Рентгенография металлов - Русаков А.А.

Автор: Русаков А.А.
Теги: металлургия металлы материаловедение металловедение микроскопия атомиздат
Год: 1977
Похожие
Технология металлов
Промышленные алюминиевые сплавы
Сплавы щелочных и щелочноземельных металлов: Справочник
Кристаллография, рентгенография и электронная микроскопия
Текст
                    РЕНТГЕНО-
ГРАФИЯ
МЕТАЛЛОВ
РУСАКОВ
1
РЕНТГЕНО-
ГРАФИЯ
МЕТАЛЛОВ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов в/зов,
обучающихся по специальности «Физика металлов>
б-ки МИФИ
МОСКВА АТОМИЗДАТ 1977
4
Предисловие
многие их свойства. Рентгеновская дифракционная микроскопия
позволяет изучать мозаичную структуру кристаллов, выявлять
дислокации, определять размеры субструктурных составляющих
и их разориентировку, тип субзеренных границ.
Рентгеноспектральный анализ основан на свойстве элементов
испускать при облучении их быстрыми электронами характерное
для каждого из них рентгеновское излучение, состоящее из не-
большого числа спектральных линий. Методами рентгеноспект-
рального анализа изучается химический состав веществ. Автома-
тизация рентгеноспектрального анализа позволила создать уста-
новки, значительно превосходящие по производительности обыч-
ные методы химического анализа и позволяющие контролировать
технологические процессы в производстве. В практику лаборато-
рий вошли рентгеновские мпкроанализаторы, с помощью которых
можно определять химический состав в микрообъемах (0,6 --
300 мкм?), что сделало эти приборы незаменимыми для металло-
ведческих и металлофизических исследований.
Рентгеновская дефектоскопия основана на различной прони-
кающей способности рентгеновского излучения, просвечивающего
материалы различной толщины и плотности. Рентгеновские лучи
успешно применяются в промышленности для контроля качества
изделий. Рентгеновский метод дефектоскопии обладает большой
чувствительностью и универсальностью, он позволяет выявлять
различные неоднородности материалов: раковины, поры, трещины,
непровары в сварных швах, инородные включения и т. д. Особый
метод дефектоскопии — импульсная рентгенография — позволя-
ет получать снимки за миллионные доли секунды, по которым можно
изучать быстропротекающие процессы.
Предлагаемая книга составлена на основе лекций, читаемых
автором более 25 лет в AIockobckom инженерно-физическом инсти-
туте, и является учебником для специальности «Физика металлов».
В других технических вузах книга может быть использована в ка-
честве учебного пособия.
Необходимость рассмотрения широкого круга вопросов и огра-
ниченность объема книги обусловили краткость изложения ма-
териала. По той же причине в учебнике не рассматривается рентге-
новская дефектоскопия, читаемая в Московском инженерно-фи-
зическом институте (МИФИ) в другом курсе.
Автор пользуется возможностью выразить благодарность сот-
рудникам МИФИ, помогавшим советами и участием в оформлении
книги: В. Н. Яльцеву, И. А. Соколову, Ю- ^А. Перловичу,
В. Е. Бухарину, 3. И. /Ксрздевой и И. II. Ивановой.
Раздел I
ФИЗИКА РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
Глава 1. СПЕКТРЫ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
Многочисленные работы по исследованию рентгеновских лучей
позволили установить следующие их свойства.
Рентгеновские лучи невидимы. Распространяются они прямо-
линейно, преломляются, поляризуются и дифрагируют, как и ви-
димый свет. Коэффициент преломления очень мало отличается от
единицы; он равен i] 1 — 6, где 6 « 10~с для металлов.
Возникает рентгеновское излучение при торможении электронов
(или других заряженных частиц, например, протонов) в матери-
альной преграде, а также при взаимодействии у-излучения с ве-
ществом.
Рентгеновские лучи представляют собой электромагнитное из-
лучение с длиной волны от 10-4 до 102 А. Условно рентгеновское
излучение можно разделить па коротковолновое (жесткое) и длин-
новолновое (мягкое). Проникающая способность излучения растет
с увеличением скорости тормозящихся электронов.
Это излучение проходит через непрозрачные для видимого све-
та тела. Чем короче длина волны, тем большей проникающей спо-
собностью оно обладает.
Рентгеновские лучи производят фотографическое действие, за-
свечивают фотографические пленки и бумаги. Коротковолновое
рентгеновское излучение поглощается меньше в фотографической
эмульсии и поэтому производит меньшее фотографическое действие.
Рентгеновские лучи ионизируют газы, а так?ке вызывают лю-
минесценцию многих веществ. Они оказывают воздействие на био-
логические объекты. В большинстве случаев это воздействие явля-
ется вредным. Однако рентгеновское излучение используется для
лечения некоторых болезней, например, злокачественных опу-
холей.
Рентгеновские лучи можно разложить в спектр с помощью кри-
сталлов. Кристаллы состоят из атомов, расположенных в прост-
ранстве в определенном периодическом порядке. Под влиянием
электрического поля рентгеновских лучей электроны атомов стано-
вятся источниками сферических волн с длиной, равной длине волны
*Глава /. Спектры рентгеновских лучей
первичного луча. Сферические волны, излучаемые отдельными
атомами, интерферируют: гасят друг друга в одних направлениях
и усиливают в других.
§ 1.	ФОРМУЛА ВУЛЬФА—БРЭГГА
Простое и наглядное объяснение явления дифракции рентге-
новских лучей при их прохождении через кристалл дали независимо
друг от друга профессор Московского университета Ю. В. Вульф
и английские физики отец и сын Брэгги. Ниже приводится вывод
формулы, носящей название формулы Вульфа-Брэгга.
При выводе этой формулы рассеяние рентгеновских лучей ато-
мами кристалла рассматривается как своего рода «отражение»
от атомных плоскостей. Такие плоскости можно условно провести
через центры атомов кристалла (атомы считают неподвижными,
т. е. не участвующими в тепловых колебаниях).
Кристалл можно представить состоящим из семейства парал-
лельных плоскостей, находящихся на одинаковом расстоянии d
друг от друга. Предполагается, что число атомных плоскостей! дан-
ного семейства велико и преломление в кристалле отсутствует.
Рис. 1.1. К выводу формулы Вульфа — Брэгга
Пусть на кристалл падает параллельный пучок монохромати-
чсских (определенной длины волны X) рентгеновских _ лучей под
некоторым углом скольжения О по отношению к атомной плоскости
кристалла. Лучи параллельного пучка отражаются от атомных
плоскостей под одним и тем же утлом ». Разность хода лучен О.
отраженных от одной и той	лучн ’находятся
в однойУазё. Прочая в толщу кристалла
дельные атомные плоскости под угломусилИваЮт или
углом Я параллельные лучи интерферируют,
ослабляют друг друга в зависимостиi о Р	разпОсть хода
ними. Из приведенной на рис. 1.1 схемы видно, р
§ 1. Формула Вульфа — Брэгга
7
для лучей, отраженных от соседних атомных плоскостей, равна
разности отрезков АВ и АС, но АВ = d/sinty и АС — АВ cos 2$,
т. с. AC d cos2fl/sin й. Отсюда следует, что D — (d/sin fl) X
X (1 — cos 2fl) — 2d sin fl.
Условие максимума может быть получено из рассмотрения сле-
дующих векторных схем. Волны, характеризующие лучи, отра-
женные атомными плоскостями в одном и том же направлении
имеют одинаковые амплитуды (поглощение в кристалле не учиты-
вается) и для любых соседних плоскостей характеризуются оди-
наковой разностью фаз. Так как уравнение бегущей волны имеет
вид
Е sin 2л [(//71) — (х/Х)1 = Eosin 2шр, (1.1)
то разность фаз двух волн связана с разностью хода соотношением
Д = ср2 — (рх — (2л/Л)(х2 — xj = (2л/А) D, (1.2)
где D = х2 — хх.
Тогда лучи, отраженные от параллельных плоскостей, изобра-
зятся векторами одинаковой длины, повернутыми относительно
друг друга на одинаковые углы Д. Эти углы отвечают разности
фаз между лучами, отраженными от соседних плоскостей. Резуль-
тирующее колебание определится суммой всех векторов (число
этих векторов велико). При этом возможны три случая.
1.	Разность фаз Д такова, что А7-й вектор совпадает с первым,
(N 4- 1)-й —со вторым и т. д., т. е. Д — 2л/Л<, и векторы предста-
вятся в виде правильного многоугольника, их сумма равна нулю.
2.	Разность фаз Д такова, что А/’-й вектор не совпадает с пер-
вым. В этом случае все остальные векторы не совпадут между собой,
и если их число бесконечно, то для любого вектора найдется другой,
противоположно направленный. Результирующая амплитуда ко-
лебаний при такой разности фаз будет также равна нулю. (В ре-
альном кристалле число атомных плоскостей велико, но не беско-
нечно, поэтому результирующая амплитуда отлична от нуля и
сравнима с амплитудой волны, характеризующей луч, отраженный
от одной плоскости.)
3.	Разность фаз такова, что для лучей, отраженных от сосед-
них плоскостей, она равна четному числу л, т. е. Д =- 2л/г, откуда
D = АД/(2л) и D -- tik. Результирующее колебание при такой
разности фаз отлично от нуля и равно сумме амплитуд колебаний
для лучен, отраженных от данного семейства плоскостей.
Таким образом, можно заключить, что интерференционный
максимум будет наблюдаться только при выполнении условия
А — 2d sin fl (и ~ порядок отражения),	(1.3)
которое и носит название формулы Вульфа-Брэгга.
8
Глава 1. Спектры рентгеновских лучей 
Рис. 1.2. Схема рентгеновского
спектрометра
Формула Вульфа—Брэгга,* как показали эксперименты, вы-
полняется с очень большой точностью (хотя она и выведена при за-
ведомо неверной физической предпосылке об отражении рент-
геновских лучей от фиктивных атомных плоскостей). Лишь при
очень точных измерениях наблюдается отступление от этой форму-
лы, что связано с преломлением рентгеновских лучей в кристалле.
Из формулы Вульфа—Брэгга следует, что, измеряя экспери-
ментально углы 0 дифракционных максимумов, можно.
а)	определять длину волн, отвечающих этим максимумам,
при условии, что известно меж-
плоскостное расстояние d\
б)	он р ед ел я ть межи л ос к ости ые
расстояния d, если известны дли-
ны волн А, отвечающие дифрак-
ционным максимумам.
Таким образом, формула Вуль-
фа—Брэгга может быть использол
вана только после определения
стандартного межплоскостного рас-
стояния, выполненного без при-
менения этой формулы. Такое
определение было сделано для
кристалла каменной соли вскоре
после открытия дифракции рент-
геновских лучей. Было исполь-
зовано знание плотности кристалла, его структуры, значения,
определенного из опыта Милликена, заряда электрона е и числа
Фарадея F.
Стандартное межплоскостное расстояние для каменной соли,
а также для кальцита использовали для определения длины волны
рентгеновского излучения, на основании чего были составлены
таблицы рентгеновских спектральных линий. Для измерения длин
волн применяют различного типа спектрометры. Простейшим
является спектрометр с плоским колеблющимся кристаллом,
рис. 1.2. Пучок лучей из фокуса рентгеновской трубки F проходит
через систему щелей Sj и S2 и падает на кристалл /(, вращающий-
ся вокруг оси, проходящей через его поверхность. При вращении
кристалла изменяется угол между первичным пучком п поверх-
ностью кристалла, т. е. меняется брэгговский угол О. При данном
угле поворота кристалла отражается луч с определенной длиной
волны Л. Спектр регистрируется с помощью детектора С, исполь-
зующего ионизирующее действие рентгеновских лучей (иониза-
ционной камерой или газоразрядным счетчиком); детектор враща-
ется вокруг той же оси, что и кристалл, с удвоенной угловой ско-
ростью 2(о по отношению к скорости вращения кристалла со. Дли-
ну волны данной спектральной линии определяют из формулы
§ 1. Формула Вульфа-  Брэгга
9
Вульфа— Брэгга, подставляя в нее измеренные с помощью спектро-
метра значения угла 0 и межплоскостнос расстояние d для систе-
мы отражающих плоскостей кристалла.
Измерение длин волн рентгеновских лучей и определение пе-
риодов решеток долгое время производились на основании рас-
считанных косвенным образом стандартных межплсскостных рас-
стояний для каменной соли и кальцита. Абсолютные измерения
длин волн рентгеновских лучей были произведены только в 1925 г.
А. Комптоном, использовавшим для этой цели отражательную
дифракционную решетку. В этом опыте пучок рентгеновских
лучей посылается на дифракционную решетку под очень малым
углом скольжения (^10'). Отражение происходит только от глад-
ких участков решетки, на углублениях решетки возникает лишь
слабое рассеяние. Малая величина угла полного «внешнего» отра-
жения приводит к тому, что эффективный период решетки, равный
его проекции на направление, перпендикулярное к падающему лучу,
становится сравнимым с длиной волны рентгеновского излучения.
Отраженные лучи, интерферируя, дают четкую дифракционную
картину.
Длины волн рентгеновских лучей, измеренные с помощью ди-
фракционных решеток, оказались на ~0,25% большими, чем опре-
деленные с помощью дифракции на кристаллах. Такое расхожде-
ние объяснено неправильным определением заряда электрона,
значение которого использовалось при нахождении числа Аво-
гадро. Опыте дифракционными решетками позволил уточнить заряд
электрона. Одновременно было установлено, что значение стандарт-
ного межплоскостного расстояния для каменной соли d -2,81971 А
при 18еС. Таким образом, все изданные ранее таблицы длин волн
рентгеновских лучей и значения периодов кристаллических реше-
ток оказались представленными в несколько отличающихся от абсо-
лютного ангстрема единицах. В 1947 г. ввели так называемый кри-
сталлографический ангстрем — кХ (килоикс). Килоикс связан
с абсолютным ангстремом следующим соотношением:
\кХ - 1,002057 ± 5 • 10”6 А.	(1.4)
Ангстрем является внесистемной единицей, в системе СИ он
равен 10~10 ж.
При чтении литературы следует учитывать, что все данные, опу-
бликованные до 1947 г., получены в килоиксах, хотя авторы и поль-
зовались термином «ангстремы». После 1947 г. стали учитывать
различие этих величин.
Существуют два типа рентгеновских спектров: непрерывный
(«белое» излучение) и линейчатый (характеристическое излучение).
Непрерывный спектр присутствует всегда совместно с линейчатым.
10
Глава 1. Спектры рентгеновских лучей
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР
Рентгеновские лучи распространяются от фокусного пятна рент-
гриогскои трубки. Исследованиями установлено, что интенсивность
непрерывного спектра зависит, от ряда факторов: напряжения на
рентгеновской трубке, анодного тока, атомного номера материала
J	анода и угла ф, образуемого рент-
геновским лучом с пучком бомбар-
дирующих анод электронов.
Распределение интенсивности в
непрерывном спектре в зависимо-
сти от напряжения на рентгенов-
Рис. 1.3. Распределение интенсив-
ности в непрерывном спектре по
длинам волн при различном на-
пряжении на рентгеновской трубке
ской трубке. На рис. 1.3 приве-
дены кривые распределения ин-
тенсивности, измеренной иониза-
ционным методом, по длинам волн
непрерывного спектра для различ-
ных напряжений на рентгеновской
трубке. Характерным для всех
этих кривых является наличие
коротковолновой границы Хо. Все
кривые имеют максимум при не-
которых значениях Zm. Затем ин-
тенсивность медленно спадает, не
достигая оси абсцисс. Коротковол-
новая граница при повышении
напряжения сдвигается в сторону
более коротких длин волн, точно
так же сдвигается и Zm. Точными
измерениями установлено наличие зависимости между напряже-
нием на рентгеновской трубке U (кв) и Zo:
Zo - I2,41/t7 Л = 12,37/t7 кХ.	(1.5)
В то же время ~ (3/2) 2v0. Для пульсирующего напряжения
- (3/2) Zo + 0,05 А.
Для напряжений от 25 до 300 кв и материалов анода с атомными
номерами от 6 до 78 найдено, что = const.
Интенсивность, отвечающая максимуму на кривой непрерыв-
ного спектра пропорциональна U3.
Полная энергия непрерывного спектра определяется пло-
щадью, охватываемой кривой распределения интенсивности по
спектру. В случае постоянного напряжения энергия непрерывного
спектра определяется выражением
W = [/KdX = k1U\	(1.6)
§ 2. Непрерывный рентгеновский спектр
И
Рис. 1.4. Распределение интен-
сивности в непрерывном спект-
ре ио длинам волн при различ-
ных значениях тока через рент-
геновскую трубку
непрерывного спектра про-
где — плотность интенсивности (интенсивность, отнесенная к
определенной длине волны); ky — постоянная.
Зависимость от тока. При увеличении тока, протекающего через
рентгеновскую трубку, увеличивается число электронов, 'тормо-
зящихся на аноде; следовательно, увеличивается интенсивность
излучения трубки. Кривые распределения интенсивности в непре-
рывном спектре при постоянном напряжении и различной силе тока
приведены па рис. 1.4, на котором
видно, что коротковолновая граница
и длина волны, отвечающая максиму-
му интенсивности, не зависят от тока
через трубку, а интенсивность, отве-
чающая каждой длине волны, возра-
стает во столько раз, во сколько раз
возрастает сила тока z.
Полная энергия непрерывного
спектра оказывается пропорциональ-
ной току:
(1.7)
Влияние материала анода. Иссле-
дования показали,что интенсивность,
отвечающая определенной длине вол-
ны, растет пропорционально атом-
ному номеру анода. Сравнение кривых
распределения интенсивности в не-
прерывном спектре, полученных при
постоянных токе и напряжении на
рентгеновской трубке, показывает,
что эти кривые по форме одинаковы,
минимальная длина волны для всех
кривых одна и та же. Полная энергия
порциональна атомному номеру материала анода Z:
W = k.3Z.	(1.8)
Из этой формулы следует, что для получения наибольшей ин-
тенсивности непрерывного спектра следует применять аноды из ма-
териалов с большим атомным номером.
Коэффициент полезного действия возбуждения непрерывного
спектра. Под коэффициентом полезного действия г| возбуждения
непрерывного спектра понимается отношение полной мощности
излучения непрерывного спектра к мощности электрического тока,
подведенной к рентгеновской трубке. Полная мощность излучения
непрерывного спектра на основании изложенных выше зависимостей
может быть записана в следующем виде:
IFp kiU2Z.	(1.9)
12	Глава 1. Спектры рентгеновских лучей ________
Подведенная мощность к рентгеновской трубке
Гэ = iU.
Следовательно,
л =: WpIWQ = kiLEZKiU) = kUZ,	(1.10)
где k =- (0 8 + 0 2)- Ю"6. В различных исследованиях для k
получены значения от 0,44 • 10“6 до 1,5 • 10"6 при напряжениях
от 7 до 150 av?; приведенное выше значение является наиболее вероят-
ным. При более высоких напряжениях значение k будет меньше.
Для трубок с вольфрамовым анодом при U = 48 кв т] 0,12%; при
U --- 96 кв 1]	0,27%; при U = 0,9 Мв т] — 3,0%; при 20 Мв
т)  65%.
Чрезвычайно малые к. п. д. возбуждения непрерывного спект-
ра при относительно низком напряжении объясняются тем, что
большая часть электронов (^99%) постепенно растрачивает свою
энергию при взаимодействии с атомами вещества анода (на их ио-
низацию и повышение температуры анода). Очень малая часть
электронов тормозится почти мгновенно, в результате чего возни-
кает непрерывный спектр рентгеновского излучения. При увели-
чении энергии электронов сильно возрастает вероятность их тор-
можения с возникновением излучения. При синусоидальном пуль-
сирующем напряжении на рентгеновской трубке к. п. д. снижается
и составляет 0,785 от к. п. д. при постоянном напряжении.
Теория непрерывного спектра до настоящего времени частич-
но основывается на представлениях классической электродинами-
ки, частично — на квантовых представлениях, которые не исклю-
чают, а взаимно дополняют друг друга.
По классической теории непрерывный спектр может возникнуть
при торможении отдельного электрона. Увеличение числа электро-
нов не изменяет закона распределения интенсивности в непрерыв-
ном спектре, а лишь увеличивает интенсивность всех компонент
непрерывного спектра.
С точки зрения квантовой теории непрерывный спектр состоит
из излучения множества тормозящихся электронов, каждый из ко-
торых излучает в процессе торможения несколько квантов. Этот
спектр будет ограничен минимальной длиной волны 2vn. Такое ог-
раничение можно получить из следующих расчетов.
Пусть электрон подлетает к аноду со скоростью и0. Его кине-
тическая энергия Е будет равна /тшо/2. Эта энергия приобретается
под действием электрического поля: /twq/2 eU, где U — уско-
ряющее напряжение. Если при торможении электрона вся его ки-
нетическая энергия полностью преобразуется в один рентгеновский
квант, то в этом случае получается максимальный квант энергии
^vmax» т- е- излучение будет иметь максимальную частоту или
соответственно минимальную длину волны Приравняв кине-
§ 3. Характеристический рентгеновский спектр
13
тичсскую энергию электрона к величине кванта максимальной
энергии, получим
= hvmax = Лс/%т1п, откуда XmlD = (йс/е) (1/t/),
где Хга1п выражено в сантиметрах; U — в абсолютных электроста-
тических единицах; с — скорость света, равная 3 • 1010 см/сек\
е - 4,802 • 10-10 СГСЭ; h - 6,624 • 10~27 эрг • сек.
Подставляя в уравнение численные значения постоянных ве-
личин, получаем
ZmIn -6,624 • IO'27 • 3 • 1Ого/(4,8О2 • 10-10£7) - 4,132 • 10“W.
Выражая U в киловольтах (1 ед. СГСЭ — 0,3 кв), получаем
Zmln - 12,40/t/ А, или лт1п - 12,37/tZ кХ.
Из этих выражений следует, что минимальная длина волны не-
прерывного спектра зависит только от максимального значения
ускоряющего напряжения.
Квантовая теория дает четкое объяснение появления коротко-
волновой границы, но оставляет необъясненными поляризацию
рентгеновского излучения и пространственное распределение ин-
тенсивности, непосредственно вытекающие из основных поло-
жений классической теории.
§ 3. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ РЕНТГЕНОВСКИЙ СПЕКТР
С повышением напряжения на рентгеновской трубке увеличи-
вается интенсивность непрерывного спектра, а его граница сме-
щается в сторону коротких волн. При некоторых определенных
для данного материала анода ускоряющих напряжениях на фоне
непрерывного спектра возникает линейчатый спектр, причем ин-
тенсивность линий этого спектра значительно превосходит интен-
сивность непрерывного спектра. В качестве примера на рис. 1.5
приведена кривая распределения интенсивности в спектре для мо-
либденового анода при напряжении 18 и 35 кв. На кривой при 35 кв
спектральные линии представлены резкими максимумами, не уме-
щающимися в масштабе графика. Высота максимумов отмечена
соответствующими цифрами.
Рассмотрим основные экспериментальные данные для такого
рода линейчатых спектров.
Длины волн характеристического спектра зависят исключи-
тельно от материала анода.
Спектр характеристического излучения состоит из нескольких
групп или серий линий. Эти серии отличаются длинами волн и
условиями возникновения. Для тяжелых элементов найдены серии
Л, L, М и N. Каждая из них состоит из определенного числа линий,
14
Глава 1. Спектры рентгеновских лучей
длины волн которых хорошо изучены. Серия К является наиболее
коротковолновой, а серия N — наиболее длинноволновой. Лак,
например, для вольфрама обнаружены серии К, L, М, причем
длины волн /(-серии 0,178—0,213 кХ, L-серии 1,025	1,675 кХ
и /И-серии 6,066 — 6,973 /<Х.
Каждая серия возникает только тогда, когда ускоряющее
напряжение превышает определенное критическое значение /70,
которое называется потенциалом
0,3	0,5	0,7
Рис. 1.5. Распределение интенсив-
ности в спектре излучения молиб-
денового анода при различном на-
пряжении
возбуждения.
Значение потенциала возбужде-
ния U(i связано с самой меньшей
длиной волны данной серии XraJn:
UQ = 12,40/Zmlr кв. (1.11)
Когда напряжение на рентге-
новской трубке равно или превы-
шает потенциал возбуждения /(-се-
рии, одновременно появляются все
линии этой серии. Остальные серии
появляются не сразу. Например,
L-серия появляется при трех зна-
чениях потенциала возбуждения —
Uli, UL!i, Ului, М-серия харак-
теризуется пятью значениями по-
тенциала возбуждения и N-серия—
семью.
Потенциалы возбуждения серий
располагаются в следующем по-
рядке:
UN < UM < UL < U к
Например, для вольфрама = 2,81 кв; Up ~ 12,1 кв и UK =
= 69,3 кв.	I
Потенциал возбуждения данной серии растет с увеличением
атомного номера материала анода. В табл. 1.1 приведены потен-
циалы возбуждения UK и атомные номера Z этих элементов.
Спектры характеристического излучения различных 'элементов
одинаковы по своему строению. В практике рентгеноструктурного
анализа наиболее часто используется /(-серия. Она состоит из четы-
рех линий: Vj, (51, Д2. Длины волн этих линий располагаются
в последовательности Za2 > Uu Z-fn > Отношение интенсив-
ностей этих линий для всех элементов примерно одинаково и при-
близительно равно : /а2 : /р1 : /р2 Ю0 : 50 : 20 : 4.
Для частот линий различных серий соблюдается так называе-
мый принцип соответствия: частота, отвечающая данной спектраль-
§ 3. Характеристический рентгеновский спектр
15
Таблица 1.1
Зависимость потенциала возбуждения К-серии
от атомного номера элементов
Характеристика	А1	Сг	Fc	Си	Мо	W	и
Атомный номер Потенциал возбуждения UKl	13	24	26	29	42	74	92
кв	1 ,55	5,98	7,10	8,86	20,0	69,3	115
ной линии, может быть выражена через сумму частот двух других
спектральных линий, например ~	+ vLa.
Интенсивность характеристического спектра возрастает с уве-
личением напряжения U на рентгеновской трубке и силы тока I,
проходящего через нее. Экспериментально установлено, что интен-
сивность данной спектральной линии определяется соотношением
/ - ki (U — t/оЛ (1-12)
где U() — потенциал возбуждения
серии; п — 1,5 для Л-серии и
/2 = 2 для L-серии.
С увеличением напряжения на
рентгеновской трубке одновремен-
но с ростом интенсивности харак-
теристического спектра растет фон
непрерывного спектра. Поэтому в
рентгеноструктурном анализе во
избежание сильного фона на рент-
генограммах применяют рабочее
напряжение на рентгеновской
трубке, не превышающее (3,5 -F
4,0) UQ.
С увеличением атомного номера
элемента спектры характеристиче-
ского излучения смещаются в сто-
рону коротких длин волн. Эта
зависимость частот линий от атом-
ного номера была установлена
Г. Мозли в 1913 г. Графическое
изображение закона Мозли при-
водится на рис. 1.6. По оси ор-
динат отложен корень квадратный
из частоты, деленной на произве-
дение постоянной Ридберга на ско-
Рис. 1.6. График, иллюстрирующий
закон Мозли
16	Глава Г Спектры рентгеновских лучей
гость света (cR = 33  Ю14сел'_]), или корень квадратный из Вол-
нового числа k = 1/л, деленного на постоянную Ридберга
(Г> — 109 737,303 см-1)- Указанная зависимость для л- и Л-серии
изображается кривыми, очень близкими к прямым линиям. В ана-
литической форме закон Мозли записывается следующим образом.
= FW - A (Z - G),	(1.13)
где а — постоянная экранирования; А [(Un2) — (l/m2)V/2;
п, m — целые числа; для /(-серии п ~ 1; для L-серии п — 2.
Непосредственно из закона Мозли следует, что по длинам волн
— nlj
---- 10/2
Феерия
L - серия
„in_______
*1Y_______
______
%------□
>-------
Njy-----
------
*vn-
'0i
Озп
м_-серия
. у А Л 7s a* fls ЬЛР5 I-
// n /! 1Г r a, ptcp, Г
20%
211/г
21?/г
30/г
31%
31%
ZZ 32%
т~~
32%
401/г
41%
41%
42%
42 3/z
43%
43%
50 У г
51 ’/г
51%
52%,%



Рис. 1.7. Схема энергетических уровней атома и разрешенных электронных пе-
реходов
характеристических спектров можно определить атомный номер
любого элемента, в том числе и тех элементов, которые еще не от-
крыты. Исследование рентгеновских спектров позволило уточнить
положение некоторых- элементов в Периодической системе элемен-
тов Д. И. Менделеева.
Возникновение характеристического рентгеновского излучения
объясняется на основе квантовой теории строения электронной
оболочки атомов.
Возникновение характеристического спектра можно предста-
вим, следующим образом. Для возбуждения, напри.мер, /(-серии
§ 4. Коэффициент ослабления	17
необходимо, чтобы бомбардирующий электрон выбивал один
из электронов, находящихся на этом уровне. Такой выбитый
электрон носит название фотоэлектрона. Энергия, необходимая
для ионизации /(-уровня, равна разности энергий самого внешнего
занятого уровня и /(-уровня. Ионизированный атом переходит
в возбужденное состояние: его энергия становится выше энергии
нейтрального атома. Атом возвращается в устойчивое состояние
в результате перехода электронов с одного из внешних уровней на
освободившийся. Возможные переходы определяются известным
правилом отбора:
Ап 0; А/ - +1; А/ - о> ±1,
где п — главное квантовое число; I — орбитальное (азимутальное)
квантовое число; j | I -г S | — сумма орбитального и спинового
чисел. Схема энергетических уровней атома и разрешенных элект-
ронных переходов приведена на рис. 1.7.
Глава 2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
С ВЕЩЕСТВОМ
Рентгеновские лучи поглощаются в той или иной степени все-
ми веществами, через которые они проходят. Доля энергии лучей,
поглощенной в веществе, зависит от толщины поглощающего слоя,
природы вещества и длины волны лучей. Рентгеновские лучи теряют
при прохождении через вещество часть своей энергии вследствие
двух процессов:
1) истинного поглощения, т. е. вследствие превращения энергии
их фотонов в другие виды энергии;
2) рассеяния, т. е. изменения направления их распростра-
нения.
§ 4. КОЭФФИЦИЕНТ ОСЛАБЛЕНИЯ
Закон ослабления интенсивности рентгеновских лучей в ве-
ществе может быть получен из предположения, что доля энергии
рентгеновских лучей, поглощенной при их прохождении через до-
статочно тонкий слой вещества, пропорциональна толщине этого
слоя; коэффициентом пропорциональности является так называе-
мый коэффициент ослабления, зависящий от атомного номера Z
вещества и длины волны излучения 2.. Выведем этот закон.
Пусть пучок монохроматического излучения с длиной волны
2, и интенсивностью /п проходит через пластинку толщиной d
(рис. 2.1). Выделим внутри пластинки достаточно тонкий слой
толщины dx, в котором ослабление было бы пропорционально тол-
18
Глава 2. Взаимодействие рентгеновских лучей с веществом
Рис. 2.1. К выводу закона осла-
бления интенсивности излуче-
ния в веществе
тине этого слоя. Тогда относительное ослабление интенсивности
лучей в выделенном слое определится уравнением
dl/I = —lidx,	(2-1)
где / —. интенсивность лучей на границе выделенного слоя, о на к
минус в правой части уравнения указывает на то, что интенсивность
лучей, прошедших через слои веще-
ства dx, убывает. Интегрируя урав-
нение (2.1), получаем
J dill = — р J dx, In I = — fix + С.
Определим постоянную интегриро-
вания: при х — 0 / — /о, отсюда
In /0 = С. Тогда In I — In /0	—рх.
Итак, окончательно
I = /ое"М\	(2.2)
Коэффициент пропорциональности р
называют линейным коэффициентом
ослабления. Он зависит, как указы-
валось, от атомного номера погло-
щающего вещества и длины волны
рентгеновского излучения. Из фор-
мулы (2.2) можно определить размер-
ность линейного коэффициента ослабления: |р] — см~1. Из этой
же формулы следует физический смысл р: линейный коэффициент
ослабления характеризует относительное уменьшение интенсив-
ности луча на пути в 1 см.
Рассмотрим пучок рентгеновских лучей сечением 1 см2. Энергия
такого пучка численно равна интенсивности /. Найдем ослабление
пучка сечением в 1 см2 при прохождении массы вещества в 1 г.
Если р — плотность вещества, то на пути dx находится масса
dm = ()dx. Относительное изменение интенсивности пучка при про-
хождении пути dx, т. е. через массу dm, будет пропорционально
этой массе:
dill — ~[imdrn = —pmpdx,	(2.3)
где коэффициент пропорциональности рт называется массовым коэф-
фициентом ослабления. Сравнивая это выражение с выражением
(2.2), находим, что рт р/р.
Размерность массового коэффициента ослабления [рт1 ~
-- см • г х. Массовый коэффициент ослабления характери-
зует уменьшение интенсивности рентгеновских лучей в единице
массы вещества. Характерной особенностью является его незави-
симость 01 физического состояния вещества. Так, например, pZZI
имеет одинаковое значение для воды, водяного пара и льда.
§ 4. Коэффициент ослабления	19
По этой причине в справочных таблицах обычно приводят значе-
ния для различных длин волн рентгеновских лучей. В случае
необходимости линейный коэффициент ослабления находится ум-
ножением на экспериментально найденную величину плотности
вещества при температуре опыта.
Поглощающая способность вещества часто характеризуется
слоем половинного ослабления, представляющим собой толщину слоя
А, при прохождении которого интенсивность лучей ослабляется
в два раза, т. е. I IJ2. Йз уравнения (2.2) находим
А - In 2/u - 0,693/р.	(2.4)
Толщина слоя половинного ослабления убывает с возрастанием
длины волны излучения.
Рассмотрим теперь более подробно процессы, происходящие
при прохождении рентгеновских лучей через вещество.
Исследование распределения интенсивности рентгеновских
лучей вокруг просвечиваемого слоя материала показывает, что
кроме ослабленного первичного луча из просвечиваемого объекта
исходят лучи, не совпадающие по направлению с первичным лу-
чом. Такое излучение называют рассеянным излучением. Изучение
спектрального состава рассеянных лучей показывает, что они содер-
жат излучение с той же длиной волны (когерентное рассеянное
излучение), что и первичные лучи. В некоторых случаях наблюда-
ются также лучи с несколько большей по сравнению с первичными
лучами длиной волны (некогерентное рассеянное излучение).
Кроме того, в рассеянных лучах может наблюдаться характерис-
тическое излучение с длинами волн, характерными для просвечи-
ваемого материала (вторичное характеристическое излучение).
Просвечиваемое тело становится источником электронов —
фотоэлектронов и электронов отдачи. При просвечивании материа-
лов коротковолновым рентгеновским излучением (с энергией >
Д> 1,022 Мэе) наблюдается эффект образования пар (электрон +
+ позитрон). Просвечиваемое тело при прохождении через него
рентгеновских лучей нагревается.
Как показали исследования, все наблюдаемые при прохожде-
нии рентгеновских лучей с энергией до 1,022 Мэв эффекты обуслов-
лены двумя процессами.
1. Истинным атомным поглощением. Это поглещени связано
с вырыванием электронов из атомов поглощающего вещества и
с сообщением им кинетической энергии. Вырываемые из атомов
электроны носят название фотоэлектронов. Истинное атомное по-
глощение характеризуется линейным коэффициентом т или массо-
вым коэффициентом тш — т/р.
2. Рассеянием рентгеновского излучения. Этот процесс в свою
очередь может быть разделен па когерентное рассеяние (рассеяние
20
Глава 2. Взаимодействие рентгеновских лучей с веществом
без изменения длины волны) и некогерентное рассеяние (рассеяние
с изменением длины волны).
Оба типа рассеяния характеризуются соответственно коэффи-
циентами о,{ и (Уик или ок/р и Опк/р. Таким образом, коэффициент
ослабления может быть представлен суммой следующих коэффи-
циентов:
ц/р - т/р + а1{/р + апк/р.
(2.5)
200
100
о
Рис. 2.2. Зависимость коэффи-
циента истинного атомного по-
I лощения от длины волны Z
ского излучения связано с
0,S	1,0 Л. А
§ 5. ИСТИННОЕ АТОМНОЕ (ФОТОЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ! ПОГЛОЩЕНИЕ
На рис. 2.2 приведена кривая зависимости коэффициента ис-
тинного атомного поглощения от длины волны. На этой кривой
наблюдается несколько «скачков». Природу этих «скачков» можно
понять, рассматривая изменение коэффициента поглощения
т о. По мере уменьшения длины волны сначала наблюдается
постепенное уменьшение коэффициента поглощения, но при до-
стижении определенной длины вол-
ны, например Лцц, возникает рез-
кий скачок т/р. Одновременно с появ-
лением скачка поглощения усили-
вается эмиссия фотоэлектронов и в
спектре рассеянных лучей появляют-
ся линии вторичного характеристи-
ческого излучения. Появление скач-
ка объясняется тем, что энергия
квантов рентгеновского излучения
становится достаточной для вырыва-
ния электронов с определенного
энергетического уровня атомов по-
глощающего вещества. Появление
линий вторичного характеристиче-
излучением квантов при переходах
электронов атома на освободившиеся внутренние уровни.
При дальнейшем уменьшении длины волны наблюдается еще
несколько скачков т/р; при	[ и Каждый из этих
скачков связан с ионизацией определенного энергетического уров-
ня атома.
в пределах между двумя соседними скачками коэффициент
т р быстро изменяется. Можно считать, что т/о ~ ?А
Коэффициент истинного поглощения быстро увеличивается
с возрастанием атомного номера поглощающего вещества, и можно
также считать, что т/р ~
Таким образом, существует приближенная зависимость 
т/р CZ3Z3.	(2.6)
§ 5. Истинное томное поглощение
21
Более точная зависимость для 0,1 А <С л <С записывается в виде
т/р = 0,0165 Z2*65/?’78.
В области Z, <С полное значение коэффициента поглощения
можно представить в виде суммы коэффициентов поглощения,
отвечающих различным скачкам:
т/р --- (т/р)к 4 (т/р)Л, J- (т/р)/, п ч- (т/р)мп -I- ... .	(2.7)
Это равенство отражает тот факт, что под действием излучения
некоторые атомы оказываются ионизованными. На возбуждение
атомов расходуется часть фотонов, в результате чего ослабляется
интенсивность первичного пучка. Ионизованные атомы становятся
источниками вторичного характеристического излучения.
Рентгеновские спектры поглощения в отличие от оптических
спектров не являются линейчатыми: они имеют вид широких полос
с резкими краями, отвечающими скачкам поглощения.
Процесс поглощения в первом приближении не зависит от спо-
соба соединения атомов, т. е. от того, в каком химическом соедине-
нии они находятся, а определяется их индивидуальными свойст-
вами. Поэтому коэффициент поглощения сложного вещества явля-
ется арифметической суммой полных коэффициентов поглощения
всех элементов, образующих это вещество:
Т/р - = X (т/р)г Л'«,	(2.8)
i
где Xi — массовая доля /-го элемента.
Если через вещество проходят немонохроматические лучи, то
при этом не только уменьшается их интенсивность, но и изменяется
их спектральный состав. Этот процесс носит название фильтрации
рентгеновских лучей. При прохождении через вещество пучка лу-
чей с непрерывным спектром наблюдается сужение их спектраль-
ного интервала вследствие значительного поглощения лучей
в длинноволновой области, так как т/р ~ 2Л На рис. 2.3 приведены
кривые распределения интенсивности по спектру для фильтро-
ванного излучения. По мере увеличения толщины фильтра мак-
симум интенсивности на этих кривых сдвигается в сторону малых
длин волн, кривые становятся более симметричными. Следова-
тельно, по мере увеличения толщины фильтра излучение, прошед-
шее через исто, становится более однородным и в среднем более
коротковолновым. Общая интенсивность неоднородного излучения
в верхних слоях фильтра ослабляется значительно быстрее, чем
в нижних слоях. Для характеристики ослабления неоднородного
излучения можно рассматривать фиктивный однородный пучок
лучей, который ослабляется в данном слое до того же значения,
что и реальный неоднородный пучок. Длину волны такого фик-
тивного однородного пучка называют эффективной длиной волны
22
Глава 2. Взаимодействие рентгеновских лучей с веществом
Рис. 2.3. Распределение интенсивности по длинам волн для
фильтрованного алюминием различной толщины излучения с не-
прерывным спектром
неоднородного пучка %Эфф, а
длины волны — эффективным
Рис. 2.4. Изменение распределения
интенсивности характеристического
спектра меди при прохождении че-
рез никелевый фильтр
коэффициент ослабления для этой
коэффициентом ослабления рсЭфф,
т. е. коэффициентом ослабления
излучения, фильтрованного слоем
толщины d мм.
Эффективная длина волны и эф-
фективный коэффициент ослабле-
ния уменьшаются по мере проник-
новения лучей в глубь фильтра.
Для лучей с достаточной степенью
однородности величина эффектив-
ного коэффициента ослабления мо-
жет быть определена измерением
слоя половинного ослабления:
Ивфф = 0,693/Д.	(2.9)
В рентгеноструктурном анализе
для удаления нежелательных ком-
понент характеристического излу-
чения используют селективно-по-
глощающие фильтры. Эти фильтры
подбирают таким образом, чтобы
длина волны фильтруемой компо-
ненты излучения находилась в об-
ласти К-скачка поглощения фильт-
ра. Например, для фильтрации
К-излучения меди используют
§ 6. Рассеяние рентгеновских лучей
23
фольгу из никеля толщиной ~0,01 мм. Из зависимости коэффи-
циента поглощения т/р от длины волны К (рис. 2.4) видно, что ска-
чок поглощения в никеле находится при 1,48 А. В то же время из
кривой распределения характеристического спектра меди по дли-
нам волн следует, что К-линия излучения меди (1,39 А) находится
в непосредственной близости к краю поглощения никеля. Таким
образом, при прохождении через никелевую фольгу пучка харак-
теристических лучей меди кванты Кр-компоненты будет испыты-
вать фотоэлектрическое поглощение, т. е. их энергия будет расхо-
доваться на ионизацию /С-уровня атомов никеля. В результате
этого процесса /^-компонента в пучке, прошедшем через никеле-
вую фольгу, будет значительно ослаблена по сравнению с Ка-ком-
понентой (см. заштрихованную область на рис. 2.4); никелевая
фольга толщиной 0,01 мм поглощает 94% Хр-излучения и 40%
Ка-излучения.
§ 6. РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
Процесс рассеяния рентгеновских лучей состоит в том, что пер-
вичные лучи при попадании на вещество отклоняются 'от перво-
начального направления. Как уже указывалось, существуют коге-
рентное и некогерентное рассеяние; первое объясняется класси-
ческой, второе — квантовой теорией.
Когерентное рассеяние рентгеновских лучей. По классическим
представлениям явление рассеяния заключается в том, что рентгенов-
ские лучи вызывают вынужденные колебания электронов атомов
рассеивающего тела, которые сами прн этом становятся центрами,
излучающими вторичные рассеянные лучи той же длины волны.
Определим коэффициент рассеяния рентгеновских лучей.
Из классической электродинамики следует, что полная энер-
гия, рассеянная одним электроном по всем направлениям, равна
U7s = /р (8л/3) e>V),	(2.10)
где /р — интенсивность пучка первичных лучей (энергия пучка
сечением 1 см2)’, е заряд электрона; m— его масса; с — скорость
света.
Коэффициент рассеяния одного электрона (электронный ко-
эффициент рассеяния) о„ определяется как отношение энергии
рассеянного излучения к интенсивности первичных лучей Iр:
о, = WJIp = (8л/3) eV(mV).	(2.11)
Так как каждый атом рассеивающего вещества содержит Z
электронов, то, предполагая, что рассеяние каждым электроном
происходит независимо от других электронов атома, можно счи-
тать, что рассеяние, производимое одним атомом, равно сумме
24	Глава 2. Взаимодействие рентгеновских лучей с веществом
рассеяний всех его электронов, и атомный коэффициент рассеяния
равен
= о-,/ == z (8л/3) ?/(mV).	(2. J 2)
Если в 1 см2 рассеивающего вещества содержится п атомов,
то линейный коэффициент рассеяния будет
о - пап = Zn (8л/3) e^(mV).	(2 A 8)
Для массового коэффициента рассеяния получаем
оЛЛ — <т/р ~ af;Z (п/()). .	(2.14)
Так как /г/р — NIA, где N — число Лвогадро, А — относительная
атомная масса, то
ат- аЛЛ(7/Л)-(8л/3)И^(т^)1(2/Я)-0,4б2ШИт (2. 15)
Для средней относительной атомной массы Z/А ~ 0,5 и о> ----- 0,2.
Для химических соединений
аТЛ - 0,402 CLZIM),	/2.16)
где ZZ — сумма атомных номеров элементов, входящих в соедине-
ние; М — молекулярная масса соединения.
Таким образом, приходим к выводу, что по классической теории
массовый коэффициент рассеяния ле зависит ни от длины волны
первичных лучей, ни гл рода рассеивающего вещества. Однако эк-
спериментальные данные показывают, что массовый коэффициент
рассеяния хотя и слабо, но зависит от атомного номера Z рассеи-
вающего вещества (табл. 2.J).
Т а б л и ц а 2.1
Зависимость массового коэффициента рассеяния
0 1 атомного номера Z
Z	2- — 15	16 22 ;	23 -30 ' 32—35	36-39	4<>—44	45-54 |55—02
а га	<0,18	0,18 — 0,2	0,2-0/J 0,3—0,4 i	0,4 -0,5	! 0,5-0,6	0,6—0,7^ >0,7
Массовый коэффициент рассеяния меняется также при изме-
нении длины волны первичных лучей; вгп растет1 при длинах волн,
сравнимых с размерами атомов рассеивающего тела (Z Д> 0,3 А).
В этом случае уже нельзя считать, что электроны рассеивают не-
зависимо, а следует учитывать частичную когерентность колеба-
ний отдельных электронов. Наоборот, <тт 0,2 для излучения
с/.^ 0,01 А.
6' 6. Рассеяние рентгеновских личей
Зависимость интенсивности рассеянного излучения от направле-
ния (поляризауии рассеянного излучения). Интенсивность рассеянно-
го электроном излучения распределяется в пространстве неравно-
мерно, что связано с явлением поляризации при рассеянии. Найдем
зависимость интенсивности рассеянного излучения от направления
для случаев поляризованного и неполяризованного первичного
излучения.
Первичное излучение поляризовано. Для определения интен-
сивности рассеянного излучения в произвольном направлении, на-
пример под углом <р к направлению первичного луча-$0, разло-
Рис. 2.5. Угловое распределение
интенсивности рассеянного излуче-
ния:
/ — поляризованное первичное излуче-
ние; 2 — нелоляризовапиое первичное
излучение
жим вектор электрического поля падающей электромагнитной вол-
ны Ер на две составляющие — параллельную Е13 и перпендикуляр-
ную E2s к данному направлению. Тогда интенсивность рассеян-
ного излучения в данном направлении будет пропорциональна
квадрату перпендикулярной составляющей электрического поля
E2i, так как электрон не излучает в направлении его ускорения, т. е.
/,р — Ets :-E£cos2<[.
Распределение интенсивности для этого случая представлено в по-
лярных координатах кривой 1 на рис. 2.5.
Первичное излучение неполяризовано. Пусть направление непо-
ляризованного первичного излучения s0 и направление рассеян-
ного излучения лежат в плоскости чертежа (рис. 2.6) и образуют
между собой угол ф. Всякое неполяризованное излучение (вектор
Ер) можно разложить на две перпендикулярные друг к другу поля-
ризованные компоненты Ех и Ег. Компоненту Е, направим так,
чтобы она совпадала с плоскостью чертежа и была перпендикуляр-
на к направлению первичного луча, вектор другой компоненты
26	Глава 2. Взаимодействие рентгеновских лучей с веществом
Ех направим перпендикулярно к плоскости чертежа. Если напря-
женность электрического поля падающей волны EJn то
+	(2.17)
Усредняя по всем возможным направлениям Ер и учитывая рав-
новероятность этих направлений, получаем
Е$ = Ё1, откуда £>= 2Ё1 = 2/Г2.	(2.18)
Поэтому в точке О 7р 27х = 27,. Обозначим через 7Ф интен-
сивность в точке А луча, рассеянного в направлении ср. Эту интен-
сивность можно представить суммой двух интенсивностей 7^ и
7^ , обусловленных компонентами 1Х и 72 вектора Умова—Пойн-
тинга первичного луча:
1^ = 1^+/^,	(2.19)
Но Ixe^ sm24)x/(/n2c4/?2), где R — расстояние от точки О
до точки А. Так как = л/2 и 7Х = 7 р/2, то 7фх =
= (7р/2) e4/(m2c2/?2). Аналогично
7^ = 72е4 sin2 ф2/(т2с47?2) = (Ip/2) e4cos2 ср/(т2с47?2), (2.20)
так как
= (л/2) — ср и 7г = (1/2) 7Р.
Окончательно получаем:
7Ф = 7ъ4-	= Ip [е4/(т? с47?2)] [(1 H-cos2 <р)/2].	(2.21)
В выводе не учитывалась возможность близости частоты па-
дающей волны к собственным частотам колебаний связанного
электрона. Если частота со падающей волны близка к собственной
частоте связанного электрона со0, то наступает резонанс (аномальное
рассеяние).
Во всех других случаях полученное выше выражение верно, и
распределение интенсивности в пространстве в полярных коорди-
натах соответствует кривой 2 на рис. 2.5. Множитель, входящий
в соотношение (2.21), Р — (1 -|- cos2 ср)/2, называют поляризацион-
ным множителем; он показывает, что наибольшая интенсивность
рассеяния наблюдается в направлении первичного луча и наимень-
шая — в перпендикулярном к нему направлении.
Некогерентное рассеяние. Указанные выше закономерности
не подтверждаются для рентгеновских лучей с короткими длинами
волн (при 2. <с 0,3 А) в материалах, состоящих из элементов с не-
большими атомными номерами. В этом случае с уменьшением
длины волны наблюдается уменьшение коэффициента рассеяния и
§ 6. Рассеяние рентгеновских лучей
27
рентгеновского излучения
hvp
mvz
2 '
Рис. 2.7. Схема взаимодействия кван-
та рентгеновского излучения со сво-
бодным электроном
появление рассеянного излучения с большей длиной волны. Эти
факты не могут быть объяснены классической теорией.
Согласно квантовой теории, процесс рассеяния происходит
следующим образом. Падающее излучение считается состоящим
из квантов с энергией hvp, распространяющихся в направлении
первичного луча со скоростью с.
сталкивается со свободным
электроном. Если предполо-
жить, что законы сохранения
энергии и импульса применимы
к этому процессу, то в резуль-
тате столкновения электрон
приобретает скорость в направ-
лении, составляющем угол ф с
направлением движения первич-
ного кванта (рис. 2.7); такой
электрон носит название электрона отдачи. В результате столкно-
вения возникает новый квант hvs <Z hvp с направлением, отличаю-
щимся на угол ср от направления первичного кванта, т. е. квант
рассеянного излучения с несколько увеличенной длиной волны.
Некогерентное рассеяние наблюдается преимущественно при
прохождении коротковолновых лучей через вещества, содержа-
щие легкие атомы. С возрастанием атомного номера Z элемента
увеличивается прочность связи электронов с ядром и поэтому умень-
шается доля энергии лучей, приходящихся на некогерентное рас-
сеяние. При рассеянии литием (Z=3) когерентное излучение почти
отсутствует, в то время как излучение, рассеянное медью (Z = 29),
главным образом состоит из лучей с неизменной длиной волны.
Раздел II
РЕНТГЕНОТЕХНИКА
Глава 3. РЕНТГЕНОВСКАЯ АППАРАТУРА
Рассмотрим приборы, которые используются для получения
рентгеновских лучей. Как указывалось выше, рентгеновские лучи
возникают при торможении быстрых заряженных частиц в мате-
риальной преграде. Обычно для получения рентгеновских лучей
используют электроны, так как для их ускорения требуется мень-
шая напряженность электрического поля, чем для других заря-
женных частиц. Таким образом, для генерации рентгеновских
лучей требуется: а) получение свободных электронов (в вакууме),
б) их ускорение, в) торможение электронов в материальной пре-
граде.
Для получения рентгеновских лучей используют вакуумные
приборы, называемые рентггнсескими трубками. Питание рентге-
новских трубок током высокого напряжения производится от рент-
геновских аппаратов. Рентгеновские аппараты в качестве основных
частей имеют высоковольтный трансформатор и выпрямляющее
устройство. В последние годы для получения особокоротковолко-
вых рентгеновских лучей используют бетатроны.
Для некоторых рентгеноструктурных исследований применяют
радиоизотопные источники характеристического рентгеновского
излучения.
§ 7. РЕНТГЕНОВСКИЕ ТРУБКИ
По принципу получения свободных электронов рентгеновские
трубки делятся на трубки с горячим катодом (свободные электро-
ны получают в результате термоэлектронной эмиссии) и с холод-
ным катодом (свободные электроны возникают в результате авто-
электронной эмиссии). Трубки обошх типов могут быть отпаянными
(с постоянным вакуумом) и разборными (с переменным вакуумом).
Наиболее широко используют отпаянные трубки.
Рентгеновские трубки состоят из стеклянной колбы и обычно
двух электродов — катода и анода. Трубка откачивается до вы-
сокого вакуума (10”'—10~s мм рт. ст. и выше). Катод трубки
состоит из нити накала и фокусирующего колпачка. Форма нити
§ 1. Рентгеновские трубки
29
накала и колпачка зависит от того, какую форму фокусного пятна
желательно иметь на аноде трубки — либо круглый, либо линейный
фокус. В трубках с круглым фокусом нить накала выполняется
в виде плоской спирали, в трубках с линейным фокусом — в виде
цилиндрической спирали. Линейный фокус особенно удобен, так
как при выпуске рентгеновских лучей под малы?.! углом к плоско-
сти зеркала анода сильно возрастает кажущаяся интенсивность
фокусного пятна и в то же время его проекция в направлении, пер-
Рис. 3.1. Схема анода защитного типа:
/ — охлаждающая жидкость: 2 — защитный корпус; 3 — зер-
кало анода
пендикулярном к оси трубки, имеет малую величину. Эффективные
размеры фокусного пятна определяют оптические свойства рентге-
новской трубки. Так, например, при просвечивании какого-либо
объекта наблюдаемое изображение будет тем резче, чем меньше
размеры фокуса рентгеновской трубки. Трубки с большим разме-
ром фокуса называют тупофокусными, с малым — острофокус-
ными.
Анод рентгеновской трубки должен удовлетворять требованиям,
которые нельзя одновременно совместить с одним из материалов.
Материал анода должен иметь большой атомный номер, высо-
кую температуру плавления, хорошую теплопроводность, низкую
упругость паров и малую химическую активность. Поэтому анод
делают комбинированным: в медное тело анода впаивают зеркало
из вольфрама (в случае трубок для рентгеноструктурного анали-
за зеркало может быть и из других материалов). В теле анода име-
ется полость, куда поступает охлаждающая жидкость. В современ-
ных трубках анод делают защитного типа (рис. 3.1). На аноде ук-
реплен специальный медный чехол, улавливающий отраженные
электроны.Для выхода рентгеновских лучей в этом чехле имеется
сксшко, в которое вставляется бериллиевая пластинка. Вследствие
30	Глава ,3. Рентгеновская аппаратура
малого атомного номера бериллия эта пластинка поглощает лучи
лишь в незначительной степени.Чехол одновременно служит до-
полнительной защитой от неиспользуемого рентгеновского излу-
чения.
Лнод рентгеновской трубки сильно нагревается иод действием
бомбардирующих электронов, так как ~99% их энергии переходит
в тепло.
Современные рентгеновские трубки потребляют значительные
мощности, что влечет за собой необходимость интенсивного ох-
лаждения анода. При повышении нагрузки выше допустимого зна-
чения возникает перегрев анода, который может привести к гибе-
ли трубки вследствие порчи вакуума, сильного распыления,
разрушения зеркала анода или его отслоения от медного тела*.
Для нормальной работы трубки необходимо, чтобы температура
во всех точках анода не превосходила определенных значений, ко-
торые зависят от материала анода. Так, например, предельно до-
пустимая температура Ттпх для меди 950° С, а для вольфрама
2600°С. При длительных нагрузках следует рассчитывать па не-
сколько меньшие значения Т,П!1Х.
Виды охлаждения. При нормальных условиях анод рентгенов-
ской трубки непрерывно охлаждается. Существует несколько спо-
собов охлаждения рентгеновских трубок; особенно широко приме-
няется водяное н масляное охлаждение.
Водяное охлаждение является наиболее эффективным способом
охлаждения анода. Могут применяться несколько видов водяного
охлаждения: а) термосифоппое, б) принудительное, в) проточной
водой.
При термосифонном охлаждении вода из специального баллона
поступает по патрубку в полость анода. Соприкасаясь с разогретой
поверхностью дна этой полости, вода превращается в пар, который
по зазору между патрубком и полостью анода возвращается в бал-
лон, где снова конденсируется. Термосифоппое охлаждение зна-
чительно ограничивает электрическую мощность рентгеновской
трубки и длительность ее нагрузки.
В случае принудительного водяного охлаждения используется
специальный водяной насос. Такой насос подвешивают под потолком
для защиты персонала лаборатории от поражения высоким на-
пряжением.
Охлаждение трубок проточной водой является наиболее удоб-
ным. Однако оно может применяться только в трубках, работающих
с заземленным анодом, например, в трубках для рентгенострук-
турного анализа.
При перегрузках распыленный материал анода (вольфрам и медь)
оседает на бериллиевых окошках, образуя слои значительной толщины, что
приводит к сильному снижению отдачи трубкой рентгеновского излучения.
$ 7. Рентгеновские трубки
Масляное охлаждение. При этом способе охлаждения рентге-
новскую трубку помещают в специальный кожух, заполненный
трансформаторным маслом. Охлаждение анода производят путем
подачи масла в полость анода с помощью насоса. Такой насос,
в отличие от водяного, можно располагать на полу, так как благо-
даря изоляционным свойствам масла он не представляет опас-
ности поражения персонала высоким напряжением. Недостаток
охлаждения маслом заключается в
образовании нагара, который необхо-
димо время от времени счищать
(1 — 2 раза в месяц).
Даже при очень хорошем охлаж-
дении рентгеновская трубка может
работать до определенной предель-
ной нагрузки. Эта предельная на-
грузка определяется площадью фо-
кусного пятна, материалом анода и
продолжительностью работы трубки.
Предельная нагрузка уменьшается с
уменьшением размеров фокусного
пятна (исключение представляют
трубки с особо острым фокусом) и с
увеличенном длительности нагрузки.
Кратковременные нагрузки могут
быть в десятки раз выше длительных.
Рассмотрим процесс возникновения
рентгеновских лучей в электронной
рентгеновской трубке. Через нить /ла-
кала катода обычно пропускают ток
силой 3,2—4,0 а, в результате чего
Рис. 3.2. Зависимость плотности
тока эмиссии вольфрамовой ни-
ти о г температуры
нить накаляется и вследствие термоэлектронной эмиссии излучает
электроны. Плотность тока эмиссии определяется формулой / =
= аТ*£~Ь11\ где Т — температура, °К; а и Ь— постоянные. Графиче-
ское изображение этой зависимости для вольфрамовой нити приве-
дено на рис. 3.2. Вылетевшие из нити макала электроны образуют
вокруг нее «электронное облако». Под действием приложенного
к электродам высокого напряжения электроны двигаются к аноду,
при торможении этих электронов в аноде возникает рентгеновское
излучение. С увеличением приложенного напряжения увеличивается
число электронов, уходящих из электронного облака под действием
электрического поля. При определенном напряжении зави-
сящем от тока накала, все электроны, излучаемые нитью катода,
будут уходить из электронного облака. Поэтому при дальнейшем
увеличении напряжения на рентгеновской трубке сила тока через
нее не возрастает. Такое предельное значение тока называют
током насыщения Ток насыщения тем выше, чем выше ток
32
Глава 3. Рентгеновская аппаратура
накала гнак. Меняя незначительно ток накала, можно менять ток
насыщения в широких пределах. Характеристики рентгеновской
трубки для различных значении тока накала приведены на рис. 3.3.
Рентгеновские трубки обычно работают в режиме насыщения.
Типы рентгеновских трубок. В СССР серийно выпускают рент-
геновские трубки для медицинского просвечивания и терапии,
промышленной рептгенодефектоскопии и рентгеноструктурного
и рентгеноспектрального анализа.
Рис. 3.3. Характеристика электрон-
ной рентгеновской трубки:
1 — при токе 3.8 а; 2 — при токе 3,4 а
Условное обозначение типов
рентгеновских трубок представляет
собой комбинацию цифр и букв.
Первая цифра обозначает предель-
но допустимую мощность трубки
в киловаттах (для медицинских ди-
агностических трубок — при крат-
ковременной экспозиции). Далее
идут буквы, из которых пер-
вая означает защиту от рентгенов-
ских лучей, вторая — назначение
трубки, третья —тип охлаждения.
Первая буква: Р—означает труб-
ку с защитой от рентгеновских
лучей; Б—трубку для работы в
защитном кожухе, с защитой от
рентгеновских лучей и электриче-
ски безопасную; отсутствие буквы означает отсутствие защиты. Вто-
рая буква: Д — означает трубку, предназначенную для диагностики;
Т—терапии; П — просвечивания материалов; С -- структурного
анализа; X—спектрального анализа. Третья буква: К — воздушное
радиаторное охлаждение; М — масляное (радиаторное или про-
точное); В—водяное; отсутствие буквы означает охлаждение лу-
чеиспусканием (естественное). За буквой идет цифра, указываю-
щая номер типа трубки в данной группе. Последняя цифра' дает
предельно допустимое анодное напряжение в киловольтах. На-
пример, трубка 0,4 БПМ-2-120 имеет длительную мощность 0,4 кет,
работает в защитном кожухе, охлаждение масляное, тип 2, анод-
ное напряжение 120 кв.
В обозначениях трубок для структурного анализа вместо анод-
ного напряжения указывают материал зеркала анода. Например,
0,7 БСВ-2-Cu — трубка для структурного анализа с водяным ох-
лаждением, безопасная (с защитой от рентгеновского излучения и
электрически безопасная), с медным анодом, тип 2, длительная
мощность 0,7 кет.
Трубки для рентгеноструктурного анализа обычно имеют малые
размеры фокуса. Это объясняется тем, что в рентгеноструктурном
анализе пользуются узким диафрагмированным пучком лучей и
§ 7. Рентгеновские трубки
33
уменьшение площади фокуса увеличивает интенсивность этого
пучка. Охлаждение анода — проточное водяное. Анод трубки обыч-
но заземляется. Зеркала анодов таких трубок делают не только из
вольфрама, но также из Cr, Fe, Ni, Со, Си, Mo, Ag. В нестандарт-
ных рентгеновских трубках зеркала анодов иногда изготавливают
также из Мп, Ti, Ge, V. Применение различных материалов для
зеркал анодов объясняется необходимостью иметь характеристиче-
ское излучение с различными длинами волн.
Плоскость зеркала анода в трубках для структурного анализа
располагается перпендикулярно к оси анода, что позволяет вы-
водить пучки рентгеновских лучей через несколько окон. В связи
Рис. 3.4. Схема рентгеновской трубки БСВ-2:
/—катод; 2 — фокусирующий колпачок; 3 — окна для выпуска
рентгеновских лучей; 4 — защитный цилиндр; 5 — анод
с тем, что в рентгеноструктурном анализе используют длинноволно-
вое характеристическое излучение (с длиной волны >* 1 А), окна
для вывода пучков делают из вакуумно-плотного металлического
бериллия. Фокус таких трубок может быть линейным или круглым.
В первом случае трубки имеют два-три окна, во втором случае —
четыре. Анод обычно заземлен и охлаждается проточной водой или
маслом.
Советская промышленность выпускает более 10 моделей тру-
бок для структурного анализа, в основном, с линейным фокусом
различных размеров и с различной мощностью. Среди них наи-
более мощной является трубка БСВ-9 (1,5 кеш). На рис. 3.4 при-
ведена схема трубки 0,7 БСВ-2, имеющей линейный фокус и два
окошка выпуска рентгеновских лучей.
В некоторых методиках, рентгеноструктурного анализа необ-
ходимы рентгеновские трубки с особо острым фокусом. К числу та-
ких трубок относится микрофокусная трубка БСВ-5 (рис. 3.5).
Высокое напряжение в этой трубке прикладывается между анодом
трубки и сеточным цилиндром (анод трубки изолирован от ее кор-
пуса и находится под высоким положительным потенциалом). На
нити накала поддерживается небольшой потенциал (+50 в) отно-
сительно сеточного цилиндра, что достигается включением между
2 Зак,1288
Глава 3. Рентгеновская аппаратура
34
катодом и заземлением корпуса трубки сопротивления -500 ком
Анод трубки охлаждается проточной жидкостью — масло,.1 или
водой. Сеточный цилиндр помогает сжимать электронный пучок
и позволяет получать круглый фокус размером 40 ± 40 мкм,
излучение выпускается через два окна из бериллия. 1ру каi ра о
тает при напряжении до 45 кв и максимальном токе до , ма.
Предельная удельная нагрузка составляет 16,7 квт/лъи (при
площади фокуса 1,2 • 10~3 лм;2), что примерно в 1000 раз выше,
чем у трубки БСВ-4 (17 вт/мм2 при медном аноде). Это объясня-
ется лучшими условиями теплоотвода в микрофокусных трубках.
Рис 3.5. Микрофокусная рентгеновская трубка БСВ-5
Для получения широко расходящихся пучков используют
трубку БС-1, у которой анодом служит металл, напыленный на бе-
риллий окна, расположенного на торце трубки. Пучок электронов
фокусируется электростатически путем изменения смещения между
сеточным цилиндром и катодом. Дополнительная фокусировка до-
стигается с помощью кольцевого магнита, перемещением которого
вдоль оси трубки можно добиться получения фокуса диаметром
10 Л1/СМ.
Трубки с вращающимся анодом. Для получения минимального
размера фокуса при большой мощности созданы трубки с вращаю-
щимся анодом. В этих трубках вращается анод в форме усеченного
конуса, на боковую поверхность которого направлен пучок элект-
ронов, излучаемых катодом. Нагреванию подвергаются различные
участки анода, в то время как оптический фокус остается непо-
движным. Такое устройство позволяет повысить мощность трубки
в несколько десятков раз по сравнению с обычными трубками.
Схема запаянной трубки с вращающимся анодом приведена на
рис. 3.6. Анод в виде диска укреплен на вале, который вращается
в подшипниках. Шарики подшипников покрываются тонкой плен-
кой бария или серебра для уменьшения трения при вращении анода
в вакууме. На вале анода располагается роторная обмотка мотора,
снаружи трубки находится его статорная обмотка. Вал анода вра-
щается со скоростью 2700—3000 об/мин. Такие трубки допускают
нагрузку до 40 50 кет при экспозиции 0,1 сек и размерах фокуса
§ 7. Рентгеновские трубки
35
2,4 х 2,4 о. Трубки подобного типа не могут работать долго
из-за недостаточного охлаждения анода. Так, например, серийно
выпускаемая в СССР трубка для медицинской диагностики
14-30-БД-10-150 допускает нагрузку 55 кет при экспозиции
0,01 сек, затем должен следовать перерыв в работе не менее 30 сек\
при экспозиции 10 сек наибольшая мощность составляет 8 кет
и необходимый перерыв 7 мин.
Охлаждение вращающегося анода возможно только в разбор-
ных трубках. Ввод охлаждающей жидкости в быстро вращающийся
анод при сохранении вакуума в трубке представляет технически
Рис. 3.6. Схема запаянной рентгеновской трубки с вра-
щающимся анодом:
/—вращающийся анод; 2 — ротор; 3— статор: 4 — подшипники
сложную задачу. Разработаны оригинальные конструкции трубок
такого типа. Первые мощные трубки с вращающимся анодом были
созданы П. И. Стрельниковым и С. В. Сергеевым. Представляет
интерес конструкция трубки «Рота Юнит» мощностью 60 квт,
выпускаемая японской фирмой «Ригаку Денки». Анод в виде усе-
ченного конуса диаметром 400 мм с помощью вакуумного затвора
крепится на фланец. Вращение анода осуществляется через ре-
дуктор с помощью шкива, находящегося в вакуумном затворе. Ско-
рость вращения 2500 об/мин, вакуум 2 • 10“6 мм рт. ст. Анод
интенсивно охлаждается с помощью инжектора, подающего воду
каплями на внутреннюю поверхность цилиндра анода. Трубка
откачивается вакуумными насосами. Размер фокусного пятна
1 X 10 мм (в проекции 1 X 1 мм). Трубка работает при напряже-
нии до 60 кв и токе до 1000 ма, удельная мощность 6 квт/мм2.
Имеются специальные устройства для уменьшения вибрации, вызы-
ваемой вращающимся анодом для выключения питания трубки
при уменьшении скорости вращения анода и при вакууме трубки
> 10-4 мм рт. ст.
Трубки для рентгеноспектрального анализа. Для проведения
анализа по спектрам первичного излучения (эмиссионный метод)
2*
;.у.	Глава 3. Рентгеновская аппаратура
используют только разборные трубки, позволяющие наносить
на их аноды исследуемое вещество.
Для анализа по вторичны?.! спектрам (флуоресцентный метод)
-- *'еняют запаянные трхбки с большой мощностью излучения и
токтсами больших размеров. Конструкция трубок позволяет рас-
полагать образец в непосредственной близости от фокуса. Особенно
 лобны Трубки с анодом «прострельного^ типа, например БХВ-7,
БХВ-8. В-этих трубках (рис. 3.7) анодом служит бериллиевое
окно толщиной 0,5 мм, на которое наносят слой Си. Сг, Re, Аи
Рис. 3.7. Схема трубки для спектрального анализа
с анодом прострельного типа:
1 — гсгтод; 2 — окно-анод
.-.ли Pd. Конструкция катода такова, что фокус имеет кольцевую
фор .му и занимает значительную площадь окна-анода. Теплоотвод
осуществляется через охлаждаемый водой корпус трубки, мощность
трубок этого типа 3,5—5 кет. Для аппаратуры скоростного рент-
геноспектрального анализа разработаны портативные трубки
0,001 БХ-1 и 0,0005 БХ-3, также имеющие аноды прострельного
типа, но работающие без охлаждения.
§ 8. КЕНОТРОНЫ
Рентгеновские аппараты работают на переменном токе. Ток
в рентгеновской трубке должен идти только в одном направлении —
от анода к катоду (т. е. электроны должны перемещаться от катода
к аноду). Электронная рентгеновская трубка при интенсивном
охлаждении анода пропускает ток в одном направлении, если на-
грузка на ней не слишком велика. Однако при больших напряже-
ниях холостая полуволна может достигнуть опасного для трубки
значения, и тогда произойдет пробой. Кроме того, при больших
нагрузках фокусное пятно начинает сильно раскаляться и само
становится источником электронов, в результате чего при обратной
пп-г	обратные токи, которые могут привести к разру-
§ 8. Кенотроны
37
шению катода. Поэтому в большинстве случаев для работы рентге-
новских трубок применяют выпрямленный ток, позволяющий
повышать нагрузки на 30%, а напряжение — на ~40%.
Для выпрямления тока высокого напряжения применяют спе-
циальные кенотроны, похожие по своему устройству на электронные
рентгеновские трубки. Кенотрон (рис. 3.8) состоит из накаливае-
мого электрическим током катода 1 и холодного анода 2, поме-
щенных в стеклянную колбу, в которой создан наивысший техни-
чески достижимый вакуум. Анод представляет собой вольфрамовый
диск, расположенный перпендикулярно к оси кенотрона. Нить
Рис. 3.8. Рентгеновский кенотрон:
1 _	2 — гнсд
накала имеет гораздо большую толщину, чем нить накала рент-
геновской трубки. Через нить накала пропускается ток 7,9—
8,5 а, т. е. примерно в два раза выше, чем в рентгеновской трубке.
Кенотроны последних выпусков имеют торированную и карби-
дированную нить накала. Это позволяет снизить напряжение
накала с 10—14 до 6 в, благодаря чему снижается распыление нити
и увеличивается срок службы кенотрона. Вследствие большой
электронной эмиссии внутреннее сопротивление кенотрона неве-
лико и падение напряжения на нем составляет всего 2—2,5 кв.
Ток насыщения кенотрона при нормальном накале значительно
превосходит ток насыщения рентгеновской трубки и составляет
300—1000 ма.
Обозначение кенотрона состоит из букв КР (кенотрон рентге-
новский), далее может стоять буква М, показывающая, что кено-
трон данного типа работает в масле (при отсутствии буквы М
кенотрон предназначен для работы на воздухе); далее следует циф-
ра, указывающая предельное напряжение в киловольтах.
В .современных рентгеновских аппаратах применяют также полу-
проводниковые выпрямители. Достоинством таких выпрямителей
является простота устройства и обслуживания, а также длительный
срок службы. Недостатки—наличие обратного тока и зависимость
характеристик от температуры. Применяют селеновые, германиевые
и кремниевые выпрямители. Недостатком селеновых выпрями-
телей является старение (изменение параметров в процессе службы),
достоинством — надежность в работе (са.мовосстанавливаются при
Глава 3. Рентгеновская аппаратура
пообое) Германиевые и кремниевые выпрямители характеризуются
начнчием обратного тока (10~4 - 10"s акм? в германиевых и
и 10-10 а/см2 в кремниевых). Кремниевые выпрямители имеют луч-
шие характеристики, но значительно дороже германиевых.
§ 9. РЕНТГЕНОВСКИЕ АППАРАТЫ
Рентгеновские аппараты представляют собой’сложные устрой-
ства. Кроме рентгеновской трубки они имеют в качестве основных
частей высоковольтный трансформатор, трансформаторы накала
рентгеновской трубки и кенотрона, пульт управления. Высоковольт-
ный трансформатор повышает напряжение до 45—110 кв. Его вто-
ричная обмотка имеет хорошую изоляцию от первичной обмотки и
сердечника. Трансформатор помещен в бак, наполненный специаль-
ным высоковольтным трансформаторным маслом.
Трансформаторы накала являются трансформаторами пони-
жающего типа (110/12 в). Они отличаются от обычных трансформато-
ров высокой изоляцией первичной обмотки от вторичной, так как
последняя в случае присоединения к катоду рентгеновской трубки
находится под высоким напряжением. В современных рентгеновских
аппаратах трансформатор накала монтируют в общем баке с высоко-
вольтным трансформатором.
На пульте управления размещают автотрансформатор со сту-
пенчатой или плавной регулировкой числа витков, выключатель
высокого напряжения, реостаты накалов кенотрона и рентгенов-
ской трубки, контрольные приборы (вольтметр и миллиамперметр).
В зависимости от назначения рентгеновские аппараты имеют
различные высоковольтные схемы. Рассмотрим некоторые схемы
рентгеновских аппаратов, выпускаемых отечественной промышлен-
ностью для рентгеноструктурного анализа.
Бескенотронный рентгеновский аппарат для рентгеноструктур-
ного анализа УРС-1,0 (УРС-55). Аппарат УРС-55 — бескенотрон-
ный, с заземлением анода трубки. Высоковольтный трансформатор
и трансформатор накала помещены в общий бак. Рентгеновская
трубка типа БСВ-2 в защитном заземленном кожухе расположена
в фарфоровом гнезде, крепящемся на верхней крышке бака. Ниж-
ним конец трубки опирается на высоковольтный вывод, соединен-
ный со вторичной обмоткой трансформатора. Анод трубки охлаж-
дают проточной водой. Управление аппаратом сосредоточено на
небольшом пульте, где расположены ручки ступенчатого пере-
ключения напряжения на первичной обмотке высоковольтного
трансформатора, плавной регулировки тока через рентгеновскую
трубку, кнопки включения, измерительные приборы, сигнальные
лампы, электрические часы экспозиции. Для стабилизации тока
накала трубки имеется феррорезонансный трансформатор. Уста-
новка электрически безопасна, имеет малые размеры и поэтому
§ 9. Рентгеновские аппараты
39
является настольной. Предельные режимы работы: напряжение —
до 55 кв, ток через трубку до 30 ма. Высоковольтная схема аппара-
та приведена на рис. 3.9, а, графики зависимости напряжения и
тока от времени даны на рис. 3.9, б. Как указывалось ранее, от-
сутствие кенотрона приводит к снижению срока службы трубок
из-за наличия обратных токов.
Рис. 3.9. Схема высоковольтной части
бескеногронного рентгеновского аппа-
рата (а) и зависимость напряжения
(2) и тока (3) от времени t на рент-
геновской трубке в бескенотронном
аппарате (б) (1 — напряжение на вы-
соковольтном трансформаторе)
Однокенотронные полуволновые аппараты. Кенотрон, включен-
ный последовательно с рентгеновской трубкой, облегчает ее рабо-
ту, запирая обратную полуволну напряжения и предотвращая появ-
ление обратных токов. Полуволновая схема (рис. 3.10) применя-
лась в выпускавшемся ранее универсальном рентгеноструктурном
аппарате УРС-70, рассчитанном на напряжение 70 кв и ток 30 ма.
Такая же схема используется в аппарате для просвечивания
РУП-60-20-1 па 60 кв.
Аппараты с умножением напряжения. Для фотографического
метода рентгеноструктурного анализа находят широкое примене-
ние аппараты УРС-60 и УРС-2,0, высоковольтная схема которых
приведена на рис. 3.11.
Такая схема дает постоянное напряжение, равное двойному
напряжению трансформатора. Схема состоит из высоковольтного
40
Глава 3. Рентгеновская аппаратура
трансформатора, двух последовательно включенных конденсаторов
большой емкости (0,03—0,10 мкф), двух кенотронов (или твердо-
тельных выпрямителей) и рентгеновской трубки. Один вывод
высоковольтной обмотки трансформатора присоединяется к сред-
ней точке двух последовательно соединенных конденсаторов. Дру-
гой вывод через Два кенотрона, включенных навстречу друг другу,
присоединяется к двум противоположным обкладкам конденсато-
ров. Таким образом, один из конденсаторов заряжается во вре-
мя одного из полупериодов, другой — во время второго полуперио-
Рис. ЗЛО. Схема полуволнового
однокенотронного рентгеновско-
го аппарата
Рис: 3.11. Схема удвоения с постоян-
ным напряжением
да, каждый раз до максимального напряжения высоковольтного
трансформатора. Так как оба конденсатора включены последова-
тельно, то между их внешними обкладками, к которым подключена
рентгеновская трубка, образуется удвоенное напряжение. Разряд-
ка конденсаторов через обмотку трансформатора не происходит, так
как этому препятствуют кенотроны. При отсутствии тока через рент-
геновскую трубку схема дает напряжение, равное двойному мак-
симальному напряжению трансформатора. Если конденсаторы раз-
ряжаются через трубку, то напряжение понижается и становится
слегка пульсирующим с двойной частотой по сравнению с первичным
переменным током. При малых токах рентгеновская трубка нахо-
дится практически под постоянным напряжением.
В аппарате УРС-60 имеется электронный стабилизатор тока
через трубку, поэтому его можно использовать не только для фо-
тографического метода, но и для ионизационного. Возможна работа
одновременно на двух трубках (БСВ-2, БСВ-4 и БСВ-6 в любой
комбинации). Амплитуда напряжения —до 60 кв при токе 20 ма.
Аналогичную схему удвоения с постоянным напряжением имеет
аппарат ^МАРС-1, предназначенный для питания микрофокусной
трубки dCB-5. В этом аппарате вместо кенотронов используют
два селеновых выпрямителя типа 5ГЕ200Ф.
§ 10. Другие источники рентгеновского излучения
41
Схему удвоения с постоянным напряжением используют также
в рентгеновских аппаратах с ионизационной регистрацией — диф-
рактометрах У РС-50ИМ, ДРОН-1, ДРОН-1,5, ДРОН-2,0 (см. гл. II).
§ 10, ДРУГИЕ ИСТОЧНИКИ РЕНТГЕНОВСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
j В последние годы появились радиоизотопные источники рент-
геновского излучения, которые могут быть применены для некото-
рых рентгеноструктурпых исследований. В частности, находит
применение радиоактивный нуклид 55Fe, который, распадаясь путем
захвата /(-электрона, превращается в 55Мп (период полураспада
2,7 года), испуская при этом характеристическое излучение Мп
(АКсс = 2,103 А, = 1,910 А). Интенсивность рентгеновских
лучей от таких источников на 2—3 порядка ниже интенсивности
современных рентгеновских трубок. Однако приборы с такими ис-
точниками не требуют электрической энергии, дают стабильную
интенсивность излучения при малом (~0,01%) фоне непрерывного
спектра. Например, выпускаемая промышленностью рентгеновская
камера «Рада-2» с источником 55Fe активностью 40—600 мкюри
весит всего 750 г, что позволяет получать в полевых условиях
рентгенограммы минералов в области брэгговских углов ft 55—85°,
В камере применена фокусировка широко расходящегося пучка,
обеспечивающая получение резких дифракционных линий.
Для получения коротковолнового рентгеновского излучения ис-
пользуют ускорители электронов — бетатроны. Для рентгенов-
ского просвечивания используют бетатроны с энергией ускорен-
ных электронов до 30 Мэв. Недостатком бетатронов являются
их значительные габариты и масса, а также трудность наладки.
Находят применение также линейные ускорители электронов, хо-
тя и более громоздкие, чем бетатроны, но по мощности излучения
превосходящие последние на два порядка при тех же размерах
фокусного пятна.
Глава 4. РЕГИСТРАЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
И ИЗМЕРЕНИЕ ИХ ИНТЕНСИВНОСТИ
Для регистрации рентгеновских лучей в настоящее время
применяют ионизационный, фотографический, электрофотографи-
ческий и люминесцентный методы.
Ионизационный метод позволяет с большой точностью измерять
интенсивность рентгеновских лучей на сравнительно небольшой
плсшади, ограничиваемой измерительными щелями. Эта особен-
ность ионизационного метода сужает область его применения для
целей рентгеновской дефектоскопии, где он используется в ос-
Глава 4. Регистрация рентгеновских лучей
новном для измерения толщины. Ионизационный метод широко
применяют в рентгеноструктурном анализе, когда необходимо
знание точного соотношения интенсивностей и профиля дифрак-
ционных максимумов. Этот метод требует сложной электронной ап-
паратуры, в результате чего является наиболее дорогим из всех
методов регистрации рентгеновских лучей.
Фотографический метод регистрации рентгеновских лучей
широко распространен; он очень удобен, обладает документаль-
ностью и высокой чувствительностью; к недостаткам этого метода
относится необходимость использовать дорогой фотографический
материал.
Электрофотографический метод (ксерорадиография) — сравни-
тельно новый метод, не получивший пока еще широкого распростра-
нения. Преимущество этого метода заключается в возможности
последовательно получать на одну пластинку большое число
снимков.
Люминесцентный метод (метод наблюдения изображения на све-
тящемся экране) обладает очень большой производительностью,
не требует затрат на фотоматериалы. Одним из недостатков мето-
да является малая чувствительность при выявлении дефектов,
отсутствие документальности.
§ 11. ИОНИЗАЦИОННЫЙ МЕТОД
Рентгеновские лучи, проходя через газ, ионизуют его моле-
кулы. В результате образуется одинаковое число ионов различного
знака. Обозначим число ионов одного знака, возникающих в ре-
зультате ионизации, Л\-. Положительные и отрицательные ионы на-
ходятся в беспорядочном движении и при столкновении нейтра-
лизуются. Такой процесс носит название рекомбинации. При неиз-
менной интенсивности рентгеновских лучей число пар ионов Nit
образующихся в единицу времени, будет равно числу пар реком-
бинирующих ионов, т. е. Nt = Nr.
Рассмотрим теперь процесс ионизации газа в поле плоского
конденсатора при постепенном увеличении напряженности поля.
При наличии электрического поля возникающие ионы начинают
двигаться к соответствующим электродам. Ионы, достигшие элект-
родов, нейтрализуются, и во внешней цепи появится ток, который
будет регистрироваться электрометром. Ионизационный ток i
определится выражением i = е (Ni — Nr), где е — заряд электро-
на; (Л\- AQ — число ионов, приходящих на электрод в единицу
времени.
При увеличении напряженности поля, определяемой разностью
потенциалов на обкладках конденсаторов П, скорость ионов уве-
личивается и возрастает вероятность достижения ионом соответст-
вующего электрода без рекомбинации, и, следовательно, иониза-
§11. Ионизационный метод
43
ционный ток возрастает. При напряжении U UA рекомбинация
становится ничтожной, ионизационный ток достигает насыщениям
определяется числом ионов, образовавшихся в единицу времени:
*нас cN[.
Дальнейшее увеличение напряжения до U = U2 не вызывает
увеличения ионизационного тока, возрастает лишь скорость ио-
нов. При U U2 скорость ионов становится достаточной для
ионизации молекул газа через столкновение {ударная ионизация)
и ток начинает возрастать с увеличением напряжения за счет так
называемого газового усиления.
Коэффициент газового усиления
до U U3 линейно зависит от
приложенного напряжения (об-
ласть полной пропорционально-
сти) и может достигать 102—104.
При U U3 наблюдается
нарушение линейности газового
усиления (область неполной про-
порциональности). Наконец, при
U U4 в случае прохождения
между электродами фотона с
энергией, достаточной для об-
разования хотя бы одной пары
ионов, возникает лавинный раз-
ряд. Эта область носит название
области равных импульсов, т. е.
Рис. 4.1. Зависимость ионизационного
тока i от напряжения на электро-
дах U:
I—область насыщения: II— область пол-
ной пропорциональности; III— область не-
полной пропорциональности; IV—область
равных импульсов
прохождению ионизирующих
частиц различной энергии отвечает возникновение одинаковых
импульсов тока. Дальнейшее повышение напряжения приводит
к возникновению самостоятельного разряда. Зависимость иониза-
ционного тока от напряжения на электродах представлена графи-
чески на рис. 4.1.
Ионизирующее действие рентгеновских лучей используют для
их регистрации. Применяют приборы, работающие в различных
областях газового разряда: ионизационные камеры — в области
насыщения; пропорциональные счетчики — в режиме полной про-
порциональности; газоразрядные счетчики—в области равных
импульсов.
Ионизационные камеры. Работают в режиме насыщения. На-
пряжение насыщения зависит от формы электродов и расстояния
между ними.
Для абсолютных измерений дозы рентгеновского излучения
используют так называемые нормальные камеры. Такие камеры
могут быть цилиндрической или плоской формы. Камера (рис. 4.2)
имеет три изолированных от корпуса электрода, выполненных
в виде стержней или трубочек диаметром несколько миллиметров:
44
Глава 4. Регистрация рентгеновских лучей
один измерительный (Л) и два защитных (В). Измерительный элект-
род служит конденсатором образующихся под действием излучения
ионов;' он соединен с измерительным устройством. Защитные и из-
мерительный электроды располагают на одной линии параллельно
оси камеры. Защитные электроды обеспечивают равномерность
электрического поля и исключают краевой эффект на границах
измерительного электрода, отводят заряды к земле в прилегаю-
щем к ним объеме и точно ограничивают ионизационный объем
Рис. 4.2. Схема ионизационной камеры
(на рис. 4.2 показан пунктирными линиями), т. е. объем газа,
в котором производится измерение ионизирующего действия излу-
чения. Измеряемый пучок, ограниченный щелью /д, проходит
через окно камеры из тонкого целлулоида и направляется вдоль оси
камеры. Измерительный объем ограничен диаметром пучка и гра-
ницами ионизационного объема. Выходит пучок через диафрагму
F2. Корпус камеры, служащий потенциальным электродом, делается
из латуни, снаружи обшивается свинцом для защиты от фонового
излучения, а внутри — алюминием. Размер камеры зависит от
средней длины волны измеряемого излучения. Для излучения
с энергией 60—250 кэв камера имеет диаметр 30—40 см и длину
50 см.
Единицы дозы излучения. Зная величину измерительного объе-
ма и ионизационный ток, можно измерить экспозиционную дозу
рентгеновского излучения. Экспозиционная доза выражает энер-
гию квантового излучения, преобразованную в энергию заряжен-
ных частиц в единице образцового вещества; при этом за образцо-
вое вешество принимают воздух. Экспозиционная доза излучения,
отнесенная к единице времени, называется мощностью экспозицион-
ной дозы.
§ 11. Ионизационный метод
45
Единицей экспозиционной дозы в системе СИ является кулон
на килограмм (к/кг). По ГОСТ 8848—63 «Кулон на килограмм —
экспозиционная доза рентгеновского и у-излучения, при которой
сопряженная корпускулярная эмиссия на килограмм сухого ат-
мосферного воздуха производит в воздухе ионы, несущие заряд
в 1 к электричества каждого знака». Под сопряженной эмиссией
понимают заряженные частицы (электроны и позитроны), возни-
кающие при взаимодействии рентгеновских лучей с воздухом.
Единицей мощности экспозиционной дозы является ампер на
килограмм (а/кг).
ГОСТ 8848—63 допускает также использование единицы экс-
позиционной дозы — рентген (р) и мощности экспозиционной
дозы рентген в секунду (р/сек).
Рентген—доза рентгеновского или у-излучения, при которой
сопряженная с излучением корпускулярная эмиссия в 0,001293 г
воздуха производит в воздухе ионы, несущие одну электроста-
тическую единицу количества электричества каждого знака
(0,001293 г представляет собой массу 1 см3 атмосферного воздуха
при 0° С и 760 мм рт. ст.).
Доза в 1 р соответствует образованию в 1 см3 воздуха 2,08 х
X 109 пар ионов, этой же дозе соответствует поглощенная в воз-
духе энергия 0,114 эрг/см3 (0,88 • 10-2дж/ка). Соотношение между
внесистемными единицами и единицами в системе СИ следующее:
1 р = 2,57976 • 10“4 к/ка; 1 р/сек = 2,57976 • 10"1 а/кг.
Единицы экспозиционной дозы — кулон на килограмм и рент-
ген— допускается применять для измерения излучений с энергией
квантов, не превышающей 0,5 пдж (~3 Мэв).
Количественное измерение доз рентгеновского излучения поз-
волило установить предельно допустимые дозы для лиц, работаю-
щих с рентгеновскими лучами. Принято считать, что такой предель-
ной дозой при энергии излучения до 3 Мэв является 100 мр в неде-
лю. Эта доза соответствует предельной мощности дозы излучения
2,8 мр/ч при работе в течение 36 ч в неделю. На основании предель-
но допустимой мощности дозы производится расчет защитных уст-
ройств. Лицам, работающим в рентгеновской лаборатории, следует
помнить об опасности рентгеновского излучения. В результате
воздействия рентгеновских лучей на организм могут возникнуть
ожоги различной степени, нежелательные изменения в составе
крови (уменьшение числа белых кровяных шариков) и др. Биологи-
ческое действие рентгеновских лучей проявляется не сразу: по-
глощенная доза может накапливаться в течение некоторого вре-
мени. Предельно допустимая доза предусматривает, что биологи-
ческое действие рентгеновских лучей нс проявляется в течение
всей жизни лица, работающего в лаборатории.
В рентгеноструктурном анализе используют длинноволновое
рентгеновское излучение, которое представляет для человека еще
46
Глава 4. Регистрация рентгеновских лучей
большую опасность, чем коротковолновое, так как оно полностью
поглощается тканями организма и поэтому производит большее
биологическое действие, проявляющееся главным образом в ожо-
гах. При установке камер около трубок для структурного анализа
следует избегать попадания рук и особенно глаз под пучок лучей.
Необходимо также предельно сокращать время пребывания в зоне
рассеянного излучения.
Пропорциональные счетчики. При увеличении напряженности
электрического поля в ионизационной камере образующиеся под
действием рентгеновских лучей электроны могут приобрести энер-
гию, достаточную для ударной ионизации нейтральных молекул
газа. Возникающие при этой вторичной ионизации электроны могут
создавать дальнейшую ионизацию. Заряд, собирающийся при этом
на электродах, в А раз больше заряда, образовавшегося при пер-
вичной ионизации. Коэффициент Л называют коэффициентом газово-
го усиления, при соответствующих условиях он может достигать
102—106. Камеры, работающие в условиях газового усиления,
называют пропорциональными счетчиками, так как при попадании
в них кванта ионизирующего излучения на электродах возникает
импульс, пропорциональный энергии этого кванта. Чтобы коэффи-
циент газового усиления как можно меньше зависел от места воз-
никновения первичной ионизации, пропорциональные счетчики
имеют цилиндрический катод, по оси которого натянута тонкая
вольфрамовая нить (анод) диаметром 50—100 мкм. Окно для впуска
излучения обычно располагается на боковой поверхности катода.
Напротив этого окна располагается выходное окно для выпуска
излучения.
Особенно широко применяют пропорциональные счетчики для
регистрации очень длинноволнового рентгеновского излучения.
Окна в таких счетчиках делают из тонкой лавсановой пленки
толщиной 2—4 мкм. Счетчик наполняют аргон-метановой смесью
(10% метана) под давлением 1 атм. Из-за негерметичности лавса-
новой пленки, закрывающей входное окно, счетчики делают га-
зопроточного типа: газовая смесь из баллона большой емкости
протекает через счетчик, компенсируя утечку через поверхность
окошек (в случае работы в вакууме) или поддерживая постоянство
рабочей смеси (при работе в какой-либо газовой атмосфере).
Разрез проточного счетчика СРПП-21 приведен на рис. 4.3.
Катодом служит дюралевый цилиндрический корпус 1. В торцовых
выточках катода размещены керамические изоляторы 5, в центре
которых помещаются держатели 6. В держателях крепится воль-
фрамовая нить аиод 4. Входное и выходное окна закрыты лав-
сановой пленкой 2, наклеенной по радиусу катода и прижатой
рамками 3. В одном из торцов счетчика размещены трубки 7 для
присоединения к газопроточной системе, а также вывод анода 8.
S 11, Ионизационный метод
47
К электродам подводится постоянное стабилизированное напряже-
ние 1,7—2,4 кв.
С помощью проточных счетчиков удалось зарегистрировать ха-
рактеристическое излучение легких элементов, начиная с бериллия
(Лха = 116 А).
Импульсы в пропорциональных счетчиках зависят от энергии
ионизирующих частиц. Применяя дискриминаторы, можно выде-
лять импульсы, отвечающие квантам определенной энергии, на-
пример, линии рентгеновского излучения. Другим достоинст-
вом пропорциональных счетчиков является практически беско-
нечный срок службы.
Рис. 4.3. Разрез проточного пропорционального
счетчика
Счетчики Гейгера. Если напряжение на аноде пропорциональ-
ного счетчика достаточно велико, то выходные импульсы уже
не будут пропорциональны первичной ионизации. Их амплитуда
при определенном напряжении достигает постоянного значения,
не зависящего от типа ионизирующих частиц. Этот режим работы
счетчика называют областью равных импульсов или областью Гей-
гера. В области равных импульсов при попадании в счетчик кван-
та излучения возникает электронная лавина, которая при движе-
нии к аноду возбуждает атомы благородного газа, наполняющего
счетчик. Возбужденные атомы испускают кванты ультрафиолетового-
излучения, которое способствует дальнейшему распространению
разряда вдоль нити анода. Положительные ионы, перемещающиеся
значительно медленней, чем электроны, образуют облако вокруг
анода, которое уменьшает напряженность поля вблизи него. Это
приводит к уменьшению числа электронов и возбужденных атомов
в лавине. Когда положительные ионы достигают катода, они могут
выбить из него электроны и вызвать таким образом самоподдержи-
вающийся разряд. Значительный разрядный ток вызывает падение
напряжения на гасящем сопротивлении (порядка 109 ом), вклю-
ченном последовательно со счетчиком. Вследствие снижения анод-
48
Глава 4. Регистрация рентгеновских лучей
ного напряжения вторичные электроны, образованные положи-
тельными ионами у катода, не могут вызвать лавину. Счетчики
подобного типа называют несамогасящимися.
В самогасящихся счетчиках к газонаполнителю, например ар-
гону (потенциал ионизации 15,6 в), добавляется «гасящее» соеди-
нение с меньшим потенциалом ионизации, например, спирт или
метилаль (потенциал ионизации 11,3 в). Гасящая добавка играет
двойною роль: молекулы гасящей добавки нейтрализуют поло-
жительные ионы, так как при соударения'х происходит энергети-
чески выгодный переход электрона от нейтральной молекулы
к иону; положительно заряженные молекулы гасящей добавки
двигаются к катоду, где диссоциируют, не образуя вторичных
электронов. Кроме того, гасящая добавка поглощает фотоны,
создаваемые электронной лавиной.Таким образом, разряд прекра-
щается самостоятельно без уменьшения напряжения на счетчике
при помощи внешних цепей.
В некоторых типах счетчиков в качестве гасящей добавки ис-
пользуют галогены. В таких счетчиках положительные ионы
захватывают электроны, у двухатомных молекул галогена, образуя
нейтральные атомы и ионизированный галоген. Ионизированный
галоген нейтрализуется на катоде без выбивания из него электро-
нов. Галогенная добавка действует значительно активней органи-
ческой.
Счетчики с органической добавкой имеют ограниченный срок
службы из-за разложения гасящей добавки— 108—109 отсчетов.
Галогенные счетчики могут отсчитывать до 1012—1013 импульсов.
Счетчики характеризуются следующими параметрами: эффек-
тивностью, мертвым временем и стабильностью.
Эффективность счетчика определяется отношением числа со-
считанных импульсов к числу квантов, прошедших через входную
щель счетчика. Для повышения эффективности счетчиков в ка-
честве газов-наполнителей обычно применяют силыюпоглощаю-
щие благородные газы — Аг, Кг, Хе. При регистрации длинновол-
нового излучения окна счетчиков делают из слабопоглощающего
материала: из слюды или бериллия. Эффективность обычно умень-
шается с уменьшением длины волны.
Промежуток времени, в течение которого счетчик не способен
зарегистрировать вновь поступающие кванты излучения, назы-
вают мертвым временем. Это время определяется временем движе-
ния к катоду положительных ионов и в счетчиках Гейгера состав-
ляет 150 300 мксек. Наличие мертвого времени у счетчиков при-
водит к появлению просчетов и ограничивает скорость счета
импульсов. В счетчиках Гейгера потери счета составляют 15%
для скорости счета 500 имп!сек.
^В0^СТЕа сч^тчика Гейгера определяются также его рабочей
рактеристикой: зависимостью числа сосчитанных импульсов
§11. Ионизационный метод
49
от напряжения на электродах счетчика (рис. 4.4). Счетчик начинает
работать при определенном напряжении — потенциале зажигания
иг. При напряжении выше скорость счета быстро растет, затем
на некотором участке от U2 до U & называемом плато, становится
почти постоянной. При дальней-	_
тем увеличении напряжения ско-
рость счета вновь возрастает, .и
затем разряд становится непрерыв-
ным. Длина и наклон плато опре-
деляют стабильность работы счет-
чика при изменении напряжения
на нем или при его старении.
У хороших счетчиков плато имеет
длину от 100 до 300 в. Счетчики, ।
имеющие длину плато <50 в и
большой наклон плато, непригод-
ны. Галогенные счетчики имеют
больший наклон плато, чем счет-
напряхение не счетчике, 8
Рис. 4.4. Характеристическая кри-
вая счетчика Гейгера
чики с органической добавкой.
Отличительной особенностью счетчиков, используемых в рент-
геноструктурном и рентгеноспектральном анализе, является впуск
лучей через окошко из тонкого (5—20 мкм) слоя слюды, располо-
женное на торце счетчика; в этом счетчике используется игольча-
тый электрод, размещенный по оси счетчика.
Рис. 4.5. Счетчик МСТР-4:
/ — входное окно из слюды; 2— замазка; 3 — стеклянный
корпус; 4 — медный катод; 5 — анод (нить из вольфрама)
В СССР для рентгеноспектрального анализа выпускают счет-
чики типа МСТР-3* (для длинноволновой области спектра, Л =
= 1,5-4- 5,5 А) и МСТР-5 (для коротковолновой области спектра,
К = 0,5 — 2 А); для рентгеноструктурного анализа выпускают
счетчик МСТР-4. Все эти типы счетчиков наполняют смесью арго-
на с 15% метилаля при давлении 300—700 мм рт. ст. Схема счет-
чика МСТР-4 приведена на рис. 4.5.
В настоящее время выпускают также счетчики с бериллиевым
входным окном СИ-IP (для длинноволнового излучения, А, = 6 4-
* МСТР — с медным катодом самогасящийся торцовый рентгеновский
счетчик.
48	Глава 4. Регистрация рентгеновских лучен
кого напряжения вторичные электроны, образованные положи-
тельными ионами у катода, не могут вызвать лавипу. Счетчики
подобного типа называют несамогасящимися.
В самогасящихся счетчиках к газонаполнителю, например ар-
гону (потенциал ионизации 15,6 а), добавляется «гасящее» соеди-
нение с меньшим потенциалом ионизации, например, спирт или
метилаль (потенциал ионизации 11,3 в). Гасящая добавка играет
двойною роль.* молекулы гасящей добавки нейтрализуют поло-
жительные ионы, так как при соударениях происходит энергети-
чески выгодный переход электрона от нейтральной молекулы
к иону; положительно заряженные молекулы гасящей добавки
двигаются к катоду, где диссоциируют, не образуя вторичных
электронов. Кроме того, гасящая добавка поглощает фотоны,
создаваемые электронной лавиной.Таким образом, разряд прекра-
щается самостоятельно без уменьшения напряжения на счетчике
при помощи внешних цепей.
В некоторых типах счетчиков в качестве гасящей добавки ис-
пользуют галогены. В таких счетчиках положительные ионы
захватывают электроны, у двухатомных молекул галогена, образуя
нейтральные атомы и ионизированный галоген. Ионизированный
галоген нейтрализуется на катоде без выбивания из него электро-
нов. Галогенная добавка действует значительно активней органи-
ческой.
Счетчики с органической добавкой имеют ограниченный срок
службы из-за разложения гасящей добавки — 108—109 отсчетов.
I алогенные счетчики могут отсчитывать до 1012 — 1013 импульсов.
Счетчики характеризуются следующими параметрами: эффек-
тивностью, мертвым временем и стабильностью.
Эффективность счетчика определяется отношением числа со-
считанных импульсов к числу квантов, прошедших через входную
щель счетчика. Для повышения эффективности счетчиков в ка-
честве газов-наполнителей обычно применяют си льнопоглощаю-
щие благородные газы - Аг, Кг, Хе. При регистрации длинновол-
нового излучения окна счетчиков делают из слабопоглощающего
материала: из слюды или бериллия. Эффективность обычно умень-
шается с уменьшением длины волны.
Промежуток времени, в течение которого счетчик не способен
зарегистрировать вновь поступающие кванты излучения, назы-
вают мертвым временем. Это время определяется временем движе-
ния к катоду положительных ионов и в счетчиках Гейгера состав-
ляет 150 300 мксек. Наличие мертвого времени у счетчиков при-
водит к появлению просчетов и ограничивает скорость счета
импульсов. В счетчиках Гейгера потери счета составляют 15%
для скорости счета 500 имп!сек.
Свойства счетчика Гейгера определяются также его рабочей
характеристикой: зависимостью числа сосчитанных импульсов
$ //. Ионизационный метод
49
называемом плато, становится
Напряжение на счетчике, S
Рис. 4.4. Характеристическая кри-
вая счетчика Гейгера
от напряжения на электродах счетчика (рис. 4.4). Счетчик начинает
работать при определенном напряжении — потенциале зажигания
их. При напряжении выше скорость счета быстро растет, затем
на некотором участке от t/2 до U3,
почти постоянной. При дальней-
шем увеличении напряжения ско-
рость счета вновь возрастает,  и
затем разряд становится непрерыв-
ным. Длина и наклон плато опре-
деляют стабильность работы счет-
чика ври изменении напряжения
на нем или при его старении,
У хороших счетчиков плато имеет
длину от 100 до 300 в. Счетчики,
имеющие длину плато <50 в и
большой наклон плато, непригод-
ны. Галогенные счетчики имеют
больший наклон плато, чем счет-
чики с органической добавкой. | .
Отличительной особенностью счетчиков, используемых в рент-
геноструктурном и рентгеноспектральном анализе, является впуск
лучей через окошко из тонкого (5—20 лю) слоя слюды, располо-
женное на торце счетчика; в этом счетчике используется игольча-
тый электрод, размещенный по оси счетчика.
Рис. 4.5. Счетчик МСТР-4:
/—входное окно из слюды; 2—замазка; 3 — стеклянный
корпус; 4— медный катод; 5—анод (пить из вольфрама)
В СССР для рентгенсспсктрального анализа выпускают счет-
чики типа МСТР-3* (для длинноволновой области спектра, К -
1,5 4- 5,5 А) и МСТР-5 (для коротковолновой области спектра,
% _ 0,5 4- 2 А); для рентгеиоструктурного анализа выпускают
счетчик МСТР-4. Все эти типы счетчиков наполняют смесью арго-
на с 15% метилаля при давлении 300—700 мм рт. ст. Схема счет-
чика МСТР-4 приведена на рис. 4.5.
В настоящее время выпускают также счетчики с бериллиевым
входным окном СИ-IP (для длинноволнового излучения, А — 6 4-
* МСТР — с медным катодом самогасящнйся торцовый рентгеновский
счетчик.
50
Глава 4. Регистрация рентгеновских лучей
4- 8 А), СИ-2Р (для коротковолнового излучения, X = 0,5 4- 2 А)
и СИ-4Р (для дифрактометров, % == 1 4- 2,5 А).
Сцинтилляционные счетчики. Сцинтилляционные счетчики
в настоящее время являются одними из наиболее совершенных при-
боров для измерения слабых интенсивностей рентгеновского излу-
чения. Эти счетчики состоят из прозрачного люминесцирующего
кристалла (сцинтиллятора) и фотоэлектРонного умножителя
(ФЭУ). В качестве сцинтилляторов применяют кристаллы Nal
или KI, активированные небольшой примесью таллия (условное
обозначение Nal (Т1) или KI (Т1). Размер кристаллов, маг. длина
0 10006 0-
Рис. 4.6. Схема сцинтиляционного счетчика:
1 — кристалл-сцинтиллятор; 2 — фотоэлектронный умножитель
20—25, ширина 2—4, толщина 1—2. Схема сцинтилляционного
счетчика приведена на рис. 4.6. Квант рентгеновского излучения,
попадая в кристалл, вырывает из атомов быстрый фотоэлектрон,
который, двигаясь в кристалле, ионизирует на своем пути атомы,
теряя скорость. Возбужденные атомы высвечиваются, испуская
кванты видимого или ультрафиолетового излучения. Вспышка
такого излучения состоит из нескольких десятков или сот фотонов
(на один квант рентгеновского излучения). Вспышка (сцинтилля-
ция), попадая на катод фотоумножителя, вырывает из него фото-
электроны, которые затем размножаются в ФЭУ с помощью последо-
вательно расположенных (10—14) электродов (динодов) и вызывают
на выходе импульс тока, который создает на нагрузочном сопротив-
лении импульс напряжения, регистрируемый обычной счетной
системой.
Особенностью сцинтилляционных счетчиков является пропор-
циональная зависимость между ионизирующей способностью части-
цы (а следовательно, и ее энергией) и амплитудой импульса напря-
жения на выходе фотоумножителя. Наличие такой зависимости
позволяет с помощью амплитудных анализаторов выделять им-
пульсы, отвечающие квантам определенной энергии, т. е. измерять
§ 11. Ионизационный метод
51
интенсивность излучения, отвечающего определенной длине
волны.
Мертвое время сцинтилляционных счетчиков составляет 1 —
3 мксек, что позволяет доводить скорость счета до 5 • 104 имп!сек
без заметного просчета.
Промышленность выпускает стандартный счетчик СРС-1-0
для рентгеновских лучей с энергией 5—30 кэв. Кристалл-сцинтил-
лятор Nal (Т1) имеет размеры 8x16x1 мм. Используется фотоум-
ножитель ФЭУ-35А (внутреннее усиление 106). Энергетическое
разрешение для излучения СиКа составляет 45—60%, эффектив-
ность ^90% для характеристического излучения от Сг до Ag.
Для работы с рентгеновским излучением от 30 до 120 кэв применяют
счетчик СРС-6.
Полупроводниковые счетчики. В последние годы для регистра-
ции рентгеновского излучения начинают применять полупроводни-
ковые (германиевые и кремниевые) счетчики. Счетчиком такого типа
является полупроводниковый диод с р—/г-переходом, к которому
приложено в непроводящем направлении напряжение смещения.
Напряжение смещения расширяет слой, обедненный носителями
заряда, создавая достаточно чувствительный эффективный объем
для детектирования ионизирующих частиц.
Ионизирующая частица, поступая в чувствительный объем
счетчика, образует пары электрон-дырка. Электроны и дырки раз-
деляются электрическим полем, и на суммарной емкости перехода
С и емкости монтажа собирается заряд Q. При этом емкость
заряжается до потенциала U = Q/(C 4- СД. Импульс напряже-
ния, снимаемый с нагрузочного сопротивления, регистрируется
электронной схемой.
Амплитудное разрешение полупроводниковых счетчиков при-
мерно в 5 раз лучше, чем у пропорциональных. Это позволяет про-
водить съемку в непрерывном рентгеновском спектре в сочетании
с многоканальным амплитудным анализатором. Счетчики компакт-
ны, нечувствительны к магнитному полю. К недостаткам полупро-
водниковых счетчиков относится малая величина сигнала, изме-
нение характеристик при накоплении большой дозы облучения,
необходимость хранения, транспортировки и эксплуатации при
пониженной температуре (близкой к температуре жидкого азота
для германиевых счетчиков).
Для длинноволнового излучения серийно выпускаются герма-
ниевые планарные капсулированные детекторы типа ДПДК,
а также счетчики ДГР, пригодные для регистрации у-квантов с
энергией от 10 до 1000 кэв. Среди кремниевых детекторов можно
отметить диффузионно-дрейфовые типа ДДС. Эти детекторы, пред-
назначенные для регистрации заряженных частиц (электронов,
протонов, а-частиц) и у-квантов, могут работать при обычной тем-
пературе (10— 40° С) и давлении (10“4 —7,6 • 102 мм рт. ст.}.
52
Глава 4. Регистрация рентгеновских лучей
§ 11 ФОТОГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД
Для фотографической регистрации рентгеновских лучей при-
меняют специальные рентгеновские пленки. Обычно эти пленки
делают двухслойными. Двойной слой фотоэмульсии, а также су-
щественно большее содержание бромистого серебра на единицу
площади слоя эмульсии, чем в обычных фотоматериалах, обеспечи-
вают значительную чувствительность этих пленок к рентгеновскими
лучам. Фотографическое действие рентгеновских лучей произво-
дит лишь та их доля, которая поглотилась в фотоэмульсии. Эта доля
зависит от длины волны рентгеновских лучей и понижается с умень-
шением длины волны. Слой эмульсии рентгеновской пленки погло-
щает ~30%) энергии рентгеновскихолучей при длине волны 1,1 А
и только 1% при длине волны 0,4 А. Повышение чувствительности
пленки к коротковолновому излучению может быть достигнуто
применением усиливающих экранов, однако их можно применять
только в тех случаях, когда размытие изображения, обусловленное
применением этих экранов, не играет существенной роли.
Эмульсия рентгеновской пленки состоит из мельчайших
(~1 moi) кристалликов бромистого серебра, взвешенных в жела-
тине — органическом веществе, содержащем серу. Однородные
кристаллы бромистого серебра нечувствительны к свету и рентге-
новским лучам. Эти кристаллы становятся активными лишь при
добавлении малых количеств инородных атомов, искажающих
решетку AgBr. Так как кристаллы взвешены в желатине, содержа-
щей серу, то в процессе так называемого созревания происходит
диффузия серы в решетку AgBr, в результате чего в кристалликах
создаются центры чувствительности, являющиеся мельчайшими
скоплениями металлического и сернистого серебра.
Эмульсия наносится тонким слоем на подложку из ацетил-
целлюлозы толщиной 200 мкм. Рентгеновская пленка с двухсто-
ронним покрытием состоит из семи слоев. Так как чувствительная
эмульсия плохо держится на гладкой поверхности подложки, с обе-
их сторон подложки наносят скрепляющие слои (называемые
подслоем), которые хорошо пристают к подложке. Каждый скреп-
ляющий слой покрывают слоем чувствительной эмульсии толщиной
15 25 мкм. От механических повреждений чувствительная эмуль-
сия предохраняется защитным слоем, состоящим из желатины тол-
щиной до 1 мкм.
При поглощении рентгеновских лучей в эмульсии фотопленки,
так же как и при действии видимого света, образуются так назы-
ваемые центры скрытого изображения, т. е, видимых изменений
не наблюдается. Изменения, происходящие в зерне AgBr, могут
быть представлены следующей схемой:
Вг 4-/zv-> Вг+а
Ag+ + <?->Ag,
AgBr + /zv->Ag + Вг,
§ 12. Фотографический метой	53
т, е. ион Вг_ под влиянием кванта рентгеновских лучей hv отдает
свой электрон и становится нейтральным атомом Вг (образуется
так называемая положительная дырка).
Освобожденный электрон перемещается по кристаллу AgBr.
При прохождении мимо центров чувствительности — нарушений
решетки, созданных примесными атомами и являющихся потен-
циальными ямами, — электроны захватываются ими, и в этом месте
возникает отрицательный заряд. Под действием электрических
сил к этим центрам устремляются ионы Ag+, которые захватывают
электроны, находящиеся в центре чувствительности, и превраща-
ются в нейтральные атомы Ag. Скопление нескольких (20—100)
атомов Ag образует устойчивый центр скрытого изображения.
Зерна, имеющие центры скрытого изображения, способны
проявляться. Проявление является сложным химическим про-
цессом, который может быть представлен следующей схемой:
AgBr И- Проявляющие вещества Ag -г Продукты окисления -Н
+ НВг.
Химически проявитель действует лишь на те зерна, которые
содержат центры скрытого изображения в наружном поверхност-
ном слое зерна. Такие- центры, содержащие небольшое количест-
во металлического серебра, называют центрами проявления.
После проявления фотопленку промывают для удаления остат-
ков проявителя и помещают в закрепляющий раствор. В этом раст-
воре происходит фиксирование проявленного изображения: раство-
ряется бромистое серебро, непрореагировавшее с проявителем.
В качестве растворителя применяют тиосульфат натрия (гипо-
сульфит) Na2S3Og, который, соединяясь с AgBr, образует легко
растворимое в воде соединение Ag2S2O3 • 2Na2S2O3.
После фиксирования фотопленку промывают в проточной во-
де в течение ~ 30 мин и сушат.
В результате такой обработки на фотопленке остаются только
зерна металлического серебра. Плотность распределения этих
зерен зависит от экспозиции участков пленки (экспозиция равна
произведению интенсивности излучения на время облучения Н =
= It*). Установлено, что число зерен серебра при не очень боль-
ших экспозициях приблизительно пропорционально экспозиции,
т. е. N — clt. Таким образом, подсчитывая с помощью микроскопа
число зерен па единице площади, можно по этому числу опреде-
лить интенсивность рентгеновских лучей, падавших на исследуемый
участок фотопленки. Однако такой способ очень трудоемок и при-
годен только при небольших экспозициях, когда число зерен, при-
ходящихся на единицу площади, невелико.
* Экспозиция рентгеновских пленок измеряется в единицах дозы рент-
геновского излучения — рентгенах (см. с. 45).
54
Глава 4. Регистрация рентгеновских лучей
Более удобным методом количественного определения действия
рентгеновских лучей является фотометрированис.
При фотометрировании через пленку, прошедшую фотообра-
ботку, пропускают узкий пучок световых лучей интенсивностью
/0. Интенсивность этого пучка после прохождения через пленку
уменьшается до /. Обе интенсивности измеряются фотоэлементом
и микроамперметром, являющимися составными частями микрофо-
тометра. Отношение О — 10/1 называют непрозрачностью. Непро-
зрачность зеркального стекла обычно равна 1,05, а картона
бесконечности. Непрозрачность рентгеновских снимков колеб-
лется от 1,05 до 10е.
Из практических соображений принято характеризовать почер-
нение пленки не ее непрозрачностью, а логарифмом непрозрачности.
Эту величину называют оптической плотностью или плотностью
почернения, которая определяется формулой
D - 1g О - 1g (/0/Z).
Показано, что плотность почернения при неизменном спект-
ральном составе рентгеновского излучения при D <1,4 выра-
жается формулой D С//р, где для световых лучей р = 0,98	0,99,
для рентгеновских лучей р ~ 1.
Для определения зависимости плотности почернения от экс-
позиции получают сенситограммы. Для этой цели небольшие участ-
ки фотопленки засвечивают рентгеновскими лучами с постоянной
интенсивностью и с различной возрастающей выдержкой. Один из
участков совсем не подвергают действию рентгеновских лучей.
На проявленной фотопленке получается ряд участков с последо-
вательно нарастающей плотностью почернения. С помощью фото-
метра определяют плотность почернения участков сенситограммы.
По полеченным данным строят кривую зависимости плотности по-
чернения от логарифма экспозиции, которая называется характе-
ристической кривой фотографической эмульсии. Типичная характе-
ристическая кривая для фотопленки, подвергнутой действию ви-
димого света, приведена на рис. 4.7. Кривая не проходит через
нуль; величина почернения Do, отвечающая неэкспонированной
пленке, называется собственной вуалью, эта вуаль зависит от сорта
пленки, срока ее хранения и проявления. Оптическая плотность
вуали .только что выпущенных пленок не превышает 0,15. На этой
кривой имеется область, где почернение не увеличивается с воз-
растанием экспозиции до некоторой точки А, называемой порогом
чувствительности. Точкой В обозначена инерция пленки. Начиная
с порога чувствительности почернение возрастает и с некоторого
момента времени становится пропорциональным экспозиции.
Этот линейный участок и является областью нормальной экспозиции,
т. е. здесь данной разности экспозиций соответствует наибольшая
разность почернений. Тангенс угла наклона этого участка y = tg а
§ 12. Фотографический метод
55
называют коэффициентом контрастности. При D 1,5 -У 2 (в за-
висимости от сорта пленки и спектрального состава излучения)
почернение возрастает медленнее (область передержек), достигает
максимума и затем уменьшается с возрастанием экспозиции (об-
ласть соляризации). Область соляризации часто наблюдается
на рентгенограммах, полученных при рентгеноструктурных иссле-
дованиях в месте попадания на пленку первичного пучка; почер-
нение в этом месте оказывается слабее дифракционных пятен.
Рис, 4.7. Характеристическая кривая фотогра-
фической эмульсии:
/ — область нечувствительности; II — область недо-
держек; /// — область нормальной экспозиции: IV —
область передержек; V —область соляризации
Характеристические кривые действия рентгеновских лучей на фо-
топленку отличаются от соответствующих кривых для видимого
света отсутствием порога чувствительности, что может быть объяс-
нено большей энергией рентгеновских квантов по сравнению со све-
товыми. Для рентгеновских лучей в области почернения до D ~ 2
плотность почернения меняется линейно с экспозицией Я (кривая
1 на рис. 4.8), в то время как для видимого света такой пропор-
циональности не наблюдается (кривая 2).
Плотность почернения сильно зависит от длины волны приме-
няемого рентгеновского излучения, что хорошо видно из рис. 4.9.
Плотность почернения пленки при одинаковой экспозиции убы-
вает с уменьшением длины волны излучения, причем почернение
резко возрастает у краев поглощения брома (0,92 А) и серебра
(0,49 А). Наличие зависимости плотности почернения от длины
волны должно учитываться в исследованиях, связанных с опреде-
лением интенсивности лучей с различными длинами волн (напри-
56
Глава 4. Регистрация рентгеновских лучей
мер. при количественном рентгеноспектральном анализе). Коэф-
фициент контрастности у зависит от условий получения снимка и
его проявления. Для рентгеновских пленок обычно у = 2,5 4- 4,5.
Фотографические пленки при одной и той же экспозиции могут
давать различную плотность почернения. Это связано с различной
чувствительностью пленок. Для получения одинаковой плотности
почернения экспозиция Я более чув-
ствительной пленки должна быть
меньшей.
Чувствительность рентгеновских
пленок принято характеризовать
экспозицией, необходимой для полу-
Рис. 4.8. Зависимость плот-
ности почернения от экспо-
зиции:
1 — для рентгеновских лучей:
2 — для видимого света
Рис. 4.9. Зависимость плотности
почернения от длины волны
чения такой плотности почернения, при которой коэффициент кон-
трастности пленки g=i\D'^H равен* 1.
Эта чувствительность Sg=1 для пленок, применяемых без уси-
ливающих экранов, колеблется от 5 до 120 р~г (для получения точки
с S£=i нужна экспозиция от 15 до 1/120 /?; чтобы не писать дроб-
ное число, условились чувствительность выражать числом, обрат-
ным экспозиции, т. е. в рентгенах в минус первой степени).
Чувствительность пленок, рассчитанных на применение с уси-
ливающим экраном, принято определять по экспозиции, необхо-
димой для получения плотности почернения, на 0,85 превышаю-
щей плотность вуали: D = D() Л- 0,85. Такая чувствительность
обозначается SD=o<85. Между Sg=i и So=o,85 нет математической
зависимости, однако для излучений, используемых в рентгено-
структурном анализе, их значения близки.
.<* 12. Фотографический метод
57
Для измерения плотности почернения дифракционных линий на
рентгенограммах используют микрофотометры. Рассмотрим устрой-
ство широко применяемого в СССР регистрирующего микрофото-
метра МФ-4, схема которого приведена на рис. 4.10.
Фотометрируемую пленку помещают на каретку 5, которая пе-
ремещается относительно узкого светового пучка, источником ко-
торого является лам-
па 6 (12 а, 30 вт). Ка-
ретка может переме-
щаться в результате
вращения микромет-
рического винта или
автоматически при
помощи реверсивно-
го электродвигателя.
Прошедший сквозь
фотом етр ируем у ю
пленку световой луч
через узкую измери-
тельную щель 4 попа-
дает на селеновый фо-
тоэлемент 3. Ток, воз-
никающий в цепи фо-
тоэлемента, вызывает
поворот зеркала 8 га-
льванометра. Свет от
лампы 6 освещает че-
рез конденсор шкалу
7; увеличенное в 20
раз изображение шка-
лы проектируется
(при ручной регистра-
ции) на отсчетный ма-
Рис. 4Л0. Схема микрофотометра МФ-4:
— . — •— ход лучей при визуальной регистрации:
--------ход лучей при регистрации на фотопластинку
товый экран 2.
