segmento intemo alia superficie о la somma dei segmenti a questa
interni (quando esistono). Cid, nel linguaggio usato dall’autore, si esprime
dicendo che si considerano «tutte le linee », ove la parola linea (retta)
ё da intendersi nel senso euclideo di segmento e 1’uso del plurale pud
forse awicinarsi all’uso euclideo del plurale nel senso di somma. Si-
milmente, dato un solido, si assuma un piano (la regola) e si considerino
tutti i piani paralleli a questo e su ciascuno (quando esista) la sezione
col solido (composta di una о piu regioni). Cid, col linguaggio usato
dall’autore, si esprime dicendo che si considerano «tutti i piani», ove
la parola piano e da intendersi nel significato euclideo di regione piana
e 1’uso del plurale pud forse intendersi nel senso gia accennato.
In un prima sistemazione13e), B. Cavalieri tende a considerare
« tutte le linee » (risp. « tutti i piani ») come una grandezza G nel senso
del Libro V degli Elementi di Euclide, e dalla proporzionali^ (nel senso
euclideo) dell’area della superficie (risp. del volume del solido) alia * 137
13e) Nella Stereometria doliorum (1615); cfr. J. Kepler, Opera omnia, 4, Franco-
furti a. M. et Erlangae, 1863, p. 545-647; vi si distingue una Prima pars (ivi, p. 545-
601) intitolata Curvorum regularium stereometria, contenente gli enunciati di Archi-
mede P7), A), C)] e complementi riflettenti la determinazione del volume per 90 tipi
di solidi di rotazione (fra cui il toro) ed una Secunda pars (ivi, p. 601-647) intitolata
Stereometria dolii austriaci in specie.,^! 1’ediziorie tedesca (1616), cfr. Opera omnia, 5,
Francofurti a. M. et Erlangae, 1864, p. 494-610.
J. Kepler applica la regola oggi detta di Guldino [P. Guldin (1577-1643),
Centrobaryca, Vienna 1640], secondo cui il volume di un solido di rotazione ё eguale
a quello di un cilindro di cui la base sia la sezione meridiana e l’altezza eguagli la lun-
ghezza della circonferenza descritta dal baricentro di detta sezione. Tale regola risale
peraltro a Pappo [cfr. Fr. Hultsch, Pappi math. Collectiones (Suvayojyv)), Berlin 1876-
78, 2, p. 682].
137) Cfr. B. Cavalieri, a) Geometria indivisibilibus continuorum novaquadam ratione
promota, 2* ed., Bologna 1653 (1* ed., Bologna 1635) ; b) Exercitationes geometricae sex,
Bologna 1647.
1M) Essa risponde al contenuto dei libri da 2° a 6® della Geometria [cfr.lt7), a),
p. 99-481] ed ё ripresa nelle Exercitationes, specialmente nella prima [cfr.1*7), b), p. 1-86],
col nome di Methodus prior. Interpretazioni e commenti in M. G. Sittignani, Period,
mat., (4) 13 (1933) p‘ 266-288.
XXIII. - Teoria della misura
171
rispettiva grandezza G13®) trae il fondamento del metodo, presentando
percid come cose ben distinte I’area e «tutte le linee» (risp. il volume
e «tutti i piani»). Il substrato intuitivo si rivela peraltro quando egli
par^gona «tutte le linee * a fili parallel! costituenti una tela e «tutti i
piani» a fogli parallel! costituenti un libro, pur awertendo che «linee »
e « piani» (gli «indivisibili » del « continuo ») sono in numero infinite
e senza spessore 14°).
In una seconda sistemazione 141) egli parte da una. proposizione
oggi nota come «principio di Cavalieri»142).
Modemamente cid equivale ad introdurre I’area (risp. il volume)
mediante 1’integrale:
debitamente limitato143), esprimendo f (a\ la lunghezza (risp. I’area)
della sezione della superficie (risp. del solido) colla retta x = a (risp.
col piano x = a); ove pero 1’integrale non si definisca con un passaggio
al limite ma si consideri semplicemente come un funzioijale di /(x),
dotato di determinate propriety formali, quali sono quelle che oggi si
scrivono144):
(51) ^kf (x) dx = k (x) d x, (k costante);
13®) Ё la prop. 3a del Libro 3® della Geometria : Figurae planae habent inter se
eandem rationem quam eorum omnes lineae iuxta quamvis regulam assumptae; et figurae.
solidae, quam eorum omnia plana iuxta quamvis regulam assumpta; cfr.137), a), p. 113;
riprodotta in137), b), p. 25.
14°) Cosi in137), 5), p. 3-4 si legge : Hie manifestum est figuras pianos ad instar
telae parallelis filis contextae concipiendas esse : solida vero ad instar librorum, qui pa-
rallelis foliis concemantur. Cum vero in tela sint semper fila et in libris semper folia nu-
mero finito, habent enim aliquam crassitatem, nobis in figuris planis lineae in solidis vero
plana numero indefinite, ceu omnis crassitiei expertiq, in utroque methodo supponenda sunt.
141) Essa risponde al contenuto del Libro 7° della Geometria [cfr.137), a), p. 482-543]
ed ё ripresa nella seconda delle Exercitationes [cfr.137), b), p. 87-176] col nome di Me-
thodus posterior.
142) Per la sua applicazione all’insegnamento cfr. p. e. A. Padoa, Boll. mat. 22
(1926) p. 1, che, per i solidi, cosi lo enuncia : « Se due corpi si possono collocare in modo
che le loro sezioni, mediante uno stesso piano qualunque di un prestabilito fascio di
piani parallel!, abbiano la stessa area, allora i due corpi hanno lo stesso volume ». Esso
risponde alia prop. la di Libro 7° della Geometria [137), a) p. 484; cfr. b), p. 88] : Figurae
planae quaecumque in eisdem parallelis 'constitutae, in quibus ductis quibuscumque eisdem
parallelis aequidistantibus rectis lineis, conceptae cuiuscumque rectae lineae portiones sunt
aequales, etiam inter se aequales erunt. Et figurae solidae quaecumque in eisdem planis
parallelis constitutae, in quibus ductis quibuscumque planis eisdem planis parallelis aequi-
distantibus, conceptae cuiuscumque sic ducti piani in ipsis solidis figurae planae sunt aequales,
pariter aequales inter se erunt. Qui aequalis ha il significato di toot; in Euclide 12).
143) B. Cavalieri si riferisce sempre a superficie piane comprese fra due paral-
lele ed a solidi compresi fra due piani parallel!. Cfr. percid p. es.142). La direzione del-
1’asse x = 0 (risp. la giacitura del piano x = 0) ё quella della « regola *.
144) La (51) risponde alle prop. 2* e 3a di Libro 7® della Geometria P37), a), p. 497-
501; cfr. piire137), b), p. 103-108]. La (52) ё implicita p. e. nelfe considerazioni intese
a dimostrare la prop. la di Libro 7°; cfr.142).
La definizione di integrate col passaggio al limite comparing in P. Mengoli. Cfr.
percid132),1M), ed inoltre A. Agostini, Period, mat., (4) 5, (1925), p. 18-3Q, p. 137-146.
172
Duilio Gigli e Luigi Brusotti'
(52) jf [/(*) + g (*)] <*« = jf/(«) dx + jf g (x) dx .
Le successive elaborazioni furono suggerite a B. Cavalieri dalle
obiezioni mossegli; a queste egli sempre rispose145 *) pur idimostrandosi
piuttosto proclive a vedere nel metodo uno strumento di larga portata14e)
che a discuterne il fondamento logico 147). Ad ogni modo, nel periodo
precedente I’avvento del Calcolo infinitesimale il metodo degli indivi-
sibili ebbe larga e meritata fortuna148); esso, per la prima volta, dava
alia Geometria una sistemazione che permettesse di ricavare nuove
quadrature da altre gii calculate, anzich£ affrontare ogni volta diret-
tamente il problema.
E. Torricelli 149 *), dapprima fedele ai metodi classici 16°), accetta
poi, anzi sostiene e magistralmente utilizza il metodo degli indivisibili151),
145) Fra i piti aspri oppositori va ricordato P. Guldin 13e); alia confutazione B.
Cavalieri destina* la terza delle Exercitationes P37), d),,p. 177-241)]. Cfr. anche B. Ca-
valieri 72), Trigonometria, p. 6-8. Per E. Torricelli cfr.151). Di piti B. Cavalieri,
mosso da altrui errate applicazioni del metodo, insiste sulla circostanza che nel con-
fronto di due figure il riferimento sia tale che la distanza fra due « linee ъ (risp. «piani »)
dell’una figura sia eguale a quella dei corrispondenti elementi nell’altra. A cid si rife-
riscono le considerazioni sul «transito » [cfr. specialmente137), a) p. 99-100; 137), ft),
p. 15-17, p. 238-239; e, per commento, M. G. Sittignani 138), p. 269-271].
14e) I principali risultati conseguiti da B. Cavalieri, col metodo degli indivi-
sibili quale ё qui presentato e colle estensioni di esso, possono (in linguaggio modemo)
riassumersi nel calcolo di:
j* у d x con у — a xm
(a costante; m intero) e di integrali che a questo si jiconducono mediante trasforma-
zione ♦ per parti» о « per sostituzione »; geometricamente vi sono comprese le deter-
minazioni d’area per parabole in senso largo e quelle di volume per i rispettivi solidi
di rotazione. Vedasi percid specialmente B. Cavalieri 137), d), p. 243-319 (Exercitaiio
quarta)], cfr. pure Ett. Bortolotti132), p. 36.
147) Cosi in137), d), p. 241, dopo di aver lasciato libero il lettore о di accettare i
principi o, altrimenti, di controllare i risultati coi metodi classic^ aggiunge : in his
enim iurgiis et disputationibus potius philosophicis quam geometricis, mihi fere semper
aegrotanti, nequaquam quod superest tempus inaniter terendum esse censeo.
143) Cfr. p. es. Ett. Bortolotti 132), p. 35. Per B. Pascal cfr. O. Chisini 103),
p. 109, per E. Torricelli cfr.151).
148) Cfr. E. Torricelli, Opere, edite da G. Loria e G. Vassura, Faenza 1919,
li, la, 3 e, per il coordinamento -del materiale ivi raccolto, Ett. -Bortolotti,
a) Period, mat, (4) 8 (1928), p. 19-59, specialmente p. 28; d) Rend. 1st. Bologna, (2)
32 (1927-28), p. 127-138.; un complemento in A. Agostini, a) Boll, mat., 26 (1930),
p. XXX. Commenti, interpretazioni e notizie sul contribute di E. Torricelli in E.
Jacoli, Bull. bibl. mat., 8 (1875), p. 265-304; G. Loria, a) Rend. Acc. Lincei, (5) 62
(1897), p. 318-327 ; d) Bibl. math., (3) 1 (1900), p. 74-80; Ett. Bortolotti, c) Rend.
1st. Bologna, (2) 26 (1921-22), p. 207; d) Archeion, 5 (1924), p. 212-227; e) 6 (1925),
p. 49-50; F. Weis, Arch. GescK Math., 10 (1927), p. 250-281, p. 345-355; A. Ago-
stini, d) Period, mat., (4) 10 (1930), p. 143-151; c) Archeion, 12 (1930), p. 33-37.
15°) Specialmente in De sphaera et solidis sphaeralibus [Opere14e), li , p. 1-87],
in De tactionibus (ibid. lx, p. 239-292) e negli scritti raccolti e coordinati da V. Vi-
VIANI (ibid., li , p. 329-407 ; la , p. 3-43, p. 49-55).
151) Il passaggio dall’uno all’altro atteggiamento si rivela in trattazioni svolte
con duplice metodo; p. es. in De drmensione parabolae [Opere149), li, p. 89-162] ed in
XXIII. - Teoria della misura
173
che amplia coll’uso degli indivisibili curvi152) e con quello degli indi-
visibili di una curva (cioe, in sostanza, deU’elemento d’arco)153). Disce-
polo di Galileo e di Cavalieri, egli tocca ormai la soglia del Calcolo
infinitesimale quale oggi si intende154 15).
P) Uno studio completo intomo all’influenza esercitata dal pro-
gresso dell’Analisi sulle sistemazioni didattiche elementari condur-
rebbe ad un esame dei singoli trattati, il che non e oggetto del presente
articolo165).
Qui, nel breve cenno, si prescinde intanto dall’indirizzo inteso a
De centro gravitatis sectoris drculi (ibid., 12, p. 57-77). Tuttavia interviene anche il
riguardo a lettori meno esperti nel nuovo metodo (ibid., lx, p. 194).
Ai probabili dubbi (ibid., 12, p. *45-48; 3, p. 44) segui 1’aperta adesione : « la
dottrina degli indivisibili, che ё la vena, e la miniera inesausta delle specolazioni belle,
e delle dimostrazioni a priori» (ibid., 3, p. 105); « La Nuova Geometria degli .Indivi-
sibili va per le mani dei dotti come miracolo di scienza e per essa ha imparato il mondo
che i secoli- di Archimede e di Euclide fiirono gli anni d’infanzia per la scienza della
nostra adulta Geometria » (ibid., 2, p. 20); e « gran promotore * degli indivisibili lo
giudicd B. Cavalieri stesso (ibid., 3, p. 114).
152) Cfr. specialmente Opere14e), lx, p. 173-180. Un esempio elementare si ha
nella dimostrazione dell’eguaglianza delle aree di С e T (§ 18), quando (ibid., p.' 174)
in C si introdiicano come indivisibili curvi le circonferenze concentriche ed in T come
indivisibili rettilinei le trasversali parallele alia base c. Nell’uso sistematico degli in-
divisibili curvi pud vedersi 1’equivalente delle odieme integrazioni « per sostituzione ».
15S) Cfr. p. e. con Opere14e), 12, p. 320. Per comment! vedasi Ett. Bortolotti14*),
a), p. 41; 5), p. 137-138.
164) Fra i risultati conseguiti da E. Torricelli, oltre alia trattazione piii generale
dei problemi affrontati da B. Cavalieri [cfr.14e)], e ciod al calcolo di:
J у d x con yn = d x w,
(m, n interi positivi о negativi), sono da ricordare :
A) La introduzione di inviluppi di curve (colla parabola di sicurezza) [cfr.
Opere1*9), 2, p. 178-180].
B) La considerazione ed il calcolo di integral! impropri, p. es. sotto la forma
della determinazione del volume (finito) di solidi indefinitamente estesi (come il « so-
lido jperbolico acutissimo ») [cfr. Opere1*9), lx, p. 173-221]; ed inoltre la conoscenza
per tali integral! di criteri d’esistenza equivalenti agli odierni.
C) La regola generale per la riduzione a quadrature del problems del centro
di gravity [cfr. Opere1*9), 3, p. 365-368], supposta la figura dotata di asee о di diametro.
D) L’introduzione di concetti equivalent! agli odierni di differenziale e di
rapporto di differenziali (derivata) [cfr. specialmente Opere 14eJ, 12, p. 320-324].
E) Il riconoscimento del carattere di problemi inversi per i due problemi
fondamentali dell’Analisi infinitesimale (derivazione о differCnziazlone, integrazione о
quadrature), riconoscimento che, sotto un certo aspetto, segna finizio della nuova
visione e dei nuovi sviluppi in opposizione alle vedute ed ai metodi anterior! [cfr. spe-
cialmente. Opere1*9), 12, p. 310, p. 312].
F) La prima rettificazione di una curva (ia spirale logaritmica, la cui quadra-
ture E. Torricelli attribuisce a M. Ricci) [cfr. Opere1*9), 12, p. 361-373, poi 351-361].
Per tutto cid vedi specialmente Ett. Bortolotti 14*), a); ma per F) anche G.
Loria 14e), a), b); Ett. Bortolotti 14e), b); A. Agostini 14e), a), 5).
In B. Pascal, Oeuvres computes, Paris 1906-1909, 3, p. 77, a proposito di E.
Torricelli si legge : «... un g6nie si illustre& et dont nous avions d£j& re?u des pro-
ductions en glomltrie, qui surpassent toutes celles de I’antiquitl.. Je ne crains pas
d’£tre d6savou6 de cet 61oge par aucun de ceux qui sorit capables d'en juger *.
1M) Nel vol. 3d di questa Encicl. sari contenuto un articolo sui libri di.testo.
174
Duilio Gigli e Luigi Brusotti
portare nell’insegnamento medio, con eventuali adattamenti, i concetti
stessi dell’Analisi infinitesimale (in particolare, per quanto riflette la
Teoria della misura, il concetto di integrale definitp).
Piuttosto si osservera come in un primo tempo 1’abbandono della
posizione euclidea in cui il carattere di grandezza degli enti studiati e
sottinteso (cfr. § 9), nelle trattazioni relative al circolo ed ai corpi ro-
tondi elementari (§§ 18, 19, 20), abbia segnato la tendenza a definire
lunghezze, aree e volumi caso per caso, con definizioni logicamente
ineccepibili, ma tali da mantenere nella mente dei discenti.in certo
modo separate la sistemazione formale e la diretta intuizione. I com-
ment! alia definizione possono peraltro, rivelando il substrate psicolo-
gico, ristabilire il collegamento.
In un secondo tempo si e preferito introdurre in modo generale
i concetti di lunghezza, di area, di volume (o, se si vuole, i corrispo’n-
denti criteri di equivalenza), a cid poi riconducendo i singoli casi’ele-
mentari nei quali si voglia raggiungere una effettiva determinazione.
Un orientamento in questo senso, preseritato in modo tale da ravvici-
nare le. trattazioni didattiche agli ultimi risultati della critica, si ritrova
in H. Lebesgue26).
Fra gli argomenti che, anche nel campo della dottrina, hanno
dato maggior luogo a critiche e rielaborazioni va ’posto quello della de-
terminazione dell’area di una superficie curva, per cui, accanto alle
sistemazioni che ripetono le loro origini da quella di Archimede 1E6), e
in particolare da ricordare la definizione di H. Minkowski. In essa,
introdotto lo strato costituito dai punti interni alle sfere di dato raggio r
Col centro sulla superficie, indi il rapporto fra il volume di questo e il
diametro 2 r, si definisce come area della superficie il limite a cui tende
il rapporto per r tenoente a zero * 157 158), 168).
16°) (Sfr., anche per notizie e raffronti : F. Sibirani, Period, mat., 21 (1906),
p. 32-43; H. Lebesgue, Ann. mat. pura appl., (3) 7 (1902), p. 231-359 (specialmente
p. 298-318); Enseign. math., 10 (1908), p. 212-220; “); L. Tonelli, Rend. Acc.
Lincei, (6) 3 (1926), p. 357, p. 445, p. 633; (6) 5 (1927), p. 313; F. Severi, Rend. Acc.
Lincei, (6) 5 (1927), p. 471-479.
Cfr. pure Fart. XVIII di questa Encicl. 34),§54, e Fart.XXI di questa Encicl.60),§48.
Per quanto riguarda Archimede cfr. § 16 ed inoltre1Я7), 1Э0).
157) Cfr. H. Minkowski, Jahresb. deutsch. Math.-Vereinig, 9 (1901), p. 115-121,
oppure Gesammelte Abhandlungen, 2, Leipzig und Berlin 1911, p. 122-127. Un pre-
cedente in C. W. Borchardt, J. math, pures appl., 19 (1854), p. 369-394, oppure Ge-
sammelte Werke, Berlin 1888, p. 65-89, ove, essendo lo strato compreso fra la super-
ficie data ed una parallela, ё implicita 1’esistenza della normale.
Commenti alia definizione di H. Minkowski in F. Sibirani 16°), F. Severi 16°),
e nell’art. XXI di questa Encicl. w), § 48; un complemento relative alFeffettivo calcolo
in F. Sibirani, Rend. 1st. Lomb., (2) 57 (1914), p. 383-398.
In relazione coll’insegnamento della Geometria elementare cfr. E. Artom, Boll,
mat., 17 (1920-21), p. 246; L. Brusotti, Period, mat., (4) 2 (1922), p. 49-55; O. Chi-
sini 103), p. 127 ; P. Tortorici, Period^mat., (4) 12 (1932), p. 206.
158) Ё appena necessario osservare che 1’espressione «teoria della misura » posta
a titolo del presente art. acquista significato piii generale ed alquanto diverse nella teoria
degli aggregati. Sotto questo aspetto cfr. Fart. XIX di questa Encicl. (G- Vivanti,
Rapporti fra la Teoria degli aggregati e la matematica elementare), § 11, e Fart. XXI di
questa Encicl.60), § 46.
XXIV
LA GEOMETRIA DEL TRIANGOLO
di VIRGINIO RETALI t
e GIUSEPPINA BIGGIOGERO a Milano
Una prima redazione dell’articolo sulla Geometria del triangolo era stata fatta
fin dal 1930 dal compianto Prof. Virginio Retali. La morte colse 1’Autore il 5 maggio
di quell’anno, prima ch’Egli potesse completare I’articolo e sistemarlo secondo le esi-
genze dell’Enciclopedia. Questa Direzione ё grata alia sigma Prof. G. Biggiogero
di aver accolto 1’invito di riprendere e condurre a termipe il lavoro iniziato dal Retali.
Virginio Retali, di Ferdinandp e di Effisia Salustri, nacque a Masciana Marina
(Livorno) il 24 novembre 1853. Laureatosi in scienze fisiche e matematiche a Pisa nel
1874, insegnd invari istituti medi di Alessandria, Como, Venezia, Milano. Le sue pubbli-
cazioni scientifiche, tutte rivolte ad argomenti di geometria, gli ottennero nel 1888
la eleggibility a Professore ttraordinario di Geometria Proiettiva e Descrittiva nella
R. University di Bologna, e nel 1889 il premio ministeriale della R. Accademia dei
Lincei. Le preclare quality del suo animo e le sue doti non comuni di insegnante glr
guadagnarono da amici, colleghi e discepoli quei sentimenti di stima profonda e di
devoto affetto, che manterranno sempre viva la memoria di Lui.
INDICE
I. - Introduzione.
Pag.
1. Oggetto della geometria del triangolo.................................... 179
2. Cenni storici e bibliografici............................................ »
3. Notazioni................................................................ 180
II. - Sistemi di coordinate.
4. Coordinate cartesiane.................................................... 181
5. Coordinate baricentriche ................................................ »
0. Coordinate normali...................................................... 182
7. Coordinate tripolari...................................................... »
8. Coordinate angolari о trigoniche.......................................... 183
III. - Punti notevoli.
9. Baricentro 183
10. Ortocentro.............................................................. 184
11. Circoncentro............................................................ 185
12. Incentro ed excentri.................................................... 186
13. Punti complementari. Punti di Feuerbach. Punti di Nagel.............. 188
14. Punti di Gergonne....................................................... 190
15. Punti isotomici. Punti reciproci. Punto di Lemoine...................... »
16. Punti isogonali о inversi .............................................. 191
17. Centri isogonici (o punti gemelli). Metapoli. Punti isodinamici......... 193
18. Punti di Crelle-Brocard, di Tarry, di Steiner ................. 195
IV. - Rette notevoli.
19. Mediane, altezze, assi, bisettrici, retta di Euler, rette conjugate isotomiche,
rette isogonali, simediane, retta di Brocard ................................. 197
20. Polare trilineare. Asse ortico e assi antiortici. Retta di Lemoine...... »
21. Trasversali reciproche. Retta di de Longchamps ......................... 198
22. Retta di Wallace........................................................ 199
V. - ClRCOLI NOTEVOLI.
23. Circoncerchio, incerchio, excerchi, circolo di Feuerbach, circolo di Brocard 200
24. Circoli di Apollonio...................................................... »
25. Circoli di Lemoine........................................................ »
178
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
Pag.
26. Circoli di Tucker. Circolo di Taylor...................................... 201
27. Circoli di Neuberg....................................................... »
28. Circoli di M’ Cay......................................................... 202
29. Circoli di Schoute....................................................... »
30. Circolo di de Longchamps ................................................ »
31. Circolo di Adams. Reti di circoli......................................... 203
VI. - Ellissi, iperbole e parabole notevoli.
32. Sulle coniche inscritte о circoscritte al triangolo....................... 203
33. Ellissi di Steiner. Ellisse di De Longchamps.............................. 205
34. Ellissi di Mandart. di Brocard, di Lemoine. Ellisse K. Ellisse Q.......... 206
35. Iperbole di Kiepert ..................................................... 207
36. Iperbole di Feuerbach. Iperbole di Jerabeck ........................... »
37. Parabole di Artzt. Parabole di Brocard................................ 208
38. Parabole di Mandart e di Kiepert ..................................... 209
VII. - Triangoli omologici. Estensione proiettiva della geometria
DEL TRIANGOLO.
39. Triangoli omologici....................................................... 209
40. Triangoli ortologici...................................................... 211
41. Cenno sulla estensione proiettiva della geometria del triangolo........... 212
I. * Introduzione.
1. Oggetto della geometria del triangolo. — Le proprieta del
triangolo furono studiate fin dai tempi piii antichi. In particolare fu-
rono consideratix) quattro «punti notevoli», che si presentano fin da
principio come intimamente collegati a quella figura: i punti di con-
corso delle mediane, delle altezze, degli assi dei lati, delle bisettrici
degli angoli interni. La precedente denominazioue, introdotta da G. S.
KLiiGEL 2 3), ё ancora in uso oggidi, ЬепсЬё ai quattro nominati, molti
altri punti notevoli del triangolo siano stati aggiunti posteriormente.
Insieme con essi, possono dirsi« notevoli» anche altre figure, par-
ticolarmente rette (anzitutto quella sulla quale — come dimostrd L. Eti-
ler ?) — sono allineati i primi tre dei quattro punti precedenti) e coniche
(e in particolare cerchi) ed anche talune trasformazioni lineari e qua-
dratiche. Cosicche si pud dire, quantunque in modo alquanto impre-
ciso, che la recente geometria del triangolo ё lo studio dei punti, delle rette,
dei cerchi e delle coniche notevoli del triangolo e delle trasformazioni no-
tevoli, lineari e quadratiche, cui dd luogo la considerazione del triangolo
stesso,
2. Cenni storici e bibliografici. — Quantunque, come si ё
detto, alcuni risultati sull’argomento risalgano ai tempi piu antichi,
si pud dire che la recente geometria del triangolo ebbe inizio con E. Le-
moine 4 *), il quale nel 1873 presentava al Congresso di Lione, indetto
dall’Association franfaise pour ravancement des Sciences una memoria
« Sur quelques proprietes d'un point remarquable d’un triangle». Quel
punto fu chiamato dallo stesso E. Lemoine centro delle mediane antipa-
rallele (cfr. § 15 e 16); in seguito fu chiimato punto di Lemoine о punto
di Grebe. Invero esso era noto fin dal 1809 a S. Lhuilier 6), ed era
x) Cfr. J. Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik, 2a ed., Berlin-Leipzig
1923, 2, p, 163 e seg.
’) G. S. Klugel, Mathematisches Wdrterbuch, Leipzig 1303, p. 926.
3) L. Euler, Novi Comm. Ac. Petrop., 11 (1765, edt 1767), p. 103.
4) E. Lemoine, Assoc, fr., Congrfes Lyon, 2 (1873), p. 90; Nouv. Ann. math.,
(2) 12 (1873), p. 364.
8) S. Lhuilier, Elements d* Analyse g&amitnque et d* Analyse alg&rique, Paris
1809, p. 296.
180
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
riapparso nel 1847, insieme a certe sue proprieta, in E. W. Grebe 6),
donde la denominazione di«punto di Grebe», specialmente usata in
Germania.
Ai lavori di E. Lemoine molti altri si riattaccarono, specialmente
per opera di H. Brocard, G. de Longchamps e J. Neuberg ; organi
principal! di questi studi furono le Nouvelles Annales de Mathhna-
tiqueSy il Journal de Mathematiques elementaires, il Journal de Mathema-
tiques Speciales, Mathesis e ГArchiv der Mathematik und Physik. Dei
moltissimi lavori sull’argomento, ci limiteremo, per brevity, a citare
soltanto i principal!7 8 * 10).
3.. Notazioni. — I vertici del triangolo si indicheranno con A,
В, C; i lati ad essi rispettivamente opposti (segmenti e rette) con a,
b, c. Con a, fi, у si denoteranno gli angoli interni di vertici А, В, C.
Dato, nel piano del triangolo, un punto P, si diranno ceviane le
rette A P, В P, С P; le loro intersezioni coi lati a, b, c si indicheranno
ordinatamente con Pa, Pp, Py . Invece con Pa , Pb , Pe si denoteranno
le proiezionr ortogonali di P sui lati a, b, c, e il triangolo Pa Pb Pe si
diri triangolo pedale di P.
.11 triangolo А В С о la sua area verranno spesso indicati con A.
Altre notazioni usate nel presente articolo sono le seguenti:
Ai > Ao > A3 coordinate baricentriche di un punto,
X , У , * » normali » » »
Mi f » tripolari » » »
,*з » angolari » » »
•) E. W- G»bbe, Arch. Math. Phys., (2) 9 (1847), p. 250. Per la storia di questo
punto vedi J. S. Mackay, Proc. R. Soc. Edinb., 11 (1893), p. 92.
7) Per piu ampie notizie sull’argomento, si possono consultare le seguenti opere:
C. Alasia, La recente geometria del triangolo, Citt& di Castello 1900 ; J. Casey, Geomttrie
iUmentaire recente; trad, francese di F. Falisse, Paris 1890, riprodotta in Mathesis, (1)
9 (1889), p. &; J. Griffiths, Recent geometry of the triangle, London 1891; A. Pou-
lain, Principes de la nowuelle giometrie du triangle, Paris 1892; A. Clebsch - F. Lin-
demann, Vorlesungen uber Geometric, 2a ed., 1, Leipzig 1906, p. 312; W. Gallatly,
The modem geometry of the triangle, London 1910 ; E. Roucni - Ch. de Comb^rousse,
Traiti de geometric, 8a ed., Paris 1912, 1, Nota III di J. Neuberg, p. 443-513; 2, Nota
III di J. Neuberg, p. 595-641. Una esposizione delle propriety mediante il calcolo
vettoriale si trova in C. Burali-Forti, Fondamenti per la geometria del triangolo, Pa-
lermo 1919; cfr. pure 1’articolo di J. Sommer nelVEncyklop. d. math. Wiss., Ill A B,
8 (1914), n. 5. Una diffusa esposizione, con molte notizie bibliografiche, si ha nel-
1’articolo di G. Berkhan e W. F. Meyer nelV Encyckl. d. math. Wiss., Ill A B,
10 (1921), p. 1173. Vedasi farticolo di M. Zacharias, Encykl. d. math. Wiss.,
Ill A B, 9 (1921), p. 967, N. 14. Si possono anche utilmente consultare M. Simon,
Ueber die Eniwicklung der Elementargeometric im XIX Jahrhundert, Jahresb. deutsch.,
Math.-Vereinig, Erganzungsbfinde, Д, (1906), p. 124; J. Tropfke, Geschichte der Ele-
mentar-Math. 2a ed., Berlin-Leipzig 1923, 4, p. 60, 168. Molti teoremi si trovano anche
in L. BieberbaCh, Projektive Geometric, Leipzig-Berlin 1931, e ricco di notizie ё pure
1’opuscolo di C. Alasia, Saggio terminologico-bibliografico sulla recente geometria del
triangolo, Bergamo 1902. Una elegante trattazione della geometria del triangolo, assu-
mendo come assi coordinati due rette isotrope, ё svolta da A. Haarbleicher, De Гет*
plot des droites isotropes. сшпте axes de coordonnees (nouvelle gtomdtrie du triangle),
Paris 1931.
XXIV. - La geometria del triangolo
181
G baricentro del triangolo,
H ortocentro » »
О circoncentro » »
I incentro » »
H«)t /(»), /(«) excentri » »
r raggio del circoncerchio,
Q » dell’incerchio,
Qa > Qb , Qc raggi degli excerchi,
F centro del circolo di Feuerbach,
-4i B} Cx triangolo formato dalle parallele per А, В, C ai lati opposti,
J punto di Nagel,
Jt, J3 punti aggiunti al punto di Nagel,
г punto di Gergonne,
i\, r2, rs punti associati a quello di Gergonne,
к punto di Lemoine,
V, V' punti gemelli о centri isogonici,
W, W' punti isodinamici,
Q, Q' punti di Crelle-Brocard,
z centro del circolo di Brocard,
c®> primo triangolo di Brocard,
A® B^> C<2> secondo triangolo di Brocard,
T punto di Tarry,
R punto di Steiner,
(Na), (Nb), (AQ circoli di Neuberg,
Na, Nb, Nc centri dei circoli di Neuberg,
(Ma), (M6), (Me) circoli di M’Cay,
Ma , Mb, Mc centri dei circoli di M’Cay.
IL * Sistemi di coordinate.
4. Coordinate cartesiane. — Ё in talune question! opportuno
1’uso delle coordinate cartesiane, e allora conviene assumere come assi
di riferimento due lati del triangolo e, su di essi, il verso positivo in
modo che il terzo lato appartenga alia regione delle coordinate positive.
S. Coordinate baricentriche. — Sono frequentemente usate le
coordinate areali о baricentriche dei punti P, cio£ tre numeri , Л2 ,
Л3 proporzionali alle aree8) dei triangoli PBCf PC A, P A B. Se k
e il fattore di proporzionaliti, e:
+ ^2 4" = kA. 8
8) Si intende aree con segno. Un lato di Д divide il piano in due regioni, e di esse
si assume generalmente come positiva quella dove sta il terzo vertice. Cosi le coordt-
nate baricentriche dei vertici sono: А (Д, 0, 0), В (0, Д, 0), C (0, 0, Д).
182
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
Per k = 1 le coordinate baricentriche diconsi assolute; per k Ф 1
diconsi relative.
Ogni punto del piano del triangolo ё univocamente determinate
dalle sue coordinate baricentriche, avendosi
Py z В Ру = Л2 z j В Pa z C Pa == Я3 z Я2; C Pp z A Pp = z Я3.
I numeri , Я2, Я3 rappresentano anche la misura dei tre pesi
(positivi о negativi) che si dovrebbero applicare nei vertici Л, В, C
affinch£ il punto P risultasse il baricentro del sistema formato da tali
tre punti pesanti. Da cid il nome di questo sistema di coordinate.
6. Coordinate normali. — Diconsi coordinate normali di un
punto P tre numeri x, y, z proporzionali alle distanze •) di P dai lati
del triangolo fondamentale. Se m ё il fattore di proporzionalit^, si ha z
a х + Ьу + cz — 2 mA.
Per m = 1 le coordinate normali diconsi assolute; per m . ф 1 di-
consi relative.
Note le coordinate normali di un punto P, il punto ё univocamente
determinate, avendosi:
A PY z BPY = by z a x; BPa : CPa = c z z by; CPp : A Pp = ax z cz.
I passaggi dalle coordinate normali alle baricentriche e da queste
a quelle sono espressi dalle relazioni z
: Л2 z Л3 = a x z b у z c z.
7. Coordinate tripolari. — Diconsi coordinate tripolari™) di
un punto P tre numeri ih , А*г , p3 proporzionali о uguali alle distanze
di P dai vertici Л, В, C.
Dato P, ё unica h tema , u3) che gli compete; viceversa,
data una tema , p2 , /x3), esistono, nel caso della proportionality, due
punti P che corripondono alle coordinate assegnate; invece nel caso
delle vere distanze, nessun punto P corrisponde, in generale, alia tema
(Pi > ^2 > ^з)> tre coordinate essendo allora sovrabbondanti.
•) Anche le distanze di P dai lati vanno intese con segno, e solitamente si assume
come regione positive, rispetto a ogni lato, quella dove sta il terzo vertice.
10) Questo sistema di coordinate ё stato introdotto da A. Poulain, J. math, spde.,
(3) 3 (1889), p. 3-10. Contemporaneamente, ma attribuendo ai numeri
il"Significato di quadrati delle distanze di P dai vertici, il sistema ё stato introdotto da
E. Lucas, Mathesis, (1) 9 (1889), p. 129-134, 173-176. Sull’argomento vedi anche
G. Delitala, Period, mat., (2) 5 (1903), p. 124-137, 185-191.
XXIV. - La geometria del triangolo
183
Le coordinate tripolari di un punto P sono proporzionali ai lati
del triangolo pedale di P.
8. Coordinate angolari о trigoniche. — Diconsi coordinate an-
golari о trigoniche di un punto P i tre angoli » #3 sotto i quali
da P si vedono i lati BCt С A, A B11).
A seconda che P sia intemo о esterno a d, le sue coordinate an-
golari soddisfano 1’una о I’altra delle relazioni:
+ #3 = ± $60° , #! + + #з = 0.
Pertanto le coordinate angolari di un punto non sono tra loro in-
dipendenti: due di esse bastano per individuare il punto12).
III. * Punti notevoli.
9. Baricentro. — Era noto anche agli antichi che le mediane di
un triangolo concorrono in un punto. In Archimede13) tale punto
viene denominato centro del grave. Le traduzioni latine di Archimede
recano centrum gravitatis. Oggi esso e solitamente chiamato baricentro,
о centro di gravitd, о centro delle medie distanze, о centroide 14), e viene
quasi sempre indicato con G.
Sono notevoli le seguenti proprieta:
1) Il baricentro G divide ogni mediana in due parti, di cui quella
che ha un estremo nel vertice e doppia dell’altra. Cosi, essendo:
(G AG^ = (G В Gp) = (G C Gy) = | ,
ё:
(G A Ga) +(GB Gp) + (G C Gy) =1 15).
n) Dovendo attribuire agli dngoli un segno, bisogna prefissare nel piano un
verso positivo di rotazione.
12) Questo sistema di coordinate fu introdotto da A. Poulain, J. math, spec.,
(3) 4 (1890), quest. 282; J. math. 61. (sotto lo pseudonimo di Lormeau), (3) 5 (1891),
p. 35-41, 52-56, 73-79.
13) Archimede, ’Ежтсб&оу ьсторроти&у x^vrpa papcov Libro I, prop. 13
e 14; Archimedis opera omnia, ed. J. L. Heiberg, 2, 2a ed., Lipsiae 1913, p. 151-159
(De pianorum aequilibriis sive de centris gravitatis pianorum); Les oeuvres completes
d* Archimide, ed. P. Ver Eecke, Paris 1921, p. 316-320 (De I'equilibre des plans, ou des
centres de gravite des plans).
14) In F. Commanding, De centro gravitatis solidorum, Bononiae 1565, si trova
1’equazione caratteristica del baricentro, considerate come centro di gravity della su-
perficie triangolare omogenea e pesante. La sua considerazione puramente geometrica
trovasi in S. Lhuilier, Polygonomitrie, Paris 1789. La denominazione di centroide ё
usata in Inghilterra.
1S) Si noti che per ogni punto P del piano di A si verifica la relazione:
(PAPJ + (PBPp) + (PCPy) = 1.
Vedi J.' D. Gergonne, Ann. math, pures appl., 9 (1818-1819), p. 277. Ma i tre
rapporti semplici assumono valori uguali soltanto in G.
184
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
2) Una mediana e minore della semisomma dei due lati concor-
renti con essa. Da cui segue che:
3) La somma delle mediane e compresa tra il semiperimetro
e il perimetro.
4) La somma delle mediane e maggiore dei f del perimetro.
5) I segmenti che congiungono i tre vertici con G dividono
A in tre triangoli equivalenti.
Di qui scende che le coordinate baricentriche di G sono (1,1, 1).
E ancora che:
6) Le distanze di G dai tre lati di A sqtiq inversamente propor-
zionali ai lati stessi.
7) Il prodotto delle distanze di G dai tre lati e un massimo.
Infatti il prodotto P Pa P Рь P Pc e massimo quando lo e il prodotto
(P Pa • a/2) (P Pb • 6/2) • (PPC • r/2), il cui massimo si raggiunge
quando i tre fattori sono uguali, cioe quando P coincide con G.
8) La somma dei quadrati delle distanze di G dai tre vertici
e | della somma dei quadrati dei lati16).
9) Il quadrato di una mediana e equivalente'alia diflerenza tra
la semisomma dei quadrati dei due lati concorrenti con essa e il quadrato
della meta del terzo lato.
10) La somma dei quadrati delle mediane ё uguale ai f della
somma dei quadrati dei lati.
11) La somma dei quadrati delle distanze dei vertici di A da
un punto P e uguale alia somma dei quadrati delle loro distanze da G,
aumentata di tre volte il quadrato della distanza di P da G.
12) La somma dei quadrati delle distanze dei tre vertici da G
e un minimo 17 *).
13) Il luogo dei punti P per cui e cost ante la somma dei qua-
drati delle distanze dai vertici di A e un circolo di centro G.
Il baricentro di A non deve essere confuso col baricentro del pe-
rimetro del triangolo, il quale e invece il centro del circolo inscritto
nel triangolo GaGpGy16).
10. Ortocentro. — Le altezze di un triangolo concorrono in un
punto. Tale punto, noto verosimilmente ’anche ad Archimede 19 20), ha
ricevuto il nome di ortocentro da.W. H. Besant *>), e viene solitamente
indicato con H.
I piedi delle altezze si potranno indifferentemente indicare con
Ho , Hp , Hy , oppure con Ha ,Hb, Hc (§ 3). Essi definiscono un
triangolo detto triangolo ortico 21) о triangolo ortocentrico.
le) G. C. de’ Toschi di Fagnano, Produzioni matematiche, 2, Pesaro 1750; Opere
matematiche, 2, Miiano-Roma-Napoli 1911, p. 32 e 181.
17) Vedile), Opere matematiche, 2, p. 141-142.
le) L. Poinsot, Elements de statique, Paris 1821, p. 173.
ie) Cfr. Archimede, Libro dei lernmi, Opera, ed. J. L. Heiberg 13), p. 515 (Liber
assumptorum); ed. P. Ver Eecke 13), p. 529 (Le livre des lemmes).
20) W. H. Besant, Conic Sections, London 1869, § 138. Cfr. pure M. Simon7), p„ 135.
21) E. ViGARii, Mathesis, (1) 7 (1887), p. 61..
XXIV. - La geometria del triangolo
185
Sono notevoli le seguenti propriety:
1) Ogni altezza ё minore della semisomma dei lati concorrenti
con essa.
2) La somma dqlle tre altezze e minore della somma dei tre lati.
3) In un triangolo acutangolo la somma delle altezze e maggiore
della semisomma dei lati.
4) Le altezze sono inversamente proporzionali ai lati corrispon-
denti.
5) Due lati stanno tra loro come le proiezioni dell’uno sull’.altro.
6) Le distanze dell’ortocentro dai lati sono inversamente pro-
porzionali ai coseni degli angoli opposti. Pertanto per le coordinate
normali di H si ha
1 1 1
x : у : z =-------- : -------° : ------.
cos a cosp cosy
7) L’drtоcentro e centro radicale dei tre circoli costruiti sui
lati di A come diametri. Epperd il prodotto dei due segmenti in cui
ogni altezza ё divisa dall’ortocentro ё costante 22).
8) Il triangolo ortico ё il triangolo di perimetro minimo che
possa essere inscritto in А 23).
I punti Л, В, С, H godono della propriety che uno qualunque di
essi ё ortocentro del triangolo formato dagli altri tre 24). Si esprime
brevemente questa circostanza dicendo che tali quattro punti formano
un gruppo ortocentrico od ortocentroidale.
9) Le altezze di A bisecano gli angoli del suo triangolo ortico.
Precisamente le altezze sono, per il triangolo ortico, le tre bisettrici
interne, oppure una bisettrice interna e due esteme, secondo che A
sia acutangolo oppure ottusangolo.
10) Ogni iperbole equilatera circoscritta a A passa per H25).
11) Ogni parabola inscritta in A ha la direttrice che passa per T/26).
11. Circoncentro. — Gli assi (o mediatrici) di un triangolo
concorrono in un punto, il quale ё equidistante dai tre vertici.
Tale punto trovasi gia in Euclide27). Per essere centro del cir-
colo circoscritto a A, viene solitamente chiamato circoncentro e indicato
con O. Le coordinate tripolari del circoncentro sono uguali.
22) J. H. van Swinden, Elements der Geometric aus dem Hollandgchen iibersetzt
und vermehrt von C. F. A. Jacobi,. Jena 1834, p. 238.
23) K. W. Feuerbach, Eigenschaften einiger merkwiirdigen Punkte des geradli-
nigen Dreiecks ecc., Niimberg 1822, p. 16.
24) L. N. M. Carnot, De la correlation des figures de geometric, Paris 1801, pk 102,
n° 143.
e) Ch. J. Brianchon - J. V. Poncelet, Ann. math, pures appl., 11 (1820-1821),
p. 205; riprodotto in J. V. Poncelet Applications, d* analyse et de geometric, 2, Paris
1864, p. 504.
J. Steiner, Ann. math, pures appl., 19 (1828-1829), p. 60; Werke, 1, Berlin
1881, p. 207.
27) Euclide, Elementi, Libro IV, prop. 5a.
186
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
Sono notevoli le seguenti proprieta:
1) Le rette che congiungono il circoncentro coi vertici di A
sono perpendicolari ai lati corrispondenti del triangolo ortico 2S),
' 2) Su ogni lato did si costruiscano due parallelogrammi, uno con
un vertice nel rimanente vertice di A, I’altro con un vertice in О : la retta
che unisce i rimanenti vertici dei due parallelogrammi passa per H,
3) I punti simmetrici dell’ortocentro rispetto ai lati appartengono
al circoncerchio.
4) Il circolo circoscritto a A e i tre circoli circoscritti ai triangoli
aventi per vertici I’ortocentro e due vertici di A sono uguali* 29 *).
5) L’area di А ё uguale al prodotto del raggio del circoncerchio
pel semiperimetro del triangolo ortico.
6) Il circoncentro, il baricentro e I’ortocentro sono in linea
retta (retta di Euler ), e la distanza tra baricentro e ortocentro ё
doppia della distanza tra circoncentro e baricentro.
7) Ogni parabola inscritta in A ha il fuoco sul circoncerchio 31).
8) Il circoncerchio ё il luogo dei centri delle iperboli equilatere
che ammettono A come triangolo autopolare 32).
9) Le coordinate normali di О sono proporzionali a cos a, cos /?,
cos у ; quelle baricentriche sono proporzionali a sen 2 a, sen 2 /?, sen 2 у.
10) Se il triangolo А В С ё equilatero e P ё un punto del circon-
cerchio, dei tre segmenti P A, P В, P C, uno ё uguale alia somma degli
altri due 33).
12. Incentro ed excentri. — Le bisettrici interne di un trian-
golo concorrono in un punto equidistante dai tre lati: tale punto, essendo
centro del circolo inscritto nel triangolo (incerchio), dicesi incentro,
Questa proprieta era nota anche ad Euclide 34).
Anche due bisettrici esterne e la bisettrice interna relative al terzo
2e) C. Nagel, Nouv. Ann. math., 19 (1860), p. 354, teor. 3°.
29) Per questa e per altre propriety vedi L. N. M. Carnot a4), p. 103, n. 146.
®°) L. Euler 3). Una dimostrazione geometrica fu data da L. N. M. Carnot,
Geometrie de position, Paris 1803, p. 164. Per talune propriety ehe si collegano con la
considerazione della retta di Euler vedi J. Neuberg, Mathesis, (3) 3 (1903), p. 60;
ibid., (3) 8 (1908), p. 233; Arch. Math. Phys., (3) 11 (1905), p. 225. Vedi anche in P.
Zeeman, Wiskundige Opgaven, 8 (1903) p. 305, 396 la propriety date quattro rette
complanari, se una di esse ё parallela alia retta di Euler relativa al triangolo delle rima-
nenti, questa propriety sussiste per ognuna delle rette date.
31) Ё questo il teorema sulla parabola di J. H. Lambert, Insigniores orbitae co-
metarum proprietates, Augsburg, — Vindobowa 1761, p. 5 ; W. Ostwald, Klassiker der
exakten Wissenschaften, n. 133, Leipzig 1902, p. 8; F. Dingeldey, Encykl. d. math.
Wiss., Ill С. 1, n. 30, p. 56.
3a) J. Neuberg, Arch. Math. Phys., (3) 11 (1905), p. 236. Per altre notizie rela-
tive al circoncerchio vedi C. Nagel, Untersuchungen fiber die wichtigsten zum Dreiecke
gehorigen Kreise, Leipzig 1836, e J. S. Mackay, Proc. R. Soc. Edinb., 12 (1894), p. 4,
128; ibid., 13 (1895), p. 2, 66.
M) F. van Schooten, De organica conicarum sectionUm in piano descriptione:
Appendix de cubicarum aequationum fesolutipne, Ludg. Bat 1646, p. 92.
34) Euclide, Elementi, 'Libro IV, prop. 4a. Per altre propriety, cfr. C. Nagel e
J. S. Mackay aa). Vedi anche J. Steiner p. 85; Werke, 1, p. 21i ; M. Zachariasi 7),
n. 14, p. 980.
XXIV. - La geometria del triangolo
187
angolo concorrono in un punto, equidistante dai tre lati. Di tali punti
ne esistono tre e diconsi excentri, per essere i centri dei tre circoli tan-
genti estemamente a due lati di A e intemamente al terzo lato {circoli
ex-inscritti о excerchi).
L’incentro si indica solitamente con I\ gli excentri con №, №,
№. Con r, q, Qa , Qb , ge, indicheremo ordinatamente i raggi del cir-
concerchio, dell’incerchio, degli excerchi.
Le coordinate normal! dell’incentro sono (1, 1, 1); quelle degli
excentri sono (—1, 1, 1), (1, —1, 1), (1, 1, —1).
Si hanno le propriety:
1) La bisettrice di un angolo di A divide il lato opposto in parti
proporzionali agli altri due latiл).
2) Le aree .dei triangoli IBC, IС A, I AB sono direttamente
proporzionali ai corrispondenti lati di A. Pertanto le coordinate bari-
centriche di I sono (a, ft, c).
3) L’area di А ё data dal prodotto del semiperimetro per il raggio
dell’incerchio.
4) Le bisettrici esterne formano un nuovo triangolo, che ha
per altezze le bisettrici interne.
5) L’ortocenjro di А ё incentro del suo triangolo ortico^
6) Le circonferenze В C № , C A № , A В № passano per I.
7) I punti medi dei sei segmenti, che congiungono a due a due
gli excentri e l’incentro appartengono al circoncerchio3e).
8) La somma dei raggi degli excerchi ё uguale alia somma del
raggio dell’incerchio e del quadruple del raggio del circoncerchio 37).
9) La somma dei raggi dell’incerchio e del circoncerchio ё u-
guale alia somma delle distanze del circoncentro dai tre lati зд).
10) La distanza del circoncentro dall’incentro ё data da3 * * * *®):
ОI = y/r{r — 2 p),
e le distanze del circoncentro dagli excentri sono espresse da40):
О = у/r (r + 2 2<) , i = a, ft, c.
”) La proposizione, limitata alia bisettrici interne, trovasi in Euclide, Elementi,
Libro VI, prop. 3B. Per le bisettrici esterne essa trovasi in Pappo, Pappi Alexandrini
Collections quae supersunt e Ubris manu scriptis edidit, latino, interpretatione et com-
mentariis instruxit F. Hultsch, 2, Berlin 1877, p. 731; trad, francese di P. Ver Eecke,
Pappus d’Alexandrie, La collection mathimatique, 2, Paris-Bruges 1933, p. 557.
M) J. Mention, Nouv. Ann. math., (1) 9 (1850), p. 324, 401.
w) ,K. W. Feuerbach ”), p. 4. Per altre relazioni tra i raggi dell’incerchio e degli
excerchi vedi anche S. Lhuilier, Ann. math, pures appl., 1 (1810-1811), p. 132, 157.
“) J^. N. M. Carnot a4), p. 107, n. 154. Vedi anche la dimostrazione di J. Men-
tion “), p. 324.
’•) Questa relazione fu trovata da W. Chapple; cfr. M. Cantor, Vorlesungen
Uber Gischichte der Mathematik, 3, 2* ed., Leipzig 1901, p. 553.
“) K. W. Feuerbach”), p. 34.
188
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
11) Se il triangolo А В С e rettangolo, la somma dei diametri
dell’incerchio e del circoncerchio e uguale alia somma dei cateti41).
12) La potenza dell’incentro rispetto al circoncerchio e uguale
al doppio prodotto dei raggi dell’incerchio e del circoncerchio42).
13) La potenza di uno degli excentri rispetto al circoncerchio
e uguale al doppio prodotto del raggio del circoncerchio e di quello
del corrispondente excerchio.
14) Tutte le iperboli equilatere che passano per gli excentri
e 1’incentro hanno il centro sul circoncerchio.
15) Se А e equilatero, la somma dei quadrati delle distanze di
un punto dell’incerchio dai tre lati ё costante e uguale alia meta del
quadrato di una delle altezze43).
13. Punti complementari. Punti di Feuerbach. Punti di
Nagel. — Il triangolo Ga Gp Gy ha i lati ordinatamente paralleli a
quelli del triangolo ABC. Pertanto i due triangoli sono omotetici:
centro di omotetia e il baricentro G, e, per essere A G = — 2 Ga G,
il rapporto di omotetia e — 2.
Un punto P' si dice complementare 44) di un punto P quando cor-
risponde a P nella detta omotetia; viceversa, P dicesi anticomplemen-
tare 45) di P'.
Il triangolo Ga Gp Gy e il triangolo complementare di A ; Vanti-
complementare di A e il triangolo A1B1C1 formato dalle parallele pei
vertici di A ai lati opposti.
I punti notevoli del triangolo Ga Gp Gy sono complementari dei
punti notevoli omonimi di A : il baricentro, essendo unito come centro
dell’omotetia, e baricentro anche del triangolo complementare, mentre
H ha per complementare 1’ortocentro di Ga Gp Gy , che e il circon-
centro О di A. Ne deriva che i punti H e О sono allineati con G (retta
di Euler, § 11, prop. 5), in modo che H G = — 2 О G.
Il circoncentro О di A ha per complementare il centro F del cir-
colo circoscritto a Ga Gp Gy; questo circolo e la figura complementare
del circoncerchio ed e noto sotto il nome di circolo di Feuerbach о dei
nove punti46).
41) La proposizione si trova in Epaphroditus (2° sec. d. C.): Cfr. M. Cantor,
Die romischen Agrimensoren, Leipzig 1876, p. 119.
42) W. Chapple, Miscellanea curiosa mathematica, 1 (1746), p. 123. La propriety
ё nota sotto il nome di teorema di Chapple.
43) J. D. Gergonne, Адп. math, pures appl., 14 (1823-24), p. 376.
44) E. Hain, Arch. Math. Phys., (2) 3 (1885), p. 214-217 ; E. Vigari£, Mathesis
(1) 7 (1887), p. 6-12 ; M. d’OcAGNE, Mathesis, (1) 8 (1888), p. 62-63.
45) G. de Longchamps, J. math. ё1. (2) 5 (1886), p. 110.
4e) K. W. Feuerbach 23). Per la storia di questo circolo vedi J. S. Mackay, Proc.
R. Soc. Edinb., 11 (1893), p. 19 ; J. Lange, Progr. Friedr.-Werd, Oberrealsch., Berlin
1894; M. Simon7), p. 124. Sullo stesso circolo ed altre4proprieta con esso collegate
vedi J. Steiner, Die geometrischen Konstructionen, ausgefiihrt mittelst der geraden
Lime und eines festen Kreises ecc. Berlin 1833, nota al § 12 ; W. Ostwald, Klassiker der
exakten Wiss., n. 60, Leipzig 1895, nota a p. 37-40 ; Werke, 1, Berlin 1881, nota a p. 489-
492 ; H. SchrotEr, Math. Ann., 7 (1874), p. 517 ; J. Steiner, Ann. math, pures appl.,
XXIV. - La geometria del triangolo
189
I punti О e F sono allineati con G (retta di Euler), in modo che
G G = — 2 F G e la quaterna (HGOF) e armonica. Il punto F e il
punto di mezzo del segmento OH.
In base all’omotetia considerata, si ha inoltre che la distanza di un
vertice dall’ortocentro e doppia della distanza del circoncentro dal
lato opposto.
Il circolo di Feuerbach passa pei piedi delle altezze Ha , Hb, Hc
e pei punti medi Mx, M2 , M3 dei segmenti A H, В H, CH. I nove
punti, da cui dipende il nome del circolo, sono precisamente Ga , Gp ,
Gy , Ha , Hb , Hc , , M2 , M3 , quantunque altri punti notevoli
di A appartengano al cosi detto circolo dei nove punti.
Le due similitudini in cui si corrispondono il circoncerchio e il
circolo di Feuerbach hanno per centri G e H.
I quattro triangoli aventi per vertici tre dei punti A, B,C,H
banner lo stesso circolo di Feuerbach.
Siano A', В', C* le proiezioni ortogonali dei vertici А, В, C di A
sopra una retta m: le rette per А', В’, C' rispettivamente perpendico-
lari ai lati a, b, c concorrono in un punto M, e, se m passa per O, il punto
M appartiene al circolo di Feuerbach di A 47).
Tutte le iperboli equilatere circoscritte a A hanno il centro sul
circolo di Feuerbach 4S).
Il circolo di Feuerbach e tangente all’incerchio e agli excerchi:
i quattro punti di contatto si dicono punti di Feuerbach di A. Esso
e altresi tangente all’incerchio e agli excerchi dei triangoli В С H,
С A H, А В H; pertanto esso e in definitiva tangente a sedici cerchi 49).
L’incentro di A ha per anticomplementare 1’incentro del triangolo
19 (1828-1829), p. 42-43 ; Werke, 1, p. 195-196 ; N. Trudi, G. mat., (1) 1 (1863), p. 29 ;
W. Fiedler, Zurich Vrtlj., 30 (1885), p. 390; G. Salmon, Quart J., 4 (1861), p. 152.
Teoremi piii generali ha dato J. Steiner, Giomale arcadico di Roma, 99 (1844), p. 147 ;
J. reine ang. Math., 30 (1846), p. 97 ; ibid., 55 (1858), p. 362 ; Werke, 2, p. 327, 669.
L’anno precedente alia pubblicazione del lavoro di K. W. Feuerbach, le propriety
principali del circolo che ora porta il suo nome erano state stabilite da Ch. J. Brianchon
e J. V. Poncelet и).
4T) L. Soons, Mathesis, (1) 6 (1886), p. 57.
") Ch. J. Brianchon e J. V. Poncelet 19 * * * * * 25). Vedi anche J. J. A. Mathieu, Nouv.
Ann. math., (2) 2 (1863), p. 475-476. Per un teorema sui circoli di Feuerbach relativi
ai triangoli determinati da un gruppo di punti posti sopra una data circonferenza, ve-
dasi S. One, Tdhoku math. J., 10 (1916), p. 225 ; D. Montesano, Period, mat., (4) 2
(1922), p. 68.. Il secondo autore lo ha collegato con le propriety della configurazione dei
circoli circoscritti ai trilateri determinati da un generico gruppo di rette del piano, сюё
col cosiddetto teorema di Miquel-Clifford : v. A. Miquel, J. math, pures appl., (1)
3 (1838), p. 485; W. K. Clifford, Oxford, Cambridge and Dublin Messenger of
math., 5 (1870), p. 124; Math. Papers, London 1882, p. 38. Altre notizie in M. Si-
mon7), p. 90.
49) Una dimostrazione dedotta dalla teoria dei «cicli» di E. Laguerre [cfr.
Fart. XXVII di questa Encicl. (B. Colombo, Sistemi lineari di cerchi e di sfere), § 20]
si ha in Em. Muller, Vorlesungen Uber darstellende Geometric, 2 (herausg. von J. L.
Krames), Leipzig-Wien 1929, p. 204
190
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
A1B1C1: tale punto dicesi punto di Nagel w) del triangolo fondamen-
tale e si indica solitamente con J.
I punti It J sono allineati con G in modo che I G = — G.
Le tre rette che congiungono i vertici di A ai punti di contatto
dei lati opposti coi tre excerchi concorrono nel punto di Nagel ; pre-
cisamente, in base alle notazioni adottate. il punto di Nagel e il punto
di concorso delle rette A В 1ъ\ C &.
Concorrono pure in un punto le rette A Ia , В 1ъ\ С №; ana-
logamente le rette В Ib , A C I^a) concorrono in un punto e
le rette C Ic, A 1^\ В l[a} in un punto J3 .
I punti Ji, J2 , J3 diconsi punti aggiunti al punto di Nagel e la
quaterna J, J,, J2, J3 dicesi gruppo di Nagel.
14. Punti di Gergonne. — Le rette che congiungono i vertici
Л, В, C ai punti di contatto dei lati opposti coll’incerchio passano per
un medesimo punto, detto punto di Gergonne61) relative a A. Esso
viene solitamente indicate con P, e non e che il punto di Brianchon
relative a un particolare esalatero circoscritto all’incerchio : quello for-
mate dai tredati a, b, c e dai loro punti di contatto.
Punti analoghi a quello di Gergonne si hanno relativamente a
ogni cerchio exinscritto : essi diconsi punti associati а T\ e, insieme
con P, formano il cosiddetto gruppo di Gergonne. Solitamente si indi-
cano con I\, Г2, Г3 .
15. Punti isotomici. Punti reciproci. Punto di Lemoine. —
Due punti, situati sopra un lato di d, si dicono isotomici*2) quando
sono simmetrici rispetto al punto di mezzo del lato stesso.
Due rette, passanti per un medesimo vertice di d, si dicono con-
iugate isotomiche62) quando le loro intersezioni col lato opposto sono
punti isotomici.
Le tfe ceviane (§ 3) che passano per un punto P hanno per con-
jugate isotomiche tre rette concorrenti in un punto P'. I punti P e
P' si dicono reciproci63).. La trasformazione per punti reciproci e una
particolare trasformazione quadratica involutoriaM) avente d come
triangolo fondamentale e come punti uniti G, A±, , C± (cfr. il § 32).
In questa trasfornfezione, a una retta non passante per alcun vertice
di d corrisponde una conica circoscritta a d, e viceversa. Quando la * 51 * * * * *
M) C. Nagel S2), p. 30, 35. Vedi pure O. Krimmel, Nekrolog der K. Wurtten-
bergischen Oberstudienraths Dr. С. H. Nagel, Tubingen 1884; E. Vigari£, J. math.
61., (2) 5 (1886), p. 158; Mathesis, (1) 7 (1887), p. 57, 114.
51) La proposizione ё di J. D. Gergonne. Cfr. E. Lemoine^ Assoc, fr., Congr6s
Nancy, 15 (1886), p. 83-100; M. Simon7), p. 181.
и) J. Neuberg, M6m. cour. Ac. Belg., 37 (1886), p. 14; G. de Longchamps
J. math. 61., (2) 5 (1886), p. 110.
M) J. Neuberg52), p. 10. .
5<) J. Steiner, Ann. math, pures appl., 19 (1828-1829), p. 37 ; Werke, 1, p. 189
XXIV. - La geometria del triangolo
191
retta passa per un vertice di Д, la corrispondente conica si spezza nella
sua coniugata isotomica e nel lato opposto di A.
Le coordinate baricentriche di due punti reciproci sono inverse.
I punti appartenenti al gruppo di Nagel sono ordinatamente
reciproci di quelli appartenenti al gruppo di Gergonne.
Il punto reciproco del circoncentro si dice punto di Grebe e) о punto
di Lemoine 4 5) del triangolo fondamentale, e si indica con К (vedi § 2).
Essendo sen 2 a, sen 2 /?, sen 2 у le coordinate baricentriche di
O, quelle di К sono cosec 2 a, cosec 2 /?, cosec 2 y.
Relativamente al punto k si hanno le seguenti proprieta :
1) Le tre rette che congiungono i punti medi dei lati di A ai
punti medi delle corrispondenti altezze concorrono nel punto K66).
2) Le tre ceviane per К dividono ogni lato di A in parti propor-
zionali ai quadrati degli altri due lati56).
3) La somma dei quadrati delle distanze di К dai lati di A e
un minimo56).
4) Il luogo dei punti per cui e costante la somma dei quadrati
delle distanze dai lati di A e una ellisse di centro №7).
5) Le distanze di К dai lati sono proporzionali alle lunghezze
dei lati stessi : pertanto le coordinate normali di К sono a, b, c.
6) Le proiezioni ortogonali di К sui lati sono vertici di un trian-
golo (triangolo Ka , Къ, Kc) di cui К e il baricentro.
7) Il triangolo Ka Къ Kc e il triangolo inscritto in A per cui e
minima la somma dei quadrati dei latiM).
8) Sui lati di d, ed esternamente ad esso, si costruiscano tre qua-
drati : quelle rette dei loro lati che sono parallele ai lati di A determinano
un triangolo A B'C, e le rette AA, BB\ CC' concorrono nel punto K6).
9) Il triangolo fondamentale A e omologico a quello delle tan-
genti nei suoi vertici al circoncerchio : il centro di tale omologia e il
punto K, e 1’asse delFomologia, dovendo essere la polare di К rispetto
al circoncerchio, e perpendicolare alia retta OK69).
16. Punti isogonali о inversi. — Due rette uscenti da uno
stesso vertice di A si dicono isogonali quando sono simmetriche rispetto
alia bisettrice di A concorrente con esse.
Se due rette sono isogonali, le distanze dei punti dell’una dai lati
di A concorrenti con essa sono inversamente proporzionali alle distanze
analoghe dei punti delFaltra.
Le rette isogonali delle mediane diconsi simediane о anche mediant
qntiparallele
5d) O. Schlomilch, Uebungsbuch zum Studium der hoheren Analysis, 1, Leipzig
1860, § 3.
M) E. W. Grebe6). Cfr. M. Simon7), p. 141. Vedi anche P. Hossard, Nouv.
Ann. math., (1) 7 (1848), p. 407, 454.
57) J. Neuberg52), p. 10.
M) E. Lemoine, Assoc, fr., Congr£s Lille, 3 (1874), prop. VI.
5®) J. Neuberg52), p. 5.
*°) Due rette si dicono antiparallele rispetto a un angolo, quando la simmetrica
192
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
Le tre ceviane passanti per un punto M hanno per isogonali tre
rette passanti per un punto M'. Due punti come M e M' diconsi iso-
gonali о inver siel); le loro distanze dai lati di 4 sono tra loro inversa-
mente proporzionali, percid due punti isogonali hanno coordinate nor-
mali inverse.
La corrispondenza che cosi sorge tra i punti M e M' del piano
non e che una particolare trasformazione quadratica involutoria54),
avente Д come triangolo fondamentale e come punti uniti 1’incentro
e gli excentri (cfr. il § 32).
Si hanno le seguenti proprieta:
1) Il punto isogonale del baricentro e il punto К di Lemoine
(cfr. § 15)e2).
Qualche volta si parla di mediane esterne e di simediane esterne:
le prime sono le parallele per ogni vertice di 4 al lato opposto (lati del
triangolo A1B1C1)f le seconde sono le loro isogonali. Orbene:
2) Le simediane esterne sono le tangenti al circoncerchio nei
vertici di 4 ; epperd i vertici del triangolo delle tangenti al circon-
cerchio in А, В, C sono i punti isogonali di Ar, Br , C± . Essi diconsi
punti associati a K.
3) Due simediane esterne e una interna concorrono in un punto ;
cioe la simediana uscente da un vertice passa pel punto di concorso
delle tangenti al circoncerchio negli altri due vertici.
4) La simediana uscente da un vertice divide il lato opposto
in parti proporzionali ai quadrati dei lati adiacenti.
5) Se due punti M e M' sono isogonali, le rette A M'y В M'y
С M’ sono rispettivamente ortogonali ai lati Mb Mc , Mc Ma , Md Mb
del triangolo pedale di M.
6) Il punto isogonale dell’ortocentro e il circoncentro.
Come conseguenza della propr. 5*, tenendo presenti le propr. la
e 6a, si ha:
7) Le simediane AK, BK, С К sono rispettivamente orto-
gonali ai lati Gb Gc, Gc Ga , Ga Gb del triangolo pedale di G; le me-
diane AG, BG, C G sono rispettivamente ortogonali ai lati Kb Kc ,
Kc К a у Ka Kb del triangolo pedale di К у e i raggi О Ay О By ОС sono
rispettivamente ortogonali ai lati HbHc , Hc Ha , Ha Hb del triangolo
ortico.
8) Tre rette parallele, passanti pei vertici di 4 hanno per iso-
fjonali tre rette che concorrono in un punto del circoncerchio. Cioe
a conica trasformata isogonale della retta impropria e il circoncerchioe3). * * * * 61 62 63
di una di esse rispetto alia bisettrice dell’angolo ё parallela all’altra [v. Fart. XXII di
questa Encicl. (E. Artom, Proprieta elementari delle figure del piano e dello spazio), § 19].
La denominazione di mediane antiparallele ё di E. Lemoine 4), quella di simediana, che
ё ormai la piiiusata, ё di M. d’Ocagne, Nouv. Ann. math., (3) 2 (1883), p. 450-464.
61) E. Hain, Arch. Math. Phys., (1) 60 (1877), p. 92.
62) Fu precisamente come centro delle mediane antiparallele che il punto К fu
additato da E. Lemoine. Cfr. § 2, 4).
63) E. Beltrami, Mem. 1st. Bologna, (2) 2 (1862), p. 361; Орете, 1, Milano 1902,
p. 45.
XXIV. - La geometria del triangolo
193
9) Le proiezioni ortogonali di due punti isogonali M e M' sui
lati di d sono sei punti conciclici, centro del circolo essendo il punto
di mezzo del segmento MM’.
Si pud pertanto concludere che sono conciclici i vertici del trian-
golo pedale di G e quelli del triangolo pedale di K, come sono con-
ciclici i piedi delle altezze e i punti medi dei lati (circolo di Feuerbach,
vedi § 12 e 13).
10) Due punti isogonali M e M' sono fuochi di una medesima
conica inscritta in A e4).
17. Centri isogonici (o punti gemelli). Metapoli. Punti iso*
dinamici. — Sui lati del triangolo А В C ed esternamente ad esso si
costruiscano i triangoli equilateri В C L, С A M, ABN. Le rette A L,
BM, CN concorrono in un punto V, e i segmenti AL, BM, CN
sono uguali.
Similmente sui lati di A, ma internamente ad esso, si costruiscano
i triangoli equilateri BCL\ CAM', ABN': le rette AL', BM',
CN' concorrono in un punto V, e i segmenti A L', В M', C Nf sono
uguali.
I punti V e V si dicono centri isogonici о punti gemelli relativi a
A La ragione della prima denominazione sta nel fatto che, se ogni
angolo di A e minore di 120°, da V ogni lato di A e visto sotto Гап-
golo di 120°. Allora la somma delle distanze di V dai vertici А, В, C
e un minimo 6e).
Le coordinate trigoniche di V sono uguali, avendosi =
— = 120°; quelle normali sono direttamente proporzionali a:
Invece quelle normali di V sono proporzionali a:
°) Vedi J. Steiner54); W. Fr. Meyer, Arch. Math. Phys., (3)3 (1903), p. 168.
w) Cfr. J. S. Mackay, Proc. R. Soc. Edinb., 13 (1894), p. 166 ; ibid., 15 (1897),
p. 100; vedi anche H. Mandart, Mathesis, (2) 5 (1895), p. 153.
M) J. Steiner, Wer eke, 2, Berlin 1882, p. 729. La ricerca di un punto del piano
di Д per cui fosse minima la somma delle distanze dai vertici А, В, С e stata proposta
da P. de Fermat a E. Torricelli e da E. Torricelli a V. Viviani, il quale ne diede
una soluzione [cfr. V. Viviani, De maximis et minimis, Firenze 1658, Append, p. 144].
Dello stesso problema si e occupato anche B. Cavalieri, Exercitationes geometricae. sez.
Bononiae 1647. Sul medesimo argomento vedi: R. Sturm, J. reine ang. Math , 99 (1884),
p. 49 e Maxima und Minima in der elementaren Geometric, Leipzig-Berlin 1910, p. 55
e seg., dove ё trattato anche il problema analogo per un numero qualunque di punti
dati nel piano о nello spazio. Il punto V dicesi anche punto di Torricelli, e la figura
formata da Д e dalla tema di triangoli equilateri esterni, sopra considerata, dicesi so-
litamente figura di Torricelli. Cfr. J. Neuberg, Sur les projections et contre-projections
d'un triangle fixe et sur le systeme de trois figures directement semblables, Bruxelles 1890.
194
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
Se sui lati di. d, estemamente ad esso, si costruiscono tre triangoli
В C L±, С А Мг, A В Nly tra loro simili, le rette ALly В Мг, C N±
concorrono in un punto T. Analogamente, se intemamente а Д si co-
struiscono i triangoli В C L^, С A M±', A В TV/, rispettivamente
uguali ai triangoli В C L19 С A , Л В A\ , le rette A , В M±f,
C N / concorrono in un punto T'. I punti T e T' diconsi metapoli•*)
rispetto a d.
Cid posto, si vede che i centri isogonici di 4 non sono che due
particolari metapoli.
I punti isogonali dei centri isogonici si dicono punti hessiani od
equianarmonici tt) о punti isodinamici69) di 4, e si indicano solitamente
con W e W’.
Le loro coordinate normali sono proporzionali a:
dove il segno + compete a W e il segno — a W'.
Le distanze di W e W' dai vertici di 4 sono inversamente propor-
zionali ai lati opposti.
I punti W e W sono reciproci rispetto al circoncerchio, appar-
tengono alia retta О К e separano armonicamente О e K.
I tre circoli di Apollonio (v. § 24) relativi a 4 passano pei punti
isodinamici70).
Essendo V il primo centro isogonico di d, si considerino le sue
proiezioni Va , Vp , Vy dai vertici Л, В, C sui lati opposti; L', M', N'
essendo i vertici dei triangoli equilateri costruiti sui lati di 4 internamente
ad esso, le rette VaL', VpM’, VyN’ concorrono nel punto isodina-
mico W. Analoga proprieta sussiste per le proiezioni del centro isogo-
nico V rispetto al punto isodinamico И7'71).
I punti V e W sono fuochi di una ellisse tangente ai lati di 4 nei
punti Kx, Vp, Vy: direttrice del punto V e la polare trilineare di V
rispetto a 4. Analoga proprieta sussiste pei punti W e И7'71).
Un punto isodinamico forma coi vertici di 4 un quadrangolo iso-
dinamico, cioe un quadrangolo tale che uno qualunque dei suoi vertici
e punto isodinamico per il triangolo dei rimanenti72).
In un quadrangolo isodinamico e costante il prodotto delle lun-
ghezze di due lati opposti72).
e7) J. Neuberg w).
*) E. Beltrami, Mem. 1st. Bologna, (2) 9.(1889), p. 607 ; Opere, 2, Milano 1904,
p. 129.
ee) M. Azzarelli, Atti Acc. Nuovi, Lincei, 1 (1886), p. 95. Vedi anche H. Kiehl,
Zur Theorie der Transversalen, Progr. Bromberg, 1881, e A. Boutin, J. math. 61.,
(3) 3 (1889), p. 99.
70) Vecten, Ann. math, pures appl., 10 (1819-1820), p. 202.
71) J. Neuberg62), p. 55.
72) J. Neuberg62), p. 37.
XXIV. - La geometria del triangolo
195
Un quadrangolo isodinamico e trasformato da ogni inversione in
un nuovo quadrangolo isodinamico73).
Il triangolo trasformato per inversione di un dato triangolo ABC
rispetto a un suo punto isodinamico e un triangolo equilatero 74 75). In
particolare Ie tre proiezioni d$i vertici di A da un punto isodinamico sul
circoncerchio sono vertici di un triangolo equilatero74). Reciproca-
mente : i trasformati, mediante inversione, dei vertici di un triangolo
equilatero formano col polo dell’inversione i vertici di un quadrangolo
isodinamico 74).
18. Punti di Crelle-Brocard, di Tarry, di Steiner. — Nel
piano di A esistono due punti £2 e £2' pei quali si verificano le ugua-
glianze:
£2AB = £2BC = £2CA = £2'BA = £2'CB = £2'AC = a>,
essendo:
cotg co = cotg a + cotg P + cotg у .
Tali punti й t Q' diconsi punti di Crelle-Brocard 7б). Il punto
£2 dicesi punto diretto,о primo punto, о punto negativo; £2' dicesi punto
retrogrado, о secondo punto, о punto positivo; I’angolo co dicesi angolo
di Brocard relative a A. La retta £2 £2' dicesi retta di Brocard.
Le coordinate normali di £2 e £2' sono proporzionali a bje, c/a,
a/b e a c/b, a/c, b/a; cosi che quelle di £2 sono le inverse di quelle di
£2'. I punti £2 e £2' sono isogonali; pertanto le loro proiezioni normali
sui lati a, b, c sono sei punti conciclici. Centro del circolo e il punto
medio 5 del segmento £2 £2'.
I triangoli £2a£2b£2c e £2a' £2b' £2J sono simili tra loro e a A.
Siano rispettivamente A^ ВЫ СЫ le proiezioni ortogonali di К
sugli assi dei lati a, b, c : i triangoli isosceli АЫ В C, ВЫ С A, СЫ A В
sono simili e il loro angolo alia base e uguale all’angolo co di Bro-
card 7e).
I due fasci di raggi £2 (А В C) e £2' (В C A) sono direttamente
uguali. L’angolo costante di due raggi corrispondenti e n — 2 co e i
tre punti:
Л(1) = [(fl B) (fl' С)] , ВЫ = [(fl С) (А'Л)] , Ch) = [(fl A) (fl' B)]
7S) J. Neuberg52), p. 42.
74) J. Neuberg53), p. 41.
75) A. L. Crelle, Ueber einige Eigenschaften des ebenen geradlimgen Dreiecks
Berlin 1816; H. Brocard, Nouv. Ann. math., (2) 14 (1875), p. 192; C. Chadu, ibiv ,
p. 286. Vedi ancora H. Brocard, Nouv. Corr, math., 3 (1877), p. 65, 106, 187 ; ibid., 5
(1879), p. 323, 343, 393, 425 ; J. Neuberg, ibid., 4 (1878), p. 142 ; ibid., 5 (1879), p. 446 ;
Mathesis, 1 (1881), p. 153, 173, 185.
7e) J. Neuberg52), p. 6.
196
Virginio Retail e Giuseppina Biggiogero
apparterlgono a una medesima circonferenza passante per Q e £?'. Tale
•circolo dicesi circolo di Brocard relative a A : esso passa, oltre cite
per 12, £?', Л(1\ C(1>, anche per О e К; per questo esso e anche
detto circolo dei sette punti, Il segmento О К ne e un diametro : per^
tan to il suo punto medio Z e centro del circolo di Brocard.
La retta О К e .perpendicolare alia Q Q' e 1’asse radicale del cir-
colo di Brocard e del circoncerchio e la retta di Lemoine (v. § 20).
Il triangolo B(1) C(1) dicesi primo triangolo di Brocard *): esso e
inversamente simile a A e il suo baricentro coincide сбп G.
Le normali ai lati di A condotte pei punti medi dei lati del primo
triangolo di Brocard concorrono nel punto F, centro del circolo di
Feuerbach.
Le simediane А К, В К, С К incontrano il circolo di Brocard in
К e, rispettivamente, in Л(2>. B<2\ C(2>: questi punti sono vertici di un
itriangolo detto secondo triangolo di Brocard, e possono considerarsi
jeome le proiezioni ortogonali del circoncentro sulle simediane. Anche
kl secondo triangolo di Brocard appartiene al circolo di Brocard 77 * 79):
pertanto sono dieci i punti notevoli del triangolo che appartengono al
circolo di Brocard.
Il primo e il secondo triangolo di Brocard sono omologici, centro
di omologia essendo il punto G.
Le perpendicolari condotte dai vertici di A sui corrispondenti
lati del primo triangolo di Brocard concorrono in uh punto T, situato
sul ciyboncerchio, il quale dicesi punto di Tarry80) relative ad.*
I quadrangoli T ABС e О Л(1) B(1) C(1) sono inversamente si-
mili,: pertanto il circoncentro e punto di Tarry per il primo triangolo
di Brocard.
Il punto T dj Tarry ha come coniugato isogonale il punto all’in-
finito della retta О К,
Le coordinate normali del punto di Tarry sono proporzionali
a sec (a + co), sec (J3 + co), sec (y + co).
Le perpendicolari condotte da Л, В, C rispettivamente alle rette
A Ty В Ty С T concorrono in un puntb Ry detto punto di Steiner 81)
del triangolo fondamentale.
Il punto di Steiner appartiene al circoncerchio ed e diametral-
mente opposto al punto di Tarry. Le sue coordinate baricentriche
77) H. Brocard, Assoc, fr., Congrfcs Alger, 10 (1881), p. 138; Rouen, 12 (1883),
Suppl. Vedi anche E. CesAro, Nouv. Ann. math., (3) 6 (1887), p. 215, n. 19.
n) H. Brocard, op. 2a cit. in75).
7®) A. Emmerich, Die Brocardschen Gebilde, Berlin 1891, p. 80. *
M) G. Tarry, Mathesis, (1) 2 (1882), p. 73. Vedi anche J. Neuberg, Mathesis,
(1) 6 (1886), p. 5-7.
81) J. Steiner, J. reine ang. Math., 66 (1866), p. 237 ; Werket 2, Berlin 1882, p. 687
(mem. postuma); W. S. Mc. Cay, Mathesis, (1) 7 (1887), p. 208; J. Neuberg - A. Gob,
Assoc, fr., Congrfes Paris, 18 (1889), p. 166.
XXIV. - La geometria del triangolo
197
sono inversamente proporzionali a:
b2— c2 , c2 — a2 , a2-— b2
La polare del baricentro rispetto al cerchio di Brocard passa pel
punto R di Steiner.
IV. - Rette notevoli.
19. Mediane, altezze, assi, bisettrici, retta di Euler, rette
coniugate isotomiche, rette isogonali, simediane, retta di Bro-
card. — Di alcune rette notevoli, legate alia figura del triangolo, si
e gii avuto occasione di parlare ; vedi: mediane (§ 9); altezze (§ 10);
assi о mediatrici (§ 11); bisettrici (§ 12); retta di Euler (§ 11 e 13);
rette coniugate isotomiche (§ 15); rette isogonali, mediane antiparal-
lele о simediane (§ 16); retta di Brocard (§ 18). Per esse rimandiamo
ai numeri precedenti, passando qui alia considerazione di altre rette
notevoli del triangolo.
20. Polare trilineare. Asse ortico e assi antiortici. Retta di
Lemoine. —г Se nel piano di A si considera un punto P, non apparte-
nente ai lati a, by cy e le ceviane A Py В Py С P incontrano ulterioriiiente
i lati in Pa , Pp , Py , i due triangoli ABC e Pa Pr Py sono omo-
logici : centro dell’omologia e il punto P, asse dell’omologia e una retta
py che dicesi polare trilineare 82) di P rispetto a A. Corrispondentemente
P dicesi polo trilineare della retta p.
1 I punti Pa' , Pp' , Py' , nei quali p incontra i lati ay by cy sono i
coniugati armonici di Pa , Pp , Py rispetto ai vertici di A.
La p e anche la seconda polare di P rispetto al triangolo А В C,
considerate come curva degenere del terz’ordine.
Dato P, la corrispondente p si trova come asse dell’omologia
(А В C \
P PpP } ’ v^ceversa’ data py si considerino le sue intersezioni Pa' ,
coi lati ay by cy e i coniugati armonici Pay Ppy PY di tali punti
rispetto ai vertici di A : le rette A Pa , В Pp , C Py concorreranno nel
polo P della retta p. La corrispondenza tra P e p e dunque biunivoca.
A queste propriety di carattere grafico possono collegarsi i ^seguenti
teoremi metrici:
Teorema di Menelao 83): Se una retta py non passante pei vertici
di Ay ne incontra i lati ay by c rispettivamente in Pa' , Pp', Py', si ha:
(1) (В С Pa‘) (С A Pp') (A В Py') = 1.
M) I nomi di polo e polare trilineare sono stati introdotti da J. J. A. Mathieu,
Nouv. Ann. math., (2) 4 (1865), p. 399.
M) Cfr. J. Tropfke, 1. c..1), p. 91. Il teorema fii per lungo tempo attribuito a
Tolomeo.
198
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
Inversamente, tre punti Pa' , Pp' , PY , i quali verifichino la (1),
sono in linea retta.
Teorema di Ceva 84): Se Pa , Pp л PY sono le intersezioni con a, by c
delle tre ceviane passanti per un punto P non situato sui lati di d, si ha :
(2) (В CPa) (C A Pp) (AB PY) = - 1.
In versamente, se tre punti Pa , Pp , PY verificano la (2), le rette
A Pa y В Pp у C PY passanq per un punto P.
Dato Py si tenga conto del teorema di Ceva e delFinverso del teo-
rema di Menelao e si concludera Fesistenza della p. Viceversa, data />,
si tenga conto del teorema di Menelao e delFinverso del teorema di
Ceva e si concludera Fesistenza di P.
La polare trilineare del baricentro e la retta alFinfinito.
La polare trilineare delFortocentro dicesi asse ortico relative а Л.
Poiche i quadrangoli А В Ha Hp , В C Hp HY , C A HY Ha sono in-
scrittibili, i punti Ha', Hp' , HY' risultano di ugual potenza rispetto
al circoncerchio e al circolo di Feuerbach. Pertanto Fasse ortico e asse
radicale di questi due circoli, e, come tale, e perpendicolare alia retta
dei loro centri (re.tta di Euler). Al fascio individuate dal circoncerchio
e dal circolo di Feuerbach appartiene anche il circolo di centro H or-
togonale ai tre cerchi descritti sui lati di Л come diametri.
La polare trilineare delFincentro contiene i piedi delle bisettrici
esterne e dicesi asse antiortico di Л. Si dicono pure assi antiortici le po-
lari trilineari degli excentri, 1c quali contengono i piedi di due biset-
trici interne e di quella esterna relativa al terzo angolo.
La- polare trilineare del punto К di Lemoine dicesi retta di Le-
moine relativa а Л. Essa ё anche la polare di К rispetto al circoncer-
chio.
La retta di Lemoine e esterna al circoncerchio, per essere К in-
terno ad esso. Essa ё asse radicale del circoncerchio e del circolo di
Brocard (§ 18); pertanto ё perpendicolare alia retta О Z, ossia alia
retta О К у e la incontra nel punto medio del segmento WW'.
21. Trasversali reciproche. Retta di de Longchamps. —
Se Ly My N sono le intersezioni di una retta r coi lati a, by cy i punti
L'y M'y N'y isotomici (§ 15) di L, M, Ny sono pure in linea retta [con-
seguenza immediata del teorema di Menelao (§ 20)]. Questa retta
r' dicesi trasversale reciprocal) della r. Inversamente г ё trasversale
reciproca di r'; сюё la corrispondenza che cosi sorge tra le rette r e r'
del piano ё involutoria. * 2
84) G. Ceva, De lineis rectis se invicem secantibus statica construction Milano x678.
M) E. Beltrami w). Vedi anche “), p. 633; Opere, 2, p. 154.
M) Questa denominazione ё dovuta a G. de Longchamps, Nouv. Ann. math4.',
(2) 5 (1866)^ p. 118. Vedi anche, M. d’Ocagne, J. math, spde., (3) 2 (1888), p. 241-
242; F. Bucking, Arch. Math. Phys., (2) 16 (1898), p. 271-319. '
XXIV. - La geometria del triangolo
199
La trasversale reciproca della retta di Lemoine dicesi retta di
de Longchamps.
Due trasversali reciproche sono coniugate rispetto a ogni parabola
inscritta nel triangolo GaG^Gy87).
22. Retta di Wallace. — Si e gia visto (§ 16) che, se due punti
P e P' sono isogonali, le loro proiezioni ortogonali su a, i, c sono sei
punti conciclici. Quando P sta sul circoncerchio, il suo isogonale P'
sta sulla retta impropria (§ 16), e il cerchio cui appartengono le proie-
zioni ortogonali di P e P’ si spezza nella retta impropria e in una retta
residua. Percid :
Le proiezioni ortogonali di un punto del circoncerchio sui lati di A
sono in linea retta (retta di Wallace)88).
Il teorema si puo anche enunciare dicendo che, se quattro punti
complanari sono tali che le proiezioni ortogonali di uno di essi sui lati
del triangolo individuate dai rimanenti sono in linea retta, la stessa
proprieta sussiste per ognuno dei quattro punti dati89).
Tenendo presenti le propr. 8) e 10) del § 16, si ha che ogni punto
P del circoncerchio e fuoco di una parabola inscritta in d, la quale ha
come tangente nel vertice la retta di Wallace di P.
E ricordando la propr. 10) del § 10, si ha che la direttrice di ogni
parabola inscritta in J — avente per fuoco un punto P del circoncer-
chio — e la parallela per H alia retta di Wallace di P. Percid la retta
di Wallace di P biseca il segmento congiungente P con I’ortocentro di A.
Le rette di Wallace relative a due punti del circoncerchio che
siano diametralmente opposti sono ortogonali. Cosi si hanno infinite
coppie di rette di Wallace ortogonali: luogo dei vertici degli angoli
retti e il circolo .di Feuerbach relative a A.
Le due rette di Wallace relative a due pun*i diametralmente
opposti sono due trasversali reciproche.
Le due rette di Wallace relative agli estremi del diametro ОI
si incontrano nel punto di Feuerbach (punto di contatto dell’incerchio
col circolo di Feuerbach (§ 13)).
Se due triangoli sono inscritti in una medesima circonferenza, le
due rette di Wallace di un punto P rispetto a tali triangoli si tagliano
sotto un angolo costante.
Se due triangoli sono inscritti in una medesima circonferenza, le
87) L. Cremona, Messenger, 3 (1864), p. 88; Opere, 2, Milano 1915, p. 241.
88) W. Wallace, Math, lucubrations in Leyboum’s Math. Repository, (1) 2 (1799),
p. 111. Il teorema ё spesso attribuito a R. Simson e la retta vien chiamata retta di
Simson, ma non si trova in nessuno degli scritti di questo autore. Vedi Th. Muir,
Proc. R. Soc. Edinb., 3 (1885), p. 104; J. S. Mackay, ibid., 19 (1891), p. 83. Tra le
molte dimostrazioni del teorema, citiamo quella di J. Steiner, J. reine ang. Math., 21
(1840), p. 51; Werke, 2, Berlin 1882, p. 116. Un teorema piu generale si ha in J. V.
Poncelet, Ann. math, pures appl., 8 (1817),p. 10 ; Applications M), 2, Paris 1864, p. 462 ;
Traite des proprietes projectives des figures 1, 2a ed., Paris 1865, (la ed., Paris 1822),
p. 261.
8e) J. Neuberg, Arch. Math. Phys., (3) 11 (1905), p. 225.
200
Virgtnio Retali e Giuseppina Biggiogero
rette di Wallace dei vertici di uno di essi rispetto all’altro formano
un triangolo simile al primo. E i due triangoli cosi ottenuti sono inscrit-
tibili in una medesima circonferenza.
V. - Circoli notevoli.
23. Circoncerchio, incerchio, excerchi, circolo di Feuer* *
bach, circolo di Brocard. — Di alcuni circoli notevoli del triangola
si e gia avuto occasione di parlare : cosi del circoncerchio (§ 11), del-
I’incerchio e degli excerchi (§ 12), del circolo di Feuerbach (§ 13) >
del circolo di Brocard (§18). Per essi rimandiamo ai numeri precedenti,
passando qui alia considerazione di altri circoli notevoli del triangolo.
24. Circoli di Apollonio. — La bisettrice interna e quella e-
sterna relative a un medesimo angolo di A incontrano il lato opposto
in due punti, e il circolo avente per diametro il segmento limitato da
tali punti dicesi circolo di Apollonio ®°) relative a A.
I tre circoli di Apollonio di A formano fascio, punti base del
quale sono i punti isodinamici W e W' (§ 17). Pertanto i centri dei
tre circoli di Apollonio sono in linea retta: la retta perpendicolare
alia W W' nel punto medio del segmento W W'.
I circoli di Apollonio sono il luogo dei punti aventi da due ver-
tici del triangolo distanze inversamente proporzionali ai lati opposti
a tali vertici. Cioe i cirgpli di Apollonio sono il luogo dei punti P
per cui:
PA : PB = b : a , PВ : P^C = c : b , P~C : P~A = a : c.
25. Circoli di Lemoine. — Per il punto К di Lemoine (§ 15}
si conducano le parallele ai lati di A : i loro sei punti d’intersezione coi
lati sono vertici di un esagono, detto esagono di Lemoine, e appartengono
a un medesimo .circolo, detto primo circolo di Lemoine 91) relative a A.
Il centro del primo circolo di Lemoine coincide col punto Z„
punto medio del segmento О К e centro del circolo di Brocard.
I segmenti intqrcettati dal primo circolo di Lemoine sui lati di A
sono direttamente proporzionali ai cubi dei lati stessi92).
Gli archi intercettati sul primo circolo di Lemoine dagli angoli
Л, В, C misurano il doppio dell’angolo di Brocard 93).
•°) Cfr. Pappo ”), ed. F. Hultsch, 2, Berlin 1877, p. 667 ; ed. P. Ver Eecke, 2„
p. 499.
и) E. Lemoine, Assoc, fr., Congrfcs Lyon, 2 (1873), p. 90; Lille, 3 (18f4)>
p. 1165.
•2) Ё per questa propriety che R. Tucker chiamd questo circolo triplicate ratio
circle; v. R. Tucker, Quart. J., 19 (1883), p. 342; Proc. Lond. math. Soc., (1) 14 (1883),
p. 316-321, Appendice; Educat. Times, 1884, p. 26-28.
•’) R. Tucker”). Cfr. J. Neuberg”), p. 6.
XXIV. - La geometria del triangolo
201
L’asse radicale del circoncerchio e del primo circolo di Lemoine
e la retta di Pascal relativa all’esagono di Lemoine. Tale asse e la po-
lare di К rispetto al primo circolo di Lemoine.
Ogni lato di 4 e diviso dal primo circolo di Lemoine in tre seg-
menti proporzionali ai quadrati dei lati a, b, c: precisamente il segmento
medio corrisponde al quadrato del lato cui esso appartiene ; i segmenti
estremi corrispondono ai quadrati dei lati ad essi adiacenti.
I segmenti staccati da due lati di 4 sulla antiparallela60) per К al
terzo lato sono uguali e bisecati da K. Pertanto le intersezioni delle
antiparallele per К ai lati di A coi lati stessi si distribuiscono in sei punti
conciclici e tre punti allineati. Il circolo dei primi sei punti dicesi se-
condo circolo di Lemoine 91) о anche circolo del cosenOy perche i seg-
menti da esso staccati sui lati di A sono direttamente proporzionali ai
coseni degli angoli opposti.
Il suo centro e il punto К di Lemoine.
26. Circoli di Tucker. Circolo di Taylor. — I lati di ogni
triangolo omotetico а 4 rispetto al centro К (centro di omotetia) stac-
cano sui lati di 4 sei punti conciclici.
Similmente i lati di ogni triangolo omotetico al triangolo tangen-
ziale di 4 (triangolo formato dalle tangenti al circoncerchio nei vertici
Ay By C)y rispetto al centro К staccano sui lati di 4 sei punti conciclici.
Si hanno cosi due semplici infinita di triangoli secanti sui lati di 4
gruppi di sei punti conciclici: i circoli cosi individuati si dicono circoli
di Tucker 93 b*8) relativi a 4.
I circoli di Tucker individuati con triangoli omotetici a 4 hanno
i loro centri sulla retta О K9 quelli individuati con triangoli omotetici
al triangolo tangenziale di 4 hanno tutti per centro K.
Il primo circolo di Lemoine, il circoncerchio, e il secondo circolo
di Lemoine sono particolari circoli di Tucker.
Fra i triangoli omotetici, rispetto al centro Ky al triangolo tangen-
ziale di 4 c’e anche quello determinate dalle proiezioni ortogonali dei
piedi delle altezze sui lati. Segue che queste proiezioni sono sei punti
conciclici. Il circolo cosi definite e un particolare circolo di Tucker,
e prende il nome di circolo di Taylor94). Il suo centro e il punto K.
27. Circoli di Neuberg. — Sono infiniti i triangoli aventi in
comune con 4 due vertici e aventi I’angolo di Brocard uguale a quello
di 4 (angolo co): tali triangoli diconsi equibrocardiani a 4.
Fissato un lato di d, per es. В Ct il luogo del terzo vertice X di
un triangolo equibrocardianp a 4 e una circonferenza che dicesi cir-
colo di Neuberg w). * •*)
93 Hej r Tucker, Quart. J., 19 (1883), p. 57.
•*) H. M. Taylor, Messenger, (2) 11 (1882), p. 177. Vedi anche R. Tucker,
ibid., (2) 12 (1883), p. 181.
•*) J. Neuberg, Mathesis, 2 (1882), p. 94 e Assoc. fr< Congrfcs, Oran, 17 (1888),
p 135. Vedi anche A. Emmerich 79), p. 132.
202
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
Corrispondentemente ai tre lati a, by c di zd, si hanno tre circoli di
Neuberg, che solitamente si indicano con (Na)y (Nb)y (Nc). I loro centri
si indicano con Na , Nb , Nc .
Le rette A Na , В Nb , CNc concorrono in un punto del circon-
cerchio : il punto di Tarry, e le tangenti in Ay By C ai tre circoli (Na)y
(Nb)y (Nc) pure concorrono in un punto del circoncerchio : il punto
di Steiner.
Il circolo (Na) e ortogonale ai due circoli di raggio a aventi i centri
in В e C; analoga proprieta hanno i circoli (7Vb) e (Nc).
28. Circoli di M’Cay. — Sui lati di A si costruiscano i triangoli
В С A', C AB1, А В C ' tra loro simili ed equibrocardiani a A. I punti
Л', В', C appartengono rispettivamente ai circoli di Neuberg (A^),
(ЛГ&), (JVC), ed e evidente che di terne A'y B'y C soddisfacenti alia con-
dizione posta ne esistono infinite. Al variare della tema Л', В', C', va-
riano i baricentri Gx , G2, G3 dei triangoli BCA', CAB\ ABC,
descrivendo ognuno un circolo. I tre circoli cosi definiti si dicono cir-
coli di M’Cay m) relativi a d, e si indicano con (Ma), (Mb), (Mc).
I circoli di M’Cay passano per G ed ivi a due a due si tagliano
sotto angoli uguali ad a, /?, у.
Un circolo di M’Cay, il corrispondente circolo di Neuberg e il
circolo descritto sul corrispondente lato di A come diametro, apparten-
gono al medesimo fascio.
I centri Ma , Mb , Mc dei circoli di M’Cay sono ordinatamente i
baricentri dei triangoli В C Na 9 C A Nb , A В Nc; i raggi degli stessi
circoli sono i % dei raggi dei corrispondenti circoli di Neuberg.
29. Circoli di Schoute. — Nel piano di A si consider! un punto
P: il suo triangolo pedale Pa Pb Pc avri un certo angolo di Brocard,
il quale varieri al variare di P.
Prefissato un angolo 99, si trova che il luogo dei punti P, il cui
triangolo pedale ha 1’angolo di Brocard uguale a 99, e una circonfe-
renza. Tutti i circoli che cosi si possono ottenere in corrispondenza
agli infiniti valori di 99 si dicono circoli di Schoute °7) relativi a A.
Gli infiniti circoli di Schoute formano un fascio, al quale appar-
tengono il circoncerchio, il circolo di Brocard, e i punti isodinamici
W e W'y intesi come cerchi infinitesimi (punti limiti del fascio). Asse
centrale del fascio ё pertanto la retta OK\ asse radicale e la retta di
Lemoine, perpendicolare alia О К nel punto di mezzo del segmento
WW.
30. Circolo di de Longchamps. — Con centro in un vertice
di A si descriva il circolo che ha raggio uguale al lato opposto: si otten-
ee) W. S. M* Cay, Trans. R. Irish. Ac., 28 (1885), p. 453; ibid. 29 (1889), p. 303.
97) P. H. Schoute, Versi. Med. Akad. Wet. Amsterdam, (3) 3 (1886), p. 22.
Vedi anche J. Neuberg, op. 2a cit. in *).
XXIV. - La geometria del triangolo
203
gono cosi tre circoli, i quali individuano una rete di circoli. Il circolo
ortogonale a tutti i circoli della rete dicesi circolo di de Longchamps ")
relative a A.
La polare di G rispetto al circolo di de Longchamps e la retta di
de Longchamps (§ 21).
31. Circolo di Adams. Reti di circoli. — Le parallele pel
punto di Gergonne ai lati del triangolo pedale di I (triangolo dei punti
di contatto dell’incerchio coi lati a, i, c) determinano sui lati di A sei
punti conciclici. Il circolo cui essi appartengono dicesi circolo di A-
dams ••) relative a A. Il suo centro e il punto I.
Circoli analoghi a quello di Adams si possono ottenere conducendo
per il punto I\ (punto associate a quello di Gergonne) le parallele ai
lati del triangolo p’edale di № ; oppure per Г2 le parallele ai lati del
triangolo pedale di о per Г3 le parallele ai lati del triangolo pedale
di I®. Centri di questi circoli sono ordinatamente i punti 7(a), /(с).
Se sui lati а, b, c di A si fissano a piacere tre punti Л', B'y C, i tre
circoli AB'C', BC'A', CAB' passano per uno stesso punto100).
Questa proprieta si pud anche enunciare cosi : se una rete di circoli ha
un punto base reale P e se tre circoli (X'J, (Kb), (Kc) della rete si in-
contrano ulteriormente nei punti Л', В', C", esistono infiniti triangoli
ABC,i cui lati ordinatamente passano per A', B'y C' e i cui vertici
stanno rispettivamente sui circoli (X^), (^b), (Kc).
Ё owio che la proprieta in discorso si pud generalizzare in quest’altra :
Prefissati nel piano di A due punti generici P e Q e sui lati a, b, c
tre punti Л', B', C, le coniche A B'C'PQ, В C'A'P Q, C A'B'PQ
passano per un medesimo punto.
Quando P e Q siano i punti ciclici del piano, le tre coniche si ri-
ducono ai tre circoli prima considerati
VI. - Ellissi, iperboli e parabole notevoli.
32. Sulle coniche inscritte о circoscritte al triangolo. — Le
coniche inscritte о circoscritte a A sono in numero doppiamente infi-
nite. Tra esse diconsi notevoli quelle che hanno qualche particolare
comportamento rispetto a punti о a rette notevoli di A.
Altre coniche notevoli esistono perd, che, non essendo inscritte
ne circoscritte a A, sono tuttavia definite da elementi notevoli del trian-
gold, come 1’ellisse di de Longchamps e le parabole di Artzt.
Alcune coniche circoscritte sono le trasformate di rette notevoli
mediante particolari trasformazioni quadratiche involutorie101). Pre-
“) G. de Longchamps, J. math. sp£c., (2) 5 (1886), p. 57, 85, 100, 126.
••) C. Adams, Die Lehre von den Transversalen in Hirer Anwendung auf die Pla-
nimetric, Winterthur 1843, p. 78-80. Vedi pure J. S. Mackay, Proc. R. Soc. Edinb.,
11 (1893), p. 104-106.
10°) J. Neuberg, Arch. Math. Phys., (3) 16 (1909), p. 12.
101) Su cid v. G. Berkhan e W. Fr. Meyer 7), nn. 22, 23, 24; L. Berzolari,
Encyhl. d. math. Wiss., Ill C, 11, n. 66-71.
204
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
cisamente, dati quattro punti P±, P2, P3 , P4 , vertici di un quadran-
golo, di cui A sia il triangolo diagonale, si consideri il fascio di coniche
avente per punti base P±, P2, P3 , P4. Se si ritengono corrispondenti
due punti, i quali siano coniugati rispetto a tutte le coniche del fascio,
la corrispondenza che cosi sorge e una trasformazione quadratica in-
volutoria, che ha come punti uniti Px , P2, P3 , P4 e questi soltanto,
e ha A come triangolo fondamentale. Cosi una generica retta del piano
si trasforma in una conica circoscritta a A e vice versa.
Se Г e la conica trasformata della retta impropria, a una retta r
corrispondere una conica che sari ellisse, о iperbole, о parabola, secondo
che r sia per la Г retta estema, о segante, о tangente.
Le intersezioni di una retta r, non passante pei punti uniti della
trasformazione, con la conica trasformata di r, sono due punti corrispon-
denti per la trasformazione.
Esempi di queste trasformazioni quadratiche si hanno nella tra-
sformazione per punti reciproci (§ 15), i cui punti uniti sono G, A±,
Bx, Cx, e in quella per punti isogonali (§ 16), avente per punti uniti
1’incentro e gli excentri. Ricordando che la trasformazione isogonale
fa corrispondere alia retta impropria il circoncerchio, si ha:
1) La trasformata isogonale di una retta r sara una ellisse, una
iperbole о una parabola, secondo che r sia per il circoncerchio retta
esterna, segante о tangente.
2) Se P e Q sono le intersezioni di una retta r col circoncerchio,
la conica trasformata isogonale di г e una iperbole, i cui asintoti sono
parallel! alle isogonali, rispetto all’angolo A, delle rette A P e A Q. Se
non che I’angolo di tali isogonali e uguale all’angolo P A 0, onde :
3) I diametri del circoncerchio hanno per trasformate isogonali
iperboli equilatere.
4) Rette equidistant! da О hanno per trasformate isogonali
coniche simili.
5) Nella trasformazione isogonale i punti ciclici sono una coppia
di punti corrispondenti.
6) Due punti isogonali sono fuochi di una medesima conica
inscritta in J. Se uno di essi appartiene al circoncerchio, I’altro e al-
1’infinito e la conica e una parabola con 1’asse parallelo alia direzione
del fuoco improprio *4).
Se si riguardano i lati di A come cubica degenere, di ogni punto P
del piano si potri determinare la conica polare (prima polare) rispetto
alia cubica: tale conica passeri pei vertici di 21 (punti doppi della cu-
bica) 102). Si potra altresi considerare la seconda polare di P rispetto alia
cubica, che e una retta, precisamente la polare trilineare (§ 20) di P
rispetto a A.
Le tangenti in А, В, C alia conica polare di P tagliano i lati op-
1M) J. Steiner, J. reine ang. Math., 45 (1853), p. 177 ; Werke, 2, Berlin 1882,
p. 429.
XXIV. - La geometria del triangolo
205
posti di d in tre punti allineati: la retta* di questi tre punti ё la seconda
polare di P rispetto а A.
Se la retta polare di P passa per Q, la conica polare di Q passa per
P103); cioe il luogo dei punti, Q la cui conica polare rispetto а A passa
per P, e la polare trilineare di P.
Ricordando che tutte le coniche per Л, Br С, H sono iperboli
equilatere e che la polare trilineare di H ё l’ass£ ortico di d, si conclude
che il luogo dei punti, le cui coniche polari sono iperboli equilatere,
ё 1’asse ortico di A.
Quando un punto P descrive una retta r, la polare trilineare di P
varia inviluppando una conica, che dicesi la poloconica di r rispetto
ad104 105).
Se due rette sono reciproche (§ 21), la conica isogonale di una
di esse ё conica polare del polo trilineare dell’altra.
33. Ellissi di Steiner. Ellisse di de Longchamps. — Due sono
le ellissi di Steiner 10Б): Tuna ё circoscritta a d, I’altra ё inscritta.
L’ellisse circoscritta ё la conica polare del baricentro rispetto a d :
essa ё pertanto tangente in Л, В, C alle parallele per tali vertici ai lati
opposti. Il suo centro ё il punto G.
L’ellisse circoscritta di Steiner si pud anche considerare come
conica isogonale della retta di Lemoine. Pertanto essa passa per il
punto trasformato isogonale del punto improprio della retta di Lemoine,
сюё pel punto di Steiner (§ 18) relative a d. L’ellisse circoscritta
incontra dunque il circoncerchio in Л, В, C e nel punto R di Steiner.
I circoli osculatori alia ellisse circoscritta di Steiner nei punti
Л, В, C si tagliano sul circoncerchio nel punto di Steiner106).
Gli assi della ellisse di Steiner sono le parallele per G alle biset-
trici degli angoli delle rette А В e C R.
L’ellisse circoscritta di Steiner ё per d la figura analoga a quella
che ё il circoncerchio per un triangolo equilatero inscritto.
Le parallele per un punto dell’ellisse circoscritta di Steiner alle
mediane di d incontrano i lati opposti in tre punti collineari107): cid ё
evidente, se si tiene conto deH’osservazione che precede, la retta dei
tre punti essendo 1’analoga della retta di Wallace.
L’ellisse circoscritta di Steiner ё l’ellisse di area minima circo-
scritta a d.
103) Vedi, per es. L. Cremona, Introduzione a una teoria geometrica delle curve
piane, Mem. 1st. Bologna, (1) 12 (1862), n. 69; Opere, 1, Milano 1914, p. 379.
104) L. Cremona108), n. 136; Opere, 1, p. 442.
105) J. Steiner, Giomale arcadico di Roma, 99 (1844), p. 147 ; J. reine ang. Math.,
30 (1846), p. 97 ; ibid., 55 (1858), p. 362; Werke, 2, Berlin 1882, p. 327, 669. I teoremi
di Steiner furono dimostrati da K. Dorholt, Diss., Munster 1884. I fuochi della el-
lisse interna sono stati chiamati fuochi di Steiner da J. Neuberg e A. Gob, Assoc, fr;,
Congrfes Paris, 18 (1888), p. 179, i quali ne hanno stabilito alcune propriety. Vedi
pure W. Fuhrmann, Progr. Realgymn. auf der Burg, Konigsberg 1889.
loe) J. Steiner, J. reine ang. Math., 66 (1866), p. 239 ; werke, 2, Berlin 1882, p. 691.
1W) Questo teorema ё dovuto a E. CebAro, Mathe^i»,.. (2) 3 (1893), p. 70.
206
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
Dicesi ellisse di Steiner inscritta105) in A la poloconica della retta
impropria. Essa e tangente ai lati di A nei loro punti medi; ha G per
centro, ed e simile alia ellisse circoscritta, alia quale corrisponde in una
omotetia di centro G e rapporto — 2.
Gli assi della ellisse inscritta coincidono con quelli della ellisse cir-
coscritta.
I fuochi della ellisse inscritta diconsi fuochi di Steiner relativi a A.
Un’altra ellisse notevole ha per centro G ed e simile alle ellissi di
Steiner : ё Гellisse di de Longchamps loe). Essa passa pei baricentri
dei triangoli G В C, GC A, G AB e corrisponde alia ellisse circoscritta
di Steiner nella omotetia di centro G e rapporto — 3 ; a quella in-
scritta nella omotetia di centro G e rapporto 3/2. Essa e bitangente
all’incerchio negli estremi dell’asse minore.
. 34. Ellissi di Mandart, di Brocard, di Lemoine. Ellisse K.
Ellisse £2. — L’ellisse inscritta in A e avente per centro il complemen-
tare del punto di Gergonne, dicesi ellisse di Mandart109). Essa tocca
i lati di A nei loro punti di contatto con gli excerchi e passa per il punto
di Feuerbach (§ 13) di A.
Un’altra ellisse notevole inscritta in A e quella che ha per fuochi
i punti di Brocard Q e Q': essa dicesi ellisse di Brocard 110), e pud anche
considerarsi come poloconica della retta di Lemoine. Essa tocca i lati
di A nelle loro intersezioni con le simediane111).
Dicesi ellisse di Lemoine relativa a A 1’ellisse inscritta in A e avente
per fuochi i punti isogonali G e К. Il suo centro e il punto medio del
segmento G К; gli estremi del suo asse maggiore sono le intersezioni
della G К col circolo passante pei punti Ga , Gb , Gc , proiezioni orto-
gonali del baricentro sui lati.
Quando A sia equilatero, 1’ellisse di Lemoine si riduce all’incerchio.
Dicesi ellisse К di A 1’ellisse inscritta che ha per centro il punto
К di Lemoine. Essa tocca i lati di A nei piedi delle altezze e si pud an-
che definire come poloconica dell’asse ortico.
Ё notevole per le sue proprieta 1’ellisse, detta ellisse Qy circoscritta
a A e avente per centro 1’incentro I di A 112).
I suoi semiassi p e q e la sua area a sono legati ai raggi req del
circolo circoscritto e di quello inscritto dalle relazioni :
(J = 2 л r q ,
p-q= 2r-Q,
p + q = 2r .
Tutti i triangoli inscritti nella ellisse £2 e aventi I come incentro
we) G. DE Longchamps, Assoc, fr., Congrfcs Nancy, 15 (1886), p. 69.
we) h. Mandart, Mathesis, (2) 4 (1894), p. 241.
no) E. Catalan, Mdm. Ac. sc. Belg. 49, 3 (1890), p. 1-19.
in) E. Beltrami “), p. 635; Opere, 2, p. 156.
U2) G- CesAro, Bull. Ac. sc. Belg., (5) 16 (1930), p. 15-25.
XXIV. - La geometria del triangolo
207
sono tangenti all’incerchio di d, e i loro circoncerchi sono uguali
avendo tutti raggio uguale a ^(p + ?)113).
Il luogo dei centri di tali circoncerchi e una circonferenza con-
centrica all’ellisse Q e avente per raggio |(/> — f)113)-
35. Iperbole di Kiepert. — Dicesi iperbole di Kiepert114) re-
lativa a J la conica isbgonale della retta О К,
Poiche О К e un diametro del circoncerchio, Piper bole di Kiepert
e equilatera (§ 32). Essa passa, oltre che pei vertici А, В, C, pei punti
isogonali di О e Ky сюё per H e G, Ma la retta О К e il diametro del
circolo di Brocard che ё ortogonale alia corda Q Q'; pertanto la О К
contiene: il punto Z, centro del circolo di Brocard ; il punto 5, punto
medio del segmento Q Q'; il punto Z), polo della retta Q Q'y e i due
punti isodinamici W e W*, Ne segue che Piper bole di Kiepert passa
pei punti Z' S', Z>', rispettivamente isogonali di Z, S, Z>, e pei centri
isogonici V e F', i quali sono gli isogonali di W e W'. Infine, se si tien
conto che il punto improprio della О К ha per isogonale il punto N di
Tarry, si conclude che Piperbole di Kiepert passa pei seguenti punti
notevoli: Л, В, С, H, G, Z', S', D', Vy V'y N,
Se P e Q sono le intersezioni della О К col circoncerchio, le loro
rette di Wallace sono gli asintoti dell’iperbole di Kiepert, i quali si
incontrano sui circolo di Feuerbach. Pertanto il centro dell’iperbole
di Kiepert appartiene al circolo di Feuerbach : esso ё infatti il punto
di mezzo del segmento H N.
Gli asintoti dell’iperbole di Kiepert sono paralleli agli assi dell’el-
lisse di Steiner115).
L’iperbole di Kiepert pud anche riguardarsi come luogo dei punti
di concorso delle rette che ordinatamente uniscono Ay By C coi ver-
tici di tre triangoli isosceli simili costruiti su В Cy C Ay AB, Pud an-
che definirsi come luogo dei poli trilineari di tutte le rette perpendi-
colari alia О G,
36. Iperbole di Feuerbach. Iperbole di Jerabeck. — L’zper-
bole di Feuerbach 116) ё, come Piperbole di Kiepert, una iperbole equi-
latera circoscritta ad А В C; quindi passa per H. Essa ё ulteriormente
definita dalla condizione di passare per I\ incontra il circoncerchio,
oltre che in Ay By Cy in un punto Xy e il punto di mezzo del segmento
H X ё il suo centro. Questo punto coincide col punto di Feuerbach
(§ 13) di Ay donde il nome dell’iperbole.
lls) G. Cesaro, Bull. Ac. sc. Belg., (5) 17 (1931), p. 1126.
1U) L. Kiepert, Nouv. Ann. math., (2) 8 (1869), p. 40. Vedi anche H. Brocard,
J. math, spgc., (2) 4 (1885), p. 12 ; J. Neuberg, Mathesis, (2) 2 (1892), p. 241-246.
116) J. Steiner e A. Gob,106).
lle) Cfr. J. Neuberg, Mathesis, (2) 3 (1893), p. 81-89 e A. Boutin, J. math. sp£c.,
(3) 4 (1890), p. 104, 124.
208
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
Gli assi dell’iperbole di Feuerbach sono paralleli alle bisettrici
degli angoli formati dalle rette А В e С X.
La stessa curva pud anche considerarsi come la trasformata iso-
gonale della retta О I.
Altre tre iperboli equilatere, analoghe a quella di Feuerbach, si
possono ottenere come trasformate isogonali delle rette О Fa\ OFb),
О 7(c): sono circoscritte a d, passano per H e, rispettivamente, pei
punti 7(a), Вь\ 7(c). I loro centri sono ordinatamente i punti di contatto
del circolo di Feuerbach con gli excerchi di centri 7(a), (punti
di Feuerbach).
Anche Viperbole di Jerabeck 117) e equilatera e circoscritta а Л,
quindi passa per H e ha il suo centro sul circolo di Feuerbach. Essa
e la trasformata isogonale della retta di Euler, pertanto contiene gli
isogonali dei punti H, G, O, F, che sono rispettivamente О, K, H, F'.
Come i primi formano, sopra la retta di Euler un gruppo armonico
(H G OF), cosi e armonico il gruppo (О К H F') sull’iperbole di
Jerabeck.
37. Parabole di Artzt. Parabole di Brocard. — Si hanno due
gruppi di parabole di Artzt 118 *), ciascuno formato di tre parabole.
Il primo gruppo e composto delle parabole tangenti a due lati di
Л negli estremi del terzo lato : esse hanno gli assi rispettivamente paral-
leli alle mediane di d.
Le parabole del primo gruppo sono ordinatamente tangenti ai
lati Gp Gy , GyGa, GaGp del triangolo complementare di d, nei
punti medi dei lati stessi.
I fuochi di queste parabole, come isogonali dei punti impropri
delle mediane, devono stare ordinatamente sulle simediane di Л : pre-
cisamente essi sono le intersezioni delle simediane А К, В К, СК
coi circoli A Gp Gy , В Gy Ga , C Ga Gp (circoli circoscritti ai trian-
goli di tre tangenti). Questi fuochi sono i vertici del secondo triangolo
di Brocard (§ 18).
Il secondo gruppo di parabole di Artzt e formato dalle para-
bole tangenti alle due bisettrici di un angolo e agli assi dei lati di tale
angolo.
Direttrice di ognuna di queste parabole e la corrispondente mediana :
i fuochi rispettivamente coincidono con quelli delle parabole del primo
gruppo, sono cioe i vertici del secondo triangolo di Brocard.
Le parabole anticomplementari delle parabole di Artzt (primo e
secondo gruppo) si dicono parabole di Brocard : i loro elementi no-
tevoli si deducono da quelli delle corrispondenti parabole di Artzt
mediante Tomotetia di centro G e rapporto — J.
117) J. Neuberg, Mathesis, (1) 8 (1888), p. 81-88; W. Fuhrmann, Mathesis, (1)
8 (1888), p. 115.
lie) A. Artzt, Progr. Gymn. Recklinghausen 1884 e 1886. Vedi anche G.
de Longchamps, J. math, spdc., (3) 4 (1890), p. 149-153.
XXIV. * La geometria del triangolo
209
38. Parabole di Mandart e di Kiepert. — Sui lati A В e
A C si considerino corrispondenti due punti P e P', situati da una stessa
banda della BC, e tali che В P = С P'. La corrispondenza che cosi
sorge tra le due punteggiate А В e А С e una uguaglianza, nella quale
a В corrisponde C: le rette che congiungono coppie P, P' di punti cor-
rispondenti inviluppano una parabola tangente ai lati di A (la quale
degenera in un fascio di centro improprio se А В = A C).
Altre due parabole inviluppo, tangenti ai lati di d, si ottengono
considerando uguaglianze analoghe a quella di cui sopra tra i lati В A
•e В C, e tra i lati С A e CB: tutte le parabole cosi ottenute diconsi
parabole di Mandart 119). I loro assi sono parallel! alle bisettrici esterne ;
i loro fuochi appartengono al circoncerchio.
La parabola di Kiepert iao) e la parabola inscritta in A che ha per
fuoco il polo trilineare di О К, il quale appartiene al circoncerchio.
La sua direttrice ё la retta di Euler.
La parabola di Kiepert pud anche considerarsi come poloconica
della polare trilineare del punto R di Steiner.
I \ertici di tre triangoli isosceli simili aventi per basi i lati di A
compongono un triangolo omologico ad ABC: luogo dei centri di
omologia al vpriare dei triangoli, e, come si c visto (§ 35), 1’iperbole
<li Kiepert ; inviluppo degli assi di omologia e la parabola di Kiepert.
VII. Triangoli omologici. Estensione proiettiva della geometria
del triangolo.
39. Triangoli omologici. — Se due triangoli Аг A2 A3, Вг B2 B3i
posti in uno stesso piano e non aventi vertici ne lati comuni, sono cosi
riferiti che le rette congiungenti le coppie Ar Br , A2B2 , A3 B3 di ver-
tici omologhi passino per uno stesso punto (centro di omologia), i tre
punti d’incontro delle coppie di lati omologhi giacciono sopra una
medesima retta (asse di omologia). E inversamente.
Due triangoli siffatti si dicono omologici о prospettivi* 121 * *).
Nella figura cosi risultante compaiono dieci punti e dieci rette
tali che per ognuno dei dieci punti passano tre delle dieci rette e su ognuna
delle dieci rette stanno tre dei dieci punti. I dieci punti e le dieci rette
sono quindi i vertici e i lati di dieci coppie di triangoli omologici.
lle)H. Mandart, Mathesis, (2) 3 (1893), p. 10-13.
12°) W. Fuhrmann, Syntetische Beweise planimetrischer Satze, Berlin 1910,
p. 159; J. Neuberg, Ann. Soc. scient. Bruxelles, A 34 (1910), p. 82, 168 ; Mathesis,
(2) 10 (1910), Suppl. II, p. 1.
121) Il teorema ё di G. Desargues. Le dimostrazioni di G. Desargues sui triangoli
omologici furono comunicate dal suo allievo A. Bosse, Maniere universelie de M. De-
sargues pour pratiquer la perspective, Paris 1648, p. 340; un sunto della quale opera,
dovuto a N. G. Poudra, trovasi in G. Desargues, Oeuvres, 2, Paris 1864, p. 117, con
chiarimenti nel vol. 1, p. 416 e seguenti. V. Fart. XXXV di questa Encicl. (E. G. To-
gliatti, Geometria proiettiva}, § 10.
210
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
Gli stessi punti e le stesse rette si possoiio ottenere tagliando col
piano della figura i dieci spigoli e le dieci facce di un pentagono sghembo
complete 122).
Due triangoli omologici determinano una conica rispetto alia quale
i dieci punti e le dieci rette della figura sono rispettivamente poli e
polari123).
Due triangoli possono essere omologici in piii di un modo, preci-
samente in due, tre, quattro, sei modi, risultando omologhi ai Vertici
dell’uno i vertici dell’altro ordinati secondo due о piii delle loro sei
permutazioni.
Se i due triangoli AT A2 A3, BT B2 B3 sono omologici in due modi,
dei quali 1’uno sf deduce dall’altro mediante una permutazione circolare
dei vertici dell’un triangolo, essi sono omologici pure in un terzo modo,
corrispondente alia terza pertnutazione circolare della medesima classe.
Cosi dalle due omologie:
/Л1Л2Л3\ /А1А2А3\
{B.B.BJ ’
scende la terza124):
/^2 ^з\
\B3 Вг Bj
I due triangoli possono anche essere omologici in quattro modi
diversi: e ci6 che succede quando, insieme con le tre*precedent! omo-
logie, si ha pure quest’altra:
/^1 ^2
\-®l В2/
Se si impone una quinta omologia, ne segue anche la sesta, mi
due triangoli sei volte omologici non possono avere tutti i sei vertici
reali125).
1M) Cfr. G. C. Ch. von Staudt, Geometric der Lage, Numberg 1847, p. 41, n. 90 ;
versione italiana di M. Pieri, Torino 1889, p. 34-35.
128) Questo teorema ё stato stabilito da W. Fr. Meyer, Wurttemberg. Corres-
pondenzblatt, 1884, p. 361, considerando le oo* quadriche passanti pei vertici di un
pentagono sghembo. Esse vengono segate dal piano dei due triangoli in un sistema
oo4 di coniche, e la conica armomca, о coniugata [v. Part. XXXIV di questa Encicl.
(B. Segre, Geometria analitica), § 38], a questo sistema ё quella di cui si tratta. Lo
stesso teorema ё ricavato da E. Hks, Math. Ann., 28}(1877), p. 172 e da J. Neuberg,.
Mathesis, (2) 8 (1898), p. 155, per via analitica, in base aH’osservazione che se uno dei
due triangoli si assume come fondamentale per le cdordinate, le coordinate dei vertici
(e quelle dei lati) dell’altro sono gli elementi di un determinante simmetrico. Vedi
anche G. C. Ch. v. Staudt122), p. 135, n. 241, versione ital., p. 113-114.
184) J. Rosanes, Math. Ann., 2 (1870), p. 549.
125) Sull’argomento dei triangoli piii volte omologici vedi H. Schroter, Math.
Ann., 2 (1870), p. 553; L. Wedekind, ibid., 16 (1880), p. 209; J. VAlij, Arch. Math.
Phys., (1) 70 (1883), p. 105; (2) 2 (1885), p. 320; Monatsh. Math. Phys., 9 (1898),
p. 169 ; E. Hes, Math. Ann., 28 (1887), p. 167 ; S. Gundelfinger, Arch. Math. Phys.,.
(3) 1 (1901), p. 252; J. A. Third, Proc. R. Soc. Edinb., 21 (1903), p. 116; L. Berzo-
XXIV. - La geometria del triangolo
211
I vertici dei triangoli omologici a A in sei modi diversi sono i cicli
della collineazione ciclica del terz’ordine (non omologica) che ha i ver-
tici di A come punti uniti. I predetti triangoli sono tali che due loro
vertici qualsiansi sono le intersezioni della retta polare e della conica
polare del terzo rispetto a A 12e).
La considerazione di due triangoli omologici in quattro modi
conduce a una notevole configurazione, ciob a quella di sei punti di un
piano, che possono in dieci modi ordinarsi in guisa da costituire i ver-
tici di un esagono di Brianchon* 127).
Se sono ordinatamente le proiezioni ortogonali del
puilto К di LemOine sugli assi dei lati a, ft, c, i due triangoli AB C e
Ат) jj(i) £(i) sono sempre tre volte omologici: il centro dell’omologia
(А В C \
A^ В^ч *1 primo punto di Brocard, mentre quello dell’omo-
(A В C \
В^С^А^ч *1 secondo punto di Brocard128).
40. Triangoli ortologici. — Due triangoli, situati nello stesso
piano e tra loro riferiti, At A2 A3 e Bt B2 B3 si dicono ortologici se ac-
cade che le perpendicolari condotte dai vertici A^ , A2 , A3 sui lati corri-
spondenti del triangolo B^ B2 B* concorrano in un punto. Allora anche le
perpendicolari per В. , В. , B9 ai corrispondenti lati del triangolo A A A
concorrono in un punto.
Ё owio che se diie triangoli sono ortologici, lo sono anche due
altri triangoli, i cui lati siano rispettivamente paralleli a quelli dei due
primitivi.
Il triangolo pedale di un punto M rispetto a un triangolo AtA2 A3
e ortologico 'ad A3 A2 A3; pertanto un gruppo ortologico si pub ritenere
individuato da un triangolo e da un punto del suo piano.
Due triangoli ortologici A1A2A39 BTB2B3 si dicono doppia-
mente ortologici, se accade che anche le perpendicolari per At, A2 , A3
rispettivamente su B3B19 B1B29 B2B3 concorrano in un punto.
Allora le perpendicolari da Вг , B2 , B3 ai lati A3 Aj^, АгА2, A2 A3
concorrono pure in un punto. Non solo, ma in tai caso i due triangoli
sono ortologici in un terzo modo (triplamente ortologici), in quanto le
lari, Rend. 1st. Lomb., (2) 38 (1904), p. 307; H. Wieleitner, Arch. .Math. Phys., (3)
•16 (1910), p. 206.
1M) L. BERZOLARIie), p. 277, 304.
127) Questa figura fu osservata la prima volta da A. Clebsch, Math. Ann., 4 (1871(,
p. 336, e fu poi studiata da altri autori, tra i quali E. Hes, Einleitung in die Lehre von
der Kugeltheilung, Leipzig 1883, p. 422; Math. Ann., 28 (1887), p. 202 ;H; SchroTER,
ibid., p. 457 ; F. Klein, Math. Ann., 12 (1877), p. 531; Ges. math. Abh.t 2, Berlin 1922,
p. 351; A. Clebsch - F. Lindemann, Vorlesungen uber Geometrie, 1, 2е ed., Leipzig
1906, p. 583-600. Sui triangoli tre volte omologici ci sono ancora lavori di H. van Aubel,
Mathesis, (2) 7 (1897), p. 53; E. Jahnke, Progr. Achte Realschule Berlin, 1900; J.
reine ang. Math., 123 (1901), p. 42 ; F. Caspary, Arch. Math. Phys., (3) 1 (1901), p. 143,
269; F. Ferrari, Mathesis, (3) 2 (1902), p. 5.
ie) J. Neuberg”), p. 6.
212
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
perpendicolari per , A2 , A3 ai lati B1B2 , B2B3 , B3 Br concor-
rono in un punto e quelle per BY, B2 , B3 ai lati Ax A2 , Л2 Л3 , Л3 At
concorrono in un punto.
Il luogo dei punti M del piano che insieme a un triangolo dato
АгА2А3 individuano un gruppo triplamente ortologico e la retta di
Lemoine del triangolo A1A2A3.
Se due triangoli ortologici АгА2А3 e BrB2B3 sono tali che le
perpendicolari da Ax , A2 , A3 rispettivamente su B3 Вг, B2 B3 , Bx B2
concorrano in un punto, essi si dicono di-ortologici12e).
41. Cenno sulla estensione proiettiva della geometria del
triangolo. — Che la geometria proiettiva debba recare alia geometria
del triangolo mezzi di sintesi e di estensione, e owio. Basta pensare
che un triangolo e un punto, о una retta, del suo piano non possiedono
invariant! proiettivi, per capire che molti dei cosi detti punti notevoli
devono proiettivamente equivalersi, come devono equivalersi molte
delle cosi dette rette notevoli. E ancora, poiche una conica (non dege-
nere) e tre'‘suoi punti non possiedono invariant! proiettivi, anche molte
delle coniche notevoli devono risultare proiettivamente identiche.
Le proposizioni di geometria proiettiva che maggiormente illu-
minano la geometria del triangolo sono le seguenti (cfr. Part. XXXV
di questa Encicl.121), §§ 17, 27).
a) Se sopra una retta r, non passante pei vertici di А, e fissata
una involuzione %, se X, У, Z sono le intersezioni di r coi lati a, 6, c
di d, e se a tali punti in л rispettivamente corrispondono i punti X',
Yf, Z', le rette A X\ В Y\ C Z' concorrono in un punto R.
Questa proposizione, che e immediata conseguenza del teorema
di Desargues sul quadrangolo piano complete, permette di associare
a J, al variare della retta r e dell’involuzione тг, punti rispondenti a
svariate proprieta, mentre spiega Fesistenza di punti notevoli gia cono-
sciuti. Per esempio, quando r sia la retta impropria e л sia Finvoluzione
assoluta, il punto R e I’ortocentro di A ; quando sopra una retta r qual-
siasi la л sia Finvoluzione permutabile con la proiettivita ciclica del
terz’ordine che e su r individuata dai tre punti X, У, Z d’incontro coi
lati, il punto R e il polo trilineare di r; che se, in questo caso, la retta
т e la retta impropria, il punto R e il baricentro di A.
La proposizione a), tradotta per dualita, da la
b) Se in un fascio di centro R e data una involuzione л; se x, y, z
$ono i raggi che ordinatamente proiettano i vertici А, В, C di d, e se
a tali rette, in л, rispettivamente corrispondono le rette x', y', z’, i punti
(ax'), (by’), (c z’) sono allineati.
Cosi per una conveniente scelta di R e della л si possono associare
12*) La denominazione ё dovuta a E. Lemoine, J. math, зрёс., (3) 3 (1889), p. 63.
Su questo argomento vedi J. Steiner, Werket 1, Berlin 1881, p. 157; E. Lemoine,
Assoc, fr., Congas Limoges, 19 (1890), p. Ill e J. Neuberg, Mathesis. (3) 1 (1901),
p. 157.
XXIV. - La geometria del triangolo
213
a A rette notevoli, riflettenti varie propriety. Si ha subito, per esempio,
che le perpendicolari da un punto R alle rette R A, RB, RC ordina-
tamente incontrano i lati a, 6, c in tre punti allineati, e intanto con im-
mediatezza si spiega 1’esistenza della polare trilineare di un punto,
quindi dell’asse ortico, degli assi antiortici, ecc.
Se, con le proposizioni a) e b) si ricorda che la trasformata di una
involuzione л mediante una involuzione co e ancora una involuzione,
si vedono sorgere molte interessanti propriety, e si legge subito, quando
r sia la retta impropria e co sia I’involuzione assoluta, il teorema sui
triangoli ortologici.
Come conseguenza del teorema di Desargues sui quadrangolo
inscritto, о sui quadrilatero circoscritto, a una conica, si hanno le pro-
posizioni :
c) Prefissata sopra una retta r una involuzione %, tutte le co-
niche circoscritte a A e seganti r secondo coppie di punti (reali о im-
maginari) coniugati in л passano per un quarto punto fisso.
d) Prefissata entro un fascio di centro R una involuzione л,
tutte le coniche inscritte in A e tangenti a due rette coniugate in л
sono tangenti a una quarta retta fissa.
La prop, c), quando r sia la retta impropria e л sia I’involuzione
assoluta, dA il teorema di Brianchon e Poncelet (§ 10). Quando r
sia la retta impropria e л sia I’involuzione di punti reciproci rispetto
all’ellisse di Steiner (§ 33), dA che tutte le iperboli circoscritte a
A e aventi gli asintoti paralleli a due diametri coniugati dell’ellisse di
Steiner passano per il baricentro G. E ancora: tutte le iperboli cir-
coscritte a A e aventi gli asintoti ugualmente inclinati sugli assi dell’el-
lisse di Steiner e le due parabole circoscritte a A e aventi i diametri
rispettivamente paralleli agli assi della ellisse di Steiner, passano per
il punto R di Steiner, ecc.
Cosi dalla d) subito consegue : Tutte le coniche inscritte in A e
tangenti a due diametri coniugati dell’ellisse di Steiner sono parabole.
E ancora: tutte le coniche inscritte in A e tangenti a due rette ortogo-
naii uscenti da H sono parabole ; tutte le coniche inscritte in A e tangenti
a due rette per К (punto di Lemoine) tra loro reciproche rispetto al
circoncerchio sono altresi tangenti alia retta di Lemoine.
Si e gia osservato (§ 39) che, dati due triangoli omologici, le sei
intersezioni delle coppie di lati non omologhi appartengono a una co-
nica (conica di sei punti); orbene :
e) Gli infiniti triangoli omologici a A rispetto a un centro X e
a un asse x individuano infinite coniche di sei punti: tali coniche in-
contrano tutte 1’asse x negli stessi due punti reali о immaginari. Luogo
dei poli di x rispetto a tali coniche e una retta per X.
f) Gli infiniti triangoli omologici a A rispetto a un centro X e
a un asse x individuano con le loro intersezioni stri lati del triangolo
armonico130) di A rispetto a X infinite coniche di sei punti, le quali
18°) Dicesi triangolo armonico di Д rispetto a X il triangolo formato dalle coniu-
gate armoniche delle rette A Xt BX, С X rispetto alle coppie di lati di Д.
214
Virginio Retali e Giuseppina Biggiogero
incontrano x negli stessi due punti e hanno in tali punti le stesse tan-
genti.
Le due proposizioni e) ed /) insieme con le loro duati, che per
brevity tralasciamo, permettono di associare a A infinite coniche, no-
tevoli per la natura del centro X, о dell’asse x, e per le conseguenti
propriety. Inoltre illuminano Fesistenza di coniche notevoli gii cono-
sciute, consentendo di raggrupparle attomo al loro vero per chi e por-
gendo insieme, di ogni gruppo, una ragione di sintesi e di estensione.
Per esempio, quando il punto X sia il punto К di Lemoine e Fasse x
sia la retta impropria, la proposizione e) consente di vedere insieme
Fesistenza dei circoli di Tucker, dei circoli di Lemoine, del circolo di
Taylor ; mentre, se Fasse x ё la retta impropria e il punto X ё il bari-
centro G, la e) spiega Fesistenza delle ellissi di Steiner e dell’ellisse K.
Similmente la /), quando x sia la retta impropria e X sia il punto
di Gergonne, permette di individuate una infinite di circoli, tra cui
appare, come caso particolare, quello di Adams.
Si noti infine che:
g) Se n ё Finvoluzione individuata sopra una retta r da un qua-
drangolo piano complete А В C D, e se su ogni lato del quadrangolo
si determina il coniugato armonico, rispetto ai due vertici, della sua
intersezione con r, si ottengono sei punti che appartengono a una me-
desima conica, la quale passa pei punti diagonal! del quadrangolo e pei
punti doppi di n. Tale conica ё tangente alle sedici coniche che subor-
dinano su r Finvoluzione n e che sono tangenti ai lati dei triangoli ABC,
ABD, ACD, BCD.
Questa propriety, quando r sia la retta impropria e D sia Forto-
centro di ABC, dice Fesistenza del circolo di Feuerbach e rivela i
nove punti notevoli per cui esso passa e i suoi contatti con I’incerchio
e gli excerchi dei triangoli ABC, ABH, A CH, В CH.
Le estensioni sono owie131).
181) Per piii ampie notizie su queste vedute proiettive si possono consultare H.
ScRRdTER, J. reine ang. Math., 68 (1868), p. 208; E. Lemoine, Nouv. Ann. math.,
(3) 4 (1885), p. 201; E. Jahnke, Progr. Achte Realsch. Berlin, 1900; F. Caspary,
Nouv. Ann. math., (3) 19 (1900), p. 75; Arch. Math. Phys., (3) 1 (1901), p. 143,
269; L. Ripert, Arch. Math. Phys., (3) 1 (1901), p. 310; G. Biggiogero, Period, mat.,
(4) 8 (1928), p. 345 ; ibid., 4) 9 (1929), p. 167.
XXV
LA GEOMETRIA DEL TETRAEDRO
di GIUSEPPINA BIGGIOGERO a Milano
INDICE
I. - Introduzionl
Pag.
1. Oggetto della geometria del tetraedro.................................... 219
2. Cenni storici e bibliografici . ............................................ »
3. Notazioni................................................................ 220
II. - Sistemi di coordinate
4. Coordinate cartesiane..................................................... 221
5. Coordinate normali о tetraedriche........................................... »
6. Coordinate baricentriche ................................................... »
III. - Trasformazioni e corrispondenze notevoli
7. Tetraedri omologici e Tetraedri desmici .................................. 222
8. Punti e piani armonicamente associati..................................... 224
9. Tetraedri iperboloidici................................................ 225
10. Tetraedri di Mobius ..................................................... 228
11. Tetraedri e pentagon! ortologici......................................... 230
12. Punti isogonali о inversi............................................... »
13. Punti isotomici.......................................................... 232
IV. - Punti notevoli
14. Baricentro............................................................... 232
15. Punto di Motige.......................................................... 234
16. Centro della sfera circoscritta......................................... »
17. Centri delle sfere inscritte............................................. 235
18. Punto di Lhuilier ....................................................... 237
V. - Figure notevoli
19. Sezioni antiparallele ................................................... 238
20. Gruppi di quattro sfere . . ............................................. 239
21. Sfere tangenti agli spigoli ............................................. 240
22. Piano di Simson. Superficie di Simson................................... »
23. Ellissoide di Steiner................................................... 241
24. Ottagoni di Serret....................................................... 242
25. Quartica di Schroeter................................................... »
26. Complesso tetraedrale.................................................... 243
218
Giuseppina Biggiogero
VI. - Relazioni numeriche
Pag.
27. Relazioni numeriche......................................................... 244
28. Volume del tetraedro ....................................................... 245
VII. - Tetraedri particolari
29. Tetraedro ortocentrico e suo ortocentro.................................... 246
30. Tetraedro equifacciale ................................................... 248
31. Tetraedro regolare....................................................... 249
32. Tetraedro trirettangolo.................................................... 250
33. Tetraedro isodinamico: punto e piano di Lemoine............................. >
34. Sfere di Apollonio e centri isodinamici di un tetraedro isodinamico....... 251
35. Sfere di Tucker di un tetraedro isodinamico ................................ 252
I. * Introduzione.
1. Oggetto della geometria del tetraedro. — La geometria del
tetraedro si pud definire, in modo analogo alia geometria del triangolo
[Art. XXIV di questa Encicl., V. Retali e G. Biggiogero, La geome-
tria del triangolo], lo studio dei punti, delle rette, dei piani, delle figure e
delle trasformazioni notevoli a cui dd luogo la considerazione del tetraedro.
Molte propriety del tetraedro si appoggiano a proprieti del trian-
golo : ove occorra richiamare queste proprieti rimanderemo il lettore
al citato articolo di questa Enciclopedia con la notazione {A, § . . .).
2. Cenni storici e bibliografici. — Alcune proprieti del te-
traedro erano note anche agli antichi: riferisce infatti Archimede, nel-
1’introduzione al primo libro sulla sfera e il cilindro, che Eudosso (con-
temporaneo di Platone) si era occupato della cubatura delle piramidi1).
In Euclide troviamo diverse proprieti relative alle piramidi, con Spe-
ciale riferimento alia piramide triangolare 2 *). Ad Archimede era hoto 8)
che il baricentro di un cono circolare retto'divide 1’asse in due parti,
di cui quella contenente il vertice ё tripla dell’altra, e cid induce a pen-
sare che Archimede conoscesse gii il baricentro del tetraedro 4 * * *). Ma i
due teoremi: 1° le mediane del tetraedro concorrono in un punto, il
quale divide ogni mediana in due parti, di cui quella contenente il ver-
tice ё tripla dell’altra; 2° il punto d’incontro delle mediane ё il bari-
x) Arckimedis Opera omnia cum commentariis Eutocii, ed. J. L. Heiberg, 1,
2® ed., Lipsiae 1910, Ilepi otpalpo^ xod xukivSpou; « De sphaera et cyltndro », p. 5 ;
Les oeuvres computes d'Archimtde, par P. Ver Eecke, Paris et Bruxelles 1921; « De la
sphere et du cylindre », p. 4.
8) Si trovano infatti negli Elementi di Euclide le seguenti propriety: a) Se due
tetraedri hanno altezze uguali, il rapporto dei loro volumi ё uguale al rapporto delle
loro basi (L. XII, pr. 5); b) Una piramide ё la terza parte di un prisma avente
la stessa base e la stessa dtezza (L. XII, pr. 7); с) Il rapporto dei volumi di due
piramidi simili ё uguale al cubo del rapporto di due spigoli corrispondenti (L. XII,
pr. 8).
?) J. L. Heiberg e H. G. Zeuthen, Bibl. Math., (3) 7 (1907), p. 346.
4) Anche F. Commanding, De centro gravitatis sotidorum, Bononiae 1565, consi-
derando i libri di Archimede sui corpi galleggianti [Opera, ed. J. L. Heiberg, 2, 2® ed.,
Lipsiae 1913; ’O/oup^vcov, « De corparibus fluitantibus », p. 317; Oeuvres, ed. P. Ver
Eecke, « Des corps flottants», p. 405] ritiene che Archimede abbia determinate (forse
in qualche opera andata perduta) i baricentri di corpi non semplici.
220
Giuseppina Biggiogero
centro del tetraedro, si trovano la prima volta in Leonardo da Vinci 5).
Nel secolo XVI, N. Tartaglia6) assegno il volume del tetraedro in
funzione dei lati, e F. Commanding 7) diede alcune propriety relative
al baricentro del tetraedro. Del volume del tetraedro si occuparono
anche L. Euler8), J. L. Lagrange9), G. Monge10) e G. C. Ch.
von Staudt n), mentre molti geometri, studiando il tetraedro, ne tro-
varono propriety notevoli, come verri via via indicate.
La geometria del tetraedro si pud perd dire sorta soltanto verso la
fine del XIX secolo, accanto alia geometria del triangolo. Notizie sto-
riche e bibliografiche in proposito possono aversi da M. Simon, Ueber
die Eniwicklung der Elementar-Geometrie im XIX Jahrhundert, Jahresb.
deutsch. Math.-Vereinig., Erganzungsbande, 1.(1906), p. 202; M.
Zacharias, Encykl. d. math. Wiss., Ill AB 9, n. 21, p. 1054; J. Neu-
berg, Suf la geometrie recente du tetraedre nel Traite de Geometrie di
E. Rouch£ et Ch. de Comb^rousse, Paris 1922, 2, Nota IV, p. 643;
J. Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik, 2 ed., 7, Berlin-
Leipzig 1924, p. 26.
Un’opera recentissima sul tetraedro e quella di P. Couderc et
A. Balliccioni, Premier livre du Tetraedre, Paris 1935.
3. Notazioni. — Il tetraedro verri spesso indicate con (T); de-
noteremo con Аг, A2 , A3 , Л4 i suoi vertici, con Ar I’angolo triedro
di vertice Ar, con ar la faccia opposta ad Ar о anche il suo piano, con
AT il contorno della faccia ат о anche la sua area.
Con r s и v indicheremo una qualunque permutazione degli in-
dici 1, 2, 3, 4; lo spigolo Ar As verri anche indicate con drs: con lo
stesso simbolo denoteremo, ove occorra, il diedro che ha per spigolo
Ar As о anche la sua misura.
Dato un punto P, si diranno ceviane le rette Ar P e si indicheri
con Pr 1’intersezione della retta AT P col piano ar . Invece la proiezione
ortogonale di P sul piano ar si indicheri con P^ •
Altre notazioni usate nel presente articolo sono le seguenti:
V volume del tetraedro,
xi > x2 > хз > coordinate normali di* un punto P,
Л1 , Л2 , Л3 , . coordinate baricentriche di un punto P,
G baricentro del tetraedro,
M punto di Monge del tetraedro,
®) Cfr. R; Marcolongo, Atti Acc. Napoli, (2) 19 (1932), Cap. V, p. 72-73. I
due teoremi trovansi nel Codice Arundel e nel Codice Atfantico di Leonardo, dove
egli chiama assis le mediane del tetraedro.
•) General trattato di numeri et misure, 2, Vinegia 1560, Parte IV, p. 35.
7) F. Commanding *), prop. 17, 22.
•) L* Euler, Novi Comm. Ac. Petrop., 4 (1752-1753), ed. 1758, p. 158-160.
•) J. L. Lagrange, Nouv. Мёт. Ac. Berlin, 1773 (ed. 1775), p. 167; Oeuvres,
3, Paris 1869, p. 659.
10) G. Monge, Corresp. Ec. polyt., 2 (1809), p. 1-6.
n) G. С. Си. von Staudt, J. reine ang. Math., 24 (1842), p. 255, n. 8.
XXV. - La geometria del tetraedro
221
О centro della sfera circoscritta,
r raggio della sfera circoscritta,
I centro della sfera inscritta,
IT centri delle sfere ex-inscritte,
ITS centri delle sfere tangenti esternamente,
q raggio della sfera inscritta,
Qr raggio delle sfere ex-inscritte,
@rs raggi delle sfere tangenti esternamente,
hT altezza uscente dal vertice Ar,
L punto di Lhuilier,
H ortocentro di un tetraedro ortocentrico,
К punto di Lemoine di un tetraedro isodinamico,
W, W' centri isodinamici di un tetraedro isodinamico.
IL - Sistemi di coordinate.
4. Coordinate cartesiane. — Ё opportune in talune question!
ricorrere all’uso di coordinate cartesiane. I calcoli si semplificano as-
sumendo come assi tre spigoli di (T), uscenti da un medesimo vertice,
sui quali si potranno scegliere i versi positivi in modo che la quarta
faccia sia tutta situata nella regione delle coordinate positive.
5. Coordinate normal! о tetraedriche. — Diconsi coordinate
normali di un punto P quattro numeri xx , x2 , x3 , x4 , rispettivamente
proporzionali alle distanze12) di P dalle facce ax, a2 , a 3, a4 di (T).
Se m e il fattore di proporzionalita, sara:
(1) H- x2 Л2 -f- x3 Лз -f- x4 d4 — 3 m V.
Per m = 1 le xx , x2 , x3 , я4 diconsi coordinate normali assolute,
о anche tetraedriche13).
Inversamente, dati quattro numeri xx , x2 , x3 , x4 soddisfacenti
la (1), esiste uno e un solo punto P dello spazio avente per coordinate
normali i quattro numeri dati.
6. Coordinate baricentriche. — Diconsi coordinate baricentriche
di un punto P quattro numeri Лх, Л2 , Л3 , Л4 , rispettivamente propor-
zionali ai volumi dei tetraedri di vertice R e di base dx, Д2 , d3 , d413).
A questi volumi si attribuira il segno stesso delle corrispondenti coor-
dinate normali di P. Pertanto, se /z e il fattofe di proporzionalita, e:
(2) Ях + Л2 + + Л4 = /z V.
Per /z = 1 le coordinate baricentriche diconsi assolute.
12) Alle distanze di P dalle facce conviene attribuire un segno : solitamente si
assume come regione positiva, rispetto aogni faccia, quella dove sta il vertice opposto.
13) Cfr. J. Neuberg, Sur la geometric recente du tetraedre, in Traite de Geometric
di E. Roucni et Ch. de Comb^rousse, 2, Paris 1922, Nota IV, p. 643.
222
Giuseppina Biggiogero
Inversamente, dati quattro numeri , Л2 > , spddisfacenti
la (2), esiste uno e un solo punto P dello spazio, avente quei numeri
come coordinate baricentriche.
Il nome di coordinate baricentriche proviene da cid, che il punto
P(Ai, Л2, Л3 , Л4) risulta baricentro del sistema formato dai punti Лг,
A 2, A3 , A4 , qualora in essi si suppongano applicati dei pesi, positivi
о negativi, rispettivamente proporzionali ai numeri , Л2 , 23 , Л4 .
III. - Trasformazioni e corrispondenze notevoli.
7. Tetraedri omologici e Tetraedri desmici.— Se due te-
traedri (T) = (Л!, A3, A3 , AJ, (В) = (Вг, B2, B3 , B4), non aventi
vertici nd spigoli comuni, sono cosi nferiti che le quattro rette congiun-
genti le coppie di vertici omologhi passino per uno stesso punto, le quat-
tro intersezioni delle coppie di facce omologhe giacciono in uno stesso
piano, e inversamente. Due siffatti tetraedri diconsi omologici q pro-
spettivi1*).
Due tetraedri possono anche essere omologici in piii di un modo;
ma cid pud avere luogo soltanto in due modi (tetraedri biomdogici),
oppure in quattro modi14 15). Nel primo caso si hanno le due omologie:
(Ai A3 As ^44\ /А^А^А^АЛ
\Bi B2 B3 B4/ \B3 Bj B4 B3/
Nel secondo caso si hanno, con le precedent!, anche le due omologie:
Л41A3 A3 АЛ
\B3 B4 B* B2/ \B4 B3 B3 Bi/
Se due tetraedri sono omologici, le dodici rette congiungenti cop-
pie di vertici non omologhi appartengono a una superficie di terza classe,
e le dodici rette comuni alle coppie di facce non omologhe stanno sopra
una superficie di terz’ordine. Piii precisamente si pud dire:
Se per due tetraedri, riferiti tra loro, ha luogo una delle quattro
proprieti:
a) le congiungenti i vertici omologhi passano per un punto;
b) le intersezioni delle facce omologhe stanno in un piano;
c) le congiungenti i vertici non omologhi appartengono a una
superficie di terza classe;
14) Il teorema ё di J. V. Poncelet, Traiti des proprUth projective* des figures, 1
(1822), 2a ed., Paris 1865, p. 362-363.
M) J. Valyi, Arch. Math. Phys., (2) 3 (1886), p. 441; E. Hess, Math. Ann., 28
(1887), p. 212. Il risultato ё stabilito per via geometrica elementare da G. Gallucci,
Period, mat., 13 (1898), p« 9$.
XXV. - La geometria del tetraedro
223
J) le intersezioni delle facce non omologhe Stanno sopra una
superficie di terz’ordine,
sono vere anche le altre tre ie).
Fissato un tetraedro (A1A2A3A4) e un punto O, esistono infi-
niti tetraedri (Bx B2 B3 B4) biomologici ad esso, con uno dei centri
di omologia in О; il piano della seconda omologia e un piano fisso,
mentre il centro della seconda omologia e il piano della prima variano,
appartenendo per6 sempre a due rette fisse. Queste due rette, quando
О descrive una retta, si muovono sopra un iperboloide* 17).
I tetraedri omologici in quattro modi si dicono desmid о fasciali1*).
Affinche due tetraedri siano desmici, e necessario e sufficiente che
ogni coppia di spigoli opposti dell’uno si appoggi a una coppia di spi-
goli opposti dell’altro19).
Le quattro omologie in cui si corrispondono due tetraedri desmici
sono involutorie : i loro centri e i loro piani sono i vertici e le facce op-
poste di un terzo tetraedro (C) = (Cx C2 C3 C4) desmico con ognuno
dei due tetraedri considerati. In altre parole :
Dati due tetraedri desmici, esiste uno e un solo tetraedro desmico
con entrambi, e le quattro omologie in cui si corrispondono due qua-
lunque dei tre tetraedri hanno per centri e piani i vertici e le facce op-
poste del terzo ®).
Se uno dei tre tetraedri si assume come tetraedro di riferimento,
i vertici degli altri due hanno rispetto ad esso le medesime coordinate
(normali о baricentriche) ma coi segni cambiatia). Precisamente si
ha, riferendosi al tetraedro (Лх A3 A3 A4):
Bl (xt, , xs, x4) , Ct (—*1, xit x3, xt),
В» (xi i xt > xs» xt) » ( xi > xi > xs > xi)>
le) Il teorema ё di A. Wiman : cfr. O. Stenstr6m, Opuscula mathematica Andreae
Wiman dedicata, Upsala 1930, p. 13.
17) Uno studio sui tetraedri biomologici, con applicazioni a varie configurazioni,
si deve a G. Gallucci, Rend. Acc. Napoli, (3) 4 (1898), p. 62 ; (3) 12 (1906), p. 49;
G. mat., (2) 6 (1899), p. 1.1 tetraedri due e quattro volte omologici furono diffusamente
studiati dallo stesso autore in Complement di Geometria proiettiva, Napoli 1928, p. 1-33.
le) Essi furono dapprima considerati da O. Hermes, J. reine ang. Math., 56 (1859),
p. 204, studiando un eaaedro, le cui tre diagonali si incontrano in un punto. Successi-
vamente si trovano in L. Cremona, Mem. Acc. Lincei, (3) 1 (1876-1877), p. 854;
Opere, 3, Milano 1917, p. 406, n. 33, e in H. Schroter, Tageblatt der 52 te Versammlung
deutscher Naturforscher und Aertzte in Baden-Baden, 1879, p. 177; J. reine ang.
Math., 109 (1892), p. 168; Z. Math. Phys., 28 (1883), p. 178; GrundzUge einer rein
geometrischen Theorie der RaumJasrven vierter Ordnung erster Specter, Leipzig 1890,
p. 52; J. reine ang. Math., 109 (1892), p. 341. Ma il loro studio sistematico fu fatto
quasi contemporaneamente da C. Stephanos, Bull. sc. math, et astr., (2) 3 (1879),
p. 424, che li chiamd desmici, e da G. Veronese, Mem. Acc. Lincei, (3) 9 (1880-1881),
p. 265, 306 (sunto in Trans. Acc. Lincei, (3) 4 (1880), p. 132), il quale li dedusse dalla
considerazione di certi fasci di superficie del 40 ordine, e li chiamd fasciali. Sull’argo-
mento vedi anche Th. Reye, Acta math., 1 (1882), p. 97-108.
x’) C. Stephanos1’); G. Veronese le), Parte II, cfr. pure F. Severi, Comple-
ment di geometria proiettiva, Bologna 1906, p. 43.
•°) C. Stephanos1’); G. Veronese1’), Parte II, cfr. pure F. Severi1’), p. 46.
“) G. Veronese1’), Parte II, teor. II.
224
Giuseppina Biggiogero
B3 (^i > %2 > * *з > ^4) , G3 ( > %2 > %3 > . ^4),
B4 (^1 > %2 > *^3 > ^4) > G4 ( %1 > %2 > *3 > ^4)’
Gli otto punti Br e C8 si dicono anche armonicamente associati
rispetto a (T).
I vertici di tre tetraedri desmici sono a tre a tre situati su 16 rette
\rette h], che a quattro a quattro concorrono nei 12 vertici. Duakn^nte
le facce dei tre tetraedri a tre a tre si incontrano su 16 rette [rette h'],
le quali a quattro a quattro appartengono alle dodici facce 22).
Proiettando da ogni spigolo dut3 di (T) il punto BY sullo spigolo
opposto dr8, si ottengono sei punti Pr8. I loro coniugati armonici ri-
spetto ai vertici di (T) sono sei punti Pr8 che giacciono nel piano B2B3B4.
I 18 spigoli dei tre tetraedri (T), (В), (C) a tre a tre si incontrano
nei 12 punti Pr8, Pr8 . Questi sono a tre a tre situati su 12 piani лГ8,
лГ8 , che formano la figura correlativa di quella dei punti PT8, PT8 .
I piani лГ8, лГ8 a due a due passano pei 18 spigoli separando ar-
monicamente le due facce dei tetraedri (T) о (В) о (C) che passano
per quello spigolo.
Per ciascun punto PT8, Pr8 passano quattro rette Л', mentre nei
piani лТ8 e лГ8 sono situate quattro rette h e tre spigoli dei tre tetrae-
dri (T), (B), (C)«).
I dodici punti PT8, PT8 formano tre tetraedri desmici di una se-
conda terna, precisamente:
(P')=(P13P'14P34P'34), (Р"')=(Р14Р'14Р33Р'33) .
Le loro facce sono i piani лТ8, л'r8 . Le rette che congiungono a tre a
tre i vertici dei tetraedri (P'), (P")> (P'") sono Iе 16 rette Л', mentre
le facce лгз, л’га a tre a tre si incontrano sulle 16 rette h 24).
La terna di tetraedri desmici (P'), (P")> (P'") dicesi coniugata
alia terna (T), (В), (С). I tetraedri della prima e della seconda terna
hanno gli spigoli comuni.
Per due coppie di spigoli opposti di due tetraedri di una terna,
per es. (В) e (C), passa un iperboloide che ha il terzo tetraedro (T)
come coniugato “).
8. Punti e piani armonicamente associati. — Si consideri un
punto P non appartenente alle facce di (T). Sia PT la proiezione di P
dal vertice Ar sulla faccia aT: si ottengono cosi i punti Px , P2 , P3 , P4 .
Il tetraedro (P1P2P3P4) e omologico (§ 7) a (T) rispetto al cen-
tro P. Il piano л di questa omologia dicesi piano polare di P rispetto
a (T) *).
aa) G. Veronese18), Parte II, n. 1.
») G. Veronese18), Parte II, teor. IV.
M) G. Veronese18), Parte II, teor. VI.
®) G. Veronese13), Parte II, teor. XX; C. Stephanos18), p. 439\
*) G. Veronese18), Parte II, teor. III.
XXV. - La geometria del tetraedro
285
Il piano n e la terza polare di P nspetto alia superficie di 4° ordine
degenere formata dai piani delle facce di (T). In altre parole: se un
raggio variabile, uscente da P, incontra le facce di (T) in Hx, H>,
H3 , H4 , ed ё H il centro armonico di primo grado del sistema H1 ,
H2, H3 , rispetto a P, definite dall’equazione:
PH -I P Hr ’
il luogo del punto H e il piano %, polare di P rispetto a (T).
Tra le rette per P ve ne sono tre che si appoggiano alle coppie di
spigoli opposti di (T) nei punti Hra, Huv . Per la (3), le quaterne
(P H HraH ttt,) sono armoniche.
Il rapporto anarmonico dato da un vertice di (T), dalla faccia op-
posta, dal punto P e dal suo piano polare n e costante *).
Indichiamo con Pra la proiezione di P sullo spigolo dra dallo spi-
golo opposto e sia Pra il coniugato armonico di Pra rispetto ai vertici
Ar e Aa. Si hanno allora le proprieta :
1) Le rette AaPuv , AuPav , AvPau concorrono nel punto Pr.
2) I punti Puv' , Pav' , Pau' appartengono a una retta pr , che
e la polare trilineare (Л, § 20) di Pr rispetto al triangolo A r .
3) Le quattro rette рг, p2 , />3, />4 appartengono al piano po-
lare di P e sono lati di un quadrilatero piano complete. Questo quadri-
latero ammette un trilatero diagonale di vertici Q, P, S : il tetraedro
(T') = (PQRS) e autopolare rispetto a (T), nel senso che ogni suo
vertice ha per piano polare la faccia opposta. Viceversa il tetraedro (T)
ё autopolare rispetto a (Tf).
4) I piani (P'ra^ut,), (P'rvdav), (P'rvdau) concorrono in un
punto Nr, che appartiene alia retta Ar P ed ё il coniugato armonico
di P rispetto alia coppia Ar, Pr .
5) Il tetraedro (JV) = (2УХ N2N3N4) ё autopolare rispetto a (T)
e omologico ad esso : centro e piano di omologia sono il punto P e il
piano n.
6) I due tetraedri (T) e (T ) sono omologici in quattro modi:
centri e piani delle quattro omologie sono i vertici e le facce opposte
del tetraedro (2V); cioe i tetraedri (T), (T') e (2V) formano un sistema
desmico (§7).
7) Due quaterne di punti armonicamente associati rispetto a
(T) (§7) formano due tetraedri autopolari 1’uno rispetto all’altro ed
entrambi rispetto a (T) *•).
9. Tetraedri iperboloidici. — Se due tetraedri (P) =(A1A2
A3 A4) e (B) = (B1B2 B3 B4) sono cosi riferiti che le quattro rette
CT) G. Veronese18). Parte II, teor. XVI.
“) C. Stephanos18), p. 434.
M) E. Beltrami, G. mat., (1) 1 (1863), p. 208, 354; Opere, 1, Milano 1902, p. 73.
226
Giuseppina Biggiogero
ArBT congiungenti coppie di vertici omologhi sono generatrici di uno
stesso sistema di una quadrica rigata, lo stesso avviene per le quattro
intersezioni delle facce corrispondenti; e vice versa
In tai caso i due tetraedri si dicono iperboloidici.
Due tetraedri, dei quali uno non inscritto nell’altro, possono essere
iperboloidici in piii di un modo; precisamente in 2, 3, 4, 6 modi 31).
Due tetraedri biomologici sono iperboloidici in due modi32).
Se i due tetraedri (T) e (B) sono iperboloidici, oltre che nel modo
lA.A^A^AS i . - , . , A
I d d d d I, anche in un altro modo, cornspondente a una sosti-
\/Ji zi2 n4/ ............ (A A A A\
tuzione ciclica sugli indici dei punti BT, per es. I ^3 ^4k essi
sono iperboloidici in altri due modi, corrispondenti alle altre sostitu-
zioni cicliche sugli indici dei punti Br, cio£ nei modi:
/AiA2A3AA / A. i A. 2 A. 3 .A^\
\B3 B4 Вг B2I \B4 Bi B2 B3/
e non possono essere iperboloidici in alcun altro modo 33).
Dato il tetraedro (T) e I’iperboloide delle intersezioni delle facce,
si possono costruire oo1 tetraedri (B) iperboloidici al primo nei quattro
modi :
/Ai A2 A3 АЛ /А j A2 A3 АЛ /AiA3A3AA /А1А2А2АЛ
yBi B2 B3 B4; \B2 B3 B4 Bi/ \B3 B4 Bi B2I \B4 Bi B2 B3)
e i loro vertici variano su quattro cubiche gobbe 34).
Esistono tre e tre sole collineazioni cicliche del. 4° ordine aventi
per punti uniti i vertici di (71): esse sono a due a due permutabili tra
loro e con ciascuna delle omologie armoniche individuate dalle coppie
ЭД) 11 teorema ё di M. Chasles, Aperfu historique sur Гorigine et I e developpement
des mtthodes en gdomdtrie, 2a ed., Paris 1875, p. 400, 547. Dimostrazioni analitiche si
trovano in A. Cayley, Quart. J., 1 (1857), p. 10 (datato 1855); Papers, 3, Cambridge
1890, p. 7 ; N. Ferrers, ibid., p. 191; G. Salmon, ibid., p. 241. Vedi anche O. Hermes,
J. reine ang. Math., 56 (1859), p. 218; H. Schroter, ibid., 93 (1882), p. 151, (nota).
Come fondamento di questi e altri teoremi pud considerarsi il seguente teorema di
F. Schur, Math. Ann., 19 (1882), p. 429: « Se due tetraedri sono tra loro riferiti, ad
ogni retta che incontra le quattro congiungenti le coppie di vertici omologhi ё coordi-
nate una retta che incontra le quattro intersezioni delle coppie di facce omologhe, e
inversamente ». In particolare, se delle prime rette се п’ё una sola, anche delle seconde
се п’ё una sola.
u) G. Valyi, Monatsh. Math» Phys., 4 (1893), p. 121. Il risultato ё stabilito per
via geometrica da G. Gallucci, Rend. Acc. Napoli, (3) 11 (1905), p. 175 con 1’aggiunta
di notevoli configurazioni relative ai due tetraedri. Sui tetraedri piii volte iperboloidici
vedi pure G. Gallucci, Complementi17), p. 34-59.
w) G. Gallucci, 3a op. cit.17), p. 9.
