Автор: Sánchez M.J.
Теги: storia matematica i geni della matematica rba storia della matematica numeri naturali
ISBN: 2531-890X
Год: 2017
Текст
Pitaqora
GENI
della
MATEMATICA
Il teorema più famoso
della matematica classica
Pitagora
RBA
MARCOS JAÉN SÁNCHEZ è giornalista e divulgatore.
I Geni della matematica
Pubblicazione periodica settimanale
Anno I - Numero 19 - Milano, 14 settembre 2017
Edita da RBA Italia
Via Gustavo Fara, 35 - 20124 Milano
Responsabile editoriale: Anna Franchini
Responsabile marketing: Tiziana Mandameli
Direttore responsabile: Stefano Mammini
©2012 Marcos Jaén Sánchez per il testo
©2016 RBA Coleccionables, S.A.
© 2017 RBA Italia S.r.l. per la presente edizione
Impaginazione e adattamento: Lesteia, Milano
Copertina: Lorenç Marti
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ISSN 2531-890X
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Stampato nel 2017 presso LIBERDUPLEX
Tutti i diritti riservati. Nessuna parte di questa pubblicazione
può essere riprodotta o diffusa senza il consenso dell’editore.
Sommario
INTRODUZIONE 7
CAPITOL01 Realtà e mito di Pitagora 15
CAPITOLO 2 II teorema 33
CAPITOLO 3 La setta dei pitagorici 6i
CAPITOLO 4 Un universo basato sul numero 77
CAPITOLO 5 L’armonia del cosmo 107
CAPITOLO 6 II fallimento dell’aritmetica universale 127
CAPITOLO 7 Pitagorici e neopitagorici 145
LETTURE CONSIGLIATE 163
INDICE
165
Introduzione
Gli studi che si sono occupati di Pitagora si sono sempre dibattuti
tra l’ammirazione e il sospetto. Col passare dei secoli la filosofia,
la filologia classica e la storia della scienza, desiderose di mante¬
nere pura una visione dell’antica Grecia come origine del pensiero
logico moderno, hanno escluso alcuni aspetti del mondo greco
perché considerati superstizioni. Tuttavia, le evidenze che con¬
traddicevano questa concezione solida e lineare di una Grecia
classica razionalista esistevano fin dall’Antichità, e si affacciavano
timidamente nelle opere di alcuni autori. A poco a poco questa
visione alternativa si è fatta strada e oggigiorno è possibile profi¬
lare un quadro molto più complesso dello spazio intellettuale abi¬
tato dagli antichi greci.
D pensiero della Grecia arcaica e classica fu il risultato di un
insieme di elementi che includevano il misticismo e la religione,
una combinazione difficile da comprendere per la mentalità con¬
temporanea, modellata sulla base della tradizione positivista
dell’Illuminismo. Pitagora di Samo è indubbiamente l’esempio più
rappresentativo di questa complessità. Per molto tempo, la sua
personalità è stata considerata unicamente per la sua dimensione
di genio matematico. Sotto quella prospettiva, un’approssima¬
zione più dettagliata gettava il curioso in un labirinto di scomode
zone d’ombra. Ora come ora, la maniera migliore di avvicinarsi al
suo personaggio è quella di considerare tutti gli strati che compon-
7
gono la sua identità in maniera indissociabile: Pitagora mago e
matematico, uomo dalla conoscenza razionale e irrazionale allo
stesso tempo.
D contributo del saggio di Samo si sviluppò nell’ambito della
religione greca. La concezione più popolare di questa religione
coincide con l’idea del pantheon degli dei che ha riempito di icone
la narrativa occidentale. In realtà, gli dei dell’Olimpo sono solo
uno strato successivo; prima di esso si trova una superficie più
antica, che ha a che vedere con il mondo sotterraneo e il miste¬
rico. Fin dall’epoca arcaica, i greci erano in contatto con popoli
come i traci o gli sciiti, che li influenzarono fortemente. Pitagora
emerse in questo mondo ed estese la sua magnifica ombra di uomo
religioso allo stesso tempo coinvolto nella riflessione scientifica
nel mondo greco. L’ambivalenza di Pitagora è la prova evidente
che non si può separare l’origine della filosofia (parola che si
crede, erroneamente, sia stata inventata da Pitagora) dalla reli¬
gione greca. Per i greci, l’ispirazione dell’intelletto era divina. I
poeti e i saggi dell’antica Grecia erano vicini agli dei così come i
profeti e i sacerdoti. Pitagora fu elevato a una categoria divina e,
difatti, è la prima figura di uomo-divinità conosciuta nel mondo
occidentale, che riuscì a riunire attorno a sé una setta di seguaci
che aderirono alla sua dottrina.
Al contrario di quello che sospettano alcune voci, non c’è nes¬
sun dubbio sull’esistenza reale di Pitagora. Visse approssimativa¬
mente tra gli anni 570 e 490 a.C. ed è addirittura possibile
considerare autentiche diverse date della sua biografia. Esistono
prove sufficienti del suo passaggio alla sfera pubblica, verso i qua¬
rantanni, quando fuggì da Samo - un’isola del Mar Egeo molto
vicina all’Asia Minore - per scappare dal tiranno Policrate. At¬
torno all’anno 530 a.C. si stabilì nella colonia greca di Crotone, in
Magna Grecia, dove organizzò una setta religiosa e s’inserì in ma¬
niera attiva in politica, riuscendo a espandere la sua fratellanza e
la sua influenza in tutto il sud Italia. Invece, per quanto riguarda la
sua data di nascita, i suoi viaggi e la sua formazione, tutto fa parte
della leggenda, una leggenda composta dagli elementi mitici carat¬
teristici del suo mondo e del suo tempo. È molto difficile ricostru¬
ire in maniera rigorosa, nel senso in cui siamo abituati oggigiorno,
8
INTRODUZIONE
il corpo delle conoscenze dell’antico pitagorismo, ma, nonostante
la densità degli strati che lo caratterizzano, la fama del maestro
come scienziato permane. Alcune tradizioni lo considerano il
padre di diverse discipline del sapere, come la matematica, l’astro¬
nomia, la politica e la filosofia. Gli si attribuiscono così tante in¬
venzioni, in ambiti tanto differenti, in qualità di autentico
scopritore della sapienza umana, che si è convertito in una specie
di simbolo della scienza e del progresso. Incontriamo la sua im¬
pronta non solo nella scienza ma anche nella musica, nella reto¬
rica, nella divinazione, nella medicina e nella religione.
Pitagora acquisì la sua dimensione filosofica e scientifica per
mezzo di Platone e Aristotele: fu grazie a loro che cominciò a eser¬
citare un’influenza incommensurabile, che si è prolungata durante
tutta la storia del pensiero. Il Pitagora filosofo-scienziato si può
riassumere in due grandi idee: l’immortalità deU’anima e il con¬
cetto che l’universo si può capire attraverso il numero e la propor¬
zione. Tutti gli indizi portano ad associare Pitagora con la prima
questione, di carattere più religioso, e relegano la seconda, più
scientifica, a tempi posteriori, attribuendola ai pitagorici più fa¬
mosi, Filolao e Archita, anche se è possibile che il nucleo essen¬
ziale di questa idea provenisse dai primi tempi del pitagorismo e
che entrambe le idee fossero state enunciate dal maestro.
Per Pitagora la contemplazione, un termine originariamente
mistico, era un’attività intellettuale che sfociava in una forma di
pensiero astratto e puro, che oggi conosciamo come la scienza
della matematica, sulla quale basava la sua dottrina teologica,
etica e filosofica. Se questo miscuglio sembra strano, ha senso ri¬
cordare che la maggior parte delle attuali discipline scientifiche fu
in origine strettamente vincolata a insiemi di credenze che sono
state ormai relegate allo status di superstizione. Ad esempio, l’a¬
stronomia era associata aU’astrologia, la chimica all’alchimia. Agli
inizi, la conoscenza matematica sembrava essere sicura, esatta e
applicabile alla realtà e, inoltre, si acquisiva solo attraverso il pen¬
siero, senza bisogno dell’osservazione. Così i pitagorici credettero
che la matematica fornisse un ideale dal quale la conoscenza em¬
pirica si distanziava molto. Si supponeva che il pensiero fosse
superiore ai sensi, così come l’intuizione all’osservazione.
INTRODUZIONE
9
Si cercavano metodi differenti per avvicinarsi all’ideale matema¬
tico, anche se le conclusioni che vennero tratte da esso causarono
molti errori, sia nella metafìsica, sia nella teoria della conoscenza.
Pitagora scoprì l’importanza dei numeri. A lui si attribuisce
l’affermazione «tutto è numero». Le proprietà dei numeri, soprat¬
tutto nel momento in cui si combinano tra loro, meravigliarono
così tanto i pitagorici che essi finirono per dedicare la maggior
parte del proprio sforzo scientifico a ricercare in ogni dove analo¬
gie tra i numeri e le cose. Formule come 1 + 3 + 5+... + (2n-l) = n2,
che mostra che i quadrati si possono formare come somma dei
numeri dispari successivi, sembravano loro un’espressione pura
del divino. Così i pitagorici si dedicarono a categorizzare i numeri,
stabilendo complesse divisioni e dando loro un significato morale.
Il saggio di Samo immaginava i numeri come figure, così come
appaiono sulle facce dei dadi o nelle carte. Il pitagorismo si con¬
centrò sui numeri oblunghi, triangolari, piramidali e molti altri di
cui parleremo nelle prossime pagine; si tratta di denominazioni in
relazione con i ciottoli che usavano per disegnare queste figure.
Probabilmente il maestro credeva che il mondo fosse composto di
particelle equivalenti a ciò che più tardi prenderà il nome di
atomo, e che i corpi fossero costituiti da questi elementi, disposti
in forme armoniche. In questo modo, l’aritmetica si convertiva
nella base e nel nesso tra la fisica e l’estetica.
I principi numerici fornirono le fondamenta su cui Pitagora
basò la sua filosofia, una filosofia completa, di ambito universale,
che impiegava il concetto di armonia musicale e matematica, per
far danzare tutta la realtà, inclusi gli astri, al suono di una musica
matematica. Nella cosmologia del saggio di Samo (basata in parte
su quella di Anassimandro di Mileto che visse un secolo prima) i
corpi celesti erano distanziati da un cosiddetto fuoco centrale, in
intervalli che corrispondevano a quelli di un’ottava della scala mu¬
sicale. Per questo motivo i movimenti circolari dei corpi celesti
producevano una musica: l’armonia delle sfere. Questa musica an¬
dava oltre la capacità dell’udito umano ma, secondo la leggenda,
Pitagora riusciva ad ascoltarla Chiari segni della relazione che il
maestro stabilì tra la musica e l’aritmetica sopravvivono nei ter¬
mini matematici media armonica e progressione armonica.
io
INTRODUZIONE
Probabilmente, la più grande scoperta di Pitagora o dei suoi
discepoli più vicini fu il celeberrimo teorema geometrico che
porta il suo nome. La tradizione gliene attribuisce la paternità,
anche se fu un risultato cui arrivarono molte culture in modo
indipendente. Il teorema di Pitagora è il famoso enunciato dei
triangoli rettangoli, che stabilisce che la somma dei quadrati dei
cateti è uguale al quadrato dell’ipotenusa. Gli egizi sapevano già
che un triangolo i cui lati misurano 3, 4 e 5 possiede un angolo
retto, ma furono forse i greci a osservare che 32 + 42 = 52 e, ana¬
lizzando quest’idea, i primi a scoprire una prova della proposi¬
zione generale.
Sfortunatamente per i pitagorici questo teorema condusse
alla scoperta di un tipo di numero che mise in crisi la loro filosofia.
Consideriamo un triangolo rettangolo isoscele con i cateti di va¬
lore 1. Secondo il teorema, l’ipotenusa vale >/2 , un numero che
non si può rappresentare con frazioni di numeri interi. Questo si¬
gnifica che non esiste una forma aritmeticamente semplice di de¬
terminare quante volte il cateto è contenuto nell’ipotenusa. Si dice
che i cateti e l’ipotenusa di un triangolo con queste caratteristiche
siano incommensurabili tra loro, e che, come tali, siano incompa¬
tibili con rarmonioso universo numerico che predicava Pitagora,
in cui i numeri si contenevano uno nell’altro in maniera esatta e
misurabile. Questo fatto convinse i matematici greci che la geome¬
tria si dovesse dimostrare indipendentemente dall’aritmetica.
La combinazione di magia e matematica che nacque con Pita¬
gora segnò la filosofia e la religione nell’antica Grecia, nel Medio¬
evo e nei tempi moderni, fino a Kant. In Sant’Agostino, Tommaso
d’Aquino, Cartesio, Spinoza e Leibniz, troviamo una fusione intima
tra religione e ragionamento, fra aspirazione morale e ammira¬
zione logica per l’eterno, che deriva da Pitagora e che distingue la
teologia intellettualizzata d’Europa dal misticismo asiatico. Per
questo motivo vale la pena tentare di descrivere il saggio di Samo
sotto questa luce, al confine tra la filosofia, la scienza, la religione
e la leggenda. Perché quello che durante qualche tempo fu consi¬
derato conflittuale, è oggi fonte di chiarezza e, attualmente, com¬
prendere questo personaggio in tutta la sua ambiguità è
imprescindibile per interpretare in modo corretto l’istante più cri-
INTRODUZIONE
11
tico della storia del pensiero: il momento della sua fondazione.
La lezione non consiste solo nell’apprendere e nell’accettare l’am-
bivalenza e la complessità, ma anche nello scoprire che questo
atteggiamento sembra moderno ma non lo è: al contrario, è l’espe¬
rienza umana originaria.
12
INTRODUZIONE
570 a.C. Pitagora nasce nell’Isola di Samo
(Ionia). Senofane di Colofone fonda
in Elea (nel sud dell’Italia) una
scuola filosofica.
550 a.C. Data approssimativa dell’inizio
dei viaggi d’apprendistato attribuiti
a Pitagora che si estendono
per dieci anni.
490 a.C. Possibile morte di Pitagora nella
città di Metaponto, vicino a Crotone,
dove sarebbe fuggito dopo la rivolta.
470 a.C. Nasce Filolao di Crotone,
che riprende e riordina le dottrine
pitagoriche. Si ritiene che scrisse
tre libri utilizzati più tardi
da Platone.
540 a.C. Alcune tradizioni ritengono
che fu in questo periodo che
Pitagora fondò a Samo
una piccola scuola chiamata
Semicerchio, per trasmettere
ciò che aveva imparato nei suoi
precedenti viaggi.
535 a.C. Policrate assume il potere
come tiranno di Samo.
530 a.C. Pitagora abbandona la sua
isola natale per stabilirsi nella
colonia greca di Crotone,
nella Magna Grecia. I pitagorici
estendono la loro influenza
nell’Italia meridionale, formando
comunità in diverse città.
L’importanza di Crotone si associa
al potere politico ostentato
dai pitagorici.
510 a.C. Crotone perde contro Sibari,
sua città rivale. Nella stessa epoca
ha luogo la rivolta antipitagorica
che ha come risultato la caduta
della setta.
427 a.C. Ad Atene nasce Platone.
420 a.C. Non più tardi di questa data
i pitagorici (forse Ippaso di
Metaponto) scoprono 1’esistenza
dei numeri incommensurabili.
435 a.C. Nasce Archita di Taranto, discepolo
di Filolao e amico di Platone,
che rifonderà il pitagorismo in
un’interpretazione strettamente
scientifica.
387 a.C. Platone fonda l’Accademia. La sua
opera riprende e reinterpreta
le teorie centrali del pitagorismo.
384 a.C. Nasce Aristotele, che esporrà
e criticherà il pitagorismo nel
quinto capitolo della Metafisica.
300 a.C. Nasce Euclide di Alessandria,
che compilerà e sistematizzerà
la geometria elementare greca
in un’opera fondamentale per lo
sviluppo della matematica e della
scienza, gli Elementi di geometria.
INTRODUZIONE
13
CAPITOLO 1
Realtà e mito di Pitagora
L’interpretazione storica della figura di Pitagora
è offuscata dal mito. La mancanza di informazioni precise
sulla sua vita si deve probabilmente al segreto
che circondava la sua setta; un vuoto che la tradizione
si incaricò di riempire con l’affabulazione letteraria,
costruendo così un personaggio appassionante
ma indecifrabile. Nonostante ciò, possediamo
alcuni dati che si possono considerare certi,
e che permettono di ricreare il processo che convertì
un filosofo-sacerdote proveniente da Samo
nel mito stesso del saggio.
La figura di Pitagora di Samo è registrata nella memoria collettiva
come quella del padre della più esatta delle scienze, la matema¬
tica, e di un’infinità di altre discipline: la musica, la medicina,
l’astronomia, la geometria e perfino la filosofia, e la parola stessa
che la denomina. La sua biografia però, o meglio, la moltitudine
di biografie arrivateci negli anni, che confluiscono nel corpo tra¬
dizionale di conoscenze riguardanti il saggio, sono dense di ingre¬
dienti leggendari e magici.
Gli elementi che compongono la leggenda di Pitagora sono
quelli tipici di una certa categoria di mito, quelli del saggio di
carattere divino, e la maggior parte di essi si può ritrovare nelle
biografie di altri filosofi presocratici, come Parmenide di Elea
(540- ca. 470 a.C.) o Empedocle di Agrigento (495- ca. 425 a.C.).
Ciò nonostante, la tradizione pitagorica continuò ad aggiungere
a questo sostrato altri livelli sovrapposti, convertendo così Pita¬
gora nel prototipo del saggio creatore di tutto il sapere umano.
Pitagora visse approssimativamente tra gli anni 570 e 490
a.C. e la sua vita trascorse agli estremi dell’ampio raggio geo¬
grafico dell’antica Grecia: l’Isola di Samo, sulla costa dell’Asia
Minore, e la città di Crotone, a sud dell’Italia. C’è da dire che
queste coordinate sono le stesse che determinano le biografie
di altri pensatori meglio referenziati, o addirittura ben docu¬
mentati; difatti corrispondono esattamente con la zona dove si
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
17
Mappa in cui
appaiono Atene,
Mileto e le
principali città in
relazione con la
biografia di
Pitagora: Samo,
dove nacque;
Crotone, dove
sviluppò la parte
più pubblica della
sua vita e
Metaponto, che
secondo la
tradizione, è il
luogo dove mori.
originò il pensiero greco antico, e, con esso, la filosofia. Samo
era una città prossima a Mileto, l’epicentro della scuola ionica,
guidata da Talete (624-ca. 546 a.C.) e Anassimandro (610-ca. 546
a.C.), mentre l’Italia meridionale è il luogo dove fiorì la scuola
eleatica di Parmenide ed Empedocle. Questi quattro pensatori,
ed entrambe le aree geografiche, furono capitali nello sviluppo
della filosofia presocratica.
ORIGINE E FORMAZIONE
La tradizione vuole che il padre di Pitagora fosse un uomo ab¬
biente chiamato Mnesarco, forse un commerciante, che proveni¬
va dall’Isola di Samo, da una famiglia forse imparentata con il
fondatore della colonia, il mitico Anceo. Samo era la rivale com¬
merciale di Mileto e le spedizioni dei suoi commercianti com¬
prendevano tutto il Mediterraneo, fino alla regione di Tartesso,
nel sud della Spagna, zona famosa per le sue miniere. Il governa¬
tore di Samo era un tiranno, chiamato Policrate (570-ca. 522 a.C.),
che dominò l’isola fra il 535 e il 515 a.C. circa. La costruzione
della leggenda ha inizio nel momento stesso della nascita di Pi¬
18
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
tagora, quando gli viene attribuito un lignaggio divino. Così si
diffuse l’idea che sua madre, Pitaida, l’avesse concepito con Apol¬
lo rendendo in tal modo Mnesarco il padre adottivo - e che la
nascita di quel bimbo meraviglioso che avrebbe fatto del bene
all’umanità fosse stata profetizzata dall’oracolo di Delfi. Questa
leggenda pretende di spiegare anche l’origine del nome del sag¬
gio; Pitagora significherebbe annunciato da Apollo perché for¬
mato dalle parole Pythios, che è il nome del dio Apollo patrono
di Delfi, e agoreuo, che significa “parlare”. Difatti, l’origine divina
è uno degli elementi fondamentali dell’archetipo eroico, come
succede ad esempio nei casi di Eracle e Teseo. L’infanzia del
saggio sarebbe stata perciò marcata da molteplici segni miraco¬
losi di carattere mitico.
La gioventù e la formazione di Pitagora sono causa di un
aspro dibattito, anche tra le fonti più tradizionali. Siccome ogni
eroe ha bisogno di un maestro, la biografia del saggio di Samo
enumera come maestri una spettacolare lista di grandi nomi dei
più diversi ambiti disciplinari, e integra l’informazione con un
altro elemento comune a questo tipo di approssimazioni mistiche:
i viaggi in paesi esotici, culla di ogni tipo di conoscenza. Non vi
sono prove della relazione di Pitagora con i suoi presunti mento¬
ri e nemmeno di molti dei viaggi che gü si attribuiscono, ma que¬
ste informazioni ci permettono di localizzare l’origine delle idee
che integreranno il futuro corpo dell’insegnamento pitagorico.
Tra i suoi presunti maestri emergono i filosofi Talete di Mi-
leto e Anassimandro di Mileto, così come il mistico Ferecide di
Siro (see. VI a.C. ca.), al quale si attribuisce una delle prime
opere di greco antico scritte in prosa. La funzione dei primi due
pensatori sarebbe stata quella di introdurre il giovane Pitagora
alla filosofìa ionica, mentre Ferecide gli avrebbe insegnato le
nozioni dell’immortalità dell’anima e della reincarnazione. Se¬
condo la leggenda, Ferecide avrebbe realizzato gli stessi viaggi
attribuiti a Pitagora che in realtà erano stati attribuiti anche alla
maggior parte dei padri del pensiero greco, e la sua figura me¬
scola in egual misura la dimensione religiosa e la ricerca filoso¬
fica. Secondo numerose fonti, Pitagora si prese cura del suo
maestro durante i suoi ultimi giorni di vita. In quanto a Talete di
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
19
Mileto, personaggio poliedrico considerato nell’Antichità come
uno dei Sette Saggi Greci, la tradizione lo segnala come il crea¬
tore del processo che diede origine alla matematica come scien¬
za. A lui si attribuisce il calcolo dell’altezza delle piramidi a par¬
tire dalla lunghezza della loro ombra, durante un viaggio in
Egitto in qualità di mercante. Racconti successivi gli attribuisco¬
no vari teoremi; di seguito enunceremo i suoi due teoremi prin¬
cipali, che portano il suo nome e che vedremo in maniera mag¬
giormente dettagliata più avanti:
- Due triangoli sono simili quando hanno due lati tra loro pro¬
porzionali e l’angolo ivi compreso è congruente.
- Ogni angolo inscritto in un semicerchio è un angolo retto.
A questi teoremi possiamo aggiungere una serie di teoremi
che si conoscevano già ma che non erano stati esplicitamente
enunciati o dimostrati, in particolare:
- Il diametro divide in due la superficie del cerchio.
- Nei triangoli isosceli, gli angoli alla base sono congruenti.
Il Pitagora intellettuale è pienamente integrato nell’ambito
dei cosiddetti filosofi presocratici. Siamo soliti considerare que¬
sto periodo come il primo della filosofia greca, comprendendo in
tale gruppo tutti i pensatori e le scuole filosofiche anteriori a So¬
crate. Sicché, questo termine raggruppa i pionieri del pensiero
logico nella Grecia arcaica: Talete e Anassimandro ma anche
Anassimene, Eraclito, Senofane, Parmenide, Zenone, Empedo¬
cle, Anassagora, Democrito..., e in questa lista di grandi nomi, il
saggio di Samo e i suoi discepoli occupano un posto d’onore. La
caratteristica comune dei presocratici è la loro preoccupazione
per il cosmo e la realtà ultima, perciò questo capitolo della sto¬
ria del pensiero è spesso chiamato periodo cosmologico.
La leggenda attribuisce inoltre a Pitagora una serie di pre¬
cettori mitici, tipici dell’archetipo dell’apprendistato eroico. Si
20
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
ORFEO
Orfeo è un personaggio semi-leggendario che la tradizione presenta come
uno dei principali poeti e musicisti dell’Antichità, che inventò la cetra; si
pensa inoltre che fu Orfeo a migliorare la lira, aggiungendovi due corde. Il
mito assicura che Orfeo, in qualità di musicista rinomato, accompagnò Gia¬
sone e gli argonauti nel loro viaggio alla ricerca del vello d’oro e che scese
negli Inferi per riscattare
la morte della sua amata
Euridice, riuscendo
nell’impresa grazie alla
sua arte musicale, anche
se la riuscita finale cambia
secondo il cronista che
narra la leggenda. Si dice
che provenisse dalla Tra¬
cia, come Bacco, ma sem¬
brerebbe più ragionevole
pensare che egli venisse
da Creta, giacché molte
delle sue dottrine conte¬
nevano numerose idee
proprie dell’Egitto, e fu
tramite Creta che gli egi¬
ziani influenzarono i greci.
Le versioni più antiche
della leggenda non sotto¬
lineavano la sua relazione
con la musica ma piutto¬
sto la sua identità di sa¬
cerdote-filosofo, un rifor¬
mista. in conformità con l’idea contemporanea che si ha di Pitagora, di cui,
secondo alcuni autori, sarebbe un precorritore. L’orfismo si trova in Pitago¬
ra ma anche in Empedocle e Platone, quindi i tre pensatori sono collegati da
una specie di “cinghia di trasmissione’’ della conoscenza.
Orfeo nel momento della sua morte per mano delle
Menadi. Ceramica greca della metà del V secolo a.C.
(Antikenmuseum, Berlino).
dice che Orfeo gli insegnò i misteri teologici e cosmologici e che
gli dèi Dioniso o Apollo l’avessero istruito riguardo la medicina
e la divinazione. È ovviamente impossibile che Pitagora abbia
potuto venire in contatto con questi personaggi fittizi; diciamo
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
21
che quello che la tradizione cerca di farci capire, stabilendo que¬
sta corrispondenza di echi allegorici, è che il saggio di Samo
compì i suoi primi passi mistici seguendo la dottrina religiosa
conosciuta come orfismo.
L’orfismo era una dottrina basata sulla mitologia. Secondo
una delle diverse versioni del mito, Dioniso fu divorato dai Ti¬
tani. Il suo cuore venne risparmiato e fu regalato a Zeus da
Atena. Zeus distrusse i Titani con le sue saette: dalle loro ceneri
nacquero degli uomini mentre Dioniso rinacque dal suo stesso
cuore, che era stato inghiottito da Zeus. Questa risurrezione è un
elemento fondamentale nella dottrina orfica e nei suoi riti: da un
lato creò la credenza nella reincarnazione, dall’altro l’astinenza
dalla carne. Il culto di Dioniso, nella sua forma originale, era
selvaggio e sfrenato ed era relazionato con l’atavico, con la pas¬
sione. Non fu questa parte del suo culto che influì sui filosofi, ma
la versione spiritualizzata che le attribuiva il mitico poeta Orfeo,
che aveva fissato i punti essenziali della dottrina negli inni or¬
fici, in cui sostituiva l’ubriacatura fisica con quella mentale.
VIAGGI DI FORMAZIONE
I viaggi di formazione in paesi lontani ed esotici sono un ele¬
mento comune nel mito del saggio - filosofo, scienziato o magi¬
strato - alla ricerca di un’educazione che comprenda ogni tipo
di conoscenza. Così, Pitagora avrebbe visitato i luoghi simbolo
per il saggio ionico, che hanno come elemento centrale l’orien¬
talismo. Come molti altri eroi filosofici, la tradizione vuole che
Pitagora viaggiasse in Egitto, Arabia, Fenicia, Giudea, Babilonia
e addirittura in India. Siccome il mito vuole che ogni paese
abbia una corrispondenza con l’universo mitologico, in questi
luoghi Pitagora imparò la geometria, la matematica, l’astrono¬
mia e s’impregnò del misticismo orientale. In ogni caso, sembra
che la leggenda voglia stabilire un certo equilibrio tra le cono¬
scenze che derivano da prestigiose culture esterne e il capitale
stesso del sapere greco.
22
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
L’ORIGINE DELLA MATEMATICA
I viaggi formativi di Pitagora ebbero come destinazione l’Egitto e la Babilo¬
nia, due delle culle della matematica, secondo gli stessi greci. Questo non ci
deve sorprendere data la relazione esistente fra l’evoluzione dell’agricoltura,
che raggiunse in entrambe le regioni uno sviluppo precoce importante, e il
bisogno di misurare i terreni e contare le unità prodotte. Sfortunatamente, la
conoscenza che abbiamo oggigiorno sulla matematica delle prime civiltà è
poco precisa. Dell’Egitto abbiamo informazioni relativamente a un periodo
molto ridotto. Il sistema numerico egizio era decimale ma non posizionale:
ognuna delle potenze di dieci, fino a IO6 aveva un simbolo proprio: i numeri
si formavano collocando in successione i simboli delle sue rispettive potenze.
II calcolo delle frazioni si riduceva alle frazioni con numeratore 1. Per quanto
riguarda la Mesopotamia disponiamo di dati matematici estesi nel tempo, che
ci permettono di analizzare la sua evoluzione. Risalta l’alto livello delle tecniche
di calcolo, nelle quali si comincia a vedere un modo di procedere genuinamen¬
te algebrico. L’aspetto più specifico però è quello del sistema numerico po¬
sizionale sessagesimale. Per
formare le 60 cifre si combi¬
navano due segni cuneiformi,
un chiodo verticale e un pun¬
zone. che rappresentavano le
unità e i multipli di 10. Non si
usava la virgola e le frazioni
si calcolavano aH’interno del
dominio dei numeri interi. Il
problema più grande era che,
nel sistema posizionale, i luo¬
ghi che non erano occupati
non restavano chiaramente
definiti, perché non esisteva
nessun segno per lo zero. Più
avanti, ai tempi dei persiani, la
matematica babilonese intro- _ .
Tavoletta babilonese del 2100 a.C. circa, che è in
dusse un segno di omissione, relazione con il calcolo della superficie di un terreno
una sorta di zero. (Museo del Louvre, Parigi).
m- vi»/r
tX7''
r*- \
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m% tvw : v .
Nel contesto storico del mito si possono trovare influenze
delle religioni e dei saperi estranei ai greci - che arrivano dall’Indo,
passando da Babilonia - che si rintracciano in numerose tradi¬
zioni del mondo greco. Non si dimentichi che in quei tempi l’Im-
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
23
pero persiano di Ciro II, detto il Grande (600-ca. 530 a.C.), si
estendeva fino alla Ionia e arrivò a comprendere la stessa Samo.
Vi sono inoltre molti indizi dei contatti dei saggi greci con l’India.
I viaggi formativi tra egizi, fenici e caldei sono comuni a vari eroi
filosofico-mistici della Magna Grecia, come Parmenide o Zenone
di Elea (ca. 490-ca. 430 a.C.), che appaiono in diverse fonti che
descrivono i loro viaggi in Egitto alla ricerca della saggezza divina
o per imparare l’arte di creare le leggi. Numerosi autori tradizio¬
nali riferiscono che Pitagora fu iniziato alla religione egizia, all’arte
dei geroglifici e all’interpretazione simbolica della conoscenza,
che più tardi adotterà per i suoi insegnamenti. Dice Erodoto (484-
425 a.C.), contraddicendo i seguaci di Ferecide di Siro, che fu in
Egitto che il saggio apprese la teoria della reincarnazione.
In ogni caso, le fonti più antiche insistono nella relazione di
Pitagora e dei suoi discepoli con il paese dei faraoni. Questo viag¬
gio potrebbe essere stato reale? Fu veramente il viaggio iniziatico
di Pitagora? Ciò che possiamo affermare con sicurezza è che il
paese del Nilo destava un grande interesse nella Grecia arcaica,
come dimostra il secondo libro delle Storie di Erodoto, intera¬
mente dedicato all’Egitto. Fin dall’Antichità, nell’immaginario mi¬
tologico greco, la terra dei faraoni veniva considerata la fonte
della conoscenza suprema. Gli antichi greci vedevano in Orfeo il
primo greco, tra i molti considerati saggi, che si recò in Egitto per
conoscere le leggi degli dèi e adattare al mondo ellenistico i mi¬
steri di Osiride, Dioniso nel mondo greco. Secondo alcune fonti,
furono questi i misteri che Pitagora studiò durante il suo viaggio e
da essi estrapolò le nozioni sull’immortalità dell’anima e sulla
reincarnazione. Gli antichi greci erano convinti che queste idee
provenissero dal leggendario paese del Nilo, ma si sbagliavano.
PITAGORA PUBBLICO
Il Pitagora storico, o perlomeno storicamente valido, acquista un
poco di attendibilità appena prima del suo salto nell’arena poli¬
tica in Magna Grecia. Il suo nome comincia a brillare tra gli anni
24
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
540 e 522 a.C. Sembra che nella sua isola natale Pitagora avesse
fondato una piccola scuola, chiamata il Semicerchio, dove egli
trasmetteva le conoscenze che aveva appreso durante le sue pe¬
regrinazioni. Secondo la leggenda insegnava dentro a delle ca¬
verne, un altro ingrediente caratteristico del mito.