При автоматической регистрации пучок света от лампы 6 про-
ектируется на фотопластинку / В последнем случае фотопластин-
ка и каретка с фотометрируемой рентгенограммой движутся син-
хронно, но с разными скоростями (с2 и соответственно^). Отно-
шение К = определяет масштаб увеличения по оси'абсцисс
регистрируемой на фотопластинке 1 фотометрической кривой
(рис. 4.11). Масштаб увеличения в микрофотометре МФ-4 можно
менять плавно с помощью специального механизма. Для увеличе-
ния точности измерения выгодно работать при большом масштабе
записи.
Регистрирующий микрофотометр записывает не кривую рас-
пределения плотности почернения D, а кривую распределения ин-
5S
Глава 4. Регистрация рентгеновских лучей
тенсивности света z, прошедшего через рентгенограмму, так как
отброс гальванометра пропорционален этой величине. При не очень
больших почернениях (D < 0,8) можно считать, что D = Пф +
-р И, где £>ф — плотность почернения фона, k— постоянная,
/ — интенсивность рентгеновского пучка, вызвавшего почернение
в измеряемом месте рентгенограммы. Отсюда следует, что / =
(]/£) (£) — £>ф). Так как D - 1g (z0/z), где iQ — интенсивность
света, попадающего на фотоэлемент в отсутствии рентгенограммы, то
I = (1/Л) (—1g I 4- 1g i0 ~ £>ф) = lg i + В ~ A 1g (С//),
где Оф, А, В, С — постоянные величины при идентичных условиях
фотометрирования.
Рис. 4.11. Микрофотометрическая кривая
Для определения плотности почернения дифракционной линии
промеряют расстояния от линии фона Лф(^ и /?2) по обе стороны
от измеряемой дифракционной линии (см. рис. 4.11) до линии
полной темноты Лп т, получаемой при перемещении фотопластинки
при неосвещенном фотоэлементе, а также расстояние а от макси-
мума до линии Ли т. Плотность почернения определяют по формуле
D = 1g [(^ + М(2<
Если необходимо определить профиль дифракционной линии,
то полученную микрофотометрическую кривую следует перестро-
ить в логарифмическом масштабе.
§ 13.	КСЕРОРАДИОГРАФИЧЕСКИЙ (ЭЛЕКТРОФОТОГРАФИЧЕСКИЙ]
МЕТОД
В настоящее время начинает входить в практику рентгеновских
лабораторий новый метод — ксерография. Этот метод сохраняет ос-
новные преимущества фотографического метода и в то же время
экономически он более выгоден. В этом методе применяют специ-
альные пластинки из алюминия, на которые способом вакуумного
§13. Ксерорадиографический метод	59
напыления наносят слой аморфного селена толщиной ~100 мкм.
Непосредственно перед рентгеновской съемкой пластинку по.мещают
в зарядное устройство, представляющее собой камеру, в верхней
части которой протянута тонкая проволочка, например из нихро-
ма, толщиной 60 мкм, служащая коронирующим электродом.
К этому электроду подводится высокое напряжение (5—10 кв).
Ксерографическую пластинку помещают в специальное гнездо,
ее подложка при этом заземляется. Зарядка продолжается от не-
скольких секунд до нескольких минут. Затем ксерографическую
пластинку помещают в светонепроницаемую металлическую кассету
(эту операцию проводят в темноте). Крышка кассеты не должна
находиться слишком близко от селенового слоя, чтобы он не разря-
дился. После этого получают рентгеновский снимок тем же спосо-
бом, что и при фотографическом методе. Разница состоит в том, что
заряд ксерографической пластинки падает со временем даже в тем-
ноте, и поэтому снимок надо получать сразу после зарядки.
При облучении происходит местное снижение сопротивления
слоя заряженного селена, пропорциональное интенсивности излу-
чения, падающего на различные участки пластинки. Заряд с плас-
тинки уходит с чувствительного слоя в количестве, зависящем
от сопротивления слоя и времени экспозиции.
После экспозиции на чувствительном слое пластинки получается
скрытое электростатическое изображение, которое проявляется
в специальном устройстве. Для проявления на селеновый слой на-
носят частицы порошка, заряженные противоположно знаку за-
ряда селенового слоя. Размер частиц порошка 1—15 мкм. Поро-
шок напыляется через распылитель с эбонитовым соплом. В ре-
зультате трения о стенки сопла частички порошка заряжаются.
В качестве проявляющего порошка можно использовать тальк, бе-
лый слой которого хорошо виден на темном селеновом слое. Изо-
бражение, полученное на ксерографической пластинке, можно пе-
реносить на бумагу. В этом случае используют порошок, в состав
которого входят смолистые вещества. Па проявленный напылением
порошка селеновый слой накладывают бумагу, кассету с ксерогра-
фической пластинкой помещают в зарядное устройство, на корони-
рующий электрод подается высокое напряжение, и бумага заряжа-
ется потенциалом, противоположным знаку заряда частиц порошка.
В результате электростатического взаимодействия большая часть
порошка переносится на бумагу. Затем в зарядную камеру выпуска-
ют пары ацетона, которые размягчают смолистые вещества, вхо-
дящие в состав порошка, и частички прилипают к бумаге.
Методом ксерорадиографии в настоящее время можно получать
результаты, сравнимые с обычным фотографическим методом. Од-
нако его применение пока ограничено дефектоскопией материалов.
Преимущества метода состоят в том, что отпадает необходимость
работы в затемненных комнатах и общее время обработки редко
60
Глава -4. Регистрация рентгеновских, лучей
превышает 2 мин, в то время как влажный фотографический снимок
может быть готов для рассмотрения не ранее чем через 20 мин.
Для измерения интенсивности рентгеновских лучей ксерорадио-
графический метод непригоден.
§ 14.	ЛЮМИНЕСЦЕНТНЫЙ МЕТОД
Люминесцентный метод регистрации рентгеновских лучей на-
зывают еще визуальным методом, так как он связан с наблюде-
нием теневых картин на светящемся экране.
Некоторые вещества под действием рентгеновских лучей све-
тятся видимым светом. Энергетический выход такого свечения не-
велик и в лучшем случае составляет несколько процентов от по-
глощенной энергии рентгеновских лучей. При очень больших
интенсивностях рентгеновских лучей легко регистрируется свечение
воздуха, бумаги, парафина и других веществ. Исключение состав-
ляют металлы. Особый интерес представляют люминофоры — ве-
щества, дающие наибольший выход видимого свечения.
Люминофоры, используемые для регистрации рентгеновских
лучей, можно разбить на две группы: 1)с желто-зеленым свечением;
2) с сине-фиолетовым свечением.
Наилучшим люминофором с желто-зеленым свечением является
смесь ZnS + CdS. Эта смесь при различных соотношениях между
компонентами позволяет получать свечение с различным спект-
ральным составом. В частности, смесь 50% ZnS + 50% CdS дает
спектральное распределение свечения, максимум энергетического
выхода которого совпадает с максимумом чувствительности чело-
веческого глаза (5550 А). Люминофоры с желто-зеленым свечением
используют для приготовления экранов, применяемых для визу-
ального наблюдения изображений в рентгеновских лучах (экраны
для просвечивания). Люминофор для таких экранов наносят тонким
слоем вместе со связывающим веществом на подложку из картона.
Такой экран механически непрочен и не допускает изгибов.
Сине-фиолетовое свечение дает люминофор из CaWO4. Макси-
мум энергетического выхода свечения экрана с сине-фиолетовым
свечением близок к максимуму спектральной чувствительности
рентгеновской пленки. Экраны с сине-фиолетовым свечением при-
меняют для усиления фотографического действия рентгеновских
лучей. Для этой цели к эмульсии фотографической пленки плотно
прижимают два экрана (светящимися слоями к пленке).
Метод люминесценции не используют для количественного из-
мерения интенсивности. Его применение ограничено областью рент-
геновской дефектоскопии. Кусочки экранов с желто-зеленым све-
чением используют также в структурном анализе для установки
рентгеновских камер на рентгеновских лучах.
Раздел III
СТРУКТУРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Глава 5. КРИСТАЛЛИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
И ЗАКОНОМЕРНОСТИ СТРОЕНИЯ КРИСТАЛЛОВ
В природе, согласно законам термодинамики, существуют три
устойчивых состояния вещества — газообразное, жидкое и твердое.
Однако такая классификация не отражает внутреннего строения
вещества и связь этого строения со свойствами.
Вещества по их свойствам можно разделить на две группы:
изотропные (все свойства одинаковы по всем направлениям) и
анизотропные (некоторые свойства зависят от направления).
К изотропным веществам следует отнести газы, жидкости и
аморфные твердые тела, к анизотропным — жидкие и твердые
кристаллы.
Жидкие кристаллы обладают свойствами как жидкости, так и
твердого кристаллического тела. Жидкие кристаллы в основном
образуются из органических соединений, молекулы которых имеют
удлиненную форму. К таким веществам относят, например, бензой-
нокислый холестерин, /г-азоксианизол, /г-азоксифенетол, этило-
вый эфир /2-азоксибензойной кислоты, олеат аммония и др. Всего
к настоящему времени открыто свыше 3000 таких соединений.
В жидких кристаллах наблюдается предпочтительная ориента-
ция молекул, что делает такие вещества оптически активными.
§ 15.	КРИСТАЛЛИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ
Твердый кристалл представляет собой однородное анизотроп-
ное тело. Свободно выросшие кристаллы обладают правильной
внешней формой, они имеют плоские грани и прямые ребра. В раз-
личных образцах кристаллов одного и того же вещества эти грани
могут иметь различный размер, но углы между гранями не меняют-
ся. Число различных граней в кристалле данного вида невелико.
Так, например, кристаллы кварца вырастают в виде шестигранной
призмы с шестигранными пирамидами на концах. Угол между гра-
нями призмы и пирамиды всегда равен 38°13', лишь иногда встре-
чаются небольшие грани, составляющие с гранями призмы углы
37с57', а с гранями пирамиды — 28°48'. Постоянство углов между
62
Глава 5. Закономерности строения кристаллов
гранями кристалла используется в минералогии для определения
вида кристаллов по этим углам.
Кристаллы обычно разрушаются по определенным плоскостям,
называемым плоскостями спайности. Эти плоскости могут быть
ярко выраженными, как, например, у слюды, но могут и вообще
не проявляться, как в случае металлических кристаллов.
Физические и механические свойства кристаллов зависят от
направления. Так, например, если вырезать из кристалла пова-
ренной соли стержни в различных направлениях и испытывать
их на разрыв, то окажется, что они имеют различную прочность.
Стержень, вырезанный параллельно одной паре граней кубическо-
го кристалла NaCl, разорвется при напряжении 570гс/мм2. Такой же
стержень, вырезанный параллельно диагонали грани куба, разор-
вется при напряжении 1150 гс/мм2, а стержень, вырезанный по диа-
гонали куба,—2150 гс/мм2. Важнейшим свойством кристаллов
является их симметрия, о которой будет подробно сказано ниже.
Физические свойства кристаллов могут быть различных типов.
1.	Скалярные свойства (не зависящие от направления). К числу
таких свойств относят плотность, теплоемкость, температуру плав-
ления.
2.	Векторные свойства (характеризуются тензором 1-го ранга).
Примером могут служить пироэлектрические свойства (возникно-
вение электрических зарядов на поверхности кристаллических
диэлектриков при их нагревании или охлаждении).
3.	Тензорные свойства. Некоторые физические свойства кри-
сталла характеризуются тензорами 2-го ранга. К ним относятся
тепловое расширение, магнитная восприимчивость, диэлектри-
ческая постоянная, электро- и теплопроводность, коэффициент
диффузии. В общем случае тензор содержит 9 компонент. Распре-
деление физических свойств в полярной диаграмме изображается
эллипсоидом.
Пьезоэлектрические свойства кристаллов описываются тен-
зором 3-го ранга, а упругие свойства — тензором 4-го ранга
(упругие постоянные cifl и упругие модули sik дают 36 компонент
каждого из тензоров упругих постоянных, по 21 компоненте из
них — независимые).
Когда хотят подчеркнуть, что рассматривают отдельный, оди-
ночный кристалл, его называют монокристаллом. Как показали
микроскопические и рентгеноструктурные исследования, моно-
кристаллы редко имеют идеальное строение. Обычно они состоят
из близко ориентированных блоков. Такое отступление от иде-
ального строения называют мозаичной структурой. Степень мо-
заичности характеризуется углом максимальной разориентации
нормалей к плоскостям кристаллических блоков. Степень мозаич-
ности зависит от вещества и условий роста кристаллов. Естествен-
ные кристаллы каменной соли имеют мозаичность 10—15', кри-
$ 16. Кристаллографические проекции
63
сталлы кальцита — 10—14". Кристаллы, выращенные из раство-
ра, имеют большую степень мозаичности, чем кристаллы, выра-
щенные из расплава.
Большинство технических материалов представляет собой скоп-
ление беспорядочно ориентированных мелких кристалликов. Такие
скопления называют поликристаллами или кристаллическими аг-
регатами. Отдельные кристаллики в таких телах называют кри-
сталлитами или зернами. Ввиду беспорядочной ориентировки кри-
сталлитов поликристаллы в обычных условиях изотропны. Ани-
зотропия в поликристаллических материалах появляется лишь
после механической обработки,ведущей к предпочтительной ориен-
тации кристаллитов •— к образованию текстуры. Текстура воз-
никает, например, в металлических поликристаллах при холодных
прокатке или волочении. Текстурованные материалы обладают
различными механическими свойствами по различным направлениям.
Исследования показали, что подавляющее большинство тел яв-
ляется явно или скрыто кристаллическими. Аморфные твердые
тела представляют собой переохлажденные жидкости, при опреде-
ленных условиях переходящие в кристаллическое состояние.
Таким образом, можно утверждать, что устойчивым состоя-
нием твердого тела является кристаллическое.
§ 16. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Внешняя огранка кристалла является характерным признаком
данного вещества. На основании анализа углов между гранями
можно определить принадлежность кристалла к тому или иному
веществу. Для измерения углов между гранями применяют спе-
циальные оптические устройства, называемые гониометрами._____
Для изображения расположения плоскостей (и ребер) кристал-
ла целесообразно использовать графические методы проектирова-
ния на плоскость или сферу.
Часто достаточно знать лишь взаимную ориентацию граней
и ребер кристалла. Поэтому все параллельные плоскости можно
заменить одной бесконечной плоскостью, а все параллельные реб-
ра — одной бесконечной прямой. Совокупность таких плоскостей
и прямых, пересекающихся в общей точке, называют прямым кри-
сталлографическим комплексом. Точка пересечения указанных
геометрических элементов носит название центра комплекса.
На рис. 5.1 приведен пример перехода от реального кристалла
(а) к соответствующему ему кристаллографическому комплексу
(б). На рис. 5.1, а изображен кубический кристалл с усеченными
вершинами (так называемый кубоктаэдр). Соответствующий ему
кристаллографический комплекс (рис. 5.1, 6) состоит из трех
взаимно перпендикулярных плоскостей и четырех наклонных
64
Глава 5. Закономерности строения кристаллов
в котором плоскости
Рис. 5.1. Кристалл
сталлографический
(а) и его кри-
комплекс (6)
ции: линейную,
плоскостей (на рисунке заштрихованы). Ребрам кристалла отвеча-
ют три взаимно перпендикулярные прямые.
В любом кристаллографическом комплексе имеются пересекаю-
щиеся по общей прямой плоскости. Совокупность таких плоскостей
называется кристаллографической зоной, а общее направление —-
осью зоны. Таким образом, кристаллографический комплекс состо-
ит из ряда кристаллографических зон.
Во многих случаях используют обратный (полярный) комплекс,
прямого комплекса заменены нормалями
к ним, а прямые — перпендику-
лярными к ним плоскостями. Для
кубического кристалла изображе-
ния прямого и обратного комплекса
совпадают. Кристаллографическая
зона в обратном комплексе изобра-
жается плоскостью, отвечающей
оси зоны прямого комплекса и
совокупностью пересекающихся в
общей точке прямых, являющихся
нормалями к плоскостям прямого
комплекса.
Для изображения кристаллов
используют следующие виды проек-
гномоническую, сферическую, гномосфериче-
скую, стереографическую и гномостереографическую.
Линейная и гномоническая проекции. Для построения линейной
проекции используют прямой кристаллографический комплекс,
центр которого С располагают на определенном расстоянии D от
плоскости проекции Р. Линии и точки пересечения плоскостей и
прямых комплекса являются его проекцией. Кристаллографиче-
ская зона проектируется совокупностью прямых, пересекающихся
в общей точке М, являющейся проекцией оси зоны (рис. 5.2).
Неудобство линейной проекции состоит в том, что для изобра-
жения всех прямых и плоскостей кристаллографического комплекса
необходима бесконечная плоскость проекции. Кроме того, изме-
рение углов между плоскостями на линейной проекции проводить
трудно.* Из-за отмеченных недостатков линейная проекция приме-
няется редко.
Гномоническая проекция отличается от линейной тем, что вместо
прямого комплекса используется обратный. В этом случае пло-
скости прямого комплекса изображаются на проекции точками,
а прямые—линиями. Зона плоскостей проектируется рядом точек,
расположенных на прямой, являющейся проекцией оси зоны
Преимуществом гномонической проекции перед линейной яв-
ляется возможность определения углов между плоскостями крис-
$ /6. Кристаллографические проекции
65
таллографического комплекса, поэтому она иногда применяется для
построения проекций по лауэграммам ориентированных монокрис-
таллов (см. гл. 9).
Недостаток гномонической проекции тот же, что и линейной —
для полного изображения всех плоскостей и прямых обратного
комплекса нужна бесконечная
плоскость проекции.
Сферическая и гномосфери-
ческая проекции. Недостатки
предыдущих проекций устра-
няются при переходе к сфе-
рической проекции, в которой
прямой кристаллографический
комплекс с центром, совмещен-
ным с центром сферы произволь-
ного радиуса, проектируется на
сферическую поверхность. Плос-
кости комплекса изображают
большими кругами, а прямые —
точками. Кристаллографическая
зона проектируется большими
кругами, пересекающимися в
двух общих точках (лежащих
на одном диаметре) и являющи-
мися проекциями оси зоны.
Гномосферическая проекция
получается при проектировании
на сферу обратного комплекса.
В этом случае кристаллографи-
ческая зона проектируется ря-
дом точек, расположенных на
большом круге, являющемся
проекцией оси зоны.
Для построения сферических
и гномосферических проекций
пользуются шарами с градусным
типов проекций очевиден
Стереографическая и
Рис. 5.2. Линейная проекция кристал-
лографической зоны
Рис. 5.3. Гномическая проекция
кристаллографической зоны:
/ _ кристаллографическая зона в об-
ратном комплексе; 2 — гномоническая
проекция плоскости; 3 — гномоническая
проекция оси зоны
делением. Недостаток этих двух
— они не являются плоскими.
гномостереографическая проекции.
Стереографическая проекция получается из сферической путем
проектирования точек сферы на плоскость экватора (рис. 5.4).
Центр кристаллографического комплекса С совмещается с цент- .
ром сферы. Плоскость проекции также проходит через центр сфе-
ры. Сечение сферы плоскостью проекции называется основным кру-
гом проекции. Точки пересечения диаметра сферы, перпендику-
лярного к плоскости проекции, называют полюсами проекции.
3 Зак. 1288
66
Глава 5. Закономерности строения кристаллов
Северный полюс (точка Л/) лежит над плоскостью проекции, а юж-
ным полюс (точка S) —под ней.
При проектировании точки из северного полушария, например
точки ее соединяют проектирующим лучом SMlt исходящим
из южного полюса S. Пересечение проектирующего луча с пло-
скостью проекции дает стереографическую проекцию точки
точку ЛГ. Соответственно проектирование любой точки южного
1	полушария, например точки М2,
Рис. 5.4. Стереографическая проек-
ция точек из северного и южного
полушарий
производится проектирующим лу-
чом, исходящим из полюса N.
Для различения проекций то-
чек северного и южного полушарий
первые обозначаются точками, а
вторые — крестиками.
Так как сферическая проекция
прямой кристаллического комплек-
са представляет собой две точки
на поверхности сферы, лежащие
на одном диаметре в противопо-
ложных полушариях, то стереогра-
фическая проекция этой же прямой
представляет собой две точки (точ-
ку и крестик), расположенные на
равных расстояниях от центра
проекции. Прямая, лежащая в
плоскости проекции, изображается
двумя точками, находящимися на
основном круге проекции. Прямая, перпендикулярная к плоскости
проекции, проектируется в ее центр.
Плоскость комплекса проектируется как дуга большого круга
(сплошная при проектировании из северного полушария, пунктир-
ная — из южного полушария). Плоскость, перпендикулярная
к плоскости проекции, проектируется в виде прямой, проходящей
через центр основного круга проекции.
Зона плоскостей проектируется как серия дуг больших кругов,
пересекающихся в двух диаметрально противоположных точках,
являющихся проекциями оси зоны.
Стереографическая проекция обладает следующими особенно-
стями: 1) большие и малые круги на сфере изображаются на стерео-
графической проекции кругами или дугами этих кругов; 2) углы
между дугами на сфере равны углам между стереографическими
проекциями этих дуг.
Более удобной для решения практических задач является стерео-
графическая проекция обратного комплекса, называемая гномо-
сгпереографической. На этой проекции плоскости изображаются
точками, а прямые — большими кругами. Зона плоскостей проек-
§ 16. Кристаллографические проекции

N
Рис. 5.5. Гномостереографическая
проекция плоскости
тируется точками, расположенны-
ми на большом круге.
Принцип построения гномосте-
реографической проекции показан
на рис. 5.5. Проектируемая пло-
скость 1 кристаллографического
комплекса (центр комплекса совпа-
дает с центрохМ сферы) заменяется
нормалью, проходящей через центр
сферы. Эта нормаль пересекает сфе-
ру в точке 2. Соединив точку 2
проектирующим лучом с точкой S,
получаем на плоскости проекции^
точку 5, отвечающую кристаллогра-
фической проекции плоскости.
Сетки Вульфа и Болдырева.
Задачи, решаемые с помощью
этих сеток. Для числового решения
задач и практического использования метода стереографических
проекций применяют координатные сетки, представляющие собой
стереографические проекции семейств меридианов и параллелей.
При помещении центра проектирующего пучка в полюсе сетки ме-
ридианов и параллелей, нанесенных на сферу, получают сетку
концентрических окружностей и радиальных прямых (рис. 5.6).
Рис. 5.6. Сетка Болдырева
3*
68
Глава 5. Закономерности строении кристаллов
Такая сетка называется сеткой Болдырева. Если центр проекти-
рующего пучка поместить па экваториальном круге сетки мери-
дианов и параллелен, то полученные при проектировании семейства
координатных линий называют сеткой Вульфа (рис. 5.7).
Стандартные сетки Вульфа и Болдырева имеют диаметр 20 см,
меридианы и широты на них проведены через 2°. Такие сетки обе-
спечивают точность построения проекции 1°. Для более точных
построений применяют сетки диаметром 50 см.
С помощью указанных сеток легко определяются углы между
плоскостями л прямыми в кристалле, изображенном в стереогра-
фической или гномостереографической проекциях.
При практических расчетах на кальке вычерчивают круг
того же диаметра, что у используемой сетки Вульфа или Болды-
рева. На этот круг наносят проекции плоскостей и направлений
на основании данных, полученных из рентгенограмм. Затем центр
круга совмещают с центром сетки Вульфа и, вращая кальку вокруг
этого центра (следя за тем, чтобы центр круга не смещался), доби-
ваются определенных положений, позволяющих вести численные
расчеты.
Рассмотрим основные задачи, решаемые с помощью координат-
ных сеток.
Определение угла между двумя прямыми. Поскольку все пря-
мые и плоскости кристаллографического комплекса проходят через
16. Кристаллографические проекции
69
общую точку — центр комплекса, то любые две прямые комплекса
всегда лежат в одной плоскости. В этой же плоскости находится
угол, равный углу между двумя рассматриваемыми прямыми.
Любая плоскость проектируется на стереографической проекции
как дуга большого круга. Меридианы сетки Вульфа и являются
проекциями больших кругов. Поэтому кальку с нанесенными на
Рис. 5.8. Определение угла между прямыми
ней точками, являющимися проекциями рассматриваемых прямых,
поворачивают вокруг центра сетки Вульфа до тех пор, пока эти
точки (1—2) не окажутся на одном меридиане сетки (рис. 5.8).
Разность широт (отсчитываемая по параллелям, лежащим между
рассматриваемыми точками) определяет искомый угол а.
Если проекции двух направлений получены проектированием
из разных полусфер (на кальке соответственно отмечены точка
3’ и крестик 4), то кальку поворачивают таким образом, чтобы оба
выхода направлений попали на симметричные относительно вер-
тикального диаметра меридианы. Искомый угол а определяется
70
Глава 5. Закономерности строения кристаллов
суммой углов aj и <х2, отсчитываемых по соответствующим меридиа-
нам до полюса сетки.
Возможен и другой вариант нахождения угла а. Для этого сле-
дует перевести проекцию прямой 4 (крестик) в точку 4 , что будет
отвечать случаю проектирования обоих рассматриваемых направ-
лений из одной (северной) полусферы. Перевод крестика 4 в точку
А
4
Рис. 5.9. Определение угла между плоскостями
4* осуществляется просто: крестик 4 соединяют прямой с центром
проекции на продолжении этой прямой откладывают расстояние,
равное расстоянию от крестика до центра. Полученная точка 4' бу-
дет располагаться на одном меридиане с точкой 3'. Искомый угол
а = 180° — а отсчитывают вдоль этого меридиана.
Построение нормали к плоскости. Плоскость кристаллографи-
ческого комплекса изображается на стереографической проекции
дугой большого круга. Для построения нормали к плоскости кальку
с нанесенной на нее проекцией плоскости поворачивают вокруг
§ 16. Кристаллографические проекции
71
центра сетки Вульфа, пока проекция рассматриваемой плоскости
не совпадет с одним из меридианов сетки. Далее по экватору сетки
Вульфа отсчитывают 90°. Полученная точка является стереографи-
ческой проекцией нормали к плоскости или гномостереографической
проекцией этой плоскости.
Ь
Рис. 5.10. Поворот проекции вокруг оси, лежащей в плоскости про-
екции
Определение угла между двумя плоскостями. Эта задача сводит-
ся к двум предыдущим. Вначале найдем выходы нормалей Г и 2'
к рассматриваемым плоскостям 1 и 2 (рис. 5.9). Затем, поворачи-
вая кальку, добиваемся совмещения точек Г и 2' с одним из мери-
дианов сетки Вульфа. Искомый угол а определяется вдоль этого
меридиана.
Поворот проекции вокруг оси, лежащей в плоскости проекции.
Выходы оси поворота А и В (рис. 5.10) совмещают с полюсами сет-
ки Вульфа. Тогда все точки проекции перемещаются по паралле-
лям на нужным угол о. Перемещение точек слева направо отвечает
повороту' вокруг оси А В по часовой стрелке (если глядеть вдоль нее
со стороны точки А). Соответственно перемещение точек справа на-
лево отвечает вращению против часовой стрелки. Если точка рас-
полагается на параллели ближе к основном} кругу проекции, чем
угол поворота a (например, точка 3)t то после поворота на угол
а = а, — а, эта точка окажется в другой (нижней) полусфере и
уже будет изображаться крестиком (3'). Можно эту точку перевести
в верхнюю полусферу, соединив прямой точку 3* с центром и от-
ложив иа ее продолжении отрезок, равный расстоянию от точки
3* до центра Сточка 3" на проекции).
Поворот проекций плоскостей осуществляется аналогично. Если
проекция плоскости располагается таким образом, что точки ее
пересечения с кругом проекции совпадают с точками АВ, то, сов-
местив точки АВ с полюсами сетки Вульфа, находят меридиан,
§ 16. Кристаллографические проекции
отстоящий от проекции плоскости 4 на угол а. Этот меридиан и соот-
ветствует повернутой проекции плоскости 4'.
Несколько сложнее обстоит дело при произвольной ориентации
плоскости (рис. 5.11).
В этом случае находят проекцию нормали к плоскости (точка 2).
Затем помещают выходы оси поворота АВ в полюса сетки Вульфа
Рис. 5.12. Поворот вокри оси, перпендикулярной к плоскости про-
екции
и перемещают по параллели указанную проекцию нормали 2 на
угол а (точка 3). Поместив точку 3 на экватор сеткн, отсчитывают
от иее \тол 90". Соответствующий меридиан 2' является повернутой
на угол а проекцией плоскости (Г).
Поворот проекции вокруг оси, перпендикулярной к ее плоскости.
Для такого поворота используют сетку Болдырева.Точки проекции
перемешают на угол а по концентрическим окружностям. Пово-
рот проекций плоскостей тоже достаточно прост. Точки пересе-
чения плоскостей С hD с основным кругом (рис. 5.12) поворачивают
Глава 5. Закономерности строения кристаллов
ИЙ УГОЛ а (точки С и D'). Затем, поместив точки С и D в полюса
сетки Вульфа, на кальке проводят меридиан 3 , отстоящий от цент-
ра сетки на то же число 0 градусов, что и исходная проекция пло-
СКОСТИ <?.
Поворот проекции вокруг оси, произвольно расположенной по от-
ношению к плоскости проекции. Для примера рассмотрим поворот
стереографической проекции плоскости / н направления 2 вокруг
Рис. 5.13. Поворот проекции вокруг произвольной оси
оси А почасовой стрелке на угол а (рис. 5.13). Вначале найдем
нормаль к плоскости 1 (точка Г). Затем, повернув кальку, поме-
стим проекцию оси поворота А па экватор сетки Вульфа, перене-
сем ее на основной круг проекции (точка Л'), что отвечает повороту
всей проекции на угол 0. На этот же угол и в том же направлении
следует перенести по параллелям точки 2 и Г (получим точки 2'
к 1 Теперь задача сведена к рассмотренной выше, т. е. к повороту
вокруг оси, лежащей в плоскости проекции. Поместив поворотом
кальки точку А1 в полюс сетки Вульфа, перенесем по параллелям
§ 17. Пространственная решетка
75
точки 2' и 1" на угол «(получим точки 2" и После этого вновь
помещаем точку А' на экватор сетки и возвращаем ось поворота
в исходное положение (точка Л). При этом точки 2" и Г" перемещаем
по параллелям на угол р (точки 2'" и Г'"). Остается только по-
строить проекцию плоскости Г'"', перпендикулярной к направле-
нию Г"'.
§ 17. СТРУКТУРА КРИСТАЛЛОВ И ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА
Наличие у кристаллов плоских граней и прямых ребер, закон
постоянства углов между гранями еще до открытия дифракции
рентгеновских лучен на кристаллах навели исследователей на мысль
о том, что кристаллы состоят из атомов, периодически расположен-
ных в пространстве по параллельным плоскостям и прямым.
Рассмотрим более подробно закономерности внутреннего строе-
ния кристаллов. Конкретное расположение атомов в кристалле на-
зывают структурой вещества. Всякое кристаллическое вещество
может быть разбито на совершенно тождественные участки (ячей-
ки), содержащие один или несколько определенным образом распо-
ложенных в них атомов. Все эти ячейки совершенно одинаково
располагаются друг относительно друга. При этом следует пред-
ставлять кристалл простирающимся во все стороны до бесконеч-
ности и не включать в рассмотрение грани, ограничивающие данный
кристалл. Внутренняя структура кристалла не изменится, если
ограненный кристалл отшлифовать, например, в шар. Бесконечно
протяженное расположение атомов, состоящее из периодически
повторяющихся одинаковых ячеек, называют кристаллическим, про-
странством.
Закономерность (характер) расположения атомов описывается
пространственной решеткой, понятие о которой тесно связано
с учением о симметрии.
Назовем преобразованием симметрии операцию, переводящую
точки кристаллического пространства в новое положение без из-
менения расстояний между всеми его точками. Примером такого
преобразования может служить движение пространства как твер-
дого тела.
Две точки кристаллического пространства О и называют
гомологичными (эквивалентными), если существует такое преобра-
зование симметрии, переводящее О в Оь после которого кристалли-
ческое пространство нельзя отличить от исходного ни в отношении
свойств, ни в отношении геометрии расположения его точек.
Определение кристаллического постранства математики строят
на следующих постулатах.
1.	Не все точки кристаллического пространства одинаковы
(в любом смысле).
76
Глава 5. Закономерности строения кристаллов
2.	Кристаллическое пространство однородно, т. е. существует
шар достаточно большого радиуса R, такой, что внутри него най-
дется хотя бы одна точка, гомологичная наперед заданной точке.
Такой шар называют шаром однородности.
3.	Кристаллическое пространство дискретно, т. е. существует
по крайней мере одна его точка, вокруг которой можно описать
шар радиуса г, внутри которого не будет ей гомологичных (кроме
нее самой). Такой шар называют
©шаром дискретности.
Указанные постулаты доста-
точны для построения всей гео-
J метрической кристаллографии и
вывода многих геометрических
свойств кристаллического ве-
щества.
Рис. 5.14. Узловая прямая	Выберем любую точку кри-
сталлического пространства, на-
пример, точку О (рис. 5.14). Опишем вокруг нее шар однородности
с радиусом R и центром в данной точке. Из рентгеновских данных
установлено, что значение/? не превышает 50 А. Внутри шара одно-
родности обязательно должна найтись хотя бы одна точка, гомологич-
ная наперед заданной. Если этих точек несколько, то выберем из них
ближайшую (точку /), находящуюся от выбранной точки на рас-
стоянии 6tj. Проведем через точки О и 1 прямую. Точка 1 гомоло-
гична точке О и, следовательно, ничем от нее не отличается ни по гео-
метрическим, ни по физическим свойствам. Так как точка О имеет
соседом справа точку 1, находящуюся на расстоянии alt то точка 2
должна иметь на том же расстоянии гомологичную точку ,3 и т. д.
Таким образом, получаем ряд гомологичных точек, простирающий-
ся бесконечно вправо от точки О. Повторяя аналогичные рассужде-
ния о том, что точка 1 имеет слева соседнюю гомологичную точку О,
следовательно, точка О должна иметь соседом слева точку 7, рас-
положенную от нее вдоль прямой на расстоянии а^ точка 1 —
соседом точку 2. В результате получаем бесконечный ряд гомоло-
гичных точек. Такой ряд называется узловым рядом. Узловой
ряд характеризуется кратчайшим расстоянием ах между гомоло-
гичными точками (узлами). Это расстояние аг называется длиной
трансляции (переноса). Параллельный перенос кристаллического
пространства вдоль узловой прямой на расстояние а} из одной го-
мологичной точки (узла) в другую нс изменяет взаимного распо-
ложения всех его точек.
Таким образом, трансляция является преобразованием симмет-
рии, свойственным бесконечному кристаллическому пространству.
Для трансляции можно указать направление переноса и тем самым
ввести представление о векторе трансляции аР Узловая прямая
£ 17. Пространственная решетка
77
может быть определена вектором R m^i, где тг — целое число.
Никаких других точек на данной узловой быть не может, так как
расстояние щ принято кратчайшим.
Узловая прямая характеризует периодичность кристаллического
пространства в данном направлении. Перемещая узловую прямую
параллельно самой себе, в узлах
логичные точки кристалличе-
ского пространства. Это поло-
жение можно проиллюстриро-
вать на примере одномерной
атомной структуры, содержащей
атомы трех сортов (рис. 5.15).
Поместив любой узел, отвечаю-
щей этой структуре узловой
прямой, в центр атома сорта /
(черный кружок), обнаружим в
остальных узлах центры атомов
того же сорта. Аналогично, по-
местив узел в точку, делящую
пополам расстояние между ато-
мами сорта 1 и 2, в остальных
узлах обнаружим эквивалент-
ные точки кристаллического
пространства.
Если в кристаллическом про-
странстве имеются гомологичные
точки, не охваченные данным
узловым рядом, то через эти
точки должны проходить узло-
вые ряды, параллельные данно-
му и характеризуемые той же
трансляцией ах. Рассмотрим го-
мологичные точки, лежащие вне
узлового ряда, проходящего
через точку 00 (рис. 5.16). Бли-
жайшая к узлу 00 гомологичная точка 01 может находиться
на расстоянии а2 alt так как аг — кратчайшее расстояние меж-
ду гомологичными точками. Проведя рассуждения, аналогичные
уже сделанным выше, можно придти к выводу, что через узлы
00 и 01 проходит бесконечный ряд с трансляцией а2. Через все
другие гомологичные точки также должны проходить параллельные
узловые ряды с трансляцией а2. Пересечение двух систем рядов
с трансляциями а± и а2 образует узловую сетку. Узловая сетка
может быть представлена линейной формой; R —	+ /тг2а.2,
где тх и т2 — целые числа (положительные и отрицательные).
Сетка образована бесконечным повторением параллелограммов,
этой прямой обнаружим гомо-
а
а1	а1 R
—в---	------------»
Рис. 5.15. Одномерная атомная струк-
тура (а) и отвечающая ей узловая
прямая (6)
78
Глава Г. Закономерности строения кристаллов
которые назовем элементарными. Острые углы между трансляция-
ми, на которых строится элементарный параллелограмм, не могут
быть меньше 60е. Действительно, если аг < 60°, то диагональ d,
лежащая против этого угла (рис. 5.17), должна быть меньше либо
аг, либо a2i которые уже приняты за наименьшие расстояния от
точки 00.
Таким образом, а, > 60°; угол а1 — 60° отвечает случаю а2.
Чем больше отношение a2^i> тем больше и наименьший угол с^;
при а2 = 2а3	> 75°30\ а при а2 = Заг > 80°25' (минимальный
угол определяется соотношением ~~ arccos (а1/2а2).
Рис. 5.18. К доказательству пустоты
элементарного параллелограмма
Рис. 5.17, К доказательству того, что
угол а не может быть меньше 60°
в элементарном параллелограмме
Покажем, что узлов, лежащих в плоскости рассмотренной дву-
мерной решетки и не охваченных вершинами сетки, быть не может.
Рассмотрим элементарный параллелограмм со сторонами аг и а2
(рис. 5.18). Если бы такой узел D существовал, то он оказался бы
внутри одного из треугольников, на которые разбивается паралле-
лограмм диагональю ОС. Jlpe '<новые>> трансляции OD и DC обра-
зуют ломаную OD + DC, которая опирается на отрезок ОС и нахо-
дится внутри другой выпуклой ломаной аг 4- а2, опирающейся
на тот же отрезок ОС. Поэтому OD + DC меньше + а2, следо-
вательно, одна из новых трансляций меньше илиа2> что противо-
речит исходному допущению. На диагоналях элементарного парал-
лелограмма узел D также располагаться не может, так как наи-
большее его расстояние от узлов в вершинах параллелограмма
(полудиагональ) всегда меньше одной из сторон параллелограмма.
Через любые два узла сетки можно провести прямую. Характер-
ны?.! для такой прямой будет периодическое расположение узлов.
Расстояние между двумя ближайшими узлами на данной прямой
называется периодом идентичности. Период идентичности опреде-
ляется линейной фор?лой I =	+ m2a2, где тх и т2 — целые
числа, не имеющие обшего множителя. Трансляции и а2 являются
наименьшими периодами идентичности для данной узловой сетки.
§ 17. Иршлринсгвеннця peuietru	79
Рассмотрим теперь трехмерную решетку. Найдем узел 001, не ле-
жащий на уже построенной нами сетке. Расстояние этого неком-
планарного узла а3 от начального узла ООО будет третьим по ве-
личине, т. е. больше aY или а2. В частных случаях ах = а2 < а3 и
а1=а2 = аз- Углы между парами трансляций а1а2, а2а3, а3а1 боль-
ше или равны 605 Рассуждения, аналогичные прежним, приведут
нас сначала к новому бесконечному ряду, проходящему через узлы
ООО и 001 с трансляцией а3, далее к таким же бесконечным парал-
лельным сеткам, проходящим через узлы 001, 002 и т. д. Одновре-
менно придем к бесконечным параллельным'рядам с трансляций
а3, проходящим через каждый из узлов первой построенной нами
сетки. Эти параллельные сетки образуют трехмерную решетку,
охватывающую все кристаллическое пространство. Любой узел про-
странственной решетки определяется линейной формой:
Rm =	+ /тг2а2 + т3а3,	(5.1)
где т2, т3 — целые числа. Начало координат при этом может
быть выбрано в любом узле пространственной решетки.
Пространственная решетка может быть получена бесконечным
параллельным повторением параллелепипеда, построенного на
векторах кратчайших трансляций (базисных векторах) а1? а2, а3.
Такой параллелепипед называют элементарной ячейлой. Можно
показать, что при сделанном нами выборе трансляций элементар-
ная ячейка не содержит узлов, находящихся на ее гранях или внутри
объема. Такую ячейку называют примитивной или простой. Вся-
кий узел в вершине примитивной ячейки принадлежит одновременно'
восьми смежным ячейкам, поэтому к каждой из них можно отнести
лишь 1/8 такого узла. Таким образом, примитивная ячейка содер-
жит только один узел решетки.
Длины векторов ад, а2, а3 и углы между ними aJt а2, а3 назы-
ваются параметрами решетки.
В некоторых случаях для описания пространственной решетки
используют сложные элементарные ячейки, ребра которых не яв-
ляются кратчайшими трансляциями, а в центрах граней или в цент-
ре объема имеются дополнительные узлы (правила выбора элемен-
тарных ячеек будут рассмотрены в дальнейшем). В этом случае
для описания положения узлов решетки уже недостаточно векто-
ров Rrrt, см. выражение (5.1); необходимо также знать положение
внутренних узлов, т. е. базис решетки. При наличии в элементарной
ячейке п узлов их можно задать посредством п векторов:
Rn^/n[	+	а3,
где m',t т'..—дробные числа, являющиеся координатами
узла внутри элементарной ячейки.
80
Глава 5. Закономерности строения кристаллов
Таким образом, при сложной элементарной ячейке положение
узла в решетке задается вектором
Rmn = Rm + Rn-	(5-2)
§ 18. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ
Координатная система определяется началом координат и тремя
независимыми базисными векторами vlt v2, v3. Тогда любая точка
пространства может быть задана вектором
з
х = лу Vi + л'с v2 + хз уз v xtvt-	(5-3)
1
В принципе возможен выбор любой системы координат, но для опи-
сания кристаллической решетки особенно полезны следующие:
1) ортогональная система координат с тремя взаимно перпен-
дикулярными базисными векторами одинаковой длины; базисные
векторы образуют правую систему координат:
[ujUal = ?u3>	(5.4)
где у — коэффициент пропорциональности;
2) кристаллографическая система координат с векторами
трансляций а1( а2, а3 пространственной решетки в качестве базисных
векторов.
Преимущество второй системы состоит в том, что координаты
узлов тъ m.2l т3 являются целыми числами. Такая система коорди-
нат может быть косоугольной, ее можно перевести в ортогональную
систему, определяемую базисными векторами Uj, u2, u3.
При переходе из ортогональной системы координат в кристалло-
графическую новые базисные векторы аь а2, а3 можно выразить
через старые ортогональные базисные векторы un u21 ц3:
ai=-UiS11-hu2s21 ~u3s31;
а2=-И1*12т- Щ s22 + u3 s32;
a3 -=Ui$33 + u2 s23 + u3s.}3,
или в матричной форме
(5.5)
a	(5.6)
где а = (aja.aj, и (u1U,u3) - матрицы-строки; S -- матрица
перехода от ортогональной системы к кристаллографической:
I	S]2 SI3 .
( S21 522 52:з j •	(3.7)
S31	S32	/
§ 19. Обратная решетка
81
Обратный переход от кристаллографической системы к орто-
гональной может быть представлен в матричной форме как и — aS-1,
где S"1 — матрица, обратная матрице S-
Произвольный вектор х может быть задан ортогональными коор-
динатами h и кристаллографическими координатами xt (i — 1,
2, 3):
з	з
х — У Ef - у, Xi^i.	(5.8)
При этом переход от кристаллографических координат х-{ к орто-
гональным координатам задается матрицей S-1:
g —S-1x.	(5.9)
Важной характеристикой кристаллографической системы явля-
ется метрический тензор G, элементы которого являются скаляр-
ными произведениями базисных векторов:
= (а<аЛ).	(5.10)
Так как скалярные произведения коммутативны, то метрический
тензор всегда симметричен: gih — ghi.
Из определения метрического тензора следует, что длина ба-
зисных векторов равна
1а*Н&'/2-	(5Л1)
Углы между базисными векторами aih определяются соотношением
cosaife = RikKg}/2 S\'k2)-	<5-12)
При вычислениях метрический тензор удобно рассматривать как
матрицу размером 3x3.
§ 19. ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА
Важную роль в структурной кристаллографии играет обратная
решетка, базисные векторы Ьг- которой задаются соотношением*
(а^ЬА) 6гЧ,	(5.13)
где —символ Кронекера; ~ 1; 6г-й ~ 0 (г, k 1, 2, 3).
Из соотношения (5.13) следует, что вектор Ьх перпендикулярен
к векторам а.2 и а3, поэтому его направление определяется вектор-
ным произведением
Ьх = у[а2а3].	(5.14)
Умножая выражение (5,14) скалярно на aj и учитывая соотноше-
ние (5.13), получаем у -= 1/у, где о — 3i 1а2а31 отвечает объему
* Базисные векторы обратной решетки обозначают также а*, Ь*, с*.
g2	Глава 5. Закономерности строения кристаллов_______
ячейки, построенной на базисных векторах прямой решетки. Таким
образом
bj = [а2 • а3]/о.	(5.15)
Базисные векторы Ь2 и Ь3 получают циклической перестановкой
соотношения (5.15).
В матричной форме условие (5.13) имеет вид
/1 0 0\
ab = ba = lo 1 о| = А	(5.16)
\0 о 1/
где /— единичная матрица,
/ аг \	_	/ Ьх \	_
я = а2 ; а = (aia2a3); b = I b2 I; b = (bib2b3).
\а3/	\Ь3/
Элементы метрического тензора для обратного базиса имеют вид
gik = (ЬгЬЛ), где г, k = 1, 2, 3.	(5.17)
Длины обратных базисных векторов равны | Ьг [ = G?zz)1/2, а
углы межу базисными векторами определяются из соотношения
cos₽u^^/[fezz)1/2 (gT2L	(5.18)
Узлы обратной решетки определяются вектором
Н =	+ Н2Ъ2 + //3Ь3,	(5.19)
где Нъ H2l Нэ — целые числа.
Найдем соотношение, связывающее метрические тензоры пря-
мого О и обратного О-1 базисов. Запишем матричное выражение для
произвольного вектора х в прямом и обратном базисе в виде
ха = х' Ь,	(5.20)
где х = (xix2x3), х1г х2, х3—координаты вектора в прямом базисе,
а х — (х1х2х3), Xi, х2, х'3 — координаты этого же вектора в обрат-
ном базисе. Умножим выражения (5.20) справа на Ъ:
xab = x' bb = xf О"1.	(5.21)
Так как ab = /, то
х^х'О-1	(5.22)
™ЭВИВ вь,Ражение (5-22) в (5.20), получим x’G^a = x'b,
b = G~la.
(5.23)
§ 20. Понятие о группах
83
Аналогично, умножая обе части уравнения (5.20) справа на а,
получаем
a — Gb.	(5.24)
Используя соотношения (5.23) и (5.24), получаем
ab^GbaG~l /.	(5.25)
Учитывая, что Ьа ~ /, получаем, что
GG1 = /,	(5.26)
т. е. матрицы G и б?-1 являются обратными.
Глава 6. СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
Расположение узлов в пространственной решетке подчиняется
законом симметрии, которая математически описывается так на-
зываемыми пространственными группами симметрии. Рассмотрение
симметрии пространственной решетки полезно проводить с ис-
пользованием теории групп.
§ 20.	ПОНЯТИЕ О ГРУППАХ
Группа есть множество объектов, называемых элементами груп-
пы, которые должны удовлетворять четырем постулатам:
1)	между элементами группы существует однозначно опре-
деленная операция, называемая умножением; при умножении
любым элементам группы А и В ставится в соответствие третий эле-
мент группы С, называемый произведением:
С = ВА\	(6.1)
2)	при умножении выполняется ассоциативный закон:
А(ВС) == (АВ)С\	{6.2)
3)	существует один и только один элемент, называемый единич-
ным элементом Е, такой, что для любого другого элемента Л группы
АЕ = ЕА = А\	(6.3)
4)	любой элемент группы имеет один обратный элемент, т. е.
для элемента А существует один и только один элемент В = Л-1,
такой, что
АВ = В А = Е.	(6.4)
Из рассмотрения групповых постулатов следует:
1)	групповое умножение не обязательно связано с арифме-
тическим или алгебраическим умножением;
84
Глава 6. Симметрия кристаллов
2)	в групповом умножении не всегда выполняется коммута-
тивный закон, т. е. произведение АВ (операция В с последующей
операцией Л) не обязательно равно произведению ВА (операция А
с последующей операцией В)\
3)	из первого постулата следует, что произведение элемента
с самим собой (т. е. А • А - А2) должно быть также элементом
группы.
'Группа, в которой для операций умножения выполняется
коммутативный закон АВ = ВА, называется абелевой.
Число элементов п называется порядком группы. Порядок
группы может быть конечным и бесконечным. Если среди п эле-
ментов группы можно найти пг элементов, также удовлетворяю-
щих групповым постулатам, то эти элементы образуют подгруп-
пу исходной группы. Любая подгруппа должна содержать единич-
ный элемент. Порядок пг подгруппы _долже_1£_быть делителем
порядка п группы, которая её содержит (теорема _Лагранжа).
Спедоватёл'ьно, группа, порядок которой является простым..чис-
лом, не имеет подгруппТкроме тривиальных \Е и самой группы)..
Если г—наименьшее целое число, для которого Xr = Е,
то г называют порядком элемента X, а г элементов X, X2, ...,
Хг“\ Хг = Е образуют период X. Период любого элемента
конечной группы есть или сама группа, которая в этом случае на-
зывается циклической, или подгруппа (циклическая) группы, со-
держащей этот элемент.
Группы называют изоморфными, если между элементами двух
групп G и G' устанавливается взаимнооднозначное соответствие.
Изоморфные группы тождественны между собой с точки зрения
их абстрактных групповых свойств. Различие состоит лишь в том,
что индивидуальные элементы пронумерованы по-разному. Если
каждому элементу группы G соответствует элемент группы G'
без требования взаимной однозначности элементов, то группы назы-
вают гомоморфными. Следовательно, один элемент группы G может
соответствовать нескольким элементам группы G'.
Свойства группы отражаются в групповой таблице. Для ее по-
строения все элементы группы записывают по вертикали и по гори-
зонтали. Групповая таблица состоит из результатов попарных про-
изведении, у которых первый множитель берется из вертикального
столбца, а второй — из горизонтальной строки.
Рассмотрим несколько примеров групп.
1.	Множество всех положительных и отрицательных чисел, вклю-
чая нуль. Групповым действием (умножением) в данном случае
является сложение, единичным элементом — нуль, обратным эле-
ментом для п является —п. Группа абелева, порядок—беско-
нечный.
2.	Множество матриц размерности п /п с определителем, не рав-
ным нулю. Операция группового умножения — умножение матриц,
§ 21. Симметрия кристаллического пространства	85
единичный элемент — единичная матрица п X и, обратный эле-
мент — обратная матрица. Группа не абелева, порядок — беско-
нечный.
3.	Группа операций вращения тела вокруг точки. Произведе-
ние АВ здесь обозначает сначала операцию В, а затем операцию А.
Единичный элемент Е — отсутствие вращения или вращение на
2л. Обратный элемент Л-1 — операция вращения вокруг той же
оси, что и при вращении, описываемом операцией А, на тот же
угол, но в обратном направлении. Группа не абелева.
4.	Группа вращений равностороннего треугольника. В этой
группе операциям А, В, С соответствует вращение треугольника
на угол л вокруг осей, совпадающих с биссектрисами треугольника.
Очевидно, А2 = Е, В2 ~ Е, С2 = Е; D — операция вращения
на 120° по часовой стрелке вокруг оси, перпендикулярной к пло-
скости чертежа и проходящей через точку О (центр треугольника);
F — операция вращения вокруг той же оси на 120° против часовой
стрелки.
Очевидно, D2 — F, D3 ~ Е, F2 — D, F3 = Е. Группа не абе-
лева, ее порядок равен 6.
Элементы Е, Ё, F образуют циклическую подгруппу порядка
3. По теореме Лагранжа порядок подгруппы является делителем
порядка группы. Действительно, 6/3 = 2.
5.	Группа вращения прямоугольного параллелепипеда (груп-
па D2). Операциям Л, В, С соответствует вращение вокруг нормалей
к центрам граней на угол п (направление безразлично), а операция
Е — вращение на угол 2л. Группа абелева, ее порядок равен 4.
§ 21. СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Симметрия некоторого тела определяется заданием всех преоб-
разований, которые сохраняют расстояния между всеми парами
точек тела и совмещают тело с самим собой. Такие преобразования
называют преобразованиями симметрии. Совокупность преобразо-
ваний симметрии тела образует группу симметрии данного тела.
Все преобразования, при которых происходит совмещение гомоло-
гичных (эквивалентных) точек кристаллического пространства,
сводятся к преобразованиям четырех типов:
повороту вокруг какой-либо оси на некоторый угол;
зеркальному отражению в некоторой плоскости;
отражению в точке;
параллельному переносу (трансляции).
Указанные геометрические элементы (прямая, плоскость, точ-
ка) называют элементами симметрии.
Трансляцией называется такое перемещение пространства, при
котором сдвиг.'всех его точек одинаков. Обозначим трансляцию
символом где а — общее перемещение всех точек пространства.
86
Глава 6. Симметрия кристаллов
Очевидно,
(6-5)
Из этого равенства следует, что группа трансляции (а также
любая ее подгруппа) изоморфна некоторой векторной группе, т. е.
группе, состоящей из векторов с векторным сложением в качестве
группового действия.
Преобразование симметрии — трансляция — возможно толь-
ко в теле бесконечной протяженности (например, в бесконечном
кристаллическом пространстве). Когда используют трансляцион-
ную симметрию, то подразумевают, что удаленные точки кристалли-
ческого пространства существенно не влияют на решение физической
задачи, так как при таком подходе тело конечных размеров заме-
няют бесконечно протяженным.
Для тела конечной протяженности возможны лишь три первых
типа симметрии. В самом деле, все преобразования, принадлежа-
щие группе симметрии конечного тела, должны оставлять непод-
вижной по крайней мере одну точку тела. Иначе говоря, все оси
поворотов и плоскости отражений должны пересекаться в одной
точке. Ясно, что последовательные повороты вокруг непересе-
кающихся осей или отражения в непересекающихся плоскостях
будут приводить к переносам и непрерывному смещению тела.
Группы симметрии тел конечных размеров (оставляющих на месте
по крайней мере одну точку тела) называют точечными группами.
До более подробного описания точечных групп рассмотрим
образующие их элементы симметрии. Элементы симметрии делят
на закрытые и открытые. Закрытые элементы симметрии после
конечного числа операций возвращают кристаллическое прост-
ранство в исходное положение. Открытые элементы симметрии
содержат трансляции и поэтому описывают симметрию бесконеч-
ного пространства.
К закрытым элементам симметрии относят:
1)	центр инверсии (отражение в точке);
2)	плоскость симметрии (отражение в плоскости);
3)	оси симметрии (вращение вокруг прямой);
4)	инверсионные оси симметрии (сочетание вращения вокруг
прямой с отражением в центре инверсии, лежащем на этой пря-
мой).
Преобразования симметрии, производимые над кристалличе-
ским пространством, в конечном счете относят к ортогональной систе-
ме координат, определяемой базисными векторами u1( u2, и3.
Если аь а2, а8 — базисные векторы в кристаллографической
системе координат, то множество точек, определяемых векторами
х — mx&i т т2а2 /Т28а3 {mi — любые целые числа, включая
нуль), образуют пространственную решетку. Отнесем базисные
векторы ai к ортогональной системе координат, в которой их ком-
£ 21. Симметрия кристаллического пространства
87
понентами будут alx, aiyt aiz (i 1, 2, 3). Эти девять величий,
полностью определяющие пространственную решетку, удобно
записать в виде матрицы, а три целых числа m2, т3 — в виде
компонент вектора-столбца. Тогда узел решетки в матричном виде
задается символом Ат, где
/
I и1у
\fllz
(6.6)
Для простой кубической решетки (длина базисных векторов оди-
наковая, ах ~ а2 ~ а3 — а, и векторы ортогональны) матрица
А имеет вид
/ 1 0 °\
А = а о 1 0 •
\0 0 1/
(6.7)
Для определения результата преобразования симметрии удоб-
но использовать матричное представление.
Поворот твердого тела характеризуется тремя независимыми
параметрами, например осью вращений (два параметра) и углом
поворота. При этом следует отметить, что операции, состоящие
из двух последовательных поворотов, некоммутативны (т. е.
при разной последовательности поворотов результат получается
различным).
Операция вращения R некоторого вектора г, выходящего из
начала координат, переводит его в вектор г7:
r'=Rr.	(6.8)
В неподвижной ортогональной системе координат вращение
R задается соотношением
r/ = V Rtkrk G = 1,2,3),	(6.9)
k= I
где rk и r \ — координаты векторов г и гг соответственно. Матрица
/? = (Rih) определяет данное вращение:
I Rll Rl2 «13 \ / ^1\
г2 1-4 R21 R-22 Rt3 I Г2 	(610)
r3/	\«3L «32 «33 / М3/
или
r' =Rr.
(6.11)
88
Глава 6. Симметрия кристаллов
Матрица R является ортогональной, т. с. R 1 R, при этом
det || Р || = +1 Если вращение производятся вокруг оси Z
против часовой стрелки на угол Ф, то матрица/? имеет вид
/costp —sin ср 0\
I sin <р cos ср О I •	(6.12)
\ О 0	1/
Поворот на тот же угол вокруг оси Y определяется матрицей
(cos ср 0 sin ср \
0	10	-	(6ЛЗ)
— sin ср 0 cos <р/
а вокруг оси X — матрицей
П °	0	\
I 0 cos ср —sin ср •	(6.14)
\0 sin ср	cos ср/
Рассмотрим теперь возможные закрытые элементы симметрии.
Они могут быть сведены к поворотным осям симметрии (чистое или
собственное вращение) и к инверсионным осям (вращение с отраже-
нием в точке, лежащей на оси, или несобственное вращение).
Поворотные оси симметрии. Осью симметрии называют пря-
мую, при повороте вокруг которой на некоторый угол ап гомоло-
гичные (эквивалентные) точки кристаллического пространства сов-
мещаются. Угол поворота ап равен 3607/г, где п — целое число.
Таким образом, через п поворотов в одном направлении на угол
ап кристаллическое пространство возращается в исходное положе-
ние. Наименьший угол поворота а„ для данной оси симметрии на-
зывают элементарным углом оси симметрии, а п — порядком оси
симметрии. В кристаллографической системе координат при пово-
роте вокруг оси симметрии произвольный вектор х, задающий
узел пространственной решетки, переходит в вектор х': х'-= Rx,
где R — матрица вращения, ахи х'— векторы-столбцы.
Точки, лежащие на поворотной оси симметрии, остаются при
этом преобразовании неподвижными, поэтому оси симметрии
являются точечными группами. Эти группы, называемые точеч-
ными группами первого рода, являются циклическими, и порядок
оси симметрии отвечает порядку группы.
Так как в кристаллографической системе координат векторы
х и х определяют узлы пространственной решетки, то их компо-
нентами являются целые числа. Поэтому компоненты матрицы /?,
а следовательно, и ее след tr R также являются целочисленными
величинами, т. е. tr R где N — целое число.
ft 2/. Симметрия кристаллического пространства	89
В ортогональной системе координат преобразование /? будет
иметь вид R' — где S'1 — матрица перехода от кристалло-
графической системы координат к ортогональной. Если далее вы-
брать ортогональную систему координат таким образом, чтобы
ось симметрии совпала с осью Z, то поворот вокруг этой оси
будет описываться матрицей /?' вида (6.12).
. След этой матрицы tr R' =~- 1	2 cos ф. Так как этот след
не зависит от выбора системы координат, то tr— tr/? =
= /V = 1 + 2 cos ф; N может принимать значения 0, ±1, ±2.
Рис. 6.1. Изображение поворотных осей на стереографи-
ческой проекции:
а — ось 2, перпендикулярная к плоскости проекции; б — ось 2,
параллельная плоскости проекции; в — ось 2 в произвольном по-
ложении; г, д, е — оси 3-го, 4-го и 6-го порядка соответственно
Отсюда следует, что возможны лишь повороты на угол ф 0, 60,
90, 120 и 180°. Таким образом, в кристаллическом пространстве
возможны оси симметрии первого, шестого, четвертого, третьего
и второго порядков, т. е. элементы точечных групп первого рода
могут иметь порядок /, 6, 4, 3, 2. Соответствующие группы обозна-
чают С\ (единичный элемент), Сс, С,, С3, С2.
Изображение операций, отвечающих поворотным осям симмет-
рии на стереографической проекции, приведено на рис. 6.1.
Инверсионные оси. Кроме чистых вращений возможны также
сочетания поворотных осей с отражением в лежащей на них точке.
Подобные элементы симметрии называют инверсионными осями.
Так как число поворотных осей ограничено (Л 2, 3,4,6), то инвер-
сионные оси имеют тот же порядок и обозначаются /, 2, 2, 4, 6.
90
Глава 6. Симметрия кристаллов
Если отражение происходит в точке, совпадающей с началом коор-
динат, то матрица, описывающая это отражение, имеет вид
/—1	0	0\
0-1	0-	(6-15)
\ 0	0—1/
Умножая эту матрицу на матрицу поворота, например, вокруг
оси Z [см. матрицу (6.12)], получаем матрицу несобственного пово-
рота (поворота с отражением):
—	cos ср sin ср 0 \
—	sin (р —cos ф 0 •	(6.16)
0	0	— 1 /
Определитель этой матрицы det |[ R' || == —1.
Оси 7 отвечает ап = 0, эта ось эквивалентна центру инверсии.
Оси 2 соответствует а„ = 180°, матрица, описывающая эту опера-
цию, имеет вид
/1	0	0\
0	1	1 •	(6.17)
\0	0	— 1/
Очевидно, что при этой операции любая точка зеркально ото-
бражается относительно плоскости ХУ. Таким образом, инверси-
онная ось 2 эквивалентна плоскости симметрии tn, расположенной
перпендикулярно к этой оси.
2=m	3	4-	b'-3+2
Рис. 6.2. Изображение инверсионных осей
Нетрудно убедиться, что ось 3 (ап — 120°) эквивалентна осям
<3 и* /. Ось 6 эквивалентна осям 3 и 2. Ось 4 является независимой
операцией.
Изображение операций, отвечающих инверсионным осям, при-
ведено на рис. 6.2. Двойной линией на этом рисунке изображена
плоскость симметрии, перпендикулярная к инверсионной оси 2.
Таким образом, рассмотрение возможных для кристаллического
пространства закрытых преобразований симметрии показывает,
что все они могут быть сведены к поворотным и инверсионным
осям следующих типов; 2, 3, 4, 6, 7, 2, 4.
22. Точечные группы
91
§ 22. КОМБИНАЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ.
ТОЧЕЧНЫЕ ГРУППЫ
Закрытые элементы симметрии могут пересекаться между собой,
однако число возможных пересечений ограничено, так как оси
симметрии могут пересекаться под немногими углами. Предполо-
жим, что мы повернули решетку вокруг одной оси (на угол аЛ1),
а затем вокруг другой (на угол аПз) из пересекающихся осей.
Такой же результат можно, очевидно, получить путем единственного
поворота вокруг третьей оси на угол ап, величина которого зависит
от углов аЛ1 и а„г и угла уп между осями. Результирующий пово-
рот ап может быть лишь на углы 0, 60, 90, 120 и 180°, что налагает
существенные ограничения на угол между осями.
Это положение можно проиллюстрировать следующим приме-
ром. Покажем, что операция поворота вокруг двух взаимно пер-
пендикулярных осей 2 эквивалентна повороту вокруг третьей оси
2, расположенной перпендикулярно к первым двум. Обозначим
С2Х поворот вокруг оси X на 180°, а С2у — поворот на 180° вокруг
оси У:
/1	0	0\	/—10	0\
^2х= I 0	— 1	oL	С2у = I 0 1	0 |'
\0	0	— 1/	\ 0 О	— 1/
Тогда операция
/—1	0	0\	/1	0	0Х /—1 0	0\
0	1	0)	0	—1	0) = ( 0—1	0)
\ 0	0	— 1/\0	0	— 1/ \ 0 О	1/
является поворотом вокруг оси Z на 180°:
Анализ допустимых углов уп между поворотными осями пока-
зывает, что возможны следующие шесть комбинаций поворотных
осей симметрии: 222, 223, 224, 226, 233 и 234. Взаимное пространст-
венное расположение осей дано на рис. 6.3. Учитывая наличие
циклических групп С1( С2, С3, С4, С8, получаем 11 точечных групп
с поворотными осями симметрии.
Заменяя в этих точечных группах поворотные оси на инверси-
онные, можно получить еще 21 точечную группу (группы второго
рода). Таким образом, возможно существование 32 точечных групп.
Форма свободно выросших кристаллов (кристаллических мно-
гогранников) должна отвечать одной из точечных групп. Совокуп-
92
Глава 6. Симметрия кристаллов
ность элементов симметрии кристаллического многогранника на-
зывается кристаллическим классом. Число кристаллических классов
равно числу точечных групп, т. е. 32.
В пространственной решетке элементы симметрии пересекаются
в узлах решетки, при этом все узлы обладают одинаковой точечной
симметрией. По симметрии расположения узлов пространственные
решетки разделяют на семь видов, называемых сингониями или
кристаллографическими системами. Точечные группы и кристал-
лические классы тоже относят к семи сингониям.
Каждая сингония характеризуется наличием определенных
осей симметрии и количеством единичных направлений.
Единичным направлением в пространственной решетке является
единственное, неповторяющееся направление (повторяющиеся
направления, связанные элементами симметрии, называют эквива-
лентными или симметрично равными). Каждой сингонии отвечает
элементарная ячейка определенной формы с ограничениями, на-
кладываемыми па длины ее ребер аъ а2, а3 и углы между ними
cq, а2, а3.
В кристаллографии различают следующие сингонии: триклин-
ную, моноклинную, ромбическую (или орторомбическую), ромбо-
эдрическую (или тригональную), гексагональную, тетрагональную,
кубическую.
Сингонии в свою очередь подразделяют на три категории:
низшую, среднюю и высшую.
$ 22. Точечные группы	93
Низшая категория. Имеется несколько единичных направле-
ний (не меньше трех), нет осей симметрии порядка выше двух.
Т риклинная сингония. Все направления единичны. Элементы
симметрии либо вовсе отсутствуют, либо имеется 7. Так как
симметрия в этом случае не накладывает ограничений на транс-
ляции и углы между ними, то ах ф а2 ф а3 и с/ч =А сс2 =А сс3.
Моноклинная сингония. Множество единичных направлений
и множество эквивалентных. Из элементов симметрии имеются
либо ось 2, либо ось 2 (плоскость симметрии пг) и ось 2, пер-
пендикулярная к оси m (записывается 2/т). Единичные направ-
ления лежат или в плоскости симметрии, или в плоскостях,
перпендикулярных к оси 2.
Каждому направлению, наклонному к оси 2 или т, отвечает
эквивалентное. Наличие этих элементов симметрии не накладывает
ограничений на длину трансляций, т. е. аг^=а2^=а31 но углы
между трансляцией, направленной вдоль оси 2 или перпендику-
лярной к плоскости т, и трансляциями, расположенными в этой
плоскости, должны быть прямыми, т. е. ах = а3 = 90° =/= а2.
Угол а2 называют углом моноклинности.
Ромбическая сингония. Три единичных направления, совпадаю-
щих с взаимно перпендикулярными осями 2 или 2. Возможные
элементы симметрии: три оси 2, три перпендикулярных к ним
плоскости т (это записывается, как 2itn 21т 2!ту, некоторые
из указанных элементов могут отсутствовать. Каждому направле-
нию, наклонному к оси 2 или т, отвечает эквивалентное. Элементы
симметрии не накладывают ограничений на длину трансляций
(а±	а3), но углы между ними должны быть прямыми
(cti = а2 а3 90°).
Средняя категория. Одно единичное направление, совпадаю-
щее с единственной осью (называемой главной) порядка выше 2.
Ромбоэдрическая (тригональная) сингония. С единичным на-
правлением совпадает ось 3. Наклонные относительно оси 3 на-
правления повторяются, по крайней мере, три раза. Ось 3 накла-
дывает ограничения на трансляции: они должны быть равными,
т. е. аА --- а2 а3\ равными, но отличными от 90° должны быть
углы между трансляциями, т. е. = ц2 = а3 =# 90°  Возможные
элементы симметрии: ось 3 и проходящие через нее три плоскости
симметрии т (записывается, как Зт).
Тетрагональная сингония. С единичным направлением совпа-
дает ось 4 или 4. Наклонные по отношению к главной оси экви-
валентные направления повторяются, по крайней мере, четыре
раза. Ось четвертого порядка накладывает ограничения на углы
между трансляциями (ах = сс2 ~ а3 = 90°) и длину трансляций
(а, = а2 =0= а3).
94
Глава 6. Симметрия кристаллов
Таблица 6.1			
F	^определение кристаллических классов (точечных групп) по сингониям		
Сингония	Кристалли	веский класс	Описание координатной
	Междун ародное обозначение	Обозначение по Шенфлису	системы
Триклинная	д 7	Cl, Cl	С11^а2^С13
Моноклинная	2 2, т,— m	л О ем О	a^az^as, а1=а3=9О0^
Ромбическая (орто-	2 2 2	D2	ai=a2=a3 =
ромбическая)	2mm 2_ 2_ 2_ m m m	Czv D2h	=90°
Ромбоэдрическая	3, 3	С3, Сз1	а± = #2 ~ ^3»	= ^2 =
(тригональная)	с© Col Jo а |кэ 03 2	D3, СЗР &за	= а3=Д>0“
Гексагональная	- 6 6, 6- m	Се > Сз/j, Свь	Л1 = а2-#с3; a1==a2=90o; а3 = 120о
Тетрагональная	- 4 4, 4, - m 422, 4mm ~	4 2 2 42m,	 m m m	3 cf i и	Q	Ц1 = л2У-а3;	«1 = «2 = = «з = 90°
Кубическая	23,-3 m 432: 43m 4- 2 -3- m m	т}1 о, Td Он	6Z1 = ^2 = G3J С&1=«2 = = «3 = 90°
§ 23. Решетки Браве
95
Гексагональная сингония. С единичным направлением совпадает
ось 6 или ь. Наклонные относительно главной оси эквивалентные
направления повторяются по крайней мере шесть раз. Ограни-
чения, налагаемые симметрией: ах = а2=£ а3,	~ а2 = 90°,
а3 = 120°.
Высшая категория. Единичных направлений нет. Всегда при-
сутствует несколько осей порядка выше 2.
Кубическая сингония. Обязательно имеются четыре оси 3.
Максимально возможное число элементов симметрии для этой
сингонии: три оси 4, четыре оси 3, шесть осей 2, девять плоскостей
т, центр инверсии Г Длина трансляций одинаковая (а1 — а2 =
= а3), а углы между ними — прямые (ах = а2 = «з = 90°). Рас-
пределение кристаллических классов по сингониям приведено
в табл. 6.1.
§ 23. РЕШЕТКИ БРАВЕ (ВЕКТОРНЫЕ ГРУППЫ)
Решеткой Браве называется бесконечная система узлов, обра-
зующихся повторением данной точки группой трансляций. Эта
группа задается тремя трансляциями в форме тройки не лежащих
в одной плоскости векторов, исходящих из некоторой точки. Все
другие трансляции, входящие в группу, получаются в результате
геометрического сложения заданных и вновь построенных этим
способом векторов. В зависимости от длины и взаимной ориентации
заданных векторов получаются решетки Браве, различающиеся
своей симметрией. Существует 14 решеток Браве. Они разделяются
на примитивные (обозначаются буквой Р), базоцентрированные
(центрирована пара противоположных граней; центрировка граней,
перпендикулярных к оси X, Y или Z, соответственно обозначается
А, В, С), объемноцентрированные (узел находится в центре объе-
ма; обозначаются /), гранецентрированные (узлы находятся в цент-
рах всех граней; обозначаются F).
Примитивные решетки Браве задаются тройкой векторов, сов-
падающих с базисными (осевыми) векторами; таких решеток семь
(соответственно' числу сингоний). Примитивная решетка в ромбо-
эдрической (тригональной) сингонии обозначается R, а в гекса-
гональной —
Базоцентрированные решетки Браве задаются тройкой векто-
ров, два из которых совпадают с осевыми, а третий—с полу-
диагональю центрированной грани ячейки, например, центрировке
грани А отвечает вектор (а2 + а3)/2. Базоцентрированная ячейка
может быть в моноклинной сингонии (центрируется пара граней,
параллельных оси 2 или перпендикулярных к плоскости симмет-
рии) и в ромбической сингонии (возможна центрировка Д, Bt С).
Объемноцентрированная решетка Браве может быть задана
двумя векторами, совпадающими с осевыми векторами, и третьим
96
Глава 6. Симметрия кристаллов
вектором, совпадающим по направлению и равным половине прост-
ранственной диагонали элементарной ячейки (aj -|- а2 + а3)/2.
Объемноцентрированная решетка возможна в ромбической, тет-
рагональной и кубической сингониях.
Гранецентрированная решетка задается тройкой векторов,
каждый из которых равен половине диагонали координатной гра-
ни ячейки [(at + а2)/2, (а2 + а3)/2, (а^ -|- а3)/2]. Гранецентриро-
ванные ячейки возможны в ромбической и кубической сингониях.
Описание решетки Браве, про-
изводится с помощью базиса —
совокупности координат всех
трапсляционно неидентичных уз-
лов, выраженных в долях транс-
ляций. По определению базис при-
митивной решетки (ООО). Базис
объемноцентрированной решетки
(О 0 0\
1/ 1/ 1/ , гранецентрированнои
\ / 2 /2 /2/
/О ‘	
I ч2
решетки, I 1/
\о2
ванной кубической элементарной
ячейки к примитивной ромбоэдри-
ческой
О
О
0\
g I, базис ба-
I
решетки
зоцентрированной
. (О О О'! л
I о 1/ 1/ I, базоцентрированнои
J/0 0 0\ „ /0 0 0\
решетки В	Q i/J, С 0] .
Любая сложная решетка Браве может быть сведена к прими-
тивной. Так, например, гранецентрированная кубическая решетка
сводится к ромбоэдрической, если выбрать трансляции в качест-
ве осевых векторов (рис. 6.4).
Элементарную ячейку можно выбрать бесчисленным множест-
вом способов. Условия выбора определенной ячейки, характери-
зующей решетку в целом, были сформулированы Браве:
1)	сингония выбранной ячейки должна быть та же, что и синго-
ния всей решетки;
2)	число прямых углов между ребрами ячейки должно быть
максимальным;
3)	число равных осевых отрезков должно быть максимальным;
4)	при соблюдении первых трех условий объем ячейки должен
быть м и н и м а л ь н ы м.
Очевидно, что примитивная ромбоэдрическая ячейка, постро-
енная на кратчайших трансляциях (см. рис. 6.4), не отвечает пер-
вым двум условиям и вместо нее должна быть выбрана гранецент-
рированная кубическая решетка, имеющая больший объем.
 § 24- ространственные группы	97
§ 24. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ГРУППЫ
Пространственной группой кристалла называются всевозмож-
ные преобразования кристаллического пространства, которые пере-
водят каждую его точку и каждое направление в эквивалентные
им точки и направления.
Элементы этой группы осуществляют преобразования вида
r'-=Rr\t,	(6.18)
где R — одна из операций вращения (чистого или с инверсией);
t — операция переноса (трансляция). Обычно это преобразование
записывают в виде
r' = {Rlt}r.	(6.19)
При det || 7? || — 4-1 элементы {/?//} описывают винтовое
движение, им отвечают винтовые оси симметрии; при det || R || =
=-= —1 эти элементы описывают отражение в плоскости со смеще-
нием в направлении вектора трансляции t, им отвечают плоскости
скользящего отражения.
При неравных нулю трансляциях t преобразования {/?//},
очевидно, нелинейны. Тем не менее они образуют группу, если
под произведением двух элементов понимать их повторное приме-
нение, определяемое выражениями. (6.18) и (6.19):
г' = {/?2/t,} {Rjt 1} г - {R2/t.,} (/?! г -ь - R2 (/?! г + *,) + t.z =
R,Rtr ,-R.it1-\ t2,
откуда
{RJt,} - {R, RJR, Л +	(6-20)
Единичным элементом пространственной группы является
{Е/0}> где Е— тождественное преобразование пространства,
О — трансляция на нулевой вектор.
С помощью соотошения (6.20) легко получить, что элементом,
обратным {R/t}, является преобразование вида
{/г1/-;?-10	(6.21)
Преобразования {£//}, отвечающие параллельному переносу
пространства на вектор решетки, образуют группу бесконечного
порядка, называемую трансляционной. Очевидно, трансляционная
группа является подгруппой пространственной группы. В кри-
сталлическом пространстве возможно существование 14 различных
трансляционных групп, которые изоморфно отображаются на че-
тырнадцать уже описанных решеток Браве.
Преобразования, включающие трансляцию, являются откры-
тыми элементами симметрии. Любая точка преобразуется этими
элементами в бесконечную совокупность точек.
I .. Зак. 1288
98
Г.-iaea 6. Симметрия кристалл'^
Как указывалось, сочетанию операций чистого вращения
с трансляцией отвечают винтовые оси симметрии, которые обозна-
чаются п где п — порядок поворотной оси, a s равно числителю
дроби sin, определяющей смещение вдоль оси в долях периода
идентичности при повороте на элементарный угол ап. Например,
оси 2\ соответствует поворот на ссп ~ 180 и смещение на 1/2 пе-
риода; эту ось можно считать как право-, так и левовращающей.
Рис. 6.5, Винтовые оси. Цифры указывают координаты точки вдоль
оси в долях периода
Две винтовые оси порядка и, для которых s1 s,2 — п (напри-
мер, -Д и 32, 4Г и 43, 6i и 65), отличаются направлением вращения.
Индекс s =-- i отвечает правовращающим осям (вращение по часо-
вой стрелке на угол с одновременным смещением вдоль оси
на 1/и). Оси /Д, 43j б5 являются левовращающими (поворот против
часовой стрелки и смещение также на 1//г).
Некоторые поворотные оси могут быть совмещены с винтовы-
ми. Например, совмещение оси 2 с осью 4Х (или 4^ дает ось 4% (по-
ворот на 180° со смещением на 1/2 периода). Совмещение оси 2
с осью дает ось б2, а с осью б5 — ось 64. Оси 42, 62) являются
дв\ хзаходными винтовыми осями. Совмещение оси 3 и оси 61
/или 6Г)) даст ось 63. Возможные винтовые оси изображены на
рис. 6.5.
£ 24. //ространственные группы
99
Рассмотрение преобразования {R/t}, где R отвечает вращению
вокруг инверсионной оси п, показывает, что во всех случаях, за ис-
ключением оси 2 = ш, преобразование {п/f}, проводимое в начале
координат, может быть заменено преобразованием {пЮ}, осущест-
вляемым в некоторой другой точке.
Преобразованию {2/t} = {mlt} отвечает отражение в плоскости,
параллельной направлению трансляции, со сдвигом на 1/2 периода
идентичности (рис. 6.6). Как и в случае винтовых осей, действие
плоскости скользящего отражения на данную точку приводит к по-
Рис. 6.6. Плоскость скользящего отражения
явлению бесконечной последовательности точек —двух парал-
лельных узловых рядов с одинаковым периодом идентичности,
но сдвинутых на 1/2 периода.
Плоскости скользящего отражения обозначают символами а, Ь,
с, когда скольжение направлено вдоль осей X, Y, Z соответственно,
и составляет а/2, Ь/2, с/2. Если скольжение направлено вдоль
диагонали грани элементарной ячейки (и равно 1/2 длины диаго-
нали), то плоскость скользящего отражения обозначают п. В струк-
турах типа алмаза встречаются плоскости скользящего отражения
со сдвигом на 1/4 диагонали грани элементарной ячейки. Такие
плоскости обозначают символом d.
На чертежах плоскость m изображают сплошной прямой ли-
нией, плоскости а, b — пунктиром (скольжение направлено парал-
лельно плоскости чертежа), плоскость с — точками (скольжение
направлено перпендикулярно к плоскости чертежа). Междуна-
родные обозначения элементов симметрии проведены на рис. 6.7.
Исследование возможных комбинаций открытых и закрытых
элементов симметрии, проведенное русским кристаллографом
Ё. С. Федоровым, привело к установлению 230 пространственных
групп симметрии. Каждой пространственной группе отвечает одна
4*
100
Глава 6. Симметрия кристаллов
“T=B°eTPZZ^
Оси
вертикальные горизонтальные
Плоскости
наклонные горизонтальные вертикальные
Рис. 6.7. Международные обозначения элементов симметрии
Последующие три буквы указывают на наличие зеркальных пло-
скостей симметрии т, перпендикулярных к осям X и Z, и плоско-
сти скользящего отражения с, перпендикулярной к оси Y (сдвиг
вдоль оси Z). Графическое изображение этой группы в пределах
элементарной ячейки дано на рис. 6.8. Дробные числа на чертеже
указывают координату расположения соответствующего элемента
симметрии относительно оси Z. Так, например, прямой угол в верх-
нем левом углу чертежа и число 1/4 указывают на наличие зеркаль-
ной плоскости симметрии т, параллельной плоскости XY и распо-
ложенной от нее на высоте 1/4. Плоскости симметрии mt перпенди-
кулярные к оси X, обозначены сплошными линиями, а плоскости
скользящего отражения b — пунктиром.
_ Т°чечнЬ1е *1ИНИИ показывают наличие плоскости скользящего
г^иЭ>7€,НИЯ РеРПеНДИКУЛЯРн°Й к оси Y (сдвиг происходит вдоль
к mu v П0ЭТ0МУ эта плоскость называется с). Перпендикулярно
J располагаются также плоскости п (штрихпуиктирные ли-
£ 24. Пространственные группы
101
нии). Параллельно оси X в плоскости ХУ расположены поворотные
оси 2 и винтовые оси 2Р Такие же оси расположены параллельно
оси У, но на высоте 1/4. Параллельно оси Z направлены винтовые
оси 21. Светлые кружки в центрах значков, отвечающих этим осям,
показывают расположение центров инверсии в плоскости ХУ.
Классификация кристаллов по 230 пространственным группам
имеет большое значение при рентгенографическом исследовании
атомной структуры кристаллов. Закономерность погасания рент-
Рис. 6.8. Графическое изображение пространственной
/.	'	.	г 2	2 2, \
группы Cmctn I полное ооозначеппе С — --— -Л.
\	тс т /
геновских дифракционных максимумов позволяет отнести кристалл
к определенной пространственной группе (точнее, к нескольким
пространственным группам, различающимся наличием или отсут-
ствием центра инверсии).
В ряде веществ (например, в ферро-, антиферро- и ферримаг-
нетиках) атомы обладают магнитными моментами. Эти магнитные
моменты упорядоченно располагаются в пространстве, образуя
магнитную решетку. 11ри рассмотрении магнитных структур исполь-
зуются понятия антисимметрии, свойства которой были изучены
А. В. Шубниковым. Антисимметрию можно рассматривать как
обобщение обычной симметрии. Каждой точке пространства при-
писывается знак плюс или минус (черная или белая точка). Обыч-
ное преобразование симметрии не меняет расстояния между точ-
ками тела, а преобразование антисимметрии меняет знак точек
(при сохранении расстояния между ними). При добавлении эле-
ментов антисимметрии к обычным А. В. Шубников вывел 1651
102
Глава 7. Символы и формулы кристаллографии
группу. Группы Шубникова называют также черно-белыми (двух-
цветными) группами.
Дальнейшим развитием учения о симметрии является теория
многоцветных (беловских) пространственных групп, названных
так но имени автора этой идеи Н. В. Белова.
Глава 7. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ И ФОРМУЛЫ
СТРУКТУРНОЙ КРИСТАЛЛОГРАФИИ
Для описания взаимного расположения узлов, узловых прямых
и плоскостей в пространственной решетке используют специаль-
ные обозначения, называемые символами.
§ 25. КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ
Символы узла. Положение любого узла в пространственной ре-
шетке определяется вектором
R = Wjai + /я2а2 + т3а3.
Три целых числа /??j, m2t однозначно определяют положение
узловой точки; эти числа заключают в двойные квадратные скобки
и называют символом узла [[т^/г^зП. Узлы, лежащие на одной
прямой, имеют пропорциональные символы.
В сложных решетках для всех узлов, не лежащих в вершинах
элементарных ячеек, числа uiy, m2, будут дробными. Например,
узел, находящийся в центре объема ячейки и ближайший к началу
координат, имеет символ [[1/2 1/2 1/2]].
Символы узловой прямой. Решетку можно представить как
семейство параллельных узловых прямых. Это семейство можно
характеризовать прямой, проходящей через начало координат, ко-
торое принимается за первую точку, определяющую данную пря-
мую. Второй определяющей точкой является узел па этой прямой
и ближайший к началу координат. Координаты этого узла, взятью
в квадратные скобки, принимают за символ данной прямой
Числа, определяющие символ прямой, называются индексами.
Индексы важнейших направлений в кубическом кристалле приве-
дены на рис. 7.1. Символ в угловых скобках	указы-
вает направления определенного типа, связанные элементами сим-
метрии. Например, для кубической сингонии символ <100> обоз-
начает прямые 1100), 1010) и 10011, а также (что одно и то же) [1001,
1010], [001], т. е. прямые, индексы которых отличаются либо пе-
рестановкой, либо знаком.
Символы узловой плоскости. Пространственная решетка может
ып, представлена семейством параллельных узловых плоскостей.
$ 25. Крисгиллографичсские символы
103
Пусть одна из таких плоскостей семейства отсекает на осях коорди-
нат отрезки Ait А2, А3. Уравнение такой плоскости в отрезках
можно записать в виде
Рис. 7.1. Индексы важнейших направ-
лений
(ЛА,) |- (i/M2) (г/Ая) - 1.	(7.1)
Координаты х, //, г в этом уравнении являются координатами уз-
лов пространственной решетки, лежащих в данной плоскости. По
этому они равны целому числу
//Zj, /и.., т3 трансляций по каж-
дой из осей:
,t ~ т^р, у — /д2я2; 2
(7.2)
Подставляя значения координат
в уравнение (7.1), получаем
tnt {aJA^ -|- /гг2 (л2/Л2)Ч-
m3(a3M3) - 1.	(7.3)
Так как правая часть уравне-
ния равна единице, то отноше-
ния афАъ а2/Л2, а3Л43 представ-
ляют собой рациональные числа.
В этом случае отношение между
ними всегда будет равно отно-
шению трех простых (не имею-
щих общего множителя) целых
чисел /г, /?, I. Эти три целых числа служат для определения по-
ложения плоскости в кристаллическом пространстве и называются
индексами плоскости (индексами Миллера). Индексы, заключенные
в круглые скобки, называют кристаллографическим символом пло-
скости (1М). Учитывая пропорциональность индексов
h - q (аф/1J, k q (aJAJ, /	7 (а;/^з)
и подставляя их в исходное уравнение плоскости, получаем
/inii г km2 -|- 1т3 -  q.	(7.4)
Это уравнение показывает, что индексы плоскости соответствуют
коэффициентам в уравнении плоскости.
На рис. 7.2 показано расположение различных кристаллогра-
фических плоскостей в кубической элементарной ячейке.
При нахождении индексов плоскости нужно помнить, что на-
чало координат может быть помещено в любой узел пространствен-
ной решетки. Поэтому начало координат размещают так, чтобы пло-
скость отсекали максимально возможное число отрезков на осях
координат. Далее, зная отрезки А^, А>, А 3, отсекаемые плоскостью
104
Глава 7. Символы и формулы кристаллографии
на осях координат, находят обратные им величины. Если эти вели-
чины оказываются дробными, то их приводят к общему знаменателю.
Построение плоскости по индексам проходит в обратном порядке:
сначала определяют отрезки, отсекаемые плоскостью на осях ко-
ординат, которые обратны соответствующим индексам, затем эти
отрезки откладывают в элементарной ячейке по осям координат.
Например, пусть плоскость, параллельная осям YZ, отсекает
на оси X отрезок, равный единичному масштабу по этой оси. Эта
плоскость отсекает на осях координат отрезки 1, оо, оо. Кристалло-
графические индексы этой плоскости будут (100), т. е. пропорцио-
Рис. 7.2. Расположение различных плоскостей в кубнческоГ£ элементарной
ячейке
нальны отношению 1 : (1/оо) : (1/оо). Если перенести начало коор-
динат на единицу масштаба вдоль оси X, то та же плоскость запи-
шется индексами (100). В общем случае плоскости, отличающиеся
одновременным изменением знаков всех индексов, являются парал-
лельными и принадлежат одному семейству, например, плоскость
(111) параллельна плоскости (Т1Г).
В любой кристаллической системе эквивалентные плоскости
связаны преобразованиями симметрии. В этом случае индексы пло-
скости. взятые в фигурные скобки {/?#/}, отвечают всем эквивалент-
ным плоскостям данного типа и называются кристаллической фор-
мой. Например, кристаллической форме {100} кубического кристал-
ла отвечают плоскости (100), (010), (001), (100), (ОТО), (ОбТ), свя-
занные между собой преобразованиями симметрии трех взаимно
перпендикулярных осей 4-го порядка. В тетрагональной системе
только плоскости (100), (010), (100), (010) принадлежат форме {100},
две другие плоскости принадлежат форме {001}; первые четыре
плоскости связаны осью 4-го порядка, последние две — осью 2-го
порядка. Следует отметить, что плоскости, принадлежащие одной
кристаллической форме, характеризуются одинаковым межпло-
скостным расстоянием, т. е. одинаковым расстоянием между двумя
соседними параллельными плоскостями.
Четвертый индекс в гексагональной системе. Элементарная
ячейка в гексагональной решетке определяется двумя равными
25. Кристаллографические символы
и компланарными векторами ах и а2) расположенными под угло.м
120° друг к другу, и осью с, находящейся под прямым углом к пло-
скости, в которой лежат векторы ах и а2, называемой базисной пло-
скостью. Узлы решетки, расположенные в базисной плоскости,
имеют гексагональную симметрию и характеризуются тремя равно-
правными осями alt а2, а3 (рис. 7.3). Поэтому в гексагональной си-
стеме принято определять положение плоскости с помощью четы-
рех индексов (hkil), где четвертый индекс i берется по оси а3. Так
как для определения положения плоскости в пространстве доста-
точно трех индексов, то четвертый индекс не является независимым,
а выражается через остальные.
Проведем в гексагональной системе координат плоскость, сле-
дом которой в базисной плоскости будет отрезок ВС; эта плоскость
отсекает на оси ах отрезок OB - Alt
на оси а2 — отрезок ОС = Л2 и на
оси а3 — отрицательный отрезок
OD — —z43 (рис. 7.4). Проведем
из точки D прямую, параллельную
оси а2- Из подобия получившихся
треугольников следует, что
(АХ~А3УА3, (7.5)
откуда
(Лх/Л2) — (Лх/Л3)	—1 или
(1/Лх) 4- (1/Л2) = 1'Л3.	(7.6)
Так как индексы являются вели-
чинами, обратными отрезкам, от-
секаемым плоскостью на осях коор-
динат, и по оси а3 отсекается от-
рицательный отрезок, то
h - k - — г, (7.7)
т. е. четвертый индекс равен сумме
первых двух, взятой с обратным
знаком.
На рис. 7.3 плоскости гексагональной призмы обозначены
с помощью трех и четырех индексов. Символы этих плоскостей
отличаются только перестановкой первых трех индексов формы
{1010}. Таким образом, при обозначении с помощью четырех ин-
дексов легко обнаруживаются равнозначные плоскости. Однако
расчеты в гексагональной системе для упрощения проводят с по-
мощью трех индексов. В иностранной литературе четвертый ин-
декс часто оп\'скается и заменяется точкой, т. е. записывается
(hk . I).
10G	Глаяа 1. Символы и формулы кристаллографии________
Символом {hkil} обозначают симметрично-равнозначные (эк-
вивалентные) плоскости, которые переводятся друг в друга каким-
либо элементом симметрии.
Рис. 7.4. К выведу четвертого индекса в гексагональ-
ной системе
Система обозначений с четырьмя индексами может быть исполь-
зована и для направлении в гексагональной решетке. Если в си-
стеме с тремя индексами направление R записывается в виде
R (3) ~ Н- Иа2 д- 1Гс,	(7.8)
то в системе с четырьмя индексами оно запишется
R (4) izajva, i-/а3-• юс,	• (7.9)
где индекс / вводится условием
и Н- v Ч- I - 0.	(7.10)
Так как в гексагональной системе а3 = — (а3 + а2), то, учитывая
условие (7.10), выражение (7.9) можно переписать в виде
R (4) — uax + иа2 -|- (u -|- и) (а3 -|- а2) wc
- (2и + н) аг Ч- (и Ч- 2v) а2 Ч- оус.	(7.11)
Сравнивая выражения (7.11) и (7.8), получаем:
U 2и Ч- v\ V = и Ч- 2v\ W ----- иу.	(7.12)
Решение системы уравнений (7.12) относительно и, vt ш имеет вид
u — (2U — V)/3, v ~ (2 V -- С/)/3, откуда, приводя индексы на-
правлений к общему знаменателю, получаем:
и - 2U — V; V - 2V — U\ W =--= 31Е; t = (а + и).	(7ЛЗ)
£ 26. Формулы структурной кристаллографии
107
Рис. 7.5. Индексы направлений в гексагональной системе
Примеры перехода от системы обозначений в трех индексах к обоз-
начениям в четырех индексах даны на рис. 7.5. Обозначения в че-
тырех индексах позволяют найти симметрично-равнозначные (эк-
вивалентные) направления
§ 26. ВАЖНЕЙШИЕ ФОРМУЛЫ СТРУКТУРНОЙ КРИСТАЛЛОГРАФИИ
Период идентичности. Период идентичности I вдоль данного
направления — расстояние между ближайшими узлами на данной
прямой — равен абсолютной величине вектора R (где R = mla1 +
4- m2a2 + m3aз, числа mlf m2t m3 не имеют общего множителя).
В общем случае для триклинной решетки период идентичности
выражается формулой
/2 = । r |2 = J- + гп^а} + 2т17и2а1о2 cos а3 +
4- 2m1m3or16Z3 cos а2 4- 2т2т3а2а3 cos аР	(7.14)
Для ромбической системы формула (7.14) упрощается:
I --- т\ а\-|- ml al 4 т3а*, так как а, --= сс2 а3 ;--90°.
Наиболее простой вид формула для периода идентичности имеет
в случае кубической решетки:
I. njAni 4” ml-\- так как aL -^ а2 — а3.
Угол между двумя узловыми прямыми. Так как скалярное про-
изведение двух векторов равно (RiR^) =	то угол ср
между прямыми	и	в матричном виде
определяется из выражения
cos ф	Gm^lVт('} Gm{1} т{2) Gni{2\ (7.15)
108	Глава 7. Символы и формулы кристаллографии
где q _ метрический тензор; m'", mw — векторы-строки; /п(1),
т|2) — векторы-столбцы.
Для кубической системы выражение (7.15) имеет простой вид:
созф= 2 тД’т)2’	(7-16)
1---= 1,2,3	II	1
Свойства вектора обратной решетки. Пусть вектор R = S/лщ/
находится в плоскости (AjMb), проходящей через узел [[ООО]]
(для такой плоскости q - 0). Угол между вектором R и любым век-
тором обратной решетки Н	равен
cos ф = RH/(j R11 Н |) = S/!; m;/(| R | |Н |).	\{7.17)
/
Если положить координаты вектора в обратном пространстве
равными индексам узловой плоскости (/^/ы^з), т0 из уравнения
(7.4), следует, что = q. Так как q — 0, то cos <р — 0 и, сле-
довательно, вектор перпендикулярен к узловой плоскости
(/Zi/Zo/lg).
Покажем, что длина вектора обратной решетки И обратно про-
порциональна межплоскостному расстоянию d (расстоянию между
ближайшими плоскостями) семейства плоскостей (hlh2h3). Разобьем
решетку на семейство параллельных плоскостей с индексами
(й1й2й3). Расстояние до ближайшей к началу координат плоскости
(q = 1) равно межплоскостному расстоянию d между любой парой
плоскостей семейства.
Уравнение плоскости номера q в векторной форме можно запи-
сать в виде
R(WH)~qd,	(7.18)
где R - S — текущий радиус-вектор; Н/Я — единичный
i~ 1.2,3
вектор нормали к плоскости; qd — расстояние q- й плоскости от
начала координат.
Учитывая, что (RH) = S и что S/иД ~ q [см. выражс-
i—1,2,3	I
ние (7.4)], получаем
ilHr~-d.	(7.19)
Здесь предполагается, что h1} /ы, h3 не имеют общего множителя,
поэтому вместо И вводится ГГ для отличия от общего случая,
когда компоненты этого вектора llt, H2i Н3 имеют общий множи-
тель т. е = nhs, Н2 = nh3, Н3 = nii3. В общем случае выраже-
ние (7.19) изменяется:
1//7 - ЩпН') ----- d/n.
(7-20)
§ 26. Формулы структурной кристаллографии	109
Угол между двумя плоскостями. Угол ср между плоскостями
(hL }h\ и	равен углу между нормалями к этим пло-
скостям:
cos ф ~ Н(1) Н(2,/(| Н<п 11 Н<2) —
= Я11’ G 1 hw/V hw G~'h{'} /я(2> G~^(2)),	(7.21)
где G1 — метрический тензор обратного базиса; Л(1)Л(2) — век-
торы-строки; Л(1), Л(2)--векторы-столбцы.
Угол между плоскостью и прямой. Угол ср между плоскостью
(Й1О3) и направлением Impnyn^ равен углу между этим на-
правлением и нормалью к плоскости:
cos <р = RH/(|R11Н I) = 2 /ггmJ (Km Gm]/Л G-1 Я, (7.22)
где т, h — векторы-строки; т, h — векторы-столбцы.
Объем элементарной ячейки. Объем элементарной ячейки, по-
строенной на базисных векторах прямой решетки ап а2, а3, выра-
жается смешанным произведением
v = ах [а2а3].	(7.23)
Раскроем выражение (7.23) по формулам векторной алгебры:
v2 = (а1 [а2а3])3 а2 1а2а3]2 — [ах [а2а3]]2.
Преобразуем в первом члене [a2a3]2, пользуясь формулой произ-
ведения [ab] led] = (ас) (bd) — (ad) (be):
[а2а3]2 = ala23 — (а2а3)2.
Применив ко второму члену формулу двойного векторного про-
изведения [a [bell = b (ас) — с (ab), получим
[ах la2a3]l2 = (а, (а,а3) — а3 (а^))2 = а* (а^з)2 —
-— 2 (aLa2) (а^з) (а2а3) г (aia2)2.
Окончательно находим:
v2 -	— а2 (а2а3)2 — a} (аха3)2 — а; (а^)2 +
-р 2 (аха2) (аха3) (а2а3)
или
v=a1a2a3 (1—cos3 cos2 а2 —cos2 а3 +
+ 2 cos at cos cx2 cos a3)I/2,	(7.24)
где «i,	C43 —углы между базисными векторами.
по
Глава 7. Символы и формулы кристаллографии
Для обратной, построенной на базисных векторах Ьх, Ь2, Ь3,
решетки объем элементарной ячейки определяется выражением
v* = Ьх [Ь2Ь3].	(7.25)
Покажем, что объем обратной ячейки связан с объемом прямой
ячейки соотношением
v* - 1/и.	(7.26)
Так как ах - [b2b3]/v*, а Ьг - [а2а3]/с1, то
/ 1_ Ч 1	[Ь2 ь3] [а2 а3]	(b2 а2) (Ь3 а3) — (Ь2 а2) (b3 а3)	1
(a, bi) — 1 -  ----------=-----------—— ---------------= — •
v г 17	ии*	W*	UU*
Откуда получим соотношение (7.26).
Квадратичная форма примитивной решетки. Из соотношения
(7.19) следует, что
i/d2 = I н' |2 = л, ь; )2=л? g11 Al g22+hi g33+
+ 2h1h,g12-\ 2h1h3g13 +2h.2h3g23,	(7.27)
где gik = (b;bft).
Выразив базисные векторы обратной решетки через базисные
векторы прямой решетки, получим
gii = bj =- Га-аА = ai аз)2 = g; _ cos2 а \
V2	1>2	с2 '	'1}
= sin2 «1 =	•	(7.28)
Аналогично:
g22 = (a2a2lv2) sin2 а2 = s22/v2;
g33 -- (a2a2/v2) sin2 a3 s33/r2;
g12	(Ь^) = [a2a3l [a3aj/o2 ;
=••= (a^a^/v2) (cos a2 cos u.2 — cos a3) -= s12/cj2;
g13	(бМ^з^2) (cos ui cos <j3 — cos a2) = s13/u2;
g23	(ala2a3/v2) (cos a2 cos c*3 -- cos aj = s23/v2.
Подставляя эти значения в уравнение (7.27), получим
1/d2 = (1,V) (/z2su + h~2s22 + //Js33 -j- 2hlh.2s12 r
+ 2M^3 -T- 2й2й3/123).	(7.29)
Для ромбической системы	(,з	9^, поэтому
w - (/ff/af) н- (hz/al) Ш (/г§/а§).	(7,30)
§ 26. Формулы структурной кристаллографии	1Н
Для кубической системы = а, ~ а3 = а и поэтому
\!d-		(7.31)
Условие зональности. Кристаллографической зоной называет-
ся совокупность плоскостей, пересекающихся по общей прямой
{т^т^т^, называемой осью зоны. Условие принадлежности кри-
сталлографической плоскости к данной зоне (условием зо-
нальности) является ее параллельность оси зоны R = 2 т^.
i= 1,2,3
Условие зональности определяется выражением
(HR) - 0,	(7.32)
где Н =	— нормаль к плоскости фф-Фз). Раскроем выра-
/
жеиие (7.32), используя свойства обратной решетки:
v	(7.33)
/=•1,2,3
По двум плоскостям	н (й^’й^’й^’) можно определить
индексы оси зоны [трп.лпз]. Запишем уравнения (7.33) для двух
плоскостей в виде
11,Л(т,_/т3)^!1^>(т.г!т3)= — /г'1’; 1	7
й<2> (т1/т3) -^-й!22) ('Л2/ш3) •- — /z(32). J
Отсюда, решая систему (7.34), находим неизвестные тъ т.1У т3 с точ-
ностью до постоянного множителя:
т1: т2: т3	• (/n2/m3): 1 —
= (/£(1)/г(з2)_/2(2) A(D): (/?и)л(2)_/г(2)/г(1));
(7.35)
Так как уравнение (7.33) симметрично относительно hi и т1з его
можно использовать для нахождения индексов плоскости (/^йЛц),
проходящей через две пересекающиеся прямые [т\Х}т'-Ут(^\ и
К : й2: /гз = (,п2! ’ /7/з2) -mi2) шз1)): И0 т^ — т1р т[У :
•.(/nUHn^) -т(12)щ<:1)).	И-36)
Раздел IV
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ,
РАССЕЯННЫХ КРИСТАЛЛАМИ
Глава 8, МНОЖИТЕЛИ ИНТЕНСИВНОСТИ
Рентгеновские лучи, проходя через кристаллическое вещество,
рассеиваются его атомами. Рассеяние происходит на электронных
оболочках атомов, которые становятся источниками сферических
волн рентгеновских лучей. Интерференция этих волн приводит
к возникновению дифракционной картины, интенсивность и геоме-
трия расположения максимумов которой определяются атомной
структурой вещества. Таким образом, изучение рентгеновских диф-
ракционных картин позволяет определять атомную структуру кри-
сталлических веществ. Для такого рода исследований необходимо
знать теорию интерференции рентгеновских лучей, основные пред-
ставления которой излагаются ниже.
Вначале рассмотрим геометрию дифракционной картины, при-
няв следующие .упрощающие предположения:
падающие рентгеновские лучи строго параллельны и строго мо-
нохроматичны;
кристаллическая решетка примитивна;
электроны, принадлежащие данному атому, сосредоточены в гео-
метрической точке — в узле (пренебрегаем размерами атомов);
атомы кристалла неподвижны (пренебрегаем тепловыми коле-
баниями);
поглощение в кристалле отсутствует;
кристалл имеет идеальное строение (отсутствует мозаичность);
размеры кристалла малы по сравнению с его расстоянием до
точки наблюдения;
вторичные волны не взаимодействуют с падающей волной.
казанные упрощения не вносят изменения в вычисленную гео-
метрию расположения дифракционных максимумов, но сказываются
на их интенсивности. Впоследствии мы будем постепенно отказы-
ваться от сделанных допущений, вводя различные множители ин-
тенсивности, учитывающие влияние перечисленных выше факторов.
Теория, не учитывающая взаимодействия между первичным и рас-
сеянным излучением, называется кинематической в отличие от
динамической теории, в которой это взаимодействие учитывается.
 § 27, Интерференционная функция Лауз	113
§ 27. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ ЛАУЭ
Предположим, что кристалл имеет форму параллелепипеда
с размерами сторон L± - N^, I2 - Д/2а2, £3 = tf3a3, где Nlt
N2» N3- число узлов (или элементарных ячеек) по главным кри-
сталлографическим направлениям, а а2, &з—длина трансля-
ций. Тогда число узлов (рассеивающих центров) равноW  = Л\У2У3.
Пусть на кристалл падает плоская электромагнитная волна
рентгеновского излучения. Под действием этой волны электроны
атомов (которые мы считаем сосредоточенными в узлах кристалличе-
ской решетки) приходят в колебательное движение. В результате
такого колебательного движения
электроны становятся источни- М
ками сферических волн, длина
которых совпадает с длиной волны
первичных лучей. Волны, мзлучае- \
мне различными атомами, интер-
ферируют: гасят друг друга в в___________\
одних направлениях и усиливают	j
в Других.	X L Z
Найдем интенсивность рентге-	\|/	в'
новских лучей, рассеянных в про- --------------*------------—
извольном направлении. Пусть	®
ВВ' —линия фронта плоской вол- Рис. 8.1. К выводу интерференци-
ны первичного луча (рис. 8.1),	оннои функции
амплитуда которой Ао и цикличе-
ская частота v, s0 — единичный вектор нормали к фронту волны,
Г; — радиус-вектор, проведенный из начального узла кристалличе-
ской решетки О в произвольный узел I.
Вектор Г/ определяется через векторы трансляций:
Г| ~ /^а^ -|-	-|- /3а3,	(8.1)
где а1} а2, а3 — векторы трансляций; /2, G ~~ целые числа.
Уравнение падающей волны в точке О имеет вид
Ео = А ехр (/со/),	(8-2)
где £о—напряженность электрического поля волны в точке <?;
/о — амплитуда волны в этой точке; cd = 2jiv круговая частота,
t — время.
В узел /, определяемый вектором Гц волна придет с запазды-
ванием, которое находится по разности хода D. Запаздывание по
фазе ф в точке I будет ф = (2л/Х) D = xD, где х — 2л. X. Из
рис. 8.1 видно, что
£> = ОЛ = |гг] cosX = (r(so)'	(8-3)
114
Г,шва 8. Множители интенсивноег'и
Тогда
Ф = х (г^о).	(8-4)
Так как мы предполагаем, что падающие лучи параллельны и
поглощение в кристалле отсутствует, то уравнение волны в точке
I будет
Ei = А о exp {i [со/ — х (гzs0)l }	(8.5)
Уравнение волны, рассеянной узлом I в некоторую удаленную точ-
ку /И, имеет вид
Ем = (Ф/7?г) Лоехр {/ [со/ — х (r,s0) — x/?J},	(8.6)
где E.v — напряженность электрического поля волны в точке /И;
Ri— расстояние от этой точки до узла /; Ф— рассеивающая
способность атома; член учитывает запаздывание волны при про-
хождении участка /?/. Появление Ri в знаменателе обусловлено
тем, что рассеянные лучи не параллельны, и, следовательно, их
амплитуда обратно пропорциональна расстоянию от рассеивающего
центра.
Единичный вектор в направлении ОМ обозначим s, а расстояние
между указанными точками В знаменателе уравнения (8.6)
Ri можно заменить на R, так как вследствие малых размеров кри-
сталлов, используемых для рентгеноструктурных исследований, все
расстояния от любого узла до точки М будут значительно больше
расстояний между узлами. Поэтому все расстояния между узлами
и точкой Л1 можно считать одинаковыми. В показателе степени та-
кую замену сделать нельзя, так как отличается от R на величину,
сравнимую с длиной волны.
С точностью до величин второго порядка малости можно поло-
жить = /? — (r,s). Действительно, на рис. 8.1 видно, что Ri —
- (ns) -г Ri cos у. Ho cos у ~ 1 — у2/2, и ввиду малости у можно
считать cos у ~ 1; поэтому
Ri R - (rzs).	(8.7)
После подстановки (8.7) в уравнение (8.6) и некоторого его пре-
образования получаем
Ем/А() (Ф//?) exp {I [0)/ — х/? + х (r/} s — s0)]}.	(8.8)
Для вычисления амплитуды Z, наблюдаемой в точке М в ре-
зультате рассеяния всеми атомами кристалла, необходимо просум-
мировать значения Ем по всем /. В предположении, что все атомы
рассеивают лучи одинаково, т. е. кристалл состоит из одинаковых
атомов, получаем:
2 = 1(ЕЛ1/Л0)( = (ф/^ехр{4[ш/ —х/? + х(гг, s — s0))}. (8.9)
§ 27. Интерференционная функция Лауз
115
Учитывая определение (8.1), получаем
Z = (Ф/Z?) exp [i (ш/—х/?)] 2 exp [?xZx (an s —s0)] х
X Vexp[ixZa(a2, s~ so)]£exp[ix/3(a3, s—s0)] =
*2	la
= (Ф//?)ехр [i(co/—х/?)] П Vexplix/; (a;, s—s0)].
/— 1. 2, 3 l
Введем обозначение Aj = % (ay, s — s0). Тогда
Z = (®lR) exp [t (co/—х/?)] П v exp (f/>• Ay),	(8.10)
j-l, 2. 3
где Nj — число узлов no /-ii оси координат, включая узел, находя-
щийся в начале координат.
Экспериментально можно измерить не амплитуду Z, а интенсив-
ность лучей I. Относительная интенсивность лучей /, рассеянных
кристаллом в направлении М, является квадратом амплитуды Z,
который может быть найден путем умножения Z на комплексно-
сопряженную величину Z*:
\/= 1,2, з
/^|Z|2 = |Z| jz*i-
Ni~l	V
V exp(i/;A;) Jexp[/(co/—xZ?)]|2.	(8.11)
/. = o	)
Раскроем выражение:
| exp [i (co/ — x/?)] |2 = exp U (co/ — xZ?)] exp [— i (co/
- xZ?)l=l;
член S енЛ является геометрической прогрессией типа a, aq,
i.
ж/2, ...\ acf-~\ В данном случае a — 1, q - exp (iAj), n = Nj.
Сумма геометрической прогрессии равна
S - (qa ~ l)/(q — 1).
Поэтому в нашем случае
S= 2 exp((7j Л7-)- [ехр(гЛ';.Л;)-1]/[ехр(ь4,)-1]. (8.12)
‘-°
Преобразуем это выражение по формуле
[exp (lx) - И (ехр С - ^) - 1] - 1 - exp (tv) - exp (- ix) +
-Ь 1 - 2 (1 — cos л) - 4 siir (л72).
116
Глава 8. Множители интенсивности
Тогда
__ sin2 (.V, Д,/2)
sin=(/»y/2)
Z exp(iljAj)
‘г-0
Подставляя полученный результат в уравнение (8.11), находим
ь(*л П
(8.13)
где <р (А^АлА :t) называется интерференционной функцией Лауз.
Математический анализ интерференционной функции позволяет
определить направление интерференционных максимумов по отно-
шению к кристаллической решетке.
§ 28. АНАЛИЗ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
Найдем значения, которые может принимать интерференцион-
ная функция ф(Л3Д2Л3) при различных значениях /1ь A2t 43,
рассмотрев в отдельности любой из сомножителей в выражении
(8.14).
При х -= Aj/2 = nHj (Hj — целое число или нуль) сомножитель
sin2 /V;-x/(sin2 х) достигает максимальной величины, равной N*.
Последнее показывается раскрытием неопределенности типа 0/0
путем двукратного применения правила Лопиталя. Отсюда следует,
что интенсивность главного максимума определяется выражением
/так = (Ф2/Я2) NiN22Nl	(.8.15)
Определим направления главных максимумов. Вспомним, что
ранее мы приняли обозначения А, = х (а?-, s — s0). Так как усло-
вием существования главного максимума является равенство Aj =
= 2л//;, то можно записать следующие три уравнения:
41^x(aI, s —s0)~ 2л//;
Л2 —х(а2, s — s0)--2n/(;
Л3--х(а3, s--s0) —2л/.,
(8.16)
где Н, К, L — целые числа, которые могут иметь общий множител •
Так как х —2л/?., то приведенные выше уравнения (уравнения Лау
можно записать иначе:
(ар s —s0) — /П; 1
(а2, s--s0) — Юй 1
(a:j, s —s0) -ZA; J
(8.1П
числа /7, К, L называют индексами интерференции.
$ ?Л. Анп.к/з шиерфергнционной функции
117
Обычно эти уравнения записывают в тригонометрической форме:
«j(coscc — cos сс0) =/А;
472(cos|3— cos|30) = /Q;
fl3 (cos у - cos y0) ZA, .
(8.18)
где a0, pOl y() и a, p, у — углы между первичным или дифракцион-
ным лучом и осями координат соответственно. Очевидно, каждое
из уравнений является уравнением конуса, а их решение отвечает
пересечению трех конусов по
об! । ie й обр аз у ющей.
При Л' 4- 3l/Nj пли при
Aj — 4- 2ix/Nj имеются первые
нулевые значения функции
sin2 A^,\7(siir Поэтому ширина
максимума этой функции равна
Ах 2л/Л;у пли •- 4л/А'у.
(8.19)
Рис. 8.2. График функции sin25.v.sin2.v
Кроме главных максимумов в
точках Aj ~ 2л//; существует
еще Nj — 2 побочных макси-
мума. Найдем высоту этих мак-
симумов. Функция L v (,v) sin2 NjX /(sin2 .v) является четной пе-
риодической функцией с периодом, равным л (рис. 8.2).
Рассмотрим интервал 0—л'2. Поскольку в этом интервале
Lx (,v)—монотонно-гладкая функция, то максимумы функции
L.v (Д’) во всяком случае при больших Nj будут определяться макси-
мумами функции sin2 А\т, т. е. будут находиться вблизи точек, для
которых sin2 NjX — 1, т. е. при .v.v = 12п + 1) n/(2A^), где п —
целое число. Значение функции Lx (.v) в этих точках равно
sin^ [V, 12/1-;-1) п л2.Х ,П______________!_____________
sin- [(2„ Н) 4'(2-Vpl sin2 1(2" У b
(8.20)
При Arj п функцию sin .гЛ- можно заменить ее аргументом
L.v (л) - 4.V- [(2/г	1)=лТ	(Й.21)
Таким образом, высота побочных максимумов, так же как и глав-
ных. пропорциональна Л?.	,„и.пГ1
Отношение высоты побочных максимумов к высоте главного
максимума равно
Zv(.tv)	4.V; •	______4___.	(8.22)
УУУЛоР .V? (2«-5-1 )2 л- еп+1г.п
/
Глава 8. Множители интенсивности
Отсюда видно, что относительная высота побочных максимумов не
зависит от Nj (при больших N>) и убывает при увеличении п. Она
составляет при значения?; п от 1 до 5 соответственно 4,50; 1,62; 0,82;
0,50 и 0,33% высоты главного максимума.
Определим долю энергии, рассеиваемой вне главных максиму-
мов. Для этого вычислим суммарную интенсивность рассеяния S
для одного периода функции L>,: (х). Изменим несколько порядок
расчетов, принятый при выводе интерференционной функции. Ум-
ножим значения амплитуды Z на комплексно-сопряженную величи-
ну, не производя перед этим суммирования:
Nj-X
ZZ* - (Ф2//?2) U exp 2i (nij—mj) х,	(8.23)
m m'
где х = (х/2) (г,., s — s0). После разложения выражения (8.23)
по формуле Эйлера сумма синусов обратится в нуль (так как сум-
мирование ведется по положительным и отрицательным значениям
mj и m'j). Поэтому получаем
sin2 N j х
sin2 х
cos 2(m; — m'j)x.
(8-24)
Выделяя в двойной сумме члены с /и ~ nt (их число равно Л/,, а
величина равна 1), находим •
л/2
S-2j
о
'Л^о-1
V c°s 2 (т,—tn'j)х
- о
dx
л/2
— 2/V;- f dx
о
(8.25)
При nij ф in- подстановка верхнего и нижнего пределов во втором
члене дает величины, равные пулю, а интеграл будет равен л/2.
Поэтому
S - nNj.	(8.26)
Д.1Я оценки рассеянной энергии, приходящейся на долю побоч-
ных максимумов, разобьем интервал (0, л) для х на частей. Тог-
да на каждом отрезке ti/Nj будет лежать один побочный максимум.
Высота побочных максимумов при xjV = (2/г + 1) n/2Nj, как
следует из выражения (8.20), пропорциональна cosec2 xN. Заменим
кривую, проходящую через вершины максимумов, ступенчатой.
При Л'/--*- оо эта кривая переходит в исходную. Под каждой сту-
пенькой лежит иоиочный максимум, описываемый выражением
6' Интерференционное уравнение и его интсрнрюицп.п	119
cosec2 хл. - sin2 Npc, где x меняется от nnlNj до (я-И)л/Л\
Побочные максимумы имеют в этом случае форму sin2 /, где
б <С t <С л. Известно, что плошадь под кривой sin2 t на участке от
Одо л равна л/2, т. е. половине площади прямоугольника, в который
вписан побочный максимум. Таким образом, площадь всех побоч-
ных максимумов стремится к половине площади под кривой cosec2 х
(при jV;->Oo).
Площадь побочных максимумов (при достаточно большом Afj)
в интервале от 0 до л/2 равна
я/2
s-- — ( cosec2 xdx ---ctg — ~	,	(8.27)
2 J	2 Nj 2л	7
так как при достаточно большом значении N} cig (л/Nj) ~ Nj/л.
В интервале от — л/2 до + л/2 площадь побочных максимумов
равна s ~ N j/л, а площадь под всей кривой S ~ л/Vj. Отсюда сле-
дует, что площадь побочных максимумов составляет ~ 1/л'2 площади
под кривой (х), т. е. ~ 10% суммарной интенсивности. При
любом конечном значении Nj побочные максимумы не могут слить-
ся с основными. Однако при увеличении Nj до бесконечности все
сколько-нибудь интенсивные побочные максимумы будут бесконеч-
но приближаться к главному максимуму, т. с. при достаточно боль-
шом значении Nj вся интенсивность сосредоточена около направле-
ний главных максимумов (побочные максимумы создают «подошву»
около главных максимумов).
§ 29. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
В ОБРАТНОМ ПРОСТРАНСТВЕ.
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЕ УРАВНЕНИЕ
И ЕГО ГРАФИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
Интерференционная функция <р (Л]Л2Л3) в выражении (8.14)
описывает в прямом пространстве распределение интенсивности
рентгеновских лучей, рассеянных кристаллом. Главные максиму-
мы этой функции, как было показано, отвечают значениям Aj г~-
= 2nHj, где Hj — целое число или нуль, а
Л; -= х (а7, s — So) 2л |а;, (s — s0)/^].	(8.28)
Выразим вектор (s — s0)/Z в координатах обратного пространства.
(s — sn)/^ " Ф1Ь1 4- ФзЬо 4- ФзЬз-	(8.29)
Подставив выражение (8.29) в (8.28), получим Aj ~ 2лфг Т°гДа
после подстановки в выражение (8.14) координат найдем распре-
деление интенсивности в обратном пространстве.
Z(4’i’M3) = ((1)W П Rin2-4'J A^;/(sin2 лЫ- (8-3°)
/ = I. 2. 3
120	Глава 8. Множители интенсивности
Максимумы интенсивности отвечают точкам обратного простран-
ства:
ф; = Hjt	(8.31)
где Hj — целое число.
Таким образом, уравнение
(s - s0)/Z	Я2Ь2 + //3Ьз -= И	(8-32)
определяет координаты главных максимумов в обратном простран-
стве. Уравнение (8.32) носит название интерференционного урав-
нения.
Нулевые значения / (Ф1ф2ф3) в обратном пространстве будут
в точках тру, определяемых равенством sin2 tv^jNj = 0. Отсюда сле-
дует, что'фу = k (1/Яу). Поэтому при k =- 1 область обратного про-
странства вблизи главного максимума (узла обратной решетки)
можно условно принять в виде параллелепипеда (или трехосно-
го эллипсоида) со сторонами
Д&х - (2/Л\)|Ь/|, Д£2 - (2Ж)|Ь2|, Д^з - (2/Я3) | Ь31. (8.33)
Отсюда следует, что объем узла обратной решетки равен
Ди* = ДЬ,[ДЬ.,ДЬэ]^—= —= —,	(8.34)
11	' 3J Л/1Л'2Л/3 v.V Vo ’
где v и v* — соответственно объемы прямой и обратной ячеек;
Vo — объем кристалла; N --- число элементарных ячеек в кристал-
ле.
Из соотношения (8.34) следует, что объем узла обратной решетки,
отвечающий области отличной от нуля интенсивности, увеличивает-
ся с уменьшением размеров кристалла. И наоборот, при больших
размерах кристалла узлы обратной решетки имеют очень малый
объем.
Если размер кристалла по одной.из главных осей очень мал, на-
пример N1 0, то узлы обратной решетки вытягиваются в стержни,
перпендикулярные к плоскости, содержащей базисные векторы
прямой решетки а2, а3.
Если кристалл по форме приближается к одномерному образова-
нию, например Л\ -> 0, N2 -> 0, то узлы обратной решетки представ-
ляют собой плоскости (или их участки), перпендикулярные к одно-
мерному узловому ряду прямой решетки, содержащему базисный
вектор а3.
Интерференционное уравнение (8.32) допускает простую геоме-
трическую интерпретацию, которая позволяет находить направле-
ния интерференционных максимумов.