33) G. Gallucci31), p. 192. I tetraedri quattro volte iperboloidici furono anche
trovati da H. Schroter, Grundziigeie), p. 60, studiando le quadriche di la specie.
34) G. Gallucci31), p. 192-193.
XXV. - La geometria del tetraedro 227
di facce e vertici opposti di (T) 85 * * 88). E due cicli qualunque di una delle
tre collineazioni cicliche del 4° ordine formano due tetraedri, i quali
sono in posizione iperbolpidica in quattro modi diversi M).
Se si ammette che i due tetraedri (T) e (B) possano anche essere
uno inscritto nell’altro, ё possibile ottenere anche coppie di tetraedri
9 volte iperboloidici S7).
Se un tetraedro (В) ё inscritto in (T) ed ё con (T) iperboloidico
in un modo, lo ё almeno in 4 modi diversi,.e i corrispondenti iperboloidi
appartengono a un medesimo fascio.
Quattro rette si dicono iperboloidiche зд) se sono le generatrici di
uno stesso sistema di una quadrica rigata.
In un tetraedro le rette che congiungono i vertici con gli incentri
delle facce opposte sono iperboloidiche. Sono altresi iperboloidiche le
congiungenti i vertici coi punti di Lemoine delle facce opposte 3e).
Dati due tetraedri (T) = (Лх A2 A3 A4) e (B) = (Bx B2 B3 B4)9
si conduca dal vertice Ar del primo la perpendicolare alia faccia fir
del secondo (r = 1, 2, 3, 4): se le quattro rette cosi ottenute sono iper-
boloidiche, anche le perpendicolari dai vertici Br alle facce aT sono
iperboloidiche 89).
АЖпсЬё le quattro rette di equazioni:
Xzla 12 = Хз1а13 = Xilai4 >
Xlla21 = Хз1а23 = XJa24 >
Xlla31 = Хз1а32 = Xi/a34 >
Xlla41 = X2la42 = Хз/а43
siano iperboloidiche, ё necessario e sufficiente che il determinante
|afJk| sia simmetrico 40).
Dualmente, condizione necessaria e sufficiente аЖпсЬё quattro rette
rispettivamente situate sulle facce di (T) su cui abbiano ordinatamente
le equazioni:
X2/C12 И- Хз/С13 "1“ XJC14 = 0 »
Xll^21 И- Хз/^23 "1“ XJ^24 = 0 >
X 1/^31 “Ь Хз1^32 4“ ^4/^34 = 0 »
Xll^41 X2^42 Хз/^43 0
siano iperboloidiche ё che il determinante sia simmetrico.
“) L. Berzolari,- Rend. 1st. Lomb., (2) 37 (1904), p. 745.
M) H. Schroter, Math. Ann., 20 (1882), p. 242.
”) F. Schur, Math. Ann., 20 (1882), p. 254. L’autore ё pervenuto at risultato
studiando le superficie di 4° ordine generabili con quattro collineazioni spaziali. V. an-
che M. Munk, Inaug.- Diss., Marburg 1893, dove trovasi una trattazione analitica
dell’argomento. P. Muth., Z. Math. Phys., 37 (1892), p. 117, trovd che le coppie di
tetraedri mutuamente inscritti e circoscritti sono di cinque tipi.
88) H. Schroter, Theorie der Oberflachen zweiter Ordnung und der Raumkurien
dritter Ordnung, Leipzig 1880, p. 94-96.
••) J. Neuberg, Мёш. cour. Ac. Belg., 37 (1886), p. 27 ; Monatsh. Math. Phys., 18
(1907), p. 218.
*°) O. Hermes, Oberprogramm des Colnischen Real-Gymn., 1856; J. reine
ang. Math., 56 (1859), 218 (datato 1857).
228
Giuseppina Biggiogero
Data una quadrica (0, si consider! il tetraedro (B) polare di (T)
rispetto a (Q): i due tetraedri (T) e (B) (polari reciproci rispetto a (Q))
sono iperboloidici u).
Se si assume come quadrica (Q) una quadrica circoscritta a (T),
si ha che:
Le rette che uniscono i vertici di un tetraedro inscritto in una
quadrica coi poli delle facce rispettivamente opposte sono iperboloi-
diche 42).
Due cicli qualunque di una collineazione ciclica del 4° ordine
individuata dai vertici di (T) sono due tetraedri polari reciproci 1’uno
dell’altro rispetto a quattro quadriche, le quali hanno (T) come tetrae-
dro coniugato comune 43).
Dati sulle facce di (T) ordinatamente i punti PT, P2 , P3 , P4 ,
se le quattro rette ArPr sono iperboloidiche, lo sono altresi le polari
trilineari (J, § 20) dei punti Pr rispetto alle facce ar .
Se dei punti Pr si considerano gli inversi P'r rispetto alle facce
«г § 18), anche le rette ArP/ sono iperboloidiche44).
Come casi intermedi tra 1’omologia di due tetraedri e la posizione
iperboloidica, si ha tt):
a) Se le due congiungenti due coppie di vertici di due tetraedri
sono complanari, anche le intersezioni di quelle due coppie di facce
che hanno in comune gli spigoli passanti pei detti vertici sono in un
medesimo piano.
b) Se due tetraedri si corrispondono in modo che le congiun-
genti coppie di vertici omologhi appartengano a un iperboloide, ma
tre sole di esse appartengano a uno stesso sistema di generatrici, tre
delle intersezioni delle facce omologhe sono in un piano.
c) Se le congiungenti i vertici omologhi di due tetraedri tra loro
riferiti sono i lati di un quadrangolo gobbo, anche le intersezioni delle
coppie di facce omologhe sono i lati di un quadrangolo gobbo.
d) Se tre delle congiungenti coppie di vertici omologhi di due
tetraedri tra loro riferiti passano per un medesimo punto, una delle
intersezioni delle coppie di facce omologhe si appoggia alle altre.
10. Tetraedri di Mobius. — Due tetraedri (T) = (Лх A2 A3 A4)
e (B) = (BT B2 B3 B4), tali che uno di essi sia contemporaneamente
inscritto e circoscritto all’altro, diconsi tetraedri di Mobius Se uno * 4
u) M. Chasles, Ann. math, pures appl., 19, (1828-1829), p. 76; e Aperfu30),
p. 400, 547 ; Rapport sur les progrёз de lagtamitrie, Paris 1870, p. 72. Vedi anche Th.
Weddle, Cambr. Dublin math. J., 6 (1851), p. 114; 7 (1852), p. 10; O. Hesse, Mem.
postuma del 1844-1845, Ges. Werket Munchen 1897, p. 637.
4B) Pel caso particolare di un tetraedro inscritto in una quadrica vedasi E. E.
Bobillier, Ann. math, pures appl., 18 (1827-1828), p. 320.
*•) L. Berzolari “), p. 748.
**) J. Neuberg13), p. 656.
*5) O. Hermes, J. reine ang. Math., 56 (1859), p. 224.
“) A. F. Mobius, J. reine ang. Math., 4 (1828), p. 273-279; Werke, 1, Leipzig
1885, p. 439. Il teorema di Mobius, fondamentale per la teoria delle curve gobbe del
XXV. - La geometria del tetraedro
829
di essi si assume come tetraedro di riferimento, le coordinate dei vertici
dell’altro sono gli elementi di un determinante emisimmetrico 47 * *).
Le congiungenti le coppie di vertici omologhi e le intersezioni delle
coppie di facce omologhe sono otto rette, che ammettono due trasver-
sali comuni r, r'. Queste dividono armonicamente cosi le coppie di ver-
tici, come le coppie di facce.
I vertici di (T) e (B) si possono distribuire come vertici di coppie
di tetraedri di Mobius in quattro modi, come segue:
уВ^В^ВдВ^ B2 A$ A^J \В1Вз^42^44/ уВ^В^АъАх/
Gli spigoli di.(T) e (B) si distribuiscono a quattro a quattro sopra
tre iperboloidi, ognuno dei quali contiene due spigoli opposti di (T)
e gli omologhi di (B). Sugli stessi iperboloidi si distribuiscono a quattro
a quattro, come generatrici dell’altro sistema, le congiungenti dei ver-
tici non omologhi di (?’) e (B). Due tetraedri di Mobius sono pertanto
iperboloidici in tre modi diversi.
I vertici di (T) e (B) sono punti base di un sistema lineare S dop-
piamente infinite di superficie di 2° ordine : correlativamente le facce
dei due tetraedri sono piani tangenti comuni alle superficie di 2a elasse
di un sistema lineare S' doppiamente infinite. I tre iperboloidi prece-
denti appartengono tanto ad S quanto ad S'.
I due tetraedri (T) e (B) sono autopolari rispetto a una quadrica
passante per r, r' e sono reciproci 1’uno’dell’altro rispetto a un complesso
lineare. Le rette di questo complesso incontrano le facce di (T) e quelle
di (B) in gruppi tra loro proiettivi. La totality delle rette dotate di que-
sta proprieti'si compone del precedente complesso lineare e del com-
plesso di 30 grado costituito dalle generatrici delle quadriche cosi del
sistema S, come del sistema S' *).
Se su ogni faccia aT di (T) si considera la polare trilineare br del
punto Br , i piani (Arbr) formano un terzo tetraedro inscritto e circo-
scritto a (T).
3° ordine, ё il seguente: Quattro punti di una cubica gobba e i piani osculatori nei
punti stessi sono vertici* e facce di due tetraedri ognuno dei quali ё inscritto e circoscritto
all’altro. Cfr. Part. XXXIV di questa Encicl. (B. Segre, Geometria ancditica), §§ 55 e
63, e Tart. XXXV della stessa (E. G. Togliatti, Geometria proiettiva), §§ 38 e 43.
Sulla possibility di due tetraedri aventi una tale posizione, vedasi pure J. Steiner,
Systematische Entwicklung der Abhdngigkeit geometrischer Gestalten von einauder, Berlin
1832, p. 247; Werke, 1, Berlin 1881, p. 405.
47) O. Herme, la op. cit.40), p. 22-23 ; 2a op. cit.40), p. 236. J. Neuberg, la
1. c. ’•).
4e) Per le precedenti e per altre propriety di due tetraedri di Mobius vedasi il la-
voro di E. Caporali e P. del Pezzo (1885) in Memorie di geometria di E. Caporali,
Napoli 1888, p. 282 e seg. Cfr. pure R. Sturm, Die Gebildeerstenund zweiten Grades der
Limengeometrie in synthetischer Behandlung, 1, Leipzig 1892, p. 66 e seg.; J. Neuberg,
la op. c. ’•); G. Gallucci, Camplementi17), p. 56-59. Tanto E. Caporali e P. del Pezzo
quanto J. Neuberg hanno pure studiato i tetraedri di Mobius aventi le coppie di ver-
tici omologhi su quattro rette assegnate.
230 Giuseppina Biggiogero
Per costruire due tetraedri di Mobius, si pud prendere ad arbitrio
uno di essi (T) e due vertici, ad es. Br e B3 , dell’altro, tenendo poi
presente che il luogo dello spigolo B2 B4 ё un iperboloide. Precisamente
due spigoli opposti di (T), ad es. Ax A3 e Л2 Л4 , e i corrispondenti
di (B) : Bx B8 e B2B4 sono generatrici di uno stesso sistema di un iper-
boloide, mentre le congiungenti coppie di vertici non omologhi sono
generatrici dell’altro sistema.
11. Tetraedri e pentagon! ortologici. — Se due tetraedri (T) =
= (ЛХЛ2Л3Л4) e (B) =(B1B2B3B4) sono cosi riferiti che le per-
pendicolari condotte dai vertici Ar del primo sulle facce omologhe
(B8BUBV) del secondo concorrono in un medesimo punto P, anche
le perpendicolari dai vertici del secondo sulle facce omologhe del primo
concorrono in un medesimo punto P' 49).
In tai caso i due tetraedri si dicono ortologici e i punti P e P' si
dicono ortopoli о metapoli dei due tetraedri50).
Allora accade anche che un lato qualunque dei due pentagon!
sghembi completi (P Ax A2 A3 A4) e (P' Вг B2 B3 B4) ё perpendicolare
alia faccia opposta dell’altro. I due pentagoni si dicono pure ortologici 51).
Due coppie di vertici corrispondenti di due pentagoni ortologici
sono di vise nello stesso rapporto dalle faccie opposte. Segue che un
vertice di uno dei pentagoni ortologici ha rispetto al tetraedro. formato
dagli altri quattro vertici le stesse coordinate baricentriche del vertice
corrispondente rispetto ai rimanenti vertici del secondo pentagono52).
Sulle rette P' Bx , P' B2 , P' B3 , P' B4 si prendano ordinata-
mente i punti Cx, C2 , C3 , C4 non complanari: il tetraedro (C) =
(Ci C2 C3 C4) ё allora omologico al tetraedro (B) rispetto al centro P' e
a un piano e inoltre ortologico al tetraedro (T). Le perpendicolari
dai vertici di (C) sulle facce opposte di (T) concorrono nel punto P'
e le perpendicolari dai vertici di (T) sulle facce opposte di (C) concor-
rono in un punto P" : la retta PP" ё perpendicolare al piano di
omologia л'53 54).
12. Punti isogonali о inversi. — Due piani, passanti per un
medesimo spigolo dr8 di (T), si dicono coniugati isogonali rispetto a tale
spigolo se essi sono ugualmente inclinati sui piano bisettore del diedro dTS.
Ditto un punto P, si considerino i sei piani [P s] : i loro coniu-
gati isogonali rispetto agli spigoli dTS concorrono in un medesimo punto
P' che dicesi punto isogonale о inver so di P5*). La corrispondenza tra
i punti P e P' ё involutoria.
*•) J. Steiner, J. reine ang. Math., 2 (1827), p. 288; Werke, 1, Berlin 1881, p. 157-
159; V. Eberhard, Monatsh. Math. Phys., 17 (1906), p. 306-309; J. Neuberg, itjid., 18
(1907), p. 212-218 e 13) p. 650; 39) p. 12.
J. Neuberg49).
51) J. Neuberg, Sur la Gtomttrie du Tetrabdre, Louvain 1909, p. 7.
S2) J- Neuberg, op. cit. °), p. 215.
53) V. Eberhard 49)»
54) G. Veronese le), teor. XCIV; J. Neuberg 51), p. 6 ;13), p. 648; la cit.39), p. 11.
XXV. - La geometria del tetraedro
231
Le rette ArP e Ar P' si dicono coniugate isogonali rispetto al trie-
dro AT , epperd si pud anche dire : se quattro rette proiettano dai ver-
tici di (T) un punto P, le loro coniugate isogonali rispetto ai triedri
di (T) concorrono in un punto P'.
Le coordinate del punto P' sono inversamente proporzionali a
quelle di P.
Le proiezioni ortogonali POr e P'ar di due punti inversi sulle facce
di (T) sono otto punti di una medesima sfera (S), che ha per centro il
punto di mezzo del segmento P P' M).
I due pentagoni completi РЛ1Л2Л344 e P' P'^ P’a^ P'a3 P'a*
sono ortologici (§ ll)56).
Due punti isogonali P e P' sono fuochi di una quadrica di rotazione
(0) tangente alle facce di (T). Il luogo dei piedi delle perpendicolari
condotte ai piani tangenti alia quadrica (0) dai fuochi P e P' e la sfera
(5)se)-
Quando il punto P descrive un piano, il suo isogonale P' descrive
una superficie del terz’ordine circoscritta a (T), contenente gli spigoli
di (T) e avente un punto doppio in ciascun vertice di (T)57 58). In Par“
ticolare, e una superficie del terz’ordine il luogo dei coniugati isogo-
gonali dei punti impropri, e si dice superficie di Simson relativa a (T)
(§ 21).
Una retta generica dello spazio ha per trasformata isogonale una
cubica gobba passante pei vertici di (T): infatti a due piani per la retta
corrispondono due superficie del terz’ordine che si incontrano secondo
una curva del nono ordine formata dagli spigoli di (T) e da una cubica
residua.
La trasformazione isogonale tetraedrica non e che un caso parti-
colare della trasformazione cubica che si individua assegnando una rete
di quadriche e facendo corrispondere a un punto P il punto P' nel
quale si incontrano i piani polari di P rispetto alle quadriche della rete.
Essa fa corrispondere a un piano generico una superficie del terz’ordine.
Due di queste superficie si incontrano secondo una curva fissa del 6°
ordine, fondamentale per la trasformazione, e secondo una cubica
ulteriore M). Nel nostro caso la rete di quadriche e quella che ha per
punti base i centri delle otto sfere tangenti alle facce di (T) (§ 16), e la
J. Neuberg, op. la cit. 3e), p. 12.
M) J. Neuberg54).
57) A. Cayley, J. math, pures appl., 9 (1844), p. 285; Papers, 1, Cambridge 1889,
p. 183. Cfr. E. Beltrami, G. mat., (1) 1 (1863), p. 216; Opere, 1, Milano 1902, p. 83.
58) Questa trasformazione cubica fu prima studiata da L. I. Magnus, Aufgaben
aus der analytischen Geometrie des Raumes, I, Berlin 1837, p. 408 ; e in seguito anche da
L. Cremona, J. reine ang. Math., 68 (1868), p. 72, Nachr. Ges. Gott., 1871, p. 129;
Math. Ann., 4 (1871), p. 213 ; Opere, 3, Milano 1917, p. 64, 260; A. Cayley, Proc.
Lond. math. Soc., 3 (1870), p. 174; Papers, 7, Cambridge 1894, p. 233; M. Nother,
Math. Ann., 3 (1871), p. 552; R. Sturm, Math. Ann., 19 (1882), p. 480 ; Th. Reye,
Geometrie der Lage, 3, 4a ed., Leipzig 1910, p. 140. Notizie piu complete storiche e
bibliografiche in L BeRzolari, EncyckL math. Wiss., Ill C 11 (1933), n 81.
282
Giuseppina Biggioczro
curva fondamentale per la trasformazione si riduce agli spigoli di (T) ••).
Cosi la superficie del terz’ordine, trasformata isogonale di un piano,
contiene gli spigoli di (T), ognuno dei quali va anzi contato quattro volte
come retta della superficie del 3° ordine (retta quatemaria). Poichfe una
superficie generale del 3° ordine contiene 27 rette, la superficie trasfor-
mata isogonale di un piano contiene, oltre agli spigoli di (T), ancora
tre rette (rette unarie). Queste giacciono in un piano : ognuna si appoggia
a una coppia di spigoli opposti di (T) e forma con essi due piani che
toccano la superficie del 3° ordine lungo gli spigoli stessi60).
La trasformazione isogonale tetraedrica si pud anche ricondurre
a una polarity rispetto a (T), tenendo presente la propriety che, se due
punti P e P' sono inversi rispetto a (T), la superficie prima polare di
P (di terz’ordine) e la superficie terza polare di P' (piano polare) ri-
spetto a (T) sono isogonali. Epperd per trovare la superficie trasformata
isogonale di un piano n si potri determinare prima il polo P di л ri-
spetto a (T), poi il punto P' isogonale di P, infine la superficie prima
polare di P'
IX Punti isotomici. — Dato un punto P, si considerino le sue
proiezioni Prs sopra gli spigoli dr8 di (T) dagli spigoli opposti duv .
Dei punti Pr8 si considerino i simmetrici P'r8 rispetto ai punti medi
degli spigoli dr8: i sei piani (P'r8dU9) concorrono in un medesimo
punto P' che dicesi coniugato isotomico del punto P®1).
Le proiezioni di due punti coniugati isotomici da ogni vertice
di (T) sulla faccia opposta sono punti coniugati isotomici rispetto al
triangolo della faccia stessa (d, § 15).
Le coordinate baricentriche di due punti isotomici sono inverse.
Si considerino le sei intersezioni di un generico piano a con gli spi-
goli di (T): i loro simmetrici rispetto ai punti medi dei corrispondenti
spigoli appartengono a un piano a', che dicesi coniugato isotomico di a®1).
Ogni quadrica circoscritta a (T) e avente per centro il baricentro
G di (T) e trasformata in se stessa dalla trasformazione per punti iso-
tomici ••).
IV. * Punti notevoli.
14. Baricentro. — Si dicono mediane di un tetraedro (T) le rette
che dai vertici vanno .ai baricentri delle facce opposte®3). Le quattro * ••)
и) Sulla trasformazione per punti inversi vedi C. F. Geiser, J. reine ang. Math., 89
(1868), p. 197; F. E. Eckardt, Math. Ann., 5 (1872), p. 30-50; E. Amigues, Nouv.
Ann. math., (2) 18 (1879), p. 548; (2) 19 (1880), p. 433, 481; J. Neuberg, la dt. M),
p. 10-14; H. P. Hudson, Proc. bond. math. Soc., (2) 9 (1911), p. 51.
M) R. Sturm, Synthetische Untersuchungen uber FlSchen dritter Ordnwqj, Leipzig
1867, p. 381.
el) J. Neuberg, op. la cit.3#), p. 14.
••) J. Neuberg, op. la cit. ’•), p. 15.
M) Cfr. R. Baltzer, Elementi di matematica (trad, di L. Cremona), 5, Genova
1887, p. 96
XXV. - La geometria del tetraedro
233
mediane di un tetraedro concorrono in un punto G, che ё il centro di
gravitd, о centro delle medie distanze, о baricentro, di (T) ®4).
Il baricentro di un tetraedro divide ogni mediana in due parti,
di cui quella che contiene il vertice ё tripla dell’altra w).
I sei piani che proiettano da ogni spigolo il punto di mezzo dello
spigolo opposto concorrono nel baricentro. Epperd concorrono nel
baricentro i segmenti che congiungono i punti medi delle coppie di
spigoli opposti®®) e nel baricentro scambievolmente si dimezzano®7).
Tali segmenti denomineremo anche in seguito segmenti mediani di (T).
Un piano qualunque, passante per uno dei segmenti mediani, di-
vide il tetraedro in due solidi di ugual volume®8).
I segmenti che congiungono G coi vertici di (T) dividono il te-
traedro in quattro tetraedri equivalenti: pertanto le coordinate bari-
centriche di G sono tra loro uguali.
Le distanze di G dalle facce di (T) sono inversamente proporzionali
alle aree delle facce stesse.
La somma dei quadrati delle mediane ё uguale ai 4/9 della somma
dei quadrati degli spigoli.
La somma dei quadrati delle distanze del centro di gravity dai
vfertici ё uguale alia somma dei quadrati dei segmenti mediani.
La somma dei quadrati delle distanze dei vertici di (T) da un punto
P ё uguale alia somma dei quadrati delle loro distanze dal baricentro G,
aumentata di quattro volte il quadrato della distanza di P da G®9).
Epperd la somma dei quadrati delle distanze di G dai quattro vertici
ё un minimo.
Il luogo dei punti P per cui sia costante la somma dei quadrati
delle distanze dai vertici di (T) ё una sfera di centro G®9).
I piani che passano per uno spigolo di (T) e sono parallel! allo spi-
golo opposto determinano un parallelepipedo circoscritto a (T): quattro
vertici di questo parallelepipedo sono gli stessi vertici di (T); gli altri quattro
individuano un tetraedro che ha in comune con (T) il bari- centro70).
Il baricentro G di (T) non deve essere confuso col baricentro della
superficie di (T), il quale ё invece'il centro della sfera inscritta nel te-
traedro che ha per vertici i baricentri delle facce di (7)71).
M) Questo teorema, presumibilmente noto ad Archimede, si trova la prima
volta in Leonardo da Vinci [cfr. § 2, ’) e * ••))]. I baricentri, nel loro significato fisico,
furono studiati da F. Commanding 4) e da P. Guldin, De centro gravitatis triwn spe-
cierum quantitatis continuae, 1, Viennae 1635. Dal punto di vista geometrico ib aricentr?
si trovano poi in S. Lhuilier, Potygonomltrie, Paris 1789 e in L. N. M. Carnot, De
la corrilation des figures de giomitrie, Paris 1803. A L. N. M. Carnot si deve la deno-
minazione di centro delle medie distanze (2* op cit., p. 67).
“) Il teorema ё di Leonardo da Vinci 6).
*) F. Commanding4), prop. 17 e 22.
w) G. Monge, Corresp. Ёс. polyt., 2 (1809), p. 1.
M) J. L. Lagrange, Ann. math, pures appl. 1 (1810-1811), p. 353.
••) J. L. Lagrange, Nouv. Мёт. Ac. Berlin, 1783, p. 290 ; Oeuvres, 5, Paris 1870,
p. 538.
*) G. Monge, Corresp. Ёс. polyt., 2 (1813), p. 266.
n) С. C. Gerono, Ann. math, pures appl., 17 (1826-1827), p. 380.
234
Giuseppina Biggiogero
15. Punto di Monge. — In un triedro si conduca per ogni spi-
golo il piano perpendicolare alia faccia opposta {piano altezza del trie-
aro): i tre piani cosi ottenuti passano per una medesima retta che di-
cesi raggio altezza del triedro72). I tre spigoli del triedro e il suo raggio
altezza sono quattro rette tali che ognuna.di esse ё raggio altezza per
il triedro formato dalle altre tre: la figura di tali quattro rette si dice
quadrispigolo ortico.
Segando un quadrispigolo ortico con un piano non passante pel
vertice e perpendicolare a uno dei suoi spigoli, si ottiene un quadran-
golo ortocentrico (4, § 10).
Ogni cono equilatero che passi per tre spigoli di un triedro passa
anche per il relativo raggio altezza.
Diconsi altezze di un tetraedro le perpendicolari da ogni vertice
sulla faccia opposta. In generale le quattro altezze di un tetraedro sono
a due a due sghembe e sono generatrici di un medesimo iperboloide73),
detto iperboloide delle altezze. A questo iperboloide appartengono le
rette perpendicolari alle facce del tetraedro e passanti per gli ortocentri
delle facce stesse74 75).
I raggi altezza corrispondenti ai quattro triedri di (T) sono gene-
ratrici dell’iperboloide delle altezze76).
I piani che passano per i punti medii degli spigoli e sono perpendi-
colari agli spigoli opposti concorrono in un punto M76) detto punto
di Monge relativo a (T)77). Tale punto ё il centro dell’iperboloide delle
altezze78 79 *).
Se cinque punti sono tali che uno di essi appartenga all’iperboloide
delle altezze relativo al tetraedro degli altri quattro, cid accade per
ognuno dei punti dati78).
16. Centro della sfera circoscritta. — I sei piani perpendi-
colari agli spigoli di (T) nei loro punti medi concorrono in un punto О
equidistante dai vertici di (T): esso ё il centro della sfera circoscritta
a (T). Per О passano anche le quattro rette perpendicolari a ogni faccia
nel circoncentro della faccia stessa.
Se Ог ё il circoncentro della faccia , i due tetraedri (T) =
A2 A3 A4) e (O) = (Ot O2 O3 O4) sono ortologici (§ 11); epperd le
72) Cfr. R. Baltzer83), p. 68.
73) J. Steiner, J. reine ang. Math., 2 (1827), p. 97 ; 4e), p. 316; WerHe, 1, p. 454.
Vedi anche O. Hermes, J. reine ang. Math., 56 (1859), p. 241; H. Schroter 38), p. 205.
7<) F. Joachimsthal, Arch. Math. Phys., (1) 32 (1859), p. 109.
75) F. Joachimsthal74), p. 107. Per questa e per altre propriety relative all’iper-
boloide delle altezze vedi anche H. Thieme, Z. Math. Phys., 27 (1882), p. 56 e W. Fr.
Meyer, Arch. Math. Phys., (3) 8 (1904), p. 135.
78) G. Monge, Corresp. Ёс. polyt., 2 (1813), p. 263.
”) Cfr. M. Simon, Ueber die Entwicklung der Elementar-Geometrie im XIX Jahr-
hundert, Jahresb. deutsch. Math. - Vereiung., Ergaugungsbande, 1 (1906), p. 203.
78) F. Joachimsthal74), p. 107.
79) P. Zeeman, Wiskundige Opgaven. 9 (1905), p. 168. Vedi anche J. Neuberg
Arch Math. Phys., (3) 11 (1905), p. 231.
XXV. - La geometria del tetraedro
235
perpendicolari dai vertici di (T) sulle facce omologhe del tetraedro (O)
concorrono in un punto80).
Il centro della sfera circoscritta appartiene alia retta che congiunge
il baricentro G col punto di Monge M, ed e anzi il punto simmetrico
di M rispetto a G81).
Conducendo per ogni spigolo di (T) il piano parallelo allo spigolo
opposto, si determina un parallelepipedo circoscritto a (T), di cui quattro
vertici sono i vertici stessi di (T). Gli altri quattro vertici individuano
un tetraedro, che e il simmetrico di (T) rispetto a G, e la sfera circo-
scritta a questo secondo tetraedro ha per centro il punto di Monge 82).
Se Oi ed sono centro e raggio del circolo circoscritto al trian-
golo Ai;, le quattro sfere di centri Ot e raggi rt hanno per centro radi-
cale il punto O', isogonale (§ 12) del punto O. Epperd il punto medio
del segmento О О’ e centro di una sfera la quale passa pei circoncentri
Oi delle facce e per le proiezioni ortogonali di О sulle facce stesse.
Appartengono a un medesimo fascio la sfera circoscritta a (T),
quella circoscritta ai tetraedri pedali di О e O' e quella ortogonale alle
quattro sfere (Otrf): il loro piano radicale comune e il piano polare
di O' rispetto a (T)83).
Il punto О' e centro della sfera inscritta nel suo tetraedro pedale84).
Si consider! un triangolo i cui lati abbiano per misure i numeri
dTS' duv (prodotti di due spigoli opposti di (71)) e sia а Гагеа di tale
triangolo. Indicando con r il raggio della sfera circoscritta, si ha85):
6" V r = a .
17. Centri delle sfere inscritte. — Un punto, per essere centro
di una sfera tangente alle facce di (T), deve essere equidistante da queste
facce. Ora i piani delle facce di (T) dividono lo spazio in quindici regioni,
ciascuna caratterizzata dai segni delle coordinate normali о baricentri-
che dei suoi punti. Precisamente si ha:
a) una regione [I], interna al tetraedro, i cui punti, in base
alia convenzione12) hanno tutte le coordinate positive;
b) quattro regioni [II], ciascuna limitata da una faccia di (T)
e dai prolungamenti (angoli tronchi) delle altre tre. Un punto di queste
regioni ha tutte le coordinate positive tranne una: quella relativa alia
faccia del tetraedro che limita la regione stessa;
c) quattro angoli triedri [regioni III], che sono i triedri opposti
ai triedri interni di (T). Un punto di queste regioni ha tre coordinate
negative e una positiva ;
80) J. Neuberg, op. la cit.3B), p. 12.
81) G. Monge, Corresp. Ёс. polyt., 2 (1813), p. 266.
82) C. F. A. Jacobi in J. H. van Swinden, Elements der Geometric aus dem Hollan-
dischen ubersetzt und vermehrt von C. F. A. Jacobi, Jena 1834, p. 453.
83) S. Roberts, Educat. Times, 1887, p. 212, 304. J. Neuberg, Mathesis (1) 8
(1888) p. 135; Arch. Math. Phys., (3) 16 (1909), p. 15.
84) J. Neuberg 83).
85) G. C. Ch. von Staudt, J. reine .ang. Math., 57 (1860), p. 88.
236
Giuseppina Biggiogero
J) sei regioni [IV], ciascuna limitata da due angoli tronchi re-
lativi a uno stesso spigolo di (7) e da due angoli opposti al vertice. Un
punto di queste regioni ha due coordinate positive e due negative.
La possibility dell’esistenza al finite di un punto equidistante dalle
facce di (7) esige il verificarsi della diseguaglianza:
х1Д1 + x2d2 + + X3ZI3 + x4 J4 > 0 con xt = ± 1.
Supponendo, come ё sempre lecito:
(4) zd j > Zl 2, > Zl 3 > Zl 4
e tenendo presente che in un tetraedro ogni faccia e minore della somma
delle rimanenti, si rileva che:
a) esiste sempre nella regione [I] un punto I (1, 1, 1, 1) equi-
distante dalle facce di (7). Esso ё il centro della sfera inscritta;
b) esiste in ogni regione [II] un punto equidistante dalle facce
di (7). Tali punti Ir sono centri di quattro sfere tangenti intemamente
alia faccia aT ed esternamente alle rimanenti (sfere ex-inscritte);
c) non pud esistere in una regione [III] un punto equidistante
dalle facce di (7);
J) in generale, in tre delle regioni [IV] esiste un punto equi-
distante dalle facce. Cid регсЬё, compatibilmente con la (4), solo in tre
delle regioni [IV] si verifica la diseguaglianza Лг + Лв > Л u + Л v .
Pud darsi perd che i punti 7r. in discorso si riducano a due, uno, zero.
In definitiva si ha che esistono al massimo otto punti equidistant!
dalle facce di (71), nei quali a sei a sei si incontrano i piani bisettori
dei diedri interni ed esterni di (7). Tali punti sono centri di otto sfere
tangenti ai quattro piani delle facce di (T)* 87 88).
Gli otto centri delle sfere inscritte formano un gruppo di punti
associati rispetto a (T) (§ 7), e sono vertici di due tetraedri, che formano
con (T) un sistema desmico.
I punti di contatto delle otto sfere tangenti con una faccia di (7)
si possono distribuire in quattro coppie di punti isogonali (d, § 16)
rispetto alia faccia stessa. Ogni coppia ё allineata col piede dell’altezza
corrispondente alia faccia considerata87/.
Le rette che congiungono ogni vertice di (7) al punto di contatto
interno della faccia opposta coh una delle sfere ex-inscritte sono iper-
boloidiche “).
Sia CT il punto di contatto della sfera inscritta con la faccia ar: gli an-
goli delle rette ., С,Л w, C^A „ non variano al variare della faccia ar89).
M) La sfera inscritta nel tetraedro ё stata studiata da P. de Fermat, V aria opera
mathematica, Tolosa 1579, p. 77; Oeuvres, ed. P. Tannery e Ch. Henry, 1, Paris 1891,
p. 56; 3, Paris 1896. p. 53. Le sfere ex-inscritte furono studiate da J. L. Lagrange •)
e da K. W. Feuerbach, Die dreiseitige Pyramide, Nurnberg 1827, p. 36. Studid pure
le sfere inscritte nel tetraedro J. Steiner, J. reine ang. Math., 2 (1827), p. 96; Ann.
math, pures appl., 19 (1828-^29), p. 85; Werke, 1, p. 129, 217. Vedi anche J. Neuberg,
Nouv. Corresp. math., 6 (1880), p. 8;18), p. 653.
87) J. Neuberg1’), p. 654-655.
88) J. Neuberg, op. la cit. ••), p. 26.
8S) W. Fr. Meyer, Jahresb. deutsch. Math.-Vereinig., 12 (1903), p. 137. La
XXV. - La geometria del tetraedro
237
Se le congiungenti i vertici di (T) ai punti di contatto delle facce
opposte con la sfera inscritta passano per un medesimo punto, da quei
punti di contatto, che/ sono allora i centri isogonici delle facce, si ve-
dono i lati delle facce sotto i medesimi angoli. In tai caso il tetraedro
si dice isogomco ®°).
I centri Ir delle quattro sfere ex-inscritte e i vertici di (T) sono
otto punti tali che ogni quadrica la quale passa per sette di essi passa
anche per 1’ottavo ed ё trasformata in se stessa dalla trasformazione
isogonale (§ 12): piii precisamente si pud dire che la trasformazione
isogonale trasforma una siffatta quadrica in una superficie del sesto
ordine formata dalla quadrica stessa e dai piani delle facce di (T) 91).
Sia q il ’raggio della sfera inscritta, siano qT i raggi delle sfere ex-
inscritte e qT9 i raggi delle sfere tangenti estemamente, per cui sia:
+ > Au + Av.
Si hanno allora le relazioni M):
, ±— = —— — — —.
Q Qr Qrt Qr Qs Qu Qv
E se con hT indichiamo 1’altezza che esce dal vertice Ar , si ha M):
— = z-^-
e
1
A?
1 1 1 1 1
Qrs ^U «Г h9
La distanza tra il centro О della sfera circoscritta e il centro I della
sfera inscritta ё legata ai raggi v e q di tali sfere dalla relazipne 94):
Ol' = (r + Q) (r-3Q).
18. Punto di Lhuilier. — Il punto isogonale (§ 12) del bari-
centro dicesi punto di Lhuilier w) relativo a (T) e si denota solitamente
con L. РоюЬё le coordinate normali di G sono (1/Ji , 1/Jt, 1/J3 , l/zJ4),
quelle di L sono (Аг, A2 , As, A4).
Avendosi identicamente:
(б) Z x/ Z A / — (2? xr A r)2 = Z (A r xg — Ag xr)2,
propriety era stata enunciate e proposta come esercizio da A. S. Bang ; cfr. J. Neuberg,
jahresb. deutsch. Math. - Vereinig., 16 (1907), p. 345.
•°) G. Riboni, Period, mat., 5 (1900), p. 1; J. Neuberg, op. 1* * cit. ••), p. 51.
91) J. Neuberg, op. la cit. *•), p. 13.
”) J. Steiner m).
•*) L. P. F. R., Ann. math, pures appl., 19 (1328-1829), p. 211.
•4) J. B. Durrande, Ann. math, pures appl., 14 (1823-1824), p. 29.
*) S. Lhuilier, Elements d*Analyse gtometrique et dy Analyse alg&riqne, Paris
1809, p. 297. La denominazione ё di J. Neuberg*1), p. 11.
238
Giuseppina Biggiogero
ed essendo nulla la sommatoria del secondo membro per :
Xll^l — xil^2 = хз1^з — ^4/^4 ,
cioe in corrispondenza al punto di Lhuilier, risolvendo la (5) rispetto
a 27 xr2 si ha che
La somma dei quadrati delle distanze del punto di Lhuilier
dalle facce di (T) e un minimo w).
Le coordinate baricentriche di L sono espresse dai quadrati delle
aree delle facce: (Z^2, Zl22, Zl32, 442)- I piani (LArAs) dividono gli
spigoli duv in parti proporzionali ai quadrati delle facce Ar, As, e i
tre piani (ЛГЬЛ?), (Лг£Ли), (ЛГ£Л„) dividono la faccia Ar in tre
triangoli proporzionali ai quadrati delle facce adiacenti
Il baricentro e il punto di Lhuilier sono fuochi di una quadrica
di rotazione, che tocca le facce di (T) nei piedi delle altezze.
Il piano polare del punto di Lhuilier rispetto a (T) dicesi piano
di Lhuilier del tetraedro * 98).
V. * Figure notevoli.
19. Sezioni aiftiparallele. — Si consideri un piano parallelo
al piano tangente in Ar alia sfera circoscritta: il triangolo intersezione
di con gli spigoli e le facce del triedro Ar si dice sezione antiparallela ")
del tetraedro rispetto al vertice Ar.
In particolare si consideri una sezione antiparallela rispetto al
vertice Л4 , e siano PY, P2 , P3 i suoi vertici rispettivamente situati
sugli spigoli J41 , J42 , J43 . Il lato PY P2 e parallelo alia tangente in A4
alia circonferenza (A4 A2), epperb i punti Alf A2, Plf P2 sono conci-
clici. I tre circoli (Л1Л2Р1Р2), (A2A3P2P3), (A3A1P3P1) appar-
tengono a una medesima sfera (S), dunque:
I vertici di una faccia ar e quelli di una sezione antiparallela ri-
spetto al vertice Ar appartengono a una medesima sfera.
Sia p4 la potenza di A4 rispetto alia sfera (S); si avra:
Л4 Pj • d41 — A4 P2 • d42 — A4 P3 • d43 — p4 ,
о anche:
^4 Pi ____ A4 P2 ______ A4 P3 _____ p4
^42 ‘ ^43 ^43 ’ ^41 ^41 ’ ^42 ^41 ’ ^42 ‘ ^43
e poiche:
M) Cfr. J. Neuberg, 13), p. 650; Arch. Math. Phys., (3) 16 (1909)', p. 56.
®7) Cfr. J. Neuberg, op. la cit. 39), p. 17.
98) J. Neuberg,51), p. 12.
••) Cfr. J. Neuberg13), p. 646; op. la cit.39), p. 21.
XXV. - La geometria del tetraedro
239
si ha:
2 _ -Рз -Pi ______Pi
^12 * ^34 ^23 * ^41 ^31 * ^24 ^41 * ^42 ‘ ^43
onde la proprieta:
I lati di una sezione antiparallela di (T) sono proporzionali ai pro-
dotti delle coppie di spigoli opposti di (T). Epperd le sezioni antiparal-
lele dei quattro triedri di (T) sono tra loro simili100).
Una inversione che abbia il centro in Л4 e la potenza />4 trasforma
I’uno nell’altro i due triangoli Ar A2 A3 e P1P2P3 , epperd le sezioni
antiparallele di (T) si possono anche riguardare come i triangoli tras-
formati di ogni sua faccia nelle inversion! sferiche aventi per centri i
vertici rispettivamente opposti.
Le circonferenze (АгА2А3) e (P1P2P3) appartengono a un me-
desimo cono di vertice Л4 . I piani tangenti a questo cono lungo gli
spigoli J41 , J42 , rf43 formano un triedro di vertice Л4 e di spigoli J'41 ,
^'42, ^'43 • I piani (J41 J'41), (^2^'42), (^43^'43) passano per una stessa
retta. Questa retta incontra i piani Л1Л2Л3 e PrP2P3 nei punti di
Lemoine dei rispettivi triangoli (d, § 15), epperd:
Il punto di Lemoine della faccia aT e quello di una sezione anti-
parallela di (T) rispetto ad AT sono allineati con Лг101).
Luogo dei centri dei circoli circoscritti alle sezioni antiparallele
del triedro Ar e la retta congiungente Ar col polo del piano ar rispetto
alia sfera circoscritta a (71)102).
20. Gruppi di quattro sfere. — Sullo spigolo drs di (T) si con-
sideri il punto Brs. Le quattro sfere (Ar Brs Bru Br v) passano per
uno stesso punto103). La proprieta inversa si pud anche enunciare cosi:
Se quattro sfere (SJ, (S2), (S3), (S4) passano per un medesimo
punto e inoltre a tre a tre si incontrano nei punti DY , D2 , D3 , Z)4
(J, § 32) ; esistono infiniti tetraedri-(A± A2A3 A4), le cui facce ordina-
tamente passano pei punti D4, D2 , D3 , D4 e i cui vertici rispettiva-
mente appartengono alle sfere considerate.
Al variare dei punti Brs si ottengono cosi infinite quaterne di sfere.
Il teorema non e che un caso particolare del seguente:
Siano B12 , B13, ..., B34 sei punti arbitrariamente presi sugli spigoli
di (T); sia inoltre data una conica (K): le quattro quadriche che sono
individuate dalla conica (K) e dalle quaterne di punti Ar , BTS , BTU ,
Brv passano per un medesimo punto.
10°) Per questo teorema vedi E. Catalan, Theorbmes et problbnes de Geometrie
ilementairt, 6a ed., Bruxelles 1879; cfr. pure J. Neuberg, op. la cit.3®), p. 22.
101) J. Neuberg10 * * 13), p. 647; op. la cit.3®), p. 22.
1M) J. Neuberg100).
lo3) S. Roberts, Proc. Lond. math Soc., 12 (1880-1881), p. 117; J, J. Walker,
ibid., p. 147; J. Neuberg, Arch. Math. Phys., (3) 16 (1909), p. 11.
240
Giuseppina Biggiogero
21. Sfere tangenti agli spigoli. — In generate non esiste una
sfera tangente a tutti gli spigoli di un tetraedro (T). Perd per particolari
tetraedri una siffatta sfera pud esistere. Si distinguono allora due casi:
1) La sfera tocca tutti gli spigoli in punti appartenenti ai seg-
menti finiti degli spigoli stessi.
In tai caso la sfera si dice inscritta nella rete degli spigoli, e due spi-
goli opposti di (T) hanno una somma costante104 *). E inversamente.
2) La sfera tocca i tre spigoli di una faccia in tre punti apparte-
nenti ai segmenti finiti degli spigoli stessi e i rimanenti spigoli nei loro
prolungamenti. La sfera si dice ex-inscritta alia rete degli spigoli, e due
spigoli opposti di (T) hanno una differenza costante106).
Nel primo caso esistono anche sei sfere, ciascuna delle quali e
tangente a cinque spigoli di (T)loe).
Soltanto quando per un tetraedro siano contemporaneamente co-
stanti la somma e la differenza di due spigoli opposti (ciofe quando il
tetraedro sia regolare, oppure abbia una faccia equilatera e le altre iso-
sceli), esistono contemporaneamente la sfera inscritta e quelle ex-in-
scritte alia rete degli spigoli.
Furono anche studiate le sfere tangenti a due coppie di spigoli
opposti di (T) (quadrilatero sghembo). Si e trovato che, quando la somma
di due facce di (T) sia equivalente alia somma delle altre due, esistono
otto sfere tangenti a quattro spigoli di (T) e i punti di contatto di una
stessa sfera con tali spigoli sono complanari107).
Se il/tetraedro e regolare, una sfera ex-inscritta alia rete degli spi-
goli ha per raggio un segmento q' tale che108 * * *):
^' = r/V3 = ^V3.
22. Piano di Simeon. Superficie di Simson. — Se un punto
P ё all’infinito, il suo coniugato isogonale P' e fuoco di un paraboloide
di rotazione tangente alle facce di (T), i cui diametri sono paralleli alia
direzione di P. In questo caso la sfera delle otto proiezioni ortogonali di
P e P' sulle facce di (T) (cfr. § 12) si spezza in due piani: il piano im-
proprio e il piano tangente nel vertice #1 paraboloide considerate. Questo
ultimo piano dicesi piano di Simson 10®) relativo al punto P& .
I piani di Simson inviluppano una superficie della quarta classe uo).
La superficie di terz’ordine che e trasformata isogonale del piano
104) J. B. Durrande, Ann. math, pures appl., 5 (1815), p. 301. Vedi anche G.
Junghann, Arch. Math. Phys., (1) 40 (1863), p. 447 ; G. Riboni, Period, mat., 5 (1890),
Pag. 1.
w) A. L. Crelle, Sammlung mathematischer Aufsatze, 1, Berlin 1821, p. 118.
loe) G. Riboni104), p. 6.
1OT) J. Steiner *•), p. 315; Werke, 1, p. 453; H. Vogt, J. reine ang. Math., 92
(1882), p. 32.
1M) C. Arnold, Educat. Times.,-70 (1899), p. 31, n. 13774.
1M) J. Neuberg, Monatsh. Math. Phys., 18 (1907), p. 213;ls), p. 649. Vedi
perd 4 § 22 e M).
1W) J. Neuberg61), p. 9.
XXV. - La geometria del tetraedro
241
improprio dicesi superficie di Simson111) relativa a (T), epperd la super-
ficie di Simson e il luogo dei fuochi dei paraboloidi di rotazione tan-
genti alle facce di (T).
La superficie di Simson si pud anche riguardare come la prima
polare del punto di Lhuilier rispetto a (T). E, per la legge di reciprocity
delle polari, possiamo anche dire :
La superficie di Simson e il luogo dei punti i cui piani polari ri-
spetto a (T) passano per il punto di Lhuilier.
I piedi delle perpendicolari alle facce di (T) da un punto della su-
perficie di Simson sono complanari, epperd la superficie di Simson ha,
rispetto a (T), un comportamento analogo a quello del circoncerchio
rispetto al triangolo (d, § 22).
Piii generalmente si ha: se cinque punti indipendenti dello spazio
sono tali che i piedi delle perpendicolari condotte da uno di essi alle
facce del tetraedro individuato dai rimanenti sono complanari, questa
proprieta sussiste per ognuno dei cinque punti considerati112).
Si pud anche dire : fissati quattro punti complanari P± , P2 , P3 , P4 ,
il luogo dei punti dai quali essi sono ordinatamente proiettati sulle facce
ai > «2 » аз » a4 (P) in altri quattro punti complanari e una superficie
del terz’ordine, avente un punto doppio in ciascun vertice del tetraedro.
Se come punti P±, P2 , P3 , P4 si prendono i punti impropri delle
altezze di (T), si trova la superficie di Simson.
I centri delle sfere tangenti alle facce di (T) (§ 17) sono punti
uniti per la trasformazione isogonale: questa ha, dunque, in generale
otto punti uniti. I piani di tre di essi hanno per trasformate isogonali
superficie di terzo ordine che si spezzano nei piani stessi e nelle quadri-
che circoscritte a (T), che- passano pei cinque punti uniti rimanenti.
I punti medi dei 28 segmenti che congiungono a due a due i centri
delle otto sfere tangenti alle facce di (T) appartengono alia superficie di
Simson 113).
Osservando che i centri delle otto sfere tangenti alle facce di (T)
sono otto punti armonicamente associati rispetto a (T), si pud, sojsti-
tuendo ad essi un gruppo qualunque di punti armonicamente associati
rispetto a (71), e al piano improprio un piano generico, generalizzare il
teorema di Beltrami nel seguente:
Si congiungano a due a due in tutti i modi possibili otto punti
armonicamente associati rispetto a (T): le 28 rette cosi ottenute incontre-
ranno un piano fisso a in 28 punti Pt (i = 1, 2, ..., 28). I coniugati ar-
monici Pi dei punti Pt rispetto ai due punti associati che sono allineati
con essi sono 28 punti di una medesima superficie del terzo ordine.
23. Ellissoide di Steiner. — Il tetraedro fondamentale, conside-
rate come superficie di 4° ordine degenere, ha quattro punti tripli nei
in) Cfr. E. Beltrami57). Vedi anche C. F. Geiser5*); J. Neuberg, Arch. Math.
Phys., (3) 11 (1905), p. 236.
1U) P. Zeeman, Wiskundige Opgaven, 8 (1903), p. 396; J. Neuberg111), p. 228.
113) E. Beltrami ’•).
242
Giuseppina Biggiogero
vertici di (T) e sei rette doppie negli spigoli di (T). Ne segue che le prime
polari dei punti dello spazio sono superficie di terz’ordine, passanti
semplicemente per gli spigoli di (T) e aventi un punto doppio in ogni
vertice, mentre le seconde polari sono quadriche circoscritte a (T).
Ora le quadriche polari di due punti isogonali sono tra loro isogo-
nali ; cioe quando un punto P descrive una quadrica circoscritta a (T)
il suo isogonale P' descrive pure una quadrica circoscritta a (T).
La quadrica polare del punto L di Lhuilier e un ellissoide circo-
scritto a (T) che ha per centro il baricentro G e ha in ogni vertice, come
piano tangente, il piano parallelo alia faccia opposta. Questo ellissoide ё
la prima polare del punto di Lhuilier rispetto alia superficie di Simson ;
e? per il tetraedro, la figura analoga AtWellisse di Steiner per il triangolo
(J, § 33), eppercid si suole chiamare ellissoide di Steiner del tetraedro.
24. Ottagoni di Serret. — Siano ordinatamente Mx, M2,
M3 , M4 le intersezioni di una retta m con le facce a x, a2 , a3 ,
di (T): i quattro vertici di (T) e i quattro punti , M2 , M3 , Af4
individuano un ottagono detto di Serret114). Le rette A{ si dicono
diagonali dell’ottagono.
Dualmente, data la retta. m, si potra considerare la figura fotmata
dalle quattro facce di (T) e dai quattro piani , /jl2 , /jl3 , che proiet-
tano da m i vertici di (T). Tale figura si dice ottaedro di Serret e le
quattro rette (д, si dicono le sue diagonali.
Se tre diagonali di un ottagono di Serret incontrano una stessa
quadrica in coppie di punti che separano armonicamente gli estremi
delle diagonali stesse, cid accade anche per la quarta diagonale115 116).
Percid, tenendo conto che la quadrica pud degenerare in una coppia
di piani, si ha:
Se sono ordinatamente , N2 , N3 , N4 le intersezioni di un piano
n con le diagonali <li un ottagono di Serret, i coniugati armonici di tali
punti rispetto agli estremi delle diagonali sono quattro punti complanari.
Naturalmente sussiste la proposizione duale per 1’ottaedro.
Le quattro sfere costruite sulle diagonali di un ottagono di Serret
come diametri hanno due punti in comune118).
25. Quartica di Schroeter. — Dato il tetraedro (A±A2A3 A4)9
se per un punto M dello spazio accade che risultino tra loro perpen-
dicolari i piani delle due coppie: (MA±A2) e (MA3A4); (MA1A3)
e (M A2 A4), allora accade pure che sono ortogonali i due piani
(MA,A4) e (MA2A3).
Il luogo del punto M e una quartica di prima specie che dicesi
quartica di Schroeter relativa al tetraedro117).
114) P. Serret, Geometric de direction, Paris 1869, p. 265-268; J. Neuberg, Arch.
Math. Phys., (3) 16 (1909), p. 63.
116) J. Neuberg114), p. 64.
lle) J. Neuberg114), p. 65.
117) H. Schroter, J. reine ang. Math., 93 (1882), p. 132; H. Thieme, Z. Math.
XXV. - La geometria del tetraedro 248
Si noti che i tre iperboloidi, generati dai fasci di piani che hanno
per sostegni due spigoli opposti di (T) e nei quali si corrispondono due
piani tra loro ortogonali, formano fascio. La quartica base di questo
fascio ё appunto la quartica di Schroeter. Essa passa pei vertici di (T)
e pei piedi delle altezze di (T).
Ogni piano perpendicolare a uno spigolo di (T) taglia la quartica
di Schroter secondo quattro punti conciclici.
La quartica di Schroeter tocca nei vertici j raggi altezza dei triedri
di (T).
26. Complesso tetraedrale. — Una retta r, che non si appoggi
agli spigoli di (T), sega le quattro facce аг, a2 , a8 , a4 , rispettivamente
nei punti Pi , P2 , P3 , P4 . Se (P1 P2 P3 P4) = Л, anche il birapporto
der quattro piani che da r proiettano i vertici di (T) ё uguale а Л*13).
Ora, si definisce complesso tetraedrale о complesso di Reye11®) 1’in-
sieme delle rette che segano le facce di (7) secondo un birapporto co-
stante k.
Esso si pud anche definire come 1’insieme delle congiungenti coppie
di punti omologhi in una omografia tra due spazi sovrapposti: i punti
uniti di tale omografia sono i vertici del tetraedro fondamentale per il
complesso. Si pud anche definire lo stesso complesso come 1’insieme
delle rette trasformate di una di esse mediante le oo3 omografie permu-
tabili, che possiedono come punti uniti i vertici di (T).
Il complesso tetraedrale ё di secondo grado120), аоё le rette del
complesso che appartengono a un piano inviluppano una conica, tan-
gente alle quattro facce di (T). Dualmente, le rette del complesso che
passano per un punto formano un cono quadrico contenente i vertici
di (T).
Lo studio del complesso tetraedrale ё intitnamente legato a quello
delle quartiche di prima specie, ossia delle curve che sono la completa
intersezione di due quadriche. Per una. tale curva K* passano infinite
quadriche, le quali costituiscono on fascio. Quattro di esse sono coni,
e i loro vertici Alt A2t A3t A4sono vertici di un tetraedro, che dicesi fon-
damentale о coniugato per la quartica.
Ora per una corda di K* passano quattro piani tangenti alia curva, * lls
Phys., 27 (1882), p. 56 ; J. Neuberg, Mathesis, 25 (1905), p. 83 ; Arch. Math. Phys., (3)
14 (1909), p. 200.
lle) G. C. Ch. von Staudt, Beitrdge zur Geometric der Lage, Niimberg 1856, p. 21.
lls) Il complesso tetraedrale fu dapprima studiato da Th. Reye, Geometrie der
Lage, la ed., Hannover 1867, 2 ; 4a ed., Leipzig 1910, 3, p. 1, 205. In seguito fu studiato
da S. Lie, Nachr. Ges. Gott., 1870, p. 56; G. Loria, Atti Acc. Torino, 19 (1884),
p. 849; R. Sturm, Liniengeometrie in synthetischer Behandlung, 1, Leipzig 1892,
p. 333, e altri mdlti. Per notizie storiche vedi S. Lie-G. Scheffers, Geometrieder
BerUhrungstransformationen, 1, Leipzig 1896, Cap. VIII.
1M) Grado di un complesso algebrico (sistema algebrico oo8 di rette) ё il grado
della sua equazione. Geometricamente esso esprime tanto la classe dell’inviluppo delle
rette del complesso che appartengono a un piano, quanto 1’ordine del cono avente per
generatrici le rette del complesso uscenti da un punto pssegnato.
244
Giuseppina Biggiogero
e il loro birapporto non varia al variare della corda: esso dicesi modulo
della quavtica. In particolare i quattro piani tangenti a K* e passanti per
una sua tangente t sono i piani che da t proiettano i vertici del tetraedro
fondamentale, epperd il loro birapporto ё uguale al modulo k della
curva.
Pertanto le tangenti a una quartica gobba di prima specie appar-
tengono a un complesso tetraedrale121).
Insieme al complesso tetraedrale sono stati studiati altri complessi,
legati al tetraedro da Cl. Servais 122). In particolare questi considera le
intersezioni P., P2, P3 , P4 di una retta generica con le facce ar, a2 ,
a3 , a4 di (T) e le proiezioni ortogonali A \ , A'2, A'3 , A', dei vertici
di (T) sulla r. E denomina complesso Д I’insieme delle rette r per cui e:
(Р1Р2Р3Р4) = (Л'1Л'2Л'3Л-'4).
Il complesso А e quello degli assi di simmetria delle quadriche
coniugate a (T).
Il complesso А ё di 4° grado: le rette del complesso che appar-
tengono a un piano л inviluppano una curva della quarta classe tan-
gente alle facce di (T) e bitangente alia retta impropria.
Quelle rette del complesso A per cui accade che la proiettivita:
№ 1 2^ 3 A 4)
sia una similitudine sono assi di simmetria di paraboloidi coniugati
a (T) e Cl. Servais le chiama rette di Simson123) relative a (T).
Un generico piano n contiene quattro rette di Simson : due al
finite e due coincident! con la retta impropria.
Per un punto dato P passano, in generale, sette rette di Simson
di (T).
VI. Relazioni numeriche.
27. Relazioni numeriche. — 1) Dato un punto P interno a (T),
si considerino le sue proiezioni da ogni vertice sulla faccia opposta:
si ha allora la relazione124):
PP. PP2 PP3 + PP,
A1P. A2P2 A3P3 A, P,
121) Sulle cose precedent! cfr. ad es. F. Enriques e O. Chisini, Teoria geometrica
delle equazioni e delle funzioni algebriche, 3, Bologna 1924, p. 279.
122) Cl. Servais, Bull. Ac. sc. Belg., (5) 15 (1929), p. 392, 539, 595, 722; ibid.,
(5) 16 (1930), p. 220; ibid., (5) 17 (1931), p. 710; ibid., (5) 19 (1933), p. 1230.
123) Cl. Servais 122), (5) 15 (1929), p. 595.
l24) J. D. Gergonne, Ann. math, pures appl., 9 (1818-1819), p. 277.
XXV. - La geometria del tetraedro
245
Per una opportuna scelta dei versi sugli spigoli di (T), la relazione
vale anche quando il punto P sia esterno a (T).
2) Siano , Л2 , Л3 gli angoli (o i loro supplement!) delle coppie
di spigoli opposti J12 J34 , J13 J24 , J14 J23 . Si ha allora la relazione 125):
2 dlt d3t cos =-Аз + d*u — (dlt2 + J232),
che sommata con le due analoghe da:
^12 ^34 COS iZj3 ^24 COS Л2 “H ^14 ^23 COS Л3 = 0 ,
da cui si rileva che nel tetraedro generico uno almeno degli angoli Л
e acuto e uno almeno ottuso, mentre se due angoli Я sono retti e tale
anche il terzo.
3) Per un generico tetraedro si ha12e):
Jx2 = d22 + J32 + J42 — 2 J3 J4 cos J12 — 2 J4 J2 cos J13 —
— 2d2J3cos J14s
la quale pud riguardarsi come I’estensione al tetraedro del teorema di
Carnot per il triangolo.
28. Volume del tetraedro. — Oltre alia proposizione euclidea 2)
che da il volume di (T), mediante I’area di una faccia e 1’altezza ad essa
relativa:
V=lAThr,
si hanno molte altre espressioni del volume di (T), di cui qui racco-
gliamo solo le principali.
Una espressione del volume di (T) mediante le lunghezze dei sei
spigoli fu data da N. Tartaglia 127): qui ci limitiamo alle indicazioni
bibliografiche relative al risultato di N. Tartaglia, omettendo la for-
mola, perche troppo complicata.
J. L. Lagrange128) espresse il volume di (T) mediante il raggio
della sfera inscritta, i quattro raggi delle sfere ex-inscritte e le aree
delle facce; precisamente si ha:
125) G. Salmon-W. Fiedler, Analytische Geometrie des Raumes, 1, 3a ed., Leipzig
1879, p. 78; G. Salmon (trad. O. Chemin), Geometrie analytique d trois dimensions, 1,
Paris 1882, p. 55.
12e) L. N. M. Carnot, Geometrie de position, Paris 1803, p. 262. Altre relazioni
numeriche tra diedri, facce e spigoli di (T) si trovano in C. A. Bretschneider, Arch.
Math. Phys.,(l) 1 (1841), p4 1; J. H. T. Muller, Disquis. de tetraedro, Naumburg 1831;
C. F. A. Jacobi 7#), Libri 1'0-12, Appendice; F. Unferdinger, Arch. Math. Phys.,
(1) 5 (1870), p. 353.
127) N. Tartaglia6), p. 35. Vedi anche G. C. Ch. von Staudt, J. reine ang.
Math., 24 (1842), p. 256 ; D. Besso, Period, mat., 4 (1889), p. 144.: G. Delitala, ibid.,
5 (1890), p. 113.
12e) J. L. Lagrange •).
246
Giuseppina Biggiogero
V = + ^2 + + d4) — I 0i (— di + Л2 + Л3 4- d4) =
= i 02 (^1 --A 2 + Л3 + ^4) = I 03 (^1 + A 2 ---^3 + ^4) =
= J 04 (^1 + A2 4- d3 — Л4).
Note le lunghezze dei segmenti mediani m±, m2, m3 di (T) e i
loro angoli p12, p13 , ^3 , il volume del tetraedro pud, secondo G. Mon-
ge129), essere espresso dalla formola:
^m1m2m3 Vl—cos2/z12—cos2/z13—cos2/z234-2cos/412cos/z13cos/j23 .
Ad analoga formola si perviene esprimendo il volume mediante i
segmenti delle minime distanze delle coppie di spigoli opposti e i loro
angoli.
Si consider! il triedro AT di (T): siano ya , у u , у v gli angoli delle
facce del triedro rispettivamente opposte agli spigoli dTS, dTU , dTV .
Si ha allora la relazione130):
V=±
\ d,з d'TV
VI cosyttcosyv
cos у M 1 cos y8
COS у „COS ys 1
G. C. Ch. von Staudt131) chiama seno del triedro Ar (sen Ar)
la radice quadrata che compare nel secondo membro; epperd si pud
dire che il volume del tetraedro e la sesta parte del prodotto di tre suoi
spigoli concorrenti in un vertice per il seno del relativo triedro.
Se dra e du9 sono due spigoli opposti di (T), d la loro minima di-
stanza e a) il loro angolo, si ha pure 132) la formola:
V = ldrs duv d sen co .
VII. * Tetraedri particolari.
29. Tetraedro ortocentrico e suo ortocentro. — In generale
uno spigolo di (T) non ё perpendicolare al suo opposto; ma, se accade
che dr8 sia perpendicolare a duv , allora le altezze uscenti da Ar e A,
sono complanari, come pure sono complanari le altezze uscenti da
A M e A „ . E viceversa. Se poi accade che due coppie di spigoli opposti
di (T) sono tra loro ortogonali, anche i due rimanenti spigoli di (T)
mj G. Monge, Corresp. Ёс. polyt., 2 (1809), p. 1-6.
1W) L. Euler, Novi Comm. Ac. Petrop., 4 (1752-1753), ed. 1758, p. 158. Vedi
anche A. M. Legendre, Elements de giomitrie, Paris 1794, prop. 6-7; F. Joachimsthal,
J. reine ang. Math., 40 (1850), p. 23.
1И) J. reine ang. Math., 24 (1842), p. 255.
1M) V. Part. XXXIV di questa Encicl. (B. Segre, Geometria analitica), § 49.
XXVo - La geometria del tetraedro
247
sono tra loro perpendicolari e le altezze del tetraedro concorrono in
un punto H9 e viceversa133). In questo caso il tetraedro dicesi ortocen-
trico, e il punto H di concorso delle altezze dicesi У ortocentro di (T).
Un tetraedro ortocentrico gode delle seguenti proprieta:
1) I piedi delle altezze sono gli ortocentri delle facce corrispon-
denti.
2) I baricentri delle facce sono vertici di un tetraedro ortocen-
trico, omotetico a (T) rispetto a (7, epperd le perpendicolari alle facce
di un tetraedro ortocentrico nei baricentri delle facce stesse concorrono
in un medesimo punto 77', il quale appartiene alia retta GH, in modo
che iTG = | СЯ134 *).
3) I tre segmenti mediani di un tetraedro ortocentrico sono
uguali, e viceversa: un tetraedro avente i segmenti mediani uguali e
ortocentrico.
Piii precisamente, se in un tetraedro i tre segmenti mediani sono
uguali, oppure sono uguali due soli di essi, о sono invece tutti e tre
disuguali, si ha che le quattro altezze concorrono in un medesimo punto,
oppure due altezze si incontrano in un punto HY e le altre due in un
punto H2, oppure le quattro altezze sono a due a due sghembe 136).
4) La somma dei quadrati di due spigoli opposti e uguale a
quattro volte il quadrato della distanza dei punti medi degli spigoli
stessi136). Epperd in un tetraedro ortocentrico e costante la somma
dei quadrati di due spigoli opposti.
5) Le rette della minima distanza delle tre coppie di spigoli
opposti (assi del tetraedro) passano per H\ i loro punti di appoggio
sugli spigoli sono i piedi delle altezze delle facce di (71)137).
6) L’ortocentro divide ognuna delle sette rette per esso (le quat-
tro altezze e i tre assi) in due segmenti il cui prodotto e costante 138).
7) In un tetraedro ortocentrico e costante il prodotto dei coseni
di due diedri opposti139).
8) I vertici di un tetraedro ortocentrico e il suo ortocentro indi-
viduano un pentagono sghembo tale, che ogni suo vertice e ortocentro
del tetraedro formato dai rimanenti (pentagono ortocentrico)136).
9) Le altezze di un tetraedro ortocentrico formano un qua-
133) S. Lhuilier, De relatione mutua capacitatis ecc., Varsavia 1782, p. 151.
Vedi anche L. A. S. Ferriot, Ann. math, pures appl., 2 (1811-1812), p. 133 ; J. Steiner,
J. reine ang. Math., 2 (1827), p. 97; Werke, 1, p. 128; R. Baltzer 63), p. 103; F. Joa-
chimsthal, Arch. Math. Phys., (1) 32 (1859), p. 109; J. Neuberg13), p. 659.
134) L. A. S. Ferriot133).
18i) H. Gellenthin, Arch. Math. Phys., (2) 3 (1885), p. 52. Vedi anche К. T.
Meyer, ibid., (2) 8 (1890), p. 363; G. FontenE, Ann. math, pures appl., (4) 9 (1909),
p. 57.
183) Questa propriety ё di K. W. Feuerbach, Grundriss zur analytischen Untersu-
chung der dreieckigen Pyramide, Numberg 1827, p. 98. Vedi anche H. Schroter 38),
p. 83-87; J. Neuberg 13), p. 661.
137) K. W. Feuerbach133).
138) C. F. A. Jacobi 8a), p. 453. Vedi anche H. Schroter 88), p. 83-87.
138) J. Neuberg18), p. 661.
248
Giuseppina Biggiogero
drispigolo ortico ; epperd ogni cono equilatero passante per tre di esse
contiene la quarta140).
10) In un tetraedro ortocentrico i punti medi degli spigoli e i
piedi delle altezze delle facce sono dodici punti di una medesima sfera
(prima sfera di dodici punti) avente per centro il baricentro del tetrae-
dro 141) e per raggio la meta di un segmento mediano.
11) I baricentri delle facce di un tetraedro ortocentrico e i loro
ortocentri appartengono a una medesima sfera, il cui raggio e la terza
parte di quello della sfera circoscritta a (T)142). Questa sfera divide
internamente i segmenti delle altezze compresi tra i vertici e 1’orto-
centro nel rapporto di 2 : 1 (seconda sfera di dodici punti о sfera di Ja-
cobi).
12) In un tetraedro ortocentrico i punti medi dei segmenti
delle altezze compresi tra i vertici e I’ortocentro appartengono a una
sfera di centro (7, il cui raggio e la meta di quello della sfera circoscritta142).
13) Ogni tetraedro ortocentrico e autopolare rispetto alia sfera di
centro H143), il cui raggio e la radice quadrata del prodotto H Ar • H Hr .
Tale sfera e reale solo se H e esterno a (T).
30. Tetraedro equifacciale. — Se le quattro facce di un tetrae-
dro sono uguali, il tetraedro dicesi isoscele о equifacciale144) e gode di
notevoli propriety :
1) Due spigoli opposti sono uguali.
2) I segmenti mediani (§ 14) sono a due a due ortogonali: essi
formano una tema trirettangola avente 1’origine in G, e incontrano ad
angolo retto gli spigoli di (T)145).
3) Ogni spigolo e ugualmente inclinato sulle facce ad esso non
adiacenti146).
4) Gli angoli sotto i quali si vedono dal centro di gravita G
due spigoli opposti di (T) sono bisecati dal corrispondente segmento
mediano144).
5) Quattro punti notevoli coincidono; precisamente baricentro,
punto di Monge, centro della sfera circoscritta e centro della sfera in-
scritta.
6) La somma algebrica delle distanze di un punto dello spazio
dalle facce e costante146).
7) Il volume e la terza parte del prodotto dei segmenti mediani147).
8) I quattro triedri sono congruenti, epperd e costante la somma
dei diedri di uno stesso triedro.
14°) Cfr. H. Schroter 38), p. 83.
141) H. Vogt, Progr. Kgl. Friedr.-Gymn., Breslau 1881.
142) C. F. A. Jacobi 82), p. 453. Vedi anche J. Neuberg13), p. 662.
143) Cfr. J. Neuberg13), p. 662.
144) Cfr. J. Neuberg61), p. 15.
146) C. F. A. Jacobi 82), p. 457. Vedi pure E. Lemoine, Nouv. Ann. math., (2)
19 (1880), p. 133; D. Besso, Period, mat., 1 (1886), p. 1.
14e) C. F. A. Jacobi 146).
Л47) E. Genty, Nouv. Ann. math., (2) 17 (1878), p. 223; E. Lemoine146).
XXV. - La geometria del tetraedro
249
9) La somma delle facce di un triedro ё costante e uguale a un
angolo piatto148).
10) Le facce sono sempre triangoli acutangoli14e).
11) Le quattro altezze sono uguali148).
12) I punti di contatto della sfera inscritta con le facce sono i
circoncentri delle facce stesse144), quelli di contatto* interni delle sfere
ex-inscritte sono gli ortocentri delle facce.
13) Le sfere tangenti sono soltanto cinque (§ 17): la sfera in-
scritta e le quattro sfere ex-inscritte.
14) I centri delle sfere ex-inscritte sono i punti simmetrici dei
vertici di (T) rispetto al centro della sfera inscritta, epperd sono i vertici
del parallelepipedo circoscritto a (T) (§ 14)149).
15) La sfera circoscritta passa pei centri delle quattro sfere ex-
inscritte ed ё trasformata in se stessa dalla trasformazione isogonale
(§ 12). Piii precisamente la trasformazione isogonale fa corrispondere
alia sfera circoscritta una superficie del sesto ordine formata dalla sfera
stessa e dai piani. delle quattro facce di (T)150).
16) Esiste una sfera di centro G tangente alle altezze di (T) e alle
perpendicolari alle facce passanti per gli ortocentri delle facce stesse148).
17) Esistono quattro sfere ex-inscritte agli spigoli di (T)151 152).
Furono anche studiati speciali tetraedri con due sole facce uguali,
oppure tre facce uguali, oppure con le facce a due a due uguali. In
quest’ultimo caso esistono due segmenti mediani che sono anche rette
della minima distanza per i corrispondenti spigoli opposti162).
31. Tetraedro regolare. — Il tetraedro regolare ha tutte le facce
che sono triangoli equilateri: ё uno dei cinque poliedri regolari di Pla-
tone 163) e di essd tratta anche Euclide nei suoi Elementi (Libro XIII).
Esso ё insieme ortocentrico ed equifacciale. Viceversa un tetrae-
dro equifacciale che abbia le coppie di spigoli opposti ortogonali (or-
tocentrico) ё regolare.
A proposito del tetraedro regolare vogliamo almeno accennare a
un gruppo di dodici proiettivita intimamente legato ad esso, eppercid
detto gruppo tetraedvico. Sono le proiettivita che mutano in se stessa
una quaterna equianarmonica di punti; esse sono in isomorfismo coi
movimenti dello spazio che lasciano fermo il gruppo dei vertici di un
tetraedro regolare; precisamente, oltre 1’identita, le tre rotazioni di n
148) A. Schmidt, Z. Math. Phys., 29 (1889), p. 321; R. Hoppe, Arch. Math.
Phys., (2) 12 (1894), p. 327; ibid., (2) 16 (1898), p. 257, 333.
14e) F. Morley, Educat. Times, 61 (1894), p. 26, n. 12032; J. Neuberg, ibid.,
n. 11961.
15°) J. Neuberg, op. la cit.89), p. 14.
151) G. Riboni, Period, mat., 5 (1890), p. 6.
152) J. Neuberg, Nouv. Corr, math., 6 (1880), p. 8; F. August, Arch. Math.
Phys., (2) 17 (1900), p. 65.
* 1БЗ) Vedi J. Tropfke, Geschichte der Elementar-Matheniatik, 7, 2a ed., Berlin-
Leipzig 1924, p. 47; inoltre I’Art. XXVI di questa Encicl. (L. Brusotti, Poligoni e
poliedri).
250
Giuseppina Biggiogero
attorno ai segmenti mediani (che sono anche assi) di (T), le quattro
rotazioni di 2/3тг attorno alle altezze di (T), e i loro quadrati, cioe le
rotazioni di 4/3л164 * *).
32. Tetraedro trirettangolo. — Se tre spigoli di (T), uscenti
da un medesimo vertice, sono a due a due ortogonali, il tetraedro dicesi
trirettangolo.
Tra le aree delle facce del tetraedro trirettangolo intercedono rela-
zioni analoghe a quelle fomite, per il triangolo rettangolo, dai teoremi di
Euclide e di Pitagora. Precisamente, se Л4 e il vertice del triedro tri-
rettangolo, 1’area di una faccia di questo triedro e media proporzionale tra
1’area della faccia J4 e 1’area della sua proiezione ortogonale sulla J4.
Onde si ha anche1M):
A2 + A2 + AZ2 = A2.
Il tetraedro trirettangolo e altresi ortocentrico (§ 29).
Il piede dell’altezza uscente dal vertice del triedro trirettangolo e
1’ortocentro della faccia opposta15e).
La distanza del vertice del triedro trirettangolo da un piano pas-
sante pel centro della sfera circoscritta e uguale alia somma algebrica
delle distanze dallo stesso piano degli altri tre vertici167 168).
Tra il raggio q della sfera inscritta, i raggi delle sfere ex-inscritte,
gli spigoli del triedro trirettangolo Ал e la relativa altezza Л4 intercedono
le relazioni158):
_L+_L = 2( 1 + ' + _L),
Q Ql \ "14 "24 "34 /
—=-j- + -T-+-J—+4~-
<?1 Q2 @3 "14 "24 "34 "4
33. Tetraedro isodinamico: punto e piano di Lemoine. —
Tra le lunghezze degli spigoli, i seni dei diedri, le aree delle facce e
il volume di un generico tetraedro (T) intercedono le relazioni169):
^12 ^34 __ ^13 ^24 __ </14 d22____________4z4 x • zd 2 • zd 3 • zd 4
sen d12 sen d34 ~ sen d13 sen d24 sen sen ^23 9 V2
16<) Vedi I’art. IX di questa Encicl. (L. Berzolari, Elementi della teoria dei
gruppi), § 30.
1M) La proposizione ё di J. Faulhaber, Miracula arithmetica, Augsburg 1622,
Cap. 45, p. 73-75. Cfr. anche R. Descartes, Cogitationes privatae, Oeuvres, 10, ed.
Ch. Adam e P. Tannery, Paris 1908, p. 246; J. P. de Gua de Malves, Hist. Ac. sc.
Paris, 1783 (ed. 1786), p. 375 ; L. N. M. Carnot 128), p. 62 ; H. Wieleitner, Z. math,
nat. Unterr., 49 (1918), p. 322. Una formola piii generale si ha in J. L. Lagrange®).
15e) Vecten, Ann. math, pures appl., 8 (1817-1818), p. 139.
1б7) P. F. Fr^gier, Ann. math, pures appl., 8 (1817-1818), p. 136.
168) C. F. A. Jacobi82), p. 464. Vedi anche J. Steiner, J. reine ang. Math., 2
(1827), p. 97 ; Werke, 1, p. 129.
1И) C. A. Bretschneider, Die Geometrie und die Geometer vor Euklides, Leipzig
1870, p. 677. Vedi anche R. Baltzer8’), 6, Genova 1868, p. 116.
XXV. - La geometria del tetraedro
251
Da esse si rileva che, se in un tetraedro e costante il prodotto di due
spigoli opposti, ё altresi costante il prodotto dei seni dei diedri opposti,
e viceversa. In questo caso il tetraedro dicesi isodinamico 16°).
Un tetraedro isodinamico gode di notevoli proprieta, tra cui:
1) Le quattro rette che proiettano da ogni vertice 1’incentro
della faccia opposta concorrono in un medesimo punto.
2) Le quattro rette che proiettano da ogni vertice il punto di
Lemoine della faccia opposta concorrono in un medesimo punto K,
detto punto di Lemoine del tetraedro isodinamico ш).
3) Le distanze del punto К dalle facce di (T) sono proporzio-
nali ai raggi dei circoli circoscritti alle facce stesse160).
4) La retta Ar К passa per il polo della faccia aT rispetto alia
sfera circoscritta a (T): in altre parole, un tetraedro isodinamico ё omo-
logico al tetraedro dei piani tangenti nei suoi vertici alia sfera circoscritta.
Il centro dell’omologia ё il punto К di Lemoine ; il piano dell’omologia,
che ё anche piano polare (§ 8) di К rispetto a (T), dicesi piano di Le-
moine del tetraedro isodinamico le2).
5) La retta О К ё perpendicolare al piano di Lemoine e giace
sull’iperboloide delle altezze relativo a (T)163).
6) Ogni sezione antiparallela (§ 19) di un tetraedro isodinamico
ё un triangolo equilatero163). Inversamente, se si trasformano i vertici
di un triangolo equilatero mediante una inversione sferica, il cui centro
P non appartenga al piano del triangolo, i punti trasformati e il centro
P sono vertici di un tetraedro isodinamico 164). 34
34. Sfere di Apollonio e centri isodinamici di un tetraedro
isodinamico. — Dati tre punti AifA2,A3 non allineati, il luogo del
quarto vertice A4k, che formi coi primi tre un tetraedro isodinamico e
una cir onferenza164). Infatti il punto A4 dovra soddisfare le relazioni:
A4 Аг _ A3 Aj
A4 A2 Ai A2
^4-^2, A3A2
A4 A3 Ai A3
Epperd si costruiscano i circoli di Apollonio (d, § 24) del trian-
golo АгА2А3 e le sfere aventi il medesimo centro e il medesimo rag-
gio di tali circoli: queste sfere si dicono 166) sfere di Apollonio relative
al triangolo d4 , e appartengono, come i circoli di Apollonio, a un
medesimo fascio. La loro circonferenza comune giace in un piano per-
pendicolare al piano a4 , ha per diametro il segmento definite dai due
punti isodinamici di d4, ed ё il luogo cercato del quarto vertice A4 .
w) J. Neuberg, op. la cit. ’•), p. 29, 33; Arch. Math. Phys., (3) 16 (1909), p. 55.
iel) J. Neuberg51), p. 11; op. 2a cit.1W), p. 56.
1И) J. Neuberg, op. 2a cit. ’•), p. 56.
1M) J. Neuberg, op. la cit. >e), p. 33; op. 2a cit.1W), p. 57.
1M) J. Neuberg, op. la cit. ’•), p. 46; op. 2a cit.1*), p. 58.
1W) J. Neuberg, op. 2a cit.1*), p. 58.
252
Giuseppina Biggiogero
La circonferenza trovata e anche il luogo dei centri delle inversioni
sferiche, che trasformano il triangolo АгА2А3 in un triangolo equi-
latero.
Dato un tetraedro isodinamico, le sfere di Apollonio relative
agli spigoli rf12, rf13, d23 del triangolo sono ordinatamente anche
sfere di Apollonio per i triangoli Л3 , Л2, . Segue che:
Un tetraedro isodinamico ammette sei sfere di Apollonio : ognuna
di esse ha il centro su uno spigolo di (T) e passa per gli estremi dello
spigolo opposto. Epperd i centri delle sfere di Apollonio di un tetrae-
dro isodinamico sono le intersezioni di ogni spigolo col piano normale
allo spigolo opposto e passartte per il punto medio di questo spigolo.
Le sei sfere di Apollonio sono perpendicolari alia sfera circoscritta
e i loro centri sono le intersezioni degli spigoli di (T) con gli spigoli
omologhi del tetraedro polare di (T) rispetto alia sfera circoscritta166).
Ossia :
I sei centri delle sfere di Apollonio sono i vertici del quadrilatero
completo secondo cui il tetraedro isodinamico e tagliato dal suo piano
di Lemoine167).
Le sei sfere di Apollonio hanno in comune due punti W e, W',
detti centri isodinamici di (T).
I punti We W' sono allineati con О e K,in modo che О W О W' =
= r2. La retta W W’ (ossia la О К) e una generatrice dell’iperboloide
delle altezze ed e perpendicolare al piano dell’omologia in cui si corri-
spondono il tetraedro (T) e il suo tetraedro polare rispetto alia sfera
circoscritta168).
Ciascuna faccia di (T) forma col punto W (o col punto W') un
tetraedro isodinamico166. Ora : un pentagono sghembo tale che quattro
suoi vertici qualsiansi formino un tetraedro isodinamico si dice sistema
isodinamico completo160). Pertanto si pud dire:
I vertici di un tetraedro isodinamico insieme con un centro iso-
dinamico formano un sistema isodinamico completo.
Trasformando mediante una inversione un tetraedro isodinamico
(T), si ottiene un nuovo tetraedro isodinamico(T') 17°). In particolare una
inversione sferica che abbia per centro un centro isodinamico di (T)
trasforma i vertici di (T) nei vertici di un tetraedro regolare167).
35. Sfere di Tucker di un tetraedro isodinamico. — Si con-
sideri un tetraedro isodinamico (T) = (A1A2A3A4) e un tetraedro
omotetico ad esso (naturalmente isodinamico) (Tz) = (A\ A'2 A'3 A'4),
essendo centro della omotetia il punto К di Lemoine relativo a (T).
Il piano ar e incontrato dalle facce del triedro A'r secondo un triangolo
1W) J. Neuberg, op. la cit. 3e), p. 47.
167) J. Neuberg, op. 2a cit.1W), p. 59.
168) J. Neub’erg, op. la cit. 39), p. 50.
169) J. Neuberg, op. la cit. 3e), p. 48.
17°) J. Neuberg, op. la cit. 39), p. 42.
XXV. - La geometria del tetraedro
253
fi'r , che e omotetico a AT rispetto al punto Kr di Lemoine dello stesso
A T . Epperd le intersezioni delle coppie di lati non omologhi dei due
triangoli A T e fir stanno sopra un circolo Гг [circolo di Tucker (A, 26)
relativo al triangolo Ar], il cui centro appartiene alia retta Or Kr .
Si considerino i due circoli di Tucker individuati, secondo le con-
siderazioni che precedono, sulle facce ar e as di (T): siano essi Гт e Ts .
Questi due circoli incontrano negli stessi due punti lo spigolo duv co-
mune ai loro piani, epperd appartengono a una medesima sfera, il cui
centro sta sulla retta О К. Cosi i quattro circoli di Tucker , Г2,
Г3 , I\ sono a due a due sopra una medesima sfera: ma due sfere come
la (Г1Г2) e la (Г3Г^ hanno piii di quattro punti indipendenti in co-
mune, percid coincidono. Si conclude cosi che :
Tutti i tetraedri (Tz) omotetici al tetraedro isodinamico (T) ri-
spetto al punto К di Lemoine individuano al finito sugli spigoli di (T)
gruppi di dodici punti appartenenti a una medesima sfera. Questa
sfera dicesi sfera di Tucker relativa a (T)167).
Invertendo I’ufficio dei due tetraedri isodinamici (T) e (T'), S1
ha che anche le intersezioni al finito degli spigoli di (T') con le facce
di (T) sono punti di una medesima sfera.
Sono notevoli i casi particolari seguenti, che si hanno quando if
tetraedro (T') degenera nei quattro piani per К paralleli alle facce di (T) :
a) I piani per К paralleli alle facce di (T) individuano al finito
sugli spigoli di (T) dodici punti di una medesima sfera, il cui centro
appartiene alia retta О К. Questa sfera, per analogia col primo circolo
di Lemoine (Л, § 25), dicesi prima sfera di Lemoine171).
b) Le parallele agli spigoli di (T) passanti per il punto К di
Lemoine incontrano al finito le facce di (T) in dodici punti di una me-
desima sfera, il cui centro appartiene alia retta О К, detta terza sfera
di Lemoine171).
E, ricordando Tomologia di centro К tra (T) e il suo tetraedro
polare rispetto alia sfera circoscritta:
с) I piani per К paralleli ai piani tangenti nei vertici di (T) alia
sfera circoscritta determinano sugli spigoli di (T) dodici punti di una
medesima sfera di centro K, detta seconda sfera di Lemoine171).
171) J. Neuberg, op. Iя cit. 39), p. 35; op. 2a cit. leo), p. 60.
XXVI
POLIGONI E POLIEDRI
di LUIGI BRUSOTTI a Pavia
I N D I С Е
Parte prima
POLIGONI
Pag.
1. I poligoni in Euclide .................................................. 259
2. Estensione del concetto di poligono................................... 260
3. La nomenclature dei trattati elementari >(angoli interni ed esterni, poligono
convesso) ................................................................... 261
4. Gli angoli interni ed il poligono convesso in senso largo............... 262
5. La * specie » di un poligono secondo Wiener, e secondo Hess............ »
6. Classificazione dei poligoni di n lati.................................. 264
7. Area di un poligono..................................................... 267
8. I poligoni regolari in Euclide e nei trattati elementari ..269
9. Poligoni regolari stellati.............................................. »
10. I poligoni regolari sotto 1’aspetto costruttivo ...........л........... 272
11. Relazioni metriche concementi i poligoni regolari...................... 275
12. Poligoni semiregolari.................................................. 278
13. Poligoni sferici. Angoloidi............................................ 281
14. Poligoni sferici (od angoloidi) regolari e semiregolari................ 288
15. Poligoni nel piano proiettivo ......................................... 284
Parte seconda
POLIEDRI
16. I poliedri in Euclide .....................7........................... 287
17. Generality sui poliedri. Poliedri convessi (in senso elementare)........ 288
18. Estensioni del concetto di poliedro..................................... 290
19. Poliedri bilateri ed unilateri..................’..................... 291
20. Genere di un poliedro bilatero ........................................ 2 94
21. Notizie storiche sul teorema di Euler e sulle sue estensioni............ 296
22. Relazioni valide per i poliedri euleriani............................... 300
23. Relazioni valide per i poliedri anulari ................................ 301
24. Morfologia dei poliedri euleriani. Operazioni.......................... 302
25. Il teorema di Cauchy. Le costanti di Legendre ........................ 304
26. Volume di un poliedro; area della sua superficie........................ 306
27. I poliedri regolari (platonici) e la Geometria greca.................... 307
28. Ulteriori studi sui poliedri platonici; . propriety metriche............ 309
29. Poliedri regolari stellati ............................................. 312
30. I poliedri arehimedei ed i loro duali (Poliedri semiregolari)........... 316
31. Altre classi di poliedri metricamente particolari....................... 319
32. Poliedri topologicamente regolari. Risultati piii generali di Jordan e di Bertini 320
PARTE PRIMA
POLIGONI
1. I poligoni in Euclide. — Fra le definizioni (opoi) raccolte
da Euclide all’inizio del Libro I degli Elementi, la 19я1) introduce
la figura rettilinea: 2$ раза Еи&иуращш lari rd vnb ev&euov ji€qie%6-
ficva, тдШеида pev та vnb tquov, тЕтралЛгира di та ило тЕсю&раю, no-
килкепра Se та wib лЯыбгсог % TEOoapcov ev&ei&v лЕрсЕу6р,Еуа * 2).
La figura rettilinea [(^/^Ла) Ev$vypap,[iov\ ricompare nella prop.
45я del Libro I, nelle definizioni all’inizio del Libro IV. sulle figure
inscritte e circoscritte fra loro ed a circoli, nella prima del Libro VI
ed in diverse proposizioni dello stesso 3).
Nel Libro IV sono usate le parole nendycovov (prop, da IIя a
14я), E*aycovov (prop. 15я), nEVTExaitexaycovov (prop. 16я) per il poli-
gono regolare (cfr. § 8) risp. di 5, 6, 15 lati 4 *). La parola noXvycovov,
poligono (da intendersi come aggettivo, p. e. di o'xfip.a, figura, e sino-
nimo di nokvi&Evpov) non trovasi in alcuna definizione, ma viene usata
nella prop. 20я del Libro VI6): Ta opota локиусога eiq те bfioia
Tpiycova diaiQEiTai xal eIq toa to nkfj&oG xal 6p,6Xoya toIq oiois, xal to
nokvycovov лрод to nokvycovov dmXaoiova idyov e%ei fytep у o/iokoyaq
ntevpa лрод ттр> o/Moyov nksvpav ®).
г) I. L. Heiberg, EuclidisElementa, Lipsiae; 1, 1883; 2, 1884; 3, 1886; 4,
1885; 5, 1888; cfr. 1, p. 6.
2) Trad.: Figure rettilinee sono quelle qomprese da rette, trilatere da tre, qua-
drilatere da quattro, multilatere quelle comprese da piii di quattro. Cfr. F. Enriques,
Gli Elementi di Euclide e la critica antica e moderna; a) Libri I-IV [I, F. Enriques e
M. T. Zapelloni ; II, M. T. Zapelloni ; III, A. Enriques ; IV, A. Agostini],
Roma 1925; b) Libri V-IX [V, VI, M. T. Zapelloni; VII, VIII, IX, G. Rietti],
Bologna 1930; e propriamente a) p. 38.
3) Cfr. x), 1, p. 104, p. 270; 2, p. 72, p. 124, p. 138, p. 140, p. 152, p. 162,
p. 166; 2), a), p. 128, p. 265 ; b), p. 75, p. 126, p. 134, p. 135, p. 141, p. 146, p. 159
(ove perd talora (тут^л eu&6ypoqxp.ov ё tradotto « poligono »).
*) Cfr. x), 1, p. 298, p. 312, p. 318; •), a), p. 296, p. 307, p. 310. Cfr. pure il
Libro XIII P), 4, p. 264-286], ove (p. 270) leggesi anche SExdtycovov.
*) Cfr. x), 2. p. 130.
•) Trad.: I poligoni simili si dividono in un ugual numero di triangoli simili,
tali che i triangoli corrispondenti hanno fra loro la stessa ragione che i poligoni dati;
ed i poligoni hanno tra loro ragione duplicate di quella dei lati omologhi. Cfr. ’), b),
p. 131.
La parola TtoXifycovov trovasi anche in Aristotele [cfr. percid J. Tropfke, Ges-
260
Luigi Brusotti
Prescindendo dalla nomenclatura, in Euclide interviene il poli-
gono [anche non convesso7)], ma come regione piana limitata, quindi
come grandezza (ряуЕ&од), il che si pud indurre anche dall’uso della
parola Xooq (uguale) nel senso di equivalente 8).
2. Estensione del concetto di poligono. — L’estensione del
concetto di poligono, gii adombrata negli esempi di matematici ante-
riori9) ed effettivamente introdotta da A. Girard 10), si concreta for-
malmente nella definizione di L. Poinsot11), secondo la quale per
poligono s’intende la figura composta di n > 2 punti (vertici) assunti
ordinatamente nel piano e dei segmenti (lati) che congiungono il primo
col secondo, il secondo col terzo, ..., 1’ultimo col primo.
I casi in cui alle appartenenze fra vertici e lati previste dalla de-
finizione di L. Poinsot se ne aggiungano altre sono casi-limiti di quello
generale, il solo che qui si cohsidera. Possono tuttavia esistere punti
diversi dai vertici, per ciascuno dei quali passino due о piii lati, ed al-
lora il poligono dicesi intrecciato; altrimenti dicesi ordinario.
A. F. Mobius12 * * 1) definisce il poligono come una figura piana com-
posta di n segmenti (lati), in modo che ogni punto, (vertice) che sia
estremo di un lato lo sia anche di un altro (e di un solo). Se, com’egli
fa, si aggiunge la condizione che si possa partire da un vertice e ritor-
narvi percorrendo successivamente tutti i lati, la definizione di A. F.
Mobius coincide con quella di L. Poinsot ; se tale condizione si tralascia,
accanto al poligono secondo L. Poinsot (poligono continuo) si introduce
anche il poligono discontinue composto di due о piii poligoni continui.
Nel seguito si prescinded dai poligoni discontinui, quando non se ne
faccia esplicita menzione.
Lo studio del sistema piii generale di punti e di segmenti (eventual-
mente anche non rettilinei) assunti in numero finite in modo che cia-
chichte der Elementar-Mathematik, zweite Auflage, Berlin und Leipzig, 1, 1921; 2,
1921; 3, 1922; 4, 1923; 5, 1923; 6, 1924; 7, 1924; precisamente 4, p. 92] ed in
Erone, Herortis Alexandrini opera quae super sunt omnia, Lipsia 1899-1914, 4 (I. L.
Heiberg), p. 46 (def. 64 in "Opoi = Definizioni).
7) Cfr. § 3. Esempio di poligono non convesso ё il gnamone introdotto da Eu-
clide in def. 2a di Libro II degli Elementi P), 1, p. 118; cfr. pure *), a), p. 145] e
considerate anche da Erone*), 4, p. 44 (def. 57 e 58 in **0901).
•) Vedi 1’art. XXII di questa Encicl. (E. Artom, Propriety elementari delle fi-
gure del piano e dello spazio), § 21.
•) Cfr. § 9 e specialmente M).
10) A. Girard, Tables des sinus tangentes et secantes etc., A la Haye 1626. Cfr.
S. Gunther, Vermischte Untersuchungen zur Geschichte der mathematischen Wissen-
schaften, Leipzig 1876, p. 18; M. Bruckner, Vielecke und Vielflache, Theorie und
Geschichte, Leipzig 1900, p. 13; J. Tropfke *), 4., p. 103; E. Steinitz, Polyeder und
Raumeinteilungen (Encycl. d. math. Wiss. Ill, 12), Leipzig 1922, p. 4.
u) L. Poinsot, J. Ёс. polyt., (1) 4., cah. 10 (1810), p. 18. Cfr. D. Piani, Erin-
ci pt di Poligonometria analitica, Bologna 1831, p. 9; Ch. Wiener, Ueber Vielecke und
Vielflache, Leipzig 1864, p. 1; F. Caldarera, Introduzione allo studio della Geometria
superiore, Palermo 1882, p. 19; M. Bruckner10), p. 14.
1S) A. F. Mobius, Werke, 2, Leipzig 1886, p. 475-476 (oppure Leipz. Berichte,
17 (1865), p. 31-68).
XXVI. - Poligoni e poliedri
261
scuh punto del sistema sia estremo almeno per un segmento di questo,
ma possa esserlo anche per piu di due, e reciprocamente ogni estremo
appartenga al sistema (reseau degli autori francesi, graph degli inglesi,
Streckencomplex dei tedeschi), ё di pertinenza della Topologia (cfr.
§19)13). ...
Oss. - Dato un poligono di L. Poinsot, I’insieme de’ suoi lati dicesi
talora contorno; il contorno ё incontrato da una retta generica14) del
piano in un numero pari di punti. Ogni retta congiungente due vertici
non consecutivi (e talora il segmento di essa che li ha per estremi) di-
cesi diagonale; il numero delle diagonali ё ——.
3. Lanomenclatura dei trattati elementari (angoli interni
ed esterni, poligono convesso). — Nelle trattazioni elementari si
considerano di regola solo poligoni ordinari (cfr. § 2). Allora il contorno
del poligono divide il piano in due regioni, Г interna e Yesternais 16).
Le due semirette aventi I’origine in un vertice e contenenti i due
lati che ne escono dividono il piano in due angoli; e in un conveniente
intomo del vertice i punti di uno solo di essi sono interni al poligono.
Questo si diri angolo interno, e si diri saliente о rientrante secondo che
sia < л oppure > л (il caso = л essendo ordinariamente escluso).
Rispetto alia retta congiungente due vertici consecutivi, i rima-
nenti potranno giacere tutti in uno stesso semipiano ; se tale eventua-
lity si presenta per ogni congiungente, il poligono dicesi convesso, i
suoi angoli (interni) sono tutti salienti, la regione interna si ottiene per
interferenza dei semipiani considerati (o degli angoli interni), 1’angolo
(< л) formato dal prolungamento di un lato col lato consequtivo dicesi
esterno. La somma degli angoli esterni ё = 2 тг1в).
Se la detta definizione di poligono convesso si applica ai poligoni
intrecciati (cfr. § 2), essi risultano non convessi.
La nozione di poligono (ordinario) convesso pud ricondursi a
quella piu generale di region# piana convessa, definita come tale che il
segmento congiungente due punti interni sempre risulti intemo17).
18) Vedasi ad es. M. Dehn с P. Heegaard, Analysis situs (Encycl. d. math. Wiss.
Ill, 1), Leipzig 1922, p. 171-178.
14) Formulaziohe precisa dell’enunciato in F. Palatini, Boll, mat., (2) 3 (1924-
25), p. 97.
16) Cfr. il § 12 dell’art. XXI di questa Encicl. (P. Benedettj, Fondamenti di
Geometria).
м) Il teorema. sulla somma degli angoli esterni negli Elementi d’EuCLiDE ё im-
plicito pfer я = 3 in prop. 32a di Libro I p), 1, p. 76; a), a), p. 106] ; ma per n qua-
lunque gi& trovasi in Aristotele [cfr. J. Tropfke •), 4, p. 102, anche per altre notizie].
Qui si pud ricordare G. Cardano (1501-1576), Opera omnia, Lugduni 1663, 3,
p. 597 (dal De sublilitate, lib. 16, De Scientiis) che cosi si esprime: Omnibus figuris
rectilineis hoc unum est commune, quod protractis singulis lateribus exteriores omnes anguli
pariter accepti, etiamsi mille fuerint, quatuor rectis angulis sunt aequales.
17) Considerazioni sulle figure convesse in F. Severi, Boll, mat., 25 (19 29), p. 81;
M. De Franchis, Boll, mat., 25 (1929), p. 149; G. Vizzini, Boll, mat., 26 (1930), p. 41.
262
Luigi Brusotti
4. Gli angoli interni ed il poligono convesso in senso largo»
— Nel piano (orientate) si assuma come verso positive delle rotazioni
p. e. il verso contrario a quello delle lancette dell’orologio *?).
Dato un poligono nel senso di L. Poinsot (§2), sul suo contorno
si fissi il verso positive a piacere. In pratica pud giovare 1’introdurre
un tratteggio (od una tinteggiatura) del contorno a sinistra di chi lo
percorra nel verso positive19 * *).
Dati allora due lati consecutivi, una retta orientata pud retire
attorno al vertice comune in modo che nella posizione iniziale (risp.
finale) il suo verso positive (risp. negative) coincida con quello posi-
tive del secondo (risp. del primo) lato, 1’angolo descritto essendo po-
sitive e < 2 n. Tale angolo si dira un angolo interno *>) (ed in prossi-
mitA del vertice avra interno il tratteggio); esso verra detto (se Ф л)
saliente о rientrante secondo che sia < n oppure > n. Se si muta il
verso del contorno, ciascun angolo interno ср e sostituito da un angolo
2 л — (p9 onde si scambiano gli angoli salienti coi rienjranti.
Per i poligoni ordinari queste definizioni concordano con quelle
usuali (§3), purchfe si assuma come positive il verso seguito da un os-
servatore che percorra il contorno vedendo alia propria sinistra la re-
gione interna (purche il tratteggio sia interno).
Secondo L. Poinsot a) un poligono si dice convesso quando si possa
fissare il verso del suo contorno in mode che tutti gli angoli interni
risultino salienti; si hanno cosi poligoni intrecciati convessi. Perd per i
poligofii ordinari questa definizione equivale a* quella elementare di § 3.
Al criterio di L. Poinsot fa riscontro quello talora seguito nella
definizione di linea convessa 22).
5. La « specie» di un poligono secondo Wiener e secondo
Hess. — Dati due lati consecutivi, Ch. Wiener 23) dice angolo esterno
1’angolo > — n e < ‘-zt di cui deve rotare la retta del primo lato регсЬё
coincida con quella del secondo anche nel verso. La somma dell’angolo
esterno coll’interno (§ 4) adiacente e = n. Se la somma degli angoli
esterni e 2 а л, 1’intero a (positive, nullo о negativo) e la specie del po-
ligono secondo Wiener. Mutando il verso del contorno, la specie a muta
di segno. La somma degli angoli interni ё*:
(1) J = (n—2d) л
(essendo n il numero dei vertici).
M) Cfr. i trattati di Trigonometria e di Geometria analitica.
le) L’uso della tinteggiatura in condizioni consimili pud farsi risalire ad A. L.
F. Meister (1724-1778), Novi Comm. Soc. Gott., 1 (1769-70), p. 149. Cfr. S. Gun-
ther10), p. 42.
M) L. Poinsot11), p. 19; Cfr. pure Ch. Wiener u), p. 2.
“) L. Poinsot u), p. 19; D. Piani u), p. 15; Ch. Wiener u), p. 4.
M) Per una linea spezzata cfr. p. e. E. Borel, Gtomitrie; premier et second cycle,
Paris 1905, p. 39.
as) Ch. Wiener11), p. 2-3, anche per quanto segue. Cfr. inoltre M. Bruckner10),
p. 15; E. Steinitz 10), p. 4-6; E. Steinitz e H. Rademacher, Vorlesungen Uber die
Theorie der Polyeder, Berlin 1934, p. 20.
XXVI. - Poligoni e poliedri
263
Dati due lati consecutivi, E. Hess24 * *) dice angolo al contorno I’an-
golo (compreso fra 0 e л) di cui deve rotate la retta del primo lato рег-
сЬё coincida con quella del secondo anche nel verso. La somma dell’an-
golo al contomo coll’interno adiacente ё dunque n oppure 3 zr, secondo
che I’angolo interno sia saliente о rientrante (§4), ritenendosi escluso
il caso dell’angolo interno = zr. Se la somma degli angoli al contorno
ё 2 a* %, 1’intero a* (positivo e < n) ё la specie del poligono secondo
Hess. Mutando il verso, la specie a* si muta in n — a*. La somma
degli angoli interni ё:
(2) J = (n + 2 k — 2 a*) Jr,
ove k ё il numero degli angoli rientranti.
Cosi dalla nomenclature di Ch. Wiener si passa a quella di E. Hess
mediante la relazione :
(3) a* = a + k .
Per i poligoni convessi nel senso di L. Poinsot (§ 4) ё lecito (con
opportuna scelta del verso) porre 0 < a* = a < n **), per i poligoni
ordinari (§ 2), e del resto quali si vogliano, a = 1, onde per quelli con-
vessi in senso elementare (§ 3) a* = a = 1. Ma ad es. per il gnomone
[cfr.7)], posto a = 1, ё a* = 2.
Per a = 1 la (1) diviene:
(T) J = (n — 2) n,
e 2e) conduce a teoremi classici 27).
Oss. la - Le considerazioni di questo paragrafo traggono sussidio
dalla cosiddetta seconda figura descritta da una retta mobile, uscente
da un punto fisso, costantemente parallela ed equiversa a quella che
descrive successivamente gli angoli esterni secondo Ch. Wiener о gli
angoli al contorno secondo E. Hess. Nel primo caso la retta della seconda
24) E. Hess, Stzgsb. Ges. Naturw. Marburg, 1874, p. 611-743 anche per quanto
segue. Cfr. inoltre M. Bruckner 10), p. 3.
M) L. Poinsot n), p. 21 considera la specie (espdce) cosi intesa.
“) Il teorema per il triangolo trovasi in prop. 32a di Libro I degli Elementi
d’EucLiDE [giA citata ie)]; per il poligono convesso in senso elementare in Proclo
[cfr. F. Enriques e M. T. Zapelloni, 2) a), p. 109]; per il poligono ordinario p. e.
in R. Baltzer, trad, di L. Cremona, Elementi di Matematica, Parte 4a, Planimetria,
Genova 1867, p. 33; complementi alia dimostrazione di R. Baltzer in E. Danesini
e T. Magnani, Boll, mat., 9 (1910) p. 250 [cfr. G. Sforza, Boll, mat., 10 (1911), p. 8].
Notizie storiche specialmente sul caso del triangolo in Th. L. Heath, The thir-
teen books of Euclid's Elements, Cambridge 1926, 1, p. 317-322.
La nomenclature di Ch. Wiener n) si concilia con quella elementare (§ 3);
M. Bruckner P°), p. 16], che si attiene a quella di E. Hess, propone si muti la no-
menclature dei trattati, volendo riservare la denominazione di angolo esterno all’angolo
2 n — (p (§ 4), onde col mutare del verso del contomo si scambino fra loro angoli
interni ed esterni.
264
Luigi Brusotti
figura cambia il verso della rotazione ogni volta che corrisponda ad un
lato congiungente il vertice di un angolo saliente con quello di uno rien-
trante (lato di flesso) e complessivamente compie la rotazione 2 a 'л.
Nel secondo caso la retta ruota sempre in verso positivo e compie com-
plessivamente la rotazione 2 a* n M).
Oss. 2a - Si pud estendere il concetto di specie a (risp. a*) artche
al caso di un poligono discontinuo (cfr. § 2), composto coi poligoni
continui Pi di specie (risp. a<*), ponendo :
a = 27 ai , a* — S af.
6. Classificazione dei poligoni di n lati. — Se, per due po-
ligoni di n lati, due dei tre caratteri a, a*, k [quindi, per la (3), tutti]
rispettivamente coincidono, i due poligoni diconsi appartenere alia
stessa classe 2e). Di regola perd si prescinde dal verso, ciod si pongono
in una stessa classe coi poligoni di caratteri a, a*, k anche quelli di ca-
ratteri — a, n — a*, n — k. In tale senso il numero delle classi di-
n2 — 4 . n2 — 5
stinte d —-— per n pan, —-— per n dispari *°).
I poligoni di una stessa classe possono alia loro volta classificarsi
a seconda del numero & dei nodi, dicendosi nodo Feventuale interse-
zione di due lati non consecutivi. Sui valori distinti che & pud assumere
per i poligoni di una data classe non si hanno risultati generali 31) ;
se ne hanno invece in relazione al solo valore di n, e ciod 32):
Se n i dispari, & pud assumere ogni valore soddisfacente alia:
о < » < ,
, , n(n — 3) , . . , r
escluso и valore —--------— 1, e, se n e pan, ogm valore soddisfacente
alia-. *
Ы
La classificazione esposta non d sufficiente quapdo si vogliano
identificare due poligoni solo allorchd uno di essi sia riducibile all’altro
(od al simmetrico di questo) con una deformazione continua che eviti
®) Cfr. Ch. Wiener: u), p. 2 e p. 10; M. Bruckner 10), p. 3 e p. 15. Il numero
dei lati di flesso ё pari.
°) M. Bruckner10), p. 5; E. Steinitz10), p. 6.
•°) M. Bruckner10), p. 5. L’enunciato in R. Wolf, Die Lehre von den getad-
limgen Gebilden, Bern 1841.
81) M. BrUckner 1o), p. 10; E. Steinitz 10), p. 8; risultati parziali in Ch. Wiener
X1), p. 8 ed in G. Brunel, Mem. Soc. sc. phys. math. Bordeaux, (4) 4 (1894), p. 273-276.
8a) M. BrUckner10), p. 11; cfr. anche E. Steinitz10), p. 9; un complement©
alia dimostrazione per n pari in E. Steinitz, Math. Zeitschr., 17 (1923), p. 116-129.
XXVI. - Poligoni e poliedri
265
le cosiddette 93) forme di passaggio. Come tale, oltre ai casi-limiti gia
segnalati al § 2 ed al caso di un angolo interno = n (gii apparso ecce-
zionale a § 5), si considers pur quello in cui per un punto diverso dai
vertici passino r > 2 lati 34).
In questo senso 1’insieme dei poligoni (di n lati) cogli stessi carat-
teri a, a*, #, in generale, si compone di piu tipi non comunicanti per
deformazione continua (пё per simmetria).
Il numero т (n) di tutti i tipi di poligoni di n lati cresce rapida-
mente con n; si ha т (3) = 1, т (4) = 3, r(5) = 11, т (6) = 70
Qui vengono elencati i tipi distinti per n = 4 (Fig. 1) e per n = 5 (Fig. 2),
coi relativi caratteri; si suppone sc’elto sul contorno il verso in modo
che risulti k < , onde a > 0; in relazione a tale scelta si assu-
mono a* e la somma J degli angoli interni (segnati questi in figura
mediante archetti)'
n = 4.
33) E. Steinitz 10), p. 9.
S4) Tale punto pud dirsi r — plo e, nel compute di -0, si conviene equivalga
r(r —1)
ad ---------- nodi.
2
“) E. Steinitz 10), p. 10. Per n < 5 giA in A. Girard10), ove per я = 6 leg-
gesi 69 invece di 70; cfr. percid anche S. Gunther 10), p. 17-21.
266
Luigi Brusotti
XXVI. - Poligoni e poliEdri
267
n = 5.
Tipo $ a a* k J
1° 0 1 1 0 3 n
20 0 1 2 1 3 n
3o 0 1 3 2 3 n
4o 0 1 3 2 3 n
5° 1 0 2 2 5 n
60 1 0 2 2 5 n
7o 1 0 2 2 5 n
80 1 2 2 0 n
90 2 1 2 1 3 n
10° 3 2 2 0 n
11° 5 2 2 0 n
Ogni tipo di quadrangolo ё individuate da’ suoi caratteri numerici;
invece i pentagon! di tipo 3° e 4° presentano gli stessi caratteri numerici,
cosi quelli di tipo 5°, 6°, 7°. Fra i quadrangoli vi ha un sol tipo convesso
(il 1°); fra i pentagoni sono tali (§ 4) i tipi 1°, 8°, 10°, 11°.
Il quadrangolo ,di 2° tipo [xodoycorior di Zenodoro (circa 180
a. C.) M)] ё la figura barbata di Leonardo Pisano, detto Fibonacci эт)
e trovasi raffigurato anche nella Summa di Luca Pacioli (1445-1515
circa) зд).
7. Area di un poligono. — Il problema dell’area di un poli-
gono ordinario (§,2) appartiene alle teorie dell’equivalenza e della mi-
sura se). L’area pud assumersi anche in segno *>), positiva о negativa
secondo che il contorno si pensi percorso in verso positivo о negativo
(Cfr. § 4). Se A2 ...An sono i vertici del poligono (ordinati in con-
formity al verso) l’area cosi intesa ё la somma algebrica delle aree dei
triangoli ОАгА29 OA2A3,..., OAnA19 comunque si scelga nel
piano il punto О (percorrendosi il contorno di OAhAk cosi da incon-
trare successivamente i vertici O, Ah , Ak) °). * ••)
”) Cfr. J. Tropfke®), 4, p. 103-104, anche per altre notizie storiche sulla clas-
sificazione dei poligoni.
87) Scritti di Leonardo Pisano matematico, pubblicati da B. Boncompagni, 2,
Pratica Geometriae, p. 83. Notizie su Leonardo Pisano nella nota M) dell’art. Ill di
questa Encicl. (Et. Bortolotti e D. Gigli, Aritmetica pratica).
“) L. Pacioli, Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalitate,
Venezia 1494, Toscolano 1'523, Tractatus geometriae cart. 1 (Findicazione della « carta »
si riferisce all’edizione di Toscolano ed alia numerazione indipendente del trattato di
^geometria).
••) Cfr. Fart. XXIII di questa Encicl. (D. Gigli e L. Brusotti, Teoria della
misura) § 12.
*°) Cfr. Fart. XXXIV di questa Encicl. (B. Segre, Geometria analitica), § 24
u) A. F. MdBius, Werke, 2 w), p. 487 [oppure Leipz. Berichte18)].
268
Luigi Brusotti
Detta somma algebrica ё indipendente dalla scelta di О anche se
il poligono e intrecciato ё (positiva, nulla о negativa) si assume per
definizione come area di questo42).
Il contomo del poligono divide il piano in piii regioni, una sola
delle quali si estende all’infinito. Le rimanenti diconsi celle (o parcelle
о caselie). Nel computo delFarea secondo к definizione, assunta una
c$lla, ogni suo punto cbmparira Г (risp. t") volte come intemo ad un
triangolo d’area positiva (risp. negativa). Il numero i' — i" = i e in-
dipendente dalla scelta di О e si dira indice della cella; sia a, in valore
assoluto, I’area di questa; I’area del poligono sari allora S i a, essendo
il sommatorio esteso a tutte le celle. Gli indici delle celle possono deter-
minarsi anche colla legge di Mobius 43), attribuendosi alia regione in-
definitamente estesa 1’indice zero e convenendo che un osservatore
percorrente il contorno del poligono nel verso assegnato legga nella
regione alia sua sinistra un indice che superi di uno quello ch’egli legge
nella regione alia sua destra44 *).
A C. G. J. Jacobi [cfr. 42)] si deve una regola mediante la quale
I’area di un poligono intrecciato si calcola come somma algebrica di
aree di poligoni non intrecciati, a superficie eventualmente in parte
sovrapponentisi, ma da contarsi ciascuno una sola volta. I contomi di
questi si deducono (anche nel verso) dal contomo del dato, sostituendo
in prossimita di ciascun nodo О (vedi Fig. 3) ai tratti AO B, COD
le spezzate AO D, COB46).
42) A. F. Mobius, Werke12), 1, 1885, p. 39-41 (dall’opera Der barycentrische
Calcul, Leipzig, 1827), Werke12), 2, 1886, p. 486-488 [oppure Leipz. Berichte 12)]. Pre-
cedenti trovansi in Apollonio (cfr. L. Cremona, Elementi di Calcolo grafico, Torino
1874, p. 15) e, meglio, in A. L. F. Meister 1o) p. 149 ed in C. F. Gauss, Werke, 12,
Leipzig 1929, p. 53 [desunto da L. N. M. Carnot - H. C. Schumacher, Geometrie
der Stellung, Altona 1810 (cfr. pure P. Stackel in C. F. Gauss, Werke, 102, Abh. IV,
Leipzig 1923, p. 75)] Vedansi inoltre: Ch. Wiener n), p. 12; C. G. J. Jacobi, J.
reine ang. Math., 65 (1866), p. 173 (Nota postuma); Werke, 7, Berlin 1891, p. 40;
R. Baltzer, trad. L. Cremona “), p. 109-114; S. Gunther10), p. 42, p. 80; F. Cal-
darera n), p. 22-26 ; M. Bruckner10), p. 6-8, p. 12-16; E. Steinitz10), p. 6; E.
Steinitz e H. Rademacher 2Э), p. 23. Alla definizione si collega 1’espressione dell’area
mediante le coordinate cartesiane dei vertici (C. F. Gauss, C. G. J. Jacobi) ; vedansi
per cid: F. Caldarera n), p. 92-95; F. Klein, Elementar-Mathematik von hdheren
Standpunkt aus, 2, 3a ed., Berlin 1925, p. 9; ed i trattati di Geometria analitica. V. la
nota 40).
4S) A. F. Mobius, Werke, 2 12), p. 488-491 [oppure Leipz. Berichte 12)J ; cfr. R.
Baltzer, trad. L. Cremona, 42); L. Cremona, Calcolo grafico 42), p. 13; F. Calda-
rera11), p. 25-26 e pi 94; M. Bruckner10), p. 7-8; E. Steinitz10), p. 7.
44) Il criterio esposto per la definizione delFarea e per il computo degli indici
delle celle non fu subito seguito nei primi studi sui poligoni intrecciati. Per quanto
riguarda L. Poinsot vedasi20S). Fra gli autori modemi si scostano dai criteri general-
mente accolti G. Dostor, J. math, pures. appl., (3), 6 (1880), p. 343 e G. Rados, Rend.
Palermo, 49 (1925), p. 243-246.
**) La regola ё commentata ed estesa da O. Hermes, J. reine ang. Math., 65
(1866), p. 174 e p. 177, riportata da R. Baltzer, trad. L. Cremona *), p. 113, da S.
Gunther 10), p. 71, da M. Bruckner 10), p. 14. La stessa compare in K. Culmann,
Graphische Statik, 2a ed., Zurich 1875, p. 126 (la ed., Zurich 1866) ed in L. Cre-
mona, Calcolo grafico 42), p. 14 e, in certo modo, anche in W. K. Clifford, Il senso
comune nelle scienze esatte (trad.), Milano, 1886, p. 159-162. Invece A. Andreini, Pe-
XXVI. - Poligoni e poliedri
269
8. I poligoni regolari in Euclide e nei trattati elementari.
— In questo § si considerano soltanto poligoni ordinari (§ 2); essi
risulteranno convessi (§3).
Un poligono (di n lati) si dice regolare se ha i lati uguali e gli angoli
(interni) uguali. Ogni poligono regolare e inscritto in un circolo P,
il cui raggio dicesi raggio del poligono e la cui circonferenza e divisa
dai vertici in n parti uguali. Reciprocamente ogni divisione di una cir-
conferenza in n parti uguali di luogo ad un poligono regolare inscritto.
Ogni poligono regolare e circoscritto
ad un circolo P', il cui raggio dicesi
apotema del poligono e la cui circon-
ferenza ё divisa dai punti di contatto
in n parti uguali. Reciprocamente ogni
divisione di una circonferenza in n
parti uguali di luogo ad un poligono
regolare circoscritto. Il centro comune
ai circoli Г е Г dicesi centro del po-
ligono.
In Euclide mancauna trattazione
generale sui poligoni regolari; cid pud
attribuirsi ad uno scrupolo di rigore,
che esclude I’introduzione di figure
senza dame una costruzione con riga
e compasso (cfr. § 10).
Nel Libro IV degli Elementi, Fis- 3-
propriamente dedicate all’argomento,
nelle prop, da 6 a 16 sono considerati i casi n = 4, 5, 6, 15 e per cia-
scuno di essi sona trattati quattro problemi: inscrivere in (o circoscri-
vere ad) un circolo dato un poligono regolare di n lati; inscrivere in
(o circoscrivere ad) un dato poligono regolare di n lati un circolo (es-
sendo il caso n = 3 implicito nella trattazione piii generale delle prop,
da 2 a 5). Nel Libro XIII compare il caso n = 10, per I’applicazione
allo studio dei poliedri regolari (§ 27) 4e).
Non si trova in Euclide un vocabolo rispondente a regolare, che
viene sostituito colla perifrasi equilatero ed equiangolo (loonkevQov те
xal looycbviov).
9. Poligoni regolari stellati. — La definizione di poligono re-
golare (§ 8) si applica anche ai poligoni nel senso di L. Poinsot (§2),
qualora s’intendano gli angoli interni nel senso di § 4; cosi si estendono
quelle di centro, raggio, apotema, introducendo i cerchi Г e Г'. Una
costruzione generale ё la seguente.
Si indichino con [0], [1], ..., [я—1] ordinatamente, secondo il
riod. mat., 13 (1898), p. 139, procede analogamente, ma, con diverso concetto, sosu-
tuisce la somma aritmetica all’algebrica.
") Cfr. x), 1, p. 272-320; 2) a), p. 270-312 ; x), 4, p. 270-278. Per quanto ri-
guarda la nomenclature euclidea vedasi § 1; per la parte costruttiva si veda § 10.
270
Luigi Brusotti
verso positive (§ 4) i punti di divisione di una circonferenza in n parti
uguali e s’introduca la convenzione [x] = [у] per x = у mod n. Se a
ё un intero positive primo con n e < я, i punti:
[0], [a], [2a],...[(n-l)a]
sono ordinatamente i vertici di un poligono regolare di n lati. Esso ri-
sulta convesso nel senso di Poinsot (§4).
Se a + a* = я, ai due valori a ed a' corrispondono poligoni dif-
ferent! solo nel verso, percid, prescindendb da questo, supporremo
a < я/2. Cid posto, il poligono ё di specie a, tanto nel senso di Wiener,
quanto in quello di Hess (§ 5). La cella (§7) contenente il centro ha
I’indice massimo (= a). Il poligono possiede
# = я (a — 1)
nodi, onde per a = 1 coincide con quello ordinario, per a > 1 ё intrec-
я — 1
ciato e dicesi stellate. Se я ё dispari ed a =------— , il poligono pos-
siede -П —— nodi, numero massimo per un poligono di я lati (§ 6).
и
Una diagonale risulta interna od esterna all’angolo « al contorno »
(cfr. § 5) in prossimiti di ciascuno dei due estremi. Le diagonali del
primo tipo sono :
D = я (a — 1);
l’uguaglianza #,'= D si collega al fatto che la polarity rispetto ad un
circolo 47), concentrico al poligono, trasforma il poligono in uno simile,
scambiandosi angoli al contorno e lati.
Se si considerano come identificabili due poligoni regolari di я
lati deducibili per similitudine, ogni tipo ё individuato dalla specie a
ed il numero dei tipi distinti ё % q> (я), essendo <p (я) 1’indicatore di
Gauss48). Qualora perd si tenga conto del verso, il numero dei tipi
ё ? (*)•
Se la costruzione sopra indicata si effettua utilizzando un numero
positivo a < я/2, ma non primo con я, e dicesi <5 il massimo comun
divisore di я ed a, la costruzione conduce ad un poligono:
[0], [a], [2 a], ...,[(n/<5-l) a]
regolare di n/8 lati e di specie a [8. Costruiti gli analoghi successivamente
a partire dai punti esclusi fino ad esaurirli, si hanno in tutto 8 poligoni
che complessivamente formano (§ 2) un poligono discontinuo, il quale
47) La polaritA rispetto ad un circolo ё caso particolare di quella rispetto ad una
conjfa ; per la quale cfr. Tart. XXXV di questa Encicl. (E. G. Togliatti, Geometria
proiettiva), § 23.
") Cfr. il § 6 dell’art. IV di questa Encicl. (M. Cipolla, Teoria dei numeri,
Analisi indeterminata). Per il teorema geometrico: C. F. Gauss, Werke, 10x, Leipzig
1917, p. 142 [NacHlass, 8].
XXVI. - Poligoni e poliedri
271
si dira poligono regolare stellate discontinue e (§ 5; Oss. 2a) risulteri di
specie a.
Introdotto il poligono regolare ordinario di n lati, le n rette di cui
r .. . . .. , . n(n—2) . . n(n—1)
tanno parte i lati si taghano scambievolmente in —— od in — — -
L! U
punti (propri) secondo che sia n pari о dispari, distribuiti in gruppi
di n su od circonferenze concentriche. Se queste si assu-
mono nell’ordine dei raggi crescenti, i punti sulla circonferenza di
posto a, congiunti utilizzando le n rette, si presentano come i vertici
di un poligono regolare (continuo о discontinuo) di specie a. Sorge
cosi un secondo metodo costruttivo dei poligoni stellati, per prolunga-
mento dei latiy da a ad a + 1 49). Vedasi Fig. 4 per n = 9.
4e) Procedimenti analoghi ma destinati alia deduzione di poligoni regolari or»
272
Luigi Brusotti
Non si conosce una trattazione sui poligoni regolari stellati perti-
nente alia Geometria greca; tuttavia e noto che il pentagono regolare
stellato era assunto come simbolo dalla Scuola pitagorica, tramandato
poi col nome di pentalpha о di pentagramma mysticum, in relazione
anche allo sviluppo della magia.
Nell’Evo medio e moderno si succedono esempi di poligoni stel-
lati, anche in connessione con problemi costruttivi (cfr. § 10), ma non
mancano accenni a sistemazioni piu larghe, onde si prepara la via alia
teoria generale dei poligoni, intesi nel senso di § 2 w).
10. I poligoni regolari sotto 1’aspetto costruttivo. — Il pro-
blema della costruzione del poligono regolare ordinario di n lati, coin-
cidente (§8) con quello della divisione della circonferenza in n parti
uguali, si identifica oggi pure con quello della ricerca delle radici
я-esime dell’unita, ossia della risoluzione dell’equazione binomia:
(4) z* — 1 = 0 .
Ed invero nella consueta rappresentazione in un piano della va-
riabile:
z = x + iy
col punto di coordinate cartesiane
delle radici di (4):
2 а л . 2 a n
za = z,a = cos---------H г sen-----
n n
ortogonali x, y, i punti-immagine
2tair
= e (a = 0, 1, ..., n — 1)
dinari in D. Barbaro, Pratica della prospettiva, Venezia 1569. Cfr. M. Chasles (1793-
1880), Aperpu historique, ed. 2a, Paris 1875, p. 481 (ed. la, Paris 1837); L. Cremona,
Il Politecnico, 9 (I860), p. 301; Орете, 1, Milano 1914, p. 182.
60) Qui sono da ricordare Severino Boezio (480 c.-524), Adelardo (inizio sec.
XII), T. Bradwardin (1290-1349), G. Campano (sec. XIII), G. Muller detto Regio-
montano (1436-1476), Luca Pacioli (1445-1515 c.), Ch. de Bouvelles (1470-1553),
N. Fontana detto Tartaglia (1500 C.-1557), e specialmente le considerazioni gene-
rali sulla somma degli angoli (interni) annesse alia traduzione degli Elementi di Euclide
stesa da Adelardo e curata da Regiomontano (delle quali piu probabile appare 1’at-
tribuzione al secondo) e Fopera di Ch. de Bouvelles, Livre singulier et utile, touchant
Part et pratique de Geometric, Paris 1542.
Un posto particolare spetta a J. Kepler (1571-1630), Opera omnia, Francofurti
a. M. et Erlangae 1858 e seg., 5, 1864, p. 84-113 [da Harmonices mundi libri V, Lincii
Austriae 1619 (cfr. Opera omnia, 5, p. 75-327)]. Cfr. anche ei).
Notizie in M. Chasles 49), p. 476-487 ; L. Cremona, 49), p. 293 (oppure Opere,
1, 49), p. 182-184] ; S. Gunther-A. Sparagna, BuH. bibl. mat., 6 (1863), p. 313; S.
Gunther 10), p. 1-92; G. Fazzari, Breve storia della matematica, Palermo, p. 223,
p. 243.
Trattazioni sistematiche in L. Poinsot n), p. 22-2.7; Ch. Wiener n), p. 13-15;
indi in F. Caldarera n), p. 51-55; M. Bruckner10), p. ,16-21.
Una trattazione col sussidio della Geometria analitica in D. Piani11), ove la
specie а ё detta ordirte.
XXVI. - Poligoni e poliedri
273
sono ordinatamente i vertici di un tale poligono61); anzi, piu in gene-
rale, i punti-immagine delle potenze zaP (/? = 0, 1,..., я—1) della
radice primitiva za (a primo cop n) sono ordinatamente i vertici del
poligono regolare continuo di specie a, nel senso di E. Hess (§ 5) e te-
nuto conto del verso [riconducendosi analogamente i poligoni regolari
discontinui (§9) alle radici non primitive].
Onde la possibilita di costruire con riga e compasso il poligono
regolare ordinario di n lati (ed insieme quelli stellati) si riduce alia pos-
sibilita di risolvere I’equazione. (4) mediante radicali quadratic! (ed a
simile conclusion^ conduce la trattazione anche usando le incognite
reali x, у od assumendo come incognita il lato dato il raggio) 62).
La questione ё esaurientemente risolta dal seguente teorema di
C. F. Gauss (1777-1855) 63):
Il poligono regolare di n lati ё costruibile colla riga e col compasso
quando e solo quando sia:
n = 2” (22V1 + 1) (22V> + 1) ... (22Fe + 1), |> > 0, s > 0, Vj > 0]
essendo le differenti fra loro ed i fattori 22Vj + 1 numeri primi.
Per n numero primo, i casi di poligoni costruibili con riga e com-
passo rientrano dunque tutti nella forma:
n = 2^ + 1 ,
la quale per pt = 0, 1, 2, 3, 4 fornisce i numeri primi 3, 5, 17, 257, 65537 ;
non si conoscono altri valori di p per cui n risulti primo, se ne cono-
scono per cui n ё composto 51 52 53 54).
Per я = 3, 5 si hanno costruzioni (con riga e compasso) gia negli
Elementi di Euclide66). Per я = 17 furon date molteplici costru-
51) Cfr. i trattati di Analisi algebrica ed il § 71 dell’art. II di questa Encicl. (D.
Gigli, Aritmetica generate).
52) Cfr. p. e. in F. Enriques, Questioni riguardanti le matematiche elementari,
Parte IIa, Bologna 1926, 1’Articolo 17°: F. Enriques, Sulle equazioni algebriche riso-
lubili per radicali quadratici e sulla costruibilita dei poligoni regolari (p. 263-305), special-
mente a p. 282. Cfr. pure il § 16 dell’art. XIV di questa Encicl. (O. Nicoletti, Pro-
prieta generali delle equazioni algebriche).
53) C. F. Gauss, Werke, 1, Gottingen 1870, p. 473 (da Disquisitiones arithmeticae,
Leipzig 1801, § 366). Piii elementarmente in H. Lebesgue, Enseign. math., 24 (1924-25),
p. 264-265. Esposizioni della teoria di C. ,F. Gauss in P. Bachmann, Die Lehre von der
Kreistheilung, Leipzig 1872, La teoria della divisione del cerchio (trad. С. M. Ceniti),
Napoli 1883 ed in F. Enriques 52), p. 287-302. Vedasi pure U. Scarpis, Il problema
della divisione della circonferenza esposto elementarmente, Savona 1890; cfr. inoltre
il § 16 dell’art. XIV di questa Encicl. 52) ed il § 39 dell’art. XV di questa Encicl.
(E. G. Togliatti, Equazioni di 2°, 3°, 4°, grado ed altre equazioni algebriche partico-
lari, ecc.).
54) Cfr. I’art. IV di questa Encicl. “), § 44. Vedasi pure M. Bruckner10) p. 21.
86) Negli Elementi la costruzione del triangolo equilatero ё oggetto della prop. la
di Libro I P), 1, p. 10; 2), a) p. 52]. Per n = 5 vedi § 8; e costruzioni diverse о con
strumenti diversi p. e. in A. Adler, Theorie der geometrischen Konstructionen, Leipzig
274
Luigi Brusotti
zioni66) che о traducono il procedimento algebrico di C. F. Gauss [cfr.63)]
о sono indipendenti da quello; se ne hanno pure per n = 25767) e
per я= 65537 M).
Sempre sotto I’aspetto di costruzioni colla riga e col compasso,
per il valore di n si pud prescindere dall’eventuale fattore 2V (v > 1)
che conduce ad operazioni di bisezione; piu in generale il problema
per n composto, secondo la teoria di C. F. Gauss, sempre pud ridursi
a considerare valori primi di n. Fra i valori di n dispari e composti gli
Elementi di Euclide conoscono solo n = 3 • 5 (cfr. § 8).
I casi che sfuggono a costruzioni elementari si sono presentati
storicamente о dal punto di vista della riduzione ad equazioni di grado
superiore al secondo (quindi di costruzioni con mezzi superior!) op-
pure da quello di determinazioni approssimate [o numeriche о gri-
fiche (elementari)].
Sotto il primo aspetto, che, per la parte algebrica, sbocca nella
teoria di C. F. Gauss [cfr.63)], per n = 7 (o per n = 14) sono da segnalare
le riduzioni ad un’equazione di 3° grado da parte di un autore arabo
del sec. X69), poi di Luca Pacioli, Lodovico Ferrari, Gerqlamo
Cardano J. Kepler 61), Ch. Huygens 62), Maria Gaetana Agnesi вз).
Si osservi che cid rientra nella teoria generale di C. F. Gauss e pud
condurre a costruzioni p. e. con una parabola fissa64). L’osservazione
vale anche per gli ulteriori valori primi n = 13, 19, 37, 97 w). Invece
1906, p. 205-208; ed in Questioni 52), Parte II, precisamente in Articolo 17°: F. En-
riques 52), p. 297 ed in Articolo 14°: P. E. Daniele, Sulla risoluzione dei problemi geo-
metrici col compasso, p. 169. Notizie e raffronti in V. G. Cavallaro, Boll, mat., 30
(1934), p. 23. Per n = 10 cfr. R. Comerro, Period, mat., (4) 14 (1934)t p. 43.
“) C. G. Ch. v. Staudt, J. reine ang. Math., 24 (1842), p. 251; J. A. Serret,
Cours d'Algebre superieure, 6a ed., Paris 1910, 2, p. 565, p. 569; P. Bachmann б3),
p. 66 [trad. С. M. Ceniti б3), p. 71, p. 74] : A. Padoa, Boll, mat., 2 (1903), p. 2 ; F.
Giudice, Period, mat^ 27 (1912), p. 161; G. Vacca, Atti Acc. Torino, 51 (1915-16),
p. 513-517). Per ulteriori notizie; cfr. in Questioni 52) Parte IIa, Articolo 18°: P. E.
Daniele, Sulle costruzioni delV ettadecagono regolare, p. 307-324; cfr. inoltre: R. Gol-
denring, Die elementargeometrischen Konstruktionen des regelmassigen 17-ecks, Leipzig
1925; M. Bruckner 10) p. 21. Cfr. anche 73); e H. Lebesgue 53 *), p. 269.
57) Per il problema algebrico v. F. J. Richelot, J. reine ang. Math., 9 (1832),
p. 209-230 ; per la parte costruttiva : E. Pascal, Rend. Acc. Napoli, (2) 1 (1887), p. 33.
Cfr..pure F. Enriques52), p. 296; P. E. Daniele55 * 57 * *), p. 221; M. Bruckner10), p. 21.
M) J. Hermes, Nachr. Ges. Gott., 1894, p. 170-186. Cfr. pure F. Enriques 52),
p. 297; M. Bruckner10), p. 21.
50) F. Wopke, J. Asiatique, (5)*5 (1855), p. 125-127. Cfr. A. AgosTini2), a),
p. 316.
50) G. Cardano, Opera omnia 10), 4, p. 492 (dalla prop. 66 di Opus novum’de
proportionibus numerorum) ove sono riportati anche i risultati di L. Pacioli e di L.
Ferrari ; inoltre 2, p. 656 (da Problemata mathematical e 4, p. 598 (da Lib. 17 di De
subtilitate). In A. Agostini 2), a), p. 317-318 ё riprodotto il metodo di L< Ferrari.
01) J. Kepler, Opera omnia60 * * * * * * * *), 5 (1864), p. 107 [da Harmonices mundi libri-VM)}.
A J. Kepler devesi l’osservazione che le tre soluzioni rispondono ai lati dell’ettagono
ordinario e dei due stellati.
•3) Ch. Huygens, Oeuvres completes, 14, La Haye 1920, p. 498-500.
••) M. G. Agnesi, Instituziom analitiche, Milano 1748, 1, p. 279-284.
°4) E. Pascal, G. mat., 25 (1887), p. 82-96.
•) E. Pascal04); I. Amaldi, G. mat., 30 (1892), p. 141-155.
XXVI. - Poligoni e poliedri
275
per n = 9 la riduzione ad un’equazione di 3° grado fu effettuata da
Abu’l Dschud (sec. XI) w), poi da Raffaele Bombelli e7).
Sotto il secondo aspetto, oggi superato dall’uso delle tavole nu-
meriche della funzione seno®8), possono ricordarsi [indicando con ln
il lato del poligono regolare (ordinario) di n lati inscritto nel circolo di
raggio r] le relazioni (approssimate) ®9):
3Z,= 2r;25Zn = 14r;8Z7 = 7r;Z7 = |/3;Z9=
Fra i costruttori di poligoni regolari si annovera Leonardo da
Vinci (1452-1519), che raggiunge risultati esatti od approssimati valen-
dosi di compasso ad apertura costante* 70).
11. Relazioni metriche concernenti i poligoni regolari. —
Per un poligono regolare Pn,a di n lati e di specie a (§ 9) sono imme-
diate le relazioni metriche (trigonometriche) ricavabili dal triangolo
rettangolo di cui il raggio т del circolo circoscritto, quello Qn,a dell’in-
scritto (apotema) ed il semilato | 1ща sono rispettivamente 1’ipotenusa
ed i cateti, essendo I’angolo opposto al cateto Zn,a; cosi quelle
che se ne deducono esprimendo I’area snia (cfr. $ 7) come semi prodotto
del perijnetro per 1’apotema.
Nei casi risolubili elementarmente 10) le funzioni circolari di
— si esprimono mediante radicali quadratic!71), e ne seguono legami
w) Per questo e per un precedente in AlbirOni, cfr. F. Wopke w), A. Agostini и).
**) R. Bombelli, L'algebra, libri IV e V, Bologna 1929 (pubblicati da Et. Bor-
tolotti su manoscritto del 1550 circa), p. 526. Commenti in A. Agostini, 2) a), p. 319.
Cfr. anche la nota •) dell’art. XVI di questa Encicl. (R. Marcolongo, Metodi per la
discussione dei problemi di secondo grado e cenno su quelli di terzo e quarto grado),
“) Cfr. il § 5 dell’Art. XXX di questa Encicl. (A. Agostini, Le funzioni circo-
lari e le funzioni iperboliche).
••) Le prime tre leggonsi in Erone8), 3 (H. Schone), p. 58, p. 62, p. 54-56
(da MerpLxdc = Teoria della misura), che attribuisce le prime due ad Ipparco da
Nicea (sec. 11° a. C.). Per la storia della quarta cfr. J. Tropfke8), 4, p. 194; A. Ago-
stini, 2), a), p. 314. La quinta ё in Luca Pacloli, il quale aggiunge pure che ZX1 ё la
I । r 5
parte aurea di -2-^— ed Z13 ё la parte minore della sezione aurea di — r; cfr. A.
Agostini, Il * De viribus quantitatis » di Luca Pacioli [in Pubblicazioni dell’Istituto per
la storia delle Scienze fisiche e matematiche, 1 (1924), p. 5] ; Period, mat., (4) 4 (1924),
p. 169. Valori (numerici) approssimati di ln per tutti i valori di n < 15 sono fomiti
da G. Cardano : Opera omnia ie), 4, p. 117 (da Practica Ariihmeticae, cap. 63).
70) Cfr. Ch. Ravaisson-Mollien, Les manuscrits de Leonardo da Vinci, 6 vo-
lumi, Paris 1881-1891 (per n = 3, 6, 8, 24, vedasi Man, B, fol. 40 recto, per n = 9, 18
ibid. fol. 13 recto, per n = 5 Man. A, fol. 12 verso e В fol. 27-28 recto; per n = 8
auche Man. A fol. 12 recto e В fol. 17 recto; per n = 9 anche Man. B, fol. 23 recto),
Le costruzioni sono descritte e commentate in H. Geppert, Period, mat., (4) 9 (1929),
p. 299-303. Vedasi pure Leonardo da Vinci, Codice atlantico, Milano 1894-1904, p.
e. fol. 103 verso. Ivi trovansi anche.altre costruzioni interessanti i poligoni regolari
p. e. a fol. 337 verso b) per я = 3, 4, 5, 6.
Le relative espressioni trovansi negli ordinari trattati di Trigonometria per
276
Luigi Brusotti
algebrici elementari fra due qualunque delle r, @n>a , Zn,a, $n,a- A
titolo d’esempio si riportano le :
(5) z3,i = Vr3-’’; (6) z4>1 = <2-r;
(7) Z8)1=|<10-2<5.r ; (8) Z51t=|<10+ 2<5-г;
(9) Zea = r; (Ю) = V 2-^ г, (И) = V 2 +.<2 • r;
(12) Z1M = i(V5-l)-r; (13) Z10>3 = |(<5 + l)r;
(14) Z»i = ^(V3-l)-r; (15) Z12)S = ^-(<3 + 1) • r;
a a
(16) Z15>, = J [V 10 + 2<5 — <15 + <3] • r ;
(17) Z15>2 = J [— <10 —2 <5 + <15 + <3] • r ;
(18) Z1514 - i [< 10 + 2 <5 + <15 — <I] • r ;
(19) Z15)7= | [V10 — 2 <5 + <15+ <3]-’’.
A queste, che esauriscono i casi risolubili elementarmente per
n < 15 72), si aggiungano le 73):
(20)e Z17(! = J V 34—2 <17 —2 < 34—2 <17 —4Я• r ,
con: H= V 17 + 3<17 — < 170+ 38 <17;
(20)»
con:
p = <2(17 — <17) + (<L7 — 1) ,
? = < 2 (17 + <17) — (<17 — 1) .
Le (6), (10), (11) rientrano nell’osservazione piii* generale, che Zn>a
i primi valori di n. Cfr. anche G. L., Repertorio di matematiche e fisica elementari, Li-
vorno 1904, p. 73-75.
72) Tali casi giA sono sostanzialmente considerati in R. Descartes (1596-1650),
Polygonorum inscriptio, opuscolo postumo [Oeuvres, 10, Paris 1910, p. 285-289]. Ma
talune delle (5),..., (19) risalgono (implicitamente od esplicitamente) a risultati ante-
rior! ; p. e. vedasi per la (5) la prop. 12® del Libro XIII degli Elementi di Euclide f1),
4, p. 28.6], per la (7) la prop. 10® ivi f1), p. 274], per la (12) la prop. 9® ivi f), 4,
p. 270].
7a) Per la (20)a cfr. G. A. Serret, Trattato di trigonometria (trad. A. Ferrucci),
Firenze 1894, p. 261 Per la (20)5 cfr. A. Padoa8*).
XXVI. - Poligoni e poliedri
277
per n = 2V ha un’espressione (mediante radicali sovrapposti) del tipo:
(21) V 2 ± V 2 ± V 2 ± V 2 ± ... • r .
La legge di formazione dei radicali sovrapposti pud condurre ad
un algoritmo infinite che interviene analogamente nell’espressione di
ln,a per gli altri valori di я e del quale furono studiati i caratteri di pe-
riodicita nei segni ± (con eventuale antiperiodo)74).
Secondo che n non sia о sia potenza pv (y > 1) di numero primo,
si ha 75 *):
Z7Zn,e = ri,,(n) oppure Z7Zn,o =
a a
ove il prodotto e esteso a tutti gli | tp (я) tipi distinti di poligoni (cfr. § 9).
Se al poligono (di area $п,а)> inscritto nel circolo di raggio r,
si coordina il poligono simile circoscritto (di area $*n,a), sussi-
ste 7в) Да:
r _4>(n) + e„
S* ~ 4 ’
а ъ я, a *
ove en= 0 se я e divisibile per il quadrato di un numero primo, ed al-
trimenti en = ± 1, secondo che sia pari о dispari il numero dei-divi-
sori primi din.
Si sono considerate anche relazioni fra lati di poligoni regolari
con diverso numero di vertici, fra le quali e classica77 *) la:
+ Z2e,i = •
Diconsi supplement ar in) due poligoni Ря,а , Pm)b per cui sia:
a b _ 1
я ' m — ~2~ ’
il che basta ed occorre perche sia:
/2я,а + /2ш,Ь=4А
74) P. Wiernsberger, J. reine ang. Math., 130 (1905), p. 150. Della (21), sostan-
zialmente, gi& trovansi tutti i casi per v < 5 in R. Descartes 72), p. 287.
75) G. Rados 44), p. 246; J. PACfe, Interm, des math£m., (2), 1 (1922), p. 93. Cfr.
anche: C. F. Gauss, Werke, 2, Gottingen 1876, p. 26; F. Muir, Messenger, (2) 3
(1873), p. 46-50; E. Ducci, Boll. Un.'inat. It., 13 (1934), p. 17, p. 159; G. PalamA,
Boll. Un. mat. It., 13 (1934), p. 235.
7e) Sostanzialmente in G. Rados 44), p. 244, ma in questa forma in L. Brusotti,
Rend. Palermo, 50 (1926), p. 245-255.
Ё la giA citata 72) prop. 10® di Libro XIII degli Elementi di Euclide.
те) Cfr. P. Wiernsberger74), p. 144.
278
Luigi Brusotti
Supposto n < m, cid awiene solo nei due casi79 *):
я = 2 + 1, m = 2 (2 /z + 1), 2a + i=2/i4-l;
n = m = 4 /z, a + b = 2 /z;
nei quali i due poligoni diconsi ®°) rispettivamente corrispondenti о coniu-
gati e dinno luogo a relazioni del tipo 81):
Pn,a —± .
Proprieta metriche sulle diagonali di poligoni regolari ordinari
e stellati dimostrarono G. B. Magistrini e D. Piani 82).
Funzioni о luoghi concernenti poligoni regolari introdussero A.
L. Cauchy e B. Sporer83).
12. Poligoni semiregolari84). — Dato un poligono, si diri fi-
gura angolare (Eck degli autori tedeschi) quella composta da un angolo
interno e dai lati del poligono che lo comprendono, laterale (Kante
degli autori tedeschi) quella composta da un lato e dagli angoli interni
che lo comprendono.
In un poligono regolare tutte le figure angolari (risp. laterali) sono
uguali. Un poligono (continuo, non regolare) nel quale siano uguali
tutte le figure angolari si dira semiregolare equiangolo; un poligono
(continuo, non regolare) nel quale siano uguali tutte le figure laterali
si dira semiregolare equilatero^}. Per n> 4 un poligono pud essere
equiangolo (risp. equilatero) senza essere semiregolare (ne regolare).
Il numero dei vertici di un poligono semiregolare e pari; se il
poligono e equiangolo, i lati di posto dispari (risp. pari) sono uguali
fra loro, il poligono e inscritto in un circolo Г ed i lati di posto dispari
(risp. pari) toccano un circolo Г' (risp. Г"); I\ Г'9 Г" sono concentrici;
se il poligono e equilatero, gli angoli di posto dispari (risp. pari) sono
uguali fra loro, il poligono e circoscritto ad un circolo у ed i vertici di
posto dispari (risp. pari) giacciono su un circolo y' (risp. y"); y, y', y"
sono concentrici.
Un poligono inscritto in un circolo Г ed equiangolo, oppure cir-
79) Cfr. G. Dostor, Arch. Math. Phys., (1) 62 (1878), p. 148-152 e P. Wiern-
sberger 74), p. 145.
e°) Cfr. G. Dostor79).
81) P. Wiernsberger 74), p. 141. Altre relazioni fra lati di poligoni regolari ivi,
in G. Dostor79) ed in E. Ducci, Boll. Un. mat. It., 13 (1934), p. 230.
82) Per i poligoni ordinari: G. B. Magistrini, Poligonometria analitica, Bologna
l;’O9, p. 13-29; Fopera studia poligoni piani e gobbi [cfr.108)] coi metodi della Geo-
metria analitica. Estensioni ai poligoni stellati in D. Piani u), p. 40.
8S) A. L. Cauchy, C. R. Ac. Sc. Paris, 26 (1848), p. 489, oppure Oeuvres, (1) 11,
Paris 1899, p. 5 ; B. Sporer, Arch. Math. Phys., (2) 3 (1886), p. 217-222.
84) Su questo argomento vedansi: E. Hess 24); M. Bruckner 10), p. 22-40.
8B) Invece H. Pigeon, J. Ёс. polyt., 24, cah. 41, (1865), p. 164, chiama poligoni
semiregolari quelli ottenuti dai regolari per proiezione (ortogonale od obliqua).
XXVI. - Poligoni e poliedri
279
coscritto ad un circolo у ed equilatero, se non ё regolare, ё semire-
golare.
Per la ь costruzione dei poligoni semiregolari equiangoli si pud pro-
cedere come segue. Si inscnvano in un circolo Г due poligoni regolari
ordinari di n vertici, rispettivamente :
(22) [1], [2], [n],
(23) [1]', [2]'> [«]'
(per n = 2 due diametri), cosi disposti che sulla circonferenza in verso
positive i punti si presentino nell’ordine :
[1], [1]'. [2], [2]', .... [«], [«']•
La figura ё individuata a meno di una similitudine diretta8e)
quando sia noto il rapporto (positivo) cr < 1 degli archi [1], [1]' ed
[1], [2].
Gia nell’ordine scritto i punti [i], [i]' forniscono i 2 я vertici di
un poligono semiregolare equiangolo ordinario (per a = J di un poli-
gono regolare), ma con altri ordinamenti opportuni si ottengono poli-
goni semiregolari equiangoli stellati.
Per precisare la costruzione conviene introdurre in figura le corde
[1] [t]', che si diranno corde {/}, pensandole percorse a partire da
[1], ed insieme le corde [1]' [/], che si diranno corde {]}', pensandole
percorse a partire da [1]', e si conservera la notazione anche per corde
uguali uscenti da un punto [x] о risp. da un punto [x]' e condotte nel
verso corrispondente al precedente per continuita.
Si avranno tutti i possibili tipi di poligoni semiregolari equiangoli
di 2 я vertici, tenuto conto anche del verso, abbinando ciascuna cor da
{tj con ciascuna corda {j}' e, per ogni abbinamento, alternando le corde
aboinate come lati di posto dispari e pari [ben inteso in relazione ogni
volta all’assunzione dei vertici (22) e (23)].
I casi in cui la chiusura awenga senza esaurire tutti i 2 я punti
sarebbero da eliminarsi; ma il procedimento pud essere ripreso dai
punti esclusi fino alia costruzione di un poligono discontinue (cfr. § 2)
o . , . . . 2 я
composto di о poligoni semiregolari equiangoli (continui) con — ver-
tici per ciascuno, poligono che si dira semiregolare equiangolo discontinuo.
Se si prescinde dal verso, per la specie a del poligono bastera con-
siderare i valori 1, 2, ..., я, e sara allora indifferente riferirsi alia nomen-
clature di Ch. Wiener od a quella di E. Hess (§ 5), trattandosi di po-
ligoni convessi in senso largo (§ 4).
Per ciascun valore di а ё da considerarsi perd un’ulteriore classi- * *
“) Per la distinzione delle similitudini in dirette ed inverse cfr. Fart. XXVIII
di questa Encicl. (U. Cassina, Trasformaziom geometriche elementari), § 28.
280
Luigi Brusotti
ficazione dipendente dal valore di un carattere q9 con q= 1,2, ..., p>
ove si ponga a=2p oppure a=2p—1. Anzi, qualora vogliansi
identificare fra loro due poligoni solo quando siano simili, accanto ad
a e q interviene (com’e evidente) anche il valore del rapporto <r. Peraltro
la conoscenza di <r, per particolari coppie di valori (a, q)9 pud occorrere
anche sotto I’aspetto puramente qualitative (il che p. e. accade per gli
esagoni di Fig. 5, 6, 7, rispondenti risp.. alle tre scelte a < a =
o' > !)•
Sempre per i poligoni semiregolari equiangoli, ha interesse la di-
stinzione fra poligoni le cui celle (§7) abbiano tutte indice positive
(la centrale indice a) e poligoni che posseggano invece anche celle d’in-
dice negative (eventualmente nullo). Notevoli proprieta numerative
concernenti diagonali e nodi si debbono ad E. Hess.
La teoria dei poligoni semiregolari equilateri si pud svolgere in mode
analogo ; ma si possono anche utilizzare le conoscenze sui poligoni
semiregolari equiangoli, applicando la polarita rispetto ad un circolo
concentrico [cfr.47)], p. e. al circolo Г = у87) г
Relazioni metriche per i poligoni semiregolari equiangoli ed equi-
lateri facilmente si ottengono coi metodi della Trigonometria88).
87) Cid riesce immediate per poligoni semiregolari equiangoli, la cui cella cen-
trale abbia indice uguale alia specie; questi vengono trasformati dalla detta polarity
in poligoni semiregolari equilateri della stessa specie (collo scambio fra angoli al con-
tomo e lati). Per i rimanenti poligoni semiregolari equiangoli 1’applicazione immediate
della polarity condurrebbe a poligoni con lati contenenti un punto improprio (cfr. § 15) ;
1’introduzione di lati finiti richiede quindi qualche ulteriore adattamento. Cfr. M.
Bruckner10), p. 38-40.
M) I poligoni semiregolari si prdsentano come un’estensione di quelli regolari,
di cui un’estensione in diversa direzione ё fomita dai poligoni inscritti in un cerchio e
circoscritti ad un altro. Questi rientrano alia loro volta in quelli, detti poligoni di Pon-
celet, .inscritti in una conica e circoscritti ad un’altra, pei quali vedasi J. V. Poncelet
(1783-1867), Traiti des proprUtis projectives des figures, 2* ed., 1, Paris 1865, p. 347-356
(la ed., Paris 1822) e, per notizie, G. Loria, I poligoni di Poncelet, Torino 1889 ; Bibl.
math., (2) 3 (1889), p. 67-74; Il passato ed U presente delle principali teorie geometriche,
4a ed., Padova 1931, p. 22-26, p. 294-296, ove ё contemplate anche il caso del circolo.
Considerazioni elementari su quest’ultimo caso in A. Gandini, Boll, mat., 27 (1931),
p. 78.
XXVI. - Poligoni e poliedri
281
13. Poligoni sferiei. Angoloidi. — Siano A19 A29 An (n > 2)
punti distinti, presi ad arbitrio sopra una sfera, ma pensati in ordine
ciclico, perd colla restrizione che tre consecutivi (o, se si vuole, che tre
qualunque) non appartengano ad uno stesso circolo massimo, il che
importa Fesclusione di punti diametralmente opposti consecutivi (o
qualunque). Due punti consecutivi individuano un circolo massimo e
lo dividono in due archi; si assuma ogni volta ad arbitrio uno di questi.
La figura cosi composta dicesi poligono sferico, i punti A9 diconsi ver-
tici 9 gli archi introdotti lati9 ecc.
La figura non ё individuata dalla successione A1A2... An 9 la
quale, per la doppia scelta sopra ciascuno degli n circoli massimi, da
luogo a 2n determinazioni. Nelle trattazioni elementari si conviene di
scegliere su ciascun circolo 1’arco minore, ed allora il poligono risulta
individuato; ma qui si manterra il punto di vista piii generale.
Sulla sfera si supponga fissato un verso positivo .per le rotazioni
[p. e. quello contrario al verso delle lancette dell’orologio con riferi-
mento alia faccia (o pagina) interna della sfera]. Se si immagina allora
percorso il contorno del poligono sferico nel verso A1A2... An 9 si
hanno tutti gli elementi per estendere al poligono stesso le nozioni di
angolo interno (§ 4), di angolo esterno secondo Ch. Wiener e di angolo
al contorno secondo E. Hess (§ 5) (p. e. effettuando le rotazioni sui piani
tangenti alia sfera nei vertici, coll’intervento delle tangenti ai lati, dando
a piani e rette tangenti orientamenti concordi con quelli della sfera e
dei lati).
Non- e invece immediata I’estensione della specie nel senso di Ch.
Wiener ed in quello di E. Hess, perche la trattazione nel piano (§ 5) si
appoggia (p. e. mediante la «seconda figura») sui parallelismo, che non
ha 1’analogo per la sfera. La relativa trattazione pud invece fondersi
qui con quelle concementi Varea e Veccesso sferico,
Se un poligono sferico non e intrecciato, esso divide la superficie
sferica in due regioni, e si pud con venire di considerare come inferna
quella che e veduta alia sinistra da un osservatore che percorra il con-
tomo (nel verso ArA2 ...An) sulla pagina interna della sfera. Si pub
allora considerare come area del poligono il numero positive che rappre-
senta I’area di questa regione nel consueto significato 89).
Se il poligono e intrecciato, esso divide la superficie sferica in piii
regioni (celle), nessuna delle quali, almeno in generale, presenta un
particolare motivo per essere preferita (il che awiene invece nel piano
per la regione estendentesi all’infinito). Si pud allora convenire d’attri-
buire 1’indice zero ad una delle celle arbitrariamente assegnata e di
determinare 1’indice delle rimanenti colla legge di Mobius (cfr. § 7)
che ancor qui e applicabile ; indi chiamare area del poligono la somma
algebrica 27 ct (ove ct ё 1’indice, ё I’area, in valore assoluto, della
t
cella generica ed il sommatorio puo formalmente estendersi anche alle
8e) Cfr. Tart. XXIII di questa Encicl. 8e), § 12.
282
Luigi Brusotti
celle d’indice zero). Ё evidente come I’area cosi introdotta non sia in-
dividuate, dipendendo, almeno in generate, dalla cella iniziale.
Se perd si considerano due diverse determinazioni 27 , 27 cf at
i i
dell’area, si osserva che, per la stessa* legge di Mobius, e c{— с/ = d
(numero intero indipendente da i), onde :
27 — E at= d E = ±dn
(quando si supponga la sfera di raggio unitarid).
Il criterio ora indicato permette di determinare I’area a meno di
un multiple di 4 л. Anzi tale multiplo si pud ritenere arbitrario se come
indice della cella da cui si inizia 1’applicazione della legge di Mobius
si assume un intero a piacere (anche non nullo) ed allora I’area, al va-
riare del poligono con continuita w), si comporta come una funzione
ad infiniti valori che possono anche presentarsi scambiati fra di loro
quando il poligono riprenda la posizione di partenza. Nel senso piii
ristretto sopra indicato i’area possiede perd soltanto determinazioni
in numero finite e < a quello delle celle (potendo piii celle assumere
contemporaneamente 1’indice zero).
Quando il poligono si pud tracciare per intiero in un emisfero,
I’altro emisfero fa parte di una cella, ed allora a questa si suole attribuire
1’indice zero. In tale caso (e con tale criterio) per I’area trovasi la for-
mola :
(24) 5 = J — (n — 2 a} n ,
ove J e la somma degli angoli interni del poligono sferico ed a e la
specie [nel senso di Ch. Wiener (§ 5)] del poligono piano che si ottiene
proiettando dal centro della sfera il poligono sferico e tagliando le se-
mirette proiettanti con un piano (come e lecito). Questa brevemente si
dira la specie a del poligono sferico.
Il secondo membro della (24) dicesi eccesso sferico del poligono
perche rappresenta la differenza fra la somma degli angoli interni del
poligono sferico e quella [cfr. form. (1) di § 5] degli angoli interni di
un poligono piano di n lati della stessa specie (p. e. del poligono proie-
zione gia introdotto). Dunque : L'area di un poligono sferico contenuto
in un emisfero e uguale al suo eccesso sferico.
Si supponga ora di riprendere la fonhola (24) nelle condizioni
piii genefali e di attribuire al primo membro uno dei valori assegnati
all’area. Rimane allora univocamente determinata la specie a secondo
Ch. Wiener mediante la formola:
S + n л — J
•°) Se durante la deformazione si presentassero coppie di vertici consecutivi
diametralrhente opposti, 1’indeterminazione del lato si risolverebbe con criterio di
continuity Piii in generale si ammetteranno forme di passaggio con terne di vertici
consecutivi sopra uno stesso circolo massimo.
XXVI. - Poligoni e poliedri
283
Se si considera S come data a meno di multipli arbitrari di 4 л:,
per a pud fissarsi soltanto la parita (distinguendo i poligoni di specie
pari da quelli di specie dispari), ma se per S si assumono appena i va-
lori ottenuti coll’ordinaria legge di Mobius, per a si presenta un nu-
mero finito di determinazioni < a quello delle celle.
Risultati analoghi si avrebbero se si introducesse l’area estendendo
il metodo di C. G. J. Jacobi (cfr. § 7).
Se un angolo interno di un poligono sferico si dice saliente о rien-
trante secondo che sia < л qpppre > л e se con k si indica il numero
degli angoli rientranti, mediante la formola:
a* = a + k
si pud introdurre la specie a* secondo E. Hess anche per i poligoni sferici,
colla stessa discussione per la determinazione gia veduta per a.
Un poligono sferico il quale, per opportuna scelta del verso, ri-
sulti privo di angoli rientranti dicesi convesso. Per tale poligono e per
tale orientamento ancora si ottiene :
a* = a
come per i poligoni piani (anzi nei casi piii owii: a* = a = 1)91).
Dato su una sfera un poligono, proiettandone dal centro della sfera
i vertici mediante semirette e i lati mediante angoli piani, si ottengono
gli spigoli e le facce di un angoloide, al quale si trasportano le proprieta
del poligono sferico; in particolare si definisce V angoloide convesso in
senso largo (intendendosi invece per angoloide convesso in senso stretto
od elementare, un angoloide per cui il piano di ciascuna faccia lasci
da una stessa banda tutte le rimanfenti).
L’area del poligono (sulla sfera di raggio unitario) potra assumersi
come ampiezza dell’angoloide, mentre a ed a* si diranno di questo la
specie secondo Ch. Wiener e secondo E. Hess, il tutto dunque subor-
dinate alle discusSioni gia svolte nel presente § per i poligoni sferici92).
14. Poligoni sferici (od angoloidi) regolari e semiregolari.
— Le definizioni di poligono regolare (§8, § 9), di poligono semire- * 4
ei) Prescindendo dagli svolgimenti (piii elementari) offerti dai trattati di Tri-
gonometria sferica [cfr. anche il §§ 16-21 dell’art. XXX di questa Encicl. ®8)] sull’argo-
mento del presente § debbono qui ricordarsi alcuni passi di E. Hess, Einleitung in
die Lehve von der Kugelteilung, Leipzig 1883, p. 8-14, p. 430-433 [cfr. anche E. Hess 24)
e, con altre direttive, A. Andreini “), p. 141]; ma per una trattazione scevra da re-
strizioni espresse о sottintese vedasi E. Steinitz 10) p. 11-14.
Estensioni agli iperspazi in L. Schlaefli, Denkschriften der Schweizerischen
Naturforschenden Gesellschaft, 38 (1891) [Separatabdruck, pubb. da J. H. Graf su
manoscritto 1850-52] p. 57-174; cfr. anche G. Sforza, Atti Soc. Nat. Mat. Modena,
(4) 11 (1909), p, 45-49.
92) Per una trattazione elementare sugli angoloidi cfr. Fart. XXII di questa
Encicl. 8), § 35.
284
Luigi Brusotti
golare equiangolo, di poligono semiregolare equilatero (§ 12) possono
immediatamente estendersi (§ 13) ai poligoni sferiei.
Per i poligoni regolari e per quelli semiregolari equiangoli pos-
sono riprodursi del pari i procedimenti costruttivi senza modificazioni
sostanziali quando si convenga di congiungere sempre vertici consecu-
tivi coll’areo minore di mezza circonferenza. Baster& considerare sulla
sfera un circolo minore e su questo assumere ed ordinare i vertici come
se si trattasse del corrispondente poligono piano; oppure, condotta
dal centro della sfera la normale ad un piano a) non diametrale, si potri
costruire in a) la figura piana analoga, assumendo come centro di questa
il piede della normale, indi proiettare (mediante semirette) dal centro
della sfera e tagliare con questa. Segue da cid che si e Sempre nel caso
in cui e lecito Individuare la specie secondo Ch. Wiener e secondo
E. Hess (cfr. § 13).
Maggiore estensione avrebbe la trattazione se per tutti i lati о
(nella costruzione di poligoni semiregolari equiangoli) anche solo per
quelli di posto pari (o di posto dispari) si- potessero assumere altresi
archi maggiori di mezza circonferenza.
La teoria dei poligoni sferiei semiregolari equilateri pud trattarsi
introducendo sulla sfera le << figure polari» 93) dei poligoni sferiei se-
miregolari equiangoli.
Proiettando i poligoni sferiei regolari (risp. semiregolari) dal centro
della sfera mediante semirette si ottengono angoloidi regolari (risp.
semiregolari); ed alcuni di questi, anche intrecciati, interverranno nelle
teoria dei poliedri (cfr. §§ 29 e 30).
I metodi della Trigonpmetria sferica conducono in modo elemen-
tare a stabilire relazioni .metriche fra gli elementi di poligoni sferiei
regolari о semiregolari, anche stellati94).
15. Poligoni nel piano projettivo. — Le figure (composte di
punti e di rette) denominate poligono e multilatero completo (fra loro
duali) e poligono о multilatero semplice (duale di se stessa) sono di
pertinenza della Geometria proiettiva9б).
Qui si vogliono invece considerare nel piano della Geometria proiet-
tiva (brevemente : piano proiettivo) le figure che sono la naturale estefi-
sione di quelle del piano della Geometria elementare studiate nei § § 1-12
[e che gii si sono presentate in una questione particolare; cfr. w)].
