Hütte. Справочник для инженеров, техников и студентов. Том первый - Запорожец В.К.

Автор: Запорожец В.К.
Теги: машиностроение справочник технический справочник материаловедение инженерное дело
Год: 1934
Похожие
Hutte - справочник для инженеров, техников и студентов Т.1
Hutte. Справочник для инженеров, техников и студентов. Том второй
Машиностроение. Энциклопедический справочник. Раздел 1. Инженерные расчёты в машиностроении. Том 1. Книга 1
Техническая энциклопедия. Разработка полезных ископаемых - Ряжи Т.19
Текст
                    


Н и т Т Е
СПРАВОЧНИК
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ, ТЕХНИКОВ
И СТУДЕНТОВ
ТОМ ПЕРВЫЙ
ИЗДАНИЕ ПЯТНАДЦАТОЕ
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ПЕРЕВОД С 26 НЕМЕЦКОГО ИЗДАНИЯ ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
инж. В. К. Запорожец, проф. С. И. Курбатова,
проф. С. Ф. Лебедева и инж. Н. Л. Мануйлова
19 3 4
ОНТИ НКТП СССР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ПО МАШИНОСТРОЕНИЮ И МЕТАЛЛООБРАБОТКЕ
МОСКВА — ЛЕНИНГРАД
Ответственный редактор
инж. В. К. Запорожец
Технические редакторы
Л, Т Васильев
Я. Я. Бычков
4-я 1ипография ОНТИ НКГИ СССР «Красный Печатник»*
Ленинград, Международный пр. 754,
Предисловие к 15-му изданию
Общераспространенный технический справочник для инженеров
Hiitte имеет уже более чем 75-летнюю давность. За эти 3/4 столетия
справочник был выпущен в Германии 26 изданиями, из коих первое
вышло в 1857 г., последнее в 1932 г. Настоящее 15-е русское издание
является переводом, с переработкой и дополнениями последнего,
26-го, немецкого издания.
Изданием справочника Hiitte преследуется цель дать книгу,
которая содержала бы в ясном изложении не только формулы, таб-
лицы и выводы из специальных курсов, необходимые при выполне-
нии учебных работ по проектированию и расчету, но которая слу-
жила бы, главным образом, удобным и надежным справочником
в практической деятельности инженеру. Такого характера книга
должна включать все необходимые для работы справочные сведения
и, следовательно, избавить от поисков их в капитальных сочине-
ниях, что связано с большой затратой времени. В соответствии
с этим спр’авочник Hiitte заключает формулы и таблицы как теоре-
тического, так и практического характера, выводы из элементар-
ной и высшей математики, машиностроения, электротехники,
строительного дела, инженерного искусства, механической и хими-
ческой технологии — все это в свете последних достижений науки
и техники.
Для советских технических кадров справочная книга типа
Hiitte имеет особо актуальное значение, как концентрирующая в одном
месте необходимейшие сведения общего и специального техниче-
ского характера, нужные для повседневной практической работы.
Однако для того, чтобы эта книга могла превратиться в настоль-
ный справочник советского инженера и техника, конструктора и
проектировщика, необходимо было отразить в ней, если не в полном
объеме, то хотя бы в основном, характерные особенности техниче-
ского развития в СССР.
Последнее обстоятельство побудило редакционную коллегию
дополнить книгу рядом важных для советского инженера сведений,
примечаниями и техническими условиями.
Так, раздел силовых установок пополнен оригинальной статьей
по теплоэлектроцентралям, переработан и дополнен отдел материало-
ведения, дан к нему целый том дополнений в виде ОСТ и техни-
ческих норм (IV том справочника), даны оригинальные статьи по
прикладной механике, значительно дополнен отдел сопротивления
VI
Предисловие
материалов, переконструирован отдел технической физики, приве-
дены извлечения из советских правил по технике безопасности и
дан ряд других сведений.
В соответствии с исключительной ценностью и оригинальностью
справочника Htitte, со стороны редакционной коллегии была про-
явлена особая осторожность и тщательность при проведении этой
работы.
Признавая, что за краткостью срока, предоставленного редакции
для подготовки справочника (с 1/V 1932 г. по 1/Х 1932—5 мес.), эта
доработка не везде проведена с желательной глубиной и последо-
вательностью, редакционная коллегия, отнюдь не преуменьшая
огромной ценности Hiitte, считает все же, что кардинальным реше-
нием в этом вопросе было бы создание своего оригинального обще-
технического справочника, построенного на базе советских и ино-
странных материалов и требований, но созданного в основном
советскими учеными и инженерами. Последнее вызвано желанием
устранить свойственный даже лучшим иностранным справочникам
чуждый для советского читателя характер изложения справочных
данных и компиляции их, так как эти материалы предназначены для
обслуживания чуждых нам условий существования и развития
техники.
Выполненный план великих работ создал достаточно материалов
для такого справочника, воспитал достаточное количество советских
ученых и инженеров, вооруженных опытом и знаниями, способных
теперь уже взяться за осуществление этого трудного и сложного
задания.
В настоящее время редакция занята разработкой вопроса и под-
готовке к изданию такого целиком советского общетехнического
справочника и надеется провести эту работу в кратчайший срок.
Переходя к особенностям настоящего издания Hiitte, необхо-
димо отметить прежде всего, что крупные успехи научно-технических
исследований за последние годы не могли не оказать влияния — и
часто глубокого — на работу инженера на производстве, на обра-
ботку материалов, на конструирование и методы постройки и, нако-
нец, на само руководство промышленными предприятиями.
В настоящем издании это развитие техники учтено: все разделы
подверглись тщательной переработке и целый ряд вопросов обра-
ботан заново.
Наиболее важные дополнения I тома кратко перечислены
в настоящем предисловии и в предисловиях ко II и III томам.
При расположении материала справочника преследовалась цель
дать наиболее легкую ориентировку в нем. Применение нонпарели
для примеров и пояснений конструкций и т д. вызвано стремлением
усилить практическую часть справочника.
Чтобы обеспечить быстрое нахождение нужного материала,
в начале каждого тома дается систематизированное его содержание
и в конце — алфавитный указатель. Кроме того, в IV томе будет
помещен общий алфавитный указатель. Нововведением также
является помещение перед каждым самостоятельным разделом крат-
Предисловие	VJJ
кого содержания, позволяющего быстро отыскать те главы, формулы
и таблицы, которыми приходится пользоваться особенно часто.
Расположение материала в этом издании и разбивка его по
томам в основном остались прежними, но для удобства пользования
справочником первые два тома немецкого издания разбиты на три
тома и, кроме того, как указывалось выше, дан еще один допол-
нительный том ОСТ и технических условий в виде приложения ко
всем предыдущим томам (в основном ко II тому). Уменьшением
объема каждого тома редакция стремилась достичь большей порта-
тивности справочника.
Первый том содержит, как и в предыдущих изданиях, вспомо-
гательные разделы техники, т. е. теоретические основы, которые
заканчиваются во II томе, посвященном в основном машинострое-
нию, и III — машиностроению и электротехнике.
Содержание I тома. Все разделы I тома 26 немецкого издания
подверглись тщательной переработке.
В отделе „Математика" сильно расширены математические
таблицы. Таблица степеней, корней, логарифмов, обратных величин,
длин окружностей и площадей круга продолжена теперь до 1500,
тогда как в прежних изданиях она заканчивалась на 1000. Вновь соста-
вленные указания к пользованию математическими таблицами, даю-
щие также способы уточнения табличной разности и нахождения про-
межуточных значений, расширяют возможности использования таблиц.
В главе .Расчет сложных процентов и рент" добавлена таблица,
позволяющая определить капитал при значении годовых процентов
от 3 до 10.*
Кроме того, этот отдел дополнен главами о диференциальных
уравнениях с частными производными, вариационным исчислением
и краткими сведениями из теории математической статистики.
В главе „Интегральное исчисление" дополнены разделы опреде-
ленных интегралов, особенно употребительных в практических вы-
числениях при расчетах.
Отдел „Механики" также значительно переработан. В главе
.Механика твердого тела" даны более подробные сведения об уско-
рении Кориолиса и об ударе. В „Механику подобия" вновь вклю-
чена глава о термодинамическом подобии.
Особенно глубоко проработан раздел „Гидравлика и аэродина-
мика", из которого сделано два раздела: „Механика неупругих
(несжимаемых) жидкостей" и „Механика упругих (сжимаемых) жид-
костей". Последний раздел посвящен прежде всего определению
явлений течения при скоростях, близких к скорости звука и превы-
шающих эту скорость. Далее введена новая глава, посвященная
гидравлическому удару. Для того чтобы облегчить выполнение наи-
более часто встречающихся в этом разделе вычислений, даются
номограммы, а также приводятся пояснительные числовые примеры.
Это относится главным образом к номограммам по расчету трубо-
проводов.
Что касается раздела „Прикладная механика", то редакционная
коллегия сочла необходимым, дать этот раздел, взамен немецкого
VITI
ТТредяслов'ил
текста, в совершенно оригинальной советской трактовке, как при-
нято прикладную механику излагать в советских технических вту-
зах и советской технической литературе, т. е. сообщить этому раз-
делу максимально практический характер, взамен теоретического
немецкого.
Раздел „Механика пластических деформаций-перенесен в отдел
„Сопротивление материалов1*, поскольку этот раздел непосредственно
связан с указанной дисциплиной.
Отдел „Техническая физика" сильно увеличен. Здесь
прежде всего сделана попытка внести о/тиообразие в систему опреде-
лений путем сопоставления понятий о механических и электрических
колебаниях, их знаках, единицах измерения и названий. Определение
чисел собственных колебаний представлено более наглядно, дается
подробное описание графического способа, а также приведены при-
меры на определение колебаний рам, мембран и пластинок. Новой
является и глава об измерении интенсивности звука: для облегчения
акустического расчета больших помещений приведены формулы и
диаграммы. Глава „Защита от сотрясений и звукопередачи" значи-
тельно расширена. В главе „Оптика* дополнена прежде всего фото-
графическая часть; новые таблицы позволяют графическое нахож-
дение отраженного луча.
В отделе „Теплота" дан раздел „Теплопередача". Глава „Со-
вершенные газы" также переработана и дополнена таблицами.
В главе „Пары" данные о смеси воздуха и водяного пара при-
водятся в переработанном виде. Законы смеси воздуха и водяного
пара даю гея подробно, причем вновь добавлена диаграмма ix. Точно
так же новой является и таблица о насыщенном паре углекислоты.
Проделанная за последние годы исследовательская работа в области
сгорания потребовала включения основных сведений о сгорании,
зажигании и взрыве.
В отдел „Техника измерений" вошли данные по нормали-
зации измерений при помощи диафрагм и насадков; глава „Взвеши-
вание" вновь переработана. Отдел пополнен главой об измерении
колебаний.
Отдел „Геодезия", в целях приближения материала к совет-
скому читателю, написан совершенно заново, с учетом советской
геодезической практики и требований, предъявляемых к землемеру.
Значительному расширению подвергся отдел „Приложение",
который содержит теперь не только таблицы монет, мер и весов
различных стран, но также и сравнительные таблицы пересчета ино-
странных мер и весов. Кроме того, приведено большое количество
новых таблиц для пересчета метрических мер в английские, старые
русские, японские, китайские и др. и обратно. При этом, помимо
единиц измерения длины, площадей и объемов — таблицы пересчета
даются и для единиц скоростей и энергии. Новыми также являются
таблицы, позволяющие быстрый подсче! объемов газа [ (1 + at), 1/(1 -|-
+ at) и т. д.]. В конце, как и в прежних изданиях, даются выдержки
из патентных законов важнейших стран мира; кроме того, приве-
дены извлечения из правил и инструкций об изобретениях 9 СССР-
ТТредагеЛбвяв	IX
Обработка материала и просмотр справочника был проведен
с максимальной тщательностью, но все же в отдельные места
могли вкрасться неточности, ошибки, опечатки. За все указания
о необходимых исправлениях редакция заранее приносит благодар-
ность и просит все замечания направлять по адресу: Москва, Пу-
шечная, 9, Госмашметиздат,
Редакторами и авторами отделов I тома являются:
1.	Математики — проф. И. И. Привалов.
2.	Механики (теорет. и прикл.) — проф. А. П. Малышев.
Гидроаэромеханики — инж. В. Л. Александров.
3.	Технической физики — проф. В. Д. Зернов.
4.	Теплоты — проф. Л. П. Смирнов.
5.	Геодезии — проф. П. М. Орлов.
6.	Техники измерений ) с я -
7.	Приложения	/ ииж‘ U И 1 ерш-
Первый томь как и все последующие, составлялся под общей
редакцией редакционной коллегии в составе: инж. В. К. Запо-
рожца (отв. редактор), проф. С. И. Курбатова, проф. С. Ф. Лебе-
дева и инж. Н. Л. Мануйлова.
Техническое оформление издания производилось техническими
редакторами Л. Т. Васильевым и Я. Я. Бычковым, корректуру дер-
жали А. Б. Пахман, С. Ф. Морошкин и А. Н. Ошер, выпускающим
состоял Ф. X. Аргюхов.
Редакционная коллегия.
Оглавление
тома I
I ОТДЕЛ
Математика
Стр.
ЕТаблицы............................................................   2
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные вели-
чины, окружности и площади круга........................•	. . .	2
„	2.	Мантиссы обыкновенных логарифмов...................... 32
„	3.	Круговые функции...................................... 34
„	4.	Круговые, показательные и гиперболические функции ....	38
„	5.	Объемы шара для диаметров d от 1 до	2ОЭ............... 42
(i, Длина дуги, стрелка, длина хорды и площадь сегмента для
радиуса, равного 1................................. 43
„	7.	Длина дуги круга при радиусе, равном 1................ 45
„	8.	Перевод 90° целения квадранта в 1001.................. 49
в	9.	Эллиптические интегралы............................... 50
„	10. Коэфициент бинома до ................................. 51
,	11.	Квадратные и кубические корни некоторых дробей...	51
„	12.	Часто встречающиеся числовые значения................ 51
13,	Кратные л и 1 : л..................................... 52
’	14L Некоторые степени, факториалы и обратные величины ...	52
Указания к пользованию таблицами.................................. 52
II.	Арифметика и алгебра......................................... 61
А.	Степени, корни, логарифмы............................... 61
В.	Теория соединений ...................................... 65
С.	Определители (детерминанты)............................. 66
D.	Уравнения............................................... 68
Е.	Расчет сложных процентов и	рент......................... 72
F.	Ряды (конечные)......................................... 73
G.	Бесконечные ряды, в частности,	степенные................ 75
III.	Круговые и гиперболические функции.........................
А.	Круговые (тригонометрические) функции..................
В.	Плоские треугольники ..................................
С.	Сферические треугольники...............................
D.	Гиперболические функции................................
Е.	Соотношения между круговыми, гиперботическими, показательными
функциями и их обратными величинамг в комплексной форме . . .
IV.	Диференциальное и интегральное исчисления . .
А.	Предел, непрерывность, диференцируемость...............
В.	Производные и диференциалы . ..........................
С.	Ряды Тэйлора и Маклорена...............................
D.	Раскрытие неопределенностей............................
Е.	Наибольшие и наименьшие значения.......................
F.	Неопределенные интегралы...............................
G.	Обыкновенные диференциальные уравнения.................
Н.	Диференциальные уравнения о частными производными......
I,	Вариационное -исчисление .....................,	. . . , ,
80
80
84
87
88
90
91
91
92
95
96
97
98
115
121
127
Оглавление
XI
V.	Аналитическая геометрия и диференциальная
геометрия............ .........................
А.
В.
С.
D.
Е.
числа и векторы
переменной,
плоскости, функ-
конформное и з о-
Точка и прямая линия в плоскости...........
Плоские кривые ......... •	................
Точка, прямая линия и плоскость в пространстве . .
Кривые двойной кривизны....................
Кривые поверхности.........................
VI.	Векторный анализ..............................
VII.	Комплексные
ции комплексной
бражение................
VIII.	Практическая математика....................................
А.	Численные расчеты.............................  .	. . •
В.	Номография.............................................
С.	Теория вероятностей и теория ошибок при наблюдениях.....
D.	Интерполяционное и разностное исчисление, аналитическое пред-
ставление табличных функций.........................  .	. .
Е.	Численные графические и механические метоаы практического
анализа................................. .................
F.	Тригонометрические ряды (Фурье) и гармонический анализ..
С. Параллельная перспектива ...............................
’ л о щ а д и,
объемы и поверхности тел
Стр.
128
128
181
157
163
167
174
192
200
200
203
209
215
218
228
234
236
II ОТДЕЛ
Механика
твердых тел
понятия механики
I.	Механика
А.. Основные
а) Единицы и системы мер...................................
Ь)	Вектор положения, скорость и ускорение...............
с)	Сила и масса..........................................
d)	Материальная точка и основное уравнение динамики.....
е)	Момент силы и пара сил...............................
Л Работа и мощность......................................
g)	Живая сила, или кинетическая энергия.................
В.	Статика ................................................
а)	Основные законы...............................
Ь)	Сложение и разложение сил, приложенных к твердому Телу .
с) Определение реакций опор..............................
d)	Равновесие сил, действующих на нить .................
е)	Закон работы. Принцип виртуальных перемещений........
f)	Виды равновесия . . . . •............................
С.	Центр массы и момент массы второго порядка..............
а)	Центр массы и центр тяжести..........................
Ь)	Моменты инерции и моменты центробежные...............
D.	Теория движения (кинематика)............................
а)	Движение точки.......................................
Ь)	Движение твердого тела.............  •...............
с)	Относительное движение................................
d)	Плоское движение.....................................
Е.	Динамика ...............................................
а)	Динамика материальной точки.....................•	. .
Ь)	Динамика системы материальных точек..................
с)	Динамика твердого тела................................
d)	Удар твердых тел . . . . .....................  ,	, . ,
247
247
247
248
249
251
252
254
255
256
256
257
275
277
280
283
285
285
293
305
305
313
324
326
332
332
341
349
357
XII
Оглавление
II.	Прикладная механика...........................................
А.	Механизмы................................................
а)	Определения...........................................
Ъ)	Основной метод построения механизма...................
с)	Преобразование механизмов ............................
d)	Изменение формы звеньев...............................
е)	Анализ и синтез механизма.............................
В.	Структура механизмов ....................................
а} Состав механизма.......................................
Ь)	Структурный анализ механизма..........................
с)	Синтез кинематической схемы механизма.................
С.	Кинематика механизмов....................................
I.	Методы кинематического исследования механизмов..........
а)	Метод засечек.........................................
Ь)	Кинематические диаграммы (S, /), (v, /)» (a, f).......
с)	Графические диференцирование..........................
d)	Графическое интегрирование............................
е)	назметка путей точек механизмов методом круговых линеек . .
f) Построение планов скоростей и ускорений для плоских меха-
низмов ...................................................
II.	Передачи...............................................
а)	Зубчатые передачи ....................................
Ь)	Кулаки и эксцентрики .................................
с)	Редукторы скорости....................................
D.	Динамика механизмов......................................
I.	Трение в машинах........................................
а)	Сопротивление при относительном движении тел, прижатых
друг к другу .............................................
Ь)	Сущность явления трения сухих и слабо смазанных тел...
с)	Сущность явления трения хорошо смазанных тел..........
d)	Вычисление трения в разных деталях машин . . •........
е)	Трение в частях передач ..............................
f)	Сопротивление при катании тел..........................
g)	Сопротивление шариковых и роликовых подшипников.......
Ь)	О движении без трения.....................,	.......
II.	Инерция в машинах......................................
а)	Разбивка и приведение масс............................
Ь)	Уравновешивание масс на валу .........................
III.	Механика подобия или теория моделей...........................
А.	Статическое подобие......................................
В.	Динамическое подобие......................................
Стр.
363
363
363
364
365
366
368
369
369
371
374
375
375
375
376
377
379
380
383
393
393
393
401
407
407
407
408
414
417
419
423
425
426
427
427
431
433
434
434
IV. Механика капельных жидкостей (гидромеханика) 443
’С Свойства жидкостей и газов.................................
В Гидростатика........................’...................
а)	Основные законы.........................................
Ъ)	Гидростатическое давление, поддерживающая сила..........
с)	Статическая устойчивость плавающих и погруженных в жид-
кость тел...................................................
С.	Гидродинамика .............................................
а)	Общие понятия...........................................
Ъ)	Течения с потенциалом скорости........................•
с)	Течения с потерей энергии...............................
d)	Движение воды в почве......................*.*.*.***:.*
е)	Сопротивление тел..............................
f)	Жидкие струи..................................‘
g)	Крылья и воздушные вцнты
443
446
446
446
448
449
449
455
4G2
482
4Я4
496
О05
Оглавление
XIII
♦	Стр.
V. Механика сжимаемых жидкостей (аэромеханика) 518
А. Аэростатика.................................................. 519
а)	Основные законы.......................................... 519
Ъ)	Статика атмосферы........................................ 520
В.	Динамика газа................................................. 523
а)	Движение газов по трубам переменного сечения и общие законы 523
Ь)	Плоское течение при скоростях порядка ниже звуковой. Пра-
вило Прандтля................................................. 528
с)	Движение сжимаемой жидкости со сверхзвуковой скоростью . . 529
С.	Гидравлический удар........................................... 535
ПТ ОТДЕЛ
Техническая физика
I.	Колебательный процесс...................................... 539
А.	Предварительные замечания.............................. 539
В.	Простой колебательный комплекс......................... 542
С.	Связанные колебательные комплексы...................... 546
D.	Область частот......................................... 548
II.	Расчет собственных частот механических ком-
плексов .........................................................
А.	Общие сведения...........................................
В.	Маятник. Струны и воздушные столбы.......................
С.	Стержня, валы............................................
а)	Число колебаний при изгибании.........................
Ъ)	Колебания при скручивании.............................
D.	Фундаменты...............................................
Е.	Мембраны.................................................
F.	Пластины.................................................
III.	Акустика....................................................
А.	Акустическое поле........................................
В.	Акустические аппараты....................................
С.	Область частот, употребляемых в речи, музыке и пении...„
D.	Измерение интенсивности звука............................
Е.	Акустика больших помещений...............................
IV.	Защита от сотрясения и передача звука.......................
А.	Сотрясения и почвенные колебания.........................
В.	Звуковые колебания.......................................
V.	Оптика......................................................
А. Основы...................................................
В.	Отражение и преломление..................................
а)	Общие сведения........................................
Ъ)	Линзы.................................................
с)	Призмы................................................
С.	Оптические инструменты...................................
а)	Осветительные приспособления..........................
Ъ)	Лупы, микроскопы, зрительные трубы....................
с)	Фотографическая ......................................
d)	Измерительные инструменты.............................
D.	Поляривация..............................................
£. Интерференция............................................
550
550
551
552
552
555
557
559
560
563
563
565
570
572
573
576
576
582
585
585
587
587
590
591
592
592
593
594
597
598
600
XIV
Оглавление
IV ОТДЕЛ
Теплота
А.
В.
с.
D.
Е.
Стр.
603
603
605
607
610
611
614
614
622
622
630
632
634
635
I.	Общие тепловые свойства тел................................
А.	Температура ...........................................
В.	Расширение тел от теплоты..............................
С.	Теплоемкость (удельная теплота)........................
D.	Температура смесей.....................................
Е.	Изменение строения тел от теплоты......................
II.	Передача теплоты...........................................
Теплопроводность .......................................
Конвекция ..............................................
а)	Принужденное движение тепла.........................
Ь)	Свободное движение..................................
с)	Особые случаи.......................................
Прохождение тепла (теплоперепад)........................
а)	Прохождение тепла (теплоперепад) при переменных темпера-
турах жидкостей.........................................
Ь)	Прохождение тепла через стенки, снабженные поперечными
ребрами.................................................
Излучение тепла ........................................
Передача тепла путем конвекции, теплопроводности и излучения .
III.	Основные законы термодинамики..............................
а)	Два основных закона термодинамики....................
Ь)	Полезная работа......................................
с)	Формулы, основанные на обоих главных законах.........
d)	Графические изображения..............................
IV.	Совершенные газы...........................................
а» Смеси газов.......•..................................
Ь)	Особые- случаи изменения состояния...................
с)	Особые рабочие процессы..............................
V Пары ........................................................
а)	Насыщенный пар.......................................
Ь)	Перегретый пар (несовершенный газ) . . . . •.........
с)	Смесь воздуха и водяного пара (влажный воздух).......
d)	Применение к теории паровой машины...................
е)	Аккумулирование водяного пара........................
f)	Применение термодинамики к теории холодильных машин . . .
VI. Движение газов и паров......................................
а)	Истечение............................................
Ь)	Движение газов и паров по трубопроводам..............
с)	Мятие (дросселирование)..............................
637
637
642
643
643
645
645
646
647
653
654
657
661
663
6S4
680
686
688
690
698
700
708
712
VII. Горение........................................................ 714
а)	Сгорание, вспышка, быстрота распространения вспышки, взрыв 714
Ь)	Единицы мер и обозначения............................... 722
с)	Расчет потребного для полного сгорания количества кислорода
 воздуха, а также количества и состава отходящих газов . . 723
d)	Соотношения между составом топлива и составом сухих дымо-
вых газов, избытком воздуха и количеством отходящих газов . 726
е)	Теплотворная способность	(теплота горения).............. 729
f)	Сгорание углерода и водорода............................ 731
g)	Температура сгорания.................................... 734
h)	Горение, температура воспламенения, пределы и скорость вост
пламенен# л................................................ 737
1) Газообразование (газогенераторный процесс)........  .	« • 74Q
Оглавление
XV
V ОТДЕЛ
Геодезия
Стр.
I.	Введение.................................................... 750
а)	Организация в СССР геодезически* и изыскательных работ . . 750
Ь)	Картографические работы в СССР...................... 751
с)	Линейные меры....................................... 754
d)	Угловые меры........................................ 754
II.	Горизонтальная съемка.................... 755
А. Обозначение точек и линий на местности......................
В Способы съемок...............................................
С.	Приборы для измерения линий и работа с ними.................
D.	Угломерные инструменты......................................
а)	Главные части угломерных инструментов....................
Ь)	Теодолит ................................................
с)	Буссоль с диоптрами......................................
d)	Астролябия с диоптрами и трубой..........................
е)	Пантометр и гониометр....................................
П Экеры....................................................
g) Эклиметры................................................
Е.	Измерение угла, ошибки его и точность.......................
F.	Ориентирование съемки......................................
а)	Общие данные.............................................
Ь)	Определение истинного меридиана..........................
755
756
757
761
762
769
770
770
770
770
771
774
774
776
О. Различные случаи съемок...................................... 778
Н. Вычислительные и чертежные работы по составлению планов ’ *	781
а)	Составление плана по румбам............................’	781
Ь)	Составление плана по координатам.......................’	’ 784
I. Вычисление площадей......................................... 790
III	Вертикальная съемка.......................................... 793
А.	Техническое (геометрическое) нивелирование.............. 793
а)	Продольное нивелирование............................. 801
Ь)	Поперечное нивелирование............................ 804
с)	Точное (прецизионное) нивелирование.................. 806
d)	Рельеф, горизонтали и их проведение................. 810
В.	Тригонометрическое нивелирование ....................... 812
С.	Барометрическое нивелирование................  •........ 813
D.	Точность технического нивелирования, составление профиля .... 815
Е.	Разбивка кривых...........................•............. 818
IV.	Тригонометрическая сеть..................................... 819
А.	Значение тригонометрической сети........................ 819
В.	Измерение базисов и углов............................... 820
С.-Географические координаты................................ 824
D.	Вычисление тригонометрической сети..................... 826
V.	Совместные съемки............................................ 826
А.	Мензульная топографическая съемка...................... 826
В.	Тахиметрическая съемка................................. 828
С.	Наземная фотосъемка.................................... 829
D.	Аэрофотосъемка......................................... 830
VI.	Стоимость геодезических работ............................... 832
а)	Инструкции ......................................... 832
Ь)	Сметы и нормы на геодезические работы................832
XVI
Оглавление
VI ОТДЕЛ
Техника измерений
Стр.
Введение...................................................... 835
1*	Ч и с л о оборотов машин;	колебания..................... 835
а)	Измерение числа оборотов......................... 835
Ь)	Измерение механических колебаний................. 836
II.	Измерения давления...................................... 837
III.	Измерение количеств...................................... 840
А.	Весы................................................ 840
В.	Измерение расхода жидкостей......................... 842
а)	Измерение и взвешивание постоянно текущих или расходуемых
количеств............................................ 842
Ь)	Водомеры для установки в	трубопроводах...... 843
с)	Отверстие истечения.............................. 844
d)	Отверстие протока................................ 8ч4
е)	Измерения с запрудами............................ 844
П Измерение помощью щита............................. 845
g)	Определение количеств из	распределения скоростей. 8ч6
С.	Измерение расхода гава.............................. 847
D.	Измерение расхвда пара.............................. 852
IV.	Измерение мощности ....................................... 856
V.	Измерение теплоты............................•	. •..... 861
А.	1 емпература.............•.......................... 861
В.	Количество тепла.................................... 865
IV. Измерения в технике	сгорания.......................870
А.	Определение теплопроизводительности.................870
В.	Анализ газа........................................ 871
Приложение
I.	Таблица монет........................... 877
II.	Меры ивеса различных стран............. 888
III.	Сравнительные таблицы и таблицы перевода мер
и весов.................................... 914
А.	Меры длины................................................
В.	Меры площадей.............................................
С.	М<ры объемов и емкостей ..................................
D.	Веса .....................................................
Е.	Веса на единицу длины.....................................
F.	Веса на единицу площади.................................•
G.	Веса на единицу объема (удельный вес).....................
Н.	Скврости .................................................
I.	Энергия...................................................
J.	Объем газа...............................................
914
926
9э7
931
937
944
948
952
95.4
960
IV.	Законы для защиты промышленной собствен-
ности .................................. 966
Алфавитный указатель
Алфавитный указатель к I тому
980
I ОТДЕЛ
Математика
Составил проф. д-р Рудольф Р отэ, Берлин, при участии д-ра Иоганнеса Штейна
Перевод и дополнения под редакцией проф. И. И. Привалова
Стр.
I.	Таблицы
Степени, корни, натуральные ло-
гарифмы, обратные величины,
окружности и площади круга .	2
Мантиссы обыкновенных лога-
рифмов...................... 32
Круговые функции.............. 34
Круговые, показательные и гипер-
болические функции.......... 38
Объемы шара................... 42
Длина дуги, стрелка, длина хорды
и площадь сегмента.......... 43
Длина дуги круга.............. 45
Перевод 90° деления квадранта
в 100°...................... 49
Эллиптические интегралы.......	50
Коэфициенты бинома; квадр. и
кубич. корни некоторых дробей;
часто встречающиеся числовые
значения...................... 51
Кратные it и 1 :л; некоторые сте-
пени, факториалы и обратные ве-
личины; указания к пользованию
таблицами..................... 52
II.	Арифметика и алгебра
Степени, корни, логарифмы .... 61
Теория соединений............. 65
Определители (детерминанты)... 66
Уравнения..................... 68
Расчет сложных процентов и рент 72
Ряды (конечные)............... 73
Бесконечные ряды.............. 75
III.	Круговые и гиперболиче-
ские функции
Круговые функции.......... 80
Плоские треугольники...... 84
Сферические треугольники	...	87
Гиперболические функции ....	88
Показательные функции..... 90
IV.	Диференциальное  инте-
гральное исчисления
Предел, непрерывность, диферен-
цируемость.................. 91
Стр.
Производные и диференциалы . . 92
Ряды Тэйлора и Маклорена .... 95
Раскрытие неопределенностей . . 96
Наибольшие и наименьшие значе-
ния ....................... 97
Неопределенные интегралы .... 98
Обыкновенные диференциальные
уравнения..................115
Диференциальные уравнения
с частными производными ... 121
Вариационное исчисление......127
V.	Аналитическая геометрия и
диференциальная геометрия
Точка и прямая линия в плоскости 128
Плоские кривые...............131
Точка, прямая линия и плоскость
в пространстве ........... 157
Кривые двойной кривизны .... 163
Кривые поверхности...........167
VI.	Векторный анализ.........174
VII.	Комплексные числа и век-
торы плоскости, функции
комплексной переменной,
конформное изображение . 192
VIII.	Практическая математика
Численные расчеты.............200
Номография....................203
Теория вероятностей и теория
ошибок при наблюдениях . . . 209
Интерполяционное и разностное
исчисление...................215
Численные, графические и механи-
ческие методы практического
анализа......................218
Тригонометрические ряды (Фурье)
и гармонический анализ .... 228
Параллельная перспектива .... 234
IX.	Площади, объемы и поверх-
ности тел
Площади плоских фигур.........236
Объемы и поверхности тел .... 239
I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности и площади круга
п	ла	ла	1е |		In п	1000 п	ft п	к л’ 4	п
t	1	1	1,0000	1,0000	0,00000	1000,000	3,142	0, 78 54	1
2	4	8	L4142	1,2599	0,69315	500,000	6,283	3, 14 16	2
3	9	27	Г7321	1,4422	1,09861	333,333	9,425	7, 06 86	3
4	16	64	2,0000	1,5874	1,38629	250,000	12,566	12, 56 64	4
5	25	125	2,2361	1,7100	1,60944	200,000	15,708	19, 63 50	5
6	36	216	2,4495	1,8171	1,79176	166,667	18,850	28,27 43	6
7	49	343	2,6458	1,9129	1,94591	142,857	21,991	38, 48 45	7
8	64	512	2,8284	2,0000	2,07944	125,000	25,133	50, 26 55	8
9	81	729	3 0000	2,0801	2,19722	111,111	28,274	63, 61 73	9
10	1 00	1 000	3,1623	2,1544	2,30259	100,000	31,416	78, 53 98	10
и	1 21	1331	3.3166	2,2240	2,39790	90,9091	34,558	95, 03 32	и
12	1 44	1728	3,4641	2,2894	2,48491	83,3333	37,699	1 13, 09 7	12
13	1 69	2 197	3,6056	2,3513	2,56495	76,9231	40,841	1 32, 73 2	13
14	1 96	2 744	3,7417	2,4101	2,63906	71,4286	43,982	1 53, 93 8	14
15	2 25	3 375	3,8730	2,4662	2,70805	66,6667	47,124	1 76, 71 5	15
16	2 56	4 096	4,0000.	2,5198	2,77259	62,5000	50,265	2 01,06 2	16
17	2 89	4 913	ттаГ	2,5713	2,83321	58,8235	53,407	2 26, 98 0	17
18	3 24	5 832	4,2426	2,6207	2,89037	55,5556	56,549	2 54, 46 9	18
19	3 61	6 859	4,3589	2,6684	2,94444	52,6316	59,690	2 83, 52 9	19
20	400	8 000	4,4721	2,7144	2,99573	50,0000	62,832	3 14,15 9	20
21	4 41	9 261	4,5826	2,7589	3,04452	47,6190	65,973	3 46, 36 1	21
22	4 84	10 648	4,6904	2,8020	3.09104	45,4545	69,115	3 80, 13 3	22
23	5 29	12 167	4.7958	2,8439	3,13549	43,4783	72,257	4 15, 47 6	23
24	5 76	13 824	4,8990	2,8845	3,17805	41,6667	75,398	4 52, 38 9	24
25	6 25	15 625	5,0000	2,9240	3,21888	40,0000	78,540	4 90, 87 4	25
26	6 76	17 576	5,0990	2,9625	3,25810	38,4615	81,681	5 30, 92 9	26
27	7 29	19 683	5,1962	3,0000	3,29584	37,0370	84,823	5 72, 55 5	27
28	7 84	21 952	5,2915	3,0366	3,33220	35,7143	87,965	615, 75 2	28
29	8 41	24 389	5,3852	3,0723	3,36730	34,4828	91,106	6 60, 52 0	29
30	900	27 000	5,4772	3,1072	3,40120	33,3333	94,248	7 06,85 8	30
31	9 61	29 791	5,5678	3,1414	3,43399	32,2581	97,389	7 54, 76 8	31
32	10 24	32 768	5,6569	3,1748	3,46574	31,2500	100,531	8 04, 24 8	32
33	10 89	35 937	5,7446	3,2075	3,49651	30,3030	103,673	8 55, 29 9	33
34	11 56	39 304	5,8310	3,2396	3,52636	29,4118	106,814	9 07, 92 0	34
35	12 25	42 875	5,9161	3,2711	3,55535	28,5714	109,956	9 62, 11 3	35
36	12 96	46 656	6,0000	3.3019	3,58352	27,7778	113,097	10 17, 88	36
37	13 69	50 653	6,0828	3,3322	3,61092	27,0270	116,239	10 75, 21	37
38	14 44	54 872	6,1644	3,3620	3,63759	26,3158	119,381	11 34, И	38
39	15 21	59 319	6,2450	3,3912	3,66356	25,6410	122,522	11 94, 59	39
40	1600	64 000	6,3246	3,4200	3,68888	25,0000	125,66	12 56, 64	40
41	16 81	68 921	6,4031	3,4482	3,71357	24,3902	128,81	13 20, 25	41
42	17 64	74 088	6,4807	3,4760	3,73767	23.8095	131,95	13 85, 44	42
43	18 49	79 507	6,5574	3,5034	3,76120	23,2558	135,09	14 52,20	43
44	19 36	85 184	6,6332	3,5303	3,78419	22,7273	138,23	15 20, 53	44
45	20 25	91 125	6,7082	3,5569	3,80666	22,2222	141.37	15 90,43	45
46	21 16	97 336	6,7823	3,5830	3,82864	21,7391	144,51	1661,90	46
47	22 09	103 823	6,8557	3,6088	3,85015	21,2766	147,65	17 34, 94	47
48	23 04	110 592	6,9282	3,6342	3,87120	20,8333	150,80	18 09, 56	48
49	24 01	117 649	7,0000	3,6593	3,89182	20,4082	153,94	18 85, 74	49
50	25 00	125 000	7,0711	3,6840	3,91202	20,0000	157,08	19 63, 50	50
Таблица 1
3
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади Круга (Продолжение)
п	П*	л3	/п	8 Vn	In п	2ооо п	к П	л д- ~4~	п
50	25 00	125 000	7,0711	3,6840	1 3,91202	1 20,0000	157,08	19 63, 50	50
51	26 01	132 651	7,1414	3,7084	3,93183	19,6078	160,22	20 42, 82	51
52	27 04	140 608	7,2111	3,7325	3,95124	19,2308	163,36	21 23, 72	52
53	28 09	148 877	7,2801	3,7563	3,97029	18,8679	166,50	22 06, 18	53
54	29 16	157 464	7,3485	3,7798	3,98898	18,5185	169,65	22 90, 22	54
55	30 25	166 375	7,4162	3,8030	4,00733	18,1818	172,79	23 75, 83	55
56	31 36	175 616	7,4833	3,8259	4,02535	17,8571	175,93	24 63, 01	56
57	32 49	185 193	7,5498	3,8485	4,04305	17,5439	179,07	25 51, 76	57
58	33 64	195 112	7,6158	3,8709	4,06044	17,2414	182,21	26 42, 08	58
59	34 81	205 379	7,6811	3,8930	4,07754	16,9492	185,35	27 33, 97	59
60	36 00	216 000	7,7460	3,9149	4,09434	16,6667	188,50	28 27, 43	60
61	37 21	226 981	7,8102	3,9365	4,11087	16,3934	191,64	29 22, 47	61
62	38 44	238 328	7,8740	3,9579	4,12713	16,1290	194,78	30 19, 07	62
63	39 69	250 047	7,9373	3,9791	4,14313	15,8730	197,92	31 17, 25	63
64	40 96	262 144	8,0000	4,0000	4,15888	15,6250	201,06	32 16, 99	64
65	42 25	274 625	8,0623	4,0207	4,17439	15,3846	204,20	33 18, 31	65
66	43 56	287 496	8,1240	4,0412	4,18965	15,1515	207,35	34 21, 19	66
67	44 89	300 763	8,1854	4,0615	4,20469	14,9254	210,49	35 25, 65	67
68	46 24	314 432	8,2462	4,0817	4,21951	14,7059	213,63	36 31, 68	68
69	47 61	328 509	8,3066	4,1016	4,23411	14,4928	216,77	37 39, 28	69
70	49 00	343 000	8,3666	4,1213	4,24850	14,2857	219,91	38 48, 45	70
71	50 41	357 911	8,4261	4,1408	4,26268	14,0845	223,05	39 59,19	71
72	51 84	373 248	8,4853	4.1602	4,27667	13,8889	226,19	40 71,50	72
73	53 29	389 017	8,5440	4,1793	4,29046	13,6986	229,34	41 85, 39	73
74	54 76	405 224	8,6023	4,1983	4,30407	13,5135	232,48	43 00, 84	74
75	56 25	421 875	8,6603.	4,2172	4,31749	13,3333	235,62	44 17, 86	75
76	57 76	438 976	877178	4,2358	4,33073	13,1579	238,76	45 36, 46	76
77	59 29	456 533	8,7750	4,2543	4,34381	12,9870	241,90	46 56, 63	77
78	60 84	474 552	8,8318	4,2727	4,35671	12,8205	245,04	47 78, 36	78
79	62 41	493 039	8,8882	4,2908	4,36945	12^582	248,19	49 01, 67	79
80	64 00	512 000	8,9443	4,3089	4,38203	12,5000	251,33	50 26,55	80
81	65 61	531 441	9,0000	4,3267	4,39445	12,3457	254,47	51 53, 00	81
82	67 24	551 368	9,0554	4,3445	4,40672	12,1951	257,61	52 81, 02	82
83	68 89	571 787	9,1104	4,3621	4,41884	12,0482	260,75	54 10, 61	83
84	70 56	592 704	9,1652	4,3795	4,43082	11,9048	263,89	55 41,77	84
85	72 25	614 125	9,2195	4,3968	4,44265	11,7647	267,04	56 74, 50	85
86	73 96	636 056	9,2736	4,4140	4,45435	11,6279	270,18	58 08, 80	86
87	75 69	658 503	9,3274	4,4310	4,46591	11,4943	273.32	59 44, 68	87
88	77 44	681 472	9,3808	4,4480	4,47734	11,3636	276,46	60 82, 12	88
89	79 21	704 969	9,4340	4,4647	4,48864	11,2360	279,60	62 21, 14	89
90	81 00	729 000	9,4868	4,4814	4,49981	11,1111	282,74	63 61, 73	90
91	82 81	753 571	9,5394	4,4979	4,51086	10,9890	285,88	65 03, 88	91
92	84 64	778 688	9,5917	4,5144	4,52179	10,8696	289,03	66 47, 61	92
93	86 49	804 357	9,6437	4,5307	4,53260	10,7527	292,17	67 92, 91	93
94	88 36	830 584	9,6954	4,5468	4,54329	10,6383	295,31	69 39, 78	94
95	90 25	857 375	9,7468	4,5629	4,55388	10,5263	298.45	70 88, 22	95
96	92 16	884 736	9,7980	4,5789	4,56435	10,4167	301,59	72 38, 23	96
97	94 09	912 673	9,8489	4,5947	4,57471	10,3093	304,73	73 89, 81	97
98	96 04	941 192	9,8995	4,6104	4,58497	10,2041	307,88	75 42, 96	98
99	98 01	970 299	9,9499	4,6261	4,59512	10,1010	311,02	76 97, 69	99
100	1 00 00	1 000000	10,0000	4,6416	4,60517	10,0000	314,16	78 53, 98	100
4
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади Круга (Продолжение)
п	л2	п?	Vn'		In п J	1000 п	тг П	к п-	п
100	1 00 00	1 000 000	10,0000	4,6416	4,60517	10,0000	314,16	78 53,98	100
101	1 02 01	1 030 301	10,0499	4,6570	4,61512	9,90099	317,30	80 11,85	101
102	1 04 04	1 061 208	10,0995	4,6723	4,62497	9,80392	320,44	81 71,28	102
103	1 06 09	1 092 727	10,1489	4,6875	4,63473	9,70874	323,58	83 32,29	103
104	1 08 16	1 124 864	10,1980	4,7027	4,64439	9,61538	326,73	84 94,87	104
105	1 10 25	1 157 625	10,2470	4,7177	4,65396	9,52381	329,87	86 59,01	105
106	1 12 36	1 191 016	10,2956	4,7326	4,66344	9,43396	333,01	88 24,73	106
107	1 14 49	1 225 043	10,3441	4,7475	4,67283	9,34579	336,15	89 92,02	107
108	1 16 64	1 259 712	10,3923	4,7622	4,68213	9,25926	339,29	91 60,88	108
109	1 18 81	1 295 029	10,4403	4,7769	4,69135	9,17431	342,43	93 31,32	109
110	1 21 00	1 331 000	10,4881	4,7914	4,70048	9,09091	345,58	95 03,32	110
111	1 23 21	1 367 631	10,5357	4,8059	4,70953	9,00901	348,72	96 76,89	Ш
112	1 25 44	1 404 928	10,5830	4,8203	4,71850	8,92857	351,86	98 52,03	112
113	1 27 69	1 442 897	10,6301	4,8346	4,72739	8,84956	355,00	1 00 28,7	113
114	1 29 96	• 1 481 544	10,6771	4,8488	4,73620	8,77193	358,14	1 02 07,0	114
115	1 32 25	1 520 875	10,7238	4,8629	4,74493	8,69565	361,28	1 03 86,9	115
116	1 34 56	1 560 896	10,7703	4,8770	4,75359	8,62069	364,42	1 05 68,3	116
117	1 36 89	1 601 613	10,8167	4,8910	4,76217	8,54701	367,57	1 07 51,3	117
118	1 39 24	1 643 032	10,8628	4,9049	4,77068	8,47458	370,71	1 09 35,9	118
119	1 41 61	1 685 159	10,9087	4,9187	4,77912	8,40336	373,85	1 1122,0	119
120	1 44 00	1 728 000	10,9545	4,9324	4,78749	8,33333	376,99	1 13 09,7	120
121	1 46 41	1 771 561	11,0000	4,9461	4,79579	8,26446	380,13	1 14 99,0	121
122	1 48 84	1 815 848	11,0454	4,9597	4,80402	8,19672	383,27	1 16 89,9	122
123	151 29	1 860 867	11,0905	4,9732	4,81218	8,13008	ООО ио	1 IQ QO Q	123
124	1 53 76	1 906 624	11,1355	4,9866	4,82028	8,06452	389,56	1 20 76,3	124
125	1 56 25	1 953 125	11,1803	5,0000	4,82831	8,00000	392,70	1 22 71,8	125
126	1 58 76	2 000 376	11,2250	5,0133	4,83628	7,93651	395,84	1 24 69,0	126
127	1 61 29	2 048 383	11,2694	5,0265	4,84419	7,87402	398,98	1 26 67,7	127
128	1 63 84	2 097 152	11,3137	5,0397	4,85203	I 7,81250	402,12	1 28 68,0	128
129	1 66 41	2 146 689	11,3578	5,0528	4,85981	7,75194	405,27	1 30 69,8	129
130	1 69 00	2 197 000	11,4018	5,0658	4,86753	7,69231	408,41	1 32 73,2	130
131	1 71 61	2 248 091	11,4455	5,0788	4,87520	7,63359	411,55	1 34 78,2	131
132	1 74 24	2 299 968	11,4891	5,0916	4,88280	7,57576	414,69	1 36 84,8	132
133	1 76 89	2 352 637	11,5326	5,1045	4,89035	7,51880	417,83	1 38 92,9	133
134	1 79 56	2 406 104	11,5758	5,1172	4,89784	7,46269	420,97	1 41 02,6	134
135	1 8*2 25	2 460 375	11,6190	5,1299	4,90527	7,40741	424,12	1 43 13,9	135
136	1 84 96	2 515 456	11,6619	5,1426	4,91265	7,35294	427,26	1 45 26,7	136
137	1 87 69	2 571 353	11,7047	5,1551	4.9И98	7,29927	430,40	1 47 41,1	137
138	1 90 44	2 628 072	11,7473	5,1676	4,92725	7,24638	433,54	1 49 57,1	138
139	1 93 21	2 685 619	11,7898	5,1801	4,93447	7,19424	436,68	1 51 74,7	139
140	1 96 00	2 744 000	11,8322	5,1925	4,94164	7,14286	439,82	1 53 93,8	140
141	1 98 81	2 803 221	11,8743	5,2048	4,94876	7,09220	442,96	1 56 14,5	141
142	2 01 64	2 863 288	11,9164	5,2171	4,95583	7,04225	446,11	1 58 36,8	142
143	2 04 49	2 924 207	11,9583	5,2293	4,96284	6,99301	449,25	1 60 60,6	143
144	207 36	2 985 984	12,0000	5,2415	4,96981	6,94444	452,39	1 62 86,0	144
145	2 10 25	3 048 625	12,0416	5,2536	4,97673	6,89655	455,53	1 65 13,0	145
146	2 13 16	3 112 136	12,0830	5,2656	4,98361	6,84932	458,67	1 67 41,5	146
147	2 16 09	3 176 523	12,1244	5,2776	4,99043	6,80272	461,81	1 69 71,7	147
148	2 19 04	3 241 792	12,1655	5,2896	4,99721	6,75676	464,96	1 72 03,4	148
149	2 22 01	3 307 949	12,2066	5,3015	5,00395	6,71141	468,10	1 74 36,6	149
150	2 25 00	3 375 000	12,2474	5,3133	5,01064	6,66667	471,24	1 76 71,5	150
Таблица 1
5
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади круга (Продолжение)
п		п*	/п’	3 /л	In п	1000 п	тс п		п
150	2 25 00	3 375 000	12,2474	5,3133	5,01064	6,66667	471,24	1 76 71,5	150
151	2 28 01	3 442 951	12,2882	5,3251	5,01728	6,62252	474,38	1 79 07,9	151
152	2 31 04	3 511 808	12,3288	5,3368	5,02388	6,57895	477,52	1 81 45,8	152
153	2 34 09	3 581 577	12,3693	5,3485	5,03044	6,53595	480,66	1 83 85,4	153
154	2 37 16	3 652 264	12,4097	5,3601	5,03695	6,49351	483,81	1 86 26,5	154
155	2 40 25	3 723 875	12,4499	5,3717	5,04343	6,45161	486,95	1 88 69,2	155
156	2 43 36	3 796 416	12,4900	5,3832	5,04986	6,41026	490,09	1 91 13,4	156
157	2 46 49	3 869 893	12,5300	5,3947	5,05625	6,36943	493,23	1 93 59,3	157
158	2 49 64	3 944 312	12,5698	5,4061	5,06260	6,32911	496,37	1 96 06,7	158
159	2 52 81	4 019 679	12,6095	5,4175	5,06890	6,28931	499,51	1 98 55,7	159
160	2 56 00	4 096 000	12,6491	5,4288	5,07517	6,25000	502,65	2 01 06,2	160
161	2 59 21	4 173 281	12,6886	5,4401	5,08140	6,21118	505,80	2 03 58,3	161
162	2 62 44	4 251 528	12,7279	5,4514	5,08760	6,17284	508,94	'2 06 12,0	162
163	2 65 69	4 330 747	12,7671	5,4626	5,09375	6,13497	512,08	2 08 67,2	163
164	2 68 96	4 410 944	12,8062	5,4737	5,09987	6,09756	515,22	2 11 24,1	164
165	2 72 25	4 492 125	12,8452	5,4848	5,10595	6,06061	518,36	2 13 82,5	165
166	2 75 56	4 574 296	12,8841	5,4959	5,11199	6,02410	521,50	2 16 42,4	166
167	2 78 89	4 657 463	12,9228	5,'5069	5,11799	5,98802	’ 524,65	2 19 04,0	167
168	2 82 24	4 741 632	12,9615	5.5178	5,12396	5,95238	527,79	2 21 67,1	168
169	2 85 61	4 826 809	13,0000	5,5288	5,12990	5,91716	530,93.	2 24 31,8	169
170	2 89 00	4 913 000	13,0384	5,5397	5,13580	5,88235	534,07	2 26 98,0	170
171	2 92 41	5 000 211	13,0767	5,5505	5,14166	5,84795	537,21	2 29 65,8	171
172	2 95 84	5 088 448	13,1149	5,5613	5,14749	5,81395	540,35	2 32 35,2	172
173	2 99 29	5 177 717	13,1529	5,5721	5,15329	5,78035	543,50	2 35 06,2	173
174	3 02 76	5 268 024	13,1909	5,5828	5,15906	5,74713	546,64	2 37 78,7	174
175	3 06 25	5 359 375	13,2288	5,5934	5,16479	5,71429	549,78	2 40 52,8	175
176	3 09 76	5 451 776	13,2665	5,6041	5,17048	5,68182	552,92	2 43 28,5	176
177	3 13 29	5 545 233	13,3041	5,6147	5,17615	5,64972	556,06	2 46 05,7	177
178	3 16 84	5 639 752	13,3417	5,6252	5,18178	5,61798	559,20	2 48 84,6	178
179	3 20 41	5 735 339	13,3791	5,6357	5,18739	5,58659	562,35	2 51 64,9	179
180	3 24 00	5 832 000	13,4164	5,6462	5,19296	5,55556	565,49	2 54 46,9	180
181	3 27 61	5 929 741	13,4536	5,6567	5,19850	5,52486	568,63	2 57 30,4	181
182	3 31 24	6 028 568	13,4907	5,6671	5,20401	5,49451	571,77	2 60 15,5	182
183	3 34 89	6 128 487	13,5277	5,6774	5,20949	5,46448	574,91	2 63 02,2	183
184	3 38 56	6 229 504	13,5647	5,6877	5,21494	5,43478	578,05	2 65 90,4	184
185	3 42 25	6 331 625	13,6015	5,6980	5,22036	5,40541	581,19	2 68 80,3	185
186	3 45 96	6 434 856	13,6382	5,7083	5,22575	5,37634	584,34	2 71 71,6	186
187	3 49 69	6 539 203	13,6748	5,7185	5,23111	5,34759	587,48	2 74 64,6	187
188	3 53 44	6 644 672	13,7113	5,7287	5,23644	5,31915	590,62 1	2 77 59,1	’ 188
189	3 57 21	6 751 269	13,7477	5,7388	5,24175	5,29101	593,76	2 80 55,2	189
190	3 61 00	6 859 000	13,7840	5,7489	5,24702	5,26316	596,90	2 83 52,9	190
191	3 64 81	6 967 871	13,8203	5,7590	5,25227	5,23560	600,04	2 86 52,1	191
192	3 68 64	7 077 888	13,8564	5,7690	5,15750	5,20833	603,19	2 89 52,9	192
193	3 72 49	7 189 057	13,8924	5,7790	5,26269	5,18135	606,33	2 92 55,3	193
194	3 76 36	7 301 384	13,9284	5,7890	5,26786	5,15464	609,47	2 95 59,2	194
195	3 80 25	7 414 875	13,9642	5,7989	5,27300	5,12821	612,61	2 98 64,8	195
196	3 84 16	7 529 536	14,0000	5,8088	5,27811	5,10204	615,75	3 01 71,9	196
197	3 88 09	7 645 373	14,0357	5,8186	5,28320	5,07614	618,89	3 04 80,5	197
198	3 92 04	7 762 392	14,0712	5,8285	5,28827	5,05051	622,04	3 07 90,7	198
199	3 96 01	7 880 599	14,1067	5,8383	5,29330	5,02513	625,18	3 11 02,6	199
200	400 00	8 000 000	14,1421	5,8480	5,29832	5,00000	628,32	3 14 15,9	200
6
Т. 1. Отд 1. Математика. 1 Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩадИ Круга (Продолжение)
п	л’	л3	Vn	3 ул	In п	1000 л	тс Л	тс л3 ~4~	л
200	4 00 00	8 000 000	14,1421	5,8480	5,29832	5,00000	628,32	3 14 15,9	200
201	4 04 01	8 120 601	14,1774	5,8578	5,30330	4,97512	631,46	3 17 30,9	201
202	4 08 04	8 242 408	14,2127	5,8675	5,30827	4,95050	634,60	3 20 47,4	202
203	4 12 09	8 365 427	14,2478	5,8771	5,31321	4,92611	637,74	3 23 65,5	203
204	4 16 16	8 489 664	14,2829	5,8868	5,31812	4,90196	640,88	3 26 85,1	204
205	4 20 25	8 615 125	14,3178	5,8964	5,32301	4,87805	644,03	3 30 06,4	205
206	4 24 36	8 741 816	14,3527	5,9059	5,32788	4,85437	647,17	3 33 29,2	206
207	4 28 49	8 869 743	14,3875	5,9155	5,33272	4,83092	650,31	3 36 53,5	207
208	4 32 64	8 998 912	14,4222	5,9250	5,33754	4,80769	653,45	3 39 79,5	208
209	4 36 81	9 129 329	14,4568	5,9345	5,34233	4,78469	656,59	3 43 07,0	209
210	4 4100	9 261 000	14,4914	5,9439	5,34711	4,76190	659,73	3 46 36,1	210
211	4 45 21	9 393 931	14,5258	5,9533	5,35186	4,73934	662,88	3 49 66,7	211
212	4 49 44	9 528 128	14,5602	5,9627	5,35659	4,71698	666,02	3 52 98,9	212
213	4 53 69	9 663 597	14,5945	5,9721	5,36129	4,69484	669,16	3 56 32,7	213
214	4 57 96	9 800 344	14,6287	5,9814	5,36598	4,67290	672,30	3 59 68,1	214
215	4 62 25	9 938 375	14,6629	5,9907	5,37064	4,65116	675,44	3 63 05,0	215
216	4 66 56	10 077 696	14,6969	6,0000	5,37528	4,62963	678,58	3 66 43,5	216
217	4 70 89	10 218 313	14,7309	6,0092	5,37990	4,60829	681,73	3 69 83,6	217
218	4 75 24	10 360 232	14,7648	6,0185	5,38450	4,58716	684,87	3 73 25,3	218
219	4 79 61	10 503 459	14,7986	6,0277	5,38907	4,56621	688,01	3 76 68,5	219
220	4 84 00	10 648 000	14,8324	6,0368	5,39363	4,54545	691,15	3 80 13,3	220
221	4 88 41	10 793 861	14,8661	6,0459	5,39816	4,52489	694,29	3 83 59,6	221
222	4 92 84	10 941 048	14,8997	6,0550	5,40268	4,50450	697,43	3 87 07,6	222
223	4 97 29	11 089 567	14.9332	6.0641	5.40717	4.48430	700.58	3 90 57,1	223
224	5 01 76	11 239 424	14,9666	6,0732	5,41165	<46429	703,72	3 94 08,1	224
225	5 06 25	И 390 625	15,0000	6,0822	5,41610	4,44444	706,86	3 97 60,8	225
226	5 10 76	11 543 176	15,0333	6,0912	5,42053	4,42478	710,00	4 01 15,0	226
227	5 15 29	И 697 083	15,0665	6,1002	5,42495	4,40529	713,14	4 04 70,8	227
228	5 19 84	И 852 352	15,0997	6,1091	5,42935	4,38596	716,28	4 08 28,1	228
229	5 24 41	12 008 989	15,1327	6,1180	5,43372	4,36681	719,42	4 И 87,1	229
230	5 29 00	12 167 000	15,1658	6,1269	5,43808	4,34783	722,57	4 15 47,6	230
231	5 33 61	12 3.6 391	15,1987	6,1358	5,44242	4,32900	725,71	4 19 09,6	231
232	5 38 24	12 487 168	15,2315	6,1446	5,44674	4,31034	728,85	4 22 73,3	232
233	5 42 89	12 649 337	15,2643	6,1534	5,45104	4,29185	731,99	4 26 38,5	233
234	5 47 56	12 812 904	15,2971	6,1622	5,45532	4,27350	735,13	4 30 05,3	234
235	5 52 25	12 977 875	15,3297	6,1710	5,45959	4,25532	738,27	4 33 73,6	235
236	5 56 96	13 144 256	15,3623	6,1797	5,46383	4,23729	741,42	4 37 43,5	236
237	5 61 69	13 312 053	15,3948	6,1885	5,46806	4,21941	744,56	4 41 15,0	237
238	5 66 44	13 481 272	15,4272	6,1972	5,47227	4,20168	747,70	4 44 88,1	238
239	5 71 21	13 651 919	15,4596	6,2058	5,47646	4,18410	750,84	4 48 62,7	239
240	5 76 00	13 824 000	15,4919	6,2145	5,48064	4,16667	753,98	4 52 38,9	240
241	5 80 81	13 997 521	15,5242	6,2231	5,48480	4,14938	757,12	4 56 16,7	241
242	5 85 64	14 172 488	15,5563	6,2317	5,48894	4,13223	760,27	4 59 96,1	242
243	5 90 49	14 348 907	15,5885	6,2403	5,49306	4,11523	763,41	4 63 77,0	243
244	5 95 36	14 526 784	15,6205	6,2488	5,49717	4,09836	766,55	4 67 59,5	244
245	6 00 25	14 706 125	15,6525	6,2573	5,50126	4,08163	769,69	4 71 43,5	245
246	6 05 16	14 886 936	15,6844	6,2658	5,50533	4,06504	772,83	4 75 29,2	246
247	6 10 09	15 069 223	15,7162	6,2743	5,50939	4,04858	775,97	4 79 16,4	247
248	6 15 04	15 252 992	15,7480	6,2828	5,51343	4,03226	779,11	4 83 05,1	248
249	6 20 01	15 438 249	15,7797	6,2912	5,51745	4,01606	782,26	4 86 95,5	249
250	6 25 00	15 625 000	15,8114	6,2996	5,52146	4,00000	785,40	4 90 87,4	250
Таблица 1
7
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади Круга (Продолжение)
п	я’	л8		8 	 Vn	In п	_1000 п	«Л	те п- Г“	Л
250	6 25 00	15 625 000	15,8114	6,2996	5,52146	4,00000	785,40	4 СО 87,4	250
251	6 30 01	15 813 251	15,8430	6,3080	5,52545	3,98406	788,54	4 94 80,9	251
252	6 35 04	16 003 008	15,8745	6,3164	5,52943	3,96825	791,68	4 98 75,9	252
253	6 40 09	16 194 277	15,9060	6,3247	5,53339	3,95257	794,82	5 02 72,6	253
254	6 45 16	16 387 064	15,9374	6,3330	5,53733	3,93701	797,96	5 06 70,7	254
255	6 50 25	16 581 375	15,9687	6,3413	5,54126	3,92157	801,11	5 10 70,5	255
256	6 55 36	16 777 216	16,0000	6,3496	5,54518	3,90625	804,25	5 14 71,9	256
257	6 60 49	16 974 593	16,0312	6,3579	5,54908	3,89105	807,39	5 18 74,8	257
258	6 65 64	17 173 512	16,0624	6,3661	5,55296	3,87597	810,53	5 22 79,2	258
259	6 70 81	17 373 979	16,0935	6,3743	5,55683	3,86100	813,67	5 26 85,3	259
260	6 76 00	17 576 000	16,1245	6,3825	5.56068	3,84615	816,81	5 30 92,9	260
261	6 81 21	17 779 581	16,1555	6,3907	5.56452	3,83142	819,96	5 35 02,1	261
262	6 86 44	17 984 728	16,1864	6,3988	5,56834	3,81679	823,10	5 39 12,9	262
263	6 91 69	18 191 447	16,2173	6,4070	5,57215	3,80228	826,24	5 43 25,2	263
264	6 96 96	18 399 744	16,2481	6,4151	5,57595	3,78788	829,38	5 47 39,1	264
265	7 02 25	18 609 625	16,2788	6,4232	5,57973	3,77358	832,52	5 51 54,6	265
266	7 07 56	18 821 096	16,3095	6,4312	5,58350	3,75940	835,66	5 55 71,6	266
267	7 12 89	19 034 163	16,3401	6,4393	5.58725	3,74532	838,81	5 59 90,2	267
268	7 18 24	19 248 832	16,3707	6,4473	5,59099	3,73134	841,95	5 64 10,4	268
269	7 23 61	19 465 109	16,4012	6,4553	5,59471	3,71747	845,09	5 68 32,2	269
270	7 29 00	19 683 000	16,4317	6,4633	5,59842	3,70370	848,23	5 72 55,5	270
271	7 34 41	19 902 511	16,4621	6,4713	5,60212	3,69004	851,37	5 76 80,4	271
272	7 39 84	20 123 648	16,4924	6,4792	5,60580	3,67647	854,51	5 81 06,9	272
273	7 45 29	20 346 417	16,5227	6,4872	5,60947	3,66300	857,65	5 85 34,9	273
274	7 50 76	20 570 824	16,5529	6,4951	5,61313	3,64964	860,80	5 89 64,6	274
275	7 56 25	20 796 875	16,5831	6,5030	5,61677	3,63636	863,94	5 93 95,7	275
276	7 61 76	21 024 576	16,6132	6,5108	5,62040	3,62319	867,08	5 98 28,5	276
277	7 67 29	21 253 933	16,6433	6,5187	5,62402	3,61011	870,22	6 02 62,8	277
278	7 72 84	21 484 952	16,6733	6,5265	5,62762	3,59712	873,36	6 06 98,7	278
279	7 78 41	21 717 639	16,7033	6,5343	5,63121	3,58423	876,50	6 И 36,2	279
280	7 84 00	21 952 000	16,7332	6,5421	5,63479	3,57143	879,65	6 15 75,2	280
281	7 89 61	22 188 041	16,7631	6,5499	5,63835	3,55872	882,79	6 20 15,8	281
282	7 95 24	22 425 768	16,7929	6,5577	5.64191	3,54610	885,93	6 24 58,0	282
283	8 00 89	22 665 187	16,8z26	6,5654	5,64545	3,53357	889,07	6 29 01,8	283
284	8 06 56	22 906 304	16,8523	6,5731	5,64897	3,52113	892,21	6 33 47,1	284
285	8 12 25	23 149125	16,8819	6,5808	5,65249	3,50877	895,35	6 37 94,0	285
286	8 17 96	23 393 656	16,9115	6,5885	5,65599	3,49650	898,50	6 42 42,4	286
287	8 23 69	23 639 903	16,9411	6,5962	5,65948	3,48432	901,64	6 46 92,5	287
288	8 29 44	23 887 872	16,9706	6,6039	5,66296	3,47222	904,78	6 51 44,1	288
289	8 35 21	24 137 569	17,0000	6,6115	5,66643	3,46021	907,92	6 55 97,2	289
290	8 41 00	24 389 000	17,0294	6,6191	5,66988	3,44828	911,06	6 60 52,0	290
291	8 46 81	24 642 171	17,0587	6,6267	5,67332	3,43643	914,20	6 65 08,3	291
292	8 52 64	24 897 088	17,0880	6,6343	5,67675	3,42466	917,35	6 69 66,2	292
293	8 58 49	25 153 757	17,1172	6,6419	5,68017	3,41297	920,49	6 74 25,6	293
294	8 64 36	25 412 184	17,1464	6,6494	5,68358	3,40136	923,63	6 78 86,7	294
295	8 70 25	25 672 375	17,1756	6,6569	5,68698	3,38983	926,77	6 83 49,3	295
296	8 76 16	25 934 336	17,2047	6,6644	5,69036	3,37838	929,91	6 88 13,4	296
297	8 82 09	26 198 073	17,2337	6,6719	5,69373	3,36700	933,05	6 92 79,2	297
298	8 88 04	26 463 592	17,2627	6,6794	5,69709	3,35570	936,19	6 97 46,5	298
299	8 94 01	26 730 899	17,2916	6,6869	5,70044	3,34448	939,34	7 02 15,4	299
300	9 00 00	27 000 000	17,3205	6,6943	5,70378	3,33333	942,48	7 06 85,8	300
8
Т. 1. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
велИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п	л2	п9	/л	3 /л	In п	1000 п	тс п	тс и2 ~~4~	п
300	900 00	27 000 000	17,3205	6,6943	5,70378	3,33333	942,48	7 06 85,8	300
301	9 06 01	27 270 901	17,3494	6,7018	5,70711	3,32226	945,62	7 И 57,9	301
302	912 04	27 543 608	. 17,3781	6,7092	5,71043	3,31126	948,76	7 16 31,5	302
303	9 18 09	27 818 127	17,4069	6,7166	5,71373	3,30033	951,90	7 21 06,6	303
304	9 24 16	28 094 464	17,4356	6,7240	5,71703	3,28947	955,04	7 25 83,4	304
305	9 30 25	28 372 625	17,4642	6,7313	5,72031	3,27869	958,19	7 30 61,7	305
306	9 36 36	28 652 616	17,4929	6,7387	5,72359	3,26797	961,33	7 35 41,5	306
307	9 42 49	28 934 443	17,5214	6,7460	5,72685	3,25733	964,47	7 40 23,0	307
308	9 48 64	29 218 112	17,5499	6,7533	5,73010	3,24675	967,61	7 45 06,0	308
309	9 54 81	29 503 629	17,5784	6,7606	5,73334	3,23625	970,75	7 49 90,6	309
310	9 61 00	29 791 000	17,6068	6,7679	5,73657	3,22581	973,89	7 54 76,8	310
311	9 67 21	30 080 231	17,6352	6,7752	5,73979	3,21543	977,04	7 59 64,5	311
312	9 73 44	30 371 328	17,6635	6,7824	5,74300	3,20513	980,18	7 64 53,8	312
313	9 79 69	СО 664 297	17,6918	6,7897	5,74620	3,19489	983,32	7 69 44,7	313
314	9 85 96	30 959 144	17,7200	6,7969	5,74939	3,18471	986,46	7 74 37,1	314
315	9 92 25	31 255 875	17,7482	6,8041	5,75257	3,17460	989,60	7 79 31,1	315
316	9 98 £6	31 554 496	17,7764	6,8113	5,75574	3,16456	992,74	7 84 26.7	316
317	10 04 89	31 855 013	17,8045	6,8185	5,75890	3,15457	995,88	7 89 23,9	317
318	10 И 24	32 157 432	17,8326	6,8256	5,76205	3,14465	999,03	7 94 22,6	318
319	10 17 61	32 461 759	17,8606	6,8328	5,76519	3,13480	1002,2	7 99 22,9	319
320	10 24 00	32 768 000	17,8885	6,8399	5,76832	3,12500	1005,3	8 04 24,8	320
321	10 30 41	33 076 161	17,9165	6,8470	5,77144	3,11526	1008,5	8 09 28,2	321
322	10 36 84	33 386 248	17,9444	6,8541	5,77455	3,10559	1011,6	8 14 33,2	322
323	10 43 29	33 698 267	17,9722	6.8612	5.77765	3.09598	1014.7	8 19 39.8	323
324	10 49 76	34 012 224	18,0000	6,8683	5,78074	3,08642	1017,9	8 24 48;0	324
325	10 56 25	34 328 125	18,0278	6,8753	5,78383	3,07692	1021,0	8 29 57,7	325
326	10 62 76	34 645 976	18,0555	6,8824	5,78690	3,06748	1024,2	8 34 69,0	326
327	10 69 29	34 965 783	18,0831	6,8894	5,78996	3,05810	1027,3	8 39 81,8	327
328	10 75 84	35 287 552	18,1108	6,8964	5,79301	3,04878	1030,4	8 44 96,3	328
329	10 82 41	35 611 289	18,1384	6,9034	5,79606	3,03951	1033,6	8 50 12,3	329
330	10 89 00	35 937 000	18,1659	6,9104	5,79909	3,03030	1036,7	8 55 29,9	330
331	10 95 61	36 264 691	18,1934	6,9174	5,80212	3,02115	1039,9	8 60 49,0	331
332	И 02 24	36 594 368	18,2209	6,9244	5,80513	3,01205	1043,0	8 65 69,7	332
333	11 08 89	36 926 037	18,2483	6,9313	5,80814	3,00300	1046,2	8 70 92,0	833
334	11 15 56	37 250 704	18,2757	6,9382	5,81114	2,99401	1049,3	8 76 15,9	334
335	И 22 25	37 595 375	18,3030	6,9451	5,81413	2,98507	1052,4	8 81 41,3	335
336	11 28 96	37 933 056	18,3303	6,9521	5,81711	2,97619	1055,6	8 86 68,3	336
337	11 35 69	38 272 753	18,3576	6,9589	5,82008	2,96736	1058,7	8 91 96,9	337
338	И 42 44	38 614 472	18,3848	6,9658	5,8.305	2,95858	1061,9	8 97 27,0	338
339	И 49 21	38 958 219	18,4120	6,9727	5,82600	2,94985	1065,0	9 02 58,7	339
340	И 56 00	39 304 000	18,4391	6,9795	5,82895	2,94118	1068,1	9 07 92,0	340
341	И 62 81	39 651 821	18,4662	6,9864	5,83188	2,93255	1071,3	9 13 26,9	341
342	11 69 64	40 001 688	18,4932	6,9932	5,83481	2,92398	1074,4	9 18 63,3	342
343	11 76 49	40 353 607	18,5203	7,0000	5,83773	2,91545	1077,6	9 24 01,3	343
344	И 83 36	40 707 584	18,5472	7,0068	5,84064	2,90698	1080,7	9 29 40,9	344
345	11 90 25	41 063 625	18,5742	7,0136	5,84354	2,89855	1083,8	9 34 82,0	345
346	11 97 16	41 421 736	18,6011	7,0203	5,84644	2,89017	1087,0	9 40 24,7	346
347	12 04 09	41 781 923	18,6279	7,0271	5,84932	2,88184	1090,1	9 45 69,0	347
348	12 11 04	42 144 192	18,6548	7,0338	5,85220	2,87356	1093,3	9 51 14,9	348
349	12 18 01	42 508 549	18,6815	7,0406	5,85507	2,86533	1096,4	9 56 62,3	349
350	12 25 00	42 875 000	18,7083	7,0473	5,85793	2,85714	1099,6	9 62 11,3	350
Таблица 1
9
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади круга (Продолжение)
п	Л2	л3	Vn	3 Vя	In п	1000 п	я П	•И	п
350	12 25 00	42 875 000	18,7083	7,0473	5,85793	2,85714	1099,6	9 62 11,3	350
351	12 32 01	43 243 551	18,7350	7,0540	5,86079	2,84900	1102.7	9 67 61,8	351
352	12 39 04	43 614 208	18,7617	7,0607	5,86363	2,84091	1105,8	9 73 14,0	352
353	12 46 09	43 986 977	18,7883	7,0674	5,86647	2,83286	1109,0	9 78 67,7	353
354	12 53 16	44 361 864	18,8149	7,0740	5,86930	2,82486	1112,1	9 84 23,0	354
355	12 60 25	44 738 875	18,8414	7,0807	5,87212	2,81690	1115,3	9 89 79,8	355
356	12 67 36	45 118 016	18,8680	7,0873	5,87493	2,80899	1118,4	9 95 38,2	356
357	12 74 49	45 499 293	18,8944	7,0940	5,87774	2,80112	1121,5	10 00 98	357
358	12 81 64	45 882 712	18,9209	7,1006	5,88053	2,79330	1124,7	10 06 60	358
359	12 88 81	46 268 279	18,9473	7,1072	5,88332	2,78552	1127,8	10 12 23	359
360	12 96 00	46 656 000	18,9737	7,1138	5,88610	2,77778	1131,0	10 17 88	360
361	13 03 21	47 045 881	19,0000	7,1204	5,88888	2,77008	1134,1	10 23 54	361
362	13 10 44	47 437 928	19,0263	7,1269	5,89164	2,76243	1137,3	10 29 22	362
363	13 17 69	47 832 147	19,0526	7,1335	5,89440	2,75482	1140,4	10 34 91	363
364	13 24 96	48 228 544	19,0788	7,1400	5,89715	2,74725	1143,5	10 40 62	364
365	13 32 25	48 627 125	19,1050	7,1466	5,89990	2,73973	1146,7	10 46 35	365
366	13 39 56	49 027 896	19,1311	7,1531	5,90263	2,73224	1149,8	16 52 09	366
367	13 46 89	49 430 863	19,1572	7,1596	5,90536	2,72480	1153,0	10 57 84	367
368	13 54 24	49 836 032	19,1833	7,1661	5,90808	2,71739	1156,1	10 63 62	368
369	13 61 61	50 243 409	19,2094	7,1726	5,91080	2,71003	1159,2	10 69 41	369
370	13 69 00	50 653 000	19,2354	7,1791	5,91350	2,70270	1162,4	10 75 21	370
371	13 76 41	51 064 811	19,2614	7,1855	.5,91620	2,69542	1165,5	10 81 03	371
372	13 83 84	51 478 848	19,2873	7,1920	5,91889	2,68817	1168,7	10 86 87	372
373	13 91 29	51 895 117	19,3132	7,1984	5,92158	2,68097	1171,8	10 92 72	373
374	13 98 76	52 313 624	19,3391	7,2048	5,92426	2,67380	1175,0	10 98 58	374
375	14 06 25	52 734 375	19,3649	7,2112	5,92693	2,66667	1178,1	И 04 47	375
376	14 13 76	53 157 376	19,3907	7,2177	5,92959	2,65957	1181,2	11 10 36	376
377	14 21 29	53 582 633	19,4165	7,2240	5,93225	2,65252	1184,4	11 16 28	377
378	14 28 84	54 010 152	19,4422	7,2304	5,93489	2,64550	1187,5	11 22 21	378
379	14 36 41	54 439 939	19,4679	7,2368	5,93754	2,63852	1190,7	11 28 15	379
380	14 44 00	54 872 000	19,4936	7,2432	5,94017	2,63158	1193,8	И 34 11	380
381	14 51 61	55 306 341	19,5192	7,2495	5,94280	2,62467	1196,9	11 40 09	381
382	14 59 24	55 742 968	19,5448	7,2558	5,94542	2,61780	1200,1	11 46 08	382
383	14 66 89	56 181 887	19,5704	7,2622	5,94803	2,61097	1203,2	11 52 09	383
384	14 74 56	56 623 104	19,5959	7,2685	5,95064	2,60417	1206,4	11 58 12	384
385	14 82 25	57 066 625	19,6214	7,2748	5,95324	2,59740	1209,5	И 64 16	385
386	14 89 96	57 512 456	19,6469	7,2811	5,95584	2,59067	1212,7	11 70 21	386
387	14 97 69	57 960 603	19,6723	7,2874	5,95842	2,58398	1215,8	11 76 28	387
388	15 05 44	58 411 072	19,6977	7,2936	5,96101	2,57732	1218,9	11 82 37	388
389	15 13 21	58 863 869	19,7231	7,2999	5,96358	2,57069	1222,1	11 88 47	389
390	15 2100	59 319 000	19,7484	7,3061	5,96615	2,56410	1225,2	И 94 59	390
391	15 28 81	59 776 471	19,7737	7,3124	5,96871	2,55754	1228,4	12 00 72	391
392	15 36 64	60 236 288	19,7990	7,3186	5,97126	2,55102	1231,5	12 06 87	392
393	15 44 49	60 698 457	19,8242	7,3248	5,97381	2,54453	1234,6	12 13 04	393
394	15 52 36	61 162 984	19,8494	7,3310	5,97635	2,53807	1237,8	12 19 22	394
395	15 60 25	61 629 875	19,8746	7,3372	5,97889	2,53165	1240,9	12 25 42	395
396	15 68 16	62 099 136	19,8997	7,3434	5,98141	2,52525	1244,1	12 31 63	396
397	15 76 09	62 570 773	19,9249	7,3496	5,98394	2,51889	1247,2	12 37 86	397
398	15 84 04	63 044 792	19,9499	7,3558	5,98645	2,51256	1250,4	12 44 10	398
399	15 92 01	63 521 199	19,9750	7,3619	5,98896	2,50627	1253,5	12 50 36	399
400	16 00 00	64 000 000	20,0000	7,3681	5,99146	2,50000	1256,6	12 56 64	400
If)
T 1 Отд 1. Математика 1. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади круга (Продолжение)
п	п9	па		а /й"	In п	1000 п	л п	Г. гГ- ____	г: 1
400	16 00 00	64 000 000	20,0000	7,3681	5,99146	2,50000	1256,6	12 56 64	400
401	16 08 01	64 481 201	20,0250	7,3742	5,99396	2,49377	1259,8	12 62 93	401
402	16 16 04	64 964 808	20,0499	7,3803	5,99645	2,48756	1262,9	12 69 23	402
403	16 24 09	65 450 827	20,0749	7,3864	5,99894	2,48139	1266,1	12 75 56	403
404	16 32 16	65 939 264	20,0998	7,3925	6,00141	2,47525	1269,2	12 81 90	404
405	16 40 25	66 430 125	20,1246	7,3986	6,00389	2,46914	1272,3	12 88 25	405
406	16 48 36	66 923 416	20,1494	7,4047	6,00635	2,46305	1275,5	12 94 62	406
407	16 56 49	67 419 143	20,1742	7,4108	6,00881	2,45700	1278,6	13 01 со	407
408	16 64 64	67 917 312	20,1990	7,4169	6,01127	2,45098	1281,8	13 07 41	408
409	16 72 81	68 417 929	20,2237	7,4229	6,01372	2,44499	1284,9	13 13 82	409
410	16 81 00	68 921 000	20,2485	7,4290	6,01616	2,43902	1288,1	13 20 25	410
411	16 89 21	69 426 531	20,2731	7,4350	6,01859	2,43309	1291,2	13 26 70	411
412	16 97 44	69 934 528	20,2978	7,4410	6,02102	2,42718	1294,3	13 33 17	412
413	17 05 69	70 444 997	20,3224	7,4470	6,02345	2,42131	1297,5	13 39 65	413
414	17 13 96	70 957 944	20,3470	7,4530	6,02587	2,41546	1300,6	13 46 14	414
415	17 22 25	71 473 375	20,3715	7,4590	6,02828	2,40964	1303,8	13 52 65	415
416	17 30 56	71 991 296	20,3961	7,4650	6,03069	2,40385	1306,9	13 59 18	416
417	17 38 89	72 511 713	20,4206	7,4710	6,03309	2,39808	1310,0	13 65 72	417
418	17 47 24	73 034 632	20,4450	7,4770	6,03548	2,39234	1313,2	13 72 28	418
419	17 55 61	73 560 059	20,4695	7,4829	6,03787	2,38663	1316,3	13 78 85	419
420	17 64 00	74 088 000	20,4939	7,4889	6,04025	2,38095	1319.5	13 85 44	420
421	17 72 41	74 618 461	20,5183	7,4948	6,04263	2,37530	1322,6	13 92 05	421
422	17 80 84	75 151 448	20,5426	7,5007	6,04501	2,36967	1325,8	13 98 67	422
423	17 89 29	75 686 967	20.5670	7 5067	6.04737	2.36407	1328.9	14 05 31	423
424	17 97 76	76 225 024	20,5913	7'5126	6^04973	2,35849	1332^0	14 11 96	424
425	18 06 25	76 765 625	20,6155	7,5185	6,05209	2,35294	1335,2	14 18 63	425
426	18 14 76	77 308 776	20,6398	7,5244	6,05444	2,34742	1338,3	14 25 31	426
427	18 23 29	77 854 483	20,6640	7,5302	6,05678	2,34192	1341,5	14 32 01	427
428	18 31 84	78 402 752	20,6882	7,5361	6,05912	2,33645	1344,6	14 38 72	428
429	18 40 41	78 953 589	20,7123	7,5420	6,06146	2,33100	1347,7	14 45 45	429
430	18 49 00	79 507 000	20,7364	7,5478	6,06379	2.32558	1350,9	14 52 20	430
431	18 57 61	80 062 991	20,7605	7,5537	6,06611	2,32019	1354,0	14 58 96	431
432	18 66 24	80 621 568	20,7846	7,5595	6,06843	2,31481	1357,2	14 65 74	432
433	18 74 89	81482 737	20,8087	7,5654	6,07074	2,30947	1360,3	14 72 54	433
434	18 83 56	81 746 504	20,8327	7,5712	6,07304	2,30415	1363,5	14 79 34	434
435	18 92 25	82 312 875	20,8567	7,5770	6,07535	2,29885	1366,6	14 86 17	435
436	19 00 96	82 881 856	20,8806	7,5828	6,07764	2,29358	1369,7	14 93 01	436
437	19 09 69	83 453 453	20,9045	7,5886	6,07993	2,28833	1372,9	14 99 87	437
438	19 18 44	84 027 672	20,9284	7,5944	6,08222	2,28311	1376,0	15 06 74	438
439	19 27 21	84 604 519	20,9523	7,6001	6,08450	2,27790	1379,2	15 13 63	439
440	19 36 00	85 184 000	20,9762	7,6059	6,08677	2,27273	1382,3	15 20 53	440
441	19 44 81	85 766 121	21,0000	7,6117	6,08904	2,26757	1385,4	15 27 45	441
442	19 53 64	86 350 888	21,0238	7,6174	6,09131	2,26244	1388,6	15 34 39	442
443	19 62 49	86 938 307	21,0476	7,6232	6,09357	2,25734	1391,7	15 41 34	443
444	19 71 36	87 528 384	21,0713	7,6289	6,09582	2,25225	1394,9	15 48 30	444
445	19 80 25	88* 121 125	21,0950	7,6346	6,09807	2,24719	1398,0	15 55 28	445
446	19 89 16	88 716 536	21,1187	7,6403	6,10032	2,24215	1401,2	15 62 28	446
447	19 98 09	89 314 623	21,1424	7,6460	6,10256	2,23714	1404,3	15 69 30	447
448	20 07 04	89 915 392	21,1660	7,6517	6,10479	2,23214	1407,4	15 76 33	448
449	20 16 01	90 518 849	21,1896	7,6574	6,10702	2,22717	1410,6	15 83 37	449
450	20 25 00	91 125 000	21,2132	7,6631	6,10925	2,22222	1413,7	15 90 43	450
Таблица 1
11
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п	я’	л3	Vх1	з 	 уЛ п	In п	1000 п	тс п	Тс л’ ~~4~	л
450	20 25 00	91 125 000	21,2132	7,6631	6,10925	2,22222	1413,7	15 90 43	450
451	20 34 01	91 733 851	21,2368	7,6688	6,11147	2,21729	1416,9	15 97 51	451
452	20 43 04	92 345 408	21,2603	7,6744	6,11368	2,21239	1420,0	16 04 60	452
453	20 52 09	92 959 677	21,2838	7,6801	6,11589	2,20751	1423,1	16 11 71	453
454	20 61 16	93 576 664	21,3073	7,6857	6,11810	2,20264	1426,3	16 18 83	454
455	20 70 25	94 196 375	21,3307	7,6914	6,12030	2,19780	1429,4	16 25 97	455
456	20 79 36	94 818 816	21.3542	7,6970	6,12249	2,19298	1432,6	16 33 13	456
457	20 88 49	95 443 993	21,3776	7,7026	6,12468	2,18818	1435,7	16 40 30	457
458	20 97 64	96 071 912	21,4009	7,7082	6,12687	2,18341	1438,8	16 47 48	458
459	21 06 81	96 702 579	21,4243	7,7138	6,12905	2,17865	1442,0	16 54 68	459
460	21 16 00	97 336 000	21,4476	7,7194	6,13123	2,17391	1445,1	16 61 90	460
461	21 25 21	97 972 181	21,4709	7,7250	6,13340	2,16920	1448,3	16 69 14	461
462	21 34 44	98 611 128	21,4942	7,7306	6,13556	2,16450	1451,4	16 76 39	462
463	21 43 69	99 252 847	21,5174	7,7362	6,13773	2,15983	1454,6	16 83 65	463
464	21 52 96	99 897 344	21,5407	7,7418	6,13988	2,15517	1457,7	16 90 93	464
465	21 62 25	100 544 625	21,5639	7,7473	6,14204	2,15054	1460,8	16 98 23	465
466	21 71 56	101 194 696	21,5870	7,7529	6,14419	2,14592	1464,0	17 05 54	466
467	21 80 89	101 847 563	21,6102	7,7584	6,14633	2,14133	1467,1	17 12 87	467
468	21 90 24	102 503 232	21,6333	7,7639	6,14847	2,13675	1470,3	17 20 21	468
469	21 99 61	103 161 709	21,6564	7,7695	6,15060	2,13220	1473,4	17 27 57	469
470	22 09 00	103 823 000	21,6795	7,7750	6,15273	2,12766	1476,5	17 34 94	470
471	22 18 41	104 487111	21,7025	7,7805	6,15486	2,12314	1479.7	17 42 34	471
472	22 27 84	105 154 048	21,7256	7,7860	6,15698	2,11864	1482,8	17 49 74	472
473	2237 29	105 823 817	21,7486	7,7915	6,15910	2,11416	1486,0	17 57 16	473
474	22 46 76	106 496 424	21,7715	7,7970	6,16121	2,10970	1489,1	17 64 60	474
475	22 56 25	107 171 875	21,7945	7,8025	6,16331	2,10526	1492,3	17 72 05	475
476	22 65 76	107 850 176	21,8174	7,8079	6,16542	2,10084	1495,4	17 79 52	476
477	22 75 29	108 531 333	21,8403	7,8134	6,16752	2,09644	1498,5	17 87 01	477
478	22 84 84	109 215 352	21,8632	7,8188	6,16961	2,09205	1501,7	17 94 51	478
479	22 94 41	109 902 239	21,8861	7,8243	6,17170	2,08768	1504,8	18 02 03	479
480	23 04 00	ПО 592 000	21,9089	7,8297	6,17379	2,08333	1508,0	18 09 56	480
481	23 13 61	111 284 641	21,9317	7,8352	6,17587	2,07900	1511,1	18 17 11	481
482	23 23 24	111 980 168	21,9545	7,8406	6,17794	2.07469	1514,2	18 24 67	482
483	23 32 89	112 678 587	21,9773	7,8460	6,18002	2,070а9	1517,4	18 32 25	483
484	23 42 56	113 379 904	22,0000	7,8514	6,18208	2,06612	1520,5	18 39 84	484
485	23 52 25	114 084 125	22,0227	7,8568	6,18415	2,06186	1523,7	18 47 45	485
486	23 61 96	114 791 256	22,0454	7,8622	6,18621	2,05761	1526,8	18 55 08	486
487	23 71 69	115 501 303	22,0681	7,8676	6,18826	2,05339	1530,0	18 62 72	487
488	23 81 44	116 214 272	22,0907	7,8730	6,19032	2,04918	1533,1	18 70 38	488
489	23 91 21	116 930 169	22,1133	7,8784	6,19236	2,04499	1536,2	18 78 05	489
490	24 01 00	117 649 000	22.1359 2?, 1585	7,8837	6,19.441	2,04082	1539,4	18 85 74	490
.491	24 10 81	118 370 771		7,8891	6,19644	2,03666	1542,5	18 93 45	491
492	24 20 64	119 095 488	22,1811	7,8944	6,19848	2,03252	1545,7	19 01 17	492
493	24 30 49	119 823 157	22,2036	7,8998	6,20051	2,02840	1548,8	19 08 90	493
494	24 40 36	120 553 784	22,2261	7,9051	6,20254	2,02429	1551,9	19 16 65	494
495	24 50 25	121 287 375	22,2486	7,9105	6,20456	2,02020 2,01613	1555,1	19 24 42	495
496	24 60 16	122 023 936	22,2711	7,9158	6,20658		1558,2	19 32 21	496
497	24 70 09	122 763 473	22,2935	7,9211	6,20859	2,01207	1561,4	19 40 00	497
498	24 80 04	123 505 992	22,3159	7,9264	6,21060	2,00803	1564,5	19 47 82	498
499	24 90 01	124 251 499	22,3383	7,9317	6,21261	2,00401	1567,7	19 55 65	499
500	25 00 00	125 000 000	22,3607	7,9370	6,21461	2,00000	1570,8	19 63 50	500
12
Т. I. Отд. 1. Математика, 1 Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности и площади круга (продолжение)
п	п2	Л3		3	In п 1 1	10С0 п	г. п	к л2 ~4~	п
500	25 00 00	125 000 000	22,3607	7,9370	6,21461	2,000С0	1570,8	19 63 50	500
501	25 10 01	125 751 501	22,3830	7,9423	6,21661	1,99601	1573,9	19 71 36	501
502	25 20 04	126 506 008	22,4054	7,9476	6,21860	1,99203	1577,1	19 79 23	502
503	25 30 09	127 263 527	22,4277	7,9528	6,22059	1,98807	1580,2	19 87 13	503
504	25 40 16	128 024 064	22,4499	7,9581	6,22258	1,98413	1583,4	19 95 04	504
505	25 50 25	128 787 625	22,4722	7,9634	6,22456	1,98020	1586,5	20 02 96	505
506	25 60 36	129 554 216	22,4944	7,9686	6,22654	1,97628	1589,6	20 10 90	506
507	25 70 49	130 323 843	22,5167	7,9739	6,22851	1,97239	1592,8	20 18 86	507
508	25 80 64	131 096 512	22,5389	7,9791	6,23048	1,968-50	1595,9	20 26 83	508
509	25 90 81	131 872 229	22,5610	7,9843	6,23245	1,96464	1599,1	20 34 82	509
510	26 01 00	132 651 000	22,5832	7,9896	6,23441	1,96078	1602,2	20 42 82	510
511	26 11 21	133 432 831	22,6053	7,9948	6,23637	1,95695	1605,4	20 50 84	511
512	26 21 44	134 217 728	22,6274	8,0000	6,23832	1,95312	1608,5	20 58 87	512
513	26 31 69	135 005 697	22,6495	8,0052	6,24028	1,94932	1611,6	20 66 92	513
514	26 41 96	135 796 744	22,6716	8,0104	6,24222	1,94553	1614,8	20 74 99	514
515	26 52 25	136 590 875	22,6936	8,0156	6,24417	1,94175	1617,9	20 83 07	515
516	26 62 56	137 388 096	22,7156	8,0; 08	6,24611	1,93798	1621,1	20 91 17	516
517	26 72 89	138 188 413	22,7376	8,0260	6,24804	1,93424	1624,2	20 99 28	517
518	26 83 24	138 991 832	22,7596	8,0311	6,24998	1,93050	1627,3	21 07 41	518
519	26 93 61	139 798 359	22,7816	8,0363	6,25190	1,92678	1630,5	21 15 56	519
520	27 04 00	140 608 000	22,8035	8,0415	6,25383	1,92308	1633,6	21 23 72	520
521	27 14 41	141 420 761	22,8254	8,0466	6,25575	1,91939	1636,8	21 31 89	521
522	27 24 84	142 236 648	22,8473	8,0517	6,25767	1,91571	1639,9	21 40 08	522
523	2/ 35 29	143 055 667	22,8692	8,0569	6,25958	1,91205		21 48 29	523
524	27 45 76	143 877 824	22,8910	8,0620	6,26149	1,90840	1646*2	21 56 51	524
525	27 56 25	144 703 125	22,9129	8,0671	6,26340	1,90476	1649,3	21 64 75	525
526	27 66 76	145 531 576	22,9347	8,0723	6,26530	1,90114	1652,5	21 73 01	526
527	27 77 29	146 363 183	22,9565	8,0774	6,26720	1,89753	1655,6	21 81 28	52-7
528	27 87 84	147 197 952	22,9783	8,0825	6,26910	1,89394	1658,8	21 89 56	528
529	27 98 41	148 035 889	23,0000	8,0876	6,27099	1,89036	1661,9	21 97 87	529
530	28 09 00	148 877 000	23,0217	8,0927	6,27288	1,88679	1665,0	22 06 18	530
531	28 19 61	149 721 291	23,0434	8,0978	6,27476	1,88324	1668,2	22 14 52	531
532	28 30 24	150 568 768	23,0651	8,1028	6,27664	1,87970	1671,3	22 22 87	532
533	28 40 89	151 419 437	23,0868	8,1079	6,27852	1,87617	1674,5	22 31 23	533
534	28 51 56	152 273 304	23,1084	8,1130	6,28040	1,87266	1677,6	22 39 61	534
535	28 62 25	153 130 375	23,1301	8,1180	6,28227	1,86916	1680,8	22 48 01	535
536	28 72 96	153 990 656	23,1517	8,1231	6,28413	1,86567	1683,9	22 56 42	536
537	28 83 69	154 851 153	23,1733	8,1281	6,28600	1,86220	1687,0	22 64 84	537
538	28 94 44	155 720 872	23,1948	8,1332	6,28786	1,85874	1690,2	22 73 29	5б8
539	29 05 21	156 590 819	23,2164	8,1382	6,28972	1,85529	1693,3	22 81 75	539
540	29 16 00	157 464 000	23,2379	• 8,1433	6,29157	1,85185	1696,5	22 90 22	540
541	29 26 81	158 340 421	23,2594	8,1483	6,29342	1,84843	1699,6	22 98 71	544
542	29 37 64	159 220 088	23,2809	8,1533	6,29527	1,84502	1702,7	23 07 22	542
543	29 48 49	160 103 007	23,3024	8,1583	6,29711	1,84162	1705,9	23 15 74	543
544	29 59 36	160 989 184	23,3238	8,1633	6,29895	1,83824	1709,0	23 24 28	544
545	29 70 25	161 878 625	23,3452	8,1683	6,30079	1,83486	1712,2	23 32 83	545
546	29 81 16	162 771 336	23,3666	8,1733	6,30262	1,83150	1715,3	23 41 40	546
547	29 92 09	163 667 323	23,3880	8,1783	6,30445	1,82815	1718,5	23 49 98	547
548	30 03 04	164 566 592	23,4094	8,1833	6,30628	1,82482	1721,6	23 58 58	548
549	30 14 01	165 469 149	23,4307	8,1882	6,30810	1,82149	1724,7	23 67 20	549
550	30 25 00	166 375 000	23,4521	8,1932	6,30992	1,81818	1727,9	23 75 83	550
Таблица 1
13
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади Круга (Продолжение)
п	л2	п3		з 	 Vn	1п п	1000 . п	тс п	я л2 4	п
550	30 25 00	166 375 000	23,4521	8,1932	6,30992	1,81818	1727,9	23 75 83	550
551	30 36 01	167 284 151	23,4734	8,1982	6,31173	1,81488	1731,0	23 84 48	551
552	30 47 04	168 196 608	23,4947	8,2031	6,31355	1,81159	1734,2	23 93 14	552
553	30 58 09	169 112 377	23,5160	8,2081	6,31536	1,80832	1737,3	24 01 82	553
554	30 69 16	170 031 464	23,5372	8,2130	6,31716	1,80505	1740,4	24 10 51	554
555	30 80 25	170 953 875	23,5584	8,2180	6,31897	1,80180	1743,6	24 19 22	555
556	30 91 36	171 879 616	23,5797	8,2229	6,32077	1,79856	1746,7	24 27 95	556
557	31 02 49	172 808 693	23,6008	8,2278	6,32257	1,79533	1749,9	24 36 69	557
558	31 13 64	173 741 112	23,6220	8,2327	6,32436	1,79211	1753,0	24 45 45	558
559	31 24 81	174 676 879	23,6432	8,2377	6,32615	1,78891	1756,2	24 54 22	559
560	31 36 00	175 616 000	23,6643	8,2426	6,32794	1,78571	1759,3	24 63 01	560
561	31 47 21	176 558 481	23,6854	8,2475	6,32972	1,78253	1762,4	24 71 81	561
562	31 58 44	177 504 328	23,7065	8,2524	6,33150	1,77936	1765,6	24 80 63	562
563	31 69 69	178 453 547	23,7276	8,2573	6,33328	1,77620	1768,7	24 89 47	563
564	31 80 96	179 406 144	23,7487	8,2621	6,33505	1,77305	1771,9	24 98 32	564
565	31 92 25	180 362 125	23,7697	8,2670	6,33683	1,76991	1775,0	25 07 19	565
566	32 03 56	181 321 496	23,7908	8,2719	6,33859	1,76678	1778,1	25 16 07	566
567	32 14 89	182 284 263	23,8118	8,2768	6,34036	1,76367	1781,3	25 24 97	567
568	32 26 24	183 250 432	23,8328	8,2816	6,34212	1,76056	1784,4	25 33 88	568
569	32 37 61	184 220 009	23,8537	8,2865	6,34388	1,75747	1787,6	25 42 81	569
570	32 49 00	185 193 000	23,8747	8,2913	6,34564	1,75439	1790,7	25 51 76	570
571	32 60 41	186 169 411	23,8956	8,2962 ’	6,34739	1,75131	1793,8	25 60 72	571
572	32 71 84	187 149 248	23,9165	8,3010	6,34914	1,74825	1797,0	25 69 70	572
573	32 83 29	188 132 517	23,9374	8,3059	6,35089	1,74520	1800,1	25 78 69	573
574	32 94 76	189 119 224	23,9583	8,3107	6,35263	1,74216	1803,3	25 87 70	574
575	33 06 25	190 109 375	23,9792	8,3155	6,35437	1,73913	1806,4	25 96 72	575
576	33 17 76	191 102 976	24,0000	8,3203	6,35611	1,73611	1809,6	26 05 76	576
577	33 29 29	192 100 033	24,0208	8,3251	6,35784	1,73310	1812,7	26 14 82	577
578	33 40 84	193 100 552	24,0416	8,3300	6,35957	1,73010	1815,8	26 23 89	578
579	33 52 41	194 104 539	24,0624	8,3348	6,36130	1,72712	1819,0	26 32 98	579
580	33 64 00	195 112 000	24,0832	8,3396	6,36303	1,72414	1822,1	26 42 08	580
581	33 75 61	196 122 941	24,1039	8,3443	6,36475	1,72117	1825,3	26 51 20	581
582	33 87 24	197 137 368	24,1247	8,3491	6,36647	1,71821	1828,4	26 60 33	582
583	33 98 89	198 155 287	24,1454	8,3539	6,36819	1,71527	1831,5	26 69 48	583
584	34 10 56	199 176 704	24,1661	8,3587	6,36990	1,71233	1834,7	26 78 65	584
585	34 22 25	200 201 625	24,1868	8,3634	6,37161	1,70940	1837,8	26 87 83	585
586	34 33 96	201 230 056	24,2074	8,3682	6,37332	1,70648	1841,0	26 97 03	586
587	34 45 69	202 262 003	24,2281	8,3730	6,37502	1,70358	1844,1	27 06 24	587
588	34 57 44	203 297 472	24,2487	8,3777	6,37673	1,70068	1847,3	27 15 47	588
589	34 69 21	204 336 469	24,2693	8,3825	6,37843	1,69779	1850,4	27 24 71	589
590	34 8100	205 379 000	24,2899	8,3872	6,38012	1,69492	1853,5	27 33 97	590
591	34 92 81	206 425 071	24,3105	8,3919	6,38182	1,69205	1856,7	27 43 25	591
592	35 04 64	207 474 688	24,3311	8,3967	6,38351	1,68919	1859,8	27 52 54	592
593	35 16 49	208 527 857	24,3516	8,4014	6,38519	1,68634	1863,0	27 61 84	593
594	35 28 36	209 584 584	24,3721	8,4061	6,38688	1,68350	1866,1	27 71 17	594
595	35 40 25	210 644 875	24,3926	8,4108	6,38856	1,68067	1869,2	27 80 51	595
596	35 52 16	211 708 736	24,4131	8,4155	6,39024	1,67785	1872,4	27 89 86	596
597	35 64 09	212 776 173	24,4336	8,4202	6,39192	1,67504	1875,5	27 99 23	597
598	35 76 04	213 847 192	24,4540	8,4249	6,39359	1,67224	1878,7	28 08 62	598
599	35 88 01	214 921 799	24,4745	8,4296	6,39526	1,66945	1881,8	28 18 02	599
600	36 00 00	216 000 000	24,4949	8,4343	6,39693	1,66667	1885,0	28 27 43	600
14
Т. 1. Отд 1 Математика. 1. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади круга (Продолжение)
п	гГ-	л3		3 Ул	In п	1000 п	тс Л	тс п- 4	л
600	36 00 00	216 000 000	24,4949	8,4343	6,39693	1,66667	1885,0	28 27 43	600
601	36 12 01	217 081 801	24,5153	8,4390	6,39859	1,66389	1888,1	28 36 87	601
602	36 24 04	218 167 208	24,5357	8,4437	6,40026	1,66113	1891,2	28 46 31	602
603	36 36 09	219 256 227	24,5561	8,4484	6,40192	1,65837	1894,4	28 55 78	603
604	36 48 16	220 348 864	24,5764	8,4530	6,40357	1,65563	1897,5	28 65 26	604
605	36 60 25	221 445 125	24,5967	8,4577	6,40523	1,65289	1900,7	28 74 75	605
606	36 72 36	222 545 016	24,6171	8,4623	6,40688	1,65017	1903,8	28 84 26	606
607	36 84 49	223 648 543	24,6374	8,4670	6,40853	1,64745	1906,9	28 93 79	607
608	36 96 64	224 755 712	24,6577	8,4716	6,41017	1,64474	1910,1	29 03 33	608
609	37 08 81	225 866 529	24,6779	8,4763	6,41182	1,64204	1913,2	29 12 89	609
610	37 21 00	226 981 000	24,6982	8,4809 *	6,41346 •	1,63934	1916,4	29 22 47	610
611	37 33 21	228 099 131	24,7184	8,4856	6,41510	1,63666	1919,5	29 32 06	611
612	37 45 44	229 220 928	24,7386	8,4902	6,41673	1,63399	1922,7	29 41 66	612
613	37 57 69	230 346 397	24,7588	8,4948	6,41836	1,63132	1925,8	29 51 28	613
614	37 69 96	231 475 544	24,7790	8,4994	6,41999	1,62866	1928,9	29 60 92	614
615	37 82 25	232 608 375	24,7992	8,5040	6,42162	1,62602	1932,1	29 70 57	615
616	37 94 56	233 744 896	24,8193	8,5086	6,42325	1,62338	1935,2	29 80 24	616
617	38 06 89	234 885 113	24,8395	8,5132	6,42487	1,62075	1938,4	29 89 92	617
618	38 19 24	236 029 032	24,8596	8,5178	6,42649	1,61812	1941,5	29 99 62	618
619	38 31 61	237 176 659	24,8797	8,5224	6,42811	1,61551	1944,6	30 09 34	619
620	38 44 00	238 328 000	24,8998	8,5270	6,42972	1,61290	1947,8	30 19 07	620
621	38 56 41	239 483 061	24,9199	8,5316	6,43133	1,61031	1950,9	30 28 82	621
622	38 68 84	240 641 848	24,9399	8,5362	6,43294	1,60772	1954,1	30 38 58	622
623	38 81 29	241 804 367	24,9600	8,5408	6,43455	1,60514	1957,2	30 48 36	623
624	38 93 76	242 970 624	24,9800	8,5453	6,43615	1,60256	1960,4	30 58 15	624
625	39 06 25	244 140 625	25,0000	8,5499	6,43775	1,60000	1963,5	30 67 96	625
626	39 18 76	245 314 376	25,0200	8,5544	6,43935	1,59744	1966,6	30 77 79	626
627	39 31 29	246 491 883	25,0400	8,5590	6,44095	1,59490	1969,8	30 87 63	627
628	39 43 84	247 673 152	25,0599	8,5635	6,44254	1,59236	1972,9	30 97 48	628
629	39 56 41	248 858 189	25,0799	8,5681	6,44413	1,58983	1976,1	31 07 36	629
630	39 69 00	250 047 000	25,0998	8,5726	6,44572	1,58730	1979,2	31 17 25	630
631	39 81 61	251 239 591	25,1197	8,5772	6,44731	1,58479	1982,3	31 27 15	631
632	39 94 24	252 435 968	25,1396	8,5817	6,44889	1,58228	1985,5	31 37 07	632
633	40 06 89	253 636 137	25,1595	8,5862	6,45047	1,57978	1988,6	31 47 00	633
634	40 19 56	254 840 104	25,1794	8,5907	6,45205	1,57729	1991,8	31 56 96	634
635	40 32 25	256 047 875	25,1992	8,5952	6,45362	1,57480	1994,9	31 66 92	635
636	40 44 96	257 259 456	25,2190	8,5997	6,45520	1,57233	1998,1	31 76 90	636
637	40 57 69	258 474 853	25,2389	8,6043	6,45677	1,56986	2001,2	31 86 90	637
638	40 70 44	259 694 072	25,2587	8,6088	6,45834	1,50740	2004,3	31 96 92	638
639	40 83 21	260 917 119	25,2784	8,6132	6,45990	1,56495	2007,5	32 06 95	639
640	40 96 00	262 144 000	25,2982	8,6177	6,46147	1,56250	2010,6	32 16 99	640
641	41 08 81	263 374 721	25,3180	8,6222	6,46303	1,56006	2013,8	32 27 05	641
642	41 21 64	264 609 288	25,3377	8,6267	6,46459	1,55763	2016,9	32 37 13	642
643	41 34 49	265 847 707	25,3574	8,6312	6,46614	1,55521	2020,0	32 47 22	643
644	41 47 36	267 089 984	25,3772	8,6357	6,46770	1,55280	2023,2	32 57 33	644
645	41 60 25	268 336 125	25,3969	8,6401	6,46925	1,55039	2026,3	32 67 45	645
646	41 73 16	269 586 136	25,4165	8,6446	6,47080	1,54799	2029,5	32 77 59	646
647	41 86 09	270 840 023	25,4362	8,6490	6,47235	1,54560	2032,6	32 87 75	647
648	41 99 04	272 097 792	25,4558	8,6535	6,47389	1,54321	2035,8	32 97 92	648
649	42 12 01	273 359 449	25,4755	8,6579	6,47543	1,54083	2038,9	33 08 10	649
650	42 25 00	274 625 000	25,49^	8,6624	6,47697	1,53846	2042,0	33 18 31	650
Таблица !
15
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п	п1	п*	V"	3 V"	In п	1000 п	я Л	Я л2	л
650	42 25 00	274 625 000	25,4951	8,6624	6,47697	1,53846	2042,0	33 18 31	650
651	42 38 01	275 894 451	25,5147	8,6668	6,47851	1,53610	2045,2	33 28 53	651
652	42 51 04	277 167 808	25,5343	8,6713	6,48004	1,53374	2048,3	33 38 76	652
653	42 64 09	278 445 077	25,5539	8,6757	6,48158	1,53139	2051,5	33 49 01	653
654	42 77 16	279 726 264	25,5734	8,6801	6,48311	1,52905	2054,6	33 59 27	654
655	42 90 25	281 011 375	25,5930	8,6845	6,48464	1,52672	2057,7	33 69 55	655
656	43 03 36	282 300 416	25,6125	8,6890	6,48616	1,52439	2060,9	33 79 85	656
657	43 16 49	283 593 393	25,6320	8,6934	6,48768	1,52207	2064,0	33 90 16	657
658	43 29 64	284 890 312	25,6515	8,6978	6,48920	1,51976	2067,2	34 00 49	658
659	43 42 81	286 191 179	25,6710	8,7022	6,49072	1,51745	2070,3	34 10 83	659
660	43 56 00	287 496 000	25,6905	8,7066	6,49224	1 ,*51515	2073,5	34 21 19	660
661	43 69 21	288 804 781	25,7099	8,7110	6,49375	1,51286	2076,6	34 31 57	661
662	43 82 44	290117 528	25,7294	8,7154	6,49527	1,51057	2079,7	34 41 96	662
663	43 95 69	291 434 247	25,7488	8,7198	6,49677	1,50830	2082,9	34 52 37	663
664	44 08 96	292 754 944	25,7682	8,7241	6,49828	1,50602	2086,0	34 62 79	664
665	44 22 25	294 079 625	25,7876	8,7285	6,49979	1,50376	2089,2	34 73 23	665
666	44 35 56	295 408 296	25,8070	8,7329	6,50129	1,50150	2092,3	34 83 68	666
667	44 48 89	296 740 963	25,8263	8,7373	6,50279	1,49925	2095,4	34 94 15	667
668	44 62 24	298 077 632	25,8457	8,7416	6,50429	1,49701	2098,6	35 04 64	668
669	44 75 61	299 418 309	25,8650	8,7460	6,50578	1,49477	2101,7	35 15 14	669
670	44 89 00	300 763 000	25,8844	8,7503	6,50728	1,49254	2104,9	35 25 65	670
671	45 02 41	302111 711	25,9037	8.,7547	6,50877	1,49031	2108,0	35 36 1,8	671
672	45 15 84	303 464 448	25,9230	8,7590	6,51026	1,48810	2111,2	35 46 73	672
673	45 29 29	304 821 217	25,9422	8,7634	6,51175-	1,48588	2114,3	35 57 30	673
674	45 42 76	306 182 024	25,9615	8,7677	6,51323	1,48368	2117,4	35 67 88	674
675	45 56 25	307 546 875	25,9808	8,7721	6,51471	1,48148	2120,6	35 78 47	675
.676	45 69 76	308 915 776	26,0000	8,7764	6,51619	1,47929	2123,7	35 89 08	676
677	45 83 29	310 288 733	26,0192	8,7807	6,51767	1,47710	2126,9	35 99 71	677
678	45 96 84	I 311 665 752	26,0384	8,7850	6,51915	1,47493	2130,0	36 10 35	678
679	46 10 41	313 046 839	26,0576	8,7893	6,52062	1,47275	2133,1	36 21 01	679
680	46 24 00	314 432 000	26,0768	8,7937	6,52209	1,47059	2136,3	36 31 68	680
681	46 37 61	315 821 241	26,0960	8,7980	6,52356	1,46843	2139,4	36 42 37	681
682	46 51 24	317 214 568	26,1151	8,8023	6,52503	1,46628	2142,6	36 53 08	682
683	46 64 89	318 611 987	26,1343	8,8066	6,52649	1,46413	2145,7	36 63 80	683
684	46 78 56	320 013 504	26,1534	8,8109	6,52796	1,46199	2148,8	36 74 53	684
685	46 92 25	321 419 125	26,1725	8,8152	6,52942	1,45985	2152,0	36 85 28	685
686	47 05 96	- 322 828 856	26,1916	8,8194	6,53088	1,45773	2155,1	36 96 05	686
687	47 19 69	324 242 703	26,2107	8,8237	6,53233	1,45560	2158,3	37 06 84	687
688	47 33 44	325 660 672	26,2298	8,8280	6,53379	1,45349	2161,4	37 17 64	688
689	47 47 21	327 082 769	26,2488	8,8323	6,53524	1,45138	2164,6	37 28 45	689
690	47 61 00	328 509 000	26,2679	8,8366	6,53669	1,44928	2167,7	37 39 28	690
691	47 74 81	329 939 371	26,2869	8,8408	6,53814	1,44718	2170,8	37 50 13	691
692	47 88 64	331 373 888	26,3059	8,8451	6,53959	1,44509	2174,0	37 60 99	692
693	48 02 49	332 812 557	26,3249	8,8493	6,54103	1,44300	2177,1	37 71 87	693
694	48 16 36	334 255 384	26,3439	8,8536	6,54247	1,44092	2180,3	37 82 76	694
695	48 30 25	335 702 375	26,3629	8,8578	6,54391	1,43885	2183,4	37 93 67	695
696	48 44 16	337 153 536	26,3818	8,8621	6,54535	1,43678	2186,5	38 04 59	696
697	48 58 09	338 608 873	26,4008	8,8663	6,54679	1,43472	2189,7	38 15 53	697
698	48 72 04	340 068 392	26,4197	8,8706	6,54822	1,43266	2192,8	38 26 49	698
699	48 86 01	341 532 099	26,4386	8,8748	6,54965	1,43062	2196,0	38 37 46	699
700	49 00 00	343 000 000	26,4575	8,8790	6,55108	1,42857^	2199,1	38 48 45	700
16
Т. I. Отд 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади круга (Продолжение)
л	л2	л’	/л	3 /л	1п п	1000 п	п п	к п2 ~4~	п
700	49 00 00	343 000 000	26,4575	8,8790	6,55108	1,42857	2199,1	38 48 45	700
701	49 14 01	344 472 101	26,4764	8,8833	6,55251	1 1.42653	2202,3	38 59 45	701
702	49 28 04	345 948 408	26,4953	8,8875	. 6,55393	1 1,42450	2205,4	38 70 47	702
703	49 42 09	347 428 927	26,5141	8,8917	6,55536	। 1,4/248	2208,5	38 .81 51	703
704	49 56 16	348 913 664	26,5330	8,8959	6,55678	1,42045	2211,7	38 92 56	704
705	49 70 25	350 402 625	26,5518	8,9001	6,55820	1,41844	2214,8	39 03 63	705
706	49 84 36	351 895 816	26,5707	8,9043	6,55962	1,41643	2218,0	39 14 71	706
707	49 98 49	353 393 243	26,5895	8,9085	6,56103	1,41443	2221,1	39 25 80	707
708	50 12 64	354 894 912	26,6083	8,9127	6,56244	1,41243	2224,2	39 36 92	708
709	50 26 81	356 400 829	26,6271	8,9169	6,56386	1,41044	2227,4	39 48 05	709
710	50 41 00	357 911 000	26,6458	8,9211	6,56526	1,40845	2230,5	39 59 19	710
711	50 55 21	359 425 431	26,6646	8,9253	6,56667	1,40647	2233,7	39 70 35	711
712	50 69 44	360 944 128	26,6833	8,9295	6,56808	1,40449	2236,8	39 81 53	712
713	50 83 69	362 467 097	26,7021	8,9337	6,56948	1,40252	2240,0	39 92 72	713
714	50 97 96	363 994 344	26,7208	8,9378	6,57088	1,40056	2243,1	40 03 93	714
715	51 12 25	365 525 875	26,7395	8,9420	6,57228	1,39860	2246,2	40 15 15	715
716	51 26 56	367 061 696	26,7582	8,9462	6,57368	1,39665	2249,4	40 26 39	716
717	51 40 89	368 601 813	26,7769	8,9503	6,57508	1,39470	2252,5	40 37 65	717
718	51 55 24	370 146 232	26,7955	8,9545	6,57647	1,39276	2255,7	40 48 92	718
719	51 69 61	371 694 959	26,8142	8,9587	6,57786	1,39и82	2258,8	40 60 20	719
720	51 84 00	373 248 000	- 26,8328	8,9628 -	6,57925	1,38889	2261,9	40 71 50	720
721	51 98 41	374 805 361	26,8514	8,9670	6,58064	1,38696	2265,1	40 82 82 1	721
722	52 12 84	376 367 048	26,8701	8,9711	6,58203	! 1,38504	2268,2	41 94 15	722
723	52 27 29	377 933 067	26,8887	8,9752	6,58341	। 1,38313	2271,4	Л 1 ПХ ХП	723
724	52 41 76	379 503 424	26,9072	8,9794	6,58479	1,38122	2274,5	41 16 87	724
725	52 56 25	381 078 125	26,9258	8,9835	6,58617	1,37931	2277,7	41 28 25	725
726	52 70 76	382 657 176	26,9444	8,9876	6,58755 I	1,37741	2280,8	41 39 65	726
727	52 85 29	384 240 583	26,9629	8,9918	6,58893	1,37552	2283,9	41 51 06	727
728	52 99 84	385 828 352	26,9815	8,9959	6,59030	1,37363	2287,1	41 62 48	728
729	53 14 41	387 420 489	27,0000	9,0000	6,59167	1,37174	2290,2	41 73 93	729
730	53 29 00	389 017 000	27,0185	9,0041	6,59304	1,36986	2293,4	41 85 39	739
731	53 43 61	390 617 891	27,0370	9,0082	6,59441	1,36799	2296,5	41 96 86	731
732	53 58 24	392 223 168	27,0555	9,0123	6,59578	1,36612	2299,6	42 08 35	732
733	53 72 89	393 832 837	27,0740	9,0164	6,59715	1,36426	2302,8	42 19 86	733
734	53 87 56	395 446 904	27,0924	9,0205	6,59851	1,36240	2305,9	42 31 38	734
735	54 02 25	397 065 375	27,1109	9,0246	6,59987	1,36054	2309,1	42 42 92	735
736	54 16 96	398 688 256	27,1293	9,0287	6,60123	1,35870	2312,2	42 54 47	736
737	54 31 69	400 315 553	27,1477	9,0328	6,60259	1,35685	2315,4	42 66 04	737
73В	54 46 44	401 947 272	27,1662	9,0369	6,60394	1,35501	2318,5 1	42 77 62	738
739	54 61 21	403 583 419	27,1846	9,0410	6,60530	1,35318	2321,6	42 89 22	739
740	54 76 00	405 224 000	27,2029	9,0450	6,60665	1,35135	2324,8	43 00 84	740
741	54 90 81	406 869 021	27,2213	9,0491	6,60800	1,34953	2327,9	43 12 47	741
742	55 05 64	408 518 488	27,2397	9,0532	6,60935	1,34771	2331,1	43 24 12	742
743	55 20 49	410 172 407	27,2580	9,0572	6,61070	1,34590	2334,2	43 35 78	743
744	55 35 36	411 830 784	27,2764	9,0613	6,61204	1,34409	2337,3	43 47 46	744
745	55 50 25	413 493 625	27,2947	9,0654	6,61338	1,34228	2340,5	43 59 16	745
746	55 65 16	415 160 936	27,3130	9,0694	6,61473	1,34048	2343,6	43 70 87	746
747	55 80 09	416 832 723	27,3313	9,0735	6,61607	1,33869	2346,8	43 82 59	747
748	55 95 04	418 508 992	27,3496	9,0775	6,61740	1,33690	2349,9	43 94 33	748
749	56 10 01	420 189 749	27,3679	9,0816	6,61874	1,33511	2353,1	44 06 09	749
750	56 25 00	421 875 000	27,3861	9,0856	6,62007	1,33333	2356,2	44 17 86	750
Таблица 1
17
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п	л3	л’	/л	/л	In п	100!) п	К п	1 1 -12L 1	4	п
750	56 25 00	421 875 000	27,3861	9,0856	6,62007	1,33333	2356,2	44 17 86	750
751	56 40 01	423 564 751	27,4044	9,0896	6,62141	1,33156	2359,3	44 29 65	751
752	56 55 04	425 259 008	27,4226	9,0937	6,62274	1,32979	2362,5	44 41 46	752
753	56 70 09	426 957 777	27,4408	9,0977	6,62407	1,32802	2365,6	44 53 28	753
754	56 85 16	428 661 064	27,4591	9,1017	6,62539	1,32626	2368,8	44 65 11	754
755	57 00 25	430 368 875	27,4773	9,1057	6,62672	1,32450	2371,9	44 76 97	755
756	57 15 36	432 081 216	27,4955	9,1098	6,62804	1,32275	2375,0	44 88 83	756
757	57 30 49	433 798 093	27,5136	9,1138	6,62936	1,32100	2378,2	45 00 72	757
758	57 45 64	435 519 512	27,5318	9,1178	6,63068	1,31926	2381,3	45 12 62	758
759	57 60 81	437 £45 479	27,5500	9,1218	6,63200	1,31752	2384,5	45 24 53	759
760	57 76 00	438 976 000	27,5681	9,1258	6,63332	1,31579	2387,6	45 36 46	760
761	57 91 21	440 711 081	27,5862	9,1298	6,63463	1,31406	2390,8	45 48 41	761
762	58 06 44	442 450 728	27,6043	9,1338	6,63595	1,31234	2393,9	45 60 37	762
763	58 21 69	444 194 947	27,6225	9,1378-	6,63726	1,31052	2397,0	45 72 34	763
764	58 36 96	445 943 744	27,6405	9,1418	6,63857	1,30890	2400,2	45 84 34	764
765	58 52 25	447 697 125	27,6586	9,1458	6,63988	1,30719	2403,3	45 96 35	765
766	58 67 56	449 455 096	27,6767	9,1498	6,64118	1,30548	2406,5	46 08 37	766
767	58 82 89	451 217 663	27,6948	9,1537	6,64249	1,30378	2409,6	46 20 41	767
768	58 98 24	452 984 832	27,7128	9,1577	6,64379	1,30208	2412,7	46 32 47	768
769	59 13 61	454 756 609	27,7308	9,1617	6,64509	1,30039	2415,9	46 44 54	769
770	59 29 00	456 533 000	27,7489	9,1657	6,64639	1,29870	2419,0	46 56 63	770
771	59 44 41	458 314 011	27,7669	9,1696	6,64769	1,29702	2422,2	46 68 73	771
772	59 59 84	460 099 648	27,7849	9,1736	6,64898	1,29534	2425,3	46 80 85	772
773	59 75 29	461 889 917	27,8029	9,1775	6,65028	1,29366	2428,5	46 9£ 98	773
774	59 90 76	463 684 824	27,8209	9,1815	6,65157	1,29199	2431,6	47 05 13	774
775	60 06 25	465 484 375	27,8388	9,1855	6,65286	1,29032	2434,7	47 17 30	775
776	60 21 76	467 288 576	27,8568	9,1894	6,65415	1,28866	2437,9	47 29 48	776
777	60 37 29	469 097 433	27,8747	9,1933	6,65544	1,28700	2441,0	47 41 68	777
778	60 52 84	470 910 952	27,8927	9,1973	6,65673	1,28535	2444,2	47 53 89	778
779	60 68 41	472 729 139	27,9106	9,2012	6,65801	1,28370	2447,3	47 66 12	779
780	60 84 00	474 552 000	27,9285	9,2052	6,65929	1,28205	2450,4	47 78 36	780
781	60 99 61	476 379 541	27,9464	9,2091	6,66058	1,28041	2453,6	47 90 62	781
782	61 15 24	478 211 768	27,9643	9,2130	6,66185	1,27877	2456,7	48 02 90	782
783	61 30 89	480 048 687	27,9821	9,2170	6,66313	1,27714	2459,9	48 15 19	783
784	61 46 56	481 890 304	28,0000	9,2209	6,66441	1,27551	2463,0	48 27 50	784
785	61 62 25	483 736 625	28,0179	9,2248	6,66568	1,27389	2466,2	48 39 82	785
786	61 77 96	485 587 656	28,0357	9,2287	6,66696	1,27226	2469,3	48 52 16	786
787	61 93 69	487 443 403	28,0535	9,2326	6,66823	1,27065	2472,4	48 64 51	787
788	62 09 44	489 303 872	28,0713	9,2365	6,66950	1,26904	2475,6	48 76 88	788
789	62 25 21	491 169 069	28,0891	9,2404	6,67077	1,26743	2478,7	48 89 27	789
790	62 41 00	493 039 000	28,1069	9,2443	6,67203	1,26582	2481,9	49 01 67	790
791	62 56 81	494 913 671	28,1247	9,2482	6,67330	1,26422	2485,0	49 14 09	791
792	62 72 64	496 793 088	28,1425	9,2521	6,67456	1,26263	2488,1	49 26 52	792
793	62 88 49	498 677 257	28,1603	9,2560	6,67582	1,26103	2491,3	49 38 97	793
794	63 04 36	500 566 184	28,1780	9,2599	6,67708	1,25945	2494,4	49 51 43	794
795	63 20 25	502 459 875	28,1957	9,2638	6,67834	1,25786	2497,6	49 63 91	795
796	63 36 16	504 358 336	28,2135	9,2677	6,67960	1,25628	2500,7	49 76 41	796
797	63 52 09	506 261 573	28,2312	9,2716	6,68085	1,25471	2503,8	49 88 92	797
798	63 68 04	508 169 592	28,2489	9,2754	6,68211	1,25313	2507,0	50 01 45	798
799	63 84 01	510 082 399	28,2666	9,2793	6,68336	1,25156	2510,1	50 13 99	799
800	64 00 00	512 000 000	28,2843	9,2832	6,68161	1,25000	2513.3	50 26 55	800
18
Т. 1. Огд 1. .Математика. I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п	л'	п9	У”	У-	In п	1000 п	гс П	гс Л* 4	п
800	64 00 00	512 000 000	28,2843	9,2832	6,68461	1,25000	2513,3	50 26 55	800
801	64 16 01	513 922 401	28,3019	9,2870	6,68586	1,24844	2516,4	50 39 12	801
802	64 32 04	515 849 608	28,3196	9,2909	6,68711	1,24688	2519,6	50 51 71	802
803	64 48 09	517 781 627	28,3373	9,2948	6,68835	1,24533	2522,7	50 64 32	803
804	64 64 16	519 718 464	28,3549	9,2986	6,68960	1,24378	2525,8	50 76 94	804
805	64 80 25	521 660 125	28,3725	9,3025	6,69084	1,24224	2529,0	50 89 58	805
806	64 96 36	523 606 616	28,3901	9,3063	6,69208	1,24069	2532,1	51 02 23	806
807	65 12 49	525 557 943	28,4077	9,3102	6,69332	1,23916	2535,3	51 14 90	807
8С8	65 28 64	527 514 112	28,4253	9,3140	6,69456	1,23762	2538,4	51 27 58	808
8С9	65 44 81	529 475 129	28,4429	9,3179	6,69580	1,23609	2641,5	51 40 28	809
810	65 61 00	531 441 000	28,4605	9,3217	6,69703	1,23457	2544,7	51 53 00	810
811	65 77 21	533 411 731	28,4781	9,3255	6,69827	1,23305	2547,8	51 65 73	811
812	65 93 44	535 387 328	28,4956	9,3294	6,69950	1,23153	2551,0	51 78 48	812
813	6609 69	537 367 797	28,5132	9,3332*	6,70073	1,23001	2554,1	51 91 24	813
814	66 25 96	539 353 144	28,5307	9,3370	6,70196	1,22850	2557,3	52 04 02	814
815	66 42 25	541 343 375	28,5482	9,3408	6,70319	1,22699	2560,4	52 16 81	815
816	66 58 56	543 338 496	28,5657	9,3447	6,70441	1,22549	2563,5	52 29 62	816
817	66 74 89	545 338 513	28,5832	9,3485	6,70564	1,22399	2566,7	52 42 45	817
818	66 91 24	547 343 432	28,6007	9,3523	6,70686	1,22249	2569,8	52 55 29	818
819	67 07 61	549 353 259	28,6182	9,3561	6,70808	1,22100	2573,0	52 68 14	819
820	67 24 00	551 368 000	28,6356	9,3599	6,70930	1,21951	2576,1	52 81 02	820
821	67 40 41	I 553 387 661	28,6531	9,3637	6,71052	1,21803	2579,2	52 93 91	821
822	67 56 84	1 555 412 248	28,6705	9,3675	6,71174	1,21655	2582,4	53 С6 81	822
823	С *7 *70 ПЛ VI /U	. 557 441 767	по еоол	П 0710	6,71296	1 О1СП7	OKQC С	53 19 73	823
824	67 89 76	1 559 476 224	28,7054	9*3751	6,71417	1,21359	2588J	53 32 67	824
825	68 С6 25	561 515 625	28,7228	9,3789	6,71538	1,21212	2591,8	53 45 6 2	825
826	68 22 76	, 563 559 976	28,7402	9,3827	6,71659	1,21065	2595,0	53 58 58	826
827	68 39 29	। 565 609 283	28,7576	9,3865	6,71780	1,22919	2598,1	53 71 57	827
828	68 55 84	567 663552	28,7750	9,3902	6,71901	1,20773	2601,2	53 84 56	828
829	68 72 41	569 722 789	28,7924	9,3940	6,72022	1,20627	2604,4	53 97 58	829
830	63 89 00	571 787 000	28,8097	9,3978	6,72143	1,20482	260-7,5	54 10 61	830
831	69 05 61	573 856 191	28,8271	9,4016	6,72263	1,20337	2610,7	54 23 65	831
832	69 22 24	575 930 368	28,8444	9,4053	6,72383	1,20192	2613,8	54 36 71	832
833	69 38 89	578 СС9 537	28,8617	9,4091	6,72503	1,20048	2616,9	54 49 79	833
834	69 55 56	580 093 704	28,8791	9,4129	6,72623	1,19904	2620,1	54 62 88	834
835	69 72 25	582 182 875	28,8964	9,4166	6,72743	1,19760	2623,2	54 75 99	835
836	69 88 96	584 277 056	28,9137	9,4204	6,72863	1,19617	2626,4	54 89 12	836
837	70 05 69	586 376 253	28,9310	9,4241	6,72982	1,19474	2629,5	55 02 26	837
838	70 22 44	588 480 472	28,9482	9,4279	6,73102	1,19332	2632,7	55 15 41	838
839	70 39 21	590 589 719	28,9655	9,4316	6,73221	1,19190	2635,8	55 28 58	839
840	70 56 00	592 704 000	28,9828	9,4354	6,73340	1,19048	2638,9	55 41 77	840
841	70 72 81	594 823 321	29,0000	9,4391	6,73459	1,18906	2642,1	55 54 97	841
842	70 89 64	596 947 688	29,0172	9,4429	6,7d578	1,18765	2645,2 2648,4	55 68 19	842
843	71 06 49	599 077 107	29,0345	9,4466	6,73697	1,18624		55 81 42	843
844	71 23 36	601 211 584	29,ь517	9,4503	6,73815	1,18483	2651,5	55 94 67	844
845	71 40 25 I	603 351 125	29,0689	9,4541	6,73934	1,18343	2654,6	56 07 94	845
846	71 57 16 1	605 495 736	29,0861	9,4578	6,74052	1,18203	2657,8	56 21 22	846
847	71 74 09 '	607 645 423	29,1033	9,4615	6,74170	1,18064	2660,9	56 34 52	847
848	71 91 04	609 800 192	29,1204	9,4652	6,74288	1,17925	2664,1	56 47 83	848
849	72 08 01	611 960 049	29,1376	9,4690	6,74406	1,17786	2667,2	56 61 16	849
860	72 25 00 1	СИ 125 000	29,1548	9,4727	6,74524	’,17647	2670.4	56 7 1 50	850
Таблица 1
19
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади Круга (Продолжение)
п	п5	л*	/л	3 Г»	1П п	1003 п	к п	тс Ла 4	п
850	72 25 00	614 125 000	29,1548	9,4727	6,74524	1,17647	2670,4	56 74 50	850
851	72 42 01	616 295 051	29,1719	9,'4764	6,74641	1,17509	2673,5	56 87 86	851
852	72 59 04	618 470 208	29,1890	9,4801	6,74759	1,17371	2676,6	57 01 24	852
853	72 76 09	620 650 477	29,2062	9,4838	6,74876	1,17233	2679,8	57 14 63	853
854	72 93 16	622 835 864	29,2233	9,4875	6,74993	1,17096	2682,9	57 28 03	854
855	73 10 25	625 026 375	29,2404	9,4912	6,75110	1,16959	2686,1	57 41 46	855
856	73 27 36	627 222 016	29,2575	9,4949	6,75227	1,16822	2689,2	57 54 90	856
857	73 44 49	629 422 793	29,2746	9,4986	6,75344	1,16686	2692,3	57 68 35	857
858	73 61 64	631 628 712	29,2916	9,5023	6,75460	1,16550	2695,5 2698,6	57 81 82	858
859	73 78 81	633 839 779	29,3087	9,.5060	6,75577	1,16414		57 95 30	859
860	73 96 00	636 056 000	29,3258	9,5097	6,75693	1,16279	2701,8	58 08 80	860
861	74 13 21	638 277 381	29,3428	9,5134	6,75809	1,16144	2704,9	58 22 32	861
862	74 30 44	640 503 928	29,3598	9,5171	6,75926	1,16009	2708,1	58 35 85	862
863	74 47 69	642 735 647	29,3769	9,5207	6,76041	.1,15875	2711,2	58 49 40	863
864	74 64 96	644 972 544	29,3939	9,5244	6,76157	1,15741	2714,3	58 62 97	864
865	74 82 25	647 214 625	29,4109	9,5281	6,76273	1,15607	2717,5	58 76 55	865
866	74 99 56	649 461 896	29,4279	9,5317	6,76388	1,15473	2720,6	58 90 14	866
867	75 16 89	651 714 363	29,4449	9,5354	6,76504	1,15340	2723,8	59 03 75	867
868	75 34 24	653 972 032	29,4618	9,5391	6,76619	1,15207	2726,9	59 17 38	868
869	75 51 61	656 234 909	29,4788	9,5427	6,76734	1,15075	2730,0	59 31 02	869
870	75 69 00	658 503 000	29,4958	9,5464	6,76849	1,14943	2733,2	59 44 68	870
871	75 86 41	660 776 311	29,5127	9,5501	6,76964	1,14811	2736,3	59 58 35	871
872	76 03 84	663 054 848	29,5296	9,5537	6,77079	1,14679	2739,5	59 72 04	872
873	76 21 29	665 338 617	29,5466	9,5574	6,77194	1,14548	2742,6	59 85 75	873
874	76 38 76	667 627 624	29,5635	9,5610	6,77308	1,14416	2745,8	59 99 47	874
875	76 56 25	669 921 875	29,5804	9,5647	6,77422	1,14286	2748,9	6013 20	875
876	76 73 76	672 221 376	29,5973	9,5683	6,77537	1,14155	2752,0	60 26 96	876
877	76 91 29	674 526 133	29,6142	9,5719	6,77651	1,14025	2755,2	60 40 73	877
878	77 08 84	676 836 152	29,6311	9,5756	6,77765	1,13895	2758,3	60 54 51	878
879	77 26 41	679 151 439	29,6479	9,5792	6,77878	1,13766	2761,5	60 68 31	879
880	77 44 00	681 472 000	29,6648	9,5828	6,77992	1,13636	2764,6	60 82 12	880
881	77 61 61	683 797 841	29,6816	9,5865	6,78106	1,13507	2767,7	60 95 95	881
882	77 79 24	686 128 968	29,6985	9,5901	6,78219	1,13379	2770,9	61 09 80	882
883	77 96 89	688 465 387	29,7153	9,5937	6,78333	1,13250	2774,0	61 23 66	883
884	78 14 56	690 807 104	29,7321	9,5973	6,78446	1,13122	2777,2	61 37 54	884
885	78 32 25	693 154 125	29,7489	9,6010	6,78559	1,12994	2780,3	61 51 43	885
886	78 49 96	695 506 456	29,7658	9,6046	6,78672	1,12867	2783,5	61 65 34	886
887	78 67 69	697 864 103	29,7825	9,6082	6,78784	1,12740	2786,6	61 79 27	887
888	78 85 44	700 227 072	29,7993	9,6118	6,78897	1,12613	2789,7	61 93 21	888
889	79 03 21	702 595 369	29,8161	9,6154	6,79010	1,12486	2792,9	62 07 17	889
890	79 21 СО	704 969 000	29,8329	9,6190	6,79122	1,12360	2796,0	62 21 14	890
891	79 38 81	707 347 971	29,8496	9,6z26	6,79234	1,12233	2799,2	62 35 13	891
892	79 56 64	709 732 288	29,8664	9,6262	6,79347	1,12108	2802,3	62 49 13	892
893	79 74 49	712 121 957	29,8831	9,6298	6,79459	1,11982	2805,4	62 63 15	893
894	79 92 36	714 516 984	29,8998	9,6334	6,79571	1,11857	2808,6	62 77 18	894
895	8010 25	716 917 375	29,9166	9,6370	6,79682	1,11732	2811,7	62 91 24	895
896	80 28 16	719 323 136	29,9333	9,6406	6,79794	1,11607	2814,9	63 05 30	896
897	80 46 09	721 734 273	29,9500	9,6442	6,79906	1,11483	2818,0	63 1938	897
898	80 64 04	724 150 792	29,9666	9,6477	6,80017	1,11359	2821,2	63 33 48	898
899	80 82 01	726 572 699	29,9833	9,6513	6,80128	1,11235	2824,3	63 47 60	899
900	81 00 00	729 000 000	30,0000	9,6549	6,80239	1,11111	2827,4	63 61 73	900
2*
20
Т I Огд 1. Математика. I Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади круга (Продолжение)
п	гГ	л'			In п	1000 п	П П	п л’ ~Г~	п
900	81 СО 00	729 000 000	30,0000	9,6549	6,80239	1,11111	2827,4	63 61 73	900
901	81 18 01	731 432 701	30,0167	9,6585	6,80351	1,10988	2830,6	63 75 87	901
902	81 36 04	733 870 808	30,0333	9,662С	6,80461	1,10865	2833,7	63 90 03	902
903	81 54 09	736 314 327	30,0500	9,6656	6,80572	1,10742	2836,9	64 04 21	903
904	81 72 16	738 763 264	30,0666	9,6692	6,80683	1,10619	2840,0	64 18 40	904
905	81 90 25	741 217 625	30,0832	9,6727	6,80793	1,10497	2843,1	64 32 61	905
906	82С8 36	743 677 416	30,0998	9,6763	6,80904	1,10375	2846,3	64 46 83	906
907	82 26 49	746 142 643	30,1164	9,6799	6,81014	1,10254	2849,4	64 61 07	907
908	82 44 64	748 613 312	30,1330	9,6834	6,81124	1,10132	2852,6	64 75 33	908
909	82 62 81	751 С89 429	30,1496	9,6870	6,81235	1,10011	28.55,7	64 89 60	909
910	82 81 00	753 571 000	30,1662	9,6905	6,81344	1,09890	2858,8	• 65 03 88	910
911	82 99 21	756(58 031	30,1828	9,6941	6,81454	1,09769	2862,0	65 18 18	911
912	83 17 44	758 550 528	30,1993	9,6976	6,81564	1,09649	2865,1	65 32 50	912
913	83 35 69	761 048 497	30,2159	9,7012	6,81674	1,09529	2868,3	65 46 84	913
914	83 53 96	763 551 944	30,2324	9,7047	6,81783	1,09409	2871,4	65 61 18	914
915	83 72 25	766 060 875	30,2490	9,7082	6,81892	1,09290	2874,6	65 75 55	915
916	83 90 56	768 575 296	30,2655	9,7118	6,82002	1,09170	2877,7	65 89 93	916
917	84 08 89	771 095 213	30,2820	9,7153	6,8zlll	1,09051	2880,8	66 04 33	917
918	84 27 24	773 620 632	30,2985	9,7188	6,82220	1,08932	2884,0	66 18 74	918
919	84 45 61	776 151 559	30,3150	9,7224	6,82329	1,08814	2887,1	66 33 17	919
920	84 64 00	778 688 000	30,3315	9,7259	6,82437	1,08696	2890,3	66 47 61	920
921	8482 41	781 229 961	30,3480	9,7294	6,82546	1,08578	2893,4	66 62 07	921
922	85 00 84	783 777 448	30,3645	9,7329	6,82655	1,08460	2896,5	66 76 54	922
923	85 19 29	786 330 467	30,3809	9,7d64	6,8x763 6,82871	1,08342	2899,7	GG 91 03	923
924	85 37 76	788 889 024	30,3974	9,7400		1,08225	2902,8	67 05 54	924
925	85 56 25	791 453 125	30,4138	9,7435	6,82979	1,08108	2906,0	67 20 06	925
926	85 74 76	794 022 776	30,4302	9,7470	6,83087	1,07991	2909,1	67 34 60	926
927	85 93 29	796 597 983	30,4467	9,7505	6,83195 6,83303	1,07875	2912,3	67 49 15	927
928	86 11 84	799 178 752	30,4631	9,7540		1,07759	2915,4	67 63 72	928
929	86 30 41	801 765 С89	30,4795	9,7575	6,83411	1,07643	2918,5	67 78 31	929
930	86 49 СО	804 357 0С0	30,4959	9,7610	6,83518	1,07527	2921,7	67 92 91	930
931	86 67 61	806 954 491	30,5123	9,7645	6,83626	1,07411	2924,8	68 07 52	931
932	86 86 24	809 557 568	30,5287	9,7680	6,8d733	1,07296	2928,0	68 22 16	932
933	87 04 89	812 166 237	30,5450	9,7715	6,83841	1,07181	2931,1	68 36 80	933
934	87 23 56	814 780 504	30,5614	9,7750	6,8о948	1,07066	2934,2	68 51 47	934
935	87 42 25	817 400 375	30,5778	9,7785	6,84055	1,06952	2937,4	68 66 15	935
936	87 60 96	820 025 856	30,5941	9,7819	6,84162	1,06838	2940,5	68 80 84	936
937	87 79 69	822 656 953	30,6105	9,7854	6,84268	1,06724	2943,7	68 95 55	937
938	87 98 44	825 293 672	30,6268	9,7889	6,84d75	1,06610	2946,8	69 10 28	938
939	88 17 21	827 936 019	30,6431	9,7924	6,84482	1,06496	2950,0	69 25 02	939
940	88 36 СО	830 584 000	30,6594	9,7959	6,84588	1,06383	2953,1	69 39 78	940
941	88 54 81	833 237 621	30,6757	9,7993	6,84694	1,06_70	2956,2	69 54 55	941
942	88 73 64	835 896 888	30,6920	9,8028	6,84801	1,06157	2959,4	69 69 34	942
943	88 92 49	838 561 807	30,7083	9,8063	6,849С7	1,06045	2962,5	69 84 15	943
944	89 И 36	841 232 384	30,7246	9,8097	6,85013	1,05932	2965,7	69 98 97	944
945	89 30 25	843 908 625	30,7409	9,8132	6,85118	1,05820	2968,8	70 13 80	945
946	89 49 16	846 590 536	30,7571	9,8167	6,85224	1,05708	2971,9	70 28 65	946
947	89 68 09	849 278 123	30,7734	9,8201	6,85330	1,05597	2975,1 2978,2	70 43 52	947
948	89 87 04	851 971 392	30,7896	9,8236	6,85435	1,05485		70 58 40	948
949	90 сб 01	854 670 349	30,8058	9,8270	6,85541	1,05374	2981,4	70 73 30	949
950	90^00	807 ЭД5 000	30,8291	9.830К	6,85646	1.ОК26Э	2ОЯ4.5	70 99 43	950
Таблица 1
21
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади круга (Продолжение)
п	л2	л3	/7	3 Vn	In л	1000 л	к Л	к л’ 4	л
950	90 25 00	857 375 0^	30,8221	9,8305	6,85646	1,05263	2984,5	70 88 22	950
951	90 44 01	860 085 351	30,8383	9,8339	6,85751	1,05152	2987,7	71 03 15	951
952	90 63 04	862 801 408	30,8545	9,8374	6,85857	1,05042	2990,8	71 18 09	952
953	90 82 09	865 523 177	30,8707	9,8408	6,85961	1,04932	2993,9	71 33 06	953
954	91 01 16	868 250 664	30,8869	9,8443	6,86066	1,04822	2997,1	71 48 03	954
955	91 20 25	870 983 875	30,9031	9,8477	6,86171	1,04712	3000,2	71 63 03	955
956	91 39 36	873 722 816	30,9192	9,8511	6,86276	1,04603	3003,4	71 78 04	956
957	91 58 49	876 467 493	30,9з54	9,8546	6,86380	1,04493	3006,5	71 93 06	957
958	91 77 64	879 217 912	30,9516	9,8580	6,86485	1,04384	3009,6	72 08 10	958
959	91 96 81	881 974 079	30,9677	9,8614	6,86589	1,04275	3012,8	72 23 16	959
960	92 16 00	884 736 000	30,9839	9,8648	6,86693	1,04167	3015,9	72 38 23	960
961	92 35 21	887 503 681	31,0000	9,8683	6,86797	1,04058	3019,1	72 53 32	961
962	92 54 44	890 277 128	31,0161	9,8717	6,86901	1,03950	3022,2	72 68 42	962
963	92 73 69	893 056 347	31,0322	9,8751	6,87005	1,03842	3025,4	72 83 54	963
964	92 92 96	895 841 344	31,0483	9,8785	6,87109	1,03734	3028,5	72 98 67	964
965	93 12 25	898 632 125	31,0644	9,8819	6,87213	1,03627	3031,6	73 13 82	965
966	93 31 56	901 4к8 696	31,08 6	9,8854	6,87016	1,03520	3034,8	73 28 99	966
967	93 50 89	904 231 063	31,0966	9,8888	6,87420	1,03413	3037,9	73 44 17	967
968	93 70 24	907 039 232	31,1127	9,8922	6,87523	1.03306	3041,1	73 59 37	968
969	93 89 61	909 853 209	31,1288	9,8956	6,87626	1,03199	3044,2	73 74 58	969
970	94 09 00	912 673 000	31,1448	9,8990	6,87730	1,03093	3047,3	73 89 81	970
971	94 28 41	915 498 611	31,1609	9,9024	6,87833	1,02987	3050,5	74 С5 06	971
972	94 47 84	918 330 048	31,1769	9,9058	6,87936	1,02881	3053,6	74 20 32	972
973	94 67 29	921 167 317	31,1929	9,9092	6,88038	1,02775	3056,8	74 35 59	973
974	94 86 76	924 010 4z4	31,2090	9,9126	6,88141	1,0^669	3059,9	74 50 88	974
975	95 06 25	926 859 375	31,2250	9,9160	6,88244	1,02564	3063,1	74 66 19	975
976	95 25 76	929 714 176	31,2410	9,9194	6,88346	1,02459	3066,2	74 81 51	976
977	>95 45 29	932 574 833	31,2570	9,9227	6,88449	1,02354	3069,3	74 96 85	977
978	95 64 84	935 441 352	31,2730	9,9261	6,88551	1,02249	3072,5	75 12 21	978
979	95 84 41	9о8 313 739	31,2890	9,9z95	6,88653	1,02145	3075,6	75 27 58	979
980	96 04 00	941 192 000	31,3050	9,9329.	6,88755	1,02041	3078,8	75 42 96	980
981	96 23 61	944 076 141	31,3209	9,9з63	6,88857	1,01937	3081,9	75 58 37	981
982	96 43 24	946 966 168	31,3369	9,9396	6,88959	1,01833	3085,0	75 73 78	982
983	96 62 89	949 862 087	31,3528	9,9430	6,89061	1,01729	3088,2	75 89 22	983
984	96 82 56	952 763 904	31,о688	9,9464	6,89163	1,01626	3091,3	76 04 66	984
985	97 02 25	955 671 625	31,3847	9,9497	6,89264	1,01523	3094,5	76 20 13	985
986	97 21 96	958 585 256	31,4006	9,9531	6,89366	1,01420	3097,6	76 35 61	986
987	97 41 69	961 504 803	31,4166	9,9565	6,89467	1,01317	3100,8	76 51 11	987
988	97 61 44	964 430 272	31,4325	9,9598	6,89568	1,01215	3103,9	76 66 62	988
989	97 81 21	967 361 669	31,4484	9,9632	6,89669	1,01112	3107,0	76 82 14	989
990	98 01 00	970 299 000	31,4643	9,9666	6,89770	1,01010	3110,2	76 97 69	990
991	98 20 81	973 242 271	31,4802	9,9699	6,89871	1,00908	3113,3	77 13 25	991
992	98 40 64	976 191 488	31,4960	9,9733	6,89972	1,00806	3116,5	77 28 82	992
993	98 60 49	979 146 657	31,5119	9,9766	6,90073	1,00705	3119,6	77 44 41	993
994	98 80 36	982 107 784	31,5278	9,9800	6,90174	1,00604	3122,7	77 60 02	994
995	99 00 25	985 074 875	31,5436	9,9833	6,90274	1,00503	3125,9	77 75 64	995
996	99 20 16	988 047 936	31,5595	9,9866	6,90375	1,00402	3129,0	77 91 28	996
997	99 40 09	991 026 973	31,5753	9,9900	6,90475 ,	1,00301	3132,2	78 06 93	997
998	99 60 04	994 011 992	31,5911	9,9933	6,90575	1,00200	3135,3	78 22 60	998
999	99 80 01	997 002 999	31,6070	9,9967	6,90675	1,00100	3138,5	78 38 28,	ООО
1000	100 00 00	1 000 000 000	31,6228	10,0000	6,90776	1,00000	3141,6	78 53 98	1000
22
Т. 1 Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади круга (Продолжение)
п	п,-	л’	Vп	3 Vп	In п	1909 п	ТС п	тс гГ- 1“	п
1000	1 0000 0	1 000 000 000	31,6228	10,0000		1,00000	3141.6	78 53 98	1000
1С01	1 002 001	1 003 003 001	31,6386	10,0033	6,90875	0,99900	3144,7	78 69 70	1001
1002	1004 004	1 006 012 008	31,6544	10,0067	6,90975	0,99800	3147,9	78 85 43	1002
коз	1 006 009	1 ОС 9 027 027	31,6702	10,0100	6,91075	0,99701	3151,0	79 01 18	1003
1004	1 (С8 016	1 012 048 064	31,6860	10,0133	6,91175	0,99602	3154,2	79 16 94	1004
10Г5	1 010 025	1 015 075 125	31,7017	10,0166	6,91274	0,99502	3157,3	79 32 72	1005
1С06	1 012 036	1 018 108 216	31,7175	10,0200	6,91374	0,99404	3160,4	79 48 51	1006
1007	1 014 049	1 021 147 343	31,7333	10,0233	6,91473	0,99305	3163,6	79 64 32	1007
1008	1 016 064	1 024 192 512	31,7490	10,0266	6,91572	0,99206	3166,7	79 80 15	1008
1С09	1 018 081	1 027 243 729	31,7648	10,0299	6,91672	0,99108	3169,9	79 95 99	1009
1010	1 020 100	1 030 301 000	31,7805	10,0332	6,91771	0,99010	3173,0	80 11 85	1010
1011	1 022 121	1 033 364 331	31,7962	10,0365	6,91870	0,98912	3176,2	80 27 72	1011
1012	1 024 144	1 (36 433 728	31,8119	10,0398	6,91968	0,98814	3179,3	80 43 61	1012
1013	1 026 169	1 039 509 197	31,8277	10,0431	6,92067	0,98717	3182,4	80 59 51	1013
1014	1 028 196	1 042 590 744	31,8434	10,0465	6,92166	0,98619	3185,6	80 75 43	1014
1015	1 030 225	1 045 678 375	31,8591	10,0498	6,92264	0,98522	3188,7	80 91 37	1015
1016	1 032 256	1 048 772 096	31,8748	10,0531	6,92363	0,98425	3191,9	81 07 32	1016
1017	1 034 289	1 051 871 913	31,8904	10,0563	6,92461	0,98328	3195,0	81 23 29	1017
1018	1 036 324	1 054 977 832	31,9061	10,0596	6,92560	0,98232	3198,1	81 39 27	1018
1019	1 038 361	1 058 089 859	31,9218	10,0629	6,92658	0,98135	3201,3	81 55 27	1019
1020	1 040 400	1 061 208 000	31,9374	10,0662	6,92756	0,98039	3204,4	81 71 28	1020
1021	1 042 441 1	1 064 332 261	31,9531	10,0695	6,92854	0,97943	3207,6	81 87 31	1021
1022	1 044 484	1 067 462 648	31,9687	10,0728	6,92952	0,97847	3210,7	82 03 36	1022
1028	1 С'4б 529	11/0 ь99 16/	31,9844	10,0/61	6,93049	0.9//52	3213,8	82 19 42	1023
1024	1 048 576	1 073 741 824	32,СОСО	10,0794	6,93147	0,97656	3217,0	82 35 50	1024
1025	1 050 625	1 076 890 625	32,0156	10,0826	6,93245	0,97561	3220,1	82 51 59	1025
1026	1 052 676	1 080 045 576	32,0312	10,0859	6,93342	0,97466	3223,3	82 67 70	1026
1027	1 054 729	1 083 206 683	32,0468	10,0892	6,93440	0,97371	3226,4	82 83 82	1027
1028	1 056 784	1 086 373 952	32,0624	10,0925	6,93537	0,97276	3229,6	82 99 96	1028
1029	1 058 841	1 089 547 389	32,0780	10,0957	6,93634	0,97182	3232,7	83 16 12	1029
1030	1 060 900	1 092 727 000	32,0936	10,0990	6,93731	0,97087	3235,8	83 32 29	1030
1031	1 062 961	1 095 912 791	32,1092	10,1023	6,93828	0,96993	3239,0	83 48 48	1031
1032	1 065 024	1 099 104 768	32,1248	10,1055	6,93925	0,96899	3242,1	83 64 68	1032
1033	1 067 089	1 102 302 937	32,1403	10,1088	6,94022	0,96805	3245,3	83 80 90	1033
1034	1 С69 156	1 105 597 304	32,1559	10,1121	6,94119	0,96712	3248,4	83 97 13	1034
1035	1 071 225	1 108 717 875	32,1714	10,1153	6,94216	0,96618	3251,5	84 13 38	1035
1г36	1 073 296	1 111 934 656	32,1870	10,1186	6,94312	0,96525	3254,7	84 29 65	1036
1037	1 075 369	1 115 157 653	32,2025	10,1218	6,94409	0,96432	3257,8	84 45 93	1037
1038	1 077 444	1 118 386 872	32,2180	10,1251	6,94505	0,96339	3261,0	84 62 23	1038
1039	1 079 521	1 121 622 319	32,2335	10,1283	6,94601	0,96246	3264,1	84 78 54	1039
1040	1 081 600	1 124 864 000	32,2490	10,1316	6,94698	0,96154	3267,3	84 94 87	1040
1041	1 083 681	1 128 111 921	32,2645	10,1348	6,94794	0,96061	3270,4	85 1121	1041
1042	1 085 764	1 131 366 088	32,2800	10,1381	6,94890	0,95969	3273,5	85 27 57	1042
1043	1 087 849	1 134 626 507	32,2955	10,1413	6,94986	0,95877	3276,7	85 43 95	1043
1044	1 089 936	1 137 893 184	32,3110	10,1446	6,95081	0,95785	3279,8	85 60 34	1044
1045	1 092 025	1 141 166 125	32,3265	10,1478	6,95177	0,95694	3283,0	85 76 74	1043
1046	1 094 116	1 144 445 336	32,3419	10,1510	6,95273	0,95602	3286,1	85 93 17	1046
1047	1 096 209	1 147 730 823	32,3574	10,1543	6,95368	0,95511	3289,2	86 09 61	1047
1048	1 098 304	1 151 022 592	32,3728	10,1575	6,95464	0,95420	3292,4	86 26 06	1048
1049	4 100 401	1 154 320 649	32,3883	10,1607	6,95559	0,95329	3295,5	86 42 53	1049
1050	1 102 500	1 157 625 000	32,4037	10,1640	6,95655	0,95238	3238,7	86 59 01	1050
Таблица 1
23
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади круга (Продолжение)
п	л	л3	Vn	3 /л	In п	1000 п	тс п	тсл* ~4~	п
1050	1 102 5'0	1 157 625 000	32,4037	10,164°	6Q5655	0,95238	3298,7	86 59 01	1050
1051	1 104 601	1 160 935 651	32,4191	10,1672	6,95750	0,95147	3301,8	86 75 52	1951
1052	1 106 704	1 164 252 6С8	32,4345	10,1704	6,95845	0,95057	3305,0	86 92 03	1052
1053	1 108 809	1 167 575 877	32,4500	10,1736	6,95940	0,94967	3308,1	87 08 57	1053
1054	1 110 916	1 170 905 464	32,4654	10,1769	6,96035	0,94877	3311,2	87 25 11	1054
1055	1 ИЗ 025	1 174 241 375	32,4808	10,1801	6,96130	0,94787	3314,4	87 41 68	1055
1056	1 115 136	1 177 583 616	32,4962	10,1833	6,96224	0,94697	3317,5	87 58 26	1056
1057	1 117 249	1 180 932 193	32,5115	10,1865	6,96319	0,94607	3320,7	87 74 85	1057
1058	1 119 364	1 184 287 112	32,5269	10,1897	6,96414	0,94518	3323,8	87 91 46	1058
1059	1 121 481	1 187 648 379	32,5423	10,1929	6,96508	0,94429	3326.9	88 08 09	1059
1060	1 123 600	1 191 016 000	32,5576	10,1961	6,96602	0,94340	3330,1	88 24 73	1060
1061	1 125 721	1 194 389 981	32,5739	10,1993	6,96697	0,94251	3333,2	88 41 39	1061
1062	1 127 844	1 197 770 328	32,5883	10,2025	6,96791	0,94162	3335,4	88 58 07	1032
1063	1 129 969	1 201 157 047	32,6037	10,2(57	6,96885	0,94073	3339,5	88 74 76	1063
1064	1 132 096	1 204 550 144	32,6190	10,2089	6,96979	0,93985	3342,7	88 91 46	1064
1065	1 134 225	1 207 949 625	32,6343	10,2121	6,97073	0,93897	3345,8	89 08 18	1065
1066	1 136 356	1 211 355 496	32,6497	10,2153	6,97167	0,93809	3348,9	89 24 92	1066
1067	1 138 489	1 214 767 763	32,6650	10,2185	6,97261	0,93721	3352,1	89 41 67	1067
1068	1 140 624	1 218 186 432	32,6803	10,2217	6,97354	0,93633	3355,2	89 58 44	1068
1069	1 142 761	1 221 611 509	32,6956	10,2249	6,97448	0,93545	3358,4	89 75 22	1069
1070	1 144 900	1 225 043 000	32,7169	10,2281	6,97541	0,93458	3361,5	89 92 02	1070
1071	1 147 041	1 228 480 911	32,7261	10,2313	6,97635	0,93371	3364,6	9J 08 84	1071
1072	1 149 184	1 231 925 248	32,7414	10,2345	6,97728	0,93284	3367,8	90 25 67	1072
1073	1 151 329	1 235 376 017	32,7567	10,2376	6,97821	0,93197	3370,9	90 42 52	1073
1074	1 153 476	1 238 833 224	32,7719	10,2408	6,97915	0,93110	3374,1	90 59 38	1074
1075	1 155 625	1 242 296 875	32,7872	10,2440	6,98098	0,93023	3377,2	90 76 26	1075
1076	1 157 776	1 245 766 976	32,8024	10,2472	6,98101	0,92937 0,92851	3380,4	90 93 15	1076
1077	1 159 929	1 249 243 533	32,8177	10,2503	6,98193		3о83,5	91 10 06	Г 77
1078	1 162 084	1 252 726 552	32,8329	10,2535	6,98286	0,92764	3386,6	91 26 99	1078
1079	1 164 241	1 256 216 039	32,8481	10,2567	6,98379	0,9^678	3389,8	91 43 93	1079
1080	1 166 4С0	1 259 712 000	32,8634	10,2599	6,98472	0,92593	3392,9	91 60 88	1080
1081	1 168 561	1 263 214 441	32,8786	10,2630	6,98564	0,92507	3306,1	91 77 86	1081
1082	1 170 724	1 266 723 368	32,8938	10,2662	6,98657	0,92421	3399,2	91 94 84	Г 82
1083	1 172 889	1 270 238 787	32,9090	10,2693	6,98749	0,92336	3402,3	92 11 85	1083
1084	1 175 056	1 273 760 704	32,9242	10,2725	6,98841	0,92251	3405,5	92 28 87	1084
1085	1 177 225	1 277 289 125	32,9393	10,2757	6,98934	0,92166	3408,6	92 45 90	1085
1086	1 179 396	1 280 824 056	32,9545	10,2788	6,99026	0,92081	3411,8	92 62 951	1086
1С87	1 181 569	1 284 365 503	32,9697	10,2820	6,99118	0,91996	3414,9	92 80 02	1087
1088	1 183 744	1 287 913 472	32,9848	10,2851	6,99210	0,91912	3418,1	92 97 10	1088
1089	1 185 921	1 291 467 969	ЗЗДСО	10,2883	6,99302	0,91827	3421,2	93 14 20	1089
1090	1 188 100	1 295 029 000	33,0151	10,2914	6,99393	0,91743	3424,3	93 31 32	1080
1091	1 190 281	1 298 596 571	33,0303	10,2946	6,99485	0,91659 0,91575	3427,5	93 48 45	1091
1092	1 192 464	1 302 170 688	33,0454	10,2977	6,99577		3139,6	93 65 59	1092
10931	: 1 194 649	1 305 751 357	33,0606	10,3009	6,99668	0,91491	3433,8	93 82 75	1093
1094	1 196 836	1 399 338 584	33,0757	10,3040	6,99760	0,91408	3436,9	93 99 93	1094
1095	1 199 025	1 312 932 375	33,0908	10,3071	6,99851	0,91324	3440,0	94 17 12	1 1095
1096	1 201 216	1 316 532 736	33,1059	10,3103	6,99942	0,91240	3443,2	94 34 33	1006
1097	1 203 409	1 320 139 673	33,1210	10,3134	7,00033	0,91158	3446,3	94 51 55	1097
1098	1 205 604	1 323 753 192	33,1361	10,3165	7,00125	0,91075	3449,5	94 68 79	, 1098
1099	1 207 801	1 327 373 299	33,1512	10,3197	7,00216	0,90992	3452,6	94 86 05	1С99
1100	1 210 000	1 331 000 000	33,1662	10,3228	7,00307	0,90909	3455,8	95 03 32	1100
24
Т I. Отд. 1 Математика. 1 Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩадИ Круга (Продолжение)
п	л8	л’	Vn	у- п	In л	10CQ п	тс П	Я л8 ~4~	л
нсо	1 210 000	1 331 000 000	33,1662	10,3228	7,00307	0,90909	3455,8	95 03 32	1100
1101	1 212 201	1 334 633 301	33,1813	10,3259	7,00397	0,90827	3458,9	95 20 60	1101
1102	1 214 404	1 338 273 208	33,1964	10,3291	7,00488	0,90744	3462,0	95 37 91	1102
1103	1 216 609	1 341 919 727	33,2115	10,3322	7,00579	0,90662	3465,2	95 55 22	1103
1104	1 218 816	1 345 572 864	33,2265	10,3353	7,00670	0,90580	3468,3	95 72 56	1104
1105	1 221 025	1 349 232 625	33,2415	10,3384	7,00760	0,90498	3471,5	95 89 91	1105
1106	1 223 236	1 352 899 016	33,2566	10,3415	7,00851	0,90416	3474,6	96 07 27	1106
1107	1 225 449	1 356 572 043	33,2716	10,3447	7,0(941	0,90334	3477,7	96 2465	1107
1108	1 227 664	1 360 251 712	33,2866	10,3478	7,01031	0,90253	3480,9	96 42 05	1108
1109	1 229 881	1 363 938 029	33,3017	10,3509	7,01121	0,90171	3484,0	96 59 46	1109
1110	1 232 100	1 367 631 000	33,3167	10,3540	7,01212	0,90090	3487,2	96 76 89	1110
1111	1 234 321	1 371 330 631	33,3317	10,3571	7,01302	0,90009	3490,3	96 9433	ни
1112	1 236 544	1 375 036 928	33,3467	10,3602	7,01392	0,89928	3493,5	97 1179	1112
1113	1 238 769	1 378 749 897	33,3617	10,3633	7,01481	0,89847	3496,6	97 29 27	1113
1114	1 240 996	1 382 469 544	33,3767	10,3661	7,01571	0,89767	3499,7	97 46 76	1114
1115	1 243 225	1 386 195 875	33,3917	10,3695	7,01661	0,89686	3502,9	97 64 27	1115
1116	1 245 456	1 389 928 896	33,4066	10,3726	7,01751	0,89606	3506,0	97 81 79	1116
1117	1 247 689	1 393 668 613	33,4216	10,3757	7,01840	0,89526	3509,2	97 99 33	1117
1118	1 249 924	1 397 415 032	33,4365	10,3788	7,01930	0,89445	3512,3	98 1688	1118
1119	1 252 161	1 401 168 159	33,4515	10,3819	7,02019	0,89366	3515,4	98 3445	1119
1120	1 254 400	1 404 928 000	33,4664	10,3850	7,02108	0,89286	3518,6	98 52 03	1120
1121	1 256 641	1 408 694 561	33,4814	10,3881	7,02198	0,892( 6	3521,7	98 69 64	1121
J122	1 258 884	1 412 467 848	33,4963	10,3912	7,02287	0,89127	3524,9	98 87 25	1122
	1 4U1	I 41G 247 8G7	33,5112	in чаи о	п м-ла	n ООЛ/17	3528 0	99 04 88	1123
1124	1 263 376	1 420 034 624	33,5261	16;3973	7,02465	038968	353L2	99 22 53	1124
1125	1 265 625	1 423 828 125	33,5410	10,4004	7,02554	0,88889	3534,3	99 40 20	1125
1126	1 267 876	1 427 628 376	33,5559	10,4034	7,02643	0,88810	3537,4	99 57 87	1126
1127	1 270 129	1 431 435 383	33,5708	10,4066	7,02731	0,88731	3540,6	99 75 57	1127
1128	1 272 384	1 435 249 152	33,5857	10,4096	7,02820	0,88652	3543,7	99 93 28	1128
1129	1 274 641	1 439 069 689	33,6006	10,4127	7,02909	0,88574	3546,9	1 00 1101	1129
ИЗО	1 276 900	1 442 897 000	33,6155	10,4158	7,02997	0,88496	3550,0	1 СО 28 75	ИЗО
1131	1 279 161	1 446 731 091	33,6303	10,4189	7,03086	0,88417	3553,1	1 00 46 51	1131
1132	1 281 424	1 450 571 968	33,6452	10,4220	7,03174	0,88339	3556,3	1 00 64 28	1132
1133	1 283 689	1 454 419 637	33,6601	10,4250	7,03262	0,88261	3559,4	1 СО 82 07	1133
1134	1 285 956	1 458 274 104	33,6749	10,4281	7,03351	0,88183	3562,6	1 00 99 87	1134
1135	1 288 225	1 462 135 375	33,6898	10,4311	7,03439	0,88106	3565,7	1 01 17 70	1135
1136	1 290 496	1 466 003 456	33,7046	10,4342	7,03527	0,88028	3568,8	1 01 35 53	1136
1137	1 292 769	1 469 878 353	33,7194	10,4373	7,03615	0,87951	3572,0	1 01 53 38	1137
1138	1 295 044	1 473 760 072	33,7342	10,4403	7,03703	0,87874	3575,1	1 01 71 25	1138
1139	1 297 321	1 477 648 619	33,7491	10,4434	7,03791	0,87796	3578,3	1 01 89 14	1139
1140	1 299 600	1 481 544 000	33,7639	10,4464	7,03878	0,87719	3581,4	1 02 07 03	шо
1141	1 301 881	1 485 446 221	33,7787	10,4495	7,03966	0,87642	3584,6	1 02 24 95	1141
1142	1 304 164	1 489 355 288	33,7935	10,4525	7,04054	0,87566	3587,7	1 02 42 88	1142
1143	1 306 449	1 493 271 207	33,8083	10,4556	7,04141	0,87489	3590,8	1 02 60 83	1143
1144	1 308 736	1 497 193 984	33,8231	10,4586	7,04229	0,87413	3594,0	1 02 78 79	1144
1145	1 311 025	1 501 123 625	33,8378	10,4617	7,04316	0,87336	3597,1	1 02 96 77	1145
1146	1 313 316	1 505 060 136	33,8527	10,4647	7,04403	0,87260	3600,3	1 03 14 76	1146
1147	1 315 609	1 509 003 523	33,8673	10,4678	7,04491	0,87184	3603,4	т 03 32 77	1147
1148	1 317 904	1 512 953 792	33,8822	10,4708	7,04578	0,87108	3606,5	1 03 50 79	1148
1149	1 320 201	1 516 910 949	33,8969	10,4739	7,04665	0,87032	3609,7	1 03 68 83	1149
1150	1 322 500	1 520 875 000	33,9117	10,4769	7,04752	0,86956	3612,8	1 03 86 89	1150
Таблица 1
25,
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п.	п*	л’	Vn	Г"	In п	10СО п	п п	rt п-	п
1150	1 322 500	1 520 875 000	33,9117	10,4769	7,04752	0,86956	3612,8	' 103 86 89	1150
1151	1 324 801	1 524 845 951	33,9264	10,4799	7,04839	0,86881	3616,0	104 04 96	1151
1152	1 327 104	1 528 823 808	33,9411	10,4830	7,04925	0,86806	3619,1	! 1 04 23 05	1152
1153	1 329 409	1 532 808 577	33,9558	10,4860	7,05012	0,86730	3622,3	1 04 41 15	1153
1154	1 331 716	1 536 800 264	33,9766	10,4890	7,05099	0,86655	3625,4	1 04 59 27	1154
1155	1 334 025	1 540 798 875	33,9853	10,4921	7,05186	0,86580	3628,5	1 04 77 41	1155
1156	1 336 336	1 544 804 416	34,0600	10,4951	7,05272	0,86505	3631,7	1 04 95 56	1156