Найдем обратную решетку кристалла, подсчитав длину обрат-
ных векторов и углы между ними по известным формулам. По-
§ 29. Интерференционное уравнение и его интерпретация 121
строим в определенном масштабе сетку обратной решетки, напри-
мер, содержащую векторы Ьг и Ь2 (рис. 8.3). Примем любой узел
обратной решетки за начальный и обозначим его О. Пусть на кри-
сталл падает луч в направлении s0 (по отношению к обратной ре-
шетке). В этом же масштабе отложим от начального узла отрезок
1/Х. Точку А примем за начало вектора s0/Z. Опишем сферу радиусом
1/Х с ее центром в точке А и иазоваем ее сферой распространения
(иногда ее называют сферой Эвальда или сферой отражения). Сфера
распространения всегда проходит через начальный узел О. Если
сфера распространения пересе-
чет еще какой-нибудь узел, на-
пример Р, то возможно появ-
ление дифракционного макси-
мума, так как из равнобедренно-
го треугольника АОР следует,
что в этом случае выполняется
интерференционное уравнение
Н - (s - s0)/X.
Покажем теперь, пользуясь
обратной решеткой, что в интер-
ференционное уравнение вклю-
чено и соотношение Вульфа—
Брэгга. Воспользуемся опять
геометрической интерпретацией
Рис. 8.3. Графическое изображение
интерференционного уравнения в об-
ратном пространстве
интерференционного уравнения
в пространстве обратной решетки (см. рис. 8.3). Так как вектор
обратной решетки перпендикулярен к отражающей плоскости
с индексами (Ш),.то след этой плоскости изобразится на рисун-
ке пунктиром. Обозначим углы между следом плоскости и на-
правлениями первичного s0 и отраженного s лучей й. Тогда
| Н |/2 = (1 /%) sin 0, откуда | Н | --- 2 sin 0/А. Индексы узлов об-
ратной решетки Hlt Н2, Н3 равны соответствующим индексам ин-
терференции и в то же время пропорциональны индексам отражаю-
щей плоскости: =- nh, Н2 — nk, Н3 = nl. Поэтому | Н | — п \ Н' |,
где коэффициенты компонентов вектора Н' не имеют общего мно-
жителя и являются индексами hkl. С другой стороны, ] Н' | = \/dhhl^
где dhkl — межплоскостное расстояние для семейства плоскостей
с индексами (hkl). Тогда | Н | п \ Н'|	2 sin 0/Х, откуда полу-
чаем формулу Вульфа—Брэгга: иХ — 2d sin ft.
При монохроматическом излучении в общем случае сфера рас-
пространения проходит только через начальный узел, и дифракцион-
ных максимумов не будет. Для получения дифракционной картины
при монохроматическом излучении кристалл надо либо вращать,
либо в качестве образца использовать кристаллический порошок.
Получение дифракционной картины от неподвижного монокри-
сталла возможно при использовании непрерывного спектра излу-
122
Глава 8. Множители интенсивности
чения. Непрерывный спектр имеет длинноволновую и коротковол-
новую границы. Первая, определяется поглощением в окошке
рентгеновской трубки, вторая, А,о — максимальным значением на-
пряжения на рентгеновской трубке. Поэтому и пространстве обрат-
ной решетки можно провести бесконечное число сфер, ограниченных
с одной стороны сферой радиуса г — 1А,„, а с другой сферой
радиуса R = 1/^0. Все эти сферы касаются начального узла О,
а их центры лежат в направлении первичного луча s0 (рис. 8.4),
Любой из узлов, находящийся в
Рис. 8.4. Построение сфер распро-
странения (сфер Эвальда) для непре-
рывного спектра
пространстве между ограничи-
вающими сферами, пересекается
одной из непрерывного набора
сфер распространения, что от-
вечает условию возникновения
дифракционного максимума.
Таким образом, число узлов,
находящихся между ограничи-
вающими сферами, определяет
число дифракционных максиму-
мов. Направление любого мак-
симума определяется просто.
Найдем, например, направление
максимума, обусловленного уз-
лом 714. Проведем в узел /И из
начального узла О вектор об-
ратной решетки Н. Из средней
по длине вектора Н точки L вос-
становим перпендикуляр к Н. Пересечение этого перпендикуляра
с направлением первичного луча s0 дает точку К, являющуюся
центром сферы распространения, пересекающей узел 714. Проведя
из точки К в точку 714 прямую, получим искомое направление диф-
ракционного максимума.
Наблюдаемую при непрерывном спектре излучения дифрак-
ционную картину от неподвижного монокристалла можно зареги-
стрировать на плоской фотопленке, расположенной перпендику-
лярно к первичному пучку (перед или за монокристаллом по ходу
первичного пучка). Такой метод получения дифракционной карти-
ны носит название метода Лауэ. Дифракционные пятна, получае-
мые на рентгенограммах, снятых по этому методу, располагаются
по характерным кривым, называемым зональными (эллипсы, пара-
болы, гиперболы, прямые).
На монохроматическом (или характеристическом) излучении
дифракционную картину от монокристалла можно получить при
его вращении вокруг какого-либо кристаллографического направ-
ления (обычно главного). Первичный пучок при этом направляют
перпендикулярно к оси вращения, а дифракционную картину ре-
^^ктерференционнос уравнение и его интерпретация	12'3
ности^ассет ^Тр°пЛеНКе’ pa'UIeutemi0li по цилиндрической поверх-
падает с oci ю 1’^"оложеннои вокруг кристалла. Ось кассеты сов-
падает с осью вращения кристалла.
ЛиЛпак11ИлпнмлП0СИТ название Л1е/пода вращения монокристалла.
ся по пп м ЯТНа На Рентге1101'Раммах вращения располагают-
ся по прямым линиям, называемым слоевыми.
мстоицрекНН°гВе11Ие диФРакционн?й картины интерпретируется гео-
Р с пом°ЩЬ1о обратной решетки. Пусть, например, кри-
ращается вокруг направления [ООП, т. е. вокруг оси а3.
Рис. 8.5. Объяснение возникновения слоевых линий на рент-
генограмме вращения монокристалла
Используя свойства обратной решетки, получаем, что ^Хаз,
b2-La3, откуда следует, что плоскость, содержащая векторы Ьх
и Ь2, перпендикулярна к оси вращения.
Направим первичный пучок рентгеновских лучей перпендику-
лярно к оси а3, так, чтобы он проходил через начальный узел О
обратной решетки, лежащий на оси вращения (рис. 8.5). Построим
по общим правилам сферу распространения с радиусом Ш. Если
кристалл вращается, то вместе с ним вращается обратная решетка
вокруг параллельной (ио не совпадающей с осью вращения кристал-
ла) оси. При этом узлы обратной решетки пересекают сферу рас-
пространения. В момент пересечения сферы отражения узлом обрат-
ной решетки появляется дифракционный луч. Нетрудно видеть,
что все возникающие при вращении кристалла дифракционные лу-
чи располагаются по образующим конусов, ось которых совпадает
с осью вращения кристалла. Пересечение таких конусов с пленкой,
расположенной по цилиндру, ось которого совпадает с осью кону-
сов, приводит к образованию слоевых линий. Для удобства расчетов
считают обратную решетку неподвижной, а сферу распространения
вращающейся в сторону, противоположную вращению кристалла.
Глава 8. Множители интенсивности
Если неподвижный образец представляет собой поликристалл
с хаотично ориентированными мелкими (^С J0“3 лья) кристалли-
тами (зернами) или кристаллический порошок, то при облучении
его монохроматическим или характеристическим излучением воз-
никает отчетливая дифракционная картина, которую можно объяс-
нить, используя понятие обратной решетки. Вследствие произ-
вольной ориентировки кристаллитов и их большого числа обратная
решетка поликристалла представляет собой ряд концентрических
Рис. 8.6. Объяснение дифракционной картины от
полукристаллического образца
сфер с радиусами, характеризующими все возможные значения
векторов обратной решетки Яг. Проведем первичный луч в центр
указанных сфер, который будет играть роль начального узла об-
ратной решетки поликристалла (рис. 8.6). Построенная на
этом луче сфера распространения будет пересекаться сферами
обратной решетки поликристалла по окружностям, откуда следует, 1
что дифракционные лучи лежат на поверхности конусов, осью ко-
торых является пучок первичных лучей, а их углы раствора равны
40. На один и тот же интерференционный конус могут наклады-
ваться отражения от плоскостей с разными индексами, по с одина-
ковым значением d, т. е. с одинаковыми значениями /7. Пересече-
ние дифракционных конусов с плоской пленкой, расположенной 1
перпендикулярно к первичному пучку, приводит к возникновению
дифракционной картины в виде ряда концентрических окружностей.
На фотопленке, расположенной по цилиндру, ось которого перпен-
дикулярна к первичному пучку, регистрируются дифракционные
максимумы в виде кривых четвертого порядка (пересечение конусов
30. Рассеяние сложной решеткой. Структурный множитель
125
с цилиндром). Этот метод получения дифракционной картины на-
зывается методом порошков {или поликристаллов).
Таким образом, для рентгенографического изучения кристал-
лических веществ используются три основных метода: метод Лауэ,
метод вращения монокристалла и метод порошков. Подробно эти
методы будут рассмотрены в гл. 9—11.
§ 30. РАССЕЯНИЕ СЛОЖНОЙ РЕШЕТКОЙ. СТРУКТУРНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ
Откажемся теперь от одного из наших упрощений. Пусть ре-
шетка будет сложной (рис. 8.7), т. е. внутри элементарных ячеек,
построенных из узлов /, содержатся дополнительные узлы k с рас-
сеивающей способностью Ф/о отличающейся от рассеивающей спо-
собности Ф1 узлов основной решетки. Обозначим г/ вектор, опре-
деляющий узлы основной решетки: п =	+ /2а2 + /3а3, где
^2,	— целые числа. Пусть г? — вектор, определяющий узлы,
находящиеся внутри элементарных ячеек основной решетки. Тог-
Рнс. 8.8. К выводу
структурного множи-
теля
да из рис. 8.7 следует, что г? = п + г,,, где гк - м^а, 4 от.,а2
-h/7z3a3; mlt т2, m3— координаты базиса, выраженные в долях
трансляций.
Найдем интенсивность лучей, рассеянных сложной решеткой
в направлении М (рис. 8.8). Обозначим единичные векторы в на-
правлении первичного луча s0; луча, рассеянного начальным узлом
в направлении М, s; расстояние узла I от точки М расстояние
узла k от той же точки R/.
126
Глава 8. Множители интенсивности
Относительная амплитуда волны, рассеянной узлом k в точке
наблюдения М, равна
(ЕЛ1Мо)/! = (Ф/</Я?) ехр {г [со/ — х/?? — х (riSo)l). (8.35)
Амплитуда результирующей волны в точке М. равна сумме ампли-
туд волн, рассеянных как узлами типа Z, так и узлами типа k:
Z - v X (£мМок i = X X(Фл,;/^) ехР {' И — *Ri — * (пЧ)]}- (8-36)
Т k	'ik
С тем же приближением, что и при выводе интерференционной функ-
ции, в знаменателе 7?/ можно заменить на /?, а в показателе степе-
ни —на R — (г* s):
Z = (1/7?)^^ФЛ,гехр{1[со/-х7?-|-х(г*, S-s0)]}.	(8.37)
I k
Так как г? =	+ rfe, то
z = (W) 2 exP (i ~ x (rz s “ so)]} x
i
x2®Mexp[^(rft, s — s0)b	(8.38)
k
Окончательно получаем
/ = IZ|2 - (l//?2) Ф (Л, Л2, Л3) F (Ж),	(8.39)
где (p(A1A2A3)— интерференционная функция; F2 (HKL) —
структурный множитель, F (HKL) называется структурной ам-
плитудой.
Из полученного выражения видно, что усложнение решетки не
приводит к появлению новых дифракционных максимумов, так как
интерференционная функция отлична от нуля только для направ-
лений главных максимумов, Наоборот, некоторые максимумы, имев-
шиеся в случае примитивной решетки, будут отсутствовать в слож-
ной решетке. Нетрудно видеть, что для примитивной решетки
F- (HKL) - Ф2.
Структурную амплитуду можно записать в виде
F(HKL) =^Ф/1схр{2л1[г/1> (s —s0)/X]} =
 ХФ/1ехр[2ш(г,1Н)].^ф;(ехр[2л1(Япг1-|-К/по + 1пг3)]) (8.40)
/г
так как
х -= 2л/л, rh г ,П1111 _|_ т2а2 тзаз> н = wbi	+ ЬЬз
§ 30. Рассеяние сложной решеткой. Структурный множитель
127
При этом Н = nh, К — nk, L = nlt п - порядок отражения.
Иногда структурную амплитуду записывают в тригонометриче-
ской форме:
F (НKL) - Фй [cos 2л (HmL + Юп2 + Lni3) ф
k
Ч-Z sin 2л	Lm^\.	(8.41)
Экспериментально измеряется интенсивность, а не амплитуда рас-
сеянных волн. Поэтому в формулу интенсивности подставляют квад-
рат структурной амплитуды F2, (hkl).
Рассмотрим несколько примеров вычисления структурного мно-
жителя.
Объемноцентрированная решетка. Базис объемноцентрирован-
ной решетки записывается в виде
/О 0	0 \
U/2 1/2 1/2/
Подставим значения координат базиса в формулу для структурной
амплитуды:
F (HKL) - Ф {1 -|- ехр [л/ (// Н- К I- L)l} =
= Ф [1 Н cos я (Н р/< + L)]	Ф [1 + ( - 1)Л/-н<н-Ч. (8.42)
Здесь значение рассеивающей способности узлов Ф вынесено за
скобки, так как предполагается, что рассеивающая способность
всех узлов одинакова. Если Н -|- К + L = 2п, то Р (hkl) =4;
если Н + К -| L = 2п + 1, то F2 (hkl) = 0.
Следовательно, при рассеянии рентгеновских лучей кристалла-
ми с объсмноцентрированной решеткой получаются только такие
отражения, которые соответствуют четным значениям суммы Я 4-
+ К -г F, причем интенсивность этих отражений в четыре раза
выше интенсивности отражения от плоскости с теми же индексами
примитивной решетки. Индексы интерференционных максимумов
Я, К, А, в отличие от индексов отражающей плоскости, могут иметь
общий множитель, который определяет порядок отражения. На-
пример, отражение с индексами интерференции 200 является отра-
жением второго порядка от плоскости с индексами (100), индексы
интерференции 440 отвечают отражению четвертого порядка от
плоскости (ПО).
Структура типа CsCL Отличие этой структуры от объемно-
центрированной решетки заключается в том, что рассеивающие спо-
собности узлов, находящихся в вершинах элементарной ячейки
и в центре ее объема, различны. Поэтому F (HKL) = ФС5 3- ФС]
при Н + К + F - 2п, F (HKL) = ФС5 — Фа при условии,
что Н -|- К + F ~ 2п Т 1. Таким образом, если сумма индексов
четная, то максимум возникает сильный, при нечетной сумме ин-
дексов — слабый,
Г28
Глава 8. Множители интенсивности
Гранецентрированная решетка,
шетки имеет следующий вид:
Базис гранецентрированной ре-
(о о о \
1/2 1/2 О I
1/2 0	1/2	I
О 1/2 1/2/
Подставив координаты базиса в формулу структурного миожп-
теля, получим
Рис. 8.9. Структура типа NaCl
F (HKL) Ф {1 I exp [ju X
X (Я Н-К)] -Н ехр [ш (Я А)1 +
-|- ехр [л/ (К + Л)1} = Ф [1 +
+ COS Л (// -I- К) -|-
-|- cos л (Я + L) г cos л (/< -И L)].
(8.43)
Если Я, Л”, L — несмешанные, т. е.
либо все четные, либо все нечетные
(нуль считается четным числом), то
Р(НЯ£)-16Ф2. Если Я, /С, L —
смешанные, то F2 (HRL) — 0. Таким
образом, для гранецентрированной
решетки будут наблюдаться отраже-
ния с индексами 111, 200, 220, 311
и т. д. Отражения с индексами 100,
110, 210, 211 и т. д. в этом случае
будут отсутствовать.
Из приведенных примеров видно, что при расчете структурного
фактора учитываются только координаты базиса и рассеивающая
способность узлов, в то же время структурный множитель не зави-
сит от размера и формы элементарной ячейки.
Структура типа NaCl. Кристалл NaCl имеет кубическую решет-
ку (рис. 8.9) с четырьмя атомами Na и четырьмя атомами С1, при-
ходящимися на элементарную ячейку. Координаты этих атомов
f о 0	0 \	/1/2 1/2 1/2\
1/2	1/2	0	1	1	1/2 |
1/2	0	1/2	’ Na| 1	1/2	11
V 0	1/2 1/2/	\1/2	1	1 /
Эта структура может быть описана совокупностью двух гранецен-
трироваииых решеток, сдвинутых относительно друг друга на по-
£ Рассеяние сложной решеткой. Ст руктурный множитель 129
ловину объемной диагонали ячейки. Для этого случая находим:
F (HKL) ~ фс{ {1 + охр Ini (Н + Я)1 -J- ехр [яс (Н +
+ L)] 4- ехр [л/ (Я 4- L)]} -l фЫа {ехр [ш (Н + К 4-
4- L)] 4- ехр [2л Z (Я 4- К + L/2)] 4- ехр [2л1 (Н 4-
4- Я/2 + L)] 4- ехр [2ш (Я/2 4- К + L)]}.
Преобразуем выражение, относящееся к Фиа> вынеся за скобку
ехр [л/ (И -Н Я 4- L)]:
ехр [л/ (Я 4- /< 4- L)] {1 ехр [л/ (И 4- Я)] 4' ехр [яг (Я +
4 L)] 4- ехр [л/ (К 4- £)]}.
Заметим, что выражение в скобках аналогично выражению, относя-
щемуся к Фс1. Поэтому, вынеся за скобку Fr ц к , получаем
F (IIKL) = Д,ц.к. {ФС1 4 ®Na ехр [л/ (Я 4- К 4- L)]} =
Г.ц.н. 1ФС1 + ФХа COS л (Я + Я" + А)],	(8.44)
где Fr^[tl.' — структурная амплитуда гранецентрированной ре-
шетки,
Л-.ц.и. = 1 4- ехр [л/ (Я 4- Я)] -4 ехр [лг (Я 4- L)] +
4- ехр [л/ (Я + L)].	(8.45)
Из полученного выражения видно, что при рассеянии рентгенов-
ских лучей на кристаллах со структурой типа NaCl присутствуют
отражения, имеющие несмешанные индексы, так как в случае сме-
шанных индексов Аг<ц к,= 0. Отражения с четной суммой индек-
сов Я 4- К -|- F — 2/2 будут сильными, так как в этом случае
F (HI\L) = 4 (Фка 4~ Фс1); при нечетной сумме индексов отраже-
ния получаются слабыми, так как F (HKL) 4 (®Na — Фщ).
Если кристалл состоит из атомов с близкими атомными номерами,
как в случае КО, то рассеивающие способности атомов Фк и ФС1
близки и интенсивность отражений с нечетной суммой индексов
исчезающе мала.
Гексагональная плотноупакованная структура. Равновеликие
атомы при плотнейшей упаковке на плоскости располагаются в гек-
сагональной симметрии: каждый атом будет окружен шестью сосе-
дями, касающимися друг друга. Если такие плоскости накладывать
друг на друга, то каждый атом второй плоскости при этом ока-
жется в лунке между тремя атомами первой плоскости. Если теперь
наложить третью плоскость таким образом, чтобы атомы этой пло-
скости располагались в лунках между атомами второй плоскости
и в то же время находились как раз над атомами первой плоскости,
го это будет так называемая гексагональная плотнейшая упаков-
5 Зак. 1288
130
Глава. 8. Множители интенсивности
ка атомов (рис. 8.10). В такой упаковке нечетные 1, 3, 5, ... и чет-
ные 2, 4, 6, ... плоскости повторяют друг друга. Элементарная
ячейка, отвечающая гексагональной плотноупакованной структуре,
описываемая базисом (ООО, 2/3 1/3 1/2), изображена на рис. 8.11.
Эта структура имеет центры инверсии, находящиеся на половине
расстояния между двумя атомами (отмечены на рис. 8.11 крести-
ками). Перенесем начало координат в центр инверсии (его коорди-
наты^ ^.11 Тогда элементарная ячейка будет иметь в вершинах
6 о 4 
Рис. 8.10. Гексагональная плотней-
шая упаковка атомов
Рис. 8.11. Элементарная ячейка
гексагональной плотноупакованной
структуры
центры инверсии и в объеме два атома (1 и 2, рис. 8.11). Базис та-
кой ячейки запишется как(4-A_LJL| иаи (JL J__L i _ 1
\ 6 К 4 ’ К К 4 /	\ А Л /1 ’ 1	£ ’
Вычислим структурную амплитуду для такого базиса:
F (ИКС} = Ф 'ехр [2ni (2Я/6	К/6 -j- L/4)] +
- ехр {2л/ [(1 — 2/6) И -У (1 — 1/6) К — (1 — 1/4) Л]}} =
= Ф (ехр [2л/ (2///6 КФ 4- Z./4) J -У ехр [2л/ (И
-г К К К)] ехр [— 2л/ (2Я/6 - К/6	Л/4)]} --=
= 2Ф cos 2л (2Я/6 -г К/6 -г Z./4) - 2Ф cos [(л/6) (4Н
+ 2К + 3L)].	(8.46)
Лрогна тизируем выражение (8.46). При L = 2п и 2Я + К = 3m
(/гит - целые числа) F (HKL) -- 2Ф cos [(л/6) (6m	6/г)] = 2Ф.
§ о/. Атомный множитель
131
При L = 2п и 2Н — К З/zz т 1
F (HKL) 2Ф cos (л/6) [2 (2m -- 1)	6/г] -= 2Ф cos [(m -р
-р п) л — (л /3)] — ± Ф.
При L “ 2/г - 1 и 2Н - К 3m
F (HKL) - 2Ф cos l(m - п) л — (л72)] == 0.
При L = 2п -р 1 и 2Н . К - 3m -j- 1
F (HKL) = 2Ф cos [л (m п) — (5/6) л] = ±1^30.
Таким образом, для гексагональной плотноупакованной структуры
характерно отсутствие дифракционных максимумов типа 111, 115,
117, 333 и т. д.
§ 31. АТОМНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ
При выводе интерференционной функции предполагалось, что
электроны атомов сосредоточены в геометрических точках — узлах
решетки. Это позволяло считать, что суммарная амплитуда волны,
рассеянной атомом, равна арифметической сумме амплитуд волн,
рассеянных отдельными электронами данного атома, т. е. Аа ~ 2Лб.
На самом деле атомы в кристаллах имеют конечные размеры, срав-
нимые с длиной волны рентгеновских лучей, используемых в рент-
геноструктурном анализе. Вследствие этого волны, рассеянные
различными частями электронного облака атома, будут отличаться
друг от друга по фазе и, следовательно, частично гасить друг друга.
В результате такого взаимодействия амплитуда волны, рассеянной
атомом, всегда меньше суммы амплитуд волн, рассеянных элек-
тронами атома, т. е. Аа<2Ае. Таким образом, интенсивность
лучей, рассеянных атомом в данном направлении, равна произве-
дению атомного множителя f2 на интенсивность рассеяния одним
электроном /,:
/ ф2 = /е /2 =. /0 -£L- 1J~c°s22a f.	(8.47)
m2 с4 2
'Величина f называется атомной амплитудой и равна отношению
амплитуды Ап, рассеянной атомом, к амплитуде волны Ае, рассеян-
ной электроном при тех же условиях, т. е. в том же направлении
и при той же длине волны: / = Аа/Ае. Атомная амплитуда зависит
от длины волны Z, порядкового номера элемента и угла рассеяния 0.
Найдем эту зависимость, сделав следующие упрощающие предпо-
ложения:
5*
132
Глава 8. Множители интенсивности
а)	электроны атома рассеивают как свободные частицы (связь
либо мала, либо со » со0, где со — частота падающего излучения,
0)о _ собственная частота колебаний электрона);
б)	в процессе рассеяния электрон считаем покоящимся (пре-
небрегаем эффектом Доплера);
в)	распределение электронов атома имеет сферическую сим-
метрию.
Рис, 8.12. К выводу атомного
множителя
Рис. 8.13. К вычислению разности хо-
да лучей, рассеянных объемом dv, по
отношению к началу координат О,
находящемуся в центре атома
Каждый i-й электрон данного атома характеризуется своей функ-
цией распределения (хуг), указывающей на вероятность пребы-
вания электрона в данной точке объема атома. Общая плотность
электронов в точке х, у, z равна
Р (^2) Pi (xyz).
i
Обозначим р (г) вероятность того, что электрон находится в объеме
dv, центр которого определяется вектором г. Тогда dq = р (г) dv,
гце dq — число электронов в объеме dv, Согласно определению,
общее число электронов атома равно Z — (dq. При наличии сфе-
V
рической симметрии удобно ввести в рассмотрение функцию U (г) =
~ 4лг2р (г), началом координат считают центр атома. Тогда dq =
~ 4лг2р (г) dr = U (г) dr, так как dv — 4n/*2dr. Функция U (г) dr
определяет число электронов, находящихся в сферическом слое тол-
щиной dr. Элемент объема атома рассеивает падающее излучение с
амплитудой df = dq ехр [tx (г, s — s0)|, где х (г, s — s0) — Ра3’
§ 31. Атомный множитель
133
ность фаз волны, рассеиваемой элементом объема, по отношению
к началу координат. Разность фаз можно определить из рис. 8.12:
D-(rs) — (rs0)--(r, s —s0).	(8.48)
Атомная амплитуда определяется из интеграла:
/ J	О-- Oq J -
V	V
= 5 ‘° ^уехР U’x(r> s — s0)] =
V
= J-^TduexPU’x(r> s—s°)]- (8-49)
V
Расстояние объема dv от начала ко-
ординат (рис. 8.13) равно г; отсюда
расстояние этого элемента объема от
экваториальной плоскости ? = гсозф.
Поэтому разность хода D = 2г sin ft =
= 2r sin ft cos ф, а разность фаз 6 =
= (4лг/%) sin ft cos ф. Элемент объема
Рис. 8.14. Зависимость атом-
ной амплитуды f от sin ft/X
в сферических координатах
dv = г2 sin ф dqdtydr. Введя это выражение под знак интеграла,
получим
оо	2 Л	,ГЛ
f = J U (г) dr J -1— dtp j sin ф exp [(4л/%) ir sin ft cos ф] dty =
ooo
oo
= $U sin(2xrsin^)
J	2xrsintf	v 1
о
Полагая S = 2x sin ft, находим окончательную формулу для атом-
ного множителя:
oo
7 = J U(r)^dr.
0
(8.51)
Из полученного выражения видно, что с увеличением угла ft
значение sin Sr/(Sr) будет уменьшаться, поэтому и величина атом-
ного множителя уменьшается (рис. 8.14). Так как подынтегральное
выражение обратно пропорционально Sr, то для больших углов ft
(S велико) основное участие в рассеянии принимают ближайшие
к ядру (внутренние) электроны. Внешние (валентные) электроны
дают заметный вклад в рассеяние только под малыми углами ft.
Благодаря тому, что в рассеянии в основном участвуют внутрен-
Глава 8. Множители интенсивности
ние электроны, можно при теоретическом расчете атомного множи-
теля использовать приближение сферического распределения элек-
тронов в атоме. Следует отметить, что это предположение не будет
верным для легких атомов.
Исследование распределения интенсивности рассеяния атомами
по углам $ позволяет определить функцию распределения из экс-
периментальных данных. На основании теоремы обратимости ин-
теграла Фурье находим
U (г) (2г/л) J Rf sin Sr dS.
о
По этой формуле из экспериментальный данных об атомном множи-
теле можно вычислить функцию распределения электронов в атоме.
§ 32.	ТЕМПЕРАТУРНЫЙ МНОЖИТЕЛЬ
Электроны атомов находятся в тепловом движении вместе с ато-
мами и молекулами вещества. Определяемый на опыте атомный мно-
житель /энсп является характеристикой рассеяния рентгеновских
лучей атомами, колеблющимися относительно узлов кристалличе-
ской решетки. При теоретическом расчете /теор следует учитывать
размытие электронного облака в результате теплового движения,
которое приводит к увеличению разности фаз между волнами, рас-
сеянными различными частями атома, что в свою очередь приводит
к дополнительному гашению рассеянных лучей. Учет тепловых
колебаний производится введением температурного множителя
/т//о°к — ехр (— 2Л4).	(8.52)
Для вывода температурного множителя сделаем следующие
упрощающие предположения:
а)	все атомы кристалла колеблются относительно своего поло-
жения равновесия независимо от соседей и все атомы обладают одной
и той же средней энергией;
б)	колебания атомов изотропны (не зависят от направления).
Первое предположение заведомо несправедливо для кристаллов
с любой структурой, так как на атомы действуют силы связи и они
не могут колебаться независимо друг от друга. Однако это упроще-
ние не влияет существенно на выражение для интенсивности диф-
ракционных максимумов. Второе предположение верно для кри-
сталлов с кубической решеткой.
Обозначим мгновенное смещение атома но отношению к его по-
ложению равновесия (узлу решетки) un. Тогда положение атома
ио отношению к началу координат определится суммой векторов
§ 32. Температурный множитель
135
з
i*n -|- где гп = S —вектор прямой решетки, определяю-
/=1
щии n-и узел.
При учете тепловых смеитений выражение (8.9) принимает вид
/V
(Ф//?)ехр [/(со/—х/?)] Vexp [—гх(гл + un, s — s0)]. (8.53)
i
Здесь суммирование ведется по всем узлам решетки, число которых
равно N. Умножив выражение (8.53) на комплексно-сопряженную
величину, найдем интенсивность рассеянного кристаллом излуче-
ния
I = ZZ* = (Ф2//?2) s V exp [ — ZK (S - s0, гп + un — rm — um)] =
п m
= (Ф2/ВД Vexp [—!x(s — s0, rn —rm)]exp[—tx(s—s0, un —um)J.
n m
(8.54)
В выражении (8.54) каждый из N членов двойной суммы, для ко-
торого п = т, равен единице. Обозначим сумму без этих слагае-
мых S S... Тогда
и tn^n
/ = (Ф2//?2){Л^+У V exp[ —/к(s —s0, rn — rm)]X
n m=^n
Xexp[ — Zx(s— s0, un —uni)]}.	(8.55)
Множитель exp [— Zx (s — s0, rn — rm)l не зависит от времени*
Второй множитель exp [— Zx (s — s0, un — uni)J характеризует
мгновенные взаимные смещения атомов. Для нахождения суммы
этих членов проведем усреднение по времени, предполагая, как при-
нято в статистической физике, что среднее по мгновенным смещениям
ансамбля частиц равно среднему по времени смещения одной ча-
стицы. Так как частота тепловых колебаний атомов (1013 сек-1) на
пять порядков ниже частоты колебаний электромагнитного поля
рентгеновских лучей (1018 сек-1), то можно считать, что атомы
практически не меняют своего положения за один период колебаний
этого поля.
Введем обозначение
х (s s0, un um) —Pnm.	(8.56)
Разложим один из членов суммы (8.55) в ряд, ограничившись че-
тырьмя членами, учитывая малость тепловых смещений атомов:
exp ( — i~Pnm) ~ 1 — iPnm — P'nm/21 +iPnm/3\.	(8.57)
136
Глава 8. Множители интенсивности
Поскольку противоположные по направлению и одинаковые по ве-
личине смещения равновероятны, то равновероятны и одинаковые
по величине, но разные по знаку разности ип — ит. Поэтому
в соотношении (8.57) нечетные степени Рпт равны нулю. Отсюда
получаем
ехр( — iPnm)~ — PnmW — ехр ( — Pnmlty- (8.58)
Учтем, что
Рлт = 2л[ип— ит, (s — s0)/X] = 2л (un iim, H)
= (4n/A.)sinfl[(un)H—(uJhL	(8.59)
где H = 2 sin M, a (un)H и (um)H — проекции смещений атомов
n и m на направление нормали к отражающей плоскости. Возводя
выражение (8.59) в квадрат, получаем
РЕ = (16 л W) sin2 fl [(un)H - (um)H]2 =
= (16л W) sin2 fl [M-2(un)H(um)H + OUS]. (8.60)
Поскольку предполагалось, что смещения атомов независимы, то
(ип)н(ит)н = («п)н(«т)н = о. Кроме того, вследствие предпола-
гаемого равенства энергии колеблющихся атомов
O = K)h = Z72.
Тогда
I = (ФЖ) {N + ехр [ — 16л2 Г2 (sin2 АД2)] X
XS SnexP[-w(rn-rm, s-s0)]} =
= (ФЖ){У + ехр(-2М)У.Sexp[-w(rn-rm, s-s0)]},	(8.61)
где
M = 8n2U2(sinT3'/X)2.	(8.62)
Принимая во внимание, что
V 2 ехр [-m (rn —rm, s—50)] = ср(Л1/12Л3) —7/,
n m~±n	4 * 1 * * * V o/
где ср MiA243) — интерференционная функция, вместо (8.61) мож-
но записать	v
/ = {tt [1 _ехр 2М)\ + срОМИз) ехр (— 27И)}. (8.63)
Член N [1 ехр ( 2/U)] описывает интенсивность диффузного
7°Г Р-астетлс Увеличением угла О и температуры. Член
Ф . 1 2 з) ехр ( 2/И) характеризует интенсивность дифракцион-
ых максимумов, которая убывает с увеличением О* и температуры
(вследствие р оста U2).
(8.65)
$ 33. Множитель Лоренца	137
Для кубических кристаллов, в которых колебания атомов про-
исходят изотропно, средние компоненты смещения по трем главным
направлениям равны, и поэтому Uj = U'43. Тогда выражение
(8.62) принимает вид
М = (8л2/3) Щ (sin е/Л)2.	(8.64)
П. Дебай и П. Валлер вычислили температурную зависимость М
для кристаллов с примитивной кубической решеткой, рассматри-
вая тепловые колебания атомов как результат суперпозиции упру-
гих волн, распространяющихся в кристалле. Эта зависимость
имеет вид
6/*2 Г W/O . J_ / sin а у
~ mW [ е/71	4 J \ X J
где h — постоянная Планка; k — постоянная Больцмана; m —
масса колеблющегося атома; 0 — характеристическая температу-
ра; Т — температура кристаллического тела (° К); D (Q/T) — функ-
ция Дебая (значения этой функции вычислены и табулированы).
Формула (8.65) дает согласующиеся с экспериментом значения М
при температуре, не превышающей значения, до которого верны
предположения о постоянстве характеристической температуры.
§ 33. МНОЖИТЕЛЬ ЛОРЕНЦА
Выражение для интерференционной функции (8.14) справедли-
во только для кристаллов с размерами порядка 10“б см. В действи-
тельности при рентгенографических исследованиях мы имеем дело
с кристаллами значительно больших размеров. Однако реальные
кристаллы являются мозаичными, т. е. состоят из блоков, повер-
нутых друг относительно друга на малые углы (от долей минут до
долей градуса). Если блоки достаточно малы, а их отклонение от
средней ориентировки характеризуется кривой Гаусса, то такой
кристалл называется идеально-мозаичным.
Для изучения мозаичной структуры кристаллов применяют
двухкристальные спектрометры. Такой спектрометр (рис. 8.15)
состоит из двух кристаллов: почти идеального (/) и исследуемого
(2). Пучок рентгеновских лучей падает на кристалл /, установлен-
ный под брэгговским углом #!, отражается от него и попадает
на кристалл 2 под брэгговским углом (^	Ф2> если кристаллы
одинаковые). Отраженный пучок регистрируется счетчиком 3.
Исследуемый кристалл 2 поворачивают вблизи отражающего поло-
жения с угловой скоростью со, при этом счетчик перемещается со
скоростью 2<о. Регистрируемое при этом распределение интенсив-
ности от угла поворота носит название кривой качания (рис. 8.16).
138
Глава 8. Множители интенсивности
Исследования на двухкристальном спектрометре показали, что
мозаичный кристалл отражает не только под брэгговским углом,
но и в некотором угловом интервале й — е, <Н е. Такое отступле-
ние от формулы Вульфа-Брэгга объясняется конечностью разме-
ров кристалла, а также отклонением от монохроматичности и парал-
дельности первичного пучка.
По указанным причинам интенсивность отражения лучей при
ориентировке кристалла под углом Вульфа Брэгга не характе-
ризует его отражательной способности, так как в зависимости от
совершенства кристалла при этих условиях отражение дает только
Рис. 8.15. Схема двухкристального спектрометра
некоторая доля блоков мозаики. В реальных условиях существует
величина, не зависящая от непараллельности первичного пучка
и мозаичности кристалла. Этой величиной является интегральная
интенсивность — площадь, ограниченная кривой распределения
интенсивности, получаемая при повороте кристалла около отра-
жающего положения в интервале от # — 8, до #	8. В этом слу-
чае все блоки независимо от их ориентации пройдут через отражаю-
щее положение. Интегральная интенсивность определяется вы-
ражением
i= [ I (a)d^,
где / (0) — интенсивность отражения кристаллом с объемом V
под углом й, а й и $' — углы, при которых интенсивность отра-
жения становится равной нулю.
Если /0 — интенсивность первичного пучка, то полная энер-
гия, попадающая в счетчик за время t прохождения отражаю-
щего положения при равномерном вращении кристалла с угловой
скоростью оз, будет
о,"
£ = Р (fl) 70 dt (70/и) С I (a) dd,	(8.66)
§ 33. Множитель Лоренца
139
так как w dftldt. Поэтому интегральная интенсивность равна
I - [ I (&) d$ - Есо//0 = QV = р,
(8.67)
где Q — отражательная способность единицы объема кристалла
V — объем кристалла; р — отражательная способность кристалла
Очевидно, р не зависит от ин-
тенсивности первичного пучка.
При конечных размерах
кристалла узлы обратной ре-
шетки не являются геометриче-
скими точками — они размыты;
хотя это размытие и мало при
размерах кристалла > 1000 А,
но оно существенно влияет на
зависимость интегральной ин-
тенсивности от брэгговского
угла. Найдем эту зависимость.
Пусть Q — телесный угол,
под которым видно из центра
сферы отражения (точка А на
рис. 8.17) сечение этой сферой
узла обратной решетки L. Если
кристалл вращается с угловой
Рис. 8.16. Кривая качания от моно-
кристалла
скоростью со вокруг оси, пер-
пендикулярной к плоскости чер-
тежа, то сфера отражения пере-
секает узел L, и счетчик регистрирует при любом заданном поло-
жении кристалла интенсивность, рассеиваемую в направлении s,
которая равна /0Ф2(р (ФгФгФз), где Ф — рассеивающая способ-
ность атома, ср (ф1ф2фз) — интерференционная функция в обратном
пространстве. Общая энергия излучения, попадающего в счетчик
в единицу времени, равна
Й
По мере поворота кристалла сфера отражения захватывает
(«заметает») узел обратной решетки (поворот кристалла заменен на
рис. 8.17 перемещением узла обратной решетки). Поворот кристал-
ла на угол ds осуществляется за время rfe/co. Поэтому энергия из-
лучения, попавшего в счетчик за время поворота кристалла на угол
de, равна /jde/со. Общая энергия, рассеянная за время прохожде-
Глава 8. Множители интенсивности
140
ННЯ кристалла через отражающее положение, составляет
Е = /0 Ф2 [ (de/®) [ <р (ifi *Фг Фз)=
«Г D
= (/0Ф2/®) J j Ф Oh ’h’h)de d®-	<8-68)
Pirc. 8.17. К выводу множителя Лоренца для
монокристалла
Телесный угол dQ вырезает на сфере отражения площадку
dQ/%2 = dS. При повороте сферы отражения на угол de эта площадка
порождает объем
d V* = dS | Н | cos ft de = dedQ sin 2ft/%3,	(8.69)
так как точка L перемещается в Lr на расстояние | Н | cos ft de па-
раллельно отражающей плоскости при повороте сферы отражения
на угол de.
Подставляя выражение (8.69) в (8.68), получаем
г- Л Ф2 Хз л
Е —— • —^7 f ф(4’1’Мз)^1/*-
со sm 2’1 J
J 33. Множитель Лоренца
141
Поскольку dV* можно представить в виде
dV* = dipib! [ch|)2b2 • ^ф3Ь31 = г/ф^фосЬрзи* ~ d^1d'^2d^alvt
где v¥ и v объемы обратной и прямой элементарных ячеек соот-
ветственно,
Е = "7Г" * 7777 5 ф ^з) d^1	(8-70)
где
- п ап,:*-л 
* *	&1П2лф>-
/= 1. 2, 3
Рассмотр им интегр ал
f - -1- f d (л1р.).	(8.71)
J &1П2Лф/	Л J 31П2лф, '‘ТУ	К /
Введем обозначение и = j. При достаточно большом N} про-
изведение лф> u/Nj — величина малая. Поэтому можно принять,
что в пределах узла обратного пространства *
sin2 лф;- ~ (лф;)2 = иЧЩ.
Поскольку d (лфу) ~ du/Nj, то
sin2 лф; Nj
sin2 лф.
^-7 J
— со
так как интеграл в указанных пределах равен л. После интегриро-
вания выражения (8.70) получаем
-	/0Ф2 Хз
Е =-— 
(О v sin 2v
(8.72)
Если V — отражающий объем кристалла, а У = A\Af2N3 — число
элементарных ячеек в нем и п — число элементарных ячеек в едини-
це объема, то nV = Л^/У2А73. Отсюда NxN2N3/v n2V и из соотно-
шения (8.72) находим
р = EW//O = n2X3O27/sin 2а.	(8.73)
Учитывая, что Q р/V и Ф2 = (e4/m2c4) f (1 + cos2 2О)/2, для
отражающей способности единицы объема кристалла получаем
е1 1 -]~со522н
т2 с4 2 sin 2а
Q-/rVf-
(8.74)
142
Глава 8. Множители интенсивности
Если решетка не примитивная, а сложная, то в выражении (8.74)
вместо атомного множителя f2 должен стоять структурный мно?ки-
тель F2. ^Множитель L (0) = 1/sin 20 носит название множителя
Лоренца для монокристалла. Этот множитель имеет большею вели-
чину для малых и больших углов А, чел? для промежуточных
значений О.
Рис. 8.18. К определению вероятности отражения
кристаллитом
В методе порошков выражение множителя Лоренца будет верно
для каждого отдельного кристаллита (зерна). Однако здесь сле-
дует учитывать второй геометрический фактор. Этот фактор обус-
ловлен тем, что интегральная интенсивность отражения под данным
углом Вульфа—Брэгга зависит также от числа кристаллитов, ори-
ентированных под углом (У и вблизи него. Это число не является
постоянным, даже если ориентация кристаллитов полностью хао-
тична. Найдем зависимость вероятности нахождения кристаллита
в отражающем положении от угла А. Поместим образец в центр
сферы О (рис. 8.18). Если рассматриваемая система плоскостей
(hkl} может отражать в интервале углов ДА, то в отражающем поло-
жении будут те кристаллиты, нормали к плоскостям (hkl) которых
окажутся в сферическом поясе шириной h = гДА. Так как пред-
полагается, что кристаллиты не имеют предпочтительной ориента-
ции, то можно считать, что концы нормалей к рассматриваемому
семейству плоскостей равномерно распределены по поверхности
§ 33. Множитель Лоренца
143
сферы. Если обозначить число кристаллитов, благоприятно ориен-
тированных для отражения, АА\ а общее число частиц Л", то вероят-
ность U7 попадания кристаллита в отражающее положение равно
отношению AN/N или отношению площади сферического пояса к
площади сферы:
117 — Л У — 2.т£?ц h _ г sin (90° —0) rAft cos Й ДЙ ,
X 4лг2	2^2	'	2	'
где радиус сферического пояса; г — радиус сферы. Отсюда
следует, что число кристаллитов, находящихся в отражающем по-
ложении, пропорционально cos 0 и
очень мало для отражений под боль-
шими углами 0.
В методе порошков промер интен-
сивностей дифракционных линий про-
изводится с помощью счетчика с изме-
рительной щелью высотой Н. Поэтому
промер интенсивности ведут обычно
на единицу длины дифракционного
кольца, так как в щель счетчика по-
падает только часть этого кольца,
которая зависит от угла ft (эта часть
будет большой при малых и больших
углах 0 и малой при средних значе-
ниях 0). Найдем интенсивность, при-
холящуюся на единицу длины ди-
фракционного кольца. Радиус ди-
фракционного кольца — г sin 2ft.
Следовательно, длина окружности
2лк — 2лг sin 2ft. Если г—радиус
Рнс. 8.19. Угловая зависимость
множителя Лоренца для поли-
кристалла
дифракционного кольца
камеры, используемой для
получения рентгенограммы, то интенсивность, приходящаяся на
единицу длины кольца, пропорциональна (2лг sin 2ft)-1. Тогда,
учитывая все эти факторы, находим
_1—cosfb —!__	--------!----= А(&).	(8.76)
sin 24 sin 2ft sin2 2ft sin2 ft cos ft
Обычно множитель Лоренца комбинируют с множителем поляриза-
ции Томсона Р (ft). Для монокристаллов этот комбинированный
угловой множитель будет
L (0) Р (0) -'УХ2" •	(877)
(8.78)
Комбинированный множитель для метода порошков записывается
в виде
L(&)P(8) = 1 + cos'20
sin- ft cos ft
Графическое изображение функции L (ft) P (ft) для поликристал-
ла дано на рис. 8.19.
144
Глава 8. Множители интенсивности
§ 34. МНОЖИТЕЛЬ ПОВТОРЯЕМОСТИ
В методе порошков интенсивность дифракционных линий за-
висит также от вероятности нахождения кристаллов в отражаю-
щем положении. Эта вероятность в свою очередь зависит от числа
эквивалентных плоскостей (hkl), для которых квадратичная форма
(1/d2) имеет одинаковое значение. Это число эквивалентных плоско-
стей р зависит от симметрии кристалла, не зависит от угла г)1 и
называется множителем повторяемости.
Множитель повторяемости р имеет для кубического кристалла
следующие значения: для плоскости типа {100} р =_р, так как име-
ются плоскости (100), (010), (001), (КЮ), (010), (001); для плоско-
стей типа {НО} р= 12 и для плоскостей типа {111} р = 8; для пло-
скостей {Ж)} и {hhl} р 24; для плоскостей общего типа {hkl}
р ~ 48. Для кристаллов более низкой симметрии множитель пов-
торяемости имеет меньшие значения. Так, например, для тетраго-
нальной системы множитель повторяемости для плоскостей {100}
р — 4, для плоскостей {001} р = 2 (это следует из того, что квадра-
тичная форма имеет одинаковые значения для плоскостей типа
{//00} и {0&0} при h — k). В этой системе для плоскостей типа
{hkl} р = 16.
§ 35. МНОЖИТЕЛЬ ПОГЛОЩЕНИЯ
Длинноволновое рентгеновское излучение, используемое в рент-
геноструктурном анализе, значительно поглощается в исследуе-
мых моно- и поликристаллах. Поэтому выведенные ранее форму-
лы интенсивности верны только для микроскопических кристал-
лов или для кристаллов с малым линейным коэффициентом погло-
щения р. Желательно учитывать изменение интенсивности в резуль-
тате поглощения в кристалле, что можно было бы сделать путем вве-
дения множителя поглощения А (р, й). Нетрудно видеть, что этот
множитель зависит от геометрии кристалла. Рассмотрим кристалл
произвольной формы. Пусть на кристалл падает пучок рентгенов-
ских лучей, который, пройдя путь s1} достигнет объема dv, в резуль-
тате чего произойдет ослабление излучения в ехр (— р^) раз.
Рассеянный под углом 0 объемом dv пучок лучей, пройдя путь s2
и дойдя до границы кристалла, также ослабляется в ехр (— ps2)
раз. Следовательно, интенсивность / рассматриваемого интерфе-
ренционного максимума будет определяться выражением
/ - Zoj Q ехр [ —р (Sl -р s2)] dv,	(8.79)
V
где Q отражающая способность кристаллографической плоско-
сти, Q =- р (ц) L (о) F2 (hkl) ехр (— 2Л4). Таким образом, мно-
	§ 35. Л Множитель поглощения
145
житель поглощения должен рассчитываться для определенной гео-
метрии кристалла.
В качестве примера рассмотрим вычисление множителя погло-
щения для простейшего случая — плоскопараллельной кристал-
лической пластинки толщиной d, когда отражающая плоскость
параллельна внешней грани кристалла. Пусть на кристалл под
углом О падает пучок первичных лучей, интенсивность которого
/0> а площадь поперечного сечения S (рис. 8.20). Выделим на глу-
бине Л' слой толщиной dx, в котором можно пренебречь поглощением.
Рис. 8.20. К выводу множителя поглощения для
плоскопараллельной пластинки
Путь первичного луча до элемента объема dv в выделенном слое
и отраженного луча s2 до выхода на поверхность кристалла одина-
ков и равен Si = s2 = x/sin ft. Общее уменьшение интенсивности
первичного и отраженного от объема dv пучка будет пропорциональ-
но ехр (— 2px/sin ft). Интегральная интенсивность для объема
dv равна di =l0Q ехр (— 2px/sin б) dv. Если пучок имеет круглое
сечение с площадью 5, то объем dv равен объему наклонного ци-
линдра, т. е. площади основания S, умноженной на длину образую-
щей этого цилиндра I (/= dx/sin ft). Тогда интегральная интенсив-
ность для всего кристалла будет
d
1 = 1^ ^Q(Sdxjs\n ft) ехр ( — 2pA'/sin ft) =
о
= /0 ((?S/2p) [1 — охр (—2puZ/sin ft)].
Если кристалл настолько толстый, чтоб нем полностью поглоща-
ется первичный пучок рентгеновских лучей, то полученная формула
упрощается, так как можно считать, что d-+ оо. Положив 5 — 1,
находим
/ = /0Q/(2p) - I0QA (р),
(8.80)
где А (р) — l/(2ji).
146
Глава Множители интенсивности
Вычислить множитель поглощения для цилиндрического образ-
ца (метод порошков) значительно сложнее. Для сильнопоглощаю-
щего образца найдено, что
Л(й)==Н.£^1п|--------S£^+Sin<>	(8.81)
2sini> (14-sin й) (1 4-2 sin Й)
а интегральная интенсивность равна
/ - /oQ MO hA М	(8.82)
где г — радиус; h— высота освещенного участка цилиндриче-
ского образца. А (д) зависит только от угла О и может быть найде-
но в справочных таблицах.
§ 36. СВОДНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ИНТЕГРАЛЬНОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ
ДИФРАКЦИОННЫХ МАКСИМУМОВ
Приводим формулы интегральной интенсивности, полученные на
основе кинематической теории. Формулы применимы для малых
или мозаичных кристаллов.
Для монокристалла
/ - /0 СЛ (р, а) V /0 А (р, d) L (&) Р (ft) Л2 (hkl) ехр (—2М) V =
= М (р, 0) п*X3	Я (hkl) ехр (—2А4) V, (8.83)
tn2 с4 2sin2H
где e4/(/;zV) = 7,9 • 10~2(’. Для плоскопараллельной кристалличе-
ской пластинки А (р, 0)	1/(2р), V -- облученный объем образца.
Для поликристаллического образца
/ = /0 A (it, 0-) L (&) Р (&) Р (hkl) охр (- 2Л1) pV =
= м (И. •) StSt “₽ ( -2,и>  <8-84>
§ 37. ПОНЯТИЕ О ДИНАМИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ИНТЕРФЕРЕНЦИИ
Для расчета интенсивности отражения от больших кристаллов
с идеальной структурой формула (8.83) не применима. В этом слу-
чае используют формулы динамической теории интерференции, учи-
тывающей взаимодействие первичного и рассеянного излучений.
Динамическую теорию разработали Дарвин, Эвальд, Валлер, Лауэ.
Наиболее простой вариант теории дал Дарвин, рассматривав-
ший появление рентгеновских дифракционных максимумов как ре-
зультат отражения первичного пучка от атомных плоскостей кри-
сталла, при котором отраженные лучи, в свою очередь, могут испы-
тывать многократное отражение. Отраженные лучи, взаимодейст-
вуя с первичным пучком, ослабляют его интенсивность.
$	0 динамической теории
147
Рис. 8.21. к объяснению эффекта
первичной экстинкции
Рассмотрим это явление подробней. Пусть кристалл находится
не в отражающем положении. Тогда первичный пучок, проходя
через кристалл, испытывает обычное поглощение, характеризуемое
линейным коэффициентом ослабления р. Если кристалл находится
в отражающем положении под брэгговским углом О по отноше-
нию к первичному пучку, то отраженные от атомных плоскостей лу-
чи попадают на лежащие выше атомные плоскости под углом О и
поэтому испытывают повторное отражение (рис. 8.21). Вторично
отраженные лучи отстают по фазе от первичного луча на л (это объяс-
няется тем, что при каждом от-
ражении фаза волны изменяется
на л/2), В результате взаимодей-
ствия первичной и вторичной
рассеянных волн происходит
ослабление интенсивности пер-
вичного пучка. Это явление но-
сит название первичной экстинк-
ции, Ослабление первичного
пучка можно характеризовать
коэффициентом е. Таким обра-
зом, ослабление первичного пуч-
ка определяется суммой коэф-
фициентов р + &, где р не за-
висит от угла ft, а е^О только при нахождении кристалла в
отражающем положении. Первичная экстинкция тем больше, чем
больше отражательная способность плоскости, и поэтому имеет
разное значение для различных плоскостей (hkl).
Интегральная отражательная способность идеального кристал-
ла определяется выражением
(8.85)
4 Зл тс- 2 sin 2^
Для вычисления интенсивности отражения от монокристалла, со-
стоящего из р атомных слоев, можно использовать формулу (8.83)
кинематической теории, вводя поправку на экстинкцию:
/ - /0Л (ft) QV th (pq)/(pq),	(8.86)
где q — отражательная способность, отнесенная к одной атомной
плоскости:
q = 2LjV^|F(/!M)|,
тс- sin н
м___число рассеивающих атомов в единице объема; d/jj меж-
плоскостное расстояние для плоскостей (hkl)\ Л—длина волны;
р	структурная амплитуда.
Н8
Глава 8. Множители интенсивности
Анализ зависимости th (pq) /(pq) от pq показывает, что эффект
первичной экстинкции становится заметным при pq L> 0,4; при
pq 0,2 — 0,3 первичной экстинкцией можно пренебречь. Очевид-
но, это имеет место при небольших р (кристалл мал) или малых q
(отражение от плоскости с большими индексами (hkl)].
В мозаичных кристаллах наблюдается вторичная экстинкция,
заключающаяся в экранировании нижних блоков верхними. Вто-
ричная'экстинкция, так же, как и первичная, приводит к ослаблению
интенсивности первичного пучка.
Пусть кристалл состоит из блоков,
слегка разориентированных отно-
сительно друг друга. Тогда при
вычислении интенсивности первич-
ного пучка, дошедшего до нахо-
дящегося в отражающем положении
блока 2 (рис. 8.22), предполагает-
Рис. 8.22. К объяснению эффекта CJ1> ч/° он ослабился В ехр (- ps)
вторичной экстинкции	раз (р — линеиныи коэффициент
ослабления, s— путь первичного
луча в кристалле до блока 2). Однако если на пути первичного
луча встретится хотя бы один блок (например, /), ориентирован-
ный так же, как и блок 2, то интенсивность первичного пучка бу-
дет уменьшена вследствие отражения блоком 1. Это явление и назы-
вается вторичной экстинкцией. Величина эффекта зависит от ве-
роятности нахождения на пути луча блоков с одинаковой ориен-
тацией, которая уменьшается с увеличением угла мозаичности ф.
Для случая плоскопараллельной кристаллической пластинки
с отражающей плоскостью, параллельной грани кристалла, при
учете вторичной экстинкции формула (8.80) принимает вид
1 = 70Q/[2 (И + ^Q)l,
(8.87)
где g — коэффициент вторичной экстинкции. Коэффициент g можно
определить, измерив интегральные интенсивности двух отражений
с большим и малым значениями Q. Однако в ряде случаев это сде-
лать трудно из-за одновременного влияния как первичной, так и
вторичной экстинкции. В общем случае выражение (8.87) прини-
мает вид
° 2O.-!-£Q')
где
pq
Разделить вклады обеих экстинкций удается благодаря тому, что
зависимость их от угла 0 различна. Измерив интенсивности ряда
отражений под разными углами О, можно определить вклад той
и другой экстинкции.
Раздел V
МЕТОДЫ РЕНТГЕНОСТРУКТУРНОГО
АНАЛИЗА
В рентгеноструктурном анализе в основном используются три
метода.
1.	Метод Лауэ. В этом методе пучок излучения с непрерывным
спектром падает на неподвижный монокристалл. Дифракционная
картина регистрируется на неподвижную фотопленку.
2.	Метод вращения монокристалла. Пучок монохроматического
излучения падает на кристалл, вращающийся (или колеблющийся)
вокруг некоторого кристаллографического направления. Дифрак-
ционная картина регистрируется на неподвижную фотопленку. В ря-
де случаев фотопленка движется синхронно с вращением кристал-
ла; такая разновидность метода вращения носит название ме-
тода развертки слоевой линии.
3.	Метод порошков или поликристаллов. Иногда этот метод на-
зывают по имени открывших его ученых — методом Дебая—Шерре-
ра—Хэлла. В этом методе используется монохроматический пучок
лучей. Образец состоит из кристаллического порошка или пред-
ставляет поликристаллический агрегат.
Каждый из методов имеет свои области применения, которые
будут рассмотрены в дальнейшем.
Глава 9. МЕТОД ЛАУЭ
Метод Лауэ находит применение на первом этапе изучения атом-
ной структуры кристаллов. С его помощью определяют сингонию
кристалла и лауэвский класс (кристаллический класс с точностью
до центра инверсии).
§ 38.	ОСНОВЫ МЕТОДА И ГЕОМЕТРИЯ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ КАРТИНЫ
В методе Лауэ дифракционная картина получается от неподвиж-
ного монокристалла при облучении его непрерывным спектром рент-
геновского излучения. Образцом может служить как изолирован-
ный кристалл, так и достаточно крупное зерно в п ол икр металл иче-
150
Глава 9. Метод Лауэ
ском агрегате. В последнем случае размер зерна не должен быть
меньше размера первичного пучка рентгеновских лучей, иначе на
рентгенограмме будут получаться отражения и от соседних зерен,
что мешает расшифровке рентгенограммы.
Внешний вид камеры РКСО для съемки по методу Лауэ приведен
на рис. 9.1.
Рис. 9.1. Камера РКСО
Пучок первичных рентгеновских лучей вырезается диафрагмой
1 с двумя отверстиями диаметром 0,5—1,0 мм. Диаметр отверстий
и расстояние между ними определяют степень параллельности
пучка; расходимость пучка будет тем меньше, чем меньше диаметр
отверстий диафрагмы и чем больше расстояние между ними. Размер
отверстий диафрагмы подбирается таким образом, чтобы сечение
первичного пучка было больше поперечного сечения исследуемого
кристалла. Кристалл 2 устанавливается на гониометрической го-
ловке (3, состоящей из системы двух взаимно перпендикулярных дуг.
§ 38. Основы метода
151
Держатель кристалла на этой головке может перемещаться относи-
тельно этих дуг, а сама гониометрическая головка может быть по-
вернута1 на любой угол вокруг оси, перпендикулярной к первичному
пучку. 1аким образом, гониометрическая головка позволяет менять
ориентацию кристалла по отношению к первичному пучку и уста-
навливать определенное кристаллографическое направление кри-
сталла вдоль этого пучка. /Дифракционная картина регистрируется
на плоскую фотопленку 4, помещенную в кассету, плоскость которой
расположена перпендикулярно к первичному пучку. На кассете
перед фотопленкой натянута тонкая проволочка, расположенная па-
раллельно (или перпендикулярно) оси гониометрической головки.
Топь от этой проволочки, которая получается на рентгенограмме,
дает возможность определить ориентацию фотопленки по отношению
к оси гониометрической головки. На кассете перед фотопленкой в
месте попадания первичного пучка ставится свинцовая ловушка,
которая предназначена для уменьшения плотности почернения пер-
вичного пятна на фотопленке до плотности почернения дифракцион-
ных пятен (при отсутствии ловушки первичное пятно получается
размытым и имеет размеры значительно больше сечения первичного
пучка).
Рентгенограммы, получаемые с таким расположением частей ка-
меры, носят название лауэграмм, которые, как принято говорить,
получаются по методу передней съемки (образец 2 располагается
перед пленкой 4 на расстоянии D от нее). Метод передней съемки
применяется в случае небольших кристаллов (при размере кристал-
ла меньше сечения первичного пучка) или в случае прозрачных для
рентгеновских лучей образцов.
Для крупных и непрозрачных образцов применяется метод зад-
ней (обратной) съемки. В этом случае параллельный пучок рентге-
новских лучей, вырезанный диафрагмой, проходит через отверстие
в фотопленке и попадает на кристалл. Дифракционная картина ре-
гистрируется на находящейся перед кристаллом (по ходу первичного
пучка) плоской фотопленке. Полученные методом задней съемки
рентгенограммы называют эпиграммами. Типичные лауэграммы и
эпиграммы приведены на рис. 9.2. На лауэграммах дифракционные
пятна располагаются по зопалы1ЫМ“Кртгвым (эллипсам, параболам,
гиперболам, прямым). Эти кривые, являющиеся сечениями ди-
фракционных конусов плоскостью, касаются первичного пятна. На
эпиграммах дифракционные пятна располагаются по гиперболам,
не проходящим через первичный луч (в частном случае пятна могут
лежать на прямой, проходящей через след первичного луча).
Для рассмотрения особенностей дифракционной картины в
методе Лауэ воспользуемся геометрической интерпретацией с по-
мощью обратной решетки. Повторим уже проделанное ранее по-
строение (см. с. 122) для непрерывного спектра, ограниченного дли-
нами Хо (коротковолновая граница) и К1П (длинноволновая гра-
152
Глава 9. Метод Лауэ
ница). Каждый из узлов, попавших между сферами с радиусами
1/А0; и 1/Х7П (см. рис. 8.4), будет обязательно пересечен одной из
возможных для данного интервала сфер распространения, что отве-
чает возникновению соответствующего дифракционного максимума.
Рис. 9.2. Типичные лауэграмма (а) и эпиграм-
ма (б)
образом’ узл“; расположенные между двумя крайними сфе-
Ifi,LTaBM10T эффективную область отражений. Эффективную
имя иа 1ожн0 увелвчить’ Уменьшив /.0 путем повышения напряже-
р нтгеновскои трубке. Уменьшить эффективную область мож-
§ 38. Основы метода
153
но ограничением Хт с помощью фильтра, который поглощает глав-
ным образом длинноволновое излучение*
Ввиду ограниченности размеров плоской фотопленки не все диф-
ракционные максимумы будут на ней зарегистрированы. На фото-
пленку попадают лишь те дифракционные лучи, которые лежат вну-
три четырехгранной пирамиды, основанием которой является фото-
пленка, а вершиной — кристалл (рис. 9.3). Не будут также за-
регистрированы на фотопленке дифракционные лучи, лежащие
вблизи первичного пучка, т. е.
лучи, находящиеся внутри ко-
нуса с углом раствора 7°.
Четырехгранную пирамиду так-
же можно аппроксимировать ко-
нусом, осью которого является
первичный луч, а угол раствора
ср2 определяется расстоянием
кристалла от пленки D и раз-
мерами этой пленки. При D =
= 40 мм и размерах фотопленки
9X12 см ф2 = 120°. Указанные
условия накладывают ограниче-
ния на угол отражения дифрак-
ционных максимумов, регистри-
руемых на фотопленке.
Ф! /4 < Ф < qp2/4.
Рис. 9.3. Угловое ограничение интер-
вала регистрируемых отражений:
/ — фотопленка; 2 — первичное пятно; 3 —
кристалл
Предельные конусы сужают эффективную область, лежащую между
граничными сферами отражения. Это следует из того, что наклон
векторов обратной решетки Н по отношению к первичному пучку
рентгеновских лучей не может превышать определенных значений
углов (Oi/2 и ю2/2 (рис. 9.4): coj = 180° — Ф1/2, <о2 ~ 180°—ф2/2.
Эффективная (в смысле регистрации отражений) область, распо-
ложенная между двумя граничными конусами наклона векторов
обратной решетки с растворами со2 и со2, с одной стороны, и
ограниченная крайними сферами распространения, с другой
стороны, называется полем индексов, т. е. эта область определяет
возможные индексы отражений, регистрируемых на лауэграмме.
Поле индексов для эпиграммы приведено на рис. 9.5. Нетрудно
видеть, что оно значительно больше, чем для лауэграммы, получае-
мой при тех же условиях съемки. Отсюда следует, что на эпиграм-
мах должно регистрироваться значительно большее число дифрак-
ционных пятен, чем на лауэграммах.
В методе Лауэ все лучи, отраженные от одной и той же кристал-
лографической плоскости, но разного порядка, будут совпадать по
направлению, что видно на рис. 9.6. Узлы, расположенные на
одном и том же векторе обратной решетки Н, будут пересекаться
Рис. 9.4. Поле индексов для лауэграммы
£ 38. Основы метода
155
сферами, имеющими вдвое, втрое и т. д. большие диаметры. По-
этому в одном и том же направлении будут распространяться ди-
фракционные лучи sb s2, s3, отвечающие длинам волн %, %/2, К/3.
Таким образом, каждое пятно на рентгенограмме соответствует опре-
деленному ряду узлов обратной решетки, т. е. ряду порядков отра-
жений для одного и того же семейства плоскостей (hkl). Анализ поля
индексов позволяет определить, наложению отражений каких по-
рядков отвечает данное дифракционное пятно. Наложение отраже-
Рис. 9.6. Геометрическая интерпретация отраже-
ний разных порядков в методе Лауэ
ний разных порядков в одном дифракционном пятне не позволяет
использовать метод Лауэ для определения расположения атомов в
кристаллических структурах, когда требуются измерения интенсив-
ности отражений от атомных плоскостей только в одном порядке,
т. е. без наложения.
Дифракционные пятна располагаются на лауэграммах по эллип-
сам и другим коническим сечениям. Такие кривые называют зональ-
ными. Установим причину такого закономерного расположения
пятен. Вспомним, что кристаллографической зоной называется сово-
купность плоскостей, параллельных одному направлению — оси
зоны [нда], что определяется выражением (RH) = 0, где R — на-
правление, совпадающее с осью зоны; Н — вектор обратной решет-
ки являющийся нормалью к данной плоскости зоны. Перепишем
условие зональности:
(1А) (R, s - s0) - 0.
156
Глава 9. Метод Лауэ
Отсюда следует, что Rs — Rs0 или | R | cos ф ~ | R | cos Фо, так как
s и s0 — единичные векторы. Следовательно, <р — ф0, гДе Фо
угол между первичным пучком и осью зоны, а <р угол между диф-
ракционным лучом и осью зоны. Так как кристалл при съемке по
методу Лауэ неподвижен, то фо постоянен, а это означает, что лучи,
отраженные от плоскостей зоны, располагаются на поверхности
конуса с углом раствора 2ф0 (рис. 9.7). Пересечение этого конуса
с фотопленкой приводит к появлению зональной кривой, по кото-
рой располагаются дифракционные пятна.
Рис. 9.7. К объяснению зональных
кривых на лауэграммах
Рис. 9.8. К объяснению зональных
кривых на эпиграммах
При <р < 45° (этот случай возможен только для лауэграмм) зо-
нальные кривые являются эллипсами, в центре которых распола-
гается точка пересечения оси зоны с плоскостью фотопленки; при
Ф = 45° зональная кривая является параболой, а при ср >45° —
гиперболой. При ср = 90° конус вырождается в плоскость, а зо-
нальная кривая представляет собой прямую, проходящую через
след первичного пучка. На эпиграммах регистрируются зональные
кривые только в виде гипербол (ф > 45°) или прямых (ф = 90°),
что иллюстрирует рис. 9.8.
Лауэграммы и эпиграммы являются отображением обратной
решетки кристалла. Это видно на рис. 9.9, на котором s0 — след
от первичного луча на фотопленке, s — след дифракционного луча,
N — точка пересечения нормали к отражающей плоскости (hkl}
с фотопленкой, -ft — угол составленный первичным лучом с отражаю-
щей плоскостью. Измерив расстояние I между первичным и дифрак-
ционным пятнами, можно определить расстояние L между первич-
ным пятном и точкой выхода нормали N по формулам:
tg 20 = l/D; L — D ctgO,
Применение метода Лауз	157
пплгипптЛ Ст°яние °т кристалла до фотопленки. Если совместить
т л/ иа Роекции с плоскостью фотопленки, то для нахождения
ucu гугп ’ ЭТ°И пР°еК1^ни наД° соединить прямой линией точки s0
ожить На продолжении этой прямой отрезок L. Полученная
thb^T Ра3ом точка N будет гномонической проекцией плоскости
( Л очки, отвечающие проекциям нормалей к плоскостям, при-
надлежавшим одной кристаллографической зоне, ложатся на одну
прямую. Это следует из того обстоятельства, что нормали к плоско-
Рис. 9.9. Построение гномонической и гномо-
стереографической проекций
стям одной и той же кристаллографической зоны располагаются в
одной плоскости, а такая плоскость пересекает плоскость проек-
ции по прямой.
Построенная по лауэграмме гномоническая проекция позволяет
судить о взаимном расположении в пространстве нормалей к отра-
жающим плоскостям и, таким образом, получить представление
о симметрии обратной решетки кристалла.
§ 39.	ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ЛАУЭ
Метод Лауэ применяется главным образом для исследования мо-
нокристаллов или крупнокристаллических образцов.
Определение качества кристаллов. Форма пятен лауэграммы
позволяет судить о степени совершенства кристалла. Хороший кри-
сталл дает на лауэграмме четкие пятна. Если кристалл представляет
собой сросток двух или нескольких кристаллов, то каждое пятно
на лауэграмме расщепляется на несколько близко расположенных
пятен соответственно числу сросшихся кристаллов. На лауэграм-
мах, полученных от деформированных кристаллов, дифракционные
пятна имеют вытянутую (предпочтительно в радиальном направле-
нии) форму. Это явление носит название рентгеновского астеризма.
158
Глава 9. Метод Лауэ
Определение ориентировки неограненных монокристаллов.
Метод Лауэ играет большую роль при исследовании монокристал-
лов металлов, обычно не имеющих правильной внешней огранки,
которая позволила бы судить об ориентации кристаллографических
осей. Определение ориентировки кристаллографических осей в не-
ограненном монокристалле проводится путем построения гно-
мостереографических проекций по лауэграммам или эпиграммам.
Определение ориентировки монокристаллов по лауэграммам.
Для определения ориентации кубических кристаллов обычно по-
лучают одну лауэграмму. Кристалл устанавливается на держателе
произвольно, а большая дуга гониометрической головки распола-
гается параллельно первичному пучку. На полученной рентгено-
грамме дифракционные пятна нумеруют. При нумерации в первую
очередь выбирают пятна, расположенные по наиболее ярко выражен-
ным эллипсам или другим зональным кривым. Пятна с малой ин-
тенсивностью во внимание принимать не следует.
Затем промеряют расстояние I от каждого нумерованного пятна
до центра рентгенограммы (центра первичного пятна) и определяют
углы 0 по формуле tg 20 — l/D (D — расстояние от фотопленки).
После этого копируют рентгенограмму на кальку, на которой
через следы первичного пятна проводят прямую, параллельную
тени проволочки на рентгенограмме (такая прямая будет соответст-
вовать направлению оси гониометрической головки). Центр пер-
вичного пятна s0 на кальке совмещают с центром сетки Вульфа и за-
тем проводят на кальке круг диаметром, равным диаметру сетки
Вульфа.
При построении гномостереографической проекции по рентге-
нограмме пользуются схемой (см. рис. 9.9), показывающей связь
между дифракционным пятном s на рентгенограмме и гномостерео-
графической проекцией плоскости (hkt), от которой получилось дан-
ное отражение. Так как луч падающий, луч отраженный и нормаль
к отражающей плоскости лежат в одной плоскости, то на стерео-
графической проекции выходы указанных направлений должны ле-
жать на одной прямой, причем если первичный луч перпендикулярен
к плоскости проекции (или, что то же самое, к плоскости фотоплен-
ки), то проекция этого направления совпадает с центром проекции,
а выходы отраженного луча и нормали будут располагаться по раз-
ные стороны от центра проекции. Зная это, помещают дифракционное
пятно, для которого ищется гномостереографическая проекция от-
вечающей ему кристаллографической плоскости, на экватор сетки
Вульфа (центр рентгенограммы должен совпадать с центром сетки
Вульфа). От края круга, противоположного дифракционному пят-
ну, отсчитывается вычисленный для этого пятна угол и наносит-
ся точка, которая и будет отвечать гпомостереографической проек-
ции кристаллографической плоскости (точка 3 на рис. 9.9). Затем
кальку поворачивают вокруг центра проекции до совпадения еле-
§ 39. Применение метода Лауэ	159
дующего пятна с экватором сетки, и для него опять находят соот-
ветствующую точку гномостереографической проекции и т. д.
Правильность построения проекции можно проверить: проекцию
поворачивают таким образом, чтобы точки, отвечающие одной кри-
сталлографической зоне (т. е. пятнам, расположенным на одной
зональной кривой), легли на один меридиан сетки Вульфа. Если
Рис. 9.10. Гномостереографпческая проекция, построенная
по лауэграммс
некоторые из точек смещаются относительно соответствующего ме-
ридиана более чем на 2° (точность построения проекции), то эти точки
найдены неправильно и их построение следует проверить.
Далее выбирают наиболее яркий эллипс. Такой эллипс должен
отвечать кристаллографической зоне с небольшими индексами. Вы-
ходы меридиана, на котором расположены точки проекции, отвечаю-
щие этому эллипсу, отмечают на кальке точками А и В (рис. 9.10).
Затем производят графический поворот проекции кристалла во-
круг оси, проходящей через трчки А и В. При таком повороте точ-
ки проекции, отвечающие рассматриваемому эллипсу, перемещаются
на большой круг, что отвечает перемещению осн данной кристалло-
графической зоны в центр проекции. Остальные точки, не лежащие

Глава 9. Метод .Лауэ
на рассматриваемом меридиане, также перемешаются по параллелям
в ту же сторону и на то же самое число градусов.
Повернутую проекцию совмещают с одной из стандартных полюс-
ных фигур, заранее построенных для ориентировок кубического кри-
сталла 1100], [НО], [111], I112J, [123]. Центр проекции совмещают
с центром полюсной фигуры, после этого кальку с проекцией вра-
щают, пытаясь найти совпадение точек, лежащих на больше?.! круге,
с точками стандартной полюсной фигуры. Если такое совпадение не
удается найти на одной нз полюсных фигур, то пытаются сделать
это на другой. Может случиться так, что ни одна из полюсных фигур
не даст удовлетворительного совпадения (расхождения точек не
должно превышать 2s}. Это означает, что для рассматриваемой кри-
сталлографической зоны нет заранее построенной полюсной фигуры
и всю операцию нужно проводить с другим зональным эллипсом.
Если найдено удовлетворительное совпадение на большом кру-
ге, то надо проверить, как совпадают точки внутри этого круга. Сле-
дует заметить, что на стандартных полюсных фигурах точки, от-
вечающие различным кристаллографическим плоскостям, отме-
чаются кружками различных диаметров, причем наибольший диа-
метр кружков отвечает наиболее интенсивны1.! отражениям от соот-
ветствующих плоскостей. Таким образом, при поисках совпадений
следует учитывать также интенсивность пятен рентгенограммы.
Если совпадение проекции с полюсной фигурой удовлетвори-
тельное, но для некоторых точек проекции, отвечающих слабым диф-
ракционным пятнам, нет совпадающих с ними точек полюсной фигу-
ры, то зто означает, что соответствующие кристаллографические на-
правления на проекцию не нанесены.
После того как найдено совпадение проекции с полюсной фи-
гурой, каждой точке проекции приписывают индексы соответст-
вующей кристаллографической плоскости. На той же полюсной
фигуре находят выходы главных кристаллографических направле-
ний П00], [010] и [001]. Далее определяют углы между этими на-
правлениями и внешними координатными осями. Обычно за такие
оси выбирают следующие: X — ось гониометрической головки, Y —
ось, перпендикулярная к оси X и к направлению первичного пучка,
которое принимается за направление оси Z (конец этой оси считается
направленным от наблюдателя). Промер углов ведется как обычно,
т. е. измеряется угол между направлениями, расположенными на
одном меридиане. Таким образом определяется ориентировка вну-
тренних кристаллографических осей по отношению к внешним.
В некоторых случаях ставится дополнительная задача ориенти-
ровки одного из главных направлений кристалла вдоль первичного
луча. Для этого совмещают'выходы оси Y с полюсами сетки Вуль-
фа и производят графический поворот кристалла вокруг оси Y до
попадания выбранного направления на плоскость YZ, затем сов-
мещают выходы оси X с полюсами сетки Вульфа и определяют угол
§ 39. Применение метода Лауэ
161
поворота, необходимый для совмещения главного направления с вы-
ходе??.i первичного пучка, находящимся в центре проекции. При оп-
ределении углов поворота кристалла нужно учитывать направление
поворота, которое определяется от наблюдателя, смотрящего вдоль
оси со стороны ее конца. Если рассматриваемое главное направление
перемещается по параллели сетки Вульфа слева направо (конец со-
ответствующей оси находится наверху), то это означает, что пово-
рот кристалла производится по часовой стрелке; если точка движет-
ся налево, то кристалл поворачивается против часовой стрелки.
После определения углов и направлений поворота производят
поворот кристалла в камере. Для этого камеру располагают диа-
фрагмой к себе (конец оси Z при этол направлен от наблюдателя).
После этого, глядя на большую дугу гониометрической головки
справа, производят поворот по этой дуге (поворот вокруг оси Y)
на нужное число градусов и в нужном направлении. Затем, глядя
на гониометрическую головку сверху, производят поворот вокруг
оси головки (поворот вокруг оси X); число градусов отсчитывается
по лимбу.
Можно также ориентировать монокристалл так, чтобы все его
внутренние оси совпали с внешними осями. В этом случае поворот
производят вокруг трех осей, причем порядок поворота строго обя-
зателен: можно поворачивать только в последовательности Z —>
-> Y X, т. е. так, чтобы каждый данный поворот не приводил
к смещению осей, вокруг которых будут производиться последую-
щие повороты.
Метод определения ориентировки кристалла с помощью стан-
дартных стереографических проекций используют и для некубиче-
ских кристаллов. В случае гексагональных и тетрагональных кри-
сталлов такие стандартные полюсные фигуры строят для определен-
ных отношений осей da. Так, например, некоторые металлы кри-
сталлизуются в гексагональной плотноупакованной структуре
с с/а=1,63. Построенные для этого соотношения по.тюсные фигуры
могут быть использованы для многих металлов, например, Mg, Ti,
а-Со, Hf и др.
В случае ромбической системы стандартные фигуры строят для
кристалла с определенным значением периодов а, Ь, с. Например,
имеются стандартные стереографические проекции для а-урана.
г' При определении ориентировки монокристаллов с неизвестной
решеткой прибегают к более сложному методу. В этом случае полу-
чают три лауэграммы: в нулевом положении (большая дуга гонио-
метрической" головки направлена по первичному пучку), поворот
от нулевого положения по часовой стрелке на 60° и поворот на тот
же угол от нулевого положения против часовой стрелки (—60°).
Это связано с тем, что по одной рентгенограмме нельзя построить
полную стереографическую проекцию плоскостей исследуемого кри-
сталла. На одной рентгенограмме регистрируются отражения только
6 Зак. 1288
162
Г лава 9. Метод Лау-)
от плоскостей, ориентированных по отношению к первичному лучу
под углом ^^ЗО0. Точки стереографической проекции, построенной
по этой рентгенограмме, лежат в пределах 30° от основного круга
проекции (заштрихованная область на рис. 9.11, я).
По каждой из полученных рентгенограмм строят обычным ме-
тодом стереографическую проекцию. На этих проекциях отмечают
дуги больших кругов, отвечающие достаточно четко выраженным
зональным кривым. Затем производят графический поворот стерео-
графических проекций, отвечающих рентгенограммам, снятым при
повернутых (по отношению к нулевому) положениях: точки проек-
Рис. 9.11. Области пюмостсрсографнческой проекции:
а — с точками проекции, построенной по пятнам лауэграммы; б — после графиче-
ского поворота на 6(Г по часовой стрелке; в —сводная проекция, построенная по
трем лауэграммам
ции для рентгенограммы, полученной с кристалла, повернутого
против часовой стрелки на--60°, перемещают по параллелям слева
направо, что соответствует повороту кристалла в нулевое положе-
ние по часовой стрелке на п"60° (см. рис. 9.11, б); точки па проек-
ции рентгенограммы кристалла, повернутого по часовой стрелке
на Н'бО0, перемещаются справа налево (поворот против часовой
стрелки в нулевое положение на — 60°). Если теперь перенести
точки всех трех проекций па общую, сводную проекцию, то послед-
няя окажется почти полностью заполненной этими точками
(см. рис. 9.11, в). На сводной проекции через точки, относящиеся
к одним и тем же зональным эллипсам, проводятся соответствующие
дуги больших кругов, которые указывают на принадлежность этих
точек к одним и тем же кристаллографическим зонам. Таким обра-
зом, сводная проекция будет представлять собой большое число пе-
ресекающихся между собой дуг больших кругов (рис. 9.12). Ана-
лиз такой проекции является довольно сложной задачей.
Вначале анализируют точки, в которых пересекается наибольшее
число дуг больших кругов. Эти точки являются проекциями пятен-
лауэграммы, в которых пересекается большое число зональных кри-
вых. Такие пятна, как указывалось, являются отражениями от важ-
ных плоскостей (с малыми индексами).
.$ Ю. П рамеаение метода Лаун
163
Затем следует найти стереографические проекции осей зон кри-
сталла. Для этого дуги больших кругов, на которых располагаются
точки гномостереографической проекции, построенные по пятнам
лауэграммы (точки первого рода), совмещают с меридианом сетки
Вульфа и отсчитывают 90° по ее экватору. Полученные точки (стерео-
графические проекции осей зон) называют точками второго рода
и отмечают на проекции крестиками.
Рис. 9.12. Сводная стереографическая проекция
Если все точки второго рода совпадут с точками первого рода,
то кристалл относится к кубической сингонии. Тогда следует искать
три взаимно перпендикулярные оси четвертого или второго поряд-
ка. Для этого измеряют углы между точками, лежащими на пересе-
чении большого числа дуг больших кругов, отмечая углы, равные
90°.
Если совпадение точек первого и второго рода наблюдается толь-
ко на одной дуге большого круга, то кристалл относится к одной
из сингоний средней категории (тетрагональной, гексагональной,
ромбоэдрической). Тогда нормаль к этой дуге является главным на-
правлением. Совместив это направление с направлением первичного
6*
164
Глава Р. Метод Лауэ
пучка и получив лауэграмму, по ее симметрии устанавливают син-
гонию кристалла.
При отсутствии систематических совпадении точек первого и вто-
рого рода заключают, что кристалл относится к сингонии низшей
категории. Для ромбической сингонии характерно наличие трех
дуг больших кругов, расположенных под углом 90 друг к другу,
на которых располагаются точки обоих родов. Точки пересечения
этих дуг являются проекциями главных направлений (осей) ром-
бического кристалла.
Для кристалла моноклинной сингонии характерно наличие толь-
ко одной дуги, на которую ложатся точки первого и второго родов.
Нормаль к этой дуге является проекцией оси Y кристалла. Оси X
и Z следует выбирать на самой дуге среди точек с большим числом
пересекающихся дуг.
При отсутствии каких-либо совпадений точек первого и второго
родов заключают, что кристалл принадлежит к триклинной син-
гонии, и тогда выбирают любую примитивную ячейку.
" 'Определение ориентировки кристаллов по эпиграммам. Меток
обратной съемки более широко используется, чем метод перед-
ней съемки, так как первый не требует специальной подготовки об-
разца, который в этом случае может иметь любую толщину. Кроме
того, на эпиграмме получается значительно большее число дифрак-
ционных пятен, что облегчает нахождение ориентации кристалла.
Монокристаллы металлов обычно имеют форму проволоки, прут-
ка или пластинки, в некоторых случаях встречаются кристаллы
в виде обломков неправильной формы. На исследуемые образцы на-
носится отметка, например прямая линия, которая позволяет одно-
значно определять ориентацию кристалла по отношению к внешним
координатным осям. Образец устанавливается в камере обычно та-
ким образом, чтобы его плоская поверхность была параллельна
плоскости пленки, а линия отметки располагалась параллельно оси
гониометрической головки или оси держателя. Большую дугу гонио-
метрической головки устанавливают параллельно плоскости фото-
пленки. Расположение координатных осей приведено на рис. 9.13.
По полученной эпиграмме строят гномостереографическую про-
екцию. Рентгенограмму копируют на кальку, поместив ее таким
образом, чтобы тень от метки располагалась в верхнем правом углу-
Затем нумеруют достаточно интенсивные пятна, расположенные на
четко выраженных зональных кривых. После промера расстояний
/г пронумерованных пятен от центра рентгенограммы находят углы
и* — уо йi по формуле tg 2а^ — IJD, где D — расстояние от
кристалла до фотопленки. Схема построения гномостереографиче-
скои проекции по эпиграмме приведена па рис. 9.14. Для построения
проекции вращением кальки вокруг центра сетки Вульфа дифрак-
ционное пятно s помещают на экватор, вдоль которого от центра
проекции откладывают вычисленный для данного пятна угол «р
$ 39. Применение метода Лауэ
165
Правильность построения проекции проверяют, помещая точки,
являющиеся проекциями пятен данной зональной кривой, на один
меридиан сетки Вульфа.
Далее производят поворот проекции вокруг произвольной оси
АВ таким образом, чтобы проекция точки, лежащей на пересече-
нии наибольшего числа зональных кривых, попала в центр круга
проекции. Повернутую проекцию совмещают со стандартными про-
екциями, которые отличаются от
используемых при индицировании
лауэграмм тем, что на них пред-
ставлена только центральная часть
Рис. 9.13. Расположение осей при
съемке эпиграммы:
/ — кристалл; 2—фотопленка; 5 —мет-
ка (sq — направление первичного пучка)
Рис. 9.14, Схема построения гно-
мостереографической проекции по
эпиграмме:
/ — плоскость фотопленки; 2 — пло-
скость проекции; 3 — точка гномосте-
реографической проекции ($ — дифрак-
ционное пятно)
общей проекции в области углов а от 0 до 55°, но со значительно
большим числом точек проекций кристаллографических плоскостей.
После нахождения совпадения с одной из стандартных проекций
отмечают выходы направлений [100], [010] и [001] и делают проворот
проекции вокруг оси АВ в исходное положение. Дальнейшие опе-
рации аналогичны применяемым в случае расчета по лауэграммам.
Необходимо только учитывать иное расположение координатных
осей. Порядок поворота Y Z ->- X.
Определение симметрии кристаллов. Одним из наиболее важных
применений метода Лауэ является определение симметрии кристал-
лов. При определении симметрии кристаллы ориентируются на го-
ниометрической головке так, чтобы первичный луч шел параллельно
плоскости или оси симметрии. В этом случае пятна на лауэграммах
располагаются с соответствующей этим элементам симметрией,
так как симметричному расположению атомных плоскостей должно
отвечать симметричное расположение отраженных лучей.
Однако симметрия пучка отраженных лучей может быть выше
истинной симметрии кристалла, может включать дополнительно
Глава 9. Метод Лауэ
166
центр инверсии, т. е. по лауэграммам нельзя установить отсутствие
у кристалла центра инверсии. В самом деле, система плоскостей
с индексами (likl) и (Ш-это одна и та же система, а отражения
hkl и"/гИ — суть отражения с разных сторон этой системы. Если
кристалл не обладает центром инверсии, то это означает, что вид
на эту систему с разных сторон неодинаков. Но вторичные лучи бу-
дут отражаться под тем же углом й (одинаковое межплоскостное
расстояние) и с той же интенсивностью (одинаковый структурный
Рис. 9.15. Десять типов симметрии лауэграмм
множитель) независимо от того, эквивалентны ли плоскости
(hkl) и (hkl) или нет. Это положение было сформулировано Фриде-
лем в виде теоремы: геометрия интерференционной картины не
изменится при изменении направления первичного луча на обратное^
неизменной останется также интенсивность интерференционной
картины.
Таким образом, кристаллы, относящиея к кристаллическим клас-
сам, различающимся наличием или отсутствием центра симметрии,
дают рентгенограммы с одинаковой «рентгеновской симметрией»,
поэтому относятся к одному лауэвскому классу. Всего имеется 11
лауэвских классов, в каждый из которых входит по нескольку кри-
сталлических классов. Определение лауэвского класса производится
на основании изучения симметрии лауэграмм (или эпиграмм), сня-
тых вдоль нескольких важных кристаллографических направлений.
Всего может возникнуть 10 типов симметрии лауэграмм, схемы ко-
торых приведены на рис. 9.15. Несимметричную лауэграмму 1
жет дать любой кристалл. Моноклинные кристаллы характеризует
лауэграмма типа 2, снятая вдоль оси Ь. Для тетрагональных кри-
сталлов, снятых воль оси [0011, характерна лауэграмма типа 4.
,? 40. Основы метода
167
илгпямми ‘ 1е кРисталлы> снятые вдоль оси [001], дают рентге-
Д, гп ™"а 6 ИЛИ 6т' Ромб°эдрнческие кристаллы, снятые
вдоль главной оси, дают рентгенограмму типа 3. Для кубических
кристаллов, снятых вдоль тройной оси, возможен тип 3 или Зт.
ип лауэграммы 4т характерен для кристаллов кубической син-
гонии, принадлежащих к наиболее симметричному классу тЗт.
Ромбический кристалл, снятый по направлениям [100], [010],
[ООН, дает рентгенограммы типа 2т.
Метод Лауэ применяется также для исследования пластической
деформации кристаллов и определения размеров зерен в крупно-
кристаллических образцах. Эти области применения метода Лауэ
будут подробно рассмотрены несколько позже.
Глава 10. МЕТОД ВРАЩЕНИЯ МОНОКРИСТАЛЛА
Метод вращения является основным при определении атомной
структуры кристаллов. Этим методом определяют размеры элемен-
тарной ячейки, число атомов пли молекул, приходящихся на одну
ячейку. По погасаниям отражений находят пространственную груп-
пу (с точностью до центра инверсии). Данные по измерению интенсив-
ности дифракционных максимумов используют при вычислениях,
связанных с определением атомной структуры.
§ 40.	ОСНОВЫ МЕТОДА
В методе вращения дифракционная картина получается от моно-
кристалла, вращающегося вокруг определенного кристаллографиче-
ского направления, при облучении этого кристалла монохроматиче-
ским или характеристическим рентгеновским излучением. Схема
камеры для съемки по методу вращения приведена на рис. 10.1.
Первичный пучок вырезается диафрагмой 2 (с двумя круглыми от-
верстиями) и попадает на кристалл 1. Кристалл устанавливается
на гониометрической головке 3 так, чтобы одно из его важных на-
правлений (типа 1100], [010], 1001]) было ориентировано вдоль
оси вращения гониометрической головки. Гониометрическая голов-
ка представляет собой систему двух взаимно перпендикулярных
дуг, которая позволяет устанавливать кристалл под нужным углом
по отношению к оси вращения и к первичному пучку рентгеновских
лучей. Гониометрическая головка приводится в медленное вращение
через систему шестерен с помощью мотора 4. Дифракционная карти-
на регистрируется на фотопленке 5, расположенной по цилиндри-
ческой поверхности кассеты определенного диаметра (86,6 или
57,3 мм).
Установка (юстировка) кристалла на гониометрической головке
камеры при наличии ясно выраженной огранки производится либо
158	Глава 10. Метод вращения монокристаллов
С помощью оптического гониометра, либо с применением специаль-
ного осветителя, который надевается на камеру вместо диафрагмы.
В последнем случае в темной комнате наблюдают отражения от
кристалла узкого пучка видимых лучей, идущего от осветителя.
Кристалл перемещается по дугам гониометрической головки так,
чтобы отраженный луч совпал с первичным. В этом случае можно
Рис. 10.1. Внешний вид камеры вращения монокристалла
считать, что одна из граней кристалла располагается перпендику-
лярно к первичному пучку и параллельно оси вращения головки.
Если получено такое же совпадение первичного и отраженного лучей
для второй грани, не параллельной первой, то кристаллографиче-
ское направление, параллельное следу пересечений этих граней,
окажется ориентированным параллельно оси вращения. При от-
сутствии внешней огранки ориентация кристаллов производится
методом Лауэ; для этой пели в камере вращения предусмотрена воз-
можность установки кассеты с плоской фотопленкой.
Дифракционные максимумы на рентгенограмме вращения рас-
полагаются вдоль параллельных прямых (рис. 10.2), называемых
слоевыми линиями. Максимумы на рентгенограмме располагаются
симметрично относительно вертикальной линии, проходящей через
§ 40. Основы метода
169
первичное пятно (обозначена на рисунке пунктиром). Часто на
рентгенограммах вращения наблюдаются непрерывные полосы, про-
ходящие через дифракционные максимумы. Появление этих полос
обусловлено присутствием в излучении рентгеновской трубки не-
прерывного спектра наряду с характеристическим.
Возникновение дифракционной картины в методе вращения было
рассмотрено на с. 123. При вращении кристалла вокруг главного
(или важного) кристаллографического направления вращается свя-
занная с ним обратная решетка. При пересечении узлами обратной
решетки сферы распространения возникают дифракционные лучи,
Рис. 10.2. Рентгенограмма вращения кристалла каменной соли
располагающиеся по образующим конусов, оси которых совпадают
с осью вращения кристалла. Как указывалось, удобно считать
неподвижной обратную решетку, а сферу распространения — вра-
щающейся в направлении, обратном вращению кристалла.
Все узлы обратной решетки, пересекаемые сферой распростра-
нения при ее вращении, составляют эффективную область, т. е.
определяют область индексов дифракционных максимумов, возни-
кающих от данного кристалла при его вращении. Эффективная
область в случае первичного пучка, перпендикулярного к оси вра-
щения, заключена в тороиде, половина которого изображена на
рис. 10.3. Размер этого тороида возрастает с уменьшением длины
волны первичных лучей. При наклонном падении первичного пучка
по отношению к оси вращения эффективная область уменьшается,
так как появляется область вблизи оси вращения, которая не пере-
секается сферой распространения. Рентгенограммы, полученные
при наклонной съемке, содержат тем меньше дифракционных
пятен, чем меньше угол ц между первичным пучком и осью вращения.
При определении размеров эффективных областей удобнее рас-
сматривать интерференционные условия отдельно для каждой пло-
скости обратной решетки, перпендикулярной к оси вращения кри-
сталла.
270
Глава 10. Метод вращения монокристаллов
Нулевая слоевая линия образуется при пересечении сферой
распространения плоскости обратной решетки, в которой распола-
гается первичный луч. В этом случае эффективная область опреде-
ляется вращением круга диаметром 2/Х вокруг начального узла О.
Тогда эффективная область для нулевой слоевой линии будет пред-
ставлять собой круг диаметром 4/Х. При наклонной съемке диаметр
эффективной области составляет 4 sin рА.
Рис. 10.3. Эффективная область в методе вращения при перпенди-
кулярной съемке
п-я слоевая линия. Сфера распространения пересекает n-ю пло-
скость обратной решетки, отстоящую от нулевой плоскости на
расстоянии nd*, где d* — расстояние между соседними плоскостя-
ми обратной решетки по оси вращения. Тогда на n-н плоскости
вблизи оси вращения будет находиться область, которая не пересе-
кается сферой распространения, т. е. эффективная область пред-
ставляет собой кольцо шириной гвпсшн — rBHyTJ)( где гв„ешп =
= (1/k) + I (1Яг) — (nil)2 (I — период идентичности по осп вра-
щения), а гвпутп = (1/л) — р (1/Г2) — (/г//)2. Отсюда следует, что
с возрастанием номера слоевой линии эффективная область умень-
шается, следовательно, число дифракционных максимумов на слое-
вой линии также уменьшается. Число слоевых линий, регистрируе-
§ 41. Задачи, решаемые без индицирования
171
мых на рентгенограмме вращения, возрастает с уменьшением длины
волны первичного рентгеновского излучения, так как растет ра-
диус сферы распространения.
В ряде случаев вместо полного вращения кристалл качают
на угол со (2, 5, 10,. 15°). Эффективная область для метода колебания
уменьшается при уменьшении угла со.
§ 41.	ЗАДАЧИ, РЕШАЕМЫЕ БЕЗ ИНДИЦИРОВАНИЯ РЕНТГЕНОГРАММ
ВРАЩЕНИЯ
Определение периода идентичности по оси вращения. Для опре-
деления периодов идентичности решетки по оси вращения кристал-
ла на обычных рентгенограммах вращения промеряют расстояния
между слоевыми линиями с одинаковым п (	1 и — 1,	2 и — 2
и т. д.). Из полученных результатов определяют среднее значение
/п, т. е. расстояние отп-й до нулевой слоевой линии. Для вычисления
периодов идентичности пользуются формулами, вывод которых
приводится ниже.
Рис. 10.4. К определению периода идентичности
ио осп вращения
Ча оис. Ю.4 дано обычное построение для метода вращения.
Угон между дифракционным лучом и нулевой плоскостью обратной
Z' Z обозначен Расстояние OK ~ R есть радиус ци-
липдрической кассеты, по которой располагается фотопленка. Из
приводимого рисунка видно, что
sin р„ ~
откуда
/ = i/d* = /zZ/sin |i„,
(10.1)
172
Глава 10. Метод вращения монокристаллов
кроме того,
tg Pn = UR-	(10.2)
Исключая ил из выражений (10.1) и (10.2), получаем
tg Рп _ 1п________1	_ 1	1 -	-
sinpn-y-+tg2)in R yl+{ln/~R}2 y{R/in)2+i
откуда окончательно находим
(10.3;
Определение периодов идентичности этим методом не обладает
большой точностью. Исключительно хорошими в этом случае
следует считать результаты, полученные с погрешностью 0,2—0,5%.
Несколько большая точность получается при определении пе-
риодов идентичности из торцовых рентгенограмм, снятых на пло-
скую пленку, расположенную перпендикулярно к оси вращения.
Дифракционные пятна на таких рентгенограммах располагаются
по кругам, радиусы которых обозначим г. Тогда tg pn = D/r, где
D — расстояние от кристалла до фотопленки. Определив цп
по формуле (10.1), найдем /.
Наиболее точно определяются периоды решетки из отражений
под большими углами 0 на нулевой слоевой линии, но в этом слу-
чае необходимо знать индексы дифракционных пятен.
Определение типа решетки. При исследовании атомной струк-
туры вещества необходимо установить, является ли решетка при-
митивной или сложной (объемноцентрированной, базопентрирован-
ной или гранепентрированной). Особенно просто это делается в слу-
чае кубической решетки. Для этого получают три рентгенограммы
с вращением кристалла вокруг направлений [100], [НО], и [111].
Далее сравнивают рассчитанные по рентгенограммам периоды
идентичности по этим направлениям.
Для примитивной решетки отношение периодов идентичности
будет_/[юо2:/[ио] Лиц = 1 : > 2 :/3; для о. ц. к. решетки
1 :]Л2 : ]Л3/2; для г. и. к. решетки 1 : ]/2/2 :	3.
При определении типа решетки других кристаллографических
систем этим методом нужно снимать большее число рентгенограмм.
Например, для ромбической системы надо снять семь рентгенограмм
по направлениям [100], [010], [001], [101], [110], [011] и [111]. Обыч-
но в таких случаях описанный метод определения типа решетки не
применяется и тип решетки определяется из законов погасания,
найденных после индицирования рентгенограмм.
Определение числа атомов в элементарной ячейке. Число атомов
в элементарной ячейке нетрудно определить, если известны объем
элементарной ячейки ияч, плотность кристалла р и химическая
формула вещества. Действительно, р — mtu, где tn — масса; и —-
§ 42. Индицирование рентгенограмм вращения	] 73
объем вещества. В то же время р = М/ияч = mn Anivm, где М -
NJafn-24aT°M0B’ входящих в элементарную ячейку; тн — 1,66/
„ 2 атомная единица массы; п — число атомов в элемен-
тарной ячейке. После преобразования получаем
и = рЩч/(тнЛ).	(10.4)
В случае химического соединения определяется число весовых
частиц (молекул), приходящихся на ячейку. Тогда в формулу вме-
сто относительной атомной массы А подставляется относительная
молекулярная масса соединения.
§ 42, ИНДИЦИРОВАНИЕ РЕНТГЕНОГРАММ ВРАЩЕНИЯ
Индицирование рентгенограмм вращения необходимо для уста-
новления атомной структуры вещества. Индицирование обычно про-
водится графически с использованием представлений обратной ре-
шетки. До проведения индицирования необходимо иметь данные
о параметрах прямой решетки: периодах а, Ь, с и углах между
осями ячейки а, р, у. Порядок индицирования следующий.
Определение углов отраже-
ния О для всех дифракционных
пятен рентгенограммы. Для оп-
ределения углов 0 на нулевой
слоевой линии промеряют рас-
стояния 21 между симметричны-
ми (по отношению к первичному
пучку) отражениями. Угол 0
находят из соотношения между
длиной дуги центрального угла
и радиусом цилиндра, по кото-
рому расположена фотопленка:
•2/ = 40 /?; откуда
0 = /.72/?),	(10.5)
или в градусной мере О ~
отражений, расположенных на
- 57,3/72/?).
При определении углов для
п-й сюевой 1UHUU, так же как и на нулевой слоевой линии, проме-
няют расстояния 2L между соответствующими симметричными пят-
нами лежащими на этой линии (рис. 10.5). Затем можно определить
от У 6 -- 2L‘D, где D — диаметр кассеты. С другой стороны,
(ss0) = COS 20,
(10.6)
где s0 и s ' единичные векторы по направлениям первичного и ди-
фракционного лучей соответственно.
174
Глава 10. Метод вращения монокристаллов
Введем ортогональную систему координат XYZ (см. рис. 10.5).
Тогда So и s могут быть представлены как векторы-столбцы:
/ 1 \	/ sx \
So-4 ° ; s-l «у •
\ о /	\ sz /
Перемножив скалярно s и So, получим
(s s0) = sx = l(s)^lx = cos 6 • cos р„,		(10.7)
т. е. для нахождения компоненты sx определяется проекция s на
плоскость ZX, а затем проекция на направление X. Учитывая со-
отношение (10.6), получим формулу Полани:
cos 20 = cos 6 • cos p,n.	(10.8)
Угол pn определяется из соотношения (10.2).
Нахождение длины векторов обратной решетки. Длина век-
торов обратной решетки находится из выведенного ранее соотно-
шения: Н = 2 sin ОА. При расчете следует учитывать, что рент-
генограммы вращения обычно получают на нефильтрованном ха-
рактеристическом излучении, и поэтому на них имеются отражения,
обусловленные как Ка-, так и Кр-излучением. Отражения, обус-
ловленные Лр-излучением, легко отличаются на всех слоевых ли-
ниях, кроме нулевой: они располагаются несколько ниже и сдвину-
ты ближе к центру рентгенограммы, чем соответствующие более
сильные дифракционные Ка-пятна. Отделить /<а-пятна от Кр-
пятен можно аналитически, пользуясь соотношением
sin fla/sin - Ха/Хр.	(10.9)
Кроме этого соотношения нужно также принимать во внимание, что
Кр-пятна примерно в пять раз слабее соответствующих /Са-пятен
и сдвинуты к первичному пучку. Для индицирования используют
длину векторов обратной решетки, найденную только по /(„-пят-
нам.
Определение одного из индексов отражения по номеру слоевой
линии. Если вращение кристалла производится вокруг его оси, имею-
щей индексы а период идентичности для этой оси / то для
этой оси справедливо уравнение Лауэ:
(I, s — s0) = nk.
(10.10)
Преобразуем уравнение (10.10): (l, Lzp) - „ нли (ш) = п Так
-V н н Ла* + ** + /с*> то (»Н) - н-
кристаллогоаЛнче}‘кнхСЛУЧаЯ враще1,Ия вокРУг одной из главных
кристаллографических осей, например вокруг [100], получаем
§ 42. Инфицирование рентгенограмм вращения
Построение сегкн обратной решетки. Иидицирование рентгено-
грамм вращения обычно проводится графическим методом. Для
этого на бумаге в определенном масштабе строят сетку обратной
решетки. При вращении кристалла вокруг оси [ 100) строят сетку
на векторах Ь и с\ при вращении кристалла вокруг осей [0101
или [ООН строят сетки па векторах
Масштаб построения удобно выби-
рать 100 или 125 (значения векто-
ров, умноженные на 100 или 125,
откладывают в миллиметрах).
Определение //±. Для n-й слое-
вой линии векторы обратной ре-
шетки Н, отвечающие интерферен-
ционным пятнам на этих линиях,
не лежат, как это имеет место для
пулевой слоевой линии, в плоскости
обратной решетки. Поэтому для
индицирования п-ой слоевой ли-
нии необходимо найти проекцию
векторов обратной решетки па
/i-ую плоскость:
//д = I	- | /Д —(Н//)2,
(10.11)
где // — 2 sin й/Л; п — номер слое-
вой линии; d* — межплоскостное
расстояние в обратной решетке;
/ —период идентичности вдоль оси
вращения.
Для нахождения Н± удобно
пользоваться сетками кривых по-
стоянных значений Я±, которые строятся для камер определенного
радиуса. Происхождение кривых постоянных значений иллю-
стрируется рис. 10.6. Поверхности постоянных значений /7± от-
вечает цилиндр 2, ось которого проходит через начальный узел об-
ратной решетки, лежащей на поверхности сферы распространения
/. Пересечение цилиндра 2 со сферой дает кривую постоянного/Л ,
проектируя которую из центра сферы отражения на поверхность
цилиндрической фотопленки 3, получаем кривую 4	--- const.
Задавая значения /7± от 0 до 2 (диаметр сферы распространения
в масштабе 1/Z), получаем на поверхности пленки семейство кривых
Н „ const. Проектирование пересечения равноотстоящих пло-
скостей обратной решетки со сферой распространения на фотоплен-
ке дает семейство прямых 7/ц — const. Получаемая сетка носит на-
звание сетки Бернала (рис. 10.7). Накладывая рентгенограмму на
Рис. 10.6. К объяснению построе-
ния кривых И—const
176
Глава 10. Метод вращения монокристаллов
Рис. 10.7. Сетка Бернала
сетку Бернала, можно найти значения Н± для каждого дифракцион-
ного пятна (необходимо только, чтобы масштаб сетки и рентгено-
граммы совпадал).
Графическое индицирование рентгенограмм вращения. При
индицировании нулевой слоевой линии узел О, лежащий в вершине
уже построенной в определенном масштабе сетки обратной решетки,
считают за начальный. Через этот узел под произвольным углом
проводят прямую линию (рис. 10.8). На этой линии от начального
узла в масштабе построения сетки откладывают вычисленные зна~
чения векторов обратной решетки, отвечающих интерференционным
§ 42. Индицирование рентгенограмм вращения
177
пятнам на нулевой слоевой линии.
Далее в начальный узел ставят нож-
ку циркуля, а другую — в отметку
для вектора обратной решетки, отве-
чающего индицируемому пятну, и
этим радиусом проводят окружность.
Узел, который пересечется этой
окружностью, дает два индекса интер-
ференционного пятна, третий индекс
определяется номером слоевой линии.
Однако такое индицирование не всегда
будет однозначным, так как окруж-
ность может пересекать одновременно
несколько узлов. Это означает, что в
таких случаях нужно применять не
полное вращение, а снимать рентгено-
граммы колебаний кристалла. Интер-
вал колебания со, необходимый для
Рис. 10.9. Определение угла ко-
лебания со для однозначного
индицирования
однозначного индицирования, выбирается таким образом, чтобы в
изучаемом угловом интервале поворота обратной решетки не было
близких значений векторов обратной решетки (рис. 10.9).
При индицирования п-й слоевой линии используют ту же сет-
ку обратной решетки. В случае индицирования рентгенограммы кри-
сталла ортогональной системы (кубической, тетрагональной, ром-
бической) индицирование проводят аналогично индицированию нуле-
178
Г.их-а 10. Метод вращения монокристаллов
вой слоевой линии, только раствором циркуля проводят окружности,
отвечающие уже не //, а//_[_. В случае индицироваиия рентгенограм-
мы кристалла неортогональной системы центр проводимых окруж-
ностей смещен по отношению к начальному узлу сетки обратной
решетки, если, например, ось с* не перпендикулярна к плоскости,
содержащей векторы а* и Ь* (рис. 10.10). Соответствующее смеще-
ние L рассчитывается из геометрических условий расположения
плоскостей обратной решетки.
Основным недостатком метода вращения является то, что для
однозначного индицирования в большинстве случаев приходится
пользоваться методом качания кристалла. При этом для полного
охвата всех возможных отражений приходится получать значитель-
ное число рентгенограмм, равное 18О°/со, где со — угловой интервал
колебания кристалла. Полученные рентгенограммы трудно про-
явить в совершенно одинаковых условиях,что затрудняет приведе-
ние интенсивностей отражений, измеренных по различным рентге-
нограммам, к одному масштабу. Значительно более удобны в этом
отношении рентгенограммы, снятые по разновидности метода вра-
щения — по методу развертки слоевой линии.
§ 43. МЕТОД РАЗВЕРТКИ СЛОЕВОЙ ЛИНИИ
В методе развертки слоевой линии фотопленка движется по-
ступательно или вращательно, причем смещение пленки пропорци-
онально углу поворота кристалла. Благодаря такому устройству,
по рентгенограмме можно определить ориентацию кристалла в мо-
мент отражения (что нельзя сделать в методе вращения). По этой
причине камеры, применяемые в методе развертки слоевой линии,
называют рентгенгониометрами. Рентгенгониометры могут быть
с цилиндрической и плоской пленкой.
Рентгенгониометры с цилиндрической пленкой. Схема рентген-
гониометра с цилиндрической пленкой (рентгенгониометр Вейсен-
берга) приведена на рис. 10.11. В этой камере кристалл устанавли-
вается в гониометрической головке и вращается вокруг оси, совпа-
дающей с осью цилиндрической кассеты 1, на которой располагает-
ся фотопленка. Ширма 2 с кольцевым вырезом позволяет выделить
из всей интерференционной картины только один интерференционный
конус, благодаря чему на фотопленке регистрируется только одна
слоевая линия. Первичный луч попадает на кристалл через диафраг-
му 3. С помощью мотора 4 через вал с резьбой и гайку 5 движение
передается кассете с фотопленкой; одновременно мотор приводит
во вращение через систему шестерен ось, на которой укреплена го-
ниометрическая головка с кристаллом. Около вала расположены
электрические контакты б, при замыкании которых направление
вращения мотора меняется на обратное. Эти контакты замыкаются
перемещающейся кассетой. Меняя расстояние между контактами,
179
£ 43. Метод развертки слоевой линии
можно изменять угловой интервал вращения кристалла и одновре-
менно расстояние, на которое перемещается фотопленка. Во время
съемки полной рентгенограммы угловой интервал колебания кри-
сталла выбирают обычно равным ^200°. Константой прибора С
является отношение угла поворота кристалла со° к расстоянию I
{мм), на которое перемещается пленка во время этого поворота,
т. е. С ~ Часто для таких приборов С — 1, т. е. в таком при-
боре повороту кристалла на 1е соответствует смещение пленки на
1 мм. Диаметр кассеты, на которой располагается фотопленка, вы-
бирают равным 57,3 или 86,0 лоч (для удобства расчета).
Рпс. 10.11. Схема гониометра с цилиндрической пленкой
В описанном гониометре при неподвижной фотопленке и вращаю-
щемся кристалле регистрируется только одна слоевая линия, ди-
фракционные максимумы которой располагаются по прямой. Если
при вращении кристалла одновременно с постоянной скоростью
перемещается фотопленка, то дифракционные пятна будут распо-
лагаться на сложных кривых, являющихся искаженной проекцией
сетки обратной решетки.
Для индицирования рентгенограмм строят специальные коорди-
натные сетки. Такие сетки строят для каждого кристалла, для
каждой слоевой линии и для определенной длины волны рептге-
новского излучения.
Построение сеток для индицирования нулевой слоевой линии
производят следующим образом. На бумаге, так же как и при инди-
цировании обычных рентгенограмм вращения, строят по известным
периодам прямой решетки кристалла сетку обратной решетки в опре-
деленном масштабе, например 100 : 1. Затем на кальке или, что еще
лучше, на неэкспонированной, но отфиксированной прозрачной
фотопленке чертят круг диаметром 2/А в масштабе построения сетки
обратной решетки {к—длина волны излучения, на котором полу-
чалась индицируемая рентгенограмма). Этот круг отвечает сечению
сферы распространения нулевой плоскостью обратной решетки.
Круг отражения разбивают градусными делениями па 360 частей
и на нем проводят диаметр, делящий круг на две половины. Допол-
нительно для индицирования следует иметь круговой транспортир,
180
Глава 10. Метод вращения монокристаллов
выполненный на прозрачной фотопленке. Один из узлов построенной
сетки обратной решетки выбирают в качестве начального. Центр
кругового транспортира совмещают с этим узлом. Точку на окруж-
ности, лежащую на диаметре, делящем сечение сферы распростра-
нения на две половины, совмещают с тем же начальным узлом сетки
обратном решетки. После этого, оставляя транспортир неподвиж-
ным, вращают круг отражения так, чтобы он по очереди пересекал
узлы сетки обратной решетки
(рис. 10.12). Для каждого узла
определяют угол т — 2d (отсчиты-
вается от начального до пересекае-
мого узла по делениям на окружно-
сти отражения) и угол поворота
окружности отражения <р по отно-
шению к определенной оси обрат-
ной решетки (отсчитывается по
круговому транспортиру). Значе-
ния этих углов откладывают на
графике, причем здесь около каж-
дой точки надписывают индексы
узла обратной решетки, которому
Рис. 10.12. К построению сетки Отвечает.
для индицирования рентгенограмм, На полученном графике соеди-
получаемых в рентгснгониометре няют линиями узлы с одинаковыми
Вейсенберга	значениями одного из индексов
(линии постоянных h, k или Г). Об-
разованная этими линиями сетка (рис. 10.13) является искажен-
ной проекцией сетки обратной решетки. Эту сетку накладывают на
рентгенограмму так, чтобы все пятна (отвечающие /<а-излучению)
совпали с узлами сетки. Некоторые узлы сетки могут остаться не-
занятыми вследствие погасания отражений. Индексы узлов коор-
динатной сетки определяют индексы отражений, с которыми они
совпадают. Третьи индексы отражений определяют из номера слоевой
линии, которая развертывалась на рентгенограмме.
Индицирование n-слоевых линий отличается от индицирования
нулевой слоевой линии тем, что для каждой из них изготавливается
свой круг сечения сферы отражения соответствующей плоскостью
обратной решетки. Точка, вокруг которой вращается круг, уже не
лежит на нем, а располагается на продолжении диаметра круга на
расстоянии, зависящем от периода решетки кристалла вдоль оси
вращения. Более удобными являются рентгенограммы, полученные
по так называемому эквинаклонному методу. В этом случае первич-
ный луч не перпендикулярен к оси вращения, а составляет с ней
угол уп) определяемый по формуле
cosjxn = nM(2/)>
(10.12)
§ 43. Метод
развертки слоевой линии
181
Рис. 10.13. Сетка для индицирования
где % — длина волны; п — номер слоевой линии; I — период
идентичности. Тогда первичный луч совпадает с одной из образую-
щих интерференционного конуса, а центр сферы распространения
делит попалам расстояние между нулевой и n-й плоскостью обрат-
ной решетки (рис. 10.14). При эквипаклонной съемке отсутствует
«слепая» круговая область вокруг оси вращения для n-ой слоевой
линии, т. е. эффективная область представляет собой не кольцо,
а круг с радиусом (1/Л) sin Вто-
рым важным преимуществом эквина-
клонной съемки является то, что сет-
ка, построенная описанным выше спо-
собом для индицирования нулевой
слоевой линии, пригодна для расшиф-
ровки рентгенограмм всех остальных
слоевых линий. Прибор, позволяю-
щий получать эквипаклонные рентге-
нограммы, выпускается нашей про-
мышленностью под названием РГНС
(рентгенгониометр наклонной съем-
ки).
Рентгенгониометр с плоской плен-
Рис. 10.14. Схема эквинаклон-
нон съемки
кой. Рентгенгониометры этого типа
носят название камер для фоагоерафи-
Глава 10: Метод вращения монокристаллов
рования обратной решетки (КФОР). Как следует из названия
таких камер, они позволяют получать рентгенограммы, являю-
щиеся неискаженной проекцией обратной решетки. Рассмотрим,
как получается такое проектирование.
Представим себе, что плоская фотопленка находится на одной
из плоскостей обратной решетки, расположенной перпендикуляр-
но к оси вращения. При вращении обратной решетки пленка будет
Рис. 10.15. Геометрия метода фотографирования об-
ратной решетки:
/ — нулевая плоскость обратной решетки; 2 — я-ая плоскость
обратной решетки; 3 — кольцевая ширма; 4— фотопленка;
оси вращения: кристалла (5), обратной решетки (6), фото-
пленки (7)
пересекать сферу распространения вместе с соответствующей пло-
скостью. Дифракционные лучи, возникающие в моменты пересече-
ния узлов обратной решетки сферой распространения, будут попа-
дать только в те точки пленки, под которыми расположены эти
узлы. Таким образом, получится нечто вроде контактной фотогра-
фии сетки обратной решетки. Так как обратная решетка и сфера
распространения являются искусственными построениями и могут
изображаться в любом масштабе, то фотопленку располагают не на
самой фотографируемой плоскости обратной решетки, а на некотором
расстоянии от нее. В этом случае ось вращения пленки уже не бу-
дет совпадать с осью вращения обратной решетки.
Пучок первичных лучей sn падает па кристалл А (рис. 10.15)
под некоторым углом к его оси вращения. Меняя этот угол, можно
$ 43. Метод развертки слоевой линии
183
вращения кристалла) зависят
РаСТВор интеРференционных конусов. Кольцевая ширма
5 позволяет вырезать определенный интерференционный конус, раст-
ор которого v подобран так (соответствующей установкой угла
между первичным лучом и осью вращения кристалла), что этот ко-
нус проходит через кольцевое отверстие ширмы.
Установочные данные (расстояние оси вращения пленки от оси
вращения кристалла А и угол цп между первичным лучом и плоско-
стью, перпендикулярной к осп
от одной величины — от рас-
стояния исследуемой п-й
плоскости обратной решетки
до нулевой, nd* =- nil.
Из рис. 10.15 следует, что
угол	определяется из со-
отношения
sin	= sin v — (nA//),
(10.13)
так как ВО' — 00' + ОВ и
(1/А) sin V— (1/А) sin р.а +nd*.
Из рис. 10.15 видно, что
Л = D etg ф — D cos pn/sin v}
(10.14)
так как etg ф = АВЮ’В\
АВ = (1/А) cos рп; (У В —
= (1/А) sin v, поэтому etg тр =
= cos |in/sin v.
На рентгенограмме проекция обратной решетки получается уве-
личенной. Л4асштаб увеличения определяется из соотношения
=	_ ^tg(9Q°-v) _ D^v _ D ,10 ]5)
S'H' (lA)cosv (I/A)cosv (1/X)sinv*
Рис. 10.16. Типичная кфорограмма
т. e. масштаб К одинаков для всех плоскостей обратной решетки,
для данной ширмы и .определенной длины волны.
Типичная кфорограмма приведена на рис. 10.16.
Индицирование рентгенограмм, полученных в камере КФОР,
не представляет труда. Оно заключается в установлении направле-
ний на сетке, соответствующих двум наиболее характерным узло-
вым прямым (при вращении вокруг оси с прямой решетки) — осям
обратной решетки а* и Ь*. Начинать индицирование надо не с ну-
левой сетки, а с любой n-й, так как погасания на рентгенограмме
нулевой сетки могут привести к ошибочному суждению о направле-
ниях, имеющих наименьшие трансляции, т. е. которые отвечают
осям ’ обратной решетки. Целесообразно наложить кфорограмму,
например, от 1-й плоскости на кфорограмму от нулевой плоскости.
184
Глава 10. Метод вращения монокристаллов
Тогда полученная сетка позволит без труда определить два, индекса
отражения; третий индекс определяется номером слоевой линии.
Рентгенограмма, полученная в камере для фотографирования
обратной решетки при вращении кристалла вокруг определенной
оси, позволяет определить периоды решетки вдоль двух остальных
осей, а также угол между этими осями. Погрешность определения
периодов решетки по этим рентгенограммам не ниже 0,01 А.
Индицирование рентгенограмм вращения и разверток слоевых
линий является важным этапом определения атомной структуры
вещества.
§ 44. ЭТАПЫ РАСШИФРОВКИ АТОМНОЙ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ
До начала рентгенографического исследования должны быть
получены данные о химическом составе и плотности изучаемых кри-
сталлов.
Рассмотрим кратко последовательность определения атомной
структуры вещества.
1.	Метод Лауэ используют для отбора подходящих для исследо-
вания кристаллов, «х ориентации по отношению к первичному пуч-
ку рентгеновских лучей и оси вращения (при отсутствии хорошей
внешней огранки), для определения сингонии и лауэвского класса,
для определения углов между кристаллографическими осями.
2.	^Методом вращения определяют периоды решетки кристалла,
которые вместе с определенными методом Лауэ углами позволяют
найти объем элементарной ячейки. Используя данные о плотности,
химическом составе и объеме элементарной ячейки, находят число
атомов (или формульных единиц) в последней.
3.	В рентгеновском гониометре (с плоской или цилиндрической
пленкой) получают серию рентгенограмм, позволяющую зареги-
стрировать наиболее полный набор дифракционных максимумов.
Для последней цели рекомендуется использовать коротковолновое
(молибденовое) характеристическое излучение.
4.	Производят индицирование рентгенограмм, полученных в
рентгеновском гониометре. На основании изучения закономерности
погасаний дифракционных максимумов устанавливают тип решетки
Ьравэ, а затем по специальным таблицам — рентгеновскую группу
(пространственную группу с точностью до центра инверсии) кри-
5.	Производят измерение интегральных интенсивностей дифрак-
ционных пятен на рентгенограммах. Для этой цели в практику ла-
ратории начинают входить автоматические интегрирующие ден-
СпИ;°о’1еТрЫ- ^3',1еРение интегральной интенсивности можно также
С ПОМО1ЦЬЮ регистрирующего микрофотометра МФ-4
в иямАпи^°ГРУЖеННЯ в?его проектируемого дифракционного пятна
р чьную щель фотометра. Для перехода от почернений к ин-
§ 44. Этапы расшифровки структуры
тенсивностям на каждую рентгенограмму до ее проявления следует
наносить марки почернений (10 12), различающиеся по плотности
почернения в V2 раз.