In quel periodo il governo di Samo era nelle mani del tiranno
Policrate, che in quanto promotore dell’arte abbellì l’isola con
notevoli opere pubbliche. Policrate però era un governante
senza scrupoli, non per niente, infatti, la sua tirannia è conside¬
rata un esempio paradigmatico di questo tipo di regime politico.
Il tiranno, che era solito usare la sua flotta in azioni di pirateria,
approfittò che Mileto fosse stata recentemente sottomessa dalla
Persia per superarla nel commercio marittimo. Per impedire una
maggiore espansione dei persiani verso l’Occidente, si alleò col
re dell’Egitto, ma più avanti, vedendo che la Persia attaccava il
paese del Nilo e aveva ampie possibilità di conquistarlo, cambiò
schieramento. Partecipò all’invasione persiana dell’Egitto con
una flotta composta dai suoi nemici politici; gli equipaggi si am¬
mutinarono e ritornarono a Samo per spodestarlo. Policrate sof¬
focò la ribellione ma poco tempo dopo dovette soccombere.
Pitagora era in disaccordo con il governo di Policrate: le
fonti storiche coincidono nel segnalare che lasciò l’isola a qua¬
rantanni, fuggendo dal tiranno. Dopo aver abbandonato Samo,
Pitagora arrivò alla città greca di Crotone, nella Magna Grecia,
nell’anno 530 a.C. circa. Le città-stato greche dell’Italia meridio¬
nale erano a quei tempi ricche e fiorenti come Samo e Mileto,
inoltre si trovavano lontano dalla minaccia persiana. Quando
Pitagora arrivò in Magna Grecia, però, le diverse città greche
d’Italia erano coinvolte in una lotta costante e accanita e Cro¬
tone era appena stata sconfìtta da Locri.
Le fonti dicono che il suo arrivo fu sensazionale, al pari di
quello di una divinità che viene a instaurare un nuovo culto. Fu
sicuramente così: Pitagora, infatti, non tardò a rifondare la sua
scuola, che finì per trasformarsi in un potente gruppo dalla
grande influenza politica e sociale. L’aspetto nobile, il porta¬
mento magnifico e la loquacità incalzante e irresistibile con cui
ci viene presentato nel periodo culminante della sua vita rispon¬
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
25
dono perfettamente all’idea del mito. Le descrizioni parlano di
un uomo maturo, sulla quarantina, dalla lunga barba e dallo
sguardo intelligente. L’iconografia gli attribuisce anche un tur¬
bante di stile orientale, come si può vedere in molte rappresenta¬
zioni tradizionali. Non è da trascurare che i testimoni più antichi
descrivono un Pitagora dall’aspetto di un santo, mentre i più re¬
centi introducono l’aspetto che gli si attribuisce attualmente,
quello del filosofo, come se una lettura successiva avesse sotter¬
rato lo strato originale.
Come ci si aspetta da chi viene considerato anche il fonda¬
tore dell’arte della retorica, la sua prima apparizione pubblica
davanti agli abitanti di Crotone «sedusse le anime». Il filosofo
Giamblico di Calcide (250-ca. 325 a.C.) affermava che nella prima
e unica apparizione pubblica che, a suo parere, Pitagora fece al
suo arrivo in Italia, catturò con le sue parole «più di duemila
persone che rimasero così profondamente impressionate da non
voler più tornare a casa». Questa scena drammatica, il discorso
formidabile dell’uomo carismatico che sembra già un essere se¬
midivino, segna l’entrata di Pitagora nella vita pubblica.
Il fatto permette di stabilire accertamenti storici ma, allo stesso
tempo, mette in marcia il macchinario mitologico che lo trasfor¬
merà in un personaggio insondabile dal punto di vista storico.
Da questo momento l’ambivalenza lo accompagnerà per tutta la
vita e Pitagora vivrà tra due mondi: sarà filosofo e scienziato,
saggio e indovino, legislatore e giudice.
Pitagora fondò una setta religiosa e aristocratica che riuscì
a ottenere un ruolo importante nella politica di Crotone e, se¬
condo alcuni testimoni, poté stabilire un certo tipo di dominio in
varie città-stato greche dell’Italia meridionale. Alcuni autori as¬
sociano il potere politico conseguito dai pitagorici con l’ascesa
di Crotone e lo vincolano con la vittoria di questa città sulla vi¬
cina Sibari, polis ubicata nel Golfo di Taranto. Sibari, famosa
per la dedizione dei suoi abitanti (i sibariti) ai piaceri più squi¬
siti, fu distrutta dalla guerra: infatti i crotonesi deviarono il
fiume Crati, che la circondava, per inondarla. Affidandoci alla
tradizione, sappiamo che la vittoria di Crotone avvenne nell’età
matura del maestro, all’incirca nel 510 a.C.
26
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
TOTO IN ALIO
A SINISTRA
Il più famoso busto
identificato come
appartenente
a Pitagora è una
copia romana di
un originale greco
(Musei Capitolini,
Roma).
FOTO IN Al IO
A DISTRA
Manoscritto
arabo del XIII
secolo che riporta
la dimostrazione
euclidea
del teorema di
Pitagora (British
Library, Londra).
FOTO IN BASSO
Dettaglio de
La scuola di Atene
di Raffaello;
il saggio di Samo
è il personaggio
che sta scrivendo,
a sinistra (Musei
Vaticani, Roma).
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
27
PITAGORA RIFORMATORE RELIGIOSO
Come racconta il poeta Omero, per i greci arcaici l’oltretomba
era un luogo grigio, dove l’anima degli uomini veniva trascinava
come un’ombra. Durante il VI secolo a.C. furono introdotte una
serie di nuove dottrine spirituali, che diedero vita a una conce¬
zione più felice e luminosa dell’oltretomba per coloro che in vita
si fossero sforzati di mantenere alcune norme comportamentali
e pratiche rituali. La nuova concezione della vita dopo la morte
proveniva dalle religioni misteriche e dal pitagorismo, risultato
della sintesi delle influenze di altre culture e di elementi propri
della Grecia antica.
«Che cosa sono le Isole dei Beati? Il Sole e la Luna.»
Massima pitagorica raccolta da Macrobio (iv sec. d.c.)
nel suo Commesto al sogno di Scipione.
Le fonti indicano che gli insegnamenti che il saggio di Samo
trasmise in vita ai suoi seguaci furono principalmente le sue teorie
riguardo all’immortalità dell’anima, all’eterno ritorno e all’interre¬
lazione di tutte le cose. La dottrina religiosa di Pitagora conte¬
neva le chiavi per la comprensione dell’universo. Il mondo però
era cambiato: ora si sapeva che la Terra era sferica e non era più
possibile né l’inferno sotterraneo cantato da Omero, conosciuto
come Ade, né il paradiso localizzato all’estremo occidentale
delle Isole dei Beati, dove secondo la tradizione venivano man¬
date le anime virtuose per il riposo eterno. Sulla Terra non c’era
più spazio per l’aldilà e s’imponeva una nuova geografìa funera¬
ria: l’aldilà si localizzava nelle stelle, l’anima era considerata d’o¬
rigine celeste e sarebbe poi ritornata in cielo dopo la morte.
Cominciava così la distruzione della mitologia classica, ba¬
sata su Omero ed Esiodo. Un lungo processo di erosione aveva
svuotato i miti e gli dèi omerici del loro senso originale. La nuova
mitologia dell’anima non poteva appoggiarsi alla tradizione ome¬
rica e servì come base per Platone. Tale fu l’influenza della ri¬
forma religiosa di Pitagora.
28
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
FINE DELL’UOMO, INIZIO DEL MITO
Le fonti documentano che verso il 510 aC. si produsse una violenta
rivolta contro Pitagora e i suoi discepoli e che, paradossalmente, il
conflitto con Sibari - che a suo tempo essi avevano grandemente
aiutato a sconfiggere - segnò l’inizio della fine del pitagorismo. Si
dice che l’influenza di Pitagora e del suo circolo, che aveva il potere
di rovesciare città intere, avesse risvegliato le gelosie e l’odio dei
suoi concittadini. La leggenda racconta di un certo Cilone, croto-
nese molto agiato, che essendo stato rifiutato dal maestro come
membro della comunità pitagorica, aizzò la popolazione contro di
lui per fargli dispetto. Questa storia è solo un modo per spiegare la
tensione sociale che interessò la setta alla fine della guerra con Si-
bari. In ogni caso, possediamo sufficienti frammenti d’informazione
per ricostruire il probabile corso degli eventi storici.
Dopo la sconfitta di Sibari da parte di Crotone, si verificarono
dei conflitti politici tra i vincitori per il controllo dei territori con¬
quistati. Il ruolo dei pitagorici in questi avvicendamenti, che ave¬
vano origini molto più lontane, cominciò a manifestarsi con
maggior intensità. Diverse fonti segnalano che la causa scatenante
dello scoppio della rivolta antipitagorica fu la lotta per la distribu¬
zione delle terre. Qualche studioso ha segnalato che è probabile
che i pitagorici avessero cominciato a detenere incarichi pubblici
e a prendere decisioni politiche riguardo a temi delicati, come ad
esempio la divisione dei territori conquistati, anche se sicura¬
mente la situazione fu più complessa.
La storia della morte di Pitagora, avvenuta durante la rivolta,
è più che nota. La leggenda classica sostiene che i pitagorici si
trovassero riuniti quella sera a casa di un membro della confra¬
ternita chiamato Milone, quando un gruppo di persone appiccò
fuoco all’edificio. Alcuni affermano che Pitagora morì nell’incen¬
dio ma altri rendono la vicenda più colorita: riuscì a fuggire
dall’incendio, ma sarebbe stato inseguito dai suoi nemici, e nel
bel mezzo del cammino si sarebbe imbattuto in un campo di
fave. Fu la sua nota avversione per quella pianta a decidere la
sua morte, perché preferì farsi raggiungere dai suoi persecutori
piuttosto che attraversare il campo.
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
29
Vari indizi documentano una risoluzione più ragionevole del
conflitto civile a Crotone, e disegnano un quadro differente degli
ultimi anni del saggio di Samo: è probabile che Pitagora sia fuggito
nella vicina città di Metaponto, dove sarebbe morto verso l’anno
490 a.C. È risaputo che, durante gli anni in cui visse Marco Tullio
Cicerone (106-43 a.C.), gli abitanti di Metaponto erano soliti mo¬
strare la tomba di Pitagora a chi desiderasse vederla.
CATALOGO DI POTERI MAGICI
Pitagora si convertì in una figura mistica cui si attribuirono mi¬
racoli e poteri magici. Da quel momento, due tradizioni opposte
- la mitica e la logica - si disputarono la sua memoria, rendendo
ancora più complicato sviscerare la verità. La lista dei poteri
magici del maestro varia nelle diverse biografie fino a comporre
un groviglio di leggende di ogni tipo. Inoltrarsi in questo grovi¬
glio è un viaggio scomodo per chiunque prediliga l’immagine di
Pitagora scienziato, ma i miracoli pitagorici, che compongono il
nucleo più antico della sua tradizione, sono imprescindibili per
delineare una visione contemporanea del personaggio.
Si diceva che Pitagora potesse restare lunghi periodi senza
bere e senza mangiare e che potesse essere presente in diversi
luoghi allo stesso tempo, come testimoniano i racconti che affer¬
mano di averlo visto alla stessa ora in due città diverse, ognuna a
un estremo dello stretto di Messina. Un’altra famosa collezione
di leggende parla del suo portentoso femore d’oro, che alcuni
autori mettono in relazione con il suo padre mitologico, Apollo,
mentre altri legano a un’iniziazione di tipo sciamanico.
La loquacità è il capitolo più miracoloso e più fecondo di
Pitagora. Da un lato, era un indovino: si dice che profetizzò ter¬
remoti, avvertì dell’arrivo di un cadavere in una barca e fu ca¬
pace di predire la cattura di alcuni pescatori. La sua parola era
magica e anche curativa, come affermano le leggende riguardo a
uditori incantati dalla sua invincibile retorica, o riguardo alle sue
guarigioni di corpi e anime attraverso la sua musica e la poesia.
30
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
RELIGIONI MISTERICHE
Le religioni misteriche si svilupparono in modo esteso nel mondo antico e
furono presenti nella Grecia arcaica, a Roma e anche nel mondo ellenistico.
Il loro nome le descrive facilmente: sono quelle che presentano misteri che
non sono spiegati in modo pubblico, allo scopo di proteggere sacerdoti e
fedeli, per favorire l’esclusività dell’esperienza religiosa, ecc. Questo tipo
di culto si può classificare in due
gruppi: le religioni dei misteri ma-
gico-religiosi e le religioni dei mi¬
steri filosofici. Un esempio delle
prime è la religione di Eieusi. Spes¬
so, queste dottrine passarono da
essere praticate da un gruppo ri¬
dotto di iniziati a convertirsi nel
culto ufficiale di intere città. Alcu¬
ne provenivano dall’Asia Minore ed
erano derivazioni di culti di feno¬
meni naturali, mentre altre, che
provenivano dal sud della Russia,
avevano un carattere sciamanico.
Il secondo gruppo, formato dalle
religioni dei misteri filosofici, è gui¬
dato dal pitagorismo, che nella sua
versione più religiosa viene chia¬
mato orfico-pitagorismo. Queste
religioni si considerano a volte de¬
rivazioni delle prime, anche se al¬
cune manifestazioni sono chiara¬
mente diverse. Al contrario delle
altre, erano rette da motivi specu¬
lativi, più che culturali e, anche se
si sviluppavano tra gruppi di inizia¬
ti, avevano la tendenza a propa¬
garsi in altri circoli di idee simili.
Rilievo votivo legato ai misteri di Eieusi
nel quale appaiono Demetra, Persefone
e Triptolemo; opera del IV secolo a.C.
(Museo Archeologico, Atene).
Le leggende più esagerate lo presentano come guaritore della
peste. La sua parola aveva proprietà concilianti, che lo conver¬
tivano nel capo perfetto, capace di far prevalere la concordia, la
libertà e l’eccellenza delle leggi.
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
31
SCIAMANISMO E RELIGIONE
Lo sciamanismo è considerato l’an¬
tecedente di tutte le religioni orga¬
nizzate, infatti sono state ritrovate
evidenze di pratiche sciamaniche
anteriori al Neolitico. Molti dei suoi
aspetti originali si mantennero, col
passare del tempo, nella struttura di
diverse religioni, in generale nelle
pratiche mistiche e simboliche. Il pa¬
ganesimo greco ricevette una forte
influenza sciamanica che si riflette
in molti dei suoi miti e, soprattutto,
nei suoi misteri. Attraverso la Gre¬
cia, raggiunse anche la religione ro¬
mana. Le credenze e le pratiche
tradizionali di tipo sciamanico si
preoccupavano della comunicazio¬
ne con il mondo degli spiriti e degli
dèi. Lo sciamano aveva la capacità
di curare, di comunicare con gli dèi
e con gli spiriti e di prevedere il fu¬
turo. Infine, era il depositario della
sapienza della comunità.
Specchio inciso con l’immagine di Calcante,
indovino greco che pronuncia le sue
profezie esaminando le viscere degli
animali; V see a.C. (Musei Vaticani, Roma).
Secondo i racconti più fantasiosi, Pitagora era in grado di
ricordare le sue vite passate e tutte le sue esperienze. Diceva di
essere stato il re Mida e l’eroe mitico Euforbo, figlio di Pantoo,
nell’epoca della guerra di Troia, così come qualche altro perso¬
naggio, tra cui commercianti e cortigiani. Non temeva la morte e
la considerava parte della vita, come il sonno e la veglia: lui
stesso aveva realizzato la discesa all’Ade, la catabasi di cui si
parla in tanti miti. Nel suo viaggio agli Inferi, secondo Geronimo
di Rodi, vide le anime di Omero ed Esiodo, che espiavano tutte
le malignità che avevano cantato sugli dèi.
32
REALTÀ E MITO DI PITAGORA
CAPITOLO 2
Il teorema
Il teorema di Pitagora è uno dei risultati matematici
più presenti nella storia. Anche se venne attribuito
al saggio di Samo, si conoscono alcuni suoi importanti
antecedenti nelle più note civiltà orientali dell’Antichità.
Non possiamo però negare ai geometri greci
la propria genialità: il salto dal concreto al generale,
dall’osservazione puntuale al teorema, è merito loro.
Se neU’immaginario popolare si tende a identificare automatica-
mente Pitagora con la figura del matematico per antonomasia,
altrettanto si può dire del teorema che porta il suo nome: è, indub¬
biamente, il risultato matematico più famoso del pianeta. Il suo
enunciato esatto, però, è un po’ meno conosciuto, nonostante si
studi nelle scuole di tutto il mondo, e ancora meno si conosce a
che cosa serve in realtà.
Alla domanda sull’entità della sua utilità si risponde facil¬
mente. Il teorema di Pitagora è la soluzione a un classico pro¬
blema di geometria dall’enorme impatto teorico. Così, più che
sulle sue applicazioni pratiche, la sua importanza si fonda sul fatto
che è alla base di molti teoremi matematici, di trigonometria e di
geometria analitica e, ovviamente, che è vitale per l’apparizione e
lo sviluppo delle radici quadrate. Come vedremo, le radici dei nu¬
meri appaiono in problemi matematici molto semplici, come ad
esempio il calcolo delle diagonali dei quadrati e dei rettangoli a
partire dai lati.
Forse buona parte della sua influenza e dell’attenzione rice¬
vuta si deve alla sensazione di inafferrabilità che causa la sua ana¬
lisi. A differenza di altri teoremi, non esiste nessuna ragione
intuitiva che spieghi le sue proprietà, che ora ripasseremo, e ca¬
pirlo è un atto di pura deduzione logica. Per questo motivo alcuni
autori lo considerano il paradigma della matematica.
IL TEOREMA
35
ENUNCIATO DEL TEOREMA
La più grande scoperta che la tradizione attribuisce a Pitagora è la
proposizione dei triangoli rettangoli, che stabilisce la relazione tra
i cateti e l’ipotenusa. In un triangolo rettangolo, il quadrato dell’ipo-
tenusa è uguale alla somma del quadrato della lunghezza degli altri
due lati del triangolo (figura 1). L’enunciato si riassume con la for¬
mula «la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell’i-
potenusa», la cui espressione matematica sarebbe:
a2 + b2 = c2.
Il teorema si può inoltre esprimere in modo più rigoroso, se¬
guendo le norme della matematica moderna. Il suo enunciato in
termini geometrici specialistici è il seguente (figura 2):
Dato un triangolo di vertici ABC, l’angolo C è retto (triangolo rettan¬
golo) se l’area del quadrato costruito sul lato c, opposto a C, è la
somma delle aree dei quadrati costruiti sugli altri due lati a e b:
à2 + b2 = c2.
CATETI, IPOTENUSA E ANGOLI
I cateti sono i lati dell’angolo retto di un rettangolo e l’ipotenusa è il lato
opposto all’angolo retto di questo triangolo. Le parole che danno il nome a
questi lati derivano dal greco. La parola “cateto’’ si origina dal termine ka-
thetos, che deriva da cotos (retto o conforme) e significa "perpendicolare”.
La parola “ipotenusa” proviene da upoteinousa, che significa "la linea che
sottende o sostiene”. La definizione suppone che l’ipotenusa sia il diametro
di una circonferenza nella quale si trova il vertice retto del triangolo rettan¬
golo, ossia, il diametro che sottende l’angolo retto. Per quanto riguarda gli
angoli, probabilmente il concetto sorse dall’osservazione delle posizioni che
può formare il muscolo della gamba di una persona, o quello del braccio e
dell’avambraccio.
36
IL TEOREMA
Dall’equazione a2 + 62 = c2 si
deducono tre corollari d’applica¬
zione pratica:
a = Vc2-62,
b = yjc2 -a2,
c = Va2+ò2.
Ai tempi di Pitagora il teo¬
rema aveva un uso pratico imme¬
diato e molto chiaro, che si ricava
dalla prima e dalla più essenziale
delle sue priorità: serviva per de¬
terminare le perpendicolarità.
In effetti, in un triangolo rettan¬
golo «il quadrato dell’ipotenusa
è uguale alla somma dei quadrati
dei cateti» perché i cateti sono
perpendicolari. D’altra parte, se si
mette in pratica questa relazione
(a2 + 62 = c2), si può dedurre che il
triangolo è rettangolo.
Oggigiorno, la squadra e la
carta carbone che si impiegano
nel disegno tecnico permettono
di tracciare segmenti perpendico¬
lari e non solo, combinando gli
angoli di 30°, 45°, 60° e 90°. Nel mondo reale il disegno con la
squadra del falegname e del carpentiere permette di verificare
direttamente la perpendicolarità, usando lo stesso strumento.
Nell’antica Grecia, un architetto con la necessità di comprovare
la perpendicolarità di due pareti, poteva utilizzare il teorema di
Pitagora. In quell’epoca lo strumento che si utilizzava per misu¬
rare le lunghezze era una corda piena di nodi equidistanti: con
questa corda l’architetto segnava 3 unità in una parete e 4 nell’al¬
tra; le pareti erano perpendicolari quando poteva contare 5 unità
IL TEOREMA
37
tra gli estremi marcati (52 = 32 + 42). Così, il problema della misu¬
razione degli angoli, sempre piuttosto difficile, si riduceva op¬
portunamente alla verifica di una relazione tra lunghezze,
un’operazione molto più semplice.
PRECEDENTI DEL TEOREMA DI PITAGORA
Gli egizi e i babilonesi sapevano già che un triangolo dai lati di
lunghezza 3,4, 5, ha un angolo retto, ma sembra che furono i greci
i primi a osservare che 32 + 42 = 52 e, pertanto, i primi a scoprire
un’applicazione della proposizione generale. Anche le millenarie
culture cinesi e indiane scoprirono questa genuina proprietà geo¬
metrica molto presto. Difatti, ritroviamo il problema della diago¬
nale del quadrato in tutte le culture, in diversi livelli di sviluppo.
Sappiamo però che il problema non era conosciuto nelle grandi
civiltà precolombiane e del continente africano (escludendo l’E¬
gitto). In ogni caso, si può concedere a Pitagora o a uno dei suoi
discepoli più intimi il merito di aver notato la validità di questa
relazione in tutti i triangoli rettangoli possibili.
TERNE PITAGORICHE A BABILONIA
Molto prima che Pitagora enunciasse la legge generale dei trian¬
goli rettangoli, la Babilonia dell’epoca di Hammurabi - monarca
che morì intorno all’anno 1750 a.C. - era già a conoscenza di
come calcolare le teme pitagoriche. Queste sono combinazioni
di numeri positivi (a, 6, c) tali che a2+ b2 = c2. Alcuni esempi sono
(3, 4, 5), (5, 12, 13) e (8, 15, 17). Per il teorema di Pitagora,
ognuna di queste teme rappresenta un triangolo rettangolo con
lati di lunghezza intera.
La principale fonte d’informazione che abbiamo riguardo a
Babilonia e alla Mesopotamia in generale sono le celebri tavole
di argilla con scrittura cuneiforme, su cui si scriveva quando il
materiale era ancora morbido e che si cuocevano poi in forno o
38
IL TEOREMA
si indurivano al sole, garantendo così un buono stato di conser¬
vazione. Di tutte queste tavolette, quelle dell’anno 2000 a.C. circa
sono le più importanti per la storia della matematica. La lingua e
la scrittura utilizzata nelle tavolette del periodo più antico è l’ac-
cadico, che sostituì il sumero. Le parole della lingua accadica
consistono in una o più sillabe e ognuna di esse è rappresentata
da un gruppo di piccoli segmenti rettilinei. Per scrivere, gli acca¬
dici usavano uno stiletto di sezione triangolare che appoggia¬
vano sopra la tavoletta in posizione inclinata, producendo così
dei segni a forma di cuneo, orientati in differenti direzioni: da qui
deriva la denominazione di scrittura cuneiforme.
Tra le 300 tavolette babilonesi di contenuto matematico su
un totale di mezzo milione di quelle scoperte finora è di partico¬
lare interesse una tavoletta chiamata Plimpton 322 (la numero
322 della collezione dell’editore George Arthur Plimpton, ceduta
nel 1936 alla Columbia University). Questa tavoletta appartiene
al periodo antico della dinastia Hammurabi (che comprende ap¬
prossimativamente il periodo compreso tra gli anni 1800 e 1600
a.C.) e mostra una tavola con quattro colonne piene di caratteri
che sembrano essere numeri scritti nel sistema di numerazione
babilonese a base 60.
Le sue colonne di numeri ravvicinati possono confondersi
con un registro di transazioni commerciali, ma un attento studio
ha rivelato qualcosa di veramente straordinario: sono una lista
di terne pitagoriche a2 + b2 = c2. In questo modo, la tavoletta
Plimpton dimostra che i babilonesi conoscevano la geometria
elementare e i procedimenti algebrici.
Come scoprirono i babilonesi le teme pitagoriche? Perché
erano di loro interesse? Per comporre quella che si potrebbe
considerare la prima tavola trigonometrica della storia, è proba¬
bile che conoscessero già un algoritmo di creazione di teme che
rimarrà però sconosciuto per i successivi 1500 anni, fino a es¬
sere formalizzato da Euclide nei suoi Elementi.
La tabella della pagina seguente mostra 15 delle 38 teme
pitagoriche della tavoletta. Anche se i caratteri cuneiformi sono
stati decifrati, si rende comunque necessario precisare alcune
cose per capire la tabella. La IV colonna contiene l’ordine delle
IL TEOREMA
39
1.
II.
III.
IV.
b
d
/
(1) 59 00 15
1 59
2 49
1
2 00
(1) 56 56 58 14 50 06 15
56 07
3 12 1
[1 20 25]
2
57 36
(1) 55 07 41 15 33 45
116 41
1 50 49
3
1 20 00
(1) 53 10 29 32 52 16
3 31 49
5 09 01
4
3 45 00
(1) 48 54 01 40
1 05
1 37
5
1 12
(1) 47 06 41 40
5 19
8 01
6
6 00
(1) 43 11 56 28 26 40
38 11
59 01
7
45 00
(1) 41 33 59 03 45
13 19
20 49
8
16 00
(1) 38 33 36 36
9 01
[8 01]
12 49
9
10
(1) 35 10 02 28 27 24 26 40
1 22 41
2 16 01
10
1 48 00
(1) 33 45
45
1 15
11
1 00
(1) 29 21 54 02 15
27 59
48 49
12
40 00
(1) 27 00 03 45
7 12 1
[2 41]
4 49
13
4 00
(1) 25 48 51 35 06 40
29 31
53 49
14
45 00
(1) 23 13 46 40
56
53
[1 46]
15
1 30
file. Le colonne II e III danno i valori in base 60 dell’ipotenusa e
del cateto di un triangolo rettangolo. Nell’ultima colonna, iden¬
tificata come l, si specificano i valori dell’altro cateto. La prima
colonna racchiude una piccola meraviglia, perché dà i quadrati
del quoziente di d, diviso per l. Quel risultato si potrebbe descri¬
vere come il quadrato di una funzione trigonometrica.
Per fare un esempio, verificheremo la fila 1 della tavola babi¬
lonese usando i nostri numeri e la base 10. Nella colonna II appare
il cateto 6=119 (che in base 60 appare come 1 59) e nella colonna
40
IL TEOREMA
Ill l’ipotenusa d =169 (che appare come 2 49). Da questi due valori
risulta l’altro cateto, I = 120 (2 00). La tabella successiva, in base
10 presenta i valori convertiti e permette di comprovare la validità
delle relazioni:
Posizione
/
b
d
1
120
119
169
2
3456
3367
4825
3
4800
4601
6649
4
13 500
12709
18541
5
72
65
97
6
360
319
481
7
2700
2291
3 541
8
960
799
1249
9
600
481
769
IO
6480
4961
8161
11
60
45
75
12
2400
1679
2929
13
240
161
289
14
2700
1771
3229
15
90
56
106
L’AGRIMENSURA IN EGITTO
La matematica egizia era meno sviluppata di quella mesopota-
mica. Le scoperte di cui siamo a conoscenza provengono da cin¬
que papiri dedicati a questioni matematiche, tra i quali i più
importanti sono il papiro Rhind, scoperto nel 1858 dall’egitto¬
logo scozzese Alexander Henry Rhind (1833-1863), ora conser¬
vato al British Museum, e il papiro di Mosca, custodito nel
Museo Pushkin della capitale russa. Questi due documenti risal¬
ii. TEOREMA
41
gono probabilmente al secolo XVIII a.C., anche se potrebbero
essere ancora più antichi. Entrambi rivestono un’importanza
enorme per gli storici della matematica, ed è molto significativo
che in nessuno dei due vi siano indizi del teorema di Pitagora o
delle teme pitagoriche.
A ogni modo gli egizi sapevano che i triangoli di lato 3, 4, 5
(o i triangoli proporzionali) erano rettangoli e facevano un uso
pratico di questo concetto quando dovevano tracciare due linee
perpendicolari. Di fatto, il triangolo 3, 4, 5, si chiama triangolo
egizio.
Erodoto, tra i vari cronisti, attesta il suo utilizzo narrando il
lavoro degli agrimensori in seguito ai movimenti del terreno pro¬
vocati dagli straripamenti del Nilo. In architettura l’uso del trian¬
golo egizio è invece ben documentato, ad esempio, nella
costruzione della grande piramide di Chefren, che risale al XXVI
secolo a.C.
La dichiarazione esplicita della relazione pitagorica appare
in Egitto in vari casi numerici concreti ma non è rimasto nessun
documento che la esponga in forma generale. Ad esempio, in un
documento della XII dinastia (verso l’anno 2000 a.C.) trovato a
Kahun, si utilizza l’espressione
che è proporzionale a quella del triangolo egizio. Anche nei pa¬
piri di Berlino si trova una serie di documenti medici, letterari e
matematici del Medio Regno che contengono delle tracce del
teorema pitagorico. In uno dei papiri matematici si risolve un
sistema di equazioni con due incognite, in relazione al seguente
problema:
L’area di un quadrato di 100 cubiti quadrati è uguale alla somma di
due altri quadrati più piccoli. D lato di uno di essi è Vé + Va dell’altro.
Trova il valore dei lati dei loro quadrati.
42
IL TEOREMA
LA TRIANGOLAZIONE NELL’AGRIMENSURA
Gli agrimensori egizi erano sacerdoti e la loro attività di calcolo del terreno
aveva una connotazione quasi mistica e provocava il rispetto reverenziale dei
contadini. Lo strumento con il quale eseguivano la loro "magia” non era che
la trigonometria. Le prime culture che si interessarono alla geometria svilup¬
parono la trigonometria per via delle sue applicazioni in architettura e agri¬
mensura. La divisione dei terreni in triangoli (triangolazione) fu da sempre il
metodo essenziale per calcolare superfici e lo sviluppo della topografia attua¬
le ha dimostrato la sua efficienza. Ogni triangolo si può sempre dividere in
due triangoli rettangoli e questi permettono di determinare altezze o distan¬
ze inaccessibili, dalle misure di alcuni lati e di alcuni triangoli. Osservando
attentamente tali figure e confrontandole con le definizioni di seno, coseno e
tangente (vedi pag. 55), si notano proprietà molto utili. Ad esempio, ò=atanß.
Ossia, se si calcola l’angolo B si ottiene il valore di a e grazie alle tavole trigo¬
nometriche si può sapere quanto vale il lato b. Questa risorsa permette di
realizzare ogni tipo di misurazioni tecniche, con l’aiuto del metro e del teodo¬
lite (uno strumento di precisione che misura gli angoli nei loro rispettivi piani),
che calcolano in maniera più precisa lunghezze e angoli.
Incisione inglese degli inizi del XVII secolo dedicata alla misurazione della distanza di un oggetto
inaccessibile mediante la triangolazione.
IL TEOREMA
43
Nel linguaggio algebrico attuale, questo problema equivale a
risolvere il seguente sistema:
e ciò implica, così come appare nel papiro, l’esecuzione di una
sostituzione e il calcolo di una radice quadrata. Questa è una so¬
luzione di tipo pitagorico ma, più che suggerire una certa cono¬
scenza del teorema di Pitagora, sembra piuttosto indicare una
familiarità con metodi di soluzione di equazioni di secondo grado,
risultato piuttosto considerevole per gli antichi egizi.
PITAGORA IN INDIA
Anche in India si svilupparono conoscenze aritmetico-geometri¬
che in relazione con il teorema di Pitagora come risultato della
progettazione di templi e della costruzione di altari. Tra l’VIII e il
II secolo a.C., il sapere aritmetico-geometrico si concentrò nel
corpus di una dottrina conosciuta con il nome di Sulvasutra.
Sulva è un termine che si riferisce alle corde utilizzate per le mi¬
surazioni e Sutra è un libro di regole e aforismi relativi a un deter¬
minato rituale o scienza, per cui il titolo significa Manuale delle
regole della corda.