1157	1 338 649	1 548 816 893	34,0146	10,4981	7,05359	0,86430	3634,8	1 05 13 72	1157
1158	1 340 964	1 552 836 312	34,0294	10,5011	7,05445	0,86356	3638,0	1 05 31 91	1158
1159	1 343 281	1 556 862 679	34,0440	10,5041	7,05531	0,86281	3641,1	1 05 50 10	1159
1160	1 345 600	1 560 896 000	34,0588	10,5072	7,05618	0,86207	3644,2	105 68 32	1160
1161	1 347 921	1 564 936 281	34,0735	10,5102	7,05704	('*,86133	3647,4	1 05 86 55	1161
1162	1 350 244	1 568 983 528	34,0881	10,5132	7,05790	0,86059	3650,5	1 06 04 79	1162
1163	1 352 569	1 573 037 747	34,1028	10,5162	7,05876	0,85984	3653,7	1 06 23 05	1163
1164	1 354 896	1 577 098 944	34,1174	10,5192	7,05962	0,85911	3656,8	1 06 41 33	1164
1165	1 357 225	1 581 167 125	34,1321	10,5223	7,06048	0,85837	3660,0	1 06 59 62	1165
1166	1 359 556	1 585 242 296	34,1467	10,5253	7,06133	0,85763	3663,1	1 06 77 93	1166
1167	1 361 889	1 589 324 463	34,1614	10,5283	7,06219	0,85690	3666,2	1 06 96 25	1167
1168	1 364 224	1 593 413 632	34,1760	10,5313	7,06305	0,85616	3669,4	1 07 14 59	1168
1169	1 366 561	1 597 509 809	34,1907	10,5343	7,06390	0,85543	3672,5	1 07 32 94	1169
1170	1 368 900	1 601 613 000	34,2052	10,5373	7,06476	0,85470	3675,7	1 07 51 32	1170
1171	1 371 241	1 605 723 211	34,2199	10,5403	7,06561	0,85397	3678,8	1 07 69 70	1171
1172	1 373 584	1 609 840 448	34,2345	10,5433	7,06647	0,85324	3681,9	1 07 88 10	1172
1173	1 375 929	1 613 964 717	34,2491	10,5463	7,06732	0,85252	3685,1	1 08 06 52	1173
1174	1 378 276	1 618 096 024	34,2637	10,5493	7,06817	0,85179	3688,2	1 08 24 95	1174
1175	1380 625	1 622 234 375	34,2783	10,5523	7,06902	0,85106	3691,4	1 08 43 40	1175
1176	1 382 976	1 626 379 776	34,2929	10,5553	7,06987	0,85034	3694,5	1 08 61 87	1176
1177	1 385 329	1 630 532 233	34,3074	10,5582	7,07072	0,84962	3697,7	1 08 80 35	1177
1178	1 387 684	1 634 691 752	34,3220	10,5612	7,07157	0,84890	3700,8	1 08 98 84	1178
1179	1 390 041	1 638 858 339	34,3366	10,5642	7,07242	0,84818	3703,9	1 09 17 36	1179
1180	1 392 400	1 643 032 000	34,3512	10,5672	7,07327	0,84746	3707,1	109 35 88	1180
1181	1 394 761	1 647 212 741	34,3657	10,5702	7,07412	0,84674	3710,2	1 09 54 43	1181
1182	1 397 124	1 651 400 568	34,3802	10,5732	7,07496	0,84602	3713,4	1 09 72 99	1182
1183	1 399 489	1 655 595 487	34,3948	10,5762	7,07581	0,84531	3716,5	1 09 91 56	1183
1184	1 401 856	1 659 797 504	34,4093	10,5791	7,07665	0,84459	3719,6	1 10 10 15	1184
1185	1 404 225	1 664 006 625	34,4238	10,5821	7,07750	0,84388	3722,8	1 10 28 76	1185
1186	1 406 596	1 668 222 856	34,4383	10,5851	7,07834	0,84317	3725,9	1 10 47 38	1186
1187	1 408 969	1 672 446 203	34,4529	10,5881	7,07918	0,84246	3729,1	1 10 66 02	1187
1188	1 411 344	1 676 676 672	34,4674	10,5910	7,08003	0,84175	3732,2	1 10 84 67	1188
1189	1 413 721	1 680 914 269	34,4819	10,5940	7,08087	0,84104	3735,4	1 11 03 34	1189
1190	1 416 100	1 685 159 000	34,4964	10,5970	7,08171	0,84034	3738,5	1 11 22 02	1190
1191	I 418 481	1 689 410 871	34,5168	10,6000	7,08255	0,83963	3741,6	1 11 40 72	1191
1192	1 420 864	1 693 669 888	34,5253	10,6029	7,08339	0,83893	3744,8	1 11 59 44	1192
1193	1 423 249	1 697 936 057	34,5398	10,6059	7,08423	0,83822	3747,9	1 11 78 17	1193
1194	1425 636	1 702 209 384	34,5543	10,6089	7,08506	0,83752	3751,1	1 11 96 92	1194
1195	1 428 025	I 706 489 875	34,5688	10,6118	7,08590	0,83682	3754,2	1 12 15 68	1195
1196	1 430 416	1 710 777 536	34,5832	10,6148	7,08674	0,83612	3757,3	1 12 34 46	1196
1197	1 432 809	1 715 072 373	34,5977	10,6177	7,08757	0,83542	3760,5	1 12 53 26	1197
1198	1 435 204	1 719 374 392	34,6121	10,6207	7,08841	0,83472	3763,6	1 12 72 07	1198
1199	1 437 601	1 723 683 599	34,6266	10,6236	7,08924	0,83403	3766,8	1 12 90 89	1199
1200	1 440 000	1 728 000 000	34,6410	10,6266	7,09008	0,83333	3769,9	1 13 09 73	1200
26
Т I. Отд 1 Математика. 1. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади круга (Продолжение)
п	п-	л3	г- Vn	V"	In п	1000 п	тс П	тс Л2 ~т~	л
1200	1440 000	1 728 000 000	34,6410	10,6266	7,09008	0,83333	3769,9	1 13 09 73	1200
1201	1 442 401	1 732 323 601	34,6555	10,6295	7,09091	0,83264	3773,1	1 13 28 59	1201
1202	1 444 804	1 736 654 408	34,6698	10,6325	7,09174	0,83195	3776 2	1 13 47 46	1202
1203	1 447 209	1 740 992 427	34,6843	10,6351	7,09257	0,83125	3779,3	1 13 66 35	1203
1204	1 449 616	1 745 337 664	34,6987	10,6384	7,09340	0,83056	3782,5	1 13 85 26	1204
1205	1 452 025	1 749 690 125	34,7131	10,6413	7.С9423	0,82988	3785,6	1 14 04 18	1205
1206	1 454 436	1 754 049 816	34,7275	10,6413	7,09506. 0,82919 7,09589 0,82850		3788,8	1 14 23 11	1206
1207	1 456 849	1 758 416 743	34,7419	10,6472			3791,9	1 14 42 07	1207
1208	1459 264	1 762 790 912	34,7563	10,65)1	7,09672;	। 0,82781	3795,0	1 14 61 03	1208
1209	1 461 681	1 767 172 329	34,7707	10,6531	7,09755	0,82713	3798,2	1 14 80 02	1209
1210	1 464 100	1 771 561 000	34,7850	10,6560	7,09838	0,82645	3801,3	1 14 99 01	1210
1211	1 466 521	1 775 956 931	34,7994	10,6590	7,09920	0,82576	3804,5	1 15 18 03	1211
1212	1 468 944	1 780 360 128	34,8138	10,6619	7,10003	0,82508	3807,6	1 15 37 06	1212
1213	1 471 369	1 784 770 597	34,8281	10,6648	7,10085	0,82440	3810,8	1 15 56 11	1213
1214	1 473 796	1 789 188 344	34,8425	10,6678	7,10168	0,82372	3813,9	1 15 75 17	1214
1215	1 476 225	1 793 613 375	34,8558	10,6707	7,10250	0,82305	3817,0	1 15 94 24	1215
1216	1 478 656	1 798 045 696	34,8712	10,6736	7,10332	0,82237	3820,2	1 16 13 34	1216
1217	1 481 089	1 802 485’313	34,8855	10,6765	7,10414	0,82169	3823,3	1 16 32 45	1217
1218	1 483 524	1 896 932 232	34,8999	10,6795	7,10497	0,82102	3826,5	1 16 51 57	1218
1219	1 485 961	1 811 386 459	34,9142	10,6824	7,10579	0,82034	3829,6	1 16 70 71	1219
1220	1 488 400	1 815 848 000	34,9285	10,6853	7,10661	0,81967	3832,7	1 16 89 87	1220
1221	1 490 841	1 820 316 861	34,9428	10,6882	7,10743	0,81900	3835,9	1 17 09 04	1221
1222	1 493 284	1 824 793 048	34,9571	10,6911	7,10824 0.81833		3830,0	1 17 28 23	1222
im	1 4Q5 729	1 829 976 567	34,9714	1П GQ4Q	7,10906	; п 81766	3842,2	1 17 47 43	1"3
1224	1 498 176	1 833 767 424	34,9857	1О;697О	7*10988	0*81699	3845,3	1 17 66 65	1224
1225	1 500 625-	1 838 265 625	35,0000	10,6999	7,11070	0,81633	3848,5	1 17 85 88	1225
1226	1 503 076	1 842 771 176	35,0142	10,7028	7,11151	0,81566	3851,6	1 18 05 13	1226
1227	1 505 529	1 847 284 083	35,0286	10,7057	7,11233	0,81500	3854,7	1 18 24 40	1227
1228	1 507 984	1 851 804 352	35,0423	10,7086	7,11314	0,81433	3857,9	1 18 43 68	1228
1229	1 510 441	1 856 331 989	35,0571	10,7115	7,11396	0,81367	3861,0	1 18 62 98	1229
1230	1 512 900	1 860 867 ОСО	35,0713	10,7144	7,11477	0,81391	3864,2	1 18 82 29	1230
1231	1 515 361	1 865 409 391	35,0856	10,7173	7,11553	0,81235	3867,3	1 19 01 62	1231
1232	1 517 824	1 869 959 168	35,0999	10,7202	7,11639	0,81169	3870,4	1 19 20 96	1232
1233	1 520 289	1 874 516 337	35,1141	10,7231	7,11721	0,81103	3873,6	1 19 40 32	1233
1234	1 522 756	1 879 080 904	35,1283	10,7260	7,11802	0,81037	3876,7	1 19 59 70	1234
1235	1 525 225	1 883 652 875	35,1426	10,7289	7,11883	0,80972	3879,9	1 19 79 09	1235
1236	1 527 696	1 888 232 256	35,1568	10,7318	7,1196Г	0,80906	3883,0	1 19 98 50	1236
1237	1 530 169	1 892 819 053	35,1710	10,7347	7,12044	0,80841	3886,2	1 20 17 92	1237
1238	1 532 644	1 897 413 272	35,1852	10,7376	7,12125	0,80775	3889,3	1 20 37 36	1238
1239	1 535 121	1 902 014 919	35,1994	10,7405	7,12206	0,80710	3892,4	1 20 56 81	1239
1240	1 537 600	1 906 624 000	35,2137	10,7434	7,12287	0,80645	3895,6	1 20 76 28	1240
1241	1 540 081	1 911 240 521	35,2278	10,7463	7,12367	0,80580	3898,7	1 20 95 77	. 1241
1242	1 542 564	1 915 864 488	35,2420	10,7491	7,12448	0,80515	3901,9	1 21 15 27	1242
1243	1 545 049	1 920 495 907	35,2562	10,7520	7,12528	0,80451	3905,0	1 21 34 79	1243
1244	1 547 53b	1 925 134-784	35,2704	10,7549	7,12609	0,80386	3908,1	1 21 54 32	1244
1245	1 550 025	1 929 781 125	35,2845	10.7578	7,12689	0,80321	3911,3 3914,4	1 21 73 87	1245
1246	1 552 516	1 934 434 936	35,2987	10’7607	7,12769	0,80257		1 21 93 43	1246
1247	1 555 OOP	1 939 026 223	35,3128	10,7635	7,12850	0,80192	3917,6	1 22 13 01	1247
1248	1 557 5М	1 943 764 992	35,3270	10,7664	7,12930	0,80128	3920,7	1 22 32 61	1248
1249	1 560 001	1 948 441 249	35,3412	10,7693	7,13010	0,80064	3923,8	1 22 52 22	1249
1250	1 562 500	1 953 125 000	35,3553	10,7722	7,13090l 0.80U00		3927,Ol 1 22 71 85		1250
Таблица 1
27
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади Круга (Продолжение)
п	л2	л8	Vп	|У7	In п	1000	п Л	к л2 ~4~~	л
						п			
1250	1 562 500	1 953 125 000	35,3553	10,7722	7,13090	0,80000	1 3927,0	1 22 71 85	1250
1251	1 565 001	1 957 816 251	35,3695	10,7750	7,13170	0,79936	3930,1	1 22 91 49	1251
1252	1 567 504	1 962 515 008	35,3836	10,7779	7,13250	0,79872	3933,3	1 23 И 15	1252
1253	1 570 009	1 967 221 277	35,3977	10,7808	7,13330	0,79808	3936,4	1 23 30 82	1253
1254	1 572 516	1 971 935 064	35,4119	10,7836	7,13409	0,79745	3939,6	1 23 50 51	1254
1255	1 575 025	1 976 656 375	35,4260	10,7865	7,13489	0,79681	3942,7	1 23 70 22	1255
1256	1 577 536	1 981 385 216	35,4401	10,7894	7,13569	0,79618	3945,8	1 23 89 94	1256
1257	1 580 049	1 986 121 593	35,4542	10,7922	7,13648	0,79555	3949,0	1 24 09 68	1257
1258	1 582 564	1 990 865 512	35,4683	10,7951	7,13728	0,79491	3952,1	1 24 29 43	1258
1259	1 585 С81	1 995 616 979	35,4824	10,7980	7,13807	0,79428	3955,3	1 24 49 20	1259
1260	1 587 600	2 000 376 000	35,4965	10,8008	7,13887	0,79365	3958,4	1 24 68 98	1260
1261	1 590 121	2 005 142 581	35,5105	10,8037	7,13966	0,79302	3961,5	1 24 88 78	1261
1262	1 592 644	2 009 916 728	35,5246	10,8065	7,14045	0,79239	3964,7	1 25 08 60	1262
1263	1 595 169	2 014 698 447	35,5387	10,8094	7,14125	0,79177	3967,8	1 25 28 43	1263
1264	1 597 696	2 019 487 744	35,5528	10,8122	7,14204	0,79114	3971,0	1 25 48 28	1264
1265	1 600 225	2 024 284 625	35,5669	10,8151	7,14283	0,79051	3974,1	1 25 68 14	1265
1266	1 602 756	2 029 089 096	35,5809	10,8179	7,14362	0,78989	3977,3	1 25 88 02	1266
1267	1 605 289	2 033 901 163	35,5950	10,8208	7,14441	0,78927	3980,4	1 26 07 91	1267
1268	1 607 824	2 038 720 832	35,6090	10,8236	7,14520	0,78864	3983,5	1 26 27 82	1268
1269	1 610 361	2 043 548 1С9	35,6231	10,8265	7,14598	0,78892	3986,7	1 26 47 75	1269
1270	1 612 900	2 048 383 000	35,6371	10,8293	7,14677	0,78740	3989,8	1 26 67 69	1270
1271	1 615 441	2 053 225 511	35,6511	10,8322	7,14756	0,78678	3993,0	1 26 87 64	1271
1272	1 617 984	2 G58 075 648	35,6651	10,8350	7,14835	0,78616	3996,1	1 27 07 62	1272
1273	1 620 529	2 С62 933 417	35,6791	10,8378	7,14913	0,78555	3999,2	1 27 27 61	1273
1274	1 623 076	2 067 798 824	35,6931	10,8497	7,14992	0,78493	4002,4	1 27 47 61	1274
1275	1 625 625	2 072 671 875	35,7072	10,8435	7,15070	0,78431	4005,5	1 27 67 63	1275
1276	1 628 176	2 077 552 576	35,7211	10,8463	7,15149	0,78370	4008,7	1 27 87 66	1276
1277	1 630 729	2 082 440 933	35,7351	10,8491	7,15227	0,78309	4011,8	1 28 07 72	1277
1278	1 633 284	2 087 336 952	35,7491	10,8520	7,15305	0,78247	4015,0	1 28 27 78	1278
1279	1 635 841	2 092 240 639	35.76Л	10,8548	7,15383	0,78186	4018,1	1 28 47 87	1279
1280	1 638 400	2 097 152 000	35,7771	10,8577	7,15462	0,78125	4021,2	1 28 67 96	1280
1281	1 64Э 961	2 102 071 041	35,7910	10,8605	7,15540	0,78064	4024,4	1 28 88 08	1281
1282	1 643 524	2 106 997 768	35,8050	10,8633	7,15618	0,78003	4027,5	1 29 08 21	1282
1283	1 646 089	2 111 932 187	35,8190	10,8661	7,15696	0,77942	4030,7	1 29 28 35	1283
1284	1 648 656	2 116 874 304	35,8330	10,8690	7,15774	0,77882	4033,8	1 29 48 51	1284
1285	1 651 225	2 121 824 125	35,8469	10,8718	7,15851	0,77821	4036,9	1 29 68 69	1285
1286	1 653 796	2 126 781 656	35,8609	10,8746	7,15929	0,77760	4040,1	1 29 88 88	1286
1287	1 656 369	2 131 746 903	35,8748	10,8774	7,16007	0,77700	4043,2	1 30 09 09	1287
1288	1 658 944	2 136 719 872	35,8888	10,8802	7,16085	0,77640	4046,4	1 30 29 32	1288
1289	1 661 521	2 141 700 569	35,9026	10,8830	7,16162	0,77580	4049,5	1 30 49 56	1289
1290	1 664 100	2 146 689 000	35,9166	10,8859	7,16240	0,77519	4052,7	1 30 69 81	1290
1291	1 666 681	2 151 685 171	35,9305	10,8887	7,16317	0,77459	4055,8	1 30 90 08	1291
1292	1 669 264	2 156 689 С88	35,9445	10,8915	7,16з95	0,77399	4058,9	1 31 10 37	1292
1293	1 671 849	2 161 700 757	35,9583	10,8943	7,16472	0,77340	4062,1	1 31 30 67	1293
1294	1 674 436	2 166 720 184	35,9722	10,8971	7,16549	0,77280	4065,2	1 31 50 99	1294
1295	1 677 025	2 171 747 375	35,9861	10,8999	7,16627	0,77220 0,77160	4068,4	1 31 71 32	1295
1296	1 679 616	2 176 782 336	36,0000	10,9027	7,16704		4071,5	1 31 91 67	1296
1297	1 682 209	2 181 825 073	36,0139	10,9055	7,16781	0,77101	4074,6	1 32 12 04	1297
1298	1 684 804	2 186 875 592	36,0278	10,9083	7,16858	0,77042	4077,8	132 32 42	1298
1299	1 687 401	2 191 933 899	36,0416	10,9111	7,16935	0,76982	4080,9	1 32 52 82	1299
1300	1 690 000	2 197 000 000	36,0555	10,9139	7,17012	0,76923	4084,1'	1 32 73 23	1300
28
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности и площади Круга (Продолжение)
п	Л2	л®		з/— Vя	In л	1000 п	кгг	тс л2 ~4	1 п 1
1300	1 690 000	2 197 000 000	36,0555	10,9139	7,17012	0,76923	4084,1’	1 32 73 23	1300
1301	1 692 601	2 202 073 901	36,0693	10,9167	7,17089	0,76864	4087,2	1 32 93 66	1301
1302	1 695 2(4	2 207 155 6С8	36,0832	10,9195	7,17166	0,76805	4090,4	1 33 14 10	1302
1303	1 697 809	2 212 245 127	36,0971	10,9223	7,17242	0,76746	4093,5	1 33 34 56	1303
1304	1 700 416	2 217 342 464	36,1109	10,9252	7,17319	0,76687	4096,6	1 33 55 04	1304
1305	1 703 025	2 222 447 625	36,1248	10,9279	7,17396	0,76628	4099,8	1 33 75 53	1305
1306	1 705 636	2 227 560 616	36,1386	10,9307	7,17472	0,76570	4102,9	1 33 96 03	1306
1307	1 708 249	2 232 681 443	36,1525	10,9335	7,17549	0,76511	4106,1	1 34 16 56	1307
1308	1 710 864	2 237 810 112	36,1663	10,9363	7,17625	0,76453	4109,2	1 34 37 09	1308
1309	1 713 481	2 242 946 629	36,1801	10,9390	7,17702	0,76394	4112,3	1 34 57 65	1309
1310	1 716 100	2248 091 000	36,1939	10,9418	7,17778	0,76336	4115 5	1 34 78 22	1310
1311	1718 721	2 253 243 231	36,2077	10,9446	7,17855	0,76278	4118,6	1 34 98 80	1311
1312	1 721 344	2 258 403 328	36,2216	10,9474	7,17931	0,76220	4121,8	1 35 19 40	1312
1313	1 723 969	2 263 571 297	36,2354	10,9502	7,18007	0,76161	4124,9	1 35 40 02	1313
1314	1 726 596	2 268 747 144	36,2491	10,9530	7,18083	0,76104	4128,1	1 35 60 65	1314
1315	1 729 225	2 273 930 875	36,2629	10,9557	7,18159	0,76046	4131,2	1 35 81 30	1315
1316	1 731 856	2 279 122 496	36,2767	10,9585	7,18235	0,75988	4134,3	1 36 01 97	1316
1317	1 734 489	2 284 322 013	36,2905	10,9613	7,18311	0,75°30	4137,5	1 36 22 64	1317
1318	1 737 124	2 289 529 432	36,3043	10,9641	7,18387	0,75873	4140,6	1 36 43 34	1318
1319	1 739 761	2 294 744 759	36,3180	10,9668	7,18463	0,75815	4143,8	1 36 64 05	1319
1320	1742 400	2 299 968 000	36,3318	10,9696	7,18539	0,75758	4146,9	1 36 84 78	1320
1321	1 745 041	2 305 199 161	36,3455	10,9724	7,18614	0,75700	4159,0	1 37 05 52	1321
1322	1 747 684	2 310 438 248	36,3593	10,9751	7,18690	0,75643	4153,2	1 38 26 28	1322
1 909	1	ООП Л / UU U4CZ	2 315 685 267	36,3731	in 9779	7 18766	0 75586 0*75529	4156,3	1 37 47 05	1323
1324	1 752 976	2 320 940 224	36,3868	16’9807	7,18841		4159,5	1 37 67 84	1324
1325	1 755 625	2 326 203 125	36,4006	10,9834	7,18917	0,75472	4162,6	1 37 88 65	1325
1326	1 758 276	2 331 473 976	36,4143	10,9862	7,18992	0,75415	4165,8	1 38 09 47	1326
1327	1 760 929	2 336 752 783	36,4280	10,9890	7,19068	0,75358	•4168,9	1 38 30 30	1327
1328	1 763 584	2 242 039 552	36,4417	10,9917	7,19143	0,753°1	4172,0	1 38 51 16	1328
1329	1 766 241	2 347 334 289	36,4555	10,9945	7,19218	0,75245	4175,2	1 38 72 02	1329
1330	1 768 900	2352 637 000	36,4692	10,9972	7,19293	0,75188	4178,3	1 38 92 91	1330
1331	1 771 561	2 357 947 691	36,4828	11,0000	7,19369	0,75131	4181,5	1 39 13 81	1331
1332	1 774 224	2 363 266 368	36,4966	11,0027	7,19444	0,75075	4184,6	1 39 34 72	1332
1333	1 776 889	2 368 593 037	36,5103	11,0055	7,19519	0,75019	4187,7	1 39 55 65	1333
1334	1 779 556	2373 927 704	36,5240	11,0083	7,19594	0,74963	4190,9	1 39 76 60	1334
1335	1 782 225	2 379 270 375	36,5376	11,0110	7,19669	0,74906	4194,0	1 39 97 56	1335
1336	1 784 896	2 384 621 056'	36,5513	11,0138	7,19744	0,74850	4197,2	1 40 18 54	1336
1337	1 787 569	2 389 979 753	36,5650	11,0165	7,19818	0,74794	4200,3	1 40 39 53	1337
1338	1790 244	2 395 346 472	36,5787	11,0193	7,19893	0,74738	4203,5	1 40 60 54	1338
1339	1 792 921	2 400 721 219	36,5924	11,0220	7,19968	0,74683	4206,6	1 40 81 57	1339
1340	1 795 600	2 406 104 000	36,6060	11,0247	7,20042	0,74627	4209,7	1 41 02 61	1340
1341	1 798 281	2 411 494 821	36,6197	11,0275	7,20117	0,74571	4212,9	1 41 2367	1341
1342	1 800 964	2 416 893 688	136,6334	11,0302	7,20192	0,74516	4216,0	1 41 44 74	1342
1343	1 803 649	2 422 300 607	136,6470	11,0330	7,20266	0,74460	4219,2	1 41 65 83	1343
1344	1 806 336	2 427 715 584	36,6606	11,0357	7,20341	0,74405	4222,3	1 41 86 93	1344
1345	1 809 025	2 433 138 625	36,6742	11,0384	7,20415	0,74349	4225,4	1 42 08 05	1345
1346	1 811 716	2 438 569 736	36,6879	11,0412	7,20489	0,74294	4228,6	1 42 29 18	1346
1347	1 814 409	2 444 008 923	36,7015	11,0439	7,20564	0,74239	4231,7	1 42 50 33	1347
1348	1 817 104	2 449 456 192	36,7151	11,0466	7,20638	0,74184	4234,9	1 42 71 50	1348
1349	I 819 801	2 454 911 549	36,7287	11,0494	7,20712	0,74129	4238,0	1 42 92 68	1349
1350	1 822 500	2 460 375 000	36,7423	11,0521	7,20786	। 0,74074	4241,2	1 43 13 88 1 350	
Таблица 1
29
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности И площади круга (Продолжение)
п	гГ		Vn	3 / — Vя	in п	1000 \ —	тс П	тс л2 ~4~	i.
1350	1 822 500	2 460 375 000	36,7423	11,0521	7,20786	0,74074	4241,2	1 43 13 88	1350
1351	1 825 201	2 465 846 551	36,7560	11,0548	7,20860	0,74019	4244,3	1 43 35 10	1351
1352	1827 904	2 471 326 208	36,7695	11,(575	7,20934	0,73965	4247,4	1 43 56 32	1352
1353	1 830 609	2 476 813 977	36,7832	11,0603	7,21008	0,73910	4250,6	1 43 77 57	1353
1354	1 833 316	2 482 309 864	36,7968	11,0630	7,21082	0,73855	4253,7	1 43 98 83	1354
1355	1 836 025	2 487 813 875	36,8103	11,0657	7,21156	0,73801	4256,9	1 44 20 11	1355
1356	1 838 736	2 493 326 016	36,8239	11,0684	7,21229	0,73747	4260,0	1 44 41 40	1356
1357	1 841 449	2 498 846 293	36,8375	11,0712	7,21303	0,73692	4263,1	1 44 62 71	1357
1358	1 844 164	2 504 374 712	36,8511	11,0739	7,21377	0,73638	4266,3	1 44 84 03	1358
,1359	1846 881	2 509 911 279	36,8646	11,0766	7,21450	0,73584	4269,4	1 45 05 37	1359
1360	1 849 600	2 515 456 000	36,8782	11,0793	7,21524	0,73529	4272,6	1 45 26 72	1360
1361	1 852 321	2 521 ОС-8 881	36,8917	11,0820	7,21598	0,73475	4275,7	1 45 48 10	1361
1362	1 855 044	2 526 569 928	36,9053	11,0847	7,21671	0,73421	4278,8	1 45 69 48	1362
1363	1 857 769	2 532 139 147	36,9188	11,0875	7,21744	0,7з368	4282,0	1 45 90 88	1363
1364	1 860 496	2 537 716 544	36,9323	11,0902	7,21818	0,73314	4285,1	1 46 12 39	1364
1365	1 863 225	2 543 302 125	36,9460	11,0929	7,21891	0,73260	4288,3	1 46 33 73	1365
1366	1 865 956	2 548 895 896	36,9595	11,0956	7,21964	0,732(6	4291,4	1 46 55 18	1366
1367	1 868 689	2 554 497 863	36,9730	11,0983	7,22037	0,73153	4294,6	1 46 76 65	1367
1368	1 871 424	2 560 108 032	36,9865	11,1010	7,22111	0,73099	4297,7	1 46 98 13	1368
1369	1 874 161	2 565 726 409	37,0000	11,1037	7,22184	0,73046	4300,8	1 47 19 63	1369
1370	1 876 900	2 571 353 000	37,0135	11,1064	7,22257	0,72993	4304,0	1 47 41 14	1370
1371	1 879 641	2 576 987 811	37,0270	11,1091	7,22330	0,72939	4307,1	1 47 62 67	1371
1372	1 882 384	2 582 630 848	37,0405	11,1118	7,22402	0,72886	4310,3	1 47 84 21	1372
1373	1 885 129	2 588 282 117	37,0540	11,1145	7,22475	0,72833	4313,4	1 48 05 77	1373
1374	1 887 876	2 593 941 624	37,0675	11,1172	7,22548	0,72780	4dl6,5	1 48 27 34	1374
1375	1 890 625	2 599 609 375	37,0810	11,1199	7,22621	0,72727	4319,7	1 48 48 93	1375
1о76	1 893 376	2 605 285 376	37,0945	11,1226	7,22694	0,72674	4322,8	1 48 70 54	1376
1377	1 896 129	2 610 969 633	37,1079	11,1253	7,22766	0,72622	4326,С	1 48 92 16	1377
1378	1 898 884	2 616 662 152	37,1214	11,1280	7,22839	0,72569	4329,1	1 49 13 80	1378
1379	1 901 641	2 622 362 939	37,1349	11,1307	7,22Л1	0,72516	4332,3	1 49 35 45	1379
1380	1 904 400	2 628 072 000	37,1484	11,1334	7,22984	0,72464	4335,4	1 49 57 12	1380
1381	1 907 161	2 633 789 341	37,1618	11,1361	7,23056	0,72411	4338,5	1 49 78 81	1381
1382	1 909 924	2 639 514 968	37,1753	11,1387	7,23129	0,72359	4341,7	150 00 51	1382
1383	1 912 689	2 645 248 887	37,1887	11,1414	7,23201	0,72307	4344,8	1 50 22 22	1383
1384	1 915 456	2 650 991 104	37,2022	11,1441	7,23273	0,72254	4348,0	1 50 43 96	1384
1385	1 918 225	2 656 741 625	37,2156	11,1468	7,23346	0,72202	4351,1	1 50 65 70	1385
1386	1 920 996	2 662 500 456	37,2290	11,1495	7,23418	0,72150	4354,2	1 50 87 47	1386
1387	1 923 769	2 668 267 603	37,2424	11,1522	7,23490	0,72098	4357,4	1 51 09 25	1387
1388	1 926 544	2 674 043 072	37,2559	11,1548	7,23562	0,72046	4360,5	1 51 31 04	1388
1389	1 929 321	2 679 826 869	37,2693	11,1575	7,23634	0,71994	4363,7	1 51 52 85	1389
1390	1 932 100	2 685 619 000	37,2827	11,1602	7,23706	0,71942	4366,8	1 51 74 68	1390
1391	1 934 881	2 691 419 471	37,2961	11,1629	7,23778	0,71891	4370,0	1 51 96 52	1391
1392	1 937 664	2 697 228 288	37,3095	11,1655	7,23850	0,71839	4373,1	1 52 18 38	U92
1393	1.940 449	2 703 045 457	37,3229	11 1682	7,23921	0,71787	4376,2	1 52 40 25	1393
1394	1 943 236	2 708 870 984	37,3363	11,1709	7,2з993	0,71736	4379,4	1 52 62 14	1394
1395	1 946 025	2 714 704 875	37,3497	11,1735	7,24065	0,71685	4382,5	1 52 84 04	1395
1396	1 948 816	2 720 547 136	37,3630	11,1762	7,24137	0,71633	4385,7	1 53 05 97	1396
1397	1 951 609	2 726 397 773	37,3765	11,1789	7,242(8	0,71582	4388,8	1 53 27 90	1397
1398	1 954 404	2 732 256 792	37,3899	11,1816	7,24280	0,71531	4391,9	1 53 49 85	1398
1399	1 957 201	2 738 134 199	37,4032	11,1842	7,24351	0,71480	4395,1	1 53 71 82	1399
1400	1 06П000	9 714 000 000	37.4166	11.186Q	7.24423	0,71429	4308,7	1 53 «3 ВО	1400
30
Т. I. Отд 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 1: Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
		л»			In п	1000 п	тг п	пп- ~4~	п
1400	1 960 000	2 744 000 000	37,4166	11,1869	7,24423	0,71429	4398,2	1 1 53 93 80	14С0
1401	1 262 801	2 749 884 201	37,4299	11,1896	7,24494	0,71378	4401,4	1 54 15 80	1401
1402	1 965 604	2 755 776 8( 8	37,4433	11,1922	7,24566	0,71327	4404,5	1 54 37 82	1402
1403	1 968 409	2 761 677 827	37,4567	11,1949	7,24637	0,71276	4407,7	1 54 59 85	1403
1404	1 971 216	2 767 587 264	37,4700	11,1975	7,24708	0,71225	4410,8	1 54 81 89	1404
1405	1 974 025	2 773 505 125	37,4833	11,2002	7,24779	0,71174	4413,9	1 55 03 96	1405
1406	1 976 836	2 779 431 416	37,4966	11,2028	7,24850	0,71124	4417,1	1 55 26 03	1406
1407	1 979 649	2 785 366 143	37,5100	11,2055	7,24922	0,71073	4420,2	1 55 48 13	1407
1408	1 282 464	2 791 309 312	37,5233	11,2082	7,24993	0,71023	4423,4	1 55 70 24	1408
1409	1 985 281	2 797 260 929	37,5366	11,2108	7,25064	0,70972	4426,5	1 55 92 36	1409
1410	1 988 100	2 8Р3 221 000	37,5500	11,2135	7,25134	0,70922	4429,6	1 56 14 50	1410
1411	1 990 921	2 809 189 531	37,5633	11,2161	7,25205	0,70872	4432,8	1 56 36 66	1411
1412	1 993 744	2 815 166 528	37,5766	11,2188	7,25276	0,70822	4435,9	1 56 58 83	1412
1413	1 996 569	2 821 151 997	37,5899	11,2214	7,25347	0,70771	4439,1	1 56 81 02	1413
1414	1 999 326	2 827 145 944	37,6032	11,2240	7,25418	0,70721	4442*2	1 57 03 22	1414
1415	2 002 225	2 833 148 375	37,6165	11,2267	7,25488	0,70671	4445,4	1 57 25 44	1415
1416	2 005 056	2 839 159 296	37,6298	11,2293	7,25559	0,70621	4448,5	1 57 47 67	1416
1417	2 007 889	2 845 178 713 2 851 206 632	37,6431	11,2320	7,25630	0,70572	4451,6	1 57 69 92	1417
1418	2 010 724		37,6563	11,2346	7,25700	0,70522	4454,8	1 57 92 19	1418
1419	2 013 561	2 857 243 059	37,6696	11,2373	7,25771	0,70472	4457,9	1 58 14 47	1419
1420	2 016 400	2 863 288 000	37,6829	11,2399	7,25841	0,70423	4461,1	1 58 36 77	1420
1421	2 019 241 \2 869 341 461		37,6962	11,2425	7,25912	0,70373	4464,2	1 58 59 08	1421
1422	2 022 084	2 875 403 448	37,7094	11,2452	7,25982	0,70323	4467,3	1 58 81 41	1422
1423	2 024 929	12 881 473 967	37.7227	11.2478	7.26052	0.70274	4470,5	1 KQ ОЯ 7А	1423
1424	2 027 776	'2 887 553 024	37,7359	11,2504	7,26123	0,70225	4473*6	1 59 26 i2	1424
1425	2 030 625	•г 893 640 625	37,7492	11,2531	7,26193	0,70175	4476,8	1 59 48 49	1425
1426	2 033 476	2 899 736 776	•37,7625	11,2557	7,26263	0,70126	4479,9	1 59 70 88	1426
1427	2 036 329	! 2 9(5 841 483	'61;ПЫ	11,2584	7,26333	0,70077	4483,1	1 59 93 29	1427
1428	2 039 184	2 911 954 752	37,7889	11,2610	7,26403	0,70028	4486,2	1 60 15 71	1428
1429	2 042 041	2 918 076 589	37,8021	11,2636	7,26473	0,69979	4489,3	1 60 38 15	1429
1430	2 044 900	2 924 207 000	37,8153	11,2662	7,26543	0,69930	4492,5	1 60 60 61	1430
1431	2 047 761	2 930 345 991	37,8286	11,2689	7,26613	0,69881	4495,6	1 60 83 08	1431
1432	2 050 624	i2 936 493 568	37,8418	11,2715	7,26683	0,69832	4498,8	1 61 05 56	1432
1433	2 053 489	\2 942 649 737	37,8550	11,2741	7,26753	0,69784	4501,9	1 61 28 06	1433
1434	2 056 356	2 948 814 504	37,8682	11,2767	7,26822	0,69735	4505,0	1 61 50 58	1434
1435	2 059 225	•2 954 987 875	37,8814	11,2793	7,26892	0,69686	4508,2	1 61 73 12	1435
1436	2 С62 GS6	12 961 169 856	37,89^6	11,2820	7,26962	0,69638	4511,3	1 61 95 66	1436
1437	2 064 969 2 967 360 453		37,9078	11,2846	7,27031	0,69589	4514,5	1 62 18 23	1437
1438	2С67 844 2 973 559 672		37,9210	11,2872	7,27101	0,69541	4517,6	1 62 40 81	1438
1439	2 070 721	2 979 767 519	37,9341	11,2898	7,27170	0,69493	4520,8	1 62 63 40	1439
1440	2 073 600	2 985 984 000	37,9473	11,2924	7,27240	0,69444	4523,9	1 62 86 02	1440
1441	2 076 481	2 992 209 121	37,9605	11,2951	7,27309	0,69396	4527,0	1 63 08 64	1441
1442	2 079 364	2 998 442 888	37,9737	11,2976	7,27379	0,69348	4530,2	1 63 31 29	1442
1443	2 082 249	[3 004 685 307	37,9868	11,3002	7,27448	0,69300	4533,3	1 63 53 95	1443
1444	2 С85 136	3 010 936 384	38,0000	11,3029	7,27517	0,69252	4536,5	1 63 76 62	1444
1445	2 088 025	'з 017 196 125	38,0132	11,3055	7,27586	0,69204	4539,6	1 63 99 31	1445
1446	2 090 916	3 023 464 536	38,0263	11,3081	7,27656	0,69156	4512,7	1 64 22 02	1446
1447	2 093 809	3 029 741 623	38,0395	11,3107	7,27725	0.69Ю9	4545,9	1 64 44 74	1447
1448	2 096 704	3 036 027 392	38,0526	11,3133	7,27794	0,69061	4549,0	1 64 67 47	1448
1449	2 099 601	3 042 321 849	38,0657	11,3159	7,27863	0,69013	4552,2	1 64 90 23	1449
1450	2 102 500	Я 048 625 000	38 0788	11.3185	7,27932	0,68966	4555,3	1 65 13 00	1450
Таблица 1
31
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы,.обратные
величины, окружности И площади круга (Продолжение)
п		л’			In л	1000 п	п п	тс Л* 4	п
145	2 102 500	3 048 625 000	38,0788	11,3185	7,27932	0,68966	4555,3	1 65 13 00	1453
1451 1452 1453 1454	2 105 401	3 054 936 851	38,0^20	11,3211	7,28001	0,68918	4558,5	1 65 35 78	1451
	2 108 304	3 061 257 408	38,1051	11,3237	7,28070	0,68871	4561,6	1 65 58 58	1452
	2 111 209	3 067 586 677	38,1183	11,3263	7,28139	0,68823	4564,7	1 65 8Г40	1453
	2 114 116	3 073 924 664	38,1313	11,3289	7,28207	0,38776	4567,9	1 66 04 23	1454
1455	2 117 025	3 080 271 375	38,1445	11,3315	7,28276	0,68729	4571,0	1 66 27 08	1455
1456	2 119 936	3 086 626 816	38,1575	11,3341	7,28345	0,68681	4574,2	1 66 49 94	1456
1457	2 122 849	3 092 990 993	38,1707	11,3367	7,28413	0,68634	4577,3	1 66 72 82	1457
1458	2 125 764	3 099 363 912	38,1838	11,3393	7,28482	0,68587	4580,4	1 66 95 71	1458
1459	2 128 681	3 105 745 579	38,1969	11,3419	7,28551	0,68540	4583,6	1 67 18 62	1459
1460	2 131 600	3 112 136 000	38,2100	11,3445	7,28619	0,68493	4586,7	1 67 41 55	1460
1461	2 134 521	3 118 535 181	38,2230	11,3471	7,28688	0,68446	4589,9	1 67 64 49	1461
1462	2 137 444	3 124 943 128	38,2361	11,3496	7,28756	0,68399	45пЗ,0	1 67 87 45	1462
1463	2 140 369	3 131 359 847	38,2492	11,3522 1 с,3548	7,28824	0,68353	45с6,2	1 68 10 42	1463
1464	2 143 296	3 137 785 344	38,2622		7,28893	0,68306	4599,3	1 68 33 41	1464
1465	2 146 225	3 144 219 625	38,2753	11,3574	7,28961	0,68259	46г2,4	1 68 56 41	1465
1466	2 149 156	3 150 662 696	38,2884	11,3600	7,29029	0,68213	46-5,6	1 68 79 43	1466
1467	2 152 089	3 157 114 563	38,3015	11,3626	7,29097	0,68166	46' 8,7	1 69 02 47	1467
1468	2 155 024	3 163 575 232	38,3145	11,3652	7,29166	0,68120	4611,9	1 69 25 52	1468
1469	2 157 961	3 170 044 709	38,3275	11,3677	7,29234	0,68074	4615,0	1 69 48 59	1469
1470	2 160 900	3 176 523 000	38,3406	11,3703	7,29302	0,68027	4618,1	1 69 71 67	1470
1471	2 163 841	3 183 010 111	38,3536	11,3729	7,29370	0,67981	4621,3	1 69 94 77	1471
Р72	2 166 784	3 189 506 048	38,3666	11,3755	7,29438	0,67935	4624,4	1 70 17 88	1472
1473	2 169 729	3 196 010 817	38,3797	11,3780	7,295°6	0,67889	4627,6	1 70 41 01	1473
1474	2 172 676	3 202 524 424	38,3927	11,3806	7,29574	0,67843	4630,7	1 70 64 16	1474
1475	2 175 625	3 209 046 875	38,4057	11,3832	7,29641	0,67797	4633,8	1 70 87 32	1475
1476	2 178 576	3 215 578 176	38,4187	11,3858	7,29709	0,67751	4637,0	1 71 10 50	1476
1477	2 181 529	3 222 118 333	38,4317	11,3883	7,29777	0,67705	4640,1	1 71 33 69	1477
1478	2 184 484	3 228 667 352	38,4447	11,3909	7,29845	0,67659	4643,3	1 71 56 90	1478
1479	2 187 441	3 235 225 239	38,4578	11,3935	7,29912	0,67613	4646,4	1 71 80 12	1479
1480	2 190 400	3 241 792 000	38,4708	11,3960	7,29980	0,67568	4649,6	1 72 03 36	1480
1481	2 193 361	3 248 367 641	38,4838	11,3986	7,30047	0,67522	4652,7	1 72 26 62	1481
1482	2 196 324	3 254 952 168	38,4967	11,4012	7,30115	0,67476	4655,8	1 72 49 89	1482
1483	2 199 239	3 261 545 587	38,5097	11,4037	7,30182	0,67431	4659,0	1 72 73 18	1483
1484	2 202 256	3 268 147 904	38,5227	11,4063	7,30250	0,67385	4662,1	1 72 96 48	1484
1485	2 205 225	3 274 759 125	38,5357	11,4088	7,30317	0,67340	4665,3	1 73 19 80	1485
1486	2 208 196	3 281 379 256	38,5487	11,4114	7,30384	0,67295	4668,4	1 73 43 13	I486
1487	2 211 169	3.288 008 303	38,5616	11,4140	7,30452	0,67250	4671,5	1 73 66 48	1487
1488	2 214 144	3 294 646 272	38,5746	11,4165	7,30519	0,67204	4674,7	1 73 89 85	1488
1489	2 217 121	3 301 293 169	38,5876	11,4191	7,30586	0,67159	4677,8	1 74 13 23	1489
1490	2 220 100	3 307 949 000	38,6005	11,4217	7,30653	0,67114	4681,0	1 74 36 62	1490
1491	2 223 081	3 314 613 771	38,6135	11,4242	7,30720	0,670-69	4684,1	1 74 60 04	1491
1492	2 226 064	3 321 287 488	38,6264	11,4268	7,30787	0,67024	4687,3	1 74 83 47	1492
1493	2 229 049	3 327 970 157	38,6394	11,4293	7,3Г854	0,66979	4690,4	1 75 06 91	1493
1494	2 232 036	3 334 661 784	38,6523	11,4319	7,30921	0,66934	4693,5	1 75 30 37	1494
1495	2 2^5 025	3 341 362 375	38,6652	11,4344	7,30988	0,66890	4696,7	175 53 85	1495
1496	2 2о8 016	3 348 071 936	38,6782	11,4370	7,31055	0,66845	4699,8	1 75 77 34	14-6
1197	2 241 009	3 354 790 473	38,6911	11,4395	7,31122	0,66800	47> 3,0	1 76 00 84	1497
1498	2 244 004	3 361 517 992	38,7040	11,4421	7,31189	0,66756	4706,1	1 76 24 37	1498
1499	2 247 001	3 368 254 499	38,7169	11,4446	7,31255	0,66711	4709,2	1 76 47 90	1499
1500	1 250 000	3 375 000 000	38,7299	11,4471	7,31322	0,66667	4712,4,	1 76 71 46	1500
32
Т. I. Отд. 1. Математика. 1. Таблицы
Таблица 2. Мантиссы обыкновенных логарифмов
N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
100	осоо	0004	0009	0013	0017	0022	0026	0030	0035	0039
101	0'43	0048	0052	0056	0060	0065	0069	0073	0077	0082
102	0086	0090	0095	0099	0103	0107	0111	0116	0120	0124
103	0128	0133	0137	0141	0145	0149	0154	0158	0162	0166
104	С170	0175	0179	0183	0187	0191	0195	0199	0204	0208
105	0212	0216	022 Э	0224	0228	0233	0237	0241	0245	0249
106	0253	0257	0261	0265	0269	0273	0278	0282	(286	0290
107	0294	0298	С 302	С306	0310	0314	0318	0322	0326	0330
108	С334	0338	0342	0346	0350	0354	0358	0362	0366	0370
109	0374	0378	0382	0386	0390	0394	0398	0402	04С6	0419
110	0414	0418	0422	1426	0430	0434	С438	0441	0445	0449
11	0414	G453	0492	0531	0569	0607	0645	0682	0719	0755
12	0792	0828	(864	0899	0934	0969	1004	1038	1072	1106
13	1139	1173	1206	1239	1271	1303	1335	1367	1399	1'430
14	1461	1492	1523	1553	1584	1614	1644	1673	1703	1732
15	1761	1790	1818	1847	1875	1903	1931	1959	1987	2014
16	2041	2С68	2095	2122	2148	2175	2201	2227	2253	2279
17	2304	2330	2355	2380	24(5	2430	2455	2480	2504	2529
18	2553	2577	2601	2625	2648	2672	2695	2718	2742	2765
19	2788	2810	2833	2856	2878	2900	2923	2945	2967	2989
20	ЗОЮ	3032	3054	3075	3096	3118	3139	3160	3181	3201
21	3222	3243	3263	3284	3304	3324	3345	3365	3385	3404
22	3424	3444	3464	3483	3502	3522	3541	3560	3579	3598
23	3617	3636	3655	3674	3692	3711	3729	3747	3766	3784
24	3802	3820	3838	3856	3874	3892	3909	3927	3945	3962
25	3979	3997	4014	4031	4048	4065	4082	4099	4116	4133
26	4150	4166	4183	42С0	4216	4232	4249	4265	4281	4298
27	4314	4330	4346	4362	4378	4393	4409	4425	4440	4456
28	4472	4487	4502	4518	4533	4548	4564	4579	4594	4609
29	4624	4639	4654	4669	4683	4698	4713	4728	4742	4757
30	4771	4786	4800	4814	4829	4843	4857	4871	4886	4900
31	4914	4928	4942	4955	4969	4983	4997	5011	5024	5038
32	5051	5065	5079	5092	5105	5119	5132	5145	5159	5172
33	5185	5198	5211	5224	5237	5250	5263	5276	5289	5302
34	5315	5328	5340	5353	5366	5378	5391	5403	5416	5428
35	5441	5453	5465	5478	5490	5502	5514	5527	5539	5551
36	5663	5575	5587	5599	5611	5623	5635	5647	5658	5670
37	5682	5694	5705	5717	5729	5740	5'52	5763	5775	5786
38	5798	5809	5821	5832	5843	5855	5866	5877	5888	5899
39	5911	5922	5933	5944	5955	5966	5977	5988	5999	6010
40	6021	6031	6042	6053	6064	6075	6085	6 96	6107	6117
41	6128	6138	6149	6160	6170	6180	6191	6_01	6212	6222
42	6232	6243	6-53	6263	6274	6284	6194	6304	6314	6325
43	6335	6345	6355	6365	6375	6385	6395	6405	6415	6425
44	6435	6444	6454	6464	6474	6484	6493	6503	6513	6522
45	6532	6542	6551	6561	6571	6580	6590	6599	6609	6618
46	6628	6637	6646	6656	6665	6675	6684	6693	67(2	6712
47	6721	6730	6739	6749	6758	6767	6776	6785	6794	68J3
48	6812	6821	6830	6839	6848	6857	6866	6875	6884	6893
49	6907	вон	6920	6928	6937	69-16	6ОГ>5		6Q72	G98I
Таблица 2
83
Таблица 2. Мантиссы обыкновенных логарифмов «продолжение)
ЛГ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	8
60	6990	6908	7007	7016	7024	7033	7042	7050	7059	7067
51	7076	7084	7093	7101	7110	7118	7126	7135	7143	7152
52	7160	7168	7177	7185	7193	7202	7210	7218	7226	7235
53	7243	7251	7259	7267	7275	7284	7292	7300	7308	7316
54	7324	7332	7340	7348	7356	7364	7372	7380	7388	7396
55	7404	7412	7419	7427	7435	7443	7451	7459	7466	7474
56	7482	7490	7497	7505	7513	7520	7528	7536	7543	7551
57	7559	7566	7574	7582	7589	7597	7604	7612	7619	7627
58	7634	7642	7649	7657	7664	7672	7679	7686	7694	7701
59	7709	7716	7723	7731	7738	7745	7752	7760	7767	7774
60	7782	7789	7796	7803	7810	7818	7825	7832	7839	7846
61	7853	7860	7868	7875	7882	7889	7896	7903	7910	7917
62	7924	7931	7938	7945	7952	7959	7966	7973	7980	7987
63	7993	8000	8007	8014	8021	8028	8035	8041	8048	8055
64	8062	8069	8075	8082	8089	8096	8102	8109	8116	8122
65	8129	8136	8142	8149	8156	8162	8169	3176	8182	8189
66	8195	8202	8209	8215	8222	8228	8235	8241	8248	8254
67	8261	8267	8274	8280	8287	8293	8299	8306	8312	8319
68	8325	8331	8338	8344	8351	8357	8363	8370	8376	8382
69	8388	8395	8401	8407	8414	8420	8426	8432	8439	8445
70	8451	8457	8463	8470	8476	8482	8488	8494	8500	8506
71	8513	8519	8525	8531	8537	8543	8549	8555	8-561	8567
72	8573	8579	8585	8591	8597	8603	8609	8615	8621	8627
73	86.33	8639	8645	8651	8657	8663	8669	8675	8681	8686
74	8692	8698	8704	8710	8716	8722	8727	8733	8739	8745
75	8751	8756	8762	8768	8774	8779	8785	8791	8797	8802
76	8808	8814	8820	8825	8831	8837	8842	8848	8854	8859
77	8865	8871	8876	8882	8887	8893	8899	8ЧИ	8910	8915
78	8921	8927	8932	8938	8943	8949	8954	8960	8965	8971
79	8976	8982	8987	8993	8998	9004	9009	9015	9020	9025
80	9031	9036	9042	9047	9053	9058	9063	9069	9074	9079
81	9085	9090	9096	9101	9106	9112	9117	9122	9128	9133
82	9138	9143	9149	9154	9159	9165	9170	9175	9180	9186
83	9191	9196	9201	9206	9212	9217	9222	9227	9232	9238
84	9243	9248	9253	9258	9263	9269	9274	9279	9z84	9289
85	9294	9299	9304	9309	9315	9320	9325	9330	9335	9340
86	9345	93.50	9355	9360	9365	9370	9375	9380	9385	9390
87	9395	9400	9405	9410	9415	9420	9425	9430	9435	9440
88	94ч5	9450	94.55	9460	9465	9469	9474	9479	9484	9489
89	9494	9499	9504	9509	9513	9518	9523	9528	9533	9538
80	9542	9547	9552	9557	9562	9566	9571	9576	9581	9586
91	9590	9595	9600	9605	9609	9614	9619	9624	9628	9633
92	9638	9643	9647	9652	9657	9661	9666	9671	9675	9680
93	9685	9689	9694	9699	9703	9708	9713	9717	9722	9727
94	9731	9736	9741	9745	9750	9754	9759	9763	9768	9773
95	9777	9782	9786	9791	9795	9800	9805	9809	9814	9818
96	9823	9827	9832	98.36	9841	9845	9850	9854	9859	9863
97	9868	9872	9877	9881	9886	9890	9894	98Я9	9903	9908
98	9912	9917	9921	9926	9930	9934	9939	9943	9948	9952
99	9956	9961	9965	9969	9974	9978	9983	9987	9991	9996
34
Т. I. Отд. 1. Математика. Т. Таблицы
Таблица 3. Круговые функции
Град. |	Sinus							
	0'	10'	20'	30'	40'	50'	60'	
0	0,00000	0,00291	0,00582	0,00873	0,01164	0,01454	0,01745	89
1	0,01745	0,02036	0,02327	0,02618	0,02908	0,03199	0,03490	88
2	0,03490	0,03781	0,04071	0,04362	0,04653	0,04943	0,05234	87
3	0,05234	0,05524	0,05814	0,06105	0,06395	0,06685	0,06976	86
4	0,06976	0,07266	0,07556	0,07846	0,08136	0,08426	0,08716	85
5	0,08716	0,09005	0,09295	0,09585	0,09874	0,10164	0,10453	84
6	0,10453	0,10742	0,11031	0,11320	0,11609	0,11898	0,12187	83
7	0,12187	0,12476	0,12764	0,13053	0,13341	0,13629	0,13917	82
8	0,13917	0,14205	0,14493	0,14781	0,15069	0,15356	0,15643	81
9	0,15643	0,15931	0,16218	0,16505	0,16792	0,17078	0,17365	80
10	0,17365	0,17651	0,17937	0,18224	0,18509	0,18795	0,19081	79
11	0,19081	0,19366	0,19652	0,19937	0,20222	0,20507	0,20791	78
12	0,20791	0,21076	0,21360	0,21644	0,21928	0,22212	0,22495	77
13	0,22495	0,22778	0,23062	0,23345	0,23627	0,23910	0,24192	76
14	0,24192	0,24474	0,24756	0,25038	0,25320	0,25601	0,25882	75
15	0,25882	0,26163	0,26443	0,26724	0,27004	0,27284	0,27564	74
16	0,27564	0,27843	0,28123	0,28402	0,28680	0,28959	0,29237	73
17	0,29237	0,29515	0,29793	0,30071	0,30348	0,30625	0,30902	72
18	0,30902	0,31178	0,31454	0,31730	0,32006	0,32282	0,32557	71
19	0,32557	0,32832	0,33106	0,33381	0,33655	0,33929	0,34202	70
20	0,34202	0,34475	0,34748	0,35021	0,35293	0,35565	0,35837	69
21	0,35837	О 36108	0.36379	0.36650	0,36921	0.37191	0,37461	68
22	0*37461	0^37730	0,37999	0,38268	0,38537	0,38805	0,39073	67
23	0,39073	0,39341	0,39608	0,39875	0,40141	0,40408	0,40674	66
24	0,40674	0,40939	0,41204	0,41469	0,41734	0,41998	0,42262	65
25	0,42262	0,42525	0,42788	0,43051	0,43313	0,43575	0,43837	64
26	0,43837	0,44098	0,44359	0,44620	0,44880	0,45140	0,45399	63
27	0,45399	0,45658	0,45917	0,46175	0,46433	0,46690	0,46947	62
28	0,46947	0,47204	0,47460	0,47716	0,47971	0,48226	0,48481	61
29	0,48481	0,48735	0,48989	0,49242	0,49495	0,49748	0,50000	60
30	0,50000	0,50252	0,50503	0,50754	0,51004	0,51254	0,51504	59
31	0,51504	0,51753	0,52002	0,52250	0,52498	0,52745	0,52992	58
32	0,52992	0,53238	0,53484	0.53730	0,53975	0,54220	0,54464	57
33	0,54464	0,54708	0,54951	0,55194	0,55436	0,55678	0,55919	56
34	0,55919	0,56160	0,56401	0.56641	0,56880	0,57119	0,57358	55
35	0,57358	0,57596	0,57833	0,58070	0,58307	0,58543	0,58779	54
36	0,58779	0,59014	0,59248	0,59482	0,59716	0,59949	0,60182	53
37	0,60182	0,60414	0,60645	0,60876	0,61107	0,61337	0,61566	52
38	0,61566	0,61795	0,62024	0,62251	0,62479	' 0,62706	0,62932	51
39	0,62932	0,63158	0,63383	0,63608	0,63832	0,64056	0,64279	50
40	0,64279	0,64501	0,64723	0,64945	0,65166	0,65386	0,65606	49
41	0,65606	0,65825	0,66044	0,66262	0,66480	0,66697	0,66913	48
42	0,66913	0,67129	0,67344	0,67559	0,67773	0,67987	0,68200	47
43	0,68200	0,68412	0,65624	0,68835	0,69046	0,69256	0,69466	46
44	0,69466	0,69675	0,69883	0,70091	0,70298	0,70505	0,70711	45
	60'	1 1	1 «' 1	1 ЗО' 1	20'	10'	1 °'	й
	Cosinus							
Таблица 3
35
Таблица 3. Круговые функции
(Продолжение)
1град-1	Cosinus							
	0'	10'	20'	30'	40'	50'	60'	
0	1,00000	1,00000	0,99998	0,99996	0,99993	0,99989	0,99985	89
1	0,99985	0,99979	0,99973	0,99966	0,99958	0,99949	0,99939	88
2	0,99939	0,99929	0,99917	0,99905	0,99892	0,99878	0,99863	87
3	0,99863	0,99847	0,99831	0,99813	0,99795	0,99776	0,99756	86
4	0,99756	0,99736	0,99714	0,99692	0,99668	0,99644	0,99619	85
5	0,99619	0,99594	0,99567	0,99540	0,99511	0,99482	0,99452	84
6	0,99452	0,99421	0,99390	0,99357	0,99324	0,99290	0,99255	83
7	0,99255	0,99219	0,99182	0,99144	0,99106	0,99067	0,99027	82
8	0,99027	0,98986	0,98944	0,98902	0,98858	0,98814	0,98769	81
9	0,98769	0,98723	0,98676	0,98629	0,98580	O,9o531	0,98481	80
10	0,98481	0,98430	0,98378	0,98325	0,98272	0,98218	0,98163	79
11	0,98163	0,98107	0,98050	0,97992	0,97934	0,97875	0,97815	78
12	0,97815	0,97754	0,97692	0,97630	0,97566	0,97502	0,97437	77
13	0,97437	0,97371	0,97304	0,97237	0,97169	0,97100	0,97030	76
14	0,97030	0,96959	0,96887	0,96815	0,96742	0,96667	0,96593	75
15	0,96593	0,96517	0,96440	0,96363	0,96285	0,96206	0,96126	74
16	0,96126	0,96046	0,95964	0,95882	0,95799	0,95715	0,95630	73
17	0,95630	0,95545	0,95459	0,95372	0,95284	0,95195	0,95106	72
18	0,95106	0,95015	0,94924	0,94832	0,94740	0,94646	0,94552	71
19	0,94552	0,94457	0,94361	0,94264	0,94167	0,94068	3,93969	70
20	0,93969	0,93869	0,93769	0,93667	0,93565	0,93462	0,93358	69
21	0,93358	0,93253	0,93148	0,93042	0,92935	0,92827	0,92718	68
22	0,92718	0,92609	0,92499	0,92388	0,92276	0,92164	0,92050	67
23	0,92050	0,91936	0,91822	0,91706	0,91590	0,91472	0,91355	66
24	0,91355	0,91236	0,91116	0,90996	0,90875	0,90753	0,90631	65
25	0,90631	0,90507	0,90383	0,90259	0,90133	0,90007	0,89879	64
26	0,89879	0,89752	0,89623	0,89493	0,89363	0,89232	0,89101	63
27	0,89101	0,88968	0,88835	0,88701	0,88566	0,88431	0,88295	62
28	0,88295	0,88158	0,88020	0,87882	0,87743	0,87603	0,87462	61
29	0,87462	0,87321	0,87178	0,87u36	0,86892	0,86748	0,86603	60
30	0,86603	0,86457	0,86310	0,86163	0,86015	0,85866	0,85717	59
31	0,85717	0,85567	0,85416	0,85264	0,85112	0,84959	0,84805	58
32	0,84805	0,84650	0,84495	0,84339	0,84182	0,84025	0,83867	57
33	0,83867	0,83708	0,83549	0,83389	0,83228	0,83066	0,82904	56
34	0,82904	0,82741	0,82577	0,82413	0,82248	0,82082	0,81915	55
35	0,81915	0,81748	0,81580	0,81412	0,81242	0,81072	0,80902	54
36	0,80902	0,80730	0,80558	0,80386	0,80212	0,80038	0,79864	53
37	0,79864	0,79688	0.79512	0,79335	0,79158	0,78980	0,78801	52
38	0,78801	0,78622	0,78442	0,78261	0,78079	0,77897	0 ,77715	51
39	0,77715	0,77531	0,77347	0,77162	0,76977	0,76791	0,76604	50
40	0,76604	0,76417	0,76229	0,76041	0,75851	0,75661	0,75471	49
41	0,75471	0,75280	0,75088	0,74896	0,74703	0,74509	0,74314	48
42	0,74314	0,74120	0,73924	0,73728	0,73531	0,73333	0,73135	47
43	0,73135	0,72937	0,72737	0,72537	0,72337	0,72136	0,71934	46
44	0,71934	0,71732	0,71529	0,71325	0,71121	0,70916	0,70711	45
	60'	50'	40'	30'	20'	10'	1 °'	с?
	Sinus							
36
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
(Продолжение)
Таблица 3. Круговые функции
$	Tangens						
и	°' 1	10'	20'	30'	|	40'	|	50'	|	60'
0	0,00000	0,00291	0,00582	0,00873	0,01164	0,01455
1	0,01746	0,02036	0,02328	0,02619	0,02910	0,03201
2	0,03492	0,03783	0,04075	0,04366	0,04658	0,04949
3	0,05241	0,05533	0,05824	0,06116	0,06408	0,06700
4	0,06993	0,07285	0,07578	0,07870	0,08163	0,08456
5	0,08749	0,09042	0,09335	0,09629	0.09923	0,10216
6	0,10510	0,10805	0,11099	0,11394	0,11688	0,11983
7	0,12278	0,12574	0,12869	0,13165	0,13461	0,13758
8	0,14054	0.14351	0,14648	0,14945	0,15243	0,15540
9	0,15838	0,16137	0,16435	U,16734	0,17033	0,17333
10	0,17633	0,17933	0,18233	0,18534	0,18835	0,19136
и	0,19438	0,19740	0,20042	0,20345	0,20648	0,20952
12	0,21256	0,21560	0,21864	0,22169	0,22475	0,22781
13	0,23087	0,23393	0,23700	0,24008	0,24316	0,24624
14	0,24^33	0,25242	0,25552	0,25862	0.26172	0,26483
15	0,.6795’	0,27107	О,х7419	0,27732	0,28< 46	0,28360
16	0,28675	0,28990	0,29305	0,29621	0,29938	0,30255
17	0,30573	0,30891	0,31210	0.31530	0,31850	0,32171
18	0,32492	0,32814	0,33136	0,33460	0,33783	0,34108
19	0,34433	0,34758	0,35085	0,35412	0,35740	0,36068
20	0,36397	0,36727	0,37057	0,37388	0,37720	0,38053
21	0,38386	0,38721	0,39055	0,39391	0.3°727	0,40( 65
44	0,40403	0,40741	0,41081	0,41421	0,41763	
23	0,42447	0,42791	0,43136	0,43481	0,43828	0*44175
24	0,44523	0,44872	0,45222	0,45573	0,45324	0,46277
25	0,46631	0.4( 985	0,47341	0,47о98	0,48055	0,48414
26	0,48773	0,49134	0,49495	0,49858	0,50222	0,50587
27	0,50°53	0,51319	0,51688	0.52057	0,52427	0,52798
28	0,53171	0,53545	0,53920	0.54296	0.54673	0,55051
29	0,55431	0,55812	0,56194	0,56577	0,56962	0,57348
30	0,57735	0,58124	0,58513	0,58905	0,59297	0,59691
31	0,60086	0,60483	0,60881	0,61280	0,61681	0,62083
32	0,62487	0,62892	0,63299	0,63707	0,64117	0,64528
33	0,64941	0,65355	0,65771	0,66189	0,66608	0,67028
34	0,67451	0,67875	0,68301	0,687z8	0,69157	0,69588
35	0,70021	0,70455	0,70891	0,71329	0,71769	0,72211
36	0,7x654	0,73100	0,73547	0,73996	0,74447	0,74900
37	0,75355	0,75812	0,76272	0,76733	0,77196	0,77661
38	0,78129	0.78598	0,79070	0,79544	0,80020	0,80498
39	0,80978	0,81461	0,81946	0,82434	0,82923	0,83415
40	0,83910	0,84407	0,84906	0,85408	0,85912	0,86419
41	0,86929	0,87441	0,87955	0,88473	0,88992	0,89515
42	0,90040	0,90569	0,91099	0,91633	0,92170	0,92709
43	0,93252	0,93797	0,94345	0,94896	0,95451	0,96008
44	0,96569	0,97133	0,97700	0,98270	0,98843	0,99420
	60'	1 50'	40'	1 307	|	20'	(	10'
Cotan gens
0,01746	89
0,03492	88
0,0=241	87
0,06993	86
0,08749	85
ОД 0510	84
0,12278	83
0,14054	82
0,15838	81
0,17633	80
0,19438	79
0,21256	78
0,23087	77
0,24933	76
0,26795	75
0,28675	74
0,30573	73
0,32492	72
0,34433	71
0,36397	70
0,38386	69
0,40403	68
0,42447 0,44523	67
	66
0,46631	65
0,48773	64
0,50953	63
0,53171	62
0,55431	61
0,57735	60
0,60086	59
0,62487	58
0,64941	57
0,67451	56
0,70021	55
0,72654	54
0,75355	53
0,78129	52
0,8м978	51
0,83910	50
0,86929	49
0,90040	48
0,93252	47
0,96569	46
1,00000	45
О'
Град.
Таблица 1
37
(Продолжение)
Таблица 3. Круговые функции
1 *»dj |	Cotangens							
	0'	10'	20'	30'	40'	50'	60'	
0	оо	343,77371	171,88540	114,58865	85,93979	68,75009	57,28996	89
1	57,28996	49,10388	42,96408	38,18846	34,36777	31,24158	28,63625	88
2	28,63625	26,43160	24,54176	22,90377	21,47040	20,2(555	19,08114	87
3	19,08114	18,07498	17,16934	16,34986	15,60478	14,92442	14,30067	86
4	14,30067	13,72674	13,19688	12,70621	12,25051	11,82617	11,43005	85
5	11,43(Х'5	11,05943	10,71191	10,38540	10,07803	9,78817	9,51436	84
6	9,51436	9,25530	9,00983	8,77689	8,55555	8,34496	8,14435	83
7	8,14435	7,95302	7,77^*35	7,59575	7,42871	7,26873	7,11537	82
8	7,115о7	6,96823	6,82694	6,69116	6,56055	6,43484	6,31375	81
9	6,31з75	6,19703	6,08444	5,97576	5,87080	5,76937	5,67128	80
10	5,67128	5,57638	5,48451	5,39552	5,30928	5,22566	5,14455	79
11	5,14455	5,06584	4,98940	4,91516	4,84300	4,77286	4,70463	78
12	4,70463	4,63825	4,57363	4,51071	4,44942	4,о8969	4,33148	77
13	4,33148	4,27471	4,21933	4,16530	4,11/56	4,06107	4,01078	76
14	4,01078	3,96165	3,91364	3,86671	3,8J)83	3,77595	3,73205	75
15	3,73205	3,68909	3,64705	3,60588	3,56557	3,52609	3,48741	74
16	3,48741	3,44951	3,41236	3,37594	3,34023	3,30521	3,27085	73
17	3,27085	3,23714	3,20406	3,17159	3,13972	3,10842	3,07768	72
18	3,07768	3,04749	3,01783	2,98869	2,96004	2,93189	2,90421	71
19	2,90421	2,87700	2,83023	2,82391	2,79802	2,77254	2,74748	70
20	2,74748	2,72281	2,69853	2,67462	2,65109	2,62791	2,60509	69
21	2,60509	2,58261	2,56046	2,5о865	2,51715	2,49597	2.475G9	68
22	2,47509	2,45451	2,43422	2,41421	2,39449	2,37504	2,35585	67
23	2,35585	2,3о693	2,31826	2,29984	2,28167	2,263/4	2,24604	66
24	2,24604	2,22857	2,21132	2,19430	2,17749	2,16090	2,14451	65
25	2,14451	2,12832	2,11233	2,09654	2,08094	2,06553	2,05030	64
26	2,05030	2,03526	2,(‘/0o9	2,00569	1,99116	1,97680	1,96261	63
27	1,96261	1,94858	1,93470	1,92098	1,90741	1,89400	1,88073	62
28	1,88073	1,86760	1,85462	1,84177	1,82906	1,81649	1,80405	61
29	1,80405	1,79174	1,77955	1,76749	1,75556	1,74375	1,73205	60
30	1,73205	1,72047	1,70901	1,69766	1,68643	1,67530	1,66428	59
31	1,66428	1,65337	' 1,64256	1,63185	1,62125	1,61074	1,60033	58
32	1,60033	1,59002	1,57981	1,56969	1,55966	1,54972	1,53987	57
33	1,53987	1,53010	1,52043	1,51084	1,50133	1,49190	1,48/56	56
34	1,48256	1,47330	1,46411	1,45501	1,44598	1,43703	1,42815	55
35	1,4.815	1,41934	1,41061	1,40195	1,39336	1,38484	1,37638	54
36	1,376з8	l,368iX)	1,35968	1,35142	1,34323	1,33511	1,32704	53
37	1,32704	1,31904	1,311Ю	1,30323	1,29541	1,28764	1,27994	52
38	1,27994	1,27230	1,26471	1,25717	1,24969	1,24227	1,23490	51
39	1,23490	1,22758	1,22031	1,21310	1,21593	1,19882	1,19175	50
40	1,19175	1,18474	1,17777	1,17085	1,16398	1,15715	1,15037	49
41	1,150^7	1,14363	1,13694	1,13029	1,12369	1,11713	1,11061	48
42	1,11061	1,10414	1,09770	1,09131	1,08496	1,07864	1,07237	47
43	1,07237	1,06613	1,05994	1,05з78	1,04766	1,04158	1,03553	46
44	1,03553	1,02952	1,02355	1,01761	1,01170	1,00583	1,00060	45
	60'	50'	40'	• 30'	1 i0' 1	1 10'	1 °'	EX
	Tangens							S. u
38	Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 4. Круговые, показательные и гиперболические функции
______________(Аргумент в дуговых единицах и градусах) *
X	sin х	cos х	tgx	ех		sh х	ch х	th х	х в гра- дусах
0,00	0,00000	1,00000	0,0Г00^	1,00000	1,00000	0,00000	1,00000	0,00000	0,00
01	0,01000	0,99995	о.оюоо	1,010(5	0,99005	0,01000	1,00005	0,01000	0,57
02	0,02000	0,99980	0,02000	1,02020	0,98020	0,02000	1,00020	0,02000	1,15
03	0,03000	0,99955	0.Г30О1	1.03045	0,97045	0,0300с	1,00045	0,02999	1,72
04	0,03999	0,99920	0,04002	1,04081	0,96079	0,04001	1,00080	0,03998	2,29
05	0,04998	0,99875	0,05004	1,05127	0,95123	0,05902	1,00125	0,04996	2,86
06	0,05996	0,99820	0,06007	1,06184	0,94176	О.С6004	1,00180	0,05993	3,44
07	0.С6994	0,99755	0,07011	1,07251	0,93239	0,07006	1,00245	0,06989	4,01
08	0,07991	0,99680	0,08017	1.08329	0,92312	0,08009	1,00320	0,07983	4,58
09	0,08988	0,99595	0,09024	1,09417	0,91393	0,09012	1,00405	0,08976	5,16
0,10	0,09983	0,99500	0.F033	1,10517	0,90484	0,10017	1,00500	0,09967	5,73
11	0,10978	0,99396	0,11045	1,11628	0,89583	0,11022	1,00606	0,10956	6,30
12	0,11971	0,99281	0,12058	1,12750	0,88692	0,12029	1,00721	0,11943	6,88
13	0,12963	(,99156	0,13074	1.13883	0,87810	0,13037	1,00846	0,12927	7,45
14	0,13954	0,99022	0,14092	1,15п27	0,86936	0,14046	1,06982	0,13909	8,02
15	0,14944	0,98877	0,15114	1,16183	0,86071	0,15056	1,01127	0,14889	8,59
16	0,15932	0,98723	0,16138	1.17351	0,85214	0,16668	1,01283	0,15865	9,17
17	0,16918	0,98558	0,17166	1.18530	0,84366	0,17082	1,01448	0,16838	9,74
18	0,17903	0,98384	0,18197	1,19722	0,83527	0,18097	1,01624	0,17808	10,31
19	0,18886	0,98200	0,19232	1,20925	0,82696	0,19115	1,01810	0,18775	10,89
0,20	0,19867	0,98007	0,20271	1,22140	0,81873	0,20134	1,02007	0,19738	11,46
21	0,20846	0,97803	0,21314	1,23368	0,81058	0,21155	1,(2213	0,20697	12,03
22	0,21823	0,97590	0,22362	1,24608	0,80252	; 0,22178	1,02430	0,21652	12,61
23	0,22798	0,97367-	0,23414	1,25860	0,79453	0,23203	1,02657	0,22603	13,18
24	0,23770	0,97134	0,24472	1,27125	0,78663	0,24231	1,02894	0,23559	13,75
25	0,24740	0,96891	0,25534	1,28403	0,77880	0,25^61	1.03141	0,24492	14,32
26	0,25708	0,96639	0,26602	1,29693	0,77105	0,26294	1,03399	0,25430	14,90
27	0,26673	0,96377	0,27676	1,30996	0,76338	0,27329	1,03667	0,26362	15,47
28	0,27636	0,96106	0,28755	1,32313	0,75578	0,28367	1,03946	0,27291	16,04
29	0,28595	0,95824	0,29841	1,33643	0,74826	0,29408	1,04235	0,28213	16,62
0,30	0,29552	0,95534	0,30934	1,34986	0,74082	0,30452	1,04534	0,29131	17,19
31	0,30506	0,95233	0,32033	1,36343	0,73345	0,31499	1,04844	0,30044	17,76
32	0,31457	0,94924	0,33139	1,37713	0,72615	0,32549	1,05164	0,30951	18.33
33	0,32404	0,94604	0,34252	1,39097	0,71892	0,33602	1,05495	0,31852	18,91
34	0,33349	0,94275	0,35374	1,40495	0,71177	0,34659	1,05836	0,32748	19,48
35	0,34290	0,93937	0,36503	1,41907	0,70469	0,35719	1,06188	0,33638	20,05
36	0,35227	0,93590	0,37640	1,43333	0,69768	0,36783	1,06559	0,34521	20,63
37	0,36162	0,93233	0,38786	1,44773	0,69073	0,37850	1,06923	0,35399	21,20
38	0,37092	0,92866	0,39941	1,46228	0,68386	0,38921	1,07307	0,36271	21,77
39	0,38019	0,92491	0,41105	1,47698	0,67706	0,39996	1,07702	0,37136	22,35
0,40	0,38942	0,92106	0,42279	1,49182	0,67032	0,41075	1,08107	0,37995	22,92
41	0,39861	0,91712	0,43463	1,50682	0,66365	0,42158	1,08523	0,38847	23,49
42	0,40776	0,91309	0,44657	1,52196	0,65705	0,43246 I	1,08950	0,39693	24,06
43	0,41687	0,90897	0,45862	1,53726	0,65051	0,44337	1,09388	0,40532	24,64
44	0,42594	0,90475	0,47078	1,55271	0,64404	0,45434	1,09837	0,41364	" 25,21
45	0,43497	0,90045	0,48306	1,56831	0,63763	0,46534	1,10297	0,42190	25,78
46	0,44395	0,89605	0,49545	1,58407	0,63128	0,47640	1,10768	0,43008	26,36
47	0,45289	0,89157	0,50797	1,59999	0,62500	0,48750 ,	1,11250	0,43820	26,93
48	0,46178	0,88699	0,52061	1,61607	0,61878	0,49865 1	1,11743	0,44624	27,50
49	0,47063	0,88233	0,53339	1,63232	0,61263	0,50984	1,12247	0,45422	28,07
0,50	0,47943	0,87758	0,54630	1,64872	0,60653	0,52110 1	1,12763	0,46212	28,65
♦ Дополн. табл, для значений аргумента тс/4, я/2, Зя/4, я, 5я/4, Зтс/2, 7я/4,2я (стр. 42).
Примечание. Для значений х > 6,3 будет 1) (по меньшей мере для 3 де-
сятичных знаков) sh х « ch х ця расчет, как. в прим. 2 (стр. 57); 2) thx «
» 1,00000; 3) sin a;, cosx, tg х равны соответственным значениям функций для зна-
чений аргумента х — 2п, х — 4 к, х — 6 я, ..., лежащих между 0,0 и 6,3. — Следует
считаться с пробой chAf±shAf=^±j:.
Таблица 4
39
Таблица 4. Круговые, показательные и гиперболические функции
(Продолжение)
(Аргумент в дуговых единицах и градусах)*
X	sin х	COS X	tg*	ех	е~х	sh х	ch х	th х	х в гра- дусах
0,50	0.47943	0,87758	0,54630	1,64872	0,60653	0,52110	1,12763	0,46212	28,65
51	0,48818	0,87274	0,55936	1.66529	0,60050	0,53240	1,13289	0,46995	29,22
52	0,49688	0,86782	0,57256	1.68203	0,59452	0,54375	1,13827	0,47770	29,79
53	0,50553	0,86281	0,58592	1.69893	0,58860	0,55516	1,14377	0,48538	30,37
54	0,51414	0,85771	0.50943	1,71601	0,58275	0,56663	1,14938	0,49299	30,94
55	0,52269	0,8525?	0,61311	1,73325	0,57695	0,57815	1.15510	0,50052	31,51
56	0,53119	0,84726	0,62695	1,75067	0,57121	0,58973	1,16094	0.50798	32,09
57	0,53963	0,84100	0,64097	1,76827	0.56553	0,60137	1,16690	0,51536	32,66
58	0,54802	0,83646	0,65517	1,78604	0,55990	0,61307	1.17297	0,52267	33,23
59	0,55636	0,83094	0,66956	1,80399	0,55433	0,62483	1,17916	0,52990	33,80
0,60	0,56464	0 82534	0,68414	1,82212	0,54881	0,63665	1,18547	0,53705	34,38
61	0,57287	0,81е65	0,69892	1,84043	0,54335	0,64854	1,19189	0,54413	34,95
62	0.58104	0,81388	0,71391	1,85893	0,53794	0,66049	1,19844	0,55113	35,52
63	0,58914	0,80803	0,72911	1,87761	0.53259	0,67251	1,20510	0,55805	36,10
64	0,59720	0,80210	0,74454	1,8°648	0,52729 |	0,68459	1,21189	0,56490	36,67
65	0,60519	0,7с608	0,76°20	1,91554	0,52205 |	0,69675	1,21879	0,57167	37,24
66	0,61312	0,78099	0,77610	1,93479	0,51685 1	0,70897	1,22582	0,57836	37,82
67	0,62099	0,78382	0,79225	1,95424	0,51171 !	0,72126	1,23297	0,58498	38,39
68	0,62879	0,77757	(866	1,97388	0,50662	0,73363	1,24025	0,59152	38,96
69	0,63654	0,77125	0,82534	1,99372	0,50158	0,74607	1,24765	0,59798	39,53
0,70	0,64422	0,76484	0,84229	2,01375	0,49659	0,75858	1,25517	0,60437	40,11
71	0,65183	0,75836	0,85953	2,93399	0,49164	0,77117	1,26282	0,61068	40,68
72	0,65°38	0,75181	0,87707	2,05443	0,48675	0,78384	1,27059	0,61691	41,25
73 .	0,66687	0,74517	0,89492	2,О75р8	0,48191	0,79659	1,27849	0,62307	41,83
74	0,67429	0,73847	0,91309	2,09594	0,47711	0,80941	1,28652	0,62915	42,40
75	0,68164	0,73169	0,93160	2,11700	0,47237	0,82232	1,29468	0,63515	42,97
76	0,688^2	0,72484	0,95045	2.13828	0,46767	0,83530	1,30297	0,64108	43,54
77	0,6°614	0,71791	0,96967	2,15077	0,46301	0,84838	1,31139	0,64693	44,12
78	0,70328	0,71091	0,98926	2,18147	С,45841	0,86153	1,31994	0,65271	44,69
♦79	0,71035	0,70385	1,00925	2,20340	0,45384	0,87478	1,32862	0,65841	45,26
0,80	0,71736	0,6°671	1,02964	2,22554	0,44933	0,88811	1,33743	0,66404	45,84
81	0,72429	0,68950	1,05046	2,24791	0,44486	0,90152	1,34638	0,66959	46,41
82	0,73115	0,68222	1,07171	2,27059	0,44043	0,915^3	1,35547	0,67507	46,98
83	0,73793	0,67488	1,09343	2,29332	0,43605	0,92863	1,36468	0,68048	47,56
84	0,74464	0,66746	1,11563	2,31637	0,43171	0,94233	1,37404	0,68581	48,13
85	0,75128	0,65098	1,13833	2,33965	0,42741	0,95612	1,38353	0,69107	48,70
86	0,75784	0,65244	1,16156	2,36316	0,42316	0,97000	1,39316	0,69626	49,27
87	0,76433	0,64483	1,18532	2,38691	0,41895	0,98398	1,40293	0,70137	49,85
88	0,77074	0,63715	1,20966	2,41090	0,41478	0,99806	1,41284	0,70642	50,42
89	0,77707	0,62941	1,23460	2,43513	0,41666	1,01224	1,42289	0,71139	50,99
0,90	0,78333	0,62161	1,26016	2,45960	0,40657	1,02652	1,43309	0,71630	51,57
91	0,78050	0,61375	1,28637	2,48432	0,40252	1,04090	1,44342	0,72113	52,14
92	3,79560	0,60582	1,31326	2,50929	0,39852	1,05539	1,45390	0,72590	52,71
93	0,80162	0,50783	1,34('87	2,53451	0,39455	1,06998	1,46453	0,73059	53,29
94	0,80756	0,58979	1,36923	2,55998	0,39063	1,08468	1,47530	0,73522	53,86
95	0,81342	0,58168	1,39838	2,58571	0,38674	1,09948	1,48623	0,73978	54,43
96	0,81919	0,57352	1,42836	2,61170	0,38289	1,11440	1,49729	0,74428	55,00
97	0,82489	0,56530	1,45920	2.63794	0,37908	1,12943	1,50851	0,74870	55,58
98	0,83^50	0,5571'2	1,49096	2,66446	0,37531	1,14457	1,51988	0,75307	56,15
99	0,83603	0,54869	1,52368	2,69123	0,37158	1,15983	1,53141	0,75736	56,72
1,00	0,84147	0,54030	1,55741	2,71828	0,36788	1,17520	1,54308	0,76159	57,30
* Дополнительная таблица для значений аргумента я/4, к/2, Зк/4, я, 5я/4, Зя/2.
7я|4, 2к (стр. 42).
40		Т. I.	Отд. 1.	Математика.		I. Таблицы			
Таблица 4. Круговые, показательны - и гиперболические функции (Аргумент в дуговых единицах и градусах) *	(Продолжение)									
X	sin х	COS X				sh х	chx	th x	x в гра- дусах
1,00	0,84147	0,54030	1.55741	2.71828	0,36788	1,17520	1.54308	0.76159	57,30
01	0.84С83	0.53186	1.50221	2.74560	0,36422	1.19069	1.55401	0,76576	57.87
02	0,85211	0,52337	1.62813	2,77319	0,36'159	1.2'’639	1,5^689	0,76987-	58.44
03	0,85730	0,51482	1.66524	2.80107	0,35701	1.22203	1.57904	0,77391	59,nl
04	0,86240	0,50622	1.7(361	2.82°22	0,35345	1.23788	1,59134	0,77789	59.59
05	0,86742	0.40757	1.74332	2.85765	0.34 994	1.25386	1.6’379	0,78181	60,16
06	0,87236	0.48887	1.78442	2,88637	0,34646	1.26996	1.61641	0,78566	60,73
07	0,87720	0.4» 12	1.82703	2,91538	0,34301	1.28619	1.62219	0,78046	61.31
08	0.88 Гб	0.47133	1.87122	2,°4468	0,33fJ60	1.30254	1.64214	0,79320	61.88
09	0,88663	0,46249	1,91709	2.97427	0,33622	1,31903	1.65525	0,79688	62,45
1,10	0,89121	0,45360	1.96476	3.00417	0,33287	1,33565	1.66852	0,80050	63,03
11	0.89570	0,44466	2,01434	3.03436	0.32956	1.35240	1.68196	0,804(»6	63.60
12	0,9л 10	0,43568	2.< 6596	3,06485	0,32628	1.36929	1.62557	0,80757	64.17
13	0.90441	0,42666	2.11075	3.09566	0,323.3	1,38631	1.7' 934	0,81102	64.74
14	0,90863	0,41750	2,17588	3.12677	0.3Г82	1.4’347	1.72329	0,81441	65.32
15	0,91276	0,4и849	2,2о450	3.15819	0.Л664	1.42'78	1,73741	(',81775	65.89
16	0,916»)	0,30034	2,2j58 ।	3.18993	0,31349	1.43822	1.75171	O,82V'4	66.46
17	0,92' 75	(’,30015	2.35998	3,22109	0,31037	1.45581	1,76618	0,82427	67,04
18	0,92461	0,38092	2.42727	3.25437	0,3'728	1.47355	1,78083	0,82745	67.61
19	0,92837	С ,37166	2,49790	3,287» 8	0,3( 422	1.49143	1,79565	0,83058	68,18
1,23	0,93204	0,36236	2.57215	3,32012	0,30119	1,50946	1,8V'66	0,83365	68.75
21	0,93562	0,353'2	2,65.33	3,35348	0,29820	1.52764	1.82584	0,83668	69,33
22	0,93°10	0,34365	2.73275	3.38719	0,29523	1.54598	1,84121	0,83965	69.90
23	0.94249	0,33424	2,81982	3,42123	0,20229	! 1.56447	1,85676	0,84258	70,47
24	0,9,578	0,32480	2,91103	3,45561	0,28938	1.58311	1,87250	0,84546	71,05
25	0,948г8	0,31532	3,0( с57	3.49034	0,28650	1,6('Г2	1,88842	0.84828	71.62
26	0,9521-9	0,3! 582	3.11327	3.52542	0,28365	1,62' 88	1,90454	0,851' 6	72,19
27	0,95510	0,2<‘628	3.22363	3.56US5	0,28083	1,64'101	1.92U84	0,85380’	72,77
28	0,95802	0,28672	3.34135	3.5 '664	0,278'4	. 1,65930	1,93734	0.85648	73.34
29	0,96384	0,27712	3,46721	3,63279	0,2/527	! 1,67876	1,95403	0.85913	73,91
1,30	0,96356	0,26750	3,60210	3.66930	0,27253	1,62838	I 1,97991	0,86172	74.48
31	0,96618	0,25785	3,74708	3,7' 617	0,26982	1,71818	1,98800	0,86428	75.06
32	0,96872	0,24818	3,90335	3.74342	0,26714	1,73814	2,00528	0,86678	75,63
33	0,97115	0,23848	4,07231	3,78104	0,26448	1.75828	2.02276	0.86J25	76,20
34	0,97348	0,22875	4,25562	3.81ОП4	0,26185	1,77860	2.U4044	0.87167	76,78
35	0.97572	0,21901	4.45522	3,85743	0,25324	1,79 09	2,('58.33	0,87495	77,35
36	0,97786	0,20924	4.67344	3,89619	0,25666	1,81977	2,07643	0,87639	77.92
37	0,97901	0,19045	4.91306	3,93535	0,25411	1,84062	2,09473	0,87869	78.50
38	0,98185	0.18964	5.17744	3,97490	0,25158	1 86166	2,11324	0,88095	79,07
39	0,98370	0,17981	5.47(69	4,01485	0,2491(8	1,88289	2,13196	0,88317	79,64
1,40	0,98545	0,16997	5.79789	4,05520	0,24669	1,90430	2,15090	0,88535	80,21
41	0,98710	0,16 10	6.16536	4,09526	0,24414	1,92591	2,17005	0,88749	80,79
42	0,9£865	0.15L23	6 58112	4,13712	0,24171	1,94770	2,18942	0,88960	81,36
43	0,99010	0,14'‘33	7,05547	4,17870	0,23931	1,96970	2,20900	0,89167	81,93
44	0,99146	0,13чЛ2	7,60183	4,22070	0.23693	1,99188	2,22881	0,89370	82.51
45	0,99271	0,12' 50	8.238Ю	4,26311	0,23457	2.01427	2,24884	0,89569	83,08
46	0,9°387	0,11(57	8,98861	4.305г’б	0,23224	2.С3686	2,26910	0,89765	83,65
47	0,99492	0,10(63	9,91550	4.34024	0,22993	2.05965	2,28958	0,89958	84,22
48	0,99588	0,09(67	10,98338	4.392U5	0,22764	2.08265	2,ЗЮ29	0,90147	84.80
49	0,99674	0,с8071	12,34986	4,43710	0,22537	2,К 586	2,33123	0,90332	85,37
1,50	0,99749	0,07074	14,10142	4,48169	0,22313	2,12928	2,35241	0,90515	85,94
* Дополнительная таблица для значений аргумента п/4, к/2, Зтс/4, л, 5л/4, 3nj2, 7п/4,
2я (стр. 42).
Для определения промежуточных значений рекомендуется пользоваться по-
дробными таблицами К. Hayashi, Пятизначные таблицы круговых и гиперболи-
ческих функций, а также функций ех и е~х с натуральными числами как аргу-
ментом, Берлин и Лейпциг 1921 (Verein. wiss. Verleger).
Таблица 4	41
Таблица 4. Круговые, показательные и гиперболические функции
(Аргумент в дуговых единицах я градусах) *	_(Продолжение)
X	sin х	COS X	tg*		e~x	sh x	ch x	th л	x в гра- дусах
1,50	0.99749	0,07074	14.10142	4.48169	0.22313	2,12928	2,3524110,90515		85,94
51	0,99815	0,06076	16,42809	4,52673'0.22091		2.15291	2,3738210,90694		86,52
52	. 0,99871	0,05077	19.66966	4.5722310.21871		2,17676	2,3954710,90870		87.09
53	0,99917	0,04(79	24.49841	4.61818'0.21654		2,20082	2,41736)0,91042		87.66
54	0,99953	0,03079	32,46114	4.66459Ю.214.38		2,22510	2.43949)0,91212		88.24
55	0,99978	0.02079	48.07849	4.71147 ;0.21225 4,75882|0.21014		2,24961	2.46186lo,91379		88.81
56	0,99994	0,01 («0	92.62050			2.27434	2,48448)0,91542		89.37
*57	1 .гоооо	4-0,00080	-1-1255 766	4,8('665i 0,20805		2.29930	2.5(735)0,91703		89,95
58	0,99996	—0.00920	— 108.6492	4.85496 0.20598		2,32449	2ЛЛ 47:0,91860		90,53
«59	0.99982	—0,01920	—52,06698	4,9» 375|0.20393		2,34991	2.55384 0,92015		91,10
1,60	0,99957	—0.02920	— 34,23254	4.95303 0.20190		2.37557	2.5774б|о,92167		91,67
70	0,99166	-0,12884	— 7.69660-	5,47345 0.18268		2,64563	2,8283210.93541		97,40
80	0,97385	—0,22720	- 4,28626	6JH965 0.165JO		2.94.17	3.11)747,0.94681		103,13
90	0,94630	—0,32з29	— 2,92710	6.6858910.14957		3,26816	3,41773)0.95624		108,86
2,00	0,90930	—0.41615	— 2.18504	7.3890610,13534		3,62686	3,76220)0.96403		114,59
10	0.86321	—0.50485	- l,7O(’85	8.16617 0.12246		4,02186	4.14431 0,97045		120,32
20	0.80850	-0,58850	— 1.37382	9,02501 0,11080		4.45711	4,56791)0.97574		126.05
*30	0.74571	—0.66628	— 1,11021	9,97418 0.10026		4.93696	5.03722!0,98010		131.78
40	0,67546	-0.73739	— 0,91601	11.02318 0Л9О72		5,46623	5.55695 [0.98367		137.51
50	0.59847	—0.80114	— 0,74702	12,18249 0.082» 4		6.0.5020	6.13229;0.98661		143.24
60	0,51550	—0,85689	— 0.6O1&I	13.46374 0.07427		6.69473	6.76901 0.98903		148.97
70	0.42738	—0.90407	— 0,47273	14.87973 0.06721		7,40626	7,47347 0.99101		154,70
80	0,33499	-0.94222	— 0,35553	16.44465 0.06081		8.19192	8.25273 0.99263		160,43
90	0,23925	—0,97096	— 0,24641	I 18.17415 0.055O2		9,05956	9,11458 0.99396		166,16
3,00	0,14112	—0,98999	— 0,14255	1 20.08554 0.04979		10,01787	10,06766 0,99505		171.89
*ю	+0,04158	—0,99914	— 0,04162	I 22.197°5 0.04505		11,07645	11,1215)0,99595		177,62
20	—0,0.5837	1—0.99829	4- 0,05847	24,53253 0,04076		12.24588	12,28665 0,99668		183.35
30	-0,15775	0,98748	0,15975	27.11264 0.03688		13,5*788	13,57476 0,99728		189.08
4'»	—0.25554	-0,96680	0,26442	29,9641» । 0.03337		14.96536	14.99874 0.99777		194.81
50	-0,35078	-0,93646	0.37470	33.11545 0.03020		16,54263	16.57282 0,99818		2W,54
6	-0,44252	-(,89676	0.49347	36.5°823 0.02732		18.28546	18,31278 0.99851		206,26
70	—0,52984	—0,84810	0.62473	40.44730 0.0^472		20,21129	20,23601 0,99878		211,99
80	-0,61186	—0,79097	0,77356	44,70118 0.02237		22.33941	22.36178 0,99900		217,72
*90	-0,68777	—0,72593	0,94742	49,40245 0.02024		24,69110	24,71135 0,99918		223,45
4,00	—0,75680	—0.65364	1.15782	54.59815 0.01832		27,28992	27,30823 0,99933		229,18
10	—0,81828	-0,57482	1,42353	; 60,34029 0.01657		30,16186	30,17843 0,94945		234.91
20	-0,87158	—0,49026	1,77778	| 66.65633 0.01500		33,33567	33,35066 0.99955		240,64
30	—0,91617	—0.40080	2,28585	i 73.69979 0.013571		I 36.84311	36.85668 0.99963		246,37
40	—0,95160	—0,30733	3.09632	• 81,45087 0.01228.		, 40.71930	40.73157 0.94970		252,10
50	—0,97753	—0,21080	4.63733	, 90.01713Ю.01111		| 45.00301	45,01412 0,99975		257,83
60	—0,99369	—0.11215	8.86018	99.48432,0.01005		1 49.73713	49.74718 0.99980		263,56
*70	—0,99992	—0.01239 + 8O,7128O|1O9.9472			0.00910	; 54.96904	54.97813 0.99983		269,29
80	—0.99616	4-0,08750	-11.38487	121,5104	0.00823	, 60.75109	60.75932 0,99986		275,02
90	—0,98245	0,18651	— 5,267491134,2898 — 3,38052 148,4132		0,60745	67,14117	67,14861 0,99989		280,75
5,00	—0,95892	0.28366			0.006741	1 74.20321	74,20995 0.99991		286,48
10	—0,92581	0.37798	— 2,44939 164,0219		)0.00610,	, 82.00791	82.01400 0,99993		292,21
20	—0,88345	0,46852	1,88564 >81.2722		0.00552	! 90,63336	90,63888 0.99994		297,94
30	—0,83227	0.55437	— 1,50128 200.3368		0.00499 100.1659		100.1709	0,99995	303,67
*40	—0,77276	0,63469	— 1,21754 221,4064		0.00452 110.7009		110,7055	0.99996	3- 9,40
50	—0.7(>554	0.7U867	— 0,995581244.6919 .		0.004! i9 122,3439		122.3480	0,99997	315,13
60	-0,63127	0.77557	— 0.81394 270.4264 i		0.00370,135.2114		1.15.2150	0,99997	320,86
70	—0.55'69	0.83471	— 0,65q73 298,8674		0.00335 149,4320		149,4354	0.99998	326,59
80	—0.46460	0,88552	— 0,52467 330,2996 i		0.00303 165.1483		165,1513	0,99998	332,32
90	—0,37388	0,92748	— 0,403111365.0375 I		10,00274 1 82,5174		182,5201	0,99999	338,05
6,00	—0,27942	0,96017	- 0,29101'403.4288		0.00248 201.7132		201,7156	0,99999	343,77
•30	-f-0,01681	0,99986 + 0,016811544,5719 ।			0,00184'272,2850		272,2869	0,99999	360,96
♦ Дополнил.таблиц» для значений аргумента я/4,к/2,Зя/4, я,5к/4, Зя/2,7к/4, 2я(стр. 42).
42
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 4. Круговые, показательные и гиперболические функции
(Окончание)
Дополнительная таблица для значений аргумента к/4, к/2, Зк/4, к,
5к/4, Зл/2, 7к/4, 2 к.
(Аргумент в дуговых единицах и градусах)
X	sin х	COS X	tg*	е*	| е~х	sh х	ch х	th х	х в' град.
1/4к = 0,7854	0,70711	0,70711	1	2,19328	0,455°4	0,86867	1,32461	0,65579	45,00
1/2тс = 1,5708	1,00000	0,000(0	±оо	4,81049	0,20788	2,30130	2,50918	0,91717	90,00
з/4 к = 2,3562	0,70711	-0,70711	—1	10,55072	0,09478	5,22797	5,32275	0,98219	135,00
я = 3,1416	0,00000	—1,00000	0	23,1^'69	<404321	11,54874	11,59195	0,99627	180,00
в/4к = 3,9270	—0,70711	—0,70711	1	50,75402	0,01970	25,36716	25,38686	0,99922	225.00
8/27с = 4,7124	—1,00000	0,00('00	±оо	111,3178	0,( 0898	55,65440	55,66338	0,99984	270,00
7/4п = 5,4978	-0,70711	0,70711	—1	244,1511	0,00410	122,0735	122,0776	0,99997	315,00
2л = 6,2832	0,00 00	1,00000	0	535,4917	0,00187	267,7449	267,7468	0,99999	360,00
Таблица 5. Объемы шара для диаметров d от 1 до 200
d	6 *	d	р	d		d	o*| я	d	id* ;	6
1	0.523599	41	36086,95	81	278261,8	121	927587,2	161	2185125
2	4,188790	42	38792,39	82	288695,6	122	950775,8	162	2226094
3	14,13717	43	41629,77	83	299387,0	123	974347,7	163	2267574
4	33,51032	44	44602.24	84	310339,1	124	998305,9	164	2309565
5	65,44985	45	47712,94	85	321555,1	125	1022654	165	2352071
6	113,0973	46	50965,01	86	333' 38,2	126	1047394	166	2395c96
7	179,5944	47	54361,60	87	344791,4	127	1072531	167	2438642
8	268.0826	48	579( 5,84	88	356817,9	128	1098066	168	2482713
9	381,7035	49	61600,87	89	369120,9	129	1124004	169	2527311
10	523,5988	50	65449,85	90	381703,5	130	1150347	170	2572441
11	696,9100	51	69455.91	91	394568,9	131	1177098	171	2618104
12	904,7787	52	73622,18	92	407720,1	132	1204260	172	2664305
13	1150,347	53	77951,81	93	421160,3	133	1231838	173	2711046
14	1436,755	54	82447,92	94	434892,8	134	1259833	174	2758331
15	1767,146	55	87113,75	95	448920,5	135 1	1288249	175	2806162
16	2144,660	56	91952,32	96	463246,7	136 ।	1317090	176	2854543
17	25/2,441	57	96966,83	97	477874,5	137	1346357	177	2903477
18	3053,628	58	10zl60,4	98	492837,0	138	1 1376055	178	2952967
19	3591,<$64	59	107536,2	99	5<'8047,4	139	! 14'6187	179	3(103006
20	4188,790	60	113097,3	100	523598,8	140	' 1436755	180	3053628
21	4849,048	61	118847,0	101	5a9464,3	141	| 1467763	181	3104805
22	5575,280	62	124788,2	102	555647,2	142	। 1499214	182	3156551
23	6370,626	63	130924,3	103	572150,5	143	1531112	183	3208869
24	7238,229	64	137258,2	104	588977,4	144	! 1563457	184	3261761
25	8181,231	65	143793,3	105	606131,0	145	1596256	185	. 3315231
26	9202,772	66	150532,6	106	623614,5	146	1629511	186	3369x82
27	10305,99	67	157479,1	107	641431,0	147	1663224	187	3423919
28	11494,04	68	164636,2	108	659583,7	148	1697398	188	3479142
29	12770,05	69	1720^,9	109	678< 75,6	149	1732038	189	3534956
30	14137,17	70	179594,4	110	696910,0	150	1767146	190	359-1364
31	15598,53	71	187401,8	111	716090,0	151	1802725	191	3648369
32	17157,28	72	195432,2	112	735618,6	152	1838778	192	3705973
33	18816,57	73	2 $3688,8	ИЗ	755499,1	153	1875309	193	3764181
34	20579,53	74	212174,8	114	775734,6	154	1912321	194	3822996
35	22449,30	75	220893,2	115	796328,3	155	1949816	195	3882419
36	24429,02	76	229847,3	116	817283,2	156	1987799	196	3942456
37	26521,85	77	239040,1	117	838602,7	157	2026271	197	4003108
38	28730,91	78	248474,9	118	860289,5	158	2065237	198	4064379
39	31059,36	79	258154,6	119	882347,3	159	2104699	199	4126272
40	33510,32	80	268082.6	120	904778,7	160	2144660	200	4188790
Таблица в
43
Таблица 6. Длина дуги, стрелка, длина хорды и площадь
_________сегмента для радиуса, равного 1	___
Центр. уг.Ц в град. Д	Длина , дуги 1 J	Стрелка h\ \	!	1 h	Длина хорды $	Площадь' сегмента	Центр. уг.| в град.	Длина 1 дуги 1 I	Стрелка п	h	Длина хорды $	Площадь сегмента
1	0,0175	0,000)	458,36	0,0175	0,00000	46	0,8029	0,0795	10,10	0,7815	0,04176
2	0’0349	0,0002	229,1$	0,0349	0,00000	47	0,8203	0,0829	9,89	0,7975	0,04448
3	0,0524	0,000	152,79	0,0524	0,00001	48	0,8378	0,0865	9,69	0,8135	0,04731
4	0,0698	0,0006	114,60	0,06°8	0,00003	49	0,8552	0,0900	9,50	0,8294	0,05025
5	0,0873	0,0010	91.69	0,0872	0,00006	50	0,8727	0,0937	9,31	0,8452	0,05331
6	0,1047	0,0014	76,41	0,1047	0,00010	51	0,8901	0,0974	9,14	0,8610	0,05649
7	6,1222	0,0019	64,01	0,1221	0,00015	52	0,9076	0.1012	8,97	0,8767	0,05978
8	0,1396	0,0024	56,01	0,1395	0,00023	53	0,9250	0,1051	8,80	0,8924	0,06319
9	0Л571	0,0031	50,96	0,1569	0,00032	54	0,9425	0,1090	8,65	0,9080	0,06673
10	6,1745	0,0038	45.87	0,1743	0,00044	•55	0,9599	0,1130	8,49	0,9235	0,07039
11	0,1920	0,0046	41,70	0,1917	0,00059	56	0,9774	0,1171	8,35	0,9389	0,07417
12	0,2094	0,0055	38.23	0,2091	0,00076	57	0,9948	0,1212	8,21	0,9543	0,07808
13	0,2269	0,0064	35,28	0,2264	0,00097	58	1,0123	0,1254	8,07	0,9696	0,08212
14	0,2443	0/ 075	32,78	0,2437	0,00121	59	1,0297	0,1296	7,94	0,9848	0,08629
15	0,2618	0,0086	30,60	0,2611	0,00149	60	1,0472	0,1340	7,81	1,0000	0,09059
16	0,2793	0,0097	28,04	0,2783	0,00181	61	1,0647	0,1384	7,69	1,0151	0,09502
17	0,2967	0,0110	27,01	0,2956	0,00217	62	1,0821	0,1428	7,56	1,0301	0,09958
18	0,3142	0,0123	25,35	0,3129	0,00257	63	1,0996	0,1474	7,46	1,0450	0,10428
19	0,3316	0,0137	24,17	0,3301	0,00302	64	1,1170	0,1520	7,35	1,0598	0,10911
20	0,3491	0,0152	22,98	0,3473	0,00352	65	1,1345	0,1566	7,24	1,0746	0,11408
21	0,3665	0,0167	21,95	0,3645	0,00408	66	1,1519	0,1613	7,14	1,0893	0,11919
22	0,3840	0,0184	20,90	0,3816	0,00468	67	1,1694	0,1661	7,04	1,1039	0,12443
23	0,4014	0,0201	20,00	0,3987	0,00535	68	1,1868	0,1710	6,94	1,1184	0,12с82
24	0,4189	0,0219	19,17	0,4158	0,00607	69	1,2043	0,1759	6,85	1,1328	0,13535
25	0,4363	0.С237	18,47	0,4329	0,00686	70	1.2217	0,1808	6,76	1,1472	0,14102
26	0,4538	0,0256	17,71	0,4499	0,00771	71	1,2392	0,1859	6,67	1,1614	0,14683
27	0,4712	0,0276	17,06	0,4669	0,00862	72	1,2566	0,1910	6,58	1,1756	0,15279
28	0,4887	0,0297	16,45	0,4838	0,00961	73	1,2741	0,1961	6,50	1,1896	0,15889
29	0,5061	0,0319	15.89	0,5и08	0,0Ю67	74	1,2915	0,2014	6,41	1,2036	0,16514
30	0,5236	0,0341	15,37	0,5176	0,01180	75	1,3090	0,2066	6,34	1,2175	0,17154
31	0,5411	0,0364	14,88	0,5345	0,01391	76	1,3265	0,2120	6,26	1,2313	0,17808
32	0,5585	0,0387	14,42	0,5513	0,01429	77	1,3439	0,2174	6,18	1,2459	0,18477
33	0,5760	0,(412	13,99	0,5680	0,01566	78	1,3614	0,2229	6,П	1,2586	0,19160
34	0,5934	0,0437	13,58	0,5847	0,01711	79	1,3788	0,2284	6,04	1,2722	0,19859
35	0,6109	0,0463	13,20	0,6014	0,01864	80	1,3963	0,2340	5,97	1,2856	0,20573
36	0,6283	0,0489	12,84	0,6180	0,02(27	81	1,4137	0,2396	5,90	1,2989	0,21301
37	0,6458	0,0517	12,50	0,6346	0,02198	82	1,4312	0,2453	5,83	1,3121	0,22045
38	0,6632	0,0545	12,17	0,6511	0,02378	83	1,4486	0,2510	5,77	1,3252	0,22804
39	0,6807	0,0574	11,87	0,6676	0,02568	84	1,4661	0,2569	5,71	1,3383	0,23578
40	0,6981	0,0603	11,58	0,6840	0,02767	85	1,4835	0,2627	5,65	1,3512	0,24367
41	0,7156	0,0633	11,30	0,7004	0,02976	86	1,5010	0,2686	5,59	, 1.3640	0,25171
42	0,7330	0,0664	11,(4	0,7167	0,03195	87	1,5184	0,2746	5,53	1 1,3767	0,25990
43	0,75 5	0,0696	10,78	0,7330	0,03425	88	1,5359	0,2807	5,47	I 1,3893	0,26825
44	0,7679	0,0728	10,55	0,7492	0,03664	89	1,5533	0,2867	5,42	1 1,4018	0,27675
45	0,7854	0,0761	10,32	0,7654	0,03915	90	1,5708	0,2929	5,36	1,4142	0,28540
Примечание к табл. 6. Радиус г для данной дуги / и стрелки h опре-
деляется из г = Що, где Zo та длина дуги, которая при радиусе 1 соответствует за-
данному I: й, помещенному в графе 1 таблицы. Если г—радиус круга, а <р—цен-
тральный угол в градусах, то получим:
Ф
>	1) длина хорды s=2 г sin—,
/	Ф \ f Ф	Ф
2) стрелка Л—г	— cos -уJ = — tg — » 2r sin2 у,
у' 3J длина дуги I = к г = 0,017453 г <р « л/ & + -у Л’,
44
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 6. Длина, дуги, стрелка, длина хорды и площадь
Сегмента ДЛЯ радиуса, равного 1	(Продолжение)
				«О	$2			•«5		«0	ч 2
Центр.] в град	Длина дуги 1	Стрелка	1 h	Длина хорды	га х 3 2 о s * « lZ и	Центр.) в град	лДина дуги 1	Стрелка	1 h	Длина хорды	Is 0 s С8
91	1.5882	0.2991	5.31	1,4265	0,29420	136	2,3736	0,6254	3.80	1,8544	0,83949
92	1.6057	0.3053	5.26	1,4387 10.30316		137	2,3911	0.6335	3,77	1,8608	0.85455
93	1,6282	0.3П6	5.21	1,4.507	0.31226	138	2,4086	0.6416	3,75	1,8672	0,86971
94	1,6406	0.3180	Б.16	1.4627	0.32152	139	2.4260	0,6498	3,73	1,8733	0.88497
95	1.6581	0.3244	5.11	1.4746	0.33093	140	2.4435	0,6580	3,71	1,87°4	0,90034
96	1.6755	0,3 409	5.06	1.4863	0.34050	141	2,4609	0,6662	3.69	1,8853	0,91580
97	1,6°3°	0.3374	5.02	1.4979	0.35021	142	2,4784	0,6744	3,67	1.8910	0,93135
98	1.7104	0,3439	4.97	1.5094	0.360.98	143	2,4958	0.6827	3.66	1,8766	0.94700
99	1,7279	0.3506	4.93	1,5208	0,37009	144	2.5133	0,6910	3,64	1,9021	0,96274
100	1,7453	0.3572	4.89	1,5321	0.38026	145	2,5307	0.6°93	3,62	1,9074	0,97858
1С1	1.7628	0.3639	4.84	1.5432	0.34)58	146	2,5482	0,7076	3,60	1,9126	0,99449
1С2	1.78(>2	0.3707	4,80	1,5543	0.40104	147	2,5656	0,7160	3.58	1,9176	1,01050
103	1,7977	0.3775	4,76	1.56р2	0.41166	148	2.5831	0,7244	3,57	1,9225	1.02658
104	1 8151	0.3843	4.72	1.5760	0.42242	149	2,6? 05	0,7328	3,55	1.9273	1,04275
105	1,8326	0.3912	4.68	1.5867	0.4.5333	150	2.6180	0,7412	3,53	1,9319	1,05900
106	1,85,0	0,3982	4,65	1.5973	0,44439	151	2.6354	0,7496	3,52	1,9з63	1,07532
107	1.8675	0,4052	4.61	1,61'77	0,45560	152	2.6529	0.7581	3,50	1,9406	1,09171
108	1,8850	0.4122	4,57	1,6180	0,46695	153	2.67 Ц	0,7666	3.48	1,9447	1,10818
109	1,9024	0.4193	4.54	1,6282	0,47845	154	2.6878	0,7750	3.47 .	1,9487	1,12472
НО	1.9199	0.4264	4,50	1,6383	0,49008	155	2,7053	0.7836	3,45	1,9526	1,14132
111	1,9373	0,4336	4,47	1,6483	0,50187	156	2,7227	0.7921	3,44	1,9563	1,15799
112	1,9548	0.4408	4.43	1,6581	0,51379	157	2,7402	0.80)6	3,42 ,	1,95°8	1,17472
113	1,9722	0,4481	4,40	1,6678	0,52586	158	2.7576	0.8092	3,41 I	1,963^	1,10151
114	1,9897	0.4554	4,37	1.6773	0,53806 ч,55О41	159	2.7751	0.8178	3,39	1,9665	1,20835
115	2,0071	0 4627	4.34	1,6868 1		160	2,7925	0.8264	3,38	1.96'6	1.22525
116	2,0246	0.4701	4.31	1.6961	0,56289	161	2,8100	0,8350	3,37	1,9726	1,24221
117	2,0420	0.4775	4.28	1,7053	0,57551	162	2,8274	0.8436	3,35	1,9754	1,25921
118	2,0595	0.4850	4,25	1,7143	0,58827	163	2,8449	0.8522	3,34	1,9780	1,27626
119	2,0769	0.4025	4,22	1.7233	0,60116	164	2,8623	0.86' 8	3,33	1,98(5	1,20335
120	2,0944	0,5(00	4.19	1,7321	0.61418	165	2,8798	0,86°5	3.31	1,9829	1,31049
121	2,1118	0.5076	4,16	1,7497	0,62734	166	2,8972	0,8781	3.30	1,9851	1,32766
122	2,1293	0,5152	4,13	1,7492	0.64063	167	2,9147	0,8868	3.28	1,9871	1,34487
123	2,1468	0.5228	4,11	1,7576	0,65404	168	2,9322	(,8955	3.27	1,9890	1,36212
124	2,1642	0.5305	4.08	1,7659	0.6675Q	169	2,9496	0,9042	3.26	1,99С8	1,37940
125	2,1817	0,5383	4.05	1,7740	0.68125	170	2,9671	0,9128	3.25	1,9924	1,39671
126	2,1991	0,5460	4.03	1,7820	0,69505	171	2,9845	0,9215	3,24	1,9938	1,41404
127	2,2166	0,5538	4.00	1,7899	0,7' 8'7	172	3,0020	0,9302	3.23	1,9951	1,43140
128	2,2340	0,5616	3,98	1.7976	0.72301	173	3,(494	0,9390	3,22	1,9963	1,44«78
129	2,2515	0.56С5	3,95	1,8052	0,73716	174	3,0369	0,9477	3,20	1,9973	1,46617
130	2,2689	0.5774	3.93	1,8126	0,75144	175	3,0543	0,9564	3.19	1,9981	1.48359
131	2,2864	0,5853	3,91	1,8199	0,76584	176	3,0718	0,9651	3,18	1,9988	1,50101
132	2,3( 38	0.5°33	3,88	1,8271	0,78034	177	3.0892	0.9738	3,17	1,9993	1.51845
133	2,3213	0,6013	3,86	1,8341	0,79427	178	3,1067	0,9825	3,16	1,9997	1,53589
134	2,3387	0,6093	3,84	1,8410	0,8')970	179	3,1241	0,9913	3,15	1,9999	1,55334
135	2,3562	0,6173	3,82	1,8478	0,82454	180	3,1416	1,ООСО	3,14	2,0000	1,57080
..	гб) 7 8 9 / Я „	\
4) площадь сегмента равна — (jgQ,- ф — sin <р у ,
<р°
б) площадь сектора равна кг« = 0.СС8 726 65 <pr»t
б) /=г соотв. <Р = 57° 17х 44,806" = 57,2957795’ = 206264,806"
7)	аге	Г =тс :	180 = 0,01745^29252;	lg	аге	1’= 0,2418773676 — 2,
.8)	аге	Г = к :	10800 = 0, 00290888 21;	1g	arc	1' = 0,4637261172 - 4,
9)	arc	1" = п :	648000 = 0,00000484814;	1g	аге	1 " = 0,6855748668 — 6.
Таблица 7
45
Таблица 7. Длина дуги круга при радиусе,равном 1
Гра- дусы	О'	10'	20'	39'	40'	50'		
0	0,00000	0,00291	0,00582	0,00873	0,01164	0,01454		
1	0,01745	0,02036	0.02327	0,02618	0,02909	0,03200		
2	0,0; >491	0,03782	0,04072	0,(»4з63	0,04654	0,04945		
3	0,05236	0,05527	0,05818	0,06109	0,06400	0,06690		
4	0,06981 0,08727	0,07272 0,09018	0.07563	0,u7854	0,08145	0,08436	Г	| 105 аге
5			0,093Г8	0,09599	0,09890	0,10181		
6	0,10472	0.10763	0,11054	0,11345	0,11636	0,11926	1	29,1
7	0,12217	0,12508	0,12799	0,13090	0.13381	0,13672	2	58,2
8	0,13963	0,14/54	0,14544	0,14835	0,15126	0,15417	3	87,3
9	0,15708	0,15999	0,16290	0,16581	0,16872	0,17162	4	116,4
10	0,17453	0,17744	0,18035	0,18326	0,18617	0,18908	5 6	145,4 174,5
11	0,19199	0,19490	0,19780	0,20071	0,20362	0,20653	7	203,6 232,7
12	0,20944	0.21235	0,21526	0,21817	0,22108	0,22398	8	
13	0,22689	0,22980	0,23271	0,-3562	0,23853	0,24144	9	261,8
14	0,24435	0,24725	0,25016	0,25307	0,25598	0.25889		
15	0,26180	0,26471	0,26762	((,27053	0,27343	0.27634		
16	0.27925	0,28216	0,28507	0,28798	0,29089	0,29380		
17	0,29671	0,29961	0,30252	0,30543	0.30834	0,31125		
18	0,31416 0,33161	0,31707	0,31998	0,32289	0,32579	0,32870		
19		0,33452	0,33743	0,34034	0,34325	0,34616		
20	0,34907	0,35197	0,35488	0,35779	0,36070	0,36361		
21	0,36652	0,36943	0,37234	0,37525	0,37815	0,38106		
22	0,38397	0,38688	0,38979	0,39270	0,39561	0.39852		
23	0,40143	0,40433	0,40724	0,41015	0,41306	0,41597		
24	0,41888	0,42179	0,42470	0,42761	0.43051	0.43342		
25	0,43633	0,43924	0,44215	0,44506	0,44797	0.45088		
26	0,45379	0,45669	0,45960	0,46251	0,46542	0,46833		
27	0,47124 0,48869	0,47415	0,47706	0,47997	0.48287	0.48578	п	105 аге
28		0,49160	0,49451	0,49742	U,50033	0,50324		о,б
29	0,50615	0,50905	0,51196	0,51487	0,51778	0,52069	1	
30	0,52360	0,52651	0,52942	0,53233	0,53523	0,53814	2 3	1,0 1,5
31	0,54105	0,54396	0,54687	0,54978	0,55269	0.55560	4	1,9
32	0,-6851	0,56141	0,56432	0,56723	0,57014	0,57305	5	2,4
33	0,57596	0,57887	0,58178	0,58469	0,58759	0,59050	6	2,9
34	0,59341	0,59632	0,59923	0,60214	0,60505	0,60796	7	3,4
35	0,61087	0,61377	0,61668	0,619 S9	0,62250	0,62541	8	3,9
36	0,62832	0.63123	0,63414	0,63705	0,63995	0,64286	9	4,4
37	0,64577	0,64868	0,65159	0,65450	0.65741	0,66032	10	4,8
38	0,66323	0,66613	0,66904	0,67195	0,67486	0,677,7	2'‘	9,7
39	0,68068	0,68359	0,68650	0,68941	0,69231	0,69522	30	14,5
40	0,69813	0,70104	0,70395	0,70686	0,70977	0,71268	40 50	19,4 24,2
41	0,71558	0,71849	0,72140	0,72431	* 0,72722	0,73013		
42	0,73304	0,73595	0,73886	0.74176	0,74467	0,74758		
43	0,75049	0,75340	0,75631	0,75922	0,76213	0,76504		
44	0,76794	0,77085	0,77376	0,77667	0,77958	0,78249		
	0'	10' |	|	20'	|	30'	40'	|	50'		
46
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица?. Длина дуги круга при радиусе, равном 1 (Продолжение)
Гра- дусы	0'	IO'	20'	30'	40'	50'		
45	0,78540	0,78831	0,79122	0,79412	0,79703	0,79994		
46	0,80285	0,80576	0,80867	0,81158	0,81449	0,81740		
47	0,82D30	0,82321	0,82612	0,82903	0,83194	0,83485		
48	0,83776	0,84067	0,84358	0,84648	0,84939	0,85230		
49	0,85521	0,85812	0,86103	0,86394	0,86685	0,86976	г	1 108 аге
50	0,87266	0,87557	0,87848	0,88139	0,88430	0,88721	1	29,1
51	0,89012	0,89303	0,89594	0,89884	0,90175	0,90466	2	58,2
52	0,90757	0,91048	0,91339	0,91630	0,91921	0,92212	3	87,3
53	0,92502	0,92793	0,93084	0,93375	0,93666	0,93957	4	116,4
54	0,94248	0,94539	0,94830	0,95120	0,95411	0,95702	5	145,4
55	0,95933	0,96284	0,96575	0,96866	0,97157	0,97448	6	174,5
56	0,97738	0,98029	0,98320	0,98611	0,98902	0,99193	7	203,6 232,7 261,8
57	0,99484	0,99775	1,00066	1,00356	1,00647	1,00938	8 9	
58	1,01229	1,01520	1,01811	1,02102	1,02393	1,02684		
59	1,02974	1,03265	1,03556	1,03847	1,04138	1,04429		
60	1,04720	1,05011	1,05302	1,05592	1,05883	1,06174		
61	1,06465	1,06756	1,07047	1,07338	1,07629	1,07920		
62	1,08210	1,08501	1,08792	1,09083	1,09374	1,09665		
63	1,09956	1,10247	1,10538	1,10828	1,11119	1,11410		
64	1,11701	1,11992	1,12283	1,12574	1,12865	1,13156		
65	1,13446	1,13737	1,14028	1,14319	1,14610	1,14901		
66	1,15192	1,15483	1.15774	1,16064	1.16355	1.16646		
67	1,16937	1,17228	1,17519	1,17810	1,18101	1,18392		
68	1,18682	1,18973	1,19264	1,19555	1,19846	1,20137		
69	1,20428	1,20719	1,21009	1,21300	1,21591	1,21882		
70	1,22173	1,22464	1,22755	1,23046	1,23337	1,23627		
71 72	1,23918	1,24209	1,24500	1,24791 1,26536	1,25082	1,25373	ГТ	108 аге
	1,25664	1,25955	1,26245		1,26827	1,27118		
73	1,27409	1,27700	1,27991	1,28282	1,28573	1,28863	1	0,5
74	1,29154	1,29445	1,29736	1,30027	1,30318	1,30609	2	1,0
75	1,30900	1,31191	1,31481	1,31772	1,32063	1,32354	3	1,5.
76	1,32645	1,32936	1,33227	1,33518	1,33809	1,34099	4	1,9
77	1,34390	1,34681	1,34972	1,35263	1,35554	1,35845	5	2,4
78	1,36136	1,36427	1,36717	1,37008	1,37^99	1,37590	6	2,9
79	1,37881	1,38172	1,38463	1,38754	1,39045	1,39335	7	3,4
80	1,39626	1,39917	1,40208	1,40499	1,40790	1,41081	8 9	3,9 4,4
81	1,41372	1,41663	1,41953	1,42244	1,42535	1,42826	10	4,8
82	1,43117	1,43408	l,4d699	1,43990	1,44281	1,44571	20	9,7
83	1,44862	1,45153	1,45444	1,45735	1,46026	1,46317	30	14,5
84	1,46608	1,46899	1,47189	1,47480	1,47771	1,48г62	40	19,4
85	1,48о53	1,48644	1,48°35	1,49226	1,49517	1,49807	50	24,2
86	1,50098	1,50389	1,50680	1,5'2971	1,51262	1,51553		
87	1,51844	1,52135	1,52425	1,52716	1,53007	1,53298		
88	1,53589	1,53880	1,54171	1,54462	1,54753	1,55 43		
89	1,55334	l,556z5	1,55916	1,56207	1,56498	1,56789		
	0'	10'	20'	30'	40х	|	50'		
Таблица 7
47
Таблица 7. Длина дуги круга при радиусе, равном 1 (продолжение)
Гра- дусы	0'	10/	20'	30'	40'	50'	
90	1,57080	1,57371	1,57661	1,57952	1,58243	1,58534	
91	1,58825	1,59116	1,59407	1,59698	1,59989	1,60279	
92	1,60570	1,60861	1,61152	1,61443	1,61734	1,62025	
93	1,62316	1,62607	1,62897	1,63188	1,63479	1,63770	
94	1,64061	1,64352	1,64643	1,64934	1,65225	1,65515	' 108 аге
95	1,65806	1,66097	1,66388	1,66679	1,66970	1,67261	
96	1,67552	1,67842	1,68133	1,68424	1,68715	1,69006	1	29,1
97	1,69297	1,69588	1,69879	1,70170	1,70460	1,70751	2	58,2 о	Q*7 Q
98	1,7Ю42	1,71303	1,71624	1,71915	1,72206	1,72497	О	О/,О А	11 R А
99	1,72788	1,73078	1,73369	1,73660	1,73951	1,74242	Я 110/1 £ 1ИЕ л
100	1,74533	1,74824	1,75115	1,75406	1,75696	1,75987	О 1ЯО,4 6	174,5
101	1,76278	1,76569	1,76860	1,77151	1,77442	1,77733	7	203,6 Я	909 *7
102	1,78024	1.78314	1,78605	1,78896	1,79187	1,79478	О ZoZ,/ Q	9Л1 Я
103	1,79769	1,80060	1,80351	1,8 642	1,80932	1,81223	У ZO1,0
104	1,81514	1,81805	1,82096	1,82387	1,82678	1,82969	
1С5	1,83260	1,83550	1,83841	1,84132	1,84423	1.84714	
1С6	1,85005	1,85296	1,85587	1,85878	1,86168	1,86459	
107	1,867.50	1,87041	1,87332	1,87623	1,87914	1,88205	
1С8	1,88496	1,88786	1,89077	1,89368	1,89659	1,89950	
1С9	1,90241	1,90532	1,9( 823	1,91114	1.914U4	1,91695	
ПО	1,91986	1,92277	1,92568	1,92859	1,93150	1,93441	
111	1,93732	1,94022	1,94313	1,94604	1,94895	1,95186	
112	1,95477	1,95768	1,96' 59	1,96350	1,96640	1,96931	
из	1,97222	1,97513	1,97804	1,98095	1,98386	1,98677	
114	1,98968	1,99258	1,99549	1,99840	2,ОС 131	2,00422	
115	2.00713	2,01004	2,01295	2,01586	2,01876	2,02167	
116	2,02458	2,02749	2,03040	2,03331	2,03622	2,03913	
117	2,04204	2,04494	2.04785	2,05076	2,05367	2.05658	п 10s аге
118	2,05949	2,06240	2,06531	2,06822	2,07112	2,07403	
119	2,07694	2,07985	2,08276	2,08567	2,08858	2,09149	1 ‘ 0,5
120	2,09440	2,09730	2,10021	2,10312	2,10603	2,10894	2	1,0 3	1,5
121	2,11185	2,11476	2,11767	2,12058	2,12348	2,12639	4	1,9
122	2,12930	2,10221	2,13512	2,13803	2,14094	2,14385	5	2,4
123	2,14675	2,14966	2,15257	2,15548	2,15839	2,16130	6	2,9
124	2,16421	2,16712	2,17003	2,17293	2,17584	2,17875	7	3,4
125	2,18166	2,18457	2,18748	2,19039	2,19339	2,19621	8	3,9
126	2,19911	2,20202	2,20493	2,20784	2,21075	2,21366	9	4,4
127	2,21657	2,21948	2,22239	2,22529	2,22820	2,23111	10	4,8
128	2,23402	2,23693	2,23984	2,24275	2,24566	2,24857	20	9,7
129	2,25147	2,25438	2,25729	2.26J20	2,26311	2,26602	30	14,5
130	2,26893	2,27184	2,27475	2,27765	2,28056	2,28347	40	19,4 50	24,2
131	2,28638	2,28929	2,29220	2,29511	2,29802	2,30093	
132	2,3«'383	2.3* 674	2,30965	2,31256	2,31547	2,31838	
133	2,32129	2,32420	2,32711	2,33)01	2,33292	2,33583	
134	2,33874	2,34165	2,34456	2,34747	2,35038	2,35329	
	1 °'	1 10/	20'	1 ж 1	1 «'	| 50'	
48
Т. I. Отд. 1 Математика. I. Таблицы
Таблица 7. Длина дуги круга при радиусе равном 1 (Продолжение)
Гра- дусы	0'	10'	20'	30'	40'	50'	
135	2,35619	2.35910	2,36201	2,36492	2,36783	2.37074	
136	2,37365	2,37656	2,37947	2.3823 ’	2,38528	2,38819	
137	2,39110	2,39401	2.39692	2,3998 >	2,40274	2.40565	
138	2,40855	2,41146	2,41437	2,41728	2,42019	2,42310	
139	2,426и1	2,42892	2,43183	2,43473	2,43761	2,44055	' 10 s аге
140	2,44346	2,44637	2,44928	2,45219	2 15510	2,45801	
141	2,46091	2,46382	2,46673	2,46964	2.47255 I	2,47546	1	29,1 2	58,2
142	2,47837	2,48128	2,48419	2,48709	2.49(ИХ)	2,49291	3	87,3
143	2,49582	2,49873	2,50164	2.5» >455	2,5'746	2.51037	4	116,4
144	2,51327	2.51618	2,51Ч()9	2,52200	2.52491	2.52782	5	145,4
145	2.53073	2.5.3.364	2.53655	2.53945	2.54236	2.54527	6	174,5
146	2,54818	2,55109	2,55400	2..>5691	2.55982	2,56273	7	203,6
147	2.56563	2,56854	2.57145	2.57436	2.57727	2.58018	8	232,7
148	2,58309	2.58600	2.58801	2.591Ы	2,59472	2.5У763	9	261,8
149	2,60054	2,60345	2.6U636	2,60927	2,61218	2,61508	
150	2,61799	2,62090	2,62381	2,62672	2,62963	2,63254	
151	2.63545	2.63836	2.64126	2,64417	2,64708	2,64999	
152	2.65290	2.65581	2.65872	2.66163	2,66454	2,66744	
153	2,67035	2,67326	2,67617	2.67908	2.68199	2,68490	
154	2.68781	2.69(72	2,69362	2.6°653	2,69044	2.70235	
155	2.7U526	2,7(817	2,711( 8	2.71399	2.7169U	2.71980	
156	2,72271	2.72562	2,72853	2.73144	2,73435	2.73726	
157	2.74017	2.74308	2.74598	2.74889	2,75180	2.75471	
158	2,75762	2,76053	2,76344	2,76635	2.76926	2.77216	
159	2.775U7	2,77798	2,78189	2,78380	2,78671	2,78962	
160	2,79253	2,79544	2,79834	2,80125	2,80416	2,80707	
161	2,80998	2,81289	2,81580	2.81871	2.82162	2.82452	ff 1 1Г)Б am
162	2.82743	2,83034	2,83325	2.82616	2.839(7	0 Ял 1о®	I in’ arc
163	2.84489	2.84780	2.85'70	2,85361	2*85652	Z,o4 1 Jo 2.85943	1	0,5
164	2,86234	2,86525	2,86816	2,871(7	2.87398	2.87688	2	1,0
165	2.87979	2.88270	2.88561	2,88852	2.8е 143	2,89434	3	1,5
166	2,89725	2,9(МЛ6	2.90306	2,90597	2,90888	2,91179	4	1,9
167	2,91470	2,91761	2,92052	2.92343	2,92634	2,92924	
168	2,93215	2,93506	2,93797	2.94088	2,94379	2.94670	5	2,4
169	2,94961	2,95252	2,95542	2,95833	2,96124	2^96415	6	2,9 7	3,4
170	2,96706	2,96997	2,97288	2,97579	2,97870	2,98160	8	3,9 9	4 4
171	2,98451	2.98742	2<99033	2.99324	2.90615	2,99906	
172	3,(Х)197	3,00488	3.00778	3,01069	3,01.560	3,01651	10	4,8
173	3.01942	3,02233	3,02524	3,02815	З.еЗК.6	3.03396	20	9.7
174	3.13687	3.03078	3.04269	3.04560	3,04851	3,05142	30	14,5 40	19 4
175	3.U5433	3.05724	3.06'44	3.063О5	3.06596	3,06887	.50	24 2
176	3,07178	3,07469	3,07760	З.(8о51	3.08.542	3.08632	
177	3,08923	3,09214	3.Q9505	3.09796	3.10U87	3.1 ('378	
178	3.1 (669	З.Ю959	3.11250	3.11541	3.11832	3.12123	
179	3,12414	3,12705	3,12996	3,13287	3,13577	3,13868	
	1 °'	|	10'	20'	| 30'	1 «и	[ 1	1
Таблица 8
49
Таблица 8. Перевод 93° деления квадранта в 100°
Гра- дусы	0'	10'	20'	30'	40'	50'	Гра- дусы
0	о,сооо	0,1852	0,3704	0,5556	1 0,7407	1 0,9259	0
1	1,1111	1,2963	1,4815	1,6667	1,8519	2,0370	1
2	2,2222	2,4074	2,5926	2,7778	2,0630	3,1481	2
3	3,3333	3,5185	3,7037	3,8889	4,0741	4,2593	3
4	4,4444	4,6296	4,8148	5,0000	5,1852	5,3704	4
5	5.5S56	5,7407	5,925*9	6,1111	6,2963	6,4815	5
6	6,6667	6,8519	7,0370	7,2222	7,4074	7,5926	6
7	7,7778	7,9630	8,1481	8,3333	8,5185	8,7037	7
8	8,8889	9,0741	9,2593	9,4444	9,6296	9,8148	8
9	10,0090	10,1852	10,3704	10,5556	10,7407	10,9259	9
10	11,1111	11,2963	11,4815	11,6667	11,8519	12,0370	10
11	12,2222	12,4074	12,5926	12,7778	12,9630	13,1481	11
12	13,3333	13,5185	13,7037	13,8889	14,0741	14,2593	12
13	14,4444	14,6296	14,8148	15,0000	15,1852	15,3704	13
14	15,5556	15,7407	15,9259	16,1111	16,2963	16,4815	14
15	16 6667	16,8519	17,0370	17,2222	17,4074	17,5026	15
16	17,7778	17,9630	18,1481	18,3333	18,5185	18,7037	16
17	18,8889	19,0741	19,2593	19,4444	19,6296	19,8148	17
18	20,0000	20,1852	20,3704	20,5556	20,7407	20,9259	18
19	21,1111	21,2963	21,4815	21,6667	21,8519	22,0370	19
20	22,2222	22,4074	22,5926	22,7778	22,9630	23,1481	20
21	23,3333	23,5185	23,7037	23,8889	24,0741	24,2 та	21
22	24,4444	24,6^96	24,8148	25,0000	25,1852	25,3704	22
23	25,5556	25,7407	25,9259	26,1111	26,2363	26,4815	23
24	26,6667	26,8519	27,0370	27,2222	27,4374	27,5926	24
25	27,7778	27,9630	28,1481	28,3333	28,5185	28,7037	25
26	28,8889	29,0741	29,2593	29,4444	29,6296	29,8148	26
27	30,0000	30,1852	30,3704	30,5556	30,7407	30,9259	27
28	31,1111	31,2°63	31,4815	31,6667	31,8519	32,0 70	28
29	32,2222	32,4074	32,5926	32,7778	32,9630	33,1481	29
30	33,3333	33,5185	33,7037	33,8889	34,0741	34,2593	30
31	34,4444	34,6296	34,8148	35,0000	35,1852	35,3704	31
32	35,5556	35,7407	35,Q259	36,1111	36,2963	36,4815	32
33	36,6667	36,8519	37,0370	37,2222	37,4074	37,5926	33
34	37,7778	37,9630	38,1481	38,3333	38,5185	38,7037	34
35	38,8889	39,0741	39,2593	39,4444	39,6296	39,8148	35
36	40,0000	40,1852	40,3704	40,5556	40,7407	40,9259	36
37	41,1111	41,2963	41,4815	41,6667	41,8519	42,0370	37
38	42,2222	42,4С74	42,5926	42,7778	42,9630	43,1481	38
39	43,3333	43,5185	43,7037	43,8889	44,0741	44,2593	39
40	44,4444	44,6296	44,8148	45,0000	45,1852	45,3704	40
41	45,5556	45,7407	45,9259	46,1111	46.2963 '	46,4815	41
42	46,6667	46,8519	47,0370	47,2222	47,4074	47,5926	42
43	47,7778	47,9630	48,1481	48,3333	48,5185	48,7037	43
44	48,8889	49,0741	49,2593	49.4444	49,6296	49,8148	44
45	50,0000	50,1852	50,3704	50,5556	50,7407	50,9259	45
Для перевода угла а
соответствующее == а0
> 45° в 100°-деление следует отыскать в
— п 45°, и прибавить к этому п 59.
таблице значение,
50
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 9. Эллиптические интегралы *
Эллиптические интегралы 1-го рода F (ф, A), k = sin а
X. а ? х	0э	10’	20’	30’	40° |	50’	60’	70°	80°	90’
0е |	1 0,0000	0,0000	0,0- 00	0,оги ю	(',0000	0,9000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
10	0,1745	0,1746	0,1746	0,1748	0,1749	0.1751	0,1752	0,1753	0,(754	0,1754
20 I	0,3491	0,34^3	0,3409	0,3508	0,3520	0,3533	0,3545	0,3555	0,3562	0,3564
30	0,5236	0,5243	0,5263	0,5294	0,5334	0,5379	0,5422	0,5459	0,5484	0,5493
40	0,6981	0,6£97	0,7043	0,7117	0,7213	0,7323	0,7436	0,7535	0,7604	0,7629
50	0,8727	0,8756	0,8842	0,8983	(',9173	0,9401	0,9647	0,9876	1,0044	1,0107
60	1,0472	1,0519	1,0660	1,0896	1,1226	1,1643	1,2125	1,2619	1,3014	1,3170
70	1,2217	1,2286	1,2495	1,2853	1 3^72	1,4068	1,4944	1,5959	1,6918	1,7354
80	1,3963	1,4057	1,4344	1,4846	1,5597	1,6669	1,8125	2,0119	2,2653	2,4363
90 1	1,5708	1,5828	1,6200	1,6858	1,7868	1,9356	2,1565	2,5046	3,1534	оо
Эллиптические интегралы 2-го рода Е (ф, k}, k = sin а
XI	|| °’ 1	10’	20’	30°	40’	50°	60° |	70’	80°	90°
0°	0,0000	0,00<0	0,0000	О.СХХХ)	0,0000	0,0000	0,С0(Х)	о,оооо	0.0000	0,0000
10	0,1745	0,1745	0,1744	0,1743	0,1742	0.174П	0,1739	0,1738	0,1737	0,1737
20	0,3491	0,3489	0,3483	0,3473	0,3462	0,3-150	0,3438	0,3429	0,3422	0,3420
30	0.5236	0,5229	0,5209	0,5179	0,5141	0,5Ь Ю	0,5061	0,5029	0,5007	0.5000
40	0,6981	0,6966	0,6921	0,6851	0,6763	0,6667	0,6575	0,6497	0,6446	0,6428
50	0,8727	0,8698	0.8614	0,8483	0,8317	0,8134	0,7954	0,7801	0,7607	0,7660
60	1,0472	1,0426	1,0290	1,0076	0,9801	0.9493	0,9184	0,8914	0,8728	0,8660
70	1,2217	1,2149	1,1949	1,1632	1,1221	1,075-)	1,0266	0,9830	0,9514	0,9397
80	1,3963	1,3870	1,3507	1,3161	1,2590	1,1026	1,1225	1,0565	1,0054	0,9848
90	1,5708	1,5589	1.5238	1,4675	1,3931	1,3055	1,2111	1,1184	1,0401	1,0000
а	К	Е	а	1 к	Е	а	к	Е	а	К	Е
0’	1,5708	1,5708	23’	| 1,6363	1.5090	46’	1,8692	1,3418	69"	2.4610	1,1273
1	1,5709	1,5707	24	1,6426	1,5037	47	1,88 Л	1,3329	70	2,5046	1,1184
2	1,5713	1.5703	25	| 1,6490	1,4981	48	1,9011	1,3238	71	2,55')7	1,1096
3	1,5719	1,5697	26	1,6557	1,4924	49	1,9180	1,3147	72	2,5998	1,1011
4	1,5727	1,5689	27	1,6627	1,4864	50	1.9356	1,3(55	73	2,6521	1,0927
5	1,5738	1.5678	28	1.6701	1,4803	51	1,9539	1,2963	74	2,7081	1,0844
6	1.5751	1,5665	29	1.6777	1,4740	52	1,9729	1,2870	75	2,7681	1,0764
7	1,5767	1.5650	30	1,6858	1,4675	53	1,9927	1.2776	76	2,8327	1,0686
8	1,5785	1,5630	31	1,6941	1,4608	54	2,0133	1,2682	77	2,9026	1,0611
9	1,5835	1,5611	32	1,7028	1,4539	55	2,0347	1,2587	78	2,9786	1,0538
10	1,5828	1,5589	33	1.7119	1,4469	56	2,0571	1,2492	79	3.0617	1,0468
11	1,5854	1,5564	34	1,7214	1,4397	57	2.0804	1,2307	80	3,1534	1,0401
12	1,5882	1,5537	35	1,7313	1,4323	58	2,1047	1,23'1	81	3,2553	1,0338
13	1,5913	1,5507	36	1,7415	1,4248	59	2,1300	1,22(6	82	3.3699	1,0278
14	1,5946	1,5476	37	1.7522	1,4171	60	2,1565	1,2111	83	3,5'104	1,0223
15	1,5981	1,5442	38	1,7633	1,4092	61	2,1842	1,2015	84	3,6519	1,0172
16	1,6020	1,5405	39	1,7748	1,4013	62	2,2132	1,1921	85	3,8317	1,0127
17	1,6061	1,5367	40	1,7868	1,3931	63	2,2435	1,1826	86	4,0528	1,0087
. 18	1,6165	1.5326	41	1,7992	1,3849	64	2,2754	1,1732	87	4,3387	1,0053
19	1,6151	1.5283	42	1,8122	1,3765	65	2,3*88	1,1638	88	4,7427	1,0026
20	1,6200	1,5238	43	1,8256	1,3680	66	2,3439	1,1546	89	5,4349	1,0008
21	1,6252	1,5191	44	1,8396	1,3594	67	2,3809	1,1454	90	оо	1,0000
22	1,6307	1,5142	45	1,8541	1,3506	68	2,4198	1,1362			
	f			2		Т			1	гс/2	
^=J	Г 'к=			d <р		рт	Vi—A'sfn’cp ; Е			d<b У1-	-Л2 sin2
	' Vi—Arsin’<р			/1—£’sin8<p	J							
• Ср. более подробные таблицы Е. Jahnke и F. Е ш de, Таблицы функций
с формулами и кривыми. Лейпциг и Берлин 1909 (В. О- Teubner).
Таблицы 10, 11 и 12
51
Таблица 10. Коэфициенты бинома ) до
п	(о)	(?)	G)	G")	(3)	G)	Се)	(?)	(?)	(!)	(ю)	(?)	(12),(13)		(Г4)	(w)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Таб	1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 лиц	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 а И	1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 . Кв	1 4 10 20 35 56 84 120 165 220 286 364 455 адр	1 5 15 35 70 126 210 330 495 715 10011 1365! атнь	1 6 21 56 126 252 462 792 1287 2002 3003 ле и	1 7 28 84 210 462 924 1716 3003 5005 куб	1 8 36 120 330 792 1716 3432 6435 иче<	1 9 45 165 495 1287 3003 64о5 :кие	1 10 55 220 715 20О21 50051 КО	1 1 11 66 286 Tool 3003 рни	1 12 78 364 1365 нек	1 13 911 455| ОТО]	1 14 105 )ЫХ	1 15 ДРО	1 бей
п	Vn	3 Vn	п	V~n |	3 У~п	п	Vn	3 ттг	п'	1	3 V~n
х1в	0,57735	0,69336	*/7	0,37796	0,52276	Ч*	0,35355	0,50000	4/Э	0,66667	0,76314
*/8	0,81650	0,87358		0,53452	0,65863	8/8	0,61237	0,72112	Б|»	0,74536	0,82207
	0,50000	0,62996	3/7	0,65465	0,75395	%	0,79» 57	0,85499	7/в	0,88192	0,91964
	0,86603	0,90856	4/7	0,75593	0,82983	7/в	0,93541	0,95647	1/19	0,28868	0,43679
1/в	0,4/ 825	0,55032	Б/7	0,84515	0,89390	Чэ	0,33333	0,48075	%	0,64550	0,74690
	0,91287	0,941 4	6/7	0,92582	0,94991		0,47140	0,60571		0,76376	0,83555
Таблица 12. Часто встречающиеся числовые значения
Вели- чина	п	1g п	Вели- । чина I	п	1g п |	I Вели- чина	n	1g n
1Г	3,1415927	0,49715	4 тс2	39,478418! 1,59636		1 : М \	2,302585	0,36222
тс: 2	1,5707963	0,19612	тс2 : 4	2,4674011	0,39224	g	9,81	0,99167
тс : 3	1,0471976	0,02003	пГГ	4,4428829	0,64766	g*	96,2361	1,98334
тс : 4 я1	0,7853982 9,8696044	0,89509-1 0,99430	тс . /Г	2,221442	0,34663	У1	3,1320919	0,49583
я»	31,006277	1,49145	V2rc	2,506628	0,39909	1:2g	0,050968	0,70730-2
ТС*	97,409091	1,98860	УТ12	1,253314	0,09806	y^g	4,429447	0,64635
ТС»	306,01968	2,48575	УТГ^	0,797885	0,90194-1	ТС У g	9,839757	0,99298
1: тс 1: тс*	0,3183099 0,1013212	0,50285-1 0,00570-1	Кз : тс 3		0,977205	0,98998—1	тс VTg	13,91536	1,14350
1: тс8	0,0322515	0,50855 -2	К2тс	1,845261	0,26606	n:Vg	1,003033	0,00132
1 : тс*	0,010266	0,01140-2	У^2	1,162447	0,06537	K’Y2g	0,709252	0,85080-1
1: тс»	0,0/ 3268	0,051425 - 3	3				e	2,718282	0,43429
V7	1,7724539	0,24857	Ул:4 з	0,922635	0,96503-1	e*	7,389056	0,86859
3 тс V тс 3	1,4645919 5,5683280	0,16572 0,74572	/2:тс 3 /3:тс	0,860254 0,984745	0,93463-1 0,99332 — 1	1 :e 1 :*2 У7	0,367879 0,135335 1,648721	0,56571-1 0,13141-1 0,21715
15 Ук	4,6011511	0,66287	Л	0,434294	0,63778-1	3	1,395612	0,14476
52
Т. I. Отд. 1. Математика. Т. Таблицы
Таблица	13. Кратные z и	l:z
1 п = 3,14159	'/тс	- 0,31831 I 4тс	=	12,56637	*/тс	=	1,27324	I 7 тс	-	21,99115	7/тс =	2,22817
2 тс — 6,28319	2|-	= 0,63662 5тс	=	15,70796	Цк	=	1,59155	! 8 тс	=	25,13274	*/тс -	2,54648
Зтс = 9,42478	3/тс = 0,95493 | 6тс	-	18,84956	-	1,90986	9тс	~	28,27433	9/тс =	2,86479
Таблица 14. Некоторые степени, факториалы и обратные
величины
п	2п	3"	1 : 2п	1 : Зп	п!	1 : (п !)
1	2	3	0,50000	0,33333	1	1,00000
2	4	9	0,25000	0,11111	2	0,50000
3	8	27	0,12500	0,03704	6	0,16667
4 .	16	81	0,06250	0,01235	24	0,04167
5	32	243	0,03125	0,00412	120	0,00833
6	64	729	0,01562	0,00137	720	0,00139
7	128	2 187	0,00781	0,00046	5 040	0,00020
8	256	6 561	0,00391	0,00015	40 320	0,00002
9	512	19 683	0,00195	0,00005	362 880	—
10	1 024	59 049	0,00098	0,00002	3 628 800	—
и	2 048	177 147	0,00049	0,00601	39 916 800		
12	4 096	531 441	0,00024	—	479 001 600	—
13	8192	1 594 323	0,00012	—	—	—
14	16 384	4 782 969	0,00006	—	—	—
15	32 768	14 348 907	0,00003	—	—	—
16	65 536	43,046 721	0,00002		—	—
17	131 0/2	129 140 1G3	0,00001	—	—	—
18	262 144	387 420 489	—	—	—	—.
19	524 288	1 162 261 467	—	—	—	—
20	1 048 576	3 486 784 401	—	—	—	—
Указания к пользованию таблицами
а) Получение промежуточных значений посредством
интерполяции
Промежуточные значения можно вычислять, основываясь на
пропорциональности между (достаточно малыми) приращениями
данных и искомых величин, когда восьмой долей второй
табличной разности можно пренебречь.
Так например, для п при п = 29 таблица 1:
1-я раз- 2-я раз-
ность ность
28
29
30
5.2915
5,3852
5,4772
0,0937
0,0920
-0,0017
2-я разность (абс.) равна 0,0017; восьмая
доля ее 0,0002. Эта величина не оказывает ника-
кого влияния на3-й десятичный зйак корня, почему
и допускает для данного случая линейную интер-
поляцию.
Вообще, найденное путем
линейной интерполяции про-
межуточное значение верно
Указания к пользованию таблицами
53
с точностью менее единицы последнего десятичного знака, если
вторая разность в соответствующем месте таблицы не превышает
4 единиц последнего десятичного знака.
Указания относительно принимаемых во вни.мание границ сделаны в ниже-
следующих примерах. Если вносимая относительно табличного значения по-
правка имеет не больше 3 цифр, то для ее вычисления удобно пользоваться счет-
ной линейкой (Л) (стр. 201).
Величина 1-й разности показывает, сколько строк целе-
сообразно вставить между двумя последовательными строками
таблицы и сколько верных знаков для этих промежуточных значений
можно считать достаточным; она дает также основание *для сужде-
ния о качестве полученных интерполяцией значений.
В помещенном рядом примере из табл. 1 первая разность равна 0,0036, с 36 еди-
ницами в 4-м десятичном знаке. Подразделение интервала между двумя соседними
значениями аргумента п на 36 частей дает новое значение 868,03, 868,06... с интер-
валом 0,03. Поэтому при интерполяции, будь то от п к корню или наоборот, при-
соединяется не больше 2 десятичных знаков и найден-	___ _
ное по корню число п будет верно только до 3 единиц
второго знака.
Когда на результат интерполя-
ции оказывает влияние 2-я раз-
ность (см. выше), табличную разность испра-
вляют с помощью нижеследующей вспомога-
1-я раз-
ность
868
869
9,5391
9,5427
0,0036
тельной таблицы по заданным приращению аргумента и 2-й раз-
ности; с исправленной разностью интерполируют обычным способом.
п
Вспомогательная таблица поправок к табличной разности
(Поправки возрастают, как вторые разности, так что последние нужно учитывать
даже и в том случае, когда они превышают 100 единиц)
	2-я разность в единицах последнего десятичного знака										
	0	10	20	| 30	40	50	60	70	80	90	100
2	0,0	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
5 § од	0	4	9	13	18	22	27	31	36	40	45
sg 0,2	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
0,3	0	3	7	10	14	17	21	24	28	31	35
0,4	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
gs 0,5	0	2	5	7	10	12	15	17’	20	22	25
5« 0,6	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
0,7	0	1	3	4	6	7	9	10	12	13	15
0,8	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
s« 0,9	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5
Е	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
Для j/’29,386 по вышеуказанному находят вторую разность — 17 единиц. При-
ращение аргумента равно 0,386. Следовательно, таблица под разностью 17 и против
0,386 ^0,4 дает с интерполяцией поправку в 5 единиц, которые и должны быть
прибавлены к первой разности*•• 920 (в другую сторону.•• 937). С результа-
54
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Т6М...925 (исправленная табличная разность) интерполируют как обычно:
У 29	= 5,3852
Поправка — 925 • 0,386 =	357 (Л)
V29,386 = 5,4209
Вообще значения, полученные интерполяцией со вторыми разностями, верны,
когда можно пренебречь третьей разности.
Правило интерполяции. Поправка искомого числа
равна (исправленной) табличной разности X изменение аргумента.
В примерах* табличная разность дана в единицах последнего деся-
тичного знака, а приращение аргумента — в долях интервала.
(П) означает поправка, (Л) — счетная линейка, (Т) — таблица.
Примеры. 1. Таблица 1. л2: линейная интерполяция допустима. Тре-
буется найти 173,29®.
173» = 29 929 (Т)	1748 - 173» = 347,
П = 347 • 0,29 =	101 (Л)
173,29» = 30 030.
2.	Таблица 1. п8: линейная интерполяция допустима только тогда, когда
можно отбросить три последние цифры табличного значения.
3.	Таблица 1. У л : для л > 76_ линейная интерполяция допустима. Для
л < 76 преобразовывают по формуле Ул — 1/а У а8п с а, подобранным так, что
asn 76. В остальном а произвольно.
Требуется найти
У29.387 = 1L У 4 • 29,387—«/з У117,548
У117	= 10,8167 (Т)
П = 461 • 0,548 =	253 (Л)
У117,548 = 10,8420
У29,387 = 5,4210.
4.	Таблица 1. Ул: для л 46 линейная интерполяция допустима. Для
• _ »
л < 46 преобразовывают по формуле Уд = 1/а Уа8п с а, подобранным так, что
a8. i 46.
Следует иметь, в виду приближенные формулы для квадратных и кубических
корней (стр. 63 Ь) с 13 до 17).
•	з
Требуется найти Уя" помощью приближенной формулы:
У 3,14159 = 1,46	4- 0,0046 = 1,4646
1,468 = 3,11214 (Т 1 с п = 146)	|
Остаток 2945 : (3-1462) = 982 : 21 316 (Т 1) = 461 (Л).
Б. Таблица 1. In л: для л > 163 допустима линейная интерполяция. Для
п < 163 преобразовывают по формуле In л = In (ал) — In а с надлежаще выбранным
а так, чтобы было ап > 163.
Указания к пользованию таблицами
55
Требуется найти 1п 17,384 = In 173,84 — In 10 (а = 10).
In	173	=	5,15329	(Т)
П - 577 0,84	=________ 485	(Л)_
In	173,84	=	5,15814
- In	10	=— 2,3 259	(Т)
In	17,384	=	2,85555
Чтобы по In х найти число х, следует прибавлением или вычитанием лога-
рифма известного числа a (In а) к данному In х получить число In ах (или In х/л),
заключенное между числами 5,1 и 7,3. после чего применяется обычная интерпо-
ляция и результат делится (или умножается) на i.
Найти х = a1 J1439;
дано	In х	— 1,71439
__________In 100	= 4.60517 (Т)
In (imx) = 6.31 °56 к нему ближайший
1п^ 555	= 6.31897 (Т)
1 азность = . . .59
Табличная разность = . . 180 « In 556 — In 555
разность	59 л
Приращение аргумента = ^ична„ раз — = w = 0,328 (Л).
Следовательно, 100х = 555 -|- 0,328 — 555,328, или
х = «1.71439 _ 5,55328.
6.	Таблица 1. 1000/zz: для л > 377 линейная интерполяция допустима. Для
п < 377 преобразовывают по формуле 1000/л = (1С00/ал)а с надлежаще выбранным а
так, чтобы было ап 377.
7.	Таблица 1. л л,	л2: линейная интерполяция допустима при всех
значениях.
8.	Таблица 3. sin х, cos х: линейная интерполяция допустима всегда
точно так же, как и для tg х, если х < 46 40'. Вне этого предела до 704)' получают
только 4 верные цифры, а далее до 8О°40' — только 3 и далее до 85только 2.
Более точное определение дает формула: tg х = Ijtg (90° — х) в сочетании с табли-
цей значений 1000/л (ср. 6).
Требуется найти tg 89°25' =	
tg оо'
tg 30'= 0,00873 (Т) tg 40' — tg 30' = ... 291
П - 291 • 0,5 =	145s
tg 35' = 0,01018s
1	1000
1'‘^,= о7Й7Й85=КИ8Л-100<Т)
= 0,98184 • 100 = 98,2.
(Линейная интерполяция дает неправильное значение 100,3).
Обратная задача см. 9.
9.	Требуется найти х = arc sin 0,63662, или sin х — 0,63662.
Дано	sin х = 0,63662. Ближайшее значение табл.:
__________sin 39°30'= 0,63608 (Т)
Разность = . . 54
Табличная разность = . . 224 = sin (39°40Э — sin (39°30') для 10', поэтому
= . . 22,4 для 1'.
разность 54	_ ., .
Приращение аргумента = ~абл раз~ ~ 224 ~ 2,4 следовательно,
х - arc sin 0,63662 = 39°30' 4- 2,4' = 39°32'24" = 0,69011 в дуговых единицах (Т 7).
56
Т. I. Отд. 1. Математика. Т. Таблицы
К табл. 4 круговых, гиперболических и по-
казательных функций. Таблица допускает определение
искомых величин обыкновенно почти с 5 знаками, причем основ-
ному вычислению сопутствует вычисление 3 или 4 знаков вспомо-
гательными подсчетами на линейке.
Аргумент х дан в дуговых единицах; соответствующее ему приближенное
число градусов указывается в последнем столбце справа, например, х — 0,61	34,95°.
До 1,60 значения аргумента (х) приводятся в таблице через одну сотую долю, далее
до 6,0 — через одну десятую. Разложение функций в ряды даны на стр. 76, 79;
геометрически эти функции представлены на чертежах стр. 89. Формулы (тож-
дества) преобразования приведены на стр. 88, 90.
Чтобы вполне использовать табл. 4, нужно уметь достаточно
точно находить посредством интерполяции промежуточные значения.
При этом для значений х^1,60 нужно поступать иначе, чем
для значений, лежащих ниже 1,60. При интерполировании нужно
исходить всегда от ближайшего табличного значения аргу-
мента так, чтобы изменение аргумента не превосходило половины
интервала между табличными значениями. Величина поправок (П)
находится помощью счетной линейки (Л).
а)	Интерполирование в подробной части таблицы (.г <1,60). Для кру-
говых и гиперболических функций (за исключением тангенсов —
tg и th, в ка 1естве табличной разности берут увеличенное в 1000 раз значение со-
ответствующей кофункции (вместо sin — cos; вместо sh — ch и обратно) с 3 зна-
ками, а для показательной функции—увеличенное в 1000 раз значение самой функ-
ции (с 3 знаками). Полученную поправку нужно прибавить к табличному значению
так, чтобы результат попал внутрь интервала. Погрешность результата не
превышает единицы пятой значащей цифры.
Требуется найти 		sin 0,864 19	0,19514
Ближайшее табличное значение (Т) . Табличная разность * X приращение аргумента (Л)		sin 0,86 = 0,75784 652-0,419 =	2 73	е~0,20_081873 819 - 0,486=	3 98
Результат 	 * Табличная разность 		0,76057 1000 cos 0,86 = 652	0,822 71 1000е—°,20 = 819
Требуется найти 		ch 1,564 37	th 0,413 72
Ближайшее табличное значение (Т). . Табли шая разность * X приращение аргумента (Л)		ch 1,56 = 2,48448 2270 • 0,437 =	9 92	th 0,41 = 0,388 47 846-0,372 =	314
Результат			 * Табличная разность		2,4944 1000 sh 1,56 = 2270	0,391 61 th 0,42—th 0,41=846
Для гиперболического тангенса th табличную разность нужно находить непо-
средственно вычитанием с 3 знаками.
Для тригонометрической функции tg х, неограниченно возрастающей при
х -> тс/2, способ определения промежуточных значений соответствующим образом
изменяется, а именно:
Указания к пользованию таблицами
57
от х = 0,00 до х — 0,20 —обычным способом; результат верен с точностью до 5 знаков
п х — 0,20 „ х ~ 1.22	„	„	„	„	„	„	„ 4	„
„ х — 1,22 „ х — 1,59 с исправленной первой разностью (см. выше); результат
верен с точностью до 4 знаков
х = 1,59 „ х = 1,5700 по формуле:
tg х — Ну + (0,002/у)2 — у/3, где у -- 1,5768 — х\
результат верен с точностью до 4 знаков,
при этом первый член 1/у берется из таблицы обратных величин (Т 1)
Требуется найти tg 1,5461	Поправки
у ~	0,0247
1/у =	40,486 (Т 1)
Поправка ~ — 0,002
— у13- — 0,008
(0,002/у)2 = + 0,006
— 0,002
tg 1,5461 =	40,48
Ь)	Интерполирование в сокращенной части табл. 4 (х > 1,60). При интер-
полировании пяти первых функций sin х, cos х, tg х, с+х, е х аргумент (х)
уменьшают на одно из нижеуказанных чисел а и для уменьшенного аргумента
у (= х — а) вычисляют следующие функции (от у):
при выборе
а =	1,5708	3,1416	6,2832
sin х =	cos у	— sin у	sin у
cos X —	— siny	— cosy	cosy
tg* =	— ctgy		tgy
далее
для a и /	0,47 i 1,6 ।	0,94 1 2,56	2,23 9,3	2,76 115,8	I 3,92 |59,4	4,3 73,7
для a	0,47	2,21	2,25	1 4,32	I 5,08	5,116
	0,625	0,1097	0,1054	I 0,0133	| 0,00622	0,006
5,8 I 6,42
330,3 I 614
e-x=e-y.f'.
ех~еУ>/
Результат верен до 2 единиц 5-го знака.
Примеры.. 1. cos 8,57 = cos 2,29 = — sin 0,72 = — 0,659
а = 6,28 а = 1,57
2,29	0,72	(3-значн.).
2. е~71 - е - 3Л4159 = ё~°’931 59• (0,11 —0,0003) = 0,393 92 (0,11—0,0003) = 0,043213.
а = 2,21 (Т 4)	----у,---- +39 39
0,931 59	0,043 331
—118
0,043213
Замечание. При вычислениях с 3 знаками всякая интерполяция отпадает,
например,
б?^3^ А73- е1,26 . 1,6 = 3,525 • 1,6 = 5,64 (Л)
а = 0,47
1,26
Промежуточные значения sh х и ch х получают с точностью
до 1 и 2 единиц 5-го знака обыкновенным интерполированием, беря в качестве
табличной разности '/1П соответствующего значения кофункции и прибавляя, кроме
того, к результату произведение из квадрата измененного аргумента Д на Чя°/и таб-
личного значения определенной функции. Например,
58
Т. I. Отд. 1. Математика. Т. Таблицы
Требуется найти . . . .
Табличное значение sh =
ch
(л) Д • -jo" =
(Л) Д2- 2QQ =
sh 4,1523
sh 4,20 = 33,336
— 0,477 • 3,335 = — 1,591
0,227 * 0,167=4-	38
Результ. = 31,783
Функция th x для интервала х от 1,60 до 3,80 требует учета вторых разностей,
вне этих пределов (х > 3,80) достаточна линейная интерполяция.
При нахождении из таблиц значений аргумента х с линейной интерпо-
ляцией необходимо помощью счетной линейки производить деление. При учете
вторых разностей сначала интерполируют линейно (исходя из ближайшего таблич-
ного значения), чтобы получить приближенное значение приращения аргумента.
При этом находят, как указано выше, необходимую для точного определения при-
ращения аргумента «исправленную первую разность", с которой и интерполируют
обычным способом.
Если tg х лежит между 14,1 и 1256, быстрее всего приводит к цели формула:
х = 1,5708 — 1/tg х 4- 1/3 (1/tg -v)3.
Определение аргумента х неокрашенной части табл. 4
(х>1,60) требует особых приемов, смотря по тому, какая функция дана. Для
данных значений sin х, cos х, tg х (< 1256) всегда можно по предыдущему найти
в начальной части табл. 4 значение х<1,57, соответствующая функция которого
совпадает с заданной е точностью до знака. Прибавление или вычитание надлежа-
щего кратного л/2 = 1,5708 приводит, далее, к искомому значению аргумента.
Если дана функция ех (> 4,8), значение функции делят на 2, 5 или 10...,
определяют из главной части табл. 4 соответствующий аргумент (у) и увеличивают
его соответственно на In 2, In 5, in 10... (Т 1), подобным же образом поступают, если
дано е~~х « 0,21). Например,
< х = 0,12345 | • 2 = е~У = 0,246 90 табличная разность табличный аргумент
табл. знач. *1'40 = 0,246 60	(1000 У)	1,400 00
разность 30 :	247	=	121
у = 1,3С8 79
•	1п 2 = 0,69315 (Т 1)
X = 2,091 94
Аргумент функций sh х, ch х (т. е. функции Ar sh х, Ar ch х) для случая
х> 1,60 получают приближенно посредством обычной интерполяции, исходя из
ближайшего табличного значения, причем в качестве табличной разности берется
]/ю кофункции. По приближенному значению приращения аргумента Д определяется
поправка (= Д2’1/!®^) табличного значения (Л), которая вычитается из предвари-
тельной разницы, после чего, наконец, производится обычным способом интер-
поляция.
Например, требуется найти х = Ar sh 63,169 из:
sh х = 63,169	sh/200 = 0,3^4 |	поправка
(Т) sh 4,80 = 60,751 табл, разность Л	Д* = 0,158 J 0,048
предв. разность = 2,418 :	6,076	= 0,398 (предв.)
_____________П= —48
Разность = 2,370 :	6,076	= 0,390 (оконч.), таким образом, х = 4,8390.
Для функции thx определение х (т. е. образование функции Аг th) для
интервала х zz 1,60 до 3,80 (th х от 0,922 до 0,999) производится путем исправления
первой разности.
Указания к пользованию таблицами
59
Ь)	Таблицы логарифмов
1.	Обыкновенные (бригговы) логарифмы. Таблицы — стр. 32,
правила вычислений — стр. 63.
с = 10 log а = 1g а означает, что а = 10е (а > 0).
а — число, с — логарифм.
Примеры.
1g 0,1 = 0,0000—1, или 0,1 = 10“1
1g 1 = 0,0000 я 1 = 10°
1g 10= 1,0000	„	10	=	10’
lg 100 = 2,0000	.	100	=	10»
lg	0,374 = 0,5729 -1, или	0,374 = Ю0’5729 ~ 1 = Ю9»5729-10~1
1g	3,74 = 0,5729	„	3,74 = 10°’5729 + 0 = Ю0’5729.10°
1g	37,4 = 1,5729	в	37,4 = 1С0’5729 + 1 = 10°>5729-10»
1g	374 = 2,5729	„	374 = 10°»5729 + 2 = 100,5729-10»
и т. д.
Всякий логарифм можно представить как сумму неотрица-
тельной правильной десятичной дроби (мантиссы) и це-
лого числа (характеристики). В обыкновенных логарифмах
характеристика определяется местом запятой в логарифмируемом
числе.
Для числа 0,0374 табл. 2 (стр. 32) против 374 дает мантиссу 5729. Характери-
стика — 2, поэтому
1g 0,0374 = 0,5729 - 2.
С логарифмами, характеристики которых отрицательны, поступают при
вычислениях так же, как с алгебраическими двучленами. Их целесообразно преобра-
зовать так, чтобы отрицательная часть всегда оставалась целой. Например,
(1g 0,64) • 5 = (0,80-62 — 1) • 5 = 4,0310 — 5 = 0,0310 — 1
(1g 0,64): 3 = (0,8С62 — 1): 3 = (2,8062 — 3): 3 = 0,9354 - 1 и т. д.
Примеры.
3/ n V141 . Л 073
1.	X = -|/ U’^ 1g х = ’|3 [lg 0,5041 + 1g 0,073 - (lg 1,71 +2,31g 0,64)]
у 1,71 • 0,642*3
lg 0,5041 = 0,7025 - 1
lg 0,073 - 0,8633 — 2
1g числителя = 1,5658 — 3
1g знаменателя = 0,7873 — 1 (см. на-
право)
(~) ( + )
1g 0,64 = 0,8062 — 1
2,3 1g 0,64 = 0,8062 • 2,3 — 2,3
= 1,8543 — 2,3
(уменьшая абсолютные величины обоих
членов на 1,3)
= о,5543 — 1
1g 1,71 =0,2330
1g подкоренного выражения =
= 0,7785 — 2
lg х = (1,7785 - 3): 3
- 0,5928 - 1
х= 0,3915
2. S-S^ для Sj = 217, у. = 0,35,
1g знаменателя = 0,7873 — 1
а = 2п • 0,6.
60
Т. I. Отд. 1. Математика. Т. Таблицы
Формула для вычислений:
1g 5 = 1g 50 + Иа 1g е = 1g 217 + 0,35-2 л-0,6-0,4343 = 2,3365 + 0,42л-0,4343
1g 0,42 - 0,6232 - 1
1g к = 0,4971
1g 0,4343 = 0,6378 - 1
0,7581 — 1
2-й член = 0,5729
1-й член = 2,3365
1g 5 = 2,9094, откуда S = 811,7.
По таблице значений (см. отд. И „Механика*4), для р. = 0,35;	— 0,6;
5 = 217 - 3,74 = 812 (Л).
2.	Натуральные логарифмы (показатели степеней е). Здесь
между характеристикой и местом запятой в числе никакой простой
зависимости нет.
In 0,12 = 0,8797 — 3, или 0,12 = <>0-8797 - 3
In 1,2 =0,1823	„ 1,2 = Л1823
In 12,0 = 2.4849	и т. д.
In 120,0 = 3,7875
3.	Переход от одной системы логарифмов к другой
Нужно умножить на 0,43429 (= 1/1п 10), или на 2,30259 (=1п 10).
Например,
1g 12 = 0,434 29 In 12 = 0,434 29-2,4849 = 1,0792 и
In 12 = 2,302 59 lg 12 = 2,302 59-1,079 18 — 2,4849.
с)	Различные примеры
1.	In (2 — 3/) = Ча In 13 — i arc tg 1,5 = 1,2825 — i 0,98303 (табл. 4, стр. 39).
Обратно, число х, которого натуральный логарифм 1пх = а4“Ь/ задан,
определяется из формулы х = еа + bi' = еа cos ь iea sjn
Например, из соотношения In х = — 2,4 4- 7,3/ следует:
X = <?~2’4 (cos 7,3 + i sin 7,3) = е~2>4 (со» 1,0168 + i sin 1,0168)	= 0,0477 -f- «0,0771
2к = 6,2832 (Т 4) для 1,02.. . = 0,52337	0,85211	ф
Вычет	---Щб8 п = 852-0,32 = + 272	523-0,32 =	— 167 (Л)
cos 1,0168 = 0,52609 sin 1,0168 = 0,85044
п л	lg cos 1,0168 = 0,7211 — 1 lg sin 1,0168 =	0,9296 — 1
e — 2>4 =	0,09072...lg 0,09072 = 0,9577 — 2	=	0,9577 — 2
(Г 4)	0,6788 — 2	0,8873 — 2
Число равно 0,C47 73 .............. 0,07714;	поэтому x=
2. По формуле времени падения f=v0/£-ln (	у e2ghlv0~ _ j)
(1, стр. 333) требуется вычислить высоту падения h для значений
vQ = 20 м!сек, g=9,81 м1сек~, /=5 сек.
Согласно формуле (стр. 89) Ar ch п = In (п ± У"— 1); поэтому для п = e^lvoa
данная формула примет вид: t= T/0/g-Ar ch (e^/Vo9), Ar ch (e^lvoa) = gt/v0,	=
= ch(£//v0)-
Логарифмируя:
gh.vj = In ch (£//v0), или h ~ r>02;£-ln ch (gt/vo) = (400(9,81) In ch (5-9,81/20);
h = 40,8 In ch 2,45 = 40,8-5,837 = 238,1 A.
Степени, корни, логарифмы
61
Z 3. Формулу F= 12,5dd/A (4Л/5-1Л + (4W+1п[4Л/5 +	+(4Ж2] } >
пли F = 50d [К1 4-С2 + -•Infc + 'Kl + c’)] , где с = 4hlb для плоского в о л-
с
нистого железа требуется соответствующим образом преобразовать и вы-
числить для значений d = 0,62 мм, b = 135 мм, h = 30 мм. Пусть 4h/b = sh а, тогда:
F = 12,5d (4/sh a) [sh aV 1 + sh2 а + In (sh а -{-V 1 + sh2 а )], или согласно№7 (стр. 88)
= 50d [ch a -f- (1/sh a) In (sh а + ch а)], или по формуле 5
= 50d [ch а + (1/sh а) In (еа)] = 50d [ch а + (а/sh «)].
Отсюда:
sh а = 4й/ Ь = 4-30/135 = 8/9 = 0,888 89 *1 F = 50-0,62(1,3379 +0,800 58/0,88889)
sh 0,80	=0,888 11 Табличная
	 разность =31 (1,34 + 0,90) (Л)
Разность =	78 : 1337 (Л)	= 31 • 2,24 = 69,4
А = 0,058, следовательно,
а = 0,800 58 и ch а = 1,3374 1	*) Вычислено с 5 знаками только ради
11 = 888 - 0,058	=+ 5 J	полноты.
^1,3379
И. Арифметика и алгебра
Все числа, получающиеся от сложения, вычитания, умножения и деления нату-
ральных чисел 1, 2, 3,..., называются рациональными, например 2/3; — 3/5;
3,1416; все прочие — иррациональными числами, например V 2 , тс.
На нуль нельзя делить; все знаменатели, встречающееся в дальнейших фор-
мулах, ф 0. Рациональные числа могут быть изображены конечными или периоди-
ческими десятичными дробями, например ’/5 = 0,2; '/3 = 0,33... Каждое число
можно изобразить конечной десятичной дробью с достаточно большим числом знаков
и с любой точностью. Знак оо не число, но обозначает лишь, что данная переменная
величина может превзойти любое числовое значение. | х [ < оо обозначает, что х
может принимать всякое числовое значение.
А. Степени, корни, логарифмы
а) Степени (т, п, р означают целые числа > 0)
В выражении ап = а- а • а... (п множителей) = b число а на-
зывается основанием степени, степенью, п—показателем степени.
.	т . Lin	.
4.	а • о =(а :Ь) .
с 1 w	/1	\т	т
5.	1 : а = (1 : а) —а •
„ .т.п тп . п .т
6.	(а )	= а = (а ) .
1.	ат-а=ат+п.
2.	ат:а=ат~п,
3.	anbm =(ab)M.
7.	(— 1)м = 4-1 или — 1, смотря по тому, четное ли п или нечетное.
8.	а°=1; 0я = 0;	0° — неопределенность (стр. 96).
9.	а2— Ь2 = (а + Ь) (а — Ь). 10. а3 zt b3 = (а ± b) (а2 + ab 4- Ь2).
11.	аа~ьЬ =	-\-ап~2Ь + an~sb2+ ... + abn~2 + bn ’ :.
62	Т. I. Отд. 1. Математика. П. Арифметика и алгебра
а2п 4- 1 । h2n 4-1
12.	-----±4------= а2п — а2п - 1Ь + а2п - 2Ь2—... 4- б2".
а + b	'	1
13.	—ТГ = а2п -1 - а2п - 2Ь + а2"-3*2-..б2"'1.
а + b
14.	Если а>1, то для л->-|-оо, lim ап = оо и 11m а л = 0.
15. (azt b)2 = a^±c2ab + b2.
16. (a zt 6)з = а*± 3afib -|- Заб2 zt Я
17. Бином Ньютона.
(a zt b)n = а п± пап ХЬ	ап ^b1 zt
± п(п—1)(п —2) дЛ _ з6з_^ + (П^-\')ПЬП-
1 • Z • О
Этот ряд конечный при п целом и положительном, в противном
случае ряд получается бесконечный (см. стр. 75).
Коэфициенты при степенях в (17) называются коэфициен-
тами бинома1)- Обозначают:
18.
п(л_1)(я_2)...1л_(р_1)1_/«ч
1-2.3...Р	-\р)’ реЖе ”
Читают .из п элементов по ра.
19. Знаменатель 1-2*3 ... р = р\ читают .p-факториал". О! пола-
гают равным 1, j = 1. Если p^>nt то = 0.
Свойства биномиальных коэфициентов. Если
р < л, то:
чмд)- чн:н
\1/	\п—\)	\ Р J \pjn—p + l
9 Таблица коэфициентов бинома—см. стр. 51, таблица факториалов —стр. 52.
Степени, корни, логарифмы
63
Ь) Корни (а, Ь должны быть >0)
т
В выражении У а = число а называется подкоренным коли-
т
чеством, b корнем,
носильно Ьт = а.
/и — показателем корня. Равенство У~а = b рав-
т т	т	т	т т
1. ( f/"a) =а	2. У~а = аУт. 3. УаЬ = /У • /У.
т_____ т____ т	tn_ п тп__________
4. У а : Ъ = У а: У~Ь.	5. У а • У~а = уат + п.
в. /1/а = 1//а = а-1/я’.	7. Van = (Va)n — ап,т.
т/~~п тп п / т
8. V	Vа.
-\-b±2Vab.
In__ 2л	2л 1 2л -|-1
10.	+ | /в"|; уа = *| у~а\. 11.	= — |у7|.
12. У — а = У У — а = Уiy а , т. е. мнимый (см. ниже}
13. \ а2 ±Ь ^а±	14. у/a3 zt b а ±
ZU	*	<Sda
п ---- b
15.	\/ап±Ьяа±—^zy.
г	пл 1	1
Формулы 13, 14, 15 имеют силу, если b весьма мало сравни-
тельно с а.
16.	У а2 + Ь2 « 0,960а	0,398£, если а }> Ь. Ошибка меньше 4%
истинного значения. Более точно (по Шлемильху):
г-------	Ь2
V а2 + ьз = 0,939а + 0,07036 + 0,3567
17.	У'а2+ 62 + с2 ~0,9939а + 0,3896 + 0,297с, если а>6>с.
Ошибка меньше 6% истинного значения.
с) Логарифмы
В выражении blog а == с число Ь называется основанием лога-
рифмов, а — логарифмируемым числом, с — логарифмом.
1. Jlog а = с означает Ье = а. (Полагаем а > 0, b > 1.)
ftlog 0 = —со, Jlogl=0, *log b = 1, Blog оо = оо.
2. *log (ас) = *log a -f- *log c.	4. *log (an) = n blog a.
3.
j. a
log- =
log a — log e.
5. *log j/ a =
1
— log a.
n Б
64
Т. I. Отд. 1. Математика. П. Арифметика и алгебра
6. blog х = "log х • 6log а = "log х : "log b. 7. "log b • *log a = 1.
8.	Логарифмы при основании e = 2,718281828459. . . называются
натуральными, при основании 10 — обыкновенными, или
бригговыми. eloga обозначают через In a, 10log а—короче,
через 1g а.
9.	Имеем: 1g (10") = n; 1g (10“") = — п; 1g (а • 10") = 1g аД- п;
1g (а : 10”) = 1g а — п. Далее, 1п (е* ") = ± п\
In (а • 10м) = In а + In (10м); In (а : 10м) = In а — In (10м).
10.	Число (положительное или отрицательное) целых единиц лога-
рифма называется характеристикой (/С), а правильная
десятичная дробь логарифма — его мантиссой (7И). При
10>а> 1 1g а имеет характеристику К = 0.
И. Inх = In 10 lg х = 2,302 585 0930 lgx	i
lgx = lgelnx =0334 294 4819 In x lnl01^=L
12.	Mb = log£ = 1 : In b называется модулем системы с основанием b.
М10 = 0,434 29... = lg е = 1 : In 10 = 1 : 2,302 59.
13.	&log а = М6 • In а.
d) Комплексные величины
Ни одно действительное число во второй степени не может быть отрицатель-
ным. Комплексная величина — это число, составленное из двух обыкновенных дей-
ствительных чисел а, b в пару (a, d). С ними можно оперировать, как с обыкновен-
ными числами, если обозначить (<з, 0) = а, (О, b) — ib, ( b)— а -{- ib, i? — —1. Числя
вида а ib (ЬфО) называются мнимыми; при а = 0 — чисто мнимыми.
Это наименование осталось от прежних времен, когда смысл мнимых величин еще
не был достаточно осознан.
1.	/ = /—1,	/2=—1, F = —i,	/4=1,	Г'= — I.
2 i 4л + т _ jm , след0вательН0> /4n==_|_l) /4я + 1 =- -|- /,
/4„ + 2 = _],	/4л + 3 = _/
3.	Каждая комплексная величина, т. е. выражение, составленное из
действительных и мнимых величин, может быть приведена к виду
a-\-bi, где а и b имеют действительные значения. Всякое ра-
венство между комплексными числами остается справедливым,
если вместо величины i везде поставить — i.
4.	Если а Д- bi = 0, то а = 0 и b = 0.
Если а Д- bi = a Д- р/, то а = а и b = р.
5.	а-[-bi и а — Ы называются сопряженными комплексными вели-
чинами.
» . .о a A- bi	аа Д- Z? В	Ьа — аВ
6.	(а Д- bi) (а — bi) = а2Ь2, —т—т-. = —2 , Q.>- Н-1-
41	7 v 7	1 а Д- р I	а2 Д- р-	а2 Д- Р^
7. Y a ^bi= V 1 (/а-+Ь- + а) ±i а- Ь'1 — а ).
Теория соединений
65
8.	Каждая комплексная величина может быть приведена к п о р-
мальному виду:
а 4- bl = г (cos с? + Z sin ср),
где
г =V а2, cos ср = air, sin ср = b/r, tgq = b/a;
при этом г называется модулем, ср— аргументом ком-
плексного числа а + bi, г2 = я2Ц- Ь2— его н о р м о й. Относи-
тельно геометрического изображения комплексных величин и их
значения как векторов см. гл. VII.
9.	cos ср Z sin ср = е™, cos ср — i sin ср = е~ (формула Эйлера).
10.	1 : (cos ср -|- i sin ср) = cos ср — Z sin ср.
11.	(cos х zb i sin x) (cosy zt i siny) == cos (хЦ-у) zt i sin (x-|- y).
12.	(cosx zt i sin x):(cosy zt Zsiny) = cos (x—y) zt zsin(x—y).
13.	Формула Моавра (для всякого значения n):
(cos ср zt z sin ср)п — cos лер zt z sin лер.
W/-:--ГТ L/---1 / Cp -J-	. Ср-|-	\
14.	У a + bi = | у r | ^cos -----1- z sin ------j,
ср измеряется в дуговых единицах (радианах); k — любое целое
число, для k = 0, 1, 2, ... , п — 1 получают все возможные зна-
чения корня.
_ г	2Zj7U I . , 2/ZTC	Obni1 п
1э. Корни из единиц ы. У 1 = cos---------- z sin - - ~ е ' '
г	и	п
V— = cos + z sin (^±21Z =
n	11
(£=0, 1, 2, ... , л- 1\
В. Теория соединений
1.	Число возможных перестановок (соединение всех эле-
ментов в любом возможном порядке) из п различных элементов
составляет:
1-2-3 ... п = п\
Если между п элементами находится р одинаковых элементов
одного ро ia, q одинаковых элементов другого рода, г одинаковых
элементов третьего рида и т. д, то число всевозможных перестановок:
л!
р \ • q \ • г! ..
2.	Число возможных сочетаний из л элементов по г (не
взирая на порядок) равно:
66
Т. Т. Отд. 1. Математика. П. Арифметика и алгебра
a)	без повторений, т. е. когда каждый элемент входит
в соединение только один раз,
, ч {п 4- г— 1\	„
b)	(	I с повторениями, т. е. когда каждый эле-
мент может входить в соединение г раз.
Число же вообще всех возможных сочетаний без повторений
из п различных элементов равно:
(”) + (г) + (зН ••• + (”) =*2'’-1-
3.	Число возможных размещений (получаемых путем всех
возможных перестановок в каждом сочетании) из п элементов по
г элементов равно:
а)	. Г1 = п\:	без повторений [ср. п. 2,а].
Ь)	п с* повторениями [ср. п. 2, Ь].
С. Определители (детерминанты)
1.	Определитель из л строк (гориз. ряды) и п столбцов
(вертик. ряды) (п2 элементов) называется определителем n-го порядка:
«1 М1...Р1
а., Ь.> с.г... р2
а$Ь»с3 ... р3
= S ( rt ax62cs
• • Prl
апЬпсп
•Рп
где аь bh...,pn означают n2 элементов определителя.
2.	Определитель представляет собою сумму п\ членов; при вы-
числении определителя первый член суммы получается, если образо-
вать ряд, идущий от первого элемента первой строки до последнего
элемента последней строки по направлению диагонали (а^^з • • • РЛ)»
а остальные члены получаются при перестановках (см. выше В)
указателей. Половина из полученных таким образом п\ членов будет
положительных и половина отрицательных, в зависимости от того,
будет ли число перестановок (инверсий) в соединении четное или
нечетное. Если в одной из перестановок данного ряда элемент перво-
начально низшего ранга следует за элементом высшего ранга, то
оба эти элемента дают инверсию.
3.	Вычисление определителя n-го порядка приводится к опре-
делению п определителей (п — 1)-порядка, называемых минорами:
= «1 (&2С3 — Ь3С2) — ai (Ь1С3 —	+ «3 (V2 - *V1) -
Определители
67
a,
do Ь/) Cg ^2
Лз b3 c3 d3
d4 b4 c4 d4
= <h
b2 c2 d2
сз ^3
b±c4d4
— dty
bi ^i di
^з сз ^3
*4 c4 d4
аз
b, ct d,
b2 c2 d2
b\ Cl d4
b4 c4 dt
a4 #2 c2 ^2
! ^3 сз ^3
Минор к элементу xq получится, если зачеркнуть столбец, в ко-
тором стоит х, и q-ю строку в первоначальном определителе. При
вычислении определителей миноры берут со знаком-)-или —, в за-
висимости от того, будет ли сумма номеров зачеркнутых строки
и столбца давать число четное или нечетное.
4.	Во всяком определителе можно столбцы заменить строками,
и наоборот. Например,
I «1Ь1С1
! ^2 ^2 С2
, «3 ьз с3
d^ do d‘2 I
М>з|
С1 е2 е3 i
IM1I - |а1й2|
IM2I Р1М’
5.	Если в определителе переменить местами два параллельных
ряда, то получим новый определитель, равный первому, но с обрат-
ным знаком.
6.	Если умножить на определенную величину все элементы
строки или столбца определителя, то и сам определитель умно-
жится на ту же величину:
Р
а1 Ь\ с4 |
do b2c2\ —
«з44|
paiPbfpCi
«2 Ь2 С2
аз Ь„ с3
Pai
ра2 Ьо с9
раз Ь3с3
7.	Определитель, в котором все элементы двух строк или столб-
цов, соответственно, равны или пропорциональны, равен нулю:
«14
«1 bi ci
а2 ^2 ^2
= 0,
dY tldL Ь4 d2 ndo b2	= n	ai ay bi d2 d2 b2	= 0.
аз ааз b3		аз аз b$	•
8.	Если элементы одной строки или столбца представляют суммы
из равного числа членов, то определитель разлагается на сумму
та.:ого же числа определителей:
Pi bl <\ I qi bi Ci
P2bZC2 + ?262r2
Рз Ьз c3 I q3 b3 c3
9.	Определитель не изменяет своей величины, если прибавить
ко всем элементам строки или столбца соответствующие элементы
другой строки или столбца, умноженные на произвольную величину:
ai + pbi> b4 с4 |
+ pb2, Ь2 с2
аз Р^з» Ьз сз I
На этом свойстве определителя и правиле 3 основан следующий
способ вычисления определителя;
68
Т. Т. Отд. 1. Математика. И. Арифметика и алгебра
-1 2 4-3
2 —3 -2
3—6 2 1
-7 1 5
умйожаем 3-ю	строку	на 3 и	складываем	с	1-й	строкой,
„	„	„	„ 2 „	„	„	2-й
„	„	„	„ (-5) „	„	„	4-й
получаем
—10 -16
— 1 -10
-3-6
19 23
10 0
1 0
2 1
-9 О
разложим определи-
тель по элементам
= последнего столбца =
(соблюдать правило
знаков!)
- 10 -16 —Ю
— 1 —1') 1
19	23 -9
среднюю строку
умножаем на 10
и складываем с 1-й
строкой
I	0	84	0	I
- 1	—10	1
|	19	23	—9	I
разложим определитель	I «J
по первой строке — 84 • 19	= 84 (—- 9 -|- 19) == 840.
(соблюдать знаки!)	|	|
10.	Правило умножения:
4“ Я3а3	aL^ 4~ а2$2 +	ЛзЗз	аП1 4"	а2^2 4“ ЛзТз
^1а14"^232 4“ &3*3	^1314” ^2?2 4“	^ЗгЗ	^171 ’I"	^2^2 4~ ^зТз
С1а14~с2а2 4" СЗаЗ	С1?14~ С2₽2 4“	^зЗз	f171 4*	f2T2 4“ сзТз
11.	Особые определители:
1 .
1 х2 х/ .
1 хп хп хп •
Если Аь
то
..х,п
Х.)П
Л 2,
= (*?—*1) (Х3—X,). . . (Х„—ХХ) (Х3—Х2) (х4—Х2) . . .
...{хп — х2)...(хп — Xn_j).
С3 являются минорами определителя
«1 Q 2
a2b2c2 .
a3 &3 с3
ai bl ?1
a2 b, c2
Q.n bn c.n
п
A^i^i
^2^2 О?
«^З^З^З
Каждый минор берется co знаком -|- или —, смотря по тому,
будет ли сумма порядков строки и столбца соответствующего эле-
мента в данном определителе четной или нечетной.
a1x+&ij> = c1
л2х -|- b.>y — с2
D. Уравнения
а) Уравнения первой степени
= C1&1
C2&2
= alcl
^2^2
aibi.
a2^2
fll&J
a.)b.>
aix 4- Ь1У 4- ciz = di
q2x — b^y — Cr>z == d2
C^x 4- bhy 4- C3Z = d3
CLb2 — C2bL
й^Ь2 — ^2bi
^^C'2 — ^2^1
a^i
<I2Z>2C2
a3^3c3
Если
х = d2b2c2 : Z), у = a2d2c2 : D, z =
d3b3c3
а'Асз
в случае
A — fl2^i 4
= D ф 0, то
a2b2d2
a3b3d3
:D.