В последние годы в практику рентгеноструктурного анализа ста-
ли входить автоматические дифрактометры для монокристаллов,
в которых регистрация дифракционных максимумов производится
с помощью счетчиков (сцинтилляционных или пропорциональных).
В СССР серийно выпускается дифрактометр ДАР-УМБ управляемый
малой’ЭВМ (М-6000). В его гониометре используется эквинаклонное
расположение трубки и счетчика. В пределах каждой плоскости
обратной решетки регистрация дифракционных максимумов произ-
водится автоматически. Результаты измерения выдаются в форме,
пригодной для непосредственного ввода в большую ЭВМ (на пер-
фоленте).
6.	Из измеренных значений интегральных интенсивностей при
учете всех множителей вычисляют структурные множители F2 (HKL).
7.	С использованием найденных значений F2 (HKL) определяют
функцию х\гежатомных векторов (функцию Паттерсона):
Р(хч/2)-= [ p(xz/z)p(x + w, r/4-v, z4-io)dV, (10.16)
v
где р (xz/z) —электронная плотность в точке с координатами xyz.
Для вычисления этой функции используют ряды Фурье:
P(x7/z) = y у у F2 (HKL) cos 2л (Их + Ку + Lz). (10.17)
77 к ь
— оо
Для вычисления Р (xyz) ребра элементарной ячейки разбивают на
48 или 60 частей. Вычисление трехмерной функции Р (xyz) являет-
ся громоздкой задачей, так как при разбиении ячейки на 60 частей
надо вычислить величины Р (xyz) для 60 /. 60 X 60 = 216 000 то-
чек (из соображений симметрии можно ограничиться вычислениями
для 1/4 или 1/8 ячейки). Поэтому вычисляют проекции функции
Паттерсона на координатные плоскости Р (хуО), Р (xOz), Р (Oyz).
На полученных проекциях наносят линии равных значений функ-
ции Паттерсона (изолинии). По изолиниям находят максимумы
функции (рис. 10.17). В начале координат всегда находится основ-
ной максимум. Расстояния от него до максимумов на проекции
павны межатомным расстояниям. Для определения принадлеж-
ности максимума к тому или иному межатомному расстоянию поль-
зуются тем что высота максимума пропорциональна произведению
атомных но’меров ZA  ZD, если этот максимум отвечает межатом-
ному расстоянию А—В. Таким образом, наиболее высокие максиму-
186
Глава 10.. Метод вращения монокристаллов
тяет собой сложную задачу, если в состав кристалла входят атомы
б0Л8Ш0На°йдёнХ из^нализа погасании дифракционных максимумов
рентгеновская группа позволяет провести геометрический анализ
возможного расположения атомов в элементарной ячейке. Для этого
Рис. 10.17. Проекция функции Паттерсона для
аносовита (Т13О5) на плоскость (100)
в определенном масштабе изображают расположение элементов
симметрии в пределах элементарной ячейки для пространственных
групп, входящих в состав найденной рентгеновской группы. На
этих изображениях выделяют области, запрещенные для располо-
жения атомов данного сорта. Каждому атому, например А, можно
приписать (в зависимости от типа химической связи) определенный
радиус Ra. Закрытые элементы симметрии накладывают тогда
ограничения на расположение атома'по отношению к ним. Атом А
может находиться или на самом элементе симметрии (в частном по-
ложении), или не ближе, чем на расстоянии RA (атом не должен пе-
рекрываться с самим собой при отображении в элементе симметрии).
чпыч^Л?о30М’ около поворотной оси симметрии находится цилин-
я апретная область радиусом RA, около центра инверсии —
£ 7J. Этапы расшифровки структуры
187
шаровая, а около зеркальной плоскости симметрии —слой толщи-
ной 27?д. Если достаточно велик, то внутри элементарной ячейки
найдутся только небольшие участки для возможного размещения
атомов сорта Л. Более точно координаты атомов находят при ис-
пользовании значений межатомных расстояний /1—Л, найденных
при анализе проекций функции Паттерсона.
Рис. 10.18. Проекция функции электронной
плотности аносовпта на плоскость (100)
9.	На основе грубой модели структуры определяют знаки струк-
турных амплитуд F (HKL) = ±VF~ (HKL). В настоящее время
разработаны довольно сложные математические методы, позволяю-
щие определить эти знаки без предварительного нахождения гру-
бой модели структуры на основании изучений статистики соотноше-
ний F2 (HKL) для большого числа отражений.
10.	Вычисляют функцию электронной плотности р (xyz) с ис-
пользованием рядов Фурье:
р(.гуг) --- V 22 ^T(HKL) cos 2л (//.v \-Ktj + Lz). (10.18)
HKL
— оо
Максимумы вычисленной функции отвечают координатам цент-
ров атомов в элементарной ячейке (рис. 10.18).
Igg	Глава 11. Метод порошков l
11.	На основании найденной структуры вычисляют все возмож-
ные значения F (HKL)№4 и далее определяют коэффициент досто-
верности (фактор расходимости):
R = (S | Л,„сп l-S [FBbI4 [)/2 [Аксп I-	(10-19)
Степень достоверности определения структуры считается хорошей,
если 7?	0,05.
Глава 11. МЕТОД ПОРОШКОВ (ПОЛИКРИСТАЛЛОВ|
§ 45.	ОСНОВЫ МЕТОДА
Метод порошков является основным методом исследования тех-
нических материалов и широко применяется на практике. Иногда
этот метод называют по имени ученых, его предложивших, методом
Дебая—Шеррера—Хэлла.
При исследовании применяются образцы из поликристалличе-
ского вещества или порошка, состоящего из большого числа мелких
(< 10“2 мм) кристаллитов (зерен), имеющих произвольную ориен-
тацию в пространстве. При освещении таких образцов монохрома-
тическим или характеристическим рентгеновским излучениехМ воз-
никает отчетливый интерференционный эффект в виде системы ко-
аксиальных конусов, осью которых является первичный луч.
Объяснение возникновения интерференционной картины с исполь-
зованием понятия обратной решетки дано в гл. 8 (с. 124). Напомним,
что при хаотичной ориентировке кристаллитов обратная решетка
представляет собой совокупность концентрических сфер с радиуса-
ми Нь где Hi — длина векторов обратной решетки. Сфера распро-
странения пересекает по окружностям указанные выше сферы, в ре-
зультате чего возникают интерференционные конусы с углами раст-
вора 41?.
Число интерференционных конусов ограничено, так как сфера
распространения пересечет только те сферы обратной решетки,
радиусы которой Hi <Z 2/Х; это отвечает условию d-t > Z/2. Умень-
шая длину волны, т. е. увеличивая радиус сферы распространения,
можно увеличить число плоскостей, пересекаемых сферой обратной
решетки, и, следовательно, число интерференционных конусов.
Для регистрации интерференционной картины в методе порош-
ков используют несколько способов расположения пленки по от-
ношению к образцу и первичному пучку рентгеновских лучей:
съемка на плоскую, цилиндрическую и конусную фотопленку. Ре-
гистрация может производиться также с помощью счетчиков. Для
этой цели используют рентгеновские дифрактометры.
Рассмотрим типы съемок при фотографическом методе регистра-
ции интерференционной картины.
,	$ 45- Основы метода	]gg
Плоская фотопленка. Используются два способа расположения
фотопленки: передняя и задняя (обратная) съемка. При передней
съемке образец по отношению к направлению первичного пучка
лучей располагается перед фотопленкой. На фотопленке регистри-
руется ряд концентрических окружностей, которые соответствуют
пересечению с плоскостью фотопленки интерференционных ко-
нусов с углом раствора fl ЗОЛ Измерив диаметр колец, зареги-
стрированных на пленке, можно определить угол 0 для соответст-
вующих интерференционных конусов из соотношения
tg 20 - 27(2/)),	(ПЛ)
где г — радиус интерференционного кольца; D — расстояние об-
разца от фотопленки. Недостатком такого способа съемки является
то, что на фотопленке регистрируется только небольшое число ди-
фракционных колец. Поэтому переднюю съемку на плоскую плен-
ку применяют в основном для исследования текстур, при котором
необходимо определить распределение интенсивности по полному
дифракционному кольцу.
При задней съемке образец располагается по отношению к пуч-
ку рентгеновских лучей сзади пленки, в самой же пленке делается
небольшое отверстие для входа рентгеновских лучен. На пленке
регистрируются максимумы, отвечающие углу fl > 60°. Угол fl
определяют из промера диаметра дифракционных колец по отно-
шению
tg(180c — 20) = 27(2/)).	(11.2)
Обратную съемку применяют при точных определениях периодов
и при измерении внутренних напряжений.
Цилиндрическая фотопленка. Ось цилиндра, по которому рас-
полагается фотопленка, перпендикулярна к первичному пучку
(рис. 11.1). При этом типе съемки дифракционные конусы, пересе-
каясь с фотопленкой, образуют кривые четвертого порядка. Част-
ным случаем такой кривой может быть прямая, которая отвечает
углу отражения fl = 45°. Угол fl вычисляется из промера рас-
стояний между линиями 2/, отвечающими одному и тому же интер-
ференционному конусу, по соотношениям:
2/ = 40/?; 0° - (/Ж) (1807л),	(11.3)
где ____радиус цилиндрической кассеты, по которой располага-
лась фотопленка.
Фотопленка в цилиндрической камере может располагаться не-
сколькими способами. На рис. 11.1 изображен обычный (симметрич-
ный) способ зарядки пленки. В этом случае концы пленки расто-
ргают вбпизи диафрагмы, через которую в камеру входит пучок
первичных лучей. Для выхода этого пучка из камеры в пленке де-
лают отверстие. Недостатком такого способа зарядки является то.
igO	Глава 11. Метод порошков
что в процессе фотообработки пленка сокращается по длине, в ре-
зультате чего при расчете рентгенограммы следует использовать
не значение радиуса R, по которому располагалась пленка во вре-
мя съемки, а некоторую величину /?эфф. Определить /?уфф можно
путем съемки эталонного вещества с известными периодами решетки
(например, NaCl). В этом случае проводят обратный расчет рентге-
нограммы; по известным периодам решетки определяют теоретиче-
ски углы отражения Арасч, из значений которых в комбинации
с промеренными на рентгенограмме расстояниями между симметрич-
Рис. 11.1. Съемка на цилиндрическую пленку:
/ — образец; 2—пленка; 3 — интерференционная линия
ними линиями определяют величину /?эфф. Съемка с эталоном поз-
воляет также установить неправильность геометрии кассеты ка-
меры (ее эллиптичность), так как в этом случае по различным линиям
будут получаться разные значения /?эфф.
Во многих случаях применяют другой способ зарядки фото-
пленки, который называют асимметричным {по Страу манису).
При этом способе зарядки в фотопленке делают два отверстия (для
входа и выхода пучка первичных лучей), а концы пленки распола-
гают под углом 90° по отношению к первичному пучку (рис. 11.2)
Передние линии (отвечающие небольшим углам fl) отличаются от
задних (при больших углах fl) тем, что первые обычно значитель-
но более узкие; кроме того, задние линии обычно расщепляются на
дублеты
Асимметричная рентгенограмма позволяет определять /?эфф,
не прибегая к съемке эталонного вещества. Для этого на рентгено-
грамме промеряют расстояние А и В между симметричными линия-
$ 46. Техника
получения рентгенограмм
191
ми (см. рис. 11.2). Эффективный
определяют из соотношения
радиус рентгенограмм
ЯГ|фф — А В.	(И.4)
Асимметричный метод можно применять только в том случае, если
на рентгенограмме получаются четкие линии, отвечающие углам
не меньше 50—60°.	J
Если на рентгенограмме отсутствуют линии при достаточно
больших углах О, то можно видоизменить способ асимметричной
съемки, расположив концы пленки под углом, несколько меньшим
90°, к первичному пучку. Для выхода и входа первичного луча
в фотопленке также пробивают два отверстия.
§ 46.	ТЕХНИКА ПОЛУЧЕНИЯ РЕНТГЕНОГРАММ
Выбор излучения. При выборе излучения для исследования
данного поликристаллического всществд надо учитывать ряд факто-
ров. Используемое характеристическое излучение не должно вы-
зывать вторичного характеристического излучения в образце,
которое могло бы привести к возникновению сильного фона на рент-
генограмме, в результате чего на таком фоне слабые дифракцион-
ные линии исчезают. Излучение подбирают по следующему прави-
лу: ZoGp > 2.1НПЛ, где Zo6p — атомный номер самого легкого эле-
мента в образце,' характеристическое излучение которого не погло-
щается в воздухе, достигает пленки и, будучи рассеянным, вызывает
се общее почернение. Так как длина волны характеристического
спектра увеличивается с уменьшением Z, то растет и коэффициент
поглощения этих лучей в воздухе (р/р) ~ Z3. Поэтому при подборе
излучения следует учитывать в составе образца только те элементы,
атомный номер которых Z > 20, так как излучение элементов с
Z < 20 поглощается в воздухе и не достигает пленки. Так, напри-
мер, алюминий (Z = 13) при съемке на излучении меди (Z — 29)
дает рентгенограмму с небольшим фоном. В то же время фон на
192
Глава 11. Метод порошков
рентгенограмме образца железа (Z — 26), снятой в излучении меди,
настолько велик, что на нем дифракционные линии почти не видны.
Возможно также получение удовлетворительных рентгенограмм
при Zo6p С Zanojr При этом съемку производят сразу на две плен-
ки (передняя по отношению к образцу пленка после съемки выбра-
сывается), либо перед пленкой ставят алюминиевую фольгу толщи-
ной 0,1 —0,2 мм. Здесь используется эффект различного поглощения
дифракционных максимумов и вторичного характеристического
излучения, возникшего в образце. В рассматриваемом случае дли-
на волны, отвечающая дифракционным максимумам, значительно
меньше длины волны вторичного характеристического излучения
образца, поэтому в фольге или в передней пленке (при съемке на
двойную пленку) дифракционные максимумы поглощаются слабо,
а вторичное характеристическое излучение сильно ослабляется.
При исследовании образцов со сложной структурой и с больши-
ми периодами решетки для уменьшения возможности наложения
дифракционных линий, которых в этом случае получается очень
много, целесообразно применять длинноволновое излучение (на-
пример, хрома или железа).
В обычных случаях, когда это допускается ранее описанными
условиями, лучше всего применять излучение меди. Исследования
показали, что если принять эффективность (излучательную способ-
ность) рентгеновской трубки с медным анодом за 100 условных еди-
ниц, то эффективность трубки с молибденовым анодом равна 32,
с хромовым — 10, с вольфрамовым (Аа-излучение) — 6.
Монохроматизация излучения. При исследованиях по методу
порошков обычно стараются устранить на рентгенограммах дифрак-
ционные линии, обусловленные Аф-излучением, так как последние
затрудняют расчет, особенно при исследовании веществ со слож-
ной структурой. Для этой цели применяют либо селективно-по-
глощающие фильтры, либо монохроматоры с кристаллами.
Селективио-поглощаюш.ие фильтры используют при обычных
исследованиях. Эти фильтры подбирают по эмпирическому правилу
^Ф = ^апод — 1» гДе и ZaH0JI — атомные номера фильтра и
анода соответственно. Для тяжелых элементов (например, молиб-
денового анода) используется правило Z$ = ZaiI0Jl — 2. Применение
фильтра ведет к увеличению экспозиции в 1,5—2 раза (в зависи-
мости от его толщины).
При необходимости выявить на рентгенограммах слабые линии
применяют монохроматоры с кристаллами. Такие монохроматоры
могут быть с плоским или с изогнутым кристаллом.
Монохроматор с плоским кристаллом дает очень слабый пучок,
и при его использовании экспозиция возрастает в 10—100 раз.
Интенсивность отраженного от плоского кристалла пучка несколько
возрастает в случае применения косого среза: наружная поверх-
$ Техника получения рентгенограмм	193
ость кристалла^расположена под некоторым углом ср к отражающей
кристаллической плоскости. При таком расположении отражаю-
щей плоскости широкий падающий пучок превращается в отражен-
ный более узкий пучок с несколько большей (~ 1,5 раза) интенсив-
ностью, Такне монохроматоры с плоским кристаллом называют кон-
центрирующими.
Еще больший выигрыш в интенсивности получается в случае
применения монохроматоров с изогнутыми кристаллами. Такие
кристаллы дают сходящиеся монохроматические пучки; их обычно
комбинируют с фокусирующими камерами (рис. 11.3). Пучок рент-
геновских лучей, выходящий из щели Sb падает на кристалл-мо-
нохроматор изогнутый по диаметру фокальной окружности. От-
раженные от кристалла монохроматические лучи фокусируются на
этой окружности (щель S2), затем расходящийся пучок падает на
образец Р, расположенный по цилиндрической окружности камеры.
Отраженные от образца дифракционные максимумы фокусируются
на фотопленке, расположенной на той же окружности, что и обра-
зец.
Рентгенограммы, полученные с применением монохроматоров,
не имеют (Ьона, что позволяет при проведении фазового анализа
замечать присутствие фаз при значительно меньшем их содержании,
чем при отсутствии монохроматора.
Используют также монохроматоры с кристаллами, имеющими
двойную кривизну (их поверхность приближенно соответствует
поверхности сферы). В случае применения рентгеновских трубок
с фокусом, близким к точечному, такие монохроматоры фокусируют
отраженные лучи в точки, что приводит к резкому сокращению экс-
позиции при получении рентгенограмм.
7 Зак. 1288
194
Глава 11. Метод порошков
Приготовление образцов. Для исследования методом порошков
приготавливают образцы двух типов: в виде «столбиков» или
«шлифов».
Образцы типа итолбик» имеют диаметр 0,2—1,0 .им и могут
приготовляться из проволочек длиной 5—15 мм или из порошка
с применением одного из трех способов.
Наполнение тонкостенного капилляра. Исследуемый магериал
превращают в порошок’, металлы опиливают мелким напильни*
ком, хрупкие вещества растирают в агатовой ступке. Порошок про-
сеивают сквозь мелкое сито (80—320 меш). Порошки пластичных
материалов нужно после приготовления отжечь для снятия внутрен-
них напряжений, возникших в результате опиловки. Отжиг порош-
ка проводят в откачиваемой кварцевой ампуле; температура отжига
зависит от материала. Для набивки применяют капилляры, приго-
товленные из целлулоида, кварца или прозрачного для рентгенов-
ских лучей боролитиевого стекла. Недостатком капилляров любого
типа является то, что их стенки, рассеивая рентгеновские лучи,
дают на рентгенограммах заметный фон.
Нанесение на стеклянную нить. На тонкую стеклянную нить
диаметром 0,2—0,3 леи наносят тонкий слой цапонлака и затем по-
гружают в порошок, насыпанный на стеклянную пластинку. На-
липшие на нить частицы порошка уплотняют, осторожно покатывая
образец пальцем по стеклянной пластинке. После высыхания слоя
операцию повторяют, пока на нити не образуется слой желаемой
толщины. Недостатком метода является то, что образцы получают
различного диаметра, и поэтому усложняется внесение поправки
на поглощение при расчете рентгенограмм.
Образцы типа «шлиф» имеют плоскую или цилиндрическую
поверхность. В отличие от металлографического шлифа эти образцы
подвергают довольно грубой механической обработке с последую-
щим стравливанием наклепанного слоя на глубину 0.15—0.2 мм
путем химического или электролитического травления.
В некоторых случаях образцы типа «шлиф» приготавливают из
порошка. Для этой цели используют кусочек картона или орг-
стекла. смазанный цапонлаком или бакелитовым лаком. Этот ку-
сочек накладывают на предварительно выровненную поверхность
порошка. Излишек порошка стряхивают. При таком’ способе трудно
получить образцы равномерной толщины. Более однородные образцы
получают набивкой порошка, перемешанного с небольшим количе-
ством связывающего вещества (лучше с рамзаевской замазкой),
в формочку из оргстекла с углублением 0,8—1,0 леи.
Для приготовления образцов из токсичных и радиоактивных
материалов применяют специальные перчаточные камеры. Камера
изготовляется из плексигласа и может иметь три отделения. Она
заполняется аргоном при пониженном давлении. В камеру подведе-
ны вода, электричество; имеется вакуумная система. Ёсе ручки
? Техника получения рентгенограмм
управления и краны вынесены за пределы камеры. Оператор про-
изводит все действия с помощью герметизированных перчаток. Опил-
ки исследуемого металла приготавливают в отделении I. Исследуе-
мый металл зажимают в тиски, а опилки собирают на подносе.
В случае, если металл пирофорен, его можно тереть о напильник,
помещенный в жидкую неокисляющую средм, например в минераль-
ное масло. После приготовления опилки высушивают и помещают
в тигелек из тугоплавкого металла, например из тантала. Тиге-
лек перемещают в отделение II, где находится печь для отжига.
В печи есть приспособление для сбрасывания опилок в закалочную
среду. Печь помещают под воздушный колокол из пейрекса, в кото-
ром создается вакуум 5 • 10~5 .им рт. ст. Опилки после отжига
подвергают чистке в отделении III и затем закладывают в малень-
кую стеклянную трубочку, запаянную на одном конце. Длина тру-
бочки 25 _м.п, а диаметр — несколько миллиметров. Из этой трубочки
опилки набивают в кварцевый капилляр диаметром 0,6 и толщиной
стенок 0.1 м.и. Для набивки капилляр погружают в опилки и по-
павшую в него часть опилок проталкивают тонкой проволочкой.
Обычно бывает достаточно набить капилляр на глубину 5 леи.
Затем капилляр при помощи пицеина (вакуумной замазки) присое-
диняют к вакуумной системе. На капилляр надевают печь для от-
пайки, которая сделана из 14 витков платиновой проволоки диа-
метром 0,5 леи, намотанной на тонкую трубку из окиси алюминия
внутренним диаметром 0,9 и внешним диаметром 1,15л1М. При темпе-
ратуре печи несколько ниже температуры плавления платины можно
отпаивать капилляр, медленно вытягивая его конец.
Выбор режима съемки. Под режимом съемки подразумевают на-
пряжение на рентгеновской трубке, силу тока через нее, а также
экспозицию (время съемки). Рабочее напряжение на рентгеновской
трубке Lp подбирают по правилу = (3,5	4.5) Uo, где UQ —
потенциал возбуждения Л'-серии материала анода. Таким образом,
если для медного анода = 8.9 кв, то ~ 27 ч- 40 кв.
Однако, ест и желают иметь рентгенограмму с небольшим фо-
ном, лучше работать при сниженном напряжении (в случае медного
анода — при 25 кв). Снижение напряжения на рентгеновской труб-
ке приводит к значительному увеличению экспозиции. Сила тока
через рентгеновскую трубку определяется ее паспортными данными.
Экспозиция зависит от типа камеры, ее диаметра, размеров щелей
диафрагмы, фокуса рентгеновской трубки и расстояния от образца
до фокуса, атомного номера образца и его кристаллографической
симметрии, от чувствительности рентгеновской пленки, силы тока
и напряжения на рентгеновской трубке. Ввиду значительного числа
факторов, влияющих на экспозицию, последняя подбирается обычно
опытным путем. В случае получения недодержанного снимка экспо-
зицию следует удвоить или утроить. В такое же число раз надо
снижать экспозицию при получении передержанных снимков.
196
Глава 11. Метод порошков
§ 47. ТИПЫ КАМЕР
В зависимости от задач исследования применяют различные типы
камер. При исследованиях, связанных с точным определением пе-
риодов решетки, чаще всего используют фокусирующие камеры
(о них будет рассказано в разделе, посвященном прецизионным оп-
ределениям периодов решетки). Для фазового анализа и других
обычных работ используют цилиндрические камеры диаметром 57,3;
Рис. 11.4. Рентгеновская камера Дебая (РКД)
86,0 и 114,6 мм, иногда также применяют камеры больших диаме-
тров (143,2 или 190 мм). На рис. 11.4 показана камера общего на-
значения — камера Дебая (РКД) (диаметр 57,3 мм).
Для решения некоторых вопросов металловедения используют
высокотемпературные камеры, которые особенно нужны в тех слу-
чаях, когда нельзя воспользоваться закалкой образцов. Конструи-
рование высокотемпературных камер осложняется необходимостью
защиты образца от влияния атмосферы, а фотопленки — от тепло-
вого и светового воздействия нагревателя и образца. Окисление
образца можно предотвратить, поместив его в вакуум, но при этом
возможно дифференциальное испарение компонент сплава и изме-
нение его состава. В таких случаях применяют наполнение камеры
инертными газами. Образец можно также помещать в кварцевые
капилляры, однако многие материалы реагируют с кварцем ниже
его температуры размягчения.
£ 47. Типы камер
197
[На рис. 11.5 приведена схема простой камеры, рассчитанной на
температуру до 1000 С. Образец приготовляют в виде порошка,
который набивают в, капилляр, наполняемый затем инертным га-
зом или запаиваемый под вакуумом. Капилляр располагают по оси
цилиндрической кассеты, внутри кассеты имеются каналы, по
которым циркулирует вода, охлаждающая кассету. Фотопленку при-
жимают к внешней поверхности кассеты посредством резиновых лент.
Для входа первичного пучка и выхода дифракционных линий вдоль
почти всей окружности кассеты имеется прорезь шириной 2—3 мм.
Рис. 11.5. Схема высокотемпературной камеры:
/ — образец; 2—печь; 3— кварцевая трубка; 4 — диа-
фрагма; 5 — термопара; б — алюминиевая фольга; 7 —
черная бумага; 8 — фотопленка; 9 — водяное охлаждение
Образец нагревают небольшой печью, имеющей коническую форму
для обеспечения минимального перепада температуры. Печь состоит
из двух половинок, между которыми имеется зазор ~ 2—3 мм для
впуска первичных и выпуска дифракционных лучей. Для защиты
пленки от светового и теплового воздействия нагревателя и образца
служит экран из алюминиевой фольги, расположенной! на внутрен-
ней поверхности кассеты по всей окружности прорези. Температуру
образца измеряют термопарой, расположенной в непосредственной
близости от образца.
Для исследования фазовых превращений, происходящих при
низкой температуре, применяют низкотемпературные камеры. В та-
ких камерах исследуются также вещества с низкой температурой
правления, находящиеся при обычных условиях в жидком состоя-
нии Одним из простых способов получения низкой температуры
образца служит его обдувка холодным газом или обливание струей
жидкого азота или кислорода.
198
Глава 11. Метод порошков
§ 48. ПРОМЕР И РАСЧЕТ ПОРОШКОВЫХ РЕНТГЕНОГРАММ
Промер рентгенограмм может производиться с погрешностью
до 0,2 мм с помощью хорошей масштабной линейки. Более точный
промер (с погрешностью до 0,01 мм) может производиться с помощью
специального измерительного микроскопа Хкомпарсипора). Увели-
чение этого микроскопа должно быть небольшим (не больше четырех-
кратного). Пленку по длине располагают параллельно направле-
нию перемещения микроскопа. Визирный крест компаратора дол-
Рис. П.6. Ширина линии на рентгенограммах.:
a — абсолютно прозрачный образец; б— абсолютно непрозрачный образец; в — полу-
прозрачный образец
жен перемещаться по средней линии рентгенограммы. Отсчеты для
данной линии следует делать, приближаясь к ней с обеих сторон.
Порядок расчета рентгенограмм следующий.
1.	Из значений 2/пзм находят угол Вульфа-Брэгга -ft по
формуле ft = (l-!2R) • 57,29 (для цилиндрической камеры).
2.	Вносят поправку на поглощение в образце. Положение ди-
фракционных линий на рентгенограмме зависит от прозрачности
образца по отношению к падающему пучку рентгеновских лучей.
Если падающий пучок параллелен, а образец абсолютно прозрачен
по отношению к нему, то дифракционные линии, как это видно на
рис. 11.6, а, имеют одинаковую ширину при всех углах 0, равную
диаметру цилиндрического образца. Если образец абсолютно не-
прозрачен, то при тех же условиях линии будут иметь различную
ширину, уменьшающуюся с уменьшением угла 0 (рис. 11.6, б).
Для полупрозрачного образца наблюдается раздвоение линий под
небольшими углами 0 (рис. 11.6, в).
$ 48. Промер и расчет порошковых рентгенограмм	199
по^СТДеЛеНИе ПЛОТНОСТИ почеРнения по ширине линии неодно-
родно, оно зависит от поглощения в образце, его радиуса и брэг-
говского угла. Промер расстояний целесообразно проводить между
серединами линий, так как они лучше определяются, чем их края,
из-за поглощения середины линий смещаются к большим углам
и поэтому из результатов измере-
нии надо вычесть поправку на по-
глощение А:
2^нспр ЗДпМ 2Д.	(11.5)
Значение А можно найти геометри-
чески, предполагая, что образец
абсолютно непрозрачен, а первич-
ный пучок строго параллелен.
Из рис. 11.7 следует, что
А = ВО (ЛЯ/2), ВО - г cos 20,
АВ -= АО — ВО,
где АО г (г — радиус образца).
Тогда
А = ВО (АО — ВО)'2 =
- (ВО ~ АО).!2 = (г/2) (1 ~
+ cos 20) = г cos2 0.
Подставляя значение А в выраже-
ние (11.5), получаем
2^,р-2/„зм-2r cosM. (11.6)
Значение А, как видно из соотношения (11.6), уменьшается с уве-
личением угла 0. Поэтому поправку на поглощение следует учи-
тывать до тех пор, пока она превосходит погрешность измерения.
Указанная поправка получена при больших упрощениях, и поэто-
му ее используют при расчетах рентгенограмм, не связанных с осо-
бо точными определениями периодов решетки.
3.	Определяют межплоскостные расстояния по формуле
d/n = V(2 sin 0).	(П.7)
Если при съемке рентгенограммы применялось неотфильтро-
ванное характеристическое излучение, то предварительно опреде-
ляют длину волны, относящуюся к данной линии. Для этой цели
используют соотношения
2d sin nZp — 2d sin 0^.
Отсюда
sin	УхДр-
(11.8)
V i /
200	Глава 11. Метод порошков
Кроме того, следует учитывать, что <С и 1а = 5,5/р, где
/а и — интенсивности соответствующих линий характеристиче-
ского спектра.
После разделения линий на 0 и а производят расчет межплос-
костных расстояний по формулам
d/n Xp/sin &d/n = %a/sin ^a.
Контролем правильности расчета служит попарное совпадение ре-
зультатов, полученных для линий, обусловленных /Са- и Лр-из-
лучениями.
Часто расчет рентгенограммы (например, при фазовом анализе)
заканчивают на этом этапе. Если же стоит задача определения пе-
риодов решетки, то рентгенограмма должна быть проиндицирована,
т. е. должны быть определены индексы интерференции всех линий,
полученных на рентгенограмме.
§ 49. ИНДИЦИРОВАНИЕ ПОРОШКОВЫХ РЕНТГЕНОГРАММ
Индексы дифракционных линий на порошковой рентгенограмме
вещества с кубической решеткой определяются очень легко. Слож-
нее индицировать рентгенограммы веществ с гексагональной и те-
трагональной решетками; в этом случае применяют графические
методы. Еще более сложно индицировать рентгенограммы веществ
с ромбической, моноклинной или триклинной решетками.
Индицирование рентгенограмм с решеткой кубической систе-
мы. Из формул структурных множителей для возможных типов ку-
бических решеток можно определить последовательность возраста-
ния сумм квадратов индексов (Н2 + К2 + L2);
для примитивной —1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, И, 12, 13, 14, 16 ...;
для объемноцентрированной —2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...;
для гранецентрированной — 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, 20, 24, 27,
32, ...
Из соотношений между межплоскостными расстояниями, найден-
ными по нескольким первым линиям рентгенограммы, легко опре-
делить тип решетки (надо иметь в виду, что металлы в примитив-
ной решетке не кристаллизуются). Далее, используя индексы пер-
вой линии HlKlLi и найденное для нее межплоскостное расстоя-
ние, определяем период решетки из соотношений:
ях = <4 для примитивной (индексы первой линии 100);
~ для объемноцентрированной (индексы первой ли-
нии 110);
= dj/Здля гранецентрированной (индексы первой линии 111).
Используя значение периода решетки аъ находим индексы осталь-
ных линий:
Щ + /<? + Ц = (ох/Д-)2.
(11.9)
$ 4$- Индицирование порошковых рентгенограмм	201
Обычно найденные таким образом значения не являются целыми,
так как по первой линии период ах определяется приближенно. По-
лученные значения HJ + К2 + Ц округляют по общим правилам
до целых чисел и затем находят периоды решетки:
(11.10)
Наиболее достоверные данные о периодах решетки получают из
расчета последних линий рентгенограммы (линий, отвечающих
наибольшим углам fl1).
Индицирование рентгенограмм веществ с тетрагональной и
гексагональной решетками. Для индицирования рентгенограмм
веществ с тетрагональной и гексагональной решетками использу-
ется то обстоятельство, что отношение межплоскостных расстояний
dx/d.2 для двух любых линий в этих системах является функцией
отношения с!а и не зависит от самих периодов решетки а и с. Так,
например, для тетрагональной решетки это отношение равно
dj _ H* + Kl + Ll/(c/a)2
Н1+К1 + Ц/(с/ар'	1
Прологарифмировав его, получим
-lg(//f + KH
(с/«)2/Г
(11.12)
Отсюда видно, что
lg — lg d2 = / (//, da).	(ПЛЗ)
Такую зависимость можно изобразить графически (рис. 11.8).
Для индексов, у которых L = 0, зависимость представляется пря-
мой, параллельной оси ординат. Остальные зависимости изобра-
жаются кривыми. Для гексагональной системы получается анало-
гичный график. Подобные графики для индицирования тетраго-
нальной и гексагональной систем носят название графиков Хэлла—
Дэви.	гт
Пользуются графиками Хэлла—Дэви следующим образом. Под
каждым графиком указывается масштаб, отвечающий межпло-
скостным расстояниям d. На некоторых графиках приводяттакже
масштаб углов th Эти масштабы используют для нанесения на
полоску бумаги определенных из рентгенограммы значений sin
или th-	о . n
Для нанесения значении sin используют масштаб для а,
так как sin = Ж) и 1g sin th = 1g (A/2) - 1g dt. Значение
sin th умножают на постоянный коэффициент, например на 1OUU,
так чтобы все значения sin th умещались в масштабе графика. Ли-
202
Глава 11. Метод порошков
нейку с нанесенными метками переворачивают (так как 1g sin fh -
__ _]g rf.) и первую метку (отвечающую наименьшему значению
sin dj) совмещают с кривой 001 графика. После этого метку пере-
мешают вдоль кривой, сохраняя параллельность бумажной линейки
Рис. 11.8, График Хэлла— Дэви для индицирования рентгенограмм
веществ с гексагональной решеткой
по отношению к оси абсцисс. При этом ищется совпадение всех ме-
ток с какими-либо кривыми графика. Если это сделать не удается,
то, значит, линия 001 отсутствует на рентгенограмме (погасание,
обусловленное структурным множителем); и первую метку переме-
шают по другим кривым графика, добиваясь полного совпадения
всех меток с этими кривыми. После того как определят индексы
линий рентгенограммы, находят отдельно периоды решетки а и с.
£ 49. Индицирование порошковых рентгенограмм
203
Это можно сделать, решая системы уравнений для любых пар ли-
ний. В некоторых случаях это можно сделать и по одной линии —
для линий с индексами НКО (для определения периода а) и 00L
(для определения периода с). Графическим методом всю рентгено-
грамму проиндицировать обычно не удается, так как на графике
кривые, отвечающие большим значениям sin й, лежат очень тесно
и однозначное совпадение меток с ними установить трудно. Тогда
остальные линии рентгенограммы индицируют аналитически, поль-
зуясь уже известными периодами решетки.
При индицировании графическим методом иногда также находят
несколько совпадений меток с кривыми графика. Для индицирова-
ния используют совпадение, отвечающее наименьшим периодам
решетки.
Более удобными для графического индицирования являются
кривые Бьерапрема. Рассмотрим их построение на примере тетраго-
нальной решетки. Прибавим к обеим частям квадратичной формы
(№ -ф №)/с2; после преобразования получим
±___ИК_К + ±yHK2/_LH._L\_(//2.bK2_L2)_i ( (11.14)
J2	\	С2 /	\ Л2 С2 /	С2
ИЛИ
— -L + -- W + № - (№ + № - Z?) 1/отг77Д -=
Д2 \ а2 с-2 / |	1 /a--J- 1	.1
+	;'-1 • (Ц-15)
( U2 С2/|	(C/O)2-|-1J
Логарифмируя выражение (11.15), получаем
(•£)"18 (£+з)+,g ["+кг^"‘+
(11.16)
Для данного кристалла периоды решетки имеют определенные зна-
чения, поэтому
ig (Э=c°nsi 
Обозначим Ц _ <?„„ „ О„к1 » lg W +	Ь К’ - L‘)x
у ((с/а)2 + 1}—И, перепишем выражение (11.16):
IgQ/iKL^- const \-Dhkl-	(H l7)
Задавая определенные значения HKL, можно построить для
каждого набора индексов интерференции график зависимости
lgS°L от 1g (с/а)- Очевидно, расстояние между кривыми по го-
ризонтали равно
lg Qll, Кз ь, — IgQw, к, l, -~- Dltl к, i;-Dn, к, ь,-	(
204
Глава 11. Метод порошков
При постоянных значениях	и Н2К2Ь2 эта разность являет-
ся функцией только da. Полученные семейства кривых носят на-
звание графиков Бьерстрема (рис. 11.9); они построены для тет-
рагональной и гексагональной систем для интервала отношении
da от 0 2 до 5,0. Благодаря логарифмическому масштабу интервал
cla значительно шире в графиках Бьерстрема, чем,в графиках Хэл-
Рис. 11.9. График Бьерстрема для индицирования тетрагональной системы
Индицирование с помощью графиков Бьерстрема принципиаль-
но не отличается от индицирования по кривым Хэлла—Дэви.
Индицирование рентгенограмм веществ с ромбической решет-
кой. При исследовании веществ с неизвестной структурой вначале
пытаются провести индицирование рентгенограммы по кривым Хэл-
ла в предположении, что вещество относится к кубической, тетраго-
нальной или гексагональной системе (кубическая система считается
частным, случаем тетрагональной системы при da = 1). Если это
сделать не удается, то приходим к заключению, что вещество имеет
более, низкую симметрию, чем указанные выше системы. Тогда
49. Индицирование порошковых рентгенограмм	205
можно предположить, что вещество кристаллизуется в ромбиче-
ской, моноклинной или триклинной системе. Для индицирования
ромбической системы может быть использован так называемый
разностный метод Липсона. Принцип этого метода следующий.
Квадратичная форма для ромбической системы имеет вид
rfld2 = H2la2 + K2/b2 + L2/c2 =	(11,19)
Если две линии рентгенограммы имеют одни и те же индексы, на-
пример К и L (Л\ = К2, Lx = L2), а их индексы Нг и Н2 равны
0 и 1 соответственно, то
Qikl—Qokl= 1/а2.	(11.20)
Аналогично при перестановке индексов находим
Qhil—Qhol = W, Qiika —Quko = ^lc2.
Возможны также разности такого типа:
Qikl—Qokl~ 4/а2;
Qh2L~Qwot = 4/b2 и т. д.
С другой стороны,
Qw/a = (4/X2) sin2 tf,
ПОЭТОМу
QiКЛ—QoA'z. = (4/2v2) (sin201KL — sin2Лота) =(4/X2) Asin2ft.	(11.21)
Среди 30—40 линий рентгенограммы всегда найдется несколько
пар линий, связанных указанными соотношениями (например,
Н2 = 1, Нх — 0, Кг = К2> М = При использовании метода
Липсона необходимо вычислить все возможные разности A sin2 ft(-
и затем искать наиболее часто встречающиеся значения. Для уско-
рения этого процесса удобно принять диаграмму следующего вида
(рис. 11.10). По оси абсцисс в определенном масштабе в виде черто-
чек наносят значения вычисленных разностей Л sin2 ftь так как
эти разности определяются с некоторой погрешностью, пропор-
циональной погрешности в определении значения ftz. По оси орди-
нат без масштаба наносят порядковые номера линий рентгенограм-
мы. Таким образом, на диаграмме каждой линии рентгенограммы
будут отвечать 30—40 черточек, располагающихся на прямой, па-
раллельной оси абсцисс. Каждая из этих черточек отвечает разности
квадратов синусов брэгговских углов для /-линий и какой-либо
(-линии: A sin2 ft = sin2 ft/ — sin2 ft$. Затем вдоль осп абсцисс
перемещают линейку, направление которой остается параллель-
ным оси ординат. Когда линейка пересекает сразу несколько отме-
206
Глава П. Метод порошков
т». Зто ™«о«от пересе Ре”Готк,““ р“Хен™.
«РУГ» Обусловлены случным» совнаденинми.
ПотОм^ОпрО рассмотрении по-асзио оценить порядок зваиении не-
$	7	8	9	10 1112
в—--г1——"!—жГагт7
Номер линии
т
1 234- 5
ж ВИИ О"
показал, что если М — число линий на
риодов решетки. Липсон
рентгенограмме до брэгговского угла ft1, то
1/а2	0,4 sin2 а/М2/з,	(11.22)
Выражение (11.22) справедливо и для оценки порядка значений
Ь62 и l/с2, если верно предположение о том, что периоды решетки
исследуемого вещества являются величинами одного порядка.
§ 49. Индицирование порошковых рентгенограмм	207
Даже при наличии случайных совпадений на диаграмме всегда
будут разности правильного порядка величины. Это утверждение
основывается на том, что если две линии имеют одни и тс же индек-
сы К и L, а их индексы И равны соответственно 0 и 2, то Q2kl —
— Qokl равно 4/й2. Поэтому если на диаграмме имеется серия зна-
чений Asin2 отличающихся в четыре раза от другой серии, то
эти значения, вероятно, не обусловлены случайным совпадением
и значение меньших разностей Л sin2 ft отвечает 1/а2 (или 1/Z?2 и
1/с2, так как три оси формально не различаются). Дальнейший
анализ позволяет найти значения A sin2 th, отвечающие остальным
осям. Найдя периоды решетки, уже нетрудно проиндицировать
рентгенограмму аналитическим методом.
Индицирование методом Липсона можно выполнить успешно
только при достаточно точно определенных значениях sin2 ft, по-
грешность их определения не должна превышать ±0,0005.
Индицирование рентгенограмм веществ с моноклинной и три-
клинной решетками (метод Ито). Описанные выше методы ставят
своей целью определить за одну операцию истинную элементарную
ячейку, т. е. наименьшую ячейку, форма которой удовлетворяет
симметрии кристаллической решетки. Основной причиной, препят-
ствующей применению прямых методов, является то, что нам неиз-
вестны индексы первых нескольких линий рентгенограммы. Если бы
была известна симметрия решетки и можно было бы предположить,
что первые три линии рентгенограммы имеют наиболее простые ин-
дексы, такие, как 100, 010 и 001, тогда определение элементарной
ячейки не представляло бы трудности и выполнялось почти авто-
матически. Но обычно симметрия решетки неизвестна и часто отра-
жения с простыми индексами отсутствуют вследствие того, что
решетка не примитивная, а сложная. Однако любые три линии на
рентгенограмме определяют возможную элементарную ячейку (при
условии, что эти линии нс обусловлены отражениями от плоскостей,
нормали к которым компланарны), хотя такая ячейка может и не
отвечать симметрии решетки (т. е. такая ячейка обычно будет три-
клинной). Если найдена возможная элементарная ячейка, то опре-
делить истинную ячейку будет уже нетрудно.
На таких предположениях и основан метод Ито. применяемый
для кристаллов любой симметрии. По этому методу первым трем
линиям на рентгенограмме приписывают простые индексы — 100,
010 и 001, на основании которых индицируется вся рентгенограм-
ма, после чего предположительная ячейка описанным ниже методом
Делоне трансформируется в истинную ячейку.
При нахождении предположительной ячейки решают две зада-
чи. Первой из этих задач является определение углов между осями
ячейки, что делается графически с использованием представлений
об обратной решетке. Если параметры обратной решетки а*, 6*,
208
Глава 11. Метод порошков
с*, а*, Р*, у*, то
Qhkl= /У2- (n IdT- /У2 а*2 4- № ь*г + L2с** + 2KLb* с* cos а* +
4- 2HLa* с* cos Р* + 2НКа* b* cos у*.	(11.23)
Если первые три линии рентгенограммы имеют индексы 100, 010
и 001 то для них соответствующие значения Q равны а , b , с*^
Для нахождения углов а*, р*, у* значения Q для всех линий
наносят в определенном масштабе на полоску бумаги (рис. 11.11).
На график наносят пунктирную линию «101», отвечающую Q =
_ а*2 4. с*2, т. е. случаю нахождения линии 101 при угле 0* = 90°.
110
100 010 001	\
110	101	101011
011
/ 201 «201» 201
0,1
7/Л
04
0,5
0,5
№
Рис. 11.11. Индицирование методом Ито
Но так как в общем случае этот угол не равен 90°, то в действитель-
ности на этом месте линия не будет наблюдаться; вместо этого ли-
нии 101 и 101 будут симметрично располагаться по обе стороны от
пунктирной линии в соответствии с уравнениями
Q101 == а*г + с*г 4- 2а* с* cos Р*,
^1оТ = а*г + с*г — 2а* с* cos Р*.
Отсюда можно найти угол р*:
cos Р* = (Qi01—Q10y)/(4a* с*).
(11.24)
(11.25)
Остальные углы (а* и у*) находят аналогичным образом: наносят
на график пунктирные линии «ПО» (Qno = а*3 + Ь*3) и «011»
~ b — С- ), после чего ищут линии, симметрично располо-
женные по отношению к этим пунктирным линиям.
ели таких симметричных линий найти не удается, то это оз-
начает, что одна из парных линий отсутствует из-за структурного
огасания, в этом случае делают попытки найти другие пары,
npnf^IeP’ И 201 или и 102. Это может также означать, что
пепдагп^^ ЛИНИИ На РептгеногРамме не являются отражениями
200 090 Н7НДППОИ поэтому им Должны быть приписаны индексы
Корла XI! п’пНЛИ ДРуГИе Кратные пьексы //00, ОКО и 00Е.
ары симметричных линий и рассчитаны углы а*,
§ 49. Индицирование порошковых рентгенограмм	209
0*, V*, проводят индицирование остальных линий с помощью пара-
метров предположительной ячейки. Если удается проиндицировать
все линии рентгенограммы, то можно считать, что предположитель-
ная ячейка найдена (при индицирования параметры ячейки могут
слегка изменяться для получения лучшего совпадения).
Параметры предположительной обратной ячейки по известным
формулам переводят затем в параметры прямой ячейки а, Ь, с,
а, 0, у. Полученная ячейка не обязательно является построенной
на кратчайших трансляциях. Дальнейшей задачей является оты-
Рис. 11.12. Схема преобразования Делоне
скание приведенной ячейки, т. е. минимально возможной ячейки при
условии, что сингония этой ячейки та же, что и сингония всей ре-
шетки. Метод нахождения приведенных ячеек для моноклинной
и триклинной сингоний был разработан советским ученым
Б. Н. Делоне — метод Делоне.
Пусть найденная предположительная ячейка построена на век-
торах аь Ьь сР Тогда можно ввести вектор dn определяемый ра-
венством
ai + bi + сх + di = 0.
Прибавим к этой сумме однородных векторов и вычтем из нее век-
тор аР После группировки получим
—	+ bt + (с£ + а,) + (dx + aj - 0.
Введем новые векторы а2, b2, с2, d2, такие, что
а2 == — Э1, b2 “ bi, с2 ~ Ci Д an d2 di 4~ ai-
Нетрудно показать, что такое преобразование осей приводит
к уменьшению суммы квадратов однородных векторов на 2aibP
Преобразование изображается схематически с помощью четырех-
гранника (рис. 11-12), на ребрах которого записывают скалярные
произведения^между однородными векторами до преобразования
210	Глава 11. Метод порошков
и после него (четырехгранник Делоне). Если новая группа скаляр-
ных произведений однородных векторов содержит хотя бы один не-
отрицательный член, то преобразование может быть повторено,
следствием чего является новое уменьшение суммы квадратов одно-
родных векторов. Приведение считается законченным, когда все ска-
лярные произведения однородных векторов становятся отрицатель-
ными. (или равными нулю).
§ 50. РЕНТГЕНОВСКИЕ ДИФРАКТОМЕТРЫ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ
В практике научно-исследовательских лабораторий широкое
применение находят рентгеновские дифрактометры — приборы, ис-
пользующие ионизационные или сцинтилляционные методы реги-
страции дифракционных максимумов. Современный дифрактометр
является сложной установкой, в которой осуществляется фокуси-
ровка лучей, отраженных от образца, и измеряется интенсивность
дифракционных максимумов с помощью счетчиков. Установка снаб-
жена электронной и интегрирующей схемами и автоматической за-
писью кривых интенсивности.
В СССР серийно выпускают дифрактометры УРС-50ИМ (уни-
версальная рентгеновская установка с ионизационной регистрацией
на 50 кв) и ДРОН-1, ДРОН-0,5, ДРОН-2,0 (дифрактометр общего
назначения*). Дифрактометр ДРОН-1 (рис. 11.13) состоит из опе-
ративного стола, большой стойки (ССД) и малой стойки. Оператив-
ный стол содержит стабилизированный источник питания рентге-
новской трубки, пульт управления установкой, рентгеновскую
трубку (БСВ-8 или БСВ-9), гониометрическое устройство (ГУР-5),
счетчик (сцинтилляционный счетчик СРС-1-0 или счетчик Гейгера
с неорганической гасящей добавкой СИ-4Р).
Большая стойка состоит из следующих блоков: линейного
усилителя, дифференциального дискриминатора, пересчетного уст-
ройства, электронного секундомера, интенсиметра. В малой стойке
на.ходятся цифропечатающее устройство и самопишущий электрон-
ный потенциометр ЭПП-09. Структурная схема дифрактометра
ДРОН-1 приведена на рис. 11.14.
tvd-C/le^'/eAIbI^ образец и счетчик располагают на гониометре
P-о, кинематическая схема которого обеспечивает совместное
вращение образца и счетчика с соотношением скоростей 1 • 2 [воз-
можна любая из десяти скоростей — от 1/32 до 16 град/мин (2й)1.
течет ) г.юв поворота с погрешностью до 0,005° производится с по-
мощью проектируемой стеклянной шкалы с нониусом. Радиус го-
ниометра 180 лиц максимальный угол поворота счетчика 20  -- 164°.
Цифра, стоящая
киловаттах.
} .марки дифрактометра, обозначает его мощность
.? 50. Рентгеновские дифрактометры
Щелевая система гониометра состоит из входного и выходного щеле-
вых устройств, дающих возможность вырезать первичный и отра-
женный пучок требуемой формы и размеров.
В отличие от фотографического метода дифракционная картина
регистрируется последовательно по мере вращения образца и счет-
чика. Поэтому необходимо, чтобы интенсивность излучения рентге-
новской трубки была постоянной; геометрия съемки должна быть
Рис. 11.13. Рентгеновский дифрактометр ДРОН-1
фокусирующей, а размеры образца сравнительно большими. В ди-
фрактометрах используют схемы фокусировки по Брэггу—Брен-
тано и по Зееману—Болину.
Съемку с фокусировкой по Брэггу—Брентано используют в боль-
шинстве дифрактометров, так как она конструктивно проще и поз-
воляет вращать образец в собственной плоскости для устранения
эффекта кр у п позер н и стости.
В гониометре, работающем по схеме Брэгга—Брентано
(рис. 11.15), например ГУР-5, плоский образец помещают в держа-
тель 1 таким образом, чтобы его поверхность находилась на оси вра-
щения гониометра. Проекция фокуса рентгеновской трубки F
и щель счетчика располагаются на одной окружности радиуса
/? (окружность фокусировки). Фокусировка получается приблизи-
тельной, так как для точной фокусировки образец следует из-
гибать по радиусу с окружности фокусировки, который зависит
от угла О:
г = /?/(2 sin О').
Ре.. 11.14. Структурная схема рентгеновского дифрактометра
ДРОН-1
§50. Рентгеновские дифрактометры
213
Так как это практически неосуществимо, то используют плоский
образец, поверхность которого остается при вращении образца
касательной к окружности фокусировки.
Для сохранения условия фокусировки счетчик 2 при вращении
образца с угловой скоростью должен перемещаться со скоростью
2(0. Отступление от идеальной фокусировки будет тем большим,
Рис. 11.15. Схема фокусировки про Брьггу—
Брентано
чем больше горизонтальная (в плоскости окружности фокусировки)
расходимость первичного пучка. Последняя регулируется изме-
нением ширины щели Si- Вертикальная расходимость (в плоскости,
перпендикулярной к окружности фокусировки) ограничивается
щелями Соллера — набором тонких металлических пластинок, рас-
положенных на малом расстоянии параллельно друг другу
(рис. 11.16).
Особенностью фокусировки по Брэггу—Брентано является
то что в отражающем положении при регистрации дифракционного
максимума (HKL) оказываются те кристаллы, кристаллографиче-
ские плоскости которых параллельны поверхности образца (нор-
21-1
Глава II. Метод порошков
5
Рис. 11.16. Геометрия съемки при фокусировке по Брэггу — Брен-
тано:
/ — проекция фокуса рентгеновской трубки; 2, 7 —входная и выходная верти-
кальные щели; 3‘, 6 — щели Соллера; 4 — горизонтальная щель; 5 — образец
маль к отражающей плоскости Nhhl параллельна нормали к по-
верхности образца Ns).
В некоторых дифрактометрах применяется фокусировка по
Зееману—Болину. На рис. 11.1.7 приведена схема такой фокуси-
ровки при монохроматизации первичного излучения изогнутым кри-
сталлом. Образец — либо изогнутый по радиусу окружности фоку-
сировки, либо плоский. Все отражения одновременно фокусируются
на окружности, проходящей через точки F, О, D. Это дает возмож-
ность промерять одновременно интенсивности нескольких дифрак-
ционных линий, что используется в многоканальном рентгеновском
Рис. 11.17. Схема фокусировки по Зееману — Болину:
/—проекция фокуса рентгеновской трубки; 2 — кристалл-монохроматор; 3 —
входная щель; 4 — образец; 5 — счетчик
§ 50. Рентгеновские дифрактометры	215
дифрактометре ДРПМК-2 для количественного фазового анализа по-
ликристаллов. Другим достоинством этой схемы фокусировки яв-
ляется то, что при небольших углах у первичный пучок проходит
значительный путь в образце, что позволяет исследовать пленки не-
большой толщины. Так, например, при у = 6,4° путь луча в образ-
це в 9 раз больше его толщины, что позволяет зарегистрировать пер-
вые пять дифракционных максимумов для медной пленки толщиной
всего 150 А.
Декагпроны
Рис. 11.18. Структурная схема регистрирующей системы дифрактометра
Недостатком схемы фокусировки является невозможность ре-
гистрировать дифракционную картину при углах 0, меньших 10—
15°, а также то, что положение 2ft — 0 (нулевого положения счетчи-
ка) не может быть определено с достаточной точностью.
Регистрация дифракционных линий может производиться дву-
мя методами: 1) при непрерывном вращении образца и счетчика;
2) по точкам при последовательных поворотах образца и счетчика
на дискретные углы.
Схема регистрирующей системы дифрактометра приведена на
рис. 11.18. При непрерывной записи импульсы от счетчика квантов
попадают в интегрирующую схему, содержащую /?С-цепочки. В за-
висимости от задач исследования можно переключателем устанав-
ливать то или иное значение величины RC, которая носит название
постоянной времени т. При больших т происходит большее сглажи-
216
Глава 11. Метод порошков
ванне импульсов. Падение напряжения на сопротивлении R регист-
рируется ламповым вольтметром; ток, текущий через это сопротив-
ление, является мерой интенсивности рентгеновского излучения.
Показания лампового вольтметра регистрируются самопишущим
электронным потенциометром. Типичная дифрактограмма, получен-
ная при непрерывной записи, приведена на рис. П.19.
При непрерывной записи возникает искажение формы дифрак-
ционных линий, а также смещение их максимумов и центров тяжес-
ти по отношению к истинному положению. Искажение и смещение
тем больше, чем больше скорость вращения счетчика г| и чем больше
постоянная времени т. Смещение центра тяжести равно (в масштабе
<5С =
Таким образом, при исследованиях, в которых важно опреде-
лить форму дифракционных линий и их точное положение, необхо-
димо применять минимальную скорость вращения и наименьшую по-
стоянную времени.
При регистрации по точкам профиль дифракционной линии по-
лучается с хорошей точностью. Образец поворачивают через опре-
деленные интервалы углов (например, 1', 2? или 4г), а счетчик пово-
рачивают на удвоенные углы. Затем при неподвижных образце и
счетчике с помощью декатронов (в старых дифрактометрах с помощью
электромеханического счетчика) производят подсчет числа импуль-
217
$ 50- Рентгеновские дифрактометры
сов. Здесь возможны два способа: 1) измерения числа импульсов за
определенный промежуток времени (метод постоянного времени
счета), 2) измерения времени, за которое накопится определенное
число импульсов (метод постоянного числа импульсов), В методе
постоянного времени счета погрешность в измерении интенсивности
увеличивается при регистрации в точках с малой интенсивностью,
в то время как в методе постоянного числа импульсов п квадратиче-
ская погрешность МУп одинакова для любой точкидифрактограм-
мы. Поэтому последний метод предпочтительнее.
В дифрактометре ДРОН-1 съемка по точкам (сканирование) про-
изводится как по методу постоянного времени, так и по методу по-
стоянного числа импульсов автоматически: блок автоматики оста-
навливает образец и счетчик, согласно заданному шагу [0,01, 0,1
и 1° (20')], включает счет импульсов и электронный секундомер. За-
регистрированное число импульсов записывается цифропечатаю-
щим устройством, сигнал «конец печати» вновь включает движение
счетчика. При записи на электронном потенциометре сигнал наносит
штрих-отметку, длина которой пропорциональна числу накоплен-
ных импульсов. Типичный профиль дифракционной линии, полу-
ченный при последнем способе регистрации, приведен на рис. 11.20.
Большое значение имеют дифрактометры при исследовании ра-
диоактивных материалов. Обычные методы с фотографической или
ионизационной регистрацией дифракционных максимумов мало
пригодны для исследования радиоактивных материалов, имеющих
достаточно интенсивное (3- или у-излучение, из-за мешающего дей-
ствия сильного радиационного фона.
В СССР для исследования радиоактивных материалов выпу-
скается дифрактометр с дистанционным управлением ДРД-4, скон-
струированный на базе обычного дифрактометра и предназначен-
ный для исследований в условиях радиохимической лаборато-
рии образцов с активностью до 10 кюри по Со60. В активной зоне
размещается лишь рентгенооптическая часть дифрактометра. Все
остальные устройства размещают в операторской, откуда с помощью
дистанционной системы производят управление рентгенооптической
частью.
Рентгенооптическая часть дифрактометра ДРД-4 отличается от
применяемой в УРС-50ИМ тем, что в подвижном плече гониометра
ГУР-5 размещена вместо счетчика рентгеновская трубка, а на месте
трубки смонтирован защитный блок с монохроматором и детектором.
В дифрактометре использован принцип двойного дифракцион-
ного отражения. Сущность этого принципа заключается в том, что
дифракционные максимумы регистрируются счетчиком после их
«отражения» от кристалла-монохроматора. Это оостоятельство по-
зволяет размещать регистрирующее устройство (счетчик) в стороне
о? первоначального направления дифракционного пучка и защищать
Г.шоа П. Метод порошков 
регистрирующее устройство от ионизирующего излучения образца,
помещая между ними поглощающие экраны. Схема рентгеноопти-
ческой части дифрактометра ДР Д-4 приведена на рис. 11.21.
Расходящийся пучок от фокуса рентгеновской трубки 2 падает
на плоский образец О, расположенный в держателе на оси гонио-
Рис. 11.20. Типичный профиль дифракционной линии,
получаемый при автоматической записи то точкам
метра. Во время съемки рентгеновская трубка вращается со ско-
ростью вдвое большей, чем образец (питание к трубке подводится
гибким высоковольтным кабелем). Дифракционный пучок от об-
разца проходит через щель в защитном блоке 3, попадает на изогну-
тый (по тороидальной поверхности) кристалл-монохроматор 4.
Отраженный пучок проходит через щель 5 и регистрируется счет-
чиком 6, защищенным от рассеянного излучения свинцовым блоком
7. Для отсеивания Р-частиц используют постоянный магнит. Суммар-
ная толщина свинцовых блоков защиты на пути образец — счетчик
составляет более 300 ли/.
Регистрацию дифракционных максимумов производят как с по-
мощью газоразрядного счетчика А1СТР-5 (СИ-2Р), так и с помощью
219
Рентгеновские дифрпитометры
»>««»»
л««РГт°р„Х^
Д станционное управление установкой осуществляется с по
CimZ ГЯТ” сельсинов'дат'1иков и пяти сельсинов-приемников
С помощью сельсинов осуществляется вращение рентгеновской труб-
Рис. 11.21. Схема рснтгенооптпческой части дифрактометра ДРД-4
ки, вращение образца, подключение зацепления для синхронного
вращения образца и трубки, переключение скорости вращения. Ус-
тановку образца производят с помощью манипуляторов защитной
камеры.
Глава 12. ПРЕЦИЗИОННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПЕРИОДОВ РЕШЕТКИ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ВЕЩЕСТВ
Метод порошков.в обычном варианте и большинство методов ис-
следования монокристаллов позволяют определять периоды решет-
ки кристаллических веществ с невысоко!! точностью (погрешность
~0,1 %).
В то же время существует большой, непрерывно расширяющийся
круг задач, связанных с изучением твердого тела, для решения ко-
торых нужно предельно точное определение периодов решетки.
К числу таких задач относятся, например, изучение природы меж-
атомной связи в твердых телах, характеристик твердых растворов,
влияния облучения на материалы, остаточных внутренних на-
пряжений, плотности и коэффициентов термического расширения
(в случаях, когда обычные методы неприменимы).
220
Глава 12. Прецизионные методы
Высокой точности определения периодов (погрешность 0,01-
0 001%) достигают применением особых методов съемки и обработ-
ки результатов измерения рентгенограмм, называемых прецизион-
НЫА'псетуете максимальной точности в определении периодов
решетки возможно следующими методами.
и 1) использованием значении межплоскостных расстоянии, оп-
7	'	ределенных из углов в прецизион-
ной области;
2) уменьшением погрешности в
результате применения точной
экспериментальной техники;
3) использованием методов гра-
фической или аналитической экс-
траполяции.
Понятие прецизионной области
вводится следующим образом.
Из формулы Вульфа — Брэгга
пХ = 2d sin ft (12.1)
следует, что погрешность вуопреде-
лении межплоскостного расстоя-
ния d, а следовательно, и любых
других размеров элементарной
ячейки зависит от точности дан-
ных о брэгговском угле ft и длине
волны. Многие длины волн харак-
Рис. 12,1. График зависимости от-
носительной погрешности (%) оп-
ределения периода решетки от
угла ft
теристического излучения извест-
ны с погрешностью 0,002%
(1:50000). Однако длины волн
линий Cu7(ai и Fe/(ai промерены
с погрешностью 0,0005% (1 : 200 000). Очевидно, что периоды ре-
шетки не могут быть определены с точностью, превышающей точ-
ность измерения длины волны.
Продифференцируем уравнение (12.1) по d и ft:
0 = 2&d sin ft + 2d cos ft A ft
(погрешность в определении длины волны не учитываем),
откуда
Ad/d = —etg ftAft.
(12.2)
(12.3)
Из соотношения (12.3) следует, что при одной и той же погрешности
определения брэгговского угла Aft относительная погрешность &d!d
стремится к нулю при ft 90°.
При данном значении брэгговского угла ft погрешность kd/d тем
меньше, чем точнее определяется брэгговский угол. На рис. 12.1
£ 5^- Источники погрешностей	221
приведены графики зависимостей Дп/а от й для кубической синго-
нии при различных значениях Дй. Из этих графиков следует что
при углах Ф > 60° при ДО ^0,05° можно получить &d/d 0,61 %.
Область углов О > 60° называется поэтому прецизионной; в этой об-
ласти и следует при точных определениях периодов решетки полу-
чать дифракционные линии (это делается подбором длины волны ха-
рактеристического излучения).
Увеличение точности связано также с уменьшением случайных
ошибок и с учетом систематических погрешностей. Нахождение за~
висимости последних от брэгговского угла 0 позволяет провести
экстраполяцию к углам О = 90°, при которых погрешность опреде-
ления межплоскостных расстояний становится исчезающе малой.
§ 51.	ИСТОЧНИКИ ПОГРЕШНОСТЕЙ В ОПРЕДЕЛЕНИИ
МЕЖПЛОСКОСТНЫХ РАССТОЯНИЙ
Существуют три рода сшибок в методе порошков, приводящих
к погрешностям в определении межплоскостных расстояний:
1)	погрешности измерения, связанные с определением положе-
ния дифракционной линии на рентгенограмме;
2)	погрешности, обусловленные геометрией съемки;
3)	погрешности, обусловленные физическими факторами.
Погрешности первого рода являются случайными, второго и
третьего родов — систематическими.
j Случайные погрешности измерения. При фотографическом методе
регистрации дифракционной картины обычно измеряют положение
середины линии. Погрешность промера зависит от ширины дифрак-
ционных линий, и она, естественно, тем меньше, чем меньше ширина
этих линий. Неопределенность г в определении координаты середины
линии можно характеризовать формулой
г - Зо/В,	(12.4)
где фр— среднее квадратическое отклонение результатов измерения;
В ~ полуширина линии. Полуширина дифракционной линии (ши-
рина на половине высоты) зависит от брэгговского угла д по фор-
муле
В = MWtgflo,	(12-5)
где w — полуширина линии характеристического спектра; —
длина волны, соответствующая максимуму интенсивности; R —
расстояние от образца до пленки. Из формулы (12.5) следует, что
В стремится к бесконечности при приближении угла О к 90 . По-
грешность измерения зависит также от способа промера: при проме-
ре масштабной линейкой она равна —0,2 мм, при промере рентге-
нограммы на компараторе в благоприятных случаях эта погрешность
не превышает 0,01 млн Погрешность измерения можетбыть уменьше-
222	Глава 12. Прецизионные методы
на путем многократного промера (возможно, даже несколькими ли-
цами) и Усреднения полученных результатов. Получение микро-
фотограммы пленки не приводит к заметному уменьшению погреш-
ности отсчета, так как появление на них дополнительных деталей
мешает выявлению середины дифракционной линии.
Погрешность промера приводит к погрешности определения брэг-
говских углов 0. Рассмотрим это на примере обычной цилиндриче-
ской камеры, для которой угол 0 определяется по формуле
fl = И (2R),
где $ — радиус кассеты, по которой располагают фотопленку; 21—
расстояние между симметричными линиями на рентгенограмме.
Если не учитывать погрешности определения радиуса ДА?, то диф-
ференцированием можно получить
АО = KIR2R).	(12.6)
Из этой формулы следует, что погрешность ДО может быть уменьше-
на в случае применения камер большого радиуса. Однако сильно
увеличивать радиус пленки невыгодно, так как возрастает экспози-
ция (пропорционально R'2) и больше сказывается расходимость пер-
вичного пучка рентгеновских лучей, а также собственная ширина
спектральной линии.
При использовании дифрактометра положение дифракционной
линии может быть определено с большей точностью, если ее запись
проведена «по точкам». Координата линии определяется положе-
нием либо ее максимума, либо центра тяжести. Максимум линии
находится в случае симметричных линий следующим образом. На
записанном по точкам профиле дифракционной линии проводят ряд
прямых, соединяющих точки с равной интенсивностью (измеряемой
от линии фона) и лежащих по разные стороны от максимума. По-
лученные отрезки делят пополам и через середины проводят прямую
до пересечения с профилем линии, которое и определяет положение
максимума (20гпах). Следует учитывать, что наличие меняющегося
фона вдоль линии приводит к смещению положения максимума
в сторонх больших 0. Для асимметричных линий лучше опреде-
лять центр тяжести:
fl,	I
f 6/(0) с/0 / f /(f))dfl.	(12.7)
fl\	i fli
Практически 0, определяют следующим образом. Проводят линию
фона. Находят точки 29х и 202, в которых профиль линии сливается
с линией фона. Затем отрезок от 20г до 20о разбивают на п равных
участков Д20. Тогда
2&с--( V 1г/J £ /,() Д20-j-20ь	(12.8)
1	I k 1	/
5/- Источники погрешностей	223
где Д20	(202 — 201)/</г — 1), k — номер участка, /h - - интен-
сивность на данном участке, промеренная от линии фона. Погреш-
ность определения центра тяжести связана как с точностью измере-
ния интенсивности, так и с присутствием фона на дифрактограмме.
Более точно с учетом фона положение центра тяжести можно
вычислить по формуле
п
2	И'-.
20, - 20г —	--------(12 9)
1-т v ,	Д20
_ /ft
ft
ГПЛ А _ п—1	2а—z
1де --------— • —— центр тяжести трапециедалыюго фона
(рис. 12.2); г — отношение интегрального фона к интегральной ин-
тенсивности:
г = (л/2уа~г) ,	(12.10)
2 и
1
а — интенсивность при 2% z — интенсивность при 20г (измерение
интенсивности ведется от нулевого уровня).
Систематические погрешности при фотографическом методе
съемки. При фотографическом методе регистрации дифракционной
картины существуют систематиче-
ские погрешности, связанные с
погрешностью определения радиуса
цилиндрической пленки (или рас-
стояния «образец — пленка» в ка-
мерах с плоской пленкой), эксцен-
триситета образца с вертикальной
расходимостью первичного пучка,
с поглощением и преломлением в
образце.
v Погрешности, обусловленные
погрешностью определения радиуса
и сжатием пленки. Современные
Рис. 12.2. Определение центра тя-
жести интерференционной линии
с учетом фона
камеры изготавливают с довольно
большой точностью. Однако при расчете рентгенограммы необходи-
мо знать не радиус кассеты, на которой фотопленка располагалась во
время съемки, а так называемый эффективный радиус пленки. Это
связано с тем, что фотопленка в процессе фотообработки и сушки сжи-
мается на 0,02—0,3%.
Погрешности, связанные с погрешностью определения радиуса
и сжатием пленки, одинаковы по своему характеру и могут поэтому
рассматриваться одновременно. Сжатие пленки при фотообработке
224
Глава 12. Прецизионные методы
можно характеризовать изменением радиуса изгиба пленки, если
принять, что пленка деформируется равномерно по всей длине.
Вследствие погрешности определения радиуса AR измеренная на
пленке дуга 2/пзм, а следовательно, и вычисленный угол не
соответствуют истинным значениям 2/ист и 'О'ист* Будем считать
Д/? < 0. Тогда из рис. 12.3 следует, что
ОД = OB = R; ОА' = OB' = R — AR; Д'В' == 2/изм; АВ -
----- 2/игт; 2/изм = 4й (R AR); 2/ист	4OR, 2Д/ 2/ист 2/изм.
Тогда Д2/ = 4ftAR и, так как ДО ~ ASl/^R), то ДО = (ARZR)O1.
Так как
Ad/d = —etg ОДО, то Ad/d = —etg О (AR/R) 0.	(12.11)
Отсюда видно, что для уменьшения Ad/d надо уменьшить AR и
увеличить R.
При AR = 0,1 мм, О = 80° и 2R = 57,3 мм, ДО = 0,01 рад. При
этом погрешность (за счет AR) составит Ad/d — 0,175%.
Эффективный радиус пленки Л?эфф часто определяют съемкой
эталонного вещества, рассчитывая его по линиям рентгенограммы.
Рис. 12.3. Влияние неопределенности
радиуса цилиндрической пленки на
положение линии на рентгенограмме
Если исследуемое вещество сня-
то  на фотопленке того же
сорта, которая проявлена и вы-
сушена в тех же условиях,
то можно считать деформа-
цию пленки при фотообработке
обеих пленок одинаковой и эф-
фективный радиус при расчете
рентгенограммы исследуемого
вещества можно принять равным
радиусу, вычисленному по рент-
генограмме эталона.
Применяя асимметричную
зарядку пленки, можно опреде-
лить /?3фф с большой точностью
и без съемки эталонного веще-
j	ства.
Эксцентриситет образца. Небольшое смещение образца от цент-
ра камеры может дать заметное смещение линий на рентгенограмме,
приводящее к неточному определению угла О.
Смещение образца по направлению первичного пучка рентгенов-
ских лучей и перпендикулярно к этому пучку различно сказывается
на поло/кении линий на рентгенограмме. В случае смещения ОО\
перпендикулярно к первичному пучку (рис. 12.4, а) симметричные
линии рентгенограммы хотя и смещаются относительно своего поло-
жения, но расстояние между ними не меняется. Поэтому вертикаль-
§ 51. Источники
погрешностей
225
ная составляющая смещения образца в определение угла 0 погреш-
ности не вносит.	г
При перемещении образца вдоль направления первичного пучка
на отрезок 00% смещается и вершина интерференционного конуса
(рис. 12.4, б). В результате симметричные линии рентгенограммы
смещаются в зависимости от направления сдвига образца по направ-
лению Друг к Другу или друг от друга. Такой сдвиг вызывает изме-
Рпс. 12.4. Смещение линий на рентгенограмме при смещении образца от
центра камеры:
а — образец смещен перпендикулярно к первичному пучку; б —образец смещен
вдоль первичного пучка; в — образец смещен произвольно
нение длины дуги, определяющей угол что приводит к погреш-
ности в определении d. Смещение линии в этом случае равно А/ =
х sin 20, откуда
ДО = M/2R = (x/2R)sm 20.	(12.12)
В общем случае, если образец смещен из центра в точку W (OW =
~р, см. рис. 12.4, в), то это смещение можно разложить на две ком-
поленты: 00, = р cos а, параллельную первичному пучку, и 002 =
р sin а, перпендикулярную к этому пучку. Смещение OOt при-
водит к погрешности определения длины дуги Д/ -- OO2sin2fl =
= 2р cos а sin 20, а смещение 00г — к погрешности Д/ = 0. При
этом ДО - р cos и sin 20/2/?. Отсюда следует, что наличие эксцент-
риситста приводит к погрешности определения межплоскостного
расстояния:
jW = COS а sjn 28 ct е ± Р С^соз2 0.	(12.13)
d "	2/?	R
Расходимость первичного пучка рентгеновских лучей. Практи-
чески не представляется возможным получить параллельный пучок
рентгеновских лучей. Любой пучок обладает определенной расходи-
мостью зависящей от размера фокуса рентгеновской трубки и гео-
метрии щелей, коллимирующих пучок. Характеризуют пучок обычно
В Зак.4288
226
Глава 12. Превизионные методы
углами горизонтальной и вертикальной расходимости. Горизон-
шальной расходимостью называется расходимость в плоскости, пер-
пендикулярной к оси цилиндрической камеры (или гониометра диф-
рактометра), вертикальной расходимостью — в плоскости, прохо-
дящей через эту ось.
Вертикальная расходимость приводит к смещению линий, се-
редина которых при фотографическом методе регистрации смещается
на угол Ай:
Дд =—1±£ (JL j2 ctg 2&,	(12.14)
где h — высота изображения первичного пучка на образце; /?— ра-
диус камеры; значение х в пределах от 0 до 1, в зависимости от того,
считается ли пучок имеющим однородное по сечению распределение
интенсивности или интенсивность пучка спадает к краям. Погреш-
ность, связанная с вертикальной расходимостью, может быть сдела-
на достаточно малой при использовании для коллимации круглых
щелей небольшого диаметра.
Горизонтальная расходимость также приводит к смещению диф-
ракционных линий. Ее влияние рассматривается в связи с погреш-
ностью, обусловленной поглощением в образце.
V Погрешность, обусловленная поглощением в образце. Эта погреш-
ность относится к числу погрешностей, обусловленных физическими
факторами. Поглощение первичного пучка в цилиндрическом об-
разце приводит к заметному смещению линий. Учет поглощения
усложняется горизонтальной расходимостью пучка. Смещение диф-
ракционной линии для случая расходящегося пучка (АГ) изобра-
жено на рис. 12.5. Следует отметить, что в последнем случае отра-
женный пучок в горизонтальной плоскости будет сходящимся.
Можно показать, что в случае абсолютно непрозрачного цилинд-
рического образца радиуса г смещение линии будет
АГ = г [1 + (Я/ЛО)] cosM,
где /? радиус цилиндрической камеры; АО — расстояние от точ-
ки пересечения расходящихся лучей до центра образца (для парал-
лельного пучка АО = оо и А/ = г cos3 С). Отсюда следует, что отно-
сительная погрешность определения межплоскостного расстояния d,
обусловленная поглощением, равна
d	(12.1а)
В фокусирующих камерах обратной съемки (см. с. 231) погло-
Р„™е,.В ° ^азцс пРИБ°Дит также к смещению линий. Поправка на
смещение линии определяется по формуле
A sin2 fl - (/7/4/?)tg 2Ф sin 20,
(12.16)
___	§ 51. Источники погрешностей	227
где И эффективная толщина слоя образца, участвующая в созда-
нии рентгенограммы; Ф = (л/2) — ft; R — радиус камеры.
Преломление в образце. Для обычно применяемых в методе по-
рошков рентгеновских лучей показатель преломления т) = 1 —6
почти для всех веществ лежит в пределах от 0,99997 до 1,00003. Для
получения максимальной точности необходимо вводить поправку на
преломление. Показано, что вследствие поглощения интенсивность
Рис. 12.5. Смещение дифракционной линии в случае параллельного
и расходящегося пучков
рентгеновских лучей, дифрагированных центральной частью об-
разца, меньше по сравнению с интенсивностью лучей, отраженных
кристаллитами, находящимися на поверхности образца. Дифракция
поверхностными кристаллитами происходит под углами, при кото-
рых сказывается влияние преломления. Это приводит к небольшому
смещению дифракционных линий на рентгенограмме. Погрешность,
обусловленная преломлением, невелика (~О,ООЗ?6)- Поправку на
преломление вносят в соответствии с выражением
^свр^^мИ+0/sin2 WL	(12.17)
Поправку целесообразно вносить в экстраполированные к О = 90°
значения периодов. В этом случае она определяется в виде
«испр=йп,.51(Ц-6).	(12.18)
Для кубической системы поправочный член равен
дпам6 = 4,48-10-6 (WSZ,	(12.19)
8
228
Глава 12. Прециэионные методы
где SZ — сумма атомных номеров атомов в элементарной ячейке;
“Г — длина волны; а — период решетки.
Поправку на преломление вносят только при предельно точных
измерениях (Да 0,0002А).
Систематические погрешности при прецизионных определениях
периодов с помощью дифрактометра. Регистрация дифракционных
линий с помощью дифрактометра позволяет вычислить с большой
точностью положение их максимумов или центров тяжести. В преде-
ле погрешность определения может быть доведена до 0,001°.
Однако в полученные данные необходимо вносить поправку на
систематические погрешности. Ниже приводятся угловые зависи-
мости для этих погрешностей.
1.	Отклонение поверхности плоского образца от фокусирующей
поверхности вызывает смещение центра тяжести, равное
—(у2 ctg 0)/12,
где у — горизонтальная расходимость. Это приводит к погрешности
определения межплоскостного расстояния: Ad/d ~ ctg3 О ~ cos2 О.
2.	Смещение плоскости образца от оси гониометра на s вызывает
смещение центра тяжести, равное (scosО-)//?, где R — радиус круга
гониометра. Следовательно, &d/d ~ cos О -ctgО ~ cos2ft.
3.	Проникновение рентгеновских лучей в глубь образца вызы-
вает смещение центра тяжести на величину —sin 20/(4ц/?), где
М- — линейный коэффициент поглощения. Тогда
MJd ~ sin 20 ctg 0 ~ cos2 О.
4.	Неточная установка нулевого положения счетчика приводит
к погрешности
Ad/d ~ ctgO.
Для всех перечисленных выше погрешностей можно считать, что
суммарная погрешность
iXd/d ~ cos2 0.
о. Вертикальная расходимость первичного и дифрагированного
5чков вызывает смещение центра тяжести линии
Qi ctg 20 + Q2 cosec 20,
г* - «у («5 + Н! Н- 2НЙ, Q, =. -J_	Я/, Нр: Н' _
cHer^HK^rnn^14 Ф°кУса тРУбки, освещенной части образца и щели
кого оасстоянТияТСТВеННО* Погрешность определения межплоскост-
Q1+Q2 , Qi+q2
d	2+-------2--- & •
 £ 52. Камеры	229
6. Спектральная дисперсия неоднородно растягивает профиль
дифракционной линии: больше —край со стороны высоких значений
и меньше край со стороны низких Дисперсия определяется
выражением	г
d^/dk = l/(2d cos 0) = tgft/X.
Погрешность определения межплоскостного расстояния MJd про-
порциональна tg3 О.
5. Изменение множителей Лоренца и поляризации в пределах
дифракционной линии искажает ее форму, что приводит к погреш-
ности
Mid ~ tg3 Ф.
Погрешности, связанные с вертикальной расходимостью, дис-
персией, множителем Лоренца и поляризацией, не уменьшаются
с приближенней О к 90° и должны вычисляться: первая — для дан-
ной геометрии съемки, остальные—для каждой линии дифракто-
граммы.
§ 52. КАМЕРЫ ДЛЯ ПРЕЦИЗИОННОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЕРИОДОВ
Для точного определения периодов решетки необходимо полу-
чать на рентгенограммах линии, отвечающие большим углам
Для получения таких рентгенограмм существуют прецизионные
камеры, некоторые из которых будут рассмотрены ниже.
Камера РКУ. Внешний вид камеры РКУ (рентгеновская камера
универсальная) приведен на рис. 12.6. Камера имеет цилиндриче-
скую кассету. Образец помещен в центре камеры. Конструкция диаф-
рагмы позволяет получать линии под углом 3	# < 87°. В камере
можно исследовать различные образцы: поликристаллические (ци-
линдрические и плоские шлифы), которые устанавливают в намерена
специальных столиках, и монокристаллические, которые устанав-
ливают на небольших гониометрических головках. С помощью мо-
торчика образец можно вращать или колебать в заданном интервале
углов.
Камера РКУ-86 имеет расчетный диаметр пленки 85,95 лш, а
камера РКУ-114 — 114,59 лш.
Фокусирующие камеры с цилиндрической пленкой. Существуют
два типа фокусирующих камер с цилиндрической пленкой: асим-
метричная и симметричная.
Асимметричная камера имеет входную щель Е (рис. 12.7), рас-
положенную на той же окружности, что и кассета с пленкой. В ка-
мере используется расходящийся пучок рентгеновских лучей, иду-
щий от довольно большого фокуса рентгеновской трубки. Образец
имеет вогнутую цилиндрическую поверхность того же радиуса, что
и радиус кассеты, и располагается на одной окружности с кассетой.
230
Глава 12. П ревизионные методы
При таком расположении щели и образца происходит фокусировка
дифракционных линий, приводящая к сокращению экспозиции
в з—4 раза по сравнению с обычной цилиндрической камерой. В не
которых конструкциях камеры такого типа на месте входной щели Е
располагается острый фокус рентгеновской трубки, что дополни-
тельно увеличивает светосилу камеры.	u
Фокусировка в этой камере, называемая фокусировкой по оее-
ману—Болину, осуществляется следующим образом: луч, отражеи-
Рвс. 12.6. Камера РКУ
ный от кристаллографической плоскости (hkl) в точке А образца,
попадает на пленку в точку L; луч, отраженный от плоскости с теми
же индексами в точке В, попадаетвту же точку L так как AEAL —
= ^EBL = 180° — 20..
Для определения угла 0 следует измерить расстояние от внешне-
го края линии до щели. Из рис. 12.7 следует, что I = 2R (тс_20)
откуда 0 -=(л'2)~(МЯ). Однако практически измерить эторасстоя:
ние нельзя, так как пленка до щели не доходит. Поэтому на тенке
получают метку О. Для этого перед пленкой натягиваютто<жую
г2йкг?^г,г',о,“,г' Птс“а м •"»	«««и
поноса Чпп чт1п На Рентге1югРамме получается резкая светлая
полоса. Для эталонировки камеры в ней снимают рентгенограмму
iSSiST""*n'l’''°;W” №TKIt ПозначХ пеРр,“м
p шетки можно теоретически рассчитать расстояние /расч для линий
§ 52. Камеры
231
этого вещества. Далее, промерив расстояние /0 от отметки О до
соответствующей линии эталонного вещества, можно вычислить
расстояние от щели до отметки:
^0 ^расч ^1*
В дальнейшем при расчете рентгенограмм других веществ пользуют-
ся этим вычисленным значением /0:
ft-——	(12.20)
2 4R
В симметричной камере (рис. 12.8) фокусировка такая же, как
и в асимметричной. Отличие состоит в том, что первичный луч в
этой камере направляется на образец не по хорде, а по ее диаметру.
Рис. 12.7. Схема цилиндрической фокусирую-
щей асимметричной камеры:
/ — образец; 2 — фокус рентгеновской трубки; О —
метка
Рентгенограмма получается симметричной, и поэтому для ее расчета
достаточно знать радиус камеры:
О = (л/2) — (//4/?).
(12.21)
Симметричная фокусирующая камера РКФ-86 позволяет регистри-
ровать линии в пределах углов 60 С ft < 88°. Ее расчетный диаметр
равен 85,95 мм.
Камеры с плоской пленкой. Камера рентгеновской обратной
съемки — камера КРОС—удобна для исследования плоских об-
разцов, так как позволяет проводить съемку как в параллельном
(в этом случае он вырезается системой двух щелей), так и в расходя-
‘232
Глава 12. Прециэионные методы
щемся пучке рентгеновских лучей (вырезается одной щелью).
В первом случае линии на рентгенограмме получаются резкими при
любых расстояниях между образцом и пленкой. Во втором случае
фокусировка дифракционных линий будет только при определенных
условиях взаимного расположения щели, образца и пленки. Схема
фокусировки приведена на рис. 12.9. Условием точной фокусировки
является расположение щели, отражающей поверхности образца
и дифракционных линий на одной окружности. Так как обычно об-
Рис. 12.8. Схема цилиндрической симметричной
фокусирующей камеры:
/ — фокус рентгеновской трубки; 2 — пленка; 3 — образец
разе» плоский, а фокальной окружности может касаться лишь одна
точка образца, это условие выполняется лишь приближенно.
Радиус фокальной окружности зависит от периода решетки об-
разца и от индексов (hkl) отражающей плоскости. Для выполнения
условий фокусировки предусмотрена возможность изменения рас-
стояния между щелью л пленкой, пленкой и образцом.
Из рис. 12.9 нетрудно найти условие фокусировки:
I Aig (180° — 2d) и af = I tg (180° ~ 20),
где а, — расстояние между щелью и пленкой; Л —расстояние меж-
д\ пленкой и образцом; I — половина расстояния между симмет-
ричными дифракционными линиями. Отсюда получаем условие’фо-
кксировки:	J
Qf = Л tg2 (180° — 20) = A tg22d.	(12.22)
™Ра(Т С Камерой К^0С необхад,,Л1° знать приближенное зна-
чение периодов решетки образца п„Г), которое можно получить из рас-
§ 52. Камеры
233
чета рентгенограммы, снятой в обычной порошковой камере. Зна-
чения апр используют при расчете по известным квадратичным фор-
мам межплоскостного расстояния d фокусируемой линии с индек-
сами (hkl) (для кубической системы d =	+ k* + /2)> Затем по
формуле Вульфа—Брэгга находят угол ^hkt. Далее задают произ-
вольное (удобное для промера и установки камеры) значение /расч,
после чего находят искомые установочные данные:
^=/pac4tg(180°-2^/), Лрасч = ZpaC4/tg(180° — 29hhl).
Вычисленное значение af устанавливают на камере с помощью спе-
циального глубомера, расстояние Лрасч устанавливают по шкале на
основании камеры. Кассеты камеры обычно делают круглыми с сек-
торными вырезами, что позволяет получать (при повороте сектор-
ной заслонки) на одной пленке до шести снимков. Так как расстоя-
ние Драсч установлено с небольшой точностью, то для точного оп-

Рис. 12.9. Схема фокусировки в камере КРОС:
/ — проекция фокуса; 2 — фотопленка; 3 — образец
ределения Дпзм на ту же пленку, на которой снимался исследуемый
образец, но при повернутой секторной заслонке, производят съем-
ку эталонного вещества, период решетки которого точно известен.
Эталонное вещество должно давать линии, расположенные близко
(по углам О) к линиям образца. Из промера расстояний для линий
эталона /эт по рентгенограмме и точного значения периода решетки
эталона <7ЭТ вычисляют Лиэм. В свою очередь, промер расстояния
между линиями образца /иэм и вычисленное значение ДИ8М дают
234
Глава 12. П рецизионные методы
возможность определить	после чего вычисляется искомый
П^Кат&для экспрессной съемки РКЭ (рентгеновская камера
экспоессная) в отличие от других типов камер, не имеет входных
шелей и поэтому каждая точка образца освещается многими точ-
ками фокуса рентгеновской трубки, что позволяет значительно со-
кратить экспозицию.
Образец в камере РКЭ устанавливают по отношению к первич-
н	I Q г,тг£к ~ _ 1 QC\°_О A IZqiz U П ТГЯАЛО.
ному лучу под углом у = а + р, где
fi
Рис. 12.10.
/ — образец; т. .	...
тель пучка; 4 — фокус рентгеновской трубки;
I — расстояние от фокуса рентгеновской труб-
ки до пленки; g — расстояние от образца до
пленки; I — расстояние от оси первичного пуч-
ка рентгеновских лучей до дифракционной ли-
нии на рентгенограмме
Схема фокусировки в камере
РКЭ':
-° — фотопленка; 3 — ограничи-
а 180° — 2d. Как и в каме-
ре КРОС, достаточно острая
фокусировка в камерах РКЭ
осуществляется только для
сравнительно малого интерва-
ла углов отражения, т. е.
практически удается сфоку-
сировать только одну или две
линии. Для выполнения
условий фокусировки необ-
ходимо, чтобы плоскость об-
разца касалась цилиндриче-
ской поверхности, проведен-
ной через образец (через ли-
нию, параллельную проекции
фокуса), проекцию фокуса
рентгеновской трубки и ди-
фракционную линию на рент-
генограмме (рис. 12.10). Ши-
рина линий рентгенограммы
определяется проекцией фо-
куса рентгеновской трубки и
будет тем меньше, чем острее
фокус.
Ъ становочные данные (угол наклона образца у и расстояние
между образцом и пленкой #) рассчитываются из соотношений:
7 а 4- Р; tg р = ///; g = //tg а.
Как и в случае камеры КРОС, необходимо знать, хотя бы при-
мерно, период решетки образца. Расстояние / находят измерением.
Камера требует предварительной эталонировки, так как рентгено-
грамма получается односторонней, и на ней промеряют расстояние
^яз.м от резкого края снимка до дифракционной линии, а не расстоя-
ние / от оси первичного пучка до этой линии. Расстояние I опреде-
ляют из соотношения / = /0 + /Изм» где k определяют съемкой эта-
лонного вещества.
§ 53. Точная экспериментальная техника
§ 53.	УМЕНЬШЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ТОЧНОЙ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ТЕХНИКИ (ФОТОГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД]
Применение точной экспериментальной техники позволяет зна*
чительно увеличить точность определения периодов решетки. Ме-
тоды повышения точности следующие.
1.	Съемку производят в камерах с особо точной геометрией,
имеющих большой радиус (43,0—57,3 мм). В камерах используют
диафрагмы, дающие минимальную расходимость первичного пучка.
Применяют рентгеновские трубки с особо острым фокусом.
2.	Образец делают очень тонким: волосок из боробериллиево-
литиевого стекла диаметром 0,05—0,08 лш покрывают исследуемым
веществом до увеличения диаметра до 0,15—0,2 мм.
3.	Образец центрируют в камере с помощью специального уста-
новочного микроскопа с погрешностью до 0,01 мм.'
4.	Фотопленку заряжают асимметричным способом, позволяющим
определять с большой точностью ее эффективный радиус изгиба.
5.	Во время съемки камеру с образцом и пленкой термостати-
руют, температуру образца поддерживают с погрешностью +0,1°.
6.	Промер рентгенограммы производят с помощью измеритель-
ного микроскопа-компаратора, например ИЗА-2, с погрешностью
0,01—0,02 мм. Во время измерения пленка должна находиться в ат-
мосфере с постоянной температурой и влажностью.
Определение периодов решетки с соблюдением указанных усло-
вий усложняется и может быть выполнено не в каждой рентгенов-
ской лаборатории. Более доступными являются методы съемки с
эталоном и безэталонный.
v Метод съемки с эталоном. На исследуемый образец в виде шли-
фа наносят тонкий слой стандартного вещества (эталона). Период
решетки этого вещества должен быть известен с высокой точностью.
Линии стандартного и исследуемого веществ не должны налагаться
друг на друга, но должны располагаться достаточно близко. Стан-
дартное вещество можно также подмешивать к исследуемому, если
последнее представляет собой порошок. Затем образец устанавли-
вают в цилиндрической камере таким образом, чтобы ось камеры рас-
полагалась на его поверхности. Фотопленку заряжают для получе-
ния рентгенограммы обратной съемки. Съемка с эталоном может
осуществляться и в камере обратной съемки с плоской кассетой.
На получаемой рентгенограмме присутствуют одновременно ли-
нии стандартного и исследуемого веществ. Промеряя расстояния I
между линиями стандартного и исследуемого веществ, можно с вы-
сокой точностью определить углы отражения для линий последнего.
Это следует из приводимых ниже рассуждений.
Пусть Aft0 — погрешность определения угла 0*0 для линии стан-
дартного вещества. Тогда по рентгенограмме определяют угол ft'
936	r.nitia 12. Превизионные методы
для этой линии: ft; = ft0 4- Aft0- Аналогично для исследуемого ве-
щества й' = ft + Aft.
Так как линии стандартного и исследуемого веществ расположе-
ны близко, можно считать погрешность определения,углов одинако-
вой: Aft0 = Aft. Для Разности углов получаем: ft; — ft' = ft0 —
— ft — а'2. Отсюда можно заключить, что, хотя сами углы при про-
мере рентгенограммы определяются неточно, разность этих углов
может быть определена с достаточной точностью.
Угол а определяется из промера рентгенограммы: а (///?) X
Х( 1807л), где R — радиус камеры. Угол ft0 рассчитывают из
известного значения периода стандартного вещества. Потом опре-
деляют значение ft и вычисляют искомый период решетки.
При использовании этого метода необходимо учитывать, что ис-
следуемое вещество смещается от оси камеры на толщину слоя стан-
дартного вещества, что эквивалентно погрешности эксцентриситета.
Поэтому вносят поправку в измеренное значение опзм периода ре-
шетки:
^пспр ^изм (Й/R) COS ft].
Кроме того, следует внести поправку в период решетки стандарт-
ного вещества на тепловое расширение этого вещества при темпе-
ратуре исследования.
Безэталонный метод. Метод съемки с образцовым веществом
хотя и удобен, но имеет ряд недостатков: коэффициенты поглощения
стандартного и исследуемого вещества различны, что затрудняет
введение поправки на поглощение; то же относится и к различию
коэффициентов термического расширения. Для точного определения
периодов решетки веществ с кубической решеткой можно применять
безэталонный метод.
Рассмотрим принцип безэталонного метода для случая съемки
в камере обратной съемки с плоской пленкой типа КРОС.
Если расстояние между линиями с индексами (HK.L) равно D,
а расстояние между образцом и пленкой равно А, то
tg (180° — 2ft) = —tg 2ft = D/2A.	(12.23)
С другой стороны, для кубической системы
(12.24)
sin 0 = (Х/2а)) Нг -l К2 + L2,
Л9	В0ЛНЬ1; а~' Решетки- Подставляя выражение
(12.24) в соотношение (12.23), получаем
D/2A = -tg 2arcsin [(X/2a)	+ Р ].	(12.25)
аТнебольтп^Т^п Я 9^’^п/п°лКаЗЬ1Вает’ что ПРИ изменении периода
стоятелштпп Ределах почти линейно зависит от а. Это об-
используют для точного определения периода а по
£ 53. Точная экспериментальная техника
237
измеренным значениям D± и Z)2 для двух линий с одинаковыми ин-
дексами (HKL), но для разной длины волны Kai и Ка2 соответст-
венно.
Г До проведения основных расчетов строят вспомогательный
график (рис. 12.11, а) зависимостей DJ2A = Д (а) и DJ2A =
= /2 (а). При этом должно быть известно приближенное значение
периода решетки образца и интервал, в котором может находиться
истинное значение периода. Так, например, для алюминия это зна-
0,32200
0,32500
0,32500
0,32300
0,32700
А1(920)
Со-излучение
1,78529А
7^ 1,78919А
0,32900 - -
0,29300
\0,29200
0,29500
।
\0,29900
9,09100 9,09150	9,09200 а, А
\0,29100
\о,29000
9,09100 9,09125 9,09150 а, А
5
а
Рис. I2.ll. Определение периода решетки алюминия безэталонным мето-
дом:
а — вспомогательный график; б — график зависимости Л от а
чение может лежать в интервале от 4,04000 до 4,04300 А. Задавая
в этом интервале по крайней мере три значения а, можно по выраже-
нию (12.25) вычислить соответствующие значения DJ2A и DJ2A
для длины волны 7<ttl и Ка. соответственно. Через полученные точ-
ки проводят прямые.
Затем измеряют расстояния Dv и D2 на рентгенограмме. При этом
имеют в виду, что рентгенограмму получали при некотором расстоя-
нии между образцом и пленкой А. Значение А известно довольно
приближенно из-за грубой установки и усадки пленки. Чтобы устра-
нить эту неопределенность, строят график зависимости А от а
(рис. 12.11,6). Для этого опять задают несколько значений а и по
первому графику для двух значений длин волны находят DJ2A и
DJ2A. затем в эти отношения подставляют измеренные величины Z?I
и D2 и вычисляют Аг и А2 для обеих линий. Полученные зависимости
Aj = Фг (а) и А2 = Ф.2(й) при малых изменениях а также будут ли-
нейными. Обе линии на графике (см. рис. 12.11, б) должны пересе-
каться в некоторой точке с ординатой Ао, которая и отвечает истин-
ному расстоянию от образца до пленки. Соответствующая этому пе-
038	Глава 12. Прецизионные методы 
ресечению абсцисса п0 и является искомым значением периода ре-
шетки.
Безэталонный метод обладает довольно высокой точностью, он
позволяет находить периоды решетки с погрешностью Ап ~ 0,0003 —
Ч- 0,0005 А при погрешности промера AD = 0,01 мм (Л 50 мм).
§ 54. МЕТОДЫ ЭКСТРАПОЛЯЦИИ
Анализ систематических погрешностей показывает, что почти все
они стремятся к нулю при й 90°. Экспериментально измерить меж-
плоскостное расстояние, отвечающее этому углу, невозможно; по-
этому его находят экстраполяцией, используя значения d, найденные
из измерений линий, регистрируемых на рентгенограммах. Сущест-
вует несколько методов графической и аналитической экстраполя-
ции. Рассмотрим некоторые из этих методов.
^Графическая экстраполяция. Метод графической экстраполяции
основан на изучении зависимости от угла 0 систематических погреш-
ностей определения межплоскостных расстояний Ad/d и подборе та-
кой экстраполяционной функции, чтобы эта зависимость была ли-
нейной.
Один из методов экстраполяции, предложенный Брэдли и Джеем,
основан на рассмотрении погрешностей, вносимых эксцентрисите-
том образца и поглощением. Погрешности, вносимые неточным про-
мером радиуса и усадкой пленки, можно исключить асимметричной
зарядкой. Для случая цилиндрической камеры с радиусом /?,
объединяя соотношения (12.13) и (12.15), получаем
Arf Г, р cos а г /. Р \ ± а.1	2 а
±—р-----------1 + -77Г“ ctg0 cos С2.26)
u L	\ ли j
При 0 > 60° суммарная погрешность kdld почти линейно зависит от
cos20. Для кубической системы /\d/d = Дп/п. Это обстоятельство
используют для экстраполяции значения периодов решетки а при
й — 90 (cos2 il} —0). При работе по этому методу на график наносят
значения периодов решетки а, определенные по различным линиям
рентгенограммы, в зависимости от соответствующих этим линиям
значений cos20. Через полученные точки проводят прямую до пере-
сечения с осью ординат. Точка пересечения определяет экстраполи-
рованное значение периода решетки а.
Метод Брэдли и Джея дает хорошие результаты при наличии
5 линий в области 0 = 60ч-80°и, по крайней мере, одной хорошо
определяемой линии с 0 > 80°. В этом случае относительную по-
грешность можно снизить до Да/а = 0,0002.
На рис. 12.12 приведен пример графической экстраполяции для
свинца при температуре 298° К. Из этого графика период решетки
свинца а получается равным 4,9506 А.
§ 54. Методы экстраполяции
239
Рис. 12.12. Графическая экстраполя-
ция с использованием функции cos2 О
для свинца (при 298° К)
Экстраполяцию с использованием функции cos2 О проводят при
определении периодов решетки с помощью дифрактометра, так как
большинство инструментальных погрешностей пропорционально
этой функции.
Нельсон и Райли отказались от учета погрешности эксцентри-
ситета (в современных камерах он автоматически устраняется) и
предложили экстраполяционную функцию g = (l/2)[(cos2ft/ft) +
+ (cos2 ft/sin ft)]. Эта функция была выведена для цилиндрических
образцов со средним поглоще-
нием и не имеющих эксцентри-
ситета, при экспоненциальном
распределении интенсивности в
фокусе- трубки. Эта функция
при указанных условиях линей-
на в интервале углов ft от 30 до
90°. Экстраполяцию Нельсона и
Райли удобно проводить в тех
случаях, когда на рентгенограм-
ме имеется достаточное число
линий при углах ft >30°, что
позволяет провести более точную
экстраполяцию, чем по cos2 ft.
Кроме того, эта экстраполяция
применима к кристаллам некубических систем. Определение пе-
риодов проводят в случае гексагональной и тетрагональной систем
следующим образом.
Еоли в интервале ft от 30 до 90° имеется несколько отражений ти-
па (ЯКО) и (00L), то строят два экстраполяционных графика с
^-функцией для определения aQ и с0.
В других случаях можно использовать, например, метод после-
довательных приближений. Сначала после индицирования рентге-
нограммы вычисляют некоторое приближенное значение а/с. Затем,
используя это отношение, проводят экстраполяцию для tz0 по отра-
жениям с большими индексами НК и для с0 по отражениям с боль-
шими индексами L. Экстраполированные значения а0 и с0 исполь-
зуют для уточнения значения ale. Экстраполяцию повторяют до
тех пор, пока значения а0 и с0 не станут оставаться постоянными.
Для фокусирующих симметричных цилиндрических камер об-
ратной съемки рекомендуется использовать экстраполяционную
функцию tg 2ф • tg ф или ф tg ф, где ф = (л/2) — ft.
Главным недостатком графических методов экстраполяции яв-
ляется то обстоятельство, что нельзя подобрать экстраполяционную
функцию, исключающую все систематические погрешности. В на-
стоящее время разработаны программы для ЭВМ, которые позволяют
проводить расчет периодов решетки при использовании различных
экстраполяционных функций и весовых коэффициентов (точкам при
240
Глава 12. Прецизионные методы
больших ft приписывается больший вес), взятых в различных ком-
бинациях. Период решетки находят из лучшей комбинации, опре-
деляемой по наименьшему значению функции:
Vj == (sin2 tfilpacq (sin2$\)иам>
Vi рассчитывают для нескольких дифракционных линий при данной
комбинации экстраполяционных функций, и значения изобра-
жаютвзависимости отО. Лучшей считается та комбинация, для ко-
торой наблюдается наименьшее отклонение vL от нуля.
j Аналитическая экстраполяция методом наименьших квадратов.
1 Методы графической экстраполяции применимы, в основном, для
^определения периодов решетки кубических кристаллов. Кроме того,
при проведении экстраполяционных кривых или прямых допу-
скаются субъективные погрешности. Метод наименьших квадратов
увеличивает точность определения периодов и может быть применен
и для расчета рентгенограмм кристаллов, не относящихся к куби-
ческой системе. Основным недостатком этого метода является то,
что не учитывается мнение наблюдателя о том, какие из отдельных
измерений могут считаться более надежными. Этот недостаток можно
устранить индивидуальными измерениями с соответствующими ве-
сами, ио это требует дополнительных вычислений, увеличивающих
и без того большую трудоемкость метода.
Принцип метода, предложенного Когеном, следующий. При
рассмотрении погрешности определения межплоскостного расстоя-
ния d, связанной с наличием эксцентриситета и поглощением, было
указано, что суммарная погрешность в области углов О Д> 60° ли-
нейно зависит от cos2 0 и поэтому может быть представлена прибли-
женной формулой:
Ad/d = Df cos2 ft,
(12.27)
^д0— постоянная величина для данной рентгенограммы при
Возводя уравнение Вульфа—Брэгга в квадрат и логарифмируя,
получаем
21g d = 2 1g (nk/2) — 1g sin2 ft.	(12.28)
Дифференцируем выражение (12.28), считая nZ/2 = const (длины
волн характеристических излучений, используемых в рентгенострук-
турном анализе, известны с большой степенью точности). Находим
2Ad/d = —Д sin2 0/sin2 th	(12.29)
Подставляя в (12.29) значение Ad/d, найденное по формуле (12.27),
получаем	7 v
W cos2 0 = —Asin2 il/sin2 а
(12.30)
§ 54. Методы экстраполяции
241
ИЛИ
A sin2 ft = —2Df cos2 ft sin2 ft = — D sin22 0,	(12.31)
где D = D'/2. Погрешность может быть любого знака, поэтому
Asin2ft = ±D sin220.	(12.32)
Если считать, что систематические погрешности пропорциональны
(cos2f)/ft) + (cos2 ft/sin ft), то
A sin2 ft = [(sin2 2ft/ft) + (sin2 2ft/sin 0)1,	(12.33)
где E — постоянная.
Применим метод наименьших квадратов к кубическим кристал-
лам. Для кубических кристаллов, подставляя в выражение для квад-
ратичной формы значение 1/d2 из формулы Вульфа—Брэгга, полу-
чаем
sin2 0 = А (И2 К2 - L2).	(12.34)
Так как А = Z2/(4a2) экспериментально определяется с погреш-
ностью, то уравнение (12.34) можно переписать следующим образом:
sin2 0 — A sin2 0 = А (И2 + К2 + А2).	(12.35)
Подставляя в уравнение (12.35) выражение (12.32) для Asin2 0, по-
лучаем
sin2 0 - А (И2 +К2 -I- А2) + D sin2 2 ft. (12.36)
Обозначим а = И2 + К2 + L2 и 6 = 10 sin2 20 (коэффициент 10
взят для того, чтобы значения б были близки по порядку величины
к значениям а).
Таким образом, уравнение (12.36) записывается в виде
sin2 ft = аА + &D.	(12.37)
Полученное уравнение связывает известное значение а с экспери-
ментально определяемым значением О при условии, что присутст-
вуют только систематические погрешности. Так как имеются также
и случайные погрешности, то обе части выражения (12.37) не могут
быть тождественно равны и для данной интерференционной линии
с^А +	— sin2 fti = Ei,	(12.38)
где 8, — случайная погрешность.
Согласно методу наименьших квадратов, наиболее точными зна-
чениями параметров А и D являются такие, которые делают мини-
мальной сумму квадратов случайных погрешностей. Сумма уравне-
ний, каждое из которых соответствует определенной интерферен-
ционной линии, может быть записана в виде
3 (аМЛ-б^-sin2^) =-•	(12.39)
.цл	Глава 12. Прецизионные методы 
Возводя в квадрат обе части уравнения, получаем
2£(а.Л+6;О-5Ш2дг)2 = ^еГ	(12.40)
Чтобы V е; была минимальной, первые производные по А и D
должны быть равны нулю:
— V е? = о У at (а/ А + 6, D —sin2 ftf)
ЭА i	i
-- У е? = 0 - У 6; (аг А  I- 6; D — sin2 АД
dD ~	:
Раскрывая скобки и группируя члены, получаем так называемые
нормальные уравнения:
А 2£сс? -г D	sin2
OA+D V6? - Z6/ sin2 ft,-.
(12.41)
Эта система уравнений может быть решена обычным способом, необ-
ходимо найти только А. Так как А = Х2/(4а2), можно определить
период решетки а0.
В методе Когеиа вначале для каждой ьй интерференционной
линии составляют произведения а?, сс;6г, 6/, a^sin2^ и 6;sin20\-,
затем все члены суммируют (для всех отражений в прецизионной
области) и суммы подставляют в нормальные уравнения. При опре-
делении aQ из системы уравнений (12.41) считают, что все значения
ait полученные из расчета линий с различными углами О',-, равно-
правны. Для учета того, что промер более интенсивных линий про-
водят с большей точностью, а значения и,-, вычисленные из линий
с большими 0, более достоверны, каждой точке придают определен-
ный вес. Подходящей функцией может быть Ц tgOb где — отно-
сительная интенсивность линии под углом 0,-. На вычисленные веса
умножают члены, стоящие в суммах нормальных уравнений (12.41).
Нормальные уравнения (12.41) удобно представлять в матрич-
ной форме. Учитывая соотношение (12.37) для п измеренных линий,
составляем матрицу независимых переменных
£ 54. Методы экстраполяции
243
вектор измерений
(sin2 ft^
sin ft2
sin2 ftn
и вектор определяемых параметров
Тогда в	матричной	форме нормальные	уравнения	имеют вид
ХХВ Х¥.	(12.42)
Отсюда определяемые	параметры вычисляются	из	соотношения
В=(ХХ)_1ХК	(12.43)
Матрицу (XX)-1 называют матрицей ошибок; ее диагональные эле-
менты служат для оценки дисперсии определяемых параметров:
а? =	(ХX)~i \	(12.44)
n—r
где г — число определяемых параметров (для кубической решетки
г = 2).
ЛАетод Когена легко распространяется и на некубические крис-
таллы. Например, для гексагональной решетки соотношение (12.37)
имеет вид:
аг-Л + у£ + 6/D = sin2 ft,,	(12.45)
где а - Н- 4- НК + К\ у = А = Х/(За2), С = Л2/(4с2).
Отсюда следует, что для гексагональной решетки составляется си-
стема трех нормальных уравнений.
При использовании экстраполяционной функции (cos2 й/fl)
+ (cos2 ft/sin fl) число нормальных уравнений увеличивается на од-
но, так, например, для ромбической системы, учитывая соотношение
(12.33), находим
Ла -I- йр + Су + D8 4- Се = sin2 0,	(12.46>
где а = И2, р = К2, у = L2, 6 — sin2 2ft, е • (sin2 2ft/ft) +
+ (sin2 207sin ft). Для нахождения коэффициентов /1, Bt C, D, E
следует составить систему из пяти нормальных уравнений.
Пример применения метода Когена для расчета рентгенограммы
вещества с кубической решеткой дан в табл. 12.1.
244
Глава 12. Прецизионные методы
Таблица 12.1
Определение периода решетки спектрально-чистого свинца (диаметр камеры 114,6 мм; 1 мм на пленке равен 1,00307 , Си/<а-излучение; температура 25 С)						
Линия	HKL	a	О, град	sin2 О	sin2i5’ -кКщ	б
1	(531К	35	67,080	0,84833	0,84833	5,1
о	(531)Ка!	35	67,421	0,85258	0,84835	5,0
3	(6°°)/<ai	36	69,061	0,87230	0,87230	4,5
4	(600)xa,	36	69,467	0,87698	0,87263	4,3
5	(620)Kai	40	79,794	0,96861	0,96861	1,2
6	(620)ка;	40	80,601	0,97332	0,96849	1,0
Из табл. 12.1 следует, что See2 = 8242; Sa sin2 “ft — 199,6853; Sa6 —
= 758,3; S6 sin2 ft = 18,3767; S62=92,2. Тогда нормальные урав-
нения имеют вид:
8242Д + 758,3D = 199,6853;
758,ЗД + 92,2D = 18,3767.
Решая нормальные уравнения, получаем: А = 0,0242082; D ~
= 0,000213; а0 = 4,95052 А. Исправление значения периода ре-
шетки на преломление дает а0 = 4,95066 А.
Как видно из примера, метод позволяет определять период ре-
шетки с точностью до пятого знака. Однако условием такой точности
является получение отражений под углами О, близкими к 90°, и
промер расстояния между линиями с погрешностью 0,01 мм. Не-
достатком метода является его громоздкость. При проведении расче-
тов необходимо пользоваться вычислительными машинами или семи-
значными таблицами логарифмов. Необходимо также помнить, что
в методе Когена учитываются только систематические погрешности
эксцентриситета и поглощения. Для исключения погрешностей оп-
ределения радиуса камеры и сжатия пленки при фотообработке не-
обходимо применять асимметричный метод зарядки пленки.
Как и в случае графической экстраполяции, в методе Когена
используют разные экстраполяционные функции, каждая из кото-
рых не устраняет сразу все виды систематических погрешностей.
В настоящее время применяют статистический метод отношения
правдоподобия (LRM-жтоц), позволяющий определить, устранены
ли все систематические погрешности данных измерений. Этот метод
разработан для кубической, гексагональной и тетрагональной реше-
ток. Он пригоден как при фотографическом, так и при дифракто-
$ 54. Методы, экстраполяции
245
метрическом методе регистрации дифракционной картины. Много-
кратно измеряется положение по крайней мере трех дифракционных
линий. В результаты измерений вносят все возможные поправки на
систематические погрешности. Из данных каждого измерения вы-
числяют периоды решетки и результаты сравнивают. Если вычис-
ленные значения периода а0 согласуются, то это означает, что все
систематические погрешности устранены. Для проверки этого по-
ложения служит специальный тест, который сводится к графиче-
скому построению функции W (а0), где
W (а0) = 1 п г1п [ 1+	- W/sf],
I
nz — число промеров каждой линии; ф/а — а-измерение z-го диф-
ракционного угла; ф/ — среднее из измерений истинного, но
неизвестного угла s* = 2 (ф/а—фг-)2/иг — дисперсия ф^. Ми-
нимум функции W (а0) определяет величину а0, являющуюся мак-
симально правдоподобной оценкой периода решетки.
Для вольфрама этим методом найдено я0=3,164944 ± 0,000018 А
при 18° С для ^каси = 1,541760 А.
В качестве примера применения прецизионных методов опреде-
ления периодов решеток рассмотрим рентгенографическое измере-
ние коэффициентов теплового расширения.
Рентгенографический метод определения коэффициентов тепло-
вого расширения используется в тех случаях, когда другие ме-
тоды неприменимы, например в случае поликристаллических мате-
риалов с некубической решеткой. В отличие от других методов рент-
генографически можно определить все компоненты тензора тепло-
вого расширения.
Для определения коэффициента теплового расширения в задан-
ном интервале температуры в камере, позволяющей нагревать об-
разец, получают две рентгенограммы при температуре и /3* По
полученным рентгенограммам проводят прецизионное определение
периодов решетки ati и а/2 (для кубической системы). Коэффи-
циент теплового расширения определяется по формуле
Для некубических кристаллов определяют периоды а, b и с
при каждом значении температуры. Расчет проводят по аналогич-
ным формулам. Так, например, для а-урана (ромбическая решетка)
периоды решетки были определены при десяти значениях темпера-
туры. Вычисление периодов проводили аналитическим методом Ко-
246
Глава 12. //ревизионные методы
гена. Температурные зависимости периодов были представлены
уравнениями:
ат= а27>с(1 + 17,2-Ю-6? +30,8'Ю-9 И;
Ьт = ь,_вс (1 _ 9,2*10-6Г + 40,4-10“9Т2 — 67,5-10“12Т3);
сг = с?7.с(1 -у 45,0-10_6Г — 34-10~9Т2 + 5* 10-12 Г3),
где Т — температура, с С.
Вычисленные из этих уравнений коэффициенты теплового рас-
ширения значительно различаются для трех кристаллографических
осей, что определяет аномальное поведение а-урана при нагреве.
При изучении теплового расширения 6-плутония было проведе-
но 66 определений периодов решетки с погрешностью менее 0,0002 А.
Температурная зависимость периода решетки представлена уравне-
нием
От = 4,64727 + 0,00012 — (4,01 ± 0,15)-10~5 (Т — 300°) А.
Средний коэффициент теплового расширения 6-плутония опре-
деляется выражением
а = -(8,6 -Ь 0,3)-10“б град-1.
Раздел VI
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
В ИССЛЕДОВАНИИ МЕТАЛЛОВ
И СПЛАВОВ
Глава 13. РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ПЛАСТИЧЕСКОЙ деформации монокристаллов
и крупнокристаллических образцов
Пластическая деформация широко используется в различных тех-
нологических процессах обработки металлов, поэтому изучение
процессов, происходящих при пластической деформации, представ-
ляет большой практический интерес. В процессе пластической де-
формации происходит перемещение одних слоев тела относительно
других, при этом искажается правильная кристаллическая струк-
тура тела и меняются свойства.
Для исследования структурных изменений, происходящих
в пластически деформированных кристаллических телах, успешно
применяют рентгенографические методы. Такие исследования мож-
но проводить на монокристаллах и крупнозернистых поликристал-
лах.
Кристаллы, как известно, обладают анизотропией свойств. Так,
например, есть плоскости, обладающие наименьшим сопротивле-
нием на разрыв. Плоскости, по которым кристалл наиболее легко
раскалывается, называют плоскостями спайности. В кристаллах
есть также плоскости, обладающие наименьшим сопротивлением
сдвигу. Эти плоскости называют плоскостями скольжения. В об-
щем случае плоскости спайности могут не совпадать с плоскостями
скольжения, как, например, это наблюдается в кристаллах ка-
менной соли, для которой плоскости спайности (100), а плоскости
скольжения (ИО). В металлических кристаллах плоскости спайно-
сти и скольжения обычно совпадают.
При пластической деформации слои монокристалла смещаются
относительно друг друга по плоскостям скольжения. Это смещение
анизотропно, оно происходит по определенным направлениям, на-
зываемым направлениями скольжения.
При скольжении на поверхности кристалла появляются линии
скольжения, образованные пересечением плоскостей скольжения
с этой поверхностью.
Совокупность плоскости и направления скольжения называют
системой скольжения. В кристаллах имеется обычно несколько си-
стем скольжения, их число зависит от симметрии кристаллов. Сколь-
248
Глава 13. Исследование пластической деформации
жение в основном происходит по плоскостям и направлениям наи-
более плотной упаковки атомов.
В металлах гексагональной системы плоскость базиса (0001)
имеет плотнейшую упаковку атомов, она и является плоскостью
скольжения. Направления скольжения в этой системе имеют индек-
сы [211’0], [Г120] и [Т210] (или в трехиндексном обозначении [1001,
ГГ101 и [010] соответственно). Таким образом, в металле с гексаго-
нальной плотнейшей упаковкой атомов имеются три системы сколь-
жения.
Металлы с гранецентрированной кубической решеткой (г.ц.к.)
обладают двенадцатью системами скольжения: четырьмя плоскос-
тями типа {111} (с плотнейшей упаковкой атомов в этой системе),
в каждой из которых есть по три направления скольжения типа
<110>.
В металлах с объемноцентрированной кубической решеткой
(о.ц.к.) нет плоскостей с плотнейшей упаковкой атомов, имеются
только направления типа <111>> с плотнейшим расположением
атомов. Скольжение в таких металлах осуществляется по плоско-
стям, содержащим направления типа <111> и имеющим относи-
тельно плотную упаковку атомов типа {ПО},{112}, {123}. В дан-
ном металле с о.ц.к.-структурой при комнатной температуре*
скольжение происходит не по всем трем указанным типам плоскос-
тей. Например, при температуре 20° С в a-железе действуют пло-
скости скольжения {НО}. При повышении температуры скольжение
может происходить и по остальным двум типам плоскостей. Макси-
мально возможное число систем скольжения в металле с о.ц.к.-
решеткой — 48.
Скольжение в различно ориентированных кристаллах данного
металла начинается при различном напряжении, приложенном^ по-
перечному сечению образца. Однако напряжение, наблюдаемое для
данной плоскости скольжения, всегда постоянно и равно крити-
ческому скалывающему напряжению от. Критическое скалывающее
напряжение можно вычислить по значению приложенной нагрузки.
Предположим, что к цилиндрическому кристаллу с площадью по-
перечного сечения S приложена сила F. Если плоскость скольжения
расположена к плоскости поперечного сечения под углом ср, то ее
площадь равна Seos ср. Следовательно, напряжение в плоскости
скольжения равно F/(S/cos ср) и направлено вдоль оси кристалла.
Чтобы найти его составляющую вдоль направления скольжения,
следует умножить напряжение на cos X (А, — угол между осью кри-
сталла и направлением скольжения). Касательное напряжение будет
т = (F/S) cos ср cos Л.	(13.1)
Когда т достигает величины сгт, то происходит скольжение.
Скольжение в кристаллах происходит не одновременно по всем
системам, а сначала по тем, для которых т ;> от. Скалывающее на-
£ 55. Исследование монокристаллов
249
пряжение максимально в плоскости скольжения, наклоненной к
оси растяжения под углом 45°. Если критическое скалывающее на-
пряжение одинаково для двух или нескольких систем, то скольже-
ние (двойное или множественное) происходит одновременно по всем
этим системам.
Критическое скалывающее напряжение различно для разных
металлов и зависит также от температуры, содержания примесей
и степени предварительной деформации.
Системы, по которым в данный момент происходит скольжение,
называют действующими. С увеличением степени деформации про-
исходит поворот плоскостей скольжения, в результате чего исходная
плоскость скольжения попадает в менее выгодное положение (для
этой плоскости т становится меньше). В результате начинает дей-
ствовать другая плоскость.
Естественно, что кристаллы, обладающие большим числом си-
стем скольжения (например, a-железо), деформируются легче.
Волнистость линий скольжения, наблюдаемая на деформированных
кристаллах a-железа, указывает на большое число систем скольже-
ния в этом металле и легкость перехода от одной системы скольже-
ния к другой.
§ 55. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
МОНОКРИСТАЛЛОВ
При деформации монокристаллов растяжением концы образца
зажимают в специальные приспособления, называемые захватами.
В области около захватов скольжение почти не происходит. В сред-
ней части монокристалла в результате сдвига по плоскостям сколь-
жения возникает пара сил, приводящая к повороту плоскостей
скольжения, при котором угол между осью растяжения и действую-
щей плоскостью скольжения уменьшается. Ближе к захватам про-
исходит не только скольжение, но и изгиб кристалла..
Методы рентгенографического исследования позволяют опреде-
лить системы скольжения в монокристаллах, проследить изменение
ориентации плоскостей скольжения и искажение структуры кри-
сталла. Наиболее широко для исследования пластической деформа-
ции монокристаллов применяется метод Лауэ (с использованием
передней и обратной съемки).