I Sulvasutra indiani erano una sorta di manuale in cui si espo¬
nevano le norme della costruzione rituale di altari di forma e di¬
mensioni determinate, tra cui i più interessanti sono quelli di
Baudhayana e Apastamba, che risalgono al V secolo a.C. In questi
libri si descrive l’uso della corda non solo per misurare, ma anche
per tracciare linee perpendicolari con tre corde di lunghezze co¬
stituenti teme pitagoriche (ad esempio 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17;
7, 24, 25). A questo scopo si utilizzava soprattutto il triangolo di
lati 15, 36, 39 (derivato dal triangolo di lati 5, 12, 13, chiamato il
triangolo indiano). È difficile valutare l’originalità delle nozioni
a? + y2= 100,
44
IL TEOREMA
concernenti il teorema di Pitagora in India. Da un lato quella ve¬
nerabile cultura condivise con l’Egitto la figura del tensore della
corda, e dall’altro, tutte le teme che appaiono nei Sulvasutra si
possono ricavare facilmente dalla regola babilonese descritta in
precedenza. Questo suggerisce un passaggio della conoscenza di
origine mesopotamica a quella del fiume Indo.
POESIA E MATEMATICA IN CINA
In Cina il teorema di Pitagora si conosce come Kon Ku e appare
per la prima volta nel trattato matematico Chou Pei Suan Ching,
che si potrebbe tradurre come II classico aritmetico dello gno¬
mone. Non si conosce la data esatta di quest’opera ma l’ipotesi
più probabile è che sia stata scritta durante gli anni 500 e 300 a.C.
e, in generale, si considera che Pitagora non la conoscesse. Il
Chou Pei Suan Ching è una raccolta di conoscenze di epoche
molto anteriori e fu considerevolmente ampliato nel III see. d.C.
da due insigni matematici, Zhao Shuang e Liu Hui. Per fortuna è
possibile distinguere i contenuti più antichi da quelli aggiunti
successivamente. In quanto al teorema di Pitagora, questo trat¬
tato matematico descrive aspetti primitivi, ossia, risultati nume¬
rici concreti, oltre alle leggi generali della creazione di terne
pitagoriche.
Il Chou Pei Suan Ching contiene una citazione sui triangoli
rettangoli in cui è di particolare interesse la descrizione di una
figura chiamata il diagramma dell'ipotenusa, che non è altro che
una dimostrazione visuale del teorema di Pitagora, utilizzando un
triangolo di lati a = 3, ò = 4ec = 5. Questa elegante dimostrazione
costruisce un quadrato di lato (a + b) che si divide in quattro trian¬
goli di base a e altezza b, e un quadrato di lato c (figura 3 della
pagina successiva). È altamente possibile che tale dimostrazione
sia stata aggiunta in un’epoca posteriore a Pitagora, ma anche se
così fosse, vale la pena osservarla attentamente.
Si consideri un triangolo rettangolo di cateti a e b e ipote¬
nusa c. Si dimostri che l’area del quadrato di lato c è uguale alla
somma delle aree dei quadrati di lato a e b. Ossia, a2 + b2 = c2. Se
IL TEOREMA
45
si aggiungono tre triangoli uguali all’o¬
riginale all’interno del quadrato di lato
c (figura 4), si ottiene un quadrato di
misura minore nel centro. Si può veri¬
ficare che il quadrato risultante ha, in
effetti, un lato b-a. Pertanto, l’area di
questo quadrato minore si può espri¬
mere come (b-a)2=b2-2ab+a2, visto che
(ò-a)2=(a-ò)2.
L’area del quadrato di lato c è la
somma dell’area dei quattro quadrati
d’altezza a e base b al suo interno, più
l’area del quadrato minore, dimostrando
così il teorema:
FIG 4
c2 =4^^j+a2-2ab + b2 =a2+ò2.
Il Chou Pei Suan Ching ontiene
anche una splendida dimostrazione me¬
diante una semplice traslazione di pezzi
(figura 5).
Il secondo trattato classico cinese
di contenuto matematico in cui si rela¬
zionano aspetti geometrici vincolati al
teorema di Pitagora risale all’incirca
all’anno 250 a.C., anche se Liu Hui lo
commentò e riscrisse nell’anno 263 d.C.
46
IL TEOREMA
Si tratta del Chui Chang Suang Shu, o I nove capitoli delVarte
matematica. Il nono e ultimo capitolo è integralmente dedicato ai
triangoli rettangoli e presenta 24 problemi, le cui soluzioni si ba¬
sano, in modi diversi, sul teorema di Pitagora. Il più conosciuto è
il problema del bambù rotto, presentato in maniera figurativa,
convertendo il triangolo rettangolo in una canna di bambù spez¬
zata a una certa altezza, da calcolare:
Si consideri un bambù di 10 piedi d’altezza che si è rotto in manie¬
ra tale che il suo estremo superiore si appoggia a terra a una distan¬
za di tre piedi dalla base. Calcolare a che altezza si è prodotta la
rottura.
Questo problema combina il teorema di Pitagora con la riso¬
luzione di equazioni quadratiche, dato che richiede la risoluzione
dell’equazione x2 + 32 = (10-x)2.
PITAGORA: LE DIMOSTRAZIONI TRADIZIONALI
Pitagora non lasciò nessuno scritto, pertanto non esiste alcuna
dimostrazione del teorema che si possa considerare propriamente
sua. La soluzione si mostra in diverse fonti della tradizione greca,
che gli attribuiscono le dimostrazioni esposte in seguito, fino alla
sua dettagliata descrizione nel libro di geometria più importante
della storia occidentale, gli Elementi del greco Euclide. In ogni
caso, non si può togliere a Pitagora e ai suoi seguaci la loro parte
di genialità, perché furono coloro che riuscirono a fare il grande
salto dal concreto al generale, a stabilire un teorema teorico ap¬
plicabile a tutti i casi.
La prima dimostrazione del teorema che la tradizione ri¬
tiene appartenga a Pitagora è una prova empirica. Si considera
un triangolo rettangolo di lati a, b, c (cateti e ipotenusa), che in
realtà sono lati di tre quadrati già esistenti, secondo le regole
severe della geometria greca (figura 6). Con questi quadrati si
costruiscono due quadrati differenti. Il primo è formato dai qua¬
li. TEOREMA
47
FIG 9
c
drati dei cateti, più quattro trian¬
goli rettangoli uguali al triangolo
iniziale (figura 7). Il secondo è
formato dagli stessi quattro trian¬
goli e dal quadrato dell’ipotenusa
(figura 8). Se da ognuno di questi
quadrati togliamo i triangoli, l’area
del quadrato centrale (c2) equi¬
varrà all’area dei due quadrati che
compongono la figura 8 (ò2 + a2),
così si dimostra l’enunciato di¬
retto del teorema di Pitagora.
Opponendosi a questa dimo¬
strazione grafica, che si basa sulla
teoria delle proporzioni di Pita¬
gora - una teoria imperfetta, per¬
ché applicabile solo a quantità
commensurabili - qualche storico
matematico ha contrapposto
un’altra prova di carattere nume¬
rico. Pitagora poté dimostrare il
teorema attraverso la similitudine
dei triangoli - nella figura 9, ABC,
ACH e CBH - con i lati omolo¬
ghi proporzionali. Consideriamo il
triangolo ABC rettangolo in C; il
segmento CH è l’altezza relativa
all’ipotenusa, su cui determina i
segmenti a' e b', proiezioni rispetti¬
vamente dei cateti aeb.l triangoli
rettangoli ABC, ACH e CBH hanno
le loro tre basi uguali: tutti i trian¬
goli hanno due basi in comune e gli
angoli acuti sono uguali in quanto
comuni e compresi tra due lati per¬
pendicolari. Pertanto, i triangoli
sono simili.
48
IL TEOREMA
PROVA DELLA SIMILITUDINE DEI TRIANGOLI
La similitudine dei triangoli si può provare in due modi:
- Prova della similitudine tra ABC e ACH: due triangoli sono simili quando
vi sono due o più angoli congruenti (come ci dimostra Euclide):
b__c_
~b'~ b
b2 - b'c.
- Prova della similitudine tra ABC e CBH:
a' a
a2 - a'c,
da cui si ottiene il cosiddetto teorema del cateto. Sommando:
a2 + b2 = a'c + b'c = c(a' + 6'),
ma (a' + ò') = c, per cui risulta:
a2 + b2 = c2.
GLI ELEMENTI DI EUCLIDE
Euclide visse ad Alessandria attorno all’anno 300 a.C. e fu l’au¬
tore degli Elementi di geometria (Stoicheia), un’opera fonda-
mentale per lo sviluppo della matematica e della scienza. In
questo testo si riassume la conoscenza geometrica dell’epoca,
oltre a dimostrazioni proprie, esposte con il massimo rigore ed
eleganza, deducendo con la logica tutti i teoremi a partire da
definizioni, postulati e nozioni comuni. L’opera non è solo un
compendio brillante, ma anche un gran lavoro di strutturazione
del pensiero geometrico. Forse proprio per questo, fino a qual¬
che decade fa, questo libro continuava a essere il riferimento
fondamentale per l’apprendimento della geometria. Unicamente
IL TEOREMA
49
superati dalla Bibbia, gli Elementi sono l’opera che ha avuto più
edizioni ed è stata più tradotta, prima e dopo la sua stampa. At¬
tualmente si contano più di mille ristampe.
Gli Elementi sono divisi in tredici libri: i primi quattro si
occupano della geometria piana di base: la congruenza dei trian¬
goli, l’equivalenza delle aree, la proporzione aurea, il cerchio, i
poligoni regolari, alcune quadrature e, ovviamente, il teorema di
Pitagora (Libro I, Proposizione 47). La proprietà pitagorica, così,
si trova nel contesto geometrico delle aree delle figure. Pitagora
riappare nel libro VI in relazione con le proporzioni e anche nel
Libro X, in cui si trattano le radici quadrate.
Nella proposizione 47 Euclide afferma che nei triangoli ret¬
tangoli il quadrato del lato opposto all’angolo retto è uguale alla
somma dei quadrati dei lati che lo formano. L’espressione visuale
di questa proposizione è chiamata mulino a vento (vedi figura).
La dimostrazione si realizza mediante le aree. Consiste nello
stabilire che i triangoli BEA e BCE sono isometrici e che il dop¬
pio delle loro aree è uguale da un lato all’area del quadrato CBFJ
e dall’altro all’area del rettangolo BIHE. Allo stesso modo il qua¬
drato CKGA ha la stessa area del rettangolo AIHD. Da qui si
j
deduce il teorema di Pitagora, che
si può enunciare in questa forma:
l’area del quadrato BADE è uguale
alla somma dei quadrati CBFJ e
CAGK.
F
Il teorema dimostra anche
come ottenere un quadrato dall’a¬
rea uguale alla somma dei due qua¬
drati dati, ossia, come trovare x
tale che oc2=a2+b2} essendo questo
un altro esempio di algebra geome¬
trica. Se la proposizione 47 rappre¬
senta il momento culminante del
primo libro degli Elementi, risulta
ancora più sorprendente come, di
seguito, il geometra dimostri l’in¬
verso del teorema di Pitagora. È la
E
H
D
50
IL TEOREMA
EUCLIDE DI ALESSANDRIA
Euclide è considerato il padre
della geometria. Anche se pro¬
babilmente nessuno dei risultati
degli Elementi sia suo in modo
originale, è indubbio che si deb¬
ba a lui l’organizzazione del con¬
tenuto e la sua esposizione. Del¬
la sua vita si sa poco più di
quello che racconta il filosofo
Proclo (V see. d.C.) nei sui com¬
menti sul Libro I degli Elementi.
Proclo assicura che il geometra
nacque nel 325 a.C. circa, visse e
insegnò ad Alessandria e morì
verso l’anno 265 a.C. Afferma
inoltre, e sembra molto probabi¬
le che così fosse effettivamente
a giudicare dalla natura della sua
opera, che aveva potuto studia¬
re nella scuola di Platone o con
qualche discepolo del maestro.
Euclide, dunque, avrebbe vissuto
durante il periodo ellenistico; ma la cosa più probabile è che abbia vissuto
nella Grecia classica, dato che i suoi scritti si riferiscono alle conoscenze di
quell’epoca. Così, Euclide strutturò le scoperte in modo diverso rispetto ai
greci classici, come si può vedere paragonando i suoi libri con lavori più
antichi. Lo stesso Proclo spiega che egli riunì contributi del filosofo e ma¬
tematico Eudosso (390-ca. 337 a.C.), rispetto alla teoria della proporzione,
e del matematico Teetèto (417-ca. 369 a.C.) rispetto ai poliedri regolari, e
che, in generale, fornì dimostrazioni inconfutabili di numerosi risultati in¬
sufficientemente documentati dai suoi predecessori. Non si dispone di ma¬
noscritti redatti da Euclide stesso, per cui i suoi testi hanno dovuto essere
ricostruiti a partire da commenti e note di autori posteriori, soprattutto
codici bizantini e traduzioni latine ed arabe.
^ m m m m *
Euclide e la geometria rappresentati
in uno dei rilievi realizzati da Andrea Pisano
nel XIV secolo (Museo dell’Opera del Duomo,
Firenze).
proposizione 48, che di solito passa inosservata, ma che ha un
grande valore logico-deduttivo, che Euclide rivendica. In questa
proposizione si afferma che, se in un triangolo rettangolo il qua¬
drato di un lato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due
IL TEOREMA
51
FIG. 10
A
lati, l’angolo che essi formano è
retto (figura 10). La dimostrazione
consiste nel tracciare un segmento
CD perpendicolare ad AC e uguale
a CB. Per ipotesi:
BC2+AC2=AB2,
ed, essendo il triangolo ADC un
triangolo rettangolo:
AC2 + CD2 = AD2.
Siccome BC=CD, AB2=AD2 e, pertanto, AB=AD. Quindi i
triangoli ADC e ABC sono congruenti, e l’angolo ACB, uguale a
ACD, dev’essere retto.
Euclide presenta anche un’approssimazione grafica del pro¬
blema, trasformando i quadrati costruiti sui cateti, nel rispettivo
parallelogramma avente la stessa area (avendo la stessa base e la
stessa altezza), per poi ricollocare questi parallelogrammi nel qua¬
drato costruito sull’ipotenusa. Questa prova geniale chiarisce la
parte che occupano i quadrati costruiti sui due cateti (figura 11).
Il teorema di Pitagora è uno di quelli che possiede il maggior
numero di dimostrazioni differenti, con metodi diversi. Una delle
spiegazioni di questo fenomeno è che durante il Medioevo si esi¬
geva la realizzazione di una nuova dimostrazione per raggiun¬
gere il grado di Magister matheseos, ossia maestro di
52
IL TEOREMA
POTO A LA IO
Il papiro
Oxyrhynchus 29,
parte di una copia
degli Elementi,
datata tra i secoli
ll-IV d.C.
(Università di
Pennsylvania,
Philadelphia).
POTO IN BASSO
Un nuovo
dettaglio de
La scuola di Atene
di Raffaello:
la parte in cui
appare Euclide
(con il compasso).
Il matematico si
trova sullo stesso
piano di Pitagora,
ma dalla parte
opposta
dell'opera (Musei
Vaticani, Roma).
IL TEOREMA
53
matematica, e in un certo senso,
la tradizione convertì quest’im¬
presa in un esempio dell’insegna¬
mento del sapere universale.
Il genio Leonardo da Vinci
(1452-1519) fu il più notevole
degli Uomini Universali del Ri-
nascimento italiano, perché col¬
tivò brillantemente discipline
appartenenti ai più disparati
campi del sapere, sia in ambito
scientifico sia artistico. Lo stesso
uomo che dipinse l’enigmatica de¬
licatezza della Gioconda e che in¬
ventò innumerevoli macchine
sorprendenti e ingegnose, fu
anche capace di sviluppare un’ec¬
cellente prova del teorema di Pita¬
gora. Leonardo si basò sul famoso
“mulino”, ossia il triangolo e i quadrati costruiti sui tre lati. A essi
aggiunse il triangolo ECF nella parte superiore e collocò strate¬
gicamente un’altra copia del triangolo A'C'B' nella parte infe¬
riore (figura 12). Tracciando DD' e CC, che sono perpendicolari,
si osserva che DD' divide l’esagono superiore ABDEFD' simme¬
tricamente e che le due parti si possono girare e collocare co¬
prendo l’esagono ACBA'CB'. Di conseguenza, i due quadrati
costruiti sui cateti devono sommare un’area uguale al quadrato
costruito sull’ipotenusa.
IL TEOREMA DI PITAGORA OGGI
Due millenni e mezzo dopo la sua scoperta, il teorema di Pita¬
gora continua a manifestarsi in diverse applicazioni matemati¬
co-scientifiche. Questo risultato matematico, forse così trasversale
grazie alla sua semplicità, è essenziale per il calcolo delle lun-
54
IL TEOREMA
FIG 13
ghezze, aree e volumi di figure. In
un quadrato di lato x, la diagonale
vale xj2; in un rettangolo di lati x,
y, la diagonale vale yjx2 + y2 ; in un
parallelepipedo, ad esempio una
scatola di scarpe, di spigoli x, y, z,
la diagonale vale ^jx2 + y2 + z2; in
un cono d’altezza he di raggio
della base r, la generatrice vale
yjh2 + r2... e sarebbe possibile con¬
tinuare così per molte pagine.
Il teorema di Pitagora è pre¬
sente anche con l’introduzione
delle coordinate cartesiane nel
piano e nello spazio, per definire la
distanza d (P, Q) tra i due punti
P=(xì,yl) e Q = (x2,y2), così come
si dimostra nella figura 13. Appli¬
cando il teorema:
Y
y2 - ri
P *2 - *1
*1 *2
Distanza (P,Q) = yj(x2 -xx)2 + (y2 -yrf.
In ogni calcolo che preveda l’utilizzo di funzioni, ossia nel
calcolo funzionale, appare la relazione pitagorica, considerando
le variabili y=f(x) nei riferimenti cartesiani. Il teorema si utilizza
anche nella trigonometria. Alla misura degli angoli di un trian¬
golo rettangolo si associano le funzioni seno, coseno, tangente...
(figura 14), essendo:
a a . b . A a
sen A = — cosA = - tan A = —.
c c b
In questo modo, in termini trigonometrici, il teorema di Pi¬
tagora si esprime come la relazione fra sen2 A + cos2A = 1.
Analogamente, per questo motivo, è possibile ritrovare il teo¬
rema anche nella topografia, nella cartografia, nella navigazione
IL TEOREMA
55
marittima o aerea e, ovviamente, nell’architettura, nell’ingegne¬
ria e in tutti quegli ambiti dell’attività umana che sono interessati
da calcoli di misure e tecnici. Per dimostrare l’importanza capi¬
tale del teorema nella trigonometria, si consideri la seguente fi¬
gura. Oltre a contenere il cerchio e il triangolo rettangolo che ha
per cateti il seno e il coseno, la figura mostra molti altri segmenti
che corrispondono alla maggior parte delle funzioni trigonome¬
triche. Si può trovare la tangente, che è il quoziente del seno e
del coseno; le tre funzioni reciproche: la secante, che equivale a
1 diviso per il coseno, la cosecante, che è reciproca del seno e la
cotangente, reciproca della tangente. Ancora una volta, grazie
all’onnipresente teorema di Pitagora, la varietà dei triangoli ret¬
tangoli che appaiono nella figura permette di ottenere in maniera
immediata una lunga serie di relazioni interessanti, tra cui sei
funzioni trigonometriche:
tan2 0 +1 = see2 0,
cot2 0 + 1 = esc2 0,
(tan 0 +1)2 + (cot0 +1)2 = (sec 0 + esc 0)2.
tan 0
1
56
IL TEOREMA
IL TEOREMA DI PITAGORA NEGLI ALTRI POLIGONI
Non c’è dubbio che la relazione pitagorica greca sia intimamente
connessa con una figura geometrica molto concreta, il triangolo
rettangolo. Eppure, considerando la classica rappresentazione del
mulino a vento nella quale i tre quadrati prestano i loro lati per
formare i cateti e l’ipotenusa del triangolo rettangolo, alcune do¬
mande sorgono spontanee. Che cosa succederebbe se si usassero
i quadrati per formare un triangolo qualsiasi? Inoltre, che cosa
succederebbe se essi si costruissero su di un parallelogramma?
Se si aggiungono tre segmenti al triangolo rettangolo con i
suoi quadrati, si forma un esagono in cui appaiono tre nuovi trian¬
goli di area TvT2e T3 (figura 15). Che valore hanno le nuove aree?
In ogni caso, sono sempre uguali e valgono esattamente quanto
l’area T della figura iniziale T=T2=T.=T. La figura 16 può servire a
dimostrare la deduzione T=TX girando Tv dal momento che la base
IL TEOREMA
57
IL TEOREMA
e l’altezza dei due è uguale. Per gli altri triangoli il procedimento
è lo stesso. Se ABC è un triangolo qualsiasi, possiamo ancora
costruire i tre quadrati sui lati e chiederci che relazione esiste tra
le aree di questi quadrati. Supponiamo, ad esempio, il caso di un
triangolo acuto (A < 90°). La soluzione è esemplificata nella fi¬
gura 17. In essa abbiamo tracciato le tre altezze del triangolo. In
seguito queste altezze sono state prolungate fino a dividere i qua¬
drati costruiti sui cateti in due rettangoli. Considerando le mi¬
sure dei suoi lati risulta che l’area del rettangolo superiore destro
è c (acosB). Ciò che sorprende è che quest’area è la stessa di
quella del rettangolo inferiore destro. L’area delle sezioni di sini¬
stra è ò(acosC). Inoltre appaiono i due segment b(c cos A),
arrivando così al risultato:
à2 = b2 + c2-2bc-cos^4,
essendo questa la legge del coseno.
Pertanto, se >l=90o, il cos90°=0 si ha ò2+c2=a2, la celeberrima
relazione pitagorica. In questo modo la legge del coseno è un’e¬
stensione del teorema di Pitagora. Un’altra proprietà sorpren¬
dente si manifesta nei quattro quadrati che si possono costruire
sui lati di un parallelogramma. Come si può apprezzare nella fi¬
gura 18 la somma delle aree dei quattro quadrati è uguale alla
somma dei due quadrati che possono disegnarsi sopra le diago¬
nali. Si tratta della legge del parallelogramma.
PASSATEMPI MATEMATICI
Per terminare la descrizione delle manifestazioni contemporanee
di uno dei più venerabili risultati matematici della storia e della
scienza vale la pena considerare un paio di passatempi, che, no¬
nostante siano considerati tali, non cessano di essere utili.
In primo luogo, il teorema di Pitagora permette di rispondere a
una domanda che l’uomo si fece dal momento in cui scoprì la curva¬
tura della terra: fino a che distanza è possibile vedere l’orizzonte?
IL TEOREMA
59
Per risolvere questo quesito bisogna unicamente conoscere l’altezza
dell’osservatore sul livello del mare. Ad esempio, se l’osservatore sta
osservando il paesaggio dalla cima di una montagna di 1000 metri
d’altezza, è possibile applicare il teorema in questo modo:
(R+hf=R2+v2.
Di conseguenza:
tf = (R+hf- R2 = (R2 + 2Rh + h2)-R2 = h2 + 2Rh = h(h+2R),
essendo R il raggio della Terra. Siccome 2R + h è approssimativa¬
mente 2R poiché h è molto piccolo rispetto a R, risulta:
FIG 20
v2~h(2R)
v**y/2 Rh.
E con Ä=6371 km e h= 1 km, ri¬
sulta:
vsi 12,88 km.
Infine, andando un poco oltre,
sapendo che il teorema di Pita¬
gora è una tipica proprietà dei
triangoli rettangoli piani, sorge
spontaneo chiedersi: sarebbe
possibile proiettarlo nello spazio
tridimensionale? La risposta a
questa domanda è affermativa ed
è possibile farlo in diversi modi.
Un metodo conosciuto e molto
intuitivo è quello di considerare
una scatola di spigoli a, b, c ed
esprimere il valore d della dia¬
gonale della scatola attraverso il
teorema pitagorico: d2 = a2 + b2 + c2
(figura 20).
60
IL TEOREMA
CAPITOLO 3
La setta dei pitagorici
All’apice della colonizzazione greca
Pitagora mise alla prova il suo progetto di società utopica,
di base spirituale e filosofica, in Magna Grecia.
Fondò una setta in cui erano ammessi uomini e donne
in pari numero. La confraternita si strutturava
attraverso l’accesso alla conoscenza magico-matematica.
È la prima società con queste caratteristiche di cui siamo
a conoscenza, una vera e propria “setta del numero”.
Il pitagorismo era una forma di vita. La comunità di seguaci del
maestro Pitagora si sottometteva a una serie di regole che copri¬
vano tutti gli aspetti della quotidianità, anche quelli più pratici.
L’accesso alla verità e alla salvezza dipendeva dall’adempimento
rigoroso di queste norme, così come avveniva nelle dottrine
delle religioni misteriche.
L’etica della comunità primitiva era determinata dall’idea
dell’immortalità dell’anima, che tingeva la vita pitagorica di un
carattere religioso e ascetico. Per questo motivo, la maggior
parte delle regole era volta a far sì che i membri della confrater¬
nita dominassero il loro carattere, s’allontanassero dalle pas¬
sioni e ignorassero le necessità del corpo, condizioni necessarie
per raggiungere la conoscenza suprema. In quel contesto, la
musica era considerata “medicina per l’anima” grazie al suo ef¬
fetto consolatorio, e la massima virtù era l’armonia dell’anima,
uno stato di perfezione al quale era possibile elevarsi solamente
con le successive reincarnazioni. A quanto pare, durante la vita
del maestro, anche se il numero aveva già manifestato le sue
proprietà puramente matematiche, non aveva ancora esteso la
sua influenza all’etica pitagorica, né aveva ancora influito sulla
sua cosmologia.
Per i pitagorici la vita aveva un obiettivo mistico: il contatto
col divino. Per questo motivo 1’esistenza era organizzata in
LA SETTA DEI PITAGORICI
63
forma di un’ascesa a tappe. Così come nelTorfismo, che attribuiva
all’uomo un’origine divina e concepiva la vita come una lotta
per recuperarla, Pitagora considerava l’anima come la parte di¬
vina dell’uomo e la sua unica speranza di sopravvivenza. In ogni
caso, non dobbiamo farci scrupoli nel qualificare la scuola fon¬
data dal saggio di Samo come una setta. La vita pitagorica, così
come l’hanno descritta i cronisti, comprende punto dopo punto
tutti gli elementi che definiscono una setta religiosa in senso
puramente sociologico, senza accezioni peggiorative. Il mae¬
stro, la massima autorità spirituale, proponeva ai suoi seguaci
un insieme di iniziazioni e regole obbligatorie per vivere, li sot¬
tometteva a una struttura gerarchica con ordini e categorie e
offriva loro una codificazione dell’ascesa alla verità. I membri
del gruppo si distinguevano per i loro vestiti, per l’alimentazione
e per i rituali che svolgevano, una forma di vita alternativa alla
società tradizionale.
GERARCHIA PITAGORICA
La gerarchia pitagorica rispondeva ai diversi gradi d’iniziazione
dei membri della setta. La divisione di base consisteva in due
gruppi: gli acusmatici e i matematici. I primi ascoltavano le pro¬
posizioni degli insegnamenti del maestro, ma non avevano ac¬
cesso a una spiegazione più completa del ragionamento che le
giustificava. I secondi, invece, studiavano le suddette proposi¬
zioni e conoscevano i loro segreti. Questi insegnamenti enigma¬
tici si trasmettevano attraverso delle massime allegoriche chia¬
mate acusmata, che gli iniziati di livello base ripetevano come
fossero orazioni. La tradizione vuole che Pitagora avesse ap¬
preso in Egitto questo metodo tipico delle sette, ma è un dato di
fatto che le massime pitagoriche fossero molto simili alle sen¬
tenze dell’oracolo di Delfi.
A questa divisione primaria, la più nota, si aggiungono altri stati
di potere o autenticità, secondo il livello di prossimità al sapere lo¬
gico. A sua volta, il grado di potere all’intemo della setta corrispon-
64
LA SETTA DEI PITAGORICI
deva al rigore delle abitudini, di modo che una maggiore conoscenza
implicava norme più severe e uno stile di vita ancora più severo.
Secondo la tradizione, gli iniziati ascoltavano le spiegazioni
del maestro da dietro una tenda che impediva loro di vederlo,
formando un cerchio esterno. Venivano chiamati essoterici, per¬
ché si trovavano fuori dal cerchio del maestro. I nuovi membri
dovevano superare varie prove d’iniziazione, che consistevano
nel fare voto di silenzio e praticare una vita pura, che includeva
il vegetarianismo, l’uso di vestiti bianchi e la meditazione. Mano
a mano che completavano il periodo di prova, potevano oltrepas¬
sare la tenda ed entrare nel circolo interno. In questo modo pas¬
savano a chiamarsi esoterici.
L’entrata nella setta era un processo molto complesso, che
iniziava con esami fisici, morali e attitudinali. Alcune fonti segna¬
lano che il candidato entrava in un periodo di prova di tre anni,
dopodiché cominciava il primo grado d’iniziazione: un voto di
silenzio di cinque anni. Il silenzio pitagorico aveva origine anche
nei rituali misterici, la cui rivelazione era proibita e castigata, ed
era una pratica preliminare della segretezza assoluta che riguar¬
dava l’insegnamento della setta. Il voto di silenzio e l’autocon¬
trollo furono due discipline morali molto ammirate durante tutta
l’Antichità.
Nella gerarchia pitagorica sono stati identificati altri due
gruppi, gli amministratori e i politici, anche se la divisione non
è molto chiara. I primi gestivano l’alloggio e il patrimonio della
comunità, poiché entrando nella setta i beni del nuovo membro
s’incorporavano al tesoro comune. I politici, invece, s’incarica¬
vano delle relazioni del gruppo con il mondo esterno.
Ma la divisione più forte e palese era quella che separava i
membri della setta dalla società convenzionale. Il gruppo reagiva
in modo ostile di fronte a chi abbandonava la setta o a chi desi¬
derava entrare senza meritarselo. I disertori venivano conside¬
rati morti. Potevano andarsene liberamente e si restituiva loro il
doppio di ciò che avevano donato alla comunità, ma a partire da
quel momento smettevano di esistere per la setta.
I membri della confraternita, che avevano una grande mobi¬
lità geografica, disponevano di contatti nelle città più importanti
LA SETTA DEI PITAGORICI
65
dell’Italia meridionale e della Sicilia, dove si articolò un’ampia
rete di ospitalità pitagorica. I fratelli impiegavano una serie di
parole d’ordine segrete per riconoscersi nei diversi punti del
mondo antico, e potersi così mutare nei momenti di pericolo. La
tradizione è piena di aneddoti riguardo a pitagorici in situazioni
di necessità, che vengono mutati da altri compagni, riconoscen¬
dosi con ingegnosi segnali segreti.
«Come i pitagorici ad Apollo, così noi sacrifichiamo,
senza mangiare nulla che abbia un’anima.»
Diogene Laerzio citando alcmeone nel capitolo dedicato a Pitagora,
NELLA SUA OPERA Vite E DOTTRINE DEI PIÙ CELEBRI FILOSOFI.
TABÙ PITAGORICI
Si è spesso detto che i pitagorici fossero vegetariani ma certi
autori assicurano che Pitagora evitasse solo alcune parti degli
animali, come: le interiora, i testicoli e i genitali, il midollo osseo,
le zampe e la testa. Su questo punto si dibatte tutt’oggi: in ogni
caso, è dimostrato che i membri della setta avessero dei tabù
alimentari piuttosto ferrei, per via dell’influenza della dottrina
dell’immortalità dell’anima.
Le restrizioni alimentari variavano a seconda della gerar¬
chia. Gli iniziati di livello inferiore potevano mangiare qualsiasi
tipo di carne, con l’unica eccezione di quella di bue, che serviva
per il lavoro nei campi, e di quella di montone. Il consumo del
pesce era soggetto a regole molto severe. Il tabù alimentare più
famoso e peculiare, in quanto probabilmente arbitrario, era il
divieto di mangiare le fave. Questo divieto era giustificato da una
serie di ragioni stravaganti, attribuendolo in definitiva alla ca¬
tena della reincarnazione: le fave erano stranamente relazionate
con la carne umana e la loro ingestione poteva arrivare a consi¬
derarsi un atto di cannibalismo. Non meno peculiari sono le leg¬
gende che circolavano sull’alimentazione di Pitagora stesso. Si
66
LA SETTA DEI PITAGORICI
dice che per preparare la sua meditazione mangiasse alimenti che
saziavano rapidamente la fame o la sete, o addirittura che smet¬
tesse di alimentarsi del tutto. La lista includeva ingredienti come
semi di papavero e sesamo, fiori di narciso e foglie di malva, chic¬
chi d’orzo e ceci. Per bere, riuniva dei semi di cetriolo e uva passa
sgranati, formaggio a pezzi, farina e crema di latte e li mescolava
con miele selvatico.
SACRIFICI E REINCARNAZIONE
Il sacrificio animale
era uno dei pilastri del
culto e della pietà gre¬
ca verso gli dèi. Per
questo motivo non
deve risultare strano
che la religiosità dei
pitagorici si manife¬
stasse in tale forma.
Ora, si direbbe che il
sacrificio animale si
trovi in contraddizio¬
ne con l’idea della
reincarnazione. Per
risolvere questo pro¬
blema, alcuni autori
assicurano che i pita¬
gorici realizzassero
offerte incruente,
mentre altri ricorrono
a complesse spiega¬
zioni che cercano di
dimostrare che le ani¬
me degli uomini non
potevano entrare ne¬
gli animali consacrati. In ogni caso, sembra che fossero i membri degli
strati più bassi della setta coloro che s'incaricavano di sacrificare animali e
compiere i rituali della religione convenzionale, che a volte sembravano
contraddire gli insegnamenti del maestro.