Secondo Id spirito della Geometria proiettiva, la parola«punto »
designer^ indistintamente punti (reali) propri ed impropri e la pa-
rola «retta» designera cosi le rette proprie (reali) come la retta im-
propria.
Si ricordi che due punti В, C dividono la retta da essi individuata
M) Cfr. il § 16 dell’art. XXX di questa Encicl. “).
•4) Sull’argomento del presente §, cfr. E. Hess el), p. &-16 [ed anche **)]; M.
Bruckner10), p. 41-43. Estensioni agli iperspazi in L. Schlaefli m), p. 116.
“) Cfr. il § 9 dell’art. XXXV di questa Encicl. * *•).
XXVI. - Poligoni e poliedri
285
in due segmenti e che la retta viene percorsa in due versi contrari quando
un punto mobile vada da Bin C descrivendo I’uno о I’altro segmento w).
Siano Alf A2, ..., An (n>2) punti distinti ciclicamente ordinati
[eventualmente colla restrizione che tre consecutivi (od anche tre qua-
lunque) non siano mai allineati]. Due punti consecutivi possono in
due modi essere congiunti da un segmento; ogni volta si assegni ad
arbitrio uno dei modi. La figura cosi ottenuta si diri poligono, i punti
AT si diranno vertici, i segmenti introdotti si diranno lati
I punti Ar , ciclicamente-^ordinati, non individuano la figura, la-
sciando luogo a 2n distinte determinazioniw). Due poligoni che si
deducono I’uno dall’altro mutando per ogni coppia di vertici conse-
cutivi la scelta del lato si diranno formare una coppia di poligoni com-
plementari\ i 2n poligoni si distribuiscono in 2n-1 di tali coppie.
Ai poligoni ora introdotti sono applicabili le propriety delle linee
chiuse (circuiti) del piano proiettivo; in particolare la loro distinzione
in circuiti pari e dispari (incontrati da una retta generica in un numero
pari, risp. dispari, di punti)99). Se si considera il circuito come un
taglio nel piano proiettivo, nell’intomo di un punto si distinguono due
fponde; se il punto percorre 1’intiero circuito una sola volta fino a ri-
prendere la posizione inizialei le due sponde, seguite con continuity
(ma coll’avvertenza che un punto improprio generico scambia il lato
destro col sinistro), ritomano in se о si scambiano secondo che il cir-
cuito sia pari о dispari.
Ё carattere metrico (affine) di un circuito il numero j de* suoi
punti impropri (supposto finite); sono. caratteri proiettivi il suo ordine
m (numero finite massimo di punti comuni al circuito e ad una retta)
ed il suo indice i (numero minimo di punti comuni al circuito e ad una
retta); e carattere topologico-proiettivo la sua circolazione c (numero
minimo di punti comuni al circuito dato e ad un circuito dispari)100).
Si ha:
(26) c < i < m ; i < m — 2 ; * ••)
и) Cfr. il § 7 dell’art. XXXV di questa Encicl. 4e).
OT) La definizione gi& in G. C. Ch. v. Staudt, Geometric der Lage, Niimberg 1847,
p. 91; Geometria di posizione (trad, di M. Pieri, Torino 1888), p. 78. Ulteriori svi-
luppi in E. Kivikoski, Ann. Ac. Sc. Fennicae (Л), 28 (1928), N. 14; 32 (1929), N. .3
ed in A. Comessatti, Lezioni di Geometria analitica e proiettiva, Parte Ia, Padova 1930,
p. 201-203.
M) Per n = 3 cfr. G. C. Ch. v. Staudt ot).
••) Sui circuiti vedansi: G. C. Ch. v. Staudt ”), p. 81; trad, ital., p. 69; H. G.
Zeuthen, Math. Ann., 7 (1873), p. 410 e, sotto altro aspetto, A. F. Mobius, Werke, 214a),
p. 97 ; cfr. anche L. Berzolari, Allgemeine Theorie der hoeren ebenen algebraischen Kur-
ven (in Encycl. d. math. Wiss., Ill, 2), p. 285, F. EnRiques-O. Chisini, Teoria geome-
trica delle equazioni e delle funzioni algebriche, 2, Bologna 1918, p. 247 ; e, sotto 1’aspetto
critico, F. Severi, Rend. Palermo, 54 (1930), p. 51-66.
Per circuiti privi di singolarit&. cfr. anche il § 5 dell’art. XXXIX di questa Encicl.
(O. Chisini, Geometria elementare e Matematiche superiori).
10°) Cfr. ••). Per la Topologia proiettiva cfr. 121). Per Vindice e la circolazione
vedasi Ch. A. Scott, Trans. Amer. math. Soc., 3 (1892), p. 388-398.
286
Luigi Brusotti
(27) c = i= j = m = ey mod 2,
ove e e 0 od 1, secondo che il circuito sia pari о dispari. Sfugge alia (26)
il caso m = 1; in esso ё c = i = 1.
Un poligono P di я vertici sara dunque pari о dispari ed avra i
sudi caratteri j, m, t, c soddisfacenti alle (26) (27) e di piu alle :
(28) j m <n ., i < n — 2 , c < n — 2 .
Un vertice A8 improprio conta per una о due unita nel computo
di j secondo che i lati concorrenti in esso, rispetto alia congiungente
i vertici (propri) che lo comprendono, giacciano da bande opposte о
dalla stessa banda; mentre ё eccezionale il caso di due vertici impropri
consecutivi. Se i vertici Ar sono tutti propri, j pud interpretarsi come
il numero dei lati estendentisi all’infinito; fra i poligoni Ar A2 ...An
vi e allora uno ed un solo poligono nel senso di L. Poinsot (§ 2) e per
esso e j = i •= c = 0 [per un poligono convesso in senso elementare
(§ 3) e anche m = 2] ; queste proprieta, esclusa h j = 0; sono carat-
teristiche per il trasformato proiettivo di un poligono tu L. Poinsot (risp.
di un poligono convesso in senso elementare).
Tra i 2n poligoni A1A2... An se ne hanno 2n~x pari ed altrettanti
dispari; due poligoni different! nella scelta del lato per x coppie di ver-
tici consecutivi hanno parita uguale о diversa secondo che be sia pari
о dispari; due poligoni P, P' complementari hanno parita uguale о
diversa secondo che n sia pari о dispari, anzi, sej', m', i‘, c’ sono i ca-
ratteri di P\ si ha :
(29) m’ + i = m 4- i’ =j + / = n.
Dalle (28), (29) segue che il carattere j raggiunge il suo massimo
valore n solo per il complementare di un poligono di L. Poinsot e che
1’indice i raggiunge il suo massimo n — 2 solo per il complementare
di un poligono convesso in senso elementare a di un suo trasformato
proiettivo ; ma101) di piu si ha che in questo caso (e solo in esso) anche
c raggiunge il valor massimo n — 2.
Il valore massimo n dell’ordine m e raggiunto dal complementare
di un poligono di L. Poinsot e dai trasformati proiettivi di esso, fra i
quali, per n pari, si hanno poligoni di L. Poinsot ed anche poligoni ordi-
nari (§2) [vedansi i quadrangoli 2° e 3° di Fig. 1 (§ 6)]. Il valore mas-
simo —L—-------- del numero & dei nodi (cfr. § 6) e ora raggiunto qua-
lunque sia я, p. e. dal complementare di4un poligono convesso in senso
elementare.
Per i poligoni pari, per cui.e possibile la distinzione globale fra le
due sponde, e lecita una trattazione proiettiva degli angoli interni (cfr.
101) L. Brusotti, Rend. 1st. Lomb., (2) 66 (1933), p. 69.
XXVI. - Poligoni e poliedri
287
§ 4), e la loro classificazione in salienti e rientranti102). In ogni caso
e possibile distinguere fra le due sponde di un lato, ed e percid lecito
introdurre in modo proiettivo la nozione di lato di flesso, come lato
rispetto al quale il precedente ed il seguente si staccano da sponde op-
poste. Fissato я, il numero dei flessi pud assumere tutti i valori da 0
ad n ed e pari о dispari secondo che sia pari о dispari il poligono103).
Se con /, /' si indica il numero dei flessi per due poligoni P, P' fra loro
complementari, si ha:
/+/'=«.
I poligoni privi di flessi potranno dirsi convessi in senso largo- e,
se privi anche di nodi, convessi in senso stretto,
Se si proiettar e mediante rette, un poligono del piano proiettivo
da un punto proprio О fuori del piano stesso, indi si taglia la figura cosi
prodotta con una sfera di centro O, sulla sfera si ottengono due distinti
poligoni sferici mutuamente simmetrici rispetto ad О oppure si ottiene
un solo poligono sferico simmetrico di se stesso, a seconda che il poli-
gono piano sia pari о dispari104 105). Cosi e lecito stabilire un collegamento
col § 13; e similmente colle figure della Stella di rette106) ottenute
proiettando da un centro (proprio od improprio).
L’introduzione della specie condurrebbe a determinazioni pluri-
voche, come gia a § 1310e).
PARTE SECONDA
POLIEDRI
18. I poliedri in Euclide. — Euclide, ne’ suoi Elementi, mentre
nella Geometria piana definisce esplicitamente la «figura rettilinea »
(cfr. § 1), non introduce la definizione analoga per la Stereometria;
102) L’angolo va inteso come continuo di rette orientale e la scelta dell’angolo
interno in un vertice d duplice; ma, fissata in un vertice, si estende a tutti gli altri. Ё
saliente l’angolo che non contenga rette orientate opposte, ё rientrante quello che ne
contiene.
103) Per il caso dei poligoni di L. Poinsot cfr. M).
104) Cid per una propriety generale dei circuiti A. F. Mobius #e). Cfr. anche L.
Berzolari p. 386.
105) Cfr. il § 9 dell’art. XXXV di questa Encicl. *7).
loe) Il concetto di poligono a lati rettilinei pud pure esten'dersi togliendo la re-
strizione che i vertici siano in un piano (considerando ciod poligoni gobbi) e cid pud
farsi cosi da un punto di vista elementare come dal punto di vista proiettivo. Sotto il
primo aspetto cfr. G. B. Magistrini m) ; A. F. Mobius, Werke, 2 “), p. 36-7 [oppure
Leipz. Berichte, 3 (1851), p. 19, J. reine ang. Math*, 44 (1852), p. 335] e Werke, 2 12),
p. 579 (Nachlass); sotto il secondo aspetto cfr. un cenno in A. Comessatti 87), p. 201.
Tali poligoni gobbi (eventualmente in proiezione piana) possono utilizzarsi nella To-
pologia (§ 19) e precisamente nello studio del circuito intrecciato in sd (Verknotung
dei tedeschi) о dell’allacciamento fra due о piii circuiti (Verkettung dei tedeschi);
cosi dal punto di vista elementare (K. Reidemeister, Knotentheorie, Berlin 1932), come
da quello proiettivo [L. Brusotti, Ann. Sc. norm. Pisa, (2) 1 (1932), p. 61-78].
288
Luigi Brusotti
ed il solido limitato da facce piane compare solo implicitamente nelle
definizioni (ogot) 9я107) e 10я108) del Libro XI.
Le definizioni 12я, 13я, 25я, 26я, 27я, 28я dello stesso Libro107 108 109)
introducono rispettivamente la piramide, il prisma, il cubo, 1’ottaedro
regolare (дхтасддог, senza attributi), I’icosaedro regolare (dxooaEdQov,
c. s.), il dodecaedro regolare (dodExacdgov, c. s.).
I poliedri regolari (§ 27) si ritrovano nel Libro XIII colla stessa
nomenclatura 110 * *), ma nella prop. 18я di detto Libro sono brevemente
denominati jievte о%г//пата (le cinque figure).
La parola локиеддот (di cui non e data la definizione) compare
(come aggettivo di oteqeov, solido) solo nel Libro XII e precisamente
nella prop. 17я111), nel corollario di questa e nella dimostrazione della
prop. 18я112).
17. Generality sui poliedri. Poliedri convessi (in senso ele-
mentare). — Per poliedro generalmente si intende oggi un sistema
di poligoni (piani, rettilinei) continui (cfr. § 2), in numero finito, soddi-
sfacenti a certe condizioni la cui scelta pud variare a seconda delle trat-
tazioni.
In ogni caso i poligoni del sistema diconsi facce del poliedro; i
vertici, gfi angoli interni, i lati delle facce diconsi risp. vertici, angoli
piani, spigoli del poliedro; Di regola, per le condizioni poste il poliedro
possiede angoloidi (eventualmente discontinui) ciascuno dei quali ha
per facce gli angoli piani aventi lo stesso vertice; i diedri interni di
ciascuno di tali angoloidi si dicono diedri del poliedro.
Poiche perd la determinazione degli angoli interni di un poligono
di L. Poinsot e suscettibile di scelta113 * 11), cosi awiene degli angoli piani
del poliedro e quindi de’ suoi angoloidi, ripresentandosi poi 1’analoga
questione per i diedri; onde occorrono ulteriori convenzioni, che pos-
sono peraltro sottintendersi nei casi piii elementari.
Un poliedro di 4, 5, 6, 7, 8,..., 12, ..., 20, .... facce dicesi tetraedro,
pentaedro, esaedro, ettaedro, ottaedro, ..., dodecaedro, ..., icosaedro,
107) "O[zoia сттереЛ £<tti т& und dp,o(cov brin^Scov KEptE/dpiEva fccov Td
(Trad.: Figure solide simili sono quelle «limitate da facce piane simili in ugual
numero); cfr. x), P- L
108) *Toa xal optota отЕреа охвата £oti та und opiotcov brin^Scov тгЕрЬЕ/б-
pLSva tacov тер ttXtjO-ei xal тф р,£у£Э-Е1 (Trad.: Figure solide uguali e simili sono quelle
limitate da facce piane simili ed eguali in numero ed in grandezza) ; vedasix) 4, p. 4;
cfr. anche § 25.
x09) Cfr. x), 4, p. 4-8.
xx0) Nelle prop. 13a e 18a per il tetraedro regolare si usa Tvupaptlt; (piramide),
senza attributi; cfr. x), 4, p. 288, p. 328.
xxx) Ado otpatpwv TTEpl Td aurd x£vTpov ouowv eI^ rijv jisl^ova otpatpav orEOEdv
KoXusSpov ёуурафаь фаиоу тт^ iXaooovo^ ocpalpa^ хата rijv bn^pdvEtav (Trad.:
Date due sfere concentriche inscrivere nella maggiore un solido poliedro che non tocchi
la minore in superficie); cfr. x), 4, p. 228.
xx2) Cfr. x), 4, p. 240, p. 242. La parola noXuESpov si incontra anche in Erone e),
4, p. 62 (def. 98 in "Opoi).
11S) Gli angoli interni saranno determinati quando ad un orientamento del piano
della faccia si associ un verso per il contomo; cfr. § 4.
XXVI. - Poligoni e poliedri
289
Secondo che una faccia sia un poligono ordinario od intrecciato,
un punto si dira giacere sulla faccia stessa quando sia interno al poli-
gono о rispettivamente quando sia interno ad una cella di questo (cfr.
§ 7), ed in ogni caso quando sia sul contorno. I punti giacenti sulle
facce costituiscono la superficie del poliedro, dovendosi perd un punto
interno ad una cella contare tante volte quante anche nel segno com-
porta 1’indice di questa114) (onde le eventual! celle di indice zero si
presenteranno come lacune).
In talune trattazioni si sottopongono i poligoni del sistema alle
due seguenti condizioni:
la Ogni spigolo e comune a due facce.
2a II piano di ciascuna faccia lascia le rimanenti tutte da una
banda.
In questo caso si usera qui la denominazione : poliedro convesso in.
senso elementare (in senso stretto), anzi brevemente : poliedro convesso™).
Nelle condizioni la e 2a sono implicite le seguenti:
3a Ogni spigolo e comune a due sole facce.
4a Se due vertici A, В del poliedro giacciono insieme su due
facce a, (}, il segmento А В e spigolo del poliedro come lato comune
alle facce a, (}.
5a Ogni vertice del poliedro e vertice di un angoloide di questo ;
1’angoloide e continuo.
6s Le facce sono poligoni ordinari.
7a Le facce sono poligoni convessi in senso elementare
8a Gli angoloidi non sono intrecciati (sono ordinari).
93 Gli angoloidi sono convessi in senso elementare.
IO8, Due facce non hanno punti comuni Juori dell’eventuale
spigolo comune (il poliedro non e intrecciato).
lla Due punti della superficie possono collegarsi con un cam-
mino continuo tracciato su di essa lie).
12a La superficie del poliedro e bilatera (^fr. § 19).
13a La superficie del poliedro divide lo spazio in due parti,
una finita (interna), I’altra estendentesi all’infinito.
14a La regione interna pud ottenersi per interferenza di semi-
spazi limitati dai piani delle facce.
15a Una retta (non incidente ad alcuno spigolo) incontra la 114 115 *
114) Il segno dell’indice dipende dalla scelta fatta secondo 113).
115) Denominazione generalmente accolta nei trattati elementari. Perd, come si
pud per i poligoni, seguendo L. Poinsot, introdurre la nozione di poligono convesso
in senso largo (cfr. § 4), cosi pud farsi per i poliedri. Cfr. M. Bruckner 1o), p. 46; E.
Steinitz 10), p. 31.
Estensione agli iperspaz; del concetto di poliedro convesso (in senso elementare)
p. e. in P. Benedetti, Boll, mat., (2) 1 (1922-23), p. 12; ed in relazione ai sistemi di
inequazioni lineari in H. Weyl, Comm. math. Helvet., 7 (1934-35), p. 290-306. Esten-
sione allo spazio della Geometria proiettiva in E. Steinitz e H. Rademacher 23), p. 326.
lie) Quando piii innanzi la cond. lla sari riferita a poliedri anche intrecciati,
si dovra intendere che il cammino passi da una faccia all’altra solo attraversando Ге-
ventuale spigolo comune.
290
Luigi Brusotti
superficie in due punti о non 1’incontra secondo che contenga о non
contenga punti interni.
16a Se con/, 5, v si indicano il numero delle facce, quello degli
spigoli, quello dei vertici, sussiste la relazione (di Euler, cfr. § 21):
(30) /+u = 5 + 2.
18. Estensioni del concetto di poliedro. — Si possono imma-
ginare estensioni del concetto di poliedro fondate sull’estensione di
quello di faccia. Tale e quella consistente nell’assumere come facce
regioni piane finite, limitate anche da piii contomi poligonali (non
intrecciati) i cui lati si diranno ancora gli spigoliU7). Possono costruirsi
poliedri siffatti soddisfacenti ad una о piu delle condizioni (§ 17) : 1%
3a, 5a, 10a, lla, 12a, 13a, 16й bis, assunte ordinatamente (anche collo
scambio fra IO3 ed lla) a partire dalla prima, pur non soddisfacendo
alle seguenti; qui per 16a bis va intesa una condizione in cui rientra
la 16a, e cioe :
(31) / + г> = $ + 2 + E(c— 1),
ove sia c il numero dei contomi di una faccia e S esteso a tutte le facce.
Nel seguito (salvo esplicita menzione) il detto punto di vista sari
abbandonato e per faccia sempre s’intendera un poligono continuo
nel senso di L. Poinsot.
L’omissione della cond. la (§ 17) condurrebbe a superficie po-
liedrali dotaje di orli, che pure si escluderanno.
Anzi verra sempre ammessa la coesistenza delle due cond. la e 3a
e si dira semplicemente poliedro un sistema che a queste soddisfi (in-
cludendosi al piu qualche posizione-limite).
Di regola sara sottintesa la cond. lla [cfr.116)] cioe si introdur-
ranno poliedri continui e solo eccezionalmente (e con esplicita menzione)
poliedri discontinue. Ё implicita la prima parte della cond. 5a e di regola
si supporra soddisfatta anche la seconda parte (angoloidi continui).
Dopo cid, se e soddisfatta anche la cond. 6a, il poliedro si diri a
facce ordinarie, e se, con essa, e pure soddisfatta la cond. 8a, si dira
ad elementi ordinart. Se infine e soddisfatta la cond. IO3 (nella quale
sono implicite le cond. 6a ed в4), il poliedro si dira, senz’altro, ordinario;
per esso vale pure la cond. 13a U8). 117 118 *
117) A titolo- d’esempio si considerino due tetraedri, I’uno di facce a, (3, y, 8,
I’altro di facce az, 0Z, yz, 8Z, essendo 8Z un triangolo (complanare ed) interno aS, e si
indichi con о la regione piana costituita dai punti interni a 8 ma esterni a 8Z; allora
il sistema costituito dalle facce a, P, y, a, az, pz, yz pud, in senso largo, considerarsi
come un poliedro.
118) Dimostrazione in A. Schoenflies, Kazani, III mem. N. I. Lobatschewkii,
2 (1927) p. 85-89. Cfr. anche il § 40 dell’art. XXI di questa Encicl. (P. Benedetti,
Fondamenti di Geometria).
Per 1’estensione agli iper^pazi del concetto di poliedro ordinario cfr. P. Bene-
detti 115).
XXVI. - Poligoni e poliedri
291
Un poliedro (a facce ordinarie) soddisfacente a cond. (12a e) 16*
si diri euleriano119). Un poliedro convesso (§ 17) ё dunque euleriano;
ma non tutti i poliedri euleriani rientrano in questa categoria, пё tutti
in quella dei poliedri ordinari, пё tutti infine in quella dei poliedri ad
elementi ordinari. Viceversa (§§ 20 e 23) si hanno poliedri ordinari
non euleriani120).
19. Poliedri bilateri ed unilateri. — Come аррапгё anche al-
trove, la teoria dei poliedri viene meglio lumeggiata quando sia posta
in relazione colla Topologia od Analysis situs, сюё con quella parte della
Geometria che studia proprieti invarianti per deformazioni continue,
brevemente una Geometria qualitativa121).
lle) Potrebbe estendersi la definizione di poliedro euleriano anche ai poliedri (in
senso piti largo) soddisfacenti a cond. (12a e) 16a bis [cfr. form. (31)].
12°) Per le questioni riguardanti le varie estensioni del concetto di poliedro e per
gli sviluppi critici che vi si collegano cfr. specialmente E. Steinitz 10), p. 14, p. 66-68,
p. 72-76; E. Steinitz e H. Rademacher “), p. 176-183, p. 206-218. In particolare
ivi ё posta in rilievo 1’importanza della cond. 4a (e di condizioni analoghe ma meno
restrittive) anche in relazione agli studi di A. Cayley, Coll. Math. Papers, 4, Cam-
bridge 1891, p. 182-185, p. 81-87 [oppure Phil. Trans., 147 (1857), p. 183-185 ; Phil,
Mag. 17 (1859), p. 123-128, p. 209-210].
Per estensioni d’indole proiettiva cfr. A. Comessatti 97), p. 204. Per estensioni
d’indole topologica (§ 19) cfr. § 32.
121) La sua importanza in piti rami delle Matematiche (dipendente dal fatto
che il primo studio di una questione ё qualitativo) ё stata riconosciuta da matematici
sommi [C. F. Gauss (1777-1855); A. F. Mobius (1790-1868); B. Riemann (1826-
1866) ; E. Betti (1823-1892); C. Jordan (1838-1922); F. Klein (1849-1925); H.
Poincar^ (1854-1912); ...] e va affermandosi ogni giomo piti.
La dicitura Analysis situs (coll’analoga Calculus situs) fu usata da G. W. Leib-
niz in senso non ben precisato ma alquanto diverso [cfr. G. W. Leibniz, . Mathema-
tische Schriften (her. von C. J. Gerhardt), 2, London-Berlin 1850, p. 17-25 (da lettera
167.9 a Chr. Huygens); 5, Halle 1858, p. 172-182 (da manoscritti)]; il termine To-
pologia fu introdotto (1847) da J. B. Listing, Vorstudien zur Topologie, Gottingen
1848. La definizione qui assunta rientra nelle vedute esposte da F. Klein nel suo « pro-
gramma di Erlangen », secondo cui un ramo della Geometria studia di dati enti le pro-
prieta invarianti per un dato gruppo di trasformazioni ed ё caratterizzato (per tali enti)
da tale gruppo [cfr. in art. IX di questa Encicl. (L. Berzolari, Elementi della Teoria
dei gruppi) nota ie) di § 1; cfr. pure il § 2 dell’art. XXXIX di questa Encicl. ••)]. Alla
deformazione continua, trascurati gli stadi intermedi, si pud sostituire la corrispondenza
biunivoca e continua fra stadio iniziale e finale, corrispondenza detta omeomorfismo.
Per una visione d’assieme cfr. M. Dehn e P. Heegaard 1s). Trattazioni intese
a particolari scopi trovansi p. e. in. L. Bianchi, Lezioni sulla teoria delle funzioni di
variabile complessa e delle funzioni ellittiche, 3a ed., Bologna 1928, p. 241, 246, 268,
271; F. Severi, Vorlesungen uber algebraische Geometric, Berlin-Leipzig 1921, p. 204-
222; F. Enriques-O. Chisini"), 1 (1915),* p. 359-386; 2 (1918), p. 247; 3 (1924),
p. 414-426; A. Comessatti, Ann. mat. pura appl., (3) 23 (1914), p. 231; e, sistemati-
camente, in F. Severi, Conferenze di Geometria algebrica (race, da B. Segre, lit. Roma
1927). p. 84-343, in F. Levi,. Geometrische Konfigurationen, Leipzig 1929, p. 40-90,
ed in E. Steinitz e H. Rademacher ”), p. 91-175; Trattazioni geperali in O. Veblen,
Analysis situs, New York 1922, in B. v. Kek£kjArt6, Vorlesungen uber Topologic, Berlin
1923, in S. Lefschetz, Topology, New York 1930, in F. Severi, Topologia, Buenos
Aires, 1931, in K. Reidemeister, Einfiihrung in die kombinatorische Topologic, Braun-
schweig 1932 ed in H. Seifert e W. Threlfall, Lehrbuch der Topologie, Leipzig-
Berlin 1934. Cfr. pure G. Fano, Scientia, 36 (1924), p. 217-230, p. 289-300; O. Chi-
292
Luigi Brusotti
Si consideri una superficie 27, continua, giacente per intero al finito,
dotata di or//, о priva di questi, cioe chiusa. Non si esclude che la super-
ficie abbia linee multiple (per ciascun punto P delle quali passi un nu-
mero finito di falde), ma i punti coincidenti con P sulle diverse falde
si pensino come altrettanti punti distinti della superficie.
La Topologia studiera quelle propriety di 27 che rimangono in-
variate per le deformazioni continue di essa, quando 27 cioe venga pre-
sentata come un drappo perfettamente elastico e non lacerabile, pel
quale perd si esclude il carattere fisico della impenetrability (onde possa
il drappo attraversare se stesso).
Se M e un punto di 27, e possibile ritagliare un intorno a (di M
su 27) avente il carattere di un pezzo, cioe di una superficie che possa
mettersi in corrispondenza biunivoca e continua colla regione interna
ad un circolo, corrispondendo il contorno del pezzo alia circonferenza.
Per un tale pezzo a (e quindi in M) sari possibile far distinzione
fra le due pagine (le due facce, i due lati) di 27. Il contomo di a pud
essere percorso in due versi, ciascuno dei quali pud coordinarsi ad una
delle pagine di a, quella per cui il verso risulta positivo (nel senso di
§ 4). Cib si esprime dicendo che per a (quindi in M) si possono intro-
durre due indicatrici.
Un punto M descriva su 27 un cammino continuo (che non valichi
gli eventuali orli) ritomando alia posizione di partenza. Possono pre-
sentarsi due casi:
a) Qualunque sia il cammino, il punto che* alia partenza si trova
su di una pagina (con una indicatrice) al ritomo si ritrova sulla stessa
pagina (colla stessa indicatrice); la 27 si dice allora bilatera, od orien-
tabile о ad indicatrice non invertibile (esempi: il pezzo, la sfera).
fi) Esistono su 27 cammini per cui il punto, partito trovandosi
su una pagina (con una indicatrice), al ritomo si trova sulla pagina
opposta (con opposta indicatrice), cosicche non e globalmente possi-
bile distinguere fra le due pagine di 27; la 27 dicesi unilatera, о non orien-
tabile, о ad indicatrice invertibile (esempio : VaneUo о foglio di Mobius,
vedasi Fig. 8).
La superficie di un poliedro a facce ordinarie (cfr. § 18) si potra
considerare come una superficie 27 (chiusa) e, secondo che questa ri-
sulti bilatera od unilatera, il poliedro si dira bilatero od unilatero 122).
sinI, Rend. Semin. Milano, 3 (1929), p. 175-188; D. Hilbert e S. Cohn-Vossen,
Anschauliche Geometrie, Berlin 1932, p. 253-302.
Se si introducono anche punti impropri si ha la Topologia proiettiva. Cfr. p. e.
A. Comessatti ®7).
Per una veduta generale sui rapporti fra Topologia e Geometria elementare cfr.
1 §§ 4 e 5 dell’art. XXXIX di questa Encicl. »’).
122) La distinzione fra superficie bilatere ed unilatere spetta ad A. F. Mobius,
che (1858), vi fu condotto dallo studio dei poliedri [12), 2, p. 519-521 (Nachlass)\ ed
a J. B. Listing (1858) [cfr. P. Staeckel, Math. Ann., 52 (1899), p. 598]. Cfr. pure
A. F. Mobius, Werke 12), 2, p. 482-485, p. 504 [oppure Leipz. Berichte 12)] e J. B.
Listing, Census raumlicher Komplexe, Gottingen, 1862, p. 12. Per il foglio di Mobius
in particolare: A. F. Mobius 12), 2, p. 484, p. 520. Trattazioni modeme sulle super-
XXVI. - Poligoni e poliedri
293
Sulle f facce di un poliedro bilatero si potranno assumere indica-
trici concordi, cioe (A. F. Mobius) potra fissarsi il verso sui contorno di
ciascun poligono in modo tale che lo spigolo comune a due facce, pen-
sato come lato dell’una о dell’altra, venga percorso in due versi opposti
(cfr. § 26). Sulle f facce di un poliedro unilatero non e invece possibile
assumere indicatrici ovunque concordi.
I poliedri piii comunemente studiati sono bilateri; si offrira qui
1’esempio di un ettaedro unilatero 123).
Si indichino i vertici di un ottaedro regolare (cfr. § 27) colle sei
combinazioni ih = hi della quattro cifre 1, 2, 3, 4, in modo che ver-
tici opposti siano indicati da combinazioni non aventi cifre in comune.
Fig. 8.
Si considerino quattro facce dell’ottaedro a due a due non contigue,
p. e. quelle di notazione del tipo i h, h k, k i, ed i tre quadrati diagonali
dell’ottaedro (di notazione del tipo i h, h k, k I, li). I sette poligoni
formano un ettaedro E unilatero, avente a comune i sei vertici e i 12
spigoli coll’ottaedro; esso e intrecciato lungo i tre assi congiungenti
le coppie di vertici opposti per 1’ottaedro, ma punti attribuiti a diversi
quadrati diagonali, anche se coincident! in uno stesso punto (non ver-r
tice), devono considerarsi come fra loro distinti per la superficie di E.
Se in E si sopprime una faccia, le rimanenti costituiscono un foglio di
Mobius.
ficie unilatere leggonsi in W. Dyck, Math. Ann., 32 (1888), p. 485; F. Enriques-
O. Chisini "), 1 (1915), p. 359-386; M. Dehn e P. Heegaard 1s), p. 158, p. 194-
198; A. Comessatti 121); G. Andreoli, G. mat., 59 (1921), p. 123-136; F. Levi 121);
D. Hilbert e S. Cohn-Vossen 121), p. 266-276; E. Steinitz e H. Rademacher 23),
p. 12, p. 125, p. 164, p. 171; sui poliedri unilateri in M. Bruckner 10), p. 54; E. Stei-
nitz 10), p. 26; G. Scorza, Elementi di Geometria analitica, Messina 1925, p. 103 (cfr.
anche A. Comessatti 97), p. 142-145, p. 173). Estensioni p. e. in F. Severi121), Confe-
renze, p. 273-297.
Cfr. anche il § 4 dell’art. XXXIX di questa Encicl. ••).
12S) C. Reinhardt, Leipz. Berichte, 1885, p. 106-125; M. Bruckner10), p. 57;
E. Steinitz, J. reine ang. Math., 130 (1906), p. 281-309; 10) p. 29. Cfr. anche F.
Klein 42), p. 21; D. Hilbert e S. Cohn-Vossen121), p. 266.
294
Luigi Brusotti
Il poliedro E ё notevole anche регсЬё fomisce un modello al finito
del piano n della Geometria proiettiva. Indicati infatti con 1, 2, 3, 4
i lati (p. e. rette tutte proprie) di un quadrilatero completo124), e con
i h. = h i il vertice di esso comune ai lati i ed Л, le quattro rette dividono
n in sette regioni /?, quattro regioni triangolari (di cui due attraversate
dalla retta impropria) e tre quadrangolari (di cui due pure attraversate
dalla retta impropria). Ё allora possibile fra i punti della superficie di E
e quelli, anche impropri, di n porre una corrispondenza biunivoca e
continua in modo che ai vertici, agli spigoli, alle facce di E corrispon-
dano in n vertici, segmenti (in senso proiettivo), regioni R aventi rispet-
tivamente uguale notazione.
Cid si connette al fatto che il piano della Geometria proiettiva pub
cOnsiderarsi come una superficie unilatera1гб) ; in esso i cammini chiusi
lungo i quali si inverte 1’indicatrice sono i circuiti dispari (cfr. § 15).
Per il poliedro E (come per .ogni, poliedro a facce ordinarie che
fomisca un modello del pi^ano della Geometria proiettiva) si ha la re-
lazione :
(32) f+v = s + -1,
analoga a quella di Euler [form. (30) di § 17]lae).
20. Genere di un poliedro bilatero. — Ogni superficie chiusa
bilatera (§19) pub ridursi per deformazione continua а [ё omeomorfa
ala)] quella di una < ciambella » con p buchi (p > 1) о (p = 0) a quella
di una sfera. >
114) Cfr. il § 9 dell’art. XXXV di questa Encicl. 47).
Cfr. F. Klein, Math. Ann., 7 (1874), p. 551; 9 (1876), p. 476-482; op-
pure Gesammelte math^Abhandlungen, 2, Berlin 1922, p. 63. Cfr. pure H. Mohrmann,
Rend. Palermo, 31 (1911), p. 175; F. Enriques, Prinzipien der Geometrie (Encycl. d.
math. Wiss, III 1), p. 74; L. Brusotti, Ann. mat. pura appl., (3) 22 (1913), p. 122;
A. Comessatti111), p. 236; ”), p. 205; F. Severi111), Conferenze, p. 293; F. Levi111),
p. 84-86 ; D. Hilbert e S. Cohn-Vossen 1U), p. 276-283. Cfr. anche il § 6 del-
1’art. XXXIX di questa Encicl.99).
Lo stesso pud dirsi del piano* della Geometria non euclidea ellittica. Cfr. p. e.
R. Bonola, La Geometria non euclidea, Bologna 1906, p. 138-140 ed i §§ 29 e 32 del-
l’art. XXXVIII di questa Encicl. (G. Fano, Geometrie non euclidee e non archimedee).
1M) La stessa formola (32) pudapplicarsi direttamente ad una ripartizione del
piano proiettivo in. regioni aventi per contorno poligoni (non intrecciati) intesi nel
senso di § 15, regioni interpretabili (in senso largo) come facce di un poliedro la cui
superficie coincide collo stesso piano proiettivo.
Se la ripartizione ё quella prodotta da n rette in posizione generica, ё sen^’altro
2 v = s = n (n — 1), onde, per (32):
/-©+>
Se una di queste rette ё impropria, lo stesso numero pud riferirsi a quella pro-
dotta nel piano della Geometria elementare da я — 1 rette in posizione generica.
Per quest’ultimo risultato cfr. G. C. Ch. v. Staudt n), p. 98; trad, it^l., p. 83;
estensione allo spazio, ibid., p. 108; .trad, ital., p. 91; agli iperspazi in L. Schlaefli 91),
p. 39-42.
XXVI. - Poligoni e poliedri
295
Vedasi Fig. 9, per p = 3.
Il numero p dicesi genere della superficie, e (nel senso di § 19)
& 1’unico suo carattere topologico 127 *).
Cid pud riferirsi in particolare alia superficie di un poliedro (a
Fig. 9.
facce ordinarie) bilatero ; ed il genere di questa si dira brevemente
genere del poliedro.
127) Prescindendo da un precedente (1809) di S. Lhuilier 141), 1’introduzione
del carattere p spetta, pei-d sotto altra forma, a B. Riemann (1851) 129) e variamente
collegasi alia teoria delle funzioni (e curve) algebriche. Il modello della ciambella con
p buchi (o del doppio disco piano con p buchi, о della doppia sfeta con p + 1 buchi,...)
trovasi gi& (anche in relazione colla teoria dei poliedri) in A. F. Mobius (1858-59),
Werke 12)t 2, p. 539-559 (Nachlass)\ p. 435-471 [oppure Leipz., Berichte, 15 (1863),
p. 18-57], ove p + 1 dicesi classe (Klassenzahl) della superficie; e ricompare, posto in
relazione colle vedute di B. RieMann, in A. Tonelli, Nachr. Ges. Gott., 1875, p. 387-
390, Rend. Acc. Lincei, (2), 2 (1875), p. 596-604; (4) 6 (1890), p. 139-142 ; (5) 4 (1895),
p. 300-303; W. K. Clifford, Proc. Lond. math. Soc., 8 (1877), p. 292; Math. Paperst
London 1882, p. 241; F. Klein, Veber Riemanns Theorie ecc., Leipzig 1882 ; oppure126)
Abhandlungen, 3, Berlin 1923, p. 526-531. Perp = 1 cfr. anche 13°). Ma il detto modello
ё gi& implicit© nelle ricerche (sui poliedri) di S. Lhuilier 141) e di J. B. Listing 1u),
di cui si dir& a § 21.
296
Luigi Brusotti
Per un poliedro bilatero di genere p vale (colle notazioni di § 17)
la relazione di Euler generalizzata (cfr. § 21):
(33) f+ v = s — 2(^—1),
in cui, per p = 0, rientra la (30) di § 17 128).
Segue : Fra i poliedri a facce ordinarie e bilateri, gli euleriani sono
quelli di genere p = 0.
Ossia : Fra i poliedri a facce ordinarie gli euleriani sono quelli la cui
superficie e ridudbile per deformazione continua alia superficie di una
sfera (e a questa «omeomorfat). Se il poliedro e ordinario (§ 18) tale
deformazione pud effettuarsi senza che la superficie attraversi se stessa.
Se il poliedro e convesso (§ 17) e si assume la sfera con centro О intemo
(ivi, cond. 13a), il riferimento per omeomorfismo si pud porre fra punti
delle superficie poliedrica e sferica giacenti su di una stessa semiretta
uscente da О (ivi, cond. 15»).
Una superficie (bilatera) chiusa dicesi semplicemente connessa quando
ogni linea chiusa, tracciata su di essa, la scomponga in parti; sono tali
tutte e sole le superficie di genere p = 0129).
Segue che, tra i poliedri, a facce ordinarie, bilateri, sono euleriani
tutti e soli quelli a superficie semplicemente connessa 13°).
21. Notizie storiche sui teorema di Euler e sulle sue esten-
sioni. — Si attribuisce la denominazione di Teorema di Euler ad una 12
12S) Una ulteriore generalizzazione, intesa nel senso della (31) di § 18, darebbe:
(34) / + t = :_2(^_i) + I(c-i).
1S9) Piu in generale si consideri una superficie continua, bilatera, dotata even-
tualmente di orli (costituenti il contomo). Si diri di praticare un taglio quando si tracci
su di essa una linea (priva di nodi) chiusa od aperta, ma avente allora gli estremi
sull’eventuale contomo, e la linea tracciata si aggreghi al contomo (le sue sponde si in-
terpretino come nuovi orli). Se il massimo numero di tagli che si possano successiva-
mente praticare senza che la superficie si spezzi in parti ё m, il numero m + 1 (secondo
alcuni autori lo stesso m) si dir& ordine di connessione della superficie, mentre per m = 0
questa si dink semplicemente connessa.
Tutto cid risale a B. Riemann, Grundlagen fur eine allgemeine Theorie der Func-
tionen einer veranderlichen complexen Grosse (Dissertation), Leipzig 1851, p. 6; J. reine
ang. Math., 54 (1857), p. 105-109; oppure Werke, Leipzig 1876, p. 9-12, p. 84-89;
Oeuvres, Paris 1899, p. 9-13, p. 93-100. Se la superficie ё priva di orli (ё chiusa), Гог-
dine m + 1 di connessione ё dispari, = 2 p + 1, ove p ё il genere nel senso di § 20.
Cfr.127).
Trattazioni sistematiche in C. Neumann, Vorlesungen Uber Riemann* s Theorie
der Abelschen Integrate, 2a ed., Leipzig 1884, p. 184-186; L. Bianchi121) ; F. Severi121),
Vorlesungen; F. Enriques-O. Chisini ••), 1 (1915), p. 363-381, F. Levi 121); E. Steinitz
e H. Rademacher 2S), p. 152-166. Cfr. pure A. Comessatti 121); G. Andreoli 122).
Estensioni p. e. in F. Severi 121), Conferenze. Cfr. Anche il § 4 dell’art. XXXIX di
questa Encicl. ••).
13°) Gia per p = 1 il poliedro non ha superficie semplicemente connessa. Come
modello di ciambella con un buco assumasi il toro, ottenuto per rotazione di un circolo
attomo ad una retta complanare ma estema; un taglio lungo un parallelo (o lungo un
meridiano) non rompe la connessione della superficie. Tale esempio gi& trovasi in B.
Riemann 12e).
XXVI. - Poligoni e poliedri
297
proposizione la quale affermi che о per la classe dei poliedri convessi
in senso elementare (§ 17) о per quella piu estesa dei poliedri a super-
ficie semplicemente connessa (§ 20 in fine) e valida la relazione (30)
di § 17.
In un opuscolo giovanile di R. Descartes (1596-1650), il De so-
lidorum dementis, serbatoci attraverso ad una trascrizione di G. W.
Leibniz 131), leggesi fra altro quanto segue132):
Sunt semper duplo plures anguli piani in superficie corporis solidi,
quam later a; unum enim latus semper commune est duobus faciebus....
Ропат semper pro numero angulorum solidorum a et pro numero facie-
rum (p ... Numerus verorum angulorum pianorum est 2<p-\-2a— 4....
Uguagliando le due espressioni del numero degli angoli piani di
un poliedro risultanti dal testo di R. Descartes e riprendendo le no-
tazioni di § 17, si ha dunque : *
25= 2/+ 2v- 4,
ossia la (30) 133).
Percid alcuni autori nella denominazione del teorema associano
al nome di Euler quello di Descartes134).
Leonhard Euler (1707-1783) negli anni 1752-53 proponevasi di
offrire alia teoria dei poliedri sicuro fondamento colle due memorie :
Elementa doctrinae solidorum136) e Demonstratio nonnullarum insignium
proprietatum quibus solida hedris planis inclusa sunt praedita13e).
Nella prima di esse leggesi137): In omni solido hedris planis incluso
aggregatum ex numero angulorum solidorum et ex numero hedrorum bi-
1S1) R. Descartes, Oeuvres, 10, Paris 1908, p. 265-276. Edizioni ed interpreta-
zioni debbonsi a L. Ali de Foucher de Careil, Oeuvres inidites de Descartes, Paris
1860, p. 214-234, E. Prouhet, C. R. Ac. sc. Paris, 50 (1860), p. 779-782, Иёуие de
I’Instruction publ., 1860, p. 484-487; C. Mallet, Rdvue de I’Instruction publ., 1860,
p. 407-410; E de Jonqui^res, C. R. Ac. sc. Paris, 110 (1890), p. 261, p. 315, p. 677 ;
Bibl. math., (2) 4 (1890), p. 43-55; commenti e confront! con piii general! concetti
trovansi in H. Lebesgue, Bull. Soc. math. France, 52 (1924), p. 315-336, specialmente
p. 322, ma un riferimento alia curvatura intcgra di Gauss gi& in J. Bertrand, C. R. Ac.
sc. Paris, 50 (1860), p. 781; una versione italiana pubblicd A. Natucci, Boll. Mathesis,
12 (1920), p. 117-125. Particolari storici ne\Y Avertissement di Ch. Adam in R. Des-
cartes, Oeuvres, 10 (cit.), p. 257-263. Cfr. pure: R. Baltzer, Monatsber. Ak. Berlin,
(1861), p. 1043, A. Maroni, Period, mat., (4) 1 (1921), p. 337.
1S2) R. Descartes, Oeuvres, 10 1S1 12), p. 267-268, p. 269.
1SS) Affermata perd implicitamente e soltanto per i poliedri convessi (in senso
elementare).
ls<) Cosi E. de JoNQuifeRES 1S1), C. R., p. 261; R-. Baltzer181), p. 1046; A. Ma-
roni 131). Ragioni in contrario oppone H. Lebesgue 131), p. 319. Ё peraltro da ricor-
darsi la congettura [cfr. S. Gunther10), p. 53] che la conoscenza del teorema di
Euler risalga agli antichi, p. e. ad IArchimede ; od almeno ai contemporanei di G.
Cardano e di N. Tartaglia. La congettura ё, per il primo, fondata sull’indole delle
questioni trattate (cfr. § 30) e, per gli Italian! del sec. XVI, su uno degli argomenti
di una nota disfida fra L. Ferrari e N. Tartaglia. Cfr. m).
136) Novi Comm. Ac. Petrop., 4 (1758), p. 109-140.
13e) Novi Comm. Ac. Petrop., 4 (1758), p. 140-160.
137) Prop. IV di 136), p. 119.
298
’ Luigi Brusotti
nario excedit numerum acierum [e сюё la (30)], senza dimostrazione ma
con larga esemplificazione138).
Nella seconda ё esposta una dimostrazione fondata su un procedi-
mento che permette, assegnato un poliedro, di dedume un altro con un
vertice di meno e di determinare la modificazione cosi prodotta nel
numc’ o delle facce e degli spigoli139). Ё implicita' I’ipotesi che il polie-
dro (ordinario, § 18) sia semplicemente connesso 14°).
Seguono dimostrazioni di altri autori141).
Alcune, come giA quella di L. Euler, rielaborata da H. DurAge e
indiperidentemente ritrovata da E. de JonquiAres, ricorrono a scompo-
sizioni del poliedro pensato come solido, p. e. in piramidi ’aventi il
vertice in comune (S. Lhuilier, J. D. Gergonne, C. Seidelin), mentre
Th. P. A. Kirkman deduce, mediante sezioni, il poliedro da un solido
prismatico e Ch. Hessel si vale delle condizioni per cui la somma di
poliedri soddisfacenti alia (30) soddisfi ancora alia (30), giA in parte
studiate da S. Lhuilier e da J. D. Gergonne.
In altre, si suppone la superficie del poliedro proiettabile in una
regione (piana) contata due volte (S. Lhuilier, J. Steiner) e si studia * 40
ias) All’enunciato L. Euler fa seguire la dichiarazione: Fateri equidem cogo, me
huius theorematis demonstrationem firmam adhuc eruere non potuisse; interim tamen eius
veritas pro omnibus solidorum generibus, ad quae examinabitur non difficulter agnoscetur,
ita ut sequens inductio vicem demonstration's gerere queat.
18e) Cfr. prop. I, II, IV di 18e).
14°) Nel procedimento intervengono successive sottrazioni di tetraedri al polie-
dro pensato come solido e I’ipotesi implicita sta nel supporre che la legge ricorrente
non incontri eccezioni. Per 1’inconveniente prodotto dall’intervento di forme degeneri
cfr. H. Lebesgue 181), p. 328. Che L. Euler sottintenda Fipotesi piti restrittiva del po-
liedro convesso ё [secondo H. Lebesgue 181), p. 326] da escludersi.
ш) A. M. Legendre (1794), £lements de Geometric, ed. 3a, Paris 1800, p. 253;
M. Hirsch, Sammlung geometrischer Aufgaben, 2, Berlin 1807, p. 93 ; S» Lhuilier (proba-
bilmente 1809), Ann. math, pures appl., 3 (1812-13), p. 169 (estratto di J. D. Gergonne,
con aggiunte); A. L. Cauchy, J, Ec. polyt., 9, cah. 16 (1813), p. 77, oppure Oeuvres,
(2) 1, Paris 1905, p. 15; J. Steiner, J. reine ang. Math., 1 (1826), p. 364; Ger.
Werke, 1, Berlin 1881, p. 95; J. A. Grunert, J. reine ang. Math., 2 (1827), p. 367;
Ch. Hessel, Quaestiones stereometricae ad theorema Euleri etc., Marburg 1831; J. reine
ang. Math., 8 (1832), p. 19 ; G. C. Ch. v. Staudt °7), p. 20 ; trad, ital., p. 18 ; Th. P. A.
Kirkman, Mem. Lit. Phil. Soc. Manchester, (2) 12 (1855), p. 47 ; A. F. Mobius, Werke, 2
12), p. 524, p. 546-551 (Nachlass); J. K. Becker, Arch. Math. Phys., 38 (1862), p. 15;
40 (1863), p. 12; Z. Math. Phys., 14 (1869), p. 65, p. 337 ; C. Jordan,’ J. reine ang.
Math., 66 (1866), p. 38 (cfr. anche p. 86); C. Seidelin, Tidsskrift for Math., (2) 6 (1870),
p. 22; H. Dur^ge, Stzgsb. Ak. Wien, 83, 2 Abth. (1881), p. 1110 ; E. de Jonqui£res,
C. R. Ac. sc. Paris, 110 (1890), p. 110, p. 169.
Cfr. pure: L. Olivier, J. reine ang. Math., 1 (1826), p. 222 (in relazione con A.
L. Cauchy, cit.); P. Breton de Champ, C. R. Ac. sc. Paris, 51 (1860), p. 722 ; J. B.
Listing 122); Nachr. Ges. Gott., 1867, N. 22; Arch. Math. Phys. 48 (1868), p. 186; R.
Baltzer181) e Die Elemente der Mathematik 2, ed. 6a, Leipzig 1883, p. 213 [ove si cita
una letters di H. Thieme (1867)]; R. Hoppe, Arch. Math. Phys., 63 (1879), p. 100;
F. Caldarerau), p. 134-140; Ё. Hess91), Einleitung, p. 19; M. Raschig, Zum Euler-
schen Theorem der Polyedrometrie, Schneeberg 1981; M. Bruckner10), p. 52-66, p. 164,
p. 177-179 ; A. Maroni181); Atti Congr. mat. Bologna, 3 (1930), p. 433-437; A.
Errera, C. R. Ac. sc. Paris, 177 (1923), p. 489-491; H. Lebesgue181); K. Knopp,
Math. Zeitschr., 27 (1927), p. 146; E. Steinitz e H; Rademacher m), p. 9-18.
XXVI. - Poligoni e poliedri
299
il doppio reticolato prodottovi dagli spigoli. Il procedimento valido
per poliedri convessi ё suscettibile (M. Bruckner) di estensioni.
Oppure (A. M. Legendre, M. Hirsch) si suppone la superficie
del poliedro proiettabile univocamente dal centro di una sfera sulla
superficie di questa [p. e. per un poliedro convesso si assume (§ 20) il
centro intemo al poliedro] e si utilizza la somma degli eccessi sferiei
pertinenti ai poligoni sferiei in cui si proiettano le facce.
Infine le dimostrazioni che operano direttamente sulla superficie
(A. L. Cauchy, J. A. Grunert, G. C. Ch. v. Staudt, J. K. Becker,
C. Jordan, H. Thieme), precorrendo od utilizzando le vedute di B. Rie-
mann, valgono per ogni poliedro semplicemente connesso. Cosi, si os-
serva che, tolta una prima faccia, il numero f + v — s diminuisce di
un’uniti, mentre dopo cid si conserva costante quando si tolgano suc-
cess! vamente le rimanenti mantenendo da superficie semplicemente con-
nessa ; ma per 1’ultixna faccia rimasta (/ = 1, s = г>) ё f + v — s = 1,
onde per il poliedro f 4- V — s = 2, сюё la (30). A questo processo о
ad altri affini possono ricondursi le citate dimostrazioni, salvo quella
di J. K. Becker, la quale muove dalla f = 2 (v — 2), valida nel caso di
facce tutte triangolari, e quella di G. C. Ch. v. Staudt, la quale si fonda
sulla possibility di tagliafe la superficie lungo gli spigoli di un sistema
connesso privo di linee chiuse ed utilizzante tutti i v vertici del po-
liedro e di ricavame un « pezzo » composto colle f facce; indi (ripar-
tendo gli s spigoli nei v — 1 spigoli del sistema e negli f — 1 spigoli
connettenti coppie di facce contigue del pezzo) dedume :
s = (9 — i) + (/— 1) = v +f— 2,
cioi la (30)
Estensioni in vario- senso del teorema d*EuLER trovansi negli
scritti gii citati [cfr.1U)] di S. Lhuilier. A. L. Cauchy, Ch. Hessel,
A. F. MdBius, J. B. Listing, J. K. Becker, C. Jordan, R. Hoppe;
esse, quando si riferiscano a poliedri nel senso stabilito al § 18, a facce
ordinarie e bilateri, conducono sostanzialmente alia (33) di § 2014®).
Questa corrente scaturita dallo studio dei poliedri si fonde con
quella [B. Riemann, ... 127), 129)] proveniente dallo studio delle fiinzioni * 14
M1) Commenti alia dimostrazione di G. C. Ch. v. Staudt in A. Maroni, Atti
Cong. mat.. Bologna, 3, Bologna 1930, p. 433; cfr. pure A. Maroni181).
14S) Prescindenao invece dalla continuity della superficie ed assumendp come
facce regioni a piii contomi poligonali, giA S. Lhuilier141), p. 189 considera solidi
poliedrici presentanti n caveme (a contomo poliedrico), g gcdlerie attraversanti il solido,
e facce dotate risp. di 9t- (t = 1, 2, ...) lacune poligonali; e dA la formola:
и — s +f = 2 (я—g + 1) + (gi + 9i + ...)•
A predsare I’enunciato di S. Lhuilier (e di R. Hoppe) hanno successivamente
contribuito J. B. Listing e M. Raschig 141); cfr. con (34) diiae).
- Mantenuto invece il punto di vista di § 18, si possono considerare poliedri uni-
lateri e ad essi estendere il teorema di Euler [come giA, in un caso particolare, con
(32) di § 19] ; cfr. gli scritti citati in1*2) e specialmente'M. Bruckner10), p. 56.
Per i poliedri le cui facce siano poligoni intrecciati cfr. *°).
300
Luigi Brusotti
algebriche, sboccando nella teoria topologica della connessione di una
superficie 144).
22. Relazioni valide per i poliedri euleriani146). — Dato un
poliedro, si indichi con fa (i > 3) il numero delle facce dotate di i ver-
tici, con v< (i > 3) quello degli angoloidi dotati di i facce. Per ogni
poliedro soddisfacente alle condizioni la e 3a di § 17, ed alle analoghe
per gli angoloidi, valgono le:
(35) =
(36) S i = 2s,
riducibili alia forma:
(37) 3(/, +/5 +...) + 2 (2/4 + 3/. +...) +
+ 2 (Л + 2/7 + 3/, + ...) = 2 f ,
(38) 3 (r8+ »,+...) +2X2 t>4 + 3t>, +...) +
“I” 2 (t>5 -|- 2 + 3 e -|- ...) = 2 s ;
onde : ё pari il numero delle facce (risp. degli angoloidi} del poliedro aventi
lati (risp. spigoli} in numero dispari} se il numero totale delle facce (risp.
dei vertici) del poliedro ё dispari> almeno una faccia (risp. un angoloide)
presenta numero pari di lati (risp. di spigoli).
Introdotta la relazione d’EuLER (30) di § 17, dalle (37), (38) se-
guono, per i poliedri euleriani (§ 18), le:
(39) 2 (/3 + Л + fb + ...) = 4 + v3 + 2 v, + 3 v5 + ...,
144) Cfr.129). Similmente la Topologia} delle variety a piti dimension!, iniziata
(astraendo dalle idee general! di B. Riemann) con E. Betti [Ann. mat. pura appl., (2)
4 (1870-71), p. 140-158; Op. mat., 2, Milano 1913, p. 273-290] indi proseguita, fra
altri, da H. Poincar6 [J. Ёс. polyt., (2) 1, cah. 1 (1895), p. 1-123; Rend. Palermo, 13
(1899), p. 285-343; 18 (1904), p. 45-110], trova alimento da un lato nella teoria dei
poliedri pluridimensionali, о polischemi, о politopi [L. Schlaefli * 91), p. 19-56; P. H.
Schoute, Mehrdimensionale Geometrie, II Teil, Die Polytope, Leipzig 1905; citazioni
anche in 11Б), 118), 17°), 198), *°2), 214), 2S0)] e dall’altro, ancor piti, nelle esigenze della
Geometria algebrica [cfr. F. Severi 121), Conferenze, anche per notizie].
L’estensione iperspaziale del teorema di Euler trovasi gi& (1852) in L. Schlaefli
91), p. 20 e p. 114.
A questa si pud raccostare la formola:
v — S +/— P = 1
sulla decomposizione del solido di un poliedro ordinario euleriano in P celle poliedriche,
indicati con v, s, f i numeri total! di vertici, spigoli, facce che si riscontrano in figura.
Essa devesi ad A. L. Cauchy141).
14Б) Per il contenuto di questo §, di cui giA sono tracce in Euler 136), iae), cfr.
A. M. Legendre 1u), p. 343; E. Catalan, J. Ec. polyt., 24, cah. 41 (1865), p. 2; R.
Baltzer, trad, di L. Cremona®), Parte 5a, Stereometria, Genova 1867, p. 114; F.
Caldarera u), p. 140; M. Bruckner10), p. 79; E. Steinitz e H. Rademacher 28), p. 7.
XXVI. - Poligoni e poliedri
301
(40) 2(^з + Щ + ...) = 4 +f3 + 2/4 + 3/5 + ... ,
(41) /3 + v3 = 3 +/5 + ^5 + 2 (/e -|- г>в) + ,
(42) 3/3+ 2/4 +/5=12+2г;4+ 4t>5+ ...+/7 + 2/8 + ... ,
(43) 3 v3 + 2 г>4 -|- = 12 4* 2/4 + 4/6 -J- ... -|- vq -|- 2 v3 + ... ,
(44) 4/3 + 2/4 + = 20 + 2 г>4 + 5 г>5 + 8 г>в + ...+ 2/6 +4/7+...,
(45) 4 v3 + 2 г>4 -|-/з = 20 + 2/4 + 5/5 + 8/e +•••+ 2 ^6+41>7-|-...;
onde: In nessun poliedro euleriano mancano contemporaneamente facce
triangolari ed angoloidi triedri [cfr. (41)]. Ne mancano facce (risp. an-
goloidi) con meno di sei lati (risp. spigoli); se le facce con meno di sei lati
sono solo triangolari, о solo quadrangolari, о solo pentagonali, esse sono
rispettivamente almeno quattro, od almeno sei od almeno dodici; se gli
angoloidi con meno di sei spigoli sono solo trispigoli, о solo quadrispigoli,
о solo b-spigoli, essi sono rispettivamente almeno quattro, od almeno sei,
od almeno dodici [cfr. (42), (43)]. Se mancano contemporaneamente facce
triangolari e quadrangolari, gli angoloidi trispigoli sono almeno venti\
se mancano contemporaneamente angoloidi trispigoli e quadrispigoli, le
facce triangolari sono almeno venti [cfr. (44), (45)].
Le condizioni aritmetiche elencate [implicite nelle (35), (36) e
(30)] sono necessarie ma non sufjicienti per 1’esistenza di un poliedro
euleriano a cui si addicano i relativi valori delle /,• e delle Vi14e). P. e.
non esiste un poliedro con f = /3 + /5 , /3 = 4, /5 = 2, v = v3 + v4 ,
v3 = 6, v4 = 1, s = 11 (perchfe due pentagoni connessi per un lato im-
plicano otto vertici).
Condizioni necessarie e suffieienti perche esista un poliedro eule-
riano con f facce, v vertici, s spigoli si ottengono* 147) aggiungendo alia
(30) le disuguaglianze :
3/ <2 s , 3t> < 2r.
23. Relazioni valide per i poliedri anulari. — La superficie
di un poliedro (bilatero) di genere 1 (§ 20) ё (nel senso di § 19) topolo-
gicamente identificabile^ con quella di un toro [cfr. 130)] od anello.
Percid tali poliedri possono dirsi anulari. Si riprendano per essi le (35),
(36) risp. le (37), (38) di § 22 coll’enunciato che ne segue ; ma, invece
della (30) di Euler, introducasi la (33) di § 20, scritta per p = 1,
ossia la:
(46)
Seguono le :
(47)
/ + V = $ .
2 = /3 + 2/4 + 3/5 + ... ,
14e) Cfr. M. Bruckner10), p. 80; A. Maroni142), p. 435.
147) E. Steinitz, Arch. Math. Phys., (3) 11 (1906), p. 86; 10), p. 17.
302
Luigi Brusotti
(48) 2f = v3+2v<+3v&+ ...,
(49) v3 + /з = ^5 + fb + 2 (v3 + /в) + 3 (^7 + /7) + ,
(50) 3 v3 + 2ф4 + ®5= 2/4 + 4/5'+ 6/e +•••+ ^7+2 t>8+3
(51) З/3 + 2/4 + /5 — 2 + 4 ^5+ 6 v3 +...+ /7 + 2/8-|-3/e + •••
onde : Se un poliedro anulare ha solo facce triangolari (risp. solo angoloidi
tris pi gold), il numero delle facce (risp. dei vertici) ё doppio di quello dei
vertici (risp. delle facce); se ha solo facce quadrangolari (risp. solo ango-
loidi quadrispigoli), il numero delle facce ё uguale a quello dei vertici [cfr.
(47), (48)]. Se un poliedro anulare non possiede пё facce triangolari пё
angoloidi triedri, ogni faccia ё un quadrangolo, ogni angoloide ё un quadri-
spigolo [cfr. (49)]. Se un poliedro anulare non possiede пё angoloidi tri-
spigoli, пё quadrispigoli, пё b-spigoli, possiede solo angoloidi 3-spigoli e
solo facce triangolari; se non possiede пё facce triangolari, пё quadrango-
lari, пё pentagonali, possiede solo facce esagonali e solo angoloidi triedri
[cfr. (50), (51)].................
Di poliedri dei tipi ora detti si posseggono esempi148).
Un esempio semplice di poliedro anulare si ha costruendo i tetrae-
dri А В C D, В C D E, C D E F, D E F G, E F G A, F G A B, G А В C
e sopprimendo le facce comuni14e).
Le cosiddette cornici fomiscono esempi di poliedri anulari nel
senso del presente §, ed anche in senso piii largo [cfr.128) per p = l]150).
24. Morfologia dei poliedri euleriani. Operazioni. — In que-
sto § si sottintende che il poliedro sia euleriano e soddisfacente alia con-
dizione 4a di § 17 [cfr. 120)], brevemente (secondo E. Steinitz) uh
poliedro К; cio non toglie, per alcune affermazioni, la possibility di
applicazione piu larga.
Due poliedri diconsi morfologicamente identici, quando si possano
riferire in modo che si corrispondano biunivocamente elementi di ugual
nome (vertici, spigoli, facce) e che ad elementi appartenentisi corri-
spondano elementi appartenentisi161).
Se esiste un poliedro, esistono poliedri ad esso morfologicamente
identici ma convessi (in senso elementare, cfr. § 17); onde 1’indagine
14в) Per questi ed altri risultati sui poliedri anulari vedansi: A. F. Mobius, Werke
12), 2, p. 551-555 (Nachlass); J. K. Becker^ Z. Math. Phys., 14 (18459), p. 65; C.
Jordan 141), p. 86; J. reine ang. Math., 68 (1868), p. 250; W. Godt, Untersuchungen
uber Polyeder von mehrfachem Zusammznhange, Lubeck 1881; C. Reinhardt 128);
M. Bruckner10), p. 220-222; A. Errera, Мёт. Ac. sc. Belg., (2) 7 (1922), p. 17.
Cfr. anche S. Lhuilier141), p. 188.
14°) A. F. Mobius, Werke* 12 * 14), 2, p. 552 (Nachlass).
16°) Vedasi p. e. M. Bruckner10), p. 54.
ш) Per cid basta ed occorre il riferimento biunivoco delle facce in modo che a
facce contigue corrispondano facce contigue. Cosi basta ed occorre I’analoga condizione
per i vertici. Cfr. E. Steinitz 10), p. 72. La definizione del testo applicasi anche a po-
liedri non euleriani.
XXVI. - Poligoni e poliedri
зоа
pud restringersi a questi (anzi ridursi ad un’opportuna ripartizione
della superficie sferica)152).
Si diranno reciproci о correlation due poliedri riferibili biunivoca-
mente in modo che a vertici, spigoli, facce dell’uno corrispondano risp.
facce, spigoli, vertici dell’altro e, ad elementi appartenentisi, elementi
appartenentisi.
Se esiste un poliedro, esiste il reciproco162 163 164 * * 167); dei due poliedri esi-
stono anzi modelli convessi e tali che un vertice ed il piano della faccia
corrispondente si corrispondano nella polariti rispetto ad una sfera 154).
Segue che lo studio morfologico dei poliedri con dato numero di
vertici equivale a quello dei poliedri con dato numero di facce 155).
Esistono poliedri autoreciproci, od autocorrelation, od autopolari.
Esempi: a) La piramide. b) Il poliedro. che si deduce da un tronco di
piramide elevando su una delle basi una piramide 15e).
Se i piani delle facce di un poliedro sono in posizione proiettiva-
mente generica, per un punto dello spazio ne passano tre al piti, ed il
poliedro ha solo angoloidi triedri. Percid un poliedro dotato di soli ango-
loidi triedri dicesi «generale». Il suo reciproco e un poliedro a facce
triangolari (o poliedro trigonal e)157).
Lo studio dei poliedri con dato numero f di facce pud farsi158}
a partire da quelli«generali », deducendo da questi (per successivi
spdstamenti di piani) poliedri dotati anche di angoloidi con maggior
numero di facce; al termine della serie, per f pari, possono porsi i po-
liedri trigbnali [che non si hanno per / dispari; cfr. (37) di § 22].
Tale studio non e agevole, per il rapido crescere del numero dei
tipi al crescere di /. Se con y(/) si indica il numero dei tipi di polie-
162) Che per ogni tipo di poliedro К esistano modelli convessi in E. Steinitz.
e H. Rademacher 23) ё considerato come « teorema fondamentale * e dimostrato
in piu modi (ivi p. 241, p. 306, p. 335). Vedasi anche E. Steinitz 10), p. 77. Per il
ricorso alia sfera si raffronti pure con 104).
16S) J. D. Gergonne, Ann. math, pures appl., 15 (1824-1825), p. 158; E. Cata-
lan ltf), p. 1; C* Jordan 1U), p. 29; quest’ultimo anche per poliedri non euleriani.*
Sotto 1’aspetto topologico (§ 19) cfr. anche F. Levi121), p. 47. Notizie storiche sui
poliedri reciproci in M. Bruckner10), p. 74.
164) E. Catalan168). Cfr. pure M. Bruckner10), p. 73.
166) Tali studi si collegano a criteri di classificazione; p. e. Euler186), p. 135,
inizia una classificazione dei poliedri (in generi) fondata sul numero dei vertici, alia
quale subordina quella fondata sul numero delle facce. Ma C. Jordan 141), p. 83, come
giA P. Breton de Champ 141), consiglia un criterio fondato sul numero degli spigoli,
cosicchd poliedri reciproci siano in una stessa classe.
16e) Sui poliedri autoreciproci cfr. Th. P. A. Kirkman, Phil. Trans., 147 (1857),.
p. 225; M. Bruckner10), p. 91. Generality, classificazioni ed esempi leggonsi in A.
Andreini, Atti 1st. Veneto, 62, parte 2a (1902-03), p. 147-173, p. 730-764; Period,
mat., 19 (1904), p. 153 [ove il poliedro euleriano ё perd alquanto generalizzato 221)
e si fa distinzione fra correlativitd, parziale e completa}.
167) Tra i poliedri morfologicamente identici ad un poliedro (euleriano) trigo-
nale (risp. generale) ve ne sono di inscritti in (risp. circoscritti ad) ujia sfera. Cfr. M.
Bruckner10), p. 163.
“•) Cfr. M. Bruckner 10), p. 81; E. Steinitz 10), p. 50.
304
Luigi Brusotti
dri « generali » di f facce, si ha 16e) :
y(4) = ^(5) = 1, y>(6) = 2, y(7) = 5, y(8) = 14, y(9) = 50,
у (10) = 233, y;(ll) =- 1251, y(12) = 7616, ^(13) = 49451.
Il passaggio da un tipo ad un altro di poliedri pud effettuarsi me-
diante operazioni. Le due piu semplici fra queste consistono nel troncare
il poliedro in prossimiti di un vertice, introducendo una nuova faccia,
e ntWelevare su di una faccia una piramide, introducendo un nuovo
vertice 16°).
Negli odierni stud! sui poliedri si sono introdotte operazioni 0,
> П2 ; co, co', ecc.159 * 161). P. e. su di un poliedro C convesso (in senso
elementare) e«generale» la & pud effettuarsi se'gnando un punto P
su ciascuno spigolo di C (esclusi gli estremi), congiungendo con seg-
menti I le coppie di punti P giacenti su coppie di lati consecutivi di
ciascuna faccia, indi considerando il poliedro convesso 0 (Q che ha
per spigoli i segmenti I. Il poliedro 0 (C), dotato di soli angoloidi qua-
drispigoli, pud riferirsi a C in modo che ad ogni vertice, ad ogni faccia,*
ad ogni spigolo, ad ogni angolo piano di C corrispondano una faccia,
ancora una faccia, un vertice, uno spigolo di 0(C)162).
25. Il teorema di Cauchy. Le costanti di Legendre. — Se-
condo la definizione 10я del Libro XI degli Elementi di Euclide163),
159) M. Bruckner, Atti Congr. mat. Bologna, 4, Bologna 1931, p. 5-11. Cfr.
pure Th. P. A. Kirkman 141); O. Hermes, J. reine ang. Math., 120 (1899), p. 5 (con
risultati lievemente divergenti dagli esatti per f = 11, 12); M. Bruckner10), p. 86
(e Tav. da II a V).
ieo) Le due operazioni risalgono certamente nel tempo. Per quella di troncare
si ha esempio in uno scoliasta di Pappo AlessandRino [cfr. G. Loria, Mem. Acc.
Lincei (Classe Scienze morali ecc.), (5) 14 (1913), p. 444]. E va ricordata anche I’opera
De corporibus regularibus di Pier della Francesca188). Per Leonardo da Vinci cfr.2U).
ш) E. Steinitz10), p. 69„ p. 79; E. Steinitz e H. Rademacher28), p. 196.
Operazioni (o derivazioni) anche in E. Cesaro, Forme poliedriche regolari e semiregolari
in tutti gli spazii, Milano 1886 [su manoscritto del 1881; riprodotto in Mem. Gc.
Sc. Lisboa, 1888, p. 19.
162) Gli studi sulla morfologia dei poliedri, specialmente degli euleriani, sono
assai piu estesi di quanto possa apparire dalla lettura del presente §. Vedansi percid :
Th. P. A. Kirkman U1), p. 47-70; Phil. Trans., 146 (1856), p. 399 ; 15e); A. Cayley120) ;
Coll. Math. Papers, 5, Cambridge 1892, p. 38-43 [oppure: Mem. Soc. Manchester,
(3) 1 (1862), p. 248-256] ; A. F. Mobius, Werke 12), 2, p. 478, p. 500 [oppure: Leipz.
Berichte, 17 (1865), p. 31-68]; Werke, 2 12), p. 522-538 (Nachlass)-, E. Catalan 15S),
p. 6, p. 11; C. Jordan141); V. Eberhard, J. reine ang. Math., 106 (1890), p. 100;
Zur Morphologic der Polyeder, Leipzig 1891; A. Schonflies, Nachr. Ges. Gott., 1894,
p. 316; O. Hermes, Progr. des Kolnischen Gymn., Berlin, 1894, 1896; 1Бв); M.
Bruckner10), p. 78-121; Atti Congr. mat. Roma 1908, 2 (Roma 1909, p. 293-295;
A. Andreini 15e); G. FontenG, Bull. Soc. math. France, 32 (1904), Ip. 284-296; Nouv.
Ann. math., (4) 4 (1904), p. 433-439; E. Steinitz 10). p. 47-83; C. N. Reynolds,
Annals Math., (2) 33 (1932), p. 367 ; E. Steinitz e H. Rademacher 2S). Estensioni p.
e. in F. Severi 121), Conferenze, p. 196, p. 265.
188) Per il testo vedasi108). Congetture d’interpolaiione in E. Steinitz10), p. 35
ed in A. Agostini, Period, mat., (4), 8 (1928), p. 183. Cfr. (anche per quanto segue)
XXVI. - Poligoni e poliedri
305
col linguaggio odiemo dovrebbero definirsi uguali due poliedri ordi-
nari (§ 18) riferiti in modo che, nel riferimento subordinato fra due
facce, queste risultino uguali. In una sistemazione generale della teoria
dell’uguaglianza spaziale, 1’affermazione dell’uguaglianza di due po-
liedri cosi riferibili di luogo ad un teorema, il quale perd non e valido
per poliedri ordinari anche non convessi184).
Esso e bensi valido per poliedri convessi (in senso elementare)
[Teorema di Cauchy185)].
Ne nasce la indeformabilitd dei poliedri convessi, quando si escluda
la deformazione delle facce188). Esistono invece poliedri euleriani, non
convessi, deformabili (con continuiti) senza deformazione delle facce,
ma nei casi noti non sono poliedri ordinari. Cosi i soli tre tipi deforma-
bili di ottaedri a facce triangolari [determinati da R. Bricard 187)]
dAnno ottaedri intrecciati.
Si considerino ora nello spazio tutti i poliedri morfologicamente
identici (§ 24) ad un dato ; il problema sul numero c (risp. c') di costanti
da cui dipende la determinazione di uno di essi in posizione (risp. a
meno di una uguaglianza) fu posto da A. M. Legendre188).
Colle notazioni di § 17 si ha in generalelee):
c = 3/ + 3 г; — 2s,
onde per un poliedro bilatero di genere p [§ 20, form. (33)]:
c = s — 6 (/> — 1) ;
e, per un poliedro euleriano :
c == s -j- 6.
A. M. Legendre141), p. 362. Cfr. pure M. Turchetti, Period, mat., (4) 7 (1927), pa-
gine 320-327.
1в4) P. e. su una faccia a di un cubo К (assunta come base) si costruisca estema-
mente (risp. intemamente) una piramide regolare П (risp. 77'), di determinata altezza
mindre dello spigolo di К; e si consideri il poliedro P (risp. P') che si ricava da К
sostituendo ad a il sistema delle facce laterali di 77 (risp. di 77'); i poliedri P, P' am-
mettono il riferimento indicato, ma non sono uguali. Cid rientra in un’osservazione
di R. Simson, Euclid's Elements, Glasgow 1735, p. 388.
1вБ) A. L. Cauchy, J. Ёс. polyt., 9 (1813), cab. 16, p. 87; Oeuvres (2), 1, Paris
1905, p. 37 [ivi, p. 38, "anche il teorema analogo per la similitudine; cfr. 107)]. Notizie
e comment in Th. L. Heath 24), 3, p. 265-267 ed in M. Turchetti ies). Cfr. anche C.
Juel, Interm, des тагЬёт., 2 (1895), p. 393 ; E. Steinitz e H. Rademacher 2S), p. 57-68.
1M) In connessione con deformazioni continue anche in M. Dehn, Math. Ann.,
77 (1916), p. 466-473.
167) R. Bricard, J. math, pures appl., (5) 3 (1897), p. 113-148. Cfr. pure C. Ste-
phanos, Interm, des math£m.,.l (1894), p. 228, R. Bricard, Interm, des та1Ьёт., 2
(1895), p. 243; C. R. Ac. sc. Paris, 125 (1897), p. 1024; A. Mannheim, J. math, pures
appl., (5) 3 (1897), p. 149.
iee) A. M. Legendre141), p. 345.
169) Cfr. p. e. E. Stfinitz 10), p. 34; E. Steinitz e H. Rademacher 28), p. «к*;
ma per un poliedro euleriano gi& in A. M. Legendre ie8); vedansi pure: R. Hoppe,
Arch. Math. Phys., 55 (1873), p. 217; H. Schubert, Arch. Math. Phys.. 63 (1879),
p. 97 ; Kalkiil der abzahlenden Geometric, Leipzig 1879, p. 2.
806
Luigi Brusotti
In ogni caso ё:
c' = c— 6,
onde per un poliedro euleriano 17°):
c' = 5 .
Ed effettivamente, almeno in generale, un poliedro euleriano mor-
fologicamente assegnato ё determinate a meno di una Vguaglianza,
noti in grandezza (ordinatamente) gli spigoli; esistono casi eccezionali,
p. e. quello dei prismi [cfr. anche1*7)].
Д risultati relativi al problema di A. M. Legendre non sono perd
immuni da critiche* 171).
26. Volume di un poliedro; area della sua superficie. — Sia
una piramide, avente per base un poligono P (nel senso di L. Poinsot,
§ 2) e si assuma come pagtna positiva del piano di P p. e. quella rivolta
verso il vertice ; allora (§ 7) a P compete un’area (in valore ed in segno)
quando per P si fissi il verso del contorno. Lo stesso segno si attribuisce
al volume della piramide, il cui valore assoluto si determina colla nota
regola elementare172).
Se un tetraedro AB C D si considera come piramide di vertice
A e sul contorno della base viene assunto il verso BCD, allora al te-
traedro, nel senso ora detto, compete un volume; questo conserva il
valore assoluto per ogni permutazione della quatema А, В, C, D, ma
conserva il segno solo per le permutazioni pari.
Di un poliedro si diri che soddisfa alia legge degli spigoli [A. F. Mo-
bius173 * 17)], quando sia possibile fissare per ciascuna faccia il verso del con-
tomo in modo che ciascuno spigolo, attribuito all’una od all’altra delle
facce cui appartiene, venga percorso in versi opposti. Se il poliedro,
come qui si suppone, ё continuo, la detta a^segnazione dei versi ё al-
lora effettuabile in due e due soli modi. Un poliedro a facce ordinarie
soddisfa о non soddisfa alia legge degli spigoli secondo che sia bila-
terood unilatero (cfr. § 19).
Se un poliedro soddisfa alia legge degli spigoli e si fissa in uno dei
due modi leciti il verso sui contorni, la somma algebrica dei volumi
17°) A. M. Legendre1®8), H. Schubert iee); Auslese aus meiner Unterrichts-und
Vorlqsungs-Prqxis, 1, Leipzig 1905, p. 167. Estefisione agli iperspazi della c = r -|- 6
in H. Schubert, Jahresb. deutsch. Math.-Vereinig., 11 (1902), p. 217 [cfr. anche
P. H. Schoute144), p. 78].
171) E. Steinitz10), p. 34-35; E. Steinitz e H. Rademacher28), p. 69-74,
p. 349, anche in relazione ad una rappresentazione iperspaziale in cui i poliedri morfo-
logicamente identici hanno per immagine punti di una variety algebrica.
17 2) Per la piramide ordinaria essa pud ritenersi implicita nella prop. 7a del Li-
bro XII degli Elementi di Euclide. Cfr. г) 4, p. 172. Notizie e commenti in Th. L.
Heath m), 3, p. 366-368. Cfr. anche Part. XXIII di questa Encicl. ••), § 15.
17S) A. F. Mobius, Werke12), 2, p. 477 [oppure Leipz. Berichte, 17 (1865), p. 31-
68]. Cfr. anche R. Baltzer, trad. L. Cremona 148), p. 143; F. Klein 42), p. 18.
XXVI. - Poligoni в poliedri
807
delle piramidi che hanno il vertice in un punto О e per basi le facce b
indipendente da О (ma cambia di segno se si cambia il modo). Essa
per un poliedro ordinario (§ 18), p. e. per un poliedro convesso (in
senso elementare), coincide in valore assoluto col volume della regione
interna comunemente inteso. In ogni caso si dirt. volume del poliedro
assegnato (in relazione all’assunta scelta dei versi)174 *). In questa de-
finizione rientra quella gii data per la piramide.
Si pub anche, come gii nel piano (§7), ricorrere al metodo degli
indici delle celle176 177).
Ma se il poliedro non soddisfa alia legge degli spigoli non si pub
per esso definire il volume17e).
L’area di una faccia del poliedro ha (§ 7) due determinazioni op-
poste (scambiabili fra di loro о collo scambio dei versi del contomo о
con quello delle pagine del piano della faccia). Fissata per ciascuna
faccia una determinazione, sommando algebricamente le aree delle
facce, si ha una determinazione per I’area della superficie del poliedro
(in tutto V determinazioni distribute in 2,_1 coppie di determinazioni
opposte)ln).
Si possono perb introdurre particolari criteri:
a) Se, soddisfacendo il poliedro alia legge degli spigoli, si sceglie
in conformity il verso dei contomi ed inoltre (p. e. se il poliedro e cir-
coscritto ad una sfera od b a facce ordinarie, quindi bilatero) si pub
scegliere (e si sceglie) con unica legge la pagina per le singole facce,
allora le determinazioni per I’area della superficie si riducono a due
(opposte).
p) Si assumono le aree delle facce in valore assoluto, indi si
sommano; il che per poliedri a facce ordinarie conduce all’area della
superficie nel senso consueto [e per poliedri anche bilateri si accorda
col criterio a)].
27. I poliedri regolari (platonici) e la Geometria greca. —
Un poliedro ordinario dicesi regolare quando le sue facce sono regolari
ed eguali; ne scende che gli angoloidi sono regolari ed eguali (e che
il poliedro b convesso in senso elementare)178). Conservando alle let-
tere /, v, s il significato di § 17 ed indicando con n (risp. con m) il nu-
mero. dei lati di una faccia (risp. degli spigoli di un angoloide), si hanno
i seguenti casi:
17<) A. F. Mobius, Werke19), 2, p. 495 [oppure Leipz. Berichte17’)]. Cfr. anche
R. Baltzer, trad. L. Cremona146), p. 144-147; E. Steinitz10), p. 29-31; E. Steinitz
e H. Rademacher”), p. 28-33.
176) M. Bruckner10), p. 71. Non risulta sia stato esteso il metodo di C. G. J.
Jacobi (§ 7).
174) Cfr. p. e. R. Baltzer, trad. L. Cremona146), p. 145; E. Steinitz174).
177) E. Steinitz10), p. 30.
17t) Considerazioni critiche sulla definizione di poliedro regolare in D. Fellini,
Period, mat., (3) 9 (1912), p. 227.
17°) F. Lindemann, Stzgsb. Ak. Munchen, 26 (1896), p. 625-758. Cfr. anche
G. Loria, Le scienze esattenell'antica Grecia, 2a ed., Milano 1914, p. 39-40 ; J. Tropfke
•), 7, P. 47.
308
Luigi Brusotti
f V $ n m
Tetraedro 4 4 6 3 3
Esaedro (o Cubo) 6 8 12 4 3
Ottaedro , 8 6 12 3 4
Dodecaedro 12 20 30 5 3
Icosaedro 20 12 30 3 5
Un poliedro regolare e inscritto in una sfera e circoscritto ad un’al-
tra ; il centro comune dicesi centro del poliedro. Il tetraedro e reciproco
(§ 24) di se stesso, il cubo lo e dell’ottaedro, il dodecaedro dell’ico-
saedro; tali reciprocity possono verificarsi colla polarita rispetto ad una
sfera concentrica. Ogni tipo e individuate a meno di similitudini.
Civilti anteriori (p. e. I’etrusca) ebbero conoscenza dei poliedri
regolari17e); ma I’introduzione di questi nella Geometria si attribui
alia Scuola di Pit agora, onde essi vennero talora detti corpi'pitagorici.
La critica modema perd assegna a Teeteto (c. 410 a. C.) la prima
teoria unitaria (e certamente I’introduzione nella Geometria dell’ottae-
dro e dell’icosaedro, probabile rimanendo 1’attribuzione ai Pitagorici
degli altri tre) 181).
La denominazione di corpi cosmici о poliedri platonici si riferisce
a teorie fisiche e a qualche passo di Platone che a quelle si riconnette M2).
1M) E. Sac^s, Die funf platomschen Кбгрег, Berlin 1917, p. 76 e seg. Cfr. anche
J. Tropfks179).
ш) Suida (sec. X d. C.) dice di Teeteto : Прсото? Si тУ я6уте xaXoupiEva oTEpea
£ypa<ps. Cfr. J. Tropfke179). Ed uno scoliasta di Euclide P), 5, p. 654): ..., тр(а Si
тсоу яроар7)р,£ус»)у e о/эдлАтсоу тсоу По^ауорЕСсоу ityriy, б те хб£о$ xal тгирар.1^, xal
rd StoSexaESpoy, ©EatTTjTou Si тб те дхтавЗроу xal тб ElxoadcsSpoy.
1M) Il passo dei dialoghi di Platone che ha esplicita attinenza coi poliedri re-
golari appartiene al Timeo [Platone, Opera (ed. I. Burnet), 4, Oxonii 1905, 53-c-
55-c]. In esso ai quattro « elementi», fuoco, aria, acqua e terra, si fanno ordinatamente
corrispondere il tetraedro, 1’ottaedro, 1’icosaedro ed il cubo (il che da taluni si ё voluto
anche interpretare in relazione alTintima costituziqne di detti elementi). Meno chiaro
ё il cenno (ivi, 55-c) al dodecaedro: « Ma, essendovi ancora una quinta combinazione,
Iddio se ne send per decorare il disegno deU’Universo » (Platone, Il Timeo, trad, da
G. Fraccaroli, Torino 1906, p. 270).
Commenti p. e. in E. Frank, Plato und die sogenannten Pythagoreer, Halle 1923,
p. 57 ; A. E. Taylor, A commentary on Plato's Timaeus, Oxford 1928, p. 361-378 (cfr.
anche p. 101).
Al passo del Timeo pud raccostarsi quello di uno scoliasta di Euclide P) 5, p. 675] :
UupapdSa тф rcupl, дхтавЗроу a6pt, xupoy ту) yij, EixotTdeSpov uSaTt, ScoSsxcfeSpoy тф
Travel.
Nell’Epinomide, la cui attribuzione a Platone ё discussa, vi ё un passo [Pla-
tone, Opera (ed. I. Burnet), 2, Oxonii 1913, 981-5] in cui accanto ai quattrtf « ele-
menti » gi& ricordati ne figura un quinto (I’etere) e, secondo una interpretazione non
esente da critiche, ai cinque « elementi» si farebbero cosi corrispondere i cinque poliedri
regolari.
La teoria platonica ё accolta da G. Cardano, Opera omnia le), 4, p. 173 (da Proc-
tica Arithmeticae, Cap. 66); p. 445 (da Encomium Geometriae), e da L Pacioli, Summa
XXVI. - Poligoni e poliedri
30»
Euclide183) dedica ai poliedri regolari le prop. 13a e seg. del Li-
bro XIII degli Elementi [presentati anzi qualche volta184) come intesi
a dare fondamento rigoroso a tale capitolo], risolve il problema dell’i-
scrizione nella sfera del tetraedro (prop. 13a), dell’ottaedro (prop. 14a)r
del cubo (prop. 15a), dell’icosaedro (prop. 16a), del dodecaedro (prop,
17a), e per ogni poliedro assegna allo spigolo il posto spettantegli nella
classificazione delle irrazionaliti algebriche di Libro X; colla prop. 18a
riunisce in una sola figura piana la costruzione dei cinque spigoli (dato
il diametro della sfera) e li confronta; infine dimostra che non esistono
altri poliedri regolari185 *).
28. Ulteriori studi sui poliedri platonici; proprieta me*
triche. — Nelle trattazioni geometriche piu о meno direttamente ispi-
rate ai modelli classici trovano degno posto i poliedri platonici. Qui,
tra le opere italiane, ricordiamo: la Pratica Geometriae di Leonardo
Pisano “•); la Summa di L. Pacioli 187); il trattato De corporibus re-
gularibus di Pietro Franceschi (detto Pier della Francesca)188 * 190); il
General trattato di N. Tartaglia 18e); 1’Algebra di R. Bombelli 19°).
J. Kepler tratta dei poliedri platonici nelle sue opere Mysterium
88), c. 68-t>. Invece J. Kepler, Opera omnia M), 1, 1858, p. 125 [da Prodromus disser-
tationum cosmographicarum continens mysterium cosmographicum, Tubingae 1596, Fran-
cofurti 1621, cfr. Opera omnia (cit), p. 95-214], ricorda la teoria platonica per oppome
una sua198).
188) Cfr. 4, 4, p. 289-341.
M4) In questo senso pud forse intendersi un passo di Proclo [riportato in M.
Chasles 49), p. 9], al quale se ne possono raccostare uno di P. Ramus [M. Chasles 49),
p. 514] ed uno di J. Kepler, Opera omnia w), 5, p. 82 [da Harmonices mundi libri V ®°)].
185) Ai poliedri regolari si riferiscono anche i cosiddetti Libri XIV e XV degli
Elementi d’EuCLiDE, il primo dei quali ё attribuito ad Ipsicle (circa 170 a. C.) ed il
secondo ё d’incerto autore. Cfr. G. Loria179), p. 277. Cfr. pure J. Tropfke8), 7,
p. 49-51, anche per altre notizie, p. e. su Pappo.
18e) Cfr. S7), p. 189-202; vi si trova la risoluzione di vari problemi sui poliedri
regolari, con dati numerici; in particolare vi si calcola il volume del dodecaedro (risp.
dell’icosaedro) inscritto in una sfera-data.
Cfr.»), c. 68-74.
“*) Il testo ne fu pubblicato da G. Mancini, Mem. Acc. Lincei (Classe Scienze
morali, ecc.), (5) 14 (1915), p. 446-580; ma una versione italiana con lievissime variant!
gid ne aveva pubblicato L. Pacioli come opera propria riunendola con altro sotto il
titolo Divina proportione, Venezia 1509. Cfr. su cid anche G. Pittarelli, Atti Congr.
mat. Roma, 3, Roma 1909, p. 436, G. Loria180), p. 441, a conferma di G. Vasari,
Vite, Firenze 1550, 1, p. 367; Firenze, 1568, 1, p. 356.
P. Franceschi vi risolve numerosissimi problemi sui poliedri regolari о conside-
red in sd od a coppie in particolari posizioni, sempre con dati numerici; cfr. G. Man-
cini, cit., Tractates secundus, p. 520-539; Tractates tertius, p. 540-556.
La Divina proportione ё pure da ricordarsi per la collaborazione che Leonardo
da Vinci, non ё ben certo inqual modo, apportd alia confezione delle figure. Cfr. per
cid (oltre L. Pacioli, Div. prop. 1, p. 22, p. 28-5) G. Mancini (cit}., p. 468, p. 482-484;
R. Marcolongo, Mem. mat. fis. Soc. it. sc., 23 (1930), p. 49. Cfr. pure 214).
Me) N. Tartaglia, General trattato, Parte 4a, Venezia 1560, c. 31, с. 4 39-42,
Parte 5a, Venezia 1560, c. 53-59, ove risp. si risolvono problemi con dati numerici о
si procede con metodo geometrico.
190) Cfr.87), p. 279-293.
310
Luigi Brusotti
cosmographicumivr) ed Harmonice mundi191), e nella prima si propone
di dimostrare che alle sei sfere (col centro nel sole) su cui giacciono le
orbite dei pianeti a lui noti (orbite supposte circolari) sono intercalati
i cinque poliedri platonici, in modo che ciascuno sia inscritto (risp.
circoscritto) per la sfera che lo precede (risp. lo segue)1W).
Oggi la teoria dei poliedri platonici pud ricollegarsi con altri ordini
d’idee e precisamente:
a) Colla divisione regolare della superficie sferica ottenuta
proiettando (mediante. semirette) dal centro del poliedro la rete de’
suoi spigoli sopra una sfera concentrica (p. e. su quella circoscritta) w).
i) Col gruppo di rotazioni che muta il poliedro in зё (ed ё lo
stesso per due poliedri reciproci), quindi anche col gruppo di sosti-
tuzioni lineari sulla variabile complessa immaginata opportunamente
distesa su una sfera concentrica195).
Le principal! propriety metriche dei poliedri platonici vengono
qui raccolte in due tabelle, di cui la prima riguarda il diedro в formato
da due facce contigue, mentre nella seconda si ddnno in funzione dello
spigolo d i raggi r, R, q della sfera inscritta, della circoscritta, di quella
tangente agli spigoli, I’area 5 della superficie, il volume V (omettendosi
le formole inverse facilmente deducibili)19e).
1M) GiA citato in 1M); cfr. Opera omnia **), 1, p. 95-214.
1M) GiA citata in **); cfr. Opera omnia “), 5, p. 119^122 e p. 270-277.
1M) Cfr. in Opera omniam) la nitida illustrazione della tavola fuori testo e della
figura a p. 214. L’ordine, dall’estemo, ё cosi indicator a-Sphaera Sattend, $-Cubus,
y-Sphaera Jovi*, Ъ-Tetraidron, e-Sphaera Martis, ^-Dodecaedron, T\-Orbis Terrae,
b-Icosaedron, i-Sphaera Veneris, Y.-Octaedron, X-Sphaera Mercurt, p.-Sol (medium sive
centrum immobile). Per il testo, ivi, p. 125. Inoltre: Opera amnia ltf), 5, p. 274-277 ;
Opera omnia M), 5, p. 4Й8 (da Apologia, Francofurti 1622).
1M) Vedasi specialmente E. Hes 91), Einleitung, p. 22-35. Cfr. pure A. Cayley,
Coll. Math. Papers, Ю, Cambridge 1896, p. 270-273 [oppure: Quart. J., 15 (1878),
p. 127-131] e (con estensione agli iperspazi) L. Schlaefli 91), p. 116-139.
1M) Cfr. il § 30 dell’art. IX di questa Encicl. m), anche per le citazioni. Cfr.
pure E. Cesaro, Mem. cour. et Sav. dtr. Ac. Belg., 53 (1894), p. 34; F. Levi1*1),
p. 236-271.
1И) Le relazioni fra R e d per i singoli poliedri platonici risalgono ad Euclide 1M),
almeno. Per le proprietA metriche in generale, oltre^ gli autori citati [da “•) a 19*)] vedi
A. M. Legendre141), p. 349, G. B. Magistrini”), p. 131-143; G. Dostor, Arch.
Math. Phys., (1) 62 (1878), p. 78-102, p. 285-89; O. Lowe, Ueber die regularen und
Poinsot schen Кбгрег, MGnchen 1883; M. Bruckner1*), p. 123-129; P. H. Schoute 14<),
p. 151-173. Cfr. anche1*5).
XXVI. - Poligoni e poliedri
311
/ r R P s V
\/~2 j y/~2 .
4 d d d V~3d* d*
12 4 4 12
1 V~2
6 — d ——d ——d 6d« d’
2 2 2
V1T , V"2 1 V~2
8 d ——d — d 2 V~3d* -I d*
6 2 2 3
1 — л/ Q
12 V 10 (254-11 v"5) d V"3 , —^-(1+ Vb/d 4 1 1 - (3+ V5)d 4 1 3 V 254-10 — (15+7 Vs)d' 5 —
20 — (34- V 5) d 4 V 104-2 V 5 d - (1+ V 5) d 4 5 V~3d* - (3+ V 5) d»
La somma delle proiezioni su una retta arbitraria dei segmenti
orientati congiungenti il centro di un poliedro platonico coi vertici e
nulla197).
In uno spazio ad TV > 3 dimensioni, il problema analogo a quello
le7) R. Hoppe, Arch. Math. Phys., (2) 4 (1886), p. 441-443; cfr. anche L. Schlae-
fli el), p. 138.
Propriety riflettenti funzioni simmetriche, momenti d’inerzia ecc. in A. L. Cau-
chy ••).
312
Luigi Brusotti
dei poliedri platonici da luogo a 6 od a 3 tipi di poUtopi regolari [cfr.ш)]
secondo che sia N = 4 oppure N > 51W).
29. Poliedri regolari stellati. — Se si considers come regolare
un poliedro avente facce regolari ed eguali, angoloidi regolari (§ 14)
ed eguali, si mantiene I’ipotesi della continuity, ma si prescinde dalla
condizione che il poliedro sia ordinario (,§ 18), sono da aggiungersi
ai cinque poliedri platonici altri quattro poliedri, detti poliedri regolari
stellati, ciascuno dei quali ё trasformato in её dal gruppo di rotazioni
dell’icosaedro [cfr. § 28, ft)] e individuate a meno di similitudini.
РслсЬё le facce sono poligoni convessi nel senso di L. Poinsot, per
esse la specie a secondo Ch. Wiener coincide (§ 5) con quella secondo
E. Hess. Lo stesso dicasi (§ 13) delle specie ft degli angoloidi.
Si proietti ora, mediante semirette, la superficie del poliedro dal
centro di questo sopra. una sfera concentrica, si conti ciascun punto
di una faccia tante volte qtiante sono le unity dell’indice della cella di
cui il punto fa parte (cfr. § 7) ed ogni punto della sfera tante volte
quante risulta per somma dai punti proiettati; ogni punto della sfera
verra cosi contato uho stessb numero A di volte, che si diry specie del
poliedrolee).
Aggiunte lemotazioni a, ft, A a quelle di § 27, i caratteri dei quattro
tipi di poliedri regolari stellati si raccolgono nella tabella seguente *°):
19e) L. Schlaefli 91), p. 42-56; ed indip endent emente : W. J. Stringham,
Amer. J. Math., 3 (1879), p. 1-15; E. Cesaro101), p. 58, che usa la denominazione
iperpoliedri. Cfr. pure: H. Scheffler, Die polydimensioncden Grossen, Braunschweig
1880, p. 148; R? Hoppe, Arch. Math. Phys., 67 (1881), p. 29-44 ; 68 (1882), p. 110-112,
p. 151-166; V. Schlegel, Bull. Soc. math. France, 10 (1882), p. 172-207; Nova Acta
Acad. Leop. Carol., 14 (1883), p. 343-459; Rend. Palermo, 5 (1891), p. 1; A. Puchta,
Stzgsb. Ak. Wien, 89 (1884), p. 806-840; Q. Biermann, Stzgsb. Ak. Wien, 90 (1884),
p. 144-159; E. Hess,-Stzgsb. Ges. Naturw. Marburg, 1885, p. 31-57 ; 1895, p. 29-50 ;
1898, p. 89-108; P. H. Schoute144), p. 196-261., Per N qualunque si hanno poli-
topi regolari risp. di N + 1, 2 Nt 2N facce (analoghi risp. al tetraedro, al cubo, all’ot-
taedro) ; per N = 4 si hanno in piii politopi regolari risp. di 24, 120, 600 facce. Il poli-
topo regolare analogo al cubo (per N qualunque) gia in lettera (1816) di F.‘ L. Wachter
a C. F. Gauss [cfr. P. Staeckel, Math. Ann., 54 (1901), p. 65-66].
199) Cid pud mettersi in relazione. con a) xli § 28; cfr. E. Hess91), Einleitung,
p. 434. Per una definizione piu generale di specie di un poliedro e per la critica relativa
cfr. specialmente E. Steinitz10), p. 32. Cfr. pure E. Hess, Stzgsb. Ges. Naturw.
Marburg, 1876, p. 15; 91), Einleitung, p. 430; Ch. Wiener11), p. 16; E. Fedorow,
Atti. della Society imperiale russa mineralogica (in russo), 21 (1885), p. 1-279; M.
Bruckner10), p. 72, p. 164, p. 176, p. 214 e (con estensione agli iperspazi) L.
Schlaefli91), p. 43, p. 50, p. 52; P. H. Schoute144), p. 178, p. 236.
20°) In essa pud verificarsi la:
(52) bv-\-af = s-\-2A,
che pud considerarsi come un’estensione della relazione di Euler [§ 17, form. (30);.
cfr. anche § 21] ; cfr. per cid A. Cayley, Coll. Math. Papers, 4, Cambridge 1891, p.’81-
85 [oppure Phil. Mag., (4) 17 (1859), p. 123-128], e per notizie M. Bruckner10),
p. 178. Le generalizzazioni della (52) legate a qudle della specie A subiscono [cfr. 199)1
la stessa critica.
XXVI. - Poligoni e poliedri
313
f V s n m a b A
I 12 12 30 5 6 1 2 3
II 12 12 30 5 5 2 1 3
III 12 20 30 5 3 2 1 7
IV 20 12 30 3 5 1 2 7
I poliedri I e II sono fra loro reciproci ( § 24) ; cosi III e IV.
I vertici, se 12 (risp. se 20), coincidono con quelli di un icosaedro
(risp., dodecaedro) platonico ; i piani delle facce, se 12 (risp. se 20),
con quelli relativi ad un dodecaedro (risp. icosaedro) platonico.
I tipi II e 1П (ad angoloidi non intrecciati) sono descritti e raffi-
gurati nella Harmonize mundi di J. Kepler **); ma i quattro tipi sono
presentati .insieme per la prima volta da L. Poinsot М2) {poliedri di
Poinsot), il quale perd assegna ai poliedri II e III risp. la specie 2 e 4,
perchd nel Computo della superficie conta in ogni faccia una sola volta
la cella d’indice 2 **).
I poliedri I e IV, a facce ordinarie, sono (§ 21) risp. di genere
p = 4, p = 0. tln’estensione del concetto di genere permette di attri-
buire a p gli stessi valori anche per i poliedri reciproci 204).
Il poliedro I (dodecaedro regolare stellato a facce ordinaries sternecki-
ges, Zwolfflach dei tedeschi; great dodecahedron degli inglesi) pud co-
struirsi: a) partendo dall’icosaedro platonico ed assumendo come ver-
tici di una faccia gli estremi degli spigoli dell’icosaedro uscenti da un
vertice di questo; b) partendo dal dodecaedro platonico, deducendo
da ciascuna faccia di questo un pentagono stellato per prolungamento
(§ 9) ed assumendo come faccia il pentagono ordinario avente gli stessi
vertici di quello stellato.
M1) Cfr. J. Kepler, Opera omma °°), 5, 1864, p. 122 e precisamente la prima.
parte della Prop. XXXI: Addi possunt cbngruentiis perfectissimis regularibus duae etiam
aliae congruentiae stellarum duodecim pentagomcarum, et duae semisolidae stellarum octan-
gulae et decangulae. Per 1’interpretazione della seconda parte in relazione a poliedri
stellati ma non regolari (§ 31) cfr. M. Bruckner10), p. 203.
°02) L. Poinsot u), p. 37-42. Perfezionamenti in A. L. Cauchy, J. Ёс. polyt.^
9 (1813), cah. 16, p. 68, oppure Oeuvres, (2) 1, Paris 1905, p. 7; J. Bertrand, C. R.
Ac. Sc. Paris, 46 (1858), p. 79, p. 117A. Cayley 200); Ch. Wiener11), p. 18-31.
Cfr. anche: O. Terquem, Nouv. Ann. math., (1), 8 (1849), p. 136; E. RoucHfc e Ch.
de Comberousse, Traiti de G^omdtrie, ed. 7a, Paris 1900, Parte II, p. 247 ; F. Calda-
RERA11), p. 154; M. Bruckner10), p. 166; M. Simon, Arch. Marh. Phys., (3) 7 (1904)r
p. 136; A. Maroni, Period, mat., (4), 8 (1928), p. 257. Cfr. inoltre 2oe) e S. GOn-
THER10), p. 42.
I lavori di L. Poinsot, A. L. Cauchy, J. Bertrand, A. Cayley fiirono ripubbli-
cati da R. Haussner, Abhandlungen uber die regebnassigen Stemkbrper, Leipzig 1906fc
Politopi144) regolari stellati in L. Schlaefli o1), p. 53; E. Hess, Stzgsb. Ges.
Naturw. Marburg, 1885, p. 31-57; P. H. Schoute/44), p. 235.
°00) L. Poinsot ; cfr. A. Maroni 202), p’ 270.
°04) Tutto cid giA in A. F. Mobius, Werke 12), 2, p. 555-559 (NaMass), ove peri>
egli si riferisce alia classe (Klassenzahl) 5 risp. 1 nel senso di 127). Cfr. pure E.' Stei-
nitz10), p. 104.
314
Luigi Brusotti
Il poliedro II (dodecaedro regolare a facce stellate e a 12 vertici \ zwolf-
eckiges Sternzwolfflach dei tedeschi; small stellated dodecahedron degli
inglesi) pud dedursi da I sostituendo ad ogni faccia di questo il penta-
gono stellate che ha gli stessi vertici; esso, quindi ammette deduzioni
dirette dai poliedri platonici analoghe ad a), b) di I.
,( Il'poliedro III (dodecaedro regolare a facce stellate e a 20 vertici \
zwanzigeckiges Sternzwolfflach dei tedeschi; great stellated dodecahedron
degli inglesi) pud dedursi: a) da I, sostituendo ad ogni pentagono or-
dinario faccia di questo il pentagono stellato che se ne ricava (§ 9) per
prolungamento; b) dal dodecaedro platonico, tracciando gli spigoli
di questo uscenti dai vertici di una faccia senza appartenerle, conside-
rando i loro ulteriori estremi come vertici di un pentagono stellato,
assumendo quest’ultimo come faccia.
Il poliedro IV (icosaedro regolare stellato; sterneckiges Zwanzig-
flach dei tedeschi; great icosahedron degli inglesi) pud dedursi dall’ico-
saedro platonico: a) trovando le intersezioni del piano di ciascuna
faccia di questo coi piani delle facce contigue all’opposta ed assumendo
il triangolo formato da tali tre rette come nuova faccia; b) introducendo
per ciascuna faccia dell’icosaedro platonico le tre contigue e considerando
i loro vertici non appartenenti a quella come vertici di una nuova faccia.
Ch. Wiener **) fornisce rappresentazioni col metodo di G. Mon-
ge *•) di ciascuno dei poliedri di L. Poinsot (vedi Fig. 10, 11, 12, 13,
risp. per i tipi I, II, III, IV) e sviluppi della loro superficie visibile,
atti alia costruzione di modelli.
Il diedro 0, formato da due facce contigue, per i dodecaedri I e
III (risp. per II) ё supplementare (risp. uguale) a quello (§ 28) del do-
decaedro platonico; per I’icosaedro IV, ё supplementare di quello
(§ 28) defl’icosaedro platonico. Ulteriori propriety metriche si otten-
gono esprimendo, per ciascun tipo, r, /?, q, 5, V (w) in funzione dello
spigolo J208).
Se si prescinde dalla continuity (§ 18) del poliedro, e si estende la de-
finizione di poliedro regolare mediante considerazioni gruppali [ § 28, 6)],
coi poliedri platonici e di L. Poinsot sono da prendersi in esame:
a) Il sistema di due tetraedri regolari mutuamente simmetrici
rispetto al centro comune w®).
m) Ch. Wiener11), Tav. I e II. Per la rappresentazione cfr. anche Ch. Wie-
ner, Lehrbuch der darstdlenden Geometrie, Leipzig 1884, 1, p. 135.
*•) Per tale metodo cfr. Fart. XXXVI di questa Encicl. (A. Comessatti, Geo-
metria descrittiva ed applicazioni), § 4.
207) Le notazioni sono quelle di $ 28. L’area S della superficie ed il volume V
s’intendono calcolati secondo le definizioni di $ 26. Per la superficie si pud indifferen-
temente ricorrere al criterio a) od al criterio p), ivi.
**) Per queste ed altre cfr.: G. .Dostor lftt); J. math, pures appl., (6) 5 (1879),
p. 209; O. Lowe 1И); M. BrOcknkr1®), p. 171; P. H. Schoute14*), p. 173-180.
™) Il sistema ё talora designate come la Stella octangula di Kepler [p. e. in
M. BrQckner10), p. 175)]. Ma nella Harmamce mandi, a cui E. Steinitz, m), p. 105,
rinvia, la locuzione iStella octangula » ё usata solo nel senso di ottagono stellato. Cosi
in W1).
XXVI. - Poligoni e poliedri
315
p) Un sistema di cinque tetraedri regolari (concentrici) i cui
vertici sono vertici di un dodecaedro platonico (mentre i piani delle
facce sono quelli delle facce di un icosaedro platonico).
y) Un sistema di 10 tetraedri che consta del sistema p) e del
Fig. 10.
Fig. 11.
suo simmetrico rispetto al centro comune [e pud quindi comporsi
con 5 sistemi a)].
Precisamente, a seconda della definizione assunta si aggiungonp
о il solo tipo a) no), od i tipi a) e P) ш), о tutti e tre i tipi “).
“•) Coil E. Fedorow1**). Cfr. E. Steinitz1*), p. 105.
ш) Coii E. Steinitz1*), p. 105.
ni) Coei M. BrOckner1*), p. 167.
316
Luigi Brusotti
30. I poliedri arcbimedei ed i loro duali (Poliedri semi*
regolari). — Diconsi poliedri archimedei i poliedri (convessi in senso
elementare) aventi facce regolari (ma non tutte dello stesso numero di
lati) ed angoloidi tutti uguali (ma, percid, non regolari); segue che le
facce sono di due о tre tipi diversi e che gli angoloidi sono о triedri,
о tetraedri, о pentaedri.
Si riuniscono qui in un prospetto i 15 tipi di poliedri archimedei^
coll’awertenza che 13 sono individual a meno di similitudini, mentre
due (V e VII del prospetto) ammettono in tale senso infiniti sottotipi
ciascuno.
Con a, b (risp. con a, 5, c) s’indica il numero dei lati per i due (risp.
XXVI. - Poligoni e poliedri
317
per i tre) tipi di facce; con il numero delle facce di i lati concor-
renti in un vertice; con n il numero totale delle facce cosi concorrenti,
con fi il numero delle facce del poliedro aventi i lati, con /, v, s il nu-
mero totale risp. delle facce, dei vertici, degli spigoli.
a) Poliedri con facce di due tipi
n ла nb a b ft ft / V s
I' 5 4 1 3 4 32 6 38 24 60
II 5 4 1 3 5 80 12 92 60 150
III 4 2 2 3 4 8 6 14 12 24
IV 4 2 ' 2 3 5 20 12 32 30 60
V 4 3 1 3 5фЗ 2b 2 2b +2 2b 45
VI 4 3 1 4 3 18 8 26 24 48
VII 3 . 2 1 4 5ф4 b 2 b 4- 2 2b 35
VIII 3 2 1 6 3 4 4 8 12 18
IX 3 2 1 6 4 8 6 14 24 36
X 3 2 1 6 5 20 12 32 60 90
XI 3 2 1 8 3 6 8 14 24 36
XII 3 2 1 10 3 12 20 32 60 90
fl). Poliedri con facce di tre tipi
n na nb nc a 5 c fb fc f V £
XIII 4 2 1 1 4 3 5 30 20 12 62 60 120
XIV 3 1 1 1 4 6 8 12 8 6 26 48 72
XV 3 1 1 1 4 6 10 30 20 12 62 120 180
Nei tipi III e IV (risp. XIII), attorno ad un vertice le due facce
triangolari (risp. quadrangolari) sono separate dalle due rimanenti.
I casi b = 3, b = 4 esclusi risp. per i tipi V e VII condurrebbero al-
Tottaedro regolare ed al cubo.
Le denominazioni generalmente usate sono rispettivamente: I.
Cubo simo; II. Dodecaedro simo ; III. Cubottaedro; IV. Icosidodecaedro ;
V. Antiprisma archimedeo о prisma storto; VI. Rombicubottaedro; VII.
Prisma archimedeo} VIII. Tetraedro tronco} IX. Ottaedro tronco} X.
Icosaedro tronco; XI. Cubo tronco; XII. Dodecaedro tronco} XIII.
Rombicosidodecaedro; XIV. Cubottaedro tronco; XV. Icosidodecaedro
tronco.
Ciascuno dei poliedri archimedei ё inscritto in una sfera e mutato
in её da un gruppo di rotazioni operante transitivamente sui vertici.
Il gruppo ё ciclico per V, diedrale per VII, del tetraedro per VIII,
318
Luigi Brusotti
dell’ottaedro per I, III, VI, IX, XI, XIV, dell’icosaedro per II, IV,
X, XII, XIII, XVй8).
Accanto agli archimedei si considerano i poliedri duali degli archi-
medei con angoloidi regolari (ma non 'tutti dello stesso numero di spi-
goli) e facce tutte uguali (ma, percid, non regolari), che si ottengono
dagli archimedei mediante la polarity rispetto ad una sfera concentrica.
Ciascuno di tali poliedri ё quindi circoscritto ad una sfera, mutato in
её da un gruppo di rotazioni operante transitivamente sulle facce e coin-
cidente con quello dell’archimedeo duale, del quale il poliedro ё re-
ciproco nel senso di § 24; соэюсЬё la tabella dei tipi ё identica, salvo
il significato duale delle lettere.
I poliedri archimedei ed i loro dual! diconsi poliedri semiregolari m).
,18) Per il linguaggio qui usato cfr. i §§ 9 e 30 dell’art. IX di questa Encicl. 1S1)~
In particolare dicesi che il gruppo opera transitivamente su certi elementi, se, dati
comunque due di questi, sempre esista un’operazione del gruppo che porti il primo*
nel secondo.
su) Se si escludono i tipi V e VII, i poliedri archimedei risalgono effettivamente
ad Archimede, secondo 1’asserzione di Pappo Alssandrino. Cfr. F. Hultsch, Pappi
Alexandrim Collectioms quae supersunt, 1, Berolini 1875, p. 352-359 (da Ilepl arepecov
о Parte 2a di Libro V); ivi (p. 352) si legge che accanto ai poliedri platonici sono da
considerarsi xal та икд ’Ap/qxTjSouc; eupe$£vra трюхаСЗеха t6v dpi^pdv итсд boTtketiptov
pev xal laoycovltov oux op.o(ajv Se 'Ttokuycbvcov тгерсе/бцеуа; segue 1’elenco dei 13 tipi
raggruppati per valori crescenti di /, indi 1’assegnazione di v, per i singoli tipi, con
criterio costante. V. pure Pappus d’Alexandra, La collection math&natique, ed. P. Ver
Eecke, 1, Paris-Bruges 1933, p. 272-276. Alla citazione di Pappo ё da raccostarsi il
breve cenno in Erone*) 4, p. 66 (def. 104 in **Opot).
I 13 tipi ricompaiono descritti e raffigurati in J. Kepler, Opera omnia so), 5>
p. 123-127 [da Harmunices mundi libri V60)] ; egli li introduce colla prop. XXVIII:
Perfectae in solido congruentiae gradus inferioris sunt trededm; ex quibus oriuntur Archi-
medea corpora, ma separatamente raffigura anche i tipi V e VII (ivi, p. 116).
Pietro Franceschi nell’opera De corporibus regularibus e precisamente nell’ul-
tima parte intitolata De corporibus irregularibus (prop. I-VI) risolve problemi concer-
nenti i tipi VIII, IX, X, XI, XII ed un poliedro (non archimedeo) di 72 facce (24
triangoli e 48 quadrilateri) sui quale aggiunge: Hoc corpus docet сопреете Campanur
in XII IIa parte XII Euclidis. Cfr. per tutto cid: G. Mancini ш), p. 556-565.
L. Pacioli, a prescindere da quanto nella Divina Proportioned) riporta da P.
Franceschi, considera nella Summa “), cart. 69, i tipi III ed VIII; ma il suo interesse
per lo studio dei poliedri risulta altresl dal possesso di una collezione di 60 modelli
[cfr. p. e. Summa “), cart. 68; G. Mancini lM), p. 482-484]; e trova conferma nel
modello di un poliedro di tipo VI introdotto in un noto ritratto del Pacioli, di cui
una riproduzione vedesi in Et. Bortolotti, La scuola matematica di Bologna, Bologna.
1928, p. 17.
Leonardo da Vinci [di cui gi£ fu ricordata188) la coUaborazione con L. Pacioli]’
nel Codice Atlantico™) о raffigura о soltanto verbalmente descrive ciascuno dei tipi'
III, IV, IX, X, XI (fol. 263 recto, fol. 272 verso b); anzi dei tipi XI e III indica la
deduzione dal cubo ( «tratto dal dado toltoli li angoli »; « taglia li angoli al dado insino,
al mezzo dello spigolo »); e considera anche poliedn (non archimedei) piii complicati„
costruibili con procedimenti ricorrenti.
R. Bombelli ®7), p. 293-302, dei tipi VIII, III, XI d& costruzione, sviluppo, dia-
metro della sfera circoscritta, area della superficie, volume; congettura di Et. Bor-
tolotti sull’eventuale dispersione di una piii generale trattazione sui poliedri archi-
medei, ivi, p. 302.
Infine la determinazione del volume di un poliedro (di dato spigolo) del tipo
XXVI. - Poligoni e poliedri
319
31. Altre classi di poliedri metricamente particolari. —
Fra i poliedri convessi (in senso elementare) si possono considerare
quelli mutati in si da un gruppo di rotazioni. Sono stati specialmente
studiati i poliedri per cui il gruppo operi transitivamente [cfr. a3)]
sui vertici oppure sulle facce. Ad entrambe le categorie appartengono
i poliedri platonici [§ 28, i)], alia prima (risp. alia seconda) apparten-
gono (§ 30) gli archimedei (risp. i loro duali); a queste tre classi pud
morfologicamente (§ 24) ricondursi ogni altro caso della prima о della
seconda categoria пб).
Un poliedro della prima (risp. della seconda) categoria ha gli an-
goloidi (risp. le facce) uguali, inclusa nell’uguaglianza degli angoloidi
(risp. delle facce) quella (ordinata) degli spigoli del poliedro uscenti
dal vertice (risp. quella dei diedri adiacenti). E percid per Tuna (risp.
per 1’altra) delle due categorie e stata dagli autori tedeschi usata la de-
nominazione.: gleicheckige (risp. gleichflachige) Polyeder, Tuttavia le
classi dei poliedri caratterizzati soltanto da tali uguaglianze risultano
piu ampie ae).
Qualunque sia il punto di vista, se si prescinde dalla condizione
che il poliedro sia convesso in senso elementare [cioe se si compie 1’esten-
sione gii compiuta per i poliedri regolari a § 29, eventualmente anche
coll’iiitroduzione di forme unilatere (§ 19) о di forme discontinue
ХЩ (quindi con facce di tre tipi) ё quesito proposto da N. Tartaglia a L. Ferrari,
che indica la'via per risolverlo e dice d’aver usato un modello. Cfr. per cid I sei cartelli
di matematica disfida ecc. (raccolti, autografati e pubblicati da E. Giordani), Milano
187j6, «Aeconda risposta » di N. Tartaglia, p. 19-20, * quinto cartello » di L. Ferrari,
p. 43-46. Cfr. anche184).
Tutto cid dimostra come in Italia nel sec. XVI i poliedri, e particolarmente gli
archimedei, fossero oggetto di studio, e fra i preferiti.
Per notizie concementi ulteriori studi sui poliedri archimedei cfr. M. Bruck-
ner10), p. 156-163.
I poliedri« duali degli archimedei» si trovano elencati in E. Catalan 146), colla
denominazione « poliedri semiregolari di 2° genere » ( « di 1° genere » essendo gli ar-
chimedei, ivi ritrovati); ma un precedente giA si ha in J. H. T. Muller, Lehrbuch der
Mathematik, 2, 3 Abth., Halle, 1852, p. 345; per la scoperta archeologica di un «tria-
contaedro rombico » (duale di IV) cfr. F. Lindemann 178), p. 626-628 [ed anche G.
Loria178), p. 338].
Sui poliedri semiregolari cfr. F. Caldarera u), p. 155-165; M. Bruckner10),
p. 132-140 ; A Maroni, Period, mat., (4) 3 (19&3), p. 294-305; e (per i soli archi-
medei) F. Panizza, Period, mat., 3 (1888)*, p. 109-118.
Sui politopi [cfr.144)], estensione agli iperspazi dei poliedri archimedei, cfr.:
A. Boole Stott, Verb. Ak. Amsterd., 11, n. 1 (1910); P. H. Schoute, Verh. Ak.
Amsterd., 11, n. 3 (1911), n. 5 (1913), 13, n. 2 (1916); Amer. J. Math., 35 (1913),
p. 357-368.
ш) Cfr. p. e. A. Maroni 214), p. 308. Lo studio rientra in quello dei poliedri
simmetrici, ossia mutati in зё da uguaglianze non identiche [A. F. Mobius, Werke18), 2,
p. 567-708 (Nachlass)], le quali sono necessariamente rotazioni [eventualmente di 2&
specie; cfr. il § 13 dell’art. IX di questa Encicl.181)] per 1’invarianza del baricentro
(A. F. Mobius, cit., p. 271] e diconsi talora simmetrie. Per i poliedri simmetrici cfr.
anche A. Bravais, J. math, pures appl., 14 (1849), p. 137.
u<) Cfr. p. e. E. Steinitz10), p. 111.
320
Luigi Brusotti
(§ 18)], si ottiene una varieti assai grande di tipi a7) la cui classificazione
non pud ancora considerarsi come esaurita217 218 219).
Le prime ricerche nell’indiriz^o del presente § furono suggerite ae)
dai legami sussistenti fra la teoria dei poliedri e la Cristallografia, le-
gami il cui studio non entra nel quadro del presente articolo 22°).
32. Poliedri topologicamente regolari. Risultati piu gene*
rali di Jordan e di Bertini. — Si considerino poliedri euleriani
(§ 18) con criteri strettamente topologici (cfr. § 19), cosicche la tratta-
zione si estenda anche a poliedri con facce non piane e spigoli non ret-
tflinei 221).
Si pud allora proporre la ricerca dei tipi di poliedri topologicamente
regolari, cioe tali che tutte le facce del poliedro abbiano ugual numero
di lati ed in tutti i vertici concorrano spigoli in ugual numero, tipi nei
quali sono compresi come casi metricamente particolari gli ordinari
poliedri platonici (§ 27). Ma la posizione piii generale del problema
conduce ancora 222) ai cinque tipi indicati nella tabella di § 27, colla
sola aggiunta del diedro nel senso di F. Klein [cioe del poliedro com-
posto di due facce (col contorno in comune)] 223) e della sua forma
reciproca, di cui ё un esempio la divisione della superficie sferica me-
diante semicircoli meridiani 224).
Tale constatazione rientra nello studio piii generale che C. Jor-
dan 225) ed E. Bertini 22e) hanno fatto dei poliedri euleriani con cri-
terio strettamente topologico e con speciale riguardo alia possibility
di riferimenti biunivoci ma non identici del poliedro con se stesso, nei
quali cioe a ciascun elemento (vertice, spigolo, faccia) corrisponda uno
(ed un solo) elemento dello stesso nome (e reciprocamente), in modo
perd che ad elementi appartenentisi corrispondano elementi apparte-
217) Cfr. J. Hessel, Uebevsicht dev gleicheckigen Polyedev und Hinweisung auf
die Beziehungen diesev Korper zu den gleichflachigen Poly edem, Marburg 1871; E. Hess,
Stzgsb. Ges. Naturw. Marburg., 1872, p. 81-92; 1875, p. 1-20; 1877, p. 1-13; 1878,
p. 16-23; 1879, p. 1-7, p. 99-103; Ueber die zugleich gleicheckigen und gleichflachigen
Polyedev, Cassel 1876; Uebev viev Avchimedeische Polyedev hohevev Avt, Cassel 1878;
<ei), P- 36-475 ; Th. Hugel, Die vegulaven und halbvegulaven Polyedev, Neustadt a. d. H.
1876; J. Pitsch, Z. Realschulw., 6 (1881), p. 9-24, p. 72-89, p. 216 ; 7 (1882), p. 162-
163; M. Bruckner10), p. 179-218; Verh. 3 intern. Math.-Kong. Heidelberg 1904,
Leipzig 1905, p. 707-713; Abh. k. Leop.-Carol, deutschen Ak. d. Naturf., Halle,
86 (1906), p. 7-348; Unterrichtsbl. f. Math. 14 (1907), p. 106-110, p. 120-127 ; A.
Rosenthal, Stzgsb. Ak. Munchen, 38 (1908), p. 1-18; E, Steinitz10), p. 110-114.
218) E. Steinitz10), p. 114.
219) A. F. Mobius 215); A. Bravais 21e).
22°) Per citazioni cfr. la nota “) dell’art. IX di questa Encicl.121).
221) Con tale criterio sono talora studiate le questioni morfologiche (§ 24). Cosi
p. e. in A. Andreini 15e) ed in E. Steinitz e H. Rademacher 23).
222) C. Jordan141), p. 74. Cfr. anche E. Cesaro101), p. 5; Nouv. Ann. math.,
(3) 2 (1883), p. 46-47; A. Errera 148).
223) Cfr. la nota 182) dell’art. IX di questa Encicl.121).
224) L’analoga questione per i poliedri semiregolari in E. Cesaro161), p. 5.
225) C. Jordan141), p. 35-85.
22в) E. Bertini, Ann. Sc. norm. Pisa, 1 (1869), p. 89-132.
XXVI. - Poligoni e poliedri
321
nentisi. Con un tale riferimento si introducono (C. Jordan) due aspetti
simili del poliedro.
Iji relazione al possesso di aspetti simili, i poliedri euleriani pos-
sono distribuirsi in nove classi, 1’ultima delle quali contiene i poliedri
che non ne posseggono. Per ciascuna delle altre otto, come risulta dalle
stesse denominazioni usate 227), ogni poliedro ha rappresentanti metrici
in cui gli aspetti simili sono effettivamente subordinati a simmetrie
[cfr. И5)]. Per 1’assegnazione ad una classe furono studiati criteri 228).
Questioni analoghe si presentano 22®) anche per poliedri non eule-
riani M0).
227) Sono le seguenti: 1.'Poliedri can simmetria per rotazione. 2. Id. con simmetria
per rotazione e ritomo. 3. Id. con simmetria per ritomo. 4. Id. con simmetria per rotazione
e rovesciamento. 5. Id. con simmetria per ritomo e rovesciamento. 6. Id. con simmetria
tetraedrica.' 1. Id. con simmetria cubottaedrica. 8. Id. con simmetria icosidodecaedrica.
Cosi E. Bertini 818), p. 97, traducendo dal francese di C. Jordan 1U), p. 81.
888) E. Bertini818), p. 99.
”•) C. Jordan148); W. Godt148); A. Errera148); H. R. Brahana, Amer. J.
Math., 49 (1927), p. 268-284; F. Levi181), p. 86.
88°) Nel presente articolo non hanno trovato posto gli sviluppi riflettenti poli-
goni e poliedri in relazione colla teoria dell’equivalenza (p. e. i risultati di M. Dehn e
di O. Nicoletti) о con quella dei massimi e minimi (p. e. i problemi isoperimetrici)
о infine (e per i poligoni) colla ciclometria. Vedansi per cid risp. gli articoli XXI16)
§§ 41-47; XXXI (E. G. Togliatti, Massimi e minimi); XXIII ’•), §§ 17-18, di questa
Encicl.
Si vogliono invece qui ricordare le relazioni angolari (valide per poliedri eule-
riani) :
a = 4 (v — 2) ,
2 8 — 0 = 4 (/— 2) ,
dicendosi v (risp. f) il numero dei vertici (risp. delle facce), a, 3, о lajsomma risp. degli
angoli piani, dei diedri, degli angoloidi (assunti come unitA risp. Fangolo retto, il diedro
retto, il triedro trirettangolo). Cfr. per la prima L. Euler186), p. 134;18e)„ p. 154;
per la seconda J. A. Grunert, J. reine ang. Math., 5 (1836), p. 41; Ch. J. Brianchon,
J. Ёс. polyt., 15, cah. 25 (1837), p. 317. Si raffronti con (1) di § 5.
Un argomento strettamente legato alia teoria dei poligoni e poliedri [e politopi
144)] ё quello delle ripartizioni regolari del piano, dello spazio [dell’iperspazioj.
Prescindendo da significazioni piii late [per cui si rinvia ad E. Steinitz 10), p. 127--
132, ed a B. N. Delaunay, Atti Cong. mat. Bologna, 4, Bologna 1931, p. 147, ed in-
tendendo per' ripartizione regolare una ripartizione in poligoni, о poliedri, о politopi
regolari, uguali e regolarmente disposti intorno a ciascun vertice, si ha un solo
tipo indipendente dalla dimensione dello spazio, ed ё quello che dA luogo alia
serie : ripartizione in qhadrati, in cubi, in politopi regolari di 2 N facce (N = 4, 5, ...).
Ma nel piano sono da aggiungersi le due ripartizioni (fra loro correlative) in triangoli
equilateri ed in esagoni regolari e nello spazio a quattro dimensioni le ripartizioni in
politopi regolari [cfr. 188)] risp. di 16 e di 24 facce. Cfr. per cid: E. Cesaro141 * *), p. 74;
P. H. Schoute144), p. 244, p. 261; E. Steinitz10), p. 130; per quanto riguarda il
piano e lo spazio ordinario, cfr. (anche per notizie) M. Bruckner10), p. 157-158 ; A.
Andreini, Mem. mat. fis. Soc. it. sc., (3) 14 (1907), p. 75-129.
Nel piano (con passaggio analogo a quello dai poliedri regolari ai semiregolari,
cfr. § 30) si sono considerate ripartizioni semiregolari. Cfr. E. Cesaro lel), p. 44;
M. BrUckner (cit.); A. Andreini (cit.). Questioni affini si sono presentate anche nello
spazio, introducendosi altresi, accanto ai poliedri regolari, i poliedri semiregolari.
Cfr. per una trattazione d’indole generale A. Andreini (cit.) e, per esempi, P. H.
Schoute144), p. 195-196.
322
Luigi Brusotti
Ripartizioni regolari (ed analoghe) si sono pure studiate negli spazi non euclidei
[v. Part. XXXVIII di questa Encicl.125)]. Cfr. per cid: V. Schlegel, Arch. Math.
Phys., (2) 10 (1891), p. 154-168; L. Bianchi, Rend. Acc. Lincei, (5) 2 (1893), p. 66-72 ;
G. Sansone, Ann. Sc. norm. Pisa, 12 (1912), Mem. 3a, 13 (1919), Mem. 5a; Ann.
mat. pura appl., (3) 28 (1919), p. 109-146, e (anche per notizie) E. Steinitz10), p. 124.
Cfr. pure: C. Weber e H. Seifert, Math. Zeitschr., 37 (1933), p. 237.
Per la ripartizione di un poligono regolare in poligoni regolari cfr. A. Andreini,
Period, mat., (2) 3 (1901), p. 285-294.
Infine tra i poliedri a facce non piane si voglion qui ricordare gli osoedri di V.
Caravelli, Archimedis theoremata de circuit dimensioned sphaera et cylindro ecc., Na-
poli 1751, nei quali rientrano i poliedri cilindrici di N. di Martino, Elementi della Geo-
metria cosi piana come solida ecc., Napoli 1768, perd presumibilmente introdotti da
N. di Martino anteriormente e percid nel 1751 giA noti a V. Caravelli. Cfr. per no-
tizie F. Amodeo, Atti Acc. Pontaniana, 32 (1902), Mem. 11; P. ver Eecke, Mathesis,
49 (1935) p. 59, ove trovasi una versione francese dell’opera di V. Caravelli, per la
parte concerhente gli osoedri; cfr. pure Fart. XXIII diquestaEncicl. 39), § 20,nota130).
Precisamente, circoscritto ad un circolo massimo della sfera un poligono rego-
lare e congiunti i poli coi punti di contatto dei lati mediante quadranti, le superficie
cilindriche tangenti alia sfera lungo quadranti uscenti da uno stesso polo e consecutivi
si tagliano in archi di ellisse che, coi lati del poligono, fomiscono gli spigoli di un osoedro
esterno (poliedro cilindrico di N. di Martino), essendo le facce fornite dalle dette
superficie cilindriche. Oppure, inscritto in un circolo massimo un poligono regolare
e congiunti i poli coi vertici mediante quadranti, una faccia sia generata da un segmento
parallelo ad un lato e cogli estremi sui quadranti congiungenti uno dei poli cogli estremi
di detto lato; si ottiene cosi un osoedro interno. Analogamente, a partire da un poligono
regolare con numero pari di lati ed utilizzando ellissi uguali aventi per assi le congiun-
genti vertici opposti e Faltro asse comune, si costruisce Гosoedro ellittico.
XXVII
SISTEMI LINEARI DI CERCHI E DI SFERE
di BONAPARTE COLOMBO a Torino
INDICE
Pag.
1. Cenni storici ........................................................... 327
2. Preliminari. Estensione del concetto di cerchio e di sfera. Coordinate car-
tesiane di cerchio e di sfera.................................................. 328
3. Potenza di un punto rispetto ad un cerchio e ad una sfera. Potenza angolare
о di similitudine............................................................ 331
4. Coppia di cerchi о di sfere ortogonali. Coppia di cerchio e sfera ortogonali.
. Coppia di cerchi о di sfere in sezione diametrale ........................... 332
5. Asse radicale di due cerchi. Centro radicale di tre cerchi. Piano radicale
di due sfere. Asse radicale di tre sfere. Centro radicale di quattro sfere 335
6. Sistemi lineari di cerchi e di sfere ; fascio di cerchi, rete di cerchi, fascio
di sfere, rete di sfere e complesso lineare di sfere .................... 340
7. Propriety dei sistemi lineari di cerchi................................... 343
8. Propriety dei sistemi lineari di sfere............................... 345
9. Omotetie tra cerchi e sfere. Cerchio о sfera di similitudine di due cerchi
о sfere .................................................................... 348
10. Inversion! tra cerchi e sfere. Potenza mutua di due cerchi о sfere. Problems
di Apollonio. Problems di Mslfstti. ........................................... 351
11. Sistemi lineari di cerchi e di sfere mutuamente ortogonali.............. 354
12. Ulteriori propriety dei sistemi lineari di cerchi e di sfere. Relazioni tra loro
e coll’inversione. Relazioni tra sistemi lineari di cerchi' nel piano e suHa
sfera mediante proiezione stereografica della sfera ........................... 355
13. Complement! ed applicazioni varie........................................ 357
14. Sistemi lineari di cerchi nello spazio. Cerchi ortogonali ad una sfera. Coppia di
cerchi in involuzione ed in bunvoluzione....................................... 358
15. Estensione del concetto di cerchio e di sfera e dei loro sistemi lineari col-
1’introduzione degli imaginari. Coordinate omogenee di cerchio e di sfera 359
16. Propriety generali dei sistemi lineari di cerchi e di sfere ............. 360
17. Sistemi lineari di complessi lineari di cerchi о sfere. Corrispondenze proiet-
tive tra sistemi lineari di cerchi о sfere. Gruppo delle inversion!.......... 362
18. Coppie associate di punti in un piano. Fuochi di un cerchio. Quaterna di
cerchi a due a due ortogonali. Quintupla di sfere a due a due ortogonali.
Coordinate tetracicliche e pentasferiche....................................... 363
19. Rappr.esentazione dei cerchi di un piano coi punti dello spazio ; interpreta-
zione spaziale di alcuni teoremi ............................................. 366
20. Cerchi e sfere orientate., Geometria di direzione........................ 367
1. Cenni storici. — La geometria elementare dei cerchi e delle
sfere, la cui conoscenza risale agli antichi Greciг), fu raccolta a dbt-
trina gia da Euclide* 2). Invece la cosiddetta geometria dei cerchi e delle
sfere, che studia i sistemi costituiti da infiniti tali enti ed in particolare
i sistemi lineari, e che rientra in sostanza nel concetto generale di J.
Plucker3) di considerare un qualunque ente geometrico come ele-
mento generatore di sistemi, ebbe origine soltanto nei primi decenni
del secolo XIX, in connessione coi nuovi metodi sintetici ed analitici
che portarono al rinnovamento aella geometria, e ricevette un notevole
impulso dal problema di Apollonio 4) di costruire un cerchio che ne
tocchi tre altri od una sfera che ne tocchi quattro altre. Invero, quan-
tunque le soluzioni di alcuni casi particolari si dovessero gia allo stesso
Apollonio ed a Pappo 5), e quantunque nuove ricerche in proposito
fossero poi state effettuate da F. Viete6), P. Fermat7), I. Newton8)
x) Per notizie storiche in proposito cfr. ad es. H. G. Zeuthen, Geschichte der
Mathematik im Altertum und Mittelalter, Kopenhagen 1896 ; trad, francese di J. Ma-
scart, Paris 1902, p. 11 ; J. Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik, 4, Berlin-
Leipzig 1923, p. 105; 7, Berlin - Leipzig 1924, p. 35; G. Loria, Storia delle mate-
matiche, 1, Torino 1929, cap. 3, p. 87.
2) Euclide, Elementa, ed. J. L. Heiberg, Leipzig 1883, Libro 3. La compilazione
di questo libro avvenne circa nel 300 avanti Cristo.
3) J. Plucker, Neue Geometrie des Raumes, gegriindet auf die Betrachtung der
geraden Linie als Raumelement, Leipzig 1868-1869. Tutta questa opera ё informata
al concetto in questione.
4) Apollonio da Perga, che visse circa tra il 265 ed il 170 a. C., ha scritto due
libri « Sui contatti» non pervenutici; di essi abbiamo ad ogni modo ampie informa-
zioni da Pappo, che visse nel terzo secolo d. C. : Pappi Alexandrini Collectionis quae
supersunt e libris manu scriptis edidit latina interpretatione et commentariis instruxit F.
Hultsch, 2, Berlin 1877, p. 645 ; trad, francese di P. Ver Eecke, Pappus d’Alexan-
dra, La collection mathematique, 2, Paris - Bruges 1933, p. 483.
5) Cfr. Pappo *), ed. F. Hultsch, 1, Berlin 1876, p. 219 ; ed. P. Ver Eecke,, 1,
Paris-Bruges 1933, p. 166.
e) F. Viete, Apollonius Gallus, Paris 1600.
’) P. Fermat, De contactibus sphaericis, Varia opera mathematica, Tolosae 1679,
p. 74 ; trad, francese di P. Hachette, J. Ёс. polyt., (1), cah. 7-8 (1812), p. 279 ; Oeuvres
(par P. Tannery et Ch. Henry), 1, Paris 1891, p. 52 ; trad, francese di P. Tannery,
ibid., 3, Paris 1896, p. 49.
8) I. Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica, London 1687, Libro 1,
lemma 16 ; Opera, ed. S. Horsley, 2, London 1779, p. 92.
328
Bonaparte Соьомз i
e da altri, Ц problema stesso continud a spronare ad ulteriori indagini,
tanto in geometria sintetica quanto in geometria analitica °).
Tra i matematici che cooperarono a costruire la geometric dei
cerchi e delle sfere vanno particolarmente segnalati G. Monge* 10 *),
L. Gaultieru), J. D. Gergonne 12 13) J. V. Poncelet 1S *)14), J. Steiner 1Б),
Ch. Dupin ie), M. Chasles 17), e, per avere fondata la relativa teoria delle
inversioni e delle affinity circolari, A. F. Mobius18), J. Plucker1®),
W. Thomson20 21), J. Liouvillea), ed infine Th. Reye22 * * * *), che ha dato
alia teoria dei sistemi lineari di cerchi e di sfere un assetto definitivo.
2. Preliminari. Estensione del concetto di cerchio e di
sfera. Coordinate cartesiane di cerchio e di sfera.— 1. Si sup-
pongono note la geometria elementare, la geometria proiettiva e la geo-
metria analitica28), e si considerano punti, rette e piani comunque
propri od impropri, ma per ora soltanto reali.
2. Le questioni riguardanti i cerchi s’intendono trattate in geo-
metria piana ; quando invece si vogliano considerare cerchi di una
sfera о dello spazio, in geometria spaziale, lo si awerte esplicitamente.
, 3. Si conviene di riguardare come cerchio anche il punto, che
si chiama punto cerchio od anche cerchio nullo, e la retta, che si chiama
retta cerchio ; il centro coincide rispettivamente col punto cerchio e
col punto all’infinito delle normali alia retta cerchio ; il raggio e rispet-
tivamente zero ed infinite. Allora tra i cerchi di una sfera si ha il pupte
cerchio, di cui il centro coincide col punto stesso, il raggio e zero ed il
piano e il piano tangente in esso alia sfera; e tra i cerchi dello spazio
si ha il punto* cerchio, avente. per centro il punto stesso e per raggio
•) Informazioni' piii dettagliate sul problema di Apollonio si troveranno nel
§ 10.
10) G. Monge. Gtomttrie descriptive, Paris 1799; 7a ed., Bruxelles 1839.
n) L. Gaultier de Tours, J. Ec. polyt., (1), cah. 16 (1813), p. 124-214.
12) J. D. Gergonne, Мёт. Ac. Turin, 22 (1816), p. 20.
13) J. V. Poncelet, Traiti des proprUtis projectiles des figures, 1, Paris 1822;
2a ed., Paris 1865.
14) J. V. Poncelet, Applications d*Analyse ,et de Giomitrie, Paris 1862-1864.
15) J. Steiner, J. reine ang. Math., 1 (1826), p. 161, 252; Werke, 1, Berlin 1881,
p. 17.
le) Ch.'Dupin, Corresp. Ec. polyt., 2 (1813), p. 420 ; Applications de Giom&rie
et de Mtcanique, Paris 1822.
17) M. Chasles, Traitt de Geometrie superieure, Paris 1852; 2a ed., Paris 1880.
18) A. F. Mobius, Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827 ; Werke, 1, Leipzig
1885, p. 1-388.
ie) J. Plucker, Analytisch-geometrische Entwicklung en, 1, Essen 1828, p. 47-126.
20) W. Thomson, J. math, pures appl., (1) 10 (1845), p. 364 ; ibid., (1) 12 (1847),
p. 256.
21) J. Liouville, J. math, pures appl., (1) 12 (1847), p. 265.
22) Th. Reye, Synthetische Geometrie der Kugeln und linearen Kugelsysteme mit
einer Einleitung in die analytische Geometrie der Kugelsysteme, Leipzig 1879 ; trad, ita-
liana di M Misani, Geometria sintetica delle sfere, ecc., Milano 1881. *
2’) V. Part. XXXIV di questa Encicl. (B. Segre, Geometria analitica), e. Part.
XXXV della stessa (E. G. Togliatti, Geometria proiettiva).
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
329
zero, e la retta cerchio, avente raggio infinite,, per quanto ne riescano
indeterminati il piano e rispettivamente il piano ed il centro.
Convenzioni e denominazioni analoghe valgono per la sfera ri-
dotta a punto od a piano.
I cerchi e le sfere della geometria elementare, ove debbano essere
contraddistinti in modo speciale, si chiamano cerchi e sfere propria-
mente detti.
Lo scopo delle convenzioni fatte dianzi ё di rendere chiuso 1’ag-
gregato dei cerchi e delle sfere, tale сюё da contenere i cerchi e le sfere
limiti di tutti gli aggregati continui estratti da esso, e di ottenere percid
teoremi piii generali, semplici ed uniformi24).
4. Fissato nello spazio un sistema di coordinate cartesiane or-
togonali x, y, z, la sfera Che ha per centro il punto di coordinate a, ft, e
e per raggio r ha I’equazione cosiddetta normale
(1) x2 + j2 + z2 — 2 ax — 2by — 2 c z + g = 0.
essendo
(2) £ = a2 + ft2 + c2 — r2 ,
ed ha anche I’equazione piii generale
(3) aQ (x2 + j2 + z2) + aj x + azy + azz + a4 = 0 ,
essendo
a _______ft =___________c =____________— ? = —
2a0 ’ 2a0 ’ 2a0 ’ * aQ ’
Se la sfera ё propriamente detta, valgono percid le diseguaglianze
a0 * 0, ai + of + af — 4 aQ a± > 0 ; se ё ridotta a piano, riesce
a0 = 0, e se ё ridotta a punto, riesce af + a/ + a32 — 4 aQ a^ = 0.
I numeri aQ , аг,..., a4 , non tutti nulli e soddisfacenti alia con-
dizione
(5) a? + af + af — 4 aQ a4 > 0 ,
sono le coordinate cartesiane omogenee della sfera.
Esiste .una ed una sola sfera contemporaneamente ridotta a piano
ed a punto ; ё la sfera di coordinate aQ = ar = = az = 0, ossia il
piano aH’infinito.
Considerazioni analoghe valgono per il cerchio nel piano.
24) L’utiliti di quelle convenzioni andd affermandosi man mano ; essa appare
gii in L. Gaultier n), p. 133 ed in J. D. Gergonne 12), p. 21, ed ё poi illustrate da
J. V. Poncelet 1s).
330
Bonaparte Colombo
Sulla sfera si possono assumere come coordinate di cerchio quelle
del piano che lo contiene.
5. Ё comodo indicare colla notazione S (a0 , ar, ... , a4) la sfera
S di coordinate aQ , ar , ... , a4 e scrivere la sua equazione nella forma
concisa S' = 0, in conformita col metodo classico delle notazioni ab-
breviate di E. E. Bobillier [cfr. 1’art. XXXIV di questa Encicl.23),
nota 76]. Analogamente C (aQ , ay , ... , a3) indichera il cerchio C di
coordinate aQ , ar , ... , a3 e di equazione C = 0.
6. Talvolta e comodo introdurre sulla retta 1’ente analogo al
cerchio nel piano ed alia sfera nello spazio, cioe una coppia di punti
propri, dicendo che il punto medio del loro segmento ne e il centro, e
che la loro comune distanza dal centro ne e il raggio ; allora si conviene
di chiamare quella coppia una coppia propriamente detta e' di riguar-
dare senz’altro come coppia quella di due punti qualunque, percid in
particolare anche la coppia di punti coincident! о di raggio zero e la
coppia con un punto improprio о di raggio infinite. La coppia di punti
pud considerarsi anche sulla sfera e nello spazio.
7. In conformita col capoverso 1, supponiamo nota la teoria
dell’involuzione ; peraltro ne richiamiamo le proposizioni seguenti25) :
Fissata un’unita di misura per i segmenti, dicesi potenza di un
punto P rispetto ad una coppia di punti A, В collineari con esso, od
anche potenza della coppia Л, В rispetto a P od in P, il prodotto PA.PB,
numero relativo il cui segno non dipende dal verso fissato come posi-
tivo sulla retta.
Se due coppie di punti allineati non sono concentriche, esiste ed
e unico il ‘punto di egual potenza rispetto ad esse ; se le due coppie
sono concentriche, per coAvenzione il punto di egual potenza e il punto
all’infinito della loro retta ; se le due coppie hanno in comune il punto
all’infinite della loro retta, il punto di egual potenza e da ritenersi in-
determinate.
Considerate due coppie di punti su un cerchio propriamente detto,
esiste ed e unico il punto di egual potenza rispetto ad esse, e coincide
coll’intersezione delle loro congiungenti; se le due coppie stanno su
rette parallele, il punto di egual potenza, che per convenzione e sempre
il punto comune a tali rette, risulta percid all’infinito.
Le coppie di punti di una retta о di un cerchio aventi a due a due
lo stesso punto di egual potenza sono le coppie di un’involuzicne ; il
punto di egual potenza e rispettivamente il punto centrale od il polo
dell’involuzione, e la potenza costante delle coppie in esso e la potenza
dell’involuzione.
Su una retta si distinguono Finvoluzione generica, simmetrica о
costituita da tutti i suoi punti (da accoppiarsi col punto all’infinito),
secondoche il punto di egual potenza e proprio, improprio od inde-
terminate. 2
2б) Cfr. in proposito ad es. la trattazione elementare di G. Scorza, Complementi
di geometrid, 1, Вг ri 1914, Cap. 8.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
331
Talvolta, per uniformity colle denominazioni invalse nella teoria
dei sistemi lineari di cerchi e di sfere, il punto di egual potenza di due
coppie di punti si chiama il loro centro radicale, I’involuzione si chiama
fascio di coppie di punti, il punto centrale о polo dell’involuzione, rispet-
tivamente sulla retta о sui cerchio, si chiama il centro radicale del fascio.
3. Potenza di un punto rispetto ad un cerchio e ad una
sfera. Potenza angolare о di similitudine. — 1. Essendo P un
punto, C un cerchio complanare con P ed 5 una sfera, dicesi potenza
di P rispetto a C, od anche potenza di C rispetto a P od in P, la po-
teAza costante in P di due punti del cerchio allineati con P; e dicesi
potenza di P rispetto ad 5, od anche potenza di 5 rispetto a P od in
P, la potenza costante in P di due punti della sfera allineati con P,
eguale alia potenza costante in P di un cerchio della sfera complanare
con P26).
La potenza di P rispetto a C (S) e il primo membro dell’equazione
normale di C (*S), nella quale si siano sostituite le x, j, z colle coordi-
nate di P27).
Se г e il raggio, О il centro di C (5) e d la distanza di P da O, la
potenza p di P rispetto a <7 (S) e data dalla
(6) p = d2 — t2 \
pertanto essa e positiva, nulla о negativa, secondoche P e esterno, ap-
partiene ovvero e intemo a C (S).
Se P e estemo a C (S), la sua potenza rispetto ad esso (essa) e il
quadrato del segmento di una qualunque tangente condotta da P a
C (S) compreso tra P ed il punto di contatto ; se e intemo, e il qua-
drato cambiato di segno della meta della (di una qualunque) corda
minima di C (S) passante per P, cioe perpendicolare al raggio pas-
sante per P.
Un cerchio (sfera) ha potenza eguale rispetto a tutti i punti di un
cerchio concentrico (sfera concentrica). Data ad arbitrio la potenza
p> —r2, il luogo dei punti aventi in C (S) la potenza p e il cerchio con-
centrico (sfera concentrica) avente per raggio д/ p + r2.
Due coppie di punti aventi la stessa potenza in un punto asseghato
stanno in un cerchio, e viceversa28).
2e) Il concetto di potenza proviene da teoremi di Euclide2), libro 3, p. 35-36,
e trovasi in Ap.ollonio (225 a. C.) ; la denominazione di potenza ё dovuta a J. Steiner le),
Werke, 1, p. 21. Il vocabolo potenza era invece usato alia fine del secolo XVII in tut-
t’altro significato : precisamente si chiamava potenza di un’iperbole il doppio .delFarea
costante del triangolo formato dai due asintoti e da un’ulteriore tangente.
27) Cfr. ad es. Th. Reye 22) ; F. Klein, Einleitung in die hohere Geometric, Got-
tingen 1893, p. 73 ; L. Berzolari, Geometria analitica, 2, 2a ed., Milano 1920, p. 216 ;
G. Fano-A. Terracini, Lezioni digeometria analitica e proiettiva, Torino 1930, p. 108;
A. Comessatti, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, 1, Padova 1930, p. 348.
28) Questo teorema si trova in L. N. M. Carnot, Giometrie de position, Paris 1803,
,p. 348, sebbene in altra forma.
332
Bonaparte Colombo
Tre coppie di punti dello spazio aventi la stessa potenza in un
punto assegnato stanno in una sfera, e viceversa.
Due cerchi aventi la stessa potenza in tutti i punti di una retta
assegnata stanno in una sfera, e viceversa.
Se il cerchio (sfera) si riduce al punto O, la potenza di P rispetto
ad esso (essa) si riduce a J2. Se il cerchio (sfera) si riduce ad una retta
(piano), la potenza diviene infinita od indeterminata, secondoch^ P
non sta owero sta sulla retta (piano)29).
2. Dicesi potenza angolare о di similitudine di un punto P ri-
spetto a C (S) il prodotto delle tangenti trigonometriche dei semian-
goli al centro che proiettano i due segmenti di una trasversale arbitraria
per P compresi tra P e le intersezioni con C (S).
La definizione precedente ё giustificata dalla proprieti che il pro-
dotto in questione, numero relativo il cui segno non dipende dal verso
fissato come, positivo per le misure angolari, ё costante al variare della
trasversale per P.
La potenza angolare о di similitudine di P rispetto a C (S) vale
—r
d + r
ed ё percid invariante per similitudine.
4. Coppia di cerchi о di sfere ortogonali. Coppia di cerchio
e sfera ortogonali. Coppia di cerchi о di sfere in sezione dia*
metrale. — 1. Due cerchi complanari si dicono ortogonali quando le
loro tangenti in uno (e quindi anche nell ’altro) dei due punti d’inter-
sezione sono perpendicolari.
Due sfere si dicono ortogonali quando i loro piani tangenti in uno
degli infiniti punti d’intersezione (e quindi in tutti) sono perpendi-
colari 30).
Se due cerchi (sfere) sono ortogonali, i raggi passanti per un loro
punto d’intersezione sono perpendicolari, la retta tangente all’uno
(il piano tangente all’una) in un punto d’intersezione passa per il centro
dell’altro (dell’altra), эгссЬё il centro di ciascuno (ciascuna) ё esterno
all’altro (all’altra), ed infine la congiungente i due punti d’intersezione
(il piano del cerchio d’intersezione) ha come polo rispetto all’uno (al-
l’una) il centro dell’altro (dell’altra); e viceversa.
Se d ё la distanza dei centri di due cerchi (sfere) ortogonali ed r, r'
sono i due raggi, vale la relazione
(8) <P — P — r'* = 0,
e viceversa31).
>9) Le propriety della potenza trovansi complete gi& in J. Steiner, Vorlesungen
uber synthetische Geometric, 1, 2a ed., Leipzig 1875, p. 1; e poi ad es. in J. Plucker x®) ;
Th. Reye“), p. 1.
>e) Di cerchi e di sfere ortogonali si tratta gi& in L. Gaultier11), p. 130.
S1) Questa proposizione si trova m L. Gaultier11), p. 135.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
333
Siccome d* — r2 — r'a ё chiamata da G. Darboux potenza mutua
dei due cerchi (sfere), la proposizione precedente pu6 anche enunciarsi
dicendo che condizione necessaria e sufficiente регсЬё due cerchi (sfere)
siano ortogonali ё che la loro potenza mutua sia eguale a zero.
In coordinate cartesiane omogenee di sfera la condizione di orto-
gonalitd delle due sfere S (a0 , ax 9 ... , a4) ed S' (a'v , a\ , ..., a'4) ё la
(9) a1 a\ + a^a\ + a3 a\— 2 a0 a < — 2 a4 a'Q = 0 ,
la quale segue dajle (8), (2) e (4). Analoga condizione si ha per due
cerchi ortogonali.
Se due cerchi (sfere) sono ortogonali, il quadrato del raggio di
uno (una) qualunque di essi (esse) eguaglia la potenza del suo centro
rispetto all’altro (alTaltra), e viceversa.
Questa proposizione si stabilisce in grazia alle (6) e (8).
Due cerchi (sfere) ortogonali segano sulla retta dei centri un gruppo
armonico di punti viceversa due coppie di punti; che si separino ar-
monicamente, sono antipodi di due cerchi (sfere) ortogonali33).
Due coppie di punti che si separino armonicamente sogliono an-
che dirsi coppie ortogonali sulla retta, e per esse vale ancora la (8).
Se due cerchi (sfere) sono ortogonali e per il centro dell’uno (del-
l’una) si conduce una retta qualunque segante I’altro (I’altra), essi (esse)
segano su questa retta un gruppo armonico di punti; viceversa, se due
coppie di punti si separano armonicamente, il cerchio (la sfera) avente
per antipodi i punti di una coppia taglia ortogonalmente qualunque
cerchio (sfera) passante per i punti dell’altra.
Il luogo dei centri dei cerchi (sfere) ortogonali a piii cerchi dati
(sfere date) coincide col luogo dei punti, non interni, di egual potenza,
percid non negativa, rispetto ad essi (esse) ; i raggi sono eguali ai seg-
menti di tangenti condotte dai centri ai cerchi dati (alle sfer-e date).
Sui cerchi (sfere) non propriamente detti (dette) valgono le pro-
posizioni seguenti :
La potenza mutua di due cerchi (sfere), di cui uno sia un punto
cerchio (punto sfera), ё eguale alia potenza di questo punto rispetto
all’altro cerchio (sfera). Una retta (piano) ё ortogonale ad un cerchio
(sfera) propriamente detto (detta) quando e solo quando ne contiene
il centro. Due rette cerchio (piani sfera) sono ortogonali quando e solo
quando sono tali le rette (i piani). Un punto cerchio (punto sfera) ё
ortogonale ad un cerchio (sfera) quando e solo quando gli appartiene.
Due punti .cerchio (punti sfera) sono ortogonali quando e solo quando
coincidono. Un cerchio (sfera) ё ortogonale а se stesso quando e solo
quando ё un punto cerchio (punto sfera).
2. Due cerchi di una sfera si dicono ortogonali quando le loro
M) G. Darboux, Sur une classe remarquabte de caurbes et de surfaces algtbriques,
et sur la Marie des imaginaires, Paris 1873.
M) Si chiamano antipodi per un cerchio (sfera) gli estremi di un diametro.
334
Bonaparte Colombo
tangenti in una (e quindi anche nell’altro) dei due punti d’intersezione
sono perpendicolari.
Due cerchi di una sfera sono ortogonali quando e solo quando i
loro piani sono reciproci о coniugati rispetto alia sfera, cioe 1’uno con-
tiene il polo dell’altro.
Questa proposizione e una conseguenza della proprieta che 1’in-
voluzione delle tangenti coniugate in ogni punto di una sfera e 1’involu-
zione circolare о di angoli retti.
Affinche un punto cerchio di una sfera sia ortogonale ad un cer-
chio propriamente detto della sfera stessa e necessario e sufficiente che
gli appartenga.
3. Un cerchio ed una sfera si dicono ortogonali quando la retta
tangente al primo ed il piano tangente alia seconda in uno (e quindi
anche nell’altro) dei due punti d’intersezione sono perpendicolari.
In un punto d’intersezione di un cerchio e di urta sfera ortogonali
la retta tangente al cerchio passa per il centro della sfera ed il piano
tangente alia sfera passa per il centro del cerchio, sicche il centro del
cerchio (della sfera) e esterno alia sfera (al cerchio).
Condizione necessaria e sufficiente affinche un cerchio sia orto-
gonale ad una sfera e che giaccia in un piano diametrale della sfera e
sia ortogonale al cerchio (massimo) della sfera contenuto in questo
piano.
Condizione necessaria e sufficiente affinche un cerchio sia orto-
gonale ad una sfera e che il cerchio stia in un piano diametrale della
sfera e che il suo centro abbia una potenza eguale al quadrato del suo
raggio rispetto alia sfera, oppure che il centro della sfera abbia una po-
tenza eguale al quadrato del suo raggio rispetto al cerchio, necessaria-
mente complanare con quel centro.
Se una sfera e ortogonale ad un cerchio, e ortogonale ad ogni sfera
passante per questo cerchio.
Se una sfera e ortogonale ad altre due che si seghino, ё ortogonale
al loro cerchio d’intersezione 34).
4. Si dice che un cerchio sega diametralmente un cerchio com-
planare quando la congiungente i due punti d’intersezione e un dia-
metro di questo.
La stessa definizione vale per cerchi di una sfera.
Si dice che una sfera sega diametralmente una sfera quando il piano
del loro cerchio d’intersezione e un piano diametrale di questa, ossia
quando il cerchio stesso e un cerchio massimo di questa86).
Se г e il raggio del cerchio C (sfera S) che sega diametralmente,
a4) Tutte le; definizioni e le proposizioni finora esposte in questo §, pur essendo
fondamentali per il seguito, sono di pertinenza dell’antica geometria elementare dei
cerchi e delle sf6re, ovvero della geometria analitica e proiettiva. In proposito si pud
consultare J. Plucker19); Th. Reye12); G. Scorza25); L. Berzolari 27), p. 220;
G. Salmon-W. Fiedler, Analytische Geometrie der Kegelschnitte, 6ft ed., 1, Leipzig
1898, p. 231 e segg.
ae) I precedenti concetti si trovano gi& in L. Gaultier11), p. 130.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
335
ed г' e il raggio del cerchio C' (sfera S') che e segato diametralmente,
vale la relazione
(10) J2 —r2 + r*2= 0,
e viceversa 3e).
In coordinate cartesiane omogenee di sfera la condizione perche la sfera
*5 (aQ , ar , ... , a4) seghi diametralmente la sfera. S' (a'0 , a\ , ... , a'4) e la
(11) (^ a'Q — a0 a\) a\ + (^ a\ — ao «2') <*'2 + (аз я'о — ao а'з) a>з +
+ 2 aQ a'Q a'4 — 2 a4 a'02 = 0 ,
la quale segue dalle (1G), (2) e (4). Analoga condizione per i cerchi.
Condizione necessaria e sufficiente affinche C' (S') sia segato dia-
metralmente da C (S) e che la potenza del suo centro rispetto a C (S)
sia opposta al quadrato del suo raggio.
Questa proposizione si stabilisce avendo riguardo alle (6) e (10).
5. Asse radicale di due cerchi. Centro radicale di tre cerchi.
£iano radicale di due sfere. Asse radicale di tre sfere. Centro
radicale di quattro sfere. — 1. Il luogo dei punti, ciascuno dei
quali ha eguale potenza rispetto a due cerchi complanari che non siano
concentrici, e la retta perpendicolare alia congiungente i centri nel
centro radicale delle due coppie di punti in cui questa congiungente
interseca i due cerchi* 37).
La retta, luogo dei punti ciascuno dei qiiali ha eguale potenza
rispetto a due cerchi non concentrici, dicesi ася? radicale о retta di
egual potenza dei due cerchi. Se i due cerchi sono concentrici, suol
dirsi per convenzione che 1’asse radicale e la retta all’infinito del loro
piano ; se i due cerchi sono ridotti a rette, 1’asse radicale e da ritenersi
indeterminato nel loro fascio.
Un punto dell’asse radicale e contemporaneamente intern о od
esterno о appartiene a entrambi 1 cerchi. Un eventuale punto comune
ai due cerchi appartiene al loro asse radicale.
Se due cerchi si-tagliano in due punti distinti, 1’asse radicale e la
loro congiungente ; se si toccano in un punto, I’asse radicale e la retta
tangente comune nel punto di contatto ; se non hanno punti in comune,
I’asse radicale e esterno ad* entrambi38).
3e) Cfr. L. Gaultier11), p. 135.
37) Questa proposizione trovasi gi& in L. Gaultier11), p. 139, a cui si deve anzi
il concetto di tale luogo. Se ne conoscono varie dimostrazioni, tra le quali va partico-
larmente segnalata quella di J. Steiner, Die geometrischen Constructionen, ausgefiihrt
mittelst der geraden Linie und eines festen Kreises, Berlin 1833 ; Leipzig 1895, p. 57 ;
Werke, 1, Berlin 1881. p. 494. Si consultino in proposito F. G. Affolter, Arch. Math.
Phys., 57 (1875), p. 6 ; Th. Reye 22) ; G. Salmon34), p. 231 ; L. Berzolari 27), p. 218 ;
G. Fano-A.Terracini 27), p. 109 ; A. Comessatti 27), p. 349; G. Castelnuovo, Le-
zioni di geometria analitica, 4a ed., Milano-Roma-Napoli 1919, p. 74.
38) Cfr. L. Gaultier11), p. 141.
886
Bonaparte Colombo
Se per un punto qualunque dell’asse radicale di due cerchi si con-
ducono due rette rispettivamente secanti i due cerchi, i quattro punti
nei quali esse intersecano 1’una un cerchio e 1’altra I’altro stanno su
uno stesso cerchio 3e).
I segmenti di tangenti condotte a due cerchi da uno stesso punto
dell’asse radicale, esterno ad entrambi, sono eguali, e viceversa 40 41) tt).
Il luogo dei centri dei cerchi ortogonali a due dati ё Finsieme dei
punti del loro asse radicale che sono non .interni ad entrambi; se i due
cerchi non hanno punti comuni distinti, ё tucto Fasse radicale42 *).
Segando due cerchi ed il loro asse radicale con una retta distinta
dall’asse radicale, si ottengono due coppie di punti ed il loro centro
radicale.
L’asse radicale di due cerchi gode della propriety caratteristica che
le polari di ciascuno dei suoi punti rispetto ai due cerchi si tagliano sulla
retta stessa tt).
Se tre cerchi hanno a due a due lo stesso asse radicale, i loro centri
sono allineati.
2. Dati tre cerchi coi centri non allineati, i tre assi radicali dei
cerchi stessi combinati a due a due passano per uno stesso punto, il
quale ha eguale potenza rispetto ai tre cerchi, ed ё Funico punto do-
tato di tale propriety44).
Questo punto si chiama centro radicale dei tre cerchi о punto di egual
potenza. Se i tre cerchi hanno i centri allineati, senza perd possedere a
due a due lo stesso asse radicale, si conviene di chiamare centro radi-
cale il punto all’infinito direzione ortogonale alia retta dei centri. Se
i tre cerchi sono ridotti a rette, il centro radicale ё da ritenersi indeter-
minate nel piano.
’•) L. N. M. Carnot 28) dimostra questa proposizione limitatamente al caso
in cui i due cerchi si intersecano.
4e) Questa proposizione pare fosse gi& nota agli Arabi nel 1000 dopo Cristo ;
confronts F. Klein17).