Уравнения
69
При однородных уравнениях, т. е. при таких, где правые
части равенства равны нулю (Л = d2 =	= 0), необходимо, чтобы
одновременно х = 0, у=0, z = 0, или должно быть D = 0. Если D = 0,
то по крайней мере одно из уравнений либо вытекает как след-
ствие из других либо — в случае системы неоднородных уравне-
ний— может противоречить им. Эти результаты справедливы также
и для п уравнений с п неизвестными. Нередко, главным образом,
при многих неизвестных, пользуются следующим методом ис-
ключения.
Комбинируя по два уравнения из п уравнений системы, надо
исключить из них одну и ту же неизвестную, тогда получится сис-
тема (п — 1) уравнений с («—1) неизвестными; в этой системе
опять надо исключить другую неизвестную, отчего число их снова
уменьшится на единицу, и т. д., пока не получится одно уравнение
с одною неизвестною, из которого определится п-я неизвестная.
Подставляя найденную величину в одно из двух уравнений с двумя
неизвестными, находим (л — 1)-ю неизвестную и т. д., и определяем
по порядку все неизвестные.
Ь) Уравнения второй степени
Алгебраическое решение
1. х2 4- рх 4- q = 0,	X = — pft Ур2/4 — q ,
9 । , . л — Ь±УЬ2 — 4 ас
ах2 + Ьх 4~ с = 0, х =--------------------= xlf х2.
2. Имеем .rt4 *2 = —р> xxx2 = q. Если р = —	q = -\-x1x2i
то хг и х2 представляют корпи уравнения
(х — X]) (х — х2) = х2 + рх 4- q = 0.
Тригонометрическое решение
(для вычисления посредством логарифмов при многозначных числах)
1-й случай, х2 ±i рх — q = fy р и q положительны. Определяют
угол ср между 0 и 90° так, чтобы tg ср q (pity тогда корни урав-
нения:
± tg (?. 2) /7 *2 = + V7/tg (?/2).
2-й случай, х2 ± рх q = 0; р и q положительны. Определяя
угол ср, находящийся в первом квадранте, из sin ср = Уqi(plty кориц
уравнения найдем из формул:
-Ч = +/7‘g (<р/2), х2 = qz / ?/tg (<р/2).
Если sin ср > 1, то корни мнимые, а именно:
х = У q (cos ф zt i sin ф) = Уqe ±1
где	__
cos Ф = zp у -р!У q (<р между 0° и 180-).
70
Т I. Отд. 1. Математика. II. /Арифметика и алгебра
с) Уравнения третьей степени
z3 -}- az2 4- bz 4- с = 0.
Положив z = х— а'З, получим приведенное кубическое уравне-
ние вида: х3 4- Р'х + Я' = 0, или х3 + Зрх -|- 2q = 0, где положено:
pr = b — а2/3, q' = 2/27 я3 — ab/3 + с, р=ЫЗ — а2/9,
q = а3/27 — аЬ/6 + ^/2.
Алгебраическое решение
Корни уравнения х3 + Зрх 4-2# = 0 определяются по форму-
лам Кардана:
Xi = и 4- v, х2 =	4~ W2V> — W2U 4- wiv>
з _
где и w2— оба сопряженные мнимые значения У*1, а именно:
= (— 1 + i /3)/2,	= (— 1 — Z /3)/2,
а и и v\
з_______________________________з________________________
и = V— tf+'K^ + p3, » = V — q— 1/92+7’-
Если q2 4- р3 < 0 (casus irreducibilis), то все три корня получают
мнимую форму, тогда как они действительны. В этом случае прибе-
гают к тригонометрическому решению (см. ниже сл. 3).
Решение с помощью круговых и гиперболических функций
1-й с л у ч а й. а8 4- ?РХ zt 2# = 0, р > 0, # > 0. Определяют
вспомогательную величину ср из sh ср = q : (р тогда корни будут:
Х1 = qz 2 Ур sh (<f/3), х-> = ±Vp sh (<р/3) -f- i УЗр ch (<р/3),
± Ур sh (?/3) — ГУЗр ch (<р/3).
2-й случай, л3 — 3px±2q = Q, р^>0, #>0, р3<#2. Опре-
деляют угол ср из ch ср = q'.(pV^p); тогда корни будут:
= qz 2Ур ch (<f/8), х2 = zfc Ур ch (=р/3) -|- i УЗр sh (ч>/3),
х3 = ± Ур ch (?/3) — i УЗр sh (ср/3).
3 - й с л у ч а й. а3 — Зрх zb2q = 0, р > 0, # > 0, р3 > q2. Опре-
деляют угол ср из cos ср = q: (р ]/р ); тогда
Xj = qz 2 Ур cos (v/3), х2 = ± 2 Ур cos (60° — 9/3);
х3 = ± 2 Ур cos (60° + <р/3).
4-й случай (предельный случай к 2 и 3).
а3 — Зрх zt 2# = 0, q > 0, р > 0, р3 =
xj = q= 2 У У, х2 = х3 = ± Ур.
Уравнения
71
d) Уравнения четвертой степени
г4 + az3 +	+ cz + d = 0.
Положив z = х— а/4, получим приведенное уравнение вида
Л4 -{- рх2 + qx + г = 0.
Для нахождения корней этого уравнения необходимо прежде
решить следующее уравнение третьей степени:
У3 i ?РУ2 + (Р2 — 4г) — qi = Q.
Если yJf у2, Уз являются его корнями, то корнями упомянутого
приведенного уравнения будут:
xi=i(Kyi ++	= i (— Ку7+ Куз —
при этом
/л • КУа • /л = —<7-
е) Методы приближенных решений
Алгебраические уравнения степени выше четвертой, вообще,
неразрешимы извлечением корня. Нижеприводимые пр жтические
способы для нахождения действительных решений пригодны и для
трансцендентных уравнений. Раньше всего определяется при-
близительное значение корней данного уравнения f(x) = 0.
1.	При этом нередко можно пользоваться следующим положе-
нием: если /(х) вблизи искомого решения непрерывна и f (а) поло-
жительна, a /(b) отрицательна, то между а и b находится нечетное
число корней уравнения /(х) = 0, по крайней мере один корень.
2.	Графическое решение. Чертим кривую у =f(x) пу-
тем вычисления координат некоторых точек этой кривой; абсциссы
точек пересечения кривой с осью х представляют корни уравне-
ния. Часто предпочитают решаемое уравнение привести к виду:
/1(х) = /2(х) и вычертить обе кривые у =fx (х) и y=f2(x)t тогда
абсциссы общих точек их пересечения дают искомые корни уравнения.
3.	Улучшение решения помощью интерполиро-
вания (Regula falsi).
Если а — приблизительное значение корня уравнения/(х) = 0,
то поправка 6 к а определяется из
где — величина,
4. Правило
6 =
мало разнящаяся от а.
Ньютона. Поправка « а определяется из
/'(«)’
где /'(х) первая производная от /(х) при х = а.
72
Т. I. Отд. 1. Математика. II. Арифметика и алгебру
5. Способ постепенного приближения. Решаемое
уравнение приводят к виду х = ср (х), чтобы ср'(х) < 1. Если хт—при-
ближенное значение, определенное по 1 или 2, то величина х2 = ср (хх)
представляет дальнейшее приближение. Продолжая этот метод, полу-
чают решение уравнения с любым желаемым приближением.
Е. Расчет сложных процентов и рент
Капитал /С, отданный'по k годовыу, через п лет обращается:
а)	при годовых сложных процентах в Кп = Крп>
где р = 1 + /г/100 = (100 + &)/100—годовой множитель учета.
Ь)	При полугодовых сложных процентах (гос.
бумаги) капитал через п лет обращается в Кп = Kq2nt где
q = 1 + £/200 = (200	Л?)/200 — полугодовой множитель учета.
с)	При непрерывном нарастании процентов, предпо-
лагая, что проценты прибавляются к капиталу в каждый момент вре-
мени, капитал К, отданный по k процентов, обращается через п лет в
Кп — Кекп^ш (г* см. табл. 4, стр. 38).
При годовых сложных процентах имеют место, далее, сле-
дующие формулы.
При вкладе в начале каждого года суммы R в конце «-го
года вклады превращаются, вместе с наросшими процентами, в
K}. = Rph)n — IWd- 1).
Если в конце каждого года вносить одну и ту же сумму /?,
то через п лет получится капитал:
Kn = R(pn-^p-\\
Ежегодное погашение какого-либо предприятия (например концес-
сии', рассчитанного на полное погашение в п лет, составляет в процентах:
100 R\Kn= 100(р —	—1).
Если капитал К в конце каждого года увеличивается или
уменьшается на одну и ту же сумму /?, то через п лет он обра-
щается в Кп = Крп at R (рп—1)/<р— 1). Капитал К, таким образом,
обратится в Кп через
log [(р-1ИЛ ± /?]- log [(р-1) К ± R]
п =---------------,-----------------лет.
logp
Если ежегодно отнимается от капитала сумма R (рента), боль-
шая, чем нарастающие на капитал К проценты, то весь капитал
будет израсходован через
п = log/?—log[/? —(р—1)/<] лет
logp
Ряды (конечные)
73
Таблица 15. Величина ежегодного погашения при k °/0
	Число лет погашения								
	5 | 10	15 | 20	25	30	35	40 | 45	59	60	| 70 | 75	80 | 90 | 100
3,0	18,836*8.723	5,376 3,722к742	2.101	1.653	1,326*1 078	0,886*0,613		0,433*0,367	0,311 *0,225*0,164
3,25	18,741 8.623	5,278 3,б2?|2,653	2,018	1,575	1,252 1,010	0.823 0,558		0,387 0,324	0,272 0,193 0,138
3,5	18,648 8.524	5,183 3,536,2,567	1,°37	1.499	1,183 0,945 0,763		0,508	0,з46 0,286	0,238 0,166 0,115
3,75	18.555 8,426	5,087 3,446,2,483	1.858	1,4/7	1,115 0,884.0,707		0,462	0,308 0.253	0,208 0,141 0,096
4,0	18,462 8,329	4,994 3,358 2,401 ।	1	1,783	1,357	1,052:0,826	0,655	0,420	0,274 0,222	0,181|0,120.0,081
4,25	18,370*8,230	4,902 3,27212,321	1.709	1,290	0,991 0,771	0,606	0,381	0,243 0,196	0,157 0,102 0,067
4,5	18.279 8.137	4,811 3,18712,243	1,639	1,227.	О',934 0,720	0,500 0,345		0,216 0,17.	0,137 0,087.0,055
5,0	18.097 7,950	4 634 3/ 24 2,095	1.5'5	1,107	C,8z7 0,626	0,477.0,282		0,169 0,132 0.102 0,062 0,038	
5,5	17,917 7,766	4,462 2,868 1.954	1,з80	0,997	С,732 0,543	0,4Сб(0,2з0		0,132 0,101	0,076 0,044 0,026
6,0	17,73917,586	4,296 2,718.1,822	1,264	0,897	0,646 0,470	О,344|О,187		0,103 0,076	0,157 0,03110,017 ।
7-	17,38917,238	। 3,979 2,439 1,581	1.05Q	0,723	0,501'о,350	0,246 0,123		0,06210,044	0,031 0.016 0,008
8	17,046 6.903	3,683 2,185 1,368	0,883	0.580 0,385 0,259		0,174.0,080		0,037.0,02510,018 0,008|0,004	
9	16,709(6.582	3,406 1,955'1,181	0,734 0,464 0,296 0,190			0,123 0,051		0,022 0,014.0,099 0,00410,002	
10	16,380 6,275	3,147| 1,746 1,017	0,608|0,369|0,226| 0,139			0,08б|0,033		0,013 0,008|0,С05 0,002 0,001	
Таблица 16. Значения рп при процентной таксе k %
\ п *°\	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	60		75	80 1	90	100
3,0	1,159	1,344 1,558		I 1	1	1 1,806 2,094 2,42712,814 3,262(3,782						1	1	1	1 4,384 5.892 7,918			9,179	10,64	14,30	19,22
3,25	1,173	1,377 1,616		1,896 2,225 2,61013.063 3,594 4,217						4,49'6,814 9,382			11,01	12,92	17,79	24,49
3,5	1,188	1,411 1,675		1,9°0 2.363 2,807(3,334 3,95					4,702	5,585	7,878 11,11		13,20	15,68	22,11	31.19
3,75	1,202	1.445 1.737		2,088 2,510 3.017(3,627 4,360|					5,242	6,301	9,105 13,16		15,82	19/1	27,47. 39,70	
4,0	1,217	1,480 1,801		2,191 2,666 3,243 3,946 4,801(5,841 1	।	1						7,107	10,52115,57		18,95 23,05 ।		34,12 50,50	
4,25	1,231	1,516 1,867		2,299 2,831'3,486'4,292 5,285 6,508						8,013	12,15 18,42		22,68i27.93		42,35*64.21	
4,5	1,246	1,553 1,9з5		2,412 3,005 3.745 4,667 5,816.7,248						9,033 14,03'21,78 27,15 33,83'52.54						81,59
5,0	1,276	1,629 2,079		2,653 3,386 4.322 5,516 7,‘ 4- > 8,985						11,47 18,68 3°,43 38,83 49,56 ’8'<73						131.5
5,5	1,307	1,7(8 2,232		2,918 3,813 4.984 6,514 8,513					11,13	14,54 24,84 42,43 55,45				72,48	123,81 211,5	
6,0	1,338	1,791 2,397 3,207 4,29215,743					7,686 10,29		13,76	18,42	32,99 59,08 79,06			105,8	189,5	339,3
7	1.4СЗ	1,967 2,759 3,870 5,427 7,612					10,68 14,97		21,00	29,46	57,95 114,0 159,9			224,2	441,1	867,7
8	1,469	2,159 а,172 4,661 6,848 10,06					14,79 21,72		31,92	46,°0	101,3 218,6’321,2			472,0	1019	2200
9	1,539	2.367 3,642 5,604 8,623.13,27					20,41 31,41(48,33			74,36	176,0 416,7,641,2			986,6	2336	5529
10	1,611	2,594 4,177(6,727110,83117,45 1	1 1	1					28,10)45,26|72,89			117,41304,5^ 789,7J			1272	2048	5313	13781
Капитал К = R (рп— 1)/рп (р — 1) дает ежегодный доход (ренту)
R в течение п лет.
Рента /?, которую можно получать от капитала /С в течение п лет,
составит R = Kpn(p — 1)/(рп—1); R означает также аннуитет по-
гашаемого в течение п лет долга К.
F. Ряды (конечные)
а) Арифметические ряды
В арифметическом ряду Л, а-\- d, а 2rf, ... ; а + (п — 1) d
n-й член равен:	u = a-f-(п — 1) rf,
74
Т. Т. Отд. 1. Математика. II. Арифметика и алгебра
а сумма п первых членов:
5 = У (а + «)л = у [2а + (п— l)rf].
Арифметический ряд к-го порядка обладает следующим свойством. Из его
членов а0, at, ait ... составляют схему разностей
- да, .
а3 : 3 •
где Да0 =	— aQ, = а2 — а1, . . . , №а0 = bai — До0, Да2 — Ддп ... и т. д.,
а Д^а0 = Д*дх = Д^д2 _ ф должно иметь определенное значение. Тогдадля л = 0,1,2,...
(1)	+ (2)^0+•••+(л?) Дла0>
откуда каждый член ряда можно подсчитать из начальных значений колонны раз-
ностей; далее, для X = 1, 2,..., к
Дх ас — — Q) «х _ 1 -4- 2 ) аХ—2 ~	• + ( — О ао»
откуда из членов ряда можно подсчитать начальные члены колонны разностей. Эта
формула действительна для любого члена разности, ибо от него можно начать
соответствующую колонну.
Для ряда 5 = а0 + а± а2 -J- ... 4 ап_\ имеем:
5 - - (7) а0 + (?)	+ (3) ДЧ + - • • + (а 4.1) ^kaz.
Ь) Геометрические ряды
В (конечном) геометрическом ряду a, aq, aq2, ..., aqn~x n-i\
член равен: и = aqn~\ и сумма п первых членов:
S - a (qn - Vl(q -V) = (qu- a)/(q - 1).
Простейц:ий сзучай:
1 г X + х2 +	+ ... + л*-1 = (1 - Л^)/(1 - X).
с) Некоторые особенные ряды
1.	1+ 24-3 + 4 + 54-6 + 7+...+(n-l) + n = ^i_0.
2.	р4-(р+1) + (^ + 2)+••+(?-!)+?= +	•
3.	Р + 22 + 324 4а + 52 + 62 + . . . + (Л — 1)2+ П2=Я ^-+-1^+-^.
4.	13 + 2з + 33л 4З+53 + 6З+ ... + („__ 1)3+ „з= ^”("2+1)]2.
5.	И+2«+344----+(«-1)4+я4 = ^О 1, ч2«+1) (Зл2+''л — 1).
Бесконечные ряды
75
6.	1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + ...+ (2я —3) + (2п—1) = Я2.
7.	12 + 32 + 5г + 72+ ... +(2я — 1)2 = 1/3 л (2и — 1)(2л+1).
8.	1’ + З3 + 53 + 73 + ... +(2л—1)з = я2(2п2—1).
О. Бесконечные ряды, в частности, степенные
а) Биномиальные ряды и особые случаи
1.	(I±x)',= l±(")x+(^x2ig)x3+...,	!,Х|< 1.
(п может иметь любое значение; коэфициенты бинома — стр. 62
и табл. 10 — стр. 51.)
Чтобы (а + Ь)п разложить для любого п, обозначают через а
большее из двух чисел а и Ь, подставляют х = Ь/а\
(а + Ь)" = ап (1 + b/a)n = ап (1 -! +)".
и производят разложение по ряду 1.
2.	= 1 zp хх2 х3. (геометрический ряд).
о -./-i-Т—	1 । 1	1’1 о - Ы-3 q	1-1-3-5 . ,
3.	У1+х 1+2* 2-4Х~^2-4-6Х	2-4-6-8*
1	1	1	5	7	21
— 1 4-г____Lv2 4__Lx3__°	। _ х5__Z1 гб I
1	2х	8*-Г16*	128	^256	1024	ф---
1 л	1 ,	1-з 9	1.3.5 , ,	1.3.5.7 .
—----— = 1--х4------х2--------х3Н----------х4 —	... =
/1 +х 2	2-4	2-4-6	2-4.6.8
1	, 3 „ 5 ч , 35 .	63 , . 231
2 Х т 8 Х 16Х + 128 Х 256Х +1024
с Лг-i— , , 1	1-2,.1-2-5 ,1-2-5-8..
5.	/1 -7 х — 1 +	з X	з.бх+з.б.9Х 3-6-9-12Х "*"•••—
, ,	1	1 , . 5 ,	10 . . 22 .	154	_ ,
~ 1 +	3 Х 9 Х“^81х	243х "^729Х	6561	х +• • •
в	.1	.	1	,	1-4 , 1-4-7 , . 1-4-7-10 ,
6-	,_-1	3Х+3-6Х	3-6-9Х _*"3-6-9-12Х	•••“
V1 + X
1	1	. 2 - 14 ч । 35 .	91 . , 728 .
-i	3 х+ 81* + 243 х	729х + 6561^
-г. VV+W = 1 + ^х+^-^хЧ-р(/,~У/,Г2<?)х»+ ..
4 ’ '	1 q ' q-^q *	q-2q*3q	1
76 Т. I- Отд. 1. Математика. II. Арифметика и алгебра
.____1 __ 1 Р  P(P+g). p(p + q){p + 1q)
«_______ 9 + 7-29	7-29-3?
/(1+х)"
Все биномиальные ряды сходятся для |х|<4.
Ь) Показательные и логарифмические ряды
, х . , х . X2 . Л3 . X4 , X5 . •	. .
е “ 1 + 1! +2Г + 3Г + 4Г + 3Г+... , I х I < оо .
о х 1 । Ina . (In a)2 9 . (In a)3	.	. . .	Л
2- “ =1+7Г * + ^"2! X+"3! Л+	|л|<°°’ Л>°*
.......... X2	, А3 X4 .
з.in(i+x)=x-4-+4—А-+4—....	_ 1 <х<+1.
Z О т <Э
1 + X (	,	X3 X5	. X7 X9	\	.
5* n 1 — х	“ 2 V	1	3+5	h 7	+ 9	т • • J,	kl< 1-
а.
с) Разложение в ряды тригонометрических функций, их обрат-
ных величин и гиперболических функций
В формулах 1 до 4 угол х надо измерять в дуговых единицах, а именно,
х = лср°/18О°, если — величина угла в градусах.
.	X2 . Xi	X6 X»	X10
1. cos х — 1	2! + 41	g[	+ S!	101 Т	• • • > IX | оо.
бесконечные ряды
п
. X х'-’ , X5 X7 , X9 Хп ,
SinX_TF ЗГ~Г5Г 7г+9Г —Т1Г + •••’
! +
оо.
3. tgx X + 3 + 3.5 + 32.5.7 + 32.5.7.9 + • --» I *I < 2 •
4' Ctg* х 3	32-5	39-5-7	33 - 52 -7
5. arc sin х = х 4
1%з (	i.3x5	1.3.5Х7
2-3 + 2-4-5 ‘2-4- 6- 7
|х|<1.
6.
,	X3 . X5	X7
arc tgx = x-----3- + ^--------у +
х9
9
|х|<1-
v-2	X®
7. chx=l +2L-1-2L + ^+..„	|х|<оо.
X3 х*> х^
8. shx = x++- + +- + +-+...,	|х|<оо.
d) Арифметические действия над степенными рядами
Сходящиеся степенные ряды можно в пределах их общей сходимости почленно
складывать друг с другом, умножать на любой числовой коэфициент, перемножать
их и делить друг на друга, если знаменатель не окажется равным нулю. Для облег-
чения выкладок рекомендуется пользоваться следующими формулами:
1.	Произведение двух степенных рядов:
(а0 + atx + а2х2 + л3х3 + ...) (Ь(} 4- btxb2x2 + £3х3 4~ - - 4 =
= я0Ь0(Д(А + «1^0)х +	4~ a2bo) х2 +
+	4“ а1^2 + а2р1 4" ДзМ *3 4“ • • •
2.	Частное двух степенных рядов:
До+^х+«2х2+ ... а0 1 + ^x4 аах24-...
^0 + & + М2 + - - - V 1 + ₽1*+	- - -
= до/^о • [1 ~h — ₽1) Х 4“ (а2 — Pl2— Р2) xl 4" (а3 — a2pl—а1?2 —
— ₽3 Р13 4“ а1Р124"2₽1₽2)л34~ (а4-азР1 а2р2 а1Рз Pi4“ Р14 а1Р134”
4- «2₽12 4- ₽22 + 2 РА 4- 2^2 - 3^₽2) Х< + . . . ] .
3.	Степени степенного ряда:
у = 1 4- ах + Ьх2 4- сх3 + f/х4 + ...
могут быть приведены к виду:
уп = 14- пах 4-Хп,
78 Т. I. Отд. 1. Математика. И. Арифметика и алгебра
при этом Хп имеет следующее значение:
Х„ = п (-7'1 i	1)а6Ч-Л № 4-
+ я Г <»-1)(»-г>(»-3) + («-!>(» -2) a,t + н
L	24	2	2
4-	(я — 1) ас 4- rfj х4 4- ...
Хг = (а2 4- 26) х2 4- 2 (ab 4- с) х3 + (62 4- 2ас 4- 2d) х4 4- • • •
Х3 = 3 (а2 4- Ь)х2 4- (a3-\-&ab 4- Зс) х34-3 (a2b+b2-]-2ac+d) х44-...
Х_} = (а2— Ь)х2—(а3—2а64-с)х34-(а4—За264-624~2ас—d)x4—...
Х_ 2 = (За2 — 26) х2 — 2 (2а3 — ЗаЬ 4- с) Xs 4-
+ (5а4 — 12а26 4- ЗЬ2 4- бас — 2d) х4 — ...
Л_3 = 3 (2а2 — Ь) х2 — (10а3 — 12а6 4- Зс) х3 4-
4-3 (5а4—10а26 4- 2624-4ас—d) х4...
X, = — } (а-'/4 — Ь) х2 4- J (а3/8 — аб/2 4- с) х3 —
— И5а4/64 —За26/8 4-62/4 4-ас/2 —d)x44 ...
Xj = — i (а2/3 — Ь) х2 4- J (5а3/27 — 2а6/3 4- с) х3 —
— J (10а4/81 — 5а26/9 4- 62/3 4- 2ас,3 — d) х4 4- ...
X, = J «а2 — 6) х2 — i (5а3/8 — ЗаЬ,'2 4- с) х3
1	4- i (35а4/64 — 15а26/8 + 362/4 4- Зас/2 — d) х4 — ...
J (2а2/3 — Ь) х2 — I (14а3/27 — 4а6/3 4- с) х3 4-
+1 (35а4/81 — 14а26/9 4- 2Ь2/3 4- 4ас/3 — d) л4 — ...
Xj = 3 (а2/4 4- Ь) х2 4- 1 (— а3/24 4- ab/2 4- с) х3 +
4-1 (а4/64 — а26/8 + 62/4 4-ас/2 4-d) х4 4-...
Xj = И- ^/6 + b)x2 4- I (2а3/27 - ab/3 4- с) х3 +
 4-1 (— 7а4,162 4- 2а2&/9 — b2J6 — ас/3 4- d) х4 4- ...
Х_. = 1 (5а2/4 — &) х2 — 1 (35а3/24 — 5а&/2 + с) х3 4-
4-1 (105а4/64 — 35а26/8 4- 5&3/4 4- 5ас/2 — d) х4 — ...
X , = I (5а2/& — Ь) х2 — 1 (20а3/27 — 5аЬ/3 4- с) х3 4-
~3	4-? (55а4/81 — 20а26/9 4- 562/6 4- 5ас/3 — d) х4 — ...
4.	Обращение степенного ряда:
у = х	Ьх2 4- сх3 4- dx4 -]- ах3 4" Z*6 + • • •.
x=y-by2-\- (2Ь2—с)у3 — (5&3— 5Ьс4- d)j,44- (1464 -21&2с4- 66d4-
4-Зс2 — с)>5 — 1(&Ь^ — 1263с 4-462d 4-46с2 — be - cd-\- fjy3 ...
бесконечные ряды
79
Приведенные выше формулы дают результат лишь формального исчисления;
сходимость полученного степенного ряда, а тем самым, и пригодность результата
должна быть проверена особо.
е) Некоторые другие бесконечные ряды и произведения
1-	тАг = 1+В1^ + В2-^- + В4^- h/?0^-+ .... |х|<2п.
Здесь В± =— V2> ^2==1/б» £4 —	^/зо» £б = 1/42» £в =	V30»
£10 = 5/б6 > £12 = —691/2730. £14 = 7/б, £16 = —3617/510- —бернулЛИ-
евы числа. Обозначение их не везде единообразно. Они подсчи-
тываются по рекурсионной формуле.
2.	В =[В+1]П,
где в правой части равенства надо вместо степеней В> подставить
числа В} , Имеем: В3 = Въ = В1= ... =0.
Ч jr eta г — 1 R 4- R	R 4-
5.	xctgx —1—^2  21 “ + £4 ~4j----Bq -----Н..., | х I <. к.
(Ср. II, G с) 4, стр. 77).
4. х tg х = (22 -1) Вг	- (2‘-1) В4 -^4 +
+ (2»-1)В6-^------+..., |х|<п/2.
(Ср. II, G с) 3. стр. 77).
9- ctg х	+ X_|_E + х —2л + х4-2л + х — Зл
+ x-j-Зк +
80 Т. I. Отд. 1. Математика. ITT. Круговые и гиперболические функции
III.	Круговые и гиперболические функции
А. Круговые (тригонометрические) функции
(Таблицы круговых функций — см. стр. 34 и 38)
Таблица 17. Угол в дуговых единицах (радианах) и градусах
Угол а°, измеренный в градусах, выражается в дуговых единицах (радианах):
х — аге а° = —а , аге 1° = —^—= 0,017 453,	аге 57° 29б' = 1.
I Х()	I п()	7
a ° - -	0°	90°	180°	| 270°	360°	30°	45°	60°
sin a ° =	0	+ 1	0	— 1	0	1/2=0,500	1<2/2=0,707	‘/2/3=0,866
cos a ° =	+ 1	0	— 1	0	+ 1	^2/3—0,866	^з/2=0,707	1/2=0,500
tg a° =	0	co	0	oo	0	’/з/3=0,577	1	/3=1,732
ctg a° =	oo	0	oo	0	oo	V 3=1,732	1	4з/з=0,577
arc oi° —	0	1		3^	2k	-/b-0,524	п/4-0,785	п/з =1,047
	Угол ф° между				Угол ф в градусах			
	0° и 90°	90° и 180°	180° и 270°	270° и 360°	± а°	90° ± а°	180° ± a°	270° ± a°
Sin Ф°	4-	4-	—	—	± sin а °	4- cosa°	q: sin a°	— cosa°
cos <р°	+	—	—	4-	4- cosa°	+ sin o'1	— cosa°	± Sin a°
tg /	4-	—	4-	—	± tg а °	Т ctgs°	± tg a°	T ctga°
ctg 9°	4-	—	4-	—	± ctg	+ tg <х°	± ctga°	+ tga°
tg (45° ± а°) — ctg (45° + а°).
sin (45° ± а°) = cos (45° zp а°),
Периодичность:
sin (х + 2Лгс) = sin х,
cos (х -|- 2£тс) = cos х,
(Л = 0, ± 1,
tg(x + fcrc) = tg х,
etg (х + k я) = etg x.
± 2, . . .)
a)	Зависимость между тригонометрическими функциями
одного угла
1.
3.
5.
7.
8.
9.
2. tg а = sin a/cos а.
Seca=l/cosa.
6. 1 -|- tg2 а = 1/cos2 а « sec2 a.
COS2 a sin2 a = 1.
Ctg a = cos a/sin a = 1/tg a.
cosec a = 1/sin a.
1 ctg2 a = 1/sin2 a = cosec2 a.
Sin a = У1 — COS2 a = tg а/У1 -f tg2 a = 1/У1 + Ctg2 a.
COS a = У1 — sin2 a = \/У 1 —|- tg2 a = Ctg a/]/”1 -|- ctg2 a.
4.
Круговые функции
81
b)	Зависимость между тригонометрическими функциями
двух углов
Теоремы сложения
1.	sin	(«	zt	р)	=	sin a cos р zt cos a sin р.
2.	cos	(a	zt	p)	=	cos a cos p zz sin a sin p.
3.	tg	(a	zt	₽)	=	(tga±tg₽):(i qztgatgp).
4.	ctg	(a	±	₽)	=	iCtg a ctg p zp 1): (ctg P zz	ctg a).
5.	sin a*4- sin p =	2	sin	j	(a-f-	p > cos 2 (a —	p).
6.	Sin a — sin P =	2	cos	£	(ap) s n 2 (a —	p).
7.	COS a 4- cos p =	2	COS	2	(a 4"	p) cos 2 (a—P).
8.	COS a — COS a =	—	2 sill 2	(a +	P) sin i (a —	?)•
9.	tg a zt tg p = -in (a ~	.	10. Ctg a zt ctg 3
ь & r cos a cos p	b ‘
sin (P zt ar)
sin a sin p
Фиг. 1. Геометрическое изображение
функций sin и cos.
Фиг. 2. I еомегрическее изображение
функций tg и ctg.
11.	sin1 2 а — sin2 р = COS2 Р — cos2 а = sin (а 4- 3) sin (at — Р).
12.	COS2 а — sin2 р = cos2 р — sin2 at = cos (at -|- p) cos (a — P).
13.	sin a sin p = % cos (a — p) — J cos (a + ?)•
14.	COS at COS p = 2 cos (at — P) 4“ 5 cos (a + ₽)•
15.	sin at COS P = 2 sin (at 4- P) 4- 5 Sin (a — p).
16.	tg a tg ₽ =(tga-f-tgp)/(ctga+ctg₽)=—(tga—tg₽)/(ctga- ctg₽).
17.	Ctg a Ctg 0 = (ctg a-t-ctg ₽)/(tg a^-tg £)=—(C ga—ctgp)/(tg a—tg ₽).
18.	ctgatg P=(ctga t-tg?)/(tga+ctgp,=—(ctg a—tg₽)/(tga -ctg?).
с) Формулы для тригонометрических функций кратных углов
и частей угла
1. sin 2a = 2 sin a cos at, sin a = 2 sin % a cos J ar.
2. sin 3a = 3 sin a— 4 sin3 4 a.
3. sin na = n sin at cos'1-1 a — ( я ) sin3 a cos'2-3 a +
"F sin6a cos'2 — 5a —. ♦.
4. cos 2at = CCS2 at — sin2 at = 1 — 2 sin2 at = 2 COS2 at — 1.
5. COS 3a = 4 COS3 at — 3 COS at.
82 Т. I- ОтД- 1- Математика. Itt. Круговые И гиперболические функций
6.	cos ла = cos* а — ( £ ) sin2 а cos* 2 а -|- j sin4 а cos* 4а—..
7.	sin |а = У^(1 — COS а)/2 — i У 1 + sin а — I У1 — sin а.
8.
9.
10.
cos Ja = /(1 -J- COS a)/2 = i У 1 + Sin a + J У 1 — sin a.
sin a _ 1—cos a _i/l—cos a
1 + cos a sin a ~~ V 1 + c
sin a _ 1 + c<
1 — cos a “ sin
2fg^ =________2_____ tg3 =
1 — tg2 a ctg a — tg a ’	*
ctg 2a =	=
b 2 ctg a
ta o„ _3tga — tg3 a
3a - l-3tg3a
2tg ja
tg =
ctg |а =
11.
12.
13.
15.
1 — cos а *
2tg^a
Г—tg4a *
, .	, Ctg2 ia — 1
5 ctg а-4 tg а, Ctga=-L--
14. ctg3a = -^3-°-3Ct?a-.
6	3 ctg- а — 1
1 — tg2 ja
16. COS a = —-—— .
1 -г tg2 i*
tg 2а =
sin а
17.	cos a ± sin a = 1^1 zt sin 2a = sin (|п ± a) = У 2 cos Qtc zp a).
d) Степени синуса и косинуса
1. 2sin2a=l—cos 2a.	2. 2 COS2a = 1-|-cos2a.
3. 4 sin3 a =— sin 3a-|-3 sin a.	4. 4 cos3 a = cos 3a-|-3 cos a.
5.	При n нечетном:
. „	(—l)5ln-1) [	I n\ . .	, (П\ . ,
sin a = — -J----- I Sin na — J j sin (n — 2) a	j sin — 4)a —
— (”)sin(rt—6)a+1) 2	2 3 у sin За 4-
Л-1/ n \
+(-1) 2 I~ir7sina ‘
6.	При гг четном:
cos (n-2)a+	cos (л — 4) a — ...
« —4 /	я —2 /
+ (-l) 2 ( -^COs4a+(-l) 2 |A_J.jcOs2a
,1П^Д (-1)2" [	(n\
Sin “	2л-1	lC0S'Ia-(j)
n )_1
T/ 2'’’*
Круговые функции
83
7.	При п нечетном:
COSna = (l)'’
cos па -f- cos (п — 2) а + 2 ) cos (п “ 4) а +
/\	I п \	/ п \
4" ( о ) COS (л — 6; а 4-	п — 3 | COS За 4- ( п — 1 | C0S а
8.	При п четном:
cos'* а
1
2'*~1
cos тга4" cos (л — 2) а 2 ) cos (/2 —4) а4-...
(п \	/ п \
п —4 ) cos 4а 4" I п ~~ 2 I cos 2а
““2“ /	\Т~ /
1
2п *
(Относительно биномиальных коэфициентов— см. стр. 62 и табл. 10, стр. 51.)
е) Обратные круговые функции
Обратные тригонометрические функции, благодаря периодич-
ности прямых функций, имеют бесконечное число значе-
ний. Главные значения их определяются следующим образом:
у = arc sin х равносильно		x = sin y,	1	/	1	1 причем — у т: <y<4-y
у = arc cos х	D	x — cos у	1	1	1 ”	2	2
у = arc tg x	Л	x = tg>	
у — arc ctg x	n	X = ctg у	0<y<z.
Угол у измеряется в дуговых единицах.
Графики обратных тригонометрических функций получаются из фиг. 1 и 2
(стр. 81), если построить зеркальные отображения изображенных кривых относи-
тельно биссектрисы координатного угла (первого квадранта); главные ветви будут
соответствовать жирно вычерченным дугам.
1.
2.
3.
arc sin и = arc cos У1 — и2 * = arc tg — U____~ — arc cos и.
У 1 — и2	2
arc cos и = arc sin У1 — и2 = arc tg ~~	— —_____агс sjn и
и	2
arc tg и = arc sin	= ~2.— arc ctg u'
arc tg и = arc ctg (l/n),	в случае и > О,
84 Т. I. Отд. 1. Математика. III. Круговые тт гиперболические функции
arc tg и = arc ctg (1/и) — к, в случае
1 1/ 1 — «2
= arc cos —	____= 1Л arc cos------, в случае и > О,
/1 + U3 “	1 + U2
1 ,, 1— “3
= — arc cos — = — 19 arc cos-----------, в случае и<Л).
Vl + U2	l+«2
Теоремы сложения:
4.	arc sin и zt arc sin v = arc sin (и У1 — v2 zt v У1 — и2) =
= arc cos (У1 — и2 Y1 — v2 zjz uv).
5.	arc cos a zn arc cos v = arc sin (v Y1 — и2 zt и Y1 — v2) =
= arc cos {uv -jz У1 — n2 Y1 — v2) •
1 и zt v
6.	arc tg и zt arc tg v = arc tg _ uv •
7.	arc sin (—u) = — arc sin h. 8. arc cos(— a) = n — arc cos u.
9.	arc tg (— u) = — arc tg u. 10. arc ctg (— и) = n — arc ctg u.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
f) Зависимость между функциями трех углов а, 0, у
для а + Р + Т= 180°
sin а Д- sin В Д- sin y = 4 cos £а cos |Р cos gY*
cos а — cos p + cos y = 4 sin & sin Jp sin	1.
sin а 4- sin p — sin у = 4 sin jot sin cos ft.
cos а + cos p — cos у = 4 cos fti cos £P sin ft —	1.
sin2 а 4-sin2 P4~sin2Y = 2 cos a cos p cosy + 2.
sin2 a-(-sin2 p —sin2Y = 2 sin a sin p cosy*
tg a + tg ₽ + tgf =tgatg₽tgT.
Ctg ia + ctg i? 4- Ctg ft = ctg ia ctg ctg i f.
Ctg a ctg ₽ + Ctg a ctg Y + ctg P ctg T = 1.
sin 2а -|- sin 2p + sin 2y = 4 sin a sin P sin y-
sin 2а -j- sin 2p — sin 2y = 4 cos a cos t- o.n 7.
В. Плоские треугольники
(Формулы для площади треугольника—см. IX, стр. 236).
Обозначения:
а, Ь, с — стороны треугольника,
а, Р, у — углы, им противолежащие,
р — радиус вписанного круга,
г — радиус описанного круга,
s = 1 (а + b + с) — полусумма сторон (полупсримегр),’
"Аа, hb, hr — три высоты,
/пд, mbi тс — три линии, делящие стороны пополам (медианы),
Плоские треугольники
85
w.(— три биссектрисы,
Ра» Рд» Рс—радиусы трех внешних кругов.
Знак ; позади формулы обозначает, что из нее вытекают еще две другие
формулы от кругового замещения а, Ь, с и а, 3, у.
Ввиду того, что а р -j-? = 180°, то имеют место и формулы A, f, от 1 до 11.
а) Общие формулы
1.	д/sin а = &/sin р = c/sin 7 = 2г (теорема синусов).
2.	а = b cos y + с cos Pi • • • (теорема проекции).
3.	д2 —^2_|_с2 — 26с cos а; ... (теорема косинусов).
д2_	— 46с cos2 ... а2 = (Ь — с)246с sin2
с	• а
5. sin у =
~ а 1/ s (s —а)
6. cosT=J/-A_.<;...
7 tg - = 1/ (^~Ж^=£1 = _Р_ 
ё	2	г s (s — a)	s — а ’
8.	(а + 6)/с =	cos % (a — p)/cos	И* + н)	j
—	cos 5P)/sin	...	। (фОрМуЛЫмольвейде).
9.	(а — 6)/с = sin 5 (л — ₽)/sin | (а Н-₽) = { р 7
=	sin Иа — ₽)/cos	J7; ...	J
10.	(а 6)/(д — 6) = tg |(а + P)/tg |(а — р); ... (теорема тангенсов).
а 8	7
11.	р = 4r sin — sin ~ sin ~
abc
brs
=s tg 1 tg 4 tg 4.
12.	Pa= = y = 1^s(s — &)(s — c)'(»— u); ...
13.	ha = 6 sin 7 = c sin p; ...
14.	aha = bhb = chc = ?ys(s — a) (s — 6) (s — c); ...
15.	та=|/2(П?Р?;...
16.	ma2 -1-	+ m? = | (aa + b2 + c2).
17.	1/p = 1/Po + 1/pj, + 1/p, = 1/Л„ -I- 1/Л» + 1/Лс •
18.	l/p„ = - l/ha + 1/Ль+ 1/Лс; ...
19-	= тАт Уbcs <s - = лТГТ VK* + c)3 - fl2J; • • •
u ”1 C	v I v
86 Т. I- Отд. 1- Математика. III. Круговые и гиперболические функции
Ь) Косоугольные треугольники
Данные Искомые
Формулы
4-	— о2
cos а =--- 2bc---- ИЛИ СМ’ выше Ф°РМУЛЫ 5, 6 или 7
sin 3 = b sin ata , у — 180° — (а -f-p),
с = a sin y/sin а = Ь cos а + а- — b- sin2 а.
При а >Ь существует лишь один треугольник. Имеем
р < 90° и ₽ <а. При b > а > b sin а существуют два
треугольника, для одного 3 острый, для другого 3 — ту-
пой. При b sin « > а не существует треугольника.
а, 3
а» Ь, у
b = a sin З/sin а, с — a sin у/sin а = а sin (а + P)/sin а
tg а = a sin — a cos у),	3 = 180° — (a-j-y)
или
1(« + р) = 90«-1т
tg 1 («-₽)= -^4 '‘в |Т=	tg’-(* + ?)
rr (а 4- R)/?. 4- (а — В)/2, й = (а 4- В)/2 — (а — 3)/2
с = Va2 + b* — 2ab cos \ = a sin у/sin а = (а — b)/cos
где
tg ф = 2Vab sin 1у/(а — Ь).
с) Прямоугольные треугольники
а и b — катеты, с — гипотенуза, а — угол,
катету а\ т и п — отрезки гипотенузы с.
противолежащий
1. sin а = а!с.
Фиг. 3.
2. COS а = Ь/с.
5. а2 + Ь2 = с2,
7. h/a = Ь/с9
8. т/b = Ь/с,
п/а = а]с,
3. tg а = а/Ь.	4. ctg а = Ь/а.
с= а2 4- Ь2.	6. h[n = m/h,
h2 = тп.
h = ab/c, h2 = a2b2/(a2 4- b2),
l/K2=l/a2+l/b2.
b2 = me, | b2/a2« m/n,
a2 « nct J 1/A2 = 1/c (1//71 + l/n).
d) Диференциальные формулы для плоских треугольников
Незначительные изменения сторон и углов тем точнее удовлетворяют ниже-
следующим диференциальным формулам, чем меньше эти изменения; da, d3, dy
означают изменения углов, выраженных в дуговых единицах; имеем:
- 0,017453 da0 = dav/206 265^.
Сферические треугольники
87
Прямоугольный треугольник:
1. ada-\- b db = с de. 2. dafa = dele + ctg adz.
3.	da = tgadb — 2adp/sin2a.
Косоугольный треугольник:
4.	da d$ dy = 0 •
5.	daf a — ctg a da db]b — ctg p rfp = dc]c — ctg 7 d^.
6.	a da = (b — c cos a) db + (c — b cos a) de + be sin ada.
7.	c cos Eda + ci dy = — sin '[db 4- sin $dc.
С. Сферические треугольники
(Формулы для площади сферического треугольника — см. IX, стр. 242.)
Пусть:
а Ь, с — стороны треугольника,
я, 3, у — противолежащие углы,
$ — | (а + b 4- с), о = 1 (а + р -|- у),
6 = а + р-|-7 — 180° —так^называемый сферический избыток.
Следующие формулы действительны только для таких треугольников, стороны
и углы которых лежат между 0 и 180°. Каждому из таких треугольников соответ-
ствует полярный треугольник, стороны которого равны 180° — я, 180° — £,
180° — у, а углы 180° — а, 180° — b и 180° — с. Из каждой формулы сферической
тригонометрии получается, таким образом, другая, не всегда отличная от перво-
начальной формулы, применением ее для полярного треугольника, т. е. замещением
сторон дополнением соответствующих углов, а углов — дополнением соответствую-
щих сторон.
а) Общие формулы
1.	sin a/sin a — sin &/sin [3 = sin c/sin 7 (теорема синусов).
2.	cos a == cos b cos c -|- sin b sin c cos a; ... (теорема косинусов).
3.	cos a	= — cos p	cos 7 + sin p sin 7 cos a; ...
4.	cos a	sin b = sin	a cos b cos 7 -p sin c cos a;	...
ctg a	sin b = sin	7 ctg a -|- cos 7 cos b; ...
5.	cos a	sin p = sin	7 cos a — sin a cos p cos c\	...
ctg a	sin p = sin	c ctg a — cos c cos p; ...
а Г —cos з cos (j — a)
6.	Sin — = 1/----:—5—:---------J . . .
2 r sin p sin 7
_ a - cos (s —h)cos (g—7,T.
2 r	sin p sin 7	’
-г a , Г sin (5 — b) sin (s — c)
1	SIH — = 1/ -------;—,—;--------,* ...
2	r	sin b sin c
a , Г sin 5 sin (s — a)
cos -77 = 1/ — -—7—-----; ...
*	2 r sin b sin c
e ctg ctg + cos у .
® 2	sin у	’
9- tgj=Vtg|stg tgHs —tgj(i —cj? I (Гуилье7
88 Т. I. Отд. 1. Математика. III. Круговые и гиперболические функции
10.
11.
tg На + Ь)
tg 5 (а — Ь)
tg И* + ₽)
tgu«-?)
cos —Р) t_ £.
cosiO+?) 8 2 ’
= sin Ha —и) t £.
sin 5 (a —|— |j)	2
cos Ha — 6) . 7
cos 5 {a + b) ^2
= sin Ha —, 7.
sin \(a + b) 2
(неперовы
аналогии)
12.	cos J (a-|- ₽)	cos 5	c	=	cos J (a -{- b)	sin	i 7;	...	]
13.	sin i(a+ ?)	cos 2	c	=	cos 2^— 6)	cos	2 7;	...	I	(формулы
14.	cos 2 (я —,:)	sin 2	=	sin 2 (« + ^)	sin	2 i;	...	f	Гаусса)
15.	sin 2 (a — fO	sin %	c	=	sin 5 (a— b)	cos	5 7;	...	j
b)	Прямоугольные сферические треугольники
Если с — гипотенуза, следовательно,
формулы:
1.	cos с = cos a cos b = ctg a ctg	р.	4.
2.	cos а = cos а/sin р.	5.
3.	cos b == cos p/sin a.	6.
7 = 90°, то имеют место
sin a = sin tz/sin c.
cos я — tg Z?/tg c.
tg a = tg a/sin b.
с)	Диференциальные формулы для сферических треугольников
Незначительные изменения сторон и углов тем точнее удовлетворяют ниже-
приведенным диференциал: Ни.м формулам. <ем меньше эти изменения; они могут
быть выражены в дуговых или угловых единицах.
1.	da — cos р de Ц- cos 7 db + sin b sin 7 da.
2.	da = — cos bd'i — cos cd$ 4- sin p sin cda.
3.	c gbdb — ctg c de = ctg fi rfp — ctg 7^7.
4.	sin 7 db — sin a d[l = sin (3 cos a de -4- sin b cos 7 da.
D. Гиперболические функции
(Таблица гиперболических функций — см. стр. 38—42.)
Основные формулы
1. ch? = -|-(^ + е^).	з. th? =4?_ = Л^£_1. ch?
Ч. sh? = l(e’-^).	ch <f>	e'₽ + 4. cth cp = —— = —		7 . sh cp	__ e-'i>
5. ch ср-|-sh ср = г®. 6. ch ср — sh ср =	7. ch2 cp — sli2 cp == 1. 8, th cp • cth cp = 1,
Гиперболические функции
89
Для действительных значений переменной ср имеем:
chcp>l, th2cp<l, cth2 ср>1,
тогда как sh ср может иметь какое угодно (положительное или отри-
цательное) значение.
9.	sh (— ср) = — sh ср,	ch (— ср) = + ch ср,
th (— ср) = — th ср,	cth (— ср) = — cth ср.
10.	Теоремы сложения:
sh (а	± р)	=	sh а ch Р zb ch а sh р,
ch (а	zt р)	=	ch а ch Р z!z sh а sh р,
th (а	р)	=	(th а ± th р) : (1 ziz th а	th	Р),
Cth (а	± Р)	—	(1 zt cth а cth р) : (cth	а zt	cth р).
11.	sh 2ср = 2 sh ср ch ср = 2 th ср : (1 — th2 ?).
12.	ch 2? = ch2 ср -|- sh2 ср — 2 sh2 ср-|- 1 = 2 ch2 cp — 1 —
= (1 + th2 cp) : (1 — th2 cp).
13.	th 2? = 2 th cp : (1 + th2 cp).
14.	cth 2? =(14- cth2 cp) : 2 cth cp.
15.	sh	a	zt sh	p =	2 sh	$ (я	zt 3)ch	£(а +	?)•
16.	ch	а	4- ch	p =	2 ch	(a	4“ P) ch	—	P).
17.	ch	a	—ch	p =	2 sh	+ ₽) sh	s(a —	p).
18.	th	a	zt th	p =	sh (a ziz	p): ch a	ch p.
19.	(ch cpz+z shcp)n= ch zz-p ±z sh nep.
Геометрическое изображение—фиг. 4 и 5.
Дал ьнейш ие
формулы между
прочим у Е. J а h п-
k е u. F. Erode,
Funktionentafeln,
Лейпциг и Берлин
1909, В. G. Teubner.
Обратные величи-
ны гиперболиче-
ских функций обо-
значают Аг1). Если
sh ср = и, то пи-
шут: ср = Ar sh и,
и соответственно,
Ar ch и, Ar th и,
Arcth и. Имеем:
Фиг. 4. Кривая у = ch х
является цепной линией.
Ar sh а = 1п [и 4- Yи2 1), Ar th и = -i- In *	-
1	2	1 —и
Ar ch и ~ In (и ztz У и2 - 1),
A	1 1 U 4- 1
Ar cth и = In —— - .
2 и — 1
х) Обозначение происходит от „агеа‘; — площадь-и связано с площадью сектора
Гиперболы (стр. 140—142).
90 Т. I. Отд. 1. Математика. III. Круговые и гиперболические функции
Е. Соотношения между круговыми, гиперболическими,
показательными функциями и их обратными величи-
нами в комплексной форме
1.	е"? = cos <р+ I sin <р, е z? = coscp—I sin (формулы Эйлера).
2.	cos <р = у (ei<f 4- e-/<F), sin у = — (е^ —
3.	tg ? = — i (*'' — е~^)Це^ + е~{ ),
ctg <? =	— <?-«>).
4.	cos lx = ch х, tgix= Z th x, sinZx = z’shx, ctg ix — — i cth x.
5.	ch ix = cos xf thz’x = Ztgx, sh Zx = z‘sin x, cthix =—Zctgx.
6.	cos (x + iy) = cos x ch у — Zsinxshj.
7.	sin (x O') = sin x ch у -|- Z cos x sh y.
ft 2	.	1 sin 2x -h Z sh 2y sin 2x 4- Z sh 2y
8.	tg (x + iy) = -77 -------j—, 9	=-----5—, п ч
& K 1	2 cos2x+sh2j' cos 2x-|-ch 2_y
Л x z . .ч 1 sin 2x—Z sh 2y	sin 2x — Zsh2y
9.	ctg(x +	sin2x+sh2j>- =----------cos 2x—ch2y •
10.	ez +	= ez (k — 0, z+z 1, zt 2, ...), t. e. ez имеет мнимый пе-
риод 2kZ. Отсюда по п. 4 следует вследствие периодичности
гиперболических фун ций:
И. ch (z + 2kTti) = ch z,	th (z + ZmZ) = th z,
sh (z + 2^tcZ) = sh z,	cth (z -j- kiti) = cth z.
1 O П-ГЛ-Г! -r_ v I Л, _ I I />/40 I	_ I >. I /J '£>	- ~ I - I t/" -.9 I . -o
i^.	only; - 1A|C , 1 AV | /0 | — p A“
— модуль, a 'f — аргумент мнимого числа z; ср. II, A, d). Тогда
имеем:
log z = In | z | + Z<p -f- 2kni (k = 0, zt 1, zt 2, ...).
Логарифм имеет, следовательно, бесконечное число значений.
Под главным значением логарифма понимают:
log z = In  z I 4- Zcp.
13. log 1 = 0, log (— 1) = Zk, log Z = Zk/2, log (— Z) = 3Ztz/2.
log z _________________ew log z -f- 2feitiw.
15.	z1’ = г-п'2+2^ = 0>20788 • e2*" .
16.	arc sin z = — i Ar sh Zz = — i log (Zz 4- У 1 — £2).
17.	arc cos z — — i Ar ch z = zt Z log (z 4- Z У 1 — z2).
SO 1	. * »u •	1 1	1 4”
18.	arc tg z = — i Ar th iz = log ¥-—
6	2i 6 1 — iz
i	• a •	1 i Zz — 1
19.	arc ctg z= i Ar cth zz log । । •
20,	arcsinZx= i Ar sh x = Z log (x 4- У1 4~ У).
Предел, непрерывность, диференцируемость
91
21.	arc cos ix = —i Аг ch lx = к/2 zb i log (x	У1 + x2).
22.	arc tg ix = Z Ar th x = ~ log .
i X -4- 1
23.	arc ctg ix = — i Ar cth x~---~ log ——.
5	2 5 x—1
IV. Диференциальное и интегральное исчис-
ления
А. Предел, непрерывность, диференцируемость
1.	х -> а, или lim х = а, означает, что переменная х беспредельно стремится
к постоянному значению а, не достигая последнего; а называется пределом
(limes) х; х становится бесконечно малым, означает то же, что х -> 0.
х становится бесконечно большим, х -> со, означает, что абсолют-
ная величина х в процессе изменения переменной х превзойдет любое постоянное
значение.
Если / (х) является функцией действительной переменной (аргумента) х, то
lim/(х) = b означает то же, чго и / (х) -> Ь, если х -> а, или практически:
х~+а
тем ближе /(х) Ь, чем ближе х а.
2.	Некоторые особые предельные значения (п целое число > 0):
lim ап— со для а > 1; = 1 для а = + 1; = 0 для |а| < 1; не существует, если л < — 1;
л->оо
lim л->оо	ап _	хп — ап	п _ 1 —г- = 0,	lim 	= пап Ц л1	х — а х->а
lim х^-0	^ = 1,	Нш^-=1,	Нт<Л = 1, Х	х->0 Х
lim п >оо	пт (1+v)n =е"' \	'	л->оо 4	'
lim и->оо		—— -- У2^ (формула Стирлинга), пп е~п У п
lim л->оо	[ 1.3.5 . ..	] ЪГ = Т (формУла Валлиса)-
3.	Дх является приращением х.
/(х) называется непрерывной в точке х, если / (х) имеет определенное
конечное значение и
lim / (х -|- Дх) -f{x\
Дх->0
4.	/ (х) называется диференц ируемой в точке х, если предел
Цт ./.X+Ax)-/W ж
. п	ЬХ
Дх-Н)
имеет определенное значение; /х (х) называется производной f(x).
92 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
5.	Геометрическое значение /' (х):
/' (*)=tg »,
т. е. равно тангенсу угла наклона касательной (кривой) у = f(x) в точке касания
Р U, у) (фиг. 6;.
6.	Разность значений функции:
RPt = Ду = Цх + Дх) — /(х).
7.	Диференциал от у = /(х):
PS = dy — df (х) = /' (х) dx, где dx = Дх.
Частное диферснццалов равно производной:
~f'w-
8.	Каждая диференцируемая функция одно-
временно и непрерывна, но не обратно. Не-
прерывная кривая не имеет ни скачков, ни перерывов; диференцируемая не имеет,
кроме того, никаких углов.
В. Производные и диференциалы
а) Правила диференцирования
{а. Ь, . . т, п обозначают независимые от х постоянные, и, v, w, . . . диференцируе-
мые функции от х.)
1. (а)' = 0.	2. (аи)' = аи'.
3. (и 4- v w + • • .)' = м' +	. ., вообще, действительно только для
конечного числа слагаемых.
. .	, ।	,	_	/ и \' u'v — uv'
4. (uv)' = u'v + uv'.	5.	— ) =------.
k /
(u' v' w' X
— -ф 4-	вообще, действительно
только для конечного числа множителей.
df (и) df du dv dw .	.
7. —[цепное правило для сложных функции:
/ — / (и), и = и (v), v — v (w), w — w (x)].
8. Если x -- g (у) есть обратная функция от у — f (г), то имеем: g' (у) = 1 : f (х).
Ь) Производные элементарных функций
9.	(хт)' — тхт~
10.	(еху = ех.
И. (аху — ах 1п а,
12. (In х)' = 1 : х.
13.	(а logx)' = l ; xlna.
14.	(sin х)' =. cos х.
15.	(tg x)' — 1: cos2 x.
16.	(cos xi' — — sin x.
17.	(ctgxj' — — 1 :sin2x.
18.	(arc sin x)' = 1: Kl — x2.
19.	(arc tgx)'~l:(l + x>_____
20.	(ars cos xy = — 1 : Vl — x2.
21.	(arc ctg x)' = — 1 : (1 4- x2).
22.	(sh x)' = ch x.
23.	(th x)' = 1 : ch2 x.
24.	(ch x)' — sh x.
25.	(cth x)' — — 1 : sh’ x.
с) Формулы диференцирования
Согласно п. А, 7 каждой упомянутой выше формуле для f (х) соответствует
формула для диференм,иала rf/(x), получающаяся от умножения первой на dx.
В нижеследующем пополненном перечне х,у, z, «, ... могут, однако, обозна-
чать либо независимые переменные, либо функции тех же переменных.
Производные и диференциалы
93
1.	da = 0, где а—постоянная,
2.	d (ах) = a dx.
3.	d(x + у + z + и	dxdy dz + du
вообще, действительно только для конечного числа слагаемых.
4.	d(xy) = х dy -\-у dx.
ч / dx t dy . dz . du .	\
5.	d(xyzu.. ,) = ^— +-y- + ~+	+ ...jxyztt...
6.	rf —= У	у dx — x dy У2
7.	d(xm)	= mxm~x dx.
8.	dY x =	dx ’2/7
9.	d^x =	dx X2
10.	dex =	ex dx.
11.	dax —	ax In adx.
12.	din x =	dx	e X
13.	d alog	_ 1 X ~~ In a x
14.	dsinx	= cos xdx.
15.	d Д— sin X	__ cosxdx
		~~ sin3 x
16.	d cos x	= — sin x dx.
17.	d-^— cosx	_ sinxdx cos3x
18.	d tgx 	_ dx
		~ cos3x’
dx
19. dctgx =	—— &	sinJx
20.	d arc sin x = r •
/1—x3
гл, .	dx
21.	dare cosx —---r .
/1—X2
22.	darctgx =  dx —> •
.	dx
23.	d arc ctg x = — ;—:—у .
24.	din sin x = ctg x dx.
25. d In cos x = —tg x dx.
2 dx 2fi d In ter у — ______
64 ill Lt Д*	• z-v 6	sin 2x
27. d In ctg x —
2 dx
sin 2x ’
28.	d sh x = ch x dx.
29.	d ch x = sh x dx.
□л j it.	dx
30.	d th x = —tk-----
ch2x
, ,,	dx
31.	dcthx =------го—•
sh2x
32.	d (хУ) = xy~l (x In x dy 4-у dx).
d) Производные и диференциалы высшего порядка
1. Пояснение: f" (х) = [f'(x)]'t	d?f(x) = d [d/(x)J,
вообще: /(л) (x) =	(x)f, dn f (x) = d [dn ~r f(x)].
Если x независимая переменная, то
d3/(x) = f" (x) dx3..., dnf(x) =	(x) dxn .
2. (xm )^ = n\xm~n = m(m — \) (m-2)...(tn — n-\-\) xm~n.
3. (ex)d) * * * (n) = ex.	4. (ax)W = ax (lna)\
94
Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
5. (In х)(л) = (— I)"”1 (п - 1)! : хп.
6. (sin х)™ = sin (х + wk/2).	7. (cos х/л) = cos (x 4~ лтс/2).
8.	(uv) — i№ v J u^n~^ v' +	) u^n~2h" + ...
.. •+^л_2 i	uv^ = (u-[~v)^n\
где правая часть означает результат, получающийся, если n-я сте-
пень образована по правилу бинома Ньютона при условии, что
вместо степеней подставлены производные, однако, вместо uQ не 1,
а и<® = и\ вместо v° не 1, a t/°) = у.
9.	Если у = f(u) и и = и (х), то имеем:
d-f=f (и) d2u-\- f" (и) du2,
d*f=f' (и) d*u + 3f” (и) d*u du +f" (u) du* и т. д.
e)	Функции нескольких переменных
1.	Если /(х, у,..)—функция двух или нескольких переменных, то
df	. df	/
—4 астные производные, т. е. такие,
дх х dy	У	.
при образовании которых только х или у или ... рассматриваются
в качестве переменных. Далее, при определенных предпосылках
о непрерывности, имеем &	, или = fUY и т. д., т. е. при
r г	дх ду ду дх ХУ Ух	к
образовании производных высшего порядка порядок диференциро-
вания по различным переменным не имеет значения.
2.	Полный диференциал:
df df . । df
df = “з— dx 4—— dy 4—s— dz 4~ •..,
dx { dy dz 1
d2t	d2f	d2f
d2f = dx2 4"2 dxdy 4^ 44 dy2 +..
Ox2 1 dxdy л dy2 ' 1
вообще, для двух переменных х, у\
/ д д \ ^)
dnf-(-^dx+^dy) f'
где после формального вычисления степени по правилу бинома
Ньютона произведение dnf понимается как числитель частных про-
изводных л-го порядка.
3.	Чтобы диференциальное выражение Pdx-\-Qdy было пол-
ным диференциалом функции двух переменных, необходимо и до-
статочно:
dQ дР .	.
(условие интегрируемости).
Ряды Тэйлора и Маклорейа
95
При трех переменных, соответственно, для Р dx -|- Q dy + R dz\
dR^dP_ дР dQ
dz dy ' dx ~~ dz ' dy dx
(Ср. также стр. 114 и 188)
f)	Неявные функции
Для F (х, у) = 0 имеем:
dy_ __ dF . dF
dx ~ dx ' dy *
d?y __ rd2F/dF\2 d2F dF dF d2F ( dF\2~\ . / dFV
dx2 ~	[ dx2 \dy ) dx dy dx dy dy2 \dx) ] ’ \ dy )
С. Ряды Тэйлора и Маклорена
1.	Теорема о среднем зн а ч е н и и. Если f(x) однозначна
непрерывна для х=аих=Ьи диференцируема для всех значе-
ний х в промежутке от а до Ь, то имеем:
где 5—промежуточное значение между а и Ь:
£ = а-\-$ (Ь ~ а),	0<&<1.
Другой вид формулы:
/(х+л) = /(х)+а/'(^ е=х+м, 0<&<1.
2.	Формула Тэйлора.' Если /(х) определена и диферен-
цируема до производной порядка п в промежутке от а (включ.)
до х (включ.), то
/(*)=/ (а) + (X - а) + (X - а)* + ...
где
f(n) (£}
Rn = (х ~ а)п ,	С--=а + 0(х-а),	0<»<1.
Другой вид:
h	hn~~^	\
/(х+Л)=/(х) + 1г f'(x) + ^-/"(x)+...+ (A-fji/'’-I)(x)+/?„t
где
Rn = 4г^я)	е = *+»л. о<э<1.
96 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и пнтегр. исчисления
Форма Маклорена (формула Тэйлора для а = 0):
Х4-Г(О)^ '	4- /("~1)(()) х"-1-I /?
3.	Формула Тэйлора переходит в ряд Тэйлора, если f(x) ди-
ференцируема до производной какого угодно порядка и lim Rn = 0
/z->oo
для каждого между 0 и 1. Маклоренова форма Тэйлоровского ряда
представляет разложение /(х) по степеням х (ср. II, G). Что не вся-
кую функцию можно разложить по степеням х, видно из примеров:
/(х) = —, — , — (и>0—целое число), Ух, 1/У*х, In х, ctgx
х х2 хп
п т. д.
4.	Ряд Тэйлора* для двух переменных:
1 / д д W
f(x+h, y+k>=^x<y> + -^r\^h+-^k )
1 / д д \(2)
+ 2г(д^/г + ~дук) /(*.»+••
1	/ д . . д .	„
где
1 / а д \(л)
/?я = тегл+wk) ^х+^’У+^' °<!><1
(ср. еще В. е, 2, стр. 94).
D. Раскрытие неопределенностей
Если функция / (х) для х = а (где также может быть а = со) не имеет ника-
кого определенного значения, а принимает неопределенный вид:
-5-,	, 0 • оо, оо — со, СР, оо°, 1°° ,
0 оо
то все же может оказаться, что существует предельное значение lim /(х). Для
х->а
отыскания этого предельного значения можно пользоваться следующими правилами:
-5-. Если=	<?(«) = 0, <Ь(а) = 0, то
lim / x) = lim .
л»а ,.->а Ф'(X)
В случае необходимости метод можно повторить.
Наибольшие и наименьшие значения
97
—. Поступают, как в случае .
О • со. Если f (х) = ср (х) • ф (х), ср (а) = 0 и ф (а) = оо, то, подста-
1	, ,	о О
вив - = х (х), получают случаи —.
ОО—ОО. / (х) = ср (х) — Ф (х), ср(д) = оо, ф(л)=оо. Приходят
к случаю -g-, для чего подставляют ср (х) — 1 : и (х), ф (х) = 1: v (х),
.. .	v(x) — и<х)	О
:п /(х) ~ —4--—т-т— принимает вид — .
и < х) v (х) г	О
0°, 1°°, оо°. Если выражение /(х) = ф (х)ф для х = л прини-
мает один из этих видов, то сначала определяют истинное значение
fln/W как выше.
Е. Наибольшие и наименьшие значения
а)	Функции одной переменной
а,	и
>о)	(f<rQ(aJ^<U
п — нечетное
Фиг. 9. Фиг. 10.
меньше или больше
Чтобы найти значения аргумента, при которых функция, изобра-
жаемая кривой, не имеющей точек заострения, принимает наиболь-
шие и наименьшие значения, прежде всего следует решить уравнение:
Г (X) = 0.
(Пусть х = а — решение этого уравнения. Затем составляются выс-
шие производные от /(х) до тех пор, пока не будет получена такая
производная, кото-
рая при х = а не
равна нулю:	|-/^
Если ее порядок
П — четный, ТО при	л —четное
х=а функция / (х) Фиг. 7. Фиг. 8.
имеет либо макси-
мум, либо минимум, смотря по тому,
нуля (х} при х = а; если же порядок производной f^n\a} нечет-
ный, то при х—а фунщия //х) не имеет ни максимума ни минимума.
Пример. Сила действия кругового электрического тока на небольшой магнит,
ось которого совпадает с осью круга, выражается формулой:
4-х') 2
где а есть радиус круга, х — расстояние от центра круга до среднего сечения маг-
нита, с — постоянная. При каком < величина будет наибольшей?
решение. Отбрасывая постоянную и возводя функцию F в квадрат, полу-
чаем функцию	*
( а9 4- х’)5 ’
98 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер и интегр. исчисления
которая имеет максимум (и минимум) при тех же значениях х, что и функция F.
frM=vaf-sx,>?.
1 v ’	(а’ + х*)»
а
Корни производной: х = 0, х = — . Очевидно, интересовать нас может только
второй корень.
- 2(60-23^ + 36x4)
J	{аГ + х-)’
При х= -у- вторая производная отрицательна. Следовательно, величина F имеет
а
наибольшее значение при х =. — .
Ъ)	Функции двух или .многих независимых переменных
Значения х и у, при которых функция fix, у) достигает макси-
мума или минимума, удовлетворяют уравнениям:
-^Ои-^О.
дх ду
Если, Кроме того,	fo/ > О, 1,0 будет иметь место ма-
.	d2f d2f
ксимум, если обе производные и	и минимум, если обе
а2/ ау . п
производные и > 0.
Если функция /(jq, х2,..., хл) должна принять максимум или
минимум при наличии условий (х12 х2» • • •» хп) = 0»
Ф2 = 0,..., ?/л = 0, то соответствующие значения xlt х2>... ,хп должны
удовлетворять,^ кроме того, уравнениям
дФ _ о дФ _ о _дФ
дх± ’ дх2 • • • • *
где Ф=/+Х1Т1 + Ха?2+... 4-Хя<ря, причем Х2.....Х„— по-
стояпные неопределенные множители.
F. Неопределенные интегралы
а) Общие правила
Пояснение: f f(x) dx = J(x) + С означает то же, что и f (х) =
= J' (х); d [//(х) dx] =/(х) dx; (f /(х) dx)'=/(x).
В формулах от 1 до 3 величины и и v суть функции пере-
менной х.
Неопределенные интегралы
99
1.
3.
4.
5.
J adu = a J du = аи С.
2. / (и -f- v) dx = j и dx-\-
v dx (способ разложения).
adv = uv — j*и da (интегрирование по частям).
У*/(х) dx = j f [?(y)J /(.у) dy,
iff^dX = fd-^dx
x = ? СУ) (способ подстановки),
(диференцирование под
знаком интеграла).
Ь) Основные интегралы
1.
2.
4.
6.
8.
9.
10.
11.
13.
15.
16.
17.
xndx =	C\
л + 1	1	(
dx ,	I	z-,	i
— = In x 4-	C = In ex.
V	1
axdx = ах/1п а-}- С.
cos х dx = sin х + С.
_^_ = tgx+C.
cos-x ь 1
n — какое угодно целое или дробное
число, за исключением п=—1 (см. п.2).
,3. J exdx = ex.-\- С.
5, у sin х dx = — cos х 4- С.
/dx ,	. _
5Гп*7=-с‘8х + С-
	= arc sin х 4- С = — arc cos x 4- c.
/1—Xs
j-_|_X2 = arc tgx+ C= — arc ctgxc.
sh x dx = ch x 4- C.	12. j" chxdx = shx4~ C.
= th x 4- C.	14. /*	= — cth x 4~ C.
ch2x 1	J sh2x	1
—= Arshx4-rz=ln (x4-/14^)-i-C.
/14-Х2
—=^=^ = Archx4-C = ln (х + Г^Й)+С.
/X2— 1
^-^-5 = Ar th x + C= 4- In v—- + C =
1 — x2	2	1 — x 1
. I 1 . x -p 1 .
= Ar cth x 4- с = -7Г In —4- c.
1	2 x — 1
с) Интегрирование рациональных функций
1. Если /?(х)=	— подлежащая интегрированию функция, где,
j и)
следовательно, <р(х) и /(х) являются целыми функциями (много-
100 Т. 1. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. йсчислейиЯ
членами), то, при степени числителя ср (х) не ниже степени знамена-
теля/^), такую дробь сначала разлагают посредством деления/? (х)
на целую функцию и остаток, являющийся правильной дробной
функцией (у которой степень числителя меньше степени знамена-
теля). Интегрирование целой функции не представляет труда, инте-
грирование же правильной рациональной функции основывается
на разложении на элементарные дроби. Если
/ (х) = (х — д)а (х - bf ... (х — т/,
т. е. а, Ь, , т — различные корни уравнения /(х)=0, причем а
есть а-кратный, b — p-кратный, %..., т — [^-кратный корни, то имеет
силу разложение правильной рациональной функции на эле-
ментарные дроби:
ОМ-Т(Х)-	_L Ла-1 1	,	,
R (') — т;-. — у +	+ • • • Н-----И
/(х) (х — а) {х—а)	х—а
-I----к---1-----"—!----1-	-1----—V-..
Ми. К-1	К
... -I---1---1-----1—!----1-	. j----J—.
(x — (x — m/' ~ 1	x — tn
Для определения постоянных Aa, Aa _ p ..., правую часть
приводят к общему знаменателю f (х) и прибегают к сравнению
коэфициентов обеих частей при одинаковых степенях х. Это дает
достаточное число уравнений первой степени, из которых находят
— 1» • ’ Ml •
В случае простых корней знаменателя (а = £ = ... = р = 1) Alt
Вг, ..., Mi определяются из уравнений:
Корни а, Ь, ..., т могут быть действительными или мнимыми.
Если знаменатель /(х) имеет только действительные коэфициенты,
то мнимые корни встречаются попарно сопряженными. В этом слу-
чае разложение можно представить через частные дроби действи-
тельного вида:
____Mx + N
{A^Wx^-Cx^ ’
Интегрирование правильных рациональных действительно дроб-
ных функций приводит, следовательно, к интегралам вида:
dx
------- или
(.V - - л)°
Mx + N
(А + Ых + Сх^У
Неопределенные интегралы
101
Первые вновь дают для а>1 рациональные функции, для
а = 1 логарифмы; вторые — рациональные функции и логарифмы
или арктангенсы.
2.	Некоторые интегралы рациональных функций:
1.	у*(a+frx)'’rfx = ^(-^1)"^+C (лф-1).
2-	f ^^7 = yln(a + 6x) + C=|lnC(a + M.
3-	/ •^г = ^[а + 6х-а1п(а + &х)] + С
4-	/i[I (*+м2-2fl(a+М+«2Ш(н-м]+C.
_ Z9 dx	1 . a + bx . _
' J x(a-\-bx)~~ а П x
6.	r dx	_L+±in^+^+c.
J x2 (a + bx) ax a2 x
7	f____—____ =______1______1_ c
J (a-\-bx)2 b (a -h bx)
8-	f ,	= -Ы1П (a + ftx) + —Ду—1 + C.
J	(a + bx)2	b2 L	a +	bx J	1
_	/* x2dx 1 Г । t, о i / I t. \	a2 1 . ~
9.	/ 7—i гтг = tt \a + bx —	In (a + bx)-—r— -t- C.
J	(a + bx)2	b2 |_	*	v 1	' a 4 bx J 1
in /* dx	1	1 ! a-\-bx .
10.	/ —;--j--r-cy = -7-j—-----у In------P C.
J х(а-]-ЬхУ	a(a-]-bx)	a2 x
/dx 1	, x . _
-9-;—= — arc tg---p C.
a2-\-x2 a 6 a 1
12- /$ = -7 + c
13. (* Т-——Ц = In 4- C = Ar th x + С, если x < 1.
J 1 — x2	2	1 — x ‘
/dx	1	x — 1
ln^—4-+ C= -Arcthx+ С, если x > 1.
x2 — 1	2 x +1	<
15. / —--— = —arc tg (x Y b/a) + Ct еслиа^>0.
J a + bx2 V ab
IB Г dx 1 in +bx 1 C-^
J a — bx2	1V ab Y ab — bx ^
1
Y~ai
Ar th (x Yb/^) + С если ab > 0,
102
17.
18.
19.
20.
21.
1.
2.
3.
Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
dx	1	, b сх . „
---------= —arc tg '	 4- С,
а + 2Ьх + сх2 /Д V Д
если Д > 0
Д = ас — Ь2
=	1	. /-Д-»-сх , „ '
iV—д V— Д+&+СХ
1 а	Ь-\-сх । „
=--г Аг th —/ — + С,
V— д	V- Д
если
—Д>0
Г______dx________	1
J а + 2bx + сх2 b + сх "*
С, если Д = О
(а 4- р%) dx
а + 2Ьх 4- сх2
= ^1п (а 4-26x4-«2) +
ас — fib /* dx
"* с J а 4- ЪЬх 4 сх2
dx _________1
(а 4- 2bx j- сх2)р 2 {ас — b2){p —1)
b + сх
{а 4- 2Ьх 4- сх2)р
.	{2р — 3) с /*_____________dx_________
+ 2 (ас - b2) (р - 1) J («4- 2Ьх 4- сх2/ ~1 ’
(а4-₽*)^* __	₽	___________1_________I
(a + 2bx+cx2/ ~ ~2с (р — 1)' (а-\-2Ьх + сх2/~х
ас — fib	Г_________dx_____
с J {а-[-2Ьх-\- сх2)р-
[ т—\/ । L \п *	1(а^-6х)п + 1
/ хт (а 4- bxy dx =---------7V - г- /----
J	{tn + п) b
/* хт 2{a + bx)n dx =
{m+n)bj
хт {а 4- Ьх)п
т 4- п
4---[* хт 1 {а 4- Ьх)1
х тД-п J 41
dx.
d) Интегралы некоторых иррациональных функций
Va-\-bx dx =^-{Уa-j-bx)3 4- С,
ои
 - dX = — Va+Vc 4- С.
Va±bx b
(3ab - 2a? 4- ₽6x) y^4^ + C.
ya-j-bx 3b2
Неопределенные интегралы
103
dx	---Г-7-
-----------------с помощью подстановки v — Va4-bx
(а + ₽х) Уа + Ьх
приводится к виду с 15 или 16 (стр. 102).
5. ff(x’ ta+bx)de,
<р(х, У а +
V _____
Подставляем У а-\-Ьх =у.
где f и ср означают целые функции.
6.
С . dx . — arc sin — +	—arc cos— 4-
J У a2 — x2	a	a
+• C' = 2 arc tg
7.
fdX— = 1П (x + v a3+x3) +
/а3 + х8
+ <? =
1 in X + Vfl'2 + x2
2	— x + У a2-j-x2
+ C' = Ar sh — 4- C".
a
В следующих формулах подставлено У a -j- 2bx сх2 = X.
f— = ^=\n(b + cx-V ~Х) + С,
если £>0,
1 л v, Ь-\-сх
= Ar sh —--------------
если
ас —	0,
9.
10.
11.
1 А . b + сх
Ar ch —г		
К с У Ь2 — ас
— 1	. b -I- сх
г arc sin —	-----
' b2 — ас
ас — $Ь Г de г

если
b2 — аг > 0,
если г<0.
(а + ftx) dx _ $
С
т ~~ *Х (т— 1)а
тс
xmdx
тс
(2m —1)6 /* хт xdx
пГс J X
«о + ^ + ^2+..-4-«л^ ,
-----—_—_—„— ------dx==i
== (Д) +	4- Дх2-1-.,	гхп
С.
с™ 2 de
где постоянные /0» Д, ^2» • • • >	-1 и определяются диференцИ’
ровацием И сравнением коэфициентов,
104 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер и пптегр. исчисления
12.	/* y^+x2dx=4 V в2 + *2+ -^1п(х + /а2 + х2) + <7 =
•Z	»	"	£
у* _____ 2	у
= 4 У д2+х2+ A. Ar sh 4 + С'.
13.	У* V а* - х« = 4 /	arc sin -f + с
14.	[* Ух2 — a2 dx= У*2 — а~~~	+ Ух'- — а2 ) + С =
-	J + C'.
С &•+ ex v . ас — Ь2‘ р dx
15.	yxrfx = __x+___y _+с
/dx	„	1	. ~
--------подстановкой ----=у приводится к виду 10
(х — а)рХ	х — а
(см. выше).
(* А +-Bx dx	„ py + q
17. / --;-------подстановкой х —	, если р и q
J а + 2рх + fx2 X	у 1 ’ г ч
определить из уравнений
1РЯ + $(р + я) + а = ® и cpq + b(p-\-q)-}~a = O
и положить затем у2 = z, разбивается на два интеграла:
/»	dz	/*	dz
и
J (ai + Ti^) V ai + ciz
которые определяются по 4 и 16 (см. выше).
alz т С1г'
1О п	Г /W dx /w
18. Для определения /	разлагают - у- на элементар-
г/ г \Х] Л.	1" \Х)
ные дроби (выделив в случае надобности целую функцию) и инте-
грирование производят по формуле 16; если знаменатель имеет
мнимые корни, то, в простейшем случае, соединив элементарные
дроби, содержащие в знаменателях мнимые выражения, интегри-
рование производим по формуле 17.
С (a+px)dx__ (ар —	—га) х .
Х$~	(b2-(ic)X	' ф
е) Некоторые интегралы трансцендентных функций
xnexdx = ех [хп~ пхп ~1 + л(л —1) хп~~2^.. ,-f- (- 1)лл!].
19.
In х dx = х In х — х -|- Ci
Неопределенные интегралы
105
3. J (In х)п dx = Jупеуdy для у = In х.
Л + 1	хп 4" 1
Хп In X dx= j—j- In X —   7—+ С.	(л Ф — 1)
n-\ 1	(71-H 1)-
4a. /* — In xdx= -i- (In x)2+ C.
J X	£
5.	y’lj!!^nrfx = _L_(lnx)', + 1+C'.	(«Ф-1>
/dx
= In (In x) + C.
xlnx
6.	C eax Inxdx-xn^} Г 1"*- — -—r—7^1 + £•
J	L” г 1	(«+!)-J
7.	y* sin2xdx= —* sin 2x Ц- x + C.
8.	J* cos2 x dx = -i- sin 2 x + -i x 4- C.
/, costt2x . „ 1П p , sin mx , „
sin mx dx=------------к C. 10. / cos mx dx =------------к C.
m	J	m
„ p .	. cos (m + ri) x cos (m — n)x
11.	/ sin mx cos nx dx =--------—r-------------------к G (m n)
J	2 (m + n) 2(m — n) '	'	'
/, sin (ттг--tz)x sin (m -k n) x . _ ,
sin mx sin nx dx = —-------------;—к C\ (m=£ n)
2 (772 — 72)	2 (772 4- 72)	‘	.
/, sin (772 — 72) X	.	sin (772 + 72) X	.	_	z ,	4
COS 772X COS 72X dx = —------- n	\ —-<---к	G	(772 =k n)
2(m — n)	1	2 (772 -k 72)	1	v '
14.	J* tgx dx = — In cos x -к C. 15. f ctgx dx = In sin x + C.
16.	/ -4^- = lntg-£+C. 16a.	~ 2 Ar th (<?*) 4-(7.
J sinx 2	J sh x	v 1
17.	/’-rfx- = lntg(^ + ^ +C. 17a. /' -^ = 2arctg(ex) + C
J cosx b\4 1 2/ 1	J chx	' '
/dx A x .	p dx	x . Л
1—i-----= tg “o" “b 19. I -----------= — ctg п ~k C.
14-cosx 2	J 1 — cosx 0 2
20. /* sin x cos xdx — ^ sin2x4- C. 21. /*-——--= lntsx-kC
J	2	J sinx cosx	1
non Г • 71 Л	COSXSinn-1X ,72 — 1 P . n_2	.
224. / sin"xdx —----------------1----— / sin" *xdx.
ЛО1Ч /* n Л sin X COSn—!x .72—1/’
231). / cos"xdx^—---------------]------/ cos" 2xdx.
J	fl	fl J
0 Если n нечетное число, то рекомендуется применять подстановку
fps х = z или §in х = z.
106 T. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
f 2 х dx.
26.
27.
. n , tgn гх
tg X dx = —----:----
6	П — 1
cignx dx=---r
6	n— 1
dx___________cosx_______. n — 2 P dx
sin72* (zz —l)sin'I-1x n — \J sin'2-2.
dx _ sinx	—2 P dx
cosnx (n — 1) cos'2 “ {x n — lJ cosn~2x
* D n. sin^1* cos<7“1x ,
q - 1 P . P a —2 J sin77 ^cos'7^1
—:— / sin^x cos^ x dx — —
p + qJ
p + q
?	1 /* sinp _ 2x cosqx dx.
p + q J
. —P a ,	sin-p+*x cos'7 +1.
Sin pxcosqxdx=-----------=—
p-^ 1
p—q—2 P .
------- 7 sin
'x cos^x dx.
р-1
ПЛ 14 Г 1 D -a J sinp + 1x cos-'7 + 1x .
301). j sin^xcos qxdx =------—j-------H
l Q—P—2 (* sjnPx cos — я + 2x dx
<7-1
dx __	1 1
sin^x cosnx m — 1 sin'72 - 1 x cos'2 -1
m-\- n — 2 (* dx
tn — 1
_ 1
m — 1 s n"2 ~ lx cos'2 — гх
. m + n — 2 P dx
m — \ J sin"2 — 2x CGstlx
s\nmx cos'2 2
1
xwsin х dx — — хт cos х + т
xmcos x dx = xm sin x — m
m 1 cos x dx.
m 1 sin x dx.
») Если p или q нечетные положительные числа, то рекомендуется при-
менить подстановку cos х = г или sin х _ z.
Неопределенные интегралы
107
dx
а + b cos х
если Аа>&2
1	. & + acosx + УЬ2—а2 sin аг . ~
=	In !-------!—I-----------1- C
У b2 — a2	a -|- b cos x
2	/ / b — a .1	\ I л»
= r- Ar th 11/ ----------tg — x + C.
УЬ2 — a2 \V b + a2	/
если
a2<b2
J a-\-bcosx b b J a-j- b cosx '
/sinxtfx	1 1 / । l ч । z-
--Г-Е----=----г In (fl + 0 cos x) + C.
fl + & cos x	b v	71
/Л + Bcosx-|- Csin*	_ д /* d у	.
a + b cosx+ c sin x	— J fl + p cosep '"
+ (B cos a -j- C sin a) /*	----
'	J a + p cos cp
/sin cp d cp
—i—1—L— ,
fl+ p COS cp
если принять & = pcosa, c = p sin a и x — a = cp.
jo Г ax , L j a sin bx ~ b COS bx ax ।
38. / e sin bx dx =----9 , ,9---ea + C.
on Г ax L J a COS bx 4- b sin bx ax .
39.	J eax cos bxdx =------------eax + C.
40.	J* arc sin x dx = x arc sin x + У1 —x2-)-C.
41.	J* arc cos x tfx = x arc cos x—У1— x2-{ C.
42.	J* arc tg x tfx = xarctgx — у In (1 -|- x2) 4- C.
43.	y* arc ctgxrfx = xarc etgx + In (1 + x2) + C.
В следующих интегралах 7? означает рациональную функцию.
/х
7?(sinx, cosx, tgx, ctgx)dx. Если положить tgy—-7,
dx = 2 dt: (1 + sin x = 2/: (1 + t2\ cos x-= (1 - t2): (1 +
tg x = 2t: (1 — Z2), ctg x = (1 — t2): 2t, то интеграл переходит
в интеграл от рациональной функции от t.
45. j* R (ех) dx\ подставим ех = tt dx = dt : t.
46. / ^(shx, chx, thx, cth x) dx приводится к 45.
108 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
Гиперболические функции можно рассматривать как круговые
функции с мнимыми аргументами (ср. Ill Е, стр. 90) и интегриро-
вать по 44.
f) Определенные и несобственные интегралы
Определение:
Ь	п
Г /(x)rfx = lim S /(51)
а	Х = 1
здесь интервал интегрируемости надо разделить на п любых частей Blt 8?, . . ., 8Л так,
чтобы 8i + 62 + .. . + 8Л = b — а; 5\ — любое значение х внутри части , limes
надо брать для л -> оо и всех §1 -> 0.
Геометрический смысл. Интеграл означает площадь, заключенную
между кривой /(*)[/(*)> 0], осью х и ординатами	Действительно,
f (х) dx есть не что иное, как площадь прямоугольной полосы с шириною dx и высо-
тою f(x) (фиг. 11): не смешивать с элементом площади (стр. 115, замечание)
X	X
f /<u)da-
а	а
Средние значения: % — значение в
промежутке от а до bt £ = а-Н(*-а),
о<а<1.
ь*
а)/(?) = тА; I f^dx
и — ** »/
а
(арифметическое среднее)
Ь) /(=)=|/ b^ ffWdx
а
(квадратичное среднее)
ь	ь
с) /(;) = J f(x)y(x)dx: J y(x)dx, если ср (х) непрерывна и
а	а
в промежутке от а до b не меняет своего знака (первая теорема
о среАнем значении в интегральном исчислении).
Ь	а	с ь с	с Ъ с
' ./' = -/ AM /-/ = /•
a	b	a a b	а а b
причем везде f(x}dx не выписано ради сокращения.
У а/b	оо
/* ___dx , _ Г dx __ к
J а-\-Ьх* ~J a + bx2 ~ 4 V~ab'
О	М*
2. Г dx = Д
J a -J- Ьх2 2 Y~ab
р
Неопределенные интегралы
109
J In cosx/Zx = J In sin x dx = — л In 2.
о	э
co
У* sin bx , к	, Л n
——— dx =	, при b > 0.	7.
о
n/2	л/2
8.	j sin2/z + 1 x dx = cos2/* + 1 x dx =
6	6
__	2«4«6...2/z
3 - 5 - 7... .(2/z 4- 1) ‘
n/2	n'2
9.	J . tin2nxdx =	cos2nxdx —
о	о
_ 1 • 3 • 5.. .(2/z— 1) к
“	2.4-6...2/1 Г*
(л>0, целое)
In zt 2a cos x + a2) dx =
0,
2~ In a,
при 0 < a < 1
» fl 1.
g) Некоторые интегралы, не сводящиеся к элементарным функ-
циям. Интегрирование посредством разложения в ряды
Если /(х) разлагается в сходящийся стеленной ряд
/(*) = Ло + а.х-^ах^ +
то в пределах сходимости имеет место
J* f(x)dx = A-\- а^х + л« 4- -у- х3 + х* 4- ...
ПО Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дпфер. и интегр. исчисления
, Г sin х .	1 х3 . 1 х5	.	.
’• J X dx~x	3 '31 + 5 '51 +••• 1ХК°°-
О
2. Интегральный логарифм:
Г dx _	.	1 (In х)2	1 (In х)3
J нГ7 = с+1п11пх1+1пх + ^- — + ^-~зГ +••••
О
О < х < ос,
где С = 0,577 215 665 (постоянная Эйлера).
3. Интеграл Гаусса вероятности появления
ошибки:
X
2	/» _ ,
Ф (х) = —— / е Xdx
у к J
f о
1	Л , ч *	1 X3 ,	1 X5 .	,	| .
2	У*Ф(х)- r и ' з + 2! ’ 5
Табл. стр. 210.
4. Функция Гамма или /7-ф ункция Гаусса:
Г (х + 1) = П (х) = J* ё~1 tx dt.
о
П(п) = п\ (л>0, целое), /7(х) = х/7(х — 1).
/7 (х — 1) • П (— х) = тс : sin тс х
пт/ ч 1-	nix*
п х -Д” етте+2)... (х+«)
1: П (х) = еСх  (1 +	• (1 + ^)e~Xl2 • f1 +	• •
(Произведение Вейерштрасса)
\пП(х) = -Сх+^-8^--------|-S3x3+^-S4x<- + ... |xl<l.
Здесь С постоянная Эйлера (2) и
Sx = 4-+4-+4-+ ...(Х = 2, 3, 4...)
1^ • 2Л 3^	'
S2 = -6-= 1,64493; 53= 1,20206; 54 = ^= 1,08232; 5а= 1,03693,...
Неопределенные интегралы
111
5. Эллиптические интегралы и функции. Элли-
птический интеграл имеет вид
' J к (х, Y f(x)) dx,
где R — рациональная функция и f (х) = а + bx + сх2 + dx3ех* —
целая функция 3-й или 4-й степени. Простейшими эллиптическими
интегралами являются:
х	?
, о	Г dx	С	dy
I-	Вид I ——======= = I --- V-------------= F (ср k).
J ’/ (1— х2) (1 — k2x2)	J v 1 — Лг2 sin2 ср f
o	b
x _________ <p
Гт/ 1 ___ Ь2Х2	p .___________
—	dx = I Y 1 — k2 sin2 <p d ср = E (cp, k).
о	о
(Нормальные формы Лежандра-Якоби).
При этом х = sin ср; k называется „модулем* интеграла.
„Полные* интегралы следующие:
К =F(k/2, k)	Е = £(*/2, k)______
К' = F (л/2, V 1 — А2) Е' = Е (к/2, У 1 — *з)
КЕ'+ЕК' — КК' = к/2,
к—,
Обратная функция от н = /7(ср, k) обозначается ср = am и (ам-
плитуда). Имеем:
х = sin am и = sn и = и — (1 + k2) ~ -f- (1 + 14&2 4- Л4)	-|- ...
ОI	Э 1
cos am и = сп и == 1 — у(+(1 + 4*2)	_(1+44*216*1)	+—...
_______ г/2	»/4
V1 — /г2х2 — Д ат и = dn и = 1 — k2 -f- &2(4 4- А2) -г-.--
2!	4!
//6
_ А2(16-Ь 44^4- Хг4)-^- -I-...
Табл. 9 эллиптических' интегралов — см. стр. 50.
Нормальная форма Вейерштрасса для интеграла вида 1:
оо
f ds	.
и = I —j—	(go, g3 данные постоянные),
,1 у 4s3— ^2s—g3
112 Т. 'I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
а обратная функция:
s = ь и = ~ +— у.2	и? 4- -^3 н8 4- в
₽	20	28	1200	6160	'
h) Приближенное вычисление определенных интегралов
Интервал интегрирования («...£) делим на п равных частей
(Ь — а): п = Л, хх = а -4-- Л СЛ = 0, 1, 2... и), следовательно, х0 = а,
хп = Ь, далее предполагаем y)=f(xy). Если f(x) имеет непрерыв-
ные производные до порядка 2г, то имеет силу формула суммиро-
вания Эйлера:
ь
L f =	••• +Л-1+4_>'л)
а
- ^2 4т f// -Г <°’l ~В*1Т U'" -Г" WJ -
_Д й2Г~2	/2г-3)^ 1_Ц D
а2г+ * 1
где 7? = — В2гп-£ = « + &(*-«), 0<9<1.
Здесь Вь В2, В3... так называемые бернуллиевы числа (стр. 79),
Для г = 2 имеем:	’ •
ь
2.	j f(x,dx = h^~yQ^-y1-\-y2-Y ... +Л-1 +-Г-Ул)~
а
- A- h?- [f (&) -f (а)] + R, R = ^q- f(i! (;)-
3.	Правило Симпсо н’а:
ь
У' /(X) dx = У (у0 + 4Л + 2у2 + 4у8 + 2у4 + ... -т Ау^ + уп) + /?.
и должно быть четное число. Для f{x) = a-f- ₽х-|- ?х2 + ох*
правило Симпсона оказывается точным без последнего (остаточ-
ного) члена R, вследствие (х) = С.
^Таблицы и формулы к указанным зде:ь функциям см. Jahnke und
Е m d е, Funktionentafeln mit Forrneln und Kurven, Леил^иг и Берлин 1909, В G*.
Teubner.
Неопределенные интегралы
ИЗ
4.	Формула квадратуры Гаусса. Из нижеприведен-
ной таблицы берем для определенного значения п значения tb t2,.. .,tn
иИ^Лз». • затем подсчитываем Ух =/[а	—я)	• •»«);
тогда имеем:
где
при
j/(х) dx = (ft - a) (AtYt + A2Y.2 + ... + ляуя) + /?,
(ft_Q)2" + i Г________„j________T
K (2n + l)! L(«+l)(« + 2)...(2n)J J
e=0 4-S(£ —Л),	O<1}<1.
Таблица 18. Числовые значения для формулы Гаусса
для квадратуры
л	t	д	п	t	A
1	ti = 0,5	А1 = 1	5	tx = 0,046 91 t, = 0,230 77	A = 0,118 46 Л2 = 0,239 31
2 3	ti = 0,211 32 Д. = 0,788 68 /1= 0,112 70	nil li		t3 = 0,5 t\ = 0,760 23 tb = 0,953 09	A3 = 0,284 44 A4= 0,239 л A5 = 0,118 46
	/2 = 0.5 /3 = 0,887 30	^2 	 4!э Аз = Ь118	6	/. = 0,033 77 fa = 0,169 49 t3 = 0,o80 69	A, =0,085 66 H2 = (\18 38 A3 = 0.233 96
4	Il 'll II 11 рооо СО CD Со "Н СЛ О О Д •О со Со	Л, = 0,173 93 Л. = 0,32607 Л3 = 0,32607 Д4 = 0,173 93		/. = 0,619 31 t, = 0.830 60 t6 = 0,966 23	A4 = 0,233 e6 A3 = 0,180 38 Aq = 0,G85 66
Здесь tb t2,.. .ttn являются корнями уравнения [tn (t — 1)п]^ = О,
тогда как
/'	^) (^ - ^)  - - G ~ *Х-1) (* ~ ^Х+1)	~ Ц
Х	У (*х	У • • • (*Х	'х-1) (^Х *Х+1) • • • (*х U
о
Остаточный член во всех этих формулах служит для оценки по-
грешности, практически, однако, остается без употребления. Ср.
«Практическая математика*4 на стр. 220 и след.
i) Криволинейные интегралы, кратные интегралы
1. Пусть Р(х,у, z), О(х,у, z), R (х, у, z) три непрерывных
функции координат точки в пространстве; далее имеем три ди-
ференцируемых функции х = х (/), у =у (/), z — z (t) для а t < Ъ,
каковыми определяется в пространстве дуга кривой АВ = (S).
114 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
Определение криволинейного интеграла:
в	ь
f(Pdx+Qdy+Rdz) = f[Px'(t)+Qy'(t) + Rz'ЮМ • - О)
Д((5)	t=a
при этом в Р, Q, R вместо х, у, z должны быть подставлены х(/),
v (/), z{f). Криволинейный интеграл, помимо подлежащего интегриро-
ванию диференциального выражения Р dx-{- Q dy-\-R dz и пределов,
зависит еще от пути интегрирования ((5).
Если
dQ =	dR^	j)R_ = дР dP	= dQ
dr	dy ’	dx ~ dz	’ dy dx	’
т. e. P dx -|- Q dy -|- R dz является полным
диференциалом dy (стр. 94), то
в
f(Pdx + Qdy + Rdz) = n--fa ... .(2)
4
при постоянных конечных точках А и В не
зависит от пути интегрирования; ср есть
потенциальная функция, определен-
ная с точностью до постоянного. То жедей-
Фиг. 12.	CiBnicjibHO И ДЛи f (Р ал -j- Q dy)’, НадО ЛИШЬ
принять z = 0; R = 0.
2. Двойной интеграл. Пусть /(.г, у) непрерывна в об-
ла_ти ограниченной замкнутой плоской кривой 5В, тогда
У2(х)	b2 x2fy)
ff f(x,y)dxdy = /[//(*, y)dy] dx = f[f /(x, y) dx] dy... (3)
a, у pc)	bt xx(y)
Здесь наименьшее, a> наибольшее значение v; наименьшее,
A2 наибольшее значение^ для краевых точек; у~У1(х) есть ура-
гнзние кривой А^В^А,, у = у2(х) — кривой АУВ2АЪ х = х1'у) —
кривой В1Д1^2, х = Х2(У)—кривой В1А2В2 (фиг. 12).
3.	Формула Dirichlet:
ъ х	ь ь
J I f f^.x> у) ау] dx = f[ J f(x> у)dx] dy-
х=а у=а	у=а х=у
4.	Тройной интеграл, распространенный на часть объ-
ема (91), соответственно подсчитывается:
6*2 уЛ?) х,(у, 2)
.1 ,fj/ (x,y>z)dxdy dz = f [ f ( J f(x,y, z) dx) dy] dz.
W	у^уЛг) x = xx(j,z)
Обыкновенные диференциальные уравнения
115
Здесь elt с2 крайние значения z\ ytfz), y2(z)— крайние значе-
ния у на высоте z\ х^у, z\ х2(у, крайние значения х на
параллели к оси х при постоянных у и z. Интегрирование можно
производить также и при другом порядке переменных, если вы-
брать соответствующие пределы.
5.	Замечание: в f J (х, у) dx dy последняя часть, dx dy, означает элемент
площади do данной плоскости; применяя вместо прямолинейных координат дру-
гую, например полярную систему координат г, ср, надо для do подставить соответ-
ствующее выражение элемента площади (здесь г dr d's, стр. 168, 169).
В ff ff(x, у, г) dx dy dz последняя часть, dx dy dz, означает объемный эле-
мент d V пространства; применяя вместо пространственных координат х, у. z
другие, например цилиндрические координаты, надо для dV подставить соответ
ствующее выражение объемного элемента (стр. 185 и след.).
6.	Теоремы С т о к с а и Гаусса, а также формулу Грина
см. в гл. „Векторный анализ", стр. 187 и след.
7.	Диференцирование интеграла по .параметру* а.
*(*)
f f(x, a) dx	f(b, а) £ -f'a, а) £ .
а (а)	а (а)
Если пределы а и b постоянны, то в правой части отпадают
оба последних члена.
8.	Относительно графических методов интегрирования и при-
менения математических измерительных приборов см. ‘ в главе
.Практическая математика", стр. 218 и след.
G. Обыкновенные диференциальные уравнения
а) Диференциальные уравнения первого порядка
1.	Разделение переменных. Если диференциальное уравнение
приводится к виду ср (х) dx = Ф (у) dy, то общее решение;
f ? (х) dx = f ф (у) dy 4- С.
2.	Уравнения в полных диференциалах. Р(х, у\ dx-]~
4 Q (х, у) dy = 0, если левая часть представляет полный диферен-
циал, т. е.	(ср. В. е) 3, стр. 94). Общее решение таково:
У* Р (х, y)dx + f [q(x.J') —J	<iy = Ct
ИЛИ
f Q (x, y) dy + у*	- У	rfyj dx = C2.
3.	Интегрирующий множитель. Если вышеупомянутое усло-
вие интегрируемости (2) не соблюдено, то оно может быть
116 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и ийтегр. исчисления
достигнуто умножением уравнения на величину М (х, у), так назы-
ваемый интегрирующий множитель, который должен
удовлетворять следующему диференциальному уравнению с част-
ными производными:
и	»
ду	дх
(dQ_ _ дР_\
\ дх ду /
Достаточно найти лишь одно решение этого дифференциального
уравнения с частными производными.
4.	Однородные диференциальные уравнения. Они приво-
дятся к виду у' =f • Подставляем = t, dy = х dt-\-t dx.
Общее решение:
5.	Линейные диференциальные уравнения имеют вид:
+ Р(.х)у-[- q(x) = 0.
Решение:
y = e~fP^dx^C- у* д(х)е-ГрМах dx}.
6.	Уравнение Бернулли. уг р (х)у + q Муп — 0. Подста-
вляя z = ух~п (п 4= 1), получаем относительно z линейное диферен-
циальное уравнение (см. 5).
7.	Диференциальное уравнение Риккати.
У + р Му2 + q Му+г(х) = о.
Если известно одно из частных решений этого уравнения уь то
подставляют у = yr-{- 1 : z и получают линейное уравнение относи-
тельно z.
8.	Способ повторного диференцирования. у = р(х, у'). По-
ложив yf — z и диференцируя по х, имеем:
Z ~~ дх dz dx 1
т. е. получаем более простое диференциальное уравнение. Выра-
жение, найденное для z, следует подставить в у = F(х, z).
9.	Диференциальное уравнение Клеро. У = ху' +/(У )• Об-
щий интеграл у = Сх+/(С) представляет систему прямых линий.
Особый интеграл выражает огибающую этой системы прямых
линий:
х = — y = —pf'(p)+f(p)-
Обыкновенные диференциальные уравнения
117
Ь) Диференциальные уравнения второго порядка
1.	У' =/(х).
Решение:
У = fdx f f(x) dx+ Cx+ Ci
или
y = x j*f(x)dx— J" xf(x}dx-\-Cx-\-Cx
2.	У'=/(У.
Решение:
x== Г dy______________|_c
J Vc+2ff(y)dy V
3.	y” = f(y'). Подставляя у' = z, y" = z', получаем
(* dz , _	fzdz . „
XJ f(z)+C и y~J 7(Z) + C1’
из которых, исключив z, получим решение данного уравнения.
4.	у" = /(у', х). Подставляя yr = z, получаем диференциальное
уравнение первого порядка zr = f(z, х), после интегрирования
которого имеем у —fz (х) dx С.
5.	у” = f(yf, у). Подставляя yr — z, у” = z , получаем ди-
,	dz ~ч
ференциальное уравнение первого порядка z =f (z, у), после
интегрирования которого имеем:
1-C. 
с) Линейные диференциальные уравнения
1.	Общие положения.
Хо + Xt + Х.2	+ . + Х„ 2 —-{ X у = X. .. (1)
° dxn 1 dx"-1	2 dxn~2	п~х dx п
где „коэфициенты" Ло,Xi,.. .,ХЛ, а также „член" X означают данные
функции от х. Если Х= 0, то диференциальное уравнение назы-
вается однородным (не смешивать с а) 4), в противном случае пол-
ным. Если ср (х) является одним из решений полного, а уь У^-*^УП
суть п линейно независимых решений однородного уравнения, т. е.
между которыми не существует никакой зависимости вида
4-Я2У2 + • • • + апУп = 0 с постоянными коэфициентами аь а2,..a/lf
то общий интеграл от (1) будет:
У = С1У1 +	+ • • • + ^пУп + Т
с п произвольными постоянными Clt С2,..,,Сп.
118 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
2.	Постоянные коэфициенты, однородное диференциальные
уравнение.
а°|4+ Й1  + ап-\~+апУ=^ • • • (2)
ух =- ег^х есть одно из решений этого уравнения, если гх является
корнем алгебраического уравнения л-й степени (.характеристиче-
ское уравнение")
1 + •. .+ ^„-1 /'+ ап = 0.
Если все его корни rlt r2,...t гп различны, то выражение
У=С^Г + С2ег'-Х+ ... + Спегпх..............(*)
является общим интегралом диференциального уравнения' (2). На-
против, при многократных корнях, например при г1 = г2=...=
= гх = г, тогда как	гп различны друг от друга и от г,
имеем общий интеграл
У = (С1 + С2х+ С3х2 + ... + qx’-1 )erx + Сх+1е W + ... +
+ С^.
Если rj = р Ц- iq, г2 = р — iq сопряженные, мнимые корни харак-
теристического уравнения, то
СгеГ1Х + C2er-X = ерх (Ct + С2) cos qx + iepx (Сх — С2) sin qx =
= ctepx cos qx c2epx sin qx.
3.	Постоянные коэфициенты, полное диференциальное
уравнение.
dny	dn~l у ,	dy
ao + U1 T • • • + an-\ + апУ — * (*)• • • (3)
dx	dx	dx
Общий интеграл имеет тот же вид (*), что и выше, только Сх,
С2,.-^Сп являются не постоянными величинами, а функциями от х,
производные которых определяются из следующих п линейных
уравнений:
С1 >’1 + С2 У2	+ .. • + С'пУп = 0
С\У\+С2У2	+‘--+С'пУп	=0
с'1у{1п-2Чс'2у^‘-2Ч ... +с>^-2) = о
Ф1'1-1Ч^я-1)+... +<Лл-1) = ^
Обыкновенные диференциальные уравнения	119
где JY 3'j»--Уи линейно независимые решения соответствующего
однородного диференциального уравнения (т. е. если написано
О вместо Х(х). После алгебраического вычисления C'v
простым интегрированием находят С2,...,СЛ. (Метод „вари-
ации постоянны х“.)
Если Х{х} целая функция л-й степени, то у принимает вид
с постоянными Сь С2, ..., Сп
У = С±У1СгУ2 !"•••+ Спуп + F(х),
где F(x) означает целую функцию п-й степени, коэфициенты кото-
рой могут быть легко найдены подстановкой в данное диферен-
циальное уравнение. Если же X = а, постоянной величине, тогда
общий интеграл имеет вид:
У= С1У1 + С2У2 + ••• + СпУп + ~а~'
ио
-^-^-=/(х) имеет общий интеграл у = ff- -f f (x)dxn+g(x),
(fl)
где g(x) произвольная целая функция (л—1)-й степени; у можно
также написать и в другой нередко употребляемой форме:
X
У= (Я_~1УГ /	—О'1-1
’ о
4.	Диференциальные уравнения Эйлера.
44+aix"_17 «-Л-+ ••• +«n-i-«7^+e„j=o--(4)
dx	dxn	dx
y-k = xr'k есть одно из решений этого уравнения, если является
одним из корней алгебраического уравнения п-и степени
an+an-lr+an-2r(r-^ + ••• +
-|- aur(r — 1) (г—2) ... (г—п-j 1) = 0.
Если все его корни rb г2, •••> r,t различны, то выражение
у =	+ С2хг +... 4 Спхгч
является общим интегрален диференциального уравнения (4). На-
против, при многократных копиях, например если i\ = г2 =... =
= = г является Х-кратным корнем, в то время как гк_^х,...гп
различны друг от друга и от г, общий интеграл имеет вид:
>=[<?14-С21пх4-С3(1пх)«+СД1пх)3 4- ... 4- Q (In x/"1] х' +
+ Cx + i^+i+
120 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
Подстановка х = /, dx = х dt, (полное) диференциальное уравнение
Эйлера преобразует в (полное) линейное уравнение с постоянными
коэфициентами (случаи 2 и 3).
d) Системы диференциальных уравнений
Для определения нескольких функций yt (х), у2 (х),.. .,ут(х) не-
обходимо иметь между ними, их производными и независимым пе-
ременным х минимум столько же диференциальных уравнений, сколь
велико число т функций. Если не все эти уравнения первого по-
рядка, то введением новых неизвестных функций можно привести
уравнения к системе п е р в о г о порядка:
Л = Л-№••••>«)
у'2 = Р2(х, ylt у2,...,ут)
у'т = рт^ Л-Л-’-’-З'т)-
Ибо^если встретится то необходимо лишь принять —~ =
rf!Ai dym^
=Ут + \, следовательно,--2-= —и соответственно при выс-
ших степенях, чтобы, в конце концов, оставить производные только
первого порядка. Эту систему можно представить также в форме
dJi  dy2\ .	: dym = Х1~. Х2 :	: Хт, где Aj, Х2, . . Хт функции
от *,Уь Уъ-..,Ут.
Пример. Диференциальные уравнения линий векторного поля („силовых линий"),
см. гл. „Векторный анализ" стр. 182.
Системы линейных однородных диференциальных уравне-
ний с постоянными коэфициентами. Для определения jy, у*...,Ут
даны т диференциальных уравнений .следующего вида:
а. Л + л2>'2 4- • • • + атУт + а\У\ + • • • + атУт +
+ у[ + • • • + атут + . . . + у<р + . . . + а^у™ = 0,
где все коэфициенты аь а2>..постоянные величины. Общее ре-
шение такой системы имеет вид
У = £ц еГ1Х 4“ £-12 ^*4" • • • 4“
У2 ~ ^21 е^Х 4- ^22 еГ2*4“ • • • 4- ^2реГрХ
Ут = Ст\ Ст2е^х+ . . . +
Частные диференциальные уравнения
121
Число р зависит от порядка уравнений. В данные диференциальные
уравнения подставляем егх> У2 — ^2еГХ>- • •» Ут ~ еГХ> Т0ГДа>
опустив множитель erxt получаем для Сь С2, ..., Ст т линейных
однородных уравнений и так ьак не все из этих величин равны нулю,
то должен исчезнуть определитель системы (стр. 68). Это условие
дает алгебраическое уравнение р-й степени для г, корнями кото-
рого являются г2,...,гр. Определив эти корни, тем самым опре-
делим отношения Сг : С2: ... : Ст. В таких же отношениях должны
быть выбраны в предыдущих формулах вообще произвольные по-
стоянные : С2х’. . Для X = 1, 2, ..., р. Формулы справед-
ливы, если rlf	различны, в противнохМ случае имеют место
те же поправки, что и в с) 2.
Пример. Два сопряженных, затухающих, упругих и свободных колебания:
ахп У” + а/ У/ 4- у х 4- агп Уг" + У/ + «2 Уг = О»
W + Ь/у/ + ЬХУ1 + bt" у^ 4- b, 'yj 4- b2 у2 = 0.
Подставляем yt — Схегх, уя = С2егх и получаем
4- а/г 4- «4 Ci 4- (а/'г* 4- п/r 4- а2) С2 = 0,
(d1"r?4-b/r+ b^Ci 4- (b/'/«4-b/r4-^)Ct = 0,
следовательно, остается решить уравнение 4-й степени
I <4"?'- 4- а^г 4- <h а/'г’4-а/г+д, I
4 b/'r’ + b/r+di Ь,"Г- + Ь/г+ b2 I
корни его г\, г», г3, г4. Если они все различны, то
У1 —	4" г^хС13£гзх4" Сиег*х
v - _	г Лх _	-	+ g«'r< + gi г Z'x
я/'Л2 4-л/г1 4" дя 11	’’’ Оъ'г? 4- aJ . -1- а. 11
Относительно численного и графического интегрирования диференциальных
уравнений—см. гл. VIII, „Практическая математика14, стр. 225.
Н. Диференциальные уравнения с частными
производными 9
а) Первого порядка
Общие замечания. Пусть xlt xit.. .,хп суть п независимых переменных,
.	.	.	dz
2^2 (xlt Х2,. . . ,Хп) — искомая функция, — = Pi,
dz
д^=^’Тргяа
F (х„	. ,хп, z, рг,   рп) = 0....................(1)
называется диференциальным уравнением с частными производными первого порядка.
Всякая функция
g (*i. xt..хп, г, с2.....спу = 0
4 Литература. Horn, Partielle Differentialgleichungen, Samml. Schubert, Bd. 60.—
For sy th - J a co b s th al, Differentialgleichungen, 2. Aufl., Braunschweig. 1902.
Vieweg. — H о r t, Differentialgleichungen des Ingenieurs, 2. Aufl., Berlin 1925, Springer.
122 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
сп произвольными постоянными называется полным интегра-
лом или полным решением уравнения (1), если исключение постоянных
из него при помощи частного диференцирования приводит к уравнению (1). Особое
Л дк „ д?
решение получается исключением с2,..., сп из g = 0 и	= 0,...	о.
Общее решение содержит произвольную функцию от л-1 аргу-
ментов, ее можно получить из полного интеграла, например, следующим образом:
положим сл=ср (G, с2,. • • . Сп — 1) и исключим с1э..., сп из g = 0, сп = и
(Х=1 2...п_1).
Л* т дсп dci
Всякое частное решение уравнения (1) содержится в одном из трех
указанных типов.
Ограничимся здесь случаем двух независимых переменных х и у (п = 2) и обо-
дг dz	_
значим ^-= р, ^=q‘, однако, нижеприводимые способы решении применимы
и для случая, когда п > 2.
I. Линейное диференциальное уравнение
Pp+Qq = R,..................(2)
где Р, Q, R— функции от х, у, z. Из системы двух обыкновенных
уравнений
dx __ dy _ dz
~P~'~Q~'~'~R
следует определить два независимых решения и (х, у, z) = clt
v (*, У>	тогда уравнение
Ф (tty v) = О,
решенное относительно z, дает общее решение уравнения (2).
dx dy dz у	z
Пример, хр -j-yq = г. Решение. —=у- = — ,«= — =	— = с»,
Ф (и, v) = Ф y)=0’ 0ТКУда г = л><Р (j-r)-
II. Диференциальное уравнение вида
Р (*, У» ру q) = 0...........(3)
dF v dF 1Z dF 7 dF n dF
Составляем: -3— = X, -3— = r, = Z, -3— = P, -3— = Q и
dx dy ' dz dp dq
интегрируем способом, указанным выше в пункте I, линейное ди-
ференциальное уравнение с частными производными:
Р Ц 4 Q + (рР + qQ) — (X +pZ) —
dx 1 v dy 1	1 dz 4	1	7 6p
d
-(r+9Z)^-=0..................(4)
Частные диференциальные уравнения
123
относительно неизвестной функции 4 (д-, у, zt р, q)t что в свою
очередь сводится к решению системы диференциальных уравнений:
dx _ dy __ dz _ — dp _ — dq
pP + qQ ~ X+pZ~ Y+~qZ......................
Достаточно определить столько частных решений, сколько не-
обходимо, чтобы, принимая во внимание уравнение (3), получит!»
полное решение уравнения (4).
Пример, pq — ху = 0. Решение. Р = q, Q = Р, Х= — у, Y = — х, Z = 0.
dx dy dz dp	dq	dx	dp	dy dq	dz
— = — = n— = —	= —,	или, так как	pq	= ху, — =	~ = —,	— = pdx	—
q p 2pq у	x	x	p	у q	z	r
= qdy, поэтому x = cxp, у = c2q,	причем	/у2=1, z = -y- (x’ — С,2) —	(у? — С\)
или г — K(x2 — Q2) (у3 — Са2).
Ь) Второго порядка
I. Замена переменных
Большинство встречающихся в физике и в технике диферен-
циальных уравнений с частными производными второго порядка
d*z dh
линейны относительно вторых производных = г,
d2z
= t и имеют форму
Ar-\-2Bs-\- Ci + M=0t
(6)
где Л, В, С зависят только от х,-у, а М — также и от г, р, q.
Если 5 = ? (х, у\ 7) = т] (х, .у) суть два решения пиференциаль-
ного уравнения с частными производными первого порядка
Ар* + 2Bpq -\-Cq* = Q,..................(7)
и если ввести В, д вместо х, у в качестве новых переменных, то
уравнение ;6) переходит в уравнение
d*z к /г dz dz \
~ ф V’’1’*’ dr д^)...................(8)
если В3— ЛС^О, и в уравнение
d*z , /t dz dz\
~d^)>
(9)
если В2 — AC = 0 (параболический тип). Оба решения урав-
нения (7) имеют действительную форму, если В3 — ЛС>0 (типе р-
болический тип), если же В2 — АС<®, то они имеют сопря-
женно комплексную форму (эллиптический тип). Если под-
ставить
5 = Чг • (° + i ₽). 1 = Ч2 • (»— i ₽).(Ю)
124 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
то в случае эллиптического типа а и р будут действительными
числами, тогда будем иметь:
dSdi)	.................1 ’
II. Способ частных решений
Поясним этот способ, имеющий особо важное значение для
физико-технических пограничных задач, на примере. Диференци-
альное уравнение распространения теплоты в стержне (см. стр. 126)
может быть приведено к форме
ди _ д'-и
д т — дх2
............................(12)
(т — величина, пропорциональная времени, х — абсцисса оси стержня,
и — превышение температуры стержня относительно температуры
окружающей среды). Сделаем предположение, что и = Г(т) • Х(х)\
j г	Х"
тогда уравнение (12) принимает вид: — = ——. Каждая из обеих
1	х.
частей этого уравнения должна быть равна одной и той же по-
стоянной — к2, следовательно,
1 = е ” т, X = Лх cos к х + Вх sin к х,
где Дх, Вх—постоянные. Таким образом пх=Лхе~Х2т cos Хх +
-j- Вх е * т bin к х есть решение уравнения (12); следовательно,
решением этого уравнения будет также и
и = £ (Лх е ~ т cos к х 4- Вх е ~ х’х sin к х),
и т. п. представляют
причем к в сумме пробегает ряд определенных значений, опре-
деленных пограничными условиями, например, ряд всех целых
положительных чисел. В этом случае получается ряд Фурье. Сле-
ди х днх диу
дует заметить, что также 33-, 33-,
J	д\ дАх дВ}
собой решения уравнения (12). III.
III. Некоторые особые диференциальные уравне-
ния и их решения
- д2и ,д2и	.
1.3-^ + з-п = 0 (у р а в н е н и е потенциала).
дх2 1 ду2 47 r	J
Решение, и = f (х + iy) + g (х— iy).	Если, в частности,
функция g сопряженно-комплексная с /, то
н = 91/(х+/у).
т. е. и есть действительная часть от /.
Частные диференциальные уравнения
125
2. Уравнение = k2 (диференциальное уравне-
ние колеблющейся струны) при помощи подстановки
kt = iy приводится к случаю 1. Общим решением с двумя произ-
вольными функциями будет:
« = /(* + kt) + g (х — kt).
Решение. н (х, Z) = £ [Лх sin (Хл x/l) cos (X к ktjl) -|-
-|- Вх sin (X к х//) sin (X к kt)l)}
для X = 1, 2,... удовлетворяет начальному условию и (х, 0) = U (х),
(х, 0) = V(x) и пограничным условиям w(0, t) = и (/, t) = 0, если
А = у [U(z) sin (Ц^) dz, = j\ (z) sin dz.
о	о
d2z (d2z d2z\ .
3.	= с2 (^^2	(к 0 л е б а н и я мембраны). Вводя
вместо х, у полярные координаты г, ср, получаем:
d2z _ 2 / d2z . 1 d2z	1 cte\
dt2 ~ C \dr2 r2 dcp2~*~ r dr I'
Способ частных решений в предположении, что
z = Т (t) • R (г) • Ф (ср) дает:
п / k2r2\
z = const sin k (t — f0) • sin n (cp — cp0). r Jn\-r- — \ ,
где Jn(x) есть решение диференциального уравнения (обыкновен-
ного) Бесселя:
И" + (1 + п)^-^ = о,
п
(причем 6 = —=	2),
именно
X	X2
А(•*) = 1 + Л) + 2!(1 + п)(2+л) +
Х^
+ 3! (1 + л) (2+ л) (3 + л) + ‘ + *1 <°°)-
. d4J дЧГ . nadU .	„ .	.	.
4. g-^=a-^4-2₽-^-+ т£/ (телеграфное уравнение),
126 T. I- Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
«> ₽,	— постоянные, В2 = £2—(гиперболический
п	тт —> t	t
Подставляя U = е и, —— =	— = т, получаем:
У а а
тип).
д2и д-и
дТ2~ ~д^
4-и=0
и для V2 (; + т) = X, у2 (£ — т) ~
&и ।	_ л
dXdY +“-°-
Решение: и (;, т), удовлетворяющее начальным условиям
Il (;, 0) =/(;),	= (l=g будет:
« = | [/а+*)+/(?-*)]+у/(?i (w)^(o-
• t=е - т
причем
1	X х2 х^
® =	и <Р1(х) = 1-^ + ^-Гз1? + -...=
= Л> ( — •*); ср. 3.
- Э» „ <Л>	.
о. — = аа — о-а -f- сА (диференциальное уравне-
ние распространения теплоты в стержне; Я—пре-
вышение температуры стержня относительно температуры окру-
жающей среды, t— время). Подставляя Я =	+ е~ Ъ'* * и> получаем
ди а?д2и , ттч ~	.
(ср. II). Способом частных решении находим решение
и (Л х\ удовлетворяющее начальному условию и (0, х) = U (х)
и пограничным условиям и (I, 0) = и (t, I) = 0:
ц =	Х2к2а«/('р sin (Хлх//), (к = 1,2,...),
причем
= 7 f и W sin ("^) dz-
z = О
Другая форма решения:
1 00
и — J е~ г~ и (х + 2az у t) dz.
г — — со
Вариационное исчисление
127
6.	= £2)г(диференциальное уравнение Л и у-
ч гт	2\ z	д21пи
билля). После подстановки е	получаем:	= 2Хи;
общим решением (с двумя произвольными функциями) будет
Ч?«-'ИУ)Г2'
J. Вариационное исчисление
Основная задача. Определить такую кривую у =f (х), чтобы
заданный интеграл
ь
J = j* F (х, у, у') dx
а
после подстановки в него у = f (х), у' = f (х) принял значение
большее (или меньшее), чем для всякой другой кривой, проходящей
через ту же заданную начальную точку [a, f(a)] и ту же заданную
конечную точку [6, /(&)].
1.	Необходимое условие (но недостаточное). Для того чтобы
интеграл J мог принять экстремальное значение, необходимо, чтобы
функция f(x) была решением диференциального уравнения Эйлера:
dF d /dF\ А dF d2F , d2F „ dy-F .
dy	dx\dy'J	dy dxdy' dydy' dy'1
Кривая у = f (x) называется в таком случае „экстремалью".
Диференциальным уравнением Эйлера и начальной и конечной
точками экстремаль определяется в общем случае однозначно.
2.	Необходимое условие. Чтобы интеграл J имел максимум,
необходимо, чтобы для у =f (х), у' = f (х) и для всех х в области
интегрирования	выполнялось условие
d9-F
(условие Лежандра).
3.	Необходимое условие. Положим
d2F	d2F	d2F
^=Р(х),	?-75 = /?(х)
dy2 4 " dydy' v dy'1 '
(в левые части после выполнения диференцирования следует под-
ставить f (х) и /' (х) вместо у и у') и составим диференциальное
уравнение
Ru" (х) 4- R'u' (х) + (О' — Р) и (х) = 0;
для случая экстремума интеграла J написанное уравнение должно
128 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
обладать частным решением и (х), которое для	отлично
от нуля.
Приведенные три необходимые условия являются также и до-
статочными при условии, если кривую у =f (х) сравнивать только
с такими кривыми yt = Д (х), для которых |/(х)—Д (х) | и
|/' (х)—Д' (х) | достаточно малы (слабые экстремумы).
V. Аналитическая геометрия и диференциаль-
ная геометрия
А. Точка и прямая линия в плоскости
В нижеследующем предполагаем выбранной прямоугольную
декартову систему координат.
1.	Если xlf yt и х2, у2 координаты двух точек Рь Р2, расстояние
между которыми1 равно /, а—угол, образуемый линией I с положитель-
ным направлением оси абсцисс (оси х-ов), то:
/ = V (х3-х^+(у2-Л)2’;
COS а = (х2 — xx)/Z; sin а = (у2 —y^l\ tg а = (у, — у1)/(х2 — хх).
tg а называют наклоном или угловым коэфициентом прямой, про-
ходящей через обе точки.
2.	Координаты точки, делящей отрезок Р1Р2 в отношении
пг.п = \ (Х>0 внутреннее, Х<0 внешнее деление)
х = (хх + X х2)/(1 + X); у = (Л + Ху2)/(1 + X).
3.	Уравнения прямой. Уравнение прямой линии относи
тельно х, у есть уравнение первой степени и наоборот: любое
уравнение первой степени определяет прямую.
Ах -f- By -J- С = 0 (общий случай)
или, в случае ВфО, в преобразованной форме:
у = тх 4- Ь.
Здесь т означает угловой коэфициент (=tga; см. 1) и b орди-
нату точки пересечения прямой с осью у-ов.
Уравнение прямой х = а, перпендикулярной к оси х-ов;
.	„ У = Ь,	„	„	, у/-ов;
„	„ у = тх, проходящей через начало коор-
динат.
Уравнение прямой, проходящей через одну данную точку (х1,у1):
У — У1 = т(х — хх).
Точка и прямая линия в плоскости
129
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х1,.у1)
И (*>> Л):
У~ =	— xt).
Л2 —
Если прямая отсекает на оси х-ов отрезок длиною а, а на оси
_у-ов отрезок Ь, то ее уравнение:
х , у . .	.
— -|-у = 1 (уравнение относительно отрезков).
Сравнивая последнее уравнение прямой с уравнением в общем
виде, имеем:

Если перпендикуляр Z, составляю-
щий с осью х-ов угол 7, опущен из на-
чала координат на прямую, то уравне-
ние последней будет: xcos«+_ysina —
— Z = О (нормальная форма Гес-
се) (фиг. 13).
Чтобы привести уравнение прямой в
общем виде
Ах 4~ By -j- С = О
к нормальному виду, необходимо разделить его на У А2 + В2 и по-
ложить:
А	В	—С
cos a = - --:--, sin a =  _ - -, Z =	,
/Д2 + В2’	Ya^B2	va1 t &
причем знак перед корнем следует выбрать так, чтобы Z было поло-
жительным.
4.	Расстояние р точки /^(х^ у^) от прямой, заданной урав-
нением в норм, льном виде, выражается:
р = cos a sin a — Z;
p будет отрицательным, если точка (xlt j/J и начало координат лежат
по одну сторону прямой; положительным, если они лежат с разных
сторон (как на фиг. 13).
5.	Уравнение всякой прямой, проходящей через точку пересе-
чения двух данных прямых Ахх-[- BLy -\-С1 = 0 и A2x-\-B2y-Y С2 = 0,
имеет вид
Ихх + В±у -J- Ci + k (А2х + В2у 4- С2) = 0 (пучок прямых),
где k означает произвольное число.
6.	Угол а, составленный двумя прямыми (выраженными ура вне-
130 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
ниями п. 5),
определяется из:
^2 + Bi ^2
Al Bq - Ho^l
sin с =	- - 1 J--2 1-R
/х?+вг/л22+б22
COS a = r------r___- _
/Л12+б12Кла2+^2:
tg a Л#; —Argl
8 ^ЛгН-В^з'
В зависимости от знака cos а и sin а получается острый
тупой угол, образующие Пару дополнительных углов.
Прямые параллельны (sina = 0), если А2ВГ = АХВ2
А В
. Прямые взаимно перпендикулярны (cos a = 0),
7*2 В2
Hi H3 + BiB2 = 0.
Если уравнения прямых даны в виде:
>' = т1х + ^1, У = т2к + Ь2,
или
или
если
то имеем * •*
1 + т,т2 .	т2 — т{
---!--1—*---Sin о = —----- ---
. т2 — тА
tgo = —-----
т/ 1-^171^2
COS a =	—r
/Т+^2/1 + тз2
и в случае параллельности прямых:
т21
а в случае их перпендикулярности:
mim2 4-1=0 или	.
7. Уравнения прямых, пересекающих прямую у = тх 4~ b в
точке (хь у^ под углом о:
tn + tg a .
y-^=\-^^x~x^
8. Уравнения прямых, делящих пополам угол между двумя дан-
ными прямыми (выраженными уравнениями (5), следующие:
HjX 4~ Вху 4- Cj — А2х 4~ В2у 4~ С2 _ q
/л^+в,2 + V а.22 и- в/
9. Три точки (Xi,3/i), (x2ty2), (xty) лежат на одной прямой, если
•*1^11
х2у2 1 = 0-
10. Три прямых проходят через одну точку, если
I
^2^2^2 I = 0*
И3В3С3 |
Плоские кривые
131
Преобразование координат. Обе системы координатных осей
должны иметь одинаковое направление вращения. Координаты точки
в первоначальной системе координат обозначают через х, j, а в но-
вой через х', у'.
Параллельное перемещение системыкоорди-
ватных осе й. Если х0 и у0 координаты нового начала, то
х' = Х —Хо, У'=У—УО.
Вращение системы около начала координат.
Если а угол, который должен быть описан первоначальной по-
ложительной осью х-ов по направлению к первоначальной положи-
тельной оси х-ов, для того чтобы принять положение новой оси
х'-ов, то
x=x'cosa—у sin а, у = x'sin a-|-у’ cos a, x -j-iy = (x'iyr) ela,
x'= xcos a -|-j/ sin a, j/'=_ycosa— x sin a, x’ iy’ = (x -\-iy)e~1Л.
При одновременном перемещении и вращении си-
стемы координат следует соответственно соединить упомянутые
выше формулы.
Переход от прямоугольной системы координатных
осей к косоугольной. Если ось х' образует с осью х угол а,
а ось у' образует с той же осью угол 0, то имеем:
х = х' cos a +У cos 0, у = х' sin а Ц-у' sin 0, х + iy = х' el* -f-у'е1^ ,
xr sin (a — 0) =у cos 0 — х sin 0, у' sin (a — 0) = x sin a —у cos a.
Переход от прямоугольной системы координат к по-
лярным координатам. Если г радиус-вектор, а ср полярный
угол, составленный радиусом-вектором с полярной осью, совпа-
дающей с положительною осью х-ов, то
г=Улх2+У2, cos ср = x/r, sincp=_y/r, tgcp=y//x,
х = г cos ср, у = г sin ср, х + iy = ге1^ .
Для косоугольной системы с углом со имеем:
x = rsin(co— cp)/sin со, у = г sin cp/sin со,
------------х -j-у cos ш . у sin со
В. Плоские кривые
а) Общие положения
1. В дальнейшем х, у обозначают прямоугольные прямолиней-
ные (декартовы) координаты. Точка Р (х, у) описывает кривую,
если х, у заданы как непрерывные (или непрерывные, по крайней
9*
132 Т. Ь Отд. 1- Математика. V. Аналитическая геометрия
мере, в отдельных частях) функции переменной t (вспомогательного
параметра): х = х (^), у = у (f). Исключением t получаем уравне-
ние к р и в ой в общей форме F (х, у) = 0 либо, решив относи-
тельно у, в преобразованной форме у=у (х).
То же самое может быть сказано отно-
сительно уравнения кривой в полярной
системе координат.
2. Угол ft, составляемый касатель-
ной, направленной в сторону образования
кривой, с положительной осью х-ов
у (фиг. 14), для прямоугольной системы
х*- координат находится из уравнений:
а dx . а dy * Q dy
cos ft = — , sin ft = -f-, tg ft =	= yr\
d s	d s	& dx
здесь диференпиал дуги ds = dx2 + dy2~
= /Г+у2 rfx>o.
Фиг. 14.	3. Если через ф назовем угол касатель-
ной по направлению увеличивающегося ср
с положительным направлением г (фиг. 14), то
cos Ф
dr
ds ’
sin Ф
rd ср
-г-1» tg Ф =
ds ‘
rd ср
dr
4.	Уравнение касательной к кривой r данной на ней точке
есть:
{X, у)
где 5
б/у^ ч dF, dF .	.
Ч-у = dJc(? “ ИЛИ ~ Х) + ~ду -^ = °’
и т] означают текущие координаты любой точки касательной.
Длина касательной (фиг. 14) РТ =у = -у , У 1 4~_у'2.
dx
Длина подкасательной... QT = у -- = у :у'.
иУ	________
п	пт rds /~	/d-^\j
Полярная к а с а т е л ь н а я.. PTQ = — = г Д/ 1 Ч-г2 (	} -
r	и dr	V ’ \dr)
r2dy
Полярная подкасательная. ОТ0 = ——-.
r	и dr
Эти формулы дают длины отрезков, если справа взять абсо-
лютные значения.
5.	Уравнение нормали в точке (х, _у) имеет вид:
dx	dF	dF
^-y=~dy (£“X) ИЛИ	=
где 5 и т] текущие координаты точек нормали.
Плоские кривые
133
Длина нор мал и PN =у = у~у 1 +	•
dy
Поднормаль QN =у
Полярная нормаль PN$ =— "j/*г2 -j-	j .
Полярная поднормаль ON0 = ~ .
6.	Асимптотические направления кривой (фиг. 15)
находятся отнесением уравнения кривой к полярной системе коорди-
нат и определением того предельного угла ср, при котором /*-> оо.
В случае алгебраической кривой л-го порядка следует предвари-
тельно, разделить уравнение этой кривой на гп\ с этой целью пред-
ставим уравнение в виде:
? (*. » = rn + Fn_ 1 + Fn_2 + ... + F, + F. = О,
где Fk означает совокупность членов &-го порядка функции Р (х, у),
7. Асимптотами называются прямые,
расстояние которых до точки кривой стремится	/ Z
к нулю по мере удаления точки, движущейся	/ yv
по кривой в бесконечность.	*	/
Для асимптоты х = а, перпендикулярной к
оси х-ов, имеем усо для х-> а\ для перпенди-	*~
кулярной к оси у-ов, у = Ь, соответственно / /у
х-> оо для у -» Ь. Если уравнение асимптоты	/
у — тх + р«, то т и [л определяются из уравне- '	/
ния кривой y=f(x) таким образом:
т — lim [/(х): х], р. = lim \f (х) — тх].	фиг’ 15,
X -> со	X -> со
При полярной системе координат сначала определяется (по 6) угол
асимптотического направления с? = а, затем расстояние асимптоты р
от начала:
р = lim г sin [а — ?).
о -> а
8.	Две кривые, имеющие одну общую точку, образуют каса-
ние л-го порядка, если первые п производных у', у"... у^ между
собою равны для обеих’кривых в их общей точке, (л 4- 1)-е, у^+^-е,
напротив, различны. В случае касания четного порядка кривые
пересекаются в общей точке; в случае касания не четного
порядка кривые только соприкасаются, не пересекаясь. Пря-
мая, касательная к кривой, вообще образует с нею касание
по меньшей мере 1-го порядка.
9.	Круг кривизны в точке (х, у) кривой есть тот круг, кото-
рый образует с кривой в этой точке касание по меньшей мере вто-
134 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
рого порядка (см. 8). Центр этого круга называется центром
ds
кривизны, радиус — радиусом кривизны р = — или в
прямоугольных координатах:
(1+уЗ)’/’
а в полярной системе координат:
- (^2 + ^2)8/а
Р ~ г2 -j- 2r'2 —rr"
Обратная величина k = — называется кривизной кривой в
точке (х, у).
10.	Координаты £, vj, центра круга кривизны- в точ-
ке (х, у) находятся по формулам:
dy
е == х—р -77,
ds
ИЛИ	t = X —у  Нт—
У
или	$ = X —	,
аи
ИЛИ	£ = X — Р sill
. dx
, 1н v'-
ч=у+-^
. dx
TQ = V 4- P COS ft.
И. Эволютой данной кривой называется геометрическое
место ее центров кривизны (фиг. 16). При развертывании касатель-
ной эволюты (натянутая нить) точки ка-
сательной описывают систему параллель-
ных КРИВЫХ> называемых эвольвентами дан-
/	п°й эволюты, к которым принадлежит и
f	первоначальная кривая. Чтобы найти урав-
iif	пение эволюты, из уравнения кривой и
/ ' / / М	уравнений 10 исключают координаты х, у.
| । j j	Касательные к эволюте являются одновре-
» ’ 1 I	менно нормалями к эвольвентам и наоборот.
Длина дуги между двумя точками эволюты
\ равна разности радиусов кривизны в соот-
\ ветственных точках эвольвенты. Если ко-
’ ординаты какой-либо точки эволюты зада-
Фиг. 16.	ны как функции длины дуги $ эволюты, то
уравнения эвольвенты определя-
ются из следующих соотношений:
ж = ? — (s - s0) J = Ч — (S — So) 7- >
ds	ds
Плоские кривые
135
причем длина дуги эволюты до точки, где начинается разверты-
вание кривой.
12.	Кривая обращена выпуклостью книзу, если _у">0, и
вогнутостью книзу, если у" < 0. В точке, где у" меняет свой
знак, кривая из вогнутой становится выпуклой или наоборот. Такая
точка называется точкой перегиба. Чтобы найти эти точки,
нужно решить уравнение уг,= 0. Если корни этого уравнения одно-
временно удовлетворяют всем условиям
у'”= о, У4) = о,... Уя) = о, но ул+1} ф 0,
то эта точка будет точкой перегиба только в случае п четного,
В случае обыкновенной точки перегиба п = 2.
13.	Кривая имеет особую точку, если одновременно
F (х, V) = 0;	= 0;	= 0.
v	дх ду
Составим
/ д2Р У d2F d2F =
\dxdyj дх2 ду2 ~~
В простейших случаях можно различать:
Д>0: двойная точка с двумя действительными различными каса-
тельными;
Д = 0: обе касательные совпадают, двойная точка называется тогда
точкой возврата (острие);
Д < 0: полученная точка называется изолированной, и в ней
данная кривая не имеет действительной касательной.
14.	Определение площадей. Площадь, ограниченная кривой
y=f(x), осью абсцисс и двумя ординатами^ и yt которые соот-
ветствуют абсциссам xQ и х, равна
X
F= J f(x)dx.
*0
Площадь, ограниченная кривой и двумя радиусами векторами
г0 и г, которым соответствуют углы ср0 и ср, равна (формула Лейб-
ниц а):
ф
Фо
15.	Длина дуги. Длина дуги 5, заключенной между двумя точ-
ками кривой, абсциссы которых х0 и х, определяется из выражения:
X	X
s =	Vdx2 + dy2 = С 1^1 -j-y'2 dx;
136 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
в полярной системе координат имеем:
<Р	г
То	Л)
16.	Огибающие кривые. Уравнение F (х, у, р) = 0, где р пере-
менный параметр, представляет вообще систему кривых, огибаемых
некоторою кривою линией, которая и называется огибающей дан-
ной системы. Уравнение огибающей кривой находится исключением
р из двух уравнений:
17.	Траектории. Кривая, пересекающая под прямым углом
систему кривых, изображенных уравнением F(x, у, р) = 0, где р
переменный параметр, называется (ортогональной) траекторией дан-
ной системы кривых. Диференциальное уравнение траекторий полу-
чается исключением р из уравнений:
cfr\ dF dF „
dz dy dz '
Интегрируя таким образом полученное уравнение, получим си-
стему траекторий, зависящих от одного произвольного постоянного.
Ь) Конические сечения
1.	Общие данные. 1. Прямые, проходящие через точки на
окружности и через точку, лежащую вне плоскости круга, образуют
(косой) круговой конус. Плоскость пересекается с поверх-
ностью конуса по кривой, называемой коническим сечением.
Если плоскость проходит не через вершину конуса, то образуется
нераспадающееся коническое сечение; при прохождении ее через
вершину — распадающееся. Нераспадающееся коническое сечение
дает эллипс, параболу или гипериолу, смотря по тому,
имеет ли вспомогательная плоскость, проходящая через вершину
конуса и параллельная секущей плоскости, общей с конусом только
вершину этого конуса или еще Одну (двойную) прямую или пару
прямых. Сечения вспомогательной плоскости являются соответ-
ствующими распадающимися коническими сечениями.
2.	Если точка Р движется таким образом, что расстояние ее PF
от некоторой постоянной точки F и расстояние PQ до некоторой по-
стоянной прямой находятся между собой в постоянном отношении
PF: PQ = е, то геометрическое место различных положений этой
точки будет эллипс, если е< 1, парабола — если е == 1, и ги-
пербола— еслие>1. Отношение е есть (числов. й) эксцен-
трицитет конического сечения. Постоянная точка F лежит на
главной оси и называется фокусом; постоянная прямая перпенди-
Плоские кривые
137
кулярна к главной оси и называется директрисой. Для круга
фокусом является центр, директриса лежит в бесконечности; е = 0.
3.	Общее уравнение конических сечений в пря-
моугольных или косоугольных координатах имеет вид:
а1Тх2 4- 2 л12ху + а.^у2 -J- 2 а ус + 2 а2у -|- а3 = 0.
Для определения, какое коническое сечение представляет собою
данное уравнение второй степени (относительно х и у), следует
составить определитель уравнения:
а\ 1^12^1
^12^22^2
а\ а2

и дискриминант Д = апа22 — далее S = ~ (яп л22),
Д>0, a'n =S— W, a^.—S-^-W.
	Центральные д + Д >0 случай эллипса	2 кривые: 0 Д < 0 случай гиперболы	Д = 0 случай параболы
J ± 0 нераспа- дающееся конич. сечение	Ja'n или Ja\.> > 0 Эллипс Jarn или Ja'^ < 0 мнимый эллипс	Гипербола	Парабола
7 = 0 распадаю- щееся конич. сечение	Пара прямых с действ, точк. пересечения мнимая	| действительная		Пара параллельных прямых of — апа3 или а3 — а2.«з > 0 I =0 I <0 иразличн. ।совпадают.] мнимые
При всяком перемещении начала и вращении прямоугольной координатной
системы величины 7, Д, 5 остаются неизменными (инвариантами). Если ан”а22, я1;=0
и Jan > 0, то уравнение представляет (действительную) окружность.
Общий вид уравнения параболы будет:
(ax+by+c)2+ АхByС = 0.
Для эллипса и гиперболы центр найдем как точку пересечения
прямых:
лпх + ^123' 4 ^1 = 0 и а12х -4- а22у + а2 = 0-
Из общего уравнения эллипса и гиперболы в прямоугольной
системе координат находят параллельным перемещением координат-
ной системы уравнение эллипса или гиперболы относительно
центра:
-4 2 я12ху -|-	= к,
138
Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
где k получается, если в левой части уравнения конического
сечения вместо х, у подставить координаты центра. Вращением
координатной системы приходим к уравнению относительно
главных осей:
gl*'2+ g2y'2 = J/b-
Угол вращения ср находим из следующих соотношений:
cos2y = — Д11	g22 , sin2?= —
& w	w
gi = S — W и g2 = S + W находятся как корни квадратного урав-
нения:
£2-25£+Д = 0.
2. Окружность. Общий вид уравнения окружности (фиг. 17):
(х-х0)2 + (у -Уо)2 = ^-
Фиг. 17.
Уравнение окружности относительно центра (начало
координат в центре М):
ха -|-у2 = R2 или г = R.
Уравнение окружности относительно вершины (начало
координат на окружности, ОХ—диаметр):
у2 = х (2R — х) или г = 2R cos (ср—ср0).
Уравнение окружности в полярных координатах (по-
лярная ось ОМ):
Г2 — 2 rr0 cos (<Р — %) + г02 — №.
Длину окружности и площадь круга — см. стр. 2 и
след. Площадь секторов и сегментов—см. стр. 43 и 238.
3. Эллипс и гипербола. Все нижеследующие выражения, взя-
тые с верхним знаком, относятся к эллипсу (фиг. 18), а с нижним —
к гиперболе (фиг. 19).
Уравнение относительно центра. Если кривые
отнесены к главным осям, то уравнение кривой:
Плоские кривые
139
где ОА} (фиг. 18) и соответственно ОА (фиг. 19) равны а и ОВ{
(фиг. 18) и соответственно AD (фиг. 19), равное bt означают полуоси.
Отсюда
У	(а2 — хг),
причем знак корня можно взять любым.
Уравнение относительно вершины. Если начало
координат находится в вершине А2 или соответственно (на оси
х-ов), то уравнение кривой:
+ о	*а а о Р*2
zty2 = 2 — х------5- ха = 2рх — -— .
' а а2 г а
Расстояния фокусов F{ и F2 на оси х-ов от точки О
определяются из выражений:
OFi = OF, ----
В эллипсе BiF1 = B2F2 — OAY — а. в гиперболе OF{ = OF2 — GO.
Отношение
OFj =	_
OAy ~ a ~e
называется (числовым)
эксцентрицитетом
конического сечения. Для
эллипса 1, для гипер-
болы е > 1.
Радиус ы-векто-
р ы, проведенные из фо-
кусов^ какой-либо точке
конического сечения,
определяются из формул
(фиг. 18):
= а цг е х,
Фиг. 19.
''1= — а 1
Для эллипса сумма этих радиусов-векторов, а для гиперболы их
разность постоянны; следовательно, в случае эллипса Г] —г2 = 2 л
(на этом основано построение кривой посредством нитки), а для
гиперболы гх —	± 2 а.
Ордината, проведенная из фокуса:
Ь2
140
Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
Величина 2 р называется параметром.
Сопряженными диаметрами называются такие, из
которых один делит пополам все хорды, параллельные другому.
Касательные в концах диаметра параллельны диаметру, сопряженному
с первым.
Если эти диаметры и 2bt образуют с главною осью (острые)
УЦ1Ы з и 3. то
а2 zb Ь- = а\ ± Ь\\
ab = fl1^1sin(a Р); Ь2/а2 = tg a tg р.
Уравнение, отнесенное к косоугольной системе двух сопряженных
диаметров:
-Ti2 -Vt2 _ 1
’ bf
Уравнение касательной в точке (х, v): zb = 1.
г	а2 Ь2
— х	— у
» где с и 7) —
Ь2л	a-у	‘
и нормаль делят пополам углы,
Уравнение нормали: --
текущие координаты. Касательная
образуемые радиусами-векторами.
Гипербола имеет две асимптоты — zt-~ = 0, т. е. ветви ги-
ci b
перболы неограниченно приближаются к этим прямым. Каждая из
асимптот образует с осью х-ов острый угол а = arc tg (b : а).
Если провести прямую HS (фиг. 19), пересекающую обе ветви
гиперболы и ее асимптоты, то оба отрезка PH и RS, заклю-
ченные между гиперболой и ее асимптотами, между собой равны.
На этом основано построение гиперболы по ее асим-
птотам и одной из ее точек Р. Если прямая нормальна к оси
х-ов, то часть прямой, расположенная между асимптотами, делится
одной ветвью гиперболы так, что произведение обеих частей по-
стоянно и равно Ь'2. Если прямая параллельна оси х-ов, гр часть
прямой, лежащая между ветвями гиперболы, делится одной асим-
птотой на две части так, что произведение этих частей постоянно
и равно а2. Отрезок касательной к гиперболе, заключенный между
асимптотами, делится пополам в точке касания. Площадь треуголь-
ника, образуемого касательной и двумя асимптотами, имеет постоян-
ную величину, равную ab.
Если PiU и PjV (фиг. 19) параллельны асимптотам, то