Ceramica greca datata intorno al V see. a.C. Attribuita a
Epidromo, la sua decorazione è dedicata al sacrificio animale
(Museo del Louvre, Parigi).
LA SETTA DEI PITAGORICI
67
MASSIME PITAGORICHE
Quella di Pitagora fu un’epoca di prestigio della comunicazione
orale, dove la saggezza effimera si equiparava con quella reale.
Forse per questo, usando le parole dello storico greco Plutarco
(I-II see. d.C.), il saggio di Samo «non scrisse niente in assoluto,
come Socrate». Con il passare dei secoli, però, diversi autori as¬
sicurarono che Pitagora aveva fissato le sue dottrine in alcune
opere scritte. Una tradizione gli attribuisce tre libri (sull’educa¬
zione, la politica e la natura), mentre un’altra tradizione gli ri¬
volge l’accusa di averli plagiati da Orfeo.
La leggenda più famosa, però, è quella che difende resi¬
stenza di un testo sacro di base del pitagorismo, che avrebbe
contenuto gli insegnamenti segreti della setta, di cui si realizza¬
rono alcune copie che circolarono nel mondo greco poco dopo
la sua morte. Si chiamava Discorso Sacro. Non vi sono prove
affidabili della sua esistenza e la cosa più probabile è che non
esistesse davvero. In ogni caso, tutte le descrizioni del discorso
che Pitagora tenne al suo arrivo a Crotone riferiscono che le sue
parole furono considerate divine e motivarono l’adesione incon¬
dizionata di numerose persone, che formarono una confraternita
e condivisero tutti i loro beni.
I VERSI D’ORO
II filosofo neoplatonico Giamblico di Calcide affermò che, attraverso Filolao
di Crotone, arrivarono nelle mani di Platone alcuni testi scritti dai pitagorici.
Tra queste opere, spiccava il Discorso Sacro. Dal III see a.C. circolarono dei
Versi d’oro, che, secondo la leggenda, provenivano dal Discorso sacro e in
cui si notava l’impronta di Pitagora stesso. Era un breve compendio di 71
esametri che fu canonizzato come modello etico del comportamento per
molto tempo, raggiungendo anche il Romanticismo, per mano del tedesco
Goethe (1749-1832). È possibile che alcune delle idee che formano il testo
provenissero dalla setta originaria di Pitagora, come avviene con tutti i
testi tradizionali.
68
LA SETTA DEI PITAGORICI
FOTO A LATO
I pitagorici
celebrano il
sorgere del sole,
tela del pittore
del XIX secolo
F.A. Bronnikov
(Galleria
Tretyakov,
Mosca).
FOTO IN BASSO
Pitagora che risale
dagli Inferi,
dipinto dell’artista
Salvator Rosa,
realizzato verso
la metà del XVII
secolo (Kimbell
Art Museum,
Fort Worth).
LA SETTA DEI PITAGORICI
69
Come abbiamo visto in precedenza, l’educazione pitagorica
avveniva mediante simboli di difficile interpretazione, di carat¬
tere sentenzioso e arcaico. Così come le parole degli oracoli,
erano difficili da capire, ma, una volta scoperte le loro chiavi
interpretative, era possibile risolvere l’enigma ed accedere a una
conoscenza d’ordine superiore. Le massime che memorizzavano
gli acusmatici erano lezioni orali simili ad alcuni precetti reli¬
giosi greci o alle norme delle religioni misteriche, e si classifica-
vano in tre tipi:
- Definizioni per mezzo di domande del tipo «che cosa cosa è»:
«Che cosa è l’oracolo di Delfi? La tetraktys.»
«Che cosa sono le Isole dei Beati? Il Sole e la Lima.»
- Definizioni che indicavano «che cosa è meglio»:
«Che cosa è la cosa più giusta? Sacrificare.»
«Che è la cosa più saggia? Il numero.»
«Che cosa è la cosa più bella? L’armonia.»
«Che cosa è la cosa più potente? Il sapere.»
«Che cosa è la cosa più eccellente? La felicità.»
- Norme di comportamento che indicavano «che cosa
conviene o non conviene fare»:
«Non passare sopra la bilancia»
(Non trasgredire l’eguaglianza e la giustizia).
«Non ferire il fuoco con la spada»
(Non incitare l’ira e l’indignazione dei potenti).
«Aiuta a portare un peso, non imporlo»
(Non far sì che qualcuno smetta di fare qualcosa).
«Non mangiare il cuore»
(Non tormentare l’anima con angustie e dolori).
Una delle definizioni chiave come mezzo d’apprendimento
attraverso domande e riposte introduceva un concetto fondamen¬
tale per il pitagorismo: la tetraktys, l’insieme dei primi quattro
numeri, la cui somma dava come risultato il 10, il numero perfetto
nel pitagorismo successivo.
70
LA SETTA DEI PITAGORICI
IL PITAGORISMO POLITICO
Spesso nell’antica Grecia era impossibile separare il legislatore
dall’uomo divino. I due casi classici sono Minosse e Licurgo, i
mitici legislatori di Creta e Sparta. Minosse dettò legge a Creta
dopo aver ricevuto le leggi da Zeus, mentre Licurgo fu l’eroe re¬
sponsabile delle leggi di Sparta, che apprese prima a Creta e in
Egitto e che in seguito vennero approvate da Apollo nel santua¬
rio di Delfi. Anche le leggi di Solone di Atene, uno dei Sette Saggi
Greci, e il primo legislatore che contribuì a svincolare la politica
dalla religione, presentano ricordi di questa relazione: secondo
la leggenda, infatti, l’oracolo di Delfi potrebbe aver guidato il suo
cammino politico. D’altra parte, il posto occupato da Minosse
nella tradizione greca ebbe il suo corrispettivo nell’antica Roma
con il re Numa Pompilio, e nel mondo ebraico con Mosè.
I legislatori-indovini si estesero in tutto il mondo greco, e
nelle città dell’Italia meridionale si trasformarono in una tradi¬
zione culturale di pensatori come Parmenide, Zenone o lo stesso
Pitagora. Il saggio di Samo fu l’esempio per eccellenza del san¬
tone con influenza politica, il legislatore d’ispirazione divina,
fondatore delle regole e dei precetti universali. Difatti, la società
che fondò - che ammetteva uomini e donne allo stesso livello, la
proprietà era comune e lo stile di vita comunitario - si considera
la prima comunità con tali caratteristiche di cui abbiamo notizia.
Non è possibile sapere con certezza se i viaggi d’apprendi¬
stato di Pitagora fossero reali o fino a che punto il saggio dedicò
la sua prima scuola, il Semicerchio di Samo, a mettere alla prova
le sue idee. In ogni caso, la permanenza a Creta di cui ci parlano
alcune sue biografie, allo scopo dell’apprendistato politico, po¬
trebbe essere stata possibile ed essere avvenuta durante il suo
giro in Grecia, prima di trasferirsi a Crotone. Creta era conside¬
rata un luogo di massimo prestigio per il sommo apprendimento
delle leggi, oltre a essere in Grecia la porta d’accesso delle idee
provenienti dall’Egitto, costante e antichissimo esempio per la
cultura greca.
La colonizzazione greca favorì la concordia sociale perché
permise di provare, in luoghi remoti, diverse forme di utopia poli¬
LA SETTA DEI PITAGORICI
71
tica e religiosa, soffocate dalle classi dominanti delle città. Pitagora
abbandonò la sua isola natale spinto dal clima politico instaurato
dal regime del tiranno Policrate, che probabilmente era contrario
al suo progetto di sviluppo di un governo basato su principi spiri¬
tuali. Alcuni autori affermano che Pitagora dovette fuggire per
avere manifestato nell’arena politica, su richiesta dei suoi concit¬
tadini, fatto che sembra suggerire che avesse capeggiato qualche
resistenza alle ingiuste leggi del tiranno.
A partire da quel momento, diverse fonti riferiscono le visite
di Pitagora a oracoli di città come Deio, Delfi, Sparta e Fliunte,
dove alcuni assicurano che provò a mettere in pratica la sua so¬
cietà utopica. I tentativi, nelle polis greche, furono un fallimento e
così egli decise di sfidare la fortuna nelle colonie greche in Italia.
Che motivi condussero Pitagora a scegliere la città di Crotone
come destinazione? Innanzitutto era una città prospera e nota per
essere la casa di numerosi atleti vincitori dei giochi olimpici, ma
soprattutto si era convertita in un grande centro della scienza
greca, principalmente di medicina. I suoi medici viaggiavano per
tutto il mondo greco, e alcuni dei più famosi, come Democède di
Crotone (VI see. a.C.), arrivarono a prestare i loro servigi nella
corte persiana, la massima espressione della raffinatezza e del
fasto per la mentalità degli antichi greci.
EDUCAZIONE PITAGORICA
I discorsi che il maestro tenne al suo arrivo a Crotone dovevano
contenere qualche idea dell’universo sociopolitico dei pitagorici.
Dice la leggenda che i personaggi più importanti della città affida¬
rono al saggio, appena arrivato, l’incarico di istruire i giovani coi
suoi nuovi insegnamenti. Pitagora tenne quattro discorsi presen¬
tando il suo codice di comportamento, stabilendo le basi delle sue
norme etiche e politiche, e tracciò le linee di quella che sarebbe
stata la forma di vita pitagorica.
I primi due discorsi riguardarono questioni politiche. Il primo
si tenne nel ginnasio, di fronte ai giovani di Crotone. Egli suggerì
loro di onorare gli anziani e gli dèi e di perseguire una politica
72
LA SETTA DEI PITAGORICI
LA COLONIZZAZIONE GRECA
Tra rvill e il VI see. a.C. ebbe luogo la colonizzazione greca del Mediterraneo,
un processo che fu allo stesso tempo parte e motore dei grandi cambiamen¬
ti che si produssero nelle città greche. La partenza di gruppi di cittadini alla
volta di nuovi territori dove rifondare la loro civiltà risolveva i problemi di
carestia, regolava la popolazione o semplicemente funzionava da valvola di
sfogo per la conflittualità sociale e politica. Il processo di colonizzazione po¬
tenziò il commercio e rese possibile importare alimenti dalle regioni più ferti¬
li, dove si potevano ottenere in maggiori quantità e con uno sforzo minore.
Per pagare l’importazione degli alimenti, le città greche si dedicarono
all’industria: fabbricarono armi, tessuti o ceramica, per scambiarli con cereali,
anche se svilupparono, inoltre, l’agricoltura specializzata, producendo vino e
olio d’oliva, prodotti adatti alla terra greca.
d’alleanze coi vicini. In seguito si rivolse al senato, presentando
l’idea pitagorica dell’armonia politica e dello stato come un’ere¬
dità che si deve proteggere con rigore per opera della maggio¬
ranza, e per il bene di questa maggioranza.
I due discorsi successivi si focalizzarono sull’educazione reli¬
giosa. Il discorso che diresse ai bambini fu un compendio di infor¬
mazioni riguardo ai rituali. L’ultimo discorso, invece, pronunciato
di fronte alle donne della città, permette di dedurre delle informa¬
zioni molto significative sull’interesse per la donna nella setta pi¬
tagorica, che promuoveva il matrimonio all’interno della confra¬
ternita. Risulta palese che il contenuto di questi discorsi contrad¬
dicesse il presunto egualitarismo della confraternita pitagorica,
perché a quanto pare Pitagora concepiva la politica come ambito
maschile, e relegava le donne e i bambini alle questioni religiose.
ORIENTAMENTO POLITICO
Fino a oggi l’orientamento politico dei pitagorici è stato motivo di
dibattito: era un gruppo democratico o aristocratico? Le fonti ci
offrono opinioni contraddittorie: a volte Pitagora sembra un pala-
LA SETTA DEI PITAGORICI
73
dino della libertà, altre volte invece i pitagorici appaiono come un
gruppo d’élite che selezionava i suoi membri tra le migliori fami¬
glie di Crotone. Fin dall’inizio la setta fu oggetto di ogni tipo di
accuse riguardo le sue aspirazioni politiche. In un discorso rivolto
al senato della città, uno degli oppositori affermò che i pitagorici
stavano progettando di sottomettere il popolo, che consideravano
come bestiame. Lo storico Diogene Laerzio documenta, a sua
volta, che i crotonesi insorsero contro i pitagorici a causa della
loro tendenza alla tirannia. Bisogna considerare, però, che questa
accusa era all’epoca molto abituale, e si usava spesso come scusa
per fomentare una rivolta.
In opposizione alle calunnie, si raccolsero anche altri tipi di
informazioni. Varie fonti testimoniano che i pitagorici venivano
talmente considerati un modello di virtù, che spesso era loro affi¬
dato il ruolo di arbitro e i cittadini si sottomettevano al loro giudi¬
zio senza problemi. Alcuni testi li presentano come politici e legi¬
slatori, a volte come meri consiglieri oppure a capo di alcune città
italiane, sempre rifiutando, però, di ricevere un salario pubblico.
Disgraziatamente, gli unici dati validi testimoniano l’attività di
Pitagora e dei suoi seguaci come consulenti politici riguardo agli
affari più rilevanti di alcune città.
Gli indizi sono molti e contraddittori, ma in conclusione le
evidenze storiche sembrano insistere sulla tendenza aristocratica
ed elitarista dei pitagorici, una possibilità che non dovrebbe sor¬
prenderci in un modello di confraternita diretta da un leader in¬
contestabile. Ad esempio, sembra che i seguaci di Pitagora venis¬
sero reclutati tra le classi nobili. Erano loro a costituire il nucleo
della comunità, i trecento uomini più vicini al maestro, che non
solo avevano accesso diretto alle sue idee filosofiche e politiche
ma erano anche in grado di metterle in pratica. Quando le società
pitagoriche si estesero in altre città della zona, come Sibari,
Metaponto o Taranto, seguirono lo stesso modello.
Forse, da questo punto di vista, risulta più facile capire le ra¬
gioni che portarono alla sollevazione contro i pitagorici. Nell’antica
Grecia l’idea della tirannia era legata al fatto che un governante
prendesse il potere con la forza, più che alla sua crudeltà, anche
se inesorabilmente i tiranni finivano per essere spietati. Per questo
74
LA SETTA DEI PITAGORICI
LA RETORICA POLITICA
Per alcuni autori la retorica politica nacque con i quattro discorsi tenuti da
Pitagora di fronte ai diversi settori della popolazione crotonese. La leggenda
narra che la retorica pitagorica utilizzasse una grande varietà di toni e argo¬
mentazioni per adattarsi a ogni tipo di auditorio: l’obiettivo del discorso, in¬
fatti, era la seduzione degli animi attraverso la parola, oltre al contenuto stes¬
so del discorso. La forma di pensare contemporanea non può che rifiutare
quest’idea, ma per comprendere nella sua dimensione la mentalità greca vale
la pena ricordare il successo dei sofisti Gorgia e Protagora nell’Atene demo¬
cratica, dove si considerava un segno di saggezza la capacità di trovare la
modalità di discorso adatta a ogni pubblico.
motivo, in quanto regime di potere assoluto, la tirannide si con¬
vertì nel sistema politico cui ricorrevano le persone autoritarie.
Così, si può dire che i pitagorici fossero ima società a carattere
aristocratico e anti-tirannico, poiché la tirannide poteva essere
spinta da una rivolta popolare di carattere reazionario.
LA RIVOLTA ANTIPITAGORICA
Durante lo sviluppo della scuola pitagorica e l’espansione delle sue
idee, Crotone visse un’epoca di splendore politico. Difatti, il co¬
mandante delle trionfanti truppe crotonesi ai tempi di Pitagora,
che si chiamava Milone, viene considerato da vari autori il proprie¬
tario della casa dove avvenne il leggendario incendio che segnò la
fine della setta. Paradossalmente, l’auge della città finì con la solle¬
vazione antipitagorica. Il gruppo chiuso ed elitarista dei pitagorici
estese la sua influenza politica fino a esercitare una pressione
molto forte nella società della Magna Grecia. A Crotone, un gruppo
popolare si riunì attorno a Cilone, un uomo abbiente dalle ten¬
denze tiranniche, e insorse contro la società dei pitagorici. Alla fine
violenta della setta nella sua città d’origine, seguì la persecuzione
LA SETTA DEI PITAGORICI
75
delle congregazioni pitagoriche delle altre città, tra brutali rivolte.
La liquidazione immediata della classe dirigente di quelle polis
diede inizio a un terribile periodo di guerra civile in tutta la regione,
dove le cadute dei governi erano all’ordine del giorno. I sovversivi
non agivano solo contro i pitagorici ma estesero i loro attacchi a
tutte le aristocrazie governanti. Le città della Grecia mandarono
infine delle ambasciate, e, finalmente, l’ordine venne ricostituito.
Oltre che a causa dell’insurrezione, fu la morte di Pitagora a
Metaponto, sicuramente successiva, a mettere fine all’attività pub¬
blica dei pitagorici. La setta non rinacque più, né come organizza¬
zione d’importanza politica né come forma di vita, anche se questo
non significa che si estinse, ma piuttosto che non si riunì più pub¬
blicamente. Alcuni famosi sopravvissuti ritornarono alle città e in
certi casi svolsero dei ruoli politici, ma sempre a titolo individuale:
tra di essi, Filolao e Archita.
76
LA SETTA DEI PITAGORICI
CAPITOLO 4
Un universo basato sul numero
Pitagora credeva che i numeri rappresentassero
l’essenza di tutte le cose e che il mondo fosse armonia.
I suoi discepoli più dotati si dedicarono a scoprire
le proprietà e le relazioni numeriche e a stabilire
analogie tra i numeri e le cose. Il prodotto del suo
sforzo scientifico ebbe come risultato una mistica
numerica che influenzò tutto il mondo antico
e che pose l’ultima pietra di un lungo processo:
la fondazione della matematica come scienza.
Pitagora di Samo viene considerato da ima parte della tradizione
il padre della matematica, anche se voci meno affidabili lo obbli¬
gano a condividere l’onore con altre grandi figure, a volte molto
vicine nel tempo e nello spazio, come Talete di Mileto, il cui valore
è pari a quello di Aristotele. È certo che i primi progressi matema¬
tici rilevanti si svilupparono in Mesopotamia ed Egitto e comincia¬
rono a registrarsi verso l’anno 3000 a.C. In realtà i rudimenti di
base della futura scienza sono precedenti. La matematica appare
in maniera spontanea come emanazione di attività dell’essere
umano, continuamente in lotta con la natura che lo circonda, pro¬
ducendo risultati analoghi in luoghi e tempi diversi, bisogno della
necessità dell’uomo primitivo di sviluppare strumenti per risol¬
vere problemi pratici. Per contestualizzare adeguatamente l’ap¬
porto matematico dei pitagorici, si fa necessario un viaggio
attraverso la storia di questa disciplina in tempi anteriori al pen¬
siero greco.
CONTARE E ORDINARE
La prima tappa del cammino verso il concetto di numero fu il ri¬
conoscimento di differenze come “molto” e “poco”, quantità
“grande” e “piccola”, o la differenza intellettuale tra l’imo e il mul-
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
79
Cifre cinesi
di bambù.
Sistema
numerico
a base IO.
tiplo. Il passo successivo fu l’apparizione dei sistemi binari e ter¬
nari. Alcuni popoli primitivi distinguevano precariamente tra 1, 2
e “tanti”, mentre altri conoscevano numeri più elevati con i quali
arrivarono a realizzare operazioni. Più tardi, alcune culture intro¬
dussero l’uso di ima base, come ad esempio il 10, il 20 o il 5, per
non dover continuare a contare imo a imo.
Per la maggior parte, le prime civiltà non consideravano i nu¬
meri come concetti astratti. Li chiamavano con parole relative
all’oggetto numerato e li rappresentavano con simboli semi-ma¬
gici. La distinzione tra le parole che designano i numeri e gli in¬
siemi particolari dei numeri fu un processo molto esteso. Così,
certe quantità rappresentative (le cinque dita della mano, le dieci
dita delle due mani) svolsero un ruolo fondamentale nella forma¬
zione delle operazioni aritmetiche e nell’elezione di ima base per
il sistema numerico. Queste popolazioni conoscevano già le quat¬
tro operazioni aritmetiche elementari, che utilizzavano in modo
approssimativo, usando solo numeri bassi. Avevano inoltre il con¬
cetto di frazione, in generale limitata a 1/2, 1/3 e poco più, che
esprimevano con una parola. Con la massima sicurezza sviluppa¬
rono le nozioni geometriche di base: retta, cerchio, angoli...
La loro conoscenza matematica arrivava fin dove lo richiede¬
vano le loro necessità pratiche: calcoli commerciali molto semplici,
calcolo approssimato di aree di campi, disegni di decorazioni geo¬
metriche per ceramiche o tessuti, e, soprattutto, la misura del tempo.
Nella fase finale dello sviluppo delle società più antiche si regi-
Unità
Decine
80
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
strarono progressi numerici che richiesero un’elevata capacità
d’astrazione: la corrispondenza tra numeri astratti e la quantità di
cose concrete, la costruzione aggiuntiva della successione dei
numeri e l’uso del numero come base di un sistema numerico.In
ogni caso, la vera e proprio spinta iniziale della matematica, e di
tutte le scienze in generale, è legata indissolubilmente alla seden¬
tarizzazione e allo sviluppo delle prime città. Verso l’anno 10000
a.C. si verificò un cambio decisivo nella relazione dell’uomo con
la natura e anche degli uomini tra loro. Le culture primitive ab¬
bandonarono poco a poco la loro economia basata sulla caccia e
sul raccolto, e si dedicarono all’agricoltura, all’addomestica¬
mento di animali e all’allevamento del bestiame. Con la conse¬
guente divisione del lavoro, la società umana si stratificò in classi
basate sulla produzione agraria; apparvero la proprietà privata e
10 stato; nuove e più complesse necessità obbligarono ad affinare
11 sapere matematico e astrologico.
In numerose civiltà la matematica occupò una posizione di
maggior rilievo tra le scienze che stavano muovendo i loro primi
passi, anche se esistevano ancora molte culture che ignoravano
completamente questo progresso. La forma concreta e il livello
delle conoscenze legate aU’agricoltura che i matematici del tempo
raggiunsero dipese dalla concezione del mondo che dominava
ognuno dei popoli in cui si manifestò. In generale, la scienza della
società agraria si mantenne al livello che era necessario, senza
avventurarsi oltre e, nel caso della matematica, si ridusse a ope¬
razioni elementari con grandezze costanti.
LA TERRA TRA DUE FIUMI
La Mesopotamia fu la prima delle civiltà antiche che contribuì
all’evoluzione della matematica, materia in cui, grazie ai sumeri,
raggiunse un livello superiore a quello degli egizi. I primi testi ma¬
tematici che possediamo - iscritti su tavolette d’argilla in scrittura
cuneiforme - derivano dalla civiltà sumera di Uruk. Si riscontrano
contenuti matematici rilevanti anche nelle tavolette dell’antico
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
81
MESOPOTAMIA
L’aggettivo “mesopotamico” si applica a tutti i popoli che occuparono la
vasta regione della Mezzaluna Fertile, compresa tra i fiumi Tigri ed Eufrate,
arrivando fino alle montagne del Libano, che oggi forma parte del moderno
Iraq. Difatti, il termine Mesopotamia non allude a nessuna città, paese o
cultura in concreto, ma significa terra tra due fiumi. I popoli che vissero in
questa regione costruirono città come Babilonia, Ur, Uruk, Lagash... Fortu¬
natamente, nonostante i frequenti cambi di governanti, lo sviluppo della
matematica in Mesopotamia sperimentò una continuità di scoperte e pratiche
fin dall’inizio.
impero babilonese, soprattutto durante l’apogeo culturale che si
produsse durante il regno del re Hammurabi, come già segnalato.
Verso la metà del VI see. a.C., i persiani achemenidi, comandati da
Ciro il Grande, conquistarono il potere nel Vicino Oriente; così,
alcuni matematici persiani dell’epoca, come Nabu-Rimanni e Ci-
dena, le cui vicende gli esperti situano tra i secoli VI e III a.C.,
vennero conosciuti dai greci.
La Mesopotamia si trovava all’incrocio delle vie commerciali
più importanti, per cui l’economia esercitò una grande influenza
nello sviluppo dell’aritmetica antica. Le culture mesopotamiche uti¬
lizzarono le loro conoscenze aritmetiche e algebriche elementari
applicandole alle lunghezze e ai pesi, a scambi di monete e mercan¬
zie, calcoli d’interessi, pagamento delle tasse, divisioni di campi,
ecc. La maggior parte dei testi cuneiformi che trattano temi mate¬
matici, infatti, si riferisce a problemi economici. D’altro canto,
anche la costruzione di canali e condotti di scolo esigeva numerosi
calcoli; l’uso dei mattoni proponeva problemi numerici e geome¬
trici, e si doveva inoltre risolvere il problema dei volumi dei granai.
Le caratteristiche più peculiari del sistema numerico babilo¬
nese sono il principio della notazione posizionale e la base 60. Si
ritiene che la base 60 si sia sviluppata in relazione ai sistemi di mi¬
sure di peso babilonesi e che la notazione posizionale sia derivata
dal sistema monetario, ma si ignora come entrambi arrivarono a
82
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
generalizzarsi. In ogni caso, l’avanzato sistema posizionale sessage¬
simale risultò molto utile e superò tutti i sistemi numerici dell’An¬
tichità. I matematici ellenistici l’avrebbero impiegato ampiamente
per risolvere i loro complicati calcoli, soprattutto nell’astronomia,
dove fu introdotto e imposto da Tolomeo (100-ca. 170 d.C.) diffon¬
dendolo in tutta Europa. Da questo sistema proviene la divisione
dell’angolo completo in 60 gradi, del grado in 60 primi e del primo
in 60 secondi. Il sistema sessagesimale, però, ha un grande incon¬
veniente: la tabella di moltiplicazione arriva solo fino a 59 per 59,
pertanto il sistema numerico aveva un alto livello di praticità, ma
solo nel caso di disporre di sufficienti tabelle di moltiplicazione:
tabelle che in effetti sono state ritrovate.
Le culture mesopotamiche raggiunsero un livello d’abilità nu¬
merica e algebrica sufficiente per risolvere equazioni complesse,
ma, in generale, la loro aritmetica e algebra rimasero sempre a un
livello piuttosto elementare. Nonostante lavorassero con numeri
e problemi concreti, mostrarono un certo grado d’astrazione ma-
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Numeri
naturali espressi
in scrittura
cuneiforme.
Il sistema
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UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
83
LA NOTAZIONE POSIZIONALE
La notazione posizionale è un metodo di scrittura numerica nel quale il valo¬
re di ogni cifra dipende dalla posizione che occupa in una sequenza di più
numeri, allo scopo di diminuire la quantità dei diversi simboli necessari per la
scrittura di tutte le cifre. È determinata dalla base, che è il numero di cifre
necessarie per scrivere qualsiasi numero. Esiste un’infinità di sistemi di nota¬
zione posizionale, e, per le basi superiori a IO, è necessario introdurre altri
simboli distinti dalle cifre 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.1 sistemi più diffusi oggigior¬
no sono quelli a base 10 (sistema decimale), adottato quasi universalmente
per l’uso quotidiano, e quelli a base 2 (binario), 8 (ottale) e 16 (esadecimale),
usati nell’informatica.
tematica, riconoscendo che alcuni metodi erano propri di deter¬
minate classi d’equazioni. Ci chiediamo però: in Mesopotamia,
conoscevano l’idea della dimostrazione matematica? Sembra che,
nonostante sapessero risolvere equazioni complicate mediante
procedimenti sistematici corretti, i matematici mesopotamici si
limitassero a dare istruzioni sui passi da seguire, senza conside¬
rare che avrebbero potuto anche dimostrare il loro funziona¬
mento. In questo modo, nella matematica mesopotamica non è
possibile trovare né il concetto della dimostrazione, né una strut¬
tura logica basata su principi che meritavano accettazione gene¬
rale, né qualche considerazione riguardo il metodo e le sue
condizioni.
LE PIENE DEL NILO
In Mesopotamia le culture dominanti cambiarono frequentemente,
lasciando ognuna la sua influenza, mentre la civiltà egizia rimase
intatta per millenni. Il culmine della cultura egizia si produsse in¬
torno alla terza dinastia, verso l’anno 2500 a.C., l’era in cui i farao¬
ni ordinarono la costruzione delle grandi piramidi. Dato che il
84
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
papiro si rompe quando secca eccessivamente, ci sono arrivati
pochi documenti dell’antico Egitto, escludendo le iscrizioni gero¬
glifiche su pietra. I documenti matematici più importanti che sono
sopravvissuti sono due estesi papiri: il papiro di Mosca e il papiro
Rhind, che abbiamo citato in precedenza. Entrambi risalgono ap¬
prossimativamente all’anno 1700 a.C., anche se contengono que¬
stioni matematiche molto anteriori. Le prime parole del papiro
Rhind fanno da titolo, e testimoniano il prestigio della disciplina
agli occhi del suo autore: «Calcolo esatto: l’accesso alla cono¬
scenza di tutte le cose esistenti e di tutti i segreti più oscuri e mi¬
steriosi». Questi documenti contengono problemi matematici
tipici con le loro soluzioni, per cui probabilmente avevano imo
scopo pedagogico. Siccome gli egizi non stabilivano nessuna se¬
parazione tra l’aritmetica e la geometria, i papiri mescolano pro¬
blemi di entrambi gli ambiti.
Si è detto spesso che la geometria egizia nascesse dalla neces¬
sità, a causa delle piene del Nilo, di dover annualmente ritracciare
i limiti dei terreni coltivati dagli agricoltori. È noto che in Mesopo¬
tamia si sviluppò la stessa geometria ma senza questo bisogno. È
possibile, infatti, che gli egizi fossero in contatto con la civiltà
babilonese, poiché a Tell-el-Amama, nella valle del Nilo, sono
state ritrovate delle tavolette in scrittura cuneiforme che risal¬
gono all’anno 1500 a.C. circa.
A giudicare dai problemi contenuti nei papiri, gli egizi utiliz¬
zarono la matematica nell’amministrazione dello stato e dei tem¬
pli, nel calcolo dei salari, dei volumi dei granai, delle aree dei
campi, nel pagamento delle tasse secondo l’area del terreno, nella
conversione tra sistemi di misure e nel calcolo del numero di mat¬
toni necessari per la costruzione di edifici e rampe. I papiri con¬
tengono inoltre problemi concernenti la quantità di grano
necessario per produrre determinate quantità di birra, o la quan¬
tità di grano di ima certa qualità necessaria per ottenere lo stesso
risultato piuttosto che con un altro tipo di grano.
Dallo studio di questi problemi si deduce che gli egizi dispo¬
nessero di ricette per il calcolo delle aree di rettangoli, triangoli
e trapezoidi. Purtroppo, nel caso dell’area di un triangolo, anche
se moltiplicavano un numero per la metà dell’altro, non è possi-
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
85
TRIANGOLI Dl AHMES
Osservare le illustrazioni del papiro Rhind è davvero affascinante, dato che
si scoprono elementi molto familiari che eliminano all’istante i millenni di di¬
stanza tra lo scriba Ahmes e il lettore moderno. Il primo triangolo disegnato
appartiene al problema 51 del papiro. In questo problema si ricerca l’area del
triangolo d’altezza 10 aste e di base 4 aste. L”‘asta” misura 100 cubiti (il cubito
reale egizio si divideva in 7 palmi, ossia 52,3 cm). Pertanto, le misure del trian¬
golo sarebbero 523 m d’altezza per 209,2 m di base. La soluzione di Ahmes
dimostra che il triangolo è isoscele, diviso in due dall’altezza centrale, e che in
seguito, partendo da esso, si può formare un rettangolo avente la stessa area.
\
Il papiro di Rhind è il più antico libro di testo di matematica giunto quasi intatto ai nostri giorni.
La figura mostra un dettaglio del problema 51, che prevede di trovare l’area di un triangolo.
bile sapere se il metodo fosse corretto, perché non siamo sicuri
che le parole utilizzate rappresentino le lunghezze della base e
dell’altezza o semplicemente due lati.
Gli egizi conoscevano dimostrazioni o giustificazioni dei loro
procedimenti? Il papiro Rhind è scritto come se fosse un libro di
esercizi per studenti dell’epoca, sicché qualche autore ritiene che,
anche se Ahmes non formulò nessun tipo di principio generale, è
86
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
Foro IN ALTO
A SINISTRA
Frammento di
tavoletta d’argilla
BM 85194 in cui
possiamo
apprezzare
l’illustrazione
del calcolo
dell'ampiezza
della base di una
tomba con pareti
a forma d’anello.
FOTO IN ALTO
A DESTRA
Rilievo del muro
sud della mastaba
di Ptahhotep e
Akhethotep, alti
funzionari egizi
del XXIV see a.C.
Di fronte alla
figura
rappresentata,
sotto il tavolo,
sono scritte in
numeri egizi
le quantità di
alimenti necessari
per vivere
nell’aldilà.
FOTO IN BASSO
Dettaglio del
papiro di Mosca,
dove si riferisce
il problema
"del tronco
di piramide”.