На лауэграммах (или эпиграммах), полученных от средней части
деформированного монокристалла, можно заметить смещение диф-
ракционных пятен по сравнению с нсдеформированным состоянием,
которое растет с увеличением степени деформации. По смещению
пятен лауграммы можно установить угол поворота плоскостей
скольжения. Для этого по рентгенограммам строят стереографи-
ческие проекции, по которым находят ориентацию основных крис-
таллографических направлений «пачек» скольжения по отношению
250
Глава 13. Исследование пластической деформации
к оси деформируемого образца. На рис. 13.1 приведена стереогра-
фическая проекция для цилиндрического кристалла магния (с гек-
сагональной решеткой), подвергнутого пластической деформации
кручением. Построена проекция на плоскость, параллельную оси
образца (оси кручения).
।
$
Рис. 13.1. Изменение ориентации решетки при пластическом
кручении кристалла магния [действует система скольжения
(0001)]:
О — до деформации; А — после кручения на 2'; ф — после кручения
на 9'"; X — после кручения на 11°
Анализ проекции показывает, что некоторые нормали к отра-
жающим плоскостям перемещаются по параллелям’ проекции, по-
этому можно сделать заключение, что плоскости скольжения пред-
почтительно поворачиваются относительно оси образца.
Часто применяют другой, более удобный способ изображения из-
менения ориентации плоскостей скольжения в процессе деформации
монокристалла. При этом принимают, что ориентация кристалла
остается неизменной, а ориентация оси образца меняется. Такое
§ 55. Исследование монокристаллов
251
изменение ориентации оси образца изображается в стереографи-
ческом треугольнике, образованном направлениями [001], [ОН] и
[1111 (рис. 13.2). Точками 1—4 изображено смещение оси образца
с гранецентрированной кубической решеткой по отношению к ос-
новным кристаллографическим направлениям в процессе пласти-
ческой деформации. В рассматриваемом случае ось образца пере-
мещается на стереографической проекции по большому кругу,
проходящему через начальное положение (точка 1) и направление
[101]. Направление такого типа яв-
ляется направлением скольжения
в гранецентрированных металлах,
действующей плоскостью скольже-
ния будет плоскость (111). На сте-
реографической проекции такая
плоскость изображается дугой (вы-
делена жирной линией на рисунке)
большого круга Р, проходящего
через направление [101]. Из приве-
денной проекции можно заключить,
что в процессе деформации плос-
кости скольжения переориентиру-
ются таким образом, что направле-
ния и плоскости скольжения пово-
рачиваются к оси растяжения.
Пластическая деформация мо-
нокристаллов кроме скольжения
может сопровождаться также двои-
Рис. 13.2. Изменение ориентации
кристалла с гранецеятрированной
кубической решеткой при пласти-
ческой деформации растяжением:
S — направление скольжения; Р — пло-
скость скольжения; К — гномостерео-
графическая проекция плоскости сколь-
жения
пакованием, при котором часть кристалла переходит в симметрич-
ное положение по отношению к какой-либо плоскости или оси.
Моделью образования двойников деформации может служить
простой сдвиг плоских слоев на величину, пропорциональную рас-
стоянию слоя от плоскости двойникования — плоскости раздела
между деформированной и недеформированной частями кристалла.
Атомы в двойнике располагаются зеркально-симметрично по отно-
шению к недеформированной части кристалла; плоскостью симмет-
рии является плоскость двойникования (рис. 13.3).
Существуют две неискаженные плоскости, общие для первона-
чального кристалла и его двойника: одна из них является собствен-
но плоскостью двойникования Кр а другая плоскостью К2 , накло-
ненной к плоскости Ki под некоторым углом. Кристаллографиче-
ское направление скольжения, параллельное плоскости двойнико-
вания КР обозначается гц. Пересечение второй неискаженной пло-
скости Ко с плоскостью сдвига, содержащей щ и нормаль к пло-
скости К15 определяет кристаллографическое направление Эле-
менты Кр	характеризуют двойник. В металлах возможны
252
Глава 13. Исследование пластической деформации
три типа двойникования. В первом случае индексы Л, и т)2
рациональные, т. е. определяются малыми индексами, а Лг и тц
иррациональные и приближенно характеризуются большими индек-
сами. Во втором случае^ и Лз иррациональны, а Л2 и r)i Ра-
циональны. Возможен также случай, когда все индексы Л,, л2> 1li,
и, рациональны. У большинства кубических и гексагональных ме-
таллов все элементы двойникова-
Рис. 13.3. Ориентация решетки мо-
нокристалла, деформированного
двойникованием:
1—1' — решетка исходного кристалла;
1—2 — двойник; а —а — плоскость
двойниковая (стрелкой указано напра-
вление сдвига атомных плоскостей при
двойниковании)
ния рациональны.
Плоскость двойникования мож-
но определять рентгенографиче-
ски, используя метод Лауэ. По
лауэграммам или эпиграммам
(с применением гномостереогра-
фических проекций) определяют
ориентацию исходного кристалла
или двойника по отношению к
одной и той же системе коорди-
нат. Взаимное расположение обеих
ориентаций подчиняется простому
закону: одна из ориентаций пред-
ставляет собой отражение другой
в плоскости двойникования. По-
этому, если нанести выходы нор-
малей к основным плоскостям на
стереографическую проекцию, одна
плоскость окажется общей для обеих частей кристалла. По стан-
дартной полюсной фигуре легко определить индексы искомой
плоскости Ki-
Метод Лауэ позволяет также исследовать искаженные области
пластически деформированного кристалла. На рентгенограммах,
полученных от деформированных монокристаллов, наблюдается ха-
рактерная вытянутость дифракционных пятен. Этот эффект носит
название рентгеновского астеризма (от латинского aster — звезда).
На лауэграммах дифракционные пятна вытянуты преимущественно
к первичному пятну, а на эпиграммах эта вытянутость выражена
менее резко и ее направление зависит от характера деформации
кристалла.
Возникновение рентгеновского астеризма объясняется отраже-
нием пучка рентгеновских лучей с непрерывным спектром от изо-
гнутого участка кристалла (рис. 13.4). Нетрудно видеть, что длина
полос астеризма может служить мерой изгиба участка кристалла,
если размер этого участка меньше сечения первичного пучка. Однако
следует помнить, что непрерывный спектр ограничен длинами волн
'о и '-max’ и поэтому при сильном изгибе освещенного рентгеновским
пучком участка может не хватить интервала длин волн для обра-
зования полной полосы астеризма.
§ 55. Исследование монокристаллов
253
Рис. 13.4. Вытянутость пятен при
отражении пучка рентгеновских
лучей (непрерывный спектр) от
изогнутого участка кристалла
Рассмотрим расположение полос астеризма на лауэграммах и
эпиграммах. Предположим, что кристалл искажен таким образом,
что его поверхность отвечает участку поверхности сферы. Тогда
нормали к какой-либо отражающей плоскости кристалла, собран-
ные в одну точку, будут лежать внутри конуса с углом раствора 2е.
Это можно представить в виде плоскости, нормаль к которой может
занимать любые ориентации внутри
конуса с раствором 2е.
Если на такую плоскость на-
править пучок рентгеновских лу-
чей с непрерывным спектром, то он
будет отражаться в форме эллипти-
ческого конуса, который, пересе-
каясь с фотопленкой, даст пятно
в виде эллипса. Отношение осей
такого эллипса зависит от брэг-
говского угла 0 и будет различ-
ным при передней и обратной
съемках.
Рассмотрим форму дифракцион-
ных пятен на лауэграммах (пе-
редняя съемка). Допустим, что
кристалл расположен на расстоя-
нии D = СО' (рис. 13.5) от фото-
пленки. Отражающая плоскость может принимать любые ориента-
ции в соответствии с поворотом нормали к ней внутри конуса с рас-
твором 2е. Тогда крайние положения отраженного луча в плоскости
рисунка определяются углами 20х и 20е. Нетрудно видеть, что
А (20) = 202 — 20t = 4е.
(13.2)
При повороте нормали N на угол 2ев плоскости, перпендикулярной
к плоскости рисунка, отраженный луч поворачивается на угол
Дер = 4esin0. Пятно на лауэграмме, имеющее форму эллипса, ха-
рактеризуется осями Дг и А/. Вычислим эти оси, считая, что центр
пятна находится на расстоянии L от кристалла. Учитывая выраже-
ние (13.2), получаем
Дг = (L/cos 20) А(20) = D4e/cos220.	(13.3)
Далее,
Д/ = (D/cos 20)Аср = £>4е sin 0/cos 20,	(13.4)
а отношение осей
Аг/А/ = l/(cos 20 sin 0).
(13.5)
254	Глава 13. Исследование пластической деформации
Отношение Дг/Д/ растет с уменьшением fl. При fl < 10° Дг/Д/ > 6,
что указывает на сильную радиальную вытянутость пятен при ia-
лых хтлах ft.	_	„
Таким образом, на лауэграммах наблюдается астеризм даже в
рассмотренном выше случае отсутствия предпочтительного направ-
ления деформации кристалла. Однако на лауэграммах возможна не
Рис. 13.5. К определению радиальной вытянутости пятен на
лауэграммах деформированных кристаллов
только радиальная вытянутость пятен. Направление вытянутости
лауэвских пятен зависит также от ориентации оси изгиба пласти-
чески деформированного монокристалла.
В случае эпиграмм при колебаниях нормали в пределах конуса
с раствором 2е отраженный луч описывает почти круглый конус
с раствором ~4е. В результате этого на пленке наблюдается почти
круглое пятно; отношение осей Дг/Д/ получающегося эллипса при-
ближается к единице с уменьшением угла 180° — 2ft, т. е. с увеличе-
нием й. Таким образом, для сферически деформированного моно-
кристалла пятна на эпиграмме имеют круглую форму, что указы-
вает на отсутствие предпочтительного направления деформации.
§ 55. Исследование монокристаллов
255
При наличии только одной оси изгиба у монокристалла пятна на
эпиграмме имеют направленную вытянутость в соответствии с ори-
ентацией оси изгиба по отношению к первичному пучку. Отсюда
можно сделать вывод, что эпиграммы лучше передают характер де-
формации, чем лауэграммы.
Рис. 13.6. Гномостереографическая проекция, постро-
енная по пятнам астеризма на лауэграмме
Расчет лауэграмм и эпиграмм с построением по ним гномосте-
реографических проекций позволяет определить характер и радиус
изгиба искаженных областей деформированного кристалла. При
расчете таких рентгенограмм можно на каждом вытянутом пятне
поставить три точки /, 2, 3, соответствующие началу, середине и
концу пятна. Измерив расстояния /2, /3 от каждой из этих точек
до первичного пучка, вычисляют соответствующие углы О’.,, $3>
используя формулу tg 20 = 1/D для лауэграмм и tg (180° — 20) =
= UD для эпиграмм (D — расстояние от образца до фотопленки).
При этом соответствующие точки /, 2, 3 последовательно совмещают
с экватором сетки Вульфа; углы О откладывают по линии экватора
от большого круга в случае лауэграмм, а углы 90° — О' — от цент-
ра сетки в случае эпиграмм. Когда построение закончено для всех
пятен астеризма, производят графический поворот проекции во-
256
r.hieu 13. Исследование пластической деформации
Рис. 13.7. Эпиграмма от де-
формированного зерна а-урана
круг различных осей, пытаясь разме-
стить полученные штрихи проекции на
параллелях сетки Вульфа (рис. 13.6).
Штрихи на полученной гномосте-
реографической проекции соответст-
вуют распределению нормалей к
изогнутым атомным плоскостям де-
формированного монокристалла.
Длина этих штрихов (в угловых
единицах) является мерой изгиба
атомных плоскостей. Ось изгиба па-
чек скольжения совпадает при этом
с полюсами сетки Вульфа. При из-
вестном расстоянии между образцом
и пленкой по угловой величине (р
штрихов можно вычислить радиус
изгиба пачек скольжения дефор-
мированного участка кристалла.
Для примера на рис. 13.7 приведена эпиграмма от деформиро-
ванного зерна крупнозернистого образца а-урана. Ось изгиба этого
зерна, как видно из характера вытянутости дифракционных пятен,
расположена параллельно плоскости фотопленки.
§ 56. ИССЛЕДОВАНИЕ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ
КРУПНОЗЕРНИСТЫХ ОБРАЗЦОВ
Рентгенографическое исследование пластической деформации
можно проводить также на крупнозернистых поликристалличсских
образцах. Рассмотрим методику такого исследования на примере
крупнокристаллического образца а-урана (размер зерен ~2мм).
В этом случае удобно применять метод обратной съемки Лауэ с ис-
пользованием микропучков. Для этой цели служит специальная
камера, схема которой приведена на рис. 13.8. В камере пучок рент-
геновских лучей 6 вырезается тонким стеклянным или металличе-
ским капилляром (внутренний диаметр капилляра 50—100 мкм) или
регулируемыми щелевыми диафрагмами, проходит через узкое от-
верстие в призме 5 и попадает на небольшой участок образца 1.
С помощью длиннофокусного микроскопа 8, оптическая ось которо-
го совмещена с осью первичного пучка, можно наблюдать освещенный
рентгеновскими лучами участок образца. Перемещая держатель
образца, можно вывести под первичный пучок нужное зерно. Ди-
фракционная картина фиксируется на фотопленке 2. В некото-
рых прицельных микропучковых камерах вместо призмы исполь-
зуют поворотную систему с зеркалом, которое во время съемки от-
водят в сторону, а при установке образца возвращают в исходное
положение.
§ 56. Исследование крупнозернистых образцов
257
Контроль за идентичностью установки зеркала осуществляют
индикатором часового типа.
Микропучковая камера позволяет получать эпиграммы от от-
дельных зерен крупнокристаллического вещества, по которым опре-
деляют ориентацию зерен по отношению к внешним осям с погреш-
ностью до 1°.
При исследовании пластической деформации крупнозернистые
образцы а-урана имели прямоугольное сечение. В некоторых слу-
чаях полируют все плоскости образца, для того чтобы иметь воз-
Рис. 13.8. Схема микропучковой камеры:
/ __ образец; 2 — фотопленка; 3 — выпуклое зеркало; 4 — во-
гнутое зеркало; 5 —призма; 6 — первичный пучок рентгенов-
ских лучей; 7 — полупрозрачное зеркало; 8 — длиннофокус-
ный микроскоп; 9 — осветитель
можность исследовать зерно на двух плоскостях, расположенных под
прямым углом. В других случаях полируют только одну плоскость.
Полированные образцы подвергают либо растяжению (относи-
тельная деформация 1—2%), либо сжатию (деформация 10%). После
деформации проводят повторную электрополировку образцов. При
металлографическом исследовании деформированных образцов в них
было обнаружено двойникование, скольжение и сбросы.
Двойники в зернах урана возникают при закалке, в результате
механической полировки с применением абразивов и в процессе
пластической деформации образцов. Деформация при комнатной тем-
пературе всегда приводит к возникновению двойников, толщина
которых невелика (не более Юлю!). В одном и том же зерне можно
наблюдать несколько систем линий двойникования. Исследова-
ния показали, что в а-уране имеются, по крайней мере, три плос-
кости двойникования
Двойники сложного строения, наблюдаемые в гуране, долж-
ны иметь дислокации на поверхности раздела, для того чтобы
напряжения на этих поверхностях были минимальны.
9 Зак. 1288
258
Г tana /<*>. Исследование тчсской деформации 
Одновременно с двойникованием в деформированных образцах
урана происходит скольжение. При этом на металлографических
шлифах для некоторых зерен наблюдают появление видимых линии
скольжения. В случае деформации при комнатной температуре эти
линии бывают очень тонкие и при большой степени деформации рас-
полагаются на расстояниях примерно 1 мкм. В некоторых случаях
Рис. 13.9. К нахождению плоскости двойникования
методом двух взаимно перпендикулярных плоскостей
дополнительно наблюдались линии, иначе ориентированные по от-
ношению к основным, что указывало на наличие двух действующих
при деформации систем скольжения.
Для определения индексов плоскостей двойникования приме-
няется несколько методов. Рассмотрим два из них.
Метод двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Для иссле-
дования этим методом выбирают зерна, пересекаемые одновременно
двумя перпендикулярными плоскостями шлифа (рис. 13.9, а). На
таких зернах для обеих поверхностей шлифа измеряют углы а и р
между линиями двойникования и внешними координатными
осями.
В качестве координатных осей примем линию SN и перпенди-
кулярное к ней ребро шлифа UZ/,f. Рассмотрим построение стерео-
графической проекции для поверхности шлифа / (рис. 13.9, а, б).
Нормаль к этой поверх booи расположим в центре проекции. Тогда
$ 56. Исследование крцннозсрнистых образцов	259
большой круг проекции будет проекцией плоскости шлифа /, а
точки N и S — выходами проекции координатной линии NS. Отло-
жив от этих точек угол сс, получим точки А и Bt представляющие
выходы следа двойникования на рассматриваемой поверхности шли-
фа. Плоскость двойникования может изображаться дугой большого
круга, проходящего через точки А и В. Однако положение этой
плоскости по одному шлифу установить не удается. Она может,
например, изображаться дугой AFB, но положение этой дуги пока
неизвестно. Точка, расположенная на линии НК (перпендикуляр-
ной к АВ) под углом 90° к дуге AFB, является выходом нормали
к плоскости двойникования N^.
Нанесем на проекцию вторую координатную ось — ребро шлифа
WE. Тогда плоскость шлифа 2 изобразится линией, проходящей
через точки WE (рис. 13.9, в). Отложив по этой прямой угол р, най-
дем точку L, через которую должна проходить проекция плоскости
двойникования, проходящая также через точки А и В. Проведя
через точки ALB дугу большого круга, получим искомую проекцию
х плоскости двойникования. Нормаль к плоскости двойникования
расположится под углом 90° на линии НК. Определив рентге-
нографически ориентацию главных кристаллографических направ-
лений зерна по отношению к выбранным координатным осям, по
стандартной стереографической проекции для сс-урана можно оп-
ределить индексы нормали Nа затем и индексы плоскости двой-
никования.
Трудность может возникнуть в том случае, если в исследуемом
зерне присутствуют несколько семейств двойников. Поэтому мето-
дом двух перпендикулярных плоскостей можно исследовать неболь-
шое число зерен, содержащих только одно семейство двойников.
С помощью этого метода было установлено наличие в деформирован-
ном а-уране плоскости двойникования типа {130}.
Метод локализации выхода нормали к плоскости двойникования.
Этот метод используется для определения индексов плоскостей двой-
никования других типов. При этом исследуется большое число зерен,
выходящих па поверхность одного шлифа. В каждом зерне может
содержаться по нескольку (до трех) систем двойников. На поверх-
ность шлифа под углом 90° наносят риски, служащие внешними коор-
динатными осями д', ?/. К каждой из систем двойников проводят
нормали и измеряют углы ср между ними и одной из внешних
координатных осей, например х. Затем для каждого зерна строят
стереографическую проекцию с выходом нормали к поверхности
шлифа, расположенной в центре этой проекции.
На рис. 13.10 изображена одна из таких нормалей. Эта прямая
может изображать проекцию плоскости, перпендикулярной к по-
верхности шлифа и изучаемой системе линий двойникования. Не-
трудно видеть, что эта плоскость должна содержать нормаль к пло-
скости двойникования (рис. 13.11). Следовательно, выход Л7/<
9*
260	Глава 13. Исследование пластической деформации
должен находиться на стереографической проекции, где-то на ли-
нии От исследуемого зерна снимают эпиграмму, по которой оп-
ределяют ориентацию главных кристаллографических направлений
Рис. 13.10. Перенос норма-
ли к линии двойникования
на стереографическую про-
екцию
Рис. 13.11. Схема взаимного расположения
нормалей N\ и
1,2— следы двойникования на взаимно перпен-
дикулярных шлифах; 3 — плоскость, содержащая
нормали и ; 4 — нормаль к плоскости шли-
фа; 5 — плоскость двойникования
[100], [010], [001] по отношению к внешним координатным осям.
Выходы этих направлений также наносят на стереографическую
проекцию. После этого проекции поворачивают таким образом, что-
бы направление [001] располагалось в
центре проекции, а выходы [100] и
[0101 — на большом круге. Тогда пря-
мая линия Л\ преобразуется в проекцию
дуги большого круга. Такие операции
проводят для всех семейств двойников
данного зерна, а затем еще для 15—20
зерен. Полученные проекции совмещают
и получают сводную стереографическую
проекцию. Обычно на сводной проекции
изображают лишь часть больших кру-
гов N1( лежащих в одном квадранте
(рис. 13.12). Сводную проекцию накла-
100
Рис. 13.12. Сводная стерео-
графическая проекция линий
N\ для а-урана
дывают на стандартную стереографиче-
скую проекцию для а-урана.
Установлено, что многие круги на
этой проекции пересекаются вблизи
полюса {130}, что указывает на индексы одной из плоскостей
двойникования Это совпадает с результатами, полученными по
методу двух перпендикулярных поверхностей. Таким же образом
были определены индексы плоскостей двойникования {112} и {121}.
§ 56. Исследование крупнозернистых образцов
261
Кроме того, остается несколько кругов, проходящих вблизи полюса
{172} и соответствующих, по-видимому, иррациональному двой-
нику.
Рассмотренный метод можно также применять для определения
индексов плоскостей скольжения.
Глава 14. РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
СТРУКТУРНЫХ НЕСОВЕРШЕНСТВ
В МЕТАЛЛАХ И СПЛАВАХ
Свойства металлов в значительной степени определяются их
внутренней структурой. Многочисленные исследования показали,
что монокристаллы обычно имеют структуру, весьма далекую от
совершенства, они обладают так называемой мозаичностью, т. е.
состоят из блоков, разориентированных относительно друг друга.
В кристаллах всегда есть значительное число дефектов: линейные
(дислокации), точечные (вакансии, межузельные атомы) и плоскост-
ные (дефекты упаковки). Различные виды механической и терми-
ческой обработок, а также облучение влияют на распределение и
концентрацию этих дефектов. Очевидно, что степень совершенства
кристалла находится в прямой связи с его физико-механическими
свойствами.
Не меньший интерес представляют исследования структуры по-
ликристаллических материалов. Кристаллиты (зерна) металла обыч-
но разбиваются на ряд разориентированных относительно друг
друга фрагментов (субзерен), образуя так называемую субструк-
туру первого порядка. В ряде случаев внутри субзерен наблюдается
разбиение на более тонкие образования (субструктура второго и
третьего порядков).
В последние годы достигнуты большие успехи в области транс-
миссионной электронной микроскопии (исследования на просвет).
При изучении тонких металлических фольг удается наблюдать дис-
локации, дислокационные петли, дефекты упаковки, скопления ва-
кансий и другие‘дефекты. Однако эти исследования проводят на
очень тонких пленках (фольгах), и поэтому поведение дефектов
в таких образцах может значительно отличаться от их поведения
в массивных материалах.
Важные сведения о структурных несовершенствах получают
с помощью специальных рентгенографических методов, позволяю-
щих исследовать тонкую структуру монокристаллов и поликристал-
лических образцов как на просвет, так и па отражение. Для иссле-
дования тонкой структуры монокристаллов применяют метод двух-
кристального спектрометра, метод Ламбо, метод широко расходя-
щихся пучков\ для поликристаллических образцов можно исполь-
'..'о2
Г.тва /7. Исследование структурных несовершенств
зевать .^//2^ микропучков. Указанные методы позволяют определять
среднюю величину разориентации субзерен, но не дают возможности
исследовать распределение структурных несовершенств на значи-
тельной площади этих образцов.
Методы дифракционной микрорентгенографии позволяют вы-
явить различные нарушения кристаллическою строения и даже
единичные дислокации, а также сопоставить детали дифракцион-
ного изображения с определенными точками образца, благодаря
чему такие рентгенограммы получили название топограмм.
Методы дифракционной мнкрорентгенографии имеют ряд пре*
имуществ по сравнению с другими способами выявления дислокаций,
такими, как травление, декорирование, электронная микроскопия
на просвет. Они не требуют разрушения исследуемых кристаллов —
образцы могут иметь значительную толщину, исследуется большая
площадь, чем при электронно-микроскопическом исследовании на
просвет. Дифракционная микрорентгенография позволяет иссле-
довать кристаллы с небольшой плотностью дислокаций (<106 сл“2).
При большой плотности дислокаций кристалл ведет себя как иде-
ально-мозаичный и дифракционные максимумы на фотопленке полу-
чаются равномерно затемненными.
К методам дифракционной микрорентгенографии относят: ме-
тод Шульца} метод качающегося криспгалла\ метод Ланга} метод
Бормана} метод Берга — Баррета} метод Вейсмана. Каждый
метод имеет свои особенности, достоинства и ограничения. Надеж-
нее проводить исследование одновременно несколькими методами.
Рентгенографические методы позволяют определять угол мозаич-
ности, размер и разориентацию блоков и субзерен, типы малоугло-
вых границ, определять плотность дислокаций и выявлять отдель-
ные дислокации.
§ 5Z. МЕТОД ДВУХКРИСТАЛЬНОГО СПЕКТРОМЕТРА
Рассматриваемый метод позволяет исследовать совершенство
структуры монокристаллов. В двухкристальном спектрометре рент-
геновские лучи последовательно отражаются от двух плоских моно-
кристаллов, из которых первый имеет совершенное строение, а вто-
рой (исследуемый кристалл)--мозаичное. В качестве первого
кристалла обычно используют монокристаллы кальцита или без-
дислокационного германия (угол мозаичности 8—15").
Метод двухкристального спектрометра позволяет применять две
^1Ьп?СТм01ВК1х кРисталлов (Рис. 14.1, а, б). По первой схеме
‘ * J3 С‘ -1» о) пучок характеристического излучения падает на
свершенный кристалл /, установленный в отражающем положении
° РЭгго,вскнм Углом V. Отраженный от этого кристалла монохро-
. а и ескии пучок попадает на исследуемый кристалл 2, установлен-
ии также в отражающем положении, но его поверхность не парал-
$ 57. Метод двухкристального спектрометра
263
Рис. 14.1. Схема двухкрпстального
спектрометра:
й — антипараллельиая установка; б -
параллельная установка
лельна поверхности кристалла 1. Такое положение кристаллов на-
зывается антипараллельным и обозначается символом (/г, /г), где п —
порядок отражения; символ (1, 1) означает, что оба кристалла дают
отражения первого порядка. Исследуемый кристалл 2 поворачивают
на небольшие углы в интервале & (до тех пор, пока он не выйдет из
отражающего положения). Интенсивность отраженного от этого
кристалла пучка рентгеновских
лучей регистрируется с помощью
счетчика. Таким образом удается
построить кривую распределения
интенсивности в зависимости от
угла а, которую принято называть
кривой качания.
Повтором схеме (см. рис. 14.1,6)
кристалл 2 располагают так, что
его поверхность ориентируется па-
раллельно поверхности кристалла /
(если оба кристалла из одного и
того же вещества и отличаются
лишь совершенством строения).
Такое расположение называется
параллельным и обозначается сим-
волом (/г, —-/г).
В параллельном положении уг-
ловая дисперсия D двухкристаль-
ного спектрометра равна разности
дисперсий каждого из кристаллов:
D —	—
= —- (—21----------2?—t (14.1)
2d \ cos Ox cos O2 /
где d — межплоскостное расстоя-
ние; и — брэгговские углы;
и п2 — порядок отражения для плоскостей (hkl), параллельных
поверхности кристаллов. В истинном параллельном положении при
fii — дисперсия равна нулю. В параллельном положении полу-
ширина кривой качания не зависит от естественной ширины спект-
ральной линии (дисперсия равна нулю), она определяется исключи-
тельно геометрическими и физическими факторами (структурным
несовершенством). Поэтому параллельное расположение наиболее
удобно для исследования степени мозаичности кристаллов.
В антипараллельном положении дисперсия равна сумме угловых
дисперсий каждого из кристаллов, поэтому такую геометрию неце-
лесообразно применять для исследования совершенства кристал-
лов.
264	Глава 14. Исследование структурных несовершенств
Если кристаллы 1 и 2 разные и форма кривой качания близка
к распределению Гаусса, то для определения истинной полуширины
кривой качания можно использовать соотношение
w^^wl + wl^rwl,	(14-2)
где д1 и гс'г_полуширина кривой качания кристаллов / и 2 соот-
ветственно;^ л? — измеренная полуширина кривой качания; -~
полуширина, обусловленная соб
А/у
0	&+£
5
Рис. 14.2. Кривые качания:
с — от совершенного кристалла; б — от
мозаичного кристалла
ственной спектральной шириной
линии характеристического излу-
чения (ад ~ И2 АХ2).
Если оба кристалла тождествен-
ны и = п2> то
=	(14.3)
Практически кристаллы 1 и 2 не
тождественны, они состоят из раз-
ных веществ, и поэтому строгая
параллельность отражающих пло-
скостей не соблюдается, что при-
водит к нежелательному возраста-
нию дисперсии. В результате воз-
никает необходимость в увеличе-
нии разрешающей способности при-
бора. В частности, между первым
и вторым кристаллами устанавли-
вается длинный (до 50 см) колли-
матор, в конце которого компонен-
та дублета Каг отсекается, а через
выходную щель выпускается толь-
ко компонента
Характерный вид кривых кача-
ния от совершенного и мозаичного
кристаллов приведен на рис. 14.2. В первом случае (см. рис. 14.2, а)
кривая качания имеет очень небольшую полуширину напри-
мер, для отражения (444) СиКа-излучения от монокристалла Ge
наблюдали — 8,6". В случае мозаичного кристалла кривая ка-
чания (см. рис. 14.2, б) разбивается на несколько кривых (напри-
мер, / и //), число которых соответствует числу субзерен, находя-
щихся в освещенной области исследуемого кристалла. Кроме того,
на этих кривых наблюдаются зубцы, указывающие на тонкую струк-
туру (субструктуру второго порядка).
Метод двух кристального спектрометра позволяет также иссле-
довать поля деформации вокруг отдельных дислокаций с помощью
схемы, представленной на рис. 14.3. Совершенный (бездиаюкашюн-
ныи> кристалл 3 и исследуемый кристалл 2 сстанавлнвают в положе-
58. Метод Ламбо, Виссамиче и Делсаса
ние (и, —п). Фотопленка / помещается так, что эмульсия, обращен-
ная к поверхности образца, находится на расстоянии ~2 мм от по-
следней. Для этого исследования используют СиЛа-излучение;
кристаллы устанавливают под брэгговскими углами. Во время экс-
позиции исследуемый кристалл 2 закрепляют в положении, соответ-
ствующем точке на середине одной из ветвей кривой качания, в ко-
торой отраженный от кристалла луч имеет половинную интенсив-
ность. Кривая качания падает очень круто, и поэтому поворот кри-
сталла на 0,1—0,2" приводит к заметным изменениям интенсивности
отраженного луча. Так же проявляется
и относительное изменение межплоскост*
ных расстояний, составляющее (2-ьЗ) X
X Ю-7. Изменение интенсивности А/,
обусловленное нарушением совершенства
кристалла, определяется формулой
A/ = K(Mgft + 6»)= Ж, (14.4;
где К — наклон кривой качания на по-
ловине ее высоты; 6^ — относительное
изменение межплоскостного расстояния
для отражающих плоскостей исследуе-
мого кристалла; 6$ — компонента ло-
кального поворота решетки кристалла
относительно оси гониометра, располо- Рис. 14.3. Схема двукри-
женной перпендикулярно к плоскости стальной микротопографии
рисунка; д — брэгговский угол. Иссле-
дуемый кристалл 2 можно передвигать, сохраняя неизменной его
ориентацию по отношению к отраженному от кристалла 3 пучку,
что позволяет изучать распределение несовершенств на поверх-
ности кристалла. Метод позволяет выявить детали нарушений
совершенства структуры размером менее 1 мкм.
Методом двухкристальной .микрорентгенографии исследуются
очень совершенные кристаллы, содержащие не более 103
дислокаций.см2, так как возможно наложение изображений от раз-
личных дислокаций.
§ 58. МЕТОД ЛАМБО, ВАССАМИЙЕ И ДЕЖАСА
Схема исследования этим методом приведена на рис. 14.4. Пучок
характеристического излучения из фокуса рентгеновской трубки S
фокусируется изогнутым кристаллом кварца 1. Дублет раз-
деляется на две узкие линии, ширина которых около образца со-
ставляет 50 мкм. Л^-линия экранируется клином 2, а /Са1-линия,
пройдя через щель 3, попадает на образец 4. Дифракционный мак-
симум регистрируется фотопленкой 6. При съемке на отражение об-
разец поворачивают в положение 5. Горизонтальная сходимость пер-
266
Глава 14. Исследование структурных несовершенств
Рис. 14.4. Схема метода Ламбо, Вас-
самийе и Дежаса
вичного пучка (в плоскости ри-
сунка) составляет ^1°, поэтому
можно исследовать образцы при
одной установке, если полная
разориентация субзерен в них
не превышает 1°. Если разориен-
тация превышает Г, следует сде-
лать несколько снимков, после-
довательно поворачивая кри-
сталл на дискретные углы так,
чтобы все субзерна попадали в
отражающее положение.
Минимальный размер выяв-
ляемых субзерен зависит от осве-
щенного объема кристалла, расстояния между образцом и плен-
кой и совершенства субзерен. На снимках наблюдается тонкая
структура брэгговских отражений при размере субзерен мкм.
§ 59. МЕТОД ШИРОКО РАСХОДЯЩИХСЯ ПУЧКОВ
Метод широко расходящихся пучков применяют для прецизион-
ных (с погрешностью ^0,0003%) определений периодов решетки
монокристаллов, разориентировки элементов их субструктуры,
для изучения структуры деформированных кристаллов.
Различают две разновидности этого метода.
1. Пучок быстрых электронов (в электронном микроскопе или
рентгеновском микроанализаторе) фокусируется на малом участке
яоверхности исследуемого монокристалла. В этом случае характе-
ристическое излучение возникает в веществе кристалла, играющего
роль анода рентгеновской трубки. Регистрируемые на фотопленке
дифракционные линии называют косселевскима линиями по имени
автора В. Косселя, предложившего данный метод.
л 2. Пучок электронов фокусируется на металлической фольге,
расположенной вблизи кристалла. В этом случае точечным источни-
ком широко расходящегося пучка характеристического рентгенов-
ского излучения является облучаемый электронами участок фольги.
Дифракционные линии, регистрируемые фотопленкой при этом спо-
собе съемки, называют псевдокосселевскими. Для получения псевдо-
косселевских линий можно также использовать запаянную элект-
ронную трубку БС-1, фокус которой диаметром 10 мкм расположен
на выходном окне из бериллия с напыленным слоем металла.
Возникновение дифракционной картины в методе расходящихся
пучков поясняет рис. 14.5. Источник монохроматического излучения
§ 59. Метод широко расходящихся пучков
267
F, расположенный рядом с кристаллом или на его поверхности, ос-
вещает семейство параллельных плоскостей (hkl) под всеми возмож-
ными углами (угол расходимости^2л). Лучи, падающие на эту систе-
му плоскостей под брэгговскими углами О, являются образующими
конуса с раствором 180° — 2fL Вследствие отражения от плоскостей
(hkl) эти лучи будут удалены из общего расходящегося пучка, в ре-
зультате на рентгенограмме появится светлая (экстинкционпая)
линия, имеющая форму конического сечения. Кроме светлых линий
наблюдаются также темные (интерференционные) линии Косселя,
Рис. 14.5. Схема возникновения липни Косселя:
1 — образец; 2 — фотопленка
являющиеся отражением расходящегося пучка от семейства пло-
скостей (hkl). Темные линии имеют почти ту же ширину, что и свет-
лые, так как в их образовании участвуют лишь поверхностные слои
кристалла (из-за поглощения отраженных лучей в его объеме).
Съемка дифракционной картины в методе расходящегося пучка
может быть как передней (образец расположен перед пленкой), так
и обратной (пленка с отверстием для пучка электронов расположена
перед образцом). В случае передней съемки регистрируются как тем-
ные, так и светлые линии. Замкнутые кривые образуют только свет-
лые линии. При обратной съемке регистрируются только темные
линии, которые в этом случае могут быть как незамкнутыми, так
и замкнутыми. Возможна регистрация косселевских и псевдокос-
селевских линий на фотопленку, расположенную сбоку от пучка
электронов.
При передней съемке для получения контрастной картины крис-
талл должен иметь оптимальную толщину I, определяемую соотно-
шением
I -= 1/р ,
где р.—линейный коэффициент поглощения для /(-серии характе-
ристического излучения.
Глава 14. Исследование структурных несовершенств
Линии Косселя возникают только при выполнении неравенства
2аАк > р,	<14-5)
Где а — период решетки исследуемого кристалла; — Длииа волны
характеристического излучения, возникающего в кристалле; зна-
чение р зависит от типа решетки (р = ]^2 для о.ц.к.-решетки и р —
= | 3 для г.ц.к.-решетки и структуры типа алмаза). Например, для
алюминия линии Косселя не наблюдаются, так как 2шЛк 0,97,
для вольфрама 2аИк = 31,5, поэтому для него можно зарегистри-
ровать большое число линий Косселя.
Рис. 14.6. Возможные конфигурации коссслевских и псевдокос-
сслсвских линий
Псевдокосселевские линии можно получать для любых кристал-
лов, подбирая нужную металлическую фольгу, являющуюся источ-
ником расходящегося пучка характеристического излучения.
На рис. 14.6 (а—г) приведены возможные конфигурации пересе-
кающихся коссслевских и псевдокосселевских линий. Так как каж-
дой линии отвечает конус с половинным углом раствора 90° — Ф, то
при изменении периодов решетки будут меняться брэгговские углы,
в результате чего линии смещаются. Наиболее удобной для расчетов
являются линзообразная конфигурация (см. рис. 14.6, в), в которой
линии при изменении периода решетки смещаются в противополож-
ном направлении (стрелки указывают направление смещения при
увеличении периода).
Для расчета рентгенограммы находящиеся на ней линии долж-
ны быть проиндицированы. Для индицирования строят стереогра-
фическую проекцию косселевских конусов. При построении проек-
ции учитывают, что коссслевские конусы, осями которых являются
нормали к соответствующим плоскостям {hkl}, проектируются на
сферу, а следовательно, и на плоскость проекции малыми кругами.
Поэтому на стандартной проекции, которая выбирается в соответст-
вии с ориентацией кристалла, вокруг проекций соответствующих
направлений проводят малые круги с раствором 90° — $hkn где
вычисляют из приближенных значений периода решетки крис-
талла. Сравнение центральной части проекции непосредственно с
рентгенограммой позволяет легко определить индексы линий.
§ 59. Метод широко расходящихся пучков
269
Период решетки можно найти по одной круговой линии Косселя.
Для этого должно быть известно расстояние от источника излучения
до фотопленки L После промера радиуса круговой линии г вычис-
ляют tg (л/2 — fl) = г//, а затем межплоскостное расстояние
2 sin О 2 sin [(л/2) —arctg (г//)]
(14.6)
Однако практически круговую линию получить на рентгено-
грамме трудно, поэтому период решетки а вычисляют из линзооб-
разной конфигурации (рис. 14.7) по формуле
а — f sec у,
(14.7)
где f+ KI + LI) sin р; ₽-угол
между нормалями к отражающим плоскостям	и (Л2£2^2)»
и Z,2 — длины волн характеристического излучения.

(hi *2
Рис. 14.7. К расчету косссле- Рис. 14.8. К вычислению периода решетки
граммы
по косселеграмме
Для определения угла у существует несколько методов. Можно,
например, использовать конфигурации, отвечающие пересечениям от
различных линий /(-серии (рис. 14.8). Промерив расстояния и М
(последнее нечувствительно к изменению периода решетки), вычис-
ляют у из соотношения
LJM = sin y/sin (ДА/2),
(14.8)
где ДА — разность брэгговских углов для линий и 0 (вычисляет-
ся по известным длинам волн).
Более точным является метод съемки на одну пленку при 7.8
фиксированных расстояниях от образца до пленки. По 7—8 коссе-
левским эллипсам можно определить углы наклона образующих
косселевского конуса по отношению к оси X (нормали к плоскости
270
Глава /7. Исследование структурных несовершенств
фотопленки), по ним рассчитывают угол а—л/2 & и находят d —
=X/(2cos а). Зная индексы оси конуса и значение d, находят период
решетки а. Этим методом, для вольфрама например, найдено а =
— 3,16566 ± 0,00002 А.
Кроме прецизионных определений периодов решетки, метод рас-
ходящихся пучков применяется для изучения структурных несо-
вершенств в кристаллах. Линии Косселя не наблюдаются, если
кристалл слишком совершенен или очень несовершенен, а также
если кристалл слишком толст или тонок для излучения данной
длины волны. При совершенном строении кристалла первичная
экстинкция ограничивает отражение несколькими плоскостями на
стороне кристалла, ближайшей к источнику рентгеновского излуче-
ния, а угловой интервал отражения составляет несколько секунд.
Так как используется источник излучения малых размеров, линии
Косселя настолько тонки и. слабы, что их практически не удается
заметить на общем фоне рентгенограммы.
При несовершенном строении кристалла первичная экстинкция
почти полностью отсутствует, но наблюдается вторичная экстинк-
ция, в результате которой появляются светлые линии Косселя. При
дальнейшем уменьшении степени совершенства кристалла эффект
вторичной экстинкции подавляется и на рентгенограмме присутст-
вует только общий фон.
Этот метод успешно применялся и для изучения пластической
деформации монокристаллов. Например, при исследовании нахо-
дящихся под напряжением растяжения монокристаллов алюминия
обнаружено, что интенсивность линий Косселя, особенно светлых,
увеличивается в начальной стадии удлинения, а их ширина растет
с увеличением степени деформации. В результате изгиба блоков
скольжения некоторые линии перекручиваются и искажаются.
Для деформированных кристаллов линии Косселя становятся
шире. Данные по изменению ширины и формы линий Косселя поз-
воляют определить разориентацию отдельных участков кристалла
при его деформации. Изменение формы косселевских линий позво-
ляет судить о развороте субструктурных составляющих I поряд-
ка, происходящем в облученном объеме кристалла. Ширина кос-
селевских линий характеризует совершенство области кристалла
протяженностью 0,01-0,05 мм (субструктура II порядка). Раз-
ые точки дифракционных линии характеризуют совершенство
различных^ участков кристалла. Неоднородное уширение косселев-
ских линии позволяет определить анизотропию разориентации суб-
СТРУ тарных составляющих и найти направление оси их преи-
мущественного разворота.
Метод расходящихся пучков использовался также для изуче-
ния причин межкристаллического охрупчивания. Путем точного
ределения периодов решетки па поверхности разрушения найде-
£ 60. Метод микронучкоп
2/1
на, например, сегрегация примесей на границах зерен крупно-
кристаллических образцов никеля, являющаяся причиной охруп-
чивания этого металла после отжига в области температуры 600 —
700° С.
§ 60.	МЕТОД МИКРОПУЧКОВ
При использовании обычных пучков с диаметром сечения 1 мм
на рентгенограмме, полученной методом обратной съемки, поли-
кристаллического образца металла с размером зерен <10-3 см, ре-
гистрируются непрерывные дебаевские кольца. При уменьшении
диаметра первичного пучка уменьшается освещаемый объем образ-
ца, с следовательно, и число кристаллитов, дающих отражение
Рис. 14.9. Схема образования дуг на рентгенограмме,
полученной методом мнкропучноз:
/- конус условии отражения; 2 —- конус разориситацни;
3 — фотопленка
на данное кольцо. При малых размерах первичного пучка (~50—
100 мкм) вместо непрерывных линий появляются отдельные точки.
Если зерна металла имеют несовершенную структуру и состоят из
субзерен, то эти пятна разбиваются па ряд близких точек, располо-
женных по дебаевскому кольцу. На рентгенограммах, полученных
этим методом от деформированных металлов, отдельные точки разма-
зываются в дуги, лежащие на дебаевских кольцах. Длина таких дуг
определяет размытие отражения в так называемом тангенциальном
направлении, а их ширина — размытие в радиальном направлении.
Схема образования дуг представлена на рис. 14.9. Допустим,
что кристаллит, дающий отражения, находится в центре сферы еди-
f.iaeu 14. Исследование структурных несовершенств
ничного радиуса (первичный пучок считаем параллельным) Тогда
условием отражения для некоторой системы^плоскостей (hkl) этого
кристаллита будет нахождение нормали к этой плоскости на поверх-
ности конуса с раствором 180° - 2d, т. е. конуса условия отраже-
ния 1. Ели кристаллит совершенен, то на ршшенограмме зафикси-
руется точка, расположенная на дебаевском кольце, соответствую-
щем рассматриваемой плоскости. В случае, если кристаллит обла-
дает субструктурой, нормали к данной плоскости будут иметь
несколько различную ориентацию в разных субзернах. Собранные
в одну точку нормали образуют
Рис. 14.10. К вычислению разори-
ентации между субзернами
конус разориентации 2, раствор
которого Аф определяет разориен-
тацию данного кристаллита.
Конус разориентации может пере-
секать конус условия отражения.
В результате этого на проекции ко-
нуса условия отражения на фото-
пленке 3 (см. рис. 14.9, пунктир)
будем иметь дугу длинной Г, а на
дебаевском кольце (см. рис. 14.9,
сплошная линия)—дугу длиной I.
Измеряя длину дуги на дебаевском
кольце (в тангенциальном направ-
лении), можно определить угол
разориентации Аф субзерна, давшего отражение в данном месте.
Если дуга имеет точечную структуру, то это соответствует отраже-
нию от субзерен кристаллита. Тогда, измеряя расстояние по де-
баевскому кольцу между соседними точками, можно определить раз-
ориентацию между субзернами. Расчет обычно проводят по форму-
ле, предложенной Хиршем:
5ш(Аф/2)-cosdsin (ср/2),	(14.9)
где ф угол, измеренный по длине дуги I на рентгенограмме
(рис. 14.10); Аф угол разориентации между субзернами (или от-
дельного субзерна). Формула (14.9) выведена в предположении, что
субзерна имеют очень малые (точечные) размеры, а первичный пучок
параллелен. Расчет можно вести также по упрощенной формуле*
Аф = 67(2 sind),	(14.10)
где 6 =у 6 — fe — ф'; 6 — угол разориентации, измеренный по
Д^ге I (тангенциальная длина рефлекса); k — угол сходимости
Некоторые методические вопросы исследования субструктуры поли-
Кристаллических образцов методом дифракционной микрорентгенографии. —
“	Л ме1а-т-т°ведение чистых металлов. Вып. 7. М., Атомиз-
Дат, 1968, с. 93. Авт.: Б. М. Левитский, А. А. Русаков, В. М. Юдин,
В. Н. Яльцев.
$ 61. Метод Шульца
273
первичного пучка в тангенциальном направлении; ф' — угол, стя-
гиваемый субзерном, с вершиной в точечном фокусе рентгеновской
трубки.
При определении разориентации криталлитов следует учиты-
вать, что изогнутый кристаллит может располагаться по отноше-
нию к первичному пучку как выпуклой, так и вогнутой стороной,
поэтому на рентгенограммах может наблюдаться так называемое
самоувеличение или самоуменыпенпе размеров дифракционных пя-
тен. Кроме того, в формулах (14.9) и (14.10) имеются неизвестные
величины б' и ф'. Для исключения этих величин и учета знака изги-
ба кристаллита лучше получать от одного и того же участка образца
три рентгенограммы при различном расстоянии от образца до плен-
ки. Полученные рентгенограммы увеличивают до 200 раз и затем
промеряют на компараторе или исследуют под микроскопом при том
же увеличении. Такой способ съемки позволяет установить не толь-
ко углы разориентации между субзернами, но и их размеры.
§ 61.	МЕТОД ШУЛЬЦА
При исследовании методом Шульца используют острофокусную
рентгеновскую трубку (с вольфрамовым анодом), дающую непре-
рывный спектр рентгеновского излучения. Исследуемый кристалл
помещают под углом ~25° к оси расходящегося пучка на расстоя-
нии ~150 мм от фотопленки. Для получения достаточной разре-
шающей способности необходимо, чтобы размер фокуса рентгенов-
ской трубки не превышал 50 мкм.
Если в монокристалле имеется несколько субзерен, слегка раз-
ориентированных относительно друг друга, то каждое из них дает
отражение. Эти отражения будут смещены относительно друг дру-
га на некоторое расстояние I (и между ними на рентгенограмме по-
явится светлое поле, рис. 14.11, а) или наложены друг на друга,
и тогда на границе двух изображений наблюдается темная полоса
шириной I (рис. 14.11, б). Таким образом, по границам между изо-
бражениями субзереп легко определяется тип разориентации (вы-
пуклая или вогнутая разориентации). Угол разориентации ф между
нормалями к отражающей плоскости (hkl) определяется через угол ф
из промера расстояний I между краями отражения (ширина светлой
или темной полосы) и известного расстояния от кристалла до фото-
пленки. Л. Г. Шульц исследовал поверхностные дефекты ионных
кристаллов, используя белое излучение острофокусной трубки с
вольфрамовым или медным анодом. Диаметр фокусного пятна этой
трубки ~25 мкм. Разрешающая способность метода составляла
^15" (для ионных кристаллов). Для металлов разрешающая спо-
собность этого метода несколько ниже, так как кроме яаличиясуб-
структуры в монокристаллах металлов могут существовать плавные
изгибы субзерен. Глубина исследуемого слоя в металлах составляет
274
r ,(IM j I, Имевшие ctp!IKtiii>h„ix несме/шМ^
..К) о. Метод Шульца позволяет выявить поверхностные нару-
шения структуры >1Мало^“иГараХХся съемка тонкого крис-
Разновидностью метода Шульца является с.	фисЪ.п.аапа Об-
тяга на просвет получившая название метода Фудживара. ио
™.™ "ппику располагают перпендикулярно к осп расходящегося
S ^oro Zy “пупка полихроматических рептгспопскпх лучей.
Рис. 14.11. Схема метода Шульца
На фотопленке регистрируется дифракционная картина, состоящая
из лауэвских пятен с наложенными на них линиями характеристи-
ческого спектра. Из структуры пятен можно определить размеры
и разориентацию субструктурпых составляющих.
§ 62.	МЕТОД КАЧАЮЩЕГОСЯ КРИСТАЛЛА
Если точечный фокус F рентгеновской трубки испускает моно-
хроматические лучи, то для получения отражения от системы крис-
таллографических плоскостей (hkl) кристалл надо установить под
брэгговским углом О' к падающим лучам. При расходящемся пучке
отражение от кристалла происходит в точках, лежащих вдоль линии
пересечения его с поверхностью конуса вращения, ось которого пер-
пендикулярна к отражающей плоскости, а угол раствора равен
(я/2)	0 (рис. 14.12, а). Если кристалл находится на значительном
расстоянии от фокуса, то отраженные лучи образуют на фотопленке
почти прямую линию. Таким образом, совершенный кристалл дает
на фотопленке отражения в виде непрерывных и почти прямых ли-
ний. Так как рентгеновская трубка излучает характеристический
спектр, то на рентгенограмме регистрируются обычно близко рас-
положенные линии Ка1,а2-Дублета.
Метод качающегося кристалла основан на рассмотренном прин-
ципе отражения монохроматического расходящегося пучка рентге-
£ 62. Метод качающегося кристалла
275
Рис. 14.12. Схемы метода качающегося кристалла:
а — получение отражения от кристалла; б — фокусировка отражений в методе качаю-
щегося кристалла; F— фокус рентгеновской трубки; К — исследуемый кристалл; Р—
фотопленка
новских лучей от монокристалла (рис. 14.12, б). Из приведенной
схемы видно, что при повороте кристалла К на дискретные углы
вокруг оси, лежащей на его поверхности, в отражающем положении
оказываются различные участки кристалла, которые дают линии
Ка1 и в разных местах фотопленки Р. Таким образом, если крис-
талл совершенный и углы поворота подобраны так, чтобы линии
дублета Ла1>ао от различных участков не накладывались друг на
друга, то на рентгенограмме регистрируется система параллель-
ных линий.
Рис. 14.13. Дифракционный эффект от границ зерен различного типа:
и — граница наклона; и — граница кручении
Глава hi. Исследование структурных несовершенств
276
Когда кристалл состоит из нескольких разориентированных
б токов то на рентгенограмме наблюдаются разрывы линии и сме-
щение их друг относительно друга. По смещению линии можно оп-
ределить как углы разориентации блоков, так и тип границ между
этими блоками. Если два блока повернуты относительно друг дру-
га вокруг оси, параллельной границе, образуя так называемую
границу наклона, то на линиях появляется разрыв шириной Lt
(рис 14.13, а), промерив который, нетрудно определить угол разо-
риентации.’При развороте блоков вокруг оси, лежащей в плоскости
Рис. 14.14. Рентгенограмма, полученная по методу
качающегося кристалла от монокристалла ниобия
кристалла и перпендикулярной к границе, возникает граница кру-
чения; в этом случае линии характеристического спектра смещаются
относительно друг друга на расстояние Lq (см. рис. 14.13, б), из
промера которого также определяется разориентации блоков.
Этим методом можно исследовать довольно большие монокрис-
таллы. Например, на рис. 14-14 приведена рентгенограмма, полу-
ченная методом качающегося кристалла от монокристалла ниобия,
выращенного электронно-лучевой зонной плавкой. Рентгенограмма
показывает, что кристалл состоит из крупных блоков. Сетка темных
линий на рентгенограмме указывает на существование субструкту-
ры второго порядка внутри крупных блоков.
§ 63.	МЕТОД ЛАНГА
Интегральная интенсивность дифракционных максимумов от со-
вершенных кристаллов меньше на один-два порядка интенсивности
тех же максимумов от кристалла того же вещества с идеально мо-
заичной структурой. Кроме того, если угловой интервал отражения
§ 63. Метод Ланга
тп
от идеального кристалла составляет несколько секунд, то для мо-
заичных кристаллов он может достигать десятков минут. Метод Лан-
га использует эффект увеличения интенсивности отражения при на-
личии локализованных несовершенств в кристалле, имеющем в ос-
новном высокую степень совершенства. Этот метод позволяет вы-
явить отдельные дислокации при условии, если они являются основ-
ным типом несовершенств и их
плотность нс превосходит 105—
106 слг2.
Исследования методом Ланга
проводят с помощью острофокус-
ной рентгеновской трубки (диа-
метр фокусного пятна менее
100 мкм) с серебряным или воль-
фрамовым анодом, дающей ко-
ротковолновое характеристиче-
ское излучение (рис. 14.15).
Пучок рентгеновских лучей от
точечного фокуса 1 проходит
через щель 2 и попадает на кри-
сталл 3, установленный так, что
система плоскостей (hkl) состав-
ляет брэгговский угол 0 с пер-
вичным пучком. Прошедший через кристалл пучок перехватывает-
ся ловушкой 4. Отраженный пучок проходит через щель в экране 5
и попадает на фотопленку 6. Кристалл и фотопленка с помощью
специального механизма перемещаются синхронно (возвратно-посту-
пательно). При прохождении первичным пучком области кристалла,
имеющей структурное несовершенство, интенсивность отраженного
пучка возрастает. На фотопленке этой области будет соответствовать
участок с повышенной плотностью почернения. Камера имеет очень
точные механизмы перемещения образца и фотопленки.
Разрешающая способность метода Ланга определяется формулой
d ---
(14.11)
где /п — расстояние от точки кристалла, имеющей структурный де-
фект, до фотопленки; = $каг — #ка1 — разность углов для
отражений Ка, и Ка2 от данной кристаллографической плоскости.
При ш = 10 мм и Дйха = (2 4- 6)-10-4 рад д^бмкм. Таким
образом, на рентгенограмме получаются изображения двух дисло-
каций, отстоящих одна от другой на расстоянии не меньше 6 мкм.
Если необходимо получить более высокое разрешение, то используют
вторые щели в экране 2 (см. рис. 14.15) размером меньше Д0ка,т.е,
меньше Г,
278	Глава 14. Исследование структурных несовершенств
Методом Ланга исследуются довольно тонкие кристаллы. Тол-
щина кристаллов определяется по их линейному коэффициенту по-
глощения р. Наилучший контраст изображения дислокации полу-
чается при ц/ « 1, где t -—толщина кристалла.
§ 64.	МЕТОД БОРМАНА
Метод Бормана основан на эффекте аномального прохождения,
сущность которого состоит в аномально-высокой интенсивности рент-
геновского пучка, прошедшего через идеальный кристалл, если тот
находится в отражающем положении. Эффект объясняется тем, что
падающие на кристалл монохроматические рентгеновские лучи об-
разуют внутри него две стоячие волны Л и В (рис. 14.16), узловые
плоскости которых параллельны атомным плоскостям. Если крис-
талл ориентирован так, что первичный луч s0 составляет брэгговский
угол д с семейством плоскостей (Ш), то для одной из стоячих волн (Л
Рис. 14.16. Схемы, поясняющие эффект Бормана:
картина распространения волн в кристалле; б — иллюстрация аналогии между кана-
лированием частицы и эффектом Бормана
узлы совпадут с этими плоскостями. Если бы атомы были неподвиж-
ными материальными точками, то волна .4 проходила бы без ослабле-
ния. Но так как атомы имеют конечные размеры, а в кристаллах
всегда содержатся статические и динамические искажения, то волна
ослабляется. Однако соответствующий коэффициент будет примерно
в 20—30 раз меньше обычного лилейного коэффициента поглощения
р. При выходе из кристалла волна разлагается на аномально про-
шедший п\чок 1а и дифракционный Волна В, для которой узлы
не совпадают с атомными плоскостями, сильно ослабляется и при
достаточно большой толщине кристалла t не проходит через него.
$ 64. Метод Бормана
279
Таким образом, на выходе из кристалла наблюдаются три луча:
нормально ослабленный первичный /0, аномально прошедший 1а
и дифракционный /д. Если считать, что интенсивность первичного
пучка /0 распределяется примерно равномерно (по 0,5) между вол-
нами Л и В, то при выходе из кристалла интенсивность делится по-
ровну между аномально прошедшим и дифракционным пучками
и поэтому
IJh - /д//0 ~ 0,25.
Эффект Бормана можно также объяснить по аналогии с явле-
нием каналирования частиц. Разрежем мысленно кристалл по от-
ражающей плоскости так, чтобы между двумя половинами образо-
валась щель (рис. 14.16, б). Если пучок попадает в эту щель под
брэгговским углом то он отражается от первой половины кристал-
ла, попадает во вторую половину, снова отражается и т. д. При этом
луч как бы перемещается между двумя зеркалами и почти без
потери энергии выходит в двух направлениях с равной интен-
сивностью.
Эффект Бормана наблюдается только при значительном поглоще-
нии, например, при ц/ > 10. Наличие дислокаций нарушает пра-
вильность кристаллической структуры, вследствие чего появляется
локальное повышение коэффициента поглощения аномально прошед-
шего луча. Линии дислокаций получаются на рентгенограммах бо-
лее светлыми, чем основной фон. Для изучения всего объема крис-
талла последний перемещают, сохраняя неизменность ориентации
его по отношению к первичному лучу s0; фотопленку перемещают
синхронно с образцом. Перед фотопленкой располагают ширму,
через которую может проходить только луч 1а.
Эффект Бормана --- один из наиболее чувствительных методов
дифракционной микрорентгенографии, но его можно использовать
только для исследования кристаллов с малой плотностью дислока-
ций — меньше 106 см~-. Для кристаллов с малым коэффициентом
ослабления (например, органических веществ) метод неприменим.
Такие дефекты, как включения, микроискажения, дефекты упаков-
ки и другие, приводящие к потере когерентности и появлению кон-
траста, затрудняют выявление дисклокаций.
При исследовании методом Бормана важно правильно выбрать
излучение и систему отражающих плоскостей (hkl). Излучение под-
бирают таким образом, чтобы нормальное ослабление при данной
толщине кристалла t было достаточно большим — р/ У> 10, а
кристалл в отражающем положении был непрозрачен для первич-
ного пучка. Размер фокуса рентгеновской трубки в направлении,
перпендикулярном к плоскости падения, влияет на разрешающую
способность метода. Поэтому при большом расстоянии от кристалла
до фотопленки необходимо применять острофокусную рентгеновскую
280
Глава 14. Исследование структурных несовершенств
трубку. Если пленку поместить очень близко к кристаллу, можно
использовать широкий фокус. Но в этом случае надо выбирать та-
кую систему отражающих плоскостей (hkl), чтобы пучки 1а и /д
разделились.
§ 65.	МЕТОД БЕРГА — БАРРЕТА
Метод Берга — Баррета можно применять для исследования как
несовершенных монокристаллов, так и поликристаллических об-
разцов (рис. 14.17, а). Поверхность образца располагают под очень
малым углом по отношению к оси первичного пучка характеристи-
ческих рентгеновских лучей. Фотопластинку с особо мелкозернистой
эмульсией (НИКФИ типа МР или МК) помещают как можно ближе
к поверхности образца, по так, чтобы первичный пучок ее не засве-
чивал. На поверхности образца обязательно находятся зерна, ориен-
Nhkl
а
Схема метода Берга —
и определение разреша-
Рис. 14.17.
Баррета (а)
ющей способности этого метода . (б);
— размер изображения точки
кристалла на фотопленке
тированные под брэгговскими углами по отношению к первичному
пучку. Отражения от этих зерен регистрируются на фотопластинке.
После фотообработки изображение па фотопластинке рассматри-
вают под микроскопом при увеличении 100—200 раз.
В случае несовершенной структуры зерен их дифракционные
изображения разбиваются на ряд пятен, каждое из которых соот-
ветствует субзерну. В некоторых случаях внутри этих пятен также
наблюдается тонкая структура.
Характеристикой метода является линейное и угловое разреше-
ние. Линейное разрешение определяется минимальным расстоянием
между двумя точками кристалла, отражения от которых не перекры-
аются на фотопленке. У еловым разрешением называют минимальный
£ 65. Метод Берга—Баррета
281
угол разориентации двух субструктурных составляющих, дающих
раздельное изображение на микрорентгенограмме. Линейное разре-
шение будет тем выше, чем меньший размер имеет на фотопленке изо-
бражение каждой точки кристалла.
Пусть пучок монохроматических лучей из фокуса рентгеновской
трубки падает на кристалл К, находящийся в отражающем поло-
жении (рис. 14.17, б). Рассмотрим точку Р на поверхности кристал-
ла. Если через эту точку провести нормаль Nllkl к отражающей пло-
скости (/?£/), то конус с углом полураствора 90° — О, осью которого
является Nhlil, будет геометриче-
ским местом лучей, которые
могут отразиться от точки Р.
Пусть длина линии пересечения
фокуса с конусом в тангенциаль-
ном (антибрэгговском) направле-
нии составляет Д. Тогда угол
сходимости лучей, падающих в
точку Р, равен yt = Д/D, где
D — расстояние от фокуса до
точки Р. Размер изображения
точки Р на фотопленке, находя-
щейся на расстоянии А от кри-
сталла, равен
mt = (ftID)A. (14.12)
Рис. 14.18. Проекция хода лучей на
плоскость, перпендикулярную к Nhki
Условие того, что изображения двух точек кристалла Р и Р' не пе-
рекрываются (т. е. линейное разрешение в тангенциальном направ-
лении), как видно из рис. 14.18, определяется соотношением
dt = Aftl(D + А).
(14.13)
Отсюда следует, что для повышения линейного разрешения следует
использовать малые углы сходимости у, и малые расстояния А.
Например, при ft = 100мкм, D = 100лшиЛ — 1мм dt ~ 1мкм.
Линейное разрешение в радиальном (брэгговском) направлении
не зависит от размера фокуса в этом направлении и определяется
выражением
(14.14)
где ДФ — угловая ширина рентгеновской спектральной линии, Дф ~
= (AVA)tg 'ft; Д%/% — собственная ширина линии.
Угловое разрешение в тангенциальном направлении можно най-
ти из соотношения
8, Н.П11П ± АТ/)'''(2Л sin fr)>	(14.15)
где п11п определяется разрешающей способностью фотоэмульсии.
282	Гласа 14. Исследование структурных несовершенств
Счедовательно, при данной разрешающей способности фотопленки
угловое разрешение растет с увеличением расстояния А.
Метод Берга-Баррета используют для получения общего пред-
ставления о совершенстве кристалла. Этим методом могут быть оп-
ределены углы разориентации и размеры зерен и субзерен. Границы
зерен и смбзерен проявляются в видс^темных или светлых линий
(в зависимости от взаимного разворота зерен), что иллюстрирует
рис. 14.19. На микрорентгенограммах обнаруживаются также поло-
Рис. 14.19. Мпкрорснтгеногра.чма, полученная по
методу Берга -  Баррета
сы деформации, двойники деформации и отжига. В благоприятных
случаях в достаточно совершенных кристаллах выявляются дис-
локации и дислокационные петли.
Метод Берга--Баретта можно использовать для исследования
кристаллов на просвет. В этом случае берут тонкие образцы, тол-
щина / которых должна быть такова, чтобы ц/ 1, где р —ли-
нейный коэффициент поглощения.
§ 66.	МЕТОД ВЕЙСМАНА
Метод Вейсмана применяют для исследования моно- и поликрис-
таллических образцов. Он является комбинацией метода Берга —
Баррета и двухкристальпого спектрометра. Схема метода приведе-
на на рис. 14.20. Пучок рентгеновских лучей из острого фокуса рент-
геновской трубки 1 падает на кристалл монохроматора 2, установ-
ленный примерно под брэгговским углом для данного характеристи-
ческого излучения; в качестве монохроматора используют кристал-
лы с высокой степенью совершенства (кальцит, германий). Отра-
женный от монохроматора пучок проходит через щель 3 и почти под
скользящим углом попадает на ноликристаллический образец 4.
$ r>6- Afe т о О [Зе it с л i f < н а	283
Ф°т°пленка 5 может помещаться в нескольких положениях (I, II,
III}. Смещение пленки производится микрометрическим устройство?*!
и поэтому может быть точно измерено. Поворот образца по отно-
шению к лучу, отраженному от кристалла-монохроматора, также
осуществляется микрометрическим устройством. Это позволяет,
поворачивая образец на небольшие углы, постепенно вводить в от-
ражающее положение исследуемое зерно (вернее, его субструктур-
ные составляющие) и таким образом измерять угловую разориента-
цию субзерен. Съемка при нескольких расстояниях от образца до
плоской фотопленки называется прослеживанием. Если фотопленка
Рис. 14.20. Схема метода Вейсмана
находится в положении / (наименьшее расстояние), то при съемке
могут наблюдаться близко расположенные максимумы, по которым
трудно судить, являются ли они отражениями от одного зерна с раз-
витой субструктурой или от различных зерен. Съемка при положе-
ниях фотопленки II и III позволяет разделить эти отражения: на
снимках, полученных при больших расстояниях фотопленки от об-
разца, отражения от разных зерен могут сначала сближаться (поло-
жение II), а затем расходиться (положение III). Если же зерно имеет
субструктуру, то отражение от него состоит из ряда близко распо-
ложенных пятен. При увеличении расстояния от образца до фото-
пленки D увеличиваются расстояния между этими пятнами и их
размер I. Измерив на фотопленке (под микроскопом) размер этих
пятен, можно произвести экстраполяцию на нулевое расстояние
(D 0) образец — фотопленка и таким образом определить истин-
ный размер субструктурных составляющих /д, а по углу наклона ct
и отношению к оси абсцисс — разориентацию субзерпа.
На микрорентгенограмме расстояния между пятнами от субзе-
рен также связаны с углом их разориентации. Методом прослежива-
ния удается определить угол разориентации между нормалями к от-
ражающим плоскостям с одинаковыми индексами для соседних су о-
Глава 15. Определение внутренних напряжений
зерен. Угол разориентации всего зерна определяют методом после-
довательных поворотов образца.
Метод Вейсмана позволяет также определить индексы отражаю-
щих плоскостей, давших дифракционные отражения от сюзерен.
Для этой цели служит цилиндрическая кассета 6 (см. рис.14.20).
По рентгенограмме, полученной в этой кассете, легко вычислить
брэгговские углы и, следовательно, по известным периодам решетки
исследуемого образца. установить индексы отражающей плоскости
для любого дифракционного пятна. Брэгговские углы могут быть
определены также по рентгенограмме прослеживания. Таким об-
Рис. 14.21. Микрорентгенограмма от отдельного кри-
сталлита крупнозернистого образца молибдена
разом, производя съемку на цилиндрическую пленку и используя
метод прослеживания, удается сопоставить пятна па интерферен-
ционной линии с определенными областями отражений на поверх-
ности образца. На рис. 14.21 приведена микрорентгенограмма, по-
лученная методом Вейсмана от образца крупнозернистого молибде-
на, на которой хорошо выявляется субструктура.
Глава 15. РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ВНУТРЕННИХ НАПРЯЖЕНИЙ В МЕТАЛЛАХ
Металлический образец, если к нему приложить напряжение,
превосходящее предел упругости, пластически деформируется.
При этом повышается предел упругости, изменяются и другие физи-
ческие и физико-химические свойства металла.
Если обозначить А работу деформации, a Q — тепло, выделяю-
щееся при деформировании тела, то, как показывает опыт, в случае
пластической деформации А Д> Q. Таким образом, часть работы де-
формирования остается в теле и затрачивается на повышение его
<5 67. Определение макронапряжений
285
внутренней энергии. Избыток энергии деформированного тела по
отношению к исходному состоянию = А — Q называется энер-
гией остаточных напряжений. С увеличением степени пластической
деформации повышается внутренняя энергия металла, искажается
его кристаллическая структура, меняются свойства: металл упроч-
няется, понижается сопротивление коррозии, увеличивается ско-
рость диффузии и фазовых превращений, понижается плотность,
появляется анизотропия свойств, связанная с предпочтительной
ориентацией кристаллитов (текстурой).
Различают следующие типы внутренних напряжений, отличаю-
щихся объемами, в которых они уравновешиваются.
1.	Макронапряжения (зональные напряжения, напряжения I ро-
да). Эти напряжения уравновешиваются в объеме всего образца
или изделия. Эти напряжения имеют ориентацию, связанную с фор-
мой изделия. При наличии макронапряжений удаление какой-либо
части детали приводит к нарушению равновесия между остальными
ее частями, что вызывает деформирование (коробление и растрески-
вание) изделия. Разрушение происходит большей частью под дей-
ствием растягивающих напряжений. Сжимающие напряжения (их
можно создавать специальными технологическими процессами) сни-
жают чувствительность материала к концентраторам напряжений
и повышают усталостную прочность материала.
2.	Микронапряжения (микроискажения, напряжения II рода).
Эти напряжения уравновешиваются в пределах отдельных кристал-
лов или блоков и могут быть как неориентированными, так и ориен-
тированными (в направлении усилия, произведшего пластическую
деформацию).
3.	Статические искажения решетки. Уравновешиваются в преде-
лах небольших групп атомов. В деформированных металлах ста-
тические искажения уравновешиваются в группах атомов, лежащих
у границ зерен, плоскостей скольжения и т. д. Такие искажения
могут быть связаны с дислокациями. Смещения атомов из идеаль-
ных положений (узлов решетки) могут также возникать в кристал-
лах твердого раствора из-за различия размеров атомов и химичес-
кого взаимодействия между одноименными и разноименными атома-
ми, образующими твердый раствор. При наличии микронапряжений
и статических искажений удаление части тела не приводит к пере-
распределению их.
Напряжения разных типов приводят к различным изменениям
рентгенограмм и дифрактограмм, что позволяет изучать внутренние
напряжения рентгенографическими методами. Макронапряжения
вызывают сдвиг интерференционных линий, особенно заметный под
большими брэгговскими углами. Микронапряжения приводят к уши-
рению линий. Наибольшее изменение ширины интерференционных
линий наблюдают при больших брэгговских углах. Ориентирован-
ные микронапряжения могут также вызывать смещение линий. При
286	Глава 15. Определение внутренних напряжений
наличии статических искажений, связанных со смещениями атомов
из идеальных положений, уменьшается интенсивность интерферен-
ционных линий и возрастает диффузный фон. Эффект уменьшения
интенсивности особенно заметен для линий с большими индексами.
М. А. Кривоглаз предложил делить дефекты в кристаллах, свя-
занные с микронапряженнями и статическими искажениями, на два
класса: ограниченные и бесконечно большие в одном или в двух на-
правлениях. Дефекты относятся к первому классу, если создаваемые
ими смещения убывают с расстоянием, как 1/г2 (или быстрее), и ко
второму классу, если смещения убывают, как 1/г2/3 (или медленнее).
Прямолинейные дислокации, проходящие через весь кристалл,
являются бесконечно протяженными дефектами и вызывают ушире-
ние линий. К этому эффекту приводят также хаотически распреде-
ленные по кристаллу дефекты упаковки или системы дислокаций,
образующие границы блоков в бесконечном кристалле.
Если дислокационная линия замкнута, как в случае дислока-
ционных петель, то размеры дефекта ограничены и интенсивность
интерференционных линий на рентгенограмме уменьшается.
В реальных кристаллах хаотическое распределение дефектов
может отсутствовать. Упорядоченное их расположение приводит
к тому, что дефекты второго класса переходят в дефекты первого
класса. При различных концентрациях дефектов и различных зна-
чениях их параметров одни и те же дефекты могут принадлежать
либо ко второму (при этом наблюдается уширение линий), либо к
первому классу (уменьшается интенсивность линий). В некоторых
случаях дефектами такого рода могут быть выделения частиц новой
фазы и дислокационные петли.
При рассеянии рентгеновских лучей поликристаллическими
образцами может также наблюдаться эффект уширения линий, свя-
занный с флуктуациями числа дефектов в различных кристаллитах.
§ 67. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАКРОНДПРЯЖЕНИЙ
Макронапряжения возникают при неоднородном нагреве или
охлаждении (например, при сварке, огневой резке), в процессе хо-
лодной прокатки или правки готовых изделий, в результате струк-
турных превращений, при химической и механической обработке по-
верхности (точении, шлифовке, полировке), а также при нанесении
электролитических покрытий. Контроль макронапряжений имеет
важное значение в практике, так как позволяет значительно повы-
шать надежность изделий в эксплуатации.
т^^?а^ИЧеСКИ^ метад 0ПРсДе.чения макронапряжений осно-
ся без пазоушеиияРи^ИИ п?риодов Решетки. Исследование проводит-
комповепгмпгтиги ЗДе‘™11, напряжения определяются в очень тон-
исследования птк У06 ''!елалла-Однако рентгенографический метод
о. яет получить сведения о напряженном состоя-
v <17. Определении макронипрлжений	287
нии только определенным образом ориентированных кристаллитов,
в то время как механические методы дают средние величины дефор-
мации для всех зерен металла. По этой причине результаты, полу-
ченные механическими и рентгенографическими методами, не всегда
совпадают. Рентгенографические методы позволяют изучать напря-
жения на очень небольшой площади и, следовательно, устанавли-
вать распределение напряжений по образцу.
С помощью этих методов можно исследовать металлы как в ли-
пейпопапряженпом, так и в плосконапряжснпом состоянии.
Линейнонапряженное сссюяние. При теоретическом рассмотре-
нии условий отражения монохроматических рентгеновских лучей от
узловых плоскостей в линейнонапряженном поликристаллическом
агрегате показано, что его упругая деформация должна приводить
к смещению линий на рентгенограммах, полученных методом по-
рошков.
Предположим, что цилиндрический образец, имеющий длину L
и поперечное сечение S, упруго деформирован силой F. Выберем
ортогональные оси координат таким образом, чтобы направление
оси z совпадало с направлением деформирующего усилия. Тогда на-
пряжение в направлении z будет: oz - F/S и ох ™ 0. Прило-
женная сила производит деформацию е/.
ez - (L - То)/Ло = ДТ/То,	(15.1)
где L() и L — начальная и конечная длина образца.
Напряжение связано с деформацией в упругой области законом
Гука:
ог --	(15.2)
где Е — модуль нормальной упругости.
Деформация в направлениях хну приводит к уменьшению диа-
метра образца от начального значения D() к конечному D:
гх~~=гу^ (D ~D())iD(r	(15.3)
Если материал образца изотропен, эти деформации связаны соотно-
шением
ех = - -i.iez,	(45.4)
где и — коэффициент Пуассона, составляющий для металлов
0,25-0,45.
Для измерения oz пучок рентгеновских лучей направляют пер-
пендикулярно к оси образна. Методом обратной съемки регистри-
руют отражения под большими углами 0, т. е. отражения от узловых
плоскостей, почти параллельных поверхности образца.
При деформации в направлениях хну .наблюдаются следующие
изменения межплоскостных расстояний:
ех = ef/	П5.5)
?88	Глава 15. Определение внутренних напряжений 
где cf_L — межплоскостное расстояние для системы плоскостей, от-
ражающих под максимальным брэгговским углом при перпенди-
кулярном падении первичного пучка на образец в случае напряжен-
ного состояния; do — межплоскостное расстояние той же системы
плоскостей при отсутствии напряжений.
Из выражений (15.2), (15.4) и (15.5) получаем
gz я	- d0)/d0L	(15.6)
Уравнение (15.6) приближенно, так как оно не учитывает того, что
отражающие плоскости не вполне параллельны поверхности образ-
ца. Очевидно, точность этого уравнения возрастает с увеличением
брэгговского угла fl (идеальным представляется случай с fl = 90°).
Определение напряжений в рассматриваемом случае произ-
Рис. 15.1. Схема равновесия каса-
тельных напряжений т и нормаль-
ных напряжений о в элементе
объема
водится с помощью двух рентгенограмм: с напряженного и нена-
пряженного образцов. Для съемки обычно используют камеры типа
КРОС. На поверхность образцов наносят тонкий слой порошка
талонного вещества (или наклеивают фольгу); при этом толщину
слоя порошка подбирают таким об-
разом, чтобы на рентгенограмме
одновременно получились линии
эталонного вещества и образца.
Линии эталона позволяют опреде-
лить расстояние от образца до
пленки. Для определения d0 полу-
чают рентгенограмму с ненапря-
женного образца. В некоторых
случаях, чтобы определить эту ве-
личину, получают рентгенограмму
от небольшого кусочка, вырезан-
ного из напряженного образца
(в небольшом объеме напряжения
снимаются).
Исследование плосконапряжен-
ного состояния фотографическим
методом. Обычно образцы находят-
в объемнонапряженном состоянии.
Ся в плосконапряженном или в объемнонапряженном состоянии.
Для получения рабочих формул пользуются уравнениями для
эллипсоида деформации и напряжений, рассматриваемыми в курсе
сопротивления материалов.
Рассмотрим бесконечно малый куб внутри напряженного тела
(рис. 15.1). Ребра куба примем за оси координат х, у и z. На каж-
дую грань действуют нормальные напряжения сцт, а?/, az, направлен-
ные перпендикулярно к соответствующим граням, а в каждой из гра-
ней лежат скалывающие напряжения т,/л., т2Л., тд.у, т2Гу, тл.2, т?/г (вто-
рой индекс указывает ось, вдоль которой действует напряжение
сдвига, а первый - ось, к которой перпендикулярна плоскость
£ 67. Определение макронапряжении
289
сдвига). В условиях равновесия смещений куба быть не должно,
поэтому вх = Из условия отсутствия вращения куба следует
равенство моментов скалывающих напряжений вокруг разных осей:
^yz 	ТЛ.у — Тух, Txz — Tzx.
Следовательно, для полного задания напряженного состоя-
ния в данной точке однородного изотропного тела необходимо
иметь шесть компонент напря-
жений:
ОЛ-> Oz, Ту,, Тгл..
Всегда можно выбрать такую
ориентацию элементарного куба,
чтобы скалывающие напряже-
ния на его гранях были равны
пулю. Действующие на эти грани
нормальные напряжения назы-
вают главными нормальными на-
пряжениями (Ji, о2, о3. з на-
правления, в которых они дей-
ствуют, — главными осями.
П р и	од н ор од н о й упру гой
деформации сферический эле-
мент объема изотропного тела деформируется в эллипсоид. Нор-
мальное удлинение еф>ф в любом выбранном направлении прибли-
женно выражается уравнением для эллипсоида деформации'.
₽ф, Ф Щ Г] -1 - п 2 е.» 4- Нз е3,
(15.7)
где еь е2, е3 — главные удлинения (рис. 15.2); ах, а2, а3 — направ-
ляющие косинусы выбранного направления по отношению к глав-
ным удлинениям.
В сферических координатах направляющие косинусы могут быть
выражены через углы ф и (р (см. рис. 15.2):
- sin ф cos <г;
а2-- sin ф sin q ;
а3 — cos ф.
(15.8)
Главные удлинения eif е3 связаны с главными напряжениями
о1( о2) о3 (в направлениях, в которых касательные напряжения
равны нулю) следующими уравнениями:
е1-(1/Е)[о1— jt (ст. -1 а.,)]; 1
е2=-(1/£)|а2 —ц(о1 |-о3)]; )	(15.9)
е3 = (1/£’) [<т3 —Р (<h I <ь)1- I
10 Зак.1288
290
Глава /5. Определение внутренних напряжение
Эллипсоид напряжений определяется уравнением
Оф, ^ = ^1 ох -Нял2 сг2-гЛзОз-	(15,10)
Подставив значения е2, с3 из уравнения (15.9) в выражение
(15.7), получим
!~"(^1 ai'r Qi	--~ (аз 4 о2-“ о3). (15.11)
Е	Е
На свободной (внешней) поверхности исследуемого образца можно
считать о3 =-- 0, но в этом случае е3 =# 0.
Из уравнения (15.9) следует, что
£3 = — (p/£)(^i	о2).	(15.12)
Величина с3 определяется так же, как и в случае линейнонапря-
женного состояния, через относительное изменение межплоскост-
ных расстояний для плоскостей, почти параллельных поверхности
образца:
с3 — (d_ — di})'d().	(15.13)
Следовательно, по одной рентгенограмме, полученной при перпен-
дикулярном падении первичного пучка на поверхность образца,
можно определить только сумму главных напряжений <т1 4- о2:
CFj -г	—(E/p)(dx — d<})ido.	(15.14)
Точность определения напряжений зависит от точности измере-
ния межплоскостных расстояний и величины модуля Юнга Е:
при &d!d == 1Ст4 и Е 20 000 кге'мм2 (для железных образцов)
Л (Од — <т2) ~ ±2,5 кге'мм2. Размытие линий, обусловленное мик-
ронапряжениями, малыми размерами блоков когерентного рассея-
ния или химической неоднородностью образна, сильно снижает
точность определения напряжений.
Раздельное определение напряжений может производиться толь-
ко с одновременным использованием перпендикулярной и наклон-
ной съемок.
Из уравнений (15.9) и (15.11) следует, что для плосконапряжен-
ного состояния при о3 — 0
и
е3 - —(ц Е)(гч	Q.j'	(15.16)
Определим разность деформаций:
1 ц
—— (й[	(15.17»
§ 67. Определение макронапряжений
291
Подставив значения ау и а2 из уравнения (15.8), получим
еФ, ез = -ЦД (sin2 Ij: cos2 qLOj + sin2ipsin2tp<J2) =
= -----------kj cos-ф — O2sin2cp].	(Io.l8)
Выражение в квадратных скобках, как это следует из уравнения
(15.10), представляет собой составляющую напряжения в на-
правлении ф при ф = 90s, т. е. в плоскости образца.
Поэтому, преобразовав выражение (15J8), находим
оФ =—— •—Ф —ез)-	(15.19)
1 — и. 51П2ф
Если, как и раньше, обозначим d() межплоскостное расстояние для
плоскостей, параллельных поверхности образца в ненапряженном
состоянии, — межплоскостное расстояние для тех же плоскостей
в напряженном состоянии, a d(^. — межплоскостное расстояние для
того же семейства плоскостей, перпендикулярных к направлению,
определяемому углами ф и ф, то получим
С достаточной степенью приближения можно считать, что
(15.21)
Окончательно имеем
е 1 jVrzA
ф 1— и. sin2 ф
(15.22)
Выражение (15.22), очевидно, зависит от угла ф только косвенно,
через d^, что удобно при проведении исследования.
Определение <тф по двум рентгенограммам. Составляющая напря-
жения в направлении ф на поверхности образца может быть опреде-
лена но двум рентгенограммам: при перпендикулярном падении
первичного пучка и под углом ф (обычно Ф 45s). При этом нет
необходимости определять d() для ненапряженного состояния и,
следовательно, метод является неразрушающим.
При получении рентгенограмм на поверхность образца наносят
эталонное вещество, линии которого на рентгенограммах служат для
определения расстояния образец—пленка.
При наклонной съемке дебаевские кольца на рентгенограмме на-
пряженного образца не будут круглыми. Это обусловлено тем, что
деформация вдоль нормали к отражающей плоскости меняется
с углом ф, т. е. межплоскостное расстояние d^.y меняется тем силь-
10*
292	Глава /5. Определение внутренних напряжений
лес, чем больше угол а]?. Следовательно, на нижний край рентгено-
граммы (рис. 15.3) попадут отражения от кристаллитов с d^^
слегка отличающимися от межплоскостных расстоянии	ко-
торые имеют кристаллиты, дающие отражения на верхнюю часть
рентгенограммы. Соответствующие системы плоскостей, обозначен-
ные на рис. 15.3 как 1 и 2, имеют нормали и составляющие
Рис. 15.3. Схема образования дифракционных колец при
наклонной съемке
с первичным пучком углы и а2 соответственно. Так как межплос-
костныс расстояния и dtp ч,г слегка различаются, то и отражен-
ные лучи должны составлять различные углы с первичным пучком,
поэтому конус дифракционных лучей нс будет круглым. Для эта-
лонного вещества независимо от угла наклона дифракционный конус
всегда круглый, так как это вещество находится в ненапряженном
состоянии.
Для определения расстояний /] и /2 сначала измеряют диаметр
дифракционного кольца эталонного вещества 2/УТ и расстояния лу
и х2 (см, рис. 15.3). Расстояния /j и /2 на ходят из разностей
Л	j>
/*2	1.}Т-Л'о.
,< 67. Определение лшкpoiumряженан
293
Для расчета аф формула (15.22) приводится к более удобному
виду. Дифференцируя формулу Вульфа—Брэгга, получаем
bd/d --- —ctg 6ДО.	(15.23)
При обратной съемке на плоскую пленку расстояние между
д и ф р а к цион н ым и ли ни я м и
I - A tg (180° - 20) —Л tg 20,	(15.24)
где А — расстояние от образца до пленки.
Дифференцируя формулу (15.24), получаем
Д/ - — 2Л sec2 20А0.	(15.25)
Отсюда, подставив выражение (15.25) в уравнение (15.23), найдем
kd/d - Д//(2Л sec2 20 tgO).	(15.26)
В данном случае
Дс//с/--(J^ —dx)/d_L и Д/— — /х,
где Ц — расстояние от центра рентгенограммы до дифракцион-
ной линии напряженного образца при съемке под углом ф; 1Л — то
же для перпендикулярной съемки. В качестве 1^ берется расстояние
от нижнего края рентгенограммы, т. е. (см. рис. 15.3), так как оно
более чувствительно к изменению межплоскостного расстояния d.
Подставив уравнения (15.26) в (15.22), получим окончательную рас-
четную формулу:
а —_______?___________. е (15,27)
ф (1sin2 ф 24 sec2 20 tg О
Для данного образца при выбранном излучении и постоянном рас-
стоянии А можно вычислить коэффициент К:
К £71(1 -I- p)sin2ip2/l sec2 20 tg М.	(15.28)
Таким образом, для работы используем формулу
<V-/((/^-/x).	(15.29)
Раздельное определение главных напряжений. Величина и направ-
ление главных напряжений сц и о2 могут быть определены, если рас-
считаны компоненты напряжения оф для трех направлений на по-
верхности образца. Максимальную точность получают при использо-
вании одного перпендикулярного снимка (ф - - 0) и трех наклонных
(под углом ф = 45° и углами ср: <р, <р + 60° и <р - - 60°).
294
Глава 15. Определение внутренних напряжений
Соответственно для напряжений, определяемых под углами ф,
ср + 60° и ф — 60°, имеем:
Стф - (1/2) (ст, + а2) + (1 /2) (О!-Ст2) cos 2<р;
ОфЧ-бо° - (1 /2) (a, + а2) + (1 /2) (<\~ог) cos 2 (<р + 60°);
Оф_6о» - (1/2) (Qi + aJ + (1/2) (th-аг) cos 2 (Ф-60°).
(15.30)
Решая уравнения (15.30)относительно и о2> получаем:
ог = (1/3) [оф + Оф-бов + пффбо° +
-г1/(2сТф—(Уф_60°—^ф-ьбо0)2 + 3 ((Уф — 60° <Уф+во0)2]; (15.31)
<У2 = (1/3) [Сф + Сф —60° "Г <?ф+ 60° —
— V (2Оф — Оф- 60° — о'ф-ь бо°)2 ‘I" 3 (стф— 6о° ОФ+ 6О°)2];
tg2ф = ^3(оф 60о-оф+6о±^	(15 32)
2(ТФ~°ф_ 60°“аф+б0°
Л1аксимальная точность при таком методе определения связана
с погрешностью определения межплоскостных расстояний Ad: при
Ad — ±1 • 10-4 А До = ±2,3 кгс/мм2, (для стали Е = 20 000 кгс/мм2);
погрешность определения направления главных напряжений находят
в результате дифференцирования соотношения (15.32). Для наи-
большей точности необходимо измерять расстояние Д/ =
с погрешностью ±0,1 мм, что соответствует погрешности определе-
ния и h_ ± 0,05 мм. Практически из-за размытия линий эти
расстояния так точно измерить не удается, поэтому погрешность
^Да возрастает в два-три раза.
Оу) Определение оф методом многократных съемок. Несколько бо-
yJjj'ee высокую точность определения оф получают, применяя метод
‘многократных съемок. В этом случае получают пять снимков: два
под углами ф = ±30°, два под углами ф — ±45° и один перпенди-
кулярный. По этим сиимкахМ, как и в предыдущем методе, опреде-
ляют величины и d±.
Из формулы Вульфа — Брэгга следует:
2 sin €>,р	2sinex
(15.33)
Тогда, используя выражения (15.22) и (15.33), получаем:
d^~d±
1
sin Оф
sin /	E
(15.34)
$ 67 Определение макронапряжении
295
ИЛИ
cosec	+	1
£smfl± ' sin ’
т. е.
(15.35)
cosec = f (з!п2ф).
По экспериментально определенным значениям cosec Оф строится
зависимость этой величины от з1п2ф (рис. 15.4), которая, как видно
из выражения (1 о.35), должна быть линейной. По графику, представ-
ленному на рис. 15.4, находят угол
наклона прямой а. Из выражения
(15.35) следует, что
tg « = (Уф (I 4- g)/(£sin 0J,
(15.36)
отсюда
оф “ tg а Е sin \)J (1	р). cosec
Используя этот метод для ис-
следований твердых сплавов с Рис. 15.4. График зависимости
Е = 50 000 кгс/мм2 и р = Q,25	cosec 0^ от sin2 гр
при погрешности промера расстоя-
ний между линиями 0,1 мм, получают погрешность определения
напряжений Доф, равную ±10—12 кгс/мм*.
Приведенные выше расчеты справедливы только в том случае,
если нормаль к плоскости, в которой находятся главные напряже-
ния, совпадает с нормалью к поверхности образца. Это условие
обычно выполняется при наличии термических напряжений. Одна-
ко возможен случай, когда ориентация главных осей определяется
направлением внешних усилий, как это наблюдается при обработке
резанием, при некоторых видах сварки, а также при электроискро-
вой обработке и др. Метод многократных съемок позволяет опреде-
лить наклон главной плоскости. Для этого снимки производят таким
образом, чтобы нормаль к отражающей плоскости располагалась
в плоскости, проходящей через искомое главное направление и
нормаль к поверхности; образец ориентируют под углами -гф и
—ф по отношению к этой нормали.
При наличии наклона главной плоскости зависимость измерен-
ной деформации е^ от ь1п2ф не будет прямолинейной. Однако полу-
чаемые графики позволяют найти угол наклона главной плоскости,
значения Oj сг2 и определить раздельно сгг и о2-
Получение прямолинейного и си.Агметричного Оля —ф и —ф)
графиков зависимости от sij-гф еще не указывает на отсутствии на-
296	Глава 15. Определение внутренних напряжений
клона главной плоскости. Необходимо провести многократные на-
клонные съемки в перпендикулярной плоскости, если только зара-
нее неизвестно, что такой наклон главной плоскости для исследуе-
мого образца исключается. Возможно, что рассмотренные особен-
ности объясняют часто наблюдаемую невоспроизводимость рентге-
нографических измерений остаточных напряжений, ^когда метод
многократных съемок использовали только для одной плоскости.
Точность определения напряжений и источники возможных по-
грешностей. При наклонной съемке, в отличие от перпендикуляр-
ной, происходит значительная дефокусировка интерференционных
линий, причем этот эффект различен для диаметрально противопо-
ложных участков рентгенограммы. Размытие линий снижает точ-
ность определения их расстояний от центра рентгенограммы.
Установлено также, что после однородной пластической дефор-
мации образца по всему сечению сжатием или растяжением возни-
кают ориентированные микроискажения, приводящие к сдвигу ли-
ний на рентгенограмме. При измерении макронапряжений этот эф-
фект воспринимается как появление некоторых фиктивных напря-
жений, суммирующихся с действительно существующими. Величина
этих фиктивных напряжений может оказаться соизмеримой с вели-
чиной определяемых макронапряжений, и поэтому измерение напря-
жений на образцах, претерпевших пластическую деформацию, мо-
жет оказаться ошибочным.
Погрешность в определении напряжений при косых съемках
может существенно возрасти из-за нестрогой перпендикулярности
кассеты с фотопленкой к направлению первичного пучка. Перекос
кассеты на Г приводит даже при отсутствии напряжений и съемке
в излучении Со к изменению разности расстояний между линиями
(420) серебра (эталон) и (310) железа (образец) на 2,2%.
Погрешность определения напряжений зависит от относительной
погрешности измерения периода решетки ka/a, умноженной на
Е/р. Эта погрешность связана с неточностью измерения диаметра
дебаевского кольца 21 и расстояния образец-планка. Погрешность
определения суммы главных напряжений равна Д (Oj -р а2) --
“ (Е/р)(Act/a), так как t\a!a — \d’d (для кубической решетки).
Для железа Е ~ 20 000 кгс/мм\ р = 0,28, поэтому при kala ~
 - 1,07-Ю-4 Д (cfj + а2)	4= 7,62 кгс!мм2. Погрешность при раз-
дельном определении главных напряжений имеет примерно то же
значение.
При расчете напряжений считают, что величины Е и р изо-
тропны, как это принимается для поликристаллического агрегата
при механических испытаниях. Однако при рентгенографическом
исследовании измеряется деформация решетки в определенных
кристаллографических направлениях, перпендикулярных к от-
ражающим плоскостям (hkl). Известно, что величины Е и р зависят
от кристаллографического направления. Эта анизотропия свойств
$ б/. Определение макроЯаИряж&Шй
297
различна для разных металлов. Для железа, например, она больше,
чем для алюминия.
В случае рентгенографического определения напряжений из-
меряют отражения только от зерен, определенным образом ориен-
тированных по отношению к первичному пучку, а поэтому и имею-
щих определенную ориентацию по отношению к измеряемым напря-
жениям. Для получения более надежных результатов рекомендует-
ся определять экспериментально величину К в уравнении (15.29),
а не пользоваться величинами Е и и, полученными при механи-
ческих испытаниях образцов.
Для определения величины Е тонкую пластину упруго изгибают.
Измеряя стрелу прогиба, по известным формулам сопротивления ма-
териалов рассчитывают величину действующих на поверхности об-
разца напряжений. На той же изогнутой пластинке рентгенографи-
чески определяют значение Sd.'d и затем, используя рассчитанные
значения сг^, определяют величину Ehhl и значение Д' [см. формулу
(15.28)] для данной интерференционной линии исследуемого мате-
риала.
Определение макронапряжений с помощью дифрактометра. Для
измерения макронапряжений можно использовать дифрактометр,
который должен иметь держатель образца, дающий возможность
независимо от перемещения счетчика вращать образец вокруг оси
гониометра.
На рис. 15.5 приведены схемы измерения напряжений с приме-
нением дифрактометра. В первом случае, т. е. при ф = О
(см. рис. 15.5, а), нормаль к поверхности образца Ns совпадает
с нормалью к отражающей плоскости Np. Расходящийся пучок из
фокуса рентгеновской трубки F, дифрагируя на образце, фокуси-
руется на фокальной окружности в точке S. Несмотря на то, что
первичный пучок падает на поверхность образца под углом 0, а не
90°, как в фотографическом методе обратной съемки, измерения, про-
изводимые в этом положении образца, соответствуют перпендикуляр-
ной съемке фотографического метода, с той разницей, что отражаю-
щие плоскости строго параллельны поверхности образца, как это
следует из принципа фокусировки по Брэггу—Брентано, и напря-
жения измеряются ио нормали к поверхности.
При наклонной съемке (см. рис. 15.5, б) образец поворачивают на
угол ф. Так как фокальная окружность всегда касается поверх-
ности образца, то поворот последнего меняет положение и радиус
фокальной окружности, поэтому во втором случае дифракционные
лучи фокусируются в точке S', расположенной на расстоянии г
от точки S. Если /? — радиус круга дифрактометра, то можно пока-
зать, что
(15.38)
sin (О —гр)
sin (ФД-ф)
298	Глава 15. Определение внутренних напряжении
При ф - 45° r/R равно 0,30 для t) - 80° и 0,53 для ft - 70е. Если
ф 0, то S' находится между S (обычным положением счетчика)
и образцом. Если измерительную щель оставить в точке S при по-
вернутом положении образца, то регистрируемая интенсивность
получается очень низкой. Можно было бы в точку S поместить ши-
рокую щель и в точку S' узкую щель или поместить узкую щель в
точку S' и расположить счетчик непосредственно за этой щелью.
Таким образом, теоретически необходимо ставить различные щели
Рис. 15.5. Схема съемки при определении макронапряженпй с ис-
пользованием дифрактометра при ф=0 (а) и при фт^О (б):
/ — образец; 2 — окружность фокусировки; 3 — счетчик
при съемке с углами наклона образца ф = 0 и ф — 45°. На практике
от перемещения щелей в некоторых случаях отказываются, идя на
компромисс между желаемой высокой интенсивностью дифракцион-
ного луча и разрешением. Узкую щель помещают в некоторой про-
межуточной точке между Sz и S, для которой получаются удовлетво-
рительные результаты. Эта щель остается на месте при обоих изме-
рениях.
Так как угол 2ft измеряется непосредственно с помощью дифрак-
тометра, то формулу для определения напряжения <гф удобно выра-
зить через величины 2ft.
Дифференцируя формулу Вульфа—Брэгга, получаем
Ad/d = — etg ЗА (2О)/2.	(15.39)
Из соотношений (15.22) и (15.39) имеем
____£ctgfl(2fl0-2{b)
Оф — —--------------—
2 (1 + ц) sin3 ф
(15.40)
£ 68. Исследование микронапряжений
299
где 2тЗ'о — наблюдаемая величина брэгговского угла при ф — 0;
2^-ф — брэгговский угол при наклонной съемке под углом ф.
Определение напряжения с использованием ионизационной ре-
гистрации проводят следующим образом*. 1) находят оптимальное
положение щели счетчика; 2) при неподвижном образце, поверну-
том на угол й, вращением счетчика определяют положение макси-
мума интенсивности, который соответствует углу #0; 3) повернув
образец на угол ф и перемещая счетчик, определяют максимум ин-
тенсивности, который соответствует углу из соотношения (15.40)
вычисляют напряжения аф.
Точность измерения напряжений при использовании дифракто-
метра значительно выше, чем при фотографическом методе регистра-
ции дифракционной картины. Так, например, для стали при съем-
ке линии (310) на излучении Со и измерении угла 20с погрешностью
до ±2,5' вероятная погрешность определения составляла
±2 kzcImm2, (т. е. приблизительно в два раза меньше, чем при фото-
графическом методе измерения для того же образца). Кроме того,
следует учесть, что затраты времени при исследовании на дифракто-
метре значительно меньше, чем при фотографическом методе.
Для определения макронапряжений в образцах и деталях срав-
нительно небольших размеров применяют отечественные дифракто-
метры ДРОН-1 и ДРОН-2,0. На них можно исследовать даже такие
сложные объекты, какими являются отпущенные при низкой тем-
пературе цементированные стали, которые дают сильно размытые
интерференционные линии (их полуширина достигает 4°).
Для измерения макронапряжений в крупногабаритных изделиях
советская промышленность выпускает специализированный дифрак-
тометр ДРН-2. Особенностью этого дифрактометра является пере-
мещающееся на штативе (по высоте от 500 до 1500 мм и в направле-
нии нормали к изделию в пределах 200 мм) гониометрическое
устройство, на котором расположена рентгеновская трубка БСВ-11,
и счетчик у-квантов. Гониометрическое устройство обеспечивает
установку счетчика и рентгеновской трубки в требуемое положение
относительно поверхности изделия и движение счетчика для про-
хождения исследуемого углового интервала А2й.
§ 68.	ИССЛЕДОВАНИЕ МИКРОНАПРЯЖЕНИЙ
Как указывалось, микронапряжения (микроискажения) урав-
новешиваются в объеме отдельных кристаллитов (или блоков). Эти
микронапряжения могут возникать:
1)	при пластической деформации поликристаллического образца
из-за упругой и пластической анизотропии кристаллитов;
2)	при неоднородном нагреве или охлаждении тела — появляю-
щиеся при этом растягивающие и сжимающие напряжения могут
привести к пластическим сдвигам, в результате которых возникают
300
Глава 15. Определение внутренних напряжений
остаточные микронапряжения; величина микронапряжений будет
больше в многофазном образце, если фазы имеют различные коэф-
фициенты теплового расширения;
3)	в процессе распада пересыщенного твердого раствора (старе-
ния) выделяющиеся из твердого раствора фазы имеют решетку,
отличающуюся от основы (матрицы) сплава, и другой удельный
объем; на границах областей выделившейся фазы и матрицы создают-
ся микроискажения, сохраняющиеся из-за наличия сопряжения
(когерентности) решеток;
4)	при локальных структурных или химических превращениях—
например, при цементации или азотировании стали поверхностный
слой изменяет свой удельный объем по отношению к основной массе
тела, что, естественно, приводит к появлению микроискажений.
Микроискажения кристаллитов приводят к уширению интер-
ференционных линий на рентгенограммах, которое можно характе-
ризовать величиной MJd, где kd — максимальное отклонение меж-
плоскостного расстояния для данной интерференционной линии от
его среднего значения d. Для металлов с кубической решеткой
можно считать микроискажения изотропными и характеризовать их
величиной Дп/я, где Дц — максимальное отклонение периода решет-
ки от его среднего значения.
Так как MJd — —ctg ОДО, то эффект размытия линий, обуслов-
ленный микроискажениями, растет с увеличением угла -О'. Поэтому
обычно применяется метод обратной съемки. При использовании
дифрактометра регистрируют интерференционные линии с макси-
мальным углом 0.
Для определения мркронапряжений методом аппроксимации
необходимо получить профили одной и той же интерференционной
линии от исследуемого образца и от эталона. Ширина интерферен-
ционной линии эталона должна быть обусловлена только геометри-
ческими факторами. По полученным профилям интерференционной
линии от образца h (х) и эталона g (х) определяют полуширину ли-
ний В и b соответственно. Установлено, что полуширина линии В
растет с увеличением степени деформации, достигает постоянной
величины и далее не меняется.
Если профиль h (х) линии от исследуемого образца можно аппрок-
симировать гауссовой кривой, то для случая съемки па дифрак-
тометре усредненная величина углового уширения определяется
по формуле
(15.41)
где р и выражено в радианах.
Тогда величина микроискажений равна
(Д^ЛОср • ± ctgM^p- ± W2 —^/(2£tgft),	(15.42)
где радиус гониометра дифрактометра.
§ 69. Изучение статических искажений
301
Этот расчет может быть верен лишь в том случае, если уширение
интерференционных линий обусловлено только микроискажениями.
Однако при пластической деформации и фазовых превращениях од-
новременно с микроискажениями может происходить измельчение
блоков мозаики. В таких случаях наиболее достоверные результаты
дает гармонический анализ нескольких интерференционных линий,
соответствующих различным порядкам отражения от одной и той
же плоскости: (0, 0, /), (0, 0, 2/), (0, 0, 3/). Этот анализ, описанный
в гл. 16, позволяет разделить эффекты микроискажений и диспер-
сности. Там же рассмотрен метод второго момента, позволяющий оп-
ределить характеристики! тонкой структуры деформированного ма-
териала.
Неоднородность распределения микронапряженпй можно оп-
ределить последовательным отравлением поверхностных слоев об-
разца. Нахождение такого рода неоднородностей важно для пони-
мания деталей технологического процесса обработки изделий. Такие
исследования, например, позволяют подбирать оптимальные режи-
мы волочения проволоки (скорость волочения и температуру).
§ 69.	ИЗУЧЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ ИСКАЖЕНИЙ
Калориметрические исследования показали, что пластически
деформированный металл сохраняет ~10% энергии, затраченной на
деформацию. Энергия микроискажений составляет около одной ты-
сячной доли работы, затраченной па деформацию тела (~ 1 % остаточ-
ной энергии деформации). Основная же доля энергии остаточной де-
формации обусловлена так называемыми статическими искажениями
структуры.
Статические искажения связаны с отклонением атомов из поло-
жений равновесия, определяемых узлами решетки. Эти искажения
охватывают группы атомов, участвующих в создании нарушений
структуры. Статические искажения и связанные с ними напряжения
возникают при наличии в кристаллах различного рода дефектов.
Напряжения вокруг дислокаций. Дислокации окружены полями
напряжений, которые взаимодействуют с полями напряжений со-
седних дислокаций. Сами дислокации связаны со смещениями атомов
из правильных положений. В соответствии с этими смещениями и
распределяются напряжения. В области дислокации и в прилегаю-
щих ближайших зонах напряжения трудноопределимы. В более
удаленных местах напряжения могут быть найдены точнее; в прямо-
линейной дислокации напряжения уменьшаются пропорционально
расстоянию от линии дислокации. На расстоянии — 1 мкм от дисло-
кации напряжения приблизительно равны пределу текучести отож-
женного металла.
Напряжения вокруг внедренных атомов. Источником статичес-
ких искажений могут быть внедренные (межузельные) атомы. Эти
302
Глава 15. Определение внутренних напряжений
искажения охватывают области меньшего размера, чем дислокации.
Поля напряжений не имеют предпочтительной направленности,
в то время как для дислокаций поле напряжений имеет большую про-
тяженность по крайней мере в одном направлении. В зависимости от
размеров внедряющихся атомов возможны как сжимающие, так и
растягивающие напряжения.
Напряжения вокруг вакансий. Вакансии это узлы решетки,
в которых отсутствуют атомы. Они являются центрами сжатия ре-
шетки. Так же как и для внедренных атомов, искажения, связанные
с ними, довольно быстро затухают с удалением от центра дефекта.
Статические искажения могут также возникать в твердых раст-
ворах типа замещения при различии атомных радиусов растворяе-
мого металла и металла-растворителя.
Статические искажения, вызванные смещением атомов из их
нормальных положений, должны давать такой же эффект, как и сме-
щение атомов при тепловых колебаниях (последние называют ди-
намическими искажениями). Ослабление интенсивности интерферен-
ционных линий вследствие тепловых колебаний характеризуется
температурным множителем:
/т//т^о = е-2Л1,	(15.43)
для кубической решетки
44-(8/3) я2 (sin Ф/А.)2;	(15.44)
6/д — средние квадратичные (динамические) смещения атомов из
нормальных положений при тепловых колебаниях. Аналогично для
статических искажений имеем
М = (8/3) л2и*, (sin d/Z)2,	(15.45)
где U'i — среднее квадратичное смещение атомов.при статических
искажениях.
Статические искажения не могут существовать в чистом виде,
без динамических искажений. Поэтому на интенсивность линий рент-
генограммы влияют оба фактора. Различная зависимость от темпе-
ратуры позволяет разделить статический и динамический факторы
и определить роль каждого из них способом рентгеносъемок при
двух значениях температуры. Таким образом, перед проведением
исследования статических искажений определяют динамические
искажения в исследуемом образце и эталоне (методика определения
динамических искажений изложена в § 70).
Исследование статических искажений проводится с помощью
дифрактометра при использовании коротковолнового характе-
ристического излучения (например, молибдена) для того, чтобы от-
ражения от плоскостей с большими индексами находились под срав-
нительно небольшими углами, при которых влияние микронапря-
жеиий невелико.
§ 70. Определение динамических искажений	303
На полученных дифрактограммах от недеформированного и де-
формированного образцов измеряют интегральные интенсивности
одной и тон же линии (HKL) — /яедеф и Среднеквадратичные
смещения атомов U2 вычисляют из отношения интенсивностей ука-
занных линий.
Учитываем, что для кубической решетки
(sin Ш)2 = (И2 -ф К1 + L2)/(4zr).	(15.46)
Подставляя соотношение (15.46) в (15.45), получаем
+	(15.47)
где U2 = U\ + t/ст — сумма среднеквадратичных динамических
и статических искажений.
Для отношения интенсивностей линий от деформированного
и недеформированного образцов находим
(IнкС)а1;Л,.ф exp (—2М) -- ехр [ -7-^-3 (№4-
+ K- + L2) U2].	(15.48)
Отсюда получаем выражение для среднеквадратичных смещений:
й2 =- ------—-------In [ — iKL )нрдрф 1 .	(15.49)
§ 70.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ИСКАЖЕНИИ
И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ
Как уже указывалось, на интенсивность линии рентгенограммы
всегда влияют два фактора: статические и динамические искажения.
Статические искажения неизменны во времени при температуре, не
допускающей диффузионных перемещений атомов. Динамические
искажения связаны с тепловыми колебаниями атомов (с частотой
порядка 1013 сек-1).
Статические искажения никогда не могут существовать в чистом
виде без динамических искажений. Динамические искажения
в твердом растворе и в чистых компонентах различны. Это связано
с изменением прочности межатомной связи в твердых растворах, а
следовательно, с изменением амплитуд тепловых колебаний атомов.
Таким образом, измеряя динамические искажения, можно судить об
изменении сил межатомной связи. Разделить статические и динами-
ческие искажения позволяет их различная зависимость от темпера-
туры.
Глава 15. Определение внутренних напряжении
Для кристаллов кубической системы, в которых тепловые коле-
бания изотропны, выражение для М имеет вид
д, 6/г3 Г D (0/П . 1 [ sin fl V
"	( I I 	<15-5»)
в то же время (sin О/Х)2 = (№ + № Н Л2)/(4а2), поэтому
2т/г0а2 L ©/X	4 J	v '
где h — постоянная Планка; m — масса атома; k — постоянная
Больцмана; 0 — характеристическая температура; а — период ре-
шетки; D (д/Т) — функция Дебая.
Для динамических искажений это же выражение имеет вид
(15.52)
За2
Приравняв уравнения (15.52) и (15.51), получим
(15-53)
4л2 /гтО2	4г
Если Т > ©, то выражение в скобках незначительно отличается
от единицы, поэтому
£2 ~ №Т
А 4л2 kmQ2
(15.54)
Отсюда видно, что ~ 1/(т02). Величина т©2 характеризует
прочность межатомной связи, поскольку она пропорциональна си-
ле, возвращающей атомы в положение равновесия при их тепловых
колебаниях.
Динамические искажения, характеристическую температуру и
прочность межатомной связи определяют из измерений интенсивно-
сти интерференционных линий, полученных от одного и того же об-
разца при двух значениях температуры Т± и Т2 в одинаковых гео-
метрических условиях.
Интенсивности линии от плоскости (hk[)t полученные при темпе-
ратуре Тг и То, определяются выражениями
Ihkl—-	(7\)];
S/i/u ехр [ — 2М (Т2)],	(15.55)
где /' и — интенсивности первичного пучка (могут быть разны-
ми для двух рентгенограмм, если последние получались не в одина-
ковых условиях); Bhhl — произведение множителей интенсивности
(кроме температурного).
$ ?д- Определение динамических, искажений
305
При использовании дифрактометра, когда учитывается дрейф
установки, можно считать /' =	?	Д1
Если линии существенно не смещаются при изменении темпера-
туры ОТ 1 ! ДО 1 3, то для не слишком больших брэгговских углов
можно считать величины Вма одинаковыми для обеих дифракто-
грамм. Тогда отношение интенсивностей линий, измеренных при
температуре 7\ и Т„, равно	1	1
а - 1'hMHhia ехр [ -2А4 (7J]/ехр [ — 2А4 (Г2)].	(15.56)
Логарифмируя выражение (15.56), получаем
In а 2|М (Т2) — М (7\)1.	(15.57)
Для кубических кристаллов, учитывая соотношение (15.50), нахо-
дим
In а = Л-	х н
a2 mkQ х2	Al j
(15,58)
где ЯН? = Н2 + К2 + L2; х, = 0/7\; х2 = 0/7\.
Обозначим произведение постоянных множителей в уравнении
(15.58) через К'. 7( = 3/i2/(aW0), а выражение в квадратных скоб-
ках — через (р (Tlf Т2, 0). Тогда
Ф (Л,	©)	1па/(№/7?).	(15.59)
При исследовании обычно комнатную температуру (295° К) при-
нимают за температуру 7\, а температуру жидкого азота (88° К) —
за температуру Т2. Для этих двух значений температуры, используя
выражение (15.59), рассчитывают кривую зависимости ф (7\, Т2, 0).
Пользуясь значениями 0 для определенного интервала температуры,
например от 50 до 1000° К (через каждые 50°), составляют таблицу
значений ф (0) для заданных 7\ и Т2. Значения функций Дебая оп-
ределяют из графика, приведенного на рис. 15.6. На рис. 15.7 пока-
зан график функции ср (7\, Т2, 0) для Тх — 295° К и Т2 ~ 58° К.
Определив экспериментально 1п а, по формуле (15.59) вычис-
ляют ф (7\, Т2, 0), из графика на рис. 15.7 находят величину 0.
Затем по формуле (15.54) вычисляют величину динамических иска-
жений Un при температуре Т.
Динамические искажения, как и статические, целесообразно
определять, используя коротковолновое характеристическое излу-
чение позволяющее получать отражения с большой суммой квадра-
тов индексов Это особенно важно при исследовании металлов
с большими уровнями сил связи т©3. Для таких металлов амплиту-
ды тепловых колебаний малы, и поэтому эффект изменения интен-
сивности при изменении температуры невелик, что может при-
вести к значительным погрешностям определения характеристи-
ческой температуры.
Зоб
Гмва 16. Определение величины кристаллитов
Более высокая точность определения 0 и t/д достигается измере-
нием ряда соотношении (MUiK Для различных (hkt) Тогда по
тангенсу угла наклона графика зависимости 1п [(Л)ту(Л)т2] от
S//; определяют и 0.
Установлено что характеристическая температура непостоянна
вследствие ангармоничности колебаний атомов в кристалле. Напри-
мер, для серебра при температу-
ре 290°К 0 = 206° К, с повыше-
нием температуры до 1200° К зна-
чение 0 уменьшается до 158 К.
Рис. 15.6. График функции Де-
бая D(x)
Рис. 15.7. График функции ф(0)
для 7^=295° К и 7'2 — 88°К
При исследовании характеристической температуры твердых
растворов необходимо указывать вид предварительной термообра-
ботки сплава. Величина сил связи в чистых металлах не зависит от
предварительной обработки. Однако если металл содержит примеси
(в частности, газы), то он может вести себя подобно твердому раст-
вору (т. е. обработка может изменять силы межатомных связей).
Глава 16. РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ВЕЛИЧИНЫ КРИСТАЛЛИТОВ
ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ФОРМЫ
ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОЙ ЛИНИИ.
МАЛОУГЛОВОЕ РАССЕЯНИЕ
Механические и физико-химические свойства твердых тел сильно
зависят от размеров кристаллитов. Для решения практических за-
дач необходимо определить размер, а иногда и форму кристаллитов
твердого тела и особенно их изменение под влиянием внешних (ме-
ханических, тепловых и др.) воздействий.
$71. Метод подсчета числа пятен
307
Определение размеров и формы кристаллитов прямым методом
проводят с помощью светового и электронного микроскопов.
В обоих случаях на микроскопических снимках получают случайные
сечения зерен, имеющие характер набора от минимального до мак-
симального, и наблюдаемая картина вначале создает впечатление,
что мелких зерен в образце больше, чем крупных. Это наблюдается
и в том случае, если зерна в образце совершенно однородны. Только
сложная статистическая обработка результатов измерений позво-
ляет получить представление о действительном размере зерен. Мик-
роскопические методы имеют определенные ограничения, и их ис-
пользование не всегда возможно.
Рентгенографические методы определения размеров зерен нахо-
дят широкое применение в практике металловедческих исследова-
ний, причем каждый из них используется в определенном интерва-
ле размеров зерен:	«
1)	при размере зерен I 10 2 см применяют метод, основанный
на измерении размеров пятен лауэграммы или эпиграммы;
2)	в случае, если 10~2 I > 10~3 см, используют метод подсчета
пятен на интерференционных линиях дебаеграммы, полученной в
обычной камере;
3)	в интервале размеров 10-3 > I 10"4 см используют метод
подсчета пятен на рентгенограммах, полученных с помощью микро-
пучков;
4)	при размерах 10“4 — 10-5 см можно применять метод, осно-
ванный на эффекте первичной экстинкции;
5)	при I = 100	1500 А удобен метод оценки размеров кристал-
литов по дифракционному уширению линий на дебаеграммах;
6)	в интервале / =-- 20 Н- 2000 А применяют метод малоуглового
рассеяния.
Определение размеров кристаллитов по пятнам лауэграмм и
эпиграмм особых пояснений не требует. Размер и форма дифракцион-
ных пятен на таких рентгенограммах находится в прямой зависи-
мости от размера и формы кристаллитов. Необходимо только учи-
тывать эффект увеличения, связанный с пепараллельностью нор-
вичного пучка. Это можно сделать путем определения размеров диф-
ракционных пятен от образца с известными размерами кристаллитов.
Нижний предел определяемых размеров зерен связан с тем, что с их
уменьшением увеличивается число пятен на лауэграммах и эпиграм-
мах и при среднем диаметре зерен <1Q-S см эти пятна сливаются
и становятся неразличимыми.
§ 71. МЕТОД ПОДСЧЕТА ЧИСЛА ПЯТЕН НА ЛИНИЯХ ДЕБАЕГРАММ
При облучении поликристаллического образца пучком обычных
размеров (диаметром 0,5 -1,0 мм) монохроматического или характе-
ристического излучения только некоторые из кристаллитов оказы-
308	Глава 16. Определение величины кристаллитов
ваются ориентированными под брэгговскими углами. Каждый из
таких кристаллитов даст на дебаеграмме отражение в виде точки или
двух точек, отвечающих дублету	большими брэгговскими
углами. При размерах кристаллитов /< 10“3сл! эти точки сливаются
в сплошные интерференционные линии. В случае крупнокристал-
лического образца с размерами зерен I 10 см интерференционные
линии имеют точечную структуру. Число точек на этих линиях про-
порционально вероятности нахождения кристаллита в отражающем
положении и числу кристаллитов в освещенном объеме, которое за-
висит от их размеров.
Для исследования тонких образцов можно использовать метод
съемки на просвет (образец не должен иметь текстуры). Пучок
рентгеновских лучей должен иметь известное сечение S, чтобы мож-
но было определить облучаемый объем V, который равен Sd, где
d — толщина образца.	»
Число интерференционных пятен на линии HKL рентгенограм-
мы определяется соотношением
пнкс Wiikl V =- РУ cos $Sd/2,	(16.1)
где Whkl—вероятность отражения, определяемая формулой
(8.72); ЛД— число кристаллитов в единице объема (Л/о = 1/и, где
v- средний объем кристаллита); р— множитель повторяемости;
у — средний угол сходимости. Отсюда средний размер кристалли-
тов равен
L-- y/v — у/ру cos QSd/(2nHKL) .	(16.2)
Для исследования массивных образцов применяют метод съем-
ки на отражение (обратной съемки).
Облучаемый объем образца V не может быть определен непосред-
ственно, так как он зависит от максимальной глубины d, на которую
проникает излучение, способное выйти из образца после отражения
от кристаллографических плоскостей (hkl) кристаллитов. Для пре-
одоления этой трудности предложен метод двойных экспозиций.
От образца получают две рентгенограммы с экспозициями /0 и tx.
Экспозиция tx мала, и поэтому в отражении принимают участие лишь
кристаллиты, расположенные на поверхности образца и близко
к ней. Экспозиция /0 более длительная, вследствие чего на рентгено-
грамме регистрируются отражения от кристаллитов, находящихся
на большей глубине. Затем производят сравнение полученных рент-
генограмм и подсчитывают разность Дп числа пятен на обеих рентге-
Обычно в кассету закладывают одновременно две пленки. Передняя
соответствУет экспозиции /0 (времени съемки), а задняя пленка —
=жсплиции Ц (менъшеи /0 из-за поглощения в передней пленке).
§71. Метод подсчета числа пятен
309
Рис. 16.1. К определению размеров
кристаллитов методом съемки на
отражение

нограммах с, почернением, превышающим определенную величину
Do (на одной и той же линии с индексами HKL).
Вероятность отражения кристаллов равна
Whkl. = Ip (у -г Дф) cos г7]/2,	(16.3)
где Дф дополнительная угловая ширина отраженного пучка,
связанная с мозаичностью зерен, дифракционным уширением, естест-
венной шириной спектральной линии и другими факторами (величи-
на, которую трудно рассчитать). При съемке на просвет величина
Лф мала из-за малости брэггов-
ских углов 0. Число пятен пш
на линии рентгенограммы опреде-
ляется формулой, аналогичной
(16.1):
Ip (Y + Af₽) c°s 0 И/(2и).
(16.4)
Освещенный объем V определяет-
ся длиной пути первичного пучка
в образце, которая в свою очередь
зависит от линейного коэффициен-
та поглощения р рентгеновских
лучей в образце.
Интенсивность пучка, отраженного кристаллитом в образце,
может быть представлена выражением
I --- cQ/0 exp [ —р (Si s2)l,	(16.5)
где Q — отражательная способность плоскости (hkl); v — объем
кристаллита; /0 — интенсивность первичного луча; (5Х	s2) —
сумма путей первичного и отраженного пучков в образце.