Площадь параллелограма OUP^V для каждой точки Рх гиперболы
имеет постоянное значение. Поэтому уравнение гиперболы,
отнесенное к ее асимптотам (в косоугольной системе), будет:
х’у'= |(а3 + 62У
'Плоские кривые
141
Для любой точки Р(х,у) (фиг. 18 и 19, в последней фигуре
не нанесена касательная РТ):
касательная PT =	±(d2 — е2х-); подкасательная = ztx:
bx	х
нормаль PN=-~ zt (а2—е2х2); поднормаль NQ = +^^-x,
Равнобокая гипербола. Асимптоты взаимно перпенди-
кулярны.
Уравнение относительно центра: х2—у2 = а2.
Уравнение относительно асимптот: х'_у'= -* я2.
Параметр: 2р = 2я.
Далее имеем а = Ь, е = ]/2, а = 45°.
Радиус кривизны в точке Р:
= (п г$ = р = р
ab sin3 F^PT sin3x/‘
Построение. Проведя
нормаль CG (фиг. 20) в точке С
кривой (построение касательной
см. стр. 143), соединяем С с фоку-
сом F; проводим затем GH J_ GC,
НК ± СИ, найдем точку К —
центр круга кривизны.
Для вершины А эллипса и
гиперболы:
f,' = AM = -- = р.
Для вершины В эллипса:
Проведя через D прямую | АВ, найдем центры кругов кри-
визны М и N для вершины эллипса.
Полярное уравнение эллипса и гиперболы.
Принимая фокус за полюс и FiA1 за полярную ось (фиг. 18 и 19),
имеем уравнение конических сечений в полярной системе координат:
Р
1 + е cos 7	1 +_Еcos 7 *
Площадь эллипса (фиг. 18):
OBtPQ = ~ ху -|- i ab arc sin (x/a).
Площадь всего эллипса равна л ab.
142 Т. I. Отд. 1. Математика. V/ Аналитическая геометрия
Площадь гиперболы (фиг. 19):
APQ —-^xy — ^ab In (х/а + у/Ь) = ± xy—^ab Ar ch (х/а).
Вычитаемое представляет площадь сектора ОРА.
п	л п гт ab . ab . 2 OU
Площадь OA<J\ и = — 4- — In .
Длина дуги всего эллипса:
Е(к/2, е)—полный эллиптический интеграл второго рода (табл. стр. 50).
Для а^Ь действителен также следующий ряд, где подста-
влена X = (а*— Ь): (а -|- Ь)
"-’<“ + ,’>[i+TkI + a1‘+ii‘+iW4 '• +  ]-*<“+»)*
X = 0,1 I 0,2 I 0,3 I 0,4 I 0,5 I 0,6 I 0,7 I 0,8 I 0,9
х = 1,0025 I 1,0100 | 1,0226 | 1,0404 | 1,0635 | 1,0922 | 1,1269 | 1,1679 | 1,2162
Приближенные формулы:
Utt* [3(а+6)/2 — Vab],
Utt* [(a+&)/2 + /(^’+^y2j.
. U/4	0,9827 а 4~ 0,3110 Ь + 0,2867 tri а.
Построение эллипса по данным его полуосям
а и b (фиг. 21).
1. Из точки О описываем окружности радиусами а, b и а-\-Ь,
проводим произвольный радиус OJGH, затем из точек J и G
Фиг. 21.	Фиг. 22.
проводим параллели координатным осям; точка С лежит на эллипсе,
a HCN есть нормаль в этой точке.
2. Отрезок прямой, равный а-\-Ь, скользит своими концами
Плоские кривые
вз
по сторонам прямого угла. Точка соприкосновения между а и b
описывает тогда эллипс.
Построение касательной.
1. В точке Р, данной на кривой (фиг. 18). Делят пополам угол
между радиусами-векторами PFt и PF2 (стр. 139).
2. Из точки R, находящейся вне кривой (фиг. 22). На большой
оси и на линии RFb как на диаметрах, описывают круги. Касатель-
ные получаются соединением точек пересечения этих кругов Тх и Т2
с точкой R. Описываем дуги: из точки R радиусом RFY и из точки F2
радиусом 2а; соединив точку пересечения этих дуг с фокусом F2f
найдем точку касания Р.
Построение главных осей эллипса по заданнььм
(по направлению и величине) его сопряженным диаметрам
DDr = 2 аг и ЕЕг = 2ЬХ (фиг. 23).
1. Проводим ЕН _L DDb откладываем EG = EGr = ODt = at;
тогда положение главной оси получится внутренним и внешним
делением поползем угла GOG^ Длины главных осей равны:
2 а = OGt —|- OG
2b = OGt — OG.
Или иначе: построив OG по предыдущему, описываем на OG,
как на диаметре, круг из центра N. Точки пересечения J и К пря-
мой NE с этой окружностью суть точки главных осей; имеем:
EJ=b, ЕК = а.
Окружность, центр которой М лежит на малой оси и которая
проходит через точку G и Gb пересекает большую ось в фокусах
и F2.
Точка Е опишет эллипс, если перемещать линию ОХЕН так,
чтобы точка Gx оставалась на линии OGX и ее продолжении, а Н
на DDr. Центр круга кривизны для Е есть сопряженная с//четвер-
тая гармоническая точка к точкам Н и G.
2. (Фиг. 24), На D1O = al описываем четверть окружности DF
144
Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
и соединяем точку F с конечной точкой Е сопряженного диаметра bv
Эту прямую делят пополам в точке И и продолжают по обе ее сто-
роны. Полуокруж-
ность, описанная
из центра И радиу-
сом НО, пересе-
кает соединитель-
S ную прямую в точ-
ках G иД и пря-
мые OGX и OG да-
ют направление
главных осей. Дли-
ны главных осей:
GE = FG, = а,
GF = EGi = b.
Построе-
ние эллипса
по его двум сопряженным диаметрам (DDt и ЕЕЬ
фиг. 25) при помощи касательных.
1.	Строим параллелограм, в котором DDt и ЕЕХ делили бы по-
полам стороны АВ и ВС. На продолжении АВ откладываем отрезок
BS == DB, делим DtC на любое число (здесь 4) равных частей, про-
водим S1,S2, S3; точки пересечения этих прямых с СЕ будут 4,5,6.
Прямые 16, 25, 34 будут касательные
к эллипсу.
2.	На прямой DE берем произволь-
ную точку М,- проводим прямые AMQ
и MR || DXD; прямая QR будет каса-
тельной к эллипсу с точкой касания Р,
лежащей на прямой ЕгМ.
Для плавного вычерчивания эллипса прежде
всего необходимо у вершин построить круги
кривизны и обвссги их циркулем в пределах со-
впадения с эллипсом, что зависит от степени точ-
ности вычерчивания. Промежуточные точки мож-
но соединить помощью лекал (фиг. 26).
4.	Парабола. Уравнение от-
носительно вершины: у2 = 2рх,
где 2 р—параметр.
Расстояние фокуса F от
вершины AF = ър (фиг. 27 и 27а), по-
этому nz р есть ордината, выставленная
в фокусе. Линия LR || оси у-ов и от-
стоящая от нее на расстоянии — ^p—AL,
называется директрисой параболы
точки параболы FP=PR = x-\-р/2.
Диаметр Рх' параболы делит пополам все хорды ab || каса-
тельной Ру', проведенной в конце диаметра; он называется диа:че-
Фиг. 26.
(стр. 137). Для каждой
Плоские кривые
145
трои, сопряженнымс направлением Ру'. Следовательно, am=mb.
Приняв Рх' и Ру' за координатные оси, найдем уравнение пара-
болы :
. У2 =	• *' = 2р'х'.
sin-Я	г
Уравнение касательной:	т]у=р(£-[-х) 1 tg& = р/у.
Уравнение нормали: vj—у = — (Е — х)у/р J (стр. 132).
$ и V] означают текущие координаты точек касательной или нормали
Касательная РТ и нормаль PN делят пополам углы FPR и FPx'.
Углы QPN, RPT, TPF, FTP = ^; ТА = AQ = х\ TF — FP = FN =
= х-\-'^р. Ось j-ob делит пополам отрезок касательной между
осью х-ов и точкой касания, так что TS = SP.
Подкасательная TQ = 2х.
Поднормаль QN = р = постоянной.
В полярной системе координат уравнение параболы,
отнесенной к полярной оси FA и к полюсу F:
г =____р_____=—р_
1 -f- cos ср	2 cos2 i'p
Радиус кривизны;	.
р = (р -f- 2 хЛ / Ур = p/sin3 # = №lp\
где N — длина нормали.
Для построения р пользуются указаниями (фиг. 23), данными
для эллипса и гиперболы (стр. 143). Радиус кривизны в вершине
равен р.
Уравнение эволюты: 27 ру1 = 8 (х — р)3 представляет па-
раболу Н е й л я или полукубическую параболу.
Построение полукубической и кубической парабол. Заданы вершина А,
ось АХ и точка Р искомой параболы.
Строим прямоугольник АВРХ, делим АВ (точками 7, 2, 3) и ВР (точками а, Ь, с)
на одинаковое число равных частей 'здесь четыре) и описываем на ВР, как на диаметре,
полуокружность. Откладываем, например (фиг. 28а), хорду Вс' = Вс и проводим
10. Hiitte, Справочник для инженеров, т. I.
146
Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
cfIII перпендикулярно к ВР (соответственно на фиг. 28b проводим сс' перпендику-
лярно к ВР и откладываем В III равной хорде Вс'). Наконец, проводим А III, по-
следняя пересекает прямую 3 Рш, параллельную АХ, в точке Р1П параболы. Со-
ответственно получаются остальные точки кривой.
Если для чертежа неудобно пользоваться полукругом,, то можно применять
след, построение (фиг. 28с). Выбираем произвольно точку с‘на АР, проводим acb,
сцс^, перпендикулярно к АХ, сс^с* параллельно ХАЬ сг и с3 на линии Аа, с*
на Ааг. Тогда — точка обыкновенной параболы, с2 — точка кубической параболы,
с3 — точка полукубической параболы.
Площадь APQ = lxy (фиг. 27); площадь aPb=labcd; приблизи-
тельно площадь сегмента, ограниченного какой-угодно частью
кривой, будс: F^lgh, где g = ab—основание, a h—высота сег-
* мента (фиг. 27а).
Фиг. 28b. Полукуби-
ческая парабола.
Фиг. 28а. Кубическая
парабола.
Фиг. 28с.
Длина дуги АР = s (фиг. 2/):
1 -	+т)+ ,п	+1 - м + 5"Е1
или
S = ip • №,2 У Р2+У2 +1п (У + Ур''+У2) — In р
Фиг. 29.
ИЛИ
5 =	• (2 f-4- sh 2 t),
где подставлено 2 х)у = sh t.
Если х/у малая дробь, то при-
близительно
По этой же формуле опреде-
ляется длина дуги любой пло-
ской кривой, если вместо у под-
ставить g, а вместо xjy— вели-
чину 2h/g.
Построение параболы. 1. По данным: вершине А,
оси АХ и точке параболы Р (фиг. 29). Проводим АВ _[_ АХ;
Плоские кривые
147
РВ J. АВ; РВ и АВ делим на одинаковое число (здесь 8) равных
частей; соединяем, например, точку 7 на РВ с точкой А; из точки 7
на АВ проводим прямую, параллельную АХ, тогда Р7 лежит на па-
раболе.
Или же из какой-нибудь точки, например 4, прямой РВ про-
водим прямую 4 4'_^ВР и 4'Р4 || ВР; тогда точка Р4 пересечения
последней прямой с прямой 4А есть точка параболы.
2.	Даны: вершина А и фокус F (фиг. 30). Если пере-
мещать в плоскости прямой угол так, чтобы вершина его остава-
лась всегда на прямой А У, а одна из сторон угла проходила всегда
через фокус, то другая сторона будет постоянно касаться параболы.
Или (фиг. 27) из любой точки Q оси х-ов проводим QP_]_AF,
откладываем QN=2AF = p. Окружность, описанная из F радиу-
сом FN, определяет на QP точку параболы Р и точку пересече-
ния Т касательной РТ с осью х-ов.
3.	Даны две касательные PG и PH и их точки
касания G и И (фиг. 30а). Делим PG и PH на п равных частей
(здесь на 7), тогда прямые 1 7, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5 и 6 6 касательны
к параболе.
Это построение с успехом применяется к черчению плоских дуг.
4.	Даны: хорда GH, перпендикулярная к оси параболы, и
точка Р параболы (фиг. 31).
Проводим HS и PQ перпендикулярно к GH, затем GPP и QP.
Если I GH и || QP, то пересекает перпендикуляр
QtPt в точке Plf принадлежащей параболе. QP параллельна каса-
тельной GT в точке G. Перпендикуляр МТ в середине GH есть
главная ось, и А — вершина параболы, так что МА = АТ. Опре-
делением касательных GT и НТ этот случай сводится к случаю 3.
Если даны точки Н и Р и положение главной оси МТ, то
проводим НМ перпендикулярно к МТ, продолжаем НМ на вели-
чину GM = НМ; дальнейшее построение производится по преды-
дущему.
148 Т. 1. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
Построение касательной к параболе:
1. В точке Р на параболе (фиг. 27, стр. 145).
Откладываем АТ = AQ или TF = FP\ ТР—искомая касательная
Или прямая, проведенная через Р параллельно оси х-ов, пере-
секает директрису LR в R. RF делится осью^-ов ь точке S пополам,
так что RS = SF.
PS — искомая ка-
сательная.
2. Из т о ч к и
7/, лежащей
вне параболы
(фиг. 32).
Описываем из
7/ окружность ра-
диусом 7/F; прово-
дим из R и R' ли-
нии, параллельные
главной оси; тогда
точки Р и Р’ бу-
дут точки касания
касательных UP и
Фиг. 32.	Фиг. 33.	•
Имеем пара-
болу	у = а±
-|- Ьх + сх2. Направление ее главной оси параллельно оси _у-ов.
Касательные в точке PQ = (0, а) и в точке Р = (х, у) взаимно пере-
секаются в точке Н ($х, a -f- ^х); касательная QQq в точке Р^
(| х, л-Н Ьх^^сх2) параллельна хорде PQP, как и прямая TTQ.
Если точка R лежит на середине линии PT, a RQ — на середине
Р0Г0, то прямая RR0 проходит через Н. Q лежит на середине пря-
мой PR, Qo— на середине PQRQ (фиг. 33). Прямые PR0 и PQR
пересекаются в точке Рт.
с) Некоторые технически важные кривые
1. Циклоида. Обыкновенной циклоидой называется
кривая линия, описанная одной из точек окружности круга, когда
этот последний без скольжения катится по прямой.
Построение. Откладываем ОС = дуге ОА = па, делим обе
на п равных частей (на фиг. 34 п = 4); определяем точки пересечения
1, 2, 3 и откладываем 1 а == al, 2 ₽ = b II и Зу = с IIT, точки а, 0 и у
лежат на циклоиде.
Или циклоида является огибающей для разных кругов, описанных
из точек деления линии ОС радиусами, равными хордам 01, ОН, ОШ.
Уравнения циклоиды (фиг. 35):
х = a (t — sin ty, у = а (1 — cos t),
х = a arc cos (а —У)1а	(2 a — y}y,
где a — радиус катящейся окружности, t — угол катания.
Плоские кривые
149
Нормаль в какой-нибудь точке Р циклоиды всегда про-
ходит через точку касания В производящего круга с основанием;
РВ — нормаль, РА — касательная,	*
дг = РВ = 2а sin J t = У 2ау.
Радиус кривизны: р = 4а sin | = 2 2оу . р, следова-
тельно, в два раза длиннее нормали. Для вершины 6 имеем р = 4а;
для О имеем р = 0 (острие).
Эволюта циклоиды такая же циклоида, как и данная, но
смещенная на ка в направлении оси -|- х-ов и на 2а— в напра-
влении оси —_у-ов.
Площадь OPQ = a2 (It — 2 sin / + 1 sin 2t)
= ’ a x — J у V(2a—y)y .
Площадь, ограниченная полной дугой циклоиды = 3па2.
Дуга ОР=* 4а (1 — cos = 4а zt 2 У2а (2а —у).
Длина полной дуги циклоиды = 8 а.
У короченная или удлиненная циклоида получается,
когда описывающая циклоиду точка находится внутри или вне
производящего круга на расстоянии с от его центра. Уравнения их:
x = at — с sin £, у = а — с cost.
Указанное выше построение нормали обыкновенной циклоиды
справедливо и для удлиненной и укороченной циклоиды.
2. Эпициклоида и гипоциклоида описываются точкой на
окружности круга, когда этот последний катится без скольжения
по основной окружности вне (фиг. 36а) или соответственно внутри
(фиг. 36b) этой окружности. Обозначим радиус неподвижной окруж-
ности через а, производящей — через Ь.
Построение: делим полуокружность AD и угол АО 6 = тс Ь/а
на п равных частей (на фиг. 36а и 36b п = 4), проводим радиусы
/, 2, 3, 4 через точку О, дуги окружности I 7, // 2, /// 3 описы-
ваем из О', откладываем затем /а1 = /а, 11^ — 2$, IIIy} = 3f, по-
лучим точки а, р, у, о, принадлежащие эпициклоиде (фиг. 36а) или
соответственно гипоциклоиде (фиг. 36b).
150 Т. !• ОтД- Математика. V. Аналитическая геометрия
Или те же кривые являются огибающими для разных положе-
ний кругов, описанных из точек пересечения радиусов У, 2, 3
с основным кругом, радиусами, равными хордам А Ц А //, А III.
Уравнения (верхние знаки относятся к эпициклоиде, ниж-
ние — к гипоциклоиде). Согласно обозначениям на фиг. 37 имеем:
/ , b х , а±Ь ±
х = (azL b) cos — t qz b cos--/,
a	a
у = (a zt b) sin — t — b sin--Z,
'a	a
где t—угол катания, или
, , ,'	, a zt b
x — (a±b) cos x q- b cos —— /,
z 4	. a zt b
y = (a± b) sin у — b sin —— /,
где x—угол вращения.
Нормаль в какой-либо точке Р
всегда проходит через точку касания В
в соответственном положении производя-
щего и основного кругов (фиг. 37).
1 н ы
р = [4 b (a zfc b)/(a ±: 26)] sin /.
Для точки А имеем: р = 0; для точки о имеем:
р = 4b(a + Ь)!(а±.2Ь).
Плоские кривые
151
Эволюта этих кривых представляет подобную им эпи-или
гипоциклоиду, ординаты которой уменьшены (соответственно увели-
чены) в отношении а: (a zt 2Й) и которая повернута на zt л Ь/а.
Площадь, заключенная между 0.4, кривою и одним их
лучей ОР:
S — l/2 (b/a) (а ± b) (a ±2b) (t — sin t).
Длина дуги 5 = 4 (a zt b) (1 — cos Z/2) b/a'. длина дуги Л о <=.
= 4 (а± Ь) Ь/а.
Уравнения этих кривых, за исключением/, обращаются в алге-
браические, если отношение а к Ъ — рациональное число. При
b = i/2a гипоциклоида превращается в прямую, имеющую напра-
вление АО. Каждая точка, не лежащая на окружности катящегося
круга, описывает тогда эллипс (планетные колеса, эллиптический
циркуль). При Ь = \а гипоциклоида обращается в (равнобокую)
астроиду, уравнение которой х2 + у5 = а5. При b = а эпицикло-
ида обращается в кардиоиду. Если А начало координат и АО
положительное направление оси Ох (фиг. 37), уравнение кардиоиды
имеет вид:
(у2 -|- д2 — 2 а v)2 — Ха2 (х2	у2)
или в полярных координатах
г = 2а (1 + cos у).
При b—►оо катящаяся окружность обращается в прямую,
а соответствующая кривая — в развертку к р у г а (см. ниже 3).
Удлиненная
н а я э н и- или
получается, когда
кривые, находится
катящегося круга
его центра; уравнения
---------------
а
и укорочен-
гипоциклоида
описывающая
или внутри
расстоянии с
этих кривых:
точка,
вне
на
t . Ь ,	. а ± b
у = (a zt b) sin - t — с sin---------------
J v	a	a
от
с cos
Фиг. ЗЬ.
3. Развертка круга. Кривая эта
описывается каждою точкой прямой ли-
нии, катящейся без скольжения по дан-
ной окружности (на этом основано по-
строение кривой посредством нитки).
Построение (фиг. 38). Откладываем
обе на п (здесь 4) равных частей; проводим
тельную а /, равную 1 С = 1 ВС. в точке // касательную р II
и T. Д.
ВС = АВ и делим
затем в точке / каса-
Т ВС
152
Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
Уравнения развертки круга:
х = a (cos t sin f}
у = a (sin t — t cos t),
где t—угол поворота.
В полярных координатах:
= Уг2/а2 — 1 — arc tg Уг>!(& — 1 .
Р а ди ус кривизны р в какой-либо точке Р по величине и
направлению равен касательной РТ, проведенной из этой точки
к основному кругу, т. е. равен длине развернутой дуги АТ — at.
п	л г>	Р2 & г2 ~
Длина дуги:	= 5 =	= «— = —-— .
Площадь сектора: APO = -f а2/3 = | sp = ATP А .
4. Цепная
Обыкновенная
линяя и антифрикционная кривая (трактрисса).
цепная
[ линия представляет кривую равновесия
вполне гибкой нити, подвешенной в двух
точках, нагрузка которой везде пропор-
. циональна длине нити.
Уравнение:
у = h/2 (ex/h + e~* xlh )= h ch xjh
x = h In [yjh ± У (y/h)2 — 1] = h Ar ch y/h.
Начало координат лежит на h = МО
ниже наинизшей точки М цепной линии
><К' (фиг. 39).
Угол ft, образуемый касательной UP
в любой точке Р с (горизонтальной) осью
х-ов. определяется из
Фиг. 39.
tg Э = 1 (ех;Л — e~x>h) = sh x/h = V (y/h)2—1;
cos ft = h/y.
Вводя $ как независимую переменную, найдем следующие урав-
нения цепной линии:
х = /г In —= ft in tg	— h Ar sh (tg ft)
cos ft	& \ 4 1 2 /	&
у = Л/cos ft.
Радиус кривизны в точке Р равен (и направлен обратно)
нормали в точке Р, расстояние от которой измерено до оси х-ов:
= ^- = _ - ,
Р h ~~ cos2 ft ’
Площадь ОМРТ равна
Р = /г3 sh x/h = IP tg ft = h Уу2 — h* — h -s.
Плоские кривые
153
Длина дуги МР:
s = h sh x/h = h tg 9 = Уу2 — 1Р = PU= OD,
если Ши MD J_ PU,
x = Л In [s/Л + /1 -I- (s//z)2] = h Ar sh s/Л.
Из таблиц гиперболических функций ch х и sh х (стр. 38 и 42)
непосредственно получаются значения ординат и длин дуг цепной
линии при А = 1.
Эвольвента цепной линии (трактрисса Гюйгенса
или антифрикционная кривая). Если сматывание начинается
в вершине М, то для этой кривой имеем уравнение
х = h In — - —---------} г/?2 —у2 = h Аг ch — — К № —У2,.
У	У
где знак квадратного корня такой же, как при х. В параметриче-
ской форме:
х = h (t — th t), у = /г/ch t,
где t—независимая переменная.
Трактрисса обладает той особенностью, что длина касательной
UT от кривой до оси х постоянна. Ось х является асимптотой
обеих ветвей кривой. Трактрисса описывается средней точкой между
задними колесами экипажа, если средняя точка между передними
колесами движется по прямой, наклонной к начальному положению
продольной оси экипажа. Эволютой трактриссы является цепная
линия КМК'. Р есть центр кривизны; р = PU (см. выше).
Д/ia MU = h\ny/h. При увеличивающейся длине дуги имеем
(5 - х) -> h (1 — In 2) = 0,3069 h.
Если обозначить через 2 L длину цепи, через 2Z—горизонтальное
расстояние от точки подвеса, а через 2Ь — вертикальное расстояние,
то можно найти параметр Л, начало координат и тем самым низшую
точку цепной линии следующим образом.
Вычисляют Уь2 — b2 : I = с и определяют ср из трансцендентного
уравнения sh □ = сер (графически или каким-либо иным приемом
„Практической математики“, стр. 71 и 218).
Отсюда имеем h = l:y. Если еще вычислить ф из уравнения
th ф = b : L (табл., стр. 38), то начало координат лежит на расстоянии
у§ = L cth ниже средней точки той хорды, которая соединяет точки
подвеса цепи; горизонтальное расстояние начала координат от этой
средней точки равно х0 — ф /г, притом в сторону более низкой точки
подвеса.
Если обе точки подвеса находятся на одинаковой высоте, то
b = 0, с = L/1, ф = 0, х0 = 0.
Угол подвеса а получаем из cos а = h/yQ = I th у/Ьу.
5. Архимедова спираль. 1. Архимедова спираль есть геометри-
ческое место точки Р, радиус-вектор которой ОР = г изменяется
154 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
пропорционально углу вращения ср, измеряемому от определенного
постоянного начального луча. Ее уравнение в полярной
системе координат (фиг. 40):
г = а ср.
Архимедова спираль состоит из двух ветвей, каждая из которых
является зеркальным отображением другой.
2. Кривая эта получается также, если точка Р движется с равно-
мерной скоростью по лучу ОР, который в свою очередь равно-
мерно вращается около неподвижного полюса О. Если одному обороту
луча ОР соответствует путь точки Р по OP = rQ, то при — оборота
величина радиуса-вектора г=г^п,
на чем и основано построение этой
спирали.
г0 = 2 т: а.
Полярная подкасатель-
ная ОТц = г2/а; п о л я р на я п од-
ii о р м а л ь ON0 = a — const; на этом
л основано проведение касательной
к спирали.
Радиус кривизны
(а2 + г3)3'3
Р— 2 я2 4- г3 ’
тем О с Q; пересечение
ны М (фиг. 40).
Построение. Проведя к PN0 в NQ
и к ОР в Р перпендикуляры, пересе-
кающиеся в точке Q, соединим за-
OQ с нормалью PNQ дает центр кривиз-
Длина дуги
5 — 2 а [? У1	ср2 -1 Ar sh ?],
приближенно (для многих оборотов) s % а у2.
6. Гиперболическая спираль. Ее уравнение: = а. При
<р -> оо, г0; полюс О есть асимптотическая точка, около
которой кривая делает бесчисленное множество оборотов, никогда
ее не достигая. При ср -> 0, г->оо, т. е. прямая, параллельная поляр-
ной оси на расстоянии а, есть асимптота спирали (фиг. 41).
Гиперболическая спираль состоит из двух частей, представляю-
щих зеркальное отображение друг друга.
Полярная подкасательная ОТ — — а = const.
Полярная поднормаль ON = — г2!а. Отсюда вытекает
построение касательной к спирали.
Радиус кривизны р = г {r2ja2 Ц- 1 )3Ч
Плоские кривые
155
Построение. Проведем в точке No перпендикуляр к PNQ до
пересечения с продолжением РО в точке Q, затем в точке Q пер-
пендикуляр к PQ\ его точка пересечения М с PNq есть центр
кривизны.
7. Логарифмическая спираль. Уравнение г = ает^ (т>0). При
? = 0, г = ОА = а (фиг. 42). Так как при ср->—оо, г->0, то полюс О
есть асимптотическая точка, к которой при отрицательном ср
спираль все более и более приближается, никогда ее не достигая.
Касательная РГ образует в любой точке Р с радиусом-
векторо.м ОР постоянный угол ф = arc ctg т.
Полярная поднормаль
ONq = г ctg ф = гт.
Фиг. 41.	Фиг. 42.
Эволюта спирали представляет такую же кривую, но повер-
нутую относительно данной па угол — (\пт)/т.
Площадь сектора, описываемая радиусом-вектором, начи-
ная от точки Р, стремится при приближении точки к полюсу к ве-
личине, именно, к половине площади треугольника ОРТ^ соста-
вленного радиусом-вектором касательной и полярной подкасательной,
т. е. к величине
S = г2/4 т.
Длина дуги, считая от точки Р, при приближении другой
концевой точки к полюсу, стремится к значению
5 = r/с OS ф =	1 4- пГ~2 • г,
т. е. к длине полярной касательной РГ0.
Если логарифмическая спираль катится по прямой без скольже-
ния, то ее асимптотическая точка описывает другую прямую, накло-
ненную к первой под углом —ф.
156
Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
8. Уравнения некоторых других кривых
Кривая	Прямоугольные координаты	Полярные координаты
1.	Циссоида 2.	Лемниската Бернулли 3.	Конхоида 4.	Строфоида 5.	Лист Декарта 6.	Четверолистнкк	у2 (а — х) = X3 (х2 + у2)2 = а2(х2-у2) (х2у2)(х — Ь)2 = а-х2 (а Ц- х) у2 = (а — х) х2 х3 4~У3 = Заху (х2 + У2)3 = 4а2х2у2	г = a sin2 ^/cos ср г = а Vcos 2 ср г = b/cos ср zt а r= a cos 2 cp/cos ср 3 a sin ср cos ср. r sin3 ср Ц- cos3 ср г = a sin 2 ср
Фиг. 44.
пендикуляры к касательным, то
1.	Циссоида (фиг. 43). Дан круг диаметром а; из одного конца я неподвиж-
ного диаметра ОА, принимаемого за ось х-ов, проведена касательная AS; из другого
конца О диаметра, принимаемого за начало координат, проводим произвольные
секущие ОВ до пересечения с АВ. Если теперь
откладывать BD = ОС или OD=В С, то точки D
определяют циссоиду.
2.	Лемниската (фиг. 44) есть геометрическое
место всех точек Р, для которых произведение
расстояний их rt и г2 от двух неподвижных
точек F\ и F2 имеет постоянное значение е2, если
при этом FiFa = 2е = а УТ. О А = ОАГ = а.
Две ветви кривой, пересекающиеся в точке
О отрезка, перпендикулярны друг к другу. Вся
площадь лемнискаты F = a’. Если из средней
точки равносторонней гиперболы опустить пер-
геометрическое место оснований перпендикуля-
ров будет лемниската.
3.	Конхоида (фиг. 45) есть геометрическое место точек D, Dx на пучке лучей
OD, проведенном из некоторой точки О к прямой BABL, удаленной от точки О на
расстояние Ь, если на этих лучах откладывать отрезки постоянной длины CD—CDi=a.
Точка О принадлежит крквой и является двойной точкой при а> b и точкой заостре-
ния при а = Ь.
Точка, прямая линия и плоскость в пространстве
157
4.	Правильная строфоида ^фиг. 46) есть геометрическое место всех точек Р, Р*,
для которых BP = ВР* = OB’, Р, В, Р* лежат при этом на одном, выходящем из
постоянной точки А луче, В на оси З'-ов, отстоящей от А на расстоянии а. Стро-
фоида имеет асимптоту х = а; АР• АР* = а? = const. Площадь ее петли
F - 2 (1 — тс/4) а».
С. Точка, прямая линия и плоскость в пространстве
В нижеследующем под х, у, z разумеются Декартовы взаимно
перпендикулярные координатные оси в пространстве. Прямые линии
следует рассматривать, как имеющие определенное направление; тоже
относится к плоскостям, у которых одна сторона считается положи-
тельной и именно соответствующая положительному вращению
(т. е. направленному против движения часовой стрелки).
Под углом (gh) между двумя направлениями в положительной
плоскости разумеют угол, который кратчайшим путем переводит g
в h, при условии положительного вращения. Направленная пло-
скость и пересекающая ее направление прямая определяют собою
правое винтовое вращение, если положительное напра-
вление прямой исходит из положительной стороны плоскости.
Координатная система называется правой, если каждая из
трех осей вместе с пересекаемой ею координатной плоскостью
образует правое вращение. Об основах и обозначениях вектор-
ного анализа см. стр. 174.
1.	Пусть Р± zt) и Р2 (х2у2 ^2) какие-либо две точки, / рас-
стояние между ними, а, р, у—три угла, образуемые вектором РГР2=%
с тремя осями координат, тогда
/ = /(х, — xt)2 + (у2 — у,)2+(z2—z,)2 .
cos а = (х2 — Xj)//, cos Р = (у2 —y^l, cos 7 = (z2 — z,)//;
cos2 a + cos2 p + cos2 Y — 1 •
Разности координат x2 — xlt y2 —ylt z2 — zt суть три коорди-
наты вектора 5В, где 1/=|53|—его длина, cos a, cos р, cosy—коорди-
наты соответственного единичного вектора 55°.
2.	Разделив вектор Р\Р2 в отношении гм:л(>0 при внутрен-
нем делении, <0 при внешнем делении) и называя координаты
делящей точки через х, у, z, имеем:
х = (тх2 + пх^Цт + л), у = (ту2 + пу^Цт + п),
z = (mz2 + л21)/(л1 + п).
3.	Угол ср, образуемый двумя заданными направлениями а1, рх,
и а2» ₽2> определяется из
COS ср = COS с*! cos aa -|- cos рх cos p3.-f- COS Yi COSY2.
Если оба направления взаимно перпендикулярны (ср = 90 ), то
COS a-L COS Х2 + COS pj COS p2 -j- COS Y1 cos Y2 = 0.
158 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
Если единичные векторы, соответствующие данным направле-
ниям, равны 531° и 532°, то cos ср = 23/* 532° есть внутреннее (скаляр-
ное) произведение. Условие перпендикулярности:	532° = 0.
4.	Пусть К, |л, v углы, образуемые нормалью к обоим заданным
в п. 3(не параллельным) направлениям, т. е. к плоскости угла ср; тогда
cosX = (cos cos — cos cosTiJ/sin ср;
cos р. = (cos ?! cos a2 — cos y2 cos aj/sin cp;
COS V — (cos COS — COS a2 COS pJ/SlH Cp .
Числители этих трех выражений—координаты внешнего (вектор-
ного) произведения [ЗЗ^ 332°]. Если 0< ср < л, то sin ср >0 и напра-
вление нормали таково, что 53]°, 532° и направление нормали обра-
зуют при этой последовательности правую систему.
Кратчайшее расстояние между двумя прямыми задан-
ными направлениями (а1э pb yt) и (а2, р2, Тз)» проходящими соответ-
ственно через точки и Р2, равно абсолютной величине выражения
Р = (*2 — *1) C0S Х + (У2 — Л) COS р. + (z2 — Zj) cos v.
Так как р = (5^5S10539°)/sin ср, где числитель есть тройное ска-
лярное произведение, то~р>0, если 53, З^0, $2° в этой последо-
вательности образуют правую систему.
5.	Прямая линия в пространстве определяется двумя уравне-
ниями первой степени:
у = тус + bly z = т2х -\- Ь2.
Уравнения прямой, проходящей через точку Р\ и составляющей
с координатными осями углы а, р, 7:
(х — Xi)/cos а = (у — vO/cos ₽ = (z — zJ/cOS у.
Отсюда, в предыдущих уравнениях:
тх — cos р/cos а, т2 = cos y/cos а.
Общее значение этих трех отношений есть длина 5 вектора PtP.
Если О начало координат, OP = г, ОРг = rt и 33° единичный вектор
с координатами cos a, cos р, cosy, направление которых определяет
направление данной прямой, то пара уравнений этой прямой может
быть заменена векторным уравнением
Г = Tj + 53° 5
с параметром 5.
Уравнения прямой, проходящей через две данные точки (xt,ylt zt)
И (х2, уг, г2):
(х — Xi)/(x2 — xj) = (у — _У1)/0'2 — У1) = <? —	- zt).
Если t есть общее значение трех отношений, а РГР2 = 53, то
пара уравнений может быть заменена векторным уравнением прямой
г = 4- 581
с параметром t. Имеем s = 1531 • t.
Точка, прямая линия и плоскость в пространстве
159
6.	Две прямые пересекаются между собой, если определитель
4 уравнений (приведенных к виду ах-|- ₽ v-|- '(Z-\- & = 0) данных
прямых равен нулю.
7.	Уравнения плоскости. Плоскость определяется уравнением
первой степени:
Ax+By+Cz+D = 0,
и все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению первой
степени, лежат в одной и той же плоскости.
= 0: Уравнение плоскости, параллельной оси х-ов
—=0:	„	•„	,	„ у-ов
— 0:	„	„	„ z-ов
=-0:	я проходящей через начало
координат.
Если г есть радиус-вектор, а 31 вектор с координатами А, В, С,
то вышеприведенное общее уравнение плоскости может быть пред-
ставлено в векторном виде:
21г + D = 0.
Вектор 21 перпендикулярен к плоскости, притом так, что его поло-
жительное направление исходит из положительной стороны пло-
скости, и вместе они определяют правое вращение. Пусть Р± точка
на плоскости, rt = ОРХ, тогда D = — 21 rt. Уравнение плоскости, про-
ходящей через заданную точку Р и перпендикулярной к заданному
вектору 21, будет, следовательно,
21 (г — ti) = 0 или А (х—- *i)+ В {у — Ji)+ C(z~ zt) = 0.
Уравнение плоскости, пересекающей координатные оси в рас-
стояниях а, &, с от начала координат, xja-Y y[b-\- zfc = 1.
х = а: уравнение плоскости || плоскости yz,
y~b:	.	.	||	„	zxt
z=c:	,	,	||	„	ху.
Уравнение плоскости, перпендикулярной к проходящему через
начало координат вектору I, имеющему длину I и составляющему
с осями координат углы а, ₽, у:
х cos а + у cos 0 -f- z cos у — Z = 0 или I°r — Z = 0
(нормальный вид Гессе).
Плоскость так направлена, что вместе с вектором I она определяет
правое вращение.
Для приведения общего уравнения плоскости
Ах + Ву+ Cz-j-D = 0
к нормальному виду делят левую часть на то значение
± VА*+В*+ С2 = ± I I,
160 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
при котором постоянный член полученной левой части примет отри-
цательное значение (нормирование уравнения), и подставляют
cos а = А : ± | 911, cos р = В: ± |9l | , cos 7 = С:	| 911,
Z = — Z): zt | 911 > 0
Тогда cos a, cos р, cosy суть координаты единичного вектора 1°,
являющегося „вектором положения" плоскости.
8.	Расстояние точки Рг от плоскости, заданной уравне-
нием нормального вида (см. выше), выражается абсолютной вели-
чиной:
р = х± cos a -j-Л cos р + zx cos 7 — I или р =— 1\
причем знак 4- или — для р получается в зависимости от того, нахо-
дятся ли заданная точка и начало координат на различных сторонах
или соответственно на одной и той же стороне плоскости.
9.	Если через точку взятую на плоскости Ах By Cz -\-
4- D = 0, провести к ней нормаль, то уравнения последней будут
(х - х^А = (у—У1)/В = (z- zJ/C;
при параметре t получают векторное уравнение:
r = ri4-9U;
этот перпендикуляр параллелен и одинаково направлен с вектором
положения 91° плоскости.
10.	Уравнение плоскости, проходящей через два пересекающиеся
в точке Р^ направления pj, 71 “ ~2, Ру» Та)» выражается
(х—jq) (cos cos 72—cos p2 cos 7i)4~Cy—Ji)(cos Ti cos a2—cos 72 С05а2)4-
4" (z — z±) (cos COS p2 — COS a2 COS PJ = 0
или
(r-iy) [2VW] = 0,
где 93Д $2° — единичные векторы, определяемые направлениями.
11.	Уравнение всякой плоскости, проходящей через линию пере-
сечения двух плоскостей,
А^х 4- Вгу 4- Cxz 4- £>i = 0 или 91^ 4~	= 0
и
И2Х 4~ в%у 4“	4“ ^2 = о ИЛИ 9Г2Т 4~ ^2 = о
будет
(И1% 4- вгу 4~ c±z 4“ z?j) 4- k (А2х 4- в2у 4~ c%z 4" ^2)= о
или
(91x4-^912)14-^14-^2 = 0,
где k произвольное число (пучок плоскостей). Уравнение проекции
этой линии пересечения на плоскость ху или yz или zx получится
исключением z или х или у из уравнений обеих плоскостей.
12.	Угол ср, образуемый двумя плоскостями (уравнения которых
см. 11), определяется по
Точка, прямая линия и плоскость s пространстве
161
AiA? 4-	4~ Р1Р9
COS ср = ———   -----------------------
+ С?) (4/+ B./ + W
ИЛИ
cos ф — Д1 Лэ _ у. 0 «г 0
* I 211 I • I «21	1 2 
ср есть также угол, образуемый обоими векторами и 312 (0<ср<к).
ГТ	/ Л\	^1 В^
Плоскости параллельны (<р = 0), если -^ = —-^ = —
^2	&2	С-2
Уравнения двух параллельных плоскостей:
А±х -j- В^у 4“	4~ D\ ==- 0 или Slji’ -j”	== О
и
А]Х 4~ В^у ~}“	4~ ^2 ~ О или Sip: -р	==' О*
Плоскости перпендикулярны одна к другой (р = 90°),
если
^1^2 4" ^1^2 4" ^1^2 = 0 ИЛИ Slj^2 ~
13.	Уравнения плоскостей, делящих пополам углы между двумя
данными плоскостями (см. 11), имеют вид:
/4jX 4~ В^у 4- Cxz + Dr ( А2х 4~ В>у 4~ C2z 4~ Р2_
/42+jB12+C12
или
211Г + Я1 SI2r + Z)2_n
I51J Ш
Если
xcosa1 4-j cos 4~ 2 cos — Zt = 0 или 1Г° x— = 0
и
x cos a2 4"У cos ₽2 4” z cos T2 — к = о или — za = o
являются уравнениями обеих заданных плоскостей в нормальной
форме Гессе, то для уравнений обеих плоскостей, делящих углы
пополам, получаем
х (cos аг zt cos а2) 4~У (cos рх zt cos p2) 4- z (cos Yi zt cos y2)—(Zx zt Z“2) = 0
или
(Ii0 ± I20) r _ (4 HH z2) = 0.
14.	Точки Pt Pit P2, P3 лежат в одной плоскости, когда
1 х у z
1 Х1 _У1	_ Q
1 ^2 ^9
^X3y3z3
или
(Г1 — Г) (г2 — Г) (г3 — г) =0.
11.	МАКе, Справочник для инженеров, т, I.
162	'Г. 1- Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
Это является одновременно и уравнениями плоскости, определяемой
тремя не на одной прямой лежащими точками Р2, Р3.
15.	Четыре точки Р, Рь Р2, Р3, не лежащие в одной плоскости,
определяют тетраэдр, объем которого равен абсолютному зна-
чению
Т= —
6
1 X у Z
1*1 У1 zi
1 *2-У2 ^2
1 *3 Уз Z3
ИЛИ I = (Ti — t) (Т2 — Г) (t3 — Г).
Т — положительно или отрицательно, смотря по тому, образуют ли
три вектора РРХ = РР2 = т2 и РР3 = х3— правую или левую
систему.
Если даны длины шести ребер РР1 = а, PP2=b, РР3 = с,
Р2Р3 - р, Р3РГ = q и PtP2 = г, то объем тетраэдра вычисляют из
формулы:
7'2= —L_
288
О г2 q2 а2 1
г2 О р2*21
q2 р20 с2 1
a2 b2c20 1
11110
16.	Четыре плоскости Аух В}у -|- Сх£ + £\=0 или $lxr--J-Dx=O
(Х = 1, 2, 3, 4) проходят через одну и ту же точку, если
Д1 В± Dr
A2B2C2D2 __л
^з В3 С3 D3
А4 В4 D4
17.	Преобразование прямоугольных координат. Координаты
точки Р в старой системе обозначим через х, у, г, а в новой —
через х', у', z'.
Параллельный сдвиг осей. Если х0, _у0, z0 — коорди-
наты нового начала координат, то
х' == х — х0, ' у' =y—yQ z' = z- z0.
Вращение осей около начала координат. Косинусы углов,
образуемых новыми координатными осями xr, yr, zf
с осью х-ов	будут	а',	Ьг,	с',
г „ J-ов	„	а",	Ь”,	с",
,	,	z-ов	п	a!",	b"',	с'"\
тогда имеем
х = a' xr + Ьгу' 4- с' zf
у = alt х' -j- b'f уг + с" z'
Z^d"xr +bu,y' +c'"z\
х' — а! х + а” у + ci" z
у = Ь'хД- Ь"у 4- b"'z
х' = с' х -j- с"у + с’"
Кривые Двойной кривизны
163
Между коэфициентами имеют место
следующие соотношения:
1.	д'2_|_а"2_ра'"2 = т
b'* + b'^ + b^= 1
с//2+ с'"2 = L
+	= i
6?'2_р/,'/2 + с'/2 = 1
а'г'2^ь,,,2+ d"* = 1
2. а'Ь'+ а" Ь" + а” Ь'” = 0
Ь' d +Ь” с" + Ь'" г'" = 0
с' a' -±dr а" 4-Г а" = 0.
4.	а'а"+Ь' Ь" + с'с" =0
a"d" + b'ti” +с" с" =0
d"a'+b’"b' +c"^cf=Q.
5.	а' = b"cm — c" b”’
br = df d"— a" d"
d = a" b"' — b" a"'.
6.	a" = d b'" — b' c"
b" = a' c" -r- d d"
d' = b'd" —a'b'".
7.	d” = b'd' — db"
b^dd^dc"
d" = a' b"— bra".
a' b' d
a" b" d'
a"'b'"d”
= + l.
При одновременном сдвиге и вращении координатных
осей соединяем соответственные формулы параллельного сдвига
и вращения.
Применяя векторы, можно короче изобразить вращение прямо-
угольной системы координатных осей следующим образом: i, j, f—
единичные векторы на положительных осях х-ов, у-ов и z-ob,
а, Ь, с — на положительных осях х', у', z*, тогда имеем
•*14-Л + н = х’а +>'6 + г'с
a = a'i + a"} + a'"t,- 6 = b'\ + b"j-|- b"'t,	с = c'i + c"i + c'"t
i = a'a-f-b'd-f-c'c,	i=a"a+b"b+c"c,	f = a'"a -f- b"'b + c'"c
i2=P = F=l, ii = jf=fi = 0, t = [[t], [ = [«], i = [ij]
«1 = 4-1,
a2 = b2 = c2 = 1, ab = be = ca = 0, a = [6c], b = [ca], c = [ab],
abc = 4-1.
18.	Для преобразования прямоугольных координат х, у, z
точки в пространственные полярные г, ф, 0 находим сначала
координаты точки х', у\ z'\ отнесенные к прямоугольной системе
координат, начало которых совпадает с полюсом, плоскость xfy' —
с экваториальной плоскостью, а ось х-ов — с полярной осью, от
которой отсчитывают угол ф; тогда х' = г cos ф sin ft; у' = г sin ф sin ft;
zf = г cos ft.
Для точек оси z'-ов ft = 0. Ср. фиг. 64 на стр. 186.
D. Кривые двойной кривизны
а) Общие положения
1.	Если прямоугольные координаты х, _у, z точки Р в простран-
стве представляют непрерывные функции переменной t (параметр),
то, когда t изменяется, Р вообще описывает пространственную кри-
154 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
вую. Эти три функции х = х (/), У = У (О» z = z(t) по предположе-
нию могут быть достаточное число раз диференцируемы; они могут
быть выражены в виде радиуса-вейтора г = г (Z), конечные точки кото-
рого описывают кривую. Всякое уравнение вида Л (л, у, z) = 0, полу-
чаемое посредством исключения /,
представляет собою поверхность, на
которой расположена кривая. Во мно-
гих случаях достаточны такие два
уравнения поверхностей:
Fi (х, у, z) = О, Р2 (х, у, z) = О
для определения кривой как пересе-
чения этих поверхностей.
Кривая определяется также урав-
нениями ее проекций на плоскости
ху и xz: у = ср! (х); z = ср2 (х), т. е.
как пересечение обоих вертикальных
проектирующих на
цилиндров.
2.	Углы а, р, 7, образуемые касательной в
динатными осями, определяются по:
ЭТИХ ПЛОСКОСТЯХ
точке Р с коор-
dx
cos а = -г-;
ds
D dy	dz
cos В =	; cos 7 =
r ds ‘ ds
(ds обозначает диференциал дуги):
ds = | dr | = V dx2 + dy* -f- dz2 (> 0).
3.	Косинусы направления касательной являются координатами
единичного вектора (вектора ‘касательной) (фиг. 47):
t = -^-=|cosa, cos р, cosy}, t2= cos2 a -f- cos2 p -|- cos2 y = 1.
Уравнения касательной в точке Р:
Ь — х = т\—у = t—z
dx dy dz
или если SR = {Е, tq, С} радиус-вектор для любой точки касательной:
SR— r = \dr, где X обозначает переменный вдоль по касательной
скалярный параметр.
4.	Уравнений нормальной плоскости (N):
(Е— xJdx-f-C')—y)dy-[-(^ — z)dz = 0 или (SR — r)dr = O.
5.	Плоскостью кривизны (S) в точке Р называется
плоскость, имеющая с кривой касание по меньшей мере второго
порядка. Принимая
А «= dyd?z — dzd?yt В = dzd?x — dxd2z,	С = dxcPy — ds '(Рх,
т. e. {Д, B, C} = [dxcPr\t
Кривые двойной кривизны
165
уравнение плоскости кривизны будет:
А (; — х)4-£(*]— У) +- С(С — z} = 0 или (96—г) [drd-r] = 0
или
; — х т]—у С — z
dx	dy	dz
d-x	dty	d2z
= 0.
- 6. Лежащая в плоскости кривизны прямая, перпендикулярная
в точке Р к касательной, называется главной нормалью
в точке Р. Ее направление определяется вектором dtfds = d-x/ds2.
Абсолютная величина этого вектора называется первой кривиз-
ной k кривой в точке Р\
Единичный вектор (dt/dsp = (dt/ds) :k = n называется вектором
главной нормали. Его координаты суть косинусы направления
главной нормали:
/	а	&У a	d2z h
cos I = -z-j : kt cos m =	: k, cos n =	: k
ds2,	ds2	ds2
n2 = cos2 / -|- cos2 m cos2 n = 1
tn = cos a cos I cos 0 cos tn 4- cos 7 cos /z = 0.
7.	Прямая, перпендикулярная к плоскости кривизны и перпен-
дикулярная к касательной в точке Р, называется бинормалью
в точке Р. Направление ее определяется таким образом, чтобы она
с положительными направлениями касательной и главной нормали
образовала правую систему, т. е. направление бинормали должно
быть направлением бинормального вектора [tn] = b.
Тривектора t, п, b образуют сопровождающий трех-
гранник кривой. Плоскость t, b называется спрямляющей
плоскостью (7?).
Углы л, |i, v бинормали с осями координат находим из
cos X = Afkds3, cos р. = Blkds\ cos v = Cjkds3,
b2 = cos2 X -j- cos2 p. 4" cos2 v = 1,
nb = cos I cos X 4* cos m cos p. 4- cos n cos v = 0,
bt = cos X cos a 4- cos p, cos 0 4- cos v cos T = 0.
8.	Радиус кривизны p определяется из
Точка M главной нормали, для которой МР = р, называется цен-
тром кривизны. Его координаты суть:
. d2x	. d2y	d-z
= х +	Уо=У+?^> го = г+Р^г или го = * + р«-
166
Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
Круг, описанный радиусом МР=р на плоскости кривизны
вокруг точки М как центра, имеет с кривой в точке Р соприка-
сание по меныпей мере второго порядка и называется кругом
кривизны.
9.	При движении вдоль кривой по положительному направле-
нию, определяемому t, плоскость кривизны вращается вокруг каса-
тельной в данном месте. Вращение измеряется изменением вектора-
бинормали dbfds', если | п, то получается правое вращение
вокруг вектора касательной t. Величина вращения определяется
множителем х, если положить
db]ds =— хп.
х есть вторая кривизна или кручение кривой. Смотря по
тбму х>0 или х<0> говорят о правом или левом кручении кри-
вой в точке Р. Имеем
db	,dcos\	6? cos и.	d cos v
x = — n —r~ = — cos I — ----cos m —-—- — cos n —-—
ds	ds	ds	ds
или, если длина дуги 5 — независимая переменная,
di dU 02 dX аУ dZ
ji <9 j о их Uy UZ
<Рх d*y cPz
ds ds- ds6 (px (Fy (p2
x = Ils'* (Ad3x + Bdty + Cd3*)•
Для плоских кривых X = 0.
ИЛИ
b) Цилиндрическая винтовая линия
1.	Цилиндрической винтовой линией называется линия, описан-
ная точкой, равномерно движущейся по окружности круга, кото-
рый в свою очередь перемещается равномерно в направлении, пер-
пендикулярном к своей плоскости, т. е. описывает прямой круговой
цилиндр.
Если «—расстояние точки Р от оси z-ов, ср—угол вращения по
отношению к первоначальному направлению (оси х-ов) и с—коэфи-
циент пропорциональности, тогда имеем:
х = a cos ср,
ход винта h = 2 л с,
2.	Проекции винтовой
синусоиды, потому что
xja = cos (z/c),	у la = sin (z/c).
3.	Элемент дуги ds = Y а*с2 dy, длина дуги
= Ya2-f-c2 • ср = —— ср.
1	7 cos а
у = a sin ср, z = с ср,
подъем винта tg а = h:2 ~ а = с: а.
линии на плоскостях хг-ов и j/z-ob суть
Кривые поверхности
167
Следовательно, винтовая линия образуется также при наматывании
плоского прямоугольного треугольника с катетами 2 г. а и h на
круглый цилиндр радиуса а так, чтобы катет 2 к я перешел в круг
основания цилиндра.
4.	Касательный вектор t = cos а {— sin ср, cos ср, tg а}.
Касательная образует таким образом с направлением оси z-ов по-
стоянный угол 90° — а. Уравнения касательной:
_ %~х  ~~ У _ Izif
sin ср COS ср “ tg а *
5.	Кривизна k = аЦа2 с2). Радиус кривизны
р = (а2 + c2)la = ajcos2 а.
6. Виток х = с/(а2 + £2) = sin2 а/с. Винтовая линия имеет пра-
вое или левое направление в зависимости от того с^>0 или с<^0,
т. е. в зависимости от того, считать ли высоту
хода положительной в направлении -|- z-ов, или
обратно.
7. Построение проекции винто-
вой линии на плоскости xz (фиг. 48). Де-
лим ход h = bb' на п (здесь 8) равных частей и
на столько же частей окружность круга, пред-
ставляющего горизонтальную проекцию цилиндра
(последние деления откладываем от Ь)\ через
первые точки деления проводим горизонтали,
а через вторые — вертикали; пересечение гори-
зонтали с соответствующей вертикалью дает
точку, лежащую на проекции винтовой линии.
Е. Кривые поверхности
а)	Общие положения
1.	Когда координаты х, у, z точки Р являются непрерывными
функциями двух переменных u, v (параметры), то точка описывает
вообще кривую поверхность, па которой кривые u = const, v = const
образуют сеть криволинейных координат. Например,
х =а cos u cost/, у = a cos u sin v, z = a sin а дают шар радиуса а
с кругами широты (u = const) и меридианами (v = const).
Исключением uhv получаем уравнение поверхности F(xty, z)—0
или, решая уравнение относительно z, z = z (х, у). Последний слу-
чай имеет место для u = х, v = у.
Предполагается, что все встречающиеся функции могут быть
диференцированы достаточное количество раз. Обозначим через хц,
х^, хаа и т. д. частные производные dxjdu, dx/dv, d2x/da2 и т. д.
Далее, обозначим по Эйлеру
dz _	dz _	d2z _ d2z _	д-z _
dx ~	dy ~	dx2 ~~	r' dxdy ~ S'	dy2 ~	**
168 т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
Три функции X = х {и, v), у = у(и, v), z = z(ut v) могут быть
выражены одним радиусом-вектором r = r(zz, v).
2.	Квадрат элемента линии:
dx2 = ds2 = dx2 + dy2 + dz2 = Edu2 + IFdudv + Qdv2,
где
£ = V = xz + _ytt2 + z2 = ! _|_ P2t
F=xaTv = XUXV +УиУп + zazv = P4<
О = V = x/ + ^2+ z2 = 1 + q2
обозначают основные величины первого порядка
Гаусса.
3.	Уравнение касательной плоскости:
a-x	y\ — X	r.-z	
xu	Уи	zr	= 0 или (91 — 1) 1^=0,
xv	У У	zv	
где 91 = {;, tq, Q—радиус-вектор любой точки касательной плоскости,
или
($~x)Fx + (v-J/)/'\ + (C-^)/:’z = 0 или (91 - г) grad F = 0.
4.	Уравнения нормали:
(с — x)IFx = (тп — v)/Fy = (С — zV:Fz или 91 — г = X grad F,
где X — переменный вдоль нормали параметр; или
(5 — х)1А = ft — у)!В = (С — z)/C или 91 - г = |x [rar J,
где
У и % у У у % и.» В~%иУу Zy%ii’ ^иУу хуУа,
обозначают координаты вектора [rurj. Относящийся сюда единич-
ный вектор называется вектором нормали 91 = [гиг^,]0 и имеет
координатами косинусы углов, образуемых нормалью 9? с тремя
осями координат.
Если эти косинусы направления обозначим через Xt Yt Zt то
91 = {X, У, Z}, и имеем:
Х= A/T = FXIW<= — р/Т,
Y = B/T= Fv/W= — qlT,
Z= C/T= FzIW = + l/Tt
где
T nr. У EG-l^1 = Ур^Уя-г+Т >0, W -- yj^ + Ff+T? > 0
или
’» = [tBrJ:r=gradr:|gradf|.
Кривые поверхности
169
5.	Величина элемента кривой поверхности:
dO = Tdu dv = Wdx dy/Fz = j/p2 + Q2 + 1 dx dy.
Для определения величины ограниченной части поверхности
вычисляют двойной интеграл Jj dO, распространенный в пределах
переменных ut v или же соответственно х, у (стр. 115).
6.	Две кривые и = const, v = const, проходящие через точку Р
поверхности, образуют координатный угол для которого
cos ш = F: У EG, sin -= Т: У EG'
Если FEE 0, то линии координат образуют ортогональную
сеть, т. е. перпендикулярно пересекаются.
7.	Всякая плоскость, проходящая через нормаль, пересекает
поверхность по линии, называемой нормальным сечением;
его кривизна п в точке Р называется кривизной нормаль-
ного сечения. Тогда имеем
Ldu22Mdu dvNdv2
П ~~ Edu2 + 2Fdu dv -f  Gdv2 ’
где
L = ~ rA = - (XuXu +УиУи +
M = -	= - (xvXa + yv Ya + zvZa} =
=	— (xuXv У a yv “b ZuZv}>
x	+yvYv +
обозначают основные величины второго порядка.
L = Ягии =- Ххии + Yyaa + Zzaa = r/T,
М =	= Xxuv + УУит + Zzuv = SIT<
= Xxvv + Yy™ + Zzvv = W
n = (r dx2-|- 2s dx dy 1 dy~)ITds2.
8.	Теорема Менье. Плоскость, проходящая через касатель-
ную к нормальному сечению и образующая с его плоскостью угол $,
пересекает поверхность по косому сечению, кривизна которого k
в рассматриваемой точке:
k = n/cos ft.
9.	Г л а в н ы е кривизны. Среди плоскостей, проходящих
через одну и ту же нормаль к поверхности, имеется вообще одна,
для которой соответствующая кривизна нормального сечения наи-
большая, и другая — для которой она наименьшая. Соответствую-
щие нормальные сечения называются главными нормаль-
ными сечениями в данной точке Р поверхности, кривизны
называются главными нормальными кривизнами и
п2; они определяются уравнениями;
170 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
+ п2 = (GL - 2FM+EN): Т2 = [(1 + q2)r- 2pqs -f- (1 + р3) /]: Р,
/2^2 = (LN — М2): Г2 = (г/ __ S2): уч
где F2 = EG~F2 = p2 + q2 + l.
10.	Теорема Эйлера. Для нормального сечения, плоскость
которого образует с плоскостью главного нормального сечения (п±)
угол ср, имеем
п — cos2 ср п2 sin3 ср.
Главные нормальные сечения перпендикулярны друг к другу. Для
нормальной кривизны двух друг к другу перпендикулярных нор-
мальных сечений имеем п' 4- п" = пг и2.
11.	Величина Н= + п2 называется среднею кривизною,
а величина К = npi2 — (гауссовой) мерою кривизны поверх-
ности в точке Р.
Теорема Гаусса. Если изгибать поверхность без растяже-
ния, то мера кривизны в соответственных точках остается неизмен-
ной. Если = 0, то поверхность может быть развернута на плос-
кость. При /С>0 имеем поверхность выпучивающуюся, а при К <0
седлообразную.
Имеем далее
к- —
^хх ^ху
^ху Fу у
F_xz Fyz
^х у
1 XZ 1 X
F F
У2 У
Pzz^z
Рг А
'дХ_ dF dZ\
. дх ду dz)
12.	Оба (всегда взаимно перпендикулярные) семейства кривых
поверхности, касательные которых определяют оба главные нор-
мальные сечения, называются линиями кривизны поверх-
ности. Если сеть координатных линий и = const, и const состоит
из линий кривизны, то F = 0, М = 0.
Оба семейству кривых поверхности, касательные которых опре-
деляют нормальные сечения кривизны п = 0, называются а с и м-
птотическими линиями поверхности. Они только веще-
ственны, когда К < 0. Если сеть координатных линий состоит из
асимптотических линий, то L — 0, N=0.
Линии кривизны делят пополам углы асимптотических линий.
13.	Если в пространстве три семейства поверхностей пересе-
каются так, что в каждой точке пересечения все три линии разреза
взаимно перпендикулярны, то линии разреза являются вместе с тем
линиями кривизны тех поверхностей, на которых они лежат.
Ь)	Поверхности второго порядка
1.	Общий вид уравнения поверхностей второго порядка
2а2зУ2	2^^% -|~ ^а12хУ 4~ 2^1-|- 2#24.У “Ь
"f~	+ ац = о*
Кривые поверхности
171
2.	Если обозначим для краткости
а11 а12 а13 а14
а21 а22 а23 а24
а31 а32 G 33 ff31
а41 а42 а43 а44
а11 а12 а13
Я 21 а22 а23
а31 а32 а33
Д =
s = аП + а22 + Л33> t — а22а33 Ф а33 а11 4~ а11 а22	°23 — fl31 — ^12
(причем aik = aki), то получим, при прямоугольных координатах,
следующие условия для вида поверхностей, представляемых общим
уравнением, поскольку оно действительно и не распадается на пару
плоскостей:
эллипсоид при 7)<Г0, $Д^>0,
двуполый гиперболоид £><0, s Д и t одновременно не>0;
однополый гиперболоид Z)>0, $Д и t одновременно не>0;
конус D = О, Д Ф 0, кроме того s Д и / одновременно не > 0;
эллиптический параболоид при Д = 0, 7)<0,
гиперболический параболоид при Д = 0, 7)>0, Z<0;
цилиндр при D = 0, Д = 0.
3.	В поверхностях, имеющих центр (Д^0), последний полу-
чается как точка пересечения следующих плоскостей:
а1Лх Ф &12У + д13* + а14 — 0
#2jX ф &22.У Ф ^23% Ф ^21 ~ 0
+ а32У 4” a33Z Ф а34 — 0*
4.	Приняв центр поверхности за начало координат, а ее глав-
ные оси — за оси координат, получим следующие уравнения по-
верхностей, имеющих центр:
эллипсоида:	х2/#2 фу2/^2 ф z2/c2 = 1
однополого гиперболоида: х2/#2 ФУ7^2 — z2/c2 = 1
двуполого гиперболоида: х2!а2—y2/b2 —z2lc2 = I.
Здесь а, Ь, с обозначают полуоси главных сечений; в первом
случае они все действительны; во втором — Ы, а в третьем bi и
ci означают мнимые полуоси гипербол главных сечений.
Длины полуосей получаем из
а2 = — ^Д, b2 = — D/X2\	= —
где Хь Х2> Лз обозначают действительные корни кубического урав-
нения
^11—^12 ^ТЗ
#12	а 22 — X #23
#13	#23	а33 —
= 0.
5.	Конус. Всякое однородное уравнение второй степени с тремя
переменными вида:
у) v2 Яу2 _|_ Cz2 Dxy + Exz + FyZ = q
172
Т. I. Отд. 1. Математика. V. Л на литическая геометрия
представляет коническую поверхность, вершина которой
лежит в начале координат.
Если направляющая кривая конуса, вершина которого совпа-
дает с началом координат, представляет эллипс с полуосями
а и Ь, плоскость которого перпендикулярна к оси г-ов и удалена
от начала координат на расстояние h, то уравнение конической По-
верхности:
x2/a? + y*l& — z2/h2 = 0.
Если направляющая конуса представляет окружность ра-
диуса а, то в предыдущем уравнении надо положит i b = а (уравне-
ние прямого кругового конуса).
6.	Шар. Уравнение шаровой поверхности (начало координат
в центре шара):
X2 у2 z2 — г2
Если же £, v), С означают координаты центра шаровой поверх-
ности, то ее уравнение:
(х-5)Ч (_у_^+(г_С)2 = А
Всякое уравнение вида:
х2 +_у2 4- г2 4. Ах -J By Cz -J- D = 0
представляет шаровую поверхность; при этом
г = 4 VЛ2 4- В2 _|_ С2 _ 4д;
с = -4л; ii = -4fi; t =
7.	Параболоид. Уравнение параболоида в простейшем
виде: х2/2р ±y2/2q = z. Верхний знак относится к эллиптическому,
а нижний к гиперболическому параболоиду; р и q суть параметры
парабол главных сечений.
8.	Цилиндр. Уравнение цилиндрической п о в е р х н о.с т и,
перпендикулярной к одной из координатных плоскостей, опреде-
ляется уравнением кривой пересечения этой поверхности в соот-
ветствующей "ПЛОСКОСТИ.
Если линия пересечения цилиндра с плоскостью ху есть эллипс
или гипербола, полуоси которых а и Ь, а образующие цилиндра
образуют углы а, ₽, у с координатными осями, то уравнение цилин-
дрической поверхности:
(х — z cos a/cos у)2 (у — z cos ₽/cos у)2
a2~	±	b2
'Знак-}-для эллиптического, знак —для гиперболи-
ческого цилиндра.
Простейшее уравнение прямого параболического ци-
линдра:
? = х2/2р.
Кривые поверхности
173
С) Винтовые поверхности
1.	Если все точки плоской кривой описывают около одной
и той же оси винтовые линии одинакового хода h (стр. 167 и след.),
то получается общая винтовая поверхность. Если пересечь
винтовую поверхность плоскостью, содержащею ось, то кривая
пересечения дает профиль этой винтовой поверхности.
Если ось z-ов является винтовой осью, z — f(x)—уравнение про-
филя в плоскости xz, h — ход витка, и — расстояние точки Р поверх-
ности от оси, V — угол, на который это расстояние (параллельно
к оси х-ов) повернулось относительно первоначального положения,
то при h = 2 к с
х = ucosv, у = и sin v, z = си4~/(к)
представляет винтовую поверхность в параметрах.
Кривые и = const суть винтовые линии, v = const — линии ее про-
филей. Исключение и, v возможно и дает:
z = с arc tg+/(/х2+у2 ) .
2.	Для f(u) = 0 получается обыкновенная винтовая
поверхность (витая поверхность), для h = 0 — поверхность вра-
щения, кривые и = const, v = const являются на ней кругами широты
и меридианами.
3.	Квадрат линейного элемента
ds*- = [1 + /'(«)2] du2 4" 2с/'(w) dudv 4- (и2 4" с2) dv\
Каждая винтовая поверхность развертывается на поверхности
вращения так, что винтовые линии соответствуют кругам широты.
4.	Для витой поверхности (обозначения,
как в а), стр. 167) имеем:
tZ52 = ^2+(H24-c2)^2,
E=l, F=0, G = u2+c2;
ее винтовые линии и профильные прямые
пересекаются везде перпендикулярно.
Далее, L = О, М = - с/ Vu2-\-c2, N = 0;
винтовые линии и образующие прямые
образуют сеть асимптотических линий по-
верхности.
5.	Вектор нормали для витой поверхности
csinv —с cos v
У и2 4- с2 * V и2 4“ с2 ’
нормали поверхности образуют вдоль винтовой линии с осью z-ob
постоянный угол.	•
174
Т. I. Отд. 1. Математика. VI. Векторный анализ
6. Имеем Н = О, К = уС 2Ч9 < О,
+ с£г
так что эта поверхность при-
надлежит к числу минимальных, т. е. к тем поверхностям, которые
при заданной ограничивающей кривой обладают наименьшей пло-
щадью.
7. Площадь. Если пересечь винтовую поверхность коаксиаль-
ным цилиндром радиуса а, плоскостью xz и любой плоскостью,
проходящей через ось z, образующей с плоскостью xz угол v,
то площадь ограниченного таким образом участка поверхности
(на фиг. 49 ОАВС) равна
о = -у • H/cos а —tg3 а • In tg (а/2)],
где tga = c/a есть подъем винтовой линии, вырезанной цилиндром.
VI. Векторный анализ1)
1.	Перемещение, благодаря которому точка Р пространства
переходит в точку Q, определяется расстоянием (длиною), напра-
влением и смыслом направления участка PQ, который поэтому
может быть назван вектором (от латинского vehere). Всякое
представление, которое геометрически может быть выражено как
направленное протяжение, также называется вектором;
сюда относятся: скорость, ускорение, сила, сила электрического и
магнитного поля и т. д. В противоположность этому всякое число
и всякая величина, вполне определяемая одним числом, называются
скалярами (от латинского scala), как то: температура, плотность,
работа, электрическое напряжение и т. д. В дальнейшем векторы
обозначаются черточкой наверху или готическими буквами:
PQ = и = v.
Задачей векторного исчисления является составление фор-
мальных правил, согласно которым, с целью уменьшения умствен-
ной работы, можно было бы так же вести счет с векторами, как
с числами. Однако, соответственно геометрическому определению
вектора и эти правила исчисления должны иметь геометрическую
природу. Эти правила покоятся на произвольных допущениях,
*) Литература. J. Spielrein, Lehrbuch der Vektorrechnung, Stuttgart, 1916;
C. Runge, Vektoranalysis, Bd. I, Leipzig, 1919; S. Valentiner, Vektoranalysis,
Leipzig, 1912 (Goschen); F. E m d e, Ausziige aus Maxwells Elektrizitat und Magnetismus,
Braunschweig, 1915; E. В ud d e, Tensoren und Dyaden im dreidimensionalen Raum,
Braunschweig, 1914; G. J a u m ann, Grundlagen der Bewegungslehre, Leipzig,'•1905;
H. Diefielhorst, Formein und Satze der Vektorenrechnung, in G r a e t z, Handbuch
der Elektrizitat und des Magnetismus, Bd. IV, Leipzig (Job. Ambr. Barth), S. 1138.
Перемещение
175
которые, однако, приноровлены к потребностям геометрии, меха-
ники, математической физики и техники. Надо заметить, что уже
доказана невозможность перенести все правила исчисления с чис-
лами на исчисление с векторами в пространстве.
2.	Два вектора PQ = b и RS = ft) тогда и только тогда между
собою равны, когда оба соответствуют одному и тому же пере-
мещению в пространстве, т. е. имеют одинаковую длину, направление
и смысл направления; это свободные векторы. Свободный
вектор может, следовательно, быть перемещаем в пространстве как
угодно параллельно самому себе, причем длина и смысл направле-
ния остаются неизменными. Векторы, встречаемые в физике, не
всегда являются свободными в этом смысле.
Вектор ОР=г с неизменной начальной точкой называется
радиус-вектором. Два радиус-вектора тогда между собою равны,
когда они идентичны, т. е. вполне совпадают.
3.	Мерой длины вектора b является его (абсолют- /
ное) значение; оно обозначается через |Ь|, причем /ЬУПЬ
всегда |Ь|^>0. „Величина" скорости, ускорения, Л /
силы, «интенсивность» магнитной или электриче- У ' jb
ской силы поля являются такими значениями векто-
ров. Значение вектора естественно является ска- фиг. 5С.
ляром’).
Вектор, начальная и конечная точки которого совпадают, назы-
вается нулевым вектором и обозначается просто через 0. Его
значение равно нулю, его направление неопределенно.
4.	Под — b = QP понимают вектор той же длины, что и b = PQ
и параллельный ему, но с противоположным направлением. Имеем
|-Ь| = |Ь|.
Если ди число, отличное от нуля, то через тЬ = Ьт=\п обозначают
вектор, который при т>0 параллелен и одинаково направлен (ff)
с вектором Ь, а при т < 0 параллелен и противоположно (f|) напра-
влен и которого значение в \т\ раз больше, чем значение Ь:
ft) ff b при 0; ft) b при m<0;	|ft)| = |m| • |b|.
При m = 0, имеем /nb = 0. Фиг. 50 показывает вектор b, 2b,
---b. Имеем
X (у. ft) = у. (X b) = X у. b.
5.	Вектор ущ- есть вектор, параллельный и одинаково направлен-
ный к вектору b (4= 0) со значением, равным единице; это есть
соответственный b вектор-единица; его обозначают через*Ь°
(и в степени 0). Имеем, следовательно.
о = [и| . п°.
9 Абсолютное значение величины т также обозначают через |т|, но обраще-
ние тут невозможно.
176	'!'• !• Огд. 1. Математика. VI. Векторный анализ
а и б:
с = а 4- б и
Фиг. 51.
6.	Если путем параллельного перемещения прибавить к вектору
АВ = а вектор ВС = б (фиг. 51), то АС = с называется суммой
(составляющей) от а и б:
с = а + б.
Сумма АВ = а и ВС'= — б называется разностью
Ь = а — б = а 4- (— б).
В параллелограме, определяемом а и б, имеем
б = а— б, соответствующие диагоналям фиг. 52.
Имеем следующие правила:
а 4- б = б 4-й (закон перестановки в сложении),
о»4“ (б + с) = (а + б) 4- с (закон соединения),
а (а 4- б) а 4~ (закон распределения),
а — а = 0.
Далее имеем |а4-б|<|а| 4- |б|, где знак
равенства имеет место при a ft б. Если
а14- аз + • • • + ал = О,
то эти последовательные п векторов обра-
зуют замкнутый (вообще говоря, косой)
многогранник с п сторонами.
7.	Пусть а, ₽, у, 6, суть неравные нулю скаляры, а 5Г, 53, (£, © —
неравные нулю векторы; в этом случае получаем следующие тео-
ремы (и -им обратные):
а)	Если параллельно 53, то а 514~ ? ® = 0.
Ь)	Если 5Г, 53, (S параллельны одной и той же плоскости (ком-
планарные векторы), но ни один из них не параллелен двум дру-
гим векторам, то
а514-₽33 4-Т^ = О.
с)	Если 51, 53, (£, 2). расположены как
угодно, но среди них нет трех компланарных
и нет двух взаимно параллельных, то
а51+₽53 4-Т^ + ЬФ = О.
Отсюда вытекают следующие формулы:
А. Всякий вектор 53, параллельный вектору 51(4=0), может
быть представлен в виде:
53=Х5[,
притом только одним способом (фиг. 53).
В. Если 51(4=0) и 53 (4=0) между собою не параллельны, то
всякий вектор (£, компланарный с 51 и 53, может быть представлен
в виде:
£ = 1514-^®»
притом только одним способом (фиг. 54).
Фиг. Ь2.
Скалярное произведение
177
С. Если 2Г (Ф 0), 53 ( Ф 0) и (£ ( ф 0) не компланарны, и среди
них нет двух взаимно параллельных, то всякий вектор © может
быть представлен в виде:
£) = Х2Гфр® ф v(£,
притом одним только способом (фиг. 55).
Если 21, 33, (£ суть векторы-единицы, то величины X, р., v назы-
ваются координатами вектора © в отношении векторов 2Г, ®, (£.
Фиг. 53.	Фиг. 54.	Фиг. 55.
8.	Под углом 21® понимают наименьший из углов,
образуемых направлениями 21 и 33:
0<|21® |О.
®2Г = —£®; cos ®2l = cos 21®; sin 3321 = — sin 21®.
9.	Внутреннее (скалярное) произведение:
2ГЗЗ = (21®) = | 211 • | 33 | • cos f®
является числом (скалярным) *)• Пример: сила ^.неизменная по
величине и направлению, совершает вдоль направленного (прямого)
участка пути §> работу
Л = ф^ = |®| .|3|. cos 'll.
23 21 = 2133 (закон переместительности внутреннего произведения),
21 (® ф 6) = 2( ® ф 21 (£ (закон распределения),
(X 21)® = X (21®) = X 21®.
Если 21® = 0, то 21 = 0 или ® — 0 или 2( _[_ ® и наоборот.
При ® = 21 получается 2121 = 2£2 = | 2С |2 = norm от 21.
(2( zt ®)? = 212 zt 221® ф ®2 (закон косинуса),
(2Хф ®)2 - (21 - ®)2 = 421®.
10.	Для проекции ® на 21 (ф 0) получаем (фиг. 56):
21®
®^=^.2Х = (210®)«210.
(Надо помнить, что сокращение векторных множителей недопустимо)
1)	Для скалярного произведения употребляют также обозначения
X (31» S3), но они не рекомендована Комиссией AEF.
12. Hiitte, Справочник для инженеров, т. 1.
178 т. i Отд. 1. Математика. VI. Векторный анализ
11.	Три некомпланарных вектора И, 53, 5S образуют в этой по-
следовательности положительный (или с правым враще-
нием/ трехгранник, если вращение направления 11 по направлению
к 53, сопровождаемое одновременным перемещением по направле-
нию Ж, приводит к правому вращению (фиг. 57 # 58).
Правозакрученный трехгранник характеризуется 1153 Ж > О,
а левозакрученный U535SS< 0; ср. 13.
(Спереди)
Фиг. 58.
Левое вращение.
(Спереди)
Фиг. 56.	Фиг. 57.
Правое вращение.
12.	Внешнее (векторное, векториальное) произ-
ведение двух векторов 11, 53 есть вектор ЗВ, однозначно опреде-
ляемый следующими четырьмя положениями:
1.	5®±И,	2. 5® ±53,
3. !5®! = |П| • 155 • IsinlWI, 4. U 53 5S>0.
Таким образом векторное произведение [U53] есть вектор,
перпендикулярный к плоскости векторов U, 53 и длина которого
численно равна площади параллелограма, образованного из U и 53;
направление этого вектора определяется условием, чтобы И, 53,
[1153] в этой последовательности образовали правозакрученный
трехгранник (фиг. 59) 1).
Примеры. Момент вращения силы 43 по отношению к точке вращения О и
точке приложения силы Р, где ОР = г, выражается векторным произведением
Ф? = [г43], чем одновременно определяется и смысл вращения (фиг. 60).
Угловая скорость твердого тела, точка которого находится на расстоянии г
от оси вращения, и движется со скоростью v(±r), определяется по величине
и смыслу вращения вектором
=	кг] = Г.
Имеем:
[5311] = — [1153] (закон переместительности здесь не применим),
[U (51 + 53)] =- [U51] + [1155] (закон распределения),
X [U 53] = [К 1153] = [11X53].
!) Иногда употребляются также следующие-Комиссией AEF не рекомендован-
ные обозначения: VU3B, ИХ Я» U Д 43, uv, где и, v—векторы.
Векторное произведение
179
Если [Ц33] = 0, то 11 = О или 53 = 0, или U || 53 и наоборот [UIX] = 0;
[U53]2 = U2 532 — (U53)2,
ЦП-53) (11+53)] =2 [1153].
13.	При трех векторах закон соединения не приложим ни для
внутреннего, ни для внешнего произведения, но имеем 51(53(5] =
= 53 [(551] = (5 [5153]. Этот скаляр, неизменный от циклической пере-
становки величин 51, 53, (5, обозначается через 5153(5 или (5153(5);
по абсолютной величине он равен объему параллелепипеда из трех
векторов 51, 53, (5; он положителен, если 5(, 53, (5 образуют поло-
жительную систему (фиг. 61).
51(553 = (55351 = 5351(5 = — 5153(5.
| 5153 (5 | < | 511 • | 53 | • | (51, если 51,53, (5 все взаимно перпендикулярны.
3153(5 = 0, если 51, 53, (5 взаимно компланарны.
515153 = 0.
Фиг. 59.
Фиг. 61.
14.
(5153(5) • (1153533) =
5111 5(53 5(553
53U 5353 23553
(511 (553 (5533
I 5(2 5(53 5(®
(5I53®)2 = ; 5(53 S32 53®
• 51® 53® ®2
(5153®)2 = 5(2552®2—5(2 (53 ®)2-532 ((55()2-(52 (5(53)2 + 2 (5(53) (55®) (®5().
(5153®)2 = [5(53] [53®] [®5(].
15.	Теорема развития:
[21 [SBG]] = (21G) • SB - (2123) • 6 = [[G23] 21].
[2l[23G]] + [SB [G21]] + [G [2123]] = 0.
16.	[2123] [G©] = (21G) (23©) —(23G) (21®).
[]212B] [G®]] =(2123©) • G — (2(23 G) • ©=(2(G©) • 23 — (SBG©) • 21.
(2123G) • © = (23©) [G21] + (G©) [2123] + (©21) [SBG].
]2(UJ [23 23] [GSSS] = (2(1123) • (SBG'IB> • (2123U) • (GW).
(2123 G) SB = (SB 23 G) 21 + (21G 21) SB + (SB 21 SB) G.
2(21' 2321' G2T ©21'
2123' 2323' G23' ©23'
21G' 23G' GG' ©G'
21©' SB©' G©z ©©'
12*
180
Т. I. Отд. 1. Математика. VI. Векторный анализ
где 91, 53, (£, Ф, 91', 53х, (£', О' — любые векторы.
17.	Если а, б, с не компланарны, т. е. абсФО, то три вектора
б' = -[^3- с' = -1а^
абс *	аЬс *	абс
называются обратными к а, 6, с. Если все векторы имеют общую
исходную точку, то система а', 6', с' образует угол, полярный
к углу а, б, с. Имеем:
[ьу] b = jm
а'б'с' ’	а'б'с' ’	а'б'с' ’
аа'= бб'= сс'= 1, (абс) (а'б'с') = 1,
аб' = Ьа' = б с' = сб' = са' = ас' = 0.
53 = (53а') а + (536') б + (53с') с = (53а) а' + (536) б' + (53с) с'.
18.	Разлагая вектор 53 на два взаимно перпендикулярные на-
правления, из коих одно определяется вектором U, получаем:
U53	ГП[53и]1	.	_
58 =	• U + —	= (И°5В) • 11о_|_ [цо [Sjjuoj].
(2	19. Все приведенные выше определе-
ния, теоремы и формулы независимы от
1	системы координат. Прямоугольная, пра-
вая картезианская система координат опре-
,J	деляется (кроме положения начальной точ-
л £	ки О) тремя векторами-единицами i, j, f,
основными векторами, которые взаим-
но перпендикулярны и в указанной по-
следовательности образуют правую си-
фиг. 62.	стему, причем их направления последова-
тельно совпадают с положительными осями
х, у, z. Вместе с тем определяется и масштаб координатных осей
(фиг. 62).
Имеем:
t2 = j2 = !3= 1,
tj= if= ft = О, ijt  1,
так что
=	[!t]=i, [tj] = L
20.	Проекции вектора 91 на i, j, I или, что то же самое, на три
координатные оси х, у, z пусть будут 91л, 91^, 91г; тогда 91 = 91хг
+ 51у+91г. Координаты 91 пусть будут Ах, Ау, А/, так что 9(х =
= Axt, %y = Ayi, Ыг = Аг1
Имеем:
Переменные векторы
181
912 = Лх2+ Ду2+ Аг\ |Э1|=+/д7 + V+ Аг2 = А.
cos 21 i = Ах : A,	cos 21 j = Ау : Л, cos 21 f = Дг : A.
Эти „косинусы направления" вектора 21 вместе с тем являются
координатами вектора-единицы 21° = {cos 21t, cos 21 j, cos2lf|.
21.	21+$В = {Лх+5х, Ay+By, Аг + Вг} =
= (АЖ + Bx) i+ (4у+ Ву) j+ (Аг+Вг) I
= {XAx, XAy, XAj = XAJ+ ХДЛ14- ХЛг1
№8 = АхВх+АуВу+АгВг.
[9(33] =
i i I
Ax Ay Аг
Bx By В г
={АуВг — A2By)i 4- (АгВх — АхВг)\-\-
4~ (АхВу — АуВх)!.
Координаты [216] получаются посредством циклической замены
букв х, у, z.
216(£ =
^х Ау ^z
&х В у &Z
?х у ^z
= Ах [В у С2 - Bz Су} + А у (В2 Сх - В х Cz) +
+ Az(BxCy—ВуСх).
{ = {1,0,0} j = {0,1,0} { = {0,0,1}
22.	Вектор, направление и величина которого зависят от одной
или нескольких скалярных переменных, называется переменным
вектором. Непрерывность и диференцируемость по скалярным пе-
ременным у векторов та же, что и у скалярных функций; напри-
мер, производная вектора 6 (t) по переменной t равна:
Л->0	"
диференциал равен:
t/б = 6' (/) dt
и т. д.
Имеем:
5В (/+ h> = 5В (t) 4 1 33' (0 4- ~ 33" (О +• • - + -С ®(п) (f) 4-
II	2 I	ЛI
4- 4г 355 (Z’ Л)>
где ЗВ (i, h) -> 0 при h -» 0.
®d33 = | 331 d\931,	- |d93|<rf|93|<|d33'|.
182	т I- Отд. 1. Математика. VI. Векторный анализ
Когда длина 53 остается неизменной, то 53d53 = O.
Когда направление 53 остается неизменным, то [53d53] = O.
53° d (53°) = 0.
23.	d(U + 53) = dll + d53
d (U53) = dU-53+U-d53
d[U53] = [dU53]-+[lld53]
d (U53 553) = (dU) 53 533 + U (d53) 533 +1153 {d533) =
= U 53 d533 + 53 533 dll + 533 U d 53
O= {dAx, dAg, dAj. ____________________
dr = {dx dy dz} | dr | = V"dx2 + dy2 + dz- = ds
есть длина элемента пространственной кривой (стр. 164). Вектор-
dr
единица = t имеет направление касательной к этой простран-
ственной кривой, которая__описывается конечной точкой Р пере-
менного радиус-вектора ОР = г (тангенциальный вектор).
24.	Векторное поле есть часть пространства, в котором
каждой точке принадлежит некоторый вектор 51 (в е к т о р поля);
через | 5Г | обозначают силу (интенсивность) поля в данной точке.
Кривые, тангенциальные векторы которых в каждой точке совпа-
дают с вектором 51°, называются полевыми или силовыми
линиями. Они определяются векторным диференциальным урав-
нением первого порядка:
[ЭГ dr] = 0 или 21° =	= t,
совпадающим со скалярными диференциальными уравнениями
dx : dy : dz = А : А : А .
X у 9
Через обыкновенную точку однозначного векторного поля не
могут пройти две различные силовые линии. Это не относится
к особым точкам, где | 511 = 0 или | 511 = оо.
25.	Скалярное поле есть часть пространства, каждой точке
которого соответствует значение скалярной функции ср.
Поверхности ср = const называются поверхностями уровня
скалярного поля. В однозначном скалярном поле через общую
точку не могут пройти две различные поверхности уровня. Каж-
дому непрерывному скалярному полю соответствует векторное поле,
полевой вектор которого указывает направление наибольшего
изменения функции ср и которого значение равно этому изме-
нению |-^J- . Он называется градиентом ср, grad ср. Имеем:
dcp = grad ср. dr = dx + dy + dz.
т ь т дх 1 ду J dz
Силовые линии grad ср пересекают поверхности уровня ср = const
нормально.
Скалярное поле
183
Если grad ср = @5, то ср называется потенциалом
26.	grad ср =	1 4- -т1- i 4- f,
6 т дх 1 ду Л 1 dz 1
(диференциальный параметр 1-го порядка),
grad (Сер) = С grad ср, где С есть скалярная постоянная,
grad (ср + ф) = grad ср -ф- grad ф,
grad (ср ф) = ср grad Ф + ф grad ср,
grad F (ср) = F' (ср) grad ср.
27.	Градиент можно определить, как пространственное дифе-
ренцирование скалярной функции ср, при помощи векторного
диференциатора „набла“
ч-z	d . । д . .	д *
V — £— t ~Н —5— j Н 5— 9
дх 1 ду у 1 dz
так что
V ? = grad ср.
Знак V есть знак действия, аналогичный знаку d обычного (ска-
лярного) диференциального исчисления; так как результат дифе-
ренцирования не зависит от выбора прямолинейных координат,
то V имеет значение вектора, подчиняющегося правилам вектор-
ного анализа, слагающие которого, однако, являются не чис-
лами, а знаками диференцирования. В качестве диференциатора
V действует на стоящие от него вправо скалярные функции и пе-
ременные векторы, поскольку они связаны с ним произведением;
диференциатор не действует на написанные влево от него скаляры
или векторы. Ввиду этого при вычислениях со знаком V нельзя
менять порядка символов.
28.	Применение знака V к вектору приводит к 1):
V 31 = div 31 =	+	(скаляр!)
И к
	i	i	1	
[V 31] = rot 31 =	д	д	д	—
	дх	ду	dz	
•	Ах	Ац	А.	
_P^_.dA?h_L !дА*	dXg\ (дА&	дАЛ
\ ду dz ) 1 ‘ \ dz	дх / * * \ дх	ду )
i) Вместо rot II — Комиссией AEF не рекомендуется — пишут также и curt 31,
quirt %.
184
Т. I. Отд. 1. Математика. VI. Векторный анализ
29.	div (Х2Г) = X div 2Г+(grad X2I)
rot (X21) = X rot 21 + [grad X21]
div (21 + 23) = div 21 + div 23
rot (21 -j- SB) = rot 21 + rot 23.
$0. Если	=	~тангенциальный век-
ds ( d s	d s	ds )
тор пространственной кривой, то
~ ds dx ' ds dy ‘ ds dz ~ ds
есть изменение 21 по направлению ds (или t).
(SB V) 51 = | SB ) • (SB0 V) 51 есть изменение 21 по направлению 23,
помноженное на значение 23.
31. div [2Г23] = 23 rot 21 — 21 rot 23
rot [21 SB] = (SB V) 51 — (21V) 23 + 21 div SB — SB div 21
grad (21 SB) = (SB V) 51 + (2X V) 23 + [21 rot SB] + [SB rot 2(]
grad | 2£ i = (2X° V) 51 + [21° rot 24]
(21° V) 21° + [21° rot 2I°] = 0.
32.
v dx2 dy2 dz2
Л (диференциатор 2-го порядка)
V3 f = div grad <p = Л ср (диференциальный параметр
 2-го порядка)
V (V 51) == grad div 21
[V [ V 21)] = rot (rot 31) = rot2 21 = grad div 21 — A 21
IV V ?] = rot grad ср = 0
V[V 21) = div rot 2Г = 0
A (W) = ч> А Ф + Ф A <p + 2 grad cp. grad d>.
33.	[[v 51] 23] = (V 23) 21 - v (51 SB) = (V 23) 2( - grad (2123)
21SBG div £) = [2123] (SV)®+ [23(5] (21V) £>+[(£ 21] (23 V) £).
34.	Пусть r = { x, y, z | есть радиус-вектор, г — | г |, г° =
соответственный вектор-единица, с постоянный вектор; тогда:
т°
grad r = r°, grad (ст) = с, grad (г—1) =--------
grad/(r)=/'(r)r<>,
2	/ г° \
div г = 3, div г° — — , div ( —5-) = О,
г	\ г2 J	-
div [ст] = 0,	div [/(г) г°] = 2 -+-+/' (г),
rot г = 0,	rot[cr] = 2c, • rot [/(г) г] = О,
(cV)r = c, Ау = 0.
Криволинейные и цилиндр, координаты
185
35.	Конечная точка радиус-вектора г (и), зависящего от скаляр-
ной переменной и, описывает пространственную кривую; конечная
точка г (a, v) описывает кривую поверхность, на которой кривые
а = const, v = const образуют сеть. Конечная точка r(w, и, W) опи-
сывает часть пространства, определенным образом подразделяемую
поверхностями и = const, v = const, w = const (a, vt w называются
криволинейными координатами (ср. стр. 167).
Квадрат линейного элемента любой кривой на поверхности
равняется dr2 = Edu2-}- 2 F dudv + Gdv2, где
с- ( дх V г dr dr „	/ dr V
~ \ du ) *	~~ du dv *	7 ~ \ dv ) *
F = 0 означает, что кривые и = const и v = const взаимно пересе-
каются под прямыми углами.
D	. Г dx dx "I . ,
Вектор элемента поверхности d\ = 'dtT	значения
fdfl = do равен f^EG—F2dudv.
Элемент объема пространства
,	[ dx dx dx \ . . ,
dx = -x— -3— -3— ) du dv dw.
\ du dv dw /
Имеем
.	( d2l dx	dVL dr\
1 \ du dv	dv du J
.. Г d dr dr \ . d fQT dr dr \ .
div2(rfT= ->- ( 31 -3-ч—	+ -7- 21 -3---5— )	+
[ du \ dv	dw J dv	\ dw	du /
. d (nr dr dr \*1 , , ,
4 -5— 21 -3----5— ) \ du dv dw.
dw \ du dv J J
f dr / dr \o	/ dr \o
Векторы -:— = u,	—— = b, I -3— = to являются танген-
K \ du J \ dv /	\dw J
циальными векторами трех координатных линий, вдоль которых
пересекаются в пространстве поверхности и = const, v = const,
w = const, в конечной точке OP = г. Пусть вектор-поле 21 разло-
жен на слагающие по отношению к и, Ь, to. Тогда 21 = 4аи+ +
+ Д/ to, причем u2 = b2 = to2 — 1.
36.	Цилиндрические координаты.
г = { и cos v, и sin v, w)
и = p, v =
dr — и du dv dw
, d'f . 1
grad? = -^u+-
div 91 = 1
u du
w — z (фиг. 63)
-Г2- b + to
dv dw
, j_ dAv	dA„
' и dv	dw
186
Т. I. Отд. 1. Математика. VI. Векторный аналив
I U Ь П)
д 1 д д
ди и dv dw
Аи
А в — — -L d2? J. 1	_L_ d2f
и ди ' ди2 ' и2 dv2 dw2 *
Фиг. 64.
Шаровые полярные координаты
г = { и cos v sin w, и sin v sin w, и cos w
// = |r|, и=ф, о/ = 0(фиг. 64)
dx = и2 sin w du dv dw
, d? ।	1 dtp . , 1	с)?
grad cp =: u 4-------b -------------—— id
°	ди и sin w dv и dw
div ST = -4 4- («2ЛИ) 4---------г------4--------------Г---------- (Sin wA„)
u1 du	usfaw dv и sin w dw
u	b	ft)
_ d 1 d _1_ d
rot 31	— u s.n w и dw
/ltt Ат Aw
1 d9-v ,	1 d f, d?\
—9	-----H--------5—.----------£— sin W -^-L-
u2 sinJ w dv- u2 sin w dw \ dw /
37.	а) Криволинейный интеграл вектора 31 вдоль участка кри-
вой С, распространенный от точки до Р2:
/ ч( dx = j (Axdx -j- Aydy + A^dz).
p[ (О P\
Криволинейный интеграл всегда является скаляром.
Пример. Работа силы Я вдоль участка пути (С) от до Pt является криво-
линейным интегралом
Pt
А -	/ A dr.
р{ (С)
Ь)	Скалярный интеграл площади вектора 31 по ограниченной
поверхности F или векторный поток ЗС сквозь участок по-
верхности F;
Теоремы Отокса. Гаусса и Грина
187
/’/7Я^ЬЛ' =
(F)	'(F)
= [ У* |8Г| COS9HI / EG — F^dudv,
где 9? есть вектор-единица нормали к поверхности.
с)	Векторный интеграл площади:
/ 1М1^ЛЯ(^)]Л,Л’'
(F)	(F)
Криволинейный интеграл, распространенный по замкнутой кри-
вой (без двойных точек), называется интегралом по краю.
Интеграл поверхности, распространенный по замкнутой поверхности
(простого строения), называется интегралом по оболочке
или круговым интегралом. Такие интегралы обозначаются через у*.
f dr = 0,	f df = 0.
38.	Интегральная теорема Стокса:
f rot SI d f = f ST d r,
(F)
причем круговой интеграл должен считаться от ограничивающей
линии F так, чтобы d\ и dr определяли правое вращение (фиг. 65).
39.	Интегральная теорема Гаусса:	_
f div S( dx = — f SI d\,	df>
(R)	°	C " J
где интеграл по поверхности, ограничивающей
объем /?, должен быть так направлен, чтобы
вектор d f был направлен внутрь.	фиг*
40.	/ rot?Idf = 0,
J1 г d f = — 3 т, где т есть объем, заключенный внутри огра-
°	ничивающей поверхности.
У* grad ср rot St d т = — J ср rot SI d f,
(Я)
/rotSIdx = f [SI df].
(Я)
41.	Теоремы Грина:
Jcp grad ф d f = — f (ср Д ф -|- grad cp grad ф) d r,
e	(AJ
188
Т. I. Отд. 1 Математика. VI. Векторный аналив
J* (ср grad Ф — Ф grad ср) d f = f (6 Д ср — ср Д 'L) d т,
(/?)
— J* ср d f = f grad cpdr, j* r2 d f = 2 f r dr.
(/?) ° (/?)
42.	Пусть т есть объем, ограниченный оболочкой нижеследую-
щих интегралов, тогда
grad ср = — lim f — / ср d\\ ,
т -> о I х J ' I
div9l=— lim 0- f
rot21 = — lim (-- Г [SlrffA.
t->0 I T ./	I
43.	Потенциальное (свободное от вихрей) поле:
rot 21=0. В простом, связанном1), свободном от вихрей, поле всякий
криволинейный интеграл
/ Vidx
р.
имеет значение, не зависящее от вида пути, или У ?rrfr = O.
Рч
21 = grad ср, ср = у 2t d г.
Pi
Потенциал ср однозначен и непрерывен.
В многократно связанном, свободном от вихрей поле, имеются
многозначные непрерывные потенциалы; их можно сделать одно-
значными, если ввести поверхности изменений, где потенциалы
всегда претерпевают тот же самый скачок. Пример: электрическое
поле во внешнем пространстве трансформатора.
44.	Поле, свободное от источников: div 21 = 0. В та-
ком поле векторный поток f ^id\ сквозь поверхность с заданной
(П
ограничивающей кривой имеет значение, не зависящее от формы
поверхности или у 21 d f = 0. 21 = rot 23.
о
45.	Слоистое (с нормальными поверхностями) поле:
21 rot 21 = 0. Только в таком поле (а следовательно, и в свободном
9 Поле называется просто связанным тогда, когда всякая замкнутая кривая
ограничивает в нем часть поверхности, целиком расположенную внутри поля.
Аффиноры (тензоры)
189
от вихрей) имеются поверхности, которые всегда перпендикулярны
к силовым линиям (поверхности уровня).
’ '	Л	Р8
9I = Xgrad<p, J*
P1(C)
div 91 = X Д ? + (grad X grad cp), rot 2( — [grad X grad ср].
46.	Свободное от вихрей поле определяется указанием его
источников (div St = р), а свободное от источников — его вихрями
(rotSl = 9i); любое поле однозначно определяется его источниками
(р) и вихрями 0R), поскольку выполнены определенные условия
непрерывности.
Аффиноры (тензоры)
47.	Пусть а, б, с три (некомпланарных) вектора (обе 4= 0), равно
как и и, б, ft) (иЫифО). Если
$Р = аа4-₽Ь4-*ГС и О = а и + р Ь + 7 б),
то ф и Q находятся в аффинерной связи. Согласно 17 имеем
£1 = и • а'ф _|_ р . уф _|_ к). с'ф ,
где а', б', с' суть векторы, обратные к а, б, с. Выражение для О
называется линейной векторной функцией от ф и потому
О = Фф.
Буква Ф указывает на линейное преобразование (трансформа-
цию), посредством которого вектор ф переходит в вектор Если
и, Ь, ft) обозначают наперед заданный трехгранник, то Ф опре-
деляется тремя векторами а, б, с или а', б', с'. Такую, применен-
ную к вектору, трансформацию пишут в виде
Ф = и • az + б • б' -]- ft) • с'
и называют аффинором (прежде тензором х), а £> = Ф ф назы-
вают „произведением" аффинора Ф на вектор ф.
48.	В особом случае u = i, б = j, ft) = I получается
О=Фф = 1-?1ф + 1-53ф + Ь®ф
(здесь вместо 91, 93, С написано а', б', с'), а разложение по коорди-
натам дает*
Qx = Ахрх + Aypv + AZPZ
Qy = BxPx4 ВуРу + ВгРг
Qz = cxpx+cypy+c,px.
Иногда употребляют термин „диада“; однако, этим словом обозначают и
более простой случай и«л'. Комиссия AEF не выработала своих предложений по
аффинорному анализу.
190 Т. I. Отд. 1. Математика. VI. Векторный ‘анализ
Аффинор определяется теперь системой коэфициентов (матриц)
Ф = вхвув2 у о = вхвувг
X Сх Су Сz J	\СхСуСг/
49.	Если
ф = п • 51 + b • 53 + to • S,
то
0' = 5l-u + 53-b + (§:-to
есть аффинор, сопряженный с Ф.
В частном случае (48) u = i, b = J, to = f получается
О' = Ф' $ = 51 •	4- S3 •	= Рх 51 + Ру S3 + РгЪ,
разложением по координатам:
/АХВХСХ\	/А^.ВХСГ\
Ф' = ( АуВуСу ), £Г = ( АуВуСу W
АгВгСг/	\АгВгСг/
Таким образом Ф' получается из Ф путем замены столбцов и
строк.
50.	Два аффинора называются между собою равными, если они
идентичны. Под суммой Ф1-\-Ф2 подразумевают аффинор, пре-
вращающий вектор ф в Фг $ -}" ^2 Имеем
4~ &2 u ’ (“1 т <<2) 4“ Ь • ИЧ4~ &2) 4" 111 * (^1 4~ ^2),
М1к+Л2х	^1у+^2у	^l»+^2z\
+ ^2 = ( Bix + &2х	&\у 4~ &2у	&lz 4" ^2г )	= ^2 4“ ^1-
4“ С2х	С1у + С2у	С1г + ^21'
X0 = u-k5l4-b-XS3 4-to-Xe.
51.	Симметрическим аффинором называют такой,кото-
рый совпадает со своим сопряжением: Ф=Ф'. Кососимметриче-
ский аффинор-это та:.ой, который противоположен своему со-
пряженному : Ф = — Ф',
Аффинор
/ ан а12 Л1з\
Ф = I ^21^22^23 I = (aik) 0»	= 1» 2, 3)
\а31 а32а33/
симметричен, если aik = aki, кососимметричен, если aik = — aki,
так что аи = 0. Всякому симметрическому аффинору может быть
приписана поверхность второго порядка:
~Ь ^а}2хУ +	4~ ~F 4“ я 1»
называемая „тензорным эллипсоидом", хотя она и не всегда является
эллипсоидом.
Аффиноры (тензоры)
191
Всякий аффинор может быть представлен в виде суммы сим-
метрического и кососимметрического аффинора, а именно
Ф=Г + А,	Г=А(ф + ф/)1 л = ±(ф —ф/).
где Ф' есть аффинор, сопряженный с Ф; это разложение возможно
лишь одним способом. Т называется тензором от Ф, а А —
аксиатором от Ф:
Т = ts Ф, А = ах Ф.
/ «п
ts Ф = ( J (а^ -|- ^21)
- \ J («13 + «31)
/ О
ахФ =( 2 («21 — «12)
Ч («31 — «хз)
5 («12 + «21)
«22
1 («23 + азг)
i («13 + «31 \
5 («23 + «32 ) »
«33	'
1 («12 “ «21)
О
5 («32 ~ «23)
2 («13 — «31) \
5 («23 — «32) ) •
О /
52.	П р и м е р ы. а) Тензор напряжения. Упругое состояние тела определяется
тремя силами натяжения (или давления) и шестью срезывающими силами, которые
могут быть выражены в виде одного аффинора:
XxYxZx
Ху YyZy
ХгУг2г
Из механики известно, что этот аффинор симметричен, т. е. что Zy =
Х^ — zx, Ух — Ху.
b)	Три величины, вводящие в ах Ф, могуг быть представлены как координаты
вектора со = i/, (a3j — 0,3) i + Ч2 («гз_— «31) 1 + Ч2 (a2i — «и) Е. Тогда ах Ф В =Jco ЭД.
В частности (ср. 12) ах Ф т = [со г] есть скорость вращения г, если через со обо-
значить угловую скорость, при вращении вокруг оси, перпендикулярной к г.
с)	Бесконечно малое изменение вектора 'В под действием уносящей его теку-
щей жидкости, скорость которой пропорциональна вектору {и, v, w}, выражается
векторной функцией
ди ди ди \
дх ду дг '
dv dv dv
дх ду dz
dw dw dw 1
dx dy dz /
ФВ =
Разложение Ф на его тензор и аксиатор приводит к теореме Гельмгольца, со-
гласно которой всякая бесконечно малая деформация может быть выражена, как
соединение чистой деформации (в смысле примера а) и вращения (пример Ь), при-
чем параллельное перемещение не учитывается.
192 Т. I. Отд. 1. Математика. Vn. Комплексные числа
VII. Комплексные числа и векторы плоскости,
функции комплексной переменной, конформ-
ное изображение ’)
а) Комплексные числа и векторы плоскости
1. На стр. 64 и 90 указаны формальные правила исчислений
с комплексными числами. Независимо от этого, комплексные числа
могут быть истолко.ваны с геометрически - векторной точки зре-
ния, что делает их особенно важными и необходимыми для при-
менений к математической физике, механике и
особенно электротехнике.
В дальнейшем будет говориться исключительно о векторах,
лежащих в одной плоскости. Обозначим через е и i два взаимно
перпендикулярных вектора-единицы осей х и у; тогда [е i] = t есть
вектор-единица, перпендикулярный к рассматриваемой плоскости,
обращенной к зрителю. Всякий вектор з плоскости может быть пред-
ставлен в виде з = хе +^i, где х, у прямоугольные координаты ко-
нечной точки радиус-вектора з по отношению к системе координат,
определяемой векторами е и i. Мы имеем тогда для сложения, вычи-
тания и умножения на (вещественное) число X, как и на стр. 180):
3±3' = Д±х')е + ^±У) i,
Хз= Ххе-р Xyi.
Если
131=1" /х2+_у2
и
у = аге (8) = arc cos (х/| з |) = arc sin (у/\ 3 |) = arc tg (у/х)
суть полярные координаты конечной точки 3, то
3 = l3l(cos'f еД- sin vi)-
Стоящий в скобках вектор
е? — cos ф е + sin ф t
является вектором-единицей отклонения (фазы) ф относительно
оси х; е0 = е, етс/2 = t (фиг. 66).
2. Для внутреннего ( ) и внешнего [ ] произведения имеем
(3 з') = х х' Д у у' = 181 • | з' | cos 33z>_^ (з 3) = 1312,
[3 3' ] = (ху' —ух') • I = 13 I • 13' I sin Гз' • !.
1) Литература. L. Le w ent, Konforme Abbildung. Leipzig u. Berlin, 1912,
В. O. Teubner; L. Bieberbach, Einfiihrung in die konforme Abbildung, Berlin u.
Leipzig. 1915, G. J. Gdscben, Sarr.mlung Goschen, Bd. 768; Holzmflller, Einfuh-
rung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften, Leipzig, 1882; Ausgefflhrte Bei-
spiele bei Th. M ey e r, Konforme Abbildung, Z. f. ang. Math. u. Meeh. 3, S. 136, 1923.
Комплексные числа и векторы плоскости
193
Скалярное произведение является вещественным числом, тогда как
векторное произведение является вектором, не лежащим в данной
плоскости. Это обстоятельство приводит к желательности созда-
ния третьего вида умножения двух векторов (лежащих
в одной плоскости), при котором и произведение (вектор) также
лежит в той же плоскости. Если 8 = I 8 I •	> 8х = | 8х | •	, то
(согласно определению)
83' = I зМв'1 •e<p + <fz = I 8 1-1 8'1 [cos (<р + е + sin (<? + ?')<!-
Этот вид умножения обладает также
тем достоинством, что для него оста- Ь
ются в силе законы: 1) переместитель-
ности з'з = 35'; 2) соединения (зз')з" =
= 8	= 3 З'З"; 3) распределения '	.	>
(3 + 3х) Зхх —	+ 3Х3ХХ«	1 ‘
Этим путем можно также и делить	»	;
векторы. Подз~1=1/8 мы понимаем	;
вектор, который при умножении на j •	* /	*
8 ( Ф 0), согласно данному выше опре-
делению, дает вектор е. Получаем одно-	Фиг. 66.
значно
отсюда 1-=8'3-1 = 1Ие ,_ =lil[cos(/ — <р) е+sin (/—ср) i],
3	181 Y у 131
Конечно, только что указанное произведение обладает тем недо-
статком, что оно зависит от выоора вектора е, т. е. от направления
оси абсцисс.
Имеем также
33 = З3 = I 312 %•
Если положить здесь 8 = е и 8 = i, то получим
е3 = е, i2 =	= — е.
3. Обычно обозначают векторы по оси х (понимая их всегда
как радиус-векторы) просто абсциссами конечных точек, т. е. в виде
положительных или отрицательных кратных вектора-единицы е,
а этот последний обозначают через 1; далее, пишут Z вместо i и z
вместо 81)- Тогда
Z2 =— 1, z = х-\-yi.
Не надо только забывать, что здесь х, у суть скаляры (веществен-
ные числа), Z, z — векторы, и не надо удивляться, что полученное
Дальнейшее можно найти во всех почти учебниках теории функций, например
И. И. Привалов, Введение в теорию функций комплексного переменного,
Госиздат, 19J2 г.
Обозначение i принадлежит Эйлеру и повсюду употребляется уже 150 лет.
К сожалению, некоторые электротехники иногда пишут J.
194
Т. I. Отд. 1. Математика. VTT. Комплексные числа
для векторов выражение = — 1 для скаляров (вещественных чи-
сел) не применимо.
Вектор z = х -\-yi обнимает два скаляра, последовательность
которых фиксирована и называется поэтому „комплексным числом"
(Гаусс), причем термин „число", до сих пор применявшийся лишь
к скалярам в этом смысле, распространяется и на векторы одной
плоскости. Основание такого распространения для понятия число
заключается в том, что правила исчисления с обычными веществен-
ными числами все без исключения применимы и к векторам плос-
кости, если вычитание, умножение и деление (согласно 1 и 2) со-
ответственным образом определяются и при вычислениях всегда
полагается Z2 = — 1.
Когда пишут i = V—1, то это можно и надо рассматривать
исключительно как особое начертание векторного уравнения
i2 = — 1, так как иначе можно впасть в ошибки прошлого пли в не-
понятную мистику, которым нет места в математике и которые
сказываются в прежнем названии „мнимые величины".
В целях удобства рекомендуется, следовательно, для вычислений с векторами
одной плоскости пользоваться комплексными числами. Как заметил Гаусс и доказал
Вейерштрасс, невозможно для векторов в пространстве создать исчисление, в кото-
ром можно было бы применять все правила исчисления с обычными числами. Для
пространственных векторов рекомендуется поэтому векторное исчисление, изложен-
ное в отд. VI, стр. 174 и след.
Заметим еще, что вектор-единица по причине, указанной
ниже (см. Ь, стр. 196), может быть обозначаем и через е1® , т. е.
имеет место формула Эйлера:
е1^ = cos я -|- i sin ? = еф,
4. Умножение zt = | zr | • еф на z2 = ' z21 • еС2 означает геометри-
чески вращение вектора z± на угол ?2 и одновременно увеличение
(или уменьшение) его длины до значения | zY | • | z21 (вращатель-
ное растяжение). Деление есть не что иное, как поворот на
— ср2 (т- е- в противоположном направлении) и растяжение (или
сжатие) его длины до значения | zi |: | z2|.
Геометрическое построение w = zr z2. Треугольник Oz?w подобен треуголь-
нику Olz, (фиг. 67). Умножение на i есть, следовательно, чистый поворот на 9и°
в положительном направлении.
Геометрическое построение 1/г. Сперва конструируют сопряженное зна-
чение z = | г | е и из точки z проводят касательную к кругу радиуса 1. Пря-
мая BBf, соединяющая точки касания, пересекает вектора в конечной точке Q'
искомого вектора OQZ = 1 : г. (Трансформация посредством обратных радиусов или
обращение; Qz есть точка, обратная к z, фиг. 68.)
Геометрическое построение w = zjzj. Строят треугольник 01 w, подобный
треугольнику Oz2Zi (фиг. 69).
I п _I
Геометрическое построение Vz. Круг радиуса | с центром в нулевой
Комплексные числа и векторы плоскости
195
п
точке делят на п равных часгей, начиная от точки = + ”^1г1 • Точки аеле-
п
ния дают п значений для V г (фиг. 70, где п = 7).
Если г0,	г2,.. .*л _ 1 суть те п векторов, которые идут о» центра О х точ-
кам деления, то имеем
£ zk = +" г1 4- 4" • • • + гп — 1 = о,
а также
5. Целесообразно пользоваться векторами в плоскости в при-
менении к периодическим явлениям, которые протекают по закону
синусов. Пусть
имеем такое сину-
соидальное коле-
бание {i есть вре-
мя;:
У = A sin (ш t + %),
его амплитуда Л,
его частота колеба-
ния со, следователь-
но, его период (про-
должительность ко-
лебания) 2 7с/(о, его
начальная фаза ?0;
это колебание мо-
жет быть рассматриваемо в качестве слагающей у вектора
Сложение двух колебаний ук и у2 в одно общее колебание может
быть достигнуто путем сложения соответственных векторов zb z2.
Для колебаний с одинаковой оз, так называемый множитель времени
есо/ = один и тот же. При вычислениях и конструкциях с та-
196
Т. I. Отд. 1. Математика. VII. Комплексные числа
кими синхронными векторами можно, поэтому, пропускать этот мно-
житель и представлять себе, что вся плоскость вращается с не-
изменной угловой скоростью со, так как в этом случае существен-
ным является лишь разность фаз векторов. Вместо этого можно
рассматривать плоскость как неподвижную, тогда как прямая, про-
ходящая через z = 0, вращается с угловой скоростью — <о, т. е.
в обратном направлении. На этом основаны, например, диаграм-
мы техники переменных токов.
Ъ)	Аналитические функции комплексной переменной.
Конформное изображение
1.	Функция w=f(z) комплексной переменной z = x 4 /у, име-
ющая в каждой точке области плоскости z производную
=т_ м....................т
h + 'J
называется аналитической или правильной в этой обла-
сти. Разделив вещественную и мнимую части w = и (xty) + iv (х,у\
получаем для аналитической функции:
. d и	dv	dw	. О и . dv . dw
? 2	— d х	d х ~	d х ~	1 dy^ dy	~	1 dy *	’	“
в виду чего можно применить диференциальные уравнения Коши-
Римана
d и	dv d и _	dv
dx ~ dy ' dy~~	dx	• • • ( )
и потенциальное уравнение Лапласа
d-'j> d2v
дх*+д^ для '? = “ и v..................W
Об элементарных функциях см. Ill Е, стр. 90. В частности не-
обходимо указать на то, что вектор ех гу = ех (cosy/ + i siny)
представляет аналитическую функцию z = х + iy, которой произ-
водная тоже равна ехеу ; она обладает, следовательно, такими же
свойствами, как и вещественная показательная функция; далее, при
z — 0 она принимает значение 1 и обозначается поэтому через ez.
Для х = 0 получаем тогда
eiy = су = cosy + i siny,
т. е. формулу Эйлера.
2.	Если приравнять вещественную часть и (х,у) аналитической
функции w=f(z) и ее мнимую часть v(x,y) некоторой произволь-
ной постоянной, то на плоскости ху (плоскость z) получается сеть
Конформное изображение
197
из двух семейств кривых, которые во всех точках пересечения вза-
имно перпендикулярны, так как
ди dv . ди д v _ п
д х д х ’ ду ду ~~
Этим семействам соответствует в другой плоскости, плоскости uv
(плоскости w) сеть прямых, параллельных осям и и v.
Функция w=f(z) приводит в соответствие каждой точке z плос-
кости z некоторую точку w в плоскости w\ говорят, что обе плос-
кости изображаются одна на другую. Если функция w=f(z) ана-
литическая, т. е. когда имеет место одно из условий 1,2 или 3,
то во всех точках, где/'(£)фО, две пересекающиеся кривые плос-
кости z образуют такой же угол, как соответственные кривые плос-
кости w в соответственной точке (winkeltreue Abbildung). Кроме
того, линейные элементы обеих кривых плоскости z в данной точке
находятся взаимно в таком же отношении, как линейные элементы
соответственных кривых плоскости w в соответственной точке (сход-
ство в мельчайших частях). Такое изображение посредством ана-
литической функции называется конформным изображе-
d w
н и е м. f' (z) = называется отношением искажения, так как \f'(z) |
измеряет изменение длины, a arc (/' (z)) — вращение, испытываемое
небольшим участком плоскости z при изображении.
с)	Некоторые частные виды конформных изображений
l.	w = z-}-ct где сесть комплексная постоянная, изображает
параллельное перемещение плоскости z на величину вектора с по
его направлению и длине.
2.	w = az + b (а ф 0 и 1) дает перемещение на 6, вращение на
аге (а) и удлинение в отношении	Точка z = 6/(1— а)
остается неизменной.
3.	w=\/z дает трансформацию при помощи взаимных радиусов
(инверсия, зеркальное отражение от круга), как она построена на
фиг. 68. Точка z = 0 является „особым центром" (полюсом) и пре-
вращается в .бесконечно далекую" точку (w = оо). Внутренняя
часть круга-единицы переходит в наружную и наоборот. Точки
периферии превращаются в такие же; точки z = zt 1 остаются
неизменными. Круги и прямые плоскости z> не проходящие через
нулевую точку z = 0, превращаются в круги плоскости w\ круги
же и прямые, проходящие через точку z = 0t превращаются в пря-
мые плоскости w.
a z -f- b
4.	w = I (z) =	[линейнаях) функция, с ф0] превращает
* совокупность всех кругов плоскости z в совокупность всех кругов
плоскости w, поскольку прямые определяются, как круги, проходя-
9 .Линейная* сказано здесь в смысле „линейно дробная*.
198
Т. I Отд. 1 Математика. VII. Комплексные числа
щие через бесконечно далекую точку (z = оо или w = оо). Обе так
называемые „неподвижные точки"
А, В = (а — d ± V (а - d? 4- 4* с) : 2с
плоскости z соответствуют тем же точкам плоскости w. Они совпа-
дают, если (а — d)2-|-4fo = 0: это „параболическая" линейная функ-
ция. Линейная функция является единственной, дающей обра-
тимо-однозначное конформное изображение все ^плоскости
z на всю плоскость w, т. е., что каждой точке первой плоскости
соответствует определенная точка второй плоскости и наоборот.
I (z) вполне определенно, если заданы три значения ш, которые
I {z) принимает при трех различных значениях z. Если
Л = /(«),	£ = /(₽),	С=/(т).
то w получается из
хл -А В — A _z — а р — д
w — С ’ В — С ~ z— ( " ₽ — у
или (w, А, В С) = (z, а, р, 7), если обозначить таким образом двойное
отношение. Двойное отношение четырех точек остается при линей-
ном конформном изображении неизменным.
Некоторые особые случаи.
w = i-—-1. изображает верхнюю половину плоскости j'>0
на внутреннюю часть круга-единицы |w|<l, а ссь л-ов на его
край | w । = 1.
w= —------изображает круг-единицу |z| = 1 на круг-единицу
bz — а
г - Плоскость
Фиг. 71.
| w | = 1, если а а — b b 0.
w = k • - - ? изображает круговой треугольник плоскости z,
сумма углов которого
равна двум прямым и
стороны которого прохо-
дят через одну точку а,
на прямолинейный тре-
угольник- плоскости w.
Угол z = b (при y) nepe-
zv -Плоскость ходит в нулевую точку
(фиг. 71). Та же самая
функция изображает кру-
говой сегмент, состоящий
из двух, касающихся в точке а кругов плоскости z,— на полосу
плоскости w (фиг. 72) и круговое кольцо, образованное двумя
эксцентрическими кругами плоскости z в концентрическое круго-
вое кольцо плоскости w.
Частные виды конформных изображений
199
п) - Плоскость
w = z + a2[z (а, — вещественно). Кругам > z I = const плоскости z
соответствуют конфокальные эллипсы плоскости w, если |z|=f= а,
а кругу | z । = а - участок ' и |< 2а.
5.	w = z2. Прямые через точку z = 0 превращаются в прямые
через точку w = 0, причем каждая поворачивается на двойной угол.
Вокруг точки w = 0 (точка развет-
вления). изображение углов не полу-
чается точным. Вся плоскость z изо-
бражается на двойную, из двух частей
состоящую плоскость w (двойная
плоскость Римана;. Кривым и =
= const, v = const плоскости w со-
ответствуют гиперболы х2—у2 = и,
2ху = v плоскости z; напротив, па-
раллелям к осям х = const, у = const
плоскости z соответствуют конфо-
кальные параболы v2 = — 4х- (а — х2) и v2 =4у2 (м -j-y2) плос-
кости w.
Z-Ллоскость
Фиг. 72.
6.	w = zn (л>0, целое число); аналогично предыдущему. Вся
плоскость z изображается на л-кратпую, из п частей состоящую
плоскость w (n-кратная плоскость Римана). Нулевая точка w = О
является л-кратпой точкой разветвления.
7.	w = z1^ (а — вещественно). Внутренняя поверхность угла тса,
вершина которого лежит в нулевой точке z = 0 и одна из сторон
которого лежит на положительной оси х-ов, изображается на полу-
плоскости г/>0, а соответственный сектор круга-единицы на верх-
ний полукруг v = + V1 — и2.
8.	w = ег- Четырем полосам 0/2, к/2^у	т:<С.у<Зл:/2,
3n/2<j/<27: соответствуют по порядку 1, 2, 3 и 4 квадранты
плоскости w, всей плоскости z — бесконечно многократная плос-
кость w, прямым х = const соответствуют круги \w\ = ех = const,
прямым у = const— прямые arc (W; = const.
9.	w = sin z. Прямым x = const, у — const плоскости z соответ-
ствуют в плоскости w конфокальные гиперболы и эллипсы
и2 v2 _ 1 и2	V2 _
sin2x cos2x“ ’ ch2v ' sh2_y ~
10.	w = log (z2 — 1). Прямые и = const, v = const плоскости wt
параллельные осям, являются изображениями конфокальных кривых
Кассини (лемнискат) с фокусами х = ± 1 и равносторонних гипер-
бол, проходящих через те же точки.
11.	w = е ~2к!‘г изображает пространство вокруг острия, со-
стоящего пз-|-х-оси и дуги круга, лежащей в плоскости z и каса-
тельной к острию в нулевой точке на пространство во-круг вер-
шины вытянутого угла плоскости w. Точка z = 0 сама является
особой.
200 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
VIII. Практическая математика
А. Численные расчеты
1.	Общие правила для длинных вычислений. Установить
схему или формуляр вычислений, чтобы все вычисление стало нагляд-
ным. Пользоваться отдельными листами клетчатой бумаги, исписывая
их с одной стороны. Побочные вычисления делать на краях, а
не на отдельных листках, чтобы можно было потом произвести про-
верку. Числа, которые часто приходится складывать или вычитать,
писать на отдельном „передвижном* листке. Не торопиться при
вычислениях.
2.	Вспомогательные средства. Счетные линейки, счетные ма-
шины, счетные таблицы, таблицы умножения: A. L. С г е 11 е, Rechen-
tafeln, Berlin 1907; L. Zimmermann, Rechentafeln, Liebenwerda;
kleine Ausgabe 1916, grosse Ausgabe 1896; J. Peters, Neue Rechen-
tafeln fur Multiplikation und Division mit alien ein- bis vierstelligen
Zahlen, Berlin 1909; H. Welskircher, Taschenbuch zum Schnell-
rechnen, Hannover 1914.
3.	Умножение и деление. Для умножения можно пользоваться
таблицами квадратов (см. I т., стр. 2; по формуле:
Деление можно привести при помощи таблицы обратных вели-
чин к умножению и наоборот (см. 1 т., стр. 2)
v	1	к	1
а .Ь = а • — . а • b = а \~-r-,
b	b
что облегчает многие вычисления. Divisionstafeln von. Н. Rauschel-
bach, Gottingen 1918.
4.	Квадратные корни. Если х есть приближенное значение
Уа, то х(а— х2)/2х является лучшим приближением. Если а =
= #24-е, где е мало по сравнению с Ь, то
Va = е
- л/—	п/—	а~лп
у а. Если х есть приближенное значение у а, то х-|—yi — i
есть более точное приближение. Если а = Ьп Ц- е, где е мало по
сравнению с Ь, то
6.	Приближенные формулы. Для малых значений х имеем
(1~1 + лх; в частности:
Численные расчеты
201
(1-|-х)’да14-2х. У1 + х^1+1х
1/(1 4-л)да1 — х, 1/К14-хда1—
ex^l-i-x, ах 1 + In а • х = 1 4- 2,30261g а • х
In (14-л) да X, 1g (14-х) да 0,43429 -х
sin х х, sin а° « 0,01745 • а
cos х	1 — I х1 2, tg х х, ctg х	1 : х
sh х	х, ch х » 1 + 5 х2.
7.	Вычисление погрешностей. Если Дх, Д_у,... малые погреш-
ности х, у,..то соответственные малые погрешности от /(х,_у,...)
вычисляются из
Д ftt I ! Д X + I I Д у -г ...
J I дх I ' I ду I
Все погрешности здесь должны рассматриваться как абсолютные
значения.
Д//|/| называется относительной погрешностью/,
100 Д//1/| погрешность в процентах и т. д.
. ..) = Дх4-Д.у+ ..
Д (xyz)... _ Д х Д у Д z
Тчу* • •. I ~ Т*Т + Ту Г + И
ЫДх-н*1 *у
\у)~ у2
8.	Счетная линейка. Устройство ^.Простая логарифми-
ческая счетная линейка2) состоит из плоского четырех-
гранного бруска с желобком для движка; поверх бруска и движка
может скользить бегунок, на стекле которого прочерчен штрих,
называемый визиром, которым пользуются при установке и отсчете
чисел.
На бруске и на лицевой стороне движка имеются по две логарифмических
шкалы с делениями для чисел от 1 до 10 (фиг. 73), причем масштаб верхних шкал —
одной на бруске А, другой — на движке а — в два раза меньше масштаба нижних
шкал (С, D), так что на верхних шкалах отрезок с делениями от 1 до 10 повторяется
два раза.
На оборотной стороне движка помещены три шкалы: lg sin (5) от 34' до 90®
в масштабе верхней шкалы бруска, lg tg (Г) от 5*43' до 45° в масштабе нижней
шкалы бруска и, наконец, шкала, позволяющая в сочетании с нижней шкалой
бруска отсчитывать мантиссы логарифмов чисел от 1 до 10.
Постоянные на шкалах означают:
1)р, = ?60-^60 = 206 265„
360®-го деления круга
1) Литература. Oenaueres bei Hammer, Der logarithmische Rechenschieber
und sein Gebrauch, Stuttgart, 1908. См. также Панов, Д. Ю, Счетная линейка,
Техническое издательство, Москва, 1932 г.
f) В счетных линейках специального назначения нижеописываемое расположе-
ние шкал сохраняется не всегда.
202 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
л 400 • 100 • 100
3) р = ----—------— 636 620 400°-го деления круга.
Они служат для пересчета углов, выраженных в дуговой мере, в углы в граду-
сах.
я = 3,142.
Для вычисления площади круга по его диаметру:
сг = с V10 == Учо/к.
Производство вычислений при помощи счетной линейки. Точность, да-
ваемая хорошей счетной линейкой длиною 25 см, составляет примерно от 0,1 до 0,3 °(0.
1.	Умно ж е н и е. Пример:
34,2 X 2,5	85,5.
Устанавливают начальное (конечное) деление движка на деление 34,2 нижней
шкалы бруска, передвигают бегунок до тех пор, пока визир не станет на деление
2,5 на нижней шкале движка; одновременно визир укажет на нижней шкале бруска
искомый результат — 85,5.
2.	Д е л е н и е. Пример:
85,5 : 34,2 --- 2,50.
Устанавливают над делением 85,5 шкалы бруска деление 34,2 движка ; искомый
результат, 2,50, отсчитывается на нижней шкале бруска под начальной (конечной)
точкой нижней шкалы движка.
Определение положения запятой в произведении и ча-
стном. Если т есть число целых знаков в первом множителе или в делимом,
яп — число целых знаков во втором множителе или в делителе, то в произведении
числом целых знаков будет	если отсчет производится влево от установки,
и т-^-п— 1, если отсчет производится вправо от установки; в частном же числом
целых знаков будет т — п, если отсчет производится вправо от установки, и/л — лД-1,
если отсчет производится влево от установки. Однако для контроля лучше опре-
делять число целых знаков также путем приближенного вычисления в уме.
3.	С т е п е н и и корни. Устанавливают визир бегунка на деление нижней
шкалы бруска, соответствующее возвышаемому в квадратную степень чи.лу; на верх-
ней шкале бруска визир показывает результат; обратно, корни квадратные из чисел
верхней шкалы бруска находятся на нижней шкале бруска, при этом следует пом-
нить, что числа, из которых извлекается квадратный корень, если в них четное
число целых знаков, должны устанавливаться в празой части верхней шкалы бруска,
и в левой части, если в них число целых знаков нечетное. Другие степени вычисля-
ются при помощи логарифмирования (см. выше).
4.	Тригонометрические функции. Пример:
tg 31° 10' = ctg 58° 50' = 0,605.
Устанавливают деление 31° 10' шкалы Т на оборотной стороне движка на визир-
ную черту, имеющуюся в выемке с правой стороны бруска, и отсчитывают на
лицевой стороне движка на нижней шкале у начального деления шкалы бруска
аначение 0,605.
Для углов, больших 45°, пользуются формулой:
tg° = tg(90-cO = ctg (90-«)=
Соответствующим образом определяются значения sin и cos.
При всяком положении средней подвижной части (движка) линейки имеют
место следующие соотношения отсчетов по шкалам:
Номография
203
а) Нормальное положение движка (фиг. 73)
							Ус	i а н 0 в к a У	визир; 2	1 на | и
	|л pi -fr- e :i- фиг. 7. b) Опрокину		Li 3. тое положени		A В C D re дв	a b c-\~ b d=y a ижка (ф|	xbla V xb^a r? 1Г. 74)	y.i{b У Vy V yajb	z*a(b г* 2 z Valb 1	•ш-Ь/а w "Vbla 1	W
							Ус- X	г а н 0 в к a У	визира Z	l на W
1	-Ll	у	»•	lj?| £	 Фиг. 74.			A C В D	a c a	с a/x czalx V x	ас-\У* У У’	 с Vа\у	ас2 lz V7 2 с a!z	W- с ajw c-atw' w
Если движок повернуть
нсйку, то будет иметь место
обратной стороной кверху и нормально вставить в ли-
между прочим соотношение:
А II a I a sin y/sin s
Ф1 у
В. Номография х)
1.	Под словом „номография" понимают графические, а отча-
сти и вычислительные методы составления счетных таблиц.
Задачей номографии является нахождение для заданного уравнения
F (а, р, 7,..) = 0 графического или механического вспомогатель-
ного приспособления, которое позволяло бы с достаточной точ-
ностью отсчитывать для каждого значения независимой перемен-
ной соответственное значение переменной зависимости.
2.	Основным элементом номографических таблиц надо считать
функциональную шкалу. Для составления прямолинейной
шкалы z = I • /(а) мм на одном и том же объекте из одной и той
же нулевой точки откладывают значения zv = I • /(«J мм, z2~ / */(а2)
мм и т. д., а свободные конечные точки снабжают цифрами ах, а2
и т. д. Расстояние I мм называется графической единицей.
9 Литература. Lacmann, Die Herstellung gezeichneter Rechentafeln, Berlin, 1923.
(108 S.) (Beispiele ausschliesslich aus der Hydraulik.j; Luckey, Einfiihrung in die
Nomographie, Leipzig u. Berlin 1918, 1920. (Math.-phys. Bibl.) (Einfiihrung); Pirani,
Die graphlsche Darstellung in Wissenschaft und Technik. Samml. G6schen, Nr. 728.
(126 S.) (Einfiihrung; zahlreiche Beispiele aus Physik und Technik.); Th. Schmid,
Darstellende Geometrie II, S. 329 ff. Samml. Schubert Nr. 66. (Zusammenhang mit
darst. Geom.); Schwerdt, Lehrbuch der Nomographie, Berlin 1924, Springer. (267 S.)
(Auf abbildungsgeometrischer Grundlage; Beispiele aus Physik und Technik; Aufgaben-
Sammlung mit Losungen.); Werkmeister, Das Entwerfen von graphischen Rechen-
tafeln. Berlin, 1923. (201 S.)
204 Т I- Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
Часто употребляемые шкалы. Логарифмиче-
ские шкалы: z = 1 • 1g а. На счетных линейках имеем чаще всего
/ = 250 мм; I = 125 мм; I = 83,3 мм. Относительная точность отсче-
тов на логарифмической линейке является постоянной. В продаже
имеются и масштабы с логарифмическими делениями.
Проективные шкалы:
z ~	(ad —	0).
са -|- d	'
При трех парах значений (a, z)
чена из правильного деления (rej
ции (проективные ряды точек в
►та щкала всегда может быть полу-
; а) посредством центральной проек-
перспективе). Проективные шкалы
отличаются своей гибкостью по
отношению к заданным областям.
Степенные шкалы z=l>an
обладают особо выгодными частич-
ными областями и могут поэтому
давать выгодные изображения.
Криволинейные шкалы от-
носятся к декартовой системе координат
(графические единицы для координатных
осей могут быть различными). Примеры:
х = г cos а, у = г sin а (правильное круго-
вое деление). Часто употребляются стерео-
графические круговые деления
_ с а _	1
Х- l-ф (С а)’’
или сходные с ними (см. 5).
Эмпирические кривые всегда могут быть превращены в двой-
ные шкалы (фиг. 75). Двойные шкалы всегда дают для масшта-
ба и точности отсчета выгодные услозия.
3.	Таблицы функций с тремя и более переменными могут
быть в общем разбиты на три основные группы.
а)	Сетчатые таблицы. Числа представлены линиями; каж-
дой переменной принадлежит группа кривых (или соответственно
прямых). Отсчет производится в пересечениях линий.
Ь)	Таблицы линейных шкал (см. ниже стр. 206). Числа
представлены точками; каждой переменной соответствует шкала.
Для отсчета пользуются линейкой или натянутой нитью так, чтобы
соответственные значения а, ₽, у... всегда находились на одной
прямой.
Таблицы для четырех и более переменных часто представляют
в виде соединения сетчатых и линейных шкал.
с)	Таблицы с особыми правилами отсчета (ключами). Гексагональные та-
блицы очень распространены во Франции. Другие таблицы с особыми ключами
представляют собою единичные случаи и всегда могут получить всеобщее применение.
4.	Сетчатые таблицы. Правильные сетки. В уравнении
Г (а, ₽, у) = 0 рассматривают одну из переменных, например у, как
Номография
205
параметр; тогда в координатной системе (а, Р) получается семейство
кривых, из коих каждая соответствует одному значению у. Кривые
(у) могут быть рассматриваемы как проекции линий уровня поверх-
ности F (а, р, у) = 0 на плоскость (а р). Пример: уравнение состоя-
ния pv = RT. Линии уровня в таблице (pv) — изотермы, в таблице
(vT) — изобары, в таблице (/?Г) — изохоры.
Номографически выгодные изображения получаются чаще
всего при искажении координатной сети. Целью иска-
жений является возможное представление функций в виде прямых
линий (растяжение). При искажении сети часто сохраняется
параллельность координатных линий (геометрическое искажение).
Искаженные сетки называют функциональными сетками.
Фиг. 76.
Наиболее употребительна логарифмическая бумага.
1-й случай. Двойная логарифмическая сетка
х = 1g а, у — 1g р для уравнений типа ар = /(у). Логарифмирова-
ние дает:
/>-lga-|-?.lg₽ = l£/ (f),
т. е. р х qy = С. Изображение каждой кривой (у) становится пря-
мой. На фиг. 76 изображено построение подобной сетки.
2-й случай. Ординарная логарифмическая сетка
X = а, у = 1g р для функций типа р = /(у) • [£(у)]°. При логарифмиро-
вании получается: 1g р = а • lgg(y) + lg/(y), т. е. у — схх + с2. Вся-
кая линия (у) представлена прямой.
Пример общей искаженной сетки (фиг. 77). Центр тяжести
полукруглого кольцевого куска (радиусы г и радиус центра тяжести р). Группы
кривых (г) и (/?) совпадают,
х 4-^г3 + г9 = 0 ;
/х	4	1
группа (р): у - - — у.
206 Т. I. Отд. 1. Математика VITT. Практическая математика
Уравнения с более чем тремя переменными по возможности
разлагают на частные уравнения. Например р, у, о) = 0 на
Л («. Pi 0 = 0 и А ("Г,	0 = 0. при наложении частных таблиц
получается сетчатая таблица со счетными линиями (/). Если можно
добиться того, чтобы отдельные члены группы (Z) были между
собою тождественны, то счетной линии может быть придан вид
подвижного шаблона (три степени свободы). На фиг. 76 изображена
кривая сложения по Мемке, аир определяют точку Р, с ко-
торой шаблон прочно соединен; связанные пары значений (у, о)
отсчитываются вдоль счетной линии (точка Q).
Более общие таблицы получаются, если на самом шаблоне на-
ходится сетчатая таблица.
Треугольные диаграммы для уравнений вида /(а) +
+ ^(Р) +Л(у) ~ const. Они часто употребляются для химических
систем из трех тел и в термодинамике (номограммы уравнения со-
стояния газа).
При пользовании функциональными бумагами необходимо для графи-
ческого приведения наблюдений приписать каждой точке некоторый вес,
в зависимости от места и рода сетки. См. Schwerdt, Phys. Z. 20, 1919, стр. 362.
5.	Линейные таблицы.
F (а, р, т)=0 может быть представлена линейной таблицей, если
l*i(«) У1(*) 1|
F=xa(3) _у2(?) 1 •
1*з(Т> Д'з(т) 1|
Условия, при которых возможно графическое изображение, теоретически исследо-
ваны, но не получили еще практически удобного вида. В детерминанте через xlt ух
обозначены зависящие от а координаты точки шкалы а; то же самое относится
к р и у.
Простейшая форма с тремя прямыми и параллельными шка-
лами:
•^1 — 0» X? — ^2» *3 — сз-
Изображенный тип: /^(я) -|- F2(?) + F3(y) — 0.
Задание: У1 =Fi(a)'> Л = 7-F2(?); >з = —-7-^3 (т)-
с2—63	с3	С2
Логарифмически подразделенные шкалы приводят к изображению
произведений.
Более общая таблица с переменными шкалами (фиг. 78). Функ-
s	1
ция:у==а. Задание: = 0, Ji = lga; х2 = 1, J'2= 1 + у
х3=у3 = 2/(2 — о). Шкалы (или о2) дают 102«у (или 10~2«у).
Таблицы с криволинейными шкалами (фиг. 79). Нагревание элек-
трических машин при постоянном подводе энергии. Функция: «Г =
= ГсоП— е~ь‘). Задание: Xj = 0, Л = ^-;ха=1, 5'2 = 4)^’
_	100	_ ЮТ,
Хз “ ioo з- ’Уз ~ Too + ^2 •
Номография
•207
Правила для отсчета: превышение температуры 1\° по истече-
72° по истечении времени
нии времени превышение температуры
/2=2 • произвольно).
Конечная установившаяся
температура 7^.
Часто удается при
том же положении ли-
нейки получить и дру-
гие функции. На осно-
вании уравнения G(a, 3;
б) = О линейку лишают
одной степени свободы,
так что она скользит
вдоль одной из кривых
(скользящие таб-
лицы кривых). При-
мер (фиг. 79). При неиз-
мененном значении вре-
мени линейна скользит
по эллипсу. На изобра-
женном примере время
*00 = 8-'2-
Если заменить шкалу, за-
висящую от одной пере-
менной, сеткой, пронуме-
рованной по двум перемен-
ным, то можно графически
представить функции четырех
до шести переменных. В част-
ности тип
Р _ f2(3)+F.,4(r,8)
Fia>-----
всегда может быть предста-
влен параллельными шкалами
(а) и (0) и сеткой (у, 5), если
^34 . 0/^34 J е дб/з-4
ду ’ 05 ' ду ’ 05
Соединенные ли-
нейные и сетчатые
шкалы получаются при разло-
жении, если не удается одну
из частных функций предста-
вить линейной таблицей же-
лаемого вида. Пример: вес
труб на погонный метр: G =
= тс/4 . y(D,>— 02). Разложение:
I. £)2 — 0-’ = /2. II. G = к/4 7-/2.
I представлено в виде сетки справа (фиг. 80). Найденное значение t доводят
до линии [/], затем слева в линейную таблицу. Результат G получается из (7).
Ы-
<Z6-
гч-
—0,1
ZS-
*99 tST
Фиг. 79.
Фиг. 78.
J0-I
zo-
Для линейных таблиц характерны те искажения, при которых
три точки, лежащие на одной прямой, приводятся в соответствен-
208 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
ное положение на номограмме. Это относится только к проектив-
ным искажениям.
а\2.У + g13	__ аЧ\.х + а‘яУ + g23
а31* 4" а32 У + азз’	+ алъУ + азз
Фиг. 80.
с неравным нулю де-
терминантом
а =
аП а12 а13
#21 а22 а23
а31 а32 Л33
Аналитически проек-
тивное искажение вы-
ражается умножением
указанного в п. 5 де-
терминанта на а. Де-
терминант а обладает
8 степенями свободы,
так что из каждой та-
всегда получаются проективные шкалы.
блицы можно полу-
чить оо7 8 проективных
изображений, причем
Применение проектив-
ных искажений является превосходным средством для получения
гибких таблиц.
6.	Двойственность. На основе двойственности (соответствие
точек и прямых) линейные таблицы могут быть подчинены сетчатым
таблицам так, что каждая прямолинейная сетка непосредственно
может быть „переведена" в таблицу шкал. Практическое значение
имеет теорема воспроизведения: для изображения прямо-
угольной сетки [х(а),ХЙ ] на двух параллельных объектах с произ-
вольным расстоянием достаточно нанести на последних шкалы х(а)
и _у(₽) с произвольными графическими единицами и из произволь-
ных начальных точек. В каждой жесткой системе возможно оо4
воспроизведений этого рода.
Принцип двойственности позволяет составлять эмпирические
таблицы шкал и производить в линейных таблицах исправления
по методу наименьших квадратов.
7. Практическое. Вспомогательные таблицы для временных вычислений целе-
сообразно составлять при помощи готовых шкал (так называемых основных
шкал) и набрасывать их на отпечатанных функциональных шкалах. Для рабочих
таблиц надо при составлении руководствоваться прежде всего удобством отсчета.
Зависимые деления надо отмечать одним цветом, сходными надписями и г. п. Иска-
жение светокопий при промывке не влияет на точность линейных и сетчатых та-
блиц. При четко начерченных номограммах можно за предел принять 0,05 лек.
Теория вероятностей
209
С. Теория вероятностей и теория ошибок при
наблюдениях *)
а)	Теория вероятностей
1.	Под вероятностью w данного случая (явления) разу-
меют отношение числа случаев а, * благоприятствующих явлению,
к числу п всех вообще возможных случаев: w = а[п.
w = 0 выражает невозможность данного случая, w = 1 выра-
жает, что данный случай или явление достоверны.
2.	Если wv w2, w3... представляют вероятности нескольких
независящих друг от друга явлений, то вероятность w того, что
все эти явления будут иметь место одновременно или в заранее
определенном порядке, равна:
W = w2 W3 . . .
3.	Вероятность w того, что из нескольких однородных явлений,
вероятности которых wlt w2,	будет иметь место какое-
нибудь одно, равна:
W =	4" ^2 + W3 + • • •
4.	Относительными вероятностями двух явлений
называются те вероятности, которые получатся, если допустить, что
каждый из возможных случаев благоприятствует одному из этих
явлений. Если вероятности (абсолютные) этих явлений wt и w2t то
относительные их вероятности будут:
И ' W2
+ w2 wL f- w2
Их сумма есть достоверность.
5.	Вероятность того, что из двух явлений А и В, вероятности
которых wY и w2, А будет иметь место т раз, а В — п раз, в опре-
деленном порядке, равна:
w = w™ w2n.
Если же порядок произвольный, то
Ь)	Теория ошибок при наблюдениях
1.	Каждое наблюдение сопровождается случайными ошибками.
На каждую ошибку можно смотреть, как на сумму бесконечно
большого числа элементарных ошибок, которые могут быть как
положительными, так и отрицательными.
*) Литература^ Е. Czuber, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Leipzig u. Berlin, 1914,
Teubner; ders., lheorie der Beobachtungsfehler, ebenda, 1891; Helmert, Ausglei-
chungsrechnung, Leipzig, 1907; С. H. Бернштейн, Теория вероятностей, Гос-
издат, 1927 г.
210 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
В этом предположении находим, что вероятность появления
ошибок в пределах z*z v выражается законом Гаусса
?(»)=7F= е h'v' —	ехр (— йМ)
У 7Т	У 7Т
с тем большей точностью, чем больше число наблюдений. Постоян-
ная h обозначает при этом коэфициент точности ряда на-
блюдений и характеризует частоту попадающихся безошибочных
наблюдений:
<р(0) = —=0,5642й.
2.	Вероятность появления ошибки в пределах
z±z v, т. е. вероятность того, что ошибка наблюдения дойдет до ве-
личины |я| будет:
/ е-*’ Vtdv= 0>(hv),
У К J
где Ф (X) обозначает гаус-
совский интеграл ошиб-
ки (стр. 110). Имеем W (оо) =
= Ф (оо) —- 1.
На фиг. 81 изображены в
абсциссах v кривые для ср (v)
(кривая вероятности Гаусса) и
W (v) для h = 1; ср. также ни-
жепомещенную таблицу. Точки
перегиба кривой лежат при
V = ± 1/(й/2) =±0,707 107/й.
Значения величин для определения ошибок по Гауссу
V	Ф	ф 1	1 v	1 ф .	Ф	v !	Ф	Ф
0,0	0,564 19	0,000 со	1,0	0,207 55	0,842 70	2,0	0,010 33	0,995 32
0,1	0,558 58	0,112 46	1,1	0,168 24	0,880 20	2,1	0.СС6 86	0,997 02
0,2	0,542 07	0,222 70	1,2	0,133 67	0,910 31	2,2	0,С04 46	U,998 14
0,3	0,515 63	0,328 63	1,3	0,104 10	0,934 01	2,3	0,С02 84	0,998 86
0,4	0,480 77	0,428 39	1,4	0,079 47	0,952 29	2,4	0,001 78	0,999 31
0,5	0,439 39	0,520 50	1,5	0,059 46	0,966 И	2,5	0,001 09	0,999 59
0,6	0393 62	0,603 86	1,6	0,043 61	0,976 35	2,6	0,000 65	0,999 76
0,7	0,345 64	0,677 80	1,7	0,031 36	0,983 79	2,7	0,( СО 38	0,999 87
0,8	0,297 49	0,742 10	1,8	0,022 10	0,989 09	2,8	0,000 22	0,999 92
0,9	0,250 98	0,796 91	1,9	0,015 26	0,992 79	2,9	0,0С0 13	0,999 96
1,0	0,207 55	0,842 70	2,0	0,010 33	0,995 32	3,0	О.ОСО 07	0,999 98
3.	Арифметическая средняя, средняя и вероят-
ная ошибки. Под арифметическим средним значением какой-
либо функции ошибки ф (и) понимают значение интеграла
Теория вероятностей
211
Ч- оо	4* ОО
I ф (v) ср (t/) dv =	ф (v) е~ dv.
— оо	— оо
Для ф (v) = v получаем арифметическое среднее значение = 0.
Для ф (с/) = | v | получаем арифметическую среднюю ошибку
Y	Г-
I | v | ср (v) dv = 1 : h = d = 0,564 19/Л.
— оо
Для Ф (v) = v2:
I v2 ср (v) dv = 1:2/г2 = т2,
— оо
где	’	_
т = 1: h /2 = 0,707 107/Л = 1,253 31 d
называют средней ошибкой.
Вероятная ошибка г есть ошибка с вероятностью появле-
ния 1/2:
г = 0,476 936/Л = 0,674 49 т | т.
4.	Если имеем п наблюдений одинаковой степени точности и
Х1э Х2, . ..>\/ихл разниц по отношению к арифметической средней,
то для больших значений п имеем приблизительно
у л(п—1) у п—1	|/ я(«— 1)
где d и т имеют те же значения, что и выше, М — обозначает
среднюю ошибку среднего арифметического, а [а] — обозначает
сумму <11 +«2+ ... +%» как это имеет обычно место при поправ-
ках по Гауссу.
с)	Поправки наблюдений. Способ наименьших квадратов
1.	Вероятнейшее значение из п наблюдений одинаковой точ-
ности , х2, ..., хп есть среднее арифметическое из всех
наблюдений
+ Х2 + • • • + Хп W
X =------------------- = —.
п	п
При неодинаковой точности придают наблюдениям „веса*
Pi, Р2, ...,р на основании закона, что одно наблюдение веса р по
точности должно соответствовать р наблюдениям веса 1. Вероятней-
шее значение — среднее весов:
Р1*1 +,/>2*2 + • • • + Р,Хп	[Р-У]
Х	Pl + Pi + • • • + Р„	(Pl
212 т. i. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
со средней ошибкой
М =	- = т : /Ы,
Г {п— 1) [р]
где
средняя ошибка наблюдения веса 1; )4 = х— xlt Х2 = х — х2, ...
\п = х — хп называются кажущимися ошибками.
2.	Распределение ошибок. Если f (х, у, z ...) есть
функция независимых аргументов, значения которых найдены путем
непосредственных наблюдений и которые обладают средними ошиб-
ками тх1 т , т*... , то среднее значение ошибки функции будет
В частном случае для f = ах 4~ by 4- cz 4- ...
т^= у а тх и т,у-\- с mz-\- ...
3.	Выравнивание наблюдений; линейная функ-
ция. Требуется определить наиболее вероятное значение коэфи-
циентов Ь, с линейной функции
f = ах 4- by 4- cz 4- ...,
если имеется больше групп наблюдений (fx, хх, jx, zx ...), нежели
неизвестных коэфициентов. Из п линейных уравнений
4- ... =/х (* = 1, 2,.,.,/г)
с г« п) неизвестными а, Ь, с—образуют г нормальных ура в-
нений
[рхх] а + [рху\ b + [pxz] с + ... = [pxfl
Ipyx] а + [руу] Ь + \pyz\ с + ... = [pyf]
где через рх обозначен вес группы наблюдений (/х, хх, _ух, zx...).
Решая уравнения, получаем однозначные значения для коэфициентов
а, Ь, с ... При равной точности всех групп наблюдений множи-
тель р отпадает.
Если вставить найденные значения «, Ь, с..., то первоначальные,
полученные из наблюдений, уравнения не будут удовлетворены, но
получатся „уравнения погрешностей" для кажущихся погрешностей
^1.	. .Лл:
ахх+ byx+czx+ .-—fx = K (*= 1, 2,...,п).
Средняя погрешность одного наблюдения веса 1 получится:
г л— г
Теория вероятностей
213
Определенные этим путем коэфициенты а, Ь, с ... называются
также „наилучшими" значениями их, так как сумма [р \\\ взве-
шенных квадратов погрешностей имеет тогда минимум: метод
.наименьших квадратов".
Для решения уравнений погрешностей Гаусс указал особый
метод (см. литературу). Надо иметь в виду, что при образовании
нормальных уравнений получаемые произведения нельзя сокращать.
4.	Особый случай линейной функции одной пере-
менной: f = а-{- Ьх при равной точности наблюдений всех п групп:
= [х][х/]-И[хх] h = М[/]-п[х/]
[х]2 — п [хх] *	[х]2 — п [хх]
Если, как это имеет место при наблюдении колебаний, вре-
мени обращений и т. п., через равные промежутки х
производятся наблюдения Д, /2» • • ^fn одинаковой точности, то наи-
более вероятное значение разностей наблюдений /х — /х_1
(х = 2, 3, ..., п) равно
16.-/1) + («-3)	+	(/л-2~/з) +•••]•
5.	Нелинейная функция: f = f (а, b, с...; х, _у, z...).
Если г есть число неизвестных коэфициентов а, Ь, с; п> г число
групп наблюдений, то из г уравнений
f(a,b,c...-, xv yv zx...)=fx	(х=1, 2,...,я)
определяются приближенные значения а0, bQi cQ... неизвестных.
Если обозначить через а, р, у ... вводимые туда еще неизвестные
поправки, то в первом приближении имеем:
f {а, Ь,С...) =f (а0, Ьо, с0...) 4- а +	Т + ...,
где выписаны только члены первого порядка а, 0, у...; указатель О
показывает, что всюду вместо а, Ь, с... надо вставлять приближенные
значения а0, bOt cQ ... Это дает линейное уравнение а, р, ? ..., так
что в дальнейшем можно поступать, как сказано в п. 3.
d)	Статистика 4
1.	Кривая распределения. Результаты статистических наблю-
дений наносятся в каком-нибудь масштабе на ось абсцисс, которая
делится на достаточно малые отрезки; на этих отрезках строятся
прямоугольники, площади которых пропорциональны числу наблю-
дений, приходящихся на рассматриваемый отрезок оси абсцисс.
i) Литература. С z u b е г, Die statistischen Forschungsmethoden, Wien,
1921; R. В e с k e г, H. P 1 a и t u. J. R и n g e, Anwendungen der mathematischen
Statistik auf Probleme der Massenfabrikation, Berlin, 1927; Fabrikationskontrolle.
Herausg. von Plant, Berlin, 1930, VDI-Verlag; Artikel Grundlagen der mathematischen
Statistik (R. Rothe).
214 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
При неограниченном увеличении числа наблюдений и уменьшении
интервалов (отрезков оси абсцисс) получается в пределе кривая
распределения (идеальная), ординаты Н (х) которой дают величину,
пропорциональную числу наблюдений величины х.
ь	~Ь °°
Полное число наблюдений равно Н (х) dx = J H(x)dx>
а	— оо
если все наблюдения падают на интервал от х = а до х = Ь\ при
конечном числе наблюдений N = 2 /У(хх).
2.	Средние значения.
Арифметическое среднее
§xH(x)dx Ях-.Щх,)
Центральное значение (медиана) X это то значение,
для которого
х	4-оо
f H(x)dx=( H(x)dx=i/2N;
— ОО	Л
если результаты xit х2» •••> xn расположены по их величине
и каждый из них повторен столько раз подряд, сколько он появ-
ляется при наблюдении, то
^1/2 V’
если N—четное'число и
(V-i) + xi/a (V4-1)],
если N— нечетное число.
Квартили. Первая квартиль :
Q
f H(x)dx=i/4N,
— оо
третья квартиль Q3 :
Qa
f (х) dx = э/4 N.
— оо
Модой называется то значение*, для которого /(х) имеет
наибольшее значение.
3.	Меры уклонений. Квадратическим уклонением
(дисперсией) называется величина
Г 2 v (хх)а Н (хх) j* v(x)2 Н (х) dx
s = F X = Г X ’
где и(х) = М— х есть поправка величины х.
Интерполяционное и разностное исчисление
215
Линейное уклонение:
S | v (хх) I Н (хх) f I v (х) I И (х) dx
t = -1______________=
N	W
4.	Частность: h (х) =
Закон больших чисел. С возрастанием числа наблюде-
ний N частность h (х) стремится асимптотически к предельному зна-
чению, в благоприятном случае совпадающему с величиной
w (х)	ехр (— й2ха) (где exp (Z) -= ея).
У к
Величину h = (s — дисперсия) называют мерой точности
статистического ряда наблюдений.
D. Интерполяционное и разностное исчисление, ана-
литическое представление табличных функций
| ХоХ±Х2 ... хп
1.	Таблица из п пар значении—!-----,
И	j У0У1У2 ••• Уп
все абсциссы которых хх между собою различны, может быть интер-
полирована при помощи определенной целой рациональной функции
у —f (х) степени не выше п. Согласно интерполяционной
формуле Лагранжа, эта функция принимает для х = х0,х1,. ..txn
значения у0,	...,ул:
_	. _ (х — хх) (х —х2) ... (х — хп)
у— Л*) — >0- (х0 —Х1) (х0 —х2) . ..(xQ — xn) +
( , (X — х0) (х —— х2) ... (хХп)
' У] ’ (х^х0) (х1 — х2)...(х1 — хп) +
( (х — Хо) (X — XJ ... (X — хп_г)
+ ’ ‘ ’ +Уп ' (*л —^о) (*п — ^i) . . . (Хп — Хп_г) •
2.	Для той же цели служит интерполяционная фор-
мула Ньютона:
g (*) = g (Хо) •+• (X — Х0) gi (Х1) + (х — х0) (х — Xj) g2 (х2) + . . .
+ (X — ХО) (х — Xj) ... (х — хя_1) g„ (х„),
где вспомогательные функции (х) имеют следующие значения:
а !Г\	?(Х) — g(X0)	, ч £1 (X) —й (Xj)
ST W = --------------»	&2 W —------------- « • • •
X Xq	л — Х|
216 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
Для численных расчетов пользуются следующим расположением:
х0	Уо	8
А	У1 gi	(А)	8
ха	А Л	(А) ^2 (А)	16
ха Уз gi (A) gs (A) gi (A) 20
.........................30
225
400 87,5
1600 137,5 6,25
2500 162,5 6,25	0
5600 223,96 6,205-0,0032- 0,00034
В каждом столбце стоит разность между соответственным чле-
ном соседнего слева столбца и первым членом столбца, деленная
на соответственную разность абсцисс.
Численный пример дает для квадратичной функции:
g (х) = 225 + 87,5 (х — 6) + 6,25 (х — 6) (х - 8) = 6,25 х2,
если пользоваться только четырьмя первыми парами чисел (напеча-
таны курсивом). Если взять и пятый член, то этим просто приба-
вляется следующий член формулы; получается
G (х) = 6,25 х2 — 0,00034 (х — 6) (х — 8) (х - 16) (х - 20).
В. этом состоит преимущество формулы Ньютона перед формулой
Лагранжа.
3.	При равных разностях значений аргумента
Xj — х0 = х2 — xj = ... = хп — хп_х = h = Ах пользуются следую-
щим расположением разностей (рядом указан численный
пример):
Здесь
Х0	Уо . ДУо	— 4	205	194
Х1	У1	дгУо	- 2	и —	+ 184
	ДУ1	Д’Уо			10	— 144
Ха	у»	Д’У1	0	1	4- 40	4- 381
	Ду,	Д8у.		4“	30	4- 240
*3	Уз	Ь*Уз	• 4-2	31	4-280	4- 381
	Дуз		4-	310	4- 624
*4	У<	4- 4	341	4- 904
			+	1214
•	•	4- 6	1555	
дА=А + 1~А» д2А=дА + 1-дА. д8А = д2А + 1-дзА 11 т- Д-
Имеем
дХА = Л-(1) А-i + Q) А-2--” + (-1)ХЛ
А ==А) + (i) ДА + (2) дгА+ • • • + дХ Уо-
4.	-Формула Ньютона при равных разностях
аргумента:
_____/,А_„ I ^УпХ — х0,, &у0 (х— х0)(х—Xj) ,
J	й-^гГ+’ЛЗ 21	|’---
ДПА (•*—х0)(х —xj ... (х —хп_])
”’+ А"	я!
Интерполяционное и разностное исчисление
217
В численном примере имеем h = 2, п = 5, g (х) = 1 + х + х2 + х3 + х4.
Другой вид: положим (х — x^lh = u, тогда будет
_У=_Уо+(1)	+ даЛ+••• + (“) *ПУо • . •(!)
5.	Эти формулы вполне точны лишь для це-
лых функций, т. е. соответственно для таблиц,
в одном из разностных столбцов которых всюду
получается значение нуль. Если значения одного
из столбцов малы, то формулы с достаточным
числом членов дают достаточное приближение.
Это касается и следующих формул, в которых
разности получаются из схемы (фиг. 82), со-
ответственно указанному пути (через X обозна-
чено арифметическое среднее из выше- и ниже-
расположенных разностей); путь для приведен-
ной выше формулы Ньютона (1) обозначен на
•
<оУо г~• —х~ • —М
Ч—X— • — №— (Ч)
•
Фиг. 82.
чертеже через (1).
Формула Ньютона при возрастающих разностях:
•y=J'o + (“)	+	2) Д3>-з+ ••• (2)
Формула Стирлинга:
.У =.Уо + “-----2-------1”
и(и— 1)(«+1) Д3 У-1+ДЗ.У 2
6	2
Формула Бесселя:
1)
.У=_Уо+«ДУ(Н-----2----
и (и—-1)(и — 0,5)
Ч	g
A^o + ^-i
2
&У-1 +.. •
Для интерполяции таблицы* вблизи значений х0, _Уо более при-
годна формула Стирлинга (3) (—0,5 и + 0,5); наоборот вблизи
середины интервала (0<;п<^1) более подходяща формула Бес-
селя (4). Для концов таблиц более подходят обе формулы Ньютона
(1) и (2).
6.	Сглаживание ряда наблюдений при равных раз-
ностях аргумента. Всякий раз вместо ух берут арифметическое
среднее J (Jx — i+л+Ац-1) тРех последовательных значений.
Еще большая точность получается, если внести в ух поправку:
-/5дЧ-2- В4-м разностном столбце 2 стоит в той же строке,
как и ух. Такое сглаживание особенно полезно перед нанесением
218 Т. I- ОТД- 1- Математика. VIII. Практическая математика
и вычерчиванием кривых, а также перед численным или графи-
ческим диференцированием.
7.	Табличное диференцирование и интегриро-
вание. Формула Стирлинга дает для производной при х = х0
(или и = 0)
Д3у_ +Д3_у_2
------2------0,1666 +
hf'(x0) =
А5>_ 2+ Д5.У_з
-	2 2—— • 0,0333 -
Формула Бесселя дает (х0 в начале области интегрирования)
*о+£
- f ,1»	1 й8л+Л2.у_1 ,
J f{x) dx = ; • | у0 +	Л>о — уз -----2--------
11 + 1
+ 720	2	•••/•
Формула Стирлинга дает (х0 в середине области интегрирования)
хо + 5
У* /(x)rfx = 2?.{л + 1 Д83,_1-1|бд45,_2+...|.
х0 — £
Е. Численные, графические и механические методы
практического анализа1)
1.	Решение уравнений. О Ньютоновском методе приближений,
о „Regula falsi" и методе повторных подстановок см. стр. 7I. Для
графического определения комплексных корней уравнения
F (2?) = 0 делают подстановку z = х iy п разлагают левую
часть уравнения на ее вещественную и мнимую части: F (z) =
= и(х, у) + iv(x, у) = 0. Тогда и (х, у) = 0, v(x, у) = 0 являются
двумя кривыми плоскости ху, пересечения которой с абсциссой х
и ординатой у дают вещественную л мнимую части искомого корня
z = x-\-iy уравнения F (z) = 0. • Уточнение найденного значения
может быть достигнуто по способу Ньютона или повторной под-
становкой с двумя неизвестными (ху); ср. например С. Runge und
Н. К б n i g, Numerisches Rechnen, глава 7.
Для решения трехчленных уравнений (вида zm + pzn -j-
*) Литература. Wi Ilers, Graphische Integration, Samml. G6schen; Numerische
Integration, Bd. 864, Methoden der praktischen Analysis, Leipzig, 1928, Goschen.
C. Runge, Graphische Methoden, Leipzig, 1914, Teubner. Mehmke. Leitfaden zum
graphischen Rechnen, Leipzig, 1917, Teubner, v. Sanden, Praktische Analysis, 2.
Aufl., Leipzig, 1923, Teubner. GRunge u. H. К 6 nig, Numerisches Rechnen,
Berlin, 1925, Springer.
Численные, граф, и механ. методы практ. анализа
219
-f- q = 0) вычерчивают прямые zm -f- xzn -\-у = 0 при различных не-
изменных значениях z.
Более общее уравнение <р (?) + £ (р) • Ф (г) + "О (Р) = 0 также может быть решено
графически, если снабдить ось абсцисс шкалой функции £ = £ (р), а ось ординат
шкалой функции 7) = т) (q).
2.	Вычисление и построение целой рациональной функции
gW = anxn + an- ixn~1+ ••• +а хх а0 для заданного значения
абсциссы х = 5. С этой задачей часто приходится встречаться при
определении численного значения степенных рядов. Вычисление
ведут по Горнеру:
ап
Сумма: ап
ап — 1 I ап - 2
+ £ I + — 1 Е
bn — 1 | ° л — 2
дл-3
+	— 2
ьп-3
... I аг а, а0
... |+М + М +bLZ
... I b9
Здесь 4" \ 1 Если установить £ на счетной линейке, то
вторая строка мюжет быть отсчитана без изменения положения
линейки.
Пример.
cos х 1 —	=Z 1 - 0,5 х’ + 0,04167 х*
(начало разложения в ряд); £ = я/4 = 0,785.
0,041 67 1	0	| -0,5 I 0 II
|	+0,037	I	+0,0257	I	—0,372	|	-0,2922
0,041 67 |	+0,037	j	—0,4743	|	—0,372	|	+0,7078
Из таблиц получаем cos п/4 = 0,7071.
Для построения g(£) проводят прямые х = 1 и.г-;и наносят
(с соблюдением знака) коэфициенты на ось у (фиг. 83). ОА0 = а0,
^0^1 = аъ ^1Л2 = #2, • • • Ап _ 1ЛЛ = ап. Затем проводят последова-
тельно Лл£л||х, ЕпАп _ р РпЕп_ 111 аг, Еп __}Ап _2. Рп _ \Еп_ 21| -*•>•• •
£2^1> ^2^! ||х> причем в итоге Рх определяется ординатой g (6).
Другое по-
строение — см.
W е h a g е, Z. d.
V. d. I, 1877,21,
стр. 105. Этот
метод основан
на повторном
применении так
наз. пр еобра-
зования С е г-
н е р а, причем
из кривой yt =
=f(x) полу-
чается кривая у2 = xf (х), а из у<> = ср (х) получается = ср (х)/х
(фиг. 84).
220 Т. I- Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
Фиг. 85.
3.	Измерения и построения на вычерченных кривых. Длина
дуги, а) При небольшой расстановке ножек циркуля откладывают
несколько хорд, так что получается многоугольник из хорд, сосчи-
тывают число хорд (последнюю неполную хорду оценивают при-
близительно) и наносят результат на прямую. При слишком малых
хордах происходит накопление погрешностей. Ь) Пользуются курви-
метром, который градуирую'!, предварительно проведя его вдоль
линии известной длины (проводить от ру-
ки, а не вдоль линейки).
4.	Площадь, а) Если кривая начерчена
на миллиметровой бумаге, то сосчитывают
число квадратных миллиметров, причем
квадратики, перерезаемые кривой, оцени-
вают приблизительно. То же самое можно
получить, налагая кальку с миллиметровой
сеткой или стеклянную пластинку с квад-
ратным делением. В случае необходимости
надо проверить правильность миллиметровой сетки. Ь) Вырезать и
взвесить; вырезать из той же бумаги квадрат известного размера
и также взвесить, с) Разлагают площадь посредством параллельных
линий на полосы, которые на-глаз превращают в прямо-
угольники; заштрихованные на фиг. 85 треугольники должны
при этом Сыть равной площади, к чему глаз весьма чувствителен.
Отрезки могут быть с достаточной точностью приняты за отрезки
парабол и их площади, согласно пра-
вилу Ламберта, приняты равными
2/3 а а и 2 * */3 b р. Площадь равна тогда
F«2/3 (aa + *p) + 2g6.
d) Правило Симпсона. Если
все полосы имеют одинаковую шири-
ну о, то к хордам s проводят средние
линии т
Фиг. 86.
(фиг. 86) и получают
( а~\~ I V с । г
2 s и 2 m можно измерить, налагая полосы бумаги, на которых
непосредственно суммируют отдельные хорды; можно также вос-
пользоваться курвиметром или миллиметровым делением счетной
линейки «не слишком короткой), укрепив на подвижной части ука-
затель из бумаги, доходящий до миллиметрового деления. (О пра-
виле Симпсона см. стр. 112); имеем:
Л = a=yQt Ь=Уп,
2 5 =У2 + У& +.Уб + •••
2 т = У1+ Уз	+ •••
е) Формулы Чебышева. Они представляют площадь (кроме отрезков)
приблизительно, как арифметическое среднее соответственно подобранных ординат
Сторд):
Численные, граф, н механ. методы практ. анализа 221
^«(У1 + Уз + --- +Уп)1п-
Если считать абсциссы из середины участков, ширина которых пусть равна 2 с, то,
обозначив через х\с абсциссу, соответствующую у\, получаем значениях^ из ни-
жеследующей таблицы (на фиг. 87 изображен случай п = 4, с = 1).
л =	2	= —	0,57735 =	—	х„
п =	3	хг	= —	0,7( 711 =	— х3,
п =	4	Xi	= —	0,79465 =	— х4,
л =	5	Vi	= —	0,83259 =	— х5,
х, = 0,
= — 0,18759 = — х„
х2 = — 0,37454 — — х4, х, = 0.
f) Формула Гаусса (стр. 113). Она наиболее точна, но менее удобна для
вычислений, нежели предыдущие.
g) Планиметр. Наиболее употребителен полярный планиметр
Амслера. Если / есть длина подвижного рычага, R — пройденный
роликом путь, г — длина «полярного» рычага,/? — расстояние плос-
кости ролика от подвижного штифта F, то обведенная площадь
равна
F = IR при «внешнем полюсе» (фиг. 88),
F = IR -|-	+ 2pl — I2) при «внутреннем полюсе» (фиг. 89).
Необходимо иметь в виду, что планиметр дает не абсолютное
значение площади, ограничиваемой данной кривой, но зависящую
от знака, смотря по тому, находится ли обкатанная площадь справа
или слева от обведенной - кривой. Для градуирования планиметра
обводят им квадрат или круг с известной площадью, причем ролик
должен двигаться на той же бумаге и в направлении обвода >)•
5. Другие измерения при помощи определенных интегралов.
Вышеприведенные способы определения площадей могут быть
употреблены вообще для определения значения определенного
интеграла
ь
fdx,
а
1) Теория и конструкция этого и других планиметров и вообще всех сюда отно-
сящихся инструментов см. A. Gall е4 Mathematische Instruments, Leipzig u. Berlin,
1912, Teubner.
222 Т. Т. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
причем его рассматривают как площадь, расположенную между кри-
вой у = /(х) и прямыми х=*а, х = Ь, у = О, причем должен учи-
тываться знак (фиг. 90)/
Примеры, а) Объем любого тела, размеры которого определены сече-
ниями, перпендикулярными к оси г. Определяют площади достаточного количества се-
чений q iz) для достаточно большого числа зна-
У	чений г, как указано выше, наносят на миллимет-
ровую бумагу полученные числа в качестве орди-
нат к абсциссам г, соединяют конечные точки
плавной кривой и определяют искомый объем
b
V — f q(z)dz при помощи одного из вышеука-
а
занных методов.
b)	Т е л а вращения. Объем И, статиче-
ский момент S относительно плоскости, перпен-
дикулярной к оси вращения (х) в нулевой точке,
момент инерции J относительно вращения;
b	b
S = гс f ху- dx,	f yi dx.
a	a
К абсциссам x меридианальной кривой у = у (х) наносят значения и5 и у4; пла-
ниметрирование получаемых кривых дает V/rc и 2 J/гс. К абсциссам х2 (квадратная
функциональная шкала на оси х) наносят ординаты у6 * * 9; планиметрирование полу-
чаемой кривой дает 2 S|rc.
с)	Двойной интеграл f f <р (х) ф (у) dx dy, распространенный по плоско-
сти. Предельную кривую перечерчивают по координатной системе £ = J* ф (х) dx,
Л = f^{y)dy. Тогда двойной интеграл становится равным ff de, d у и распростра-
нен по ограниченной площади, т. е. он равен этой площади. Так, например, поляр-
ный момент инерции плоскости относительно оси, проходящей через начало О и
перпендикулярной к плоскости участка, в полярных координатах выражается через
J — ff p9dp dtp = 44f г4 dtp, где г есть радиус-вектор точки ограничивающей кривой
по направлению ф. Положим г- = R и перечертим ограничивающую кривую в по-
лярных координатах (В, ф), тогда J = 11< J R2 dtp, т. е. половине перечерченной
площади. Дальнейшие примеры см. R. Roth е, ETZ, 1920, стр. 999.
d)	Для определения статических, центробежных и инерционных моментов слу-
жат моментные планиметры; см. О а 11 е, а. а. О.
6. Графическое интегрирование. Чтобы к кривой у = f(x) по-
х
строить соответственную интегральную кривую Y = F(x) = J* f(x) dxt
а
заменяют сперва (фиг. 91) интегрируемую кривую параллельными х
ступенями, так что в произвольных точках Р1,р2>Рз, •••> где кривая
и ступени имеют одинаковые ординаты и одинаковые абсциссы, они
ограничивали бы одинаковые площади от х = а. Для этого необхо-
димо так проводить параллельные у ступени, чтобы заштрихованные
отрезки справа и слева имели одинаковые площади. Выравнивание
производится на-глаз, или если чертеж сделан на миллиметровой
бумаге, что всегда желательно, — путем сосчитывания квадратиков.
В параболах выравнивающая прямая пересекает горизонтальную
линию через середину хорды на 2/3 расстояния до параллельной каса-
Численные, граф, и механ. методы практ. анализа
223
тельной. Тогда берут «полюс интегрирования» П на расстояние
ОП = 1 на отрицательной оси х. Ступени, параллельные х и
проходящие через	продолжают до пересечения с осью
у в точках с теми же индексами; затем проводят радиусы П 7, 772,
/7 3,..., также начиная от
А (ОА = а) и многоуголь-
ник АВ\\П 7, ВС || П 2,
CD || П 3,... для каждой
ступени по одной стороне.
Этот многоугольник являет-
ся многоугольником каса-
тельных к искомой интег-
ральной кривой с точками
соприкосновения Рг=А, Р2,
Р3,..., имеющими такие же
абсциссы, как и р2,
р3,... Сама интегральная кривая вычерчивается посредством ле-
кала, если нужно при помощи параболической интерполяции (см.
стр. 148, фиг. 32).
Если полюсное расстояние ОП равно не 1, а I, то получается
интегральная кривая F(x)fk. Проверка: численная величина какой-
нибудь ординаты интегральной кривой должна (будучи помножена
на X) дать площадь, которая может быть определена планиметриро-
ванием, между данной кривой у = f(x) и этой ординатой. Путем
соответствующего подбора полюсного расстояния можно добиться
того, чтобы последняя (или наивысшая) точка кривой как раз еще
уместилась на чертежном листе. Заранее выбирают точку /7, где
она должна приблизительно оказаться (фиг. 92), приблизительно
проводят ступень, параллельную х для всего отрезка, заданного от-
резка кривой р^рп и 8П || AU, чем определяется П. Численное инте-
грирование см. стр.
218. Об интеграторах
см. G а 11 е.
7. Графическое
диференцирование.
а) Касательная
при заданном на-
правлении. Про-
водят несколько хорд,
параллельных задан-
ному направлению, и
соединяют их середи-
ны вспомогательной
Фиг. 93.
кривой (фиг. 93), которая встречается с заданной кривой в точ-
ке Р соприкосновения касательной. Ь) Касательная в за-
данной точке соприкосновения. Зеркальная линейка, боко-
вая отражающая поверхность которой перпендикулярна к плоскости
чертежа, так поворачивается, что зеркальное изображение кривой
является продолжением (без заметного излома) заданной кривой
224 Т. I- Отд. 1. Математика. VHI. Практическая математика
в точке Р; прямая пересечения плоскости зеркала и чертежа является
тогда нормалью к кривой, а следовательно, перпендикуляр к ней,—
касательной. Зеркало должно быть металлическое или же состоять
из стекла с черной подкладкой; часто бывает достаточно куска
станиоля, наклеенного на вертикальную сторону счетной линейки,
выглаженного и отполированного рукой, с) Диференциальная
кривая. Заданную кривую Y=F(x) заменяют описанным многоуголь-
ником из касательных Р}, Р2, Рз, •••/как описано в а», причем парал-
лели к ним /7 /, /7 2, /7 3,... проводят через полюс П (фиг. 91). Пря-
мые, параллельные оси х: 1 plt 2 p2t Зр3, ... образуют лестницу, на
ступенях которой, имею-
щих одина <овые абсцис-
сы с Plt Р2, лежат
точки р2, р3, ... ди-
ференциальной кривой
У' = F' (х) = f (х). Их
выбирают таким обра-
зом, чтобы треуголь-
ные отрезки, остающиеся
по обе стороны ступе-
ней, имели равные пло-
щади (обратимость гра-
фического интегрирова-
ния).
8. Вторая интегральная
х
кривая S (х) = J F (х) dx =з
а
х х
= j“ f f (х) dx dx может быть
а а
построена согласно п. 6 двукрат-
ным графическим интегриро-
ваниям : ее ордината 5(х) по
величине равна статиче-
скому моменту площади под кривой у = /(х) относительно оси, проходя-
щей через х и включающей данную ординату. Касательная к кривой 5(х) в точке
соприкосновения с абсциссой х (получается при построении),и любая ее ордината ц
по величине равна статическому моменту площади под кривой у =/(х) по отно-
шению к оси, включающей эгу ординату 7]. Эта касательная пересекает ось х
в абсциссе центра тяжести этой площади.
9.	Другой метод двукратного интегрирования при помощи центров тя-
жести. Дано у = /(х), требуется найти
X	XX
yt=fA*) = J fi(x)dx + c2 = j* j f (x) dx dx-{ ctxa
0	0 0
При произвольных ПОСТОЯННЫХ Cl, C2 (фиг. 94).
Начиная от х = 0, делят площадь у = /(х) на полосы равной ширины 1,
определяют их центры тяжести St, 32, ... и образуют прямоугольники одина-
ковой площади с высотами 1 Rlt2 Rit ... путем проведения горизонтальных сту-
пеней (треугольники, лежащие выше и ниже ступени, должны иметь одинаковые
Численные, граф, и механ. методы практ. анализа
225
площади). Через полюс Л (0/7 = 1) проводят радиусы П О', П1', П 2', . . . ,
строят О О' = О' Г = 1 Rx, 1' 2' — 2 R2, 2' 3f = 3 R3, . .. обращая внимание на
знак, а затем строят, начиная у А (у = с2) многоугольник II ПО', 2j 22|| П 1'»
S2 И П 2', . . ., причем, углы 2!, 29, • • • имеют такие же абсциссы, как цен*
тры тяжести St, ... Этот многоугольник состоит из касательных к искомой
второй интегральной кривой с точками соприкосновения В9, . . ., имеющими та-
кие же абсциссы, как Rx, Rt, ...
Для определения центров тяжести можно рассматривать (при плоских кривых)
полосы, как трапеции, и действовать, как описано в отделе „Механика твердых гел“
(стр. 286). При участка параболического вида проводят прямую, параллельную
хорде, на расстояния до параллельной касательной и определяют центр тяжести
ограниченной таким образом трапеции.
10.	Обыкновенные диференциальные уравнения 1-го порядка,
а) Численное интегрирование по Рунге-Кутта. Пусть
заданное диференциальное уравнение (сокращенное обозначение DG),
решенное относительно у7, имеет вид у' =f(x, у); требуется найти
решение y=_y(.v), которое для х = х0 принимает значение у0 —
= _yU0), где х0 и у0 произвольно заданные величины. Вычисляют
значения у, соответствующие аргументам х0, x0-\-h, х0 + 2Л, . .
где h достаточно мало. Если значению х соответствует у/, то хh
соответствует у -f- k, где k определяется следующим образом: вы-
числяют
ki=f(x,y)h, k2=f(x-\- Ih, > + J
*3=/(*+ *2Ь,У+ % kz)h, k^fkx-^h, y + k3)h,
откуда	k = у	+ k2 + k-^ .
Для yr = /(x) этот метод переходит в правило Симпсона *).
b) Графическое интегрирование при помощи
постепенных квадра-
тур. Исходят из приближен-
ного решения >=3\(х), кото-
рое надо знать лишь вблизи
точки (х0, у0). Решение посте-
пенно уточняют, пока истинное
решение не будет найдено с
точностью, допускаемой чер-
тежом.
а) Метод изоклин.
Сперва проводят ряд доста-
точно близких кривых/(x,jo =
= с для различных значений
с = с0, Ср с2, ... (изоклины) по-
близости от значения /(хп,у0)=
= с0 фиг. 95), а также соответствующий пучок лучей So, S2,...
с любым центром W (на WQ\X, WQ=l восставляют в Q пер-
*) Дальнейшее, а также другие методы описаны у С. R u n g е и. Н. К б n i g;
Fr. A. W i 11 е г s. Numerische Integration, Samml. Goschen, T. 8o4.
226 Т. Т. Отд. 1. Математика, VIII. Практическая математика
пендикуляры с0, q, с2, ... принимая во внимание знак), соеди-
няют W с концами этих перпендикуляров. Через Ло (х0, yQ) про-
водят A0Mlt параллельную к So, причем Мг находится примерно по-
средине
тогда Af-jAfo’l <£1э Af2M3i|S2
и т. д. Этим путем получается
многоугольник каса-
тельных к искомому пер-
вому приближению к интег-
ральной кривой диференциаль-
ного уравнения. Точки сопри-
косновения являются точками
пересечения Ао ... с изокли-
нами. Этот способ удобен лишь