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
87
molto probabile che li conoscesse. In ogni caso, il documento re¬
gistra i problemi che gli scriba dovevano risolvere riguardo temi
d’affari e amministrativi, e i loro metodi di risoluzione sono regole
pratiche conosciute attraverso l’esperienza. Non sembra che gli
egizi disponessero di una struttura deduttiva basata su assiomi.
L’INDIA
Risulta molto diffìcile tracciare un’immagine chiara dello svi¬
luppo della matematica nell’India antica. Da un lato, per molto
tempo la trasmissione dei saperi matematici e scientifici avvenne
in forma orale, dall’altro la storia politica dell’India di quel pe¬
riodo è piena di avvenimenti. Attorno all’anno 4000 a.C. si formò
per la prima volta nel territorio indiano una società di classi, ubi¬
cata nella conca dell’Indo. Le città più importanti furono Harappa,
Mohenjo Darò, Kot Diji e Lothal. Erano città-stato con un com¬
mercio e artigianato fiorente, che arrivarono a stabilire relazioni
commerciali con l’Asia Centrale, la Mesopotamia o l’Arabia. Non
si è ancora potuta decifrare la scrittura di quelle culture, ma i ri¬
trovamenti archeologici della zona danno informazioni sulle loro
conoscenze matematiche.
Gli antichi indiani utilizzavano il sistema numerico decimale.
Probabilmente impiegavano degli abachi per risolvere operazioni
numeriche: infatti, sono stati trovati resti di un abaco a Mohenjo
Darò. Tra le figure geometriche conosciute c’erano il quadrato, il
rettangolo, il triangolo, il cerchio, il cono, il cilindro e il cubo.
Sappiamo, infatti, che utilizzavano dei cerchi intrecciati come or¬
namento geometrico. Le decorazioni su vasi e rilievi suggeriscono
che possedevano conoscenze su proiezioni e similitudini, che po¬
tevano dividere i segmenti in due metà e in parti equidistanti,
sezionare cerchi in due o quattro parti e costruire segmenti e set¬
tori circolari, cerchi concentrici e linee parallele. Non sappiamo
però come calcolassero le aree e i volumi delle figure geometri¬
che elementari. La matematica era presa in grande considerazione
nell’India dei tempi remoti. Il culto dei numeri e il buddismo inta-
88
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
IL SISTEMA DECIMALE
Il sistema decimale posizionale e la for¬
ma della scrittura delle cifre sono, indub¬
biamente, il maggiore apporto culturale
e scientifico dei matematici da parte
degli indiani per lo sviluppo dell’umanità.
Attualmente, si calcola seguendo il me¬
todo indiano in tutto il mondo. La nume¬
razione indiana utilizzò sempre il sistema
decimale. In sanscrito c’erano parole
fisse per le cifre da 1 a 9 e per le potenze
di 10. Lo sviluppo di questo sistema fu
possibile grazie alla combinazione di due
condizioni favorevoli: l’esistenza di nove
cifre nell’uso stabile di sistemi numerici
e il sistema di decine tradizionale, defi¬
nito dalla costruzione sistematica della
scala di potenze di 10. Per quanto riguar¬
da l’introduzione dello zero, ha un ruolo
estremamente importante il fatto che gli
astronomi indiani conoscessero i segni
del vuoto propri del sistema sessagesi¬
male babilonese. Nel VI see. d.C, il siste¬
ma decimale era già ampiamente esteso
e dal VII secolo venne usato anche lo
zero, che si rappresentò inizialmente con
un punto e, in seguito, con un piccolo
anello. Gli indiani chiamavano lo zero
sunya, ossia “vuoto”. La traduzione ara¬
ba di “vuoto” era al-sifr, da cui proviene
la parola "cifra”. Così, per denominare la
grafia dei numeri si fa riferimento all’ele¬
mento fondamentale, ossia, lo zero.
The Arabic Ciphers.
European.
Gobar.
Indian.
14th cent.
I3th c.
[Arab.).
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5th c.
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Tabella che mostra lo sviluppo dei numeri
arabi in Europa e nell’India in
un’illustrazione realizzata dall’erudito
britannico del XIX secolo Isaac Taylor.
volarono rapidamente una stretta relazione. Secondo la tradizione,
verso gli otto anni, Buddha avrebbe già imparato a leggere, scrivere
e fare di calcolo. Più tardi, per chiedere la mano della sua sposa
Yasodhara, avrebbe dovuto sottomettersi a un esame di matema¬
tica e calcolare gli atomi di un miglio; nella sua risoluzione, trovò
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
89
un metodo d’estensione nella successione dei numeri: il gigantesco
numero trovato, era, secondo il nostro metodo di scrittura, 384 - 713.
La trasmissione delle conoscenze matematiche in India risale
ai tempi in cui apparvero i libri religiosi-filosofici, i Veda, nel II
millennio a.C. A queste prime fonti appartengono anche le cosid¬
dette “regole della corda”, i Sulvasutra, datate tra l’VIII e il II see.
a.C., che contenevano istruzioni di carattere geometrico per la
costruzione di altari per i quali si usavano corde e canne di bambù.
Questi testi mostrano solide conoscenze geometriche, dove ap¬
pare la determinazione delle aree di figure poligonali, risultati in
relazione con il teorema di Pitagora, calcoli di approssimazioni
per diagonali (ad esempio per V2), ecc. In quanto alla geometria
spaziale, gli antichi indiani sapevano calcolare il volume approssi¬
mato della piramide e del suo tronco, così come la superfìcie del
cono. Inoltre, per n utilizzavano diverse approssimazioni, tra cui
27/8 e 243/80.
LA GRECIA E LA SCIENZA DELLA MATEMATICA
Nelle prime civiltà che svilupparono la matematica è possibile tro¬
vare un’aritmetica di numeri interi e frazioni, inclusa la notazione
posizionale, gli inizi dell’algebra e alcune formule empiriche della
geometria. Non c’era però quasi alcun simbolismo e non esiste¬
vano astrazioni e formulazioni metodologiche generali o idee sulla
necessità della dimostrazione per confermare un procedimento.
Quei popoli mancavano, pertanto, di ogni concezione di scienza
teorica e non consideravano la matematica una disciplina indipen¬
dente, degna di essere coltivata in quanto tale. Per loro, era uno
strumento con delle regoli semplici, che nella vita quotidiana non
aveva alcun effetto, a parte quello di risolvere situazioni concrete.
Il periodo decisivo nella fondazione della matematica così
come s’intende oggigiorno fu quello dell’antica Grecia. La civiltà
greca risale al II millennio a.C. e si sviluppa nella Grecia moderna,
nell’Italia meridionale, nel nord-Africa e nell’Asia Minore, che pro¬
babilmente fu il suo luogo d’origine. Dal primo momento, quel
90
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
popolo di grandi navigatori e appassionati avventurieri entrò in
contatto commerciale e culturale con gli egizi e i babilonesi, e,
anche se prese in prestito molti elementi dai suoi vicini, finì per
formare la civiltà più originale e potente della sua era, e, alla lunga,
la più influente nella cultura occidentale. L’antica Grecia fu prota¬
gonista di una delle epoche più brillanti della storia del sapere.
I greci consideravano gli egizi, erroneamente, i fondatori della
scienza, soprattutto dell’agrimensura, dell’astronomia e dell’arit¬
metica. Molti greci viaggiarono in Egitto e a Babilonia per studiare
queste materie. Una tale influenza fu molto sensibile nell’impor¬
tante e ricca città commerciale di Mileto, situata in Ionia, il terri¬
torio greco che occupava le coste dell’Asia Minore. Nei porti di
Mileto arrivavano le barche della Grecia europea, della Fenicia e
dell’Egitto, e vari tragitti di carovane collegavano la città con Ba¬
bilonia. È qui che nacquero la filosofìa, la matematica e la maggior
parte delle scienze greche.
In seguito le matematiche classiche greche si svilupparono in
diverse città di tutta la geografìa ellenica, dove gruppi di pensatori
si riunivano attorno a un saggio. Si diffusero vari centri di studio,
ognuno dei quali si basava sull’opera dei propri predecessori. È lo
stesso procedimento che si segue attualmente con la scienza:
quando uno scienziato di “prima linea” si stabilisce in un’univer¬
sità o in un centro di ricerca, attorno a lui solitamente si concen¬
trano altri esperti noti e giovani studenti. La scuola ionica venne
fondata da Talete di Mileto e due dei suoi discepoli furono Anas¬
simandro e Anassimene. La leggenda assicura, come già detto nel
primo capitolo, che Pitagora avrebbe potuto apprendere la mate¬
matica da Talete.
Oltre al suo operato filosofico, a Talete vennero attribuite
molte conquiste nel terreno scientifico, come la scoperta del
potere d’attrazione delle caiamite o l’elettricità statica, ma sono
di particolare interesse i suoi presunti apporti matematici. La
leggenda racconta che, durante un viaggio commerciale in
Egitto, egli calcolò l’altezza delle piramidi a partire della lun¬
ghezza della loro ombra, che paragonò con l’altezza del suo ba¬
stone. Attraverso l’uso dei triangoli simili, che sono quei
triangoli di uno stesso piano che hanno tutti gli angoli uguali e i
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
91
TALETE Dl MILETO
Talete di Mileto (630-ca. 545 a.C.)
risulta essere il primo e il più famo¬
so dei Sette Saggi Greci, nome che
la tradizione greca diede a sette
personaggi dei secoli dal VII al VI
a.C., per la loro saggezza pratica in
diverse discipline della conoscenza.
In realtà non si sa se Talete nacque
a Mileto o fosse d’origine fenicia,
come assicura Erodoto, ma è docu¬
mentata la sua attività come com¬
merciante e poi come legislatore,
matematico e astronomo. Parte
delle sue attività commerciali si
svolsero in Egitto, dove sembra che
apprese molte nozioni matemati¬
che. Secondo la tradizione Talete
predisse l’eclisse lunare dell’8 mag¬
gio del 585 a.C, ma, considerando
le conoscenze astronomiche dell’e¬
poca, sembra un risultato abba¬
stanza difficile a cui credere. Quan¬
do Aristotele gli attribuì l’ambito
titolo di “padre della filosofia greca" si stava probabilmente riferendo al suo
ruolo come fondatore della filosofia ionica. Di sicuro le domande che si pose
Talete, ad esempio sull’essenza delle cose e sul principio dei cambiamenti,
introdussero il tema principale della filosofia e segnarono l’inizio storico del¬
la sua maturità.
Busto raffigurante Talete di Mileto, conservato
ai Musei Capitolini di Roma.
lati in proporzione, sembra che calcolasse anche la distanza di
una barca dalla costa. Ma, soprattutto, gli si attribuiscono le
dimostrazioni deduttive di alcuni famosi teoremi, che, secondo
la tradizione, si usavano già da tempo e furono enunciati e di¬
mostrati solo allora.
Si è arrivati a dire che egli enunciò e dimostrò lo stesso te¬
orema di Pitagora. In ogni caso Talete lega il suo nome a due
teoremi principali:
92
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
- Primo teorema di Talete: se in un triangolo tracciamo una
linea parallela a qualsiasi dei suoi lati, si ottiene un altro
triangolo simile (figura 1).
- Secondo teorema di Talete: essendo B un punto della cir¬
conferenza di diametro AC, diverso daAeC, il triangolo
ABC è retto (figura 2).
La paternità più straordinaria tra tutte quelle che sono state
attribuite a Talete è l’ultima: gli si attribuisce infatti la trasforma¬
zione della matematica in una scienza astratta. A rigore, non è
possibile affermare tale paternità, a partire dal fatto che la scienza,
secondo la concezione più moderna, non nasce fino al XVI secolo
con la Rivoluzione scientifica, ma non c’è dubbio che i tre grandi
milesi, Talete, Anassimandro e Anassimene, fossero i primi pre¬
cursori nel cammino della matematica.
Il silenzio delle fonti documentarie attesta la sterilità intel¬
lettuale in Ionia a partire dalla
morte del filosofo Anassimene,
verso l’anno 524 a.C., fino alla
presa di Mileto da parte dei per¬
siani nel 494 a.C. La scuola di Mi¬
leto, però, restò in vita. Le grandi
idee e le scoperte milesi esercita¬
rono un enorme influsso nei pen¬
satori posteriori, anche se essi
seguivano cammini diversi. La fi¬
gura cronologicamente più vicina
alla scuola di Mileto è quella di
Pitagora e, di fatto, la storia della
conoscenza ritiene che i pitago¬
rici raccolsero il testimone dei
milesi. Come affermato in prece¬
denza, non sappiamo che cosa si
possa attribuire a Pitagora o ai
suoi discepoli, così che quando si
parla dell’opera matematica dei
"Gl A’
FlG 2
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
pitagorici, in realtà si considerano i contributi di tutto il gruppo
fino all’anno 400 a.C. Nell’insieme di pitagorici, Filolao (470-ca.
385 a.C.) e Archita (435-ca 347 a.C.) sono quelli che si distin¬
guono maggiormente.
IL NUMERO SACRO
I concetti matematici e geometrici di tutte le civiltà pre-elleniche
erano legati alla materia. Ad esempio, per gli egizi, una retta era
una corda tesa o il bordo di un terreno. Il primo grande contributo
greco alla matematica fu il riconoscimento cosciente che gli og¬
getti matematici, i numeri e le figure geometriche, sono astrazioni,
idee prodotte dalla mente, diverse dagli oggetti fisici. In ogni caso,
però, si direbbe che non sempre essi li percepirono così.
Il V capitolo del Libro I della Metafisica di Aristotele è cen¬
trato in buona parte sui pitagorici e nel descrivere e analizzare la
dottrina dei numeri. Difatti, il testo dello stagirita è l’esposizione
sulla filosofìa pitagorica più considerata dagli esperti. Il capitolo
citato contiene un’approssimazione chiara e concisa e, per questo
motivo, magistrale:
[I filosofi pitagorici] supposero che le cose esistenti fossero numeri,
non numeri di per sé, ma che le cose fossero realmente composte da
numeri, ossia, gli elementi dei numeri sono gli elementi di tutti gli
esseri esistenti, e la totalità dell’universo è armonia e numero. Il loro
argomento consisteva nel fatto che le proprietà numeriche fossero
inerenti alla scala musicale, ai cieli e a molte altre cose.
Ossia, quando i primi pitagorici dicevano che tutti gli oggetti
erano composti da numeri o che essi erano l’essenza dell’uni¬
verso, lo dicevano in senso letterale. Nonostante tutte le diffe¬
renze che possiamo riscontrare, si potrebbe dire che i pitagorici
concepissero i numeri come la scienza attuale concepisce gli
atomi. A cosa si riferivano però esattamente quando parlavano
di “numero”? I pitagorici usavano tre definizioni: il numero è una
94
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
“moltitudine limitata”, una “combinazione o accumulo di unità”
e una “quantità che fluisce”. Questo “accumulo di unità” veniva
rappresentato mediante sassolini con i quali disegnavano forme.
Alcuni autori hanno indicato che i pitagorici del VI e V secolo non
distinguevano i numeri dai punti geometrici, che consideravano
sfere minuscole. In realtà la rappresentazione dei numeri attra¬
verso linee di punti, successioni di segni o pietre disposte a for¬
mare disegni regolari è un’abitudine molto anteriore e primitiva,
che durerà nei millenni, dando all’aritmetica la forma geometrica
con cui si conobbe ampiamente in Grecia. Non invano il nome
proprio “calcolo” deriva da una parola latina che designa la pietra
con cui si calcola, e anche oggi parliamo di quadrati e di cubi dei
numeri, termini che derivano dalle rappresentazioni pitagoriche.
Un solo punto era il principio di tutte le cose ed era privo di
dimensioni, due punti formavano una retta e costituivano la dimen¬
sione 1, tre punti non allineati erano un triangolo o un’area di di¬
mensione 2 e quattro punti che non appartengono allo stesso piano
formavano un tetraedro o volumi di dimensione 3 (figura 3).
Questo concetto si applicava anche alla creazione di figure
geometriche. C’era solo da sostituire la progressione aritmetica
che descriveva le prime figure con quella geometrica, per cui la se¬
quenza punto, linea, triangolo, tetraedro si trasformava in punto,
linea, quadrato, cubo (figura 4). Nella loro concezione geometrica
FIG 3
FIG 4
!
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1
1
1
V
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
95
del numero, i pitagorici identificavano punti la cui combinazione
costituiva unità superiori di complessità crescente: i punti forma¬
vano linee, le linee formavano piani, i piani, superfici e le superfici,
corpi solidi. È però il passo successivo, il più caratteristico, au¬
dace ed estraneo alla mentalità attuale. Per i pitagorici, il cosmo
e il suo divenire erano una conseguenza naturale dei numeri. Se
questi erano il mezzo con cui si manifestava la realtà, conoscere
le loro proprietà e relazioni equivaleva a conoscere la meccanica
dell’universo, una meccanica magicamente armonica, come dimo¬
stravano le incredibili manifestazioni numeriche scoperte dalla
matematica. In questo “misticismo numerico” il matematico era
il teologo che doveva svelare l’ordine divino. In questo salto me¬
tafisico si manifesta la complessa combinazione tra il Pitagora re¬
ligioso, sulla linea del pensiero magico, e il Pitagora saggio, sulla
linea del pensiero logico, che sfocia nel Pitagora mago dei numeri.
LA DECADE PITAGORICA
Lo studio pitagorico dei numeri cominciò come una ricerca spi¬
rituale, simile a quella della cabala ebraica, nella quale ogni nu¬
mero aveva un’identità simbolica che lo dotava di virtù magiche
e, addirittura, di proprietà vitali. I dieci numeri pitagorici, che non
includevano lo zero, erano la decade.
L’1 era il generatore di tutti i numeri, e infatti, a partire da
esso, si può creare qualsiasi numero (sommandolo ripetuta-
mente). I pitagorici lo chiamavano la monade e lo considera¬
vano la sorgente infinita da dove nascevano tutti gli esseri.
Non si trattava propriamente di un numero universale. Simbo¬
lizzava la ragione, le cose definite, stabili. Si associava logica¬
mente con il dispari e, in maniera meno comprensibile, con il
lato destro. Si utilizzava anche come simbolo dell’immutabi¬
lità aritmetica:
1.1=1,T
96
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
Il 2 era la dualità, la diversità, l’indefinito. Pitagora lo chia¬
mava la diade. Simbolizzava la materia, l’imperfezione e i contra¬
sti. Da esso scaturivano il fluire perpetuo e la creazione, per cui
veniva considerato il principio femminile. Matematicamente, sin¬
tetizzava il pari e la divisione. Riceveva inoltre il nome di “prima
crescita” perché si formava da 1+1. Introduceva la prima dimen¬
sione, con una lunghezza ma senza larghezza e profondità, una
dimensione imperfetta, perché non è possibile costruire una figura
con due punti o due linee. Si associava con il lato sinistro.
Il 3 era la triade e si formava attraverso l’azione della mo¬
nade sulla diade (l+2)=3. Per questo motivo si considerava sim¬
bolo di perfezione, d’armonia tra l’unità e la diversità e gli si
attribuiva un carattere maschile. Era relazionato con l’idea del
tempo, considerato come sintesi del principio-mezzo-fine o del
passato-presente-futuro. Da questo aspetto sacro deriverebbe
l’abitudine rituale di ripetere alcuni gesti o azioni fino a tre volte.
Il 3 introduceva la seconda dimensione.
Il 4 era una delle chiavi della natura e dell’uomo. Significava
la legge universale e inesorabile, dato che (4=2+2). Era allo
stesso tempo causa ed effetto dei gruppi di quattro che si pote¬
vano trovare nella natura, come gli elementi (terra, acqua, fuoco
e aria), i punti cardinali e le stagioni dell’anno, ma anche la divi¬
sione delle scienze matematiche secondo i pitagorici (aritmetica,
musica, geometria e astronomia), da cui derivò il quadrivium
medievale. Era il quadrato del primo numero pari ed era consi¬
derato dotato di perfezione e armonia perché (2+2=2 2). Introdu¬
ceva la terza dimensione.
Il 5 era l’unione della diade e della triade, del femminile e del
maschile, e così, il simbolo del matrimonio (2+3=5) e del triangolo
divino (32+42=52). Cinque erano anche i poliedri regolari, solidi le
cui facce sono poligoni regolari identici: il tetraedro (4 triangoli),
l’esaedro (6 quadrati), l’ottaedro (8 triangoli), il dodecaedro (12
pentagoni) e l’icosaedro (20 triangoli). Inoltre, era il centro arit¬
metico dei primi nove numeri della decade 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
così come la media aritmetica dei suoi equidistanti: 1 e 9, 2 e 8, 3
e 7, 4 e 6. La grande importanza di questo numero lo convertì
nell’emblema pitagorico.
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
97
Ancora più sacro del 5 era il 6, simbolo della procreazione e
della famiglia, dato che supponeva l’unione del principio femmi¬
nile e del principio maschile attraverso il prodotto (6=2*3). Era
tinto di misticismo, perché regolava gli intervalli di tempo tra le
diverse reincarnazioni. Era, inoltre, l’area del triangolo divino
3-4-5. Ma, soprattutto, costituiva il primo numero perfetto, una
tipologia di numeri di cui parleremo in breve.
Il 7 era la “vergine senza madre”, perché non si poteva generare
a partire da nessun numero della decade e, a sua volta, non poteva
generarne nessuno. Associato alla salute e alla luce, sette erano le
note musicali e gli astri che davano il nome ai giorni della settimana
Era un numero geometricamente singolare, perché il cerchio non
poteva essere diviso in sette parti uguali per mezzo di nessuna co¬
struzione nota
L’8 simboleggiava l’amicizia, la pienezza e la riflessione. Eser¬
citava la sua influenza in tutto il cosmo attraverso le otto sfere che
potevano vedersi dalla Terra (Luna, Mercurio, Venere, Sole, Marte,
Giove, Saturno e le stelle fisse). Si trattava del primo numero cubo
(23) e la sua pienezza proveniva dall’essere la somma di due qua¬
drati uguali (8=4+4).
IL PENT ALFA
Il pentagramma mistico, o pentalfa, era
una stella a cinque punte. I pitagorici
utilizzavano questo emblema segreto
per identificarsi, perché le sue nume¬
rose e affascinanti proprietà l’avevano
convertito in uno dei temi geometrici
più importanti della confraternita. La
più curiosa di esse era il fatto che po¬
teva essere tracciato dal movimento
di un punto senza passare due volte
sullo stesso lato. Il pentalfa si otteneva
tracciando le diagonali di un pentago¬
no regolare, o prolungando i suoi lati.
98
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
Il 9 era il simbolo dell’amore e della gestazione, sono infatti
nove i mesi in cui generalmente dura la gestazione umana. Veniva
messo in relazione con la giustizia perché i suoi fattori sono
uguali (9=3-3). Era il quadrato del primo numero dispari (32).
Infine, il 10 era il simbolo di Dio e dell’universo. Dato che i
quattro primi numeri contenevano per i pitagorici il segreto della
scala musicale, la sua somma (10=1+2+3+4) era considerata la
perfezione, la sintesi della natura del numero nella sua interezza
Il suo contenuto matematico è insondabile: contiene la stessa
quantità di numeri pari e dispari ed è il primo che contiene tanto
numeri primi (1, 2, 3, 5, 7) come composti (4, 6, 8, 9, 10).
«Lo giuro su Colui che ha dato alla nostra anima la tetraktys,
fonte e radice della natura eterna!»
Giuramento pitagorico tratto dai versi d’oro.
Come principio e fondamento di ogni cosa, il 10 era la mas¬
sima espressione del misticismo numerico dei pitagorici. Lo rap¬
presentavano mediante 10 punti o sassolini disposti a forma di
triangolo equilatero (figura 5). Questo anagramma, rappresenta¬
zione visiva e geometrica di 10=1+2+3+4, venne chiamato “la te¬
traktys della decade”. Tetraktys significava “tetrade” o
“quattritudine”, riferendosi alla sua formazione mediante il 4, e
questo permetterebbe di intendere la parola come “quaterna ba¬
sica”. Aveva un significato mistico simile a quello del pentalfa e si
usava per prestare il giuramento pitagorico.
I NUMERI POLIGONALI
La rappresentazione pitagorica dei numeri medianti punti o sas¬
solini produsse una classificazione secondo le forme poligonali
derivanti dalle loro distribuzioni. In questo modo, i numeri poli¬
gonali associavano il numero con la forma geometrica di un poli¬
gono regolare, aprendo un nuovo mondo di proprietà e relazioni.
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
99
Questa classe di algebra geometrica fu la precorritrice dell’at¬
tuale algebra simbolica. Così, i numeri 1, 3, 6, 10, 15... venivano
denominati triangolari perché i punti potevano distribuirsi in
forma di triangolo equilatero (figura 5).
Il quarto numero triangolare era il sacro 10 e anche la sua
rappresentazione esprimeva la meraviglia della sua “quattritu-
dine”, infatti, come si può verificare nella figura 5, ha quattro
punti per lato. I pitagorici dimostrarono che le somme 1, 1+2,
1+2+3, 1+2+3+4, 1+2+3+4+5 avevano come risultato i numeri
triangolari. In generale,
1 + 2 +... + n = n •
(n + 1)
2
I numeri 1, 4, 9, 16, 25... ricevettero il nome di numeri qua¬
drati poiché i loro punti possono distribuirsi formando quadrati
(figura 6). Si costituivano a partire dai numeri della serie dispari:
1, 4 (1+3), 9 (1+3+5), 16 (1+3+5+7), 25 (1+3+5+7+9)... I numeri
composti (o non primi), che non erano quadrati perfetti, riceve¬
vano il nome di oblunghi.
A continuazione si contavano i numeri pentagonali, 1, 5, 12,
22, 35..., che componevano pentagoni (figura 7). Si formavano a
partire dalla serie 1, 4, 7, 10, 13... in questo modo: 1, 5 (1+4), 12
(1+4+7), 22 (1+4+7+10), 35 (1+4+7+10+13)... Il numero pentago¬
nale n è:
3 n2-n
2 '
Ovviamente, i numeri esagonali, 1, 6, 15, 28, 45... compone¬
vano esagoni (figura 8). Si formavano a partire dalla serie 1, 5, 9,
13, 17... come si mostra di seguito: 1, 6 (1+5), 15 (1+5+9), 28
(1+5+9+13), 45 (1+5+9+13+17)... E, ingenerale, 2n2-n.
Partendo dalle distribuzioni geometriche dei punti, appari¬
vano evidenti certe proprietà dei numeri interi. Ad esempio, trac¬
ciando una linea retta con la forma del numero quadrato 9, come
appare nella figura 9, si scopre che la somma dei due numeri trian¬
golari consecutivi è un numero quadrato.
100
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
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UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
101
FIG 9
È possibile comprovare la veridicità di questo
fatto in generale, anche se non è probabile che i
pitagorici avessero potuto dimostrare tale conclu¬
sione, che si presenta di seguito in notazione mo¬
derna:
n(n +1) (n + l)(n + 2)
2 + 2
= (n + l)2.
fig o Per passare da un numero quadrato al se¬
guente, i pitagorici seguivano lo schema ripro¬
dotto nella figura 10. Univano i punti a destra
e più in basso, con una linea spezzata in forma
di angolo retto, che chiamavano gnomone, ter¬
mine che significa “squadra di carpentiere”.
Lo gnomone è formato dai punti che si trovano
sul bordo, che aumentano due a due in ogni passo
della serie. Se a un numero quadrato qualsiasi si
aggiunge il suo gnomone più l’unità, si ottiene il
seguente numero quadrato di valore superiore. Così, quello che
i pitagorici scoprirono fu che n2+(2n+l)=(n+l)2. Inoltre, se si
parte da 1 e si aggiunge lo gnomone 3 e poi lo gnomone 5, e così
via, risulta che 1+3+5+...+(2n+l)=n2.
CLASSI NUMERICHE
Il mondo numerico dei pitagorici era molto ricco. Pitagora e i suoi
seguaci identificavano diversi tipi di numeri, che classificavano in
maniera meticolosa e attribuivano loro caratteristiche morali e
fisiche. Ad esempio, i numeri dispari erano maschili e i pari fem¬
minili. Alcuni numeri erano amichevoli e compatibili, altri erano
malvagi e non andavano d’accordo con gli altri; potevano portare
sfortuna all’umanità. Il risultato di questa classificazione era una
costruzione intellettuale impenetrabile, che era possibile inten¬
dere solo dal punto di vista della mistica pitagorica Nel Libro VII
102
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
degli Elementi, Euclide cercò di raccogliere tutto questo mondo
e di presentarlo con la massima chiarezza possibile. Le categorie
e le definizioni che si presentano di seguito corrispondono a quelle
date dal grande compilatore e geometra.
La prima grande famiglia era quella dei numeri pari e dispari,
la cui definizione data dai pitagorici è indiscutibile: un numero
pari si può dividere in due parti uguali o disuguali (eccetto la
diade che si può dividere unicamente in due parti uguali), es¬
sendo queste parti della stessa specie, pari o dispari. Un numero
dispari è quello che si può unicamente dividere in parti disuguali
e di specie distinte, una pari e l’altra dispari. Questi numeri si
dividono a loro volta in quattro classi:
- Parimente pari: la loro metà è pari.
- Pari-dispari: quelli cui metà è dispari.
- Parimente dispari: quelli che, divisi per un numero dispari,
danno un numero pari.
- Disparimente dispari: quelli che hanno solo divisori dispari.
Successivamente elencava la classe dei numeri scomposti e
secondari, una maniera pitagorica, per non dire astrusa, di chia¬
mare i numeri primi e i numeri composti, e di trattare, in gene¬
rale, i numeri divisori di altri o multipli di altri. Per maggiore
chiarezza, di seguito si presentano i numeri moderni, dato che la
definizione originale pitagorica, in termini di misurabilità, è un
po’ complicata:
- Il numero primo (scomposto) è quello che si può unicamente
dividere per uno e per se stesso.
- Il numero composto (secondario) è quello che non è primo.
-1 numeri primi tra sé sono quelli che hanno l’unità come di¬
visore comune.
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
103
-1 numeri composti tra loro sono quelli che hanno qualche
divisore comune maggiore deH’unità.
Seguivano i numeri lineari, i piani, i solidi, i quadrati e i cubici.
I lineari sono quelli che non hanno divisori; i piani sono il prodotto
di due numeri che sono definiti dai suoi lati; i solidi sono il pro¬
dotto di tre numeri, identificati come i suoi lati; i quadrati sono il
prodotto di un numero per se stesso; i cubici sono il prodotto di
un numero per se stesso due volte. A questi si possono aggiungere
gli oblunghi, che sono numeri piani che differiscono di un’unità.
Furono chiamati numeri perfetti quelli uguali alla somma dei
loro divisori, includendo l’I, ma non il numero stesso: ad esempio
il 6 ha come divisori propri l’I, il 2 e il 3.1 greci conoscevano solo
quattro numeri perfetti. I seguenti tre sono 28 (=1+2+4+7+14), 496
(=1+2+4+8+16+31+62+124+248) e 8128 (=1+2+4+8+16+32+64+12
7+254+508+1016+2032+4064). Attualmente se ne conoscono 43,
tutti pari. Non si sa se ci sono numeri perfetti dispari né se la quan¬
tità di numeri perfetti è finita o infinita.
Assieme ai perfetti si trovavano i numeri abbondanti e i
deficienti: quelli che eccedevano alla somma dei loro divisori
erano abbondanti, quelli che erano minori della suddetta
somma, deficienti.
Due numeri sono chiamati amichevoli quando ognuno è uguale
alla somma dei divisori dell’altro. I pitagorici conoscevano esclusi¬
vamente il 220 e il 284:
- 220=1+2+4+71+142 (la somma dei divisori di 284).
-284=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 (la somma dei
divisori di 220).
Oltre alle relazioni numeriche che strutturano questa classi¬
ficazione, i pitagorici studiarono anche ogni tipo di quozienti e
proporzioni che, secondo loro, contenevano la bellezza più singo¬
lare come ad esempio, la media aritmetica, la media geometrica,
la media armonica... Se si considera che p e q sono numeri, la
media aritmetica A è
104
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
P + q
2
la media geometrica G è Jpq e la media armonica H, che è il reci¬
proco della media aritmetica di ì/p e 1 /q, è
2pq
(P + q)'
Di seguito è possibile dimostrare che Gè la media geometrica
di AeH; ossia, che la media geometrica dei due numeri è la media
geometrica delle loro medie aritmetiche e armoniche. Armoniz¬
zando le tre misure, la proporzione
A=G_
G~ H
ricevette il nome di proporzione perfetta per la sua chiarezza e
semplicità e la proporzione
2pq_
P = P + q
P + q q
2
fu chiamata proporzione musicale per la bellezza matematica
della sua impostazione e del suo sviluppo, un autentico piacere
estetico per l’iniziato.
UN UNIVERSO BASATO SUL NUMERO
105
CAPITOLO 5
L’armonia del cosmo
Ricercando il fondamento matematico
dell’armonia musicale, i pitagorici
furono i primi che applicarono la matematica
alla descrizione delle leggi naturali. Il vincolo
che stabilirono tra aritmetica, geometria e musica
convertì l’arte musicale in una branca della matematica.
Inoltre, traslando al cosmo le relazioni numerico-musicali
essi costruirono una cosmologia
in cui i movimenti degli astri emettevano
toni musicali in ima perfetta armonia:
la “musica delle sfere”.