Из рис. 16.1 следует, что при перпендикулярном падении лу-
чей на образец sx ~ I (I — глубина проникновения первичных лучей
в образец),
$2 " I /cos (180° — 20) — — / sec 20,
поэтому
/ --- uQIty exp [ - и/(1 - - sec 20)].	(16.6)
Для времени экспозиции / может быть определена плотность
почернения D (в линейной области зависимости плотности почер-
нения от экспозиции Я):
D kH kit kvQI()t exp Ь-р/ (1 — sec 20)],	(16.7)
где k — коэффициент пропорциональности. Значение I можно оп-
ределить методом двух экспозиций.
310
Глава 16. Определение величины кристаллитов
Плотность почернения дифракционных пятен, как видно из вы-
ражения (16.7), зависит от глубины, на которой находится кристал-
лит под поверхностью образца. Если при времени экспозиции /0
на линии рентгенограммы учитываются только те пятна, почерне-
ние которых больше некоторой условной величины Т)о, то рассмат-
риваемые пятна (в количестве тг0) обусловлены кристаллитами, на-
ходящимися иа глубине I /0> гДе
I	?----In Zq- .	(16.8)
0	р,(1—sec2ft)	По
При времени экспозиции второй рентгенограммы 4 < /0 число пя-
тен п1 на линии рентгенограммы, имеющих почернение D > Do,
будет меньше п0. Следовательно, эти пятна на рентгенограмме
обусловлены отражениями от кристаллитов, лежащих на глубине
h < /0, где
_______1_____/о
1	(.t (1 — sec 20) Dq
Разность числа пятен на этих рентгенограммах равна
д„_„	„ _ p(y + A<p)cosftS(/0—/2)	р (у + Дф) cosftS
2у	2pv (1 — sec 2ft)
(16.9)
1пА .
h
того же
и
Величина t-i определяется промером почернения одного
отражения на обеих рентгенограммах (D1)ti и (DJ^:
CDJg/OW
Величина Дф определяется из расчета нескольких (по крайней
мере двух) двойных рентгенограмм, снятых при различных углах
сходимости у, что достигается изменением расстояния образец—
пленка. Для ограничения облучаемой площади на образец наклеи-
вают свинцовую фольгу с отверстием площадью S над облучаемым
участком. Затем строят график зависимости от у. Тангенс угла
наклона полученной прямой
tga =------.
2р. (1 — sec 2$) v
Таким образом,^ Дер исключается. Средний линейный размер
кристаллита L у v определяется из выражения
L =- р$cos A I11 Р0Д1) 1113
_2g (1 —sec 2ft) tg a J
(16.11)
(16.12)
$ ~?2. Использование эффекта первичной экст иакции
311
§ 72. МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАЗМЕРА КРИСТАЛЛИТОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭФФЕКТА ПЕРВИЧНОЙ ЭКСТИНКЦИИ
В интервале размеров 10-4 — 10~5 см средние величины кристал-
литов или блоков мозаики в зернах можно определять по эффекту
первичной экстинкции. Как известно из динамической теории ин-
терференции рентгеновских лучей, эффект первичной экстинкции
— ослабление интерференционных максимумов вследствие вза-
имодействия рассеянных лучей с первичными — проявляется
в уменьшении интенсивности интерференционных линий с малыми
индексами для образцов с относительно крупными кристаллитами.
Для линий с большими индексами эффектом экстинкции можно
пренебречь.
Интегральная интенсивность /0 интерференционного максиму-
ма для совершенного кристалла определяется формулой
А. 8 . ALA1A1. AL цх21F
2р. Зл 2 sin 20 me2
(16.13)
где /0— интенсивность первичного пучка; ц— линейный коэф-
фициент поглощения; й — брэгговский угол; m — масса электро-
на; с — скорость света; е--заряд электрона; п—число элемен-
тарных ячеек в единице объема (п = 1/оч, оя — объем элементар-
ной ячейки); X — длина волны; F — структурная амплитуда.
Для идеально-мозаичного кристалла это выражение преобра-
зуется к виду
Аоз
21-. 1-jeos2 20_ . _	„2 х31 F I2 ехр (— 2М). (16.14)
2р 2 sin 20 m? с4 'lev /	«.
Для реальных кристаллов, структура которых занимает про-
межуточное положение между идеально-мозаичным и совершенным
кристаллом, при учете только первичной экстинкции /реал связа-
на с /М03 по динамической теории Дарвина соотношением
(16.15)
pq
где th (pqVpq — коэффициент первичной экстинкции; q — отра-
жательная способность одной плоскости; р — число параллель-
ных отражающих атомных плоскостей в одном блоке.
Отражательная способность плоскости q может быть определе-
на по уравнению
0-21. I f I = 31,84 • 1014 — • dh-'il1 IFI,	(16.16)
sin* 1 1	A sind "
312
Гм(!(1 ic,. Определение. величины кристаллитов
по w - (o/A)Nn — число рассеивающих центров в единице объе-
где	Авогадро; р - плотность; А -относительная
"томная »ас« d„ - »жп.«™И расстояппе. Размер 6Л0-
ка равен
L — pdhJiL.
(16.17)
экстинции становится практически замет-
как sin O'/Х -- - l/(2d, тод - dfai | F |. Для ку-
Эффект первичной
ным при pq > 0,5. Так
бичсскои системы
ПОЭТОМ)7
l/d2 =

(16.18)
Из формулы (16.18) следует, что коэффициент первичной экстинк-
ции имеет наибольшие значения для первых линии рентгенограм-
мы, для которых величина S/i2 мала.
Для определения размера кристаллитов рассмотренным мето-
дом снимают две рентгенограммы -—от исследуемого образца и от
эталона (образца из того же материала, но с сильно деформирован-
ной поверхностью, например, шлифовкой наждачной бумагой).
Для эталона pq очень мало и th (pq)!pq 1- При съемке рентге-
нограммы на разных пленках следует промерять отражения раз-
ных порядков от одной и той же плоскости, тогда получим
(^реал)//1 /<t l, . (Л10з)нгК3Ъ2 = И1 (Р?)	g । д^
(^реал)н2 l2 (Люз)н1 Д, Lt РЧ
При съемке на дифрактометре измеряют интенсивности только
двух линий — образца (/реалЬлкл, и эталона	Для
расчета используют формулу (16.15).
Определив отношение th (pq)/pq, по табл. 16.1 находят pq. Так
как q легко рассчитать для данного образца, то размер кристал-
лита вычисляют, умножив р на межплоскостное расстояние dhki.
Таблица 16.1
Величина коэффициента первичной экстинкции--------в зависимости от pq
______________ (pq)
pq	o.l	0,2	0,3	0,4	0,5	0.6	0.7	0.8	0,9	1,0
th(py) pq	0,997	0,987	0,971	0,950	0,924	0,895	0,863	0,830	0,80	0,76
pq	1,2	1,4	1,6	1,8	2,0	1 9 9 r~	2,4	2,6	2,8	3,0
lh(Pq} pq	0,70	0,63	0,58	0,53	0,48	0,44	0,41	0,38	0,36	0,33
£ 73. Метод аппроксимации
313
Описанный метод неприменим для текстурованных образцов.
Влияние текстуры можно уменьшить, применив во время съемки
вращение плоского образца вокруг нормали к его поверхности.
§ 73.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРА КРИСТАЛЛИТОВ
ПО УШИРЕНИЮ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ЛИНИЙ
МЕТОДОМ АППРОКСИМАЦИИ
При размерах кристаллитов (100—1500 А) используют метод
измерения уширения интерференционных линий.
Ширина и форма этих линий определяются следующими фак-
торами:
1)	размером кристаллитов или их разбиением на малые раз-
ориентированные относительно друг друга блоки;
2)	микроискажениями кристаллитов;
3)	наличием в кристаллитах дефектов упаковки.
Уширение линий, связанное с указанными выше факторами,
называется физическим уширением. Ширина линии р, обусловлен-
ная физическими факторами, может быть представлена тремя со-
ставляющими: рп, рд, рд у, где рн — уширение, связанное с мик-
роискажениями; Рд — уширение, вносимое мелкодисперспостью
блоков; Рд у — уширение, обусловленное дефектами упаковки.
Ширина интерференционной линии зависит также от геомет-
рических условий съемки рентгенограммы (сходимости и расходи-
мости первичного пучка), а также от собственной ширины спект-
ральной линии характеристического излучения. Уширение, об-
условленное геометрическими факторами, называется геометри-
ческим или инструментальным уширением. Обычно ширина линии
рентгенограммы обусловлена совместным влиянием физических и
геометрических факторов. Чтобы определить размер кристаллитов,
необходимо измерить истинную ширину интерференционной ли-
нии р, исключив при этом влияние геометрических условий. Для
этой цели одновременно с исследуемым образцом снимают эталон-
ный образец, ширина интерференционных линий которого опре-
деляется только геометрией съемки. Такой образец изготовляют из
того же материала, что и исследуемый, но его кристаллиты состоят
из блоков, имеющих размер больше 1500 А. В эталонном образце
не должно быть также микроискажений и дефектов упаковки.
Некоторые исследователи определяли истинную ширину интер-
ференционной линии р как разность между шириной линии иссле-
дуемого образца В и эталона Ь*:
Р В — Ь.
* За величины р, В и b обычно принимают ширину кривой распределе-
ния интенсивности на половине высоты максимума (полуширина) или от-
ношение площади интерференционной линии к максимальной ординате.
Оба представления идентичны, если распределение интенсивности имеет
вид треугольника.
314	Глава 16. Определение величины кристаллитов
Такой расчет возможен лишь для случая, когда Ь < В. Точное
соотношение между р, В и b может быть выражено уравнением
В = Ь&1 $ g(x)f(x)dx,	(16.20)
I — оо
где g (х)—функция, описывающая распределение интенсивно-
сти линии эталона; f (х) — функция истинного физического ушире-
ния.
Истинная ширина р интерференционной линии может быть най-
дена довольно простым (но приближенным) методом аппроксима-
ции.
Формула (16.20) позволяет вычислить истинную ширину Р, если
известно распределение интенсивности в линии исследуемого об-
разца f (х) и в линии эталона g(x). Во многих случаях такое рас-
пределение можно аппроксимировать гладкими функциями типа
ехр ( — ах2) (распределение Гаусса), 1/(1 + ах2) (распределение
Коши) и 1/ (1 4- ах2)2 (промежуточное распределение). Решения
уравнения (16.20) с подстановкой функций f(x) и g (х) лежат в пре-
делах:
Pt = В — b (распределение Коши);
Р2 — (1/2) (В — Ь + В (В — Ь)) (промежуточное распределение);
Р3 = ]^В2 — Ь2 (распределение Гаусса).
Пригодность аппроксимирующей функции можно Проверить,
получив с помощью дифрактометра или путем микрофотометриро-
вания рентгенограммы профиль интерференционной/линии. По оси
х (абсцисс) откладывают в произвольных линейныхJединицах рав-
ные отрезки, для каждого из которых измеряют ординаты у экс-
периментальной кривой. Затем строят графики в координатах
In у = f (х2) для функции _ехр ( — ах2), (1/z/) — 1 = f (х2) для
функции 1/ (1 + ах3) и (1/J/у) — 1 = f (х2) для функции 1/ (1 +
+ ах2)2. Лучшей аппроксимирующей функцией будет такая, для
которой график, построенный в спрямленных осях по эксперимен-
тальным точкам, будет располагаться ближе к прямой. Значение
коэффициента а определяется из наклона соответствующей прямой*.
Если аппроксимирующая функция известна, то определение
величины физического уширения производят следующим образом.
Снимают дифрактограммы от исследуемого и эталонного образцов.
Затем определяют площади под кривыми одной и той же выбран-
ной интерференционной линии для исследуемого и эталонного об-
Подбор аппроксимирующих функций не представляет сложности,
если физическое уширение обусловлено либо мслкодисперсностыо, либо
микроискажениями. В смешанном случае может не выполняться ни одно из
приведенных выше распределений.
# 73. }Метод аппроксимации	315
разцов. Разделив соответствующие площади на высоту максимумов
кривых, получают интегральную полуширину В' (для исследуемого
образца) и Ь' (для эталона). Уширение выражают в радианной мере
с учетом масштаба дифрактограммы. При съемке на характеристи-
ческом излучении следует вносить в полученные результаты поправ-
ку на дублетность спектральной линии так как получаемая
интерференционная линия представляет собой наложение незави-
симых ах- и а3-кривых. Поэтому общее уширение является функцией
увеличивающегося с ростом '& междублетного расстояния б, равного
2 (^а2 — В радианах 6 равно
6 (20) - 2 (Ч-Ч) tgO/Xai.	(16.21)
Под достаточно большими углами О интерференционные, линии
начинают разделяться на дублеты. В этом случае можно произво-
дить графическое разделение на Каг и /^-составляющие. Такое раз-
деление удобно проводить методом Речингера, основанным на сле-
дующих предположениях.
1. Распределение интенсивности экспериментальной кривой
h (х), представляющей собой наложение кривых и а2, достаточно
хорошо известно. Особенно важно знать поведение этой кривой
вблизи линии фона.
2. Интенсивности двух компонент дублета и а2 относятся,
как 2:1, междублетное расстояние 6 (20) хорошо известно
(см. 16.21). Интерференционная линия а2 представляет собой точное
воспроизведение линии с уменьшенными в два раза ординатами;
она смещена по отношению к линии на угол 6 (20).
Если i (20) — функция, выражающая распределение интенсивно-
сти в линии ах, то суммарная функция / (20), представляющая
распределение интенсивности в наложенных кривых /а1 и /аа, имеет
вид
I (20) = i (20) + (1/2) i (20 - 6).	(16.22)
Деление дублета начинают с абсциссы 20п находящейся в точке А
пересечения интерференционной кривой с линией фона. Для этой
точки можно считать, что i (201 — 6) = 0 и поэтому / (20) = i (20J.
Это положение верно до угла 201 + 6, т. е. в интервале углов от
201 Д° (см- Рис- 16-2> ТОЧКУ Экспериментальная кривая
на этом участке определяется только распределением интенсивно-
сти в линии av На основании этого можно построить кривую
(1/2) i(2& — 6). Разделим абсциссу под экспериментальной кривой
на равные отрезки. Для каждой точки такого разбиения в интерва-
ле на отрезке АЬ измеряют ординаты /(20), делят их пополам и откла-
дывают эти величины (1/2) i (20) на расстоянии 6 (20). Такая опера-
ция продолжается до точки Ь. После этой точки суммарная кривая
/(20) представляет собой наложение кривых i(20) и (1/2) i (20 —
__g). Тогда в интервале Ьс вычитают из ординат экспериментальной
316
Г.кчба 16. Определение величины кристаллитов
кривой уже построенные (по интервалу АЬ) ординаты (1/2) t (2i3	6).
после чего достраивают кривую для линии од U (20)]. Ординаты этой
кривой вновь вычитают из суммарной кривой, и полученные вели-
чины откладывают на расстояниях 6 (20). Таким образом получают
полное разделение кривых дублета
Величина инстинного дифракционного уширения р, полученная
методом аппроксимации, можетоыть использована для определения
размера кристаллитов или блоков когерентного рассеяния в том слу-
чае, если дифракционное уширение обусловлено только малостью
Рис. 16.2. Разделение дублета методом Рсчингера
блоков. Формулу, связывающую размер блоков с дифракционным
уширением, получили независимо друг от друга Н. Я. Селяков и
П. Шеррер.
Из анализа интерференционной функции (см. с. 116) следует, что
ширина интерференционного максимума ДЛ обратно пропорцио-
нальна числу элементарных ячеек Nj вдоль главного /-го кристал-
лографического направления. Полуширина (ширина максимума
на половине высоты) равна
(ДЛ^)1/2 ~ 2n/Afy.
Интерференционная кривая аппроксимируется равнобедренным
треугольником с основанием ДЛу. Ранее принималось
л У - х (а;, s --s0),
где х = 2яД; ау вектор j-ii трансляции; s — единичный вектор
в направлении дифракционного луча; sn — единичный вектор в на-
правлении первичного пучка. Поэтому
Aj(2л/?.) (ау, s — s0) -- 2л |ау, (s —s0)/X] - 2л (ау Н). (16.23)
попучае.м ЧТ° ' Н ' = 2 sin^-- Дифференцируя выражение (16.23),
ДЛУ - 2л Д (а,- Н) - 2л | ау | А | Н | cos а/н.
73. Метод аппроксимации
31/
После подстановки в полученное выражение А | Н | -- 2Д0 cos 0/Х
имеем
2л//Уг-(АЛ;)1/2-2л.|а7-| (2А0 cos ЙД) cosa^H,
но | aj |7Vj — lj, где /7— размер кристаллита в /-м направлении;
\
lj cos а7Н — L, где L — размер кристаллита в направлении
нормали к отражающей плоскости. Тогда получим формулу Селя-
кова — Шеррера:
А (2О)]/2 = A/(L cosO).	(16.24)
Обычно промер ширины линии ведется на половине высоты (из-
меряется полуширина линии), поэтому величина pi/2 истинного
дифракционного уширения записывается в виде
₽1/2 - А (20)1/2 - 0,94 Z/ (L cos ft)	(16.25)
(для кубических кристаллитов).
Брэгг предложил несколько иную величину константы:
pi/2 = 0,89 л/ (L cos 0).	(16.26)
Величина константы зависит от способа, которым определены
уширение линии и формы кристаллитов. Поскольку не все кристал-
литы имеют одинаковую форму и размеры, то с достаточной точно-
стью константу можно считать равной единице.
Если в образце присутствуют только микроискажения, то их
величина определяется по формуле
(ArfM)HKL--₽/(4tgfl///a).	(16.27)
Когда в изучаемом металле уширение линий вызвано одновремен-
ным влиянием микроискажений и мелкодисперсности, то после оп-
ределения физического уширения учитывают, что
j ’J N (х) М (х) dx,	(16.28)
где N (х) - - функция микроискажений решетки; М (х) — функция
мелкодисперсности; п и tn — уширения, обусловленные микроис-
кажениями и мелкодисперсностыо соответственно.
Установлено, что для металлов с кубической структурой функции
N (х) и М (х) можно аппроксимировать следующим образом:
М (х) - 1/ (1	ах2); W (х) = 1/ (1 Ь ух2)2.
Подстановка этих выражений в (16.28) дает
р - (ш + 2пУ~/ (т 4/г).	(16.29)
318
Глава 16. Определение величины кристаллитов
Если на дифрактограмме имеются две линии, то для них можно
Pi — (/??i 2	+ 4 /zi)’	(16.30)
р2 = (,и2 + 2 /г2)7 (т2 + 4 п2).	(16.31)
Из уравнений (16.25) и (16.27) следует, что
mjm1 = cos iVcos #2	(16.32)
nJ th = tg 'O'o/tg 'O'r	(16.33)
Решая совместно уравнения (16.30), (16.31), (16.32) и (16.33),
находят /TZi/pi и /?п/р2- Обычно для этого строят графики m-J^ =
= / (₽/р2) и nj$2 = f (Р1/₽2); Pi и р2 определяют методом аппрок-
симации. Используя найденные значения тх и п2, вычисляют
Dhkl = 0,94/ (mr cos 0х) и &d/d = nJ (4 tg тЭ^).
$ 74. ВЫДЕЛЕНИЕ КРИВОЙ ИСТИННОГО ДИФРАКЦИОННОГО УШИРЕНИЯ
МЕТОДОМ СТОКСА
Метод аппроксимации дает возможность лишь приближенно оце-
нить истинное дифракционное уширение, в то время как метод
Стокса позволяет выделить кривую дифракционного уширения без
каких-либо предположении о виде функции, описывающей контур
линии.
Рис. 16.3. Размытие кривой физического уширения f(x)
в результате геометрического уширения
Как уже говорилось, форма линии исследуемого образца опреде-
ляется физическим (дифракционным) и геометрическим (инстру-
ментальным) уширениями. Влияние обоих факторов неаддитивно,
так как каждый элемент физической кривой независимо испытывает
<$ 74. Метод Стокса
319
инструментальное уширение. Форма линии эталонного образца,
описываемая функцией g (х) и имеющей полуширину Ь, определяет-
ся только геометрией съемки.
Пусть распределение интенсивности кривой физического ушире-
ния (рис. 16.3) описывается функцией / (х), а полуширина этой кри-
вой равна р.
Разделим теперь кривую физического уширения на элементы
с основанием dy и высотой / (у). На каждый такой элемент действует
функция геометрического уширения g (х), что приводит к его размы-
тию в кривую, подобнуюg (х); площадь этого элемента по-прежнему
равна / (у) dy. Экспериментальная кривая h (х), полученная от ис-
следуемого образца, представляет собой наложение множества та-
ких размытых элементов:
“Г00
Л(л)- $ f (y)g(x—y)dy.	(16.34)
Это уравнение называется сверткой функций f (х) и g (х).
Из симметрии уравнения (16.34) следует
оо
Л(*) = 5	—z/)^-	(16.35)
Функции h (х), g (х) и Фурье: УГп	f (x) можно выразить че j F (/) exp (— 2 лixf) dt; — 00	рез интегралы
ук h	*	j G (/) exp (— 2n/xZ) dt; — 00 4-00 H (/) exp (—2mxZ) dt. — oo	(16.36)
h {X) У2л		
В уравнениях (16.36) коэффициенты F (/), G (/) и И (/) представ-
ляют собой трансформанты Фурье и могут быть выражены урав-
нениями
F(0-	4- co f (x) exp (2mxZ) dx;		
G (0 =	— oo 4~ oo g (x) exp (2mxf) dx;		(16.37)
//(/) =	— oo 4~ oo f h (x) exp (2л/л7) dx.		
320
Глава 16. Определение величины кристаллитов
Выразим в уравнении (16.34) функцию g (х — у) через транс-
форманту G (/):
У f (у) j G(/)exp[ — 2ni(x —y)t]dtdy. (16.38)
Изменим порядок интегрирования:
-1-00	4 ~
Л (л)- ( G(/)exp( —2шл7)j /(у) ехр(2niyf)dydt =
— СО	--00
-J-оо
= —С G (/) F (г) ехр (—2mxt) dt.
“|/2л J
— оо
Учитывая выражение (16.36) для h (х), получаем
Н (/) - G (/) F (/).	(16.39)
Тогда можно представить f (х) в виде
-1-00
f “777 ехР ( -2лМ dt- (16.40)
|/2л J G (I)
— оо
Выберем интервал а, на концах которого функции h (х)и^(х)
равны нулю. Разобьем этот интервал (от — а/2 до + а/2) на ряд
равных отрезков Дх, так что а — 2Дх — /?Дх, где п принимается
равным 48, 60 или 120.
Тогда определяемая функция f (х) может быть представлена ря-
дом Фурье:
г / х 1 Ki 1 H(f)
2л77«),	(16.41)
где t — индекс суммирования; он имеет те же значения, что и но-
мера интервалов п: /	0, ± 1, ± 2, ..., 4= ц/2.
На практике множители 1/|/2л и 1/сс могут быть отброшены,
так как они влияют только на высоту (ординаты) кривой, а не на ее
форму.
Трансформанты И (/) и G (/) в свою очередь могут быть представ-
лены в виде соответствующих рядов Фурье:
// (0 - У/i (х) ехр (2л/7хЛх),	(16.42а)
X
G (/) V# ехр (2m7x/cz).	(1 6.426)
§ 74- Метод Стокса	321
гомИвиде-ЬЗУЯ *°рмулу ЭйлеРа> запишем выражение (16.42а) в дру-
Я (0 = 2Л (х) cos (2nixla) -|- i^h (x) sin (2л/х/а) = Яд +/ЯМ, (16.43а)
где Яд и Ям — коэффициенты, относящиеся к действительной и
мнимои частям соответственно.
Аналогично
G (/) = С?д + i’GM.	(16.436)
Из уравнений (16.39), (16.43а) и (16.436) получаем
р (f) = —	^д+^м	(^д+ ^м) (<?Д —t'GM) __
G (0	6д+ iG.M (Сд+ *6м) (бд—/GM)
__ ^дСд+//М GMJ“t (Ямбд—H^G^)
Так как
F (0 - FA (0 + IF (/),
то
Гд (/) = (ЯД6Д 4- Ям GM)/(G= + G*);	(16.44а)
FM (0 = (//МОД - /7ДОН)/ (G* + GJ).	(16.446)
Уравнения (16.44) позволяют вычислить (t) и FM (/) по коэф-
фициентам G (/) и Н (/), определенным из экспериментальных
данных.
Искомую функцию дифракционного уширения можно записать
в виде
f (х) = S F (0 ехр (— 2лг/л7а) - (Ffl 4- iFw) [cos (2л/х/а) —
— i sin (bitx/a)] cos (2^x/a) + V FM sin (2л/х/а) —
— i v Fa sin (2лЛг/'а) 4- i Z	cos (2jtZa/cz) .
t	t
Коэффициент F ( — t) представляет собой величину, комплексно-
сопряженную с F (0 по уравнению (16.37). Поэтому ( — 0 =
Fn (/) — четная функция и ( — /) “= — FM (/) — нечетная .
функция.
Так как суммирование проводится по всем положительным и
отрицательным значениям /, то
v Fn sin (2л/л'/а) - 0, v FM cos (2лМ'/а) = О
Т	i
и поэтому
f (,v) 2 Fa cos (2nh7ct) +1 Лм sin (2л/х/а).	(16.45;
11 Зак 1 288
Глава 16. Определение величины кристаллитов
322
Выбор интервала разложения а произволен, но важно, чтобы
на концах и за его пределами функции h (х) и g (х) обращались
в нуль; интервал а должен быть одинаков при разложении обеих
функций.	..	х
’ Для определения профиля истинного (физического) уширения
/ (х) методом Стокса вычерчивают кривые h (х) и g (х). Выбрав ин-
тервал а, на концах которого все три функции равны нулю, кривые
разбивают на 48, 60 или 120 частей (SAx ct). Нулевое деление
выбирают либо на максимумах кривых, либо на их центрах тяжести
(иногда эти точки совпадают). Интервал а также разбивают на чет-
верти: I и II четверти — справа от пуля, IV и III — слева от нуля.
Измеряют ординаты интерференционных кривых, соответствую-
щие точкам делений, и составляют таблицу амплитуд (ординат)
А (х) в любых единицах (см или мм). Зате.м максимальную ампли-
туду принимают за 100 единиц, остальные нормируют к ней с ок-
руглением до ближайшего четного числа.
Для дальнейшего расчета используют штрипсы — полоски кар-
тона или толстой бумаги с линейными табличками значений функций
A cos 2 xtx' (или Л sin 2л//), где х' = х/п — число разбиений ин-
тервала. Такие таблички составлены для целочисленных значений
А и х при переменном /, равном последовательно 0, 1, 2, ... Слева
в первой графе штрипса приводится величина А (таблицы составле-
ны для четных значений А от 0 до 100). В следующей графе знак
С или S указывает, что штрипс соответствует функции cos или sin.
В третьей графе проставлено целочисленное значение х, меняю-
щееся для разных штрипсов от 0 до 12. В графах 4—-16 даны значе-
ния A cos 2л// (или A sin 2л//) для / в I четверти интервала (в ос-
тальных четвертях тригонометрические функции отличаются только
знаками). Отрицательные значения функций отпечатаны в таблицах
жирным шрифтом. Таблицы содержат значения штрипсов с х ~
= 1, 2, ..., 12 для функций A cos 2 л// и A sin 2л// (всего 1200
строк). В связи с полной симметрией аргумента относительно / и
х штрипс, составленный для х = хг и переменного /, соответствует
/ = хг и переменному х.
Переписанные на плотной бумаге штрипсы укладывают в карто-
теки, имеющие отделы для одинаковых значений х (отдельные для
cos и sin). При операциях суммирования штрипсы вынимают из
.картотеки и располагают друг под другом так, чтобы одинаковые
графы находились в одном вертикальном столбце.
При суммировании принимают, что значения х от 0 до 12 нахо-
дятся в I четверти, 13 С х С 24 — во 11, — 23 < х С — 12 —
в и 11 х 1 в IV. Суммирование проводят отдель-
но по четвертям.	г
Описанные расчеты проводят для кривой g (х) эталона и кривой
п (х) образца. Затем находят коэффициенты G (/) и Н (t). Из соотно-
шения F (t) - И (t)!G (/) вычисляют коэффициенты F (t) [FM (/)
$ 75. Метод гармонического анализа
323
обычно малы и их не учитывают]. По этим коэффициентам с помощью
штрипсов находит сумму (16.45); члены с синусами считают равными
нулю. При этом суммировании выкладывают штрипсы с / - О, 1,
2,..., 12, а х считают переменным. Отсюда находят ординаты искомой
кривой f (0), f (1), f (2), f (12) и т. д. для всех четвертей.
Достоинством метода Стокса является то, что он исключает не-
обходимость производить разделение размытого дублета на Ка1- и
/^-составляющие. Получаемый профиль линии f (х) отвечает мо-
нохроматическому излучению (/<а1 или КаУ
Трудоемкие расчеты с помощью штрипсов можно заменить вы-
числениями с использованием ЭВМ.
§ 75. МЕТОД ГАРМОНИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ФОРМЫ ИНТЕРФЕРЕНЦИОННОМ ЛИНИИ
ДЛЯ РАЗДЕЛЬНОГО'ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЭФФЕКТОВ
МЕЛКОДИСПЕРСНОСТИ И МИКРОИСКАЖЕНИЙ
Взаимное расположение рентгеновских дифракционных мак-
симумов на рентгенограмме определяется структурой кристалли-
ческого объекта (периодами решетки, соответствующими данной
структуре). Для большого кристалла с идеальным строением ши-
рина дифракционных максимумов бесконечно мала. Положение
любой ячейки такого кристалла определяется вектором
R =	+ m2a2 + m3a3,
где m2, m3 — целые числа; an a2, a3 — базисные векторы пря-
мой решетки.
Такому идеальному кристаллу соответствует обратная решетка,
состоящая из геометрически малых узлов обратной решетки, опре-
деляемых вектором И:
Н =	+ КЬ2 + ЛЬ3,
где Н, К, L — целые числа; Ьр Ь2, Ь3—базисные векторы обратной
решетки.
Для идеальной решетки интенсивность дифракционного макси-
мума вычислялась суммированием амплитуд, рассеянных различ-
ными элементарными ячейками, с учетом разности фаз по отноше-
нию к началу координат. В этом случае интенсивность максимума
представляется в виде произведения интерференционной функции
на структурный множитель:
/ = <р (ЛИИ,) Р(Ж).
При пластической деформации металла происходит дробление
его зерен, в них возникают микроискажения н дефекты упаковки.
Каждый из этих дефектов приводит к размытию интерференцион-
на
324	Глава 16. Определение величины кристаллитов
ных линий, которое можно трактовать как размытие узлов обратной
решетки. Гармонический анализ формы интерференционной линии,
т. е. фурье-преобразование распределения интенсивности около
узлов обратной решетки, дает представление о нарушениях кри-
сталлической структуры и о размерах так называемых областей
(или блоков) когерентного рассеяния, представляющих собой участки
кристалла с правильным периодическим расположением атомов или
с такими небольшими отклонениями от этого строения, которые не
нарушают когерентности рассеяния рентгеновских лучей. Блоки
когерентного рассеяния могут быть меньше размеров кристалли-
ческих частиц или кристаллитов.
Рассмотрим порошковую рентгенограмму материала, в котором
холодная деформация привела к измельчению блоков когерентного
рассеяния и к искажению кристаллитов. Предположим, что мате-
риал имеет кубическую структуру* с периодом а0. Для каждой
линии рентгенограммы можно выбрать такие ортогональные (ром-
бические) оси аь а2, а3, чтобы этой линии можно было приписать
индексы 00/ (это упрощает математические расчеты).
Положение элементарной ячейки в деформированном кристалле,
можно представить вектором
Rm = т^ + т2а2 + ™3а3 + $ (mim2m3),
где б^т^тз) — произвольное смещение вершины элементарной
ячейки по отношению к идеальному положению, определяемому
вектором
R =	+ т2а2 + т3а3= 2
/=1,2,3
6 (тг т2 т3) может быть разным для различных mt, т2, т3.
При вычислении интенсивности интерференционного максиму-
ма в отличие от принятого для идеального кристалла порядка сум-
мирования амплитуд волн, рассеянных различными узлами решетки,
учитывают разности фаз для вершин различных, пар ячеек, опреде-
ляемых векторами RmnRm,. Тогда интенсивность интерференцион-
ного максимума запишется в виде
; = jP22 ехР(16.46)
j = 1.2,3
Вектор обратной решетки для деформированного кристалла опре-
деляется выражением
 Н (s “ s0)/X =	+ Й3Ь2 + h3b3,
tipqv ^ассмотРение не ограничивается только кубическими кристаллами;
fiuapruuv™ Расчета м°гут быть применены и к отражениям типа 00/ от ром-
бических и тетрагональных кристаллов.
§ 75. Метод гармонического анализа
325
где в отличие от идеального кристалла /ц, /i2, h3— непрерывные
переменные, а не целые числа. При таком определении конец век-
тора обратной решетки соответствует не геометрически малому узлу
обратной решетки, а описывает некоторую область.
Рис. 16.4. К вычислению мощности отражения для
интерференционной линии
Тогда распределение интенсивности в обратном пространстве
представится выражением
/	V^exp2ni{/i>(m; — m'-) + H(6m—6т^)}. (16.47)
Вычислим интегральную мощность отражения* для линии по-
рошковой рентгенограммы. Допустим, что в единице освещенного
объема образца находится No кристаллитов с произвольной ориен-
тацией, а сходимость первичного пучка равна da. Тогда вероятность
отражения кристаллитов может быть определена по формуле
W/ = No р cos Oda/2,
где 'д’ — брэгговский угол; р — множитель повторяемости.
Предположим, что I (/гг /г2 Л3)“ О во всех точках обратного про-
странства за исключением точки с координатами h2i й3.
На рис. 16.4 показана связь между направлением первичного
луча s0, дифрагированного луча s и дифракционного вектора
Н — (s — s0)/i. Направление s0/X изменяется в пределах углов
da (в плоскости рисунка), a s/K — в пределах углов dp (в плоскости,
перпендикулярной к плоскости рисунка) и dy (в плоскости рисун-
* Мощностью отражения Р называют произведение интенсивности
излучения на площадь, что численно равно энергии в единицу времени.
326
Глава 16. Определение величины кристаллитов
ка). При этом конец вектора s/A описывает на расстоянии R от об-
разца, находящегося в точке О, поверхность
dA = R2d$dy.
Интегральную мощность отражения Р получают умножением
интенсивности отражения / (hL /z3) на вероятность отражения
IF и интегрированием по всем возможным ориентациям Н, опреде-
ляемым объемом dV, описываемым концом вектора. Этот объем оп-
ределяется векторами da/A, dp/A, dy/A (см. рис. 16.4).
Указанные векторы имеют множитель 1/А, переводящий их
в масштаб обратного пространства; da/A перпендикулярен к s0, а
dp/A и dy/A—к s. Тогда
Р -ЩЦ/b Мз) =
= JJJ / (ft, ft, ft3) pcos^-°-rfas R2 dfidy; (16.48)
dV = sin 2d (da/A) (dp/A) (dy/A) = (sin 2d/A3) dadpdy. (16.49)
Подставив значения da, dp, dy из выражения (16.49) в уравнение
(16.48), получим
Р	f 1 dv- (16.50)
4 sin d J	4	'
V
Теперь можно использовать любой элемент объема в обратном
пространстве, поэтому удобней выразить dV через dh^ dh2 и d/z3:
dV = b^ft, [b2dft2b3dft3] = dh^h.dhav* = dh^h^/v, (16.51)
где v* — объем обратной ячейки; v — объем прямой ячейки.
Таким образом, мощность отраженного пучка будет
р=~^ХР~ УЛ1 {hi lh A?J dlh dh* dh'<- t16-52)
n, Распределение мощности по углу описывается величиной
Р Uv)» поэтому
Р -	(26) d (2d).	(16.53)
При интегрировании около узла обратной решетки (00/) пред-
пола!аегся, что его размытие мало по сравнению с расстоянием
узла от начала координат, поэтому можно записать
I и I _ I s~so |	2 sin d , , .
1	—— == | К blT ft., b» + h9 b31« h3\b3|, (16.54)
тогда	d/l3 = cos й d (20)/ (X)	(16 55)
§ 75. Метод гармонического анализа
327
В уравнение (16.53) подставим выражения (16.55) и (16.52) и,
не интегрируя по 2d, получим
р,(20)°\ХХ'’| И-а.. <16.56)
Экспериментально измеряется интенсивность, приходящаяся
на единицу длины интерференционной линии:
Р (2d) - Р' (20)/ (2л R sin 20).	(16.57)
Обозначим через К (0) произведение всех множителей, стоящих
перед и нте гр ал ом:
К (0) = Nf)R№pF2/ (16 лп | Ь з | sin2 0),	(16.58)
где К (0) — слабопеременная функция 0 в области интерферен-
ционной линии.
Учитывая уравнение (16.47), перепишем выражение для P(2d):
Р (2d) = К (0) ехр {2л/ [Ay (m; — m'j) + Н (6m.~ X
ъ rnjmi
X d/^ dh2.	(16.59)
Векторы смещения дП1 и можно разложить на компоненты
смещения Xm, Ymt Zm вдоль главных осей прямой решетки ап
аг» а3:
а1 + а2 + а:ь
$т' ~~ Хт' ах ~г i т’ 3.0 "Г Zm' а3.
Учитывая соотношения (16.60), получаем
Н (&т	~ й3 (Zm Zm>).
Компоненты Zm и Zm> перпендикулярны к отражающей плоскости
с индексами (00/). Чтобы охватить интегрированием все обратное
пространство, относящееся к размытому узлу (00/), возьмем пределы
от — 1/2 до + 1/2 для h± и й2. После интегрирования получим:
sin л (;л2—l}li)
л (m2—т.')
Л71 тг ms
X ехр[2л/А3 (Zm — Z!n')] ехр [2л/А3 (m3—/nJ)].	(16.61)
Так как /и у и т/ — целые числа, то множители под знаком сум-
мы, содержащие синусы, равны нулю у всех слагаемых, за исклю-
чением тех, у которых = т[ и т2 = т'г.
Следовательно, кристалл можно рассматривать в виде колонн
элементарных ячеек, параллельных а3 и перпендикулярных к от-
ражающей плоскости. Суммирование по т3 и т'3 проводится для
(16.60)
328
Глава 16. Определение величины кристаллитов
всех пар ячеек в данной колонне, а суммирование по и т2 озна-
чает сложение вкладов в интенсивность интерференционного мак-
симума от всех колонн. Учитывая сказанное, перепишем выраже-
ние (16.61) в виде
Р (2d) - К (d) 2 Z 2 2 exp [2шй3 (Zm—Zm.)] X
mt m2 m3 m'3
X exp[2juft3(m3— гпз)].	(16.62)
Заменим суммирование по /тг3 и /п' суммированием по числу пар
равноотстоящих ячеек, характеризуемых разностью т3— т3 =
— п, и по числу таких пар в колонне N„. Обозначим также Zn =
= Zm— Zm,. Тогда выражение (16.62) примет вид
Р (2d) =- 7< (d) £ £ exp [2шй3 (Zn + л)].	(16.63)
mz n
Усреднение здесь проводится потому, что Zn имеет разные значения
для равноотстоящих ячеек в разных участках образца.
Суммирование по tn1 и т2 Дзет число колонн в блоке когерентного
рассеяния. Обозначим среднее число ячеек N и Nc — среднее чис-
ло колонн в блоке когерентного рассеяния. Тогда N/Nc = N3,
где N3— среднее число ячеек в колонне. Nn определяет среднее чис-
ло пар ячеек с данным п, приходящихся на колонну (усреднение
проводят по всему образцу). Тогда формула (16.63) преобразуется:
Р (2d) - К (d) ЛГ V —.г ехр[2ш7г3 (Zn + «)].	(16.64)
П=-оо
Воспользуемся формулой Эйлера для разложения экспоненты:
Р (20) К (0) N V (cos (2л/г3 Zn) • cos (2wi/i3) —
п== — 00	3
— sin (2jt/z3 Zn)• sin (2ли/г3) ~~i [cos (2n/?3Zn)-sin (2лнА3) -|-
+ sTn(2n/z3Zn) • cos (2mh3)]}.	(16.65)
Каждая пара ячеек входит в сумму (16.65) дважды: вначале как
— Z Шз Г mLH73aTe^ КЭК Г п = — ^з- Так как Zn - Zm —
^'п' И ~п	то	— Отсюда следует, что члены
У лы в мнимои части (16.65) попарно уничтожатся, поскольку
уммирование ведется и по положительным, и по отрицательным
значениям п, поэтому уравнение (16.65) примет вид
Р(20)- K(b)N v [Лп cos (2л/7Й3)sin (2лиЛ3)1, (16.65а)
§ 75. Метод гармонического анализа
329
.где
Ап=-~ (^n/W3)cos(2^Zn); Вп = (~Nn/N3) sin^n/ZJ. (16.656)
В выражении (16.656) учтено, что среднее значение Л3 -- I. Коэф-
фициенты Вп обращаются в нуль, если положительные и отрица-
тельные значения Zn равновероятны. При Вп 0 центр тяжести
линии смещается из положения, соответствующего отсутствию'
микроискажений. Практически (при отсутствии дефектов упаков-
ки) члены Вп малы и ими можно пренебречь.
Рассмотрим коэффициенты Ап. Их можно представить в виде
произведения двух коэффициентов:
(16.66)
где An — Azn/W3 и Ап = cos (2n/Zn) зависят от дисперсности бло-
ков и их микроискажений соответственно.
Так как при п ~ 0 Nn ~ Az3 и Zn — 0, то оба коэффициента
при п = 0 обращаются в единицу, т. е. Ао =	— А“ = 1. Сле-
довательно, экспериментально определяемые величины Ап должны
нормироваться единицей.
Если размытие обусловлено только мелкодисперсностью, то
Zn — 0 и поэтому
A^A^NjN,.
Обозначим через р; долю колонн длиной в / ячеек. Тогда число
пар, разделенных п ячейками в одной и той же колонне, составит
оо
О’—О6-67)
j== | п I
оо
=	i (i-\n\)Pjdi- (16-68)
/=нп1	л,з /=Р1Я1
В последнем приближении учтено, что / ^> 1 Ю2— 103) и
pj — плавная функция от j (pj dj — число колонн длиною от / да
оо
/ + dj ячеек). По условию нормировки f Pjdj=^ 1. Дифференцируя
б
выражение (16.68), получаем для п =- О
Таким образом, из начального наклона зависимости от п можно
найти N3.
330
Глава 16. Определение величины кристаллитов
Ботее точный аначиз показывает, что поскольку экспери менталь-
ные значения Ап определяются лишь для целых и, то производную
(16.69) следует заменить нахождением конечной разности
л _ л = —	----L .	(16.70)
N3

Коэффициент, связанный с микроискажениями, имеет вид
An — cos (2nlZn)<
При малых fi и I произведение 2nZZn также мало, так как Zn мало
(/^ 10~3 — 10~4 5 * * *). Поэтому можно разло-
жить cos (2nlZn) в ряд, ограничившись
двумя членами:
^ = cos(2nZZJ^ l — 2n2/2Zl^
ехр [-2n2/2ZlJ.	(16.71)
dA"
Очевидно, что
показан ход кривых Ап для частных слу-
чаев наличия в образце только мелкодис-
персности или только микроискажений.
Учитывая (16.71), прологарифмируем
выражение (16.66):
1п А» - In А* - 2п2 Z2 Z2.	(16.72)
Если имеются две интерференционные
линии, являющиеся двумя порядками от-
ражения от одной и той же кристалло-
графической плоскости, то по ним можно
провести раздельное определение дисперс-
ности и микроискажений блоков. Для
этого строят зависимости 1пЛп от /2 при небольших п (1, 2, 3, 4,
5, 6). Примером такого графика является рис. 16.6. Па этом гра-
фике отрезки, отсекаемые прямыми на осях координат, отве-
чают величинам In Л?, In А$, ... Тангенс угла наклона прямых
равен 2o2Z^.
Ho.Mej) коэффициента Фурье п связан с расстоянием в кристал-
лической решетке Ln выражением
Ln — па % = п 9 2tg О’ а!н/<д/сс,
п
Рис. 16.5. Ход функции
4n=f(n) при наличии
в образце только мелко-
дисперсности (/) или
только микроискаже-
ний (2)
= 0. На рис. 16.5
/2-0
(16.73)
где а экспериментальный интервал разложения (в масштабе
* ВВ1Ра'женный в радианах); d^KL — межплоскостное расстоя-
ние; л дЛ — индексы отражения.
§ 75. Метод гармонического анализа
331
Изменение длины отрезка Ln, обусловленное микроискажения-
ми, равно ALn = a3Zn. График зависимости ]/"L2n!Ln от Ln дает ха-
рактеристику имеющихся в образце микроискажений. Величина-
относительной деформации 8 на
отрезке Ln определяется из со-
отношения
е=КдП/£п, (16.74)
где
Кдй «3 Kz* =
= dHKLV 1пЛл — In Лп/(л ]/2).
Здесь Z„ выражено из уравне-
ния (16.72); учтено также, что
a3ll — cIhkl-
С учетом значения отрезка
Ln выражение (16.69) принимает
ВИД
dALn]	1
, dLn Кп = °	«'//кд-Л'з
=	(16.75)
Рис. 16.6. Зависимость 1пЛл от I2 для
где D — средний размер блока	различных п
когерентного рассеяния в на-
правлении а3. На основании найденных из рис. 16.6 значений Afn
строят график зависимости Ajn = f (Ln) и на нем проводят секу-
щую через точки Af, и Л£о. Отсекаемый этойсекущей отрезок на
оси абсцисс определяет/). При этом следует учитывать, что наличие
в образце дефектов упаковки приводит к кажущемуся увеличению
размеров блоков. (Учет влияния дефектов упаковки приводится
на с. 338.)
Неправильное проведение линии фона или неверный обрыв
профиля интерференционной линии сказывается на значении пер-
вых коэффициентов Фурье Al0 и Ачто приводит к появле-
нию на кривой зависимости А^п = /(и)загиба, называемого крюк-
эффектом. Для получения правильных результатов следует про-
должить линейную часть кривой Льп ~ f (п) до пересечения с осью
ординат и по величине полученного отрезка найти новое значение
Al0 (отличное от единицы). Затем перестраивают всю кривую,
нормируя коэффициенты значением'Л l0 I.
332
Глава 16. Определение величины кристаллитов
Точность гармонического анализа зависит от точности измере-
ния профиля интерференционных линий. Регистрацию линий сле-
дует проводить с помощью дифрактометра в режиме записи по точ-
кам. Погрешность определения интенсивности не должна превы-
шать 2—5%. Для повышения точности анализа желательно, чтобы
интерференционные линии, являющиеся отражениями разных по-
рядков от одной и той же кристаллографической плоскости, распо-
лагались возможно дальше по углу 20' друг от друга. Для исключе-
ния эффекта текстуры образец во время съемки следует вращать
вокруг нормали к его поверхности.
Производя гармонический анализ, важно правильно провести
линию фона на дифрактограммс. В ряде работ было показано, что
завышение линии фона на ~ 10% при выделении профиля линии
практически не позволяет по коэффициентам Фурье установить
причину уширения линий.
Вычисления ведут до сравнительно небольших значений п (5—6),
так как кривая А^п = f (п) при больших п теряет плавность и на
ней возникают осцилляции. Это связано с влиянием шумов, обуслов-
ленных неточным проведением «хвостов» интерференционной ли-
нии и уровня фона.
Предельная точность гармонического анализа ограничивается
уширением, связанным с собственной шириной спектральной ли-
нии. Анализ этого эффекта показывает, что методом гармонического
анализа можно определять размер блоков до 1000—1500 А и микро-
искажения, превышающие 4  10-4.
§ 76. МЕТОД МОМЕНТОВ
Для деформированных металлов не всегда можно получить
не слишком размытые интерференционные линии хотя бы двух
порядков от одной и той же кристаллографической плоскости.
В этом случае не всегда удается разделить эффекты дисперсности и
микроискажений. Для разделения этих эффектов целесообразно
использовать метод моментов, предложенный А. Вильсоном. Вы-
числения проводят с использованием моментов второго и четвер-
того порядков.
Момент второго порядка (среднеквадратичное отклонение от
среднего, или дисперсия) относительно центра тяжести интерферен-
ционной линии sg в координатах обратного пространства опреде-
ляется как
«а	I Ss
U7(s)^ J(s — sg)2P'(s)ds jp'(s)ds,	(16.76)
«1	/ Si
где P' (s) — мощность излучения, приходящаяся на единицу дли-
ны дебаевской линии; s = 2 sin'Ж = | Н |.
§76. Метод моментов	333
Вильсон показал*, что
(s) = №0(s) +	(s) + rn(s),	(16.77;
где Wq (s), Ц7д (s) и Wu (s) — доли общего момента, связанные с ге-
ометрическими факторами, дисперсностью (а также с дефектами
упаковки) и с микроискажениями соответственно.
В случае записи интерференционных линий с помощью диф-
рактометра после внесения поправок на геометрические факторы
находим
W (2ft) =	(2ft) + ц/и (2ft).	(16.78)
При расчете по методу момента, как и в случае гармонического
анализа, индексы интерференций hkl, 2/г2А2/ит.д. путем соответ-
ствующего выбора внутренних кристаллографических осей перево-
дят в 00/о, 002/о ит. д. Тогда общий момент второго порядка может
быть представлен в виде суммы двух членов, первый из которых
зависит от эффективного размера блока когерентного рассеяния
Dw в направлении нормали к плоскости ОО/о, а второй — от сред-
него квадрата микроискажений е2:
W (2ft) =-----------+ 4? tg2 ft0,	(16.79)
k 7	2n2D^ cos00	0	v 7
где X — длина волны; A2ft — угловой интервал, для которого вы-
числяется момент второго порядка; ft0 — брэгговский угол, отве-
чающий центру тяжести интерференционной линии; k — константа,
зависящая от формы блоков и индексов кристаллографической пло-
скости (для блоков сферической формы k — 1,209 для любой
плоскости).
Можно использовать следующий порядок расчета. На записан-
ной по точкам дифрактограмме около анализируемой линии прово-
дят линию фона. Находят точки 2ftx и 2ft2, где профиль линии сли-
вается с фоном (рис. 16.7). Разбивают полученный интервал на п
участков и по формуле (12.8) вычисляют положение центра тяжести.
Затем вводят расстояние х от центра тяжести (х 0) в углах 2ft,
выраженных в радианах. Профиль линии обрезают в равноудален-
ных от центра тяжести точках xt и (см. рис. 16.7) и тем самым
задают интервал вычисления момента второго порядка 2 хп [эквива-
лентный интервалу A2ft в формуле (16.79)1. Этот интервал разби-
вают на 2п равных участков и измеряют в произвольных единицах
* В настоящее время установлено, что момент второго порядка свертки
двух функций не является просто суммой вторых моментов этих функции, и
поэтому в выражение (16.72) должен быть добавлен поправочный (неадди-
тивный) член
334
Глава 16. Определение величины кристаллитов
интенсивности /к (ординаты профиля линии), отвечающие каждому
Анму участку. Момент второго порядка вычисляют по формуле
/ + «	/ ~г в \
w (х) = ( 2 Л / - Л< (Дл’Г> (16-80>
\ — п	I —п ;
где Ах = 2хп/2/г — шаг разбиения интервала 2х„. Вычисления
П? М пооводят для ряда уменьшающихся интервалов 2 х„. Затем
строят график зависимости
Ц7 (х) от 2 хп. Учитывая, что
формулу (16.79) можно предста-
вить в виде
Ц7(Х) а 2хп + В, (16.81)
следует ожидать, что на гра-
фике должен быть линейный
участок (при достаточно боль-
ших 2 хл), наклон которого
отвечает А = k'k/ (2 n3Du’ cosi&0)
(отсюда определяется Dw)\ пере-
сечение продолжения линейного
участка с осью ординат при х = 0 определяет В ~ 4е2 tg2
(откуда находят е2).
Более детальный математический анализ зависимости W (х) от
2 хп показал, что в действительности линейный участок имеет неко-
торую кривизну (зависящую от формы блоков), что мало влияет на
/1, но существенно снижает точность определения В. Поэтому для
повышения точности предложено вносить поправку на кривизну
линейного участка.
А. С. Каган предложил видоизмененный метод моментов, по
которому находят ^моменты второго порядка для линий, являю-
щихся различными порядками отражений от одной и той же плоско-
сти. Для анализа по одной интерференционной линии этот автор
рекомендует метод момента четвертого порядка, при вычислении
которого в формулу (16.76) подставляется вместо (s — s,,)2 величина
(S - s£)‘.
§ 77. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОНЦЕНТРАЦИИ ДЕФЕКТОВ УПАКОВКИ
В ДЕФОРМИРОВАННЫХ МЕТАЛЛАХ И РАЗМЕРОВ БЛОКОВ
С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ДЕФЕКТОВ УПАКОВКИ
Простейшие случаи дефектов упаковки встречаются в металлах
с кубической гранецентрированной и гексагональной плотноупако-
ванной решетками. Структуры этих металлов представляются как
последовательное наложение плотноупакованных слоев равнове-
ликих сферических атомов. В таких слоях каждый атом окружен
$ 77. Определение концентрации дефектов упаковки
335
шестью соседями. Последующие слои могут налагаться в двух
п ос л ед ов а те л ь н ост я х.
1. Атомы третьего стоя располагаются над атомами первого
слоя. Эта последовательность записывается как АВАВАВ... Обра-
зующаяся при этом структура называется гексагональной плотней-
шей упаковкой.
2. Атомы четвертого слоя располагаются над атомами первого
слоя. Эта последовательность, соответствующая кубической гране-
центрированной решетке, записывается как АВСАВС... Схема рас-
положения слоев представлена на рис. 16.8, а.
Рис. 16.8. Последовательность слоев в кубической гранецентрированной
решетке:
а —нормальная упаковка; б — деформационный дефект упаковки (типа вычитания);
в — дефект упаковки роста, вызывающий двойникование: г — двойной деформацион-
ный дефект упаковки (типа внедрения)
В процессе роста металлических кристаллов или их холодной де-е
формации указанные выше последовательности упаковки слоев мо-
гут нарушаться. Такие нарушения порядка чередования слоев и
называют дефектами упаковки (см. рис. 16.8, б, в, г).
Деформационные дефекты упаковки в металлах с гранецентри-
ровапной кубической решеткой вызывают небольшие смещения
интерференционных линий на рентгенограммах от порошков, а двой-
никовые дефекты упаковки (дефекты упаковки роста) приводят
к асимметрии линий и их весьма незначительному сдвигу. Оба
вида дефектов упаковки способствуют симметричному уширению
линий после холодной деформации. Наличие в металлах дефектов
упаковки приводит также к уменьшению интегральной интенсивно-
сти линий рентгенограммы.
Смещение линии HKL на рентгенограмме пол и кристалличес-
кого образца с г. ц. к.-решеткой (в шкале 20) равно
Д2а°= a—tg У(±Л0).	(16.82)
л2 (и + Ь)1г0 Ь
Глава 16. Определение величины кристаллшов
где /г-: = я: — № — ьг (HKL — индексы линии в кубических
осях); и — число компонент линии, которые не смещаются в резуль-
тате появления дефектов упаковки; b — число компонентов линии,
смещающихся в результате появления дефектов упаковки; а —
концентрация деформационных дефектов упаковки; Оо — брэг-
2	0	12	2	«
?// 200	220	3)1	222	400	311	^2Л	£
Рис. 16.9. Схема расположения интерференционных линий для металла
с г. ц. к.-решеткой. Вертикальные линии соответствуют «острым» компонен-
там дифракционного максимума: заштрихованные пики — «размытым» ком-
понентам. Цифровыми индексами типа HKL отмечены положения дифрак-
ционных максимумов в совершенном материале; вверху — значения множи-
теля повторяемости р для отдельных компонентов
говскпй угол для отожженного материала: Ln = Н — К — L
— третий индекс в гексагональных осях); данные для расчета
Д20 приведены в табл. 16.2.
Таблица 16.2
Значения X(i£e)/(a-|-b)hQ для разных линии HKL полвкрвсталлического
материала с г. и. к.-решеткой
HKL	|	111	। 200 | 220 j 311	222	|	400
1 00 1 -1=1 1 ’ 1 —< 1 е> 1 1 -т — *1 с  ''3.'	-г* kJ.Q 3	1 ! 1 1 4 1
Если Lo = 3 q {q = 0. 1. 2, ...), то такие компоненты линий не
смещаю *ся и не размываются. При Lo — 3 q ~ 1 компоненты ли-
нии смещаются и размываются (эти эффекты зависят от концентра-
ции деформационных а- и двойниковых p-дефектов упаковки);
тлям '° ~ а 1 смещение компонентов линии происходит к мень-
у глам о, при Lq = 3 q — I компоненты смещаются к большим 0.
v «ЛН К <МНН-° здесь указывает на смещение компоненты линии
ппи^иТ 'ГЛЗМ °' 3 <плюс> ~ к большим углам б. На рис. 16.9
тап?п г. схема Расположения интерференционных линий для ме-
 ц. к.-решеткой, содержащего дефекты упаковки.
£ /7. Определение концентрации дефектов упаковки
337
На сзлешение интереференционных линий могут влиять и другие
факторы, например, макронапряжения, ориентированные микро-
напряжения, распад пересыщенного твердого раствора. Эти факторы
приводят к смещению линий только в одном направлении для отра-
жений разных порядков от одной и той же плоскости {hkl). В случае
наличия в металле дефектов упаковки отражения разных порядков,
например 111 и 222, 200 и 400, смещаются в противоположных на-
правлениях. Поэтому определение концентрации дефектов упаковки
а следует проводить по изменению положения максимумов линий,
сметающихся в противоположных направлениях.
Для определения концентрации деформационных дефектов упа-
ковки а снимают (с регистрацией «по точкам/) две дифрактограммы:
от деформированного и отожженного (недеформированного) материа-
ла. На полученных дифрактограммах с возможно большей точно-
стью определяют положение максимумов линий. Для двух линий
HjKiLi и	смещающихся в противополжных направлениях,
по брэгговским углам 0. и 0;-находят разности отношений синусов
для недеформированного и деформированного материала:
А = (sin Oi.sin Oj)Heje$ — (sin Oi/sin	(16.83)
где
(Sin 0/ Sin ОЛедеф^]	Я/ - KJ (16.84)
и
(sin Oj/sin 0,)деф = sin (Oo — Avi- sin (Oo ~ AO)j, (16.85)
Так как ДО мало, разложим sin(Oo — ДО) в ряд Тейлора, огра-
ничившись двумя членами:
/ siп 0i\  (sin Оо)г—ДО/ (cos ОД-
\sin Oj/деф (sin00)j-rAOJ-|lcos00);
7 sin ОД 1 -j- AOi/(tg Op)/
\ sin Oj/недеф I — AOj, (tg Op)/
(16.86)
Подставим из уравнения (16.82) значение АО, выраженное в ра-
дианах:
/ sin 0/	__ / sin ОД
( sin Oj ^деф \ sin О//Яедеф
901 3 1—	*	 a л*.2-57,3	Г "	I II	S' — 1	J	i
90 1 1 1—	 a ‘ Л2-2-57Д	’X(iio)’ b_______ ДиД- b) hp _	j
(16.87)
338
Глава 16. Определение величины кристаллитов
Обычно определение а в г. ц. к.-металлах ведут по линиям 111
и 200. Учитывая, что значения 2 (±	"-'о Для этих ли-
ний равны соответственно 1/4 и — 1/2, получаем
/ sin fr200\	= / Sin а2оо\ , 1—2fea,	(16.88)
\ sin fl'll!/деф	\ sin Фщ/недеф 1 + &а
где
90 V3 =0,034.
д2.8-57,3
Преобразуя выражение (16.88) и учитывая (16.89), получаем
р;п М .	+	/га = Д, (16.89)
\ sin Фщ/недеф	* si1* ^Ш/ деф
Считая, что
/ sin flaotA	/ sin i&^oo\	___ j 1547
\ sin тЭ'ш/деф \ sin Ош/недеф
находим
а 8,ЗА,	(16.90)
где А вычисляется из экспериментальных данных.
Дефекты упаковки влияют на уширение интерференционных-
линий так же, как и измельчение блоков когерентного рассеяния.
Обычно причиной уширения интерференционных линий считают
только микроискажения и мелкодисперсность, поэтому при пренеб-
режении влиянием дефектов упаковки размер блоков когерентного
рассеяния £)эфф получается заниженным.
Учет влияния дефектов упаковки для г. ц. к.-металлов приводит
к соотношению
— = A.4-_L=_Ld_____1>5а+Р—у £ I (16.91)
^эфф D D3 D a(u-[-b)h0 ь ° ’
где D истинный размер блоков когерентного рассеяния; 1/DS —
поправка на дефекты упаковки; а и [3 — концентрации деформа-
ционных и двойниковых дефектов упаковки соответственно; а —
период решетки отожженного материала.
Полагая, что D не зависит от кристаллографического направле-
ния, можно по двум линиям Hll\1L1 и //2/<2Ло определить величину
Со а -Н р из разности
1______________1_________
(£)эфф)н1 Kl L, Фэфф)н, к, L, ~
- ».5а+р 1 ( t; LqI \ _[ Т1£о1 )
°	1\(и+Ь)Ло/1 \ (u+b)hj2
(16.92)
§ 78. Рассеяние под малыми углами
339
Таблица 16.3
Значения 5[£0]/(и-|-/?)/г0 для разных линий HKL поликристаллического
ь
материала с г. ц. к.-решеткой
			 HKL	111	200	220	311	222	400
S|tol (и +	1/3 2	1	У? 2	з~|/ТГ 2	уз 2	i
Данные для расчета величин, входящих в выражение (16.92), при-
ведены в табл. 16.3.
Найденные из соотношения (16.92) значения 1,5 а + Р исполь-
зуют для вычисления поправки 1/DS, вычитая которую из 1/^Эфф,
находят истинный размер блоков когерентного рассеяния D.
?	§ 78. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ЧАСТИЦ ПО РАССЕЯНИЮ
РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ ПОД МАЛЫМИ УГЛАМИ
При прохождении светового пучка через мутную среду вокруг
луча наблюдается дифракционный эффект — «гало» (например,
диффузное кольцо, образующееся вокруг луны, когда ее свет рас-
сеивается на частицах тумана). Таким образом, вблизи первичного
луча наблюдаются рассеянные лучи, направление которых незна-
чительно отличается от направления первичного луча. Интенсив-
ность этих дифракционных лучей максимальна в направлении пер-
вичного луча и постепенно падает до нуля под углом е, определяемым
приближенным соотношением 8 ?Jd, где d — средний диаметр
частицы в рассеивающей среде; К —длина волны излучения. Угол
8 имеет заметную величину и его можно экспериментально измерить,,
если размер частиц превосходит в 10—100 раз длину волны излу-
чения.
Аналогичное явление наблюдается при рассеянии рентгеновских
лучей в среде, содержащей мелкие частицы. При длине волны пер-
вичного излучения ~ 1 А можно наблюдать заметное малоугловое
рассеяние для частиц размером ~ 100 А.
Явление малоуглового рассеяния рентгеновских лучей (МУР),
можно интерпретировать следующим образом. С уменьшением раз-
мера частиц размеры узлов обратной решетки увеличиваются, рас-
ширяется также и нулевой узел. Отсюда следует, что при пересече-
нии нулевого узла сферой распространения вблизи первичного лу-
ча s0 возникают рассеянные лучи, угол отклонения которых от
s0 определяется размерами нулевого узла.
340
Глава 16. Определение величины кристаллитов
Исследование рассеяния, связанного с нулевым узлом, дает
известные преимущества. Во-первых, на его размытие не влияют
микронапряжения, так как брэгговский угол fl близок к нулю,
а эффект, связанный с микронапряжениями, пропорционален tgfl.
Во-вторых, интерференционный максимум, обусловленный нулевым
узлом, наблюдается как для кристаллических, так и для аморфных
объектов. Это связано с тем, что разность хода лучей, рассеянных
произвольно расположенными атомами, близка к нулю при fl0.
Рассмотрим рассеяние системой сферических частиц одинаково
малых размеров (монодисперсную систему). Так как на рассеянии
под малыми углами не сказывается неоднородное распределение
электронной плотности р (г) внутри частиц, то будем считать эту
плотность постоян ной.
Амплитуда рассеяния отдельной частицей равна
(16.93)
где S = (4 л/Х) sin fl; U (г) —функция распределения электрон-
ной плотности в частице; R — радиус частицы. Так как fl0,
а частица имеет малый размер, то Sr—> 0. Поэтому можно разло-
жить sin Sr в ряд, ограничившись первыми двумя членами:
г	/ *
Я? = J U (г) г2 dr I J U (г) dr.
О	/ о
Так как принято, что внутри частицы p(r) = const а
= 4 лг2р (г), то
(16.94)
(16.95)
U (г) =
r I
Rl = J г4 dr И г2 dr.	(16.96)
о I о
ИЧИНа назыаается электронным радиусом инерции, она экви-
валентна радиусу (моменту) инерции в механике.
R
Учитывая, что J U (г) dr ~ где nQ равно числу электронов
в частице*, получаем

1 —
( 32
\ 6 /
«поехр(— S2R2/6).
(16.97)
нов в частиц™^чис^	разность между числом электро-
средц.	' ктронов в равном объеме окружающей частицу
S2 С’
3 /
$ 78. Рассеяние под малыми углами	341
В случае разреженной монодисперсной системы, когда можно
пренебречь интерференцией лучей, рассеянных разными частицами,
интенсивность рассеяния системой из N частиц равна
/ = Ie NF2 — Nn201е ехр
= Nnl /еехр ('-g Rl e2),	(16.98)
так как при малых # S я 4лА7Л', а £ ^ 20; 1е = /0 еЧ (тЧЧ2) =
— 7,9 • 10-20 /0/г2— интенсивность рассеяния одним электроном.
Уравнение (16.98) применимо и для случая рассеяния несферичес-
кими частицами, только в этом случае в него нужно подставить ве-
личину 7?о, определяемую геометрией частицы. Для сферических
частиц 7?0 = |/(3/5) R = 0f77 R, где R — радиус частицы. Для час-
тиц в форме эллипсоида вращения с осями a uvaRQ=]f (2 + у2)/5 о.
Изучение распределения интенсивности в зависимости от угла
в позволяет определить А?о частицы; размеры частиц устанавлива-
ются при наличии данных о их форме.
Исследование МУР представляет собой значительные экспери-
ментальные трудности, так как обычные пучки рентгеновских
лучей, вырезаемые щелями, имеют заметную расходимость, а пара-
зитное рассеяние на щелях может полностью скрыть эффект МУР;
сложно также регистрировать МУР из-за его малой интенсивности.
Одной из наиболее удачных камер, устраняющих паразитное
рассеяние на щелях, является камера Кратки (рис. 16.10). В этой
камере вместо щелей используются плоскопараллельные металли-
ческие пластинки (/—4) с хорошо отполированной поверхностью
(стальные мерительные плиты). Зазор между плитами 1 и 2 равен
~ 0,01 Расходящийся пучок рентгеновских лучей проходит
через образец 5 и дает на фотопленке 6 след РР'. Картина МУР
регистрируется на фотопленке выше следа РР' (заштрихованный
участок), где паразитное рассеяние практически отсутствует. Для
исключения рассеяния на воздухе камеру Кратки монтируют
в цилиндре, снабженном съемными крышками с вакуумными прок-
ладками. Во время съемки воздух из цилиндра откачивают вакуум-
ным насосом.
Картину МУР можно исследовать с помощью дифрактометра.
Первичный пучок, ограниченный щелью 1 (рис. 16.11), отражается
от кристалла 2, мопохроматизированный пучок проходит через
тонкий образец3. Рассеянные образцом лучи падают на кристалл 4,
который поворачивается на небольшой угол £ относительно брэг-
говского угла’ Оо (исходное положение). При повороте кристалла рас-
сеянные образцом лучи последовательно отражаются и попадают
в счетчик 6, перед которым находится щель 5. Кристаллы 2 и 4
342
Глава 16. Определение величины кристаллитов
обычно имеют высокую степень совершенства, что позволяет иссле-
довать картину МУР в непосредственной близости от первичного
пучка.
Однако сильное паразитное рассеяние от второго кристалла,
которое не удается устранить, искажает картину МУР. Поэтому
устройства типа двойного кристалл-спектрометра используют чаще
не для регистрации слабого МУР, я для выявления интерферен-
ционных линий, отвечающих очень большим .межплоскостным рас-
стояниям (до 20 000 А), которые могут наблюдаться при рассеянии
биологическими объектами.
Рис. 16.11. Схема двойного кристалл-
спектрометра для исследования мало-
углового рассеяния
Рис. 16.10. Схема камеры Кратки
К дифрактометру ДРОН-2,0 выпускается гониометрическое ма-
лоугловое устройство типа ГМУ. Это устройство представляет собой
асимметрический фокусирующий кварцевый монохроматор, позво-
ляющий получить интенсивный монохроматический рентгеновский
пучок на приемной щели счетчика. Исследуемый образец вводится
в этот пучок. Картина МУР регистрируется при повороте счетчика
в пределах углов 20 от 15' до 1° (приставка позволяет вести исследо-
вания и при больших углах —до 2& = 100°).
Для исследования сложных (например, биологических) объек-
тов разработан автоматический малоугловой дифрактометр типа
АМУР-1. Погрешность измерения и установки углов в этом дифрак-
тометре составляет + 10". Дифрактометр выполняет абсолютные
измерения, т. е. сопоставляет интенсивность МУР с интенсивностью
первичного пучка. Запись кривой интенсивности МУР проводится
автоматически «по точкам» при дискретных поворотах счетчика
(величина углового шага 0,01; 0,02; 0,05; 0,1; 0,2; 0,5°).
? Обработку экспериментальных кривых МУР [//70 = f (е)1, по-
лучаемых в описанных малоугловых установках, проводят
следующим образом. Логарифмируя выражение (16.98), получаем
1л (^о) = In Nn*Ie — (4 л2/3 X2) 7?2е2.	(16.99)
Отсюда^ следует линейность зависимости In (///0) от е2 для монодис-
"W СИСтемы частиц. Перестроив экспериментальную кривую
ДУ в зависимость 1п (/7/0) — ср (е2), получим на графике прямо-
343
$ Рассеяние под малыми углами
линеиныи участок (при достаточна мд пк TV «а
/1 \	v н auvlciio4ho малых е), из наклона котоппгп
(tgy) можно определить Яо частиц:	которого
^о= V Ww2) tg?7	(16.100)
Следует отметить, что метод МУР применяют и для определения
размеров пор, так как МУР чувствительно к разности электронной
плотности частицы и окружающей ее среды, те. поры в этом случае
можно рассматривать как частицы с нулевой электронной плот-
ностью.	г
как частицы с нулевой электронной плот-
Рис. 16.12. Анализ распределения частиц по раз-
мерам методом касательных
Если частицы (или поры) имеют разные размеры (полидисперс-
ная система), то зависимость In (///0) от s2 нелинейна. Для определе-
ния Ro разных фракций частиц можно использовать метод каса-
тельных. Пологий участок кривой/(рис. 16.12) имеет почти линей-
ный характер, поэтому касательная Г сливается с кривой 1 на зна-
чительном протяжении. Считаем, что наклон этой касательной опре-
деляет (Z?0)i самой мелкой фракции частиц.’ Затем определим раз-
ность значений ординат касательной Г и ординатэкспериментальной
кривой 1. Кривая 2, построенная по найденным разностям ординат,
отвечает малоугловому рассеянию всеми частицами, кроме самой
мелкой фракции. Проведем к этой кривой касательную 2 , по на-
клону которой определим {R^% второй по мелкости фракции частиц.
Опять вычтем ординаты касательной 2' из ординат кривой 2 и по раз-
ностям ординат строим новую кривую, а по наклону касательной
определим (Z?0)3 и т. д. Доля частиц i-й фракции оценивается отно-
шепнем дробей, каждая из которых является отношением отрезка,
отсекаемого касательной на осн ординат к (7?0)(?.
Обработку кривых МУР удобно проводить с использованием
ЭВМ, для которых разработаны специальные программы.
Следует отметить, что в случае преимущественной ориентиров-
ки частиц или различия в их форме могут возникнуть существенные
344
Глава 16. Определение величины кристаллитов
погрешности при анализе картины МУР с помощью метода каса-
тельных.
Серьезные искажения в картину МУР вносит явление двойного
брэгговского отражения (ДБО), возникающее при прохождении рент-
геновского пучка через монокристаллические и поликристалличес-
кие образцы. Схема, объясняющая возникновение ДБО, приведена
на рис. 16.13. Пусть первичный пучок рентгеновских лучей падает
на мозаичный кристалл, состоящий из слегка разориентированных
блоков. Если, например, блок 1
находится к s0 под брэгговским
углом Ф, то от него отразится
луч sn который на своем пути
может встретить блок 2, нахо-
дящийся по отношению к sx в
отражающем положении, поэто-
му от блока 2 отразится луч s2.
Если нормали и п2 к отра-
жающим плоскостям обоих бло-
ков расположены в одной плос-
кости (например, в плоскости
чертежа), то луч s2 попадает,
как и луч Sp в центральное
пятно Ро рентгенограммы. Блок
2 отражает и в том случае, когда
он повернут вокруг так, что
нормаль п2 продолжает состав-
лять угол (л/2) — & с sn но
Рис. 16.13. Схема, поясняющая воз-
никновение двойного брэгговского от-
ражения
уже не лежит в одной плоскости
с пт. Тогда дважды отраженный луч выйдет из плоскости чертежа
и переместится по образующей конуса, осью которого является sv
В результате на фотопленке около центрального пятна Ро появит-
ся короткий штрих, являющийся наложением следов дважды отра-
женных лучей.
Штрихи ДБО ориентированы перпендикулярно к линии Р$Р,
соединяющей центральное пятно с брэгговским максимумом Р\
их длина тем больше, чем больше угол мозаичности кристалла.
Избавиться от ДБО при исследовании МУР монокристаллом
несложно: достаточно ориентировать последний по отношению
к первичному пучку так, чтобы ни одна система плоскостей (hkl)
не находилась в отражающем положении.
При исследовании поликристаллов исключить ДБО практичес-
ки нельзя, так как всегда найдутся кристаллиты, отражающие пер-
вичный пучок. ДБО будет отсутствовать только при использовании
излучения едлиной волны Z>dmax (dmax—наибольшее межплоскост-
ное расстояние для данного кристаллита). Так. например, при
$ 78. Рассеяние под
малыми углами
345
исследовании меди следует применять А1 ^-излучение, что пред-
ставляет значительные экспериментальные трудности.
При сравнительно больших углах рассеяния (е > 10') МУР
нельзя отделить от эффекта ДБО. Но при г < 2' интенсивность МУР
на порядок выше интенсивности ДБО. Отделение истинного /МУР
от ДБО в этом случае основано на различном характере зависимос-
тей МУР и ДБО от используемой длины волны. Для этого получают
кривые интенсивности / (e/Z) на двух излучениях, например,
Сг Ка и Си Ка. Если обе кривые совпадают, то это свидетельствует,
что все рассеяние обусловлено эффектам МУР. Если кривые разой-
дутся так, что в каждой точке e/Z отношение интенсивностей Д//2
остается постоянным, то все рассеяние обусловлено ДБО.
Когда присутствуют оба эффекта, то
Л = /ДБО + /МУР. д _ /ДБО /МУР.
Б. Я. Пинесом и др. показано, что поскольку при e1/Z1 = e2/Z2
/МУР//МУР _ ]	„ /ДВО//ДБО _
/ДБО (/1-/2)Е1/Л1=Ег/?.2/(К- 1),	(16.101)
где постоянную К вычисляют теоретически для каждого конкрет-
ного случая.
По эффекту ДБО можно определить средние углы разориента-
ции блоков внутри кристаллитов или в монокристаллах.
Глава 17. РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ТЕКСТУР
В МЕТАЛЛАХ И СПЛАВАХ
Материал обладает текстурой в том случае, если его кристаллиты
расположены не беспорядочно, а так, что определенные их узловые
плоскости и прямые ориентированы параллельно некоторым внеш-
ним направлениям (например, направлениям прокатки или волоче-
ния). Обычно эта ориентация недостаточно строгая, и нормали к узло-
вым плоскостям кристаллитов располагаются в пределах некоторо-
го конуса с углом раствора До, который называют углом рассеяния
текстуры. Чем меньше угол Др, тем более совершенна текстура.
Текстуры в металлах возникают при деформации, кристаллиза-
ции, рекристаллизации, электролизе и вакуумном осаждении метал-
лов. Текстура существенно влияет на механические свойства ма-
териала. Текстурованный металл обладает анизотропией, т. е. его
свойства по различным направлениям неодинаковы. Такая анизот-
ропия не всегда желательна. Так, например, если штамповать из
листа, обладающего текстурой, стаканчики, то у них получаются
фестончатые края, потому что материал вытягивается по различным
346
Глава 17. Анализ текстур
направлениям неодинаково. Блочки тепловыделяющих элементов,
изготовленные из урана прокаткой и имеющие текстуру, при облу-
чении в ядерном реакторе увеличиваются в размерах, «растут»
в определенных направлениях, что может привести к порче твэлов
и остановке реактора. С другой стороны, трансформаторная сталь
с так называемой ребровой текстурой, при которой направление
[100] кристаллитов располагается параллельно направлению про-
катки, а плоскость (НО) совпадает с плоскостью прокатки, обладает
высокими магнитными свойствами. Магнитная проницаемость этой
Рис. 17.1. Ориентация нормали к плоскости (hkl)
при простой аксиальной текстуре (а), полюсная
фигура идеальной аксиальной текстуры (б) и по-
люсная фигура аксиальной текстуры с углом рас-
сеяния Др (в)
стали в 8—10 раз выше, а потери на перемагничивание на 15—20%
ниже, чем в сталях с беспорядочной ориентацией кристаллитов.
Простейшим типом текстуры является такое упорядоченное рас-
положение кристаллитов, когда определенные и равноценные
кристаллографические направления (uvw)> располагаются парал-
лельно друг другу. Ориентации всех кристаллитов при такой текс-
туре могут быть получены из исходной ориентации одного из них
путем вращения этого кристаллита на неограниченные углы вокруг
направления Это направление принято называть осью тек-
стуры. Соответствующий тип текстуры принято называть аксиаль-
ной (осевой). Иногда такую текстуру называют волокнистой или не-
ограниченной.
Аксиальная текстура наблюдается, например, в проволоках,
в которых кристаллиты ориентированы определенным кристаллогра-
фическим направлением параллельно направлению волочения —
оси проволоки.
Ориентация кристаллитов при наличии текстуры может быть
изображена с помощью полюсных фигур, являющихся стереографи-
ческими проекциями нормалей к плоскостям определенного типа
{hkl}. Полюсная фигура для случая простой аксиальной текстуры
представлена на рис. 17.1, б. Здесь ось текстуры лежит в плоскости
Глава П. Анализ текстур
347
проекции, а нормали {hkl} располагаются в случае идеальной тек-
стуры по широтным кругам. В случае рассеяния текстуры эти ши-
ротные круги размываются в полосы с угловой шириной До а около
полюсов образуются «шапки», указывающие на отклонение оси тек-
стуры от идеального положения.
Кроме простых аксиальных текстур в проволоках могут наблю-
даться также сложные аксиальные текстуры: спиральные и кольце-
вые. Спиральная текстура образуется в том случае, когда ось тек-
стуры (uvw) наклонена под некоторым углом <р к оси проволоки
Рис. 17.2. Ориентация нормали к плоскости (hkl) в случае
спиральной текстуры (а) и полюсная фигура спиральной
текстуры (б)
(рис. 17.2, а). Полюсная фигура для такой текстуры представлена
на рис. 17.2, б. При спиральной текстуре широтные круги наклоне-
ны под углом ф к плоскости экватора и, кроме того, остается сво-
бода вращения вокруг оси проволоки. Поэтому широтные круги
«заметают» на полюсной фигуре полосы шириной 2 р.
Если ф = 90°, то получается кольцевая текстура. В этом случае
ось текстуры, перпендикулярная к оси проволоки, имеет свободу
вращения вокруг этой оси. Нормали к плоскости (hkl), составляющие
угол р с осью текстуры, участвуют в обоих вращениях и описывают
при этом на сфере пояс шириной 2 р.
Кольцевой текстурой могут обладать ориентированные пленки
металлов, напыленные на трубчатые изделия. В прокатанных листах,
лентах и’ фольгах возникают ограниченные текстуры (текстуры
прокатки). При наличии такой текстуры определенное кристал-
лографическое направление [тпр] кристаллитов ориентируется
параллельно направлению прокатки, а некоторая кристаллографи-
ческая плоскость (hkl) располагается параллельно плоскости про-
катки (поверхности листа), т. е. поворот кристаллитов вокруг оси
348
Глава 17. Анализ текстур
текстуры ограничен. Обычно для таких текстур характерен большой
угол рассеяния, достигающий в некоторых случаях десятков гра-
дусов.
Текстуры прокатки могут быть сложными. В сложных текстурах
прокатки существует несколько возможных ориентаций кристалли-
тов: часть кристаллитов ориентируется так, что их кристаллографи-
ческие направления [шуг^р^ и плоскости	располагаются
параллельно направлению и плоскости прокатки; у другой части
кристаллитов параллельно плоскости прокатки ориентированы
1/я2/г2р21 и (^2^2)11 т- Л- Группа кристаллитов с одинаковой ориенти-
ровкой называется компонентой текстуры. Таким образом, сложная
текстура состоит из нескольких компонент. Если доля кристаллитов
с данной ориентировкой велика, то компоненту текстуры называют
сильной', если же эта доля мала, то такую компоненту называют
слабой.
В листовых материалах могут встречаться и аксиальные ком-
поненты; при этом ось текстуры совпадает с направлением прокатки.
Здесь возможно образование неполных аксиальных текстур, харак-
теризуемых тем, что вращение кристаллитов вокруг оси текстуры
возможно не на полные 360°, а на определенные (достаточно боль-
шие) угловые интервалы.
В рекристаллизованных г.ц.к.-металлах может наблюдаться
совершенно одинаковая ориентация кристаллитов, когда главные
оси совпадают с направлением прокатки (НП), поперечным направ-
лением (ПН) и с нормалью к плоскости прокатки (НН). Такая тек-
стура называется кубической. Материал с кубической текстурой
должен быть почти тождествен по свойствам монокристаллу.
Исследование текстур представляет большой практический ин-
терес. В процессе исследования определяют параметры текстуры —
оси текстуры \тпр\ и плоскости текстуры (hkl), а также степень
рассеяния текстуры.
Определение текстур успешно проводится рентгеновским мето-
дом с использованием как фотографической регистрации интерфе-
ренционной картины, так и с помощью дифрактометров. Оно сво-
дится к нахождению полюсных фигур исследуемого объекта.
С помощью фотографического метода можно определить тип и
параметры текстуры. Однако количественные данные, в частности
сведения о рассеянии текстуры, получить фотографическим методом
не удается. Это связано с тем, что измерение плотности почернения
текстурных максимумов с помощью микрофотометра из-за их слож-
ной формы провести невозможно. При фотографическом методе ре-
гистрации трудно учесть поглощение в образце. Следует отметить
также большую трудоемкость фотографического метода исследова-
ния текстур.
В настоящее время для исследования текстур широко применяют
дифрактометры. Полюсные фигуры, построенные ионизационным
£ 79. Исследование аксиальных (неограниченных) текстур
349
методом регистрации интерференционной картины, обладают высо-
кой точностью, что обусловливается следующими причинами:
1) интенсивность дифракционных максимумов измеряется ко-
личественно с помощью счетчиков (газовых или сцинтилляционных);
2) в результаты измерения вносится поправка на поглощение,
или геометрия рентгеновских лучей такова, что поглощение оста-
ется постоянным и поправки не требуется.
§ 79. ИССЛЕДОВАНИЕ АКСИАЛЬНЫХ (НЕОГРАНИЧЕННЫХ) ТЕКСТУР
Рассмотрим методы исследования аксиальной текстуры с ис-
пользованием фотографического способа регистрации интерферен-
ционной картины.
Рентгенограммы, снятые по методу порошков, позволяют по
распределению интенсивности на интерференционном кольце {hkl)
Рис. 17.3. Связь между точкой на рентгенограмме и точ-
кой на кольцевом участке сферической проекции:
/ — конус условия отражения; 2 — плоскость проекции; 3 — фото-
пленка; 4 — дебаевское кольцо; 5 — отражающая плоскость
(hkl)-, 6 — проекция конуса условия отражения; 7 — стереогра-
фическая проекция точки Д'
судить о плотности точек на соответствующем кольце сферической
проекции. Из рис. 17.3 следует, что каждой точке Р на кольце
рентгенограммы соответствует определенная точка N на сферической
проекции. Направляя пучок рентгеновских лучей на исследуемый
объект под разными углами, можно установить распределение
плотности точек на различных кольцевых участках сферической
проекции, что дает возможность построить всю сферическую проек-
цию, а по ней и полюсную фигуру.
350
Глава 17. Анализ текстур
Из рис. 17.3 следует, что кристаллит попадает в отражающее
положение, если нормаль к его кристаллографической плоскости
(hkl) совпадает с одной из образующих конуса с углом раствора
130° — 2(t (конус отражения). Таким образом, при наличии в образ-
це неограниченной текстуры на рентгенограммах вместо интерфе-
ренционного кольца получаются четыре максимума, соответствую-
щие пересечению конуса кристаллографических направлений с ко-
нусом отражения (рис. 17.4). Если отражение происходит от зоны
плоскостей, параллельных оси текстуры, то на соответствующем
Рис. 17.4. Схема образования текстурных максимумов на рентгенограмме
кольце рентгенограммы получаются два максимума. Схемы рентге-
нограмм текстурованных алюминиевой и вольфрамовой проволок
приведены на рис. 17.5. Обычно текстурные максимумы получаются
недостаточно четкими, что указывает на рассеяние текстуры. По
ширине максимумов можно получить сведения о степени совершен-
ства текстуры.
При исследовании неограниченной текстуры рентгенограммы
образцов получаютна плоскую фотопленку. Для этой цели пригодны
камеры типа РКСО, используемые для получения лауэграмм.
В такой камере образец устанавливают вертикально, параллельно
оси держателя.
Для расчета рентгенограмм сначала определяют индексы интер-
ференционных колец. Это нетрудно сделать, если известно расстоя-
ние D от образца до пленки, длина волны используемого характери-
стического излучения и период решетки исследуемого образца.
По периоду решетки рассчитывают межплоскостные расстояния для
нескольких первых отражений, возможных при данном типе решет-
ки. По полученным данным определяют углы О и по формуле
г = D tg 20 рассчитывают радиусы интерференционных колец.
$ 79. Исследование аксиальных (неограниченных) текстур
351
Сравнивают измеренные радиусы интерференционных колец по
рентгенограмме с теоретически рассчитанными и определяют
индексы.
При нахождении оси текстуры для каждого пятна измеряют
угол 6 (см. рис. 17.4). Для этого измеряют расстояние между сим-
Рис. 17.5. Схема рентгенограмм тскстуровапных алюминиевой (а) и воль-
фрамовой (б) проволок (алюминий имеет г. ц. к. структуру, вольфрам —
о. ц. к. структуру)
матричными пятнами на данном кольце по горизонтали 21± и рас-
стояние между такими же пятнами по вертикали 2/2, при этом
tg6 = 2lJ2l^	(17.1)
Угол р находят по формуле Полани:
cosp = cosO cos6.	(17.2)
Для определения оси текстуры используют несколько линий
рентгенограммы, соответствующих отражениям от плоскостей
(/ii^i/i), (^2^2^), Для каждой из этих линий легко рассчитать угол
'й, если известен период решетки образца. Соответствующие углы
61, 62 определяют, измеряя расстояния между текстурными макси-
мумами рентгенограммы. По формуле Полани рассчитывают углы
pi, р2. Используя полученные значения и решая систему уравнений,
находят индексы оси текстуры. Известно, что для кубической сис-
темы угол между двумя направлениями определяется по формуле
COS Р =-----+	,
V hi + k] + /;
352	Глава 17. Анализ текстур
где lhikili\ — индексы нормали к отражающей плоскости; [uvw]
индексы оси текстуры. Таким образом, по двум текстурным хмакси-
мумам, находящимся на двух разных интерференционных кольцах,
определяют углы pj и р2 и, решая систему двух уравнений, находят
индексы оси текстуры. При решении такой системы один из индексов
принимается равным единице (например, w = 1), тогда в получен-
ном решении остальные индексы могут оказаться дробными. При-
ведя все три индекса к общему знаменателю, определяют их цело-
численные значения.
Разброс ориентации кристаллитов (степень совершенства тек-
стуры) можно определить по угловой ширине текстурных максиму-
мов Д6:
Др = (sin6cos0/sinp) Д6	(17.4)
(это выражение получается дифференцированием формулы Полани
по р и 6).
§ 80. ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕКСТУР ПРОКАТКИ (ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕКСТУР|
Определение параметров текстуры (осей и плоскостей) произ-
водится путем построения стереографической проекции нормали
к какой-либо кристаллографической плоскости для скопления кри-
сталлитов, составляющих данный объект. Такая стереографическая
проекция называется прямой полюсной фигурой и характеризует
вероятность распределения ориентации нормали к определенной
кристаллографической плоскости относительно некоторых внешних
осей. В качестве внешних осей обычно принимают направление
прокатки (НП), поперечное направление (ПН) и нормаль к поверх-
ности листа (НН).
Фотографический метод. Для качественного исследования тек-
стур прокатки ранее широко использовали фотографический метод,
который в настоящее время потерял свое значение. Однако в неко-
торых случаях его можно применять, используя для этой цели стан-
дартные камеры РКСО.
Съемку проводят на просвет, поэтому образцы следует утонять
электролитическим травлением. Толщина получаемых фольг за-
висит от атомного номера вещества объектам длины волны характе-
ристического рентгеновского излучения. Например, для молибде-
нового излучения оптимальной толщиной образцов из алюминия
является 0,6—0,7 мм, а из железа — 0,05 мм.
Исследование текстур желательно проводить в коротковолновом
излучении, так как в этом случае меньше сказывается эффект пог-
лощения. Длинноволновое излучение используют только для ис-
следования текстур в тонких слоях.
Текстура прокатки не может быть изучена только по одной рент-
генограмме, снятой перпендикулярно к плоскости прокаУки, по-
$ 80. Исследование текстур прокатки (ограниченных текстур)
353
этому обычно снимают две серии рентгенограмм. Исходным поло-
жением для обеих серий является перпендикулярное расположение
плоскости прокатки по отношению к первичному пучку. Рентге-
нограммы первой серии получают, поворачивая образец вокруг
НП на определенные углы р (например, через 10е) вплоть до поворота
на 90^. Вторую серию рентгенограмм получают, поворачивая обра-
зец на те же углы вокруг ПН.
Расчет рентгенограмм, снятых на плоскую пленку, проводят
следующим образом. Рентгенограммы располагают последователь-
но по мере увеличения угла р так,
чтобы направление, параллельное
оси поворота образца (например,
НП), располагалось вертикально.
Перед построением полюсной
фигуры проводят индицирование
первых линий рентгенограммы,
так как именно на них наиболее
отчетливо проявляется эффект
предпочтительной ориентации кри-
сталлитов.
Построение полюсной фигуры
проводят по одному избранному
интерференционному кольцу. Из-
меряют углы «j и а2 (рис. 17.6)
между началом и концом макси-
мума на данном кольце и линией
симметрии CD (на правой и левой
Рис. 17.6. К расчету рентгено-
грамм, полученных на плоской
пленке
Далее на
частях рентгенограммы). Данные заносят в таблицу.
сетку Вульфа помешают кальку, отмечают на ней центр и прово-
дят окружность радиусом, равным радиусу сетки Вульфа. На этой
окружности наносят выходы направления прокатки НП и перпенди-
кулярного направления ПН, центр круга совпадает с нормалью
к плоскости прокатки НН. По экватору сетки Вульфа отсчитывают
угол б, соответствующий интерференционному кольцу, по которому
строят полюсную фигуру. Затем из центра сетки Вульфа прово-
дят окружность /, отстоящую от основного круга проекции на
угол fl и представляющую собой срез полюсной фигуры, соответ-
ствующий исследуемому интерференционному кольцу (рис. 17.7).
При переносе макепмх.яов на полюсную фигуру с рентгенограм-
мы, полученной при перпендикулярном расположении плоскости
образца по отношению к первичному пучку (р -= 0), от линии ПН
отсчитывают измеренные значения и по основному кругу
сетки Вульфа и проставляют точки S, и У,. Соединяя эти точкй
с центром проекции, получают на круге среза полюсной фигуры
точки и 52, указывающие на положение сгущения норматей на
срезе полюсной фигуры.
12 Зак. 1288
Глава 17. Анализ текстур
354
Если образен повернут вокруг НП так, что первичный пучок
составляет угол |3 с нормалью к плоскости прокатки, то нужный срез
2 (см. рис. 17.7) полюсной фигуры получают вращением исходного
среза на угол р вокруг НП. Его можно построить, смещая каждую
точку исходного кольца по широтам рртки Вульфа на угол В, пои
этом часть кольца переходит в другую половину сферы проекции (см.
пунктирную ЛИНИЮ J .	' ’Т	"rt,r~
у j	>. —. - ---
).пьца по широтам сетки Вульфа на угол р, при
на рис. 17,7). На это кольцо надо нанести мак-
симумы, соответствующие сгущениям нормалей. Для этого находят
положения краев максимумов на окружности, отвечающей положе-
нию образца при р = 0 (точки Mpi Л42), затем их переносят на коль-
цо, повернутое на угол р, смещая по параллелям, и получают таким
образом точки Adj и Л4'. Обычно повернутое кольцо целиком не
строят, а ограничиваются его отрезками, на которых получаются
максимумы. При повороте часть максимумов, лежащих на правой
стороне кольца, может уйти в другую половину сферы проекции
(эти максимумы отмечаются пунктирной линией, см. рис. 17.7,
отрезок А43 Л44). Иногда максимум уходит в другую половину сферы
только частично. Тогда он изображается сплошной и пунктирной
линиями с переломом на большом круге проекции.
Подобным образом на кальку переносят все измеренные мак-
симумы. Ввиду того, что направления НП и ПН являются осями
симметрии, все максимумы переносят с правой стороны палево»
£ 80
Исследование текстур прокатки (ограниченных текстур)
355
и наоборот, а верхнюю половину проекции — на нижнюю. Так как
плоскость прокатки является одновременно и плоскостью симметрии,
то максимумы, отмеченные пунктиром, считаются равноправными
с максимумами, отмеченными сплошными линиями., Области, за-
полненные максимумами, обводят сплошной линией, считая, что
через каждые 10° можно интер-	..
полировать от рентгенограммы
к рентгенограмме.
Дифрактометрические мето-
ды. Количественное исследова-
ние текстур можно проводить
только с помощью дифрактомет-
ров.
Исследование проводят дву-
мя методами: на просвет и на
отражение. На гониометре ди-
фрактометра устанавливают спе-
циальный держатель, позволяю-
щий поворачивать образец во-
круг определенных осей (в СССР
серийно выпускается текстур-
ная приставка ГП-2, показан-
ная на рис. 17.8).
Съемка на просвет. Схема
исследования методом на про-
свет приведена на рис. 17.9.
Рис. )7.8. Внешний вид текстурной
приставки ГП-2
Образец в виде фольги поме-
щают в специальный держателгэ
таким образом, чтобы через его
поверхность проходила ось вра-
щения гониометра АА, а направление прокатки НП совпада-
ло с направлением этой оси. Сначала образец устанавливают так,
чтобы его нормаль к поверхности Мо Л40 делила пополам угол между
падающим s{) и отраженным s лучами; в отражающем положении на-
ходятся те кристаллиты, чьи атомные плоскости (hkl) расположены
перпендикулярно к поверхности образца. При таком положении
нормаль к отражающим плоскостям Nhh} параллельна плоскости
прокатки (поверхности образца). Одновременное вращение вокруг
осей А А и Л40Л4„ соответствует перемещению (вращению) дифрак-
ционного кольца. При этом счетчик остается неподвижным и регис-
трирует изменение интенсивности вдоль Дифракционного кольца.
Пространственное расположение осей поворота и образца поел-
ставлено на рис. 17.10. Исходному положению образца отвечает
нормаль к его поверхности М0М0. Будем считать, что нормаль к по-
верхности образца расположена в центре круга стереографической
проекции. Тогда в исходном положении NIM находится на боль-
12*
556	Глава 17. Анализ текстур
шом круге проекции. Если вращать образец вокруг
значение у ~ °	о 3&f, в отражающее пот/ке/170’^
По-
Ц10М круге 11fUp‘'W“u’g сь от О ДО 36<Г, в ОТра/Katv.u.^	tllJ.
значение угла р менял кписталлнты, у которых нормали лежат
следовательно попади отвечает заполнению нормалями боль-
В плоскости прокат!<и,	Так как па Пр0екции направле-
шого круга пРое£и" „ "Я.т1я неПзменным (хотя в действительности
нис прокатки rill с

Рис. 17.9. Схема исследования методом на просвет
образца на рРИ вРаи1’ен!1и вокруг оси Л40Л1(,), то вращению
шом круге проекции пере:'1(:Щение нормали Л'Л/1/ на боль-
Поверием теиепк < р'
нормаль к его поррпт/33^ Вокр^г оси на угол а, при этом
(см. рис, 17.10). СчетчиН°СТИ переместйтся из положения Мо в М
он регистрирует елпа'кр^ °СТа^ТСЯ в пРе>кнем положении, и поэтому
^hkt Делят попала*/ vr™ °ттех кРисталлитов, у которых нормали
« лучами, и лежит r г/// weW первичным s0 и дифракционным
ном случае	°СТИ’ Проходяадй через эти лучи. В дан-
khi не параллельна поверхности образна,
§ 80. Исследование текстур прокатки (ограниченных текстур) 357
а повернута относительно нее на угол а. Следовательно, в по
вернутом положении Nhl:l уже не находится на большом круге про-
екции, а повернута относительно него на угол —а (отрицательное
значение угла а связано с возвращением нормали М в центр проек-
ции). Теперь при повороте вокруг оси ММ в отражающее положение
будут приходить те кристаллиты, у которых нормали NfM располо-
жены на малом круге, не совпадающем с экваториальным кругом,
плоскость которого по условию проходит через поверхность образ-
ца. Этому отвечает перемещение Nhkl по .малому кругу, располо-
женному на угол—а ближе к центру проекции. Таким образом,
поворачивая образец вокруг оси ЛА дискретно на углы а через
2,5—10° и при каждом таком повороте вращая его непрерывно в ин-
тервале углов р — 04-360°, можно заполнить нормалями всю
внешнюю часть полюсной фигуры в пределах углов от а = 0 до
а < (л/2) —0. Ограничение области углов поворота а обусловлено
тем, что при а > (л/2) —0 образец перекрывает первичный или диф-
ракционный пучки.
Обычно полюсную фигуру строят следующим образом. Вначале
устанавливают образец в исходном положении (а---0, р = 0). Затем
производят непрерывное вращение образца вокруг оси ММ в пре-
делах р — 04-360°. Изменение интенсивности / дифракционного
№
Глава 17. Анализ текстур
nvu„„ пегистрируемое счетчиком, записывается с помощью электрон-
ного потенциометра. Затем образец поворачивают последовательно
НХ ы а 2а За и т. д. и при каждой такой операции при непрерыв-
ном вращений на угол ₽ записывают распределение интенсивности.
Пои таком способе записи каждой точке полюсной фигуры с угловы-
ми координатами а, 0 можно сопоставить отвечающую ей интенсив-
ность дифракционного пучка /а.р. Построение сводится к перенесе-
нию данных об интенсивности (в условных единицах) с дифракто-
Л	грамм на стереографическую проек-'
Рис. 17.11. Заполнение норма-
лями плоскости проекции при
съемке на просвет
цшо.
Перед нанесением данных по ин-
тенсивностям на проекцию следует
вносить поправки на поглощение, так
как при повороте на угол а длина
пути луча в образце меняется.
Для учета поглощения либо ис-
пользуют эталонный образец, либо
рассчитывают поправку аналитиче-
ски. Эталонный образец можно при-
готовить распылением суспензии по-
рошка исследуемого материала на
прозрачную для рентгеновских лучей
аморфную подложку или получением
шлифа из спеченного порошка. При
выборе эталона следует убедиться,
что его кристаллиты имеют ту же сте-
пень мозаичности, что и исследуемый образец. Приготовление эта-
лонного образца представляет значительные трудности, и поэтому
часто поправку на поглощение вычисляют аналитически, используя
приводимые в литературе форхМулы.
Съемка на отражение. Съемку на отражение применяют зна-
чительно чаще съемки на просвет, что связано с трудностью при-
готовления достаточно тонких образцов для последнего метода.
Съемку на отражение проводят также с помощью приставки
ГП-2. Используют два метода: метод поворота и метод наклона.
v В методе поворота, как и при съемке па просвет, образец вра-
щают вокруг осей АА и ММ. В исходном положении (а» — 90)
поверхность образца располагают под углом й/yi/ к падающему
пучку, а счетчик — под тем же углом по другую сторону от нормали
к поверхности образца ММ (рис. 17.12). Входную щель и щель счет-
чика устанавливают вертикально (как в методе Брэгга — Брентано).
В этом положении счетчик регистрирует отражения только от зерен,
у которых нормаль совпадает с нормалью к поверхности
образца.	г
ОбРазец поворачивают дискретно вокруг оси АА на углы а от
«о --- 9Г до а 90° — О. При каждом дискретном повороте произ-
80. Исследование текстур прокатки (ограниченных текстур)
359
водят непрерывное вращение вокруг оси ММ в интервале от 0 до
360°. При вращении вокруг оси АА обследуется полюсная фигура
от центра к периферии, а при вращении вокруг ММ — по концент-
рическим кругам с угловым радиусом а (рис. 17.13),
Рис. 17.12. Схема съемки на отражение методом
поворота
При вращении вокруг оси АА изменяются как условия фокуси-
ровки, так и площадь облучаемой поверхности образца, а также
пути падающего и отраженного лучей в образце. Поэтому в значение
измеренной интенсивности необходимо вно-
сить поправку на поглощение. Из-за нару-
шения условий фокусировки щель счетчика
должна быть достаточно широкой, чтобы
пропустить отраженный пучок при любом
положении образца.
Недостатком метода поворота является
то, что им может быть исследована только
центральная часть полюсной фигуры, так
как при угле поворота а О образец
перекрывает либо падающий, либо дифрак-
ционный лучи.
V Метод наклона позволяет построить тс
части полюсной фигуры, которые не иссле-
дуются методом поворота. В методе на-
Рис. 17.13. Заполнение
нормалями плоскости
проекции при съемке на
отражение
клона вращение вокруг оси АА используют только для установки
образца в такое положение, чтобы нормаль ММ к его поверхности
составляла углы 90	0 с падающим и отраженным лучами. Вход-
ную щель Sj, и щель счетчика располагают горизонтально
(рис. 17.14). Непосредственно вблизи образца ставят щель S-,
ограничивающую освещенный участок образца узкой полоской’
расположенной на оси RB.
360
Глава 17. Анализ текстур
Из исходного положения (а0 = 90°) производят дискретные по-
вороты на углы а вокруг оси ВВ. При каждом данном угле а обра-
зец непрерывно вращают вокруг оси ММ на углы — 0ч-360°.
Поворот вокруг оси ВВ отвечает обследованию полюсной фигуры от
центра к периферии (вдоль следа плоскости, содержащей оси АА
и Л1Л4), а поворот вокруг оси ММ — по концентрическим кругам
радиуса а. В отличие от метода поворота в методе наклона теорети-
чески угол а можно менять в интервале от 0 до 90°. Однако при на-
клоне из-за конечной высоты облучаемого участка образца также
Рис. 17.14. Схема съемки на отражение методом наклона
происходит дефокусировка, весьма существенная при небольших
значениях а. Это ограничивает интервал используемых значений
а до ~ 20°. Важным преимуществом метода наклона является от-
сутствие необходимости вносить поправку на поглощение. На по-
люсных фигурах, получаемых методом дифрактометра, для каждой
ориентации образца, определяемой углами поворота аир, наносит-
ся цифра, соответствующая измеренной интенсивности. Затем цифры,
имеющие близкие значения, например через 100 условных единиц,
соединяют линиями (называемыми изолиниями) и'получают полюс-
ную фигуру, подобную приведенной на рис. 17.15. Такие полюсные
фигуры называют полуколичсственными.
При наличии эталонного бестекстурпого образца возможно
построение количественных полюсных фигур. При их построении
для каждой точки полюсной фигуры вычисляют полюсную плот-
ность р, равную отношению интенсивностей текстурованного I и
бестекстурного Г образцов (полюсная плотность для бестекстур-
ного образца принимается равной единице).
Преимуществом количественных полюсных фигур является то,
что можно сравнивать между собой полюсные плотности для одина-
ковых (hkl) разных образцов.
$ 80. Исследование текстур прокатки (ограниченных текстур) 361
Если ставится задача выяснения принципиального характера
текстуры, то следует иметь в виду, что количественные полюсные
фигуры обладают высокой точностью, и поэтому на них выявляются
такие детали ориентировок, которые хотя и присутствуют в данном
месте прокатанного листа, но не обнаруживаются в другом месте
Рис. 17.15. Полюсная фигура прокатанного урана (температура
прокатки 300° С, степень обжатия 87%)
того же листа. Поэтому необходимо усреднять результаты, полу-
ченные при изучении разных участков данного листа.
Возможна автоматизация довольно трудоемкого процесса пост-
роения полюсных фигур. Для этой цели разработаны специализиро-
ванные дифрактометры, например ДАРТ-2,0.
Анализ полюсных фигур. При анализе полюсных фигур важно
определить параметры текстуры, т. е. оси текстуры и ее плоскости.
Это может быть сопряжено с трудностями: например, если тексту-
ра сложная, то в образце может существовать несколько предпочти-
тельных ориентаций.
362
Глава 17. Анализ текстур
Представим, что в образце имеется единственная ориентация.
Тогда на полюсной фигуре {100} для главных направлений типа
<100> получим три точки, изображающие эти ориентации. Если
процесс деформации протекает симметрично, как это в первом приб-
лижении имеет место при прокатке, то после такой деформации воз-
можны ориентации, которые получаются путем симметрических
преобразований (отражения в плоскости и поворота). Поэтому для
текстуры прокатки из одной ориентации получится восемь симмет-
ричных ориентаций, образующих достаточно сложную полюсную
фигуру. Если учесть рассеяние текстуры, то отдельные точки полюс-
ной фигуры размываются. Таким образом, на полюсной фигуре да-
же при одной ориентации кристаллитов образуются сложные узоры,
характерные для текстуры прокатки.
Когда в текстуре существуют две или несколько предпочтитель-
ных ориентаций, каждая из которых имеет несколько симметричных
положений, то в результате наложения получается очень сложная
полюсная фигура. При анализе такой полюсной фигуры выявить
ориентации, лежащие в ее основе, довольно трудно, так как можно
брать максимумы от различных ориентаций и совмещать их, что при-
ведет к отрицательному результату или к несуществующей ориен-
тации.
Анализ полюсных фигур производят с помощью стандартных
.стереографических проекций (сеток Закса). Исследуемую полюс-
; ную фигуру накладывают последовательно на разные стандартные
проекции и вращением вокруг центра добиваются совпадения мак-
симумов полюсной фигуры с выходами нормалей плоскости {hkl},
для которой построена данная полюсная фигура. Так, например,
если анализируют полюсную фигуру, построенную по интерферен-
ционному кольцу (200), то по стандартным проекциям ищут совпаде-
ние максимумов полюсной плотности с выходами нормалей к плос-
костям {100}.
Если такое совпадение найдено, то индексы, отвечающие цен-
тральной точке стандартной проекции, определяют индексы кристал-
лографической плоскости {h^k^}, параллельной плоскости прокат-
ки. Индексы нормали на основном круге проекции, совпадающие
с НП, соответствуют оси текстуры	— кристаллографичес-
кому направлению, параллельному НП.
При наличии сложной текстуры не удается найти совпадения
выходов нормалей к плоскости {hkl} со всеми максимумами полюс-
ной плотности по одной стандартной проекции. Тогда подбирают
другую стандартную проекцию, по которой находят совпадение
оставшихся свободными (после анализа по первой проекции) мак-
симумов с выходами тех же нормалей {hkl}. Отсюда определяют но-
вые значения параметров текстуры — плоскости (hJt2l2) и оси тек-
стуры [пг.аг.;>р2].
§ 80. Исследование текстур прокатки (ограниченных текстур) 363
Г
В сложной текстуре может быть несколько ориентировок.
Э'ги ориентировки записывают кратко следующим образом:
Ih^l^	(/i2fe2^) [^2^2^21 и т- Д-Для каждой из ориентировок
/на полюсной фигуре на соответствующих максимумах проставляют
/условные значки. Из количественных полюсных фигур можно
/ оценить также доли кристаллитов различной ориентировки. При
этом устанавливают главные и второстепенные ориентировки.
Метод обратных полюсных фигур. Обратной полюсной фигурой
называют стандартную стереографическую проекцию, на которой
у соответствующих выходов нормалей проставлена вероятность сов-
падения с ними некоторых внешних направлений (например, нор-
мали к поверхности образца). Таким образом, обратная полюсная
фигура представляет собой распределение ориентировок внеш-
ней оси относительно внутренних (кристаллографических) осей.
В противоположность этому прямая полюсная фигура показывает
распределение ориентаций внутренней оси [нормали к плоскости
(hkl)] относительно внешних осей (НП, ПН, НН).
Наиболее удобным способом построения обратных полюсных
фигур является съемка на дифрактометре с фокусировкой по Брэг-
гу — Брентано.
Как известно, при фокусировке по Брэггу — Брентано отража-
ют только те кристаллы, у которых отражающая плоскость (hkl)
параллельна исследуемой поверхности образца или отклонена от
нее на небольшие углы.
Для построения обратной полюсной фигуры получают две диф-
рактограммы — от текстурованного и бестекстурного образцов.
На каждой дифрактограмме измеряют интегральные интенсивно-
сти всех интерференционных максимумов.
Интегральная интенсивность интерференционной линии для
текстурованного образца определяется соотношением
Ihkl = kAI.L (0) Р (а) Р (hkl) MhfilPhhl1	(17.5)
где k — константа для данного образца; А—множитель погло-
щения (в случае дифрактометра А = 1/2 р; р — линейный коэф-
фициент поглощения); L (О) и Р (&) — угловые множители (Лоренца
и поляризации); Р (hkl)—структурный множитель; Мш—мно-
житель повторяемости; pflhl—доля кристаллитов, для которых
нормаль к плоскости (hkl) совпадает с нормалью к поверхности об-
разца (полюсная плотность).
Соответствующее уравнение для бестекстурного образца имеет
вид
/w - А'Л70А (а) Р (О) F2 (hkl) MhhlpR,	(17.6)
где pR -- полюсная плотность для образца без текстуры.
Разделив (17.5) на (17.6), получим
- (Ш') {А/А'У (phllilpR).	(17.7)
364
Глава J7. Анализ текстур
Отношение констант ktkf можно исключить путем суммирования
по всем п измеренным интерференционным линиям:
X Uim/Wi) --- Wk') (А/А') WPR) 2 Pim- (17.8)
ll	11
Из уравнений (17-7) и (17.8) находим
Phhl—Uhkl/fhkl)	Phhlli Uhhl!Ihkl)-	(17.9)
/1 n
Если регистрируется достаточно большое число интерференцион-
ных линий //, можно использовать приближенную нормировку
Р ---	1.	(17.10)
п
Тогда
Phkl ” (^hhllX (Jhkl/1hkl)'	(17.1 1)
n
Принятая в выражении (17.10) нормировка не вполне строгая, так
как здесь приписывается равный вес всем отражениям, что особенно
неверно для кристаллов с высокой симметрией. Единственно стро-
гой процедурой (правда, неосуществимой на практике) является
усреднение р для бесконечного числа отражений по непрерывной
области ориентаций, находящихся в пределах телесного угла 4л:
 р = (1/4л) ( ^(Q)dQ--l.	(17.12)
<4* -.****?:—*—г> •	- .	*
Приближенным решением интеграла (17.12) являются два описы-
ваемых ниже способа нормировки. Первый способ, предложенный
Вильсоном и другими, сводится к взвешиванию по множителю
повторяемости Мш:
~Р -	(17.13)
fl	п
В этом случае выражение (17.11) примет вид
Phkl ~ Oj^A/h) (Jhkl!/hkl)I 2 (^hhl hkl!/hkl)- ( 17. 14)
-------------_____-й_n
Другой способ нормировки предложен Моррисом:
— №itki Phki) ~ 1>	(17.15)
Л»
где Ahhl — доля кристаллитов в бсстекстурном образце, дающих
отражение от плоскости (hkl). Условно Аш определяется долей
площади стереографического треугольника, ограниченной больши-
ми кругами, делящими пополам угловые расстояния между сосед-
ними нормалями на стандартной стереографической проекции.
Вершинами стереографического треугольника являются выходы
§ 80. Исследование текстур прокатки (ограниченных текстур) 365
нормалей 001, 011 и 111. При этом считается, что = 1. Для
д
этого способа нормировки
ыа! Iш)!	(Лг/U lhklll'hkl)>	(17.16)
Нормировку по Моррису целесообразно проводить при исследо-
вании металлов с гексагональными и кубическими решетками.
Вычисленные описанными способами рш (или рЦьь p'hkt) про-
ставляют около выходов соответствующих нормалей (hkl) на стан-
дартной стереографической проекции. Места, отвечающие величи-
Рис. 17.16. Стереографическая проекция а-урана (а), обратная
полюсная фигура необлученного деформированного образца
а-урана (б) и образца, облученного до выгорания 0,145 ат. %,
температура облучения 450° С (в)
нам 1, обводят линиями или отмечают штриховкой. Макси-
мальная величина phkl указывает на предпочтительную ориента-
цию данной нормали параллельно нормали к поверхности образца.
При построении обратной полюсной фигуры следует учитывать,
что на дифрактограмме встречаются отражения разных порядков
одной и той же кристаллографической плоскости (hkl). На полюс-
ную фигуру наносят значения phkl1 найденные только по одному
порядку отражения.
Для исследования текстуры прокатки необходимо изучить рас-
пределение полюсов по отношению к плоскости и к направлению
прокатки. Для этого строят две обратные полюсные фигуры. Пер-
вая фигура строится по данным, полученным на обычном образце,
и дает распределение ориентации по отношению к плоскости про-
катки. Для получения второго параметра (оси текстуры) листовой
образец разрезают на небольшие части, которые складывают вместе,
чтобы торцы образовывали гладкую поверхность (торцы после рез-
ки шлифуют и травят для снятия наклепанного слоя). Эта поверх-
ность должна быть перпендикулярна к направлению прокатки,
а полученная обратная полюсная фигура дает распределение ориен-
таций относительно направления прокатки.
На рис. 17.16 приведены обратные полюсные фигуры для
образцов ct-урана (деформированного п облученного в реакторе до
366
Глава 18. Исследование диаграмм состояния
степени выгорания 0,145 ат. %). Полюсные фигуры показывают замет*
ное перераспределение полюсной плотности в процессе оэлучения.
Обратную полюсную фигуру можно рассчитать аналитически
из прямых полюсных фигур для двух кристаллографических плос-
костей, например (001) и (100) для урана.
Глава 18. РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ДИАГРАММ СОСТОЯНИЯ СПЛАВОВ
Диаграммы состояния сплавов обычно исследуют методами тер-
мического анализа, металлографии и рентгенографии. Рентгеногра-
фический метод существенно дополняет результаты, получаемые
первыми двумя методами. Он является единственным из этих мето-
дов, позволяющим определять кристаллические структуры фаз
в исследуемых системах.
Методу термического анализа отдают предпочтение при опреде-
лении кривых ликвидуса и солидуса, однако, ограничиваясь только
этим методом, можно не обнаружить эвтектоидных или перитектОИД-
ных превращений из-за медленности
реакций в твердом состоянии и малой
скрытой теплоты превращения. Эти
превращения определяются рентгено-
графическим и микроскопическим ис-
следованиями. То же можно сказать
и об определении кривой растворимо-
сти. Поэтому не следует пользоваться
только одним методом, так как в этом
случае можно получить неправиль-
ные результаты.
Основной принцип рентгеногра-
фического исследования, проводимого
методом порошков, состоит в том, что
Рис. 18.1. Диаграмма состоя-
ния сплавов, компоненты кото-
рых полностью растворимы
в твердом и жидком состояниях
каждой фазе соответствует свой набор
интерференционных линий независимо от присутствия или отсут-
ствия другой фазы. На рентгенограммах двухфазного сплава при-
сутствуют два налагающихся набора интерференционных линий,
каждый из которых отвечает определенной фазе.
На примере различных типов диаграмм состояния двойных систем
рассмотрим возможности их рентгенографического исследования.
Компоненты А и В полностью растворимы друг в друге (рис. 18.1).
Порошковые рентгенограммы, полученные от образцов сплавов
с различным содержанием компонентов А и В, сходны друг с другом:
они содержат одну систему линий, соответствующую твердому раст-
вору. Изменение состава сплава проявляется в сдвиге интерферен-
i'Auea id. Исследование диаграмм ик питии
367
ционных линий, связанном с изменением периодов решетки. Обыч-
но изменение периодов решетки с изменением состава сплава неве-
лико, поэтому сдвиг линий заметен только в области больших брэг-
говских углов. Исследования показали, что период кубической ре-
шетки сплавов изменяется с составом почти линейно. Если атомный
радиус компонента В меньше атомного радиуса компонента А, то
период решетки уменьшается с увели-
чением содержания компонента В.
При обратном соотношении атомных
радиусов период решетки твердого
раствора увеличивается.
Металлы А и В полностью раст-
воримы в жидком состоянии и ча-
стично— в твердом (рис. 18.2, а).
Вначале, при добавлении компонента
В к А, образуется «-твердый раст-
вор. При этом период решетки может
увеличиваться или уменьшаться в
зависимости от соотношения между
атомными радиусами компонентов А
и В. Когда достигается предел раство-
римости, то период решетки пере-
стает изменяться. Это связано с не-
изменностью состава а- и р-твердого
раствора. В двухфазной области при-
сутствуют две системы интерферен-
ционных линий, отвечающих обоим
Рис. 18.2. Диаграмма состояния
сплавов, компоненты которых
полностью растворимы в жид-
твердым растворам. Соотношение ин-
тенсивностей линий двух фаз меняет-
ся с изменением содержания компо-
нента В: с увеличением содержания
компонента В интенсивность линий
ком состоянии и частично—в
твердом (я), и зависимость пе-
риодов решетки от состава
сплава (о) (радиус атомов В
больше радиуса атомов А)
P-твердого раствора растет, а интенсивность линий «-твердого
раствора уменьшается; около границы растворимости со стороны
компонента В линии «-твердого раствора исчезают. При достиже-
нии границы растворимости в области p-твердого раствора период
решетки вновь изменяется с увеличением содержания компонен-
та В. На рис. 18.2, б приведен график изменения периода решетки
для всей области составов диаграммы состояния при определенной
температуре Т.
Существует тип диаграммы состояния (рис. 18.3, а), при котором
по достижении границы растворимости выделяющаяся вторая фаза
не имеет связи с «-твердым раствором. Такая фаза называется
промежуточной. Она имеет кристаллическую структуру, отличаю-
щуюся от структур а- и p-твердых растворов. При исследовании
таких диаграмм состояния готовят ряд сплавов с интервалом изме-
368
Глава 18. Исследование диаграмм состояния
нения концентрации компонента 5—10% (от чистого А до чистого/
В). Затем получают порошковые рентгенограммы каждого сплава.
Для выяснения фазового состава сплавов целесообразно приме-
нять графический метод. Из промера рентгенограмм, снятых на од-
ном и том же характеристическом излучении, определяют углы от-
ражения 1?, а интенсивность линий оценивают по пятибалльной
шкале. Самая сильная линия на рентгенограмме обозначается как
о. с. (очень сильная), менее интенсивные линии - как с. (сильные),
Рис. 18.3. Диаграмма состояния с промежуточной фазой (а) и схематиче-
ское изображение рентгенограмм (б)
затем ср. (средние), сл. (слабые) и, наконец, на пределе видимости —
о. сл. (очень слабые). Затем на график под соответствующими брэг-
говскими углами наносят линии в виде черточек, высота которых
соответствует интенсивностям интерференционных линий рентгено-
граммы, оцененным по пятибалльной шкале. Графики, относящиеся
к сплавам различной концентрации, располагают друг над другом
(рис. 18.3, б). Такой метод графического изображения рентгенограмм
позволяет выявить последовательность появления фаз независимо от
сложности и большого числа интерференционных линий на полу-
чаемых рентгенограммах. На приведенной схеме стрелкой отмечен
возможный случай увеличения интенсивности линий на рентгено-
граммах двухфазных образцов из-за наложения линий обеих фаз
или их размытия, если налагаются близко расположенные линии.
Металлы А и В растворимы в жидком и нерастворимы в твердом
состоянии. В этом случае сплавы представляют собой механическую
смесь кристалликов двух фаз а и f и на рентгенограммах наблю-
даются две системы линий, каждая из которых соответствует чисто-
му металлу (А или В). При изменении состава сплава меняется толь-
ко относительная интенсивность интерференционных линий двух
Глава 18. Исследование диаграмм состояния
369
фаз (в соответствии с процентным содержанием фаз), периоды ре-
шетки остаются постоянными.
Диаграммы с интерметаллическим соединением АтВп. На рент-
генограммах сплавов рассматриваемого типа обязательно присутст-
вуют линии интерметаллического соединения АГПВП, а также линии
одной из фаз, а или р. Соотношение интенсивностей линий зависит
от состава сплава. Если состав соответствует чистому интерметал-
лическому соединению, то на рентгенограмме присутствует только
одна система линий, отвечающая этому соединению.
Исследование диаграмм состояния рентгенографическим методом
обычно начинают с определения равновесия фаз при комнатной тем-
пературе. Сплавы приготовляют в виде слитков, которые подвергают
гомогенизирующему отжигу для придания сплаву однородного
состава по всему объему. Перед гомогенизирующим отжигом сплав
желательно деформировать, так как это способствует ускорению
диффузии и, следовательно, выравниванию состава. Затем слиток
очень медленно охлаждают до комнатной температуры. После этого
с него напиливают мелким напильником порошок, который отжигают
для снятия внутренних напряжений, возникающих при напиловке.
Длительность отжига контролируют рентгенографически: на рент-
генограммах хорошо отожженного образца Ка1, а2-дублеты под
большими брэгговскими углами четко разделяются.
При проведении рентгенографического исследования диаграмм
состояния необходимо учитывать следующее.