между изоклинами
и
тогда, когда изоклины вычер-
. чиваются просто.
k р) Чертят (фиг. 96) доста-
точно малую часть До^1 на‘
чальной к сательной (подъем
с0 = /(х0, Уо)> вычисляют f (xlt
yt = Clt где Xi, уг суть коор-
динаты и могут быть полу-
чены из чертежа; прямую с
подъемом Сг проводят не в
Alf а в п средине между
До и Ар С этой прямой NiAz
(А2 произвольно, но достаточно
близко от поступают точно
так же, как раньше с А Аг
Получаемый многоугольник
A0NtNa ...есть многоугольник касательных к иско-
мому первом приближению к интегральной кривой диференциаль-
ного уравнения. Точки касания В19 В2, ... лежат вертикально
над Alt Д2, • • •
7) Из первой приближенной кривой у =ук (х) получается более
точная путем обыкновенного интегрирования (квадратуры)
X
Уч. f у I W) dx + Л-
х0
X
Продолжая эту операцию; получаем у3 (х) = ^/(с,у2(х)) dx-f-уо
и т. д. При известных условиях, которые на практике обычно удо-
влетворяются, уп (х) при п -► оо сходится к искомом; решению у (х).
Для построения из уг (х) следующего прибли кения у2 (х) бе-
рут многоугольник касательных, построенный согласно а) или р), и
к нему из полюса интегрирования П (слева от О, 0/7=1) прово-
дят пучок лучей (О 0 = cQ, О I = q, О 2 = с2, .. .). Параллели к х
Численные, граф, и механ методы иракт. анализа 227
через 0, 7, 2, ... встречают параллели к у (через Ао, Blt В2, ...)
в точках р0, р1У р2, ... (фиг. 97), которые соединяют по возмож-
ности плавной кривой; эта кривая представляет f(x, (х)) и ее гра-
фически интегрируют согласно п. 6, чтобы получить у2 (х). Эту опе-
рацию продолжают до тех пор, пока два последовательных при-
ближения yn_j_1 (х), уп(х) совпадут (в пределах точности чертежа).
Рекомендуется сперва построить первую приближенную кривую согласно
а) или 3) и затем уточнять ее до пределов точности чертежа. Достаточно при помощи
лекала продолжить на-глаз полученный таким образом начальный участок интеграль-
ной кривой диференциального уравнения, чтобы в большинстве случаев получить
подходящее первое приближение для дальнейшего построения.
11.	Совокупные диференциальные уравнения 1-го порядка.
Простейший случай:
Согласно методу, описанному в п. 9, строят в двух координатных
плоскостях (ху) и (xz) кривые
приближения ух (х), zx (х)
(фиг. 98) и уточняют их
путем постепенных квад-
ратур:
Фиг. 99.
х
Уп (х) —	f^x,y„_1(x),zn_1(x)^dx-j-y0
*0
X
гп = fg (х, yn _ t (х), zn _ t (х)) dx + г0>
228 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
как указано в п. 10 у). Две начальные точки (х0, _у0) и (х0, zQ) инте-
гральной кривой должны быть заданы.
12.	Диференциальные уравнения 2-го порядка у" = f(x,y,y').
а) Их превращают в совокупную систему
= 2,
dx
dz
и оперируют согласно п. 11. Начальная точка (х0, у0) и начальное на-
правление _у0' = Z(} произвольно заданы.
р) Интегрирование по радиусам кривизны. Если
вставить & = arc tgX» Р = ds/dft = 1 : (cos3& •у") в диференциаль-
ное уравнение, то оно принимает вид
1/р = cos3 Я • / (х, у, tg О).
Для построения первой приближенной кривой пользуются линей-
кой из целлулоида (фиг. 99) с отверстием Р для карандаша и двумя
перпендикулярными прямыми РМ и 1\РТ2- Оба значка 1\, Г2 на"
ходится на расстоянии 1 от Р и служат для определения значения X»
на РМ = р отмечают иголкой соответственный центр кривизны М.
Первая приближенная кривая может быть таким образом вычер-
чена посредством небольших кругов кривизны. Из соответственных
отсчетов вычисляют у" = р : cos3 U. Двойное интегрирование соот-
ветственной кривой дает новое, более точное приближение реше
ния уравнения.
F. Тригонометрические ряды (Фурье) и гармонический
анализ »)
1.	Многие периодические явления (колебания, переменные токи
и т. д.) могут быть выражены точно или приближенно в виде
тригонометрических сумм:
Fn (t) = Со + Ci sin (u) t + cpt) + C2 sin (2 co t -|- cp2) + ... +
+ Cn sin (л<о #+?„),
где Co, Ci, C2t Cn, cpx, cp2, —постоянные. Мы имеем здесь
наложение п гармонических колебаний с одинаковой фазой о> (или
периодом р = 2 л/ш) и с различными, вообще говоря, амплитудами
С2, ..., Сп и начальными фазами ерр ср2, ... Функция F п (/) сама
периодична: Fn (t + kp) = Fn (t) при A? = 2tl,rt2, ... Если поло-
жить co t~- х и разложить sin (k <о t + ?Л), то Fn (t) примет вид
fn(x) = а0 4-^1 cos х -|- а2 cos 2 х -|- ... + ап cos пх +
+ bi sin х + sin 2 х + ... bn sin nx.
^Литература. C. Runge, Theorie und Praxis der Reihen, Leipzig, 1904,
OOschen.; v. Sanden, Praktische Analysis, 2. Aufi., Leipzig, 1923; И. И. Привалов,
Ряды Фурье, Госиздат, 1930.
Тригонометрические ряды и гармонический аналиэ
229
ak = £xsIncPx, \ = CxC0S(Pk, X = l, 2,...,п.
fn(x + k2it)=fn (х).
Если/(х) есть периодическая функция периода 2 к, то f(x) может
быть приближенно выражена через fn(x), в наиболее благоприятном
случае, т. е. когда средняя квадратичная погрешность
2я
f [fM-fn(xWdx
б
имеет возможно малое значение, когда коэфициенты а0, ах, by
имеют значение
2к	2я
а0 =	j* f(x)dx, ах = i j* /(x)cosXxdx,
о	о
2тс
Ьу = -1 у* f(x) sin X х dx
б
(формулы Эйлера). Эти значения независимы от п, и следова-
тельно, приложимы ко всякой тригонометрической сумме.
2.	Для п -> оо, fn(x) переходит в ряд Фурье функции /(х),
причем aQ, ах, by имеют вышеуказанные значения. Если заданная
функция/(х), имеющая период 2 тс, для всех х в пределах 0 х < 2 л
однозначна, ограничена, отдельные участки только увеличиваются
или только уменьшаются, и отдельные участки непрерывны, то ряд
Фурье этой функции является сходящимся и во всех местах непре-
рывности сумма равна /(х), а в местах разрыва сумма равна сред-
нему значению[/(х +0)-|-/(х—0)|, где/(х dz 0) = lim/(x zt е) для
е -> О и е > 0.
3.	Другие формулы для коэфициентов:
-|- я	я
к ay = J/(x) cos \х dx — J [/(<)+/(— x)]cosXxt/x
— тс	о
+ я	я
тс by = J7(x) sin Хх dx = J [/(x) —/(— x)J sin Xx dx.
— я	0
я
Если/(х) четная, т. е./(х) = /( — х), то тс ах = 2Jf(x) cos Xx dx, by = 0.
о
я
Если/(х) нечетная, т. е./(х) =—/(—х), то йу = 0, л by = 2 Jf(x)sin Xxrfx.
о
Если /(х) = —/(х + к), т. е. кривая, относящаяся к одной половине
230 Т. I- Отд. !• Математика. VIII. Практическая математика
периода, является зеркальным изображением другой половины
периода, то
п
тс a2X4-i = 2j7(x) cos(2X-|- 1)л dx, а2Х = 0
- о
к
тс ^2X4-1 = 2 f/(x) sin (2 X-]- 1)xdx, b21 = 0.
б
Если F (х) имеет период р, то ряд Фурье имеет вид
Aq -f- Е Ах cos (X 2 тс xip) +L Вх sin (X 2 тс х/р) (X = 1, 2,3,...)
р	р
pAQ=J F (х) dx рА^ = 2 у* F (х) cos
о	б7
рВх = 2 У F (х) sin X '—j~ ) dx.
о
/ , 2 тс х\ ,
( л-------dx
\ Р )
4.	Частные случаи.
а)	Коммутированный синусоидальный ток: f(x) = sin х для
0	х<; к, f(x) — — sin х для г. С х < 2 к (фиг. 100)
.	2	4 Zcos2x , cos4x . cos 6х .	\
f (х) =---—1—<Г +	С +	+ • • • •
тс тс \ 1 • 3	3*5	5 • 7 J
Ь)	Дуга параболы: Дх) = (х — тс)2 для 0 < х < 2 тс (фиг. 101)
г/ тс2, . /cos х , cos 2 х . cos 3 х ,	\
з+4-г+—- '—9~-' •••)
с)	/(*) — х для 0<х<2тс (фиг. 102)
г( ч n/sinx . sin2x . sin3x
d)	Трапеция: Дх) = b х/а для 0 < х < a, f(x) = b для а < х < т.—а,
f(x) = b(K — x)/a для к — а<х<7с, /( — х) = — /(х) = /(ттх)
(фиг. 103)
/(х) =	(“р sin a sin х +	si п 3 a sin 3 х + sin 5 а sin 5 х +... У
е)	Прямоугольник: f(x) = b для 0<х<тс, f(x) = — b для
тг<х<2тс (фиг. 104)
г, ч 4 . f .	, sin 3 х , sin 5 х .	\
/(x) = -^s.nx- + ^- + -5-+..J.
Этот случай содержится в предыдущем, если а -> 0.
Тригонометрические ряды и гармонический анализ
231
f) Треугольник f(x) = 2Ь х/тс, для 0 < х < у
f(x) = 2Ь(к — х)/к для ~ тс < х < к,
/(л) = — /( — х) =/(k-[-x) (фиг. 105)
£, ч 8 , ( . sin 3 х . sin 5 х
f(x)=^b^nx--------------------9-+ -25--------
h) f(x) = cos их для 0 х < л, f(x) = cos и (2 тс — x) для
т: < x 2 л; и произвольно, но 4=0, ztl, ±2,,..
.. . sin и т. / 1	2 и	,	2 и _	\
/(х) =----------------ъ---- cos	——?г9 cos 2 х —... .
tv \ и и2 — I2 1 и2 — 22	J
232 Т. !• Отд. 1- Математика. VIII. Практическая математика
i)	/(л) = — In 2 sinдля 0<х<к, f(x) =/( — х)
f (х) = cos х + у cos 2 х + у cos 3 х + •. •
5.	Гармонический анализ. Разложение периодической
функции в тригонометрический ряд или приилиженное представле-
ние ее в виде тригонометрической суммы называется ее гармониче-
ским анализом.
Если f(x) задано не аналитически, а графически, например
в виде осциллограммы, то коэфициенгы а0, Ьу могут быть весьма
удобно и точно представлены при помощи гармонических
анализаторов. Простой анализатор указан О. Мадером (ETZ, 1909,
стр. 847). Другие анализаторы (Генрици, Юль, Михельсон и Страт-
тон) описаны у G а 11 е, Mathematische Instrumente, Leipzig, 1912;
Е. Orlich, Aufnahme und Analyse von Wechselstromkurven, Braun-
schweig, 1906.
6.	Формулы Бесселя. Если период 2к разделен на г рав-
ных частей с абсциссами хо=О, хг, х2,..., хг = 2 к (причем ха = 2 л а/г
для а = 0, 1, 2,..., г) и если соответствующие значения функции
f(xj=ya заданы или могут быть получены из кривой путем изме-
рения, то интегралы лучше заменить суммами. Если
fn(x) = «о+ а\ cos х + ^2cos*2 л + . . •+ a/z_1cos(n—1)л+алсо8П.г+
-]- bi sin х + b2 sin 2 x . •+ b/z_1sin (л— 1) x
имеет 2 л коэфициентов и г=2л, то действительны следующие
формулы (а = 1, 2, ...,г):
)гай = 2 Je,	гап = 2 (— 1)*у.
га₽ = 2	(₽=1. 2.....п — 1)
rb? = 2 £yesinpxe (0 = 1, 2,	— 1).
Если же г > 2 л, т. е. имеется больше результатов измерений, чем
коэфициентов, то имеем следующие формулы (одновременно даю-
щие „наилучшее" приближение в смысле метода наименьших ква-
дратов)
га0=2Л, гав = 2E>acos0x«- rb<i = 2Е_Уа singx.,
a	r a	r a
® a = 1, 2,.. .,r, p = l, 2,...,л; r>2n.
7.	Метод Рунге. Выгоднее всего применять формулы (I) в том
случае, когда число г ординат является кратным четырех: г = 4 р.
Тогда можно, „складывая" период, упростить вычисления. Для
г =12 (р = 3) имеем следующую схему:
Тригонометрические ряды и гармонический анализ
233
Ординаты
Сумма . .
Разность .
У1	У»	У>	Ул	Ув	Ув
Ун	Уп	Ую	У»	Ув	Уч
$0	^8	^4	4*8	^8
rfi	rft	d3	dt	d3
Сумма . .
Разность .
Сумма
«Уд
$в ^5	$4
0o Si в2 ва
b0 bi b2
Разность
d. d2 d3
d4
Вычисление коэфипиентов членов с синусом
sin зо° = |.................... ffj
sin 60° = 1 — 0,1340 . . .
sin 90° = 1...................... a,
6d,
В каждой строке надо помножать приведенные значения на зна-
чение синуса, написанного слева. Умножение на 0,134 получается
при помощи счетной линейки точнее, чем на 1—0,134 = 0,866.
Для г =12 и г = 24 имеется готовый формуляр С. Runge
u. F. Em de, Rechenformulai zurZerlegung einer empirisch gegebenen
periodischen Funktion in Sinuswellen, Braunschweig, 1913. Дальнейшее
см. C. Runge u. H. К 6 n i g, Numerisches Rechnen, Berlin, 1924.
Удобно приспособление Л. Германа в виде шаблона, осо-
бенно в выполнении Л. Ципперера, Tafeln zur harmonischen
Analyse periodischer Kurven, Berlin (Springer), 1922.
Уточнение метода Рунге путем приближения к многоугольнику
из хорд или применения вспомогательной кривой, составленной из
дуг кубических парабол, описано Делленбахом, Arch. f. El. 10, 1922,
стр. 277. Для г =24 значения а?, должны быть помножены на
множитель согласно следующей таблице:
₽		3		3	
1	0,999 93	5	0,962 17	9	0,728 16
2	0,998 88	6	0,927 21	10	0,635 19
3	0,94 53	7	0,876 54	11	0,535 46
4	0,983 53	8	0,809 70	12	0,434 45
234 т- I- Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
8.	Графический метод. Если в формулы (I) вставить
+	= то
г.	а
•о х
Векторы уае “длины |_уа| и отклонения ₽ ха геометрически скла-
дывают. Для г = 8 и г = 12 можно воспользоваться лучистой звездой,
начерченной на кальке. Соответственная „направляющая линейка"
описана у Sanden, Praktische Analysis, 2. Aufl., стр. 128.
G. Параллельная перспектива
Для того, чтобы возможно яснее представить себе форму ка-
кого-либо тела, а также соотношение всех его размеров, пользуются
очень часто так называемой параллельной
проекцией, которая хотя и даёт изобра-
жения, не вполне похожие на предмет
в натуре, но самое изображение предмета
исполняется гораздо легче, чем при цен-
тральной проекции. Исполнение изображе-
ния достигается всего легче способом
аксонометрических проекций.
Выбирают систему трех взаимно перпенди-
кулярных осей, к которым и относят дан-
ное тело; на каждой из осей принимают
известный масштаб, проектируют оси вме-
сте с выбранными масштабами на бумагу и
все расстояния, которые у данного тела параллельны одной из осей,
наносят на чертеж параллельно проекции этой оси и в выбранном
для этой оси масштабе. Ось z-ов выбирается вертикальной.
При косой проекции направления осей и единицы длины
для масштабов могут быть выбираемы произвольно, лишь бы не
более как две из осей имели одно и то же направление и не более
как один из масштабов на оси был равен нулю (закон Польке).
Наиболее простые случаи (фиг. 107):
1. ех = ez = 1; еу = 1, J; ср = 90°; ф = 45°, 60°.
2. ех = еу = ez = 1; ср -|- ф = 90° (военная перспектива).
Если тело ограничено не одними прямыми линиями и плоскими
фигурами, а кругами в различных положениях, круговыми цилин-
драми, конусами, шарами и, вообще, произвольными телами враще-
ния, то предпочитают прямоугольную проекцию. В этой
проекции величина масштабов, в которых откладываются различные
измерения тела, находится в зависимости от направления осей, и*
наоборот, — направление осей зависит от выбранных масштабов.
В нижеследующей таблице приведены наиболее употребительные
соотношения х).
Для обыкновенных случаев рекомендуется проекция 1:1:1, наиболее простая
ИЗ проекций, близких к изометрической. Последняя в большинстве случаев дает це-
Параллельная перспектива
235
Обозначения:
е — единица длины действительного масштаба чертежа,
е х, бу, ег—единицы масштабов по отдельным осям,
q и ф — острые углы, образуемые осями х и соотв. у с осью г-ов.
Прямоугольные проекции
Род проекции	е х * &у • ez	ех :е	ctg ср приблиг	1 ctg ф шт ельно
Изометрическая проекция	1:1:1	0,8165	ср = ф	• = 60°
	1:1:1	0,9428	1 : 8	7:8
Диметрическая проекция	1:1:1	0,9733	1 : 18	17 : 18
		0,9847	1 : 32	31 : 32
Триметрическая проекция	6 :5:1 ЙФ1	0,9670 0,9853	1 : 5 1 : И	1 :3 1 :3
Последняя графа служит для нанесения направления осей
проекции.
Пусть гх, гу, г2 будут отрезки, которые, будучи измерены
в соответственных масштабах х, у, z, дают одну и ту же длину г
Фиг. 108.
(так что г2=г (ех:е, и т. д.). Длина этих отрезков может быть
найдена и без употребления масштабов, посредством способа
уменьшения (фиг. 103). Лучи Сх, Су, Сг проведены к Л под углами,
синусы которых имеют значения ех\е, еу.е, eg:e.
красивые изображения. При черчении значительно можно выиграть во временя, если
прямые, параллельные осям проекций, чертить посредством четырехугольника, упо-
требление которого в трех случаях показано на фиг. 109.
236 Т. I. Отд. 1. Математика. IX. Площади, объемы и поверхности тел
IX. Площади, объемы и поверхности тел
а) Площади плоских фигур
Фигура
Обозначение размеров
Площадь F !)
1. Тре-
угольник
(см. стр.
84—85).
Фиг. 110.
h высота Д_ к стороне а,
* = | (а + ь + с)
тг, m<i, т3 средние линии
*о = | (^1 +	+ ws)
Х1У1. Хя va, х,Уз коорди-
наты вершин относи-
тельно произвольной
системы прямоугольных
координатных осей.
Начало координат
совпадает с вершиною
3 : [ха = 0, у3 = 0J
F = }a/i
= Vs (s — a) (s — Ь) (s — с)
= 5 a b sin т
_ a* sin р sin y
2 sin а
= 2r* sin а sin 3 sin у
= р’ ctg $ а ctg р ctg h
abc
= Р'’ = 4Г	_______
= з (So — rn>) («о — т,)

Прямо-
угольный
треуголь-
ник
(см. стр. 86)
а, b катеты с гипотенуза а угол, противолежа- щий стороне а	1 F = J ab = | a’ ctg а = i Ь* tg а = 4 с- sin 2 а , 4	1	а? 4- Ь* = с1 1
2. Четырех-
угольник
D и D) ди-
агонали, ср
угол между
ними
Фиг. 111.
F = J (йх 4- A?) D = | D Di sin ср
+ А» + с4 5 + d’ = D’ +	+	4
F = V (s —a) (s — b) (s — c) (s — d) —
a 4- у
— abed cos’ —
8 = (a + b + c + d)/2
т длина линии, соеди-
няющей середины диа-
гоналей
а, 7 два противолежа-
щих угла
4 Площадь положительна или отрицательна смотря по тому,
находится ли площадь при движении ло периметру ее в порядке точек /, 2, 3 по
левую руку (левое вращение) или по правую руку (правое вращение). Фиг. ЦО
изображает отрицательную площадь.
Площади плоских фигур
23?
Фигура	Обозначение размеров	Площадь F
Четырех- угольник, вписанный в круг	а, Ь, с, d — 4 стороны s = J (0 + Z> + <; + d)	F = V (s — a) {s — b) (s — с) (s — d) DDi = ас + bd
Трапеция	а, b параллельные стороны h высота	„	a-+-b , DD, sin <р F= 2 Л- " 2
Паралле- лограм	а, b стороны h расстояние между сторонами Ь у угол параллело- грамм	F — bh = ab sin 7 = = J DDX sin <p 2 (a’ + b*) = D’ + £>?
Прямо- угольник	а, b стороны	F — ab = | D- sin ф
Ромб	а сторона |	б 7 угол / и	F = as sin 7 = | DDi
3. Много- угольник		Хпуп координаты п вершин относительно произ- вольной системы пря- моугольных коорди- натных осей [Сумма внутренних углов равна (п - 2)-180°] л,, ..., а п стороны л-угольника угол, образован- ный и ач	2 1+(*эУ> — xey«) + (X4y, - ХжУ4) + . . . • • • + (*пУп-1 - xn-\ Уп) F = J- ££ Др. <4 sin (л^	) P * (p., v = l, 2	n-l) F может быть определено также путем разделения многоугольника диагона- лями на треугольники
Правиль- ный многое угольник См. табл. ,стр. 238.	г радиус вписанного круга R радиус описанного круга	 а = 2 VR* — г- сторона п число сторон •° = 180° : п и периметр много- угольника	F = } ла2 ctg ф = j л/?2 sin 2 ф = л Г* tg ф U = па = 2 л R sin ф = 2 nr tg ф Угол многоугольника равен 180° — 2 ф°
4. Круг Таблицы для F и U См. стр. 2 и след.	г радиус d диаметр U окружность	F = п Г =	= \Ud = 0,785 3L8 163 4 d2 U = nd
238 Т. I- ОТД- !• Математика. IX. Площади, объемы и поверхности тел
Значения правильных многоугольников
п	F/a«	F}R*	Г/г»	Ria	R\r	a!R	a/r	r!R	r\a
3	0,4330	1,29°0	5,1962	0,5774	2,0000	1,7321	3,4641	0,5000	0,2887
4	1,0000	2,0000	4,0000	0,7071	1,4142	1,4142	2,0000	0,7971	0.5J90
5	1,7205	2,3776	3,6327	0,8507	1,2361	1,1756	1,4531	0,8090	0,6882
6	2,5981	2,5981	3,4641	1,0100	1,1517	1,0(00	1,1547	0,8660	C.8660
7	3,6339	2,7364	3,3710	1,1524	1,1099	0,8678	0,9631	0,9010	1,0383
8	4,8284	2,8284	3,3137	1,3066	1,0824	0,7654	0,8284	0,9239	1,2071
9	6,1818	2,8925	3,2757	1,4619	1,0642	0,6840	0,7279	0,9397	1,3737
10	7,6942	2,9389	3,2492	1,6183	1,0515	1,6180	0,6498	0,9511	1,5388
12	11,196	3,0000	3,2154	1,9319	1,0353	0,5176	0,5359	0,9659	1,8660
15	17,642	3,0505	3,1883	2,4049	1,0223	С,4158	0,4251	0,9781	2,3523
16	20,109	3,0615	3,1826	2,5629	1,0196	0,3°o2	0,3Q78	0,98'8	2,5137
20	31,569	3,0902	3,1677	3,1962	। 1,0125	(,3129	0,3168	0,9877	3,1569
24	45,575	3,1058	3,1597	3,8306	1,0086	0,2611	0,2633	O,9914	3,7979
32	81,225	3,1214	3,1517	5,1011	I 1,0 48	0.196П	0,1 Q70	0,9952	5,0766
48	183,08	3,1326	3,Ь61	7,6449	• 1,0021	0,1308	0,1311	0,9979	7,6285
64	325,69	3,1365	3,1441	10,190	1,0012	0,0981	0,0983	0,9988	10,178
Фигура	Обозначение размеров	Площадь F
Круговое КОЛЬ 10. Для F можно пользо- ваться табл. стр.2	R наружный	1	ра- г внутренний	J	диус D наружный	1	диа- d внутренний	J	метр р средний радиус 5 ширина кольца	и» '—НК и — II II II
Круговой сегмент; табл.сгр.43 и 44	г радиус <р° центральный угол в градусах Ъ длина дуги 5 длина хорды h высота стрелки	г 1	,к	•	\ f=5r’(j80;-sln<?.) _ г (b — s) sh ' ~	2
Круговой сектор. Для F можно пользо- ваться табл. стр. 2 и след.	г радиус b длина дуги 9° центральный угол в градусах, соответ- ствующий дуге b <р дуга, соответствую- щая радиусу = 1	I -6	| II II II || Я г т ooi-6 %l а° >•
Часть кру- гового кольца	рз Фиг. 112.	II	II -I л si а и	7 •в	। х	3
Объемы я поверхности тел
239
Площадь
кругового серпа
F = г (тс + sin ср — ср® *тс/180°) = г2 п
1	rf/10	2^'10	37/10 | 47/10 57/IC | 67/10	7 dt 10 1 87/10	97/10
	0,40	0,79	1,18 | 1,56 | 1,91 | 2,25	2,55 | 2,81	3,02
Фиг. 113.
5. Конические сечения. Эллипс и эллиптический сегмент
см. стр. 139—141. Гиперболический сегмент см. стр. 141—142.
Параболический сегмент см. стр. 145.
Площади других кривых см. стр. 148 до 156. Определение
площадей см. стр. 220.
Ь) Объемы и поверхности тел
Тело	Обозначение размеров	V = объем, О = поверхность, М — боковая поверхность
1. Призма	F площадь основания h высота	И = ГЛ
Куб	а ребро, d диагональ <Г- = За*	V=a\	О = 6 а9
Трехгран- ная призма, усеченная непарал- лельно основанию	Q сечение, перпендикуляр- ное ребрам а, Ь, с длины трех парал- лельных ребер	V = 1 (л + & + Q
Усеченная непараллельно основанию л-гранная призма (и цилиндр). Если I длина
линии, соединяющей центры тяжести оснований, Q сечение призмы | к I, то V = QI
Прямо- угольный параллеле- пипед	а, Ь, с длины трех ребер d диагональ	V = abc d- = а? + Ь9 + с9 О = 2 (ао -р ас -j- be]
2. Пира- мида	F площадь основания h высота	v=l Fh
Трехгран-
ная пира-
мида
Xi У1 2i, х, у, г., х3 Уз *3 ко-
ординаты трех вершин;
начало координат совпа-
дает с четвертой верши-
ной
9
Х1У1 Zi
xty.,2t
Xay823
Э Объем положителен или отрицателен, смотря по тому, остается при обводе
внешнего треугольника	плоскость слева или справа.
240 '-Г- t- Отд. 1. Математика. tX. Площади, объемы и Доверхйости тел
Тело	Обозначение размеров	V = объем, О = поверхность, М = боковая поверхность
Усеченная пирамида	F, / площади параллельных оснований h расстояние между осно- ваниями А и л две соответственные стороны оснований F и /	j htF+f + Vpf)
3. Обелиск
И= jA[(2a + «1)b + (2a, + a)i>Il
= j Л [ab + (а + Oi) (b + Ь,) + о, ft,]
4. Клин
V=l(2a + adbh
5. Цилиндр
F площадь основания
h высота
V — Fh
Круговой
цилиндр
г радиус основания
А высота
V = к r? h
Л1= 2 п г h
О = 2 те г (г + Л)
Цилиндр
прямой,
усеченный
непарал-
лельно осно-
ванию
At наиболее короткая про-
изводящая цилиндра
Аа наиболее длинная произ-
водящая цилиндра
г радиус основания
у-кг3 ActA
“	2
М = тс г (hx + Л>)
Цилиндри-
ческая
подкова *)
М = 2rh
Сечение проходит через центр основа-
ния; следовательно, основание подковы —
полукруг, т. е. а = b = г1)
1) Если основание подковы больше или меньше полукруга, 2 а — ее прямая сто-
рона. л — длина перпендикуляра, опущенного из основания А на 2а,2<р — цен-
тральный угол основания подковы, то вообще:
V = [а (Зг2- а2) + Зл2 (b — г) f ° п/180э] А/3 b; М = [(А - г) ?0 к/ 180е + а] 2rh{b.
Объемы и поверхности тел
241
Тело	Обозначение размеров	V = объем, 0 = поверхность, М = боковая поверхность
Полый цилиндр (труба)	R наружный радиус г внутренний радиус Л в...си га s — R — г толщина р = 5 (/? + ') средний ра- диус	•	V = тс Л tR* — г”) = тс he (2 R —s) = = кЛз (2 Г 4- 5) = 2 Тс hs Р
6. Прямой круглый конус	г радиус основания h высота производящая	V=^f-h М = к rV г- 4- Ла = я г j s= ^4-Л>
Усеченный конус	R и г радиусы оснований Л высота а = R 4- г\ В = R — г s =/^+“*5	$еЛ(«’ + ₽г+г=) М = тс j a
7. Шар (для V слу- жит табл. 5, стр. 42. для О табл.стр.2 и след.)	з_	 Г радиус = V 3 1//4 тс = S = 0.620351 V V d =2 г диаметр	V= J тсгз = 4,188790205 г» = j тс d3 = 0,523538776 d3 О = 4тс Г2 = ТС d2 = 4 X площадь большего круга
Полый шар (табл. 5, стр. 4z)	R наружный радиус г внутренний радиус D и d диаметры	V=% тс(Яз — г3) - 1 тс(П’-^)
Шаровой сегмент	h высота сегмента г радиус шара а радиус основания 1	V=£ тс h (3 a’ + Л8) = J Тс й’ (Зг—Л) М = 2 я г h = тс (а® 4- Л8) =Л(2г —Л)
Шаровой пояс	h высота пояса г радиус шара а, b радиусы оснований пояса; (а > Ь)	И= 1 яЛ(За«4-Зд«4-Л8) М = 2 nrh '*=»«’+(	2» -)
242 Т. I. Отд. 1. Математика. IX. Площади, объемы и поверхности тел
Тело	Обозначение размеров	V = объем, О = поверхность, М = боковая поверх ость
Шаровой сектор	I 	ФИ1. 117.		У = | те г2 Л = 2,0943951024 г2 h О = кг(2Л + а)
Сфериче- ский двухуголь- ник	9е угол между ограничи- вающими большими кру- гами	9 <Р° Л4 =	* г®= 0,0349066 <р г2
Сфериче- ский треуголь- ник	е° сферический избыток, т. е. избыток суммы углов треугольника свы- ше 180°	М =	* г* = 0,0174533 е г2
8. Эллип- соид	а, Ь, с три полуоси	| г. abc
Эллипсоид вращения	1) если 2 а ось вращения: 2) если 2 b ось вращения: 1	<3	Q *	К II	II
9. Парабо- лоид вращения	г радиус основания h высота	У = 2 г г2й = 1,570726 г2 h равно поло- вине кругового цилиндра для г и h
Усеченный пара- болоид	Rt г радиусы параллельных оснований h высота	V— 5 я(Я2+г2) h равно средней площади X на высоту
10. Цилин- дрическое кольцо	1 . «L d - 2 Г Фиг. 118.	У=2гс2/?г2 = 19,739 7?/’ = | к2 Dd* = 2,4674 ZM2 О = 4 п2/?г = 39,478 Rr = r*Dd = 9.86S6 Dd
11. Чан или кадка	Основания произволь- ные, эллипсы с полу- осями а, b и alt bt h высота	7= 1 к h [2 (ab 4-	4- abx 4- агЬ]
12. Бочка	D диаметр среднего сечения d диаметр дна h высота	V	л h (2 Z)2 + б1) приблизительно для круговой клепки, V = Д к h (2 D2 -j- Dd + | d2) точно для параболической клепки
Объемы и поверхности тел
243
Тело	Обозначение размеров	V = объем, О = поверхность М = боковая поверхность
13. Цилин* дрический свод	«у полупролет г радиус внутренней на- правляющей свода 6 толщина свода h высота свода 1 длина свода	. <р	s eM«tg7=—-
14. Кресто* вый свод над прямо- угол ьником 2SX 25	5, г, 6, A, 2s (вместо /), ф обо- значения, как и в 13, для одного цилиндрического свода 5, /?, A, A, 2j, ф то же для другого цилиндрического свода	V^~(2ri + ^S + /. <Р	5	. ф	S \ (tg 2 “ r — h* is 2	R — h) •
45. Если от шарового пояса (стр. 241) отнять усеченный конус,
радиусы оснований которого а и Ь, высота Л, образующая 5, то объем
оставшегося кольца V = I к hs\
16. Призмоид, т. е. тело, ограниченное двумя параллельными
основными плоскостями Fq и F2n и произвольным числом боковых
(треугольниками, трапециями, параллелограмами), вычисляется
по правилу Симпсона (стр. 112 и 220): V = IН (FQ -|- 4 Fm -f- F2n).
Примеры. 1. Если у обелиска высотою h (стр. 240) основания представляют
трапеции, средние линии которых т и тъ а высоты с и сг, то имеем:
V = J Л [(2^4-^) c-l-(2m1+ т) q] = | h [тс + (т + mJ (с + cj +
2. Насыпь под дорогу. Если h высота насыпи, b ширина ее по верху,
1 : п наклон полотна, 1 : т уклон откосов, то имеем:
V = J № (п — т) [3 b + 2 hm (1 — т : «)],
например, для л = 45 и /и = 1,5:
V= 21,75 А2 (Ь + 0,9667 Л).
17. Правила Гюльдена (Паппуша).
1.	Если
5 длина кривой, которая вращается около оси, находящейся в одной с ней
плоскости, но кривую не пересекающей, и
х0 расстояние центра тяжести кривой до оси вращения,
то поверхность полученного такихМ образом тела
вращения будет:
М = xqS, равное пути, проходимому центром тяжести X длину
кривой.
2.	Если
Г площадь плоской фигуры, которая вращается около оси, находящейся
в плоскости этой фигура!, но ее не пересекающей,
х0 расстояние центра тяжести этой фигуры до оси вращения,
то объем полученного таким образом тела вращения
будет равен:
244 Т. I. Отд. 1. Математика. IX. Площади, объемы и поверхности тел
V = 2 те х0 F, равное пути, проходимому центром тяжести X пло-
щадь фигуры.
3.	Если имеем две параллельные оси вращения, расстояние
между которыми равно а, то, обозначая через М{ и поверх-
ность и объем, отнесенные к одной оси, и через Л/2 и ^2—те же
величины для другой оси, имеем:
М1 = 2 те as ±z Л/2 и У1 = 2 те a F zt У2.
Здесь знак —, если 5 или F находятся между параллельными
осями; в противном случае знак 4~-
4.	Если вообще у = f (х) уравнение меридианальной линии (ось
х — ось вращения); /И — часть поверхности, заключенная между
двумя плоскостями, проведенными в расстоянии хг и х2 от начала
координат нормально к оси х-ов, и V—объем, заключенный между
теми же плоскостями и поверхностью тела вращения, то:
х2	Ха
Л4 = 2 те J у ds и У = те j* у2 dx.
ds =Vdx2 4- dy* есть диференциал дуги меридианальной кривой.
5.	Если 5 или F суть алгебраические суммы длин дуг $2, $3
и т. д. и соответствующих площадей Fb F2, F3, . . ., и расстояния
хь х2, х3, . . . центров тяжести их от оси вращения известны, то
Л4 = 2 те (SjXi 4~	+ 5зхз + • • •)»
У = 2 те (FjXi 4"	4” ^3 + • • •)•
6.	Для части тела вращения следует значения Ми У (в 1 до 5)
умножить на ср°: 360°, если есть угол поворота в градусах (см.
например 13, стр. 243).
7.	Вышеприведенные правила могут быть применяемы вообще
к какому угодно движению центра тяжести, лишь бы площадь фи-
гуры была перпендикулярна к направлению движения.
П ОТДЕЛ
Механика
Фамилии составителей и редакторов указаны в соответствующих отделах.
Стр.
к Механика твердых тел
ОсноВныепонятиямеханики 247
Единицы и системы мер.......247
Вектор положения, скорость и
ускорение.................248
Сила и масса................249
Материальная точка и основное
уравнение динамики.......251
Момент силы и пара сил......252
Работа и мощность...........254
Живая сила, или кинетическая
энергия..................255
Статика.....................256
Основные законы.............256
Сложение и разложение сил, при-
ложенных к твердому телу . . 257
Силы с общей точкой приложения 257
Система сил, лежащих в плоско-
сти и действующих на твердое
тело........................260
Система сил в пространстве . . . 270
Определение реакций опор .... 275
Равновесие сил, действующих на
нить........................277
Закон работы. Принцип виртуаль-
ных перемещений...........280
Виды равновесия.............283
Центр массыимоментмассы
второго порядка..........285
Центр массы и центр тяжести . . 285
Определение центра тяжести ... 287
Положение центра тяжести для
технически важнейших линий,
поверхностей и тел..........288
Моменты инерции и моменты цен-
тробежные ................293
Моменты инерции и моменты цен-
тробежные для тела........293
Геометрические моменты инерции
и моменты центробежные для
плоских фигур.............296
Моменты инерции важнейших ли-
ний, поверхностей и тел . . . 299
Теория движения (кинема-
тика) ...»...............305
Движение точки..............305
Движение твердого	тела- .... 313
Относительное движение......3.4
Цлоское движение	326
Стр
Динамика.....................332
Динамика материальной точки . . 332
Динамика системы материальных
точек.........................341
Динамика твердого тела.......349
Удар твердых тел.............357
II.	Прикладная механика
Механизм.....................363
Основной метод построения меха-
низма ........................364
Преобразование механизмов . . . 365
Изменение формы звеньев . . . 366
Анализ и синтез механизма . . • 368
Структура механизмов . . . 369
Состав механизма.............369
Структурный анализ механизма . 371
Синтез кинематической схемы ме-
ханизма ......................374
Кинематика механизмов . . 375
Методы кинематического и .следо-
вания механизмов..............375
Метод засечек................375
Кинематические диаграммы . . . 376
Графическое диференцирование • 377
Графическое интегрирование . . . 379
Разметка путей точек механизмов
методом круговых линеек . . 380
Построение планов скоростей и
ускорений для плоских меха-
низмов,.......................383
Передачи.....................393
Зубчатые передачи . .	•......393
Кулаки и эксцентрики.........393
Редукторы скорости ......... 401
Динамика механизмов. . . . 407
Трение в машинах.............407
Сопротивление при относитель-
ном движении тел, прижатых
друг к другу..................407
Сущность явления трения сухих
и слабо смазанных тел .... 408
Сущность явления трения хорошо
смазанных тел.................414
Вычисление трения в разных де-
талях машин...................417
Трение в частях передач......419
Сопротивление при катании	тел . 423
Сопротивление шариковых и ро-
ликовых подшипников	,	,	4?5
Стр.
О движении без трения........426
Инерция в машинах............427
Разбивка и приведение масс . . .. 427
Уравновешивание масс па валу. . 431
III.	Механика подобия или
теория моделей
Статическое подобие..........434
Динамическое подобие.........434
IV.	Механика капельных жид-
костей (гидромеханика)
Свойстважидкостейигазов 443
Таблицы и формулы...........444
Гидростатика................446
Основные законы.............446
Гидростатическое давление, под-,
держивающая сила.........446
Статическая устойчивость плаваю-
щих и погруженных в жид-
кость тел. Метацентр .... 448
Гидродинамика...............449
Общие понятия и законы .... 449
Общие уравнения движения Навье-
Стокса...................451
Уравнение неразрывности .... 452
Уравнение Бернулли ........ 452
Гидродинамический напор для
воды и воздуха (номограмма). 453
Течения с потенциалом скорости 455
Явления, в которых можно не рас-
сматривать влияния силы тя-
жести ...................455
Движение под влиянием силы тя-
жести .... *..................430
Течения с потерей энергии .... 462
Прямые трубопроводы и каналы
с постоянным поперечным се-
чением .......................462
Местные сопротивления..........473
Расчет трубопроводов...........480
Стр.
Движение воды в почве........482
Постоянное поперечное сечение. 482
Сток подпочвенных вод » . . . . 483
Сопротивление тел ........ 484
Поверхностное трение. Тела наи-
меньшего сопротивления. Есте-
ственный ветер.............484
Течения с образованием вихрей . 488
Результаты опытов над сопротив-
лением некоторых тел .... 490
Коэфициенты сопротивления раз-
личных. тел................492
Волновое сопротивление . . • . . 495
Жидкие струи.................496
Образование струй, истечение из
отверстий..................496
Высота и дальность полета сво-
бодной струи...............502
Давление струи на сосуд, из ко-
торого она вытекает, и на пре'-
пятствия, ею встречаемые . . 503
Крылья и воздушные винты . . . 505
Плоское обтекание .......... 505
Основные законы (теорема Кутта-
Жуковского) ...............505
Пространственное обтекание . . . 509
V.	Механика сжимаемых жид-
костей (аэромеханика)
Аэростатика..................519
Основные законы аэростатики . . 519
Статика атмосферы............520
Динамикагаза . . ............523
Движение газов по трубам пере-
менного сечения и общие за-
коны ......................523
Плоское течение при скоростях
порядка ниже звуковой. Пра-
вило Прандтля..............528
Движение сжимаемой жидкости
со сверхзвуковой скоростью . 529
гидравлический удар «... 535
Основные понятия механики
I. Механика твердых тел
Составил проф. д-р Людвиг Феппль, Мюнхен
Перевод и дополнения под редакцией проф. А. П. Малышева
А. Основные понятия механики
а) Единицы и системы мер
Под „измерением" понимают сравнение с однородной величиной,
принятой за единицу. Всякая скалярная величина состоит
из абсолютного числа, указывающего, сколько раз в ней содержится
величина, принятая за единицу, и из наименования, или раз-
мерности. Такое же правило применяется и для абсолютной
величины вектора. Все величины, встречаемые в механике,
могут быть выведены по их размерности из трех главных, или
основных, единиц. В технической системе мер такими едини-
цами являются: длина (£), время (Т) и сила (F или Р).
Абсолютная (физическая) система мер, принятая также и
в электротехнике, отличается от технической системы мер третьей
основной единицей, именно: здесь принимают вместо силы массу (М).
Так как по основному уравнению динамики (стр. 251):
сила = масса X ускорение,
то в физической системе мер сила является произ-
водной единицей, размер которой получается путем умноже-
ния основной единицы массы на размерность ускорения. Наоборот,
в технической системе мер масса является производной единицей,
которая получается путем деления основной единицы силы на раз-
мерность ускорения. При переходе от одной системы мер к другой
необходимо обращать внимание на эту зависимость.
В обеих системах мер время обычно измеряется секундами (сек).
В технической системе мер сила выражается в килограммах (кг), а
длина — в метрзх (>и), а в физической системе мер масса — в кило-
граммах (кг) или в граммах (г), а длина — в сантиметрах (см), так
что кг или г в каждой из обеих систем мер имеют
различное значение. Для отличия от технического кг или г
обозначают физическое знаками кг* или г*. Наиболее важные для
механики величины и их размерности даны в табл. 1 (стр. 248).
В физической системе мер CGS (сантиметр-грамм-секунда) единицей силы
служит дина. Она дает 1 грамму массы (г*) ускорение 1 см/сек*-.
1 г* X 1 см)сек2 = 1 дина.
Принимая ускорение силы тяжести в нормальном месте = g (стр. 250) =
— 980,6* 5 см)сек\ имеем ’):
Д. я силовых единиц технической и физической системы мер
1 кг — 1003 г* X 980,665 см\сек2 = 0,980 665 • 10е дин,
1 дниа = '0,980 665 • 10» ' К! = 1’0197 • 10-6 Кг-
’) Так как для большинству технических расчетов величина £—9,81 м сек2 впелне
достаточна и общепринята, то эта величина принята как основа для всех расчетов
и таблиц в справочнике „Hiitte".
248
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Таблица 1. Важнейшие механические величины
L — длина, Г—время, УИ — масса
Величины и обозначения	Размерность	
	в техниче- ской си- стеме мер	в физической системе мер
Длина /, путь 		 Площадь Р	 Угол а, 3, у	 Телесный угол 		 Время t	 Скорость 		 Ускорение at g 	 Угловая скорость w 	 , ,	cf<o Угловое ускорение е = —	 Масса т	 т Удельная масса, плотность р= у	 Сила, вес Р, G, Р	 Удельный вес у 	 Момент силы или пары сил М	 Давление р. напряжение 5, т		 Относительное удлинение е, сдвиг f 	 ..	-	8 Модуль упругости Е= —	 Модуль сдвига G = —	 Интенсивность нагрузки q ............. Момент инерции Jq площади	 . . Центробежный момент Cq площади	 Момент ине! ции J массы	  . Центробежный момент С массы	 Работа W 	 Мощность N	 Кинетическая энергия, живая сила Е 	 Потенциал! на । энергия II 	 Количество движения, импульс mv	 Момент количества движения В ........... Коэффициент полезного действия т)	 Коэф щиент трения при скольжении и.	 Посгоянная тяготения		м мВ 9 м9 1 1 сек м1гек М/СсК9 1}<€К 1/сек9 кг сек9 м кг сек9 м* кг кгм9 кгм кг\м9 1 кг\м9 кг\м9 кг 1м м* м* кгм сек9 кгм сек9 кгм кгм 1 сек кгм кгм кг сек кгм сек 1 1 м*1кг сек*	см см9 см9 1 1 сек см\сек CMt сек9 1| се к 1/сек9 кг* кг*1 см9 кг* см/сек9 кг*/см9 сек9 кг* см'/сек9 кг*/см сек9 кг*/см сек9 кг*/см сек!9 кг*/сек9 см* см* кг* см9 кг* см9 кг* сн*1сек9 кг* см91сек9 кг* см tceK9 кг* см91 сек9 кг* смцек см9 кг* 1 сек 1 1 см91кг* сек9
В формулах и уравнениях знаками-|-или— или =
могут быть соединены только величины одной и
той же размерности.
Ь) Вектор положения, скорость и ускорение
Для определения положения материальной точки служит век
тор г, проводимый в нее из любой точки пространства. Век-
тор г можно заменить также тремя его компонентами х, у, z
Основные понятия механики
249
по осям прямоугольной координатной системы с началом в непо-
движной точке пространства.
Скоростью материальной точки, совершающей любое движе-
ние, называется предельное значение отношения:
путь, пройденный за интервал времени _
.------------------------------------= v = —•
длительность интервала времени	dt
Вектор скорости расположен по направлению dr, т. е. он лежит
на касательной к траектории материальной точки; дбеолютная вели-
чина его равняется:
Под ускорением материальной точки, совершающей любое
движение, понимается предельная величина отношения:
изменение скорости за интервал времени _
длительность июервала времени	а dt dt2*
Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости, каса-
тельной к траектории в данной точке; направление его совпадает
с направлением dv, но, вообще, не совпадает с направлением v (по-
дробно см. стр. 311).
с)	Сила и масса
1.	Сила. Понятие о силе возникло из нашего силового ощу-
щения. При соприкосновении с каким-либо телом мы испытываем
чувство давления. Путем обобщения мы приходим к закону взаи-
модействия, согласно которому сила понимается как взаимодей-
ствие между двумя телами в том смысле, что два тела действуют
друг на друга равными, но противоположно направленными силами
(3-й закон Ньютона — закон действия и противодействия).
Сила есть вектор. Она всегда распределена по поверхно-
сти, но в механике, для упрощения, часто принимают силу сконцен-
трированной в одной точке, в точке приложения силы. Если
не считаться с состоянием напряжения и деформацией, вызываемыми
силами в теле, то точка приложения силы неважна, а существенна
только линия действия силы; вследствие этого силу называют
скользящим вектором (о сложении сил см. стр. 257).
Для измерения силы ее сравнивают с весом определенных
тел. Поэтому единицей силы является килограмм (кг). Эталоном кило-
грамма служит платино-иридиевый цичиндр, хранящийся в Междуна-
родной палате мер и весов в Севре близ Парижа. Вес эталона кило-
грамма с большой точностью приближается к весу 1 дм* чистой
воды при температуре 4° С для геогр фической широты Парижа.
На каждое тело на поверхности земли действует сила — его вес,
придающая телу постоянное ускорение, если его падению не препяг»
250
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
ствуют другие тела. Ускорение падения g в одном и том же месте
не зависит от веса и вещества падающего тела.
В связи с географической широтой ср и с высотой h (в м) над
уровнем моря g (измерением в м/сек2) изменяется согласно ниже-
следующей формуле:
g = 9,806056 - 0,025028 . cos 2ср — 0,000003/г.
Ускорения силы тяжести для городов СССР, приведенные к уровню моря
Названи_е места g	Название места g
Экватор ............ 9,781	Москва..............9,815
Тифлис.............. 9,803	Ленинград...........9,819
Одесса.............•	9,807 Архангельск.............9,821
Харьков..............9,810	Полюс...............9,831
2.	Масса. Масса тела — понятие, существенно отличное от его
веса. Она представляет собой присущую телу скалярную величину,
независимую от положения тела, между тем как вес изменяется про-
порционально g.
Коэфициент пропорциональности, на который нужно умножить
земное ускорение для получения веса G, есть масса т тела: •
G = mg.
Обыкновенными рычажными весами опрел е-
ляется не вес тела, а его масса; весы, установленные в лю-
бом месте поверхности земли в равновесии, останутся везде в рав-
новесии, ввиду того, что веса обоих тел. при изменении положения
одинаково изменяются, между тем как массы их остаются неизмен-
ными.
Все взвешивания промышленных товаров и в химии и т. д.
являются определениями массы или количества материала данного
тела. Масса тела остается неизменной при всех фи-
зических или химических изменениях, которым
оно подвергается.
Переменную величину земного ускорения и, вместе с тем,
веса тела на поверхности земли нельзя узнать с помощью рычажных весов,
а только с помощью пружинных весов, отклонение которых дает меру для величины
веса. Точные измерения величины g производятся наблюдениями над колебаниями
маятника.
Удельный вес представляет собой вес единицы объема у = О/К,
причем G обозначает вес и V — объем однородного тела. Для неодно-
родных тел удельный вес равняется = dG/dV. (Данные относи-
тельно удельного веса разных веществ см. в отделе .Материалове-
дение".)
Удельная масса, или плотность, есть масса объемной
единицы p = m/V, причем т обозначает общую массу тела.
Удельным объемом называется объем единицы веса:
v — VfG, следовательно, -р=1 и р = т/^. .
Удельным давлением, или напряжением давле-
ния, называется давление на единицу площади: о = Р/F, причем Р
Обозначает общее давление, а Л —площадь, по которой Р распреде*
Основные понятия механики
251
лено равномерно. Это определение остается в силе и для напряже-
ния от растяжения 6 = Р/F, и от сдвига т = Q/F, причем сила Q рас-
положена в плоскости F. (Подробности см. в отделе „Сопротивление
материалов", т. II.)
Современная физика не применяет термина „удельное давление", так как на
грузка, отнесенная к единице площади, называется просто „давлением". Существуют
2 единицы давления, несколько отличных друг от друга: именно, — техниче-
ская, или метрическая атмосфера, под которой подразумевается да-
вление в 1 кг на 1 см2, и физическая атмосфера, т. е. давление ртутного
столба высотой в 760 мм при 0°. При этом:
1 атм. физ. =1,033254 атм. техн..,
1 атм. техн. = 0,967816 атм. физ.
Давление столба воды высотой в 10 м при температуре 4е С равно техниче-
ской атмосфере.
d)	Материальная точка и основное уравнение динамики
Движение тела, совершающего только поступательное перемещение
(стр. 313), т. е. такое, при котором все точки тела проходят равные
и параллельные пути, может быть представлено как движение какой-
либо одной единственной точки, например центра тяжести. Представив
себе, что в этой точке сконцентрирована вся масса тела, приходят
к понятию о материальной точке, или центре масс, ка-
ковое представление дает пригодную и упрощенную картину тела
для многих целей механики, главным образом, динамики. Произве-
дение из массы на скорость материальной точки называют коли-
чеством движения ее. Оно представляет вектор, направление
которого совпадает с направлением скорости. Движение материаль-
ной точки определяется законом движения Ньютона, или
динамическим основным уравнением: производная по вре-
мени количества движения равна силе:
d(mv) = -
dt
при постоянной массе:
т^-=Р (массаXускорение= силе).
dvv	dv2 <fi2
т~ = т-^=Т, т~ = т—.== Z
at at£	at aP
Это векторное уравнение можно представить тремя уравнениями
составляющих:
dvx	&х	v
т —77 =т = л,
dt	d&
где X, У, Z—компоненты вектора силы по осям координат (х, у, z}.
Если сила, приложенная к телу, есть его вес G, то динамическое
основное уравнение принимает вид:
т • g = G (стр. 250).
Для определения массы т можно вместо уравнения m‘g=G
исходить из общего динамического основного уравнения:
т • a =s Р
252 т- 1 Отд- 2 Механика. I. Механика твердых тел
и массу обозначить^такой скалярной величиной, которая от умноже-
ния на ускорение а дает силу Р.
Частный случай закона движения Ньютона приводит к за-
кону инерции Галилея: всякое тело, без влияния
на него внешних сил, остается в покое или пере-
мещается прямолинейно и равномерно.
Динамическое основное уравнение и за^-он инерции предполагают существование
абсолютного пространства и связанной с ним системы координат.
Координатная ciMfyia, прочно соединенная с землей, строго говоря, не
является абсолютным пространством, хотя она и приемлема для большинства техни-
ческих целей. То обстоятельство, что для земли как координатной системы не совсем
справедливы закон инерции и динамическое основное уравнение, подтверждается
различными известными опытами, как маятник Фуко, отклонение на
восток падающего тела и т. д. Со сферой неподвижных звезд связаны
астрономические координатные системы, для которых приблизительно точно прило-
жим закон инерции (инерционная система).
По принципу относительности Эйнштейна вообще не су-
ществует абсолютного пространства, а все координатные системы равнозначны между
собою. Однако эга равнозначность всех координатных систем возможна лишь при
отказе и от понятия об абсолютном времени, так что при переходе от одной сис-
темы координат к другой преобразовываются не только пространственные коорди-
наты, но также и координаты времени.
е)	Момент силы и пара сил
Сила Р, приложенная к какому-нибудь телу, рассматривается
(стр. 249) как скользящий вектор, точка приложения которого для
А статики и динамики тела несущественна. На-
ряду с самой силой столь же важное зняче-
ние имеет момент силы по от ноше-
н и кд, к какой-либо точке. Если Р—
/ сила и О—любая точка, то под моментом силы
Р по отношению к точке О (фиг. 1) пони-
мается вектор М, абсолютная величина кото-
Фиг-	рого | М | — Ра, т. е. равна величине силы, умно-
женной на перпендикулярное (кратчайшее)рас-
стояние а меж<у силой и точкой, или равна удвоенной площади
моментного треугольника, заштрихованного на фиг. 1.
Направление вектора момента перпендикулярно к плоскости,
содержащей в себе ? и О; стрелка вектора М определяется из
того условия, чтобы направление вращения силы Р вокруг О вместе
с поступательным движением, указываемым этой стрелкою Л4, давали
правое винтовое движение (движение пробочника) х). Если точка О
находится на линии действия силы, то момент силы равен нулю; если
он расположен на другой стороне силы, то момент изменяет свое
направление (стрелку).
На основании этого определения момента силы можно написать:
М = [7 Р],
•) См. стр. 178 .Векторный анализ*.
Основные понятия механики
253
причем г обозначает радиус-вектор от полюса моментов к точке
приложения силы, т. е. момент силы есть векторное, или
внешнее, произведение из радиуса-вектора ги силыА
(См. .Векторный анализ*, стр. 174).
Если через точку О провести прямоугольную координатную
систему (х, у, z) и спроектировать М на оси этой координатной сис-
темы, то три прямоугольных компонента Мх, Му и Mz от М вы-
ражаются с помощью составляющих X, У, Z от Р и координат хуу,z
точки приложения А следующим образом:
Мх = Zy - Yz,
Му = Xz — Zxy
Mt = Yx — Ху.
Эти три уравнения, вместе взятые, равнозначны вышеуказанному
векторному уравнению, как это вытекает из выражения векторного
произведения с помощью единичных векторов Z, /, k в виде детер-
минанта:
41 = [г Р] =
I х X
J у у
k z Z
Мх является моментом проекции Р на плоскость (yz) по отно-
шению к точке О; его называют также и моментом Р относи-
тельно оси Ху соответственно этому Му является моментом Р
относительно оси у и — моментом Р относительно оси z. Вообще,
момент силы по отношению к какой-либо оси получается
проектированием силы на плоскость, перпенди-
кулярную к оси, и определением момента проек-
ции силы по отношению к точке, где ось пересе-
кает (прокалывает) плоскость.
Вектор момента представляет собой совер-
шенно свободный вектор, т. е. его можно передвигать
куда угодно параллельно его направлению,
между тем как вектор силы прикреплен к своей	f
линии действия.
Под парой сил понимают две равные, но _
противоположно направленные силы Р и — Р Р^/////^
с параллельными линиями действия. Характе-
ристической величиной для пары сил является
ее вектор момента М, величина которого рав- фиг’ 2*
няется площади параллелограма, определяе-
мого силами Р и —Ру и направление которого перпендикулярно
к плоскости параллелограма; вектор этот выражается такой стрелою,
чтобы направление вращения пары сил вместе с поступательным два-
254 Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
жением, указываемым стрелою 7И, давало правое винтовое движение
(фиг. 2).
Момент пары сил представляет собою сумму моментов обеих сил
Р и —Р для любой точки.
Эта сумма всегда дает площадь параллелограма, независимо от
положения точки, так что нет надобности в указании точки момента
пары сил, в противоположность моменту отдельной силы.
Две пары сил с одинаковой площадью параллелограма и с оди-
наковым направлением вращения в той же самой или в параллель-
ных плоскостях равнозначны между собой. При различных
направлениях вращения они взаимно уничтожаются.
О сложении пары сил или моментов см. стр. 270.
f)	Работа и мощность
1. Работа. Предположим, что на движущееся по прямой линии
тело по направлению его движения действует постоянная сила Р.
В таком случае произведение А = Ps называется -работой силы
| Р | = Р на пути | s | = $. Если силовой вектор Р с вектором пути s
образуют угол ср, то работа силы равна произведению силы на путь
и на cos?:	____
А = Ps cos ? = Р s,
т. е. равна внутреннему произведению из силы и пути (см. .Вектор-
ный анализ", стр. 174).
Работа может быть положительной или отрицательной, смотря
по тому, образуют ли Р и $ острый или тупой угол. Если сила рас-
положена перпендикулярно к пути, как при центробежной силе, то
работа силы равна нулю.
Если точка приложения силы проходит по какому-нибудь криво-
линейному пути или если на прямолинейном пути величина или
направление силы постоянно меняется, то общий итог работы полу-
чается путем сложения всех элементарных работ, соответствующих
бесконечно малым участкам пути, на которые, как мы предполагаем,
разделено все движение:
А = j* dA = j* Р ds cos ? = J*Pds = J(Xdx + Ydy Z dz).
При графическом изображении работы принято
показывать путь точки приложения силы как абсциссу, а соответ-
ствующую слагающую силу по направлению пути — как ординату
(касательная сила Р); тогда площадь, заключенная между кривой
и осью абсцисс, служит мерою произведенной работы.
Размерность работы равняется в технической системе мер [IF] = [£PJ
(см. стр. 248), единицей служит 1 кгм. В физической системе мер единица рав-
няется 1 Dyncm {дин см) = 1 эрг:
1 эрг «1,02-10~8 кгм,
1 кгм » 9,81-107 эрг«9-81 джоулей,
точно:
•	1 кг = 9,8062 :1,0005 Я 9-801 джоулей.
Основные понятия механики
255
Работа тяжести G на каком угодно пути, начальная точка кото-
рого лежит выше конечной точки на расстоянии h (по вертикали),
равняется:
W = Gh.
Если твердое тело, т. е. тело неизменяющейся
формы, вращается вокруг оси А на угол ср (в дуговом измерении)
и если отнесенный к оси вращения момент равняется МА , то ра-
бота момента будет:
W = МАу = М cos а • ср,
причем а представляет собой угол, образованный вектором момента М
(отнесенным к любой точке оси вращения) с осью вращения А.
2. Мощностью называется работа, произведенная
в течение единицы времени:
кт dW кт W
М =—— или N=--y
dt	t
если работа W не зависит от времени, т. е. если она постоянная.
Если сила Р постоянна и ее точка приложения проходит по прямо-
линейному пути с постоянной скоростью v по направлению силы,
то N = Pv. Но если Р и v образуют угол а, то
N = Pv cos а.
Соответствующее выражение получится и в отношении мощности
при вращении твердого тела:
/V —	= Afcu cos а,
где со — угловая скорость вращения и МА = М cos а—отнесенный
к оси вращающий момент.
Размером мощности является в технической системе [ЛГ] = [PLIT] (см. стр. 248),
единицей—кгм\сек\ в физической системе измерения [2V] = [Л4Л2/Г»] и 1 эрг/сек;
1О‘° эрг/сек называются 1 киловатт (kW)=lCC0W. Наиболее употребительной
в машиностроении единицей измерения мощности является:
1 лошадиная сила (л. с.) = 75 кгм!сек,
1 л. с. = 75 кгм1сек = 0,736 kW,
1 kW = 1,36 л. с. = 102 кгм} сек,	*
1 кгм]сек 9,81 W.
Отсюда следуют дальнейшие единицы работы:
1 лошадиная сила-час = 1 л. с. ч. = 270 000 кгм = 270 тм,
1 киловатт-час = 1 kWh = 367 000 кгм = 367 тм.
g) Живая сила, или кинетическая энергия
Если v — скорость материальной точки массы т, то выражение
Е =	• mv2
называется кинетической энергией, или живой силой,
этой точки.
256
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Если твердое тело производит чисто поступатель-
ное движение со скоростью v, то кинетическая энергия его
будет Е = -у • mv2, если под величиною т понимается общая масса
тела. При чисто вращательном движении твердого тела вокруг непо-
движной оси А с угловой скоростью <о, Е = у • если JA вы-
ражает момент инерции тела относительно оси вращения А, Если
твердое тело совершает какое-нибудь произвольное движе-
ние, то кинетическая энергия его будет:
m.v? mva2
+Ч-’
где vQ — мгновенная скорость центра тяжести, — мгновенная угло-
вая скорость и Jy —момент инерции тела относительно проходящей
через центр тяжести оси вращения (стр. 293).
В физике энергией называется всякая величина, равноценная какой-либо работе.
Отсюда происходит название кинетической энергии. Тяжесть G. находящаяся в со-
стоянии покоя на высоте Н над поверхностью земли, обладает п оте н цилльной
энергией, или энергией положения, в размере ОН по отно пению
к земле. Другими вилами энергии являются: потенциальная энергия сжатой пружины,
тепловая энергия, магнитная и электрическая энергия, энергия излучения, химиче-
ская энергия.
Принцип сохранения энергии. Энергия не может
быть ни создана, ни уничтожена, а лишь только
преобразована. Для каждых двух видов энергии преобразо-
вание происходит по совершенно определенному коэфициенту
пропорциональности.
Для превращения, например, тепловой энергии в механическую мы имеем
соотношение:
1 Кал = 427 кгм
(механический эквивалент тепловой единицы). 1 килокалорией (Кал) называется
количество теплоты, необходимое для повышения температуры 1 кг воды с
до 15Ча° (см. отд. .Теплота").
В. Статика
а)	Основные законы
1.	Теорема параллелограма сил. Две силы Рги P2i при-
ложенные к одной точке, можно заменить прило-
женной к той же точке равнодействующей силой R,
равной по направлению и величине диагонали
параллелограма, п о с т р о е н н о г она PL и (фиг. 3).
В векторном изображении: R = Pt + Р2.	1
2.	Теорема о перенесении сил в твердых телах. Твердым
телом называют такое тело, форма и величина которого не изме-
няется. В действительности нет твердых тел, так как каждое тело под
влиянием действующих на него сил подвергается некоторому изме-
Статика
257
нению своей формы, хотя Последнее обычно очень невелико. В ста-
тике и динамике пренебрегают этими малыми деформациями и стре-
мятся решить задачу, предполагая существование абсолютно твердого
тела. Если это удается, то говорят о статически определен-
ных з а д а ч а х, в противном случае —о ста-
тически неопределенных.
В учении о сопротивлении ма- Paf
териалов идеальное представление о твер-	/
дом теле обычно непригодно, потому что здесь
при вычислении внутренних сил и напряжений &
все зависит, главным образом, от деформаций фиг. з.
тела.
Для движения или равновесия твердого тела не будет иметь
никакого значения, если к имеющимся уже силам прибавятся две
равные противоположно направленные силы Р и — Р с общей ли-
нией действия и с любыми точками приложения.
Отсюда вытекает теорема перенесения: в твердом
теле можно произвольно переносить силы вдоль
линий их действия, так что точка приложения
силы не имеет никакого значения, а важна только
линия действия силы; т. е. силу можно рассматри-
вать как скользящий вектор.
Ь)	Сложение и разложение сил, приложенных к твердому телу
I. Силы с общей точкой приложения
Если несколько сил Plt Р2, Р3,... приложены к одной точке твер-
дого тела, или линии действия сил пересекаются в одной точке, что,
согласно теореме перенесения (см. выше), есть то же самое, то силы
эти можно соединить в одну ре-
зультирующую, или равно-
действующую, которая проходит
через общую точку всех сил. Сна-
чала можно представить себе по пра-
вилу параллелограма сил (фиг. 3) сло-
женными две силы Pj, Р2 в одну
равнодействующую силу, последнюю
сложенной с Р3 и т. д., пока в конце
концов все силы не будут соеди-
нены в одну общую равнодействую-

Фиг. 4и.
Риг. 4Ь.
щую. Этот способ получения равнодействующих сил Ръ Р2,Р%,.. . при-
водит к построению силового многоугольника (фиг. 4Ь), который полу-
чается геометрическим сложением данных сил Рь P2t Р$,-.. п° вели-
чине и направлению, причем линия, соединяющая начальную и ко-
нечную точки многоугольника (его замыкающая сторона), пред-
ставляет равнодействующую по величине и по направлению
(фиг. 4). Последовательность, в которой силы сила-
258
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Мекапика твердых тел
дываются, при этом не имеет никакого влияния
на конечный результат.
Это сложение сил называется графическим, или геомет-
рическим, сложением. На основании векторного исчисления
мы пишем:	_	_	_	_	_
+ +	... = EPZ = /?.
Условие равновесия для сил, проходящих через одну
точку, будет:	_
R = 0, или £ Pt = О,
или геометрически: многоугольник, составленный из
с и л Plt Р2, ?3,..., 3 а м ы к а е т с я сам собою.
Для целесообразного соединения сил в одну равнодействующую
прибегают к помощи начертательной геометрии, причем пользуются
правилом проекций, по которому при прямоугольном или косо-
угольном параллельном проектировании замкнутого
многоугольника в проекционной плоскости получается опять замкну-
тый многоугольник, причем проекция равнодействующей
равна равнодействующей проекций сил.
При аналитическом способе вычисления равнодействующей
сил проводят прямоугольную координатную систему с произвольным
началом, например в общей точке пересечения всех сил, и проекти
руют силы на направления трех осей:
cos аь У] = cos Zi = cos Ti и т- Д*
Тогда три компоненты равнодействующей будут:
X = R cos а = £ Xi = £ Р^ cos
Y = R cos ₽ = £ Y{ = £ Pi cos ,
Z = R cos у = £ Zl = £ cos .
Эти три уравнения равнозначны вышеприведенно.му векторному уравнению:
По найденным компонентам равнодействующая определяется из
формулы:
а ее углы с осями координат получатся из соотношений:
X
cos а = - ____ __	>
/X2-hK2-f-Z^
У
cos р = —-———=—,
j/J^ + ^ + Z2
Z
COSY =	—	.
Статика
259
Условия равновесия через проекции по осям
координат будут:
EXZ=O, £У/=0, LZz=0.
Две силы, приложенные к одной точке, могут быть
в равновесии только тогда, когда они равной величины и напра-
влены в противоположные стороны. Три силы в одной точке
могут быть в равновесии только тогда, если они расположены
в одной плоскости и дают при сложении замкнутый треугольник.
О сложении параллельных сил см. стр. 260.
Разложение данной силы R по направлениям, имеющим с 7?
одну общую точку, возможно в плоскости и при двух
направлениях имеет одно ре-
шение. Для этого строится парал-
лелограм сил проведением через ко-
нечную точку вектора R параллелей
к данным направлениям 1 и 2, при-
чем отсекаются искомые слагающие
силы от R. Слагающие являются пол-
ной заменой силы R (фиг. 5а и 5Ь).
О частном случае, когда прямые идут
>
Фиг. 5а.	Фиг. 5Ь.
параллельно и лежат в одной плоскости с нею, —
см. стр. 260.	__
В пространстве сила Сможет быть
разложена единственным образом по
трем любым направлениям, имеющим
с R одну общую точку. Эту задачу разло-
жения можно разрешить точно так же, как выше-
указанную задачу разложения в плоскости.
Если обозначить три линии направления циф-
рами 7, 2 и 3, то получим составляющие силы R
в этих направлениях путем проведения через Фиг. 6.
конец вектора R параллельных плоскостей к плос-
костям 72; 23 и 31 трехгранного угла, образованного тремя пря-
мыми 7, 2, 3, Три плоскости трехгранного угла и три параллель-
ные плоскости, проведенные через конец вектора R, вместе опреде-
ляют косой параллелепипед, диагональ которого составляет R, а ребра
представляют искомые слагающие силы R по трем направлениям
7, 2, 3.
Целесообразно использование при этом начертательной геометрии. Для этой
цели сила К и три линии направления должны быть заданы в двух плоскостях
проекций.
Способ Кульмана. Он основываете» на следующих соображениях: каждая
задача разложения равнозначуща задаче равновесия. Для
этого нужно только изменить знаки отдельных слагающих. В данном случае речь
идет о равновесии между 7? и ее тремя ^лагающими по направлениям 7, 2 и <?,
знаки которых нужно представить себе измененными. Эти четыре силы можно сов-
260
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
динить попарно, например /? и 7, с одной стороны, 2 и 5, с другой стороны; тогда
равнодействующая сил R и 1 должна быть в равновесии с равнодействующей сид
2 и 3, т. е. обе должны быть равной величины, иметь противоположное направле-
ние и составлять одну прямую. Эту прямую, так называемую прямую Куль-
мана, можно определить; так как она, с одной стороны, должна лежать в пло-
скости R и 7, а с другой стороны, и в плоскости 2 и 3, то она является прямой
пересечения обеих плоскостей. Теперь нужно только в плоскости R и 7 разложить
данную силу R по наиравленияхМ 1 и прямой Кульмана, а последнюю слагающую
в плоскости 2 и 3 разложить по этим двум направлениям (фиг. 6).
Разложение силы R в плоскости более чем в двух направлениях,
проходящих через одну точку, или в пространстве — более чем
в трех направлениях, проходящих через одну точку, является уже
неопределенным.
II. Система сил, лежащих в плоскости и
действующих на твердое тело
1. Приведение к одной равнодействующей силе или к одной
равнодействующей паре. Пользуясь теоремой перенесения сил
для твердого тела, сначала складывают две силы плоской системы
в одну равнодействующую, для чего их перемещают вдоль по ли*
ниям их действия до точки их пересечения и здесь складывают по
правилу параллелограма сил, затем таким же образом эту частич-
ную равнодействующую складывают с третьей силой, получают
вторую частичную .равнодействующую и т. д. В результате, пере-
брав все силы, приходят к одной общей равнодействую-
щей R. Величина и направление ее определяется через R = 'LP[ =
положение ее относительно твердого тела или
заданной системы сил легко определяется
из указанного выше построения равно-
действующей.
В некоторых случаях такое построе-
ние равнодействующей приводит к п а-
р е сил (стр. 253), а имепчэ: тогда, когда
в результате цд параллельных линиях
остаются две равные по величине и про-
тивоположно направленные силы. При
желании сложить две эти силы выше-
указанным способом в одну равнодей-
ствующую приходят к результирующей силе, по величине равной
нулю, находящейся в бесконечно удаленной точке плоскости. Опре-
деление пары сил как бесконечно малой силы
в бесконечно удаленной точке плоскости имеет
в некоторых случаях известные преимущества.
Две параллельные силы Р± и Р2 (фиг. 7), не образующие пары
сил, складываются в одну равноде"йствующую таким образом: по
одной и той же линии прикладывают две равные по величине, но
противоположно направленные силы Г и — Г, что всегда можно
сделать (стр. 257), и находят Rt как частную равнодействующую
Статика
261
сил Рг и Г и /?2 для ^2 и — Теперь Z?t и R2 уже не параллельны,
и для них легко находят равнодействующую R, являющуюся одно-
временно и равнодействующей для Рг и Р2.
При двух одинаковых по величине, но противоположно направленных, параллель-
ных силах и Ра = — Pi (пара сил) приложение двух равных и противоположно
направленных сил Т и — Т по той же линии влияния привело бы только к новой
паре сил, вполне равнозначной первой, т. е. обладающей тем же моментом.
2. Веревочный многоугольник, а) С л о ж е н и е сил. Чтобы
приведенный выше способ нахождения равнодействующей плоской
системы сил иметь возможность
использовать и тогда, когда точка
пересечения двух слагаемых в
частичную равнодействующую сил
лежит вне чертежа (например при
параллельных силах), прибегают
к примененному выше положению,
что две равные по величине, но
фиг. 8а. Фиг. 8Ь. противоположно направленные по
одной и той же прямой, силы
могут быть произвольно прилагаемы, и тем самым статическое зна-
чение плоской системы сил не изменится. На этом и основано при-
менение веревочных многоугольников. На фиг. 8а надо найти рав-
нодействующую двух сил Рг и Р2, точка пересечения которых ле-
жит вне чертежа. По любой, но одной и той же, линии действия
прикладываем две равные по величине, но противоположно напра-
вленные, силы <S0 и — 50 и определяем равнодействующую для 4
сил: So, ^11^2» — •%, причем первая частичная результирующая
для So и Pi проходит через точку пересечения /. Ее величину и
направление находим из диаграммы сил (фиг. 8Ь). Через точку
пересечения // (<Sj и Р2) проводим равнодействующую S2 для Sj и
Р2, величину и направление которой также находим из фиг. 8Ь.
S2 представляет собою, таким образом, равнодействующую для So,
Pv Р2, прибавляя силу — So, получаем R, как это видно на фиг. 8Ь.
Линия действия R в плане сил фиг. 8а определяется точкой
пересечения ///, т. е. пересечением S2 и So или — 50.
Многоугольник Sq, S2, расположенный между заданными
силами, называется веревочным многоугольником.
О называется полюсом, So, S2 называются п о люсн ыми
лучами или лучами веревочного многоугольника.
Название происходит от того, что веревка, натянутая таким же
образом между силами, находится в равновесии и что при этом в
отдельных_частях веревки возникают натяжения So, S2. В нашем
примере So и S2 представляют собой первый и последний лучи
веревочного многоугольника, через точку пересечения которых
должна проходить равнодействующая R сил Pt и Р2.
262	Т. !• Отд. 2. Механика. 1. Механика твердых тел
к а
Вместо произвольного выбора Sq и — So в плане можно про-
извольно задаться полюсом О в диаграмме сил. В случае какого
угодно числа заданных сил в плоскости поступают таким же путем.
Вычерчивание веревочного многоугольника можно подразделить на: 1) вычер-
чивание силового многоугольника в плане сил; 2) выбор произвольной точки О в
плане сил в качестве полюса и проведение полюсных лучей от О к углам силового
многоугольника; 3) проведение параллелей к полюсным лучам в плане в качестве
лучей веревочного многоугольника; 4) точка пересечения первого и последнего лучей
веревочного многоугольника дает точку приложения равнодействующей, величина
и направление которой определяются из плана сил.
Если к системе сил, лежащих в плоскости, приложить с обрат-
ным знаком равнодействующую, найденную помощью веревочного
многоугольника, то плоская система сил Рр Р2,...,Рп,— Р обра-
зует систему, находящуюся
в равновесии. Следова-
тельно, условиями равновесия
для плоской системы сил явля-
ются: 1) замыкание сило-
вого многоугольника,
2) замыкание веревоч-
ного многоугольника.
Одного первого условия еще
недостаточно, так как оно спра-
ведливо также и для пары сил.
Второе условие, напротив,
исключает возможность равно-
значности плоской системы сил
и пары сил (фиг. 9).
₽) Разложение сил.
Силу, расположенную в плоско-
сти, можно разложить по двум
направлениям, имеющим с си-
лой одну общую точку (стр.
259). Если оба заданные на-
правления пересекаются с си-
лой в бесконечности, т. е. они
такую задачу лучше всего решать
Фиг. 9а.
Пример двух параллельных
с сил,
щих на балку.
Фиг. 9Ь.
дейстиую-
параллельны заданной силе, то
помощью веревочного многоугольника.
В случае расположения точки пересечения силы с обоими направлениями вне
пределов чертежа (даже при непараллельных направлениях) разложение сил также
производится помощью веревочного многоугольника, как и при параллельных напра-
влениях.
Пример. Пусть заданы сила R и параллельные направления 1 и 2, по которым
сила должна быть разложена (фиг. 10а).
Решение: Между R и направлениями 1 и 2 располагаем веревочный много-
угольник так, чтобы углы лежали на R, 1 и 2; в остальном многоугольник может
быть совершенно произволен. Затем R переносится в масштабе на фиг. 10b, через
начальную и конечную точки R проводятся параллели к первому и последнему
лучам веревочного многоугольника 5аи5„ которые пересекаются в полюсе О, через
который проводится параллель к лучу многоугольника . Последний отрезает на R
Статика
263
сил для оалки на двух
обе слагающие и Ра, которые и являются искомыми составляющими ft в на-
правлениях 1 и 2. Изменением знаков у Р, и 1\ приходят к задаче равновесия, соот-
ветствующей задаче разложения.
Обе задачи а) и ₽), т. е. сложение параллельных сил в плоско-
сти в одну равнодействующую и их разложение по двум парал-
лельным направлениям, играют весьма важную роль при определе-
нии опорных реакций балки на двух опорах, загру-
женной любым количеством параллельных сил. Из нижеследующего
примера видно, что для решения этой задачи достаточно лишь
построения одного веревочного многоугольника (фиг. Па и 11b).
Равнодействующая R заданных нагрузок (фиг. 11а) совершенно не нужна для
определения опорных реакции А и В. Первый луч веревочного многоугольника О
продолжают до пересечения с направлением реакчии .>поры А. а последний (здесь 3)—
до пересечения с опорной реакцией В, и обе точки пересечения соединяют замы-
кающей линией веревочного многоугольника.
Так как нагрузки Рх. Р2 и Ря совместно с опорными силами А и В должны
поддерживать балку в равновесии, то (стр. 261) соответствующий веревочный мно-
гоугольник должен замыкаться. Нло.цадь замкну того многоугольника заштрихована
на фиг. 11а ели к замыкающей линии веревочного многоугольника провести в
силовом многоугол; нике через полюс О (фиг. 11b) нараплель, то последняя делит
линию нагрузок на отрезки, равные опорным давлениям А и В.
у) Веревочный многоугольник как площадь момен-
тов и площадь срезывающих
опорах. Замкнутый веревочный
многоугольник на фиг. Па обладает
одним важным свойством, в силу ко-
торого такой многоугольник назы-
вается площадью моментов
загруженной балки. Изгибаю-
щий момент М, действующий в каком-
нибудь поперечном сечении балки $<$
(фиг. Па), пропорционален соответ-
ствующей высоте у в замкнутом много-
угольнике: М = Н • у, где Н есть рас-
стояние от полюса О до линии грузов,
так называемое полюсное рас-
стояние, измеряемое в масштабе
сил. Следовательно, с помощью замк-
нутого многоугольника можно не-
медленно определить место и вели-
чину наибольшего изгибающего мо-
мента; это место находится там, где у
чения, т. е. Mmax = Н  утп.
О применении веревочного многоугольника для построения
упругой линии балки см. II т.—„Сопротивление материалов-.
В последнее время веревочные многоугольники применяют для рас-
чета шарнирных механизмов.
На фиг. Ис под площадью моментов приведена площадь
срезывающих сил. Последняя показывает, что срезывающая
сила при переходе через место приложения нагрузки меняется как
Фиг. 11а, Ъ и с.
достигает максимального зна-
264
Т. I. Огд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
бы скачками. В первом (левом) отрезке до I она имеет значение Л,
во втором отрезке II—значение А — и т. д. О зависимости
между площадью моментов, площадью срезывающих сил и пло-
щадью нагрузки см. II т.—„Сопротивление материалов".
Если на балку действует непрерывно распределенная
нагрузка, то последняя определяется из площади нагрузки
(фиг. 12), ординаты которой q означают интенсивность нагрузки,
или нагрузку на единицу длины в каждом месте, причем q dx озна-
чает нагрузку, отнесенную к элементу длины dx балки; размер-
ность q выражается в кг/см.
При непрерывно распределенной нагрузке из веревочного мно-
гоугольника получается веревочная кривая. Последняя полу-
чается таким образом, что площадь нагрузки подразделяют на не-
которое число параллельных и достаточно узких полос, а непре-
рывно распределенная нагрузка рассматривается как ряд сосредо-
Фиг. 12.	Фиг. 13.	Фиг. 14.
точенных в центрах тяжести этих полос отдельных грузов; для этих
грузов и строится, как выше, веревочный многоугольник. Чем
больше число полос, на каковые подразделена площадь нагрузок,
те.м больше число вершин веревочного многоугольника, каковой
в конце концов перешел бы в веревочную кривую, если можно
было бы сделать полосы бесконечно узкими, а число их бесконечно
большим. Из многоугольника, соответствующего небольшому числу
полос, получают веревочную кривую как обертывающую веревоч-
ного многоугольника, причем точки соприкосновения кривой со
сторонами веревочного многоугольника лежат по вертикали под
ограничивающими линиями отдельных загрузочных полос. Замыка-
ющая линия веревочной кривой вместе с самой кривой ограничи-
вает площадь моментов балки.
1.	Пример. Площадь моментов для балки с равномерно
распределенной нагрузкой и лежащей на двух опорах
(фиг. 13).
Веревочная кривая или кривая моментов является в данном случае параболой:
^шах ~ Н * Углах = "у ’
если Q = ql есть общая нагрузка.
2.	Пример. Площадь моментов балки, закрепленной с одного
конца, при равномерно распределенной н а гр у зк е (фиг. 14).
Веревочная кривая, или линия моментов, здесь также является параболой:
QI
^тах = н ’ Утах ~ уг >
при Q = ql.
Статика
265
МНОГО-
то й же
между веревочными
принадлежащими к одной и
сил. Если
сил постро-
многоуголь-
веревочные
системы
силовой
и затем
Дальнейшее рассмотрение случаев применения веревочного многоугольника
в качестве линии моментов имеет место в „Статике сооружений".
6) Зависимость
угольниками,
системе
для
ить
ник
многоугольники для двух
полюсов О и О', то точ-
ки пересечения соответ-
ственных сторон обоих
веревочных многоуголь-
ников все лежат на одной
прямой, параллельной ли-
нии, соединяющей оба
полюса О и О'; прямая
эта называется полярной
осью обоих веревочных многоугольников (фиг. 15а
и 15b). Этой теоремой пользуются для вычерчивания второго вере-
вочного многоугольника посредством полярной оси, не прибегая
к помощи полюсных лучей.
3.	Аналитический метод исследования плоской системы сил.
Силу как скользящий вектор можно свободно перемещать только
вдоль линии действия ее, но не в параллельном к последней напра-
влении. При параллельном перенесении силы Р в положение Р±
на расстояние а получается добавочный момент, равный по вели-
чине М = Ра (фиг. 16), соответствующий паре сил Р и — Р'.
Этой вспомогательной теоремой пользуются
при аналитическом исследовании плоской систе-
мы сил. Избирают произвольную точку в плос-
кости системы сил и переносят все силы парал-
лельно самим себе в эту точку, причем каждый
раз возникает момент, равный моменту силы
относительно выбранной точки как центра момен-
тов. Все перенесенные в эту точку силы склады-
вают геометрически в одну равнодействующую:
Р = "LP^ так же как и моменты всех сил отно-
сительно выбранной точки в один равнодействующий момент
Af=EAfz. Целесообразно провести в плоскости системы сил пря-
моугольную систему координат (х, у) с избранной точкой
переноса сил в качестве начала. Если слагающие силы Р{ обозна-
чить через Xit а координаты ее точки приложения — через х^у^
то равнодействующая R определяется двумя составляющими:
X=EXZ и У=ЕУ/,
Фиг. 16.
266
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
а результирующий момент ЛГ всех сил относительно начала коор
динат равен (стр. 253):
М=£М/ = £(УЛ.-Хх.^).
X, У и М называются тремя составляющими, или ком-
понентами, данной системы сил.
При выборе другого моментного полюса равнодействующая R
не меняется, напротив, /И, вообще говоря, меняется. Три составляю-
щие системы сил соответствуют т р е м степеням свободы
перемещения, каковыми обладает тело, совершающее плоское
движение.
После такого приведения системы сил к одной равнодейству-
ющей сосредоточенной силе, действующей в определенной точке,
и к одному результирующему моменту относительно этого полюса
достигают упомянутого выше (стр. 257)
приведения к одной сосредоточенной рав-
нодействующей, для чего сосредоточен-
Фиг. 17.
Фиг. 18.
ную силу перемещают параллельно до тех пор, пока не наступит
момент, равный по величине — М, т. е. до взаимного уничтожения
обоих моментов.
Из М/ = Yixi — Xtyt следует, что момент силы равен
сумме моментов ее прямоугольных составляющих (Xz, Y^. Отсюда
следует закон моментов: момент равнодействующей
равен сумме моментов составляющих сил пло-
ской системы сил. (Общий закон моментов стр. 273).
Если плоская система сил находится в равновесии, то
все три ее составляющие должны быть равны нулю, т. е. действи-
тельны три условия равновесия:
Е Xi = 0, Е Yi = 0, Е (YiXi - Ху} = 0.
Последнее уравнение справедливо для любого моментного по-
люса. Однако его необходимо считать только за одно уравнение,
ибо для любого второго моментного полюса это уравнение не дает
новой зависимости, не содержавшейся уже в трех упомянутых выше
условиях равновесия. Три условия равновесия можно также полу-
Статика
267
чить. если для трех различных моментных полюсов положить сумму
статических моментов всех сил равной нулю.
Задача. Данная плоская система сил (либо ее равнодей-
ствующая 7?) должна уравновешиваться тремя силами, на-
правления действия которых заданы. Определить вели-
чины сил.
Эта статическая задача сводится к разложению силы R по трем заданным
направлениям 7, 2, 3 (фиг. 17). Для решения помещают полюс в точке пересечения
двух направлений, например в точке пересечения 2 и 3; величину и знак составляю-
щей силы лежащей в 7, находим из;
Rai = Р1ЬТ.
Соответственно находим составляющие Ра и Р8, лежащие на прямых 2 и 3,
для чего моментный полюс один раз помещают в точку пересечения прямых 1 и 3,
а затем — в точку пересечения прямых 1 и 2:
И P,= ^.R.
Df	Of
Решение возможно лишь тсчда, когда три направления 7, 2 и 3 не проходят
через общую точку. Графическое решение этой задачи -см. стр. 268.
Пример. Способ Риттера для расчета решетчатых ферм
(способ статических моментов). Сопротивления опор определяются по двум уравнениям
моментов относительно двух опор. Для определения напряжения в стержне 7 про-
водим сечение $$ по трем стержням 7, 2 и 3, не пересекающимся в одной точке
(фиг. 18), и составляем уравнения моментов для точек пересечения каждых двух пе-
ререзанных стержней, заменяя разрезанные стержни их напряжениями Sa, S8
в качестве внешних сил. Например, приняв моментный полюс в точке О, точке пере-
сечения напряжений стержней и 58, налодим:
7/2.Р-4а - P-За — Р-2а — Р>а = S^h,
St = 3P-a\h.
Соответственно, определяются 52 и 5в.
Нередко вместо трех заданных прямых, по которым должна
быть разложена система сил или ее равнодействующая, задается Я_
направление лишь для одной слагающей и, кроме того, точка,
через которую должна проходить вторая слагающая. Заменяя
точку горизонтальной и вертикальной прямыми, проходящими через 4
эту точку, по которым действуют силы, приходят4 к задаче, указан- /
ной выше.
Пример. Кран для склада (фиг. 19). Опорные давления,
испытываемые колонной крана: у верхних направляющих горизон- Фиг. 19.
тальная сила /7П а в нижнем подшипнике сила с горизонтальной
составляющей Н и вертикальной V. Приняв точку пересечения /У, и V за момент-
ный полюс, имеем: Н = Q>a\h. Из общего условия равновесия =0 следует,
что Hi = Н, а из Е У/ =» 0 получаем V = Q.
4. Примеры равновесия плоских систем сил. Условия равно-
весия для плоской системы сил (стр. 266):
ЕХ/ =0, ЕУ, =0, ^(Yixi -Х/Л) = 0.
Замыкаемость силового и веревочного мно-
гоугольников указывает на равновесие системы (стр. 262).
Две силы находятся в равновесии, если они равны по
величине, противоположно направлены и лежат на одной прямой.
Три силы могут находиться в равновесии, если, как это
вытекает из предыдущего, три силы пересекаются в
268
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
одной точке и силовой многоугольник замы-
кается.
Л
Фиг. 20.
Равновесие трех сил имеет важное значение для определения опорных реакций.
Из двух о юрных реакций очень часто, известно только направление одной и точка
приложения другой. Опорные реакции определяются из условия, чго известная
равнодействующая нагрузок с обеими опорными реакциями пересекается в одной
точке и что силовой многоугольник трех сил должен замкнуться.
1.	Пример. Кран для склада (фиг. 20). Опорная
реакция В у верхнего подшипника на.травлена горизонтально;
через точку О, точку пересечения нагрузки Q и верхней опор-
ной реакции В, должна проводить нижняя опорная реакция А.
Величины А и В определяются из си нового треугольника. Ана-
чигический метод —см. стр. 267.
2.	Пример. Стропильная ферма, подвержен-
ная давлению ветра с одной стороны! фиг. 21).
Левая опора фермы может перемещаться на катках по горизон-
тальной площадке, вследствие чего реакция А вертикальна
Давление ветра дает равнодействующую W. Точка пересе-
чения ее О с известным направлением опорной реакции А одно-
временно является и точкой, лежащей на направлении опорной
реакции В. Вели .ины А и В определяются из силового тре-
угольника (фиг. 21).
3.	Пример. Трехшарнирная арка (фиг. 22): шарниры А, В и G; нагрузка
своей равнодействующей Q действует с одной стороны. Так как на правую часть
арки не действуют никакие внешние силы, то давление в шарнире G и опорная
реакция В должны быть равны по величине, направлены в противоположные сто-
роны и действовать по одной прямой, а именно, по линии BG. На левую часть, кроме
нагрузки Q и реакции опоры А, действует еще реакция шарнира G в направлении
прямой BG. Три силы, приложенные к левой части арки, должны проходить через
одну точку. Из силового треугольника определим величину давления в шарнире
А и G = В.
Если обе части трехшарнирной арки нагружены, то задачу решают методом
наложения в два приема, определяя сначала реакции в опорах под действием только
нагрузки левой части фермы, а затем особо под действием нагрузки правой части.
После этого результаты накладываются друг на друга, и ио составляющим находятся
истинные величины реакции.
Подробно решение угой задачи излагается в „Статике сооружений".
Четыре силы в плоскости находятся в равновесии, если
при сложении попарно они дают две частные равнодействующие,
равные по величине и противоположно направленные. На этом
основана задача на разложение данной силы по-трем заданным на-
правлениям, лежащим в одной плоскости; ибо при перемене знаков
в трех разложенных составляющих последние совместно с заданной
силой создают равновесие. Решение по способу Кульмана (фиг. 23)
Статика
269
сводится к тому, что заданную силу 7? продолжают до пересечения
с одним из заданных направлений, например 3, как и два других
направления 1 и 2. Линия С, соединяющая обе точки пересечения,
называется прямой Кульмана. Разлагая R по направлениям 3
и С (фиг. 23b), получают слагающую Р3 от R по направлению 3,
а от разложения С по направлениям 1 и 2 — слагающие Рх и Р%.
Стрелки сил 7, 2 и 3 на фиг. 23b соответствуют задаче разложе-
ния; при изменении направлений стрелок силы R, 7, 2 и 3 пред-
ставили бы замкнутый силовой многоугольник, причем равнодей-
ствующей R и Р3 была бы С, а равнодействующей Р2 была
бы — С. Аналитическое решение задачи — см. стр. 267.
О статически определимых опорах какого-либо
тела в плоскости говорят тогда, если опорные реакции либо дав-
ления в шарнирах опре-
деляются, как в приведен-
ном выше примере, на осно-
вании чисто статических
соображений.
Вопрос о том, являются
ли реакции опор статиче-
ски определимыми или не-
определимыми, решается,
прежде всего, подсчетом не-
известных слагающих опор-
ных сопротивлений. Так как
Фиг. 23а.	Фиг. 23b.
между всеми силами, поддерживающими тело в равновесии, су-
ществуют три условия равновесия, то из них возможно опреде-
лить однозначно только три неизвестных, так что задача при трех
неизвестных опорных слагающих определима, при числе же неизвест-
ных опорных слагающих более трех — задача статически неопре-
делима, причем степень статической неопределенности зависит от
числа неизвестных опорных слагающих, превышающего три.
Примеры. На фиг. 20 (стр. 268) три неизвестных опорных составляющих суть:
горизонтально направленная сила В, кдгорая по характеру опоры не может иметь
вертикальной составляющей, и горизонталь-
ная и вертикальная составляющие силы А.
На фиг. 21 (стр. 268) три неизвестные опорные
составляющие суть: вертикально направленная
сила А, которая в силу роликовой опоры
не может иметь горизонтальной составляю-
щей, и горизонтальная и вертикальная
составляющие давления В.
Фиг. 24.	На фиг. 22 (стр. 268) каждая из шар-
нирных опор А и В имеет по дзе, т. е.
всего четыре неизвестных опорных составляющих. Так как трехшарнирная арка
состоит из двух частей, соединяющихся между собою у шарнира G, то между
четырьмя неизвестными опорными составляющими существует, помимо трех усло-
вий равновесия, еще одно условие, сводящееся к тому, что направление действия
реакции шарнира В должно совпадать с направлением GB. Следовательно, задача
статически определима.
270 т. 1. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Пример статически неопределимой опоры: двухшарнир-
ная арка (фиг. 24). Статически неопределимой величиной является горизонтальная
слагающая Н в 4 и В, так называемый горизонтальный распор двух-
шарнирнойарки.
III. Система сил в пространстве
1. Сложение пар сил и векторов моментов, приложенных
к твердому телу. В главе А (стр. 252) было дано понятие о. паре
сил и моменте силы относительно какой-нибудь точки. Если к твер-
дому телу приложено несколько пар сил, плоскости которых как
угодно расположены, то их можно привести к одной результи-
рующей паре сил. Для этой цели отдельные пары сил выра-
жают векторами их моментов (стр. 252). Векторы моментов можно,
как совершенно свободные векторы, перемещая параллельно, прове-
сти через одну
Фиг. 25а.
0
Фиг. 25b.
На фиг. 25а в различных плоскостях даны
две
точку и склады-
вать в равнодей-
ствующий век-
тор — момент
М—с помощью
многоугольника векто-
ров, как обычно посту-
пают и при силах;
М= £	.
Остается доказать, что
для моментов векторов спра-
ведливы те же законы гео-
метрического сложения, что Л
для сил.
пары сил с векторами момен-
тов Л1х и М2. Так как пары сил можно в их плоскости перемещать как угодно,
если сохраняется площадь параллелограма и направление вращения, то обе пары
сил можно изобразить, как это имеет место на фиг. 25а, прямоугольниками с общей
линией основания Р либо — Р на общей прямой аа обеих плоскостей. Моменты
Л11 и пропорциональны высотам прямоугольников а и Ь. Так как обе силы
Р и — Р взаимно уничтожаются на аа, то остается пара сил, изображаемая прямо-
угольником с высотой с. Вектор момента М этой равнодействующей пары сил на-
правлен перпендикулярно Тс прямоугольнику* с высотой с; кроме того, для равно-
действующего момента Ж справедливо: J М | ’ |	| ’ | Afa | = с : а: Ь.
На фиг. 25b выделен из фиг. 25а треугольник АВС с относящимися сюда
векторами моментов, перпендикулярными сторонам треугольника, которые должны
удовлетворять указанной выше зависимости.
Отсюда вытекает, что векторы моментов замыкаются в треугольник Д'В'С',
подобный треугольнику АВС. Иначе говоря, справедливо геометрическое сложение
векторов моментов:	4- Mt.
Подобно тому, как пары сил приводятся к равнодействующей
паре геометрическим сложением векторов моментов, поступают
и при сложении моментов сил. Если имеем любую систему
сил, приложенную к твердому телу, и определяем сумму моментов
всех сил для любой точки, принятой за полюс, то по А, е) (стр. 252)
для каждой силы Pj имеем момент:
Статика
271
где rt означает радиус-вектор от полюса к точке приложения
силы Pi ; эти векторы моментов складываются таким же образом, как
и выше. Результирующий момент всех сил относительно той же
точки как полюса будет:
или в системе координатных осей по А, е) (стр. 253):
^ = E(^x)z = E(^-^,).
Му = £ (Му),- = £ (Д' г,- — Ztxfr
^=w=s(^-w
Мх , Му , Мг — три составляющих результирующего вектора мс-
мента М.
Мх называют также результирующим моментом относи-
тельно оси ж, Му и Mv соответственно, результирующими моментами относи-
тельно осей у и z.
2. Произвольная система сил в пространстве. Для сложения
любой системы сил, действующих на твердое тело, поступают по-
добно тому, как и при системе сил, лежащих в плоскости (стр. 260).
Выбирают произвольную точку, в которую параллельно переносят
все силы и складывают их в равнодействующую R = £ Pt ,
также проходящую через данную точку. При параллельном перене-
сении сил появляются, однако, еще пары сил, векторы моментов
которых складываются, согласно вышеуказанному, в результи-
рующий момент М = £ Mi .
Отсюда видно, что любую систему сил в простран-
стве можно привести к сосредоточенной силе
/? = £ Pz , приложенной в любой заданной точке,
и к результирующему моменту Л1 = £Afz . Графическое
решение этой задачи производится с помощью начертательной гео-
метрии, причем в вертикальной и горизонтальной проекциях про-
изводят геометрическое сложение сил и моментов. Относительно
аналитического способа расчета см. ниже. При выборе другого
полюса равнодействующая сила не меняется, а меняется, вообще,
результирующий вектор моментов.
Приведение системы сил в теле к равнодействующей, сосре-
доточенной в центре тяжести тела, и к результирующему моменту
относительно центра тяжести имеет большое значение для теоре-
мы движений центра тяжести в динамике (стр. 344). Заменив вектор
моментов парой сил в плоскости, перпендикулярной к вектору мо-
272
Т. I. Отд. 2. Механика. Т. Механика твердых тел
ментов, можно всегда выбрать одну силу из пары сил так, чтобы
она пересекла равнодействующую силу 7?, с которой ее можно сло-
жить геометрически. Тогда остаются две накрест направ-
ленные непересекающиеся силы, заменяющие собой
данную систему сил. Следовательно, систему сил в простран-
стве можно всегда привести кдвум накрест на-
правленным силам и прийти не к одному опреде-
ленному решению, а к бесконечно многим. Можно,
например, задать
для одной силы
точку, через кото-
рую она должна
проходить, а для
другой силы плос-
кость, в которой
она должна ле-
жать; или для од-
ной силы задать
произвольно пря-
мую действия ее,
тогда задача ре-
шается однозначно.
Фиг. 26.
Приведение системы сил в пространстве к равнодействующей
сосредоточенной силе, проходящей через заданную точку, и к ре-
зультирующему моменту может быть при выборе соответствующей
точки приведения представлено несколько иначе. На фиг. 26 исхо-
дят из сосредоточенной равнодействующей /? и результирующего
момента /И. Последний разложен на составляющие: по направле-
нию и М2— перпендикулярно к нему. Затем через R проводят
плоскость а | М2, в которой R переносят параллельно в до тех
пор, пока появится пара сил с моментом — /И2 (фи^26). Этот
момент —М2 уничтожается -|-Л42, слагающей момента М. Другую
составляющую М, т. е. /Ир можно перенести, как свободный вектор,
параллельно на линию влияния Rlt и тогда равнодействующая со-
средоточенная сила	и результирующий момент Mt заме-
няют собой данную систему сил. Оба вектора лежат на одной и той
же прямой, называемой центральной осью системы сил.
Такое приведение системы сил называется приведением к сило-
вому винту, или к д и н а м е, так как плоскость равнодействую-
щей пары сил перпендикулярна к равнодействующей Rv
При изображении пространственной системы
сил в координатах поступают так же, как и при системе сил,
приложенных в плоскости (стр. 260). Приведение любой системы
к равнодействующей R — приложенной в заданной точке О,
и к результирующему моменту М = £ можно в прямоугольной
Статика
273
координатной системе с начальной точкой О выразить следующими
шестью составляющими системы сил:
X=Y.Xit Y=£Yh Z = V.Z(t
Мх =Е(МД- =S(Z^z-y,.zi),
Му = S (Му), = Е (Л-	.
Мг = Е(Л«г), =Е(У(.х,.-Х,.Л).
Здесь X[t Yi. Zt обозначают составляющие Pi9 a xit yt- , zt —
координаты точки приложения каковая может быть произвольно
выбрана на линии действия Pt.
Эти шесть составляющих системы сил в пространстве соответ-
ствуют шести степеням свободы тела в пространстве.
Для случая равновесия системы сил в простран-
стве необходимо, чтобы равнодействующая сосредоточенная сила
P = Y>Pi и результирующий момент М = £ исчезали для лю-
бой точки, принятой за моментный полюс, а в координатной системе:
шесть составляющих системы сил должны рав-
няться нулю.
Здесь так же, как и при плоской системе сил (стр. 260), справед-
лив закон моментов: геометрическая сумма моментов
равнодействующей данной системы сил относи-
тельно любой точки равна геометрической сумме
моментов данных сил относительно той же точки.
Под равнодействующей здесь -понимаются две накрест направлен-
ные силы или равнодействующая сосредоточенная сила с результи-
рующим моментом, или любая другая совокупность, равнозначная
данной системе сил.
Закон моментов применим, например, для частного случая на-
хождения равнодействующей параллельных сил. Во всяком
случае, равнодействующая сама параллельна заданным силам; остает-
ся только определить направление действия. Для этой цели отно-
сительно какой-либо точки составляют моменты всех заданных сил.
Все векторы моментов лежат в плоскости, перпендикулярной к парал-
лельным силам, и поэтому геометрическая сумма моментов изобра-
жается многоугольником, лежащим в этой же плоскости. Замы-
кающая линия многоугольника представляет результирующий мо-
мент; по закону моментов он равен моменту равнодействующей,
т. е. равнодействующая /?, направление и величина которой уже
известны, может быть непосредственно найдена, для чего через
моментный полюс проводят плоскость, перпендикулярную резуль-
тирующему вектору моментов, и в этой плоскости наносят равно-
действующую в таком расстоянии, чтобы произведение из | Р | на
это расстояние было равно результирующему моменту.
274 Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
3. Равновесие системы сил в пространстве и разложение
силы по шести направлениям. На основании сказанного выше для
системы сил в пространстве, находящейся в равновесии, должны
исчезнуть: 1) равнодействующая сосредоточенная сила £ и 2) сумма
моментов всех сил для любой точки или любой оси, принятых за
моментные полюсы или оси. В координатной системе: все шесть
составляющих системы сил должны быть равны 0.
Равновесие двух и трех сил приводит к плоской системе сил
(стр. 262). Т р и не лежащих в одной плоскости силы не могут
находиться в равновесии; это ясно из того, что для каж-
дой прямой, принятой за ось, должна была бы исчезнуть сумма
моментов. Так как оси можно провести через две силы, не пересе-
кая третьей, то между данными тремя силами не может быть равно-
весия. На основании тех же рассуждений находим, что для равно-
весия четырех сил в пространстве необходимым условием
является, чтобы линии действия сил принадлежали к одному и тому
же семейству образующих поверхности однополого гиперболоида.
Родственными задачами на статическое равновесие являются
задачи на разложение какой-либо силы по заданным напра-
влениям, ибо при изменении знаков у разложенных составляющих
между последними и заданной силой наступает состояние равновесия.
По скольким же заданным линиям влияния может быть разложена
данная сила? Так как сила /?, с одной стороны, и направленные по
линиям действия силы, с другой, — должны быть совершенно равно-
значны, то обе системы сил должны быть совершенно аналогичными
во всех шести уравнениях (составляющих). Шесть составляющих R
получаются из общих выражений, приведенных на стр. 273, причем
вместо сумм подставляют простые выражения для силы R с коорди-
натами X, У, Z и координаты х,у, z для точки ее приложения. В со-
ответствующих составляющих для искомой равнозначной системы,
силы которой направлены по заданным линиям действия, неизвестны
только величины этих сил, тогда как их направление и положение
определяются линиями действия. Имея, таким образом, шесть урав-
нений, можно, конечно, определить и величину шести неизвестных
сил; следовательно:
Разложение одной силы по шести не пересе-
кающимся в пространстве прямым есть задача
определенная.
Исключения возможны, если шесть линий действия так рас-
положены, что через них можно провести прямую, не пересекающую
одновременно R. Разложение особенно просто, если три
из шести направлений пересекаются в одной точке, а три другие
лежат в одной плоскости. В этом случае через общую точку трех
первых и точку пересечения двух других проводят прямую, пере-
секающую, таким образом, пять из шести направлений. Для этой
прямой как оси моментов момент силы R должен быть равен мо-
менту неизвестной шестой силы* которая отсюда И определяется.
Статика
275
Соответственно находятся и другие неизвестные силы. И для
наиболее общего случая шести не пересекаю-
щихся в пространстве прямых задача решается
помощью выбора соответственных осей момен-
тов; в этом случае за оси моментов выбирают две прямые, про-
ходящие через четыре из шести направлений, и для них находят
уравнения моментов. В полученных двух уравнениях неизвестны
величины сил, направленных по двум последним линиям действия,
каковые и определяются.
* Пример (фиг. 27). Сгол находится на шести опорах и подвержен действию
сосредоточенной нагрузки 7?.
Линия тт пересекает стержни 7, 2, 3, 4, и 5 на конечном или бесконечно
большом расстоянии, так что для нее, как для оси моментов, может быть определен
момент напряжения стержня 6. Из уравнения моментов для оси пп определяется
напряжение стержня 5.
Задача на разложение важна для случая укрепления ка-
кого-нибудь тела на топких стержнях, которые мо-
гут подвергаться только растягивающим или
сжимающим, но не изгибающим усилиям.
В пространстве, следовательно, требуются
шесть стержней для статически определи-
мого укрепления тела, причем следует
избегать исключений. При количестве
стержней менее шести, по крайней
мере, часть стержней у концов не должна
быть укреплена на шарнирах, и в этом слу-
чае они подвергаются изгибающим усилиям.
При количестве стержней более
шести задача на разложение статически
неопределима и может быть решена только
с принятием во внимание деформаций.
Фиг. 27.
с) Определение реакций опор
Если находящееся в покое тело К, испытывающее действие за-
данных сил (н а г р у з к и), поддерживается другими телами, то в точ-
ках сопротивления (опорах) появляются силы. Эти силы, действую-
щие со стороны тела К на опоры (опорные давления),
равны по величине и противоположно направлены силам, передава-
емым опорами на К (сопротивления опор, опорные
реакции). Ср. закон взаимодействия.
Если только представляется возможным (т. е. нет никаких ста-
тически неопределимых опор, см. стр. 269), то расчету фермы должно
предшествовать определение опорных реакций (освобождение тела,
т. е. замена опор силами). Для этого нужно знать конструктивное
оформление опоры.
Опоры мостовых и железных конструкций. Плоские про-
летные конструкции: все силы лежат в плоскости
конструкции, а) Подвижной опорный шарнир (кат-
ковай опора, cat фиг. 28, у В, или качающаяся опорная колонна);
276
Т. Т Отд. 2 Механика. Т. Механика твердых тел
опора допускает вращение вокруг точки шарнира и сдвижение по
прямой либо по дуге; сопротивление опоры должно поэтому про-
ходить через ось шарнира и быть перпендикулярным к пути сколь-
жения; одна опорная неизвестная равна величине опорной реакции.
Ь) Неподвижный опорный шарнир (шарнирная опора,
фиг. 28, у А); опора допу-
скает вращение вокруг точ-
ки шарнира; опорное сопро-
тивление должно проходить,
следовательно, через ось
шарнира; две опорных не-
известных равны горизон-
тальной и вертикальной со-
Неподвижное закре-
жад
Фиг. 28.

ставляющим опорной реакции, с.)
п л е н и е (заделанный конец); конструкция покоится в плоской
поверхности (пересечение с плоскостью конструкции — прямая) на
опоре, с которой первая соединяется анкерными болтами; три опор-
ных неизвестных равны горизонтальной и вертикальной составляю-
щим опорной реакции и ее моменту вращения относительно любой
точки.
Пространственные пролетные конструкции,
а) Шарнирная опора, перемещающаяся по поверхности; опора
допускает вращение вовсе стороны вокруг точки шарнира (шаровой
шарнир) и такоеже перемещение по плкости или шаровой повер-
хности; опорная реакция проходит через ось шарнира и перпен-
дикулярна к поверхности перемещения; одна опорная неизвестная
равна величине опорной реакции. Ь) Шарнирная опора,
передвигающаяся по линии; опора допускает вращение во все
стороны вокруг оси шарнира и перемещение по прямой либо по
дуге. Опорная реакция проходит через ось шарнира и лежит
в плоскости, перпен-
дикулярной к пути
перемещения; две
опорных неизвестных
равны горизонтальной
и вертикальной со-
ставляющим опорной
реакции в этой плос-
кости. с) Непо-
движная шарнир-
ная опора допу-
скает вращение во все
стороны вокруг оси
шарнира; опорная ре-
акция проходит через
ось шарнира; три
опорные неизвестные равны составляющим х, у, z опорной реакции.
Опоры в машиностроении. Подшипники для шеек
валов или обычные т р а н с м и с с и oj| и Ы е подшипники не
Фиг. 29.
Фиг. 30.
Статика
277
воспринимают осевых усилий, обычные шариковые или роли-
ковые подпятники не воспринимают усилий, действующих
наклонно к поддерживаемому валу. Нередко подшипники устана-
вливают так, чтобы при различных видах нагрузки в действие всту-
пали различные группы подшипников. При двухколесных кранах
(фиг. 29 и 30) в зависимости от того, расположен ли кран парал-
лельно или поперек к ходовому рельсу, появляются опорные реак-
ции и давления подшипников, изображенные на фиг. 29 и 30; V есть
равнодействующая всех вертикальных сил, приложенных у пово-
ротной части крана, G — собственный вес подвижной платформы
крана с колонной; в первом случае для реакции опор имеем
соответственно, давление подшипников: H^H^—Vvlh^ а для
опорных реакций и /?2:
/?! = (G + V )/2 — Vvjr и R2 = (G + V)/2 + Vv/r,
во втором случае имеем опорную реакцию у колеса и верхней
части ходового рельса Н2 = Vv/h2, для опорных реакций и давле-
ний подшипников (у обоих подшипников колонны крана):
//3 =	= H2hjhlf или, соответственно, //4 = Н± =
для вертикальной опорной реакции R=G-\- V; в обоих случаях
у шарикового подшипника опорная реакция V направлена кверху,
а давление подшипника И—книзу (на фигуре не указано).
d) Равновесие сил, действующих на нить
Нитью (канат, веревка) называют тело, преимущественно ли-
нейного измерения, которое в противоположность стержню н е
является жестким, т. е. не передает изгибающих моментов,
и в поперечных сечениях которого поэтому встречаются только
растягивающие напряжения; не имеют места здесь и сжимающие
усилия, ибо от действия последних нить немедленно изогнулась бы.
На стр. 261 нить применена в качестве веревочного много-
угольника для сложения и разложения сил. В этих случаях речь
идет исключительно о плоской системе сил, приложенной к нити,
натянутой в той же плоскости. При непрерывном распределении
сил, приложенных у нити в любом направлении, последняя прини-*
мает вид пространственной кривой, соответствующей фигуре равно-
весия. Оба крайние напряжения нити, рассматриваемые как внеш-
ние силы, образуют с нагрузкой, приложенной к нити, систему
равновесия сил. В точке приложения сосредоточенной силы нить
дает перегиб (веревочный многоугольник).
Представим себе, что двумя соседними поперечными сечениями
выделен бесконечно малый элемент нити (фиг. 31), тогда
оба напряжения S и	должны находиться в равновесии
с равнодействующей р ^нагрузки элемента ds. Условие равновесия
требует, чтобы все три силы лежали в одной плоскости и да-
вали замкнутый силовой треугольник (фиг. 32). Интенсивность на-
278
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
грузки р с размерностью в к?1см представляет вектор, расположен-
ный в соприкасающейся плоскости. От разложения р на соста-
вляющую рп нормально к нити и на тангенциальную составля-
ющую pt получаем из фиг. 31 и 32:
Фиг. 31.	Фиг. 32.
। - I	Is I	S
\рп\ =----L> ИЛИ Рп = -------»
И	р	р ’
ы
d | S |	dS
—Ь—1, или pf = — .
ds	* ds
Отсюда следует: S = const тре-
бует везде pt = 0, т. е. при
постоянном натяжении
нити S имеет место только нагрузка, перпенди-
кулярная к ней.
1. Пример. Замкнутая нить любой формы двигается с постоянной скоростью
всегда в тангенциальном направлении, так что ее форма остается неизменной.
Имеют место исключительно центробежные силы, действующие нормально к нити.
2. Пример. Нить натянута без трения через любую выпуклую поверхность.
Нить определяет геодезическую, т. е. кратчайшую линию, которую можно провести
от заданной начальной точки до конечной.
Фиг. 33.
Площадь
наглузки
При рл = 0 имеем р = оо, т. е. в данном случае нить, не под-
верженная расположенной по нормали нагрузке рл, растянута по
прямой.
Если нагружающие нить усилия лежат в одной
плоскости, то нить также принимает форму плоской кривой
(фиг. 33). Натяжение нити S в ка-
ком-нибудь сечении с координа-
тами х, у имеет горизонтальную
составляющую Н и вертикальную
V. Если представить себе, что
двумя любыми поперечными сече-
ниями вырезана часть загружен-
ной нити, то условие равновесия
для горизонтального направления
х требует, чтобы горизонтальная
составляющая Н натяжения нити
везде имела одно и то же зна-
чение: горизонтальное
растягивающее усилие
нити И постоянно. Равновесие в вертикалях для элемента
нити, вырезанного двумя соседними поперечными сечениями, тре-
бует:
dV
fa ч'
Статика
279
dy	V	dty
Так как -г = tga = — , имеем -г4-.
dx	b Н	dx*
±_<W_q_
И dx Н'
г, сРу _ (диференциальное уравнение
ИЛИ	П	о	и\
dxi	веревочной кривой).
Если q задана как функция х (площадь нагрузки), то двойным ин-
тегрированием находщм у (графическое интегрирование, стр. 222).
Далее, имеем из:
и
что
р da = ds
dy	Pt 1 dS 1 dS
---= tS? a = — = ---- — =-------.
dx ° Pn Pcos a p dx
или
У
dS = p dy, S — Sq = f pdy.
Уо
Особые случаи: 1. Нагрузка равномерно распределена
относительно горизонтальной проекции, т. е.
V — рх, = -Р- х, у = - х* (веревочная парабола),
2. Нагрузка равномерно распределена по дуге 5 нити,
т. е.
р cos а = у = const;
отсюда следует при yQ — Hly, где ? означает вес единицы длины нити (фиг. 34):
(Уравнение цепной линии, см. „Математика", стр. 152. Таблицы для гиперболических
функций — стр. 38.)
Плоские цепные линии практически заменяются параболами.
Для натяжения нити S следует:
S = ///cos а = pH ft = yQp = Hy/yQ,
Т, натяжение нити S пропорционально ординате у.
280 Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
е)	Закон работы. Принцип виртуальных перемещений
В Ь) говорилось о различных случаях, в которых данная сис-
тема сил заменяется другой равнозначной системой. Экви-
валентность обеих систем сил при этом доказывается неоднократным
применением теоремы параллелограма сил (стр. 256) и
закона перенесения сил (стр. 257). Обе системы сил равно-
значны еще и в другом отношении, как это показал уже закон
моментов (стр. 266) и как это выражается нижеследующим законом
работы: работа всех сил, произведенная при любом
движении твердого тела, равняется работе, про-
изведенной равнодействующими.
При плоской системе сил, которую можно привести
к одной равнодействующей или паре сил, сумма работ всех сил
при любом передвижении равна работе равнодействующей или
равнодействующей пары сил при том же передвижении С помощью
векторов можно написать этот закон в следующей форме:
£ р. dst = R ds,
причем dsL выражает передвижение точки приложения силы Р£-
a ds — точки приложения /?, так что внутреннее произведение
Pi dst означает работу a R ds — работу равнодействующей R.
Путем деления последнего уравнения на элемент времени dt, в те-
чение которого происходит передвижение твердого тела, получа-
ются скорости:
_ _ dst
V‘~ dt'
ИЛИ
точек приложения сил Р- или R-.
£	= Rv.
Соответственное равенство справедливо и для простран-
ственной системы сил, причем нужно обратить внимание
на то, что пространственную систему сил в общем случае можно
привести к двум накрест направленным силам или к равнодей-
ствующей R с равнодействующей парой сил М, так что закон
работы можно выразить следующей формулой:
£ Pi dSi = R ds -\- M cos a d ?,
причем Rds обозначает работу равнодействующей силы R = vPi
и М cos a dy— работу равнодействующего момента величиною
Статика
281
(7И) = ЛТ при повороте твердого тела на угол d?; а представляет
угол между векторами момента М и осью вращения (стр. 255).
Делением на элемент времени dt получается из последнего
уравнения	_	__
dv
причем со = означает угловую скорость твердого тела, которую
нужно представить себе отложенной в виде вектора <о на оси вра-
щения (стр. 314). Внутреннее произведение из М и <о представляет
собой в этом случае работу момента М. в единицу времени.
Если отделить в случае равновесия в сумме работ всех сил,
равняющейся при равновесии нулю, положительные работы от
отрицательных работ, то силы, совершающие положительные работы,
определяются как движущие силы, или просто как силы,
а силы, которые выполняют отрицательные работы, называются
сопротивлениями. Тогда закон работы гласит: при равно-
весии работа движущих сил равна* работе со-
противлений.
В машине различают еще полезные сопротивления и
(вредные) сопротивления трения; полезные сопротивления
преодолеваются соответственно назначению машины, сопротивления
трения чаще всего не входят в план работы, но фактически неиз-
бежны. Мерою механического совершенства машины служит коэ-
фициент полезного действия:
_ полезная работа
1	~~ общая работа движущих сил
Часто на практике, не обращая внимания на сопротивления
движению, исследуют при помощи принципа работы условия равно-
весия, т. е. определяют движущую силу Ро, необходимую для пре-
одоления полезного сопротивления, после чего вычисляют действи-
тельную движущую силу делением Ро на определенный опытным
путем коэфициент полезного действия:
Для любой материальной системы, все точки ко-
торой находятся в покое, действителен принцип виртуальных пе-
ремещений (называемый также началом возможных перемещений,
или принципом виртуальных скоростей): сумма работ всех
влешних и внутренних сил при вполне произ-
вольных допустимых геометрическими усло-
виями системы (виртуальных) бесконечно малых пе-
ремещениях osz точек приложения равна нулю:
Е р. Ц. = 0;
в координатах;
282
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
механизмов см. ниже в
Этим принципом пользуются для определения положения равно-
весия тел.
О применении этого принципа к исследованию равновесия
отделе „Прикладной механики". Применение
начала возможных перемещений к реше-
нию технических задач весьма целесо-
образно во многих случаях, потому что
все внутренние силы в системе, подчиня-
ющиеся закону действия и противодей-
ствия, выпадают из исследования, и часто
задача весьма упрощается. Таким образом,
реакции в опорах, давления между зубцами
зубчатых колес, давление ползуна на на-
правляющей и тому подобные силы исклю-
чаются из анализа по этому принципу.
Пример (фиг. 35). При каком положении стержень АВ, несущий у В груз Q,
будет находиться в равновесии, если пренебречь собственным весом стержня и
если последний в А и С скользит без грения? 1ак как опорные силы, передаваемые
стержню у Л и С. -направлены перпендикулярно к направлению движения точек их
приложения при виртуальном движении стержня, то работы этих сил равны нулю.
Остается лишь работа груза Q. Последняя равна нулю тогда, когда сдвижение точки В
при бесконечно малом перемещении горизонтально, чем и определяется поло-
жение равновесия.
При неизвестных сопротивлениях опор и шарниров., виртуаль-
ные перемещения выбирают таким образом, чтобы выпало возможно
больше неизвестных.
При всех статически неопределенных задачах,
при которых с представлением о твердом теле нельзя притти
к решению, следует при использовании принципа виртуальных
перемещений прибегать к системе с виртуальными изменениями
формы тела.
Пример. Расчет статически неопределенной решетчатой
системы. Удалением одного стержня приходят к статически опреде-
ленной главной сетке, для которой можно рассчитать напряжение Г/(для
/-го стержня) на ( сновании статических методов для данной нагрузки с по-
мощью первой диаграммы сил. Напряжение вынутого стержня равно не
нулю, как это предполагалось первоначально при главной сети?, а равно неизвест-
ной величине X, подлежащей расчету. Напряжение X .,лишнего0 стержня вызывает
в стержне i напряжение, прибавляющееся к Т{, которое можно определить из
второй диаграммы сил и, для которой отпадают все нагрузки решетки,
а на месте лишнего стержня предполагается сила растяжения 1 m как единственная
внешняя сила для главной сетки. 1ак как лишний стержень испытывает усилие не
1 т, а неизвестное усилие X т. то дополнительное напряжение для стержня i соста-
вляет Xui и, следовательно, его общее напряжение
Si = Ti + X Ui.
Ко второму состоянию напряжения и применяем принцип виртуальных пере-
мещений, причем система перемещений, относящаяся к искомому напряжению 5,
применяется как виртуальная, что приводит к изменению длины стержня Д/*:
W( = rzS( = r,(T, + AU/).
Работа напряжений стержня (внутренних сил) при этих перемещениях будет;
Статика
283
Так как для картины напряжения и в качестве внешних сил играют роль (на
месте лишнего стержня) только оба растягивающие усилия 1 т, то их можно вклю-
чить в упомянутую выше сумму, каковая распространится, таким образом, на
все стержни, включая и лишни А. Тогда уравнение работы будет:
2	riai (Ti + Xu[) = О,
01КуДа	2r/a,Tf
Х =----——
Суммы можно подсчитать из обеих диаграмм сил и тогда из последнего
уравнения получаем статически неопределенное на*»ряжение стержня X.
Принцип виртуальных перемещений можно
считать исходным для всей механики, так как из
него можно вывести все другие законы.
f)	Виды равновесия
Равновесие называется устойчивым, если тело, выведенное
бесконечно малым отклонением из положения равновесия, вновь
самостоятельно приходит в положение равновесия.
Пример. Неоднородный шар с эксцентрично расположенным центром тяжести
находится на горизонтальной плоскости в устойчивом равновесии, если
цент,) тяжести лежит по вертикали ниже центра шара. При незначительном нару-
шении состояния равновесия центр тяжести поднимается, и, вместе с тем. возрастает
потенциальная энергия шара. Шар после своего смещения снова стремится к перво-
начальному положению равновесия, при котором центр тяжести занимает свое
низшее положение, т. е. потенциальная энергия обладает минимальным значением.
Равновесие называется неустойчивым, если тело, выведен-
ное бесконечно малым отклонением из положения равновесия, не,
возвращается больше в первоначальное положение равновесия, но
стремится к другому положению устойчивого равновесия.
Пример. Неоднородный шар с эксцентрично расположенным центром тяжести
находится на горизонтальной плоскости в неустойчивом равновесии,
если ьентр тяжести лежит по вертикали выше центра шара. При незначительном
нарушении состояния равновесия ^енгр тяжести опускается, и, вместе с тем. умень-
шается потенциальная энергия шара. Шар после своего смещения стремится
к устойчивому положению равновесия с наинизшим положением центра тяжести,
каковое соответствует минимуму потенциальной энергии.
Равновесие называется безразличным, когда силы остаются
в равновесии также и в новом положении тела.
Пример. Однородный шар на горизонтальной плоскости. Центр тяжести и
центр шара совпадают, т. е. при любом смешении снова наступает равновесие.
По унциальная энергия при этом не изменяется, так как центр тяжести не под-
ниА.аегся и не опускается.
Признаком того или другого равновесия может быть потен-
циальная энергия. Если составляющие X, Y, Z силы Pt точка
приложения которой имеет координаты х, у, z} могут быть пред-
ставлены как частные производные функции U (xty, z) по х, у, z,
т. е. если
Y_ dU v dU „ dU
ду	dz
284
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
то функция U называется потенциалом силы Р; она пред-
ставляет функцию, зависящую только от положения точки прило-
жения силы Р. Потенциал тела весом G есть U = G • h, где h есть
высота подъема тела над любой горизонтальной плоскостью, при-
нятой за нулевое положение.
В состоянии равновесия производные U по коорди-
натам должны быть равны нулю, т. е. U должно иметь предельное
значение либо быть постоянным. Если U максимум,—равно-
весие неустойчивое, U минимум, — равновесие
устойчивое; при U постоянном для всех сосед-
них положений — равновесие безразличное.
В тех случаях, когда силы не имеют потенциала,
для признака рода равновесия можно использовать работу, кото-
рую совершают все силы при малейшем изменении положения: по
принципу виртуальных перемещений в случае равновесия работа
всех сил при всяком бесконечно малом виртуальном перемещении
равна нулю. Для решения вопроса, какой род равновесия имеет
место, надо выражение для работы сил, относящееся к незначитель-
ному изменению координат положения равновесия, развернуть в ряд
по этим малым координатным изменениям; при этом исчезнет бес-
конечно малый член первого порядка (по принципу виртуальных
перемещений), тогда как по бесконечно малым членам второго по-
рядка можно судить о роде равновесия. Если работа отри-
цательна для всех виртуальных перемещений,*—
равновесие устойчивое; если окажется какое-
нибудь виртуальное изменение равновесия, при
котором работа сил будет положительной,— то
имеет место равновесие неустойчивое. При
безразличном равновесии из выражения для
работы сил исчезают не только члены первого
порядка, но и члены второго порядка.
Пример. На фиг. 35 (стр. 282) изображен случай неустойчивого
равновесия.
Для решения вопроса относительно степени устойчивости какого-нибудь тела
Служат следующие соображения: если тело покоится на плоскости без особого
укрепления (например кран с укосиной), то единственным сопротивлением опроки-
дывающей силе (поднимаемому грузу) является собственный вес тела (а также и
противовеса, если таковой имеется). Момент вращения собственного веса относи-
тельно исследуемого ребра опрокидывания называется моментом устойчивости,
момент вращения опрокидывающих сил относительно ребра вращения — моментом
опрокидывания. Тело не опрокидывается, если момент устойчивости больше мо-
мента опрокидывания.
Мерой степени устойчивости механической системы
может служить скорость, с которой тело после некоторого сдви-
жения возвращается в положение равновесия; при колебаниях
около положения равновесия такой мерой служит частота колеба-
ний. Степень устойчивости для регуляторов—см. т. II, отд. „Детали
машин".
Центр массы и момент массы второго порядка
285
С. Центр массы и момент массы второго порядка
а) Центр массы и центр тяжести
I.	Общие данные
Система материальных точек с массами ть т> и т. д., общая
масса которой т = тх + т2 + т3 + ... = £ имеет центр массы,
для определения которого может быть написано уравнение:
ms = тхгх + т2г2 + тп3г3 4- ... = £ miri,
где s—радиус-вектор к центру массы
из произвольной в пространстве
точки О, a rz — радиус-вектор из той
же точки в пространстве О к мате-
риальной точке Сумма распро-
страняется на все материальные точ-
ки совокупной системы точек
(фиг. 36).
Если приведенное выше уравне-
ние для центра массы применить для
другой точки в пространстве О', из
которой провести радиусы-векторы
г/ = а + rt, то имеем:
ms' = £ т£г- = £ mJ a + rz-) = т (а +
чем доказывается, что конечная точка вектора s' вновь определяет
ту же точку S, как и конечная точка вектора 5. Таким обра-
зом, центр массы $не зависит от выбора полюса,
но определяется исключительно массами т£ и их взаимным распо-
ложением. Центр массы называют также центром тяжести
(см. ниже).
Выражение ms называют моментом т относительно 0\ соответ-
ственно miri называют моментом т£ относительно О. Если полюс
совпадает с центром массы, то $ = 0. Следовательно, для центра
массы как полюса имеем: £	= 0.
При однородном распределении массы вместо
суммы моментов отдельных материальных точек имеем интеграл:
ms = J г dm ,
где г — радиус-вектор от общего полюса к элементу массы dm.
Центр массы, или центр тяжести, совокупной системы точек
можно отыскать еще таким образом, что сначала определяют
частичные центры тяжести для отдельных групп
286
Т. I. Отд. i. Механика. I. Механика твердых тел
точек, принимая, что в этих центрах сосредоточены массы групп
точек; для них и отыскивается центр тяжести, являющийся одно-
временно центром тяжести совокупной системы точек. Это вытекает
непосредственно из приведенного выше уравнения для центра тяжести,
в котором слагаются суммы моментов отдельных частичных сумм,
которые можно заменить моментами их масс, сосредоточенных
в центре тяжести.
Если совокупная система точек разлагается всего лишь на две
частичные rj уп ih mt9 т2 с центрами тяжести и S2, тс имеем:
ms == zn1s14~ ^2^2- Для центра массы как полюса имеем, следова-
тельно: 0 =	4-m2s2» т. е. центр массы лежит на линии, соеди-
няющей и5а, которую он делит на отрезки, обратно пропорциональ-
ные массам тх и т2. Та же зависимость существует между двумя
параллельными равнозначущими силами и Р2 и их равно-
действующей R = Р^-\- Р2. Последняя всегда проходит через точку,
лежащую на линии, соединяющей точки приложения сил (/^ и Д2),
при этом точка делит прямую /ЦЯ2 на отрезки, обратно пропор-
циональные силам. Если при сохранении параллельности сил вра-
щать их произвольно около точек и /2, то равнодействующая R
всегда будет проходить через одну и ту же точку, которая назы-
вается центром параллельных с и л. То же справедливо и
для случая нескольких параллельных с и л. Центр парал-
лельных сил совпадает, следовательно, с центром массы, который
получается, если предположить, что в точках приложения параллель-
ных сил находятся массы, пропорциональные величине соответствую-
щих сил. Силы тяжести можно рассматривать как такую систему
параллельных сил, которая согласно динамическому основному урав-
нению (сто. 251) пропорциональна массам, так что равнодействующая
сил тяжести должна всегда проходить через центр массы, как бы ни
вращать тело. На этом основании центр массы назы-
вается также центром тяжести.
Для определения центра тяжести тела с объемом V принимают,
что тело однородно, т. е. равномерно заполнено массой, и определяют
центр тяжести э ой равномерно распределенной массы. При постоян-
ной всюду плотности массы 6 имеем для т= V*6 и
Vs = L viri и, соответственно, = J rdv.
Соответственно, находим центр тяжести материальной площади F
и материальной линии L из:
Fs = Е и, соответственно, = j' г df9
Ls ='£liri и, соответственно, = J* г dl.
Если xs, Ур zs суть координаты центра массы, xit yit z^ коорди-
Мты отдельных материальных точек, то имеем:
Центр массы и момент массы второго порядка
287
mxs^^tmixi и, соответственно, =J х dm,
mys = £ и, соответственно, = f У dm,
mzs = £ mizi и, соответственно, = J z dm.
Если xs = 0, т. е. плоскость yz проходит через центр тяжести
(плоскость центра тяжести), то §xdm — Q. Обычно рас-
стояние xs центра тяжести массы от плоскости (например плоскости yz)
находят из
tnxs = f х dm.
Если J х dm — 0 и J у dm = 0, то ось z есть прямая центра
тяжести, ибо она проходит через центр тяжести.
Если однородная фигура или тело имеют пло-
скость симметрии или ось симметрии или центр
симметрии, то центр тяжести лежит в эт их э л е-
меитах симметрии.
II.	Определение центра тяжести
При однородном распределении массы, что обычно и имеет
место, для определения центра тяжести можно использовать ана-
литический метод; в этих
случаях необходимо обращать
особое внимание на условия
симметричности. Способ этот,
однако, не всегда пригоден из-за
трудности интегрирования.
Для практического
определения центра тя-
жести однородно распреде-
ленной массы разлагают общую
массу соответствующим обра-
зом так, что легко находятся ча-
стичные центры тяжести, а центр
тяжести полученной таким об-
разом совокупной системы точек
графически определяют по уравнению	(фиг. 37 и 38).
Дуга АВ, центр тяжести которой подлежит определению, разла-
гается, например, на 8 равных по длине д>г, так что в геоме^ри-
Фиг. 38.
Фиг. 37.
ческой сумме Е/и// все равны по величине. Для линий и
площадей находим центр тяжесги разложением на отдельные эле-
менты, положение центра тяжести которых известно. Величину
каждого элемента принимаем за силу, которая приложена в центре
тяжести соответствующего элемента. Посредством многоугольника
сил и веревочного многоугольника находим равнодействующие этих
сил для двух произвольно выбранных направлений (фиг. 39). В пе-
ресечении двух равнодействующих найдем искомый центр тяжести*
288
Т. I Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Иногда удается и иным образом определить линии тяжести,
в точке пересечения которых лежит центр тяжести, например,
в плоском четырехугольнике (стр. 289).
Экспериментальное определение центра тяжести сво-
дится к подвешиванию тела за различные точки; нить, на ко-
гая—построена помошью вере-
вочного многоугольника.
торой тело висит, каждый раз опреде-
ляет линию центра тяжести (определе-
ние центра тяжести аэропланов или па-
ровозов).
Центры тяжести поверхности
вращения/7 или тела вращения
V определяются, если заданы меридиан-
ная линия у = f (х) с осью вращения
как осью х-ов и элементом линии
d,= Vdx* + dy2.
Прежде всего центр тяжести лежит на
оси х-ов, являющейся согласно поня-
Определение центра тяжести тию симметрии прямой центра тяжести,
линия Пце°н^рГтяжестиСе‘ст?ось Если поверхность вращения или тело
ЛИпИл Цсп1р<1 Inmullrl cUlD ULD	х	1
симметрии полуэллипса, дру- вращения распространяются между коор-
динатами Xj и х2, то для положения центра
тяжести xs имеем: для поверхности
вращения:
Х^	X*	I Х,у
Fxs = 2nJ ху ds, или xs = J ху ds [yds.
xi	хг I хг
Для тела вращения:
х^	х2	I х%
Vx? = к j ху2 dx, или xs = J ху2 dx j у2 dx,
xi	xi	I xi
Правила Гюльдена (Паппуш а)—см. стр. 243.
III.	Положение центра тяжести для технически
важнейших линий, поверхностей и тел
В нижеследующих чертежах и формулах центр тяжести - везде обозначен
буквою 5.
Прямая. S находится на середине прямой.
Периметр треугольника. Если Въ Q—середины сторон а, Ь, с, то S
находится в центре круга, вписанного в треугольник А^В^С^.
Расстояние центра тяжести от стороны треугольника а равно
— Ь +
Xs ~ 2 а-\- b + с'
где ha — высота, соответствующая стороне а.
Периметр параллелограма. S находится на пересечении диагоналей.
Дуга круга (фиг. 40). 5 находится на прямой, делящей пополам центральный
угол, и на расстоянии от центра, равном
xs = rs[b — г sin а/агс а.
аге а = па°/180° = мера дуги для половины центрального угла.
Центр МйссЫ ri момейт массь! второго порядку
289
Половина окружности- круга:
xs - - 2г : тс — 0.G366 г.
Четверть окружности круга:
xs = 2r V2 : к = 0,9003 г.
Шестая часть окружности круга:
xs = Зг : тс 0,9549 Л
2
Произвольная плоская дуга (фиг. 41). Расстояние — Л.
О
Точность. Но вышеприведенной
формуле вели тина получается на O,5tyo
меньше для шестой части круга и на 1,1°^ больше для четверти
нежели точная величина.
Треугольник. 5' находится на пересечении медиан. Расстоя-
ние 5 от одной из сторон равно одной трети соответствующей
высоты.
Если xt, yL, Zi; х>, у,, za; х3, y9,z9- координаты вершин
треугольника, то координаты центра тяжести:
окружности,
J I
xs— + xi + x<)i У$ — Va’C Уiы У2 •|,Ь)1
^=1/з-(г1 + га-р^з)-
Параллелограм. 5 находится на пересечении
диагоналей.
Трапеция. 1. 5 находится на прямой, соединяю-
щей середины М и N параллельных сторон а и b
(фиг. 42). Расстояния ha и равны:
h а + 2Ь	_ h 2а + Ь
ha~'"3~a + b'	ь~ 3 а + & 5
Фиг. 40.
фиг. 41.
отсюда находим построение: на продолжениях параллельных сторон откладываем
BE = а и Ct-= b', ЕЕ пересекает MN в 5.
2. Разлагаем трапецию на два треугольника (фиг. 43), имеющих центры тяже-
сти в и 5,. Прямая пересекает MN в 5.
Четырехугольник. Разлагают четырехугольник одною диагональю на два
треугольника с центрами тяжести в S, и У, (фиг. 44) и другою диагональю на два
треугольника с центра-
ми тяжести в S9 и
Пересечение 5,52 с
S354 дает искомый
центр тяжести S.
Многоугольник.
Разлагают многоуголь-
ник на треугольники,
подсчитывают их пю-
щади /, отмеряют абс-
циссы и ординаты всех
вершин отдельных тре-
угольников, х2, х3
и У1, Ул /ъ и тогда по
закону моментов имеем:
Fxs-£/•(*> +х2+*,)/3 и РУ5 = Е/-(П+Л+Л),'3
Либо по общему способу (стр. 2EG).
Правильный многоугольник. 5 находится в центре вписанного
или описанного круга.
290
T. t. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых ten
Круговой сектор (фиг. 45). Для аге а — тса°/180° имеем:
х -lr- = -rs—= 381072 rSi-n—= ~
s 3 b 3 area d	«» 3f
Где f = r- arc а — площадь сектора.
Для площади полукруга Имеем:
xs = А — = 0,4244 г.
s 3 к
Для Площади четверти круга (квадранта):
4/2
хч=	г = 0,6002г.
у 3 тс
Круговой сегмент (фиг. 46). Имеем:
_ 5е _ 2 г3 sin3 а _ 4 г sin” a
~12F “ 3 " F ~ ~ У аге 2a -"sTT 27 ’
где F = у г’(аге 2a — sin 2a)—площадь сегмента.
Часть кругового кольца (фиг. 47):
. - ? R3-г3 sin_°L _ 1079 Я3_— Л8 sin *
s 3 1^- Г' arc a ’ R* — Г2 а°
Эллиптический сегмент (фиг. 48). Центры тяжести симметричных сегментов
AiBjC и	совпадают с центром тяжести кругового сегмента ЛВС,
отсекаемого хордой эллипса от круга, диаметр которого равен главной оси эллипса,
перпендикулярной к этой хорде.
Это отношение основано на том, что эллипс есть фигура аффинная к кругу;
вообще, имеет место положение: при аффинном изображении плоской фигуры изоб-
ражение центра тяжести есть центр тяжести изображения.
Площадь параболы (фиг. 49):
x5i=8/B.a, p9j =«|в«Ь для St,
xsa= 8ho-o, = Я14-Ь для Sa.
Поверхность шарового пояса. 5 находится на середине высоты.
Боковая поверхность пирамиды или прямого конуса. £ находится на линии,
соединяющей вершину с центром тяжести основания, на расстоянии одной трети
высоты от основания.
Боковая поверхность прямого усеченного конуса. Если радиусы верхнего
Центр массы й момент массы второго порядка
291
И нижнего оснований г и R и высота Л, то расстояние центра тяжести от большего
основания;
h Я-|-2л
Xs~ 3 /? + /••
Призма и цилигдр с параллельными основаниями. Центр тяжести 5
находится в середине линии, соединяющей центры тяжести оснований.
Для центра тяжести скошенного цилиндра (фиг. 50) имеем:
Фиг. 47.
Фиг.
Фи1 49.
Му = f x*df — статический момент, Jy — f x'-df — момент инерции основания
относительно оси у-ов, / ХУ'<Ц — центробежный момент основания для осей
х и у (стр. 2Р4). Если площадь основания симметрична
относительно параллели
к оси J/-OB, то имеем;
равно расстоянию цент-
ра тяжести до площади
основания.
Наклонно усе-
ценный прямой круг-
Фиг. 52.
лый цилиндр (фиг. 51). Если ху — плоскость симметрии, h —- длина оси, а — угол
наклона сечения к плоскости основания, г—радиус основания, то имеем:
1 г- tg а	Л ! 1 г9 tg2 а
ys~A~h ’ X's-"2’+8' h
Цилиндрическая подкова (фиг. 52):
^=16тег’	^ = 32ЯА-
592
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Для поверхности подковы:
1	1
yS-=^ пг<	8 «л-
Для полой подковы (/?, г, И, h):
ys= j3g г. (R* - r*)l(R> - г*).
Пирамида и конус. Центр тяжести S находится на прямой, соединяющей
вершину с центром тяжести основания в расстоянии — этой прямой, считая от осно-
вания.
Усеченная пирамида. Если А и В площади оснований и Л — высота, го
расстояние центра тяжести от основания А:
- h J4	±
S “ 4 А + УаВ + В
Усеченный круговой конус. Если 7? и г—радиусы оснований и Л — высота,
то расстояние центра тяжести от основания:
- - А & + 27?г + 3zL
s~' 4 R* 4- Rr -j- r-
Фиг. 53.
Обелиск (фиг 53). Расстояние центра тяжести
от основания ab:
h ab 4~ ab{ -j" &ib -j- 3a^b^
$	2 2ab -J- abi -J- a^b 4~ 2a ib^
Клин. При Ь,=0 из предыдущей формулы
следует, что расстояние центра тяжести от основа-
ния ab:
h а 4- а,
*s~ Т 2a + at *
Шаровой сегмент,
тяжести от центра шара:
Обозначения, как на фиг. 46 (стр. '2S0). Расстояние центра
3 (2г—АР
Xs~ 4 ' Зг — h ’
где А — высота сегмента. Эта формула служит также для сегмента эллипсоида
ьращсиия, ось вращения которого равна диаметру шара. Расстояние центратяжести
5
от плоскости секущего круга радиуса р — — равно:
Г _ Л Л2 4- 2р« __ А 4г - Л
*s ~ 2 Л2 4- Зр2 ~ 4 Зг - Л •
3
Для полушара: = — г.
Для полого полушара:
_ 3 R4- г*
xs 8	__ г8 •
Шаровой сектор. Обозначения, как на фиг. 45 (сгр. 2S0). Расстояние центра
Тяжести от центра шара, если А — высота сегмента:
^=8/8.(14-cosa)r-8/8.(2r-A).
Центр массы и момент массы второго порядка
293
Параболоид вращения. Если ось производящей параболы есть ось вращения,
h — расстояние вершины от основания, то расстояние центра тяжести от основания:
Х5=1/з-А.
Трехосный эллипсоид. Полуоси а, Ь, с. Для
октанта:
ys=3l8-b,	г5-’/я-с.
Для сектора кольцевого тела (фиг. 54) имеем :
центр тяжести совпадает с центром тяжести дуги
круга радиуса
если а — половина центрального угла сектора, то по
формуле для дуги круга расстояние центра тяжести
от оси вращения:
xs— р sin а/arc а,
а расстояние центра тяжести от плоскости ху:
fxz-df
Zc —	•
Jx-d/
Если образующая площадь кольцевого тела симметрична относительно парал-
лели к оси вращения, то имеем:
иТ'
т. е. равно расстоянию до плоскости ху центра тяжести образующей площади.
Ь) Моменты инерции и моменты центробежные
I. Моменты инерции и моменты центробежные для
тела
Осевым, или экваториальным, моментом инерции JA тела
относительно оси А называется сумма произведений из массы частиц
dm на квадрат расстояния а этих частиц от оси А:
JA = f a2 dm или =
Полярным моментом инерции Jo тела относительно полюса О
называется сумма произведений из массы частиц dm на квадрат
расстояния г от полюса О:
JQ= J г3 dm или = £ r?mi.
Плоскостным моментом инерции тела относительно плоскости
называется сумма произведений из массы частиц dm на квадрат расстояния от
плоскости.
Момент инерции всегда величина положительная, размерность
его кгм сек2. При однородных телах постоянную плотность можно
294
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
вынести в качестве множителя перед суммой или интегралом, и
тогда остается момент инерции геометрических тел J'a-dv, или fr2dv
(стр. 296).
Момент инерции можно также писать в виде:
J = mk2,
где т = Е либо = J*dm — общая масса тела, a k называется радиу-
сом инерции. Чтобы в этом случае получить момент инерции, равный
моменту инерции тела, нужно предположить, что общая масса тела
сосредоточена в одной точке на расстоянии k от оси или полюса
(приведенная масса). При решении технических задач на практике
вместо выражения J = mk2 пользуются выражением махового
момента GD2, где G — mg — вес вращающегося тела и D — 2/г —
его диаметр и н е р ц и и; тогда имеем:
<^2 = 4 g JMacca .
Для махового момента можно пользоваться мерой кг]м2, для боль-
цпг величин w/лг2.
Для трех осей Alf Л2, А3, пересекающихся под прямым углом
в одной точке О, справедлива следующая зависимость между поляр-
ным моментом инерции Jo и суммой трех осевых моментов инерции:
/о = V2 • (/д1 + Jа, + Jа)-
Если /у—момент инерции тела с массой т относительно оси,
проходящей через центр тяжести, JA -момент инерции отно-
сительно оси параллельной, удаленной на расстояние е, то
JA--=Js + mel-
Соответственная зависимость существует между полярным момен-
том инерции Jo для любой точки О и полярным моментом инерции
(J0\y для центра тяжести, находящегося от О в расстоянии е;
Jo=(-fo)s + me^
При осях параллельных момент инерции относительно оси, про-
ходящей через центр тяжести, наименьший.
Если и J2 ~~моменты инерции двух тел относительно двух
параллельных осей, проходящих через центры тяжести, то момент
инерции нового тела, оставленного изданных относительно
повой параллельной оси, проходящей через общий их центр тяжести
J = Ji + J2 + ^1 • ^2/(/п1 + ^2).
где е означает расстояние между полярными осями центров тяжести
масс тг и т2.
Центробежный, или девиационный, момент тела, отнесен-
ный к двум плоскостям, есть произведение из массы частицы • dm
на расстояния х и у от этой частицы до обеих плоскостей:
Jxy = Jху -dm или =
Центр массы и момент массы второго порядка
295
Обыкновенно хиу перпендикулярны друг к другу, так что х и у
представляют прямоугольные координаты. Центробежный момент
может быть положительным, отрицательным или нулем. Он имеет
ту же размерность, что и момент инерции.
Для тела, центр тяжести которого совпадает с нулевой точкой
прямоугольной координатной системы xyz, имеем центробежные мо-
менты Jy2t J2X, Jxy \ относительно параллельно расположенной коорди-
натной системы x'y'z', в которой координаты центра тяжести тела
а, Ь, с, имеем соответствующие центробежные моменты;
JyZr = jу* 4" mbc,	Jzxf	zx ^ПСС1у Jxyf e Jху
Пусть в прямоугольной системе координат Jx, Jy, Jz будут три
осевыл момента инерции, a Jxy,Jy2 и J2X —• ТРИ центробежных мо-
мента инерции, тогда можно определить момент инерции JA для оси,
проходящей через нулевую точку и образующей с координатными
осями углы а, р, у:
= Jx COS2 а + Jy COS2 Р 4- Jz COS2 7 — 7JXy COS a COS P —
- COS 3 COS Y — COS Y COS ас.
yz *	1	ix •
Для каждой точки тела существует прямоугольная координатная
система, для которой три центробежных момента инерции Jx Jyz
и J2X равны нулю; эти три оси называются главными осями,
а соответствующие им моменты инерции — главными момен-
тами инерции, которые обычно обозначаются через Л, В и
С (Л > В > С). Момент инерции JA для оси, образующей углы а, р, у
с главными осями инерции, равен:
JA = A cos2 а + В cos2 Р + С cos2 у.
Если тело имеет плоскость симметрии, то каждая прямая, к ней
перпендикулярная, представляет главную ось инерции. Если тело
имеет ось симметрии, то эта ось представляет одну из трех глав-
ных осей инерции для каждой из ее точек.
Если по оси отложить от начала координат отрезок 1/У/л, то
конечные точки отрезка лежат на эллипсоиде, эллипсоиде инер-
ции Пуансо для точки О, главные оси которого совпадают
с главными осями инерции, и его уравнение будет:
Л$2 + В<2+СС2 = 1.
Величины главных осей будут 1/Кл, 1//В и 1/КС. Эллипсоид
инерции для центра тяжести называется центральным эллип-
соидом; его главные оси называются также свободными осями
тела.
В теории волчка наряду с эллипсоидом инерции важную роль
играет также эллипсоид количества вращения. Он имеет то же напра-
296
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
вление главных осей, что и эллипсоид инерции, и удовлетворяет
уравнению:
Величины главных осей его относятся, следовательно, как
/4 : /В : V'C,
т. с. являются обратными величинами соответственным главным
осям эллипсоида ин'ерции.
II.	Геометрические моменты инерции и моменты
центробежные для плоских фигур
Осевым, или экваториальным, моментом инерции плоской
фигуры относительно сси Л, лежащей в этой же плоскости, назы-
вается сумма произведений из элементов площади df на квадрат
расстояния а этих элементов от оси А:
jA=Sa2df-
Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно
полюса О, расположенного в плоскости, называется сумма произведе-
ний из элементов площади df на 'квадрат расстояния г этих элемен-
тов от полюса О'.
Ja = $r*df.
Центробежным, или девиационным, моментом плоской фи-
гуры относительно двух расположенных в плоскости осей называется
сумма произведений из элементов площади df на произведение
кратчайших расстояний х и у этих элементов от обеих осей:
Jxy~ fxydf.
Измеряя длины в м, получают моменты инерции и центробежные моменты
площадей в
Все соотношения, приведенные в п. 1, действительны и для
п. ‘?, где они только несколько упрощаются благодаря отсутствию
третьей координаты.
Если принять 0 за начало прямоугольной системы координатных
осей, то для полярного момента инерции будем иметь:
•4 = f r*df= f (^+^)d/=dje + Jy,
где Jx и Jy — осевые моменты инерции площади относительно осей
X и у.
Если Js— момент инерции площади F относительно оси, про-
ходящей через центр тяжести, JA — мемент инерции относительно
параллельной оси А, удаленной на расстояние то
Центр массы и момент массы второго порядка
297
То же действительно и для полярного момента инерции (J0)s
относительно центра тяжести и для полярного момен а инерции от-
носительно любой точки в расстоянии е от центра тяжести:
Если центробежный момент Jxy относится к двум взаимно пер-
пендикулярным осям х и у, проходящим через цен ip тяжести, то
центробежный момент Jxfyr для новых осей х' и _у', едзинутых
параллельно на расстояния а и будет:
Jx'y' = Jxy + F-ab.
Две оси и Л2, для которых це 1тробежный момент равен О,
называются сопряженными. Эти две взаимно перпендикуляр-
ные оси называют главными осями для точки их пересечения.
Экваториальные моменты инерции для обеих главных осей являются
среди экваториальных моментов инерции для всех осей че . ез дан-
ную точку наименьшим и наибольшим (7п,ах и ./min).
Если для прямоугольной системы координат известны центробеж-
ный момент Jxy и оба экваториальных момента инерции, то момент
инерции относительно некоторой оси, образующей с осью х-ов угол а,
равен:
Jл = JY COS2 а 4- J sin2 а — JY., sin 2 а
/1 A’	1 у	Л> у
Для каждой точки площади существует прямоугольная система
координат, для которой центробежный момент Jxy равен нулю; эти
осп называют главными осями, а моменты инерции относи-
тельно этих осей — г л а вн ы м и моментами инерции, обоз-
начаемые обычно через А и В (А^В). Если главные оси инерции
принять за координатные оси, то момент инерции относительно любой
прямой, образующей угол а с осью х-ов, будет:
JA = A cos2 а 4- В sin2 а.
Из Jxi Jy и Jxy для любой координатной системы определяются
углы % и 90° -j- а0, образуемые главными осями инерции с осью
х-ов, из
tg 2 а0 = 2Jxyf{J у — Jx)j
а величины А и В из:
A = (JX + Jy)/2 + / [(./у - Jxy 2р + J\y,
B==(JX + Jy)/2 - y~[(jy-jx)l^ + j2xy .
Если по каждой оси отложить от начала координат расстояние
то конечные точки всех этих отрезков лежат на эллипсе —
первом эллипсе инерции, главные оси которого совпадают
с главными осями инерции; уравнение его:
Д$2 + £Г2= t
298
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Эллипс инерции для центра тяжести называется централь-
н ы м эллипсом.
Если для всех осей, проходящих через одну точку, определить
из JA = F& радиусы инерции k и на этих расстояниях провести
параллели к соответствующим осям, то параллели эти обертывают
второй эллипс инерции (эллипс инерции Кул ь м а н а).
Первый и второй эллипсы инерции между собой подобны и
имеют подобное расположение.
Еслй па первой главной оси, проходящей через центр тяжести S,
по обе стороны последнего отложить длину с, определяемую по фор-
муле А — В = Fc\ то получим постоянные точки Fr \\ F2
площади F. Моменты инерции для всех осей, проходящих через
эти точки, имеют одно и то же значение, равное А; эллипс инерции
таким образом превращается в кпуг.
С помощью постоянных точек легко определяются направления
обеих главных осей инерции для любой точки в плоскости фигуры:
они являются биссектрисами углов обоих лучей, проведенных
из постоянных точек к
данному полюсу.
Круг инерции Мо р-Л а н д а. Если
даны для двух прямоугольных осей ОХ и
OY (фиг. 55) моменты инерции Jx и Jy и
центробежный момент Jxy, то откладываем
ОС — Jx и CD — Jy, далее <?/'_]_OYи — Jxy\
описываем на линии OD~JY-FJ=J„
л у р
(полярном моменте инерции относительно
точки О), как на диаметре, круг, который
будет кругом инерции для точки О
как для полюса.Точка/ называется главно й
точкой инерции. Диаметр, проходя-
щий через точку Г, дает обе главные оси инерции:
ОА с Jmn = TA и ОВ с Jmin = 7'B.
Центробежный момент относительно двух произвольных взаимно
перпендикулярных осей, например ОЕ и OF, равняется перпенди-
куляру TG, опущенному из Т на диаметр EF. Отрезки EG и соотв.
FG равны м ^ментам инерции относительно осей ОЕ и соотв. OF.
Определенie момента инерции плоских фигур. Моменты
инерции сечений для общеупотребительных гражданских и искус-
ственных сооружений приведены < отд. „Материаловедение* (см.т. II),
также в таблицах Bohm и John, Scharowski, Zimmermann и др.
В»машиностроении для неправильных сечений применяется гра-
фико-аналитический способ, подобный тому, как указано на стр. 287
для определения центра тяжести.
Вычерченное в масштабе сечение разделяется рядом линий, параллельных оси,
для которой требуется определить момент инерции, на отдельные полосы настолько
узкие, что их можно рассматривать как прямоугольники; определяются по чертежу
площадь f и расстояние центра тяжести у и составляется сумма	J. Расчет
произвол < гея всего удобнее при помощи таблиц.
Центр массы и момент массы второго порядка
299
Предполагается, что полосы выбраны достаточно узкими для того, чтобы
по сравнению с у2/ можно было пренебрегать моментом инерции полосы относи-
тельно параллельной оси, проходящей через центр тяжести (Z?./z3/12 —///?/12).
Для правильных фигур, у которых известно положение центра тяжести у,
площадь / и момент инерции is относительно оси, параллельной оси центра
тяжести, нет надобности разлагать площадь на полосы; в этом случае вместо у2/
принимаьм у2/-}- is.
Гели требуется определить момент инерции неправильного сечения, центр
тяжести которого еще неизвестен, относительно оси центра тяжести, напра-
вление которой задано, то сначала определяем, согласно нижеприведен-
ным формулам, момент инерции для произвольной параллельной оси и
затем относим найденный момент к оси, проходящей через центр тяжести, путем
вычитания F т,2; сечение F и рассто.ние центра тяжести ц определяются одно-
временно при помощи таблиц.
III.	Моменты инерции важнейших линий,
поверхностей и тел
(Подробные данные ом менгак инерции употребительных сечений см. в отделе
„Сопротивление материалов* — сопротивление изгибу, равно и в отделе , Материало-
ведение*, т. II).
Тела и фигуры предположены однородными; М = G g означает
общую массу тела; предполагая, что моменты инерции должны быть
рассчитаны в кгм!сек2, геометрические моменты инерции в лг5 (при
площадях л*\ при линиях л/3), в дальнейшем взято ускорение силы
тяжести g = 9,81 м/сек2, вес G в кг и удельные веса (см. ниже)
7» Tz в кг/-м3, кг/м2, кг/м.
Обозначения. Указатель при J означает ось, относительно которой
берется момент инерции; ./» означает полярный момент инергии для названного
полюса.
7^ в кг^м равно весу единицы длины; геометрический момент инерции полу-
чается из момента инерции массы вычеркиванием множителя 7^ ]g.
у в KzfM1 равно
поручается из момента
у в кг'мл равно
получается из момента
весу единицы
инерции массы
весу объемной
инерции массы
площади; геометрический момент инерции
вычеркиванием множителя уу (g.
единицы; геометрический момент инерции
вычеркиванием множителя j/g.
Прямая линия длиною /; одна конечная точка лежит на
стоянии г от оси.
осн, друган — в рас-
Дуга круга с радиусом г и центральным углом 2 я
(фш. 56):
^=4’2 (агс 2я-»‘"2’)=^4 (>-- arclp)’
Jy = у 4(аго 2 ’ +sin 2 а)=м -т G + «гй ’
Фиг. 56.
Полная окружность: 2 а = ЗбО'1, аге 2 а = 2 п.

300
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Окружность эллипса: а —половина большой, Ь — половина малой оси. При
k - V1 - Ь2/а2 имеем (значение эксцентриситета см. Аналитическая геометрия,
стр. 136):
М 2 n a [1 - (4)‘.U’- (	- (-2*;3^У.7k> - ... ]
Треугольник; 5 — центр тяжести треугольника (фиг. 57):
</ ( ьн> Л а,,° + еЛ
JP в Т VT 4 Г2------------------) ’
, Т/ /b№ . h(bt* + b?) bh(b, — bt)2\	„ а2 + ''2+с2
JP S Т ("Зб +------------12	-------18------)'^М-------Ж-------•
Для любой оси, проходящей через центр тяжести, справедливо: Js—M(elL2-^
4- е,2 -|- елп)/\2^ где elf е2, е3 — рассюяние вершин от оси.
Равнобедренный треугольник: Ь{ = Ь^ = Ь/2.
_ у b*h	_ Т/ &Л(12/12 + д2)
Н~ g 48 ’ PB~^~g 48	’
_ Т/ bht^n2 + 3>?8)
PS ~ g 144
Четырехугольник; неправильный четырехугольник (фиг. 58)!
араллел ограм:
V п(л^ +V) 1 Л13 + л?
g 12	~Л6
Ромб:
. Т/ DDf sin3 <р я_ sin2 <p
= Т---48-= Л1^4—
g 48 -т 24 ’
Фиг, 58.