Le civiltà anteriori a quella greca concepivano la natura come un
mondo caotico e terrificante. Gli avvenimenti naturali erano mani¬
polati dagli dei, con cui potevano comunicare solamente i sacerdoti
e i maghi. Sembra che, intorno all’anno 600 a.C., cominciò a sorgere
un nuovo atteggiamento intellettuale, di carattere razionale e cri¬
tico, che, non del tutto soddisfatto dalle spiegazioni mitologiche dei
fenomeni naturali, formulò l’idea di una natura ordinata e ben dise¬
gnata, che la potente mente umana poteva sviscerare.
Come si è visto, furono i filosofi ionici i primi a utilizzare il
potere della ragione per cercare di determinare la natura della
realtà, che essi considerarono una sostanza che permaneva immu¬
tabile attraverso tutti i cambiamenti apparenti. In ogni caso, in
nessun momento la filosofia naturale sostituì il mito. La nuova
forma di pensare si affacciò timidamente nei piccoli gruppi di in¬
tellettuali, che però non potevano ancora smettere di esprimersi
secondo i miti e di seguire i rituali degli anziani, troppo insiti nella
loro cultura, così come la maggior parte della popolazione, che
continuava a essere profondamente religiosa e ad accettare le su¬
perstizioni.
In generale, quei primi intellettuali greci non dedicarono
molto tempo alla spiegazione dei motivi che li avevano portati a
costruire le loro teorie, e si concentrarono nel presentarle con il
massimo rigore deduttivo. Gli storici della scienza si trovano at-
L‘ARMONIA DEL COSMO
109
tualmente a corto di risorse per spiegare con rigore perché i greci
svilupparono uno strumento scientifico tanto potente come la ma¬
tematica. Sembra che il motivo fosse il desiderio di comprendere
il mondo fisico; le loro ricerche astronomiche, ottiche e musicali
suggerirono problemi che diedero maggiore impulso allo sviluppo
della matematica, così da poterla applicare a queste aree. Durante
un lungo periodo i limiti della matematica non furono in realtà
propriamente matematici.
Il primo gruppo importante che presentò una filosofia mate¬
matica della natura fu la setta dei pitagorici. Non c’è dubbio che il
loro pensiero religioso fosse mistico, ma la loro filosofia naturale
era chiaramente razionale. I loro membri si stupivano del fatto che
fenomeni d’indole molto diversa dal punto di vista qualitativo pre¬
sentassero proprietà matematiche identiche. Pertanto, queste pro¬
prietà dovevano essere l’essenza di tali fenomeni. Siccome
pensavano ai numeri sia come punti sia come particelle elemen¬
tari della materia, il numero era la materia, la forma dell’universo
e la causa di ogni fenomeno.
MUSICA PITAGORICA
PAGINA A FIANCO
Incisione su legno,
appartenente
alla Teoria musicale,
opera del
compositore
e musicologo
rinascimentale
Franchino Gaffurio
(1492). La prima
vignetta mostra
il personaggio
biblico lubal come
“padre di chi suona
la cetra o il flauto"
mentre le altre tre
sono dedicate
agli esperimenti
musicali di Pitagora.
La parola “musica” ha origine dal termine greco musiké, che si
traduce letteralmente come “l’arte delle muse”. Nella mitologia
greca le muse erano dee che ispiravano la musica, la danza, l’a¬
stronomia e la poesia. Possiamo dire che la musica è effimera ed
esiste nella memoria; avviene nel tempo ed è apparentemente
inafferrabile. Queste caratteristiche, tra le tante, dotano la musica
di un’aura magica che ha indotto l’uomo a impiegarla nei suoi ri¬
tuali fin dall’inizio dei tempi, e l’ha convertita in un veicolo privi¬
legiato d’adorazione della divinità. La musica finì per ricoprire una
posizione centrale nel cosmo di Pitagora e dei pitagorici.
La leggenda racconta che un giorno, camminando per strada,
il saggio di Samo ascoltò il martellare che proveniva dal laborato¬
rio di un fabbro. Si avvicinò per osservarlo e vide che il suono
nasceva dalle vibrazioni create dal metallo colpito con il martello;
no
L'ARMONIA DEL COSMO
L'ARMONIA DEL COSMO
111
i pezzi più lunghi producevano suoni più gravi. Partendo da questa
osservazione condusse esperimenti con campane e vasi d’acqua e
studiò le vibrazioni della cetra, della lira e del monocordo - uno
strumento di una sola corda la cui invenzione gli viene attribuita
- fino a trovare una relazione generale tra la lunghezza delle vibra¬
zioni e l’altezza del suono prodotto.
La cosa più probabile è che ciò non avvenne così come ci
racconta la leggenda, mentre è stato più volte documentato che
Pitagora era un intenditore dell’arte musicale, a cui attribuiva pro¬
prietà benefiche. Il saggio studiò le leggi dell’acustica e fu il primo
a trovare una relazione tra i numeri e i suoni armonici, ossia, quelli
la cui manifestazione simultanea provoca una sensazione piace¬
vole all’ascolto. Egli regalò al mondo la prima teoria matematica
della musica, e, allo stesso tempo, mosse il passo decisivo per
eliminare l’arbitrarietà della ricerca sulla natura e per ridurre l’ap¬
parente caos a un modello comprensibile e ordinato. La trascri¬
zione della musica in una relazione numerica fu possibile per i
pitagorici quando scoprirono due fatti:
- Il suono prodotto da una corda pizzicata dipende dalla lun¬
ghezza della corda.
-1 suoni armonici sono prodotti da corde parimenti tese, le
cui rispettive lunghezze hanno un quoziente uguale a quello
dei numeri interi.
I pitagorici studiarono dettagliatamente il rintocco dell’unica
corda del monocordo, modificando la sua lunghezza nel modo in
cui si schiacciano le corde di una chitarra moderna. Variando la
lunghezza della corda, si generavano diverse note musicali.
Quanto più corta la corda, più “alta” o acuta era la nota risultante.
In seguito, paragonarono coppie di suoni prodotti con diverse lun¬
ghezze di corda e scoprirono una cosa sorprendente: i suoni pro¬
vocati dividendo delle corde lunghe, relazionate con numeri
piccoli, a metà, nella terza parte, in due terzi della lunghezza ori¬
ginale, generavano suoni più piacevoli, ossia, più armonici all’a¬
scolto. In questo modo le lunghezze relative a ogni combinazione
112
L'ARMONIA DEL COSMO
armonica di corde pizzicate si potevano esprimere come un quo¬
ziente di numeri interi. Grazie a questa osservazione, i pitagorici
riuscirono a stabilire un modello matematico di un fenomeno fi¬
sico, concentrandosi però sul lato estetico, qualcosa di simile a ciò
che successe con la proporzione aurea e il concetto di bellezza nel
Rinascimento.
Le relazioni armoniose che trovarono i pitagorici sono le
stesse che s’insegnano oggigiorno in qualsiasi scuola di musica:
- L’ottava: la relazione più semplice, quella che si ottiene
schiacciando una corda alla metà della sua lunghezza, ossia,
pizzicando due corde parimenti tese, se la lunghezza di una
di esse è uguale al doppio dell’altra. Questa relazione si
esprime numericamente come 2:1. In linguaggio musicale,
l’intervallo tra le due note è un’ottava; ad esempio, la di¬
stanza tra un do e il do successivo.
- La quinta: è quella combinazione armonica in cui la corda si
schiaccia in un punto situato a un terzo della lunghezza to¬
tale, ossia, formata da due corde le cui lunghezze stanno in
relazione 3 a 2 o 3:2. In questo caso, la più corta produce una
nota che è la quinta inferiore a quella data dalla prima corda,
che in linguaggio musicale si chiama semplicemente una
quinta (la distanza do-sol).
- La quarta: combinazione in cui si schiaccia la corda a un
quarto della lunghezza totale, azione che numericamente
viene espressa con la relazione 4:3, mentre nell’ambito musi¬
cale corrisponde a un intervallo di quarta (la distanza do-lá).
1
I
ottava
quinta
quarta,
L’ottava, la quinta
e la quarta - i tre
intervalli musicali
studiati dai
pitagorici -
rispetto alla
lunghezza totale
della corda.
L’ARMONIA DEL COSMO
113
In questo modo emerge un modello per cui gli intervalli di
suoni relazionati da frazioni espresse nella forma
tt + 1
n
sono armonici e piacevoli. I pitagorici elevarono questo fatto a li¬
vello di conferma ufficiale dell’esistenza di una relazione diretta
tra il numero e l’armonico, il bello. Organizzarono le loro scale
basandosi su semplici relazioni numeriche tra i diversi suoni.
Così, la scala pitagorica si basa sui due intervalli più semplici:
l’ottava, che rappresenta una relazione di frequenza tra le note
pari a 2/1 e la quinta, di relazione 3/2.1 pitagorici ottennero i diffe¬
renti suoni della scala concatenando quinte, ricorrendo poi a ciò
che si denomina cancellazione di ottave, ossia, dividendo o mol¬
tiplicando per 2, per situare queste note nel rango cercato.
Il processo è il seguente (prendendo come punto di partenza
il do, per abitudine culturale, è possibile percorrere tutta la scala
cominciando da qualsiasi nota). In primo luogo, si calcola la re¬
lazione della prima quinta ascendente, per ottenere un sol. Una
nuova concatenazione ci porterà a un re, per continuare con un
la, un mi, e, infine, un sì. Calcolando ora una quinta discendente
dal do iniziale, si ottiene il fa. In questo modo si ricavano i sette
suoni della scala:
fa *- do -» sol -» re -» la -» mi -» si.
Continuando a concatenare quinte, è possibile raggiungere i
dodici suoni della scala cromatica, chiamata anche dodecafo¬
nica, che contiene i dodici semitoni della scala temperata occi¬
dentale. Questo è il sistema d’accordatura più utilizzato nella
musica occidentale, e si basa sul semitono temperato, che è
uguale alla dodicesima parte dell’ottava e del quoziente nume¬
rico radice alla dodicesima di due, con un intervallo d’ampiezza
100 cents (un cent è la centesima parte di un semitono),
sol\> «- re \> *- la \> *- mi \> *- si \> *- fa «- do -» sol -»
re-» la -» mi si ^ fa%
114
L'ARMONIA DEL COSMO
I CENTS
Nell’acustica musicale il cent è l’unità minore di lunghezza logaritmica che
s’impiega per misurare con precisione assoluta gli intervalli musicali. Equivale
a un centesimo di semitono. Un intervallo di 1 cent è così piccolo che sfugge
alla percezione umana. Siccome, a loro volta, 12 semitoni formano un’ottava,
il cent è un numero c tale che:
(£.100)12 = 2 => £.1200 = 2 => c = 120^2
dove i simboli bemolle (1?) e diesis (#) marcano, rispettivamente,
variazioni di un semitono inferiore o superiore. Ottenute le do¬
dici note attraverso successive concatenazioni di quinte, basterà
poi situare i suoni nella stessa scala nell’intervallo di un’unica
ottava attraverso il processo della cancellazione di ottave.
MATEMATICA SONORA
Avendo presentato i concetti preliminari necessari, è già possi¬
bile determinare l’accordatura di ogni nota attraverso concate¬
nazioni di quinte e cancellazioni d’ottave, di modo che, è bene
ricordarlo, il valore delle sue frequenze relative sia sempre 1,
che è il rapporto che mantiene il do con se stesso, e 2, che è la
relazione che mantiene il do con il do della scala successiva.
Per prima cosa si determina il sol, che sta a una quinta dal do:
sol = - del do,
2
e, semplificando:
sol
3
2'
L’ARMONIA DEL COSMO
115
A seguire si determina il re, che si trova a una quinta dal sol. Si
ottiene moltiplicando per 3/2 e cancellando un’ottava, azione che
si ricava moltiplicando per 1/2 o dividendo per 2. La distanza da do
a re si chiama tono. Il tono è, infatti, la distanza tipica tra due note,
che nel sistema temperato equivale a un sesto d’ottava, e, logica¬
mente, corrisponde a due semitoni. Effettuando un’elementare
moltiplicazione, otteniamo l’intervallo del re rispetto al do:
,31 331 9
re = sol • — • — re = — ■ — ■— re = —.
2 2 2 2 2 8
Dopodiché si determina il la, che si trova a una quinta dal re:
. 3
la = re- —
2
I 9 3
la = — —
8 2
1 27
la =—.
16
Il mi si trova a una quinta dal la, ma si deve cancellare un’ottava:
.,31 . 27 3 1 .81
mi = la-— — mi =— ■ — •— mi = —.
2 2 16 2 2 64
La scala si completa con il sì, a una quinta dal mi, e il fa, una
quinta al di sotto del do, salendo di un’ottava (moltiplicando per
2). Così si forma ciò che è conosciuto come il circolo delle
quinte, rappresentato nella figura.
Do
116
L'ARMONIA DEL COSMO
Quindi, prendendo il do con valore normalizzato a 1, si stabi¬
lisce la seguente tabella:
Nota
Do
Re
Mi
Fa
Sol
La
Si
Do
Relazioni
di frequenze
1
9/8
81/64
4/3
3/2
27/16
243/128
2
Questo processo può continuare per determinare l’accorda¬
tura dei tasti neri di un piano, o bemolli, scendendo per quinte
partendo dal fa.
Nota
R%
Mi\,
So/k
av
Relazioni
di frequenze
256/243
32/27
1024/729
128/81
16/9
Salendo di una quinta dal si, si arriva al /oft che dovrebbe
essere lo stesso suono del sol \>, raggiunto dall’estremo opposto,
dopo le cancellazioni d’ottava corrispondenti. Questi due suoni
però, non sono esattamente uguali: la differenza tra il /oft e il sol
\>, si chiama virgola pitagorica. Allo stesso modo, dopo le corri¬
spondenti cancellazioni d’ottava, i suoni estremi /a# -re \> non si
trovano alla distanza di una quinta esatta, ma formano un inter¬
vallo che varia di una virgola pitagorica. Questa quinta legger¬
mente più piccola viene chiamata i quinti lupi.
La struttura del circolo delle quinte comprende una conca¬
tenazione di dodici quinte, arrivando a una nota che è “quasi” la
stessa di quella dell’inizio, ma a una distanza di sette ottave, così
come mostra la tastiera.
L’ARMONIA DEL COSMO
117
Quella distanza di sette ottave è la virgola pitagorica. Si può
calcolare il suo valore, che si chiamerà CP partendo da una fre¬
quenza / paragonando la concatenazione di dodici quinte a par¬
tire da/con la concatenazione di sette ottave:
La differenza è quindi qualcosa di più di un 1% di un’ottava, o,
parimenti, di quasi un quarto di tono. Questa differenza si deve al
fatto che il calcolo della frazione che definisce la quinta è incom¬
patibile con l’ottava, come si dimostra senza difficoltà. Si può stu¬
diare se esistono due esponenti qualsiasi, xey, che permettano di
“sposare” le due frazioni:
Dall’ultima espressione si deduce che sarebbe lo stesso che
trovare un numero che fosse a sua volta potenza di 2 e di 3. Ciono¬
nostante, essendo sia 2 che 3 numeri primi, questo fatto contraddi¬
rebbe il teorema fondamentale deU’aritmetica, secondo cui ogni
numero positivo ha un’unica rappresentazione come prodotto di
numeri primi. Questo teorema, postulato da Euclide, fu dimostrato
per la prima volta dal matematico Cari Friedrich Gauss (1777-1855).
Con esso si dimostra che gli intervalli di quinte e ottave definiti dai
pitagorici non si combineranno mai, o che, parimenti, non è possi¬
bile 1’esistenza di una scala cromatica senza virgola pitagorica.
I greci chiamavano le note con le prime lettere dell’alfabeto io¬
nico, assegnando lettere diverse a uno stesso suono alterato di
mezzo tono o doppiamente aumentato. Ad esempio, il fa era a
I NOMI DELLE NOTE
118
L’ARMONIA DEL COSMO
LE TRE MEDIE
Pitagora non solo si ancorava cieca¬
mente al misticismo dei numeri natu¬
rali, ma era anche molto influenzato
dalle sue scoperte riguardo la media
aritmetica, geometrica e armonica,
come si può apprezzare nella figura a
destra. In questo modo, 3:4 è la media
aritmetica di 1 el/2:
I I
2:3 1:2
3
4
2
2’
Mentre 2:3 è la media armonica di 1 e Vr.
1-
2
3
1
2
3.
Pitagora dimostrò in modo sperimentale che corde di lunghezza con quo¬
ziente 1:2 e 2:3 (media armonica di 1 e Vi) e 3:4 (media aritmetica di 1 e V2),
producevano combinazioni di suoni piacevoli e a partire da esse costruì la
scala che abbiamo visto. Chiamò questi intervalli diapason, diapente e dia-
tessaron, che oggi conosciamo come ottava, quinta e quarta. Si osserverà,
però, l’assenza della media geometrica in questi calcoli: forse essa venne
rifiutata perché conteneva un problema d’ordine superiore e molto grave,
come vedremo più avanti. Il calcolo con la media geometrica mette in gioco
numeri incommensurabili e corrisponde esattamente al fa sostenuto della
scala cromatica.
(alfa), il fa sostenuto era ß (beta) e il fa doppiamente sostenuto
era y (gamma). Per i greci la scala si organizzava in modo discen¬
dente, al contrario di come si applica oggigiorno.
Anche i romani utilizzavano le prime lettere dell’alfabeto per
identificare i suoni della scala. Il filosofo romano Boezio (480-
L'ARMONIA DEL COSMO
119
Rappresentazione
di una mano
guidoniana
disegnata a
partire degli
insegnamenti del
monaco
benedettino.
525 d.C.), autore della Consolazione della filosofia, che intra¬
prese il progetto di unificare le scuole filosofiche di Platone e
Aristotele, scrisse un trattato sulla teoria della musica. In questo
libro, noto con il nome latino De musica, egli considerò una
scala di quindici note che comprendeva due ottave, e assegnò a
ognuna di loro una lettera diversa, ignorando il concetto ciclico
delle ottave.
Il concetto ciclico si recupererà più avanti, chiamando con
la stessa lettera note uguali di ottave distinte. La cosiddetta no¬
menclatura tedesca o inglese designava le sette note dell’ottava
principale con le lettere dalla A alla G, in maiuscolo; nell’ottava
seguente, dalla a alla g in minuscolo, e la terza, con doppie let¬
tere minuscole (aa, bb, cc, dd, ee, ff, gg). In questo modo, sette
dei dodici suoni, quelli corrispondenti ai tasti bianchi del piano,
acquisirono un nome proprio. Gli altri cinque furono nominati
più tardi, dopo l’apparizione del concetto di bemolle, biquadro e
sostenuto. I loro nomi derivano dai sette di base.
Nel XI secolo, il monaco toscano Guido d’Arezzo (995-ca.
1050 d.C.), dedicò buona parte
dei suoi studi musicali a creare
regole mnemotecniche per gli in¬
terpreti. La più conosciuta è pro¬
babilmente quella chiamata
mano guidoniana, che ordinava
le note nella loro notazione alfa¬
betica assimilandola a un per¬
corso sulla palma della mano.
Guido d’Arezzo ribattezzò anche
le note, assegnando a ogni suono
la sillaba dei versi di un inno a
San Giovanni Battista molto noto
a quell’epoca «affinché questi
tuoi servi possano cantare con
tutta la loro voce i tuoi miracoli,
perdona i peccati delle nostre
labbra impure, San Giovanni»,
che in latino originale è:
120
L'ARMONIA DEL COSMO
Ut queant laxis
Resonare ßJbris
Mira gestorum
Famuli tuorum
Solve polluti
Labii reatum
Sancte Iohannes.
Dopo il cambio da Ut a do, nacquero i nomi delle sette note
della scala, così come appaiono nelle lingue romanze, come, ad
esempio, l’italiano, il francese o lo spagnolo.
LA MUSICA DELLE SFERE
Nella sua ricerca deU’armonia dell’universo, la scuola pitagorica
disegnò modelli astronomici, acustici e musicali e studiò musica e
aritmetica allo stesso tempo. I pitagorici ridussero i movimenti dei
pianeti a delle relazioni numeriche. Credevano che i corpi, al muo¬
versi nello spazio, generassero vibrazioni armoniche, la “musica
delle sfere”. Probabilmente cominciarono a considerare quest’idea
ascoltando il ronzio prodotto da un oggetto legato all’estremo di
una corda fatta oscillare, come succedeva in alcuni riti religiosi.
Inoltre, essi affermavano che un corpo che si muoveva più rapida¬
mente, doveva produrre necessariamente una nota più alta di un
altro che si muoveva più lentamente. Però, secondo la loro astro¬
nomia, un pianeta si muoveva più rapidamente quanto più si tro¬
vava lontano dalla Terra. A quel punto, i suoni che dovrebbero
produrre i pianeti - che l’uomo non poteva sentire senza l’aiuto
degli strumenti, perché abituato a loro dalla nascita - variavano
rispetto alla loro distanza dalla Terra, ed erano tutti in armonia.
Pitagora e i suoi discepoli non cercavano solamente di osser¬
vare e descrivere i movimenti celesti, ma anche di trovare qualche
regolarità tra loro. L’idea di un movimento circolare uniforme,
apparentemente ovvia nel caso della Luna e del Sole, indicava che
tutti i movimenti planetari si dovevano poter spiegare in termini
L’ARMONIA DEL COSMO
121
LE SETTE ARTI LIBERALI
Le civiltà greco-romane, in generale, coltivavano la conoscenza teorica come
un sapere a parte rispetto alle attività manuali. Le discipline superiori si di¬
stribuivano in due grandi gruppi; il primo, chiamato trivium, (/e tre vie), era
formato dalla grammatica, dalla dialettica e dalla retorica; il secondo, chia¬
mato quadrivium (/e quattro vie) comprendeva anche l’aritmetica, la geome¬
tria, l’astronomia e la musica. L’insieme di entrambe le “vie" costituiva i set¬
te cammini che portavano l’uomo all’equilibrio con l’universo armonico:
erano le sette arti liberali.
Le sette arti liberali secondo l’affresco di Andrea di Bonaiuto, realizzato nel 1365 per la Cappella
degli Spagnoli nella basilica fiorentina di Santa Maria Novella. Ogni arte viene raffigurata da una
donna e davanti a lei si trova un pensatore eminente, tra cui Pitagora, ritratto ai piedi
dell’Aritmetica (in primo piano, a sinistra).
di movimenti circolari uniformi. D’accordo con questa maniera di
pensare, gli ultimi pitagorici arrivarono a una conclusione rivolu¬
zionaria che supponeva una vera rottura con alcune delle cre¬
denze più antiche dell’uomo: furono essi i primi a ritenere che la
122
L'ARMONIA DEL COSMO
Terra dovesse essere una sfera.
Forse questa intuizione si può con¬
siderare la più brillante della co¬
smologia pitagorica, ma, come si
vedrà più avanti, i pitagorici usa¬
vano dei trucchi per far corrispon¬
dere forzatamente la realtà
osservabile con il loro universo
numerico.
Siccome consideravano il 10
l’espressione numerica della mas¬
sima perfezione, erano convinti
che nel cielo ci fossero dieci corpi
in movimento. In mezzo a ciò che
allora veniva considerato l’uni¬
verso, il nostro Sistema Solare,
esisteva un fuoco centrale attorno al quale si muovevano i corpi
celesti, girando in orbite circolari perfette. La Terra era la più
vicina al fuoco centrale. La Luna non girava attorno alla Terra
ma descriveva il suo stesso circolo, come il Sole, che era il
corpo successivo. A seguire c’erano i cinque pianeti conosciuti,
e più in là le stelle, incastonate come gioielli in una volta cele¬
ste (vedi figura).
Una semplice somma rivela che i cinque pianeti, oltre alla
Terra, al Sole, alla Luna e alla sfera cui erano soggette le stelle,
davano un totale di nove corpi mobili. Così che i pitagorici inven¬
tarono un decimo corpo che girava attorno al fuoco centrale: YAn-
tichton, che letteralmente significa “Anti-Terra”.
L’idea dell’Anti-Terra aveva solo un problema: nessun astro¬
nomo, nemmeno i grandi saggi della Mesopotamia, aveva mai
visto nel cielo questo oggetto. Ma nemmeno questa circostanza
scappò all’intelligenza dei seguaci di Pitagora. Difatti lo stesso
nome con cui fu battezzato il decimo pianeta era già di per sé una
giustificazione. Il decimo corpo non poteva vedersi perché si muo¬
veva esattamente alla stessa velocità della Terra ma in senso op¬
posto al fuoco centrale, e anche perché la parte abitata della Terra
si trovava di spalle al fuoco centrale.
L'ARMONIA DEL COSMO
123
Sfortunatamente, anche se i pitagorici disegnarono la prima
teoria che mise in movimento la Terra, essi non furono capaci
di concepire la rotazione della sfera, anzi, al contrario, crede¬
vano che fosse la sfera di stelle fisse quella che girava attorno al
centro dell’universo. In ogni caso, il pensiero greco mise in¬
sieme la maggior parte di queste dottrine, principalmente il mo¬
vimento circolare uniforme e la distinzione tra i corpi celesti e
sublunari. Alcuni esperti ritengono che dai pitagorici avrebbe
potuto avere origine anche la credenza che i corpi celesti erano
eterni, divini, perfetti e immutabili e che gli oggetti sublunari,
come la Terra, e - secondo i greci - le comete, erano soggetti a
cambi, decadenza e morte.
UN MODELLO IN ETERNA CRISI
I pitagorici mescolarono il pensiero rigoroso con dottrine sorpren¬
dentemente non scientifiche. La loro “fissazione” con i numeri
diede come risultato una filosofia naturale che alla fine non corri¬
spondeva con la natura ed ebbe conseguenze di ogni tipo, alcune
benefiche per il progresso del sapere, altre disastrose.
Alla lista delle conquiste di cui abbiamo già parlato, bisogna
aggiungere una questione d’insieme. L’apporto dei pitagorici su¬
però la limitazione più importante degli ionici. Entrambi affer¬
mavano che il vero senso dei dati studiati doveva essere un
ordine armonioso della natura, ma gli ionici difendevano l’idea
della sostanza unica come elemento essenziale dell’universo. I
pitagorici sostituirono questa nozione con quella della struttura
formale delle relazioni numeriche. Difatti, la scienza moderna
coincide con l’enfasi messa dai pitagorici sul numero, anche se
ovviamente in maniera molto più sofisticata.
D’altra parte, l’aspetto fanatico del loro pensiero precluse
ai pitagorici idee più adatte a spiegare i fenomeni naturali e
soggiogò le leggi della natura agli ideali di bellezza, simmetria e
armonia. Non c’è dubbio che la credenza inflessibile nella supre¬
mazia dei numeri frenò durante secoli il progresso che avrebbe
124
L'ARMONIA DEL COSMO
IL MONOCORDO CELESTIALE
L’estrapolazione cosmologica del
misticismo numerico attraverso
la musica era, e continua a essere,
un’idea cosi poderosa e poetica che
affascinò durante secoli numerosis¬
simi pensatori e artisti. Fu uno degli
aspetti della cultura classica che l’u¬
manesimo s’affannò a recuperare.
Durante il Rinascimento, alcune cat¬
tedrali vennero progettate seguen¬
do proporzioni musicali 2:1, 3:2 e 4:3.
Nel 1623 il filosofo ermetico Robert
Fludd (1574-1637), seguace del me¬
dico e alchimista Teofrasto Paracelso
(1493-1541), pubblicò l’opera Anato-
miae Amphitheatrum, che conteneva
un’illustrazione che sarebbe diventa¬
ta famosa, e che mostrava la mano
di Dio nell’atto di accordare un mo¬
nocordo celestiale. La mano divina
tende la corda in un piano su cui le
orbite planetarie si sovrappongono
agli intervalli della scala musicale.
La celebre illustrazione del monocordo a capo
inclusa nell’opera Anatomiae Amphitheatrum.
presupposto la formulazione di altri tipi di modelli più adatti a
descrivere la complessità del mondo.
L’esempio più chiaro di questa cecità è la cosmologia greca.
Già nel III see. a.C. le orbite circolari non corrispondevano con i
dati osservati. Furono quindi rimpiazzate da epicicli, piccoli cir¬
coli che si muovano attorno a un’orbita circolare centrale. Con il
tempo, il numero degli epicicli aumentò così tanto da sovraccari¬
care il sistema rendendolo ridicolo e, ovviamente, completamente
inutile. La possibilità che i corpi celesti seguissero qualsiasi altra
orbita che non fosse circolare era inaccettabile per i greci: doveva
essere un circolo, la forma perfetta per eccellenza.
L’ARMONIA DEL COSMO
125
Anche quando Niccolò Copernico (1473-1543), nella sua
grande opera De revolutionibus orbius celestìum (Le rivoluzioni
dei colepi celesti) pubblicata nell’anno della sua morte, detronizzò
la Terra dalla sua posizione al centro dell’universo e la sostituì con
il Sole, si mantenne fedele a quelle vecchie orbite circolari. Fu nel
1609 che Johannes Keplero (1571-1630) le rimpiazzò con ellissi.
Il rivoluzionario Keplero, però, non seppe scappare interamente
all’influsso poetico di un cosmo in equilibrio musicale. Anche se
fu una figura chiave nella Rivoluzione scientifica, il grande astro¬
nomo e matematico tedesco era un mistico. Impiegò trent’anni
della sua vita per dimostrare che il movimento dei pianeti rea¬
lizzava le leggi pitagoriche deU’armonia. Ricercando il principio
fondamentale che spiegasse l’irregolarità orbitale dei pianeti, Ke¬
plero misurò, per ognuno di loro, la velocità massima al perielio
(il punto più vicino al Sole) e la velocità minima all'afelio (il punto
più lontano). Per il piacere dell’astronomo, i quozienti tra una ve¬
locità e l’altra si corrispondevano con intervalli armonici, per cui
egli rappresentò i quozienti in forma di notazione musicale, un
ossequioso omaggio alla melodia delle sfere pitagoriche. Keplero
espose la sua teoria nell’opera Harmonice mundi (L'armonia del
mondò), pubblicata nel 1619. Nelle sue pagine proponeva scale e
accordi associati a ogni pianeta. Secondo l’autore i pianeti suo¬
nano tutti assieme in perfetta concordanza molto raramente, e
una tale sinfonia potrebbe essersi verificata una sola volta nella
storia, forse al momento della creazione.
126
L’ARMONIA DEL COSMO
CAPITOLO 6
Il fallimento dell’aritmetica
universale
Il perfetto cosmo musicale dei pitagorici,
basato sul numero sacro, aveva un grave problema:
affinché tutto combaciasse, il numero doveva
essere necessariamente intero. Anche se
le frazioni esistevano già, l’aritmetica greca le rifiutava
Lo stesso teorema del maestro, però, conteneva
il germe della distruzione, e svelarlo
richiedeva unicamente la realizzazione
di un calcolo semplice ma fatale.
L’apparizione dei numeri irrazionali affondò
il paradiso pitagorico dell’aritmetica universale.
Affermare che i pitagorici non avessero nessuna nozione delle fra¬
zioni è un’imprecisione. I seguaci del saggio di Samo dominavano
un concetto equivalente: le relazioni tra numeri interi, che permi¬
sero loro, ad esempio, di spiegare le scoperte suH’armonia dei
suoni di due corde, mettendo a confronto le loro lunghezze rela¬
tive: 2:1, 3:2, 4:3... Di fatto le frazioni erano conosciute a partire
dalle scoperte dei mesopotamici, essendo utilizzate nella vita quo¬
tidiana; si impiegavano nel commercio per esprimere parti dell’u¬
nità monetaria. Detto ciò, ai tempi dei pitagorici, la matematica le
considerava imperfette e inutili, una perdita di tempo.
La più ferma convinzione dei seguaci di Pitagora, il pilastro
del loro universo aritmetico in armonia, era che due grandezze
qualsiasi erano sempre commensurabili, ossia, potevano sempre
essere paragonate con due numeri interi. Il concetto di commen¬
surabilità è relazionato con ciò che oggi chiamiamo numeri ra¬
zionali. Un numero razionale è quello che comunemente si
Considerando due
grandezze A e B,
si può stabilire
con precisione
quante volte sono
maggiori (o
minori) l’una
dell’altra,
ricorrendo
esclusivamente a
due numeri interi.
Nel grafico, la
linea in alto è X
volte maggiore di
quella in basso e
quella in basso è
13/20 volte
minore di quella
in alto.
I I I I I I I I I I I I I I r i rnnn = n *20
I I I I I I I I I I I I I I = I“I x 13
IL FALLIMENTO DELL’ARITMETICA UNIVERSALE
129
conosce come frazione: la divisione o la relazione o il quoziente
tra due numeri interi (essendo il secondo diverso da zero). La
commensurabilità pitagorica potrebbe definirsi come la legge
per cui si può stabilire con precisione quante volte due gran¬
dezze A e B sono maggiori (o minori) l’una dell’altra. In termini
matematici attuali, si direbbe che due grandezze qualsiasi A e B
sono commensurabili se esiste una terza misura C e due numeri
CLASSIFICAZIONE DEI NUMERI
La matematica contemporanea definisce il numero come un elemento di un
insieme che deve rispettare certe proprietà. Così è come sono stati definiti gli
insiemi N, Z, Q, R o C, che si costruiscono in tappe successive a partire dall’in¬
sieme N di numeri naturali.