41) La denominazione di asse radicale di due cerchi, dovuta a L. Gaultier11),
p. 139, proviene dal fatto che la lunghezza del segmento di tangente condotta da un
punto ad un cerchio si esprime con un radicale. J. Steiner 15), avendo a disposizione il
vocabolo potenza, chiama conseguentemente Fasse radicale retta di egual potenza dei
due cerchi. J. Plucker le) lo chiama la cordale dei due cerchi, регсЬё ё la corda comune
ai due cerchi nel caso in cui si intersecano, e регсЬё, anche nel caso in cui non si inter-
secano, ё riguardata come loro corda ideale com’me da J. V. Poncelet13), 1, 2ft ed.,
p. 25;14), 2, p. 388. M. Chasles17) ritiene che Fasse radicale sia sempre corda comune
ai due cerchi. L’intersezione dell’asse radicale di due cerchi colla retta dei centri ё
detta da L. Gaultier11) рилlo radicale dei due cerchi e da J. Plucker11) punto cordale
dei due cerchi.
") Questa proposizione trovasi sostanzialmente gi& in L. Gaultier11), p. 139.
«) Cfr. M. Chasles17).
44) Il precedente teorema del centro radicale si trova la prima volta in L. N. M.
Carnot 88), p. 347, almeno nel caso in cui i tre cerchi si segano a due a due ; egli lo
stabilisce ricorrendo alia considerazione delle tre sfere aventi i tre cerchi dati come
cerchi massimi, ma awerte che si potrebbe evitarla. Il teorema stesso si trova poi in
tutta la sua generality in G. Monge1®) ; L. Gaultier11), p. 143; J. Steiner *•), p. 5;
lf), Werke, 1, p. 24; J. PlQcker 13). Cfr. anche G. Salmon m), p. 235 ; L. Berzolari ,7),
p. 227; G. CASTELNUOVO37), p. 78.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
337
Il centro radicale e contemporaneamente interno od esterno о
appartiene ai tre cerchi; se i tre cerchi hanno un punto comune, questo
ne e il centro radicale.
Il centro radicale di tre cerchi sta sull’asse radicale di due qua-
lunque di essi.
Questa sua proprieti permette di costruire per punti 1’asse radicale
di due cerchi, ricorrendo ad opportuni cerchi ausiliari secanti en-
trambi 45).
Se il centro radicale e esterno ai tre cerchi, i segmenti delle sei
tangenti condotte da esso al cerchi dati, hanno la stessa lunghezza,
eguale alia radice quadrata della potenza comune ; il cerchio avente
per centro il centro radicale e per raggio questa lunghezza e 1’unico
cerchio ortogonale ai tre cerchi dati. In altra forma : i sei punti di con-
tatto stanno sul cerchio ortogonale ai tre dati. Se il centro radicale sta
sui tre cerchi, il cerchio ortogonale e il cerchio nullo che lo ha per centro.
Se il centro radicale e interno ai tre cerchi, due qualunque di questi
si tagliano in due punti, dei quali uno riesce interno ed uno esterno al
terzo cerchio ; in questo caso non esiste alcun cerchio ortogonale ai tre
dati 46) 47).
3. Dati sopra una sfera due cerchi distinti, dicesi asse radicale
1’intersezione dei loro piani. Dati sopra una sfera tre cerchi, che a due
a due non abbiano lo stesso asse radicale, dicesi centro radicale il punto
comune ai loro piani.
L’asse radicale ed il centro radicale godono cosi delle proprieta
in base alle quali furono definiti asse e centro radicale per cerchi com-
planari, ossia di essere costituiti con tutti e soli i punti di egual potenza
nel caso in cui sono propri e, per convenzione, anche nel caso in cui
sono impropri; percid valgono proprieta analoghe.
4. Il luogo dei punti, ciascuno dei quali ha eguale potenza ri-
spetto a due sfere che non siano concentriche, e il piano perpendicolare
alia congiungente i centri nel centro radicale delle due coppie di punti
in cui questa congiungente interseca le due sfere 48).
Il piano, luogo dei punti ciascuno dei quali ha egual potenza ri-
spetto a due sfere non concentriche, dicesi piano radicale о piano di
egual potenza delle due sfere. Se queste sono concentriche, suoi dirsi
per convenzione che il piano radicale d il piano all’infinito ; se le due
45) Questa osservazione trovasi gia in L. Gaultier11), p. 141.
4e) L. Gaultier11) chiama 1’eventuale cerchio ortogonale a tre dati cerchio radi-
cale comune ai tre dati ; egli, quando il centro radicale ё interno, considera invece come
cerchio radicale quello segato da essi diametralmente. Il cerchio ortogonale a tre dati
viene anche chiamato cerchio ortotomico dei tre dati; cfr. L. Berzolari 27), p. 227.
47) La denominazione di centro radicale di tre cerchi ё dovuta a L. Gaultier ll),
p. 143 ; J. Plucker19) lo chiama invece punto cordale dei tre cerchi.
4e) La proposizione precedente trovasi gi& in L. Gaultier11), a cui si deve il
concetto di punti di egual potenza rispetto a due sfere. Ё notevole la dimostrazione
metrica di J. Steiner 37). Si conoscono anche varie dimostrazioni sintetiche ed anali-
tiche ; cfr. Th. Reye m).
338
Bonaparte Colombo
sfere sono ridotte a piani, il piano radicale ё da ritenersi indeterminate
nel loro fascio.
Un punto del piano radicale e contemporaneamente interno od
esterno о appartiene a entrambe le sfere. Un eventuale punto comune
alle due sfere appartiene al loro piano radicale.
Se due sfere si tagliano secondo un cerchio, il piano radicale e il
piano di questo cerchio ; se si toccano in un punto, il piano radicale
ё il piano tangente comune nel punto di contatto ; se non hanno punti
in comune, il piano radicale ё esterno ad entrambe.
Se per un punto qualunque del piano radicale di due sfere si con-
ducono due rette secanti rispettivamente le sfere stesse, le quattro in-
tersezioni stanno su un cerchio. Se per una retta qualunque dello stesso
piano si conducono due piani secanti rispettivamente le due sfere, i
due cerchi d’intersezione stanno sopra una sfera.
I segmenti di tangenti condotte a due sfere da uno stesso punto
del loro piano radicale, esterno ad entrambe, sono eguali, e viceversa 49).
Il luogo dei centri delle sfere ortogonali a due date ё I’insieme
dei punti del loro piano radicale che sono non interni ad entrambe ;
se le due sfere non hanno punti comuni distinti, ё tutto il piano radicale.
Segando due sfere ed il loro piano radicale con una retta non situata
sul piano radicale, si ottengono due coppie di punti ed il loro centro
radicale. Segando due sfere ed il loro piano radicale con un piano di-
stinto dal piano radicale, si ottengono due cerchi ed il loro asse radicale.
Il piano radicale di due sfere gode della propriety caratteristica
che i piani polari di ciascuno dei suoi punti rispetto alle due sfere si
tagliano in una retta del piano stesso.
Se tre sfere hanno a due a due lo stesso piano radicale, i loro centri
sono allineati.
5. Date tre sfere che non abbiano i centri allineati, i tre piani
radicali, cetto distinti, delle sfere combinate a due a due passano per
una stessa retta, luogo dei punti che hanno la stessa potenza rispetto
alle tre sfere ; essa ё perpendicolare al piano dei centri nel centro ra-
dicale dei tre cerchi secondo cui questo piano interseca le tre sfere.
Quella retta si chiama asse radicale dflle tre sfere о retta di egual
potenza. Se i tre centri sono allineati, senza che le tre sfere abbiano a
due a due lo stesso piano radicale, si conviene che 1’asse radicale sia
la retta all’infinito giacitura ortogonale alia retta dei centri. Se le tre
sfere sono ridotte a piani, 1’asse radicale ё da ritenersi indeterminate
nella loro Stella flQ).
Ogni punto dell’asse radicale ё contemporaneamente interno od
esterno о appartiene alle tre sfere ; un eventuale punto comune alle
tre sfere appartiene all’asse radicale. **)
**) Questa proposizione giustifica la denominazione di piano radicale, dovuta
a L. Gaultier11), p. 142 ; J. Steiner16) lo chiamapiano di egualpotenza e J. Plucker1*)
piano cordale.
6°) Il concetto e la denominazione di asse radicale di tre sfere trovansi in L. Gaul-
tier11), p. 144.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
339
Se le tre sfere hanno in comune due punti distinti, Fasse radicale
ne ё la congiungente. Se hanno in comune un punto ed una retta ivi
tangente, Fasse radicale ё questa tangente. Se non hanno in comune
nessun punto, Fasse radicale ё esterno a tutte tre le sfere.
L’asse radicale di tre sfere sta sul piano radicale di due qualunque
di esse.
Questa proprieti permette di .pensare costruito per rette il piano
radicale di due sfere.
Se per un punto delFasse radicale di tre sfere si conducono tre
rette rispettivamente secanti, le sei intersezioni stanno su una sfera.
Se P ё un punto dell’asse radicale esterno alle tre sfere, i segmenti
di tangenti condotte da P alle tre sfere sono eguali, e viceversa.
Il luogo dei centri delle sfere ortogonali a tre sfere date ё Finsieme
dei punti del loro asse radicale non interni ad esse ; se le tre sfere non
hanno in comune due punti distinti, ё tutto Fasse radicale.
Segando il sistema di tre sfere e dell’asse radicale con un piano
non passantd per Fasse stesso, si ottengono tre cerchi col centro radicale.
L’asse radicale gode della proprieti caratteristica che i tre piani
polari di ogni suo punto rispetto alle tre sfere s’incontrano sull’asse
stesso.
Se quattro sfere hanno a tre a tre lo stesso asse radicale, i loro
centri sono complanari.
6. Date quattro sfere che non abbiano i centri complanari, i
sei piani radicali (certo non di un fascio) delle sfere stesse combinate
a due a due passano per uno stesso punto, per il quale passano altresi
i quattro assi radicali (certo distinti) delle sfere combinate a tre a tre.
Esso ha eguale potenza rispetto a tutte quattro le sfere ed ё Funico
punto dotato di tale proprieti.
Questo punto chiamasi centro radicale delle quattro sfere о punto
di egual potenza. Se i quattro centri sono complanari, senza che le
quattro sfere abbiano a tre a tre lo stesso asse radicale, si conviene di
dire che il loro centro radicale ё il punto all’infinito direzione ortogo-
nale al piano dei centri. Se lequattro sfere sono ridotte a piani, il centro
radicale ё da ritenersi indeterminate nello spazio 51).
Il centro radicale di quattro sfere ё contemporaneamente interno
od esterno о appartiene a tutte le sfere ; se queste hanno un punto in
comune, esso ё il centro radicale.
Il centro radicale di quattro sfere sta sul piano radicale di due qua-
lunque di esse e sull’asse radicale di tre qualunque di esse.
Questa proprieti pud essere usata allo scopo di costruire per punti
il piano radicale di due sfere о Fasse radicale di tre sfere, ricorrendo a
sfere ausiliarie opportune.
Se il centro radicale di quattro sfere ё esterno a tutte, i segmenti
di tangenti condotte da esso alle quattro sfere hanno la stessa lunghezza ;
B1) La denominazione di centro radicale di quattro sfere ё di L. Gaultier11),
p. 145.
340
Bonaparte Colombo
la sfera avente per centro il centro radicale e per raggio questa lunghezza
ё 1’unica sfera ortogonale alle sfere date. Se il centro radicale sta sulle
quattro sfere, la sfera ortogonale e la sfera nulla che lo ha per centro.
Se il centro radicale e interno alle quattro sfere, due qualunque si se-
gano in un cerchio segante le altre due, e tre qualunque si segano in
due punti, dei quali uno e intemo ed uno estemo alia quarta ; in questo
caso non esiste alcuna sfera ortogonale alle sfere date.
Non e il caso di enunciare i vari teoremi particolari ottenibili dai
teoremi generali precedenti, supponendo che i cerchi e le sfere non
siano propriamente detti M).
6. Sistemi lineari di cerchi e di sfere; fascio di cerchi, rete
di cerchi, fascio di sfere, rete di sfere e complesso lineare di
sfere. — 1. In un piano si dice fascio di cerchi I’insieme dei cerchi che
a due a due hanno lo stesso asse radicale, chiamato asse radicale del fascio.
Un fascio di cerchi e I’insieme dei cerchi che hanno potenza eguale
in due e quindi in tutti i punti di una retta propria, I’asse radicale es-
sendo proprio, oppure e I’insieme di cerchi concentrici, I’asse radicale
essendo all’infinito, oppure ancora e un fascio di rette, I’asse radicale
essendo una qualunque retta del fascio stesso. Esso si distingue rispettiva-
mente col nome di fascio generico, Speciale (simmetrico, a centro) о di rette.
L’asse radicale e una retta cerchio del fascio.
In un piano si dice rete di cerchi I’insieme dei cerchi che a tre a
tre, non di un fascio, hanno lo stesso centro radicale, chiamato centro
radicale della rete.
Una rete (li cerchi e I’insieme dei cerchi che hanno eguale potenza,
chiamata potenza della rete, in uno stesso punto proprio, il cei^ro ra-
dicale essendo proprio, oppure e I’insieme dei cerchi coi centri alli-
neati, il centro radicale essendo il punto all’infinito direzione ortogo-
nale alia retta dei centri, oppure ancora e I’insieme di tutte le rette del
piano, il centro radicale essendo un punto qualunque del piano. Essa
si distingue rispettivamente col nome di rete generica (a centro), spe-
tiale (simmetrica', priva di centro) о di rette.
Le rette per il centro sono rette cerchio della rete.
2. Sulla sfera dicesi fascio di cerchi I’insieme dei cerchi aventi
a coppie lo stesso asse radicale, ossia I’insieme dei cerchi segati su di
essa coi piani di un fascio. L’asse di questo fascio di piani si chiama
asse radicale del fascio di cerchi о retta di egual potenza, perche ogni
punto di esso ha la stessa potenza rispetto a tutti i cerchi del fascio,
eguale alia sua potenza rispetto alia sfera.
Sulla sfera dicesi rete di cerchi I’insieme dei cerchi aventi a terne
lo stesso centro radicale, ossia I’insieme dei cerchi segati sulla sfera
“) Sull’argomento di questo § cfr. Th. Reye ,a) ; F. Klein 27), p. 73 ; Vorle-
'sungen uber hohere Geometric, 3a ed., Berlin 1926, p. 38; C. F. Geiser, Einleitung in
die synthetische Geometric, Leipzig 1869, Cap. 8; G. Salmon84); L. Berzolari87),
p. 218, 458; G. Castelnuovo 87), p. 74; G. Scorza25), cap. 9, p. 154; J. L.. Coo-
lidge, A treatise on the Circle and the Sphere, Oxford 1916, p. 95.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
341
coi piani di una Stella. Il centro di questa Stella di piani si chiama centra
radicale della rete di cerchi о punto di egual potenza, perche ha la stessa
potenza rispetto a tutti i cerchi della rete, chiamata potenza della rete
e^ eguale alia potenza del centro radicale rispetto alia sfera.
Sulla sfera i fasci (le reti) si distinguono col nome di generici (ge-
neriche) о speciali, secondoche 1’asse (il centro) e un elemento proprio
о all’infinito.
3. Si dice fascio di sfere 1’insieme delle sfere che a due a due
hanno lo stesso piano radicale, detto piano radicale del fascio.
Un fascio di sfere e 1’insieme delle sfere che hanno potenza eguale
in tre generici e quindi in tutti i punti di un piano proprio, il piano*
radicale essendo proprio, oppure e 1’insieme di sfere concentriche, il
piano radicale essendo all’infinito, oppure ancora e un fascio di piani,
il piano radicale essendo un qualunque piano del fascio stesso. Esso si
distingue rispettivamente col nome di fascio generico, Speciale (simme-
trico, a centro) о di piani.
Il piano radicale e un piano sfera del fascio.
Si dice rete di sfere 1’insieme delle sfere che a tre a tre, non di un
fascio, hanno lo stesso asse radicale, detto asse radicale della rete.
Una rete di sfere e 1’insieme delle sfere che hanno potenza eguale
in due e quinai in tutti i punti di una retta propria, 1’asse radicale essendo
proprio, oppure e 1’insieme delle sfere coi centri allineati, 1’asse radi-
cale essendo la retta all’infinito giacitura ortogonale alia retta dei centri,
oppure ancora e una Stella di piani, 1’asse radicale essendo una qualun-
que retta della Stella. Essa si distingue rispettivamente col nome di
rete generica, Speciale (simmetrica) о di piani.
I piani per 1’asse di una rete sono piani sfera della rete.
Si dice complesso lineare di sfere 1’insieme delle sfere che a quattro
a quattro, non di una rete, hanno lo stesso centro radicale, detto centro
radicale del complesso lineare.
Un complesso lineare di sfere e 1’insieme delle sfere che hanno
eguale potenza, chiamata potenza del complesso, in uno stesso punto
proprio, il centro radicale essendo proprio, oppure e 1’insieme delle sfere
coi centri complanari, il centro radicale essendo il punto all’infinito
direzione ortogonale al piano dei centri, oppure ancora e 1’insieme di
tutti i piani dello spazio, il centro radicale essendo un qualunque punto
dello spazio. Esso si distingue rispettivamente col nome di complesso
lineare generico (a centro), Speciale (simmetrico, privo di centro) о di piani.
I piarti passanti per il centro di un complesso sono piani sfera del
complesso.
4. Analiticamente, fascio о rete di cerchi ё il sistema dei cerchi
le cui coordinate cartesiane omogenee sono espresse come forme lineari
di due о tre parametri essenziali, owero, cid che e lo stesso, verificano
due equazioni lineari omogenee indipendenti od una sola equazione.
Fascio о rete о complesso lineare di sfere e il sistema di sfere Ie cui
coordinate cartesiane omogenee sono espresse come forme lineari di
342
Bonaparte Colombo
due, tre о quattro parametri essenziali, owero, cid che ё lo stesso, ve-
rificano tre, due equazioni lineari omogenee indipendenti od una sola
equazione.
5. I sistemi definiti in questo § costituiscono complessivamente i
cosiddetti sistemi lineari di cerchi nel piano о sulla sfera e di sfere ; pre-
cisamente : un fascio e un sistema lineare oo1, una rete ё un sistema li-
neare oo2, un complesso lineare ё un sistema lineare oo3 ; tutti i cerchi del
piano о della sfera formano un sistema lineare oo3 ; ttitte le sfere formano
un sistema lineare oo4 ; un solo cerchio od una sola sfera ё, per uni-
formity, un sistema lineare oo°. Le argomentazioni analitiche giusti-
ficano senz’altro la linearity dei sistemi in discorso ю).
6. Dicesi punto base di un sistema lineare di cerchi (sfere) un
eventuale punto comune a tutti i cerchi (sfere) del sistema. Dicesi
punto limite'di un sistema lineare di cerchi (sfere) il centro di un even-
tuate cerchio (di una eventuate sfera) del sistema che abbia raggio zero M).
7. Due cerchi distinti (sfere distinte) individuano un fascio a
cui appartengono ; tre cerchi (sfere), non di un fascio, individuano una
rete a cui appartengono ; quattro sfere, non di una rete, individuano
un complesso lineare a cui appartengono.
Le coordinate di un cerchio (sfera) del sistema lineare individuato
da piii altri (altre) si ottengono combinando linearmente le coordinate
dei cerchi dati (sfere date).
Se alcuni punti hanno eguale potenza rispetto a piu cerchi (sfere),
ogni punto del loro sistema lineare ha ancora eguale potenza rispetto
ad essi (esse), anzi rispetto a tutti i cerchi (sfere) del sistema lineare
da essi (esse) individuato.
Se un sistema lineare contiene alcuni cerchi (sfere), contiene tutto
il sistema lineare da essi (es^e) individuato.
Per un punto del piano о della sfera (dello spazio), distinto da un
eventuate punto base di un fascio di cerchi (sfere), passa uno ed un
solo cerchio (una ed una sola sfera) del fascio; Per due punti del piano
о della sfera (dello spazio), nessuno dei quali coincida con un eventuate
punto base di una rete di cerchi (sfere), passa uno ed un solo cerchio
(una ed una sola sfera) della rete. Per tre punti dello spazio, nessuno
dei quali coincida con un eventuate punto base, passa una ed una sola
sfera di un complesso lineare di sfere.
“) Le precedenti definizioni di sistemi lineari, dei quali pertantQ appare una
costruzione geometrica che ne dimostra Fesistenza, sono oggi le piu adottate ; altre se
ne possono dare equivalenti, usando le propriety dei sistemi lineari stessi. Questi fu-
rono considerati da L. Gaultier u), p. 146; J. D. Gergonne 12); J. Plucker le); e in modo
piti completo da J. V. Poncelet la) ; la loro trattazione sistematica trovasi in Th. Reye **),
p. 26, 38, per quanto con denominazioni un po’ diverse. Si consulti anche in propo-
sito : M. Chasles17) ; F. G. Affolter”), p. 18 ; L. Berzolari ”), p. 222, 460; G.
Castelnuovo87), p. 76; G. Scorza26), p. 159; J. L. Coolidge58), p. 152.
54) J. V. Poncelet ha convenuto di considerare come appartenenti ad un fascio
anche gli eventual! cerchi (le eventual! sfere) di raggio zero, ed ha introdotta la deno-
minazione di punti limite del fascio per i loro centri.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
343
7. Proprieta dei sistemi lineari di cerchi. — 1. Nel piano :
I centri dei cerchi di un fascio generico sono tutti allineati su una
retta perpendicolare all’asse radicale e detta percid retta centrale, e le
coppie di punti segate dai cerchi sulla retta centrale formano un’invo-
luzione, di cui il punto centrale e I’intersezione coll’asse radicale e di
cui la potenza e la potenza comune di quel punto rispetto a tutti i cer-
chi del fascio. Viceversa i cerchi aventi per antipodi le coppie di un’in-
voluzione generica formano un fascio generico.
Cosi si pud costruire un fascio di cerchi mediante costruzioni di
involuzione, e viceversa.
Gli eventual! punti limite del fascio coincidono cogli eventual!
punti doppi dell’involuzione sulla retta centrale.
I fasci generic! si distinguono in ellittici, parabolici od iperbolici,
secondoche ё ellittica, parabolica od iperbolica I’involuzione sulla retta
dei centri.
Un fascio ellittico di cerchi ha due punti base sull’asse, simmetrici
rispetto alia retta dei centri, ma non ha punti limite ; e costituito dai
cerchi passanti per diie punti. Un fascio parabolico ha un solo punto
base, che e anche punto limite, nell’intersezione dell’asse radicale colla
retta dei centri; e costituito dai cerchi tangenti ad una retta in un suo
punto fisso. Un fascio iperbolico e privo di punti base, ha invece due
punti limite sulla retta centrale, simmetrici rispetto all’asse ; questi
punti limite sono inversi rispetto a tutti i cerchi del fascio.
Il luogo dei centri dei cerchi di un fascio generico ё la retta cen-
trale completa, se il fascio ё ellittico о parabolico ; ё costituito dai punti
della retta centrale non interni al segmento dei punti limite, se il fascio
ё iperbolico.
Segando un fascio di cerchi con una retta о con un cerchio non
appartenenti al fascio, si ottiene un’involuzione di cui ё punto centrale
owero polo I’intersezione della retta considerata coll’asse radicale del
fascio, owero rispettivamente il centro radicale del cerchio considerato
e di due cerchi qualunque del fascio.
Percid sono al piu due i cerchi di un fascio che toccano una retta
od un cerchio del loro piano, supposto che questi non appartengano
al fascio.
Un fascio ellittico di cerchi ё segato da una retta generica secondo
un’involuzione che pud essere ellittica, parabolica od iperbolica ; un
fascio parabolico ё segato secondo un’involuzione parabolica od iperbo-
lica ; un fascio iperbolico ё segato secondo un’involuzione iperbolica.
Tutti i cerchi che segano ad angolo retto due dati formano un
fascio.
Ogni cerchio di un fascio si pud ottenere come luogo dei punti
le cui potenze rispetto a due cerchi qualunque del fascio hanno un de-
terminate rapporto costante.
Le lunghezze delle eventual! tangenti condotte dai punti di ogni
cerchio del fascio a due cerchi qualunque del fascio stesso hanno un
rapporto costante.
344
Bonaparte Colombo
Ogni cerchio di un fascio iperbolico si pud ottenere come luogo
dei punti le cui distanze dai due punti limite del fascio hanno un rap-
porto costante.
Le distanze di un punto qualunque di un cerchio da due punti
inversi rispetto ad esso hanno uii rapporto costante.
Il luogo dei punti le cui distanze da due punti fissi hanno un rap-
porto costante e un cerchio del fascio (iperbolico) definite da quei due
come punti cerchio, ed e detto comunemente cerchio di Apollonio 65).
Per un fascio di cerchi non > generico valgono le proposizioni se-
guenti :
Il fascio simmetrico sega su una qualunque retta per il centro
comune a tutti i suoi cerchi I’involuzione simmetrica ; viceversa i cerchi
aventi per antipodi le coppie di un’involuzione simmetrica formano
un fascio simmetrico. Un fascio di cerchi simmetrico e privo di punti
base, ma ha due punti limite, il centro e la retta all’infinito. Un fascio
simmetrico e segato da una retta secondo un’involuzione simmetrica.
Un fascio di rette e segato secondo I’involuzione costituita da tutti i
punti.
2. Le reti di cerchi generiche si distinguono in ellittiche, para-
boliche od iperbotiche. secondoche la potenza e negativa, nulla о posi-
tiva. Solo le paraboliche sono dotate di un punto base e si compongono
di tutti i cerchi per esso.
Per ogni rete iperbolica od ellittica si indichi con у il cerchio avente
per centro il centro della rete e per raggio у/1 p | , essendo p la po-
tenza, dssia avente per raggio rispettivamente la radice quadrat a della
potenza о la radice quadrata della potenza cambiata di segno.
I centri dei cerchi di una rete generica sono tutti distinti e riem-
piono il piano, se questa e ellittica о parabolica ; sono 1’insieme dei
punti del piano non interni a y, se la rete e iperbolica.
Una rete ellittica di cerchi non ha punti limite. Una rete para-
bolica ha per punto limite e punto base il centro. Una rete iperbolica
ha per punti limite tutti quelli del cerchio y.
I fasci generici contenuti in una rete ellittica di cerchi sono tutti
ellittici ; quelli contenuti in una rete parabolica sono ellittici о para-
bolici ; quelli contenuti in una rete iperbolica sono ellittici, parabolici
od iperbolici.
Una rete iperbolica ё 1’insieme dei cerchi di un piano che segano
ortogonalmente un cerchio fisso (y), detto percid cerchio ortogonale della
rete ; una rete ellittica e 1’insieme dei cerchi di un piano passanti per
gli antipodi di un cerchio fisso, ossia che segano diametralmente questo
cerchio fisso (y). Nel caso della rete iperbolica il cerchio fisso non ap- бб
бб) II teorema precedente era gi& noto ad Archimede ; si sa da Pappo 4), ed . F.
Hultsch, 2, p. 661 ; ed. P. Ver Eecke, 2, p. 495, che Apollonio ha trattato tale luogo
nel secondo dei suoi libri sui « Luoghi piani ». Anche I. Newton l*ha studiato nelle sue
lezioni Arithmetica universalis sive de compositione et resolutions arithmetica liber, Londra
1707, p. 151-152 (probl. 26) ; ed. G. J.’s Gravesande, Leida 1732, p. 121; Opera, 1,
Londra 1779, p. 115.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
345
partiene alia rete, a cui invece appartengono i suoi punti come punti
cerchio ; nel caso della rete ellittica il cerchio fisso appartiene invece
alia rete, ma i suoi punti non le appartengono.
La proposizione precedente potrebbe servire come definizione
delle reti di cerchi generiche iperboliche ed ellittiche.
Si enunciano facilmente le propriety delle reti non generiche.
3. Sulla sfera :
I fasci di cerchi si distinguono in ellittici, parabolici od iperbolici,
secondoche I’asse del fascio e secante, tangente od esterno alia sfera.
П fascio ellittico ha due punti base e nessun punto limite ; e costi-
tuito dai cerchi passanti per due punti della sfera. Il fascio parabolico
ha un solo punto base ed un solo punto limite, fra loro coincidenti ;
e costituito dai cerchi della sfera tangenti ad una stessa retta in uno
stesso punto. Il fascio iperbolico e privo di punti base, ma ha due punti
limite.
Le reti di cerchi si distinguono in ellittiche, paraboliche od iperbo-
liche, secondoche la loro potenza e negativa, nulla о positiva, ossia se-
condoche il centro e intemo alia sfera, sta su di essa owero le e esterno.
Una rete ellittica non contiene punti limite e nemmeno punti base.
Una rete parabolica ha un punto limite ed un punto base coincidenti
col centro ; essa si compone dei cerchi della sfera passanti per un suo
punto. Una rete iperbolica ha infiniti punti limite, il cui luogo e il cer-
chio d’intersezione della sfera col piano polare del centro.
In una rete ellittica ogni fascio e ellittico. In una rete parabolica
esistono fasci ellittici e parabolici. In una rete iperbolica esistono fasci
ellittici, parabolici ed iperbolici.
Una rete iperbolica e I’insieme dei cerchi che segano ortogonal-
mente un cerchio fisso. Una rete ellittica e I’insieme dei cerchi che se-
gano diametralmente un cerchio fisso ; questo e in generale determi-
nate, ma e un cerchio massimo qualunque per la rete formata con tutti
i cerchi .massimi della sfera5e).
8. Proprieta dei sistemi lineari di sfere. — 1. I centri
delle sfere di un fascio generico sono tutti allineati su una retta, detta
percid retta centrale, perpendicolare al piano radicale, e le coppie di
punti segate dalle sfere su di essa formano un’involuzione, di cui il
punto centrale e I’intersezione col piano radicale e di cui la potenza e
la potenza comune in quel punto di tutte le sfere del fascio. Viceversa
le sfere aventi per antipodi le coppie di "un’involuzione generica for-
mano un fascio generico.
Cosi si pud costruire un fascio di sfere mediante costruzioni di
involuzione, e viceversa. *•)
*•) Si consultino in proposito L. Gaultier n), p. 146 ; J. D. Gergonne 12); C. J.
Brianchon, Memoire sur les lignes du second ordre, Paris 1817 ; J. V. PonCelet 1S) ; J.
Plucker1*); M. Chasles 17); F. Klein27), p. 73 ; Th. Reye22) ; L. Berzolari 27),
p. 222 ; G. Castelnuovo37), p. 76; G. Scorza25), p. 159 ; J. L. Coolidge52), p. 95.
346
Bonaparte Colombo
Gli eventuali punti limite del fascio coincidono cogli eventual!
punti doppi dell’involuzione.
I fasci generic! si distinguono in ellittici, parabolici od iperbolici,
secondoche e ellittica, parabolica od’iperbolica 1’involuzione sulla retta
centrale.
Un fascio ellittico di sfere ha infiniti punti base, situati sul piano
radicale e formanti il cerchio base, col centro sulla retta centrale, ma
non ha punti limite ; e costituito dalle sfere per un cerchio fisso. Un
fascio parabolico ha un solo punto base ed un solo punto limite coin-
cident! nell’intersezione del piano radicale colla retta centrale ; e co-
stituito dalle sfere tangenti ad un piano in un punto fisso. Un fascio
iperbolico e privo di punti base, ha invece due punti limite sulla retta
dei centri, simmetrici rispetto al piano radicale ; questi punti limite
sono inversi rispetto a tutte le sfere del fascio.
Il luogo dei centri delle sfere di un fascio e la retta centrale completa,
se il fascio e ellittico о parabolico ; e costituito dai punti della retta
centrale non interni al segmento dei punti limite, se il fascio ё iperbolico.
Segando un fascio di sfere con una retta о con un cerchio non ap-
partenente rispettivamente al piano radicale о ad una sfera del fascio,
si ottiene un’involuzione, di cui e punto centrale owero polo 1’inter-
sezione della retta col piano radicale owero rispettivamente il centro
radicale di due sfere qualunque per il cerchio e di due sfere qualunque
del fascio.
Percid sono al piu due le sfere di un fascio che toccano una retta
od un cerchio, supposto che la retta ed il cerchio non appartengano ad
alcuna sfera del fascio.
Segando un fascio di sfere con un piano о con una sfera non ap-
partenenti al fascio, si ottiene un fascio di cerchi, di cui e asse 1’interse-
zione col piano radicale owero rispettivamente l’asse radicale della
sfera e di due sfere qualunque del fascio.
Percid sono al piu due le sfere di un fascio tangenti ad un piano о
ad una sfera non appartenenti al fascio.
Un fascio ellittico di sfere e segato da una retta generica secondo
un’involuzione ellittica, parabolica od iperbolica ; un fascio parabolico
ё segato secondo un’involuzione parabolica od iperbolica ; un fascio
iperbolico ё segato secondo un’involuzione iperbolica.
Un fascio ellittico di sfere ё segato da un piano generico secondo
un fascio ellittico, parabolico od iperbolico ; un fascio parabolico secondo
un fascioparabolico od iperbolico; un fascio iperbolico secondo un fascio
iperbolico.
Tutte le sfere che segano ortogonalmente tre sfere date formano
un fascio ; cosi pure le sfere che segano ortogonalmente una sfera ed un
cerchio.
Ogni sfera di un fascio si pud ottenere come luogo dei punti le
cui potenze rispetto a due sfere qualunque del fascio stesso hanno un
determinato rapporto costante. .
Le lunghezze delle eventuali tangenti condotte dai punti di ogni
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
347
sfera del fascio a due sfere qualunque del fascio stesso hanno un rap-
porto costante.
Ogni sfera di un fascio iperbolico si pud ottenere come luogo dei
punti le cui distanze dai due punti limite del fascio hanno un rapporto
costante.
Le distanze di un punto qualunque di una sfera da due punti in-
versi rispetto ad essa hanno un rapporto costante.
Il luogo dei punti le cui distanze da due punti fissi hanno un rap-
porto costante ё цпа sfera del fascio (iperbolico) definite da quei due
come sfere nulle, ed e detta comunemente sfera di Apollonio.
Si enunciano facilmente le proprieta dei fasci non generici.
2. I centri delle sfere di una rete generica stanno tutti in un
piano, detto percid piano centrale, il quale sega la rete di sfere in una
rete di cerchi avente per centro Fintersezione del piano coll’asse radi-
cale della rete e per potenza la potenza comune di questo punto rispetto
a tutte le sfere della rete. Se la rete sezione e iperbolica od ellittica, se
ne indichi con у il cerchio introdotto nel § 7 2.
Una rete di sfere dicesi ellittica, parabolica od iperbolica, secon-
doche e tale la rete di cerchi sezione col piano centrale.
I centri delle sfere di una rete generica sono tutti distinti e riem-
piono il piano centrale, se la rete e ellittica о parabolica ; sono 1’insieme
dei punti del piano centrale non interni al cerchio y, se la rete e iper-
bolica.
Una rete di sfere ellittica ha due punti base, ma non ha punti limite ;
si compone delle sfere passanti per due punti fissi. Una rete parabolica
ha un solo punto base coincidente con un punto limite e si compone
delle sfere tangenti ad una retta in un suo punto. Una rete iperbolica
non ha punti bas'e ed ha infiniti punti limite costituenti il cerchio y.
I fasci generici contenuti in una rete ellittica sono tutti ellittici ed
i loro cerchi base sono quelli passanti per i due punti base della rete ;
i fasci generici contenuti in una rete parabolica sono tutti parabolici
od ellittici; i fasci generici contenuti in una rete iperbolica possono es-
sere ellittici, parabolici od iperbolici.
Una rete di sfere e segata da un piano non passante per 1’asse se-
condo una rete di cerchi, che ha per centro Fintersezione del piano
coll’asse radicale e per potenza la potenza della rete in questo punto.
Una rete ellittica e segata da un piano generico secondo una rete
ellittica, parabolica od iperbolica; una rete parabolica secondo una
rete parabolica od iperbolica ; una rete iperbolica secondo una rete
iperbolica.
Una rete di sfere viene segata da ogni sfera non appartenente ad
essa in una rete di cerchi.
Le sfere ortogonali a due date formano una rete, come pure le
sfere ortogonali ad un cerchio dato.
Si possono enunciare le proposizioni valide per reti non generiche.
3. I complessi generici di sfere si distinguono in ellittici, para-
bolici od iperbolici, secondoche la potenza e negativa, nulla о positiva.
348
Bonaparte Colombo
Per un complesso iperbolico od ellittico si indichi con a la sfera
che ha per centro il centro del complesso e per raggio д/ | p | , essendo
p la potenza del complesso.
Se un complesso e a centro, i centri delle sue sfere sono tutti di-
stinti e riempiono lo spazio, se il complesso e ellittico о parabolico ;
sono 1’insieme dei punti non interni alia sfera a, se e iperbolico.
Un complesso ellittico non ha punti limite ne punti base. Un
complesso parabolico ha un punto limite ed un punto base coincidenti
col centro e si compone delle sfere passanti per questo punto. Un com-
plesso iperbolico ha infiniti punti limite, il cui luogo e la sfera a, ma
non ha punti base.
Le reti ed i fasci generici contenuti in un complesso ellittico sono
tutti ellittici; quelli contenuti in un complesso parabolico sono tutti
ellittici о parabolici ; quelli contenuti in un complesso iperbolico pos-
sono essere ellittici, parabolici od iperbolici.
Un complesso iperbolico si compone di tutte e sole le sfere che
segano ortogonalmente una sfera fissa (a), detta percid sfera ortogonale
del complesso ; un complesso ellittico si compone di tutte e sole le sfere
che segano diametralmente una sfera fissa (a). Nel primo caso la sfera
fissa non appartiene al complesso, mentre gli appartengono i suoi punti
come punti sfera; nel secondo caso la sfera fissa appartiene al com-
plesso, ma i suoi punti non gli appartengono.
Si possono enunciare facilmente i teoremi validi per complessi
non generici57).
9. Omotetie tra cerchi e sfere. Cerchio о sfera di simili*
tudine di due cerchi о sfere. — 1. Su una retta due coppie di
punti si corrispondono in due diverse similitudini, nelle quali si corri-
spondono altresi i centri О e O' ; i rapporti di similitudine sono eguali
al rapporto dei raggi r'/r preceduto dal segno + о dal segno —, sicche
una similitudine e diretta e I’altra inversa ; i centri di similitudine di-
retta ed in versa (ulteriori punti uniti oltre al punto all’infinito), divi-
dend© la coppia di punti О e O' nel rapporto + r'/r e — r'/r, la dividono
armonicamente ; il primo e esterno al segmento OO', il secondo e interno
al segmento stesso. Se r ed r' sono eguali, le similitudini corrispondenti
sono uguaglianze.
Percid due cerchi complanari (due sfere) si corrispondono in due
distinte omotetie, in cui si corrispondono altresi i centri О ed O', le quali
hanno per rapporto di omotetia + о — il rapporto dei raggi r'/r, sicche
riescono una diretta ed una inversa. Naturalmente si corrispondono i
punti dei cerchi (sfere) situati su raggi parallel!. Se i due, cerchi
(sfere) sono eguali, 1’omotetia diretta viene sostituita da una traslazione,
67) Sull’argomento di questo § cfr. L. Gaultier11), p. 159 ; J. D. Gergonne12) ;
C. J. Brianchon 6e); J. V. Poncelet 13); J. Plucker ie); M. Chasles 17); F. Klein 27) ;
Th. Reye 22) ; L. Berzolari 27), p. 460 ; G. Castelnuovo 37), p. 153; G. Scorza 26),
p. 179 ; J. L. Coolidge 52), p. 241.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
349
mentre Fomotetia inversa e in tai caso una simmetria rispetto al punto
medio del segmento limitato dai centri. I due centri di omotetia divi-
dono la coppia dei centri nel rapporto ± r'/r, sicche la dividono ar-
monicamente ; quello di omotetia diretta e esterno al segmento dei
centri, e quello di omotetia inversa e interno. Se i due cerchi (sfere)
sono concentrici (concentriche), i centri delle due omotetie vengono a
coincidere nel centro comune 58).
La retta dei centri dei cerchi (sfere) sega i cerchi (sfere) in due
coppie di punti alia cui involuzione appartiene altresi la coppia dei
centri di omotetia. Il cerchio (sfera), che li ha per antipodi, e dunque
un cerchio (sfera) del fascio.
Se per un centro di omotetia di due cerchi (sfere) passa una retta
(un piano) tangente all’uno (all’una), essa (esso) e anche tangente ah
Faltro (all’altra). Viceversa una retta (un piano) tangente comune ai
due cerchi (sfere) passa per un loro centro di omotetia.
In grazia alia proposizione precedente si pud stabilire la colloca-
zione dei centri di omotetia e discutere il problema delle tangenti comuni
a due cerchi (dei piani tangenti comuni a due sfere) in dipendenza della
mutua collocazione dei cerchi (delle sfere).
2. Dati due cerchi complanari (sfere), sempre di centri О ed O'
e di raggi r ed r', il cerchio (sfera) di Apollonio, luogo dei punti X tali
che
d r
d' r' ’
essendo d = XO e d' = XO', ha per antipodi i loro due centri di omo-
tetia.
Esso (essa) contiene i punti X disposti similmente rispetto ai due
cerchi (sfere), ossia i punti uniti, detti talvolta centri, delle similitudini
tra i due cerchi (sfere), ossia ancora, per la (7), i punti aventi rispetto
ai due cerchi (sfere) eguale potenza angolare о di similitudine, e percid
si chiama cerchio (sfera) di similitudine dei due dati (delle due date).
Il cerchio (sfera) di similitudine e il luogo dei punti tali che il
rapporto delle potenze (ordinarie) rispetto ai due cerchi (sfere) e uguale
al rapporto dei quadrati dei raggi.
Dalla (12) si ricava infatti —T-^ = -^5-.
V / ^'2 -- r'2
58) Si tratta, in sostanza, di una proposizione di geometria proiettiva, nota &i&
a G. Monge10); L. Gaultier11), p. 170; J. V. Poncelet13), 1, 2B ed., p. 121; 14),
1, p. 1-47. J. Steiner 1б), Werke, 1, p. 20 dice che il concetto di questi centri si trova
gi& in Pappo ed in F. Viete. Molti autori, tra i quali J. Steiner15), Werke, 1, p. 27;
*•), p. 9, seguendo la denominazione di J. D. Gergonne, chiamano -centri di simili-
tudine i centri di omotetia e li distinguono in esterni ed interni anzichfe in direttied in-
versi. Si consultino anche C. F. Geiser 52) ; Th. Reye 22), p. 49 ; G. Salmon s4), p. 253 ;
J. L. Coolidge 52), p. 27; F. Severi, Complementi di geometria proiettiva, Bologna
1906, p. 170. Sull’argomento v. 1’art. XXVIII di questa Encicl. (U. Cassina, Trasfor-
mazioni geometriche elementari), §§ 28 e 66.
350
Bonaparte Colombo
L’insieme degli eventual! punti del cerchio (sfera) di similitudine
di due dati (date) esterni all’uno (all’una), e percid anche all’altro
(all’altra), coincide col luogo dei punti tali che il rapporto dei segmenti
delle due tangenti condotte da essi ai due cerchi (sfere) e eguale al rap-
porto dei raggi.
L’insieme degli eventual! punti del cerchio (sfera) di similitudine
di due dati (date) esterni all’uno (all’una), e percid anche all’altro (al-
1’altra), coincide col luogo dei punti dai quali i due cerchi (sfere) sono
visti secondo angoli eguali.
Percid il cerchio (sfera) di similitudine dicesi anche cerchio (sfera)
isogonale dei due dati (delle due date).
Il cerchio (sfera) di similitudine di due dati (date) appartiene al
loro fascio.
I tre cerchi di similitudine relativi a tre cerchi complanari com-
binati a due a due stanno in un fascio. Le tre sfere di similitudine re-
lative a tre, sfere combinate a due a due stanno in un fascio. Le sei
sfere di similitudine relative a quattro sfere combinate a due a due
stanno in una rete 6e).
3. Le tre coppie di centri di omotetia di tre cerchi di un piano
coi centri non allineati, combinati a due a due, sono le tre coppie di
vertici opposti di un quadrilatero piano completo ; il trilatero delle tre
rette central! e il trilatero diagonale di questo quadrilatero60).
I sei centri di omotetia considerati nella proposizione precedente
si dicono centri di omotetia della terna di cerchi ed i quattro lati del
quadrilatero piano completo diconsi assi di omotetia della stessa terna
di cerchi.
Un asse contiene i tre centri di omotetia diretta e dicesi asse di
omotetia diretta; ciascuno degli altri tre assi contiene un centro di
omotetia diretta e due di omotetia inversa e dicesi asse di omotetia
inversa.
Per tre sfere coi centri non allineati si stabilisce 1’esistenza di sei
centri di omotetia e di quattro assi di omotetia nel piano dei centri,
valendo proprieta analoghe.
Un piano tangente comune a tre sfere passa per un asse di omo-
tetia. Viceversa un piano passante per un asse di omotetia e tangente
all’una e tangente anche alle altre due.
Tale proposizione permette di discutere la collocazione degli assi
di omotetia ed il problema dei piani tangenti comuni a tre sfere in di-
pendenza della mutua collocazione di queste.
4. Quattro sfere coi centri non complanari danno luogo alia
considerazione di dodici centri di omotetia costituiti dalle sei coppie
di centri di omotetia delle sfere stesse combinate a due a due, detti
centri di omotetia della quaterna di sfere. I dodici centri di omotetia
50) Sull’argomento del capoverso 2 si consulti J. L. Coolidge “), p. 106.
•°) Questo teorema ё dovuto a G. Monge10), ed. 1799, p. 53, oppure ed. 1839,
p. 88.
XXVII. - Sistemi lineaHi di cerchi e Di sfere
351
si possono distribute a sestuple su dodici piani, detti piani di omotetia,
ed a terne su sedici rette, dette assi di omotetia. Si tratta di una confi-
gurazione notevole : centri, assi e piani di omotetia soddisfano a rela-
zioni di appartenenza per cui vale la dualita spaziale ; precisamente ogni
retta contiene tre punti e sta su tre piani, ogni piano contiene sei punti
e quattro rette e per ogni punto passano sei piani e quattro rette el) ®2).
10. Inversion! tra cerchi e sfere. Potenza mutua di due
cerchi о sfere. Problema di Apollonio. Problema di Malfatti. —
1. Due cerchi (sfere) si corrispondono in due inversion! aventi per centri
i centri di omotetia ; precisamente ad una delle due intersezioni di un
cerchio (sfera) con una secante per un centro di omotetia corrisponde,
nell’inversione rispetto a questo, 1’intersezione coll’altro cerchio (sfera)
tale che i due punti corrispondenti non stiano su raggi paralleli ю).
Infatti, se nell’omotetia di centro H si corrispondono i punti Л,
A' dei due cerchi (sfere), vale 1’eguaglianza О А'/О A = cost., e, se
Л* e 1’ulteriore intersezione della retta OAA col secondo cerchio (se-
conda sfera), vale la relazione О A' . OA* = cost. ; segue О A.О A* =
= cost. e<).
Le inversioni tra cerchi (sfere) portano a considerare le potenze
comuni di due cerchi (sfere) mediante la seguente definizione :
La potenza dell’inversione tra due cerchi (sfere) avente per centro
un centro di omotetia H si chiama potenza mutua dei due cerchi (sfere)
rispetto ad H, e 1’eventuale cerchio (sfera) fondamentale dell’inver-
sione, ossia il cerchio (sfera) di centro H ed avente per raggio la radice
quadrata della potenza mutua, dicesi cerchio (sfera) di potenza dei due
cerchi (sfere) rispetto ad H* Si * * * * * * * * * * * * * 65 *).
41) Tale proposizione si trova sostanzialmente in G. Monge10), ed. 1799, p. 55,
oppure ed. 1839, p. 90 Cfr. anche C. F. Geiser62).
°2) Le questioni contenute nei capoversi 3 e 4 per loro natura sono di pertinenza
della geometria proiettiva. La considerazione dei centri, degli assi e dei piani di omotetia
trovasi sostanzialmente gi& in G. Monge10), e poi promiscuamente in L. Gaultier11),
p., 182 ; J. D. Gergonne12), p. 23 ; J. Steiner16}, Werke, 1, p. 27; J. V. Poncelet12)14).
Si consultino in proposito C. F. Geiser 62); G. Salmon 84), p. 253 ; J. L. Coolidge ®2),
p. 2 JO; F. Severi68), p. 175. La denominazione di centri, assi e piani di omotetia ё
sostituita da molti autori con quella di centri, assi e piani di similitudine.
“) Gi& J. V. Poncelet u), 1, 2a ed., p. 125, 134 chiama i punti corrispondenti
nella trasformazione or ora indicata punti inversamente omologhi о punti antiomologhi,
dimostrando che il prodotto delle loro distanze dal centro considerato di omotetia ё
costante.
°4) Si consulti ad es. F. Severi ®8), p. 170. Sulle inversioni v. L. Berzolari,
Encykl. d. math. Wiss., Ill C 11 (1933), n. 70, 71, 79 ; inoltre Tart. XXVIII di questa
Encicl. ®8), §§ 77 e segg.
•®) Le precedenti definizioni e denominazioni sono dovute a J. Steiner 16), Werke,
1, p. 31, 40 ; 37), Werke, 1, p. 497, il quale distingue il cerchio di potenza esterno ed interno
corrispondentemente al centro di omotetia esterno ed interno ; egli awerte ,in 16),
Werke, 1, p. 20 che delle potenze mutue di due cerchi si trova gi£ traccia in Pappo ed
in F. Vi£te. J. L. Coolidge ®2), p. 28, 230 chiama il cerchio (sfera) di pqfenza cerchio
{sfera) di antisimilitudine rispetto ai cerchi dati (alle sfere date).
352
Bonaparte Colombo
Ciascuno (ciascuna) dei due eventuali cerchi (sfere) di potenza sta
nel fascio dei due cerchi dati (sfere date).
Se due cerchi (sfere) si toccano, si annulla la potenza mutua ri-
spetto al centro di omotetia che coincide col punto di contatto, e percid
rispetto al centro di omotetia diretta od inversa secondoche i due cerchi
(sfere) si toccano internamente od esternamente.
Due punti qualunque corrispondenti nell’inversione tra i due cerchi
(sfere) avente per centro un centro di omotetia sono altresi corrispon-
denti in un’omologia avente per centro quel centro di omotetia e per
asse (piano) di omologia 1’asse (piano) radicale dei due cerchi (sfere) “j.
Esiste un cerchio (una sfera) tangente ai due dati (alle due date)
in punti corrispondenti in una qualunque delle due inversioni; le rette
(i piani) ivi tangenti s’incontrano sull’asse (piano) radicale.
2. Dati due cerchi (sfere), si hanno delle notevoli espressioni
formate coi loro raggi r ed r' e colla distanza d dei centri. Espressioni
diverse hanno talvolta eguale nome, e stesse espressioni nomi diversi,
secondo gli autori 67)r
3. Si e gia accennato nel § 1 che i problemi sui contatti di cerchi
e di sfere furono molto studiati e diversamente risolti. Gia in Apollonio
si trova il problema di costruire un cerchio tangente a tre cerchi dati,
chiamato appunto problema di Apollonio 68). Di questo si occupo
anche Pappo 69 70) ; la questione fu poi ripresa da F. Vi4:te7()), P. Fer-
mat71), I. Newton72), L. Euler73), S. D. Poisson74), N. Fuss75),
G. Monge 76), L. N. M. Carnot 77), J. Binet 78).
ee) Questa proposizione trovasi in J. V. Poncelet13), p. 128.
®7) J. Steiner15), come si ё gi& detto, definisce due potenze mutue di due cerchi
(sfere) delle quali trova anche I’espressione analitica. G. Darboux 32) intende per po-
tenza mutua di due sfere d2 — r2 — r'2, come si ё riferito nel § 4. G. Loria, Mem. Acc.
Torino, (2) 36 (1884) ; Atti Acc. Torino, 20 (1885), p. 505 dice invariante simultaneo
di due cerchi (sfere) la stessa espressione. E. Lucas, Mem. Acc. Lincei, (3) 2 (1878),
r2 + t'2 — d2
p. 449 chiama potenza mutua di due cerchi (sfere) ------------------, e H. Cox, Quart.
1 r'2 _
J., 18 (1882), p. 74 chiama prodotto di due cerchi (sfere) — -----------------. F. G.
Affolter, Math. Ann., 4 (1871), p. 185 ; 37), p. 31, generalizzando la definizione di
J. Steiner, introduce altre due funzioni, le quali si annullano se i cerchi (sfere) si toc-
cano internamente od esternamente.
®8) Cfr. nota 4).
®9) Cfr. nota5) ; cfr. anche Pappo 4), ed. F. Hultsch, 1, p. 219 ; ed. P. Ver
Eecke, 1, p. 166.
70) F. Viete ®) ; Opera mathematica, ed F. van Schooten, Lugduni Batav. 1646,
p. 325.
71) Cfr. nota7).
72) Cfr. nota 8).
73) L. Euler, Nova Acta Ac. Petrop., 6 (1788, ed. 1790), p. 95.
74) S. D. Poisson, Bull. Soc. philom., (3) 6 (1812), p. 141.
75) N. Fuss, Nova Acta Ac. Petfop., 6 (1788, ed. 1790), p. 102.
7®) Cfr. nota 10).
77) Cfr. nota 28).
78) J. Binet, J. Ёс. polyt., (1) cah. 17 (1815), p. 113.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
353
Le soluzioni piii interessanti del problema di Apollonio dove-
vano ad ogni modo provenire dalla teoria che forma Foggetto dei §§ 5,
6 e del § 10 1. In tai senso la questione fu nuovamente studiata da
P. Hachette 7#), L. Gaultier * 80), J. D. Gergonne 81 *), J. V. Poncelet ®),
J. Steiner83), J. Plucker84).
Inline uno studio profondo del problema di Apollonio dal punto
di vista gruppale nella geometria delle inversion! si deve ad E. Study 85 86).
I problemi che consistono nel costruire il cerchio tangente a tre
cerchi dati e la sfera tangente a quattro sfere date sono rispettivamente
di grado 8 e 16, cioe ammettono al massimo 8 e 16 soluzioni.
Nel piano si taglino le polari del centro radicale dei tre cerchi dati
rispetto ai tre cerchi stessi con uno dei quattro assi di omotetia ;
i punti di contatto delle eventual! tangenti che dalle intersezioni si pos-
sono condurre rispettivamente ai cerchi dati sono punti di contatto
anche dei cerchi richiesti; ad ogni asse di omotetia vengono a corri-
spondere due eventual! cerchi che risolvono il problema. Analogamente
si procede nello spazio8e).
Nel piano si possono costruire quattro terne di rette, tali che le
eventual! intersezioni delle tre rette di ciascuna terna rispettivamente
coi tre cerchi dati sono tre coppie di punti di contatto coi cerchi ri-
chiesti. Analogamente per lo spazio mediante otto quaterne di rette 87) 88).
4. Il cosiddetto problema di Malfatti venne proposto e risolto
appunto da G. F. S. Malfatti 8e), al quale si presento nella questione
di ricavare da un dato prisma triangolare tre cilindri della massima
grandezza ; essa equivale, nel piano, ad inscrivere in un dato.triangolo
tre cerchi che abbiano complessivamente la massima area.
’•) P. Hachette, Corresp. Ёс. polyt., (1) 2 (1804), p. 19; SuppUm. de la Geo-
metric descriptive, Paris 1812, p. 21 ; J. Ec. polyt., (1) cah. 17 (1815), p. 129.
80) L. Gaultier11), p. 170.
81) J. D. Gergonne11), p. 20; Ann. math, pures appl., 7 (1816-1817), p. 289.
“) J. V. Poncelet, Ann. math, pures appl., 11 (1820-1821), p. 317 ;18), p. 136 ;
M), p. 1-47.
M) J. Steiner16). Egli generalize anche di molto il problema di Apollonio.
8<) J. Plucker, Ann. math, pures appl., 18 (1827-1828), p. 29 ; J. reine ang.
Math., 10 (1831), p. 293; ibid., 11 (1831), p. 219-225 ; Gesamm. Abh., Leipzig 1895,
p. 63, 246, 277 ; 18), p. 108, 153.
86) E. Study, Math. Aim., 49 (1897), p. 497.
8e) Tale ё la soluzione di L. Gaultier11), p. 201, 205.
87) Tale ё la soluziome di J. D. Gergonne11), p. 26, 30.
88) Per altre notizie sui problema di Apollonio cfr. M. Simon, Jahresb. deutsch.
Math.-Vereinig., Erganzungsbande 1, Leipzig 1906, p. 97-105 ; E. Kotter, Jahresb.
deutsch. Math.-Vereinig., 5 (1901), p. 107-120 ; A. Sabbatini, nella raccolta di F.
Enriques, Questions riguardanti le matematiche elementari, 2, 3a ed., Bologna 1926,
p. 130; G. Salmon 8<), p. 259 ; J. L. Coolidge “), p. 166 ; F. Severi 68), p. 175 ;
E. RouchS e Ch. de Comberousse, Traitt de Geometric, 1, Paris 1922, p. 297 ; G. Fano,
Encykl. d. math. Wiss., Ill AB 4b (1907), n. 42 ; J. Sommer, ibid., Ill AB 8 (1914),
n. 17 ; M. Zacharias, ibid., Ill AB 9 (1921), n. 24.
81) G. F. S. Malfatti, Mem. mat. fis. Soc. it. sc., 10j (1803), p. 235. Per notizie
varie cfr. N. M. Scardapane, Period, mat., (4) 11 (1931), p. 281; A. Procissi, ibid.,
(4) 12 (1932), p. 189.
354
Bonaparte Colombo
Una soluzione del problema fu indicata, senza dimostrazione, da
J. Steiner 90); fu poi dimostrata da A. Hart 91 * *), H. Schroter w)>
J. Petersen ").
Il problema di Malfatti pud generalizzarsi in quello di costruire
tre cerchi ciascuno dei quali debba toccare gli altri due ed inoltre due
di tre date rette formanti un triangolo. Sotto questa forma pud avere
32 soluzioni reali 94) 95).
11. Sistemi lineari di cerchi e di sfere mutuamente orto*
gonali. — 1. Se un cerchio od una sfera e ortogonale a piii cerchi о
sfere, e ortogonale a tutto il loro sistema lineare ; i cerchi о sfere orto-
gonali a piii cerchi о sfere costituiscono un sistema lineare.
Cid premesso, si possono esaminare vari casi particolari notevoli.
2. Due fasci di cerchi complanari, tali che ogni cerchio dell’uno
sia ortogonale ad ogni cerchio dell’altro*, si dicono ortogonali.
Ogni fascio di cerchi ammette uno ed un solo fascio ortogonale.
Se due fasci sono ortogonali, un eventuale punto base di un fascio
e punto limite dell’altro, e viceversa ; una retta contenente i centri
di tutti i cerchi dell’uno e una retta cerchio dell’altro, e viceversa. Percid,
se uno e generico, anche 1’altro e generico ; inoltre о sono entrambi
parabolici (collo stesso punto base e colle rette dei centri perpendicolari)^
о sono 1’uno ellittico e 1’altro iperbolico (i punti base del primo essendo
i punti limite del secondo) ; la retta centrale dell’uno e asse radicale
dell’altro. Il punto d’intersezione dei due assi radicali, fra loro perpen-
dicolari, ha potenze opposte rispetto ai cerchi dei due fasci, ossia le due
involuzioni segate sulle rette centrali hanno potenze opposte 96).
3. Un cerchio ed una rete si dicono ortogonali, se ogni elemento
di questa e ortogonale a quello.
Ogni cerchio ammette una ed una sola rete ortogonale. Una rete
iperbolica о parabolica ammette uno ed un solo cerchio ortogonale.
4. I teoremi sui sistemi lineari di cerchi complanari tra loro
ortogonali si estendono ai sistemi lineari di cerchi sulla sfera. Gli assi
di due fasci ortogonali risultano polari rispetto alia sfera. Il centro di
una rete ortogonale ad un cerchio e il polo del piano di questo rispetto
alia sfera.
90) J. Steiner16), Werke, 1, p. 35.
91) A. Hart, Quart. J., 1 (1857), p. 219.
M) H. Schroter, J. reine ang. Math., 77 (1874), p. 230.
M) J. Petersen, Metodi e teorie per la risoluzione dei problemi di costruzioni geo-
metriche, ed. danese, Copenaghen 1879; trad, italiana di V. Mollame, Copenaghen
1881, p. 99.
•4) Cfr. in proposito J. L. Coolidge 62), p. 180 ; A. Pampuch, Arch. Math.
Phys., (3) 8 (1904), p. 36.
95) Per altre notizie sul problema di Malfatti cfr. M. Simon 88), p. 146-150;
A. Sabbatini 88), p. 150; M. Zacharias 88).
9e) Questi teoremi seguono da quelli dei §§ 4 e 6, e si trovano gii in L. Gaul-
tier n), p. 146 e J. D. Gergonne12), e poi in J. Steiner15) e C. J. Brianchon и).
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
353
5. Un fascio di sfere ed una rete, tali che ogni sfera del primo
e ortogonale ad ogni sfera della seconda, si dicono ortogonali.
Ogni fascio ammette una ed una sola rete ortogonale, e viceversa
ogni rete ammette uno ed un solo fascio ortogonale.
Se un fascio ed una rete sono ortogonali, un eventuale punto base
di un sistema e punto limite dell’altro, e viceversa ; un piano contenente
i centri di tutte le sfere di un sistema e un piano sfera dell’altro, e vi-
ceversa. Percid, se il fascio d generico, la rete e generica, e viceversa ;
inoltre i due sistemi о sono entrambi parabolici, о sono I’uno elb’ttico
e I’altro iperbolico ; il piano radicale del fascio e il piano centrale della
rete e l’asse radicale della rete e la retta centrale del fascio. L’interse-
zione del piano radicale del fascio coll’asse radicale della rete ha rispetto
alle sfere del fascio e rispetto alle sfere delh rete potenze opposte, ossia
1’involuzione segata sulla retta centrale del fascio e la rete di cerchi
segata sul piano centrale della rete hanno potenze opposte.
Tutte le sfere ortogonali ad un cerchio formano una rete. Una
rete iperbolica ammette un cerchio ortogonale coincidente col cerchio
base del fascio ellittico ortogonale.
6. Una sfera ed un complesso si dicono ortogonali, se ogni ele-
mento di questo e ortogonale a quella.
Ogni sfera ammette un complesso ortogonale. Un complesso iper-
bolico о parabolico ammette una sfera ortogonale.
7. Dati due sistemi lineari, se uno appartiene al sistema orto-
gonale all’altro, quest’altro appartiene al sistema ortogonale al primo.
Due sistemi siffatti si dicono tra loro normali 97) 98 *).
12. Ulteriori proprieta dei sistemi lineari di cerchi e di
sfere. Relazioni tra loro e coll’inversione. Relazioni tra sistemi
lineari di cerchi nel piano e sulla sfera mediante proiezione
stereografica della sfera. — 1. Sull’appartenenza di sistemi lineari
valgono varie proposizioni, alcune delle quali sono state enunciate fin
dal § 6. In generale : Due о piii sistemi lineari individuano un sistema
lineare al quale appartengono e di cui si stabilisce subito la dimensione.
Due о piii sistemi lineari possono avere in comune un sistema lineare,
di cui si stabilisce subito la dimensione. Un sistema lineare appartiene
ad infiniti sistemi lineari di dimensione maggiore.
Si tratta di proposizioni che seguono tutte da teoremi sui sistemi
di equazioni lineari e che estendono propriety di appartenenza della
geometria proiettiva, tanto che, mantenendone le denominazioni, si
suoi dire che due о piii sistemi lineari sono congiunti mediante un si-
stema lineare e che si intersecano о si segano secondo un sistema lineare ").
•7) Essi sono scqdiati da Th. Reye22).
•8) Per maggiori dettagli su questo § si consultino J. Plucker '•); M. Chasles 17) ;
Th. Reye “), p. 64 ; F. Klein 27), p. 73 ; L. Berzolari 27), p. 224 ; G. Castelnuovo
p. 77 ; G. Scorza25), p. 169; J. L. Coolidge52), p. 99, 242.
••) In proposito si consulti Th. Reye22).
350
Bonaparte Colombo
2. inversione piana о spaziale muta i sistemi lineari di cerchi
e di sfere in sistemi lineari di cerchi e di sfere di egual dimensione.
Questa proposizione si stabilisce in grazia alia sostituzione lineare
che lega le coordinate cartesiane omogenee di due sfere S(a39 a19..., af)
ed S'(a'o, a'4) corrispondenti in un’inversione di potenza k ri-
spetto all’origine del sistema cartesiano, e che, prescindendo da dn
fattore di proporzionalita, e la
(13) a'Q = a4 , a\ = k aA , a\ = k , a'3 = k a3 , a\ = A8 a0.
Un’inversione col centro nel punto base di un complesso parabo-
lico lo muta nel complesso di tutti i piani dello spazio. Si pud osservare,
in geherale, che opportune inversioni semplificanQ i sistemi lineari.
Un’inversione muta sistemi lineari mutuamente ortogonali in aria-
loghi sistemi lineari mutuamente ortogonali, essendo una trasforma-
zione isogonale.
La proiezione stereografica della sfera muta sistemi lineari di cerchi
nel piano in sistemi lineari di cerchi sulla sfera, essendo contenuta in
un’inversione spaziale100).
I teoremi sui sistemi lineari di cerchi nella sfera si possono lumeg-
giare e ricavare senz’altro, mediante proiezione stereografica della sfera,
da quelli sui sistemi lineari di cerchi nel piano.
3. I cerchi uniti di un’inversione piana, escluso 1’eventuale cer-
chio luogo dei punti uniti, costituiscono una rete avente per centro il
centro dell’inversione e per potenza la potenza dell’inversione ; vice-
versa una retet di cerchi generica si compone di tali cerchi. Una pro-
posizione analoga vale sulla sfera per i cerchi uniti di un’inversione
spaziale. Le sfere unite di un’inversione, esclusa 1’eventuale sfera luogo
dei punti uniti, costituiscono un complesso lineare di sfere avente per
centro il centro dell’inversione e per potenza la potenza dell’inversione ;
viceversa un complesso generico si compone di tali sfere.
ж Se due cerchi di un piano che si seghino sono ortogonali ad un
terzo, le loro intersezioni sono punti inversi rispetto a questo.
Se due punti sono inversi rispetto ad un cerchio (sfera), ogni cer-
chio (sfera) per essi e ortogonale a questo (questa).
Se una sfera e ortogonale a tre altre che si seghino, i due punti
comuni a queste sono inversi rispetto alia prima.
Due punti sono inversi rispetto ad un cerchio (sfera) quando e
soltanto quando essi, come cerchi nulli (sfere nulle), appartengono ad
uno stesso fascio col cerchio (sfera) fondamentale dell’inversione101 *).
10 °) La considerazione dei sistemi lineari di cerchi sulla sfera ё sorta appunto
colla proiezione stereografica della sfera, e trovasi gi& in M. Chasles 17). Del resto la
considerazione dei cerchi sulla sfera come analoghi dei cerchi sui piano risale ad L. N.
M. Carnot 18), p. 415, che considera il problema di Apollonio per tre cerchi sulla
sfera, e si trova poi in J. V. Poncelet1®). Sulla proiezione stereografica della sfera v.
1’art. XXVIII di questa Encicl. 58), § 87.
101) Sugli argomenti considerati in questo § si consulti Th. Reye11), iL quale
esamina diffusamente i sistemi lineari in relazione coll’in versione.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
357
13. Complement! ed applicazioni vane. — 1. Data una tema
di cerchi a due a due ortogonali, due qualunque di essi segano sul terzo
due coppie di punti fonnanti un gruppo armonico. Data una tema di
sfere a due a due ortogonali, due qualunque di esse segano sulla terza
due cerchi ortogonali* 104 * * * 108).
2. Le polari di un punto rispetto ai cerchi di un fascio in un
piano formano in generale un fascio. I piani polari di un punto rispetto
alle sfere di un fascio formano in generale un fascio, ed i piani polari
di un punto rispetto alle s^ere di una rete formano in generale una
Stella1<B).
Tutjte le sfere rispetto alle quali un punto dato ha come piano
polare un piano dato formano un fascio ; di conseguenza tutte’ le sfere
rispetto alle quali un punto dato ha come reciproci una retta data od
un punto dato formano una rete od un complesso ; fascio, rete e com-
plesso in questione sono tutti iperbolici. Analogamente per i cerchi.
3. Le tre altezze di un triangolo passano per un punto (orto-
centro), il quale ё il centro radicale dei tre cerchi descritti sui lati come
diametri, mentre le altezze sono gli assi radicali dei tre cerchi combinati
a due a due ; il centro radicale ha la stessa potenza rispetto alle coppie
di punti costituite da un vertice e dal piede della perpendicolare al lato
opposto.
I tre cerchi aventi per. antipodi le tre coppie di vertici opposti di
un quadrilatero piano completo appartengono ad un medesimo fascio,
e sull’asse radicale di questo fascio stanno i quattro ortocentri dei trian-
goli che si possono formare coi lati del quadrilatero presi a terne 10<).
La proposizione or ora enunciata si completa nel modo seguente :
I punti medi delle diagonali di un quadrilatero piano completo
sono in linea retta. Il cerchio circoscritto al suo triangolo diagonale ё
ortogonale ad ognuno dei cerchi descritti sulle diagonali come diametri ;
percid il suo centro giace sulla retta dei quattro ortocentri, la quale ё
perpendicolare alia retta dei punti medi delle tre diagonali.
4. Dati tre cerchi, i tee cerchi appartenenti ai tre fasci deter-
minati da essi a coppie e passanti per uno stesso punto hanno un ulte-»
riore punto. in comune, сюё appartengono ad un fascio.
Propriety analoghe valgono per le sfere 105).
1M) Cfr. Th. Reye21), che studia anche la configurazione di quattro sfere a due
a due ortogonali.
108) Cfr. G. Salmon84), p. 242.
104) La prima parte del teorema fu comunicata, col nome di Bodenmiller, da
Ch. Gudermann, Analytische Spharik, Koln 1830, p. 138; dimostrazioni diedero
O. Schlomilch, Leipz. Berichte, 6 (1854), p. 4 ; F. Mobius, ibid., p. 87 ; Werke, 2,
Leipzig 1886, p. 237. La seconda parte, la quale asserisce sostanzialmente che i quattro
ortocentri sono allineati, ё di J. Steiner, J. reine ang. Math., 2 (1827), p. 97 ; Werke, 1,
Berlin 1881, p. 128.
108) Sulle precedenti applicazioni dei sistemi lineari di cerchi (sfere) si consult!
L. Berzolari 17), p. 229, e per applicazioni ulteriori C. J. Brianchon 6e) e G. Salmon 84),
p. 231.
358
Bonaparte Colombo
14. Sistemi lineari di cerchi nello spazio. Cerchi ortogo-
nali ad una sfera. Coppia di cerchi in involuzione ed in, biinvo-
luzione. — 1. Tutti i cerchi dello spazio formano un sistema ooe, per-
che dipendono da dieci coordinate omogenee, legate da cinque rela-
zioni delle quali tre indipendenti (oltre alia diseguaglianza che proviene
dall’imporre che il quadrato del raggio sia maggiore od eguale a zero).
Da esso si possono pertanto estrarre dei sistemi di dimensione crescente
da uno a cinque, detti successivamente serie, congruenze, complessi,
ipercongruenze ed ipercomplessi, imponendo alle loro coordinate equa-
zioni in numero rispettivamente decrescente da cinque ad uno ; in par-
ticolare si possono estrarre dei sistemi lineari scrivendo delle equazioni
lineariloe).
Qui ci limiteremo ad esporre alcuni dei piii semplici teoremi sui
sistemi lineari di cerchi nello spazio, e specialmente quelli che hanno
attinenza coi sistemi lineari di sfere nello spazio.
Nove cerchi generici dello spazio individuano uno ed un solo iper-
complesso lineare a cui appartengono.
I cerchi aventi potenza assegnata in un punto formano un’iper-
congruenza ; in particolare i cerchi ortogonali ad una sfera formano
un’ipercongruenza107).
I cerchi aventi potenza assegnata in due punti assegnati formano
una congruenza108).
2. Se esiste una sfera passante per un cerchio ed ortogonale ad
un altro, esiste altresi una sfera passante per questo ed ortogonale a
quello.
Due cerchi si dicono in involuzione, se uno (qualunque) e ortogo-
nale ad una sfera passante per 1’altro.
L’insieme dei cerchi in involuzione con un cerchio dato e un iper-
complesso, perch^ essi sono i cerchi appartenenti alle sfere della rete
ortogonale al cerchio.
Se (due e percid) le infinite sfere passanti per un cerchio sono or-
togonali ad un altro’ le infinite sfere per questo sono ortogonali a quello.
Due cerchi si dicono in biinvoluzione, se ogni sfera per 1’uno e
ortogonale all’altro.
Se due cerchi sono in biinvoluzione, ogni sfera passante per 1’uno
sega ortogonalmente ogni sfera passante per 1’altro.
Il cerchio base di un fascio di sfere (ellittico) ed il cerchio base di
un fascio di sfere (ellittico) contenuto nella rete (iperbolica) ortogonale * 93
loe) La considerazione dei sistemi di cerchi nello spazio, che trovasi giA in Th.
Reye22), fa parte della geometria dei cerchi e delle sfere in senso largo, ed ё dovuta
successivamente a G. Koenigs, Ann. Fac. Sc. Toulouse, 2 (1888), Мёт. F ; E. Cos-
serat, ibid., 3 (1889), Мёт. E; H. Weber, Arch. Math. Phys., (3) 7 (1904), p. 292 ;
C. L. E. Moore, Annals Math., (2) 8 (1907), p. 57 ; C. Stephanos, C. R. Ac. sc. Paris,
93 (1881), p. 578, 633; la loro trattazione completa ё fatta in J. L. Coolidge “), p. 474.
Cfr. anche F. Klein 27), 1, p. 240 ; и), p. 121.
107) In proposito si consulti J. L. Coolidge и), p. 448.
108) I due ultimi teoremi si trovano sostanzialmente in Th. Reye22).
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
359
sono in biinvoluzione. Viceversa due cerchi in biinvoluzione sono tali
che il fascio di sfere avente per cerchio base uno qualunque dei due
ё contenuto nella rete di sfere ortogonale al fascio che ha Faltro per
cerchio base.
L’insieme dei cerchi in biinvoluzione con un cerchio dato formano
una congruenza, регсЬё essi sono i cerchi base dei fasci appartenenti
alia rete di sfere ortogonali al cerchio, ossia, secondo le denominazioni
di Th. Reye, sono i cerchi della rete stessa.
Due cerchi in biinvoluzione sono tali che i loro piani si tagliano ad
angolo retto secondo la ге1Ц che ne congiunge i centri, la quale sega i
due cerchi secondo due coppie di punti formanti un gruppo armonico ;
viceversa due cerchi siffatti sono in biinvoluzione109).
Dati due cerchi in biinvoluzione e fissati due punti qualunque
dell’uno, le loro distanze da un punto qualunque dell’altro hanno un
rapporto costante.
Infatti siano C e C i due cerchi, M ed N due punti qualunque
ad es. di C ; la sfera per C col centro sulla retta MN, essendo ortogo-
nale a C, ha M ed N come punti inversi, e percid i suoi punti ed in
particolare i punti di C' hanno da M e da N distanze di rapporto co-
stante 11 °).
15. Estensione del concetto di cerchio e di sfera e dei loro
sistemi lineari coll’introduzione degli imaginari. Coordinate
omogenee di cerchio e di sfera. — 1. Supponendo noti dalla geo-
metria analitica i punti, le rette ed i piani imaginari, conveniamo ana-
logamente di chiamare sfera I’insieme dei punti le cui coordinate co-
munque imaginarie verificano I’equazione (3), essendo le coordinate
di sfera aQ , ax, ... , a4 numeri reali arbitrari, non tutti nulli111) ; le
sfere, le cui coordinate verificano la diseguaglianza (5) sono le solite
sfere che diremo reali, perche hanno almeno un punto reale ; le sfere,
le cui coordinate rendono invece negativo il primo membro della (5),
sono sfere nuove che si dicono imaginarie nel senso che risultano prive
di punti reali. Le sfere, tanto reali quanto imaginarie, hanno il centro
reale, ma si distinguono per avere il quadrato del raggio positivo (o
nullo) owero negativo. Le sfere nulle sono i coni isotropi che hanno per
vertici i centri delle sfere stesse.
Л08) Il teorema precedente discende da propriety dei fasci e delle reti di sfere
mutuamente ortogonali del § 11, e pud servire a definire in modo diretto i cerchi in
biinvoluzione. Il primo a considerare questi cerchi fu M. Chasles 17) ; poi se ne oc-
cupd A F. Mobius18), ed infine Th. Reye22) ; A. F. Mobius li chiama cerchi coniugati,
Th. Reye cerchi ortogonali (nello spazio) ; la denominazione oggi piu usata di cerchi
in biinvoluzione.ё di J. L. Coolidge®2); qualche autore li chiama anche cerchi in
posizione reciproca concatenata,
110) La teoria complete dei cerchi in involuzione ed in biinvoluzione trovasi in
J. L. Coolidge62), p. 449.
1U) Piii generalmente ancora si potrebbero considerare coordinate a$ , a*, ..., a4
comunque imaginarie, e si otterrebbero corrispondentemente delle sfere che in questo
articolo non si vogliono considerare ; peraltro si prendono in esame anche i punti ima-
ginari dello spazio riguardati come centri di sfere nulle imaginarie.
360
Bonaparte Colombo
Colla considerazione degli imaginari si estendono, per via anali-
tica, i concetti di potenza di un punto rispetto ad una sfera, essendo
sempre valida la (6), di sfere ortogonali, mediante la condizione (8) о
la condizione equivalente (9), di piano radicale di due sfere, asse radicale
di tre sfere, centro radicale di quattro sfere, ed infine di sistemi lineari di
sfere, riguardati ad es. come gli insiemi delle sfere le cui coordinate ve-
rificano una, due о tre equazioni lineari indipendenti a coefficienti reali,
ossia come gli insiemi lineari di dimensione tre, due, uno estratti dalla
varieta lineare di dimensione quattro di tutte le sfere dello spazio.
Analogamente si introducono i cerchi imaginari nel piano e sulla
sfera, e si estendono i loro sistemi lineari; i cerchi nulli si compongono
di due rette isotrope passanti per i loro centri112).
2. Date cinque sfere linearmente indipendenti, cioe non di un
complesso, e le loro equazioni generali 50 = 0, SY = 0, ..., 54 = 0,
ogni sfera dello spazio ha per equazione xQ SQ + x1S1 + ... + x4 54 = 0,
ed i coefficienti xQ , x±, ..., x4 risultano determinati nei loro mutui rap-
porti.
Le xQ , x±, ..., x4 sono coordinate omogenee di sfera piu generali di
quelle cartesiane ; le une si ottengono dalle altre con una sostituzione
lineare a determinante diverso da zero.
In coordinate omogenee di sfera si hanno ancora due relazioni
soddisfatte rispettivamente dalle sfere ridotte a punto od a piano, la
prima quadratica e la seconda lineare. Per i sistemi lineari vale con que-
ste coordinate una trattazione analoga a quella valida con coordinate
cartesiane . in- particolare le coordinate di una sfera variabile in un si-
stema lineare determinato da alcune altre sono combinazioni lineari
delle coordinate di queste, e verificano delle equazioni lineari 113).
16. Proprieta generali dei sistemi lineari di cerchi e di
sfere. — I teoremi sui sistemi lineari di cerchi e di sfere enunciati
nei §§ 6, 7, 8, 11, 12 si possono estendere ai nuovi sistemi lineari;
essi conservano la loro vahdita e divengono anzi piu generali ed uni-
form!, nel senso che non si hanno piu risultati diversi per complessi
lineari ellittici od iperbolici, sicche riesce superflua questa distinzione.
Citiamo i seguenti :
Ogni punto reale dello spazio, del piano о della retta centrale ri-
spettivamente di un complesso, di una rete о di un fascio di sfere (ge-
nerici) e centro di una sfera del sistema. Ogni fascio generico ha un
cerchio base nel piano radicale e due punti limite sulla retta centrale.
Ogni rete generica ha due punti base sull’asse radicale ed infiniti punti
limite nel piano centrale. Ogni complesso ha infiniti punti limite, il
lia) Le questioni precedenti sono dovute a J. V. Poncelet ia); G. Darboux m) ;
E. Laguerre, Nouv. Ann. math., (2) 9 (1870), p. 163, 241 ; ibid., (2) 11 (1872), p. 14,
108, 241 ; Bull. Soc. philom., (6) 2 (1870), p. 95 ; Oeuvres, 2, Paris 1905, p. 88, 98, 109,
238; M. Chasles17); S. Lie, C. R. Ac. sc. Paris, 71 (1870), p. 579 ; Math. Ann., 5
(1872), p. 145.
113) Per maggiori dettagli sull’argomento si consulti F. Klein *7), M).
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
361
cui luogo e la sfera ortogonale del complesso, cioe si compone delle
sfere ortogonali ad una sfera fissa.
Analogamente per i sistemi lineari di cerchi nel piano.
Tre reti di cerchi, ovvero una rete ed un fascio, hanno in comune
uno ed in generale un solo cerchio, come pure due fasci contenuti in
una rete. Esiste, ed e unico in generale, un cerchio ortogonale a tre
cerchi dati.
Quattro complessi lineari di sfere, о due reti, od ancora un com-
plesso lineare ed un fascio hanno in comune una ed in generale una sola
sfera, come pure due fasci contenuti in una rete, ovvero una rete ed
un fascio contenuti in un complesso lineare. Esiste, ed e unica in ge-
nerale, una sfera ortogonale a quattro sfere date.
Siccome ogni complesso lineare di sfere ammette una sfera orto-
gonale, si ha che : Due cerchi qualunque dello spazio ammettono una
sfera ortogonale comune, ed una sola, a meno che appartengano ad una
sfera, nel qual caso essi sono ortogonali a tutte le sfere di un fascjo. I
cerchi base dei fasci appartenenti ad un complesso lineare di sfere (iper-
congruenza di cerchi), ossia, secondo le denominazioni di Th. Reye, i
cerchi di tale complesso, sono ortogonali ad una sfera (sfera ortogo-
nale del complesso).
Dati due fasci di sfere, se uno ha in comune una sfera colla rete
ortogonale all’altro, quest’altro ha in comune una sfera colla rete or-
togonale al primo.
Infatti quest’altro fascio e la rete ortogonale al primo stanno nel
complesso ortogonale alia sfera in questione.
Il luogo dei punti, le cui potenze rispetto a due cerchi complanari
(sfere) hanno un determinato rapporto costante, e un cerchio (sfera)
del loro fascio, e viceversa.
In particolare il luogo dei punti, le cui potenze rispetto a due cer-
chi (sfere) sono opposte, e il cerchio (sfera) del fascio avente per centro
il punto medio dei centri. Questo (questa) chiamasi cerchio (sfera) ra-
dicale dei due cerchi dati (sfere date)114 115).
Il cerchio (sfera) radicale di due cerchi dati (sfere date) e il luogo
dei centri dei cerchi (sfere) segati dall’uno (dall’una) ortogonalmente e
dall’altro (dall’altra) diametralmente 116).
Due sfere ortogonali sono separate armonicamente dalle due sfere
nulle del loro fascio1!6).
Due sfere corrispondenti in un’inversione stanno in un fascio colla
sfera fondamentale e separano armonicamente la coppia di questa sfera
fondamentale e della sua sfera ortogonale contenuta nel fascio stesso.
Analogamente per i cerchi.
u<) Tale teorema ei trova gi& in A. Aubanel, Nouv. Ann. math., (2) 9 (1870),
p. 326.
115) Sul cerchio radicale si consulti J. J. Duran-Loriga, Arch. Math. Phys.,
(2) 15 (1896), p. 117; J. L. Coolidge62), P- Ю6.
lie) Si dice che quattro sfere di un fascio formano un gruppo armonico, quando
lo formano i quattro piani tangenti in un punto base (qualunque).
362
Bonaparte Colombo
17. Sistemi lineari di complessi lineari di cerchi о sfere.
Corrispondenze proiettive tra sistemi .lineari di cerchi о sfere.
Gruppo delle inversion!. — 1. Dati due, tre о quattro complessi li-
neari, tutti i complessi le cui equaziqni sono combinazioni lineari delle
loro equazioni, ossia le cui coordinate omogenee117) sono combinazioni
lineari delle loro coordinate omogenee, si dicono costituire un fascio, una
rete od un complesso lineare di complessi lineari, e sono i sistemi lineari
di dimensioni uno, due о tre rispettivamente estratti dal sistema li-
neare di dimensione quattro di tutti i complessi.
I complessi di un fascio, di una rete о di un complesso lineare
hanno in comune rispettivamente una rete di sfere, un fascio di sfere
od una sfera. Viceversa ogni rete di sfere appartiene ai complessi di
un fascio, ogni fascio di sfere ad una rete di complessi lineari ed ogni
sfera ad un complesso lineare di complessi lineari.
Le sfere ortogonali ai complessi di un fascio, di una rete о di un
complesso formano rispettivamente un fascio, una rete od un com-
plesso 118).
2. Due spazi di sfere (che in generale si pensano sovrapposti)
si dicono riferiti tra loro in omografia, quando ad ogni sfera dell’uno
corrisponde biunivocamente una sfera dell’altro, in modo che a sfere
di un sistema lineare corrispondano sfere di un sistema lineare. Anali-
ticamente le coordinate di sfere corrispondenti sono legate da uni so-
stituzione lineare omogenea a determinante diverso da zero.
Due spazi di sfere si dicono riferiti tra loro in una reciprocitd, quando
ad ogni sfera dell’uno corrisponde biunivocamente un complesso li-
neare di sfere nell’altro, in modo che a sfere di un sistema lineare cor-
rispondano complessi lineari di un sistema lineare. Analiticamente si
passa dalle coordinate di sfera alle coordinate del complesso lineare
corrispondente mediante una sostituzione lineare a determinante di-
verso da zero.
Due spazi di sfere omografici о reciproci diconsi proiettivi.
Si possono in modo analogo definire corrispondenze proiettive
tra due sistemi lineari di sfere о tra due sistemi lineari di complessi
lineari, od ancora tra un sistema lineare di sfere e un sistema lineare di
complessi lineari, di egual dimensione qualunque119).
3. Tra le corrispondenze omografiche dello spazio di sfere
hanno un notevole interesse le inversioni, che sono evidentemente
trasformazioni proiettive tra sfere in grazia alia (13), e piii generalmente
le trasformazioni puntuali dello spazio che mutano sfere in sfere ed
in conseguenza sistemi lineari di sfere in sistemi lineari di sfere ; queste
117) Si chiamano coordinate omogenee di un complesso lineare i coefficient!
della sua equazione in coordinate omogenee di sfera.
118) I sistemi lineari di complessi lineari sono trattati da Th. Rvye m), e poi dif-
fusamente da G. Loria e7), il quale chiama il fascio di complessi lineari un gruppo
binomio, la rete un gruppo trinomio ed il complesso lineare un gruppo tetranomio.
11#) In proposito si consulti Th. Reye”), p. 82.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
363
si compongono del prodotto di un’inversione per una similitudine, о
piii semplicemente di un’inversione per un’eguaglianza, e formano un
gruppo continuo dipendente da dieci parametri, detto gruppo delle in-
version,.
Analogamente nel piano le trasformazioni puntuali che mutano
cerchi in cerchi sono il prodotto di un’inversione per una similitudine,
о piii semplicemente il prodotto di un’inversione per un’eguaglianza ;
esse formano un gruppo continuo dipendente da sei parametri, detto
gruppo delle inversion120).
Il G10 delle inversion! spaziali coincide col gruppo conforme od iso-
gonale dello spazio, mentre il Ge delle inversion! piane non coincide
col gruppo conforme od isogonale del piano121 122).
Il G10 delle inversion! spaziali ed il Ge delle inversion! piane, in
conformity colie vedute di F. Klein ш), caratterizzano Vindirizzo della
geometria dei cerchi e delle sfere, nel senso che in questo si studiano
propriety, invarianti rispetto a dette trasformazioni, riguardandosi per-
cid come identiche due figure ottenibili 1’una dall’altra mediante le tra-
sformazioni stesse123).
Tra le corrispondenze reciproche dello spazio di sfere e degna
di nota quella che trasforma ogni sfera nel complesso ortogonale 124) 125).
18. Coppie associate di punti in un piano. Fuochi di un
cerchio. Quaterna di cerchi a due a due ortogonali. Quintuple
di sfere a due a due ortogonali. Coordinate tetracicliche e pen*
tasferiche. — 1. I punti limite ed i punti base di un fascio di cerchi
nel piano si trovano in una relazione reciproca, регсЬё essi sono rispetti-
vamente i punti base ed i punti .limite del fascio ortogonale, о senz’altro
регсЬё sono i punti base ed i punti limite di due fasci ortogonali. Que-
ste due coppie, di cui una individua I’altra, si dicono coppie di punti
associate fra loro.
Due coppie associate di punti si presentano come due coppie di
vertici opposti di un quadrilatero piano completo di cui i due punti
120) Le considerazioni precedent si trovano in A. F. MdBius l8), il quale chiama
affinity circolari siffatte trasformazioni piane ; queste sono coliegate con funzioni di
variable complessa ed hanno applicazioni in fisica matematica. Si consulti in propo-
sito F. Klein52), p. 195; F. Severi58), p. 179.
12X) Cfr. J. Liouville 21) ; G. Monge, Application de Г Analyse a la Geometric*
5B ed., Paris 1850, nota VI (di J. Liouville), p. 609 ; F. Klein ^7), p. 381 ; 52), p. 197;
F. Enriques, Lezioni di geometria proiettiva* 4a ed., Bologna 1920, p. 427.
122) Esposte nel classico « Erlanger Programm » , cfr. F. Klein, Vergleischende
Betrachtungen uber neuere geometrische Forschungen* Erlangen 1872, p. 22 ; Math. Ann.,
43 (1893), p. 63; Gesamm. Abh.* 1, Berlin 1921, p. 460; trad, italiana di G. Fano,
Ann. mat. pura appl., (2) 17 (1889-90), p. 307.
123) In proposito v. G. Fano 88), n. 11; L. Berzolari ®4) ; inoltre Part. XXVIII
di questa Encicl. ®8), § 81.
124) Cfr. R. Mehmke, Z. Math. Phys., 24 (1879), p. 257.
125) Sull’argomento considerato in questo §, e specialmente nei capoversi 2 e 3,
si consulti J. L. Coolidge 52), p. 336.
364
Bonaparte Colombo
ciclici sono la terza coppia di vertici opposti, ossia come i fuochi reali
ed imaginari di un sistema di coniche omofocali126 127 128).
Se Л, В ed t7, V sono coppie associate, i loro segmenti hanno lo
stesso punto medio O, e vale la relazione
(14) OA2 = OB2 = —OU2 = — OV2.
Se P ё un punto qualunque del piano vale la relazione
(15) PA .PB = PU.PV,
ossia il prodotto delle sue distanze da due punti e uguale al prodotto
delle sue distanze dai due punti associati.
Se P ё un punto qualunque del piano, ed uv Fangolo delle rette и e v
che da P proiettano rispettivamente U e F, si ha la relazione
p А л
(16) =
la quale esprime il rapporto delle sue distanze da due punti mediante
I’angolo sotto il quale si vede da P il segmento formato dai due punti
associati UT).
Il concetto di coppie associate di punti si estende a punti di una
sfera, mediante proiezione stereograficaИ8).
2. Il cerchio base e la coppia dei punti limite di un fascio di
sfere sono il cerchio luogo dei punti limite e la coppia aei punti base
della rete ortogonale, ossia, in altra forma, es.si sono il cerchio base di
un fascio e la coppia dei punti base della rete ortogonale, od anche il
cerchio luogo dei punti limite di una rete e la coppia dei punti limite
del fascio ortogonale. Il cerchio e la coppia di punti in questione, che
si individuano reciprocamente, appaiono associati ; i punti della coppia
si dicono fuochi del cerchio.
I fuochi di un cerchio sono i centri di due sfere nulle (ossia i
vertici di due coni isotropi) che passano per il cerchio stesso129).
I fuochi di un cerchio stanno sull’asse del cerchio e distant) dal
lie) Cfr. in proposito F. Klein27), p. 347, oppure “), p. 178.
127) I due ultimi teoremi sono dovuti a G. Darboux w), p. 61 ; Prindpes de G6o-
metric analytique, Paris 1917, p. 151, come pure la considerazione delle coppie associate
di punti. La (16) ё poi una conseguenza di una proposizione contenuta implicitamente
in una formula di M. Chasles17), ma enunciata esplicitamente solo da E. Laguerre,
Nouv. Ann., math., (1) (1853), p. 57 ; Oeuvres, 2, p. 6.
128) Si consulti G. Darboux82), p. 83.
12•) Sul precedente teorema e sulla sua relazione col problema di costruire i cerchi
che toccano tre cerchi dati, cfr. J. Casey, Proc. R. Irish Ac., 9 (1867), p. 396. V. pure
A. Cayley, Quart. J., 8 (1867), p. 334; Ann. mat. pura appl., (2) 1 (1867), p. 132; Pa-
pers, 6, Cambridge 1893, p. 65 ; ibid., 7, Cambridge 1894, p. 115, il quale d& una nuova
dimostrazione della proposizione di J. Casey.
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
365
centro di ± ir, essendo r il raggio del cerchio. Se un cerchio ё nullo,
i suoi fuochi coincidono col punto stesso.
Tutti i cerchi passanti per i fuochi di un cerchio dato sono in biin-
voluzione con questo ed hanno come fuochi coppie di punti che stanno
sui cerchio stesso.
I fuochi di un cerchio sono inversi rispetto ad ogni sfera passante
per il cerchio.
Se un cerchio ё ortogonale ad una sfera, i suoi fuochi stanno sulla
sfera.
La sfera ortogonale comune a due cerchi, non nulli e non appar-
tenenti ad una sfera, ё quella che ne contiene i fuochi.
Se un cerchio non nullo sta in una sfera coi fuochi di un secondo
cerchio non nullo, anche il secondo sta in una sfera coi fuochi del primo.
Se i due fuochi di un cerchio non nullo stanno su un secondo cer-
chio non nullo, anche i fuochi del secondo stanno sui primo.
Condizione necessaria e sufficiente регсЬё due cerchi siano in
involuzione ё che I’uno stia in una sfera coi fuochi dell’altro, e регсЬё
siano in biinvoluzione ё che I’uno contenga i fuochi dell’altro130 131).
3. Si possono costruire cinque sfere a due a due ortogonali.
Se pQ , pr , ..., pi sono le potenze di un punto P rispetto a cinque
sfere a due a due ortogonali, di raggi r0 , ri, ••• > r4 > vale b relazione
(17)
fc-4 / /), \2
j? = о
\ rk I
Cinque numeri proporzionali a pk/rk (k = 0, 1, ..., 4) si chiamano le
coordinate pentasferiche del punto P rispetto alia quintupla data.
Essendo sempre r9 , rr , ..., r4 i raggi delle sfere a due a due orto-
gonali, vale la relazione
(18) z A- = ° «*).
ьо r*
Tra le sfere di una tale quintupla quattro sono reali ed una ima-
ginaria132).
Nel piano si considera analogamente la quaterna di cerchi a due
J80) La considerazione dei fuochi di un cerchio ё di G. Darboux, Ann. Ёс. norm.,
(2) 1 (1872), p. 323-392. Cfr. J. L. Coolidge M), p. 449; C. L. E. Moore'106), p. 77.
131) Le .due formole (17) e (18) sono dovute G. Darboux32), p. 135 ; Lemons sur
la theorie generate des surfaces, 1, Paris 1887, p. 213 ; 2a ed., Paris 1914, p. 265 ; Prin-
cipes127), p. 383; egli ha studiato le quintuple di sfere a due a due ortogonali e per primo
ha introdotto le coordinate pentasferiche. Quelle formole, insieme colle (15) e (16),
sono delle particolari relazioni metriche riguardanti le sfere dello spazio ; altre rela-
zioni metriche si devono essenzialmente a G. Frobenius, J. reine ang. Math., 79 (1875),
p. 185 ed allo stesso G. Darboux32) 180). Cfr. Th. Moutard, Nuov. Ann. math., (2)
9 (1864), p. 306, 536 ; C. R. Ac. sc. Paris, 59 (1864), p. 243, il quale pure si occupd
di sfere a due a due ortogonali.
183) Cfr. F. Klein27), p. 100, oppure “), p. 50.
366
Bonaparte Colombo
a due ortogonali, e cosi pure sulla sfera, sulla quale sono le sezioni con
un tetraedro autopolare rispetto ad essa. Nel piano si considerano le
coordinate tetracicliche di punto.
Sulla retta ha luogo analogamente la considerazione di tre coppie
di punti a due a due armoniche, delle quali due possono comporsi di
punti reali, ed allora la terza si compone di punti imaginari coniugati.
19. Rappresentazione dei cerchi di un piano coi punti dello-
spazio; interpretazione spaziale di alcuni teoremi. — 1. I cer-
chi di un piano si possono rappresentare biunivocamente coi punti
dello spazio in yari modi, tra i quali ricordiamo in questo § i principals
2. Mediante la proiezione stereografica della sfera si pud ad es.
far corrispondere ad ogni cerchio del piano il polo del piano del cerchio-
corrispondente sulla sfera rispetto alia sfera stessa. A questo proposito
vale un noto teorema di M. Chasles, il quale asserisce che il punto rap-
presentativo di un cerchio ha come proiezione il centro del cerchio
rappresentato.
La rappresentazione precedente illumina molti teoremi : i fasci
di cerchi si rappresentano colie rette dello spazio e le reti di cerchi coi
piani dello spazio, sicche i teoremi di appartenenza divengono owi; i
fasci ortogonali si rappresentano con rette polari rispetto alia sfera ;
cerchi corrispondenti in un’inversione si rappresentano con punti cor-
rispondenti in un’omologia armonica che muta in se stessa la sfera della
proiezione stereografica, i cui punti rappresentano i punti cerchio del
piano.
3. W. Fiedler 133) ha indicato un metodo di rappresentazione,
che consiste nel far corrispondere ad ogni cerchio del piano un punto
dello spazio centro di vista della proiezione centrale per cui il cerchio
considerate e cerchio di distanza, ossia un punto sull’asse a distanza r
dal centro, essendo sempre r il raggio. I fasci di cerchi si rappresentano
allora con iperboli equilatere, le reti con iperboloidi equilateri di rota-
zione, e fasci ortogonali con iperboli equilatere coniugate in piani per-
pendicolari 134).
4. Un cerchio si pud anche rappresentare con uno cei suoi
fuochi, cioe ad es. col punto dell’asse che dista dal centro di ir 135) 136).
Tutte le rappresentazioni indicate si adattano anche . per i cerchi
di una sfera137).
l33) Cfr. W. Fiedler, Cyklographie oder Construction der Aufgaben uber Kreise
und Kugeln und elementare Geometrie der Kreis-und Kugel-Systeme, Leipzig 1882.
I34) Cfr. sull’argomento lo stesso W. Fiedler133) ed F. Muller, Jahresb. deutsch.
Math-Vereinig., 14 (1905), p. 571.
135) Questa rappresentazione, mediante la quale un cerchio imaginario si rappre-
senta in modo reale, si trova gia in M. Chasles17) ; J. math, pures appl., (2) 5 (I860),
p. 425; in A. F. Mobius ,e); e poi in G. Darboux130).
13e) Sulla rappresentazione dei. cerchi di un piano coi punti dello spazio si con-
sult! F. Klein27), 1, p. 226.
137) Cfr. C. L. E. Moore10*).
XXVII. - Sistemi lineari di cerchi e di sfere
367
20. Cerchi e sfere orientate. Geometria di direzione. —
Ё interessante la geometria nella quale il cerchio e la sfera si considerano
orientati, cioe congiunti con un verso, come si fa per le rette e per i
piani ; 1’ente geometrico unico cerchio о sfera si scinde cosi in due enti
geometrici, da riguardarsi come diversi in corrispondenza ai due pos-
sibili orientamenti.
La prima idea de\Y orientamento, che off re notevoli vantaggi, ri-
sale, secondo J. L. Coolidge, ad A. Cayley, ma la teoria completa fu
sviluppata da E. Laguerre138), nella cosiddetta geometria di direzione139),
ed analiticamente da S. Lie140). E. Laguerre distingue i due orienta-
menti mediante il segno del raggio (ossia col verso della normale) e
chiama un cerchio orientate un dclo. S. Lie, facendo la trattazione car-
tesiana delle sfere orientate, introduce una nuova coordinata defi-
nita da a6/a0 = r, essendo r il raggio con segno ; e chiama aQ , a± , ..., a5
coordinate esasferiche cartesiane delle sfere orientate. Queste sono omo-
genee e sovfabbondanti, essendo legate dalla relazione quadratica
(19) ax2 + a^ + a32 — 4 aQ a4 — 4 a52 = 0 .
Si stabilisce cosi una classica trasformazione tra lo spazio di rette e
di sfere orientate,
I sistemi lineari di sfere orientate sono composti colle sfere orien-
tate le cui coordinate esasferiche verificano delle equazioni lineari, e
si chiamano ancora complessi, reti e fasci.
Ogni complesso lineare di sfere orientate si compone delle sfere
che formano lo stesso angolo (qualunque ed in particolare nullo) con
una data sfera orientata, e viceversa. Una rete di sfere orientate si com-
pone delle sfere che formano due angoli fissi rispettivamente con due
sfere orientate, e viceversa. Un fascio di sfere orientate si compone delle
sfere che formano tre angoli fissi rispettivamente con tre sfere orien-
tate, e viceversa.
Analogamente per i cerchi orientati nel piano.
Una trattazione molto piii complicata si ha invece per i cerchi
orientati nello spazio 141).
138) E. Laguerre, Bull. Soc. math. France, 8 (1880), p. 196 ; Oeuvres, 2, p. 592 ;
Recher ches sur la Geometrie de direction, Paris 1885. Altri lavori di E. Laguerre sull’ar-
gomehto sono raccolti in Oeuvres, 2, p. 604-684.
13 a) Una trattazione semplice, con applicazioni a vari problemi, in particolare
al problema di Apollonio (§ 10) si ha in Em. Muller, Vorlesungen uber darstellende
Geometrie, 2 (herausg. von J. L. Krames), Leipzig-Wien 1929, p. 7 e segg.
14°) Cfr. S. Lie113).
141) Per maggiori dettagli sull’argomento di questo § si consultino, oltre ai lavori
giA indicati, F. Klein37), p. 208, 226; 53), p. 105, 115; G. Darboux, Lefons131), 1,
1» ed., p. 226 ; 2» ed., p. 278 ; J. L. Coolidge 53), p. 351.
XXVIII
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE
ELEMENTARI
di UGO CASSINA a Milano
INDICE
I. — Introduzione.
Paa.
1. Generality sulle trasformazioni................................... 375
2. Gruppi di trasformazioni....................................... 377
3. Trasformazioni geometriche elementari............................ 378
A) TRASFORMAZIONI LINEARI FRA FORME DI PRIMA SPECIE
II. — Trasformazioni retttlinee.
4. Traslazioni ..................................................... 879
5. Equinversioni.................................................... 380
6. Omotetie........................................................... *
7. Isomerie e similitudini.......................................... 381
8. Le similitudini dedotte dalle collineazioni...................... 388
9. Trasformazioni fra rette distinte ............................... 383
III. — Trasformazioni fra fasci di semirette о di semipiani.
10. La nozione di verso per le figure piane.................... 383
11. Rotazioni ed opposizioni......................................... »
12. Simmetrie......................................................... 385
13. Isomerie .......................................................... •
14. Isomerie fra fasci di raggi distinti e complanari................. »
IV. — Trasformazioni fra fasci di rette о di piani.
15. Involuzione ortogonale e rotazioni................................ 388
16. Simmetrie....................................................... 387
17. Isomerie .......................................................... »
18. Isdmerie tra fasci di rette distinti e complanari.................. *
B) TRASFORMAZIONI LINEARI PIANE
V. — CONGRUKNZE.
19. Traslazioni .................................................... 388
20. Rotazioni........................................................ »
21. Congruenze.................................................... 898
872
UGO CASS£NA
VI. — ISOMERIE.
Pag.
22. Ribaltamenti.......................................................... 392
23. Antitraslazioni ...................................................... 393
24. Isomerie .............................................................. 395
УИ. — Similitudini.
25. Omotetie............................................................. 397
26. Rotomotetie ......................................................... 398
27. Antiomotetie.......................................................... 399
28. Similitudini......................................................... 400
VIII. — AffinitA.
29. AffinitA omologiche..............'................................ 405
30. AffinitA centrali ................................................. 407
31. TrasloaffinitA....................................................... 411
32. Prodotti di similitudini e di affinitA omologiche....fr............... 412
33. AffinitA......'....................................'.................... »
34. Classificazione analitica delle affinitA,............................ 416
35. Costante di un’affinitA ed equivalenze ............................... 417
36. Le affinitA dedotte dalle collineazioni .............................. 418
37. Osservazione.......................................................... 419
C) TRASFORMAZIONI LINEARI NELLA . STELLA
IX. — Isomerie nella stella di raggi о di semipiani.
38. La nozione di verso per le figure spaziali............................ 419
39. Simmetrie assiali. Rotazioni .................................... 420
40. Opposizioni. Simmetrie planari ..................................... 422
41. Antirotazioni.......................................................... »
42. Isomerie .............................................................. »
43. Isomerie fra stelle distinte .................................... 428
X. — Trasformazioni nella stella di rette о di piani.
44. PolaritA ortogonale in una stella .................................... 424
45. Isomerie in una stella di rette о piani................................. »
D) TRASFORMAZIONI LINEARI SPAZIALI
XI. — CONGRUENZE.
46. Traslazioni .......................................................... 424
47. Semigiri. Rotazioni.................................................... »
48. Elicomozioni......................................................... 426
49. Prodotti di rotazioni e di tralazioni ................................ 428
50. Prodotti di elicomozioni.............................................. 430
61. Congruenze............................................................ 431
52. Moti sferiei....................................................‘..... 434
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
373
XII. — ISOMERIE.
Per
53. Equinversioni........................................................... <35
54. Specchiamenti ........................................................ 486
55. Antitraslazioni ........................................................ >
56. Antirotazioni........................................................... 437
57. Prodotti di elicomozioni e di specchiamenti............................. 438
58. Isomerie ............................................................... »
59. Prodotti di isomerie................................................... 440
60. Equazioni cartesiane e vettoriali delle isomerie ....................... *
XIII. — Similitudine
61. Omotetie............................................................... 441:
62. Rotomotetie ............................................................ 442
63. Antiomotetie............................................................ 443
64. Prodotti di omotetie concordiper isomerie............................... >
65. Prodotti di rotomotetie ed antiomotetie................................. 444
66. Similitudini............................................................ 445
XIV. — AffinitA.
67. AffinitA omologiche..................................................... 449
68. AffinitA assiali........................................................ 451
69. AffinitA central! ...................................................... 453
70. AffinitA centrale iperbolica. AffinitA centrale Speciale................ 455
71. TrasloaffinitA omologiche............................................. 456
72. TrasloaffinitA assiali.................................................. 457
73. AffinitA................................................................ 459
74. Classificazione analitica delle affinitA................................ 461
75. Costante di un’affinitA ed equivalenze ................................ 462
*76. Le affinitA dedotte dalle collineazioni................................ 463
E) SU ALCUNE TRASFORMAZIONI QUADRATICHE
XV. — Trasformazioni quadratiche piane.
77. Inversion! circolari ................................................... 464
78. Antinversioni circolari ................................................ 467
79. Trasformazioni per raggi vettori reciproci............................. 468
80. Inversori ed applicazioni delle trasformazioni per raggi vettori reciproci... 469
81. Trasformazioni circolari................................................ 470
•82. Inversion! coniche.................................................... 471
*83. Trasformazioni quadratiche . . ......................................... 472
XVI. — Trasformazioni quadratiche spaziali.
84. Inversion! ed antinversioni sferiche................... 473
85. Trasformazioni per raggi vettori reciproci................................ 475
•86. Inversion! quadriche..................................................... 476
87. Proiezioni stereografiche della sfera...................................... »
•88. Proiezioni stereografiche d’una quadrica .............................. 479
89. Trasformazioni sferiche ed isogonali.................................... 480
•90. Trasformazioni quadratiche............................................... »
I. — Introduzione.
1. Generalita sulle trasformazioni. — *1 - In questo articolo
si esporranno le principal! proprieta delle trasformazioni geometriche
elementari.
Ё ben noto come il vocabolo trasformazione sia sinonimo di corri-
spondenza, operazione, relazione, funzione, ecc. E se nell’Analisi mate-
matica si preferisce usare quest’ultima parola — funzione —, nella
Geometria si preferisce invece usare il vocabolo trasformazione (o cor-
rispondenzd).
Questo concetto appartiene alia categoria dei concetti primitivi
piu semplici, ed e di pertinenza del linguaggio ordinario e della Logica
generale. Ma e nella Matematica moderna che e entrato con ufficio
essenziale ; e si pud dire che soltanto al principio del secolo XIX esso
venne posto a fondamento della nuova Geometria, iniziandosi cosi lo
studio sistematico delle varie trasformazioni geometriche, con la con-
seguente creazione di vari nuovi campi di Geometria come, per esempio,
quello della Geometria proiettiva.
2 - Una trasformazione di una classe- и di elementi in un’altra
classe v si dice univoca, se ad ogni elemento di и fa corrispondere uno,
ed uno solo, elemento di v. Se la trasformazione si denota con f, e se
x e 1’elemento generico di u, il trasformato di x mediante f si denotera
con f(x), о piu semplicemente, con fx.
Una trasformazione f tra le classi и e v si dice biunivoca (od uni-
voca e reciprocal, se ad ogni elemento di и fa corrispondere uno, ed
uno solo, elemento di v, e se, inversamente, ogni elemento di v e il
trasformato di un solo elemento di u. In questo caso si pud considerare
la trasformazione inversa della/, la quale opera sulla classe v trasforman-
dola nella classe u, facendo corrispondere ad ogni elemento у di v
quell’elemento x di u, di cui у e il trasformato mediante /. La trasfor-
mazione inversa di / si rappresenta con /-1 x).
In tutto il seguito le trasformazioni che si verranno considerando
saranno biunivoche.
x) W. R. Hamilton, Lectures on quaternions, Dublin 1853, p. 122-123; A. L.
Cauchy, C. R. Ac. sc. Paris, 21 (1845), p. 779; Oeuvres, (1) 9, Paris 1896, p. 324; Exer-
cices d'Analyse et de Physique math&natique, 3, Paris 1844, p. 163.
376
Ugo Cassina
• 3 - Se f ё una trasformazione tra le classi и e v9 e g ё una tra-
sformazione tra le classi v e w, si dice prodotto di f e g, e si denota 2)
con gf, la trasformazione che ad ogni elemento x di и fa corrispondere
1’elemento di w che si ottiene applicando g al trasformato di x mediante
f. In simboli :
(gf)x = g(fx)-
In particolare, si possono considerare la potenza, ad esponente
intero positive я, di una trasformazione f che muta una classe in se stessa ;
e la potenza, ad esponente intero negativo — я, di una trasformazione
f che muta una classe in si stessa. La prima e il prodotto di я trasforma-
zioni identiche ad f; la seconda si definisce come la potenza я-esima
della trasformazione inversa di /, сюё simbolicamente cosi:
Il prodotto di piu trasformazioni e associative, ma in generate
non commutativo. Quando awiene che i prodotti fg e gf siano eguali,
si dice che f e g sono permutabili.
Se uQ ё uria classe contenuta in и (о, come suoi anche dirsi, una
sottoclasse di u), una trasformazione /, che muti и in una classe v9 mu-
tera u0 in una sottoclasse di v. La trasformazione /0, che cosi risulta
stabilita tra uQ e vQ, si dice subordinata da f su я0. La conoscenza di f
porta come conseguenza quella di /0, ma non inversamente.
Sia f una trasformazione che muti una classe и in una classe v9
e siano u' e v\ le classi che si ottengono applicando ad и e v una
trasformazione <p. Si dice trasformata di f mediante cp9 la trasformazione
f di w' in. г/, che nasce quando due loro elementi x”9y' si ritengono
corrispondenti se sono trasformati mediante <p di due elementi x, у di
u, v che si corrispondono mediante f. In simboli:
f = vf?-1-
Di qui si deduce :
f= ’
epperd f ё la trasformata di /' mediante y?”1.
Un caso particolare importante si ha quando и = v, cioe quando
f ё una trasformazione di una classe in её stessa. Allora anche /' ё una
trasformazione dello stesso tipo. Da una qualunque delle due relazioni
precedenti si deduce che /' coincide con f quando e solo quando f<p =
= (pf. Dunque, affinche due trasformazioni di una classe in её siano
permutabili, ё necessario e sufficiente che( l’una sia trasformata in зё
dall’altra.
s) Nell’art. IX di questa Encicl. (L. Berzolari, Elementi della teoria dei gruppi)
le trasfonnazioni sono scritte in ordine inverso.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
377
Se una trasformazione muta una classe и in si stessa, dicesi unita
(o doppio) ogni elemento di и che dalla trasformazione sia mutato in
si. La trasformazione di una classe и in si, nella quale ogni elemento
di и i unito, dicesi la trasformazione identica, о Videntitd, e si rappre-
senta col simbolo 1.
Una trasformazione che muti una classe и in si stessa, e sia tale
che la sua potenza я-esima — ove n i intero e positivo — coincida con
la trasformazione identica, si dice ciclica (o periodica); e di periodo я,
se non esiste nessun numero minore di я, il quale goda della stessa
proprieti.
Una trasformazione ciclica di periodo 2 dicesi anche involutoria.
Essa coincide con la propria inversa. Viceversa e involutoria ogni tras-
formazione che coincide con la propria inversa 3).
2. Gruppi di trasformazioiiL — Sia G un insieme di trasfor-
mazioni che mutano una classe u in se stessa. Si dice che le trasforma-
zioni di G formano un gruppo quando soddisfano le due condizioni'
seguenti:
1) il prodotto di due trasformazioni quali si vogliano di G, di-
stinte о пр, appartiene a G ;
2) Yinversa di una qualunque trasformazione di G appartiene a G.
Ne segue che un gruppo contiene sempre la trasformazione identica.
Il concetto di gruppo di trasformazioni ha importanza fondamen-
tale in tutta la matematica modema, ed ё stato posto a base della clas-
sificazione delle proprieti geometriche da F. Klein nelsuo «programma
di Erlangen» (1872) 4 *).
Se G ё un gruppo di trasformazioni, che trasformano una figura
и (о classe di punti) in её stessa, le proprieti di u, che rimangono inva-
riate per tutte le trasformazioni di G, costituiscono una classe di pro-
prieti geometriche completamente individuate dallo stesso G, e che,
secondo F. Klein, sono oggetto di una particolare Geometria. Cosi la
Geometria proiettiva ё lo studio delle proprieti delle figure dello spazio
che rimangono invariate per le trasformazioni del gruppo delle proiet-
tivitd spaziali; la Geometria elementare ё lo studio delle proprieti delle
figure che rimangono invariate per le trasformazioni del gruppo delle
similitudini; ecc. 6).
Due figure sono equivalenti, in una particolare Geometria, quando
*) Per le nozioni accennate sin qui, e per altre che ad esse si connettono, vedi
Tart. IX di questa Encicl., *), §§ 2-6.
4) Vergleichende Betrachtungen uber neuere geometrische Forschungen, Programm,
Erlangen 1872; pubblicato di nuovo con aggiunte in Math. Ann., 43 (1893), p. 63;
Ges. math. Abh., 1, Berlin 1921, p. 460; trad. ital. di G. Fano, Ann. mat. pura appl.,
(2) 17 (1889-90), p. 307.
Vedi Part. IX di questa Encicl. ’), §§ 1, 7 e seg.
•) Cfr. G. Fano, Encykl. d. math. Wiss.t III AB 4 b (p. 289 e seg.); trad, francese
di E. Cartan in Encycl. des sc. math.; v. anche Tart. XXII di questa Enc. (E. Artom,
Proprieta elementari delle figure del piano e dello spdzio), § 1.
378
U go Cassina
si possono dedurre I’una dall’altra mediante una trasformazione del
gruppo che caratterizza quella Geometria. Cosi nella Geometria pro-
iettiva tutte le coniche non degeneri sono equivalenti.
3. Trasformazioni geometriche elementari. — Per quanto si
riferisce alle trasformazioni geometriche elementari, alle quali esclusi-
vamente e dedicato questo articolo, la completa adozione del criterio
di F. Klein porterebbe ad escludere molte delle proprieta che' Fuso
comune e la convenienza didattica si accordano nell’attribuire alia Geo-
metria elementare : quali le proprieta di equiestensione delle figure
piane e spaziali (in particolare i problemi del calcolo delle lunghezze,
delle aree, dei volumi delle figure elementari), ed anche molte proprieta
metriche important! ed i problemi classici della Geometria6). Per cid
questo articolo comprender a, nelle categorie delle trasformazioni geo-
metriche elementari, anche trasformazioni non appartenenti al gruppo
delle similitudini.
Siffatte trasformazioni potranno del resto far corrispondere tra
loro elementi dello stesso home (mutando punti in punti, oppure rette
in rette, oppure piani in piani, ecc.) oppure elementi di nomi diversi
(mutando punti in rette, oppure punti in piani, ecc.)7).
Si intendera sempre che, in una trasformazione geometrica elemen-
tare, gli elementi (punti, rette, piani) proprii siano mutati in elementi
proprii, escluso al piu qualche elemento eccezionale.
I vocaboli punto, retta, piano saranno usati nel senso della Geo-
metria elementare ; e la distinzione fra elementi proprii e improprii
si fara soltanto quando si adottera il punto di vista della Geometria
proiettiva (Cfr. Fart. XXXV di questa Encicl., E. G. Togliatti, Geo-
metria proiettiva).
Segnaleremo con un asterisco * i passi in cui si adottera tale veduta,
od altre vedute superior!.
Ogni trasformazione di una retta propria in se, о di un piano pro-
prio in se, о dello spazio ampliato (luogo di tutti i punti proprii e im-
proprii) in se, la quale agli elementi improprii faccia corrispondere
elementi improprii, subordina una trasformazione geometrica elementare
tra gli elementi proprii appartenenti al suo campo di applicazione. Ё
pur vera la proprieta inversa, almeno nei casi che dovremo esaminare:
cioe ad ogni trasformazione geometrica elementare pud coordinarsi
una ed una sola, trasformazione geometrica non elementare, la quale
ha, come trasformazione subordinata, la trasformazione geometrica
assegnata. Di questa osservazione si trarra profitto nel seguito per illu-
•) Cfr. il Bevicht di M. Simon, Ueber die Entwicklung der Elementar-Geometri^
im XIX. Jahrhundert, Jahresb. deutsch. Math.-Vereinig., Ergangungsbande, 1. Band,
Leipzig 1906, p. 1.
7) Uno dei primi esempi di trasformazione fra elementi di nome diverso ё quello
dato da J. V. Poncelet, Traite des proprietes projectives des figures, 1, Paris 1822, col
suo metodo delle polari reciproche, сюё collo studio delle polarita piane e spaziali.
XXVIII. - TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI
379
minare dal punto di vista proiettivo le trasformazioni elementari che
si verranno studiando.
Lo studio delle singole trasfonnazioni sari fatto in modo da pas-
sore da un gruppo di trasformazioni ad un altro piii ampio, che con-
tenga il precedente come sottogruppo, e da fissare per ogni gruppo
le trasformazioni fondamentali irriducibili, con un prodotto delle quali
sia possibile espHmere tutte le trasformazioni del gruppo stesso.
Supporremo note le proposizioni della Geometria elementare clas-
sica, quale deriva dagli Elementi di Euclide. (Cfr. Fart. XXII di questa
Encicl.) 5). In particolare si supporranno noti i concetti di versi sopra
una retta, in un piano e nello spazio, e su essi sara fondata la teoria delle
trasformazioni che si verranno studiando.
Quindi, una trasformazione di una figura и in si stessa si dira Con-
corde о discorde, secondo che trasforma elementi seguentisi in un dato
verso in elementi seguentisi nello stesso verso, о nel verso opposto.
Supporremo anche noti gli elementi di Geometria analitica e di
Calcolo vettoriale 8), che ci serviranno per scrivere le equazioni car-
tesiane о vettoriali delle trasformazioni in esame.
A) TRASFORMAZIONI LINEARI FRA FORME
DI PRIMA SPECIE
IL — Trasformazioni rettilinee.
4. Traslazioni. — Siano A e A' due punti di una retta и ; dicesi
traslazione 9) (rettilinea), che porta A in A’, la trasformazione che ad
A fa corrispondere A’ e che ad ogni altro punto P di и fa corrispon-
dere quel punto P' di и tale che il segmento orientate A A' sia eguale
al segmento orientate P P' o, se si preferisce, tale che il vettore A'—A
sia eguale al vettore P'—P.
Se A' = Л, si ha la traslazione nulla od identica. Ampiezza (o
grandezza) della traslazione 2, che porta A in Л', ё la distanza di A
da A' ; direzione e verso di 2 (se essa non e nulla) sono rispettivamente
la direzione ed il verso del vettore A’—A, a cui daremo il nome di vet-
tore di 2.
Il vettore corrispondente al prodotto di due traslazioni ё eguale
alia somma dei vettori corrispondenti alle traslazioni fattori.
Le traslazioni che mutano una retta in её formano un gruppo di
8) Cfr. Tart. XXXIV di questa Encicl. (B. Segre, Geometria analitica), e Fart.
XXXIII della stessa (C. Burali-Forti, Elementi di calcolo vettoriale). Per il calcolo
vettoriale vedasi poi C. Burali-Forti e R. Marcolongo, Elementi di calcolo vettoriale,
2* * ed., Bologna 1921; ibid. Trasformazioni lineari, 2* ed., Bologna 1929.
•) 11 nome di traslazione in questo senso si ё diffiiso nel sec. XIX (translation,
Schiebung). Per L. Euler, Novi Comm. Ac. Petrop., 20 (1775), stamp. 1776, p. 189,
traslazione ha invece il significato di moto о spostamento qualunque.
380
UGO Cassina
trasformazioni permutabili concordi, prive di elementi uniti e non pe-
riodiche.
5. Equinversioni. — Se О e un* punto della retta u, si da il nome
di equinversione^) (o simmetria centrale) di centro О alia trasforma-
zione che ha О come punto unito e che ad ogni punto P di и diverso
da О fa corrispondere quel punto P' di u, tale che О sia il punto medio
del segmento PP'.
Ogni equinversione e involutoria e dis cor de. In essa e costante ed
eguale a — 1 il rapporto fra due segmenti orientati corrispondenti.
6. Omotetie. — Se О e un punto della retta и ed Л, A' sono due
punti distinti di u, diremo omotetia n) di centro О che porta A in A' la
trasformazione (della retta и in si) che ha О come punto unito, che
A A P
u О
Fig. 1.
trasforma A in A1 e che ad ogni punto P della retta и fa corrispondere
quel punto P' di и tale che in valore assoluto e segno valga la relazione
OA/OA = OP/OP.
Il rapporto costante OA'/OA = h dicesi caratteristica (o rapporto)
dell’omotetia. Un’omotetia e individuata dal suo centro e dalla sua ca-
ratteristica. Se la caratteristica e positiva 1’omotetia dicesi diretta, se
negativa, inversa. L’identita pud considerarsi come un’omotetia di ca-
ratteristica eguale ad 1.
La costruzione dell’omotetia £) di centro О che porta A in Ar si
fa assai semplicemente ed e indicate nella fig. 1.
10) Il nome equinversione ё usato da M. Pieri, Mem. mat. fis. Soc. it. sc., (3)
15 (1908), p. 345 (p. 358). Quello piti comune ё simmetria centrale, usato da A. F.
Mobius, Leipz. Abh., 2 (1855), p. 529 (§ 6); Werke, 2, Leipzig 1886, p. 253.
Perd e da osservare come in tai modo si venga ad alterare il significato etimo-
logico dei vocaboli simmetria e simmetrico (misura e misurabile) dal gieco оищ1£тр1а.
n) Il nome omotetia (dal greco оцбс; = simile e rlOeco = metto} ё dovuto a
M. Chasles, Ann. math, pures appl., 18 (1827-28), p. 280
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
381
Ogni omotetia di caratteristica — 1 coincide con I’equinversione
avente lo stesso centro. Le omotetie che hanno in comune il centro
formano un gruppo di trasformazioni permutabili.
7. Isomerie e similitudini. — • 1 - Dicesi similitudine (rettilinea)
una trasformazione invertibile della retta и in se tale che, se A\A' e
B\B' sono due coppie qualunque di punti corrispondenti in essa, sia
costante in valore assoluto e segno il rapporto A'B'/AB. Questo rap-
porto dicesi la caratteristicau) della similitudine : se e positive, la si-
militudine dicesi diretta; se e negative, dicesi inversa. Se e eguale a
+ 1, la similitudine dicesi una isomeria1*).
Una similitudine (rettilinea) e concorde о discorde secondo che ha
caratteristica positiva о negativa.
Se A\B ed A';B' sono due coppie di punti distinti della retta u,
esiste una ed una sola similitudine atta a portare A in A' e В in B'.
С/
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: !________U
A 7 В Г °
Fig- 2’
Se A' = A e В' = B, essa coincide con la trasformazione identica ; se
invece A' = A e В' Ф B, essa e 1’omotetia di centro A che porta В
in B' ; se poi А' Ф A e В' Ф B, ma A'—A = B'—B, essa coincide con
la traslazione corrispondente al vettore A'—A ; se infine А' Ф A , В' Ф В
e A'—А Ф B'—B, essa fa corrispondere al punto generico P di и quel
punto P' di и tale che in valore assoluto e segno si abbia :
A'P'/AP = BP'/BP = A'B'/AB = h ,
e quindi e costruibile con una quarta proporzionale. Anche in questo
ultimo caso la similitudine richiesta e un’omotetia, che ha come ca-
ratteristica il numero h = A'B'/AB ed il cui centro О si trova tenendo
conto della relazione OA'/OA = A'B'/AB (v. figg. 2 e 3).
м) О costante о rapporto.
13) Il vocabolo isomeria deriva dal greco (ioop,otpta = egual parte) ed ё stato
usato da Ch. M6ray, Nouveaux 6lements de gtometrie, Paris 1874; poi da M. Pieri 1o),
p. 399; G. Scorza, Complement di geometria, Bari 1914, p. 9; e da altri, nel senso
di comprendere tutte le trasformazioni equivalenti (per quel che riguarda la posizione
iniziale e finale) a movimenti od al prodotto di movimenti per simmetrie. Molti A. fanno
uso della parola eguaglianza (geometrica). Conviene perd lasciare al vocabolo egua-
glianza il suo significato logico ordinario.
382
Ugo Cassina
Quindi ogni similitudine ё una traslazione od un’omotelta (ed in
particolare un’equinversione). Ogni isomeria ё una traslazione od una
equimersione.
Le sinrilitudini che trasformano una retta in её formano un gruppo
che ha come sottogruppo il gruppo delle isomerie, e questo alia sua
volta ha come sottogruppo il gruppo delle traslazioni.
Fig. 3.
'2 - In un sistema di coordinate ascisse sulla retta u, I’equazione
di wl omotetia ё :
<1)
x' = a + h {x — a),
ove а ё 1’ascissa del centro ed h ё la caratteristica.
Le equazioni d’una isomeria sono :
(2) x' = x + m, traslazione di ampiezza m,
(3) x' = 2 a — x, equinversione di centro a.
Percid le similitudini formano un sistema oo2, e le isomerie un sistema oo1.
* 8. Le similitudini dedotte dalle collineazioni 14). — Una pro-
iettivita iperbolica g di una retta propria in зё, di cui un elemento unito
ё il punto improprio della retta stessa, subordina sulla retta ordinaria
sostegno della retta proiettiva una trasformazione che ё una simili-
tudine rettilinea a centro proprio {omotetia).
Una proiettivitd parabolica d’una retta propria in её, che ha come
elemento unito il punto improprio della retta, subordina sulla retta
ordinaria sostegno una traslazione.
I<) Il nome collineazione, e lo studio di esse, ё dovuto ad Л. F. M6BIUS, Der
barycentriiche Cakul, la ed.. Leipzig 1827, §§ 217-232; Werke, 1, Leipzig 1885. V.
gli art XXXIV 8) e XXXV (E. G. Togliatti, Geometria proiettiva) di questa Encicl.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
383
9. Trasformazioni (ra rette distinte. — Se и ed u' sono due
rette distinte, dicesi congruenza tra и ed u' ogni trasformazione biu-
ni voca g della и in u' tale che, presi ad arbitrio i punti P e Q su и e detti
P e Q i loro trasformati mediante И segmento P Q sia congruo
(sovrapponibile) al segmento P'Q’ ; e dicesi similitudine tra и ed u'
ogni trasformazione biunivoca ® della и in u' tale che, presi ad ar-
bitrio i punti P e Q su и e detti P' e Q' i loro trasformati mediante
S, il rapporto fra i segmenti P'Q' e PQ $ia costante. Questa costante
(positiva) si dice la caratteristica della similitudine.
Una congruenza fra rette distinte e dunque una similitudine con
caratteristica pguale ad 1.
* Una collineazione fra rette proprie distinte, in cui sono corri-
spondenti i loro punti impropri, subordina, sulle rette ordinarie di so-
stegno, una similitudine15).
III. — Trasformazioni tra fasci di semirette о di semipiani.
10. La nozione di verso per le figure piane. — Diremo spesso
raggio invece di semiretta, e fascio di raggi invece di fascio di semirette.
Ogni fascio di semipiahi si pud pensare ottenuto da un fascio di
raggi per proiezione da un punto fuori del piano del fascio ; questa ge-
nerazione ci permetteri di immaginare senz’altro estese ai fasci di semi-
piani le proprieti che verremo ricordando per i fasci di raggi.
Riterremo note le nozioni di raggi equiversi e contraver si, e di trian*
goli ordinati complanari equiversi e contraversi.
Come verso positivo nel piano (e quindi anche nei fasci di raggi
e di rette) fisseremo quello aniiorario, ciod il verso della trigonome-
tria ordinariale).
11. Rotazioni ed opposizioni. — *1 - Se a ed a’ sono due raggi
distinti del fascio u, diremo rotazione che porta a in a' la trasformazione
31 di и in sd che ad a fa corrispondere a' e che ad ogni raggio b diverso
da a fa corrispondere quel raggio b' tale che l’angolo convesso ordi-
nato aa' sia eguale all’angolo convesso ordinato bb'.
Ampiezza della rotazione d 1’ampiezza dell’angolo convesso aa',
16) Per le propriety di questo capitolo cfr. G. Scorza18), p. 69 e seg.; E. Ve-
neroni, similitudini, Livorno 1916, p. 58 e 67.
M) Cfn Fart. XXXI di questa Encicl. (A. Agostini, Le funzioni circolari etc.,
§ 1). Se non si vuol ricorrere a codeste definizioni intuitive, estranee alia geometria
razionale, si prenderA un angolo convesso ordinato a a' come angolo di riferimento
ed il suo verso si dirA convenzionalmente positivo; negativo si dirA allora il verso dello
angolo convesso ordinato a'a.
Per 1’introduzione razionale delle nozioni di angoli ordinati equiversi e contraversi
v. G. Scorza 13), p. 26; E. Venkroni ie), cap. I.; U. Amaldi, Sui concetti di retta e
piano, in F. Enriques, Questioni riguardanti le mat. elem., 1, 3a ed., Bologna 1924,
p. 41.
Le nozioni di verso si possono poi introdurre sotto forma logica facendo us о delle
nozioni di punto e sfera’. v. M. Pieri 1o), p. 430 e p. 432.
884
Ugo Cassina
verso della rotazione ё il verso dell’angolo convesso ordinato aa'. La
ampiezza si misura in radianti, e percid saril rappresentata da un numero
dell’intervallo 0 H n17).
La rotazione di ampiezza nulla ё l’identit& ; quella di ampiezza n
dicesi oppositions (o semigiro).
Ogni rotazione ё individuata dal centro, dall’ampiezza e dal verso.
• 2 - Sia и un fascio di raggi di centro О e piano to, sul quale ё
fissato un verso positivo (fascio orientato di raggi), e sia <p un numero
reale qualunque : dicesi moto rotatorio attomo ad O, di ampiezza q>
ed operante sul fascio u, la trasformazione 31 che ad ogni raggio a di
и fa corrispondere quel raggio d del fascio stesso tale che, se А ё un
punto qualunque di a diverso da О, а' ё quel raggio del fascio и pas-
sante per il punto A' ottenuto facendo muovere A sulla circonferenza
di centro O, piano a) e raggio О A, in modo che il cammino percorso
da A sia eguale al prodotto di О A per il valore assoluto di <p e nel verso
positivo о negativo secondo che ё tale g?18).
Caratteristica angolars19) di <p ё quel numero <pQ dell’intervallo
0»- 2 n congruo a (p rispetto al modulo 2 n.
Un moto rotatorio si diri positivo о negativo secondo che ё tale
la sua ampiezza. Il moto rotatorio di (p radianti attomo ad О equivale
— per quel che riguarda la posizione iniziale e finale — alia rotazione
positiva di g?0 radianti ed alia rotazione negativa di 2 n — tpQ radianti
attomo ad O.
• 3 - Ogni rotazione attomo ad О che porta a in a' individua due
moti rotatori, attomo ad O, uno positivo e I’altro negativo, atti a portare
a in d : se g?0 i 1’ampiezza, misurata in radianti, dell’angolo convesso
ad, la caratteristica angolare di uno di questi moti ё <pQ, e quella del-
1’altro ё 2 n — (pQ.
Condizione necessaria e sufficiente аАтсЬё una rotazione 91 sia
periodica ё che la sua ampiezza sia commensurabile con 2 n. Il prodotto
di quante si vogliano rotazioni ё commutabile, ed ё una rotazione la
cui ampiezza ё congrua, rispetto al modulo 2 jc, alia somma delle am-
piezze delle rotazioni fattori.
Per i moti rotatori si ha invece : il prodotto di due о piii moti ro-
tatori, attorno ad О, ё commutativo ed associative incondizionatamente,
e la sua ampiezza ё eguale alia somma delle ampiezze delle trasforma-
zioni fattori.
Le rotazioni,'che trasformano in зё un fascio di raggi, formano un
gruppo di trasformazioni permutabili concordi e prive. (se la rotazione
non ё identica) di elementi uniti.
17) Se a e b sono due numeri reali con a<b, allora abb indica1’intervallo formato
da tutti i numeri reali x tali che a~b indica 1’intervallo formato da tutti i
numeri reali x tali che ecc. Queste notazioni sono dovute a G. Peano, cfr.
Formulario mathematico, 5* ed., Torino 1906-08, p. 118.
18) Cfr. C. Burali-Forti e T. Boggio, Esercizi di matematica, 2* ed., Torino
1929, p. 42.
ie) C. Burali-Forti e T. Boggio, Meccamca razionale, Torino 1921, p. 28.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
385
12. Simmetrie. — Se x e una retta formata da due raggi comple-
mentari del fascio di raggi w, si dice simmetria di asse x la trasformazione,
del fascio и in se, che ad ogni raggio a di и fa corrispondere quel raggio
d tale che x sia bisettrice dell’angolo convesso ad.
Ogni simmetria di и in se stesso ha due raggi uniti, che sono i due
raggi, complementari I’uno dell’altro, giacenti sull’asse della simmetria ;
ed ha due raggi contraversi che si scambiano tra loro, che sono i due
raggi, complementari I’uno dell’altro, appartenenti alia retta у uscente
dal centro О di и ed ortogonale ad x.
Una simmetria del fascio и in se stesso e una trasformazione in-
volutoria discorde.
13. Isomerie. — Se и e un fascio di raggi,‘dicesi isomeria nel
fascio и ogni trasformazione biunivoca del fascio и in se, tale che,
detti a e b due raggi qualunque di и ed d e V i loro trasformati me-
diante 1’ampiezza dell’angolo convesso ab sia eguale all’ampiezza
dell’angolo convesso db' (cioe siano eguali secondo la comune accezione).
Una isomeria e individuata da due coppie di raggi corrispondenti
a\d e b\V tali che gli angoli convessi aa' e bb' siano eguali fra
loro. Precisamente : se a = d e b = b', 1’isomeria richiesta coincide
con Videntitd ; se a' e b' sono rispettivamente i raggi complementari
di a e di b, essa e Vopposizione ; se non si presenta nessuna di queste
alternative e gli angoli convessi ordinati ad e bb' hanno eguale verso,
1’isomeria richiesta e la rotazione che porta a in d (e b in V); se in fine,
ferme restando le altre ipotesi di quest’ultima altemativa, gli angoli
convessi ordinati ad e bb' hanno versi opposti, 1’isomeria e la simmetria
che porta a in d (e b in 6') e che ha come asse la bisettrice dell’angolo aa'.
Quindi ogni isomeria che muta un fascio di raggi in se stesso
о e 1’identita, о e 1’opposizione, о e una rotazione, о e una simmetria.
14. Isomerie fra fasci di raggi distinti e complanari. —
Siano и ed u' due fasci di raggi aventi lo stesso piano (sostegno) e di
centri distinti О ed O'. Diremo isomeria fra i fasci и ed u' ogni trasfor-
mazione biunivoca § del fascio и nel fascio u' tale che, detti a ,b due
raggi qualunque del fascio О ed d ,b' i loro trasformati mediante 5,
I’angolo convesso ab sia eguale all’angolo convesso db'.
Si da il nome di traslazione alia isomeria fra i fasci di raggi и ed d
nella quale due raggi corrispondenti sono sempre equiversi; ed il nome
di opposizione a quella in cui due raggi corrispondenti sono sempre
contraversi.
Nell’opposizione e nella traslazione fra fasci di raggi distinti e com-
planari esistono sempre due coppie di raggi corrispondenti appartenenti
alia stessa retta : la retta dei centri, che dicesi unita nella trasformazione.
Sia £ la traslazione che porta il fascio di raggi и nel fascio di raggi
u', e sia una qualunque isomeria fra i fasci и ed d. Allora la trasforma-
zione § del fascio d in se stesso, e una isomeria funzione di
che diremo immagine di 5-
386
Ugo Cassina
Secondo che tale immagine e Concorde о discorde, tale sara anche
Potremo poi distinguere quattro tipi di isomerie tra fasci di raggi
distinti complanari, mettendo nello stesso tipo le isomerie che hanno
come immagine 1’identiti, о 1’opposizione, od una rotazione, od una sim-
metria. Cosi, se 1’immagine e Videntita, la isomeria % e la traslazione ;
se I’immagine e il semigiro, la e Vopposizione ; se 1’immagine e una ro-
tazione, la 5 e una trasformazione Concorde priva di elementi uniti e tale
che nessun raggio di и e trasformato da $ in un raggio eQuiverso о
contraverso ; se I’immagine e una simmetria, la J e una trasformazione
discorde che ammette due coppie di raggi corrispondenti equiversi e
due coppie di raggi corrispondenti contraversi, ed in ciasqun fascio
questi quattro raggi si distribuiscono su due rette ortogonali20).
IV. — Trasformazioni (ra (asci di rette о di piani.
15. Involuzione ortogonale e rotazioni. — Sia О il centro ed
co il piano di un fascio di rette и ; fisseremo in esso il verso positivo come
in III. Cid posto, involuzione ortogonale e la trasformazione del fascio
и in se che ad ogni retta del fascio fa corrispondere la retta (del fascio)
ortogonale alia data. L’involuzione ortogonale e dunque una trasfor-
mazione involutoria, priva di elementi uniti. Essa subordina nel fascio
di raggi che ha lo stesso centro e lo stesso piano di и i due moti rota-
tori di ampiezza + л/2 e — тг/2.
Se a ed d sono due rette di u, si dice rotazione che porta a in a',
quella trasformazione del fascio и in se che ad a fa corrispondere a'
e che ad ogni retta b di u, diversa da a, fa corrispondere quella retta
b' tale che l’angolo acuto (o retto) ordinato ab sia eguale all’angolo acuto
(o retto) ordinato a'b'.
In una rotazione 91, del fascio и in se, £ costante l’angolo (acuto о
retto) ordinato che ogni retta forma con la sua trasformata. La misura
in radianti di quest’angolo dicesi ampiezza della rotazione Ж, ed il verso
di esso dicesi verso di 91.
Per le rotazioni nei fasci di rette si possono ripetere le proprieti
gia viste per le rotazioni nei fasci di raggi (§ 11), con 1’awertenza di
sostituire nelle proposizioni relative all’ampiezza, al posto del numero
2 n, il numero n.
• Se nel fascio di rette и fissiamo un sistema di coordinate tangenti,
1’equazione di una rotazione 91 che trasformi и in se pud scriversi cosi:
(4) m'—m = (1 + mm') tg a,
ove a e l’ampiezza della rotazione.
Una rotazione in un fascio di rette e una trasformazione priva
di elementi uniti (ellittica).
\°) Per le propriety di questo capitolo cfr. G. Scorza l3), Cap. IT, p. 9 e seg.;
E. Veneroni ie), Cap. VI, p. 62 e seg.
XXVIII. - 1'RASFORMAZIONI GEOMETRICHE ELEMENTARI
387
* Le sue rette unite sono immaginarie, dovendo avere come coor-
dinate tangenti le radici dell’equazione
(5) m2 + 1 = 0 ,
cioe ± V— quindi sono le rette isotrope del fascio.
Nello stesso sistema di riferimento, 1’equazione dell’involuzione
ortogonale e :
(6) 1 + mm! = 0.
Anch’essa e priva di elementi uniti, e le * sue rette unite immagi-
narie sono ancora le rette isotrope di u.
* L’involuzione ortogonale e anche Г«involuzione unita* ad ogni
rotazione del fascio, e gode della proprieta caratteristica di essere Tu-
nica proiettivitd involutoria di и permutabile con le singole rotazioni
del fascio stesso a).
16. Simmetrie. — Se x e una retta del fascio u, simmetria rispetto
ad x e la trasformazione di и in se che ad ogni retta a di и fa corri-
spondere quella retta d (pure di u) tale che x sia una bisettrice degli
angoli formati da a e da a'.
Se у e la retta di и normale ad x, la simmetria rispetto ad у coin-
cide con la simmetria rispetto ad x. Le due rette x ed y, ed esse sole,
sono unite in detta simmetria, e diconsi gli assi della simmetria. Ogni
simmetria in un fascio di rette e una trasformazione involutoria e discorde.
Se fissiamo in и un sistema di coordinate tangenti, 1’equazione di
una simmetria, che trasforma и in se stesso, pud scriversi cosi :
(7) (a + d) xx' + (1 — ad) (x + x') — (a + d) = 0,
ove a , d sono le coordinate di due rette corrispondenti.
17. Isomerie. — Se и e un fascio di rette, chiamasi isomeria
nel fascio u, ogni trasformazione biunivoca g di и in se tale che, dette
a e b due rette qualunque di и ed d e b' le loro trasformate mediante
5, I’angolo acuto о retto a b sia eguale all’angolo acuto о retto a* b\
Per le isomerie di un fascio di rette valgono proprieti analoghe a
quelle gia viste per le isomerie nel fascio di raggi (v. § 13).
In particolare : Ogni isomeria che muta un fascio di rette in si
stesso od e Videntitd, od e una rotazione, od e una simmetria.
18. Isomerie tra fasci di rette distinti e complanari. —
1 - Se и ed и sono due fasci di rette complanari di centri distinti О
u) Sulla introduzione degli immaginari in geometria vedansi Fart. XXXIV di
questa Encicl. •), §§ 17, 26, SI, e 1’art. XXXV della stessa11), § 18.
388
Ugo Cassina
ed O', isomeria fra и ed u9 e ogni trasformazione biunivoca 5 fra essi
tale che, dette a , b due rette qualunque di и ed a', b9 le loro trasfor-
mate mediante 5, I’angolo acuto о retto a b sia eguale all’angolo acuto
о retto a'b9.
Diremo traslazione la isomeria fra i fasci и ed u' nella quale due
rette corrispondenti sono sempre parallele (o coincidenti). Ogni trasla-
zione tra fasci di rette distinti e complanari e una trasformazione Con-
corde che ha una ed una sola retta unita : la retta dei centri.
Sia $ la traslazione che porta il fascio di rette и nel fascio e
sia (J una qualunque isomeria fra и ed u9. Allora la trasformazione § 2-1
del fascio u9 in se stesso, e una isomeria funzione di 5, che dicesi imma-
gine di Secondo che tale immagine e Concorde о discorde, tale sara
anche 5. Potremo poi distinguere tre tipi di isomerie fra fasci di rette
distinti e complanari, mettendo nello stesso tipo le isomerie che hanno
come immagine 1’identiti, od una rotazione, od una simmetria (cfr. § 14).
•2 - Se $ 4 una isomeria concorde (diversa da una traslazione)
fra due fasci di rette distinti e complanari, il luogo dei punti di inter-
sezione delle rette corrispondenti in $ e una circonferenza passante
per i centri dei due fasci e che ha come tangenti in questi punti le tras-
formate, nelle isomerie 5 ed g-1, della retta dei centri dei fasci.
Se g e una isomeria discorde tra due fasci di rette distinti e com-
planari, i punti d’intersezione delle rette corrispondenti in § stanno
su un'iperbola equilatera passante per i centri dei fasci22).
B) TRASFORMAZIONI LINEARI PIANE
V. — Congruenze.
19. Traslazioni. — Traslazione 9) (piana) che porta A in A' e
quella trasformazione 2 del piano и in se, che ad ogni punto P di и
fa corrispondere il punto P9 tale che i vettori A'—A e P9—P risul-
tino eguali.
Il vettore A'—A, che e individuato ed individua 2, dicesi il vettore
della traslazione 2 ; e la sua grandezza, direzione e verso diconsi rispet-
tivamente grandezza, direzione e verso di 2. Per le traslazioni piane
valgono proprieta analoghe a quelle che abbiamo gia viste per le trasla-
zioni rettilinee (v. § 4)23).
20. Rotazioni. — • 1 - Siano О , A , Л' punti distinti del piano и
ed A , A9 siano equidistanti da O. Rotazione di centro О che porta A
in A9 e quella trasformazione del piano и in se che ha О come punto
M) M. Chasles, C. R. Ac. sc. Paris, 51 (1860), p. 855, p. 905.
«) La legge della composizione (prodotto) delle traslazioni si trova in O. Ro-
drigues, J. math, pures appl., 5 (1840), p. 380 (p. 382).
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
389
unito, che ad A fa corrispondere A' e che ad ogni altro punto P di и
fa corrispondere quel punto (di и) P' tale che il segmento P'O sia e-
guale al segmento PO e che l’angolo ordinato convesso AO A' sia
eguale all’angolo ordinato convesso POP'.
Si possono ripetere, a proposito delle rotazioni piane attorno ad
O, considerazioni analoghe a quelle gii sviluppate a proposito delle
rotazioni in un fascio di raggi (v. § 11) ; e cosi introdurre le nozioni
di ampiezza e verso.
La rotazione di ampiezza n dicesi pure equinversione (o simmetria
centrale) di centro O. Essa pud anche definirsi direttamente come la
trasformazione rettilinea di egual nome (v. § 5): ciod come quella tras-
formazione che porta О in О e che ad ogni punto P di w, diverso da
O, fa corrispondere quel punto P' (di u) tale che О sia il punto medio
del segmento PP'.
L’equinversione piana, che pud presentarsi come una rotazione,
gode perd di proprieti particolari che non valgono per una rotazione
generica. Cosi l’equinversione e una trasformazione involutoria con un
unico punto unito : il suo centro ; ma con infinite rette unite, che sono
tutte e sole le rette passanti per il suo centro. Invece una rotazione ge-
nerica (di ampiezza diversa da 0 e da n) non possiede rette unite.
Come al § 10, fissato il verso positivo sul piano su cui operano,
si possono distinguere le rotazioni in positive e negative ; e si pud anche
introdurre la nozione di moto rotatorio attorno ad O, ripetendo presso
che tai quale la definizione data nel § 11. E per le rotazioni attorno
ad О ed i moti rotatori attorno ad О valgono ancora legami analoghi a
quelli gii esposti.
Le rotazioni piane concentriche formano un gruppo permutabile
di trasformazioni concordi.
Una rotazione e individuata da due coppie di punti corrispondenti
A\A' e B\B' tali che i segmenti AB ed A'B' siano eguali, ed A'—A
non sia eguale a B'—В. Il centro della rotazione ё il punto di incontro
degli assi dei segmenti A A' e BB'.
*2-11 prodotto (nonpermutabile) 91$, di una traslazione $ per
una rotazione 91 (complanari), ё una rotazione di ampiezza eguale a
quella della rotazione fattore ed il cui centro si ottiene con la costruzione
seguente : Sia О il centro di 91 e siano O' ed O* i trasformati di. О
nel prodotto 91$ e nella traslazione $-1, allora il punto di incontro
degli assi dei segmenti OrO ed OO' di il centro C della rotazione 91$
(v. fig. 4).
L’ampiezza della traslazione ё eguale al doppio della distanza dei
centri delle rotazioni (fattore e prodotto) per il seno dell’angolo della
semiampiezza delle rotazioni24).
Di qui si deduce che ogni rotazione pud decomporsi nel prodotto
di una traslazione per una rotazione avente la stessa ampiezza e centro
arbitrario.
2<) M. Chasles, m) , p. 862. I teoremi di questo § si trovano tutti in questo lavoro.
390
Ugo Cassina
In modo analogo si pud costruire il prodotto $ SR.
Il prodotto di due rotazioni, concentriche о no, e in generale una
C = Centro (Я X)
• \ X*^ \
...........; ............j
W................................О t XO
Fig. 4Г
rotazione ; ed ё una traslazione (eventualmente identica) quando e solo
quando le rotazioni assegnate hanno eguali ampiezze e versi opposti.
Per la costruzione degli elementi fondamentali della rotazione pro-
dotto - centro ed ampiezza - possiamo procedere cosi: (fig. 5 e 6) :
Siano Ог ed O2 i centri delle rotazioni fattori ed 3t2 alle quali
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
391
diamo la forma di moti rotatori le cui ampiezze hanno come caratte-
ristiche angolari 2^ e 2 <p2, comprese entrambe fra 0 e л (cfr. § 11*3).
Allora si possono considerare due casi : i moti rotatori sono equi-
versi, i moti rotatori sono contraversi. Supponiamo che siano equiversi,
e positivi. Allora il centro О del moto prodotto (positivo) si pud co-
struire (fig. 5) come ulteriore vertice di un triangolo avente come base
OXO2 ed i cui angoli alia base, rispettivamente in Ог e O2, sono e
<p2, e tale inoltre che la successione ОгОО2 sia positiva.
Supponiamo invece che i due moti siano contraversi, e che
Allora il moto risultante ha il verso di ; ed il suo centro О
e I’ulteriore vertice del triangolo avente come base ОгО2, i cui angoli
alia base (fig. 6), rispettivamente in Ox e O2, sono л — (pr e <p2, e tale
inoltre che la successione ОгОО2 abbia il verso di
L’ampiezza del moto prodotto e eguale alia somma delle ampiezze
dei moti fattori25 *).
Dalle costruzioni precedent! risulta che i lati del triangolo OXO2O
sono proporzionali ai seni delle semiampiezze delle rotazioni che hanno
luogo attomo ai vertici “J.
Ogni traslazione pud, in infiniti modi, decomporsi nel prodotto di
due rotazioni complanari di centri distinti, eguali ampiezze e versi con-
trari27). La costruzione e indicata nella fig. 7 ; in essa il centro О e
l’ampiezza di una delle rotazioni sono fissate ad arbitrio.
25) O. Rodrigues 2S), L’espressione analitica vettoriale di О trovasi in G. Peano,
Calcolo geometrico, Torino 1888, p. 161.
") M. Chasles"), p. 863.
”) M. Chasles"), p. 863.
392
UGO Cassina
21. Congruenze. — Dicesi congruenza28) (piana) ogni trasforma-
zione ©, biunivoca e concovde, del piano и in se, che conserui le distanze.
Essa ё individuata da due coppie di punti corrispondenti A; A' e
B\B', tali che il segmento AB sia eguale al segmento A'B'. In vero,
preso ad arbitrio il punto ad esso la congruenza richiesta fa corri-
spondere il punto C ottenuto con la seguente costruzione : Si consi-
derino i cerchi di centri A' e B' e di raggi rispettivamente eguali alle
distanze di C da A e da В ; se tali cerchi si incontrano in un punto
unico (appartenente alia retta A'B', e per questo ё necessario e suffi-
ciente 2e) che C appartenga alia retta AB), questo punto ё il punto C ;
se invece i due cerchi si incontrano in due punti, il punto C cercato
ё quello di questi punti tale che il triangolo ordinato А' В' C' sia equi-
verso (e eguale) al triangolo ordinato AB C. Se poi A'—A = B'—B, la
congruenza desiderata ё la traslazione che ha come vettore A'—A ; se
invece A'—A non ё eguale a B'—B, essa ё una rotazione di cui sap-
piamo trovare il centro e Fampiezza (v. 20 *1). Percid :
Ogni congruenza (piana) ё una traslazione od una rotazione.
Quindi (v. § 20) : ogni congruenza piana od ё una rotazione od ё eguale
al prodotto di due rotazioni30). Le rotazioni (piane) figurano percid
come le trasformazioni irridudbili atte a dare ogni congruenza piana.
Infine:
Le congruenze piane formano pn gruppo di trasformazioni con-
cordi non permutabili, che ammette come sottogruppo il gruppo delle
traslazioni piane.
Per ogni punto P del piano passa una ed una sola coppia di rette
corrispondenti in una congruenza piana : se questa ё una traslazione,
la coppia ё composta di due rette coincidenti (parallele alia direzione
della traslazione) ; se ё una rotazione, le due rette formano fra loro
un angolo eguale all’ampiezza della rotazione e sono le congiungenti
del punto P coi suoi trasformati nella rotazione data e nella sua inversa.
VL — Isomerie.
22. Ribaltamenti. — Sia x una retta di un piano u. Dicesi n-
baltamento di asse x (o simmetria di asse x) quella trasformazione del
piano и in зё che ha unito ogni punto di x e che ad ogni punto P, di u,
non appartenente ad x, fa corrispondere quel punto P' (di u) tale che
il segmento PP abbia come asse la retta x. * ••)
M) Oltre al vocabolo congruenza (dal latino congruere = sovrapporre) sono usati
dai vari autori i vocaboli seguenti: spostamento (ddplacement), movimento (Bewegung),
moto finito, moto geometvico. Qui si ё preferito lasciare alia phrola moto il significato
meccanico di moto continuo, che permette di introdurre la nozione di moto equivalente
ad una data congruenza.
••) Su questa proprieta ё fondata la definizione di retta di G. W. Leibniz, Cha-
racteristica geometrica (1679), Math. Schriften, ed C. J. Gerhardt, 5, Halle 1858, pa-
gina 189.
’•) Cfr. note25).
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
393
Per indicate il ribaltamento di asse x faremo uso della notazione
« Sym x » 31).
Ogni ribaltamento del piano и in se e una trasformazione involu-
toria discorde, che ha come punti uniti tutti e soli i punti del suo asse.
Essa ha anche infinite rette unite, che sono l’asse e le rette perpendi-
colari all’asse.
Il prodotto (non commutabile) di due ribaltamenti (complanari)
distinti (cioe ad assi distinti) e una congruenza. Precisamente : il pro-
dotto di due ribaltamenti ad assi parallel! e una traslazione, normale
agli assi dei ribaltamenti e la cui grandezza e eguale al doppio della
distanza fra i due assi. Ed il prodotto di due ribaltamenti ad assi concor-
renti e una rotazione che ha come centro il punto comune ai due assi
e la cui ampiezza ё eguale al doppio dell’angolo acuto о retto formato
dai due assi. Quindi :
Ogni congruenza piana od e un ribaltamento od e un prodotto di
due ribaltamenti. Fondandosi su questa proprieta si fa assai bene lo
studio delle congruenze piane. In particolare si ha :
Se 2, HR, Э? sono congruenze piane, esistono tre rette, a , b , c ed
una congruenza ©, tali che :
2 = (Sym a) ® , HR = (Sym b) E , Э? = (Sym c) E ;
che si pud anche esprimere dicendo che : Tre posizioni qualunque di
una stessa figura nel suo piano sono sempre le simmetriche, rispetto
a tre rette del piano, di una stessa quarta posizione della figura asse-
gnata 32).
23. AntitraslazionL — Ogni ribaltamento e permutabile con
ogni traslazione parallela al suo asse. Diremo antitrasfyzione 33) (piana)
ogni trasformazione, del piano и in se, che sia eguale al prodotto (permu-
tabile) di un ribaltamento per una traslazione parallela all’asse del ri-
baltamento. Ogni ribaltamento si pud considerare come un’antitrasla-
zione (impropria) in cui la traslazione fattore e nulla. La decomposi-
zione di un’antitraslazione propria nel prodotto di un ribaltamento
per una traslazione parallela all’asse di questo e possibile in modo unico.
Chiameremo asse dell’antitraslazione l’asse del suo ribaltamento fattore.
Ogni antitraslazione e una trasformazione discorde priva di ele-
menti uniti (se la traslazione fattore non e nulla). Essa ha una ed una
sola retta unita, che e il suo asse.
Il prodotto (non permutabile) di una traslazione per un ribalta-
mento generico (complanare) e un’antitraslazione, il cui asse ё paral-
lelo all’asse del ribaltamento fattore e la cui traslazione e individuata
81) G. Peano17), p. 181.
M) C. Stephanos, Bull. Soc. philom., (7) 6 (1881-2), p. 13.
M) Nome adottato da M. Pieri 10), p. 426; G. Scorza18), p. 98; Ё. Veneroni
“), p. 76.
394
Ugo Cassina
dalla componente parallela all’asse del vettore della traslazione fattore.
Lo stesso dicasi del prodotto di un ribaltamento per una traslazione
(fig. 8).
Il prodotto (non commutabile) di un ribaltamento per una rota-
____________tP_________Q_________(t®)g Asse(XS)
Asse <S
/ :i/Asse (<5 X)
P (® X) P
Fig. 8.
zione e un’antitraslazione (ed in particolare un ribaltamento). Lo stesso
dicasi del prodotto di una rotazione per un ribaltamento. Se 91 e la
rotazione ed S il ribaltamento assegnati, gli assi delle antitraslazioni
91 @ ed S 91 sono simmetrici rispetto all’asse di S, passano per il punto
H (proiezione ortogonale del centro di 91 sull’asse di 6) e per i suoi
trasformati mediante 91 ed 9l-1 (v. fig. 9).
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
395
Il prodotto di un’antitraslazione, preceduta, о seguita, da una
congruenza, e un’antitraslazione ; ed il prodotto di due antitraslazioni
ё una congruenza.
24. Isomerie. — ‘ 1 - Si dice isomeria13) (piana) ogni trasforma-
zione 3 biunivoca del piano и in её, tale che, se P e Q sono due punti
qtialunque di и e P' e Q' i loro trasformati mediante 3, il segmento
P Q sia eguale al segmento P' Q*34).
Sotto altra forma : isomeria ё ogni trasformazione biunivoca (del
piano и in её), la quale ad ogni cerchio descritto attomo ad un punto
arbitrario (come centro) fa corrispondere un cerchio di egual rag gio
attorno al trasformato di quel punto (come centro) *).
Ogni congruenza ё una isomeria. Ogni ribaltamento ё un’isomeria.
Un’isomeria muta fasci di raggi in fasci di raggi, subordinando fra
essi un’isomeria. Le isomerie (radiali) subordinate, tra fasci di raggi
corrispondenti, dall’isomeria piana 3 sono tutte concordi, oppure tutte
disqordi. Nel primo caso 1’isomeria 3 ё Concorde, nel secondo ё discorde.
Ogni isomeria. Concorde ё una congruenza. Le isomerie discordi di-
cpnsi anche anticongruenze *).
Se ABC ed А' В' C' sono due triangoli ordinati, del piano u,
eguali (secondo la comune accezione), esiste una ed una sola isomeria
3, di и in se, atta a portare A in Л', В in B’, e C in C' (cfr. § 21).
E 1’isomeria ё concorde se i triangoli ordinati А В C ed А' В' C sono
equiver si, e discorde se essi sono contraver si. L’isomeria 3 si pud otte-
nere in questa maniera (v. fig: 10) : Sia I la traslazione piana che porta
A in A', e poniamo Bx = $ В e Cx = J C. Sia poi 9? la rotazione
di centro Л' che porta Bx in B’ e poniamo Э? С\ = C2. Allora se C2= C
si ha 3 = 9? $ ; se invece C2 Ф C', sia © il ribaltamento di asse A' B’ ;
allora © C2 = C' ed 3 = © fRS.
Un’isomeria concorde non differisce da una congruenza : сюё ё
una traslazione (eventualmente identica) od una rotazione ; ed ogni
isomeria discorde ё un ribaltamento od un’antitraslazione. Ogni iso-
meria discorde con un punto unito ё un ribaltamento.
Si ha pure,: ogni isomeria piana ё un ribaltamento od ё eguale al
prodotto di due о di tre ribaltamenti. Quindi i ribaltamenti costituiscono
le trasformazioni elementari irridudbili del gruppo delle isomerie, che
ha come sottogruppo il gruppo delle congruenze.
Se A В ed A' B' sono due segmenti complanari eguali, esistono
due e due sole isomerie atte a portare A in A' e В in B’ (una ё con-
corde e 1’altra ё discorde). Esistono due e due sole isomerie atte a por-
’*) Lo studio generale, delle isomerie piane (concordi e discordi) ё dovuto a M.
Chasles”), p. 855 e p. 905.
Definizione, questa, inspirata alia definizione di M. Pieri 10), p. 389, di
similitudine.
“) Nome usato da M. Pieri 10),>p. 428. Altri autori usano i vocaboli antisposta-
mento, ripiegamento (antidlplacement, Umlegung), movimento di seconda specie.
396
UGO Cassina
tare il punto A nel punto A' ed un raggio b di origine A in un raggio
b' di origine A' (una e Concorde e I’altra e discorde).
Esiste una ed una sola isomeria atta a portare il punto A nel punto
A*, un raggio b di origine A in un raggio V di origine A e un semi-
piano a di origine la retta per b in un semipiano a' di origine la retta per i'.
Un’isomeria con tre punti uniti non collineari non differisce dalla
identitd ; un’isomeria non identica con due punti uniti distinti e un
ribaltamento ; un’isomeria non identica con un solo punto unito e una
rotazione ; ed un’isomeria senza punti uniti e una traslazione od una
antitraslazione, secondo che esistono (almeno) due rette unite (distinte)
od una sola retta unita.
Il quadrato di un’isomeria e una congruenza, e viceversa : ogni can-
gruenza pud esprimersi come il quadrato di urCisomeria. Per modo che
le anticongruenze sono le isomerie non esprimibili sotto forma di qua-
drato di un’isomeria.
Ogni isomeria involutoria e un’equinversione od un ribalta-
mento 37).
*2 - Le equazioni generiche di urCisomeria piana, in un sistema
di coordinate cartesiane ortogonali, sono :
x' = ax +by +c,
f y' = + Ьгу + Ci, * 42
S7) Per le proprieta general! delle isomerie cfr. anche H. Wiener, Leipz. Berichte,
42 (1890), p. 13, p. 110; 43 (1891), p. 424, p. 624; E. Study, Math. Ann., 30 (1801),
p. 441; M. Pieri10).
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
397
ove a , b , с , ax, br , cT sono numeri reali ed il determinante
A =
a b I
al I
e ortogonale, cioe a2 + i2 = 1 , a\ + b\ = 1, e aar + bbx = 0.
Secondo che A vale + 1 oppure — 1, Fisomeria rappresentata
dalle (8) e Concorde о discorde. Dalle (8) si ha pure che le isomerie
piane formano un sistema oo3.
L’equazione vettoriale di xxn'isomeria piana S e :
(9) 6P = A' + а (P — A) ,
ove A e A! e una coppia di punti corrispondenti in S e о e un'isomeria
vettoriale piana, cioe una trasformazione del tipo «e’?>> oppure del
tipo « 2 H (j, j) — 1», ove j e un* vettore unitario 38).
VII. — Similitudini.
25. Omotetie. — Siano О un punto del piano и ed A , A' due
punti distinti allineati con O. Dicesi omotetia 39) piana di centro О e
che porta A in A' la trasformazione del piano и in se che ha О come
punto unito e che ad ogni punto P di и fa corrispondere quel punto
P' della retta О P tale che in valore assoluto e segno valga la seguente
relazione fra segmenti orientati :
OA’/OA = OP'/OP.
-Sia £) un’omotetia di centro О che porta A in A! ; allora : se P
e un punto qualunque di и non appartenente alia retta A A', si costruisce
il suo omologo in О come intersezione della retta О P con la parallela
ad A P condotta per A* ; se invece si vuole il trasformato Q* di un punto
Q della retta A A', basta costruire dapprima il trasformato P' di un
punto P fuori di detta retta, dopo di che si costruira Q' operando come
prima, sostituendo alia coppia А\А' la coppia P;P' (ed in vero Q'
dipende solo da О , A e A! e non dalla particolare scelta del punto P,
e cid in virtu del cosiddetto teorema dei triangoli omotetici4°).
Per indicare 1’omotetia di centro О che porta A in A* faremo uso
talvolta della notazione « Hom (O ; A , A')» 41). Se В e B' sono due
3e) L’equazione vettoriale d’una congruenza piana trovasi in G. Peano 25),
p. 160; cfr. anche C. Burali-Forti e R. Marcolongo, Trasf. Un. 8), p. 147.