Центр массы й момейт массы второго йорядка
301
Прямоугольник: (фиг. 59)
,	7/ bh (bz + А2) л, bz+h?	Фиг. 59.
JPS = ~f------12----
Постоянные точки поперечного сечения (стр. 298) определяются по фиг. 59,
если отложить ХВ = h[2 и провести £: b\BS — ^с. F..BS — 30°; тогда имеем :
= F.S =с = V(hl2y^~(b/2)z •!//J	V (Jx — Jv)jbh.
Квадрат со стороной а:
Jx 'J‘	'.У	r'.jj',:

7/ a4 a2
Равнобедренная трапеция (фиг. 60):
If h3 (a + ЗА) _ A2 a + 3d
Ja- s	12	6 a + b ’
r 7/ h* (3a 4- b) _ hz 3a 4- A
Jb~ g	12	-Л1'б a + b ’
. h a*~bi а* + Ь*
m g 48 a — b	24	*
7/ A3 a2 + 4ad-h A2 _ A2 az4a 'bz
Js~ g 36 a + b	18	(o’-М?	‘
Правильный многоугольник. Если a — сторона, n—число сторон, г—радиус
вписанного, А — радиус описанного круга, то для всякой проходящей через
центр О экваториальной оси:
г	j V лаг (12г2 4-а2)	12г2 4-а2	6Я2 - а2
= ---------------------86------= M 24~ •
^ро = *^х •
Круг- Для любого диаметра:
7/ тс г4	7/ тс d4	/-2
^ = Т^Г = Т'6Г = Л,Т’
Т/ и г»	If nd1	г»
•'/’О- g 2 ~~g 32 ~M~2'
ЗО2 Т 1. ОТЛ- Мехйнйла. !. Механика твердых тёЯ
Полукруг. Для ограничивающего диаметра (ось х-ов) и линии симметрии
(ось у-ов) имеем:
Для центра:
_ у
Р°'~ Г 4
Дли центра тяжести:
Л2
32\
> 4 k
Jps-^
=-М
Круговое кольцо; наружный радиус R, внутренним радиус г:
, _ V М^_и_	/^ + г2	__
~	4	— М 4	’ Jpo — ^d‘
Круювой сектор (обозначение фиг. 56, стр. 299):
. V / о • о х	A sin 2 а \
х g 8	4 \ arc 2 а/
Jy = V (arc 2 а + sin 2 = м Т (l •
Т/ Г4 arc 2 а _ Tf Е Г4	н
JP° ~ Т ~ 4	~ g ~2п -	2 •
(Если сектор составляет n-ую часть площади круга.)
Для центра тяжести S как для полюса
Круювой сегмент (обозначения фиг. 56, стр. 299):
If г* (	4	1	\
2«- 3 sin 2 и +-g-sin4 aj =
г’	Л	1	2 sin 2 a — sin 4 a	\
4	\	6	arc 2a- sin 2 a	/’
->=-^4'(arc2,_4sin4a)=
_ Д4	A	1	1	2 sin 2 a — sin 4 a	\
~~	4	\	"*	2	arc 2 a —sin 2 a	/’
T/ r* /	2	1	\
7po = -^vlarc2a--------3-sin2«--g Sin4aj =
_ r2 /	1	2 sin 2 a — sin 4 a \
2 \ ' 6 arc 2 a — sin 2 a /
Э ллипс. Для диаметра 2a как оси х-ов, диаметра 2Ь как оси .у-ов и центра О
как полюса:
_	7/ nab3 Л.Ь3 . У/ па3Ь м а3
Ja = —----7— = 211-7-;	Jh=—z-----т— = ^~Tt
a g 4	4	° g 4	4
Jpo =	(°? + b^) = M
£1+21
4
Центр массы й момент массы второго порядка	303
Парабола (фиг. 61):
7/ 4я;?_ _ Л,
x'g 15
4“".«
5 ’
За2
7 ’
№
~35~ ’
12а2
175 ’
Прямая призма и прямой цилиндр площадью сечения F и высотою ht
Конечные плоскости параллельны. Полярная ось ZZ проходит через центр тяжести S
и параллельна ребрам; экваториальная ось QQ перпендикулярна в точке S к оси ZZ.
Моменты инерции площади F относительно QQ принимаем =, относительно ZZ
равным iz. Имеем:
J<1 4 (F t2 + ЫЧ) ’ J2 =	'"'г-
Прямоугольный параллелепипед. Оси х, у, z проходят через центр тяжести
и параллельны сторонам л, А, с\
. Т а')С	। « .ж Ъ* 4- с-
1х ' т "12 ( + с'} = 1 —”|7~ •
Куб, сторона равна а:
J — J — J — У аП — ЛЛ °
Jx-Jy -Jz - g в -т 6 •
Прямой круглый цилиндр. Радиус основания г, высота Л; оси, как выше, при
прямом цилиндре:
, т 22^.
z ~ g ~2~~
-м~2
Для оси, образующей со средней линией цилиндра угол ф, момент инерции:
Лр =	*3г> + cos* + Л? sin? Ф) =	Г9- 13г' 0 + c°s‘2 -) -к Л’ sin2 ф|.
S 1Z
Боковая поверхность цилиндра:
Т/
Л = — 2 тс r3h
2 g

Полый цилиндр. R и г —наружный и внутренний радиусы, А —высота; оси,как
ьыше, при прямом цилиндре:
•/г=72Т(/?‘-,‘) = Ж ^4^’
Прямая пирамида и прямой конус. Отвес А (одноврем нно ось г), опущен-
ный из вершины на площадь основания F, проходит через центр тяжести послед^
304
Ф. t. Отд. Механика. Т. Механика твердых тел
него; ось q перпендикулярна к оси г и
инерции основания относительно оси z
ции оси q ранными Тогда им ем:
4 = 7 \ <г-
г g 5 г
проходит через центр тяжести тела; моменты
принимаем равными i2\ относительно проек*
g(F 80’ + 5" '«) '
Прямоугольная пирамида. Основание — прямоу:ольник со сторонами а и Ь;
высота Л; оси, как и выше, при прямом цилиндре, ось q параллельна стороне а:
JZ g ’GO’ (а' + 1,') - М 2:	'
7 abh (	3/Г\	' 4
3e=g Ы)\Ь- + -4)-М~ Ж"-'
Прямой круглый
как выше, при прямом
конус. Радиус основания г, высота Л, образующая 5; оси
цилиндре:
г Lrr'_
1 "g~ ю
7 тс г* h / , hr \	3 / , 1Г \
JQ~~g 20 (r’+’4j ^Ж2о(Г'+ 4J*
Боковая поверхность конуса:
'z
-М^
g 2	2
Усеченный круглый конус. Радиусы оснований R и г, высота А, образую*
щая s; оси,как и выше, при прямом цилиндре:
___ у тс h № — г5 	3 А5 — г5
Jz ~ ~g То' R —V ~ м 10 я3 - А •
Боковая поверхность усеченного конуса
z~ g 2 R-r ~	2	*
Шар. Радиус г. Для диаметра, принятого за ось,
/ = _Т_8^	2г=
g 15	5
П о л у ш а р. Если начало координат в центре и ось г перпендикулярна
к ограничивающей плоскости дигметра, г радиус шара, то
J = J — J — TL 4 г° — .£1
Jx-Jy-Jz - s 15	5 •
Полый шар. R наружный, г внутренний радиус; для всякого диаметра
J =	— (А5 — г5) =	— -- ~ Г5 .
g 15	}	5 А3 - г3
Поверхность шара. Для всякого диаметра, принятого за ось,
г 8тсг1 л2г«
J ~ g 3 ~м з•
Шарозой сегмент с высотою, равной Л; радиус шара г. Отн^с:::ельчо оси
симметрии:
= т IT<20г’-15лЛ + ,А’)=м Го — Tr5£y—•
Теория движения (кинематика)
305
Шаровой сектор. Высота сегмента = А, радиус шара = л Относительно оси
симметрии:
4 = у 2 "5	(3r-h) = M~- (3r- h).
Кольцо (фиг. 62). Образующая поверхность симметрична относительно пря-
мой тт, параллельной оси вращения. Ось г совпадает с осью
перпендикулярна к оси г; момент инерции для / относи-
тельно оси т принимаем равным im относительно оси
q — iq. Тогда имеем:
yz=-I-2K«(/?7 + 3Zm),
^ = -^^(«=/ + 3^+2/,),
вращения; ось q —
*з	т.
М = ~ 2 к Rf (по Гюльдену).
Круговое кольцо. Радиус образующей окружности а; ось q =« любому
диаметру в экваториальной плоскости:
1г = -L («! + За’) = М 4/?' + ЗД\
Jq = у- —R—	+ 5а’) = М	.
Эллиптическое кольцо. Полуось а в экваториальной плоскости,
полуось b параллельна оса вращения; ось q = любому диаметру в экваториальной
плоскости:
X (4/? + Зд’) = м	,
5 Z	*
У X (4^s + За’ + 26’) = М 4/?г + У + 2У*.
4 g 4	8
D. Теория движения (кинематика)
а) Движение точки
1.
щейся
Прямолинейное движение. Положение точки, находя-
в прямолинейном движении, вполне определяется нулевой
точкой О прямого пути и расстоянием дан-
р	ной точки $ = f(t} от нулевой точки в из-
вестный момент времени. Путь $ можно
изобразить графически как функцию вре-
мени t при помощи кривой времен и-
пути (фиг. 63). Скорость точки (стр. 249)
'	/ выражается формулой
Фиг. 63.	v = ^t lT==t8a (ФНГ- 63)-
Ускорение точки (стр. 249)
_ dv d?s _ d2f
а ~~dt = ~df- ~	'
306
T. L Отд. 2. Механика. Т Механика твердых* тел
Если движение точки графически изображено кривой вре-
мени-скорости (фиг. 64), то
t
а =	•= tg В и s = f v dt.
dt	J
о
При движении точки по прямой линии с постоянной скоростью
кривая времени-пути представляется прямой линией (фиг. 65) и
tg а = v0 = const.
Фиг. 65.
Фиг. 66.
В этом случае ускорение равняется нулю. Пройденный путь
S = VQ-tr
Движение точки называется равномерно-ускоренным
или — з а м е д л е н н ы м, если ускорение а является величиной
постоянной и независимой от времени, а именно: равномерно-уско-
ренным движением, если постоянное ускорение положительно, и
равномерно-замедленным, если оно отрицательно.
В виду того, что ускорение в этом случае имеет одно и то же
значение для всех промежутков времени, это ускорение можно
выразить не только производной скорости по времени, но еще и
следующим отношением (для произвольного интервала от t до t^\
dv __ v2—vi _ изменение скорости
dt t2 — ti соответствующее время
Диаграмма вре-
мени-скорост!
является здесь прямой ли
нией(фиг.бб) с наклоном [
tg р = а = const.
Кривая време
н и - п у т и являете
параболой (фиг. 67
tg«=rfT = v = <’o-|- «4
причем Vq обозначает скорость, соответствующую времени t = C
Теория движения (кинематика)
307
Пройденный путь
При v0 = 0 и s = h получаем
h = v2/2a и v =У 2ah — at.
Пример. .Свободное падение в безвоздушном простран-
стве а = g = 9,81 лцсек* =ускорению силы тяжести.
Если считать время и путь от момента начала падения точки, находящейся
в покое (v0 = и), то получаем :
h=~-P, v = gt, h=-~, v = V2gh.
*	4g
v-/2g называется высотой соответствующей скорости v (высота подъема тела,
брошенного вверх со скоростью v). Таблицу для v-/2g и V2gh см. стр. 308 и 309.
При прямолинейном движении точки с пере-
менным ускорением движение можно представить графически
при посредстве кривой времени-пути (фиг. 63) или кривой времени-
скорости (фиг. 64) или, наконец, кривой пути - скорости (фиг. 68).
Если дана кривая времени - скорости, то интегрированием $ = J* vdt
можно получить кривую времени-пути; ее можно получить и графи-
чески (фиг. 69). От точки Р, расположенной на абсциссе, влево
от точки О и на расстоянии единицы, проводятся прямые к точкам
/, 2,	6, являющимся проекциями средних ординат 9 на ось
скоростей; кривая t — s получается проведением линий, параллель-
ных лучам от полюса Р.
Если скорость дана функцией пройденного пути 9($), то время
,	ds
находится как функция пути из v = —:
<=
J v (s)
Интегрирование может быть произведено графически по фиг. 7J. От полюса Р,
отложенного на абсциссе вправо от нулев >й точки О на расстоянии единицы, про-
водятся прямые к точкам /, 2, ..., б, являющимся проекциями средних ординат v
на оси скоростей. Линия 5 — t получается проведением отрезков, псопендикуляр-
ных лучам из полюса Р.
308
Т. I. Отд. 2. Механика. 1. Механика твердых тел
Таблица 2. Высоты, соответствующие скоростям
Высоты h в м, соответствующие скорости (падения) для скоростей v
от 0 до IOju м{сек
h = v-\2g\	g = 9,81 м]сек* l)
v	h	V	h	V	h	°	Л	V	h
0	0,COCCO	40	81,5494	80	326.1 Q8	285	4139,91	645	21204,1
1	0,05097	41	85,6779	81	334,404	295	4435,52	655	21866J
2	0,20387	42	89,9083	82	342,712	300	4587,16	665	22539’5
3	0,45872	43	94,2406	83	351,121	305	4741,34	675	23222 5
4	0,81549	44	98,6748	84	359,633	315	5057,34	685	23915’7
5	1,27421	45	103,211	85	368,247	325	5383,54	605	24610,0
6	1,83486	46	107,849	86	376,962	335	5719,03	700	24974’5
7	2,42745	47	1P,589	87	385,780	345	6066,51	705	25332,’б
8	3,26198	48	117,431	88	394,699	355	6423,29	715	26056^3
9	4,12844	49	122,375	89	403,721	365	6790,26	725	2679о’з
10	5,09684	50	127,421	90	412,844	375	7167,43	735	27534,4
11	6,16718	51	132,669	91	422,069	385	7554,79	745	28288,7
12	7,33945	52	137,819	92	431,397	395	7952,34	755	29053,3
13	8,61366	53	143,170	93	440,826	400	8154,94	765	29828,0
14	9,98981	54	148,624	94	450,357	405	8360,09	775	30612,9
15	11,4679	55	154,179	95	459,990	415	8778,03	785	31408,0
16	13,0479	56	150,837	96	.469,725	425	9206,17	795	32213,3
17	14,7299	57	165,5^6	97	479,562	435	9644,50	800	32619,8
18	16,5138	58	171,458	98	489,501	445	10093,0	805	33028,8
19	18,3996	59	177,421	99	499,541	455	10551,7	815	33854,5
20	20,3874	60	183,486	100	509,684	465	11020,6	825	34690,4
21	22,4771	61	189,653	105	561,927	475	11409,7	835	35536,4
22	24.6687	62	195,923	115	674.057	485	llc89,0	845	36392,7
23	26,9623	63	202,294	125	796,381	4°5	12488,5	855	37259,2
24	29,3578	64	208,767	135	928,899	5C0	12742,1	865	38135,8
25	31,8552	65	215,341	145	1071,61	505	12998,2	875	39022,7
26	34,4546	66	222,018	155	1224,52	515	13518,1	885	39919,7
27	37,1560	67	228,797	165	1387,61	5°5	14048,2	8'5	40827,0
28	39,9592	68	235,678	175	1560,91	535	14588,4	900	41284,4
29	42,8644	69	242,661	185	1744,39	545	15138,9	905	41744,4
30	45,8716	70	249,745	195	1938,07	555	15699,5	915	42672,0
31	48,9807	71	256,932	200	2038,74	565	16270,4	925	43609,8
32	52,1917	72	264,220	205	2141,95 ’	575	16851.4	935	44557,8
33	55,5046	73	271,611	215	2356,01	585	17443,7	945	45516,1
34	58,9195	74	279,103	225	2574,34	525	18044,1	955	46484,5
35	62,4363	75	286,697	235	2814,73	600	18348,6	965	47463,1
36	66,0551	76	294,393	245	3059,38	605	18655,3	975	48451,8
37	69,7757	77	302,192	255	3314,22	615	19277,5	985	49450,8
38	73,5984	78	310,092	265	3579,26	625	19909,5	995	50460,0
39	77,5229	79	318,094	275	3854,48	635	20551,7	1000	50968,4
Основные задачи. (Для /=0 путь 5 = 0.)
1. Дано: s=f(f),	_ ds_	_ dv _ d?s
ищем: v и а	~~ dt ’	~~ dt ~~ d&
2.Дано: V=/«), $=Cvdt> a=dv.
ищем: 5 и a	J	dt
*) Точное значение g на стр. 250.
Теория движения (кинематика)
309
Таблица 3. Скорости
Скорости v в м\сек для А от 1 до 1000 м
v = V2gh',	£ = 9,81 м]сек* ’)
Л	V	h	V	h	V	h	V	h	V
1	4,42945	41	28,3623	81	39,8650	210	64,1888	610	109,399
2	6,26418	42	28,7061	82	40,1103	220	65,6993	620	110,292
3	7,67202	43	29,0458	83	40,3542	230	67,1759	630	111,435
4	8,85889	44	29,3816	84	40,5032	240	68,6207	640	112,057
5	9,90454	45	29,7136	85	40,8375	250	70,0357	650	112,929
6	10,8499	46	30.0420	86	41,0770	260	71,4227	660	113,795
7	11,7192	47	30,3668	87	41.3151	270	72,7832	670	114,653
8	12,5284	48	30,6881	88	41,5519	280	74,1188	680	115,506
9	13,2883	49	31,0061	89	41,7873	290	75,4308	690	116,352
10	14,0071	50	31,3209	90	42,0214	300	76,7202	700	117,192
И	14,6908	51	31,6326	91	42,2542	310	77,9884	710	118,026
12	15,3440	52	31,9412	92	42,4858	320	79,2364	720	118,855
13	15,9706	53	32,2469	93	42.7160	330	80,4649	730	119,677
14	16,5730	54	32,5497	94	42.9451	340	81,6750	740	120,494
15	17,1553	55	32,8496	95	43,1729	350	82,8673	750	121,305
16	17,7178	56	33,1469	96	43,3995	360	84,0429	760	122,111
17	18,2630	57	33,4416	97	43,6250	370	85,2021	770	122,912
18	18,7925	58	33,7337	98	43,8493	380	86,3458	780	123,708
19	19,3075	59	34,0232	99	44,0724	390	87,4746	730	124,498
20	19,8091	60	34,3105	100	44,2945	4CO	88,5889	800	’125,284
21	20,2983	61	34,5°51	105	45,3883	410	89,6895	810	126,064
22	20,7759	62	34,8775	110	46,4564	420	90,7767	820	126,840
23	21,2428	63	35,1577	115	47,5005	430	91,8510	830	127,611
24	21,6998	64	35,4d56	120	48,5224	440	92,9129	840	128,378
25	22,1472	65	35,7113	125	49,5227	450	93,9627	850	129,140
26	22,5858	66	35,9850	130	50,5037	460	95,0010	860	129,897
27	23,0161	67	36,2566	135	51,4655	470	96,0-81	870	130,650
28	23,4384	68	36,5262	140	52,4099	480	97,0443	880	131,399
29	23,8535	69	36,7938	145	53,3376	4$Ю	98,0500	890	132,143
30	24,2611	70	37,0594	150	54,2492	500	99,0454	900	132,883
31	24,6621	71	37,3232	155	55,1462	510	100,031	910	133,620
32	25,0567	72	37,5851	160	56,0284	520	101,007	920	134,352
33	25,4452	73	37,8452	165	56,8973	530	101,974	930	135,080
34	25,8279	74	38,1035	170	57,7529	540	102,931	940	135,804
35	26,2050	75	38,3601	175	58,5961	550	103,880	950	136,525
36	26,5767	76	38,6150	180	59,4272	560	104,820	960	137,241
37	26,9433	77	38,8682	185	60,2470	570	105,752	970	137,954
38	27,3049	78	39,1198	190	61,0555	580	106,675	980	138,664
39	27,6619	79	39,3698	195	61,8539	590	107,591	990	139,369
40	28,0143	80	39,6182	200	62,6418	600	108,499	1000	140,071
3	1. Дано:	® =/(s).			5 .	Г c		dv		
	ищем:	а и t			t= J-	P~’	a = v-i-. ds		
									
4. Дано:					t		t		
				=	vn4- a dt		s = vdt.		
	ищем:	S и z	F						
					и		и		
i) Точное значение g на стр. 250.
310
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
5. Дано: а —/($),
ищем: V и t
6. Дано: а=/(я),
ищем: $ и t
2. Криволинейное движение. Положение точки на ее
криволинейном пути определяется нулевой точкой О в пространстве
и вектором 7 из О, соответствующим временному положению точки
(фиг. 71). Если г известен как функция времени, то этим вполне
определено движение точки.
По местному вектору г находим тангенциально направленную
скорость v и ускорение а (стр. 249)
dr - dv d2r
V~~dt И a~~di^~dt^'
При применении прямоугольной ко-
ординатной системы (х,у, z) положение точ-
ки можно определить, представляя все ее три прямо-
Фиг. 71. ' угольные координаты в функции времени:
* = ?(0, > = 4’(0> « = х(0-
Скорость в этом случае выражается составляющими:
dx , /а dy \г/л dz	Г,А
а ускорение — составляющими:
Величина скорости:
| ~vI = v = //2 4- уа + х'2
и величина ускорения:
| ~а | = а = V ?"2 +	+ у;/2.
Положение точки может быть определено так, что кривая пути
задается каким-нибудь методом геометрии (модель, координаты,
проекция в двух плоскостях), а пройденный точкой путь 5 опре-
деляется от нулевой точки, лежащей на кривой, как s = f(t).
Точка имеет в пространстве три степени свободы, соот-
ветственно оо3 положениям, которые она может занимать. Если точка
лежит в плоскости, то она имеет только две степени свободы и, нако-
нец, если точке предписан путь, то она имеет только одну степень
свободы.
Теория движения (кинематика)
311
тт	— d г *	»	,
Если вектор скорости v = —- будет отложен от какой-нибудь
определенной точки О в пространстве, то конечная точка v описы-
вает годограф (фиг. 72). Скорость по годографу даст, по вели-
— dv d-r
чине, и направлению, ускорение а = — =	.
Из годографа видно, что вектор ускорения а и вектор ско-
рости v совпадают но направлению только при прямолинейном
движении точки.
При криволинейном движении точки вектор
ускорения никогда не совпадает с направлением
касательной к кривой пути.
Вектор ускорения п, всегда лежащий в плоскости, касательной
к кривой пути, можно разложить на касательную соста-
(tv
вляющую at =	= производной скорости по времени ина нор-
мальную составляющую, направленную к центру кривизны
9
а „ = — =	= v • ш.
. р	\
При этом р означает радиус кривизны кривой	—X
пути И (О = г/р угловую скорость, с которой ° v-dit
точка движется вокруг центра кривизны. at зави-
сит от изменения величины скорости, а а„ от
’ п л Фиг. 72.
изменения направления скорости. При at = О,
получаем v — const, другими словами, v ,по величине не изме-
няется, и точка движется по кривой любой фо шы с постоянной
скоростью. При ап = 0 получаем прямолинейное движение.
Пример. Движение точки по кругу радиуса г.
dv
Касательное ускорение а/ =	. При v = постоянной ускорение Д/»0. Нор-
мальное ускорение ап — v'fr налравлено к центру круга. При постоянной скорости
v оно имеет постоянное значение.
Если движение точки дано отдельно кривой пути и
уравнением пройденного пути s, то получаем: скорость
ds	dv d2s
v = —~, касательное ускорение«/=-—=-- и нор-
dt	j г	* dt dt2	r
м альное ускорение ап = г2/? (р = радиусу кривизны),
При помощи основного динамического уравнения (стр. 251),
из ускорения а умножением его на массу точки получаем по напра-
влению и величине силу Р, необходимую для получения соответ-
ствующего движения. Подробнее см. 01дел „Динамика0, стр-
312
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Для параллельной проекции (прямоугольной или косо-
угольной) движения точки на плоскость законы проекции
остаю.ся в силе: проекции скорости и ускорения по ве-
личине и направлению равняются скорости и уско-
рению проекции точки.
поопоопионально соотв
Пример (фиг. 73). Точка Р движется по кругу радиуса г с постоянной ско-
ростью V.	__
Параллельной проекцией круг превращается в эллипс и скорость v и ускоре*
ние а — в проекцию скорости vr и — ускорения а'. Движение точки Р' представляет
эллиптически-гармоническое движение, при котором ускорение
всегда направлено к центру эллипса О'. Его величина равна проекции | а I = ш* г и
выражается | V | = ш1 2 /•'; при этом о» есть постоянная угловая скорость, с которой
точка движется по кругу, а г' — соответствен-
ней радиус эллипса. Таким образом ускоре-
ние пропорционально радиусу эллипса; по-
этому соответственно а = — г будет:
а' = — ш2-л'.
Скорость vf параллельна сопряженному с гг
радиусу г/, и так как v = u> имеем
vf = (D-r/,
другими словами : п р и эллиптически
гармоническом движении ско-
рость параллельна и пропор-
циональна сопряженному диа-
метру, втовремя как ускорение
направлено к центру эллипса и
‘тственному радиусу эллипса.
Относительно силы, необходимой для получения эллиптически-гармоничного
движения материальной точки, см. стр. 335.
Если точка совершает одновременно два частных дви-
жения, то ее действительное движение получается сложением
этих частных движений. Согласно закону независи-
мости движений, можно при наличии нескольких причин, вызы-
вающих ряд движений, рассматривать единичные движения, проис-
ходящие независимо одно от другого, самостоятельно и сложением
их получать действительное движение; скорость и ускорение такого
сложного движения являются результатом геометрического сложения
скоростей и ускорений частных движений: v =	+ v2 -f- ...
a — ax J- a2 -f- ... В частности из этого следует, что при сложном
движении "точки можно самостоятельно рассматривать проекции
частных движений.
1. Пример. Движение брошенного тела без сопротивле-
ния воздуха: разложение движения в плоскости полета на частное горизон-
тальное и вертикальное движения (подробнее см отдел „Динамики", стр. 336).
2. Пример. Движение точки по винтовой л^нии. Если радиус
основного круга винтовой линии обозначим г, а угол подъема а, то получим tga =
Л/2 тс г, где h ход винта, или подъем винтовой линии. Движение точки но винто-
вой линии с постоянной скоростью v можно рассматривать как результат двух
движении: по основному кругу г со скоростью v cos а и параллельно оси винта
со скоростью v sin а. Из такого подразделения легко найти радиус кривизны р винто-
Теория движения (кинематика.
313
вой линии: ускорение точки, движущейся по винтовой линии, равняется ^’/р с на-
правлением к центру кривизны. В виду того что вектор ускорения из-за сим-
метрии должен быть параллельным к основному кругу, у.корение точки, спроекти-
рованное на основной круг, будет той же самой величиной, т. е. (^2 cos" а)/г. Отсюда
получается кривизна винтовой линии
l/р = (cos’ а)/г.
Кривизна любой кривой определяется уравнением — = —Д, где ds является
р ач
элементом линии кривой и dtp соответственным приращением угла
касательной; таким образом, возможно выразить и скручивание про-
странственной кривой (так называемая вторая кривизна) формулой — —
а
=	, где ds— опять элемент линии кривой, a da— соответственное при-
ращение угла касательной плоскости (см. „Математику", стр. 166).
Для винтовой линии можно найти скручивание следующим меха-
ническим способом. Движение материальной точки по винтовой линии можно
рассматривать как движение точки параллельно оси винтовой линии с постоян-
ной скоростью v sin а и как движение по основному кругу радиуса г с постоянной
скоростью v cos а. Из соответственного положения радиуса кривизны следует, что
из одного положения плоскости, образованной касательной и нормалью, можно
перейти в соседнее другое сдвигом параллельно оси винтовой линии на величину
ds-sina при одновременном вращении около оси винтовой линии на величину
, ds«cos a
=--------•
ГТроектированием всего вращения d ф касательной плоскости в направлении каса-
тельной к винтовой линии получим dO = d<p«sina, находим скручивание винтовой
линии
1 d§ ^Ф , sina«cosa
— = -г- = sin a =--------------.
• a	ds	ds	r
b) Движение твердого тела
1. Поступательное перемещение,или сдвижение. Под посту-
пательным перемещением, или с д в и ж е и и е м, твердого
тела подразумевается такое движение, при
котором все точки тела описывают кон-
груэнтные друг другу пути; таким обра-
зом, для указания движения всего тела до-
статочно указать движение какой-нибудь,
одной его точки. Из начального положения
можно получить каждое последующее.
Пример (фиг. 74). Диск диаметра АВ движется
по кругу радиуса R. Диск начерчен в четырех поло-
жениях. Точка А движется по кругу радиуса R, так
же как и центр М и другая конечная точка диска В.
Все пути тождественны друг другу.
Фиг. 74.
ч Все, что было сказано (под „а*) относительно движения точки,
действительно и для поступательного перемещения твердого тела,
так как сдвижение тела определяется движением одной его точки.
Можно соединить в одно два движения, которые совершаются
одновременно одним и тем же твердым телом, складывая геометри-
чески скорости и ускорения обоих частных движений:
v = v1-]-v2 и а = ar -f- а2.
314
Т. I Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
В виду того, что точка в пространстве может занимать со3 раз-
личных положений, то говорят, что тело в пространстве имеет три
степени свободы. Если введено какое-нибудь ограничение
в том смысле, что, например, какая-нибудь определенная точка связы-
вается с какой-нибудь плоскостью или линией, то тело уже имеет
две или одну степень свободы.
Примером движения с одной степенью свободы является движе-
ние крейцкопфа паровой машины. Направляющая в этом случае есть
прямая линия.
2. Вращение. При вращении тела две его точки остаются не-
подвижными, стало быть, и связывающая их прямая также не пере-
мещается. Эта прямая называет.я осью вращения. Бесконечно
малое вращение называется элементом вращения. Ему соот-
ветствует угол вращения da вокруг оси вращения в элемент вре-
мени dt. Путь точки в расстоянии b от оси вращения будет ds = bda.
При неизменной оси вращения необходимо для полного
определения движения знать, кроме оси вращения, еще угол враще-
ния а как функцию времени a=f(t).
Угловая скорость со есть скорость изменения угла вра-
щения
Какая-нибудь точка в расстоянии b от оси вращения обладает
скоростью v = b <о. Угловое ускорение е означает скорость
изменения угловой скорости
d со ____________________________ d2*
с — dt ~~ dt-
Какая-нибудь точка Р в расстоянии b от оси вращения обладает
касательным ускорением = и нормальным ускорением в пер-
пендикулярном направлении к оси вращения an — v2lb=b со2 (стр. 311).
Вращению около неподвижной оси вполне соответс вуют фор-
мулы прямолинейного движения точки (стр. 3U5). Надо только
вместо 5, v и а подставить a, w и е. При постоянной угловой
скорости получаем ее значение
_ da _ а _ угол вращения
dt t соответственное время
Вместо угловой скорости в технике пользуются числом обо-
ротов п в минуту, которое связано с угловой скоростью
равенством:
ю = 2 к л/60 или п = 30 w/к.
(Таблицу угловых скоростей см. стр. 317.) При постоянном
угловом ускорении имеем:
_ d <о _	— <о1	изменение угловой скорости
dt t2 — t± соответствующий промежуток времени
Теория движения (кинематика)
315
Вращение называется равномерно ускоренным или за-
медленным, смотря по тому, имеет ли е положительное или
отрицательное значение. Аналогично формулам (стр. 307) равномерно-
ускоренного движения точки получаем
со = o)qе t\
а= J ®dt = aot + уе-------------------t = —2~ё	'
Направление вращения при неподвижной оси указы-
вается знаком угловой скорости; при этом одно из направлений
считается положительным, а другое отрицательным. Этот способ,
однако, нецелесообразен, в случае если ось вращения меняется.
В этом случае ось вращения, величина к направление угловой
скорости задаются вектором угловой скорости со. Абсолют-
ное значение вектора со дает величину угловой скорости, линия его
направления — ось вращения, а стрелка у со указывает направле-
ние вращения; раз навсегда устанавливается, что вращение на-
правлено против движения часовой стрелки, если смотреть с конца
вектора на его исходную точку, или, что то же самое, напра-
вление вращения, которое дает стрелка у <о, совпадает с движе*
нием правой нарезки (см. „Векторный анализ"
стр. 178). При изменении вращения изменяется
стрелка у со.
Вектор угловой скорости со связывается с мгно-
венной осью вращения подобно силовому вектору
и является поэтому скользящим линейным век-
тор о м.
Доказательством того, что вышеназванный вектор угловой
на самом деле вектор в общепринятом смысле (см. „Векторный анализ", стр. 174),
служит геометрическое сложение двух угловых скоростей ш, и со2 Нужно доказать
(фиг. 75), что при одновременном вращении твердого тела с угловыми скоростями
и вокруг двух пересекающихся осей равнодействующая угловая скорость <о
получается геометрическим сложением:
(Ъ =	о)2.
Действительно/ каждая точка D на диагонали ОС параллелограма, построен-
ного на и соа, под влиянием обеих угловых скоростей остается в покое:
Pi — Ръ = OD (о^ sin ах — u)., sin а>) = 0,
так как из треугольника О АС следует:
<dJ(d2 — sin aa/sin aL,
то, следовательно, диагональ параллелограма есть на самом деле равнодействующая
угловая скорость. Чтобо! показать, что величина равнодействующей угловой ско-
рости определяется величиной диагонали параллелограма, достаточно доказать, что,
например, скорость точки 4 не зависит от того, исходит ли она от а>2 или от ш. На
самом деле, если придерживаться обозначении фиг. 75, получаем
= или си = u)t«b\a — sin (0ц -|- aa)/sin a, = ша*ОCjOB,
Фиг, 75.
скорости ш есть
316
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
ti> дано здесь расстоянием ОС. Этим доказана правильность векторного уравнения
ш = ^ + 0)2 и показано, что для векторов угловых скоростей применимы’ обычные
правила векторного анализа.
Чтобы для точки Р твердого тела определить скорость и, соответ-
ствующую угловой скорости «о, достаточно взять на оси вращения
точку О и провести радиус-вектор ОР — г (фиг. 76). Величина
скорости |v| = v = b ш и направление v, перпендику-
лярное к плоскости, образуемой ш и г, определяются
векторным произведением:
V = [oj г].
Таким способом обозначения выясняется также
Фиг. 76. и знак направления v (см. „Векторный ана-
лиз"). При прямоугольной координатной системе с на-
чальной точкой О последнее уравнение пишется следующим
образом:
i (DjX
kdi3Z
и =
или
— I (0J22 —	4" (Ш1-У — ш2-^)
Vi = <02z — <D3y;
v2 = Ю3Х —
v3 =	— <o2x.
Если в твердом теле только одна точка неподвижна и тело
произвольно вращается около этой точки, то такое движение назы-
вается сферическим. Оно состоит из вращения вокруг произвольных
осей вращения, которые, однако, всегда проходят через неподвиж-
ную точку О. Представим себе в точке О, как в начальной точке
координат, систему координат х, yt z и выразим вектор угловой
скорости ш через его прямоугольные составляющие а)Ь <о2, <о3; мы
увидим таким образом, что имеются ооЗ различных сферических
движений. Вращению твердого тела вокруг непо-
движной точки соответствуют таким образом
три степени свободы. Ось меняет свое положение по
отношению к твердому телу и по отношению к неподвижному про-
странству. Если представить себе, что следующие одно за другим
положения осей вращения зафиксированы в координатных систе-
мах, одна из которых связана с твердым телом, а другая — с про-
странством, то получим два полюсных конуса с общей вершиной,
причем конус, связанный с телом, будет катиться по полюсному
конусу, находящемуся, по отношению к пространству, в неподвиж-
ности. Общая образующая обоих конусов в какой-нибудь момент
времени называется мгновенной осью вращения.
Вектор угловой скорости есть скользящий вектор, так
как линия его направления дает ось вращения. Два равных
по величине, но действующие в противополож-
ном смысле вектора и —направленные по
одной и той же линии, взаимно уничтожаются.
Теория движения (кинематика)
317
Таблица 4. Угловая скорость для п от 0 до п — 499
оборотов в минуту
п	0	!	2	3	4	6	6	1 ’	8	9
0	0,0000	0,1047	0,2094	0,3142	0,4189	0,5236	0,6283	1 0,7330	0,8378	0,9425
10	1,0472	1,1519	1,2566	1,3614	1,4661	1,5708	1,6755	1,7802	1,8850	1,9897
20	2,0944	2,1991	2,3038	2,4086	2,5133	2,6180	2,7227	2,8274	2Л322	3,0з69
<30	3,1416	3,2463	3,3510	3,4558	3,56С5	3,6652	3,7699	3,8746	3,9794	4,0841
40	4,1888	4,2935	4,3982	4,5029	4,6077	4,7124	4,8171	4,9218 1	5,0265	5,1313
50	5,2360	5,3407	5,4454	5.5591	5,6549	5,7596	5,8643	, 5,9690	6,0737	6,1785
60	б’2832	6,3879	6,4926	6,5973	6,7021	6,8068	6,9115	' 7,0162	7,1209	7,2257
70	7^3304	7,4351	7,5398	7,6445	7,74°3	7,8540	7,9587 8,0634		8,1681	8,2729
80	8^3776	8’4823	8,5870	8,6°17	8,7965	8,9012	9,0059	9,1106	9,2153	9,3201
90	9^4248	9,5295	9,6342	9,7389	9,8437	9,9484	10,053	10,158	10,263	10,367
100	10,472	10,577	10,681	10,786	10,891	10,996	11,100	11,205	11,310	11,414
110	11,519	11,624	11,729	11,833	11,938	12,043	12,147	12,252	12,357	12,462
120	12,566	12,671	12,776	12,881	12,985	13,090	13,195	13,299	13,404	13,509
130	13,614 14,661	13,718	13,823	13,928	14,032	14,137	14.242	14,347	14,451	14,556
140		14’765	14,870	14,975	15,080	15,184	15,289	15,394	15,499	15,603
150	15,708 16,755	15,813	15,917	16,022	16,127	16,232	16,336	16,441	16.546	16,650
160		16^860	16,965	17,069	17,174	17,279	17,383	17,488	17,593	17,698
170	17,802 18,850	17,907	18,012	18,117	18,221	18,326	18,431	18,535	18,640	18,745
180		18^954	19,059	19,164	19,268	19,373	19,478	19,583	19,687	19.792
190	19,897	20,001	20,106	20,211	20,316	20,420	20,525	20,630	20,735	20,839
200	20,944 21,991	21,049	21,153	21,258	21,363	21,468	21,572	21,677	21,782	21,886
210		22,096	22,201	22,305	22,410	22,515	22,619	22,724	22,829	22,934
220	23,038 24,086	23,143	23,248	23,353	23,457	23,562	23,667	23,771	23,876	23,981
230		24,190	24,295	24,400	24,504	24,609	24,714	24,819	24,923	25,028
240	25,133	25,237	25,342	25,447	25,552	25,656	25,761	25,866	25,970	26,075
250	26,180	26,285	26,389	26,494	26,599	26,704	26,808	26,913	27,018	27,122
260		27,332	27,437	27,541	27,646	27,751	27,855	27,960	28,065	28,170
270	28,274	28,з79	28,484	28,588	28,693	28,798	28,903	29,007	29,112	29,217
280	29,322	29,426	29,531	29,636	29,740	29,845	29,950 30,997	30,055	30,159	30,264
290	30,369	30,473	30,578	30,683	30,788	30,892		31,102	31,206	31,311
300	31,416	31,521	31,625	31,730	31,835	31,940	32,044	32,149	32,254	32,358
310	32,463	32,568	32,673	32,777	32,882	32,987	33,091	33,196	33,301	33,406
320	33,510	33,615	33,720	33,824	33,929	34,034	34,139	34,243	34,348	34,453
330	34,558	34,662	34,767	34,872	34,976	35,081	35,186	35,291	35,395	35,500
340	35,605	35,709	35,814	35,919	36,024	36,128	36,233	36,338	36,442	36,547
350	36,652	36,757	36,861	36,с66	37,071	37,176	37,280	37,385	37,490	37,594
360	37,699	37,804	37,с09	38,013	38,118	38,223	38,327	38,432	38,537	38,642
370	38,746	38,851	38,956	39,060	39,165	39,270	39,375	39,479	39,584	39,689
380	3Q,794	39,8С8	40,003	40,108	40,212	40,317	40,422	40,527	40,631	40,736
390	40,841	40,945	41,050	41,155	41,260	41,364	41,469	41,574	41,678	41,783
400	41,888	41,993	42,097	42,202	42,307	42,412	42.516	42,621	42,726	42,830
410	42,9d5	43,040	43,145	43,249	43,354	43,459	43,563	43,668	43,773	43,878
420	43,982	44,087	44,192	44,296	'44,401	44,506	44,611	44,715	44,820	44,925
430	45,029	45,134	45,239	45,344	45,448	45,553	45,658	45,763	45,867	45,972
440	46,077	46,181	46,286	46,391	46,496	46,600	46,705	46,810	46,914	47,019
450	47,124	47,229	47,333	47,438	47,543	47,647	47,752	47,857	47,962	48,066
460	48,171	48,276	48,о81	48,485	48,590	4Я.С95	48,799	48,904	49,009	49,114
470	49,218	49,323	49,428	49,532	49,637	49,742	49,847	49,951	50,056	50,161
480	50,265	50,370	50,475	50,580	50,684	50,789	50,894	50,999	51,103 52,150	51,208
490	51,313	51,417	51 ^22	51,627	51,732	51,836	51,941	52,046		52 255
318
Т. I. Отд. 2. Механика. Т. Механика твердых тел
Таблица 4. Угловая скорость <0 для п от 500 до л = 999
оборотов в минуту
п	0	1	2	3	4	5	G	7	8	9
500	52,360	52,465	52,569	52,674	52.779	52,883	52,°88	53,093	53,198	53,202
510	53,407	53,512	53,617	53,721	53.826	53,931	54,035	54,140	54,245	54,350
520	54.454	54,559	54,664	54.768	54,873	54,078	55,083	55,187	55,292	55,397
530	55,501	55,606	55,711	55,816	55,920	56,0’5	56,130	56,235	56,339	56,444
540	56,549	56,653	56,758	56,863	56,968	57,072	57,177	57,282	57,386	57,491
550	57,596	57,701	57,805	57,910	58,015	58,119	58,224	58,329	58,434	58,538
560	58,643	58,748	58,852	58,°57	5V62	5\167	59,271	59,376	59,481	59,586
570	59,690	5°,7°5	50,560	60,004	60,10°	60,214	60,319	60,423	60,5^8	60,633
583	60,737	60,842	60,47	61,052	61,156	61,261	61,366	61,470	61,575	61,680
590	61,785	61,889	61,994	62,099	62,204	62,308	62,413	62,518	62,622	62,727
600	62,8321	62,937	63,041	63,146	63,251	63,355	63.460	63,565	63,670	63,774
610	63,879	63Л84	64,688	64,193	64,2С8	64,4СЗ	64,507	64,612	64,717	64.822
620	64,926	65,031	65,136	65,240	65,345	65,450	65.555	65,659	65,764	65,869
660	65,973	66,078	66,183	66,288	66,392	66,497	66.602	66,706	66,811	66,916
640	67,021	67,125	67,2й0	67,335	67,440	67,544	67,649	67,754	67,858	67,963
650	68,068	68,173	68,277	68,382	68,487	68,591	68,696	68,801	68,906	69,010
660	69,115	69,220	69,324	6°,4^9	6°,5з4	69,639	69,743	69,848	69,053	70,038
670	70,162	70,267	70,372	70,476	70,581	70,686	70,791	70,8^5	71,000	71,105
680	71,209	71,314	71,419	71,524	71,628	71,733	71,838	71,942	72,047	72,152
690	72,257	72,351	72,465	72,571	72,676	72,780	72,885	72,990	73,094	73,199
700	73,304	73,409	73,513	73,618	73,723	73,827	73,932	74,037	74,142	74,246
710	74,о51	74,456	74,560	74,665	74,770	74,875	74,979	75,084	75.189	75,293
720	75,dP8	75,503	75,608	75,71 >	75,817	75,922	76,0.7	76,131	76,236	76,341
730	76,445	76,550	76,655	76.760	76,864	76,с69	77,074	77,178	77,283	77,388
740	77,493	77,597	77,702	77,807	77,911	78,016	78,121	78,226	78,ЗаО	78,435
750	78,540	78,645	78,749	78,854	78,959	79,063	79,168	79,273	79,378	79,482
760	7°,587	79,692	79,7?6	79,901	80,006	80,111	80,215	80,320	80,425	80,529
770	80,634	80,739	80,844	80,С48	81,053	81,158	81.263	81,367	81,472	81,577
780	81,681	81,786	81,891	81,996	82,100	82,_05	82,310	82,414	82,519	82,624
790	82,729	82,833	82,938	83,043	83,147	83,252	83,357	83,462	83,566	83,671
800	83,776	83,881	83,985	84,090	84,195	84,299	84,404	84,509	84,614	84,718
810	84,823	84,928	85,032	85,1j7	85,242	85,347	85,451	85,556	85,661	85,765
820	85,870	85,975	86,080	86,184	86,28-1	86,з°4	86,4 )9	86,603	86,708	86,813
830	86,917	87,022	87,127	87,.32	87,Зоб	87,441	87.546	87,650	87,755	87,860
840	87,965	88,069	88,174	88,279	88,38а	88,488	88,593	88,6 8	88,802	88,907
850	89,012	89,117	89,221	89,326	89,431	89.5Q5	89,640	89,745	89,850	89,954
860	90,059	90,164	90,268	90,373	90,478	90,583	90,687	90,792	90,897	91,001
870	91,106	91,211	91,316	91,420	91,5’5	91,630	91,734	91,839	91,944	92,049
880	92,153	92,258	92,36з	92,468	92,572	92,677	92,782	92,886	92,991	93,096
890	93,201	93,305	93,410	93,515	93,619	93,724	93,829	93,934	94,038	94,143
900	94,248	94,352	94,457	94,562	94,667	94,771	94,876	94,с81	95,086	95,190
910	95,295	95,400	95,504	95,609	95,714	95,819	95,923	96,028	96,133	96,237
920	96,342	i 96,447	96.552	96,656	96,761	96,866	96,970	97,075	97,180	97,285
930	97,о89	97,4°4	97,599	97,704	97,808	97,913	98,018	98,122	. 98,227	98,332
940	98,437	98,541	98,646	98,751	98,855	98,960	99,065	99,170	99,274	99,379
950	99,484	99,588	99,693	99,798	99,903	100,01	100,11	100,22	100,32	100,43
960	100,53	1 100,64	100,74	100,85	100,95	101,05	101,16	101,26	101,37	101,47
970	101,58	। 101,68	101,79	101,89	102,00	102,10	102,21	102,31	102,42	102,52
980	102,63	• 102,73	102,83	102,94	103,04	103,15	1 103,25	103,36	103,46	103,57
990	103,67	| 103,78	103,88	103,99	104,09	104,20	| 104,30	104,41	104,51	104,62
Теория движения (кинематика)
319
Если состояние движения тела характеризуется величиной ш
и если на какой-нибудь прямой, параллельной к ш, прибавить две
угловые скорости и —<о1, так что <о1 = <о, то ю и —wj соединяют-
ся в пару угловых скоростей или в пару вращения. Пара
вращения представляет собою две равновеликие, противоположно
направленные угловые скорости, находящиеся на параллельных
осях (фиг. 77).	__
Пара вращения с угловыми скоростями = ю и <о2 = —ш
(фиг. 78) и с расстоянием b между обеими угловыми скоростями
определяет параллелограм пло-
щадью &<о, которая остается
постоянной величиной даже
при допустимом перенесении
угловых скоростей по линиям
направления. Скорость произ-
вольной точки О в плоскости
пары вращения в направле-
нии, перпендикулярном к плос-
кости этой пары, равняется v = фиг- 77-	фиг. 78-
= by ю1 -|- Ь2 ^2 — b (а = посто-
янной. Отсюда следует, что пара вращения равнозначна
скорости прямолинейного сдвижения, напра-
вленного перпендикулярно к плоскости пары
вращения, величина которой равняется площади
параллелограма такой пары.
Далее, нз фиг. 77 следует: при параллельном пере-
несении угловой скорости со на расстояние b пер-
пендикулярно к ю появляется добавочная ско-
рость сдвижения, перпендикулярная к плоско-
сти сдвига и равная по величине b и.
Все здесь изложенное аналогично параллельному перенесению
силы Р. Момент М, равный Ра, появляющийся при перенесении
силы Р, соответствует скорости сдвижения v, появляющейся при
параллельном перенесении скорости. (Подробнее при аналогии см.
п. 3 стр. 320.) Как в случае угловой скорости ш, так и силы Р
имеем дело со скользящими векторами. В этом и заключается ана-
логия между обеими.
Ускорение точки Р п р и вращении вокруг непо-
движной точки О следует из скорости
— cP г dv г—1 . г—1	~~
ренцированием по времени а = — = -77 — Le d + ^],гдее ——
Ни	UI
означает вектор углового ускорения.
Часть ап = [ю v] = [ш [иэ г] ] всего ускорения а дает центростреми-
тельное ускорение, направленное от точки Р до перпендикуляру к мгно-
320 Т. Т. Отд. 2. Механика. I. Механика Твердых тел
венной оси вращения и имеющее величину wfib, если b равно расстоянию точки Р
от оси вращения.
В случае, когда ось вращения постоянна, "е совладает по напра-
влению с и [е г] и означает тогда касательную составляющую ускорения точки Р.
В общем случае сферического дв и^ж ен и я ось вращения изменяет
постоянно свое положение в пространстве. Тогда е и ш имеют различные направле-
ния. ИногДа оказывается выгодным разложить е на две составляющие: по на-
правлению мгновенной оси вращения и еа, перпендикулярно к ней:
[е7] = [-61 71 + [ё2;].
3.	Общий случай движения твердых тел. Аналогия ме-
жду статикой и кинематикой твердого тела. Сложением
сдвижения (см. выше) и вращения (см. выше) полу-
чается общее движение твердого тела. Движение
тела в данный момент определяется скоростью сдвижения vQ про-
извольной точки О и скоростью вращения ш вокруг оси, прохо-
дящей через точку О. Точка Р в расстоянии г от О имеет мгно-
венную скорость (фиг. 79)
=?0+ [шг],
“у	twr] есть скорость точки Р относительно
вследствие чего можно написать:
>	'° Vp-=v0+~vp отнО или =vz+vpo.
фиг- 79-	В виду наличия трех степеней свободы
сдвижения и трех степеней свободы вра-
щения тело имеет в пространстве шесть степеней сво-
боды.
Если для исследования мгновенного состояния движения твер-
дого тела взята другая начальная точка О' (фиг. 79), то ее скорость
определяется при помощи первой начальной точки v0'=v0 -|- [w д].
Вычитанием обоих векторных уравнений получаем
Vp=f0' + [»('•—&)] = t'o'+
иными словами: при переходе к другой начальной
точке мгновенная угловая скорость ш не меняется;
меняется лишь скорость сдвижения v0.
Если твердое тело имеет одновременно несколько угловых ско-
ростей <о9..., направления которых не пересекаются (лежат в
разных плоскостях), то их можно соединить в одну путем выбора
произвольной точки О, в которую параллельно переносятся^ угло-
вые скорости. Геометрическим сложением угловых скоростей, про-
ходящих через точку О, находится равнодействующая
угловая скорость
со — СО] -1— си2 Ц-	.
Теория движения (кинематика)
321
Вследствие параллельного перенесения каждой данной угловой
скорости ш,- в точку О прибавляется скорость сдвижения (см. п. 2,
стр. 319). Равнодействующую скорость сдвижения находим из
V —	4" ^2 4" ^3 +' • •
Мгновенное состояние движения для точки О, как исходной
точки, определяется равнодействующей скоростью сдвижения v и
равнодействующей угловой скоростью ш. Все сказанное выше ана-
логично сложению сил Pt действующих на твердое тело (стр. 271).
Подобно тому как система сил приводится к равнодействующей
силе /? =	_|_р2+Р3+• • •» .проходящей через принятую за
исходную точку О и к равнодействующему вектору моментов
М = Afi + М2 + 7И3-|- ..., так и общее состояние движения тела
характеризуется равнодействующей угловой скоростью ш, прохо-
дящей через данную исходную точку О, и равнодействующей
скоростью сдвижения v.
Этим вполне выявляется аналогичность между систе-
мой сил, действующих на твердое тело, и его
общим состоянием движения. Мы можем сделать следу-
ющее сопоставление:
в системе сил
в состоянии движения
сила Р _
момент М
пара сил
угловая скорость о>
скорость сдвижения v
пара вращения
Здесь сила и угловая ско-
рость суть скользящие век-
торы, в то время как мо-
мент и скорость сдвижения
относятся к совершенно
свободным векторам. В этой
аналогии заключается связь
между кинематикой и статикой твердого тела. Пользуясь ею,
можно любую задачу кинематики свести на соответствующую
задачу статики.
Впрочем аналогия эта только формальная. Придавать ей более
глубокое значение нельзя, так как действительное состояние дви-
жения тела под воздействием системы сил вообще будет иным по
сравнению с тем, которое соответствует формальной аналогии.
Соответственно тому, как общая система сил приводится к
силовому винту (сосредоточенной силе и к паре сил) (стр. 272),
можно определенным подбором исходной точки мгновенное состо-
яние движения привести к винтовому движению, т. е. к
вращению вокруг оси с одновременным сдвиже-
нием по направлению этой оси. Это превращение происходит
таким же образом, как и при силовой системе, нужно только
принять во внимание указанную выше аналогию.
1. Пример. Сложение двух параллельных скоростей вра-
щения Wj и ш2 (фиг. 80).
Соответственно сложению параллельных сил (стр. 269), получаем равнодейству-
ющее вращение	_	~	_
41) = ID, -j-	,
ЗЙ Т. 1- ОТД- Механика. I. Механика твердых тел
действующие параллельно и>( и и в той же плоскостИуКак ш1 и в огноситель*
ном расстоянии = w,/wt
flj = а •	+ шя)>	а, = а •	+ ша)-
Если uJi и <о, параллельны, но по знаку противоположны, то вышеприведен-
ные формулы все же остаются в силе. Абсолютное значение равнодействующей
угловой скорости ш равняется разности данных двух угловых скоростей: ш==ш1 — ша,
причем эта равнодействующая лежит вне площади, ограниченной шх и ш8, на сто-
роне той из них, абсолютная величина которой больше (фиг. 81)
ах = а •	— ш2),
ая = а • cojfwj — <Oj)
При нескольких параллельных угловых
<ох, ш3 . . . лучше всего определить в плоскости х,
У,
направлению угловых, скоростей,
координаты Ич точек пересечений
с этой плоскостью (хх _у(, х.^у*,
х у, ... ). равнодействующая
угловая скорость
перпендикулярной к
имеет тогда координаты
Фиг. 81.
Здесь w есть алгебраи-
ческая сумма угловых скоро-
стей wv ша, ш.. причем каж-
дая из этих скоростей берется с ее
знаком.
2. Пример. Сложение
двух вращательных ско-
ростей ц>| и ш8, если они
Фиг. 82.
Равнодействующая угловая скорость ш8 =	+ ш9, проходит через общую
точку пересечения и ш,.
Шариковый подпятник (фиг. 82). При вращении цапфы с угловой
скоростью си, шарики должны катиться как по цапфе, так и по опорному кольцу.
В этом случае должна быть составлена из вращения шариков с угловой ско-
ростью <D| и из вращения цапфы относительно шариков с угловой скоростью ша.
Поэтому три оси /—II и III должны пересекаться в одной точке. Три угло-
вые скорости ш8, ша и ш8 по величине таковы, что <d3 равняется диагонали паралле-
лограма, построенного на шх и
3. Пример. Сложение двух вращательных скоростей
<i>i и ц>„ не лежащих^ в_о дной плоскости (фиг. 83а и 83b).
Оси Д| и Д8 [ угол (ш1( ш«) = «] лежат в разных плоскостях; крат^йшее рас-
стояние между ними равняется а; [фиг. 83а дает перспективное изображение,
фиг. ЯЗЬ—всиомогател! ную фигу, у. соответственно силовому многоугольнику в плос-
кости. перпендикулярной а|. В этом случае происходит винтовое движение
около оси Дг, перпендикулярной к а. Направление оси А(, величина вектора вращения
равнодействующей угловой скорости ш следует из векторов вращения ш1 и и
определяется при помощи треугольника угловых скоростей, по которому
О) iDj-f-ш, и ш = Кш,1	2 о», a) cos а *
Теория движения (кинематика)
323
Положение Ао и величина скорости сдвижения v находятся разложением
ш, и ш. перпендикулярно и параллельно к св; перпендикулярные к св составляющие
ш/ и ш/ образуют пару вращения; следовательно, скорость сдвижения будет:
,	-	lB,Wg
v — а св/ = а = а--------------- sin л,
IB
и имеет указанное стрелкой направление; обе
другие составляющие ш/' и со/7 дают два вра-
щения в одном и том же направлении вокруг
параллельных осей; следовательно, расстояние
AtA0 = ак= а • ш377/св = а • ша(ш,	св, cos а)/ш2,
расстояние
АаА0 —а2=а» ш/7|ш = а • ш,(<в, ш2 COS а)/св2.
св и v вместе дают винтовое движение.
Если представить себе вместо ш, и <в2 силы
Р, и Ра, то вместо св получим R, а вместо v по-
лучим Л4, изображающие равнодействующую
силу и равнодействующий момент силового
винта {равнозначащий силоьому кресту Р, и
Ра (стр. 272)].
4. Пример. Сложение вращател
нательной скоростью v, перпе
(фиг. 84).
Проводим через ш плоскость а перпендикулярно к v и заменяем v равнодей-
ствующей парой вращения сва в плоскости а, причем св = св, = — ш,, так что
ш, и ш8 взаимно уничтожаются. Остается, таким образом, в плоскости, перпендику-
лярной к v, одна угловая скорость св,, параллельная шив расстоя-
нии а = св.
Таким образом, угловую скорость ш и
перпендикулярно к ней направленную
поступательную скорость v легко пре-
вратить в простую угловую скорость.
Из скорости точки Р произвольно движущегося
твердого тела Vp=v0 + [wr] находится ускорение ди-
ференцированием по времени:
ьной скоростям с посту-
!ндикулярной к первой
Фиг. 84.
dv0
Здесь обозначаютускорение начальной
пательное ускорение), а [е г] +
точки О (посту-
-dr
ш--
dt
ускорение точ-
киРотносительно О (ускорение вращения); таким
324	Т. 1. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
образом, можно написать, подобно тому как это делалось для ско-
ростей (стр. 320):
аР — ао Н" аР отн. О ИЛИ &р ~ аО Н" аРО*
Слагающую [е г] можно разложить, как при сферическом дви-
жении (стр. 320).
с) Относительное движение
1. Относительное движение при поступательном пере-
носном движении. Если тело С принадлежит системе тела Вив
этой системе перемещается, то можно изучать движение тела С по
отношению к теду В независимо от того, находится ли само тело В
в движении или оно неподвижно. В таком случае говорят об
относительных перемещениях, относительных ско-
ростях и относительных ускорениях в движении
тела С по отношению к телу В (фиг. 85).
Если система В неподвижна, то все параметры относительного
движения тела С являются вместе с тем и параметрами абсо-
лютного движения его. Если же система В имеет свое
движение по отношению к неподвижному пространству А, то тело С
получит кроме относительного еще второе движение вместе с
телом В, или так называемое переносное движение.
Обозначим через полную скорость поступательного движения
тела В и соответственно через:
Vp — полную скорость точки ^.принадлежащей телу С,
bvp— относительную скорость той же точки по отношению
к телу В,
аь — ускорение тела В.
ар и ъар—полное и относительное ускорения точки Р.
Тогда получим:
»/> = +;>*>•
аР = аЬ + ЬаР •
Пример. Время качания маятника длиною I при малой амплитуде в поме-
щении, находящемся относительно земли в покое, будет равно Т = 2п ^llg, причем
ускорение притяжения земли. Это время качания не изменяется, если маятник
находится в системе, совершающей относительно земли прямолинейное движение
с постоянной скоростью, так как ускорение движущегося тела равняется нулю.
Ускорение Или замедление движущегося поезда также не окажет влияния на время
качания, так как это ускорение направлено горизонтально. Время качания в
лифте, спускающемся вниз с ускорением а, будет Т = 2л Vl[(g — а), так как
ускорение точки относительно лифта будет ^ас = g — а.	•
Соответственно этому время качания маятника в лифте, поднимающемся
вверх с известным ускорением, равняется Т — 2л	так как ускорение
точки относительно лифта будет в этом случае ^ас = g-{-а.
2. Относительное движение при произвольном переносном
движении. В тех случаях, когда тело В (фиг. 85) имеет произвола
Теория движения (кинематика)
325
ное движение, каждая точка его может получить скорость, отличную
от скоростей других точек и по величине и по направлению. Для
нахождения переносной скорости берут на теле В точку (хотя бы
она реально и не существовала), мгновенно совпадающую с точкой Р,
и определяют ее скорость.
рость ее — через vp1. Тогда
писать:
Назовем эту точку через Р', а ско-
можно на-
.	<&Л

Характер этого выражения остался
тот же, что и в 1-м случае.
Выражение абсолютного ускорения
при произвольном переносном движении	Фиг. 85.
изменяется. В этом случае полное уско-
рение течки Р складывается уже из трех составляющих—п еренос-
ног о, относительного и поворотного, или доба-
вочного, называемого также ускорением Кориолиса. Обозначим
последнее через а . В таком случае получим:
где
ар — аР' + ьаР~\~
причем здесь ш— угловая скорость переносного движения.
Ускорение Кориолиса представляет собою
удвоенное векторное произведение угловой ско-
рости ш тела и относительной с к о р о с т и bVp. При
ш = 0, т. е. при поступательном переносном движении, ускорение
Кориолиса исчезает, и мы имеем дело с 1-м случаем.
Для прямоугольной, координатной системы с составляющими
угловой скорости Шр о)2, <о3 и с составляющими относительной
скорости (vz)lf (vr)2, (vr)3 получаем составляющие ускорения
Кориолиса:
(Л*)1 = 2 • К • (»г)з — “з • (tQd
(вл)г= 2' [“з' (vr)i — Ш1 ’ (^з!
(л*)з = 2 • [о», • (vr)2 —
Ускорение движущегося тела vps определяется для случая чистого
вращения (сферическое движение) тела по стр. 320, а для случая
общего движения — по стр. 323.
Для определения направления вектора Кориолисова ускорения пользуются следую-
щим правилом: вектор относительной скорости проектируется
на плоскость, перпендикулярную оси вращения перенос-
ного движения, и полученная проекция поворачивается
н а £0° в сторону переносного движения, после чего она
показывает направление Кориолисова ускорения *),
См*. например, Н. Жуковский, Аналитическая механика*
326
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Пример. Свободное падение у поверхности земли.
Если пренебречь вращением земли, то на материальную точку будет
действовать только ускорение притяжения g, направленного к центру земли.
Принимая во внимание вращение земли, нужно иметь в
виду, что свободное падение точки Р происходит на
s' ।	. движущемся теле (земля), угловая скорость которого
/ I q	2 тс 1
I_____Ш “ 24.60^60* сёк? *
1	~ с Г
\	В какой-нибудь точке земной поверхности на географиче-
\	(	7 ской широте ср имеет место ускорение движущегося тела
।	|пр| | = А* ш2 cos ср, направленное перпендикулярно к земной
оси (фиг. 86). К этому прибавляется абсолютное ускорение
материальной точки при свободном падении, зависящее от
действующей на нее силы земного притяжения. Она на-
Фиг. 8С. правлена к центру земли и равняется ускорению силы тяже-
сти ар = £. Ускорение Кориолиса = 2 [о> ^vp] предста-
вляется по фиг. 86 вектором, перпендикулярным к чертежу с направлением вперед
(на запад):
[дА] = 2u>.d^p.cos ф.
Относительное ускорение	наблюдаемое ria земле, будет
ар — ар? — o-k. Оно имеет составляющую /?<o2cos с? sin ср, направленную
к югу (южное отклонение), и составляющую 2 со ^vp cos ср, направленную на восток
(восточное отклонение). Южное отклонение при падении, продолжающемся
10 сек. (высота падения — g& = 490,5 м):
р
R ш2 — cos ср sin ср = 1,69 cos ср sin ср [лс].
Для расчета восточного отклонения можно в выражении соответствующего уско-
рения со значительной точностью принять, = gt, тогда получим двойным
интегрированием по времени восточное отклонение:
Р
—cos ф.
О
Для t = 10 сек. получим
0,238 cos ф в м.
d) Плоское движение
1.	Определение плоского движения твердого тела. При
плоском движении пути всех точек твердого тела параллельны
плоскости, находящейся в покое. Движение вполне определено,
если известно движение какой-нибудь плоскости, прочно связанной
с телом, относительно плоскости, неподвижной в пространстве.
Первая плоскость S представляет в этом случае тело, находящееся
в движении, вторая L — пространство, находящееся в покое.
Если точки Л, В, С,... в их различных положениях за опре-
деленный промежуток времени будут спроектированы на плоскость,
находящуюся в покое, то на ней получатся,т р а е кт о р и и точек
а, ₽» 7, .если проектировать системы кривых Л, /, т, ... в их
разных положениях на неподвижную плоскость, то эти проекции
обертываются обертывающими траекториями х, X, ц, .,,
(фиг. 87),
Теория движения (кинематика)
327
Положение тела определено, если известно положение двух
точек А и В. Из начального положения Л, В можно получить
конечное положение Л', В' сначала параллельным сдвигом до A'Bt
таким образом, чтобы точка А пришла в конечное положение,
потом вращением около точки А' до положения А'В' (фиг. 88).
Можно, однако, одним вращением
вокруг полюса О привести тело из на-
чального в конечное положение; этот полюс
лежит на пересечении перпендикуляров из
середин линий Да' и ВВ'. Сказанное отно-
сится как к бесконечно малому, так и к конеч-
ному перемещению. Каждое движение в плос-
кости можно рассматривать, как состоящее
из целого ряда бесконечно малых передвиже-
ний, и каждый раз рассматривать это движе-
ние, как вращение вокруг соответствующего
полюса (мгновенный центр вращения).
Так как центр мгновенного вращения непрерывно меняет свое
положение, то геометрическое место его в неподвижной плоскости
получается в виде кривой линии—н еподвижной центроиды,
или неподвижной полоиды (полодии). Называют ее также
неподвижным центроидом (в мужеском роде). В то же
самое время в подвижной плоскости получается другое геометри-
ческое место центров мгновенного вращения—подвижная полои-
да (полодия, центроида, серполоида). Обе полоиды,
подвижная и неподвижная, являются сопряженными. Они катаются
друг по другу без скольжения, и в точке касания их лежит центр
мгновенного вращения отрезка АВ. Таким образом, движение этого
отрезка может быть представлено как результат катания полоид
друг по другу.
Если полюс во время движения остается в покое, то мы имеем дело с простым
вращательным движением с неподвижной осью и, если полюс удаляется в бесконеч-
ность, то мы имеем дело с простым параллельным передвижением.
Нормали к траекториям точек и обертывающих кривых про-
ходят через соответственный полюс О (фиг. 87).
Если мы заставим плоскость S оставаться в по-
кое и будем двигать плоскость £ по плоскости 5
таким образом, чтобы относительное движение между
5 и Е оставалось не нарушенным, то мы получим
так называемое обращенное движение. Система точек
А, В, С на плоскости £ описывает в этом случае
траектории, * но которые обыкновенно имеют дру-
гой характер, чем траектории в первом случае.
Системы кривых а, £, 7 в £ скользят по непо-
движным точкам А, В, С; эти точки являются обертывающими кри-
вых. Для системы кривых х, X, р. кривые k, I, т служат оберты-
вающими траекториями. Находившаяся в покое кривая полюса
превращается в подвижный полюсный путь и т. д.
Фиг. 88.
328
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
В этой геометрической зависимости ничего не изменяется, если
плоскости Е и S находятся в движении, но, конечно, под тем
условием, что катание подвижной полоиды по неподвижной в относи-
тельном их движении друг по другу сохраняется, причем в обращен-
ном движении будет иметь место уже катание неподвижной поло-
иды по подвижной, которая по
условию удерживается в покое.
Фиг. 90.
Пример. Задача Кардана
(фиг. 89). Одна плоскость движется
таким образом по другой, что две
точки А и В движущейся плоскости
скользят по двум в точке А4 пересе-
кающимся и лежащим в неподвижной
плоскости прямым аир.
Полюс О: пересечение перпен-
дикуляров к а и Р из точек А и В.
Подвижная полоида. Круг
р через А, В и М.
Неподвижная полоида.
Круг те с радиусом, равным диаметру
р, и с центром Af.
Траектории точек. Для
всех точек, лежащих на кривой р, путь
есть диаметр неподвижной полоиды
(круга) те, проходящий через данную
точку; для всех остальных точек —
эллипсы, для центра круга р — окруж-
ности с центром /И.
Обращенное движение
(фиг. 90): одна плоскость перемещается
по другой таким образом, что две пря-
мые аир, образующие друг с другом
неизменный угол, непрерывно скользят
по двум точкам А и В неподвижной
плоскости.
Полюс О: точка пересечения
перпендикуляров из А и В к линиям
аир. Подвижная полоида—к р у г те.
Неподвижная полоида — круг р.
Траектории точек —кривые Пас-
каля, в частности точки, лежащие
на подвижной полоиде, описывают
кардиоиды с точкой воз-
врата (острие); точки, лежащие вне
подвижной полоиды, описывают тра-
ектории с изолированной
точкой, а точки, лежащие внутри
поде.ижной полоиды, описывают тра-
ектории с петлей.
2.	Скорость при плоском движении. При помощи мгновенного
полюса О (полюс скорости) можно рассматривать движение как
мгновенное вращение вокруг точки О. Скорости v отдельных точекР
представляют собою перпендикуляры к радиусу ОР = г\ их вели-
чина v = ш г, причем <о означает мгновенную угловую скорость.
Если мы применим формулу скорости точки, принадлежащей телу,
совершающему произвольное движение в пространстве (стр. 320),
к движению в плоскости, то получим скорость v какой-нибудь
Теория движения (кинематика)
329
точки В в виде геометрической суммы скорости произвольной
начальной точки А и скорости вращения вокруг этой же точки
vB = vA -j- AvB. Отно&тельная скорость В по отношению к А
направлена перпендикулярно к В А и равна ВЛ-w. Если мы за
начальную точку А возьмем полюс О, то получим vA = 0, и тогда
остается vB = pv
Конечные точки скоростей vt построенных на отдельных точках
системы, образуют систему точек, подобную точкам плоскости; эта
система сдвинута по отношению к первой на угол ср, если tg ? = ш.
Если из какой-нибудь произвольной точки О плоскости нанести
скорости по их направлению и величине, то конечные точки
векторов скоростей образуют систему точек, подобную точкам
плоскости. Это построение дает так называемый план скоростей.
3.	Ускорение при плоском движении. Как при скорости, так
и здесь ускорение ав точки В, принадлежащей подвижной плоскости,
можно рассматривать как геометрическую сумму из ускорения аА
произвольной начальной точки А и относительного ускорения Аав
точки В относительно точки А, а именно: ав = аА + Аав. Это разложе-
ние ускорения ав соответствует разложению (стр. 323) при движении
твердого тела в пространстве. Ввиду того что расстояние точек В и Л
не изменяется, выражение Аар дает нам ускорение вращения, ко-
торое совершается точкой В относительно Л.
Вращательное ускорение Аав можно разложить на нормаль-
—	av2b
ное ускорение Апв величиною Ап в = д&- = АВ • ш2, напра-
вленное от В к Л, и на касательное ускорениеAtв величиною
AtB = AB*^^ =АВ-е, направленное перпендикулярно к ВЛ.
Ускорение
лдв= ЛВ‘	е2.
Отсюда ускорение точки В:
аВ== аА + Аа В = а А 4"Д/гВ + A * В*
По стр. 32С мгновенная величина угловой скорости для любь1х
направлений системы одна и та же. Вращательное ускорение Аав
составляет с прямой ВЛ угол ф, где tg<p = AtB • Апв= e/v-.
Конечные точки ускорений а, нанесенных от соответственных точек
системы, образуют систему точек, подобную точкам плоскости (Бур-
330
Т. I. Отд. 2. Механика. Т. Механика твердых тел
местер, 1878). Если от какой-нибудь произвольной точки О плос-
кости будут отложены ускорения точек системы, то конечные точки
ускорений образуют с и с т е м у точек, пробную точкам движу-
щейся плоскости. Это построение дает план ускорений
плоского движения.
Подобно тому как формуле скорости vB = vA -f- Av в (стр. 329)
Соответствует формула ускорения ав= аА Аа так и полюсу
(полюсу скорости) О соответствует полюс ускорения О2» который
в данное мгновение не обладает ускорением. (Подробности о планах
скоростей и ускорений см. ниже в „Прикладной механике**.)
Точки двигающейся плоскости, находящиеся в данное мгнове-
ние на точках перегиба W их путей, лежат на круге, так называе-
мом круге перегиба, проходящем через полюс скорости О±
и полюс ускорения О2; диаметр этого круга перпендикулярен к не-
подвижной полоиде (фиг. 91). Через полюс перегиба Q проходят
скорости vBtt и ускорения ав всех точек В круга перегиба Q
можно еще найти, как пересечение скорости Vq полюса ускоре-
ния О2 с ускорением ар полюса скорости
Круг перегиба представляет собою геометрическое место
точек плоскости, не имеющей нормального ускорения. Геометри-
ческим местом точек плоскости без касательных ускорений является
кру^ круг перемены, вполне определенный обоими полюсами
и О2 и точкой Т; точка Тнаходится как пересечение прямой QO2
с прямой О}7\ перпендикулярной к QOV Ускорение а0 полюса Ог
будет
а0 = d* о)2 е • е
(фиг. 91) (ю — угловая скорость, е — угловое ускорение) ]).
’) Подробнее и применения см. Виттенбауэр, Графическая динамика,
Верлиц, 1923. Юлиус Шпрингер,
Теория движения (кинематика)
331
Представим себе, что какая-нибудь точка проходит полюсный
путь, причем она всегда совпадает с мгновенным полюсом; ее ско-
рость и называется ско-
ростью перемены полю-
са; она равняется
и = d ш.
Центр кривизны тра-
ектории точки Р можно
найти при помощи круга
перегиба (Грюблер, 1834)
(фиг. 92). Для построе-
ния необходимо иметь
только точку перегиба
W на С\Р', а не весь
круг перегиба.
Центр кривизны К
кривой траектории точ-
ки Р находится на соеди-
няющей прямой POi точ-
ки Р и полюса Точку
пересечения этой прямой
с кругом перегиба обо-
значим через W. Для радиуса кривизны р = /СР получим тогда
следующее значение:
р = r^PW.
Построение р по этой формуле показано на фиг. 92 пунктиром:
через точки Р и проводят произвольно направленные прямые,
пересекающиеся в точке D. Через О{ проводят прямую, парал-
лельную DW; эта прямая пересекает PD в точке Е. Параллельная
к DOi через Е пересекает О^Р в центре кривизны К.
При помощи центра кривизны К и радиуса кривизны кривой
пути можно разложить ускорение ар точки Р на нормальное уско-
рение an—Vp2/p = <о2. г2/р по направлению к центру кривизны и на
касательное ускорение
dvp
a‘~~dF
по направлению касательной к пути (стр. 329).
Если известны центры кривизны и путей двух точек А и В, то можно
найти круг перегиба к и касательную пол»6са (Бобилльер, 1870) (фиг. 93). Точка
пересечения АКХ и ВК9 дает нам полюс скорости ОР Через точку пересечения G
прямых АВ и проводим соединяющую прямую GO,, кроме того, через Ot
прямую ОХН параллельно KXK*G и через Н прямую, параллельную к GOt. Последняя
пересекает прямые AOt и Виг в точках круга перегиба и IF,. Три точки О>
VT,, U7, определяют круг перегиба. Прямые в точках и перпендикулярные
332
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
к АО, и В0о пересекаются в полюсе перегиба Q. Прямая, перпендикуляр-
ная к O,Q в точке Ог, дает касательную полюса t. Отметим, что GO, А = BOjA
Этот закон применим для нахождения для каждой точки С соответствующий ей
центр кривизны А'3 пути. Для этого мы строим CO,t = 3 от АО, к О G' и находим
точку пересечения G' прямых ОХО' и С А. Соединительная прямая G'JK, пере-
секает СО, в К3. Доказательство см. Витгенбауэр, „Графическая динамика".
Применение кинематики плоскости см. отдел „Прикладная
механика".
Е. Динамика
а) Динамика материальной точки
Примечание. На стр. 251 дано объяснение понятия материальной точки и
основное уравнение динамики:
—	_ d v d5s
P = ma = m-^- = m—dT1- .
Основное уравнение динамики дает зависимость между кинематикой (глава D) и
динамикой: если известно ускорение а материальной точки, то умножением его на
массу т получается сила Р и, наобор'от, если известна сила, действующая на мате-
риальную точку, то делением на массу т получаем ускорение. Сила и ускорение
материальной точки представляют собою векторы одинакового направления.
1. Прямолинейное движение. На стр. 305 рассматривалось
прямолинейное движение материальной точки, независимо от при-
чины, т. е. силы, вызвавшей это движение. Силу Р мы получаем
умножением ускорения а на массу т материальной точки (см. выше).
При прямолинейном движении векторы скорости и ускорения,
а следовательно, и вектор силы, совпадают с прямой, по которой
происходит движение материальной точки. Если сила Р рав-
няется нулю, то материальная точка находится либо в покое
либо в постоянном прямолинейном движении с одинаковой ско-
ростью, так как ускорение также равняется нулю. Если сила
постоянна по величине и по направлению, то мы
имеем дело с равномерно-ускоренным или замедленным движе-
нием. Если начальная скорость равна нулю или совпадает с напра-
влением силы, то движение будет прямолинейным, равно-
мерно-ускоренным или же замедленным; например, падение
в безвоздушном пространстве (стр. 307). Силой в этом случае, по
величине и направлению, является притяжение земли, т. е. вес
материальной точки.
1. Пример. Свободное падение при наличии сопроти-
вления воздуха. Кроме веса G, действует сопротивление воздуха направ-
ленное противоположно движению, следовательно, вертикально вверх,и возрастаю-
щее пропорционально квадрату скорости (Ньютон); таким образом W = G {Z>lvQ)\
причем Vo есть скорость в конце падения.
Основное уравнение динамики гласит:

Динамика
333
/	£	ии л\
I ДЛЯ v — Vq будет = о }
ЙЛН
dv Vq* — V1
а~ dt ~g' Vo* ‘
Отсюда получаем высоту падения в зависимости от скорости:
v	v	v
С .. Г v v* Г d (v*) _ yj . Ур*
J V J a d 2g J Vq* — v-	2g v0*—v*
0	0	0
или наоборот; 
И время падения:
Л	Л
/ав Г *L = _L f dh = in (/*'*«*
J V V°J	e
0	0
Скорость в конце падения у$ получаем из опытов над моделями, и она соответ-
ствует формуле:
с=ел.у Л
g 2
где т — удельный вес воздуха (нормально 1 м3 воздуха равен 1,293 кг)л £ —уско-
рение падающего тела, F — максимальная площадь тела, перпендикулярная к напра-
влению движения, и с — коэфициент, найденный из опытов над моделями и зави-
сящий от формы тела (см. „Механика жидких и газообразных тел“, стр. 49J и
след.).
2. Пример. Прямолинейное гармоническое колебание.
Если -материальная точка притягивается пропорционально ее расстоянию к центру
притяжения и если начальная скорость совпадает с прямой, соединяющей точку
с центром притяжения, то точка эта будет совершать прямолинейное гармоническое
колебание относительно центра притяжения. Примем центр притяжения за нулевую
точку и обозначим пройденный за время t путь через х, тогда основное динамиче-
ское уравнение примет вид:
С называется напряжением поля, т. е. это есть сила, необходимая для от-
клонения материальной точки на 1 см\ размерность с = кг\см\ l/с называется
емкостью; пример: пружина с грузом, совершающим колебания около поло-
жения равновесия. При Vс!т = о> (частота колебания) решение диферен-
циального уравнения дает
х = A sin о> /у В cos id t,
постоянные А и В зависят от пределов интегрирования, например, если для
1 — 0 начальная скорость была v0, то
f О .	,
х — — sin u) t.
ш
Максимальное • отклонение, здесь р0/ш, называется амплитудою. Время пол-
ного колебания Т = 2 к/ии = 2 к У т\с , следовательно, не зависит от амплитуды-
Число колебаний в секунду
ns = 1 /7" = in/2 к.
Теория гармонических колебаний играет в машино*
строении большую роль, вследствие чего этот род движения раз*
бирается особо в отделе ^Техническая физика" (стр. 539 И след.).
334
Т. I. Отд. 2. Механика. Т. Механика твердых тел
8. Пример. Движение по наклонной плоскости без тре-
ния (фиг. с4)« Действие подставки (наклонной плоскости) может выражаться
только силой /V, перпендикулярной к этой плоскости Мы имеем дело с двумя
силами: весом О, направленным вертикально вниз, и нормальной реакцией N. пер-
пендикулярной к наклонной плоскости. Ввиду того что движение происходит
по направлению наклонной плоскости, обе нормальные
v	к наклонной плоскости составляющие должны взаимно уни-
чтожаться, т. е.
\ /	N = Pn = О cos а.
Причиной движения останется составляющая силы G, на-
правленная параллельно плоскости: Р{ = G sin а. Эта сила
вызывает прямолинейное движение матери-
------------------ альной точки с постоянным ускорением а = g sin а.
Движение по наклонной плоскости,
Фиг. 94. принимая во внимание трение. Коэфи.Аиент
трения (стр. 411) между скользящим телом и наклонной
плоскостью обозначим через р; на тело в этом случае действует еще сила тре-
ния Г = р 7V в направлении, противоположном движению; по направлению движе-
ния остается сила
G sin а — р N = G (sin а — р cos а)
с ускорением
а — g (sin а — р cos а).
2. Криволинейное движение. На стр. 311 рассматривалось кри-
волинейное движение точки. Из ускорения умножением на массу т
получим необходимую для движения силу Р как по направлению,
так и по величине.
Так как при криволинейном движении точки появляется центро-
стремительное ускорение:
где г — радиус кривизны траектории точки, то, как следствие из
1-го закона Ньютона, должна появиться инерционная сила, противо-
действующая этому ускорению^ Это — центробежная сила.
Она равна и прямо противоположна центростремительной
силе:
Р = та„ = т — = /и ш2 г.
п г
Чаще всего материальная точка при криволинейном движении
принуждается кривизной направляющей (кулисса, рельс) сойти
с прямолинейного направления, или у твердого тела одна точка
принуждается к криволинейному движению вследствие сцепления
ее с другими точками тела. В этих случаях внешней силой
является центростремительная, а центробежная сила должна рас-
сматриваться как реакция на действие центростремительной
силы.
Например, железнодорожный вагон (как материальная точка) испытывает на
себе влияние силы, направленной к центру кривизны пути, т. е. влияние иентро-
стремительной силы: его колеса прилегают к наружным рельсам. Колеса производят
на наружные рельсы в свою очередь давление той же силы, но противоположного
направления (центробежная сила).
Динамика
335
Слово центробежная сила имеет и второе значение.
Мы можем сравнивать криволинейное движение материальной
точки с простой задачей равновесия; к действующим силам, ко-
нечно не находящимся в равновесии, так как они вызывают криво-
линейное движение, присоединим еще новую силу, которая находи-
лась бы в равновесии с действующими. В случае материальной
точки, проходяш< й по кривой с постоянной скоростью, эта до-
бавочная сила будет равна и противоположна центростремительной
силе.
В противоположность вышеупомянутой центробежной силе
в данном случае нужно представить себе добавочную силу, дей-
ствующую непосредственно на материальную точку. Эта центро-
бежная сила является первым примером вспомогательной
силы Даламбера (стр. 342).
1.	Пример. Подъем наружного железнодорожного рельса
на закруглении (фиг. Р5). Для того чтобы на закруглениях вагон своими
колесами не прилегал к наружным рельсам, т. е. для того
чтобы он мог воспринять действие центростремительной	.
силы, не опрокидываясь, наружные рельсы приподнима-
ют я на высоту Л; ота высота рассчитывается из условия,
чтобы равнодействующая ве^а О и центробежной силы	t л
С=т^1Г(Г—радиус кривизны рельс), обе действующие
в центре тяжести S, совпадали с осью симметрии ваго- |	у
на 5 0: для того чтобы равнодействующую равномерно Т_____1___J
распределить на оба колеса Р, наружной рельс при-	J
поднимают на величину Л. Имеем: tg а—С/G. Для *-------" Г	2 А
малых значений h можно писать tg а —	(5 — расстоя-	t	9
ние между рельсами), тогда получим:	г
h/s = CjQ = v-frg или k = v^sfrg.	Фиг. 95.
Пусть, например, дано:
v = 15 м/сек г — 500 м.
В СССР нормальная ширина колеи между внутренними гранями головок
рельс равна 1524 мм, но при закруглениях она изменяется, так что при г =5 X) мм
она должна быть взята в размере 15d4 ми. Принимая далее g = 9,81 м/сек?, найдем:
Л = 0,0705 м.
2.	Пример. Эллиптически-гармоническое движение, на
стр. 312 показано, что ускорение проекции движущейся точки получается парал-
лельным проектированием ускорения точки (закон проекции); для получение вели-
чины силы, действующей на материальную точку и вызывающей движение, можно
применить этот закон, если масса при проектировании остается неизменной. При
эллиптически-гармоническом движении (стр. 3’2) ускорение, а следовательно, и
сила всегда направлены к центру эллипса О' (фиг. 73). Ее величина
Р = — т ш8 rf.
По закону независимости движений можно при
наличии нескольких сил, одновременно действующих на материаль-
ную точку, рассматривать движение под влиянием отдельных сил
и сложением получить действительное движение; при этом силы
складываются геометричес и, как и скорости и ускорения. В част-
ности, можно действительное движение материальной точки проекти-
ровать на оси прямоугольной координатной системы х, у, z.
Основное уравнение динамики пишется тогда не в векторах, а в ко-
ординатах:
336
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
dv* (fix
X = та = т -— = т-^,
х at dfi
v	dvy (Ру
Y~may = m~dt==md^’
_	dvz	d*Z
Z = ma. — m = m -j-r.
z at	dt-
3.	Пример. Движение тела, брошенного под углом без
сопротивления воздуха (фиг. Р6). Ввиду действия только одной
силы Z — —G, из У = О и (z/y)o = O следует, что это движение происходит все
время в плоскости хг\ из X =< 0 следует, что горизонтальная проекция скорости
сохраняет все время одно и то же значение и именно (vQ)x .
dvz
Из Z = — G — т ----следует, что движение материальной точки в верти-
dt
кальной проекции соответствует свободному падению. Движение брошен-
ного тела составляется, таким образом, из движения свобод-
ного падения по вертикали и горизонтального движения
с постоянной скоростью.
Движение брошенного тела можно вывести интегрированием векторного урав-
— dv _	—	__	_
нения	, где g есть ускорение силы тяжести, v = v0 gt, причем постоян-
ная интеграла vQ означает начальную скорость.
j =	4- g (фиг. 96).
(1)
(2)
Уравнения (1) и (2) суть уравнения параболы с параметром t. Исключением t полу-
чаем уравнение параболы:
г = х tg а — -—~—=— х\
2 г0’ cos’ а
Дальность полета: 5 = sin 2	т. е- максимальное значение для
а -- 45°.
Продолжительность полета: t = wlvc cos « = 2 vQ sin alg.
Высота полета: h = sin’ a «^//2 g.
4.	Пример. Простой маятник (математический маятник) (фиг. 97).
При малом отклонении обе силы, действующие на материальную точку
(вес G и натяжение нити У), расходятся на бесконечно малый угол е; поэтому
вплоть до членов высшего порядка F всегда равняется G; сила, заставляющая точку
возвращаться в положение равновесия,
Р =*—	- Gjl»x = — сх.
Из этого видно, что сила Р пропорциональна амплитуде х и всегда направлена
« положению равновесия (х = 0)» Согласно, стр. 333 маятник производит при малых
Динамика
337
амплитудах гармонические колебания с частотой Vс\т = Уg/l ,
что соответствует полному времени колебания
Т=2кУт/с =2к
При больших отклонениях (фиг. целесообразно исходить из
принципа живой силы (стр. 338) и сравнить положение наиболь-пего отклонения а
с произвольном положением «. Положению а .оогветствует кинетическая энергия,
равная нулю (так как скорость в этом месте равняется нулю), и максимальная
потенциальная энергия, ибо тело в этом положении занимает самое высокое поло-
жение. Сравнение с положением ср (скорость v) дает
1-	mv- = mg! (cos ср— cos а),.........(1)
причем
t dw
v = I-----
dt
Нормальное ускорение равно ап = ~ = I ~dij ’ следозательно,
нормальная сила равна ml • ®на является равнодействующей напря-
жения нити F и составляющей веса по направлению нити. Таким образом и а-
пряжение н и т и F= G cos ср	• Касательное ускорение
dv ,	~
равно а/ =	= — I ——, и касательная сила равна G sin <р. Основ-
ное динамическое уравнение движения
материальной точки в касательном на-
правлении будет
d5?
I -T7Z- -= — g sin ср....(2)
Для малых отклонений
можно вме то s п сс писать гг. мы по-
лучаем тогда при / е = г диференци-
альное уравнение гармонического ко-
лебания :
(Гх _ g
dt'-	I
Фиг.
Для больших отклонений получаем из второго уравнения одно-
кратным интегрированием по времени:
/ ср 2 g z
= —р-(cos т — cos а).
Вторичным интегрированием получаем время
а
/~ ~i	С dw
t — | / -— I ---- — (эллиптический интеграл),
I/ 2g J /cos cd— cos a
r	<p
необходимое материальной точке для пробега расстояния между 'ср и ч в одном или
другом направлении.
Разложением интеграла в ряд можно найти продолжительность
одного простого качания, т. е. время между двумя последовательными
прохождениями через положение покоя:
Т = « Vilg [1 + (i): sin’ («/2) + (} • 1)‘ sin4 («/2) +• • • j.
338
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
При а<8’с достаточной точностью (до 1°/00)
т = я V//g,
т. е. независимо от величины отклонения.
Длина секундного маятника
Для g = 9,81 м\сек*
I = 0,994 м.
Если материальная точка вынуждена совершать движение по
определенной поверхности, уравнение которой f(x,y, z) = О, причем
движение точек происходит без трения, то найти диференциаль-
ное уравнение движения точки можно исключением X из трех
уравнений:
(Px	df (Py
m d& X dx’ m df- ~
v . df	(Pz	df
У —X-f-; m~^ =
dy	dt2	dz
где JV, У, Z суть составляющие данной внешней силы и
if,
dx
составляющие нормального
ную точку. Величина этого
df .df_
ду ’ dz ’
давления W поверхности на материаль-
нормального давления
Фиг. 99.
5. Пример. Шаровой маятник (фиг. 99). Ма-
териальная точка подвешена на невесомом стержне (или
нити) длиною /, могущем произвольно вращаться у точки
подвеса Л, так что точка может двигаться по поверхности
шара с центром А и радиусом I (2 степени свободы). Одним
из возможных движений шарового маятника является кони-
ческое движение, при котором стержень I движется по по-
верхности конуса вокруг вертикальной оси АА с углом у
вершины 2 а. Условие этого движения следует из равновесия
между натяжением нити Z5 * 7, воображаемой центробежной
силой С и весом:
С = fnv*lr = F sin а;
v2/Z sin а = g tg a;
Q = F cos а;
V* = gl sin* a/cos a,
время одного оборота	_____
T = 2 rit/z? == 2 п У cos a ijg .
3.	Закон живых сил. Из основного уравнения динамики Р=ш
следует умножением на элемент пути ds (см. „Векторный анализ*,
стр. 174)	_
к • dv	- — .	, — .	, (mv2\
Р • ds	• ds = mdv • v —	= d ...............G)
P-d&~- работа силы P на пути ds\ в координатах:
Р. ds = Р • ds • cos (Pds) = Xdx -j- Ydy + Zdz.
Дийамика
339
mv2/2— кинетическая энергия материальной точки, ее
живая сила, работоспособность.
Уравнение (1) выражает закон живых сил: работа силы
равняется приращению кинетической энергии
материальной точки.
Интегрированием в определенных пределах отрезка кривой
пути получаем:
j*P ds = mv-ft — mv02/2 = E — Eo.
Если возможно определить силу из потенциала П (х у z)t так что
р=-д-£.
ds
то закон живых сил выражается:
— П 4“ 770 = Е — Eq
или
t	77-|- Е= /70+ Eq = const;
т. е. сумма потенциальной энергии П и кинетиче-
ской энергии Е всегда остается постоянной.
4.	Импульс силы. Количество движения. Так как
J*р. dt= т - v................. (1)
о
Левая часть этого уравнения носит название импульса
силы, а правая — количества движения.
В том случае, когда сила Р прикладывается к телу на ходу
при наличии у тела уже скорости v0, получим:
t
j*p. dt= m(v—v0)................(2)
0
Выражения (1) и (2) показывают, что импульс силы ра-
вен количеству движения или изменению количества
движения за данный интервал времени.
Практически этими выражениями удобно пользоваться тогда,
когда сила дана в функции времени.
5.	Закон площадей для материальной точки. Из основного
—	d (mv)	.
уравнения динамики Р=—следует умножением внешним об-
разом (векторное произведение) на какой-либо произвольно через
точку О проведенный радиус-вектор г (фиг. 100)
f5.71 _ faOM 7] _ [d(mv) -1 Г - drl _ d Г - -1
lP d-L-s_’r_rL“rf/~ 4+Lmv"di\-Tt[mv’r\-
340
Т. I Отд. 2. Механика, t. Механика твердых тел
Прибавление выражения mv • -^j=[mv-v] допустимо, так как
это векторное произведение равняется нулю. (Оба вектора произ-
ведения mv и v имеют одинаковое направление; см. „Вектор-
ный анализ", стр. 174.) [Рг] есть статический момент
силы Р относительно точки О (стр. 252). [mv г]—тоже стати-
ческий момент количества движения mv относи-
тельно той же точки О; этот момент называется еще импуль-
сом вращения В. Закон площадей гласит:
[Р. г] = [mv • г] или М = -~,.................(1)
Фиг. 100.
словами: момент силы, приложенной
к материальной точке относитель-
но произвольной точки, равняется
изменению по времени (т. е. произ-
водной по времени) импульса вра-
щения В для той же точки, ч
В координатной системе, проходящей через
точку О, как через начало, получаем:
[р7] =
iXx
j у у
k Z z
d(mv)
iaxx
kazz
Yz — Zy = m  (ay  z —аг -у)
Zx— Xz = m- (аг -x—ax • z)
Xy — Yx = m- (ax -y —ay • x)
(2)
ax, ayt az суть составляющие ускорения	по направлению
осей х, yt z.
Каждое из этих трех уравнений выражает закон площадей для
одной (из трех) осей координатной системы, например Yz— Zy
дает проекцию вектора моментов на ось х, иначе говоря, момент
силы Р относительно оси х (стр. 253); соответственно
т (ау • z — аг-у)
производную по времени составляющей х импульса вращения;
вместо составляющей х импульса вращения можно сказать: импульс
вращения для оси х или момент количества движения т v относи-
тельно оси х. Для какой-нибудь произвольной оси получим закон
площадей из уравнения (1) проектированием на ось в следующем
виде:
Динамика
341
М' =
dB'
dt'
.................................(3)
причем ЛГ означает момент Р и В' — момент mv относительно оси.
Если эта ось будет превращена в ось х-ов, то получим вместо
уравнения (3) первое уравнение из вышеприведенных трех урав-
нений (2).
В особом случае, если сила Р, действующая на материальную
точку, является центральной силой (например сила упру-
гости, сила тяготения), статический момент силы исчезает для
центра тяжести О, как начальной точки; в этом случае импульс
вращения В должен оставаться постоянным-:
= 0; В = [tn v • г] = const.
Вследствие того что v = —, получаем \rdr\ = const dt\ это
обозначает, что площадь треугольника, построенного на г и dr
(на фиг. 101 обозначено штриховкой), для одного и того же эле-
мента времени dt постоянна и независима от по-
ложения точки на ее пути. Этот результат мож-	<7/,^
но выразить следующим образом: радиус-
вектор г из центра притяжения к	/ъуо
материальной точке покрывает в	/	лг
одинаковые времена одинаковые
площади (2-й закон Кеплера). Из этого	'
особого случая вытекает наименование „закон	4
площадей".	Фиг. 101.
(Ь) Динамика системы материальных точек
Под системой материальных точек, или материальной
системой, понимается в механике такое тело, которое в противо-
положность твердому может претерпевать изменения формы. Мате-
риальная система состоит часто из частей, представляющих в от-
дельности твердые тела, находящиеся в движении одно относительно
другого, например: паровоз и его колеса и части парораспределе-
ния, пароход и его машина и т. д. Человек, рассматриваемый
с точки зрения динамики, представляет собою тоже материальную
систему. Нашу планетную систему можно рассматривать как мате-
риальную систему, в которой солнце и планеты в отдельности
представляют материальные точки. Твердое тело предста-
вляет особый частный случай материальной системы, не подвергаю-
щейся изменению формы. Общие законы движения материальной
системы применяются, главным образом, к твердому телу. При мате-
риальной системе особенно важно различие между наружными и
внутренними силами. Например, в планетной системе все силы
342
Т. I. Отд. 2. Механика. 1. Механика твердых тел
притяжения между отдельными планетами и солнцем представляют
собою внутренние силы. Если же будет рассматриваться
система, состоящая из земли и луны в отдельности, то сила при-
тяжения между землей и луной, действующая как на землю, так и
на луну, является внутренней силой, а притяжения солнца и других
планет являются для системы земля--луна внешними силами. На-
пряжения упругого тела являются внутренними силами.
В паровозе внутренними силами являются: давление пара, давление
между шатуном и кривошипом и т. д.; внешними силами
являются: вес паровоза, давление рельс, сопротивление трения
рельс, сопротивление воздуха и т. д.
1.	Принцип Даламбера. Первый пример вспомогательной силы
Даламбера был дан в виде воображаемой центробежной силы
(стр. 335), приложенной к материальной точке с целью свести за-
дачу динамики на соответствующую задачу статики. В общем для
материальной точки следует из основного уравнения динамики:
- d2~r
р-т-^=°'
что прибавлениехМ воображаемой силы
— сРг
Q = -mdt!
к реально существующим силам, равнодействующая которых есть Р,
приводит к P-\-Q = 0. Другими словами, существует равно-
весие между действительной силой Р и воображаемой Q, которая
называется вспомогательной силой Даламбера, или
силой инерции.
В случае материальной системы с произвольным
движением рассуждают точно так же. Если внешнюю силу или
в случае нескольких внешних сил их равнодействующую, при-
ложенную в какой-нибудь точке системы, назвать Р и если вну-
тренние силы, поскольку они действуют на ту же точку, соединить
в £ F, то для каждой точки системы действительно основное урав-
нение:	_
= W............................(1)
Если к действительно существующим силам Р+Е/7 прибавим
тт \	d-r
вспомогательную силу Даламбера Q= — т , то получим равно-
весие в каждой точке
P + 2P'+Q = 0......................(2)
Следовательно, и вся материальная система будет в равновесии
В приведении задачи динамики к задаче статики заключается сущ-
Динамика
343
ность принципа Даламбера. Если распространить уравнение (2) на
все точки, то получим:
Е F-J-EE F+Е (2 = О...................(3)
В двойной сумме всех внутренних сил ЕЕ F последние входят
по закону действия и противодействия попарно, следовательно,
ЕЕ F =0.......................(4)
таким образом остается
Х(Р+0) = 0.......................(5)
Сумма эта распространяется па все точки материальной системы,
однако уравнение (5) еще не представляет собою достаточного усло-
вия равновесия. Ввиду того что равновесие имеет место, если
каждая точка системы находится в равновесии, то можно написать
условие равновесия, например, в виде принципа виртуальных пере-
мещений (стр. 280)
Е(Р+0)5Г = О...................(6)
или в координатах
(*--£)*»-*  -<7)
Величина Bs с составляющими ox, о_у, oz
представляет собою произвольное виртуаль-
ное перемещение соответствующей матери-
альной точки. Уравнения (6) и (7) действитель-
ны, пока виртуальные перемещения не
вызывают работы внутренних сил, т. е. если
ЕЕ F • 6 7 = 0........(8)
Это действительно, например, для случая,
когда перемещения 65 происходят без изме-
нения формы материальной системы. Прин-
цип Даламбера применим для расчета прочности тел, находя-
щихся в движении.
Пример. Физический маятник (фиг. 102). На материальную точ-
ку mi действуют следующие силы: вес m^g и напряжение соседних точек; последние
по принципу Даламбера исчезают как внутренние силы. Кроме этих реальных сил,
представим себе вспомогательную силу Даламбера Q/ = — Ш/
эта сила имеет
нормальную составляющую (центробежную силу)
dP
и касательную силу
I Q| = mr/(^-)’
344
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Знак минус следует из того, что всегда отрицательно. Кроме этих сил, дей-
ствующих на отдельные материальные точки, имеется еще сила сопротивления
опоры, приложенная к оси вращения; давление опоры неизвестно ни по величине
ни по направлению. Все эти сил.я должны находиться в равновесии, i авнодействую-
щая ft всех отдельных сил тяжести проходит через центр тяжести S. Для оси вра-
щения А в качестве оси моментов следует
LQy rz = ft1s-sin <р
или при	(момент инерции относительно оси вращения) имеем:
J-^- = - fts-sin?	(1)
(диференциальное уравнение физического маятника).
Уравнение (1) превращается в диференциал» ное уравнение математического
маятника (стр. 336) при v — I, ft = ш? и J — о /•; следовательно, мы имеем воз-
можность физический маятник обратись в математическим той же продолжитель-
ности колебания; приведенная длина маятника: 1прив. = J\ms. Точка
на прямой, соединяющей точку опоры А и центр тяжести 5 в расстоянии lnpU9t
off точки опоры, называется центром качания маятника; прямая, про-
веденная через эту точку параллел но оси вращения, называется осью качания.
Если ось опоры и ось качания будут взаимно заменены, то время качания не
изменяется.
Силу, действующую в точке А можно получить по величине и направлению
при помощи нижеприведенного у, а-нения равновесия, вытекающего из соображе-
ния, что геометрическая сумма в^ел сил, включая силу инерции, равняется нулю*
Например, в нулевом положении (<р = 0) по уравнению (1) будет ^-=0,
и, следовательно, Q' = 0. Остаются только центробежные силы = mi	riкак
единственные вспомогательные силы Даламбера: ’
(стр. 285); по закону живых сил (стр. 338) для ср = 0
v7("J/0=fe(1-cos^
если а означает наибольшее отклонение, получаем | с| = 2/и (1 — cos а) • fts2/J =
= 2ft (1 — cos а) • I* (/ — радиус инерции (стр. 2 4); следовательно, давление опоры
А = ft+ C = R [1 4-(1 - cos а).Г|Г],
оно совпадает с перпендикуляром, проходящим через ось вращения.
Другие примеры применения принципа Даламбера помещены в отделе «При-
кладная механика".
2.	Законы центра тяжести. Из определения центра тяжести
(как центра массы) стр. 285 имеем:
ms = Е miri
диференцированием по времени получаем:
dT	dr,	_	„	—
= ^mi или т vo = S mi vi.....................(•)
Динамика
345
(v0 есть скорость центра тяжести); словами: количество дви-
жения, или импульс материальной системы,
ра вняетс я к о л ичеств у движения центра тяжести
mv0, в котором сосредоточена вся масса материаль-
ной системы (первый закон центра тяжести).
В координатах получаем вместо уравнения (1)
т (vo)* = 2 mi (vi)x • т W)y = l"i (Vi)y, m (к0)г = £m, (v()z.
Диференцированием уравнения (1) по времени получает основной
закон центра тяжести
dv0 dv.
Ввиду того что двойная сумма внутренних сил LE/7/=0 (закон
действия и противодействия), получаем:
= «.................(2)
словами: движение центра тяжести происходит так,
как если бы в нем была сосредоточена вся масса
системы и к нему были отнесены параллельно са-
мим себе все внешние силы Р.,соединенныеводну
равнодействующую /? = Е(второй или основной закон
центра тяжести, принцип движения центра тяжести).
На основании этого закона динамика материальной точки может
быть значительно расширена, так как движение центра тяжести
материальной системы также можно свести на движение материаль-
ной точки.
Пара сил может вызвать только вращение вокруг центра
тяжести. Ввиду того что всякую произвольную систему сил, дей-
ствующую на материальную систему, всегда можно представить
одной равнодействующей силой /?, приложенной в центре тяжести,
и одним равнодействующим моментом М (см. „Статика", стр. 271),
всякое движение материальной системы сводится по закону центра
тяжести к движению центра тяжести, зависящему от /?, и к вра-
щению вокруг центра тяжести, зависящему от М.
Примеры. Взрывающаяся граната. Если не принимать в расчет
сопротивление воздуха, то движение центра тяжести гранаты до и после взрыва
происходит по параболе; взрыв гранаты не оказывает влияния на движение центра
тЛкести, так как сила взрыва является только внутренней силой. Граната, бывшая
до взрыва твердым телом, превращается после взрыва в систему материальных
точек.
Противовесы на ведущих колесах паровоза необходимы
по закону центра тяжести для того, чтобы избегнуть во время движения машины
смещения центра тяжести относительно рамы.
346
£. i. отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
В координатах закон движения центра тяжести
по уравнению (2) выражается так:
d(v0)v
отт=ЕГ-=У:
причем X, У,Z являются составляющими равнодействующей /?=£ Pz.
На этом основании закон движения центра тяжести остается в силе
для любого направления движения, нужно только силы и ускоре-
ние центра тяжести проектировать в том же направлении (напри-
мер ось х-ов).
Пример. Отдача пушки при выстреле. Вес ядра G = mg; скорость
ядра при выстреле относительно орудия в горизонтальном направлении равна v.
Вес орудия = mxg. Какова скорость отдачи орудия vj Орудие и ядро образуют
материальную систему во время и после выстрела. Основной закон движения центра
тяжести длЙ горизонтали, в которой происходит движение орудия, гласит, что при
отсутствии горизонтально направленных внешних сил, тормозящих обратное дви-
жение, центр тяжести материальной системы остается в покое. Из первого закона
центра тяжести следует rni^i = m(v — vY). Величина v — vx дает абсолютную
величину скорости ядра по горизонтали. Следовательно,
vx = vm\(m 4- znj = vGI(G + GJ.
Если мы напишем закон движения центра тяжести следующим
образом:	_	_
d(mv0) dS „
~dt~ = ~dt=R.................  -(3)
где S = /nv0 = £ mitut обозначает количество движения или импульс
материальной системы, то закон центра тяжести выражается как
аакон количества движения. Словами: изменение во вре-
мени, т. е. производная количества движения ма-
териальной системы, равно равнодействующей
внешнихсил.
3.	Закон площадей системы материальных точек. Закон
площадей для отдельной материальной точки (стр. 340) гласит:
А—= -Jt(фиг’ 103)'
/ —
X в материальной системе к внешней силе Pz,
/	действующей на материальную точку, прибавляются
Фиг. 103. внутренние силы:
A i.. 7J = [ Pt • 7,] + [(L Ft) • 7t] .
Суммированием выражений для всех отдельных точек системы
получаем закон площадей материальной системы в следующей форме:
=EAf, = ^...............(1)
По закону действия и противодействия внутренние силы исче-
зают и В = £ \tni vi • г J дает .количество вращения ма-
Динамика
347
термальной системы* относительно произвольно взятой
точки О, как начальной точки.
Закон площадей можно выразить следующими словами: произ-
водная по времени количества вращения мате-
риальной системы относительно произвольной
точки равняется сумме статических моментов
внешних сил для той же точки, как полюса моментов.
Закон площадей и закон импульса соответствуют один другому.
В координатах вместо векторного уравнения (1) имеем:
dBx	dBv	dB
-^ = £(М{)у = Му-
где
Вх = 'Lmi(yvt — 2vy),-; Ву = (zvx — xv2\, Bz = (Xvy —yvx)t.
Эти три уравнения выражают закон площадей для осей х, у и z\
например Мх представляет сумму всех моментов сил относительно
оси х и Вх количества вращения относительно оси х, т. е. сумму
статических моментов количеств движения всех точек материальной
системы относительно оси х. Для какой-нибудь произвольной оси
закон площадей можно выразить тем же способом, как и для коор-
динатной оси. Достаточно соответственную ось избрать осью х-ов
прямоугольной системы координат. Если величину количества вра-
щения для соответствующей оси обозначим через В\ а 'сумму
моментов сил — через М', то получим:
Количество вращения для твердого тела, вра-
щающегося вокруг неподвижной в пространстве оси с угловой
скоростью id, по отношению этой оси будет В = таким обра-
зом закон площадей переходит в основное уравнение
динамики для вращения твердого тела вокруг постоянной оси:
г d(Ji
J dt~M-
Между этим основным уравнением для вращения твердого тела
«	dv н
и основным уравнением динамики материальной точки т — = Р
существует аналогия. Масса точки т соответствует моменту инер-
ции J, скорость точки v — угловой скорости тела ш, сила Р—мо-
менту Л4.
Пример. Система материальных точек, находившаяся вначале в покое, и на
которую не действуют внешние силы, может вращаться вокруг некоторой оси
в том смысле, что часть материальной системы с моментом инерции вращается
вокруг оси с угловой скоростью тогда остальная часть с моментом инерции Л
должна вращаться вокруг той же оси в обратном направлении с угловой
348
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
скоростью <оа; эта скорость рассчитывается на основании закона площадей, так
как вследствие отсутствия внешних сил количество вращения всей материальной
системы должно все время равняться нулю:
J,	= О
или
Л
~ Л Ш1’
например, вращение воздушного шара в одном направлении, если
пассажиры двигаются в корзине в обратном направлении
Сюда же относится случай падения к о ш к и, которая, как известно,
всегда падает на ноги. Хотя здесь действует наружная сила — вес кошки, — но эта
сила сама по себе не в состоянии в.^звать поворота. Перекручивая переднюю
и заднюю часть своего тела при вытягивании и втягивании лап для изменения
момента инерции, кошка может повернуться вокруг своей оси. Хвост помогает
этому, действуя наподобие руля.
Закон площадей можно демонстрировать на человеке, находящемся на легко
вращающемся диске (вращающаяся скамейка Ирандтля). Если чело-
век вращает палку горизонтально над своей головой в одном направлении, то он
сам вращается в обратном направлении.
Еслй центр тяжести системы материальных точек остается
в покое (следовательно, по закону центра тяжести внешние силы
отсутствуют), количество вращения не зависит от выбора началь-
ной точки. Доказательство (фиг. 104):

Фиг. 104.
В = Е [тДД],
В'=S [т Д Д J = S [ 'fit vs  Д + t)] =
= E [«ДД] = B,
так как 12	• b] = [(Е	• J] = 0.
Уравновешивание движущихся масс судовых
машин (по Шлику). Кривошипы отдельных цилиндров много-
цилиндровой судовой машины располагаются один относительно
другого таким образом, чтобы, во-первых, при работе машины центр
тяжести движущихся частей оставался по отношению к судну
в покое (закон центра тяжести) и, во-вторых, чтобы количество
вращения движущихся масс относительно произвольной точки (вы-
бор этой точки согласно вышесказанному безразличен) равнялся бы
нулю. Если оба эти условия соблюдены, то работающая машина не
производит сотрясения судна 2).
4. Уравнения Лагранжа и принцип Гамильтона. Пусть поло-
жение данной системы (например ряд шарнирно соединенных твер-
дых тел) определяется независимыми частями qb q2 (обобщен-
ные координаты, не связанные между собою какими-нибудь
условиями, например угол поворота кривошипа и т. д.).
’) Подробнее см. A. F б р р 1, Техническая механика, часть 4, Берлин и Лейп-
циг, Б. Г. Тейбнер.
Динамика
349
Имеем для каждой координаты qL уравнение следующей формы*
d / дЕ\ дЕ _р
\ Z*
называемое уравнением Лагранжа.
В этом уравнении Е представляет кинетическую энергию сис-
dqt
темы,	и дает внешнюю силу, отнесенную к коорди-
нате q-> т. е. Eilqi представляет собою работу внешних сил си-
стемы при изменении одной из координат qt на lq^ в то время
как другие координаты остаются неизмененными.
Fi имеет размерность силы, если qi выражает длину. F. имеет
размерность момента, если qt представляет угол и т. д.
Подобно уравнениям Лагранжа, принцип Гамильтона
блужит для вывода уравнения движения системы, обладающей
несколькими степенями свободы. Применение этого принципа,
однако, ограничивается тем случаем, когда внешние силы выводятся
из потенциала П (стр. 283), так что работа внешних сил при вир-
туальном перемещении В qt координаты qt будет
Уравнение Лагранжа в этом случае будет:
д(Е — П)_ d / дЕ \
\ dqt ) ’
Все эти формулы можно выразить в одной формуле:
t
8 J’ (£—/7)Л = 0.
о
Эю уравнение выражает принцип Гамильтона. Словами: вариация
интеграла по времени функции Е—П равняется
нулю,или интеграл по времени функции Е — П при-
нимает для действительно начавшегося движения
крайнее значение по сравнению со всеми другими,
бесконечно близко расположенными движениями,
которые за тот же промежуток времени приводят
систему из данного начального состояния в дан-
ное конечное состояние.
с) Динамика твердого тела
Ввиду того что твердое тело представляет частный случай
системы материальных точек, а именно систему с неизменяемой
350	Т. !• ОТД- 2- Механика. I. Механика твердых тел
формой, для него действительны все законы, которые были в п. b
выведены для системы точек.
1.	Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. На
стр. 347 приводится для случая вращения твердого тела вокруг
неподвижной в пространстве оси динамическое уравнение J—=M.
Если момент вращения М = 0, то происходит вращение с по-
стоянной угловой скоростью. Если М = const, то мы имеем дело
с равномерно-ускоренным или замедленным вращением с ускоре-
d ш Л4
нием вращения — = -j- = const. При этом действительны формулы,
соответствующие прямолинейному равномерно-ускоренному движе-
нию материальной точки (стр. 306).
Кинетическая энергия вращательного движе-
ния есть
Ее величина равна работе момента М, который приводит тело,
находившееся ранее в покое, во вращательное движение с угловой
скоростью ш.
2.	Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки (дви-
жение волчка). Движение твердого тела с одной неподвижной
точкой (сферическое движение) разбиралось с точки зрения чистой
теории движения на стр. 320. Тело, подвешенное таким образом,
имеет три степени свободы вращения. Моменты инерции тела отно-
сительно осей, проходящих через неподвижную точку, даются так
называемым эллипсоидом инерции (стр. 295), центр кото-
рого совпадает с неподвижной точкой тела.
Свободный от сил волчок
Свободный от сил волчок совершает движение, соответствую-
щее движению твердого тела, не находящегося под действием
внешних сил и имеющего некоторое начальное вращение вокруг
неподвижной точки. Вращающееся' тело может поддерживаться
в центре тяжести (например подвесом Кардана), для того чтобы
уничтожить влияние силы тяжести. Если центр тяжести не совпа-
дает с точкой опоры, то вес оказывает влияние на движение. Если
у волчка, имеющего опору в центре тяжести, пренебречь сопроти-
влениями трения, то мы будем иметь случай движения волчка,
свободного от внешних сил. При общем движении твердого тела
(стр. 320), как известно, можно для движения центра тяжести при-
менить законы центра тяжести. Тогда остается только вращательное
движение, которое совершается так, как будто центр тяжести за-
креплен. По закону площадей (стр. 346) количество вращения В по
величине и направлению не изменяется по времени для неподвиж-
ной точки, принятой за начало координат. Количество вращения
по отношению к мгновенной оси вращения (стр. 346) равняется
Динамика
351
где В' есть проекция В на мгновенную ось вращения. Ввиду
того что кинетическая энергия вращательного движения
£ = |Уо>2 должна ^оставаться неизменной, конечная точка вектора
угловой скорости ш, который должен откладываться от неподвиж-
ной точки на мгновенной оси вращения, перемещается по эллип-
соиду инерции (стр. 295). Из Е = | J<n2 = J В' ш = const вытекает,
что произведение В • ш = 2Е = const или что проекция а/ угловой
скорости на неизменное направление количества вращения всегда
должна иметь значение о/ — 2Е/В = const. Из этого следует, что
движение свободного волчка можно представить
как катание эллипсоида инерции по неизменной
плоскости, лежа щей перпендикулярно к В на рас-
стоянии о/ = 2Е[В (движение Poinsot) (фиг. 105). При
катании на эллипсоиде инерции образуется полоида, на пло-
скости— герполоида. Соответственные конуса, которые полу-
чаются соединением точек упомянутых кривых с неподвижной
точкой, называются конусом полоиды и конусом гер по-
лоиды. Если количество вращения В будет определено по отно-
шению к неподвижной точке О для всех осей вращения, проходя-
щих через О при неизменном значении кинетической энергии В,
то конечные точки векторов количеств вращения лежат на эллип-
соиде количества вращения (стр. 295), направления главных осей
которого совпадают с таковыми эллипсоида
Подобно тому, как плоскость, касатель-
ная к эллипсоиду инерции, перпендику-
лярна к вектору количества вращения,
так, обратно, плоскость, касательная
к эллипсоиду количества вращения, бу-
дет перпендикулярна к соответственной
оси вращения (фиг. 105). Вообще говоря,
мгновенная ось вращения и ось коли-
чества вращения не совпадают. Как вид-
но из фиг. 105, они совпадают только по
трем главным осям эллипсоидов инер-
ции и количества вращения; эти три
оси называются поэтому свобод-
ными осями, так как продолжитель-
ное вращение вокруг них возможно без
наличия внешних сил. Из этих трех
осей, однако, только две, соответствующие максимальному и мини-
мальному моментам инерции, устойчив ы, третья ось — не-
устойчива, что можно себе уяснить с помощью движения Poinsot.
Для того чтобы изучить картину движения свобод-
ного волчка во времени, необходимо вернуться к дифе-
ренциальному уравнению закона площадей:
4-»-
инерции (фиг. 105).
Эллипсоид имепцтд
I Эллипсоид
количества врсицекил
।
Фиг. 105.
352
Т. Т. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Если это уравнение отнести к координатной системе, связанной
с главными осями х, у, z ( flt J2, J3— суть моменты инерции по
отношению осей х, у, z) с начальной точкой в О, то получим
векторное уравнение, отнесенное к подвижной системе координат:
-^-=-('“*1..................................................О'
или в координатах с
ш 4-	4"
В = iB± jB2 + kB± =	4*
______А — А
dt “
d^2
^ = ~ТГ
O)2 OJ3
<D3O)i
Уравнения ।
Эйлера J
(2)
d^3
dt
Л— A
A
O)1CO2
Для симметричного волчка, подвешенного в центре
тяжести; получаем, если J3 = моменту инерции для оси симметрии
(= принятой за ось z-ов) и вследствие Jr = J2.
~dT ~ d<»2 ~dF =	J-\ J A — A
л
— 0, т. е. wo = const.
/// * 5
Из симметрии осей эллипсоида инерции (фиг. 105) следует, что
вектор угловой скорости со описывает в качестве конуса полоиды
круглый конус вокруг оси фигуры и, как конус герполоиды,
круглый конус с количеством вращения В в качестве оси. Инте-
грируя последнее уравнение, получаем время оборота конуса непо-
движной в волчке полоиды:
Т = 2 к/о)3 •	— А)-
Время оборота оси фигуры вокруг неподвижного в пространстве
направления количества вращения для симметричного волчка
л = 2г.. -Д- =2п. -	.
|в|	У Л2(Ш12 + ш22) + /32Ша2
В особом случае симметричного волчка, когда J3 = (моменты
инерции равны для всех осей), говорят о шаровом волчке,
у которого всякая ось является главною или свободною.
Динамика
353
Тяжелый волчок
Тяжелый волчок отличается от свободного тем, что он подвер-
гается влиянию внешни* сил, прежде всего веса волчка. Влияние
веса свободного волч .а было уничтожено опорой в центре тяжести.
Если это не имеет места, то вес о азывает
влияние на движение волчка. Важен слу- —------j""*
чай тяжелого симметричного f	j
волчка с точкой опоры на оси симмет- <	]
рии (фиг. 106, вместо волчка здесь начер-
чена толь о его ось симметрии).
Ввиду того, что центр тяжести S на
ходится на расстоянии 5 от опорной точ-
ки О,, закон площадей для точ. и О в ка-
честве начальной точки выражается так:
dB -
~dt=M...............(1)
причем _____
| М | = Qs sin Я.
Направление М перпендикулярно к оси симметрии. Количество
вращения В при быстро вращающихся волчках (см. ниже) прибли-
женно совпадает с осью симметрии. Его величина B = где/—
момент инерции волчка по отношению его оси симметрии, ш — угло-
вая скорость волчка. Изменение количества вращения dB согласно
уравнению (1) перпендикулярно к В, следовательно, изменяет только
направление В, но не величину. По фиг. 106
| dB | = | В | sm Я d ср = | М | dt = Qs sin Я dt
или
•	= — (независимо от И!).
dt |В| /со
rfcp
Чем больше угловая скорость волчка со, тем меньше тем
с/ср
точнее совпадение количества вращения с осью фигуры. дает
угловую скорость регулярной прецессии тяжелого симметричного
волчка. ОА (фиг. 10b) является осью прецессионного движения.
Продолжительность прецессии
t = 2 к	— 2 к * Ju/Qs.
Земля также производит подобное движение. Вследствие сжатия земли все
силы тяготения, вызванные солнцем и действующие на отдельные части земли^
354
•Г. 1. Отд. 2. Механика. 1. Механика твердых тел
можно заменить одной силой, проходящей через центр земли, и сравните пьно
небольшим моментом. Этот момент является причиной прецессии земли.
В действительности количество вращения В тяжелого волчка
не совпадает точно с осью фигуры, так как, кроме вращения вокруг
оси фигуры, совершается также и движение прецессии вокруг оси
прецессии. Поэтому движение волчка
[Я	только приближается к регулярной
прецессии, а фактически к ней при-
бавляется еще движение, называемое
iнутацией. Она тем меньше, чем
\\ больше угловая скорость волчка. При
/	/	постепенном торможении движения
___________________jy y (например игрушечный волчок, вра-
____________________щающийся с постепенным замедле-
нием) нутация, вначале едва замет-
фиг. 107____________ная> ясно увеличивается. Вследствие
такого нарушения регулярной пре-
цессии нутацией говорят о псевдорегулярной прецес-
сии. Ось фигуры движется не по круговому конусу, а между
двумя круговыми конусами (фиг. 107).
3.	Применение теории волчка. Если какое-либо тело вращается
с постоянной угловой с/оростью ф вокруг произвольной в про-
странстве и в теле неподвижной и несвободной оси, проходящей
через центр тяжести, то вектор количества вращения В (фиг. 108)
не совпадает с. векторохм угловой скорости оз. Для того чтобы имело
место движение вокруг оси АЛ с постоянной угловой скоростью
по закону площадей необходимо, чтобы момент М = величиной
| М | — | В | sin а — | В | io sin а = J ш2 tg i
передавался на твердое тело через его осевую установку.
Для вращения плоского махового кольца (фиг. 109)
необходим момент |Л1| = р.д, который определяется по закону
площадей:
Аг =
dB
dt
= |Bi.
dt dt
Здесь обозначают: J—момент инерции махового кольца, -
dy
его угловую скорость вращения и — угловую скорость, с ко-
торой вращается плоскость кольца маховика.
Корабельный жироскоп Шлика (фиг. 110) состоит
из волчка К (маховик), вращающегося в точках D и Е рамы; эта
рама может вращаться вокруг точек А и С судна АВС. Схематиче-
ский чертеж (фиг. 110) дает разрез судна.
Динамика
355
При боковой качке судна, которая состоит из вращения вокруг
продольной оси судна (проекция этой оси есть точка S), быстро
вращающийся волчок вследствие присущих ему степеней свободы
может производить род прецессионного движения l 2). Торможением
(на практике — масляным тормозом) составляющей этого движения
соответствующей вращению вокруг оси рамы АС, одновременно
тормозится и другая составляющая движения, а именно качка
судна 2).
Боковое отклонение снаряда, вылетающего из
нарезного дула орудия, объясняется тем, что сопротивле-
ние воздуха W обыкновенно не проходит через центр тяжести ядра,
вследствие чего
возникает вращающий момент вокруг его центра
тяжести S; по закону площадей
это вызывает изменение во вре-
мени количества вращения
В — J tn и тем самым отклоне-
ние острия ядра из плоскости
полета (фиг. 111).
Фиг. 110.
Фиг. 111.
Фиг. 112.

В
Компас с волчком представляет собою в существенном
очень быстро вращающийся маховик; его горизонтальная ось укре-
плена на плавниках,.так что ось его может устанавливаться в гори-
зонтальном положении.
Если ось волчка совпадает с плоскостью меридиана (фиг. 112),
то земля вследствие угловой скорости <ле вызывает соответствую-
щий географической широте ср момент /И, величина которого по
закону площадей равна:
l) М. Schnier, Материалы к теории корабельного жироскопа Шлака, Z. d..V.
d. I, 1924, стр. 1224.
2) Подробнее см. A. F б р р 1, Техническая механика, ч. 4 и 6, Лейпциг и Бер*
лин, 1923, 1927, Б. Г. Тейбнер.
356
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
|м| = I—7T- = | В | u>esin tf = J<o <ое siny (фиг. 112).
Здесь обозначают: J—момент инерции и со — угловую скорость волчка.
Ввиду того что Л4 действует в горизонтальной плоскости, он не
вызывает вращения волчка.
Если ось волчка совпадает с направлением восток-запад (фиг. 112),
то вращение земли на географической широте ср вызывает момент 44,
_ закону площадей равный
по
И.'
I
и
|Л4| =
dB
dt
= В = J(jy (ие.
Момент М лежит в плоскости меридиана
направлен перпендикулярно к оси земли,
так что он имеет действующую составляющую
= М cos ср = J ш u)e cos ср,
которая совпадает с радиусом земли (фиг. 113);
она вращает плавающий волчок до совпаде-
ния его оси с меридианом.
частое применение для стабилизации движения
Фиг. 113.
Волчок находит
(однорельсовая дорога, сбрасывание в цель снарядов с аэроплана,
движение аэроплана и т. д. 1).
4. Общее движение твердого тела. С точки зрения теории
движения (стр. 320) самое общее движение твердого тела может
рассматриваться, как сдвижение относительно произвольной началь-
ной точки и вращение вокруг этой точки. Если начальной точкой
будет избран центр тяжести, то движение центра тяжести можно
определить на основании закона центра тяжести (стр. 344); остается
только движение вокруг центра тяжести, которое происходит таким
образом, как будто сам центр тяжести находится в покое; в этом
случае для вращательного движения вокруг центра тяжести можно
применить законы движения волчка.
1. Пример. Центр тяжести падающего обломка скалы движется по
параболе, если не принимать во внимание сопротивление воздуха. Вращение вокруг
центра тяжести происходит, как у свободного волчка (движение,см. Poinsot, стр. 351).
2. Пример. Шар устанавливается на наклонной плоскости и освобождается
без толчка; он катится по плоскости вниз, рассмотрим, при каких условиях про-
изойдет только катание или только скольжение шара. Ко^фи.щент трения при
скольжении р. (стр. 411) известен (фиг. 114). На шар действуют две силы: вес
шара Q, проходящий через центр шара, и давление плоскости, которое разлагается
на нормальную составляющую N* проходящую через центр шара, и на составляю-
0 Подробнее см. у Klein-Sommerfeld, Theorie des Kreisels, Bd. 4
(Anwendungen), Berlin u. Leipzig 1910, Teubner und Gramm el, „Der Kreisel", Braun-
schweig 1920, Vieweg. - Die Mittel zur Verringerung der Schlingerbewegung in Werft-
Reederei-Hafen, 19?8. IX. J hrg. A. F б p p 1, „Technische AIechanik“, Bd. 4 u. 6,
Leipzig u. Berlin, 1923, 1927, Teubner.
Динамика
357
щую трения F. Применение законов центра тяжести к движению центра шара
дает:
N =* Q cos а...................(1)
и
dv
m~^ — Q sIn ® ~	....................(2)
где v означает скорость, параллельную наклонной плоскости. Вращательное движе-
ние может происходить только вокруг оси центра тяжести, направленной перпен-
дикулярно к плоскости чертежа (фиг. 114). Основное уравнение динамики такого
вращательного движения гласит:
где J = тг^ (стр. 304) — осевой момент инерции шара с массой mt а ш —угловая
•скорость шара.
При чистом качении г> = гиои F^ р- N.. По уравнениям (2) и (3) Д1я слу-
чаев качения будет:
или
таким образом
тГ dt
2	, du>
ътг dt
Q sin a — F
rF
F — -y Q sin a;
Это означает, что чистое качение происходит при |х ~ tg «.
Если|л<у-(£а, т. е. при более крутой плоскости или при
меньшем трении, то происходит качение и скольжение
ш а р а.. При [х = 0 произойдет только скольжение шара.
d) Удар твердых тел
При ударе двух твердых тел играет роль только относитель-
ная скорость обоих тел; мы можем поэтому одно из этих тел
рассматривать как бы находящимся в покое и наблюдать
движение только второго ударяющего тела. В момент касания
обоих тел можно к точке соприкосновения провести плоскость,
касательную к обоим телам. Прямая, перпендикулярная к этой плос-
кости и проходящая через точку соприкосновения, называется
линией или нормалью удара. Если линия удара проходит
через центр тяжести обоих тел, то удар называется централь-
ным, в каждом другом случае — в н е ц е н т р е н н ы м ударом.
Удар называется прямым, если тело, производящее удар, нахо-
дится относительно тела, воспринимающего удар, в поступательном
движении по направлению нормали удара; в противном случае удар
называется косы м.
При ударе двух тел нельзя считать тела абсолютно твердыми.
Изменение формы соударяющихся поверхностей настолько важно
для процесса удара, что ’им невозможно пренебречь. При ударе
различаются два периода. П е р в„ы й период начинается касанием
358	т. i. Огд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
обоих тел. В этот период происходит сплющивание касающихся
поверхностей. К концу первого периода сплющивание, следова-
тельно, и сближение, обоих тел достигают максимума; точки прикос-
новения обоих тел имеют одинаковую скорость. Тогда начинается
второй период, во время которого сплющивание исчезает
вполне или только частью. Этот период длится до момента расхож-
дения обоих тел. __
Сила удара Р действует обыкновенно только в продолжен
ние очень короткого времени. Она возрастает во время первого
периода обыкновенно до больших размеров и падает во время
второго периода до нуля. Для процесса движения действителен
закон количества движения (стр. 346), интегрированием которого,
по времени от t до t' для первого или второго периодов удара
или всего времени удара получаем:
V
m^v = m(v' —u)=f Р dt= S....................(1)
t
В сравнении с силами удара на время периода процесса удара
можно пренебречь всеми влитиями других сил, как, например, веса,
т. е. при ударе тела можно рассматривать как совершенно
свободные.
1. Прямой, центральный удар. При прямом, центральном ударе
линия удара проходит через центр тяжести обоих тел, и относи-
тельное движение представляет собою поступательное движение,
параллельное линии удара, например удар двух шаров параллельно
прямой, проходящей через центры. Обозначим через тг и mz массы
обоих тел,^х и v2— их скорости перед началом удара, и — их общая
скорость в момент наибольшего взаимного давления, v/ и v2— ско-
рости к концу удара. Мы получим:
V1 + т2 V2 = (ml + fn2> U = т1 ^/4 m2V2f
И
<Si = т1 (v± — и) = т2 (и — v2); S2 — т{ {и — v/) — т2 (и2' — и).
Частное k = S2/S± называется коэфнциентом удара; его
величина зависит от степени упругости или соответствующей пла-
стичности обоих тел; предельные значения коэфициента удара суть:
k = 0 для совершенно неупругого удара и k = 1 для удара вполне
упругого.
Из полученных соотношений найдем:
k = А = ч—Уу'
Sj — и
ц соответственно
и — и.
Динамика
359
Подстановкой
_ Vi + т2 v2 _
~ т1 + т2 ~ /И1 + /и2
получаем:
k^v2'—v}'
Vi —v2’
Как видно, этот коэфициент не зависит от масс тх и т2.
Общий случай: 0<£<1.
Имеем для скоростей:
а = (mL Vl + ttj2 и2) I (mL + /n2),
t'/ = и — k lyt — v2) m2/(^ 4- m2\ * v2’ = u-\-k	— v2) tnjirn^ + m2),
для изменения количества движения каждого тела:
S =	— vf) = т2 (v2'~ v2) = (1 + k) — v2} ml + m2);
для потери живой силы:
^12—V2 ,
2
Е = тг
от,	= (1 _ А2) . W
J 2	тг -f- m2 2
Вполне н e у н p у г и й удар: k = 0,	v/ = v2' = и.
^ — v.^	(«1 — и)2 (u-vj2
£ “ /и1 + /”а	2	~	~ +nt2 2	’
(Принцип Карно)
Вполне упругий удар: k = 1, Е = 0.
„ / _	“ W2)t/l + 2,zz2^2	_ 2/Л^ — (Wj — tn^V2
-	i	t	^'2-	i----i
/7/1 + m2	4- m2
u = Vl + ^2 V2
ml + ГП2 ’
для /иг = m2 будет v{' = r2, v2' =
для v2 = 0 будет v/ =vt • (m1—m2), v2f = v1 •
Определение коэфициента удара k: имеем № =
где означает высоту, до которой шар отскакивает при падении
с высоты h на горизонтальную_неподвижную плоскость (у2 = 0,
т2 == оо, г/] = Ylgh, vl' = y^ghi). Величина Л2зависит в большой
степени от скорости, с которой происходит удар, т. е. от h. Сред-
ние значения k при vt 2,8 м/сек следующие: для слоновой кости
k — f, для стали и пробки k = J, для стекла k = ||, для дерева k = J.
2. Прямой внецентренный удар. В этом случае ударяющее
тело имеет относительно ударяемого тела опять только поступа-
тельное движение, параллельное линии удара. Линия удара не про-
водит, однако, через центр тяжести рбоих тел,
360
Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Пример. Шар массы	ударяет в рычаг массы со скоростью в расстоя-
нии р от центра тяжести рычага «фиг. 115). Удар вюлне упруг (fr » 1). К концу
первого периода скорость точек касания О обоих тел одинакона и раина и. У ры-
чага движение состоит из сдвижения центра тяжести 5 со скоростью и и враще-
ния рычага со скоростью ш вокруг центра тяжести:
-	и = и0 + U) р.
По закону количества движения имеем:
____________________________________________________vx_________
U = /rii + тг Р1(рг -j- /’) ’
где I VЛт.г означает радиус инерции второго тела относительно центра тяже-
сти. При р = 0 получаем формулу прямого центрального удара (см. 1). Если вве-
дем приведенную массу
т/ = т^Кр* + **)»
то получим
и — т} vtl(mt + т./),
т. е. согласование с прямым центральным ударом. Ввиду того что картина второго
периода удара упругих тел представляет собою, так сказать, зеркальное изображе-
ние первого периода, то при помощи приведенных масс в согласие с соответствую-
щими формулами прямого удара получаем скорости в местах удара:
v/ = (mi —	-p/n,'); v/ = 2mt + т./).
3.	Удар по телу с неподвижною осью вращения (фиг. 116).
Два тела, вращающиеся вокруг параллельных осей И1 и А2, соуда-
ряются с угловыми скоростями (Dj и ю2. Моменты инерции обоих тел
по отношению к осям вращения обозначим через и J2. Формулы
прямого центрального удара применимы здесь, если ввести
—— J fa	/п2 "— *^3/^2"^’	^1 ~~	» v2 2 ш2» ^iz ~~
v2' = a2 <o2z (^1 и m2 — приведенные массы относительно места
удара).
Если необходимо избежать влия- х
ния удара на ось И2, то точка удара
и точка вращения А2 должны распо- л, . ai ,	_______,
лагаться относительно друг друга, 1	а> *
как центр качания и точка подвеса	фиг 11б
физического маятника (стр. 344),
т. е. а2 = JJm2e2, где е2 обозначает расстояние центра тяжести
от оси вращения.
4.	Воащающий удар. На двух валах, расположенных по одной
оси, закреплены два маховика с моментами инерции Jx и J2. В то
время как первый маховик вращается со скоростью шр второй на-
ходится в покое. Оба вала соединены муфтой. Как велика угловая
скорость о/, с которою будут вращаться оба маховика? Подобно
тому как при обыкновенном ударе играет роль закон количества
движения, так при вращающем ударе важен закон площадей
(стр. 346). Вследствие отсутствия внешних сил количество враще-
ния должно оставаться постоянным, т. е. после удара должно быть
тем же, как и до удара:
Л = (Л "F Л)
отсюда следует;
р' —	4- Л)-
Динамика
361
Потеря кинетической энергии при вращающем
ударе:
з Л ш 12 — 2 (А + Л)— 5ш 12 • Л -4/СЛ И- А)-
5.	Расчленение процесса удара. Герц1) первым высказал
важное для рассмотрения всех ударов предположение, что продол-
жительность удара гораздо больше того времени, которое требуется
упругой волне для пробега через ударяющие тела. При большой
скорости звука твердых тел (у стекла и железа около 5000 м сек~\
у дерева 3000 до 4000 м сек~1) это легко можно было ожидать у
небольших тел. Правильность предположения Герца была •под-
тверждена опытами, произведенными Гамбургером 2) и Бергером3).
Кажюе возвращение волны удара связано с вздрагиванием поверх-
ности удара и является, следовательно, нарушением действитель-
ного процесса удара. Вследствие колебаний, испытываемых телами
от ударов, происходит потеря механической энергии, потому что
энергия колебаний не может быть обратно использована, а в конце-
концов переходит в тепловую энергию. Явления колебания поэтому
представляют собою нарушения действительного процесса удара.
При центральном ударе двух шаров или других тел, имеющих во
все стороны приблизительно одинаковые размеры, колебания при
ударе в общем не играют большой роли. На расчленение удара на
действительный процесс удара и на колебательный удар, который
следует рассматривать как нарушение, указал, главным образом, и
Рамзауэр 4).
6.	Сила и продолжительность удара. В данном случае будет
принят во внимание только действительный процесс удара в пред-
положении, что колебательным ударом мы пренебрегаем. Экспери-
ментально этого можно достигнуть концентрацией деформации на
месте удара в соответствующем буфере, вследствие чего сами уда-
ряющие тела могут рассматриваться как твердые. Силу удара при
чисто упругом ударе Герц вывел исследованием на основании за-
кона Гука (Hook) состояния напряжения и деформации в точке сопри-
косновения двух сталкивающихся шаров с радиусами и г2. Он
нашел следующее соотношение между силой удара Р и общим
сжатием х:
Р = с1х/1.........'.........(1)
причем постоянная
= 16_________1________
с‘ 3 V iM+(W-(»i+a5 ’
*) Н е г t z, О соприкосновении твердых упругих т^л Journal f. reine u. ange-
wandte Mathematik, t. 92, 1881; или Gesammelte Werke, т. 1, стр. 155.
•) Hamburger, Dissertation, Breslau, 1885.
•) Berger, Закон протекания силы при ударе. Braunschweig, 1924.
4) Ramsauer, Экспериментальные и теоретические основы упругого и ме-
ханического удара, Annplen ф Hbysik, 30, 1909, стр. 417.
362
Т. I. 01д. 2. Механика. I. Механика твердых тел
При этом и представляют собой сокращения значения
Я = (2/0) (1 — 1/v),
причем 1/v обозначает коэфициент Пуассона, т. е. для железа при-
близительно 0,3, и G — модуль упругости сдвига, т. е. для железа
приблизительно 800 000 кг см~2. Если для упрощения предполо-
жить, что тело массы тх ударяет в тело массы /л2, находящееся
первоначально в покое, со скоростью г/, то Герц находит как меру
для максимального сплющивания
з
но так как согласно уравнению (1) Pmax= х^ах, то вытекает за-
висимость максимального давления удара Р от относительной ско-
рости v\
Лпах =	......................(3)
причем постоянная ^исчисляется следующим образом:
.	( 5 т, У 2
1 \4 mJ 1 ’
Для продолжительности удара Герц получает:
Т = 2,9432	,
v
или, если вставить величину для хпшх, указанную уравнением (2),
Т = k2 / y"v, при k9 = 2,9432 •	-	,
т. е. продолжительность удара уменьшается при возрастающей ско-
рости, но только очень медленно, а именно обратно корню 5-й сте-
пени из скорости удара.
Из литературы о сплющивани, силе удара и продолжительности удара, кроме
приведенных выше, можно указать еще на следующие труды:
Honiger, Применение кинематографии для определения силы удара при
испытании на удар, Z. d. V.d.1,-1912, стр. 1501.
Planck, Наблюдения за динамическим напряжением при растяжении, Z. d.
V.d.I, 1912, сгр. 17. л
S е eh a s е, Экспериментальное определение протекания силы удара и опреде-
ление работы деформации при опытах сплющивания, Mitt. Forschungsarb., VDI, 1915.
Хорошее обозрение дает, книга F. Berger, Закон протекания (хода) силы’
при процессе удара, Braunschweig, 1924, Vieweg.
Механизм
363
II. Прикладная механика
Под редакцией проф. А. П. Малышева
А. Механизм
Обработано проф. Г. Маркс, Мюнхен.
а) Определения
Под механизмом понимают сочетание твердых тел, взаимно
подвижных, так наз. звеньев для целей передачи движений и сил.
В последующем рассмотрены плоские механизмы, движение всех
звеньев которых происходит в плоскости или может быть пред-
ставлено в плоскости. Движение звеньев механизма является при-
нужденным: каждому положению звена соответствует только одно
положение всех остальных звеньев, причем взаимная связь и зависи-
мость всех звеньев во время движения не нарушается и не изменяется.
Звенья механизма соединены парами.
Низшие пары: пара вращения (цапфа и подшипник),
пара поступательная (крейцкопф и направляющие), вин-
товая пара (гайка и винт).
Высшие пары: катящиеся рычаги, ролик и кулак, стержень в
непрерывном касании с дугой, шарик в шариковом подшипнике
Фиг. 3»
Трехкривошипный
механизм
Фиг. 1.
Однокривошип-
ный механизм
Фиг. 2.
Лвухкривошипный
механизм
и пр.; высшие элементарные пары должны быть сведены к низшим
путем добавления звена (стр. 366).
Одно неподвижное (или рассматриваемое в качестве такового)
звено механизма называется стойкой или рамой. Остальные
звенья подвижные. Движение может быть сообщено одному звену
от внешнего источника силы *или нескольким звеньям — каждому
независимое. В случае принужденного движения движение звеньев
вполне определяется в зависимости от заданного движения одного
звена или ряда их. Ради простоты изучения можно принять, что
движение передается от внешнего источника через звенья, соеди-
ненные с неподвижным звеном; эти звенья называются кривошипами
(если они описывают полный круг). В зависимости от числа незави-
симых движений различают одно-, двух-.. и-к р и в о ш и п-
н ы е механизмы (фиг. 1—3).
Все важные в машиностроении механизмы могут быть предста-
влены как кривошипные (по W. Lynen). Это представление не
противоречит требуемой общности происхождения движений,
364
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Ь)	Основной метод построения механизма
Механизм в самой общей форме называется „механизмом свобод-
ной структуры*; сообщаемые ему движения с угловыми скоростями
ш2» шз и т- А- независимы друг от друга. Если все движения
зависят от одного, т. е. <о2 = /(ш1) и т. д., то механизм приведен
через эту связь к механизму с одним кривошипом. Такой механизм
является механизмом „связанной структуры* (или с одной степенью
свободы) (фиг. 4 и
Фиг. 4.
5). В случае механизма связанной структуры
двухкривошипный меха-
низм (фиг. 4) состоит из
двух кривошипов 1 и 3,
двух поводков 2 и 4, тяги 5
и стойки 6; трехкриво-
шипный механизм (фиг. 5)
имеет кривошипы 7, 3
и 5, три поводка 2, 4 и 6,
Фиг. 5.
Механизм в связанном построении
две тяги 7 и 9, одно трех-
поводковое звено 8 и
стойку 10. Число звеньев n-кривошипного механизма с при-
нужденным движением равно 4л— 2 и всегда четное: четное
число звеньев — признак и условие принужденного движения. Для
механизма свободной структуры независимые движения должны быть
рассматриваемы, как замена связывающих тяг (звеньев 7 и 9, фиг. 5).
Если назвать сочетание двух звеньев диадой <фиг. 6), трех
звеньев триадой (фиг. 7), то структура механизма может быть
описана так: двухкривошипный механизм составлен из двух диад,
трехкривошипный из двух диад и одной триады; четырехкриво-
шипный— из 2 диад и 2 триад, л-кривошипный— из 2 диад и
п — 2 триад; шестикривошипный механизм также легко анализи-
руется по этой схеме (фиг. 8).
Из приведенной классификации выпадает механизм с одним кри-
вошипом; его образование выяснится из отдела с) и след. Состав
этого механизма следующий: кривошип 1, поводок 2, коромысло 3
и стойка 4. Характерным звеном трехкривошипного механизма
и с большим числом кривошипов является трехповодковое звено,
к шарнирам которого присоединены поводки или тоже трехповод-
ковые звенья.
Механизм
365
Обозначения. Целесообразно обозначать при анализе структуры: кривошипы —
нечетными арабскими иифр1ми, тяги, связывающие кривошипы, —последующими
арабскими нечетными цифрами, трехповодковь:е звенья -следующими за ними чет-
ными. стойку—самым большим четным числом. Угловые скорости и ускорения получают
индекс в зависимости от того, к какому звену они относятся: линейные скорости и
ускорения, а также силы имеют индексы буквенные, относящиеся к определенной точке.
Шарниры стойки носят римские цифры, кончы кривошипов обозначаются буквами
А, И... Л концы поводков буквами С, Н... К, остальных точек—Д, М... Р и тяг—Q, J?...
с)	Преобразование механизмов
1.	Прибавление звеньев. Вставка диады между двумя подвиж-
ными звеньями (фиг. 9): то же между неподвижным и подвижным зве-
Фиг. 9.
ном (фиг. 10). Если оценить диаду, как пару поводков 2-кривошипного
механизма, у которого устранены кривошипы, то можно представить
себе также, что у мно-
гокривошипного ме-
ханизма отняты кри-
вошипы, а остаток его
присоединен к неко-
торому другому меха-
низму. Пример пре-
образования 2-криво-
шипного через приба-
вление остатка З-кри-
вошипногона фиг. 11.
2.	Отсечение
Фиг. 12а.
'движения
звеньев.
Фиг. 12.
Пр
ие мы — прекращение
кривошипа, устранение тяги. Пример двухкратного отсечения на
фиг. 12 и 12а. Оказывается, что прекращение движения криво-
шипа преобразует 2-кривошипный механизм в, механизм с одним
кривошипом (фиг. 13 и 13а). Этим путем найдено для него место
в приведенной классификации. На фиг. 14 представлен механизм,
полученный из 3-кривошипного устранением кривошипа и тяги.
3.	Замена звеньев (фиг. 15). Звено 1 заменено двумя ему
параллельными между двумя параллелями; первое звено становится
излишним кинематически и для счета; это — лишний член.
4.	Замещение. Один криьошип заменяется целым механизмом
(фиг. 16). Здесь один кривошип 1 заменен механизмом 2-кривошип-
НЫМ /2, 13 И 14 С УГЛОВЫМИ СКОРОСТЯМИ ши И COjj.
366
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Эти замещения могут быть сделаны в произвольном числе: они
ведут к изменению числа звеньев на четное число и оставляют меха-
низм механизмом с принужденным движением.
d)	Изменение формы звеньев
Изменения связаны с расширением и сжатием цапф
по Бурмейстеру.
1фы А дает эксцент-
только часть, то это
называют сжатием (со-
кращением цапфы)
(фиг. 18). Расширение
цапфы при точке 11
фиг. 18 и сокращение
ее до кольцевого сек-
тора дает кулиссный
камень 3, перемещаю-
щийся в направляю-
щей дуге — кулиссе.
Если цапфу рас-
ширить до бесконеч-
ности, направляющая
дуга переходит в
прямую линию
(фиг. 19): таково про-
исхождение поступа-
тельной пары из пары
вращения. Из фиг. 18
и 19 следует, что ра-
диус кривизны пути
13 и звено 3 идентич-
ны. Поэтому можно
во многих случаях
вводить радиус кри-
визны в качестве заменяющего звена. Путем расширения и сокра-
щения цапфы из пары вращения происходят высшие элементарные
пары: катящиеся рычаги, кулаки, скользящие дуги, зубчатые ко-
леса и пр. Они могут быть дополнены прибавлением звеньев
Механизм
367
к центру кривизны пары и присоединением кривошипных механиз-
мов нормальной формы.
Фиг. 23а, 23Ь, 23с иллюстрируют порядок действий: цапфы А и В расширя-
ются, звено 2 заменяется пружиной. Размеры цапфы изменены до необходимой вели-
чины.
Примеры: 1. Пара катящихся рычагов (фиг. 20). Центры кривизны
рычагов С и D находятся на прямой CD. Однокривошипный механизм состоит
из звеньев 1, 2,3 и стойки 8; он дополнен звеньями 4,5 и 6, также 7, длина последнего
Фиг. 2?а.	Фиг. 23b.	Фиг. 23с.
бесконечно велика. Связъ между рычагами поддерживается силой пружины : вместо
соединения звеньев посредством пары имеем здесь замыкание силой. Точка С-ц кри-
визны звена 3 относится к этому звену, точка D-ц кривизны звена 5 — к этому по-
следнему.
368
Т. 1. Отд. 2. Механика. 11. Прикладная механика -
Так как кривизна двух рычагов непрерывно изменяется, то подвергается и изме-
нению и отрезок CD, так что член 4 (CD) ме>анизма будет звеном определен-
ной длины для каждого момента движения, но различной длины для двух
соседних моментов.
2.	Ролик и некруглая шайба (кулак)
(фиг. 21 и 21а). Центр ролика перемещается так. как-
будто он управляется через штангу из одного и того же
центра С криволинейной поверхности, одновременно
испытывая воздействие бесконечно удаленного центра III.
Звено 4 непрерывно изменяется в соответствии с цен-
тром кривизны кулака.
Фиг. 24а.
Распределение Лентца — MAN
3.	Также зубчатые колеса могут быть получены этим путем (фиг. 22):
давление в зубцах — замыкание силой, центры кривизны поверхности зубчов—точки
соприкасающихся колес.
Кривошипные механизмы могут иметь бесконечно длинные звенья. Двухкриво-
шипные механизмы с звеньями бесконечной длины /, 2, 3, 4 на фиг. 24 и 24 а.
е)	Анализ и синтез механизма
Для критического изучения существующего механизма (анализ)
и для проектирования нового (синтез) необходимо представить себе
нормальную форму механизма.
Поступательные пары, высшие пары, должны быть преобразо-
ваны в пары вращения подходящим изменением радиусов кривизны.
Структура Mexasnswoi
369
Определение однокрйвошипных механизмов не представляет затруд-
нений. У двухкривошипного механизма должно быть два поводка,
которые соединены одним шарниром. Коромысло с присоединенными
поводками — характерный признак 3-и многокризошипных механиз-
мов, поэтому целесообразно при преобразовании механизма итти от
коромысла через поводки к кривошипам.
• Механизмы под абзацами от b до d — механизмы с принужденным движе-
нием, что можно доказать простыми геометрическими соображениями. Они удовлет-
воряют также условиям принужденного движения в форме G г fl b 1 ег’ а.
Если механизм должен удовлетворять определенным условиям относительно
положения и размеров, то необходимо установить геометрические основания для
эт ого (Работы А1 х ’ а по примеру В и г m е i s t е г ’ а и Grflbler’a, кратко изло-
женные Бейером).
В. Структура механизмов
По способу проф. А. П. Малышева, составил инж. И. С. Мясников
а)	Состав механизма
Для определения положения твердого тела в пространстве необходимо и доста-
точно знать положение каких-нибудь трех точек этого тела А, В и С. Расстояния
между этими точками постоянны и могут быть выражены уравнениями:
(хв - ХаУ +- (ув - УаУ + (гв -'аУ^...(1>
(хс - хаУ + (Ус - УаУ + Сс - хаУ = ™.<2>
(хс - хвУ+ (Ус- УвУ +('с~'вУ = ™.....<3)
При движении твердого тела в пространстве необходимо определить 9 коор-
динат (X х_, ху я, yD, у„, t я, zD, z -Y Тело, для которого имеется 9 уравне-
ний, связывающих названные координаты — статически определимо:
твердое тело, для которого можно составить более 9 уравнении, представляет
собой статически неопределимую систему с лишними связями; если
уравнений меньше 9, получается подвижная система; степень подвижности си-
стемы характеризуется числом степеней свободы.
При движении твердого тела параллельно плоскости для определения положе-
ния всей фигуры необходимо и достаточно знать положение 2 точек этого тела.
Статически определимая фигура должна иметь 4 уравнения; фигура с лишними
связями — более 4 уравнений и фигура с одной или несколькими степенями сво-
боды — менее 4 урав”' ft.
Уравнения, связ • цие различные точки системы, называются условиями
связи. Статически лимая система должна иметь: в пространстве 9 условий
связи для каждого те л । . и движении параллельно плоскости — 4 условия связи.
Число недостающих ; ранений для определения системы называется числом сте-
пеней свободы. Для определения положения стержня в пространстве не-
обходимо 9 условий связи (на плоскости 4). Если вместо 9 условий связи имеется
только 8, то стержень в пространстве будет иметь 1 степень свободы; при 7 условиях
связи — 2 степени свободы и т. д.
Если стержень на плоскости имеет 3 условия связи, то он имеет 1 степень сво-
боды, при 2 условиях связи — 2 степени свободы и т. д.
Механизмом называется система (группа сочлененных звеньев), имею-
щая одну степень свободы и могущая совершать движение с циклом.
Всякий механизм состоит из звеньев и кинематических пар. Тело, у кото-
рого взаимное расположение точек определяется задан-
ными условиями связи, входя в состав механизма, назы-
вается его авеном. Звенья могут быть изменяемыми и неизменяемыми,
370
t I. Отд. 2. Мманйкй. It. ПрйкЛаДйай ММайика
у неизменяемых звеньев расстояния между Любыми точками все время остаются
постоянными, у изменяемых же звеньев расстояние между точками может изме-
няться. Если закономерность развития деформации при движении неизвестна, то
теряется связь, а если она известна — связь восстанавливается»
Всякое приспособление, при помощи которого сцепля*
ются звенья, называется кинематической парой. С аналитиче-
ской точки зрения кинематическая пара есть совокупность условий связи,
определяющих относительное движение двух звеньев, обра-
зующих эту пару. Всякое звено может иметь различное число кинематиче-
ских пар, которыми оно связывается с другими звеньями.
Стержни АВ, FC, ED имеют по 2 кинематических пары в точках А, В, С, D}
Е и F, а стержень BCD —три кинематических пары*
Для того чтобы установить, является ли данная система механизмом, необхо-
димо знать число условий связи. Число условий связи должно быть меньше числа
координат точек, необходимых для определе*
ния положения всех звеньев, на единицу.
Если, например, система в пространстве
состоит из 4 звеньев, то для определения
положения всех звеньев надо знать 36 коор-
динат, считая на каждое звено по 3 точки и
для каждой точки 3 координаты. Для опре-
деления положения 4 звеньев в системе на
плоскости необходимо знать 16 координат.
В первом случае система будет являться ме-
ханизмом, если имеется 35 условий связи;
во втором случае, если будет дано 15 условий
связи. Число условий связи в неизменяемых
звеньях определяется легко. Для каждого
Фиг. 25.
твердого звена в пространстве можно написать три условия связи (расстояния
между тремя точками). Для каждого звена на плоскости можно написать одно
условие связи (расстояние между двумя точками). Если обозначить через п число
звеньев, ю число условий связи, вносимых звеньями, будет;
Зл — для системы в пространстве,
п — для системы на плоскости.
Сложнее дело обстоит с определением числа условий связи в кинематических парах.
В пракшческой работе для подсчета числа условий связи в кинематических
парах удобно пользоваться следующей сокращенной таблицей для наиболее ходовых
кинематических пар л).
Способ сцепления звеньев	Число условий связи	
	в пространств, механизме	в плоском механизме
Цилиндрический шарнир		5	2
Шаровой шарнир		3	2
Ползун на направляющей		5	2
Точка на линии		2	1
Чистое катание		2	2
Катание со скольжением		1	1
К механизмам могут быть прибавлены группы сцепленных звеньев, и в резуль-
тате может быть получен более сложный механизм или, наоборот, от какого-нибудь
9 А. II. Малыше в, Анализ и синтез механизмов с точки зрения их стру-
ктуры, Томск, 1923 г. Е г о ж е, Кинематика механизмов, Москва, 1933.
Структура меХайи.эмоЭ
371
СЛОЖНОГО Механизма может быть отнята
также получится упрощенный механизм,
группы звеньев осталась механизмом, оче-
видно, необходимо, чтобы в удаляемой
(или прибавляемой) группе было бы столько
условий связи, сколько координат. К наибо-
лее известным в литературе группам
звеньев, которые можно прибавлять к ме-
ханизму или отнимать от него, относятся:
1. Диада (фиг. 26). В плоском дви-
жении диада имеет 8 координат (2 звена
по 4 координаты) и 8 условий связи
(2 в звеньях и 6 в парах).
2. Трехповодковое звено (фиг. 27).
В плоском движении (при 4 звеньях)
имеется 16 координат и 16 условий связи
(4 в звеньях и 12 в парах).
В пространственном движении с уда-
лением группы звеньев должно уноситься
удалении триады, состоящей из 3 звеньев,
(9 в звеньях и 18 в парах).
группа сцепленных звеньев, после чего
Для того чтобы система, после «удаления
Фиг. 26.	Фиг. 27.
ю 9 условий связи на каждое звено. При
должно быть унесено 27 условий связей
Ь)	Структурный анализ механизма ,
При исследовании механизмов прежде всего необходимо иметь уверенность
в том, чго данная конструкция кинематически правильна. Если отдельные звенья
имеют больше 1 степепи свободы, необходимо их обследовать, в какой степени
лишние свободы безвредны для движения всего механизма.
Двухзвенные механизмы
Положение звеньев двухззеннэго механизма определяется: а) в пространствен-
ном движении 18 координатами, б) в плоском движении 8 координатами. При усле
вии что одно из звеньев неподвижно, остается: а) в пространственном движении
9 координат, б) в плоском движении 4 координаты. Если система состоит из твердых
звеньев, то в подвижном звене будет 3 условия связи в пространственном движении
и 1 условие связи в плоском движении, а на кинематическую пару останется 5 усло-
вий связи (5-й класс *) в пространственном движении и 2 условия связи (2-й класс)
в плоском движении. Наиболее распространенными парами, годными для сцепления
двух звеньев, в пространственном механизме является цилиндрический шарнир
и ползун на направляющей. Обе эти пары 5-го класса.
Примерами кинематических пар для плоского двухзвенного механизма могут
быть: цилиндрический шарнир, ползун, колесо, катающиеся в плоскости по да! нэй
кривой, и др.	.
Трехзвенные механизмы
При условии, что одно звено трехзвенного механизма неподвижно, координат,
подлежащих исследованию, будет: а) в пространственном движении 18, б) в плоском
движении £. Если система состоит из неизмеьяемых звеньев, то в подвижных звеньях
будет: 6 условий связи в пространственном дгижении и 2 условия связи в плоском
движении, а на кинематические пары останется 11 условий связи в пространствен-
ном движении и 6 условий связи в плоском движении. Так как в трехзвенном меха-
низме возможны три пары, то в пространственном движении возможны следующие
комбинации: а) 2 пары 5-го класса и 1 пара 1-го класса, б) 1 пара 5-го класса,
1 пара 4-го и 1 пара 2-го, в) 1 пара 5-го класса и 2 пары 3-го класса, г) 2 пары 4-го
класса и 1 пара 3-го класса.
В плоском .трехзвенном механизме пары могут распределиться единственным
образом, а именно: 2 пары 2-го класса и 1 пара 1-го класса.
Многозвенные механизмы
Пусть дано п сцепленных между собою звеньев с п кинематическими парами.
При одном неподвижном звене число координат в подвижных звеньях будет:
!) Кинематические пары, имеющие 1 условие связи, отнесены к 1-му классу,
имеющие 2 условия, отнесены ко 2-му классу и т. д.
Iff) Т. 1. Отд. I. Мепяжда. И. Прикладам механт
9 (л _ 1) в пространственном движении, 4 (п — 1) в плоском движении.
Число условий связи в звеньях будет: 3 (п — 1) в пространственном движений
ft - 1 в плоском движении.
Число условий связи в кинематических парах должно быть: 6л —7 в простран-
ственном движении, Зп — 4 в плоском движении.
Пользуясь указанными данными, можно составить таблицу для механизма
с различным числом входящих в него звеньев.
Число звеньев механизма	Подвижных	Ц 1 звеньев — 1	||	Пространственный механизм			Плоский механизм		
		число ко- ординат в подвиж- ных звень- ях 9 (л-1)	условий связи в звеньях 3 (л-1)	условий связи в кинематич. парах 6л—7	число ко- ординат в подвиж- ных звень- ях 4 (л-1)	условий связи в звеньях л—1	условий связи в в парах Зл-4
2	1	9	3	5	4	1	2
3	2	18	6	11	8	2	5
4	3	27	9	17	12	3	8
5	4	36	12	23	16	4	11
6	5	45	15	29	20	5	14
7	6	54	18	35	24	6	17
8	7	63	21	41	28	7	20
9	8	72	24	47	32	8	23
10	9	81	27	53	36	9	26
и т. д.
Если в пространственном механизме считать все пары 5-го класса, то формула
механизма будет выглядеть так:
9 (л — 1) = 3 (л — 1) + 5л + 1-
Так как цилиндрический шарнир в
пространственном механизме относится
к паре 5-го класса, то с помощью
формулы механизма решается вопрос
о числе звеньев в замкнутом прост-
ранственном стержневом механизме,
звенья которого соединены цилиндри-
ческими шарнирами:
6 (л — 1) = 5л + 1,
откуда л = 7.
В плоских механизмах цилиндри-
ческий шарнир имеет 2 условия связи,
и формула замкнутого стержневого
механизма, звенья которого соедине-
ны цилиндрическими шарнирами, по-
лучит вид:
4 (л — 1) = л — 1 2л + 1 = Зл,
откуда п = 4.
1.	Пример. Является ли авиаци-
онный мотор механизмом с 1-й сте-
пенью свободы (фиг. 28)? В моторе
имеется 11 подвижных звеньев (5 порш-
ней, 5 шатунов и 1 кривошип). Движение плоское. Значит, мотор имеет 44 координаты.
Условий связи в звеньях ...... 11
Ползунов по направляющим .... 10
Условий связи в шарнирах......22

43
Структура механизмов
373
В таком виде, как мотор представлен на схеме, он является механизмом с 1-й
степенью свободы. Если бы 3-й шатун (так называемый главней) был устроен так же,
как все остальные, то головка его .выделилась бы в особое звено. Тогда получи-
лось бы 48 координат и 46 условий связи, т. е. болтающаяся система, и мотор не
мог бы работать.
2.	Пример. Правильно ли в рулевом управлении автомобиля в точках В и С
ставятся шаровые шарниры (фиг. 29)? Механизм пространственный, четырехзвенный.
Координат в подвижных звеньях 27. Условий связи в звеньях 9, затем в цилиндри-
ческих шарнирах (в точках А и D) 10 условий связи, в шаровых шарнирах 6. Всего
условий связи 25, т. е. две степени свободы. Лишняя степень свободы состоит
в том, что стержень ВС может поворачиваться вокруг своей оси, что не представляет
Фиг. 29.
никакой опасности. Напротив, она необходима, так как расстояние между опорами А
и D не является жестким (рессора).
3.	Пример. Является ли изображенное на фиг. ЗЭ приспособление для качания
решет в ручных веялках механизмом?
Механизм пространственный, четырехзвенный. Координат в подвижных звеньях 27.
Условий связи в звеньях 9, в цилиндрических шарнирах 20, всего 29. Следова-
тельно, указанное приспособление является не механизмом, а статически неопреде-
лимой системой, и поэтому движение возможно лишь благодаря большим зазорам
в шарнирах, чем обеспечиваются лишние степени свободы. От этого получается
сильный стук машины в работе.
4.	Пример. Является ли группа звеньев, представленная на фиг. 1 (стр. 363) меха-
низмом? Группа состоит из 4 звеньев. Звенья 7, 2, 3 подвижные, а звено 4 непо-
движное. Для определения положения подвижных звеньев в плоском движении надо
знать 3 X 4 = 12 координат. Условий связи в звеньях — 3, условий связи в цилин-
дрических шариках — у, всего 11. Следовательно, представленная на фиг. 1 схема
отвечает механизму.
5.	Пример. Отвечает ли представленная на фиг. 2 (стр. 363) схема механизму
с одной степенью свободы? Для определения положения подвижных звеньев
в плоском движении необходимо знать 16 координат. Условий связи в подвижных
звеньях — 4, условий связи-в цилиндрических шарнирах — 10, всего 14.
Таким образом в данной группе оказалось 2 степени свободы, а следовательно,
теряется определенность движения. Для того чтобы получить полную определен-
ность в движении всех звеньев, необходимо ввести еше одно условие связи. Это
условие связи может быть введено в виде самостоятельного движения одного
из звеньев. На фиг. 2, кроме кривошипа 7, вращающегося по часовой стрелке
с угловой скоростью звено 3 также вращается зависимо от кривошипа 7
с угловой скоростью ц>а. В таком случае вводится дополнительно условие связи
ввиде ш8 = /(ш1), а в сумме получается 15 условий связи, и группа звеньев, пред-
ставленная на фиг. 2, становится механизмом с 1 степенью свободы. Такой меха-
низм называется двухкривошипным.
6.	Пример. Соответствует ли представленная на фиг. 3 (стр. 363) схема меха-
низму? Для определения положения подвижных звеньев в плоском движении
необходимо знать 28 координат. Условий связи в подвижных звеньях — 7, условий
связи в цилиндрических шарнирах —18, всего 25. Следовательно, в рассматриваемой
группе налицо 3 степени свободы, а поэтому, так же как и в предыдущем примере,
определенность движения теряется. Для того чтобы данная схема соответствовала
механизму, необходимо ввести дополнительно 2 услозия связи. Эти недостаюшие
условия связи можно ввести в виде:
шв = f (u\) и ш6 — / (u>i) или со5 = f (ш8),
тогда в итоге будет 27 условий связи и схема будет соответствовать ме анизму.
Такой ме<анизм называется т р е х к р и в о ш и п н ы м.
374
Т. I. Огд. 2. Механика. И. Прикладная механика
В зависимости от ч<сла независимых движений различают о д н о- д в у х-... п-
кривошипные меленизмы. Нафиг. 8 (стр. 364) представлена с ;ема шестикри-
вошипного механизма. Структурный анализ этой схемы показывает, что
для определения положения подвижных звеньев в плоском движении необходим'о
знать 84 координаты.
Условий связи в подвижных звенья;—21, условий связи в цилиндрические шар-
нирах— 62, всего 83. Следовательно, данная схема соответствует механизму. Если
в этой схеме выбросить 13, 15, 17, 1J и 21 звенья и ввести условия связи в виде:
то получится новая схема, соответствующая также механизму. В самом деле, для
определения положения подвижных звеньев в плоском движении необходимо будет
знать 64 координаты. Условий связи в подвижных звенья ; —16, условий связи
в цилиндрических шарнирах — 42, условий связи в виде
^=/(Ul)
5, всего 63.
Все важные в машиностроении механизмы могут быть пред-
ставлены как кривошипные (по W. Lynen, см. выше). Это пред-
ставление не противоре шт требуемой общности происхождения
движений.
1,'з рассмотрения фиг. 3 и 8 можно заметить, что характерным звеном 3-криво-
.•чипного механизма и механизма с боль ним чистом кривошипов является З-повод-
ковое звено, к шарнирам которого присоединены поводки или тоже 3-ловодковые
звенья.
Кроме стержневые ме .анизмов, звенья которы < получают п самостоятельны <
движений, в п >акгике машиностроения часто встречаются эксцентриковые меха-
низмы и механизмы, состоящие из зубчаток (диференциалы), звенья которьк так-
же получают п самостояте.т >ны ; движений. Метод структурного анализа дтя них
Должен быть таким же, т. с. должны быть даны дополнительно условия связи,
определяющие взаимосвязь самостоятельны с движений
с) Синтез кинематической схемы механизма
С точки зрения структуры, все без исключения механизмы должны удовле-
творять известным требованиям. При построении схем новых механизмов возни-
кают вопросы: а) к чему присоединить механизм, б) как можно присоединить к меха-
низму новое звено, в) как в механизме можно заменять одни звенья другими, г) как
соединять между собой построенные цепи и механизмы.
а) За привод, к котором)' присоединяется механизм, можно брать вал транс-
миссии, элск/ромотор, термический двигатель и т. п. Здесь важно знать одно:
сколько степеней свободы
Фиг. 32.
имеет сам привод.
Ь)	К механизму про-
странственному или плоскому
с одной степенью свободы мож-
но присоединять толь-
ко такие группы, в которых
число координат равно числу
условий связи. Путем после-
довательных присоединений
различных групп можно обра-
зовать кдкое-угодно число раз-
личных механизмов.
с)	В механизмах воз-
можна замена и пере-
становка на различных
звеньев, при этом получаются совершенно новые механизмы.
7. Пример. На фиг. 31 представлен плоский механизм. Проверка правильности
его структуры дает: число кординат в звеньях 36, условий связи в звеньях 9, в ки-
нематических пара; 26, всего 35. Следовательно, с точки зрения структуры мела-
НИЗМ правилен. Q удалением звена число координат уменьшится па 4, а число
Кинематика механизмов
375
условий связи иа 5. Для правильности модификации в оставшуюся после удаления
звена АВ груплу необходимо ввести одно условие связи. Можно, например, в точке
М прихватить ползун с направляющими. В таком случае будет введено 4 коорди-
наты и 5 условий связи, а поэтому цепь, изображенная на фиг. 32, будет также
механизмом.
d)	При соединении ряда механизмов, каждый из которых имеет
одну степень свободы, необходимо брать такие звенья и пары, при которых
после соединения — в комбинированных механизмах—будет обеспечено движение
с 1 степенью свободы. Два механизма могут быть соединены при помощи шестерни,
свободно вращающейся на непо;викной оси. Такое соединение возможно как для'
пространственных, так и плоских механизмов. В самом деле: вводится 9 координат
в пространственном механизме и 4 координаты в плоском, а условий связи 16 для
пространственного механизма и 5 для плоского.
Практический синтез заключается в построении схем отдельных механизмов
и затем в их последовательном или параллельном соединении. Сначала составляются
схемы на одну операцию, а затем приступаю! к сборке комбинированного меха-
низма. Разумеется, после построения схем механизмов на одну операцию и схем.я
комбинированного механизма, все они должны подвергнуться структурному анализу
Подробности см. в названных выше работах.
С. Кинематика механизмов
I. Методы кинематического исследования
механизмов
а)	Метод засечек
Составил инж. М. Чемисов
Нахождение траекторий точек, принадлежащих различным
звеньям плоских механизмов, может выполняться как аналитически,
так и графически. Одним из самых распространенных и убедн-
1ельных методов, применяемых для этой цели, является метод за-
сечек, состоящий в том, что положение искомой точен механизма
определяется графически построением пересечения двух окружностей
данных радиусов. Работа по этому методу выполняется, главным
376
Т. I. Отд. 2. Механика. П. Прикладная механики
образом, при помощи циркуля. Содержание метода легко про-
следить на примере четырехзвенного механизма ABECD (фиг. 33),
в котором звено AD является неподвижным.
Окружность, описываемую точкою В ведущего звена АВ, делят на 12 (16, 24 и т. д.)
равных частей (за исходный момент для деления окружности рекомендуется брать
мертвое положение механизма) и переходят к разметке пути точки С. Все 12 искомых
точек С лежат на траектории 5—5, описанной около центра D радиусом DC, между
двумя крайними мертвыми положениями.
Мертвое положение механизма определяют засечкой из центра А на дуге 5—5
точек М, и Л12 радиусом,- равным для правого мертвого положения сумме АВ + ВС,
а для левого — разности ВС —АВ. Затем для каждого из 12 положений точки В
кривошипа находят соответствующее положение точки С. Так, например, из первого
положения точки В (цифра 1 на круге В) циркулем, длина раствора которого равна
постоянной длине звена ВС, на траектории 5—5 делают засечку и получают первое
положение точки С (цифра 1 на круге 5—5). Аналогично определяют положение
и остальных точек. Соединяя одноименные положения точек В и С прямой линией,
получают мгновенные положения шатуна ВС (они показаны на чертеже лишь в разо-
рванном виде, чтобы не затемнять построение).
Для нахождения траектории точки F, принадлежащей звену ВС и лежащей
на направлении линии ВС, на каждом мгновенном положении последней из точки В
длиною BF делают засечки. Соединяя найденные точки Fo, Ft, F., ... плавной кривой,
получают искомую траекторию точки F.
Для нахождения траектории точки Е, не лежащей на линии ВС, но жестко
с ней связанной, поступают следующим образом. На звене ВС для каждого мгно-
венного положения сароят засечками (из точки В радиусом BE, а из точки С —
радиусом СЕ) фигуру ВЕС и находят положения точки Е. Соединяя найденные
точки Ей, Ei, Ег ... плавной кривой, получают искомую траекторию Е.
Ь)	Кинематические диаграммы (5, f), (v, О, (л, О
Составил инж. М. Ч е м и с о в.
Построение диаграммы: путь-время (S, t) (фиг. 34).
Для построения диаграммы	берут траекторию исследуемой
точки (для примера взята тра-
ектория точки С, фиг. 33). От
начала координат по оси абсцисс
откладывают в соответствую-
щем масштабе истекшее время
движения (линия абсцисс де-
лится на равное число проме-
жутков, соответствующих числу
деления окружности В), а по
оси ординат откладывают со-
ответствующие величины прой-
денного пути.
На ординате 7 откладывают отре-
зок пути 0—1, пройденный точкою С за
время Л, равное 1112 части оборота
кривошипа. На последующих ордина-
лах откладывают приращения пути,
пройденные за равные промежутки
Фиг. 34. •	времени = t2 = t3 = ... - /12. Для
ординаты 2 приращение пути 1—2 от-
кладывают отрезком 2'—2i, для орди-
наты 3 приращение пути 2—3 отрезком 3'— 3} и т. д. Соединяя полученные
точки 2', 3' ... плавной кривой, получают закон изменения пути 5 в функции
времени t.
Кинематика механизмов
377
с)	Графическое диференцирование
Составил инж. М. Чемисов
Для нахождения кривой скорости по кривой перемещения или
кривой ускорения по кривой скорости можно указать три графи-
ческих метода:
а — метод измерения ординат,
b — метод хорд,
с — метод касательных.
а) Построение диаграммы: скорость-время (v, ty
методом измерения ординат (фиг. 35). Скорость точки С
определяется формулой
dSc приращение пути
vr = —тг —----------------•
с dt элемент времени
Эта взличина в любом интервале приближенно определяется, как
В этом случае в каждом интервале скорость принимают за
среднюю и на диаграмме (г/, t) откладывают ее (в соответствующем
масштабе) в середине интервала.
Таким образом получены:
S/ - Si	SgZ
^=Ч^Г'Г2=“^гит'д-
В данном случае t2 —1\ = tz —t2
и т. д., но в общем случае это не
обязательно.
Соединением полученных то-
чек vlt и2, v3 ... плавной кривой
получают закон изменения скоро-
сти vc в функции времени.
Определение масшта-
ба скорости. Величина прира-
щения пути, например, отрезка
а-2—а2~У мм* Величина элемента
времени отрезка 1—2 = х мм.
1 мм по оси ординат равен b м.
1 мм по оси абсцисс равен t сек.
Коэфициент пропорциональности
для отрезков = k
ds	by
v = — = ——
dt	xt
Эту величину на диаграмме
(v, t) откладывают отрезком у — v/k.
фиг. 35,
378
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Следовательно,
, bv
ky = ~
J xt
1 мм = —- м/сек.
ktx
Построение диаграммы (a, t) и определение масштаба для усхо-
рений производят аналогичным методом.
Ь)	Построение диаграммы: ускорени е — в р е м я (a,t)
методом хорд (фиг. 35). Линию абсцисс диаграммы (t/, t) делят
па несколько частей 0—1, 1—2, 2—3 и т. д. и на кривой скорости
получают соответствующее число точек aib1c1dl..., которые
соединяют между собой прямыми линиями, т. е. проводят хорды.
На искомой диаграмме (a, t) через полюс на расстоянии k мм
от оси ординат проводят прямые линии, параллельные хордам соот-
ветствующих точек диаграммы (t/, t). Прямые линии 01—1(ь 0j 20,
01—30... отсекают на оси ординат отрезки, пропорциональные сред-
ним величинам ускорений для соответствующих интервалов времени.
Из треугольника 0 — а{ — 1 диаграммы (у, /}, подобного по-
строенному треугольнику 0г—10 — Оо диаграммы (a, tt, получают
dv
0() — 10 =- £ • tg ср. Но tg ср = — = as следовательно,
_ Oo-lo	Vi
а‘ -		у-
От оси ординат из точек 10, 20, 30... проводят прямые линии
параллельно оси абсцисс до пересечения с соответствующими орди-
натами (проведенными в серединах интервалов) и получают точки
<?0, со • • • Соединением найденных точек плавной кривой полу-
чают закон изменения ускорения а в функции времени t. Аналогично
этим же методом могут быть построены и диаграммы (v, t) из диа-
граммы (5, t).
' Масштаб ускорений. По диаграмме (v, t) для любой
точки скорости имеют два уравнения
v — пу и t = тх,
где 1 мм	по	оси	ординат	равен п м/сек,
1 мм	по	оси	абсцисс	равен т се
Следовательно, ускорение а в искомый момент времени равно
dv ndy	п
а ~	dt ~~ mdx ~	т &
,	У’
но tg ср по диаграмме (a, t) равен следовательно,
п , ,	0
а=аТку м/сек-’
где у' —длина ординаты на диаграмме (о, t).
Кинематика механизмов
379
с)	Метод касательных. Метод касательных анало-
гичен методу хорд при построении диаграммы (at t, на основании
диаграммы (t>, t). Этот метод отличается от метода хорд тем, что из
полюса Oj проводят прямые линии, параллельные не хордам, а каса-
тельным к кривой (v, t) в интервальных ее точках. Дальнейший ход
построения целиком совпадает с методом хорд.
По точности метод хорд выше метода касательных, так как
в последнем результат (a, t) зависит от того, кач обведены точки
кривой (v, t). Метод же хорд свободен от этого произвола.
d)	Графическое интегрирование
Оставил инж. Н. И. Ч е м и с о в
Для построения диаграммы скорости по диаграмме ускорения
или диаграммы пути по диаграмме скорости можно указать трп
графических метода:
а — метод средних ординат,
b — метод планиметрирования,
с- метод подсчета площади при по-
мощи клетчатки (миллиметровой бумаги).
а)	Построение диаграммы:
путь-время (S, t) по диаграм-
ме (v, t) методом средних ор-
динат (фиг. 36). Линию абсцисс диа-
граммы (t>, t) разбивают на несколько
равных частей и через точки деления
проводят ординаты до пересечения
с кривой скорости, получают ряд точек
со • • •
Полученные площадки 0а()1;
1я()602 и т. д. пропорциональны при-
ращениям пути S за соответствующие
промежутки времени.
См. отд. I: „Практическая матема- у
тика* стр. 200.
Ь)	Построение диаграм-
мы (5, t) методом плани-
Фиг. 36.
метрирования или с) подсчета площади при по-
мощи клетчатки. Площади на диаграмме (t>, t) можно измерять
при помощи планиметра, или непосредственным подсчетом клеток
на миллиметровой бумаге. Затем результаты откладывают в надле-
жащем масштабе на диаграмме (S, t). Ординате а—1 диаграммы (S, /)
соответствует площадь О^о1 диаграммы (t>,/), ординате b — 2 — пло-
щадь 0£>02, ординате с — 3 — площадь (к03 и т. д.
Соединением найденных точек л, b, с, d.„, плавной кривой
получают искомую интегральную кривук),
380
Т. I. Отд. t. Механика. П. Прикладная механика
е) Разметка путей точек механизмов методом круговых линеек
Составил инж. Ф. А. Соколов
В практике довольно часто встречаются механизмы, отдельные
точки которых имеют весьма малые пути даже при вычерчивании
механизма в натуральную величину.
Примером могут служить механизмы парораспределения, меха-
низмы подачи в металлообрабатывающих станках, текстильных и дру-
гих машинах, у которых отдельные звенья имеют довольно большие
размеры, а перемещения точек интересующего нас звена весьма малы.
Производить исследование таких путей методом засечек нецелесооб-
разно, так как в работе требуются большие размеры бумаги, спе-
циальные штангенциркули, и все-таки в разметке можно легко допу-
стить ошибки. Поэтому в подобных случаях следует рекомендовать
метод круговых линеек.
Метод круговых линеек позволяет делать разметку путей иссле-
дуемого механизма в увеличенном масштабе (даже больше нату-
ральной ее величины), что дает возможность получить более точные
измерения. Сущность этого метода заключается в применении ша-
блонных круговых лекал-линеек, откуда и получилось название метода.
Применение метода круговых линеек лучше всего показать на
примерах.
1. Пример. Пусть дан шатунно-кривошипный механизм АВС (фиг. 37), у которого
требуется разметить пути ползуна С.
Механизм имеет достаточно длинный шатун, поэтому применим метод круговых
линеек.
Прежде всего нужно изготовить шаблон из картона или кальки.
Раствором штангенциркуля, равным длине шатуна ВС, описывают
дугу 55 на картоне. Затем аккуратно вырезают шаблон с дугой 55
и основанием SP (фиг. 38); последнее должно быть направлено по
радиусу R.
Если вычертить отдельно кривошипную окружность (фиг. 39)
в увеличенном масштабе и построить в таком же
масштабе шаблон по указанному выше способу, то перемеще-
ние ползуна С можно получить внутри кривошипной окруж-
Фиг. 38.
Фиг. 37.
ности В, Для этого делят на равные части кривошипную окружность в таком
порядке, как она разделена в механизме (фиг. 37). Затем последовательно приклады-
вают круговой шаблон так, чтобы его основание SP совпадало с линией центров
механизма пп, а дуга 55 проходила через точки деления кривошипной окруж-
ности 7, 2, <?, ...
Фиг. 39 ясно показывает разметку пути точки С ползуна внутри кривошипной
окружности, причем механизм даже не вычерчивается.
Достоинство этого метода заключается в том, что все траектории точек меха-
низма можно собрать на сравнительно небольшом участке бумаги.
На фиг. 40 показан четырехзвенный механизм АВ CD, на котором изображен
принцип переноса путей.
Точки В и С перемещаются по окружностям. При переносе путей необходимо
задаваться линиями переноса. На чертеже направление переноса обозначено стрел-
Еияемаяпса мехмпмов
381
к'бй /. Линию переноса следует брать параллельно звену, Соединяющему точки
переносимых путей в любом расположении механизма. Например, для механизма ABCD
(фиг. 40) линии переноса взяты параллельно звену ВС в третьем положении. Для
этого через точку А проводим линию,
радиусом равным АВ засекаем центр О.
Далее из точки О радиусом ОС—АВ
проводим пунктирную окружность.
Проводим линии переноса от делений
1, 2, 3, . .	8 сплошной окружности
до пунктирной окружности, последнюю
размечаем соответственно делениям
/о, 2о, <%»•••
По указанному выше способу де-
лаем шаблон радиусомВС. Полученный
шаблон устанавливается своим основа-
нием на линию переноса так, чтобы
точка 5 совпала с одним из делений
пунктирной окружности. Тогда дуга
шаблона 5S пересечет дугу (траекто-
рию), описываемую точкой С; деления
пунктирной окружности должны соот-
ветствовать делениям на дуге С. На
фиг. 40 заштрихованный шаблон, при-
ложенный к 1-му делению пунктирной
окружности, пересекает траекторию
точки С в Г и т. д.
В целях экономии бумаги и полу-
чения точных данных можно выпол-
параллельную звену В3С3 и затем из Точки С
Фиг. 39.
нить построение, увеличенное в п раз,
следующим образом.
Сначала в малом масштабе чертят схему механизма и принимают какое-нибудь
положение шатуна за направление переноса (например, четвертое). Отдельно от
схемы механизма нужно построить кривошипную окружность в увеличенном в п раз
масштабе, и разделить ее на 12 (или 16, 24,...) равных частей. Через эти деления
провести короткие направления линии переноса параллельно звену ЯС, я ия 4-й тошги
параллельно направлению CD на схеме откладывают отрезок nCD и находят, таким
образом, перенесенную точку D.
Далее, как указано выше, устанавливаем шаблон, который своей дугой SS буДВТ
указывать пересечения с кругом С по всем интервалам.
382
T. t. Отд. 2, Мехапийа, It. Йрикладй’ая МеКаИйКЛ
2 Пример. На (фигуре 41 показан .механизм паровой машины, у которого нй
Шатуне расположена точка Л4*
Разметка путей то*
чек В СМ производится
так:
1. Вычерчиваем
схему механизма в ма-
лом масштабе.
2. Задаемся мае*
штабом построения
Фиг. 41.	траекторий исследуе-
мых точек В, С, М.
3. В выбранном масштабе п описываем кривошиан; ю окружность В (фиг. 42)
И делим ее в таком же порядке, как кривошипную окружность механизма.
4. Через каждое деление окружности проводим линию переноса, параллельную В С
(см. механизм фиг. 41).
5. Через четвертое деление кривошипной окружности проводим траекторию
точки С (линию, параллельную направляющей ползуна).
Далее прикладываем, последовательно, шаблон, вычерченный радиусом пВС по
вышеизложенному. В результате получим разметку путей точки С.
На чер1еже шаблон показан на линии переноса в 11 де-
лении кривошипной окружтосги.
Для определения траектории точки М соединим соответ-
ственные деления траекторий Си"
Фиг. 42.
В:
2-2',
3-3'......12-
12',. . . прямы-
ми линиями. На
этих прямых
треугольники,
С1роим
подобные треугольнику
звена В СМ, как указа-
но на фиг. 42. Через де-
ления 7j, 2Х, 3t, . . ., /2|
на треугольниках про-
б, водим плавную кривую,
которая и будет траек-
торией точки М.
Как видно из фи-
гуры 42, все траектории
рассматриваемых точек
механизма проходят че-
рез одну точку в 4-м де-
лении окружности.
В более сложных
механизмах применяют
несколько шаблонов.
Для примера разберем
механизм ABCDE (фи-
гура 43). для разработ-
ки которого берут два
шаблона.
Проводим окруж-
ность радиусом АВ в увеличенном масштабе (фиг. 44) и делим ее на равные части
соответственно окружности точки В рассматриваемого меланизма (фиг. 43).
Первоначальное положение механизма для точки В берем в 4-м делении.
Через четвертое деление окружности В радиусом К = п-CD проводим дугу из
центра где п. — масштаб увеличения. Радиус дуги С расположен параллельно
линии CD рассматриваемого механизма.
Далее, по описанному выше способу, шаблоном I, установленным на линии пе-
реноса, параллельной звену ВС, размечаем пути точки С.
Через размеченные пути С проводим линии переноса, параллельные линии СЕ
.рассматриваемого механизма. Радиусом В — п • ED из точки О, проводим дугу Е
также через 4-е деление окружности В. Направление этого радиуса параллельно
линии ED схемы.
Кинематика мехайизмоа
383
Для путей точки Ё строим шаблон II, дуга которого вычерчена радиусом /? — п • СЕ>
Стрелки fi и f2 указывают направления переноса. На фиг. 44 показано подджецде
Шаблона II, Ayia которого делает засечки путей на траектории точки
Фиг. 43 и 44.
Хотя выше, в примерах для переноса путей, была взята точка 4 на кривошип-
ной окружности, однако с таким же успехом можно было брать и любое другое
положение кривошипа.
f) Построение планов скоростей и ускорений для плоских
механизмов
Составил доп. И. В. Иванов-Загребалов
1.	Исследование механизмов с помощью кинематических диа-
грамм (S, /), (v, t) и (a, t), несмотря на свою простоту, не всегда
является достаточным. Эти диаграммы дают лишь скалярные вели-
чины скоростей и ускорений. При этом ускорение получается не
полное, а только тангенциальное.
Если же нужно знать полное ускорение точки, а также ско-
рости и ускорения не только по величине, но и по направлению,
то пользуются методом планов скоростей и ускорений.
Кроме того, метод планов скоростей имеет важное значение
в строительной механике, где с помощью его определяются усилия
в сложностержневых и рамных инженерных сооружениях.
2.	При построении планов скоростей исходят из предположе-
ния, что звенья, входящие в состав механизма,—твердые тела, т. e.t
что расстояния между точками звена неизменны.
884	T. i. Отд. 2. Мехаяякй. П. Прйкладжая
Пусть (фиг. 45) у твердого тела АВ известны по величине И
йаправлеййю скорости точек А и В, именно: иА и vB.
Разложим эти скорости По двум направлениям: по линии АВ
(составляющие vA и ив) и по перпендикулярному к АВ (составляю-
щие vA и vB). Скорости (vA и vB), с которыми точки А и В дви-
жутся вдоль линии АВ, не могут быть разными, иначе это при-
вело бы к изменению расстояния между ними, а должны быть
равными и направленными в одну сторону, т. e..vA = vB.
Но скорости vA и vB являются проекциями скоростей точек
Л и В на линию АВ. Таким образом получаем зависимость: проек-
ции скоростей двух точек твердого тела на ли-
нию, соединяющую эти точки, должны быть равны
и направлены в одну сторону.
3.	Звено АВС (фиг. 46) вращается с постоянным числом оборо-
тов л в минуту вокруг неподвижной точки А.
Так как vA = 0 и проекция ее на линию АВ равна нулю, то
и проекция vB на линию АВ равна нулю, т. е. vB должна быть
перпендикулярна к АВ. Величина скорости точки определится по
числу оборотов и длине АВ:
Аналогично определится скорость точки С:
Vq _L Л С; v с ~ 20 ‘	=
причем
vB АВ
АС ’
т. е. при вращении твердого тела около неподвижной точки ско-
рости точек этого тела пропорциональны расстояниям этих точек
до центра вращения и направлены перпендикулярно к своим ра-
диусам
Кинематика механизмов
385
4.	На основании
точки С в механизме
положений /7 и III определим скорость
паровой машины (фиг. J7, I), в котором
точка С движется по горизон-
Фиг. 47.
тали, следовательно, и vc судет
горизонтальна	Опу-
ская перпендикуляр из конца
vB на продолжение ВС, нахо-
дим проекцию vB на эту ли-
нию, затем от точки С на той же
линии откладываем проекцию
vc , равную проекции ив, и из
полученной точки восставляем
перпендикуляр до пересечения
с направлением скорости точки
С, которую этим и определяем.
Этот метод нахождения ско-
ростей, т. е. путем построений
на самой схеме механизма, неудобен и слбжен.
Перенесем заштрихованные прямоугольные треугольники па-
раллельно самим себе к произвольной точке О (фиг. 47, П) так,
чтобы точки Ви С совпали с этой точкой, тогда равные катеты
треугольников совпадут, а два других катета составят прямую,
перпендикулярную к ВС.
В полученной фигуре скорости двух точек твердого тела выхо-
дят из одной точки, а концы этих скоростей лежат на прямой,
перпендикулярной к линии, соединяющей эти точки. Это будет
справедливо и для всяких других двух точек, принадлежащих
твердому телу.
Таким образом, если из произвольной
ь н ы
люса) прове.дем отрезки, па
или пропорциональные ско-
ростям двух точек жест-
кого тела, то концы этих
отрезков будут лежать на
прямой, перпендикулярной
к линии, соединяющей эти
точки.
Пользуясь этой основной зависи-
мостью, найдем скорость точки С сле-
дующим построением (фиг. 47, III):
через полюс о проводим оЬ^Ъв
be | ВС и в пересечении be с на-
правлением ос определяем конец
вектора vc.
ТОЧКИ
ей р а
о (по-
в н ы е
Фиг. 48.
р а л л е л
Полученная фигура и носит на-
звание плана скоростей, в котором все скорости выходят из одной
386
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
точки (полюса), и определяются по величине и по направлению для
данного положения механизма.
1. Пример. Четырехзвенный механизм (фиг. 48).
Точка В вращается равномерно с числом оборотов л в минуту, скорость ее
= — АВ м\сек, где АВ выражено в метрах.
Из произвольной точки о проводим прямую, параллельную vq, и откладываем
*В
на ней отрезок ob — —^~ мм, полагая, что скорости будут в масштабе а.
Затем через полюс проводим прямую, параллельную v(J_ CD), а через точку
Ь прямую, перпендикулярную к ВС, пересечение этих прямых и даст точку С —
конец вектора.	___
= ОС*а м сек~ .
складывается геометрически из v „ и Dv п — относительной скорости точки
с	в а с
С по отношению к точке В, т. е.
’с = ^ + в7с-
Из вектора относительной скорости видно, что точка С вращается в относи-
тельном движении вокруг подвижной точки В против часовой стрелки, с угловой
скоростью
~ СВ boa.
вс = •=" = сек
ВС ВС
5.	Если в рассмотренном механизме на звене ВС требуется
найти скорость точки К. то на пересечении прямых ck | СК и
bk J_ ВК (фиг. 49) найдем конец вектора скорости точки К. а вели-
чина его определяется из _______
vk = ОК • а м секГ'*
Треугольник
bck подобентре-
угольнику ВСК.
так как стороны
их взаимно пер-
пендикулярны.
То, что ска-
зано о звене
ВСК. может от-
носиться к лю-
фвг” 49	бому другому
звену.
То, что сказано о точке К. может относиться и к любой другой
точке, а поэтому:
для каждого звена механизма в плане скоро-
стей получается подобная фигура, повернутая
относительно звена на 90°.
Фигура эта состоит из относительных скоростей точек звена и
носит название картины относительных скоростей для данного звена.
Кинематика механизмов
387
6.	При скольжении или катании двух звеньев друг по другу
проекции скоростей одноименных точек на общую нормаль к на-
правляющей равны и направлены в одну сторону.
На фиг. 50, I точка В двойная: она принадлежит втулке, сколь-
зящей по подвижному звену ДА, и самому звену ЛА.
Рассматривая полные скорости этих точек и vB ), состоя-
щие из слагающих скоростей, расположенных по направлению на-
правляющего звена (у'в и vB) и по нормали к нему (у”в и vB\ при-
ходим к заключению, что составляющие по нормали не могут быть
разными, так как иначе это привело бы к тому, что в этом направле-
нии втулка должна или отстать или уйти вперед от направляющего
звена, чего не должно быть по условию. Следовательно, vB =• vB.
Если одно звено катится
по другому звену, то точка
касания их двойная и ско-
рости их имеют ту же зави-
симость (фиг. 50, И).
1. Пример. Поперечно-стро-
гальный станок (шеппинг) (фиг. 51).
Точки В и D двойные:
В точка звена АВ
В,	. п CD
D	„ „	CD
Dt	> ползуна ММ
Так как точки BY и D принадлежат одному звену и скорости этих точек пер-
пендикулярны к CD и пропорциональны расстояниям их до неподвижной точки С,
порядок построения плана скоростей будет следующий:
1.	Ob _L АВ 4. bbi || ВС 7. ddt || pq
__ ъВ	_ _____ CD
2.	ob = — мм 5. od = ob. —-
a	CB
3.	obi ± Bq 6. od ||
M
Фиг. 51.
Все точки звена ММ имеют оди-
наковую скорость
ом = от а м. сек~~^,
2. Пример. Рычаг с кулачком
(фиг. 52. I).
Точка В двойная:
Вх — точка кулачка; В — точка
рычага; р — радиус кривизны кулачка
в точке касания. Порядок построения
плана скоростей:
1	—	кп
1.	VB. = is АВ м сек
2.	obi _L АВ
--- VB,
3.	obi = —
4.	ob±BC
5.	bbiJ_ p
6.	od _L CD
7.	bd±BD
§88	Т. Т. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
В,—точка рычага)
4.	btb* || CD
~CD
5.	od = ob2 • Св-
6.	z/£) = od«a мсек—i.
Измерив в мм отрезок od, подсчитаем скорость точки D
vD = od*z мсек .
На фиг. 52, II рычаг касается кулачка разными точками. План скоростей полу-
чается следующим построением:
(.^l—точка кулачка,
1. obt ± АВ
— VB
2. obi =---
a
3. ob, _L СВ
7. Для более сложных механизмов план скоростей можно по-
строить методом ложных п о л о ж е н и й, пользуясь следую-
щей геометрической зависимостью: если подобно изменяемый
л-угольник перемещается так, что п—1 вершин его перемещаются по
п—1 прямым,то и л-я вершина
______________________также перемещается по прямой.
(	3. Пример. Дан механизм
иг. 53).
и с находим по преды-
1. ob _\_ АВ
3.	ос J_ Д С
_ vC
4.	ос = —
а
и
5.	Ьс ± ВС.
Согласно зависи-
мости по пункту (4)
точка d будет лежать
на прямой | к CD,
проведенной через точ-
ку с, точка k — на пря-
мой | к ВК, проведен-
ной через Ь, и точка т—
на прямой I к MF, про-
веденной через полюс о.
Проводим эти
прямые и на одной из
них, совершенно про-
извольно, задаемся положением точки, соответствующей этой прямой, например, dx.
Зная находим k,, проводя прямую d^x | DK до пересечения с прямой, на
которой должна лежать точка k. Согласно зависимости (5) треугольник DKM дол-
жен повториться в плане в виде подобной фигуры, а поэтому строим A d^k^m^
подобный A DKM, проводя прямые dmx J_ D И и k т, | КМ.
полученная точка тх не лежит на прямой, соответствующей этой точке. За-
даемся новым положением точки d, именно d,, повторяя предыдущие построения,
получаем Д	который опять оказывается неверным.
Проводя прямую через точки т} и /п, до пересечения с прямой, соответ-
ствующей этой точке, получаем действительное положение точки т, а затем и дей-
ствительное положение треугольника dmk, проводя прямые dm || dxmx и km || kxmx.
8. В общем случае, при вращении точки В около неподвижной
точки А полное ускорение ее направлено под углом р. к радиусу
АВ и рассматривается состоящим из двух слагаемых — тангенциаль-
Кинематика механизмов
389
ного или касательного ускорения at и центростремительного или
нормального ап (фиг. 54, I).
Как известно из теоретической механики величины их выражаются:
В~“ п -777	dv d d) ~7 ri
а =	==- со о2 АВ ,	=--------АВ.
п АВ 3	* dt ~ dt
Полное ускорение точки В есть гипотенуза прямоугольного тре-
угольника с катетами ав(п) и aB(t)> и величина его будет:
ав


а тангенс угла наклона —

flfco 1 .
dt (о3
LFM
Л-ВК
Фиг. 53.
ПОСТОЯП-
du В	О,
ускоре-
неподвижной
и тем же
В вращается с
vB = const и
тогда полное
На основании
этих значений для
ав и И следует,
что при вращении
твердого тела око-
ло неподвижной
точки полные уско-
рения всех его то-
чек пропорцио-
нальны расстояниям этих точек до
оси вращения и направлены под одним
углом к своим радиусам.
В случае, если точка
ным числом оборотов, то
следовательно, и at = О,
ние точки В
пп\ .
•АВ
Фиг. 54.
2
vff
— a„—	= I —
n AH \30
-2
м сек
будет направлено по радиусу (фиг. 54, II)
от точки В к точке А.
9. Если в рассмотренном случае (фиг.
54,1) точка А подвижна и сама имеет в дан-
ный момент поступательное движение, то
рассмотренное ускорение точки В будет
относительным ускорением по отношению
к точке Д, т. е. Аав,
Полное ускорение точки В будет равно геометрической сумме
ускорения точки А и Аав; именно: ав = ал~^~ лаВ*
390	Т. I- Отд. 2- Механика. II. Прикладная механика
Определим ускорение точки С (ползуна или поршня) в паро-
вой машине (фиг. 55, I).
Движение точки С можно рассматривать как вращение около
подвижной точки В, и ускорение ее будет равно геометрической
сумме относительного ускорения вас и ускорения ав, т. е.
ас =	+ но в относительном движении точ. а С имеет и
тангенциальное и центростремительное ускорения, следовательно,
ускорение точки С будет складываться из трех слагаемых:
ас = ав + а + ва С(Пу
Изобразим графически, но предварительно! заметим, что движе-
ние точки С прямолинейное—по горизонтали, т. е. по кругу с ра-
диусом, равным
бесконечности, сле-
довательно, напра-
вление полного
ускорения ее бу-
дет тоже горизон-
тально.
Построим сна-
чала план скоро-
стей из полюса о
(фиг. 55, II). При
равномерном вра-
щении точки В
ускорение ее бу-
дет направлено по
АВ, а величину ее
подсчитаем по предыдущему. Из произвольной точки о2 (фиг. 55, III)
проводим отрезок, равный и параллельный ав — это будет первый
член геометрической суммы, второй член ваС^ будет' направлен
от С к В, а величина его определится из выражения:
__________ BVC _ be2 • а2 _
вДс(л) ВС ВС —т^
где Ьс берем из плана скоростей и ВС — из размеров механизма.
Третий член подсчитан быть не может, но направление его нам
известно, а именно ваС^ составляет прямой угол с радиусом, т. е.
с СВ. На этом основании из конца вектора т проводим прямую |
ВС, пересечение которой с горизонталью, проведенной через о, и
определит конец вектора ускорения ас.
10. Как и в плане скоростей, всякое звено в плане ускорений
повторяется в виде подобной фигуры, но повернутой относительно
его на некоторый угол, причем эта фигура состоит из относи-
Кинематика механизмов
391
тельных ускорений и носит название картины относительных
ускорений данного звена.
1. Пример Четырехзвенный механизм (фиг. 56).
При njj = const для построения плана ускорений проводим оаЬЦАВ и откла-
цываем ob = — мм, затем через полюс оа проводим прямую || ВС и
проектируем
Фиг. 56.
План ускорений
на нее ob, т. е. проводим bb' _|_ ВС. Подсчитываем на основании плана скоростей
вектор тх = ——— мм и откладываем его от Ъ’ в соответствующем направлении,
ВС-3
из полученной точки с* проводим проектирующий луч (X ВС), на котором и должна
___ na(v \ аС( \
лежать точка с. Затем от полюса на линии'|| CD, откладываем т? =	 W ж \п) _
₽ ?
V	—i t —
. L — ° g ‘° мм (otc берется в мм из плана скоростей), получаем точку с".
CD’» CD-»
392	Т. !• Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Проводя через нее направление тангенциального ускорения точки С, в пересечении
с предыдущим лучом получим с и, следовательно, вектор о.2с.
Строя на относительном ускорении вс Д bcj, подобный Д BCF, получаем точку /,
а следовательно, и ускорение а^= o2f'$ м\сек*.
Величины т в предыдущих построениях планов ускорений найдены путем под-
счета, но они могут быть найдены также и графически.
И. В звеньях, имеющих, кроме относительного движения, также
еще криволинейное переносное, нередко появляется ускорение
Кориолиса (добавочное или поворотное). (См. „Теория движения*,
стр. 267).
2. Пример. Механизм шеппинга (фиг. 57)
В — точка звена АВ
В, -	„	„	CD
D —	„	„	CD
D2 —	„	»	Л17И.	*
Строим план скоростей и, пользуясь им, находим направление относительной
скорости точки В на основании зависимости:
VB ^VB + В VВ или =	+ bbi
и направление угловой скорости переносного движения (ц>^,^) — этим и определится
направление ускорения Кориолиса.
В данном примере полное ускорение подвижной точки В известно, а для опре-
деления ускорения точки Bj зависимость будет следующая:
пр. — акор = пр. aBi,
(Из проектирования на нормаль к поверхности кулиссы).
___
Порядок построения: о2Ь || АВ-, о^Ь = — ; через полюс о2 проводим прямую I CD
в
и на нее проектируем b (bb’ || CD). Из Ь'влево откладываем b'b2 =	мщ
___	н
_	__ Od • а	___ ___
где аКОр	=	^мм, где bbt и od в мм из плана скоростей.
Из Ь/ проводим проектирующий луч || CD. на котором будет лежать точка Ьг. Через
полюс проводим прямую, параллельную CD, и на ней откладываем o>bk" (C'b/'j^
= tn2 = °l°l ” мм. Из полученной точки /’/'проводим проектирующий луч I CD до пе-
ресечения с предыдущим лучом, что и дает точку 1\.
— -г СЪ
od = obt - — .
СВ
В узле D проекции ускорений точек D и Dt на горизонталь должны отличаться на
ускорение Кориолиса, которое равно нулю, так как угловая скорость переносного
движения ползуна/ИА! равняется нулю,следовательно, od,=om и а~^ =от^ м сек—*.
Кинвхматика механизмов
193
II.	Передачи
а)	Зубчатые передачи (см. Детали машин)
Ь)	Кулаки и эксцентрики
Составил А. М.
Передача движения при помощи зубчатых колес находит при-
менение по преимуществу в тех случаях, когда требуется сохране-
ние передаточного числа и надежность сцепления. Лишь в редких
случаях применяются некруглые зубчатые колеса, причем возмож-
ные закономерности изменения передаточного числа все же огра-
ничены. Применение кулаков и эксцентриков в этом отношении
имеет большие преимущества. При помощи этих деталей возможно
осуществить преобразование вращательного движения в посту-
пательное или во вращательное же как в плоском, так и в про-
странственном расположении звеньев механизма; кроме того, воз-
можно преобразование равномерного вращательного движения
в неравномерное движение заданного звена механизма, причем
закономерность изменения кинематических параметров может быть
выбрана по усмотрению конструктора. Наконец, кулаки и эксцен-
трики позволяют осуществлять прерывистое движение рабочего
органа машины с остановками в заданные моменты времени и
на заданную продолжительность.
Все это достигается при сравнительно несложном конструктив-
ном оформлении и небольшом числе звеньев механизма.
По принципу действия кулаки и эксцентрики родственны зуб-
чатым колесам, так как передача во всех этих случаях осуществляется
непосредственным давлением криволинейного контура одного звена
на тело другого звена. Отличие между зубчатыми колесами и экс-
центриками можно усмотреть в том, что зубчатые колеса в относи-
тельном движении взаимно обкатывают друг друга своими конту-
рами, в то время как эксцентрик последовательно всеми точками
своего контура воздействует сосредоточенно в одно место на огра-
ниченный участок сопряженного звена. Второе существенное отличие
состоит в том, что зубчатые колеса по своей конструкции способны
осуществлять непрерывную передачу движения в одном направлении,
кулаки же и эксцентрики в состоянии передавать сопряженному
звену только колебательные движения.
При исследовании эксцентрикового механизма необходимо
установить зависимость между углами поворота эксцентрика и дви-
жением сопряженного с ним звена. Рассмотрим наиболее важные
случаи.
1. Плоский эксцентрик и штанга. Механизмы этого рода
назначаются для преобразования вращательного движения в посту-
пательное (фиг. 58).
394
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Пусть эксцентрик
мещается вертикально
А вращается около оси В, штанга же пере-
вдоль оси tn-т и имеет на нижнем своем
конце круглый каточек К, которым она
и упирается в контур эксцентрика.
Сначала выстраивают эквидистантный
контур отстоящий от данного контура
на расстоянии радиуса
каточка К. Благодаря
этому контур Л1всегда
удерживает на себе
центр каточка О.
Затем из центра В
проводят лучи под
углами 22,5° или 30°
не более 45°, которые
Фиг. 58.
и во всяком случае
пересекут контур Аг в точках /, 2, 3 и т. д.
Сносят из центра В эти точки циркулем
на вертикаль тт и получают отметки по-
ложения центра каточка при движении
а. Ъ, с и т. д. Остается построить диаграмму,
характеризующую движение штанги в функ-
ции времени.
Считая, что эксцентрик вращается рав-
равным углам поворота его ОВЦ 1В2, 2ВЗ
равные времена. ”

номерно, полагаем, что
и т. д. соответствуют
(справа) размечаем 12 одинаковых интер-
валов и, наконец, по правилам аналити-
ческой геометрии соединяем соответ-
ственные точки. Таким образом полу-
чается диаграмма (S, /). Дальнейшая
обработка ее и получение производных
диаграмм (v, /) и (a, t) производится по
изложенным выше методам.
2. Плоский эксцентрик и рычаг
с каточком (фиг. 59). Следуя порядку,
изложенному для предыдущего случая,
сначала выстроим эквидистантный эксцен-
трик по данному А. Центр каточка О
перемещается по окружности Q, описан-
ной из оси вращения рычага С. Раз-
мечаем контур эксцентрика At и полу-
чаем точки: /, 2, 3 и т. д., причем здесь
нет нужды заботиться о том, чтобы углы
OBJ, 1В2, 2ВЗ и т. д. были равны друг
другу. Важнее дать такую разметку кон-
тура Аь чтобы все крутые переходы
на нем были хорошо размечены. Назван-
ие же углы могут быть произвольны.
Я
h
Поэтому на оси абсцисс
Фиг. 59.
Кинематика механизмов
395
После этого из центра В циркулем сносим точки 7, 2, 3 и т. д.
на круг Q, где соответственно получаются точки а, Ь, с и т. д. Эти
последние точки следует соединить как с центром В, так и с цен-
тром С. При этом получаются:
аВ1, ЬВ2, сВЗ и т. д. — углы поворота эксцентрика и
ОСа, ОСЬ, ОСс и т. д. — углы поворота рычага ОС.
Внизу дана кривая зависимости углов поворота рычага (₽) от углов
поворота эксцентрика (а). Как видим, ось абсцисс оказалась разде-
ленной на неравные интервалы. Однако же эксцентрик может вра-
щаться равномерно и все же этим
неравным • угловым интервалам
будут соответствовать пропорцио-
нальные неравные времена, т. е.
ось абсцисс снова может быть при-
нята за ось времен.
3. Пространственный напра-
вляющий паз. Вышеописанные
эксцентриковые передачи отли-
чаются тем свойством, что они
надежно действуют лишь до тех
пор, пока радиус эксцентрика уве-
личивается. Тогда действительно
получается принужденное движе-
ние. Что же касается обратного
хода штанги или рычага, то контур
эксцентрика может на этом участке
движения только поддерживать
каточек, тянуть же штангу и тем
более преодолевать ее сопроти-
вление он здесь уже не может.
Очевидно, вышеописанные кон-
струкции пригодны для тех слу-
чаев, когда в одном направлении
движения выполняется известный
рабочий процесс, а в обратном
Фиг. 60.
направлении имеет место так называемое холостое движение, т. е.
без нагрузки.
В тех же случаях, когда оба хода оказываются рабочими, необ-
ходимо применять так называемый направляющий паз, который
по существу является двухсторонним эксцентриком и может при-
нуждать к движению сопряженное звено в обе стороны.
На фиг. 60 изображен цилиндр Л, на поверхности которого
прорезана канавка ВВ, являющаяся направляющим пазом для
пальца С, укрепленного на штанге КК, перемещающейся парал-
лельно образующей цилиндра. При вращении цилиндра штанга
получает колебательное движение. Внизу дана развертка цилиндри-
ческой поверхности и направляющего паза на ней. Здесь видно,
396
Т. Т.‘ Отд. 2. Механика. IT. Прикладная механика
что за первый оборот палец пройдет по канавке DElt за второй
оборот по канавке EFt и, наконец, за третий оборот по FDV После
трех оборотов цилиндра палец С возвращается в свое исходное
положение.
Кинематическое исследование движения штанги лучше всего
проводить на развертке цилиндра. Предполагая, что цилиндр вра-
щается равномерно, отмечаем на развертке 8 равных интервалов
и проводим горизонтали через точки деления. Точки пересечения
Фиг. 61.
этих горизонталей со сред-
ними линиями канавок, как
например Mt N, Р, Q и т. д.,
сносим на горизонтальную
кромку DF, где и получим
точки т, п, р и т. д., ука-
зывающие положения пальца
штанги в конне каждого
интервала. Таким образом
определились перемещения
штанги: Ет, тп, пр и т. д.
Этим способом нужно обра-
ботать все три канавки и за-
тем обычными методами со-
ставить диаграммы: путь-
скорость-ускорение-время.
Очень удобно в этом
случае применить метод пла-
нов скоростей. Так как ли-
нейные окружные скорости
на поверхности цилиндра
одинаковы для всех точек, то для примера скорости точек М и /?
могут быть представлены' равновеликими векторами v, отложенными
по вертикальному направлению. Проектируя эти скорости на нор-
мали а и Ь, получим в горизонтальном направлении векторы ско-
ростей точек /Ии/?, обозначенные через v7 на седьмой горизонта пи
и на четвертой. Подобным же образом могут быть построены
векторы скоростей и для других моментов движения.
4. Обращение движения эксцентрикового механизма. Во мно-
гих случаях метод обращения движения дает прекрасные результаты
при кинематическом исследовании эксцентриковых механизмов.
На фиг. 61 изображен эксцентрик А и налегающая на него
сверху планка CD, вращающаяся около неподвижного центра О.
При непрерывном вращении эксцентрик, нажимая на планку, при-
водит ее в колебательное движение. Угловые перемещения планки
можно получить из углов р, под которыми наклонена планка
но отношению к неподвижной линии центров ВО. По методу обра-
щения движения считаем эксцентрик неподвижным, а планку вместе
с ее осью вращения О поворачиваем против часовой стрелки
(по заданию эксцентрик вращается по часовой стрелке). Тогда
Кинематика механизмов
397
Поборот вправо	Выстой	Повар Алова	Выстой
/	2	3	4сеА.
Фиг. 62.
планки соответствует повороту
центр О займет последовательно положения 1, 2, 3 и т. д. и планка
соответственно — 1 Dv 2	3D3 и т-. д. Эти положения планки
получаются проведением касательных из точек 7, 2, 3 . . .к кон-
туру эксцентрика. В результате получаются углы р2, ₽з и т- Д-
Теперь нетрудно определить угловые перемещения планки. Для
этого следует взять разности:
0 — 01. 01 — 02. 02 — НЗ И Т. Д.
Если эксцентриковая окруж-
ность была разделена на п
равных частей в предполо-
жении, что эксцентрик вра-
щается равномерно, то каж-
дое приращение угла повс
эксцентрика на угол
а =	.
п
что часто при
о
Фиг. 63.