C Complessi
✓
'
/ S
R Reali <i
<
Q Razionali <
Z Interi <
Frazionari
Irrazionali
v Immaginari
N Naturali
Primi
Composti
0 Zero
Interi negativi
- Complessi (C): somma di un numero reale e di un numero immaginario.
- Reali (R): insieme di numeri razionali e irrazionali.
• Razionali (Q): i numeri che possono essere rappresentati come il
quoziente di due interi (in concreto, un intero e un naturale positi¬
vo), ossia, una frazione comune m/n con numeratore m e denomi¬
natore n diverso da zero. Il termine “razionale” allude al fatto che
è la parte di un tutto. •• Irrazionali: i numeri che non si possono esprimere con una frazione
m/n, dove men sono interi, con n diverso da zero e dove questa
frazione è irriducibile, come 3,1415... 00, 2,7182... (e), 1,6180... (<t>) o
1,4142135... C\/2, che vedremo più dettagliatamente in seguito). È
irrazionale qualsiasi numero reale che non è razionale.
130
IL FALLIMENTO DELL’ARITMETICA UNIVERSALE
interi p e q tali che C sia compreso p volte in A e q volte in B.
Questo mondo d’incastri perfetti, però, non poteva resistere ai
colpi della realtà. Paradossalmente, un semplice calcolo con il
teorema di Pitagora poteva ridurre in macerie tutta la costru¬
zione. Essendo i pitagorici dei matematici estremamente capaci,
era solo una questione di tempo prima che uno di essi realizzasse
il calcolo fatale.
- Immaginari: numeri complessi cui parte reale è uguale a zero, ad esempio
5/ (con i = yj2-1 ). In altre parole, un numero come z=x+iy, per cui x = 0.
All’interno dei numeri razionali si distinguono i numeri:
- Interi (Z): insieme di numeri che include i numeri naturali diversi da zero,
1 negativi e lo zero.
- Naturali (N): qualsiasi numero che si usa per contare gli elementi di un
insieme; ricevono questo nome perché furono i primi a essere usati dall’uo-
mo per contare. Sono 1, 2, 3, 4...
- Zero: il segno numerico dal valore nullo che in notazione posizionale oc¬
cupa i luoghi dove non c’è una cifra significativa.
- Interi negativi: numeri reali inferiori a zero. L’opposto di un numero nega¬
tivo è un numero positivo e viceversa. L’unico numero positivo e negativo
allo stesso tempo è lo zero.
- Frazionari: numeri che esprimono una quantità divisa da un’altra, ossia
che rappresentano un quoziente non svolto di numeri.
All’interno dei numeri naturali si distinguono:
- Numeri Primi: ogni numero naturale maggiore di uno divisibile solo per se
stesso e per 1. Ad esempio sono numeri primi 2, 3, 5, 7,11,13,17,19, 23... il
2 è l’unico numero primo pari.
- Numeri Composti: ogni numero naturale non primo, eccetto H e lo 0, che
ha uno o più divisori diversi da 1 e da se stesso. Sono chiamati anche “di¬
visibili” e sono, ad esempio, i numeri 4, 6, 8, 9,10,12,14,15,16,18...
IL FALLIMENTO DELL'ARITMETICA UNIVERSALE
131
UN MONDO (QUASI) PERFETTO
In generale si accetta come una certezza storica che la scoperta in
termini scientifici dell’esistenza dei segmenti mutuamente non
comparabili, ossia incommensurabili, avvenne in seno alla scuola
pitagorica non più tardi dell’anno 420 a.C. Siccome i pitagorici s’e-
rano dedicati a studiare le teme dei numeri interi che potevano
essere lati di un triangolo rettangolo, si ritiene che essi dovettero
scoprire questi nuovi quozienti nello stesso contesto, anche se al¬
cuni studi segnalano altre possibilità, come vedremo più avanti.
Di solito la ricerca storica matematica concorda con la tradi¬
zione nell’attribuire la sconcertante scoperta dei numeri irrazio¬
nali a Ippaso di Metaponto. Si racconta che, come castigo per
IPPASO DI METAPONTO
Il matematico e filosofo Ippaso nac¬
que intorno al 500 a.C. nella città di
Metaponto, nel golfo di Taranto.
nell’Italia meridionale. La data della
sua morte è sconosciuta, e questo
potrebbe aver contribuito alla cre¬
azione di leggende al riguardo. Ol¬
tre aM’incommensurabilità, gli si at¬
tribuiscono altre due importanti
scoperte: la costruzione di un dode¬
caedro come approssimazione di
una sfera e la scoperta di rapporti
numerici tra gli accordi musicali del¬
le melodie di base, attraverso espe¬
rimenti sul suono.
Vi sono prove del fatto che realizzò
studi esaustivi sull’acustica e sulla
risonanza, per cui si considera un
teorico della musica. La leggenda non solo assicura che provò l’esistenza dei
numeri irrazionali, ma anche che ruppe la regola pitagorica del silenzio sve¬
landoli al mondo. I documenti dell’epoca danno versioni differenti della sua
fine, e non è possibile considerarne nessuna come certa.
132
IL FALLIMENTO DELL'ARITMETICA UNIVERSALE
avere introdotto nell’universo l’e¬
lemento che negava il principio
inamovibile della setta - che tutti i
fenomeni dell’universo si potes¬
sero ridurre in numeri interi e nei
loro quozienti -, qualche membro
della confraternita lo lanciò dal
parapetto di una barca. La realtà è
che non sappiamo con certezza in
che modo vennero scoperti i nu¬
meri irrazionali. La tradizione racconta anche che Ippaso studiava
il quadrato. Nonostante fosse una figura molto semplice, i pitago¬
rici non conoscevano nessuno che fosse riuscito a calcolarne la
diagonale: Ippaso vi riuscì utilizzando il teorema del maestro.
Alla ricerca di una dimostrazione universale, il matematico
provò a calcolare la diagonale considerando un lato di misura 1.
Era una semplice operazione: si trattava di scomporre il quadrato
in due triangoli e applicare il teorema di Pitagora per calcolare l’i-
potenusa (vedi figura). In un triangolo rettangolo isoscele, il qua¬
drato dell’ipotenusa è il doppio del quadrato di ogni cateto. Se i
cateti misurano 1, che lunghezza avrà l’ipotenusa? Il risultato di
questa domanda innocente non era né un numero intero né una
frazione..., non era commensurabile. Nella terminologia matema¬
tica attuale, si direbbe che un triangolo rettangolo dai cateti di va¬
lore 1 ha l’ipotenusa del valore 72 ed è irrazionale. Ai tempi di
Ippaso questa scoperta significava il ribaltamento più assoluto
dei principi di base del pitagorismo.
Questo risultato, però, non solo dimostrò che l’ipotenusa di
un triangolo isoscele non è commensurabile con i cateti, ma in¬
trodusse, inoltre, un problema centrale per la matematica greca.
I pitagorici avevano stabilito un’identificazione assoluta tra
il numero e la geometria, ma 1’esistenza di frazioni incommensu¬
rabili faceva saltare in aria anche tale relazione. Non per questo
essi smisero di considerare ogni tipo di lunghezze e quozienti
nella geometria, ma sicuramente si limitarono a considerare i
quozienti numerici solo nei casi commensurabili. Per questo mo¬
tivo, con il tempo le grandezze geometriche si distanziarono
Creazione
grafica della
dimostrazione
di Ippaso di
Metaponto.
Il matematico
della Magna
Grecia calcolò
la diagonale del
quadrato, fino
allora sconosciuta,
utilizzando
il teorema
di Pitagora.
IL FALLIMENTO DELL'ARITMETICA UNIVERSALE
133
dalle quantità numeriche, che cominciarono a essere studiate
separatamente. L’apparizione dell’incommensurabilità convinse i
matematici greci che la geometria dovesse essere stabilita indi¬
pendentemente dall’aritmetica; si rompeva così la tradizione pita¬
gorica, che non faceva distinzioni tra le due branche del sapere.
Nei Dialoghi di Platone sembra in effetti dimostrato che già nella
sua epoca la geometria veniva considerata in modo separato.
Come mai i pitagorici tardarono così tanto ad accorgersi
dell’esistenza di un punto di frattura che poteva mettere in crisi
il loro sistema? Cosa si aspettavano di trovare nella diagonale
del quadrato? Secondo il teorema di Pitagora, in un quadrato di
lato 1, il quadrato costruito sulla diagonale dovrebbe avere l’area
uguale a 2, e pertanto, la lunghezza d di quella diagonale do¬
vrebbe essere un numero che, elevato al quadrato, desse 2 (ossia,
d2 = 2). A questo punto ritorna in scena la 72.
La 72 era la lunghezza di un segmento che si poteva tracciare
facilmente partendo da un quadrato, con l’aiuto di un righello e di
un compasso. Così che, non era forse ragionevole pensare che
fissando un’unità qualsiasi u (inferiore a 1), si potesse misurare
allo stesso tempo il lato (1) e la diagonale(72) del quadrato? Non
era forse ragionevole pensare che il lato e la diagonale del qua¬
drato dovessero essere necessariamente commensurabili? Invece,
anche se questo ragionamento è molto logico, è certo che il lato e
la diagonale del quadrato non sono commensurabili.
Questa impostazione del problema condusse necessaria¬
mente a un fatto: moltiplicando l’unità comune u per un numero
intero di volte n, si ottiene la misura del lato 1 = nu, moltiplicando
per un altro numero intero di volte m, si trova la misura della dia¬
gonale 72 =mu. Di conseguenza, dividendo dovrebbe essere
^2 _ 72 _ mu _ m
1 nu n
Così, la commensurabilità si ridurrebbe al fatto che 72 sia
una frazione m/n di interi positivi. Più del cammino che intrapre¬
sero per arrivare a questo sorprendente risultato, è noto che i
pitagorici si scontrarono con la spiacevole evidenza dell’esi-
134
IL FALLIMENTO DELL'ARITMETICA UNIVERSALE
stenza di numeri non esprimibili come relazione di numeri interi:
questa certezza era incompatibile con la loro idea di aritmetica
universale. I seguaci del maestro chiamarono quozienti com¬
mensurabili quelli che si potevano esprimere con numeri interi
e ciò significava che le due quantità si potevano misurare con
un’unità comune, mentre chiamarono gli altri quozienti incom¬
mensurabili.
In questo modo, ciò che nella matematica contemporanea si
esprime come
2
è un quoziente incommensurabile.
IL PENTAGRAMMA DI IPPASO
La storia di Ippaso, perfettamente strutturata, con finale dram¬
matico incluso, combina elementi che farebbero invidia a qual¬
siasi scrittore: la candida semplicità del quadrato, che portava in
seno il seme della distruzione, e lo scriteriato confratello della
comunità che aprì il vaso di Pandora. In realtà, non esistono
prove di questi fatti e non si ha la certezza assoluta che Ippaso
abbia scoperto l’incommensurabilità del quadrato. Difatti, una
leggenda alternativa gli attribuisce un’altra dimostrazione dell’ir¬
razionalità. La storia lo descrive mentre mostra al pubblico la
sfera composta da dodici pentagoni. Il pentagono regolare è una
figura matematica di cui era relativamente semplice dimostrare
l’incommensurabilità, soprattutto utilizzando l’antico metodo
della discesa infinita. Questo metodo svolse un ruolo fondamen¬
tale nella matematica greca. Con esso si trovava, ad esempio, la
misura maggiore comune, ossia, il massimo comune divisore di
due numeri.
Il metodo consiste in quanto segue: date due grandezze di¬
verse (a, 6), con a<b si sottrae la grandezza minore a quella mag¬
giore; considerando la nuova grandezza ottenuta b-a e a si sottrae
IL FALLIMENTO DELL'ARITMETICA UNIVERSALE
135
Dimostrazione
dell’esistenza di
segmenti
incommensurabili
nel pentagramma.
nuovamente la minore alla mag¬
giore e così via. Questo procedi¬
mento non si può applicare alla
coppia di grandezze (a e b) se
esse sono incommensurabili.
Quando a e b sono numeri natu¬
rali, si può definire il massimo
comune divisore d’entrambi,
chiamato comunemente mcd (a,
b) e il procedimento, chiamato
algoritmo di Euclide, è sempre
limitato e proporziona con cer¬
tezza un risultato. Se il procedi¬
mento non è limitato, non c’è un
massimo comune divisore possi¬
bile eaeb non sono commensu¬
rabili. Il teorema - che non riprodurremo -, venne dimostrato da
Euclide nel Libro X degli Elementi: «Quando, date due grandezze
diverse, sottraendo alternativamente la grandezza minore da
quella maggiore, il resto non coincide mai con la grandezza prece¬
dente, queste due grandezze devono essere incommensurabili».
Come si vede nella figura, le diagonali di un pentagono regolare
formano un altro pentagono regolare, e così via. Per la catena di
pentagoni ottenuti in questo processo, valgono le relazioni AE=AB'
e B'D=BE\ dove AD-AE=BE' e analogamente AE=ED'=EA' e
BE'=B'D=BE; di conseguenza, AE-BE=BA\ e così via all’infinito.
Per cui, deduciamo che:
- La differenza tra le diagonali e i lati del pentagono maggiore
è uguale alle diagonali del pentagono minore.
- La differenza tra i lati del pentagono maggiore e le diago¬
nali del pentagono minore è uguale ai lati del pentagono
minore.
- La differenza tra le diagonali del pentagono minore e i suoi
lati rispettivi è nuovamente uguale alle diagonali del penta¬
gono minore successivo, e così via all’infìnito.
136
IL FALLIMENTO DELL'ARITMETICA UNIVERSALE
Questo procedimento della discesa infinita si può continuare
e, per questo motivo, non è possibile trovare una grandezza co¬
mune massima, per le diagonali e i lati del pentagono regolare:
esistono segmenti mutualmente incommensurabili.
Alcuni studi indicano che la dimostrazione dell’incommensu¬
rabilità del lato e della diagonale di un quadrato potrebbe appar¬
tenere a un’epoca posteriore ai pitagorici, dato che risulta più
sofisticata del procedimento della discesa infinita. Il quadrato con
le diagonali sarebbe servito solo successivamente come mezzo di
costatazione di una situazione già osservata in altri ambiti, come
il pentagramma.
INCOMMENSURABILE EUCLIDE
Nel Libro X degli Elementi, Euclide intraprese il compito di clas¬
sificare gli irrazionali in tipi: vi sono 115 proposizioni in questo
testo, anche se le edizioni più antiche aggiungono la proposi¬
zione 116 e 117. Quest’ultima offre una dimostrazione dell’irra-
zionalità a partire dalla teoria dei pari e dispari, impiegando il
teorema di Pitagora, sviluppandola come si spiega tutt’oggi in
molti libri di testo.
Così come lo presenta Euclide, per il teorema di Pitagora in
un triangolo rettangolo isoscele, il quadrato dell’ipotcnusa è il
doppio del quadrato di ogni cateto. Se ogni cateto misura 1,
quanto sarà l’ipotenusa?
Supponiamo che la sua lunghezza è min metri:
Semen hanno un fattore comune e si dividono l’uno per l’al¬
tro, m on devono essere dispari. Quindi m2 = 2n2, pertanto m2 è
pari, m è pari, e quindi n è dispari. Supponiamo che m = 2p. Quindi
4p2 = 2n2; di conseguenza n2 = 2p2, e pertanto, n è pari. Di conse¬
guenza, nessuna frazione di min sarà la misura dell’ipotcnusa. Que¬
sto ragionamento dimostra che, qualsiasi sia l’unità di misura
IL FALLIMENTO DELL'ARITMETICA UNIVERSALE
137
adottata, vi sono lunghezze che non mantengono una relazione
numerica esatta con l’unità, nel senso che non vi sono due interi
men tali che m volte la lunghezza in questione sia uguale a n
volte l’unità. Il procedimento di Euclide si utilizza tutt’oggi per
dimostrare l’irrazionalità di 72, ma gli studiosi sono arrivati a pen¬
sare che non comparisse nel testo originale e che fu aggiunto in
seguito. Le edizioni moderne sono solite ometterlo, terminando il
Libro X con la proposizione 115.
Come abbiamo detto, l’apparizione degli irrazionali sottolineò
l’indipendenza della geometria rispetto all’aritmetica. Nel Libro II
dei suoi Elementi, Euclide dimostrò geometricamente molte cose
che nell’attualità si dimostrerebbero con l’algebra, ad esempio
(a + bf = a2 + 2ab + b2. La difficoltà degli incommensurabili l’ob¬
bligò a impiegare tale metodo, e finché non fu scoperta una teoria
aritmetica adeguata per questo tipo di numeri, il metodo geome¬
trico di Euclide continuò a essere il più comodo.
LA RADICE DI DUE
La 72 fu il primo numero irrazionale che venne scoperto, un
successo scientifico della massima importanza che segnò nel
corso dei secoli la sfida matematica della costruzione dei numeri
reali. Nonostante quello che sembra suggerirci la storia enigma¬
tica e trepidante di Ippaso e il crollo del cosmo pitagorico, tro¬
vare la 72 non è diffìcile: è difficile sapere come trattarla. Per
trovarla basta tracciare un quadrato su un foglio, come quello
che si mostra nella figura 1. Il quadrato principale deve essere
diviso in quattro quadrati di lato 1 e poi occorre segnare le sue
quattro diagonali. In questo modo si ottiene un quadrato interno
di area 2 che occupa la metà del quadrato di lato 2. Il lato di que¬
sto quadrato interno moltiplicato per se stesso deve valere 2.
Così si è già ottenuta la radice quadrata di due, o secondo la
notazione moderna, 72. Dopo aver tracciato questa figura sulla
carta, non è possibile osservare la tavoletta mesopotamica che
si conserva nella prestigiosa Università di Yale e numerata come
138
IL FALLIMENTO DELL'ARITMETICA UNIVERSALE
YBC 7289, senza provare un bri¬
vido di stupore. Questo reperto è
datato tra il 1800 e il 1600 a.C. e
mostra il quadrato con due diago¬
nali che permette di trovare facil¬
mente la 72. Il disegno è
accompagnato da una serie di nu¬
meri marcati con punzoni, nella
notazione babilonese, di base 60.1
ricercatori affermano che questi
dati numerici corrispondano a
un’approssimazione della 72 con i
suoi primi decimali:
1 + —+ -^-+^- = 1,41421296.
60 602 603
Anche nel libro indiano dei
Sulvasutra, di un’epoca molto po¬
steriore (tra l’800 e il 200 a.C.), si
osserva che il lato del quadrato di
lato 1 e la sua diagonale non pos¬
sono essere commensurabili. Gli
storici della matematica interpre¬
tano le seguenti parole contenute
nel libro come un’approssimazione
di -J2: «.. .si aumenta la lunghezza
del lato di un terzo e questo terzo
della sua quarta parte e si sottrae
la trentaquattresima parte di que¬
sto quarto». L’espressione numerica di questa forma è la seguente:
V2«l + I +J—
3 3-4
577
3-4-34 408
= 1,414215686.
Ora, anche se queste manifestazioni possono sembrare spet¬
tacolari, i babilonesi, gli indiani e, ovviamente, gli egizi, attribui-
Come si vede
nella fotografia,
i ricercatori hanno
potuto identificare
le incisioni
cuneiformi che
presenta la
tavoletta YBC
7289, conservata
presso runiverstià
di Yale.
IL FALLIMENTO DELL’ARITMETICA UNIVERSALE
139
vano alle frazioni un uso prettamente pratico, che non si diffuse,
come s’è detto, fino allo sviluppo della matematica greca. I babi¬
lonesi non potevano sapere che le loro approssimazioni sessage¬
simali frazionarie non sarebbero mai state esatte, così come
nemmeno gli egizi poterono riconoscere il carattere dei numeri
irrazionali. Contro il loro volere, il merito dei pitagorici fu quello
di riconoscere che le frazioni incommensurabili sono di un tipo
completamente distinto da quelle commensurabili. La teoria
delle proporzioni per le frazioni incommensurabili e per ogni
tipo di grandezze si deve in seguito a Eudosso di Cnido (408-ca.
355 a.C.), filosofo, matematico, astronomo e medico, che fu di¬
scepolo di Platone (427-ca. 347 a.C.).
I DIFETTI DELLA MATEMATICA GRECA
Gli incredibili successi della civiltà greca classica sono motivo
di meraviglia anche oggi. Nonostante ciò, la matematica greca
non fu in grado di superare alcuni difetti importanti che obbli¬
gheranno le generazioni future a risolvere problemi d’impor¬
tanza considerevole. Alla fine, quella che era stata la loro virtù
principale, l’insistenza dei greci nell’esattezza dei concetti e
delle definizioni, divenne un peso enorme per lo sviluppo sereno
della matematica creativa.
Il difetto fondamentale della matematica greca fu, ovvia¬
mente, la sua incapacità di ammettere il concetto di numero irra¬
zionale. Questo rallentò lo sviluppo dell’aritmetica e dell’algebra,
e provocò difficoltà ancora più grandi, poiché i greci ridussero la
matematica alla geometria, visto che il pensiero geometrico evi¬
tava una presentazione esplicita dell’irrazionale come numero.
Così fu forzata anche la distinzione tra numero e grandezza, che
avrebbe mantenuto l’algebra e la geometria come discipline non
relazionate a vicenda durante secoli. Inoltre, la geometria greca
era piuttosto limitata. I greci consideravano validi solo quei con¬
cetti geometrici che si potevano costruire nella realtà, ossia, che
potevano esistere e che potevano essere disegnati usando solo un
140
IL FALLIMENTO DELL'ARITMETICA UNIVERSALE
r DTO 'N -V TO
A SIN S'1 HA
L’aritmetica
personificata in
Boezio e Pitagora,
incisione della
Margarita
philosophica,
opera di Gregor
Reisch (1503).
^ 0T0 'N ALTO
A DESTRA
Teorema di
Pitagora raccolto
nel Codex
atlanticus di
Leonardo da Vinci
(Biblioteca
Ambrosiana,
Milano).
TOTO A LATO
Dettaglio del
rilievo gotico
della cattedrale di
Chartres dedicato
alle arti liberali;
la figura a sinistra
rappresenta
Pitagora.
IL FALLIMENTO DELL’ARITMETICA UNIVERSALE
141
righello o un compasso (inoltre non era ammesso l’uso del righello
con qualche segno sopra di esso). Pertanto, la geometria si limi¬
tava alle figure che si potevano ottenere a partire dalla linea retta
e dal cerchio. Le uniche superfìci ammesse erano quelle che si
potevano realizzare facendo girare linee rette e cerchi attorno a
un asse, come ad esempio il cilindro, il cono e la sfera, formati
rispettivamente dalla rivoluzione di un rettangolo, di un triangolo
e di un cerchio attorno a una retta; così come il prisma, che è un
cilindro speciale, e la piramide, che nasce dalla scomposizione di
un prisma. Le sezioni coniche vennero introdotte tagliando i coni
con un piano.
Tutte queste restrizioni a figure chiaramente definite, diedero
luogo a una geometria semplice, ordinata, armoniosa e bella ma
troppo rigida: insistendo sull’unità, la completezza e la semplicità,
e nella separazione del pensiero speculativo dall’utilità, la geome¬
tria classica greca restrinse la visione dei suoi matematici, pre¬
cluse la loro mente a nuovi pensieri e metodi, e mise un limite
insormontabile ai loro successi.
L’incapacità di accettare gli irrazionali come numeri lasciò
aperta la questione dell’assegnazione di un numero ai quozienti
incommensurabili, che si potrebbero studiare con l’aritmetica.
Con il numero irrazionale, anche l’algebra avrebbe potuto am¬
pliarsi: invece di ricorrere alla geometria per risolvere equazioni
quadratiche o di altro tipo, che potevano avere radici irrazionali,
questi problemi sarebbero potuti venire affrontati in termini nu¬
merici, e l’algebra si sarebbe sviluppata a partire della situazione
in cui la lasciarono gli egizi e i babilonesi. Anche per i numeri in¬
teri e i loro quozienti i greci non avevano nessuna base logica; la
sostituirono con alcune definizioni imprecise di Euclide. La neces¬
sità di un fondamento logico del sistema numerico divenne però
critica quando gli alessandrini cominciarono a usare liberamente
i numeri, compresi quelli irrazionali, seguendo in questo punto la
tradizione empirica degli egizi e dei babilonesi.
Così i greci lasciarono all’umanità due rami distinti della mar
tematica, e sviluppati in modo differente: una geometria rigorosa,
deduttiva e sistematica, e un’aritmetica poco formalizzata ed em¬
pirica, con un’estensione all’algebra. La mancanza di un’algebra
142
IL FALLIMENTO DELL'ARITMETICA UNIVERSALE
L’INFINITO GRECO
Un’altra limitazione peculiare dei greci fu che essi non riuscirono mai a
comprendere i concetti di infinitamente grande, infinitamente piccolo e i
processi infiniti. I pitagorici associavano le cose buone e cattive, rispetti¬
vamente, con quelle limitate e illimitate. Per evitare qualsiasi dichiarazione
riguardo l’infinitezza della linea retta, Euclide, nei suoi Elementi, affermava
che un segmento lineare può prolungarsi «fin quanto è necessario». La
relazione tra punto e retta opprimeva così tanto i greci che Aristotele in¬
sistette nella separazione dei concetti. Da un lato ammetteva che i punti
stavano sulle rette ma dall’altro diceva che una retta non poteva essere
formata da punti, perché il “continuo” non può essere costruito partendo
dal "discreto”.
deduttiva fece sì che parlare di rigore matematico significasse par¬
lare di geometria fino ai secoli XVII e XVIII, quando l’algebra e
l’analisi matematica si erano ormai sviluppate.
Infine, la restrizione della geometria euclidea a concetti che
si potevano costruire con riga e compasso lasciò due grandi com¬
piti alla matematica. Il primo era la risoluzione di tre problemi che
esercitarono un grande fascino durante i secoli e che ancora oggi
richiamano l’attenzione, anche se furono definitivamente risolti
nel XIX secolo: dimostrare la quadratura del cerchio, la trisezione
dell’angolo e la duplicazione del cubo con la riga e il compasso. Il
secondo compito consisteva nell’ampliare i criteri dell’esistenza
di un concetto geometrico, perché il fatto che l’unica maniera di
provare 1’esistenza di un concetto geometrico fosse la possibilità
di costruirlo, era naturalmente una condizione troppo restrittiva.
Inoltre, siccome alcune lunghezze non potevano essere costruite,
la retta euclidea è incompleta, ossia, non contiene le lunghezze
che non si possono costruire. Per diventare completa e veramente
utile nello studio del mondo fisico, la matematica doveva liberarsi
di questa limitazione tecnica.
IL FALLIMENTO DELL'ARITMETICA UNIVERSALE
143
CAPITOLO 7
Pitagorici e neopitagorici
Nelle dottrine oggi conosciute come “pitagoriche”
è impossibile differenziare il nucleo di insegnamenti
che si possono attribuire esclusivamente a Pitagora
di Samo dalle idee che si diffusero per iscritto
un secolo dopo la sua morte.
La conoscenza matematica dei pitagorici riguardo
all’armonia del numero è giunta fino a noi
per mano di Filolao di Crotone e Archita di Taranto.
La maggior parte degli autori dell’Antichità affermò che, dopo la
morte del maestro, la scuola di pensiero di Pitagora si divise in fa¬
zioni, anche se non sempre ci fu uniformità nel descrivere il numero
esatto o il loro nome. La divisione più celebre stabiliva due gruppi:
i pitagorici e i pitagoristi, considerando i primi come mistici e i
secondi come matematici, forse un’eco della differenza tra gli acu-
smatici e i matematici. Fino a oggi, però, è stato difficile recuperare
prove che avalorassero o discreditassero questa divisione. In gene¬
rale si ritiene che i cosiddetti pitagorici fossero i primi sostenitori
di Pitagora, e per questo motivo sono conosciuti anche come “i
vecchi” o “gli antichi pitagorici”. Le due figure più di spicco di
questo movimento furono Filolao di Crotone e Archita di Taranto.
Uno dei pochi autori di cui la storia della scienza si avvale per
ricostruire il pitagorismo primitivo è Aristotele. Lo stagirita dedica
il quinto capitolo del Libro I della sua Metafisica a criticare ed
esporre le dottrine dei “cosiddetti pitagorici”, per usare le sue pa¬
role. Alcuni studiosi attuali, però, ritengono che il filosofo si rife¬
risse a personaggi di epoca successiva, il cui pensiero non è iden¬
tificabile con quello di Pitagora e della prima generazione di pita¬
gorici. Altri ricercatori vanno ancora oltre, affermando che le
differenze tra Pitagora e i suoi seguaci furono massime, perché il
maestro si occupava esclusivamente dell’aspetto religioso, mentre
i suoi discepoli s’interessarono alla ricerca matematica. In ogni
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
147
caso, è difficile stabilire una distinzione netta tra i primi pitagorici
e i successivi. Inoltre, il pitagorismo non si limita alle dottrine dei
pitagorici più stretti; include anche le influenze che essi hanno
esercitato sugli altri, in particolare su Platone.
Poiché Pitagora non scrisse alcun libro, è difficile discemere
fino a che punto i testi attribuiti alla tradizione pitagorica riflettes¬
sero la visione del fondatore. Sembra che all’inizio i pitagorici si
sforzassero di mantenere il segreto e la purezza dei suoi insegna-
menti, ma le generazioni successive divulgarono la sua cono¬
scenza. Le testimonianze riguardo pitagorici “autentici” o “falsi” e
le accuse di tradimento suggeriscono che ci sia stato un conflitto
interno nel pitagorismo primitivo e nella trasmissione del suo la¬
scito dopo la dispersione della setta.
Da che circoli pitagorici provenne la tradizione che avrebbe
consacrato il maestro Pitagora come fondatore della matematica e
della cosmologia numerica? Per quello che è possibile sapere, l’idea
dell’aritmetica universale si andò consolidando e mettendo per
iscritto nel pitagorismo posteriore al maestro, per lo meno di un
secolo, quando l’antica scuola religiosa si mescolò con la tradizione
metodologica e speculativa della filosofia ionica. A partire da
Platone cominciò a imporsi una percezione del pitagorismo come
scuola di matematica e astronomia. La questione del numero si raf¬
forzò con Aristotele, che dette per scontato che i “cosiddetti pitago¬
rici” credessero che i numeri fossero i principi materiali delle cose.
FILOLAO DI CROTONE
Filolao di Crotone (470-385 a.C.) visse un secolo dopo Pitagora
e intraprese il compito di raccogliere e ordinare le dottrine pi¬
tagoriche, cominciando dalla cosmologia. Nella prima metà del
V secolo a.C. definì la teoria relativa al cosmo, che verteva su di
un grande fuoco centrale. Stabilì la fisica pitagorica in generale e
difese l’immagine di Pitagora e della sua setta come maestri del
numero, della musica e dell’armonia astronomica. L’armonia era
un inizio d’equilibrio cosmico, già menzionato da qualche preso-
148
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
IL PROBLEMA DELLE FONTI
Paradossalmente, le fonti da cui deriva il sapere attuale sulla matematica
greca sono meno dirette e affidabili di quelle che abbiamo sull’Egitto e sulla
Mesopotamia, anche se queste ultime sono molto più antiche. Non è arriva¬
to ai giorni nostri nessuno dei manoscritti originali dei matematici greci più
importanti. Una possibile
ragione di questo fatto è la
fragilità del materiale su cui
vennero scritti anche se la
causa principale è la distru¬
zione che interessò le gran¬
di biblioteche degli antichi
greci. Le fonti principali del¬
le opere matematiche gre¬
che sono, in primo luogo, i
codici bizantini manoscritti
in greco, posteriori alle ope¬
re originali di 500 e 1500
anni e, in secondo luogo, le
traduzioni in arabo e le ver¬
sioni latine di queste tradu¬
zioni. Il problema di queste
opere è che non sono ripro¬
duzioni letterali ma edizioni
critiche, pertanto è difficile
isolare gli apporti degli edi¬
tori o essere sicuri che gli
originali siano stati capiti
perfettamente. Per comple¬
tare il quadro della matema¬
tica greca classica, gli stu¬
diosi possono usufruire
anche di fonti non stretta-
mente matematiche ma co¬
munque vicine, che si sono
dimostrate di enorme valo¬
re. I filosofi greci, specialmente Platone e Aristotele, avevano molto da dire
sulla matematica, e i loro scritti sono giunti fino a noi. In un modo o nell’altro
disponiamo delle opere di Euclide, di Archimede e di altri matematici greci,
e la ricostruzione delle loro opere è stata un compito formidabile che anco¬
ra oggi presenta lacune e questioni da dibattere.
fXtbtr punito bccdoftmundo. aût piinripw babëriûfunt.Cf^o e&iw»
,E lutura autcm fcictt quotum pcelarattonc ponunrur aliq
tu fcic plurima ruk conclufiorce. ^>ama eftroipuo cft
fui arca crcpa i ma? vndiqts oluilibtlc. 1&obaf luppo*
anniditi«« top paf ncndo tp pttnuö cft oiuifibilc m lem
anniditi«« top paf rendo trpnnuficft c
ton« z motuo.Sd pcrtuuifibina. etimi p:tmo:quia:
■bucaútcirra Miopia nonfuntntfitræ foce magnitudi«
quicump tallo lubftannc funt. ftiltcct liicaxpic cfl Cuuifibmein loti
tura erutti conftannum : Ixc qwdcm gttudincm. Supcrftofeuju c cft oc?
funi, stpoia^maßiuiudû,., bccau utfìbtliofm longitixlincm a iati tu?
tetti bntcotp? x rrugnitudui-'tn.f a dioim % cetpue.-qö eli onnlibUc fa
Manoscritto appartenente al Trattato del cielo di Aristotele,
nell’edizione latina realizzata nel 1500 in Olanda.