3e) Nome dovuto a M. Chasles,11); J. V. Poncelet, per parlare di due figure
omotetiche (ciofc corrispondenti in un’omotetia) usa la locuzione simili e similmente
poste7).
40) Caso particolare del teorema di Desargues sui triangoli omologici. V. anche
Part. XXXV di questa Encicl.14), § 10.
41) G. Peano17), p. 183.
398
Ugo C assin a
punti distinti qualunque corrispondenti in questa omotetia si ha :
Hom (O;A,A')= Hom (О ; В , В') .
Il rapporto costante OA'/OA = h dicesi caratteristica dell’omotetia.
Se essa e positiva, 1’omotetia dicesi diretta, se e negativa, 1’omotetia
dicesi inversa, Ogni omotetia e individuata dal centro О e dalla carat-
teristica h. Per essa faremo uso anche della notazione « Hom (О , Л)».
Un’omotetia di caratteristica eguale a — 1 e di centro О coincide con
l’equinversione piana di centro O, cioe e una rotazione, attorno ad O,
di ampiezza eguale а л. Un’omotetia di centro О ha un solo punto
unito : il suo centro, ed infinite rette unite : tutte e sole le rette passanti
per O.
Ogni omotetia piana, sia essa diretta od inversa, e una trasforma-
zione concorde, Se A ,B sono due punti qualunque del piano и ed A', B'
i loro trasformati in un’omotetia, il rapporto fra le lunghezze dei seg-
menti А В' e А В e costante ed eguale al valore assoluto della carat-
teristica dell’omotetia.
Le omotetie piane che hanno lo stesso centro formano un gruppo
permutabile.
Il prodotto di due omotetie a centri distinti (operanti sullo stesso
piano) ed a caratteristiche reciproche e una traslazione colla direzione
parallela alia retta dei centri. E il prodotto di due omotetie a centri
distinti ed a caratteristiche non reciproche e un’omotetia che ha come
caratteristica il prodotto delle caratteristiche delle omotetie fattori ed
il cui centro e allineato coi centri delle omotetie assegnate.
Il prodotto di una traslazione per un’omotetia e un’omotetia che
ha la stessa caratteristica dell’omotetia fattore ed il cui centro sta sulla
parallela, alia direzione della traslazione, condotta per il centro della
omotetia assegnata. Analogamente per il prodotto di un’omotetia per
una traslazione
26. Rotomotetie. — Il prodotto di un’omotetia per una rotazione
conceiitrica (operante su di uno stesso piano и) e commutabile ed e
una trasformazione biunivoca di и in se, a cui si da il nome di rotomo-
tetia 43) (piana). Se la rotazione’ fattore e un’equinversione (o simmetria
centrale), il prodotto e un’omotetia di caratteristica opposta a quella
dell’omotetia fattore.
Se 1’omotetia о la rotazione fattori coincidono con 1’identita, la
rotomotetia diviene rispettivamente una rotazione od un’omotetia.
Ogni rotomotetia propria (cioe non riducibile ad un’omotetia о ad
una rotazione) individua 1’omotetia diretta e la rotazione concentrica
delle quali essa e il prodotto, e che percid saran dette i fattori della tras-
°) Le equazioni vettoriali delle omotetie, e la dimostrazione mediante esse di
queste proprieta, trovansi in G. Peano25), p. 46; v. anche Farm, math.11}, p. 183.
Nome usato da G. Scorza13), p. 91; ed adottato da E. Veneroni 15), p. 98.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
399
formazione. Per caratteristica, ampiezza e verso di una rotomotetia in-
tenderemo la caratteristica dell’omotetia fatfore, e l’ampiezza e il verso
della rotazione fattore.
Una rotomotetia propria e anche eguale al prodotto di un’omotetia
inversa per una rotazione concentrica.
Una rotomotetia propria ha un solo punto unito, che dicesi il suo
centro, e nessuna retta unita. Le rotomotetie (piane) concentriche for-
mano un gruppo di trasformazioni permutabili.
Sia 91 una rotomotetia e I una traslazione ; allora i prodotti I 91
e 91X sono due rotomotetie distinte i cui centri С e С\ sono tali che
il vettore C — Cx e eguale al vettore della traslazione $. Inoltre se di-
ciamo P' e PY i trasformati di P rispettivamente mediante 2 91 e 912,
si ha che il vettore P' — PT ha direzione costante.
Il prodotto di una rotomotetia, preceduto, о seguito, da una con-
gruenza qualunque (complanari), e una rotomotetia.
27. Antiomotetie. — Il prodotto di un ribaltamento per una
omotetia operante sullo stesso piano ed avente il centro sull’asse del
ribaltamento e commutabile. Ad ogni trasformazione ottenuta in tai
maniera si da il nome di antiomotetia **) (piana).
Ogni antiomotetia e riducibile in un sol modo al prodotto di un
ribaltamento per un’omotetia avente il centro sull’asse del ribaltamento
(che diconsi i fattori dell’antiomotetia). Diremo centro ed asse di una
antiomotetia il centro dell’omotetia fattore e l’asse del ribaltamento
fattore, e caratteristica dell’antiomotetia la caratteristica^ dell’omotetia
fattore. La retta uscente dal centro e perpendicolare all’asse si dira
asse secondario, ed allora il precedente si diri asse principale.
Un’antiomotetia ha almeno un punto unito : il suo centro ; e ne
ha infiniti quando e solo quando 1’omotetia fattore ha caratteristica
— 1 (cioe e un’equinversione piana), ma in tai caso I’antiomotetia si
riduce al ribaltamento attomo al suo asse secondario. Ogni antiomotetia
ha due rette unite : i suoi assi.
Un’antiomotetia 81 e una trasformazione discorde, L’inversa di una
antiomotetia e un’antiomotetia avente lo stesso centro e lo stesso asse
principale e per caratteristica la reciproca della caratteristica della tras-
formazione assegnata.
Siano D un’omotetia e © un ribaltamento qualunque (operand
sullo stesso piano). I prodotti © D e D © — se £) non e un’equinver-
sione — sono due antiomotetie di caratteristiche eguali a quella di D,
e i cui assi principali sono paralleli all’asse di S e simmetrici rispetto
ad esso (v. fig. 11). Se indichiamo con P' e P" rispettivamente i tras-
formati di P nelle antiomotetie © £) e D ©, il vettore P' — P" e sempre
ortogonale agli assi principali di dette trasformazioni.
Se invece 1’omotetia D e un’equinversione, sappiamo gii (§ 23)
44) Nome usato da G. Scorza13), p. 97; ed adottato da E. Veneroni m), p. 99.
400
Ugo Cassina
che i prodotti S £) e £) S sono due antitraslazioni (inverse 1’una del-
1’altra) aventi come asse (comune) la normale condotta per il centro
di £) all’asse di 6.
Asse (0 G)
9g = (0©)/?
O' = GO
Fig- 11.
28. Similitudini. — ’ 1 - Dicesi similitudine piana, ogni trasfor-
mazione biunivoca del piano и in se, tale che, se A , В sono punti qua-
lunque di и ed A' , B' i loro trasformati mediante 6, il rapporto fra le
lunghezze dei segmenti (corrispondenti) A'B'eAB sia costante46).
Il rapporto positivo h = A'B'/AB dicesi la caratteristica (o rap-
porto) della similitudine 6.
Altre forme possibili della definizione di similitudine :
Similitudine (piana) e ogni trasformazione biunivoca di un piano
in se, che conserva Vequidistanza dei puntiy cioe muta ogni cerchio at-
torno ad un punto (come centro) nel cerchio attorno al trasformato di
quel punto (come centro) 47) ; oppure :
4e) Numerose propriety dei poligoni simili (6[ioio<; = simile) sono stabilite da
Euclide nei suoi Elementi (325 a. C. circa), lib. VI; cfr. I’art. XXII di questa Encicl.,
6), §§ 2, 29-31. Ma lo studio delle propriety generali delle similitudini — intese come
trasformazioni — ё dovuto a L. Euler, Nova Acta Ac. Petrop., 9 (1791) stamp. 1795.
pres. 1777; ed essenzialmente a M. Chasles, Bull. sc. math. astr. phys. chim., 14
(1830), p. 321; e ibid.,11).
*•) Definizione, questa, che si trova in A. F. Mobius 14); § 142, Werkef 1,
p. 174; ed ё stata adottata da G. Scorza 1S) e E. Veneroni15).
*7) Definizione di M. Pieri10), p. 389; analoga alia definizione di collinedzione
data da A. F. Mobius14), § 217, Werke, 1, p. 266.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
401
Similitudine (piana) e ogni trasformazione biunivoca di un piano
in se, che muta punti collineari in punti collineari ed e isogonale (o con-
forme), cioe tale da mutare angoli in angoli di eguale ampiezza 48).
Le similitudini piane formano un gruppo.
Una similitudine muta punti collineari in punti collineari, punti
susseguentisi in punti susseguentisi; percid muta segmenti in segmenti,
raggi in raggi, rette in rette, semipiani in semipiani, fasci di raggi о
rette in fasci di raggi о rette.
Una similitudine piana subordina fra rette corrispondenti una
similitudine e tra fasci di raggi (o di rette) corrispondenti un’isomeria.
E se I’isomeria subordinata fra i fasci di centri A e Л', corrispondenti
nella similitudine ©, e Concorde, e pure Concorde I’isomeria subordi-
nata fra i fasci di centri В e B', ove B\B‘ e un’altra coppia di punti
corrispondenti in ©. Secondo che si presenta 1’una alternativa о I’altra,
la similitudine © e Concorde о discorde.
Se А В C ed А’ В' C' sono due triangoli ordinati simili (secondo
la comune accezione), esiste tma ed una sola similitudine © atta a por-
tare A in Л', В in В' e C in C". Invero la trasformazione richiesta
e quella che fa corrispondere ad un punto generico P — ottenuto come
intersezione delle tre circonferenze passanti per esso e di centri rispet-
tivamente A ,B e C — quel punto P', univocamente determinate,
come intersezione delle tre circonferenze, di centri rispettivamente
Л', B’ e C" e di raggi eguali rispettivamente ai prodotti delle distanze
di P da A , В e C per il rapporto di similitudine h = A'B'/AB.
Per costruire la similitudine ©, osserviamo che se il rapporto di
similitudine vale 1, cioe i triangoli assegnati sono eguali, © coincide
con I’isomeria unica soddisfacente alle condizioni del problema (v.
§ 24). Supponiamo adunque che il rapporto di similitudine h sia diverso
da 1 ; siano Br e Cr quei punti dei raggi di origine Л' e passanti rispet-
tivamente per B''e C' tali che il segmento Л' B± sia eguale al segmento
A В ed il segmento Л' Cr sia eguale al segmento A C. Ne risulta che
il triangolo ordinato Л' Br Cr e eguale al triangolo ordinato А В C ed
e omotetico al triangolo ordinato Л' В' C. Indicando percid con 3 la
isomeria (piana) atta a portare A in Л', В in B± e C in Cx e con £)
1’omotetia (piana) diretta di centro Л' atta a portare Bx in B* (e percid
C1 in C"), il prodotto © = D 3 e la similitudine soddisfacente alle
condizioni del problema. Percid :
Ogni similitudine (piana) e riducibile al prodotto di un’isomeria
per un’omotetia. Ogni similitudine e riducibile anche al prodotto di
un’omotetia per un’isomeria. Invero, posto 2 = О 3, si ha che J
e un’omotetia ed S = 3 J. Quindi :
Ogni similitudine e un’isomeria od e riducibile al prodotto di una
isomeria, preceduta, о seguita, da un’omotetia diretta 4e). * 41
48) Definizione adottata da H. Weber e J. Wellstein, Enzykl. der Elem. Math.,
2, 3a ed., Leipzig 1915, p. 239; e da F. Severi, Elementi di geometria, 2, la ed., Fi-
renze 1927, p. 39.
41П M. Chasles 45), p. 323.
402
Ugo Cassina
La similitudine diretta, individuata dai due triangoli ordinati sud-
detti, sara poi concorde о discorde secondo che questi sqjno equiver si о
contraversi.
Ogni similitudine, se non e un’isomeria, e una rotomotetia (in par-
ticolare un’omotetia) od un’antiomotetia. Una similitudine, che non sia
un’isomeria, ammette un solo punto unito {centro della similitudine)5°).
Una similitudine, che non sia un’isomeria, e individuata dal suo
centro e dall’isomeria subordinata nel fascio di raggi (unito) avente
come centro il centro della similitudine. Anzi la natura della similitu-
dine dipende dalla natura di questa isomeria ; cioe si possono classi-
ficare le similitudini piane fondandosi su questa proprieta.
Precisamente, se О e il centro della similitudine S, ed 8 e 1’isomeria
subordinata nel fascio di raggi di centro O, si ha :
1) se S e Wdentitd, S e un’omotetia diretta ;
2) se $ e Vopposizione, S e omotetia inversa ;
3) se 3 e una rotazione generica, S e una rotomotetia ;
4) se 3 e una simmetria assiale, © ё мп*antiomotetia51).
Date nel piano и due coppie di punti distinti A\B e Л';В', esi-
stono una ed una sola similitudine concorde ed una ed una sola simi-
litudine discorde (del piano и in se) atte a portare A in A* e В in B'.
Una similitudine concorde e il quadrato di un’altra similitudine, ed
ogni similitudine discorde non e mai il quadrato di un’altra similitudine
(proprieta, questa, che pud servire a definire le similitudini concordi).
Una similitudine concorde con due punti uniti (distinti) non dif-
ferisce d^AVidentitd ; e lo stesso dicasi di una similitudine generica con
tre punti uniti non allineati. Una similitudine non identica con due
punti uniti (distinti) e un ribaltamento, che ha come asse la retta dei
punti uniti52).
•2 - L’equazione vettoriale di una similitudine 6 (non isomeria) e:
(10) 6P=O + b(P-O),
ove О e il centro della similitudine. h e una costante positiva diversa
da 1 {caratteristica della similitudine) e о e un’isomeria vettoriale {iso-
meria vettoriale della similitudine).
Se la similitudine б e individuata dai due triangoli ordinati cor-
rispondenti ABC e А' В' C, si ha :
(11) h = A'B* I AB = A'C'/AC = B'C'/BC ,
e о e 1’isomeria vettoriale definita dalle relazioni seguenti :
(12) а (В — A) = (В'— А')/Л , a{C — A) = {C' — A')/h, * 61
*°) L. Euler 4б), p. 154.
61) Cfr. G. ^zorza 13), p. 89; E. Veneroni15) p. 97.
w) Cfr. M. Pieiu 10), p. 396 e seg.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
405
ed il centro О di б e il punto tale che :
(13) O = A + (1 — hd)-'(A' — A) .
Per la costruzione grafica di O, fondata sulla (13), si veda il § 33’2.
relativo alia costruzione grafica del centro di xin'affinitd piana63).
Le equazioni di una similitudine piana, in un sistema di coor-
dinate cartesiane ortogonali, sono del tipo seguente :
(14\ | x' = h(ax +by) -he ,
' ' ‘ y' = h(axx + bxy) + c, ,
ove il determinante
e ortogonale.
Secondo che A vale + 1 oppure — 1 le (14) rappresentano una
similitudine concorde о discorde. Il numero h (che pud supporsi posi-
tivo) e la caratteristica della similitudine.
Dalle (14) risulta che le similitudini piane formano un gruppo
oo4, che comprende come sottogruppo il gruppo oo3 delle isomerie
piane (caso di h = 1).
* 3 - Sono dunque quattro i tipi di trasformazioni elementari che
si presentano cojne essenziali — nell’ordinamento adottato — per ot-
tenere tutte le similitudini piane. Invero, partendo dal gruppo delle
traslazioni, per ottenere le congruenze occorre aggiungere le rotazioni;
per ottenere poi le anticongruenze occorre aggiungere i ribaltamenti;
se si escludono i ribaltamenti e si introducono le omotetie, si ottengono
le similitudini concordi ; infine, se si includofio ribaltamenti ed omo-
tetie, si ottengono tutte le similitudifti piane. E, come i ribaltamenti
sono le trasformazioni elementari irriducibili atte a dare ogni isomeria
piana, cosi le omotetie piane sono le trasformazioni elementari irriduci-
bili atte a dare coi ribaltamenti ogni similitudine piana.
* 4 - Similitudini fra cerchi. Date nel piano и due circonferenze k
e k', esistono una ed una sola similitudine concorde ed una ed una sola
similitudine discorde che mutano k in k' portando un punto A di k
in un punto A' di' k'. Le infinite similitudini atte a trasformare il cerchio
k nel cerchio complanare k' hanno in comune la caratteristica, che ё
eguale al rapporto dei raggi dei cerchi assegnati; quindi, se questi sono
diseguali, nessuna di tali similitudini pud essere un’isomeria e percid
ammettera un centro, che si dira un centro di similitudine dei due cerchi.
Il luogo dei centri di similitudine di due cerchi complanari non
concentrici ed a raggi diseguali e la circonferenza che ha per dia-
metro il segmento determinate dai punti che ф vidono, internamente
ed esternamente, il segmento dei centri nel rapporto dei raggi.
* ’) Per un’altra costruzione del centro di similitudine, v. E. Veneroni lb), p. 94.
404
Ugo Cassina
Esistono due sole omotetie piane, 1’una diretta e I’altra inversa,
atte a portare un cerchio k in un altro cerchio k'9 non concentrico ed
a raggio diseguale. I loro centri sono i punti Cx e C2 che dividono inter-
namente ed esternamente il segmento dei centri delle date circonfe-
renze nel rapporto dei raggi. Questi punti diconsi i centri di omotetia
dei due cerchi k e k'. Il teorema precedente pud percid enunciarsi cosi :
Il luogo dei centri di similitudine, di due cerchi complanari non con-
centric! ed a raggi diseguali, e la circonferenza che ha per diametro il
segmento determinate dai loro centri di omotetia54).
Due cerchi hanno al piu quattro tangenti comuni, intersecantisi
a eoppie nei due centri di omotetia, per mezzo dei quali si possono
percid facilmente costruire dette tangenti65).
Tre cerchi complanari a centri distinti ed a raggi diseguali hanno
sempre a due a due un centro di omotetia diretta ed un centro di* omo-
tetia inversa. Se i centri dei tre cerchi assegnati non sono collineari,
questi sei centri di omotetia sono i vertici di un quadrilatero completo,
il quale ha per trilatero diagonale il triangolo dei centri dei tre cerchi
assegnati. I tre centri di omotetia diretta appartengono ad una retta
che dicesi asse di omotetia diretta ; gli altri tre lati del quadrilatero con-
M) Cfr. J. Steiner, J.reine ang. Math., 1 (1826), p. 161 e p. 252; Werke, 1, Berlin
1881, p. 17. Cfr. I’art. XXVII di questa Encicl. (B. Colombo, Sistemi lineari di cerchi
e di sfere), § 9.
M) A. L. Crelle, Lehrbuch der Elemente der Geometric, 1, Berlin 1826, Anhang,
p. 504.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
405
tengono ciascuno due centri di omotetia inversa ed un centro di omo-
tetia diretta e diconsi assi di omotetia inversa (v. fig. 12). Se invece i
centri dei tre cerchi assegnati appartengono ad una retta, a questa retta
appartengono i sei centri di omotetia. Se poi i tre cerchi sono concen-
trici, i sei centri di omotetia coincidono col centro comune dei tre
cerchiM).
M. Chasles ha esteso alle coniche omotetiche le proprieti vale-
voli per i cerchi omotetici. Ci limitiamo a segnalare la seguente 67) :
Se due coniche sono omotetiche e per 1’uno о per 1’altro dei loro
centri di omotetia si conduce una secante, le tangenti alle due curve
nei punti non omologhi in cui esse sono tagliate dalla secante concor-
rono sopra una retta fissa (detta asse di sintosi™) delle due curve).
Per le applicazioni delle similitudini alia risoluzione dei problemi
geometrici di Apollonio, di Castiglione, di Malfatti, ecc. relativi
ai cerchi, e per le applicazioni varie del metodo delle similitudini, ri-
mandiamo alle memorie original! od ai trattati special!59).
VIII. — Affinita.
29. Affinita omologiche. — *1 - Dicesi affinita omologica 6 °) (piana)
ogni trasformazione biunivoca del piano и in se, che ha uniti tutti e soli
i punti di una retta — asse dell’affinita omologica —, che trasforma
punti collineari in punti collineari, ed inoltre tale che punti corrispon-
denti distinti siano sempre congiunti da rette parallele fra loro (o coin-
cident!) e che rette corrispondenti distinte siano sempre incidenti sul-
1’asse о parallele all’asse61).
La direzione comune, alle rette congiungenti punti omologhi in
una stessa affinita omologica £), si dira direzione di © ; se essa e orto-
gonale alia direzione dell’asse, 1’affinita omolpgica dicesi ortogonale ; se
coincide con la direzione dell’asse, I’affinita omologica dicesi Speciale. * ••)
и) G. Monge, Geometric descriptive, Paris 1799, p. 53 ; ed. B. Brisson, Bruxelles
1839, p. 89. Queste propriety sono poi riportate da M. Chasles nella sua Geometrie
superieure, (Is ed., Paris 1852), 2a ed.. Paris 1880, p. 496.
57) M. Chasles, Ann. math, pures appl., 18 (1828), p. 310. Delle propriety delle
coniche congruenti о simili si era perd gi& occupato Apollonio (3° sec. a. C.) nel libro
VI delle sue Coniche', v. Les coniques d’Apollonius de Perge, ed. P. Ver Eecke, Bruges
1924, p. 479.
M) Dal greco: odv = con e ктыок; = caduta.
••) Notizie storiche e bibliografiche trovansi in M. Zacharias, Elementar-Geo-
metrie, Encykl. d. math. Wiss., Ill AB 9, p. 876 e seg.; in M. Simon e); in J. Tropfke,
Geschichte der Elementar-Mathematik, 4, 2a ed., Berlin 1923, in J. Sommer, Elementare
Geom. v. Standp. d. neuer. Analysis aus, Encykl. d. math. Wiss., Ill AB 8, p. 771 e
seg.; v. anche Fart. XXVII di questa Encicl. M), § 10, e Fart. XXXV della stessa 14), § 28.
eo) L’aflinitA omologica che trasforma un’ellisse in un cerchio (cerchio princi-
pale) era nota ad Archimede (3° sec. a. C.): Archimedis Opera omnia cum commentariis
Eutocii, editore J. К Heiberg, 1, 2a ed., Lipsiae 1910; Kept xcovoecSecov xai otpatpoei-
Secov «De conoidibus et sphaeroidibus p. 277; Les oeuvres complbtes d* Avchimbde,
par P. Ver Eecke, Paris et Bruxelles, 1921; «Der concedes et des spheroides », p. 152.
41) La definizione ё sovrabbondante.
406
UGO Cassina
Se non si dira esplicitamente il contrario, 1’affiniti omologica verra
riguardata come non Speciale.
Ogni ribaltamento ё un’affinita omologica ortogonale.
Un’affinita omologica £) ё individuate dall’asse x e da una coppia
di punti distinti corrispondenti A e A'. Invero, se В ё un punto qua-
lunque fuori della retta A A', il suo corrispondente B' in О si troyera
sulla parallela condotta per В alia retta AA’; inoltre se la retta А В ё
parallela ad x, tale sari anche la A’ B' ; se invece la A В taglia x nel
punto M, anche la retta A’ B' passera per M, e questa circostanza per-
mettera di costruire senz’altro il punto B', Se poi si vuole trovare il
corrispondente C' di un punto C della retta AA', ci si varra della coppia
di punti B\B’ gia costruita.
Un’affinita omologica ammette infinite rette unite : Vasse e tutte
le rette aventi come direzione quella dell’afiiniti omologica assegnata.
Se A\A’ e B\B’ sono due coppie di punti distinti e corrispon-
denti in £), ed Ao e Bo sono i punti di intersezione dell’asse di £) ri-
spettivamente con le rette AA' e В В', i rapporti semplici (A' A Ло),
(В' В BQ) sono eguali. Al rapporto semplice costante (A' A Ao) =
= A'Aq/A Ло, si di il nome di caratteristica dell’affinita omologica.
Essa ё sempre diversa da 0 e da 1. Le affinity omologiche a caratteri-
stica positiva sono trasformazioni concordi; quelle a caratteristica ne-
gativa sono discordi.
Un’affiniti omologica ё individuata da un punto dell’asse e da due
coppie di punti distinti- corrispondenti (situati su rette parallele). E-
siste una ed una sola affinity omologica che porta il punto A nel punto
A' (diverso da Л) e che trasforma due rette distinte uscenti da A in
due rette distinte uscenti da Л' (e non parallele alle loro corrispondenti).
Se un’affinita omologica ё individuata dall’asse e da una coppia
di punti distinti corrispondenti, essa ё concorde о discorde secondo che
i punti corrispondenti assegnati sono situati о non dalla stessa parte ri-
spetto all’asse. Ogni affinity omologica speciale ё una trasformazione
concorde.
L’inversa di un’affinita omologica ё un’affiniti omologica avente
lo stesso asse, la stessa direzione, e caratteristica reciproca di quella
della trasformazione primitiva.
• 2 - Simmetrie oblique. Un’affinita omologica di caratteristica — 1
dicesi una simmetria obliqua (piana). Essa ё* un’omologia affine armonica.
In essa ogni coppia di punti corrispondenti distinti ha come punto
medio 1’intersezione dell’asse con la loro congiungente. Ogni simmetria
obliqua ё una trasformazione involutoria. Il prodotto di due simmetrie
oblique coassiali ё un’affinita omologica speciale, coassiale coi fattori.
Viceversa : Ogni affinita omologica speciale ё riducibile (in infiniti modi)
al prodotto di due simmetrie oblique coassiali con I’affiniti omologica
assegnata.
Il prodotto di due simmetrie oblique, ad assi concorrenti e ad egual
direzione, ё un’affinita omologica speciale avente direzione comune alle
XXVIИ. - Trasformazioni geometriche elementari
407
simmetrie fattori. E viceversa : Ogni affinita omologica speciale e ri-
ducibile (in infiniti modi) al prodotto di due simmetrie oblique ad. assi
concorrenti e ad egual direzione.
Il prodotto di due affinita omologiche coassiali e di eguale dire-
zione e commutabile, ed e un’affinita omologica ad asse e direzione
eguali a quelli delle date, e che ha come caratteristica il prodotto delle
caratteristiche delle trasformazioni fattori. Il prodotto (non commu-
tabile) di due affinita omologiche ad assi paralleli, ad eguali direzioni
ed a caratteristiche reciproche, e una traslazione nella direzione comune
alle due trasformazioni fattor;i ; invece il prodotto di due affinita omo-
logiche ad assi paralleli, direzioni eguali ed a caratteristiche non red-
proche, e un’affinita omologica avente la stessa direzione delle trasfor-
mazioni assegnate, ed asse parallelo. In particolare : Il prodotto di
due simmetrie oblique ad assi paralleli e di eguali direzioni e una tras-
lazione nella direzione delle trasformazioni fattori. Viceversa : Ogni
traslazione e riducibile (in infiniti modi) al prodotto di due simmetrie
oblique ad assi paralleli ed a direzioni eguali a quella della traslazione
assegnata.
Il prodotto di un’affinita omologica generica (non speciale о spe-
ciale) per una traslazione parallela alia direzione e un’affinita omologica
avente direzione eguale ed asse parallelo alia direzione ed all’asse dell’affi-
nita assegnata. Nel caso dell’affinita speciale, il prodotto e commutabile.
30. Affinita centrali. — 1 - Si chiama affinita centrale62) (piana)
una trasformazione biunivoca, del piano и in se, che muta punti
collineari in punti collineari (subordinando fra le rette corrispondenti
una similitudine) e che ha uno ed un solo punto unito : il centro della
trasformazione.
Un’affinita centrale dicesi iperbolica, parabolica, od ellittica, secondo
che ammette due (e due sole), una (ed una sola) о nessuna retta unita.
Le rette unite dell’affinita centrale diconsi assi. Ogni affinita centrale
con infinite rette unite e un’omotetia.
Un’affinita centrale e individuata dal centro О e da due coppie
di punti corrispondenti distinti A;A' e B;B' tali che О AB ed OA'B'
non siano collineari. Invero, (v. fig. 13) preso ad arbitrio il punto P
e dette PY e P2 le proiezioni di P, parallele rispettivamente ad О В
ed О A, su О A ed OB, e costruiti i punti e P' 2 sulle rette О A'
e OB' tali che, in valore assoluto e segno
OPJOA = OP'JO A' , OP JOB = OP'JOB' , •*)
•*) Il nome di affinita ed il primo studio delle affinity generiche (centrali) ё do-
vuto a L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, la ed., Lausanne 1748, 2,
Cap. XVIII, che studia particolarmente quelle che qui son dette affinita centrali iper-
boliche. Lo studio delle .affinity venne poi ripreso da A. F. Mobius14), § 144 e seg.,
Werke, 1, p. 177, il quale le definisce mediante il Calcolo baricentrico. Perd molte delle
proprieta enunciate in questo capitolo sono forse esposte per la prima volta in U. Cas-
SINA, Rend. 1st. Lomb., (2) 66 (1933), p. 1105.
408
Ugo Cassina
il punto P'9 corrispondente di P nella trasformazione desiderata, e il
punto di intersezione delle rette condotte per P\ e P'2 parallele ri-
spettivamente ad OB' e О А'вз).
Per costruire la trasformazione I, .cosi definita, possiamo proce-
dere nel seguente modo : sia SR 1’affiniti omologica di asse О В che
porta A in A' ed © 1’affinita omologica di asse О A' che porta В in B';
allora si ha : 2 = © SR, cioe :
Ogni affinita (piana) centrale e eguale al prodotto di due affinita
omologiche ad assi incident!.
Ogni affinita centrale (piana) ё riducibile anche al prodotto di
una similitudine per un’affiniti omologica. Il prodotto di una trasla-
zione per un’affinita centrale e sempre un’affiniti centrale.
Fig. 13.
2 - Affinita iperboliche e dilatazioni. Un’affinita centrale iperbolica
e individuata dal centro, dagli assi e da una coppia di punti corrispon-
denti fuori degli assi ; e risulta concorde о discorde secondo che due
punti (distinti) corrispondenti, e non situati sugli assi, appartengono
о no ad una stessa delle due regioni angolari individuate da codesti
assi (fig. 14).
Siano О il centro, x ed у gli assi e P\P' una coppia generica
di punti corrispondenti in un’affinita iperbolica ®, e si indichino
con Px e P'x le proiezioni, parallele ad j, di P e P' su x ; con Py e
P'y le proiezioni, parallele ad x, di P e P' su у ; e con e le omo-
tetie (rettilinee) di centro О ed operanti rispettivamente su x e su у e
portanti Px in P* x e Py in P' y. Allora, per trovare il corrispondente in ® di
un qualunque punto M del piano w, basta costruire i punti Mx e My9
rispettivamente intersezioni degli assi x ed у con le parallele ad у ed x
condotte per M; poi costruire i punti M' x e M'y rispettivamente tras-
®3) Cfr. A. F. Mobius14), § 145; Werke, 1, p. 177.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
409
formati di Mx e di My nelle omotetie e ; inline costruire il punto
M' intersezione delle rette parallele ad у ed x condotte rispettivamente
per M’x e M'v ; invero M' = © M.
In un’affinita iperbolica i * fasci impropri di rette parallel! agli
assi sono mutati in se. Le caratteristiche delle omotetie subordinate
da un’affiniti iperbolica sui suoi assi si dicono le caratteristiche princi-
pal! della trasformazione. Nel caso di una trasformazione concorde,
esse sono dello stesso segno ; nel caso di una trasformazione discorde,
sono di segno opposto ; e viceversa.
L’inversa di un’affinita iperbolica e un’affinita iperbolica che ha
lo stesso centro, gli stessi assi e caratteristiche principali reciproche di
quelle della trasformazione primitiva.
Ogni affinita iperbolica e eguale al prodotto di due affinita omo-
logiche, di cui ciascuna ha come asse un’asse della trasformazione e come
direzione la direzione del rimanente asse. Viceversa :
Il prodotto di due affinita omologiche non speciali (ad assi inci-
denti), in cui l’asse dell’una abbia come direzione la direzione dell’altro
e le caratteristiche siano diseguali, e sempre un’affinita iperbolica. Se
invece le trasformazioni fattori hanno caratteristiche eguali, il loro pro-
dotto e omotetia, e se infine hanno caratteristiche eguali in valore
assoluto ma di segno opposto, il loro prodotto e una trasformazione par-
ticolare a cui daremo il nome di antiomotetia obliqua (invero coincide
con 1’antiomotetia, gia incontrata nello studio delle similitudini § 27,
410
Ugo Cassina
quando gli assi delle affinita omologiche assegnate siano fra loro orto-
gonali).
Una antiomotetia obliqua si pud anche definire come prodotto com-
mutabile di una simmetria obliqua .per un’omotetia avente il centro
sull’asse della simmetria.
Un’affinita iperbolica con assi ortogonali si dira una dilatazione,
*3 - Affinita paraboliche. Un’affinita (centrale) parabolica e in-
dividuata dal centro, dall’asse, da una coppia di punti corrispondenti
distinti appartenenti all’asse, e da una coppia di rette corrispondenti
distinte uscenti dal centro.
Precisamente : sia (fig. 15) О il centro, x 1’asse, A e A' i punti cor-
rispondenti (distinti) su x; ed у ,y' le due rette corrispondenti (distinte)
uscenti da O. Si consideri 1’omotetia £) di centro О che porta A in Л',
e 1’affinita omologica speciale 51 avente come asse la retta x e che porta
у in y'. Allora 1’affinita parabolica desiderata e eguale al prodotto com-
mutabile di D per 51.
•4 - Affinita eflittiche. Una rotomotetia propria e un’affinita (cen-
trale) ellittica. Esiste una ed una sola affinity ellittica di centro О di
qui e data una coppia A'yA' di punti corrispondenti distinti non alli-
neati con О e che subordina nel fascio di rette di centro О una rota-
zione ; tale affinita coincide quindi con la rotomotetia di centro О che
porta A in A'.
Esistono affinita ellittiche diverse dalle rotomotetie.
Precisamente : * Un’affinita ellittica e individuata dal centro O,
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
411
da una proiettivita ellittica nel fascio di rette di centro О e da una coppia
di punti corrispondenti distinti.
31. Trasloaffinita. — *1 - Non speciali. Al prodotto commutabile
di un’affinita omologica non speciale per una traslazione non nulla
parallela all’asse dell’affinita omologica si da il nome di trasloaffinita
(non speciale).
Una trasloaffinita e concorde о discorde secondo che e tale 1’affi-
nita omologica fattore. Una trasloaffinita discorde, ottenuta come pro-
dotto di una simmetria obliqua per una traslazione parallela all’asse di
simmetria, si diri antitraslazione obliqua.
Se 5 e una trasloaffinita (non speciale), la decomposizione di
nel prodotto commutabile di un’affiniti omologica per una traslazione
parallela all’asse dell’affinita, e possibile in modo unico.
Essa non ha nessun punto unito, ed ha una sola retta unita detta
asse della trasformazione, la quale non e altro che l’asse dell’affinita
omologica fattore.
Una trasloaffinita (non speciale) e individuata dall’asse, dalla dire-
zione dell’affinita omologica fattore e da una coppia di punti corrispon-
denti non appartenenti all’asse. Essa e pure individuata dall’asse, dalla
traslazione fattore e da una coppia di punti (distinti) corrispondenti
e non situati sull’asse.
Il prodotto di un’affinita omologica non speqiale, preceduto, о
seguito, da una traslazione non parallela alia sua direzione, e una traslo-
affinita (non speciale).
Ogni trasloaffinita (non speciale) e un’antitraslazione obliqua, od
e riducibile al prodotto di un’antitraslazione obliqua per un’affinita
omologica ortogonale. Alla sua volta ogni antitraslazione obliqua e ri-
ducibile al prodotto di tre simmetrie oblique.
•2 - Speciali. Diremo trasloaffimtd speciale il prodotto non com-
mutabile di un’affinita omologica speciale per una traslazione non nulla
ortogonale all’asse dell’affinita.
Siffatta decomposizione di una trasloaffinita speciale e possibile
in modo unico. Una trasloaffinita speciale e una trasformazione concorde,
che non ha nessun punto unito, ne nessuna retta unita. Essa ha invece
una ed una sola direzione unita, alia quale daremo il nome di direzione
della trasformazione.
Il prodotto di un’affinita omologica speciale per una traslazione
qualunque, purche non parallela alia sua direzione, e una trasloaffinita
speciale avente come direzione quella dell’affinita omologica speciale
assegnata.
Cosicche le trasloaffinita — non speciali о speciali — si possono de-
finire anche come il prodotto (in generale non commutabile) di una
affinita omologica, preceduta, о seguita, da una traslazione non nulla e
non parallela alia direzione dell’affinita.
Se @ e una trasloaffinita speciale, l’asse dell’affinita omologica spe-
412
Ugo Cassina
ciale fattore di 6 dicesi retta prindpale di 6. Una trasloaffinita Speciale
e individuata dalla retta principale e da una coppia di punti distinti cor-
rispondenti A\A tali che A A non sia normale ne parallela ad essa.
Esiste una ed una sola trasloaffinita Speciale di cui sia assegnata
una coppia di rette corrispondenti non parallele, ed una coppia di punti
corrispondenti fuori delle rette assegnate. Una trasloaffinita Speciale e
anche individuata da due coppie di punti distinti corrispondenti A; A'
e B;B', purche le rette AB e A'B' non siano parallele.
Ogni trasloaffinita Speciale e riducibile al prodotto di due sim-
metrie oblique ad assi paralleli ; e viceversa : il prodotto di due simme-
trie oblique ad assi paralleli ed a direzioni distinte e una trasloaffinita
Speciale, che ha come direzione quella comune agli assi delle simmetrie
fattori.
32. Prodotti di similitudini e di affinita omologiche. —
Il prodotto di una similitudine Concorde per un’affinita omologica e
un’affinita omologica, od un’affinita centrale, od una trasloaffinita.
Il prodotto di due affinita omologiche e in generale un’affinita
centrale, ed e un’affinita omologica od una trasloaffinita quando e solo
quando le affinita assegnate hanno la stessa direzione о gli assi paralleli.
33. Affinita. — • 1 - Dicesi affinitae2) (piana) una trasformazione
invertibile del piano и in se, che muta punti collineari in punti collineari
(e che subordina fra le rette corrispondenti una similitudine).
Le trasformazioni esaminate nei §§ precedent! (di questa sezione)
sono tutte delle affinita.
Ogni affinita muta rette parallele in rette parallele e4). Le affinita
(piane) formano un gruppo.
Se А В C ed А В' C' sono due triangoli complanari, esiste una
ed una sola affinita che porta A in A', В in B' e C in C". (cfr. § 30 *2).
Sia 5 la traslazione (piana) che porta A in A' (fig. 16) e poniamo
— X В e Cj - I C ; diciamo poi ® 1’affinita centrale (od omologica
od identica) che ha A come punto unito e che porta Br in B' e Cr in
C' ; allora 1’affinita desiderata б e eguale al prodotto Quindi:
Se A = A , В -= В' e С = C' si ha che б e eguale alVidentitd ; se
A = A' si ha che S e un’affinita centrale od omologica (in particolare
una similitudine) secondo che ® e un’affinita centrale od omologica ;
se invece A # A (e quindi J non e identica) allora б e una traslazione
od un’affinita centrale, od una trasloaffinita od una affinita omologica
secondo che ® e Videntitd od un’affinita centrale, oppure e un’affinita
omologica e la direzione di J non e eguale alia direzione di ®, oppure
e un’affinita omologica e la direzione di !E e eguale alia direzione di ©.
La trasformazione 6 pud ottenersi anche in un altro modo (fi-
gura 17) : Sia Br quel punto della semiretta di origine A e passante
per B' tale che il segmento A Bx sia eguale al segmento A B, e sia Сг
•4) A. F. Mobius14), § 148; Werke, 1, p. 182.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
413
il punto del piano и tale che il triangolo A' BA Cr sia eguale al trian-
golo ABC. Sia poi ffi la congruenza (piana) atta a portare A in Л', В
in B± e C in Cr; О V omotetia (piana) di centro A' che porta Bx in B'\
ed 91 1’affinita omologica (piana) di asse A' B' che porta D Cx in C";
allora 1’affinita б e eguale al prodotto 91 £)
Fig- 17-
Ma il prodotto D ® e una similitudine concorde (v. § 28 * 1), quindi:
Ogni affinita piana e riducibile al prodotto di una similitudine concorde
per \ivC affinita omologica.
414
Ugo Cassina
L’affinita ©, individuata dai due triangoli corrispondenti ABC
ed A' B' C',e concorde о discorde secondo che i triangoli ordinati ABC
ed А' В' C sono equiver si о contraver si.
Ogni affinita piana e un’affinita omologica, od un’affinita centrale,
od una trasloaffinita, od una traslazione.
Un’affinita con tre punti uniti non collineari non differisce dalla
identitd ; un’affinita non identica, se ha due punti uniti distinti, ne ha
infiniti, cioe quelli della congiungente i due punti assegnati (ed e una
affinita omologica avente come asse questa retta) ; un’affinita senza punti
uniti e una trasloaffinita od una traslazione, secondo che ammette una
sola о due (e quindi infinite), rette unite.
•2 - L’equazione vettoriale di un’affinita © e del tipo seguente :
(15) ©P = O' + <т(Р—O) ,
ove О ed O' sono punti corrispondenti e a e omografia vettoriale
non degenere (immagine di S65) о relativa ad ©).
Se poi l’affinita © e individuata da due triangoli corrispondenti
О A В e O' A' B', 1’omografia vettoriale a e definita dalle eguaglianze
seguenti :
(16) о (A — O) = A' — O' , <т(В — О) = B' — O'.
Se l’affinita © e centrale, il suo punto unito (centro) С e dato dalla
(17) С = О + (1 — a)-1 (O' — O).
Quindi l’affinita © e centrale quando e soltanto quando 1’omo-
grafia vettoriale corrispondente non e un’omologia vettoriale
Per costruire graficamente il centro C dell’affinita ©, individuata
dai due triangoli corrispondenti О A В ed O' A' B', ci si pud fondare
sulle (15) e (17).
Posto per brevita (fig. 18) :
a=A—О , b=B—О , а'=А'—О' , b'=B'—О' , аг=а—a' , bj=b—b',
1’omografia vettoriale (1 — a)-1 e definita dalle relazioni:
(1—cr)—1 аг = a , (1 — a)-1 bx = b ;
decomposto il vettore O' — О nelle component! li, mb parallele ri- * 66
66) Cfr. M. Pieri, Notes geometriques in C. Burali-Forti e R. Marcolongo,
Transformations lineaires, la ed., Pavia 1912, p. 157; per la teoria delle omografie
vettoriali piane immagini di un’affinita vedi G. Peano, Atti Acc. Torino, 31 (1895),
p. 157.
66) Cioe un’omografia del tipo «1 + H (a , b)», ove a , b sono vettori qualunque.
Cfr. § 67 2.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
415
spettivamente ad ax e bn mediante quarte proporzionali si costruiscono
i vettori I e m tali che :
1,/a^l/a , mj/bj = m b ,
dopo di che il centro C si costruisce in virtu dell’eguaglianza
С = О + I + m .
Se 6 e 1’affinita individuata dai due triangoli corrispondenti О A В
e O' A' B' e si costruiscono i punti Ar e Br definiti dalle eguaglianze
allora se i vettori A — Аг e В — Br non sono collineari, © e centrale ;
se invece i vettori A — Ar e В — Br sono collineari ma non nulli, ©
e un’affinita omologica od una trasloaffinita secondo che O' — О I о
non ё collineare a codesti vettori ; se poi i vettori A — Ar e В — Br sono
entrambi nulli, © e Videntita od una traslazione secondo che O' — О ё
о non ё nullo. Nel caso in cui © sia un’affinita omologica, la sua dire-
zione e quella dei vettori A —Ax e В — B1\ e nel caso in cui © sia
una trasloaffinita, una delle direzioni unite e quella dei vettori A — Ar
e В — Br.
’3 - La ricerca delle direzioni unite dell’affinita © coincide con
'la ricerca delle direzioni unite dell’omografia vettoriale о corrispon-
416
U GO Cassina
dente ad S, quindi, secondo che
(18)
(W I 4I2a ,
si avranno due, una о nessuna direzione unita67). Si avranno poi infi-
nite direzioni unite, quando e soltanto quando, а ё un’omotetia vetto-
riale (e quindi 6 un’omotetia piana od una traslazione).
Se 6 e un’affinita piana, diversa da una similitudine, esistono
sempre due e due sole direzioni ortogonali fra loro che sono trasfor-
mate da 6 in direzioni pure fra loro ortogonali. Esse si dicono direzioni
principal* dell’affinita ; e sono le direzioni unite della dilatazione vet-
toriale «Ксуст», ove a e 1’omografia vettoriale relativa ad S68 * 70).
Ogni affinita piana ё una isomeria, od ё una dilatazione, od ё ri-
ducibile al prodotto di una isomeria preceduta о seguita da una dilata-
zione ee).
Le dilatazioni caratterizzano percid, in certo qual senso, le affinita
piane. Esse si presentano in numerose questioni della pratica ; spe-
cialmente nella teoria dell’elasticita, dalla quale deriva il nome dilata-
zione {pure strain) qui usato. Ed invero ogni deformazione elastica pur a
di una figura continua (piana) ё una dilatazione™).
34. Classificazione analitica delle affinita. — Le equazioni di
un’affinita piana 6, in un sistema di coordinate cartesiane (ortogonali
о no) , sono del tipo seguente :
(19)
x' = ax + by+c,
I y' = axx + ilj + G ,
ove a ,b ,c ,a1,b1 ,cx sono numeri reali sottoposti alia sola condizione
che a br — arb sia diverso da zero.
Le affinita piane formano percid un gruppo oo6, che ha come sot-
togruppo il gruppo oo4 delle similitudini.
In generale le (19) rappresentano un’affinita centrale il cui centro
si trova risolvendo il sistema
(20)
{a—1) x + by +c = §,
/ a1x + (b1—l)y + ci = O.
Le equazioni di un’affinita con infiniti punti uniti non identica
®7) Cfr. C. Burali-Forti e R. Marcolongo, Trasf. lin., •), p. 144, p. 128.
*•) J. W. Gibbs, Vector Analysis (by E. B. Wilson), New York 1901, p. 302;
Cfr. anche M. Pieri “), p. 164; R. Sturm, Die Lehre von den geometrischen Verwandt-
schaften, 2, Leipzig 1908, p. 35 e seg.
••) Cfr. J. W. Gibbs®8), p. 352; G. Peano®8), § 7.
70) R. Marcolongo, Meccanica razionale, 2, 2a ed., Milano 1918, p. 332.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
417
(cioe di affinita omologica) sono :
(21)
x' = ax + by + c ,
\ y' = h (a — 1) x + (h b + 1) у + h c ,
ove a ,b ,c ,h sono numeri reali sottoposti alle condizioni che b, ed
a + h b siano diversi da zero. Le affinita omologiche piane formano
percid un sistema oo4.
Le equazioni di un’affinita priva di punti uniti sono :
(22)
x' = ax + by + c ,
/ у = h (a — 1) x + (hb + 1) у + cx ,
ove a , b , c , h , cr sono numeri reali tali che c e a + hb siano diversi
da zero, ed h diverso da cjc.
Se b Ф 0, le (22) rappresentano una trasloaffinita ; esse formano
percid un sistema oo5.
Se b = 0 ed a = 1, le (22) rappresentano una traslazione (even-
tualmente identica).
Le equazioni di una trasloaffinita speciale sono :
(23)
x' = ax + by + c ,
) у = — (a — I)2 x/b + (2 — a) у + cx,
ove a , b , c , cY sono numeri reali soddisfacenti alle condizioni che b sia
diverso da zero e che cx sia diverso da (1 — a) c/b. Le trasloaffinita
speciali formano dunque un sistema oo4.
Se nelle (23) poniamo c = cr= 0, si* hanno le equazioni delle
affinita speciali omologiche, che formano percid un sistema oo2.
35. Costante di un’affinita ed equivalenze. — In un’affinita
piana e costante il rapporto fra le aree di due figure corrispondenti71 72).
Questo rapporto si chiama la costante dell’affinita, e si assume positivo
о negativo secondo che 1’affinita e concorde о discorde.
Esso non e altro che 1’invariante secondo (o determinante) della
omografia vettoriale immagine della nostra affinita ; ed e pure eguale al
determinante A dei coefficient di x ,y delle equazioni della trasforma-
zione riferita ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali.
Il prodotto di due affinita e un’affinita, che ha come costante il
prodotto delle costanti delle trasformazioni fattori.
Dicesi equivalenza11) ogni affinita che conserva le aree delle figure
corrispondenti. Un’equivalenza e individuata da due triangoli corri-
spondenti equivalenti (secondo la comune accezione).
T1) A. F. Mobius14), § 149; Werke, 1, p. 183.
72) A. F. Mobius14), § 161 e seg.; Werke, 1, p. 194, che usa il nome Gleichheit.
418
Ugo Cassina
Le equivalenze possono essere concordi о discordi, e formano un
sottognippo oo5 del gruppo totale delle affinita. Il gruppo delle equivalenze
comprende alia sua volta, come sottognippo, il gruppo delle isomerie.
Un’affinita trasforma parallelogrammi in parallelogrammi, iper-
boli in iperboli, parabole in parabole, cerchi od ellissi in cerchi od el-
lissi 73). Un’affinita che non sia una similitudine trasforma un cerchio
in un’ellisse. Ciod le similitudini sono le uniche affinita che trasformano
cerchi in cerchi ed ellissi in ellissi.
Concludendo, ogni affinita piana od d un’affinita omologica di-
scorde od d riducibile al prodotto di due о di tre affinita omologiche
discordi. Cosicche le affinita omologiche discordi appaiono come le tras-
formazioni irriducibili atte a generare tutto il gruppo delle affinita.
Non esistono affinita omologiche discordi che siano similitudini
e non isomerie, mentre invece i ribaltamenti sono affinita omologiche
discordi e in pari tempo isomerie; cid spiega come, mediante prodotti di
ribaltamenti, sia possibile ottenere ogni isomeria, e come invece per otte-
nere le similitudini occorra considerare i.ribaltamenti.e le omotetie.
Ogni simmetria obliqua ё in pari tempo un’affinita omologica di-
scorde ed una equivalenza. Quindi le simmetrie (oblique о no) formano
le trasformazioni irriducibili del gruppo delle equivalenze ; cioe ogni
equivalenza ё una simmetria od ё riducibile al prodotto di un numero
finito di simmetrie 74 75 *).
*36. Le affinita dedotte dalle collineazionL — Ogni collinea-
zione™) del piano proprio и* in se, che trasforma la retta impropria
di u* in sd, subordina sul piano ordinario и sostegno di u* un’affinita,
percid a tale collineazione si di ancora il nome di affinita.
Per distinguere, se sari il caso, la collineazione % dalla trasforma-
zione subordinata da essa sul piano u, daremo alia % il nome di
affinita proiettiva e, per contro, alia quello di affinita elementare.
Ogni similitudine elementare, del piano ordinario и in sd, pub
pensarsi subordinata da un’affinita proiettiva di и* in sd che tenga
fermo Гassoluto di и*, ciod che trasformi la coppia di punti ciclici™)
in sd stessa (o, il che fa Io stesso, tale da mutare V involuzione assoluta
73) L. Euler “), §§ 445 e 446.
7<) Della teoria delle affinity (piane о spaziali), oltre agli autori gi& citati nelle
note di questo capitolo, si sono occupati: M. Chasles, Aperfu historique sur Гorigine
et le developpement des methodes en geometrie, la ed., Paris 1837, 2a ed., Paris 1875 (Мё~
moire de geometric, 2s parte, § 23); F. Seydewitz, Arch. Math. Phys., (1) 8 (1846), p. la
eseg.; J. Kortewey, Z. Math. Phys., 21 (1876), p. 31 e seg.
75) Il nome di collineazione ed il primo studio di esse ё dovuto a A. F. Mobius,
v.14); M. Chasles fa uso del nome di omografia 74). Per notizie storiche e biblio-
grafiche sulle collineazioni v: A. Schoenflies, Projektive Geometrie, Encykl. d. math.
Wiss., Ill AB ‘5, p. 389. V. anche Tart. XXXIV di questa Encicl. 8), § 29, 54; e
Part. XXXV della stessa14), §§ 20, 30.
7e) La nozione dei punti ciclici, come punti immaginari all’infinito comuni a tutti
i cerchi di un piano, si deve a J..V. Poncelet 7), 1, p. 48; Cfr. U. Cassina, Eserc. mat.
del Circ. mat. di Catania, 3 (1923), p. 32.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
419
in se); e la similitudine elementare sara concorde о discorde secondo
che i punti ciclici sono uniti oppure scambiati 1’uno nell’altro. E vi-
ceversa.
Quindi ogni proprieta riguardante le figure simili (cioe di geo-
metria elementare secondo F. Klein) pud esprimersi sotto forma pro-
iettiva facendo uso dell’assoluto del piano.
Ogni simmetria obliqua pud pensarsi subordinata sul piano ordi-
nario u, sostegno di u*, da un* omologia t*) armonica avente centro im-
proprio ed asse proprio. Quindi ogni ribaltamento (o simmetria orto-
gonale) potri pensarsi subordinate da un’omologia armonica con centra
improprio e asse proprio, ed in cui il centro e il punto improprio del-
1’asse sono corrispondenti nell’involuzione assoluta.
Poiche ogni isomeria elementare e riducibile al prodotto di ribal-
tamenti, possiamo concludere che ogni proprieta metrica (cioe in cui
si fa uso dei concetti di eguaglianza di segmenti о di angoli) pud espri-
mersi sotto forma proiettiva facendo uso dell’assoluto del piano 77 78 *).
37. Osservazione. — Si pud svolgere in modo del tutto analogo
a quello seguito nei §§ precedent! di questa sezione la teoria delle tras-
formazioni lineari fra piani distinti. Solo che per i piani distinti non ha
piu senso parlare di elementi uniti, ne di trasformazioni concordi о
discordi.
C) TRASFORMAZIONI LINEARI NELLA STELLA
IX. — Isomerie nella Stella di raggi о di semipiani.
38. La nozione di verso per le figure spaziali. — Suppor-
remo note le nozioni di verso per i diedri, triedri, e tetraedri ordinati19).
Il triedro ordinato a b c si dira positivo se e possibile disporre 1’in-
dice, il medio ed il pollice della mano sinistra rispettivamente secondo.
i raggi a , b , c ; negativo nel caso in cui cid non sia possibile 80). Due
triedri ordinati, se equiversi, sono entrambi positivi od entrambi nega-
tivi ; se contraversi, sono 1’uno positivo e 1’altro negativo.
Il tetraedro ordinato А В C D si dira positivo о negativo secondo
77) Il nome omologia, ed il primo studio di esse, ё dovuto a J. V. Poncelet 78)«
7e) A. Cayley, Phil. Trans., 149 (1859), p. 90 (The collect, math, papers. 2-
Cambridge 1889, p. 592); Cfr. anche F. Klein, Math. Ann., 4 (1871), p. 573; Ges»
math. Abh., 1, Berlin 1921, p. 244 e 254.
7e) Per uno studio razionale delle nozioni di verso vedi: G. Scorza13), p. 39
e p. 66; E. Veneroni15), p. 18.
8 °) Non vi ё accordo fra gli autori nello scegliere il triedro positivo. Quello qui
adottato ё stato proposto da W. R. Hamilton ed adottato da C. Burali-Forti, R.
Marcolongo, G. Castelnuovo, T. Boggio, ecc.; ed ё contrario a quello scelto da
J. C. Maxwell, J. W. Gibbs, T. Levi-Civita, ecc.
420
Ugo Cassina
che ё tale il triedro ordinato i cui spigoli sticcessivi sono i raggi di ori-
gine A passanti rispettivamente per В . C e D.
39. Simmetrie assiali. RotarionL — '1 - Diremo simmetria as-
siale (o semigiro) di asse m, in una stella di raggi di centro О (ove m e
una retta passante per O), la trasformazione della stella in зё che ad
ogni raggio a fa corrispondere il suo simmetrico (secondo la comune
accezione) a' rispetto ad m.
Una simmetria assiale in una stella di raggi ё individuata dal centro
della stella e dall’asse di simmetria ; oppure da una coppia di raggi
corrispondenti.
In una simmetria assiale vi sono due raggi uniti : i due raggi appar-
tenenti all’asse di simmetria, ed infiniti raggi contraversi che si scam-
biano fra loro : precisamente i raggi — complementari I’uno dell’altro
— appartenenti al fascio avente come piano il piano della stella perpen-
dicolare all’asse m. Sono poi uniti : tutte le rette della stella perpendi-
colari all’asse, tutti i piani passanti per m, e il piano della stella orto-
gonale a m.
Siano m una retta della stella di centro O, ed a , a' due raggi della
stella, diversi da m, egualmente inclinati su m ; dicesi rotazione di
asse m, che porta a in a', la trasformazione della stella in зё che porta
a in a', e che ad ogni altro raggio b fa corrispondere quel raggio b'
tale che il diedro convesso ordinato mb.mb1 sia eguale al diedro con-
vesso ordinato ma.ma' e che I’angolo a b sia eguale all’angolo a'V.
L’ampiezza* del diedro convesso ma.ma' dicesi V ampiezza della
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
421
rotazione, ed il verso del diedro convesso ordinato ma.ma' dicesi il
verso della rotazione. L’ampiezza si misura in radianti-diedro (diedro
avente come sezione normale un radiante) e percid sari rappresentata
da un numero dell’intervallo 0H 2 я.
L’identita nella stella di centro О si puo considerare come una
rotazione di ampiezza nulla ad asse arbitrario ; e la simmetria assiale
di asse m, come una rotazione attorno ad m di ampiezza n. Da cid la
origine del nome di semigiro adottato anche per questa trasformazione.
Ogni rotazione e individuata dall’asse, dall’ampiezza e dal verso.
In una rotazione propria (cioe non riducibile all’identita о a un semi-
giro) vi sono due e due soli raggi* uniti, che sono quelli appartenenti
all’asse di rotazione ; e vi e un piano unito : il piano della stella perpen-
dicolare all’asse di rotazione.
•2 - Per le rotazioni di una stella di raggi valgono*, mutatis mu-
tandis, le proprieta gia viste per le rotazioni in un fascio di raggi (v. § 11) ;
in particolare si pud introdurre la nozione di moto rotatorio equivalente
— per quel che riguarda la posizione iniziale e finale — ad. una data
rotazione, e trovare che ogni rotazione 91, della stella di centro О in sd,
avente come asse la tetta z, individua due moti rotatori — uno positivo
e Faltro negativo — attorno alia retta orientata z' di sostegno z (figg. 19,
20) ; ed anche due moti rotatori — uno positivo e 1’altro negativo — at-
tomo alia retta orientata z" (v. figg. 21, 22) di sostegno z e contraversa
a z', equivalenti — per quel che riguarda la posizione iniziale e finale
— alia rotazione 91.
Il moto rotatorio di radianti attorno alia retta orientata z' equi-
422
Ugo Cassina
vale (nel senso suddetto) al moto rotatorio di — <p radianti attorno alia
retta orientata z"
40. Opposizioni. Simmetrie planari. — Diremo opposizione,
nella Stella di raggi di centro O, la trasformazione della Stella О in se,
che ad ogni raggio a fa corrispondere il raggio complementare a'. La
opposizione e una trasformazione involutoria priva di raggi uniti.
Se a e un piano della Stella di centro O, diremo simmetria di
piano a la trasformazione della Stella О in se, che ad ogni raggio a
fa corrispondere il suo simmetrico (secondo la comune accezione) ri-
spetto ad a.
In questa corrispondenza sono uniti : tutti e soli i raggi del fascio
avente come piano il piano di simmetria, e le rette ed i piani della Stella
perpendicolari ad a.
Una simmetria planare in una Stella e individuata dal centro della
Stella e dal piano di simmetria ; oppure da una coppia di raggi corri-
spondenti.
41. Antirotazioni. — Fra i prodotti delle trasformazioni stellari
considerate nei §§ precedent!, merita una particolare menzione Vanti-
rotazione, che pud definirsi come il prodotto commutabile di una rota-
zione per 1’opposizione. Se la rotazione e identica, come prodotto si ha
Гopposizione ; se invece e un semigiro, come prodotto si ha una simme-
tria planare ; e viceversa.
Ogni antirotazione propria (cioe non riducibile all’opposizione о
simmetria planare) e decomponibile in una sola maniera nel prodotto
commutabile di una rotazione per 1’opposizione (operanti nella stessa
Stella), che percid si diranno i fattori della trasformazione.
L’asse e 1’ampiezza della rotazione fattore sono 1’аюе e V ampiezza
dell’antirotazione.
Un’antirotazione propria non ha alcun raggio unito, ma ha due (e
due soli) raggi contraversi che si scambiano 1’uno nell’altro : sono i due
raggi, complementari 1’uno dell’altro, dell’asse dell’antirotazione.
Un’antirotazione, nella Stella di centro О, e individuata dall’asse
e da una coppia di raggi corrispondenti non appartenenti all’asse e
formanti angoli supplementari con ognuno dei due raggi della Stella
situati su l’asse della trasformazione.
42. Isomerie. — Dicesi isomeria in una Stella О di raggi ogni tras-
formazione biunivoca S della Stella in se, tale che, detti a , b due raggi
della Stella ed a', V i loro trasformati mediante S, sempre avvenga che
1’ampiezza dell’angolo convesso a b sia eguale all’ampiezza dell’angolo
convesso a' b’.
Le isomerie che mutano una Stella di raggi in se formano un gruppo.
Le isomerie concordi che mutano una Stella di raggi in se sono le rota-
zioni (comprese fra queste 1’identita ed i semigiri); e le isomerie di-
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
423
scordi sono le antirotaziom (comprese fra queste 1’opposizione e le sim-
metrie planari).
Un’isomeria in una Stella avente tre , raggi uniti non complanari
non differisce dzWidentitd. Un’isomeria concorde non identica ha due
(e due soli) raggi uniti, complementari I’uno dell’altro ; ed un’isomeria
discorde о non ha nessun raggio oppure ha infiniti raggi uniti formanti
un fascio. E viceversa 81).
Ogni isomeria in una Stella di raggi muta fasci di raggi in fasci
di raggi, fasci di semipiani in fasci di semipiani (intesi come classi di
raggi), e subordina fra i fasci corrispondenti un’isomeria. Un’isomeria
in una Stella e individuata da due triedri corrispondenti, ed ё concorde
о discorde secondo che i triedri assegnati sono equiversi о Contraversi.
Dati in una Stella di centro О due raggi distinti e noli opposti a
e 6, e due altri raggi non opposti e distinti a' e b' tali che gli angoli con-
vessi a b ed а' b' abbiano eguali ampiezze, esistono, nella Stella di centro
O, una ed una sola isomeria concorde ed una ed una sola isomeria di-
scorde atte a trasformare a in a' e b in b'.
Se S e una qualunque isomeria nella Stella di centro O, esiste in
О un fascio di semipiani mutato in se, su cui S subordina una con-
gruenza ; e, secondo che 1’isomeria S e concorde о discorde, l’asse di
questo fascio di semipiani e composto di raggi uniti о di trasforma ti
I’uno nell’altro.
Un’isomeria in una Stella di raggi e involutoria quando e solo quando
e 1’opposizione, od una simmetria assiale., od una simmetria planare.
43. Isomerie fra stelle distinte. — Siano О e O' i centri di
due stelle distinte. Diremo isomeria tra le stelle О e O' ogni trasforma-
zione biunivoca S della Stella О nella Stella O' tale che, detti a , b due
raggi qualunque della Stella О ed a', b' i loro trasformati mediante Of,
1’ampiezza dell’angolo convesso a b sia eguale all’ampiezza dell’angolo
convesso а' Ь'.
Traslazione e 1’isomeria, tra le stelle di raggi О e O', nella quale
due raggi corrispondenti sono sempre equiversi; ed opposizione e 1’iso-
meria in cui due raggi corrispondenti sono sempre contraversi. Nella
opposizione e nella traslazione fra stelle di raggi distinte esistono due
coppie di raggi corrispondenti appartenenti alia stessa retta : la con-
giungente i centri, che e unita nella trasformazione.
Sia S la traslazione che porta la Stella di raggi О nella Stella di
raggi O', e sia S una qualunque isomeria fra le stelle О e O'. La tras-
formazione S S-1, della Stella O' in se, e un’isomeria funzione di 3 che
diremo immagine di S. Secondo che questa immagine e concorde о
discorde, tale e anche la isomeria 3.
Le considerazioni finora svolte sono perfettamente analoghe a
quelle fatte a proposito delle isomerie fra fasci di raggi complanari di-
81) G. Scorza, che non fa uso in principio della nozione di verso, fonda su questa
propriety la distinzione delle isomerie in concordi e discordi 13), p. 50.
424
Ugo Cassina
stinti (v. § 14) ; quindi da esse possono dedursi conseguenze simili a
quelle che gia furono ottenute in detto §. In particolare si potra fare
una classificazione delle isomerie fra stelle di raggi distinte, mettendo
in una stessa categoria quelle che hanno come immagine rispettivamente :
Fidentita, Fopposizione, od una rotazione, od una simmetria, ecc. ®).
X. — Trasformazioni nella stella di rette о di piani.
44. Polarita ortogonale in una stella. — Si consideri una
stella di rette e piani di centro O. Si chiama polarita ortogonale nella
stella О la trasformazione che ad ogni retta della stella fa corrispondere
il piano della stella perpendicolare ad essa. Tale corrispondenza e in-
volutofia e *, dal punto di vista proiettivo, e una polarita uni forme.
45. Isomerie in una stella di rette о piani. — Diremo iso-
meria nella stella di centro О ogni trasformazione biunivoca della stella
in se, nella quale le ampiezze degli angoli di due rette qualunque (di O}
siano eguali alle ampiezze degli angoli delle rette trasformate. Per’le
isomerie in una stella di rette pud svolgersi una teoria analoga a quella
fatta per le isomerie in una stella di raggi, che percid non ripe teremo.
D) TRASFORMAZIONI LINEARI SPAZIALI
XL — Congruenze.
46. Traslazioni. — Le traslazioni 9) spaziali si definiscono come
quelle rettilinee e quelle piane, e per esse valgono proprieta analoghe a
quelle gia stabilite nei §§ precedent!.
47. Semigiri. Rotazioni. — *1 - Semigiro. Se z e una retta, dicesi
semigiro 82 83) attorno a z (o simmetria assiale di asse z) la trasformazione
che ad ogni punto di z fa corrispondere se stesso e ad ogni punto P>
fuori dell’asse z, fa corrispondere il punto P' del piano P z tale che il
segmento P P' sia perpendicolare a z e dimezzato da z.
Un semigiro e una trasformazione involutoria che ha come punti
uniti tutti e soli i punti dell’asse, come rette unite I’asse e tutte le rette
incident! ed ortogonali all’asse, e come piani uniti tutti i piani ortogonali
all’asse e tutti i piani passanti per I’asse.
Un semigiro e individuate dall’asse, oppure da due coppie di punti
corrispondenti : A e A', В e B' (purche complanari e tali che A — В
82) Per questo capitolo cfr. G. Scorza 13), cap. Ill, p. 41; E. Veneroni 18)>
p. 81 e seg.
83) Nome adottato da M. Pieri10),, p. 360; corrisponde all’/raZ&e Umdrehung
od Umwendung tedesche.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
425
sia diverso da A' — B'). Per indicare il semigiro di asse z faremo uso
della notazione « Sym z » 84).
•2 - Rotazioni. Siano z una retta ed A e A' due punti distinti
equidistanti da z e posti su un piano normale a z ; rotazione attorno
all’asse z, che porta A in A’, e la trasformazione SR che ad ogni punto
di z fa corrispondere se stesso, che ad A fa corrispondere Л', e che ad
ogni punto B, non appartenente a z e distinto da Л, fa corrispondere
quel punto B', del piano per В ortogonale a z, che dista da z quanto В
e tale che il diedro convesso ordinato zB .zB’ sia eguale al diedro con-
vesso ordinato zA.zA'.
Ampiezza e verso della rotazione sono 1’ampiezza e il verso del
diedro convesso ordinato zA.zA'.
Uidentitd si pup considerare come una rotazione di ampiezza
nulla ed asse arbitrario ; ed una simmetria assiale come una rotazione
attorno all’asse di ampiezza л (di qui il nome di semigiro adottato
anche per la trasformazione).
•3 - Se si fissa un verso positivo sull’asse z, le rotazioni attorno
a z si distinguono in positive e negative, secondo che il verso del diedro
ordinato convesso zA.zA' e positivo о negativo. Analogamente a
quanto si e gia fatto nel caso delle rotazioni in una Stella di raggi (od
in un fascio di raggi), si pud introdurre la nozione di moto rotatorio
di 99 radianti — ove 99 e un numero reale qualunque — attorno ad una
retta orientata. I legami gia trovati fra le rotazioni ed i moti rotatori
in una Stella valgono, mutatis mutandis, anche fra le rotazioni e i moti
rotatori spaziali. In particolare, se z' e una delle due rette orientate
aventi come sostegno la retta z, ogni rotazione attorno all’asse z pud
venire realizzata mediante due moti rotatori attorno a z', 1’uno positivo
e 1’altro negativo, le cui caratteristiche angolari sono rispettivamente
9?0 e 2 л — q>Q, ove cp0 e 1’ampiezza della rotazione assegnata.
Per individuare un moto rotatorio basta dunque dare un punto О
dell’asse, un vettore unitario u, parallelo ed equiverso all’asse orientato
attorno a cui si eseguisce il moto, e 1’ampiezza 99.
Per indicare il moto rotatorio individuato da tali elementi faremo
uso della notazione «Rot (O , u , 99)». Si ha :
(24) Rot (О , u , л) = Sym (O u) ,
(25) Rot (O , u , 99) Rot (O , — u , — 99) .
Il prodotto di due semigiri attorno ad assi incident! (e distinti)
e una rotazione, attorno all’asse passante per il punto d’intersezione
degli assi delle trasformazioni fattori e perpendicolare al piano indivi-
duato da essi. Viceversa : Ogni rotazione attorno all’asse z pud decom-
porsi nel prodotto di due semigiri attorno a rette passanti per uno stesso
M) G. Peano, Farm. math.l7), p. 181.
426
Ugo Cassina
punto dell’asse e normali all’asse. Percid si pud prendere come de-
finizione di rotazione la proprieta suddetta, la quale non ha bisogno
delle nozioni di ampiezza e di verso di un angolo о diedro ordinato “).
L’inversa di una rotazione e una rotazione coassiale avente eguale
ampiezza e verso opposto. Le rotazioni coassiali formano un gruppo
di trasformazioni concordi.
In una rotazione SR (non identica) sono uniti tutti e soli i punti
dell’asse ; sono poi uniti tutti i piani normali all’asse. Condizione ne-
cessaria e sufficiente affinche una rotazione non identica sia un semigiro,
e che esista un piano unito passante per l’asse di rotazione ; о che esista
una retta unita di versa dall’asse di rotazione *).
48. Elicomozioni. — • 1 - Si di il nome di elicomozicme al pro-
dotto commutabile di una rotazione per una traslazione parallela il-
1’asse di rotazione.
Una traslazione pud considerarsi come un’elicomozione in cui la
rotazione fattore ha ampiezza nulla (cioe coincide con 1’identita), ed una
rotazione come un’elicomozione in cui la traslazione fattore e nulla
(cioe coincide con 1’identita).
Si suoi chiamare elicomozione simmetrica 1’elicomozione prodotto
di un semigiro per una traslazione parallela all’asse del semigiro. Ogni
elicomozione simmetrica subordina, su un piano per l’asse, un’anti-
traslazione.
Un’elicomozione propria (cioe non riducibile ad una traslazione, о
rotazione, о elicomozione simmetrica) non ha punti uniti, ne rette unite,
dall’asse in fuori.
Ogni elicomozione e una trasformazione concorde ed e sempre
riducibile al quadrato di un’altra elicomozione. Un’elicomozione e in-
dividuata dall’asse e da una coppia di punti corrispondenti non appar-
tenenti all’asse : Invero, sia z l’asse ed A e A' la coppia di punti cor-
rispondenti. Allora 1’elicomozione richiesta б e eguale al prodotto della
rotazione SR attomo a z che porta A in Ax (рчъ Ax e la proiezione orto-
gonale di A' sul piano per A perpendicolare a z), per la traslazione 2
che porta Аг in A'.
*2 - Fissando sull’asse il verso positivo, si possono distinguere
le elicomozioni in positive e negative, secondo che sono tali le loro ro-
tazioni fattori. Analogamente a quanto abbiamo fatto per le rotazioni
conviene introdurre i moti elicoidali, che possono definirsi come il pro-
dotto (commutabile) di un moto rotatorio attomo ad una retta orientata
per una traslazione parallela a detta retta, che dicesi I’awe del moto.
Ampiezza, caratteristica angolare, verso di un moto elicoidale sono la
ampiezza, la caratteristica angolare, il verso della sua rotazione fattore.
w) H. Wiener37); M. Pieri8).
w) Cfr. M. Pieri 8), p. 391.
87) Nome adottato da M. Pieri 8), p. 427, che corrisponde allo Schraubenbe-
toegung tedesco ed allo Schraubung (torsione) di H. Wiener w), p. 14.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
427
Un moto elicoidale 2R e individuato dall’asse (retta orientata),
dalla grandezza della traslazione e dall’ampiezza della rotazione fattori.
Percid, se О e un punto dell’asse, u un vettore unitario parallelo ed
equiverso all’asse, e t e <p sono numeri reali relativi (grandezza ed am-
piezza rispettivamente della traslazione e della rotazione fattori), per
indicare il moto 2R individuato da questi elementi, faremo uso della
scrittura « Mot (O , u , t, <p)».
Si ha :
(26) Rot (O , u , (jp) = Mot (О , u , 0 , <p) ,
(27) Mot (O , u , t, cp) = Mot (O , — u , — t, — (p) .
Un’elicomozione 6 di asse z che porta A in A', ove A e A' sono
punti distinti fuori dell’asse, e equivalente — per quel che riguarda la
posizione iniziale e la posizione finale — a due moti elicoidali 64 e G2
di asse z', ove z' e una delle due rette orientate di sostegno z. Tali moti
elicoidali sono uno positivo e 1’altro negativo ; e se 99 e l’ampiezza del-
1’elicomozione assegnata, le caratteristiche angolari di tali moti sono
1’una <p e 1’altra 2 л — <p. Quindi ogni elicomozione puo essere realiz-
zata sia da un moto elicoidale positivo che da un moto elicoidale nega-
tivo. Il moto elicoidale negativo (o sinistrogiro) e quello dell’ordinario
cavatappi che si immerge nel turacciolo.
Se all’elicomozione e stata data la forma di moto elicoidale, e pre-
cisamente si ha
(28) G = Mot (O , u , t, (p) ,
allora
(29) G-1 = Mot (O , u , — t, — <p) .
Il prodotto di due semigiri e sempre un’elicomozione. Viceversa :
Ogni elicomozione e riducibile, in infinite maniere, al prodotto di due
semigiri.
Precisamente, se a , b sono gli assi (sghembi о no) di due semigiri,
A e В i punti (distinti о no) nei quali essi sono incontrati da una loro
perpendicolare comune, e в e l’ampiezza di uno degli angoli formati
dalle due rette a e b, il prodotto «Sym b Sym a» e eguale all’elicomo-
zione prodotto della traslazione di vettore 2 (B — A) per il moto ro-
—->
tatoria di 2 6 radianti attorno alia retta orientata A B, fatta nel senso
nel quale la retta a deve ruotare di 0 radianti per divenire parallela
alia b (v. fig. 23). Se le rette a e b sono incidenti,« Sym b Sym a » e una
rotazione \ se sono parallele, e una traslazione; se infine a e b sono *°hembe
ed ortogonali, essa e un’elicomozione simmetrica. E viceversa.
Sia ora ® un’elicomozione equivalente al moto elicoidale
428
Ugo Cassina
Mot (A , u , 2 t , 2 <p) e (fig. 24) sia a una retta qualunque uscente da A
e perpendicolare all’asse di G. Sr costruisca la retta 6, trasformata di a
nel moto elicoidale 9JI = Mot (A , u ,/•»<?); allora 1’elicomozione ® e
eguale al prodotto del semigiro attorno ad a per il semigiro attorno a b 88).
Si possono percid studiare le elicomozioni definendo come elico-
mozione .ogni trasformazione riducibile ad un semigiro, od al prodotto
di due semigiri. In tai modo la teoria diventa indipendente dalla nozione
49. Prodotti di rotazioni e di traslazioni. — Il prodotto (non
commutabile) di una rotazione con una traslazione normale all’asse
di quella e una rotazione attorno ad un asse, che e parallelo al primo.
Il prodotto di due rotazioni SR ed S, eseguite attorno a due rette
par allele, e in ogni caso una rotazione od una traslazione. L’asse, 1’am-
piezza ed il verso della rotazione (o traslazione) risultante si trovano
facilmente ricordando che, su ogni piano normale agli assi delle rota-
zioni assegnate', esse subordinano due rotazioni piane delle quali ab-
biamo imparato ad eseguire il prodotto (v. § 20’2).
In particolare, ogni traslazione e riducibile, in infiniti modi, al
prodotto di due rotazioni ad assi paralleli ed ampiezze eguali e di versi
contrari. Il prodotto di due rotazioni attorno a rette diverse, ma con-
correnti in un punto, e una rotazione attorno ad una retta uscente da
quel punto.
8e) Cfr. C. Burali-Forti e T. Boggio1®), p. 75.
8®) Cfr. H. Wiener37).
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
429
Indichiamo con e 3t2 le rotazioni assegnate e con — 3t2 9? x
il loro prodotto. Diamo ad e 3t2 la forma di moti rotatori positivi
attorno alle rette orientate e/2 di caratteristiche angolari 2^ e 2 ^2,
entrambe minori di л (§§ 39’2, e 47’3). Siano e s2 le rette sostegni
di e s' 2 с C il loro punto di intersezione. Per costruire gli elementi
(asse, ampiezza e verso) della rotazione prodotto 3t, possiamo proce-
dere cosi (fig. 25) : Siano ax ed a2 i raggi della Stella di centro C pa-
ralleli ed equiversi alle rette orientate e s' 2, e siano OY e O2 i punti
di intersezione di ax e a2 con una sfera a di centro C e raggio arbitrario.
Si costruisca il punto O, sulla sfera a, tale che il triangolo sferico
abbia gli angoli in OY ed O2 di <px e (p2 radianti e che il triedro ordi-
nato COX.CO2.CO sia negativo. Indichiamo con a il raggio di ori-
gine C passante per О e con <p la misura in radianti dell’angolo in О
Fig. 25.
del triangolo sferico Ox O2 O. SiaJpoi 5 la retta sostegno di a ed s' la
retta orientata avente come sostegno la 5 ed equiversa ad a. Allora la
rotazione e equivalente (per quel che riguarda la posizione iniziale
e finale) al moto rotatorio negativo di — 2 99 radianti attorno alia retta
orientata s' (od al moto rotatorio positivo di 2 л — 2 ср radianti attorno
alia stessa retta orientata) 90).
La teoria generale del prodotto (o composizione) delle rotazioni e
dovuta a O. Rodrigues 91 *). Ma il risultato prece derite si pud enun-
ciare in modo assai semplice, seguendo W. R. Hamilton. Precisa-
mente “) :
Il prodotto di tre moti rotatori positivi attorno agli spigoli di un
triedro ordinato negativo e di ampiezze eguali ai doppi degli angoli
diedri del triedro e eguale alfidentiti 93).
•°) Cfr. C. Burali-Forti e T. Boggio 19), p. 36.
91) O. Rodrigues83).
M) W. R. Hamilton1), §§ 217, 344; Elements of Quaternions, 1, 2“ ed., New
York e Bombay 1899, p. 415.
93) Per 1’espressione analitica di questo prodotto v. C. Burali-Forti e T. Bec-
Gio19). p. 37.
430
U GO Cassina
Il prodotto di una rotazione per una traslazione obliqua all’asse
e un’elicomozione (attorno ad un certo asse che e parallel© al primo).
Il prodotto di due rotazioni attorno ad assi sghembi e un’elicomozione
(non riducibile ad una traslazione, ne ad una rotazione) attorno ad un
asse sghembo con gli assi delle rotazioni assegnate 94). La costruzione
grafica di questo prodotto si pud fare con il teorema del § seguente
relativo al prodotto di due elicomozioni generiche. Si pud perd calco-
lare anche in modo diretto %).
Viceversa ogni elicomozione e riducibile in infiniti modi al pro-
dotto di due rotazioni. Quindi ogni elicomozione e una rotazione od ё
riducibile al prodotto di due rotazioni * *).
50. Prodotti di elicomozioni. — Le elicomozioni formano un
gnippo di trasformazioni concordi.
Per calcolare il prodotto (S = 62 delle due elicomozioni e
(S2, si pud dare ad e G2 la forma di prodotto di semigiri ed espri-
mere in tai maniera anche il loro prodotto ; se vogliamo invece, me-
diante gli elementi fondamentali (assi, traslazioni e rotazioni fattori)
di e 62, esprimere quelli di 6, possiamo procedere cosi (fig. 26) :
Supponiamo che @4 e 62 siano individuate dai moti elicoidali positivi
©i = Mot (A , аг , 2 tx, 2 9? J , = Mot (B , a2,2 Z2,2 <p2) ,
M) O. Rodrigues m), p. 390.
•5) Cfr. C. Burali-Forti e T. Boggio le), p. 64.
*) O. Rodrigues “), p. 410.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
431
ove 2<рг e 2 <p2 sono le caratteristiche angolari delle rotazioni fattori
di ®i e ®2. Indichiamo con ar e a2 gli assi delle elicomozioni assegnate
e con W± e W2 le loro intersezioni con la loro (od una delle loro) perpen-
dicolare comune w. Siano 3RX e 3D?2 i moti definiti dalle formole seguenti :
3D?X = Mot (A , ax , — tx , — 99j), 3D?2 = Mot (B , a2 , t2, <p2) ,
per modo che 3D?X e 3D?2 possono dirsi i semimotielicoidali relativi a
®i-1 e ®2. Costruiamo infine le rette v ed и tali che :
v = 3D?! w e и = 3D?2 w ;
allora v sari perpendicolare ad aY nel punto Kx = W\ — tY ax, ed и
sari perpendicolare a a2 nel punto U2= W2 + t2 a2. Indichiamo con
a la perpendicolare comune ad и e v rispettivamente nei punti U e
V. Allora 1’ehcomozione 6 e equivalente — per quel che riguarda la
posizione iniziale e finale — al moto elicoidale attorno alia retta orien-
tata di sostegno a ed equiversa al vettore U — V, la cui traslazione fat-
tore ha come vettore 2 (U — K), e la cui rotazione fattore — negativa
rispetto al verso fissato sull’asse — ha come ampiezza il doppio di quella
dell’angolo ordinato convesso и v.
Il risultato precedente si pud esprimere in una forma piu semplice,
dovuta a G. H. Halphen w), e che e la generalizzazione di un teorema
di W. R. Hamilton 98) :
Siano ar , a2 ed a tre rette sghembe a due a due, sia w la perpen-
dicolare combine ad ax e a2 , и la perpendicolare comune ad a2 e a,
v la perpendicolare comune ad a e ax. Siano Wr e W2 le intersezioni
di w con ar e a2 ; U2 e U le intersezioni di и con a2 e a ; V e V\ le
intersezioni di v con a e ar. Indichiamo con bx , b2 , b i vettori uni-
tari paralleli ed equiversi ai vettori W\ — V\ , U2 — W2, V — U e con
, t2 e t i moduli di questi ultimi vettori ; ed infine con'^i, y>2 e ip le
misure in radianti delle ampiezze degli angoli ordinati positivi — rispetto
ai versi dei vettori bx , b2 e b — vw , wu , uv. Allora, se ®, , 62 ed ®
sono i moti elicoidali definiti dalle relazioni seguenti :
®i = Mot (Wt , bi , 2 tY , 2 y>i) , ®2 = Mot (W2 , b2,2 t2,2 y>2) ,
® = Mot (С/, b , 2 Z , 2 ,
si ha che il prodotto G 62 6X e eguale all’identiti.
51. Congruenze. — • 1 - Chiamasi congruenza28) spaziale ogni cor-
rispondenza biunivoca concorde, di punti in punti, che conferva le di-
stanze.
®7) G. H. Halphen, Nouv. Ann. math., (3) 1 (1882), p. 296 (manca nelle Oeu-
vres)} cfr. A. Schoenflies e M. Grubber, Kinematik, Encykl. d. math. Wiss., IV
3, p. 196. /
•8) W. R. Hamilton x), §§ 217 e 344.
432
Ugo Cassina
Le congruenze spaziali formano un gruppo di trasformazioni con-
cordi.
Le traslazioni e le rotazioni spaziali sono congruenze ; cosi pure
le elicomozioni. Ogni congruenza spaziale subordina fra piani о rette
corrispondenti una isomeria piana о rettilinea.
Condizione necessaria e sufficiente, affinche una congruenza sia
riducibile ad una traslazione, e che essa sia priva di punti uniti ed inoltre
esistano tre rette parallele fra loro, ma non complanari, ognuna delle
quali sia convertita in se stessa "). Condizione necessaria e sufficiente,
affinche una congruenza non identica sia riducibile ad una rotazione,
e che essa ammetta un punto unito1QQ). Condizione necessaria e suffi-
ciente, affinche una congruenza sia riducibile ad un’elicomozione propria
о simmetrica, e che essa abbia una retta unita e nessun punto unito.
Condizione necessaria e sufficiente, affinche una congruenza sia ri-
ducibile ad una traslazione, e che, prese ad arbitrio due coppie di
punti corrispondenti A e Af e В e B\ sia Af — A = Bf — B. Condi-
zione necessaria e sufficiente affinche una congruenza sia equivalente
ad una rotazione e che, prese ad arbitrio tre coppie di punti corrispon-
denti A e A', В e В', С e C', i vettori A' — A , B' — В e C — C siano
complanari.
Una congruenza con tre punti uniti non collineari e eguale alia
identita.
Ogni congruenza od e una traslazione, od e una rotazione, od e
un’elicomozione (ed in particolare 1’identita). Quindi ogni congruenza
(diversa da una traslazione) ammette una retta unita (1’деде centrale),
che e unica se la trasformazione non e un’elicomozione simmetrica* 101).
*2 - Una congruenza e individuata da due terne di punti corri-
spondenti A e A', В e В', С e C* — purche А, В , C ed A\ В', C
non siano collinear? ed i triangoli ABC ed A' Bf C' siano eguali. In-
vero, indicata con ® la congruenza richiesta, essa fa corrispondere ad
un punto generico P il punto P' ottenuto con la seguente costruzione :
Si considerino le sfere di ceniri A',B',C' e di raggi rispettivamente
eguali alle distanze di P da A , В , C; se tali sfere si incontrano in un
punto solo (appartenente al piano А' В' C, per il che sara necessario
e sufficiente che il punto P appartenga al piano А В C102)), questo punto
di intersezione sara il punto P' richiesto. Se invece le sfere costruite
si incontrano in due punti (simmetrici rispetto al piano А' В' C')> il
punto P' sara quello, di questi due punti, tale che il tetraedro ordinato
P' А' В' C sia equiver so al tetraedro ordinato P А В C.
") M. Pieri 8), p. 425.
10°) L. Euler 9), p. 202.
101) L. Euler 9), p. 200; per il moto istantaneo questa proprieta, prima che da
L. Euler, e stata enunciata da G. Mozzi, Discorso matematico sopra il rotamento mo-
mentaneo dei corpi, Napoli 1763. Cfr. anche M. Chasles, C. R. Ac. sc. Paris, 52 (1861),
p. 77, p. 189, p. 487 (p. 78).
102) Su questa proprieta ё fondata la definizione di piano data da G. W. Leib-
niz 29).
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
433
Per costruire gli elementi fondamentali (asse, traslazione, rotazione
fattori) dell’elicomozione equivalente alia congruenza © che porta A
in Л', В in В', e C in C", possiamo valerci della seguente costruzione
di M. Chasles103) :
Preso ad arbitrio il punto O, costruiamo i punti Ar = О + (Л'— Л),
Br = О + (B‘ — B) e Cr = О + (C" — C). Escluso il caso della tras-
lazione e della rotazione, i punti A , В e C individuano un piaho a,
Sia P il piede della perpendicolare condotta da О su a. Allora la dire-
zione di P — О e la direzione dell’atte dell’elicomozione E, e precisa-
mente il vettore P—О e il vettore della sua traslazione fattore. Pro-
iettiamo ora A e В, A' e B' sopra un piano qualunque ortogonale alia
trovata direzione (centrale) — ad es. sul piano a — e siano Ло e Bo,
A'q e B'o le proiezioni rispettive dei suddetti punti. Poi costruiamo
(v. § 20*1) il centro 5, 1’ampiezza ed il verso della rotazione piana
Ea che porta Aq in A'q e Bo in B'o. Allora il punto 5 sara un punto del-
1’asse dell’elicomozione, e 1’ampiezza ed il verso della rotazione piana
Ea saranno un angolo di rotazione dell’elicomozione richiesta ed il verso
che compete a detto angolo di rotazione 104 *).
Se S , 3R , 91 sono tre congruenze spaziali, esistono tre rette a , b , c
ed una congruenza E tali che :
£ = (Syma)E , 3R = (Sym b) E , % = (Syme) E ;
proprieta che si puo anche enunciare cosi : Tre posizioni qualunque
di una stessa figura nello spazio sono le simmetriche di una sola e stessa
figura prese rispetto a tre rette 106). Questo teorema e 1’estensione allo
spazio del teorema analogo piano di C. Stephanos (v. § 22)loe).
*3 - Si hanno i seguenti teoremi di E. Study107):
Le congruenze spaziali formano un sistema oo® di trasformazioni,
fra le quali possiamo distinguere le oo5 elicomozioni simmetriche ; le oo5
rotazioni; gli oo4 semigiri, che sono le congruenze che appartengono
sia alia categoria delle rotazioni che a quella delle elicomozioni simme-
triche e che formano la totalita delle congruenze involutorie ; le oo3 traS-
lazioni, che sono le congruenze per le quali ogni retta e trasformata in
una retta parallela. Ogni congruenza spaziale puo decomporsi in oo4
maniere diverse nel prodotto di due rotazioni ; in oo3 modi diversi nel
prodotto di una rotazione per un semigiro ; ed ogni congruenza che
non sia una traslazione si puo decomporre in oo2 modi nel prodotto
103) M. Chasles 10 j, p. 489. Egli, oltre a quella riportata, dA un’altra costru-
zione dell’asse delFelicomozione individuata da tre coppie di punti corrispondenti,
fondata sull’uso dei centri delle corde A А', В B't С C' (op. c., p. 487).
104) Cfr. G. A. Maggi, Geometria del movimento, 3s ed., Bologna 1927, p. 24.
1M) G. H. Halphen «"), p. 299.
loe) Per le propriety generali delle congruenze spaziali (moti finiti) si pud con-
sultare anche D. Chelini, Mem. 1st. Bologna, (2) 1 (1862), p. 361; A. Schoenflies,
Geometrie der Bewegung, Leipzig 1886; G. Konigs, Lefons de cinematique, Paris 1897.
107) E. Study37), p. 461, p. 466, p. 468, p. 469.
434
Ugo Cassina
di due semigiri. Invece una traslazione pud essere decomposta in oo3
modi nel prodotto di due semigiri.
52. Moti sferici. — • 1 - Ogni moto con un punto fisso e un moto
di rotazione (v. § 51*1); quindi ogni moto 3R di una figura sferica
sulla sfera a alia quale appartiene e, necessariamente, subordinate da
un moto £ di rotazione attorno ad una retta orientata passante per il
centro О di a. Quindi il punto di intersezione di a con il raggio di ori-
gine О parallel© ed equiverso all’asse del moto rotatorio spaziale £ e
il punto unito (unico, se il moto non e identico) del moto sferico
cioe il centro (o polo) di
Ogni congruenza sulla sfera e subordinata da una rotazione spa-
ziale, e percid prende il nome di rotazione sferica. Per le rotazioni sfe-
riche valgono proprieta analoghe a quelle delle rotazioni piane.
Un moto sferico e individuato dal centro e da una coppia di punti
corrispondenti ; ed e pure individuato da due coppie di punti corri-
spondenti A e А', В e B', tali che Гагсо di cerchio massimo (minore
di una semicirconferenza) A В sia eguale all’arco di cerchio massimo
(minore di una semicirconferenza) A' B'. La ricerca del centro di ro-
tazione — noti che siano A e А', В e B', — si pud fare con la seguente
costruzione di A. I. Lexell108):
Si uniscano A e А', В e B' con archi di cerchio massimo (minori
di una semicirconferenza). Si bisechino tali archi nei punti
E ed F e si costruiscano gli archi EZtFZ (minori di una semicircon-
ferenza) normali ad A A’ e В В'. Allora il loro punto di intersezione
Z e il centro richiesto, cioe il punto unito nel moto sferico che porta
A in A' e В in B'.
•2 - Assumiamo un sistema di coordinate cartesiane ortogonali
con 1’origine nel centro della sfera e prendiamo il raggio della sfera
come unita di misura delle lunghezze. Siano i , j , к i vettori unitari
parallel! ed equiversi agli assi coordinati, e poniamo N = О + к. Fac-
ciamo poi la proiezione stereografica della sfera dal punto N sul piano
equatoriale relative О i j. Siano (x,y,z) le coordinate di un punto
generico della sfera ed (u , v , 0) quelle della sua proiezione stereografica
Q (cioe dell’intersezione del piano equatoriale con la retta NP), v.
§87. Ponendo w = и + i v, ove i = у— 1, potremo dire che il punto
P della sfera e univocamente individuato dalla variabile complessa w,
alia quale daremo il nome di coordinata complessa di P. Sia ora 2R un
qualunque moto della sfera о in se stessa, P e P' due punti corrispon-
denti generici in 3R e w e w’ le loro coordinate complesse, allora si ha :
aw’ +
у w' + <5
ove a , /3 , у , 8 sono numeri complessi tali che a 8 — у sia eguale ad 1.
loe) A. I. Lexell, Novi Comm. Ac. Petrop., 20 (1775), stamp. 1776, p.239 (p. 248).
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
435
La (30) puo dirsi I’equazione complessa del moto sferico 2R. I
numeri a , fl , у , S diconsi i parametri (complessi) di rotazione109).
Essi si possono esprimere facilmente mediante gli angoli eulerianino)
od i parametri razionaliш) della rotazione individuata dal nostro moto
sferico m).
Il risultato analitico espresso dalla (30) puo enunciarsi cosi : La
coordinata complessa w del punto mobile sulla sfera subisce, per ogni
moto della sfera su se stessa, una trasformazione lineare fratta unimo-
dulare (ellittica).
*3 - * Poiche ogni trasformazione del tipo (30) rappresenta sui
piano О i j una trasformazione circolare concorde (v. § 81 *1), possiamo
dire che : se 2R e un moto sferico il quale al punto generico P fa corri-
spondere il punto P', e Q e Q' sono le proiezioni stereografiche di P
e P' fatte da un polo N sui piano equatoriale corrispondente, la corri-
spondenza che intercede fra Q e Q' e una trasformazione circolare
concorde.
Le rotazioni sferiche formano un gruppo oo3. Ogni suo sottogruppo
pud considerarsi come l’imagine,di un gruppo di sostituzioni lineari
ellittiche. E le proprieta dei gruppi di rotazione su di una sfera sono
essenziali per lo studio delle funzioni poliedriche e modulari113).
XII. — Isomerie.
53. Equinversioni. — Dicesi equinversione10)' spaziale (o simme-
tria centrale) di centro О la trasformazione (di punti in punti) che ha
О come punto unito e che ad ogni punto P, diverso da O, fa corrispon-
dere quel punto P' tale che il segmento PP' e dimezzato da O.
Per indicare la simmetria centrale di ceqtro О faremo uso della
notazione «Sym О».
Una equinversione e una trasformazione involutoria discorde.
Essa ha uno ed un solo punto unito : il centro ; ed infinite rette e piani
uniti: ogni retta e piano passante per il centro. Sono poi uniti tutti
i fasci di raggi aventi come centro il centro dell’equinversione ; e su * lls
10e) La formola (30) trovasi in H. v. Helmoltz, Optique physiologique (trad,
franc., Paris 1867, p. 658; ed. tedesca, Leipzig 1867, p. 513).
uo) L. Euler •), (1775), p. 208 e seg. Si veda in proposito: C. Burali-forti e
T. Boggio ie), *p. 83-84; T. Levi-Civita e U. Amaldi, Lezioni di meccanica razio-
nale, 1, Bologna 1923, p. 186, p. 190.
U1) I parametri razionali sono pure dovuti a L. Euler, Novi Comm. Ac. Petrop.,
15 (1770), p. 75 e p. 101. Cfr. R. Marcolongo, Meccanica razionale, 2a ed., 1, Mi-
lano 1917, p. 106; G. A. Maggi 1o<), p. 31. Perd le formole a cui si perviene sono co-
nosciute col nome di formole di Rodrigues, регсЬё ritrovate da questo autore,t3). V.
Fart. X di questa Encicl. (L. Berzolari, Determinanti), § 15.
lls) La considerazione dei parametri a , fl , у , <5 ё stata fatta esplicitamente, da
F. Caspary, Bull. sc. math, et astr., (2) 13 (1889), p. .89-111; e poi da F. Klein c
A. Sommerfeld, E. Study, A. Schoenflies, R. Marcolongo. Cfr. R. Marcolongo
U1), p. 113. ' #
113) Cfr. G. Vivanti, Funzioni poliedriche e modulari, Milano 1906.
486
Ugo Cassina
essi la nostra corrispondenza subordina un’opposizione (trasformazione
fra forme di prima о di seconda specie).
Il prodotto di due equinversioni e una traslazione ; ed il prodotto
di una traslazione, preceduta, о seguita, da un’equinversione, e una
equinversione. Percid le traslazioni e le equinversioni spaziali formano
un gruppo.
54. Specchiamenti. — Sia a un piano : chiamasi specchiamento114 *)
ad a (o simmetria rispetto ad a) la trasformazione che ad ogni punto
di a fa corrispondere se stesso > e che ad ogni punto P, fuori di a, fa
corrispondere quel punto P tale che a risulti perpendicolare a PP'
nel suo punto medio (piano polare della coppia P;P')116).
Per indicare lo specchiamento ad a faremo uso della notazione
4 Sym a»116).
Ogni specchiamento e una trasformazione discorde involutoria.
Esso ha infiniti punti uniti : tutti e soli i punti del piano di simmetria
io piano specchiante) a ; ed infinite rette unite : ogni retta del piano a
che e luogo di punti uniti) ed inoltre ogni retta normale ad a ; ed in-
finiti piani uniti: il piano a, ed inoltre ogni piano normale ad a. Su
ogni retta unita — non appartenente ad a — subordina une quinver-
sione rettilinea (simmetria centrale rettilinea). Su ogni piano unito —
diverso da a — subordina un ribaltamento (simmetria assiale piana).
Il prodotto (non commutabile) di due specchiamenti a piani di-
stinti e una traslazione od una rotazione (cfr. § 22). In particolare il pro-
dotto di due specchiamenti a piani perpendicolari fra loro e il semigiro
attorno alia loro retta intersezione. Viceversa : ogni traslazione ed ogni
rotazione e riducibile al prodotto. di due specchiamenti. Cosi: se i punti
A ,B ,C non sono collineari, ogni rotazione attorno alia retta В C
si pud ottenere come prodotto dello specchiamento al piano ABC con
lo specchiamento al piano polare dei punti A ed fR Л117 118).
Il prodotto di uno specchiamento, preceduto, о seguito, da una
traslazione normale al piano specchiante, e ancora uno specchiamento,
ad un piano parallel© al piano di simmetria dello specchiamento asse-
gnato n8).
55. Antitraslazioni. — Ogni specchiamento e permutabile con
ogni traslazione parallela al suo piano (di simmetria). Diremo antitras-
lazione (spaziale) ogni trasformazione riducibile al prodotto (permu-
tabile) di uno specchiamento per una traslazione parallela al suo piano.
Uno specchiamento si pud considerare come un’antitraslazione (im-
propria) in cui la traslazione fattore e nulla. La decomposizione di una
antitraslazione propria, nel prodotto di uno specchiamento per una
114) Nome adottato da M. Pieri 8), p. 370.
116) M. Pieri8), p. 372.
lle) G. Peano, Form, math.11), p. 181.
117) M. Pieri8), p. 397.
118) M. Pieri 8), p. 423.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
437
traslazione parallela al suo piano, e possibile in modo unico. Dicesi
piano centrale dell’antitraslazione il piano di simmetria del suo spec-
chiamento fattore.
Un’antitraslazione e individuata dal piano centrale e da una coppia
di punti corrispondenti. Ogni antitraslazione e una trasformazione
discorde priva di punti uniti (se la traslazione fattore non e nulla). La
inversa di un’antitraslazione e un’antitraslazione avente lo stesso piano
centrale. Ogni antitraslazione ha come rette unite tutte e sole le rette
del piano centrale par allele alia traslazione fattore ; e come piani uniti,
il piano centrale ed ogni piano parallel© alia traslazione fattore ed or-
togonale al piano centrale.
Il prodotto di uno specchiamento, preceduto, о seguito, da una
traslazione obliqua al piano specchiante, e un’antitraslazione119).
56. Antirotarioni. — Ogni specchiamento e permutabile con una
rotazione attorno ad un asse perpendicolare al piano specchiante. Di-
cesi antirotazione 12°) ogni trasformazione ottenuta in tale maniera. Se
la rotazione fattore e un semigiro, 1’aritirotazione prodotto non e altro
che \irY equinversione avente come centro il punto di intersezione del-
1’asse del semigiro con il piano specchiante. Un’antirotazione propria
(cioe non riducibile ad uno specchiamento ne ad un’equinversione)
e decomponibile in un sol modo nel prodotto commutabile di uno spec-
chiamento per una rotazione ortogonale al piano specchiante. L’asse
della rotazione fattore ed il piano di simmetria dello specchiamento
fattore si diranno rispettivamente asse e piano centrale dell’antirotazione.
Ed il punto di intersezione dell’asse con il piano centrale si dira centro
dell’antirotazione. Si dira poi ampiezza dell’antirotazione 1’ampiezza
della rotazione fattore.
In una antirotazione vi e un punto unito : il centro ; vi e poi una
retta unita : Yasse, ed un piano unito : il piano centrale. E per 1’anti-
rotazione propria sono gli unici elementi uniti.
Sull’asse, I’ailtirotazione subordina equinversione rettilinea avente
come centro il centro della trasformazione, e sul piano centrale subor-
dina una rotazione avente come centro il centro della trasformazione.
Un’antirotazione e riducibile anche al prodotto di una rotazione
attomo al suo asse per un’equinversione rispetto al suo centro. Il pro-
dotto di una rotazione per lo specchiamento ad un piano che ne con-
tenga l’asse, equivale allo specchiamento ad un altro piano passante
per l’asse121). Il prodotto di una rotazione, preceduta, о segirita, da
uno specchiamento ad un piano che ne incontri l’asse in un punto (solo),
e un’antirotazione 122).
lle) M. Pieri 8), p. 426.
12°) Denominazione di M. Pieri 8), p. 423.
121) Cfr. M. Pieri 8), p. 422.
122) M. Pieri 8), p. 424.
438
Ugo Cassina
57. Prodotti di elicomozioni e di specchiamenti. — Il pro-
dotto di un’elicomozione, seguita, о preceduta, da uno specchiamento
ё un'antirotazione se l’asse dell’elicomozione e incidents al piano spec-
chiante e non situato su esso ; e invece antitraslazione, se l’asse della
elicomozione e parallelo al piano specchiante, о situato su di esso.
58. Isomerie. — ’ 1 - Dicesi isomeria (spaziale) una trasforma-
zione biunivoca di punti in punti tale che la distanza di due punti sia
sempre eguale alia distanza dei loro trasformati. Sotto altra forma :
Isomeria e ogni trasformazione biunivoca di punti in punti, che ad ogni
sfera descritta attorno ad un punto arbitrario (come centro) fa corri-
spondere una sfera di egual raggio attorno al trasformato di quel punto
(come centro)123).
Ogni congruenza e un’isomeria. Ogni specchiamento e un’isomeria.
Le isomerie formano un gruppo12^).
Siano A e А', В e B’ due qualunque coppie di punti corrispon-
denti nell’isomeria spaziale 3. Se 1’isomeria fra le stelle di centri A e
A' subordinata da 3 e concorde, e pure concorde 1’isomeria subordinata
fra le stelle di centri В e B’ ; se invece 1’isomeria subordinata da 3 fra
le stelle di centri A e A1 e discorde, e pure discorde 1’isomeria subor-
dinata da 3 fra le stelle di centri В e B'. Nel primo caso 1’isomeria 3
ё concorde, nel secondo ё discorde.
Le isomerie discar di si chiamano anticongruenze *). Se AB C D
ed AB' C D' sono due tetraedri ordinati eguali (secondo la comune
accezione), esiste una ed una sola isomeria spaziale atta a portare A
in Л', В in B’y C in C', D in D'. Invero tale isomeria ё quella che
ad un punto generico P — pensato come unica intersezione delle quattro
sfere di centri (non complanari). A ,B ,C ,D e passanti per P — fa
corrispondere 1’unico punto P' di intersezione delle quattro sfere aventi
come centri A', B', C, D’ ed i raggi eguali a quelli delle sfere omonime
precedent!.
L’isomeria ё concorde (ossia ё una congruenza) se i tetraedri ordi-
nati А В C D e А’ В’ C D’ sono equiverei\ ё discorde (ossia ё unanti-
congruenza) se detti tetraedri ordinati sono contraversi.
L’isomeria 3 si pud ottenere in questa maniera :
Sia X la traslazione che porta A in A e poniamo Bx = S В , Cr = SC,
Z>x = SZ). Se Br ё diverso da B'9 indichiamo con r la retta'passante
per A e perpendicolare a B^B’ ^e con S il semigiro attorno ad r. Al-
lora S porta A’ in A e Bx in B’. Diciamo C2 e D2 i trasformati di Cx
e Z)x mediante S, ed SR la rotazione avente come asse la retta A B'
e atta a portare C2 in C'. Indichiamo poi con D3 il trasformato di D2
mediante 9t Allora il tetraedro ordinato А В’ C D3 ё eguale ed equi-
ver so al tetraedro ordinato А В C D ; percid, se questo era eguale ed
equiverso ad А В' C D', 1’isomeria richiesta ё : 3 = 9? S S. Se invece
1M) Cfr. note 18) e M).
1M) Le propriety seguenti sono analoghe a quelle gi& viste per le isomerie piane.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
439
i tetraedri ordinati А В C D ed А' В' C' D' sono eguali e contraversi,
i punti D' e Z>3 sono simmetrici rispetto al piano А' В' C'. Quindi, se
indichiamo con Si lo specchiamento a tale piano, si ha : 3 = Si SR S 2.
Dunque : una isomeria Concorde non differisce da una congruenza,
cioe e una traslazione (eventualmente identica), od una rotazione
od un’elicomozione simmetrica о no ; ed un’isomeria discorde e una
equinversione, od uno specchiamento, od un’antitraslazione, od una
antirotazione 125 *).
Se A , В , C sono punti non collineari ed A’, В', C' sono pure
punti non collineari ed il triangolo А В С e eguale al triangolo А' В' Cf,
esistono due (e due sole) isomerie spaziali atte a portare A in А’, В
in В', C in C (cfr. § 24*1).
Esistono due (e due sole) isomerie spaziali atte a portare il punto
A nel punto A', un raggio b di origine A in un raggio V di origine A’
ed un semipiano a di origine la retta per b in un semipiano a' di en-
gine la retta per b'.
Esiste una (ed una sola) isomeria atta a portare il punto A nel
punto A', il raggio b di origine A in un raggio b' di origine A', un semi-
piano a di origine la retta per b in un semipiano a' di origine la retta
per 6', ed un semispazio 5 di origine il piano per a in un semispazio s'
di origine il piano per a'.
Un’isomeria con quattro punti uniti non complanari non differisce
dzWidentitd ; una isomeria non identica con tre punti uniti non colli-
neari e uno specchiamento ; un’isomeria, non identica ne riducibile ad
uno specchiamento, con due punti uniti distinti, e una rotazione (in
particolare un semigiro) ; un’isomeria con un solo punto unito e un’an-
tirotazione : ed un’isomeria senza punti uniti e una traslazione, od una
elicomozione, od un'antitraslazione, secondo che esistono tre rette unite
non complanari, oppure esiste una ed una sola retta unita, oppure esi-
stono almeno due rette unite ma tutte le rette unite sono compla-
nari 12e).
•2-11 quadrato di isomeria e una congruenza, e viceversa: Ogni
congruenza pud esprimersi come il quadrato di un'isomeria. -Per modo
che le anticongruenze sono le isomerie non esprimibili sotto forma di
quadrato di un’isomeria127).
Ogni isomeria e uno specchiamento od e riducibile al prodotto
di un numero finito di specchiamenti. Gli specchiamenti appaiono percid
come le isomerie irriducibili atte a dare il gruppo totale delle isomerie.
Precisamente :
Una congruenza e riducibile al prodotto di due о di quattro spec-
chiamenti. anticongruenza e uno specchiamento od e riducibile al
1M) Cfr. M. Pieri8), p. 428.
1M) M. Pieri 8), p. 428.
117) M. Pieri 8), p. 428. Egli prende questa propriety come definizione delle
anticongruenze, ed osserva che ё piii maneggevole dell’or dinaria fondata sulle nozioni
di versi; ed inoltre che ё molto piii generale, potendo servire, ad es., alia distinzione
fra le omografie e le antiomografie della geometria proiettiva complessa.
440
Ugo Cassina
prodotto di tre specchiamenti. Le traslazioni e le rotazioni sono le uniche
congruenze che sono esprimibili mediante il prodotto di due soli spec-
chiamenti.
Ogni isomeria involutoria e un semigiro, od un’equinversione, od
uno specchiamento (cioe una simmetria : assiale, centrale, о planare) U8).
59. Prodotti di isomerie. — Il prodotto di due congruenze e
una congruenza ; il prodotto di due anticongruenze e una congruenza ;
il prodotto di una congruenza per un’anticongruenza e una anticon-
gruenza m).
> Il prodotto di un’anticongruenza per una congruenza, ad assi pa-
rallel ed ampiezze opposte, e un’antitraslazione il cui piano centrale
ё parallelo al piano centrale dell’anticongruenza assegnata. Il prodotto
di un’antitraslazione per un’elicomozione generica, attorno ad un asse
parallelo al piano centrale dell’antitraslazione, e un’antitraslazione. Il
prodotto di un’anticongruenza per un’elicomozione simmetrica, attomo
ad un asse parallelo al piano centrale dell’anticongruenza assegnata,
ё una antitraslazione.
60. Equazioni cartesiane e vettoriali delle isomerie. —
•1 - L’equazione vettoriale di un’isomeria spaziale ё :
(31) A' + a(P — A),
ove A e A' sono punti corrispondenti ed а ё V isomeria vettoriale imma-
gine di И. Secondo che a e un rotore od un antirotore, 1’isomeria spa-
ziale И ё una congruenza od xiriantiamgruenza.
Le traslazioni hanno come immagini vettoriali Yidentitd (+ 1) e le
equinversioni Vopporizione vettoriale (— 1) ; i semigiri e le elicomozioni
simmetriche hanno come immagini vettoriali le dilatazioni del tipo
4 2 H (u , u) — 1», ove u ё un vettore unitario (simmetrie vettoriali) ; gli
specchiamenti e le antitraslazioni hanno come immagini vettoriali le dila-
tazioni del tipo «1 — 2 H (u , u)», ove u ё un vettore unitario (specckia-
menti vettoriali) : infine le rotazioni e le elicomozioni proprie hanno come
immagini vettoriali i rotori non riducibili a dilatazioni, e le antirotazioni
proprie hanno come immagini vettoriali gli antirotori non riducibili a
dilatazioni 18°).
Le equazioni di un’isomeria spaziale, in un sistema di coordinate
cartesiane ortogonali, sono del tipo seguente :
!x‘ = ax + by + cz + d ,
y’ = axx + btf + cxz + dx ,
z' = a# + b*y + c,z + dly * *••)
u®) Cfr. i lavori di H. Wiener, E. Study »).
“•) M. Pieri ®), p. 43t.
*••) Cfr. C. Burali-Forti e R. Marcolongo, Trasf. Un. ®), § 5, p. 117.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
441
ove il determinante A formato dai coefficient! di x , у , z e ortogonale
(cfr. § 24’2).
Le isomerie spaziali formano percio un gruppo oo* di trasforma-
zioni, fra cui sono da distinguere ooe congruenze ed go* anticon-
gruenze. Nel sistema ooe di anticongruenze si possono distinguere le
oo* antirotazioni, le oo6 antitraslazioni, gli oo3 specchiantenti e le oo3
equinversioni.
*2 - Si hanno i seguenti teoremi di E. Study 131): Un’antirotazione
spaziale e decomponibile nel prodotto di uno specchiamento per una
rotazione ad asse ortogonale al piano specchiante, in modo unico od
in oo2 maniere (caso delle equinversioni). Un’antifotazione e decompo-
nibile .nel prodotto di una equinversione per una rotazione attorno ad
un asse per il centro di inversione, in modo unico od in oo2 maniere
(caso degli specchiamenti). La decomposizione di un’anticongruenza
nel prodotto di tre successivi specchiamenti pud farsi in generale in
oo3 modi, ma ogni specchiamento e decomponibile in oo4 maniere nel
prodotto di tre specchiamenti successivi. Un’anticongruenza pud de-
comporsi in oo3 maniere — o, se si tratta di un’equinversione, in oo4
maniere — nel prodotto di tre successive anticongruenze involutorie,
delle quali la prima о la seconda о la terza sia un’equinversione, mentre
le altre due sono Specchiamenti. Ogni elicomozione pud essere decom-
posta in oo8 maniere nel prodotto di due anticongruenze, delle quali
la prima о la seconda sia uno specchiamento; pud pure decomporsi in
oo3 maniere nel prodotto di due anticongruenze, delle quali la prima
о la seconda sia un’equinversione. Un’elicomozione pud decomporsi
in oo® maniere nel prodotto di quattro successivi specchiamenti ed anche
in oo*-maniere nel prodotto di quattro anticongruenze involutorie, delle
quali una e un’equinversione, mentre le altre tre sono specchiamenti.
Un’elicomozione, che non sia una traslazione, pud essere decomposta in
oo® maniere -— ed una traslazione in oo7 maniere nel prodotto di quattro
anticongruenze involutorie, delle quali due sono equinversioni e due spec-
chiamenti 132).
XIIL — SimilitadinL
61. Omotetie. — Siano О , A ed A' tre punti collineari distinti.
Allora si definisce V omotetia 8e) spaziale , di centro O, che porta A in
A\ come nel piano (v. § 25), con 1’unica differenza che ora il campo di
applicazione della trasformazione ё tutto lo spazio. Percid, per le omo-
tetie spaziali, valgono proprieta del tutto analoghe a quelle, gid viste
per le omotetie piane e che non staremo a riportare. Unica differenza
notevole ё che un’omotetia spaziale ё trasformazione concords о discorde,
secondo che la caratteristica ё positiva о negativa.
1U) E. Study*7), p. 487 e seg. Egli usa il vocabolo Umlegung per anticon-
gruenza, e Umkgung mit unendlich femem Mitteipunkt per antitraslazionc.
m) Sulla teoria delle isomerie spaziali si cfr. anche B. Levi, Period, mat., (3)
1, anno, 19°, (1904), p. 207.
442
Ugo Cassina
Le omotetie spaziali formano un sistema oo4. L’inversa di un’o-
motetia e un’omotetia concentrica e di caratteristica reciproca. Il pro-
dotto di due omotetie e un’omotetia od una traslazione (e questo caso
si presenta quando le caratteristiche fattori sono reciproche). Percid
le omotetie insieme con le traslazioni formano un gruppo oo4. Le tras-
lazioni possono considerarsi come omotetie di caratteristica eguale ad
1. Un’omotetia discorde e riducibile al prodotto commutabile di un’o-
motetia concorde per un’equinversione concentrica.
62. Rotomotetie. — Dicesi rotomotetia (spaziale) il prodotto com-
mutabile di un’omotetia concorde (spaziale) per una rotazione (spaziale)
attorno ad un asse passante per il centro dell’omotetia. Se la rotazione
fattore e un semigiro (o simmetria assiale), la rotomotetia si dice simme-
trica133). Un’omotetia concorde si pud considerare come una rotomo-
tetia (impropria) in cui la rotazione fattore si riduce all’identita.
Se SR e una rotomotetia propria (cioe non simmetrica, ne riduci-
bile ad un’omotetia), sono determinate univocamente 1’omotetia О e
la rotazione 3R tali che SR = 3R D = О 3R ; percid tali corrispondenze
si dicono fattori di SR. La caratteristica di D e l’ampiezza ed il verso
di 3R si dicono caratteristica, ampiezza e verso di SR.
Ogni rotomotetia ammette un solo punto unito (centro), che e il
centro dell’omotetia fattore. In una rotomotetia propria vi e una ed una
sola retta unita (asse), che e l’asse della rotazione fattore ; ed uno ed
uno solo piano unito (piano centrale), che e il piano passante per il centro
ed ortogonale all’asse. In una rotomotetia simmetrica vi sono invece
infinite rette unite : l’asse e tutte le rette ortogonali all’asse e situate
sui piano centrale ; ed infiniti piani uniti : il piano centrale e tutti i
piani passanti per l’asse.
Una rotomotetia spaziale e una trasformazione concorde che muta
in se stessi i semispazi limitati dal piano centrale ; cioe i punti corri-
spondenti, non appartenenti al piano centrale, sono situati dalla stessa
banda rispetto al piano centrale.
Una rotomotetia simmetrica SR subordina sui piano centrale una
rotomotetia concentrica ; e su ogni piano unito, diverso dal piano cen-
trale, un’antiomotetia il cui asse principale e I’asse di SR ed il cui asse
secondario e I’intersezione del piano assegnato con il piano centrale
di SR. Per modo che : Ogni similitudine piana (concorde о discorde) pud
pensarsi subordinata da una rotomotetia spaziale, cioe da una trasfor-
mazione concorde dello spazio in se.
Una rotomotetia e individuata dal centro, dal piano centrale e da
una coppia di punti corrispondenti (distinti) situati dalla stessa parte
rispetto al piano centrale. Invero sia C il centro, a il piano centrale e
P;P' la coppia di punti distinti corrispondenti nella trasformazione SR
da costruire ; e diciamo PT e P\ le proiezioni ortogonali di P e P'
1M) Denominazione adottata da G. Scorza 1s), p. 106 e da E. Veneroni “У,
p. 121.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
443
sul piano centrale. Allora la rotomotetia spaziale 91 richiesta e eguale al
prodotto della rotazione 3R avente come asse la perpendicolare condotta
per C al piano centrale e che porta il punto P± nel punto P2 del
raggio di origine C e passante per P\, tale che la sua distanza da C sia
eguale alia distanza di Pr da C, per 1’omotetia concorde D di centro
C che porta P2 in P\.
63. Antiomotetie. — Diremo antiomotetia (spaziale) il prodotto
commutabile di un’antirotazione (spaziale) per un’omotetia (spaziale)
concorde, il cui centro appartenga al piano centrale dell’antirotazione.
Nel caso particolare in cui 1’antirotazione si riduce ad uno specchiamento
(simmetria planare), 1’antiomotetia si dira simmetrica13*). Un’omotetia
discorde si pud considerare come un’antiomotetia (impropria) : preci-
samente come il prodotto di un’omotetia concorde per un’equinver-
sione concentrica (antirotazione di ampiezza n).
Un’antiomotetia propria (non riducibile ad un’omotetia, ne sim-
metrica) e decomponibile, in un sol modo, nel prodotto di un’antiro-
tazione per un’omotetia concorde concentrica. La caratteristica della
omotetia fattore e 1’ampiezza ed il verso dell’antirotazione fattore si
dicono caratteristica, ampiezza e verso dell’antimotetia assegnata.
Un’antiomotetia ha un punto unito ed uno solo : il centro (che e il
centro comune all’antirotazione ed all’omotetia fattore) ; se poi 1’antio-
motetia e propria, essa ha una ed una sola retta unita : Vasse, ed uno ed
un sol piano unito : il piano centrale (che e il piano unito. dell’antirota-
zione fattore). In un’antiomotetia simmetrica vi sono invece infinite rette
unite : l’asse e tutte e sole le rette passanti per il centro e situate sul
piano centrale ; ed infiniti piani uniti : il piano centrale e tutti i piani
passanti per l’asse.
Un’antiomotetia e individuata dal centro, dal piano centrale e da
una coppia di punti corrispondenti (distinti) situati da bande opposte
rispetto al piano centrale (cfr. § 62).
Un’antiomotetia spaziale e una trasformazione discorde che scambia
fra loro i semispazi limitati dal piano centrale.
64. Prodotti di omotetie concordi per isomerie. — Il pro-
dotto di- un’omotetia concorde, preceduta, о seguita, da una rotazione
qualunque, e una rotomotetia. Il prodotto di un’omotetia concorde,
preceduta, о seguita, da un’elicomozione generica, e una rotomotetia.
Il prodotto di una rotomotetia, preceduta, о seguita, da una rotazione,*
e una rotomotetia. Il prodotto di una rotomotetia, preceduta, о seguita
da un’elicomozione generica, e una rotomotetia (ed in particolare una
omotetia).
Il prodotto di un’omotetia concorde preceduta о seguita da uno
specchiamento e un’antiomotetia, che ha come caratteristica la caratteri-
18<) Denominazione adottata da G. Scorza1’), p. 113; e da E. Veneroni1*),
p. 123.
444
Ugo Cassina
stica dell’omotetia fattore ed il cui piano centrale e parallelo al piano
specchiante assegnato. Il prodotto di una rotomotetia, preceduta о
seguita da uno specchiamento, e un’antiomotetia, la cui caratteristica
e eguale alia caratteristica della rotomotetia assegnata.
Il prodotto di un’antiomotetia, preceduta о seguita da uno spec-
chiamento, e una rotomotetia, che ha come caratteristica la caratteri-
stica dell’antiomotetia fattore. Quindi :
Il prodotto di un’omotetia concorde, preceduta о seguita da una
congruenza, e una rotomotetia generica ; ed il prodotto di un’omotetia
concorde, preceduta. о seguita da un’anticongruenza, e un’antiomo-
tetia generica.
65. Prodotti di rotomotetie ed antiomotetie. — Il prodotto
di due rotomotetie e in generale una rotomotetia, che ha come caratte-
ristica il prodotto delle caratteristiche delle trasformazioni fattori, ma
e una congruenza tutte le volte che tale prodotto vale 1 ; e — immaginata
soddisfatta questa condizione — si ha una rotazione quando e solo
quando le trasformazioni assegnate sono concentriche ; ed una trasla-
zione quando e solo quando le rotazioni fattori delle trasformazioni
assegnate hanno assi paralleli, eguali ampiezze e versi opposti.
Le rotomotetie concentriche formano un gruppo, di cui sono sotto-
gruppi il gruppo delle omotetie concentriche e quello delle rotazioni
attorno ad assi passanti per il centro del sistema. Le rotomotetie spa-
ziali formano alia lor volta un gruppo, di cui sono sottogruppi il gruppo
delle omotetie e traslazioni ed il gruppo delle congruenze spaziali. La
decomposizione di una congruenza spaziale nel prodotto di due roto-
motetie si pud ottenere in infinite maniere.
Il prodotto di due antiomotetie e in generale una rotomotetia che
ha come caratteristica il prodotto delle caratteristiche delle trasforma-
zioni fattori ; ma, se tale prodotto vale 1, la trasformazione , risultante e
una congruenza spaziale. Il prodotto di una rotomotetia, preceduta о
seguita da un’antiomotetia, e in generale un’antiomotetia, che ha come
caratteristica il prodotto delle caratteristiche delle trasformazioni as-
segnate ; ma e un’anticongruenza, quando e solo quando il prodotto di
tali caratteristiche vale 1.
Un’anticongruenza e riducibile in infiniti modi al prodotto di una
rotomotetia per un’antiomotetia. In particolare ogni specchiamento e
riducibile al prodotto di una rotomotetia per un’antiomotetia concentrica.
Le rotomotetie ed antiomotetie spaziali formano un gruppo, che
comprende come sottogruppo ii gruppo delle isomerie spaziali.
Il prodotto di una rotomotetia, preceduta о seguita da un’antio-
motetia non concentrica, si riduce ad un’antitraslazione, quando e solo
quando le caratteristiche delle trasformazioni assegnate sono reciproche
ed il prodotto delle isomerie vettoriali corrispondenti ad esse e uno
specchiamento vettoriale (cfr. § 60’1). tn particolare: Il prodotto di
un’antiomotetia per una rotomotetia coassiale, ma non concentrica, a
caratteristiche reciproche, ad ampiezze eguali e di versi opposti, e uno
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
445
specchiamento ad un piano parallel© ai piani centrali delle trasformazioni
assegnate»
66. Similitudini. — • 1 - Le similitudini *) spaziali si definiscono
come le similitudini piane (v. § 28) ; solo che ora il campo d’applica-
zione delle trasformazioni considerate e costituito dall’insieme di tutti
i punti. Cosicche : similitudine spaziale e una trasformazione biunivoca
spaziale © tale che, se A , В sono punti qualunque ed Л', B' i loro
trasformati mediante ©, il rapporto fra le lunghezze dei segmenti (cor-
rispondenti) A B' ed A В sia costante (caratteristica della similitudine) ;
oppure e una trasformazione spaziale biunivoca che muta le sfere attorno
ad un punto (come centro) nelle sfere attorno al trasformato di quel
punto (come centro) ; oppure e una trasformazione spaziale biunivoca
che muta punti collineari in punti collineari ed e isogonale (o conforme),
cioe tale da mutare angoli in angoli di eguale ampiezza.
Le similitudini formano un gruppo. Le isomerie sono le similitu-
dini di caratteristica 1. Le rotomotetie e le antiomotetie sono simili-
tudini.
Una similitudine spaziale muta segmenti in segmenti, raggi in
raggi, rette in rette, semipiani in semipiani, piani in piani, semispazi
in semispazi, punti medi in punti medi, stelle di rette о piani in stelle
di rette о piani, ecc.135). Essa subordina fra piani о rette corrispondenti
una similitudine, e fra fasci di rette о stelle di rette un’isomeria. E se
I’isomeria subordinata fra le stelle di centri A e Л', corrispondenti nella
similitudine ©, e Concorde, e pure Concorde I’isomeria subordinata
fra le stelle di centri В e Bf, ove B;Bf e un’altra coppia qualunque
di punti corrispondenti in ©. Secondo che si presenta 1’una alternativa
о I’altra, la similitudine © e Concorde о discorde.
Se А В C D ed A Bf Cf Df sono due tetraedri ordinati simili (se-
condo la comune accezione), esiste una ed una sola similitudine © atta
a portare A in A, В in B', C in C", e D in D’. Invero la trasforma-
zione richiesta e quella che fa corrispondere ad un punto generico E
—1 ottenuto come intersezione -(unica) delle quattro sfere passanti per
esso e di centri rispettivamente A , В ,C ,D — quel punto E', uni-
vocamente determinato, come intersezione delle quattro sfere, di centri
rispettivamente A, B', C, D' e di raggi eguali rispettivamente ai pro-
dotti delle distanze di E da A , В , C , D per il rapporto h = A B'/A B.
Per costruire la similitudine ©, osserviamo che, se h vale 1, cioe se
i due tetraedri ordinati assegnati sono eguali, ©’ coincide con V isomeria
unica soddisfacente alle condizioni del problema (cfr. § 58). Suppo-
niamo adunque che h sia diverso da 1. Siano Br , Cr e Dr i punti
dei raggi di centro Af e passanti rispettivamente per B’,C e D’ tali
che : A B± = А В , A C± = A C ed A D± = A D. Ora il tetraedro
ordinato A B1C1D1 e eguale al tetraedro ordinato А В C D, ed e
omotetico ed equiverso al tetraedro ordinato А В' C D'. Indichiamo
18f) Cfr. M. Pieri8), p. 389.
446
Ugo Cassina
percid con 3 Visomeria spaziale atta a portare A in Л', В in Bx, C in
Cx e D in D1 e con £) Vomotetia spaziale concorde di centro A' atta
a portare Bx in B' (e percid Cx in Q e Z>x in Z>') ; allora il prodotto
© = D S e la similitudine soddisfacente alle condizioni del problema.
Ogni similitudine spaziale e dunque un'isomeria od e riducibile al
prodotto di un'isomeria, preceduta, о seguita, da un'omotetia concorde™).
La similitudine ©, individuata dai due tetraedri suddetti, e poi concorde
о discorde secondo che questi sono equiversi о contraversi.
Quindi una similitudine, se non e un’isomeria, e una rotomotetia
(in particolare un’omotetia concorde) od un’antiomotetia (ed in par-
ticolare un’omotetia discorde). Ciofe : le rotomotetie e le antiomotetie
spaziali sono i tipi generici delle similitudini, concordi о discordi, che
non siano in pari tempo delle isomerie.
Una similitudine spaziale, che non sia un’isomeria, ammette un
sol punto unito, che dicesi il centro della similitudine : ed ogni simi-
litudine spaziale possiede almeno una retta unita (asse) ed un piano
unito (piano centrale), ortogonali fra loro ed incident! nel centro della
trasformazione * 137).
Una similitudine, che non sia un’isomeria, e individuata dal suo
centro e dall’isomeria subordinata nella Stella di raggi (unita) avente
come centro il centro della similitudine. Anzi, la natura della simili-
tudine dipende dalla natura di codesta isomeria ; ciod si possono clas-
sificare le similitudini spaziali fondandosi su questa proprieta. Cosi :
Se 1’isomeria 3 subordinata nella Stella di raggi di centro О (ove О ё
il centro della similitudine) e Videntitd, © e un'omotetia concorde ; se ё
V opposizione, © e una omotetia discorde ; se e una rotazione propria, ©
e una rotomotetia propria ; se e una simmetria assiale (semigiro), © ё
una rotomotetia simmetrica ; se e una simmetria planare (specchiamento),
© e un'antiomotetia simmetrica ; se e una antirotazione propria, © ё
un'antiomotetia propria 138).
Se А В С e А' В' C sono due triangoli simili (secondo la comune
accezione), esistono due e due sole similitudini — una concorde e 1’altra
discorde — atte a portare A in A', В in B' e C in C'13e).
Una similitudine concorde ё il quadrato di un’altra similitudine ;
ed una similitudine discorde non e mai il quadrato di un’altra simili-
tudine. Proprieta questa che pud servire a definire le similitudini con-
cordi senza ricorrere alia nozione di verso.
Una similitudine con quattro punti uniti non complanari non dif-
ferisce dzW'identitd ; una similitudine (non identica) con tre punti uniti
non collineari non differisce dallo specchiamento al piano individuato
da codesti punti ; una similitudine non identica e che non sia uno spec-
chiamento, con due punti uniti distinti, e una rotazione attomo all’asse
individuato da codesti punti.
lw) M. Chasles *5), p. 323.
137) M. Chasles 45), p. 322.
13e) Cfr. G. Scorza13), p. 104 e p. 112; E. Veneroni 18), p. 120-125.
13t) Cfr. M. Pieri 8), p. 415.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
447
•2 - L’equazione vettoriale di una similitudine ©, diversa da una
isomeria, e :
(33)
SP = О + Л<т(Р— О) ,
ove О e un punto (centro della similitudine), h una costante positiva
diversa da 1 (caratteristica della similitudine) e a un'isomeria vettoriale
(isomeria vettoriale della similitudine).
Se la similitudine © e individuata da due tetraedri ordinati corri-
spondenti А В C D ed А' В' C D', allora :
(34) h = A' B'/A B = A' C'/A C = ecc.,
e о e 1’isomeria vettoriale definita dalle relazioni seguenti :
(35) а (B — A) = (B'—A')/h , <r(C — A) = (C'—A')/h ,
. o(D — A) = (D'—A')/h ,
ed il centro О di © e il punto tale che :
(36) O = A + (1 —Aa)-1^' —Л) .
Per la costruzione grafica di O, fondata sulla (36), si veda il § 73
relativo alia costruzione grafica del centro di un’affinita spaziale.
Le equazioni generali di una similitudine spaziale, in un sistema
di coordinate cartesiane ortogbnali, sono :
(37)
r x' = h(ax + by + cz)+d,
\ yf = h(avx + b^y + cxz) + dx,
z' = h (a2 x + b^y + c2 z) + d2,
ove il determinante
A =
a b c
ai ci
Ь2 C2
ё ortogonale. Il numero h (che pud supporsi positivo) ё la caratteristica
della similitudine. Secondo che A vale + 1 oppure — 1, le equazioni
(37) rappresentano una similitudine concorde о discorde.
Dalle (37) risulta che le similitudini spaziali formano un gruppo
oo7, che comprende come sottogruppo il gruppo ooe delle isomerie
spaziali (caso di h = 1).
*3 - Possiamo percid dire che sono quattro i tipi di trasformazioni
elementari che ci si presentano come essenziali — nell’ordinamento
adottato — per ottenere tutte le similitudini spaziali. Invero, partendo
448
Ugo Cassina
dalle traslazioniy per ottenere le congruenze occorre aggiungere le ro-
tazioni (od almeno i semigiri) ; per ottenere poi le anticongruenze oc-
corre aggiungere gli specchiamenti; se si escludono gli specchiamenti e
si introducono le omotetie concordi, si ottengono le similitudini concordi ;
ed infine, se si includono specchiamenti ed omotetie concordi, si otten-
gono tutte le similitudini spaziali.
Ma abbiamo osservato che si pud sviluppare tutta la teoria delle
isomerie spaziali partendo da un unico tipo di trasformazioni, cioe
dagli specchiamenti ; ed allora, come gli specchiamenti sono le trasfor-
mazioni elementari irriducibili atte a dare ogni isomeria spaziale, cosi
le omotetie concordi spaziali sono le trasformazioni elementari irriduci-
bili atte a dare con gli specchiamenti ogni similitudine spaziale.
*4- Similitudini fra sfere. Date due sfere (superficie) a e a', esi-
stono una ed una sola similitudine Concorde ed una ed una sola simi-
litudine discorde, che mutano a in o' portando un punto A di a<.in
un punto A* di o'. Le infinite similitudini atte a trasformare la sfera
о nella sfera o' hanno in comune la caratteristica, che e eguale al rap-
porto dei raggi delle sfere assegnate : quindi, se questi sono diversi,
nessuna di tali similitudini pud essere un’isomeria ; e percid ammette un
centro, che si dira un centro disimilitudine delle due sfere assegnate. Si ha :
Il luogo dei centri di similitudine di due sfere, non concent riche
ed a raggi diseguali, e la sfera avente per diametro il segmento deter-
minate dai punti cho dividono, internamente ed esternamente, il seg-
mento dei centri nel rapporto dei raggi. Esistono due e due sole omo-
tetie, 1’una Concorde e I’altra discorde, atte a trasformare una sfera о
in una sfera o' (non concentrica ed a raggi diseguali). I loro centri sono
i punti Cx e C2 che dividono, internamente ed esternamente, il segmento
dei centri delle sfere date nel rapporto dei raggi. Questi punti hanno
il nome di centri di omotetia (diretta od inversa) delle due sfere о e o'.
Il teorema precedente si pud dunque enunciare cosi :
Il luogo dei centri di similitudine di due sfere, non concentriche
ed a raggi'diseguali, e la sfera che ha per diametro il segmento deter-
minate dai loro centri di omotetia.
Per i centri di omotetia passano tutti gli eventual! piani tangenti
alle due sfere assegnate.
Date tre sfere, a due a due diseguali e’d i cui centri non sono alli-
neati, si hanno sei omotetie nelle quali esse si corrispondono a due a
due ; i sei centri di queste stanno sul piano a cui appartengono i tre
centri delle sfere e sono i vertici di un quadrilatero completo (i cui lati
son detti assi di omotetia delle tre sfere). Se per uno di questi assi passa
un piano tangente ad una delle tre sfere, lo stesso piano e tangente alle
altre due. Percid :
Tre sfere hanno al piti otto piani tangenti comuni, che si segano
a coppie negli assi di omotetia delle tre sfere 140).
14°) G. Monge®*). Sull’argomento cfr. I’art. XXVII di questa Enciclopedia **), § 9»
XXVIII. - Trasformazioni hrometriche elementari
449
Date quattro sfere, a due a due diseguali ed i cui quattro centri
non siano in un piano, vi sono dodici omotetie in cui esse si corrispon-
dono a due a due ; i loro dodici centri sono a tre a tre su sedici rette
(assi di omotetia) che sono le quattro quaterne di assi di omotetia delle
quattro sfere prese a tre a tre nei quattro modi possibili; ed a sei a sei
su otto piani (piani di omotetia). Questi si ottengono considerando
una sfera come direttamente omotetica a ciascuna delle tre rimanenti, о
come inversamente omotetica a ciascuna delle tre rimanenti, о (in tre
modi) come direttamente oipotetica a due d come inversamente omo-
tetica alia terza, od infine (pure in tre modi) come direttamente omo-
tetica ad una ed inversamente omotetica a due delle rimanenti. Il primo
di questi piani di omotetia contiene i sei centri di omotetia diretta ;
ciascuno dei quattro seguenti contiene tre centri di omotetia diretta e
tre centri di omotetia inversa ; ciascuno degli altri tre contiene due
centri di omotetia diretta e quattro centri di omotetia inversa. Ogni
piano di omotetia contiene quattro assi di omotetia, e per ogni asse
di omotetia passano due piani di omotetia. I dodici centri di omotetia
stanno pure, a sei a sei, sui quattro piani che contengono, ciascuno,
tre dei centri delle quattro sfere141).
XIV. — Affinita142).
67. Affinita omologiche. — • 1 - Chiamasi affinita omologica (spa-
ziale) una trasformazione biunivoca spaziale, che ha uniti tutti e soli
i punti di un piano — piano centrale (o semplicemente piano) dell’affi-
nita omologica —, che trasforma punti collineari in punti collineari, ed
inoltre e tale che punti corrispondenti distinti siano sempre congiunti
da rette parallele fra loro (o coincidenti) e che rette corrispondenti
distinte siano sempre incident i sul piano о par allele al piano dell’affi-
nita61) (cfr. § 29).
La direzione comune alle rette congiungenti i punti omologhi
in una stessa affinita omologica D si dira direzione di D. Se essa e orto-
gonale al piano centrale, l’affinita omologica dicesi ortogonale ; se in-
vece e parallela a questo piano, dicesi speciale. Se non si dira esplici-
tamente il contrario, l’affinita omologica in esame verra riguardata come
non speciale.
Uno specchiamento e un’affinita omologica ortogonale.
141) G. Monge и). L. Gaultier, J. Ec. polyt., cah. 16 (1813), p. 124, e
J. D. Gergonne, Mem. Acc. Torino, 22 (1816), p. 80'; Ann. math, pures appl., 7
(1816-1817), p. 289 usano queste propriety di G. Monge per la risoluzione dei pro-
blemi di contatto di Apollonio e Malfatti. Si eft anche M. Chasles m), p. 421
e seg.; inoltre le opere citate nelle note al cap. orntttiimo della sezione B), principal-
mente 5e).
142) Il primo studio delle affinity spaziali ё dovuto a L. Euler <2), ed a A. F.
Mobius •*). Perd molte delle propriety enunciate in questo capitolo e la classificazione
completa delle trasformazioni, sono forse esposte per la prima volta in U. Cassina w),
p. 1121.
450
Ugo Cassina
Un’affiniti omologica £) e individuata dal piano centrale a e da
una coppia di punti distinti corrispondenti A e A'. Invero, se В ё un
punto qualunque fuori della retta A A', il suo corrispondente B' in
£) si troveri sulla parallela b condotta per В alia A A' ; inoltre, se la retta
А В e parallela ad a, tale sari anche la A’ B'9 percid il punto B' sari
I’intersezione della retta b con il piano passante per A' e parallelo ad
a ; se invece la retta A В taglia il piano a nel punto M, anche la retta
A' B’ passeri per M, e questa circostanza permetteri senz’altro di co-
struire B'. Se poi si vuole trovare il corrispondente C' di un punto C
della retta A A*, ci si varri della coppia di punti corrispondenti B\B’
gia costruita (cfr. § 29).
Un’affiniti omologica spaziale ammette infiniti piani uniti : il piano
centrale dell’affinita ed inoltre tutti gli infiniti piani paralleli alia direzione
dell’affinita. Essa ammette come rette unite tutte e sole le rette del piano
centrale e quelle aventi come direzione comune la direzione dell’affinita.
’2 - Se бе un’affiniti omologica spaziale, individuata dal piano
centrale a e da una coppia di punti distinti corrispondenti A e Л', la
sua equazione vettoriale pud scriversi cosi :
(38) S P = C + [1 + H (a , b)] (P — Q ,
ove С e la proiezione ortogonale di A su a, e si e assunta come uniti
di misura delle lunghezze quella del segmento A C ed inoltre a = A — C
e b = A' — A. Viceversa ogni equazione del tipo (38) — anche se a
non e unitario — rappresenta un’affiniti omologica spaziale, il cui piano
centrale passa per C, e la cui direzione e quella del vettore b.
Quindi 1’omografia vettoriale relativa ad un’affiniti omologica ё
del tipo «1 + H (a , b)», ove a , b sono due vettori qualunque. Ad
una tale omografia daremo il nome di omologia vettoriale (spaziale).
In particolare, se а ё parallelo a b, la (38) rappresenta un’affiniti omo-
logica ortogonale ; se invece а ё perpendicolare a b, la (38) rappresenta
un’affiniti omologica speciale.
Introdotta la nozione di caratteristiea come per le affiniti omo-
logiche piane, si ha che la caratteristica della affiniti omologica (5, defi-
nita dalla (38) — ove a , b si immaginano vettori qualunque — ё data da :
(39) h = 1 + a x b = I3 [1 + H (a , b)] .
In un sistema di coordinate cartesiane (oblique, in generale) avente
come piano delle x ed у il piano centrale dell’affiniti omologica S (non
speciale) e come direzione dell’asse z la direzione di (5, le equazioni
della trasformazione sono del tipo :
( xf ±= x ,
(40) J у' = у ,
( z* = h z ,
ove h ё la caratteristica di (5.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
451
•3 - Si possono estendere alle affinity omologiche spaziali — it
piu delle volte con la sola sostituzione della parola piano centrale alia
parola asse — le proprieta gia viste per le affinita omologiche piane
(v. § 29) : in particolare la definizione e le proprieti delle simmetrie
(planari) oblique.
68. Affinita assiali. — ’1 - Diremo affinita assiale142) ogni tras-
formazione biunivoca dello spazio in se, che muta punti coUineari in
punti collineari (subordinando fra le rette corrispondenti una simili-
tudine) e che ha infiniti punti uniti: tutti e soli quelli di una retta : asse
dell’affinita assiale.
Un’affinity assiale e individuata dall’asse z e da due coppie di punti
corrispondenti distinti A\A' e B;B', tali che le rette A В ed A'Br
siano sghembe con z e che A A’ e В В’ non siano parallele. Per costruire
la trasformazione J cosi definita, possiamo procedere nel seguente
modo : sia SR 1’affiniti omologica che ha come piano z A e che porta
В in B', ed S 1’affinita omologica di piano z B’ che porta A in A’ ; al-
lora si ha X = S SR. Cioe :
Ogni affinita assiale e eguale al prodotto di due affinity omologiche
a piani incident! (nell’asse dell’affinity assiale).
Da osservare che, affinche la decomposizione di cui sopra sia pos-
sibile, e sufficiente che B’ non appartenga al piano z A — cioe che В
non sia stato scelto sul piano z • <S-1 A —, condizione dunque che si
pud sempre pensare soddisfatta senza venire meno alia generality.
’2 - Se indichiamo con О e C due punti (distinti) qualunque del-
1’asse z e poniamo :
(41) а = А — О , b = B — O,c = C — O,
a' = A' — O , b' = B' — O,
1’equazione vettoriale di (5 pud scriversi cosi:
(42) ®p=O + a(P— O),
ov$ :
(43) a = [1 +’ H (b' Л c , v)] [1 + H (c A a , u)] ,
(44) u = (bz — b)/(a x b Ac) , v = (a' — a)/(b' x с Л a) .
L’omografia vettoriale, corrispondente ad (5, e un’omografia di tipo
particolare (ammette uno ed un solo vettore unito), alia quale daremo
il nome di affinita vettoriale.
Le equazioni cartesiane di un’affinita assiale non Speciale (cioe in
cui la direzione dell’asse non appartiene alia giacitura dei piani uniti)
sono del tipo seguente :
( x' = a x + b у ,
(45) ] y' = avx-Ybxy,
\ z* = z ,
452
Ugo Cassina
ove a , b , ax, br sono numeri reali tali che a br — arb sia diverso da
zero. Allora l’asse delle z e У asse della trasformazione, e la giacitura del
piano delle x e у e la giacitura comune ai piani uniti {giacitura centrale).
Le equazioni cartesiane di un’affinita assiale speciale sono invece
del tipo seguente :
i x' = a x + b у ,
(.46) ’ у' = у ,
' z' = агх + Ьг у + z ,
ove a , b , a2 , b2 sono numeri reali ed a e diverso da zero. Allora l’asse
delle z e l’asse della trasformazione, e la giacitura del piano delle z
e x e la giacitura dei piani uniti.
'3 - Un’affinita assiale non speciale subordina su ogni piano unito
un’affinita centrale, il cui tipo non varia al variare del piano ; percid
potremo distinguere le affinita assiali non speciali in quattro tipi : omo-
tetiche, iperboliche, paraboliche ed ellittiche, secondo che l’affinita piana
subordinata su ogni piano unito e un’omotetia, od un’affinita centrale
iperbolica, parabolica od ellittica (cfr. § 30).
L’affinita assiale non speciale omotetica (o biassiale) ha unito ogni
piano del fascio avente come asse l’asse della trasformazione ; invece
secondo che l’affinita assiale non speciale considerata e iperbolica, pa-
rabolica od ellittica, nel fascio di piani di cui sopra esistono due, uno
о nessun piano unito per la trasformazione.
Un’affinita assiale speciale subordina su ogni piano unito un’affi-
nita od una trasloaffinita omologica, il cui tipo non varia al variare del
piano ; percid potremo distinguere le affinita assiali speciali in due cate-
gorie : iperboliche e paraboliche, secondo che la trasformazione subordi-
nata su ogni piano unito e non speciale о speciale (cioe ammette due
od una direzione unita).
Secondo che l’affinita assiale speciale e iperbolica о parabolica, nel
fascio di piani che ha come asse l’asse della trasformazione si hanno
due о un sol piano unito per la trasformazione.
L’affinita biassiale ha infinite direzioni unite non complanari, 1’affi-
nita assiale non speciale iperbolica ha tre direzioni unite non complanari,
quella parabolica due, e quella ellittica una sola (semplice). L’affinita
hssiale speciale iperbolica ha due direzioni unite, e quella parabolica una
sola {tripla).
In un’affinita assiale (speciale о no) i punti corrispondenti sono si-
tuati su un piano avente come giacitura la giacitura dei piani uniti.
E ogni piano parallelo all’asse e passante per una coppia di punti corri-
spondenti e unito.
Un’affinita assiale speciale parabolica e individuata dall’asse, dal
piano unito passante per l’asse {piano centrale), da una coppia di punti
corrispondenti appartenenti al piano centrale (fuori dell’asse), e da una
coppia di rette corrispondenti incidenti sull’asse e non appartenenti al
piano centrale. Se indichiamo con О il punto d’intersezione delle rette
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
453
corrispondenti у e y\ con A\A' la coppia di punti corrispondenti (ap-
partenenti ad una retta parallela all’asse #) e diciamo a il piano cen-
trale, si ha che, preso ad arbitrio un piano ft parallelo ad a e detti В e
B' i suoi punti d’intersezione con le rette у e yf, i punti cosi determinati
sono corrispondenti nella trasformazione (5 desiderata ; la quale percio
e ora completamente individuata dall’asse e dalle due coppie di punti
corrispondenti A;A' e B\B'.
Un’affinita assiale speciale parabolica e individuata dall’asse e da
due coppie di punti corrispondenti P;P' e Q\Q' appartenenti ad
uno stesso piano unito non passante per l’asse, tali che P Q e P' Qr
siano sghembe con l’asse e tali'inoltre che, detta M I’intersezione delle
rette passanti per P' e Q' e parallele rispettivamente a PQ ed all’asse,
il vettore P — Q risulti eguale al vettore P'—M (cioe la figura PQ MP*
sia un parallelogrammo).
69. Affinita centrali. — • 1 - Affinita centrale142) (spaziale) e una
trasformazione biunivoca dello spazio in se, che muta punti collineari
in punti collineari (subordinando fra le rette corrispondenti una simi-
litudine) e che ha uno ed uno solo punto unito : il centro dell’affinita.
Ogni similitudine che non sia un’isomeria e un’affiniti centrale.
Un’affinita centrale e individuata dal centro О e da tre coppie di
punti corrispondenti distinti A e A'y В e В', C e C", tali che пё
О А ВС пё О А' В' C siano complanari, e che le rette A А', В В', С C
siano a due a due incidenti о sghembe (che, altrimenti, la trasformazione
si ridurebbe ad un’affinita assiale о ad un’affinita omologica). Indichiamo
con SR 1’affinita desiderata ; sia Й 1’affinita omologica di piano О A В
che porta C in C", 2R 1’affinita omologica di piano О A C che porta
В in B\ ed 9? 1’affinita omologica di piano О В' C' che porta A in A' :
allora si ha SR = 9? 2R 2. Quindi :
Ogni affinita centrale (spaziale) e il prodcftto di tre affinita omolo-
giche (spaziali) a piani concorrenti nello stesso punto (centro dell’affinita).
Affinche la decomposizione di. cui sopra sia possibile, e sufficiente
che C' non appartenga al piano ,O A В e che A non appartenga al piano
О В' С' ; condizioni, dunque, che possono sempre pensarsi soddi-
sfatte senza venir meno alia generalita.
•2 - Se poniamo :
(47) а = А — О , b = B — O , с = С— О ,
a'= A'— О , b'= В'— О , c'= С— О ,
I’equazione vettoriale di SR pud scriversi cosi:
(48) SRP = О + q(P — O) ,
ove :
(49) q = [1 + H (b' Ac' , u)] [1 + H (а Де', v)][l + H (a A b , w)] ,
454
Ugo Cassina
<(50) u =--------a , , v = --------------, , w = --------——.
v ' ахЬДс Ьхадс' ахЬДс
Poiche :
q a = a' , q b = b' , q c = c',
e a , b , c ed a', b', c' sono due terne di vettori non complanari, pos-
siamo dire che 1’omografia vettoriale corrispondente ad un’affinita cen-
trale ё un’omografia vettoriale propria generica.
Il prodotto di una traslazione per un’affinita centrale e un’affinita
centrale.
•3 - Ogni affinita centrale ammette almeno una retta unita и ed
un piano unito a passanti per il suo cenfro. Ed allora due ipotesi potremo
fare : la retta и non appartiene ad a, oppure la retta и appartiene ad a
(e non esistono una retta ed un piano unito non appartenentisi). Le
trasformazioni del primo tipo hanno come equazioni cartesiane :
( x' = a x + by ,
{51) j y, = a1x + b1y,
[ z' = C2Z ,
ove c2 e diverso da 1 ed il determinante ab1 — arb e diverso da zero.
Allora l’asse delle z ed il piano delle x ed у sono uniti per la trasforma-
zione.
Le trasformazioni del secondo tipo (o speciali) hanno come equa-
tion! cartesiane :
!x' = a x + b у ,
yr = ay ,
z' = c x + a z ,
ove a , b , c sono numeri non nulli ed a e diverso da 1. Allora l’asse z
ed il piano delle z ed x sono uniti per la trasformazione.
Le affinita centrali del primo tipo possono alia lor volta essere di-
stinte in quattro categorie : omologiche, iperboliche, paraboliche, od ellit-
tiche, secondo che nel fascio di piani, che ha come asse la retta unita
in esame, ogni piano e unito, oppure vi sono due, uno, о nessun piano
unito.
In conclusione abbiamo trovato sei tipi di affinita centrali. Le omo-
tetie sono le uniche affinita centrali con una Stella di rette unite ed una
Stella di piani uniti (aventi come centro il centro della trasformazione).
Le affinita centrali omologiche (proprie) sono le uniche affinita con un
fascio di rette e con un fascio di piani uniti (aventi come centro il centro
della trasformazione). Ogni affinita centrale, secondo che e iperbolica,
parabolica, od ellittica, possiede tre, due od una sola retta unita (ed
analogamente tre, due od un solo piano unito). L’affinita centrale
speciale possiede una sola retta unita ed un sol piano unito (tripli).
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
455
Le omotetie (affinita centrali particolari) hanno ogni direzione
unita ; le affinita centrali omologiche (proprie) hanno infinite direzioni
unite formanti una giacitura ; 1’affinita centrale iperbolica ha tre dire-
zioni unite non complanari; 1’affinita centrale parabolica ha due dire-
zioni unite (di ciii una doppia); 1’affinita centrale ellittica ha una sola
direzione unita (semplice) ; 1’affinita centrale speciale ha una sola dire-
zione unita (tripla).
70. Affinity centrale iperbolica. Affinita centrale speciale. —
’1 - Merita una particolare^ menzidne 1’affinita centrale iperbolica, cioe
con tre rette unite non complanari (assi) e tre piani uniti (piani centrali).
Un’affinita centrale iperbolica g e individuata dal centro O, dagli
assi x , у ,z e da una coppia di punti corrispondenti A e A' fuori degli
assi. Le caratteristiche delle omotetie subordinate da g sui suoi assi
si dicono le caratteristiche principali della trasformazione. Un’affinita
centrale iperbolica e Concorde о discorde secondo che il prodotto delle
sua caratteristiche principali e positivo о negativo. Un’omotetia si pud
considerare come un’affinita centrale iperbolica impropria, le cui ca-
ratteristiche principali sono eguali; e- cosi un’affinita centrale omolo-
gica si pud considerare come un’affinita centrale iperbolica impropria,
in cui due caratteristiche principali sono eguali.
L’inversa di un’affinita centrale iperbolica e un’affinita centrale
iperbolica che ha lo stesso centro, gli stessi assi e caratteristiche prin-
cipal! reciproche di quelle della trasformazione primitiva. Ogni affinita
centrale iperbolica e eguale al prodotto di tre affinita omologiche, di
cui ciascuna ha come piano un piano centrale della trasformazione, e
come direzione la direzione dell’asse non appartenente al piano centrale
considerato. Viceversa : il prodotto di tre affinita omologiche, non spe-
cial! a piani incidenti, tali che la direzione di qgnuna appartenga al piano
delle rimanenti e che le loro caratteristiche principali siano diseguali' e
un’affinita centrale iperbolica. Se invece le caratteristiche delle trasfor-
mazioni fattori sono egualiy il prodotto di queste e un’omoteria, e se due
sole di codeste caratteristiche sono eguali, il prodotto e un’affinita cen-
trale omologica (propria). Se infine codeste caratteristiche sono eguali m
valore assoluto ma non in segno, il prodotto e una trasformazione par-
ticolare, a cui si pud dare il nome di antiomotetia о di rotomotetia obliqua,
secondo che e discorde о concorde.
L’ antiomotetia obliqua pud considerarsi come il prodotto commuta-
bile di un’omotetia concorde per una simmetria (planare) obliqua ad un
piano passante per il centro d’omotetia ; quindi, come caso particolare
di essa (quando la simmetria planare e ortogonale' cioe e uno specchia-
mento)' si ha V antiomotetia simmetrica. La rotomotetia obliqua pud con-
siderarsi come il prodotto commutabile di un’omotetia concorde per
una simmetria assiale obliqua ad un asse passante per il centro di omo-
tetia ; quindi, come caso particolare di essa (quando la simmetria assiale
e ortogonak' cioe e .un semigiro)' si ha la rotomotetia simmetrica. E tali
proprieta sono caratteristiche delle antiomotetie e rotomotetie oblique.
456
Ugo Cassina
Un’affinita centrale iperbolica con assi ortogonali dicesi dilatazione
(spaziale). L’imagine vettoriale di una dilatazione spaziale e una dila-
tazione vettoriale.
*2- L/affinita centrale speciale, ciod ammettente una sola retta ed
un solo piano unito (tripH), ё individuata dal punto, dalla retta e dal
piano unito (centro, asse e piano centrale), da una coppia di punti A
e A (distinti) corrispondenti, situati sui piano unito ma non sulla retta
unita, e da una coppia di rette (distinte) omologhe uscenti dal centro
e non appartenenti al piano unito.
Un’affinita centrale speciale ё riducibile al prodotto commutabile
di un’omotetia per un’affinita assiale speciale parabolica, il cui asse
passa per il centro di omotetia ; e viceversa.
71. Trasloaffinita omologiche. — • 1 - Non speciali. Al prodotto
commutabile di un’affinita omologica (spaziale) non speciale per una
traslazione non nulla parallela al piano della medesima, si da il nome
di trasloaffinita omologica (non speciale). Essa ё concorde о discorde,
secondo che ё tale 1’affinita omologica fattore. Alla trasloaffinita omo-
logica discorde ottenuta come prodotto di una simmetria obliqua (pla-
nare) per una traslazione parallela al piano di simmetria, si da il nome
di antitraslazione obliqua (cfr. § 31).
Se SR ё una trasloaffinita omologica (non speciale), la sua decompo-
sizione nel prodotto commutabile di un’affinita omologica non speciale
per una traslazione parallela al piano dell’affiniti ё possibile in modo
unico.
Una trasloaffinita omologica non ha nessun punto unito ; ha in-
vece infiniti piani uniti di cui uno — detto piano centrale — coincide
con il piano dell’affinita omologica fattore, ed i rimanenti formano il
* fascio improprio di piani aventi come giacitiya comune quella indi-
viduata dalla direzione della traslazione fattore e dalla direzione della
affinita omologica fattore.
Le equazioni cartesiane di una trasloaffinita omologica non Spe-
ciale sono :
( x' = x + d,
(53) j y’ =y ,
' z' = az ,
ove a e d sono numeri reali non nulli ed а ё diverso da 1.
Ponendo, nelle (53), a = — 1 si hanno le eauazioni canoniche
AeXVantitraslazione obliqua (spaziale).
Una trasloaffinita omologica ha infinite direzioni unite : le quali
son tutte e sole quelle della sua affinita omologica fattore ; ed ha in-
finite rette unite : tutte e sole quelle del piano centrale |>arallele alia
traslazione fattore.
Una trasloaffinita omologica (non speciale) ё individuata dal piano
centrale, dalla direzione dell’affinita omologica fattore e da una coppia
di punti corrispondenti non appartenenti al piano centrale.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
457
Il prodotto di un’affinita omologica (non speciale), preceduta о
seguita da una traslazione non parallela alia direzione, e una trasloaffi-
nita omologica (non speciale). Ogni trasloaffinita omologica (non spe-
ciale) e il prodotto di due affinita omologiche — una non speciale e
1’altra speciale — a piani paralleli ; e viceversa.
•2 - Speciali, Dicesi trasloaffinita omologica speciale il prodotto
(non commutabile) di una affinity omologica speciale per una traslazione
non nulla ortogonale al piano di quella. La decomposizione predetta e
possibile in modo unico.
Una trasloaffinita omologica speciale e una trasformazione concorde,
che non ha alcun punto unito, ne nessuna retta unita ; ha invece in-
finiti piani uniti formanti * un fascio improprio : precisamente i piani
uniti sono tutti quelli aventi come giacitura comune la giacitura indi-
viduata dalla direzione dell’affinita omologica fattore e dalla direzione
della traslazione fattore. Essa ha poi una giacitura unita — luogo di
direzioni unite — detta giacitura centrale della trasformazione, che
coincide con la giacitura del piano centrale dell’affinita omologica fattore.
Le equazioni cartesiane di una trasloaffinita omologica speciale sono :
i x' = x + c z ,
(54) у' = у ,
• z’ = z + d ,
ove c e d sono numeri reali non nulli.
Ogni trasloaffinita omologica speciale e riducibile al prodotto di
due simmetrie oblique a piani paralleli ; e viceversa.
Essa subordina sui piani uniti una trasloaffinita speciale. Il prodottQ
di un’affinita omologica speciale, Seguita о preceduta da una traslazione
qualunque, purche non parallela al suo piano, e una trasloaffinita omo-
logica speciale avente come giacitura centrale quella dell’affiniti omo-
logica fattore.
Cosicche : le trasloaffinita omologiche (non speciali о speciali) si
possono definire anche come il prodotto (in gienerale non commutabile)
di un’affinita omologica preceduta о seguita da una traslazione non pa-
rallela (od addirittura ortogonale) alia direzione dell’affinita.
72. Trasloaffinita assiali. — •1 - Non speciali. Diremo trqsloaffi-
nitd assiale (non speciale) il prodotto commutabile di un’affiniti assiale
non speciale per una traslazione non nulla parallela all’asse.
Una siffatta decomposizione e possibile in modo unico.
Una trasloaffinita assiale (non speciale) e concorde о discorde, se-
condo che e tale I’affiniti assiale fattore. La trasloaffinita assiale otte-
nuta come prodotto di una simmetria assiale obliqua con una trasla-
zione parallela all’asse dicesi antitraslazione assiale obliqua,
Una trasloaffinita assiale (non speciale) non ha punti uniti, ed ha
una ed una sola retta unita, detta asse, Esso coincide con l’asse della
affihiti assiale fattore, e su di esso la trasformazione subordina una
458
Ugo Cassina
traslazione. Una trasloaffinita assiale (non speciale) ha poi, come dire-
zioni unite, tutte e sole quelle dell’affinita assiale fattore ; e come piani
uniti quelli che proiettano dall’asse le direzioni unite diverse da quella
dell’asse.
Le equazioni cartesiane di una trasloaffinita assiale non speciale sono :
Ix' = a x + by ,
У = ax x + br у ,
z' = z + h ,
ove a bY — arb e diverso da zero, ed h e pure diverso da zero.
Le trasloaffinita assiali (non speciali) possono percid essere di-
stinte in quattro categoric secondo la natura dell’affinita assiale fattore
(cfr. § 68).
Il prodotto (in generale non commutabile) di un’affinita assiale
non speciale, preceduta о seguita da una traslazione non parallela alia
sua giacitura centrale, e una trasloaffinita assiale (non speciale).
• 2 - Speciali. Diremo trasloaffinita assiale speciale il prodotto (non
commutabile) di un’affinita assiale speciale per una traslazione non nulla
ortogonale al suo piano centrale. Una tale decomposizione e possibile
in modo unico.
Una trasloaffinita assiale speciale non ha alcun punto unito ne
nessuna retta unita. Le sue direzioni unite sono quelle dell’affinita as-
siale fattore, e si dicono direzioni centrali della trasformazione.
Le equazioni cartesiane di una trasloaffinita assiale speciale sono :
i x' = a x + b у ,
(56) J у' = у + h ,
( z' = агх + Ьгу + z ,
ove a , b , a2, b2, h sono numeri reali ed a e h sono diversi da zero.
Le trasloaffinita assiali speciali possono esser distinte in due cate-
goric, secondo la natura dell’affinita assiale fattore (cfr. § 68). La traslo-
affinita assiale speciale parabolica e 1’unica trasloaffinita (non speciale
о speciale) priva di purfti, rette e piani uniti. Essa si pud considerare
come il prodotto di un’affinita assiale speciale parabolica per una trasla-
zione ortogonale al suo piano centrale.
Il prodotto (non commutabile) di un’affinita assiale speciale, pre-
ceduta о seguita da una traslazione non parallela al piano centrale, e
una trasloaffinita assiale speciale. Una trasloaffinita assiale (non speciale
о speciale) pud essere definita anche come il prodotto (in generale non
commutabile) di un’affinita assiale per una traslazione non nulla orto-
gonale alia sua giacitura centrale.
Una trasloaffinita assiale speciale parabolica (con direzione unita
tripla) e individuata dalla retta prindpale z (.asse dell’affinita assiale
fattore) e da due coppie di punti corrispondenti P e P', Q e Q' apparte-
nenti a piani distinti, paralleli ad uno stesso piano passante per zy tali
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
459
che le rette PQ e P'Q' siano sghembe con ar, e tali inoltre che, detta M
la proiezione parallela a P Q di P' sulla retta condotta per Q' paralle-
lamente all’asse, il vettore P — Q risulti eguale al vettore P' — M.
73. Affinita. — *1 - Affinita142) (spaziale) ё ogni trasformazione
biunivoca dello spazio in зё, che muta punti collineari in punti collineari
(e che subordina fra le rette corrispondenti una similitudine).
Le trasformazioni esaminate nei §§ precedenti di questa sezione
sono tutte delle affinita. Ogni affinita spaziale muta rette parallele in
rette parallele, e piani paralleli4 in piani paralleli.