J. Каждый сплав должен находиться в равновесии относительно
температуры, при которой изучают фазовые соотношения. Равно-
весное состояние достигается соответствующей длительностью от-
жига сплава. Длительность отжига растете понижением температу-
ры, при которой исследуется фазовое равновесие.
2.	Горизонтальная линия, проведенная через диаграмму состоя-
ния, должна последовательно переходить через однофазную и двух-
фазную области.
3.	В однофазной области изменение состава обычно приводит
к изменению периодов решетки (если радиусы атомов А и В за-
метно отличаются), а поэтому на рентгенограммах наблюдается
смещение интерференционных линий.
4.	В двухфазной области изменение состава сплава приводит
к изменению относительного количества двух фаз; состав фаз при
этом не меняется. Таким образом, в двухфазной области на рентге-
нограммах имеются линии фаз аир. При изменении состава сплава
положение линий не меняется, но меняется относительная интен-
сивность линий обеих фаз.
После изучения равновесия при комнатной температуре перехо-
дят к исследованию фазового состава при высокой температуре.
При этом применяют два метода: закалку от исследуемой температу-
ры и съемку в высокотемпературных камерах. Первый метод не всег-
370
Глава ГЗ. Исследование диаграмм соио.чнИ.Ч
да применим, так как в некоторых случаях не удается закалкой фик-
сировать высокотемпературную фазу. Второй метод позволяет ис-
следовать фазовый состав при высокой температуре, но он также
имеет недостатки, связанные с возможным изменением состава об-
разца при его нагревании.
Высокотемпературные камеры не следует применять для исследо-
вания вертикальных границ диаграмм состояния, если нет абсолют-
ной уверенности в том, что отсутствует дифференциальное испарение
компонентов или окисление образца. При высокотемпературном
исследовании во избежание длительного отжига образца в камере
предварительно отжигают прутки или порошки исследуемого спла-
ва в обычных условиях. Определение точного состава образца, ис-
следуемого высокотемпературным рентгеновским методом, представ-
ляет серьезную проблему (из-за возможного окисления или испаре-
ния). Поэтому высокотемпературный метод нуждается в проверке
другими методами, например микроскопическим. Высокотемператур-
ный метод успешно используют для определения изотермических
(горизонтальных) линий диаграммы состояния, но его не следует
применять к исследованию границ, зависящих одновременно от
состава и от температуры.
Принципы исследования диаграмм тройных и других систем
с большим числом компонентов остаются теми же, что и при исследо-
вании двойных систем. Возрастает лишь сложность расшифровки
рентгенограмм многофазных сплавов.
Рассмотрим различные возможности применения рентгеновского
метода при исследовании диаграмм состояния.
§ 81. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ РАСТВОРИМОСТИ
Диаграмма состояния с ограниченной растворимостью компо-
нентов в твердом состоянии может иметь наклонный ход кривой
зависимости предельной концентрации какого-либо компонента
в твердом растворе от температуры. Такая кривая называется кри-
вой растворимости. Она может быть определена металлографичес-
ким и рентгеновским методами. При металлографическом исследова-
нии образцы различных составов закаливают от разной температуры.
Из полученных образцов готовят шлифы, которые исследуют под
микроскопом. Если на шлифе наблюдается только одна фаза, то на
график зависимости температуры закалки от концентрации компо-
нента В наносят условный значок, например О (рис. 18.4). Если
на шлифе имеются две фазы, то наносят другой значок, например 3-
ранила растворимости находится между этими значками. Д1етод
металлографического исследования не обладает высокой точностью.
Он ие исключает возникновения погрешностей, связанных с недо-
статочной длительностью выдержки образца при температуре за-
калки, а также с тем, что выделяющаяся фаза может находиться
§ 81. Определение границ растворимости	371
в мелкодисперсном состоянии и поэтому ее трудно обнаружить под
микроскопом.
Исследование границ растворимости в двойных системах. Рент-
генографическое исследование границы растворимости можно про-
водить методом «исчезающей фазы» и методом определения измене-
ний периодов решетки.
Метод исчезающей фазы. Этот метод основан на так называемом
правиле рычага, согласно которому относительные доли фаз а и £
Рис. 18.4. Определение границы двух-
фазной (а + |3) области при микро-
структурном исследовании закален-
ных образцов сплавов
Рис. 18.5. Использование пра-
вила рычага для определения
относительного количества фаз
в двухфазной области
в сплаве состава г, находящегося в равновесии при температуре Т\
(рис. 18.5), определяются из уравнения
1^а(г-л')= lF₽(z/-z),	(18.1)
где Wa и — относительные массы фаз а и (3; х, у и z~концент-
рации компонента В, %. Из уравнения (18.1) следует, что Wр ме-
няется линейно с составом от нуля в точке х до единицы в точке у.
Интенсивность любой интерференционной линии /р от [3-фазы также
меняется от нуля в точке х до максимального значения в точке у.
Обычно изменение /р с концентрацией нелинейное, но его можно ис-
пользовать для нахождения точек ,г или у. Для этого ряд двухфаз-
ных сплавов приводят в равновесие отжигом при температуре Т\
с последующей закалкой. По рентгенограммам или дифрактограм-
мам промеряют интенсивность самой сильной линии ct-фазы /а и
самой сильной линии p-фазы /р. Затем по отношению /р//а строят
график в зависимости от концентрации компонента А. Отношение
/р/Д стремится к нулю по мере приближения состава сплава к точке
х. Однако оно становится равным нулю еще до того, как состав будет
соответствовать этой точке, так как каждая фаза выявляется только
при некотором минимальном ее количестве, зависящем от типа ре-
372
Глава 18. Исследование диаграмм состояния
шетки Фазы атомных номеров элементов, входящих в ее состав,
а также от степени ее дисперсности. Поэтому полученную кривую
ill f %) экстраполируют к нулю; точку пересечения кри-
вой^ осью абсцисс принимают за точку х. Другие точки на кривой
растворимости определяют аналогичным образом на сплавах, за-
каленных от температуры Т2, Т3 и т. д. Точку у определяют по отно-
шению /аД₽ = f (В, %).
Точность экстраполяции зависит от числа экспериментальных
точек вблизи границы растворимости (она тем выше, чем больше этих
точек), а также от чуствительности фазового анализа (от возможно-
сти выявлять малое содержание второй фазы). Чувствительность
фазового анализа сильно меняется от одной системы к другой. Ког-
да компоненты А и В имеют почти одинаковые атомные номера, фазы
а и р состоят из атомов с почти одинаковой рассеивающей способ-
ностью и интенсивность линий а- и p-фаз будет примерно равной,
если фазы присутствуют в почти равных количествах. При таких
условиях можно выявить—1 % второй фазы. Если атомный номер
элемента В значительно меньше номера элемента А, то интенсив-
ность линий p-фазы значительно ниже интенсивности линий а-фазы
при одинаковом содержании обеих фаз. В этом случае чувствитель-
ность очень низкая (в некоторых случаях вторая фаза выявляется
только при ее содержании > 50%, если атомные номера компонен-
тов различаются на 70—80 ед.). При таких условиях метод исчезаю-
щей фазы неприменим.
Точность этого метода возрастает с уменьшением ширины двух-
фазной области, так как в этом случае при небольшом изменении
содержания компонента В отношение меняется очень заметно.
Метод определения изменений периодов решетки. Этот метод
более точный по сравнению с методом исчезающей фазы. Образование
твердых растворов обычно сопровождается изменением периодов их
кристаллической решетки. Это изменение влияет на положение ин-
терференционных линий, смещение которых становится наиболее
заметным под брэгговскими углами, близкими к 90°. При образовании
твердых растворов с кубической решеткой меняется лишь величина
элементарной ячейки, а ее форма остается постоянной. При растворе-
нии элемента В в металле А с гексагональной (или другой некуби-
ческой решеткой) меняется отношение осей с/а, что проявляется
в неодинаковом смещении интерференционных линий: одни сме-
шаются в сторону больших брэгговских углов, другие — в сторону
меньших углов, третьи остаются на месте.
В двойных сплавах с ограниченной растворимостью линии на
рентгенограммах смещаются до тех пор, пока сплав остается одно-
фазным. При переходе через границу растворимости концентрация
компонентов в кристаллах каждой фазы при данной температуре
остается в двухфазной области постоянной, поэтому период решетки
ие меняется и интерференционные линии не смещаются.
§ 81. Определение границ растворимости	373
Рентгенографическое определение кривой растворимости в случае
двойных сплавов проводят следующим образом. Ряд сплавов, от-
вечающих, например, составам /—7 (рис. 18.6), отжигают до дости-
жения равновесия при температуре 7\ (вблизи эвтектической) и
закаливают до комнатной температуры. Затем проводят прецизион-
ное определение периодов решетки я для каждого сплава. Зависи-
мость этого периода от содержания компонента В наносят на график
(рис. 18.7). Графически эта зависимость может быть представлена
Рис. 18.6. К выбору состава спла-
вов для определения границы рас-
творимости
Рис. 18.7. Кривая зависимости пе-
риодов решетки сплавов от их со-
става (закалка при температуре
Ti, отпуск при Т2)
двумя ветвями: Ьс и de, пересечение которых соответствует границе
a-области. Соответствующая абсцисса х на графике определяет
предельную растворимость компонента В при температуре 7\.
Другие точки кривой растворимости находят при исследовании
только одного двухфазного сплава, например 6. Этот сплав выдержи-
вают при температуре Т2 до наступления равновесия и затем зака-
ливают. По полученной рентгенограмме вычисляют период решетки
ау. Из графика, представленного на рис. 18.7, находят граничную
концентрацию у, соответствующую температуре Т2. Затем опреде-
ляют периоды решетки сплавов, закаленных ют температуры Т3,
Т, и т. д., и по вычисленным периодам решетки строят полную
кривую растворимости.
При выполнении исследования необходимо, чюбы образец
находился в равновесном состоянии. Если продолжительность от-
пуска сплава при исследуемой температуре окажется недостаточной,
то не весь избыточный компонент выделится из пересыщенного твер-
дого раствора. В таком случае, несмотря на точное измерение перио-
дов решетки сплава, кривая растворимости будет определена не-
правильно.
374
Глава 18. Исследование диаграмм состояния
Равновесное состояние сплава может быть определено методом,
предложенным С. Т. Конобеевским и В. П. Тарасовой. Предполо-
жим, что исследуется точка кривой растворимости, соответствую-
щая’температуре В этом случае берут два двухфазных образца
одинакового состава (например, 6), один из которых длительно вы-
держивают при температуре	11 закаливают до комнатной
температуры (этот образец будет недосыщенным по отношению
к температуре 7\), другой образец выдерживают при температуре
> Л (он будет пересыщенным по отношению к температуре
Ti). Затем оба образца выдерживают при температуре Л- По мерс
увеличения продолжительности отпуска через определенные про-
межутки времени сплавы исследуют с целью определения периодов
решетки а и затем строят зависимость периода решетки от продол-
жительности отпуска т. В сплаве, отпущенном предварительно при
температуре в процессе отпуска при температуре Tt происходит
растворение компонента В в «-твердом растворе; при этом период
решетки твердого раствора растет. В сплаве, предварительно от-
пущенном при температуре во время отпуска при температуре Tt
из пересыщенного твердого раствора выделяется компонент В, по-
этому период решетки уменьшается. Кривые изменения периодов
решетки обоих образцов пересекаются в некоторой точке, а соответ-
ствующее время отпуска травн представляет собой искомое время
равновесного отпуска при температуре 7\
При рентгенографическом исследовании было установлено, что
время равновесного отпуска уменьшается с увеличением степени
предварительной деформации сплава. Напиловка сплава для рент-
генографического исследования создает чрезвычайно сильные струк-
турные искажения в сплаве, которые заметно сокращают время
равновесного отпуска для деформированных образцов по сравнению
с недеформированными. В некоторых случаях, например при иссле-
довании диаграмм состояния систем на основе плутония, чтобы уско-
рить достижение равновесного состояния, образцы предварительно
деформировали гидростатическим сжатием.
Точность определения кривой растворимости по изменениям
периода решетки твердого раствора зависит от крутизны наклона
кривой зависимости периода решетки от состава. Так, например,
в твердом растворе серебра в алюминии изменение периода решетки
составляет 0,0001 А на 1%, и поэтому рассматриваемый метод
неприменим.
А1етод прецизионных определений периодов решетки в боль-
шинстве случаев более точен, чем метод исчезающей фазы. Он ис-
пользуется при исследовании как первичных, так и промежуточных
твердых растворов, а также в тех случаях, когда из-за сложности
структуры твердого раствора рентгенограмма не может быть инди-
цирована. Тогда строят график зависимости межплоскостного рас-
стояния d Оля любой линии твердого раствора с большим углом ф)
£ 81. Определение границ растворимости
375
от состава сплава. Полученная кривая используется описанным
выше способом.
Исследование фазовых границ в тройных системах. Исследование
тройных систем представляет более сложную задачу, чем изучение
двойных систем- Однако и в этом случае могут быть использованы
с некоторыми изменениями описанные выше рентгеновские методы.
Диаграмму состояния тройной системы можно представить пол-
ностью только в трех измерениях. Она изображается в виде равно-
стороннего треугольника, вер-
шины которого А, В и С соответ-
ствуют чистым компонентам, а
температура изображается осью,
перпендикулярной к плоскости
треугольника. Обычно при ис-
следовании тройной диаграммы
получают ряд изотермических
разрезов. Изучение диаграммы
начинают с определения трсх
двойных диаграмм АВ, ВС и
СА. Затем почти произвольно
берут ряд тройных сплавов.
С помощью рентгенограмм, по-
лученных от этих сплавов, на-
ходят число и тип фаз, при-
сутствующих при температуре
выбранного разреза. Затем при-
ближенно определяют фазовые
области и устанавливают, какие
Рис. 18.8. Изотермический разрез
гипотетической тройной диаграммы:
О--одна фаза; О — две фазы; ф—три
фазы
сплавы нужно приготовить для
более точного определения фазовых границ.
Результат такого предварительного исследования приведен на
рис. 18.8. В однофазной области состав любой фазы, например а,
непрерывно изменяется. В двухфазной области, так же как и в двой-
ных системах, существуют линии, вдоль которых меняется только
относительное количество обеих фаз, а не их состав. Эти линии
называют конодами. На рис. 18.8 проведены коноды для области
ct 4- у. Вдоль линии de «-фаза состава d находится в равновесии
с у-фазой состава е. Относительное количество фаз для сплава
состава х находят по формуле
Wa(x-d) - (е ~ х).	(18.2)
' В трехфазной области состав твердых фаз фиксирован и опреде-
ляется вершинами треугольника, ограничивающего трехфазную
область. Для определения относительных количеств фаз в точке у
(см. рис. 18.8) следует провести через нее прямую в любую вершину,
например Ь, а затем применить правило рычага, согласно которому
W^b-y) = W^(y~g).
(18.3)
376
Глава 18. Исследование диаграмм состояния
На соотношениях (18.2) и (18.3) основывается метод исчезающей
фазы для тройной системы. Как и в случае двойной системы, строят
график зависимости отношения интенсивностей линий /р//а °т со-
держания компонентов и полученную кривую экстраполируют
Рис. 18.9. Определение границы рас-
творимости в тройных системах
к нулю.
Метод определения изменений периодов решетки также исполь-
зуют при исследовании фазовых границ во всех частях изотермичес-
кого разреза. Определим грани-
цу а/ (а у) на участке диа-
граммы, приведенной на
рис. 18.9. Для этого готовят ряд
сплавов, составы которых рас-
полагаются вдоль линии abc,
являющейся конодой, так как
вдоль нее состав а- и у-фаз в
двухфазной области остается
постоянным. По полученным от
этих сплавов рентгенограммам
изучают изменение периодов ре-
шетки в зависимости от состава.
В однофазной области период решетки а-фазы изменяется по некото-
рой кривой, в двухфазной области он не меняется. Пересечение двух
ветвей дает искомую точку/? на диаграмме состояния (рис. 18.10).
Рис. 18.10, Изменение периода решетки в зависимости от
состава сплавов вдоль линий abc (а) и Abd (б)
Однако в начальной стадии работы коноды неизвестны, они опре-
деляются только из дальнейшего исследования, поэтому обычно изу-
чают изменения периодов решетки вдоль произвольной линии Abd.
Тогда кривая зависимости периода решетки от состава имеет вид,
изображенный на рис. 18.10, б. Период решетки для сплавов вдоль
линии Муже не будет постоянным, но характер его изменения с со-
ставом будет иным, чем для сплавов на участке АЬ (см. рис. 18.9).
§ 81. Определение границ растворимости
377
Граница между двухфазной и трехфазной областями определяется
аналогично: чтобы найти точку f на границе фаз (а + у) и
(а + Р -г у), исследуют изменения периода а-фазы вдоль линии
eg, выбираемой произвольно. На участке ef период решетки меняется
непрерывно, а на участке fg в трехфазной области он остается
постоянным и отвечает насыщению в точке h.
Для построения полной тройной диаграммы состояния необхо-
димо нанести на нее коноды. Металлографические исследования
в ряде случаев позволяют лишь
жение этих линий, точное опре-
деление конод возможно с по-
мощью рентгеновского метода.
На рис. 18.11 изображен угол
тройной диаграммы, на которой
выделена двухфазная область
а + р. В этой области найдем
такую точку Р, для которой ко-
личественное соотношение фаз
аир (определяемое рентгеногра-
фическим методом по соотноше-
нию интенсивностей интерфе-
ренционных линий) равно, на-
пример, 2:1. Нетрудно подо-
брать такие две прямые, для ко-
торых справедливо отношение
ЬР : аР = dP : cP ~ 2 : 1. Каж-
дая из этих линий может быть
приблизительно установить поло-
Рис. 18.11. К определению конод
в двухфазной области тройной си-
стем ы
конодой. Исследование сплавов
других составов позволяет установить, какая из этих двух линий
действительно является конодой. Если, например, сплав, отвечаю-
щий точке Q, содержит равное количество фаз а и р, то это можно
изобразить только конодой ef. Нетрудно сделать заключение, что
для сплава состава Р конодой является прямая ab.
Наиболее точно положение конод определяется с помощью пре-
цизионного измерения периодов решетки сплавов. Значения перио-
дов решетки большого числа сплавов проставляются вблизи соответ-
ствующих точек составов на изотермическом разрезе тройной си-
стемы. После этого проводят линии, соответствующие одинаковым
периодам решетки, т. е. изопараметрические линии (рис. 18.12),
которые в двухфазной области и являются поводами. Однако следует
иметь в виду, что изопараметрические линии могут иметь аномаль-
ные изгибы, объясняемые изменением формы зоны Бриллюэна изу-
чаемых сплавов.
Возможен и другой способ определения конод с использованием
точного измерения периодов решетки. На рис. 18.13 приведен угол
изотермического разреза тройной системы, для которой фазовые
границы ху и ZLC1 определены точно. Возьмем сплав Р, состав которого
378
Глава 18. Исследование диаграмм состояния
соответствует двухфазной области вблизи границы a-области. При-
готовим ряд сплавов, например 1—7, расположенных по составам
близко к границе Zu?, во в то же время достаточно далеко от нее,
чтобы на рентгенограмме получались интенсивные линии а-фазы,
по которым и определяют периоды решетки этой фазы. Среди иссле-
дованных сплавов нужно найти такой, период решетки которого
равен периоду решетки сплава Р. Таким образом может быть ориен-
тировочно нанесена копода. Найденное положение колоды, вероятно,
будет правильным, однако возможно, что то же значение периода,
что и у сплава Р, будут иметь и другие сплавы вблизи линии ху.
Такая неоднозначность исправляется на дальнейших этапах работы.
Предположим, что линия Л1А7 является первой нанесенной
описываемым методом конодой. Приготовим сплав Q, расположен-
ный по составу достаточно далеко от границы ху и дающий интенсив-
ные линии а- и (3-фаз. Зная направление линии MN и значения пе-
риодов решетки (3-фазы сплавов 1—7, можно найти среди них сплав
с тем же периодом, что и у сплава Q. Это позволит провести вторую
коноду. Работу продолжают до нанесения необходимого числа конод
на двухфазной области.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТИПА ТВЕРДЫХ РАСТВОРОВ
Как известно, существуют следующие типы твердых растворов;
1) замещения (неупорядоченные и упорядоченные); 2) внедрения:
3) вычитания. Возможны также комбинации твердых растворов
внедрения и замещения.
Тип твердого раствора определяется рентгенографическим ис-
следованием, при котором проводится прецизионное измерение
периодов решетки. Кроме того, должна быть экспериментально
измерена плотность сплавов.
<$ 82. Определение типа твердых растворов
379
Образование неупорядоченного твердого раствора замещения
может сопровождаться увеличением или уменьшением периодов
решетки. Размеры элементарной ячейки уменьшаются, если в ре-
шетке металла А растворяется металл В с меньшим атомным радиу-
сом. В случае непрерывного ряда твердых растворов изменение
периодов решетки почти пропорционально изменению содержания
компонентов в сплаве.
Плотность твердого раствора замещения определяется по фор-
муле
р - (1,66056 • 10~24 SA)/Vn,	(18.4)
где — лдАд ивАв; нд и Нв — число атомов сорта А и В со-
ответственно, приходящихся на элементарную ячейку; Лд и Лв—
относительная атомная масса их; Уя —средний объем элементар-
ной ячейки; 1,66056 • 10"34 г — атомная единица массы.
Число атомов /г, приходящееся на элементарную ячейку, можно
определить, измерив периоды этой ячейки и плотность сплава р, по
формуле
/г уяр/ (Лср1,66056 • IO’24),	(18.5)
где Лср — средняя относительная атомная масса сплава.
Если атомный состав твердого раствора выражен в процентах рг и
Р-2» то
лср = ОМ, н- р2Л2)/100,
если же массовый состав выражен в процентах (\ и с2, то
Лср - 100/ [(^MJ 4- (г2/Л2)].	(18.6)
Для твердых растворов замещения вычисленное значение п всегда
совпадает с теоретическим значением н0 (для кубической объемно-
центрированной решетки п0 = 2, для гранецентрированной решетки
и0 4).
В некоторых случаях наблюдается упорядочение твердых раст-
воров замещения. Тогда на рентгенограммах появляются дополни-
тельные, сверхструктурные линии (в отличие от основных, струк-
турных линий). Сверхструктурные линии имеют обычно меньшую
интенсивность, чем структурные, которая растет с увеличением сте-
пени порядка в сплаве, что позволяет проводить рентгенографиче-
ское исследование хода процесса упорядочения.
Рассмотрим упорядоченный сплав Cu3Au. Расположение атомов
в ячейке этого сплава приведено на рис. 18.14. Атомы золота распо-
лагаются в вершинах элементарной ячейки, атомы меди — в центрах
ее граней. Базис для такой структуры записывается следующим
образом:
Au (0 0 0); СдЦоЛ-у; V 0 4 ’ ТТ°)'	(18.7)
380
Глава 18. Исследование диаграмм состояния
Рис. 18.14. Элементарная
ячейка упорядоченного
сплава Cu3Au
Структурная амплитуда имеет четыре члена:
F (HKL) -- Ли I- /си [cos л (К -|- L) -I- cos п (Я + L) +
cos л (Н+К)), где /ли И /Си —атомные множители Аи и Си соответ-
ственно. При Н, К, L несмешанных (все четные или все нечетные)
F (НКЦ “ Mu -I" 3 /си- Этот случай соответствует основным,
структурным линиям. При Н, К> L смешанных F (НКЦ - /ли
—/си и соответствует сверхструктурным линиям. Отношение интен-
сивностей для основных /осн и сверхструк-
турных /св линий определяется отноше-
нием квадратов структурных амплитуд:
^осн (/лпНг3/Си)2	J (18 g\
^св (/au~W2	\ 50 /
Это отношение интенсивностей основных и
сверхструктурных линий отвечает полному
упорядочению сплава (дальнему порядку).
Если сплав частично разупорядочен, то
отношение интенсивностей выше указан-
ного, при полном разуиорядочении сплава
это отношение равно бесконечности. Таким
образом, измеряя отношение интенсивно-
стей основных и сверхструктурных линий,
можно определять степень дальнего поряд-
ка в сплаве.
Следует отметить, что изучение упорядочения в сплавах по по-
явлению сверхструктурных линий может быть успешным только
в том случае, если компоненты А и В, образующие твердый раствор,
имеют достаточно различающиеся атомные номера. Если их атомные
номера близки, то интенсивность сверхструктурных линий почти
равна нулю. В таких сплавах упорядочение изучается методом ней-
тронографии (например, в системах Fe — Ni, Fe — Со).
При отсутствии дальнего порядка в твердых растворах может
существовать предпочтительная корреляция атомов. Если вокруг
атома одного компонента группируются атомы другого сорта, то
такая корреляция называется ближним упорядочением. Если
вокруг данного атома группируются атомы того же сорта, то это
называется ближним расслоением.
Количественные характеристики ближнего упорядочения и
ближнего расслоения могут быть получены из анализа распределе-
ния интенсивности диффузного фона на рентгенограммах (для твер-
дых растворов, компоненты которых имеют заметно различающиеся
атомные номера).
Атомные амплитуды приняты приближенно равными атомным но-
мерам.
1$ 6'2, Определение типа твердых растворов
381
На рентгенограммах, полученных от полностью неупорядочен-
ных твердых растворов, интенсивность диффузного фона монотонно
убывает с увеличением отношения sin ОД (рис. 18.15, кривая /).
При наличии ближнего порядка или расслоения ход кривой диффуз-
ного рассеяния меняется — на ней появляются максимумы или ми-
нимумы (рис. 18.15, кривые 2, 3).
Максимумы на кривой диффузного рассеяния располагаются
вблизи тех мест, в которых при дальнем
сверхструктуриые максимумы (некото-
рое смещение обусловлено различием
атомных диаметров компонентов твер-
дого раствора).
Параметры ближнего порядка опре-
деляются по теоретически выведенным
формулам, связывающим интенсивность
диффузного фона рентгенограммы моно-
кристалла твердого раствора с величиной
1 — 1(пав)Лв 1, где г — отно-
сительное число атомов В на r-й коор-
динационной сфере вокруг атома А,
Св — концентрация компонента В.
Полученная для 1-й координационной
сферы величина < 0 отвечает ближ-
нему упорядочению, а > 0 — ближ-
нему расслоению.
Твердые растворы внедрения обра-
зуются чаще всего при растворении не-
упорядочении находятся
Рис. 18.15. Зависимость ин-
тенсивности диффузного рас-
сеяний от sin ОД для поли-
кристаллического образца
с г. ц. к.-решеткой:
1 — полностью неупорядочен-
ный твердый раствор; 2 — ближ-
нее упорядочение; 3 — ближнее
расслоение
металлов с малыми атомными радиусами
(Н, С, В, N) в так называемых переходных металлах (с недостроен-
ными электронными оболочками). К числу твердых растворов вне-
дрения относятся мартенсит, аустенит, феррит.
Образование твердых растворов внедрения всегда сопровождает-
ся увеличением объема элементарной ячейки. Если решетка куби-
ческая, то ее период а должен расти. В случае некубичсской решетки
один период может увеличиваться, а другой уменьшаться, но резуль-
тирующее изменение должно приводить к росту объема элементарной
ячейки. Это иллюстрирует зависимость периодов решетки мартенсита
от содержания углерода (рис. 18.16), для которого период а умень-
шается, а период с растет с увеличением содержания углерода. При-
веденный график показывает, что симметрия решетки при образова-
нии твердого раствора может также меняться. В данном случае
кубическая структура a-железа при внедрении в нее атомов углеро-
да становится тетрагональной, причем степень тетрагональности,
характеризуемая отношением осей с[ау с увеличением содержания
углерода растет.
582
/8. 14 ('следование диаграмм состояний
Определение числа атомов и па основании измерения периодов
решетки и экспериментальных значении плотности сплава дает в слу-
чае твердого раствора внедрения число, превышающее теоретическое
значение п0 для данного типа ячейки. Это расхождение и позволяет
сделать заключение об образовании твердого раствора внедре-
ния.
Рис. 18.16. Зависимость периодов решет-
ки а, с и отношения с/а от содержания
углерода в тетрагональной решетке мар-
тенсита
Твердые растворы вычитания образуются только на основе хими-
ческих соединений. В твердых растворах этого типа некоторая часть
узлов в решетке оказывает-
ся незанятой. Такого рода
дефектные структуры обнару-
жены в P-фазе сплава ни-
кель—-алюминий, в системах
алюминий — кобальт, алюми-
ний — цинк, алюминий —•
марганец, а также в фазах
с г. ц. к.- решеткой (TiN,
TiC, TiO, UO2). Число ато-
мов //, приходящихся на эле-
ментарную ячейку, для твер-
дых растворов вычитания яв-
ляется переменной величи-
ной, но оно всегда меньше
теоретического значения По-
переменный состав твердых
растворов вычитания харак-
теризуется формулами с пере-
менной величиной х : TiOX;
UO2 + ж и т. д.
Обобщая сказанное, мож-
но предложить следующий
способ определения типа твердого раствора. Если в элементар-
ной ячейке чистого металла А содержится /?0 атомов, то, сравни-
вая это число с числом атомов в элементарной ячейке твердого
раствора п, найденным по рентгенографическим данным и экспери-
ментальным значениям плотности, получаем, что в твердом раство-
ре замещения и zz0, в твердом растворе внедрения n Z> Щ», в твер-
дом растворе вычитания и < /?0.
При образовании твердых растворов всех трех типов наблю-
даются также так называемые статические искажения, связанные
с нарушениями структуры из-за различия атомных радиусов метал-
ла-растворителя и растворяемого элемента. Статические искажения
приводят к уменьшению интенсивности интерференционных линий
и к увеличению фона рентгенограммы. Ослабление интенсивности
линий наиболее заметно при большой сумме квадратов интерферен-
ционных индексов.
§ 82. Определение типа твердых растворов	383
Рассмотрим пример определения типа твердого раствора. Дву-
окись урана имеет структуру типа CaF2(r. ц. к.-решетка), содержит
четыре формульных частицы (молекул UO2) на элементарную ячейку,
т е> = 4. Теоретическая плотность UO2 равна 10,96 г!см\ период
решетки а ~ 5,4691 А. Как известно, двуокись урана является не-
стехиометрическим соединением, имеющим состав UCX, + х, где
—0,32 < л-<0,2.
Для конкретного образца двуокиси урана химическим анализом
установили, что содержание урана 87,1 % и кислорода 12,9%; плот-
ность этого образца составила 10,73 г/слР; период решетки а =
5,457 А. Решив пропорцию, Аи/0,87 = Ао + (2 + х) Ао (где
Ли 238,03 и Ао 15,99 — относительные атомные массы
урана и кислорода соответственно), получим х ~ 0,19, т. е. имеем
соединение UO219. Вычислим относительную молекулярную массу
этого соединения:
М - 238,03 + 2,19 • 15,99 - 273,05.
Для расчета числа атомов в элементарной ячейке используем
формулу (18.5), подставляя в нее вместо Лср вычисленное значе-
ние М:
= 10,73-(5,441)М0~24 __ з gj
~	273,05-1,66-10-24	' ’
Таким образом, получили, что п < н0 и, следовательно, исследо-
ванный образец является твердым раствором вычитания. Так как
содержание урана в образце ниже содержания, отвечающего стехио-
метрическому составу, можно заключить, что часть узлов (0,19/4
5%) в подрешетке урана является вакантной. Наоборот, в об-
разце с х< 0 вакантными остаются узлы в подрешетке кислорода.
Проведенные расчеты показывают неправильность заключения,
сделанного в некоторых учебниках и учебных пособиях, где утверж-
дается, что «добавочные атомы кислорода в нестехиометрической
двуокиси урана удерживаются в промежутках решетки», т. е. обра-
зуют твердые растворы внедрения.
Глава 19. РЕНТГЕНОВСКИЙ ФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ
Фазовым анализом называется установление наличия фаз в ис-
следуемом образце, их идентификация (качественный анапиз)
анаХ)деЛСИИе относите/1ьтюго содержания фаз (количественный
Глава 19. Рентгеновский фазовый анализ
384
§ 83. КАЧЕСТВЕННЫЙ ФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ
Чувствительность качественного фазового анализа. В отличие
от рентгеноспектрального анализа, которым определяют, какие эле-
менты входят в состав образца, по порошковым рентгенограм-
мам можно установить, из каких химических соединений состоит
образец Более того, одно и то же соединение может быть в различ-
ных модификациях, что также устанавливается по рентгенограммам.
От каждого химического соединения на рентгенограмме возникает
свой набор линий. Измеренные относительные интенсивности линий
и определенные по рентгенограмме мсжплоскостные расстояния на-
зываются рентгеновской характеристикой вещества. Самые сильные
линии данного вещества называют реперными. Они^исчезают на рент-
генограмме последними, если содержание данной фазы в образце
уменьшается. По реперным линиям и выявляют обычно фазы. Ми-
нимальное количество вещества, при котором еще заметны реперные
линии, определяет чувствительность фазового анализа.
Чувствительность зависит от интенсивности интерференционных
линий, которые дает на рентгенограмме исследуемое вещество. Как
известно, интенсивность линий для порошкового образца опреде-
ляется произведением
1Ш = А (ft, р.) nWL (ft) Р (ft) F2 (hkl) exp ( — 2М) р, (19.1)
г
де A (&, р) ~ множитель поглощения, зависящий от брэггов-
ского угла ft и линейного коэффициента поглощения р, который за-
висит от атомного номера вещества и длины волны рентгеновского
излучения; L (ft) — множитель Лоренца; Р (ft) — множитель Том-
ина; F2 (JM) ~ структурный множитель, р — множитель повторяе-
мости; exp (— 2М)—температурный множитель; п— число эле-
ментарных ячеек в единице объема; Z — длина волны.
Чувствительность зависит от соотношения коэффициентов погло-
щения определяемой фазы и всей смеси. Фаза с большим коэффициен-
том поглощения (состоящая из тяжелых элементов с большой рас-
сеивающей способностью) в смеси со слабопоглощающими фазами
выявляется при малых ее содержаниях. Наоборот, фазу с малым
коэффициентом поглощения (состоящую из легких элементов) в сме-
си с сильпопоглощающпми фазами можно выявить только при зна-
чительном ее содержании.
Так как значения множителя повторяемости определяются сим-
метрией решетки, то чем выше симметрия решетки, тем при меньшем
содержании фаза может быть выявлена. Для кубических решеток
множитель повторяемости имеет наибольшие значения, поэтому фазы
с такой решеткой дают интенсивные линии. При сравнении чувстви-
.?иализа ;г,я Двух фаз с одинаковой решеткой, например
Чпа *5СКОИ’ слеАует учитывать значения структурного множителя.
7  тьемноцентрироваппой решетки (о. ц. к) он равен 4/2 (Л
$ 83. Качественный фазовый анализ
385
атомный множитель), для гранецентрированной (г. ц. к) F2 (hkl) —
= 16 Z2’ Следовательно, одно и то же вещество, имеющее о.ц.к.-
и г. ц* к.-модификации, выявляется в случае г.ц.к.-структуры при
содержании в четыре раза меньшем, чем при наличии о.ц.к.-ре-
шетки.
Чувствительность метода также зависит от наличия структурных
искажений и дефектов в кристаллическом веществе и от величины
кристаллитов. Все эти факторы могут вызывать уширение интерфе-
ренционных линий и, следовательно, снижать чувствительность ме-
тода, так как размытые линии выявить сложнее, чем резкие.
Чувствительность качественного фазового анализа может быть
повышена улучшением техники рентгеновской съемки (при фотогра-
фической регистрации) и соответствующей подготовкой анализируе-
мого образца. Применение монохроматоров уменьшает общий фон
на рентгенограммах, благодаря чему удается выявлять очень слабые
линии. Однако использование монохроматоров приводит к значи-
тельному возрастанию экспозиций. Для уменьшения вероятности
наложения линий разных фаз желательно применять камеры боль-
шого диаметра.
Применение дифрактометров с ионизационной регистрацией ин-
терференционных линий (например, установок УРС-50ИМ или
ДРОН-1, ДРОН-2,6) приводит также к повышению чувствитель-
ности фазового анализа. Это связано с тем, что при фокусировке по
Брэггу — Брентано рассеянные лучи не фокусируются, и поэтому
уровень фона здесь значительно ниже, чем при фотографическом
методе регистрации. При фазовом анализе с использованием дифрак-
тометра удобно применять устройство, автоматически регистрирую-
щее накопленные импульсы за определенный промежуток времени
при поворотах образца на небольшие дискретные углы (0,5; 1 и 2').
Такая запись позволяет выделить над фоном очень слабые линии,
которые обычно не выявляются при непрерывной записи дифрак-
тограммы.
Уровень фона на рентгенограмме или дифрактограмме можно
также уменьшить оптимальным подбором напряжения на рентгенов-
ской трубке. Так, например, для трубки с медным анодом оптималь-
ное напряжение составляет 25—30 кв, для хромового анода — 20—
25 кв.
Чувствительность метода также повышается при правильном
приготовлении образца. Перед съемкой целесообразно проводить
химическую очистку анализируемых порошков от загрязнений.
Иногда можно применять магнитную сепарацию или разделение по
фракциям в тяжелой жидкости, а также просеивание. При съемке
шлифов из сталей или сплавов химическое или электрохимическое
травление позволяет обогатить поверхность образца карбидами
пли интерметаллидамп, так как при соответствующем подборе тра-
13 Зак. 1288
386
Глава 19. Рентгеновский фазовый анализ
витетя растворяется матрица и остаются частицы определяемой
фазы.
При съемке крупнокристаллических образцов последние необ-
ходимо вращать, так как это увеличивает вероятность отражения от
кристаллов исследуемой фазы. Однако от этого же образца, если он
многофазный, желательно получить также рентгенограмму при не-
подвижном положении. Если одна из фаз крупнокристаллическая,
то интерференционные линии от нее будут иметь точечную структуру
ЛП1Х легко отличить от линий других фаз.
I Методика качественного фазового анализа. Если образец одно-
’фазный, то определение этой фазы представляется простой задачей.
Сложность определения возрастает с увеличением числа химических
соединений, составляющих образец.
Для проведения качественного фазового анализа часто поль-
зуются картотекой ASTM (American Society for Testing Materials),
содержащей в настоящее время более 15 000 карточек. Такая карто-
тека имеет указатель, в котором каждое вещество характеризуется
тремя наиболее сильными линиями, из которых линия с межплоско-
(Стным расстоянием dy— наиболее интенсивная, линия (L—вторая
по интенсивности, линия d3 — третья по интенсивности. Карточки
в картотеке расположены по группам, характеризующимся опреде-
ленным интервалом межплоскостных расстояний. Внутри каждой
группы, например группы c dt = 2,29-42,25 А, карточки распола-
гаются по подгруппам с уменьшающимся значением d2. Когда не-
сколько веществ внутри данной группы имеют одно и то же значение
d2, то карточки располагаются по убывающим значениям d3.
Предположим, что на рентгенограмме найдены три сильные
плинии:
dY~ 2,68 А (Л-100); d2-2,45 А (/2 = 33); г/3- 1,67 А (73-20).
В указателе находят основную группу dx — 2,694-2,65 А, так
как этого вещества попадает в эту группу. Затем в этой группе
ищут подгруппу с d2 — 2,50—2,45 А, в которой находится соедине-
ние Ag3PO4, так как для него d3 ~ 1,67. В правильности определе-
ния убеждаются, сравнивая полностью данные рентгенограммы и
карточки.
При наличии смеси веществ анализ более сложен. Предполо-
жим, что на рентгенограмме имеются три очень сильные линии, при-
мерно одинаковые по интенсивности:
di = 2,93 A; d2-2,52 A; d3-2,32 А.
Рассмотрим основную группу dr = 2,954-2,90 А. В группе
cd2 — 2,554-2,50 А невозможно найти линии, согласующиеся с дан-
ным значением d3. То же имеем для группы с d = 2,354-2,30 А,
которая не согласуется со второй линией. В этом случае используют
другие линии рентгенограммы, например d4 2,38 А. В подгруппе
§ 83. Качественный фазовый анализ	387
с d = 3}30ч-3,20 А соединение имеет третью линию с d ~ 1,75 А*
/Такая линия с d = 1,75 А имеется на рентгенограмме исследуемого
;образца. Последующее сравнение рентгеновских характеристик d и
I I подтверждает предположение о наличии в образце NaC103.
При проведении анализа по картотеке следует учитывать, что
в ней часто приводятся данные, полученные на молибденовом излу-
чении. Поэтому если исследователь получил рентгенограмму того
же вещества на другом, более мягком, например медном излучении*
то интерференционные линии сместятся в сторону больших брэг-
говских углов и для них угловые множители интенсивности будут
иметь иные значения. Следовательно, может появиться несоответ^
ствие между интенсивностями, приведенными в картотеке и изме*
репными по рентгенограмме.
В последние годы для картотеки ASTM был создан новый указа-
тель, названный указателем Финка. Указатель Финка представ-
ляет собой книгу, в которой даны значения межплоскостных рас-
стояний d, меньших 9,99 А, для восьми наиболее сильных линий ве-
ществ, содержащихся в картотеке. Относительные интенсивности
линий не приводятся.
Каждые восемь значений d записаны в восьми различных местах
указателя. В первой записи величины d расположены слева направо
в порядке убывания. В других записях они приводятся в порядке
циклической перестановки. Как и в прежнем указателе, эти совокуп-
ности значений d разбиты на группы и подгруппы. Идентификацию
вещества ведут по наибольшему значению d рентгенограммы, по кото-
рому находят группу Финка. В этой группе производят системати-
ческий поиск, используя каждое из значений d (в порядке их убы-
вания) в качестве второй линии. В случае неудачи за наибольшее
значение принимают другое d, и операцию повторяют до полной иден-
тификации вещества.
Следует отметить, что идентификацию вещества по картотеке
ASTM нельзя проводить независимо от других методов, таких, как
химический и спектральный анализы. Это объясняется тем, что со-
вершенно различные вещества могут давать одинаковые рентгено-
граммы. Примером такого совпадения рентгенограмм являются рент-
генограммы фтористого лития и алюминия. Многие сплавы с заметно
различающимися концентрациями компонентов также дают одина-
ковые рентгенограммы, что связано с существованием широкого
интервала твердых растворов (например, в минералах).*
Очень часто бывает, что картотека ASTM не содержит карточек
веществ, которые встречаются в практике некоторых лабораторий.
Кроме того, при исследовании новых диаграмм состояния обнаружи-
вают еще не исследованные фазы. В этом случае рентгеновская лабо-
ратория сама должна получить необходимые эталонные рентгено-
граммы. Такие рентгенограммы удобно представить в виде графиков,
на которые нанесены интерференционные линии, причем интенсив-
13*
388
Глава 19. Рентгеновский фазовый анализ
т пгшяжена в условной пятибалльной шкале
ность этих линии ;а^Ра®еХяется значение d или, если исполь
Абсциссой "anS"7P*K“c”7^	19,1). Далее, когда
водис ™ачестмвиыГ| фазовый анализ, то рентгенограмму ясследуе-
А а6пАп । также изображают в виде аналогичного графика на
прозрачной бумаге (масштаб построения графика тот же, что и для
эталонного образца . Затем график исследуемого вещества наклады-
эталонно! и н	вают на графики эталонных веществ.
При совмещении линий обращают
внимание па то, что соотношение ин-
тенсивностей линий для данной фазы
должно сохраниться, даже если она
находится в смеси. Если обнаружено
совпадение сильной линии графика
образца с сильной линией «эталона»,
то такое же совпадение должно быть
и для остальных линий образца. Если
же слабая линия графика образца
совпадает с сильной линией эталона,
то это означает низкое содержание
данной фазы в образце и некоторые ее
более слабые линии могут вообще не
присутствовать на рентгенограмме.
Возможен случай наложения линий
двух различных фаз, при этом на
рентгенограмме исследуемого образца
такая линия будет более сильной,
чем на рентгенограмме эталонного об-
разца. Если вещество дает сложную рентгенограмму, то для умень-
шения вероятности наложения линий следует применять длинно-
волновое излучение (например, излучение хрома) и камеры с боль-
. шими диаметрами (114,6 или 190 мм).
Рис. 19.1. Графическое изобра-
жение рентгенограммы — рас-
пределение интенсивности в за-
висимости от межплоскостного
расстояния d (а) и от угла
* (б)
5»
§ 84. КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ ФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ
Методы количественного фазового анализа основаны на том, что
каждое вещество дает определенный набор интерференционных
линий, который не зависит от других веществ, присутствующих
в образце. Соотношение интенсивностей линий данной фазы не ме-
няется, хотя интенсивность каждой линии пропорциональна содер-
жанию фазы в веществе (если не учитывать поглощение).
Образцы для рентгеновского фазового анализа имеют обычно
форму пластинки (шлифа) или цилиндра диаметром 0,2—1,0 мм-
известно, что поглощение в образце определяется как его формой,
так и геометрией расположения первичного и дифракционного
§ 84. Количественный фазовый анализ	389
Образцы в форме пластинки могут исследоваться как при фото-
графической регистраций методом на отражение, так и при иониза-
ционной регистрации с помощью дифрактометра. В первом случае
угол, который составляет первичный пучок с плоскостью образца,
не равен углу между дифракционным лучом и той же плоскостью
(асимметричный случай). В методе дифрактометра оба указанных
выше угла равны (симметричный случай).
Учет поглощения в плоском образце. Рассмотрим асимметричный
случай. Допустим, что первичный пучок сечением S падает на плос-
Рис. 19.2. к выводу формулы, учитывающей поглощение
в асимметричном случае
/Г
кий образец под угломф (рис. 19.2, а), а дифракционный луч выходит
из образца под углом 2$—ф [отражение от атомных плоскостей
(hkl), непараллельных поверхности образца (рис. 19.2, б)]. Облучен-
ный элемент объема dv в слое между х и х -|- dx составит
dv S б/х/з!пф (для массивного образца). (19.2)
Если образец приготовлен прессованием частичек порошка,
то его плотность р' будет меньше плотности р массивного образца.
Для такого случая эффективный просвечиваемый объем может быть
определен по формуле
dv' = (S dx/sinф) (р7р).
(19.3)
Будем считать, что элемент объема dv' достаточно мал для за-
метного поглощения в нем рентгеновских лучей, но достаточно ве-
лик, чтобы обладать средними характеристиками порошкового
fАпва 19. Рентгеновский фазовый анализ
образца. Тогда интенсивность отраженного пучка равна
I /0 Q J ехр [ -р' («1Н- «г)] dv' =
V'
d	/	'	\1
(ИМ>
о
где Q - Р Ю Ь (ft) Р (hkl) ехр ( — 2 М)р~ интегральная отража-
тельная способность плоскости (hkl)-, р.'—линейный коэффициент
ослабления порошкового образца; /0—интенсивность первичного
пучка.	.
Примем а — 1 /sin^H b = 1/sin (2'О’ —ф). После интегрирования
выражения (19.4) получим
7 =	(1 -ехр [ - и' (а + b) dj). (19.5)
Р' (я + ^) \ Р /
Так как массовые коэффициенты порошкового и массивного образ-
цов равны, то р/ — р (р7р) и поэтому
+	(19-6)
Если образец достаточно толст, то можно считать d = ©о,
7 = ~K^. = k—^	(19.7)
!*(«+&) pv
где
v = cosec ф + cosec (20 —ф).	(19.8)
Если образец состоит из нескольких фаз, то необходимо учиты-
вать объемную долю данной фазы:
Л - V^V;.
t
Интенсивность интерференционной линии от i-h фазы определяется
соотношением
Л = V;/ (pv),	(19.9)
где ki Is,SaQ.
Для симметричного случая, используемого в дифрактометрах
при фокусировке по Брэггу — Брентано, следует принять ф = fr-
1огда для многофазного образца
/i = kiftlli,	(19.10)
где
kt = /0QS/2.
(19.11)
$ 84. Количественный фазовый анализ
391
Учет поглощения в цилиндрических образцах. В случае цилин-
дрического образца множитель поглощения сложным образом за-
висит от угла fl*. Эта зависимость представляется функцией А (б).
Приведем выражение для функции А (0) без вывода:
A (D) = 1 +	In Г—.--------------1	(19.i2)
2 sin 'О'	(1 + sin О') (1-(-2 sin О1)]
Обычно значение множителя поглощения приводится в справочных
таблицах, где оно дается в зависимости от произведения ц/? (ц —
линейный коэффициент поглощения; 7? — радиус образца). Вели-
чина множителя поглощения особенно велика в области малых уг-
лов О у образцов с высокими значениями ц??. Наилучшая равномер-
ная интенсивность линий во всем интервале углов 4 получается при
р/? = 1,3. Эта оптимальная величина может быть получена двумя
способами: а) с использованием коротковолнового излучения;
б) разбавлением сильнопоглощающих образцов аморфными материа-
лами (перемешиванием исследуемого порошка с сажей, толченым
стеклом и другими слабопоглощающими веществами).
Соотношение между интенсивностью интерференционной линии
и массовым содержанием фазы в образце. Преобразуем выведенные
соотношения между интенсивностью интерференционной линии и
объемным содержанием фазы для плоского образца в случае дифрак-
тометра.
Как было показано, интегральная интенсивность интерферен-
ционной линии /i может быть записана в виде
= Ш	(19.13)
где kt — постоянная, зависящая от образца и условий съемки;
fi — объемная доля /-го компонента; ц — линейный коэффициент
ослабления смеси фаз.
Если Wt, pi, Vi — масса, плотность и объем f-й фазы, а V и U7 —•
объем и масса образца, то 1F =	= 2J7*-
i	i
Массовая доля фазы i дается выражением xt - Выразим
объемную долю через массовую:
F -• Vi — ^i/Qi _ A'//Pt
Определим коэффициент ослабления смеси:
Hi Сч/Pi)
И £ Hi Л = Д—---------------	------ (19.15)
4	2- Xi/pi	2- Xi/pi
i	i
где |i- =- р;/рг — массовый коэффициент ослабления i-ii фазы.
ж	Глава 19. Рентгеновский фазовый анализ 
Подставляя приведенные величины в выражение (19.13) и сокра-
щая на SXf/pi, получаем
H =	(19.16)
2d В» Xi
Рассмотрим смесь из п фаз как состоящую из двух компонентов:
1) анализируемой фазы 1 с массовым содержанием лу 2) суммы
остальных фаз, называемой матрицей и обозначенной Л1. Тогда мас-
совая доля i-й фазы в матрице
Рис. 19.3. Зависимость относи-
тельной интенсивности линии
анализируемой фазы Л/(Л)о
от ее содержания (массовой
доли х) :
J-ц* > и*; 2-ц*=ц*;
3~ И* < ц*
равна
U? i Wxt	Xi
(Лi),u =	' w(\-xs) ~	’
(19.17)
где W7 —масса образца; — масса
Лп фазы в матрице.
Массовый коэффициент ослабления
матрицы определим из выражения
НЛ1 -- 1'2 (Л';)м И' 1'3 (Ха)Л! Ч' ••• =
= i(HTxj)/(l-x1);	(19.18)
2
п
Нм(1 — хх)= S	(19.19)
Таким образом, для анализируемой фазы 1 находим
J1 = kL—--------------------------.	(19.20)
[Hi *1+ Им (1-*1)] Рх [^!	— Hai)+Им]
Рассмотрим три возможных случая.
1. Смесь п фаз и и* —- pjy Такой случай возможен для смеси
полиморфных фаз. Тогда
= =ЙХ1> <19-21)
Р1 Нм
= b'/FMe<n Авух Фаз И ^2’ Если для чист°й фазы / (/Jo =
«1ЧР1Ц1), то для смеси двух фаз с массовой долей х, фазы 1 по-
.JlvUUM	it
£ 85. Методы количественного фазового анализа
393
или после деления выражения (19.21) на (19.22)
=------аь---------.	(19.23)
(Zi)o A'i (|ti — |_u) + He
Зависимость интенсивности линий фазы 1 от лд и ее ход опре-
деляются соотношением между величинами р} и рз. Имеются три
случая:
Графики зависимости относительной интенсивности Л/(А)о
от массовой доли х компонента 1 для трех типов смесей приведе-
ны на рис. 19.3.
3. Смесь п фаз (п > 2) п pi рдь Этот случай является об-
щим и будет рассмотрен при описании метода внутреннего стан-
дарта.
§ 85. МЕТОДЫ КОЛИЧЕСТВЕННОГО ФАЗОВОГО АНАЛИЗА
Количественный фазовый анализ в настоящее время предпочти-
тельно проводят при использовании дифрактометров, но в некото-
рых случаях применяют и фотографический метод.
Все разработанные до настоящего времени методы количествен-
ного фазового анализа основаны либо на устранении, либо на учете
причин, вызывающих отклонение от пропорциональности между
концентрацией фазы и интенсивностью интерференционной линии,
по которой определяется содержание фазы.
Рассмотрим некоторые из этих методов.
Метод гомологических пар. Этот метод, разработанный В. В. Меч-
вол одовым, используется при фотографической регистрации рент-
генограммы. Он не требует применения эталонного образца и мо-
жет быть использован для исследования двухфазных систем при
условии, если коэффициент поглощения определяемой фазы заметно
не отличается от коэффициента поглощения смеси, т. е. pj р^.
Это условие может осуществляться в некоторых сплавах, например
в двухфазной (а + [3)-латуни, в закаленной стали, содержащей оста-
точный аустенит и мартенсит. Метод может быть применен также
к анализу трехфазной смеси, если содержание фазы 3 не превос-
ходит 5 %.
Рассмотрим принцип, положенный в основу метода. Если коэф-
фициент поглощения анализируемой фазы не отличается от коэффи-
циента поглощения смеси и плотность почернения интерференцион-
ной линии D на пленке находится в линейной части характеристи-
ческой кривой фотографической эмульсии, то
О, = kyXyQi,	(19.24)
Й94
Глава 19. Рентгеновский фазовый анализ
где k± — коэффициент пропорциональности, зависящий от фотооб-
работки и условий получения рентгенограммы; хх — массовая доля
фазы; Qx — отражательная способность кристаллической пло-
скости (hj^).
Если какая-либо пара близких линий фаз 1 и 2 имеет одинако-
вые плотности почернений, т. е. (/ДХ = (£Д)г» то, поскольку обе
линии находятся па одной рентгенограмме, и, следовательно, по-
лучались в одинаковых условиях, можно считать /гх — k2 и поэтому
X1qt = x2Q2, где Xj и х2 — содержание фаз 1 и 2 соответственно,
a Qi и Q2 — отражательные способности соответствующих пло-
скостей. Учитывая, что Xi + х2 1, получаем
*1 = Q2/(Qi + Q2).	(19.25)
Если массовое содержание фаз представлено в процентах р,
то выражение (19.25) преобразуется к виду
q - Q2 • Ю0%/ (Qi + Q2).
В случае, когда сравниваются две линии от разных фаз, обус-
ловленные различными излучениями, например Ка и 7Q-, то следует
учитывать соотношение интенсивностей линий характеристического
спектра. Известно, что интенсивность /<а-линии в 5,5 раз выше ин-
тенсивности /Q-линии, т. е. 1Ка = 5,5Поэтому если линии фаз/
и 2 имеют равную плотность почернения, то для рассматриваемого
случая
(£\)ка’-= (D2)'<p и 5,5X1 Qi-x2Q2,
где множитель 5,5 учитывает соотношение интенсивностей Ка'
и /Q-линий.
Для линий, обусловленных различными длинами волн, получим
выражение
Xi - Qi 4' Q2)
или
Ci Q2 • 100%/(5,5 Q1 4- Q2).	(19.26)
В некоторых случаях интегральную отражательную способность
Q (hkl) можно вычислить теоретически. Например, В. В. Нечво-
лодов определял содержание остаточного аустенита в закаленной
стали. Таблицу гомологических пар он вычислил на основе анализа
рассчитанных интенсивностей интерференционных линий на порош-
ковых рентгенограммах.
В ряде случаев эти таблицы составляют на основании экспери-
ментальных данных. Гомологические пары находятся на рентгено-
граммах смесей с известным содержанием фаз.
Количественный анализ сводится к отысканию пары линий,
имеющих равную плотность почернения и принадлежащих разным
§ 85. Методы количественного фазового анализа	395
фазам. Зная индексы этих линий; по таблице гомологических пар
определяют содержание анализируемой фазы.
Погрешность фазового анализа, проводимого методом Нечволо-
дова, составляет ~ 30% (при визуальном сравнении почернений ли-
ний). При использовании микрофотометра погрешность можно сни-
зить до 15%.
Применение ступенчатого ослабителя и специальной диафрагмы
с регулируемым отверстием позволило проводить анализ закален-
ных крупногабаритных изделий с относительной погрешностью 5%
(при фотометрировании) и 15% —при визуальной оценке.
Метод внутреннего стандарта (метод подмешивания). Количест-
венный фазовый анализ двух- и многофазных смесей можно про-
водить, подмешивая в порошкообразный образец определенное
количество х8 эталонного вещества (10 — 20%), с интерференцион-
ными линиями которого сравнивают линии исследуемой фазы. Этот
метод можно использовать как при фотографической, так и при
ионизационной регистрации дифракционной картины.
Необходимо, чтобы эталонное вещество удовлетворяло следую-
щим условиям: а) линии эталона не должны совпадать с сильными
линиями исследуемой фазы; б) массовый коэффициент поглощения
для эталонного вещества ps должен быть бл'изок к коэффициенту
поглощения ра анализируемого образца; в) размер кристаллитов
должен составлять 5 — 25 мкм.
Эталонное вещество тщательно перемешивают с порошком об-
разца с помощью механической мешалки, затем помещают в жидкость
(например, метанол), где он находится во время перемешивания во
взвешенном состоянии. По окончании перемешивания, которое
может длиться свыше 10 ч, жидкость удаляется испарением.
В ряде случаев вместо эталонного вещества к образцу подмеши-
вают известное количество исследуемой фазы.
Метод подмешивания эталонного вещества. Рассмотрим прин-
цип метода. На рентгенограмме, полученной после подмешивания
эталонного вещества (массовая доля xs), интенсивность данной ин-
терференционной линии анализируемой фазы может быть пред-
ставлена уравнением
Ifl - KJa/lh	(19.27)
а интенсивность линии эталонного вещества —- уравнением
Д - Ш.	(19-28)
где fa и fs — объемные доли анализируемой фазы и эталонного ве-
щества. Разделив уравнение (19.27) на (19.28), получим
IJ1* --	(19.29)
Так как
ft = (-Vz/pJ/S (-гг/р;),
I(zqo) NaGl/IfaQQ)
Рис. 19.4. Градуировочный график для
определения содержания РеО-СьОз
методом «внутреннего стандарта»
396	Глава 19. Рентгеновский фазовый анализ
где i'i — массовая доля фазы г, то fa/f's = Xap5/(xRpa). Подставив
выражение, полученное для отношения f'Jh, в уравнение (19.29),
получим
1а1Ц = К3х'а,	(19.30)
при условии, если fg имеет постоянное значение (эталонное вещество
подмешивается в определенном массовом соотношении). Зависимость
между массовыми долями анализируемой фазы а в первоначальном
образце хп и в образце с под-
мешанным эталонным веще-
ством Ха может быть пред-
ставлена
Ха = Х„(1 — Xs).
Следовательно, отношение
Ia/Is представляет собой ли-
нейную функцию от ха. Изме-
рив соотношение Ia/Is для
ряда смесей с известным со-
держанием анализируемой
фазы, строят градуировочную
характеристику. Для сравне-
ния интенсивностей выбирают
определенную пару линий с индексами (/z^/J исследуемой фазы и
(h2k2l2) эталонного вещества. В качестве примера приведен график
для определения содержания FeO * Сг2О3 (рис. 19.4). Отклонение
точек графика от градуировочной кривой позволяет оценить по-
грешность определения, которая для различных образцов составляет
2 — 7, иногда доходит до 10%.
Для определения содержания анализируемой фазы с помощью
дифрактометра измеряют отношение Ia/Is (или с помощью микро-
фотометра определяют отношение плотностей почернения двух ли-
ний Da/Ds на рентгенограмме). Затем по градуировочному графику
находят отношение xa/xs, а так как xs — известная и постоян-
ная величина, то ха определить нетрудно.
Анализ двухфазных смесей можно проводить без эталонного
вещества, пользуясь соотношением
д//2 = (^2) [X1/((i_X1)j.	(19,31)
Значение kjk2 определяют по рентгенограмме смеси с известным
содержанием анализируемой фазы.
Недостатком метода внутреннего стандарта является то, что
добавление эталонного вещества приводит к разбавлению определя-
емых фаз, а следовательно, к снижению чувствительности и точ-
ности определения фаз с малым содержанием.
.$ 85. Методы количественного фазового анализа	397
Метод подмешивания анализируемой фазы. Иногда подмешивание
стандартного вещества нежелательно или невозможно. Тогда к ис-
следуемому образцу можно подмешивать известное количество ана-
лизируемой фазы. При проведении анализа сравнивают интенсив-
ность одной из линий анализируемой фазы 7а с интенсивностью ли-
нии другой фазы 7г. Отношение интенсивностей линий до добав-
ления фазы представлено выражением
1а/Ц = kxQlxti	(19.32)
где ха и Xi — массовые доли фаз пи I. После добавления анализи-
руемой фазы отношение интенсивностей указанных линий изме-
нится:	*
(кV = k	= k	(19.33)
^ + Уа *1	Xi	V 7
Находя отношение интенсивностей (19.32) и (19.33), получаем
/ 7дУ	//д\ _ Ха-\- У (I	XI  Ха-]~ уа	| Уа	0Q 34)
\ 11/	\ /1/	XI	Ха	Xq	Ха
Зная массовую долю уа и измерив отношения интенсивностей линий
до и после добавления анализируемой фазы, можно определить
искомую величину ха.
Возможен графический вариант метода добавок. Так как (7а/7z)
линейно зависит от уа, то, добавив известные количества исследуе-
мой фазы (уа)1 и (z/0)2 и измерив соответствующие отношения ин-
тенсивностей (7a/7z)i и (7J11)2, а также 7a/7z (для образца без,до-
бавок), по трем точкам проводят прямую зависимости (7J7z)' от
уа, наклон которой равен k (1/х/), а пересечение с осью абсцисс
отвечает определяемой величине ха.
Аналитический вариант метода добавок. Он упрощает экспе-
римент и повышает экспрессность определения. Как и в рассмотрен-
ных выше вариантах, в образец добавляют известное количество
определяемой фазы уа.
Если до добавления интенсивность линии анализируемой фазы
определялась формулой
I =-----------—— •	(19.35)
Ра [*а (Ма Нд1) 4” 11А1 ]
где lx*__массовый коэффициент поглощения чистой фазы, то после
добавления зависимость (19.35) принимает вид
k' [(*д + Уа)/(Д-\~Уа)]	Z1 п
7 =  ---------------------;-----;---— •	(19.36)
pa {l(*a+ </а)/(1 + !/а)] О'а ~ Ий) + М
398	Глава 19. Рентгеновский фазовый анализ
Решая систему уравнений (19-35) и (19.36) относительно двух не-
известных ха и Цдь получаем
_ </a|fe7(pa/')-Pa] „	(19.37)
°	(1/Pa) К*/О—(*'//')]
Так как для чистой фазы (7а)0	& /(НаРа)> то окончательно (при
k = k') находим
Xa = ya(//Ia) [((/Jo - /')/(/'-/)]	(19.38)
Способ разбавления. Этот метод основан на разбавлении пробы
нейтральной средой в п раз с известным массовым коэффициентом
поглощения pj Концентрация са анализируемой фазы при этом
уменьшится и поэтому снизится интенсивность Аналитической
линии определяемой фазы:
/₽ k ’ (1 9'39)
где р,* — массовый коэффициент поглощения пробы, ра — плот-
ность определяемой фазы.
Учитывая, что для смеси интенсивность линии определяемой
фазы равна In = fea/(paRa), а для чистой фазы (/Q)o k /(рацД,
то решение этой системы уравнений совместно с (19.39) дает
са - (/г - 1) (И;/р’) {/р 1а/[(Ш1а-1Р)]}.	(19.40)
Погрешность в определении концентрации уменьшается, если
Рр > Ра, поэтому пробу следует разбавлять средой с большей плот-
ностью.
Фазовый анализ при наложении интерференционных линий оп-
ределяемых фаз. В некоторых случаях невозможно получить ли-
нии определяемой фазы без наложения других линий, в частности
линий стандартного вещества. Тогда измеряют суммарную интен-
сивность наложенной линии /г- и относят ее к интенсивности хорошо
разрешенной линии стандартного вещества Так как интенсив-
ность f-й линии стандартного вещества пропорциональна интен-
сивности 1-й линии стандартного вещества, то можно считать, что
Л = (Л)а + (Л)ст = Ui)a + b (1^.	(19.41)
Отношение интенсивностей получаем
W1)ct = КЛ)а + ь (Л)ст1/ (Л)ст = kxa + b, (19.42)
где ха массовая доля анализируемой фазы. Для проведения ана-
лиза строят прямолинейный график, который не проходит через на-
чало координат. Для его построения нужны три эталонные смеси.
Метод измерения отношений интенсивностей аналитических
линий. Метод применим для анализа многофазных смесей, когда
все компоненты являются кристаллическими фазами.
У л,7.	K/i.ui'ieciвенного фазового анализа	399
(19.43)
С помощью дифрактометра измеряют интенсивность аналитиче-
ских (реперных) линий /ь /2, /п (по одной для каждой фазы).
Затем составляют систему п — 1 уравнений:
/1/^2 — ^12 (^’i/XM),
/2//3 “ ^23 С^/^з)»
/ П—111 п “ — 1, П C^n-1/^/J*
где .Гр .г2,	Л',-( — массовые доли фаз.
п
Кроме этой системы имеем уравнение -- 1, т. е. всего п
1
уравнений. Коэффициенты kj_lt t определяют съемкой смесей с из-
вестным содержанием фаз. Решая совместно п уравнений, находят
содержание всех фаз.
Этим методом выполнены количественные исследования сложных
минеральных смесей с относительной погрешностью 1 —3%.
Метод измерения массового коэффициента поглощения. Так
как для чистой фазы (Zf)0 — ^/(pji*), а для смеси It =--
то для отношения интенсивностей имеем
Л/(Л)о =	(p;/tu*)>	(19.44)
где р* — коэффициент поглощения образца; р/ — коэффициент
поглощения f-й фазы.
Измерив коэффициент поглощения данного образца р* и ин-
тенсивность линий Ц f-й фазы, можно определить ее массовую долю
Хр Значения (/Оо и Р/ находят из однократного измерения на эта-
лонном образце из чистой фазы.
Для экспериментального определения р* используют держатель
образца в виде небольшой кюветы, дно которой изготовлено из по-
ликристаллической пластинки, дающей довольно интенсивную
дифракционную картину одновременно с дифракционной картиной
образца, заполняющего кювету. Поглощение определяется по из-
менению интенсивности выбранной интерференционной линии (под
большим углом О) от этой пластины до и после заполнения кюветы
анализируемой пробой. Погрешность определения р¥ этим методом
составляет 2 — 3%.
Рассмотренный метод прост и достаточно точен для количествен-
ного анализа и поэтому широко применяется в аналитической прак-
тике.
Метод «внешнего стандарта» (независимого эталона). Этот метод
применяют в тех случаях, когда исследуемый образец нельзя превра-
тить в порошок. Его также часто используют для стандартизации
условий съемки.
При фотографическом способе регистрации рентгенограмм воз-
можно несколько вариантов метода, наиболее удобным из которых
400
Глава 19. Рентгеновский фазовый анализ
является метод съемки, предложенный С. Секито. На образец в форме
цилиндра диаметром 5 мм наклеивают тонкую фольгу (золотую,
алюминиевую). Затем образецустанавливают в специальную камеру
так, чтобы его ось не совпадала с осью камеры, а первичный пучок
рентгеновских лучен касался его поверхности, и вращают вокруг
оси, не совпадающей с осью камеры. При этом пучок первичных
рентгеновских лучей попеременно освещает эталон и образец.
Рентгенограмма получается односторонней.
Отношение времени съемки эталона т5 и образца’ та определяется
отношением дуг, занимаемых эталоном ls и образцом 1а на окруж-
ности цилиндра радиусом, равным радиусу образца. Таким образом,
меняя /5, можно изменять отношение интенсивностей линий эта-
лона и образца. Как и в предыдущем методе, строят градуировоч-
ный график для определенного отношения ls/la и определенной пары
интерференционных линий. Для этого производят съемку смесей
с известным содержанием фазы и промеряют интенсивности линий
образца	и эталона (Jhzk2t2)s- Неизвестное содержание
фазы определяется по градуировочному графику из отношения ин-
тенсивностей (JhMi)alUh2k2l2)s-
При использовании дифрактометра либо устанавливают внеш-
ний стандарт на кювете, содержащей исследуемую пробу, либо осу-
ществляют периодическую съемку эталонного вещества. Анализ
проводят с помощью построенного по эталонным смесям градуиро-
вочного графика ха = f (Ja/Is). С помощью внешнего стандарта
можно существенно уменьшить влияние дрейфа как источника излу-
чения, так и измерительной схемы вследствие сравнительно малого
промежутка времени между регистрацией интерференционных линий
исследуемого образца и эталона.
Погрешность метода независимого эталона весьма небольшая,
в наиболее благоприятных случаях она достигает 1,0 — 0,5% (на-
пример, при определении содержания вольфрама в смеси W 4- WC).
При анализе методом независимого эталона количество фаз,
присутствующих в смеси, не имеет значения. Однако если изменение
фазового состава смеси сопровождается значительным изменением
ее коэффициента поглощения, то рассматриваемый метод неприме-
ним. Это объясняется тем, что интенсивность линий эталона не за-
висит от коэффициента поглощения образца и, следовательно,
остается постоянной.
Метод внешнего стандарта целесообразно использовать там,
где требуется проведение серийных исследований с большой экс-
прессностью и где анализируемые образцы имеют качественно одно-
родный и сравнительно постоянный количественный состав.
Метод наложения. Л. С. Палатником был предложен метод фазо-
вого анализа, называемый им методом наложения. Метод разрабо-
тан для двухфазного вещества и основан на визуальном сравнении
рентгенограмм исследуемого и эталонного веществ. Рентгено-
§ 85. Методы количественного фазового анализа
401
грамма наложения получается попеременным экспонированием на
одну рентгенограмму чистых компонентов сплава, один из которых
экспонируется в течение времени т1} а другой—в течение времени та.
Число перемещении перед первичным лучом такого образца обычно
достигает 50	100. Для получения рентгенограмм наложения мож-
но использовать образец в виде шлифа, состоящего из двух цилинд-
рических секторов, один из которых представляет собой чистую фа-
зу Л а другой—фазу 2 (рис. 19.5). Шлиф ориентирован под угломф
по отношению к первичному пучку s0 и вращается вокруг оси АА,
перпендикулярной к поверхности шли-
фа. При вращении шлифа фазы 1 и 2
попеременно попадают под первичный
пучок. Время экспонирования каждой
фазы определяется углом раствора со-
отв етствующе го се ктор а:	____
= ат/360° и т2 = (360° — а)т/360°.
Меняя угол а, можно получить рентге-
нограммы, соответствующие различным
концентрациям фаз 1 и 2.	V
Рентгенограммы наложения и рент- Рис, [95, схема съемки для
генограммы анализируемых образцов получения рентгенограмм
получают в идентичных условиях. При	наложения
съемке рентгенограмм наложения по
методу шлифа интенсивность линии данного структурного ком-
понента может быть выражена формулой
(Qi4iiVj) [тУ^ + т2)],	(19.45)
где Qj — отражающая способность плоскости с индексами
[4 — линейный коэффициент поглощения фазы,/;
коэффициент, зависящий от брэгговского угла й1 и условий съемки;
V! = cosec ф + cosec (2^ — ф); ф — угол между первичным лучом
и плоскостью шлифа [см. рис. 19.2 и формулу (19.9)1.
Аналогично для фазы 2 находим
Г2 = k2	Мй + 4>)J.
Для близко расположенных на рентгенограмме наложения Ка-
линин обеих структурных составляющих можно считать vx v3 v.
Так как эти линии размещены на одной рентгенограмме, то> «1 — «2
и отношение отражательных способностей кристаллографических
плоскостей обеих фаз, дающих на рентгенограмме наложения близ-
кие линии, можно выразить формулой
QJQ2 = a'jh) ш	(19-46)
которая может быть использована для исключения трудно вычисля-
емого отношения QJQz-
402
Глава 19. Рентгеновский физоаын анализ
Для работы этим методом получают набор рентгеногралш нало-
жения от исследуемых фаз 1 и 2, отличающихся ступенчатым из-
менением отношения ГХИ'2 и j = По таким рентгенограммам
можно построить график зависимости сх от j при различных в
(рис. 19.6), который исполь-
зуется для определения фа-
зового состава:
Рис. 19.6. Градуировочный график для
метода наложения
е = (ц2/р2)/ (Hi/pi)*
Предположим, что иссле-
дуемые фазы мелкозернистые,
и поэтому массовые коэффи-
циенты поглощения отдель-
ных зерен обеих фаз доста-
точно малы. В этом случае
для общего коэффициента по-
глощения ц/р двухфазного об-
разца справедлива формула,
применяемая для смесей:
и/р =	(И1/Р1) + с2 (р2/р2),
(19.47)
где с, и с2 — массовые доли фаз 1 и 2. Интенсивность 1Х определен-
ной линии структурного компонента на рентгенограмме двухфаз-
ной смеси, полученной в идентичных условиях с рентгенограммой
наложения, выражается формулой	4
Л --= ^iQi/VW,	(19.48)
гДеЛ — объемная доля фазы /; р — общий коэффициент поглощения
смеси. Для близко расположенной линии фазы 2
^2
так как
Отсюда в
предположен	ии, что	V1 v2 = v и kx
T..Q1	/1 _ Qi	A'i/Pi Qi	p3
^2	<?2	/2 Qz	-2/P2 Q2 c2 p/
Л=	Xi/Pi	и	xr100.
	Xxt/pi	
(19.49)
— А2, получаем
(19.50)
интенсивностей одной и той же пары линий рентге-
НИТХ	И нсслеДУемой смеси из выражений (19.46)
и (19.09) находим	v
71	й _ С1 Р-2 Ц1 т2
7 2	/j caPiPaTj
(19.51)
§ 85. Методы количественного фазового анализа
403
откуда
С1 _ Г2 Н2 Pl Т1  /1
С2 Д /' Plp2^2
(19.52)

где
j = Tj/^.
При одинаковых условиях съемки рентгенограммы смесей ничем
не будут отличаться от рентгенограмм наложения при равенстве
отношений т(/т2 и c-Jc2 только в том случае, если pj/pj =
Практически анализ методом наложения проводится следующим
образом. Рентгенограммы исследуемых образцов сравнивают ви-
зуально с теми рентгенограммами наложения, которые наиболее
точно удовлетворяют отношению DXID2 — D’JD'^ где Dlt D2,
D[, D'2 — плотности почернения определенных пар линий на рент-
генограмме образца и рентгенограмме наложения. При этом можно
использовать линии, почернение которых выходит за пределы
прямолинейного участка характеристической кривой. Для каждой
рентгенограммы наложения (которой соответствует определенное
отношение тДтг) на основании равенства отношений в формуле
(19.52) можно определить значения и с2 Для сравниваемой пары
линий. Таким образом, искомые концентрации находят из сопостав-
ления рентгенограмм образца и рентгенограмм наложения, которые
дают одинаковые почернения соответствующих сравниваемых
линий. В таком варианте визуальный способ сравнения интенсив-
ностей вполне может конкурировать с микрофотометром, так как
человеческий глаз может различить разность почернения AD ж
ж 0,005. На рентгенограммах наложения обычно проставляют ве-
личины / и е; отношение = находят из сравнения линий.
Пользуясь графиком, приведенным на рис. 19.6, по величинам /
и е определяют сг. Концентрацию компонента 2 вычисляют по фор-
муле с2 ~ 100—q. Абсолютная погрешность метода наложения
Ас 5% в интервале концентраций 10 - 90%. Для смеси 70% Ag -|-
+ 30% Ni погрешность определения с < 1%. Достоинством метода
является его экспрессность.
Количественный фазовый анализ с помощью многоканальных
дифрактометров. Для серийного анализа сложных смесей целесо-
образно применять специализированные многоканальные рентгенов-
ские дифрактометры. В отечественном многоканальном дифракто-
метре ДРПМК-2,0 используется фокусировка по Зееману — Боли-
ну с плоским образцом, при которой все интерференционные линии
фокусируются одновременно на окружности, касающейся поверх-
ности образца О и проходящей через проекцию фокуса F и приемные
щели детекторов S (рис. 19.7). Устанавливая детекторы D на необ-
ходимые отражения и фон, можно измерить интенсивность отраже-
ний от анализируемых фаз. Использование плоского образца до-
404
Глава 19. Рентгеновский фазовый анализ
Рис. 19.7. Схема фокусировки в мно-
гоканальном дифрактометре
пускает его вращение в собственной плоскости, что уменьшает
флуктуацию числа кристаллитов, участвующих в отражении.
Круг гониометра расположен вертикально, что удобно для ана-
лиза сыпучих веществ. Исследуемое вещество набивают в кювету —
держатель образца, расположенную горизонтально. Это обеспе-
чивает сохранность порошковых
образцов без применения свя-
зующих веществ.
Для регистрации интенсив-
ности интерференционных ли-
ний используют малогабаритные
сцинтилляционные счетчики
СРС-7, число которых соответ-
ствует числу каналов. Четыре
канала используют для изме-
рения интенсивности аналити-
ческих линий, а пятый — для
измерения фона. Измерения ве-
дутся при неподвижных счетчи-
ках в режиме постоянного вре-
мени с регистрацией с помощью
цифропечатающей машинки.
Одновременное измерение ин-
тенсивности аналитических ли-
ний и фона позволяет уменьшить
погрешность, вводимую аппаратурной нестабильностью. Аппара-
турная погрешность в ДРПМК-2,0 составляет не более 1 % за 1 ч.
При количественном анализе содержания алита в клинкере с по-
мощью этого дифрактометра получена погрешность определения 3%.
Чувствительность определения СаО составила не менее 0,05%.
Погрешности количественного фазового анализа. Погрешности
количественного фазового анализа можно разделить на три груп-
пы: погрешности метода; погрешности, связанные с подготовкой
образца; аппаратурные погрешности*.
Погрешности метода анализа (систематические):
1)	обусловленные неточным учетом коэффициента поглощения
образца;
2)	возникающие из-за неточного учета наложения интерферен-
ционных линий;
3)	связанные с кристаллохимическим различием анализируемых
фаз в исследуемых пробах и эталонных смесях, использованных
для построения градуировочных графиков;
4)	вызванные неточным построением градуировочного графика.
* Использована классификация, предложенная Л. С. Зевиным и
Д- М. Хейкером.
£ 85. Методы количественного фазового анализа
405
Погрешности, связанные с подготовкой образца (случайные):
5)	обусловленные отбором пробы;
6)	связанные с невоспроизводимостыо состояния образца (по-
грешности из-за эффекта экстинкции, микроискажений, текстуры,
микропоглощения);
7)	обусловленные флуктуацией числа кристаллитов, принимаю-
щих участие в отражении;
8)	вызванные неравномерным распределением введенного стан-
дарта в образце.
А и п арат урн ые пог реши ост и:
9)	случайные погрешности счета;
10)	случайные погрешности, вносимые нестабильностью интен-
сивности излучения и схемы (дрейфом);
11)	систематические погрешности потерь счета вследствие не-
достаточного временного разрешения детектора и измерительной
схемы;
12)	систематические погрешности нелинейности счетно-усред-
няющего устройства (иптенсиметра);
13)	случайные погрешности микрофотометрирования (при фо-
тографическом методе регистрации), связанные с колебаниями ин-
тенсивности света лампочки осветителя фотоэлемента и зернисто-
стью фотопленки.
Среди погрешностей первой группы особенно существенной яв-
ляется погрешность (1), связанная с неточным учетом коэффициента
поглощения. Наиболее точный учет коэффициента поглощения обес-
печивает метод внутреннего стандарта, но из-за его трудоемкости
чаще обращаются к другим методам. Наибольшие значения погреш-
ности (1) характерны для метода внешнего стандарта.
Погрешность (2) исключают либо подбирая аналитические ли-
нии, свободные от наложения, либо используя метод, учитывающий
наложение линий.
Погрешность (3) может быть уменьшена соответствующим под-
бором эталонных смесей. Уменьшение погрешности (4) достигается
путем многократного (8— 16 раз) построения каждой точки гра-
дуировочного графика.
Все погрешности второй группы, связанные с подготовкой об-
разца, явля/отся случайными. Отобранная проба должна быть
представительной, так как с неоднородностью состава образца
связана погрешность (5). Эта ошибка тем больше, чем меньше облу-
чаемый об7юм образца. Для уменьшения погрешности (6) большое
внимание нужно обращать на степень измельчения исследуемого
порошка, размер зерен которого должен находиться в пределах
от 5 до 25 мкм и не должен превышать 40 мкм. При таком размере
частиц экстинкция и микропоглощение практически не сказываются.
Измельчение порошка желательно проводить в условиях, умень-
шающих возникновение микроискажснпй, В частности, некоторые
405	19. Рентгеновский фазовый анализ
минералы растирают не в сухом виде, а в жидкости (воде, этиловом
или метиловом спирте, ксилоле). Напиленные порошки сплавов
металлов отжигают в вакууме или инертной атмосфере, предот-
вращающей образование окпслов. Если имеется вероятность фазо-
вых превращений при напиловке или отжиге, то исследование про-
водят методом съемки от шлифа, поверхность которого электро-
полируют.
Существенное влияние на распределение интенсивности в ин-
терференционных линиях оказывает текстура. Когда частицы по-
рошка имеют форму пластинок или иголок, при изготовлении об-
разца может возникнуть предпочтительная ориентация частиц.
Для устранения этого эффекта добиваются сильного измельчения
частиц, а полученный порошок помещают в кювету держателя об-
разца без его уплотнения. Ровную поверхность получают, сникгая
излишки порошка лезвием бритвы.
Погрешность (7) уменьшают путем вращения плоского образца
вокруг нормали к его поверхности. От тщательности перемешивания
пробы с эталоном зависит погрешность (8); равномерное распре-
деление эталона достигается длительным перемешиванием взвеси
частиц порошка в нейтральной жидкости с последующим ее испа-
рением.
Третья группа погрешностей — аппаратурные — особенно су-
щественна при определении малых содержаний фаз. Для умень-
шения случайных погрешностей счета (9) нужно увеличивать све-
тосилу прибора (применять широкие и высокие щели) и время из-
мерения, снижать уровень фона. Последнее достигается монохро-
матизацией излучения. Запись линий желательно проводить по
точкам с помощью автоматической приставки. При съемке в режиме
непрерывной записи следует использовать большую постоянную
времени и малую скорость вращения счетчика.
Погрешности нестабильности (10) и статистики счета (9) опре-
деляют совместно путем многократной съемки на одном и том же
образце. Погрешность нестабильности растет при измерении ин-
тенсивности линий на сильном фойе. Дрейф схемы дифрактометра,
который может достигать 1,5?6 за I ч, учитывают периодической
съемкой эталонного образца (несколько раз в день).
Определить погрешности (11) и (12) можно путем измерения ин-
тенсивности различных линий при изменении светосилы прибора
(при различных щелях). Аналогично погрешность микрофотометри-
рования (13) можно определить путем получения нескольких микро-
фотограмм от одной и той же рентгенограммы.
Выбор метода фазового анализа зависит от конкретных образ-
цов, необходимой точности и экспрессности. Правильным подбором
режима и геометрии съемки, тщательным приготовлением образцов
и многократными измерениями можно значительно снизить погреш-
ности, доводя их до 1	2%.
Глава '20. Исследование структурных i/nyeHcnnii при пиеренс 1(17
Глава 20. РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
СТРУКТУРНЫХ ИЗМЕНЕНИЙ,
ПРОИСХОДЯЩИХ В ДЕФОРМИРОВАННЫХ МЕТАЛЛАХ
ПРИ НАГРЕВЕ
Свойства пластически деформированного и нсдеформированного
металла различаются. Как уже указывалось, в деформированном
металле происходит двойникование, скольжение и упругий изгиб
зерен.
При рентгенографическом исследовании деформированных ме-
таллов наблюдаются такие эффекты, как астеризм, размытие пн*
терфереиционпых линий и диффузное рассеяние, свидетельствующие
о различных видах структурных нарушений: микроискажениях
и статических искажениях, образовании субструктуры и дефектов
упаковки. Деформация меняет распределение несовершенств, име-
ющихся в недеформпровавном материале, и может создавать новые
несовершенства.
Структурные изменения, возникающие при пластической де-
формации, распределяются неравномерно ио наклепанному метал-
лу. Такое неоднородное распределение влияет на механизм про-
цессов снятия наклепа.
Наклепанный металл термодинамически неустойчив при любой
температуре. Поэтому в отличие от фазовых превращений переход
металла в более устойчивое состояние не связан с определенной тем-
пературой. Но этот переход требует определенной энергии акти-
вации Q. Время начала процесса сокращается с повышением тем-
пературы по закону
т - т0 ехр (-Q/RT),
где предэкспоненциальный множитель т0 и Q имеют разные значения
для различных температурных интервалов. Это связано с тем, что
дефекты структуры, возникшие при пластической деформации, устра-
няются вследствие различных процессов, совершающихся в раз-
личных температурных интервалах и требующих различной энер-
гии активации.
Различают следующие стадии устранения следов деформации
при нагреве (по мере повышения температуры):
1) возврат: а) отдых; б) полигонизация;
2) рекристаллизация: а) первичная (рекристаллизация обра*
ботки); б) собирательная (рост зерен); в) вторичная (прерывистый
или аномальный рост зерен).
Для исследования указанных процессов используют, например,
металлографический анализ, а также измерения термо-э. д. с.,
твердости и электросопротивления. Интересные данные о ходе этих
процессов позволяют получить рентгеновские методы.
408 Глава 20. Исследование < / ууктурных изменении при нагреве
§ 86.	ИЗУЧЕНИЕ ВОЗВРАТА
Стадия возврата включает все процессы до начала рекристалли-
зации: уменьшение концентрации точечных дефектов и перерас-
пределение дислокаций без образования новых границ (отдых)
или с образованием и миграцией малоугловых границ (полиго-
низацию).
Отдых. При низкотемпературном отжиге холоднодеформирован-
ного металла его электросопротивление, твердость и предел проч-
ности понижаются, изменяется термо-э.д.с. Под световым микро-
скопом структурные изменения
не выявляются. На рентгено-
граммах образцов, испытавших
отдых, наблюдается сужение
интерференционных линий
Рис. 2D.). Изменение ширины линии
(311) холоднодеформированной лату-
ни 70 --80 в процессе отдыха (отжиг
при 200- 450° С)
0	200	400	$02
Температура отжига, йС
Рис. 20.2. Изменение свойств холодно-
деформированного железа в процессе
отдыха:
/ — полуширина линии (220); 2 — электро-
сопротивление; 3 — скорость растворения;
'/ — твердость
(рис. 20.1), что указывает на снятие микроискажений (напряже-
ний II рода). В некоторых случаях кроме сужения линий на рент-
генограммах заметно усиление их интенсивности и ослабление
фона рентгенограмм. Это говорит о том, что наряду со снятием
микроискажений снимаются также статические искажения.
^Ход изменения физических свойств и ширины интерференцион-
ной линии рентгенограммы при возврате показан на рис. 20.2, из
которого видно, что восстановление различных свойств происходит
при разной температуре. Прежде всего восстанавливается электро*
J? 86. Изучение возврата
409
сопротивление. Для некоторых металлов изменение ширины линий
и твердости в зависимости от температуры отжига совпадает. В то же
время у вольфрама при отжиге возможно почти полное восстанов-
ление четкости линий без заметного изменения твердости. Сте-
пень возврата сильно зависит от времени выдержки при отжиге
и его температуры. При отжиге ширина линий сначала резко
уменьшается, затем меняется медленно и через некоторое время
становится постоянной (см. рис. 20.2). Конечная ширина линий
достигается тем быстрее, чем выше температура отжига. Однако
ширина линий, свойственная иедеформированному металлу, при
возврате полностью не достигается.
Установлено, что для алюминия соотношение интенсивностей
линий /422^зп увеличивается с ростом температуры и продолжи-
тельности отжига. По-видимому, в алюминии статические искажения
менее устойчивы, чем в других металлах, и заметно снимаются во
время отдыха. Так как упругий изгиб кристаллитов может сохра-
ниться только при наличии статических искажений, то после их
снятия кристаллиты принимают исходную недеформированную
форму, в результате чего снимаются также микроискажения.
Более поздними исследованиями установлено, что отдых в алю-
минии, очищенном зонной плавкой и содержанием 6,8  10 3% Си,
проходит в две стадии. На первой стадии происходит уменьшение
плотности дислокаций внутри субзерен и их перегруппировка
в границах субзерен с образованием более стабильных конфигура-
ций. На второй стадии происходит постепенный рост субзерен.
Рентгенографическое исследование процессов отдыха позволяет
установить технологические режимы обработки металлов. Так,
например, установлен режим волочения вольфрамовой нити: нить
тянут при температуре, обеспечивающей нестабильность стати-
ческих искажений, но в то же время не вызывающей рекристалли-
зацию.
Процесс полигонизации. Как известно, на лауэграммах дефор-
мированных монокристаллов дифракционные пятна имеют форму
вытянутых полос. Такое явление носит название рентгеновского
астеризма. В 1932 г. С. Т. Конобеевский и И. И. Мирер обнару-
жили, что вытянутые пятна на рентгенограмме деформированного
монокристалла после отжига разбиваются на ряд четких пятен.
Впоследствии этот эффект был обнаружен на рентгенограммах не-
которых деформированных и затем отожженных металлических
кристаллов алюминия и кремнистого железа. Эффект Конобеев-
ского и Мирер связан с разбиением при отжиге деформированного
кристалла на ряд неискаженных субзерен. Процесс получил назва-
ние полигонизации. Этот процесс наблюдается также и в полнкрпстал-
личсских материалах, холоднодеформироваиных п затем отож-
женных,
410 Глава 20. Исследование структурных изменении при нагреве
С развитием теории дислокаций возникли конкретные представ-
ления о механизме полигонизации. Рассмотрим этот механизм
на простейшем примере деформированного изгибом монокристалла,
содержащего избыточное количество краевых дислокации одного
знака (рис. 20.3, а). Повышенная энергия кристалла включает соб-
ственную энергию дислокаций, а также дополнительную энергию,
обусловленную взаимным отталкиванием дислокаций одного знака,
лежащих в общих плоскостях скольжения. При отжиге происходит
перераспределение, и дислокации разных знаков, встречаясь,
аннигилируют. Дислокации одного знака располагаются друг над
5
Рис. 20.3. Схема распределения дислокации в кристалле, де-
формированном изгибом до полигонизации (а) и после поли-
гонизации (б)
другом в направлении, перпендикулярном к плоскости скольжения,
образуя малоугловые границы (см. рис. 20.3, б). Области кристал-
ла, отделенные этими малоугловыми границами и свободные от
дислокаций, представляют собой блоки или полигоны.
Процесс полигонизации в полпкристаллических металлах можно
исследовать методами дифракционной микрорентгенографии и мик-
ропучков. Для этой цели используют так называемый прицельный
метод, т. е. исследуют определенный небольшой участок образца,
ограниченный одним или несколькими зернами. На рентгенограмме,
полученной методом микропучков от деформированного образца,
наблюдаются размытые максимумы на дебаевских кольцах, имею-
щие вид небольших дуг. В процессе отжига эти дуги начинают раз-
биваться на четкие пятнышки, свидетельствующие о протекании
процесса полигонизации.
Полигонизация может также изучаться по изменению отноше-
ния интенсивностей двух линий с различными индексами, обуслов-
ленному изменением экстинкции. Например, при исследовании
отношения интенсивностей /По^22о для образцов железа установ-
лено, что полигонизация, проходящая при нагреве после докрити-
ческой деформации, приводит к укрупнению блоков когерентного
рассеяния и к небольшому усилению первичной экстинкции.
Нагрев после критической деформации не приводит к заметному
возрастанию экстинкции, а следовательно, к увеличению субзерен.
$ 87. Исследование рекристаллизации
411
Полигонизацию в деформированных монокристаллах удобно
исследовать методами фокусировки дифракционных максимумов,
например методом Ламбо,
§ 87.	ИССЛЕДОВАНИЕ РЕКРИСТАЛЛИЗАЦИИ
При повышении температуры нагрева выше 0,4 7*п;1 (по абсо-
лютной шкале) в деформированных металлах наблюдается первич-
ная рекристаллизация. При этом происходит снижение объемной
энергии кристаллитов вследствие уменьшения числа дефектов струк-
туры, возникших при пластической деформации; при первичной
рекристаллизации восстанавливаются структура и свойства неде-
формированного материала.
Сущность процесса состоит в том, что в деформированном ме-
талле формируются и растут участки с неискаженной решеткой,
отделенные от матрицы высокоугловыми границами (с большими
углами разориентации). При дальнейшем нагреве материала, в ко-
тором уже прошла первичная рекристаллизация, в нем совершает-
ся собирательная или вторичная рекристаллизация, в ходе ко-
торой отдельные рекристаллизованные зерна укрупняются за счет
соседей путем миграции своих высокоугловых границ. Эти процессы
способствуют дальнейшему уменьшению свободной энергии кристал-
литов.
Различие между собирательной и вторичной рекристаллизацией
состоит в том, что при вторичной рекристаллизации имеются оп-
ределенные зерна, которые растут со значительно большей ско-
ростью, чем другие, в то время как при собирательной рекристал-
лизации таких зерен нет. Основной движущей силой собирательной
рекристаллизации является уменьшение энергии границ зерен
при сокращении их протяженности.
Процесс рекристаллизации можно исследовать металлографи-
ческим и рентгеновским методами. Металлографический метод ре-
комендуется при малых степенях деформации (до 10 — 15%).
В процессе рекристаллизации на фоне размытых линий рентге-
нограммы деформированного металла появляются небольшие чет-
кие пятна, свидетельствующие о появлении новых зерен с неиска-
женной структурой. Число появляющихся на интерференционных
линиях точек пропорционально числу вновь образовавшихся кри-
сталлитов. Число вновь возникших зерен может быть определено
подсчетом точек па линии рентгенограммы, как это делается при
определении размеров кристаллитов (с. 308).
Получив серию рентгенограмм для образцов с одинаковой сте-
пенью деформации, отожженных при разных температуре и вы-
держке, можно установить температуру или время рекристалли-
зации обработки.
412 Глава 20. Исследование структурны* изменении при нагревё
При рентгенографическом исследовании необходимо учитывать,
что рекристаллизация не проходит одновременно по всему объему.
Поэтому для получения более точных результатов необходимо при-
менять такой тип съемки, при котором на рентгенограмме реги-
стрируется большое число интерференционных линий. Желательно
также проводить исследование различных участков образца. Ча-
сто при использовании фокусирующих методов съемку проводят
с намеренной дефокусировкой, чтобы легче было заметить четкие
пятна от первых рекристаллизованных зерен, отвечающих началу
рекристаллизации.
При использовании рентгеновских трубок с особо острым фо-
кусом можно добиться выявления первых рекристаллизованных
зерен на весьма ранних стадиях процесса, когда их размер состав-
ляет 1 —3 мкм и меньше. Чувствительность метода повышается,
когда анализ ведут по линиям с большим множителем повторяе-
мости. Если образцы можно приготовить в виде тонких фолы,
рекомендуется съемка на просвет.
При исследовании рекристаллизации в слабо деформированных
образцах могут возникнуть трудности, связанные с тем, что не все-
гда удается отличить отражения, даваемые новыми зернами, от
рефлексов, обусловленных слабо деформированными кристалли-
тами. В этом случае более надежны методы металлографии и изме-
рения микротвердости. Указанную выше трудность можно избежать,
применяя метод съемки на просвет с использованием непрерыв-
ного спектра.
Рентгенограмма деформированного крупнозернистого образца
имеет вид лауэграммы с пятнами астеризма, расположенными по
зональным эллипсам. В начале рекристаллизации на рентгено-
грамме появляются четкие пятна, расположенные беспорядочно вне
зональных эллипсов. При использовании обычного метода такие
пятна получаются на дебаевских кольцах, что затрудняет их выяв-
ление. Применение непрерывного спектра повышает вероятность
отражения рекристаллизованными зернами, в результате чего чув-
ствительность метода возрастает.
Если из исследуемого материала невозможно приготовить фоль-
гу или изучается металл с большим атомным номером, то можно
использовать съемку на отражение, но чувствительность анализа
по эпиграммам заметно снижается.
Рентгенографический метод с использованием фотографической
регистрации позволяет устанавливать конец первичной рекристал-
лизации по исчезновению фона сплошных дебаевских колец на рент-
генограммах.
Используя методику подсчета числа пятен на интерференционной
линии, можно проследить за процессом рекристаллизации. Для
этого строят кривую зависимости числа пятен на линии рентгене-
87. Исследование рекристаллизации	413
граммы от времени или температуры отжига. /Максимум на этой
кривой соответствует концу первичной рекристаллизации.
В настоящее время для изучения рекристаллизации широко
применяют дифрактометры. Эти установки позволяют не только
резко сокращать время съемок, но и проводить исследования не-
посредственно в процессе изотермических выдержек.
При использовании дифрактометра образец и счетчик устанав-
ливают в положение, соответствующее брэгговскому углу для ка-
кой-нибудь сильной интерференционной линии. Затем, не меняя
положения счетчика, поворачивают образец с небольшой скоростью
на несколько градусов относительно угла $ в одну и в другую сто-
рону, т. е. проходят весь угловой интервал дифракционного мак-
симума.
Для деформированного образца при записи дифракционного
максимума самопишущим потенциометром получают плавную кри-
вую. Когда в процессе изотермических выдержек в высокотемпера-
турной камере дифрактометра возникнут и достигнут определенного
размера новые рекристаллизованные зерна, то на записываемой
кривой интенсивности появятся отдельные пики, соответствующие
этим зернам, попадающим в отражающее положение при пово-
роте образца. Дифрактометрический метод может применяться толь-
ко к сильно деформированным материалам, поскольку кривая ин-
тенсивности от деформированного образца должна быть плавной.
Если излучение подобрано таким образом, что проникает на
малую глубину по сравнению с диаметром растущих зерен, то,
используя дифрактометрический метод, можно по изменению ин-
тегральной интенсивности отдельных пиков изучать скорость роста
зародышей в процессе изотермической выдержки.
Важной областью применения рентгеновских лучей для иссле-
дования процессов рекристаллизации является определение тек-
стур рекристаллизации. Методика исследования в принципе не
отличается от описанных в гл. 16 способов изучения текстур дефор-
мации.
Глава 21. РЕНТГЕНОГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РАСПАДА
ТВЕРДЫХ РАСТВОРОВ (СТАРЕНИЯ СПЛАВОВ)
Сплавы, испытывающие старение, представляют собой прак-
тический интерес. Сложность и многообразие явлений, происходя-
щих в сплавах в процессе старения, привлекли внимание ученых,
и в этом направлении выполнено много работ, которые позволили
получить данные о механизме старения. Большую роль в иссле-
довании старения играют рентгенографические методы, с помощью
которых были получены данные о наиболее трудной для наблюдения
начальной стадии старения.
414	Глава 21. Анализ распада твердых растворов
Сплав способен испытывать старение только в том случае, если
растворимость какого-либо компонента в нем уменьшается с по-
нижением температуры. Тогда закалкой можно зафиксировать од-
нофазный твердый раствор, но по отношению к комнатной темпе-
ратуре он будет пересыщенным. Пересыщенные твердые растворы
могут распадаться при комнатной температуре (например, сплавы
Al — Си, А1 — Си—Si). Другие сплавы распадаются только
при повышенной температуре (например, сплав Си - - Be при тем-
пературе выше 150°, сплав Мо • Fe при температуре выше 550 ).
Рис. 21.1. Изменение предела упругости а0,о2 со време-
нем старения для сплава Al —4%Си
О — при возврате; при искусственном старении
Распад, происходящий при комнатной температуре, называется
естественным старением, распад, идущий при повышенной тем-
пературе, — искусственным старением.
Старение сопровождается изменением механических и физических
свойств сплавов: повышается твердость, предел прочности, умень-
шается относительное удлинение, увеличивается электросопротив-
ление и т. д.
Как видно из рис. 21.1, ход изменения предела упругости зави-
сит от температуры старения, что указывает на различные меха-
низмы упрочнения сплава. Микроскопические исследования пока-
зывают, что выделяющаяся фаза крайне дисперсна, ее нельзя за-
метить под световым микроскопом. Первоначально наиболее полные
данные о процессе старения были получены на основе рентгено-
структурных исследований. Однако развитие метода просвечиваю-
щей электронной микроскопии изменило роль рентгеновских ме-
тодов, которая теперь сводится к детальному изучению структуры
£ 88. Исследование поликристаллов
415
выделений в двойных сплавах и к исследованию сложных структур
в тройных и других многокомпонентных сплавах. Рентгеногра-
фические исследования проводятся на поли- и монокристаллических
образцах.
§ 88.	ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ОБРАЗЦОВ
Метод порошков применяется в основном для наблюдения за
изменением периодов решетки закаленных твердых растворов в про-
цессе их старения. Обнаружить выделяющуюся в процессе распада
твердого раствора фазу можно лишь на поздних стадиях старения.
Иногда это удается сделать раньше, чем при исследовании выделя-
ющейся фазы под световым микроскопом. Так, например, при ис-
следовании старения сплава А1 — Си наблюдали появление на
рентгенограмме интерференционных линий от 0-фазы (СиА12)
после старения в течение 200 ч при 150° С, в то время как под све-
товым микроскопом выделения этой фазы наблюдаются только при
отпуске сплава при 250° С.
В различных сплавах процесс старения может протекать по-
разному. На рентгенограммах сплавов Ag — Си, которые отжи-
гались в течение непродолжительного времени (немногим более
2СМшн), Н. В. Агеев и Г. Закс наблюдали кроме интерференционных
линий исходного пересыщенного твердого раствора (период решет-
ки а ~ 4,039 кХ) линии насыщенного твердого раствора с той же
решеткой, но с периодом а ~ 4,075 kX. С увеличением продолжи-
тельности старения положение этих линий не меняется, но отно-
сительная интенсивность линий пересыщенного твердого раствора
уменьшается, падая до нуля. Такой процесс распада твердого ра-
створа называется двухфазным {гетерогенным), что указывает на
сосуществование двух твердых растворов с одной и той же решеткой,
но с разной концентрацией компонентов. Двухфазный распад ха-
рактеризуется тем, что процесс охватывает объем стареющего сплава
не целиком, а частично и проходит так, что в отдельных участках
образца сразу выделяются кристаллиты новой фазы, которые прак-
тически уже не растут. Масса новой фазы в образце увеличивается
вследствие образования все новых и новых кристаллитов. Двух-
фазный распад возможен лишь тогда, когда диффузия протекает
очень медленно. Он наблюдается также в сплавах Си — Sn, Си — Be.
Mg —Al.
Иначе протекает распад в сплавах А1 — Si и А1 — Си и др.
М. И. Захарова показала, что в этих сплавах не наблюдается сосу-
ществование двух твердых растворов разной концентрации. Методом
прецизионного измерения периодов решетки установлено, что пе-
риод решетки пересыщенного твердого раствора изменяется по мере
увеличения продолжительности старения. Так как процесс старения
охватывает всю массу образца, его назвали однофазным. Получен-
416
Глава 21. Анализ распада твердых растворов
пая Захаровой зависимость периода решетки сплава Al^— Si от
времени отпуска показана на рис. 21.2. На основании этой зависи-
мости С. Т. Конобеевский выделил следующие стадии старения:
1)	инкубационный период (подготовка к распаду); период ре-
шетки пересыщенного твердого раствора не меняется;
2)	спонтанный (самопроизвольный) распад; период решетки резко
растет и происходит выделение дисперсных частиц новой фазы;
3)	мета стабильное (коллоидное) равновесие; твердый раствор
сохраняет еще большое количество избыточного компонента;
Рис. 21.2. Изменение периода решетки спла-
ва Al—Si при старении
4)	коагуляция частиц выделившейся фазы; рост частиц новой
фазы происходит в результате обеднения окружающего твердого
раствора, и поэтому период решетки продолжает расти.
Продолжительность всех стадий распада резко сокращается
с повышением температуры. Деформация сплавов также ускоряет
распад пересыщенного твердого раствора.
Физические и физико-химические свойства сплавов во время
инкубационной стадии распада изменяются. Причем изменение
многих свойств достигает максимума к моменту завершения спон-
танного распада. При коагуляции снижается твердость и изменяются
другие свойства сплавов.
При распаде некоторых сплавов, например Си — Ni — Fe,
на рентгенограммах иоликристаллических образцов вблизи основ-
ных линий матрицы появляются близко расположенные слабые
размытые линии, получившие название сателлитов (сателлиты
наолюдаются и на рентгенограммах вращения монокристаллов).
□явление сателлитов объясняется периодическим расположением
неоднородностей состава твердого раствора. Такая структура на-
зывается модулированной. Кристаллографические направления,
доль которых возникают периодические неоднородности, называют
направлениями модуляции. Расстояние между серединами неодно-
родностей вдоль этих направлений является периодом (длиной
$ 89. Изучение монокристаллов сплавов
417
волны) модуляции %. Период модуляции для кубической решетки
можно определить из углового расстояния Ад (в радианах) между
сателлитом и основным максимумом отражения (HKL) на рентге-
нограмме по формуле
Ь = аН tgM(tf2 + К2 + L2)Ad],
где $ — угол Вульфа Брэгга; а — период решетки исходного
твердого раствора^ Н —• целое число (обычно наибольший индекс).
В процессе старения сателлиты приближаются к линиям мат-
рицы, что указывает на увеличение X. Электронно-микроскопиче-
ские исследования подтвердили эту модель: на микрофотографиях
была выявлена периодическая структура, в которой число слоев
ограничивалось десятью. Уширение сателлитов объясняется нали-
чием в сплаве участков с несколько различными длинами волн.
Ю. А. Багаряцкий и Ю. Д. Тяпкин провели детальное иссле-
дование распада в сплавах Ni — Ti и Ni — Cr — Ti. Они изучили
изменение интенсивности сателлитов как функцию длины волны
рентгеновского излучения и показали, что в то время как коротко-
волновое излучение позволяет изучить локальные объемы сплава,
эффекты, наблюдаемые на длинноволновом излучении, дают об-
щую картину его структуры. Кажущееся существование двух про-
межуточных стадий распада — ложный эффект, который наблю-
дается только на длинноволновом излучении. Багаряцкий и Тяпкин
пришли к выводу, что существует только одна промежуточная
стадия.
§ 89. ИЗУЧЕНИЕ МОНОКРИСТАЛЛОВ СТАРЕЮЩИХ СПЛАВОВ
Метод порошков нс позволил получить существенных данных
о начальной стадии старения. Было отмечено, что интенсивность
линий на рентгенограмме закаленного дюралюминия возрастает
после естественного старения, одновременно происходит ослабление
общего фона рентгенограммы. Исследование монокристаллов поз-
волило получить детальные сведения о процессах, происходящих
при распаде пересыщенных твердых растворов.
В 1938 г. А. Гинье и Г. Престон заметили на лауэграммах, сня-
тых с монокристаллов дюралюминия, испытавшего естественное
старение, дополнительные вытянутые максимумы, не принадлежав-
шие решетке твердого раствора. Такие максимумы (рис. 21.3),
называемые за их размытость диффузными, были объяснены как ре-
зультат двумерной дифракции на тончайших выделениях в старею-
щем монокристалле. Подобный эффект наблюдался В. П. Линни-
ком при прохождении рентгеновских лучей через очень тонкие пла-
стинки слюды.
Монокристалл пересыщенного твердого раствора, испытавшего
старение, называется матрицей, так как при этом процессе проис-
14 Зак. 1 288
418
Глава 21. Анализ распада твердых растворов
ходят такие структурные изменения, после которых объект пере-
стает быть монокристаллом и сохраняет лишь его внешнюю форму.
Выделения в состаренном монокристалле называются по имени от-
крывших их исследователей зонами Гинъе Престона.
Для объяснения интерференционной картины используется
представление об обратной решетке.
Угловая ширина дифракционного максимума определяется со-
отношением А = Ал/Mj, где Mj
где Mj
&	* / 1 <
W	*	ж
w ' К /	- л*
* Л *4®	*
:
i	*
ft »
»
Рис. 21.3. Лауэграмма монокристал-
ла сплава А1 — 4% Си, испытавшего
старение
— число ячеек по /-му главному
кристаллографическому направ-
лению. Величина А определяет
размер узла обратной решетки.
При бесконечно большом числе
ячеек в решетке идеального
кристалла узлы обратной решет-
ки представляют собой геомет-
рические точки, что указывает
на бесконечно малую угловую
ширину дифракционных макси-
мумов. Наоборот, при малом
числе ячеек хотя бы по одному
кристаллографическому направ-
лению угловая ширина дифрак-
ционного максимума становится
большой. Это создает представ-
ление об узлах обратной решетки
как об областях, имеющих за-
метные геометрические раз-
меры.
Если размеры кристалла одинаково малы по всем трем главным
кристаллографическим направлениям, то узел обратной решетки
может быть представлен в виде сферы. Угловая ширина дифрак-
ционного максимума зависит не только от размера узла обратной
решетки, но и от того, как сфера отражения сечет этот узел. Радиус
сферического узла обратной решетки растет с уменьшением размера
кристалла одновременно по всем направлениям. С увеличением раз-
мера узла обратной решетки растет и угловая ширина дифрак-
ционного максимума.
Если же число ячеек в частице уменьшается по одному кристал-
лографическому направлению быстрее, чем по двум другим, то узел
обратной решетки можно представить в виде эллипсоида. В общем
случае этот эллипсоид может быть трехосным.
При наличии большого числа ячеек в двух главных кристалло-
графических направлениях и малом их числе в третьем направле-
нии узел обратной решетки представляет собой длинный стержень.
Этот стержень бесконечно длинен, если частица является двумер-
ным образованием. Если имеется двумерная прямая решетка,
$ 89. Изучение монокристаллов сплавов
41Й
расположенных перпендикулярно
а	5
Рис. 21.4. Обратная решетка для дву-
мерного кристалла (а) и одномерного
ряда узлов (б)
построенная на векторах а и Ь, то с = 0, следовательно, длина
обратного вектора |с*| = оо. Таким образом, обратная решетка
двумерного кристалла — это совокупность параллельных стержней
(рис. 21.4, а). Стержни располагаются перпендикулярно к атомной
плоскости двумерного образования.
Далее, если имеется атомный ряд с трансляцией а, то обратные
векторы | Ь* | — оо и | с* | = оо и узел обратной решетки, соответ-
ствующей атомному ряду, представляет собой бесконечную пло-
скость. Обратной решеткой одномерного ряда является совокуп-
ность параллельных плоскостей,
к ряду узлов (рис. 21.4, б). Сфе-
ра отражения сечется такими
плоскостями по малым кругам.
Следовательно, дифракционные
максимумы распространяются в
виде непрерывных конусов, пе-
ресечение которых фотопленкой
дает па последней непрерывные
эллипсы.
Рентгенографическое иссле-
дование монокристаллов старею-
щих сплавов может проводиться
на излучениях с непрерывным и
монохроматическим спектрами.
Использование непрерывного спектра. Как указывалось раньше,
на лауэграммах, полученных от монокристаллов состаренных спла-
вов, наблюдаются длинные размытые дифракционные максимумы.
Меняя длину волны излучения, можно заметить, что длина этих
максимумов растет с увеличением ширины спектрального интер-
вала, т. е. с увеличением напряжения на рентгеновской трубке.
Такие максимумы были объяснены дифракционными эффектами от
почти двумерных образований, выделившихся в матрице — моно-
кристалле состаренного сплава. По диффузным максимумам можно
определить ориентацию двумерных образований по отношению к мат-
рице, т. е. установить, как ориентирован стержень обратной ре-
шетки по отношению к прямой решетке матрицы. Однако нельзя
определить расстояние стержня от начала координат, в частности,
остается неизвестным, проходит ли стержень через узел матрицы.
Для нахождения ориентации двумерного образования по от-
ношению к решетке матрицы строят по лауэграмме стереографи-
ческую проекцию. Для этого диффузные максимумы относят к ка-
ким-либо кристаллографическим зонам. На лауэграмме проводят
зональные эллипсы, которые проходят как через дифракционные
пятна матриц, так и через диффузные максимумы. Диффузный
максимум разбивают на несколько частей точками и измеряют рас-
стояние каждой точки от центра рентгенограммы. По этим расстоя-
14*
420
Глава 21. Анализ распада твердых растворов
ниям вычисляют соответствующие брэгговские углы и затем произ-
водят обычное построение по сетке Вульфа. Проекции диффузных
максимумов должны располагаться по меридианам сетки Вульфа.
Представим, что матрица имеет кубическую решетку, а парал-
лельно некоторым кристаллографическим направлениям матрицы
располагаются выделившиеся при старении двумерные образова-
ния. Построим обратную решетку двумерного кристалла, которая
имеет вид системы параллельных прямых (стержней), расположен-
ных перпендикулярно к плоскости, в которой лежат трансляции
Рис. 21.5. Построение сфериче-
ской проекции стержня обрат-
ной решетки
Рис. 21.6. Определение ориентации
двумерного образования по гномо-
стереографической проекции:
А — оси типа {Ш}; □ — оси типа {100};
О — осн других типов
а и b двумерного кристалла. На одном из стержней поместим центр
сферы проекции (рис. 21.5). Радиус-вектор г при перемещении по
стержням обратной решетки с* пересекает сферу по большим кру-
гам. При его движении в бесконечность сферические проекции стерж-
ней обратной решетки пересекаются в общей точке Р. Этот полюс
на сферической проекции и характеризует ориентацию двумерного
кристалла в пространстве, так как он является выходом нормали
к плоскости двумерного кристалла. То же самое получают при пе-
ренесении точек сферической проекции на стереографическую.
Таким образом, совмещают каждую из проекций диффузных
максимумов с каким-либо меридианом сетки Вульфа и продолжают
пунктиром этот меридиан. Пересечение пунктирных линий, соот-
ветствующих проекциям нескольких диффузных линий, и является
искомым полюсом Р двумерного образования. Воспользовавшись
стандартной полюсной фигурой, наносят точки, отвечающие вы-
ходам важных направлений матрицы. Из гномостереографической
проекции, построенной для сплава А1 — Ag (рис. 21.6), видно, что
89. Изучение монокристаллов сплавов
421
точка Р совпадает с полюсом {111} матрицы. Нетрудно заключить,
что двумерные образования в состаренном монокристалле сплава
А1—Ag располагаются параллельно плоскостям {111} матрицы.
Анализ лауэграмм, полученных от состаренных монокристаллов
сплава А1 — Си, позволил установить, что двумерные образования
располагаются параллельно плоскостям {100} матрицы.
Двумерной дифракцией не удается объяснить все детали рент-
генограммы. Например, на ранних стадиях старения появляется
большое число радиальных штри-
хов, а затем возникает картина,
характерная для двумерной ди-
фракции. Появление радиальных
штрихов может быть объяснено
одномерной дифракцией, когда
обратное пространство построено
не из стержней, а из элементов
плоскостей. Особенно четко эф-
фект одномерной дифракции на-
блюдается на рентгенограммах,
снятых на монохроматическом из-
лучении. В этом случае на рентге-
нограммах появляются непрерыв-
ные зональные кривые, соответст-
вующие пересечению плоскостей
обратной решетки со сферой отра-
жения (рис. 21.7). В ходе процес-
са зональные кривые постепенно
распадаются на дуги, что соот-
ветствует переходу к двумерной
Рис. 21.7. Эффект одномерной ди-
фракции на рентгенограмме
дифракции.
Исследование на монохроматическом излучении. Наиболее
полные данные о процессе старения получают при исследовании
монокристаллов пересыщенных твердых растворов в монохрома-
тическом излучении.
Как известно, в общем случае неподвижный монокристалл при
произвольной ориентации не дает дифракционной картины в моно-
хроматическом излучении. Если же размеры кристалла умень-
шаются, то узлы его обратной решетки размываются и, следователь-
но, повышается вероятность их пересечения сферой отражения.
Производя съемки монокристалла в монохроматическом излучении
при последовательном повороте около какого-либо направления,
на рентгенограммах можно получать диффузные пятна, соответ-
ствующие различным сечениям узлов обратной решетки. Такая
серия рентгенограмм дает сведения о форме, размерах и ориента-
ции узлов обратной решетки выделений.
Принцип построения обратного пространства для состаренного
422	Глава 21. Анализ распада твердых растворов
сплава приведен па рис. 21.8. Монокристалл пр и- съемке поворачи-
вают дискретно на 5° и при каждой угловой ориентации полу ia т
рентгенограмму. Сечение стержня обратной решетки должно про-
являться на рентгенограмме в виде пятна. По мере поворота кристал
ла сфера отражения перемешается в обратную сторону. При этом
пересекаются другие участки стержня обратной решетки. На рент-
генограмме это проявляется в виде перемещения пятна. Если
Рис. 21.8. Принцип построения обратного пространства
для монокристалла состаренного сплава
стержень имеет однородное сечение, то форма диффузного пятна
не меняется. Пятно исчезает, когда сфера отражения перестает
пересекать стержень обратной решетки. По исчезновению пятна
можно определить размер стержня, а но точкам, соответствующим
пересечению стержня сферой отражения, — ориентацию его в об-
ратном пространстве. Исходя из размеров диффузного пятна, уста-
навливают толщину стержня. Все эти данные позволяют определить
размеры и ориентацию двумерных образований в матрице.
Вместо съемки при повороте монокристалла на дискретные углы
используют также качание кристалла в некотором интервале уг-
лов. Неискаженное изображение сечений узлов в определенной пло-
скости обратной решетки можно получить также путем фотографи-
рования в камере КФОР.
$ 89. Изучение монокристаллов сплавов
423
После построения картины обратного пространства по рентге-
нограммам проводят анализ этой картины. Стержни обратной ре-
шетки располагаются перпендикулярно к зонам Гинье — Престона,
имеющим форму тончайших пластинок. Длина этих стержней обратно
пропорциональна толщине этих зон.
Центры стержней могут либо совпадать с узлами обратной ре-
шетки исходного твердого раствора, либо при одинаковом взаим-
ном расположении воспроизводить решетку с несколько иной пе-
риодичностью. В обоих случаях структура зон и твердого раствора
одинакова, однако во втором случае межатомные расстояния внутри
зон и в твердом растворе различны. Эффект двумерной дифракции
здесь объясняется различием рассеивающей способности твердого
раствора и зон, для которых имеет место обогащение атомами раст-
воренного элемента.
Когда в обратном пространстве, кроме стержней, совпадающих
с узлами твердого раствора, имеются промежуточные узлы, то это
говорит о возникновении сверхструктуры внутри зон.
Если центры стержня обратной решетки зон располагаются
иначе, чем узлы обратной решетки твердого раствора, то это
свидетельствует о различии структур зон и твердого раствора.
На рис. 21.9 приведена область обратного пространства для спла-
ва А1 —20% Ag, после естественного старения в течение восьми
лет. Узлы у'-фазы попадают на плоскость {110} матрицы и лежат
на ее направлениях <111>. Двумерная дифракция соответствует
отрезкам стержней (изображены двойными линиями), которые про-
ходят через узлы 111 и 020 обратной решетки матрицы и расположе-
ны вдоль направления <111> кубической решетки матрицы. Стержни
проходят не только через узлы матрицы, но и через узлы выделив-
шейся фазы. Узел 004 у'-фазы совпадает с узлом 222 матрицы. Это
совпадение указывает, что плоскости типа {001} выделившейся
фазы сливаются с плоскостями {111} матрицы. Решетки выделений
и матрицы когерентны, что проявляется в повышении твердости
сплава.
При использовании монохроматического излучения Ю. А. Бага-
ряцкий получил данные, позволяющие решить спорные вопросы о
механизме естественного и низкотемпературного старения в сплаве
А1 —4% Си. Он установил, что при низкотемпературном старении
двумерные зоны Гинье — Престона не возникают (как это проис-
ходит при высокотемпературном старении). Наблюдаемое распре-
деление интенсивности двумерной дифракции хорошо согласуется
с вычисленным в предположении, что атомы меди собираются в об-
ластях, содержащих две-три атомные плоскости (001) при некотором
изменении межплоскостных расстояний.
Расстояния между атомами меди и алюминия уменьшаются
вследствие образования направленных связей между ними, поэтому
в решетке возникают напряжения, очень неоднородные по всему
424	Глава 21. Анализ распада твердых растворов
объему кристалла. Эти напряжения способствуют ускоренной диффу-
зии еще оставшихся в твердом растворе атомов меди к местам их
сегрегации.
После отжига в течение 19 ч при 170° С (после предварительного
естественного старения до максимума твердости) сплав оказывается
в очень неоднородном состоянии. На ренгенограммах наблюдаются:
Рис. 21.9. Область обратного пространства для сплава А1 — 20% Ag
(М— индексы узлов матрицы; А, В, С, D — индексы узлов гексаго-
нальной у'-фазы, выделившейся в четырех ориентациях)
1) эффекты, характерные для естественного старения; 2) эффекты,
обусловленные наличием в областях, обогащенных медью, сверх-
структуры с периодом 2(7а (па ~ период решетки твердого раствора);
3) первые следы появления отражений со смешанными индексами,
указывающими на образование в сплаве метастабильной 0'-фазы;
4) эффекты одномерной дифракции, обусловленные сопряженностью
решетки появляющейся фазы выделения с решеткой твердого раст-
пппа
§ 90. Исследование крупнозернистых поликристаллов	425
Анализ рентгенографических данных позволяет сделать вывод
о механизме старения в сплаве А1 — Си. При повышении темпе-
ратуры отпуска ослабляются связи между атомами Си и А1 в образо-
вавшихся после старения зонах Гинье — Престона, ослабляется
и общее напряженное состояние решетки, поэтому становится воз-
можным более равномерное распределение атомов меди по решетке.
После рассасывания зон Гинье — Престона в решетке вновь обра-
зуются сегрегации, но со значительно меньшей концентрацией ато-
мов меди (примерно состава CuAl2); атомы меди располагаются упо-
рядоченно в решетке твердого раствора. Когда эти прослойки дости-
гают 6 Оа (—24 А), становится возможной перестройка решетки внут-
ри них в тетрагональную решетку б'-фазы, сопряженную с твер-
дым раствором и имеющую слегка увеличенный период по оси
с (с = 3(7а/2 -= 6,06 А) относительно нормального 5,80 А. На та-
кую первоначальную толщину прослоек O'-фазы указывает эффект
расширения пятен этой фазы на рентгенограммах. При дальнейшем
отпуске прослойки O'-фазы растут, сопряженность их с твердым
раствором нарушается и твердость падает, несмотря на наличие
выделений О'-фазы.