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
149
cratico, fatto che ci porta a domandarci se il sistema di Filolao fu
una rigorosa ricostruzione dell’insegnamento di Pitagora, o una
fusione con idee successive.
Chi fu Filolao di Crotone? Forse un sopravvissuto al crollo
della scuola in quella città, fuggito in Grecia. Platone lo presenta
a Tebe in qualità di maestro, verso l’anno 399 a.C., e colloca la sua
morte al ritorno a Crotone. Se le date sono corrette, fu contempo¬
raneo di Socrate e poté conoscere Platone in Italia. Quest’ultimo
affermò che Filolao era stato il primo a diffondere dottrine pitago¬
riche e che egli disponeva di esemplari delle sue opere. Vari testi
attribuiti a Filolao si considerano autentici, e le sue dottrine eb¬
bero un’influenza molto profonda nella sua epoca.
Egli sosteneva che tutta la materia era composta da numeri di
due tipi: numeri limitati e numeri illimitati. A essi si aggiungeva un
terzo stato della materia, derivato dalla combinazione di questi
due elementi: Yarmonia. L’anima era una combinazione armonica
degli elementi del corpo. L’armonia come equilibrio del cosmo e
degli esseri che lo occupano è il concetto chiave del pensiero di
Filolao, così come appare in quelli che vengono considerati i suoi
testi. Inoltre, è grazie a Filolao che ci è stata tramandata l’idea
pitagorica che i numeri sono armonizzati in proporzioni secondo
i tre intervalli di base delle scale musicali: l’ottava (2:1), la quinta
(3:2) e la quarta (4:3).
Platone raccolse le idee di Filolao per formulare la sua co¬
smologia. Convertì i tre principi cosmici del crotonese in quattro:
il limite, l’indeterminato, il risultato della mistione (la materia del
cosmo) e la sua causa (il Demiurgo). Il concetto platonico del
cosmo era intriso dell’idea pitagorica dell’armonia: il cosmo era
un’opera bellissima e ben rifinita, la migliore opera d’arte possi¬
bile, un ingranaggio di precisione composto da parti perfette.
Alcuni frammenti rilevanti dei Dialoghi di Platone sembrano
alludere al pitagorismo di Filolao, come il concetto della geome¬
tria come mezzo per intendere il cosmo. La geometria di Filolao
era il fondamento della maggior parte dei saperi, lo strumento im¬
prescindibile per sistematizzare la conoscenza del numero. Il pita¬
gorismo tradizionale ha tanto di platonico e Platone tanto di pita¬
gorico, al punto che anche Aristotele si chiese chi influenzò chi.
150
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
ARCHITA DI TARANTO
Archita di Taranto (428-ca. 347 a.C.) fu discepolo di Filolao. È pas¬
sato alla storia come astronomo e matematico, ma fu soprattutto un
filosofo che mise in pratica l’ideale del saggio politico. Archita for¬
mulò l’idea del buon governo pitagorico, spalleggiato dall’azione
politica diretta, poiché, oltre a essere filosofo e scienziato, fu stra¬
tega di Taranto (comandante in capo militare) sette volte (dal 367
al 361 a.C.). Le fonti gli attribuiscono il merito dello splendore della
città e del trionfo della democrazia in essa. L’esito politico di
Taranto è un fatto storico confermato, e il suo sistema democratico
basato sull’armonia sociale si convertì nel massimo esempio dell’ec¬
cellenza del governo e del buon risultato cui poteva arrivare l’appli¬
cazione del calcolo, della matematica e della geometria alla politica.
Il tarantino difendeva l’applicazione del calcolo a tutte le disci¬
pline, seguendo la linea delle idee matematiche di Filolao. Secondo
lui, attraverso il calcolo e la sua applicazione nello spazio, ossia la
geometria, si poteva risolvere qualsiasi problema. Si riferiva alla
scienza del calcolo, che studiava le proprietà dei numeri, era la base
per l’analisi delle proporzioni e stabiliva una relazione tra il pen¬
siero logico, l’educazione e la giustizia. Secondo quest’idea, lo stu¬
dio delle proporzioni numeriche determinava una migliore distribu¬
zione della ricchezza e del potere nella comunità umana. La geome¬
tria era il procedimento didattico per guidare l’anima in tutti gli
aspetti deliavita, attraverso le dimostrazioni del calcolo. Quest’idea
della geometria come strumento dell’ordine, applicabile all’astrono¬
mia, alla musica, ai commerci o alla politica, s’inseriva in un conte¬
sto storico in cui si ricercava la concordia dopo lunghi periodi di
conflitti. Archita rifondò la politica pitagorica per basarla meno sul
carisma di un leader e più nell’ampliamento dell’armonia tra le
classi sociali. Il pensatore fu il vincolo diretto dei pitagorici con
Platone, e infatti l’amicizia tra questi due filosofi è ben documentata
dalla loro corrispondenza personale.
La tradizione è solita presentare Archita come l’artefice dell’ul¬
tima fioritura della scuola pitagorica, mentre gli storici attuali lo de¬
scrivono come colui che rifondò il pitagorismo, che privò del suo
senso più mistico e religioso e razionalizzò per convertirlo in una
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
151
scienza di scienze, basata sulla matematica e sulla musica. Egli ot¬
tenne dei progressi notevoli nella matematica, che verranno più tardi
ripresi e ammirati da Euclide, come la dimostrazione delle propor¬
zioni irrazionali e dell’irrazionalità delle radici quadrate, usando il
massimo comune divisore e l’algoritmo che si conoscerà poi come
quello “di Euclide”, anche se era già stato utilizzato da Archita
Nell’ambito della musica, cercò di dare all’armonia una base
matematica e studiò le proporzioni delle consonanze di melodie
in ottava, quinta e quarta. Presentò inoltre una teoria dell’acustica
e del suono, di cui individuò la causa nel movimento dei corpi
nell’aria e nelle loro variazioni di velocità, secondo l’idea dell’ar¬
monia delle sfere. Come geometra, il suo apporto fu puramente
matematico. Gli si attribuisce l’invenzione di una soluzione tridi¬
mensionale al problema della duplicazione del cubo, proposto in
precedenza da Ippocrate di Chio (470-ca. 410 a.C.), grazie allo svi¬
luppo degli studi di geometria nello spazio tridimensionale, la ste¬
reometria. Archita fu il primo a trovare una soluzione geometrica a
questo problema, uno degli enigmi irrisolvibili con la costruzione
con riga e compasso, come la quadratura del cerchio o la trisezione
dell’angolo. La soluzione trovata da Archita è geometricamente im¬
peccabile, anche se molto complicata, ma non era accettabile per i
severi criteri greci dell’uso della riga e del compasso.
Infine, si dice che Archita raccolse la tradizione del teorema
di Pitagora, con l’autorizzazione del suo maestro, anche se non vi
sono prove di questo fatto. Fu il neoplatonico Proclo (412-485
a.C.) che attribuì il teorema al saggio di Samo nel suo commento
agli Elementi di Euclide. Forse Pitagora fu solo il padrino mitico
di una scoperta che venne poi portata avanti e dimostrata da qual¬
che anonimo genio dell’età arcaica.
PLATONE
I filosofi situati cronologicamente tra i pitagorici e Platone studia¬
rono l’essenza della realtà ma non impiegarono la matematica in
maniera diretta. Parmenide, Zenone, Empedocle, Leucippo di
152
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
LA DUPLICAZIONE DEL CUBO
La duplicazione del cubo ve¬
niva chiamata anche "il pro¬
blema di Delo". La leggenda
che espone il problema illustra
anche la visione che si aveva
di Archita e delle sue idee
matematiche come mezzo
per ottenere una equilibrata
convivenza politica. La storia
racconta che la peste invase
l’isola di Deio, luogo di nascita
di Apollo, e i suoi abitanti si
recarono all’oracolo di Delfi
per chiedere come liberarse¬
ne. L’oracolo rispose che essi
dovevano costruire un nuovo
altare per Apollo con un cubo
il cui volume fosse il doppio
di quello già esistente. Per
costruirlo gli abitanti di Deio
duplicarono le dimensioni del
cubo e ottennero una figu¬
ra con un volume otto volte
maggiore. Quindi consulta¬
rono Platone, che disse loro che Apollo in realtà stava solo lanciando un
avvertimento: che si dedicassero allo studio della geometria come soluzione
a tutti i problemi, dalla politica alla medicina. Quando il problema arrivò ad
Archita, egli fu capace di risolverlo grazie al suo dominio della geometria,
utilizzando la cosiddetta curva di Archita. Il tarantino aveva introdotto l’idea
di considerare una curva generata da un punto in movimento e una superfi¬
cie generata da una curva in movimento. Con quest’idea risolse il problema
trovando due misure proporzionali tra due quantità date. Nella notazione
attuale, dando, per semplificare, il valore 1 allo spigolo del cubo, essendo x e
y tali che si ha la formula
Ricostruzione virtuale del toro (grigio chiaro), del cono
(tono intermedio) e del cilindro (grigio più scuro).
1 _ X _ y
x ~ y ~ 2'
quindi x2 = yl2, che è la risposta desiderata, anche se non si può costruire con
la riga e il compasso. Queste misure si possono costruire geometricamente
trovando l’intersezione di tre superfici: un toro, un cono e un cilindro.
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
153
Mileto (500-ca. 430 a.C.) e Democrito di Abdera (460-ca. 370 a.C.),
fecero grandi affermazioni che poche volte si basavano sull’osser¬
vazione, ma in ogni caso tutti ritenevano che la natura era com¬
prensibile e che poteva decifrarsi attraverso il pensiero. Ognuno
di essi rappresentò un anello della catena che condusse alla ri¬
cerca matematica della natura.
L’influenza delle idee pitagoriche su Platone diede un’enorme
risonanza alle teorie circa il numero e l’armonia di Filolao e alle idee
sulla geometria e sulla politica di Archita Platone fu il maggior di¬
vulgatore della matematica come mezzo esclusivo di comprensione
della realtà, disegnata matematicamente. Secondo Platone i sensi ci
ingannano e la conoscenza fisica non è importante perché gli og¬
getti materiali sono mutevoli. Pertanto, lo studio diretto della na¬
tura e le ricerche strettamente fisiche sono inutili. Il mondo fisico è
una copia imperfetta del mondo ideale ed esso perciò doveva es¬
sere l’oggetto di studio dei matematici e dei filosofi. La geometria
era la radice della fisica e del movimento del cosmo verso il bene.
Il suo studio era la via per avvicinarsi alla divinità.
Anche l’astronomia di Platone sembra provenire dal pitagori¬
smo. Il filosofo recuperò l’antica e prestigiosa filosofia pitagorica
che metteva in relazione il volo dell’anima con quello degli astri in
un movimento circolare, e affermò che l’anima era immersa nel
movimento circolare degli astri in un’armonia musicale.
L’astronomia pitagorica del suo tempo, quella di Archita, aveva di¬
mostrato che i pianeti si muovevano con regole geometriche e, di
conseguenza, i pianeti dovevano avere un’anima ed essere divini.
L’influenza della matematica pitagorica si può trovare anche
nel progetto educativo di Platone: la dialettica platonica è la tappa
finale di una serie di discipline matematiche che cominciano con
l’aritmetica e la geometria dei piani; lo studio della musica e dell’ar¬
monia musicale, così come il movimento matematico degli astri
sono la prova del suo disegno divino. Nella Repubblica si insiste
nella relazione tra la giustizia e la proporzione matematico-musi¬
cale. La matematica si converte in modo da determinare che l’or¬
dine naturale costituisce anche l’ordine morale, dato che la pre¬
senza del numero si trova in tutte le cose, poiché il numero è la
traccia dell’origine divina del cosmo.
154
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
PLATONE E L'ACCADEMIA
Platone (427-ca. 347 a.C), nacque in seno a una famiglia nobile e durante la
sua giovinezza ebbe aspirazioni politiche: presto, però, si rese conto che la
politica non era un luogo per uomini con una coscienza. Viaggiò in Egitto e
visitò i pitagorici dell’Italia meridionale. Non era un matematico ma un entu¬
siasta della materia, ed era convinto della sua importanza come scienza del¬
le scienze. Infatti, quasi tutte le opere matematiche importanti dell’epoca si
devono a suoi amici o discepoli. Il filoso fondò ad Atene l’Accademia, una
scuola d’insegnamento superiore, che consisteva in ciò che attualmente chia¬
miamo campus, un grande spazio che ospitava dei grandi edifici dove faceva
lezione assieme ai suoi aiutanti. Lo studio della filosofia e della matematica
fu la sua attività preferita durante il periodo classico. La cosiddetta Accade¬
mia antica venne distrutta dai romani nell’ 86 a.C, ma l’istituzione, nelle sue
diverse reincarnazioni, raggiunse i 900 anni di storia, finché l’imperatore cri¬
stiano Giustiniano la chiuse, nel 529 d.C, accusandola di insegnare conoscen¬
ze pagane e perverse.
Mosaico del
I see. d.C.,
proveniente
da Pompei,
i cui personaggi,
situati sotto
a una meridiana,
conversano
riguardo
a una sfera.
La tradizione
ha associato
quest'opera
all’Accademia
ateniese di
Platone (Museo
Nazionale di
Napoli).
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
155
Ma Platone, nei suoi sogni più arditi, andò molto oltre rispetto
ai pitagorici, pretendendo non solo di decifrare la natura attraverso
la matematica, ma anche di sostituire la natura con la matematica
Egli riteneva che, dopo aver dato un’occhiata al mondo fisico per
raccogliere qualche certezza, la ragione avrebbe potuto continuare
senza altri aiuti. Da quel punto di vista la natura non esisteva, esi¬
stevano solo le scienze matematiche, e la geometria sostituiva la
fisica. Platone spiegava la sua posizione portando ad esempio l’a¬
stronomia. L’ordine delle stelle in cielo e i loro movimenti erano
bellissimi, ma l’astronomia doveva occuparsi delle leggi del movi¬
mento delle stelle nel cielo matematico. Platone mirava all’astrono¬
mia teorica Le figure del cielo dovevano essere esclusivamente dei
diagrammi, per facilitare la ricerca di verità superiori.
LA CRITICA DI ARISTOTELE A PLATONE E Al PITAGORICI
Anche se inizialmente adottò le idee del maestro Platone,
Aristotele aveva un’idea così diversa della realtà e della relazione
tra la matematica e la natura che si potrebbe quasi dire che le loro
IDEE PLATONICHE
Il punto di vista di Platone riguardo alla matematica formava parte integrale
della sua filosofia, che affermava l’esistenza di una realtà oggettiva, costituita
da forme e idee e che, in effetti, era l’unica realtà. Le idee platoniche erano
indipendenti dagli esseri umani, immutabili, eterne e atemporali. Esse arriva¬
vano per reminiscenza, come un ricordo latente, infatti, anche se erano pre¬
senti nell’anima, dovevano essere stimolate per farle risalire in superficie. Era¬
no la bontà, la verità, la giustizia, la bellezza... Le idee matematiche erano
comprese in queste idee ma occupavano una posizione inferiore, perché pre-
suppponevano uno stato intermedio tra il mondo sensibile e le idee superiori.
In questa filosofia, le scienze matematiche svolgevano un doppio ruolo: da un
lato formavano parte della realtà e dall’altro aiutavano a ordinare la mente per
raggiungere le idee eterne.
156
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
opinioni fossero opposte. Nella sua opera II pensiero matematico
dall'antichità ai giorni nostri - Storia del pensiero matematico,
il prestigioso storico e divulgatore della matematica Morris Kline
rappresenta Aristotele come un fisico, al contrario di Platone.
Aristotele credeva nelle cose materiali, in qualità di sostanze
prime e origine della realtà. Per lui, il mondo era materia e forma.
La materia era indeterminata e si convertiva in qualcosa quando
si organizzava in una forma concreta Così, i fatti interessanti della
realtà, che dovevano essere motivo di studio scientifico, erano la
forma e il cambio della materia: la scienza doveva studiare il
mondo fisico. Ovviamente, Aristotele non poteva fare altro che
criticare il mondo di Platone e la sua riduzione delle scienze alla
matematica, cosa che fece nella sua opera capitale, la Metafisica.
La celeberrima Metafisica di Aristotele è un compendio di
quattordici libri, che sono stati tradizionalmente pubblicati come
un trattato unitario, ma sono in realtà degli scritti indipendenti
raggruppati in un secondo momento. Il suo obiettivo non era la
lettura sistematica, ma essere d’appoggio all’insegnamento, di
modo che ogni libro era una serie di lezioni riguardo a un tema
concreto.
«I cosiddetti pitagorici, che furono i primi a coltivare
le scienze matematiche, non solo le fecero avanzare,
ma, nutrendosi di esse, credettero che i loro principi
fossero i principi di tutti gli enti.»
Aristotele, Metafisica, Libro I.
Il Libro I era l’introduzione al corso: qui Aristotele spiegava
che cos’è la saggezza e come si acquisisce. I capitoli 1 e 2 tratta¬
vano le cause e i principi primi. A partire dal terzo capitolo, lo
stagirita esponeva le dottrine dei filosofi precedenti e le criticava
in quanto insufficienti, presentando allo stesso tempo la sua teo¬
ria. La critica ai pitagorici si trova nel capitolo 5, dove si stabilisce
un parallelismo tra il pensiero pitagorico e la filosofia eleatica.
Fu Aristotele che presentò quella che venne chiamata lista
pitagorica dei contrari, dieci coppie di opposti che rappresen-
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
157
tavano gli elementi dell’universo. Così come viene detto dallo
stagirita, i pitagorici impiegavano questi opposti per segnalare
tutti i fenomeni che avevano origine dall’interazione di due forze
cosmiche o da principi antagonisti.
Sembra che anch’essi (i cosiddetti pitagorici), considerino che il
Numero sia principio, non solo come materia degli esseri, ma anche
come passione e abitudine, che gli elementi del numero sono il Pari
e il Dispari, essendo uno di questi finito e l’altro infinito e che l’Uno
provenga da questi due elementi (poiché dicono che sia pari e di¬
spari). Dicono inoltre, che il numero proviene dall’Uno e che il
cielo intero è numero. Altri di loro, però, dicono che vi sono dieci
principi, che enumerano in parallelo: Finito e Infinito, Dispari e
Pari, Uno e Pluralità, Destro e Sinistro, Maschile e Femminile, Quie¬
to e In movimento, Retto e Curvo, Luce e Oscurità, Buono e Catti¬
vo, Quadrato e Oblungo.
Che posto occupava la matematica nell’universo aristotelico
che s’era mostrato così critico con i pitagorici attraverso Platone?
La matematica aiutava la fisica a descrivere proprietà come la
forma e la quantità e forniva spiegazioni di fatti osservati in feno¬
meni materiali, ma era un’astrazione del mondo reale. Gli oggetti
matematici esistevano nella mente umana e non avevano una re¬
altà indipendente. Anche se le scienze matematiche potevano for¬
nire molte definizioni, non permettevano di dimostrare le diffe¬
renze qualitative. I diversi colori, ad esempio, non potevano ri¬
dursi a differenze geometriche. Aristotele distingueva formal¬
mente tra matematica e fisica, e metteva una al servizio dell’altra.
L’EREDITÀ PITAGORICA
n pitagorismo fu rinnovato a partire dal I see. a.C. ed esercitò una
notevole influenza durante i tre secoli successivi, in una forma
tardiva che si conosce come “neopitagorismo”. I neopitagorici re¬
cuperarono la figura di Pitagora, considerandolo il fondatore della
158
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
ARISTOTELE E LE SCIENZE MATEMATICHE
Aristotele (384-322 a.C.) nacque a Stagira, nella Macedonia greca. Per circa
vent’anni fu discepolo di Platone e durante tre anni, dal 343 al 340 a.C., fu
tutore di Alessandro Magno. Nell’anno 335 a.C. fondò la sua scuola, il Liceo,
che era formata da un giardino, da un’aula e da un altare dedicato alle Muse.
Lo stagirita scrisse riguardo a
moltissimi temi, tanto nell’ambito
scientifico come in quello lettera¬
rio, e anche se non dedicò nessun
libro specifico alla matematica, la
materia appariva costantemente
nei suoi testi, perché la usava per
presentare degli esempi. In tal
modo si occupò dei principi di
base, distinguendo tra gli assiomi
o le nozioni comuni, che sono ve¬
rità comuni e condivise da tutte
le scienze, e i postulati, che sono
principi primi accettabili da una
scienza concreta. Una delle sue
conquiste più importanti, però, fu
la fondazione della scienza della
logica. I greci avevano messo le
fondamenta della disciplina pro¬
ducendo ragionamenti matema¬
tici corretti, ma Aristotele siste-
matizzò in una materia
indipendente le leggi che seguo¬
no questi ragionamenti.
loro forma di pensiero, e proclamarono spesso la propria autenti¬
cità, assicurando che il loro obiettivo era la rinascita delle dottrine
pitagoriche. Nonostante quest’ambizione di purezza, oltre alle dot¬
trine esclusivamente pitagoriche, nel neopitagorismo si riuni¬
scono elementi platonici, aristotelici, stoici e orientali.
Le idee neopitagoriche si trovano sparse in fonti così diverse
che è difficile ricondurle a un sistema unico. Le principali tesi co¬
muni a tutti i pensatori neopitagorici sono le seguenti:
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
159
- La realtà suprema è un’unità, di cui l’unità numerica è una
manifestazione.
- Quest’unità genera le realtà restanti per mezzo del movi¬
mento, che più tardi verrà descritto come emanazione.
- L’unità è assolutamente pura e trascendente.
Il neopitagorismo fu solo un timido rifluire, senza partico¬
lare importanza, dell’eredità pitagorica nella storia della scienza
e del pensiero. Gli effetti di quelle antiche dottrine, però, furono
molti e duraturi. Dai tempi dei pitagorici, i più importanti filosofi
e scienziati che modellarono il mondo intellettuale greco, soprat¬
tutto durante il periodo ellenistico, meditarono sul disegno ma¬
tematico della natura. La teoria rimase ben stabilita durante il
periodo classico e la ricerca delle leggi matematiche restò istitu¬
zionalizzata. La maggior parte dei grandi matematici accettò
quelle idee e le seguì coscienziosamente. Questa dottrina regnò
fino alla fine del XIX secolo, e durante tutto il lungo periodo la
ricerca del disegno matematico si identificò con la ricerca della
verità. Alcuni greci, come Tolomeo, sostenevano che le teorie
matematiche erano solo dei tentativi dell’uomo di fornire una
descrizione coerente del mondo, ma la convinzione che la mate¬
matica contenesse la verità naturale attrasse verso la matema¬
tica gli scienziati e i pensatori più importanti della storia.
Secondo la tradizione furono i pitagorici i primi a chiamare
kosmos l’universo, e a vederlo come un ordine retto dalle leggi
matematiche. Se così fosse, questo risultato basterebbe già per
situarli in un luogo di favore nell’Olimpo del sapere umano.
Considerando l’originalità e la forza del loro pensiero, non è
strano che questi sorprendenti personaggi - politici, matematici,
fisici, filosofi, ma anche maghi e asceti - influissero nell’opera di
Platone e Aristotele, e attraverso questi ultimi, nelle opere di
tutti i grandi pensatori, filosofi e scienziati dell’umanità. Le dot¬
trine della scienza dei pitagorici lasciarono un’impronta così
profonda nella storia della cultura occidentale che Pitagora può
essere considerato come uno degli uomini più influenti nel
160
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
campo del sapere, circostanza che gli permette di conseguire il
suo obiettivo più agognato: il raggiungimento dell’immortalità.
Questa vittoria, anche se simbolica, dimostra l’enorme forza
della sua mente, perché Pitagora, come disse Bertrand Russell,
fu così saggio che ebbe ragione anche quando aveva torto.
PITAGORICI E NEOPITAGORICI
161
Letture consigliate
Abbagnano, N., Dizionario di filosofia, Torino, Edizioni UTET, 2006.
Alsina, C., La setta dei numeri: il teorema di Pitagora, Collana
Mondo Matematico, Milano, RBA Italia, 2011.
Bell, E. T., Storia della matematica, Milano, Mondadori, 1991.
Boyer, C. B., I Grandi matematici, Milano, BUR Biblioteca Univ.
Rizzoli, 2010.
Eliade, M., Storia delie credenze e delle idee religiose (vol. II),
Milano, BUR Biblioteca Univ. Rizzoli, 2006.
Ferguson, K., La musica di Pitagora. La nascita del pensiero
scientifico, Milano, Longanesi, 2009.
Gargano, A., Introduzione alia filosofia greca. Da Taiete a Par¬
menide, Napoli, La Città del Sole, 1995.
Kline, M., Storia del pensiero matematico (vol. I), Torino,
Einaudi, 1999.
Riedweg, C., Pitagora vita dottrina e influenza, Milano, Vita e
Pensiero Editore, 2007.
Rostagni, A., Il verbo di Pitagora, Forlì, Victrix Edizioni, 2005.
Russell, B., Storia delia filosofia occidentale (vol. I), Milano, Casa
editrice TEA, 2007.
Stewart, I., Domare Vinfinito. Storia della matematica dagli
inizi alla teoria del caos, Torino, Bollati Boringhieri Editore,
2011.
163
Indice
Accademia 13, 51, 155
acusmatici 64, 70, 147
agrimensura 41, 43, 91
Ahmes, papiro di
si veda Rhind, papiro di
alegebra geometrica 51, 99
alimentazione 64, 66, 67
Anassimandro di Mileto 10, 18-20,
91,93
angolo 11, 20, 36-38, 43, 49, 52, 55,80,
83, 91,93, 102,143, 152
Anti-Terra 123
Apollo 18-20,30, 66, 71, 153
Archita di Taranto 9, 13, 76, 93,145,
147, 151-154
curva di 153
Arezzo, Guido d’ 120
Aristotele 9,13, 79, 92, 94, 120, 143,
147-149, 150, 157-159, 160
aritmetica 10,11,44, 45, 80, 82, 83,85,
90,91,94-97,104, 105, 107, 118,
119, 121,122,127,134, 135, 138,
140, 141-143,148, 154
armonia delle sfere
si veda musica delle sfere
Asia Minore 8,17,31, 90, 91
astronomia 9,17,22,83, 91,92,97,
110,121,122,148, 151,154, 156
Babilonia 22, 23, 38, 82, 91, 139
Berlino, papiri di 42
Boezio 120, 141
Buddha 88
calcolo
delle aree 85
funzionale 55
cateto 11, 36, 37, 40, 41, 45, 47^9,
52, 54, 56, 57, 59, 133, 137
cent 114,115
Chou Pei Suan Ching 45, 46
Chui Chang Suang Shu 47
Cilone 29, 75
circolo delle quinte 116, 117
Ciro n il Grande 22, 82
colonizzazione greca 61, 71, 73
contrari pitagorici 158
coseno 43, 55, 56
legge del 59
cosmo 20,95,98, 107, 110, 126, 127,
138, 148, 150,154, 156
cosmologia 10, 20, 21, 63, 107, 123,
125, 148, 150
Creta 21, 71
Crotone 8, 13, 17, 18, 25, 26,
29, 30, 68, 71-75, 145, 147,
148,150
165
cuneiforme, scrittura 23,38,39,81-83,
85, 139
decade pitagorica 96-99
Delfi, oracolo di 19, 64, 70-72,153
Democrito di Abdera 20,154
diade 96,97, 103
discesa infinita 135, 137
Diogene Laerzio 66, 74
Dioniso 20-22, 24
Discorso sacro 68
duplicazione del cubo 143, 152, 153
Egitto 20-25, 38, 41, 42, 45, 64, 71, 79,
85, 91, 92, 149, 155
Elea 13, 17, 23
Elementi di geometria 13, 39, 47,
49-53, 102, 136-138, 143, 152
Empedocle di Agrigento 17, 18, 20, 21,
154
Eraclito di Efeso 20
Erodoto 24, 42, 92
esoterici 65
essoterici 65
etica pitagorica 9, 63, 72
Euclide 13,39, 47, 49, 50-53, 102, 118,
136-138, 142, 143, 149, 152
Eudosso 51, 140
Ferecide di Siro 19, 24
Filolao di Crotone 9, 13, 68, 76, 93,
145, 147, 148-151, 154
fisica 10, 148, 154, 156,158
frazione 11, 23, 80, 90, 114, 118, 127,
129, 130, 131,133, 134, 138, 140
fuoco centrale 10, 123, 124,148
geometria 11, 13, 17, 22, 35, 39, 43, 47,
49, 50, 51, 85, 90, 96, 107, 122, 133,
134, 138, 140-143, 150-154,156
Giamblico di Calcide 26, 68
gnomone 45, 102
Hammurabi 38, 39, 82
immortalità dell’anima 9,19,24, 28,
63, 66, 161
Impero persiano 22,82
incommensurabili, numeri 11, 13,119,
127, 132, 133, 134-140, 142
India 22,44, 45, 88,89
Ionia 13, 22, 91, 93
ipotenusa 11, 36,37, 39, 40, 45, 47,48,
52, 54, 57, 133,137,138
diagramma dell’ 45
Ippaso di Metaponto 13, 132,133,138
pentagramma di 135-137
Keplero, Johannes 126
Kon Ku 45
Leonardo da Vinci 54, 141
Liu Hui 45, 46
Magna Grecia 8, 13, 23-25, 61, 75,133
matematici 7, 8, 11, 23, 33, 35, 42,45,
59, 64, 79, 81-85, 88, 89, 92, 94, 110,
130, 131, 134, 142, 147, 149, 154,
158, 160
media
aritmetica 97, 104, 119
armonica 11, 104, 119
geometrica 104, 105, 119
Mesopotamia 23, 38, 79, 81-85, 88, 123,
129, 139,149
Metafisica 13, 94, 147, 157, 158
Metaponto 13, 18, 30, 74, 76, 132, 133
Mileto 18, 25, 91, 92, 93
Milone 29, 75
miracoli di Pitagora 30
misteri 8, 20, 24, 28,31,32, 63, 65, 70,
85
misticismo 7,11, 22, 96, 97, 99, 119,
125
mito 15,17, 21-26, 28, 29, 32,109
mitologia 21, 22, 24, 26, 28, 30, 109,
110
Mnesarco 18
monocordo 112, 125
166
INDICE
Mosca, papiro di 41, 85, 87
mulino a vento 50, 54, 57
musica delle sfere 10, 107,121-124,
126, 152
neopitagorismo 145, 159, 160
numeri
classificazione dei 99,102,104,
130, 131
interi 23, 90,100, 112, 127,
129-135,142
irrazionali 130-133,137,138,140,142
poligonali 99-102
razionali 129-131
Omero 28, 32
Orfeo 20-22, 24, 68
ottava musicale 10, 113-120,150,152
Parmenide di Elea 17, 18, 20, 23, 71,
154
pentalfa 98, 99
Platone 9,13, 21, 28, 51, 68,120, 134,
140, 148-151, 153, 154-160
Plimpton, tavoletta 39
Policrate 8, 13, 18, 24, 25, 72
poliedri regolari 51, 97
poligoni 50, 57, 90, 97, 99
politica pitagorica 8, 9, 24-26, 29, 68,
71-76, 151
posizionale, sistema numerico 23,
82-84, 89, 90, 131
presocratici, filosofi 17, 20,149
Proclo 51,152
progressione armonica 11
proporzione
aurea 50, 113
musicale 105,125
perfetta 105
quadri vi um 97, 122
radice quadrata 35,44,50,138-140,152
regole di vita pitagorica 63, 64, 71, 73,
132
reincarnazione, teoria della 19, 22,63,
66, 67, 97, 155
Repubblica 156
Rhind, papiro di 41-44,85, 86
rivolta antipitagorica 13, 29, 75-76
Samo 7,8, 10,11,13, 15, 17-22, 24, 25,
27, 28, 30, 33, 64, 68, 71, 79,110,
129, 145, 152
sciamanismo 30-32
Semicerchio 13, 25, 71
seno 43, 55, 56
Senofane di Colofone 13, 20
setta 8,13,15, 20, 26, 29, 61, 64-68,
73-76, 110, 133, 148
Sibari 13, 26, 29, 74
Sìdvasutra 44, 45, 89
sumeri 39, 81
tabù pitagorici 66-67
Talete di Mileto 18-20, 79,91-93
teorema di 92, 93
tavoletta d’aigilla 23,38,39,82,85,87,139
teorema di Pitagora 11, 27,33,35, 37,
38, 42,4448, 50-52, 54-60, 90, 91,
127,131,133,134, 137, 141, 152
dimostrazioni del 45-54
inverso 51
teme pitagoriche 3842,44, 45
Terra 28, 59, 60,98, 121, 123,124, 126
tetraktys 70,99
topografia 43, 56
triade 96,97
triangolazione 43
triangolo egizio 42
trigonometria 35,39,40,43, 55, 56
trivi um 122
versi d’oro 68, 99
voto di silenzio 65,132
Zenone di Elea 20, 23, 71,154
zero 23, 89,96,130,131
Zhao Shuang 45
INDICE
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