Затем обычными методами составляется диаграмма р=/(а) = <р(/)
и, наконец, производные диаграммы скорости и ускорения в движе-
нии планки.
Достоинство этого метода — его простота. Недостаток в том,
обращении движения требуются ненормально боль-
шие размеры бумаги, что технически затруд-
няет выполнение работы.
5. Проектирование эксцентриков. При-
ступая к проектированию эксцентрикового
механизма, конструктор должен иметь в виду
следующие этапы работы: а) на основании
тщательного изучения технологической сущ-
ности той операции, которая будет осуще-
ствляться эксцентриковым механизмом, нужно
составить цикловую диаграмму дви-
жения рабочего органа, Ь) выбрать тип меха-
низма, с) определить положение оси враще-
d) выбрать закономерность движения рабочего
ния эксцентрика,
органа, е) построить кинематические диаграммы, f) вычертить кон-
туры идеального и реального эксцентриков.
Рассмотрим эти этапы работы по отдельности.
а) При разработке цикловой диаграммы движения рабочего
органа необходимо определить продолжительность полного цикла
движения, длительность рабочего и холостого хода, а также про-
должительность остановок (выстой . Оформление цикловой диа-
граммы может быть в виде прямолинейной или круговой диаграммы.
На фиг. 62 для примера показана прямолинейная цикловая диа-
грамма, а на фиг. 63 — круговая, причем продолжительность
составных частей и расположение их на обеих диаграммах оди-
наковы. Отметим кстати, что хорошая проработка цикловой диа-
граммы приводит к сокращению той или иной составной части
398	Т. I- ОТД- 2- Механика. П. Прикладная механика
цикла, благодаря чему цикл сокращается и повышается произво-
дительность машины.
Ь) При выборе типа механизма необходимо учитывать общую
конструктивную ситуацию, назначение механизма, характер выпол-
няемой операции, размер нагрузки, предполагаемое расположение
звеньев. Здесь конструктор решает, плоский или пространственный
механизм необходимо проектировать, будет ли эксцентрик со штан-
гой или с рычагом и т. д.
с) Так как размеры эксцентрика неизвестны, то неизвестно
также, где должна быть расположена ось вращения его. Ниже
в примере задача нахождения этой оси разрешена.
d — е) Далее конструктор должен выбрать законы движения
рабочего органа. В этом отношении в его распоряжении всегда
Фиг. 64.
Фиг. 64а.
имеются большие возможности. На фиг. 64 изображены кривые
путей а, Ь, с и d, затем соответствующие им по порядку кривые
скоростей Л, В, С и D и, наконец, кривые ускорений а, (3, у и б.
Кривые скоростей Л, В, С и D подобраны таким образом, что все
они имеют одинаковый по величине максимум vmax. При этом А —
прямоугольник, В — эллипс, С — парабола и, наконец, D — синусоида.
Площади этих кривых относятся друг к другу, как числа:
- к 2	1
1:	Т : "з : т
Так как площади эти в соответствующем масштабе .равны
амплитудам качания рабочего органа, то отсюда видно, что наи-
большая амплитуда получится при законе скоростей Л, а наимень-
шая— при законе скоростей D.
Кинематика механизмов
399
Легко получить вывод и из обратной постановки задачи.
Именно, если размах качания рабочего органа задан (рабочий ход),
то при законе скоростей А получится наименьший vmax, при за-
коне же скоростей D — наибольший. Кривые В, b и С, с занимают
промежуточные положения.
Так как кинетическая энергия массы пропорциональна квадрату
скорости, то закономерность А при данном размахе приводит
к кинетической энергии в четыре раза меньшей, чем закономер-
ность D.
Переходя к рассмотрению кривых ускорений, замечаем, что
в самом выгодном положении оказывается кривая 6, у которой
максимальное ускорение меньше всех. Кривая а в начальный момент
движения и конечный имеет ускорения, равные бесконечности,
в течение же всего интервала ускорения равны нулю. Кривые
₽ и f занимают промежуточные положения.
Таким образом исследование приведенных закономерностей дает
основание сделать следующие выводы:
1.	Движение по законам а, А, а характеризуется самой малой
скоростью t>max и, следовательно, самой малой кинетической энер-
гией. При этом, однако, получаются в начальной и конечной точках
бесконечно большие ускорения и, следовательно, удары.
2.	Движение по законам dt Ь, 6 характеризуется плавностью
хода, отсутствием ударов, но при этом получаются высокие ско-
рости vmax и большие кинетические энергии.
3.	Другие кривые Ь, В, ?, а также с, С, у занимают промежу-
точное положение между рассмотренными.
В каждом конкретном случае конструктор должен выбрать
подходящую закономерность, причем на базе приведенных кривых
он может составить комбинированную кривую, чтобы, например,
избежать удара в начальный момент и не получить очень высокой
кинетической энергии.
f) После того как закономерность выбрана и диаграмма (S, t)
определилась, остается вычертить профиль эксцентрика. Задача эта
является обратной по отношению к тем, которые были решены
выше (фиг. 58, 59 и 60).
Пример. Пусть требуется спроектировать контур эксцентрика для поднятия
и опускания рабочего стола машины с остановками вверху и внизу.
а) Пусть изучение процесса
движения столика дозволяет уста-
новить периоды движения, и на
атом основании составляется ци-
кловая диаграмма (фиг. 65).
Ъ) Для движения столика вы-
бираем эксцентриковый механизм
с вертикально двигающейся штан-
гой.
Подъем	Выстой вверху	Спуск	Выстой внизу
1			
о V 0,2	0,3	0,4- OScet
Фиг. 65.
с)	Положение центра эксцент-
рика определится следующим образом.
Пусть сечение эксцентрикового вала определено по конструктивным соображе-
ниям и диаметр вала равен 40 мм. Втулка также рассчитана, и диаметр ее равен
80 мм. Для того чтобы каточек штанги не упирался непосредственно на втулку,
400
Т. I. Отд. 2. Механика. П. Прикладиая механика
прибавим 5 мм и таким образом найдем наименьший радиус эксцентрики
80 , . ЛК
г -	—h ° мм = 45 мм.
Подобным же образом найдется наименьший радиус каточка, укрепленного
на конце штанги. На фиг. 66 показано расположение механизма.
Здесь — наименьший радиус эксцентрика,
Фиг. 66.
а г0 — радиус каточка.
d)	Для подъема и спуска столика выбираем
гармоническое движение, т. е. кривые типа D.
Это делается в допущении, что механизм тиховод-
ный при небольших массах, так что значитель-
ная кинетическая энергия не возникнет, зато
в остальных отношениях закономерности эти хо-
роши.
е)	На основании изложенного построены на
фиг. 67 диаграммы скоростей и путей штанги.
Так как подъем и спуск штанги по величине
равны друг другу, то на диаграмме скоростей пло-
щади двух синусоид также должны быть равны.
01 сюда получается различие в высоте синусоид,
что в свою оче> едь характеризует скорости при
подъеме и спуске, именно при спуске столик имеет
^тах в два Раза больший, чем при поднятии.
f)	Теперь остается разбить эксцентриковую
окружность на интервалы, соответствующие интер-
валам кинематических диаграмм, и обратными
засечками определить профиль сначала идеального
эксцентрика Hi (фиг. 67а), а затем и ре'ального А.
Построение ясно из чертежа.
Оно начато с наини^шего положения штанги,
т. е. с окружности, соответствующей наимень-
шему радиусу эксцентрика /?0.
От точки 0 до точки 8 при повороте эксцент-
рика на 144° идет подъем штанги. Затем от точки 8 до 9 радиус эксцентрика не
изменяется, и штанга остается неподвижной вверху. Эксцентрик при этом повора-
Фиг. 67а.
Фиг. 67,
Кинематика механизмов
401
чивается на 72'’. Далее при повороте еше на 72’ радиусы эксцентрика убывают и на
остальной части контур сохраняет форму дуги круга, описанной наименьшим ра-
диусом.
В результате получается контур, изображенный пунктирной линией. Он
является идеальным эксцентриком, с цепляющимся с центром каточка.
Проводя из разных точек этого контура семейство кругов (чем больше, тем
лучше) радиусом rQ и затем огибающую их, находим искомый профиль эксцентрика А.
Литература: W. Smith, Engineering Kinematics, 1923. — Н. Schreck, Kine-
matics of Cams, calculated by Graphical Methods. Meeh. Eng. 1926. — C. Ham and
E. Crane. Mechanics of Machinery, 1927. — Д. Зернов, Прикладная механика,
1925. — Л. Левенсон, Кинематика механизмов, 1932. — К. Рерих, Кулак, Техн.
Энцикл. т. 11. — J. A. Hall, Inertia Forces in Cam Mechanisms. Machinist 1933.
с) Редукторы скорости
Составил доц. С. О. Доброгурский
Так называются механизмы для уменьшения скорости вращения.
Механические редукторы представляют зубчатые передачи между
двумя валами с значительным передаточным числом. Кроме рядовых
(последовательных) цилиндрических и червячных передач (фиг. f8),
часто встречаются еще редукторы эпициклические, или диференци-
альные. В них один из передаточных валов со своими опорами
перемещается в пространстве без нарушения сцепления с осталь-
ными валами. Расчет таких передач можно вести несколькими спо-
собами.
Формула Виллиса дает следующее соотношение между числами
оборотов ведущего вала (п^, рычага, или иной детали (перекидки),
несущей опоры подвижного валика (п), и ведомого вала (п2):
п2 = nri п (1 —/).
Здесь i выражает передаточное число механизма в том случае,
когда его перекидка остановлена (п = 0), и он работает как обыкно-
венная, а не диференциальная передача.
Эту формулу можно представить еще в следующем виде;
0)2 = <aLi -|- о) (1 — Z),
где <о2 являются угловыми скоростями: рычага, ведущей ше-
стерни и ведомой шестерни, а I является произведением чисел
зубцов всех ведущих колес, деленное на произведение всех ведомы.'.
Оба выражения для ш2 и п2 показывают, что абсолютная скорость
ведомой шестерни ш2 состоит из двух слагаемых: ^«/ = <03—пер-
вого члена второй части уравнения Виллиса, и добавочной
скорости <о(1—Z), происходящей вследствие вращения рычага.
При этом нужно иметь в виду, что все три вращения проис*
ходят в одну сторону — по стрелке часов, и это направление при-
нято за положительное. Если при том же направлении вращения
ведущей шестерни (ее всегда можно считать движущейся по ча-
совой стрелке) рычаг движется в обратную сторону, то его ско-
4Э2
Т. I. Отд. 2. Механика. П. Прикладная механика
рость ш или число оборотов п нужно вводить в уравнение Вил-
лиса с минусом; если обратным станет направление вращения ве-
домой шестерни, то отрицательными будут не только со2 или л2»
но и передаточное число i. Так, например, при двух сцепляющихся
Фиг. 68.
колесах I следует считать отрицательным, если же будет вве-
дена промежуточная ось, и направления вращения станут одинако-
выми, i сделается положительным.
Второй — графический способ — решения той же задачи пред-
ложен проф. Л. П. Смирновым и независимо от него Куцбахом.
Схему простейшего’ диференциального механизма можно пред-
ставить в виде двух колес (фиг. 69), причем подшипники ведомого
Кинематика механизмов
403
расположены в рычаге, свободно вращающемся вокруг оси А.
Ведущая шестерня А имеет угловую скорость ojb и скорости ее
точек будут изменяться, начиная от нуля (в центре) до наибольшего
значения, соответствующего скорости точки С и выражаемого на
фиг. 69 отрезком Се. Закон их изменения выразит прямая Ас, так как
скорости прямо пропорциональны радиусам вращения. ’Тангенс
угла САс, т. е. отношение вектора скорости Сс к радиусу, пред-
ставит в том же масштабе угловую скорость. На линии Ас
фиг. 69 вращение ведомой шестерни вместе с рычагом совершенно
не отражается. Рычаг имеет угловую скорость ш, и скорости его
точек мог\т быть представлены
подобно скоростям шестерни A s' \
треугольником ADd. Это враще- /	___ \	__
ние служит также источником по-	/	\ XX f
ворота ведомой шестерни В во-	[_____ q	0 jzL о
круг ее оси. При повороте ры-
чага колесо В будет принуждено \	м
катиться своими зубьями по зуб- X.
цам неподвижного колеса А; вслед-
ствие этого ведомая шестерня	фиг 69<
начнет поворачиваться вокруг
своей оси В. Если первая, ведущая шестерня, не ост, ется непо-
движною, а сообщает ведомой некоторое вращение, то оно будет
складываться алгебраически с тем поворотом, который ведомое
колесо получило благодаря вращению рычага.
В случае неподвижного рычага мы имели бы самую обыкно-
венную зубчатую передачу, ось шестерни В ( ыла бы неподвижной,
и ее диаграмма скоростей выразилась бы пунктирной линией Вс,
вращение рычага придает точке’ В скорость, выражаемую ордина-
тою ВЬ линии Ad. Ведомое колесо вращается при движущемся
рычаге вокруг центра В, который сам вращается вокруг точки Л;
абсолютное движение ведомой шестерни будет в этом случае,
как доказывается в теоретической механике, также вращатель-
н ы м, но вокруг некоторого М1новенного центра. Поэтому на нашей
диаграмме скорости точек ведомого колеса и для этсго случая
вращения представятся ординатами прямой линии; две ее точки —
скорости зубца С и центра В известны; остается лишь соединить
прямою точки с и Ь. Треугольники скоростей СсЕ и FfE показы-
вают скорости всех точек ведомого колеса; нулевая скорость
(точка Е} соответствует мгновенному центру вращения. Следова-
тельно, вращение рычага заставило ведомую шестерню вращаться
эксцентрически — вокруг не геометрического, а мгновенного
центра Е\ скорости точек С и Г ее окружности оказываются при
этом неодинаковыми. Угловая скорость абсолютного вращения (тан-
генс угла СЕс) не равна угловой скорости при неподвижном рычаге
(тангенс угла СВс)\ их разность дает добавочное вращение шестерни,
происходящее от движения рычага.
Разберем двумя способами перебор станка (фиг. 70). В ней г и
представляют два шкива; на одном из них по желанию может
404	Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
работать ведущий ремень. Шкив t\ закреплен на валу W, и при
работе ремня на нем вал W получает то же число оборотов в ми-
нуту, что и шкив
Фиг. 70.
гх (и = 80).
Шкив г надет
на вал свободно и
передает валу вра-
щение через ось b
шестерен g .и tb
соединенных в од-
ну общую деталь.
Первая из них сце-
пляется с колесом
связанным с хра-
повиком j, а вто-
рая—с колесом gx,
закрепленным на
валу W.
Сравнивая фиг. 70 с рассмотренной схемой (фиг. 69), нахо-
дим, что ведущей шестерне соответствует у нас колесо /, рычагу —
шкив г, а ведомому колесу — шестерня gx. Таким образом и. = 0
(храповик $ задерживается от вращения собачкой), а число оборо-
тов п перекидки равно числу оборотов шкива. Передаточное число I
при неподвижном рычаге (перекидке) равно отношению чисел зубьев
21
По формуле Виллиса получаем:
число оборотов вала = п2 = 0 • I -|- п -
Если п = 80, t = 39, tx = 23, g = 23 и gt = 40, то
Итак, передаточное число диференциального перебора оказы-
вается весьма значительным.
Фиг. 71 представляет графическое исследование того же меха-
низма. Точка А обозначает центр вала; по оси абсцисс отложены
отрезки: АВ, равный радиусу шестерни t, ВС, равный радиусу
шестерни g; в обратном направлении CD — радиус шестерни и DA—
радиус шестерни gp Точка С представляет центр болта b (фиг. 70),
и сумма радиусов t и g равна в механизме сумме радиусов tx и gv
Точка А (центр вала) имеет нулевую скорость, так как непо-
движна при его вращении; скорость точки В также равна нулю, потому
что шестерня t вместе с храповиком неподвижна. Скорость точки С
изображаем отрезком Сс\ при этом тангенс угла сАС в некотором
масштабе представит угловую скорость шкива. Шестерни g и tx
должны будут вращаться с большею угловой скоростью (тангенс
Кинематика механизмов
405
угла сВС). Скорость точки D касания шестерен tx и gx выразится
ординатой Dd, а угловая скорость шестерни gx и вала W — тан-
генсом угла dAD. Отношение tg dAD: tg с AC = еС: сС предста-
вляет передаточное число дифе-
ренциального перебора, и если
чертеж исполнен точно, должно
быть равно 1 :40.
Простейшим методом расчета
является формула Виллиса. За-
труднения и довольно серьезные
при ее применении встречаются
лишь в знаках (+ или —) чисел
оборотов и передаточного числа,
подставляемых в формулу. В меха-
низмах пространственных правиль-
ная постановка этих знаков тре-	Фиг- 71.
бует особенной тщательности.
Здесь-то и начинается область применения двух других способов,
в которых нет необходимости отдельно обсуждать знаки рассматри-
ваемых угловых скоростей.
Фиг. 72.
Приведем схему фрикционного редук-
тора Гаррара, описанного проф. П. К. Худя-
ковым („Вестник инженеров*, 1927, № 10).
Ролики а, b и с охвачены кольцом d, наде-
тым с легкой натяжкой; последняя уравно-
вешивается сопротивлением роликов и на
подшипники не передается. При движении
ведущего ролика а кольцо d захватывается
трением и сдвигается в положение, показан-
ное на фиг. 72 пунктиром, причем на ме-
сто диаметра кольца EF становится его
хорда, меньшая по длине. Благодаря этому
увеличивается трение между роликами и происходит передача дви-
жения от а к Ь. Передаточные числа могут быть очень значитель-
ными.
Фиг. 73 и 74 изображают гидравлические редукторы поршневой
(системы Дженни) и лопаточный (системы Энор). В первом цилин-
дры насосов и двигателей расположены параллельно оси вала;
шатуны поршней соединены шарнирно с наклонными шайбами а и е.
Шайба а двигателей закреплена на ведомом валу под постоян-
ным углом, угол же наклона шайбы е, ведущей насосы, может
изменяться при помощи червяка h. В этом и состоит регулирование
числа оборотов, сообщаемого редуктором ведомому валу.
Каждая из половин редуктора Энор (фиг. 74), т. е. и насос и
двигатель состоит из вращающегося колеса d, несущего лопатки с,
с роликами, движущимися в пазу корпуса а. Последний смещен
относительно центра вращения вала, и изменение этого эксцентри-
цитета служит для регулирования числа оборотов ведомого вала,
так как изменяет количество подаваемого насосом или потребляемого
406
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
мотором масла. На чертеже насосная часть имеет меньший диаметр,
что соответствует передаче с уменьшением скорости вращения.
При больших скоростях гидравлические регуляторы скорости
(редукторы) встречаются редко и уступают свое место электриче-
ским передачам с регулировкою числа оборотов мотора.
Фиг. 73.
Трансмиссионные электродвигатели (тяговые и крановые моторы
имеют свои специальные устройства для изменения скорости) —
с регулированием числа оборотов и работают на постоянном и
на трех фазном токе.
Фиг. 74.
Возможность регулирования числа оборотов электродвигателя
является очень важной: благодаря ей мотор может приспособиться
к скорости машины - орудия, причем значительная часть передач
(зубчатых, ременных и др.) между ними становится излишней.
Механические редукторы имеют широкое распространение в стан-
ках, коробках скоростей и подач, трансмиссиях от электромоторов
и в подъемных устройствах. Наряду с ними встречаются и редук-
торы, работающие по иным . рлнлпам, — гидравлические и электри-
ческие.
Динамика механизмов
407
Первые представляют собою две гидравлических машины, порш-
невых или лопаточных: приводный насос с одним или многими
цилиндрами, подающий жидкость (чаще всего масло) под давлением
во вторую часть, и двигатель, поршневой или турбинный, вращаю-
щийся под действием поступающей в него жидкости. Регулируя
ее количество или давление (в разных системах имеются для этого
различные приспособления), мы находу плавно изменяем число обо-
ротов, а иногда и направление вращения второй, ведомой поло-
вины редуктора и механизмов, которые она приводит в движение.
Литература. Смирнов Л. П.» Кинематика механизмов и машин. — С м и р-
н о в Л. П., Исследование вращательного движения при помощи треугольников
скоростей (статья в „Вестнике инженеров и течников", 1932, № 8). — Schlesinger,
BerechnungderWerkzeugmaschinen(„Werkstattstechnik“, 1910).—Самусь А. М., Гидра-
влическая передача в машиностроении („Вестник комитета по изобретениям", 1931); —
Die Elektromotoren in ihrer Wirkungsweise und Anwendung von K. Meller. — Пи г-
га м м e p, Электромоторы, их работа и применение.
D. Динамика механизмов
Составил А. М.
I. Трение в машинах
а) Сопротивление при относительном движении тел, прижатых
друг к другу
Два тёла могут касаться друг друга в одной или нескольких
точках, по линии, или, наконец, по целой поверхности. Если тела
касаются друг друга только в одной точке и затем при относитель-
ном движении одного из этих тел по другому
точка эта остается неподвижной, то возможно	и)
лишь вращение первого тела около этой самой	/ус
точки.	//А
Движение это называется верчением тела.	В/уС/
Если ось верчения остается постоянной, движе-	/, 9\
ние называют иногда сверлящим по аналогии Zv/
с движением сверла.	///^
Если некоторая точка одного тела в отно- X/
сительном движении пробегает ряд точек, при-
надлежащих другому телу, получается сколь- фиг> 75
жение точки. Подобным же образом целая
группа точек одного тела может одновременно скользить по по-
верхности другого тела, причем пути и скорости скольжения
каждой точки могут быть отличными от путей и скоростей сколь-
жения других точек.
Скольжение-вращение получается тогда, когда тело
В вращается около оси п'—п и в то же время продвигается вдоль
нее (фиг. 75). Термин этот нужно отличать от простого скольжения
при вращении тела В около А. Наконец, й том случае, когда
ряд точек, принадлежащих одному телу, последовательно приходит
в соприкосновение с рядом точек, принадлежащих другому, полу-
408
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
чается качение тела, или язление катания тел. Если катание не
сопровождается хотя бы частичным скольжением, оно называется
чистым.
Хртя верчение теоретически относится только к одной точке,
однако практически всегда около точки касания двух поверхностей
(например, двух шаров) при некотором нажатии их, под влиянием де-
формации, образуется некоторая площадка взаимного касания, в ре-
зультате чего при относительном движении по принципу верчения
оказывается налицо скольжение точек на этой площадке. Та-
1ким образом при осевом давлении у шпинделя получается трение
в подпятнике (стр. 421).
Скольжение всегда сопровождается потерей мощности, так как
в плоскости взаимного, касания тел в этом случае возникает сила
сопротивления, или трение, и, кроме того, точка приложения
этой силы перемещается.
Ниже будет указано, что при катании тел друг по другу также
возникают сопротивления и потребляется мощность.
На основании изложенного ниже будут рассмотрены лишь слу-
чаи сопротивления при скольжении и катании тел.
Ь) Сущность явления трения сухих и слабо смазанных тел
Пусть дано два тела: А — неподвижное и В — перемещающееся
так, что между двумя этими телами удерживается соприкосновение
по плоскости п—п (фиг. 76). Сила JV, нормальная к поверхноаи
соприкасания тел, сжимает их между собой. Опыт
IjV	показывает, что в этом случае возникает как бы
т__ р сцепление между обоими телами, и чтобы сдви-
п ' F~ L ? I ~~ ПУТЬ тело по напРавлению1 параллельному
плоскости п—п, необходимо приложить силу Р,
А '	величина которой определяется эмпирически в
каждом отдельном случае особо.
фиг 7б	Возникающее сопротивление называется тре-
нием, а сила сопротивления — силой трения.
Сила эта реактивна. Она уравновешивает силу Р, в то время как
нормальное давление уравновешивается силой реакции опорной
поверхности. Таким образом можно написать соотношения:
Т=Р...........................(1)
R = N,	. . • •.............(la)
EM = 0,.........................(2)
где Т—сила трения, R— сила реакции поверхности, а £44 — сумма
моментов всех сил относительно любой точки. Если считать, что
сила Р также приложена в плоскости п—п, то опрокидывающая
пара сил Р и Т равна нулю. Опыт показывает, что сцепление между
телами зависит от многих факторов, так что в каждом отдельном
случае лишь определенное значение силы Р оказывается достаточ-
ным для сдвига тела В по телу А. Назовем это значение через Ро.
Динамика механизмов
409
В таком случае всякая сила Р} < Ро не в состоянии сдвинуть тело В.
Но ур-ние (1), очевидно, справедливо для всякого значения силы Р,
т. е. оно справедливо и для случая, когда тело В остается неподвиж-
ным, т. е.. 7\ = Таким образом при неподвижном положении тела
В сила трения может принимать все возможные значения от 0 до
Ро, т. е. она по существу оказывается неопределенной величиной.
Далее, опыт показывает, что после того как тело В тронулось
с места, сопротивление трения сейчас же ослабевает и для даль-
нейшего поддержания равномерного движения достаточно иметь
уже силу Р2, которая меньше, чем Ро. Наконец, при установившемся
равномерном движении тела В получается некоторое постоянное
сопротивление, которое выражено было в ф-ле (1) через Р.
Если бы мы представили схему изменения силы трения от мо-
мента приложения силы Р до достижения равномерного движения,
причем силу Р увеличивали бы постепенно, до момента начала
движения, то получили бы диаграмму, изображенную на фиг. 77.
Здесь показано, что в покое сила трения постепенно изменялась
бы от нуля до величины Р(}, затем т
ние и сейчас же сила трения упала
бы до тех пор, пока не установилось
бы равномерное движение, соответ-
ствующее сопротивлению Т,
А. Верховский показал 1), что пе-
реход тела из состояния покоя в дви-
жение происходит плавно, так что
движение фактически имеет место
уже при самых малых значениях тя-
нущей силы Р. Однако эти предварительные смещения очень малы
и измеряются лишь одпим-дзумя микронами.
Механическая теория трения твердых тел основана на
том, что поверхности трущихся тел предполагаются всегда шерохова-
тыми, и если простым глазом шероховатости незаметны,
fTo при микроскопическом исследовании поверхности
ясно видна кристаллическая структура твердых тел. На
этом основании предполагают, что зерна, лежащие на
поверхности одного тела, частично зацепляются за зерна
другого тела, и затем при движении тел друг по другу
зерна эти обрываются, чем объясняется шум при тре-
нии и пыль, остающаяся на поверхностях после трения.
Молекулярная теория трения * 2) строится на
том положении, что нажатые друг на друга молекулы
двух тел подвержены взаимно отталкивающим силам,
молекулы же, приближающиеся друг к другу, взаимно
притягиваются. Если сдвигать одно тело по другому,
Фиг. 78. то получается перераспределение молекулярных сил,
начало оы свое движе-
Фиг. 77.
’) А. Верховский, Явление предварительных смещений при трогании не-
смазанных поверхностей с места. Жур. ,,Прикл. физика" Томск. техн, инст-та, 1926.
2) О. Tomlinson, A, Molecular Theory of Friction, „Phil. Mag.“, 1929.
410
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
причем сдавленные молекулы освобождаются друг от друга и оттал-
кивающие их силы перестают действовать. Но вместо этих молекул
другие пары их вступают во взаимодействие и подвергаются новым
отталкивающим силам и т. д. В этом процессе происходит непре-
рывная потеря работы молекулярных сил, что и характеризует собою
явление, известное под именем трения.
Хотя по механической теории трение между телами должно уменьшаться по
мере увеличения шлифовки поверхностей, однако совершенно особый случай пред-
ставляют высоко отполированные и притертые друг к другу пластинки А и В (фиг. 78),
трение между коюрыми оказывается очень большим вследствие того, что между
пластинками в процессе притирания вытеснен воздух и таким образом пластинки
эти оказываются под сильным нажатием атмосферного давления.
Основной закон трения сухих тел, указанный еще Амонтоном
(1699), экспериментально утвержденный Кулоном 1) (1781), про-
веренный в большой серии опытов Мореном * 2) (1831), Ренни 3) и
др., носит чаще всего имя Кулона. Он формулируется очень про-
сто в виде соотношения:
........................(3)
Здесь Т и N имеют значения, данные выше в ф-ле (1), а ц — неко-
торый числовой коэфициент, который для каждых трущихся тел
имеет свое особое определенное значение. Он называется коэфи-
циент ом трения. Как видно, закон (3) устанавливает про-
стую пропорциональную зависимость между силой трения и нор-
мальным нажатием тел друг на друга. Вся задача экспериментаторов
заключалась в том, чтобы определить коэфициент трения для
разных материалов при разных условиях опыта. Кулоном устано-
влено, что:
1.	Трение зависит от материала трущихся тел и состояния
их поверхностей.
Очевидно, хорошо обработанные поверхности имеют трения
меньше, чем грубо обработанные.
2.	Трение зависит от продолжительности предварительного
неподвижного контакта трущихся тел.
Опыт показал, что если тела наложены друг на друга и остаются
в покое некоторое время, то при последующем движении трение будет
выше, если предварительный контакт был продолжительнее.
3.	Трение при трогании с места больше, чем при последующем
установившемся движении.
4.	Трение при установившемся движении не зависит от вели-
чины скорости скольжения.
5.	При данном давлении между телами трение не зависит от
величины поверхности соприкосновения этих тел.
Отрицательная формулировка двух последних положений не может быть при-
знана строгой по своему существу. Очевидно, она была допущена Кулоном лишь
потому, что он сам имел сомнения в этих положениях.
г) Coulomb, Th6oriedes machines simples, 1781. „Mem. des savants etran rers“, 1785.
2) Morin, Nouvelles exp6riences sur le frottement, Mem. de I’Acad.fran^aise, 1833.
8) Rennie, „Dinglers Polyt. Journal", 18^9.
Динамика механизмов
411
Таблица 1. Коэфициенты трения и {10
(по Морену и др.).
Трущиеся тела
Коэфициент
скользящего трения у.
Коэфициент трения
для момента трогания
с места р.
Металл по металлу
Кронза по бронзе . .
.	»	чугуну . .
,,	„	железу . .
Чугун по чугуну или
бронзе ...........
Жел. по чуг. или бронзе
Железо по железу . .
Сталь по стали ....
Различные т е л а
Чугун по дубу ....
Железо по дубу . . .
Латунь по дубу . . .
11} 6 по дубу.....<
Воловья кожа по дубу
Воловья кожа в порши, f
Кожаный ремень по ду-
бовому барабану . .
Кожаный ремень по
чугуну .............
Пеньковый канат по не-
обработанн. дереву .
То же по полированн.
Дуб, белый бук, бакаут
по полированному
граниту или желтой '
меди
Камни или кирпич по
кирпичу ............
Камни по железу . .
Камни по дереву . . .
Кам. клад, по бетону .
Каменная кладка по
растительной земле .
То же...............
То же.............’
Сталь по льду ....
		0,20											—		
—	0,21	—	—	—	—	—	—-	
—	—	0,16	—	—	—	—	—	—
				0,15			0,31	—	0,16	—		
—	,18			—	—	0,19	—	—	—
		0,41							—	< ,13	—	——
—	—	—	—	—	0,15	—	—	—
			(сухое					0,65
=.	0,49	0,19	мыло)	0,22	—	—	—	
—					0,08	0,26					0,11	0,65
			(сало)				(сало)	
=	—	—	—		0,62	—	——	—
=	0,48	—	0,16	(мыло)	0,62	—	0,44	(сухое мыло)
±	0,34	—	—	0,25	0,54	—	—	0,71
1	,19	—	—	——	0,43	—	—	—
кои а плашмя	} —	—	—	—	0,61	—	—	—
кожа								
на	уо,зз			—	0/9	0,43	—			0,79
ребро								
плаш-	0,55	0,23	0,15	0,36	—	—	0,12	0,62
мя		(М£	1СЛ0, Ml:	>!ЛО)		(ма	гл о, Мо	>ло)
=	0,27	—	—			—	)0,47	—		
плаш-						у		
мя	0,56	—	—	0,36	—	J 0,28	0,12	0,38
—	—	—	—	—	0,50 0,33	—				
							си U	0,53
—	—	—	—	—	—	—	I <и	( 0,49
							tn Ч	1	J (ба-
4=													СП С Ю Л CN 1	11 каут)
							* geo	11 0,40
—	гладко обделанный				0,53-	- ),73	(насухо)	
—-	на свежем растворе				0,50—0,70		—	—
—	—	—	——	—	0,42-	-0,49	—	—
				—			—	0,46- 0,76	-0,69				
—	су	хой и	твердс	>й	0,65						
—		средней			0,45	—	—	—
—	сырой и		глинистой		0,30	—	—	—
—	0,014,	1 - 1	1 - 1	—	0,027 —		—	—
’) Знак = означает, что движение направлено вдоль волокон обоих тел, знак ф,
что оно направлено поперек волокон, а знак J_, что торец движется вдоль волокон
дерева.
412
Т. I. О.'Д. 2. Механика. П. Прикладная механика
Коэфициент трения считается для данных тел величиной по-
стоянной и от нагрузки N не зависящей.
Ренни устанавливает следующие положения (1829):
1.	Коэфициент трения волокнистых веществ возрастает с уве-
личением поверхности соприкосновения и времени предварительного
контакта, но уменьшается с повышением скорости относительного
движения или давления.
2.	Для дерева, металла и камней можно считать, что трение не
зависит от величины поверхности, скорости и времени предвари-
тельного контакта.
3.	Трение больше у мягких тел, чем у твердых.
4.	Предел порчи трущихся поверхностей определяется твер-
достью более мягкого из двух тел.
Веллингтон (1888) нашел, что при малых скоростях, близких
к нулю, трение быстро падает, если скорость увеличивается, но при
дальнейшем возрастании скорости падение это постепенно умень-
шается.
Вестингауз и Галтон дают такую таблицу трения стального обода
но рельсу:
Скорость мили | час	10	15	25	38	45	50
Коэфиц. трения	0,119	0,087 0,030	0,051	0,047	0,049
Как видно, в данном случае получилось падение коэфициента
трения с повышением скорости скольжения.
Что касается трения слабо смазанных поверхностей,
под которыми подразумевают поверхности, смазанные маслом и за-
тем тщательно вытертые сухой тряпкой, то в этом случае принято
считать, что законы и свойства трения сухих тел остаются и здесь
без изменения.
Нам пришлось убедиться из опыта, что даже при наличии достаточного коли-
чества смазки на трущихся поверхностях иногда удерживается закон (3), если
только шпиндель неспокойно ведет себя в опоре и таким образом полного разделе-
ния шипа от вкладыша смазка не обеспечивает. Но при этом, конечно, колри-
циент трения изменяется и не может быть определен из таблиц, которые приво-
дятся ниже.
Таблица 2. Коэфициенты трения для бандажей
Стальныебандажи по сухим стальным рельсам,
по Пуарэ.
(Вес вагонов от 3400 до 840J кг)
Скорость км в час v = 16,56 | 26,28 | 31,68 | 51,48 | 72,03 | 79,20
Коэфициент трения р. я 0,209 | 0,2061 0,171 | 0,145 | 0,136 | 0,112
Чугунные тормозные колодки по стальным банда-
жам, по Галтону.
Скорость км в час v = 0	| 8,05 | 16,09 | 40,03 | 72,36 | 96,48
Коэфициент трения р » 0,333 [ 0,2731 0,242 | 0,166 1 0,127 1 0,074
Если v скорость (постоянная) движения поезда в км!час> то по
Динамика механизмов
413
опытам Вихерта1) для трения скольжения между тормозными колод-
ками литой стали и стальными бандажами получается
р. = р (1 + 0,0112 г/)/(1 + 0,06 v\
где в случае сухих трущихся поверхностей р = 0,45, а в случае
мокрых р = 0,25. Если поезд, имеющий скорость vt должен быть
остановлен, то для всего времени торможения можно принимать
один средний коэфициент трения р/. Для различных скоростей v
имеем нижеследующие коэфициенты трения, причем для р/ при-
няты невыгодные условия (мокрые рельсы):
Скорость в км{час v = '	0	10	20	30	40	50	60	70	8Э	90
Поверхности тре- ния сухие. . р. =	0,450	0,313	0,250	0,215	0,192	0,176	0,164	0,154	0,147	0,141
Поверхности тре- ния мокрые [л =	0,250	0,174	0,139	0,119	0,107	0,098	0,091	0,086	0,082	0,078
Среднее значе- ние . . . . |х' =	-	0,201	0,164	0,142	0,128	0,117	0,109	0,103	0,098	0,093
Таблица 3. Коэфициенты общего трения для экипажей
Для железных шин 2):
Гладкая дорога из гранитных плит.....................с,0Э6
Рельсы горонеких дорог в среднем...............(,006 до 0,008
Хорошая асфальтовая мостовая.......................  0,010
Отличная булыжная мостовая............................0,015
Шоссированная обыкновенным щебнем дорога в хорошем
состоянии.............................................0,016
Хорошая деревянная мостовая..........................0,018
Хорошая булыжная мостовая.............................0,02)
Шоссированная дорога в хорошем состоянии..............0,( 23
„	„ покрытая пылью и пр................0,028
Плохая булыжная мостовая....................•........0,033
Шоссированная дорога, покрытая грязью, разъезженная . . . 0,035
Грунтовые дороги, очень хорошие.............,	.	... 0,045
Шоссированный путь, плохо построенный................0,050
Грунтовые дороги, разные....................... 0,080 до 0,16"»
Сыпучий песок .................................0,15 „ и,30 ,
Трение резиновых шип по дороге существенно зависит как от
материала и состояния дороги, так и от конструкции резиновой
покрышки. Опыты над автомобилями при скорости до 25 км[час дают
р. = 0,021 до 0,031.
Таблица 4. Коэфициенты трения полозьев
Деревянные полозья по	глад-	]	без смазки................0,38
кому каменному или	дере-	|	смазка сухим мылом........0.15
вянному пути * *	I	смазка салом..............С,07
Деревянные полозья по	снегу	и	льду....................0,035
То же, но полозья обиты железом.......................	. 0,02
’’) „Zentralbl. Bauv.“, 1894, стр. 73.
*) „Zentralbl. Bauv.“, 1888, стр. 543
414
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Таблица 5. Коэфициенты трения точильных камней
Материал	Чугун	Сталь	Железо
Крупнозернистый песчаник .... Мелкозернистый мокрый камень .	0,21 до 0,24 0,72	0,29 0,94	0,41 до 0,46 1,0
Таблица 6. Коэфициенты трения при трогании с места
Давление кг\см'	Железо по железу	Железо по чугуну	Сталь по чугуну -	Латунь по чугуну
13,1	0,25	0,28	0,30	0,23
15,75	0,27	0,29	0,33	0,22
23,5	0,31	0,33	0,35	0,21
31,5	0,38	0,37	0,35	0,21
39,4	0,41	0,37	0,36	0,23
47,2	Повреждена	0,о8^	0,40	0,23
55,2	поверхность	Повреждена	Повреждена	0,23
	(	поверхность	поверхность	
f
с)	Сущность явления трения хорошо смазанных тел
Хорошо смазанными поверхности называются в том случае
когда они при накладывании друг на друга оказываются полностью
разделенными слоем смазки, так что не касаются друг друга.
Хотя .слой смазки очень тонок и чаще всего измеряется по своей
толщине лишь тысячными долями миллиметра (микронами), однако
слой этот может быть представлен состоящим из бесконечно боль-
шого числа диференциально тонких слоев, которые увлекают
последовательно друг друга в движение, причем преодолевается
внутреннее сцепление между частицами жидкости, или вязкость.
На этом основании Н. Петров дал гидродинамическую теорию
трения хорошо смазанных тел (1883) и закон трения в таком виде:

(4)
где Г—сила трения, р— коэфициент внутреннего трения, Q — по-
верхность шипа, V—окружная скорость его.
Наконец, знаменатель
причем Xj и Х2 — коэфициенты внешнего трения смазки на поверх-
ностях металла, а е — толщина смазывающего слоя.
Для смачивающих жидкостей коэфициенты внешнего трения
можно считать очень большими по сравнению с величиной вну-

416
Т. I. Отд. 2. Механика. П. Прикладная механика
треннего трения. Поэтому в упрощенном виде формула Петрова
имеет вид:
£
Здесь коэфициент внутреннего трения р. определяется экспери-
ментально по Пуазейлю, поверхность трения и окружная скорость
вычисляются по размерам конструкции и заданному числу оборо-
тов вала. Что же касается толщины смазочного слоя, то величина
ее е опытным путем определяется с большим трудом. Во многих
случаях она была определена Петровым х), который, кроме того,
дает соотношение
«1 УА_
е2 /Л ’
.............................(6)
где ег и е3 — толщины смазки в двух опытах, a и Р2 соответ-
ствующие "давления на подшипник.
При пользовании формулой Петрова необходимо учитывать температуру
в смазке во время работы, так как влияние ее на числовое значение коэфициента
внутреннего трения очень велико (см. стр. 415).
•На фиг. 79 даны кривые внутреннего трения в функции темпе-
ратуры, полученные в опытах Петрова, проф. А. Зайцева и др.
Здесь следует отметить, что проводимые с большей
легкостью определения вязкости на приборе Энглера
непригодны для расчетов по формуле Петрова. То же
самое нужно сказать и о применении других вискозиме-
тров. Единственно правильным методом для этой цели
является определение вязкости по Пуа-
зейлю из протекания жидкости по*ка-
пиллярной трубке АВ (фиг. 80), причем
вычисление производится по формуле
А
В
Фиг. 80.
И 8Q-L
 . (7)
где: г — радиус внутреннего отверстия капилляра АВ,
Р — давление, под которым находится жидкость в капилляре,
t — время вытекания жидкости,
Q — объем вытекшей жидкости,
L — длина капилляра.
Трудность постановки опыта заключается в необходимости изолировать капил-
ляр в тех случаях, когда определения делаюгся при температурах, отличных от
комнатной.
Радиус капилляра определяется взвешиванием пустого и наполненного водой
отрезка его определенной длины по объему воды. Его следует проверить при раз-
ных температурах.	«
*) Н. Петров, Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости.
вИнж. журн.“, 1883.
Динамика механизмов
417
В следующей таблице приведены краткие извлечения из опыт-
ных данных, полученных Петровым * 4 5).
Таблица 7. Извлечения из работы Н. Петрова
Название масла	m		И	Q	Р	V	Т
Получено из опытов на специальной машине Сурепное 		7,7	51,5	0,00273	6750	474,7	1882	4 900
	3,1	40,0	0,00409	6750	474,7	823	3 078
Темное минеральное 		6,0	40,2	0,00536	6750	474,7	1117	4 666
	1,7	45,2	0,00462	6750	2844	938	7 033
Спермацетовое		—	42,3	0,00202	6750	2470	913	5 092
Вагонной оси							
Сурепное 				22,8	0,00845	60п0	3420	403	Ю 500
Темное минеральное 		—.	26,1	0,01290	6000	3420	403	15 700
Смесь темного минерального с вазелином		—	49,4	0,03000	5900	3410	900	26 500
Здесь: т — расход масла г/ чин,
t — температура в °C,
Р-— коэфициент внутреннего трения,
Q — поверхность в мм2,
Р — давление полное в кг,
v — окружная скорость в мм[сек,
Т — сила трения в граммах.
Разработкой гидродинамической теории трения на основе, дан-
ной Н. Петровым 2), занимались Жуковский3), Рейнольдс 4), Зоммер-
фельд б) и др.
d)	Вычисление трения в разных деталях машин
Горизонтальная плоскость; сила
тяги Р горизонтальна (фиг. 81)
Давление между телами G,
Сила тяги Р, сила трения Г.
Момент сил при повороте тела
около точки А.
Фиг. 81.
Т = ;л • Gm
Т = Р.
Pb = Ga.
’) Н. Петров, Опыт над трением жидкостей, „Изв. Пет. техн. инст.“, 1886.
8) Н. Петров, Гидродинамическая теория трения до работы Зоммерфельда
сущность сделанного им шага вперед.» Вет. О-ва lex. 1Р05. N. Р е t г о f f, Fro.te-
men. dans les machines, «Зан. Акад, наук", СПБ, 1900. Euswall, Theory of Lubri-
cation.
’) H. Жуковский, О гидродинамической теории трения. ,Ж. Р. Ф. X.
О-ва“, 1886.
4) Os b. Reynolds, On the Theory of Lubrication, „Phil. Trans.", 1886.
5) A. Sommerfeld, Zur hydrodyn. Theorie der Reibung, „Zeit. f. Mat. uad
Physlk", 1904.
418
T. t. Отд. 2. Механика. И. Прикладная механика
То же, но сила тяги наклонна (фиг. 82).
Q
Давление G — Р sina.
Р7. IJs Трение Т = S = Р cos а = р. (G — Р sin а)
т
G
Фиг. 82.
р. G
cos a -f- р. sin а
Момент сил при повороте тела около точки А:
Sb = (G — Q) а.
Наклонная плоскость; случай общий (фиг. 83).
Давление G cos а — Р sin р.	Q р
Сила трения T=S — F = Р cos 3 — G sin or =
= р. (G cos a — P sin P).
Если p. = tg p, to
G1” "
Фиг. 83.

sin (а ± р) г
cos(pqzp)
Здесь верхние знаки соответствуют подъему груза вверх,
а нижние — спуску его.
Момент сил при повороте тела около точки Л:
(Р cos 8 — С? sin a)b — (G cos а — Р sin р) а = 0.
Фиг. 84.

To же, при условии, что р = 0
(фиг. 84).
p^sin(a±p) с
COS р
У1д ~ (Р— sin а) b — G cos а • а = 0.
А
Фиг. 85.
Клинчатый
То же, при условии, что В = — а
(фиг. 85).
Р = tg (ffzt р) G.
ползун (и р и з м а) (фиг. 86).
Коэфициент трения призмы
г Iх
p/ = —!.
‘ Sin a
Фиг. 86.
Динамика механизмов
419
е)	Трение в частях передач
1.	Общие данные. Для какого-либо известного движения (конечное или бес-
конечно малое движение) передачи обозначают:
Р — приложенная движущая сила в кг,
Q — полезное сопротивление передачи в кг,
Wp — приложенная работа в кг я,
Wq — полезная работа в кг м.
Тогда, если пренебречь возможными изменениями живой силы,
следует
IF. = работе трения,
v) =	= ко эф иц и е н т у п о л е з и о г о действ и я,
>
Wr
& = — относительной потере работ ы.
О
Имеем:
£=1/^ — 1, Y] = 1/(1 +0).
Если Y] < 0,5,
то и пере-
дача самотормозя-
щая.
Если Pq — тео-
ретическая движу-
щая сила в кг, ко-
торая в состоянии
удерживать в рав-
новесии полезный
груз Q без нали-
чия сопротивлений
трения, a Qo—тео-
ретический полез-
ный груз в кг, кото-
рый могла бы прео-
Фиг. 87а,	Фиг. 87b.
долевать движущая
сила Р, при условии отсутствия трения, то
-q = Ро/Р = Q/Qo.
Если передача состоит из отдельных последовательно сцепленных друг
с другом элементарных передач, имеющих коэфициенты полезного
действия v)h т)2» ^з» • • • >то общий коэфициент полезного действия будет
= *hV13- • •
При обратном движении действует полезное сопротивление
в качестве движущей силы. В этом случае необходима или сила Р'
для препятствования обратному движению	или же необ-
ходима сила Р", действующая в обратном направлении, чтобы вы-
звать обратное движение (самотормозящая передача).
420
Т. 1. Отд. 2. Механика. II. Прикладная ыеханика
фиг. 87b.
Фиг. 88
2. Трение клина. Для передачи по фиг. 87 (клин) следует для
Р и Р' и соотв. для Р” (см. п. 1)
Р \ = О C0S рз Sin — <Р1 + Рз)1
Р', — Р” I W COS Pi COS [a±z(p2+ Рз)'] 
Силы на клине Р, ЛГХ и N2 (нормальные давления), Fr и F2
(трение), а также на ползуне Qt N2 и N3, F2 и F3 находятся в рав-
новесии.
Соотношение между силами видно из графического решения
Самоторможение будет происходить при a <pi+ Рг-
Для Pi = р2 = pg = р будет проще:
Pprt — Р" } = <?‘g(a — 2р); ’) = tga/tg(e + 2p).
3. Трение в винтовой передаче. В винтовых пере-
дачах необходимо принимать во внимание трение
в шейке и в пяте, трение в направляющей передвиж-
ной гайке и т. д.
Болт с гайкой, а) Прямоугольная нарезка. Обо-
значим (фиг. 88):
h— ход или шаг винта,
г — радиус средней винтовой линии,
а — угол наклона средней винтовой линии,
tg а — hl2n г = 1 : п — подъем средней винтовой линии,
Р — силу, действующую на радиусе г,
К — силу, приложенную к плечу радиуса R (ключ),
Q — вертикальный груз.
Получим KR — Pr и (Р, Р', Р" см. выше):
Р	1	~ . , , .	_ Л ± 2г тс (л
Р', _	I - Q (’ 1 Р) ~ Q 2r.r*y.h'
Самоторможение для а < р.
Коэфициент полезного действия т, = tg a-tg (а 4-р).
Если принять во внимание подпятник при том же р:
т) = tg «/tg (а + 2 р),
как у клина.
р) Треугольная и трапецевидная нарезка. Обозначения, см. а).
Далее назовем через р половину угла при вершине нарезки, например р = 30е в на-
резке Селлерса.
Имеем:
_рч } = <?•*?(“ ± р').
где	’____________
tg р' = р. cos a VT 4- tg2 а + tg2 р = |л VT cos’ а tg2 р .
В большинстве случаев угол а мал и поэтому приближенно tg р' = p./cos р.
Самоторможение для а < р'.
Коэфициент полезного действия т) = tg a/tg (а 4" р').
Ввиду того что р' > р, степень полезного действия для треугольной нарезки
при равном угле подъема меньше, нежели для прямоугольной (р =()):
т) Если d — наружный диаметр нарезки, dt— внутренний, <у0 — отверстие ключа
(см. II т. отдел „Детали машин*4, болты), г0 — радиус опорной площади гайки и —
коэфициент трения между гайкой и шайбой, то получаем
г = (d 4- rfJ/4, r9 = (d 4- *)|4 « l,4r, tg a -	2*
Динамика механизмов
421
Отсюда момент вращения затягивания гайки:
М — Qr0 н = [tg (р' + а) 4-1,4 н] Qr.
и момент вращения для отпуска гайки:
P"r + Qr0 р.» = [tg (р' — а) + 1,4 pt] Qr.
Для прямоугольной нарезки вместо р' нужно писать р.
Винт с гайкой. Коэфициент полезного действия винтовой передачи, как тако-
вой, остается, как и для болта с гайкой:	*
т) = tg a'tg (а + р).
Подробнее см. отдел „Детали машин", т. П.
4. Трение в подшипниках и шарнирах. Подпятник
Обозначим через:
Р — давление на пяту по направлению ее оси в кг,
dP — элемент трущейся поверхности подпятника в см"1,
у — расстояние этого элемента от оси вращения в см,
р — постоянное нормальное давление на элемент dF в кг см~2,
р — коэфициент трения скольжения.
Момент трения пяты будет
Мг — |л р J"ydF
в кг см.
Работа трения в секунду при п об/мин
Wr = Мгк п/30 в кг см сек~\
В случае кольцевой пяты (фиг. 89) (и для гребен-
чатой цапфы подшипника) будет:
.,2 DP3 —г3
М'~ 3	R* — r2'
При г = 0 следует для сплошного круга
мг = -|цР7?.
Фиг. 89.
Концевой подшипник. Если Р — давление, передаваемое
На цапфу в кг, / — длина и 2г — диаметр цапфы в см, p = P/2rl —
среднее нормальное давление на цапфу (удельное давление на
цапфу, или давление на единицу площади проекции) в кг/см*,
ft — коэфициент трения цапфы (см. ниже трение цапф), то при
условии неудовлетворительной смазки получим момент трения
для цилиндрической цапфы (фиг. 90) Мг = ft Рг в кгсм.
Работа трения в секунду при п об/мин
Wr = Мг к л/30 = ft Рг к л/30 в кгсм сек -1
Для конических цапф (фиг. 91) следует вместо г принимать
средний радиус. При условии же хорошей смазки нужно пользо-
ваться формулой Петрова (см. выше).
Трение цапф в шарнирных механизмах. Круг
трения. Если цапфа радиуса г (фиг. 92) вращается в подшипнике
с сухим или смешанным трением, то сила трения, действующая по
422
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
касательной, вычисляется в каждой точке по нормальному да-
влению N и равна р. /V; при этом р. = tg р есть обыкновенный
коэфициент трения для скользящего трения. ДОомент трения, т. е.
момент сил трения относительно оси цапфы как оси моментов будет:
* Mr = г р. Е N — г p.j Р.
Коэфициент трения цапфы p.t будет, следовательно, больше, не-
жели р., так как £ N > Р. Его можно определить только опыт-
ным путем, так как распределение сил W неопределенно.
Фиг. 90.
Фиг. 9L
Фиг. 92.
Фиг. 93.
Круг радиуса q = р.1 г по фиг. 93 называется кругсм г рения.
Если сила Р приложена эксцентрично, но проходит через круг тре-
ния, то цапфа не вращается, так как момент трения Mr = qP, воз-
никающий при вращении, больше, нежели момент Р.
5. Трение гибких тел. Если гибкое тело (канат, ремень, тормоз-
ная лента, фиг. 94) обхватывает цилиндр и если обозначим через S]
__ и S2 натяжение обоих концов, то для тихо-
ходних передач
77
еул __1
₽< — —^^ = (^-1)52.
Фиг. 94.	ev
Для быстроходных
же передач пригодны уравнения
с v2

где: Р = Si — 89 окружное усилие на ободе,
е — основание натуральных логарифмов,
а — угол обхвата гибкой связью обода,
р. — коэфициент трения гибкой связи на ободе,
q — вес погонной единицы длины гибкой связи,
v — линейная скорость гибкой связи,
g — ускорение силы тяжести.
Динамика механизмов
423
Знак равенства имеет место, если гибкое тело скользит по цилиндру,
знак неравенства — при относительном покое.
В зависимости от того, будет ли между гибким телом и цилин-
дром происходить относительное движение или такого движения
не существует, для величины р принимается коэфициент трения
для движения или для покоя.
Имеем е* =23,1407 и 1g е* = 1,3643764.
Таблица 8. Значения еи“.
а	И								
2^	0,1	| 0,15	0,2	0,25	0,3	0,35	1 М	0,45	0,5
0,1	1,06	1,1	1,13	1,17	1,21	1,25	1,29	1,33	1,37
0,2	1,13	1,21	1,29	1.37	1,46	1,55	1,65	1,76	1,87
0,3	1,21	1,32	1,45	1,60	1,76	1,93	2,13	2,34	2,57
0,4	1,29	1,46	1,65	1,87	2,12	2,41	2,73	3,10	3,51
0,425	1,31	1,49	1,70	1,95	2,23	2,55	2,91	3,33	3,80
0,45	1,33	1,53	1,76	2,03	2,34	2,69	3,10	3,57	4,11
0,475	1,35	1,56	1,82	2,11	2,45	2,84	3,30	3,83	4,45
0,5	1,37	1,60	1,87	2,19	2,57	3,00	3,51	4,11	4,81
0,525	1,39	1,64	1,93	2,28	2,69	3,17	3,74	4,41	5,20
0,55	1,41	1,68	2,СЮ	2,37	2,82	3,35	3,98	4,74	5,63
0,6	1,46	1,76	2,13	2,57	3,10	3,74	4,52	5,45	6,59
0,7	1,55	1,93.	2,41	3,00	3,74	4,66	5,81	7,24	9,02
0,8	1,65	2,13	2,73	3,51	4,52	5,81	7,47	9,60	12,35
0,9	1,76	2,34	3,10	4,11	5,45	7,24	9,60	12,74	16,90
1,0	1,87	2,57	3,51	4,81	'6,59	9,02	12,35	16,90	23,14
1,5	2,57	4,11	6,59	10,55	16,90	27,08	43,38	69,49	111,32
2,0	3,51	6,59	12,35	23,14	43,38	81,31	152,49	285,68	535,49
2,5	4,81	10,55	23,14	50,75	111,32	2^4,15	535,49	1174,5	2575,9
3,0	6,59	16,90	43,38	111,32	285,68	733.14 !	1881,5	4828,5	12391
3,5	9,02	27,08	81,31	244,15	733,14	2199,9 I	6610,7	19 851	59608
4,0	12,35	43,38	152,40	535,49	1881,5	6610,7 '23 227		81 610	286744
f) Сопротивление при катании тел
Пусть цилиндрический каток
плоскости Е—Е под давлением G.
К находится на горизонтальной
Как бы тверд каток этот ни был
он получит известную дефор-
мацию^ и кривизна его контура
на участке АВ несколько изме-
нится (фиг. 95). Вместе с тем
получит деформацию также и
опорная площадка ЕЕ, пере-
ходя из плоскости в цилиндри-
ческую поверхность. Пока ни-
какой горизонтальной силы
к телу К не приложено, система
окажется симметрично дефор- фиг 95<	фиг
мированной, и все диферен-
циальные силы реакции q— <7 сложатся в равнодействующую/?, ко-
торая пройдет по своему направлению через ось катка О,
424
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Как только будет приложена к телу К горизонтальная сила Р
(фиг. 96), цилиндр этот получит тенденцию скользить по плос-
кости ЕЕ, но вследствие трения на участке АВ он будет пово-
р)чиваться по часовой стрелке, причем диференциальные силы
реакции q—q слева будут уменьшаться вследствие приподнимания
здесь цилиндра, а справа увеличиваться. При этих условиях реакция
опоры не пройдет через центр О,и в результате сила Р должна
будет преодолеть сопротивление, которое определится из соот-
ношения :
Рг = ОХ,.....................(8)
где X является коэфициентом сопротивления катанию. Как видно,
коэфициент этот имеет размер линейной величины и измеряется
обычно в сантиметрах. Кулон и другие исследователи нашли значения
этого коэфициента из опытов при хорошей обра ютке поверхностей:
дерево по дереву 0,05 — 0,06 см, железо по железу 0,005 см.
Новейшие опыты дают для стальных шариков в шарикопод-
шипниках
X = 0,0005 — 0,001 см.
Таблица 9. Американские данные о катании резиновых шин
по разным дорогам
		Сопротивление	
Дорога	Условия	на 1’00 фут. нагрузки в фунт.	Автор
Бетон Асфальт		9—19 7	А В
У)	Полугладкий 		И	С
П	Неудовлетворительный ....	13	В
Дерево	Настил		13	В, С
Мостовая	Гладкая сухая 		15	D
уу	Хорошая		17	С
Ш	Немного поврежденная ...»	18	D
М	Сухая пыльная		21-24	£
-	Плохая 		22-45	С, D
Глина	Сухая 		45	В
Гравий	Хороший		25	
ру	Свободный		75-100	D
Песок	На дороге		150—200	В, D
	Свободный		250	
Литература. А) А. В г о w n е and Е. Lockwood, Practical Testing of Motor
Vehicles, irans. S. A. E. x, P?rt 1. — B) G. Watson, Diagrams for Automobil Power
Calculations. (Am. Mach. 1S06I. — С) E. Favary, Motor Vehicle Engineer.ng. —
D) M. Forestier, Proc. < f 2-u internatb nal Congress Automobil. — E) H. Rod ler,
Automobil XIII. — F) Auto-Engmeeis Year-Book, 1920. — G) H. Wim peris Proc.
Inst. Auto Eng. VIII, стр. 281.
Динамика механизмов
425
Таблица 10. Сопротивление катания резиновых шин при разных
скоростях 9
Тип машины		Ско- рость км 1 час	Сопроти- вление на тонну веса машины в кг	Тип машины		Ско- рость км}час	Сопроти- вление на тонну веса машины в кг
		10	23,3				I
Рено, 30 л. с. . . . ‘		20 |	30 40 ,	50 i 60	22,4 20,4 19,2 21,3 21,3	Бюссинг грузо- J вой, 45 л. с.		10 20 30 40	17,5 18,1 19,0 20,8
		70 1		24,5				
		10	—				
Даймлер, 40 л. с. . <		20 30 40 50 60 70	23,6 24,6 25,1 25,8 27,5	Мерседес . . .		10 20 30 40 50	21,9 22,6 24,2 26,8 30,7
		80	27,3				
g) Сопротивление шариковых и роликовых подшипников
Сопротивление шариковых подшипников зависит от их кон-
струкции и смазки. Считают, что коэфициент сопротивления катания
шариков колеблется от 0,0005 до 0,001 см и остается почти неза-
висимым от скорости и от нагрузки.
Что касается роликовых подшипников, то для них коэфициент X
берут в пределах от 0,0035 до 0,014. При этом коэфициент этот
весьма сильно возрастает при малых нагрузках. Он возрастает также
при малых скоростях. По данным Штрибека 2) средние значения X
для роликовых подшипников при разных давлениях получились
в такой зависимости:
Я =	3	5	7,5	10	15 кг/см2
Х =	0,0045	0,0034	0,0027	0,0023	0,0018
где q — среднее давление на осевое сечение ролика, отнесенное
к 1 см2 площади.
х> A. R i е d 1 е г. Scientific Determination of the Merits of Automobiles.
’) Stribeck, V. D. I., 1902.
426
Т. 1. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Гесс описывает опыты по определению экономии в трении при применении
подшипников с кольцевой смазкой и замене их шарикоподшипниками. Когда
вал переставили на шариковые подшипники, а восемь контрприводов от этого вала
оставили на скользящих опорах, то получили около 35'- экономии в потерях на
трение, а когда переменили все подшипники контрприводов также на шариковые,
то получили около 7Оо;о экономии.
Литература
Н. Hess, „Trans. A. S. М. Е.“ 1909.
J. Denton, Special experiments with lubricants, „Trans. Am. Soc. Meeh.
Eng.“, 1891.
В. Карпенко, К вопросу о трении поршня. Томск, 1913.
В. Tower, Experiments on the oil Pressure in a bearing, Inst, of Meeh.
Eng, 1885.
В. П и н e г и н, Опыт исследования распределения давлений на плоской
пяте. Томск, 1909.
Р. Shaw, Friction of dry solids in vacuo, „Phil. Mag." 1930.
J. Kuhn and R. Mickle, Variation of the Coeff. of Friction with differ,
loads and bearings metals, „Engin. News", 1893.
M. C h a r p y, Etude sur les alliages blancs dits antifriction, 1901.
M. Robin, Memoires Carnegie Iron and Steel Inst., 191р.
N. Pecoraro, Recherches exp^rimentales sur les metaux antifriction, „Ass.
internet, pour les essai des mate'riaux", 1912.
А. Малышев, Изнашиваемость металлов от трения, 1917.
А. Малышев, Изнашиваемость кожи от трения, 1920, „Журн. О-ва
сиб. инж.“.
h) О движении без трения
Проф. Н. Е. Жуковский высказал соображения о возможности
получить движение без трения для тех случаев, когда трение не
зависит от скорости.
Проф. И. И. Васильев передает эти идеи в следующем виде. Пусть в гори-
зонтальной плоскости натянуты параллельно друг другу нити, подобно тому как
располагается основа в ткацком станке (фиг. 97). Если все четные нити двигать
одним приводом слева направо, а нечетные
другим приводом в обратном направлении,
' д	' то тело Уложенное сверху всей системы
Л	J нитей, останется без движения. При таких
условиях тело это может двигаться бес-
Iff”*	препятственно вправо или влево, —в за-
висимости от того, в каком направлении
оно получит толчок, и затем, тронувшись
в одном направлении, оно без торможения
Фиг. 97.	будет продолжать свое движение.
Подобным же образом можно полу-
чить движение без трения при вращении вала. Для этого необходимо вращать вкла-
дыши подшипников в противоположные стороны и таким образом создать два
противоположных момента сил трения на валу, так что моменты эти взаимно
уничтожаются. После этого можно повернуть вал в каком-нибудь направлении и
он придет во вращательное движение без торможения и без замедления хода так,
как будто бы трения совсем не существовало.
Маятник, построенный в физической лаборатории Московского текстильного
института, установленный в простых неподвижных опорах (цилиндрические вкла-
дыши) способен был давать только до 10 качаний, после чего останавливался. Но
тот же маятник при вращении вкладышей в противоположные стороны давал до
2000 качаний, прежде чем останавливался.
Как видно из изложенного, движение без трения можно полу-
чить в отдельных органах машины, хотя при этом трение не только
существует, но даже увеличивается, так как создается искусственно
Динамика механизмов
427
встречное движение. Таким образом работа трения в этом случае
существует, но выбранный орган машины оказывается свободным
от тормозящего действия трения. Это может быть важным при проек-
тировании измерительных приборов (тахометров, динамометров и
др.), где собственные сопротивления измеряющего органа должны
быть по возможности малы.
II.	Инерция в машинах
а) Разбивка и приведение масс
Составил инж. А. И. Смирнов
В целях упрощения решения задач об инерционных усилиях,
возникающих в механизмах, Виттенбауером предложен метод замены
распределенных масс звеньев механизма фиктивными, или так назы-
ваемыми приведенными сосредоточенными массами. Сущность
данного метода заключается в двух последовательных операциях:
1) все распределенные массы заменяются сосредоточенными и 2) все
разбросанные в механизме сосредоточенные массы заменяются од-
ной так называемой приведенной массой, сосредоточенной
в избранной точке, называемой точкой приведения.
Для того чтобы механизм при этом не изменял своих статиче-
ских и динамических свойств, должны быть выполнены следующие
условия механики:
1.	Сумма сосредоточенных масс должна равняться распределен-
ной массе звена
2.	Центр тяжести приведенных масс должен совпадать с цен-
тром тяжести звена
для плоских
механизмов.
3.	Момент инерции сосредоточенных масс относительно центра
тяжести должен равняться моменту инерции звена
2/wzrz2 = О,
где mi — сосредоточенная масса,
М— масса исследуемого звена,
xiyi — координаты точки приложения сосредоточенной массы
(центр тяжести — начало координат),
rz — расстояние точки приложения сосредоточенной массы до
центра тяжести звена,
О — момент инерции звена относительно его центра тяжести.
= О
= О
428
Т I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Число сосредоточенных масс и их положение выбирается в за-
висимости от конкретных условий (формы каждого звена). Если
звено симметрично и центр тяжести его определяется одним урав-
нением, достаточно выбрать три точки сосредоточивания масс, так
как необходимые условия механики в этом случае для плоского
движения дают три уравнения. При отсутствии симметричности
звена, необходимые условия механики дают 4 уравнения, в этом
случае следует сосредоточить массы в 4 различных точках. При
двух точках сосредоточивания массы должны лежать на одной пря-
мой с центром тяжести звена, а при одной точке масса совпадает
с центром тяжести звена.
При динамическом исследовании механизма в целом приве-
дение всех сосредоточенных масс к одной точке осуществляется
при необходимом условии сохранения кинетической энергии, т. е.
кинетическая энергия приведенной массы должна быть равна кине-
тической энергии механизма
На основании этого следует, что приведенная к одной общей
точке масса механизма может быть вычислена из соотношения:
где: М—суммарная приведенная масса,
— отдельная сосредоточенная масса,
Vi — скорость точки приведения звена,
v — скорость общей точки приведения механизма (центра при-
веденной массы).
Пример. Приведение масс в кривошипном механизме паровой
машины (фиг. 93).
Фиг. 98.	Фиг. 99.
Масса данного механизма состоит из 3 частей:
1.	Массы (Л4г) звеньев, совершающих поступательное движение
(поршень, шток, крейцкопф).
2.	Массы (М2) шатуна, совершающего сложное движение.
3.	Массы (Л4а) кривошипа и вала, совершающих вращательное
движение.
Динамика механизмов
429
Массы поступательно движущихся звеньев сосредоточиваем
в точке А и обозначаем через та t
Массу шатуна М2 (фиг. 99) разбиваем на три части и сосредо-
точиваем в точках А, В и С (точка С — центр тяжести шатуна). На
основании вышеприведенных условий механики должно быть:
ina + тЬ + тс ~ М‘
mJ а — mJ b = О,
mJ а2 mJ Ь2 = 0,
где: mJ, mJ, mJ —сосредоточенные массы шатуна в точках Л, В, С,
а, b — расстояние точек сосредоточения от центра
тяжести шатуна;
О — момент инерции шатуна относительно центра
тяжести его.
Решая совместно данные три уравнения, находим:
______6_ _ __0_
~~ (a-\-b)a 1а ’
, _ 6 _°
"‘ь ~ (<н- Ь) ь ~ ib •
т ' — М„—
с	ab
Массу кривошипа и вала М3 приводим к пальцу В. На осно-
вании равенства:
mj' г- = Oj
находим:
где: —момент инерции кривошипа и вала относительно оси вра
щения,
г — радиус кривошипа.
Складывая сосредоточенные массы в соответствующих точках,
будем иметь:
Сосредоточенные массы в точке А;
0
430
Т. I. Отд. 2. Механика. П. Прикладная механика
в точке В:
М
ь
± 4-±;
г2 ' lb
в точке С:
МС^М2
е
ab *
После этого приведем все найденные массы к одной точке ме-
ханизма; за такую точку удобнее всего принять палец кривошипа В
как совершающий вращательное движение.
На основании вышеизложенного будем иметь:
/ V \	/ V
м— +мь+мс М
\vb/	\Vb
где va, vс — скорости точек Л, С.
^—скорость пальца кривошипа, — те и другие можно взять
из плана скоростей для опре-
деленных положений механизма.
Диаграмма ^фиг. 100) дает
наглядное представление вели-
чин приведенных масс для дан-
ного механизма. Здесь по оси
абсцисс отложены отрезки пути
мъ кривошипа за время одного
полного оборота, а по ордина-
-у^там в масштабе — величины
приведенных масс. Из диаграм-
мы нетрудно видеть, что при-
веденная масса для кривошипного механизма паровой машины
является величиной переменной, притом меняется по закону коле-
баний кинетической энергии.
В том случае, когда шатун плоского механизма не является
симметричным телом, необходимо брать 4 сосредоточенных массы
в точках Л, В, С и S, где 5 — центр тяжести. При этом четвертая
точка С может быть в любом месте. Проводят через 5 координатные
оси Ох и Оу и составляют 4 уравнения:
1-	та' + ть' + тс' + т/ = Мг,
2-	та'ха тьхь - тсхс = °’
3-	та'Уа- тьУь - тс'Ус = °>
4-	та га + тЬ гь2 + тс' ГС2^Ч.
Динамика механизмов
431
Знаки в ур-ниях (2) и (3) зависят от расположения координатных
осей.
Литература. F. W i 11 е n b a u e r, Graphische Dynamik. — А. Г1. Малышев,
Известия Текстильн. ин-та за 1928 г., т. I. — Я» В- Столяров, Теория меха-
низмов. — Б а-ж и и и К е т о в, Графический расчет махового колеса по способу
проф. Виттенбауера.
Ь) Уравновешивание масс на валу
Составил доц. И. В. Сергевнин
Случай 1. На валу 00 (фиг. 101) имеем эксцентрично поса-
женную массу т. В этом случае для ее уравновешивания доста-
точно приложить массу так, чтобы
центры тяжести обеих масс располага-
г лись на одной прямой, перпендикуляр-
_______________ш ной оси вращения и пересекающей эту
г. ось, а центробежные силы, развиваемые
,рп'___________этими массами, были бы равны и напра-
4 нг- 101	влены в противоположные стороны, т. е.
ты2 г — т^2гь или mr = mLrlf
г
откуда тг — — т.
ri
Случай 2. На валу 00 (фиг. 102) расположены эксцентрично массы
7, 2, 3 так, что центры тяжести их находятся в одной плоскости,
перпендикулярной оси вращения 00. Для уравновешивания этих
масс достаточно построить многоугольник сил, составленный из
центробежных сил: С‘1=/и1ш2г1; С9 = т^г2 и т. д. Замыкающая сторона
является уравновешивающей R по величине и направлению. При
этом на чертеже определяется угол вектора R с вектором г3. Подо-
брав соответственно массу и радиус, расположим вектор R в той же
плоскости, что и данные массы, под углом а к вектору г3.
Случай 3. На валу 00 (фиг. 103) расположены массы 7, 2, 3, 4
в плоскости, проходящей через ось вращения 00. Чтобы опреде-
лить по величине и направлению уравновешивающую 7?, построим
многоугольник центробежных сил 7,2,5,/. Замыкающая R является
искомой. Точку приложения ее А найдем, если по общему правилу
построим веревочный многоугольник. Зная величину центробежной
уравновешивающей силы R, подбираем соответственно величины
массы и расстояние центра тяжести ее от оси вращения.
Случай 4. Этот случай наиболее часто встречается в прак-
тике. На валу 00 заданы в двух проекциях приведенные массы
7, 2 и 3 (фиг. 104). Для уравновешивания их поступим так. Из по-
люса р строим многоугольник сил, составленный из приведенных
сил Сь С2, Сй и т. д. Направление векторов 7, 2 и 3 должно быть
параллельно соответственным силам. Замыкающая R является уравно-
432	Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
вешивающей этой системы, которую мы должны создать приба-
влением добавочной массы на выбранном нами расстоянии от оси
вала. Точку приложения этой уравновешивающей и ее направление
надо определить. Точка А приложения силы 7? на валу определяется
так. Взяв систему координат YOX в таком расположении, чтобы
одна из осей была || /?, другая £ R и, спроектировав многоугольник
Фиг. 104.
сил на эти оси, повернем
OY и ОХ около начала ко-
ординат О до вертикального
положения OYX и ОХГ. По-
строением веревочного мно-
гоугольника и пересечением
двух крайних лучей в точке а
находим точку А, где прило-
жена должна быть по оси У,
под углом а к силе уравно-
вешивающая сила R.
Таким образом система
по оси Y уравновешена. Ана-
логично описанному уравно-
вешивание производится и
по оси X, разница лишь
в том, что в результате по-
лучаем уравновешивающую
пару сил, момент которой
M=HL, где
Н — полюсное расстоя-
ние в масштабе многоуголь-
ника сил,
L — расстояние по вер-
тикали между крайними лу-
чами в масштабе длины
вала ОО.
Механика подобия — постановка задания	43о
Уравновешивающую пару можно приложить где угодно подлине
вала. Выбрав по усмотрению длину плеча Z, находим силу Р = -~ *
которую подобно R должны создать центробежной силой, приложив
в Р — Р, соответствующие массы, располагая их в плоскости, пер-
пендикулярной плоскости действия /?.
III.	Механика подобия или теория моделей
Составил профессор д-р.инж. Вебер, Берлин.
Перевод под редакцией проф. А. П. Малышева.
Постановка задания. На основании результатов опытов над
малыми моделями требуется определить числовые данные соответ-
ствующих значений — например, пути, времени, скорости, уско-
рения, силы, напряжения, работы, мощности, в тепловых проблемах
температуры и т. д. — для большого, действительного сооружения,
геометрически подобного модели.
Теория моделей применима только в тех случаях, когда оба сравниваемые явле-
ния подобны в нижеуказанном смысле, т. е. если они удовлетворяют определен-
ным условиям подобия. Эти условия должны быть так поставлены, чтобо» диферен-
циал^ные уравнения задачи (или их интегралы) для главного соо сужения получали
полное согласование с соогветственно1ми диференциальными уравнениями (или
интегралами) для модели.—Метод моделей применяется с успехом там. где интегри-
рование диф ’ренциальных уравнений, вследствие больших математических затруд-
неги 1, не удается, но где практика требует числового решения задачи. Этот метод
основан отчасти на опытах с моделями, отчасти на математической дедукции: резуль-
тат опыта с моделью дает ненаходимое аналитическим путем числовое значение ин-
теграла, которое, но особым правилам, перечисляется на большое сооружение.
Теория моделей часто применяется в кораблестроении, в по
строении воздухоплавательных аппаратов, водяных тур-
бин, водяных сооружений, для нахождения потерь в трубо-
проводах, также при разрешении тепловых проблем и
во многих других случаях, где анализ не дает решения основных уравнений.
Различаются статическое, динамическое, термическое и термо-
динамическое подобия. Однако применение теории моделей возможно и для
электрических, магнитных и разных других видов подобия. Проблема
статического подобия имеет место, если из измеренных сил, напряжений или де-
формации находящейся под нагрузкой статической модели, например бруса с пере-
менном поперечным сечением, подверженного продольному изгибу, или стержня
решетчатой фермы, подверженного продольному изгибу, должны боть сделаны за-
ключения о соответственных числовых значениях главного сооружения, геометрически
подобного модели. Динамическое подобие имеет место, если из опытных результатов
динамически работающей модели (например течение, с образованием волн около
ча-тично погруженного руля) будут вычисляться соответственные размеры геометри-
чески подобного главного сооружения. При этом нельзя упускать из виду, что
к модели принадлежит не только руль, но главным образом его окружающая
жидкость. С термическим подобием мы имеем дело, когда, например, из перемен-
ного по времени температурного поля какой-либо модели должны быть сделаны
заключения о температурном поле геометрически подобного главного сооружения
434
Т. 1. Отд. 2. Механика. III. Механика подобии
А. Статическое подобие
Метод и пример. Тонкий модельный стержень, исполненный
как тело вращения с выпуклой образующей, подвергается опытам
продольного изгиба центральной нагрузкой; при этом дана нагрузка
Рл = 12,50 кг. Модуль упругости материала модели Ev Требуется
найти нагрузку Р.2 главного сооружения, геометрически подобного
модели, но линейно в 10 раз большего, К =10, и модуль упругости
которого Е2 не равен Е^. например, Е2 = <2Е1. При этом сделана
предпосылка, что род опоры в обоих случаях одинаков и что кри-
тическая нагрузка продольного изгиба сравнительного стержня не
Переходит предела пропорциональности.
Мы можем воспользоваться уравнением Бернулли для кривизны
двух геометрически подобных упругих линий:
Для главного сооружения (Г.) \/р2 = MJE2J2= P2y2/E2J2,
Для модели (М.)	1/рх = MJE^ = Рр^Е^,
1/Р?	Р 9Уч!Е2}2
откуда = ----------------
.1_Р2 ,	2
УрГЛуЛА	х— р, ъ
(р 1 2 — радиусы кривизны, М12 — изгибающие моменты, 2 — мо-
менты инерции). Отсюда вычисляется нагрузка продольного изгиба
Р2 для главного сооружения
Р2 = Р^Е2!Еъ т. е. Р2 = 12,50 -10^-2 = 2500 кг.
В. Динамическое подобие
1.	Основные понятия. Движения главного сооружения (Г.) И мо-
дели (М.) происходят динамически подобно, если оба явления во
всех своих частях как в геометрическом смысле, так и в смысле
времени и сил^ подобны. Соответственно трем основным единицам
технической системы измерений — м, сек, кг, — положенным здесь
всюду в основу, существуют три основных масштаба X, т, х: м а с-
штаб длины к равняется отношению соответственных длин во
всех частях (например твердое тело и окружающая его жидкость)
обоих геометрически подобных приспособлений, следовательно
\ = L: I; масштаб времени т равняется отношению соответ-
ствующих времен Г. и М., следовательно, т = Т:t и масштаб
сил х равняется отношению соответственных сил, следовательно,
х = К: k. Для данного опыта с моделью X, т, х являются постоян-
ными числами. Масштаб переноса соответственных скоро-
стей будет V: v •= Х/т, а ускорений аГ: ам = \/т2. При динамически
подобных явлениях диференциальные уравнения движения для Г
возможно привести в полное согласование с таковыми же для М.
Динамическое подобие
435
В практических выполнениях опытов с моделями следует обращать
внимание на геометрическое подобие местных границ обоих срав-
ниваемых явлений и следить, чтобы начальные условия для обоих
отвечали динамическому подобию.
2.	Правило масштабов. Масштаб переноса для двух соответ-
ственных величин необходимо выводить из основных масштабов
X, т, х в общем так же, как и соответственные единицы измерений
выводятся из основных единиц л/, сек, кг.
Пример. Масштаб переноса для двух соответственных мощностей будет Е:в —
= Хх/т, так как мощность измеряется в мкг{сек. После выбора к, т, х возможно из
результата измерений М. определить численно и по размерности всякую произволь-
ную величину динамически подобно работающего Г. Относительно дальнейших по-
дробностей механики подобия и относительно опытов с моделями см. специальные
работы, стр. 442.
3.	Вывод законов подобия. Из X, т, х можно в большинстве слу-
чаев задаться X произвольно; т и х обыкновенно нельзя брать про-
извольно, так как между X, т, х существуют зависимости. Эти по-
следние можно найти из условия, что для всех родов сил, прини-
мающих существенное участие в течение обоих динамически подоб-
ных явлений, должен быть одинаковый масштаб сил х. Смотря по
роду сил между X, т, х получаются различные зависимости, вслед-
ствие чего при производстве опытов над моделями необходимо
принимать во внимание особые законы моделей. Сравнение только
сил инерции для Г. и М. приводит к общему закону подо-
бия Ньютона. Одновременно при действии притяжения земли
нужно принимать во внимание закон моделей Фруда, при дей-
ствии упругих сил по Гуку — закон моделей Коши и при дей-
ствии внутренних сил трения вязких жидкостей—закон моделей
Рейнольдса. Из каждого рода силы, определяемой новым физи-
ческим коэфициентом, вытекает новый закон моделей. Поэтому
нормальные силы на несжимаемых твердых или жидких телах не
обусловливают никакого закона моделей.— Если в ускорении при-
нимают участие одновременно несколько родов сил, то часто по-
являются, как указано ниже, непреодолимые затруднения: в таком
случае невозможно построить модель, динамически работающую
в совершенстве.
4.	Общий закон подобия Ньютона. Сравнение сил инерции Г.
и М. можно производить следующим образом. Пусть диферен-
циальные уравнения, выражающие явления для Г. и М., имеют для
материальной частицы в произвольном направлении X следующую
форму:
Для Г. McPXjdT2 — К, для М. nuPxIdt2 = k.
Знаки формул, обозначенные большими буквами или (ниже) в скоб-
ках, относятся к главному явлению, малые оуквы—и без скобок—
к модели. Масштаб сил х получаем таким образом из сравнения,
сил инерции: х =МаГ!та^.
436
Т. 1. Отд. 2. Механика, til. Механика подобия
Если обозначить отношение материальных частиц через М!т=\^
и по правилу масштабов подставить для отношения соответствую-
щих ускорений = то получим уравнение: х = рк/т2.
Если это уравнение будет выполнено в отношении трех основных
масштабов К, т, х, то диференциальное уравнение главного явле-
ния переходит вследствие
..d-X	d2x X
М = ти = К = k*
dl -	dt* т-
в диференциальное уравнение модельного явления
и
m^^k.
Если для р. подставим:
р. — М: т = Vol : vol = (р) Vol: р vol = — /Д
(£) g W 1 Р
где (р) и р — плотности обоих ускоряемых материалов Г. и М.
Vol и vol — объемы, то получим основную зависимость
которая выражает: если два явления движения должны происхо-
дить динамически совершенно подобно, то необходимым условием
этого является уравнение (1). Ввиду того что X, т, х в каждом
единичном случае имеют определенные числовые значения, то и
(р)/р для определенного сравнения моделей имеет определенное
числовое значение.
Если через К и k обозначим произвольные соответствующие
Г. и М. силы, то основное уравнение (1) может сыть написано сле-
дующим образом:
k р Т2 р fa2 ’
или в форме двух уравнений, вводя для этого отвлеченное число а,
/C = a(p)FV2 и k = apfv2,................................(la)
в которых F и Г‘ V и v соответствующие, но вообще произволь-
ные поверхности и скорости Г. и М. Два уравнения (1а) предста-
вляют общий закон подобия Ньютона, который гласит: при условии
полного динамического подобия соответствующие силы инерции,
а вследствие постоянства значения х, также и все другие соответ-
ствующие силы Г. и М. находятся в отношении плотностей обоих
материалов, кроме того, в отношении соответствующих поверхностей
И квадратов соответствующих скоростей. Следовательно, для дина-
Динамическое подобно
437
мического подобия всех соответствующих сил всегда имеет значе-
ние закон квадратов скоростей пары уравнений (1а).—При помощи
зависимостей
k = а' р /t l2 v2
k = arrp fvL v2
k — o/"p f (v2 —	v2
k-^'rfpl*t-2
1 . J — Lq L,-) . /о
и 1/2: V2 =• Vt V2: v,v2 = (И2 - Vj) V2: (v2 - v2 = L2T~2:14~2
общему закону подобия можно придать следующую целесообразную
форму:
К = *'(р) LiL2V2
K = a'r^pV1V2
К ^^(p)F(V2-Vl) V2
К = ъ””(р)И Г-2
Уравнение масштабов (1) но содержанию равнозначаще общему
закону подобия Ньютона.
Если силы инерции играют главную роль в опытах с моде-
лями, как например в гидродинамике свободных от трения и не-
сжимаемых жидкостей, при обтекании несущих плоскостей аэро-
планов и их винтов, поверхности которых вызывают большие уско-
рения в окружающей среде, — то общий закон подобия имеет
преобладающее значение. В этих случаях, с очень большим при-
ближением, можно пренебречь дальнейшим законом моделей — т за-
висит от К—и при опытах с моделями можно быть свободным
в выборе X и т, следовательно, и в выборе V/v = X/t. Необходимо
только обращать внимание на геометрическое подобие ускоряющих
и ускоряемых тел и можно пользоваться общим законом подобия
Ньютона (уравнения 1 а) без всяких ограничений.
Если дело касается, например, подъемной силы Л'несущей поверхности, изме-
ренной перпендикулярно к скорости тока И, то в геометрически подобной модели
измеряется соответствующая подъемная сила k для та кдого угла атаки и тогда вы-
числяется а из а = £/р /а2, где v и р известны (плотность и скорость текущей на-
встречу модели жидкости), а для f будет избрано произведение из глубины профиля
на ширину крыла. Подъемная сила для главного сооружения вычисляется из
A’ = a(p)F Vs, где а тот же коэфициент, чго у соответственного опыта с моделью,
а плотность жидкости (р) и F и V относятся к соответствующим величинам (Г.).
5.	Закон подобия Фруда. Если на Г. и М. действует притяже-
ние земли как ускоряющая сила, то, на основании сравнения сил
инерции, снова действителен общий закон подобия Ньютона (урав-
14	(Р) Х4
пение 1) *= —«-«j-, и одновременно, вследствие притяжения земли,
имеет место зависимость
M(g) Jt)Vo1_(y)?!,
mg 7 vol 7	*
X, =
так чю
(т) X3 _ (p)
7 P
т2 ’
или ф) = Д, „ли
т/р т £ т3
438
Т. I. Отд. 2. Механика. III. Механика подобия
Отсюда следует:
т = V^g/(g)......................(2)
и для соответствующих времен Т и t:
T-.t=VL!^-Wg........................(2а)
где (^) и g—ускорения силы тяжести для Г. и М. Уравнение (2)
показывает, что масштаб времени не может быть взят произвольно,
а определяется выбором К. Из соответственных скоростей полу-
чаем из V/v ~ Х/т и из уравнения (2) соотношение V:v =
или	V\v =VLVg}-.Vig....................(2b)
Для случая (g) = g этим уравнением пользуются в корабле-
строении как законом Фруда, для соответствующих скоростей,
в форме: если системы волн от Г. и М., образованные на поверх-
ности воды под влиянием силы тяжести, должны быть динамически
подобными, то отношение скорости М. и скорости Г., т. е. геоме-
трически подобного большого судна, должно равняться отношению
квадратных корней из соответственных длин.
Ввиду того что современная механика моделей предпочитает
безразмерное выражение результатов опытов с моделями, то за-
кону Фруда нужно дать другую форму; из уравнения (2Ь) получаем
V2/£(§) = ^ = F,...................(2с)
где F—отвлеченное число, коэфициент Фруда. Закон Фруда по
уравнению (2с) гласит: если движения Г. и М., под влиянием при-
тяжения земли, протекают динамически подобно, то коэфициент
Фруда F для Г. и М. имеет одно и то же значение, независимое
от выбора системы измерений. Уравнения (2), (2а), (2Ь) и (2с) в их
выводах однозначащи и дают закон моделей Фруда для применения
его при влиянии притяжения земли.
Для объяснения безразмерного выражения воспользуемся примером произволь-
ной формы не вполне погруженной в воду поверхности руля, установленного под
произвольным углом и образующего, под влиянием силы тяжести, волны на по-
верхности воды. На малой модели, геометрически подобной Г., измеряется для
определенного погружения и определенного угла поворота давление на руль k от-
дельно для каждой скорости течения v. После этого вычисляется для каждого зна-
чения а = Л/р / т?8 и а наносятся, как ординаты, над абсциссами — коэфициентами
Фруда F ~ Линия а над v9/!g, определенная рядом точек, называется линией
давления на руль. Она действительна для случаев геометрического подобия произ-
вольной величины, произвольной скорости течения и произвольной жидкости. Для
Г. вычисляется соответственное давление на руль из К = а (р) FK2, где а означает
ту ординату найденной опытами над моделью диаграммы, которая относится к абс-
циссе v8/Zg = Vg/L (g) = F разбираемого случая.
Этот способ приводит к тому же результату, как если бы в каждом отдельном
опыте соблюдался закон соответствующих скоростей и, помимо а, вычислялось зна-
чение К из измеренного значения k при помощи зависимости
х==* =
k Р ’ т8	р / Vs
или при помощи
X = Klk =
где (т) и ^—удельные веса;подверженных ускорению материалов.
Динамическое подобие
439
Относительно возникающих, вследствие трения на поверхности, при опытах
с моделями затруднений и о способах их устранения см. Johow-Foerster, Hilfsbuch
ffir den Schiffsbau, Berlin 1920, Julius Springer.
6.	Закон подобия Коши. Если на тело формы бруса дей-
ствуют силы инерции и упругие силы рода Гука, как например
при продольных колебаниях брусьев или канатов, то, принимая во
внимание силы инерции, применим общий закон подобия Ньютона,
как выше во втором случае:
р т2
Если F и е модули упругости для Г. и М., то вследствие =
= (е)£/? и k = а/ = е ef получается дальнейшее уравнение
r_K_^)EF _Е
k zef е ’
так как удлинения (е) = A L/L и е = A Z/Z, вследствие поставленного
условия геометрического подобия дают одина :овые значения для Г. и
М. Отсюда следует
(р)/р.Х4/т2 = Х2.Е/г,
откуда определяется т в зависимости от X:
Для соответственных времен, следовательно, имеет место
............(За)
так что при одинаковом материале Г. и М. времена колебаний про-
порциональны их линейным размерам. Для соответственной скоро-
сти следует из V/v = Х/т:
v-.v = Ve^)-.V^,....................(3b)
так что для одинакового материала закон подобия Коши для соот-
ветствующих скоростей переходит в форму V=v. Для безразмер-
ного выражения следует
=	=	.............(Зс)
где С — отвлеченное число, коэфициент Коши. Закон подобия Коши
по уравнению (Зс) гласит: если два явления в Г. и М. вполне ди-
намически подобны, то даже при выборе различных систем изме-
рений число Коши С для Г. и М. имеет одно и то же значение.
Уравнения (3), (За), (ЗЬ) и (Зс) в их смысле равноценны и предста-
вляют закон подобия Коши, которым нужно пользоваться при дей-
ствии указанных упругих сил. При одинаковых материалах Г. и М.
получается для сил: х = К : £ = X2 = F.f} откуда следует равенство
напряжений.
440
Т. I. Отд. 2. Механика. III. Mexai/ика подобия
Те же законы моделей действительны при изгибе тел формы
бруса. Если, однако, в телах формы бруса вместо удлинения имеем
дело с явлением сдвижения рода Гука, то необходимо модули
упругости Е и е в Г. и М. заменить модулями сдвига G и g. За-
кон подобия Коши для собственных колебаний валов в Г. и М.»
при различных материалах, может быть написан следующим образом:
T-.t^L/VGl^y. ЦУИ?,
или при одинаковом материале T:t~L*.l, т. е. времена колебаний
относятся ка< линейные размеры Г. и М. или числа колебаний про-
порциональны линейным размерам. О применимости закона моделей
для упругих явлений в плитах, дисках,* сосудах, колоколах и не-
ограниченных твердых телах см. литературу, указанную на стр. 442.
7.	Закон подобия Рейнольдса. Если при явлении течения
действуют силы инерции и внутренние силы трения вязких несжи-
маемых жидкостей, то, принимая опять во внимание силы инерции,
имеем:
р Х2
и на основании сравнения внутренних сил трения К и k, если (тд)
и V) будут значения коэфициентов вязкости жидкостей Г. и М.
в технической системе измерений — следовательно, в кг, сек, м~2
и приняв во внимание:
dV . dv_ X
dN dn т X “ т
получим:
< xdV p
 =
X k dv , т
'dnf
Отсюда следует
_(p) y4_(i>	_ ? > i/p	f4.
P Т2 T) X ’ L (!))/(p)...............................
и для соответствующих времен для Г. и М.:
£2	/2	£2	/2
ТЛ~ (7))/(р) ’ iq/p —(v) ‘ V............
если частное из технического коэфициента вязкости и плотности
будет названо модулем вязкости и v для Г. и М.—в м2 сек~х*
В последнее время для модуля вязкости вместо (v) и v пишут (М)
и
Динамическое подобие
441
(4b)
Для соответствующих скоростей получаем при 1//» = Хт
1/-1 .	_ СО • 2.
X т]/р L * I
уравнение, которое при одинаковых жидкостях переходит в V: v
= 1/L : 1/1 или VL = vl, и закон подобия Рейнольдса в узком смысле
для соответствующих скоростей гласит: соответствующие скорости
при выборе одинаково вязких жидкостей для Г. и М. относятся
обратно пропорционально линейным измерениям. — Для безразмер-
ного выражения следует из уравнения (4Ь):
VLl(y) — vl[v = R ,...............(4с)
•где R — отвлеченное число, коэфициент Рейнольдса. Закон моделей
Рейнольдса по уравнению (4с) гласит: если два явления течения
в вязких жидкостях Г. и М. проходят динамически подобно, то,
даже при выборе различных систем измерения, оба коэфициента
Рейнольдса R имеют для Г. и М. одинаковые значения. Уравнения (4),
(4а), (4Ь) и (4с) равноценны и представляют закон моделей Рей-
нольдса, которым следует пользоваться при действии внутренних
сил трения в жидкостях.
При одинаковых материалах Г. и М. получаем для сил
л = К = (г,) X А = (г,) ИА = (т])(у) = 1
к	т x\V I vp ’
т. е. при одинаковых жидкостях в динамически подобных явлениях
течений получаются соответственно равные силы.
Применение воздуха для Г. и М. с предпосылкой одинакового состояния при-
водит обыкновенно к невыполнимому уравнению V: v = 1/l : llf, так кок для мо-
дели линейно в X раз меньшей пришлось бы применить в X раз большую скорость,
нежели у Г. Эти затруднения устраняются производством опытов не в воздухе, а
в воде, модуль вязкости которой, смотря по температуре, в 10—20 раз меньше воз-
духа.
Применение безразмерного выражения поясним здесь на при-
мере тока вязких жидкостей в прямом трубопроводе кругового се-
чения. Высоты сопротивления для Г. и М., при вполне динамиче-
ски подобном течении будут
I И2
где X — отвлеченное число, характеристичное число или коэфициент
сопротивления, определяемый опытным путем измерением—размеры
модели не должны быть малыми — в трубе с заданной шерохова-
тостью внутренних стен, при непрерывно изменяющихся скоростях
протока, при помощи уравнения
. _ w
“ Ijci • v2j2g'
. I v2
И w = л - - — ,
d 1g
442	Т. I. Отд. 2. Механика. ПТ. МехАтгика подобия
Это число К наносится как ордината над коэфициентом Рейнольдса
принятым за абсциссу. Линия К = /(/?) называется диа-
граммой коэфициентов сопротивления. Динамически подобное
явление течения Г. имеет тот же коэфициент Рейнольдса 7?» а сле-
довательно, и то же X, таким образом для Г. становится известной
и величина сопротивления W. Полное динамическое подобие тре-
бует геометрического подобия формы неровности внутренней стенки,
а не одинаковой шероховатости. Дальнейший материал к этому см.
коэфициенты сопротивления в отделе: течения в наполненных тру-
бопроводах (стр. 462 и т. д.) и соответственные новые труды в
Z. f. ang. Math. u. Meeh.
8.	Законы подобия при одновременном действии* несколь-
ких сил. Если в явлениях ускорения Г. и М. принимают участие
две различного рода силы, например силы тяжести и упругие
.силы, как это имеет место, во время движения поезда по колеблю-
щемуся мосту, то необходимо пользоваться, кроме общего закона
подобия Ньютона, одновременно двумя законами подобия, для
каждого из родов сил в отдельности. В этом случае для трех
основных масштабов X, т, х существуют три уравнения. X нельзя
брать произвольно, а должно вычисляться из них наряду стих.
Предписания законов подобия в действительности часто трудно вы-
полнимы. Относительно дальнейших подробностей и „несовершен-
ного* или „приближенного* динамического подобия см. литературу,
указанную ниже.
Литература
М. Weber, Die Grund'agen der Ahnlichkeitsmechanik und ihre Verwertung bei
Modellversuchen, Jahrb. d. Schiffbautechn. Ges. 1919, стр. 355. — Ders., Periodischee
System der Modellgesetze, Sammelheft 1 des Ausschusses fur technische Mechanik des
Berliner Bezirksvereins deutscher Ingenieure 1919. —Ders., Das allge.neine Ahnlichkeits-
prinzip der Physik und sein Zusammenhang mit der Dimensionslehre und der Modell-
wissenschaft, Jahrb. d. Schiffbautechn. Ges. 1930. —Ders., Die spezifischen Drehzahlen
und die anderen Kenngrossen der Wassenurbinen, Kreiselpumpen, Windrader und Pro-
peller als din ensionsfreie Kenngrossen der Ahnlichkensphysik. Z. Schiffbau und Schif-
fahrt 1930.— W. Herrmann, Die Anwendung des Ahnlichkeitsprinzips der Mechanik
auf zeitlich beliebig verAnderllche Vorgange mit besonderer Beriicksichtigung schiffbau-
licher und aerodynamiseber Probleme, Jahrb. d. Schiffbautechn. Ges. 193.).
Свойства жидкостей и газов
443
IV* *. Механика капельных жидкостей
(Г идромеханика)
Составил дипл.-инж. проф. д-р А. Бетц, Геттинген.
Перевод под редакцией инж. Л. Александрова
Обозначения важнейших величин, наиболее часто встречающихся в формулах,
и их размерности
Р — подъемная сила; сила, перпендикулярная к направлению движения, в кг,
F — площадь в м-,
V — объе*м в м3,
d — диаметр в м,
R — число Рейнольдса (также и газовая постоянная),
Q — лобовое сопротивление; сила в направлении движения в кг,
g = 9,81 м!сек9, — ускорение силы тяжести,
р = 13,6 кг]м9 — давление в кг/м9 или ат'= кг{см9 = 104 кг/ж* или в мм рт. ст. ')>
t — время или другие величины) в сек,
и, v, w — компоненты скорости по х, у, г (или другие величины) в м/сек,
х, у, г — прямоугольные координаты точки в м,
Y — весовая плотность жидкости или газа в кг\м3 удельный вес),
т]—коэфициент полезного действия,
р.— коэфициент вязкости в кг сек/м9,
v = р.: р — кинематический коэфициент вязкости в м^сек,
р = у : g — массовая плотность жидкости или газа в кг сек9/м*.
А. Свойства жидкостей и газов
Вязкость. Как жидкости, так и газы обладают тем общим свой-
ством, чтп ничтожные силы вызывают в них изменения формы про-
извольной величины. Впрочем, только при
бесконечно медленном изменении формы,
требуемая сила будет бесконечно малой.
Выделим в жидкости или газе параллеле-
пипед ABCD с площадью основания F и
высотою h (фиг. 1). Его можно деформи-
ровать в параллелепипед ABC'D' с теми
же площадью основания и высотою и так,
чтобы во время деформации грань CD пе-	фиг- 1-
редвигалась относительно грани АВ со
скоростью v. Для этого к каждой из граней АВ и CD необходимо
приложить силу
Р = F vjh = |л F dvjdh.
р. есть величина, зависящая от свойства вещества и называе-
мая вязкостью (коэфициент вязкости). Отношение этой вели-
чины к плотности р называется кинематической вяз-
костью v (кинематический коэфициент вязкости) 2).
Жидкость, в которой отсутствуют силы вязкости, называется
идеальной жидкостью.
9 Иногда применяется еще понятие относительной вязкости, ко-
торая представляет собой отношение вязкости р. (или \ к вязкости
воды. В технике вместо вязкости р. часто пользуются вязкостью по шкале Энглера,
для измерения которой существуют особые приборы Энглера (формула пересчета
на стр. 444). При сильно турбулентном состоянии жидкости вязкость увеличивается.
*) Таблицы—в .Приложении",
444
Т. I. Отд. 2. Механика. IV Гидромеханика
Сжимаемость. В то время как газы под действием давления
сжимаются, подчиняясь закону Мариотта (р • v = const), капель-
ные жидкости даже при сильном давлении почти не изменяют сво-
его объема (таблица на стр. 445). В учении о движении капельных
жидкостей — гидродинамике — жидкость почти всегда можно пред-
полагать несжимаемой; но и в газах изменения объема иногда бы-
вают настолько малы, что ими вполне можно пренебречь, и в этих
случаях законы движения для газов и жидкостей одни и те же.
В общем случае сжимаемость газов приходится вводить в расчет
только тогда, когда наблюдающиеся скорости приближаются по
своей величине к скорости звука в рассматриваемом газе. Случаи
движения, в которых принимаются в расчет изменения объ-
ема, указаны в гл. V „Механика сжимаемых жидкостей" (стр. 519),
а также в отд. „Теплота".
Поверхностное натяжение и капиллярность. На границе со
прикосновения двух жидкостей или между жидкостью и твердым
телом действуют молекулярные силы, которые стремятся уменьшить
поверхность соприкосновения (поверхностное натяжение). Это по-
верхностное натяжение является, между прочим, причиной круглой
формы падающих капель. В случае соприкосновения жидкости и
твердого тела поверхностное натяжение вызывает на границе со-
прикосновения более или менее значительное поднятие или опу-
скание свободной поверхности жидкости.
В трубках с диаметром d мм вода поднимается (в мм) на
высоту Л^ЗО/d, а между пластинками с расстоянием а (в мм) —
на высоту й^15/я.
Для алкоголя соответственные значения поднятия будут:
h = 10/d и	для толуола: h^\3jd и h^&l^d.
Таблицы и формулы
Связь между кинематической вязкостью v м2/сек и вяз-
костью Е по шкале Энглера 9 (для жидкостей с £<1,1 прибором
Энглера пользоваться нельзя). По Ubbelohde 106v = 7,32«£—
— (6,31/£), или точнее по Vogel 10*v = Е- 0,076^ ~
Таблица 1. Весовая плотность 7, массовая плотность р, вяз-
кость [л и кинематическая вязкость v воды
Величина и размерность		Температура в °C						
		0	1 10	20	|	40	60	80	100
	в кг/м3		ЮСО	1000	998	992	983	972	958
p	„ кг сект/м' . . .	101,9	101,9	101,7	101,1	100,2	99,1	97,8
10G|x	я кг сек1м- ....	183	133	103	66,8	48,3	36,4	28,9
10®v	„ м3/сек		1,80	1,30	1,01	0,661	0,482	0,368	0,296
’) Ubbelohde, Tabellen zum Englerschen Viskosimeter, 2. Aufl., Leipzig,
1918, Hirzel. Erk, Zahigkeitsmessungen und Flflssigkeiten und Untersuchung von
Viskosimetern Mitt. Forschungsarb. VD1, H. 288,
Свойства жидкостей и газов
445
Таблица 2. Коэфициент вязкости р. разных жидкостей в зави-
симости от температуры
Наименование жидкости	0°	20°	40’	60°	80’	100°	Уд. вес
Вода		0,0179	0,0101	0,0066	0,0048	0,0036	0,0028	1,0
Ртуть 		0,0170	0,0157	—	—.	—	0,0122	13,55
Сероуглерод 		0,0044	0,0038	0,0032	—	—	—	0,96
Глицерин 		46	8,7	—	—	—		1,26
Касторовое масло . .	—	7,24	2,23	0,68 ,	0,28	0,12	0,969
Цилиндровое масло .	—	9,47	1,30	0,54	0,26	0,12	0,91
Таблица 3. Кинематическая вязкость \ в м'/сек некоторых жид-
костей
Наименование жидкости	Темп, в °C	') в лг/г^ХЮ"6	Наименование жидкости	Темп, в °C	м вл’ се^ХЮ"6
Бензин ....	20	0,83	Алкоголь . . .	20	1,51
Бензол ....	20	С,73	Глицерин . . .	20	848
Толуол ....	0	0,87	Ртуть 		20	0,114
Касторовое			Эфир		20	0,31-6
масло ....	40	230	Керосин . . .	20	2,2
Смазочное ма-			Воздух ж ИДК. .	—	0,33
сло 		40	60			
Таблица 4. Весовая плотность у, массовая плотность р, вяз-
кость р и кинематическая вязкость v воздуха при давлении
в 760 мм рт. ст.
Величина и размерность	Температура								
	-20°	—10°	1 °’ 1	1 100 1	20°	1 400 1	60°	80’	100’
у в «г/л3 ....	1,39	1,34	1,29	1,24	1,20	1,12	1,06	0,99	0,94
р „ кг сек*\м* . .	0,142	0,137	0,132	0,127	0,123	0,114	0,108	0.1С1	0,096
lO6^ „ кг сек1м*. . .	1,59	1,65	1,71	1,77	1,83	1,95	2.07	2,19	2,33
„ мЦсек ....	11,3	12,1	13,0	13,9	14,9	17,0	19,2	21,7	24,5
	106р. =	1,712 V 1 + 0,003665 t •			. (1 4-0,00080-t)\				
|л не зависит оглавления, у и о изменяются прямо пропорционально, а '/ обратно
пропорционально давлению.
Таблица 5. Кинематическая вязкость » в м?1сек некоторых га-
зов при давлении 760 мм рт. ст.
Наименование газа
Температура
в °C
V х 10-6
Водород ...................
Окись углерода . . • . . . .
Кислород ..................
Двуокись углерода..........
Гелий .....................
о
о
о
о
о
94,5
13
14
7,2
106
446
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
Вязкость р. в кг сек/м2 некоторых газов при 6° и давлении
в 760 мм рт. ст: углекислый газ 1,5 • 10“6, кислород 2,0 • 10“6,
азот 1,7 • 10“6, водород 0,88 • 10“6, водяной пар 0,92-10“6.
В. Гидростатика
а)	Основные законы
Закон Паскаля. Внешнее давление, действующее на некото-
рый объем жидкости в каком-нибудь одном направлении, пере-
дается по всем направлениям, не изменяя своей величины.
Уравнения Эйлера. Если в жидкости выделить бесконечно ма-
лый параллелепипед, одна из вершин которого лежит в точке Р и
грани которого равны dx, dy, dz, то этот параллелепипед будет
находиться в состоянии равновесия при соблюдении следующих
уравнений:
= J = ₽r. g = PZ. dp = ?(Х • dx-\-Y • dyZ • dz),
причем через X, Y, Z обозначены компоненты массовой силы,
действующей в точке Р и отнесенной к единице массы, через р —
гидромеханическое давление в точке Р и через р — плотность. Для
свободной поверхности, а также для поверхностей равного давле-
ния (поверхности уровня) dp = 0, и последнее уравнение обра-
щается в следующее: X- dx + Y • dy -f- Z- dz = 0. Массовая сила,
компоненты которой обозначены через X, Y, Z, в каждой точке
жидкости перпендикулярна к поверхностям равного давления.
В жидкостях, -которые подвержены только действию силы тяже-
сти, поверхностями равного давления будут шаровые поверхности
(приближенно — плоскости), которые расположены концентрически
(параллельно) со свободной поверхностью.
Ь)	Гидростатическое давление, поддерживающая сила
1.	Сила нормального давления на стенки.
а)	Плоские стенки. Обозначения:
F — площадь смачиваемой плоской стенки в м\
h — расстояние центра тяжести смачиваемой стенки от свободной поверхности
жидкости (по вертикали),
« — угол между плоскостью стенки F и горизонтальной плоскостью,
х, v— координаты центра давления в м (точка приложения силы давления жидкости),
причем ось х совмещена с прямой пересечения плоскости, проведенной через
Г, с плоскостью свободной поверхности жидкости, а за ось у взята какая-ни-
будь прямая в последней плоскости, перпендикулярная к оси х,
е — кратчайшее расстояние периметра площади F от оси х-ов в м,
5	площади F относительно оси х-ов,
/ду—центробежный момент площади F относительно осей х-ов и у-ов в
Гидроотмвкй
447
Сила нормального давления равна Fhy в кг, и координаты точки
приложения равнодействующей силы будут:
у = J: S = J sin а : Fh, х = Jxy: S = Jxy sin а : Fh.
Если площадь F имеет ось симметрии, перпендикулярную к оси х,
то, взяв эту ось симметрии за ось у, будем иметь: х = 0.
Величина координаты у для некоторых площадей:
для прямоугольника с основанием, параллельным свободной поверхности жид-
кости, и высотою а:
у = (а : 3)-[(3 е -f-2 а) : (2е + а)] + е; для е = 0, у — 2а : 3;
для трапеции с основаниями и Ьи (Ьо — верхнее основание), параллельными
свободной поверхности жидкости, и высотою а:
а 2е(дс + 2^)4-а(до + ЗЬд)
2 Зе (д0 4- Ьи) -|- а (Ьо 4* 2&й)	’
для треугольника с основанием, параллельным свободной поверхности жид-
кости, высотою а и вершиной, расположённой под оснозанием:
у = 0,5 a>f(2e + а): (3е а)] -}- е\ для е = 0,у = 0,5 а;
если вершина расположена на свободной поверхности жидкости, у = 0,75 л;
для круга с диаметром 2а или эллипса с вертикальной осью 2л:
у = а + е + 10,25а?: (а + е)];
если круг или эллипс касаются свободной поверхности жидкости, у = 1,25 а.
Ь)	Кривые стенки. Разбивая кривую стенку на ряд площа-
док, которые можно принять за плоские, определяют силу давления
для каждой такой площадки; разлагая их на три составляющие —
две горизонтальные и одну вертикальную—суммируют их в отдель-
ности и получают, таким образом, полные силы в вертикальном и го-
ризонтальном направлениях; сложение же последних приводит к
одной равнодействующей силе только в том случае, если они все
пересекаются в одной точке, в противном случае получается резуль-
тирующая сила и результирующая пара.
2.	Сила давления в произвольном направлении на стенку
какой-угодно формы получается суммированием сил на отдельные
элементы этой стенки, причем каждая такая элементарная сила равна
проекции площади этого элемента на плоскость, перпендикулярную
рассматриваемому направлению, умноженной на расстояние центра
тяжести этого элемента до свободной поверхности жидкости и на
вес единицы объема жидкости. Отсюда следует, что сила верти-
кального давления на какую-нибудь площадь равна весу столба
жидкости, расположенного над этой площадью до свободной по-
верхности. Сила давления на площадь F в направлении, образую-
щем с плоскостью острый угол р, равна Fh\ sin р, причем h есть
расстояние центра тяжести площади F до свободной поверхности
жидкости. Для целиком или частично погруженного в жидкость тела
результирующая поддерживающая сила равна весу вытесненной
жидкости.
448
Т. I. Отд. 2 Механика. TV. Гидромеханика
с) Статическая устойчивость плавающих и погруженных
в жидкость тел
Обозначим центр тяжести тела, вес которого равен G кг, через 5,
центр тяжести вытесненного объема с весом D кг — через d. Если
в качестве действующих сил рассматривать только вес тела и под-
держивающую силу жидкости, то тело будет плавать (без воздей-
ствия внешних сил), если D = G и если одновременно d лежит
на вертикали, проходящей через s (ось плавания). Если D <^G,
то тело погружается. Если£)>(7, то тело поднимается до тех пор,
пока D не сделается равным G. Свободная поверхность жидкости
пересекается с плавающим телом по так называемой ватерлинии,
которая ограничивает площадь плавания. Если плавающее тело
наклонить около оси, параллельной одной из двух главных осей
инерции площади плавания, то поддерживающая сила D пересечет
ось плавания в точке, называемой метацентром. В общем
случае для каждой из обеих главных осей инерции имеется свой
метацентр (продольный и поперечный метацентры).
Введем обозначения:
Jj и J.2 — моменты инерции относительно главных осей площади плавания
в м4;
т1 и т,— расстояния метацентров от центра тяжести ? плавающего тела в м;
е — расстояние влг между точками d и ? перед.вр1щением, причем е положи-
тельно, если d лежит выше 9, и отрицательно в противном случае;
V — объем вытесненной жидкости в м3.
Для наклона (вращения) тела на угол ах относительно оси
необходим момент
Му = Dirty sin [кгм],
а для наклона на угол а2 относительно оси — момент
М2 = Dm2 sin а2 [кгм].
Вращение относительно любой другой оси можно разложить на
вращения относительно осей и Л и, таким образом, определить
соответствующий момент.
Для небольших углов a: mr = (Jt: IZ) -|- е и т2 = (J2: Ю -F е-
У тел, погруженных в жидкость (подводные лодки), у аэростатов,
дирижаблей ватерлинии не имеется, следовательно, Jy — J2 = 0; по-
этому они будут находиться в устойчивом равновесии только
тогда, когда их центр тяжести лежцт на одной вертикали с центром
тяжести вытесненного объема жидкости или воздуха и п о д ним.
Понятие метацентра в этом случае утрачивает свой смысл, так как
метацентр совпадает с центром тяжести вытесненного объема.
Если внутри плавающего тела находятся свободные поверхности
жидкости (частично наполненные резервуары, воздух в частично
наполненных воздушных мешках в аэростатах), наличие которых
дает возможность жидкости, ими ограничиваемой, перемещаться
при наклоне плавающего тела, то при определении положения
метацентра (т) следует ввести в формулу моменты инерции этих
поверхностей с отрицательным знаком. Наличие таких свободных
поверхностей понижает устойчивость плавающих тел.
Гидродинамика
449
С. Гидродинамика
а) Общие понятия
1. Линии тока, функция тока, критические точки. Кривые,
касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением
течения жидкости, называются линиями тока. При установив-
шемся движении (см. следующий параграф) линии тока совпадают
с траекториями отдельных частиц; при неустановившемся же
движении они отличны друг от друга. В двухразмерном потоке для
каждой линии тока можно найти такую величину ф, которая дает
количество жидкости, протекающей через любое поперечное сече-
ние между взятой линией тока и некоторой другой линией тока,
принятой за нулевую; эту величину называют функцией тока.
Если и обозначает компонент скорости в направлении оси х, а
v—в направлении оси у, то
дФ	дф
а = — и v = — х-Ч
ду	дх
Понятие функция тока можно применить и к пространственным
(трехразмерным) потокам, симметричным относительно продольной
оси (например обтекание шара); в этом случае функция тока дает
секундное количество жидкости, проте-
кающей через поперечное сечение тела
вращения, образуемого рассматриваемой
линией тока при ее вращении вокруг оси
симметрии.
При обтекании жидкостью тела имеется
линия тока, которая у тела разделяется.
Точка, где это происходит (фиг. 2, точка
/\), называется передней критической
точкой. У кормовой части тела, в зад-
ней критической точке Р2» линия тока опять смыкается. В крити-
ческих точках скорость потока относительно тела равна нулю,
2. Установившееся и неустановившееся течения. Течение
называется установившимся, если в нем в каждом его месте ско-
рость со временем не меняется ни по величине, ни по направле-
нию, иными словами, если наблюдателю представляется все вр£мя
одна и та же картина течения (пример: истечение жидкости под
постоянным напором через насадок). При движении же какого-ни-
будь тела в покоящейся жидкости течение уже не будет устано-
вившимся, так как тело и картина обтекания, вызванная его дви-
жением в глазах наблюдателя, все время передвигаются. Тем не
менее это явление можно привести к установившемуся: для этого
надо выбрать соответствующую систему координат, вместе с кото-
рой двигались бы и наблюдатель и тело. Есть, наконец, и такие
явления, которые нельзя привести к установившимся: например
движение в жидкости двух тел с различными скоростями. На прак-
тике в большинстве случаев приходится иметь дело или с устано-
450
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
вившимися течениями или с такими, которые могут быть приведены
к установившимся.
3.	Одноразмерное, двухразмерное и трехразмерное течение.
Существуют течения, состояние которых меняется, главным образом,
вдоль некоторой линии, в то время как в направлении, перпенди-
кулярном к этой линии, оно в существенном остается неизменным;
такие течения (потоки) называются однораз-
мерными (пример: движение жидкости б
трубе). В большинстве весьма важных техни-
ческих задач, составляющих предмет гидра-
влики, течение жидкости может рассматри-
ваться как одноразмерное. В других
же случаях течение происходит так, что кар-
тина потока одна и та же во всех параллель------------------у
ных плоскостях; примером может служить
обтекание цилиндрического тела, бесконечно	Фиг. з.
длинного в направлении оси или же ограни-
ченного с боков плоскими стенками, между которыми жидкость
протекает. Изучение таких двух размерных, или плоских, пото-
ков гораздо легче, чем изучение потоков трехразмерных,
или пространственных.
4.	Вихрь, потенциал. Обозначим через о> среднюю угловую
скорость, с которой вращается около своего центра частица жид-
кости в виде шара. Она определяется своими 3 компонентами для
3 взаимно перпендикулярных осей (фиг. 3):
1 / dv ди\	1 /ди dw\	1 (dw dv\
Удвоенная угловая скорость называется ротором, или к ё р-
лом, скорости и обозначается: rot d.
Вообразим в жидкости поверхность F, ограниченную кривой 5
(фиг. 4). Пусть в какой-нибудь точке контура 5 жидкость имеет
скорость v. Компонент скорости v в направле-
нии касательной в рассматриваемой точке 5 обо-
\	\ значим через v'. Составив произведение из ли-
] нейного элемента ds контура и компонента vf и
J взяв от этого выражения интеграл вдоль всего
замкнутого контура ((j)), получим величину Г =
х = (j) v' ds, называемую циркуляцией. Цир-
Фиг. 4. куляция Г и ротор rot г связаны между собою
следующим соотношением:
Г = / (rot D) • dft,
где d% есть элемент площади, rot г — ротор для оси, перпендику-
лярной к d$, и интегрирование распространяется по всей площади,
ограниченной рассматриваемым контуром. Если ротор одинаков для
всей поверхности, то
r = g.rotv;
Гидродинамика
451
rot о есть вектор. Циркуляция есть скалярное произведение двух
векторов (г и ds или rot г и afg), следовательно, она есть скаляр.
Если какая-нибудь частица жидкости вращается как твердое тело
с угловой скоростью о), то для окружности с диаметром г, описан-
ной около оси вращения:
Г = 2к г • га), rot о = Г ; F = 2п г • г со : г2г. =. 2 • со.
Как и должно быть, ротор в два раза больше угловой скорости.
Линии, касательные к которым в каждой их точке совпадают
с направлением результирующей оси вращения вращающейся жид-
кости, называются вихревыми линиями. Совокупность вих-
ревых линий, проходящих через односвязную поверхность, назы-
вается вихревой нитью, шнуром, трубкой или, нако-
нец, просто вихрем. Впрочем, вихрем часто р
называют вихревую нить вместе с окружающей ее	—-
невращающейся жидкостью — полем вихря.,	Z
Иногда еще слово вихрь употребляется в одном
смысле с ротором. Циркуляцию вокруг вихревой ——----v .
трубки называют напряжением вихря.
Вихрь в виде поверхности называется вихревой ------—~
пеленой; она является поверхностью разрыва
скоростей, так как скорость при переходе с од-
ной стороны этой поверхности на другую изме- Фиг- 5-
няется скачком на конечную величину Av, рав-
ную циркуляции на единицу длины hv^dYjds (фиг. 5).
Если какая-нибудь область потока свободна от вихрей (rot v == 0),
то в каждой точке этой области можно найти такую величину Ф, что
и =
дх ’
дФ
v =
ду '
дФ
w = з—.
dz
Ф называют потенциалом скорости, а поток, свободный
от вихрей, — потенциальным потоком.
В идеальной жидкости вращение отдельной частицы
никогда не может измениться (ср. приведенные ниже в п. 5 теоремы
е) 3 и е) 4). В частности, если циркуляция по любому замкнутому
контуру везде равна нулю, то движение идеальной жидкости мо-
жет быть только потенциальным.
5.	Формулы и теоремы, а) Общие уравнения движе-
ния Навь е-С т о к с а:
ди . ди
ди
ди
dz
1 др
р дх
ди .	dv	.	dv	.	dv	1	др
dt'dx'dy dz	p dy
dw .	dw	.	dw	.	dw	_	1	dp
dt	dx	dy	dz	p	dz
452
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
ди	.
— есть приращение за 1 сек. компонента скорости в напра-
влении оси х в определенном месте пространства;
ди .	ди ,	ди .	ди
-к и^—к v-ч—к w-7-
dt 1	дх 1 ду 1	dz
есть приращение за 1 сек. компонента скорости в направлении
оси х рассматриваемой частицы жидкости, которая в
общем случае за промежуток времени dt изменяет свое положение
в пространстве. X есть внешняя сила, приходящаяся на единицу
др	А
массы, — градиент давления в направлении оси х\ р•у•Ли =
( д2и . д2и , д2и \
= р • v	+ '^z2)~ сила в напРавлении оси возникающая
от трения смежных частиц жидкости. В идеальной жидкости, где
трения между частицами не существует, последний член пропадает,
поэтому в приведенных выше уравнениях он заключен в скобки {}.
Совокупность остальных членов известна под названием уравнений
Эйлера; последние пригодны только для идеальной жидкости.
Ь) Уравнение неразрывности. Из условия, что в эле-
мент пространства переменного объема должно втекать столько же
жидкости, сколько из него вытекает, получается уравнение нераз-
рывности для жидкости с постоянной плотностью:
ди . dv dw	а
-s—к -ч—к —- = 0 или div г — 0.
дх	ду 1 dz
Для потенциального потока (стр. 451) это уравнение можно за-
менить таким:
<)3ф д2Ф , д2Ф	п
"" дх2 + ду2 dz2	*
или в цилиндрических координатах
Г =	+ у2 , V — arc tg (=0, Z:
. 1 <?ф . 1 а»Ф . <?2Ф п
~ дг2 г дг ”* г2 d?2 + dz2 ~
Если плотность жидкости не постоянна, то уравнение неразрывности
будет:
др । д(рн) । ^(Р^) । d(pw) л	др । .. . .	_
-st Н---L Н—Г— Н—= 0 или -дг + dlv (Рг) = °-
dt 1 дх 1 ду dz	dt 1 г 1
Иногда при решении некоторых задач приходится допускать,
что в некоторых местах потока div г» не равен нулю. Такие места
называются источником или стоком, смотря по тому, положителен
или отрицателен для них div и (источник и сток см. стр. 456).
с)	Уравнение Бернулли. Интегрирование эйлеровых
Гидродинамика
453
уравнений для безвихревого движения дает уравнение Бер-
нулли:
pva ,	... дФ .
+ р 4- Лу + Р = const = pQ.
дФ	дФ
При установившемся движении = 0, и член р-^- исчезает.
Л? есть то давление, которое производит столб весомой жидкости
высотой h. На тот же столб действует поддерживающая сила
(стр. 448). Так как эта последняя равна и прямо противоположна
силе веса этого столба, то эти две величины и уравновешиваются.
При рассмотрении движения жидкости, не имеющей свободных
поверхностей раздела, соединяют обе величины статического давле-
ния вместе: p-\-h-\ — р', и эта сумма представляет собой общую
величину статического давления. Если, например, жидкостные
манометры находятся на одной высоте и в плоскости, принятой
~ -f V9 [кг/м2]
Ю'*	2	3 ч 5 6 8 1 2	2	3 ч 5 6 8 Ю 2	3 • 5 6 8 Ю* 2	3 9 5 6
[МД и /I||||||М||'|||.'1|1^1|,||'1|11,|Ч‘|'^>^'Ь|'1|1, I f
/	2 г 3	-.9	5 6 7 8 9 10	„20	30 «О 50 60 70 8090100
—. v [м/Сск]	воздух
—» -Р- V9 [КГ/М2]
8 8 1	2	3 9 5 6 8 Ю 2	2	3 • 5 6 8 Ю1 2	3 9 5 6 8 Юл 2	3*5
А;	0.2	С,3 Q9 • 05 Об 07 0809.2 , «	2	2	♦	5 6 7 8 9 #
—* и [м/сек/	вода
Фиг. 6. Номограмма для определения гидродинамического напора для воды и
воздуха.
за нуль (Л = 0), а соединительные трубки от приемника к маноме-
трам наполнены той же жидкостью, в которой измеряется давление,
то эти манометры и покажут полное статическое давление р hy.
vl р/2 есть кинетическая энергия единицы объема жид-
кости и называется гидродинамическим давлением (на-
пором) (фиг. 6). Вместо гидродинамического давления в кг/.и2или мм
вод. ст. можно указывать высоту столба рассматриваемой жидкости,
который оказывает такое же давление. Эта высота h = v^g назы-
вается скоростной высотой (таблица на стр. 308). Уравнение
Бернулли действительно для всей безвихревой области жидкости.
Если поток установившийся, по не свободный от вихрей, то урав-
нение давления справедливо для каждой отдельной линии тока,
если только можно пренебречь влиянием вязкости. Но при переходе
от одной линии тока к другой постоянная в этом уравнении меняется.
Для установившегося движения, введя понятие полного стати-
ческого давления р\ уравнение Бернулли принимает следующую
простую форму:
р v2/2 + р' = const
454
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
При больших скоростях движения капельной жидкости обра-
зуются полости очень низкого давления, приближающегося к абсо-
лютному вакууму; в этом случае из жидкости будут выделяться
пары, которые коренным образом изменят строение потока (кави-
тация). Это явление имеет место в быстровращающихся водяных
винтах и турбинах и уменьшает их к. п. д. (небольшая кавитация
дела не портит и может даже увеличить к. п. д.). При кавитации
наблюдается сильное изнашивание материала; причины этого не-
достаточно пока еще изучены. Можно предположить, что вновь при
быстром возрастании давления образующиеся пузырьки разруша-
ются, отчего могут возникнуть толчкообразные удары о лопасти такой
большой силы, что будет превзойдена прочность материала. Кроме
того, играют также, повидимому, некоторую роль и химические
процессы. При некоторых условиях в воде могут возникать также
и отрицательные давления (растягивающие усилия) без кавитации *).
По наблюдениям Аккерета это может произойти в том случае,
когда при очень большой скорости пузырьки не успевают образо-
ваться и когда течение не турбулентное. Играет ли это явление
какую-либо роль в технических приложениях, пока еще неясно.
d)	Теорема количества движения (в частности спра-
ведливая без ограничений и для явлений с потерями энергии).
Импульс с и л ы = масса X скорость. Секундное количество
движения массы жидкости, вступающей в какую-
нибудь ограниченную область жидкости, уравно-
вешивается внешними силами, действующими на
эту область. (Количество движения выходящей из области
массы жидкости надо считать отрицательным.) К внешним силам,
главным образом, принадлежат давления, действующие на поверх-
ность, ограничивающую рассматриваемую область. Количество дви-
жения, подобно силе, — вектор, поэтому равновесие должно суще-
ствовать и между соответствующими компонентами.
е)	Теоремы о потенциальных потоках и вихрях.
Теоремы 4, 5 и 6 даны Гельмгольцем и носят его имя.
1.	Если жидкость приведена в движение только разностью да-
влений и при этом в движении не проявляется вязкость, то обра-
зуется потенциальный поток.
2.	Если какой-нибудь поток является потенциальным, то он во
внутренней своей области остается таким и при наличии
вязкости. Последняя начинает оказывать влияние только в тех
местах, где происходит соприкосновение потока с ограничивающими
стенками.
3.	В идеальной жидкости, следовательно, и в потенциаль-
ных потоках, не может быть потери энергии. При равно-
мерном движении тела сопротивление, оказываемое ему телом,
равно нулю. (Сопротивление, которое оказывают реальные жидкости,
возникает от образования вращающихся частиц жидкости.)
*) Thoma, Die Kavitation bei Wasserturbinen, Wasserkraftjahrbuch, Miinchen,
1924.
Гидродинамика
455
4.	В идеальной жидкости циркуляция вокруг вихревой
нити не меняется со временем, в частности никакая ча-
стица не может притти во вращение, если она не обладала им
ранее.
В реальной жидкости эта теорема имеет только приближенный характер и
только при условии, что или вязкость достаточно мала или же поток в достаточном
удалении ет стенок является потенциальным (ср. теорему 2); она не исключает воз-
можности образования внутри идеальной жидкости поверхно-
стей раздела.
5. Вихревая нить состоит всегда из одних и
тех же частиц жидкости, даже передвигаясь или меняя
свою форму.
6. Циркуляция вокруг вихревой нити одина-
кова вдоль всей длины н и т и. Поэтому нить может окон-
читься только на границе жид ости, в против-
зом случае она замыкается.
Фиг. 10.
Фиг.
Фиг. 9.
Последняя теорема носит исключительно геометрический (кинематический)
характер, следовательно, не зависит от каких бы то ни было свойств жидкости.
7.	Скорость в поле вихря какой-угодно формы, напряжение
которого равно Г, может быть выражена интегралом, взятым вдоль
всей длины вихревой нити. Участок вихревой нити ds обусловливает
в точке Р поля (фиг. 7) скорость
dv = Г (ds: 4 п г2) sin ср = Г (ds : 4 г. a2) sin3 ср.
При этом dv перпендикулярно к плоскости, определяемой точкой Р
и элементом ds (закон Б и о- С а в а р a). (NB. Поле скоростей вихря
одинаково с магнитным полем вокруг проводящего электрический
ток проводника, имеющего одинаковую форму с вихревой нитью.)
Ь) Течения с потенциалом скорости
I.	Явления, в которых можно не рассматривать
влияния силы тяжести
Так как в однородной жидкости гидростатическая поддержи-
вающая сила определенного объема равна весу этого объема, то
обе эти силы взаимно уничтожаются. Явление происходит так, как
если бы притяжения земли не было вовсе. На границе двух жидко-
стей различных плотностей, в частности на свободной поверхности
жидкости, этого уже нет. Здесь, например, под действием силы
Тяжести могут возникнуть волны.
456	т. i. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
1.	Элементарные потоки. Параллельный поток (фиг. 8). Все
линии тока одинаково направлены, и скорость всюду одна и
та же.
Радиальный поток (фиг. 9). Жидкость течет из одной точки,
из источника, по радиусам, по всем направлениям в бесконеч-
ность. Количество жидкости, вытекающее в 1 сек., называется рас-
ходом Ев м3/сек источника. Скорость v в расстоянии- г м от
источника равна
v = Е: 4пг2 м!сек.
Потенциал:	Ф = — Е: 4 лг м21сек.
При плоском движении источник сосредоточен не в точке,
а распределен вдоль прямой линии. Расход Е в м2{сек в этом случае
будет количество жидкости, вытекающее из единицы длины этой
линии.‘Скорость в расстоянии г м равна:
v = Е: 2л г м^сек.
Потенциал:	Ф = (Е: 2 л) 1п г м2/сек.
Если расход отрицателен, следовательно, скорость направлена
по радиусам внутрь, то такой поток называют стоком.
Циркуляционный поток (фиг. 10). Жидкость двигается по кон-
центрическим кругам вокруг некоторой оси так, что всюду,
кроме как на самой оси, она свободна от вихрей. Если цирку-
ляция вокруг оси равна Г, то скорость v в точке Р на рас-
стоянии г м от вихря равна:
v = Г : 2 л г м!сек
а потенциал
Ф = (Г : 2 л) (ср -|- 2л п) м2/сек,
где <р обозначает угол, образованный радиусом, проведенным
в точку Р, с радиусом, принятым за нулевой, а п — произвольное
целое число (многозначный потенциал). Плоский ради-
альный поток и чисто циркуляционный поток переходят один
элементарных, если два
—м а
Фиг. 11.
в другой, если поменять ролями потенциальные линии и линии тока.
2.	Определение новых, сложных потоков путем сложения
потенциальные потока наложить один на
другой так, чтобы скорости нового по-
тока в каждой точке получались геоме-
трическим сложением скоростей в тех же
точках первоначальных потоков, то вновь
получившийся поток будет тоже потен-
циальным. Таким путем могут быть по-
лучены самые разнообразные потоки.
Источник и параллельный поток
(фиг. 11). Жидкость, вытекающая из
источника, остается внутри некоторой
. поверхности. Пространство, заключенное
внутри этой поверхности, можно представить себе замененным твер-
дым телом; поток вне этой поверхности при этом не меняется. И обратно,
Гидродинамика
457
нарушение, производимое в параллельном потоке подобного рода
твердым телом, совпадает с полем скоростей источника, помещен-
ного в параллельном потоке. Обозначим через v м!сек скорость
невозмущенного параллельного потока, через Е м2/сек или м2/сек
расход источника, через а м расстояние источника от передней точки
тела и через D м толщину тела в достаточно большом удалении
от его края, направленного навстречу параллельному потоку, тогда
для пространственного потока
а = 0,5 • V eTv* = D ,4; 0 = 2- УЁ/ТпГ;
для плоского потока
а = Е>2 vt. = D / 2 л; D= Ejv.
Из этих соотношений определяются положение и расход источ-
ника, могущего собою заменить тело, помещенное в параллельный
поток и его возмущающее. Если тело имеет несколько неправильную
форму, то оно все-таки по крайней мере прибли-
женно может быть заменено таким источником.	z
Источник и сток равных расходов (фиг. 12),
Если уменьшить расстояние а и увеличить рас-
ход Е так, чтобы	z	1
а • Е = М = const,	г*-a
то из этого потока получают, как предельный слу- фиг* 12-
чай, так называемый дублет или диполь (фиг. 13),
У диполя линиями тока служат окружности. М м^сек или м*1сек
называют моментом диполя.
Скорость в поле диполя:
в пространственном потоке:
и = — (М/4 к г3) • (3 cos’ 7 — 1);
v = — (Д474 л г3) • 3 sin 9 cos ср;
результирующая
Ун2 4- v2 = (Л4/4 л г3) / 3 cos2 9 + 1;
в плоском потоке:
и = — (М/2 К г2) • (2 cos2-cp — 1);
v = — (М/2 л г2) • 2 sin 9 cos 9;
результирующая
V u2-f-v2 = (М/2 я г2).
Потенциал соответственно будет:
л М	, М
Ф = -j—cos 9; Ф = п— cos ср.
4л г2 т	2 л г т
Источник, сток и параллельный поток (фиг. 14). Граничная
поверхность (или в случае плоского потока, граничная линия)
•158
Т. I. Отд, 2. Механика. IV. Гидромеханика
подобна эллипсоиду вращения (или соотв. эллипсу) и дает возмож-
ность обтекание таких тел изучать путем замены самих тел источ-
ником и стоком.
Особый случай: диполь и параллельный поток. Граничная
поверхность — сфера (или окружность). Если скорость параллель-
ного потока равна v м/сек, диаметр граничной фигуры d Mt
а скорость у поверхности этой фигуры w м/сек, то:
для пространственного потока (шар) d = 2 j/m/2 л v,
Фиг. 14.
w = 1,5 v sin ср;
для плоского потока (круг)
d = 2.УМ/2 л v, w =2 v sin ср.
Фиг. 15.
Непрерывное распределение источников и
стоков в соединении с параллельным потоком дает возможность
получить весьма выгодные формы дирижаблей х) (фиг. 15; зачерчен-
ная площадь выше оси изображает распределение источников, ниже
оси — стоков).
Обтекание бесконечного круглого цилиндра сложным
параллельным и циркуляционным потоком (фиг. 16Г Цилиндр
испытывает на единицу дли-
ны поддерживающую силу,
направленную перпендику-
лярно к v и равную р Гт,
(теорема Жуковского).
Зеркальное отражение.
Если поток зеркально
отразить относительно
какой-нибудь плоскости, то
эта плоскость отражения фиг> 17.
делается плоскостью
симметрии и может быть заменена твердой стенкой. Обратно,
эффект плоской стенки может быть заменен добавочным потоком,
получающимся от зеркального отражения рассматриваемого пото а
относительно стенки (пример: источник вблизи стенки, фиг. 17).
Для плоского потока можно находить зеркальные изображения
и от круга (фиг. 18). Если точка Р лежит от центра круга О
с радиусохМ г на расстоянии а, то соответствующая ей в зеркаль-
») Fuhrmann, Theoretische und experimentelle Gntersuchungen an Ballonmo-
dellen, Diss Gottingen, 1912 und Jahrb. d. Motorluftschiff-Studiengesellschaft 1911/12,
стр. 65 ff.,—v. Kir man, Berechnung der Druckverteilung an Luftschiffkbrpern. Abh.
aus d. Aerodynamischen Institut an der TH Aachen, Heft 6.
Гидродинамика
459
ном изображении точка Рг лежит на линии ОР на расстоянии
а' — г2[а от центра. Бесконечно удаленной точке соответствует центр
круга. Для шара (простр. поток) вопрос значительно усложняется.
Пример. Спереди самолетной стойки d/ = 5«15 см на расстоянии 20 см поме-
щен приемник показателя скорости. Каково влияние этой стойки на показание
прибора?
Слойку можно заменить источником и стоком (фиг. 14) с расходом Е ~ dv —
= 0,05 v м*[сек’, расстояние a^t----=0,134 м. Для учета влияния этой стойки
ТС
ее в свою очередь можно приближенно заменить диполем М = Еа = 0,0067 v м31сек
с расстоянием —---— й 0,07 м от передней кромки стойки. Расстояние диполя
от приемника г = 0,2 -j- 0,07 = 0,27 м. Возмущение потока от диполя
“ = 2^ (2 " ’>= °’°067 27^ ~ °’0’5 °-
Прибор будет показывать на 11/2°/о меньше, причем эта ошибка пропорциональна
квадрату расстояния. 
Фиг. 19.
3.	Применение метода конформных преобразований (стр. 197).
Применение этого метода возможно лишь для плоских потоков;
результаты получаются в высшей степени плодотворные.
Преобразование C = zn (фиг. 19). Поток в плоскости Z, парал-
лельный плоской стенке, отображается на внешнюю область угла
(плоскость С2, и<Ч) плоскости С или на внут-
реннюю его область (плоскость Ср п > 1). Вели-
чина угла р = п • 180°.
С = 1 :z. Окружности (в том числе и пря-
мая) переходят в окружности или прямые.
Параллельный поток переходит в диполь.
С = z + (l I z). Окружность через точки
z =—1 иг = + 1 переходит в дугу окруж-
ности (случай Kutta, фиг. 20, кривая /).
Особый случай: окружность через точки
z = — 1 и z = 4- 1 и с центром в z = 0 пере-
ходит в отрезок прямой. Круг, заключающий
внутри себя точку z = + 1 и круг /, ^отобра-
жается на область, имеющую вид профиля
крыла (профиль Жуковского, фиг. 20
Если зеркально отразить плоскость С относительно оси х
[С = U (z) + iv (?)],
’) Е. Trefftz, Graphische Konstruktion Joukowskischer Tragflachen, ZFM, 1913,
стр. 130.
460
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
то £ = и (z) — iv (г). Координаты этого зеркального изображения
равны компонентам скорости соответствующей точки плоскости z
(годограф). Это преобразование применяется, главным образом,
при потоках со струями, не имеющих твердых границ (стенок).
За границами струи жидкость покоится. Давление постоянно;
жидкость покоится. Давление постоянно;
поэтому давление, а также ско-
рость на границе струи должны
быть тоже постоянны. Линия
тока с постоянной скоростью
переходит в годографе в дугу
окружности. Пример: истечение
из сосуда (фиг. 21). Соответ-
ственные точки обеих областей
обозначены одинаковыми бук-
вами. Потоки, получающиеся
отображением при помощи го-
дографа, могут быть вновь конформно отображены в элементарные
потоки. Надо заметить, что в действительности поверхности раздела
в таких потоках (в примере — границы свободной струи) неустой-
чивы, тем не менее результаты получаются достаточно точные.
II.	Движение под влиянием силы тяжести1)
1.	Волны на поверхности жидкости
Обозначения (кроме уже введенных на стр. 443).
/ — длина волны в м,	I t—глубина воды в м
С—постоянная капиллярности в кг/м,\ с— скорость распространения волны в м]сек.
Если t^> I, то с=Уgl: 2 к ; при небольших волнах наравне
с силой тяжести играет роль и поверхностное натяжение: с —
=]/" (gl'.^n) + (2-С: pZ) . При = 2" ]^C:gp с принимает зна-
чение cmin = y/AgC: р (для воды \ = 0,0172 м и cmin = 0,233 м/сек).
Волны с Z>Zi называются тяжелыми, с I — капилляр-
ными. Так как с зависит от Z, то при группе волн волны раз-
личной длины смещаются друг относительно друга. В результате
появляющейся интерференции вся группа волн распространяется
de
уже с другой скоростью с = с— I "Щ* Для тяжелых волн с'= 0,5 с,
для капиллярных с'=1,5 с.
Если t Z, то с = l^gt.
Для любой глубины t:
c=Vgll2ntgh(2itt/[).
2.	Движение в канале при наличии повышения дна. Пусть
вода из большого озера перетекает через порог плотины (фиг. 22).
Если повышение дна сравнительно полого, так что линии тока
*) По Пран дтлю, Fliissigkeitsbewegung, Handworterbuch der Naturwissenschaften,
стр. 101.
Гидродинамика
461
искривлены сравнительно мало, вертикальным ускорением (центро-
бежными силами) можно пренебречь. Тогда скорость в каком-нибудь
месте зависит только от величины понижения в этом месте сво-
Фиг. 22. Течение через пологое воз-
вышение дна.
бодной поверхности: v = V?gh. Если через b обозначить ширину
порога плотины, то расход через ка- Л
кое-нибудь поперечное сечение вы-
разится равенством:
Q = b (a — h)
Каждой глубине дна а соответ-
ствуют два понижения /гх и h2 сво-
бодной поверхности, одно до, другое
после наивысшей точки порога пло-
тины. Наивысшей же точке порога
плотины а = а0 соответствует только
одно понижение свободней поверхности hQ = aQ/3. Расход в этом
месте равен
Q0 = b /^(2а0/3)з = 0,385 Ьа0 /2^.
Больше этого количества при заданной высоте уровня свободной
поверхности перетечь не может. Однако при помощи сооружений
Фиг. 23. Слив через изгиб дна.
Фиг. 24. Вытекание из-под щита
перед донным возвышением.
до или после порога плотины можно достичь уменьшения этого
расхода или сохранения его величины при большей высоте уровня
в озере (aQf > а0). На фиг. 23 и 24 показано, как это делается.
Фиг. 25. Расположение кривых свобод-
ной поверхности при различных
условиях.
Фиг. 26. Прыжок воды.
Кривую, по которой распола-
гается уровень свободной по-
верхности, можно получить из
вышенаписанного равенства
для Q, если из него, по задан-
ному Q определить значения h
(понижение уровня), соответствующие каждому значению а (глу-
бина). На фиг. 25 изображены типичные виды таких кривых для
различных случаев с равными расходами Q. Кривая 7—7 И соответ-
462	Т. г. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
ствует случаю, изображенному на фиг. 22; случаю па фиг. 23 со-
ответствует сплошная кривая над точками / и /7, а случаю на
фиг. 24 — нижняя кривая III—IV.
Если сооружение, построенное за порогом плотины, недоста-
точно высоко, то поток вместо формы, изображенной на фиг. 23,
принимает форму, изображенную на фиг. 26. Сначала вода стекает
с плотины так же, как в случае, изображенном на фиг. 22, за по-
рогом же плотины образуется прыжок воды, причем про-
исходит потеря энергии (удар), и течение замедляется. Вид кривой
свободной поверхности изображен на фиг. 25 пунктирной линией
между 7/ и IV. (О размерах прыжка и величине происходящей по-
тери энергии см. стр. 474.)
с) Течения с потерей энергии
I. Прямые трубопроводы и каналы с постоянным
поперечным с е ч*е н и е м
Введем обозначения (кроме уже введенных выше):
F — поперечное сечение (или часть его, если оно не все заполнено
жидкостью) трубы или канала в ,ws,
U — смачиваемый периметр в м,
d — диаметр круглой трубы в м,
г — радиус круглой трубы в лг,
г' = F | и — гидравлический радиус (для круглых труб гг = r/2 = rf/4) вл,
Q — расход в 1 сек. в м^сек,
v — скорость в каком-нибудь месте поперечного сечения в м1сек,
= Q/F — средняя скорость в м/сек,
R = vod I v — число Рейнольдса (для круглых труб), отнесенное к диаметру d,
R1 = vor’ / v — число Рейнольдса, отнесенное к гидравлическому радиусу,
R" = RI2 — число Рейнольдса, отнесенное к радиусу,
1 = [Д р : (р : 2)]«(d : I) — коэфициент сопротивления в трубе или канале, причем
Д р [кг/м2] есть падение давления на протяжении I м,
Хо — коэфициент сопротивления для гладких труб,
i=Lp | т/—уклон,
С = Д р : [*z7os (р : 2)] — коэфициент сопротивления какого-нибудь местного препятствия,
причем Д р означает разность давлений до и после препятствия,
k — коэфициент шероховатости [X = 10 — 2 (k / d)°>314],
Ej — коэфициент шероховатости (волнистости) (X = Х()£),
X', Хо\ k' — величины, соответственные X, >0, (г, если в формулах диаметр d
заменить гидравлическим радиусом г’.
В трубе или канале движение жидкости может быть лам и-
нарным или турбулентным. В первом случае линии тока
параллельны стенкам. В последнем же случае происходят движе-
ния жидкости и в поперечном направлении. То или другое со-
стояние движения жидкости зависит от средней скорости течения
v0, от размеров трубы (в круглых трубах, например, от диаметра)
и от кинематической вязкости v. Величиной, характеризующей состо-
яние потока, является число Р е й н о л ь д с а 7? = vQd/ v, размер-
ность которого равна нулю (см. „Механика подобия", стр. 433). В глад-
ких прямых цилиндрических трубах течение всегда ламинарное, если
число Рейнольдса R <2320; если оно до этого было турбулентным,
то при достижении числом 7? только что указанного значения, оно
опять становится ламинарным. При 7? >2320 поток все же может
оставаться ламинарным, если тщательно уменьшить всякого рода
Гидродинамика
463
нарушения правильности течения. Но если оно уже было турбу-
лентным, оно таким же остается. Чем больше число Рейнольдса,
тем меньших нарушений правильности достаточно для того, чтобы
сделать поток турбулентным 1)» так что практически при 7? > 3000
движение почти всегда турбулентное. Число Рейнольдса, соответ-
ствующее нижней границе турбулентного состояния течения, назы-
10
щель
'	3 *	6 8 Ю'*
ав
шкала) и для жидкостей различной вязко-
б 3 Ю
TpyGij.
Фиг. 27. Диаграмма для ламинарного потока.
-ол |
фиг.
ско-
м
аз
вается критиче-
ским рейнольд-
сов ы ,м числом:
/?кр=2320.
Скорость, соот-
ветствующая этому
значению рейнольдсо-
ва числа при задан-
ных диаметре трубы
и кинематической вяз-
кости, называется
критической
скоростью vKp,
(О гидравлическом ра-
диусе и соответству-
ющих формулах см.
стр. 465).
Объяснение к
27. Расход Q м3\сек,
рость течения по трубе vQ
м\сек (нижняя шка ла)
при разности давлений в
1 кг/м* на 1 м длины тру-
бы для труб различных
диаметров d мм (левая
с т и |л кг\сек\м*.
Для течения сквозь щель (плоское сечение) высоты а [мм] (правая
шкал?) значение скорости v0 следует прочитывать по верхней шкале. Расход Q
для щели шириной, равной высоте а, будет 10“6 yQa*.
Для других разностей давления найденные из номограммы величины для vQ и Q
должны помножаться на соответствующее падение давления на 1 м в кг)м?.
Ламинарное течение (течение Poiseuill). Закон распреде-
ления скоростей по поперечному сечению дается параболой
v = 2v0[l-(2x/dn
где х есть расстояние от оси трубы.
Коэфициент сопротивления Х = 64//?.
Падение давления Д р = 32 a (/ / tZ2),
(Этим простым соотношением часто пользуются для определения вязкости [л; падение
давления при эюм измеряется капиллярной трубкой.)
’) Schiller, Experimentelle Untersuchungen zum Turbulenzproblem, ZAM, 1921,
стр. 436.
464
Т. 1. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
При плоском течении между двумя параллельными стенками^
находящимися на расстоянии а, падение давления будет:
Др = 12^0//цl 2 *.
При достаточно хорошехМ закруглении входа в трубу в этом
месте движение жидкости еще остается потенциальным. Для окон-
чательного образования ламинарного течения потоку необходимо
протечь расстояние /	0,029 Rd *).
Турбулентное течение. В гладких трубах, а также с известным
приближением и в не очень шероховатых, скорость 2) (средняя во
времени) в расстоянии х от оси трубы равна
[1,251V7
1 — (2x/d)
Фиг. 28. Коэфициенты сопротивления труб в зависимости от рей-
нольдсова числа. Кривые для „ламинарного" и „турбулентного" ре-
жима отвечают действительности, кривые же для шероховатых труб
(шероховатость 1 и 2 рода) приведены лишь схематично.
Коэфициент сопротивления для гладких труб (фиг. 28)
4___________________________
Хо = 0,3164 У1 :R (Blasius) з).
В шероховатых 4) трубах сопротивление всегда больше, чем
в гладких. Согласно изысканиям Hopf5) и Fromm 6) следует раз-
l) Schiller, Die Entwicklung der laminaren Geschwindigkeitsverteilung und
ihre Bedeutung fur die Zahigkeitsmessung, ZAM, 1922, стр. 96.
’) v. KarmAn, Ober laminare und turbulente Reibung, ZAM, 1921, стр. 233.
8) H. Blasius, Der Ahnlichkeitsgesetz bei Reibungsvorgangen in Flussigkeiten,
Mitt. Forschungsarb., VDI, Heft 131. По новым исследованиям Jakob u. Erk (Mitt.
Forschungsarb., Heft VDI. 267) для 7?>10ь формула Blasius дает слишком низкие зна-
чения. Ими дана формула X =0,00714 + 0,614Ь»35.
4) Трубы в гидравлике называются гладкими, если возвышения на стенках
трубы 30 dR —7/в.
б) L. Hopf, Die Messung der hydraulischen Rauhigkeit, ZAM, 1923, стр. 329.
•) К. Fromm, Stromungswiderstand in rauhen Rohren, ZAM, 1923, стр. 339.
Гидродинамика
465
дичать два рода шероховатостей. При первом коэфициент сопро-
тивления не зависит от числа Рейнольдса, но зависит от относи-
тельной шероховатости k/d, т. е. отношения коэфициента
шероховатости k (табл. 6, стр. 466) к диаметру трубы d:
\ = 10-2 (Л/d)0'314.
При втором роде шероховатости X зависит от числа Рейнольдса,
по не зависит от диаметра трубы (при одинаковом материале сте-
нок). Приближенно можно положить:
х = х0
где Хо есть коэфициент сопротивления для гладких труб, а 6
(табл. 7, стр. 466)—коэфициент поверхности 2-го рода (возможность).
Вообще говоря, всякий материал обладает обоими родами шероховатости. Но
из них проявляется при измерениях тот, который дает большее сопротивление. По-
этому, если жидкость движется по трубе с шероховатостью 1-го рода так, что число
Рейнольдса уменьшается (фиг. 28) и коэфициент сопротивления приближается к зна-
чению коэфициента сопротивления для гладких труб, то начинает проявляться шеро-
ховатость 2-го рода; прямая, до этого горизонтальная, постепенно переходит в пря-
мую, параллельную Хп (фиг. 28).
Наоборот, кривая сопротивления для шероховатости 2-го рода при большом
значении числа Рейнольдса переходит в горизонтальную прямую.
Для определения сопротивления в трубопроводах с некруглым
поперечным сечением и в каналах вместо диаметра d вводится
гидравлический радиус х)
г' = PJU.
(NB. Для круглых труб гидравлический радиус равен половине
геометрического радиуса; в открытых каналах, глубина воды в ко-
торых незначительна по сравнению с шириной, гидравлический
радиус приближенно равен средней глубине воды). Предыдущие
формулы принимают теперь следующий вид:
R' = vr'/v = R/4.
Критическое рейнольдсово число R'кр = 580,
X' = X/4 = 4/R' 2) для ламинарных потоков (R < 580),
4
X/= Х0/4 = 0,05594 V 1//?' для турбулентных потоков при
гладких стенках (R' > 580),
’) Для поперечных сечений слишком необычной формы этот прием, быть может,
не совсем точен, но, как показывают опыты, для турбулентного сечения он вполне
применим, по крайней мере для целиком заполненных трубопроводов. Для ламинар-
ного течения отклонения несколько больше. См. Schiller, Ober den Stromungswiderstand
von Rohren verschiedenen Querschnitts und Rauhigkeitsgrades, ZAM, 1923, стр. 2.
В открытых каналах известное влияние оказывает еще наличие свободной поверх-
ности.
f) Число 4 — для круглых труб; для по юречнык сечений другого вида; 3,55 —
для квадрата, 4,44 —для прямоугольника с отношением сторон 1 ; 4.
466
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
V = 10“2 (&': г')0,314 Для турбулентных потоков при шерохо-
ватых стенках 1-го рода,
X' = Хо' • С для турбулентных потоков при шероховатых стенках
2-го рода,
k' = k : 330.
Если обозначить для труб соответствующие величины, отно-
сящиеся вместо диаметра к радиусу, значком", то будут иметь место
следующие формулы:
4 ___
R-' = X" =	= 16//?".	= ^ = 0,0669	,
п /А"\0,314
X" = 10~2 М ,\" = Хо" Е, k" = jfe/18.2.
Таблица 6. Коэфициенты шероховатости k и k'
Материал	А в м	k' в м	
1. Новые металлические трубы, достаточно гладкие, асфальтированная жесть			4.10~в	0,7
2. Новые чугунные и железные трубы, хорошо за- глаженный цемент 		2,5	7Л0~*	0,8
3. Старые железные трубы, заржавленные		5	1,540—1	1,0
4. Незаглаженный цемент, загрязненные чугунные трубы, нестроганые доски		7	2-10—8	1,1
5. Кирпич, тесаный камень		10	зло—8	1,2
6. Мелкий гравий (от 1 до 2 см)		70	2-10—1	2,3
7. Крупный гравий (от 3 до 5 см)		300	8.10-1	3,7
8. Дно, заросшее водорослями *)		5000	15	8,8
Таблица 7. Коэфициент шероховатости (волнистости) $
Материал	£
Асфальтированное железо..........от	1,2 до 1,5
Деревянные трубы ................,	1,5 „2
—или
Фиг. 29. Номограмма для определения коэфициентов X и X' в зависимости от
k\d и соответственно от
Для быстрого вычисления X для трубопроводов и каналов
с шероховатостью 1-го рода служит номограмма фиг. 29. На ней X
(или V) нанесены в зависимости от относительной шероховатости.
’) Для этого случая формула Hopf и Fromm неприменима. Вообще в реках
сопротивление намного бойыпе, чем, должно было бы быть, согласно шероховатости
их стенок.
Гидродинамика
467
Пример. Новая чугунная труба (k = 2,5 м) диаметром d = ICO мм (0,1 м);
— = ^ = 25, Х = 2,8*10~8. Канал с цементными стенками (kr =2 • 10~8), гидравли-
ческий радиус f = 1 м; ^- = 2* 10~8 /1 = 2*10 — 8, К' — 2,9* 10“ 3.
Для расчета трубопроводов и каналов служит номограмма стр. 469.
Другие часто применяемые формулы
1.	Трубопроводы
По D u р u i t (1854) и С h е z у (в английских справочниках)
X = 0,03.
Можно применять при ненадежном задании требуемого расхода Q и при принятии
в расчет позднейшего увеличения шероховатости стенок труб (в городских водопро-
водных сетях); в общем случае для новых труб дает слишком большие значения,
но зато облегчает вычисления и соответствует трубам с тонким осадочным слоем.
По Вейсбаху (1855) X = 0,0144 + 0,00947 : Ущ .
Применима к достаточно гладким трубам с диаметром d та 0,С6 м\ при мень-
ших d получающееся значение X слишком мало, при больших — слишком велико.
По Дарси (1857) X = 0,01989 + (0,00050 : d).
Для труб с гладкими стенками. Для шероховатых стенок следует увеличивать
значение вдвое.
По Biel (1907, Mitt. Forschungsarb. VDI, H. 44; VDI, 1908, стр. 1035
Позднейшая улучшенная формула (1925, Tecbn. Mechanik, VDI-Verlag):
X = 0,0094 + 1/ 4 + 1/ — *	•
J/ d У т vQd
Для гладких труб	е = Ы0~в	м,	т = 0,45*10 8	м.
Для железных труб	е = 8*10—6	л<,	т = 0,8*10 6	м.
Для чугунных труб	е =32*10 6	м,	т = 1,9*10~6	м.
По Lang (1905):
Х = а 4-0,0018 :
а = 0,012 для гладких трубопроводов, 0,020 для новых труб, соединенных муфтами
Формула Ланга (1917 г.): У X v0 = /а vr 4“ ^64 v : d .
Здесь vq = vQ — ч>кр. \&кр — критическая скорость (стр. 463)]; при Ро < vKp.t v#
следует считать равной нулю; а—коэфициент Шероховатости, средняя величина
которого 0,009.
По Мизесу1) (1914) (/г—коэфициент шероховатости):
X = 0,0096 4- У 32k :d 4- /3:Я;
вблизи же критической скорости:
X = (0,0096 4- /32 A:rf)*[l - (2000 : Я)] + /(1 — 2000/Я)3/Я 4- 64/Я*
2.	Открытые водостоки (реки и каналы)
В гидравлике вместо коэфициента сопротивления Xz пользуются так называемым
числом Ш е з и /2g/X' в формуле:
va = У21&' УтЬ.
’) Mises, Elemente der technischen Hydromechanik, В. О. Teubner, Leipzig,
1914. В этой книге дана таблица значений k для различных материалов.
468
Т. I. Отд. 2. Механика. TV. Гидромеханика
По Вейсбаху для рек и каналов с шероховатыми стенками
к' = 0.С074 + (0,000433/тго).
Для шероховатых стенок в среднем U = 0,0075 и = 51.
Но Bazin (новая формула 1897)* *
Х' = 0,00259 (1
1.	Для	строганых досок или цемента.....................с	=	0,06
2.	„	тесаного камня и нестроганых досок..............с	—	0,16
3.	„	бутовой кладки..................................с	=	0,47
4.	„	земляных каналов чистых, профиль правильный . . . с —	1,30
5.	,	русел с булыжниками (по К u 11 е г)..............с	~	1,75
По G a n g и i 11 е t и К и 11 е г ’) основная формула:
/~2?	23 4- (1 : я) + (0,00155 : Z)
Г V 1 + [23 + (0,00155 : «)]•(« : Ут') ’
где п равно от 0,010 (для стенок из тщательно выстроганных досок) до 0,030 (для
русел с булыжниками). Если i > 0,0005, то
V = 100 У г7 • V77?: (5 + У7),
где Ъ имеет значения от 0,12 до 2,44, в зависимости от шероховатости смачиваемой
поверхности
По Beyerhaus2)t>o = ar^ i °’48. а = 28 для рек.
По Forchheimer’)v0- аг* • 7°’*.
При а = 0,657 и р = 0,5 формула Forchheimer становится идентичной с при-
веденной выше формулой Hopf и Fromm. В этом саучае а и k' связаны соотно-
шением
а8/2^= 100/fc'0’814'
9 Применимость этой формулы в настоящее время подвергается сомнению,
см. Beyerhaus, D.e Trugschliisse aus den Mississippi-Messungen von Hum-
phreys u. Abbot und der fehlerhafte Bau der Ganguillet-Kutterschen Formel
(Zentralbl. Bauv. 1921, стр. 168).
*) Beyerhaus, Geschwindigkeitsformeln fdr WasserUufe und massgebendes
Gefalle; Mangel der Ganguillet-Kutterschen Formel und Darlegung eines geeigneten
Ersatzes (Bauing. 1921, стр. 485 и 523).
’) Forchheimer, Der Durchfluss des Wassers durch RQhren und Graben,
Insbesondere durch Werksgraben grosser Abmessungen, Berlin, 1923.
Глад