Таким образом, первый подъем твердости при искусственном
старении соответствует появлению в сплаве прослоек со сверхструк-
турой, а второй, главный максимум—наличию в сплаве сопряжен-
ных выделений б'-фазы. При повышении температуры отпуска до
300° С образуется устойчивая решетка 0-фазы (тетрагональная ячей-
ка а = 6,057 А; с 4,873 А, состав СиА12). Эта фаза уже не имеет
сопряженности с решеткой матрицы, что приводит к разупроч-
нению сплава.
§ 90. ИССЛЕДОВАНИЕ КРУПНОЗЕРНИСТЫХ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ
ОБРАЗЦОВ
Ценные данные получены А. М. Елистратовым при исследовании
старения бериллиевой бронзы (Си — Be). Он использовал методику
исследования старения крупнозернистых поликристаллических об-
разцов. Съемка серии рентгенограмм производилась на плоскую фо-
топленку с использованием характеристического излучения анодов
Zn, Си, Ni, Со, Fe, Сг. По полученным рентгенограммам можно оп-
ределить форму узлов обратной решетки выделяющейся фазы,
так как последовательная съемка на разных излучениях дает раз-
личные сечения этих узлов сферой отражения. Достоинством метода
можно считать то, что на всей серии рентгенограмм данного образ-
ца рассеяние от непрерывного спектра остается неизменным и мо-
жет быть «вычтено» из наблюдаемой картины.
После выдержки при температуре, при которой механические
свойства сплава Си — Be еще не меняются (150° С, 1 ч), Елистратов
обнаружил на рентгенограммах весьма размытые пятна, которые
426
Глава 22. Рентгеноспектральный анализ
обусловлены образованием зародышей фазы с о.ц.к. решеткой.
Вплоть до температуры 250 — 300° С зародыши представляют собой
частицы размером 50 X 100 X 100 А. После выдержки в течение 1 ч
при температуре 180° С возникают эффекты двумерной дифракции,
соответствующие г. ц. к. решетке матрицы и не исчезающие при по-
следующем нагреве вплоть до температуры 700 — 800° С. Устой-
чивость картины двумерной дифракции позволила Елистратову
заключить, что она обусловлена эффектом формы трещин, возника-
ющих при образовании зародышей.
§ 91. ИЗУЧЕНИЕ СТАРЕЮЩИХ СПЛАВОВ ПО ЭФФЕКТУ МАЛОУГЛОВОГО
РАССЕЯНИЯ
Интересные сведения о процессе старения позволили получить
исследования методом рассеяния под малыми углами. По дифрак-
ционньш картинам малоуглового рассеяния можно установить фор-
му и примерные размеры групп атомов, рассеивающих рентгеновские
лучи с интенсивностью, отличной от матрицы. В общем случае,
когда области, более богатые растворенным компонентом, и вы-
делившиеся частицы имеют различную форму и ориентацию,
распределение интенсивности вблизи узла (000) сложным образом
зависит от угла дифракции, и это затрудняет интерпретацию резуль-
татов. Эта задача может быть упрощена в тех случаях, когда части-
цы имеют: 1) определенную форму и ориентацию и 2) определенные
размеры.
Для сплава А1 — 4% Си Гинье получил рентгенограмму рассея-
ния под малыми углами, которая выявила наличие ожидаемых об-
ластей пластинчатой формы, параллельных плоскостям {100} мат-
рицы. Эти области связываются с наличием пластинок, обогащенных
медью и имеющих диаметр 40 — 400 А.	, .
Метод малоуглового рассеяния имеет некоторые недостатки:
1) для наблюдения картины малоуглового рассеяния от соста-
ренного сплава рассеивающие способности матрицы и выделяющей-
ся фазы должны значительно различаться; 2) диапазон исследуемых
областей выделившейся фазы ограничен (16 — 500 А). Первый не-
достаток метода не позволяет применять его для исследования спла-
вов Al — Mg и Al — Mg — Si.
Глава 22. РЕНТГЕНОСПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ
Рентгеновские спектры широко используются для определения
содержания отдельных элементов в различных веществах. Создание
совершенной аппаратуры и разработка новых методов рептгеноспек-
трального анализа привели к его внедрению в практику многочис-
ленных научно-исследовательских институтов и промышленных
Глава 22. Рентгеноспектральный анализ
427
предприятий. Рентгеноспектральный анализ позволяет значитель-
но ускорить определение состава образцов по сравнению с химиче-
скими методами и обеспечивает достаточную точность.
К числу преимуществ рентгеноспектралыюго анализа по срав-
нению с оптическим спектральным анализом относится то, что рент-
геновские спектры содержат мало линий; взаимное расположение
линий внутренних серий (К и L) почти одинаково у всех элементов;
длины волн характеристического спектра закономерно (по закону
Мозли) зависят от порядкового номера элемента.
Надежность рептгеноспектрального анализа не меньше надеж-
ности других аналитических методов. Чувствительность (минималь-
ное содержание элемента, определяемое данным аналитическим ме-
тодом) достаточно высокая; она зависит от метода рентгеноспект-
рального анализа и уменьшается по мере перехода от тяжелых эле-
ментов к легким. Обычно чувствительность анализа составляет
0,1 —0,001%, но в некоторых благоприятных случаях удавалось
получить пороговую чувствительность 10’5 — 10-6 %.
До недавнего времени область применения рентгеноспектраль-
ного анализа легких элементов ограничивалась атомными номерами
Z 2> 11. Теперь имеются приборы, позволяющие анализировать
содержание бериллия (Z ~ 4) и даже лития (Z = 3).
Общее признание получил микрорентгеноспектральный анализ
(локальный анализ), позволяющий определять химический состав
в микрообъемах, составляющих всего 0,3 — 2 мкм3 при чувстви-
тельности 0,2 —'0,02%.
Успешно развивается также флуоресцентный рентгеноспект-
ральный анализ, который позволяет вести исследование без разло-
жения или разрушения пробы (твердое тело, жидкость, газ) одно-
временно на содержание многих (до 24) элементов. Анализ можно
проводить в автоматических установках — рентгеновских спектро-
метрах и квантометрах, обладающих очень высокой производитель-
ностью.
К недостаткам рентгеноспектрального анализа следует отнести
сложность и высокую стоимость оборудования. Однако при интен-
сивной загрузке такого оборудования на промышленных пред-
приятиях затраты на аппаратуру окупаются за 1 — 1,5 года.
Существуют три метода рентгеноспектрального анализа: 1) эмис-
сионный (по первичным характеристическим спектрам); 2) абсорб-
ционный (по спектрам поглощения); 3) флуоресцентный (по вторич-
ным характеристическим спектрам).
Эмиссионный метод. Этим методом исследуется спектр вещества,
помещенного на анод рентгеновской трубки. При бомбардировке
вещества пучком электронов возникает первичное характеристи-
ческое излучение, которое, пройдя через щель, разлагается в
спектр с помощью кристалла и регистрируется на фотопленке или
с помощью счетчика.
Глава 22. Рентгеноспектральный анализ
428
Эмиссионный метод обладает высокой чувствительностью —
о 1 — о 01 °6 Погрешность количественного анализа по первичным
спектоам составляет 2-5% содержания определяемого элемента.
При исследовании этим методом исследуемое вещество нагревают
и поэтому анализ легко испаряющихся веществ, например серы
и селена, представляет очень трудную задачу.
Абсорбционный метод. Этот метод применяют в основном при
определении сравнительно тяжелых примесей в жидкостях. Жид-
кости помешают в кюветы из материала с малым коэффициентом
поглощения рентгеновских лучей (например, из плексигласа).
Прошедший через кювету пучок рентгеновских лучей разлагают
в спектр. При анализе исследуются изменения в спектре, которые
возникли при прохождении лучей через вещество.
Абсорбционный метод обладает сравнительно низкой чувстви-
тельностью — 0,5 — 0,15%. Погрешность количественного анализа
составляет 10 — 5%.
Флуоресцентный метод. При исследовании флуоресцентным ме-
тодом вещество помещают вблизи анода мошной рентгеновской
трубки. Первичное излучение, выходящее из трубки, возбуждает
вторичное характеристическое излучение исследуемого вещества.
Это излучение, выделенное в почти параллельный пучок с помощью
щели Соллера (системы тонких параллельных пластин), попадает
на кристалл, который разлагает его в спектр. Спектр обычно реги-
стрируется с помощью газоразрядных или сцинтилляционных
счетчиков. Фотографический метод не применяется из-за ма-
лой интенсивности вторичных спектров. Так как исследуемое
вещество находится вне рентгеновской трубки, то на проведение
анализа затрачивается времени не больше, чем при исследовании
методом оптического анализа. Объект при исследовании не нагре-
вается, и поэтому возможно исследование даже легко испаряющихся
веществ. Этот метод анализа обладает наивысшей чувствитель-
ностью, равной 0,04 — 0,0005%.
§ 92, РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРОГРАФЫ И СПЕКТРОМЕТРЫ *
Рентгеновские лучи могут быть разложены в спектр с помощью
спектрографов, использующих плоские и изогнутые кристаллы,
ассмотрим некоторые типы рентгеновских спектрографов.
спектрометр с плоским кристаллом. На рис. 22.1 приведена
спектР°-летРа с плоским кристаллом, который в основном
пяит^пиеТСЯ ДЛЯ Ф^Р^ентного метода анализа. Вторичное ха-
рактеристическое излучение образца 1, возбужденное пучком пер-
»аии’0НСиыГХе?р^„И" аВии'иСЯгпРТЛ°Р’ В КОТОрОМ используется иони-
спектр регистрируется фотографХсХ методом^ ” Спектрограф°В'
§ 92. Рентгеновские спектрографы и спектрометры
429
вичных лучей от трубки 2, вырезается многопластинчатым колли-
матором или щелью Соллера 3. После отражения от кристалла 4
пучок проходит через вторую щель Соллера и регистрируется с по-
мощью счетчика 5. Кристалл 4 вращается вокруг оси, проходящей
через его поверхность, с угловой скоростью со. Счетчик и вторая
щель Соллера вращаются со скоростью 2 со.
Преимуществом такого спектрометра является его высокая све-
тосила, обусловленная тем, что одновременно используется для
Рис. 22.1. Схема спектрометра с плоским кристаллом
отражения почти вся поверхность большого плоского кристалла.
Однако его разрешающая способность ниже, чем фокусирующих
спектрографов с изогнутым кристаллом.
Спектрограф с фокусировкой по Иоганну. В этом спектрографе
(рис. 22.2), широко применяющемся в настоящее время, используется
кристалл, изогнутый по радиусу, равному диаметру фокальной
окружности. Отражающие атомные плоскости параллельны внеш-
ней поверхности кристалла. Щель отсутствует, а фокус рентгенов-
ской трубки F располагается внутри фокального круга. Как видно
из приведенной схемы, в данном случае выполняется только одно
условие фокусировки: нормали к отражающим атомным плоско-
стям сходятся в одной точке Лг на фокальном круге. Второе условие
фокусировки не выполняется: отражающие точки поверхности кри-
сталла, кроме точки А, не лежат на фокальном круге.
Нарушение условий фокусировки приводит к размытию спект-
ральных линии (в сторону меньших углов fr). В этом нетрудно убе-
430	Глава 22. Рентгеноспектральный анализ
диться, рассматривая лучи, отраженные под одним и тем же углом
от точек кристалла А, В н С (см. рис. 22.2). Проведем в точке А ка-
сательную к поверхности кристалла. Отраженный под углом ft
от атомной плоскости луч пересечет фокальную окружность в точ-
ке Р. Лучи, отраженные под тем же углом от точек В и С, не попа-
дут в точку Р, Они могли попасть в эту точку, если бы касательные
к атомным плоскостям в этих точках располагались в точках В
и С' на фокальном круге. Так как это условие не выполняется, то
/V
Рис. 22.2. Схема спектрографа с фокусировкой
по Иоганну (с изогнутым кристаллом)
соответствующие отраженные лучи пересекут фокальный круг в
точках Р' и Р". Ширина спектральных линий b определяется фор-
b - (7?ф2/8) ctg а,	(22.1)
где Р — радиус фокального круга; О — угол Вульфа — Брэгга;
ф — угловой раствор кристалла (см. рис. 22.2).
Угловой раствор кристалла <р обычно ограничивают специальным
экраном Н. Косое падение лучей на пленку также вызывает допол-
нительное размытие в двойном слое эмульсии, поэтому для полу-
чения спектрограмм методом Иоганна либо применяют односторон-
Хй	Ю сра3у П0СЛе пР°явления снимают внешний
слои эмульсии. Уширение вследствие косого падения лучей так-
же пропорционально углу ft. С уменьшением угла О, аредова-
§ 92. Рентгеновские спектрографы и спектрометры
431
тельно, н длины волны лучей X уширение увеличивается, в резуль-
тате чего метод Иоганна может быть использован в области больших
углов О (обычно О 20°).
Спектрограф Иоганна обычно делают вакуумным: рентгеновская
трубка, кристалл и фотопленка находятся в общем вакууме. Он
применяется для исследования спектральной области с длинами
волн X > 1,45 А.
Принцип фокусировки по Иоганну используется также в длинно-
волновых спектрометрах, в которых спектр регистрируется с по-
мощью проточных пропорциональных счетчиков, перемещаю-
щихся вдоль фокальной окружности.
Разрешающая способность Р спектрографа (обратная величина
минимальной разности для волн, разрешаемых соседних спектраль-
ных линий) прямо пропорциональна угловой дисперсии Рф, радиусу
фокальной окружности R и обратно пропорциональна ширине спек-
тральной линии Ь:
Р - D^RIb,	(22.2)
где Рф dtyldh = п /(2 d cos 0) tg 0/Х.
Отсюда следует, что для повышения разрешающей способности
спектрографа надо использовать отражения под большими углами-О
и увеличивать радиус спектрографа. Однако увеличение радиуса
приводит также к увеличению ширины спектральных линий, по-
этому в серийных спектрографах радиус фокальной окружности
не превосходит 500 — 600 мм.
Спектрограф с фокусировкой по Иоганссону. Для устранения
дефокусировки, присуще/! методу Иоганна, Иогапссон предложил
вышлифовать в монокристальной пластинке цилиндрическую по-
верхность радиусом 2/?, равным диаметру фокального круга. Затем
кристалл изгибают так, чтобы его отражающая поверхность распо-
лагалась по радиусу фокального круга. При этом отражающие
атомные плоскости изогнуты по диаметру фокального круга. Из
схемы фокусировки, приведенной па рис. 22.3, видно, что лучи,
отраженные от точек А, В и С кристалла, пересекутся в одной точке Р
на фокальном круге. Этот метод обеспечивает точную фокусировку,
и поэтому позволяет выбрать большой угол раствора кристалла ср,
При большой апертуре легко получить стократный выигрыш
в экспозиции по сравнению с методом плоского колеблющегося
кристалла.
Недостатком метода Иоганссона является сложность изготов-
ления монокристальной пластинки, вышлифованной по поверх-
ности цилиндра. Спектрограф Иоганссона применяется для иссле-
дования только длинноволновых участков спектра.
Спектрограф с фокусировкой по Кошуа. Этот спектрограф при-
меняется для исследования коротковолнового участка спектра.
432
Глава 22. Рентгеноспектральный анализ
Рис. 22.3. Схема спектрографа с фокуси-
ровкой по Иогаиссону
Рис. 22.4. Схема спектрографа с фокуси-
ровкой по Кошуа
Фокусировка в нем осущест-
вляется при прохождении
рентгеновских лучей через
тонкую (толщиной а) моно-
кристальную пластинку, изо-
гнутую по радиусу, равному
диаметру фокального круга
(рис. 22.4). От фокусного пят-
на F> расположенного вне фо-
кального круга, рентгенов-
ские лучи падают на кристалл
с выпуклой стороны и отра-
жаются от атомных плоско-
стей, расположенных вееро-
образно (до изгиба эти плос-
кости располагались под уг-
лом а к плоской поверхности
кристалла). Лучи, отражаю-
щиеся под одним и тем же
углом Ф, сходятся на фокаль-
ном круге. Как и в методе
Иоганна, фокусировка не по-
лучается резкой: лучи, отра-
женные от точек В и С, пере-
секаются с фокальным кругом
в точках РнР'. Это связано
с тем, что только точка А на-
ходится на фокальном круге,
остальные точки лежат вне
его.
Ширина линий в спектро-
графе Кошуа определяется
формулой
b - (1/2) [(/?ф2/4) + al X
X tg (й ± «),	(22.3)
где а — толщина кристалла;
ср —угловой раствор кристал-
ла; R— радиус изгиба кри-
сталла; (У — угол Вульфа —
Брэгга; а — угол между от-
ражающей плоскостью и нор-
малью к поверхности кри-
сталла. Наблюдается также
дополнительное уширение ли-
§ 93. Кристаллы для спектрографов и спектрометров
433
нии, обусловленное косым падением лучей на фотопленку и ко-
нечной высотой кристалла.	1	. ;
В спектрографе Кошуа во избежание засвечивания пленки пря-
мым пучком лучей со стороны малых углов Я между источником
лучей и кристаллом помещают многопластинчатую диафрагму М
(щель Соллера), состоящую из расположенных веерообразно метал-
лических пластинок, продолжения которых сходятся в общей точке
на фокальном круге Ро- Длина этих пластинок и расстояние между
ними ограничивают расходимость первичного пучка до требуемой
величины. Метод Кошуа применяется для исследования спектраль-
ного интервала в области длин волн 0,6 — 1,7 А.
§ 93.	КРИСТАЛЛЫ ДЛЯ СПЕКТРОГРАФОВ И СПЕКТРОМЕТРОВ
Выбор кристалла для спектрографа определяется целью иссле-
дования. Если предполагается провести качественный спектраль-
ный анализ, то в большинстве случаев высокая разрешающая спо-
собность не требуется, но желательна наибольшая яркость спект-
ральных линий. В этом случае применяют мозаичные монокристал-
лы: каменную соль, алюминий.
При исследовании тонкой структуры спектров необходима вы-
сокая разрешающая способность. В этом случае наилучшим кристал-
лом может служить кварц, затем кальцит, гипс, флюорит, топаз.
Кварц не имеет плоскости спайности, и пластинки нужной ориен-
тации (1010), (1011) выпиливаются из большого монокристального
блока.
В настоящее время для рентгеновских спектрографов приме-
няют также кристаллы LiF, ADP (NH4H2PO4), КАР (КНС8Н4О4),
EDDT (С6 Н4 N2O2).
Для разложения в спектр ультрадлинноволнового рентгенов-
ского излучения используют анализаторы на основе солей тяжелых
металлов стеариновой, бегеновой и лигноцериновой кислот (меж-
плоскостные расстояния равны соответственно 50, 60 и 65 А).
Пленки из указанных солей (до 100 монослоев) наносят на твердую
основу. В практике наиболее часто используют монокристальные
пленки (псевдокристаллы) стеарата и лигноцерата свинца.
§ 94.	ЭМИССИОННЫЙ МЕТОД РЕНТГЕНОСПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
По спектрам первичного характеристического излучения при
использовании фотографического метода регистрации могут быть
определены следующие элементы: 1) на длинноволновых фокусирую-
щих спектрографах otS (Z-- 16) доСи (Z=29) по /(-серии и от Mo (Z=
= 42) до Lu (Z-71) по L-серии; на коротковолновых фокусирующих
спектрографах от Ni (Z—28) до Mo (Z---42) по /(-серии и от Yb (Z=70)
до конца таблицы Менделеева по L-серии. Необходимость примене-
434
Глава 22.
Рентгеноспектральный анализ
ния ДЛЯ полного анализа двух типов спектрографов (длинновол-
новых и коротковолновых) вытекает из рассмотренных выше осо-
бенностей фокусирующих спектрографов.
Вакуумные спектрометры со щелями Соллера и плоским вращаю-
щимся кристаллом, снабженные пропорциональным проточным
счетчиком, позволяют проводить анализ всех элементов, начиная
с в (Z = 5). Для определения легких элементов используют псевдо-
кристаллы с особо большими межплоскостными расстояниями
стеарат и лигноцерат свинца.
При качественном и количественном анализе по первичным спект-
рам исследуемое вещество втирают в рифленую поверхность зер-
кала медного или алюминиевого анода рентгеновской трубки. После
откачки трубки подключают высокое напряжение, превосходящее
более чем в 1,5 раза потенциал возбуждения К- или L-серин самого
тяжелого из анализируемых элементов, и получают спектрограмму.
Качественный анализ. При качественном анализе изучают толь-
ко положение спектральных линий, которое определяется путем
промера расстояний неизвестных линий относительно стандартного
вещества (например, материала анода). Из промеренных расстоя-
ний методами линейной интерполяции или экстраполяции вычис-
ляют длины волн анализируемых линий. При индицировании, про-
водимом по таблицам спектральных линий, следует учитывать по-
грешность определения длины волны и возможность нахождения
линии в разных порядках.
Расшифровка отдельной неизвестной линии в большинстве слу-
чаев оказывается невозможной, так как в таблицах спектральных
линий вблизи найденного значения пКх есть линии, не выходящие
за пределы погрешности определения длины волны ДХ. Правильное
индицирование линий возможно лишь после определения плх для
всех известных линий, полученных на спектрограмме. При инди-
цировании следует принимать во внимание относительную интен-
сивность спектральных линий: если на спектрограмме имеется ли-
ния данного элемента, то на ней должны быть и линии Kai, Ка2,
значительно более интенсивные (если они попадают в интервал ре-
гистрируемых углов Й), то же относится и к L-серии, для которой
линии располагаются по убыванию интенсивности в следующем по-
РЯАПп wnp1’,/2’ “2’ 71’ ^3’	Р6’ Р0’ ₽10’	₽5’
но мере уменьшения содержания данного элемента интенсив-
Hocib его спектральных линий падает, слабые линии постепенно
исчезают. Если на спектрограмме обнаруживается только одна
самая сильная линия данного элемента, то по ней нельзя сделать
однозначного заключения о наличии элемента в пробе. В этом слу-
чае необходимо получить другую спектрограмму той же пробы,
но со значительно большей экспозицией.
npHTrpunnn«LBeHHbI^ а?ализ эмиссионным методом. Количественный
тральный анализ по первичным спектрам чаще всего
§ 94. Эмиссионный метод
435
проводят методом внутреннего стандарта. В некоторых случаях
применяют метод внешнего стандарта, значительно снижающий
продолжительность анализа, но дающий меньшую точность.
В обоих случаях анализируемую пробу втирают в поверхность
медного или алюминиевого анода. Измерение интенсивности спект-
ральных линий проводят с помощью счетчика (газоразрядного или
сцинтилляционного) или фотографированием спектра с последующим
микрофотометрированием.
При исследовании методом внутреннего стандарта интенсив-
ность 1п определенной линии анализируемого элемента сравнивают
с близкой к ней линией стандартного элемента /ст, введенного в
пробу в точно известном количестве. При этом принимают, что
ca/cCT = k (/а//ст),	(22.4)
где k—переходной коэффициент; са, сст — концентрации анали-
зируемого и стандартного элементов соответственно. Переходной
коэффициент k находится по смесям с известным содержанием ана-
лизируемого элемента. Величина k определяется: а) отношением
количества возбужденных атомов пробы и стандартного элемента
на аноде рентгеновской трубки; б) отношением вероятностей соот-
ветствующих переходов между уровнями этих атомов.
Теоретический расчет коэффициента k вызывает затруднения,
поэтому обычно его определяют экспериментально.
При проведении анализа необходимо строго соблюдать стандарт-
ные условия съемки и проявления. Коэффициент k должен перио-
дически проверяться.
Наличие других элементов в пробе может привести к изменению k.
Например, если между краями поглощения стандартного и опреде-
ляемого элементов находится яркая линия третьего элемента, то воз-
никает дополнительное возбуждение элемента (в данном случае ана-
лизируемого), край поглощения которого расположен с длинно-
волновой стороны, и интенсивность линии этого элемента возра-
стает. Элементы, влияющие своим флуоресцентным излучением на
интенсивность линий стандарта или анализируемого элемента, на-
зывают мешающими. При проведении количественного анализа не-
обходимо учитывать присутствие мешающих элементов, внося по-
правку в переходной коэффициент k в формуле (22.4).
В процессе получения рентгенограммы возможно селективное
испарение (т. е. предпочтительное испарение некоторых элементов,
приводящее к изменению химического состава пробы). Селективное
испарение растет с увеличением тока через рентгеновскую трубку,
т. е. с нагревом анода. Для учета селективного испарения пробы
получают несколько спектрограмм гпри нескольких различных
и постоянно уменьшающихся значениях силы тока через трубку.
Затем строят график зависимости определяемого содержания
элемента от анодного тока. Через'1 полученные точки проводят
436
Глава 22. Рентгеноспектральный анализ
кривую, которую экстраполируют к нулевому току, и затем опре-
деляют истинное значение сп. Погрешность анализа методом внутрен-
него стандарта составляет 1—10% содержания определяемого эле-
мента в пробе при условии, если его содержание превосходит в 15 
20 раз предел чувствительности (0,7—1%). При уменьшении содер-
жания вероятная погрешность растет, достигая 100 отн. % на пре-
деле чувствительности.
В методе внешнего стандарта интенсивность линии определяе-
мого элемента в пробе сравнивается с интенсивностью линии того же
элемента в нескольких стандартных пробах с различным, но точно
известным содержанием анализируемого элемента. В качестве
внешнего стандарта используют также и чистые элементы. Подобное
сравнение легко осуществляется в современных спектрометрах,
позволяющих попеременно вводить в пучок электронов различные
образцы без нарушения вакуума. Это, например, осуществляется
в спектроанализаторе JPX-3, выпускаемом японской фирмой
«Джеол». Вакуумный спектрометр этой установки позволяет вести
анализ на элементы от В (Z = 5) до U (Z = 92) (волновой интервал
0,49—94 А). На столике-держателе одновременно устанавливают
шесть образцов, которые поворотом рукоятки последовательно вво-
дят в пучок электронов. Исследуемый образец автоматически вра-
щается в собственной плоскости для устранения эффекта сегрега-
ции. Пороговая чувствительность спектроанализатора составляет:
0,007% В; 0,008% С; 0,001% А1; 0,002% Si в стали.
§ 95.	ЛОКАЛЬНЫЙ {МИКРОРЕНТГЕНОСПЕКТРАЛЬНЫЙ] АНАЛИЗ
В настоящее время широко применяют спектрометры, позволя-
ющие проводить анализ элементного состава в очень малых (локаль-
ных) объемах. Такие приборы названы микроанализаторами.
Первые модели микроанализаторов разработали во Франции
Р. Кастэн и А. Гинье, а в СССР — И. Б. Боровский и Н. П. Ильин.
Микроанализатор состоит из электронно-оптической системы
(сходной с электронным микроскопом), дающей узкий пучок элек-
тронов (электронный зонд). Электронный зонд возбуждает харак-
теристическое излучение в микрообъеме анализируемого образца-
шлифа который является анодом. Размеры фокального пятна на
аноде (диаметр электронного зонда) составляет 0,1 — 3,0 мкм*.
Размеры области, излучение от которой выходит наружу от
разца (локальный объем), зависят от ускоряющего напряжения,
реднего атомного номера образца и его плотности. Этот объем мо-
жет меняться от 0,5 до 300 мкм3.
Рекордный РазмеР 30ида последней модели растрового электронного
микроскопа составляет всего 5 — 10 А,
§ 95. Микрорентгеноспектральный анализ
437
Возникающее в локальном объеме характеристическое излучение
разлагается в спектр с помощью изогнутого кристалла, а интенсив-
ность спектральных линий регистрируется счетчиком квантов рент-
геновского излучения. Участок образца, облучаемый электронами,
можно наблюдать с помощью длиннофокусного микроскопа, опти-
ческая ось которого совмещена с точкой попадания электронного
зонда на образце. Поэтому с помощью микроскопа, перемещая дер-
жатель образца, можно вывести под электронный зонд определенную
точку металлографического шлифа.
С помощью микроанализатора можно определить содержание
анализируемого элемента в данной точке образца или распределе-
ние концентрации этого элемента вдоль определенного направления.
Микроанализатор подобного типа выпускался в СССР под маркой
МАР-1.
Дальнейшим развитием микроанализатора Кастэна является
растровый микроанализатор. В таком приборе имеется разверты-
вающее устройство, которое заставляет перемещаться электронный
зонд по строкам в пределах некоторой квадратной площадки иссле-
дуемого шлифа с линейными размерами 100 — 500 мкм. Кристалл
спектрометра и счетчик устанавливают в положение для регистра-
ции определенной спектральной линии анализируемого элемента.
Усиленные импульсы от счетчика используют для модуляции ярко-
сти свечения экрана (с длительным послесвечением) электронно-
лучевой трубки, у которой развертка электронного луча действует
синхронно с разверткой электронного зонда на поверхности об-
разца. Благодаря этому на экране электронно-лучевой трубки по-
лучается увеличенное в 250 — 10 000 раз изображение (в характе-
ристическом рентгеновском излучении исследуемого элемента)
участка шлифа. Места, в которых присутствует данный элемент,
выявляются на экране трубки в виде светлых пятен, яркость ко-
торых примерно пропорциональна содержанию элемента в данной
точке образца.
Кроме характеристического рентгеновского излучения образец
также является источником обратнорассеянных и вторичных элект-
ронов. Поэтому дополнительно к счетчику рентгеновских квантов
микроанализатор имеет еще другие детекторы, сигналы которых
можно использовать для модуляции свечения экранов электронно-
лучевых трубок. Схема расположения таких детекторов приведена
на рис. 22.5. К числу дополнительных регистрирующих устройств
относятся: детектор обратнорассеянных электронов, детектор вто-
ричных электронов, измеритель прошедших электронов (для тонких
образцов) и измеритель поглощенных электронов. Для исследова-
ния полупроводниковых материалов микроанализаторы снабжают
измерителем термо- э. д. с.
Современный микроанализатор представляет собой очень слож-
ную установку с высокой стабильностью всех электронных блоков.
438
Глава 22. Рентгеноспектральный анализ
На рис. 22.6 приведена структурная схема микроанализатора
МАР-2, выпускаемого в СССР.
Микроанализаторы позволяют проводить как качественный,
так и количественный анализ на элементы, начиная от Be (Z = 4)
до U (2=92).
При перемещении (сканировании) образца вдоль определен-
ного направления и неподвижном электронном зонде и счетчике
можно записать с помощью элек-
тронного потенциометра изме-
нение интенсивности спектраль-
ной линии, которое показывает
распределение концентрации
данного элемента вдоль на-
правления	сканирования
(рис. 22.7, е). При неподвижных
образце и зонде, но при движу-
щемся счетчике записывается
спектр характеристического из-
лучения от выбранной точки
образца, по которому проводят
качественный анализ. Так как
Рис. 22.5. Схема, иллюстрирующая
получение информации об образце
в микроанализаторе:
1 — образец; 2 — детектор обратнорассеян-
ных электронов; 3 — детектор вторичных
электронов; 4 — счетчик рентгеновских
квантов; 5 — измеритель поглощенных
электронов; 6 — измеритель прошедших
электронов; ОЭ — обратно-рассеянные элек-
троны; ПЭ —первичные электроны; ВЭ —
вторичные электроны; РЛ — рентгеновские
лучи
в локальном объеме содержится
~10“10 г вещества, то можно
подсчитать, что при относитель-
ной чувствительности локаль-
ного спектрального анализа
0,1 —0,01% метод обладает ло-
кальной чувствительностью
10-13 — 10-14 г.
Образцами для исследования
служат зеркально-полированные
шлифы, на поверхности которых недопустимо присутствие ямок
или царапин глубиной более 0,5 мкм. При анализе непроводя-
щих образцов их поверхность покрывают тонким (100 — 200 А)
слоем металла путем термического испарения.
Количественный рентгеноспектральный анализ в микрообъемах,
как и в случае обычного эмиссионного метода, основан на предпо-
ложении о прямой пропорциональности между интенсивностью
линии характеристического спектра и числом атомов данного эле-
мента, находящихся в облучаемом электронами объеме. Однако
кроме возбуждения первичными электронами атомы анализируе-
мого элемента возбуждаются также флуоресцентным излучением
других элементов, присутствующих в образце, а также непрерывным
спектром. Поэтому практически невозможно рассчитать с достаточ-
ной точностью интенсивность линии элемента А, возбужденную
$ 95. Микрорентгеноспектральный анализ
439
в образцах разного состава при данных условиях эксперимента.
В связи с этим при количественном микроспектральном анализе
используют метод внешнего стандарта (метод внутреннего стандарта
здесь неприменим) и поправочные формулы, по которым вычисляют
Цифропе-
чатающая
машинка
Самописец
Контрольный
генератор
Измеритель
скорости
счета
Усилитель
Амплитудный
дискриминатор
Пересчетный
блок
высоковольт-
ный выпрями-
тель
Блоки
питания
Объектив микроскопа
БСпектро~\
\метрне-
d
tyiexmoo-']
\метроа-
клт-
блок стабили-
затора высоко-
го нбпотхения
блок еле к трон-
ных ставили-
заторов
Блок выпря-
мителей
Блок
высоко- v
Валютный
1 блок
индикаторов
блок
генераторов
Блок
усилителей
Блок
питания
1
Рис. 22.6. Структурная схема мккроапалпзатора МАР-2
число квантов рентгеновского излучения, возникающих только
за счет первичной ионизации. В качестве внешнего стандарта вы-
бирают обычно чистый элемент. Материал стандарта должен допу-
Рис. 22.7. Распределение хрома в сплаве хром—железо, определенное
с помощью растрового мнкроанализатора:
а —световое изображение; б — изображение, полученное в Сг Ка-излучении; в —
распределение хрома вдоль линии сканирования
скать зеркальную полировку его поверхности и не должен менять
своего состава на воздухе, в вакууме и под влиянием электронной
бомбардировки.
В методе внешнего стандарта измерение интенсивности линии
элемента А на образце и на стандарте производится раздельно. Ко-
440
Глава 22. Рентгеноспектральный анализ
личественный анализ многокомпонентной системы ведется следую-
щим образом. При строго идентичных условиях (одинаковых ускоря-
ющем напряжении и силе тока через образец) измеряется интенсив-
ность линии, например элемента А от образца (/д), в котором
массовое содержание элемента неизвестно, а интенсивность той же
линии /А — от стандарта (чистого элемента).
Отношение измеренных интенсивностей будет
/д//д = СдМ,	(22.5)
где М — поправочный множитель, который вычисляют, учитывая
расчетным путем разницу между атомным номером стандарта и сред-
ним атомным номером образца, поглощение излучения в образце
и дополнительное флуоресцентное возбуждение анализируемого
элемента.
Для вычисления концентрации сА есть несколько методов:
метод последовательных вычислений, метод гипотетического состава
и метод построения расчетных калибровочных кривых. Предложен
также метод количественных вариаций ускоряющего напряжения.
Погрешность количественного микрорентгеноспектрального
анализа составляет 1 — 10%. Локальность этого метода определяет-
ся не только диаметром электронного зонда, но и тем, что из-за флуо-
ресцентного возбуждения диаметр «области излучения» может зна-
чительно возрастать и при атомных номерах более 20 превышать
в 2 — 200 раз диаметр электронного зонда.
Применение микрорентгеноспектрального анализа в металло-
ведении чрезвычайно разнообразно. Например, он используется
для изучения распределения элементов при дендритной ликвации
в металлах, определения концентрации легирующих элементов на
границах^зерен, идентификации фаз, изучения процессов диффузии,
взаимодействия конструкционных материалов с теплоносителями,
распределения элементов в сварных соединениях, определения сте-
пени окисления элементов и валентного состояния атомов в соеди-
нениях, занимающих микрообъемы (по «химическому» сдвигу ли-
ний).
§ 96.	ФЛУОРЕСЦЕНТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА
Рентгеноспектральный анализ по флуоресцентному (вторичному)
излучению обладает некоторыми преимуществами по сравнению
с анализом по первичным спектрам: 1) образец располагается на
воздухе, вне вакуумного объема рентгеновской трубки или вводится
в него через шлюз, т. е. возможна быстрая смена образца; 2) в ходе
анализа образец не нагревается и поэтому его химический состав не
изменяется, 3) применение метода внешнего стандарта позволяет
полечить высокую точность; 4) во вторичном спектре отсутствует
фон непрерывного спектра, благодаря чему повышается контраст-
§ 96. Флуоресцентный анализ
441
ность аналитических линий, а следовательно, и чувствительность
анализа.
Однако следует отметить и некоторые недостатки флуоресцент-
ного метода: 1) вторичные спектры имеют малую интенсивность,
и поэтому фотографический метод регистрации неприменим; 2) ин-
тенсивность аналитических линий существенно зависит от общего
состава пробы, особенно при наличии мешающих элементов (напри-
мер, присутствие железа в пробе влияет на интенсивность линий ва-
надия); 3) чувствительность флуоресцентного метода анализа по
L-спектрам примерно в 5 — 7 раз ниже, чем по /^-спектрам (этот
недостаток относителен, так как чувствительность по вторичным
К-спектрам в 5 — 10 раз выше, чем по первичным К-спектрам).
В настоящее время наибольшая чувствительность этого метода
составляет (5 4-7) • 10-6%.
Рентгеноспектральным флуоресцентным методом определяют
элементы от Mg (Z=I2) до U (Z=92): элементы от Alg (Z= 12) до
Ag (Z=47) анализируют по К-серии, а от Sn (Z=50) до U (Z=92)
по /.-серии. Анализ выполняется без разложения или разрушения
пробы. Можно исследовать как твердые образцы (порошки, спла-
вы), так и жидкости.
Флуоресцентный анализ позволяет использовать методы внут-
реннего и внешнего стандарта. Для проведения анализа флоуорес-
центным методом используют многоканальные спектрометры (кван-
тометры). Эти приборы состоят из нескольких (2, 5, 10) спектромет-
ров (каналов), на кристаллы-анализаторы которых попадает флу-
оресцентное излучение от исследуемого образца. Каждый из спектро-
метров настроен на спектральную линию определенного элемента,
интенсивность которой измеряется с помощью электронно-счетного
устройства. Таким образом, прибор указывает одновременно содер-
жание нескольких элементов. Один из каналов обычно используется
для измерения спектральной линии стандарта. Схема многоканаль-
ного квантометра приведена на рис. 22.8. Анализ на многоканальных
спектрометрах дает более высокую точность и требует меньших
затрат времени по сравнению с исследованием на одноканальных
спектрометрах.
В СССР выпускают квантометры, предназначенные для анализа
различных элементов: ФРК-2 (7 каналов), КРФ-11 (10 каналов),
ФРК-1 (6 каналов), ФРК-4 (3 канала), квантометр РК-5975 (10 ка-
налов), ФРА-4 (один канал, анализ на уран и торий). Эти кванто-
метры, установленные на промышленных предприятиях, дают зна-
чительный экономический эффект, быстро окупаются и позволяют
во многих случаях отказаться от менее производительных методов
химического анализа.
Для флуоресцентного анализа созданы также автоматические
спектрометры с программным устройством. Структурная схема та-
кого спектрометра приведена на рис. 22.9. В спектрометре псполь-
442
Глава 22. Рентгеноспектральный анализ
зуются два канала: измерительный и контрольный. Программа, зало-
женная в программирующее устройство, позволяет производить
определение заранее заданных элементов. Программирующее устрой-
ство дает команды на привод спектрометра для поворота кристалла
и счетчика на необходимые брэгговские углы (интервал между
спектральными линиями счетчик проходит быстро). Результаты
измерения регистрируются печатающим устройством и самописцем.
Канал сравнения служит для измерения интенсивности линий от
Рис. 22.8. Схема многоканального флуоресцентно-
го спектрометра:
/ — рентгеновская трубка; 2 — входная щель: 3, 4, 5 —
кристаллы; 6, 7, 8 — счетчики; 9 — исследуемый образец
эталонного образца. Диски-держатели позволяют последовательно
вводить анализируемые образцы подпучок первичных рентгеновских
лучей без нарушения вакуума. Прибор обладает очень высокой
производительностью и его целесообразно применять на тех промыш-
ленных предприятиях, где требуется проводить большое число
анализов для контроля технологических процессов.
Наряду с обычным флуоресцентным методом, при котором вто-
ричное характеристическое излучение образца разлагается в спектр
с помощью кристаллов (дисперсионный метод), получили широкое
распространение бескристальные (бездисперсионные) рентгенофлуо-
ресцентные аппараты. Преимуществом таких аппаратов является
существенный выигрыш в светосиле. Это связано с тем, что при кол-
лимации и отражении от кристалла регистрируется ~10~6 потока
вторичного излучения, а при бескристалъном анализе до 10"1 —
Ю“2. Поэтому в бескристальных аппаратах вместо рентгеновских
§ 96. Флуоресцентный анализ
443
трубок мощностью в несколько киловатт для возбуждения вторич-
ного спектра образцов используют миниатюрные рентгеновские
трубки мощностью 0,5 —10,0 etn или радиоизотопные источники
(66Fe, Wm, 109Cd, 3H/Zr). Схема бескристального анализатора
приведена на рис. 22.10.
Рис. 22.9. Структурная схема автоматического спектрометра
В бескристальных анализаторах применяются в основном два
метода: селективного счета и селективной фильтрации. В методе
селективного счета анализ вторичного излучения образца прово-
дится с помощью амплитудного анализатора, позволяющего путем
включения соответствующего порога дискриминации выделять им-
пульсы от пропорционального счетчика, отвечающие квантам ана-
литической спектральной линии определяемого элемента. Этот метод
пригоден для анализа элементов, различающихся по крайней мере
на три атомных номера.
Для анализа элементов с близкими атомными номерами приме-
няют метод селективной фильтрации. В этом методе на пути вто-
ричного излучения перед счетчиком ставят два тонких слоя из ма-
териалов, края поглощения которых расположены слева и справа
от аналитической линии. Толщину слоев подбирают таким образом,
чтобы они в одинаковой степени поглощали излучение с другими
444	Глава 22. Рентгеноспектральный анализ 
длинами волн. Такие фильтры называют сбалансированными фильт-
рами Росса. Для анализа на каждый элемент необходимо иметь свои
фильтр Росса.
Фильтры Росса непригодны для анализа легких элементов.
В этом случае используют отражательные фильтры, представляющие
собой зеркала с полистирольным покрытием, которые устанавли-
вают под определенным углом а, зависящим от анализируемого
элемента на пути вторичного излучения образца (например, при
анализе на бериллий а = 8°). Метод отражательных фильтров
используют при анализе самых легких элементов (В, Be, Li) и в
микроанализаторах.
Рнс. 22.10. Схема бескристалыюго анализатора:
/ — рентгеновская трубка; 2 — образец; 3 — щель; 4 —
фильтр; 5 — пропорциональный счетчик; 6 — усилитель;
7 — амплитудный анализатор; 8 — иитенсиметр
Бескристальные анализаторы отличаются портативностью, не-
большой массой и малой потребляемой мощностью. В СССР выпу-
скают бескристальные анализаторы БАРС-1 и БАРС-2 (с рентгенов-
ским источником возбуждения), БРА-6 и БРА-7 (с радиоактивным
источником возбуждения). Приборы БАРС-2 и БРА-6 имеют малую
массу (25 и 10 кг соответственно), и поэтому могут применяться
даже в полевых условиях геологических экспедиций, i
Порог чувствительности бескристального анализа на 1—2 по-
рядка выше, чем в аппаратах с диспергирующим кристаллом.
Бескристальные приборы уступают также в точности анализа при
содержании определяемого элемента в пробе ^0,1 4- 0,5%. При
содержании элемента ^>1% бескристальные приборы становятся
конкурентоспособными с дисперсионной аппаратурой. Так как
бескристальные анализаторы характеризуются высокой свето-
силой и малым расстоянием между пробой и детектором, с их по-
мощью можно проводить анализ легких элементов, начиная с алю-
миния, без вакуума.
Бескристальные анализаторы целесообразно использовать при
серийном анализе однотипных образцов на ограниченное число
элементов. Для качественного анализа неизвестных образцов или
количественного определения большой группы элементов предпоч-
тительны дисперсионные спектрометры и квантометры.
§ 97. Абсорбционный метод
445
§ 97.	АБСОРБЦИОННЫЙ МЕТОД КОЛИЧЕСТВЕННОГО
РЕНТГЕНОСПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Анализ по спектрам поглощения позволяет определить содер-
жание заданного элемента в пробе независимо от присутствия других
элементов.
Существуют два варианта использования абсорбционного ана-
лиза: метод поглощения непрерывного спектра и метод поглощения
характеристического спектра.
Рассмотрим метод поглощения непрерывного спектра. Если пучок
рентгеновских лучей (белое излучение) пропустить через тонкий
слой исследуемого вещества и затем разложить его в спектр, то вбли-
зи края поглощения анализируемого элемента наблюдается резкий
скачок интенсивности. Величина скачка поглощения определяется
методом ионизационной регистрации или измеряется с помощью
микрофотометра путе^м фотометр ирова ни я спектрограмм и зависит
от эффективной толщины поглощающего слоя, а следовательно, от
концентрации анализируемого элемента в растворе. Исследуемый
раствор наливают в кювету из материала, имеющего малый коэффи-
циент поглощения рентгеновских лучей.
Можно показать, что отношение интенсивностей, измеренных
по обе стороны от скачка поглощения, составит
Л//2 = ехр (kpa)t	(22.6)
где k — характеристическая константа определяемого элемента;
ра — масса анализируемого элемента, приходящаяся на 1 см2
освещенной поверхности фильтра, г/см2. Из измеренного отношения
интенсивностей (22.6) находят ра. Зная ра, освещенную площадь
и массу препарата, нетрудно подсчитать концентрацию анализируе-
мого элемента в пробе. Интенсивности /х и /2 устанавливаются эк-
страполяцией на край полосы поглощения результатов серии изме-
рений интенсивностей, сделанных вблизи края на разных расстоя-
ниях от него. Можно также построить градуировочную кривую по
стандартным растворам с известным содержанием определяемого
элемента.
Проведение анализа абсорбционным методом требует тщатель-
ного экранирования прибора, измеряющего интенсивность прошед-
шего через пробу пучка, от посторонних лучей (прямого пучка,
рассеянного излучения и т. д.).
Чувствительность этого метода 0,15 — 0,50% для элементов от
Ni (Z = 28) до iMo (Z = 42). Для элементов с атомными номерами
более 42 этот метод обычно не применяют. Относительная погреш-
ность анализа — 10% при содержании определяемого элемента,
превышающем предел чувствительности в 10 раз. С уменьшением
содержания определяемого элемента точность анализа быстро па-
дает.
446
Глава 23. П рименение дифракции электронов и нейтронов
Абсорбционный анализ проводят и по двум наиболее ярким ли-
ниям характеристического спектра, расположеннььм по обе стороны
края поглощения определяемого элемента. Измеряют отношение
интенсивностей линий в зависимости от концентрации определяемого
элемента в растворе. Как и в предыдущем методе, кювету с исследу-
емым раствором ставят на пути первичного пучка рентгеновских
лучей, ослабленные лучи разлагают в спектр. Линия характе-
ристического спектра, находящаяся с коротковолновой стороны
от края полосы, поглощается значительно сильней, чем линия,
расположенная с длинноволновой стороны. По измерениям отно-
шения интенсивностей /х//2 в зависимости от концентрации опре-
деляемого элемента в стандартных смесях строят градуировочный
график, который далее используют для работы по определению не-
известной концентрации элемента.
Ввиду того, что в методе используются яркие линии и влияние
посторонних излучений невелико (при условии, если приняты меры
предосторожности), его точность выше по сравнению с анализом по
непрерывному спектру. Затраты времени на проведение анализа
могут быть сведены к нескольким минутам при ионизационном ме-
тоде регистрации интенсивностей.
Глава 23. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОНОВ
И НЕЙТРОНОВ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ МЕТАЛЛОВ
И СПЛАВОВ
Наряду с получившими широкое распространение методами
рентгенографии для исследования металлов и сплавов используют
также методы дифракции электронов и нейтронов. Электроногра-
фия и нейтронография по числу решаемых вопросов не могут кон-
курировать с рентгенографией, но в некоторых случаях они поз-
воляют проводить исследования, недоступные для рентгеновских
лучей.
Все три метода — рентгенография, нейтронография и электро-
нография — основаны на общих принципах дифракции волн или
частиц на кристаллической решетке и поэтому имеют много общего.
Однако им свойственны и некоторые различия, связанные с харак-
тером взаимодействия излучения с атомами кристаллического ве-
щества.
Ренпеновскне лучи рассеиваются электронами атомов. Таким
образом, их рассеяние чувствительно к распределению электронной
плотности р (xyz) в кристаллическом веществе. Построение синтеза
Фурье по рентгенографическим данным об интенсивности набора
дифракционных максимумов от различных плоскостей (hkl) поз-
воляет получить картину распределения электронной плотности
§ 98. Электронография
447
в кристалле, максимумы которой соответствуют центрам равновесия
атомов.
Электроны рассеиваются под действием электрического поля
электронов атома и атомных ядер. Ход электростатического потен-
циала ср (xyz) в атоме примерно подобен ходу электронной плот-
HocTHpLvz/z), во несколько батее пологий. /Максимумы синтеза Фу-
рье, построенного по электронографическим данным, также соот-
ветствуют центрам равновесия атомов.
Рассеяние нейтронов происходит под действием дельтаобраз-
ного потенциала ядерпых сил.
Для исследования атомной структуры кристаллических веществ
используют так называемое когерентное рассеяние излучения в объ-
екте, т. е. рассеяние, происходящее без обмена энергией падающего
излучения с веществом объекта и без изменения длины волны пер-
вичного излучения. Величина взаимодействия излучения с веществом
характеризуется отношением интенсивности когерентного излу-
чения к интенсивности первичного пучка /0, т. е. отношением
/ь.//0, которое определяется величиной абсолютных атомных ам-
плитуд А Абсолютные атомные амплитуды для трех типов излуче-
ния имеют следующий порядок:
для рентгеновских лучей /р = 10"11 см\
для электронов Ю"8 см\
для нейтронов Д = 10“12 см.
Отношение атомных амплитуд составляет/р :	:/и — 1 : 103 :
: Ю"1. Так как интенсивность когерентного рассеяния пропор-
циональна квадрату атомной амплитуды (атомному множителю),
то отношение интенсивностей для рассматриваемых трех типов
излучений /р :	: /п = 1 : 106 : 10-2. Отсюда следует, что
для получения дифракционной картины одинаковой интенсивно-
сти следует брать образны различной толщины в зависимости от
вида излучения: для рентгеновского излучения — 0,1 см‘, для элек-
тронов 10-0 — 10~й см\ для нейтронов 6,1 — 0,5 см. При большей
толщине образцов значительно возрастает доля некогерентного рас-
сеяния.
§ 98.	ЭЛЕКТРОНОГРАФИЯ
Дифракция электронов была открыта в 1927 г. К. Девиссоном
и Л. Джермером. В настоящее время электронография вошла в по-
вседневную практику лабораторий, занимающихся исследованием
металлов и сплавов. Рассмотрим основные особенности этого ме-
тод а.
1. Взаимодействие электронов с веществом на несколько поряд-
ков превосходит взаимодействие рентгеновских лучей и нейтронов.
Поэтому при съемке на просвет с помощью электронов можно ис-
следовать очень тонкие объекты (10~6 - 10-’ сл<). При съемках
448 Глава 23. Применение дифракции электронов и нейтронов
на отражение глубина проникновения составляет 30 — 200 А, по-
этому электронографические методы позволяют исследовать чрез-
вычайно тонкие пленки (например, окисные) па поверхности ме-
таллов.
Рис. 23.1. Внешний вид элсктронографа ЭГ-100А
2. Особенности рассеяния электронов в веществе позволяют
значительно проще, чем в нейтронографии, определять структурные
положения легких атомов в присутствии более тяжелых, например
азота в структуре, содержащей железо, углерод и вольфрам.
Изучение дифракции электронов приводят в специальном при-
боре, называемом электронографом. В СССР серийно выпускается
электронографЭГ-100А, работающий при ускоряющем напряжении
до 100 кв. Внешний вид прибора представлен на рис. 23.1. Электро-
нограф имеет осветительную систему /, которая состоит из электрон-
ной пушки с бронированным вводом, двух электромагнитных линз
§ 98. Электронография
449
Электронная пушка
Экран
а
Рис. 23.2, Схема получения дифракцион-
ной картины в электронографе ЭГ-100А
I линза
Плцнм
BhlKtn
панцырного типа с полюсными наконечниками. Исследуемые объ-
екты помещают в одной из двух камер — малой 2 или большой 6.
Объекты закрепляют в объектодержателе, который позволяет изме-
нять ориентацию образца по отношению к первичному лучу с тремя
степенями свободы. Для наблюдения за дифракционной картиной
предназначен проекционный
тубус 7. Регистрация этой
картины производится фото-
камерой 8 со шторным затво-
ром. В фотокамере имеется
магазин кассет с фотопластин-
ками (шесть штук), которые
могут ^меняться без наруше-
ния вакуума в электроногра-
фе. Питание электронографа
осуществляется высоковольт-
ными блоками 10. Приборы
располагаются на стенде 9,
управление выполняется с
пультов 3 — 5.
Электронно-оптическая си-
стема состоит из двух конден-
сорных линз. Ускоряющее на-
пряжение изменяется ступеня-
ми: 40, 60, 80 и 100 кв. В элек-
тронографе можно произво-
дить нагрев объекта до 1000° С
и охлаждение до —140° С.
Специальная пушка медлен-
ных электронов позволяет
снимать заряде объектов при
исследовании полупроводни-
ков и диэлектриков. Особая
приставка дает возможность
исследовать газы и летучие вещества, нагретые до 300 — 400° С.
Принцип действия электронографа следующий. Электроны, по-
ступая с катода, ускоряются электрическим полем по направлению
к заземленному аноду, имеющему отверстие, пройдя через которое,
попадают в поле электромагнитных линз; фокусировка электронов
производится двумя конденсорными линзами. Фокус второй элект-
ромагнитной линзы лежит в плоскости фотографической пластинки.
Электроны, прошедшие через образец, дают дифракционную кар-
тину на той же фотопластинке. Изображение можно получать либо
с одной второй линзой (рис. 23.2, а), либо с двумя линзами
(рис. 23.2, б). В последнем случае достигается максимальная раз-
решающая способность. Расстояние от объекта до фотопластинки
15 Зек. 1288
450
Глава 23. Применение дифракции электронов и нейтронов
фиксировано, оно составляет 160, 385 или 735 мм. Современные
электронные микроскопы также позволяют получзть электроно-
граммы от малого (0,5 — 2 мкм2) участка тонкого образца, т. е.
осуществлять так называемую микродифракцшо.
При электронографическом исследовании применяют два типа
съемки: на просвет (на прохождение) и на отражение (рис. 23.3, л, б).
Монокристаллические образцы дают точечные электронограммы
(рис. 23.4, а), поликристаллические — в виде концентрических ко-
лец (рис. 23.4, б, в). Четкость интерференционных линий на элек-
Рис. 23.3. Схема съемки в электронографе на про-
свет (а) и на отражение (б):
I — образец; 2 — фотопленка
тронограмме, полученной на отражение, заметно меньше, чем
в случае съемки на просвет, так как снимки имеют сильную общую
вуаль.
Для электронографического исследования методом на просвет
необходимо применять образец толщиной не более (1 ч- 2) * 10~6 см.
Лишь из ограниченного числа веществ можно приготовить пленки
такой толщины без специальной подложки, которая должна быть
очень тонкой 1б~7 см) и по возможности не должна давать дифрак-
ционных эффектов. Часто применяют подложку из тончайшей цел-
лулоидной пленки. Для ее приготовления каплю раствора целлу-
лоида в амилацетате износят на поверхность воды, где она расте-
кается и после высыхания образует тончайшую пленку. Эту пленку
вылавливают на сеточку или рамку с отверстиями 1 — 2 мм.
Для нанесения на пленку исследуемого вещества применяют кри-
сталлизацию из раствора, осаждение из пара или аэрозолей. Плен-
ки металлов могут быть получены конденсацией из паров в вакууме
на какую-либо подложку, которую затем растворяют. В качестве
такой подложки используют сколы кристаллов (NaCl, КС1, слюда),
§ 98. Электронография
451
нагретых до определенной температуры. При осаждении на них
пленки проявляется ориентирующее действие подложки, в резуль-
тате чего образуются пленки со структурой мозаичного монокри-
сталла.
Образцами для съемки на отражение могут служить металло-
графические шлифы, размером, например, 10 X 10 леи. Поверхность
шлифа не должна быть загрязнена. Для снятия жировых, окисных
Рис. 23.4. Электронографии:
а — от монокристалла; б — от поли-
кристалла на просвет; в — от поли-
кристалла на отражение
и гидроокисиых пленок применяют электролитическую полировку
и промывку в различных средах. При исследовании многофазных
образцов режим электрополировки подбирают таким, чтобы иссле-
дуемая фаза растворялась меньше и после травления образовывала
выступы на поверхности шлифа. При скользящем вдоль шлифа пучке
электронов дифракционная картина создается в основном этими вы-
ступами. Подготовленный для исследования шлиф не должен на-
ходиться на воздухе более нескольких минут, так как возможно
образование окисной пленки.
При съемке на отражение применяют максимальное ускоряющее
напряжение. Экспозицию приходится делать в 5 — 6 раз больше,
15*
452	Глава 23. Применение дифракции электронов и нейтронов.
чем при съемке на просвет. Характерной особенностью метода на
отражение является трудность, а подчас и невозможность наблю-
дения дифракционной картины ввиду ее малой интенсивности по
сравнению с фоном.	.
Рассмотрим расчет электронограмм. Длина волны Л (А), свя-
занная с движением электронов, ускоренных разностью потенциа-
лов U (в), определяется (без учета релятивистской поправки) соот-
ношением
%=12t236/VU.	(23.1)
Отсюда следует, что при обычно используемом в электронографе
ускоряющем напряжении 40 — 60 кв длины волн электронов ме-
няются от 0,037 до 0,062 А и поэтому брэгговские углы также долж-
ны быть малыми: 3 — 6°. Поэтому можно считать, что sin О' — О'
= tgO. Тогда
пК = 2d sin О О • 2d = dr/L,	(23.2)
где г — радиус интерференционного кольца на электропограмме
от поликристаллического образца; L — расстояние от образца
до фотопластинки. Отсюда
d,hkl = dhhlln^Lllr = 2LllDi	(23.3)
где D — диаметр интерференционного кольца.
Формулой (23.3) пользоваться трудно, так как непосредственное
определение X и L недостаточно точно. Поэтому практически опре-
деляют так называемую постоянную электронографа С = LKt снимая
электронограмму от поликристаллического образца стандартного
вещества с известными межплоскостными расстояниями dhhl при
данных ускоряющем напряжении U и расстоянии L. Затем из про-
меренных диаметров интерференционных колец и известных
значений dt вычисляют С = LK. Расчет электронограммы исследуе-
мого вещества ведут по формуле
dhki~2ClD.	(23.4)
Точность определения межплоскостных расстояний по. электро-
нограммам невелика, несмотря на очень резкие интерференционные
линии и большие значения А, что объясняется малостью брэггов-
ских углов.
Расчет электронограмм, снятых на отражение от массивных об-
разцов, имеет ту особенность, что половина дифракционной картины
экранируется образцом (см. рис. 23.4, в) и поэтому невозможно из-
мерять диаметры интерференционных колец. Для устранения этой
трудности на образец напыляют тонкую пленку стандартного ве-
щества, в результате чего на электронограмме одновременно с ли-
ниями исследуемого образца появляются линии стандартного об-
разца. Брэгговские углы определяют, измеряя расстояния между
§ 98. Электронография
453
линиями образца и стандарта, аналогично методике, используемой
в рентгенографии.
При съемке монокристальных образцов получают точечные элек-
тронограммы (см. рис. 23.4, а). Для объяснения особенностей точеч-
ных электронограмм полезно использовать интерпретацию дифрак-
ционной картины с помощью обратной решетки. Точечную электро-
нограмму можно рассматривать как проекцию на фотопленке одной
плоскости обратной решетки монокристалла в масштабе LX.
Схема образования точечных электронограмм представлена на
рис. 23.5. Рассмотрим эту схему. В связи с малостью длин еолн
электронов сфера отражения имеет
большой радиус (при К = 0,05 А
примерно в 35 раз больший, чем
для рентгеновских лучей с К =
= 1,54 А). Поэтому участок сферы
вблизи нулевого узла обратной
решетки можно приближенно
представлять плоскостью, перпен-
дикулярной к первичному лучу s0.
Следует также учесть, что при
съемке на просвет используют об-
разцы толщиной ~ 100 А. Поэтому
Рис. 23.5. Схема образования то-
чечной электронограммы
узлы обратной решетки вытянуты в направлении нормали к поверх-
ности образца. Мозаичность кристалла также вносит существенный
вклад в размытие узлов обратной решетки (точки размываются в уча-
стки шаровой поверхности). Кроме того, сходимость первичного пуч-
ка, составляющая обычно несколько угловых минут, интерпретирует-
ся как непрерывный поворот сферы отражения на угол сходимости.
Таким образом, при неподвижном образце сфера отражения
пересекает узлы обратной решетки в плоскости, перпендикулярной
к первичному пучку электронов, в результате чего на фотопластинке
регистрируется неискаженная проекция этой плоскости. Масштаб
проекции определяется из подобия треугольников на рис, 23.5:
r/L - /7/(1/А),
(23.5)
где /---расстояние от следа первичного пучка на фотопластин-
ке; L — расстояние от фотопластинки до образца; Н — модуль
вектора обратной решетки (приближенно считаем Н перпенди-
кулярным к s0). Переписав соотношение (23.5) в виде
г = 1ЛН,
заключаем, что электронограмма является проекцией плоскости
обратной решетки в масштабе LX.
Если первичный пучок совпадает с направлением а3 прямой
решетки, то получаемая на электроиограмме сетка узлов построена
на проекции векторов обратной решетки Ьг и Ь2- Определив при из-
454	Глава 23. Применение дифракции электронов и нейтронов
вестном LX значения 6, и t>2, можно вычислить периоды прямой
решетки а. и Период а3 по обычной электронограмме определить
не удается Для определения третьего периода используют метод
«косых текстур», который заключается в следующем.
При осаждении из раствора или конденсации пара и осаждении
из суспензии во многих случаях удается получить образцы,в которых
кристаллиты ориентированы определенной кристаллографической
Рис. 23.6. Обратное пространство для образцов с пластинчатой
текстурой:
а —обратная решетка текстурованного образца; б — возникновение
эллипса на электронограмме; в —эллипс
плоскостью параллельно поверхности образца или подложке, об-
разуя так называемую пластинчатую текстуру, являющуюся ак-
сиальной текстурой с осью, перпендикулярной к поверхности об-
разца. Обратная решетка, отвечающая такой текстуре, представ-
ляет собой окружности, которые лежат: а) на плоскостях, перпенди-
кулярных к оси текстуры, и б) на цилиндрических поверхностях,
параллельных оси текстуры (рис. 23.6, а).
Если первичный пучок электронов составляет угол ср с поверх-
ностью образца, то плоскость, представляющая участок сферы отра-
жения, будет наклонена к оси текстуры под углом 90° — (р и пересе-
чет цилиндрические поверхности по эллипсам. 11а этих эллипсах
интерференционные пятна располагаются по слоевым линиям.
Обозначим g расстояние между соседними слоями на эллипсе
(рис. 23.6, в). Тогда
g-sin ср = b3LXt
(23.6)
£ 98. Электронография
455
где Ь-А — период обратной решетки вдоль оси текстуры. В случае
ортогональной системы
«з =	= LM(g sin ср).	(23.7)
Угол ср можно определить непосредственно по электронограмме,
так как а и b — оси эллипса и поэтому cos ср = b/а. Формулу (23.7)
можно привести к виду
=	^2,	(23.8)
где гп — расстояние от n-го слоя до центра эллипса.
Значения периодов решетки, определенные из точечных электро-
нограмм, еще менее точны, чем рассчитываемые из электронограмм
поликристаллов из-за размытости рефлексов.
Рассмотрим основные применения дифракции электронов для
исследования твердых веществ.
Структурная электронография. Этот метод включает методику
определения параметров элементарной ячейки (периодов идентич-
ности и углов) и расшифровку атомной структуры из распределения
интенсивности рассеянного излучения в обратном пространстве.
Этапы расшифровки структуры такие же, как в рентгеноструктур-
ном анализе. Методом структурной электронографии исследовано
большое число соединений, расшифрованы структуры веществ, со-
держащих атомы легких элементов, например структура парафина
(в которой удалось локализовать атомы водорода), мочевины и дру-
гих веществ. Следует отметить, что вероятность локализации атомов
водорода электронографическим методом примерно в 30 раз ниже,
чем вероятность локализации атомов углерода. Наиболее успешно
определяются координаты легких атомов методами нейтроногра-
фии.
Электронографию применяют также для исследования структуры
веществ, неустойчивых в обычных условиях, но устойчивых в высо-
ком вакууме, т. е. в условиях исследования в электронографе.
К таким веществам относятся некоторые окислы, кристаллогид-
раты и др.
Электронография поверхностных слоев. Ввиду того, что при съем-
ках методом на отражение глубина проникновения электронов не
превышает 30 — 200 А, этот метод электронографии широко ис-
пользуют для изучения процессов окисления, коррозии, состояния
поверхности и т. д. Например, И. И. Коробков исследовал процесс
нарастания окисной пленки на поверхности образцов циркония
и его сплавов. Установление закономерностей роста окисных пленок
существенно для разработки коррозионностойких циркониевых
сплавов. С помощью электронографического метода обнаружено,
что при окислении циркония в кислороде, на воздухе или в водяном
паре при температуре 300 — 700° С в течение первых секунд на его
456
Глава 23. Применение дифракции электронов и нейтронов
поверхности образуется двухфазная окисная пленка, состоящая из
кубической и моноклинной модификации ZrO2- Затем кубическая
модификация превращается в моноклинную, скорость превращения
существенно увеличивается с ростом температуры. При окислении
циркония в присутствии азота (в самом металле или в окислитель- -
ной среде) образуется кубическая ZrO2 повышенной стабильности.
Электронографию применяют для исследования явлений струк-
турного соответствия между исходным кристаллом и тонкими плен-
ками, возникающими на его поверхности в результате каких-либо
физических или физико-химических процессов. Под кристаллохи-
мическим соответствием подразумевают существование в обеих кри-
сталлических формах плоскостей, атомные сетки которых имеют
сходную конфигурацию и близкие размеры.
Методами электронографии изучают также влияние давления,
ковки, шлифовки и т. д. на поверхностные слои металла.
Субмикроскопическая кристаллография. В природе встречаются
вещества, которые могут быть синтезированы только в мелкодис-
персном виде, например сажи, различные абразивы, а также гли-
нистые минералы. Эти вещества невозможно исследовать рентгено-
графическим методом из-за малых размеров частиц, в то же время
они дают вполне удовлетворительные электронограммы.
Представляет интерес также совместное проведение электро-
нографических и электронно-микроскопических исследований. В сов-
ременных электронных микроскопах имеется приспособление для
получения электронограмм от интересующей исследователя точки
объекта (так называемая микродифракция). Таким образом удается
получить сведения как о внешней форме дисперсных частиц, так
и об их структуре. Например, Гейденрейх изучил процесс старения
сплава алнико (14% Ni, 8% Al, 24% Со, 3% Си, 51% Fe). Им было
установлено, что при старении возникают ориентированные выде-
ления второй фазы с г.ц.к.-решеткой и периодом — 10 А. Плоскость
(011) выделившихся частиц параллельна плоскости (011) матрицы,
а направление [100] частиц — направлению [100] матрицы.
Электронография используется также для исследования струк-
туры аморфных твердых тел и жидкостей, а также для изучения
строения молекул в парах и газах.
Быстро развивается также метод дифракции медленных электро-
нов, в котором используются ускоряющие напряжения в десятки
и сотни вольт. Рассеяние медленных электронов характеризуется
чрезвычайно сильным взаимодействием электронов не только с од-
ним-двумя поверхностными слоями атомов, но и с адсорбированным
на поверхности слоем молекул газов или водяных паров. По допол-
нительным дифракционным максимумам определяют регулярную
структуру адсорбированных газовых слоев на поверхности кристал-
лов, коэффициент прилипания молекул газа и степень заполнения
монослоев.
§ 99. Нейтронография
457
§ 99. НЕЙТРОНОГРАФИЯ
В настоящее время в связи с развитием реакторостроения на-
чала успешно развиваться новая область науки—нейтронография,,
использующая явление дифракции нейтронов на кристаллических
веществах. Нейтронография не может полностью заменить рентгено-
структурный анализ, так как уступает последнему по разрешающей
способности, но в некоторых случаях позволяет получить данные,>
которые не могут быть полу-
чены с помощью рентгено- б
структурного анализа.
Взаимодействие нейтронов
с веществом имеет следующие
особенности.
1.	Нейтроны мало погло-
щаются веществами: в тяже- 2
лых веществах поглощение
нейтронов в 104 раз меньше, ?
чем рентгеновских лучей.
Однако поглощение нейтро-
нов в некоторых веществах, О
например в В и Cd, велико.
2.	Рассеяние рентгенов-
ских лучей растет с увеличе-
нием атомного номера вещест- 2
ва, интенсивность рассеян-
ных лучей зависит от брэг-
говского угла Нейтроны Рис. 23.7. Эффективное сечение рассся-
одинаково рассеиваются под ния элементов для нейтронов и рентге-
всеми углами й, и строгая	новских лучей
зависимость рассеяния от
атомного номера отсутствует. Интегральное сечение рассеяния о3
связано с амплитудой рассеяния f соотношением
as - 4л/2.	(23.9)
Зависимость сечения рассеяния от относительной атомной массы
вещества представлена на рис. 23.7, из которого видно, что некото-
рые легкие вещества рассеивают нейтроны так же эффективно, как
и тяжелые, а иногда обнаруживаются значительные различия в рас-
сеянии соседними элементами. Часто значительно различается рас-
сеивающая способность изотопов одного и того же элемента. Во-
дород и углерод рассеивают нейтроны почти так же, как и тяжелые
элементы.
3.	Рассеяние нейтронов вызываются их взаимодействием с яд-
рами рассеивающего вещества (а не с электронами, как у рентгенов-
ских лучей). Однако если строение электронной оболочки таково,
458	Глава 23. Применение дифракции электронов и нейтронов
что атом обладает постоянным магнитным моментом (элементы с не-
достроенной электронной оболочкой), то вследствие наличия у ней-
трона собственного магнитного момента будет наблюдаться диполь-
дипольное взаимодействие, которое сравнимо и во многих случаях
может даже превосходить взаимодействие нейтрона с ядром. Таким
образом, нейтронное рассеяние дает возможность получить сведения
о расположении магнитных моментов атомов в кристаллах. Эти
данные нельзя получить с помощью рентгеноструктурного анализа.
Техника экперимента. В качестве источника нейтронов в ней-
тронографии используют ядерные реакторы, дающие полиэнерге-
тический спектр нейтронов. Как известно, длина волны нейтронов
/. ic.h) определяется из соотношения де Бройля:
}. = (fv'mv) (3,95603 ± 0,00005) • 10~9/щ	(23.10)
где h — постоянная Планка; m — масса; v — скорость нейтронов
(см’сек) или
1= (2,86005 ± 0,00004). 10~9//£	(23.11)
(£ — энергия нейтронов, эв).
В нейтронографии используются нейтроны с длиной волны
порядка 1 А, т. е. с энергией порядка 1 эв. Такой энергией обладают
нейтроны, находящиеся в тепловом равновесии с веществом замед-
лителя (тепловые нейтроны).
Схема нейтронного спектрометра приведена на рис. 23.8. Пучок
нейтронов вырезается коллиматором 2 длиной 50 — 150 см, встав-
ленным в защитную оболочку реактора. Этот пучок затем попадает
на монохроматор 4, установленный под брэгговским углом (для дан-
ной длины волны нейтронов). Для монохроматизации пучка нейт-
ронов обычно используют монокристаллы свинца или меди. В по-
следние годы стали широко применять деформированные (для Уве-
личения мозаичности) кристаллы германия, а также пиролитический
графит, обладающий очень высокой отражательной способ-
ностью.
Монохроматор окружен защитой из парафина / и свинца 3. С по-
мощью монохроматора из сплошного спектра вырезается пучок
с интервалом длин волн 0,15 А, что на два порядка превышает соб-
ственною ширину линии рентгеновского характеристического спект-
ра^ Большая спектральная ширина монохроматизированного пучка
нейтронов не позволяет определять периоды решетки с погреш-
ностью, меньшей 0,1 А. Плотность потока монохроматизированного
пучка нейтронов невелика, она составляет — 1 % плотности потока
первичного пучка [—2,5 • 104 нейтронам2 • сек)]. Для сравнения
\ кажем, что плотность потока пучка 4в рентгеноструктурном ана-
лизе составляет — квант (см2 . сек). Монохроматизированный
§ 99. Нейтронография
459
пучок нейтронов попадает затем на образец 6, установленный на
гониометре 5 нейтронного спектрометра.
Для этой цели часто используют гониометр от рентгеновского
дифрактометра ГУР-4 или ГУР-5. Так же как и монохроматор,
Рис. 23.8. Схема нейтронного спектрометра
гониометр имеет надежную свинцовую защиту. Пучок нейтронов
может перекрываться кадмиевой заслонкой 8. Образцы для ис-
следования в связи с малым сечением рассеяния нейтронов должны
быть большими (по крайней мере несколько миллиметров).
Рассеянные образцом нейтроны регистрируются счетчиком 7,
наполненным BF3, содержащим значительное количество изотопа
В10. Ядро изотопа В10 может захватывать нейтроны, испытывая
после этого распад по реакции: В10 -ф n = Li7 Д- а.
4G0
Гмва 23. Применение дифракции электронов и нейтронов
а-Частица вызывает ионизационный эффект, приводящий к раз-
ряду В счетчике. Для получения эффективности счета 70 - 80%
применяют счетчик длиной до 50 - 60 см. Его масса вместе с за-
щитой (из парафина, карбида бора и свинца) ~ 100 кг. Общая
масса нейтронного спектрометра составляет несколько тонн.
Даже при максимальном использовании нейтронного пучка от
очень мощного реактора скорость счета при дифракционных иссле-
дованиях не превышает 102 — 103лшн-х (для единичного измерения
необходимо набрать несколько тысяч отсчетов). Интерференцион-
ная кривая строится очень медленно. Область брэгговских углов
от 0 до 45° удается исследовать при очень благоприятных условиях
только за 12 ч, при неблагоприятных условиях это исследование
занимает десятки и сотни часов.
В нейтронографии довольно просто производить исследования
при высокой и низкой температуре. При низкотемпературных ис-
следованиях образец помещают в криостат. При этом не возникает
проблемы, связанной с поглощением, так как нейтроны почти бес-
препятственно проходят сквозь оболочку и тепловую защиту крио-
стата. Для высокотемпературных исследований используют обычные
печи, в которых отсутствуют отверстия для ввода пучка нейтронов.
В опытах по магнитному рассеянию образцы намагничиваются
с помощью постоянных магнитов или электромагнитов.
Нейтронографический анализ проводится как* по методу вра-
щения монокристаллов (из-за эффекта экстинкции размеры образ-
цов в этом случае не должны превышать 5 мм), так и по методу по-
рошков.
Области применения нейтронографии. С помощью нейтроно-
графии успешно проводят следующие исследования.
1.	Изучение кристаллической структуры веществ, содержащих
атомы легких элементов, наряду с тяжелыми атомами (водорода
в гидриде циркония, углерода в аустените, UBc13), а также структур
из легких элементов (льда, гидрида натрия, дейтерида натрия,
графита). Такие структуры нельзя исследовать с помощью рентге-
новских лучей из-за незначительного рассеяния их легкими элемен-
тами. На рис. 23.9 приведены рентгенограмма и нейтронограмма
ПВе13. Дифракционные максимумы на рентгенограмме почти пол-
ностью обусловлены рассеянием на атомах урана, тогда как на ней-
троиограмме они в основном возникли за счет рассеяния атомами
бериллия (индицирование проведено для решетки, вдвое меньшей
обычной кристаллографической).
2.	Исследование упорядочения в системах с близкими атомными
номерами. С помощью рентгеновских лучей невозможно изучить,
например, систему^Ре—Со, так как интенсивность основных (струк-
турных) отражений пропорциональна структурному множителю:
= 16 [fFe Ч-fco]2 45000,
§ 99. Нейтронография
461
а интенсивность сверхструктурных линий
Fc2BC=16[/Fe-/co]2^ 16.
Тогда & 2800.
Естественно, что такие слабые сверхструктурные отражения
на рентгенограмме зарегистрировать не удается. Так как амплиту-
ды нейтронного рассеяния для Fe и Со резко различаются:
/ве - 0,96 • 10“12 см, fcQ = 0,28 • 1СГ12 см,
отношение F^-Ecnc — 3,3 небольшое. Следовательно, на нейтро-
нограмме структурные максимумы будут только примерно в три
раза интенсивнее сверхструктурных
Рис. 23.9. Рентгенограмма и нейтронограмма UBei3
3.	Определение магнитных структур кристаллических веществ
Это уникальное использование дифракции нейтронов в настоящее
время развилось в область науки, называемую магнитной нейтро-
нографией.
Нейтроны благодаря собственному магнитному моменту могут
взаимодействовать с любыми магнитными моментами, локализован-
462 Глава 23. Применение дифракции электронов и нейтронов
нымн в веществе, и это взаимодействие проявляется на нейтроно-
гоа шах Для парамагнитных веществ, в которых атомные магнитные
моменты распределены хаотически, рассеяние нейтронов некого-
Рис. 23.10. Нейтронограммы МпО, снятые при 80° К и при ком-
натной температуре (293° К)
магнитного рассеяния нейтронов можно определить атомный маг-
нитный момент и радиальное распределение электронов в оболочке
атома.
Нейтронографическими исследованиями установлены новые ти-
пы магнитных структур веществ: антиферромагнетики и ферри-
магнетики. В антиферромагнетиках магнитные моменты располо-
жены антипараллсльно, поэтому результирующий магнитный мо-
мент такого вещества равен нулю. В другом типе веществ (ферри-
магнетиках) намагниченность первой подрешетки превышает на-
магниченность второй подрешетки (нескомпенсированный антифер-
ромагнетизм). Такие вещества называются ферритами. Они имеют
кристаллическую структуру типа шпинели или граната и являются
соединениями переходных металлов с S, Те или Se, например,
CoCr2S4, CuCr2Se4, CoS2) СгТе. Такие материалы обладают боль-
§ 99. Нейтронография
463
шои самопроизвольной намагниченностью и широко используются
в радиотехнике для изготовления сердечников катушек индуктив-
ностей.
Рассеяние нейтронов на магнитоориентированных решетках
резко отличается от парамагнитных структур. На нейтронограммах
наблюдаются отражения, имеющие ядерную (не зависящую от Ф)
и магнитную (зависящую от О) компоненты. Антиферромагнитная
решетка также может вызывать когерентное магнитное рассеяние
отличающееся от ферромагнетика
тем, что антиферромагнитные от-
ражения находятся там, где не мо-
жет быть ядерного рассеяния.
На нейтронограмме МпО, по-
лученной при 80°С (рис. 23.10),
наблюдаются сильные дополнитель-
ные максимумы, соответствующие
антиферромагнитной структуре.
На нейтронограмме того же веще-
ства, полученной при комнатной
температуре, эти максимумы отсут-
ствуют, но под малыми углами и
около линии (Ш) наблюдаются
небольшие максимумы (остаточная
когерентность), что указывает на
ближний магнитный порядок в
сплаве. Магнитная структура МпО
Рис, 23.11. Магнитная структура
МпО (знаки + и — соответствуют
противоположным магнитным мо-
ментам)
приведена па рис. 23.11. В этой
структуре магнитная элементарная ячейка не совпадает с химиче-
ской (кристаллической), период магнитной ячейки удвоен по всем
направлениям и поэтому объем магнитной ячейки в 8 раз больше
химической. Такое увеличение магнитной ячейки по сравнению
с химической характерно для многих антиферромагнетиков.
4.	Определение предпочтительных ориентаций в крупных об-
разцах. С помощью рассеяния нейтронов удается исследовать тек-
стуры в крупных образцах. Например, проведен анализ текстур
в образце железа толщиной 2,5 см, достаточно прозрачном для ней-
тронов. В отличие от рентгенографического исследования анализ
ориентаций оказался справедливым не только для поверхностного
слоя, но и для всего объема образца.
Нейтронография успешно используется для различных исследо-
ваний, и области ее применения постоянно расширяются. В част-
ности, представляет интерес исследование неупругого рассеяния
нейтронов. Некоторые работы показывают, что этот эффект поз-
воляет изучить силовое взаимодействие между атомами металла
и получить численные значения силовых констант.
464
Приложение
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица 1
Длина волн А"-серии характеристического излучения некоторых элементов (А)					
Элемент	Атомный номер	Линия а2	Линия Cti	Линия 31	Д-край поглощения
Ti	22	2,75207	2,74841	2,51381	2,497(30)
V	23	2,50729	2,50348	2,28434	2,269(02)
Сг	24	2,29351	2,28962	2,08480	2,070(12)
Мп	25	2,10568	2,Ю175	1,91015	1,896(36)
Fe	26	1,93991	1,93597	1,75653	1,743(34)
Со	27	1,79278	1,78892	1,62075	1,608(11)
Ni	28	1,66169	1,65784	1,50010	1,488(02)
Си	29	1,544390	1,540563	1,39217	1,380(43)
Мо	42	0,713543	0,709261	0,632252	0,61977
Ag	47	0,563774	0,559363	0,49701	0,4858(2)
W	74	0,213813	0,208992	0,184363	0,17837
Примечание. При расчете дифракционных максимумов, являющихся слившими-
ся а - дублетами, используют среднее значение длины волны Ка , вычисляе-
мое из соотношения	Cp = (2Xat + \z2)/3.
Таблица 2
Данные о структуре и свойствах металлических элементов
Элемент	Атомный 1 номер	. к к s я л и д я « О л s и = Ч о £ Г- (У р, Л О н я S	Плот- ность, г/ с.и3	Простран- ственная группа	Периоды,		А	1 Фаза	Темпера-	тура съемки, °C
					а	b	с			
Li	3	6,94	0,534	Рв/ттс	3,086		6,823	О',		-196
				1тЗт	3,5093	—	—	Р		18
Be	4	9,013	1,84	Рб/ттс	2,283	—	3,607	О'		18
Na	11	23,00	0,971	I m3 т	4,2906	—.	—			. 18
Mg	12	24,32	1,741	Рб/тпс	3,2094	—	5,2103	—.		18
Al	13	26,97			ЕшЗт—	-4UU9&L	—•	—				25
к	19	39,096	0,851	1тЗт	5,344’	—	_-.	—		20
‘Са	20	40,08	1,55	Fm3m	5,560	—	—	а		20
				Рв/ттс	3,94	—	6,46	3		360
Sc	21	44,96	2,5	Рб/ттс	3,3090			5,273			20
Ti	22	47,90	4,5	Рв/ттс	2,9504			4,6833	а		18
				1тЗт	3,3065					Р		900
V	23	50,95	5,96	1тЗт	3,0399						25
Cr	24	52,01	7,1	1тЗт	2,884				.	а		18
				Рв/ттс	2,717	—	4,418	р		18
				143т	8,717	—.	—	V		22
Mn	25	54,93	7,42	143т	8,912					О',		20
				Р43	6,313					р		20
				РтЗт	3,862					V		20
				1 m3 т	3,080					6		430
Fe	26	55,85	7,87	1тЗт	2,8664					О'		20
				ЕтЗт	3,647						V		950
			—		1тЗт	2,9315	—	—	6		1425
ни чз н£	о	25,Р>^Я»3}^\ n Sf»oyp z p '=Г	'"*“ * C	00	^WStD. о	£й(ЛСГ Я я СЬ^ СцЗ-Еор-’ н	“Ip-^PE	— о	Элемент	
го оо	оо	оооо	-ч *ч *-j ~о -~q	-о *-J *-J сл	сл	стслсл	сл ф». ф». ф^ ф>. ф». чь. ф-. ф-	ф^	со со go со no	no	no о со	to	— о	го оо -о сг СЛ	Ф>. со nd О	ОО	СТ •—‘	ОСТСО-^СТОлФ^КО —	О	со -ч — о со	оэ	-ч	Атомный номер	
№ NO ND	КО NO ►— — — — _-	и—	_	н- — к—	►— Ы- —	_. со о	СО	OC0<0<0<0C0Q0	оо	00	'"•J Ф>.	ф-	Go	Со	NO	’-‘-'-ОООСОСО	<О	00	00	СТ	СТ	СТ	СЛ	Сл NO СО	'"•J	Ф- О	-ч	СЛ NO О СТ	СО	О	00 ,Ф-	О	СО	ND	—	QO фх ND -~q СТ ND — СЛ NO	—	--J	СП	<О	СЛ	00	00	00 О О	ND	СО СТ	NO	NO NO NO СО	СО	<О	СТ NO	•—•	СО	<О	*<I	~^~^4^00'^CO*J<0<0	NO	СТ	4b.	СО	СФ	СТ	СТ	СО СЛ О	►—	СО —	СО —	NO	СЛ	СО	NO	—	СТ	OCT — Q0 — СП—	NO	СО	00	NO	00	Ф»-	<О	Ф*	Относи- тельная атомная масса	
—	►—	>— — *—N0NDKDND]— — —	— — ND — — СО	—	— Ф>.	СО — ND NO СЭ	Q0 СТ СО СТ	СТ	СТ — СТ	~-l,^JOOONDOND<OCO	О	NO — СТ СТ 00 | оо	00 ND -О	Со	QO СО	со СО 4b. СТ СП СО	СЛ СТ Со СО	СО	— ОО СТ	— NO СЛ СЛ — Сл СТ О 4b.	Ф^-	СЛ Сл О <D <О 00 СТ	--J Ф Ф СЛ 00	--J ND СО- 1	СТ»	сл "-о — ОО ОО Ф- СТ СО СТ —	СО СО NO СО- [	— СО NO	СО	— 1	СО СО Ф- СО	NOCOCOI	Плот- ность, г/см.3	
> > > СТ СТ	СП СТ о> > СП	СП *- *- СТ СТ >*-< £ СТ >?	К,_ СП iLi^' g, s ^§>| 5 5 Э-5--5- 5 3 ^>-5 5^-5	5 g 5 Э 5^5 5 5 > 5 5 5	S S? S3 5 >	2 Go со со a a coeo^SScoCoSco^^co^^coCoCoScoCoCoScuoScoCogSco	g. 5 3^	S3S35	55g||55g53^5|555555S5gS55Sa§5	Простран- ственная группа	
Ф» сл >£-	Ч^	СО	СО NO	Ч^	СО СО NO	NO	СО СО СО СО СО СЛ СП СО СТ» 4^ СЛ СТ» СО- NO 4^ СО СО NO СО СО СО СО 4^ Ф- СЛ СЛ СО NO Со	СО СО NO — 0-0	СО	00	Ф- <О	О	СО 00 -О	-J	— СО — СТ СТ — NO —J О СЛ 00 •Ф* NO <О О 00 ОО —J — COCTNOQoCoO-JCnCTCT	СлСлСЛ NO 00 Ф»	СЛ	00	СЛ СО	--J	NO СО СО	СТ	СТО<ОСЛСЛ4^СОСЛСТ>С>СО<ОСЛ“ЧОО<ОООФ*О^СОСЛ^ОО — NOCT—	NO СЛ — Ф- СЛ О NO СТ NO 00 СО <О Ф» О СЛ СЛ СЛ 00 СО СТ Ф^ '—J СТ — — — СО СТ О СО СТ -J СТ —	Сл О СЛ Ф Сл СО 4i- 4b. СО	СЛ О ОД СП — Ф- — СО NO С» NO	CoNO-4CONON04b.NO--J—	<00	00	&	Д
III | I U 1 1 1 1 1	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 М 1 1 1 1 1 о, 1 1 III КО о	©•	риоды,
СТ	4b.4b.	сл — СЛ	СТ	СО фк СЛ	чь.	СЛ ~«q	-04b.	Ф*. СТ	СО 4b.	СТ- СО	О	— <ОСТ	NO	—СТ	СТ СО	— III IISI lllsg U	1 81 1 21 fessl 1 1 SI 1 1 SI 1 SSI IIS ''	‘	oE	-JCO	<O<O	to to —	СЛ	oo CT	о	
-CTftl 1 T=»9 1 I 1 1 1 1	1111тстй-оо&11'с®й1111|11|-со&-е-с*&|111 Ixoff	Фаза	
КЛ КП	— Ст — 1	NONO — — NO	NO — NONONO — NONONOtONO NO NO — — — NONO — CT — — JuNONO — NO—	ND ND NO	1 CTN0Q	00 NO оо	СЛ KO 00 00 CT	CTpOCTONOQOCTCTCTNOCTCTNOCnOOOOOOCTNOpO^OO'^OoVONOCOOQO	СТ СТ О	]	Темпера- тура съемки, °C	
Продолжение табл.
ст
466
Приложение
Продолжение табл. 2
Элемент	Атомный номер	сс « X К ,р ст л Ч Q 2 о S о - н о « О S я Е	Плот- ность, г}см*	Простран- ственная группа	Периоды, А			Фаза	я О X с я S S
					а	b	с		
и	92	238,07	18,7	Стет Р4пт	2,858 10,758	5,877	4,945 5,656	а f>	18 720 770
Np	93	237	20,45 19,36	1тЗт АтЪа Р42г2с	3,49 4,723 4,897	4,887	6,663 3,388	Y а ₽	20 313 600
				1тЗт	3,52	—		Т	
* Осе	вой уго.	т для Sb	равен 5	7° 07',Для	fig—70° 44', ДЛЯ Bi —57° 14'				—	
Таблица 3
Индексы интерференции для кубических кристаллов
//2Н-Аг4-^’		1g (Н2 + №+ I-1)	7/KL	Тнп решетки Бравэ
	1 //2+№ + Аг			
1	1,000000	0,000000	100	Р
2	1,414214	0,301030	110	Р, 1
3	1,732051	0,477121	111	Pt F
4	2,000000	0,602060	200	Р, F
5	2,236068	0,698970	210	Р
6	2,449490	0,778151	211	Р, I
8	2,828427	0,903090	220	Р, /, F
9	3,000000	0,954243	300, 221	Р
10	3,162278	1,000000	310	Pt /
И	3,316625	1,041393	311	Р, F
12	3,464102	1,079181	222	Р. Л F
13	3,605551	1,113943	320	Р
14	3,741657	1,146128	321	Р, 1
—		——	—	—
16	4,000000	1,204120	400	Р, Л F
17	4,123106	1,230449	410, 322	Р
18	4,242641	1,255273	411, 330	Р, /
19	0,358899	1,278754	331	Р, F
20	4,472136	1,301030	420	Р, Л F
21	4,582576	1,322219	421	Р
22	4,696416	1,342423	332	Р, 1
	——ь		- - -	
24	4,898979	1,380211	422	Р, К F
25	5,000000	1,397940	500, 430	Р
26	5,099020	1,414973	510, 431	Р, 1
27	5,196152	1,431364	511, 333	Р. F
—		—			—
29	5,385165	1,462398	520, 432	р
30	5.477226	1,477121	521	р, 1
	—	—	—	—
П ри.гожение
467
Продолжение г а б л . <3
/7s + K’+i-2		1^(№-?-№4-Л2)	Г	‘ HKL	Гнп решетки Вравэ
				
32	5,656854	1,505150	440	Р, /. F
33	5,744563	1.518514	522, 441	Р
34	5,830952	1,531479	530, 433	Р, /
35	5,916080	1,544068	531	Р, Р
36	6,000000	1,556303	600, 442	Р, 1, F
37	6,082763	1,568202	610	Р
38	6,164414	1,579784	611, 532	Р, /
40	6,324555	1,602060	620	Р, 1, F
41	6,403124	1,612784	621, 540, 443	Р
42	6,480741	1,623249	541	Р, /
43	6,557439	1,633469	533	Р
44	6,633250	1,643453	622	Р, f, F
45	6,708204	1,653213	630, 542	Р
46	6,782330	1,662758	631	Р, /
	—	—		—
48	6,928203	1,681241	444	Р, 1, F
49	7,000000	1,690196	700, 632	Р
50	7,071068	1,698970	710, 550, 543	Р, /
51	7,141428	1,707570	711, 551	Р, F
52	7,211103	1,716003	640	Р, Л F
53	7,280110	1,724276	720, 641	Р
54	7,348469	1,732394	721, 633, 552	Р, /
56	7,483315	1,748188	642	Р, /, F
57	7,549834	1,755875	722, 544	Р
58	7,615773	1,763428	730	Р, /
59	7,681146	1,770852	731, 553	Р, F
61	7,810250	1,785330	650, 643	Р
62	7,874008	1,792392	732, 651	Р, /
64	8,000000	1,806180	800	Р, /, F
65	8,062258	1,812913	810, 740, 652	Р
66	8,124038	1,819544	811, 741, 554	Р, I
67	8,185353	1,826675	733	Р, F
68	8,246211	1,832509	820, 644	Р, /, F
Примечание. Р—прнмнгявяая решетка, / —объемноцентрированная, F—гране*
центрированная.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Физика рентгеновских лучей
Блохин М. А. Физика рентгеновских лучей. М., Гостехтеориздат, 1953.
Боровский И. Б. Физические основы рентгеноспектральных исследований.
Изд-во МГУ, 1956.
Рентгеновские лучи. Под ред. М. А. Блохина. Пер, с нем. и англ, М«, Изд
иностр, лит., 1960
Рентгенотехника
Хараджа Ф. И. Общий курс рентгенотехники. М.— Л., «Энергия», 1966.
Уманский М. М., Хейкер Д. М. Аппаратура рентгеноструктурных исследоеа
ний (обзор). —«Приборы и техника эксперимента», 1971, № 3, с, 7—27.
Структурная кристаллография
Белов Н. В. Структурная кристаллография. М., Изд-во АН СССР, 1951
Васильев Д. М. Физическая кристаллография. М., «Металлургия», 1972.
Желудев И. С.^Симметрия и ее приложения. М., Атомиздат, 1976.
Загальская Ю. Г., Литвииская Г. М. Геометрическая кристаллография.
Изд-во МГУ, 1973.
Попов Г. М., Шафрановский И. И. Кристаллография. М., «Высшая школа»,
1972.
Переломова Н. В., Тагиева М. М. Задачник по кристаллофизике. М., «Нау-
ка», 1972.
Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в пауке и искусстве. М., «Нау-
ка», 1972.
Штрайтвольф Г. Теория групп в физике твердого тела. Пер. с нем. Под ред.
С. В. Вонсовского. М., «Мир», 1971.
Шаскольская М. П. Кристаллография. М., «Высшая школа», 1976-
Интерференция рентгеновских лучей, рассеянных кристаллами
Иверонова В. И., Ревкевич Г. П. Теория рассеяния рентгеновских лучей.
Изд-во МГУ, 1972.
Кривоглаз М. А. Теория рассеяния рентгеновских лучей и тепловых нейтро-
нов. М., «Наука», 1967.
Джеймс Р. Д. Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей. Пер-
с англ. Под ред. Ивероновой В. И. М., Изд. иностр, лит., 1950.
Список рекомендуемой литературы	469
Методы рентгеноструктурного анализа
Бокий^Г. Б., Порам-Кошиц М. А. Практический курс рентгеноструктурного
анализа. Т.1. Изд-во МГУ, 1964.
Горелик С. С., Расторгуев Л. Н., Скаков Ю. А, Рентгенографический и элект-
ронно-оптический анализ. М., «Металлургия», 1970.
Китайгородский А. И. Рентгеноструктурный анализ. М., Гостехтеориздат,
1959.
Пинес Б. Я.	по Р^нтгеноструктурному анализу. Изд-во Харьк.
Уманский М. М. Аппаратура рентгеноструктурных исследований. М.,
Физматгиз, 1960.
Хейкер Д. М. Рентгеновская дифрактометрия монокристаллов. М., «Маши-
ностроение», 1973.
ХейкеР^Д. М., Зевин Л. С. Рентгеновская дифрактометрия. М., Физматгиз,
Финкель В. А. Низкотемпературная рентгенография. М., «Металлургия»,
Финкель В. А. Высокотемпературная рентгенография. М., «Металлургия»,
1968.
Азаров Л., Бургер М. Метод порошка в рентгенографии. Пер. с англ. Под
ред. Ю. Т. Стручкова. М., Изд. иностр, лит., 1961.
Бургер М. Д. Структурная кристаллография. Пер. с англ. Под ред.
М. М. Уманского. М., Изд. иностр, лит., 1948.
Гинье А. Рентгенография кристаллов. Пер. с франц. М., Физматгиз, 1961
Липсон Г., Стипл Г. Интерпретация порошковых рентгенограмм. Пер
с англ. М., «Мир», 1972.
Применение рентгеновских лучей
в исследовании металлов и сплавов
Китайгородский А. И. Рентгеноструктурный анализ мелкокристалличе-
ских и аморфных тел. М.—Л., Гостехтеориздат, 1952.
Уманский Я. С. Рентгенография металлов. М., Металлургиздат, 1960.
Уманский Я. С. Рентгенография металлов. М., «Металлургия», 1967.
Уманский Я. С. Рентгенография металлов и полупроводников. М., «Метал-
лургия», 1969.
Рентгенография в физическом металловедении. Сборник. Под ред. Ю. А. Ба-
гаряцкого. М., Металлургиздат, 1961.
Ямалев К. М. Диффузное рассеяние рентгеновских лучей стареющими
сплавами. М., «Наука», 1973.
Ньюкирк Д., Верник Д. Прямое наблюдение несовершенств в кристаллах.
Пер. с англ. Под ред. Бернштейна М. Л. М., «Металлургия», 1964.
Прямые методы исследования дефектов в кристаллах. Пер. с англ. Под ред.
Елистратова А. М. М., «Мир», 1965.
Тейлор А. Рентгеновская металлография. Пер. с англ. Под ред. Пннеса Б.Я.
М., «Металлургия», 1965.
Вассерман Г., Гревеи И. Текстуры металлических материалов. Пер. с нем.
Под ред. М. М. Боредкиной. М., «Металлургия», 1969.
Миркин Л. И. Справочник по рентгеноструктурному анализу. М., Физмат-
гиз, 1961.
Миркин Л. И, Рентгеноструктурный анализ. Справочное руководство. По-
лучение и расчет рентгенограмм. М., «Наука», 1976.
Блохин М. А. Методы рентгеноспектральных исследований. М., Физматгиз,
1959.
Локальные методы анализа металлов. М., «Металлургия», 1973. Авт.:
И. Б. Боровский, Ф. Ф. Водоватов, А. А. Жуков, В, Т. Черепин.
Лосев Н. Ф. Количественный рентгеноспектральный флуоресцентный ана-
лиз. М., «Наука», 1969.
470
Список рекомендуемой литературы
Применение дифракции электронов и нейтронов
в исследовании металлов и сплавов
Вайнштейн Б. К. Структурная электронография. М.» Изд-во АН^СССР, 1956.
Пинскер 3. Г. Дифракция электронов. М.—Л., Изд-во АН СССР, 1949.
Эндрюс К., Дайсон Д. Электронограммы и их интерпретация. Пер. с англ.
Под ред. Л. Г. Орлова. М., «Мир», 1971.
Изюмов Ю. А., Озеров Р. П. Магнитная нейтронография. М., «Наука».
1966.
Бэкон Дж. Дифракция нейтронов. Пер. с англ. Под ред. Э. Л. Бурштейна.
М., Изд. иностр, лит., 1957.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амплитуда
—	атомная 131
—	структурная 126
Анализ
—	гармонический 323
—	полюсных фигур 361
—	рентгеноспектральный 426
—	фазовый 383
Анализатор рентгеновский бескри-
стальный флуоресцентный 443
Аппроксимации метод 314
Астеризм рентгеновский 157, 252. 409
Базис решетки 79, 96
Безэталонный метод 235
Берга — Баррета метод 280
Бернала сетки 176, 177
Блок когерентного рассеяния 324
Бормана метод 278
Браве решетки 95, 172, 185
Бьерстрема график 203
Вейсмана метод 283
Вейссенберга рентгенгониометр 178
Вектор обратной решетки 82
— свойства 109
Внешнего стандарта метод
— рентгеноспектральный анализ 435
— фазовый анализ 399
Внутреннего стандарта метод
— рентгеноспектральный анализ 435
— фазовый анализ 395
Возврат 408
Вращения монокристалла метод 167
— определение периода идентично-
сти 171
—	определение типа решетки 172
— определение числа атомов в ячей-
ке 172
—	эффективная область 170
Вульфа — Брэгга формула 6
Гинье — Престона зона 418
Гомологических пар метод 393
Гомологичная (эквивалентная) точка
75
Граница
—	кручеиия 276
— наклона 276
— растворимости, определение 370
Группа
—	изоморфная 84
~ определение 83
—	пространственная 97
—	точечная 86
—	циклическая 84
Двойникование 251
Двойных экспозиций метод 308
Дебая — Шеррера — Хэлла метод
188
Делоне преобразование 209
-- четырехсторонник 210
Деформации эллипсоид 289
Деформация монокристаллов пла-
стическая, исследование 249
Диаграммы состояния, исследование
366
Дифрактометр рентгеновский
--- малоугловой автоматический
342
• — для монокристаллов 184
--- для поликристаллов 211
Диффузные максимумы 417
Единичное направление 92
Зона кристаллографическая 64, 111
Зональности условие 111
Зональные кривые 155
Идеально-мозаичный кристалл 137
Изолинии 360
Изопараметрпческне линии 377
Индексы
— интерференции 116
— плоскости 102
— прямом 102, 106
— узла 102
Индицирование
— лауэграмм 158
— порошковых рентгенограмм 200
— рентгенограмм вращения 173
Инерция фотопленки 54
Интенсивность интегральная 138
---сводные формулы 146
472
Предметный указатель
Интерференционная функция
---анализ 116
--- вывод 113
---представление в обратном про-
странстве 119
Интерференционное уравнение 120
--- графическая интерпретация 121
Искажения решетки
---динамические 302, 303
---статические 295, 301
«Исчезающей фазы» метод 371
Ито метод 207
Камера
—	вращения 167
—	высокотемпературная 197
—	ионизационная нормальная 43
—	Кратки 341
—	КФОР 181
—	микропучковая 257
—	порошковая РКД 196
—	РКСО 150
— фокусирующие 229
Картотека ASTM 346
Касательных метод 343
Категории сингоний 92
Качающегося кристалла метод 274
Квадратичная форма примитивной
решетки 110
Квантометр 441
Кенотрон 36
Килоикс 9
Класс кристаллический 92
Когена наименьших квадратов метод
Комплекс кристаллографический
— — прямой 63
--- обратный 64
Комбинации элементов симметрии 91
Конода 375, 377
Конус условия отражения 272
Косселевские линии 266
«Косых текстур» метод 454
Коэффициент
—	достоверности 188
—	контрастности 55
Коэффициент ослабления
--- линейный 18
---массовый 18
---эффективный 22
Коэффициент полезного действия
рентгеновской трубки 11
Кривая
— качания 137, 139, 263
-- растворимости, определение 371
Кристаллит (зерно) 63
Кристаллическая форма 104
Кристаллическое пространство 75
Кристаллическое состояние 61
Крюк — эффект 331
Ксерографический метод 59
Ламбо метод 265
Ланга метод 276
Лауэ интерференционная функция
109
Лауэ метод 122, 149
---- определение качества кристал-
ла 157
---- определение ориентировки кри-
сталлов 155
----определение симметрии кри-
сталлов 165
Лауэграмма 151
Лауэ уравнения 116
Липсона разностный метод 205
Люминесцентный метод 60
Макронапряжения 285, 286
— метод многократных экспозиций
(sin2 ф —метод) 294
— определение по двум рентгено-
граммам 290
Малоугловое рассеяние 339
Матрица ошибок 242
Метрический тензор 81
Мешающий элемент 435
Микродифракция 450
Микроиапряжения 285, 299
Микропучков метод 271, 257
Микроанализатор рентгеновский 436'
Микрорентгенография дифракцион-
ная 262
Микрорентгеноспектральный (ло-
кальный) анализ 436
Микрофотометр регистрирующий 57
Микрофотометрическая кривая 58
Множители интенсивности 113
----атомный 131
----Лоренца 137
----повторяемости 144
----поглощения 144
----поляризационный 26
---- температурный 135
Мозли закон 15
Момента второго порядка метод 332
Монохроматоры 193
Мощность отражения интегральная
325
Наложения метод 400
Направление
—	единичное 92
—	модуляции 416
— скольжения 247
Напряжение критическое скалываю-
щее 248
Предметный указатель
473
Напряжения главные нормальные 289
------- раздельное определение 293
Независимого эталона метод 399
Нейтронография 457
— магнитная 461
Нормальные уравнения 242
Область когерентного рассеяния 324
Область равных импульсов 43, 47
Обратная решетка 81
Обратных полюсных фигур метод
363
Ориентировка кристаллитов, опреде-
ление
-------по лауэграммам 158
-------по эпиграммам 164
Ослабления закон 18
Ослабления коэффициент
----линейный 18
----массовый 18
----эффективный 22
Оси симметрии
---- винтовые 98
---- инверсионные 89
---- поворотные 88
Ось текстуры 346
Отбора правило 17
Отдых 408
Отношения правдоподобия метод 244
Отражательная способность кристал-
ла 139
Отражение двойное брэгговское 344
Параметры решетки 79
Паттерсона функция 186
Период идентичности 78
----формула 107
---определение методом вращения
171
Плоскость симметрии
---- зеркальная 85
----скользящего отражения 99
Плоскость
— двойникования 251, методы опре-
деления 259
— скольжения 247
— спайности 62, 247
Плотность почернения 54
---- определение по микрофото-
грамме 58
Поглощение истинное атомное (фо-
тоэлектрическое) 20
Погрешности определения периодов,
обусловленные
— неточностью определения радиуса
камеры 233
—	поглощением 226
—	преломлением 227
—	расходимостью пучка 225
—	эксцентриситетом образца 226
Подмешивания метод 395
Подсчета числа пятен метод 307
Полани формула 174, 351
Поле индексов 153
Полигонизация 409	*
Поликристалл 63
Полуширина интерференционной ли-
пин 313
Полюса проекции 68
Поляризация рассеянного излучения
25
Поправка на поглощение 198
Порог чувствительности 54
Порошков (поликристаллов) метод
188
Порядок в сплаве
—	ближний 380
—	дальний 380
Порядок группы 84
Постоянная времени 216
Постоянная электронографа 452
Потенциал возбуждения серии сепкт-
ра 14
Преобразование симметрии 75, 85
Прецизионная область 221
Прецизионные методы 219
— — безэталоннын метод 236
----съемка с эталоном 235
Проекции кристаллографические 64
----гномоническая 64
----гномостереографическая 66
---- линейная 64
---- стереографическая 65
Прослеживание 283
Пространственная решетка 75, 79
Псевдокосселевские линии 266
Равных импульсов область 43
Развертки слоевой линии метод 178
Размеров кристаллитов определение
306
------ гармонический анализ 323
—----метод	аппроксимации 313
------ метод	малоуглового рассея-
ния
—-----метод	моментов 332
------ метод	первичной экстинкции
311
------ метод подсчета числа пятен
317
------метод Стокса 318
Разориентации конус 272
Распад твердого раствора
—	двухфазный 415
—	однофазный 415
Расходимость первичного пучка 226
Рассеяние рентгеновских лучей
------- когерентное 23
-------------- малоугловое 339
--------- некогерентное 26
474
Предметный указатель
Расслоение ближнее 380
Радиоизотопные источники рентгенов-
ского излучения 41
Регистрация рентгеновских лучей,
методы
--------- ионизационный 41
---------ксерографический 59
---------люминесцентный 60
---------фотографический 52
Рекристаллизация 411
Рентген (единица) 45
Рентгенгониометр
— с плоской пленкой (КФОР) 181
— с цилиндрической пленкой (Вейс-
сенберга) 178
Рентгеновские аппараты
----бескенотронный 38
---- однокенотронный полуволновой
39
----с умножением напряжения 39
Рентгеновские лучи
----взаимодействие с веществом 17
---- регистрация и измерение интен-
сивности 41
Рентгеновская трубка
----для рентгеноспектрального ана-
лиза 34
---- для структурного анализа 32
----.микрофокусная 34
----охлаждение 30
----с вращающимся анодом 34
---- типы 32
---- устройство 28
---- характеристика 32
Рентгеновская характеристика веще-
ства 384
Рентгеноспектральный анализ
----абсорбционный метод 445
----флуоресцентный метод 440
---- эмиссионный метод 433
Реперные линии 384
Речингера метод 315 ...
Росса фильтр 444
Сателлиты 416
Свертка функций 319
Сверхструктурные линии 379
Свойства кристаллов физические 62
Селективно-поглощающий	(Ьильтп
22, 192	1 ’
Селякова — Шеррера формула 316
Сенситограмма 54
Сетки
—	Болдырева 67
-	- Вульфа 68
Скачки поглощения 20
Символы кристаллографические 102
Симметрия кристаллов 83
Сингонии 92
Системы координат 80
Система скольжения 247
—	— действующая 279
Слоевые линии 123, 168
Слой половинного ослабления 19
Соллера щель 213, 429
Спектр рентгеновский
—	непрерывный 10
—	характеристический 13
Спектрографы (спектрометры)
--- с плоским кристаллом 428
--- с фокусировкой по Иоганну 429
---с фокусировкой по Иоганссону
431
---с фокусировкой по Кошуа 431
Спектрометр
—	автоматический 447
—	двухкрнстальный 137, 263
—	нейтронный 458
Собственная вуаль 55
Соляризация 55
Старение сплава 413
Стокса метод 318
Структура
— вещества 75
— гексагональная плотноупакован-
мая 129, 335
— модулированная 416
Структурные несовершенства, мето-
ды исследования 261
Субструктура 261
Счетчики квантов
—	Гейгера 46
—	мертвое время 48
—	полупроводниковый 51
—	пропорциональный 46
—	сцинтилляционный 50
—	характеристика 49
—	эффективность 48
Сфера распространения 121
Твердые растворы
--- внедрения 381
— — вычитания 382
---замещения 379
Текстура 63
— аксиальная (осевая) 346
— кольцевая 347
— кубическая 348
— прокатки 347
— спиральная 346
— ось 346
-- пластинчатая 454
Текстур исследование
-- — метод наклона 359
— метод поворота 359
Предметный указатель
475
— метод обратных полюсных фигур
363
-- съемка на просвет 355
Теория интерференции
— динамическая 146
- кинематическая 112
Теплового коэффициента расширения
определение 245
Ток насыщения рентгеновской труб-
ки 31
Топограмма 262
Точечные группы
— первого рода 88
— второго рода 91
Трансляция 76, 85, 97
Угол
—	моноклинности 93
—	рассеяния текстуры 345
У	дарная ионизация 43
Уширение линий
---геометрическое (инструмен-
тальное) 313
-	физическое 313
Фазовый анализ
---качественный 386
---количественный 393
Фактор расходимости 188
Фильтрация
—	непрерывного спектра 21
—	характеристического спектра 22
Финка указатель 387
Фокусировка
—	по Брэггу—Брентано 211
—	по Зееману — Болину 214, 230
Формулы структурной кристаллогра-
фии 107
Фотографическая пленка
--- инерция 54
--— коэффициент контрастности 55
--- порог чувствительности 54
--- собственная вуаль 54
--- соляризация 55
--- характеристическая кривая 55
—	— чувствительность 56
Фотоэлектрическое поглощение 20
Фотографический метод регистрации
излучения 52
Фриделя теорема 166
Фудживара метод 274
Характеристическая температура
303
Хэлла — Дэви график 201
Центр тяжести линии 222
Центр инверсии 86, 90
Центр скрытого изображения 52
Четвертый индекс (в гексагональной
системе) 104
Чувствительность фазового анализа
384
Шар
—	однородности 76
—	дискретности 76
Широко расходящегося пучка ме-
тод 266
Штрипсы 322
Эвальда сфера 121
Эквивалентное направление 92
Эквинаклонный метод 180
Экспозиционная доза
---- определение 44
---- единицы 45
----мощность 45
Экспозиция 53
Экстинкция
— первичная 147, 311
— вторичная 148
Экстраполяции методы
---- аналитический 240
----графический 238
Элементарный угол (оси симметрии)
88
Электрон отдачи 
Электронный радиус инерции 340
Электронограф 448
Электронография 447
Элементарная ячейка 79
---- правило выбора 96
----объем 110
Элемент группы
- - — единичный 83
---- обратный 83
Элементы симметрии
----закрытые 86
----открытые 97
Эпиграмма 151
Этапы расшифровки атомной струк-
туры 185
Эффективная область (в методе вра-
щения) 170
Юстировка кристалла 167
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие..........................
Раздел I. ФИЗИКА РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
Глава 1. Спектры рентгеновских лучей .
§ 1.	Формула Вульфа—Брэгга.................
§ 2.	Непрерывный рентгеновский спектр . . .
§ 3.	Характеристический рентгеновский спектр.
Глава 2. Взаимодействие рентгеновских лучей с веществом . .
§ 4.	Коэффициент ослабления .....................................
§ 5.	Истинное атомное (фотоэлектрическое) поглощение.............
§ 6.	Рассеяние рентгеновских лучей...............................
Раздел II. РЕНТГЕНОТЕХНИКА
Глава 3. Рентгеновская аппаратура , .........................
§ 7.	Рентгеновские трубки....................................
§ 8.	Кенотроны...............................................
§ 9.	Рентгеновские аппараты .................................
§ 10.	Другие источники рентгеновского излучения .............
Глава 4. Регистрация рентгеновских лучей и измерение их интен-
сивности .....................................................
§ И. Ионизационный метод.....................................
§ 12.	Фотографический метод..................................
§ 13.	Ксерорадиографический (электрофотографический) метод . . .
§ 14.	Люминесцентный метод..................................
Раздел III. СТРУКТУРНАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
Глава 5. Кристаллическое состояние и закономерности строения
кристаллов ...................................................
| 15. Кристаллическое состояние.........................7 . .
16. Кристаллографические проекции..........................
§ 17.	Структура кристаллов и пространственная решетка........
§ 18.	Системы координат в кристаллическом пространстве. Матричная
запись .......................................................
§ 19.	Обратная решетка.......................................
Оглавление
477
Глава 6. Симметрия кристаллов................................83
§ 20.	Понятие о группах .....................................83
§ 21.	Симметрия кристаллического пространства................85
§ 22.	Комбинация элементов симметрии. Точечные группы........91
§ 23.	Решетки Браве (векторные группы) . . . . •.............95
§ 24.	Пространственные группы................................97
Глава 7. Кристаллографические символы и формулы структурной
кристаллографии.............................................102
§ 25.	Кристаллографические символы..........................102
§ 26.	Важнейшие формулы стуктурной кристаллографии..........107
Раздел IV. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ,
РАССЕЯННЫХ КРИСТАЛЛАМИ
Глава 8. Множители интенсивности............................112
§ 27.	Интерференционная функция Лауэ........................113
§ 28.	Анализ интерференционной функции.......................116
§ 29.	Представление интерференционной функции в обратном прост-
ранстве. Интерференционное уравнение и его графическая
интерпретация.............................................. 119
§ 30.	Рассеяние сложной решеткой.	Структурный	миожитель .... 125
§ 31.	Атомный множитель.....................................131
§ 32.	Температурный множитель...............................134
§ 33.	Множитель Лоренца.....................................137
§ 34.	Множитель повторяемости...............................144
§ 35.	Множитель поглощения..................................144
§ 36.	Сводные формулы для интегральной....интенсивности дифрак-
ционных максимумов .......................	146
§ 37.	Понятие о динамической теории	интерференции...........146
Раздел V. МЕТОДЫ РЕНТГЕНОСТРУКТУРНОГО АНАЛИЗА
Глава 9. Метод Лауэ.........................................149
§ 38.	Основы метода и геометрия интерференционной картины . . . 149
§ 39.	Применение метода	Лауэ...............................157
Глава 10. Метод вращения монокристалла......................167
§ 40.	Основы метода.........................................167
§ 41.	Задачи, решаемые без индицирования рентгенограмм враще-
ния .....................................................  .171
§ 42.	Индицирование рентгенограмм вращения..................173
§ 43.	Метод	развертки слоевой линии.........................178
§ 44.	Этапы	расшифровки атомной структуры	кристаллов.......184
Глава 11. Метод порошков (поликристаллов)...................188
§ 45.	Основы метода.........................................188
§ 46.	Техника получения рентгенограмм.......................191
§ 47.	Типы камер ...........................................196
§ 48.	Промер и расчет порошковых рентгенограмм..............198
§ 49.	Индицирование порошковых рентгенограмм................200
§ 50.	Рентгеновские дифрактометры для исследования поликристал-
лических материалов.........................................21.0
478
Оглавление
Глава 12. Прецизионные методы определения периодов решетки
кристаллических веществ......................................
§ 51.	Источники погрешностей в определении межплоскостных рас-
стояний..................................................... 229
§ 52	Камеры для прецизионного определения периодов . . • • • •
§ 53.	Уменьшение погрешности с помощью точной экспериментальной
техники (фотографический метод)............................. 238
§ 54.	Методы экстраполяции...................................
Раздел VI. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
В ИССЛЕДОВАНИИ МЕТАЛЛОВ И СПЛАВОВ
Глава 13. Рентгенографическое исследование пластической де-
формации монокристаллов и крупнокрнсталл ических
образцов............................•........................247
§ 55.	Исследование пластической деформации монокристаллов . . . 24У
§ 56.	Исследование пластической деформации крупнозернистых об-
разцов ......................................................256
Глава 14. Рентгенографическое исследование структурных несо-
вершенств в металлах и сплавах .............................. 261
§ 57.	Метод	двухкристального спектрометра......................262
§ 58.	Метод	Ламбо, Вассамийе и Дежаса..........................265
§ 59.	Метод	широко расходящихся пучков.........................266
§ 60.	Метод	микропучков........................................271
§ 61.	Метод	Шульца ........................................... 273
§ 62.	Метод	качающегося кристалла..............................274
§ 63.	Метод	Ланга..............................................276
§ 64.	Метод	Бормана..........................................278
§ 65.	Метод	Берга—Баррета....................................280
§ 66.	Метод	Вейсмана.........................................282
Г л а	в а 15.	Рентгенографическое определение внутренних напряжений
в металлах.................................284
§ 67.	Определение макронапряжений.........................286
§ 68.	Исследование микронапряжений ...........................299
§ 69.	Изучение статических искажений......................301
§ 70.	Определение динамических искажений	и характеристической
температуры.........................................303
Гл а	в а 16. Рентгенографическое определение величины	кристалли-
тов. Гармонический анализ формы интерферен-
ционной линии. Малоугловое	рассеяние..3 6
§71.	Метод подсчета числа пятен на линиях дебаеграмм..........307
§ 72.	Метод определения размера кристаллитов с использованием
эффекта первичной экстинкции ................................. 311
§ 73.	Определение размера кристаллитов по уширению интерферен-
ционных линий методом аппроксимации............................313
§ 74.	Выделение кривой истинного дифракционного уширения ме-
тодом Стокса...................................................318
§ 75.	Метод гармонического анализа формы интерференционной
линии для раздельного определения эффектов мелкодисперсности
н микроискажений.............................................. 323
§ 76.	Метод моментов........................... ’	’	* * 332
Оглавление
479
§ 77.	Определение концентрации дефектов упаковки в деформиро-
ванных металлах и размеров блоков с учетом влияния де-
фектов упаковки.................................................334
§ 78.	Определение размеров частиц по рассеянию рентгеновских
лучей под малыми углами.........................................339
Глава 17. Рентгенографический анализ текстур в металлах и
сплавах...........................	. ..........................345
§ 79.	Исследование аксиальных (неограниченных) текстур........ 349’
§ 80.	Исследование текстур прокатки (ограниченных текстур) .... 352
Глава 18. Рентгенографическое исследование диаграмм состояния
сплавов........................................................ 366
§ 81.	Определение границ растворимости..........................370
§ 82.	Определение типа твердых растворов........................378
Глава 19. Рентгеновский фазовый анализ .........................383
§ 83.	Качественный фазовый анализ.............•.................384
§ 84.	Количественный фазовый анализ.............................388
§ 85.	Методы количественного фазового анализа...................393
Глава 20. Рентгенографическое исследование структурных изме-
нений, происходящих в деформированных металлах
при нагреве.....................................................407
§ 86.	Изучение возврата ........................................408
§ 87.	Исследование рекристаллизации.............................411
Глава 21. Рентгенографический анализ распада твердых раст-
воров (старения сплавов)	....................   413
§ 88.	Исследование поликристаллических	образцов ............... 415
§ 89.	Изучение монокристаллов стареющих	сплавов...............417
§ 90.	Исследование крупнозернистых поликристаллических образ-
цов ............................................................425
§ 91.	Изучение стареющих сплавов по эффекту малоуглового рассея-
ния .......................................'....................426
Глава 22. Рентгеноспектральный анализ...........................426
§ 92.	Рентгеновские спектрографы и спектрометры ................428
§ 93.	Кристаллы для спектрографов и спектрометров...............433
§ 94.	Эмиссионный метод рентгеноспектрального анализа...........433
§ 95.	Локальный (микрорентгеноспектральный) анализ..............436
§ 96.	Флуоресцентный метод анализа..............................440
§ 97.	Абсорбционный метод количественного рентгеноспектрального
анализа...................................................445
Глава 23. Применение дифракции электронов и нейтронов для ис-
следования	металлов и сплавов...........................446
§ 98.	Электронография...........................................447
§ 99.	Нейтронография............................................457
Список рекомендуемой литературы ............................... 468
ИБ № 23
Артемий Арсеньевич Русаков
РЕНТГЕНОГРАФИЯ МЕТАЛЛОВ
(учебник)
Редактор Н. А. Носова
Художественный редактор А. Т. Кирьянов
Переплет художника М. В. Носова
Технический редактор Н. А. Власова
Корректор Г. П. Абилова
Сдано в набор 16.Х1.1976 г. Подл, к печати 5.III 1977 г.
Т-01679. Формат 60Х90'/1б- Бумага типографская № 2
Усл. печ. л. 30,0 Уч.изд. л. 31,07.
Тираж 9000 экз. Цена 1 р. 50 к. Зак. изд. 72101.
Зак. тип. 1288
Атомиздат, 103031, Москва, К-31, ул. Жданова, 5
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Москва, И-41, Б. Переяславская ул., 46