Siano AB C D ed A’ B' C* D' due tetraedri ; allora esiste una ed
una sola affinita 91 atta a portare A in Л', В in B\ C in C", D in D'.
Sia J la traslazione (identica se A = A') che porta A in A' e sia S la
affinita (in generale centrale) che ha A' come punto unito e che porta
Br = 2 В in B\ Cr = J C in C' e Dr = S D in D' ; allora SR = <5 S.
La б e in generale un’affinita centrale, e precisamente ё tale se
le rette B1B\ClC\ e D1Dt sono a due a due non parallele ; se in-
vece due di queste rette, ma non tutte, sono parallele fra loro, (5 ё una
affinita assiale il cui asse passa per A' ; infine, se le rette Вг В', Сг С
е Dx D' sono parallele fra loro, (5 ё un’affinita omologica il cui piano
passa per A'. Se poi B± = B' , Cx = C e Dx = D' , S ё Fidentita.
Si conclude percid : Ogni affinita spaziale ё riducibile al prodotto di
una traslazione (eventualmente identica) per un’affinita centrale^ о per
un’affinita assiale, о per un’affinita omologica, о per Videntitd.
Un’affinita spaziale ё dunque un’affinita omologica, od un’affinita
assiale, od un’affinita centrale, od una trasloaffinita, od una traslazione.
Un’affinita spaziale od ё un’affinita omologica, od ё riducibile al
prodotto di un numero finite {quattro al piii) di affinita omologiche.
Un’affinita (spaziale) si pud anche ridurre al prodotto di una similitu-
dine concorde per un’affinita assiale (cfr. § 33 *i).
L’affinita individuata dai due tetraedri ordinati corrispondenti
ABCD ed А’ В’ C D’ ё concorde о discorde secondo che essi sono
e quiver si о contraversi.
Un’affinita, se ha due punti uniti distinti, ha infiniti punti uniti :
tutti quelli della retta che congiunge i due primi. Un’affinita con tre
punti uniti non collineari ha un piano luogo di punti uniti : il piano
congiungente i tre primi. Un’affinita con quattro punti uniti non com-
planari non differisce dall’identita.
•2 - L’equazione vettoriale di un’affinita S ё :
(57) SP=O' + a(P — O) ,
ove О e O' sono punti corrispondenti qualunque e о un’omografia
vettoriale qualunque (non degenere) — immagine — di S.
Se l’affinita S ё individuata dai due tetraedri ordinati corrispon-
denti О А В C ed O' А' В' C', 1’omografia а ё definita dalle egua-
460
Ugo Cassina
glianze seguenti :
(58) о (A — O) = A' — O' , а (В — О) = B' — O' ,
a(C — O) = C— O'.
Se l’affinita (5 e centrale, il suo punto unito (centro) M e dato dalla
(59) M = О + (1 — a)-1 (O' — O).
Quindi l’affinita S e centrale quando e solo quando 1’omografia
vettoriale immagine non e un’omologia vettoriale, ne un’affinita vettoriale
(V. §§ 67, 68).
Per costruire il centro M dell’affinita S, individuata dai due te-
traedri ordinati corrispondenti О А В C ed О' А' В' C', ci si pud fon-
dare sulle (58) e (59).
Posto, per brevita (cfr. § 33*2) :
a = A — О , b = B — O , c = C — О,
a' = A' — O' , b' = B' — O' , с' = C' — O' ,
аг = a — a' , bj = b — b' , Cj = c — c' ,
1’omografia vettoriale (1 — o’)-1 e definita dalle eguaglianze :
(1 —o’)"1 аг = a , (1 — o’)-1 bi = b , (1 —o’)-1 cx = c ;
allora, decomposto il vettore O' — О nelle componenti lx, mx, nx,
parallele rispettivamente ad ax , bx, cx, mediante quarte proporzionali
si costruiscono i vettori I , m , n tali che :
lx/ax = l/a , пгц/Ь! = m/b , nx/cx = n/c ,
dopo di che il centro M si costruisce in virtu dell’eguaglianza
M=O + l + m + n.
Se S e l’affinita spaziale individuata dai due tetraedri ordinati
corrispondenti О А В C ed О' А' В' C' e si costruiscono i punti
A1,B1 e C\ definiti dalle eguaglianze :
A x = О + (A' — O'), В. = О + (В' — O') , C\ = О + (C' — O'),
allora, se i vettori A—AlfB — Br e C—Cr non sono complanari,
l’affinita <S e centrale ; se invece essi sono complanari ma non collineari,
<S e un’affinita assiale od una trasloaffinita assiale, secondo che O' — О
ё о non e complanare a codesti vettori : se essi sono collineari e non nulli,
(5 e un'affinita omologica od una. trasloaffinita omologica, secondo che
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
461
O' — О ё о non e collineare a codesti vettori ; se infine essi sono tutti
nulli, S e Videntitd od una traslazione, secondo che O' —О ё о non e nullo.
Nel caso in cui (5 sia un’affinita assiale od una trasloaffinita assiale,
la giacitura centrale della trasformazione e quella dei vettori A — Alf
В — B19 e C — Cx; e nel caso in cui S sia un’affinita omologica od
una trasloaffinita omologica, la direzione centrale della trasformazione
e quella comune ai vettori A — Ar , В — Br e C—
*3 - La ricerca delle direzioni unite dell’affinita spaziale S coincide
con la ricerca delle direzioni unite dell’omografia vettoriale a, imma-
gine di S67).
Se 6 e un’affinita spaziale, diversa da una similitudine, esistono
tre e tre sole direzioni ortogonali fra loro che sono trasformate da S
in direzioni pure a due ortogonali. Esse diconsi direzioni principali del-
1’affinita, e sono le direzioni unite della dilatazione vettoriale «Ксг- a»,
ove a e 1’omografia vettoriale imagine di S68).
Un’affihita spaziale e una isomeria, od e una dilatazione, od e ri-
ducibile al prodotto di una isomeria preceduta о seguita da una dila-
tazione (cfr. § 33’2) 69).
74. Classificazione analitica delle affinita. — Le equazioni di
un’affinita spaziale S, in un qualunque sistema di coordinate cartesiane
(ortogonali о no), sono :
f x' = ax+by +cz + d ,
(60) j y' = dY x + bYy H- cY z + Ji ,
' z' = a2x + b2y + c2z + d2 ,
ove i coefficienti sono numeri reali
il deter mi nante
sottoposti all’unica condizione che
b c
b cx
b2 c2
sia diverso da zero. Le affinita spaziali formano percid un gruppo oo12.
In generale le (60) rappresentano un’affinita centrale, il cui centro si
trova risolvendo il sistema
( (a — 1) x + b у + c z + d = 0 ,
(61) < 01* +(61—1) у + cx z + dx = 0 ,
( a2x + b2 у + (c2 — 1) z + d2 = 0 .
Le equazioni di un’affiniti con infiniti punti uniti costituenti un
piano (cioe di un’affinita omologica} sono :
Ix' = ax + by + cz + d,
y' = h(a — 1) x + (hb + l)y + hcz + hd,
z' = k(a — 1) x + kb у + (kc + z + kd ,
ove il determinante A dei coefficienti di x ,y ,z e diverso da zero.
462
Ugo Cassina
Le affinita omologiche formano percid un sistema ooe. Le equazioni
di un’affinita con infiniti punti uniti costituenti una retta {affinita as-
siale) sono :
( x' = ax + by + cz + d,
(63) ' у' = агх + Ъ± у + crz + dY ,
f z’ = \h(a—1)+Ла1]х+[Лй+Л(й1—
ove il determinante A dei coefficient! di x , у , z e diverso da zero. Le
affinita assiali formano percid un sistema oo10.
Le equazioni di un’affinita priva di punti uniti sono :
Г x' = ax + by + cz + d,
(64) ? y' — h {a — 1) x + (Л b + 1) у + h c z + dY ,
I z' = a2x + b%y + c2z + d2,
con la condizione che il determinante A dei coefficient! di x , у , z sia
diverso da zero e che h sia diverso da d^d.
Se b Ф 0, le (64) rappresentano una trasloaffinitd ; esse percid for-
mano un sistema oo10.
Se b = c = a2 = b2 = 0 ed a = c2 = 1, le (64) rappresentano una
traslazione (eventualmente identica).
Le equazioni di una trasloaffinitd assiale speciale parabolica (con
direzione unita tripla) sono :
Ix’ = ax + by + d,
y' = — (a — l)2 x/b + (2 — a) у + d± ,
z' = a2 x + btf + z + d2,
ove il determinante ,A dei coefficient! di x ,у , z e diverso da zero, ed
inoltre. b e diverso da zero, e dr e diverso da (1 — a) d/b. Le traslo-
affinita assiali speciali paraboliche founano dunque un sistema oo7.
Se nelle (65) poniamo d = = d2= 0, si hanno le equazioni
delle affinita assiali specialiparaboliche, che formano percid un sistema oo4.
75. Costante di un’affinita ed equivalenze. — In ogni affi-
nita spaziale e costante il rapporto fra i volumi di due figure corrispon-
denti 71). A questo rapporto costante si di il nome di costante della
affinita, e si assume positivo о negativo, secondo che l’affinita assegnata
e concorde о discorde (cfr. § 35).
Esso non e altro che 1’invariante terzo dell’omografia vettoriale
immagine della nostra affinita ; ed e pure eguale al determinante A dei
coefficient di x,y,z delle equazioni della trasformazione riferita ad
un sistema di coordinate cartesiane ortogonali.
Si pud proseguire come nella sezione B), ed introdurre le equiva-
lenze™) come quelle affinita che conservano i volumi delle figure corri-
spondenti, cioe di costante unitaria.
XXVIII. - Trasformazioni geometrcihe elementari
463
Le equivalenze spaziali possono essere concordi о discordi e for-
mano un sottogruppo oo11 del gruppo totale delle affinita spaziali. Il
gruppo delle equivalenze comprende come sottogruppo il gruppo delle
isomerie. Ogni equivalenza spaziale e individuata da due tetraedri cor-
rispondenti di egual volume.
Un’affinita spaziale trasforma parallelepipedi - in parallelepipedi,
sfere ed ellissoidi in sfere ed ellissoidi, paraboloidi in paraboloidi, iper-
boloidi in iperboloidi. Un’affinita che non sia una similitudine trasforma
una sfera in un ellissoide. Cioe le similitudini sono le uniche affinita
che trasformano sfere in sfere ed ellissoidi in ellissoidi. Concludendo :
Ogni affinita od e un’affinita omologica non speciale od e riduci-
bile al prodotto di un numero finito di affinita omologiche non speciali
ed in particolare discordi. Cosicche le affinita omologiche discordi apr
paiono come le trasformazioni irriducibili atte a generare tutto il gruppo
delle affinita.
E le simmetrie planari (oblique о no) sono le trasformazioni irri-
ducibili del gruppo delle equivalenze ; cioe :
Ogni equivalenza (spaziale) e una simmetria od e riducibile al
prodotto di un numero finito di simmetrie planari.
*76. Le Affinita dedotte dalle collineazioni. — Una collinea-
zione dello spazio proiettivo p* in se, che trasforma il piano improprio
in se stesso, subordina sullo spazio ordinario p un’affinita spaziale ;
percid a tale collineazione si da il nome di affinita. Per distinguere, se
sara il caso, la collineazione $ dalla trasformazione da essa subor-
dinata sullo spazio ordinario, daremo la qualifica di proiettiva alia
e di eleiyentare alia
Allora ogni similitudine elementare, dello spazio ordinario in se,
si pud pensare subordinata da un’affinita proiettiva di />* in se che tenga
fermo Гassoluto t dello spazio, cioe trasformi Finsieme dei punti ciclici
in se stesso (o, il che fa lo stesso, tale da mutare la polaritd assoluta
in se stessa) ; e la nostra similitudine elementare sara concorde о di-
scorde, secondo che 1’assoluto ё о non e luogo di punti uniti. E vice-
versa.
Quindi ogni proprieta riguardante le figure simili (cioe di geo-
metria elementare secondo F. Klein) pud esprimersi sotto forma pro-
iettiva facendo uso dell’assoluto dello spazio.
Una simmetria planare obliqua pud pensarsi subordinata da una
omologia7*) armonica avente centro improprio e piano proprio. Quindi
una simmetria planare ortogonale, cioe uno specchiamento, potri pen-
sarsi subordinata da un’omologia armonica con centro improprio e piano
proprio ed in cui il centro e la retta impropria del piano sono corrispon-
denti nella polarita assoluta. E.poiche ogni isomeria elementare ё ridu-
cibile al prodotto di specchiamenti, possiamo concludere che ogni pro-
prieta metrica (cioe in cui si fa uso dei concetti di congruenza di segmenti
e di angoli) pud esprimersi sotto forma prqiettiva facendo usq dello
assoluto dello spazio 78).
464
Ugo Cassina
Tutte le trasformazioni elementari studiate nei §§ precedenti sono
subordinate da un sottogruppo oo12 del gruppo totale oo15 delle colli-
neazioni spaziali.
E) SU ALCUNE TRASFORMAZIONI QUADRATICHE143)
XV. — Trasformazioni quadratiche piane.
77. Inversioni circolari. — T - Sia и un piano e k un cerchio
di centro О e raggio r situato su u. Dicesi inversione144) rispetto al cer-
chio {fondamentale) k la trasformazione del piano и in se che ad ogni
punto P di u, diverso da O, fa corrispondere quel punto P' della semiretta
О P tale che si abbia OP.OP' = r2.
Il punto О dicesi il centro, r il rag gio, k il cerchio ed r2 la potenza
dell’inversione.
Un’inversione circolare e individuata dal centro e dal raggio ; op-
pure dal centro e da una coppia di punti corrispondenti ; oppure da
due coppie di punti corrispondenti. Essa ammette come punti uniti
tutti e soli i punti del cerchio di inversione.
Per costruire 1’inverso P' del punto P rispetto a k si pud procedere
cosi :
Se P e interno al cerchio d’inversione, si conduca per P la perpen-
dicolare alia semiretta О P fino ad incontrare in H il cerchio stesso :
la perpendicolare alia О H in H incontra la semiretta О P nel punto P'.
Se P e esterno a k, si costruisca la circonferenza di diametro О P;
se H e uno dei suoi punti di incontro col cerchio d’inversione, la pro-
iezione ortogonale di H sulla semiretta О P ё P'.
Un’altra costruzione di P' e la seguente, suggerita dalla geometria
del compasso145) :
Si costruisca il cerchio di centro P e passante per O, e siano H
e К i suoi punti d’intersezione col cerchio d’inversione ; allora il punto
P' e 1’ulteriore intersezione dei cerchi di centri H e К e passanti per O.
La costruzione precedente si pud applicare senz’altro se OP>rl2 ;
143) Per una storia e bibliografia ricchissima delle trasformazioni accennate in
questa sezione, vedi: L. Berzolari, Algebraische Transformationen und Korrespondenzen,
Encykl. d. math. Wiss., Ill С II, nn. 66-71, 77-79; v. anche: Bulletin of the National
Research Council, n. 63, Selected Topics in algebraic Geometry, Washington 1928, cap. I.
144) Il primo germe della trasformazione per inversione circolare pud trovarsi
in F. Viete, Apollonius Gallus, Paris 1600; perd i primi studi sistematici vennero
fatti da J. Plucker (1831) e da G. Bellavitis (1836). J. W. Stubbs, Phil. Mag., 23
(1843), p. 338 la estese alle superficie; e W. Thomson, J. math, pures appl., 10 (1845),
p. 364, allo spazio col nome di principio delle immagini. Cfr. L. Berzolari 143).
145) Queste costruzioni si trovano in A. Adler, Stzgsb. Ak. Wien, 99 (1890),
p. 910, e sono riportate da F. Severi, Complementi di Geometria proiettiva, Bologna
1905, p. 188; e da E. Daniele, in F. Enriques, Questioni riguardanti le matemavche
elementari, 2, 3a ed., Bologna 1926, p. 172. V. I’art. XXIX di questa Encicl. (A. Ago-
stini, I problemi geometrici elementari e i problemi classici), § 11.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
465
se invece OP<r/2, indichiamo con m un intero conveniente, e preci-
samente maggiore di r/(2 OP), e costruiamo il punto Q della semiretta
О P tale che О Q = m О P (e, per costruire Q, se si vuole, si pud fare
uso del solo compasso)146) ; allora, detto Q' 1’inverso di Q rispetto a k
(che si costruisce nel modo precedente), si ha che P' e il punto della
semiretta О P tale che О P' = m О Q'.
Dell’inversione circolare possono darsi altre definizioni indipen-
denti dalla nozione metrica di distanza di due punti.
Una, di pertinenza della geometria del compasso, e suggerita dalla
seconda costruzione qui esposta dell’inverso d’un punto.
Un’altra e fondata sulla nozione di coppie di rette antipar allele,
chiamando cosi due coppie di rette ax\a2 e bx\b2 (complanari) quando
gli angoli che la retta bY forma con aY ed a2 sono rispettivamente eguali
agli angoli che la retta b2 forma con a2 ed aY (per il che basta che bY
formi con ar un angolo eguale a quello che b2 forma con a2). Allora
1’inversione di centro О e una trasformazione biunivoca del piano и
(privato di O) in se, tale che punti corrispondenti appartengano ad una
stessa semiretta di origine О e che, se P;P' e Q,Q' sono due coppie di
punti corrispondenti, allora, qualunque esse siano, le coppie di rette
P Q\P’Q e О P\O Q siano antiparallele1*1).
Un’altra definizione dell’inversione circolare, indipendente dalla
nozione di distanza di due punti, si pud ottenere partendo dalle antin-
ver sioni (v. § 78).
Infine, Гinversione rispetto al cerchio k si pud anche definire come
quella trasformazione che ad ogni punto P (diverso da O) fa corrispon-
dere I’intersezione della retta О P con * la polare di P rispetto a k ;
definizione questa che e suscettibile di immediata generalizzazione
proiettiva.
• 2 - Figure corrispondenti in un’inversione circolare vengono dette
inverse 1’una dell’altra. Una figura inversa di se stessa (cioe unita) dicesi
anallagmatica148 * *).
Un’inversione circolare muta ogni retta passante per il centro in
se stessa, ed ogni retta non passante per il centro in un cerchio passante
per il centro ; ogni cerchio passante per il centro in una retta non pas-
sante per il centro, ed ogni cerchio non passante per il centro in un cer-
chio non passante per il centro.
La retta corrispondente ad un cerchio passante per il centro di
inversione О e perpendicolare al diametro passante per O.
14e) Cfr. E. Daniele145), p. 160.
147) G. Lazzeri, Period, mat., (2) 2, anno 15°, (1900), p. 137. Egli perd dice che
due coppie di rette sono antiparallele, Tuna rispetto all’altra, quando le bisettrici dei
loro angoli sono parallele. La definizione di G. Lazzeri comprende sia le inversioni
circolari, di questo § — che egli chiama inversioni positive —, che le antinvevsioni civ-
colari del § 78, che egli chiama inversioni negative.
148) Questo vocabolo, formato con radicali greci, etimologicamente signifies
inalterabile, ed ё stato introdotto da T. Moutard, Nouv. Ann. math., (2) 3 (1864).
p. 306.
466
Ugo Cassina
Il centro del cerchio d' corrispondente alia retta d (non passante
per O), nell’inversione rispetto al cerchio Л, e Finverso del simmetrico
di О rispetto a d. Il centro del cerchio c’ corrispondente del cerchio
c (non passante per O) si ottiene applicando Finversione rispetto a k
all’inverso di О rispetto a c.
Queste costruzioni14 9), combinate con quella che da Finverso di
un punto generico fondata sull’uso del solo compasso, permettono di
costruire — col solo compasso — le linee inverse di una retta о di un
cerchio assegnato.
* *3 - L’inverso del centro di uno qualunque di due cerchi inversi
e il piede 15°) della polare del centro d’inversione rispetto all’altro cer-
chio. Percid :
Affinche due cerchi abbiano come inversi due cerchi concentrici,
e necessario e sufficiente che il centro d’inversione abbia la stessa polare
rispetto ai due cerchi151).
Ogni fascio ellittico di cerchi pud, per inversione, essere trasfor-
mato in un sistema di cerchi concentrici. Infatti, basta prendere per
centro d’inversione uno dei due punti limiti (cerchi di raggio nullo)
del fascio assegnato.
Ogni fascio iperbolico di cerchi pud essere trasformato, per -inver-
sione, in un fascio di rette. Basta prendere come centro d’inversione
uno dei due punti base del fascio.
Ogni fascio parabolico di cerchi pud essere trasformato in un fascio
di re tte par allele.
Una retta ed un cerchio possono essere considerati come linee
inverse 1’una dell’altra : basta infatti prendere come centro d’inversione
uno degli estremi del diametro perpendicolare alia retta, e per potenza
il doppio prodotto delle distanze del centro d’inversione dalla retta e
dal centro del cerchio.
Due cerchi corrispondenti in un’inversione circolare sono omotetici
in un’omotetia che ha come centro il centro d’inversione. Viceversa :
Due cerchi, a centri diversi e raggi diversi, comunque situati nel
piano, possono essere considerati come inversi I’uno dell’altro : basta
infatti prendere come centro О d’inversione il centro di omotetia di-
retta dei due cerchi e, come potenza, la media geometrica fra le potenze
p e p' del punto О rispetto ai due cerchi. Le tangenti in punti corrispon-
denti di due cerchi inversi si incontrano sull’asse radicale dei due cerchi.
Se il centro di inversione e preso su un cerchio, rispetto al quale
due cerchi assegnati sono mutuamente inversi (cerchio di antisimili-
tudine), gli inversi dei cerchi dati (nella nuova inversione) hanno raggi
eguali.
Condizione necessaria e sufficiente affinche sia possibile invertire * 160 161
14e) Si trovano in A. Adler146). Cfr. E. Daniele146), p. 174-175.
160) Cio£ 1’intersezioue della polare col diametro ortogonale.
161) Cfr. E. RoucHt e Ch. de Comberousse, Traite de geometric, I partie, nouv^
6d., Paris 1922, p. 286; J. L. Coolidge, A treatise on the cercle and the sphere, Oxford
1916, p. 21-30.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
467
tre cerchi simultaneamente in tre cerchi di egual raggio, e che un cerchio
di antisimilitudine di una coppia sia tagliato da un simile cerchio di
un’altra coppia in un punto fuori dei tre cerchi assegnati162).
Il cerchio circoscritto ed il cerchio dei 9 punti in un triangolo
ottusangolo sono mutuamente inversi rispetto ad un cerchio il cui centro
e 1’ortocentro163).
Se due cerchi sono cosi legati che il triangolo inscritto in uno e
circoscritto all’altro, allora il primo e 1’inverso del secondo rispetto al
cerchio dei 9 punti del triangolo i cui vertici sono i punti di contatto154).
Se il cerchio d’inversione taglia una linea anallagmatica in un
punto che e semplice per quest’ultima, le due linee si tagliano ad angolo
retto.
* ’ 4 - Una retta passante per il centro d’inversione e anallagma-
tica. Un cerchio passante per una coppia di punti inversi e anallagmatico.
Un cerchio il quale taglia il cerchio d’inversione ad angolo retto e anal-
lagmatico. Una linea anallagmatica si pud trasformare, per mezzo di
un’inversione, in una figura con asse di simmetria ortogonale (ciod
unita in un ribaltamento piano).
Ogni linea anallagmatica e 1’inviluppo di una circonferenza mobile,
il cui centro descrive una linea, detta curva deferente. Il sistema di un
circolo e di una retta e una curva anallagmatica, che ha per curva defe-
rente una parabola. Il sistema di due cerchi e una curva anallagmatica,
che ha per curva def erente xirCiperbola. Quando la curva def erente e
una conica, la curva anallagmatica prende il nome di ciclica. Precisa-
mente : se la curva deferente e xir^ellisse od xiniperbola, la ciclica e
una quartica; se la curva deferente e una parabola, la ciclica e una cu-
bica che passa per il centro d’inversione. La ciclica generale e anallag-
matica rispetto a quattro cerchi d’inversione mutuamente ortogonali,
ed ha quattro coniche deferenti, le quali sono confocali. La lumaca di
Pascal, la cardioide, 1’ovale di Cartesio, la cassinoide, la strofoide, la
trisettrice di Maclaurin e la cissoide sono curve anallagmatiche.
L’inversa d’una curva anallagmatica (in un’inversione che non
lascia fissa la curva) e una curva anallagmatica155).
78. Antinversioni circolari. — Diremo antinversione16e) circola-
re (od inversione negativo) il prodotto di un’inversione circolare per
un’equinversione (simmetria centrale) rispetto al centro di questa.
Il centro, il raggio ed il cerchio dell’inversione circolare fattore
diconsi rispettivamente il centro, il raggio ed il cerchio dell’antinver-
sione.
1M) J. L. Coolidge* 181), p. 112.
1M) J. L. Coolidge181), p. 41.
184) J. Casey, Sequel to Euclid, London 1881, Lib. VI; Cfr. J. L. Coolidge
181), p. 44.
188) J. L. Coolidge181), p. 24-27, p. 206; cfr. anche H. Bouasse e E. Tur-
ri£re, Exercices et complements de mathematiques generates, 2a edw Paris 1920, p. 144.
15e) Denominazione di M. Pieri (nel caso della trasformazione spaziale) 10), p. 419^
468
U go Cassina
Sia k un cerchio di centro О e raggio r appartenente al piano u.
Il numero « — r2» dicesi potenza dell’antinversione rispetto a k.
L’antinversione rispetto al cerchio k pud anche definirsi come
quella trasformazione del piano и in se, che ad ogni punto P di u, di-
verso da O, fa corrispondere il punto P' tale che, se A e uno degli
estremi del diametro ortogonale ad OPfP' e il punto d’intersezione
della retta OP con la normale condotta per A alia retta APlbl).
Partendo da questa definizione — che non involve (esplicitamente)
1’idea di distanza di due punti — si pud definire 1’inversione rispetto
al cerchio k come il prodotto antinversione rispetto a k per Vequin-
ver sione rispetto al centro di Л158).
L’antinversione circolare non ha alcun punto unito. Essa gode di
proprieta analoghe a quelle dell’inversione circolare, che non stiamo a
ripetere.
79. Trasformazioni per raggi vettori reciproci. — * 1 - Dicesi
traformazione per raggi vettori reciproci15B) (od inversione generico) ogni
inversione od antinversione circolare. L'origine (o centro) della trasforma-
zione e il centro dell’inversione od antinversione a cui essa e eguale.
Una trasformazione per raggi vettori reciproci trasforma le rette
passanti per 1’origine in se stesse ; ogni retta non passante per 1’ori-
^ine in un cerchio passante per 1’origine, e viceversa ; ogni cerchio
non passante per 1’origine in un cerchio dello stesso tipo. Ed e una
trasformazione isogonale 16°) (o conforme) discorde.
’ 2 - L’equazione vettoriale della trasformazione per raggi vettori
reciproci J, di centro О e potenza />, e :
(66) 2 P = О + Pl(P — Oy.(P — O) .
Secondo che p e positivo о negativo, si. ha \ni'inver sione od un’an-
iinversione circolare.
In coordinate polari le equazioni di S sono :
(67) qf = <p q' = P/q ;
<li qui 1’origine del nome di trasformazione per raggi vettori reciproci.
E in coordinate cartesiane ortogonali le equazioni di J sono :
(68) x' = p xf(x? + j2), j' = p y/(x* + j2)161).
1W) Definizione di M. Pieri (per la trasformazione spaziale)10), p. 419.
168) M. Pieri 10), p. 419.
16B) Nome adottato da J. Liouville, J. math, pures appl., (1) 12 (1847), p. 276.
leo) J. Liouville* * 16 169), p. 276.
lei) Nella nota di J. Liouville169), trovansi le equazioni analoghe a queste,
relative al caso della trasformazione spaziale (cfr. § 85). Per una trattazione analitica
elementare della trasformazione vedi: L. Berzolari, Geometria analitica, 2, 2a ed.,
Wlano 1922 p 232.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
469
80. Inversori ed applicazioni delle trasformazioni per raggi
vettori reciproci. — *1 - Furono ideati vari istrumenti che permettono
di costruire meccanicamente la curva inversa di una curva assegnata.
Essi vengono chiamati inversori. Ci limiter emo a ricordare I’inversore
di A. Peaucellier e quello di H. Hart.
L’inversore di Peaucellier162), о a 6 aste, fu costruito original-
mente per risolvere il problema di trasformare un movimento circolare
in un movimento rettilineo. Esso consta di 6 asticelle di legno о di me-
tallo, articolate 1’una nell’altra in modo che si possa variare a piacere
I’angolo di due qualunque di esse. Quattro aste hanno eguale lunghezza
e sono articolate in modo da formare un rombo ABCD\ le altre, piii
lunghe delle precedenti, hanno pure eguale lunghezza e sono articolate
tra loro in О e, nelle altre estremiti, a due vertici opposti del rombo
(e siano A e Q. Quando О rimane fisso e В si muove descrivendo una
curva, D descrive la curva inversa : infatti i punti О ,D e В restano
sempre allineati e, per qualunque posizione di В, e sempre :
О D.O В = О A2 — A B2 = cost.
Se D descrive un cerchio passante per O, il punto В descrive
una retta.
L’inversore di Hart,163 * *), о a 4 aste, consta di 4 asticelle rigide,
eguali a due a due, e con articolazioni snodate. Due aste AB e C D
sono disposte come i lati di un trapezio isoscele e le altre due AC e В D
come le diagonali dello stesso trapezio. Ora, si fissino su A В un punto
OesuACeBDi punti P e P' sulla parallela condotta per О alia base
A D del trapezio ; allora, se О resta fisso ed il sistema si deforma, P
e P' descrivono due curve inverse 1’una dell’altra in un’inversione che
ha come centro O. Infatti, in ogni posizione del sistema, le coppie di
rette В C e AD, OP e ВС, О P' e AD conservano il loro paralle-
lism© in modo che О ,P e P' restano allineati ; inoltre si ha :
OP.OP' = AO.OB.BC.A DI A B2 = cost,
perche BC.AD = BD2 — AB2164).
•2- Fondandosi sulle propriety delle inversioni si pud dimostrare
facilmente il teorema fondamentale di L. Mascheroni166) relative alia
ie2) A. Peaucellier, Nouv. Ann. math., (2) 3 (1864), p. 414.
les) H. Hart, Messenger, (2) 4 (1874), p. 82, p. 116.
1M) Per gli invereori ed altri strumenti articolati cfr. E. G. Togliatti, Period,
mat., (4) 2 (1922), p. 41.
ltt) L. Mascheroni, Geometria del compasso, Pavia 1797, vers, franc, di A. M. Ca-
rette, 1* ed., Paris 1798, 2» ed., Paris 1828, vers. ted. di J. Ph. GruSOn, Berlin 1825.
La dimostrazione del teorema di Mascheroni per mezzo delle inversioni ё stata fatta
da A. Adler145).
Alcune propriety della geometria del compasso si trovano anche in G. Mohr,
Euclides danicus, Amsterdam 1672; opuscolo rimasto sconosciuto, poi scoperto e
470
Ugo Cassina
geometria del compasso : cioe che ogni problema risolubile con riga e
compasso e anche risolubile col solo compasso ; e si possono risolvere
anche facilmente alcuni celebri problemi relativi a costruzioni di cerchi :
il problema d’ApoLLONio, il problema di Giordano da Ottaiano e
sue generalizzazioni, il problema di Malfatti, ecc.16e).
81. Trasformazioni circolari. — ' 1 - Si chiama trasformazione
circolare167) ogni trasformazione biunivoca (algebrica) del piano и
(private al piu di alcuni punti eccezionali) in se, che muta il sistema
formato dalle rette e cerchi in se stesso (il che si suole anche esprimere
dicendo che la trasformazione in discorso e omociclica, perche le rette
— in queste considerazioni — figurano come cerchi di raggio infinite).
In ogni trasformazione circolare vi sono due punti eccezionali —
punti centrali (o fondamentali)168).
In una trasformazione circolare e costante il prodotto delle distanze
di due punti corrispondenti dai rispettivi punti centrali.
Ogni trasformazione circolare e individuata da tre coppie di punti
corrispondenti. Ogni trasformazione circolare e una similitudine, od
un’inversione circolare, od il prodotto di un’isomeria per un’inversione
circolare169). Ogni trasformazione circolare e isogonale1™}. Non e vera
la proprieti inversa171).
Le trasformazioni circolari formano un gruppo oo6, che contiene il
sottogruppQ oo6 delle trasformazioni concordi ed il sistema oo6 delle
trasformazioni discordi. Ogni trasformazione circolare concorde pud es-
sere decomposta nel prodotto di un numero pari, ed ogni trasforma-
zione discorde nel prodotto di un numero dispari, di inver sioni circolari
(od in particolare di equinversioni). E precisamente :
Ogni trasformazione circolare discorde pud essere decomposta nel
prodotto di 3 inversion!; ogni trasformazione circolare concorde pud
essere decomposta nel prodotto di 4 inversion!.
Condizione necessaria e sufficiente, affinche due trasformazioni cir-
colari concordi siano commutabili, e che esse abbiano gli stessi- punti
centrali. Condizione necessaria e sufficiente, affinche il prodotto di tre
inversioni circolari sia un’inversione circolare, e che i tre cerchi d’in-
versione siano coassiali (appartenenti ad uno stesso fascio), о che i
pubblicato da J. Hjelmslev, Copenaghen 1928. Vedi H. Geppert, Period, mat., (4) 9
(1929), p. 149; R. Marcolongo, Rend. Acc. Napoli, (4) 35 (1929), p. 25.
iee) Vedi Part. XXXI di questa Encicl.le), § 25; ePart. XXVII della stessa ’*), § 10.
ie7) Le trasformazioni circolari vennero incontrate come caso particolare delle
trasformazioni quadratiche da L. J. Magnus, J. reine ang. Math., (8) (1831), p. 51, рй-
gina 60. Ma ё A. F. Mobius che le ha designate col nome attuale {Kreisvhrwandtschaften)
e che le ha studiate a fondo in Leipz. Abh., 2 (1855), p. 529, Werke, 2, p. 243. Qualche
A. le chiama affinita circolari.
les) О punti principali (Hauptpunkte) о cardinali. Quest’ultima denominazione ё
di G. V. Schiaparelli, Mem. Acc. Torino, (2) 21 (1864), pres. (1861), p. 227 (p. 259).
1<e) A. F. M6bius 187).
17°) A. F. M6bius1w).
171) Infatti ogni funzione monogena individua una trasformazione isogonale.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
471
cerchi di due successive inversioni siano ortogonali al terzo cerchio
d’inversione 172).
Si da il nome di involuzione circolare (o di Mobius) 173) ad ogni
trasformazione circolare involutoria concorde. Essa e il prodotto di due
inversioni rispetto a due cerchi intersecantisi ortogonalmente, oppure e
una equinversione (la quale e il prodotto di due ribaltamenti a rette
perpendicolari)174).
Una trasformazione circolare concorde e il prodotto di due invo-
luzioni circolari. Una trasformazione circolare discorde involutoria e
un ribaltamento, od un’inversione, od un’antinversione.
• 2 - Se fissiamo nel piano и un sistema di coordinate cartesiane
ortogonali e poniamo z = x + i у e z' = x' + i y' (ove i = д/— 1)
e riguardiamo z e zf come affissi di due punti corrispondenti in una
trasformazione circolare, una trasformazione circolare e rappresentata
da un’equazione bilineare del tipo :
(69) a zY z' -4- b zx -4- c z' + d = 0 ,
ove a ,b ,c ,d sono numeri complessi tali che a d — be e diverso da
zero, e z± = z = x + i у oppure zr = К z = x — i y, secondo che la
trasformazione e concorde о discorde.
Viceversa, ogni equazione del tipo (69) rappresenta una trasforma-
zione circolare.
* 82. Inversioni coniche. — Sia k una conica (reale od immagi-
naria) ed О un punto del suo piano u. Allora dicesi inversione conica175)
— di origine (o centro) O, e di conica fondamentale k — la trasformazione
del piano и in se, che ad ogni punto P di u, diverso da O, fa corrispon-
dere il punto P' ottenuto come intersezione della retta О P con la
polare di P rispetto a k.
Se la conica fondamentale k e un cerchio, col centro nell’origine
della trasformazione, si hanno le inversioni od antinversioni circolari, se-
condo che k e reale od immaginario. Se la conica fondamentale e una
iperbola equilatera, col centro nell’origine della trasformazione, si hanno
le trasformazioni iperboliche di Schiaparelli. Finalmente, se la conica
fondamentale e una coppia di rette parallele simmetriche rispetto alia
172) Cfr. J. L. Coolidge151), cap. VIII, p. 306-335; K. Doehlemann, Geometri-
sche Transformationen, 2, Leipzig 1908, cap. Ill, p. 96; R. Sturm, Die Lehre von den
geometrischen Verwandtschaften, 4, Leipzig e Berlin 1909, p. 72.
173) Nome usato da J. L. Coolidge151), p. 316.
J74) Vedi §22.
175) Queste trasformazioni vennero studiate — sotto il nome di trasformazioni
per derivazione — da G. Bellavitis, Nuovi Saggi I. R. Acc. Scienze fcte., Padova 4
(1838), p. 243; da F. Seydewitz, Arch. Math. Phys., (1) 5 (1844), p. 225; da T. A.
Hirst, Proc. R. Soc. London, 14 (1865), p. 91 (riprodotto in Ann. mat. pura appl., (1)
7 (1865), p. 49, ed in G. mat., (1) 4 (1866), p. 278); da C. F. Geiser, Mittheil. naturf.
Ges. Bern., 1865, p. 97; cfr. L. Berzolari143), n. 69.
472
Ugo Cassina
origine della trasformazione, si hanno le trasformazioni paraboliche di
Schiaparelli 176).
Le inversioni coniche sono trasformazioni involutorie, aventi come
campo di applicability il piano della conica privato dell’origine della
trasformazione.
* 83. Trasformazioni quadratiche. — 1 - Dicesi trasformazione
quadratica177) (piana) ogni trasformazione biunivoca (esclusi alcuni
punti eccezionali) — algebrica — puntuale del piano и nel piano uf
(diverso о no da u) tale da trasformare le rette in coniche.
Dal punto di vista analitico, una trasformazione quadratica piana
si pud definire come una trasformazione biunivoca (esclusi alcuni punti
eccezionali) puntuale di secondo grado ; e quindi, in coordinate non
omogenee, rappresentata da due equazioni bilineari fra le coordinate
(x ,y) ed (xf,y') di due punti corrispondenti. Si hanno cosi le equazioni
seguenti :
/7n\ ) (ax+by +c)x' +(a'x+b'y +c')y' +(a''x+b''y +c") = 0 ,
I (ax + (Jy + y)x' + (a'x + (J'y + y')y' + (a''x +fr'y + y") = 0 ,
dovute a L. J. Magnus178 179).
Le rette del piano и (formanti una rete) sono trasformate nelle
coniche di una rete omaloidica (cioe con tre punti base) del piano и'.
Nel piano и esistono in generale tre punti (reali о no, distinti о no)
eccezionali, ai quali non e applicabile la trasformazione quadratica § ;
e nel piano u' esistono tre punti (reali о no, distinti о no) eccezionali
a cui non e applicabile la trasformazione inversa $-1. A questi punti
si da il nome di punti fondamentali1™) della trasformazione. Siano
Ay , A 2 , A3 quelli appartenenti ad и e By , B2 , B3 quelli appartenenti
ad u'. Allora i triangoli AyA2A3 e ByB2B3 diconsi i triangoli fonda-
mentali, ed i loro lati le rette fondamentali.
Una trasformazione quadratica § e individuata dai punti fonda-
mentali Л1 , A2 , A3 ; By , В2 , B3 e da una coppia di nunti corrispon-
denti U e U'.
Se si prendono i punti Ay , A2 , A3 ed U come punti fondamentali
ed unita in un sistema di coordinate proiettive omogenee sui piano и ;
ed i punti By , B2 , B3, ed U' come punti fondamentali ed unita in un
sistema analogo su u' ; allora le equazioni di § sono
(71) ()х'у = х2х3 , qx'2 = x3Xy , дх'3 = ХуХ2.
176) G. V. Schiaparelli168), p. 231.
177) Per la storia e la bibliografia completa delle trasformazioni quadratiche,
vedi. L. Berzolari 143).
178) L. J. Magnus, J. reine ang. Math., 8 <1831), p. 51 (p. 52).
179) L. J. Magnus li chiama points principaux1™), p. 53; G.'V. Schiaparelli
punti cardinali 168), p. 2o9.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
473
Le trasformazioni quadratiche non formano un gruppo. Il gruppo
ottenuto partendo da esse e quello delle trasformazioni cremoniane (o
birazionali)18 °).
Ogni trasformazione quadratica d’un piano in se ammette in ge-
nerale 4 punti uniti (reali о no, distinti о no) ; ma e notevole (cfr. §§ 79,
82) il caso in cui vi sia una conica (reale о no, riducibile о no) luogo
di punti uniti.
Le collineazioni piane sono le uniche trasformazioni cremoniane
piane prive di punti fondamentali. Le trasformazioni per raggi vettori
reciproci sono trasformazioni quadratiche involutorie con un punto fon-
damentale reale (1’origine della trasformazione) e due punti fondamentali
immaginari (i punti ciclici del piano).
2 - Due casi particolari di trasformazioni quadratiche si sono
presentati nella recente geometria del triangolo 180 181) : Vinversione trian-
golare e la reciprocitd triangolare.
^inversione triangolare si pud definire come una trasformazione
quadratica involutoria, che ha per punti fondamentali i vertici d’un
triangolo proprio e per punti uniti i centri dei cerchi inscritti ed ex-
inscritti al triangolo fondamentale.
La reciprocitd triangolare si pud definire come una trasformazione
quadratica involutoria, che ha per punti fondamentali i vertici d’un
triangolo proprio e per punti uniti il baricentro ed i suoi associati. E qui
si rammenti che gli associati d’un punto M — rispetto al triangolo
ABC — sono i coniugati armonici di M rispetto ai segmenti A MA ,
В M2 ,CM3, ove , M2 , M3, sono i punti d’intersezione delle rette
A M ,B M ,C M rispettivamente con В С ,C A , A B.
XVI. — Trasformazioni quadratiche spaziali.
Le proprieta che si verranno esponendo in questo capitolo sono
quasi sempre 1’estensione immediata allo spazio di quelle esposte nel
capitolo precedente (bastera, di solito, sostituire la parola sfera alia
parola cerchio e quadrica a conica) ; percid bastera ricordarne le es-
senziali.
84. Inversioni ed antinversioni sferiche. — * 1 - ^inversione ri-
spetto alia sfera a di centro О e di raggio r182), si definisce come 1’in-
versione circolare (v. § 77) e si conserva la stessa nomenclatura : cioe
180) Per la storia di questo teorema vedi L. Berzolari 14s), n. 57.
181) Cfr. G. Berkhan e W. Fr. Meyer, Neuere Dreiecksgeometrie, Encykl. d.
mzth. Wiss., Ill AB 10, n. 23, 24; L. Berzoi^ari 14a), nota 596. V. pure Tart. XXIV
di questa Encicl. (V. Retali e G. Biggiogero, La geometria del triangolo), § 32.
tea) L’inversione sferica e stata introdotta da W. Thomson 144), col nome di
principio delle immagini, per lo studio del campo elettrico (V. anche: W. Thomson,
J. math, pures appl., (1) 12 (1847), p. 259); ed ё stata poi studiata da J. Liouville,
J, math, pures appl., (1) 12 (1847), p. 265-290, e da altri.
474
Ugo Cassina
a ё la sfera fondamentale (o inversione), О e il centro, r il raggio ed
r2 la potenza dell’inversione. Ogni inversione sferica e una trasforma-
zione biunivoca involutoria, avente come campo d’applicability la classe
formata da tutti i punti diversi dal-centro d’inversione.
Ogni inversione sferica ammette infiniti punti uniti : tutti e soli
quelli della sfera d’inversione. Ogni retta ed ogni piano passante per il
centro d’inversione e unito. Su ogni retta unita 1’inversione sferica §
subordina \xri* involuzione ; e sopra ogni piano unito, un’inversione cir-
colare avente come cerchio fondamentale 1’intersezione del piano unito
con la sfera fondamentale. Percid si possono estendere senz’altro allo
spazio le costruzioni gia viste dell’inverso d’un punto assegnato rispetto
ad In particolare si ha ancora che : * Finverso del punto P ё 1’inter-
sezione della retta О P col piano polare di P rispetto a a.
Un’inversione sferica muta ogni piano non passante per il centro
in una sfera passante per il centro ; ogni sfera passante per il centro in
un piano non passante per il centro ; ed ogni sfera non passante per il
centro in uria sfera non passante per il centro 183).
•2 - Ogni figura inversa di se stessa e detta anallagmatica (cfr.
§ 77*2). Una curva od una superficie anallagmatica taglia la sfera d’in-
versione ortogonalmente, ed ogni intersezione con essa e un punto sem-
plice per la curva о superficie. Ogni retta ed ogni piano per il centro
d’inversione sono anallagmatici. Una sfera passante per una coppia di
punti inversi e anallagmatica. Un cerchio passante per una coppia di
punti inversi, od un cerchio о una retta ortogonale alia sfera d’inver-
sione, sono anallagmatici.
* Se una superficie anallagmatica non contiene una serie anallag-
matica di cerchi, essa e 1’inviluppo di una famiglia co2 di sfere anal-
lagmatiche i cui centri appartengono ad una superficie fissa chiamata
la def erente. E inversamente : 1’inviluppo d’un tale sistema di sfere ё
una superficie che ё pure anallagmatica.
La retta congiungente punti corrispondenti di una superficie arial-
lagmatica e la perpendicolare dal centro d’inversione sul corrispondente
piano tangente alia def erente.
Una superficie anallagmatica la quale contiene una famiglia oo1 di
cerchi anallagmatici, che sono linee di curvatura, ё 1’inviluppo di una
famiglia co1 di sfere anallagmatiche ; e viceversa184).
L’inverse» d’un cerchio non passante per il centro d’inversione ё
ancora un cerchio ; Finverso d’un cerchio passante per il centro d’in-
versione ё una retta non passante per questo punto ; e viceversa.
Se due sfere sono mutuamente inverse, il centro d’inversione ё
centro di similitudine per esse, il rapporto di similitudine essendo in
valore assoluto eguale al rapporto dei loro raggi. Due sfere di raggi
diseguali ed a centri distinti sono mutuamente inverse rispetto ad una
sfera. Una sfera che ё mutuamente inversa a due sfere ё chiamata una
183) j. Liouville p. 230.
184) j. L. Coolidge151), p. 229.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
475
sfera di antisimilitudine per esse ; il suo centro e uno dei loro centri
di similitudine.
*3 - Antinversioni sferiche. L’antinversione sferica si definisce in
modo analogo a quella circolare, e per essa valgono proprieta analoghe.
85. Trasformazioni per raggi vettori reciproci. — • 1 - Defi-
nizione analoga a quella piana185) v. § 79). Quindi, in particolare, essa
e una trasformazione isogonale186) discorde.
L’equazione vettoriale della trasformazione per raggi vettori re-
ciproci $, di centro О e potenza />, e :
(72) £P = О + p/(P — O)2.(P — O) .
SeCondo che p e positivo о negativo si ha un’inversione od un’antin-
ver si one sferica.
In coordinate cartesiane ortogonali, di origine O, le equazioni di
$ sono 187) :
(73) x^pxKtf+yP+z2) , y'=pyl(x*+y2-\-z2) , z'^pz^xP+yb+z2) .
Le trasformazioni per raggi vettori reciproci spaziali permettono di
risolvere problemi relativi alia sfera ed al tetraedro analoghi ai problemi
a cui abbiamo gia accennato per il cerchio ed il triangolo (v. § 79). Esa-
miniamone alcuni.
•2 - Sfera tangente a quattro sfere assegnate. Questo problema,
che e la generalizzazione del problema di Apollonio, e stato proposto
e risolto da P. de Fermat188). Ecco la soluzione di M. Еоиснй 189)
Sia co la sfera richiesta, tangente in A, A', A", A'" alle quattro sfere
di centri О , O', O", O'". Per costruirla, dopo aver scelto tre- centri di
similitudine della sfera data di centro О con le altre tre sfere date di
centri O', O", O'", si prenda arbitrariamente sulla sfera di centro О
un punto M e se ne costruiscano gli antiomologhi MM", M'" sulle
sfere di centri O', O", O'". Si tracci la sfera passante per M, Af'“
Af", Af'", che taglia la sfera di centro О secondo un cerchio, il cui piano
interseca nella retta h il piano dei tre centri di similitudine conside-
red. Per la retta h si conduca un piano tangente alia sfera di centro О ;
e, essendo A il punto di contatto, si costruiscano i suoi antiomologhi
A', A", A"’ rispetto alle sfere O', O", O'". Allora la sfera che passa
per A , A', A", A'" e la sfera desiderata. Vi sono sedici soluzioni (reali
od immaginarie).
18e) J. Liouville1”), p. 276.
1M) J. Liouville1”), p. 280.
lr) J. Liouville182), p. 274.
18в) P. de Fermat, Varia opera mathematical ed. S. Fermat, Tolosae 1679; Oeu-
vres, ed. P. Tannery e Ch. Henry, Paris 1891, De contactibus sphaericis (1638), Oeu-
vres, p. 52-69, probl. XV.
18e) M. Fouch£, Nouv. Ann. math., (3) 11 (1892), p. 227, 331, 404.
476
Ugo C assin a
Altre risoluzioni dello stesso problema sono fondate sui seguente
teorema di Dupuis190) : Il luogo dei punti di contatto delle sfere tan-
genti a tre sfere fisse, con una di queste sfere, si compone di quattro
cerchi.
*3 - Sfera tangente a quattro piani assegnati. Ci limiteremo ad ac-
cennare al caso in cui i quattro piani formino un tetraedro. Allora, delle
16 regioni individuate da questi piani, 8 non contengono alcuna sfera
tangente reale ai piani assegnati. Quindi, di sfere reali tangenti a quattro
piani formanti un tetraedro, al piu ve ne sono 8; di queste, 5 sono sempre
reali e sono : la sfera inscritta (situata entro il tetraedro) e le quattro
ex-inscritte (situate nelle quattro regioni, a tronco di piramide trian-
golare indefinita, aventi come basi le facce del tetraedro). Le rimanenti
tre, se sono reali, sono situate nelle sei regioni prismatiche triangolari
(combles) aventi come spigolo laterale (fazte) uno dei sei spigoli del te-
traedro, in modo che regioni prismatiche opposte non contengono mai
contemporaneamente una sfera tangente191).
Se una sfera tocca le facce del tetraedro Л1Л2Л3Л4 nei punti
P± , P2, P3 , P4, le rette A1P1 , A2P2, A3P3 , Л4 P4 sono le genera-
trici — d’uno stesso sistema — d’un iperboloide.
* 86. Inversioni quadriche. — Definizione analoga e proprieta
analoghe a quelle delle inversioni coniche. Come caso particolare di
esse si trovano le trasformazioni coniche a tre dimensioni studiate da
G. V. Schiaparelli 192), le quali precisamente corrispondono ai casi
in cui la quadrica fondamentale e : una sfera, od un iperboloide, od un
paraboloide ellittico, od un paraboloide iperbolico, od un cilindro pa-
rabolico.
87. Proiezioni stereografiche della sfera. — • 1 - La proiezione
stereografica193) della sfera a su un piano a' {quadro) si pud definire
19°) Ch. F. Dupuis, Corresp. Ec. polyt., 1 (1804), pubbl. (1813). Cfr. E. Rouch£
e Ch. de Comberousse151), 2, p. 270.
191) Cfr. M. Hermary, Bull. Soc. math. France, 7 (1879), p. 138. Cfr. anche
E. Rouch£- e Ch. de Comberousse151), 2, p. 273, p. 653; M. Simon®), p. 98-105;
Th. Reye, Synthetische Geometric der Kugel, Leipzig 1879, versione italiana di M.
Misani, Geometria sintetica delle sfere etc., Milano 1881.
1W) G. V. Schiaparelli168), p. 276.
193) Il primo uso della proiezione stereografica della sfera su un piano pare ri-
montare ad Ipparco, il grande astronomo di Nicea del 2° sec. a. C. (cosi almeno af-
ferma Sinesio di Cirene, un discepolo di Ipazia, nato attorno al 365-370 d. C.). Perd
— fra i document! pervenutici — noi troviamo descritta questa trasformazione solo
in una versione araba (del 1000 circa) di un’opera di C. Tolomeo (Alessandria, 2°
sec. d. C.), conosciuta sotto il nome di Planisfero, e pubblicata per la prima volta in
latino da F. Commanding, Ptolemaei Planisphaerium, Venezia 1558, il quale si ё ser-
vito per la sua edizione di una versione latina di un certo Roberto di Bruges (se-
colo 12°). Una versione latina — fatta direttamente sui testo arabo — venne pubbli-
cata da J. L. Heiberg: Claudii Ptolemaei Opera quae extant omnia, 2, Leipzig 1907,
p. 227-259.
Da notare, perd, che in C. Tolomeo non trovasi mai enunciata esplicitamente
— ne tanto meno dimostrata — la prima propriety generale di questa trasformazione:
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
477
come la trasformazione subordinata su a da una trasformazione per
raggi vettori reciproci atta a portare a in a'.
Di tali trasformazioni ne esistono due : un'inversione ed un'antin-
ver sione sferica, aventi come centri i punti d’intersezione della sfera о
col diametro di о ortogonale al quadro o'.
La proiezione stereografica della sfera a sul piano o' dal punto О
— d’intersezione di a col diametro perpendicolare a a' — si pud anche
definire direttamente come quella trasformazione che ad ogni punto P
di a, diverso da O, fa corrispondere il punto P' intersezione della retta
О P col piano o' (cioe come la prospettiva della sfera a, fatta dal punto
di vista O, sul quadro o').
Secondo che il punto О — centro (od origine) della trasforma-
zione — appartiene о no al segmento individuato da due punti corri-
spondenti, la proiezione stereografica in esame e subordinata da ima
inversione о da un’antinversione sferica. Nel primo caso si dice che la
proiezione stereografica e positiva, nel secondo che e negativa\ chia-
masi poi potenza della proiezione stereografica la potenza della trasfor-
mazione per raggi vettori reciproci corrispondente.
Un caso particolare notevole di proiezione stereografica della sfera
e quello gia descritto da C. Tolomeo 194 *) — nel suo planisfero — e si
ha quando il quadro e il piano equatoriale corrispondente al polo O.
Questa trasformazione e utile in geografia per la rappresentazione
della calotta polare opposta al centro della trasformazione.
Le proprieta principali della proiezione stereografica della sfera si
deducono facilmente da quelle delle trasformazioni per raggi, vettori
reciproci spaziali.
I. Essa trasforma i cerchi passanti per О in rette, ed i cerchi
non passanti per О in cerchi non passanti per O.
II. Ё una trasformazione isogonale.
In particolare i paralleli — cioe i cerchi perpendicolari all’asse
polare (retta condotta dal centro perpendicolarmente al quadro) —
vengono trasformati in cerchi concentrici (il cui centro comune e il punto
ciofe di trasformare ogni cerchio generico della sfera in un cerchio del piano; ma sol-
tanto costruiti i cerchi corrispondenti ad alcuni cerchi notevoli (eclittica, orizzonte,
ecc.) della sfera rappresentante la volta celeste.
Il nome odiemo di proiezione stereografica ё dovuto a F. Aguilloijj (Aottilonius,
Opticorvm libri sex, Antwerpen 1613, Lib. VI, p. 572).
La seconda propriety fondamentale della proiezione stereografica — сюё di
essere* isogonale — non trovasi in C. Tolomeo, пё negli scrittori medioevali. Il primo
accenno ad essa ё dovuto (secondo Jb. J. Delambre) a C. Leadbetter, A complete
system of Astronomy, London 1628. La prima dimostrazione rigorosa dell’isogona-
litA della trasformazione ё di Jb. J. Delambre, Мёт. Inst. Paris, 5(fructidor an XII,
1803-1804), p. 393, pr6s. le 6 nivose an 8 (1799).
In seguito hanno studiato questa trasformazione: M. Chasles, Corresp. Ёс.
polyt., 3 (1814), p. 16; 57), n. 305; P. G. Dandelin, Nouv. Мёт. Ac. sc. Belg., 4
(1827), p. 13. Cfr. anche K. Doehlemann 17S), 2, p. 200; E. Kotter, Die Entwickelung
der synthetischen Geometrie von Monge bis auf Staudt, Jahresb. deutsch. Math-Vereinig.,
5 (1901), p. 93.
1M) C. Tolomeo, 1. с.1M).
478
Ugo Cassina
C intersezione dell’asse polare col quadro) ; ed i tneridiani — cerchi
massimi passanti per О — vengono trasformati nelle rette del fascio
di centro C; e viceversa.
In generale il centro del cerchio k' corrispondente al cerchio k
(di a) e la proiezione — dal centro della trasformazione — sui piano
a' del vertice del cono circoscritto alia sfera lungo il cerchio A1®5).
Immaginiamo che il quadro a' tagli la sfera7 a lungo il cerchio y,
il cui centro sara C. Allora il cerchio у ed il punto C si dicono rispet-
tivamente cerchio e punto principale. Si hanno le seguenti proprieta :
due punti P e Q della sfera, diametralmente opposti, hanno per cor-
rispondenti due punti P' e Q' allineati con C e tali che :
P'C.Q' C = — d2,
ove d e eguale alia distanza del centro di proiezione dal centro di y.
Due punti di a, simmetrici rispetto al quadro a', hanno per imma-
gini due punti allineati con C.
Se due figure della superficie sferica a sono prospettive rispetto ad
un centro S, le loro immagini sono figure omologhe in una trasforma-
zione per raggi vettori reciproci (piana), il cui centro e la proiezione —
da О — di S su a' ; e viceversa.
La proiezione di una figura anallagmatica situata sulla superficie
sferica e una figura anallagmatica196). Inversamente : una linea anal-
lagmatica piana e la proiezione stereografica dell’intersezione di una
sfera con un cono.
2 - Si dice lossodromia sferica197) una curva della sfera che taglia
sotto angolo costante (acuto о retto) i meridiani (cerchi massimi pas-
santi per una stessa retta). Tale curva fu studiata da P. Nunez 198 *) ed
e assai importante per la navigazione, perche e la linea descritta da una
imbarcazione quando la direzione del suo spostamento fa un angolo
costante con Kago calamitato. Nel planisfero si pud tracciare facilmente
1’immagine della lossodromia sferica congiungente due punti, perche :
la proiezione stereografica d’una lossodromia sferica e una spirale loga-
ritmica122) (infatti i meridiani si proiettano nei raggi di un fascio, e
la lossodromia in una curva che taglia sotto angolo costante detti
raggi)-
•3 - Le equazioni della proiezione stereografica della sfera
x2 + j2 + г2 = 1
198) M. Chasles193); Ann. math, pures appl., 18 (1827-28), p. 305 (p. 307).
19e) Cfr. G. Lazzeri147), n. 14.
197) Lossodromia ё parola con radici greche, che letteralmente signifies che corre
piegata.
1M) P. Nunez (Nonius), matematico e geografo portoghese (1492-1577).
*••) Propriety che pare dovuta a J. C. Collins (1625-1683), e che trovasi in
E. Hali^y (1696). Cfr. G. Loria, Curve sghembe speciali, 2, Bologna 1925, p. 75.
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari
479
sul piano z = 0, dal centro О di coordinate (0,0, 1), sono :
(74J и = x/(l — z) v = y/(l — z) ,
ove (w , v) sono le coordinate del punto corrispondente al punto di
coordinate (x , у ,z) della sfera.
Le equazioni della trasformazione inversa sono :
(75) x=2u/(u2+v2-\-l) , y=2v/(u2+v2+l) , z=(u2+v2—1)/(m2+^24-1).
*88. Proiezioni stereografiche d’una quadrica. — 1. Si pud
estendere la nozione di proiezione stereografica ad una quadrica qua-
lunque. Una tale trasformazione si pud infatti definire come quella
subordinata da inversione quadrica qualunque, fra una quadrica о
ed il piano corrispondente o'.
Oppure — direttamente — si pud definire come la prospettiva di
о sul piano (o quadro) o' fatta da uno dei punti d’intersezione di о col
diametro coniugato a o' (per modo che il quadro o' risulta parallel©
al piano tangente a о nel centro di prospettiva — о centro di trasfor-
mazione).
Tale trasformazione venne studiata da M. Chasles 200), il quale
ha stabilito le proprieta seguenti:
I. Tutte le curve piane, tracciate sulla quadrica cr, si proiettano
sul quadro secondo curve omotetiche, sia fra loro, sia rispetto all’inter-
sezione della quadrica о col piano del quadro.
II. Le proiezioni di queste curve, sul piano del quadro, hanno
rispettivamente per centri le proiezioni dei vertici dei coni circoscritti
alia quadrica secondo queste curve.
Viceversa :
Un numero qualunque di coniche omotetiche — situate nello stesso
piano — si possono considerare come le proiezioni stereografiche di
altrettante curve piane situate su una stessa quadrica ; e i loro* centri
sono allora le proiezioni dei vertici dei coni circoscritti a questa quadrica
secondo queste stesse curve.
Per le ellissi (od iperboli о parabole), tracciate sopra una stessa qua-
drica, si possono risolvere problemi analoghi a quelli gia risolti per i
cerchi tracciati su uno stesso piano. Per es. il problema d’ApoLLONio
od il problema di Malfatti in tutta la sua generality. Bastera, a tai
fine, proiettare i dati su un piano talmente situato che le proiezioni
siano dei cerchi, risolvere il problema piano per i cerchi e proiettare
in seguito i cerchi cosi ottenuti sulla quadrica assegnata201). Quindi, se
la quadrica ё non rigata, basteri prendere come centro della proiezione
stereografica un ombelico.
200) M. Chasles, Ann. math, pures appl., 18 (1827-28), p. 305.
201) J« Plucker, Ann. math, pures appl., 18 (1827-28), p. 47; Ges. math. Abh.,
p. 75.
480
Ugo Cassina
•2- Piu generalmente si da il nome di proiezione stereografica di
una quadrica alia prospettiva — fatta da un suo punto — su un qua-
lunque piano (o quadro). .Allora si dicono punti fondamentali (nella
trasformazione in discorso) le intersezioni del quadro con le genera-
trici uscenti da О (le quali sono reali quando e solo quando la quadrica
assegnata e rigata), e retta fondamentale la congiungente i due punti
fondamentali. Nelle proiezioni stereografiche studiate da M. Chasles
la retta fondamentale e la retta all’infinito del quadro 202).
89. Trasformazioni sferiche ed isogonali. — Le trasforma-
zioni sferiche 203) si possono definire analogamente alle trasformazioni
circolari (v. § 81), cioe come quelle trasformazioni biunivoche (salvo
alcuni punti eccezionali) dello spazio in se che mutano il sistema di
piani e sfere in se stesso, (il che si suole anche esprimere dicendo che la
trasformazione in discorso e omosferica, perche — in queste considera-
zioni — i piani figurano come sfere di raggio infinite).
Le trasformazioni sferiche formano un gruppo oo10.
Ogni trasformazione sferica e una similitudine (spaziale), od una
inversione sferica, od il prodotto di una isomeria (spaziale) per un’in-
versione sferica. Ogni trasformazione sferica e isogonale. E viceversa:
Ogni trasformazione isogonale spaziale e sferica 204 205 *).
Come caso particolare si hanno le involuzioni sferiche (o di Mo-
bius) che possono essere definite come quelle trasformazioni sferiche
nelle quali i punti corrispondenti sono separati armonicamente da due
punti assegnati.
Le sole trasformazioni sferiche involutorie sono le involuzioni di
Mobius e le inversioni ed antinversioni sferiche. Ogni trasformazione
sferica concorde pud essere decomposta nel prodotto di quattro inver-
sioni sferiche, ed ogni trasformazione discorde pud essere decomposta
nel prodotto di cinque inversioni sferiche 2°5).
* 90. Trasformazioni quadratiche.— Le trasformazioni quadra-
tiche spaziali si possono definire — analogamente alle piane (v. § 83) —,
come trasformazioni puntuali biunivoche (salvo alcuni punti eccezio-
nali) di 2° grado2™).
Le trasformazioni quadratiche spaziali non formano un gruppo,
ma appartengono — insieme alle collineazioni spaziali — al gruppo delle
trasformazioni cremoniane (o birazionali) spaziali.
2 °2) La proiezione stereografica generale e stata usata dalla signorina G. Big-
giogero per la determinazione delle proprieta dei sistemi di cerchi e sfere. Vedi: Pe-
riod. mat., (4) 12 (1932), p. 17, 87.
203) Le trasformazioni sferiche vennero studiate da W. Thomson, e special-
mente da J. Liouville 182).
204) Questo teorema di J. Liouville venne — come egli scrive — ottenuto en pro-
fitant d'une sort de hasard. Trovasi nella nota VI all’ed. 5a di G. Monge, Application
de Г analyse a la geometrie, Paris 1850, p. 609-616.
205) J. L. Coolidge161), p. 347.
20e) Per la storia e la bibliografia vedi L. Berzolari 143).
XXVIII. - Trasformazioni geometriche elementari 481
Le collineazioni spaziali sono le uniche trasformazioni cremoniane
spaziali prive di punti eccezionali (cfr. § 83*1).
Tutte le trasformazioni esaminate nel presente articolo sono cre-
moniane 207).
207) Elenchiamo alcune altre trasformazioni geometriche, che sono utili in qualche
questione di matematica elementare: trasfonnazioni per iperbolismo\ trasformazione
generale di Newton; trasformazione di raggio vettore in ascissa; trasformazione per
semirette reciproche (o trasformazione di Laguerre); trasformazioni pedali ed anti-
pedali (introdotte aa C. M acl aurin ле studiate poi da vari autori); ecc., ecc. Cfr. E.
Laguerre Bull. Soc. math. France, 8 (1880), p. 196; C. R. Ac. sc. Paris, 92 (1881),
p. 71; ibid., 94 (1882), p. 778, 832, 933, 1033, 1160; ibid., 96 (1893), p. 766; Nouv.
Ann. math., (3) 1 (188?), p. 542; ibid., (3) 2 (1883), p. 16, 65, 97; ibid., (3) 4 (1885) p. 5;
Oeuvres. 2, Paris 1905, p. 592-684; inoltre 1’opuscolo Recherches sur la geometric de
direction, Paris 1885; J. L. Coolidge15*1), p. 351, p. 408; G. Loria, Period, mat., (3)
4 (1907), p. 214; H. Bouasse et E. TuRRiisRE155); E. Rouch£ et Ch. de Combe-
rousse151). 1, p. 314.
XXIX
I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI
E I PROBLEMI CLASSIC!
di AMEDEO AGOSTINI л Livorno
INDICE
I. - Introduzione.
Pag.
1. Teoremi e problemi ...................................................... 487
2. Propriety grafiche e metriche........................................... »
3. Classificazione dei problemi ............................................ 488
4. Problemi elementari ........................................... 1....... 490
IL - Gli strumenti elementari.
5. Operazioni eseguibili colla riga ......................................... 490
6. Problemi risolubili colla riga ........................................ 492
7. П campo euclideo e if compasso ........................................ 493
8. Problemi risolubili colla riga e. col compasso ......................... 494
9. Problemi fondamentali ....................................*............. 495
10. Compasso ad apertura fissa ......... ................. ................ »
11. Geometria del compasso ............................................. 496
12. Riga e cerchio fisso . -................................................ 498
13. Trasportatore di segmeriti ........................................... 500
14. La riga a orli paralleli ....................................... 501
15. La squadra e la falsa squadra................................... 502
III. - Metodi per la risoluzione dei problemi elementari.
16. Analisi ............................................................. 502
17. Sintesi................................................................. 503
18. Metodi per la risoluzione dei problemi elementari....................... 504
19. Metodo dei luoghi -geometrici ......................................... »
20. Metodo della trasformazione delle figure. Traslazione................... 509
21. Rotazione .............................................................. 511
22. Ribaltamento intomo ad un asse......................................... *
23. Similitudine elementare................................................. 512
24. Omologia ed omotetia . . ............................................ 513
25. Inversione per raggi vettori reciproci - Ciclografia................... 515
IV. - Cenni di geometrografia.
26. Semplicit& ed esattezza delle costruzioni geometriche................... 515
27. Geometrografia...............................................’.......... 510
466
Amedeo Agostini
V. - I PROBLEMI CLASSICI.
Pag.
28. Impossibility di risolverli elementarmente ................................. 520
29. Soluzioni della duplicazione del cubo...................................... 522
30. Soluzioni della trisezione dell’angolo....................................... 525
31. Risoluzione dei problemi di 3° e di 4° grado .............................. 528
32. La quadrature del cerchio mediante curve trascendenti........................ 529
33. Metodi elementari pel calcolo di л........................................... 531
34. Calcolo di n mediante algoritmi infiniti..................................... 535
35. Lunule quadrabili ......................................................... 537
L * * Introduzione1).
1. Teoremi e problemi. — Le proposizioni geometriche si so-
gliono distinguere in due classi: i teoremi e i problemi2).
Si ha un teorema quando, data una figura geometrica mediante
i suoi elementi costitutivi, dalla posizione di questi si deducono rela-
zioni mutue tra gli elementi, о proprieta generali della figura. Quando,
invece, si vuole determinare о costruire una figura geometrica i cui
elementi godano di date proprieta, si ha un problema.
Rispetto alia esistenza di figure che godano delle proprieta richieste,
un problema e:
determinate, quando esiste un numero finito di figure geometri-
che che soddisfano il problema,
indeterminate, se ne esistono quante si vogliono,
impossibile, quando il problema non ammette soluzioni.
L’impossibiliti di un problema pud essere assoluta, о relativa ai
mezzi di cui si dispone per la ricerca, о per la costruzione, della figura
richiesta.
In cid che segue si trattera soltanto di problemi piani (con la sola
eccezione della duplicazione del cubo).
2. Proprieta grafiche e metriche. — Le proprieta di una fi-
gura si distinguono in grafiche e metriche 3).
Sono grafiche le proprieta riguardanti I’appartenenza di punti a
rette, о linee, о il susseguirsi cli punti sopra una data linea. Tali proprieta,
studiate dalla geometria proiettiva, si conservano per proiezioni e sezioni.
Le proprieta metriche riguardano la grandezza di segmenti, angoli,
superficie, ecc.: esse, in generale, si alterano eseguendo proiezioni о
sezioni.
г) Sull’argomento dell’articolo vedasi J. Sommer in Encykl. d. math. Wiss., Ill
AB 8, 1914, p. 771, specialmente i §§ 6-14; M. Zacharias, Encykl. d. math. Wiss.,
Ill A В 9, 1914, p. 859, specialmente i §§ 23-28; gli articoli di A. Sabbatini, E.
Daniele, A. Giacomini, G. Castelnuovo, A. Conti, F. Enriques in Questioni ri-
guardanti le matematiche elementari, raccolte e coordinate da F. Enriques, 3s ed., 2',
Bologna 1926; F. Enriques, Lezioni di geometria proiettiva, 4a ed., Bologna 1920.
*) La prima distinzione delle questioni geometriche in teoremi e problemi si fa
risalire alle scuole di Platone e di Eudosso (IV sec. a. C.).
s) V., anche per la bibliografia, Part. XXXV di questa Encicl. (E. G. Togliatti,
Geometria proiettiva).
488
Amedeo Agostini
Anche i problemi si distinguono in grafici e metrici, secondo che
le proprieta richieste per le figure da ricercarsi sono grafiche о metriche.
Occorre tener presente perd che un problema metrico pud essere
ridotto ad un problema grafico quando siano dati gli enti metrici fon-
damentali del piano, cioe la retta impropria e I’involuzione assoluta :
la prima restera individuata da due coppie di rette parallele (paral-
lelogrammo), la seconda da due coppie di rette ortogonali. Gli elementi
metrici fondamentali saranno quindi dati quando sia assegnato un
quadrato.
3. Classificazione dei problemi. — Ogni problema geometrico
pud ridursi ad uno о piu problemi del tipo:
dati piu punti, in numero finito, costruire uh punto che abbia coi
punti dati relazioni assegnate,
qualora si possa sostituire alle rette, ai cerchi, alle linee, che fi-
gurano tra i dati, un^numero finito di punti sufficiente ad individuare
quelle rette, quei cerchi e quelle linee.
I metodi della geometria analitica permettono allora di trasformare
un problema geometrico in un problema analitico. Per eseguire questa
trasformazione, fisseremo un conveniente sistema di coordinate: le
coordinate dei punti dati, rispetto al sistema fissato, determinano, in-
sieme coi numeri che si deducono da esse con operazioni razionali,
il campo di razionalitd C definite dai dati *). Il punto incognito, avendo
ad esempio un problema di geometria piana, sara rappresentato da una
coppia di numeri incogniti x ,y, e le relazioni, che 1’enunciato fa pas-
sare tra i punti dati e il punto incognito, si tradurranno in certe relazioni
analitiche tra i numeri del campo di razionalita C e i numeri x e y.
11 problema, in generale, risultera determinate se si traduce alge-
bricamehte in un sistema di equazioni indipendenti in numero uguale
al numero delle incognite. Se invece il problema da luogo ad un si-
stema di equazioni indipendenti in numero maggiore, о minore, del
numero delle incognite, in generale, il problema risulta, rispettivamente,
impossibile, о indeterminate.
Se il problema e determinato, applicando i metodi della teoria
della eliminazione 6), si otterranno due equazioni:
/(x) = 0 , <p(y) = 0 ,
1’una contenente la sola x, 1’altra la sola y.
Con tale procedimento la risoluzione di un problema geometrico
viene trasformata nella risoluzione di una, о piu, equazioni ad una in-
cognita. Se tali equazioni sono algebriche e i loro coefficienti apparten-
4) V. Part. XIII di questa Encicl. (O. Nicoletti, Funzioni razionali di una
о piu. variabili), § 12.
*) Per la eliminazione tra equazioni algebriche, v. fart. XIV di questa Encicl.
(O. Nicoletti, Proprietd. generali delle equazioni elgebriche\ §§ 27-31.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
489
gono al campo di razionalita definite dai dati, il problema dicesi alge-
brico, altrimenti viene detto trascendente.
I problemi algebrici si classificano secondo il grado della equazione
algebrica, irriducibile nel campo di razionalita C, da cui dipendono.
Si hanno quindi problemi lineari, о di 1° grado, problemi di 2° grado,
ecc., secondo che dipendono dalla risoluzione di una equazione alge-
brica lineare, quadratica, ecc.e).
t Osservazioni — I. La scelta del sistema di coordinate per la
risoluzione algebrica di un problema geometrico ha importanza fon-
damentale. In generale gli enti fondamentali del sistema si sceglieranno
tra i punti e le rette date.
Per tradurre in equazione i problemi, che richiedono solo proprieta
grafiche, si ricorrera ad un sistema di coordinate proiettive, mentre,
se si tratta di problemi metrici, converra ricorrere ad opportune coor-
dinate (cartesiane, polari...) che permettano di tradurre in equazione
le relazioni metriche che necessariamente devono legare tra loro i dati.
Cosi, se tra questi figura un parallelogrammo, si potranno facilmente
tradurre in equazioni le relazioni di parallelismo, di proporzionalita,
ecc. che intercedono tra i dati, e tra questi e gli elementi incogniti, as-
sumendo due lati contigui del parallelogrammo come assi cartesiani e
uno dei lati come segmento unitario ; non si potranno perd tradurre
in equazioni le relazioni di perpendicolarita, di uguaglianza, ecc. se
non si conosce l’angolo formato dai lati del parallelogrammo, scelti
come assi coordinati.
II. — Una equazione algebrica, irriducibile nel campo di raziona-
lita C definite dai dati, pud risultare riducibile in un campo C' (piu
ampio di C), ottenuto aggiungendo ai punti dati nuovi punti particolari.
Quindi un problema di grado n, irriducibile nel campo C, pud alle
volte diventare riducibile introducendo tra i dati dei punti, in generale,
non arbitrari.
Percid un problema, che si presenta irriducibile se ci si ri fen see
ad un sistema generico di coordinate, pud diventare riducibile se si
ricorre ad un sistema convenientemente scelto, in particolare se si scel-
gono gli elementi fondamentali del sistema tra i dati del problema.
III. — La traduzione algebrica di un problema permette, come
vedremo, di stabilire se esso e risolubile graficamente con un determi-
nate strumento, e facilita il giudizio sulla possibility e sul numero delle
soluzioni, tuttavia occorre tener presente che :
1) applicando i metodi della geometria analitica si introducono
spesso elementi estranei al problema geometrico (come le distanze dei
6) Pappo, III s. d. С. (Еимаусоут), libro VIII, cap. 22 e 27) attribuisce a Platone
la distinzione, adottata dai Geometri greci, dei problemi in piani (etukeSol), solidi
(oTEpEot), lineari (ypa.upixot) secondo che erano risolubili con rette e circoli, con co-
niche non circolari, con curve di natura piii complessa. V. Pappi Alexandria Collec-
tiones quae super sunt e libris manu scriptis ed. F. Hultsch, 2, Berolini 1877, p. 663 e
6 73; Pappus d'Alexandrie, La collection mathematique, par P. ver Eecke, 2, Paris-
Bruges 1933, p. 495-496 e 502-503.
490
Amedeo Agostini
punti del piano da due rette fisse) che possono distrarre lo studioso dal
contenuto geometrico della questione ;
2) durante il processo algebrico per la risoluzione delle equazioni,
in generale, si per de di vista la interpretazione geometrica delle opera-
zioni algebriche che si eseguono;
3) la interpretazione geometrica dei risultati ottenuti non e sempre
di facile intuizione per le difficolta che pud presentare la costruzione
geometrica dei risultati algebrici ottenuti e perche la traduzione algebrica
pud, alle volte, non tener conto di disuguaglianze contenute implicita-
mente neU’ejiunciato del problema geometrico (come disuguaglianze
tra i lati di un triangolo, ecc.). Inoltre poi possono sfuggire le soluzioni
infinite (direzioni di rette parallele, giaciture di piani paralleli, ecc.).
4. Problemi elementari. — La risoluzione di un problema geo-
metrico consta di tre parti fondamentali:
1) dalle propriety degli elementi dati dedurre la costruzione
degli elementi incogniti richiesti dal problema,
2) dimostrare 1’esattezza della costruzione eseguita,
3) discutere il problema, e cioe stabilire sotto quali condizioni,
non contenute nell’enunciato, il problema e possibile, e determinare
il numero delle soluzioni.
La prima parte si riduce, graficamente, ad un disegno per la ese-
cuzione del quale bisogna ricorrere a degli strumenti atti a tracciare
gli elementi geometrici dati e richiesti. E poiche la geometria elemen-
tare studia solamente le proprieta geometriche di figure formate da
punti, rette e circoli, si considerano come problemi elementari, quelli
pei quali le eventuali soluzioni sono costruibili con strumenti atti a
tracciare rette e circonferenze.
Si dicono quindi risolubili elementarmente solo quei problemi le
cui soluzioni sono costruibili coi mezzi offerti dalla geometria elementare,
cioe colla riga e col compasso, о con qualunque altro strumento che li
possa sostituire.
Questa restrizione dei mezzi meceanici ha per risultato che molti
problemi, apparentemente semplici, specie nell’enunciato (trisezione
di un angolo qualunque, duplicazione del cubo, ecc.), sono, per la geo-
metria elementare, impossibili. Cid accade, come vedremo nei §§ se-
guenti, tutte le volte che il problema, tradotto analiticamente, conduce
alia risoluzione di equazioni non riducibili al primo, о al secondo grado.
IL - Gli strumenti elementari.
S. Operazioni eseguibili colla riga. —Date in un piano due
rette parallele r , s (una individuaDte il punto improprio dell’altra) e
possibile, ricorrendo alle proprieta del quadrangolo completo7), risol-
vere coll’aiuto della sola riga i seguenti problemi8):
7) V. 1’art. XXXV di questa Encicl., 3), § 11.
8) F. Severi, Complementi di geometria proiettiva, Bologna 1906, p. 20, 36; A.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
491
1) dato un segmento sulla r, costruire sulla retta stessa un segmento
uguale al dato e avente un estremo assegnato;
2) sommare e sottrarre due segmenti comunque dati sulla r;
3) costruire sulla r un segmento multiplo о sottomultiplo di un
segmento dato su di essa;
4) costruire sulla r un segmento che stia in un rapporto assegnato
con un segmento dato su di essa.
In conseguenza si pud asserire che:
Dati piii segmenti sopra una retta, e tracciata una retta parallela
alia data, ё possibile effettuare, mediante un numero finito di costruzioni
grafiche eseguibili colla sola riga, qualunque operazione razionale tra questi
segmenti.
A tale enunciato si pud dare altra forma, sostituendo ai segmenti
i loro estremi. Assumendo tre di questi come punti fondamentali di
un sistema di coordinate proiettive, oppure scegliendo uno dei segmenti
corrie unita ed uno dei suoi estremi come origine di un sistema di ascisse,
gli altri punti, estremi dei segmenti dati, resteranno individuati, ri-
spetto a tale sistema, mediante le loro coordinate хг, x2, ... Le ope-
razioni razionali eseguibili colla riga sui segmenti assegnati vengono
cosi a trasformarsi in operazioni razionali eseguite sulle coordinate dei
loro estremi, quindi :
Dati piu punti sopra una retta, si assumano tre di essi come punti
fondamentali di un sistema di coordinate proiettive, oppure si scelga uno
di essi come origine e un altro come punto unita di un sistema di ascisse
sulla retta, e siano, rispetto a tale sistema, xx , x2, ... le coordinate degli
altri punti dati; e possibile allora determinare, con un numero finito di
costruzioni grafiche eseguibili colla sola riga, ogni altro punto della retta
avente la sua coordinata appartenente al campo di razionalitd definite
dai dati.
Anche nel piano sostituiamo ai segmenti dati i loro estremi, tra essi
potremo scegliere tre punti come vertici di un triangolo fondamentale
X Y Z di un sistema di coordinate proiettive e un punto come punto
unita: gli altri punti avranno, rispetto a tale sistema, le coordinate
proiettive ,y±; x2, y2; •••
Poiche e possibile costruire colla sola riga sulla retta Z X ogni punto
la cui coordinata proiettiva appartiene al campo di razionaliti [1, , x2,...]
e sulla retta Z Y ogni punto la cui coordinata proiettiva appartiene al
campo di razionalita [1 , y± ,y2, ...], si ha che e possibile determinare
con un numero finite di costruzioni grafiche eseguibili colla sola riga qua-
lunque punto del piano le cui coordinate appartengono al campo di razio-
nalitd definite dai dati nel modo anzidetto.
Di questa proposizione sussiste anche la inversa:
Ogni punto cui si perviene mediante un numero finito di costruzioni
Giacomini J), p. 198. Per cid che segue si veda F. Klein (1849-1925), Vortrdge uber
ausgewahlte Fragen der Elementargeometric, Leipzig 1895; G. Castelnuovo 4, p. 233 ;
A. Adler, Theorie der geometrischen Konstruktionen, Leipzig 1906; Th. Vahlen,
Konstruktionen und Approximationen in systematischer Darstellung, Leipzig-Berlin 1911.
492
Amedeo Agostini
effettuate colla sola riga partendo da piu punti dati (riferiti ad un sistema
di coordinate avente gli elementi fondamentali scelti tra i dati) e un
punto le cui coordinate appartengonp al campo di razionalita definite
dai dati.
Colla riga sono possibili le seguenti due operazioni grafiche fon-
damentali :
1) congiungere due punti,
2) determinare la intersezione di due rette.
Supponiamo dati piu punti del piano riferiti, al solito, ad un si-
stema di coordinate cogli elementi fondamentali scelti tra i dati, ed
eseguiamo colla riga, partendo dai punti dati, una qualunque delle
due operazioni grafiche accennate.
La prima operazione da una retta: la sua equazione ha coefficienti
esprimibili razionalmente mediante le coordinate dei punti che si con-
giungono, quindi tali coefficienti appartengono allo stesso campo di
razionalita cui appartengono le coordinate dei due punti.
La seconda operazione da un punto : le sue coordinate si espri-
mono razionalmente mediante i coefficienti delle equazioni delle due
rette, quindi tali coordinate appartengono allo stesso campo di razio-
nalita definite dai dati.
Partendo dunque dai punti dati, per quante operazioni grafiche
si eseguano colla riga, si perverra sempre a punti le cui coordinate ap-
partengono al campo di razionalita definite dai dati.
Pertanto possiamo concludere che:
Dati piu punti in un piano (in numero maggiore di quattro), rife-
riti ad un sistema di coordinate i cui elementi fondamentali sono scelti
tra i dati, condizione necessaria e sufficiente affinche si possa raggiungere,
partendo dai dati, mediante un numero finito di costruzioni eseguite colla
riga, un certo punto, e che questo abbia le sue coordinate appartenenti al
campo di razionalita definite dai dati.
Osservazione. — In pratica il piano e rappresentato dal foglio
sul quale si disegna. Per le dimensioni limitate del foglio pud accadere
che un punto od una retta data cadano fuori del foglio e siano indivi-
duati, rispettivamente, da due rette tracciate sul foglio, о da due coppie
di rette (determinanti due punti fuori del foglio). Anche in questo
caso e possibile congiungere un punto dato fuori del foglio con un
punto segnato nel foglio (o determinare il punto intersezione di due
rette date, delle quali una о tutte due cadono fuori del foglio) mediante
costruzioni eseguibili colla sola riga e fondate sul teorema dei triangoli
omologici 9).
6. Problemi risolubili colla riga. — Pei risultati conseguiti nel
paragrafo precedente e facile stabilire quali siano i problemi geome-
trici risolubili colla sola riga.
Come gia e stato osservato, ogni problema geometrico si pub scin-
9) F. Severi8), p. 16; A. Giacomini х), p. 186.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
493
dere in uno о piu problemi del tipo: Trovare un*punto che abbia deter-
minate relazioni con piii punti dati. Affinche tale punto richiesto sia rag-
giungibile mediante un numero finito di operazioni grafiche eseguite
colla sola riga, occorre e basta che le sue coordinate appartengano al
campo di razionalita definite dai dati, quindi la ricerca analitica delle
sue coordinate dipendera da equazioni necessariamente lineari (o ridu-
cibili a lineari), aventi i coefficienti appartenenti al campo di razionalita
definite dai dati.
Segue che
Colla sola riga sono risolubili tutti e soli i problemi di primo grado.
7. Il campo euclideo e il compasso. — Sia C il campo di
razionalita definite dai dati. Estendiamo tale campo aggiungendo
tutti i numeri che si ottengono applicando ad ogni numero positivo
di C 1’estrazione di r^dice quadrata. Dal campo di razionalita C', cosi
ottenuto, si .avra un nuovo campo di razionalita C" aggiungendo ai
numeri di C' le radici quadrate dei numeri positivi che appartengono
a C'.
L’insieme dei numeri reali che, cosi seguitando, si viene a formare
costituisce il campo euclideo E di razionalita definite dai dati.
Mostriamo che :
Dati piii punti in un piano riferiti ad un sistema di coordinate, i
cui elementi fondamentali sono scelti fra i dati,-ogni punto, le cui coordinate
appartengono al campo euclideo definite dai dati, e raggiungibile, partendo
dai dati, mediante un numero finito di costruzioni eseguite colla riga e
col compasso.
Ogni numero a del campo di razionalita C definite dai dati pud
riguardarsi come lunghezza di un segmento dato sopra una retta (asse
coordinate); ora il segmento lungo \/~a pud costruirsi col compasso,
poiche si pud considerare come medio proporzionale tra il segmento
lungo a ed il segmento unitario. Segue che mediante la riga ed il com-
passo potranno costruirsi tutti i punti le cui coordinate appartengono
al campo di razionalita C'. In modo analogo si ha che sono ottenibili
col compasso e‘ colla riga tutti i punti aventi coordinate che apparten-
gono al campo di razionalita C", e cosi via.
Reciprocamente:
Dati nel piano piii punti riferiti ad un sistema di coordinate, avente
gli elementi fondamentali tra i punti dati, ogni punto cui si perviene me-
diante un numero finito di costruzioni eseguite colla riga e col compasso,
partendo dai punti dati, ha coordinate che appartengono al campo euclideo
definite dai dati1Q).
Come si e gia visto, le costruzioni colla riga portano a punti le cui
coordinate appartengono al campo C definite dai dati e, quindi, al
10) A. F. Mobius (1790-1868), Der barycentrische Calcul, Leipzig 1827, § 200;
J. reine ang. Math., 4 (1829), p. 105 ; Werke, 1, Leipzig 1885, p. 467; P L. Wa’Ntzel,
T. math, pures appl., 2 (1837), p. 366.
494
Amedeo Agostini
campo euclideo : bastera esaminare le costruzioni effettuate col solo
compasso.
Le costruzioni semplici eseguibili col compasso sono :
1) tracciare una circonferenza di dati centro e raggio;
2) determinare le intersezioni di una circonferenza con una retta;
3) determinare le intersezioni di due circonferenze.
Qualunque altra costruzione effettuata col compasso risulta dalla
sovrapposizione di un numero finito di costruzioni 1), 2), 3).
Ora la costruzione 1) (cui si riconducono, con costruzioni lineari,
la costruzione della circonferenza dato il centro e un punto, о dati tre
punti di essa) da luogo alia equazione:
(X_a)2 + (J_/S)8=r2j
che avra, se si parte dai dati, i coefficienti e il termine noto apparte-
nenti al campo euclideo.
Nel problema 2) la retta e la circonferenza (naturalmente ottenute
partendo dai dati) avranno delle equazioni con coefficienti e termini
noti appartenenti al campo euclideo. Le radici (reali) del sistema delle
due equazioni saranno numeri appartenenti allo stesso campo euclideo,
poiche si otterranno effettuando operazioni razionali ed estrazioni di
radici quadrate sopra numeri del campo stesso.
Il terzo problema si riconduce al secondo, poiche ad uno dei cerchi
si pud sostituire l’asse radicale dei due cerchi, il quale e costruibile
linearmente partendo dai centri e dai raggi delle due circonferenze date.
Dunque 1’esecuzione successiva di un numero finito di costruzioni
elementari col compasso, fatte partendo dai punti dati, porta sempre a
punti le cui coordinate appartengono al campo euclideo definite dai dati.
Concludendo, potremo anche dire che :
colla riga e col compasso si pub costruire qualunque espressione
reale formata coi dati, purche contenga solo irrazionalitd quadratiche^
о riducibili a successive estrazioni di radici quadrate10 Ms).
8. Problemi risolubili colla riga e col compassp. — Abbiasi
un problema geometrico pel quale tanto gli elementi dati quanto quelli
richiesti siano punti, rette e circonferenze : come gia abbiamo osservato
possiamo sempre supporre che tali elementi siano soli punti che rife-
riremo ad un sistema di coordinate collegato coi dati.
Quando sara possibile costruire colla riga e col compasso un punto
di coordinate x ,yi Pel risultato precedente, e necessario e sufficiente
che i numeri x e у appartengano al campo euclideo definite dai dati,
ossia che, traducendo analiticamente il problema, si abbiano equazioni
tali che, mediante eliminazione, sia possibile giungere a due equazioni’
wbie) Molte costruzioni di formole algebriche eseguite con riga e compasso furono
date da R. Bombelli, v. L'Algebra, opera di Rafael Bombelli da Bologna, ed. E. Bor-
tolotti, Bologna 1929; E. Bortolotti, Period, mat., (4) 8 (1928), p. 334; ibid., (4)
9 (1929), p. 161.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
495
una contenente la sola x, I’altra la sola y, aventi, coefficient! appartenenti
al campo euclideo definite dai dati e risolubili mediante la successiva
risoluzione di equazioni lineari, о quadratiche.
Dunque:
Sono risolubili con un numero finito di costruzioni, effettuate colla
riga e col compasso, tutti e soli i problemi di primo e di secondo grado, e
i problemi di grado superiore che dipendono da equazioni riducibili alia
risoluzione di successive equazioni lineari, о quadratiche.
9. Problemi fondamentali. — La risoluzione di un problema
geometrico elementare mediante riga e compasso consiste nella deter-
minazione di' certi punti intersezioni di rette e di circonferenze. Ogni
problema pud quindi ritenersi come la sovrapposizione, per un numero
finito di volte, dei seguenti problemi semplici fondamentali cui si ri-
ducono tutte le operazioni eseguite colla riga e col compasso:
I. - Trovare il punto intersezione di due rette non par allele.
II. - Trovare gli eventual! punti corpuni ad una retta e ad una
circonferenza.
III. - Trovare gli eventuali punti comuni a due circonferenze.
Ora si presenta la questione : ё possibile ridurre i mezzi grafici
per la risoluzione di questi problemi semplici? ё possibile, сюё, eli-
minare uno degli strumenti riga e compasso, о ridurre al minimo il
tracciamento di circonferenze? Esporremo brevemente i risultati con-
seguiti nello studio di questa questione: naturalmente la questione
avra risposta esauriente quando si riesca a mostrare che, cogli strumenti
che si vogliono usare, si possono risolvere i problemi fondamentali
I, II, III.
10. Compasso ad apertura fissa u). — Delle costruzioni colla
riga e col compasso ad apertura fissa assegnata si sono occupati molti
geometri; alcuni — Abu’l Wefa Mohammed (940-998)* 12), Leonardo
da Vinci (1452-1519)13 14), A. Durer (1471-1528) u) — allo scopo di
eliminare, coll’apertura fissa, le cause di errori dipendenti dall’apertura
u) Per un raffronto-dei risultati e delle costruzioni dei van autori, v. J. S. Mackay,
Proc. math. Soc. Edinb., 5 (1887), p. 2; W. M. Kutta, Nova Acta Loop.-Car., 71
(1897}, p. 71; H. Geppert, Period, mat., (4) 9 (1929), p. 292 ; K. Yanagihara, Tdhoku
math. J., IB (1919), p. 41. Da una frase di Pappo [•), ed. F. Hultsch, 3, p. 1074;
ed. P. Ver Eecke, 2, p. 845], alcuni arguirono che i Greci conoscessero la Geometria
con una tola apertura di compasso: cid ё dimostrato insussistente da W. M. Kutta,
Bibl. math., (2) 10 (1896), p. 16.
12) F. WOEPCKE (1826-1864), J. asiatique, (5) 5 (1855), p. 218, 309.
18) Ch. Ravaisson-Mollien, Les manuscrits de L. da V.t Paris 1881-1891, in
vari luoghi citati da M. Cant6r (1829-1920), Vorlesungen uber Geschichte der Mathe-
matik, 2, 2ft ed*., Leipzig 1913, p. 295; H. Geppert11), p. 299.
14) A. Durer, Underweysung der messung mit dem Zirkel und richtscheyt, Nurnberg
1525, tradotta in latino col titolo: Institutionum geometricarum libri quattuor, Amhe-
miae 1605, p. 55. S. Gunther (1848-1922), Z. Math. Phys., 20 (1875), Hist.-lit.
Abthl., p. 5.
496
Amedeo Agostini
variabile, altri invece15) — S. del Ferro (1465-1526), N. Tartaglia
(1505P-1557), L. Ferrari (1522-1565), G. B. Benedetti (1530-1590) —
trattarono la questione dal punto di vista critico, per mostrare la pos-
sibility di eseguire tutte le costruzioni elementari con una sola apertura
di compasso. Le ricerche di questi ultimi portarono al teorema di L.
Ferrari:
Colla riga e col compasso ad apertura fissa si possono dimostrare
tutti i teoremi di Geometria piana ed eseguire tutte le costruzioni relative,
colla restrizione che le circonferenze a raggio diverso daWapertura fissa
non possono essere tracciate completamente, ma perd di esse si pud co-
struire il centro, il raggio e quanti punti si vogliono,
teorema che si riattacca al teorema di Poncelet-Steiner e alle
ricerche di F. Severi (§ 12).
11. Geometria del compasso 16). — Il danese G. Mohr 17) e
L. Mascheroni 18), a distanza di oltre un secolo, si proposer о di risol-
vere i problemi geometrici col solo compasso. Ma, mentre G. Mohr
si limito ad indicare, in generale, una soluzione per ogni problema о
a mostrarne la possibility, L. Mascheroni invece si preoccupo di tro-
vare per ogni problema le costruzioni piu facili e piu semplici. Tuttavia
ambedue giunsero, indipendentemente, al notevole risultato:
Ogni problema geometrico risolubile colla riga e col compasso e
risolubile anche col solo compasso.
L. Mascheroni giunge a risolvere i problemi elementari I e II
(il problema III e di soluzione immediata), senza far u$o della riga, pre-
mettendo la soluzione, col solo compasso, dei problemi:
a) Condurre per un punto dato la parallela ad una retta data;
b) Determinare il segmento multiplo, secondo un dato numero,
di un segmento assegnato ;
f) Costruire il punto simmetrico di un punto dato rispetto ad
una data retta ;
15) N. Tartaglia propose a G. Cardano (1501-1576) la risoluzione di 17 pro-
blemi geometrici da risolversi con apertura fissa di compasso ; L. Ferrari rispose ri-
costruendo tutta la geometria euclidea (E. Giordani, I sei cartelli di matematica disfida
di Lodovico Ferrari e Nicol5 Tartaglia, Milano 1876, Seconda risposta (1547)
(N. Tartaglia), p. 15, Quinto cartello (1547) (L. Ferrari), p. 25). Le costruzioni di
L. Ferrari furono riportate e modificate da G. Cardano, De subtilitate libri XXI,
Norimbergae 1550, p. 296; G B. Benedetti, Resolutio omnium Euclidis problematum
aliorumque ad hoc necessario inventorum una tantummodo circini data apertura, Ve-
netiae 1553; N. Tartaglia, General trattato di numeri et misure, quinta parte, Ve-
nezia 1560, fol. 63 v°.
ie) E. Daniele1)» P- 157; E. Dubouis, Le theoreme de Mascheroni, Vannes 1900;
A. Quemper de Lanascol, Geometrie du compos, Paris 1925 ; K. Yanagihara, Tdhoku
math. J., 34 (1931), p. 89.
17) G. Mohr, Euclides danicus, Amstelodami 1672, opuscolo 'rimasto sconosciuto
fino a pochi anni fa, scoperto e ripubblicato 6ц J. Hjei^mslev, Kopenhagen 1928; H.
Geppert, Period, mat., (4) 9 (1929), p. 149; R. Marcolongo, Rend. Acc. Napoli,
(4) 35 (1929), p. 25.
18) L. Mascheroni (1750-1800), La geometria del compasso, Pavia anno V (1797).
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
497
d) Bisecare un arco dato;
e) Costruire il segmento quarto proporzionale dopo tre segmenti
assegnati.
Del teorema di Mohr-Mascheroni, A. Adler1®) ha dato una
dimostrazione, ricorrendo alia trasformazione per raggi vettori reci-
proci, (v. Fart. XXVIII di questa Encicl. “), § IT e seg.), che riferiamo.
A. Adler mostra dapprima come si possano risolvere, coll’aiuto
del solo compasso, i problemi fondamentali della trasformazione per
raggi vettori reciproci:
1) dato in un piano un cerchio C, di centro О e raggio r, e un
punto P, costruire un punto P' (inverso di P rispetto a C) tale che
OP-OP = ra;
2) costruire il centro della circonferenza corrispondente, nelFin-
versione rispetto a- C, di una retta non passante per О ;
3) costruire il centro della circonferenza corrispondente, nel-
Finversione rispetto a C, di una circonferenza data non passante per O.
Premesso cid, supponiamo di dover risolvere un problema К di
Geometria piana nel quale entrino come elementi dati e richiesti solo
punti, rette e circonferenze : la sua risoluzione grafica eseguita mediante
riga e compasso verra a costituire nel piano una figura F. Applichiamo
alia figura F Finversione rispetto ad un cerchio qualunque C non avente
il centro sopra nessuno degli elementi di F: tale figura si trasformera
in una certa figura F' costituita, per le proprieta dell’inversione, solo
di punti e cerchi, i quali si potranno ottenere dagli elementi che com-
paiono nella F ricorrendo ai problemi 1), 2), 3) e, quindi, col solo com-
passo.
Pertanto il problema Ky applicando ai dati Finversione, verra
trasformato in un problema K' risolubile mediante il solo compasso.
Risolto il problema K'y si avranno i punti richiesti dal problema
К applicando Finversione ai punti che risolvono il problema trasfor-
mato K'.
Notiamo che Fuso sistematico del solo compasso complica e rende,
in generale, piu laboriosa la risoluzione dei problemi geometrici; solo
in alcuni casi, ricorrendo alia inversione e scegliendo opportunamente
il cerchio fondamentale, si possono avere vantaggi notevoli. Riserban-
doci di tomare sull’argomento (§ 25), avveftiamo fin d’ora che si pud
ricorrere utilmente all’inversione quando le costruzioni si debbono ese-
guire sopra elementi inaccessibili.
Ad esempio il problema:
Congiungere un punto О con un punto inaccessibile P individuato
da due rette
si risolvera prendendo come cerchio fondamentale della inversione un
cerchio di centro O. Si determineranno le circonferenze corrispondenti
19) A. Adler, Stzgsb. Ak. Wien, 99 (1890), p. 910. La dimostrazione del teo-
rema fondamentale mediante Finversione trovasi anche in F. Severi8), p. 187; E.
Daniele1), p. 176.
498
Amedeo Agostini
alle rette date : tali circonferenze passano per О e dovranno ineontrarsi
ulteriormente in un punro O' allineato con О e P. Scegliendo opporru-
namente il cerchio fondamentale dell’inversione in modo che O' risulti
intemo al foglio, la retta О O' risolve il problema.
12. Riga e cerchio fisso. — J. V. Poncelet e J. Steiner20)
hanno stabilito che:
Ogni costruzione eseguibile colla riga e col compasso e effettuabile
anche colla sola riga quando nel foglio sia dato, insieme al suo centro, un
cerchio fisso completamente tracriato,
Ossia:
Tutti i problemi elementari sono risolubili colla sola riga, quando sia
dato nel foglio un cerchio completamente tracdato, di cui sia dato il centro.
Per mostrare cid bastera fare vedere come sia possibile risolvere,
colla riga e col cerchio fisso, i problemi I, II, III.
Premettiamo che la costruzione della perpendicolare ad una retta
data r da un punto dato M si pud eseguire linearmente, dato il cerchio
fisso col suo centro, nel seguente modo : Poiche e possibile costruire
colla riga quante coppie di rette ortogonali si vogliono, come coppie
ortogonali di raggi omologhi di proiettivita aventi il sostegno sulla
circonferenza tracciata, si prendano due di tali coppie di rette a , a’;
b , V e si mandino per M le parallele alle rette a e b: queste incontrino
la r, rispettivamente, nei punti A e B. Da A e В si conducano le rette
parallele, rispettivamente, alle V e a'; esse risultano altezze del triangolo
А В M. Si unisca il punto d’incontro di tali altezze con M e si avra,
per una nota proprieta delle altezze di un triangolo, la perpendicolare
richiesta.
Ritomando ai problemi fondamentali, notiamo che il problema I
e di soluzione immediata colla sola riga.
Il problema II si riduce alia ricerca degli elementi uniti di una
proiettivita colla seguente costruzione. La circonferenza da intersecare
con la retta data r, sia individuata dal centro О e da un suo punto P.
Si prenda il punto P' simmetrico di P rispetto ad О (raddoppiare un
segmento dato) ed un punto qualunque M sulla retta r. Si proietti da
P il punto M e da P' si tracci la perpendicolare alia P M; sia Mr il punto
di intersezione ; esso appartiene alia circonferenza di centro О e passante
per P. Proiettiamo poi da P' sulla r e sia M' la proiezione. Se M
coincide con M', tale punto e una delle intersezioni richieste, altrimenti,
al variare di M, variera anche M' ed M e M' verranno a descrivere
sulla retta r una proiettivita. Gli elementi uniti della proiettivita cosi
generata risolvono il problema II, e si costruiranno linearmente ri-
portando la proiettivita sui cerchio fisso.
20) I. V. Poncelet (li 88-1867), Traite des proprietes projectiles des figures, Paris
1822, p. 187; 2a ed., Paris 1865, p. 181; J. Steiner (1796-1863), Die geometrischen
Constvuctionen ausgefuhrt mittelst der Geraden und eines festen Kreises, Berlin 1833;
Ostwalds, Klassiker, 60, Leipzig 1895; Werke, 1, Berlin 1881, p. 461. Vedi A; Gia-
comini J), p. 216; G. Castelnuovo *), p. 259.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
499
Il problema III si riconduce al problema II, sostituendo ad uno
dei cerchi l’asse radicale dei due cerchi [cfr. I’art. XXVII di questa
Encicl.26), § 5]. L’asse radicale e poi costruibile linearmente nel modo
seguente : presi due punti, rispettivamente sui due cerchi, si determi-
nino le ulteriori intersezioni della congiungente coi due cerchi; si
hanno cosi due coppie di punti coniugati in una involuzione. Il centro
(punto limite) di questa involuzione appartiene all’asse radicale. Si co-
struira in modo analogo un secondo punto dell’asse, il quale verra cosi
determinate mediante sole costruzioni lineari.
La verita del teorema di Poncelet e Steiner pud dimostrarsi an-
che analiticamente : Sia data nel piano una circonferenza col suo centro;
assumiamo un sistema di coordinate cartesiane ortogonali avente 1’origine
nel centro della circonferenza e prendiamo come segmento unitario il
raggio della circonferenza. Allora e possibile, dato un segmento di lun-
ghezza a < 1 (ascissa), determinare colla sola riga un altro segmento
(ordinata del cerchio) di lunghezza у/1 — a2.
Inoltre, preso un qualunque numero 6, appartenente al campo C
di razionaliti definite dai dati, e possibile costruire colla riga un seg-
mento di lunghezza \/~b. Infatti si ha identicamente:
л/А 2_±21/l I1-6?
1 + 6
,2
1 — b
1 + 6
ove le espressioni
= a
1 sono costruibili colla riga
e, dato il cerchio fisso, e pure costruibile colla riga у/ 1 — a? e quindi д/б”.
Dunque, dato un cerchio fisso insieme al suo centro^ ё possibile co-
struire colla sola riga qualunque punto le cui coordinate appartengono al
campo euclideo definito dai dati.
Tutti i problemi metrici di 2° grado si possono poi risolvere colla
sola riga anche quando siano dati due cerchi passanti per due punti
dati, oppure tre cerchi non secantisi. Se invece sono dati due cerchi
senza punti comuni (reali), e.impossibile costruire con la sola riga il centro
dell’uno о dell’altro cerchio. Questo risultato di D. Cauer21) sussiste
a maggior ragione se e dato un solo cerchio, e cioe, dato un cerchio
non e possibile coh la sola riga costruime il centro 22 23). E con cid risulta
completato il teorema di Poncelet-Steiner : occorre che il centro del
cerchio fisso sia dato se si vogliono risolvere colla sola riga i problemi
metrici di 2° grado.
Spetta a F. Severi 2S) 1’avere mostrato che un arco di circonferenza,
comunque piccolo, tracciato col suo centro, ha la stessa potenzialita
21) D. Cauer, Math. Ann., 73 (1913), p. 90; Math. Ann., 74 (1913), p.4 62.
22) Cid ё stato dimostrato in lezione da D. Hilbert, come riferisce D. Cauer 21).
23) F. Severi, Rend. Palermo, 18 (1904), p. 256; Complement* p. 301. La
dimostrazione analitica del teorema di F. Severi ё data da G. Platone, Period, mat.,
(4) 10(1930), p. 317 ; D. MoRDOUKHAi BOLTOVSKOY, Period mat., (4) 14 (1934), p. 101.
500
Amedeo Agostini
del compasso : infatti con tali elementi e con la sola riga si possono
costruire gli elementi uniti di una proiettivita tra punteggiate sovrap-
poste, costruzione alia quale si pud ricondurre qualunque problema di
2° grado.
13« Trasportatore di segmenti 24 *). — Una delle operazioni gra-
fiche piii comuni e quella di trasportare sopra una retta, a partire da
un punto dato, un segmento assegnato. Tale operazione pud eseguirsi
col compasso, con una riga, con una striscia di carta ecc. 2б), ossia con
uno strumento generico atto ad eseguire il trasporto e che chiamasi
trasportatore di segmenti:
Tale strumento lo possiamo addirittura pensare come un segmento
di data lunghezza, che potremo assumere come segmento unitario,
poiche sara possibile, una volta portato il segmento unitario sopra una
data retta, trasportare su tale retta qualunque altro segmento assegnato
mediante la costruzione lineare della quarta proporzionale.
L’operazione eseguibile col trasportatore di unita si riduce alia
seguente : dato il segmento unitario sopra l’asse x di un sistema di coor-
dinate cartesiane ortogonali, trasportare tale segmento sopra una retta
у = m x (m appartenente al campo di razionalita definite dai dati) a
partire dalla origine.
Con questa operazione si determina sulla retta у = m x un punto
di coordinate x , у tali che:
д/ + J2 = хд/1-|-т2=1,
ossia, fissato un numero m appartenente al campo C definite dai dati,
e possibile costruire col trasportatore dell’unita 1’espressione д/ 1 + m2-
In tale modo il campo C viene ampliato in un campo piii ristretto del
campo euclideo definite dai dati, poiche, ad esempio, non e possibile
costruire col trasportatore di segmenti 1’espressione д/ 1 — a2, ove a
ё un numero qualunque, minore d’uno, del campo C.
Pertanto il trasportatore di segmenti non pud sostituire completa-
mente il compasso e quindi non tutti i problemi risolubili colla riga e
col compasso sono risolubili colla riga e col trasportatore di segmenti “).
In proposito D. Hilbert 27) ha dimostrato che:
24) D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, С. VIII, 7a edl, Leipzig 1930;
M. Feldblum, Uber elementar-geometrische Konstruktionen, Varsavia 1899, p. 12;
J. de Tilly, Mathesis, 5 (1885), p. 124; H. Simon, Z. math. nat. Unterr., 22 (1891),
p. 81; J. KurschAk, Math. Ann., 55 (1902), p. 597; G. Castelnuovo г), p. 255; G.
Wallenberg, Stzgsb. math. Ges. Berlin, 4 (1905), p. 21; Th. Vahlen1), p. 60.
“) U. d’Aviso, E. Lu.cas, T. Sundara-Row, Geometrical exercices in paper fol-
ding, Madras 1893.
“) Tra i problemi risolubili colla riga e col trasportatore di segmenti ricordiamo,
tra i classici: il problema di Malfatti, il problema dei contatti di Apollonio [v.
1’art. XXVII di questa Encicl. (B. Colombo, Sistemi lineari di cerchi e di sfere), § 10],
la costruzione dell’ettadecagono [v. Part. XXVI di qiiesta Encicl. (L. Brusotti, Po-
ligoni e poliedri), § 10].
27) D. Hilbert 24), § 37.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
501
Condizione necessaria e sufficients affinche un problema risolubile
colla riga e col compasso sia risolubile anche colla riga e col trasportatore
di segmenti ё che le soluzioni algebriche del problema siano reali e re-
stino tali anche quando si lasci la maggior libertd possibile ai dati.
M. Feldblum m) ha mostrato che con uno strumento atto a bi-
secare gli angoli (ad esempio un rombo snodato con una diagonale)
si puo trasportare un segmento, e poiche, inversamente, con un tra-
sportatore di segmenti si pud bisecare un angolo, risulta che i due stru-
menti sono equivalenti. Quindi
Tutti i problemi risolubili colla riga e col trasportatore di segmenti
sono tali anche colla riga e con uno strumento atto a bisecare gli angoli-
14. La riga a orli paralleli. — Colla riga ordinaria, adope-
randone i due orli, si possono compiere le due operazioni distinte:
1) tracciare delle rette parallele ad una retta data distanti tra
loro della larghezza della riga;
2) far passare i due orli, rispettivamente, per due punti la cui
distanza sia maggiore, od uguale, alia larghezza della riga.
Mediante la prima operazione e possibile tracciare un parallelo-
grammo equilatero, le cui diagonali assumeremo come assi di un si-
stema di coordinate cartesiane ortogonali. Prendendo la larghezza della
riga come segmento unitario, potremo, colla riga a due orli, trasportare
su qualunque retta un segmento unitario avente un estremo in un punto
assegnato. La riga a due orli, adoperata nel primo modo, adempie quindi
le stesse funzioni del trasportatore di segmenti, e con essa si pud co-
struire ogni espressione д/1 + m2, dove il numero m appartiene al
campo C di razionalita definite dai dati.
Per esaminare la seconda operazione, prendiamo sopra l’asse x
un punto A di ascissa m > 1 appartenente al campo C e facciamo pas-
sare un orlo della riga per Forigine О e Faltro per A : quest’ultimo orlo
intersechera l’asse у in un punto B. Dal triangolo О AB di altezza
unitaria si ricava:
д/ m2 — 1 д/ 1 — 1/m2
La seconda operazione permette quindi di costruire la radice qua-
drata di qualunque numero appartenente al Campo C, ossia, con costru-
zioni eseguite colla riga a due orli si pud raggiungere qualunque punto
le cui coordinate appartengono al campo euclideo definite dai dati.
Possiamo quindi concludere che * 28 29):
M) M. Feldblum24); A. Adler8), p. 134.
28) A. Adler, Stzgsb. Ak. Wien, 99 (1890), p. 846; C. Marenghi, Boll. mat.
sc. fis. nat., 2 (1901), p. 129; U. Concina, ibid., p. 225; A. Giacomini1), p. 222,
224; G. Castelnuovo x), p. 261; F. Enriques x), p. 593 d£ un’elegante dimostra-
zione della potenzialit& della riga a due orli paralleli ricorrendo alia polarity rispetto
al cerchio.
502
Amedeo Agostini
La riga ed il compasso possono essere sostituiti dalla riga a due orli
paralleli,
od anche:
l problemi risolubili colla riga e col compasso sono risolubili anche
colla sola riga a due orli.
Finora abbiamo considerate la riga a due orli di lunghezza in-
definite, ma F. Severi *>) ha mostrato che i problemi determinati ri-
solubili cblla riga e col compasso si possono pure risolvere colla riga
a due orli di lunghezza finita.
15. La squadra e la falsa squadra * 31). — Oltre che come riga,
la squadra ordinaria pud essere usata nel seguente modo: muovere la
squadra sopra il foglio in guisa che due lati passino rispettivamente
per due punti dati. Il vertice racchiuso da tali lati descrive cosi una
semicirconferenza (o, meglio, gli archi capaci di quell’angolo).
La squadra ё percid atte a risolvere i problemi I, II e III, e quindi
si pud asserire che:
L'or dinaria squadra pud sostituire la riga ed il compasso.
Lo stesso si pud asserire per una squadra non ad angolo retto {falsa
squadra}.
III. - Metodi per la risoluzione dei problemi elementari32 33).
16. Analisi. — Per giungere alia dimostrazione dei teoremi e
alia risoluzione dei problemi si hanno due metodi logici generalissimi
usati fin dagli antichi geometri greci e che da questi furono chiamati
coi nomi di analisi e sintesi3*).
L’analisi consiste nel seguente procedimento. Si abbia da dimo-
strare una certa proposizione P: se essa si pud dedurre come conseguenza
immediate di proposizioni giA ammesse come vere, anche la P deve
ritenersi per vera. Se cid non ё possibile, si cerchera di determinare
una proposizione P\ non dimostrata, di cui P ё conseguenza: la di-
mostrazione della veritA della P ё ricondotta alia dimostrazione della
*) F. Severi “); Complement *), p. 303.
31) A. GiAcomini1), p. 227.
33) Oltre alle opere e articoli citati in x) e 8), si vedano: G. Lam£ (1795-1870),
Examen des diff&entes methodes pour resoudre les probtemes de geometrie, Paris 1818,
ristampe: Paris 1908, Paris 1928; P. Serret (1827-1898), Des methodes en geometrie,
Paris 1855; J. Petersen, Metodi e teorie per la risoluzione dei problemi di costruzioni
geometriche, Copenhagen ed. in danese 1868, tedesco 1879, francese 1879 e 1892 in-
glese 1879, italiano trad. V. Mollame 1881; J. Alexandroff, Problemes de geometric
etementaire, trad, dalla 6B ed. russa di D. Aitoff, Paris 1899.
33 ), Le definizioni di analisi (dhdtkutnc) e sintesi (quv^eqi?) si trovano interpolate
in Euclide XIII. 1; J. L. Heiberg le considera (Euclidis Opera, 5, Leipzig 1888,
p. Ixxxiv) come un relitto delle investigazioni analitiche di Tefteto о di Eudosso.
Per un’ampia esposizione e discussione dei due metodi, v. J. M. C. Duhamel, Des me-
thodes dans les sciences de raisonnement, 1, 2s ed., Paris 1875, p. 39, 78 ; P. Tannery
(1843-1904) in J. Tannery (1848-1910), Notions de mathematiques, Paris 1903, p. 322.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSIC1
503
verita della P'. Se la P' si pud dedurre come Conseguenza delle pro-
prieta gia ammesse, essa e vera e tale sara anche la P, altrimenti si cer-
chera una nuova proposizione P" da cui si possa dedurre la P' e quindi
la P. Cosi seguitando, si viene a costruire una successione di proposi-
zioni delle quali 1’ultima ё una proprieta nota, e ciascuna delle altre
ё conseguenza necessaria della seguente.
Per la risoluzione di un problema il metodo consiste nel deter-
minare delle figure geometriche che soddisfino a certe condizioni che
portano come conseguenza le condizioni imposte dal problema. Il
problema proposto e cosi trasfbrmato in un nuovo problema : se questo
secondo problema non pud essere risolto itnmediatamente, si cercheri
il modo di trasfofmarlo in un terzo problema soddisfacente a condi-
zioni che portano, come conseguenza, le condizioni imposte dal pre-
cedente, e cosi via, fino a che non si sara pervenuti ad un problema che
si sa risolvere. Alle soluzioni di quest’ulti mo corrisponderanno soluzioni
del penultimo, le soluzioni di questo faranno conoscere le soluzioni del
suo precedente, e cosi via fino ad avere. quelle del probleina primitivo.
Sia applicata ai teoremi che ai problemi, 1’analisi non e che un me-
tbdo di riduzione. Con esso la dimostrazione di un teorema, о la risoluzione
di un problema, e man mano trasformata nella dimostrazione di teoremi,
о nella risoluzione di problemi, in generale, piu semplici dei proposti.
Si osservi perd che la. successione dei teoremi, о dei problemi, pud
essere prolungata senza arrivare ad una proposizione nota, о ad un pro-
blema che si sa risolvere, anzi ci si pud allontanare sempre piu dal teo-
rema о dal problema iniziale, e cid perche non e determinato in maniera
assoluta quali siano i teoremi da sostituire successivamente 1’uno all’altro
per giungere piu sollecitamente aha proposizione nota, о al problema
facilmente risolubile. Dalla awedutezza, dalla sagacita e. dalle cono-
scenze piu о meno ampie di chi cerca la dimostrazione, о la risoluzione,
dipende il raggiungere, piu о meno sollecitamente, lo scopo.
Riguardo all’applicazione del metodo analitico alia risoluzione dei
problemi, si possono presentare i seguenti casi:
1) Se nella successione di problemi che si deducono dal dato,
le condizioni relative a due qualunque problemi consecutivi sono re-
ciproche, le soluzioni del problema proposto sono identiche a quelle
di un qualunque problema della successione.
2) Se le condizioni relative a uno qualunque dei problemi della
successione sono semplici conseguenze di quelle del problema seguente,
le soluzioni di uno qualunque dei problemi danno soluzioni del pro-
blema proposto, ma non tutte.
3) Se invece le condizioni relative a uno qualunque dei problemi
della successione sono conseguenze di quelle del problema precedente,
le soluzioni di uno qualunque dei problemi danno tutte le soluzioni del
problema proposto, ma possono darne anche delle estranee.
17. Sintesi. — Nella sintesi si parte da alcune proprieta gia note
per dedume delle nuove, e da queste ancora delle nuove e cosi via fine
504
Amedeo Agostini
a pervenire alia proposizione da dimostrare, о al problema da risolvere.
La sintesi consiste quindi nel costruire una delle succession! di teoremi,
о di problemi, costruitb col metodo ahalitico, ma invertita nell’ordine.
Il metodo sintetico e spesso usato come mezzo espositivo, e lo si
trova costantemente negli Elementi di Euclide ; esso perd presenta
spesso 1’inconveniente che 1’uditore viene condotto, attraverso le suc-
cessive deduzioni, come alia cieca, poiche non sempre riesce a rendersi
ragione dello scopo finale delle varie deduzioni, mentre, seguendo il
metodo analitico, il discente vede assai meglio il sorgere delle propriety
nuove attraverso lo sviluppo logico e naturale della scoperta.
18. Metodi per la risoluzione dei problemi elementari.
I metodi per la risoluzione dei problemi geometrici si possono ridurre
a due :
1) il metodo dei luoghi geometrici;
2) il metodo della trasformazione delle figure;
potendosi ridurre al secondo metodo, i metodi tenuti distinti da
alcuni autori (come il metodo delproblema inverso di G. Lam£ (§ 23), etc.).
Il primo metodo consiste nel sostituire ad un problema determi-
nate uno о piu problemi indeterminati: le soluzioni comuni a questi
offrono le soluzioni del problema proposto.
I punti soluzioni dei problemi indeterminati che si considerano
costituiscono dei luoghi geometrici : pel nostro studio hanno interesse
i luoghi costruibili elementarmente e cio£ quelli che risultano costituiti
di rette e di circonferenze, o, in particolare, di segmenti e di archi. Pos-
sono anche presentarsi dei luoghi come inviluppi di rette, e di tali invi-
luppi considereremo solo il punto e la circonferenza.
Il metodo della trasformazione delle figure consiste nel conside-
rare il problema come risolto da una certa figura F alia quale si applica
una trasformazione geometrica che alteri (tutti, о in parte) i suoi elementi.
Dall’esame della figura trasformata F' si dedurranno certe propriety
P' che saranno le trasformate delle proprieta P richieste dal problema.
Allora si costruira effettivamente la figura F' che gode delle proprieta
P’, e quindi, conoscendo le proprieta della trasformazione applicata,
si passer^ alia figura F richiesta.
Le trasformazioni geometriche che trovano applicazione nella ri-
soluzione dei problemi sono:
1) le omografie affini, e precisamente: i movimenti (in parti-
colare la traslazione, la rotazione e il ribaltamento intorno ad un asse),
la similitudine (in particolare 1’omotetia e Гomotetia congiunta a rota-
zione), le affinita omologiche;
2) Vinversione per raggi vettori reciproci.
[V. Part. XXVIII di questa Encicl.38), §§ 77-80].
19. Metodo dei luoghi geometrici. — Siano richiesti uno о
piii punti che soddisfino contemporaneamente a piu condizionii punti
che soddisfano ad una di esse costituiranno un luogo geometrico. Con-
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
505
sideriamo allora ciascuna delle condizioni, cui devono soddisfare i
punti richiesti, a se e i corrispondenti luoghi geometrici: gli eventual!
punti comuni ai vari luoghi danno le soluzioni del problema.
In modo analogo si possono trattare i problemi in cui si richiedono
rette soddisfacenti a piii condizioni: le soluzioni del problema si avranno
come tangenti comuni a due; о piii, inviluppi.
Se i luoghi da cui dipende la risoluzione di un problema sono
rette e cerchi, le soluzioni del problema sono costruibili elementarmente.
Se invece i luoghi sono altre linee, il problema, in generale, non potra
risolversi cogli strumenti elementari: cosi accade se le soluzioni del pro-
blema sono fomite dai punti comuni a due coniche indipendenti tra
loro, mentre la costruzione si pud effettuare se le soluzioni sono date
dalle intersezioni di una retta con una conica, potendosi queste deter-
minare come intersezioni della retta con un cerchio.
Ё evidente che il metodo dei luoghi •geometrici e di applicazione
tanto piii larga quanto maggiore e il numero dei luoghi geometrici che
si conoscono. Richiamiamo percid i luoghi elementari piii comuni.
I. - Il luogo geometrico dei punti che hanno una data distanza da
una retta data e costituito da due rette parallele alia retta data a distanza
Uguale alia data.
A tale luogo si riduce la ricerca :
1) dei vertici dei triangoli equivalenti aventi uguale base ;
2) dei centri dei cerchi di dato raggio e tangenti ad una retta
data, ecc.
II. - Il luogo geometrico dei punti che hanno una distanza data da
un punto dato e una circonferenza che ha il punto dato come centro e la
distanza assegnata come raggio.
A tale luogo si riduce la ricerca:
1) degli estremi delle tangenti ad un cerchib aventi una lun-
ghezza data;
2) dei punti tali che le coppie di tangenti condotte da quei punti
ad un cerchio dato formino un angolo costante ;
3) dei centri dei cerchi tangenti ad un cerchio dato e aventi
un raggio assegnato ;
4) dei centri dei cerchi di dato raggio e passanti per uh punto
dato, ecc.
III. - Il luogo geometrico dei punti equidistanti da due punti dati
e una retta perpendicolare al segmento che congiunge i due punti e passante
pel punto medio del segmento (psse del segmento).
A tale luogo si riduce la ricerca :
dei centri dei cerchi di un fasciof
IV. - Il luogo geometrico dei punti equidistanti da due rette date
concorrenti e formato da due rette ortogonali tra loro e che bisecano gli an-
goli formati dalle rette date (bisettrici).
Se le due rette sono parallele, il luogo fe costituito dalla bisettrice
della striscia formata dalle due rette parallele.
506
Amedeo Agostini
A tale luogo si riduce la ricerca :
dei centri dei cerchi tangenti contemporaneamente a due rette
assegnate.
V. - Il luogo geometrico dei punti dai quali un segmento dato e
visto sotto un angolo dato e formato da due archi di circonferenza capaci
di quelVangolo e aventi il segmento dato come corda sottesQ,
Se I’angolo dato e retto, il luogo e fornito dalla circonferenza che
ha il segmento dato come diametro.
A tale luogo si riduce la ricerca:
1) dei punti di mezzo delle corde di un cerchio uscenti da un punto;
2) dei vertici dei triangoli che hanno un dato lato e un angolo
assegnato opposto ad esso, ecc.
VI. - Il luogo geometrico dei punti le cui distanze da due punti dati
hanno un dato rapporto e una circonferenza S4).
Ricordiamo che il problema della costruzione di tale luogo e ri-
condotto al problema:
Dividere armonicamente un segmento dato e secondo un rapporto dato,
VII. - Il luogo geometrico dei punti le cui distanze da due rette date
stanno in un rapporto dato e costituito da due rette che passano pel punto
comune (proprio, od improprio) alle rette date,
Le quattro rette formano un gruppo armonico,
A tale luogo si riduce la ricerca :
1) dei vertici dei triangoli che stanno in un rapporto dato e
che hanno rispettivamente per lato opposto due segmenti assegnati;
2) dei punti di intersezione di due rette mobili che descrivono
fasci di rette parallele simili tra loro.
VIII. - Il luogo geometrico dei punti, pei quali la differenza dei
quadrati delle distanze da due punti dati e costante, e una retta perpendi-
colare alia retta che congiunge i due punti,
A tale luogo si riduce la ricerca :
1) dei punti di egual potenza rispetto a due cerchi (asse radicale
dei due cerchi);
2) dei centri dei cerchi che tagliano due cerchi dati, ciascuno
secondo un diametro ;
3) dei centri dei cerchi che tagliano ortogonalmente due cerchi dati.
IX. - Il luogo geometrico dei punti, pei quali e costante la somma dei
quadrati delle distanze da due punti dati, e un cerchio che ha il centro nel
punto di mezzo del segmento che unisce i due punti34 35).
34) Tale luogo ё detto cerchio di Apollonio, рокЬё, come riferisce Pappo, fu
determinate da Apollonio (II & a C.) nel 2° Libro della sua opera Luoghi piani, non
giunta a noi: •), ed. F. Hultsch, 2, p. 667 ; ed. P. Ver Eecke, 2, p. 499. Perd il luogo
fii trattato dapprima da Aristotele nelle Metereologica (v. G. Loria, Le scienze esatte
nelF antica Grecia, 2a ed., Milano 1914, p. 134). I. Newton (1642-1727) (Arithmetica
universalis sive de compositione et resolutione arithmetica liber, Cantabrigiae 1707, p. ,151;
Opera, ed. S. Horsley, 1, Londini 1779, p. 115) ha trattato lo stesso luogo.
*) G. P. de Roberval, Мёт. Ac. sc. Paris, 6 (pubbl. 1730), p. 139.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
507
X. - Il luogo geometrico dei punti pei quali e costante la somma
(o la differenza} delle distanze da due rette concorrenti date, e formato dai
lati di un rettangolo che ha quelle rette per diagonali, nel caso della somma,
dai prolungamenti dei lati stessi, nel caso della differenza,
Passando ad enumerate i piu comuni luoghi inviluppo, ricordiamo
che si hanno da considerare come inviluppi elementari solo il punto
e il cerchio inviluppo ; allora ogni problema elementare, nel quale in-
tervengono come curve inviluppo solo punti e cerchi, si riconduce alia
costruzione delle tangenti ad un cerchio per un punto, о alia costruzione
delle tangenti comuni a due cerchi,
XL - Il luogo delle rette che hanno distanza assegnata da un punto
dato e una circonferenza,
A tale luogo si riduce la ricerca :
1) delle corde di un cerchio aventi una data lunghezza ;
2) delle rette che tagliano un cerchio dato sotto un angolo dato ;
3) delle rette che determinano sopra un cerchio un arco di data
lunghezza.
XII. - Il luogo delle rette le cui distanze da due punti fissi stanno
in un dato rapporto e costituito dai due punti che dividono, interna’mente
ed esternamente, secondo il rapporto dato, il segmento determinato dai due
punti fissi.
A tale luogo si riduce la ricerca*
delle rette che tagliano due cerchi dati secondo angoli uguali:
i due punti prendono in tale caso il nome di centri di similitudine dei
due cerchi.
XIII. - Il luogo delle rette le cui distanze da due punti fissi hanno
una somma data e un cerchio che ha per centro il punto di mezzo del seg-
mento che congiunge i punti dati e il rag gio uguale alia meta della somma data.
XIV. - Il luogo delle rette, le cui distanze {prese con segm determinati)
da due punti fissi hanno una data differenza, e costituito dai due punti
impropri delle tangenti condotte per uno dei punti fissi al cerchio che ha
centro nel!altro punto e raggio uguale alia differenza data.
Ё facile vedere che i due punti impropri risulteranno reali, coin-
cidenti, immaginari secondo che la differenza data e minore, uguale,
о maggiore della distanza dei due punti fissi.
XV. - Il luogo delle corde comum ad un cerchio fisso. e ad un cerchio
variabile in un fascio e un punto (centro radicale)
A tal§ luogo si riduce anche :
il luogo delle corde comuni a due cerchi che variano in due fasci
distinti aventi un cerchio in comune.
XVI. - Il luogo delle bisettrici degli angoli che sono inscritti in uno
stesso arco e il punto che dimezza Гarco complementare,
o, in forma piii generale:
il luogo delle rette che dividono in un dato rapporto gli angoli inscritti
in uno stesso arco e un punto che divide Гarco complementare riel dato
rapporto.
508
Amedeo Agostini
In alcuni problemi il metodo dei luoghi geometrici e di applica-
zione immediata, come, ad esempio, nei seguenti:
Determinate un punto equidistante da tre rette date non concorrenti (IV).
Costruire un cerchio tangente a due rette date e avente raggio dato
(IV, I).
Determinate un punto da cui si vedono due segmenti dati sotto angoli
dati (problema di Pothenot) (V) M).
Costruire un triangolo conoscendo un lato, Valtezza relativa ad esso
e il rapporto degli altri lati (I, VI).
Per un punto dato condurre una retta tale, che un cerchio dato deter-
mini su essa una corda di lunghezza data (XI, 1 ; V).
Costruire un triangolo dati A e a e conoscendo le parti nelle quali
essi sono divisi da una retta A D (V, XVI).
In altri problemi la applicazione del metodo non e tanto immediata :
da un esame attento del problema si possono dedurre. facilmente punti,
segmenti, angoli e relazioni tra gli elementi dati non esplicitamente
enunciati dal problema; per giungere a questo, spesso si cerca di de-
terminare, per mezzo degli elementi dati, parte della figura richiesta,
e quindi, per mezzo di luoghi geometrici, si determina I’altra parte
della figura.
Tale procedimento si applica specialmente quando il problema
richiede la ricerca di triangoli о figure poligonali e i dati non sono tutti
lati о angoli.
Per esempio se si ha il problema:
Costruire цп triangolo conoscendo ha , ma ,r * 37),
costruiremo un triangolo rettangolo che ha un cateto ha e 1’ipotenusa
ma, 1’incontro di tali lati da il vertice A, quindi, ricorrendo al luogo III
e al luogo II, si determina il centro del cerchio inscritto, e poscia, tfac-
ciando il cerchio col raggio dato, si hanno gli altri due vertici.
Costruire un quadrilatero А В C D conoscendo A В , D С , A C ,
ВАС, ABD.
Si costruire subito il triangolo А В C e, condotto per В un raggio
che for mi con A В l’angolo assegnato, si centri in C con raggio uguale
al segmento CD dato : si avra il vertice D incognito. Il problema am-
metteri due, una, о nessuna soluzione.
Dati due punti A e В e una retta per B, determinate su questa due
punti X e Y, simmetrici rispetto a B, in modo che il segmento X Y sia visto
da A sotto un angolo dato a.
Si prolunghi A В di un segmento BC = AB, e si determinino
su A C gli archi capaci dell’angolo л — a: questi archi determinano
sulla retta i punti richiesti.
“) Su questo problema v. Fart. XXX di questa Encicl. (A- Agostini, Le funzioni
circolari e le funzioni iperboliche), § 15.
37) Qui e in seguito indichiamo con a , b , с ; A , В , C; ha t hb t he; ma , mb , mc;
ka > kb > ke ’> P ; r; ra y rb , r e rispettivamente i lati, gli angoli, le altezze, le mediane, le
bisettrici, il raggio del cerchio circoscritto, il raggio del cerchio inscritto e quello dei cerchi
exinscritti di un triangolo qualunque ABC.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
509
Nei problemi riguardanti la costruzione dei triangoli, figurano
alle volte i cerchi inscritti; ora questi determinano sui lati dei segmenti
che sono in relazione colle loro lunghezze, relazioni che, indicando con
2p il perimetro, richiamiamo :
a) Il cerchio inscritto in un triangolo determina sui lati dei seg-
menti lunghip — a ,p — b ,p — c\
b) La distanza del vertice A dai punti in cui il cerchio di raggio
ra e tangente ai lati b e с e uguale a p, mentre la distanza su tali lati tra
il punto di contatto del cerchio inscritto e quello del cerchio di raggio
ra e a ;
с) Il cerchio inscritto e Fexinscritto di raggio ra sono tangenti
ad a in punti equidistanti da В e C e la loro distanza e b — с, о c — b.
Esempi. — Costruire un triangolo conoscendo r , ra e b — c.
Per la proprieta с) e nota la distanza tra i due punti di contatto,
quindi il problema e ridotto a condurre le tangenti comuni a due cir-
conferenze.
Costruire un triangolo conoscendo a , r , b + c.
Si conosce />, quindi, conoscendo anche я, si possono determinare A
e il punto di contatto del cerchio inscritto ed exinscritto [6) e a)]. Descritto
il cerchio inscritto, e facile determinare gli altri vertici e lati del triangolo.
20. Metodo della trasformazione delle figure38). Traslazione.
— Tale movimento si pud usare per trasportare parallelamente a se stessi
degli elementi dati о richiesti, onde averli in posizione particolare sia
reciproca, sia rispetto ad ele-
menti che non hanno subito
alcuna traslazione.
In un poligono qualunque
si possono trasportare i lati pa-
rallelamente a se stessi in modo
che abbiano un estremo comu-
ne : congiungendo gli altri e-
stremi si ha un nuovo poligono
che spesso e piii facile da co-
struire del primitivo. Richia-
miamo le relazioni che inter-
cedono tra gli elementi del po-
ligono primitivo e quelli del
trasformato nel caso che esso
sia un triangolo, od un qua-
drilatero.
Triangolo. Dal triangolo dato ABC (fig. 1) si deduce il triangolo
А' В' C con А В' = В C , A Af = A В ; tra gli elementi dei due trian-
goli sussistono le relazioni.:
38 ) Per le trasformazioni di cui si dir& nei §§ 20-25, v. Tart. XXVIII di questa En-
cicl. (U. Cassina, Trasformazioni geometriche elementari).
510
Amedeo Agostini
A e il baricentro del triangolo А' В' C;
i segmenti che escono da A e vanno ai vertici del triangolo А' В' C
sono uguali ai lati del triangolo AB C e formano angoli uguali agli
angoli esterni del triangolo dato ;
i lati di А' В' C sono doppi delle mediane di ABC;
il triangolo С A' M ha i lati A' C = 2 ma , С M = mc , A' M =
= 3/2 c ;
il triangolo CAB' ha i lati a , b , С B' = 2 mc , ha В' A C =
= a + /3 e le altezze hb , hc;
I’area del triangolo А' В' С e tripla di quella di ABC.
Se coi dati di un problema e possibile costruire il triangolo A'B'C,
od uno dei triangoli minori, si
potra facilmente risalire al trian-
golo ABC.
Con tale procedimento si
possono risolvere problemi del
tipo :
B' Costruire un triangolo co-
noscend о: 1) ma , mb , mc; 2) ha ,
ma , mb; 3) а , b , a + fi; 4) а, ha
e I’angoloformato dambec; ecc.
Quadrilatero. Trasportando
i lati A В y AD del quadrila-
tero dato А В C D in С B’ ,
C D' si ottiene il parallelogram-
mo BB'DD' (fig. 2). Tra gli
elementi del quadrilatero e quelli
del parallelogrammo si hanno le
relazioni:
Fig 2 i lati del parallelogrammo
sono uguali alle diagonali del
quadrilatero;
gli angoli del parallelogrammo sono uguali agli angoli delle dia-
gonali del quadrilatero;
esiste un punto C del parallelogrammo che, congiunto coi vertici
di questo, determina segmenti uguali ai lati del quadrilatero : esso e
facilmente costruibile come intersezione di due luoghi geometrici co-
noscendo due lati * del quadrilatero ;
i‘lati del parallelogrammo sono doppi dei lati del parallelogrammo
che si ottiene congiungendo i punti medi dei lati del quadrilatero ;
I’area del parallelogrammo e doppia dell’area del quadrilatero.
Se, coi dati di un problema, e possibile costruire il parallelogrammo
e il punto С, e facile, in conseguenza, costruire il quadrilatero. Con
tale procedimento si possono risolvere i problemi:
Costruire un quadrilatero dati; 1) due lati, le diagonali e I’angolo
di queste; 2) i quattro lati e la congiungente i punti medi di due lati op-
posti; ecc.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
511
Per mezzo della traslazione si pud risolvere anche tutta una classe
di problemi il cui enunciate pud porsi sotto la forma generica :
Inserire fra due linee date un segmento uguale e parallelo ad
un segmento.dato.
П problema e risolubile elementarmente solo se le curve su cui
devono stare gli estremi del segmento richiesto sono rette о circonferenze.
Per risolvere tali problemi si supporra di aver gia costruito il seg-
mento richiesto e si fara subire ad una delle linee la traslazione indivi-
duata dal segmento dato : il problema e allora ricondotto alia ricerca
dei punti comuni alle due linee.
La traslazione si applica pure a problemi che interessano circon-
ferenze tangenti tra loro, о tangenti a rette : si fa eseguire alle rette tan-
genti una traslazione uguale al raggio di una delle circonferenze, in
modo che una delle circonferenze si riduca ad un punto e le altre, pur
conservando il loro centro, si trasformino in circonferenze col raggio
diminuito* Con tale procedimento si risolvono i problemi :
Condurre le tangenti comuni a due circonferenze;
Costruire una circonferenza tangente a due rette date e a una cir-
conferenza data ;
Costruire una circonferenza tangente ad una circonferenza data e
ad una retta data in un punto dato ; ecc.
21. Rotazione. — Una rotazione del piano e individuata quando
si conosca il centro di rotazior' e 1’angolo della rotazione, oppure due
coppie A , A*; В ,B' di punti corrispondenti tali che i segmenti A В ,
A' B’ siano uguali ma non paralleli.
La rotazione non ha frequenti applicazioni, ma pud essere usata,
con notevole successo, specialmente in quei problemi in cui ё richiesta
una figura avente punti appartenenti a linee date. Cosi il problema:
Costruire un triangolo equilatero che abbia i vertici su tre circonfe-
renze concentriche date e un lato passante per un punto dato,
si risolvera prendendo un triangolo equilatero che abbia i vertici sulle
tre circonferenze, poscia si fara ruotare il triangolo intorno al centro
delle circonferenze fino a che un lato non passi pel punto dato. Si de-
terminera l’angolo della rotazione e quindi se ne dedurra la costruzione.
Di tale problema G. Lame 39) ha dato un soluzione analitica.
22. Ribaltamento intorno ad un asse. — Il ribaltamento del
piano intorno ad un asse porta ad una simmetria rispetto aWasse stesso ;
basta la cOnoscenza dell’asse, о di una coppia di punti corrispondenti,
per definire la siminetria.
Il ribaltamento viene applicato per la risoluzione dei problemi
geometrici specialmente per raggiungere i seguenti scopi;
1) per rendere consecutivi degli elementi dati;
2) per potere introdurre nella figura elementi dati;
3e) G. Lam£ 32), p. 81; A. Sabbatini x), p. 56.
512
Amedeo Agostini
3) per sovrapporre segmenti od angoli, noti od incogniti, uguali
tra loro;
4) per costruire una figura simmetrica in modo che un punto
richiesto sia sull’asse di simmetria.
Diamo qualche esempio.
Inscrivere in un cerchio dato un quadrilatero А В C D dati i lati
opposti А В e C D ed il rapporto degli altri due..
Supposto risolto il problema, si ribalti il triangolo ABC intorno
ad un asse in modo che A cada in С e C in A ; В cadra in un punto B'
della circonferenza. In tale modo il quadrilatero si trasforma in-uno
di cui sono noti due lati consecutivi: si costruira tale quadrilatero de-
terminando il quarto vertice dividendo Гагсо B'AD in due parti tali
che le loro corde siano/nel rapporto dato. Bastera ribaltare il triangolo
, В' A C per avere il quadrilatero
il lato В A' e uguale al lato
il lato А А* ё uguale alia so
iezioni di b e di c su a;
richiesto.
La rotazione si applica special-
mente nella costruzione di triangoli,
quando tra i dati figuri la differenza
di due angoli, oppure la somma о la
differenza delle proiezioni di due lati
sui terzo.
Si esegua infatti il ribalta-
mento del piano che scambia i ver-
tici В e C del triangolo ABC: il
punto A verra portato in A (fig. 3).
Tra gli elementi dei due triangoli
ABC, BAA passano le seguenti
relazioni:
A C;
Tima, о alia differenza, delle pro
l’altezza del triangolo ABA relativa al vertice В e uguale ad.Aa 5
I’angolo А В A e uguale a /J — у, о a у — fl.
23. Similitudine elementare. — Si applica tutte le volte che
ё richiesta una figura tale che, tralasciando una delle condizioni imposte,
si ha un sistema di figure simili. Si potranno quindi risolvere tutti i
problemi che rientrano nell’enunciato generale :
Costruire un poligono, dato un conveniente numero di angoli e di
lati, о di altre condizioni.
Tralasciando una delle condizioni, il problema si riduce al seguente :
Costruire un poligono simile ad un poligono dato, conoscendo un
lato, о il rapporto di similitudine.
Esempio :
Costruire un triangolo conoscendo due angoli e una mediana, о
urialtezza, о il perimetro, ecc.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
513
Bastera costruire un triangolo avente gli angoli dati e determiname
un altro simile soddisfacente all’altra condizione richiesta.
Costruire in una semicirconferenza data un quadrilatero simile ad
un quadrilatero dato e avente un lato sopra il diametro e due vertici sopra
la semicirconferenza.
Si descriva la semicirconferenza che passa per due vertici del qua-
drilatero ed ha il centro sul lato opposto a detti vertici : la figura cosi
ottenuta e simile alia richiesta.
Alle volte si pud risolvere un dato problema ricorrendo alia riso-
luzione di un altro problemaxrttenuto dal dato scambiando gli elementi
dati cogli elementi incogniti [metodo del problema contrario, о metodo
inverso, introdotto da G. Lam£, e da P. Serret *°)]; tale procedimento
si riconduce ad una applicazione della similitudine.
Ad esempio, abbiansi i problemi:
Inscrivere in un quadrilatero dato un quadrilatero del quale sono
noti gli angoli ed il rapporto dei lati.
Rovesciando 1’enunciato, si avra da circoscrivere ad un quadrila-
tero dato un quadrilatero simile ad un quadrilatero pure dato.
Costruire un triangolo date le tre altezze
Dall’espressione che da I’area del triangolo si ricava che i lati sono
inversamente proporzionali alle rispettive altezze. Costruiti allora dei seg-
menti inversamente proporzionali alle altezze date, si costruira il triangolo
che ha per lati questi segmenti: il triangolo risultera simile al richiesto.
24. Omologia ed omotetia. — I problemi nei quali si richiede
di congiungere due punti, uno dei quali, о tutti e due, sono inaccessibili,
oppure di determinare la posizione del punto comune a due rette quando
una di esse, od ambedue, cadono fuori del foglio, si possono risolvere
colla sola riga applicando il teorema di Desargues tt), о quello di Pap-
po40 41 42 43). Detti problemi sono perd spesso risolti applicando il teorema di
Desargues nel caso particolare che i lati omologhi risultino paralleli,
ossia costruendo dei triangoli omotetia 44).
40) G. Ьамё 32), p. 16; P. Serret 32), p. 12.
41) Ricordiamo a tale punto che, mentre i problemi della costruzione di un trian-
golo date le tre mediane (§ 20), о le tre altezze, sono risolubili elementarmente, tale non
risulta invece il problema: Costruire un triangolo date le tre bisettrici, poichfc esso dipende
dalla risoluzione di una- equazione di 10° grado. V. Lez, Interm, des math6m., 1 (1894),
p. 149; P. Barbarin, Bull. Soc. math. France, 22 (1894), p. 76; W. Heymann, Z.
math. nat. Unterr., 27 (1896), p. 561; A. Korselt, Z. math. nat. Unterr., 28 (1897), p. 81;
Z. Math. Phys., 12 (1897), p. 561; R. Ph. Backfr, The problem of the Angle-bisector,
Univ, of Chicago Press 1911; O. Chisini, Period, mat., (4) 1 (1921), p. 43, 108; D. Gam-
bioli, Boll, mat., (2) 1 (1922), p. 52 e A. Martini Zuccagni, Boll, mat., (2) 1 (1922),
p. 103, che richiamano anche lavori di G. Delitala. La non risolubili^ per radicali del
problema si trova in T. Turri, Period, mat., (4) 5 (1925), p. 193, e una soluzione grafica
ё data da C. Formaggia, Period, mat., (4) 10 (1930), p. 155.
42) V. Vart. XXXV di questa Encicl.3), §§ 10, 13.
43) V. 1’art. XXXV di questa Encicl. 3), § 25 in fine e nota 73)-.
M) Per le costruzioni relative ai problemi in questione v. F. Severi*), p. 16; A.
Giacomini1), p. 185.
514
Amedeo Agostini
Ed e appunto V omotetia (omologia con asse improprio) che trova
numerose applicazioni nella risoluzione dei problemi geometrici.
Cosi tutti i problemi che rientrano nell’enunciato generale :
Inserire tra due curve date С e C' una retta, passante per un punto
dato O, in modo da intersecare le due curve in punti le cui distanze da О
siano in un rapporto assegnato m/n,
si risolvono applicando alle curve una omotetia di centro О e
di rapporto m/я: la curva C si trasformeri in uria curva Cr che inter-
secheri la C' nei punti pei quali devono passare le eventual! rette che
risolvono il problema.
Naturalmente tale problema ё sempre risolubile elementarmente»
se le curve date sono rette о circonferenze: infatti 1’omotetia trasforma
rette in rette e circonferenze in circonferenze.
Altri tipi di problemi risolubili colla omotetia sono :
Inscrivere in un triangolo dato un triangolo simile ad un altro trian-
golo dato.
Inscrivere un quadrato in un triangolo, in un settore circolare
dato, ecc.
Si costruiri una figura simile alia richiesta lasciando cadere la
condizione che uno dei vertici sia sul contorno della figura data : la
figura cosi costruita risulteri omotetica alia richiesta rispetto ad un
certo centro di omotetia: la congiungente il vertice libero col centro
determiner^ sul contorno della figura data la posizione che esso deve
assumere per risolvere il problema.
Una applicazione della omotetia si ha pure nella risoluzione di
una vasta classe di problemi riguardanti la costruzione di cerchi, te-
nendo presente che:
1) due circonferenze di raggi r e r' possoiio sempre riguardarsi
come due figure omotetiche rispetto a due omotetie (omotetia diretta e
omotetia inversa) aVenti i centri sulla congiungente i centri О e O' delle
due circonferenze e precisamente nei punti che dividono (internamente
ed esternamente) il segmento О O' nel rapporto r; r';
2) se una circonferenza ё tangente a due circonferenze nei punti
A e B, la retta A В passa per uno dei centri di sinuatudine delle due
circonferenze ;
3) i centri di similitudine esterni di tre circonferenze, prese a
due a due, stanno sopra una retta (asse di similitudine esterno);
4) date tre circonferenze, due centri di similitudine interni e
uno dei centri di similitudine esterno stanno sopra una retta (asse di
similitudine interno).
Si ricorre a tali proprieti — insieme a quelle sul fascio di cerchi —
per la risoluzione di numerosi problemi relativi al contatto di piu cir-
conferenze о riguardanti la intersezione di circonferenze secondo de-
terminati angoli. A proposito ricorderemo i problemi classici:
Problema di Apollonio. — Determinare una circonferenza tan-
gente a tre circonferenze date. .
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI 515
Problema di Malfatti. — Inscrivere in un triangolo dato tre cir-
conferenze tangenti tra loro, in modo che ciascuna tocchi due lati del trian-
golo «).
25. Inversione per raggi vettori reciproci. Ciclografia. —
Pud darsi che, mediante una inversione per raggi vettori reciproci^
un dato problema geometrico si trasformi in un altro problema piii
semplice. Cid accade, ad esempio, nei problemi riguardanti la tangenza
di circonferenze, о circonferenze che si tagliano secondo angoli dati.
Naturalmente occorrera scegliere cdnvenientemente, problema per
problema, la circonferenza fondamentale dell’inversione in modo che
il maggior numero possibile di circonferenze si trasformi, attraverso
1’inversione, in rette.
I problemi sui cerchi si possono trasformare in problemi spaziali
ricorrendo a quella corrispondenza tra i punti dello spazio e i cerchi
di un piano che W. Fiedler ha istituito nella sua ciclografia: per il
centro di ogni cerchio di un piano si innalzi, da una determinata banda
del piano, una perpendicolare ad esso lunga quanto il raggio del cerchio
stesso, e si faccia corrispondere al cerchio Festremo di questa perpen-
dicolare. In tai modo ad ogni cerchio del piano corrisponde un punto
di uno dei semispazi limitati dal piano e, viceversa, ad ogni punto di
tale semispazio corrisponde un cerchio del piano. Se poi si considera
per ogni cerchio il cono che lo proietta dal suo punto corrispondente,
i problemi, specialmente di contatto, tra cerchi vengono trasformati
in problemi spaziali tra coni.
IV. * Cenni di geometrografia.
26. Semplicita ed esattezza delle costruzioni geometriche. —
Non si pud dare una definizione assoluta della semplicita di una costru-
zione, poiche essa pud riguardarsi о dal punto di vista logico, о dal
punto di vista pratico. Di due costruzioni, che raggiungono lo stesso
scopo, si consider era logicamente piii semplice quella nella quale sono
applicate proprieta geometriche piii elementari, mentre, per la pratica,
si dira piii semplice quella che implica un minor numero di operazioni
grafiche, se si chiede la costruzione piii rapida, oppur^, se si considerano
gli strumenti grafici, quella per la esecuzione della quale occorrono certi
strumenti piuttosto che altri 45 * 47).
Accanto alia semplicita ha importanza 1’esattezza della costruzione :
le costruzioni relative alia soluzione dei problemi elementari sono teori-
camente tutte esatte, ma nella pratica del disegno sono tutte approssi-
mate per varie cause di errori. Si hanno inevitabili cause di inesattezze
45) V. Fart. XXVII di questa Encicl. “), § 10.
“) W. Fiedler, Cyklographie oder Construktion der Aufgaben uber Kreise und Kugeln
und elementare Geometrie der Krcs-und Kugelnsysteme. Leipzig 1882 ; E Muller, Jahresb.
deutsch Math.-Vereinig., 14 (1905), p. 574 e 20 (1911), p. 168.
47) V. F. Enriques1), p. 584.
516
Amedeo Agostini
quando qualche elemento della costruzione sfugge dal foglio del di-
segno e bisogna ricorrere a costruzioni accessorie, in generale estranee
al problema, per raggiungere 1’elemento inaccessible (§ 24)"), oppure
quando punti о linee sono raggiungibili, ma non sicuramente determinati
agli effetti pratici, come accade quando si debba tracciare la retta per
due punti abbastanza vicini, о quando si debba determinare il punto
intersezione di due rette che formano tra loro un piccolo angolo 40).
Grande causa di inesattezze ё poi la imperfezione degli strumenti
da disegno, come la curvatura, delle righe, la grossezza dei segni lasciati
dal tiralinee, о dalla matita, ecc., a cui occorre aggiungere errori acci-
dentali, dipendenti dall’abiliti dell’operatore.
Per valutare il grado di esattezza, о 1’approssimazione raggiunta
in una costruzione, F. Klein50) ha dato dei principi atti a svolgere
per il disegno geometrico una razionale teoria degli errori; E. Lemoine 51)
ha invece introdotto la geometrografia che, senza ricorrere a concetti
superior!, pud dare un’idea della sempliciti e della esattezza di una
costruzione.
27. Geometrografia. — La geometrografia ha lo scopo di sta-
bilire (fissate alcune convenzioni), per ogni costruzione geometrica
effettuata colla riga e col compasso — ed eventualmente anche con la
squadra — un simbolo che dia una specie di misura del grado di sem-
plicita della costruzione e uiia ndrma sulla sua esattezza.
Conoscendo piii costruzioni per la risoluzione di un problema,
la geometrografia permette poi di discuterle.e stabilire quale sia la piii
semplice (che viene detta costruzione geometrografica) e pud, alle volte,
indicare un procedimento grafico piii breve e anche sostanzialmente
diverso da quello comunemente seguito.
Per potere assegnare ad ogni costruzione un simbolo, si fissino,
per le varie operazioni materiali elementari effettuabili colla riga e
col compasso, le seguenti notazioni:
(/?x) indichi il fare passare per un punto 1’orlo della riga, ed (n
tale operazione ripetuta n volte ;
*8) A. Witting, Programm Gymnasium z. h. Kreuz, Dresden 1899; P. Zuhlke,
Ausfiihrung elementargeometrischer Konstruktionen b. ungiinstigen Lageverhaltnissen, Leipzig
und Berlin 1906; Konstruktionen in begrentzter Ebene, Leipzig u. Berlin 1913.
Ch. Wiener, Lehrbuch der darstellenden Geometrie, 1, Leipzig 1884, p. 190.
M) F. Klein, Anwendungen der Dijferential-und Integral-Rechming auf Geometrie,
Leipzig 1902, p. 358; e per ulteriori sviluppi: F. Gener, Programm Progymnasium,
Durlach 1902; P. BdHMER, Uber geometrische Approximations, Diss., Gottingen 1904;
K. Nitz, Anwendungen der Theorie der Fehler in der Ebene auf Konstruktionen mit Zirkel
und Lineal, Diss., Konigsberg 1905; Z. Math. Phys., 53 (1906), p. 1; Th. Vahlen 8),
p. 124; E. Haentzschel, Stzgsb. math. Ges. Berlin, 5 (1906), p. 54.
el) E. Lemoine (1840-1912) raccolse i risultati suoi e di altri (E. Bernds, G. Tarry,
ecc.) in G^omitrographie ou art des constructions geometriques, Collection Scientia, 18,
Paris 1902. Vedasi anche A. Adler®), p. 283; Th. Vahlen8), p. 122; R. Mehmke,
Jahresb. deutsch Math.-Vereinig., 12 (1903), p. 116; R. GOntsche, Jahresb. deutsch.
Math.-Vereinig., 12 (1903), p. 289; H. Weber u. J. Wellstbin, EncykLopadie der Ele-
mentar-Mathematik, 3, Leipzig 1907, p. 446.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASICI 517
(R2) indichi il tracciamento di una retta mediante la riga, ed (n
1’esecuzione di n operazioni (Z?2);
(Ci) indichi 1’operazione di porre una punta del compasso in un punto
determinate, allora (n Cf) indicheri 1’operazione (Cf) ripetuta n volte;
(C2) indichi il porre la punta del compasso in punto indeterminate,
ed (n C2) 1’operazione (C2) eseguita n volte;
(C3) indichi il tracciare una circonferenza, ed (n C3) il tracciare n cir-
conferenze.
Introdotte queste notazioni, ogni costruzione geometrica eseguita
colla riga e col compasso, per quanto complessa essa sia, potr^ esprimersi
col simbolo:
(Z1 4“ Z2 ^2 ”1” mi @1 4" mi @2 “b C3) •
Il numero + Z2 4- + m2 + m3 si chiajna coefficiente di sempli-
citd della costruzione e il numero 4- m1 4- m2 coefficiente di esattezza,
mentre 2^ ё il numero delle rette tracciate ed quello delle circonferenze.
Volendo introdurre anche la squadra, farerpo uso degli stessi sim-
boli usati per la riga quando colla squadra si effettuino operazioni ese-
guibili anche colla riga, solamente indicheremq con
(/?\) sia 1’operazione (Rf) eseguita colla squadra, per mettere in evidenza
nel simbolo la maggiore о minore importapza che la squadra ha
nella costruzione, sia 1’operazione (Rf) effettuata colla riga per
potere usare la squadra;
(E) indichi invece il fare scorrere la squadra lungo il bordo di una riga
fino a che il bordo della squadra non passi per un punto assegnate.
Ad una costruzione, eseguita colla riga, col compasso e colla squadra
corrisponderi quindi il simbolo :
(Zi /?! 4" Z2 R2 4- Z/ Rf 4” Ci 4" m2 C2 4- тз C3 4“ * E);
il numero -f If -f l2 -f -f m2 -f -f n ё il coefficiente di sempli-
citd, mentre 4- If 4- 4-4*2 4- * ё il coefficiente di esattezza ; Z8
ё il numero delle rette tracciate, m3 quello delle circonferenze.
Le geometrografia si fonda sui seguenti principi :
1) Non tracciare mai, in una costruzione, linee inutili, ed usare
per quanto sia possibile delle linee gii tracciate durante la costruzione.
Per questo principio di economia conveni, ad esempio, tracciare i cer-
chi di centri diversi e di egiial raggio con la stessa apertura di com-
passo : cid eviteri, nel proseguimento della costruzione, di dovere ri-
prendere, ove occorra riportarle, aperture varie di compasso.
2) Scegliere tra le varie soluzioni di un problema quella cui
corrisponde una costruzione col simbolo piu semplice.
3) In ogni problema esaminare i casi particolari che possono
presentarsi e semplificare il simbolo generale per questi casi particolari.
4) Nella ricerca del simbolo geometrografico generale di una
costruzione, usare sempre le costruzioni generali, a meno che non si
518
Amedeo Agostini
dimostri che una costruzione particolare vantaggiosa si pud applicare
sempre al problema in esame.
5) In una costruzione eseguita sopra dati particolari, si usino,
qualora siano applicabili, tutte le costruzioni particolari, piu semplici
delle costruzioni generali.
6) Esaminare se, tenuto conto delle linee gii tracciate nel corso
della costruzione che si esegue, una costruzione meno semplice della
costruzione geometrografica non sia piu conveniente ed economica in
vista delle costruzioni che dovranno effettuarsi dopo di essa.
Osservazione. - Come si ё notato al §26, se un problema pud es-
sere risolto in due о piu modi diversi, ё piu semplice, dal punto di vista
geometrico, quella soluzione che richiede il minor numero di cognizioni,
mentre per la geometrografia ё piu semplice quella che porta ad un
minore lavoro grafico. Una soluzione semplice per il geometra puo quindi
essere complessa per il costruttore e viceversa.
Per dare una traccia sull’uso della geometrografia, riferiremo qualche
costruzione semplice, rinviando il lettore al libro di E. Lemoine62) per
uno studio piu accurate.
Condurre una perpendicolare qualunque ad una retta.
Presi due punti qualunque A e В sulla retta si descriva la circon-
ferenza A(r)63) (C2 4- C3) e la circonferenza B(r) (C2 + C3) con raggio
r maggiore della distanza A B. Si congiungano i punti di intersezione
delle due circonferenze (2 4- Л2): la retta ottenuta ё perpendicolare
alia data.
A tale costruzione compete il simbolo (2 + /?2 + 2 C2 + 2 C3);
il coefficiente di semplicita 7; il coefficiente di esattezza 4; una retta
e due cerchi. Essa, confrontata con altre costruzioni, ё geometrografica.
Ricorrendo alia squadra, si ha il simbolo (2 4- /?2) e quindi:
sempliciti 3; esattezza 2; rette 1.
Per un punto A dato condurre la parallela ad una retta data.
Costruzione geometrografica :
Tracciata la circonferenza A(r)
(Cx + C3) con raggio r tale che la
retta В C sia intersecata in B, si
tracci la circonferenza B(r) (C\ +
+ C3) che sega В C in C e poscia
la circonferenza C(r) (Cx + C3)
che interseca la A(r) in D. Tiro
la A D (2 4-J?2) ed ho la pa-
rallela richiesta, рокЬё ABC D
e un rombo (fig. 4).
Simbolo (2 R^ 4~ Rz 4—14~
4- 3 C3); sempliciti 9; esattezza 5; 1 retta, 3 circonferenze.
и) E. Lemoine51).
“) Indichiamo con A(r\ con A(BC) ,... rispettivamente la circonferenza di centro
A e di raggio r, la circonferenza di- centro A e di raggio BCy...
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRIC! ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI 519
Bisecare un angolo avente il vertice inaccessibile.
La costruzione seguita generalmente e la seguente: Siano A В
e C D i lati dell’angolo. Si conduca una perpendicolare qualunque
E F alia A В (2 4- R2 4- 2 C2 + 2 C3) e una perpendicolare qua-
lunque G H alia CD (2 Rr 4- T?2 + 2 C2 4- 2<73). Su queste perpen-
dicolari si prendano in un determinate verso (a seconda dell’angolo
che si vuol bisecare) due segmenti uguali E F, G'H (2 С\ + 2 C3);
da F si conduca la parallela alia A В (2 Rr + R2 4- 3 Cx + 3 C3) e da
H la parallela alia CD (24- R2 4- 3 Cx + 3 C3). Il punto M di
incontro delle due parallele appartiene alia bisettrice dell’angolo. Per
costruire un secondo punto M' della bisettrice, si prendano sopra le
E F у GHy nello stesso verso dj prima, ancora due segmenti uguali
E F', G H' (2 Cx + 2 C3); da F' si mandi la parallela alia ЛВ(2ЛХ +
4- R2 + 3 Cx 4- 3 C3) e da H' la parallela alia C D (2 Rv + R2 4- 3 Ct. 4-
4- 3 C3). Si tracci MM' (2/?x 4- /?2).
Si ha quindi il simbolo (14 Rx + 7 R2 + 16 Cx + 4 C2 + 20 C3);
semplicita 61; esattezza 34; rette 7, circonferenze 20.
Questa costruzione, semplicissima per il geometra, e invece la
piu laboriosa, tra quelle escogitate, per il geometrografo. Esaminate
le diverse costruzioni, E. Lemoine e giunto a scegliere, come costru-
zione geometrografica, la seguente :
Essendo C un punto arbitrario di C D, si descriva una circonfe-
renza C(r) (C2 4- C3) di raggio r arbitrario. che intersechi C D in D e
A В in A. Si tracci la circonferenza A(r) (Cx 4- C3) che sega A В in
B9 poi la D(r) (Cx + G3) che taglia A(r) in E e dalla stessa banda di
A rispetto a C D. Si conduca la retta В E (2 R± + R2) che interseca
CD in D’ Poichi il quadrilatero AE C D risulta un rombo, A E sari
parallelo a C D\ il triangolo E AB risultera isoscele, e tale sara allora il
triangolo B.OD'y essendo О il vertice inaccessibile. La perpendicolare
nel punto di mezzo di В D' sari la bisettrice richiesta : essa si costruisce
tracciando le circonferenze B(r') (CY 4- C3) у D'(r') (Cx 4- C3), r' essendo
qualunque, che si intersecano nei punti M e M'y e conducendo la retta
MM’ (2 2?x + /?2).
Per tale costruzione si ha : simbolo (4 /?x+2 /?24-4 C^+C^b C3);
sempliciti 16; esattezza 9; 2 rette, 5 circonferenze.
Un sempjice esame dei risultati geometrografici mostra i vantaggi
di questa costruzione rispetto a quella che viene seguita in generale.
Accenneremo infine ad un problema che ha attratto gli studiosi
di geometrografia:
Costruire le tangenti comuni a due circonferenze date.
Seguendo la nota costruzione fondata sulla traslazione delle figure
e usando della massima economia grafica, si ha il simbolo (24/?14-
4-12 R*+ 11 Cx 4- 8 C3); sempliciti 55 ; esattezza 35 ; rette 12, cir-
conferenze 8.
Coll’altra costruzione classica, che si appoggia sulla. considerazione
dei centri di similitudine, sempre tenendo conto dei principi della geo-
520
Amedeo Agostini
metrografia, si trova il simbolo (21 -|- 11 /?2 + 13 Сг + 9 C3); sem-
plicita 54; esattezza 34; rette 11, circonferenze 9.
Dallo studio accurate delle proprieta della figura, data dal problema
supposto risolto, G. Tarry e giunto ad una costruzione che da (12 +
+ 6 R$• + 10 Cr + 6 C3); semplicita 34 ; esattezza 22 ; rette 6, cir-
conferenze 6. Contemporaneamente Moreau ha dato un’altra costru-
zione che di (14 + 7Л2 + 9 Cj 4 5 C3); semplicita 35 ; esattezza
23; rette 7, circonferenze 5M).
Tali costruzioni presentano una se'mplificazione notevole nspetto
alle due costruzioni classiche e sono da ritenersi definitivamente geo-
metrografiche.
V, - I problemi classici.
28. Impossibility di risolverli elementarmente. — I problemi
detti della duplicazione del cubo, della trisezione dell'angolo e della qua-
dratura del cerchio, oltre ad offrire un interesse teorico, hanno una par-
ticolare importanza dal punto di vista storico e delle applicazioni бб).
Essi si possono enunciare in modo completo cosi:
a) dato un cubo, determinare il lato di un cubo avente volume
doppio del dato;
b) dato un angolo qualunque, dividerlo tn tre parti uguali;
б4) V. E. Lemoine51), p. 10, 38, 87.
“) Il piu antico di questi problemi ё certamente quello della quadrature del cer-
chio : esso dovette presentarsi alia mente umana fin dai tempi piu remoti, suggerito dai
numerosi esempi di figure circolari offerti dalla natura stessa. Il problema della dupli-
cazione del cubo (come quello della trisezione dell’angolo) ё di origine greca. Erato-
stene (276-194? a. C.) [v. Ar&iimede, Opera omnia cum evrnmentariis Eutocii, ed. J. L.
Heiberg, 3, 2s ed., Lipsiae 1915, p. 89; v. pure Les oeuvres completes (P Archimede, ed.
P. ver Eecke, Paris-Bruxelles 1921, nota a p. 91-93] riferisce la leggenda secondo la quale
il problema della duplicazione del cubo sarebbe nato dall’errore commesso da un antico
tragico greco, che fece dire sulla. scena da un attore ad un altro che stava costruendo una
tomba cubica: «invero accordasti piccolo spazio ad un sepolcro di re; raddoppialo,
« conservandolo sempre di forma cubica, raddoppia subito tutti i lati del sepolcro », e
narra anche che nello stesso errore caddero i Delii, аПогсЬё 1’oracolo di Delo ordind di
duplicare una certa ara cubica. Da nuest’ultima leggenda tree origine il nome di pro-
blema delico, о di Delo con cui si designa alle volte il problema in questione.
Oltre a F. Klein8 *), 1, p. 10; A. Conti in Questioni riguardanti le matematiche
elementari raccolte e coordinate da F. Enriques, 3s ed., parte 2s, Bologna 1926, p. 325;
B. Cal6 in F. Enriques, ibid., P- 509 e oltre alle Storie della matematica, specie quelle
riguardanti il periodo greco, si pud vedere: J. E. Montucla (1725-1799), Histoire des
recherches sur la quadrature du cercle avec une Addition concernant les problemes de la
duplication du cube et de la trisection de Pangley Paris 1754; nouv. 6d., Paris 1831; N.
T. Reimer' Historia problematis de cubi duplicatione siye de inveniendis duabus mediis con-
tinue propartionalibus inter duos datas, Gottingae 1798; A. Sturm, Das Delische Problem,
3 parti, Linz 1895, 1896, 1897; С. H. Biering, Historia problematis cubi duplicandi, Ko-
penhagen 1844; B. Carrara, Riv^ fis. mat. sc. nat., 3-9 (1902-1904); E. W. Hobson,
Squaring the Circle, a history of the problem, Cambridge 1913 ; F. G. Teixeira, Obras sobre
Mathematic a, 7, Coimbra 1915, p. 283; Scientia, 22 (1917), p. 169; P. L. Wantzel10);
E. Beutel, Die Quadratur des Kreises, 2* ed., Leipzig u. Berlin 1920; E. Hoppe, Arch.
Gesch. Naturw., 9 (1922), p; 104.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
521
c) dato un cerchio, determinare il lato di un quadrato avente area
uguale a quella del cerchio dato.
ВепсЬё semplici nella loro enunciazione, questi problemi non
sono risolubili elementarmente. Diamo succintamente le ragioni di
tale impossibility.
a) Se l ё il lato del cubo dato, il problema della duplicazione
del cubo ;si traduce facilmente nella equazione:
(1) x3 = 2 Z3 ,
o, qualora si assuma il lato del cubo come segmento unitario, nella:
(Г) x3 = 2 .
Ora I’equazione binomia x3 = а ё riducibile solo se_ а ё un cubo
perfetto, quindi, essendo la (1), ossia la (Г), irreducibile e di grado
dispari, il problema della duplicazione del cubo non ё risolubile con costru-
zioni eseguibili solamente colla riga e col compasso.
b) Sia 92 I’angolo da trisecare ; dalla trigonometria si ha:
tang 92 =
3 tang 92/З— tang3 92/З
1 — 3 tang2 92/З ’
ponendo in questa relazione tang 92 = m , tang <p/3 == x, si ottiene la
equazione cubica:
x3 — 3 m x2 — 3 x т m = 0 .
Questa equazione ё, in generale, irreducibile, quindi il problema della
trisezione dell'angolo ё, in generate, non risolubile elementarmente. Esi-
stono perd dei casi particolari nei quali la trisezione ё possibile colla
riga e col compasso, e precisamente si ha:
Tutti gli angoli 92 = 2 л/п e quindi anche gli angoli m 92 = 2 m л/п,
multipli di questi — ove n ё un numero intero non divisibile per 3 — sono di-
visibili in tre parti uguali con costruzioni eseguite solamente colla riga e
col compasso.
Infatti, se n non ё multiple di 3, ё sempre possibile trovare solu-
zioni intere della equazione:
n x — 3y = 1 ,
ossia della equazione:
2 л 2 л 2 л 92
— x—=
la quale ci mostra che, dato I’angolo 92 = 2 л/n, e determinata una
soluzione intera della equazione precedente, I’angolo 92/З si ottiene
come differenza tra I’angolo, multiple secondo il numero 2x dell’angolo
522
Amedeo Agostini
del triangolo equilatero e I’angolo, multiple secondo il numero j, del-
1’angolo <p dato.
c) Sia dato un cerchio di raggio R; indichiamo con C la sua cir-
conferenza rettificata e con x il lato del quadrato richiesto.
Poiche C = 2 л R, si dovra avere:
x2 = nR2= ^RC.
Il problema della quadrature del cerchio e in tai modo ridotto alia
ricerca di un triangolo che abbia per base la circonferenza rettificata e
per altezza il raggio, Ossia e ridotto al problema della rettificazione della
circonferenza e, quindi, assumendo il raggio come segmento unitario,
alia costruzione di un segmento lungo ж
Ё possibile costruire tale segmento colla riga e col compasso? Nu-
merose sono le ricerche attinenti alia questione della quadrature, fatte in
questo senso da Ippocrate da Chio (440 a. C. circa) in poi e, anche dopo
la risposta negativa data a tale domanda nel 1882 da F. Lindemann,
si trovano tuttura degli illusi che vanno alia ricerca di uri fatto impossibile.
Le ricerche di F. Lindemann hanno portato alia conclusione
che il numero 7t e numero trascendente6e) e che, percid, il problema
della quadratura del cerchio, oltre a non essere risolubile elementarmente,
non e risolubile nemmeno con curve algebriche di ordine superiore.
29. Soluzioni della duplicazione del cubo. — Il problema di
Geometria solida della duplicazione del cubo fu ridotto da Ippocrate
da Chio 67) all’altro di Geometria piana della ricerca di due segmenti
x, у medi proporzionali tra due segmenti assegnati a , b.
Infatti dalle due equazioni:
a __ x __ у
x у b 9
mediante eliminazione, si ricava I’equazione:
x3 = a2 b
che, per b = 2 a, diventa appunto x3 — 2 a3 .
Benche con tale riduzione il problema di Delo venga trasformato
in un altro altrettanto difficile, tuttavia occorre riconoscere il merito di
Ippocrate di avere spianata la via ai geometri posteriori, poiche quasi
tutte le soluzioni del problema furono fondate sulla inserzione delle
due medie proporzionali.
La soluzione piu antica pervenutaci 58) e quella di Arqhita da * 57
и) V. Part. II di questa Encicl. (D. Gigli, Ariimetica generate), § 85.
57) у. “).
и) V. Archimede “), Opera, ed. J. L. Heiberg, 3, p. 85; ed. P. ver EeckE, nota
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
523
Taranto (nato alia fine del V sec. a. C.): le due medie proporzionali
sono ottenute mediante 1’intersezione di un cono con un cilindro cir-
colare e con un toro di raggio interno nullo. F. Flauti69) ha mostrato
che tale soluzione e eseguibile praticamente col metodo di Monge.
Il problema fu risolto mediante conichew) da Menecmo ei) (IV-
III sec. a. C.), da R. Descartes 62), da R. F. de Sluse 63), da V. Viviani 6*),
da Gregorio di St. Vincentio65). La concoide di Nicomede (tra il
III e II sec. a. C.) di equazione:
(x* 2 * + j2) (y — a)2 = b2y* w),
rende possibile la risoluzione dei problemi della duplicazione del cubo
e della trisezione dell’angolo e inoltre anche di qualunque altra que-
stione di 3° e di 4° grado67) (§ 31). La duplicazione del cubo si risolve
con una costruzione particolare che fa uso dell’inserzione del lato del
cubo tra due rette68).
Anche la cissoide di Diocle (II sec. a. C.), di equazione:
a p. 91-93; P. Tannery, Мёт. Soc. sc. phys. mat. Bordeaux, (2) 2 (1878), p. 279 ;
M&noires scientifiques, 1, Toulouse et Paris 1912, p. 53 ; G. Loria 34), p. 99 ; A. Conti m),
p. 331.
5Э) F. Flauti (1782-1863), Geometria di sito nel piano e nello spazio, 2a ed., Napoli
1821, p. 173; v. anche G. Bellacchi, Lezioni di algebra elementare, 2, Firenze 1884,
p. 134.
eo) Per maggiori particolari v. I’art. XV di questa Encicl. (E. G. Togliatti, Equa-
ziom di 2°, 3°, 4° grado ed altre equazioni algebriche particolari), § 17.
ei) Archimede k), Opera, ed. J. L. Heiberg, 3, p. 79 ; ed. P. ver Eecke, nota a
p. 91-93; G. Loria34), p. 151; A. Conti55), p. 333.
®2) R. Descartes (1596-1650), La Geometrie in appendice al Discours de la Me-
thode pour bien conduire sa raison et chercher la verite dans les sciences, Leyden 1637, p. 395 ;
La Geometrie, nouv. 6d., Paris 1886, p. 75; Oeuvres, 6, Paris 1902, p. 469; A. Conti55),
p. 333. R. Descartes tratta anche (p. 370 dell’ed. 1637; Oeuvres, 6, p. 442) il problema
dell’inserzione di 4 medie proporzionali, mentre P. de Fermat (1601-1665) (Oeuvres,
1, Paris 1891, p. 118) tratta quello dell’inserzione di n medie proporzionali. V. I’art. XVI
di questa Encicl. (R. Marcolongo, Metodi:per la discussione dei problemi di 2° grado), § 11.
e3) R. F. de Sluse (1622-1685), Mesolabium, Leodii Eburonum (Luttich) 1659;
2a ed., 1668; v. H. Wieleitner, Geschichte der Mathematik, 2, zweite Halfte, Berlin
und Leipzig 1921, p. 21; A. Conti55), p. 337.
®4) V. Viviani (1622-1703), Quinto libro degli elementi di Euclide, owero Sdenza
universale delle propdrzioni spiegata colla dottrina di Galileo, Firenze 1674, p. 276.
®5 *) Gregorius a St. Vincentio (1584-1667), Opus geometricus quadraturae circuli
et sectionum com decern libris comprehensum, Antwerpiae 1647, prop. 137, 138; K. Bopp,
Die Kegelschnitte des Gregorius a St. Vincentio (Abh. Gesch. Math., 20, fasc. 2), Leipzig
1907, p. 267 ; A. Conti55), p. 340.
®®) Pappo ®), ed. F. Hultsch, 1, p. 243; ed. P. ver Eecke, 1, p. 185, riferisce la co-
struzione e le propriety della concoide e dA notizie concordanti con Еитосю (VI s. d.
C.) in Archimede55), Opera, ed. J. L. Heiberg, 3, p. 105; ed. P. ver Eecke, nota a p. 91-
93; v. G. Loria84), p. 404, 408; P. Tannery, Bull. sc. math., (2) 8 (1884), p. 101;
Memoires scientifiques, 2, Toulouse et Paris, 1912, p. 1 e specialmente p. 40. Per uno studio
completo della concoide V. .G. Loria, Curve piane speciali algebriche e trascendenti, 1,
Milano 1930, p. 163.'
®7) I. Newton •*), Appendix, p. 309; Opera, 1, ed. S. Horsley, p. 200.
®®) A. Conti “), p. 345; G. Loria p. 407.
524
Amedeo Agostini
__ 70\
У
V2 = ____-____*9\
y 2 a x
risolve il problema in questione, poich£, indicando con Y I’ordinata
del punto del cerchio corrispondente al punto di coordinate x , у della
cissoide, risult
2 a — x Y
Y ~~x
Da V. Viviani n) il problema ё risolto mediante la cubica x/=a3,
e I. Newton* 71 72) ricorre ad una inserzione tra una corda ed una tan-
gente di un cerchio.
Fin dall’antichita furono ricercati strumenti, о costruzioni elemen-
tari, atti a risolvere approssimativamente il problema generale della
inserzione di due medie proporzionali, о solo il problema particolare
della duplicazione del cubo.
Si attribuisce a Platone73) (429-348 a. C.) uno strumento col
quale si viene a costruire un rettangolo il quale, coll’uso di una squadra
di lati a e 6, permette di determinare le due medie proporzionali tra
a e b. Altri strumenti furono ideati da Eratostene 74 * *) e da R. Des-
cartes 7®).
Le costruzioni aprossimate di Apollonio7®), di Erone77 * * * * * *) e di
Filone те) sono del tutto consimili: costruito il rettangolo AB C D
di lati a e 6, si descriva un cerchio con centro nel centro del rettangolo
e con raggio tale che i punti di intersezione E ed F della circonferenza
••) Archimede “), Opera, ed. J. L. Heiberg, 3, p. 67; ed. P. ver Eecke, nota a
p. 91-93 ; v. G. Loria 84), p. 411; P. Tannery88), Memoires, 2, p. 43, e per lo studio com-
pleto della curva G. Loria, Curve piane ••), 1, p. 39. ,
ro) A. Conti“), p. 352; G. Loria84), p. 411; V. Fart. XXXVII di questa Encicl.
(G. Loria, Curve e superficie speciali), § 22.
71) V. Viviani84), p. 277 ; G. Loria, Curvepiane99), p. 373. V. Viviani, 84), p. 279,
riporta anche una soluzione di P. Villapando con una curva che chiama proporzionatrice
seconda, v. G. Loria, Curve piane"), 1, p. 446.
72) I. Newton84); v. A. Conti66), p. 350, che riporta.la dimostrazione della co-
struzione di I. Newton data da B. Carrara66).
78) Archimede66), Opera, ed. J. L. Heiberg* 3, p. 57; ed. P. v^r Eecke, nota a
p. 91-93; v. G. Loria84), p. 124; A. Conti66), p. 356.
74) V.65); G. Loria84), p. 344; A. Conti66), p. 358.
n) R. Descartes, ‘Geometric°), ed. 1637, p. 370; Oeuvres,. 6, p. 442; A. Conti66)»
p. 359.
7e) Archimede, Opera “), ed. J. L. Heiberg, 3, p. 65; ed. P. ver Eecke, nota a
p. 91-93; G. Loria м), p. 400; A. Conti “), p. 364.
77) Erone (tra il I s. a. C. e il II s. d. C.), Meckamk und Katoptrik, ed. L.
Nix und W. Schmidt, (Heroms Opera omnia, 2, fasc. 1), Leipzig 1901, p. 24; G. Loria 84),
p. 575. V. anche T. L. Heath, Apollonius of Perga, Treatise on Conic Sections edited
in modem notation, Cambridge 1896, p. CXXVI; G. Loria', Bibl. math., (3) 11 (1910),
p. 97. Riportata in Archimede, Opera “), ed. J. L. Heiberg, 3, p. 59; ed. P. ver Eecke,
nota a p. 91-93.
7e) Archimede, Opera9*), ed. J. L. Heiberg, 3, p. 61; ed. P. ver Eecke, nota a
p. 91-93; G. Loria84), p. 717.
XXIX - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI Ё I PROBLEMI CLASSICI 525
col prolungamento dei lati consecutivi А В , A C siano allineati col
vertice D : i segmenti B E , C F risolvono il problema della inserzione
delle due medie proporzionali tra a e b. Tale costruzione riesce ap-
prossimata poiche non e possibile determinare il raggio del cerchio con
le costruzioni elementari.
Piu recentemente furono date costruzioni a’pprossimate da L.
Mascheroni79 80), G. Buonafalce “), G. Boccali81), G. I. Vargiu82).
30. Soluzioni della trisezione dell’angolo. — La trisezione di
un angolo ottuso pud sempre ridursi alia trisezione di un angolo acuto
decomponendolo .nella
somma di un angolo retto
(trisecabile elementarmen-
te) e di un angolo acuto.
Ora la trisezione di
un angolo acuto В A C si
pud far dipendere dai due
problemi di inserzione 83 * 8):
a) da В Si conduca
la perpendicolare В C al-
1’altro lato dell’angolo e la
parallela В D allo stesso
lato : si inserisca tra В C
e В D un segmento
EF — 2 A В in modo che il suo prolungamento passi per A ; I’angolo
E А С e un terzo dell’angolo dato (fig. 5).
Infatti, congiunto il punto medio H di EF con В , si ha:
e quindi:
EH=HF = HB = AB,
HAB = BHA = 2BFH=2EAC,
ossia Ё AC = В A C/3.
’9) L. Mascheroni18), riportata da E. Daniele1), p. 170.
80) G. Buonafalce, Sulla scoperta di un nuovo rapporto geometrico che serve alia
soluzione del problema della duplicazione del cubo, Pisa 1876; Duplicazione del cubo e qua-
dratura del circolo, con aggiunte del dott. Pieraccini, Pisa 1878 ; A. Conti “), p. 367.
81) G. Boccali, Doppio cubo ed altre nuove scoperte geometriche in una semplice spi-
rale poligona, Camerino 1884; A Conti “), p. 370.
82) G. I. VargiCj, Sulla duplicazione del cubo e sulla moltiplicazione di esso, Ori-
stano 1877; A. Conti “), p. 366. Una soluzione approssimata ё data anche da Ch. Huy-
ghens (1629-1695), Opera varia, Lugduni Batavorum 1724, p. 391.
8S) Tali riduzioni sembrano risalire ai geometri greci del V sec. a C.; il secondo
problems si trova perd tra i Lemmata Archxmedis (Apollonii Per gam. Comamum libri
V. VI. VII.... additus in calce Archimedis assumptorum liber, ed. A. EchellenSis et I.
A. Borelli, Florentiae 1661, p. 399, 400; Archimede Opera56), ed. P. ver Eecke, p. 532)
e cid fa* ritenere che la soluzione sia dovuta al grande siracusano.
526
Amedeo Agostini
b) descritta una circonferenza di raggio qualunque e con centro
in Л, questa intersechi in В e C i lati dell’angolo e in D il prolungamento
di A B. Si inserisca tra la circonferenza e la retta A D un segmento
E F = A В in modo che il suo prolungamento passi per C: I’angolo
EFD cosi ottenuto e dell’angolo ВАС dato (fig. 6).
Infatti, congiunto E con A, si ha:
ma:
quindi:
ACE = AEC=2EFD ,
BAG = ACE + E'F'D ,
вас - 3 EF/) .
Il primo problema di inserzione e risolto da Pappo 84) mediante
Fig. 6.
la intersezione di un
cerchio con una iper-
bole, ma e facilmente
risolubile anche me-
diante la concoide w).
Pappo riferisce poi
altre due soluzioni del
problema della trise-
zione dell’angolo, otte-
nute senza inserzione e
ricorrendo nell’una, ad
una iperbole i cui asin-
toti formano un an-
golo di 120°; nell’altra, ad una iperbole di eccentricita due.
In tempi piii recenti la trisezione di un angolo e stata risolta me-
diante la intersezione di una circonferenza con una conica e precisa-
mente con una parabola da R. Descartes84 85 86), con una iperbole da A.
C. Clairaut87) (1713-1767) e con una iperbole equilatera da M. Chas-
les88) (1793-1880).
84) Pappo 8), ed. F. Hultsch, 1, p. 275; ed. P. ver Eecke, 1, p. 212; G. Loria 34),
p. 407; A. Conti “), p. 381. .
85) Pappo8), ed. F. Hultsch, L p. 243; ed. P. ver Eecke, 1, p. 185; G. Loria34),
p. 404; A. Conti55), p. 388.
w) R. Descartes, Geometrieea), ed. 1637, p. 3$6; Oeuvres, 6, p. 470; A. Conti55),
p. 385.
87) A. Conti55), p. 3b <.
88) M. Chasles, Traite des sections antiques, 1, Paris 1865, p. 36; F. Severi 8),
p. 371; A. Conti “), p. 387. Per un confronto tra^ le varie soluzioni della trisezione
mediante coniche v. E. Zondadari, Period, mat., (4) 4 (1924), p. 91, e per un esame
critico dei vari metodi che stanno a base delle diverse soluzioni v. V. G. Cavallaro,
Period, mat., (4) 6 (1926), p. 170.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI
527
La divisione dell’angoto in tre, о piu, parti uguali pud effettuarsi,
oltre che colla cissoide, anche con numerose altre curve. Ricordiamo
tra le curve trisettrici, о polisettrici, la quadratrice di Ippia89) (460
a. C.), la lumaca di S. Pascal90), la cicloide anomala di T. Ceva91)
(1648-1736), la trisettrice di C. Maclaurin92) (1698-1746), le curve di
A. Kempe 93), la trisegante di P. Delanges 94), la trisettrice di E. Ca-
talan 9б) (1814-1894), la rodonea a quattro foglie90), la trisettrice di
G. de Longchamps 97) (1842-1906), le settrici di J. A. F. Plateau98)
(1801-1883), ecc. ").
Molti poi sono gli strumenti 10°) e varie le costruzioni elementari
••) G. Loria34), p. 70.
•°) G. Р. de Roberval35), p. 35; Jouanne, Nouv. Ann. math., (2) 9 (1870), p. 40;
G. Loria, Curve pianew), 1, p. 174; A. Conti56),- p. 391.
31) T. Ceva, Opusada mathematica, Mediolani 1699, p. 31; G. Loria, Curve pia-
ne6*), I, p. 456; A. Conti56), p. 392.
32) C. Maclaurin, Geometria organica sive descriptio linearum curvarum universalis,
Londini 1720, p. 33; Treatise on fluxions, Edinburgh 1724, p. 260; O. Schlomilch,
Uebungsbuch zum Studium der hoheren Analysis, 2, Leipzig 1874, p. 59; G. de Long-
champs, Essai sur la geometrie de la regie et de I'equerre, Paris 1890, p. 120; H.
Brocard, J. math. sp£c., (3) 5 (1891), p. 245; G. Scott, Educat. Times, (2) 4 (1903),
p. 73; G. Loria, Curve piane66), 1, p. 100.
®3) A. Kempe, Nieuw Arch. Wirk., (2) 1 (1894), p. 163, 215; Мёт. Soc. royale
Liёge, (2) 20 (1898).
®4) Р. Delanges, La trisegante, nuova curva e pensieri sulla formula cardanica, Ve-
rona 1783; W. Hillouse, Analyst, 9 (1882), p. 181, d£ uno strumento per disegnare la
trisegante; G. Loria, Curve piane*6), 1, p. 475.
®6) E. Catalan, J. math. sp6c., (2) 9 (1885), p. 229; G. Loria, Curve piane66),
1, p. 107.
®®) L. Ridolfi, Di alcuni usi delle epicicloidi e di uno strumento per la loro descrizione
especialmente di quella delPellisse, Firenze 1844, p. 17 ; G. Loria, Curve piane66), 1, p. 419.
®7) Considerata dapprima da G. BellavitIs (Mem. mat. fis. Soc. it. sc., (3) 3 (1879),
Mem. 4a) e poi da G. de Longchamps (Mathesis, 38 (1888), p. 5); G. Loria, Curve pia-
ne66), 1, p. 110.
®8) V. G. Loria, Curve piane 66), 1, p. 458; Р. H. Schoute, J. math. sp6c., (2) 9
(1885) ; E. Collignon, Assoc, fr. Congris, 31 (1903), p. 13.
••) Az£mar, Trisection de Гangle suivie de Recherches analytiques sur les тёте sujet
par J. G. Garnier, Paris 1809; J. E. Wagner, Nouv. Ann. math., 10 (1851), p. 297 ; Fusi-
nieri, Mem. mat. fis. Soc. it. sc., 23 (1846), p. 294; von Wasserschleben, Arch. Math.
Phys., 56 (1874), p. 335; A. Radike, Arch. Math. Phys., 63 (1879), p. 328; K. Hesse,
Ueber die Tedung des Winkels, speziell die Trisection, Montabour 1881; О. P. Dexter,
The division of angles, New York 1881; R. H. M. Bosanquet, Treatise on the trisection
of the angle of 30° and any other plane angle, London 1877; G. Lazzeri e E. Habich,
Mathesis, 6 (1886), p. 122; F. Mariantoni e F. Palatini, Nouv. Ann. math., (3) 18
(1899), p. 126; W. Heymann, Z. Math. Phys., 44 (1899), p. 263; C. Burali-Forti, G.
mat., 27 (1889), p. 153 ; G. La Manna, Lo sviluppo di un arco del cerchio e della trisezione
delPangolo, Palermo 1902; A. Kempe, Z. Math. Phys., 49 (1903), p. 342; Verh. Math.-
Kongr. Heidelberg, p. 492; G. Loria, Mathesis, 39 (1925), p. 348. La trisezione ё otte-
nuta mediante la strofoide da A. Carosella, Period, mat., (4) 15 (1935), p. 177.
Per lo studio delle curve settrici si veda G. Loria, Curve piane66), 1, p. 456-484
e ai luoghi della stessa opera richiamati nelle note precedenti. Per la storia del problema
si veda A. Mitzscherling, Das Problem der Kreisteilung, ein Beitrag zur Geschichte seiner
Entwicklung, Leipzig 1913.
ioo) per io strumento polisettore di T. Ceva vedi T. Ceva, Instrumentum pro sectione
cuiuscumque anguli rectilinei in partes quotcumque aeguales, Mediolani 1695, Acta Erud.,
1695, p. 290; G. L. de L’Hospital (1661-1704), Trcrite analytique des sections coniques et
528
Amedeo Agostini
approssimateT01) escogitate per la trisezione, о la polisezione, dell’an-
golo.
31. Risoluzione dei problemi di 3° e di 4° grado* 101 102). — Per i
risultati esposti nel § 8, i problemi geometrici che dipendono dalla ri-
soluzione di equazioni irriducibili di 3° о 4° grado non sono risolubili
graficamente con un numero finito di ’ costruzioni eseguibili Colla riga e
col compasso. Cercando di limitare al minimo gli strumefiti necfessari
per la soluzione grafica di tali problemi, si sono raggiunti risultati ana-
loghi a quelli contenuti nel teorema di Poncelet-Steiner (§12) sulla
risoluzione dei problemi di 2° grado.
Gia R. Descartes103) aveva enunciato, come risultato puramente
analitico, che ogni problema di 3° о 4° grado si pud risolvere con riga
e compasso tostoche sia disegnato sui foglio un arco comunque piccolo
di una conica arbitraria (non cerchio), proprieta che fu dimostrata
geometricamente con applicazioni a costruzioni geometriche effettive
da L. H. Kortum e da H. J. S. Smith104). In particolare si potra pren-
dere un arco di parabola105 106 * 108).
Volendp eliminare 1’uso del compasso, per la risoluzione dei pro-
blemi in questione, non e pi u sufficiente 1’avere una conica tracciata
nel foglio ; infatti F. London loe) ha stabilito che tutti i problemi di
3° e di 4° grado si possono risolvere colla sola riga quando e data una
cubica fondamentale completamente tracciata, aggiungendo, pei pro-
blemi metrici, gli elementi fondamentali di un sistema di coordinate.
de leur usage pour la resolution des equations dans les problemes tant determiniz qu’inde-
terminez, Paris 1707, p. 452; A Pascal, Rend. 1st. Lomb., (2) 48 (1915), p. 173.
Per altri strumenti settori, v. H. Brocard, Bull. soc. math. France, 3 (1875),
p. 47; 5 (1877), p. 46; Perrin, Bull. soc. math. France, 4 (1876), p. 85; T. W. Ni-
cholson, Analyst, 10 (1883), p. 41; S. H. Johnson, Analyst, 10 (1883), p. 153; Q.
Amadori, Sulla trisezione d’un angolo qualunque, Savona 1883, v. A. Conti56), p. 397;
A. Korselt., Z. Math. Phys., 42 (1897), p. 76; A. Zampighi, Boll, mat., (2) 4 (1925),
p. 39; E. Wolffing, Math. nat. Mitheil Wurttemberg, !(2) 2 (1900), p. 21; Th.
Vahlen8), p. 291; A. Mitzscherling ")' p. 100. Altro strumento ё pure indicato da
W. Snellius, Cyclometria, Lugduni Batavorum 1621, p. 38.
101) A. Conti65), p. 402, riporta la costruzione approssimata della trisezione del-
l’angolo di Cominotto [Trisezione approssimata dell’angolo, Padova 1895) e a p. 407
quella di P. Monti. Per altre costruzioni approssimate v. G. V. Schiaparelli, Rend.
1st. Lomb., (2) 2 (1869), p. 1083; H. Schoeler, Arch. Math. Phys., (3) 4 (1903), p. 128;
E. Lampe, Arch. Math. Phys., (3) 4 (1903), p. 130.
(102) V. 1’art. XV.di questa Encicl.80), §§ 17-27 e 1’art. XVI di questa Encicl.82),
§§ 11, 12 ai quali rinviamo anche per la bibliografia, aggiungendo A. Conti65), p. 409;
V. Notari in F. Enriques, QuestioniJ), 2a parte, p. 453; L. Bieberbach, J. reine ang.
Math., 167 (1932), p. 142.
10S) Geomttrie22), ed. 1G37, p. 389; Oeuvres22), 6, p. 464.
10<) L. H. Kortum, Ueber geometrische Aufgaben dritten und vierten Grades, Bonn
1869; H. J. S. Smith, Ann. mat. pura appl., (2) 3 (1869-70), p. 112, 218; Coll. math,
papers, .2, Oxford 1894, p. 1; v. F. Severi8), p. 357-364.
106) R. Descartes 1M) ricorre appunto ad una parabola. P. de Fermat, [Oeuvres81),
1, p. 107) riconduce la soluzione dei problemi .di 3° e 4° grado all’intersezione di una pa-
rabola con un cerchio.
108) Z. Math. Phys., 41 (1896), p. 121.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI 529
Piii precisamente, per la soluzione dei problemi grafici di 3° e
4° grado con la sola riga, basta che sia tracciata una cubica dotata di
cuspide. Se poi si prende come tale, ad esempio, una cissoide e se si
conosce il centro del suo cerchio generatore, sono suscettibili di quella
costruzione anche i problemi metrici cubici e biquadratic!.
Alla cubica pud essere sostituita anche una curva razionale (ciod
con tre punti doppi, о con un punto triplo) del 4° ordine 107).
Ogni problema di 3° о 4° grado pud ridursi al problema della du-
plicazione del cubo о della trisezione dell’angolo108), e, poiche questi
problemi sono risolubili colla concoide di Nicomede, con tale curva
si pud risolvere qualunque questione cubica о biquadraticaloe).
Si noti poi che ogni problema di terzo grado pild ridursi a deter-
minare le ulteriori intersezioni di due coniche di un piano aventi un
dato punto comune non di contatto107 108 109 110).
32. La quadratura del cerchio mediante curve trascendenti.
— Il problema della quadratura del cerchio, come gia si e visto (§ 28),
non e risolubile qualora si ricorra
a curve algebriche (in particolare
a rette e cerchi); esso e perd ri-
solubile quando si usino curve
trascendenti come la quadratrice
di Ippia e la spirale di Archi-
mede.
La quadratrice di Ippia e il
luogo geometrico dei punti in-
tersezioni di due rette animate
da un moto uniforme : 1’una par-
tendo dalla posizione D C (= r)
si muove parallelamente a se
stessa fino alia posizione
RP(y= r/п) (fig. 7), 1’altra, par-
tendo dalla posizione A D (= r),
ruota intorno ad A con velocita
angolare costante fino alia po-
• • yf -r\ / ГС 7T
sizione A P © = —-----------—, x
\ 2 2n
Г 71 71
y= - ,» = ytgy =
107) T. Kubota, Tdhoku math. J., 5 (1914), p. 29; ibid., 14 (1918), p. 104.
108) R. Descartes, Geometric**), ed. 1637, p. 397 ; nouv. 6d., Paris 1886, p. 79;
Oeuvrese2), 6, p. 475. .Precisamente un problema si riduce alia trisezione dell’angolo se
dipende dalla risoluzione di Ona equazione di 3° grado del caso irreducibile, altrimenti
si pud ricondurre alia duplicazione. del cubo, v. A. Conti “), p. 414.
109) I. Newton, Arithmetica34), ed. 1707, p. 279; Opera **), 1, p. 204.
110) V. F. Enriques, Lezibm1), p. 311.
530
Amedeo Agostini
eliminando n e <p, si ha I’equazione cartesiana della curva:
л у
In ogni istante si ha, tracciato il quadrante di cerchio che ha cen-
tro in A e raggio r, la proporzione:
D A: D R = arco D В : arco D G ,
in base alia quale Dinostrato (335 a. C.) riusci a dimostrare, mediante
una riduzione all’assurdo, che А В e medio proporzionale tra A P'
e il quadrante di circonferenza, ove P' e il punto di intersezione della
quadratrice coll’asse xlu).
Data la spirale d’ARCHiMEDE di equazione:
q = a 'd ,
in un punto P di essa si consideri la tangente e la sottotangente polare
О T; Archimede dimostra che112) ;
OT = e2M •
Ora, se P appartiene all’n-esimo giro della spirale, 1’argomento di
P e $ + 2 (n — 1) я, quindi si ha:
ОТ=()$-}-2(П — 1) Я Q ,
ossia la lunghezza della sottotangente in P e uguale ad n — 1 volte
la lunghezza della circonferenza di raggio О P = piii la lunghezza
dell’arco KP della stessa circonferenza.
In particolare, se il punto P e sull’asse polare al termine dell’n-esimo
giro, si ha:
О T = n volte la circonf. rettificata di raggio О P.
1U) Riferita da Pappo e), ed. F. Hultsch, 1, p. 256; ed. P. ver Eecke, 1, p. 194,
il quale dA [e) ed. F. Hultsch, 1, p. 264; ed. P. ver Eecke, 1, p. 201] anche una gene-
razione stereometrica della quadratrice, v. G. Loria 84), p. 160, 671.
112) Archimede, Opera56), ed. J. L. Heiberg, 2, p. 69-77; ed. P. ver Eecke, p. 273-
277. Altre curve quadratrici furono introdotte da W. von Tschirnhaus (1651-1708) (Me-
diana mentis, Amstelodami 1686, p. 115), da J. Ozanam (1640-1717) (Dictionnaire ma-
thematique, ou Idee generate des mathematiques, Amsterdam 1691, p. 98). La curva qua-
i • i ii > • i i • sen 05 •
dratnce, detta da alcuni cocleotae, di equazione Q = a-, fu data da un anonimo,
indlviduabile in J. Perks, in Phil. Trans., n° 260 (1700) e ritrovata successivamente da
G. Fontana (Mem. mat. fis. Soc. it. sc., (1) 2 (1784), p. 123; Bull. bibl. mat., 9 (1876),
p. 438), da D. Bernoulli (1700-1783) e da Chr. Goldbach (1690-1764) (P. H. Fuss,
Correspondance mathematique et physique de quelques c&bres gtomttres du XVIII Steele,
2, St P£tersbourg 1843, p. 242, 244). Sulle propriety delle curve quadratrici v. G. Lo-
ria, Curve piane55), 2, p. 13.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI Б81
Riferiremo inline che anche Velica cilindrica ё una curva atta a
dare una rettificazione della circonferenza.
Infatti la porzione di tangente all’elica compresa tra il piano del
cerchio direttore del cilindro, su cui giace 1’elica, e il punto di tangenza
ha un? proizeione su quel piano uguale all’arco rettificato del cerchio
direttore, sotteso da un angolo al centro uguale all’angolo di cui ha
ruotato, dalla sua posizione iniziale, la retta generatrice dell’elica.
33. Metodi elementari pel calcolo di я. — Per le difficoltk
che si presentano nel tracciamento delle curve trascendenti, le soluzioni
del problema della quadratura offerte dalle curve ora esaminate per-
dono ogni carattere pratico, quindi, ponendosi dal punto di vista delle
applicazioni, il problima della quadratura del cerchio pud considerarsi
sotto due aspetti diversi:
a) determinare con mezzi analitici un valore approssimato del
rapporto tra la circonferenza rettificata ed il diametro ;
b) determinare, mediante costruzioni eseguibili colla riga e col
compasso, un segmento che approssimi la circonferenza rettificata,
od il lato del quadrato che ha area uguale a quella del cerchio.
Pel calcolo approssimato di я si possono usare i seguenti metodius).
I. Metodo dei perimetri. - Dato il raggio /?, si cerca la circonfe-
renza rettificata C, e quindi я.
Si calcolino i perimetri dei poligoni regolari convessi inscritti e
circoscritti alia circonferenza; al crescere del numero dei lati si vengono
a costruire* due successioni convergenti, una dei perimetri dei poligoni
inscritti, I’altra di quelli dei circoscritti:
Pl > Pz t Рз t ••• Pn э ••• э
Л , P2 , P3 , ... Pn , ... ,
che hanno per limite comune C. Gli stessi perimetri, divisi per 2 P, danno
Q
luogo a due successioni convergenti che hanno per limite p- = ли*).
2 lx
113) V. A. Sannia e E. d’Ovidio, Elementi di geometria, 8s ed., Napoli 1891, p. 391.
114) La prima determinazione approssimata del rapporto tra la circonferenza ed il
diametro ё dovuta ad Archimede (Opera66), ed. J. L. Heiberg, 1, p. 231; ed. P. ver
Eecke, p. 125), il quale dimostrd che:
ogni cerchio ha area uguale a quella di un triangolo rettangolo che ha un cateto uguale.
al raggio e Гaltro uguale alia circonferenza rettificata;
ogni cerchio ha, col quadrato del suo diametro, apprOssimatwamente, Ц rapporto
11:14;
la circorferenza rettificata e maggiore dei 22/7 del diametro e minore dei 223/71
del diametro stesso.
Archimede consegui quest’ultimo risultato applicando il metodo dei perimetri:.
partendo dall’esagono regolare e raddoppiando successivamente il numero dei lati, giunse
a calcolare i perimetri dei poligoni regolari, inscritto e circoscritto alia circonferenza,
di 96 lati. V. J. Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik, 2a ed., 4, Leipzig und.
Berlin 1923, p. 201; P. Tannery, Мёт. Soc sc. phys. nat. Bordeaux, (2) 4 (1882),
p. 313; Mlmoires*), 1, Toulouse et Paris 1912, p. 220; E. Beutel®*), p. 14.
532
Amedeo Agostini
II. Metodo delle aree. — Dato il raggio R, si cerca I’area A del
cerchio, e quindi я.
Le succession!:
al , a2 > аз > ••• an > ••• >
Л1, A2, A3, ... An , ...
delle aree dei poligoni regolari convessi inscritti e circoscritti al cer-
chio di raggio R, ordinate secondo il numero crescente dei lati, hanno
per limite I’area A del cerchio. Le stesse aree dei poligoni, divise per
R2, danno luogo a due succession! convergent! aventi per limite A/R2=n.
III. Metodo degli isoperimetri. - Data la lunghezza della cir-
conferenza rettificata C, determinare R e quindi я.
Fissato un valore di C, ad esempio 2, consideriamo tutti i poligoni
regolari di perimetro 2. Il perimetro del poligono regolare essendo
compreso tra la circonferenza inscritta e la circonferenza circoscritta,
si ha, indicando con an 1’apotema e con rn il raggio del poligono di
П lati:
2 я an < 2 < 2 я rn , da cui an < 1/te < rn .
D’altra parte, 1’eccesso del raggid rn sull’apotema an e minore della
meta del lato del poligono* quindi, essendo il lato lungo 2/n, si ha:
r„ — an < l/я .
Quindi:
il numero l/я ё compreso tra i valori an ed rn dell’apotema e del
raggio di ogni poligono regolare il cui perimetro ё uguale a 2, e 1’ap-
prossimazione cresce al crescere del numero n dei lati115).
IV. Metodo degli equivalenti. - Data I’area A del cerchio,
determinare R\ e quindi я.
Si costruiscano tutti i poligoni regolari convessi equivalenti tra
loro : ad esempio, di area 1; e, al crescere del numero dei lati, si consi-
derino le successioni:
, a22 , ... an2 , ...,
,Г12 , r22 , ... rn2 , ... ,
date dai quadrati degli apotemi an e dei raggi rn di detti poligoni.
РокЬё ogni poligono regolare convesso ё prevalente al cerchio
inscritto in esso e suvvalente al cerchio circoscritto, si avri:
я an2 < 1 < я r2 , ossia an2 < l/я < rn2 ,
1M) Tale metodo fu giA usato da N. Cusano (1401-1464) (v. M. Cantor1®), 2,
p. 192-201), da R. Descartes (Oeuvres**), 10, Paris 1908, p. 304), da L. Euler (Novi
Comm. Ac. Petrop., 8 (1760-61, pubbl. 1763), p. 157) e ripreso da J. Chr. Schwab
(1743-1821), El&nents de Gtomttrie, Nancy 1813, v. E. Rouch£ et Ch. de Comberousse,
Traite de Geometric, 1, 7a ed., Paris 1900, p. 197, 210; A. Sannia e E. d’Ovidio 112).
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI 533
inoltre essendo rn2 — an2 = ln*l4> ove Zn ё il lato del poligono regolare
di n lati, si conclude che le due succession! sono convergenti ed hanno
il limite 1/тгив).
Poich£ i primi due metodi si possono ricondurre al calcolo di 1/тг
sostituendo agli elementi delle successioni i loro reciproci, tutti i metodi
esposti si riducono alia applicazione di uno stesso principio fondAto
sui seguenti teoremi* 117 118).
Se si costruisce una successione, i cui termini siano alternativamente
i valori reciproci delle misure dei perimetri dei poligoni regolari circoscritti
e inscritti ad una stessa circonferenza, nei quali il numero dei lati vada
sempre raddoppiando, questi termini, a partire dal terzo, sono alternati-
vamente medio aritmetico e medio geometrico, ciascuno rispetto ai due
immediatamente precedenti.
Se si costruisce una successione i cui termini siano alternativamente
i valori reciproci delle misure delle aree dei poligoni regolari circoscritti
e inscritti ad una stessa circonferenza, nei quali il numero dei lati vada
sempre raddoppiando, questi termini, a partire dal terzo, sono alternativa-
mente medio aritmetico e medio geometrico, ciascuno rispetto ai due im-
mediatamente precedenti.
Se si costruisce una successione i cui termini siano alternativamente
le misure degli apotemi e dei raggi dei poligoni regolari isoperimetri, nei
quali il numero dei lati vada sempre raddoppiando, questi termini sono,
a partire dal terzo, alternativamente medio aritmetico e medio geometrico,
ciascuno rispetto ai due immediatamente precedenti.
Se si costruisce una successione, i cui termini siano alternativamente
le misure dei quadrati dei raggi e dei quadrati degli apotemi dei poli-
goni regolari equivalenti, nei quali il numero dei lati vada sempre raddop-
piando, questi termini, a partire dal terzo, sono alternativamente medio
aritmetico e medio geometrico, ciascuno rispetto ai due immediatamente
precedenti.
In base a queste proprieta si pud stabilire la regola seguente ш):
Si costruisca una successione di numeri, dei quali i primi due siano
0 e | egli altri siano alternativamente medio aritmetico e medio geometrico
tra i due immediatamente precedenti. Si prolunghi la successione sino a
due numeri consecutivi aventi le prime m + 1 cifre dedmali comuni:
dividendo V unita pel numero formato da queste cifre comunf si ottiene per
quoziente un valore di n approssimato per eccesso a meno di
Tra le vari£ costruzioni approssimate della circonferenza rettifi-
cata о della quadratura del cerchio ci limitiamo a riferire le seguenti:
1) Condotta la tangente nell’estremita В del diametro AB
(fig. 8), si prenda la cor da В С = О A e si conduca dal*-centro О la
perpendicolare a tale corda che incontri in D la tangente. Si porti quindi
11G) A. M. Legendre (1752-1833),ЙАлеш de Geometric, 12» ed., Paris 1837, p. 127,130.
117) V. per le dimostrazioni A. Sannia e E. d’Ovidio 112).
118) Ottenuta' da J. Chr. Scjtwab w) applicando il metodo 'degli isdperimetri.
584
Amedeo Agostini
nella direzione di D В il segmento D E = 3 О A : il segmento A E
approssima la meti della circonferenza a meno di 6/105 U9).
Infatti, posto О A = 1, ё В D = tg 30° = , quindi:
<5
2) Sopra la tangente nell’estremo В del diametro A В si portino
nella stessa direzione i segmenti В C ,C D ,D E rispettivamente uguali
al diametro, ad 1/5 del raggio e a 2/5 del raggio stesso. Poscia si porti
su В A un segmento BF=OD e da F si mandi la F G parallela alia
О E (fig. 9). Il segmento В G approssima la circonferenza rettificata
a meno di 13/107120).
llf) Dovuta ad A. Kochansky (Acta Erud., 1685, p. 394-398) e ritrovata da L.
Mascheroni1®); v. E. Daniele *). P- 171-
1M) C. G. Specht, J. reine ang. Math., 3 (1828), p. 83, 405.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI 535
Infatti:
OD = BF=^, |^ BF=^Vi46 = 3,1415919...
Trovato un segmento che approssimi la circonferenza rettificata,
il quadrato equivalente al rettangolo di questo segmento e del raggio
da una quadratura approssimata del cerchio, quindi le due costruzioni
precedenti sono atte a dare una quadratura del cerchio con una buona
approssimazione121).
34. Calcolo di л mediante algoritmi infiniti. — Colla intro-
duzicne nelle Matematiche degli algoritmi di prodotto infinite, di fra-
zione continua e di serie si ebbero nuovi mezzi per esprimere il numero
л e, quindi, per la determinazione di valori approssimati di tale nu-
mero. Accenneremo ai,risultati piii salienti conseguiti per tali vie.
Poiche il cerchio di raggio 1 e limite della successione dei poligoni
regolari inscritti, si ha:
P4 __ цт P4 P8 P16 P2n—2 P2n-l
Л P$ -Pie Рзв P2n-1 P 2П
da cid F. Vi£te (1540-1603) dedusse122) per л lo sviluppo in prodotto
infinite:
che equivale al prodotto infinite:
2 90° 90° 90°
---- = COS ——- f cos —-— cos —— ...
л---2 4 8
J. Wallis (1616-1703) invece, con un processo di integrazione e
per via induttiva, ottenne 123):
121) Tra le altre costruzioni approssimate per rettificare la circonferenza, od un arco,
ricordiamo quelle dovute a Ch. Huyghens (De circuit magmtudine inventa, Lugduni
Batavorum 1654; v. J. Tropfke, Geschichte114), 4, p. 238), a G. Fontana (v. E. Beutel58),
p. 46), a H. Scheffler e W. Goering (H. Scheffler, Geometrische Naherungsmethoden
zur Rectification und Quadratur des Kreises, 3 fasc., 1867, 1868, 1873; W. Goering,
Die Auffindung der rein geometrischen Quadratur des Kreises, Dresden 1899 ; v. J. Tropfke,
Geschichte114), 4, p. 205); O. Beyer, Z. math. nat. Unterr., 64 (1933), p. 131; G. Gen-
tile, Boll, mat., (2) 14 (1935), p. 131. Altre costruzioni sono riferite da A. Sannia ed
E. d’Ovidio 11S), p. 402.
122) F. VifeTE, Variorum de rebus mathematicis'Responsorum libri VIII, Tours 1593 ;
Opera, ed. F. van Schooten, Leiden 1646, p. 400; F. Rudio, Z. Math. Phys., 36
(1891), hist. >lit. Abtlg., p^ 139. V. Part. XVII di questa Encicl. (G. Vitali, Limiti, serie,
fraziom continue, prodotti infiniti),' nota *•).
1U) J. Wallis, Arithmetica infinitorvm, Oxford 1655; Opera mathematics, 1, Oxo-
hiae 1695, p. 469-475. V. Part. XVII di questa Encicl.1M), nota *).
536
Amedeo Agostini
2 — 1 ’ T ’ "3 ’ 5 ’ 5 * ~7” ~7 ' 9
In un modo a noi sconosciuto W. Brouncker (1620 circa-1684)
giunse ad avere la frazione continua124):
A tale sviluppo, dimostrato poi da L. Euler (1707-1783)125), si
possono awicinare altri due notevoli sviluppi in frazione continua ot-
tenuti da L. Euler stesso12®):
2
8 4------57
8 + —-------
о . 7.9
Dalla serie dell’arcotangente127) :
x3 , x5 x1 .
arctgx = x------ + —-------f+ ...
si ha, per x = 1, lo sviluppo in serie:
tale sviluppo di n e perd lentamente convergente, e, solo ricorrendo a
certe identity, come le seguenti128):
184) R. Reiff, Geschtyite der unendlichen Reihen, Tubingen 1889, p. 14. V. Tart.
XVII di questa Encicl.182, note28) e “).
185) L. Euler, Opuscula analytica, 2, Petropoli 1785, p. 149.
Vе) L. Euler, Opuscula analytiea, 1, Petropoli 1783, p. 45.
187) Ottenuta quasi contemporaneamente da F. Gregory (1638P-1675), (Contmer-
cium epistolicum J. Collins et aliorum de analyst promota, ed. J. B. Biot et ,F. Lefort,
Paris 1856, p. 79) e da G. W. Leibniz (1646-1716) (Werke, ed. C. L Gerhardt, (3) 1,
fasc. 2, Berlin 1850, p. 12). V. G. Enestrom (1852-1923), Bibl. math., (3) 10 (1909), p. 69.
188) La prima identity, dovuta a J. Machin, ё riferita da W. Jone (1675-1749);
Synopsis pabnariarum matheseos, Londini 1706, p. 263 ; la seconda ё di L. Euler, Intro-
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSlCl
537
-^^arctgl-arctg-gL,
n 1 1
— = arctg — + arctg у ,
ed applicando ad esse lo sviluppo in serie dell’arcotangente, si hanno
serie rapidamente convergenti e atte ad un sollecito calcolo approssimato
di л.
Dallo sviluppo in serie dell’arcoseno 129):
arcsen x = x +
lx3 1.3 x5 1.3.5 x7
2 3 ' 2.4 5 2.4.6 7
per x = 1, si ha la serie:
л 1 1.3 1.3.5 1.3.5.7
2 ” 2.3 + 2.4.5 + 2.4.6.7 + 2.4.6.8.Э +
che, per la sua lenta convergenza, male si presta al calcolo di л. Piu
utile e invece la serie:
2L = 1 + _L +_L + _5_ + _^ +
6 2 3.28 5.24 7.211 9.216
ottenuta dalla serie dell’arcoseno per x =
35. Lunule quadrabili. — Il problema della quadratura del
cerchio si collega colla quadratura di superficie piane racchi,use da ar-
chi appartenenti a cerchi diversi: tra queste le piii semplici sono le
lunule racchiuse da due archi di cerchi contermini.
Ippocrate da Chio per primo riusci a determinare tre lunule
(aventi rispettivamente il maggiore arco che le racchiude uguale, minore
о maggiore della semicirconferenza) quadrabili elementarmente, ossia
aventi area uguale a quella di un poligono piano, come pure delle lu-
nule non quadrabili, ma tali che la somma di esse con un cerchio e
quadrabile elementarmente 13°).
dufitio in analysin infimtorutn, 1, Lausannae 1748, p. 107; v. 1’art. XXXI di questa En-
cicl.»), § 10.
Per la dimostrazione di queste identitA^pel loro uso al calcolo di л, per altre notevoli
identity atte -al calcolo di л е per notizie storiche sull’argomento, v. U. Cassina, sCalcofo
numerizo, Bologna 1928, p. 293; Period, mat., (4) 8 (1928), p. 271; F. Audisio, Period,
mat., (4) 11 (1931), p. 11, 149 ; E. Bortolotti, Period, mat., (4) 11 (1931), p. 110, 211»
1W) Dovuta a I. Newton (v. Commercium epistolieumUT)t p. 135-136); I. Newton,
Analysis per aequatumes numero. terminorum infimtas, compilata nel 1669, pubblicata Lon-
dim 1711; Opuseula mathematica, philosophica et philologica^ 1, ed. J. Castillioneus,
Lausannae et Genevae 1744, p. 19; OperaM), 1, p. 276.
1S0) Ippocrate consegui tali risultati studiando * il problema della quadratura del
538
Amedeo Agostini
Per ricercare quali siano le lunule quadrabili elementarmente,
consideriamo la lunula А С В C' A limitata dagli archi А С В, А С' В
appartenenti ai cerchi, rispettivamente, di centri О e O' e di raggi r e
r' e corrispondenti agli angoli al centro 2 co e 2 co'.
Dalla figura si ricava facilmente:
lun. А С В C' A = segm. А С В — segm. A CB
= (sett. OACB — triang. AOB) — (sett. O'AC'B —
— triang. AO'B)
= (sett. OACB — sett. O'AC'B) + (triang. AO'B —
— triang. AOB)
= (sett. OACB — sett. O'AC'B) + quadril. AOBO'
= r2 co — r'2 co' + £ (r'2 sen 2 co' — r2 sen 2 co).
La lunula avra area uguale a quella di un poligono, se:
sett. О А С В — sett. О' А С' В = r2 co — r'2 co' = 0 .
Tale condizione, posto co = m co', si trasforma nella:
r' = у/ m r ;
teuendo conto di tale condizione, 1’equazione:
| A В = r sen co = r' sen co'
si trasforma nella:
sen m do' = у/ m sen co'.
Per avere una lunula quadrabile elementarmente, questa equazione
deve fomire dei valori di sen ср, о di cos tp, costruibili cogli strumenti
cerchio; egli sperava di poter trovare una lunula quadrabile e tale che fosse pure qua-
drabile la somma della lunula con un cerchio; per differenza avrebbe ottenuta la qua-
dratura del cerchio. Le dimostrazioni di Ippocrate sono state tramandate a noi in un
brano (che ё il piii antico document© matematico dell’antica Grecia finora conosciuto)
da Eudemo da Rodi (IV sec. a. C.) riferito da Simplicio (VI sec. d. С.). V. Simplicii
commentarii in octo Aristotelis physicae auscult. libros, Venetiae 1526; ed. H. Diels, Ber-
lin 1882, p. 54; Eudemi Rhodii peripatetici fragmenta quae super sunt, ed. L. Spengel,
Berlin 1886, p. .54, 69; P. Tannery, Мёт. Soc. sc. phys. nat. Bordeaux, (2) 2 (1878),
p. 179; ibid., (2) 5 (1883), p. 217; Bibl. math., (3) 3 (.1902), p. 342; MemoiresM), 1,
p. 46, 339; 2, p. 119; F. Rudio, Bibl. mRth., (3) 3 (1902), p. 1; Urkunden zur Ge-
schichte der Mathematik im Altertum, 1, Leipzig 1907, p. 48; G. Loria 34), p. 80; B.
Cal6“), p. 548.
Sulla quadratura degli arbeli, v. Pappo •), ed. F. Hultsch, 1, p. 219; ed. P. ver
Eecke 1, p. 166; J. Steiner, J. reine ang. math., 1 (1826), p. 260; Werke, 1, Berlin
1881, p. 47; J. S. Macyak, Proc. math. Soc. Edinb., 3 (1885), p. 2; Д. Lidonnici,
Period, mat., (4) 12 (1932), p. 253.
XXIX. - I PROBLEMI GEOMETRICI ELEMENTARI E I PROBLEMI CLASSICI 539
elementari; cid accade, per esempio, dando ad m uno dei valori:
2,3,3/2,5,5/3 .
Le soluzioni di Ippocrate corrispondono ai valori 2,3,3/2. Nel
1840 Th. Clausen131) trovo tutte cihque le lunule quadrabili elemen-
tarmente; esse perd erano gia state trovate da M. J. Wallenius132).
Di recente E. Landau 133) considero una estensione del problema delle
lunule supponendo la differenza r2 co — r'2 co' non nulla, ma quadrabile
elementarmente; egli non giunse a ritrovare nuove lunule quadrabili,
ma a stabilire che il loro numero non e infinite.
ш) Th. Clausen (1801-1885), J. reine ang. Math., 21 (1840), p. 375.
lsa) M. J. Wallenius (1741-1773), Dissertatio gradualis lunulas quasdam circulates
quadrabiles exhibens, Aboae 1766; v. G. Enestrom, Bibl. math., (2) 8 (1894), p. 32.
1M) E. Landau, Arch. Math. Phys., (3) 4 (1903), Anhang, p. 16 ; Stzgsb. math. Ges.
Berlin, 2 (1903), p. 1.
XXX
LE FUNZIONI CIRCOLARI
E LE FUNZIONI IPERBOLICHE
TRIGONOMETRIA PIANA E SFERICA О
di AMEDEO AGOSTINI a Livorno
(•) Esposizioni in Encyklopadie der mathem. Wissenschaften, articolo di J. Som-
mer, III A В 8, p. 771, specialmente §§ 20-27; articolo di M. Zacharias, III A В 9,
p. 859, specialmente §§ 16 e 19. Per notizie storiche vedasi A. von Braunmuhl,
Vorlesungen uber Geschichte der Trigonometric, 2 vol., Leipzig 1900, 1903; J. Tropfke,
Geschichte der Elementar-Mathematik, 2Л ed., 5° vol., Berlin-Leipzig 1923.
INDICE
I. - Le funzioni circolari e Iperboliche.
Pa*.
1. Misura degli angoli e degli archi circolari ................................. 545
2. Definizione delle funzioni circolari ........................................ 547
3. Le formole di addizione e di prostaferesi.................................... 551
4. Formole di moltiplicazione e divisione degli archi .......................... 553
5. Calcolo .dei valori delle funzioni circolari ................................ 556
0. Metodi pei calcoli con archi piccoli...................................... . . 558
7. Definizione delle funzioni iperboliche. Formole principali................... 560
8. Continuity deriv^bilitA fe sviluppi in serie delle funzioni circolari e iperboliche 564
9. Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche nel campo complesso ......... 565
10. Le funzioni circolari e iperboliche inverse ...................... 569
II. - Trigonometria piana.
11. Scopo della Trigonometria piana............................................. 575
12. Risoluzione dei triangoli rettangoli ....................................... »
13. Relazioni tra gli elementi di un triangolo qualunque........................ 576
14. Risoluzione di un triabgolo qualunque....'.................................. 579
15. Applicazioni ad un poligono qualunque ed al quadrilatero.................... 581
III. - Sferica e trigonometria sferica.
16. Generality. Poli e polari ..............*................................... 583
17. Il triangolo sferico ordinario od euleriano. I poligoni sferiei......... 586
18. Relazioni tra gli elementi di un triangolo sferico ordinario................ 591
19. Risoluzione dei triangoli sferiei rettangoli............................... 595.
20. Risoluzione dei triangoli sferiei ordinari qualunque ....................... 597
21. Area ed altri elementi notevoli di un triangolo sferico ordinario........... 600
22. Relazioni tra il triangolo piano ed il triangolo sferico ordinario. Il teorema
di Legendre .................................................................. 602
23. Il concetto di triangolo sferico secondo Mobius............................. 603
24. Formole di prima specie..................................................... 605
25. Formole di seconda specie. Classificazione dei triangoli di Mdbius ...... 608
26. Il triangolo di Gauss-Study................................................ 609
27. I triangoli sferiei secondo F. Klein. Le formole supplemental^ della Trigo-
nometria sferica................................................................ 611
28. I gruppi di sostituzioni e i triangoli contigui di Study................. 613
29. Interpretazioni ed estensioni della Trigonometria sferica e relazioni di-questa
con altri rami della Matematica............................................. 615
L * Le funzioni circolari e iperboliche.
1. Misura degli angoli e degli archi circolari. — 1) Si dice
mtsura di un angolo in gradi1) (sessagesimali) la misura che per esso si
ottiene prendendo come uniti Vangolo-grado, cioe la 360 parte del-
l’angolo giro; e si dice misura di un arco circolare in gradi (sessagesimali)
la misura che per esso si ottiene prendendo come uniti V ar co-grado,
cioe la 360 parte della circonferenza 2).
Talvolta, per misurare gli angoli о gli archi circolari, si usa pren-
dere come uniti il grado centesimale, cioe la 400 parte dell’angolo giro
о della circonferenza 3 4).
La sessantesima parte del grado sessagesimale e il minuto primo,
о semplicemente primo *); la sessantesima parte del primo e il minuto
secondo, о secondo5).
x) Gli Arabi tradussero la parola pLOtpot (= parte, suddivisione) de\V Almagesto
di Tolomeo (П sec. d. C.) con daragah, parola che i traduttori medioevali tradussero
letteralmente in latino con scala, gradus ( — gradino).
2) Il sistema sessagesimale ha origini remotissime. I Babilonesi dividevano la
circonferenza in trecentosessanta parti eguali e questa suddivisione, attraverso i Greci
e gli Arabi, ё pervenuta fino a noi.
3) Si ha Un primo esempio dell’uso del sistema centesimale in un me. del 1446
della Bibl^oteca di Monaco (V. S. Gunther, Studien zur Geschichte der math, und
physik. Geographic, Halle 1878, p. 249; R. Mehmke, Jahresb. deutsch. Math.-Vereinig.,
8 (1900), p. 139). La suddivisione centesimale del grado fu usata da H. Briggs (1556-
1630) nella costruzione di una tavola logaritmico-trigonometrica pubblicata da H.
Gellibrand (1597-1637) in Trigonometria britannica, Goudae 1633. Colla intrbdu-
zione del sistema metrico decimale, all’epoca della rivoluzione francese, si tentd di
sostituire, nella misura degli angoli, al sistema sessagesimale quello centesimale; fu-
rono fautori4 della sostituzione specialmente J. L. Lagrange (1736-1813), A. M. Le-
gendre (1752-1833), e. F. Callet (1744-1798) pubblicd delle tavole (Paris 1783) cal-
colate per ambedue i sistemi di suddivisione. Il tentativo non ebbe la fortuna che me-
ritava. Perd, per comoditi di calcolo, molti strumenti topografici e nautici portano
graduazioni in gradi centesimali.
4)5) Tolomeo (Opera quae extant omnia, ed. J. I,. Heiberg, Me-fdcXi) ouvra^u;
(Almagesto), 1, Leipzig 1903, p. 48) chiama le suddivisioni del grado тсрсотоу ё^хоотбу
(sottinteso Хстгтбу) = prima parte sessantesima, e Sevrepoy ^7]х°стт6у (sott. Хетггбу)
= seconda parte sessantesima: le locuzioni piii abbreviate тсрсота Xorrdc e SruTtpa
Хогга furono tradotte, attraverso le traduzioni arabe, in latino con prima minuta e re-
cunda minuta. Quindi minuto — pars minuta. Notiamo che F. ViIte (1540-1603) usa
le parole partes per gradi e scripula per minuti.
Nel passato alcuni autori hanno usato anche i minuti terzi, i minuti quarts, etc.
V. J. Tropfke, Geschichte der Elementar-Mathematik, 2a ed., 7 vol., Berlin 1921-1924,
1, P« 43.
546
Amedeo Agostini
Il grado centesimale si divide in 100 primi, e il primo in 100 secondi.
Se occorre, si sogliono usare le frazioni decimal! del secondo. Nel
sistema sessagesimale, per indicare la misura di un angolo, si usa la
notazione:
83° 14z 22" ®).
Nel sistema centesimale si scrive:
83* 14z 22", oppure 83® 14z 22".
Il legame tra la misura a in gradi sessagesimali e la misura ac in
gradi centesimali ё dato dalle formole:
10 a = 9 a®.
2) Si dice misura di un angolo in radianti la misura che per esso
si ottiene prendendo come unit& Vangolo-radiante1), ossia l’angolo che
sopra una qualsiasi circonferenza, avente il centro nel suo vertice, sot-
tende un arco di lunghezza eguale al raggio della circonferenza stessa;
e si dice misura di un arco circolare in radianti la misura che per esso
si ottiene prendendo come unit& Varco-radiante, cioe uri arco di lunghezza
eguale al raggio della circonferenza alia quale appartiene Гагсо che si
misura.
L’arbitrarieti che compare nella definizione dell’angold-radiante ё
giustificata dalla proporzionaliti esistente tra gli archi, aventi un eguale
angolo al centro, e i raggi delle circonferenze alle quali gli archi appar-
tengono 8).
Il radiante si divide in 1000 parti eguali, ciascuna delle quali si
chiama millesimo (di radiante) 9).
Per la proporzionaliti esistente tra gli archi di egual raggio e i ri-
spettivi angoli al centro10), dalle definizioni. poste discende che un
qualsiasi arco e il corrispondente angolo al centro hanno la medesima misura
in gradi, e hanno pure la medesima misura in radianti.
•) L’origine del segno ° per indicare i gradi si suole far risalire a Tolomeo * 4 * * 7),
il quale Usa frequentemente 1’abbreviazione д° per jxoipai (gradi). Per i vari simboli
usati attraverso i secoli per indicare i gradi, i primi e i secondi v. F. Cajori (1859-1930),
A history of mathematical notations, Chicago 1928-1929, 2, p. 141, 147.
7) La parola radiante fii usata per la prima volta da J. Thomson, v. F. Cajori,
History of Mathematics, 2* ed., New York 1919, p. 484. G. B. Halsted (1853-1922)
(Mensuration, Boston 1881, p. 83) propose 1’uso della lettera Q per indicare il radiante,
ma la proposta, come altre, non ha avuto fortuna.
e) V. art. XXII di questa Encicl., (Ё. Artom, Propriety elementari delle figure
del piano e dello spazio), § 31.
•) Nell’intero giro sono dunque contenuti circa 6282 millesimi. In molti stru-
mentf (goniometri, cerchi di puntamento, ...) si ha una suddivisione della circonfe-
renza in 6400 parti: ognuna di queste parti si chiama millesimo convenzionale. Tale
suddivisione consente una certa rapiditA in alcuni calcoli, specialmente rifiettenti la
balistiqa, e con errori trascurabili per le applicazioni.
10) V. art. XXII di questa Encicl. (E. Artom,. propriety elementari delle figure
del piano e dello spazio), § 28.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
547
Tra la misura a in gradi e la misura Я in radianti di un angolo od
arco mtercedono le relazioni:
л a 180 Я
mentre tra le suddette misure di un arco e la sua lunghezza I (cioe la
misura del corrispondente arco rettificato, rispetto all’unita di misura
dei segmenti) sussistono le relazioni:
l тега 180 Z
I = Яг , Я — — , Z =-----------------, a =------------
r 180 tit
avendo denotato con r’la lunghezza del raggio.
3) In Astronomia si usa pure come uniti di misura degli angoli,
о degli archi, Гога, ossia la ventiquattresima parte dell’angolo giro о
della circonferenza11). I legami tra la misura a in gradi sessagesimali,
la misura Я in radianti e la misura ah in ore, sono espressi dalle formole:
a = 15 ah 12Я = л aK.
4) In varie questioni si deve tener conto, nella misura degli archi,
del senso secondo cui la circonferenza si intende descritta: cid accade
in special modo quando si debbano considerare sulla circonferenza
archi aventi un estremo comune. In generale, come supporremo in
seguito, si fissa come senso positivo quello antiorario e come negativo
il senso opposto: si hanno cosi, fissato un punto come origine degli
archi, le misure positive о negative degli archi.
Notiamo che, per le misure degli archi aventi 1’origine in Л, sus-
sistono le relazioni:
A В = — В A ~j~ 2 k 7i r ,
ЛВ + ЯС+СЛ = 2Ллгм),
ove k e un qualunque numero intero positivo, nullo о negativo. Ana-
loghe considerazioni valgono per la misura degli angoli.
2. Definizione delle funzioni circolari* * * ls * * 18). — Presi due assi
cartesiani ortogonali e assunto il semiasse positivo О x come origine
n) La siiddivisione del giomo in 24 ore risale ai Babilonesi. Dalla suddivisione
del giomo, Tolomeo *) fu condotto alia considerazione dell’ar co-or a.
12) Si noti la differenza tra queste relazioni e le analoghe relazioni segmentarie.
ls) Un nome collettivo per le funzioni che definiamo incomincia ad apparire
solo nel sec. XVIII: lineae trigonometricae in V. Riccati (1707-1775) e G. Saladini
(1731-1813), Institutiones analytical 1, Bononiae 1765, p. 98; funzioni trigonometriche
in G. S. Klugel (1739-1812), Analytische Trigonometries Braunschweig 1770, p. 4;
funzioni goniometriche in K. D. von Munchow (1778-1836), Grundlehren der ebenen
548
Amedeo Agostini
degli angoli di vertice O, si consideri l’angolo xOr = a (fig. 1). Siano
x , у le coordinate cartesiane di un punto qualunque P del raggio О r
e sia r la distanza di P da О (raggio vettore). Tra questi tre numeri si
Y possono formare i sei rapporti:
у x у г г х
Г Г Г X у X у
Pf/''
s' ciascuno dei quali dipende solamente
dalla grandezza dell’angolo a e non dal
punto P prescelto. Ai rapporti conside-
—------------------ ——rati si danno rispettivamente i nomi
seno, coseno, tangente; cosecante*
Fi secante, cotangente1*) dell’angolo a, e si
lg* ’ scrive:
und spharischen Trigonometric, Borm 1826, p. 7. Il nome funzioni circolari compare
solamente nel secolo scorso.
14) Nell’antichitA si considerava una sola funzione dell’arco: la corda, e сюё il
doppio del seno dell’arco metA. L’uso delle corde provenne ai Greci dai Babilonesi e dai
Caldei: ne ё una prbva la misura a base sessagesimale delle corde. Infatti Tolomeo [4),
1.1, cap. 9] misura le corde in centoventesimi del diametro e relative frazioni sessagesimali.
Presso gli antichi astronomi indiani si ha giA la considerazione del seno, del
coseno e del senoverso, e Aryabhatta (nato 476 d. C.) costrui una tavola dei valori
del seno. L’uso del seno fu noto agli Arabi attraverso traduzioni di opere indiane:
tra i divulgatori di tale uso segnaliamo Albattani (lat. Albategnus, morto 929) (Opus
astronomicum, ed. C. A. Nallino, 1, 2, 3,‘Mediolani 1899, 1903, 1907). I Greci non
ebbero la nozione di tangente e di cotangente: essa si trova presso 1’arabo Alhabas
(770-870?) (v. H. Suter, Abh. Gesch. Math., 10 (1910), p. 209) che 1’introduce pel
calcolo della lunghezza bell’ombra di un bastone, donde i nomi di umbra recta e umbra
versa dati alle .due funzioni fino af sec. XVI.
С1ассЬё nelle applicazioni si presentano frequentemente i reciproci del seno e
del coseno, ё naturale che insieme a queste venissero considerate le funzioni cose-
cante e secante, e infatti 1’arabo Alhabas costrui una tavola dei valori della cosecante;
v. H. Suter, Abh. Gesch. Math., 10 (1910), 0. 209; Bibl. math., (3) 5 (1904), p. 82.
Colla introduzione dei logaritmi (1614) l’uso delle funzioni secante e cosecante andd
scomparendo.
La parola seno proviene dalla traduzione latina sinus della parola araba gaib usata
per indicare la metA della corda e che letteralmente significa « piega » (di una veste),
quindi seno = la corda piegata su её stessa. Per altri proverrebbe dall’abbreviazione
j. ins. = semissis inscriptae (cordae) = la semicorda inscritta.
La parola coseno ё una abbreviazione di complement sinus = seno dell’arco com-
plementare : essa ё divenuta di uso quasi generale solo nel XVII secolo.
Il nome tangente compare nel sec. XVI ad opera di T. Finck (1561-1656) (Geo-
metria rotundi libri XIII, Basilea 1583, lib. V, p. 73).
La parola cotangente ha origine analoga alia parola coseno: ё un’abbreviazione
di complement tangens = tangente dell’arco complementare.
Il nome secante proviene dal problema’ da cui ebbe origine la prima considera-
zione di tale funzione: determinare, secondo 1’altezza del sole, la linea d’aria che con-
giunge 1’estremitA del bastone posto verticalmente coll’estremitA della sua ombra
(Alhabas). Quindi cosecante da complement secans.
Per maggiori notizie sopra i vocaboli usati attraverso i tempi per indicare le fun-
zioni circolari e per i numerosi simboli usati dai vari autori,. v. J. Tropfke 4), 5,
p. 30-47; F. Cajori •), 2, p. 150-171.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iferboliche
549
sen a = y/r , cos a = x/r , tg a = y/x
/ csec a = г/у , sec a = r/x , ctg a = x/y.
Ad ogni valore di a corrisponde uno ed un sol valore dei sei rapporti,
e percid questi prendono il nome di funzioni circolari о goniometriche u).
Dalle (1) si ricavano le relazioni1®):
1 1
csec a =----------- , sec a =----------,
sen a cos a
sen a cos a
(2) tg a =----------- , ctg a =-----------,
cos a sen a
X2 ~t~y2
sen2 a + cos2 a =------------- = 1.
r2
Da queste si ha poi:
tg a 1
(3) sen a = 4- — — , cos a = 4- — ,
V 1 + tg2 « V 1 + tg2 a
Ё andata quasi completamente in disuso la considerazione della funzione
senv a = 1 — cos a, alia quale fu dato il nome di ragitta, о sinusversus (donde il nome
di sinus totus dato al raggio della circonferenza). Accanto al senoverso si considerd anche
il cosenoverso a = senv (л/2 — a). Per I’arco supplementare dell’arco a si introdussero
le funzioni analoghe col nome di sub senoverso e subcosenoverso. Tra queste funzioni
verse e il seno e >il coseno sussistono quindi le relazioni
senv a — 1 — cos a
cosv a = 1 — sen a
s. senv a = 1 4 cos a
s. cosv a = 1 4- sen a.
15). La definizione delle funzioni circolari, che abbiamo data, risale, nella sua prima
idea, ad A. Cagnoli (1743-1816) (Trigonometria piana e sferica, Paris 1786, contempo-
raneamente tradotta in francese da N. M. Chompr6). Tale definizione ё ora piii ac-
cettata dell’altra ricorrente ad un circolo riferito a due diametri orientati e perpendi-
colari tra loro, assumendo il raggio come unitA di misura (circolo trigonometrico).
Si pud giungere alia definizione delle varie funzioni circolari anche partendo dalla
definizione del coseno come fattore di proiezione [K. D. von Munchow, 1. с.1в)], о
come rapporto tra la proiezione sopra una retta di un segmento e il segmento stesso
quandn questo ruota in un piano intorno ad un suo estremo, tenendo conto del senso
di rotazione (A. F. Mobius (1790-1868), Werke, 2, Leipzig 1886, p. 2, p. 255).
Partendo dal primo quadrante, mediante il teorema di addizione, о la fdrmola
sen 2 a = 2 sen a cos a, le definizioni delle funzioni circolari si possono estendere
successivamente agli altri quadranti, applicando il principio della continuazione delle
funzioni * analitiche (E. Haentzchel, Ueber die verschiedenen Grundlegungen in der
Trigonometric, Berlin 1900).
ie) Albattani 14), p. 181, d& vari teoremi che si traducono in queste relazioni.
F. VifeTE le enuncia sotto la forma:
1: sec a — cos a : 1 = sen a : tg.a,
cosec a : sec a = ctg a : 1 = 1: tg a ,
1: cosec a = cos a : ctg a = sen a : 1;
v. A. von Braunmuhl (1853-1908), Vorlesungen uber Geschichte der Trigonometric,
1, Leipzig 1900, p.162.
550
Amedeo Agostini
relazioni, le quali, coll’ambiguiti del segno, mostrano che, per indivi-
duate un arco (a meno di un multiple di 2 tf), occorre dare il valore
di due delle funzioni seno, coseno, tangente.
Dalle definizioni stesse si deduce facilmente il segno di ciascuna
funzione circolare in ogni quadrante, la loro variazione e, il valore negli
estremi di ogni quadrante17). Naturalmente si osserveri che per a = tf/2
non esiste il valore di tg a, e che ё:
tg (tf/2,— 0) = + oo , tg (tf/2 + 0) = — oo.
Ancora dalle definizioni appaiono le seguenti proprieta:
a) La periodicita, di periodo 2 tf, del seno e del coseno, e la pe-
riodicita, di periodo tf, della tangente e della cotangente.
b) La funzione seno e funzione dispari, mentre il coseno ё fun-
zione pari, e per conseguenza sono dispari la tangente e la cotangente,
ossia:
sen (— a) = — sen a , cos (— a) = cos a ,
tg (— «) = — tg a , ctg (— a) = — ctg a .
c) Le relazioni tra le funzioni di archi supplementari e di archi
complementariM):
/ sen (tf — a) = sen a , / sen (tf/2 — a) = cos a ,
\ cos (tf — a) = —cosa, . . \ cos (tf/2— a) = sen a ,
'' I tg(jr —a) = —tga, ) tg (л/2 — a) = ctg a ,
\ ctg (tf — a) = —ctga, ( ctg (tf/2 — a) = tga,
le quali, tenendo conto delle (4), diventano:
/ sen (tf + a) = — sen a , / sen (tf/2 +' a) = cos a ,
, v ) cos (tf + a) = — cos a , ( . ) cos (tf/2 + a) = — sen a ,
I tg(jr+a) = tga, 1 tg(7r/2 + a) = — ctg a ,
I ctg (л + a) = ctg a , ( ctg (л/2 + a) = — tg a .
d) Tutti gli archi che hanno una stessa funzione circolare sono
17) Il comportamento delle funzioni circolari per archi maggiori di л/2 era scono-
sciuto agli antichi, i quali rico'nducevano la risoluzione dei triangoli ottusangoli a quella
di triangoli rettangoli. L’estensione delle funzioni seno e senoverso al 2° quadrante
awiene presso gli Arabi (Alhabas, Albattani), i quali. pur non avendo nozione dei
numeri negativi, usarono la relazione senv (л/2 + a) = 1 + cos a. Per trovare una
giusta e chiara visione della variazione delle funzioni goniometriche occorre giungere
a L. Euler (1707-1783), il quale diede uno studio completo del comportamento di
queste funzioni nella Introductio in analysin infinitorum, 1, Lausannae 17481 Lugduni
1797, cap. VIII, p. 93, ma anche posteriormente si hanno esempi di false lasserzioni
sui comportamento delle funzioni circolari, v. J. Tropfke *)', 5, p. 51. ’
le) Le relazioni tra le funzioni di archi different! tra loro di un periodb, о di un
semiperiodo, о di un quarto di periodo, si trovano per la prima volta in L. Euler 17),
§ 128, dedotte dal teorema di addizione.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
551
dati dalle relazioni:
sen [Л л + (— 1)* «] = sen a ,
cos [2 h л ± a] = cos a ,
tg [h л + a] = tg a ,
ctg [Л л + a] = ctg a ,
ove h e un numero intero qualunque, positivo, nullo о negativo.
3. Le formole di addizione e di prostaferesi. — Presi sullo
stesso circolo di raggio r due archi a = AM, /3 = AN, si consider!
Гагсо A P = /3 — a. Per le definizioni delle funzioni circolari, i tre
estremi M , N ,P avranno rispettivamente le coordinate:
r cos a , r sen a ; r cos ft , r sen ft ;
r cos (B — a) , r sen (B — a) .
Ora si ha:
M N2 = r2 (cos a — cos /?)2 + r2 (sen a — sen /3)2 =
= 2 r2 (1 — cos a cos ft — sen a sen /?) ,
A P2 = r2 [1 — cos (J3 — a)]2 + r2 sen2 (J3 — a) = 2 r2 (1 — cos (/3 — a)),
ma M N = A P, quindi si ha la formola:
cos (J3 — a) = cos a cos ft + sen a sen ft ,
dalla quale si possono dedurre (cambiando una volta a in — a, una
seconda volta a in л/2 e, poscia, dopo questo cambiamento, ponendo
a = — a) tutte le formole di addizione e sottrazione degli archi19) :
le) Il teorema di addizione si trova dimostrato da Tolomeo, 1. c. 4), p. 41, 42
per le corde: applicando al quadrilatero ABCD inscritto in un cerchio, e avente il
lato AD coincidente con un diametro del cerchio, il noto teorema di Tolomeo (1. c. 4),
p. 36) si ha la relazione
BC AD = AC BD — AB CD,
la quale, introducendo gli archi sottesi, si trasforma nella
corda (AC — AB) • 2 r = corda AC • corda (}80 — AB) —> corda AB • corda (180 —AC).
Introducendo la funzione seno e ponendo AOC = 2a, AOB = 2 P, ove О ё il
centro del cerchio, si ha
sen (a — P) = sen a cos P — sen P cos a .
Vedi M. T. Zapelloni, Period, mat., (4) 8 (1928), p. 60.
Abulwafa (940-998) enuncia il teorema d’addizione nella forma
sen (а P) = V sen2 a — sen2 a sen2 i V sen2 P — sen2 a sen2 P ,
v. A. von Braunmuhl, 1. c.ie), p. 56.
Il teorema viene dimostrato da A. M. Legendre (Elements de Geometrie, 12a ed.,
552
Amedeo Agostini
cos (ft — a) = cos a cos 0 + sen a sen 0 ,
cos (Д + a) = cos a cos fl — sen a sen fl ,
sen (Д + a) = sen a cos fl + cos a sen fl ,
sen (fl — a) = sen fl cos a — sen a cos Д’,
dalle quali si ricavano le altre:
, , „ tga + tg/3 tg (a + /?) =
(9) 1 — tg a tg p ,a x tg/? —tga 1 + tg a tg p
Dalle precedenti si ottengono facilmente le formole di addizione
per la somma di 3,4,... archi M). Per n archi si ha:
sen (ai + a2 + ... + an) = E sen i cos^ — 27 sen 3 cosn_3 +
+ 27 sen5 cosn_5 — ... + (— l)p sen2j>+1 cosn42P+1) + ...,
cos (c^ + a2 + ... + an) = cosn — 27 cosn_2 sen2 + 27 cosn_4 sen4 — ...
... + (— 1)* 27 cos n_2Jt sen2„ + ... ,
tg(«i + a2 + ... + an) =
27tgx —27tga + 27tg5 —27tg7 + ...
1 — 27 tg2 H- 27 tg4 — 27 tg6 + ...
ove 27 senr cosn_r indica la somma di tutti i prodotti possibili di n fat-
tori dei quali r sono i sent di altrettanti archi scelti in tutti i modi pos-
sibili tra gli n archi dati, ed я — r fattori sono i coseni degli archi ri-
manenti; e 27tgr indica la somma di tutti i prodotti possibili formati
colie tangenti di r archi scelti in tutti i modi tra gli n dati.
Sommando e sottraendo a due a due le (8), si hanno le formole di
prostaferesi21):
Paris 1837, p. 350) ricorrendo alia similitudine dei triangoli, mentre in molti trattati
dell’epoca si introduce la dimostrazione che abbiamo riferita. A. M. Legendre di-
mostra la validity delle formole di addizione per qualunque valore di a e 0. A. L.
Cauchy (1789-1857) in Cours d* Analyse, 1, Paris 1821, p. 435; Oeuvres, (2) 3, Paris
1897, p. 357, deduce le formole di addizione da quelle di prostaferesi. Dimostrazioni
mediante il teorema di Tolomeo furono date da A. Padoa, Boll, mat., 3 (1904), p. 4;
A. Bellatalla, Boll, mat., (2) 9 (1930), p. 91 ; mediante il teorema del seno da A.
Marengoni, Boll, mat., (2) 8 (1929), p. 74; dalle formole di trasformazione delle
coordinate cartesiane da E. Pesani, Boll, mat., (2) 10 (1931), p. 116.
*°) Le formole di -addizione pel seno e pel coseno di tre archi sono date da F.
W. de Oppel (1720-1769), Analysis triangulorum, Dresdae et Lipsiae 1746, § 51. La
generalizzazione a un numero qualunque di archi ё data, pel seno e pel coseno, da
W. Jones (1675-1749) Phil. Trans., 140 (1747), p. 563, e, per la tangente, da Joh. I
Bernoulli (1667-1748), Acta Erud., 1722, p. 362. Piu recentemente le formole di ad-
dizione per un numero qualunque di archi furono dimostrate da E. de Angelis in
Annali del R. Istitutp tecnico e nautico di Napoli (1885) e da A. Andreini, Period,
mat., 12-(1897), p. 55.
81) I matematici del cinquecento — non possedendo la nozione dei logaritmi,
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
558
i sen (« + /?) + sen (a — /3) = 2 sen a cos P ,
) cos (« + /?) + cos (a — 8) = 2 cos a cos p ,
I sen (a + p) — sen (a — P) = 2 cos a sen P ,
cos (a — p) — cos (a + P) = 2 sen a sen p ,
le quali, ponendo a + p = p 9a — P = q> si sogliono scrivere * 22):
| , „ P+9 P—9
sen p 4- sen q = 2 sen------cos--------.
2 2
p + q p — q
cos p 4- cos q = 2 cos------ cos-------,
2 2
(11)
. P + 9 P — 9
sen p ’— sen q = 2 cos-------sen-----,
2 2
o P + q p — q
I cos q — cos p = 2 sen-------- sen------ .
I 2 2
Da queste si hanno, in particolare, le formole di Rhaeticus 23):
sen m a + sen (m — 2) a = 2 sen (m — 1) a cos a
/ cos m a + cos (m — 2) a = 2 cos (m — 1) a cos a .
4. Formole di moltiplicazione e division© degli archi. —
1) Dalle (12), facendo successivamente m = 2,3 , ..., si hanno le for-
mole relative alia moltiplicazione degli archi:
che permette di trasformare prodotti e quozienti in somme e differenze — ricerca-
rono formole atte a trasformare i prodotti in somme о differenze (formole che vennero
dette di prostaferesi da крбстО-eotq = somma e a'catpeot^ = differenza) onde facilitare
specialmente i calcoli trigonometrici. Gi& Ibn-Iunus (f 1009) mediante proiezioni
ortogonali, ottiene la seconda formola delle (10). A J. Werner (1468-1528) si deve
1’ultima delle (10) (J. Vemeri de triangulis sphaericis libri quattuor, herausgegeben von
A. A. Bjornbo, Abh. Gesch. Math., 24 (1907), p. 1), mentre le ultime due delle
(11) si trovano in F. VifeTE, Universalium inspectionum ad canonem mathematicum liber
singularis, Lutetiae 1579, sotto la forma di una doppia proporzione.
La scoperta dei logaritmi (1614) invert! lo scopo delle formole prostaferetiche:
mentre dappfima furono usate per trasformare prodotti in somme о differenze, furono
di poi usate per trasformare somme о differenze in prodotti.
Si noti che le (11) si possono dimostrare, come fa A. Cauchy, 1. c. 19), direttamente
ricorrendo al teorema delle proiezioni ortogonali.
22) Si trovano introdotte da F. Viirre, 1. c. 21), sotto forma di doppie proporzioni.
2S) G. J. Rhaeticus (1514-1576) applied queste formole, da lui trovate, alia qo-
stnizione della prima grande tavola dei valori naturali dei seni, delle tangenti e delle
secanti da 0° a 90° di 10" in 10", La tavola, ultimata nel 1569, fu pubblicata col ti-
tolo Opus Palatinum de triangulis, Neustadt 1596.
554
Amedeo Agostini
i sen 2 a = 2 sen a cos a ,
(13) !
f cos 2 a = 2 cos2 a — 1 — 1 — 2 sen2 a M),
(sen 3 a = 2 sen 2 a cos a — sen a ,
cos 3 a = 2 cos 2 a cos a — cos a 24 25).
Ponendo x'= 2 cos a, queste formole si possono scrivere:
sen 2 a = x sen a , sen 3 a =; (x2 — 1) sen a ,
2 cos 2 a = x2 — 2 , 2 cos 3 a = x3 — 3 x ,
e, come si pud dimostrare per induzione, si ha, in generale:
к sen m a = Sm (x) sen a ,
(15) V 7
f 2 cos m a = Gm (x) ,
ove Cm (x) ed Sm (x) sono funzioni razionali intere a coefficienti interi
della variabile x = 2 cos a, rispettivamente, di grado m ed m—1,
quindi le (15) esprimono le funzioni seno e coseno dei multipli di un
arco a mediante le potenze intere positive di cos a 2e).
Dalle (12) si deducono le formole ricorrenti:
Sm GO = X (x) $m-2 (#) >
Gm (x) = X (x) Cm_2 (x) >
24) Abulwafa deduce dal teorema di addizione di Tolomeo una relazione per
le corde che corrisponde alia formola sen 2 a = 2 sen a cos a. V. A. von Braunmuhl,
1. c.le), p. 55-
Le formole che danno sen 3 a e cos 3 a si trovano per la prima volta in F.
Vi£te (Opera, ed. F. van Schooten, Lugduni Batavorum 1646, p. 13, 41).
2в) I. Newton (1643-1727) diede nel 1676 la notevole formola (Commercium
epistolicum J. Collins et aliorum de artalysi promota, par J. B. Biot et F. Lefort,
Paris 1856, p. 106):
(1 — n2)n (1 — я3) (9— n2) n
sen n a = n sen a d------------sen3 a -|---------------------sen5 a +
3! 5!
(1 — n2) (9 — n2) (25 — n2) n
d---------------------------------sen7 a +.....
7!
Le formole che danno sen пае cos n a mediante le potenze di sen a e cos a sono
date da Joh. Bernoulli I (Acta Erud., 1701, p. 172) senza dimostrazione. Formole
per tgnqp e sec n (p sono date da Th. F. de Lagny (1660-1734), Hist. Acad. sc. Paris
Mar., 1705, p. 256; da G. Hermann (1678-1733), Acta Erud., 1706, p. 262 ; da Joh.
Bernoulli I, Acta Erud., 1712, p. 2.74; Acta Erud., 1722, p. 361.
Per la trasformazione di prodotti di seni о coseni (in particolare di potenze di
un seno о di un coseno) in una somma di seni e coseni di archi multipli coll’ausilio del
calcolo integrate, v. G. Lazzeri, Period, mat., 14 (1899), p. 139.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
555
con m > 2 e colle convenzioni:
So (*) = 0 , (x) = 1 , CQ (x) = 2 , Q (x) = x ,
dalle quali si ricava:
, (m — n — 1) !
Sm (x) = 2? (— 1)"--------------------Xm-2n-l
\ n ! (m — 2 n — 1) !
(15Э 1
1 (m — n — 1) !
Cm (x) = S (- 1)» m xm~2n «),
1 n ! (m — 2 л)!
ove le somme sono estese, per m dispari, da 0 ad e, per m pari,
m____2
da 0 a ------— nelk prima e da 0 ad m/2 nella seconda.
A
2 ) Il problema generale della determinazione di cos ajm e di
serfa/m, dati cos a e sen a, non sempre e risolubile elementarmente,
poiche dipende dalla risoluzione di una equazione algebrica di grado m .
Infetti, cambiando nelle (15) ma in a, si hanno le equazioni:
sen a
(16) 2 cos a = Cm (x) , sen a/m =-------,
(x)
la prima delle quali e di grado m nella incognita x = 2 cos a/m e la
seconda, per ogni valore fornito dalla prima, da un valore per sen a/m.
Notiamo perd che, mentre la prima delle (16) ammette sempre m
radici reali e distinte, la seconda pud alle volte non rispondere al pro-
blema, benche questo ammetta sempre m soluzioni. Cid accade, ad
esempio, quando sia Sm (x) = 0, о quando a sia un multiplo di n.
Nel caso m = 2,3 le formole si possono ottenere dalle (13) e (14);
dalla seconda delle (13), cambiando a in a/2, si hanno le formole di
bisezione degli archi:
VI — cos a
---------------?
(I?) ; 2
/ a /14- cos a
[ cos a/2 = ± Д/--------------29),
V 2
эт) Le espressioni di Sm e Cm pei primi valori di m sono stabilite da F. Vi£te,
Opera “), p. 291, 299, mediante le formole ricorrenti:
sen a : sen 2 a = sen (n — 1) a : [sen (n — 2) a 4“ sen n a] ,
£ : cos a = cos (?i — 1) a : [cos (n — 2) a 4 cos h a] .
28) Ricordiamo che il problema generale della divisione degli archi in parti eguali
coincide con quello della divisione della circonferenza in m parti eguali, ossia col
problema della inscrizione in un cerchio dei poligoni regolari, e che coincide anche
con quello della ricerca delle radici ennesime dell’unitA. V. art. XXVI di questa Encicl.
(L. Brusotti, Poligoni e Poliedri), § 10.
8e) Tolomeo, 1. c. 4), p. 39, di la formola analoga per le corde.
556
Amedeo Agostini
(17)
1 — cos a
1 + cos a
le quali, assegnato il valore di cos a, fomiscono due angoli del primo giro;
1’ambiguita, dovuta al doppio segno dei radical!, scompare se e assegnato,
invece del coseno, I’angolo a.
A queste formole aggiungiamo, per analogia, le altre notevoli:
1 — tg2a/2 2tga/2 2 tgfa/2
cos a =---------------, sen a =------------------, tg a =-----------.
1 + tg2 a/2 1 + tg2 aj2 1 — tg2 a/2
5. Calcolo dei valori delle funzioni circolari. — Il rapporto
tra la meta del lato ln del poligono regolare di n lati e il raggio del po-
ligono stesso, e il seno dell’angolo л/п. Si possono quindi calcolare
facilmente le funzioni circolari degli angoli dei poligoni regolari costrui-
bili elementarmente e quelle dei multipli e sottomultipli di detti archi
con 1’uso delle formole di moltiplicazione e divisione degli archi e con
quelle di G. J. Rhaeticus (12).
I valori che cosi si ricavano sono in forma poco agevole per le
applicazioni e i calcoli. Si preferiscono percid metodi che diano valori
approssimati mediante numeri decimali, anche perche i valori delle
funzioni circolari sono, jn generale, numeri trasceridenti 30).
Oltre che mediante gli sviluppi in serie (§ 8) delle funzioni circo-
lari, si pud costruire una tavola dei loro valori ricorrendo alle disegua-
glianze, che si possono stabilire per via elementare:
a > sen a > a — cfi/4: ,
1 — a2/2 + a4/16 > cos a > 1 — a2/2 .
Dalla prima si ricavano, rispettivamente per gli archi di 1°, Г, 1",
le diseguaglianze :
Л Л I Л \3 1
--------sen------< 1 ------- <-------,
180 180 \ 180 / 106
л I л \3 1
----------sen Г < 1------------------<-----,
180.60 4 \ 180.60 I 1011
Л I Л \3 1
sen 1" < 4- -1 <---,
180.602------------------------------------\ 180.602 /-1013
quindi, con errori per eccesso minori rispettivamente di 10~5 , 10-u ,
*) U. Scarpis (Period, mat., (3) 18 (1902), p. 280) dimostra che, se le funzioni
circolari di un arco, non multiplo di л/2, sono razionali, 1’arco non pud essere com-
mensurabile colla circonferenza.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
557
10"13, si ha:
sen 1° = 0,01745 ,
sen Г = 0,00029 08882 0 ...,
sen 1" = 0,00000 48481 368 ...,
e dall’ultima diseguaglianza, a meno di 10~15, si ha:
cos 1' = 0,99999 99576 92025 ...
Con questi valori, applicando le formole di G. J. Rhaeticus con
opportuni artifici, onde evitare 1’accumularsi degli errori, si pud costruire
una tavola dei valori del seno e del coseno con otto cifre decimali esatte.
Le tavole cui si ricorre d’ordinario danno i logaritmi dei valori
delle funzioni circolari; tuttavia l’uso di una tavola dei valori naturali
toma utile e comodo pel calcolo di formole semplici, perche si dimi-
nuisce il numero di ricerche tabulari о si evita 1’introduzione di ele-
menti ausiliari л).
S1) Tra le tavole dei valori delle funzioni circolari, costruite prima della scoperta
dei logaritmi, ricordiamo, oltre a quelle di G. J. Rhaeticus 3S), le seguenti: J. Regio-
montanus (J. Muller, 1436-1476), De triangulis omnimodis libri quinque, Norimbergae
1533 (compilato nel 1464); Opus tabularum directionum profectionumque, Augsburg
1490 (calcolate nel 1467); G. Magini (1555-1617), De planis triangulis liber unicus,
Venetiae 1592; Primum mobile duodecim libris cont ent um, Bononiae 1609; A. Romanus
(Ad. van Roomen, 1561-1615), Canon triangularum, Maguntiae 1609; Ludolph van
Ceulen (1540-1610), Van der Circkel, Delft 1596; B. Pitiscus (1561-1.613), Thesaurus
mathematicus, Francoforte 1613.
In queste tavole, onde esprimere i valori delle funzioni circolari mediante nu-
meri interi ed evitare cosi i numeri frazionari decimali (introdotti nell’uso comune
assai piii tardi, v. art. Ill di questa Encicl. (E. Bortolotti e D. Gigli, Aritmetica
pratica), nota 40), si suppone il raggio del cerchio assai grande e precisamente, se-
condo il numero delle cifre colle quali si vogliono esprimere i valori approssimati delle
funzioni, 60.000 о 6.000.000 (J. Regiomontanus), 107 (G. Magini, G. J. Rhaeticus,
L. van Ceulen), 10® (A. Romanus), 10* 1- (B. Pitiscus).
Immediatamente dopo la scoperta dei logaritmi e le tavole di J. Neper (1550-
1617) (Mirifici logarithmorum canonis construct™, Edimburgi 1619), tra lepiii important!,
notiamo le tavole di B. Ursinus (1587-1633), Magnus Canon logarithmicus, Coloniae
1624; J. Kepler (1571-1630), Tabulae Rudolphinae, Ulmae 1627; H. Briggs3); B.
Cavalieri (1598?-1647), Trigonometria plana et sphaerica, Bononiae 1643.
Nelle tavole logaritmico-trigonometriche costruite fino al principio del secolo
scorso si suppone il raggio del cerchio eguale a 107,o 10е, о 1010, e cid per evitare le
caratteristiche negative, sicchd nei calcoli si consideravano, invece delle funzioni cir-
<colari, i loro rapporti al sinus totus; ad esempio, per r = 10l°, si scriveva :
log —S"П q— = log sen a — log sin. tot. = log sen a — log 1010 = log sen a — 10.
sen. tot
Molte tavole logaritmico-trigonometriche portano anche tavole, piii о meno estese,
dei valori naturali delle funzioni circolari.
Tavole relative alia divisione centesimale del quadrante furono pubblicate da
C. Borda (1783-1799) con prefazione di J. B. Delambre (1749-1822) (Tables trigono-
mttriques decimoles calcuUes par Ch. Borda, Paris An. IX).
Tra le tavole piti recenti citiamo: H. Andoyer, Nouvelles tables trigonometrique?
fondamentales, 3 vol., Paris 1915, 1916, 1918, contenente i valori naturali delle funzioni
558
Amedeo Agostini
6. Metodi pei calcoli con archi piccoli. — Ordinariamente le
tavole danno i logaritmi delle funzioni circolari di Г in Г; per gli archi
intermedi si rifcorre alia interpolazione applicando il principio delle parti
proporzionali: si ammette cioe, che, per piccoli intervalli, i logaritmi
aumentino proporzionalmerite ai numeri. Perd, per calcoli di grande
precisione, tale principio deve essere usato con determinate cautele * 32).
Avendo una tavola che procede di primo in primo, il principio delle
parti proporzionali non* si pud applicare al calcolo dei logaritmi del
seno e della tangente di archi piccoli: per tali calcoli si sono escogitati
vari metodi, ai quali accenniamo brevemente.
I. — Le tavole di G. von Vega 33 * * *), di C. Chr. Bruhns m), di
F. Callet “J danno per i primi gradi i logaritmi delle funzioni circo-
lari di secondo in secondo, e allora I. TodhunterCh. Briot e
J. C. Bouquet 37) e altri suggeriscono, quando si debbano considerare
frazioni di secondo, di applicare Finterpolazione mediante le parti pro-
porzionali ai valori fomiti dalle tavole 38 *).
II. — Sostituire al seno, о alia tangente, Farco, e poiche, tra
la misura x dell’arco in radianti e la misura x" in secondi dello stesso
arco, passa la relazione:
л
x =-----------x" ,
648000
porre:
log sen x = log x" — log 7?" ,’
log tg x = log x" — log R” ,
ove R" e la misura 648000/л del radiante in secondi, e precisamente:
log R" = 5,31442 51331 76459 ... 33).
trigonometriche nel 1° quadrante di centesimo in centesimo con 20 decimali, di 9 in
9 minuti con 17 decimali, di 10 in 10 secopdi Con 15 decimali; L. Potin, Formules
et tables numeriques relatives aux fonctions circulaires, hyperboliques, elliptiques, Paris
1925 ; Tavole logaritmiche a cinque cifre decimali raccolte e pubblicate per сита delllstituto
idrografico della R. Marina, 3a ed., Genova 1922; K. Hayashi, Sieben-und mehrstellige
Tafeln der Kreis-und Hyperbelfunktionen und deren Produkte sowie der Gammafunktion,
Berlin 1926; J. Peters, Sechsstellige Tafel der trigonometrischen Funktionen, Berlin
und Bonn 1929.
32) Il principio delle parti proporzionali fu ammesso da J. Neper 31) e accolto
da tutti i calcolatori di tavole che lo seguirono. Per le cautele da usarsi, vedi G. Pesci,
Rivista Marittima, 28 (1895), suppl. p. 1.
w) G. von Vega (1756-1802), Thesaurus logarithmorum completus, Leipzig 1794.
a4) C. Chr. Bruhns (1830-1881), Neues logarithmisch-trigonometrisches Hand-
buch auf sieben Dezimalen, Leipzig 1870.
й) F. Callet, Tables portatives des logarithmes, Paris 1795.
M) I. Todhunter (1822-1884), Trigonometria piana, Napoli 1875, p. 153.
Ch. Briot (1817-4882) et J. C. Bouquet. (1819-1885), Lemons de trigono-
metric, Paris 1887, p. 65.
M) Tale metodo ё stato seguito nelle Tavole logaritmiche a cinque cifre decimali
raccoltt e pubblicate per сига delUIstituto idrografico della R. Marina, 3^ ed., Genova 1922.
••) v. F. Kohler, Manuale logaritmico-trigonometrico, Lipsia 1873.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
559
III. — N. M. Maskelyne *°) propone di porre:
sen x = x V cos x ,
e quindi:
da cui:
log sen x = log x" — log R" + log cos x ,
log tg x = log x" — log R" — f log cos x .
IV. — J. B. Delambre40 41) considera:
UVU J. V " A V a -------
senx =.......... , tgx = —------v cos2 * 44 Юл,
10^ cos 10* 10
e quindi:
log sen x = log sen 10 x — log 10 — J log cos 10 x ,
log tg x = log tg 10 x — log 10 + § log cos 10 x .
V. — G. von Vega 4S *) ricava i valori di sen x e di tg x da una
tavola di valori naturali facendo u$o del principio delle parti propor-
zionali, e quindi, se vi e necessity di passare ai logaritmi, ricorre ad
una tavola di logaritmi dei numeri.
VI. — F. Callet 48), J. A. Serret **), Ch, de Comberousse “)
suppongono che il seno e la tangente di archi pochisaimo different!
tra loro siano proporzionali agli archi, ossia che:
sen (x + <5 x) x 4- <5 x tg (x + <5 x) x + <5 x
sen x x tg x x
VII. — Raramente si trova applicato il suggerimento di tener
corito delle differenze seconde *•).
40) F. Callet m) ; E. H. H. Hammer, Lehrbuch der ebenen und spharischen Tri-
gonometric, Stuttgart 1885, p. 97. La formula approssimata che passa sotto il nome di
N. M. Maskelyne (1732-1811) si trova giA in Orontius Finaeus (1494-1555) (v.
J. Tropfke4), 4, p. 219) e si trova applicata alle tavole logaritmiche per la prima volta
in F. Callet88).
41) J. B.‘ Delambre, 1. c. 81).
4I) G. von Vega se). V. anche J. HoiiEL, Tables de logarithm** d cinq ddrimal**,
Paris 1905, p. IV.
4S) F. Callet85).
44) J. A. Serret (1819-1885), Traite de trigonomltrie, Paris 1888, p. 75. Vedi
anche le varie traduzioni italiane.
") Ch. de Comberousse, Cours de math&natique, 3B ed., 2, Paris 1893.
*•) Dato nella prefazione a J. J. Lalande (1732-1807), Tables de logarithm***
Itendues d sept decimoles, Paris 1890.,
560
Amedeo Agostini
VIII. — A F. Callet 47 *) si deve un metodo che si trova esposto
in molte tavole logaritmiche. Si costruisca una tavola dei numeri Se T
definiti dalle eguaglianze:
sen x tg x
S= log----- , T= log-—
x" x"
ove x" e la misura in secondi dell’arco x. Si ha allora:
log sen x = log x" + S , log tg x = log pc" + T ;
pel calcolo dei numeri log x", S, T si ricorre al principio delle parti
proporzionali.
Uno studio comparativo dei vari metodi esposti e degli errori cui
essi danno luogo ha portato G. Pesci “) alia conclusione che solo i
primi due metodi e 1’ultimo sono soddisfacenti. Il secondo metodo
poi e piu che sufficiente pei calcoli piu comuni, quando si abbia una
tavola logaritmico-trigonometrica a cinque cifre decimali coi logaritmi
delle funzioni circolari di secondo in secondo fino almeno a 2°.
1. Definizione delle funzioni iperboliche 49 *). Formole prin-
cipali. — 1) Nel cerchio di equazione:
X2 * _|_ y2 _ |
si consideri il settore OAR (fig. 2) corrispondente all’arco di lunghezza <p.
Tra le coordinate x dell’estremo R dell’arco e l’area <p)2 del settore
intercedono le relazioni:
x = cos ср , у = sen 99 .
In tale modo le coordinate di un punto del cerchio si possono consi-
47) F. Callet 35). Questo metodo ё segbito da I. Todhunter m), che erronea-
mente 1’attribuisce a J. B. Delambre, da C. Chr. Bruhns S4), da J. J. Lalande *),
da F. Kohler 39) e da altri.
Period, mat., (2) 4 (1901-02), p. 1, 57, 105.
49) Le funzioni iperboliche furono introdotte da V. Riccati (Opusculorum ad res
physicas et mathematical pettinentium, 1, Bononiae 1757, p. 68; V. Riccati e G. Sa-
ladini, Institutiones analyticae13), 1, p. 216, 2, Bononiae 1767, p. 152) per costruire
le radici di alcuni tipi di equazioni algebriche e, in particolare, di quelle dell’equa-
zione cubica nel caso irriducibile (v. Fart. XV di questa Encicl. (E. G. Togliatti,
Equazioni di 2°, 3°, 4° grado ecc.), § 16). Furono poscia trattate da J. H. Lambert
(1728-1777), che ne costrui una tavola dei valori (Hist. Ac. Berlin, 24 (1768), p. 327)
e da Ch. Gudermann (1798-1852) (J. reine ang. Math., 4 (1829), p. 288)^ Notevole lo
studio di O. F. Mossotti (1791-1863) inserito in A. Forti (1818-1900), Tavole dei
logaritnyi delle funzioni circolari e iperboliche, Ann. Un. toscane, 6 (1863). Per la storia
delle funzioni iperboliche v. S. Gunther (1848-1922), Die Lehre von gewohnlichen und
verallgeTheinesten Hyperbelfunktionen, Halle a. S. 1881. Tavole receriti per le funzioni
iperboliche sono dovute a L. Potin S1); K. Hayashi “); E. Jahnke e F. Emde,
FunktiQnentafeln mit Formein und Kurven, Leipzig und Berlin 1928.
XXX. - ЬЙ FUNZIONI CIRCOLARI E LE FUNZIONI IPERBOLICHE
561
derare come funzioni del doppio dell’area del settore limitato dal raggio
О A e dal raggio che passa pel punto che si considera. In conseguenza
si pud parlare del seno e del coseno,
invece che dell’arco, del doppio di un
settore circolare.
2) Anche nell’iperbole equila-
tera le coordinate di un punto si
esprimono in funzione del doppio del-
Гагеа del settore iperbolico, e si pos-
sono in conseguenza introdurre delle
funzioni che godono di proprieta ana-
loghe a quelle delle funzioni circo-
lari w).
Abbiasi (v. 1’drt. VI di questa
Encicl. (A. Finzi, Logaritmi), § 12)
I’iperbole equilatera riferita agli asin-
toti:
(18) ^=1.
L’area co del quadrilatero mistilineo AMNP (fig. 2) e data da:
p d Т/
w - -----= log Tj ,
Jl n
per cid le coordinate dei punti dell’iperbole equilatera sono date da:
(19)
7! = еш , £ = .
Dalla equazione stessa dell’iperbole si ricava 1’equivalenza dei
triangoli О A M ,0 P N, quindi anche il settore О A P ha la misura co.
Eseguendo una trasformazione di coordinate in maniera da riferire
I’iperbole equilatera agli assi, ed eseguendo poscia la trasformazione
proiettiva x' = x у/~2 ,y' = у у/~2 , in modo che I’area del settore
О A P viene misurata da co/2 e il semiasse trasverso diventa lungo 1,
si hanno le formole di trasformazione:
*7 + f rj — %
x =------------ , у =---------------
2 2
che fanno assumere all’equazione (18) la forma:
x2 —j2 = 1,
•°) Analogia che fu riscontrata, fin dalla prima introduzione delle funzioni iper-
boliche, da V. Riccati 4e).
562
Amedeo Agostini
e permettono di stabilire, mediante le (19), le equazioni parametriche
dell’iperbole equilatera:
еш + еш
x —------------, у =-----------------.
2 2
In tale modo si sono espresse le coordinate dei punti dell’iperbole
equilatera riferita agli assi e di semiasse reale eguale ad 1, in funzione
del doppio dell’area del settorp corrispondente: per analogia a cid che
accade nel cerchio di raggio 1, le coordinate x ,y dell’iperbole si defi-
niscono rispettivamente come coseno e seno del doppio dell’area del set-
tore iperbolico e si scrive:
CO > CO Ш ___ O>
(20) ch co =------------ , sH co =---------------61).
2 2
3) Dalle definizioni si hanno immediatamente le relazioni:
ch2 co — sha co = 1 ,
sh co + ch co = еш9
e inoltre si ricava:
ch 0 = 1 , sh 0 = 0 .
Poiche le aree co/2 dei settori iperbolici del primo quadrante vanno
crescendo, al tendere del punto P all’infinito sulla iperbole, assumendo
tutti i valori reali positivi, anche le funzioni sh co e ch co sono sempre
crescenti. Risulta da cid che le funzioni iperboliche non possono avere
un periodo reale.
L’area del quadrilatero mistilineo A M N' P' e misurata dal loga-
ritmo naturale di un numero minore dell’unita, percid I’area di un settore
iperbolico del quarto quadrante si dovri considerare come negativa. In
tale modo le funzioni iperboliche restano definite, senza perdere 1’inter-
pretazione geometrica, anche per co negativo. Le (20) permettono di
stabilire che>
ch (— co) = ch co , sh (— co) = — sh co ,
ciod, che il coseno e il seno iperbolico, come il coseno e il seno circolare,
sono rispettivamente funzione pari e funzione dispari.
4) Anche nell’iperbole il rapporto y/x si definisce come tan-
gente del settore iperbolico. Risulta cosi:
sh co
tgh co =-------.
ch co
#1) V. Riccati 49) usa la notazione Ch.t Sh., e J. H. Lambert *•) scrive sinh, e cosh.
La maggior parte dei matematici tedeschi, seguendo Ch. Gudermann 4e), usa le stesse
notazioni delle corrispondenti funzioni circolari in caratteri tedeschi e colla iniziale
maiuscola. Per altre notazioni usate v. F. Cajori •), 2, p. 172.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
563
(22)
Indicando con ip l’angolo che l’asse О x forma colla A Qy congiun-
gente О con la proiezione Q di P sulla tangente all’iperbole nel vertice,
le coordinate x e у del punto P sono espresse in funzione di у da:
x = sec у , у = tg ip.
Si deducono allora le relazioni seguenti che fanno corrispondere
ad ogni funzione circolare di ip una funzione iperbolica di co:
sh co = tg у , ch cd = sec ip , tgh co = sen ip.
L’angolo у si chiama amptitudine iperbolica™) dell’argomento co e
si indica coni
у = amh co .
L’amplitudine iperbolica ip e l’angolo al centro del settore circolare
corrispondente sono.legati dalla relazione:
sen у = tg (p .
5) Dalle proprieti dell’iperbole53) si hanno le formole di ad-
dizione :
c sh (99 ± co) = sh <p ch co i sh co ch cp ,
(21) s
( ch (q> ± co) = ch (p ch co ± sh (p sh co ,
dalle quali si ricavano le formole di profctaferesi:
p + q p — q
sh p + sh q = 2 sh----------ch---------,
2 2
p + q p — q
ch p + ch q = 2 ch----------ch--------,
2 2
p + q p — q
sh p — sh q = 2 ch----------sh---------,
2. 2
p + q p — q
ch p — ch q = 2 sh----------sh--------.
2 2
Dalle (21) si ricavano le formole di duplicazione:
sh 2 co = 2 sh co ch oj ,
ch 2 co = ch2 co + sh2 co ,
и) Ch. Gudermann 49) chiama l’angolo у Longitudinalzahl di co e lo indica col
simbolo I co. J. H. Lambert 49), seguito da O. F. Mossotti 49) e A. Forti 4e), lo chiama
angolo trascendente relativo al doppio settore iperbolico co. La denominazione ampli-
tudine iperbolica ё stata proposta da G. J. HoiiEL (Nouv. Ann. math., (2) 3 (1864),
p. 416; Recueil de formules et de tables num&iques, Paris 1901, p. XVIII.
53) v. V. Riccati 49). Le dimostrazioni di V. Riccati sono riportate da V. No-
TARI, Period? mat., (4) 2 (1922), p. 246.
664
Amedeo Agostini
che si generalizzano nelle formole di V. Riccati64):
(ch cd + sh (o)n — (ch cd — shco)n
sh n cd =-----------------*---------------:,
n
(ch cd + sh co)n + (ch cd — sh co)n
ch n co =---------------------------------------,
n
valide per n razionale positivo о negativo ed estendibili anche ad n
irrazionale M).
8. Continuita, derivabilitA e sviluppi in aerie delle funzioni
circolari e iperboliche. — Poiche e:
|senx|<|#| e |cosx|<l,
si pud stabilire la diseguaglianza:
| sen (x + Л) — sen x | = | 2 sen Л/2 cos (x + Л/2) ’| < | h | ,
che permette di concludere che la funzione sen x e funzione continua
per qualunque valore di x. In modo analogo si pud dimostrare la conti-
nuity di cos x.
Dalle (2) segue anche la continuity di tg x, e di sec x, in tutti i
punti ove cos x non e nullo e di ctg x e cosec x in tutti i punti ove non
e nullo sen x. I punti di discontinuity risultano punti di infinito.
M) V. Riccati, Opuscolorum4e), p. 76; V. Riccati e G. Saladini, Institutiones
analyticae 4e), 1, p. 224. Queste formole corrispondono alia formola di Moivre per le
funzioni circolari. Si confrontino infatti colle formole riportate da L. EuleR (Intro-
ductio17), 1, p. 98) ed equivalenti alia formola di Mo^VRE:
2 cos n x — (cos x 4- i sen x)n 4- (co*s x — i sen x)n
2 i sen n x = (cos x 4“ i sen x)n — (cos x — i sen x)n.
“) J. Booth (1810-1878) (The theory of elliptic integrals, London 1851; Phil.
Trans., 142 (1852), p. 311; A memoir on the trigonometry of the parabola, London 1856 ;
A treatise on some new geometrical methods, London 1873, 1, p. 313; v. anche G. Egidi,
Atti Acc. Nuovi Lincei, 47 (1894), p. 16); egli ha introdotto per la parabola funzioni
analoghe alle circolari e alle iperboliche. Essendo cp , x , co degli archi di parabola, sup-
poniamo che tra essi esista la relazione:
tg co = tg cp sec x 4“ tg x sec cp
che, colla trasformazione immaginaria:
tg co = i sen co' , tg <p = i sen cp' , tg x = i sen x , sec 9> = * cos cp' , sec x = i cos x',
diventa la nota espressione del seno della somma di due archi circolari. Nelle funzioni
circolari ё co = cp 4- X» per la parabola co ё una funzione di cp e di x, che J. Booth
indica col simbolo ср X x> tale che:
tg (9> x x) = tg cp sec x 4- tg x sec cp .
In modo analogo ё:
tg (9>Tx) = tg 9? sec x ~ tg xsec9?,
ove il simbolo ср T * indica una funzione degli archi parabolici cp e x corrispondente
alia differenza degli archi circolari. Colla trasformazione indicate sopra, quest’ultima
formola diventa la formola del seno della differenza di due archi circolari.
XXX. - Le funzioni circolari e le'funzioni iperboliche
565
Analogamente si pud stabilire la continuita delle funzioni iperboliche.
Tenendo presente la definizione di derivata di una funzione e
ricorrendo alle (11) e alle (22), si ha5®):
D sen x = cos x , D sh x = ch x ,
D cos x = — sen x , D ch x = sh x ,
Z> tg x = 1 + tg2 x = 1/cos2 x , D tgh x = 1 — tgh2 x = 1/ch2 x
Da queste si deduce Fesistenza delle derivate di qualunque ordine,
che si riproducono periodicamente ad ogni quattro derivazioni perje
funzioni sen x e cos x, ad ogni due per le funzioni sh x, ch x. Si pos-
sono allora stabilire gli sviluppi57):
X3 X6 X7 00 X2n+1
sen x = x — + •• . = E (— 1)» - ,
3 ! 5 ! 7 ! n=o (2 n + 1) !
X2 X4 X* 00 X2"
cos x = 1 — + + •• . = E (—1)»——,
2 ! 4 ! 6 ! я=о (2 л)!
X3 X5 X7 00 X2n+1
shx = x + —- + — + ~—F •• . = г ?
3! 5 ! 7! *=o (2 n + 1) !
X3 X4 Xе (X) x2*1
ch x = 1 + —~ + — H—- + •• •=
2 ! 4 ! 6! я=о (2 n) !
valevoli per qualunque valore reale -e* finito di x.
9. Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche nel cainpo
complesso [cfr. Fart. II di questa Encicl. (D. Gigli, Aritmeticage-
nerale, § 75) e Fart. XX della stessa Encicl. (S. Pincherle, Le funzioni
analitiche da цп punto di vista elementare, §§ 6 e 7)]. — 1) Nel piano
complesso le serie di potenze:
00 Zn oo z2n 00 2&П+1
S----- , 2?(—l)n----------- , X(— l)n----------------- ,
n=o n ! »=o (2 n)! п=э (2 n + 1) !
M) Le derivate di sen ж e cos x si possono determinare direttamente dalle de-
finizioni geometriche, v. A. Capelli, Istituxioni di Analisi algebrica, 4* £d.‘,Napoli 1909,
p. 548. Le derivate di sh x e ch x si trovano giA in V. Riccati e G. Saladini, Institu-
tiones analyticae49), 2, p. 152, dedotte da propriety geometriche dell’iperbole.
67) Gli sviluppi di sen x e cos x sono dovuti a I. Newton (De analysi per aequo-
tiones numero terminorum infinitas (redatta nel 1699), Londres 1711; Opuscula, Lausannae
e Genevae 1744, 1, p. 22; Opera, ed. S. Horsley, 1, Londini 1779, p. 259). Quelli di
sh x e ch x si trovano giA in L. Euler (Introductio 17), 1, p. 118), come sviluppi delle fun-
c—® -j-
zioni --------- ed --------senza riconoscere in esse delle funzioni analoghe alle
circolari. 2 2
566
Amedeo Agostini
00 Z2n 00 ^2n+l
2;------- Z----------------
n»o (2 n) ! ’ n=o (2 n 4- 1) !
sono assolutamente convergenti per ogni valore finito di zy percid de-
finiscono cinque trascendenti intere. Poiche siffatte funzioni per valori
reali di z coincidono con le funzioni cos z, sen £, ch z, sh-« di cui
si ё parlato nei paragrafi prdcedenti, si conviene di assumere come de-
finizioni delle funzioni stesse, nel campo complesso, le seguenti®):
(23)
00 Zn
ez= Z----,
n=o n !
(24)
z2n
(24')
00 ^2n+l
cos z = Z (— l)n---------- , sen z = Z (— l)n----------------,
n=o* * * * v (2 л)! n=o (2 n + 1)!
00 Z2n 00 дЛя+1
ch z = Z---------- , sh z = Z------------;— .
n=o (2 n) ! n= о (2 n 4- lj !
Le (24) e (24') mostrano che le funzioni cos z e ch z sono pari,
mentre le funzioni sen z e sh z sono dispaii.
2) Moltiplicando tra loro le due serie che si ottengono dalla (23)
per z = и e z = v, e confrontando il risultato con la serie che dalla
stessa (23) si ottiene per z = и 4- risulta che la relazione:
(25) eu ev = e*+9
continua a sussistere anche per valori complessi di и e v.
Tenendo conto delle (24), e ponendo nella (23) al posto di z una
volta i z e un’altra volta — i z, si ottiene:
(26) eiz = cos z 4- i sen z , e~iz = cos z — i sen z ,
mentre, tenendo conto delle (24') e ponendo nella (23) in luogo di z
una volta z e una seconda volta —a, si ottiene:
(26') ez = ch z 4“ sha , e~z = ch z — sh z .
Dalle (26) e (26'), sommando e sottraendo, si ricavano le formole:
“) Le funzioni circolari e iperboliche si possono estendere al campo complesso
anche ricercando le funzioni che soddisfano ad equazioni funzionali rappresentanti
qualche loro propriety caratteristica nel campo reale. Per la introduzione mediante
1’equazione funzionale:
f(* + y)+f(*-y> =
v. Fart. XX di questa Encicl. (S. Pinchkrle, Le furuwn da vn ршОо di vista
elementare), § 7. Per il modo di introdurre le funzioni circolari mediante i teoremi di
addizione, v. J. Jack, Proc. R. Soc. Edinb., 13 (1894-95), p. 132.
XXX. - Le .funzioni circolari e le funzioni iperboliche
5«T
eiz _|_ e-iz eiz---e-iz
(27) cos z = , sen z = -----------------,
2 2 i
ez + e~z ez — e~z
(27') ch z =------------- , sh z =------------- ,
2 2
che esprimono le funzioni circolari e le funzioni iperboliche mediante
la funzione esponenziale, mentre dal confronto delle (27) con le (27')
si ottengono le relazioni:
cos z = ch г z , sen z = — i sh i z ,
(27”) к k • •
ch z — cos г z , sh z = — i sen i z ,
che legano tra loro le funzioni circolari e le funzioni iperboliche.
Le (26) e (27) prendono il nome di formole di Euler69).
3) Servendosi delle (25), (26), (26'), (27), (27'), e agevole verifi-
care che tutte le formole, dimostrate per le funzioni circolari e iperboliche
nel campo reale, continuano a sussistere anche nel campo complesso.
Cosi, moltiplicando tra loro le (26), oppure quadrando e sommando
le (27), si ha:
cos2 z + sen2 z = 1 ,
mentre moltiplicando tra loro le (26'), oppure quadrando e sottraendo
le (27'), si ottiene:
ch2 z — sh2 z — 1 .
Calcolando invece, con le (27), le espressioni:
cos и cos v — sen и sen v , cos и sen v + sen и cos v ,
e confrontando i risultati coi valori forniti rispettivamente dalla prima
e dalla seconda delle (27) per z = и + v, si ottengono le formole di
addizione delle funzioni circolari:
cos (u + v) = cos и cos v — sen и sen v ,
sen (u 4- v) = cos и sen v + sen и cos v ,
mentre, calcolando, con le (27'), le espressioni:
ch и ch v 4- sh и sh v , ch и sh v 4- sh и ch v
e confrontando i risultati coi valori forniti rispettivamente dalla prima
e dalla seconda delle (27') per z = и 4- tf, si ottengono le formole di
addizione delle funzioni iperboliche:
ch (u 4- v) = ch и ch v 4~ sh и sh v ,
sh (u 4- tf) = ch и sh v 4~ sh и ch v .
E cosi via.
5e) V. 1’art. II di questa Encicl. (D. Gigli, Aritmetica generate), § 75 e Part. XX
di questa Encicl. M), § 7, ove si trovano anche indicazioni storiche e bibliografiche.
568
Amedeo Agostini
Anche la formola di Moivre:
(bos z + i sen z)n = cos n z + i sen n z
continua ad essere valida per z ed n complessi w).
M) Si noti che tanto per n reale non intero, quanto per n immaginario, nel secondo
membro della formola di Moivre compare un sol valore determinate della potenza
w-esima del numero:
cos z 4- i sen z .
L’estensione della formola ad argomenti complessi ё dovuta ad A. L. Cauchy,
Exercices d* Analyse et de Phys, math., 4, Paris 1847, p. 279.
Applicando la formola del binomio per n intero positivo alle potenze
(cos z + i sen z)n, (cos z — i sen z)n ed eguagliando gli sviluppi rispettivamente a
cos n z 4- i sen n z e a cos nz — i sen z, si ottengono sen лае cos n z espressi me-
diante le potenze di sen z о cos z. Restano cosi estese al campo complesso le for-
mole (15), (15)' del § 4 di questo art. V. Encycl. des sc. math., 2t, p. 64, 68 per altre
espressioni di sen n z e cos n z, in particolare, per n complesso.
L. Euler (Introductio17), 1, p. 120) d& gli sviluppi notevoli
oo / a* \ oo / z* \
Sen * = * ?! V1 “ ' 008 * = ?! V1 ” 5
dalla prima, facendo z = л/2 si ottiene la formola di Wallis (Opera, 1, Oxford 1695,
p; 469)
n 2 . 2.4.4.6 . ...
~2 1 . 3 . 3 . 5 . 5 . ... ‘
Si devono ad A. L. Cauchy (Analyseie), p. 556; Oeuvres, (2) 3, Paris 1897,
p. 453) le relazioni, valevoli per n intero positivo :
per n pari:
2 у sen2 z
sen n z = n sen z cos z П 11 — 1----------
v=l . 2 гл
\ sen2-----------
\ 2n
cosna= П /1-------8ДП>ДГ it
\ 2 n
per n dispari:
2 /
sen n z = n sen z П /1 —
sen2 z
„ 2 v л
sen2--------
2 n
COS n Z = COS Z П /1--------------8e-n Z—-—
r-1
\ 2 n
le quali pongono in evidenza gli zeri di cos n z e di sen n z.
Ricordiamo inline le formole (L. Euler, Introductio11), 1, p. 220 ; A. L. Cauchy,
Analyse19), p. 236; Oeuvres, (2) 3, p. 201) che esprimonp le potenze di sen z e cos z
per mezzo del seno e del coseno dei multipli dell’arco z :
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
669
4) Dalle formole di addizione delle funzioni sen e cos z, per
v = 2 %, si ha:
cos (u + 2 n) = cos и , sen (u + 2 %) == sen и ,
quindi anche nel campo complesso le funzioni circolari61) sono perio-
diche, col periodo 2 n.
Dalle (26) segue allora che la funzione esponenziale e pure perio-
dica, col periodo 2 n i\ e dopo cio, dalle (27') si vede che anche le fun-
zioni sh e ch sono periodiche, col periodo 2 n i, Quest’ultima proprieta
si pud anche dedurre dalle (27").
5) Ponendo, per z complesso:
sen# eiz.— e~iz
(28) tg z =------— = lli------------,
cos# eiz + e~iz
sh # ez — e~iz
(82') th # =------- =------—— ,
ch # ez + e~z
da quanto precede si ricava che tg # e periodica col periodo %, e th #
e periodica col periodo n i.
10. Le funzioni circolari e iperboliche inverse. — 1) La re-
lazione :
у = arcsen x 62)
per n = 2 p ,
(—l)p 2я”1 sen*1 z=cos nz—ф cos (n—2) cos (n—4) z— ••• +(—1)₽ I »
2n—1 cos’* z=cos cos (я—2) *+(2) cos Z + (p) ’
per n = 2p 4- 1
(—1)® 2я”1 sen*1 z=sen nz—sen (n—2) *+(2) sen z—•••+(—1)₽+1 sen z,
2я”1 cosn z=cos nz+(fy cos (я—*+(2) cos « 4- ... 4- cos z •
Per espressioni analoghe, v. N. H. Abel (1802-1829), J. reine ang. Math., 1 (1826),
p. 338; Oeuvres, nouv. £d. par L. Sylow et S. Lie, 1, Christiania 1881, p. 249.
el) Per la distribuzione dei valori di cos z e sen z nel piano complesso, v. J. Tho-
mae, Elementare Theorie der analytischen Functionen, Halle 1880, p. 61.
•*) Si deve a J. Herschel (Phil. Trans., 103 (1813), p. 8) 1’introduzione delle
notazioni:
sen-1 x , cos”1 x , tg”1 x ,
per indicare le funzioni circolari inverse, v. G. Peano (1858-1932), Formulaire mathe*
matique, Torino 1903, p. 228. M. Ohm (1792-1872) (System der Mathematick, 2, Berlin
1829, p. 372) usa le notazioni:
111
-------------------------X . -----X . -----X
sen cos tg
Per altre notazioni v. F. Cajori •.), 2, p. 175.
570
Amedeo Agostini
fa corrispondere infiniti valori reali di у ad ogni valore di x compreso
tra — 1 e 1. Se у e uno di questi valori, gli altri sono dati da у + 2 k л
e da (2Л+ 1) л—y, dove k e.un intero qualunque.
Perche la у si possa considerare una funzione nel senso di P. G.
Lejeune-Dirichlet «), occorre fissare 1’intervallo, di ampiezza л, entro
il quale deve variare I’arco in modo che ad ogni valore di x compreso
tra — lei corrisponda un sol valore di y. Essendo la funzione x = sen у
continua e derivabile in ciascuno intervallo compreso tra due multipli
dispari successivi di л/2, e avendo ivi, esclusi gli estremi, la derivata di-
versa da zero, e continua e derivabile anche la funzione inversa arc sen x.
Cosi, per j'variabile tra —л/2 e л/2, e:
1
D arcsen x =----= ,
V 1 — x2
mentre, per у variabile nell’intervallo (3 л/2 , л/2), quando x varia in
(-1,1), e: i
D arcsen x =-------;—
V 1 — X2
2) Per estendere la funzione arcoseno al campo complesso, si
consider! la funzione:
z — sen и ;
questa, per le (27), diventa:
eiu — e^iu e?iu—1
z =-------------—------------,
2i 2ieiu
e da luogo all’equazione di 2° grado in £<u, e2iu — 2iz eiu — 1 = 0
dalla quale si trae84):
и = Arcsen z = 1/i log (i' z ± у/ 1 — z2) .
L’equazione и = Arcsen z ammette quindi per ogni z due serie di
radici provenienti dal doppio segno del radicale, ambedue infinite per
le infinite determinazioni del logaritmo86).
In modo analogo si ricava:
Arccos z = 1/i log (z ± V z2 — 1) .
®3) V. Tarticolo XVIII di questa Encicl. (G. Vivanti, Elementi di Analisi infi-
nitesimals), § 1.
e4) V. A. L. Cauchy, Exercises*1), 4, p. 281. Per la dtscrizione della superficie
di Riemann rappresentativa della funzione a infiniti valori Arcsen z, v. J. Thomae “X
p. 104.
w) V. Tart. II di questa Encicl. 5e), § 57.
XXX.. - Lb funzioni circolari в lb funzioni iperboliche
571
Fissando una delle determinazioni di Arcsen z e Arccos z come va-
lori principali e indicandoli con:
arcsen z , arccos z ,
i due gruppi di valori di Arcsen z e Arccos z sono espressi da:
( Arcsen z = arcsen z + 2 k n ,
\ Arcsen z = л — arcsen z + 2 k ti ,
Arccos z = arccos z + 2 k ti ,
Arccos z = 2 k ti — arccos z',
ove k e un numero intero qualunque, positivo, negativo о nullow).
3) A. L. Cauchy e7) ha dedotto dallo sviluppo di sen л ar in serie
di potenze di sen z, lo sviluppo:
oo 1 . 3.5 . 7 ... (2 n — 1) s2n+1
arcsen z = z + 27------------------------------------
n= i 2.4.6 ... 2 n 2 n + 1
convergente per ogni valore di z complesso tale che | #|< 1.
Si ha quindi, in particolare:
oo 1 . 3.5 . 7 ... (2 n — 1) 1
Ttl2 = arcsen 1 = 1 + 27---------------------------------.
n=i 2.4.6... 2 n 2я+1
Lo sviluppo in serie di arcsen z si pud ottenere anche dalla rela-
zione :
1 oo 1.3.5 ... (2 я — 1)
D arcsen z = —- . = 1+2 ---------------------------#2fl ,
V 1 — z* 2 * * * * * * n=i 2.4.6 ... 2 n
valida per |z|< Iю), mediante integrazione.
••) A. L. Cauchy (Analyse19), p. 323; Oeuvres, (2) 3, p. ?71; Exercizesei),. 3,
Paris 1844, p. 385) studia- la funzione Arccos z. esaminando separatamente la parte
reale e la parte immaginaria della funzione e sceglie, nella prima opera citata, come
valore principale di Arcsen z, fissato il valore principale di Arccos z, quello che sod-
disfa alia relazione: _
л
arcsen z --------arccos z .
2
Nella seconda opera, invece, fissata una determinazione del logaritmo, prende
come valore principale di Arc sen z quello dato dalla formola:
arcsen z = Д- log (t г + V 1 — z9 ) .
r) Analyse19), p. 549; Oeuvres, (2) 3, p. 446. Questo sviluppo in serie per Z reale
ё dovuto a I. Newton (De Analyst61); Opuscula 61), 1, p. 19; Opera 5r* 1, p 276), che
1
lo ricava quadrando, con procedimenti elementari, la curva di equazione у == .
“) Lo sviluppo in serie d i arcsen z si pud ottenere anche da quello di arctg ar.
-V. A. L. Cauchy, Analyse19), p. 543; Oeuvres (2) 3, p. 445.
572
Amedeo Agostini
4) La relazione:
у = arctg x
fa corrispondere, ad ogni valore reale di x compreso tra — oo e + oo
infiniti valori reali di у compresi tutti nella espressione у + k n. Se
si fissa per у il campo di variability (— тг/2 , тг/2), о uno qualunque
degli intervalli (— тг/2 + h n , %/2 + h it), la relazione suddetta de-
finisce una funzione ad un valore, continua e derivabile data nell’in-
tervallo (— oo , oo). Per essa ё:
1
D arctg x =--------.
6 1 + x2
5) Tenendo presente la (28), si chiamera Arc tg ar, per z com-
plesso qualunque, la soluzione piii generale dell’equazione in u:
^—1
z = l/i----------,
dalla quale si ricava la funzione a infiniti rami®9):’
Arctg z = 1/2 log
1 — iz
1 + i z
di consueto e assunto come valore principale arctg z di Arctg z quello
corrispondente al valore principale di70):
1— i z
»721og- . •
1 + I z
Tutti i valori di Arctgar sono allora dati da:
Arctg ar = arctg z + k тг ,
ove k e un qualunque numero intero, positivo, negativo о nullo.
Essendo zx, ar2 numeri coinplessi qualunque, sussiste la formola
d’addizione : ••)
••) G. W. Leibniz (1646-1716) (Acta Erud., 1702, p. 210) aveva accennato ad
una relazione tra i logaritmi e 1’arcotangente, relazione che fu messa in evidenza da
Joh. I. Bernoulli (Hist. Ac. sc. Paris (1702, ed. 1704), Мёт. p. 297 ; Opera, 1, Lau-
sanne et Genfeve 1742, p. 399), partendo dalla decomposizione di -
in frazioni
elementari. Nessuno dei due d& la formola, non possedendo alcun simbolo per espri-
mere la funzione arctg z. La dimostrazione per z reale si trova in L. Euler (Intro-
ductio 17), 1, p. 105) e I’estensione a z complesso in A. L. Cauchy (Exercicesei), 4^
P 271).
ro) A. L. Cauchy, Exzrcices*1), 4, p. 271.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
573
Arctg zr + Arctg z2 = Arctg---------.
1 — zrz2
Si deve a J. Gregory 71) lo sviluppo in serie:
oo
arctg z = E (—l)n
n = l
Zin+1
2 n + 1
convergente nel cerchio di ra£gio 1 e con centro nell’origine, circon-
ferenza compresa, fatta eccezione dei punti singolari z = i , z = — i.
In particolare, per z = 1, si ha:
л/4 = 1 - v, + 7S -1 7 + 7e -...72).
71) Commercium *•), p. 79. Indipendentemente da J. Gregory (1638P-1675),
lo sviluppo in serie di arctg z fu trovato da I. Newton (De analyst”); Opuscula”),
1, p. 7 ; Opera ”), 1, p. 264). L. Euler (Introductio 17), 1, p. 105) e A. L. Cauchy (Ana-
lyse™), p. 307, Oeuvres, (2) 3, p. 256) stabiliscono lo sviluppo per z reale ricorrendo
alia serie logaritmica. L. Euler (Institutions calculi differentialis, Ticini 1787, p. 255)
determine anche lo sviluppo in serie:
агсгвГ=ТТ^г(1 + ТТТК + Т7|(т^-?’) +“•)•
dal quale si pud dedurre lo sviluppo dato nel testo : v. K. Hattendorff, Algebraische
Analysis, Hannover 1877, p. 148.
La serie dell’arctg* si pud ottenere anche quadrando con procedimenii elemen-
tari e con approssimazione la curva у = *——, v. O. Schlomilch, Handbuch der
algebraischen Analysis, 4s * ed., Jena 1868, p. 70.
7t) Questa serie ё convergente lentamente e poco atta al calcolo approssimato
di n. Essa pud essere trasformata in una piu convergente/ v. Encycl. des sc. math., I
4, §~18. Il calcolo riesce piu spedito seguendo il procedimento di J. Machin (in W.
Jones, Synopsis pabnarionum matheseos, Londini 1706, p. 263) : applicando la formola
di addizione per. I’arco tangente riportata nel testo si ha:
arc tg 1/5 4-^arc tg 1/5 = arctg 5/12 ,
arc tg 5/12 4- arc tg 5/12 = arctg 120/119 ,
are tg 1 4- arc tg 1/239 = arctg 120/119 ,
da cui si ha la formola di J. Machin:
л/4 = 4 arc tg 1/5 — arc tg 1/239
e quindi lo sviluppo in serie rapidamente convergente:
oo
Л = E
’n=0
(— l)w
,2 n 4- 1
/
4
5«n+* 1 * * 4
239an+1
Si devono a L. Euler formole analoghe a quella di J. Machin come :
nf4 = arc tg 1/2 4“ arc tg 1/3 (Introductio *7), 1, p. 10f),
л/4 = 5arctg 1/9 4- 2 arctg 3/79 (Nova Acta Ac. Petrop., 11 (1793), ed. 1798,
p. 133).
Il procedimento di J. Machin pud essere spinto oltre suddividendo ancora cia-
scuno dei due arcotangenti, che compaiono nella formola, nella somma di altri due
574
Amedeo Agostini
6) In modo analogo, la funzione Arcctg# e definita dalla rela-
zione :
z — i
Arcctg z = t/2 log------ .
z + i
Si assume come valore principale arcctg z di Arcctg z quella de-
terminazione che soddisfa alia relazione:
arcctg z — л/2 — arctg z ,
e allora tutte le determinazioni di Arcctg z sono date da:
Arcctg z = arcctg z + k л .
7) Come per le funzioni circolari, si introducono le funzioni
inverse delle funzioni iperboliche, le quali, per 1’assenza di un periodo
reale per le funzioni iperboliche, risultano univoche nel campo reale.
L’estensione al campo complesso porta a funzioni plurivoche.
Per i valori principali sono validi gli sviluppi in serie * 73):
oo 1 . 3.5 ... (2n — 1)
argsh , - a + (- 1)"-------2 „ 2 *
00 jg»2n+l
argtgh# = 27 ------------.
n=o 2 n + 1
Dal primo, per z = 1, si ha:
oo’ 1 . 3.5 ... (2 n— 1)
argsh ! = 1 + Г (- 1)-----------
jg»2fi+l
2 n + 1 ’
1
2 n + 1 '
tale numero si suole rappresentare 74) col simbolo 77, esso ha il valore
approssimato:
77= 0,8813735870 ...
ed e legato al numero л dalla relazione:
л = 4 amK 77 .
arcotangenti e cosi seguitando indefinitamente; si otterranno cosi degli arcotangenti
sviluppabili in serie sempre piu convergenti (v. L. Euler, Comm. Ac. Petrop., 9 (1737),
ed. 1744, p. 234; Novi Comm. Ac. Petrop., & (1762-3), ed. 1764, p. 40).
Per il calcolo di n mediante la formola di J. Machin e la prima formola di L.
Euler che abbiamo riportata v. U. Cassina, Calcolo numerico, Bologna 1928, p. 298.
73) La notazione arcsh z ё ritenuta (Encycl. des sc, math., 2a, p. 80) impropria
регсЬё la funzione inversa di sh z non ё definita da un arco di curva.
74) V. C. A. Laisant, Essai sur les fonctions hyperboliques, Paris 1874; Мёт.
Soc. sc. phys. nat. Bordeaux, (1) 10 (1875), p. 254.
XXX. - 'Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
576
IL * Trigonometria piana.
11. Scopo della Trigonometria piana75 76). — In molte question!
pratiche si presenta il problema: date le misure di alcuni degli elementi
costitutivi di un triangolo, in numero sufficiente ad individuarlo, de-
terminare le misure degli elementi rimanenti, o, come si dice breve-
mente, risolvere il triangolo.
I casi che si possono presentare nella risoluzione dei triangoli cor-
rispondono ai quattro criteri d’eguaglianza dei triangoli:
1) dati tre lati,
2) dati due lati e I’angolo compreso,
3) dati un lato e due angoli,
4) dati due lati e I’angolo opposto ad uno di essi.
I vari casi sono risolubili coi metodi della .Geometria elementare,
ma la difficolta di costruire esattamente i lati e gli angoli di date misure,
e la incertezza sulla approssimazione che si raggiunge colle costruzioni
eseguite colla riga e col compasso, fanno preferire, in tale genere di
problemi, la risoluzione analitica che permette di raggiungere 1’appros-
simazione che si desidera. Buona approssimazione si pud avere coi
metodi grafici della nomografia7e).
Scopo della Trigonometria piana e quello di determinare le rela-
zioni che legano i lati agli angoli di un triangolo piano e di applicare
queste relazioni alia risoluzione dei triangoli piani e ai poligoni.
La trattazione delle question! analoghe relative ai poligoni prende,
piu propriamente, il nome di poligonometria.
12. Risoluzione dei triangoli rettangoli. — Dato il triangolo
rettangolo ABC, disposto rispetto agli у
assi cartesiani come e indicato dalla fig. 3,
dalle definizioni (1) delle funzioni circo-
lari si ha immediatamente:
b = a sen /?, c = a cos /?, b = c tg fl ,
c = a sen у , b = a cos у , c = b tg у .
Queste relazioni, insieme alle:
6 A
fl + у = 90° , a2 = b2 + c2,
Fig. 3.
75) La parola Trigonometria appare per la prima volta nel titolo delio scritto Tn-
gonometria sive de solutione triangulorvm tractatus brevis et perspicuus di B. PlTlSCUS
inserito nel volume A. Sculteti, Sphaericorum libri tres, Heidelberg 1595, ,p. 157.
7e) Abachi per la risoluzione dei triangoli sono stati costruiti da M. d’Ocagne
(Traite de nomographie, Paris 1899, p. 331; Nouv. Ann. math., (3) 12 (1893), p. 330),
e da G. Pesci (Period, mat., (3) 15 (1900), p. 201).
576
Amedeo Agostini
fomite dalla geometria elementare, permettono di risolvere un triangolo
rettangolo dati:
a) i due cateti,
b) Fipotenusa e un angolo,
c) un cateto e un angolo,
d) I’ipotenusa ed un cateto.
Nell’ultimo caso si suole ricorrere, per avere gli angoli espressi
per tangente, alia terza formola (17) che qui assume la forma:
13. Relazioni tra gli elementi di un triangolo qualunque. —
1) Poiche un triangolo e determinate dati tre suoi elementi (non tutti
angoli), e evidente che per la determinazione dei tre elementi incogniti
occorrono e bastano tre relazioni analitiche indipendenti. Dalla trasceh-
dehza del numero e si pud dedurre che non esistono relazioni algebriche
tra i lati e gli angoli di un triangolo77); ne esistono invece tra i lati e
le funzioni circolari degli angoli.
Indicando con a , b , c le lunghezze dei lati di un triangolo, e con
a , /?, у gli angoli opposti ad essi, si stabiliscono facilmente le relazioni,
ove R e il raggio del cerchio circoscritto al triangolo:
a b c
(29) =---------------=---------= 2 R ,
sen a sen fl sen у
che costituiscono il teorema del seno18). Questo rapporto costante chia-
masi modulo del triangolo. Le (28), insieme alia:
(30) a + fl + у = n ,
sono teoricamente sufficient! a risolvere qualunque triangolo, ma, per
ragioni pratiche, si sono ricercate altre relazioni, naturalmente dipen-
denti da quelle, piu atte al calcolo.
л) V. N. M. Leoncini, Period, mat., (3) 14 (1899), p. 149.
w) Non conosciuto da Tolomeo, che risolveva un triangolo qualunque risolvendo
i triangoli rettangoli in cui il triangolo viene decomposto da un’altezza. Il teorema
appare applicato in un esempio da Albattani (Opus astronomicum™), 1, p. XLVII,
p. 78, p. 255), ed ё dimostrato dal persiano Abu Nasr (morto intorno al 1000) (v. H.
Suter, Bibl. math., (3) 10 (1909-10), p. 156). Albattani conduce un’altezza del trian-
golo e giunge al teorema dei seni applicando il teorema di Pitagora ; la dimostrazione
che ricorre al cerchio circoscritto e alia propriety che un lato ё eguale al prodotto del
diametro per il seno dell’angolo opposto, risale a Lewi ben Gerson (morto 1344) (v.
J. Carlebach, Lewi ben Gerson ah Mathematiker, Berlin 1910, p. 69). Una dimostra-
zione generale ё data da A. F. Mobius (Werke™), 1, p. 246) tenendo conto dell’o-
rientamento dei lati e del senso di rotazione degli angoli.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
577
Dal teorema del seno, per la (30), si ottengono le relazioni:
a b c
sen a sen (a + y) sen (a + /9)
e si pud ricavare il teorema del coseno 79):
i a* 2 = b2 + c2 — 2 b c cos a ,
(31) < & = a2 + c2 — 2 a c cos ft ,
f = a2 _|_ — 2 ab cos у .
Ricordiamo il teorema delle tangenti dato dalla formola80):
a — ft a' + /5
(32) (a + b) tg —-— = (a — b) tg —-—
Qi и
e analoghe ottenute con sostituzioni circolari eseguite sulle terne di
elementi a , b , г; a , ft , y. Da queste formole si deducono quelle di
Viete:
b sen у
(33) tg/? =---------------%
a — b cos у
’•) Il teorema del coseno non ё che il teorema di Pitagora generalizzato da
Euclide nelle prop. 12 e 13 del II libro degli Elementi (v. F. Enriques, Gli Elementi
di Euclide e la critica antica e moderna, 1, Roma 1925, p. 176). Gid. usato dall’arabo
Albiruni (v. H. Suter, Bibl. math., (3) 11 (1910-11), p. $5), si trova in F. Viete
(Opera25), p. 402) enunciato nella forma:
2 a b : (a2 4- b2 — c2) = 1 : sen (90° — y) ,
e riportato e dimostrato da altri come B. Cavalieri, Trigonometria plana et sphaerica,
linearis et Logarithmica, Bononiae 1643, p. 20; L. N. M. Carnot (1753-1823), De la
correlation des figures en geometric, Paris, an IX (1800-01), p. 150; Geometrie de posi-
tion, Paris 1803, p. 302), stabilisce il teorema delle proiezioni a = b cos у + c cos Д
dal quale deduce quello del coseno, nella forma ora usata, e da questo ricava poi il
teorema del seno. La via inversa ё seguita da A. L. Cauchy (Analyse le), p. 436 ; Oeuvres,
(2) 3, p. 357), родеЬё deduce il teorema del coseno da quello del seno.
м) Il teorema delle tangenti trae origine dal problema : trovare due archi data
la loro somma, о la loro differenza, e il rapporto delle loro corde, trattato da Tolomeo
(Opera *), p. 71 ; v. A. von Braunmuhl le), 1, p. 23). 11 teorema ha una forma alquanto
diversa dalla moderna in T. Fink14), p. 292 e in C. Clavius (1537-1621), Geometria
practica, Romae 1604, p. 49; la forma da noi data, scritta sotto forma di rapporto, si
trova in F. VifeTE, Opera “), p. 402. La formola si pud anche scrivere :
(a + b) tg ° = (a — b) ctg у .
81) F. VifeTE (Opera “), p. 403) le enuncia sotto la forma della doppia equazione:
b : a = cosec у : x ,
x T ctg у = ctgft .
La forma riportata si trova in G. S. Klugel 1S), p. 20
578
Amedeo Agostini
e si possono ricavare le. formole 'dT4C. B. Mollweide81):
a — ft a 4- P
c sen----------= (a — b) sen------------
2 2
a — /3 a 4- /?
c cos---------- = (a 4- b) cos----------
2 2
Indicando con 2p il perimetro del triangolo, si hanno poi le for-
mole di G. J. Retico83):
(35) tga/2=Y/(f’~*)(P~":>
V P (P — a}
e le altre:
(36) sen a/2 = , cos a/2 = M),
2 ,---------------------------
(37) sen a = —— V p (p — a) (p — b) (p — c) “).
b c
2) Per la (30), uno degli angoli di un triangolo ё determinate
univocamente dati gli altri due: cid accade anche se due angoli sono dati
mediante le loro funzioni circolari, poiche tra le1 funzioni circolari degli
angoli di un triangolo sussistono delle relazioni delle quali ricordiamo
le piu importanti. * si
M) L’attribuzione di queste formole а К. B. Mollweide {1774-1825), che le pub-
blicd in Monatl. Corr. Erd-Himmelsk., 18 (1808), p. 398, e poi in Ann. math, pures
appl., 3 (181$), p. 350, non ё storicamente esatta (v. A. von Braunmuhl, Bibl. math.,
(3) 2 (1901), p. 103), poichd la seconda formola si trova gi& in I. Newton (Лп<Лже-
tica universalis, Cantabrigiae 1707, p. 122); Opera, 1, p. 101) e ambedue in F. W. de
Oppel [*), p. 18] dedotte dal teorema dell$ tangenti, e in autori piii prossimi а К. B.
Mollweide, come A. R. Mauduit (1731-1815), Principles d'astronomic sphfrique, Paris
1765, p. 83, e A. Cagnoli 15), p. 122.
M) G. J. Rhaeticus, (Opus Palatinum M), p. 99) enuncia la formola in modo che
si pud trascrivere in simboli modemi:
у : (p — a) = tg у : 1.
H. BriggS (Trigonometria Britannica ”), p. 75) usa (JUesta formola регсЬё atta al
calcolo logaritmico.
8<) Queste formole sono attribuite da F. van Schooten (1615-1660) (Es^rcita-
tionum mathematicarum, 5, Lugduni Batavorum 1657, p. 499) ad un matematico irlan-
dese: William Purser.
“) Data da I. Newton, ArithmeticaM), p. 1?3; Opera, 1, p. 102, ove si trova
anchejla formola analoga:
2(p —5) (p—c}
senv a =------------------•
b c
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
579
Dalle (29) e dal teorema delle proiezioni [v. nota7®)] si ha la rela-
zione :
sen a = sen p cos у + sen у cos p
e analoghe ottenute con sostituzioni circolari, e da queste si ha:
cos a = sen p sen у — cos p cos у .
Dalle precedenti si ricava poi:
cos2 a + cos2 + cos2 у + 2 cos a cos p cos у = 1 ee).
Se due angoli sono dati per tangente, si ha facilmente la tangente
dell’altro angolo dalla relazione di A. Cagnoli* 87)
tg a + tg p + tg у = tg a tg p tg у .
14. Risoluzione di un triangolo qualunque. — 1) Il teorema
del seno e quello del coseno sono sufficient! per risolvere i vari casi,
poichi
a) dati a , b , r, le (31) danno cos a , cos p , cos у;
b) dati b , c , a, la prima delle (31) da a e quindi le (29) gli altri
angoli;
c) dati b ,c , p, con le (31) si determina a risolvendo un’equa-
zrone completa di secondo grado, quindi si ricade nel caso i);
d) dati un lato e due angoli, il terzo angolo e determinate dalla
(30) e i lati rimanenti si calcolano quindi colle (29).
L’applicazione del teorema del coseno ё poco agevole pei calcoli,
specialmente se non si possiede una tavola a breve intervallo dei valori
delle funzioni circolari. In generale si possiedono tavole dei logaritmi
delle funzioni circolari, quindi ё pr^feribile ricorrere a relazioni che
fomiscano gli elementi incogniti mediante operazioni di moltiplica-
zione, divisione ed estrazione di radice.
Nel caso a) si usano le (36), o, quando si preferisca avere gli angoli
per tangente, le (35)88).
In i), volendo calcolare gli angoli senza ricorrere al valore trovato
di a, si useranno le (32), о le (29'); si ricaveri poi a dalle (29) о dalle
(34)’»).
Trovata da S. F. Lacroix (1765-1843), Cours de mattematiqUes, 4, Paris an
VII (1798), p. 93.
87) Attribuita ad A. Cagnoli da J. B. J. Delambre, Astronomic Morique et pra-
tique, Paris 1814, p. 211 ; J. Tropfke *), 5, p. 67, riporta numerose relazioni tra le
funzioni circolari di tre angoli soddisfacenti alia condizione a 4- P 4- у = 180°.
“) Prima della scoperta dei logaritmi, la maggioranza degli autori risolveva questo
caso, seguendo Tolomeo (Sdvro^u; *), p. 516), calcolando dapprima un’altezza in
funzione delle parti in cui questa divide il lato relativo, oppure ricorrendo al teorema
-del coseno scritto sotto forma di rapporto: v. ’•).
8B) Per rendere il calcolo di a logaritmico, si pud ricorrere anche ad un angolo
580
Amedeo Agostini
Per risolvere il caso r) col calcolo logaritmico, si pud ricercare 1’an-
golo у con le (29) e quindi a colie (29'), oppure colie (34) w).
Nel caso d) si useranno le (29'), о le (34).
2) L’area A del triangolo e espressa dalla relazione:
(38) A = | a b sen у ,
che, per la (37), si trasforma nella formola di Erone91):
(38') A = у/p{p-a)(p-b){p-c) .
L’area del triangolo si pud esprimere, tenendo presenti le formole
(35) e (36), mediante funzioni trigonometriche di tutti e tre gli angoli:
Л* 2 *= p ab c sen a/2 sen /?/2 sen y/2 ,
Л = cos a/2 cos Д/2 cos y/2 ,
tg a/2 tg p/2 tg y/2 92).
ausiliario. Cosi A. Cagnoli (Trigonometria16), trad, francese, p. 116) trova
c — b
a =------,
cos 9?
ove
2 sen a/2 ,---7
tg 99 = -----— V c + b .
c — о
•°) L’ambiguitA che si ha nel calcolo di у usando il teorema del seno non fu
notata dagli Arabi eJ dagli autori del Rinascimento : essa sarebbe stata notata per la
prima volta da J. Tonski nel 1640 (v. S. Dickstein, Bibl. math., (2) 8 (1894), p. 24).
Dalla discussione appare che si possono presentare i seguenti. casi:
b > c
0 < я/2 I
I o<.c
0 > Л/2 ) Ь. C
\ и C
91) Secondo testin
1..................soluzione,
l c sen P > b ................. 0 soluzioni,
{ c sen P = b ................. 1 soluzione (у = л/2),
’ c sen P < b ................. 2 soluzioni,
............................... 0 soluzioni,
............................... 1.soluzione.
arabe (v. H. Suter, Bibl. math., (3) 11 (1910-11),
p. 39 ; J. Tropfke 4), 5, p. 87, 88) la scoperta della formola sarebbe da attribuirsi ad
Archimede, ma non se ne trova traccia negli scritti archimedei giunti fino a noi. Essa
si trova dimostrata, о riportata senza dimostrazione, in vari luoghi delle opere del-
1’alessandrino Erone_(I о II sec. d. C.) (v. F. Hultsch, Z. Math. Phys., 9 (1864),
Anhang, p, 235). Si ritrova poi presso gli indiani Brahmagupta (nato 598 d. C.) e
BhAskara (n. 1114 d. C.) (v. H. Th. Colebrooke, Algebra with Arithmetic and Mensu-
ration from the Sanscrit of Brahmagupta and Bhdskara, London 1817, p. 295, p. 72),
anzi questi generalizzano la formola al quadrilatero inscrittibile di lati a , b , c , d:
J=V(W (p — b) (p — c) (p — d).
La pi£i antica dimostrazione stampata si trova in L. Pacioli, Summa de Arithme-
tica, Geometria Proportioni et Proportionalita, Venetia 1494, f. 9 v°, f. 11 r°.
M) Data da A. L. Crelle (1780-1855), Lehrbuch der Element? der Geometrie
und der ebenen und sp^arischen Trigonometric, 1, Berlin 1826, p. 428.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
583
L’area di un triangolo si pud esprimere anche in funzione dei raggi
dei cerchi circoscritto, inscritto, ed ex-inscritti al triangolo stesso.
Cosi dalla (38), e tenendo presenti le (28) e (37), si ha:
,ove J? e il raggio del cerchio circoscritto.
Dalla considerazione dei triangoli che si ottengono congiungendo
il centro del cerchio inscritto coi vertici del triangolo, indicando con r
il raggio del cerchio, si ottiene:
A = r p ,
relazione che, per la (38') e le (35), da luogo alle altre:
V(J> — a)(p — b)(p — c)
P
r = (p — a)tga/2 = (J> — b) tg Д/2 = (p — c) tg y/2 .
Poiche i raggi ra ,rb ,rc dei cerchi ex-inscritti sono dati da:
ra = P tg a/2 , rb = P tg 0/2 , re = p tg y/2 ,
si ha 1’espressione notevole dell’area del triangolo:
A = V / / a Гс «).
Tra i raggi dei cerchi ex-inscritti sussiste poi la relazione:
l/re + ljrb + l/rc = 1/r “).
15. Applicazioni ad un poligono qualunque ed al quadri-
latero. — 1) Fissato un senso positivo secondo cui percorrere il peri-
metro di un poligono convesso, e stabilito un senso positivo per gli
angoli esterni del-poligono, si indichino con:
#1 , #2 > a3 ••• an >
tanto i lati quanto le semirette, aventi 1’origine nel vertice, contenenti
i lati e orientate come questi.
••) Data, indipendentemente I’uno dall’altro, da S. A. J. Lhuilier (1750-1840),
Elements d*Analyse geometrique et d'Analyse algtbvique, Paris 1809, p. 224, e da C. L.
Mathieu, Ann. math, pures appl., 1 (1810-11), p. 150.
•*) S. A. J. Lhuilier, Elements M), p. 224. Per altre relazioni tra gli elementi
di un triangolo v. J. Tropfke 4), 5, p. 86, p. 90; R. Vercellin, Period, mat., Suppl.,
9 (1905-06), p. 33.
582
Amedeo Agostini
Ё facile verificare che tra gli angoli esterni sussiste la relazione:
= dT “h ^r+2 4“ ••• “H #8-1 ^8 >
e mostrare che il teorema del coseno si generalizza nel seguente:
П
a\ = Sa\ — 2Ea(<h сой at at »
<-2
ove la seconda somma e estesa a tutte le combinazioni semplici a due
a due dei numeri 2,3 , ... , n — 1.
Si pud inoltre stabilire, per induzione, che I’area A del poligono
ё data da:
A = J S ak sen a, a*.,
ove la somma e estesa a tutte le combinazioni semplici a due a due dei
numeri 1,2 , ... , n — 1.
2) Pel quadrilatero,,prendendo in considerazione una diagonale
(fig. 4), si pud stabilire la relazione:
a2 + ft2 — c2 — d2 = 2 {a b cos a — cd cos y) ,
dove a e у sono gli angoli interni ab t cd.
Indicando con 2p il perimetro, I’area A del quadrilatero e data
dalla relazione:
A* = (p — a) (p — b) (p — c) (p — d) — a b c d cos2 «),
a
la quale permette di concludere che il qua-
/ Z e drilatero di massima area tra tutti i quadri-
/ lateri di lati dati ё quello inscrittibile nd cerchio
/ X. (a + у = л).
3) Si potri in generale risolvere un
/ quadrilatero dati 5 elementi, dei quali due
X. / almeno siano lati, ricorrendo alia scomposi-
/ zione in triangoli e ricordando che la somma
degli angoli di un quadrilatero e 2 n.
Formano casi particolari della risolu-
Fig. 4. zione di quadrilateri il problema di Snel-
lius M):
Calcolare la distanza di due punti inaccessibili,
*) Dovuta a C. A. Bretschneider (1808-1878), Arch. Math. Phys., 2 (1842),
p. 225. Per Гагеа del quadrilatero inscrittibile nel cerchio, v. nota w).
м) Il problema fu enunciato e risolto da W. Snellius (1581-1626), Doctrina
triartgularum canomca, 2, Lugduni Batavorum 1627, p. 97; nei tempi modemi ebbe
vari risolutori, tra i quali P. A. Hansen (1795-1874) (Astr. Nachr., 13 (1841), p; 165),
al quale di frequente il problema viene attribuito impropriamente.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche 583
e il problema di Snellius-Pothenot 97):
•Determinate tutti gli elementi di un quadrilatero conoscendo due
lati adiacenti a , 6, l’angolo compreso у e gli angoli a e fl in cui l’angolo
opposto а у ё diviso dalla diagonale.
III.' - Sferica e Trigonometria sferica.
a
16. Generality. Poli e^polari. — 1) La Geometria sulla sfera
si distingue in Sferica e Trigonometria sferica.
La Sferica “) studia le proprieti geometriche e grafiche, indipen-
denti dalla misura, delle figure tracciate sulla sfera.
La Trigonometria sferica studia invece le relazioni metriche che
sussistono tra gli elementi costitutivi delle figure sferiche racchiuse
da archi di cerchi massimi, e, date le misure di alcuni elementi di una
figura, in numero sufficiente per determinarla, applica queste relazioni
ilia ricerca della misura degli altri elementi della figura w).
Risolto da W. Snellius (Eratosthenes Batavus de terrae ambitus ver a quantitate,
Lugduni Batavorum 1617, p. 199), il problema ebbe un secondo sohitore in L. Po-
THENOT. (f 1732) (Hist. Ac. sc. Park, 10 (1666-69, pubbl. 1730), £. 150), dal quale prese
il nome. Un’altra soluzione fu data da J. Collins (1625-1683) (Phil. Trans., 6 (1671),
p. 2093), senza che questi conoscesse le soluzioni precedent!. Nel Caso che i tre punti
siano individual dalle loro coordinate sono state date.soluzioni daC. F. Gauss (1777-
1855) (Astr. Nachr., 1 (1823), p. 84); F. K. Bessel (1784-1846) (Monatl. Corr. Erd.
Himmelsk., 2? (181S), p. 222) e piii recentemente da D. Fellini (Atti Acc. Torino,
32 (1896-97), p. 320). Il problema generalizzato della determinazione di n punti co-
noscendo 14 posizione di tre punti ё stato trattato da F. Siacci (1839-1907) (Atti Acc.
Torino, 23 (1887-88), p. 430), N. Jadanza (Atti Acc. Torino, 24' (1888-89), p. 177),
G. Delit ala (Il Monitore tecnico, 8, Milano 1902; Atti Acc. Torino, 33 (1898),
p. 311); Riv. fis. mat. sc. nat. 11 (1910), p. 131.
n) Le origini dello studio della sfera come campo di costruzioni grafiche risal-
gono, confondendosi con quelle dell’Astronomia, a quando Киото,- attratto dal fa-
scino della volta celeste, cercd di sottomettere al raziocinio i fenomeni celesti. La Sferica,
sorta tra i Caldei e i Babilonesi, ebbe, accanto all’Astronomia, grande sviluppo presso
i Greci. Il piii antico trattato di Sferida giunto fino a noi ё dovuto ad un contemporaneo
di Euclide, Autolico da Pitone (pubblicato in Autolycus, De sphaera quae movetur
liber, de ortibus et occasibus libri duo, ed. F. Hultsch, Leipzig 1885). Anche Euclide
trattd della Sferica in uno dei suoi scritti (Opera, 8, Phaenomena et scripta music a, ed.
H. Menge, Leipzig 1916), seguito da Teodosio di Bitinia (II s. a. C.) e piii tardi da
Menelao (I s. d. С.). II testo greco di Menelao ё andato smarrito : di esso diede una
traduzione dall’arabo F. Maurolico da Messina (1494-1575) (Maurolyci Siculi
sphaericorum libri III, Me&anae 1558) e poscia E Halley (1656-1742) (Theodosii
sphaericorum libri tres et Menelai sphaericorum libri tres, ed. E Halley, Oxoniae 1758).
Nozioni di Sferica si trovano poi premesse, о sparse, in tutte le opere astronomiche
о trigonometriche greche, arabe e del Rinascimento.
Lo sviluppo della Sferica superiore, indipendente dalla Trigonometria sferica,
ha inizio al principio del sec. XIX. V. K. F. Schulz, Die Spharik oder die Geometrie
der Kugelflache, Leipzig-1828; Ch. Gudermann, Lehrbuch der niederen Spharik, Мйп-
chen 1835; A. F. Mobius, Abh. Ak. Leipzig 1846, p. 43; Werke, 2, Leipzig 1886,
p. 1; E. Study, Abh. Ak. Leipzig, 20 (1893), p. 83. B. Levi (Enseign. math., 7 (1905),
p. 193) stabilisce le propriety fondamentali della Sferica e della Trigonometria sferica
senza ricorrere a propriety della Geometria piana euclidea.
M) L’introduzione di metodi numerici per la risoluzione dei triangoli sferici
584
Amedeo Agostini
2) Con analogia alia considerazione del piano come insieme di
punti; о come insieme di rette, anche la sfera pud riguardarsi come
luogo dei punti dello spazio che hanno da un punto dato una di-
stanza eguale ad un segmento assegnato,
oppure come
luogo di tutte le circonferenze dello spazio che hanno lo stesso centro
e rag gio eguale ad un segmento dato 4ю).
Ogni piano che interseca la sfera sega questa secondo un circolo 101),
che viene detto massimo, se il piano passa pel centro {piano diametrale),
minore, se il piano non passa per il centro.
3) Dati due punti A e В sulla sfera, non diametralmente opposti,
per essi passa uno ed un sol circolo massimo; il minore dei due archi
in cui il circolo resta diviso segna la minima distanza dei due punti
sulla sfera; cioe i circoli massimi sono le curve geodetiche della sfera102).
4) Preso un circolo minore sopra una sfera, si conduca il dia-
metro della sfera perpendicolare al piano di detto circolo. Tale diametro
incontrera la sfera in due punti: il punto piu vicino al piano del circolo
dicesi centro sferico del circolo stesso e Гагсо di circolo massimo (minore
di un quadrante) che unisce il centro sferico con un punto qualunque
del circolo dicesi raggio sferico del circolo.
ё merit© dei Babilonesi, mentre gli Egiziani possedevano solo metodi grafici. Le prime
proprieta generali di trigonometria sferica furono date da Menelao [“), lib. III]. No-
tevoli contributi furono portati da Tolomeo 9, e perfezionamenti ulteriori dagli Arabi
(Albattani, Alnairizi, ...) e dai Persiani (Abu’l Wafa, Nasir Eddin...). Nell’epoca
modema molti matematici e astronomi portarono contributi alia Trigonometria sferica.
Citiamo : J. Regiomontanus 31), G. von Peuerbach (1423-1461) (Epitome in Alma-
gestum Ptolemaei, Venetiae 1496; Tractatus super propositions Ptolemaei de sinibus et
arcubus, Norimbergae 1541); J. Werner (De tridngulis sphaericis, pubblicato da A. A.
Bjornbo in Abh. Gesch. math. Wiss. 24 (1907); N. Koppernikus (De revolutionibus
orbium coelestium, Norimbergae 1543; ristampato a Thorn 1873); F. Vi£te (Opera “).
Con I,. Euler ha inizio la trattazione modema della Trigonometria sferica tendente ade-
rivare tutta la Trigonometria da principi semplici (L. Euler, Hist. Ac. Berlin, 9 (1753),
p. 223 ; Acta Ac. Petrop., 1 (1779, pubbl. 1782), p. 72); J. L. Lagrange (1736-1813),
J. Ёс. polyt., cah. 6 (1799), p. 280; Oeuvres, 6d. J. A. Serret et G. Darboux, 7, Paris
1877, p. 342; C. F. Gauss in L. N. M. Carnot, Geometrie der Stellung, ed. H. C.
Schumacher, Altona 1810). La generalizzazione delle formole della Trigonometria
sferica e la interpretazione di questa da un punto di vista superiore ё dovuta special-
mente a C. F. Gauss, (Theoria motus corporum coelestium, Hamburg 1809; Werke,
7, Leipzig 1906, p. 176); Ch. Gudermann “); A. J. Mobius [“); I^eipz. Berichte,
12 (1860), p. 51; Werke, 2, Leipzig 1886, p. 71); E. Study “); F. Klein (Ueber die
hypergeometrische Funktion, Gottingen 1894 (rist/Leipzig. 1906), p. 302; Math. Ann.,
37 (1890), p. 579; Ges. math. Abh. 2, Berlin 1922, p. 556); G. Chisholm (Algebraisch-
gruppentische Untersuchungen 'zur spharischen Trigonometric, Gottingen 1895).
10°) Euclide (Elementi, XI, def. 14) da una definizione genetica della sfera,
come figura ottenuta dalla rotazione di un semicerchio intorno al suo diametro. La
definizione come luogo di punti ё data da Teodosio di Bitinia*8), ma sembra debba
risalire ad Eudosso (IV s. а. С.). V. J. Tropfke, Geschichte*), 5, p. 114.
101) Propriety ammeSsa da Autolico [“), p. 5] e da Euclide [“), p. 6] e dimo-
strata coll’uso del teor. di Pitagora da Teodosio “)..
102) Di questa propriety diede per primo una dimostrazione elementare rigorosa
C. F. A. Jacobi in J. H. van Swinden (1744-1823),. Elemente der Geometrie ubersetz.t
und vermehrt von C. F. Д. Jacobi, Jena 1834, p. 403.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
586
Angolo di due archi di cerchio, tracciati sopra una sfera e aventi
un estremo in comune, e I’angolo delle tangenti agli archi nel pimto
comune; se gli archi appartengono a circoli massimi, I’angolo dei due
archi e eguale all’angolo dei piani che li contengono.
5) I circoli massimi che tagliano ad angolo retto un dato circolo
massimo passano tutti per due punti diametralmente opposti: questi
due punti si chiamano poli102) del dato circolo massimo.
Supponiamo che un osservatore percorra il circolo massimo, stando
in piedi sulla sfera, in un verso ehe si assumera come positivo. L’os-
servatore avra sempre uno dei poli a sinistra, Faltro a, destra: il primo
si chiama polo positivo del circolo massimo e Faltro polo negativo103 104).
Preso un punto sulla sfera, tutti i quadranti di circolo massimo
uscenti da esso terminano ad uno stesso circolo massimo, il quale,
orientato in modo che il punto considerato risulti il suo polo positivo,
dicesi polare del punto dato.
6) Si considerino ora due cerchi massimi orientati c e c' inter-
secantisi in C; si faccia ruotare il circolo c sulla sfera intomo a C di
un angolo minore di e in modo che vada a sovrapporsi a c’: si consi-
dered come senso positivo di rotazione quello che fa sovrapporre la
direzione positiva di c alia direzione positiva di c‘.
Fissato m tai modo il senso positivo per la misura dell’angolo for-
mato da due circoli massimi, e facile stabilire la seguente proprieta fon-
damentale :
Siano A e В i poli positivi di due circoli massimi a e i, e sia C unb
dei loro punti di intersezione. Il punto C risulta uno dei poli del circolo
massimo c passante per i punti Л, B; fissato 1’orientamento di c in
maniera che C sia il suo polo positivo, si ha che:
Л = AB .
7) Stabiliti questi principi sull’orientamento dei circoli e delle
rotazioni, resta determinata sopra due sfere sovrapposte, una considerata
come luogo di punti e Faltra come luogo di circoli massimi; una corri-
spondenza biunivoca fra punti e circoli orientati che gode di proprieta
analoghe alia polarita piana, e precisamente:
Mentre un circolo massimo ruota nel senso positivo delle rotazioni
intorno ad un suo punto, il polo positivo del circolo ruota nel senso
positivo descrivendo la polare di quel punto.
Mentre un punto descrive nel senso positivo un circolo massimo,
la sua polare ruota nel senso positivo intomo al polo di quel circolo.
103) ПоХос, da TtoXstv = ruotare, girare. Usato. dai matematici greci non solo
come estremo di un asse di rotazione ma anche come centro sferico di un circolo.
104) La considerazione dei cerchi' orientati sulla sfera e la distinzione dei poli
risale a C. F. Gauss (Commentat. Soc. Gott, recent., 7 (1828-1832), p. 32; Werke,
4, Leipzig 1880, p. 231.
686
Amedeo Agostini
Ё possibile quindi enunciare per la sfera il principio di dualita106):
Da ogni proprieta geometrica della sfera si pud dedurre un’altra pro-
prietd scambiando la parola punto colla parola circolo massimo e viceversa.
Per esempio potremo enunciare:
Due punti della sfera de- Due circoli massimi della sfera
terminano due circoli massimi, determinano due punti cui i cir-
cui i punti appartengono, coli appartengono,
poichd per due punti della sfera passano due circoli che si differenziano
pel diverso orientam£nto.
8) Ad ogni figura della sfera la polarity fa corrispondere una
altra figura (figura polare), tale che ogni propriety della prima figura'
si traduce per duality in una propriety della seconda. Vediamo quiche
notevole conseguenza:
a) Ad ogni circolo minore la polaritd fa corrispondere un altro
circolo minore, giacente in un piano parallelo a quello che contiene il primo
cifcolo.
La somma dei raggi sferici di due circoli, polari tra loro, ё тг/210в).
b) Sulla sfera hanno importanza le figure limitate da archi di
circolo massimo, dette poligoni sferici.
La polaritd fa corrispondere ad un poligono un altro poligono in modo
che ai vertici corrispondono i lati e viceversa.
Dalla propriety enunciata al N. 6 si ha>che
I lati di un poligono sferico sono supplementari degli angoli corri-
spondenti del poligono polare e i lati di questo sono supplemeutari degli
angoli corrispondenti di quello.
E percid:
Ad ogni relazione metrica tra i lati e gli angoli di un poligono la
polaritd fa corrispondere una seconda relazione nella quale i lati sono so-
stituiti dagli angoli corrispondenti e gli angoli dai lati.
c) Da a) si deduce che:
Il circolo iscritto in un poligono sferico circoscrittibile ha per polare
il circolo circoscritto al poligono polare del poligono considerato.
17. П triangolo sferico ordinario od euleriano*. I poligoni
sferici. — 1) Dati sopra una sfera tre punti A , В , C non appartenenti
allo stesso circolo massimo, si congiungano i punti a due a due cogli
archi di circolo massimo che segnano sulla sfera la loro minima distanza.
1<ж) Il principio di dualitA sulla sfera si trova gi& applicato in F. VlfcrB {Opera *),
p. 422) colla introduzione del triangolo polare {Opera “), p. 418); v. A. von Braun-
muhl, Bibl. math., (2) 12 (1898), p. 65. Nei tempi recenti, dopo 1’enunciazione del
principio di duality nel piano fatta da J. V. Poncelet [cfr. Fart. XXXIV di questa
Encicl. (B. Segre, Geometria analitica), § 28 e Fart. XXXV della stessa (E. G. To-
gliatti, Geometria proiettiva), § 4], il principio fu esteso nella sua generality alia sfera
da Sorlin, Ann. math, pures appl., 15 (1825), p. 278.
1W) v. K. F. Schulz”), 1, p. 44. Quello che in geografia si chiama circolo polare
ё la figura polare, nella sfera terrestre, del circolo tropico situato nello stesso emisfero.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
587
La porzione di superficie sferiea racchiusa dai tre archi si chiama
triangolo sferico ordinario od euleriano. Gli archi a , b , c che limitano
il triangolo sono i lati del triangolo e.gli angoli a , fl formati dagli
archi nei punti A\B ,C sono gli angoli del triangolo107).
Assumendo il raggio della sfera come unitA di misura per le lun-
ghezze,' si ha dalla definizione:
I. La misura di ogni lato e di ogni angolo di un triangolo eu-
leriano e compresa tra 0 e n\
II. Tre punti della sfera, non appartenenti allo stesso circolo
massimo, individuano Uno ed un solo triangolo ordinario.
2) Ad ogni triangolo sferico ordinario si pud far corrispondere
un triedro avente il vertjqe nel centro della sfera e gli spigoli passanti
pei vertici del triangolo; le misure delle facce del triedro sono eguali
alle misure dei lati del triangolo corrispondente e le misure dei diedri
del triedro sono eguali a quelle degli angoli del triangolo.
In corrispondenza alle propriety del triedro si hanno le seguenti
propriety del triangolo sferico.
I. Un lato e maggiore della differenza e minore della somma
degli altri due lati108).
II . Un angolo estemo e maggiore della differenza e minore della
somma dei due angoli interni opposti.
II I. La somma dei lati e compresa tra 0 e 2 л10в).
IV . La somma degli angoli ё compresa tra n e Зя109).
V. Ad angoli eguali si oppongono lati eguali; all’angolo mag-
giore si oppone il lato maggiore. A lati eguali si oppongono angoli eguali;
al lato maggiore e opposto il maggior angolo.
Sempre dalle propriety del triedro si possono dedurre i criteri di
congruenza dei triangoli sferiei appartenenti alia stessa sfera о a sfere
eguali:
Due triangoli risultano congrui se hanno eguali110):
1OT) L. Euler ’•).
1M) Propriety dimostrata per i triedri da Euclide (Elementi, XI, 20, 21) senza
ricorrere alia geometria della sfera.
10e) Menelao [“), ed. E. Halley, p. 11] conosce la propriety che la somma dei
lati ё maggiore di due retti e F. Maurolico m) aggiunge che ё minore di 4 retti. V.
A. A. BjdRNBO, Abh. Gesch. Math., 14 (1902), p. 20. Anche le propriety V sono con-
tenute in Menelao.
110) L*eguaglianza inversa fu messa in luce per la prima volta da J. A. von Se-
oner (1740-1777) (v. A. Frajese, Period, mat., (4) 14 (1934), p. 211) e introdott* in
un trattato elementare da A. M. Legendre [”), Lib. VI, def. 16, p. 163],il quale dimostra
anche ^eguaglianza di area dei triangoli sferiei inversamente eguali (ie), Lib. VII, prop.
21, p. 221]. I vari casi di eguaglianza sono tutti considerati da Menelao (v. A. von
BraunmQhl, Geschichteie), 1, p. 15), che determina anche le condizioni che devond
essere soddisfatte регсЬё si verifichino i casi e) e f). Cfr. per gli angoloidi, Part. XXII
di questa Encicl.8), §§ 35 e 36 e, perlo sviluppo storico dell’eguaglianza dei triedri,
fart, ort citato di A. Frajese e Gli Elementi di Euclide e la critica antica e moderna,
editi da F. Enriques, Lib. XI-XIII, Bologna 1936, Libro undicesimo per curs di A.
Agostini, p. 26, 100.
588
Amedeo Agostini
a) i tre lati ;
b) i tre angoli;
c) due lati e l’angolo compreso;
d) un lato e i due angoli adiacenti;
e) due lati e l’angolo opposto ad uno di essi, purche l’angolo
opposto all’altro lato eguale sia, nei due triangoli, della stessa specie
e i lati eguali non siano tutti quadranti;
/) due angoli e il lato opposto ad uno di essi, purche l’angolo
opposto all’altro lato eguale sia, nei due triangoli, della stessa specie
e gli angoli eguali non siano tutti angoli retti.
3) Se un triangolo sferico ha un angolo retto, si dice rettangolo.
In ogni triangolo rettangolo о non vi sono lati ottusi о ve ne sono due,
inoltre un cateto e l’angolo opposto sono della stessa specie.
Un triangolo sferico pud avere due angoli retti (triangolo birettan-
golo), e allora il vertice del terzo angolo e il polo del lato opposto.
Se un triangolo sferico ha tutti gli angoli retti (triangolo trirettan-
golo), ciascun vertice e il polo del lato opposto, e ogni lato e un quadrante.
4) Si chiama eccesso sferico di un triangolo ordinario il numero e
definite dall’eguaglianza:
£ = a + + y — тс.
Poiche sussiste la proprieta che ogni triangolo sferico e equiva-
lente ad un triangolo sferico birettangolo, preso sulla stessa sfera, il
cui terzo angolo sia 1’eccesso sferico del triangolo dato, se si assume
come unita di misura delle superficie sferiche il triangolo sferico biret-
tangolo il cui terzo angolo sia eguale all’unita di misura degli angoli,
si ha che Varea di un triangolo sferico e eguale al suo eccesso sferico 1U).
Segue che, se in due triangoli sferici, presi sopra una stessa sfera
о sopra sfere eguali, la somma degli angoli e la medesima, i due trian-
goli sono equivalenti.
Tenendo presenti le proprieta della polar it a, l’area di un triangolo
e la misura del perimetro del suo triangolo polare hanno per somma
2 л. Quindi, in generale, dalla quadratura di una figura sferica data si
concludera la rettificazione del contorno della figura polare e viceversa* 112).
5) Ad ogni triangolo sferico si pud circoscrivere, od inscrivere,
un circolo, e si possono dimostrare proprieta analoghe a quelle del trian-
golo piano.
I circoli massimi che bisecano ad angolo retto i lati di un trian-
ш) Propriety dimostrata rigorosamente per la prima volta da B. Cavalieri (Di-
rectorium generate uranometricum, Bononiae 1632, p. 315), che doveva essere nota a
Regiomontanus (v. M. Curtze, Abh. Gesch. Math., 12 (1902), p. 332) e si trova enun-
ciate da A. Girard (1595-1632) (Invention notevelle en Valgebre, Amsterdam 1629; ed.
D. Bierens de Haan, Leiden 1884, p. 270); v. G. Vacca, Bibl. math., (3) 3 (1902),
p. 191. Per l’area dei poligoni sferici v. A. Andreini, Period, mat., 13 (1898), p. 138.
112) v. K. F. Schulz “), 1, p. 21; 2, p. 241.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
589
golo sferico passano per un punto, che e il centro sferico del cerchio
circoscritto al triangolo.
I circoli massimi che bisecano gli angoli di un triangolo sferico
passano per un punto, che e il centro sferico del cerchio inscritto nel
triangolo.
I circoli massimi che passano per i vertici di un triangolo e sono
perpendicolari ai lati opposti passano per uno stesso punto113), ossia
gli archi che congiungono i vertici di un triangolo sferico coi poli dei
lati opposti passano per urio stesso punto. Si ha quindi che i punti
di intersezione dei lati di un triangolo sferico colle polari dei vertici
opposti stanno sopra un medesimo circolo massimo che e la polare del
punto sopra considerate114 115).
Se il vertice C del triangolo sferico А В C si muove sul circolo
circoscritto ABC, a + (f — у resta costante.
Se la base A В del triangolo sferico А В C si muove in maniera
da restare sempre tangente al circolo inscritto nel triangolo, a + b — c
resta costante.
Viceversa, i vertici dei triangoli sferici, che hanno una base comune
e la stessa differenza fra la somma degli angoli alia base e l’angolo al
vertice, sono situati sopra un circolo che e circoscritto alia base comune.
Le basi dei triangoli sferici, che hanno comune l’angolo al vertice e la
medesima differenza fra la somma dei lati al vertice e la base, invilup-
pano un circolo che e inscritto nell’angolo al vertice.
Il luogo dei vertici dei triangoli sferici che hanno la stessa base e
le somme degli angoli eguali (te sono percid equivalenti) e un circolo
(circolo di Lexell) che passa per i punti opposti agli estremi della base
comune U5).
Correlativamente, le basi dei triangoli sferici che hanno in comune
l’angolo al vertice ed eguale perimetro risultano tangenti ad un circolo,
esterno al triangolo, che e inscritto nell’angolo comuneue).
Per mezzo dei circoli di Lexell si possono costruire triangoli sfe-
rici aventi data area о dato perimetro ecc.U7).
Notevoli poi sono i seguenti teoremi che permettono di estendere
alle figure sferiche le proprieta isoperimetriche delle figure poligonali
piane.
lls) Ё dimostrato analiticamente da J. J. Querret (Ann. math, pures appl., 15
(1824-25), p. 87) e da K. F. Schulz [*), 2, p. 125] e geometricamente da Ch. Guder-
mann [“), p. 47]. La propriety delle bisettrici e delle mediane dj incontrarsi in un
punto era gi£ nota a Menelao.
114) E. E. Bobillier, Ann. math, pures appl., 18 (1828), p. 195.
115) Dimostrato geometricamente e analiticamente da A. J. Lexell, Acta Ac.
Petrop., 1 (1781, ed. 1784), p. 112. Per altra via L. Euler (Nova Acta Ac. Petrop.,
.10 (1792, ed. 1797), p. 57) ёга giunto alia considerazione dello stesso cerchio. Il teo-
rema fu completato da J. Steiner (J. reine ang. Math., 2 (1827), p. 45; Werke, Berlin
1881, p. 101) coll’osservazione che il cerchio passa pei punti opposti agli estremi della
base data.
n<) Sorlin1*), p. 302.
11T) Nuuktom applicazioni del cerchio di Lexell sono enunciate e risolte da
J. Steiner 1U); K. F. Schulz w) ; Ch. Gudermann *).
590
Amedeo Agostint
Fra i triangoli sferici che. hanno due lati dati, la cui somma non
superi л, ha area massima quello nel quale il lato non dato passa pel
centro sferico del circolo circoscritto al triangolo, ossia ё eguale al dia-
metro sferico del circolo circoscritto113).
Fra i triangoli sferici che hanno due angoli dati, la cui somma
non superi n, ha il minimo perimetro quello nel quale I’angolo non dato
ё eguale al diametro sferico del circolo inscritto nel triangolo119).
6) Si chiama poligono sferico la porzione di superficie sferica limi-
tata da archi di circolo massimo che congiungano ordinatamente piii
punti dati sulla sfera: i punti dati sono i vertici del poligono sferico,
gli archi sono i lati, zgli angoli formati dai lati nei vertici si chiamano
angoli del poligono, gli archi di circolo massimo che congiungon due
vertici non consecutivi sono le diagonali.
Ad ogni poligono corrisponde un poligono opposto, сюё il poligono
i cui vertici sono gli opposti dei vertici del poligono dato.
Poligoni opposti sono inversamente congruenti.
Poligoni aventi egual eccesso sferico sono equivalentiU9M*).
Per mezzo di circoli di Lexell si pud trasformare un poligono
sferico di я lati in un poligono sferico di я— 1 lati e di egual area о
perimetro H. Steiner)115),
I quadrilateri sferici godono di proprieta analoghe a quelle dei
quadrilateri piani: ricordiamo le principal!.
Se un quadrilatero sferico ё inscritto in un cerchio, la somma di
due angoli opposti ё eguale alia somma degli altri due angoli.
Se un quadrilatero sferico ё circoscritto ad un cerchio, la somma
di due lati opposti ё eguale alia somma degli altri due lati, qualora si
considerino i lati opposti percorsi in senso contrario e quindi misurati
da numeri contrari di segno 12°).
Le due proprieta sono invertibili121).
In uft quadrilatero sferico avente, i lati opposti perpendicolari tra
loro, le diagonali si tagliano ortogonalmente. In un quadrilatero sferico
avente le diagonali di л/2, la distanza sferica dei punti di intersezione
dei lati opposti ё л/2122).
lle) A. M. Legendre, Elementsie), L. VII, prop. 26, p. 227; J. Steiner* 11®)»
p. 63 e J. reine ang. Math., 24 (1849), p. 102; Werke, 1, Berlin 1881, p. 119, 2, Berlin
1882, p. 190.
11G) R. Baltzer, Elementi di Matematica, trad, da L. Cremona, 5, Genova 1867,
p. 61.
11 eM®) Una dimostrazione, indipendente dal postulato della continuity, della,
equivalenza per somma di parti eguali dei poligoni aventi egual eccesso sferico ё data,
da M. Dehn, Math. Ann., 60 (1905), p. 166.
12°) A. J. Lexell, Acta Ac. Petrop., 2 (1782), p. 29, p. 100; J. Steiner115), p. 47 ;
Werke, 1, p. 104; K. F. Schulz *), 1, p. 96. Le relazioni metriche tra gli elementi
di un quadrilatero sferico inscrittibile sono raccolte da G. Pesci, Period, mat., (3) 1
(1903), p. 15. Altre proprieta del quadrilatero sferico sono date da A. J. Lexell, Acta.
Ac. Petrop., 6, Parte I (1782, ed. 1786), p. 58.
121) J. B. Durrande, Ann. math, pures appl., 6 (1815-16), p. 49.
122) Teorema dovuto a F. Joachimsthal (1818-1861) e pubblicato da H. Lier-
semann in Arch. Math. Phys., 32 (1859), p. 108.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
591
7) Un quadrangolo sferico che sia diviso da una diagonale in due
triangoli sferiei congruenti dicesi parallelogrammo sferico113). Le sue
diagonali si dividono scambievolmente per meta: il loro punto di in-
tersezione vien detto centro sferico del parallelogrammo.
Se due angoli consecutivi di un parallelogrammo sferico sono eguali,
il parallelogrammo e inscrittibile in un cerchio; se due lati consecutivi
sono eguali, il parallelogrammo e circoscrivibile ad un cerchio.
Due vertici consecutivi di un parallelogrammo sferico e i punti
opposti agli altri due stanno sopra un medesimo cerchio.
La figura polare di un parallelogrammo sferico e un altro paral-
lelogrammo concentrico al primo.
8) Due circoli opposti della sfera godono, in generale, di prpprietA
analoghe a quelle di due rette parallele nel piano.
Un circolo massimo che sega uno di detti cerchi, sega anche 1’altro
e forma nei punti di intersezione angoli che godono delle stesse pro-
prieta degli angoli formati da due rette par allele con una obliqua.
Se due circoli massimi si intersecano in punti equidistanti dai
circoli opposti, essi determinano su questi i vertici di un parallelo-
grammo sferico.
Due quadrilateri che abbiano i lati opposti eguali e giacenti su
due circoli opposti, sono equivalenti.
18. Relazioni tra gli elementi di un triangolo sferico ordi-
nario. — Tra i lati e gli angoli di un triangolo sferico ordinario sus-
sistono le diseguaglianze che abbiamo richiamate in principio, e non
esistono equazioni algebriche che leghino tra loro questi elementi. Si
possono invece stabilire delle equarioni algebriche tra le funzioni cir-
colari dei lati e degli angoli124).
i,s ) L. Euler, Nova Acta Ac. Petrop., 10 (1792, ed. 1797), p. 57; K. F. Schulz “),
рл 115; v. A. W. Velten, Z. Math. Phys., 41 (1896), p. 332.
124) A fondamento della trattazione della trigonometria sferica presso i Greci
e presso gli Arabi stavano i teoremi sulle trasver-
sali e precisamente : a) il teorema di Menelao ;
b) la regola delle quattro grandezze; c) il teorema
delle tangenti.
a) Condotti per В due circoli massimi che
incontrino in A , E, D , F due circoli massimi
condotti per C, il teorema di Menelao [*), ed.
E. Halley, p. 80; Tolomeo 4), p. 74] esprime
le seguenti relazioni tra le corde sottese dal doppio
degli archi determinati sui quattro circoli:
cord. 2 С E
cord. 2 E A
cord. 2 C D
cord. 2 E A
cord. 2 C F
cord. 2 F D
cord. 2 C D
cord. 2 F D
cord. 2 D В
cord. 2 В A
Cord. 2 F В
cord. 2 В E
b) Se il circolo В D A taglia.i circoli per C ad angolo retto, ai.ha l&vqgda delle
quqttrv grandezze:
592
Amedeo Agostini
Conduciamo dal vertice A di un triangolo sferico ordinario ABC
A le tangenti ai lati fino ad incontrare,
rispettivamente, in M ed N gli spigoli
О В ,0 C del triedro corrispondente
s' \\ al triangolo. Applicando il teorema del
6^----------------1 \ yc— coseno ai triangoli piani A M N e
/ MON} tenendo presenti le relazioni
\ / tra gli elementi dei triangoli rettan-
\ / goli А О M , A О N, si ottiene la re-
lazione :
M
Fig. 6. cos a = cos b cos c + sen b sen c cos a ,
che, con sostituzioni circolari tra i lati e gli angoli, da luogo alle formole:
Icos a = cos b cos c + sen b sen c cos a ,
cos b = cos c cos a + sen c sen a cos /? ,
cos c = cos a cos b + sen a sen b cos у ,
che costituiscono il teorema del coseno12*) pei triangoli sferici.
Le (39) sono sufficient! per determinare tre delle quantita a , b , c,
a ,y, date le altre tre, ossia per risolvere i triangoli sferici. Da esse
perd si possono dedurre formole piu semplici, о piu atte al calcolo.
Si pud infatti ottenere il teorema del seno12*)*. * 125
sen DF : sen AE = sen BD : sen BE,
ossia:
sen BD : sen DA = sen BF : sen FE.
La regola, che si trova giA sotto forma un po’ diversa in Menelao (v. J. Tropfke,
Geschichte 4), 5, p. 167), ё data nel primo modo da Abu’l wafa e nel secondo da
Gabir ibn Aflah (intorno al 1085).
с) П teorema delle tangenti ё un caso particolare di un teorema di Menelao
(v. J. Tropfke 4), 5, p. 168) : considerando ancora il circolo BDA perpendicolare agli
altri due, si ha:
tg DF : tg AE = sen BD : sen BA .
Le formole fondamentali della Trigonometria sferica moderna si possono dedurre
dal teorema di Menelao (v. L. Caldo, Eserc. mat. del Circ. mat. di Catania, 7 (1934),
p. 57), e anche mediante il calcolo vettoriale (v. L. Richardson, Amer. math. Monthly,
(1934), p. 619).
125) Presso gli Arabi e in vari autori del Rinascimento si trovano formole, espresse
mediante le funzioni verse (per es. senoverso a = 1 — cos a), facilmente identificabili
col teorema del coseno nella forma modems, v. J. Tropfke, Geschichte 4), 5, p. 137.
Cosi F. VifeTE, Opera и), p. 407, d& le relazioni
sen b sen c : (cos a T* cos b cos c) = r : cos a ,
sen & sen у : (cos 0 cos у ± cos a) = r : cos a ,
le quali, per r = 1, coincidono col teorema del coseno e col suo polare.
1M) Sconosciuto nella sua generality ai Greci e agli Ihdiani, ai quali era noto
solo il caso particolare del triangolo rettangolo. Solo verso il 1000 appare in vari autori
arabi e persiani, v. J. Tropfke 4), 5, p. 136.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
693
sen a sen b sen c
(40) -------=----------=---------,
sen a sen P sen у
il teorema delle proiezioni121) e il teorema delle cotangenti1™):
( sen c cos a = sen b cos a 4- sen a cos c cos в ,
(41)
( sen c cos b = sen a cos P + sen b cos c cos a ;
Sctg b sen c = cos c cos a + sen a ctg ft ,
ctg a sen c = cos c cos ft + sen ft ctg a ,
che danno luogo a due gruppi di formole ottenute da queste mediante
sostituzioni circolari.
Colla considerazione del triangolo polare, le (39), (41), (42) si
trasformano nelle:
(43) cos a = — cos P cos у + sen p sen у cos a125),
( sen у cos a =.sen P cos a — sen a cos у cos b ,
(44) 7 128 P 7 >
\ sen у cos P = sen a cos b — sen P cos у cos a ;
Sctg P sen у = — cos у cos a + sen a ctg b ,
ctg a sen у = — cos у cos b + sen b ctg a ,
e analoghe ottenute mediante sostituzioni circolari.
Sempre dal teorema del coseno si possono dedurre le formole129):
(46)
COS (
(47)
sen r sen (r — a)
sen b sen c
Vsen (r — b) sen (s — c)
—
sen b sen c
Vsen (r — b) sen (r — c)
—'—/ Л
sen r sen (r — a)
127) L. Euler ••), Acta Ac. Petrop. 1 (1779, ed. 1782), p. 78.
128) Dato per la prima volta, sotto forma di proporzione, da F. Vi^te, Opera “),
p. 408.
129) Le formole (46) sono date sotto forma logaritmica da J. Neper (1550-1617),
Mirifici logarithmorum canonis descriptio, Edinburgh 1614, p. 48, mentre le (47) sono
state dedotte da quelle di Neper da H. Gellibrand 2), p. 107. Le (46) sono state di-
mostrate da B. Cavalieri, Directoriumnl), p. 203.
Le formole (48) e (49), polari delle precedenti, sono state trovate : quella di
cos a/2 da J. Kepler, Opera omnia, ed. C. Frisch, 7, Frankfurt-Erlangen 1858-71,
p. 364; quella di sen a/2 da L. Euler "), Hist. Ac. Berlin, 9 (1753), p. 248, e la (49)
da J. H. Lambert, Beytrage zum Gebrauch der Mathematik, 1, Berlin, 1765, p. 406,.
594
Amedeo Agostini
(48)
cos a/2 =
/ cos (a — P) cos (a — y)
sen /J.sen у
I cos a cos (a — a)
sen P sen у
\/ cos a cos (a — a)
'-----1—£--<- <’
cos (a — p) cos (a — y)
ove 2$ = a + ft-He 2a = a + P + y.
Si hanno poi le formole di Delambre 130):
(50)
P + у b — c
sen-------cos al2 = cos------- cos a/2 ,
2 2
P — У b —c /o
sen-------sen a 2 = sen-------cos a/2 ,
2 2
P + у b + c
cos-------cos a/2 = cos-------sen a/2 ,
2 2
P — У /o b + c
cos-------sen a 2 = sen-------sen a/2 ,
2 2
dalle quali se ne deducono altre otto mediante sostituzioni circolari.
Dalle precedenti, о anche indipendentemente, si ricavano le ana-
logic di Neper131 *):
b — c b — c
P+y 2 p—y 2
(51) tg —— =--------—— ctg a/2 , tg —— =-------—— ctg a/2 ,
2 b + c 2 b + c
cos----- sen-----
2 2
che, per la polarita, si traducono nelle:
, /? —у
b + с С°э 2 b — c
(52) tg —— =--------------—— tg a/2 , tg ——
2 p + у 2
COS-------
2
P — y
sen-----
2
----7^— tg al2 •
/? + у
sen-----
2
13°) Date da J. B. J. Delambre nella Connaisance des temps pour Van 1809, publiie
par le coreau des longitudes, Paris 1807, p. 445, ritrovate e pubblicate come nuove da
К. B. Mollweide (1774-1825), Monatl. Corr. Erd-Himmelsk., 18 (1808), p. 398 e
da C. F. Gauss ’•).
131) J. Neper, Constructio 81), Lugduni Batavorum 1620, p. 56, d& la spla analogia
contenente il seno. Nelle Adnotationes a tale edizione H. Briggs (p. 61), dA, oltre alle
forme polari, la analogia contenente il coseno.
XXX. - Lb funzioni circolari в lb funzioni iperboliche
595
Tra le altre relazioni che sono state ritrovate, citiamo le formole
di Cagnoli, che, come quelle di Delambre, legano tra loro tutti i sei
elementi di un triangolo sferico:
sen a sen b + Cos a cos b cos у = sen a sen 0 — cos a cos /? cos с ш).
Dalle formole (39), (40), (41), (42), (43), (44), (45) si ricavano
per у = л/2 le relazioni tra gli elementi di un triangolo rettangolo18S):
(52) cos c = cos^a cos b ,
(53) cos c = ctg a ctg ft ,
(54) cos a = cos a sen ft , cos ft = cos b sen a ,
(55) sen a = sen c sen a , sen b = sen c sen ft ,
(56) cos a = tg b ctg c , cos ft = tg a ctg c,
(57) sen b = tg a ctg a , sen a = tg b ctg ft,
relazioni che si possono dedurre direttamente e ricordare colla regola
di Neper * 134 135):
Prescindendo daW angolo retto e sostituendo ai cateti i loro comple-
ment,, U coseno di un elemento qualunque di un triangolo sferico rettangolo
ё eguale al prodotto delle cotangenti dei due elementi adiacenti e al pro-
dotto dei seni degli elementi opposti.
Il teorema di Pitagora e stato generalizzato ai triangoli sferici
rettangoli da S. A. J. Lhuilier 13Б), che trova la relazione:
sen2 c/2 *= sen2 i/2 cos2 a/2 + sen2 a/2 cos2, i/2 ,
e da K. J. Buzengeiger 13e) nella formola:
tg2 c = tg2 a + tg2 b + tg2 a tg2 b .
19. Risoluzione dei triangoli sferici rettangoli. — 1) Primo
caso. Dati i cateti a e b.
Si trovano a e ft mediante le relazioni:
(57) ctg a = ctg a sen b , ctg ft = ctg b sen a ,
m) A. Cagnoli15), ed. 1808, p. 326.
1S8) Relazioni sconosciute ai piii antichi matematici greci; Tolomeo conosce,
naturalmente non parlando di tangenti ma di rapporti di corde, le propriety espresse
dalle (52), (55), (56), (57). Nella forma modema si trovano presso i matematici arabi
e persiani dell’ultimo periodo. V. J. Tropfke 4), 5, p. 132.
134) J. Neper, Descriptio12®), p. 33, enuncia la regola m forma alquanto diversa,
sostituendo all’ipotenusa e agli angoli i loro complement!, e accenna ad una dimostra-
zione che, indipendentementc, fu data in modo esauriente da J. H. Lambert, Bei-
trage12G), 1, p. 376.
135) S. A. J. Lhuilier, Ann. math, pures appl., 1 (1810), p. 198.
13e) K. J. Buzengeiger (1771-1835), Z. Astronomic, 3 (1817), p. 199.
596
Amedeo Agostini
e c mediante la (52). Se a e b о c sono archi piccoli, conviene ricor-
rere alle formole:
tg ь tg a
c =-------=----------.
cos a cos P
Si ha sempre una soluzione reale e determinata.
2) Secondo caso. Dati a e ft.
Si trovano a e b colle formole:
cos a cos P
(54) cos a =------- , cos b =-------- ,
sen p sen a
e c colla (53).
Condizione di realita e:
cos a
sen P
soddisfatta la quale, si ha una soluzione unica.
3) Terzo caso. Dati a e c.
Si hanno b , a , P dalle relazioni:
(52)
cos c
cos b =--------
cos a
sen a
(55) sen a =------------ ,
sen c
(56)
cos P = tg a ctg c .
Condizione di realita: cos c < cos a.
Si ha un’unica soluzione, poiche, trovato b. si scegliera uno dei
due valori fomiti da sen a in modo da soddisfare la proprieta: a lato
maggiore sta opposto angolo maggiore (§ 17,2).
4) Quarto caso. Dati a e c.
Si calcolano i cateti colle formole:
(55) sen a = sen c sen a , (56) tgi = cosatgc,
e l’angolo P mediante la relazione:
(53) ctg P = cos c tg a .
Se a e prossimo а тг/2, conviene calcolare prima b e P e poi rica-
vare a dalla:
(56) tg a = tg c cos P .
Si ha sempre soluzione unica, poiche dei due valori di a dati da
sen a si scegliera quello che soddisfa la proprieta richiamata nel caso
precedente.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
597
5) Quinto caso. Dati a e ft.
Si ha sempre una sola soluzione reale, poiche b , c , a sono dati da:
(57) tg 6 = sen a tg/? , (56) ctg c = ctg a cos /? ,
(54) cos a = cos a sen ft .
Se a e prossimo a 0, dopo aver calcolato c, si ricorrera alia (55).
6) Sesto caso. Dati a e a.
Si trovano b ,c >ft colle:
(57) sen b = tg a ctg a ,
sen a . cos a
(55) sen c = , (54) sen ft =----------.
sen a cos a
Condizioni di realita:
1) sen a < sen a;
2) tg a e ctg a dello stesso segno, ossia a e a devono essere о
ambedue acuti о ambedue ottusi.
Se non e a = a, si hanno in generale due soluzioni, che vengono
a costituire due triangoli aventi il lato a in comune e gli elementi cor-
rispondenti supplementari tra loro. Se a = a, si ha un solo triangolo
birettangolo.
20. Risoluzione dei triangoli sferiei ordinari qualunque137).
— I vari casi che si possono presentare corrispondono ai sei casi di egua-
glianza dei triangoli sferiei ordinari (§ 17). I triangoli sferiei possono
essere risolti graficamente coi metodi della geometria descrittiva, о
coi metodi della nomografia e si sono inventati anche strumenti atti
a risolvere particolari casi che si presentano comunemente nella na-
vigazione 138). Piu di frequente, perd, si ricorre alia risoluzione anali-
tica, alia quale accenniamo brevemente.
1S7) I sei casi fondamentali, gi& individuati da Menelao no), non furono mai trat-
tati sistematicamente nel periodo greco e per maggior parte del periodo arabo : la Tri-
gonometria era considefata solamente come un mezzo per la risoluzione dei problemi
astronomici, risoluzione che, frequentemente, si riconduceva a quella di piu triangoli
rettangoli. Una trattazione а её della risoluzione dei triangoli sferiei si trova alia fine
del periodo arabo nel persiano Nasir-eddin Altusi (Schakl al Katta, Traite du qua-
dvilatere attribue a Nassir Eddin-el-Toussy, par A. Pascha Caratheodory, Constan-
tinople 1891; v. A. von BraunmOhl, Nasir Eddin Tusi und Regiomontanus, Halle 1897 ;
Geschichte ie), 1, p. 69), il quale tratta tutti i sei casi (il 2° per la prima volta), ma nulla
osserva sulla ambiguity nei casi 5) e 6). Tale ambiguity viene studiata piu tardi da
Raethicus (Opus Palatinum 28), che d& una vasta trattazione della risoluzione dei trian-
goli sferiei distinguendo innumerevoli casi con una prolissit& incredibile.
Un grande passo nella sistemazione della risoluzione dei triangoli ё fatto da F.
Viete (Variorum de rebus mathematids responsorum libri VIII, Tours 1593), che ё
assunto come tipo dai matematici posteriori fino agli studi di J. H. Lambert (Beitrdge 12e),
1, p. 390) e di L. Euler (Hist. Ac. Berlin ••).
138) Per le soluzioni coi metodi della Geometria descrittiva, oltre ai vari trattati
598
Amedeo Agostini
1) Primo e secondo caso.
Dati a , b , c .
Gli angoli si possono ottenere
dalle (39), ma non si hanno formole
logaritmiche; si ricorre quindi alle
(46) e, preferibilmente, alle (47).
Condizioni di realita:
a + i + c < 2 л,
a < b 4- c , b < c 4- a , c < a 4“ b.
2) Terzo e quarto caso.
Dati a , b , у .
Le analogic di Neper (51)
danno il mezzo di calcolare loga-
ritmicamente a e Д П lato c si
ricava dalle formole di Delam-
bre (50):
a 4“ b sen у/2
cos cl 2 = cos-------------------.
2 a + P
cos--------------
2
Con tale metodo non si pud
calcolare un angolo indipendente-
mente dall’altro: desiderando cid,
si ricorreri al teorema delle co-
tangent! (42). Si hanno formole non
logaritmiche, ma che si possono
rpndere tali coll’introduzione di un
elemento ausiliario.
Per il calcolo di c indipenden-
temente dagli angoli incogniti, si
Dati a ,0 ,y .
Pel calcolo logaritmico dei
lati si ricorreri alle formole polari
(48) e, preferibilmente, alle (49).
Condizioni di realita:
a 4- P + y > n ,
£ 4- у < Л 4- « , у 4“ a < л 4- P ,
a + p < л + у .
Dati a ,P ,c .
Le analogic di Neper (52)
permettono di calcolare logaritmi-
camente a e bf Pel calcolo di у
si ricorre alle formole di Delam-
bre (50):
a 4- P cos c/2
cos y/2 = sen -------------------.
2 a — b
cos--------------
2
Con tale metodo non si pud
calcolare un lato indipendente-
mente dall’altro: desiderando cid,
si ricorreri al teorema polare delle
cotangenti (45). Si hanno formole
non logaritmiche, ma che si pos-
sono rendere tali coll’introduzione
di un elemento ausiliario.
Pel calcolo di у indipendente-
mente dai lati incogniti, si fa uso
di Geometria descrittiva, v. E. Salfner, Z. Math. Phys., 46 (1901), p. 307; E. P. Pa-
TERNd, Period, mat., (3) 5 (1907), p. 62; G. Loria, Poliedri, curve e superficie, Milano
1912, p. 3. Per la risoluzione mediante la proiezione stereografica, v. V. Martinetti,
Rend. 1st. Lomb., (2) 24 (1891), p. 830, 976; V. Vranic, Z. math. nat. Unterr., 59
(1928), p. 164; P. Buchner, Z. math. nat. Unterr., 60 (1929), p. 114.
. La risoluzione mediante abachi ё data, oltre che da M. d’OcAGNE*•) e da G.
Pesciw), da M. Hauptmann, Z. math. nat. Unterr., 60 (1929), p. 120; A. Naess,
Norsk Matematisk Tidsskrift, 12 (1930), p. 1. E. J. Nystr6m, Comm, phys.-math.
Soc. sc. Fennicae, 5, (1931), nota 15; J. B. Friauf, Amer. math. Monthly, 42 (1935),
p. 232.
Per la risoluzione dei problemi della Nautica mediante strumenti ricorderemo,
oltre alia nota navisphaera di Aved de Magnac, gli strumenti di J. F. Richer (V. F.
Callet, Supplement d la Trigonometric sphirique et d la navigation de Bfaour, Paris
an-VI, (1798)), e di.G. SegR£ (Riv. maritt., 36 (1903), IV, p. 255).
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
599
fa uso delle (39), coll’introduzione delle (43), coll’introduzione di un
di un angolo ausiliario pel calcolo angolo ausiliario pel calcolo loga-
logaritmico. ritmico.
In ambedue i casi si ha sempre una sola soluzione reale.
3) Quinto e sesto caso.
Dati a , b e a.
Dal teorema del seno e dalle
analogie di Neper si hanno le
formole logaritmiche
sen b sen a
(40) sen p =-------------,
sen a
a>+b
sen------
2 a — p
(51) ctg y/2 =----------- tg —,
a—b 2
sen------
2
(52)'8е/2---------^-4 — -
sen------
2
Volendo cajcolare с e у indipen-
dentemente I’uno dall’altro e dal
valore trovato di p, si ricorrera
alle (39) e (42), che si possono
fendere logaritmiche colla introdu-
zione di angoli ausiliari.
Dati a , p e a.
Si ricaveri il lato b dal teo-
rema del seno
sen p sen a
sen b =------------,
sen a
quindi si useranno, pel calcolo
di c e y, le stesse formole usate
nel caso quinto.
Volendo calcolare с e у in-
dipendentemente I’uno dall’altro e
dal valore trovato di- ft, si ricor-
reri ai teoremi del coseno (43) e
delle cotangenti (45). Le formole
si possono rendere logaritmiche
colla introduzione di angoli ausi-
liari.
Il problema non e sempre possibile e, quando lo e, non e sempre
determinate. Dalla discussione analitica, о geometrica, del problema’si
giunge, pel caso quinto, alle seguenti conclusioni:
!a
a
1a
a
maggiore di ft e di n — ft
о eguale al maggipre ..........
compreso tra ft e n — ft
о eguale al minore ............
minore di ft e di n — ft, se
sen ft sen a < sen a..............
sen ft sen a = sen a...........
sen ft sen a > sen a...........
non compreso tra ft e n — ft
о eguale ad uno di essi .......
compreso tra ft e тг — ft .....
0 soluzioni
1 soluzione
2 soluzioni
1 soluzione (P = л/2)
0 soluzioni
0 soluzioni
1 soluzione
600
Amedeo Agostini
a > тг/2
a maggiore di b e di n — i, se
sen b sen a < sen a..............
sen b sen a = sen a....✓.......
sen b sen a > sen a............
a compreso tra b e л— b
о eguale al maggiore...........
a minore di b e di л — b
о eguale al minore...............
2 soluzioni
1 soluzione (J) = л/2)
0 soluzioni
1 soluzione
0 soluzioni
Quando si ha una sola soluzione, e p risulta diverso da л J 2, p e b
sono ambedue о acuti, d* ottusi. Nel caso in cui si abbiano 2 soluzioni
i valori di p, corrispondenti alle due soluzioni, sono tra loro comple-
mentari.
I risultati precedenti si ripetono, tradotti polarmente, pel sesto caso.
Se a = b = a = тг/2, si hanno Se a = p = a = тг/2, si hanno
infinite soluzioni. infinite soluzioni.
.21. Area ed altri elementi notevoli di un triangolo sferico
ordinario. — 1) Un triangolo sferico e equivalente alia meta di un
fuso, della medesima sfera, avente la sezione normale eguale all’eccesso
sferico e del triangolo stesso (§ 17, 4), quindi, indicando con r il raggio
della sfera, I’area del triangolo sferico e data, supposto e espresso in
gradi, da:
2) Orientate le altezze in modo che esse formino coi lati cui sono
perpendicolari I’angolo л/2, il prodotto del seno di ogni lato pel seno
della corrispondente altezza e costante e 1’indicheremo con d\ il pro-
dotto del seno di ciascun angolo pel seno dell’altezza corrispondente
e costante e 1’indicheremo con <5.
Si hanno allora le relazioni139):
d = sen a sen b sen у , 8 = sen a sen p sen c ,
e analoghe ottenute mediante sostituzioni circolari.
Il rapporto d/8 e uguale al rapporto del volume del tetraedro che
ha per vertici i vertici del triangolo e il centro della sfera, al volume
del tetraedro che ha per vertici i vertici del triangolo polare del triangolo
dato ed il centro della sfera. Si deve a G. C. Ch. von Staudt il nome
di seno del triedro dato al numero d e di seno del triedro polare pel nu-
mero d140).
W) F. W. de Oppel, Analysis triangulorum 2, § 106.
G. C. Ch. von Staudt (1798-1867), J. reine ang. Math., 24 (1842), p. 255.
. XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
601
Dalle relazioni precedenti si ha141) :
d sen a sen b sen c
8 sen a sen (1 sen у
per cui il rapporto did prende anche nome di modulo del triangolo sfe-
rico 142).
Vane espressioni di d e 8 sono date da W. de Oppel143) e A. J.
Lexell 144).
3) Indicando con r e о i raggi sferici (non maggiori di un qua-
drante) dei circoli circoscritto e inscritto ad un triangolo sferico ordi-
nario, si ha:
d 8
Ctg Г r= ------------------------145 *), tg Q = -------------------------14в).
4 sen a/2 sen b/2 sen c/2 4 cos a/2 cos ft/2 cos у/2
Indicando poi con Qa , Qb , qc i raggi sferici dei circoli ex-inscritti
ad un triangolo sferico, si ha147 148 149):
d2 = 4 tg Q tg Qa Qb tg & .
4) Per la determinazione dell’eccesso sferico, e quindi dell’area,
del triangolo sferico ha importanza la conoscenza del numero:
2a = a + £ + y.
Pel calcolo di a si hanno le formole:
d
cos a =--------------------------=
4 cos a/2 cos b/2 cos c/2
V sen $ sen ($ — a) sen ($ — b) sen (5 — c)
2 cos a/2 cos b/2 cos c/2
_ tg a _ Ctg a^2 Ctg + COS 7 ME)
sen у
1Ц) C. Gudermann, Niedere Spharik "), § 124.
14S) Il nome di « modulo » proviene dal fatto che il rapporto d/<5 ё in relazione
col modulo degli integral! ellittici.
148) F. W. de Oppel189).
144) A. J. Lexell, Acta Ac. Petrop., 6 Parte I (1782, ed. 1786), p. 68, 70.
145) A. J. Lexell 144), p. 72.
14e) A. J. Lexell144), p. 77.
147) Sorlin105), p. 299.
148) A. J. Lexell144), p. 68.
149) Data da J. L. Lagrange, v. RA Baltzer119), 5, p. 82. Per numerose altre
espressioni di ст, v. J. Tropfke 4), 5, p. 159.
602
Amedeo Agostini
!6°)
Dati i lati, si pud calcolare 1’eccesso sferico mediante la formola:
V5 5 — a s — b s — c
tg - tg tg —— tg-—
Li Li Li Li
22. Relazioni tra il triangolo piano ed il triangolo sferico
ordinario. П teorema di Legendre. — 1) Siano a', b' , c' le lun-
ghezze degli archi che formano i lati di un triangolo sferico ABC
appartenente ad una sfera di raggio r: tra tali lunghezze e le misure
a,b ,c in radianti dei lati stessi sussistono le relazioni:
a = d/r , b = b'/r , c = c'/r .
Tenendo fisse le lunghezze d ,b' , c' degli archi, facciamo tendere
il raggio r della sfera all’infinito: il triangolo sferico ABC tender a a
trasformarsi in un triangolo piano А' В' C' di lati d ,b' , c' e, contem-
poraneamente, 1’eccesso sferico tendera a 0.
Esprimendo le misure dei lati del triangolo sferico mediante le
loro lunghezze e sostituendo alle funzioni circolari dei lati i loro svi-
luppi in serie, e facile mostrare che ogni relazione tra gli elementi del
triangolo sferico А В C si trasforma, col passaggio al limite per r —>oo,
in una analoga relazione tra gli elementi del triangolo piano А’ В’ C.
La Trigonometria piana non e dunque che un caso limite della Tri-
gonometria sferica* 151).
2) Le relazioni tra gli elementi del triangolo sferico si possono
dedurre anche da particolari triangoli piani152).
3) Nelle applicazioni della Trigonometria sferica, specialmente alia
Geodesia, si presenta frequentemente la questione: quando si pud con-
siderare nei calcoli un triangolo sferico come? un triangolo piano? A
tale questione risponde il teorema di Legendre153):
Abbiasi un triangolo sferico tale che il rapporto tra ciascuno dei
suoi lati e il raggio della sfera, cui il triangolo appartiene, sia abbastanza
piccolo; con sufficiente approssimazione si pud sqstituire, nei calcoli, al
triangolo sferico un triangolo piano coi lati lunghi quanto quelli del
triangolo sferico e cogli angoli eguali ai corrispondenti angoli del trian-
golo sferico diminuiti di 1/3 dell’eccesso sferico del triangolo dato.
15°) Attribuita da A. M. Legendre (foments19), p. 319) a S. J. A. Lhuilier.
151)’* Gi& L. Euler, Hist. Ac. Berlin 99), aveva notato che, al tendere del raggio
della sfera all’infinito, il triangolo sferico si trasforma in un triangolo piano. Le dedu-
zioni da questo principio furono fatte da J. H. Lambert, Beytrage129), 1, p. 408 ; A. R.
Mauduit, Pvincipes d* Astronomic spherique, Paris 1765, p. 75, p. 83; e ancoraL. Euler,
Acta Ac. Petrop. "); J. L. Lagrange, J. Ёс. polyt., 6 (1799), p. 291. V. anche G. Pesci,
Period, mat. Suppl., 11 (1908), p. 132.
152) G. CesAro, Bull. Ac. sc. Bdlg., 1905, p. 434; G. Calvitti, Elementi di Tri-
gonometria piana e sferica, Ascoli Piceno 1907; e G. mat., (2) 15 (1908), p. 285-296;
G. Pesci, Period, mat. Suppl., 12 (1909), p. 17.
1M) A. M. Legendre, Elementslt), p. 426. Per notizie storiche v. J. Tropfke *),
5, p. 170.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
603
23. П concetto di triangolo sferico secondo Mobius1M). —
1) Dati tre elementi di un triangolo sferico, le formole stabilite pel
triangolo euleriano danno sempre luogo ad ambiguita, quando non si
voglia tener conto della restrizione che i lati e gli angoli devono essere
minori di n, poiche in ogni caso si possono effettivamente costruire
sulla sfera due triangoli aventi gli elementi dati. Si- ha invece perfetta
rispondenza tra le formole da una parte e le costruzioni dall’altra se
si considera il triangolo sferico di Mobius nel quale tanto i lati che
gli angoli sono compresi tra 0 e 2тг155).
Il triangolo di Mobius si definisce nel seguente modo156):
Dati tre punti A , В , C di una sfera, non appartenenti allo stesso
circolo massimo, si traccino i circoli massimi passanti pei punti a due a
due e si fissi sopra di essi, a piacere, il senso secondo cui percorrerli po-
sitivamente. Si chiamano lati del triangolo gli archi a , b , c di circolo
massimo, compresi tra 0 e 2 л, che uniscono, percorsi nel senso positivo,
rispettivamente В con С, C con A e A con B. Si chiamano angoli del
triangolo gli angoli a , ft compresi tra 0 e 2 л, che le direzioni po-
sitive dei lati concorrenti in un vertice formano tra loro, tenendo conto
del senso positivo di rotazione, stabilito a piacere, intorno ai vertici.
2) Tre punti della sfera, due qualunque dei quali non siano dia-
metralmente opposti, determinano 16 triangoli di Mobius, poiche si
hanno 2 • 2 • 2 • 2 = 16 modi di scambiare le direzioni positive sui circoli
e il senso delle rotazioni sulla sfera.
La fig. 7 rappresenta 8 triangoli di Mobius in proiezione stereo-
grafica: si passa dalla prima alia seconda colonna invertendo il senso
delle rotazioni. Il secondo, il terzo e il quarto triangolo di ogni colonna
si ottiene dal primo cambiando Forientamento dei circoli. Il primo
triangolo della seconda colonna e il triangolo ordinario, colla differenza
164) La generalizzazione proposta da A. F. Mobius (Werkew) ••)) fu trattata
completamente da E Study *). Un’esposizione estesa dell’argomento si trova in H.
Weber e J. Wellstein, Encyklopadie der Elementar-Mathematik, 2, Leipzig 1905,
p. 347, dal quale ё tratta la fig. 7. V. anche Encykl. d. math. IFtrr., Ill AB 8, p. 833;
W. Killing e H. Hovestadt, Handbuch des mathematischen Unterrichts, 2, Leipzig
1913, p. 147.
15e) A. F. Mobius, Werke *), 2, p. 27, p. 73, p. 85. A p. 74, egli cosi si esprime :
« In der Tat wird erst dadurch, dass man der Begriff eines spharischen Dreiecks in
moglichster Allgemeinheit auffasst, eine vollkommene Ubereinstimmung zwischen
den Formein einerseits und der Konstruktion andererseits zuwege gebracht. Denn
wenn von den drei Seiten und den drei Winkeln eines Dreiecks irgend drei Stiicke
gegeben sind .und ein viertes gesucht wird, so ergeben sich fur das gesuchte mittels
der zugehdrigen Formel stets zwei im allgemeinen verschiedene* Werte : und, iiber-
einstimmend hiermit, kann man unter Zulassung auch iiberstumpfer Seiten und
Winkel mit den drei gegebenen Stiicken immer zwei verschiedene Dreiecke kohstruieren,
in deren emem der eine, im anderen der andere der zwei durch die Formel gefundenen
Werte dem gesuchten Stiicke zukommt, wahrend, wenn noch die an sich willkiirliche
Bedingung hinzugefiigt wird, dass keine Seite und kein Winkel n iiberschreiten solk,
in der Mehrzahl der Faile nur der eine der zwei aus der Formel fur das vierte Stuck
folgenden Werte statthaft ist».
1M) La definizione ё stata cosi precisata da E. Study “), p. 91.
604
Amedeo Agostini
Fig. 7.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
605
che gli angoli interni sono sostituiti da angoli adiacenti: lo chiameremo
triangolo di Euler generalizzato.
3) L’idea di triangolo di Mobius porta ad una nuova concezione
del triedro che proietta il triangolo sferico dal centro della sfera. Per
giungere a cid occorre precisare che cosa si intenda per faccia positiva
di un piano, per angolo di due rette e per angolo di due piani.
Dato un piano a, si orienti la normale ad esso. Si considera come
faccia positiva del piano quella che sta dalla parte positiva della normale:
su tale faccia si assumera come senso positivo delle rotazioni quello
sinistrorso rispetto ad un osservatore disposto lungo la direzione posi-
tiva della normale.
Date due rette e r2 complanari e orientate, si consideri la nor-
male al loro piano, debitamente orientata. Si chiama angolo r±r2 delle
due rette Fangolo di cui deve ruotare nel piano, intorno al punto di in-
tersezione e nel senso positivo delle rotazioni, la retta rr per sovrapporre
la direzione positiva di rr alia direzione positiva di r2.
Dati due piani a± e a2, non paralleli, si orienti la retta di interse-
zione e si conducano nei piani, in un punto dello spigolo, le normali
лх, n2 allo spigolo. Si chiama angolo a± a2 dei due piani Fangolo n2
delle normali debitamente orientate.
Stabilite queste definizioni, ogni tangente ai circoli nei vertici del
triangolo di Mobius, ossia ogni normale agli spigoli del triedro, verra
orientata nello stesso verso del circolo cui e tangente. Si assumera poi
come verso positivo degli spigoli del triedro (normali al piano tangente
della sfera) quello che va dal centro ai vertici, se si e preso sulla sfera
come senso positivo delle rotazioni il sinistrorso; si prendera Forienta-
mento opposto, se sulla sfera si e preso il verso destrorso.
In tale modo un lato del triangolo di Mobius compreso tra 0 e
n fa assumere come faccia positiva del triedro la faccia interna; mentre
un lato compreso tra n e 2 n fa assumere come faccia positiva del triedro
quella estema e i triedri possono essere concavi о convessi.
4) Pel triangolo di Mobius si possono stabilire delle relazioni tra
le funzioni circolari dei lati e degli angoli analoghe a quelle ottenute
pel triangolo ordinario, colla differenza che alcune formole sono valide
per tutti i triangoli di Mobius (formole di prima specie), altre invece
non sono sempre valide (formole di seconda specie).
Naturalmente dalle formole pel triangolo di Mobius si possono
dedurre quelle del triangolo ordinario.
24. Formole di prima specie. — 1) Abbiasi un triangolo piano
ABC coi lati orientati (fig. 8). Proiettando i lati a , b , c sopra una
retta x, pure orientata, e tenendo conto del teorema dei seni della Tri-
gonometria piana, la nota proprieta: «la proiezione ortogonale di una
spezzata chiusa sopra una retta e nulla » da luogo alia relazione:
606
Amedeo Agostini
(58) sen b c cos x a + sen c a cos x b + sen a b cos x c = 0 ,
che permette di stabilire il teorema del coseno pei triangoli di Mobius.
2) Dato il triangolo sferico di Mobius ABC (fig. 9), si consideri
if triedro corrispondente e si prendano da C gli arChi С M e C N eguali
а лj 2. Condotto il "circolo massimo MNf si orienti tale circolo in ma-
niera che C risulti il suo polo positivo.
Si costruisca ora sopra un piano parallelo al piano del circolo mas-
simo С В N un triangolo coi lati paralleli ad О С , О В , О N e si
proietti tale triangolo sopra О В, essendo О il centro della sfera. Pel
teorema sulle proiezioni ora richiamato, si ha:
cos c — cos a cos b + sen a cos A M = 0 .
In modo analogo si costruisca sopra un piano parallelo al piano
del circolo massimo С A M un triangolo coi lati paralleli ad О C ,
О A ,OM e si proietti tale triangolo su О M. Per la (58) si ha:
— cos M A + sen b cos у = 0 .
Eliminando tra questa e la precedente cos A M, si ottiene la relazione:
(59) cos c = cos a cos b — sen a sen b cos у ,
che, insieme alle altre due che si ottengono con sostituzioni cicliche,
costituisce il teorema del coseno.
3) Dal teorema del coseno si ricavano, oltre al teorema del seno,
le formole di prima specie:
v ( sen a cos S 4- cos b sen c 4- sen b cos c cos a = 0 ,
(60) P ,
( sen a cos у + cos c sen b + sen c cos b cos a = 0 ,
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
607
\ sen a ctg /3 + ctg b sen c + cos c cos a = 0 ,
(61) i
f sen a ctg у + ctg c sen b + cos b cos a = 0 ,
e analoghe ottenute con sostituzioni circolari.
Le (59), (60), (61), per la polarita, danno luogo alle altre:
cos у = cos a cos (3 — sen a sen (3 cos c ,
sen a cos b + cos fl sen у + sen fl cos у cos a = 0 ,
I sen a cos c + cos у sen fl + sen у cos fl cos a = 0 ,
i sen a ctg b + ctg fl sen у + cos у cos a = 0 ,
f sen a ctg c + ctg у sen /5 + cos fl cos a = 0 .
4) Altre formole di prima specie, che si ottengono mediante di-
visione dalle formole di seconda specie, sono le analogic di Neper:
! b —f- c i for COS P — Y £ + 7 b — c
tg 2 COS
2 2 2
1 tg a/2 рло ft + 7 tg a/2 ГЛС b + c
LUo 2 2
b — c for sen Р~У sen b — c
tg 2 2 tg g 2 2
tga/2 САП ft + 7 tg a/2 sen b + c
oCll 2 2
e altre otto che si ottengono da queste con sostituzioni cicliche.
5) Dalle analogic di Neper, oltre al teorema delle tangenti'.
b 4- с fl + у '
,g —
si deducono le formole di Study157):
157) E. Study “), p. 136. Per la determinazione delle formole di prima e seconda
specie v. anche H. Weber e J. Wellstein, Encyklopadie16*), 2, p. 362, p. 374. Le
formole fondamentali «della Trigonometria sferica si possono dedurre anche da un
teorema di cinematica di W. R. Hamilton (Lectures on Quaternions, Dublin 1853),
v. F. Schilling 1TO); F. Klein, Ueber die hypergeometrische Funktion ••), p. 356 ; Encykl.
d. math. Wiss., Ill AB 8, p. 844.
608
Amedeo Agostini
1 — ^2 ^з + ^з + + ^-2
1 + Я2 + + + 4. + +
э 1 44+44+44
^*o ^"*2 •
—1+44+44+44
e analoghe ottenute permutando ciclicamente gli indici 1,2,3, ove:
к = ctg a/2 , Z2 ?= ctg 6/2,4 = ctg c/2 ,
= ctg a/2 , Я2 = ctg p/2 , Яз = ctg y/2 .
Dalle formole di Study si ricava facilmente la interessante pro-
prieta: I rapporti'.
14-44 1 — 1213
Я3 + 4- Ях Я2 1 Я2 Яз
1 + Я2 Яз 13 4 4 4
4 4 + 44 ^з Л. 4. ^2
е gli altri otto che si ottengono scambiando ciclicamente gli indici 1,2,3,
hanno tutti lo stesso valore.
25. Formole di seconda specie. Classificazione dei triangoli
di Mobius. — 1) Poniamo:
2 s0 = 2 л — (a + i + с) , 2 <r0 = 2 тг — (a 4“ /? + у) ,
2 = — a b + с ) 2^- — a + ^ + у ,
2 s2 a — b 4- c , 2 <r2 = a — P 4~ У ,
2 $3 = a + J — c, 2 a3 = a P — у ,
Si possono facilmente ottenere le formole;
sen2 a/2 = sen 50 sen л sen sen , cos2 a/2 = L , sen b sen c sen b sen c
' sen2 p/2 = sen 50 sen s2 sen л» sen л ? , cos2 0/2 = , sen c sen a sen c sen a
| sen2 y/2 = sen 50 sen s3 sen sen s2 , cos2 y/2 = , sen a sen b sen a sen b
dalle quali si ha:
sen P/2 cos y/2 sen s2 cos P/2 sen y/2 sen $s
= ±---------------- > ----------------72-------= ±
sen a/2 sen a sen a/2 sen a
ove i segni devono essere concordi.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
609
Da queste, indicando con e una radice quadrata dell’unita, si hanno
le formole di Delambre:
i/3 + у b — c /3— у b — c
sen-------- cos------------ sen----------- sen-
2 2 2 2
--------- — £ ------------------= ---------------- £ ,
sen a/2---------------------------------------------cos a/2 sen a/2-sen a/2
fi + у b + с /3 — у b + c
cos-------- cos -- cos- sen--------------------
2 2 2 2
----------------- — -------------- £ , = £ ,
cos a/2---------------------------------------------cos a/2 cos a/2-sen a/2
e altre otto ottenute con sostituzioni cicliche.
Dalle formole di Delambre si ottengono quelle di Lhuilier-Serret:
\ tg <r0/2 tg <7x/2 = (tg 52/2 tg s3/2)* , tg <t2/2 ctg <r3/2 = (ctg j2/2 tg s3/2){,
* tg <r0/2 ctg ax/2 = (ctg s0/2 tg $x/2)« , tg cr2/2 ctg cr3/2 = (tg f0/2 tg sx/2)e.
2) Le formole ora ricordate presentano tutte ambiguita, potendo
e assumere tanto il valore + 1 che il valore — 1. Ora per 8 dei 16
triangoli di Mobius individuati da tre punti di una sfera le formole
di Delambre e quelle di Lhuilier-Serret sono valide qualora si faccia
in tutte e = + 1; per gli altri otto si deve assumere e = — 1.
In particolare pel triangolo di Euler generalizzato, deve essere
£ = + 1.
Chiamando «proprio» un triangolo pel quale e= + 1 e «im-
proprio » un triangolo pel quale e = — 1, dei 16 tipi di triangoli di
Mobius, 8 rappresentano triangoli propri e 8 triangoli impropri.
Quindi le formole di prima specie sono quelle valide contempora-
neamente pei triangoli propri e impropri, e le formole di seconda specie
sono quelle che si riferiscono solamente о ai triangoli propri, о ai trian-
goli impropri.
Si pud osservare che il cambiamento di direzione a tutti e tre i lati,
о il cambiamento del senso delle rotazioni sulla sfera, trasforma un trian-
golo proprio in uno improprio e viceversa, ossia porta nelle formole
di seconda specie ad uno scambio dei valori dr e.
26. D triangolo di Gauss-Study. — 1) Aumentando un lato,
od un angolo, di un triangolo di Mobius di 2 k л. ossia aumentando
la meta di un lato о di un angolo di k л, nelle formole di seconda specie
awiene о no lo scambio di segno secondo che k e pari о dispari. Da
cid 1’idea di generalizzare il concetto di triangolo sferico di Mobius
considerando i lati e gli angoli di questo aumentati, о diminuiti, di un
multiplo qualunque di 2 л. Si ha cosi il triangolo di Gauss-Study 158).
1M) C. F. Gauss, (Theoria motus corporum coelestium, Hamburg 1809; Werke.,
7, Leipzig 1906, p. 17G) afferma : « Quodsi quidem idea Trianguli sphaerici in maxima
610
Amedeo Agostini
Si passa dunque dal triangolo di Mobius di lati a , b , c e di angoli
a , p , у al triangolo di Gauss-Study mediante le sostituzioni lineari:
a' = a + 2 hx л , a' = ft 2 k± л ,
(63) b' = b + 2 h2 л , P' = P + 2 k2 л ,
г' = г + 2 Ag , у' = у + 2 k3 л ,
ove i numeri h e k sono niimeri interi positivi, negativi о nulli, tra
loro indipendenti.
Se la somma hx + h2 + h3 + kr + k2 + k3 e un numero pari,
le sostituzioni precedenti fanno conservare, nelle formole di seconda
specie, ad e lo stesso segno; avviene il contrario se la somma e un nu-
mero dispari. Si ha quindi:
Le sostituzioni (63), per le quali e verificata la congruenza:
(64) Xh + Ek=0 (mod. 2),
trasformano un triangolo proprio in un triangolo proprio e un trian-
golo improprio in un altro improprio. Se invece e soddisfatta la con-
gruenza :
(65) Eh + Sk = l (mod 2),
un triangolo proprio si trasforma in un triangolo improprio e viceversa.
Chiameremo percid equivalenti quei triangoli che hanno gli elementi
che differiscono per sostituzioni soddisfacenti la (64); mentre diremo
sostanzialmente diver si quei triangoli i cui elementi differiscono per
una sostituzione soddisfacente la (65). Con questa nomenclature la
prop’osizione precedente si enuncia:
Le sostituzioni (63) soddisfacenti la (64) trasformano un triangolo
in uno equivalente, e quelle soddisfacenti la (65) trasformano un trian-
golo in uno sostanzialmente diverso.
2) Applicando ad un triangolo di Mobius le sostituzioni (63), na-
scera una infinita di triangoli propri e una infinite di triangoli impropri
di Gauss-Study: ognuna di queste infinita di triangoli la chiamiamo
una schiera di triangoli.
Dagli 8 tipi di triangoli propri di Mobius, applicando le sosti-
tuzioni soddisfacenti la (6,4), nasceranno 8 schiere di triangoli propri,
mentre dalle sostituzioni soddisfacenti la (65) si avranno 8 schiere di
triangoli impropri.
Dagli 8 tipi di triangoli impropri di Mobius si hanno 8 schiere
generalitate concipitur, ut nec latera nec anguli ullis limitibus restringantur, casus
existere possunt, ubi in cunctis aequationibus praecedentibus signum mutare oportet ».
Un primo passo verso questa generalizzazione fu compiuta da A. F. Mobius (§ 23);
ma 1’idea di C. F. Gauss fu svolta nella sua generality da E. Study w). Di qui il nome
di triangolo di Gauss-Study attribuito da W. Jacobsthal (v. H. Weber e J. Wellstein,
Encyklopadie1M), 2, p. 382) al triangolo cosi generalizzato.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
611
di triangoli impropri applicando le sostituzioni soddisfacenti la (64) e
8 di triangoli propri applicando quelle che soddisfano la (65).
In complesso i triangoli di Gauss-Study individuati da tre punti
sulla sfera si suddividono in 32 schiere di triangoli equivalenti, 16 delle
quali sono costituite da triangoli equivalenti propri e 16 da triangoli
equivalenti impropri.
3) La classificazione dei triangoli sferiei in propri ed impropri puo
sembrare una suddivisione imposta dalle formole e, a prima vista, arti-
ficiosa. Essa pero ha una ragione piii profonda, che e messa in vista da
una notevole propriety geometrica, dimostrata da E. Study, la quale
ci assicura che esiste una barriera naturale di separazione tra le due classi
di triangoli.
L’insieme di tutti i triangoli sferiei che si possono ottenere da uno
stesso triangolo ‘ mediante deformazioni continue della sfera (come
traslazioni, dilatazioni) si pud chiamare un continuo. Sussiste allora il
teorema di Study169):
L’insieme di tutti i triangoli propri e I’insieme di tutti i triangoli im-
propri rappresentano, ciascuno a se, un continuo.
Non esiste dunque nessuna trasformazione continua che trasformi
un triangolo proprio in uno improprio. Il teorema di‘ Study permette
quindi di dire che sono triangoli propri tutti e soli i triangoli che si
possono ottenere dal triangolo di Euler generalizz^to mediante defor-
mazioni continue.
27. I triangoli sferiei secondo F. Klein. Le formole supple*
mentari della Trigonometria sferica. — 1) I triangoli sferiei che
hanno i lati e gli angoli congrui, modulo 2 n, secondo il concetto di
Mobius sono da considerarsi identici, mentre costituiscono dei triangoli
di Gauss-Study diversi tra loro. Comparendo nelle formole di Delambre
le meta degli angoli e dei lati, I’aumento dei lati e degli angoli di un
triangolo di multipli di 4тг non porta alcuna variazione di segno nelle
formole: sorge allora 1’idea di riguardare come identici i triangoli, aventi
i lati e gli angoli congrui secondo il modulo 4тг.
Sotto questo punto di vista i triangoli diversi determinati da 3 punti
della sfera sono quelli che si ottengono dai triangoli di Mobius appli-
cando le sostituzioni (63), ove i numeri h e k possono assumere sola-
mente i valori 0,1. In tale modo da ogni triangolo di Mobius nascono
2е triangoli diversi, quindi tre punti determinano 2е • 16 = 1024 trian-
goli diversi, dei quali la meti e formata da triangoli propri e Faltra meti
da triangoli impropri.
Queste considerazioni, e Fosservazione che dalle formole di De-
lambre si possono dedurre formole analoghe nelle quali compaiano
le terze, le quarte, ... le n-esime parti dei lati e degli angoli, portarono F.
15в) E. Study “), p. 109. Per la dimostrazione e la discussione delle formole
v. andhe G. Chisholm ••), p. 9 e p. 55; H. Weber e J. Wellstein, Encyklopfidie1M),
2, p. 378, p. 390. Una rappresentazione geometrica intuitiva del teorema di Study
ё data da F. Klein, Hyperg. Funktion"), p. 309.
612
Amedeo Agostini
Klein ieo) ad una serie di concetti di triangolo sferico assumendo come
identici quei triangoli che hanno i lati congrui secondo i moduli:
2 л , 4 ti§ti , ... ,2 птъ .
In corrispondenza si ha la distinzione dei triangoli in triangoli di
1° , 2° , 3° , я-esimo grado e della Trigonometria in Trigonometria
di 1° , 2° , 3° , ... , я-esimo grado.
Tre punti determinano in generale 16 л triangoli di n-esimo grade:
quelli di 1° grado coincidono coi triangoli di Mobius.
2) Sostanzialmente diversa dalle precedenti e importante per alcuni
rami della teoria delle funzioni e la definizione di triangolo sferico do-
vuta a H. A. Schwarz e a F. Klein161), i quali considerano come trian-
golo sferico una porzione di superficie sferica semplicemente connessa,
con parti sovrapposte о no, determinata sulla sfera da tre piani. I piani
che delimitano il triangolo si incontrano in un punto interno od esterno
alia sfera: quando tale punto coincide col centro si ricade nei concetti
precedenti.
3) Poiche i lati e gli angoli di un triangolo possono essere aumentati
о diminuiti di multipli di 2 ti, senza alterare la validita delle relative
formole di prima e seconda specie, F. Klein162) considera il triangolo
sferico come una membrana tesa tra i lati, che si pud deformare, perd
in modo che i lati e gli angoli varino nel modo anzidetto.
Indicando con ti , Л2 л , A3 л gli angoli interni della membrana.
essendo Ax, Л2, *re variabili positive indipendenti, e con lr ti , l2 я ,
l37i i lati rispettivamente opposti, essendo lr, Z2, Z3 variabili positive
indipendenti, F. Klein dimostra che tra le sei variabili sussistono le
relazioni, che chiama relazioni supplementari (Ergdnzugrelationen) della
Trigonometria sferica:
I ---- Л2 -- ^3 f \
E (4/2) = E ,
/ -- H"" A2 --- H"" I \
E (1^2) = E -------?-----1----?------ ,
\ d J
/ — — ^2 “h “h 1 \
E (Z3/2) = E ------------2 Z’Z- ,
\ a j
ove con E (x) s’intende il massimo numero intero positivo contenuto
nel numero x.
Le formole supplementari sono state poste da F.v Klein 163) in re-
ieo) F. Klein, Hyperg. Funktion ••), p. 303.
1M) H. A. Schwarz (1843-1922), J. reine ang. Math., 75 (1873), p. 292 ; Gesammelte
math. Abhandlungen, 2, Berlin 1890, p. 211; F. Klein, Math. Ann., 37 (1890), p. 578.
1M) F. Klein 1M), p. 579; Hyperg. Funktion ••),’ p. 418; Elementarmathematik
vam heheren Standpunkte aus, 3* ed., 1, Berlin 1924, p. 197.
1M) F. Klein, ElementarmathematikM1), 1, p. 199, 200.
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
613
lazione con il teorema di Study, attribuendo alle superficie sulla sfera
un segno secondo il senso in cui viene percorso il contorno, e precisa-
mente cbnsiderando come superficie positiva quella il cui contorno e
percorso in modo da lasciare a sinistra la superficie.
Allora ogni triangolo proprio determina sulla sfera una superficie
costituita da porziorii di superficie positiva e da porzioni di superficie
negativa: i triangoli pei quali valgono le formole supplementari hanno
la particolarita di racchiudere una sola porzione di superficie positiva.
Con la concezione di superficie con segno resta ancora valida per
i triangoli propri la formola elementare dell’area della Trigonometria
sfericaie4).
4) Sull’esempio di F. Klein 1M), la Trigonometria si pud suddivi-
dere in Trigonometria trascendente e in Trigonometria algebrica, secondo
che si considerario come variabili i lati e gli angoli della figura, oppure
le funzioni trigonometriche di questi.
Nel primo caso si stabiliscono tra le variabili delle relazioni di
diseguaglianza e delle equazioni trascendenti. Nel secondo caso queste
equazioni vengono considerate come delle equazioni algebriche tra le
funzioni trascendenti che vi compaiono. Finora abbiamo quindi trat-
tato la Trigonometria trascendente, vedremo nei paragrafi che seguono
qualche risultato della Trigonometria algebrica.
28. I gruppi'di sostituzioni e i triangoli contigui di Study. —
1) I tre spigoli di un triedro avente il vertice nel centro della sfera
determinano sulla sfera tre coppie di punti opposti, che danno luogo
a 8 triple di punti in modo che sopra ognr spigolo del triedro venga a
trovarsi uno ed un sol punto di ogni tripla.
Le 8 triple di punti corrispondenti ad un dato triedro danno luogo
a 8 - 16 triangoli nel senso di Mobius: di questi triangoli solo 64 sono
effettivamente diversi, perche, a coppie, i 128 triangoli risultano con-
gruenti.
I 64 triangoli diversi corrispondenti ad uh determinato triedro
sono chiamati da E. Study triangoli contigui (Nachbardreiecke)19*).
Si pud passare da uno dei triangoli contigui ad un altro determinato,
e costruito sullo stesso lato a del primo, mediante la sostituzione;:
(a b с a P У \
a л + b n + c 2n + a ——у I
Di queste sostituzioni che legano tra loro i triangoli contigui ne
esistono 64, che formano un gruppo Tale gruppo contiene dei
sottogruppi di 4 sostituzioni e inoltre un sottogruppo Gie.
1M) F. Klein, ElementarmathematikM*j, 1, p. 200, 201.
ie) F. Klein, Hyperg. Funktion M), p. 302.
lee) E. Study “), p. 101; G. Chisholm ••), p. 13; F. Klein, Hyperg. Funktion ••),
p. 305.. Le formole supplementari sono state estese ai poligoni sferici da E. Hilb>
Jahresb. deutsch Math.-Vereinig.*, 21 (1912), p. 166.
614
Amedeo Agostini
2) Considerando invece il concetto di triangolo di Gauss-Study, un
triedro, avente il vertice nel centro della sfera, determina una infinite
di triangoli contigui, che si lasciano suddividere in 64 schiere di triangoli
diversi propri e in 64 schiere di triangoli diversi impropri.
Eseguendo sopra un triangolo di lati a2, a3 e di angoli a19 a2, a3
il gruppo infinite di sostituzioni lineari:
= (— l)e< + hi л , a!i = (— 1)€< 4- л , (ef, e: = 0,1) ,
colle condizioni :
hi + em 4- en = 0 (mod. 2) ; + em + en = 0 (mod. 2),
soddisfatte per ogni permutazione i, m , n dei numeri 1 , 2 r 3, si ot-
tengono tutti i triangoli contigui.
Questo gruppo infinite dei triangoli contigui contiene dei notevoli
sottogruppi.
I. Un sottogruppo infinite G che si Stacca dal gruppo generale
imponendo ai numeri h , k , e , e la condizione:
3 з
E hi 4- E ki 4- (ej e2 + % + e2 q + e2 % + e3 q + e2) = 0 (mod. 2).
о о
II. Un sottogruppo infinite L dato dalle sostituzioni (63).
III. Un sottogruppo M costituito dall’intersezione dei due gruppi
infiniti precedenti.
Il sottogruppo G trasforma un triangolo contiguo proprio in tutti
i triangoli propri e un triangolo contiguo improprio in tutti i triangoli
impropri: rispetto a questo sottogruppo le formole di prima specie
sono invarianti, e tali risultano pure quelle di seconda specie qualora
si fissi in esse il segno dovuto. Tali conseguenze portano quindi nuova
luce al teorema di Study.
3) Il gruppo si pud ancora estendere prendendo in considera-
zione le permutazioni degli indici e il passaggio dal triangolo al proprio
polare. Si ottengono cosi dei nuovi gruppi finiti che sono dei sottogruppi
del gruppo infinite G.
La considerazione di tali gruppi toma utile nella ricerca degli in-
siemi dei punti dello spazio a tre dimensioni capaci di rappresentare
la totality dei triangoli sferiei (§ 29).
4) E. Study ie7) ha poi assegnato il comportamento di determinati
sistemi di funzioni trigonometriche degli elementi di un triangolo ai
quali vengono applicati i gruppi di sostituzioni precedenti.
Cosi I’insieme di numeri:
tg a/2 , tg b/2 , tg c/2 , tg a/2 , tg 0/2, tg y/2
rimane invariato colle sostituzioni del gruppo Af, mentre il gruppo G
1<7) E. Study1*).
XXX. - Le funzioni circolari e le funzioni iperboliche
615
fa assumere, in generale, all’insieme 64 sistemi di valori diversi che
corrispondono alle sostituzioni del gruppo G64.
29. Interpretazioni ed estensioni della Trigonometria sferica
e relazioni di questa con altri rami della Matematica. — 1) La
possibility di rappresentare, ricorrendo alle formole (62), le funzioni tri-
gonometriche dei lati e degli angoli di un triangolo sferico mediante tre
parametri indipendenti, о 4 parametri omogenei, pone i triangoli sferici
in relazione colle sostituzionj ortogonali, in modo che sussiste una cor-
rispondenza biunivoca tra le sostituzioni ortogonali e i triangoli sfericiie8).
Con questi risultati E. Study ie8) di una rappresentazione nello
spazio *S3 delFinsieme dei triangoli sferici, mentre, mediante uno dei
gruppi di formole, come le analogic di Neper e le formole di Delambre,
si possono definire delle varieta algebriche nello spazio a sei dimensioni
(Trigonometria algebrica)1W).
2) Un’interpretazione delle formole della Trigonometria sferica,
quando i lati e gli angoli sono considerati variabili nel campo complesso,
e data da F. Schilling170).
3) J. L. Lagrange171) aveva/gia notato che tra le formole della
Trigonometria sferica e quelle delle funzioni ellittiche sussiste una esatta
analogia, e infatti dalle formole della Trigonometria sferica si possono de-
durre quelle delle funzioni -ellittiche e, inversamente, da ogni relazione
tra le funzioni ellittiche si pud ricavare una corrispondente relazione
tra gli elementi del triangolo sferico 172).
4) La relazione che sussiste tra il problema della Trigonometria
sferica e la teoria del sistema di tre forme quadratiche binarie e studiata
da C. Stephanos173).
5) T. Levi-Civita174 17) estende la Trigonometria ad una superficie
qualunque, considerando su di essa tre fasci di curve (terne di con-
gruenze) e i triangoli curvilinei che cosi ne nascono.
1M) E. Study w), p. 131; Jahresb deutsch. Math.-Vereinig., 2 (1893), p. 72;
Chicago Congress math. Papers, p. 382 ; E. Eckhardt, Zuriickfuhrung der spharischen
Trigonometric auf die Geometrie des ebenen Kreisvierecks, Leipzig-Berlin 1909, p. 145.
iee) E.‘Study w), p. 157; F. Klein, Hyperg. Funktion"), p. 318; G. Chis-
holm ••), p. 26; Atti Acc. Torino, 34 (1898), p. 587.
17°) F. Schilling, Nachr. Ges. Gott., 1891, p. 188; Math. Ann., 39 (1891),
p. 518; 44 (1894), p. 196. Una notevole interpretazione geometrica delle formole della
Trigonometria piana per argomenti complessi ё data da G, Tarry, Assoc, fr. Congas,
18 (1889), p. 60; 19 (1890), p. 152; 20 (1891), p. 90. V. anche F. Klein, Hyperg.
Funktion"), p. 348.
171) J. L. Lagrange, Thiorie des fonctions analytiques, nouv. £d., Paris 1813,
p. 116; Oeuvres 9, p. 134.
172) H. Dur^ge, Theorie der elliptischen Funktionen, 4a ed., Leipzig 1887, p. 121;
A. G. Greenhill,. The applications of elliptic Functions, London 1892, p. 131; E.
Meissel, Math. Ann., 16 (1880), p. 529; W. F. Mayer, Arch. Math. Phys., (3) 13
(1908), p. 366; (3) 17 (1911), p. 363.
17S) C. Stephanos, Bull. Soc. math. France, 10 (1882), p. 134.
17<) T. Levi-Civita, Compositio math., 1 (1934), p. 115; A. Tonolo, Compo-
sitio math., 2 (1935), p. 424.
ELENCO DEGLI AUTORI CITATI (*)
I numeri in caratteri ordinari indicano le pagine; quelli in caratteri piccoli, apposti come esponenti ai
primi, indicano le note a pie' di pagina.
Abel N. H., 569®°.
Abu’l Dschud, 275.
Abu’l Wefa (o Wafa), 495, 55119,
55424, 584", 592124.
Abu Nasr, 5 7 678.
Adam Ch., 116220, 250155.
Adams C., 203, 203", 214.
Adelardo, 272®°.
Adler A., 464145, 466149, 4691®5, 4918,
497, 49719, 50128’ 29, 51651.
Affolter F. G., 33537, 34253, 352®7.
Agnesi M. G., 274, 274®3.
Agostini A., 6235, 71, 109195, 139®1»®2,
171144, 172149, 173154, 2592, 27459« ®°,
275вв, 67, ee, ee, зо41вз, 464145, 508",
587110.
Aguillon F., 477193.
Ahmes, 557.
Aindi A., 94154.
Aitoff D., 50232.
Alasia С., 18 07.
Albattani, 70", 54814, 5491в, 55017,
57678, 5 84".
Albiruni, 14583, 275", 5 7 779.
Alessandro Magno, 5617.
Alexandroff J., 50232.
Alhabas, 54814, 55017.
Alhadschdschadsch, 59".
Alhazen, 86127.
Ali de Foucher de Careil L., 297131.
AlMamun, 59.
Al-Mansur, 59.
Al-Nairizi, 59 , 592®, 60, 92143, 137",
584".
Alraschid H., 59.
Amadori Q., 528100.
Amaldi Г., 274".
Amaldi U., 16, ЗЗ124, 40158, 421", 44,
66, 77", 82110, 10618®, 13652, 140®7,
147", 151105, 3831®, 435110.
Amigues E., 2 3 269.
Amiot A., 39, 66.
Amodeo F., 322230.
Analyticus (pseud.), 46190.
Andoyer H., 55731.
Andreini A., 89137, 26845, 28391, 3031",
3041®2, 320221, 321230, 322230, 552",
588111.
Andreoli G., 293122, 296129.
de Angelis E., 552".
Antifonte, 158125, 159125.
Apollodoro, 92144.
Apollonio, 54, 61, 62, 6233, 81107,
85119, 115219, 116220, 132, 1323®, 194,
251, 252, 26842, 327, 3274’ ®, 3289,
331", 34455, 3 4 7 , 351, 35 2 , 353,
35383» 88, 3 5 6100, 367139, 405, 40 557,
449141, 464144, 470, 475, 479, 5002®,
50634, 524.
Archimede, 23, 31, 32119, 34129, 40158,
41, 42, 53, 54, 5614, 58, 61, 6131,
62, 68, 89, 107190, 109193, 118224,
125, 12511, 132, 132", 13447, 13651,
139®1, 145ю, 148, 14897, 149, 149100»
ш, юз, 15110?, in, 15411B, 159125,
162127, 166130, 167180, 168, 168131»132,
170, 1701", 173151, 174, 183, 18313,
184, 1841®, 219, 2191»4, 297134,
(♦) Oltre ai nomi degli Autori, ai auno registrati anche gli altri nomi di persone che
figurano nel testo о nelle note.
618
Elenco degli autori citati
318214, 405®°, 520м, 522®8, 523®1» ®®,
52489, 73, 7e, 78> 5258З, 529, 530,
530112, 531114, 58091.
Archita, 56, 5614, 85122, 1O7190, 522.
Aristarco, 139е1.
Aristeo, 56, 56ie.
Aristotele, 56, 727e, 779®, 8511B, 158125,
259е, 2611®, 50634.
Amauld A., 86128.
Arnold С., 240lc®.
Artom E., 7899, 95leo, 12822, 1741®7,
192®°, 2608, 377r, 546®»10.
Artzt A., 203, 208, 208118.
Aryabatta, 63, 54814.
Ascoli Giulio, 32118.
Ascoli Guido, 18, 532, 7071, 87129,
941®4.
Aubanel A., 361114.
van Aubel H., 2 ll127.
Audisio F., 16012®, 537129.
August F., 2491®2.
Autolico, 58398, 584101.
d*Aviso U., 5002®.
Azdmar, 527".
Azzarelli M., 194®9.
Bachmann P., 273ю, 274ю.
Backer R. Ph., 51341.
Baire R., 10й.
Baldi В., 91144.
Balliccioni A., 220.
Baltzer R., 39, 78е8, 85124, 86127, 146е®,
232®3, 23472, 247133, 2501®9, 263ю,
26843»4®, 297131»134, 298141, ‘ 30014®,
306173, 307174»17®, 590119, 601149.
Bang A. S., 237".
Barbarin Р., 51341.
Barbaro D., 27249.
la Barbera А., 108191.
Barrow I., 60.
Bassani А., 65ю.
Bauschinger J., 139®3.
Becker J. К., 298141, 299, 302148.
Becker О., 12721.
Bellacchi G., 523".
Bellatalla A., 55219.
Bellavitis G., 13237, 139®3, 464144,
52797.
Beltrami E., 192®3, 194®8, 198м, 206111,
22529, 231®7, 241111»113.
Benedetti G. B., 496, 4961®.
Benedetti P., 17®2, 25е®, 3714®, 3814M",
391®4, 411®3, 43174, 44“°, 45184, 46198,
66. 66®° 135", 1437®, 2611®, 28911®,
29 О118.
Berkhan G., 1807, 203101, 473181.
Bem£s E., 516®1.
Bernini L., 92144.
Bernoulli D., 530112.
Bernoulli Joh. I., 55220, 554ю, 572®9.
Bertini E., 61, 320, 32022®, 321227» ».
Bertrand J., 297131, 313202.
Bertrand L., 15®1.
Berzolari L., 137ю, 203101, 21019®,
2111ю, 227м, 228ю, 231“, 2501Ю,
285", 287104, 291121, 33127, 33434,
33537, 33644, 3374®, 340®2, 342ю,
345ю, 348й, 351ю, 3559®, 35710®,
363123, 3762, 435111, 464143»144, 4681®1,
47117®, 472177, 473180»181, 48020®.
Besant W. Н., 18420.
Bessel F. К., 58З97.
Besso D., 6547, 245127, 24814®.
Bettazzi R., 67, 26е7, 33й4, 35133.
Betti Е., 61, 291181, 300144.
Beutel Е., 520м, 531114, 535121.
Beyer О., 535121.
Bdzout Е., 59813®.
Bhascara, 63, 92144, 146м, 58091.
Bianchi L., 291121, 296129, 322ю°.
Biasi G., 401®3, 961®3.
Bieberbach L., 1807, 528102.
Bierens de Haan D., 588111.
Biering С. H., 520ю.
Biermann О., 312198.
Biematzki K. L., 91144.
Biggiogero G., 86128, 144м, 214131,
219, 4731®1, 480202.
Billingsley H., 60.
Bindoni A., 718.
Binet J., 352, 35278.
Biot J. В., 536127, 5542®.
Bjombo A. A., 5 5 321, 5 8 7109.
Bobillier E. E., 228ю, 330, 589114.
Boccali G., 525, 52581.
Bodenmiller (pseud, di Ch. Guder-
mann), 357104.
Boezio A. M. T. Sev., 60, 63, 272®°.
Boggio T., 38418»le, 419®°, 428®®,
429®°, 4309®, 435110.
Bohmer P., 516®°.
Bolzano B., 30, 532.
Bombelli R., 133, 13348, 275, 275е7,
309, 318?14, 494loMe.
Elenco degli autori citati
619
Boncompagni В., 13340, 267е7.
Bonola R., 294125.
Boole Stott A., 319214.
Booth J., 564“.
Bopp K., 523“.
Borchardt C. W., 174157.
Borda С., 55781.
Borel E., 6547, 262“.
Borelli G. A., 60, 52588.
Borriero A., 25“.
Bortolotti E., 92™, 13'0“, 13343, 153118,
160™, 167180, 168™, 169™, 172™»
148,149, 173158,154, 267s7, 49410^, 537128,
55 781.
Bosanquet R. H. M., 527".
Bosmans H., 169188»188.
Bosse A., 209121.
Bouasse H., 4671M, 481207.
Bouquet J. C., 558, ,558s7.
Boutin A., 194®B, 20711®.
de Bouvelles Ch., 27280.
Bradwardin T., 27250.
Brahana H. R., 32 1228.
Brahmagupta, 63, 95™, 145“, 146“,
580м.
Brandes H., 92144.
von Braunmuhl A., 541, 5491®, 55118, 554s4,
577®°, 57882, 586108, 587110, 597187.
Bravais A.,' 319215.
Breton de Champ P., 298141, 303™.
Bretschneider С. A., 5720, 245128,
250159, 582“.
Brianchon C. J., 185“, 1894®» 48, 190,
211, 321“°, 3455®, 34857, 354е®,
35 7105.
Bricard R., 42170, 305, 3051®7.
Briggs H., 5 458, 55 781, 5 7 888.
Brioschi F., ,61.
Briot Ch., 558, 55887.
Brocard H., 180, 181, 195, 19575,
196, 19677»78, 197, 1*98, 200, 201,
202, 206, 207, 207114, 208, 211,
527м.
Brouncker W., 536.
Bruckner M., 26O10» u, 262“, 263s4» 27
264“» 2B» 80» 81» 88 ?68“» 48* 48 27280
273“, 274“» 57» “, 278“, 28087, 284“
289115, 293й3»128, 298141, 299148, 300145,
30114®, 302148» 16°, 303™»154»15®»157»
30315% 304158» 182, 307175, ЗЮ18®,
312199» “°, 313201» 2*, 314aoe> 209,
315212, 319й4, 320217, 321“°.
Bruhns C. Chr., 558, 558“, 56047.
Brunel G., 26481.
Brunschvicg L., 5618.
Brusotti L., 47197, 62s7, 77м, 133“,
174157, 249™, 26789, 2777®, 2861®1,
28710®, 294™, 5002®» 55528.
Bruto M., 166180.
Buchner P., 598138.
Bucking F., 198“.
Budnow N;, 65“.
Buonafalce G., 525, 52580.
Burali-Forti С., 714»18, S24, 18®B, 128,
152112, 1807, 379®, 3841®»19, 397“,
414®5, 416®7, 419®°, 428“, 42990,
43095, 435110, 44018°, 527".
Burk A., 5510, 91™.
Burnet I., 3081®2.
Buzengeiger K. J., 595, 595™.
Cagnoli A., 54915, 57882, 579, 579®7,
580®9, 595, 595™.
Cajori F., 546®» 7, 54814, 56281, 569®2.
Caldarera F., 26011, 268“»“, 272“,
298141, 300145, 313202, 319214.
Caldo L., 592™.
Callet F., 5458, 558, 55835, 559,
55940»48, 560, 56Q47, 598™.
Cald В., 520“, 5 38180.
Calvitti G., 602152.
von Camerer I. W., 61, 74“, 82110.
, Campano G., 60, 6029, 98™, 27250,
318214.
Cantoni R., 92™, 152112.
Cantor G., 8, 1081, 32, 32™, 37.
Cantor M., 545, 187", 18841, 49518,
532™.
Capelli A., 565“
Caporali E., 229“.
Caratheodory A. Pascha, 597187.
Caravelli V., 167180, 322s80.
Cardano G., 2611®, 274, 274®°, 275®B,
297™, 3081®2, 49615.
Carette A. M., 469™.
Carlebach J., 57678.
Carnot L. N. M., 18584, 186“» ®°,
187“, 233“, 245, 245™, 250™,
268“, 331“, 33689»44, 352, 356™,
57779, 584".
Carosella A., 527".
Carrara В., 520м, 52472.
Cartan E., 377®.
Cartesio, v. Descartes.
620
Elenco degli autori citati
della Casa L., 13237.
Casey J., 1807, 3641M, 46 7154.
Caspary F., 211127, 214181, 435112.
Cassina U., 7592, 158124, 159125, 279м,
349“, 407е2, 41878, 449м2, 509м,
537128, 5744
Cassiodoro М. А., 60.
Castelnuovo G., 6547, 33587, 33644,
34052, 34258, 345м, 34857, 355м,
41980, 50129.
Castiglione о Ca^tillioneus (G. R.
Salvemini di), 405, 53712В.
Catalan Е., 206110, 239100, 300м5,
ЗО^ьэ.ш, <JO4M2, 319214, 527, 527м.
Catania S., 718, 4619®.
Cauchy A. L., 168182, 278, 278м,
298м1, 299, 300144, 304, 305, 3051М,
311197, 313208, 375, 570е4, 571,
571е8» ®8, 572е9» 70, 5 7 371, 577*9.
Cauer D., 499^»м.
Cavalieri В., 43175, 63, 90139, 14172,
14272»73, 168132, 169, 170187, 171,
171148, 172, 172м*»14в, 173, 173151,
173154, 193ее, 55731, 588111, 593129.
Cavallaro V. G., 274м.
Cayley А., 27, 22680, 23157» “, 291120,
304182, ЗЮ194, 312200, 313202, 364129,
367, 41978.
Ceniti С. М., 273м, 274м.
Cesaro Е., 19677, 205107, 304181, ЗЮ195,
312198, 320222» 224, 321280.
Ces&ro G. 206112, 207118, 602152.
Ceva G., 63, 198, 19884.
Ceva T., 527, 52791.
Chadu С., 19575.
Chapple W., 18789, 18842.
Chasles M., 95155, 146м, 22680, 22841,
27249»50, 309184,- 328, 32817, 33641»",
34253, 345м, 34857, 355м, 356100,
359109, 360112, 364127, 366185, 38011,
38822, 38924, 39128»27, 39584, 39789,
40045, 40149, 405, 405м» 57, 41874» 75,
432101, 433, 433108, 44618е»137, 449м1,
477193, 478195, 479, 479200, 480, 526,
5 2 688.
Chelini D., 4331ое.
Chemin О., 245125.
Chisholm G., 58499, 611159, 615189.
Chisini О., 42189, 92144, 132м, 13652,
150103, 151111, 169183»185, J.72148,
174157, 244121, 285", 291121, 293122,
296129, 51341.
СЬотргё N. М., 54915.
Cicerone М. Т., ?2144, 1661".
Cipolla М., 46190, 1247, 27048.
Clairaut А. С., 64, 526.
Clausen ТЪ., 539, 539181.
Clavius С., 60, 93145, 577е0.
Clebsch А., 1807, 211187.
Clifford W. К., 189м, 268м, 295м7.
Cohn-Vossen S., 292121, 293122»
294125.
Colebrooke Н. Th., 92144, 146м, 58081.
Collignon Е., 527м.
Collins J., 4781", 536м7, 554м, 58387.
Colombo В., 93м8, 18949, 40454, 500м.
de Comb£rousse Ch., 66, 78м, 117221,
1807, 220, 221м, 313202, 35388,
466151, 476190»191, 481207, 532115,
55 945.
Comerro R., 274м.
Comessatti А., 285", 2871ое, 2911М» ш,
292121, 293122, 294125, 296128, 314м8,
33127, 33537!
Cominotto, 528101.
Commandino F., 5619, 60, 61, 62м,
117222, 183м, 2194, 220, 2207, 233м»
м, 476198.
Concina U., 50129.
Conti А., 4871, 52055, 523м»81» °8,
5247С, 72 , 78, 74 , 75 , 76 5 2 580’ 81» 82
Э2684» 8б» м» 87» м, 527"» 91, 5281"»
юг, 102 52910в.
Coolidge J. L., 34052, 342м, 345м,
34857, 349м, 35058, 351е2»«, 353м,
354м, 355м, 358108»107, 3591"»’110,
361115, 363125, 365м0, 367, 367ш,
466151 467152»1М»1М»155 471172»178
474184, 480205, 481207.
Cosserat Е., 35810®.
Couderc Р., 220.
Сох Н., 352е7.
Crelle A. L., 14588, 152112, 181, 195,
19575, 240105, 40455, 58092.
Cremona L., 64, 65е8, 146м, 19987,
2O5108»104, 22318, 231“, 232е8, 263м,
26842»48»43, 272е9»50, 300145, 306178,
307174, 59011В.
Culmann К., 26S45.
Curtze М., 588111.
Dandelin Р. G., 477188.
Danesini Е., 263м.
Elenco degli autori citati
621
Daniele P. E., г?!56»68»57, 464м6, 46514®,
466149, 4871, 4961®, 52579, 534119.
Darboux G., 333, 333s2, 352е7, 360112,
364127,1», 365130,131, зб6135, 367141.
Dedekind R., 29, 29109, 30, 31, 33,
37, 91, 128, 12927.
Dehn M., 42, 42le8» мв» 17°, 66м, 13652,
26113, 291121, 293122, 305™, 3212",
590ileb<\
Delambre J. B. J., 477193, 55731, 559,
55941, 56047, 579е7, 594130, 595, 598,
609, 611, 615.
Delanges P., 527, 527м.
Delaunay B. N., 321230.
Delitala G., 18210, 245127, 51341, 58397.
Democrito, 56, 91144, 151, 151107.
Desargues G., 13, 2076, 209121, 212,
2 1 3, 3 9 740, 5 1 3.
Descartes R., 68, 63, 116220, 250™,
27672, 27774, 297, 297131»132, 467,
523, 523®2, 524, 52475, 526, 526se,
528, 528™, 529™, 532115.
Descube, 7 590.
Dexter О. P., 5 2 799.
Dickstein S., 5 8 090.
Diels H. 538130.
Dingeldey F., 18631.
Dinostrato, 530.
Diocle, 523.
Dirichlet P. G. Lejeune, 570.
Doehlemann K., 471178, 4 7 7193.
Dorholt К., 205™.
Dostor G., 268м, 27879»80’81, 310™,
314™.
Dubouis E., 49616.
Ducci E., 27775, 27881.
Duhamel J. M. C., 40™, 50232.
Dupin Ch., 328, 3281®.
Dupuis Ch. F., 4761B0.
Duran-Loriga J. J., 361115.
Durfcge H., 298, 298141, 615172.
Durer A., 495, 49514.
Durrande J. В., 237м, 240™, 590121.
Dyck W., 293122.
Eberiiard V., 23049. ", 3041®2.
Echellensis A., 52583.
Eckhardt F. E., 23259, 615™.
ver Eecke P., 56le, 6131, 6234, 80™, 81107,
82110, 87129, 92144, 95™, 104181, 109193,
115219, 116220, 118224, 14897, 18313,
18419, 187“, 200", 2191»4, 3274»5,
344“, 352е9, 40557» ®°, 489®, 49511,
50634, 520“, 522“, 523®1’ 524",
52473» 7®» 77» 78, 52583, 52684» 85, 530111,
530112, 538130.
Egidi G., 564“.
Eisenlohr A., 547.
Emde F., 56 049.
Emmerich A., 19679, 20195.
Enestrom G., 536127, 539132.
Enriques A., 2592.
Enriques F., 6®’w, 7П»18, 15", 16,
16“, 1971, 2283, 23“, 27™, 30112,
33124, 37, 37144, 38™, 39, 39™, 44,
545, 5511, 5613, 61, 66 , 77м, 82110,
921M, 961®2»16S, 98™, 106™, 1234,
1261®, 12721, 13448, 140®7, 15O103,
159™, 244121, 2592, 2632®, 273",
274“» 57» “, 285", 291121, 293122,
294™, 296129, 353“, 363121, 3831®,
464145, 4871, 50129, 51547, 520“,
528102, 529110, 57779, 587110.
Epaphroditus, 18841.
Eratostene, 139е1, 14847, 520“, 524.
Erodoto, 54®.
Erone, 53, 62, 63, 69“ 7 381’ 83,
921Mb*s, 931", 132, 13239, 139“,
14170»71, 14275, 14381, 14482»83,
14583’84’85, 146“» 89, 152112, 153113,
159™, 163127, 167130, 260®, 275",
288112, 3 1 8214, 5 24, S2477, 580, 58091.
Errera A., 16", 38™, 298141, 302™,
320222, 321229.
Euclide, 15", 16, 21, 2180, 22, 22“
28™, 31, 36, 39, 401®1, 42, 53,
531, 54, 55, 56, 57, 57", 58, 59,
5922 м, 24 2в, 60> go29,30, 61, 62, 63,
64, 65, 65“, 69“, 70®7’ “, 7172’ 73’ 74,
72 7275’7®’77 7378,79,80,81,82,83 74W,
88» 87 7591 77 7795 78 78“»
70101,103,104 gQ105, 107 04108,109 00110
03111,112,113, 04, 84115, 85119, 123’
0gl24, 125, 126, 87130, 00135, 00137, 0Q139,
91 91182,143, 144 02144, 14451'S, 145 93
90146, 147, 148, 150 04151, 152 05155 158
98, 98™’ ™, 991®7’,™’le9, 1OO170’ 17\
172 101173’ 174 ЮЗ177 104178’ 179» 180>
182’ 183, 105™, 107™’189’ 19°, 108191»
192 1 09193’ 195 HO197»19e»1W 111200»
202 , 204 , 205 , 206 , 207 Ц22“ Ц3211» 212j
213 114215 115217’ 218 117222 118223
123, 1234, 124, 1247, 12511, 126,
12612, 12721, 128, 12824, 129, 12928,
622
Elenco degli autori citati
131, 132, 133, 134м, 136®1, 137й,
138®7»®8, 14379»80, 14488»88, 148,
148м, 149100»108, 151, 159“*, 162й7,
166м0, 168188, 170, 171148, 1731®1,
185, 18527, 186, 186м, 187м, 219,
2198, 249, 250, 2591» 8, 2607, 2611®,
263м, 269, 272м, 273, 274, 276м
27777, 287, 305104, 306178, 308м1»1М,
309, 3101М, 318914, 327, 3278, 331м,
379, 400м, 469м®, 49617, 502м, 504,
523м, 57779, 583м, 584100»101,
587108,110.
Euclide di Megara, 5619.
Eudemo, 57м, 158м®, 538м0.
Eudosso, 56, 56м, 58, 12781, 148,
151, 151107, 219, 487*, 502м, 584100.
Euler L., 152118, 179, 1798, 186, 186м,
188, 189, 197, 198, 209, 220, 2208,
[ 246м0, 290, 294, 296, 297, 297184,
г 298188»140, 299, 299148, 300, 300144»
14®, 301, ЗОЗ1®5, 3'12800, 321880, 352,
35278, 379®, 400м, 402®°, 407м,
41878, 432100»101, 435110»111, 449148,
53211®, 536м®»188»188, 55017»18, 564м’
565®7, 567, 568е0, 572е8, 5 7 371»78,
57478, 584м, 587107, 589й®, 591м8,
593187, 597187, 602м1.
Eutocio, 5614, 6181, 85119, 1O7180, 132м,
2191, 4O580, 523е8.
Everett, 139е®.
di Fagnano, G. С. de’ Toschi, 184м.
Faifofer А., 9м, 24, 2488, 39, 4015e, 66,
78е8, 87M0.
Falisse F., 1807.
Fano G., 28104, 53®, 83114, 137®11, 29418®,
33127, 33587, 35388, 363м8»1M, 3774» ®.
Faulhaber J., 25016®.
Favaro A., 6181.
Fazzari G., 272®°.
Fedorow E., 3121M, 315810.
Feldblum M., 50084, 501, 501м.
Fellini D., 92144, 307178, 58307.
de Fermat P., 193м, 23688, 327, 3277,
352, 475, 475188, 523е8, 52810®.
de Fermat S., 475188.
Ferrari F., 2 ll127.
Ferrari L., 274, 274°°, 297184, 319814,
496, 496м
Ferrers N., 22680.
Ferriot L. A. S., 247188»184.
del Ferro S., 496.
Ferrucci A., 27673.
Feuerbach K. W., 14588, 181, 18528,
18787»40, 188, 188м, 189, 189м»48,
193, 196, 198, 199, 200, 207, 208,
214, 23tf*, 2471эе»187.
F. G. M., 66®°, 75", 861M.
Fiedler W., 189м, 245м®, 33484,
366188»184, 515, 515м.
Filippo di Mende, 7 378.
Filippo di Opus, 102м®.
Filone, 524.
Finaeus О., 55940.
Finck T., 54814.
Finzi A., 561.
Flauti F., 523, 523®8.
Fontana G., 530118, 535м1.
Fontana N. V. Tartaglia.
Font end G., 247185, 304lea.
Formaggia С., 51341.
Forti A., 56049, 563®8.
Fouchd M., 475, 475м9.
Fraccaroli G., 308188.
Frajese A., 109188, 587110.
Franceschi P., 133, 13348, 304100,
309м8, 318814.
de Franchis M., 14, 14м, 24, 33м8,
39м®, 66, 26117.
Frank E., 308м8.
Frattini G., 40188.
Frdgier P. F., 25C1®7.
Friauf J. В., 598188.
Friedlein G., 531, 6087.
Friedrich G., 65м.
Frisch С., 931®0, 593м9.
Frobenius G., 365181.
Fuhrmann W., 20510®, 208117, 209M0.
Fusinieri, 52799.
Fuss N., 352, 3527®.
Fuss P. H., 530118.
Gabir Ibn Aflah, 592м4.
Galilei G., 95ieo, 173, 52394.
Gallatly W., 1807.
Gallucci G., 222м, 22317, 22681»88»
88»34, 229м.
Gambioli D., 51341.
Gandini A., 28088.
Gamier J. G., 52799.
Gaultier de Tours L., 328, 32811,
32984, 33280»81, 3348®, 335м»87»88,
33641»48»44, 337м» м» 47» м, 33849» ",
Elenco degli autori citati
623
33951, 342й, 345й, 34857, 349ю,
351е2, 353, 353"»", 354ю, 449м1.
Gauss С. F., 131, 268ю, 270 270ю,
273, 273ю, 274, 27775, 291121, 297131,
3121Ю, 584", 585104, 594130, 609,
609158, 610, 6101Ю, 611, 614.
Gazzaniga Р., 16ю, 66ю.
Geiser С. F., 232й, 241111, 34052,
349ю, 351м» ®2, 471175.
Gellenthin Н., 247135.
Gellibrand Н., 5453, 593м®.
Gemino, 139е1.
Gener F., 516".
Gentile G., 535121.
Genty E., 248м7.
Geppert H., 27570, 4701®5, 49511»13,
49617.
G6rard L.,. 23, 411ез, 43174.
Gerbaldi F., 1031.
Gerberto, 63, 65ю.
Gergonne J. D. ,715, 181, 18315, 188ю,
190, 190й, 191, 203, 206, 24412*,
298, 298M1, 3031Ю, 328, 32812, 32924,
342ю, 345ю, 34857, 349ю, 351е2, 353,
353м»87, 354ю, 449м1.
Gerhardt С. J., 532, 63ю, 291121,
39229f 536127.
Gerono С. С., 23371.
Gerwien Р., 40157, 13652.
Gherardo da Cremona, 59ю, 60.
Ghersi I., 92м4.
Giacomini A., 4871, 4 9 29, 498", 501",
50231, 51344.
Gibbs J. W., 416ю»69, 419".
Gigli D., 81J, 6237, 96iei, 1232, 129",
13032, 26737»39, 2 7 351, 522ю, 55731.
Giordani E., 319214, 49615.
Giordano da Ottaiano, 470.
Giorgi G., 13237.
Girard A., 14273, 146", 260, 26010,
26535, 588111.
Giudice F., 29loe, 274ю.
G. L., 27671.
Gob А., 196м, 205105, 207115.
Godt W., 302148, 321229.
Goering W., 535121.
Goldbach Chr., 530112.
Goldenring R., 274ю
Graf J. H., 283м.
Grassmann H., 96.
Graup F., 92144.
s’Gravesande G. J., 344ю.
Grebe E. W., 179, 180, 180е, 191,
191ю.
Greenhill A. G., 615172.
Gregorio di S. Vincentio, 92144&t5,
148", 523, 523е5.
Gregory J., 536127, 573, 57371.
Gremigni M.; 40lel.
Griffiths J., 1807.
Grubber M., 43197.
Grunert J. A., 298141, 299, 3212".
Griison J. Ph., 4691®5.
Grynaeus S., 60.
de Giia de Malves J. P., 250156.
Gudermann Ch., 357104, 56049, 56251,
56352, 583", 584", 589113»117, 601141.
Guldin P., 17013®, 172145, 233е4.
Gundelfinger S., 2IO125.
Gunther S., 26010, 26219, 265s5,
268*2»«, 27250, 297134, 313202, 495м,
5453, 56049.
Giintsche R., 51651.
Haarbleicher A., 1807.
Habich E., 527".
Hachette P., 3277, 353>35379.
Haentzschel E., 51650, 54915.
Hain E., 18844, 192е1.
Hajjaj ben Yusuf, 59.
Hall H. S., 85120.
Halley E., 478199, 583ю,‘ 587109, 591124.
Halphen G. H., 431,, 43197, 433105.
Halsted G. В., 43175, 96ie4, 5467.
Hamilton W. R., 3751, 419", 429,
429", 431, 431ю, 607157.
Hammer E. H. H., 55940.
Hansen P. A., 582".
Harriot Th., 14273.
Hart A., 354, 35491.
Hart H., 469, 4691®3.
Hattendorff К., 57371.
Hauptmann M., 598138.
Haussner R., 313202.
Hayashi К., 55831, 56049.
Heath Th. L., 61, 6151, 74", 82110,
85119, 92144We, 137ю, 263ю, 3051®5,
306172, S2477.
Heegaard P., 26113, 291121, 293122.
Heiberg J. L., 1550, 22м, 31114, 56м,
59, 59"» ю» м» ю, 61, 6131, 6235, 81107,
8511В, 94153, 1091вз, 115219, 116220,
117222, 118224, 1231» 3> 5, 1247, 125е»
io, 11,12 12613»14»15»17»18 12719
624
Elenco degli autori citati
12928, 13238, 13448, 137se, 13g57 , 58 , 59
14379.8°, 14482 . 83, 14892 , 97, 149ЮО
101, 102 151Ю7, 108, 109, 110, 111, 454U9
159125, 162127, 18313, 18419, 2191»3»4
2591, 260е, 3272, 405®°, 476193, 50233
520м, 522м, 523®1, 524е9»73» 7e« 78
530112, 545*.
von Helmholtz Н., 21, 435109.
Henry Ch., 2 3 68®, 3277, 475188.
Herbart C. F., 65.
Hdrigone P., 60, 63, 69®®.'
Hermann G., 5 5 42®.
Hermary M., 47 6191.
Hermes J., 274м.
Hermes О., 22318, 22630, 22740, 22845,
229*7, 23473, 268“, 304159-le2.
Herschel J., 569®2.
Hess E., 210123«126, 211127, 22215, 262,
263, 263м’27, 270, 273, 278м, 279,
280, 283, 28391, 284, 28494, ЗЮ194,
312, 312198»1®9, 313202, 320217.
Hesse К., 52799.
Hesse О., 22841.
Hessel Ch., 298, 298141, 299.
Hessel J., 320217.
Heymann W., 51341, 527".
Hilb E., 6131®®.
Hilbert D., 6®, 71®, 8, 10, 12, 13,
1339’40, 16, 19, 1971, 20, 2075, 21,
24, 26, 27103, 32, 34, 35130, 41, 43,
66м, 91142, 96, 13652, 292ш, 293122’
12Э, 294125, 499м, 500, 5ОО24- 27.
Hill М. J. М., 42, 42172.
Hillouse W., 527м.
Hirsch М., 298141, 299.
Hirst Т. А., 471175.
Hjelmslev J., 4701®*, 49617.
Hobson Е. W., 520м.
Hoffmann I., 92144.
Hoppe Е., 13857, 520м.
Hoppe R., 961®3, 249148, 298141, .299,
299143, 3051®9, 311197, 312198.
Horsley S., 50634, 523®7, 56557.
de 1’Hospital G. L., 527100.
Hossard P., 1915®.
Нойе! J., 559*2, 5 6 352.
Hovestadt H., 603154.
Hudson H. P., 23259.
Hugel Th., 320217.
Hultsch F., 561®, 6234, 82110, 87129,
92144, 9515®, 104181, 17013®, 187м,
20090, 3 1 8214, 3 2 74’5, 344м, 352®9,
489®, 49511, 5063*, 523е®, 52684-м,
530*11, 538130, 58091.
Huygens Ch., 274, 274®2, 291121,
52582, 535121.
Ibn-Iunus, 55 321.
Ingrami G., 66.
Ipazia, 476193.
Ipparco, 139®1, 275®®, 476193.
Ippia, 527, 529.
Ippocrate, 55, 56, 5618, 57, 5720,
92144bis, 148, 15812®, 537, 537130,
538130, 539.
Ipsicle, 59, 309185.
Jack J., 566м.
Jacobi C. F. A., 14583, 185м, 23582,
24512®, 247138, 248, 2481*2»1М»14®,
250158, 584102.
Jacobi C. G. J., 268, 26842. 283,
30 7175.
Jacoli E., 172149.
Jadanza N., 58397.
Jahnke E., 211127, 214131, 56049.
Jerabeck, 207, 208.
Joachimsthal F., 152112, 23474» 75«78,
246130, 247133, 590122.
Johnson S. H., 528100.
Jones W., 536128, 55220, 57372.
de Jonquieres E., 297131»134 298, 298141.
Jordan C., 16, 37, 38, 38161, 39, 39154,
45, 45183’184, 46, 13550, 291121, 298141,
299, 302148, ЗОЗ163’1M, 3041®2, 320,
32022a> 225 321227, 229
Jouanne, 527®°.
Juel C., 42, 42173, 3051®5.
Junghann G., 240104.
Kagan В., 421®9.
Kallenberg H., 54®.
Kant E., 68.
Kempe A., 527, 52793. ".
Kepler J., 93150, 169, 170, 17013®,
27250, 274, 274®1, 309, 309182»184, 313,
313201, 314209, 318214, 55731, 593129.
von Kerdkj&rtd B., 291121.
Kiehl H., 194®9.
Kiepert L., 207, 207114, 209.
Killing W., 411®3, 603154.
Kirkman Th. P. A., 298, 298141, 30315®,
304159, 162
Kivikoski E., 28597.
Elenco degli autori citati
625
Klamroth Н.» 59м.
Klein F., 27™, 211127, 268м, 291™,
293™, 294™, 295127, ЗО6173, 320,
33127, 33640, 34062, ' 345м, 34857,
3559®, 358™, 360113, 363, 36312°.121«
122, 364™, 365132, 366™, 367141, 491®,
516, 51650, 520м, 584м, 607™, 611,
611™, 612, 6121®0» ™.162•1вз, 613,
613™.™.™, 615™. 17°.
Klugel G. S., 179, 17 92, 54713, 577®1.
Knopp К., 298™.
Kochansky A., 53411®.
Koenigs G., 358™, 433™.
Kohler F., 5 5 839, 56047.
Koppemikus N., 584".
Korselt A., 51341.
Korteweg J., 41874.
Kortum L. H., 528, 5281*4.
Kotter К, 353м, 477193.
Krames J. L., 18 949, 867189.
Krimmel О., 19050.
Kubota T., 529107.
Kursch&k J., 50024.
Kutta W. M., 49511.
Lacroix S. F., 83™.
de Lagny Th. F., 554м.
Lagrange J. L., 139®8, 220, 2209,
233м’ ®B, 236®®, 245, 245™, 250™,
5453, 584", 602™, 615, 615171.
Laguerre E., 18949, 360112, 364127, .367,
367™, 48 1207.
Laisant C. A., 57474.
Lalande J. J., 5594®, 56047.
Lambert J. H.s 18631, 56049, 56251,
56352, 593129, 595184, 597137, 6021™.
Lamd G., 502s2, 51139, 51340.
Lampe Е.» 528101.
Landau E., 539, 5391SS.
Lange J., 188м.
Laurent H., 65м.
Lazzeri G., 40™, 41™. ™, 43174, 62s®,
65м, 465147, 478™, 527", 554м.
Leadbetter С., 477193.
Lebesgue H., 45, 45™, 129?®, 174,
174™, 273м, 274м, 297131» 134,
298140» ™.
Lefort F., 536127, 554м.
Lefschetz S., 291121.
Legendre A. M., 33124, 39, 63, 64,
65, 74м, 78е®, 95157’1®0, 10417®, Г09193,
112209, 11421®, 152112, 166130, 246130,
298™, 299, 300™, 304, ЗО51®3»™.
1M, 306, 306170, 310™, 53311®, 5453,
55119, 55219, 587™, 59011®, 602,
602150, 158
Lehmus D. Ch. L., 75.
Leibniz G. W., 532, 63, 291121, 3922®,
432102, 536127, 572".
Lemoine E., 179, 1794, 180, 181, 190,
19051, Wl“, 192, 192®°. ®2, 196, 198,
199, 200, 20091, 201, 202, 205, 206,
211, 212, 212129, 213, 214, 214™,
221, 239, 248™-147, 516, 51651, 518,
51852, 519, 520м.
Leonardo da Pisa, 83112, 133, 13340,
145®3, 153113, 267, 26737, 309.
Leonardo da Vinci, 159™, 2 20, 2205,
233®4»®5, 275, 27570, 3041®0, 3091®8,
3 1 8214, 495, 49513.
Leoncini N. M., 5 7 677.
Levi В., 6е, 71®, 1030, 1342, 18, 2594,
34, 35, 35™, 41™.™, 92144, 441132,
58 39®.
Levi F., 294121, 293™, 294™, 296129,
3031M, 310™, 321229.
Lewi Ben Gerson, 5 7 67®.
Levi-Civita T., 419®°, 615, 615174.
Lexell A. J., 434, 434™, 589™. 117,
590, 590120, 601, 601144. ™.14®. ™.
Lez V., 51341.
Lhuilier S., 179, 179s, 18314, 18737,
221, 233м, 237, 237", 238, 241,
£42, 295127, 298, 298™, 299, 299143,
'302™, 58193» M, 595, 595™, 602150,
609.
Lidonnici A., 92144, 538130.
Lie S., 243119, 360112, 367, 367140,
569®°.
Liersemann H., 590122.
Lietzmann W., 92144.
Lindemann F., 1807, 211127, 307179,
31 9214, 5 2 2.
Liouville J., 328, 32821, 363121, 468™.
160, 161
Listing J. В., 291121, 292122, 295127,
298™, 299, 299143.
Lobacevski N. L, 28™, 30, 36.
London F., 528.
de Longchamps G., 180, 18845, 19062,
198, 198®®, 199, 202, 203, 205, 206,
2O610®, 20811®, 527, 527е2’97.
Loria G., 545, 5619, 62s®, 65м, 92144,
139®1, 172149, 173™, 243119, 280м,
626
Elenco degli autori citati
ЗО41ео, 307179, 309185»188, 319814, 3271,
352е7, 362118, 478199, 481207, 506м,
52368,61,64,68 52488,70 , 71,78,74,76 , 77,78
52684,85 52780, 80, 91,92,M,05,98,87,94,99
530111»112, 538180, 598188.
Lormeau (pseud, di A. Poulain),
18312.
Lowe О., ЗЮ196, 314208.
L. P. F. R., 237м.
Lucas E., 18210, 352е7, 50025.
Luckey P., 153113, 160125.
Ludolph von Ceulen, 160125, 55731.
Maccaferri E., 8м» 21» м, 4417 .
Machin J., 536128, 57372, 57472.
Mackay J. S., 180е, 18632»M, i 188м,
193eE, 19988, 203м, 49511, 538130.
Maclaurin C., 467, 481207, 527, 52782.
Maggi G. A., 433104, 435111.
Magini G., 55731.
Magistrini G. B., 278, 27882, 287108,
310186.
de Magnac Aved, 598138.
Magnani T., 26328.
Magnus L. I., 23157, 470187, 472178»179.
Mahistre A., 65м.
Malfatti G. F. S., 351, 353, 35388,
354, 354м, 405, 449141, 470, 479,
50028, 515.
Mallet C., 297131.
Mancini G.; 13342, 309188, 318214.
Mandart H., 193е5, 206, 2O6108, 209,
209119.
von Mangoldt H., 37139.
la Manna G., 527м.
Mannheim A., 305187.
Marcolongo R., в24, 89137, 159125, 2205,
275в7, 309188, 379й, 39738, 414е5,
416е7»70, 41980, 435111»112, 440130,
4701в5, 49617, 523е2.
Marenghi С., 50128.
Marengoni А., 55218.
Mariantoni F., 527м.
Marietta G., 17е1, 34127.
Maroni А’, 297131»134, 299142, 30114в,
313202, 203 319214 215
Martinetti V., 598138.
Martini-Zuccagni А., 51341.
di Martino N., 167130, 322230.
Mascart F., 12721, 3271.
Mascheroni L., 469, 469le5, 496,
496le»18, 49 7 , 525, 5 2579, 534119.
Maskelyne N. M., 559, 55940.
Mathieu C. L., 14583, 581м.
Mathieu J. J. A., 18948, 19782.
Mauduit A. R., 578м, 602151.
Maurolico F., 583м,‘58 7109.
Maxwell J. С., 4 1980.
Mayer W. F., 615172.
M* Cay W. S., 181, 19681, 202, 202м.
Mehmke R., 13857, 139е8, 3.63124, 51651,
5453.
Meissel E., 615172.
Meister A. L. F., 26218, 26842.
Menecmo, 56, 523.
Menelao, 62, 74е7, 197, 198, 583м,
584м, 587109, 589113, 591124, 592124,
597187.
Menge H., 59м, 58398.
Mengoli Р., 168182, leg1*,'!?!144.
Mention J., 187м»88.
Мёгау Ch., 65м, 38113.
Mercogliano D., 610, 65м.
Meyer К. T., 247185.
Meyer W. F., 1807, 193е4, 203101,
210128, 23475, 236м, 473м1, 615172.
Mignosi G., 46195.
Minkowski H., 1444, 47197, 174, 174157.
Miquel A., 189м.
Misani M., 32822, 476191.
Mitzscherling A., 528™.
Mobius A. F., 95154, 146м, 228, 228м,
229, 229м, 260, 26012, 267", 268,
26842»«, 281, 282, 283, 285",
287104»100, 291121, 292, 292122, 293,
295127, 298141, 299, 302148»149, 304182,
306, ЗО6173, 307174, 313204, 319215,
320219, 328, 328м, 357104, 359109,
363120, 366185, 38010, 38214, 400м»47,
407е2, 408е3, 412е4, 41771» 72, 41875,
449142, 4701®7»1в9» 17°, 471, 480,
49310, 54915, 576м, 58398, 584", 603,
603154»155, 605, 606, 608, 609 610,
610158, 611, 612, 613.
Mohr G., 469м5, 496, 49617, 497.
Mohrmann Н., 294125.
de Moivre А., 564м, 568.
Mollame V., 35498, 50232.
Mdlweide К. В., 578, 57882, 594130.
Monge G., 220, 22010, 233е7»70, 234,
2347е, 235, 23581, 246, 246129, 248,
314, 328, 32810, 33644, 34958, 350е0,
351е1»ея, 352, 363121, 40556, 448140,
449ш, 477198, 48O204, 523.
Elenco degli autori citati
627
Montesano D., 189“.
Monti Р.» 528101.
Montucla J. Е.» 520й.
Moore C. L. E., 358™, 36518°, 366187.
Mordoukhai Boltovskoy D.,49928.
MorTey F., 249I“.
Mossotti O. F., 560*®,. 563й.
Moutard Th., 365181, 465™.
Mozzi G., 43 2101.
Muir Th., 199“, 27775.
Muller E., 1894®, 367“®, 515“.
Muller F., 366™.
Muller J. v. Regiomontanus.
Muller J. H. T., 245™, 319214.
von Munchow K. D., 54718, 54918.
Munk M., 227s7.
Muth P., 22787.
Naess A., 598™:
Nagel C., 181, 186м*»»84, 188, 190,
190м, 191.
Nallino С. A., 54814.
Narducci E., 91™.
Nasir Eddin, 584®®, 597187.
Natucci A., 297181.
Neper J., 55781, 558“ 59312®, 594,
594181, 595, 595™, 598, 599, 607.
615.
Neuberg J., 180, 1807, 181, 1863°.M,
190м»58, 19157’ 5®, 193“, 194е7»71’72,
19578’ 74» 75» “, 196®°» 81, 199 “,
201, 201“, 202, 202®7, 203™, 205™,
2071U, iw зов117, 209™, 210™,
211128, 212“®, 220, 22118, 2278®,
228“, 22Э47’ “, 23O4®» 50• 51’ 54
23155.58, 232®1’®2, 23478 235®°’“»“,
236“« ®7» “, 237®®’ B1. ®5, 238“’ ®7’
99 239100* 101 • 102’ 108 24010®’ 110
241111» 112, 242114» 115’ lle, 243117,
247133,138, is» 248142’148•144 249149*
150, 152 2 51160» 181» 182 • 188> 184 • 165
252138, 187, 188, 169, 170, 253171.
Neumann С., 29612®.
Newton I., 21, 63, 327, 327®, 34455,
352, 4Й1207, 506“, 523®7, 524, 52472,
52910®, 537™, 554“, 56587, 571®7,
57371, 578м’®5.
Nicholson T. W., 528100.
Nicoletti O., 42171’ 172’ 178, 27352, 321280,
4884« 5.
Nicold. Cusano, 532115.
Nicomede, 523, 529.
Niewenglowski В., 43174.
Nitz К., 516м.
Nix L., S2477.
Notari V., 528102, 56358.
Nother M., 231м.
Nunez P., 478, 47819®.
Nystrom E. J., 598™.
d’Ocagne M., 188“, 192®°, 198“, 575“,
598™.
Ohm M., 569®2.
Olivier L., 298141.
One S., 189“.
de Oppel F. W., 55220, 578®2, 60013®.
•601, 601148.
Osgood W. F., 451®3.
Ostwald W., 18631, 188“, 49820.
Oughtred G., 57, 91141.
d’Ovidio E., Э27, 1652, 66, 82110, 94™,
158™, 531118, 532™, 533117, 535™.
Ozanam J., 530lu.
Расё J., 27775.
Pacioli L., 93150, 13341’ “, 145“, 267,
267“, 272м, 274, 274®°, 275е®,
308™, 309, 309™, 318™, 580®1.
Padoa А., 8й’24, 34х8®, 144®3, 171148,
274м, 27673, 5521®.
Palam& G., 27775.
Palatini F., Il32, 1657’®°, IT®1, 2177,
35™, 39™, 41™, 43174, 66, 69е®,
77“, g2110, 106™, 107187, 26114,
527®®.
Pampuch A., 354“. x
Panizza F., 319214.
de Paolis R., 401®®, 65“, 9018®.
Pappo, 54, 561®, 62, 62“, 63, 8211®,
87™, 92Ш 95Ш, 104iBi, 170im
187“, 200®°, 3041®0, 309™, 318814,
327, 3274’ 5, 344“, 349м, 351“, 352,
352«®, 489®, 49511, 506“, 513, 523“,
526, 526“.“, 530111, 538™.
Parmenide, 56.
Pascal A., 52810°.
Pascal В, 53, 6®, 41, 63, 8712®, 172™,
173™, 201, 467.
Pascal E., 27457»“«“.
Pascal S., 527.
Pasch M., 6®, 12, 13, 1388, 2$, 66м.
Pasquier E., 139“.
Patemd E. P., 598™.
Peano G., 611, 717, 8, 8м, 13, 13“.“,
628
Elenco degli autori citati
14, 1446, 22, 22м, 23, 2592, 33, 34126,
35131, 3613e, 37, 37143, 38146» 15°, 45,
46, 132, 1323®’37, 139е5, 14170, 146,
159125, 38417, 39125, 393м, 397“» 41,
39842, 41465, 416м, 425м, 436пе,
569е2.
Peaucellier А., 469, 469162.
Peet Т. Е., 167130.
Perks J., 530112.
Perrin, 528100.
Pesani Е., 55219.
Pesci G., 55832, 5 6 б, 5757в, 590120,
598138, 602151»152.
Peters J., 55831.
Petersen J., 354, 35493, 50232.
von Peuerbach G., 5 8 499.
Peyrard F., 61.
del Pezzo P., г'гэ48.
Piani D., 260n, 26221, 27250, 278,
2 7 882
Pieraccini, 52580.
Pieri M., 51» 4, 818, 34125» 126> 35131, 1зз
210122, 28597, 38O10, 38113, 38316’
39333, 395“»“, 39637, 40047, 40252,’
414е5, 416е8, 42483, 42685» “» 87, 432",
430114, 115, 117, 118 437119, 120, 121, 122
439125,126,127, 440129, 445135, 446139,
46715€, 468157»15e.
Pigeon H., 27885.
Pincherle S., 30111, 565, 566“.
Pitagora, 55, 57, 58, 8O105, 89, 91,
91144, 921*4, 95159, 12721, 250, 308,
57678, 57779, 584101, 595.
Pjpscus В., 55731, 57575.
Pitsch J., 3 20217.
Pittarelli G., 309188.
Plateau J. A. F., 527.
Platone, 56, 7795, 12721, 219, 249, 308,
308182, 4872, 524.
Platone G., 49923.
Platone da Tivoli, 70е9, 79101.
Plucker J., 327, 3273, 328, 32819,
33229, 334м, 33641»44, 33747, 33849,
34253, 34857, 353, 353м, 35598,
4641M, 479201.
Ротсагё H., 612, 291121, 300144.
Poinsot L., 153115, 18418, 260, 26011,
261, 262, 2 6 220» 21, 263, 26325, 268м,
269, 270, 2725Э, 286, 287103, 288,
289115, 290, ЗЮ196, 312, 313202» 203,
314.
Poisson S. D., 352, 35274.
Poncelet J. V., 18526, 1894®» “, 199“,
213, 22214, 280“, 328, 32813»14,
329м, 336м, 34253»54, 345“, 34857,
349“, 351е2» ез, 352е®, 353, 35382,
356100, 360112, 3787, 39739, 41876,
41977, 498, 49820, 499, 586105.
Porfirio, 7383.
Poseidonio, 85117.
Pothenot L., 508, 583, 58397.
Potin L., 55831, 56049.
Poudra N. G., 209121.
Poulain A., 1807, 18210, 18312.
Predella P., 163128.
Pringsheim A., 32118.
Procissi A., 35389.
Proclo, 531, 54е, 55 , 558» 9»12, 5617»19,
63, 70е7, 7377, 78, 79, 83, 7486,87, 85117,
118,119, 26325, 309184.
Prouhet E., 297131.
Puchta A., 312198.
Purser W., 578м.
Quemper de Lanascol A., 496le.
Querret J. J., 589113.
Rademacher H., 26223, 268м, 289115,
. 291120»1?1, 293122, 296129, 298141,
300145, 303152, 304161»182, 305165»1M,
306ln, 307174, 320221.
Radike A., 527".
Rados G., 268м, 27775»7e.
Rajola-Pescarini L., 961®3.
Ramus (de la Ramde) P., 84lle, 309184.
Raschig M., 298141, 299143.
Rausenberger О., 401ез.
Ravaisson-Mollien Ch., 27570, 49513.
Regiomontanus (J. Muller), 2 7 250,
55731, 584", 588111, 597137.
Reidemeister К., 287loe, 291121.
Reiff R., 536124.
Reimer N. T., 52055.
Reinhardt С., 293123, 302148.
Retali V., 86128, 219, 473181.
Rdthy M., 43.
Retico G. J., 55323, 556, 557, 55731,
578, 57883, 597137.
Reye Th., 22318, 231“, 243, 243119,
328, 32822, 33127, 33229, 33434, 33537,
33748, 34052, 34253, 345“, 34857,
349“, 35597» “»", 356101, 357102,
3581®6»108, 359, 359109, 361, 362118»
119, 476191.
Elenco degli autori citati
629
Reynolds C. N., 304162.
Rhind, 547, 153113, 159125.
Riboni G., 2 3 790, 240104» i" 249151.
Riccardi P., 6029.
Riccati V., 54713, 56049, 56150, 562м,
56353, 564м, 565м
Ricci M., 173154.
Richardson L., 592124.
Richelot F. J., 27457.
Richer J. F., 598138.
Ridolfi L., 52796.
Riemann В., 28106, 30, 36, 168132,
291м1, 295M7, 296м9» 13°, 299, 300144,
570м.
Rietti G., 12616, 2592.
Ripert L., 214131.
Rivard D. F., 83112.
Roberto di Bruges, 476193.
Roberts S., 23583, 239103.
de Roberval G. P., 50635, 52790.
Rodrigues О., 38823, 39125, 429, 42991,
430м» 96, 435111.
van Roomen (Romanus) A., 5 5 731.
Rosanes J., 210124.
Rosati С., 25е®, 66.
Rosenthal А., 77м, 320217.
Rouch6 E., 66, 78е®, 117221, 1807, 220,
221м, 313202, 353м, 466151, 476м0,
476191, 481207, 532115.
Rousseau J. J., 65.
Rovetti С., 144м.
Row T. S., 85120.
Rozzolino G., 114м®.
Rudio F., 921445is, 158125, 159м5» 535122,
538130.
Rufini E., 6131, 14897, 150102, 15110\
168131» 132, 169136.
de Ruggiero G., 68.
Russell B., 818» 1970.
Sabbatini. A., 35388, 35495, 4871, 51139»
5 2 799.
Sacchi I., 93145.
Sachs E., 10217®, 308180.
Saladinr G., 54713, 56049, 564м, 565м.
Salfner E., 598138.
Salmon G., 1894®, 22630, 24512®, 334м,
33537, 33644, 34052, 349м, 351®2,
35388, 357103»10Б.
Sannia А., Э27, 1632, 66, 82no, 941M,
158121, 531113, 532115, 533117, 5351B1.
Sansone G., 152112, 322230.
de Santillana G., 545, 12721, 159125.
Sbrana S., 46190.
Scardapane N. M., 35389.
Scarpis U., 273м, 55630.
Schatunowski О., 43174.
Scheffers G., 243119.
Scheffler H., 312198, 53512\
Schiaparelli G. V., 470168, 472, 47217®»
179, 476, 476192, 528101.
Schilling F., 607м7, 615, 615170.
Schlaefli L., 28391, 284м, 29412®,
300144, ЗЮ194, 311197, 312198»199,
3132°2.
Schlegel V., 312198, 322230.
Schldmilch О., 19155, 357104, 52792,
573м.
Schmidt A., 249148.
Schmidt W., 52477.
Schoeler H., 528101.
Schoenflies A., 1031, 37, 37143, 290118,
3041®2, 41875, 43 197, 4 3 310®, 435112.
Schone H., 13239, 27569.
van Schooten F., 95155, 18 633, 35270,
53512\ 55425, 57884.
Schoute P. H., 202, 20297, 300144,
306170, ЗЮ19®, 312198’199, 3 1 3202,
3 1 9214, 32 1230, 52798,
Schroter H., II7221, 1884®, 210125,
211127, 214131, 223м, 22630» 33,
2273®» м, 23473, 242, 242117, 243,
24713®» I38, 248140, 354, 35492.
Schubert H., 305м9, ЗО6170.
Schiilke A., 139®3.
Schulz K. F., 58398, 586i°®, 588H2,
589113»П7 590м0, 591м3.
Schumacher H. C., 26842, 58499.
Schur F., 69, 18е8, 401®3, 961®3, 2 2 630,
22737.
Schwab J. Ch., 532i15, 533118.
Schwarz H. A., 612, 6121®1.
Scorza G., 46189, 7071, 293122, 33025,
334м, 34052, 34253, 3455®, 34857,
35598, 38P3, 383i5, u 38620> 39333,
398м, 399м, 4004®, 402й, 419’9,
423м, 424ю, 442133, 4431м, 44613Я.
Scott Ch. А., 2851°°.
Sculteti А., 57 575.
von Segner J. A., 587no.
Segre В., 87129, 131м, 210128, 22Э4®,
246132, 26740, 291121, . 32823, 379®,
$86i°5;
630
Elenco DEGLI AUTORI CITATI
Segrfc G., 598138.
Seidelih C., 298, 298141.
Seifert,H., 291121, 322"°.
Sereno, 117223.
Serini R., 132s7.
Serret J. A„ 274м, 27673, 559, 559“
584", 609.
Serret P., 242, 242114, 50232, 51340.
Servais C., 244, 244122»123.
Sesostri, 546.
Severi F., 1444, 39154, 46195, 66, 82110,
85117, НО196, 111Аз> 204, 17<15в, 157,
22319» 2°, 26117 , 285", 291121, 293122,
2941", 2961", 300144, 3041®2, 349м,
35162» 363120, 401", 4641", 4908,
4929, 49719, 499, 49923, 502, 50230,
51344, 526", 528104.
Seydewitz F., 41874, 47117B.
Sforza G., 42170, 28391.
Shanks W., 160125.
Siacci. F., 58397.
Sibirani F.,471", 1741"»157.
Silvestro II, v. Gerberto.
Simon H., 50024.
Simon M., 544, 6443, 92144, 94154, 1807,
18 420, 188", 189", 19051, 191",
220, 23477, 313202, 353", 354", 3786,
40559, 476191.
Simplicio, 158125, 53813°.
Simson R., 61, 63, 951", 199", 231,
240, 241, 242, 244, 3051".
Sinesio, 476193.
Sittignani M. G., 27102, 170138, 1721".
de Sluse R. F., 523, 523е3.
Smith H. J. S., 528, 528104.
Snellius W., 1601", 528100, 582, 582",
583, 58397.
Sommer J., 1807, 353", 405", 4871,
541.
Sommerfeld A., 435112.
Soons L., 18947.
Sorlin, 586105, 589P6, 601147.
Sparagna A., 272".
Specht C. G., 534126.
Spengel L., 158125, 538130.
Sporer B., 2 7 8 , 2 7 883.
Stackel P., 26842, 292122, 31219®.
von Staudt G. C. Ch., 152112, 210122»123,
220, 22011, 235", 243118, 245127,
246, 274", 285е7»"» ", 2941", 298141,
299, 299142, 477193, 600, 60014°.
Steiner J., 75, 18526, 18634, 188", 189";
190", 193"’ ", 195, 196, 19681, 197,
199", 2O4102, 205, 205105»106, 206,
207, 207115, 209, 212м9, 213, 214,
229", 23Q49, 23473, 236", 23792,
24O107, 241, 242, 247133, 250158,
298, 298141, 328, 32815, 331", 33229,
33537, 33641»44, 337", 338", 34988,
35162»", 352е7, 353, 35383, 354,
354"»", 357104, 404", 498, 49820,
499, 538130, 589U5»117, 590, 590118»120.
Steinitz E., 26010, 262м, 26429»31»32,
265"»", 268", 289115, 291120»121,
293122»123, 296129, 298141, 300145,
301147, 302, 302151, 303152»1M, 304161»
162,163, 305165, ieo, зоб171; 307174»176»
Ш, 312199, 313204, 314209, 315210»211,
319s1®, 32 0217» 218»al, 321"°, 322"°.
Stenstrom О., 22316.
Stephanos С., 22318» 19« 20, 224", 225",
3051®7, 35810®, 393s2, 433, 615, 615173.
Stevens F. H., 85120.
Stolz O., 31.
Stringham W. J., 312198.
Struik R., 1234.
Struve W., 557, 61, 89137, 153113,
167130.
Stubbs J. W., 464144.
Study E., 353, 35385, 396s7, 433,
433107, 435112, 4401", 4411S1, 583",
6031"»1", 607, 607157, 609, 610,
610153, 611, 6111", 613, 6131", 614,
6141®7, 6151"»1®9.
Sturm A., 520".
Sturm R., 6547, 193", 229", 231м,
232®°, 243119, 416", 471172.
Suida, 308181.
Sundara-Row T., 500".
Suter H., 14583, 54814, 57678, 57779,
58091.
van Swinden J. H., 18522., 23582, 584102.
Sylow L., 569®°.
Talete, 55, 63, 70®7, 7377, 83113, 881",
98, 981", 99, 991®7.
Tannery J., 50233.
Tannery P., 116220, 1581", 1591",
236", 2501", 3 2 77, 4 75м8, 50233,
523", 524е9, 531114, 5381SO.
Tarry G., 181, 195, 196, 19680, 202,
207, 51651, 520, 615170.
Tartaglia N., 60, 60*ei1*^1",
111207, 133, 13344, 152112, 220, 245,
Elenco degli autori citati
631
245127, 27250, 297134, 309, 309189,
319214, 496, 49615.
Taylor A. E., 308182.
Taylor H. M., 201, 201м, 214.
Teeteto, 12721, 308, 308ш, 502м.
Teixeira F. G., 520м.
Teodoro, 12721.
Teodosio, 80105, 583м, 584100»101.
Teone, 59.
Terquem О., 313202.
Terracini A., 33127, 33597.
Thibaut B. F., 85120.
Thibaut G., 911*4.
Thieme H., 23475, 242117, 298141, 299.
Thieme H. T., 96164.
Third J. A., 2101M.
Thirion J., 13983.
Thomae J., 569е1, 570м.
Thomson J., 5467.
Thomson W., 328, 32820, 464144,
473182, 48O203.
Threlfall W., 291121.
de Tilly J., 500м.
Timerding H. E., 94150.
Tischer G., 166130.
Todhunter I., 558, 558м, 56047.
Toffoletti С., 94154.
Togliatti E. G., 87129, 15O108, 209121,
229м, 27047, 273м, 321мо, 328м,
378, 38214, 4691М, 4873, 523е0, 56049,
586105.
Tognoli О., 61.
Tolomeo С., 62, 62м, 63, 94, 139е1,
476193, 477, 477194, 5451»4, 546е,
54711, 54814, 55119, 55219, 554м,
55529, 57678, 57780, 579м, 584",
591124, 595133.
Tolomeo Primo., 5619.
Tonelli А., 295127.
Tonelli L., 136й, 17415e.
Tonolo A., 615174. '
Tonski J., 58O90.
Torricelli E., 63, 169, 172, 172145-
148. 149, 173154, 193м.
Tortorici P., 174157.
Treutlein P., 65м.
Tropfke J., 545, 74м, 7590, 93150,
109194, 12721, 13857, 139е1»83, 14273,
14583, 146м, 150103, 153113, 15812\
1591M, 1791, 1807, 19783, 220, 249153,
259е, 26010, 267м, 27569, 307179,
ЗО8180» ш, 3091М, 3271, 405м, 531114’
535121, 541, 5454, 54814, 55017, 579®7>
58091, 58194, 584100, 5921М»1М»1М,
595133, 601149, 602153.
Trudi N., 1894®.
von Tschimhaus W., 530112.
Tucker R., 20092» ", 201, 2019зМ5,
252, 253.
Turchetti M., 3051ез»1M.
Turri T., 51341.
Тигпёге E., 467155, 481207.
Unferdinger F., 245128.
Urciuoli A., 931M.
Ursinus В., 55731:
Vacca G., 15", 61, 14272« 73, 274м,
588111.
Vahlen Th., 4918, 500м, 51651, 528100.
Vailati G., 6е, ll32, 1237, 96le2»163.
Valerio L., 169, 169135.
Valerio Massimo, 5619.
Valij J., 2101M, 22215, 22631.
Vargiii G. I., 525, 52582.
Vasari G., 309188.
Vassura G., 172149.
Veblen О., 77м, 291121.
Vecten, 19470, 250lfie.
von Vega G., 558, 55833, 559, 55942.
Velten A. W., 591123.
Veneroni E., 18, 7071, 3831Б>le, 38620,
39333, 39843, 39944, 40048, 40251,
403м, 41979, 42482, 442133, 443134,
446138.
Vercellin R., 58194.
Veronese G., 55, 6е» 9, 9м, 1030, ll32,
16,165e, 17, 18, 20, 21, 2177»78»79, 24,
2595, 31. 32 33124, 35, 35133, 36, 361M,
411ез, 43174, 46, 66, 66й, 7693, 22318’
19,20,2i^ 22422’23’24.26»2®, 22527, 230м.
Viёte F., 109194, 327, 327е, 34958,
351м, 352, 35278, 464i« 535122, 5454,
54918, 55321»«, 554м, 55537, 577,
57779, eo, 57781, 584"' 586105, 5921M,
593128, 597137.
Vigari6 E., 184м, 18844, 19050.
Viglezio E., 140м.
Villapando P., 52471.
Vitali G., 38148, 45, 1248, 535122.
Vitellione, 86127.
Vitruvio, 15912^.
Vivanti G., 471M, 13134, 174188, 435113,
57083.
632
Elenco degli autori citati
Viviani V.» 6131, 1721", 193“, 523,
523“ 524, 52471.
Vizzini G., 46195, 26117.
Vogt H., 24O107, 248ш.
Vranic V., 598138.
Wachter F. L., 312198.
Wagner J. E., 527".
Wallace W., 199, 199м, 200, 205, 207.
Wallenberg G., 500“.
Wallenius M. J., 539, 539132.
Wallner C. R., 148м.
Wallis J., 535, 535123, 568®°.
Wantzel P. L., 49310, 520м.
von Wasserschleben, 527".
Weber С., 322280.
Weber H., 139е2, 35810e, 401м, 51651,
603154, 607157, 610158, 6111".
Weddle Th., 22841.
Wedekind L., 210125.
Weierstrass K., 30, 31, 38150.
Weis F., 172149.
Weissenbom H., 6027» ".
Wellstein J., 139е2, 401м, 51651, 603154,
607157, 610168, 611159.
Werner J., 55321, 584".
Weyl H., 289116.
Wieleitner H., 211125, 2501M,523“.
Wiener Ch., 26011, 262, 26220. 21. »,
263, 26327, 264“.», 26842, 270,
272", 279, 281, 282, 283, 284,
312, 3121", 313202, 314, 314205,
5 1 649.
Wiener H., 39687, 426м.87, 428",
440128.
Wiemsberger P., 27774» 78, 2 7 879^81.
Wilson E. В., 416“.
Winjan A., 22316.
Wipper J., 92144.
Witting А., 516м.
Woepcke F., 274", 275“ 49512.
Wolf R., 26480.
Wolffing E., 528100.
Yanagihara К., 49511, 4961®.
Young J. W., 610.
Zacharias M., 94154, 1807, 18634, 220,
35#®, 35495, 405", 4871, 541.
Zamberti B., 60, 60".
Zampighi A., 528100.
Zapelloni M. T., 941M, 1234, 134м,
2592, 2632®, 55119.
Zeeman P., 18630, 23479, 241112.
Zenodoro, 267.
Zenone, 56.
Zeuthen H. G., 100172, 1261®, 12721,
2193, 285", 3271.
de Zolt A., 40, 40ie°*181 •ie2, 41, 43, 90,
91142.
Zondadari E., 526м.
Zoretti L., 37138. 139, 77е4.
Zuhlke P., 516м.
ERRATA
Volume I - Parte II 36 37
pag. 7: nelle prime due linee dopo la formola mutare n in d.
» 19: nella seconda linea della nota 4) cangiare la data 1798 in 1799.
» 31, linea 25: in luogo di: a2), (<h a3), (a2a4)
leggasi: (th a2), (a3 Gh аз), (^2^4),
aggiungendo: e il gruppo di pag. 56, linee 18, 19.
» 216, linea 13 in luogo di: у = (xt — x) leggasi: у = (x{ -
» 216, » ultima » hp3 » 4/>3
» 221, » 5 » » y(x)
» 225, » 5 dal basso » p2n » p2”
» 226, » 15 » segn* * segni
» 226, » 5 » » Ne » 4. Ne
» 227, » 1 » Ne » 5. Ne
» 227, » 8 dal basso » y0+l)(x) » /(’+1H*)
» 232, » 13 » » (x) » (n)
_^+l
» 235, » 4 » » L * » (2L) 2
» 235, » 4 » » h » L
» 238, » 7 » » f(P » ЛР)
» 310, nota 183) aggiungasi: Cfr. anche G. Bellavitis, Mem. 1st. Ven., 3 (1845),
p. 212; C. A. Dell’Agnola, Atti 1st. Ven., 82, P. II (1923), p. 755.
» 315: alle linee 4-7 dal basso si sostituisca:
(36) an u2z — 2 a12 ux u2-\-a22 u^=a12 u2 w3 — a22 ur u3 — a13 u2z-\-a23 u2 = 0
non si ha alcuna soluzione (quando fosse A33$ 0, la seconda delle condizioni
precedenti si pud sostituire con:
(37) щ A13 t/2 A23 + u3 A33 = 0).
Il sistema (32) e indeterminate se i coefficient! della (33) sono tutti
nulli.
» 469 aggiungasi: d) Reciprocamente ogni funzione che soddisfa alia relazione
precedente, ed e tale che in qualunque punto (л^, xn.. ., xn) esista
lim f(tx\, t x2,..., t xn)/tm, e omogenea di grado m.
x=0
» 499: nell’ultima formola, che esprime il cambiamento delle variabili negli in-
tegral! multipli, il jacobiano si deve prendere in valore assoluto.
» 506: in luogo di: nota 89 leggasi: nota 80
e aggiungasi: il primo inviluppo e di E. Torricelli. Avvertiamo che piii in
generale chiamasi inviluppo di una famiglia di curve piane una curva che
tocchi in ogni suo punto una curva della famiglia. V. Ch. J. de la Vallee-
Poussin, Cours d*Analyse infinitesimale, 2, Louvain-Paris 1928, p. 391-402.
» 517: nella nota *3) si richiami la nota 80).
634
ERRATA
Volume II - Parte I
Pag. 62: linea 5 dal basso in luogo di: XXXI leggasi: XXX
65: » 6 » » Trevtlein ». Treutlein
» 96: » 6 » » Blasi » BlASI
» 109: » 3 » » XXXI » XXX
» 137: » ulitma » An » Al
202: » 3 » » M) » M)
» 274: » 13 » » Wopke » Woepcke
» 275: » 25 » » Wopke » Woepcke
» 277: » 7 » » F. Muir » Th Muir
» 291: » 5 » » Kek^kjArto » Ker^kjarto
» 304: » 13 » » Mem Soc. » Mem Lit. Phil. Soc.
Manchester Manchester
» 418: » 9 »> » Kortewey » Korteweg
» 433: » 2 » » Konigs » Koenigs
» 523: » 7 dopo Nicomede aggiungasi M)
» 536: » 6 dal basso in luogo di: F. Gregory leggasi: J. Gregory
» 538: » 2 » » Macyak » Mackay
1 3 1 3
» 557: » 11 » » — -1
5 • 2е ' 5 • 2* 3 • 2* 5 • 2е
» 575: )> penultima » p. 331 » 309, 331
» 615: » 5 dal basso » Mayer » Meyer
Aggiungere all’Indice degli Autori citati: Brisson В., 405м.
ENCYCLOPEDIA
DELLE
MATEMATICHE ELEMENTARI E COMPLEMENT!
CON ESTENSIONE ALLE PRINCIPALI
TEORIE ANALITICHE, GEOMETRICHE E FISICHE
LORO APPLICAZIONI E NOTIZIE STORICO-BIBLIOGRAFICHE
L. BERZOLARI - 6. VIVANTI - t D. GIGLI
VOLUME PRIMO — Parte prima
Logica (A. Padoa) - Aritmetica generale (D. Gigli) - Aritmetica pratica (E. Bortoloti e D. Gigli) - Teoria dei numeri, Analisi
indeterminata (Af. Cipolta) - Progression! (A. Finzi) - Logaritmi (A. Finzi) - Calcolo meccanico (G. Tacchella),
Un volume in-8, di pagine xvi-452 (Ristampa anastatica 1957) .............................................L. 1600
VOLUME PRIMO — Parte seconda
Calcolo combinatorio (L. Berzolari) - Elementi della teoria dei gruppi (L. Berzolari) - Determinant! (L. Berzolari) - Equazioni
lineari (L. Berzolari) - Sostituzioni lineari. Forme lineari, bilineari, quadratiche (L. Berzolari) - Funzioni razionali di una о pib
variabili (f O. Nicoletti) - Propriety generali delle equazioni algebriche (f O. Nicoletti) - Equazioni di 2®, 3°, 4° grado ed altre equa-
zioni algebriche particolari, Sistemi di equazioni algebriche di lipo elementare (E. G, Togliatti) - Metodi per la discussione dei
rrobiemi di 2° grado e cenno su quelli di 3° e 4° grado (2L Marcolongo) - Limiti, serie frazioni continue, prodotti infiniti (G. Vi-
tali) - Elementi di analisi infinitesimale (G. Viuanti) - Rapport! fra ia teoria degli aggregati e la matematica elementare (G. Vi-
uanti) - Le funzioni analitiche da un punto di vista elementare (S, Fincherle),
Un volume in-8, di pagine xvi-612 (Ristampa anastatica 1957)..............................................L. 2000
VOLUME SECONDO — Parte prima
Fondamenti di geometria (f P. Benedetti) - Propriety elementari delle figure del piano e dello spazio (E. Artom) - Teoria delk. mi-
sura (f D, Gigli e L. Brusotti) - Geometria del triangolo (f V, Retali e G. Biggiogero) - Geometria del tetraedro (G. Biggiogero) -
Poligoni e poiiedri (L. Brusotti) - Sistemi lineari di cerchi e sfere (B. Colombo) - Trasformazioni geometriche elementari (U. Cas-
sina) — Problemi geometrici elementari e classici, funzioni circolari e iperboliche, trigonometria piana e sferica (A. Agostini),
Un volume in-8, di pagine xvi-636 (Ristampa anastatica 1958)..............................................L. 2000
VOLUME SECONDO — Parte seconda
Massimi e minimi (E, G. Togliatti) - Teoria elementare delle sezioni del cono e del cilindro rotondi (j G. Lazzeri) - Elementi di
calcolo vettoriale (f C. Burali Forli) - Geometria analitica (B, Segre) - Geometria proiettiva (E. G. Togliatti) - Geometria descrit-
tiva ed applicazioni (A. Comessalti) - Curve e superficie speciali (G. Loria) - Geometrie non euclidee e non archimedee (G. Fano)
Geometria elementare e matematiche superior! (O. Chisini).
Un volume in-8, di pagine xn-576 (Ristampa anastatica 1951)...............................................L. 2000
VOLUME TERZO — Parte prima
Sistemi e unita di misura (G. Giorgi) - Teoria generale delle dimensioni fisiche; sue caratteristiche applicazioni (P Straneo) -
Metodi di calcolo vettoriale e spaziale. Notizie critiche e comparative (G. Giorgi) - Calcolo matriciale (G. Giorgi) - Meccanica
razionale (f A, Palatini) - Calcolo grafico e statica grafica (E. Daniele) - Fisica classica (Л4. Pierucci) - Cosmografia e cenni di
meccanica celeste (L. Gabba) - Ottica geometrica (G. Giotti) - Cristallografia e fisica cristallografica (R. Serini) - Topografia e
strumenti topografici, elementi di geodesia (G. Cassinis • L, Solaini) - Teoria della relativity (f A. Palatini) - Materia, irraggia-
mento e fisica quantica (P. Straneo),
Un volume in-8, di pagine xii-966 (Ristampa anastatica 1958)..............................................L. 3000
VOLUME TERZO — Parte seeomia
Approssimazioni numeriche (17. Cassina) - Calcolo delle probability (F. Sibirani) - Metodologia statistical la misura dei tene-
ment collettivi (C. Gini) - Matematica finanziaria (T. Boggio) - Matematica attuariale (T. Boggio - F. Giaccardi) - Matematica
ricreativa (f Af. Cipolla) - Storia della matemati a elementare (f E. Bortolotti) - Caratteri e indirizzi della matematica mode*na
(F. Severi - F. Conforto) - Storia del pensiero fislco (At. Gliozzi) - Questioni didattiche (L. Brusotti) - Appendice: Sui fonda-
menti della geometria (G. Giorgi),
Un volume in-8, di pagine xx-1040 (Ristampa anastatica 1954)..............................................L. 3000
VOLUME TERZO — Parte terza
Metodologia statistics: integrazione e comparazione dei dati (G. Cini) e G, Pompilj),
1953, in-8, di pagine iv-220 ........................................................................(tn ristampa)
EDITORE ULRICO HOEPLI MILANO