*'"|"1>| '"Т
1	с »	О
бода *
9 с
Д^чтАи*?1 ||||||||>*‘'1'^
*	«а IV	*	?
□ ,i i,i,i 1.Ц|||Л ...'i'i
« * *
Boidyt
Л с«г/^	- UWM
["/сек}
о
вода
»	•	*	С о.
Фиг. 30. Номограмма для расчета трубопроводов.
Гидро дитгам ика
470
Т. I. Отд. 1. Механика. IV. Гидромеханика
Практические указания к оценке коэфициента сопроти-
вления.
Изменение X вследствие уменьшения диаметра d
до значения dv В трубопроводах диаметр d с течением времени
уменьшается, что происходит из-за отложения на стенках трубы
осадков. Если отложение совершается равномерно, то dL равно но-
вому просвету трубы. Если же отложение осадков происходит с об-
разованием больших наростов, достигающих высоты 0,5 d и очень
неравномерно распределенных, то dt уже нельзя, считать равным
диаметру оставшегося поперечного сечения; дело в том, что на-
росты увеличивают смачиваемый периметр и повышают шерохо-
ватость. Небольшие изменения диаметра имеются во всех тянутых
или прессованных на сердечнике трубах (стеклянных, свинцовых,
медных, латунных, цинковых, встык или внахлестку сваренных же-
лезных трубах); этих небольших изменений достаточно даже для
того, чтобы X менялась в зависимости от направления, по которому
протекает вода (Blasius, Forschungsarb. VDI, Heft 131).
При уменьшении диаметра трубы от d w dr падение давления
при одном и том же расходе меняется в отношении (d/^)5 * * В, причем
принимается постоянной (шероховатые трубы).
При принятии в расчет определенных значений dx и X следует обращать внима- ние на следующее. Новые трубы. Чугунные трубы де-	Значения (dld^			
	djd		d/id	
лаются разной длины; узкие трубы делаются более короткими. Всякое соединение двух	0,60	12,9	0,85	2,27
отдельных труб сопряжено вообще с неболь-	0,65	8,62	0,90	1,69
шим смещением их вдоль поперечного сече-	0,70	5,95	0,93	1,44
ния или, в случае муфтового соединения, с небольшим осевым расхождением. Так как	0,75	4,21	0,95	1,29
	0,80	3,06	0,98	1,18
Пояснение к фиг. 30.
Номограмма дает зависимость между диаметром трубы d м, скоростью жид-
кости v м\сек, расходом Q м?\сек, рейнольдсовым числом /?, падением давления
р кг^м- на 1 м длины трубы (для воды падение i в мм на 1 м трубы) для гладких
и шероховатых труб с коэфициентом шероховатости k = 5 м (заржавленные старые
железные трубы) для воды и воздуха.
В случае труб с другой шероховатостью 1-города (табл. 6) надо
величины шкалы „Д р шерох.“ номограммы помножить на соответствующие вели-
/ ДДО’814
чины (-g-J , взятые из последнего столбца табл. 6. Для труб с шероховатостью
2-го рода надо значения, полученные по шкале „Д р глад.“ номограммы помножить
соответственно на величины коэфициента шероховатост из табл. 7. Если невполне
ясно, к какому роду шероховатости отнести данную трубу, следует найти обе ука-
занные величины и взять большую.
1. Пример. Заржавленная железная труба (k = 5 м) диаметром 0,15 лс, через
которую протекает вода со скоростью v0 = 0,6 м1сек. Расход Q = 0,0105 м3/сек,
рейнольдсово число /? = 9,0»104 (выше критического), падение давления на 1 м
а) по шкале „шерох." Д р = 3,65 кг[м*, Ь) по шкале „гладк." Д р = 2,23 кг[м9 (при-
нимается первое значение).
2. Пример. Та же труба, через которую протекает воздух со скоростью
с/0 — 8,8 м}сек, Q = 0,155 м3/сек, R = 9,0* 104, Д р = 0,97 кг}м9 (другая величина 0,59
не годится).
3. Пример. Асфальтированная железная труба (k = 1,5 м, £ = 1,4) диаметром
0,15 м, скорость течения воды v0 = 0,6 м\сек, Q и R, как и выше. Шкала ,шерох.“
дает Д р = 2,56 кг1м*, а шкала .гладк.“ Д р = 3,12 кг}м9 (принимается последняя
величина)
Гидродинамика
471
оба эти обстоятельства вызывают Сопротивление, то в трубопровода к из коротких
труб X больше, чем при длинных трубах. Прокатанные железные муфтовые трубы
делаются длиною от 7 до 10 м.
Тянутые трубы нельзя считать имеющими всюду одинаковый диаметр, так как
на величине X ввиду большой ее чувствительности отражаются даже небольшие
изменения диаметра; встык сваренные трубы часто имеют сварочные швы, высту-
пающие внутрь; оцинкованные трубы внутри иногда очень шероховаты. Деревянные
трубы, сделанные из клепок, имеют очень гладкие стенки (1VDI, 1909, стр. 933).
При передаче по трубопроводам сырой нефти, ‘обладающей большей вязкостью,
вместе с нею вводится в трубопровод вода, обладающая меньшей вязкостью, и обе
вместе приводятся в трубопроводе во вращение; благодаря этому более тяжелая
вода отбрасывается к стенкам, чем значительно уменьшается величина X (VDI,
1908, стр. 1368). Затем в особых резервуарах обе жидкости разделяются путем
отстаивания.
Трубы, бывшие в употреблении. Уже спустя несколько дней
после начала работы вода осаждает на стенках труб слой мути, уменьшающий про-
свет трубы на 2—3 мм. Внутренние стенки железных труб не ржавеют
как при отсутствии воздуха, так и при наличии его в поглощенном состоянии,
если же в воде содержатся кислоты и соли, разъедающие железо, последнее ржавеет.
В местах с уменьшенным давлением (всасывающие трубы, верхушка сифсна, расши-
рение трубы, дроссельный клапан) растворенные в воде газы (воздух, угольная
кислота, хлороводород, сернистая кислота, аммиак и др.; см. отдел IV „Теплота**,
растворение газов в воде) освобождаются и ускоряют разъедание незащищен-
ных мест на внутренней поверхности стенок; прежде всего это происходит
в местах отставания потока от стенок. При нефильтрованной воде осадки на стенках
иногда образуют корку до 60 мм толщиною. Количество осаждений пропорцио-
нально количеству протекшей воды. Тупиковые трубы остаются чистыми; повыше-
ние скорости течения воды в трубе, а также ее асфальтирование не уменьшают
образования отложений. Частые освобождения труб от воды увеличивают образо-
вание ржавчины; при новом наполнении вода окрашивается в коричневый цвет.
Нефильтрованная и неосвобожденная от железистых примесей вода, проте-
кающая по чугунным трубам, дасг отложения, первоначально состоящие из неравно-
мерно разбросанных наростов, имеющих форму полушара; эти наросты растут,
образуя на стенах волнистые слои, а местами—целые складки. Отложившаяся масса
состоит из бурого железняка с примесью других минералов в зависимости от про-
исхождения воды; встречаются также и раковины.. Единственным средством против
такого рода отложений является освобождение воды от примесей железа й газов
и последующая ее фильтрация (перед впуском в трубопровод). Грунтовые воды,
содержащие свободную кислоту, разрушают чугунные и цементированные трубы
и образуют на стенках отложения из пористого графита в случае чугунных труб,
и из кремневой кислоты в случае цементированных труб. В случае нефильтрованной
грунтовой воды стенки труб иногда зарастают водорослями, а в случае нефильтро-
ванной речной в трубы могут попадать разные мелкие животные (главным образом
выводки угрей); то и другое сильно мешает работе водомеров. В железных трубах
иногда образуются тонкие веточки, растущие к середине трубы. В свинцовых трубах
только спустя много лет образуется тонкий равномерный налет.
Теплую воду нельзя пропускать по асфальтированным трубам. Вода,
содержащая кислоты, должна пропускаться через свинцовые, оловянные, глиняные,
каменные, деревянные или выложенные деревом трубы; вода с примесью солей
должна пропускаться через цинковые, свинцовые, деревянные, никелевые и брон-
зовые трубы. Воду, содержащую угольную кислоту, нельзя пропускать но железным
и цинковым трубам.
В чугунных трубах, по которым пропускалась нефильтрованная речная вода,
обнаружены следующие отложения в процентах к первоначальному диаметру трубы:
d в м.............
Число лет работы . .
Отложения.........
0,076
20
35
0,076
32
75
0,102	0,152	0,152
22	Ю	20
54	20	33
0,204
24
36
0,381
40
28
Для сохранения надлежащей производительности трубопровода устанавливаются
особые колодцы для прочистки труб на расстоянии 50—60 м друг от друга; первая
чистка производится немедленно после укладки труб, последующие—через каждые
2- 3 года. Относительно заржавлен ия внешних стенок железных труб,
472
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
проложенных в глинистой почве, содержащей гипс, см. М е е 1 i n g е г, Journ. f. Gasb. u.
Wasservers., 1918, стр. 73; о материалах для труб, наиболее пригодных для проводки
определенной воды, см. Spiegelberg, Gesundheitsing,, 1918, № И.
Изхменения, происходящие внутри труб, можно обнаружить путем установки
в трубопроводах двух вертикальных труб (пьезометров), удаленных друг от друга
на небольшое расстояние I. (При этом обе трубы соединяются между собою трубкой
с краном; трубка эта соединяет те места вертикальных труб, до которых уровень
жидкости не доходит; кран служит для того, чтобы путем разрежения или сжатия
воздуха поддерживать уровень в вертикальных трубах на высоте, удобной для
наблюдений) В случае небольшой разности уровней, последние увеличиваются при
помощи диференциальных трубок; см. В г a b b е е, Gesundheitsing., приложение 1,
1913, стр 5. разодеть обоих уровней дает высоту, соответствующую сопротивлению
участка трубы длиною I при скорости течения v, при которой трубопровод дает ко-
личество воды Q. Если Q остается постоянным, то по увеличению этой высоты
можно судить, нужно ли произвести прочистку трубопровода или же заменить
трубы новыми.
Употребительные скорости и уклоны
В городских водопроводных сетях t/0 = 0,6 —
0,7 м/сек.
Каналы. Для того чтобы дно канала не разрушалось, не сле-
дует, чтобы скорость (в м/сек) превосходила указанные в табл. 8 ве-
личины
Таблица 8. Скорости воды в каналах
Материал русла
Материал русла
Илистая земля и коричневая гон-
чарная глина...................
Мелкий песок..................
Железистоизвестковая глина, жир-
ная глина ....................
Речной песок жирный...........
0,12
0,16
0,25
0,50
Гравий ..................
Булыжник.................
Куски шифера.............
Отложения горных пород . .
Твердые скалы............
1,00
1,25
1,80
2,30
3,50
Чтобы вода не осаждала в канале несомых ею веществ, средняя
скорость не должна быть меньше:
для воды, несущей легкий ил
v0 = 0,25 м/сек,
для воды, несущей песок
vQ = 0,50 м/сек.
В фабричных каналах г =0,4—0,8 м/сек\ при этом
уклон подводящего канала делают равным от 0,0005 до 0,0004,
уклон .отводящего канала—от 0,002 до 0,001.
Судоходные каналы, устраиваемые так, что они могут
освобождаться от воды для их очистки, и одновременно служащие
для осушения или, наоборот, для орошения, а также для питания
нижележащих водоемов, имеют уклон от 0,000005 до 0,000040;
практически эти уклоны (до 75 км длины канала) равны нулю. Наи-
большие допустимые для судоходства уклоны—от 1 :600 до 1 : 500;
уклонов выше 1:5000 следует стараться избегать,
Гж дро динамика
473
II. Местные сопротивления
Обозначения, кроме указанных на стр. 443:
Ри —давление в кгДи2, скорость в м{сек^ поперечное сечение вл’
до препятствия,
Р25 ^2, F, — соответственные величины после препятствия,
Ро, Vo'Ffi — соответственные величины в самом узком месте,
(= aFJ— соответственные величины в месте сжатия струи,
Со == [Pi — Р« +	Р/2] : (7>02 р/2] — коэфициент сопротивления, отнесенный
к самому узкому месту.
м ~ Со (FJF0)2 ~ коэфициент сопротивления, отнесенный к сечению F,,
Са = Со (Р2/Р0)2 — коэфициент сопротивления, отнесенный к сечению F,,
С' = Со а2 — коэфициент сопротивления, отнесенный к месту сжатия
•	струи,
a — сжатие струи.
1. Основные формулы. При сужении сечения трубы (изменение
скорости и давления вдоль потока) с хорошо закругленным вхо-
дом не получается никаких потерь, кроме потери на трение.
Коэфициент сопротивления Со равен от 0,06 до 0,005. Чем более
гладка поверхность трубы и чем больше рейнольдсово число, тем
меньше потери. Примером
наилучшего закругления мо-
жет служить насадок типа
JG (фиг. 82, стр. 500).
При плохо закругленном
входе и тем более при
острых краях (фиг. 31 и
32) образуется струя, кото-
Фиг. 31.
Фиг. 32.
рая сужается за входом еще
более. Получающееся затем снова расширение влечет за собой
потери согласно нижеуказанным положениям Отношение поперечного
сечения сжатой струи к поперечному сечению отверстия называется
коэфициентом сжатия или просто сжатием а; оно в значительной
степени зависит от формы краев входа.
Между коэфициентом расхода р- (стр. 496) и сжатием а существует следую-
щая зависимость: р. = ас-, где величина характеризует собой влияние трения
(вязкости) и обычно равно от 0,97 до 0.998 и даже 1.
В насадках с внезапным расширением при хорошо закругленных
сраях получается небольшое сжатие, если насадок продолжается
в виде короткой трубки.
Если при сужении трубы с прямоугольными краями Fo<0,1 Flt
то получается так называемое совершенное сжатие, и величина a
получает нижеследующие значения:
a = 0,62 до 0,64 для отверстий с острыми краями,
= 0,7 ,	0,8	„	„ с очень мало закругленными краями,
= 0,9	„	„с	закругленными краями,
= 0,99	•	я с гладкими и хорошо закругленными	краями
(фиг. 36, стр. 476).
При	а увеличивается соответственно скорости про-
текания (несовершенное сжатие), при острых краях по Вейсбаху
474
Т. I. Отд. 1. Механика. IV. Гидромеханика
	0,01	0,1	0,2	0,4	0,6	0,8 1	1.0
a	0,60	0,61	0,62	0,65	0,70	0,77	1,00
При внезапном расширении струи в круглой трубе (фиг. 31
и 32) потеря энергии определяется по теореме о количестве движе-
ния :
Сечение Ff Сечение Fe
Сек. количество движения . .	pF'?/2	— ^F2vtz
Действующая сила........................... ~P.F>
Сек. количество движения + сила = 0, вместе с уравнением нераз-
рывности v'F' = v2F2, дает
Р2~ Р' = ?V2 (У' — V2),
в то время как при отсутствии потери энергии было бы
Р2*-Х = (^'2-^2) р/2;
отсюда потеря энергии (формула Борда-Карно) будет
Р/ —Р2= (V' — V2>2 Р/2-
Качество:
_ Р2~~Р' _	2^2 ________2
71 ~ №“ Р' ~ Vz-\-V' ~~ 1-^. pjF'-
Коэфициенты сопротивления:
7 = (1 - F'/F2)\ С2 = (F2/F' - I)».
Полное превращение энергии происходит на длине, равной 8 диа-
метрам г).
Таблица 9. Потери при расширении струи
F'l?2	0	0,1	0,2	0,3	; M I	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9 ! 1	
	0	0,182	0,333	0,461	0,572	0,667	0,75	0,824	0,88	0,947	1
C'	1	0,81	0,64	0,49	0,36	0,25	0,16	0,09	0,04	0,01	C
	co	81	16	5,44	2,25	1,00	0,444	0,184	0,0625	0,0123	0
Сюда надо еще прибавить небольшую потерю при предшествую-
щем сжатии [С2 = (0,06 до 0,005) (F2/F0)2] и потерю на прямолиней-
ном участке между F' и F2.
Частный случай внезапного расширения — прыжок воды (стр. 462).
Даны vt и (фиг. 33); найти и /5. На основании предыдущего получаем:
(G : 4) [1 +	: 'О] = 2	: gtt = 2 (^ : q)\
*) Schutt. Versuche zur Bestimmung der Energieverluste bei p!6tzlicher Roh-
rerweiterung.—Thom?. M^t. d. Hydraul. Inst. d. TH, Munchen, Hefei.
Гидродинамика
475
где ct = есть скорость распространения основной волны на глубине (стр. 447)
Из этого уравнения определяется /а, а затем из уравнения неразрывности
Vj tL = v2f2 скорость
Течение до прыжка зависит от формы канала только до того места, где обра-
зуется прыжок, течение же после прыжка зависит только от формы канала, кото-
рую он имеет ниже места прыжка. Прыжок происходит приблизительно в том
месте, для которого удовлетворяется вышенаписан-
ное уравнение. Если оно не соблюдается нигде, как	_ _
это, например, бывает в том случае, когда второе пре-	s.	~
пятствие (фиг. 24, стр. 461) слишком низко, вода <—	___ч? Ъ
перетекает это препятствие, почти не теряя при S ,Л	.........| _
ЭТОМ энергии (согласно исследованиям Н. Thoma). '’777777777777777777777777771
Если второе препятствие слишком высоко, течение .	„
происходит так, как указано на фиг. 23, стр. 461. Фиг- 33. Прыжок воды.
При постепенном расширении (фиг. 34) (уменьшение скорости,
увеличение давления в направлении течения; диффузоры,
трубки Вентури) образуется прилипание жидкости к стенке
(пограничный слой), что мешает превращаться скоростной энергии
в энергию давления. При быстром расши-
рении наступает отставание жидкости от
стенки (течение с образованием вихрей,
см. стр. 488), жидкость образует свободную
струю, окруженную завихренной „застойной
жидкостью*, которые дальше смешиваются
Фиг. 34.
друг с другом. Такое быстрое расширение трубы подобно внезап-
ному расширению, причем потери могут быть иногда даже и
больше. Наивыгоднейший угол расширения 6 = 8°, причем:
р2 — Pi = (от 0,80 до 0,85) (v* 2 — v22) р/2,
С0 = С1 = (от 0,15 до 0,20) [1 -(Л/^2)2].
Опыты Андреса ') показали, что условиями превращения скоростной энер-
гии v12/2g в энергию давления в сечении с наименьшей потерей служат: круглый
профиль трубы, коническое расширение, винтовое или вихревое движение в рас-
ширении, гладкий и закругленный переход трубы в расширение и особо гладкие
стенки труб (последнее в случае железных труб обычно не выдерживается). Помо-
щью отсасывания пограничного слоя можно избежать и в случае быстрого сужения
трубы отставания жидкости от стенок и таким образом получить короткие диффу-
зоры хорошего качества 2).
В закруглениях частицы жидкости, движущиеся с большей
скоростью, имеют большее стремление к прямолинейному движению,
чем двигающиеся с меньшей скоростью. Задержанный стенками слой
прижимается к внутренней стороне закругления, тогда как более
быстро двигающиеся частицы отбрасываются к внешней стороне и
там задерживаются сильнее, чем в прямом течении. Вследствие
оттеснения медленно движущихся частиц к обеим по отношению
к плоскости симметрии сторонам стенок образуется пространственный
спиралеобразный поток, так называемый „вторичный поток" 3).
!) Mitt. Forshungsarb. VDI, Heft 76, 1909. Также см. Vdl, 1910, стр. 1585. Об
опытах с постоянно расширяющимися трубами прямоугольного сечения см. Hoch-
schild, Forshungsarb., Heft 114, 1910. О течении в расширяющихся каналах
см. R. К г б n е г, Forschungsarb., Heft 222, 1920.
2) А с к е г е t, Orenzschichtabsaugung, ',VDr. 1926, стр. 115\
•) Isaachsen, Innere Vorgange in strdmenden Flbssigkeiten und Gasen.
476	Т. !• ОтД- *• Механика. IV. Гидромеханика
Местное сопротивление зависит в известной степени также и от вида трубо-
провода до и после него. В первом случае оно зависит от того распределения ско-
ростей, с которым поток вступает в данное препятствие. От него зависит также
сохранение или нарушение равномерности потока и образование свободной струи.
2. Опытные данные. Вводные насадки (фиг. 35—38). ПоВейсбаху:
Фиг. 38. Вход-
Фиг. 35. Вход-
ная кромка а
острая: С = 0,50;
кромка тупая:
С = 0,25.
Фиг. 36. В за-
висимости от
гладкости сте-
нок С = 0,06 до
0,005.
Фиг. 37. Угол вход-
ной кромки зату-
пленный (90’’): С =
= 0,56; входная
кромка b острая: £=
= 3,0, наибольшее
сжатие.
ная кромка ост-
рая: С = 0,5 +
+ 0,3 cos 6 -v
+ 0,2 cos2 6.
Сопротивления в коленах и закруглениях (разница с со-
противлением прямой трубы той же длины и одинаковой шерохо-
ватости). В опытах Мюнхенской лаборатории коэфициент шерохова-
тости был #^0,73 м, диаметр трубы dtt 0,043; таким образом
k/d = 17 (см. табл. 6 на стр. 466).
Колено под углом, поперечное сечение круглое. Угол откло-
нения 6 (фиг. 39). По Кирхбаху и Шубарту 1) м/сек, d = 43MM).
Фиг. 39.
Фиг. 40.
6	22,5°	30е	45е	60°	90°
Гладкая C . . . .	0,07	0,11	0,24	0,47	1,13
Шероховатая C • •	0,11	0,17	0,32	0,68	1,27
	0.71	। 0,943 1	1,174	1,42	1,86	2,56	6,28
Гладкая С . . . .	0,51	0,35	0,33	0,28	0,29	0,36	0,40
Шероховатая С . .	0,51	0,41	0 38	0,38	0,39	0,43	0,45
со
0,47
0,64
Фиг. 41
Ud	1,23	1,67	2,37	3,77
Гладкая С • . . .	0,16	0,16	0,14	0,16
Шероховатая С .	0,3J	0,38	0,26	0,24

Закругления. Круглая труба, угол поворота о0. Значения С даны
для v^d/v = 225000 по Гофману и Василевскому2).
VDI, 1911, стр. 215. См. также Н. Richter, Der Druckabfall in gekriimten glat-
ten Rohrleitungen, Forschungsarb., Heft 338, 1930.
i) I h о m a, Mitt. d. Hydraul. Inst. d. TH, Munchen, Heft 2 u. 3.
») Ibid., Heft 2, 3 u. 4,
Гидродинамика
477
Фиг. 43 r)d
Гладкая
6 = 15°
22,5°
45°
60°
90°
Шероховатая 90°
0,03	0,03	0,03	0,03	0,03
0,045	0,045	0,045	0,045	0,045
0,14	0,09	0,08	0,075	0,07
0,19	0,12	0,10	0,09	0,07
0,21	0,14	0,11	0,09	0,11
0,51	0,30	0,23	0,18	0,20
2	4 | 6 I 10
Фиг. 42. Гладкая: £—0,103
шероховатая: £ = 0,32.
формулы по Вейсбаху.
Фиг. 43.
С = sin* 2 6/2 + 2 sin4 6/2,
для 90° < 6 < 180° также С = 1 — 2 cos 6.
Закругление:
/ d \3’5
с = о,13 4-о,1б( — ) .
•	\ Г J
Для ходовых труб водяного отопления по Б р а б б е 1).
Колена 90°, снаружи немного закруглены, вставляемая часть
с острыми краями; d в мм обозначает диаметр в свету ввинчиваемой
трубы; в противоположность вышеуказанному случаю здесь происхо-
дит в колене уширение трубы:
1,7
20
1,7
25
1,3
34
1,1
39	49
1,0	0,83
Закругление на 90° (на обоих концах нарезная муфта, следо-
вательно, труба в закруглении не расширяется):
£=	1,2	1,1	0,86	0,53	0,42	0,51
Для правильно построенного трубопровода при угле пово-
рота в 90° можно достигнуть для коэфициента сопротивления значе-
Т-образные отводы. Все
круглое; края отвода—острые.
мой части; — коэфициент сопротивления отвода, оба отнесены
ния С = 0,15 2). Однако эта вели-
чина относится только к правиль-
ному потоку; для неправильных
потоков, которые получаются, на-
пример, за турбинами, винтовыми
вентиляторами и т. п., значение
для С будет значительно больше,
три патрубка одинаковы, сечение
г — коэфициент сопротивления пря-
») Beiheft I zum Gesundheitsing, 1913.
2) Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt Gollingen, 1. Lfg., стр. 17,
Miinchen, 1921.
478	I- i- Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
к полной скорости (наибольшая скорость) 1). Закруглением краев
потери уменьшаются (табл. 10).
Таблица 10
	Отвод			по фиг. 44			Приток			по фиг. 45		
Qu'iQ	0	0,2	0,4	0.6	0,8 |	1	0	| 0,2	0,4	0,6	0,8	1 1
’•a	0,95	0,88	0,89	0,95	1,10	1,28	-1,2	-0,4	0,08	0,47	0,72	0,91
	0,04	— 0,08	-0,05	0,07	0,21	0,35	0,04	0,17	0,30	0,41	0,51	0,60
Таблица 11. Наивыгоднейший диаметр ответвления optda для
Т-образного отвода.
Цилиндрическое ответвление с углом отвода 6 при данном QaIQ (края закруглены
с радиусом г = 0,1 da) 2).
В	QaIQ = о,з			Qa/Q = °-5			Qa/Q = 0,7		
	90°	|	60°	45°	90’ |	60°	45°	90”	60°	45’
opt dQld	1	0,61	0,58	1	0,79	0,75	1	1	1
va\v	0,3	0,8	0,9	0,5	0,8	0,9	0,7	0,7	0,7
	0,72	0 59	0,35	0,75	0,54	0,32	0,88	0,52	0,30 .
Принимая во внимание стоимость, а также и потери С^, обычно величина da
меньше, чем указанный в таблице гидравлический оптимум.
Для ходовых Т-образных ответвлений для сети водяного отопле-
ния см. Brabbee, Beiheft 1 zum Gesundheitsing., 1913.
Сопротивления различных преград и запорных приспособ-
лений (для труб и каналов). По опытам Guillaume 3), для нормаль-
ного вентиля паровой турбины:
Диаметр трубы в мм	350	300	200	100
Ci	7,3	7,2	6,2	5,5
О сопротивлениях различных вентилей для водяного отопления см. Beiheft 11
zum Gesundheitsing., 1918; Ambrosius, Untersuchungen an Regelvorrichtungen fur
Dampf- und Wasserheitzkorper.
i) G. Vogel, Untersuchungen uber den Verlust in rechtwinkligen Rjhrverzwei-
gungen.,—T h о m a, Mitt. d. Hydraul. Inst. d. 1H, Munchen, H. 1 u. 2.
2) i'h от i, Der hydraulische Verlust in Formstiicken, Bericht fiir den Weltin-
genieurkongress in i okio 1929.
8) Feuerungstechnik 1913/14, стр. 254.
Гидр оди п ам и ка
479
Таблица 12. Сопротивление запорных приспособлений
(по Вейсбаху)
Тонкая задвижка в прямоугольной трубе (высота а: ширина £> = 1:2. Высота подъема Л)		а II II	0 0	0,2 0.38	0,4 2,1	0,6 8,1	0,8 44,5
Тонкая задвижка в круглой трубе		II II кГ	0 0	0,26	’/•4 2,1	31< 17,0	7/8 98
Кран с прямоугольным отверстием (угол поворота 8; полное закрытие при 8 = 663/4°)	(	II II «5	10° 0,31	20° 1,84	30° 6,15	40° 20,7	55° 309
Прямоугольный дроссельный кла- пан (угол поворота 8)	( 1	о? II II	10° 0,45	20’ 1,34	40° 9,3	60° 77,4	70® 368
Круглый дроссельный клапан		<1 =	: ,52	1,54	10,8	118	751
Сопротивление решеток (по Киршмеру и Спанглеру1), размеры
см. фиг. 46 и 4/).
obcderglkl
Фиг. 46. Установка решетки по	Фиг. 47. Форма стоек решеток,
отношению к потоку.
При потоке, нормальном к решетке (я —0°)
Ci = р (s/&)4*3 sin о.
Форма стоек по фиг. 47	а	’ 1	с	d	е	/	
₽ =	2,42	1,83 |	1,67	1,04	0,92	0,76	V9
Значения для bjs = 1,7 и 8 = 90° при косом обтекании:
Форма стоек	а	b	с	d	е	/	i	k	I
а = 30®	1,46	0,76	0,71	о,43	0,68	0,22	1,81	1,53	1,62
а = 45’	2,05	1,29	1,29	0,94	1,29	0,67	2,72	2,32	2,12
а = 60°	4,26	2,45	2,81	2,19	3,05	1,84	4,26	3,43	3,88
1И horn a, Mitt. d. Hydraul. Inst. d. TH, Munchen, H. 1 u. 2.
480
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
Сопротивление мостовых устоев. Для большинства мостов
^1 = ^-1.
Подробности см. Reh bock, Zur Frage des Briickenstaues,
Ztrbl. Bauv., 1919, стр. 197.
III. Расчет трубопроводов
Обозначения:
Fa — поперечное сечение трубопровода у входа в лГ.
Fz, FlyFzn т. д.—поперечное сечение трубопровода в местах х, z, 1, 2 и т. д. в лт’,
Fo — поперечные сечения эквивалентной насадки ’) (коэфициент расхода
|л = 1), через которое при одинаковой разности давлений ре — ра про-
текало бы одно и то же количество жидкости Q в ж’,
Q — количество жидкости, протекающее через трубопровод в м31сек^
v{, v9‘> vx 11 к Дч va — средние скорости в поперечных сечениях Fty Fit Fx и т. д.,
Fa в м3!сек,
vQ — компонент скорости жидкости у входа в трубопровод (отрицательные
значения не принимаются в расчет) в м}сек,
р
ve — давление до входа в трубопровод, увеличенное на , в кг}-»*,
рх, Рг > Pi-, Рч и т- Дч Ра ~ давления в поперечных сечениях Fx, Fz, Flb Ft и т. д.,
Fа в кг>м\
Hg,Hx и т. д. — высоты, соответствующие этим давлениям. Они получаются деле-
нием давлений на \-Не = ре : р и т. д. в м,
ht, h2 и т. д., ha — высоты поперечных сечений Flt F2 и т. д., Fa — над входным
поперечным сечением в лт,
Сц С. и т. д. — коэфициенты сопротивления при входе и для отдельных препят-
ствий в местах 1, 2, и т. ,д.,
\х — коэфициент сопротивления прямого участка трубопровода в месте х,
/д., dx, (rxf) — длина и диаметр (гидравлический радиус) этого участка трубопровода.
Потеря давления на прямых участках трубопровода:
Потеря давления, обусловленная сопротивлениями при входе
и отдельных препятствий в местах 1, 2 и т. д.:
_В_ Q2 у °	.
2 М F2 *
Потеря при выходе:
2 рг
Полная же потеря давления равна:
„ <„ h -л р _ Р гг>Гуа >'х -СУа I 1 1
Ре (Ра hari ~ 2 ’ F02 “ 2 Q |_Е« Fx2 dx F„2 + FJ J
i) В горном деле вместо эквивалентной насадки вводится понятие .эквивалент-
ное О|Верстие“ А с коэфициентом расхода у. = 0,65, Ги = 0,65А.
Гидродинамика
481
Поперечное сечение эквивалентной насадки:
Ро = 1:
Из предпоследнего уравнения следует:
Q = Р oV(Pe-Pa + ^ (2:р).
Давление в каком-нибудь месте z трубопровода:
Pt^Pe~h2^~ 2~	(т^"	7/ '^_ + Ее7Т')-
(Q предварительно вычисляется из предшествующих уравнений.
Знак суммы S распространяется на протяжение трубопровода от его
начала до места z.)
Если вместо давления р в расчет желательно ввести напоры Н,
то в предыдущих формулах надо ре, и т. д. заменить через уНе,
*(Н1 и т. д. Если, кроме того, вместо диаметра трубы желательно
иметь дело с ее гидравлическим радиусом, то в формулах следует d
заменить через г', а X — через X'. В открытых каналах разность
рг — pei входящая в последнее уравнение, равна нулю. Это уравне-
ние дает возможность определить высоту h2 уровня воды в месте z.
Практические указания. В случае длинных трубопроводов,
кончающихся открытым водоемом, при определении ре и ра следует
принимать во внимание разность давлений воздуха на концах трубо-
провода; в случае же коротких трубопроводов с постоянными усло-
виями влажности давление воздуха можно считать одинаковым.
В некоторых местах трубопровода давление рг, определяемое
из вышенаписанного уравнения, может быть ниже атмосфер-
ного; скорее всего это может случиться в наклонных или коротких
трубопроводах с небольшими сопротивлениями или в местах сужения
(например около частично закрытых регулирующих или запорных
приспособлений); при больших скоростях течения в таких сужениях
может образовываться кавитация (стр. 454), которая будет разъ-
едать материал трубы.
Если в трубопровод проникает воздух (через входное
или выходное отверстие или через такие неплотные места, где давле-
ние в трубопроводе ниже атмосферного) или освобождаются газы,
до того растворенные в жидкости (вследствие понижения давления
или повышения температуры), или, наконец, если имеет место пони-
жение давления (образуются пустоты), то эти газы собираются
в наивысшей точке трубопровода и постепенно уменьшают расход.
Если при всяких обстоятельствах в наи ’.ысших точках трубопровода
давление остается выше атмосферного, то собравшиеся там газы
могут быть отведены через вставленные там трубки. Если же давление
482
Т. Т. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
в этих местах ниже атмосферного, газы приходится отсасывать.
Соответствующей установкой трубопроводов можно достигнуть само-
стоятельного удаления газов1).
Если выходное отверстие трубопровода лежит выше
свободной поверхности жидкости, то через это отвер-
стие в трубопровод может проникать воздух, если только давление
к выходу трубопровода не понижается. Последнее можно достичь
либо подъемом последнего участка трубопровода перед выходным
отверстием, либо созданием больших сопротивлений, либо уменьше-
нием поперечного сечения перед выходным отверстием.
Напорные трубопроводы с переменным укло-
ном или переменным диаметром в наклонных участках могут запол-
няться жидкостью не сплошь, что иногда является причиной опасного
гидравлического удара (Ztg. d. Ver. d. Eisenb.-Verw., 1902, № 31).
Предохранение: установка широкого компенсатора (штольни), ре-
зервуара или воздушного колпака.
d) Движение воды в почве %)
I. Постоянное поперечное сечение. Фильтры
Обозначения:
V — скорость фильтрации в м]сек — секундное количество жидкости в м3'1секу
которое протекает через 1 м* фильтра,
I — толщина фильтрующего слоя в направлении протекания жидкости в ж,
т — часть объема почвы, приходящаяся на свободные промежутки,
d — средний диаметр зерен фильтрующего вещества в м,
Н — напор, затрачиваемый при протекании, в лс,
k — коэфициент просачиваемости, в м\сек.
v = kH\l.
Величина k зависит:
1.	От величины зерен фильтрата; при тонком песке k пропор-
ционально диаметру песчинок.
Таблица 13. Коэфициент просачиваемости по Гугентоблеру
Материал	1000 d	т	fei-10®	а	Для скоростей, равных (1000г/)
			316	1,08	0,37- 1,7
Песок садовый ....	5—15	38,5 |	363	1,25	1,7 -13
			1680	1,10	0,4 — 2,0
Чистый гравий ....	8—50	41,9 {	2520	1,70	2,0 -13,4
			32	1,12	0,1 — 0,5
Гравий с песком , . .	0,5-40	27,5 [	25	1,23	0,5 - 3,5
1) A. Vogt, Heber und Heberleitungen. Jahrb. f. Gasbel. 1920, стр. 22.
*) Forchh eimer, Hydraulik, Leipzig, 1914, Teubner; также VDI l£01,
стр. 1736 и Enzyklopadie der mathem. Wissenschaften, Abschn. Hydraulik
Гидродттнамика
483
При крупном песке, гравии и щебне этот простой закон неприменим. Кроме
k Н
того, v уже не пропорционально Н. По Гугентоблеру i) (1000^)*= —!—
(табл.
13).
2.	От большей или меньшей плотности песка.
3.	В большой степени от чистоты песка. Небольшие примеси
глины или других водонепроницаемых материалов могут в значи-
тельной степени изменить величину k.
Замечание. Вследствие большой зависимости просачиваемости от харак-
тера грунта, при неизвестном грунте следует проводить специальные опыты.
0 самоуплотнении слежавшихся песка и глины, см. Гугентоблер 2). Просачиваемость грунта может быть уменьшена, глав- Таблица 14. Коэфициент просачи- ным образом, устройством^	ваемости по Терцаги 3)			
разбухающих промежуточ- ных Слоев (глина, ОКИСЬ же-	Материал	1000 d	т	lO’.ft
леза, перегной, корни расте- ний); эти промежуточные слои оказывают действие да- морской песок . . же при нескольких мм тол- щины; все-таки толщину та- Светлый речной I ких слоев следует брать	песок	j большей, ввиду возможно- речнОй песок спри- сти размыва почвы, неравно-	месъю глины . . мерного опускания ее, про- рытия ходов животными. Сухая глина при разбухании в воде увеличива	0,116 0,22 0,28 0,64 0,013 ется в <	( 0,50 < 0,43 1 0,39 0,43 0,41 0,44 0,85 звоем	126 118 89 41 61 266 2,2 объеме
приблизительно в 2,5 раза; поэтому глину не следует употреблять
в качестве прокладки для подпорных стенок (для этой цели предпо-
чтительнее щебень). Для уменьшения просачиваемости водопрони-
цаемого слоя его утрамбовывают глиной с небольшим содержанием
воды и засыпают сверху еще слоем песка — в целях предохранения
от последующего размывания. Просачиваемость илистой глины при-
близительно в 1000 раз больше, чем насыро утрамбованной чистой
глины (см. Moorman n, Journ. f. Gasbel. u. Wasservers., 1894,
стр. 409)3).
II. Сток подпочвенных вод4)
Так как предпосылки, положенные в основу теории стока под-
почвенных вод, в действительности никогда точно не удовлетво-
ряются (например, просачиваемость почвы не везде одинакова), то
*) W. Hugentobler, Bericht liber die Versuche zur Ermittlung des Durch-
flussgesetzes und der Durchl2ssigkeitskonstanten fflr den Durchfluss von Wasser durch
verschiedene Kies- und Sandmaterialien in der Versuchsanstalt Manegg. Schweizerische
Wasserwirtschaft, 1925, стр. 123.
T er z aghi, Erdbaumechanik, Leipzig u. Wien, 1925, Deuticke.
3) Относительно просачиваемости грунта в каналах см. Brunner, Disserta-
tion, Dresden, 1917, а также Schafer, Zentr?lbl. Bauv., 1917, стр. 401.
4) По Forchheime r’y, Hydraulik.
484
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
приводимые ниже формулы могуг применяться в непосредственной
близости от колодцев только как приближённые.
* Подпочвенные воды над горизонтальным плос-
ким водонепроницаемым слоем. Колодец имеет прони-
цаемые стенки, расположенные над водонепроницаемым слоем
(фиг. 48) (совершенный колодец).
Введем обозначения:
Q — количество воды, выкачиваемое в 1 секунду из колодца, в м3/сек,
?о — высота воды в колодце в м9
2 — высота воды на расстоянии г м от середины колодца в м,
2г0 — диаметр колодца в лг,
к — просачиваемость почвы (количество протекающей жидкости в м3\сек через
поперечное сечение в 1 м3 при разности давлений в 1 м
вод. столба на 1 м длины).
Тогда
Фиг. 48.
z2—г02 = ((?:кй)-1п(г:г0).
Эта формула практически применима также и в том
случае, когда колодец не доходит до водонепроницаемого
слоя (несовершенный колодец).
е) Сопротивление тел
I. Поверхностное трение. Тела наименьшего со-
противления. Естественный ветер
При обтекании жидкостью твердых стенок скорость ближайшего
к стенкам пограничного слоя уменьшена,
трение жидкости о стенки. Движение в
э.ом пограничном слое может быть или
ламинарное или турбулентное
(стр. 462). Около самой стенки скорость по-
тока равна нулю. При ламинарном движе-
нии зависимость увеличения скорости от
расстояния у от стенки — линейная, при
турбулентном — пропорциональна у/у (фиг.
49). Впрочем, указанное имеет место только
в ближайшей к стенке части пограничного
слоя, с дальнейшим же удалением от стенки
скорость постепенно становится постоянной.
причиной чему служит
Фиг. 49. Кривые возрастания
скоростей при ламинарном
(левая) и турбулентном дви-
жении (правая) в погранич-
ном слое.
1. Плоская пластинка, параллельная направлению потока.
Давление по всей поверхности одинаково
Введем обозначения:
О — площадь плоской стенки, в л2,
Wy— сила трения, испытываемая этой площадью, в кг,
v — скорость потока вне пограничного слоя относительно стенки в м/сек,
Cj — коэфициент трения,
Гидродинамика
485
t — длина пластинки в направлении потока в лг,
vt
R= —----число Рейнольдса, от которого зависит
Тогда
= v20cf-p:2.
Если в пограничном слое движение ламинарное2), то
Су= 1,327
При турбулентном пограничном слое и гладкой поверхности
стенки 2)
Су = 0,072 (I:/?)0’2.
У пластинки, спереди удлиненной и заостренной, движение по-
граничного слоя около передней части ее ламинарное, а около
задней части — турбулентное. В таких случах по Р г a n d t Гю3)
а (I:/?)0’2-(₽:£).
По исследованиям G е b е г s’a здесь а =0,074, ₽= 1700. Формула
действительна только до тех пор, пока она дает значения большие,
чем формула для ламинарного пограничного слоя; в противном слу-
чае следует пользоваться предыдущей формулой.
При турбулентном пограничном слое и шероховатых стенках Су
больше, чем при гладких стенках. Wieselsberger для пласти-
нок длиною от 0,5 до 2 м, обтянутых аэропланным полот-
ном, нашел:
cf = 0,009 до 0,012	при 7? = 6 • 1(Р,
= 0,007 до 0,008	при R = 6 • 106;
для обтянутых же слегка опаленным суровым полотном:
Су = 0,005 до 0,008 независимо от 7?.
(Ббльшие значения соответствуют более коротким пластинкам
так как в этом случае больше относительная шероховатость.) Значе-
ние Су для материала, 6 раз покрытого аэролаком, приближается
к теоретическому значению:
су = 0,072 (1: R)0'2.
») В авиации часто вместо числа Рейнольдса R пользуются так называемой ха-
рактеристикой опыта E—V't [v в м}сек, t в мм]. При нормальных условиях для
воздуха R и 70 Е.
v. К d г m a n, Uber laminare und turbulente Reibung, ZAM. 1921, стр. 233.
•) Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Gottingen, I. Lfg., стр. 136.
*) Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Gottingen, I Lfg., стр. 120.
486	Т. I- О’ГД- 2- Механика. IV. Гидромеханика
2.	Вращающиеся диски в покоящейся жидкости (смачиваются
жидкостью с обеих сторон).
Обозначения:
d — диаметр диска в м,
л —число оборотов в минуту (1/мин.),
и = ndn : 60 — окружная скорость в м^сек,
ud'.'i — число Рейнольдса,
М — момент вращения, необходимый для преодоления трения, в кгм.
По Кагтап’у 1):
при ламинарном пограничном слое
(-^- < 5  105) М = 0,65<Р . 0,5р • «2 yWud,
при турбулентном пограничном слое
> 5. 10б) М = 0,021 0,5 р «2
Эти формулы выведены теоретически и хорошо подтверждаются
наблюдениемк).
3.	Обтекание слабо искривленных поверхностей тела малого
сопротивления. До места с наименьшим давлением поток обыкно-
венно движется ламинарно, начиная отсюда— турбулентно. Величина
сопротивления того же порядка, что и для плоских пластинок с оди-
наковой поверхностью. Так как пограничный слой большей частью
очень тонок, то распределение давления вдоль поверхности может
быть выведено путем принятия потока потенциальным. Примррами
могут служить дирижабли, стойки аэропланов и крылья (коэфициенты
сопротивления приведены в следующем параграфе и далее, при
описании крыльев).
4.	Естественный ветер. Ветер представляет собою турбулентное
движение воздуха вдоль земной поверхности, причем пограничный
слой может иметь несколько километров в толщину. Турбулентность
выражается в периодических волнах и неравномерных порывах.
Скорость ветра с удалением от поверхности земли быстро
и неравномерно увеличивается; ввиду этого измерения скорости
в сильной степени зависят от установки измерительных приборов и
обыкновенно носят лишь относительный характер. Поэтому обыкно-
венно удовлетворяются оценкой скорости ветра по определенным
признакам3). Ветры со скоростью больше 20 м!сек бывают редко.
Впрочем, в единичных случаях наблюдаются порывы со скоростью
до 4®м!сек на материке и до 50 м1сек у берегов При ураганах же,
при которых образуются водяные смерчи и т. п., скорости могут
достигать чрезвычайно большой величины.
V. Kdrmdn, Uber laminare und turbulente Reibung, ZAM, 1921, стр. 233.
’) Versuche von Schmidt, VDI, 1921, стр. 441.
») Шкала ветров В e a u f о r t’a, т. HI , «Ветряные турбины".
Гидродинамика
487
Дни, когда ветер один или несколько раз превосходит силу 8
по шкале Beaufort’а (»15 м1сек}, для Берлина составляют 4, Франкфур-
та-на-Майне—8, Аахена—19, Гамбурга—37, Боркума—58 дней в году.
Таблица 15. Распределение ветров по степени их скорости и по
временам года!)
Средние значения из пятилетних наблюдений прусской аэронавигационной обсерва-
тории в Lindenberg’e. (Указанные числа дают вероятности в °/0.)
Высота над уровнем моря в я	Скорость ветра в м;сек					Средняя скорость м]сек
	0 до 2 |	2 до 5 |	5 до 10	| 10 до 15	свыше 15	
		Зима (декабрь -		- февраль)		
Поверхность земли ’)	18,8	42,0	35,2	3,7	0,3	4,9
500	6,1	12,5	33,6	24,1	‘ 23,7	П,4
1000	7,3	11,4	29,0 '	28,0	24,3	11,3
1500	8,7	7,6	27,6	30,6	25,5	11,6
2000	4,6	4,7	25,3	40,5	24,9	12,7
		В е с н	। а (март	— май)		
Поверхность земли	20,1	42,2	32,7	4,5	0,5	4,9
500	13,9	21,5	38,8	17,3	8,5	7,8
1000	13,4	20,5	34,0	20,5	11,6	8,5
1500	15,3	18,9	27,5	26,4	11,9	8,4
2000	14,6	14,6	27,9	28,6	14,3	9,5
»		Лето	(июнь —	август)		
Поверхность земли	23,2	46,2	30,1	0,5	—	4,4
500	15,9	25,1	38,8	14,4	6,0	7,0
10С0	13,6	23,8	35,5	18,2	8,9	7,7
1500	13,7	23,7	26,8	26,3	9,5	8,4
2000	14,6	14,5	25,1	30,9	14,9	10,2
		Осень	(сентябрь — ноябрь)			
Поверхность земли	24,2	45,3	28,1	1,8	0,6	4,5
500	9,7	19,3	36,5	19,7	14,8	9,5
1000	11,7	17,3	34,5	22,5	14,0	9,4
1500	11,5	16,4	31,2	26,5	14,4	9,4
2000	12,0	12,8	27,7	29,5	18,0	10,5
		С р е	д н е е з	а год		
Поверхность земли	21,4	44,2	31,6	2,6	0,2	4,7
500	11,7	19,4	37,0	18,7	13,2	8,9
1000	11,0	18,3	33,6	22,5	14,6	9,2
1500	12,6	16,8	28,4	27,4	14,8	9,4
2000	11,8	12,1	26,5	32,0	17,6	10,5
2500	11,2	9,4	20,4	34,3	24,6	12,1
3000	10,4	8,3	18,0	30,9	32,4	13,0
3500	9,6	7,2	14,1	26,8	42,3	15,1
Сильное увеличение скорости ветра при переходе от поверхности земли к вы-
соте в 500 м происходит обыкновенно почти над самой землей (приблизительно на
высоте 100 м).
1) Взято у R. A s s m a n, „Die Winde in Deutschland4, 1910.
’) От 40 до 120 м над уровнем моря.
488
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
В северном полушарии направления ветров идут всегда так, что
области с низким барометрическим давлением или огибаются против
часовой стрелки („циклоны"), а области с высоким ба। ометрическим
давлением — по часовой стрелке („антициклс ны*). В южном полу-
шарии— наоборот. В середине области с низким давлением воздух
медленно поднимается, в середине же области с высоким давлением—
опускается. Местные ограниченные циклоны возникают главным
образом в средних широтах и в теплые времена года; то же самое
относится и к вихрям с горизонтальной осью (порывы ветра, идущие
впереди грозы, которые часто связаны с вертикальными течениями
значительной скорости).
Давление ветра на с т р о ен и я. При оценке ожидаемого
наивысшего давления следует главным образом рассматривать не-
защищенные стороны строения.
Более достоверный расчет возможен путем производства испы-
тания с моделью i). Давление на отдельные стенки, крыши и т. д.
зависит от формы всего сооружения, а также от расположения со-
седних строений (если такие имеются). При одинаковой внешней
форме строения и одинаковом направлении ветра давление воздуха
все же может быть очень различным в зависимости от того, как
сообщается с окружающим воздухом внутренность строения. Даже
коыши строений могут подвергаться сильному всасыванию вверх,
что до последнего времени совершенно не учитывалось официаль-
ными нормами расчета строений на безопасность. При грубом пред-
варительном расчете для плоских стен можно положить p = Q?lv2
(р—давление ветра в кг/м2, v — скорость ветра в м/сек)2).
II. Течения с образованием вихрей8)
Если давление быстро возрастает вдоль стенки по направлению
движения, то пограничный слой жидкости, прилипающий к стенке и
обладающий меньшей кинетической энергией, чем другие слои, не
может проникнуть в область с большим давлением. Поэтому этот
слой постепенно совершенно останавливается, вследствие чего в рас-
сматриваемом месте происходит накапливание жидкости, которая
в конце-концов врывается в потенциальный поток, наполняя его
вращающимися областями жидкости (вихри). Благодаря этому весь
потенциальный поток в корне изменяется. С этим изменением свя-
зано другое распределение давления вдоль стенки: силы давления
имеют результирующую, действующую как сопротивление (сопро-
тивление формы). Отрывание вихрей происходит периодически само
J) Vorlfiufiger Auszug aus G6ttinger Messungen im Jahrb. d. deutsehen Ges.
f. Bauingenieurw , 3. Bd., 19_8, стр. 87; 4. Bd.. 192\ стр. 160. К. БункиниА. Чере-
мухи н Давление ветра на крыши и стены здании, Труды ЦАГИ, выл. 35, 1928.
Buchegger, Windgeschwindigkelt und Uinddruck, Bauing., 1922, стр. 491.
) p r a n d 11, Uber Fliissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung. Перевод
„Теория несущего крыла", М., 19dl.
Гидродинамика
489
собой, В некоторых случаях это отрывание вихрей происходит нера-
здельно правильно, в строго определенном порядке (вихри Каг-
man’a)i). Этим, между прочим, объясняется гудение телеграфных
проводов и свист при быстром движении тростью. Количественная
сторона явления отрывания вихрей без опытных данных может
быть более или менее точно учтена только в очень редких слу-
чаях.
Если в каком-нибудь месте тела происходит отрывание
вихрей, то оно зависит:
а)	от распределения давления или, что то же самое,
от формы поверхности в рассматриваемом месте; сильное повышение
давления уменьшает отрывание вихрей; повышение давления наолю-
дается, главньш образом, сзади очень выпуклых участков поверх-
ности, и еще более —сзади острых краев;
Ь)	от ускорения потока — в случае неустановившегося
движения; ускоренное движение препятствует образованию вихрей,
замедленное движение, наоборот, способствует;
с)	от толщины пограничного слоя; толстый погра-
ничный слой (обусловленный, например, длинным участком свободной
поверхности перед рассматриваемы.м местом) отрывается легче, чем
тонкий;
d)	от состояния пограничного слоя (ламинарное или
турбулентное); если для какого-нибудь тела пограничный слой бла-
годаря увеличению скорости из ламинарного становится турбулент-
ным, то это изменение состояния пограничного слоя может вызвать
такое перемещение точки отрыва вихрей, что сопротивление станет
значительно меньше (см. сопротивление шара и цилиндра, фиг. 70,
стр. 495); такого рода явления бывают ярко выражены только в тех
случаях, когда рассматриваемое тело обладает большим сопротивле-
нием формы (следовательно, у продолговатых тел, обладающих, глав-
ным образом, сопротивлением трения, этого не бывает) и когда место
отрыва вихрей не обусловливается очень большой кривизной или
наличием острых ребер, а лежит в области с более или менее незна-
чительной кривизной.
Если радиус кривизны равен г, то переход в пограничном слое от ламинарного
состояния к турбулентному совершается приблизительно при =	104 до
15 • 104 (меньшие числа — для вихревого протекания, большие — для безвихревого;
ср. опытные данные шара и цилиндра, стр. 494).
е)	от свойств поверхности тела; эта зависимость пока
еще мало выяснена; шероховатые поверхности иногда понижают
сопротивление, именно, когда они состояние пограничного слоя из ла-
минарного переводят в турбулентное и когда благодаря этому насту-
пает явление, описанное в d). В общем же случае происходит уве-
личение сопротивления, подобно тому как при течении жидкости
в шероховатых трубах.
9 К & г ш d n u. R u b а с h, Ober den Mechanismus des Fliissigkefts- und Luft-
widerstandes, Phyz. Z., 1912, стр. 49.
4V0
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
III. Результаты опытов над сопротивлением
некоторых тел
Обозначения:
U7 — полное сопротивление тела + U7r) в кг,
— сопротивление формы (или сопротивление давления, результирующая
нормальных давлений) в кг,
Wr — сопротивление трения в кг,
I — длина тела в м,
d —> диаметр в м,
ф — наибольшее поперечное сечение, перпендикулярное скорости v (миде-
левое сечение) в м\
О — поверхность тела в м9,
V — объем тела в л3,
v — скорость в м)сек,
q = (о : 2)-v2 — гидродинамический напор в кг}м9,
с— UZ: <?ф — коэфициент сопротивления, отнесенный к ф.
Фиг. 50.
Формы, придаваемые дирижаблям (тела вращения). При дви-
жении в осевом направлении сопротивление направлено по оси сим-
метрии. Так как сопротивление формы
очень мало, главное влияние оказывает
трение оболочки. Силы давления воз-
духа действуют на поверхность тела
перпендикулярно к ней.
Prandtl, сделав в модели испытуемого тела
отверстия, путем измерения манометром давле-
ния внутри модели определил сопротивление
формы в отдельности от сопротивления трения.
Компонент этого сопротивления в направлении
потока дает Полное сопротивление опреде-
ляется непосредственным измерением сил г).
На фиг. 50 показано распределение давлений
у модели I. Положительные разности давлений
отложены кверху, отрицательные книзу. Пунктир-
ная линия изображает распределение давления в
соответствующем учаоке при предположении,
Таблица 18. Коэфициенты сопротивления моделей дирижаблей
(имеющих формы, изображенные на фиг. 50, при v = 10 м}сек и 15е)
Модель	I	II	1	|	Модель	I	II	III
/ в м		1,30	1,125	1,145	\Wr:q-0 • • •	0,00244	0,00168	0,0013
d в м		0,20	0,194	0,188	<?ф ...	0, 578	0,0272	0,0224
ф в м'- . . . .	0,0314	0,9296	0,0278	^d:ЯФ •• •	0,0616	0,0398	0,0342
О в м9 ....	0,7450	0,4790	0,4790	• •	0,1194	0,0670	0,0566
V в м3 ... .	0,0339	0,0182	0,0182	W-.q-VV9 . .	0,0358	0,0286	0,0228
*) Fuhrmann. См, сноску на стр. 458.
Гидродинамика
491
что обтекание тела безвихревое (стр. 458, фиг. 15). До места отрыва вихрей теоре-
тические и экспериментальные результаты хорошо совпадают.
Сопротивление наиболее хорошей модели III равно всего лишь приблизи-
тельно >/в0 сопротивления круглой пластинки такого же диаметра.
Приводимые в табл. 16 коэфициенты сопротивления уменьшаются с увели-
чением v, так как трение об оболочку возрастает медленнее, чем вторая степень v.
Если положить Wr = azfl, то
для модели
I	IT	III
Р = 1,81	1,71	1,55.
Полное сопротивление приближается к определенному предельному значению;
оно для моделей II и III при v = 10 м\сек еще не достигается. Оснастка дирижаблей
и аэростатов во много раз повышает сопротивление.
Таблица 17. Коэфициенты сопротивления форм дирижаблей
Цеппелин
(Получены на основании действительных полетов !).
Дирижабль	1 в M	d в м	W : q®	W : (q-/vz)
L.Z.10		140	14	0,34	0,069
L.43		197	23,8	0,11	0,030
L.46		197	23,8	0,076	0,020
L.59		227	23,8	0,088	0,021
Направление движения с осью симметрии соста-
вляет некоторый угол а°. В таком случае результирующая
сила сопротивления отклоняется в противоположном направлении на
значительно больший угол. Согласно опытам, произведенным в Гет-
тингене с теми же моделями, что и выше, вертикальный компонент
полного сопротивления уже при а = около 6° достигает значения
горизонтального W при прямом движении, причем само W увели-
чивается очень мало.
Этим пользуются для достижения так называемой динамиче-
ской подъемной силы дирижабля.
Устойчивость движения. Сила R пересекает ось сим-
метрии в большом удалении от центра тяжести тела, даже перед
передним краем тела; поэтому уже при небольших угловых откло-
нениях тело стремится стать осью симметрии поперек направления
движения. При помощи особых поверхностей (стабилизаторов), не-
подвижно приделанных к кормовой части дирижабля, вызываются
добавочные стабилизирующие силы, отодвигающие результирующую
силу сопротивления за центр тяжести, благодаря чему при угловых
отклонениях дирижабль сам стремится вернуться, в исходное поло-
жение.
') Munk, The Drag of Zeppelin airships, Report 117, National Advisory Com-
mittee for Aeronautics, Washington, 1923.
492
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
Таблица 18. Коэфициенты сопротивления различных тел 1)
а) Пространственное обтекание
| Шар (фиг. 70) .... —*	а MF . i	для	< 1 V 24v Л . 3vd\ Фиг. 51.	С — И + тёГ/		’) — = 4..10* V -^ = 10’ 240* <-<1,5-10’ V	W С~ q® 0,09 * 8) 0,13 <) 0,47
—Г - - 1 i Удлиненный эллипсоид }r t J	5:9 (фиг. 70) ... Фиг. 62.		vd — >10’	0,05 до 0,1
_ гп K\v J I	Сплющенный эллипсоид 4:3 (фиг. 70) ... 	Фиг. 53. 			-^2- > 5,540’ — <4,540’ .	0,2 0,6
Л» __ J .Id	Круглая пластинка V. 1	70) ... . Фиг. 54.		—	1,11
- (ТТ) ’. \ у	\ у < 2 круглых пластинки V	М - * на расстоянии 1 друг к— г	за другом	 Фиг. 55.		4- 1,5 2 3	0,93 0,78 1,04 1,52
’) Приведенные значения взяты, главным образом, из „Ergebnissen der Aerodyna-
mischen Versuchsanstalt zu GSttingen, II. Lfg., Munchen, 1923, и из книги E i f f e Гя,
„Resistance de fair rt 1’aviation-, Paris, 1910.
8) В авиационной технике пользуются не числом Рейнольдса, приведенным
здесь, а так называемой характеристикой опыта E = vd[v в м/сек, d в мм], хт-
вляюшей приблизительно '/7П часть числа Рейнольдса. При вихревом движении
критические рейнольдсовы числа меньше. (Wieselsberger, Der Luftwiderstand von
Kugeln. ZFM, 1914. стр. 140).
8» Flachsbart, Neue Untersuchungen uber den Luftwiderstand von Kugeln,
Phye. Z., 1927, стр. 461.
‘) Ja cob», Sphere drag tests in the variable density wind tunnel, Nat. Advisory
Comm, for Aeronautics, 1929, Techn. стр. 312.
Гидродинамика
493
^.1	Круговой цилиндр, про- дуваемый параллель- Фиг. 56.	но образующей . .	l\d= 1 2 4 7	W с~ а® 0,91 0,85 0,87 0,99
Круговой цилиндр, про- -„л	дуваемый перпенди- ,	₽' ДМ 1	кулярно к образую- [1 Н | | *	щей 	' (-^- = 8,8.10*) Фиг. 57.	lid=l 2 5 10 40 оо	0,63 0,68 0,74 0,82 0,98 1,20
*** 4	1 7	—4<> I	f I	Прямоугольник со сто- в	ронами а и b ... * Фиг. 58.	a/b = 1 2 4 10 18 оо	1,10 1,15 1,19 1,29 1,40 2,01
1 Полушар (без —* Ы d —* Ш d огРа;ичива- ।	i	ющей плоско- / Фиг. 59.	Фиг. 60.	1	выпуклый вогнутый	0,34 1,33
.	Конус(с плоскостью f фиг- 61 •	основания) . . . J Фиг. 62.	угловое отверстие 60° угловое отверстие 30е	0,51 0,34
Д Решетчатая ферма1) f—	*	(ф — сумма площа-- »» , д	дей отдельных стерж- ней) 	 Фиг. 63.	0.2 < Д- < 0,5 ab	от 1,5 до 1,7
’) Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Gottingen, 3. Lief., 1927.
Там приведены также опыты с взаимным влиянием двух, одна за другой устанавли-
ваемых ферм.
494
Т. Т. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
Ь) Плоскопараллельное течение. На участок тела дли-
ною I действует сопротивление =	0^2 It)
^ВМ а	Круговой цилиндр 1	(фиг. 70) vd Л Л для	< 0,2 Фиг. 64.	с- vd (2да _ 1п	i Проволока		V > 5-105 vd}v< 2-105	_ w qld 0,3 до 0,4 1,2 около 1,1	w cf - ~^0
е а,	~ 1 сл эытым аэролаком	Пластинка с края- ми, закруглен- ными по дуге  окружности dit = 0,0333	vt --— 5-Ю5 4» vt 	= 2-10в	0,78 0,66	0,013 0,011
-г 1 а е S СП 04 и* 1нута полотном, noKj	Клинообразная пла- стинка 	 <4//= 0,0417 dt\t = 0,025	уф = 5-10б уф = 2-10 6	0,53 0,46	0,011 0,0095
.IX ’ L! । Поверхность oOtj	Профили различной толщины .... уф 106	djt = 0,055 d!t = 0,125 d\t = 0,197	0,193 0,096 0,080	0,0053 0,0060 0,0078
* ^В^ Профилированная про- волока 	 Фиг. 68.		/ vd/v 3-103 до 10 4	0,3 до 0,4	
х*-*!""	Профилированная —♦ Г d	стальная труба (кап- ^^ш*—^-***^'	леобразный профиль) и— е	*< .	__	vdh > прибл. 5-104 Фиг. 69.	.		—1 |см	|eo j!	II	0,2 0,1	
Гидродинамика
495
IV. Волновое сопротивление!)
Обозначения:
L — длина корабля в лг,
—длина, на которой
образуются волны в м,
I — длина волны в ж,
t — глубина воды в
с — скорость распростране-
ния волн в м/сек,
v — скорость судна в м/ctH,
— волновое сопротивле-
ние в кг.
При движении на по-
верхности жидкости какого-
либо тела (например судна)
образуются волны, которые
вызывают потерю энергии,
прибавляющуюся к потерям
на трение и на вихреобра-
зование; эти волны вызы-
вают особое сопротивление.
Фиг. 70. Коэфициенты сопротивления в зави-
симости от рейнольдсова числа для цилиндра
(/), пластинки (2), сплюснутого эллипсоида (3),
шара (4) и удлиненного эллипсоида (5).
Волновое сопротивление выражается следующим образом:
ги, = с-|^2,
где С зависит только от числа Фруда	(см.гл. „Механика подобия",
стр. 437).
, где с =
Для
глубокой воды
к но
При
I
г	i а	1 f A ^L'
I — а —Г + b cos -^-к- = а о - + b cos —-—.
gL 1 v2 2 z L 1	I
2nL' gL' (2л + 1)
-----= ——- член с косинусом равен—1, и ве-
личина С получает наименьшее значение;
2д7/ gL'	. ,
-----=	= п этот член с косинусом равен + 1,
и величина С получает наибольшее значение.
(п — целое число, а и b — постоянные, зависящие от формы судна.)
при
I
’) Havelock, Proc. Roy. Soc., London 1908 и следующие годы. — Н ogner,
Ober die Theorie der von einem Schiff erzeugten Wellen und des Wellenwiderstan-
des. Proceedings of the first international Congress for applied Mechanics, Delft, 1924.
Horn, Theorie des Schiffes, Handb. d. phys. u. techn. Mechanik, Bd. V.
496
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
На мелкой воде с gtn не зависит от длины волны, при
V gt имеется сильно выраженный максимум сопротивления; при
v> V gt сопротивление немного меньше, чем при той же скорости
на глубокой воде.
f) Жидкие струи
I. Образование струй, истечение из отверстий
Обозначения:
F — поперечное сечение отверстия для истечения в л»,
v — скорость истечения в м[сек,
Q — расход в м3\сек,
р. — коэфициент расхода,
р — разносп? между давлением внутри сосуда и давлением в пространстве,
куда жидкость вытекает, в кг!м\
h — высота свободной поверхности над отверстием для истечения в м,
р, у, g — см. стр. 443.
1. Основные положения
При истечении жидкости через отверстие в стенке сосуда в об-
щем случае образуется жидкая струя. Скорость истечения равна
v = /2/?:p.
Если р, а вместе с ним и v для всего отверстия для истечения
остаются неизменными, то в 1 секунду вытекает количество жидкости
Q = pFv = рру 2р:р.
Если бы все линии тока при выходе были параллельны и не
происходило никакой потери энергии, то р. равнялось бы 1. В дей-
ствительности эти условия отчасти соблюдаются только при отверстиях
с хорошо закругленными краями (фиг. 81 и 82). При истечении же
через отверстие с острыми краями в тонкой стенке, струя по выходе
из отверстия сжимается, так что полезное поперечное сечение ока-
зывается значительно меньше, чем F. Кроме того, вследствие потери
энергии v несколько менее, чем то получается по формуле; впрочем,
большей частью это влияние очень незначительно. Оба влияния учи-
тываются коэфициентом расхода р. (значения его даны на стр. 498).
В случае истечения, происходящего под действием только силы
тяжести, следует различать следующие случаи.
а) Истечение под свободной поверхностью жидкости (фиг. 71)
v=V2g(h1-h2),
Q=^FV2g(hl-hi).
₽) Истечение на воздух, горизонтальное донное отверстие
(фиг. 72). Высота уровня свободной поверхности над устьем отвер-
стия равна h	___
v=V<2gh,
Q = V-F V^gh.
Гидродинамика
497
у) Плоскость отверстия для истечения наклонена к свобод*
ной поверхности жидкости под углом ф (фиг. 73)
h0 — расстояние верхнего края 1
,	j- от свободной поверхности в м,
ha — расстояние нижнего края j
у — ширина площади F на расстоянии h м от свободной поверхности в л,
Скорость v = V^gh неодинакова для всего поперечного сечения
отверстия
sin ф J	У	sin ф
ho	^о
Если у постоянно и равно b (прямоугольное отверстие), то
q=2.j^2i (/v-i/v);	г=b (ha~h°)•
45	3 зтф ' 6 и ц V ° J'	\ Sin ф /
Фиг. 71.
Фиг. 72.
Фиг. 73.
Фиг. 74.
Круглое отверстие. Радиус г, центр на глубине hs в м\
2ghs
5 /гзтф\4
1024	/
Частный случай: Ло = 0, ф = 90° — в о д о с л и в (фиг. 74). (Зна-
чения р- см. на стр. 501).
1. Ширина водослива одинакова и равная
Q = (2:3)-^Мау2^Ги.
2. Трапеция с горизонтальными параллельными стенками
(длина верхней — Ьо, нижней — дд):
Q = (2:15) •	]Л2^• (2^ + 3^).
Отверстие для истечения частично ниже уровня нижней
свободней поверхности. Для части отверстия, лежащего над уров-
нем нижней свободной поверхности, расход определяется по (у), для
нижней же части отверстия — по (а). Коэфициенты расхода для обеих
частей могут быть различны.
498
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
2. Коэфициенты расхода(отнесены к наиболее узкому отверстию).
Существует разница (исключая влияние капиллярности), вытекает ли
вода в воздух или вода в воду (также воздух в воздух). В последнем
случае величина р. несколько меньше, чем в первом; однако в общем
разница эта не особенно велика и не превосходит величины 0,01.
Отверстие без направляющих стенок для струи, т. е. отвер-
стие в плоской и очень тонкой стенке; в случае более толстой стенки
края отверстия заострены. Выпускание воды в воздух (по В е й с-
б а х у).
а) Поперечное сечение сосуда перед отверстием ^10F, так что
скоростью подхода жидкости к отверстию можно пренебречь.
Для круглого отверстия (совершенное сжатие).: при
сравнительно большой глубине и большом отверстии р. = 0,61; при
меньших величинах глубины и отверстия:
диаметр отверстия в см
глубина воды 0,25 м .
„	> 0,60 м .
0,44	1	2	3	4
р. = 0,68	0,64	0,63	0,62	0,614
р. = 0,66	0,63	0,62	0,61	0.607
р. зависит, с одной стороны, от рейнольдсова числа, т. е. от &Уhfv
а с другой—от соотношения геометрических величин d/h.
Для прямоугольного отверстия величину р. прибли-
женно можно принимать такой же, как и для круглого.
₽) Поперечное сечение сосуда перед отверстием для истечения
F^^lOF; скоростью подхода пренебрегать нельзя, сжатие несовер-
шенное. Следует умножить (по Вейсбаху) выше стоящие зна-
чения р. на следующие числа:
при F:F2		. 0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
для F кругл		. 1,014	1,034	1,06	1,09	1,13	1,19	1,26	1,35	1,47	1,63
для F прямоугольн..	. 1,019	1,042	1,07	1,11	1,15	1,21	1,28	1,36	1,47	1,61.
Круглые отверстия в схеме на фиг. 32, стр. 473, так называемые
диафрагмы, служат для измерения расхода жидкости (например
диафрагма типа VDI) 1).
Отверстия с направляющими стенками для струи, т. е. отвер-
стия в толстой стенке или отверстия с короткой насадкой (по Вейс-
баху).
а) Отверстие в толстой стенке. Если края входного
поперечного сечения образуют прямой угол или угол < 150°, то при
небольшой длине отверстия сжатие образуется так же, как и вь ше,
в случае очень тонкой стенки; затем струя опять расширяется и
в случае отверстия или насадки с параллельными стенками она может
опять прилечь вплотную к ним, если только расстояние между плос-
костями входа и выхода из отверстия больше ширины отверстия; для
коротких насадок и отверстий действительны значения jx, приведен-
ные выше в а).
>) Размеры см.: kRegeln fiir Leistungsversuche an Ventilatoren und Kompressoren,
VDI-Verlag, 1926.
Гидродинамика
499
Р) Круглый насадок, вставленный
л яр но к внутренней стенке.
Фиг. 75,	6 = 0° 5V . И1/4° 221/, ° 45° 67ЦЯ°
край а как )
следует за- > |х = 0,97 0,95 0,92 0,88 0,75 0,68
круглен: )
край а острый р. = 0,83 0,94 0,92 С,85 0,75 0,68
перпендику-
90°
0,63 (/ - 3d)
0,63 (Z = 2,6d).
При острых краях наибольшее значение р. равно 0,946 для о = 68/4°.
Фиг. 76, I = 3 до 5d,
край а острый: р. около 0,82;
край а немного закреплен: р. около 0,90;
край а как следует закруглен: р. около 0,97.
Фиг. 75.	Фиг. 76	Фиг. 77 Фиг. 78.	Фиг. 79.
Фиг. 77. Толщина кольцевой площади, направленной против
потока, равна по крайней мере 5 мм:
8 = 0°	221/а°	45°	67i'ae	90°
р. = 0,54	0,55	0,58	0,60	0,63 (Z = d).
Если о х=0° и края отверстия, направленные против потока, как
следует заострены, то р принимает значение 0,50 — наименьшее из
возможных при наличии сжатия.
Фиг. 78. При Z = 0,6rf, р. = 0,96 до 0,99, в зависимости от сте-
пени гладкости стенок и скорости течения.
Фиг. 79. В зависимости от угла, длины насадка .
и скорости течения р. = 0,96 до 2,3 (относительно .Г
узкого поперечного сечения), выходящая струя внутри £ 1.
полая и имеет веерообразный вид.	?	j—
у) Истечение из трубопроводов (вода f
в воду или воздух в воздух, причем влияние скоро-
сти подхода к отверстию в приводимых значениях фиг- £0.
коэфициентов уже учтено).
Обозначения:
dt — диаметр трубы,
d — диаметр наименьшего сечения насадка.
Фиг. 80, Z = 3d, F и Fq обозначают площади поперечных сечений.
Края суженной части острые;
npH:F:Fo = O,l 0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,00
Н = 0,83 0,84	0,85	0,87	0,88	0,90	0,92	0,94	0,965 1,00
Фиг. 8П). Нормальный насадок VDI ^ = 1,4^, r2=«0,5d, зна-
чения коэфициента расхода р2):
О См. сноску на стр. 498.
•) Mueller u. Peters, Durchflusszahlen der Normaldiise VDI, I 1929, стр. 966.
500
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
Рейнольдсово число vd\v	25 000	50 000	j 100 000	200 000-	450 000 ।	11000 000
dy = 70 мм, d = 28 мм	 dt = 175 . d = 70		0,947	0,955 0,957	0,962 0,964	0,967 0,970	0,972 0,975	0,979
Применением в насадке цилиндрической части можно увеличить значение
коэфициента р. (ср. насадок JG).
Фиг. 82. Насадок JG l),	= 0,33d, r2 = 0,2d, Z = 0,6d.
И
0,1	0,2
0,988	1,001
0,3	0,4
1,021	1,049
vd
для----
у
10Б.
В) Косо вставленные насадки в виде труб с остры-
ми входными краями и Z = 3d; у означает угол между осью насадки
и осью струи:
Фиг. 81.
Y = 90е	80°	70°	60°	50°	40°	30°
0,82	0,83	0,78	0,76	0,75	0,73	0,72.
е) Отверстия в тонкой стенке,
частично снабженные под-
водящими поверхностями,
которые могут быть образованы также
дном и стенками.
Если 1/л обозначает ту часть
смачиваемого периметра отверстия,
которая снабжена подводящей поверх-
ностью, то при острых краях отвер-
стия значения у., приведенные в а) и
р) по Бидоне и В е й с б а х у, уве-
личиваются на:
г\ = 1,4 d. 0,128: п для небольших круглых отверстий,
г2 = 0,5 d. 0,134: л .	„ прямоугольных отверстий,
0,157: л „
Фиг 82.
Tj = tf/3, r.,=0,2d.
l = Q,6d, a=0,3d.
Причина этого увеличения лежит в уменьшенном сжатии струи
(частичное сжатие), обусловленном наличием подводящих поверхностей.
3. Коэфициенты расхода для водосливов
Обозначения:
В — ширина подводящего канала в лт,
b — ширина плотины в лт,
Н — глубина канала перед плотиной в м,
А — глубина порога плотины под уровнем свободной поверхности в лт,
измеренная по крайней мере в расстояния ЗА от порога водослива.
Приведенные здесь значения у. для воды учитывают скорость
подхода воды, так что для расхода попрежнему действительна формула:
Q = ybh • (2:3) • y^gh (стр- 497).
’) Witte, Durchflussbeiwerte der JG-Miindungen fiir Wasser, 61, Dampf und Gat
Гидродинамика
501
b = В = постоянно, бокового сжатия струи нет. Плотина
вертикальная, вершина плотины тонкая и остроконечная, под струю
имеет свободный доступ воздух.
Rehbock г) вводит вместо высоты h другую величину
he = h + 0,0011 м.
Тогда
р. = 0,6035 + 0,0813 Ле/(Л/ - Л),
Q = [1,782 + 0,Mhe/(H - Л)] Л*'*.
Швейцарские нормы* 2) дают:
р. = 0,615 [1 + 1/(1000 h + 1,6)] [1 +0,5А//7],
при
Н—h^O.3 м: h^H—h\ 0,025 м h 0,8 м.
Такие водосливы применяются, главным образом, для измерения
расхода воды3).
Для вертикальных плотин с широкой вершиной толщиною
в 6 м и острым краем, обращенной вверх по течению, значения р.
получаются умножением таковых для плотин с острыми вершинами
на следующие поправочные множители:
при Л: 6 = 0,25	0,50	0,75	1,00	1,25	1,50
на	0,75	0,78	0,82	0,86	0,90	0,93.
При h <1,56 вершина плотины смачивается всегда, при h ^1,5
до 2,06 — не всегда, а при h >26 струя перескакивает через вер-
шину плотины, так что р. получает то же значение, что и для водо-
слива с острым ребром. Если сторону плотины, обращенную вверх
по течению, как следует, закруглить, р- увеличивается на 0,1—0,15.
Если воздух не имеет доступа под падающую
струю (невентилированная струя), то по Bazin’y значения р. по-
лучаются из таковых для плотин с вентилированными струями умно-
жением их
при Л <0,23 м на (до) 1,08
„ Л-0,23 м „ п 1,29
. /. > 0,23 м „ „ 1,15 до 1,19.
5<В (боковое сжатие струи), плотина вертикальна и перпен-
дикулярна к направлению потока, ребра острые. По F г е s е, пока
Л >0,1 м и <0,6 м:
9 Rehbock, Wassermessung mit scharfkantigen Oberfallwehren, ZdVdl, 1929,
стр. 817.	*
2) Normen fur Wassermessung, Aufgestellt vom Schweiz. Ing.- u. Arch.-Ver., 1924.
B) Kirschmer, Untersuchung der Oberfallkoeffizienten fur einige Wehre mit
gerundeter Krone.—R. Hailer, Fehlerquellen bei der Oberfallmessung, Mitt. d.
Hydr. Inst. d. TH Munchen, H. 2, 1928.
502
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
( Г / Ь \2	0,0375	1 / h
и - „ | + [о.® Ы + °'025 + (W+Ojssj (й) }
где т = 0,5755 + [0,017: (А + 0,18)] - [0,075 : (Ь + 1,2)].
По швейцарским нормам 1):
„{0.578+O.O37(W+ 3’Х» + 1Л’
где
т = [1 + 0,5 (b/B)* (h/H)* 2].
Для указанных выше особых случаев надо ц умножить на со-
ответствующие данные выше коэфициенты.
Т т* .	Для измеРения расхода при больших его величи-
нах применяются специального типа плотины (фиг. 83).
L___д Ц В этом случае по Вагг’у 2) для B>3h и а = 90°
Фнг. 83.	|л = 0,565+ 0,0868//Г.
II. Высота и дальность полета свободной струи
Обозначения:
Н — напор перед насадкой в лс,
5 — высота полета струи в м,
W— дальность полета струи в м.
По W е i s Ь а с h’y (Lehrb. d. Theor. Mechanik, § 461) наибольший
коэфициент полезного действия дает короткий конический насадок
с угловым отверстием в 6°; у этого насадка при отсутствия ветра:
/7 = 3	5	10	15	20 м
d=10 мм 5 = 2,85	4,68	8,81	12,06	14,32	м
d = 14 мм 5 = 2,91	4,80	9,28	13,26	16,67	м.
Ниже (стр. 503) помещена таблица, показывающая некоторые из
результатов, полученных Ргеетап’ом3) при испытании брандс-
пойтов с диаметром d= 19 до 35 мм. (Значения 5 и W приведены
для брандспойта, наклоненного под углом в 32°.)
Хороший насадок в самой узкой части должен иметь очень глад-
кие стенки и особенно гладкие края выходного отверстия, без малей-
ших неровностей или постепенного расширения (округления); в про-
тивном случае струя разбрызгивается. Вполне хорош насадок дли-
ною от 0,5 до l,0d (фиг. 78, стр. 499). При небольшом сужении
устья насадка (от 5 до самое большее 13°) струя разбрызгивается
менее, чем при прямой цилиндрической форме насадка или при
истечении через отверстие с острыми краями со сжатием струи.
О качестве струи судят по длине струи, на протяжении которой от
’) См. сноску 2 на стр. 501.
2) В а г г, Experiments upon the flow of water over triangular notches. En-ng 89,
стр. 435, 1910.
’) Freeman, Verhandlungen der American Society of Civil Engineers, New York
jqov. 1890, а также Journ. f. Gasbel. u. U assevers., 1890, № 32—34.
Гидродинамика
503
Высота и дальность полета в м		Напор (перед насадкой) Н вм =									d в мм
		5	10	15	20	| 30	40	1 50	60	70	
	Струи, еще не разры- | веющейся при свежем 1	3,7	7,3	11,0	14,4	16,2	21,6	1 23,6	24,4	25,4	19
S -	ветре	1	4,0	7,9	11,6	15,2	18,3	24,6	27,7	29,6	31,0	35
	Самых внешних капель |	4,3	8,8	13,1	17,7	25,3	31,0	36,0	39,0	41,0	19
	при безветрии	(	4,6	9,5	14,0	18,3	27,8	36,0	43,0	48,0	50,0	35
	.Струи, еще не разры- | вающейся при свежем 1	4,3	7,0	9,5	11,0	1 14.0	15,8	17,7	19,5	20,8	19
	ветре	1	5,5	9,5	1 13,1	15,8	20,4	23,0	25,0	27,С	28,7	35
	Самых внешних капель |	7,8	15,5	23,2	28,6	35,8	41,0	45.0	48,5	51,0	19
	при безветрии	{	8,8	17,4	26,6	34,2	47,0	55,0	62,0	67,0	72,0	35
струи не отлетают в стороны капли и струя производит впечатление
стеклянной.
О трении в трубах или рукавах, подводящих воду к насадкам,
см. с) стр. 462.
Для тушения пожара лучше пользоваться одной струей
с большим поперечным сечением, чем двумя с маленькими сечениями,
так как у первой струи больше дальность полета и, кроме того, она
быстрее тушит огонь благодаря „расхлестыванию-. Ширина насадка
направляющей трубы ни в коем случае не должна превышать 0,25
ее длины, так как в противном случае благодаря трению умень-
шаются как высота, так и дальность полета струи. О сопротивлении
в рукавах см. Sander (диссертация), Stuttgart, 1914.
Для искусственного дождевания употребляются осо-
бые дождевые трубы или разбрызгивающие насадки. Если желатель-
но, чтобы все отверстия дождевой трубы давали приблизительно
одинаковое количество воды, то сумма поперечных сечений всех
отверстий должна составлять приблизительно около одной четверти
поперечного сечения трубы. Разбрызгивающие насадки позволяют
достигнуть более равномерного орошения поверхности, ограничен-
ной крайними каплями струи. О приспособлениях для дождевания и
о разбрызгивающих насадках, см. vdi. Hartmann, 1915, стр. 494
и Krliger, 1919, стр. 49 и 1920, стр. 322.
III. Давление струи на сосуд, из которого она
вытекает, и на препятствия, ею встречаемые
Обозначения:
Q — количество жидкости, вытекающее в 1 сек. из сосуда или притекающее
к препятствию, в м\сек,
р— плотность жидкогти в кг сек*!м\
F — поперечное сечение струи в л<2,
504
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
v — скорость струи относительно сосуда, из которого она вытекает, или
тела, к которому она притекает, в MiceK,
F' — свободная поверхность жидкости в сосуде в ле®,
г' —скорость, с которою опускается уровень свободной поверхности в со-
суде, в м1сек,
а, 3» Pi — углы, образуемые струями жидкости с поверхностью тел на фиг. 85—88.
Если жидкость вытекает из сосуда (фиг. 84), то она действует
на сосуд с силой Р = р Qv = pv2Ff направленной против v. Если,
кроме того, уровень свободной по-
Фиг. 84
Я
Фиг. 85.
верхности в сосуде опускается со
скоростью v'=Q:F', то сосуд ис-
пытывает еще со стороны жидкости
силу Рг =; р Qv' = р • Q2:F', действую-
щую вертикально вниз. (Если F'^>F,
то последней силой можно прене-
бречь.)
Если жидкая струя притекает к
какому-нибудь телу, то последнее
испытывает силу P = pQv в напра-
влении струи. К этой силе приба-
действующая в обратную сторону и обусловли-
вляется еще сила,
ваемая той частью жидкости, которая оттекает от тела.
Если v по сечению F непостоянно, то следует вместо Qv под-
ставить f v2 dF.
Частные случаи: плоская пластинка, образующая с направле-
нием струи угол а (диаметр пластинки >6 диаметров струи, фиг. 85)
Р = р Q v sin а.
Р перпендикулярно к плоскости пластинки. (Трение о поверхность
пластинки здесь в расчет не принимается.)
Фиг. 89.
Фиг. 86.	Фиг. 87.	Фит. 88.
Небольшая плоская пластинка (фиг. 86), выпуклая или во-
гнутая поверхность тела вращения (фиг. 87 и 88):
Р = р Qv (1 — cos р) или Р=* pQ^(l 4- cos PJ.
Пластинка с загнутыми краями (фиг. 89) р1 = 0°, P=2pQv.
В случаях, когда р < 90°, трение увеличивает давление струи, в слу-
чаях же, кбгда рх<90° — уменьшает. О вычислении величины тре-
ния см. указания на стр. 485.
Гидродинамика
505
g) Крылья и воздушные винты :)
На тело, движущееся в воздухе со скоростью Ц воздух дей-
ствует с некоторой силой, в общем случае составляющей с напра-
влением движения определенный угол. Компонент этой силы по
направлению, противоположному
правлению движения, называется
бовым сопротивлением Q. Для его
преодоления необходима затрата
боты (работа за 1 сек. равна QV).
Другой компонент этой силы в на-
правлении, перпендикулярном к V, на-
зывается подъемной силой Р; для его
преодоления не требуется затраты ра-
боты. Из экономических соображений
на практике при движении тел в воз-
духе используют тела такой формы,
подъемная сила которых во много
раз больше лобового сопротивления; этим достигается незначитель-
ная затрата энергии QV при большой подъемной силе Р. Такие тела
называются крыльями. Отношение е = Q: р выражает собой
величину, обратную качеству крыла.
Введем обозначения:
р — массовая плотность воздуха в кг сек*1м*,
S - площадь крыла (наибольшая проекция его) в .и2,
I — размах крыла в лг,
t — ширина крыла в м (фиг. ГО),
V— скорость крыла относительно воздуха в м1сек,
а — угол атаки (угол между направлением движения и хордой, (фиг. 90),
q = ]ppl2— скоростный напор в кг/.к2,
Р — подъемная сила, перпендикулярная к V, в кг,
Р
са= — коэфициент подъемной силы /<г,
Q — лобовое сопротивление кг,
ст= —тг.— коэфициент лобового сопротивления,
qot
М — момент сил относительно точки О, указанной на фиг. 90, в кгм,
М
ст~ — коэфициент момента,
е —Q/P,
Г—циркуляция вокруг крыла (стр. 450) в м*[сек.
1. Плоское обтекание
1. Основные законы. Подъемная сила отрезка крыла длины
бесконечного размаха равна р V- Г1 (теорема Кутт а-Ж у к о в
с ко г о):
на-
ло-
ра-
р = р vn,
ca = invt.
Компонент этой силы по
’) Betz, Tragfliigel und hydraulische Maschinen, Handb. d. Phys., 7. Bd, Ber-
lin, 1927.-B. Голубев. Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке,
Труды ЦАГИ, вып. 29, 1927.—В. Голубев, Теория крыла аэроплана конечного раз-
50в
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
Если имеется бесконечный ряд крыльев (решетка, полипланы;
обозначения на фиг. 91), отклоняющих поток жидкости на конечный
угол, то компонент скорости v, перпендикулярный к плоскости ре-
шетки, одинаков как перед решеткой, так
и сзади нее. Меняется только компонент,
параллельный плоскости решетки, так что
н2 ф Циркуляция вокруг крыла равна:
Г = а(и2 — щ).
Разность давлений в потоке перед ре-
шеткой и сзади нее
Pl — Pi = («28 — «I2) • 0>5р + Р',
где р' выражает собою потерю энергии.
Если и2<^иь то при не слишком боль-
шом р’, при проходе потока через решетку
можно достичь увеличения давления,
Pi — Pl = (“12 — «22) 1 °>5Р — р'.
Сила, действующая на единицу длины лопатки в направлении
плоскости решетки (фиг. 91), равна:
Ру = Р Tv = pav(u2 — Ui),
а в направлении, перпендикулярном к плоскости	|
лопатки,
рх = (А — Рз) а = 0,5р Г (и, + и2) + р'а,
	
Если = 0,5 • (щ + ц2) обозначает среднее зна-
т	v 1 1	г	Фиг. 92.
чение компонента скорости, параллельного плоскости
решетки, то качество решетки в случае падения давления (преоб-
разование энергии давления в скоростную энергию) равно:
^ = р(И22 ц,2) = 1_____х_ = Л_€.М /1+е.Н,
2(Л—А) Р1 — Р2 \	»/ \ ит/
а в случае повышения давления (преобразование скоростной энер
гии в энергию давления):
2(А-А). = 1--------2/----=Л_е.А) : Л +
p(U!8—Д22)	Р(“12 —“22)	\	“т/	\ v /
Если лопатки расположены радиально (центробежные насосы,
фиг. 92) и Q м31сек есть количество жидкости, протекающее в 1 сек.
через решетку, то момент вращения, получающийся на п лопатках,
равен:
маха, Труды ЦАГИ, вып. 108, 1931.—Г. Глауэрт, Основы теории крыльев и винта,
ГИТИ, 1331. Prandtl-Tietjens, Hydro- und Aeromechanic, Bd. II, Berlin, 1931,
Гидро динамика
507
Л4 = рлГф:2я «= pQ(utrt — и^2) (Эйлерово турбинное уравне-
ние).
2. Поле скоростей. Потенциальный поток вокруг крыла очень
просто определяется для профиля Жуковского * *) при помощи
конформных преобразований. Для определения возмущений, вызы-
ваемых крылом в жидкости в некотором удалении от крыла, обыкно-
венно бывает достаточно заменить крыло прямо-
линейным вихрем (стр. 456) с той же циркуляцией,
что и у крыла. Этот вихрь, заменяющий крыло,
следует предположить проходящим через точку
приложения подъемной силы для взятого крыла.
Приближения получаются обыкновенно очень хо-
рошие, если только рассматри-
*	вать места потока, удаленные
IX от крыла на расстояние, боль-
- г	шее половины ширины крыла.
Поэтому крыло обусловливает
в потоке скорость на расстоя-
♦иг. 93. нии г от крыла (фиг. 93), рав- фиг- 94*
ную и = Г: 2гя, и направлен-
ную перпендикулярно к г (перед крылом вверх, за крылом вниз,
над крылом назад и под крылом вперед).
В случае ряда вихрей, заменяющих собою ряд крыльев (фиг. 94),
на расстоянии х от какого-нибудь вихря, вызванная им скорость будет:
w = Г: [2а th (х п : а)] 2).
Эта формула показывает, что w увеличивается с уменьшением х,
откуда, между прочим, следует, что для устранения удара при входе
воды в колесо турбины, глубина лопаток которого невелика по
сравнению с их взаимным расстоянием а, лопатки надобно искри-
влять сильнее, чем это следует из обычной теории турбин.
3. Зависимость свойств крыла от его формы 3). Величина
циркуляции теоретически получается из условия, что жидкость не
обтекает заднего ребра крыла. В действительности же, вследствие
образования сзади крыла мертвого пространства, циркуляция всегда
несколько меньше, чем то следует из теории. Разность тем больше,
чем больше величина е.
Теоретические значения для небольших углов атаки
и небольшой кривизны (опытные данные на стр. 516):
’) Т г е f f t z, Graphische Konstruktion Joukowskischer Tragfiachen, ZFM.
1913, стр. 130. О профилях любой формы см. G е с k е 1 е г, Ober Auftrieb und
statische L3ngsstabilitat von Fluszeugtragfliigeln in ihrer. Abhangigkeit von der Pro-
filform, ZFM, 1922, стр. 137. Глауерт, Основы теории крыльев и винты, М, 1931.
Об решетках см. К б n i g, Potentialstrfimung durch Gitter, ZAM, 1922, стр. 422
s) Cm. Handbuch der Phys. 7 Bd, стр. 2d8.
•) Birnbaum, Die tragende Uirbelflache als Hilfsmittel zur Behandlung des
ebenen Problems der Tragfltigeltheorie, ZAM. 1923, стр. 290. — О профиле Жуков-
ского и с ним сходных см. Т г е f f t z, Graphische Konstruktion Joukowskischer
Tragfiachen, ZFM, 1913, стр. 130. Далее, Mises, Zur Theorie des Tragflachenauf-
triebea, ZFM, 1917, стр. 157; 1920, стр. 68 и 87.
508
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
Плоская пластинка, угол атаки а (фиг. 95).
са = 2тс sin а, ст = 0,5к sin а.
Пластинка, изогнутая по дуге круга (фиг. 96)
са = 2к sin (а 4-	= 2п ^sin а 4~ 2	,
Cm = JT $1П H4) = l(Sin“ + 44)-
Профиль формы
>'=4[р-^4]-[1-(4)Ъфиг'97)-
При этом (фиг. 97), 0 = 0,25 (ф 4- <р) = 2/: t\ 7 = 0,25 (ф — ср).
Обобщенные формы крыльев (интеграл Мунка). Ось
абсцисс направлена по потоку и проходит через заднюю кромку
профиля; координаты задней кромки будут
х = //2, у = 0.
Тогда
у dx
(t/2-х)	(t/W-x*
с =4 f xydx
т J
(относительно середины профиля),
= f (	1 4х \ ydx
С”~ J \t/2 — x fi ) у (z/2)2 —х2
(относительно передней кромки).
Эти формулы приближенно могут применяться и для не очень тол-
стых профилей, если вместо профиля рассматривать его среднюю
линию.
Гидро динамика
509
II.	Пространственное обтекание
(О турбинах, насосах и вентиляторах см. III том)
1.	Монопланное крыло. Разность давлений, существующая по
обе стороны крыла, может на конце его исчезнуть. Следствием
будет уменьшение поддерживающей силы при заданном угле атаки.
Для того чтобы получить ту же подъемную силу, как и в случае
плоского течения, надо увеличить угол атаки на величину Д а.
Но с этим явлением связана еще потеря энергии, которая сказы-
вается в увеличении сопротивления. Эти влияния обнаруживаются
тем менее, чем более размах крыла при заданной подъемной силе
и заданной скорости. Сопротивление, обусловливаемое концами крыла,
называется индуктивным сопротивлением или концевыми
потерями (Qz, соответствующий коэфициент сопротивления с ). Это
сопротивление при заданной подъемной силе и заданном размахе
будет иметь наименьшую величину в том случае, когда распреде-
ление подъемной силы по размаху крыла имеет форму полуэллипса.
В этом случае:
Ц. = Р2/к^/2,
Д а = 57,3°. Р/ T,qP = 57,3°. (са/п). (S//2),
S//2 называется относительным размахом крыла. При
прямоугольном очертании крыла S = It и S/Р = t/l.
Если известны соответственные значения подъемной силы лобо-
вого сопротивления и угла атаки для крыла с размахом /х и пло-
щадью Si, то из этих значений могут быть легко получены значе-
ния соответствующих величин для другого крыла с тем же профи-
лем, но другим размахом /2 и другой площадью S2. Именно,
Са2 ~ сах ~ Са’
= сда,+(св2/") (W - W). а2 = а, + 57,3» (с» (S2/Z2* * - SJlf).
(Индекс 1 относится к значениям для первого крыла, индекс 2 — второго крыла.)
На практике применяются крылья, имеющие приближенно форму прямоуголь-
ника; хотя для них распределение поддерживающей силы немного уклоняется от
эллиптического, тем не менее приведенные формулы оказываются для них вполне
пригодными. Больших отклонений можно ожидать только в тех случаях, когда крыло
в средней своей части имеет вырезы; иногда это влечет значительное увеличение cWj. *)
2.	Биплан 2). Значения, относящиеся к одному крылу, обозна-
чены индексами 1, значения, относящиеся к другому крылу,— ин-
дексами 2. Какое из этих крыльев верхнее или нижнее — безраз-
лично. h обозначает расстояние между обоими крыльями, измеренное
перпендикулярно к V.
*) М u 11 г а у, Neuere Messungen an Fliigeln mit Ausschnitten, ZFM, 1929,
стр. 161.
*) По Prandtl’ro, Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt, II. Lfg.
стр. 9, III. Lfg., стр. 9.
510
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
К индуктивному сопротивлению отдельных крыльев присоеди-
няется еще другое индуктивное сопротивление, возникающее от
взаимного влияния обоих крыльев. Оно одинаково для обоих крыльев,
если крылья расположены друг над другом без выноса:
- 012 = <?21 = (’:’'?)-(ЛР2:ад-
Полное индуктивное сопротивление равно:
Р1Р2 ,	(Л+Р2)2
Для биплана с выносом полное индуктивное сопротивление
то же, что и для биплана с крыльями без выноса, но с одинаковым
вертикальным расстоянием h между крыльями, только сопротивление
иначе распределено между обоими крыльями: переднее крыло имеет
меньшее, а заднее — большее индуктивное сопротивление.
Значение а зависит от расположения и величины обоих крыльев,
а значение х, кроме того, от распределения подъемной силы между
обоими крыльями. При наивыгоднейшем распределении х получает
наименьшее значение (табл. 19).
Таблица 19. Значения min х
Ml	0,05	0,1	0,15	0,2	0,3	0,4	0,5
Za//t=l	0,890	0,827	0,779	0,742	0,684	0,645	0,615
za/zk = 0,8	0,974	0,932	0,892	0,855	0,800	0,758	0,728
Za/Zx = 0,6	0,990	0,974	0,954	0,932	0,892	0,861	0,839
Приближенная формула для = /2 = I действительна для hfl =
= 15 до h/l = V2:
о = [1 — (0.66Л//)] : [1,055 + (3,7Л//)], min г. = -.1+^^-.
3.	Винты х). Обозначения (кроме уже указанных на стр. 443):
d— диаметр вита в ж,
п — число оборотов винта в 1/мин.
V — поступательная скорость винта относительно покояще-
гося воздуха в м)секъ
ш=тсп|30— угловая скорость в 1/сек.,
и — nnd/6J — окружная скорость винта в м/сек,
К = V/и — поступь,
г — число лопастей винта,
1)	Betz, Tragnflgel und hydraulische Maschinen, Handb. d. Phys., 7. Bd., Berlin, 1927.
В. Александров, Вихревая теория H. Жуковского и расчет по ней гребных воз-
душных винтов, Техн, воздушн. флота, № 3, 1928. Г. Кузьмин, Исследование
работы воздушных винтов, Труды НАГИ, вып. 45, 1930. Г. Кузьмин, Расчет
винта по вихревой теории, Труды ЦАГИ, вып. 132, 1932. Последние три работы
касаются вихревой теории винта Жуковского, не изложенной в настоящем спра-
вочнике.
Гидродинамика
511
т	Ф
Ф — тяга винта в кг, cs=	коэфициент нагрувки,
Ф
ks = ру2; aW/4 =	“ коэфициент тяги,
Мд — момент вращения винта в кгм,
, Md
*d = Й2^ё1Гар ~ коэ*и“иент ««мента.
,	ж
Tj ~ Мдш	К0ЭФициент полезного действия винта.
Теория идеального пропеллера i) предложена Rankine’oM и
Froud’oM в 1882 г. Кроме потерь у лопасти винта (стр. 514, см. также
формулу для т)2 на стр. 506 для случая ряда крыльев), возникает еще
неизбежная потеря вследствие ограниченных размеров лопасти; для
достижения тяги необходимо, согласно теореме о количестве дви-
Фиг. 98.
жения, сообщать ускорение некоторой
массе воздуха, кинетическая энергия ко-
торой пропадает.
Если тягу можно считать распреде-
ленной произвольно по площади всего
круга, определяемого диаметром винта
(бесконечно большое число лопастей),
а вращением в струе, отбрасываемой вин-
том назад, пренебречь, то потеря, обу-
словленная наличием этой струи, будет
наименьшей в том случае, если тяга рас-
пределена по всей площади круга, ометаемой винтом пропеллера.
В этом случае потеря, вызываемая струей, зависит от коэфициента
нагрузки cs, Коэфициент полезного действия такого идеального
пропеллера (идеальный к. п. д.) равен (фиг. 98):
4m = 2:(14-/l + cs).
Скорость в струе за пропеллером больше скорости пропеллера
на w и равна
V Jyw	1-1-Су.
D	1Z , w I/
В плоскости пропеллера скорость равна и-|- —= —.
Диаметр d' струи за пропеллером меньше диаметра d пропел-
лера (сжатие струи). Для cs < 1 :
</':^1-(^:8).
Действительный коэфициент полезного действия винта всегда
меньше, чем идеальный: т) = ^т • %т > называют относительным
0 Под пропеллером разумеется некоторый аппарат, который отбрасывает воздух
в ограниченной струе. Лопастный винт есть, следовательно, частный случай про-
пеллера-
512
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
к. п. д. Он дает представление о потерях рассматриваемого винта.
Для хороших винтов v]0T заключается между 0,85 и 0,93.
Для V'^O, т. е. винта, работающего на месте или геликоптер-
ного, теория идеального пропеллера дает следующую величину
мощности :
T=<»Md = ^V2Ф/(ря42) : 1от.
Скорость за пропеллером:
w = У8Ф/(рл^),
скорость в плоскости пропеллера:
= /2 Ф/(рк<₽).
На практике обычно дается не тяга, а мощность мотора [кгм/сск],
и соответственно, коэфициент мощности:
г
С‘ р . цз. 2^	1 '
2	4
Для расчета винтов при заданной мощности составлены особые
диаграммы, позволяющие быстро получать искомые соотношения х).
Влияние конечного числа лопастей и вращения струи 2).
(Приводимые далее результаты действительны только для пропел-
леров с небольшой нагрузкой или с небольшой поступью. Для дру-
гих пропеллеров они применимы лишь приближенно.)
Поток сзади винта с наименьшей потерей энер-
гии имеет такую форму, как если бы траектории,
описываемые каждой лопастью его (винтовые по-
верхности), отвердели и передвигались назад
с определенной скоростью w.
Скорость этого передвижения равна:
w= И-: {2 • [1 — Х21п (1 + 1/Х2)]}.
Если w не слишком мало по сравнению с И, то точнее вместо X
вставить Xj X 4- (w : 2и).
На основании приведенной теоремы находится максимальный
теоретический коэфициент полезного действия винта с бесконечно
большим числом лопастей, но с принятием в расчет потерь
вследствие вращения в струе за винтом 3):
!) Hoff, Die Strahltheorie in ihrer praktischen Anwendung, ZFM, 1924, стр. 51.
») По A. Betz’y, Schraubenpropeller mit geringstem Energieverlust, mit
einem Zusatz von P r a n d 11, Nacnrichien v. d. Kgl. Ges. d. V issenschaften zu
O6ttingen, Math phys KI., 1919, стр. 193. Перевод: Бетц, О пропеллере с наименьшей
потерей мощности, Техн. возд. флота № 4 и № 5, 1927 г. См. также Betz, Eine
Erweiterung der Schraubenstrahl-Theorie, ZFM, 1920, стр. 105.
•) При помощи соответствующих приспособлений, устраиваемых до или сзади
винта, эти потери в значительной своей части могут быть избегнуты, в результате
чего уменьшается разность между т)теор и ч\т .
Гидродинамика
513
Пгеор = (2--3) = П + V 1 -I с,-2),
где
Е = 2/^2 in [1 4- (1:	X + (w: 2и).
Винте конечным числом z лопастей при поступи К
и с коэфициентом нагрузки cs можно считать относительно идеаль-
ного коэфициента полезного действия т), или т]теор приближенно
равноценным винту с бесконечно большим числом лопастей, но
с немного большим коэфициентом нагрузки:
е/ = М1 + 4A/Z).
Поэтому в формулах для и т]геор и вместо cs следует подста-
вить с/.
При наивыгоднейшем распределении тяги по лопасти тяга на
единицу длины на расстоянии г от оси равна:
dr
(гю)2
1/2 + (ГО))2
• arc cos е~ 241
•dlC CUo с
Если скорость, обусловливаемая в по-
токе самим крылом, у крыла в осевом на-
правлении равна ш', а в тангенциальном и',
то элемент лопасти, отстоящий от оси на
расстоянии г, вместо абсолютных скоростей
V (скорость движения) иго)(в тангенциаль-
ном направлении) будет обладать относи-
тельно жидкости скоростями V о)' в осевом
dP
и гео — и' в тангенциальном направлении. Для винта с наимень-
шей потерей энергии вызванные скорости wf и иг равны :
W (Г<о)2
~2 ’ И2+(ГО))2
W	V • ГО)
т‘ V2+’(^F‘
— р Vw
z
Лопасть винта. Если вызванные скорости равны w' и и', то
на лопасть винта жидкость набегает со скоростью:
VQ = V + w')2 +(r<o — п')2 •
Направление этой скорости образует с плоскостью враще-
ния винта угол 0 (фиг. 99), причем tg 0 = (V + О'') •	— и').
В этом месте элемент лопасти длиною dr испытывает подъемную
силу dP = 0,5р • И02/са, перпендикулярную к Ио, и сопротивление
dQ = tdP, параллельное Vo. Разложение в осевом и тангенциальном
направлениях дает:
d$ = cat- (р: 2) • Vo [(ro> — и') — s (V + о/')] dr,
dMd = cat • (p: 2) • Vo [(V+ W) + г (г ш - a')lrdr.
33. Hiitte, Справочник для инженеров, т. Т,
514
Т. I. Отд. S. Механика. IV. Гидромеханика
Отсюда коэфициент полезного действия рассматриваемого эле-
мента лопасти:
_ Vd<b = V r<» — u' 1 — в tg р _
<odMd ~ V + W' ’ Га» ’ l + ectg8 ~'1те°₽ ’'2’
причем
V	V гш — и'
~т—7 = ‘Пт» соответственно,	---------- ртрпп
есть максимальный теоретический коэфициент полезного действия
(стр. 512), а (1 — е tg Р): (14- « ctg ₽) = т]2 — коэфициент полезного
действия лопасти (стр. 506).’
Вышенаписанные равенства для t/Ф (или для dM^) позволяют
вычислить са t для желательного распределения : dr (наивыгод* *
нейшее распределение, стр. 513) или для dMd*.dri са зависит от
угла атаки а. Последний выбирается так, чтобы е (отнесенное к од-
ному только профильному сопротивлению —плоское обтекание) было
наименьшим. Этим определяется величина t и положение (₽ + <х)
профиля. При выборе профиля приходится руководствоваться не
только гидродинамическими соображениями, но и соображениями
прочности. Для водяных винтов, учитывая кавитацию, большей
частью можно допускать только небольшие значения са, и поэтому
для этих винтов выбирают профили, имеющие наивыгоднейший
коэфициент е при небольшом са (слабо вогнутые профили).
Для предварительного расчета вместо вышеприведенного выра-
жения для д?Ф можно пользоваться приближенным равенством
cat • (р : 2) • (ro))2 dr.
Основания практического расчета винтов. В нормальных
случаях винт подбирается на основании опытных исследований
(стр. 518). Для предварительного расчета диаметра и коэфициента
полезного действия достаточно применения теории идеального про-
пеллера. При заданном шаге и заданной скорости коэфициент уве-
личивается с увеличением диаметра. При заданном числе оборотов
относительный к. п. д. v]0T уменьшается с увеличением диаметра
(расчет увеличения или уменьшения производится или на основании
опытных исследований, или по формуле для т]2- Последняя, впрочем,
не учитывает потерь вследствие вращения. - Поэтому yjot меньше,
чем у)а). Если винт работает в возмущенном потоке (винт сзади па-
рохода), необходимо принимать во внимание условия измененного
потока, иначе могут произойти значительные потери 1).
4. Ветряные двигатели 2). Вводя те же предположения, что и
’) Kempf, Dem Nachstrom angepasste Propeller? Werft, Reederei, Hafen,
1924, стр. 93.
*) Betz, Windenergie usd ihre Auanutzung durch Windmflhlen, Gottingen,
Гидродинамика
515
в случае теории идеального пропеллера, можно вывести следующие
теоремы.
Наибольшая теоретически достижимая мощность, которую может
развить ветряной двигатель с диаметром d при скорости ветра V, равна:
N
16 ._Ly3.Z£
27	2	4 •
Мощность, достигаемая в действительности, — меньше: N =
= Wmax*C. При прохождении воздуха через колесо скорость его
замедляется на 1/:3, следовательно, скорость его прохождения через
колесо равна 2 V: 3.
Фиг. 100. Пластинки различной вогнутости.
Осевая тяга, соответствующая этим условиям, равна
ф = 8/9 . р/2 . 1/2 .
Размеры лопастей подбираются так, чтобы приближенно дости-
галась эта тяга (расчет ширины лопастей и установки тот же, что
и для винтов). Быстроходные ветряные двигатели имеют неболь-
шое число узких лопастей, тихоходные — большое число или же
широкие лопасти. Предел для быстроходных ветряных колес
1926. Vandenhoeck u. Ruprecht, Modellversuchsergebnisse: Ergebnisse der
Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Gbttingen, III. Lfg., стр,. 139, Munchen, 1927.
Oldenbourg, Versuche an ausgefiihrten Windmflhlen. La Cour-Kaufmann, Die
Windkraft und ihre Anwendungen, Leipzig 1905 и A report on the use of wind-
mills for the generation of electricity, Oxford, 1926, Clarendon Press.
516
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
V: и да 0,2. У нормальных четырехлопастных ветряков V: и да 0,1, и
тихоходных — V: и да 1.
Фиг. 102 Профили одинаковой средней вогнутости, но разной толщины
(Геттинген, № 451, 450, 449).
5. Опытные данные. Крылья. На фиг. 100—103 изображена
в виде кривой (поляра Лилиенталя) зависимость между са (орди-
наты) и cw (абсциссы нанесены в 5-кратном масштабе по сравнению
Гидродинамика
' 517
с са) для различных крыльев. У точек кривой помечены углы, им
соответствующие. Кроме того, на этих диаграммах представлена
зависимость коэфициента момента ст (абсциссы) от са (ординаты)
(центр моментов—фиг. 90). Все крылья имеют один и тот же относи-
тельный размах (стр. 509) 1 : 5 (переход к другому размаху — стр. 509).
Индуктивное сопротивление, соответствующее этому относитель-
ному размаху, нанесено в виде параболы. Профильное сопротивле-
ние определяется расстоянием между параболой и полярой *).
Коэфициент подъемной силы может быть увеличен до са^<2
путем устройства в крыле щели, идущей параллельно размаху
крыла, и увеличен еще выше —путем устройства нескольких щелей
Фиг. 103, Симметричные профили различной толщины (Геттинген, № 445, 409, 410).
(крылья Lachniann’a и Handley-Page) а). Аналогичное явление про-
исходит при отсасывании пограничного слоя ^).
Вращающиеся тела тоже могут иметь подобно крыльям подъем-
ную силу, перпендикулярную к V (эффект Магнуса). Если
окружная скорость вращающегося вокруг своей оси цилиндра
равна г/, то наибольшая подъемная сила будет при и : /^3,5.
Величина са доходит до 10. Такое необычно большое значение
получается только при устройстве на концах цилиндра выступаю-
щих дисков, вращающихся вместе с цилиндром (по РгапсИГю) 4).
Этим эффектом пользуются для приведения в движение кораб-
лей, не прибегая к помощи парусов5.
о Фиг. 100 взята из статьи О. F б р р 1, ZFM, 1910, стр. 129; фиг. 101—103 из
Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu G6ttingen, 1. Lfg.
!) Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt, Gottingen, И Lief., стр. 55.
’)Schrenk, 1 ragflugel mitGrenzschichtabsaugung, Luitfahrtforschung,2.Bd.,H.2,1928.
4)Prandtl, Magnuseffekt und Windkraftscniff. Naturwissens^haften, 1925,
crp. 93. Betz, Der Magnuseffekt, die Grundlage des Flettnerrotors, VD1,', 1925,
crp. 9. A c k e r e t, Das Rotorschiff und seine physikalischen Grundlagen, 1925.
5) F 1 e 11 n e r, Die Anwendung der Erkenntnisse der Aerodynamik zum Wind-
antrieb von Schiffen; Werft, Reederei, Hafan, 1924, стр. 657. T r a d t, Der Umbau
des Motorseglers „Buckau" zum Flettner-Rotorschiff und seine Erprobungen, Werft,.
Reederei, Haren, 1925, стр. 160,
518	Tt I. Отд. 1. Мех anna. V. Авр о механика
Воздушные винтых). На фиг. 104 даны значения ks, и
в зависимости от X (обозначения указаны на стр. 510) для трех
воздушных винтов с различным отношением H :d. Шаг Я равен
высоте хода винтовой поверхности, в которой расположены хорды
поперечных сечений лопасти [Н = 2гл • tg (а + 0), фиг. 99].
V. Механика сжимаемых жидкостей
(Аэромеханика)
Составил ироф. А. Бетц, Геттинген.
Перевод и дополнения под редакцией инж. В. Александрова.
Обозначения:
F — площадь, поперечное сечение протекаемой жидкости в лс4,
— газовая постоянная,
Т — абсолютная температура в рддхсах,
а — скорость звука в м/сек,
р — давление в кг/м*,
v — скорость потока в м/сек,
g—ускорение силы тяжести = 9,81 м/сек*,
1 — весовая плотность в кг/м*,
х — Ср/Су — отношение удельных теплот при постоянном давлении и постоян-
ном объеме,
р = ^jg — массовая плотность.
*) По Durand и Lesley, Experimental research on airpt-'. < Ilers, до-
клад 141, National advisory committee for Aeronautics, 1922. В этом докладе приве-
дены многочисленные опытные результаты о воздушных вингах. И. ., Лесни-
кова, Графики для расчета гребных винтов, М., 1932. О водяных винта'- много-
численные сведения можно найти у Schaffran, Systematische Propeller* ersuche,
Schiffbau, Berlin, 1916.
Авроот&тжка
519
А. Аэростатика
а) Основные законы
Понятия об абсолютной температуре, идеальных газах, одно
дву- и многоатомных газах, о газовой постоянной, — см. отдел
„Теплота', стр. 603.
У идеальных газов между давлением р> плотностью (весовой)
Т1) и абсолютной температурой Т существует следующая зависи-
мость:
Pl(.tT) = R.
Отсюда при постоянной температуре:
р/у = const (закон Мариотта);
при постоянном давлении:
Y Т = const (закон Ге й-Л ю с с а к а).
У капельных жидкостей в большинстве случаев проис
ходит лишь незначительное изменение плотности.
Изменение первоначальной плотности на каждый
кг/см2 давления составляет у воды 44*10“6 (при 6600 кг)см2
30-10“ 6 VD1,1911, стр., 1309), ртути 3 • 10 “6, эфира ПО • 10“в-
При сжатии упругой жидкости затрачивается некоторая работа,
которая проявляется в нагревании жидкости (см. отдел „Теплота").
Если снаружи не подводится и не отводится никакой теплоты
(адиабатическое изменение состояния), то вслед-
ствие этого вместе с изменением плотности происходит определен*
ное изменение температуры; в этом случае для идеальных
газов существует следующая зависимость:
Тх/Та = Р1/Рз = (Р1/Р2)1/х = (71/ Тг)^ ~ Ч
Таблица 1. Некоторые функции х
X	1 X	1 х — 1	х — 1 1	1/4	У X — 1	/ 2 \*/(* - !) U + v	
1.67	0,600	1,5	0,4	1,155	2,000	0,487	Одноатомные газы
1,5	0,667	2	0,333	1,118	2,236	0,512	
м	0,714	2,5	0,286	1,095	2,449	0,528	Двуатомные газы (воздух)
1,3	0,769	3,33	0,231	1,072	2,768	0,546	Перегретый пар
1,2	0,833	5	0,167	1,049	3,317	0,564	
!) В учении о теплоте вместо весовой плотности у нередко применяется удель-
ный весовой объем т>=1/у. Но ввиду того, что в динамике газа буквой v во мно-
гих случаях обозначается скорость, то эта величина, во избежание недоразумений,
адесь не применяется.
520
Т. I. Отд. 2. Механика. V. Аэромеханика
Значение % для различных газов—см. отдел „Теплота®, таблица
на стр. 637 Для исследования реальных газов или неполного
адиабатического изменения состояния пользуются в большинстве
случаев приблизительно теми же уравнениями, лишь с несколько
иными значениями .
Для паров, поведение которых сильно отличается от поведе-
ния идеальных газов, вместо уравнений пользуются так называемыми
энтропийными таблицами (для водяного пара — см. отдел
„Теплота”, стр. 678—679).
Ь) Статика атмосферы
Значок 0 соответствует значениям соответствующих величин над уровнем
моря, А — высота над уровнем моря в км.
1. Свободная атмосфера. Барометрическая формула. Давле-
ние воздуха (барометрическое давление) над уровнем моря, в сред-
нем, равно 760 мм ртутного столба или 10 333 кг/м2. В зависимости
от метеорологических причин оно колеблется, примерно, от 720
до 800 мм ртутного столба, т. е. в пределах zt5°/0.
Барометрическая формула. Если не принимать в расчет
влияние влажности, определить которую практически в большин-
стве случаев бывает затруднительно, то для средних географических
широт:
Л2- ^ = (1M + 0,067yig^2.
где h2—-разность высот в км двух точек, р2 и pt—соответствую-
щие давления воздуха и ^—средняя температура столба воздуха
между ними. Нагревание воздуха на 1° дает поэтому для наблюден-
ного соотношения давлений увеличение разности высот, примерно,
на 4°/Г0.
При адиабатическом расширении воздуха с высотой каждым
100л< высоты соответствует падение температуры, примерно, на 1°.
Меньшее падение температуры означает устойчивое, а большее —
неустойчивое состояние атмосферы.
Для целей воздухоплавания и авиации введена так называемая
стандартная атмосфера, которая дает определенный закон
изменения основных метеорологических элементов с высотой. К этой
атмосфере приводятся все испытания самолетов, а также, исходя
из нее, производится и аэродинамический расчет самолета. Стан-
дартная атмосфера введена во многих странах, а также и в СССР.
Исходные данные в ней следующие:
р0 = 10 332 кг/м2, t0= 15° (Го=288°), у0 = 1,226 кг/м\
р0 = 0,125 кгсек2/м\
падение температуры до высоты 11000 м выражается в 6,5° на
каждые 1000 м\ начиная с высоты 11 000 м температура постоянная
и равна — 56,5°.
Аэростатика
521
Изменение давления и плотности до высоты 11 000 м вычис-
ляется по формуле Бьеркнесса:
р!рй = (1 — А/44 300)5’256, р/р0 = (1 —й/44 300)4’256;
выше 11000 м отношения соответствующих давлений и плотностей
равны между собой и могут быть выражены формулой Галлея:
Р/Рп = Р/Ри = е - (* - и 000/6340.
Таблица 2. Стандартная атмосфера х)
Высота в м	Р/Ро	р в мм рт. ст.			Y в кг[м9	р/ро
0	1,0000	760,0		Н 15,0	1,2250	1,0(00
1 000	0,8870	674,1		- 8,5	1,1120	0,9074
1 200	0,8656	657,9		- 7,2	1,0903	0,8897
1 400	0,8448	642,0		И 5,9	1,0690	0,8723
1 500	0,8345	634,2		- 5,3	1,0584	0,8637
1 600	0,8243	626,4		Н 4,6	1,0480	0,8551
1 800	0.8042	611,2		- 3,3	1,0272	0,8382
2 000	0J845	596,2	н	- 2,0	1,0068	0,8216
2 200	0,7652	581,6	-	г 0,7	0,9868	0,8052
2 490	0,7463	567,2		- 0,6	0,9670	0,7891
2 500	0,7370	560,1		- 1,3	0,9572	0,7811
2 600	0,7278	553,1		- 1,9	0.9475	0,7732
2 800	0,7097	539,3		- 3,2	0,9283	0.7575
3 060	0,6918	525,8		- 4,5	0,9094	0'7420
3 500	0,6490	493,2		- 7,8	0,8634	0,7046
4 000	0,6082	462,3		- 11,0	0,8193	0,6686
4 500	0,5696	432,9		- 14,3	0,7770	0,6340
5 000	0,5030	405,1		- 17,5	0,7363	0,6008
5 500	0,4983	378,7		- 20,8	0,6972	0,5689
6 500	0,4655	353,8		- 24,0	0,6598	0,5384
6 500	0,4344	330,2		- 27,3	0,6240	0,5091
7 000	0.4051	307,8		- 30,5	0,5896	0,4810
7 500	0.3773	286,8		- 33,8	0,5567	0,4542
8 000	0,3512	266,9		- 37,0	0,5252	0,4285
9 000	0,3032	230,5		- 43,5	0,4664	0,3806
10 000	0,2606	198,2		- 50,0	0,4127	0,3667
11 000	0,2229	169,4		- 56,5	0,3636	0.2967
12 000	0,1903	144,6		- 56,5	0,3104	0,2533
13 000	0,1627	123,7		- 56,5	0,2653	0,2165
14 000	0,1389	105.6		- 56,5	0,2266	0,1849
15 000	0.1186	90,1		_ 56,5	0,1935	0,1579
2. Подъемная сила и равновесие аэростата
Обозначения:
7 — весовая плотность воздуха вблизи аэростата в кг!м3,
7о~	»	»	„на земле в лгг/лг3,
7х —	„	„ газа, наполняющего аэростат, в кг[м\
V—объем аэростата [лР],
G — вес аэростата, включая нагрузку, в кг.
') Более подробную таблицу можно найти в „Материалах по аэродинамиче-
скому расчету самолетов**, Сборник под ред. В. Александрова, Труды ЦАГИ, вып. 42,
М. 1929.
522
Т. I. Отд. I. Мехаинка. V. Аэромеханнка
Подъемная сила аэростата Р в кг выражается как разность
между полной гидростатической подъемной силой газа Vy и весом
газа Vy':
p=Vi-Vi'=V (у - у') =	(1—Т'/Т) =	(1—77^ Т/То •
Таблица 3. Значения у'
при р0 = 760 мм рт. ст. и 7’° = 273е (t0 = 0°) для сухого воздуха (у0 = 1,293 кг/м*)
Газ	в кг\м*	т'/т	То О — Т'/Т)  ki\m^
Светильный газ	 Водород чистый	 Водород неочищенный ....	0,67 до 0,45 0,0896 0,15	0,52 до 0,35 0,0692 0,12	0,62 до 0,84 1,203 1,1
Нагретый воздух имеет ту же подъемную силу, при 370° как светильный газ и
при 1000° как водород.
и у' с высотой изменяются приблизительно одинаково:
(у'/Т «= const).
Равновесие аэростата наступает, когда Р = G. Если Р> G,
то аэростат поднимается. Если аэростат выполнен (т. е. полностью
наполнен газом), то V постоянно, и подъем вверх должен сопро-
вождаться вытеканием газа через апендикс; y7t и вместе с этим Р
уменьшаются до тех пор, пока не наступит равновесие. Если аэро-
стат выполнен частично, то баллон надувается в том соотношении,
в каком уменьшается плотность газа, при этом измещение баллона
и подъемная его сила остаются постоянными до тех пор, пока
он не будет выполнен. Если P<G, то аэростат опускается, обо-
лочка спадает, измещение остается постоянным; равновесия в этом
случае достигнуть нельзя. В мягких дирижаблях, для того чтобы
оболочка при спуске не спадала, а всегда была натянута, делаются
специальные воздушные мешки, так называемые баллонеты, в кото-
рых поддерживается помощью вентилятора определенное давление;
при подъеме расширяющийся в оболочке газ вытесняет из баллоне-
тов воздух.
Повышение температуры воздуха на 1° уменьшает высоту
равновесия аэростата, примерно, на 30 м. Повышение температуры
газа на 1° повышает высоту равновесия аэростата, примерно, на 20 м
для светильного газа, на 2 м для чистого и на 3,3 м для неочищен-
ного водорода. Уменьшение веса аэростата на 1°/0 увеличивает
высоту равновесия на 80 лс.
Джиямжка rasa
523
В. Динамика газа г)
Помимо обозначений, приведенных на стр. 518, вводятся следующие обозна-
чения:
Ро > ?о» То» Ра» До — давление, температура, весовая плотность, массовая плот-
ность и скорость звука в покоящемся газе (давление в котле, температура котла
и пр.);
р', Т7, т7, рЛ, аг — соответствующие величины для случая движения газа со
скоростью звука (критическое состояние).
Приводимые формулы, вообще говоря, действительны лишь для идеальных
газов (воздуха). Если они действительны для любых газов, они печатаются жирным
шрифтом.
а) Движение газов по трубам переменного сечения и общие
законы
1. Движение без трения. Уравнение неразрывности
(стр. 452) для переменной плотности может быть написано в сле-
дующем виде:
др	. д(ря)	, д(р^)	. d(pw)	Л др	.	.. . .
---------------------=0, или + div (pt?) = 0.
dt	1 дх ду dz	dt	х vr '
Скорость звука в каком-либо газе равна:
а =
Таблица скорости звука в различной среде приведена на стр. 5Я4.
Уравнение Бернулли (стр. 453) для переменной плотности может
быть написано в следующем виде:
/ /Уп
и 2/2 -f- f —S-	gh — const.
Ро
Член gh учитывается лишь при явлениях метеорологического
характера, в других случаях им можно пренебречь. Так как пре-
вращение давления в скорость в большинстве случаев происходит
очень быстро, то этот процесс можно считать почти всегда адиаба-
тическим.
Тогда для идеальных газов 2) действительна следующая зависи-
мость:
’) Р г а и d 11, Stromende Bewegung der Gase und D3mpfe, Enzykl. d. math.
Wissensch., Bd. V, Leipzig, Teubner, P r a n d t 1. Gasbewegung, Handworterbuch d.
Naturwissenschaften, Bd. 4, стр. 558, Jena 1913, Fischer. S c h u 1 e, Techn. Thermo-
dynamik, Berlin, 1923, Springer. S to do la, Dampf- und Gasturbinen, Berlin, 1924,
Springer. A c k e r e t, Gasdynamik, Handb. d. Physik, Bd. 7, стр. 288, Berlin, 1927,
Springer. Busemann, Gasdynamik, Handb. d. Exp.-Physik, Bd. IV, Leipzig, 1930.
Akad. Verlags., В. Александров, Техническая гидродинамика, Москва, 1932.
*) Приближенное исследование реальных газов и неполного адиабатического
изменения путем подбора соответствующего значения х приведено на стр. 519. При
быстром расширении насыщенных паров нормальное сгущение в большинстве слу-
чаев происходит не сразу, а сначала имеет место падение температуры, в особен-
ности, пока v < д/ (Stodola). Поэтому пары по своему поведению в большинстве
сдучаав вплоть до состояния наэышения приближаются 1 поведению идеальных газов.
524
Т. I. Отд. 2. Механика. V. Аэромеханика
v* = - * дК/Н * 1.
7.— 1 Ро L \р0/ J
Введя сюда скорость звука aQ в покоящемся газе (или а' при
критическом состоянии, или а при скорости v), получаем:
* -1	i
(Р/Ро) « = (т/7о)х — 1 = (р/РоГ — 1 = Т'/70 = 1 —- (w/a0)2 =
= 1 -	! W«')2 = 1: (1 +	О'/*)2) .
Для г//л0<0,5 приближенно получаем:
Т/То = Р/Ро 1 — 4
Количество газа, протекающее в 1 сек. через трубу переменного
сечения, будет:
pFv = const
Ввиду существования зависимости между рис/ согласно
предыдущим уравнениям существует также соответствующая зависи-
мость между р и F и между v и F. При этом с возрастанием ско-
рости v соответствующее поперечное сечение уменьшается, и до-
стигает наименьшей величины при о = а'. При дальнейшем воз-
растании скорости уменьшение плотности р больше, чем увеличе-
ние скорости, вследствие чего поперечное сечение должно снова
расшириться (сопло Давал я). На фиг. 1 (стр. 526) дана зависи-
мость между различными величинами.
Критическая скорость а', имеющая место в наиболее
узком поперечном сечении; есть скорость звука в газе при имею-
щейся в этом месте температуре. Так как температура с возраста-
нием скорости или с падением давления понижается, то эта критиче-
ская скорость а' меньше скорости звука я0 покоящегося газа и
равна:
Отношение давления р' в наиболее узком месте к давлению
покоящегося газа р0 (критическое отношение давле-
ний) равно:
/ 2 \х/(х—D
р'/^о =	= 0,528 (для х = 1,4; для других значений х—см.
табл. 1).
Динамика газа
525
При расширении газа до давления, равного нулю, в качестве
предельной скорости будем иметь :
v = лГ
^тах	7___] у *
’ о
Далее, получаем следующее соотношение:
«о: в': %ах =	: 1 Vfi 1 = 1)095:1:2)45
(для х =1,4; для, других значений х— см. табл. 1).
Скорость звука в газе, движущемся со скоростью vt
будет:
а = V«02-t>2(-/—1)/2, а' = / 2/(7Т+1у.	v3(x_ i)/2.
2. Прямой скачок уплотнения. При данном количестве жид-
кости, протекающей в любом поперечном сечении, за исключением
наименьшего, возможно наличие двух скоростей: одной скорости
порядка ниже звуковой, другой — порядка выше звуковой. Вслед-
ствие этого поток, движущийся со сверхзвуковой скоростью,
может перейти с так называемым скачком уплотнения
в поток, имеющий скорость ниже скорости звука, не нарушая
уравнения неразрывности. При этом происходит внезапное повыше-
ние плотности и температуры. Этот процесс связан с потерей энер-
гии (потеря на скачок, стр. 474). Обозначив индексом 1 величины
перед скачком уплотнения, индексом 2—величины после скачка,
получим :
АА = a'3, p2/pt = (аМ')2 = (a'/v.,)2, р2 — pt = (р2 — Pi) а'3.
В то время как для получения скорости при давлении
требуется в котле давление
А = А [1 - (А/*о)2 (* - 1)/2] -х/(х~ °,
для непосредственного получения скорости v2 требуется меньшее
давление р0* (соответствующая плотность будет р0*).
Соответственно с этим эффективность газа вследствие скачка
уплотнения уменьшается таким же образом, как если бы газ при
давлении был доведен путем дросселирования до давления р0*
(см. отд. .Теплота", стр. 712).
Эта потеря давления (фиг. 1) находится из уравнения:
PsL - /а. V р-СА/НЧ--'—1)/(^+1)\1;(х - °= Рр!
Ро \а' Hl-(a'/v,)2(z-l)/(7.+ lV 'Ро ’
Увеличение энтропии на каждый кг газа, имеющее место при
скачке уплотнения, равно:
s2 — А = — AR In (Рп /Ро).
526
Т. I. Отд. 2. Механика. V. Аэромеханика
Примечание. Если при скорости порядка ниже звуковой, v < а'у поставить
насадок (трубку Пито, см. отдел VI „Техника измерения") отверстием’ против
направления дви кения газового потока, то внутри этой трубки возникает давление
р0, которое, следовательно, может быть непосредственно измерено. При сверхзву-
ковой корости, отнако, перед трубкой Пито сначала происходит скачок уплотнения,
поэтому наступает давление не рв, а несколько меньшее р0*.
На диаграмме фиг. 1 отрезком кривой В—С представлена
зависимость между скоростью истечения и противодавлением
в конце сопла Лаваля для случая, когда отношение наименьшего
сечения к сечению у выхода имеет как раз теоретическую величину
(кривая F'[F). В этом случае газ без возмущений вытекает из сопла
(за исключением небольших возмущений, получающихся вследствие
того, что выходное отверстие сопла часто имеет не цилиндриче-
скую, а коническую форму, так что внешние линии тока при вы-
ходе испытывают незначительное искривление).
Если у данного сопла Лаваля противодавление меньше или
несколько больше, чем это соответствует отношению сечений F'jF,
то в выходящей струе образуются колебания (количественное ис-
Динамика гав а
527
следование того же вопроса при плоском потоке—см. стр. 534).
Средняя скорость истечения (т. е. та, которая наступила бы при
затухании колебаний, если бы у границы струи одновременно
не получались пот.ери на смешение) в этих случаях1) представлена
на фиг. 1 для различных отношений сечений F'[F в виде прямых
(например Е—G—Н), касающихся кривой ВС в точке (напри-
мер G), принадлежащей к данному сечению. Чтобы не затенять
диаграмму, большинство этих прямых вычерчены лишь частично,
полностью представлены лишь прямые для FfIF=\ (сопло без
расширения) и для F')F =0,6 (прямая E—G—Н). Если противо-
давление лежит выше верхней крайней точки (Я) прямой, соответ-
ствующей данному сечению у выхода, то скачок уплотнения проис-
ходит внутри сопла. Для этого случая зависимость между давле-
нием и скоростью для данных сопел (отношение сечений F'[F)
представлена помощью примыкающих к прямым кривых (напри-
мер Н—/).
Внезапное повышение давления при скачке уплотнения вызывает часто срыв
пограничного слоя (стр. 488), но вследствие связанного с этим изменения направле-
ния потока скачок уплотнения становится косым по отношению к направлению
потока (косой скачок уплотнения, стр. 533). В этом случае внутри сопла возникают
аналогичные колебания, какие имеют место в случае, приведенном на фиг. 14. Если
эти колебания до выходного отверстия сопла снова погашаются настолько, что вы-
текающий газовый поток равномерно заполняет собой сечение у выхода, то при
данном конечном давлении скорость истечения не зависит от рода скачка уплотне-
ния, поэтому так же при косых скачках уплотнения эта скорость внутри сопла
имеет ту же величину, что и при прямых скачках уплотнения. Вследствие этого
кривые Н — 7, несмотря на изменение процесса, сохраняют свое значение. Все про-
чие потери, имеющие место в расширенной части сопла, в особенности (например,
при превращении скорости в давление) после скачка уплотнения, также не влияют
на результат (они уравновешиваются соответствующим ослаблением скачка уплотне-
ния). Влияние имеют только потери в узкой части сопла.
Если вытекающая струя неравномерно заполняет сечение сопла, то в сопле
получается та же картина, что и в сопле с меньшим сечением у выхода.
Пример. Воздух при р0 = 5 ат и / = 15® (Г = 288®, aQ = 340 м1сек, а'=.
= 310 м/сек) вытекает из сопла Лаваля, у которого конечное сечение F = l’/8 F', т. е.
F’|P=0,6. При конечном давлении р = 0,13 р0 = 0,65 ат (точка G) газ без воз-
мущений вытекает из сопла. Скорость истечения газа v = l,625az = 504 м/сек.
Если противодавление р = 0,25 ат, т. е. pip, = 0,05, то на линии Q—E средняя
скорость истечения будет равна v = 1,80а' = 588 м/сек. Если нельзя получить идеаль-
ного состояния протекания на кривой ВОС, например при колеблющихся противо-
давлениях, то следует стремиться получить таковое на прямой G—E с малым
противодавлением 2), однако, незначительные избыточные давления особенно не
сказываются на кривой G—H (только для этого случая сопло получается слишком
длинным, и соответственно с этим появляются значительные потери на трение).
Если противодавление р = 2,0 ат, т. е. р/р^ = 0,4, то на линии G—H средняя
скорость истечения будет v = 1,01а' = 313 м/сек. Если противодавление р = 4 ат,
т. е. р/ро = О,8, то скачок уплотнения происходит перед выходом воздуха из
сопла. Конечная скорость на кривой H—I будет z, = 0,46а'= 143 м/сек.
При противодавлении в 4,75 ат (р|ро = О,95) ни в одном месте сопла не может
быть достигнута скорость, большая скорости звука. Конечная скорость на кривой
Л—/ будет
v — 0,29а' - 90 м!сек.
l)Zerkowitz, Dingier, 1914, стр. 639.
•) Z е г к о w i t z, Ober die Stromung mit Oberschallgeschwindigkeit, Innsbrucker
Vortrage, Berlin, 1924, Springer,
528
Т. Т. Отд. 2. Механика. V. Аэромеханика
Во всех случаях, в которых внутри сопла может быть достиг-
нута или превзойдена скорость звука, вес газа, протекаю-
щего в 1 секунду, будет:
G = I'a'F' =	gR То
То ' z т 1
(Y'/Vo = — из фиг. 1, стр. 526).
|°0
У обыкновенных сопел (без последующего расширения после
наиболее узкого места) сечение у выхода является одновременно
наименьшим сечением, т. е. F'’F = 1. При противодавлении
р <^р' (p'lpQ есть критическое отношение давлений) в конце
сопла имеет место скорость, равная скорости звука.
Зависимость между давлением и средней скоростью после вы-
хода газа из сопла дана прямой В—Eq (фиг. 1) (колебания в выхо-
дящей струе). При противодавлении р>р' зависимость между да-
влением и скоростью представлена кривой А—В (фиг. 1).
Вследствие потери энергии в сопле вышеприведенные теоретические
значения для скоростей истечения следует помножать на некоторый поправочный
коэфициент ср, а значения для веса газа, протекающего в единицу времени, — на
коэфициент р., причем оба коэфициента, вообще говоря, немного меньше единицы.
О величине этих значений и практических формулах истечения—см. отдел „Теплота",
стр. 700.
Ь) Плоское течение при скоростях порядка ниже звуковой.
Правило Прандтля !)
До тех пор, пока скорость установившегося потока ниже ско-
рости звука, характер потока в качественном отношении тот же,
что и у несжимаемых жидкостей (при сверхзвуковой скорости весь
характер потока значительно изменяется). Разница только в том,
что с возрастанием скорости уменьшается плотность и что вслед-
ствие этого для сжимаемой жидкости в местах большей скорости
требуется относительно большее сечение (большие расстояния между
линиями тока!), чем для несжимаемой.
Так как на выпуклой стороне поверхности скорость возрастает,
а на вогнутой — уменгшается, то сжимаемость жидкости оказывает
влияние в смысле усиления искривления линий тока. Для плавных
контуров, у которых наклон элементов поверхности по отношению
к невозмущенному потоку незначителен, это влияние при плоском
потоке в количественном отношении может быть выражено с по-
мощью правила Прандтля (действительно, примерно, для
via 0,8):
„При обтекании плоского тела сжимаемой жидкостью, движу-
щейся со скоростью v a't давление, действующее на тело, будет
равно давлению, испытываемому соответствующим телом в несжи-
маемой жидкости, при одинаковой скорости и плотности, если
’) Аске ret, Uber Luftkrafte bei sehr grossen Gesc .windigkeiten, insbesondere
bei ebenen Stromungen, Helvetica physica Acta, I., стр. 301.
Динамика газа
529
ординаты у | v тела в сжимаемой жидкости относятся к соответ-
ствующим ординатам у' тела в несжимаемой жидкости, как
у!У1 = V1 — <У/а)2.
Вследствие одинакового распределения давления условия для
срыва потока (стр. 488) также в обоих случаях приблизительно
одинаковы .
Пример. Плоская пластинка с малым углом атаки а в сжимаемой жидкости
имеет, примерно, одинаковые коэфициенты подъемной силы (стр. 515), что и в не-
сжимаемой жидкости при угле атаки а' = а /К1 — "(v/а)2. Чтобы профили крыльев
в сжимаемой жидкости имели приблизительно те же качества, что и в несжимаемой,
необходимо уменьшить толщину профиля, стрелку прогиба и угол атаки в отношении
V 1 - (via)9.
Опытные данные i)—фиг. 2.
Фиг. 2. Коэфициенты подъемной силы и лобового сопротивления крыльев
различной толщины при скорости, приближающейся по своей величине к ско-
рости звука. Числа у кривых обозначают отношение v/a скорости потока
к скорости звука, числа, помеченные градусами, обозначают углы атаки.
Относительно са, cw и кривой индуктивного сопротивления—см. стр. 515.
с) Движение сжимаемой жидкости со сверхзвуковой скоростью
1. Особенности потока, движущегося со сверхзвуковой ско-
ростью. Возмущения (с незначительным изменением плотности) рас-
пространяются в жидкости лишь со скоростью звука. При обтекании
препятствия Р жидкостью со сверхзвуковой скоростью (v>az)
(фиг. 3) влияние его может распространяться лишь внутри конуса
(трехразмерный поток) или угла (двулразмерный поток), равного 2а,
причем
sin з = а/я.
’) Briggs, Hall, Dryden, Aerodynamic characteristics of airfoils at high
speeds, Rep. 2u7, 1925. Перевод: Аэродинамические характеристики дужек при боль-
ших скоростях, Технич. заметки ЦАГИ, № 3, 1932.
530
Т. I. Отд. 2. Механика. V. Аэромеханика
За пределами этой области не происходит никаких возмущений.
Линии М (фиг. 3), ограничивающие область возмущения, называются
линиями Маха, а угол а, образованный этими линиями с лини-
ями тока, называется углом Маха.
Эти возмущения, образующиеся вдоль линий Маха, являются особенностью
потока, движущегося со сверхзвуковой скоростью. Для исследования потока имеет
преимущество то обстоятельство, что отдельные области, ограниченные линиями
Маха, могут быть исследованы независимо от окружающей их среды, и весь поток
может быть построен путем надлежащего наложения таких отдельных областей
(фиг. 12>.
2. Опытные данные о сопротивлении снарядов *). При сверх-
звуковой скорости
помимо потерь энергии на поверхностное
трение и образование вихрей получаются
еще потери вследствие возникновения зву-
ковой волны (скачок уплотнения). Эти по-
следние потери зависят в сильной степени
от формы головной части снаряда (остроко-
нечная форма имеет преимущество перед
круглой). Коэфициент сопротивления вблизи
скорости звука, вообще говоря, достигает
своей максимальной величины. Однако при
очень плохих формах головной части
коэфициент сопротивления с возраста-
нием скорости продолжает медленно воз-
растать и дальше (фиг. 4, обозначение
для с—см. стр. 516).
3. Плоский газовый поток. Обте-
кание газовым потоком стен-
ки, внезапно обрывающейся.
Решение по Прандтл ь-Майеру 2).
Пусть газ, движущийся со сверх-
звуковой скоростью, обтекает стенку,
внезапно обрывающуюся в некоторой
точке. Предположим, что в области за
стенкой имеется полное разрежение
р = 0(фиг. 5). Пройдя стенку, газовый
Фиг. 4. Коэфициенты сопроти-
вления снаряда с остроконечной
и закругленной формой голов-
ной части.
поток под влиянием перепада давления испытывает некоторое
отклонение и, кроме того, вследствие одновременного расширения
до давления, равного нулю, приобретает предельную скорость
*п,ах = а'И*+1)/(«-Ц По аналогии можно предположить, что
по любому лучу, проведенному через край стенки, во всех напра-
влениях от края имеется е дина .овое состояние газа. Лучи, прове-
денные через край стенки, представляют собой линии Ма.щ; по-
’) К. Becker und С г a n z, Artiiler. Monatshefte, 1912, № 69 и 71; С г a n z
Lehrbuch der Ballistik, 1, Bd., Berlin 19 5, Springer.
’) Th. Meyer, Uber zweidimensionaie bewegungsvorgan ;e in einem Gas, das
Slit Uberschallgeschwindigkeu stromt, Mitt. Furschungsarb. VDI, H. 62.
Динамика газа
531
этому для угла ф, образованного направлением потока с
где v обозначает скорость на данном луче. Если луч образует с пер-
пендикуляром к первоначальному направлению потока (к направле-
нию стенки) угол ср, то угол отклонения его от своего первона-
чального направления будет:
532
Т. I. Отд. 2. Механика. V. Аэромеханика
Между ср и Ф существует следующая зависимость:
tgi =
Так как отношение давления р на луче к давлению р0 в поко-
ящемся газе или к давлению р' в газе, двигающемся со скоростью
звука, определяется имеющейся в данном месте скоростью (фиг. 1,
отрезок кривой В—С), то величины р[р', v/ar, ср, Ф, v могут быть
выражены в каждом отдельнохМ случае в зависимости друг от друга
(фиг. 6).
Так как при сверхзвуковой скорости процессы, происходящие
в каком-либо месте, не зависят от последующих в этом месте про-
цессов, то из потока, изображенного на фиг. 5 (основное решение),
можно получить поток, обтекающий угол, ограниченный выше-
указанной стенкой и лучом, проведенным через край стенки.
Фиг. 7,
V. St—скачок уплотнения
Таким образом задача обтекания любого угла фиг. 7 при дан?
ной скорости потока сводится к следующему. Скорости соответствует
на диаграмме фиг. 6 определенная точка v \а' на оси абсцисс. Соответствующая
величина кривой v дает тот угол отклонения который, если исходить из ско-
рости звука, должен существовать для того, чтобы была достигнута скорость Vj.
Кроме того, другие кривые дают угол 4ч (дополнительный к углу Маха), вне кото*
рого возникают возмущения потока, и наконец, угол <rlt характеризующий соответ-
ствующий луч на фиг. 5. Затем находят дальнейшее отклонение на угол 6, т. е. от
у, на V. = V, -|- о. После этого соответствующие остальные величины:	ф2
и следует брать из диаграммы на основании известной величины ve. Они дают
скорость потока v* после отклонения, угол Маха, равный SO1 — ф8, за пределом
которого кончается переходная область (отсюда снова имеется постоянная ско-
рость 1»-), и угол- <ро, характеризующий соответствующий луч на фиг. 5. Поток
в переходной области между обеими линиями Маха и М, тождественен потоку,
заключенному в секторе между и на фиг. 5 (пример на стр. 533).
Обтекание газовым потоком кривой поверхности
(фиг. 8). Кривую поверхность можно представить себе как состоя?
щую из последовательности весьма малых граней и применить
к ней вышеописанный метод. При этом состояние в точке Р зави-
сит от угла отклонения > = ^-1-0, где >1э так же как и в случае
обыкновенного угла, определяется из скорости потока а б обо?
значает угол, образованный касательной, проведенной к поверх-
ности через точку Pt с направлением потока. Все прочие вели?
чины, относящиеся к точке Р и к линии Маха, проведенной
через эту точку, следует брать из диаграммы для угла отклонения >.
Вместо скорости потока могут быть также даны для какого-либо
Фиг. 8.
Динамика газа
383
линия Маха Л42, принадлежащая
Фиг. ю.
участка какие-либо другие величины, данные в диаграмме; отсюда
вышеуказанным способом может быть всегда определен весь поток.
Обтекание потоком внутреннего угла (фиг. 9).
В данном случае v2<^vv Пусть
к v2, будет расположена
перед линией принадле-
жащей к Таким образом
в данном случае не может
образоваться переходная об-
ласть, как в случае обтека-
ния внешнего угла. Вместо
этого на поверхности пре-
рывности, заключенной меж-
ду обеими линиями Маха,
происходит косой скачок
уплотнения. Для него дей-
ствительны условия прямого
скачка уплотнения, если при-
нять во внимание, что компоненты скорости перпендикулярны
к поверхности скачка уплотнения. Компоненты скорости, параллель-
ные поверхности скачка уплотнения, остаются без изменения.
Г.5/—скачок уплотнен. И.5/—скачок уплотнен.
Фиг. 11.	Фиг. 12.
следнего отходят новые возмущения,
Зависимость между начальной и конечной скоростью и v<^, углом отклонения 6
Рп* *
и потерей на дросселирование —• (пунктир) при косом скачке уплотнения для воз-
Ро
духа (х = 1,4) дана на фиг. 10 i).
Пример, тч/а' = 1,97; vja == 3; 8 = 15'’;	= 1,7;	= 0,9. Поверхность
Ро
скачка уплотнения I PxPt.
Обтекание пото-
ком вогнутой по-
верхности (фиг. И).
В точке пересечения линий
Маха, идущих от вогнутой
поверхности, происходит
скачок уплотнения. От по-
которые внутри угла Маха
распространяются в направлении потока. Если этот скачок уплот-
нения лежит достаточно далеко от вогнутой поверхности и если
последняя не слишком длинна, то возмущения, исходящие от скачка
уплотнения, не встречают больше эту поверхность. В данном
случае давления и скорости определяются аналогичным способом,
как и для выпуклых поверхностей.
Пример. Плоская пластинка а) (фиг. 12) наклонена к направлению по-
тока под углом атаки а = 5°. Давление воздуха р = 1 ат = 10* кг,м\ t воздуха =
= 15° (Г 288°, а = 340 м1сек, р = 0,128 кг сек2\м 4), скорость потока v = 480 м\сек.
*) Busemann. Gasdynamik, Handbuch der Exp.-Physik, Bd. IV, Leiozig, 1930
•) Изогнутые пластинки: A c k e r e t, Luftkrafte auf Flugel, die mit grOsserer als
Schallgeschwindigkeit bevegt werden, ZFM, 1925, H. 16, стр. 72.
534
Т. I. Отд. 2. Механика. V. Аэромеханика
Тогда vja = 1,4; via' = 1,3; а' = 368 MjceK (из фиг. 1 или из формулы стр. 525/,
далее, для v/a/=l,3 из диаграммы фиг. 6 получаем:
р\р' = 0,585, р' = 1,70р = 1,70.10* кг\м\
Со стороны пониженного давления (с верх у) имеем: v0=9® (из
фиг. 6), v =	-|- а — 9° + 5° = 14', откуда из фиг. 6 получаем:
Vjla'= 1,4; 1^=368-1,4 = 516 м)сек; ps/p' = 0,47, рs= 1,70-0,47 р = 0,80-10* кг1м*.
Со стороны повышенного давления (снизу) имеем: косой
скачок уплотнения с углом отклонения 6 = а = 5\ v;^=l,4 представлен на фиг. 10
в виде кривой (вторая снизу). Для 8 = 5° из фиг. 1J получаем vdla = 1,15. pj*lp0
(на фиг. 10 пунктирные кривые) >0,99, т. е. может быть принято « 1 (потерей на
образование скачка уплотнения можно пренебречь). Для vdla' = 1,15 из диаграммы
фиг. 6 получим: pdlp' = 0,78 (если бы р(,*1р0 значительно отличалось от единицы,
то, для того чтобы получить результат следовало бы помножить на величину
р0*/р(1). Pd= MW = 0,78-1,70р = 1,33-10* кг/лг’.
Если F обозначает площадь пластинки, то разница между давлениями pd—рs
даст силу p = F (pd — Ps)* перпендикулярную к плоскости пластинки, откуда подъем-
ная сила будет Р cos а, лобовое сопротивление Р sin а. Путем деления этих вели-
чин на p/2-v2F определяются и коэфициенты подъемной силы и лобового сопро-
тивления :
ca = (Pd—Ps) cos 5e/(p/2) v’ = (1,33- 0,80)-10*.0,996/(0,064-480’) = 0,36,
cw = ca-tg 5° = 0,36-0,0875 = 0,0315.
Коэфициент e = cwlca = tg 5° = 0/875.
В значении величины cw (и соответственно, с этим в значении величины е)
содержатся лишь потери вследствие явлений, присущих сверхзвуковой скорости,
кроме того, имеет место еще потеря на поверхностное трение.
Примечание. Для малых углов а гаки а при сверхзвуковой скорости,
независимо от х будем иметь:
Са = 4а/У	1, Cw = 4а/ V" (®/а)2—1, е = а.
Явления отражения. Если у выходного отверстия сопла
Лаваля внешнее давление меньше, чем давление в сопле, то от
Фиг. 13 и 14. Истечение из сопла Лаваля в пространство с давле-
нием, меньшим (фиг. 13) или большим (фиг. 14), чем в сопле. (И St—
скачок уплотнения).
Ра АТ-ПеРи°д

краев насадки отходят волны разрежения, испытывающие некоторое
отклонение. Образующиеся при этом линии Маха (звуковые волны)
пересекаются с соответствующими волнами, отходящими от противо-
лежащего края. Встретив на пути своего распространения свобод-
ные границы газовой струи, они отражаются от этих границ
(падение давления переходит в возрастание давления.) Вследствие
этого образуется поток, изображенный на фиг. 1°>. (В областях,
Гидравлический удар
535
обозначенных Р1,Ра>Ръ, давление и скорость постоянны. Переход
из одного состояния в другое происходит в промежуточных
областях, имеющих форму сектора.) В точке В начинается повторе-
ние того же процесса, который, однако, вследствие смещения у гра-
ницы постепенно ослабляется.
Если внешнее давление больше, чем давление в сопле, но не
настолько велико, чтобы внутри сопла произошел скачок уплотнения
(стр. 527), то от краев сопла будут отходить косые скачки уплот-
нения (фиг. 14, обозначенные V. St). В дальнейшем поток испыты-
вает те же изменения, что и на фиг. 13, только вместо двух первых
непрерывных областей разрежения получаются прерывные скачки
уплотнения. Однако волны разрежения, образующиеся вледствие
отражения этих скачков уплотнения, распространяются расходящимся
пучком, вследствие чего последующие сгущения и разрежения про-
исходят без нарушения непрерывности. В сечении В начинается повто-
рение процесса. (О средней скорости истечения—см. стр. 527 и фиг. 1).
У насадков с овальным сечением выхода эти
явления отражения становятся несимметричными и вызывают откло-
нение струи и одновременно более сильное в ней разрежение 1).
С. Гидравлический удар2)
Помимо обозначений, указанных на стр. 518, вводятся следующие обозначения:
а — скорость распространения волн, возбужденных изменением давления в м/сек,
v—скорость течения в м/гек,
е — модуль упругости жидкости в кг'м*,
Е— модуль упругости материала трубы в кг}м\
d — диаметр трубы в м.
6 — толщина стенки трубы в м,
L — длина грубы от вентиля до входного или выходного отверстия в м,
t — время в сек.,
р — давление в кг/м-.
Если в трубе, по которой протекает жидкость, уменьшить ско-
рость проте ания путем перестановки вентильного клапана, то перед
клапаном происходит повышение давления, позади него — уменьше-
ние давления. Волна сгущения, вызываемая при каждом изменении
положения вентиля, распространяется по трубе со скоростью а, для
которой действительно следующее уравнение:
l/а* = р (1/е 4-d/£6).
Для железных труб, по которым протекает вода, скорость рас-
пространения волны, в среднем, будет:
а = 1000 м!сек.
9 S t о d о 1 a, Dampf- und Gasturbinen, 6. Aufl., стр. 112. Theoretische Berechnung
in P г a n d t l-B u s e m a n n, Naherungsverfahren zur zeichneris hen Ermitdung von
ebenen Stromungen n it Obersch<dlgescliwindigkeit. Ziirich, 1929, Orell Fiissli.
г) A 1 1 i ё v i-D u b s-В a t a i 11 a r d, Ailgememe 1 heorie uber die veranderliche
Bewegung des Wassers in Leitungen, Berlin, 1909. Springer.
О гидравлическом ударе см. также изложение теории Н. Жуковского — Л. Ле ft-
бе н з о н, Руководство по нефтепромысловой механике, Часть 1, Гидравлика, ГНГИ,
1931, стр. 296.
586
Т. I. Отд. 2. Механика. V. Аэромеханика
1.	Продолжительность закрытия вентиля (сек.) f<2£/a. Во
время закрытия вентиля возрастание давления перед ним (или па-
дение давления позади него) при уменьшении скорости протекания
от до v2 будет:
Р> — Pi = Р а (^1 — ^)-
Вследствие увеличения разности давлений перед вентилем и
позади него через вентиль протекает большее количество жидкости,
чем при установившемся потоке. Пусть у выходного отверстия
трубы установлен вентильный клапан, коэфициент сопротивления
которого, отнесенный к сечению трубы (стр. 473), обозначим через Ср
тогда между избыточным давлением рх перед клапаном и скоростью
потока Vi в трубе при установившемся потоке существует следую-
щая зависимость:
Р\ = Р/2 • Vt'-Ct.
Если теперь коэфициент сопротивления изменится так, что он
в определенный момент времени будет иметь величину С, то избы-
точное давление р перед вентилем (по сравнению с постоянным да-
влением позади него) находится из следующего уравнения:
Р2 — 2р [р, + pavt — pa2/С] + (Pi + pav,)2 = 0.
Во всех местах трубы, отстоящих от начала на расстоянии
at
U > ~2~ , имеет место одинаковое повышение или падение давле-
ния р — pi.
2.	Продолжительность закрытия вентиля t^>2Lla. В начале
трубы происходит отражение волны сгущения. Отраженная волна
разрежения пробегает через трубу до ее выходного отверстия в
промежуток времени tQ = 2Lla\ поэтому давление, найденное по
формулам, приведенным в п. 1, следует уменьшить на величину
избыточного давления, имевшего место в момент /0 (или увеличить
на величину давления ниже атмосферного). Явления отражения
могут повторяться несколько раз, если вентиль остается достаточно
долгое время открытым.
Частичные отражения происходят, кроме того, во всех тех
местах, где изменяются диаметр трубы или толщина стенки трубы
(например на всех фланцах или других соединениях). Вследствие
этого давление с течением времени выравнивается. Если принять
время, потребное на закрывание вентиля, £	2£/а, то упругими про-
цессами можно пренебречь. Тогда повышение давления у выход-
ного отверстия трубы, согласно уравнению Бернулли (стр. 453),
для трубы постоянного диаметра длиной L будет:
Р — Ро = (р/2) (v02 ~ v2) + fLdvIdt.
Гидравлический удар
537
Опасным является: 1) повышение давления в подводящем трубопроводе при
закрывании вентиля, 2) падение давления в подводящем трубопроводе при откры-
вании вентиля, в особенности в тех местах, которые, хотя и отстоят ог входного
отверстия грубы достаточно далеко, так что L' > а//2, однако, лежат сравнительно
высоко над вентилем, ввиду чего рх само по себе уже мало (в данном случае имеется
опасность, что трубы могут быть сдавлены); 3) разрежение позади вентиля <всасы-
вающая труба турбины) при закрывании последней: водяной столб открывается, и
при этом р может понизиться почти до абсолютного вакуума. При отбрасывании
жидкости назад получаются сильные удары (см. 3, „Удар о твердое тело"). Для
устранения первой опасносги рекомендуется устанавливать воздушные колпаки,
которые вблизи вентиля присоединены с помощью вспомогательного трубопровода
к главному трубопроводу; для устранения второй опасносги компенсатор следует
по возможности приблизить к месту крутого спуска трубопровода; если этого
сделать невозможно, то следует усилить трубопровод в опасном месте ; для устра-
нения третьей опасности необходимо предусматривать предохранительный клапан,
который впускает при понижении давления в трубопроводе воздух, вследствие чего
ослабляется обратный удар воды.
3.	Удар воды о твердое тело. Явление удара наступает также
и в том случае, когда струя или капля жидкости внезапно натал-
кивается на твердое тело. Если скорость звука в жидкости обозна-
чим через ах (следует учитывать возрастание скорости с повыше-
нием давления), в твердом теле — через а2 и нормальный компо-.
нент относительной скорости между жидкостью и поверхностью
тела через v, то давление будет:
р ра1л2^/(^1 + а2).
При ударе конденсированных частиц воды о лопасти турбины
это давление может превысить прочность лопастей, и в этом случае
лопасти будут разъедаться (согласно сообщению Акерета) *).
*) См. опыты Н о neg ger, Metallerosion durch Wasser und Dampf, Vert. d. 2
internal. Kongr. f. techn. Meeh, in Zirrich, 1926.
ОТДЕЛ 3
Техническая физика1)
Фамилии составителей указаны в соответствующих отделах
Перевод и дополнения под редакцией проф. В. Д. Зернова
Стр.
I.	Колебательный процесс
Технические понятия..........539
Величины и обозначения механиче-
ских и электрических колебаний
(таблица) ...................541
Простой колебательный комплекс . 542
Связанные колебательные ком-
плексы ......................646
Область частот механических ко-
лебаний .....................548
Область частот электромагнитных
колебаний....................549
II.	Расчет собственных частот
механических комплексов
Род колебаний................550
Маятник, струны, воздушные
столбы.......................551
Стержни, валы ....... ... 552
Фундаменты...................557
Мембраны ,..............	. . . 559
Пластины у . .  ...........  560
III.	Акустика
Акустическое поле.......... 563
Скорость звука в воздухе, жидко- .
стя.\ и твердых телах (таблицы).	564
Акустические аппараты......565
Излучатели звука (таблица)	.	.	.	568
Частоты, употребляемые в речи,
музыке и пении................57Э
Звуковая область звуков речи
(таблица).....................571
Измерение интенсивности звука . 572
Акустика больших помещений . . 573
Поглощение звука (таблица) . . . 575
стр.
IV.	Защита от сотрясения и пе-
редача звука
Сотрясения и почвенные колебания. 576
Силы, образующие колебания . . 577
Коэфициент поглощения (таблица). 580
Граф, ческий расчет сложных ко-
лебательных явлений...........580
Влияние конструкции здания . . . 581
Звуковые колебания .......... 582
Передача звука между телами боль-
ших размерив..................582
Прохождение звука через стены . 582
V.	Оптика
Скорость распространения .... 585
Восприятие света.............5‘86
Отражение и преломление .... 587
Распределение цветов по Оствальду 589
Возникновение изображения . . . 589
Зеркала.......................589
Линзы.........................590
Призмы........................591
Олгические инструменты.........592
Осветительные приспособления . 592
Л}пы. микроскопы, зрительные
трубы.........................593
Фотографическая оптика.........594
Систе мы линз.................595
Проекционныл фонарь (диаскоп,
эпидиаскоп)...................596
Измеригельные инструменты . . . 597
Рефрак ометр...............  .	597
Спектроскоп...................597
Поляризация...................598
Интерференция.................6&0
Нормальные длины волн (табли. .а). 601
*) Ввиду особой важности для инженера механики сопротивления ма/ериалоа
и теплоты, они изложены в особых отделах, а именно, 2, 4 и 5.
Технические понятия
539
I. Колебательный процесс
Составили В. Ганеман н, Берлин, и Г. Г е х т, Киль
А. Предварительные замечания
Колебательный процесс состоит в том, что энергия,
существующая в одной форме, периодически, в определенные от-
резки времени, превращается в энергию другой формы, после чего
происходит обратное превращение в первую форму, и т. д. Энергия
может быть лиоо механическая либо электрическая.
В общем случае энергия переходит при этом из потенциальной формы в кине-
тическую. При механических колебаниях потенциальной формой
является энергия положения (пример: упругая пружина или поле силы
тяжести), кинетической — энергия движения, называемая также живой
силой (пример: движущаяся масса). При электрических коле-
баниях потенциал! ной формой является электричесяое поле пример:
конденсатор), кинетической — магнитное поле (пример: магнитное поле
катушки).
Время, потребное для совершения одного полного колебания, назы-
вается периодом колебания 1. Число периодов в секунду
называется частотой колебания /. следовательно, /— 1/7’. Величина,
составленная из произведения частоты на 2л:, называется угловой
(круговой) частотой колебания ш.
Предельные значения величин, меняющихся в процессе колебания
(сила или напряжение, скорость или ток, отклонение или количество
электричества), называются амплитудами (J.
Колебания, следующие закону синуса, называют простыми, или гармо-
ническими, колебаниями. Если обозначить переменную величину через х,
постоянную амплитуду через U, круговую частоту через ш, то уравнение гармони-
ческих колебании может быть представлено в виде х — U sin ч / или k=U cos mt.
Векторное изображение уравнения х = U cos <i>t представлено на фиг. 1, причем
в моменты, когда t = 0 2ie, 4л, . . ., х = U.
ФИ1. 1.
Все периодические колебания могут быть согласно принципу Фурье (стр. 2.8),
представлены в виде суммы гармонических (синусоидальных) колебаний. Синусои-
дальное колебание, входящее в со-
став этой суммы и обладающее наи-
меньшей частотой, называется основ-
н ы м. Остальные колебания, частоты
которых отличны от частоты основ-
ного тока, называются оберто-
нами.
Колебание называется затухаю-
щим, если в течение определенного
отрезка времени амплитуда его убы-
вает. и нарастающим, если она
возрастает. При затухающих колеба-
ниях амплитуда колебании с течением
времени убывает, при незатухающих —
амплитуды отдельных колебательных
процессов остаются постоянными.
Под биениями понимают про-
цесс наложения двух гармонических
(синусоидальных) колебаний с близкими друг к другу частотами. Амплитуды такого
сложного колебания с течением времени убывают и возрастают по закону синуса.
Продолжительность одного такого возрастания и убывания называется перио-
дом биений; число биений в единицу времени называется частотой бие-
ний. Частота биений равна разности частот обоих накладывающихся колебаний.
На фиг. 2 представлена векторная диаграмма такого биения. ОД представляет
*) Так как для наук, стоящих на границе между техникой и физикой, еше не
существует точно нормированных обозначений, то применяемые в следующих главах
обозначения и меры не всегда одинаковы.	Редакция.
54Э Т. I. Отд. 3. Техническая физика. I. Колебательный процесс
собой вектор колебания с частотой Д; Of2 — вектор колебания с частотой /2.
Фиг. 2а дает общую векторную диаграмму биения. На фиг. 2b -f
изображены для примера положения векторов ОД и Of, и величина их результи-
рующей О А в моменты времени V/i»	4//i Для случая /а = 3/4 Л и в пред-
положении, что в момент / = 0 векторы Ofr и Of2 имеют одинаковое направление.
Так как оба вектора вращаются с различной скоростью, то в определенные моменты
времени они суммируются алгебраически; в эти моменты времени амплитуда
сложного колебания проходит через максимум или минимум. Промежуток времени
между наступлением алгебраического сложения и вычитания является полови-
ной периода биений.
Если амплитуды гармонического, т. е. синусоидального, незатухающего коле-
бания периодически изменяются каким-либо периодическим процессом, частоты
которого значительно меньше частоты самих коле-
баний, то мы имеем модуляцию колебаний.
Первоначальное колебание называется несущим
колебанием. Частота периодического изменения
амплитуды называется ча с i от ой модуляции.
Такое синусоидально модулированное колебание
можно представить себе составленным из колеба-
ния несущей частоты, на которое накладывается
сопровождающее его колебание одно с несколько
более высокой и другое с несколько более низкой
частотой; частота одного из них равняется сумме,
частота другого — разности частот несущих и моду-
лирующих колебаний (фиг. 3).
На фиг. За-с представлена векторная
диаграмма с ину соидальной моду-
колебания. Вектор ОА представляет собой моду-
Фиг. 3.
л я Ц и и гармонического
лируемое колебание с частотой /; АВ и АС являются максимальным значе-
нием увеличения и уменьшения вектора ОА по отношению к среднему его зна-
чению. Подобную синусоидальную модуляцию с частотой Д/ можно изобразить,
как показано на фиг. ЗЬ, вращением двух векторов АВ и АС, вращающихся
вокруг точки А в противоположных направлениях с частотой Д/. Отсюда полу-
чается векторная диаграмма Зс, на которой три вектора: вектор ОА с частотой /,
вектор ОВ с частотой j -|- Д/ и вектор ОС с частотой/—Д/, вращаются в оди-
наковом направлении, j — несущая частота, /-|-Д/ или /—Д/ являются частотами
вызванных модуляцией добавочных колебаний.
Механические или электрические комплексы, в которых
происходят колебания, называются колебательными комплексами. Свободными,
или собственными, колебаниями называются колебания, которые за-
висят исключительно от свойств колебательного комплекса. Частота свободных
колебаний называется собственной частотой. Колебательные комплексы,
обладающие несколькими собственными колебаниями, или частотами, называются
колебательными системами (связанные колебательные комплексы).
Замкнутые или почти замкнутые колебательные комплексы, или системы,
имеют место в том случае, когда окружающая среда не возбуждается или возбу-
ждается в незначительной степени колебаниями комплекса, или системы. Откры-
тые колебательные комплексы, или системы, имеют место, когда окру-
жающая среда возбуждается их колебаниями и энергия этих комплексов пере-
дается среде; такие комплексы называются также излучающими
комплексами.
Колебания, вызываемые в колебательном комплексе, или системе, посторонней
периодической силой, называются вынужденными колебаниями. Резо-
нанс наступает в случае, если частота возбуждающей силы совпадает с соб-
ственной частотой колебательного ком^'.ексг или с одной из собственных частот
колебательной системы.
В некоторых случаях в колебательном комплексе, или системе, появляются
одновременно свободные и вынужденные колебания, в особен-
ности в момент начала или прекращения вынужденных колебаний (процессы вклю-
чения и выключения).
Связью называется взаимодействие между несколькими комплексами, в ре-
зультате которого колебания в одном комплексе вызывают колебания в других.
1акие связанные комплексы имеют несколько собственных частот, причем соб-
Величины и обозначения колебаний
541
Обозначения'	Механические колебания			Электрические колебания	
	единицы *)		название		
	система CGS	техническая система		техниче- ские еди- ницы	название
т	г»	кг сек2/см	Масса	генри	Индукция
С	г*—1 сек2	см, кг	Упругость	фарада	Емкость
lfC=c	г* сек—2	кг1см	Постоянная упругость		—
X	см	см	Мгновенное зна- чение отклонения	кулон ампер	Количество электричества
и	см	см	Максимальное зна- чение отклонения	то же	Максимальное зна- чение колич. электр.
W	г* сек—1	кг сек\сн	Сопротивление	ом	Сопротивление
V	см сек—1	см сек~ 1	Скорость	ампер	Сила тока
b Р Рс I	см сек—*	см сек—2	Ускорение Сила Сила упругости	амп/сгк вольт вольт	Изменен, силы тока Электродвиж. сила Э. Д. С. емкостная
Рт	г* см сек—2	кг |	Сила инерции	вольт	Э. Д. С. самоиндукц.
Р w	|		Сила сопротивления	вольт	Омич, падение на- пряжения
Ат	сек- ?	см кг	Кинетическая энергия	ватт 1 сек	Энергия магнитного поля
Ас	1 г*см' сек~-	см кг	Потенциальная энергия	ватт/сек	Энергия электри- ческого поля
N	г*см2 сек—3	см кг сек—1	Мощность	ватт	Электр, мощность
и>	сек—1	сек—1	Круговая частота	сек—1	Круговая частота
V	сек—'1	сек—1	Круговая частота собственных колебаний незату- хающих комплексов	сек—1	Круговая частота собственных колебаний незату- хающих комплексов
	сек—1	сек—1	Круговая частота собственных колебаний затуха- ющи; комплексов	сек—1	Круговая частота собственных колебаний затуха- ющих комплексов
*	1	1	Логарифмический декремент затуха- ния	1	Логарифмический декремент зату- хания
г	оел—1	сек—1	Коэфициент зату- хания	сек—1	Коэфициент зату- хания
f	сек—1	сек—1	Число колебаний (часто га)	сек—1	Число колебаний
S	сек—1	сек—1	Собственн. частота	сек—1	Собственн. частота
Т	сек	сек	Период колебаний	сек	Период колебаний
к	1	1	Коэфициент связи	1	Коэфициент связи
<Р	1	1	Фазовый угол возбуждающей силы	1	Фазовый угол возбуждающего напряжения
X	см	см	Длина волны	см	Длина волны
’) Сравнение физической CGS с технической системой мер см. стр. 247.
542	!♦ ОТД- Техническая физика. Т. Колебательный процесс
ственная частота несвязанных комплексов изменяется, если на них наложена связь.
Частоты связанных комплексов называются также связанными часто-
тами.
При каждом колебании, при переходе одной формы энергии в другую, появля-
ются потери, величина которых, отнесенная к общему количеству колеблющейся
энергии является мерой затухания (логарифмический декремент, коэфициент зату-
хания) (стр. 544).
Наряду с колебательными процессами в замкнутых колебательных комплексах
существуют процессы в окружающей нас среде, при которых равным образом
энергия периодически превращается из одной формы в другую (звуковые и электри-
ческие волны).
Колебания обычно распространяются в виде волны, колебательная энергия
которой перемещается с определенной скоростью, называемой скоростью
распространения волны. Скорость эта для электромагнитных волн
раина ЗХ 10" л/гек. для звука при 0°С в воздухе около 330 м1сек, в воде около
15L0 м/гек (ср. табл. 1,стр. 564).
Длина волны распространяющегося колебания получается делением скорости
распространения в соответствующей среде на частоту колебаний. Таким образом
между длиной волны X. скоростью распространения а и числом колебаний в секунду
имеет место соотношение:
Х = а|/.
Наряду с распространяющимися волнами существуют стоячие волны,
при которых колеблющаяся в среде энергия связана с определенными отрезками
пространства. В этих отрезках, ограниченных длиной волны, энергия находится как
в по енциальной, так и в кинетической форме, причем в определенных точках,
удаленных друг от друга на расстояние одной полуволны, энергия находится
только в потенциальной форме, а в точках, смещенных относительно этих последних
на четверть волны, — только в кинетической форме. Эти точки называются пуч-
ностями и узлами; примером точек, в которых энергия находится только
в кинетической форме, являются пучности скорости в механике или
пучности тока в электричестве; точками, в которых энергия находится
только в потенциальной форме и, следовательно, не имеется кинетической энергии,
служат в' механике узлы скорости ив электричестве узлы тока. В неко-
торые моменты времени, промежутки между которыми равняются половине периода,
вся энергия находится только в потенциальной форме, и, наоборот, в моменты,
отстоящие от предыдущих на четверть периода, вся энергия находится исключи*
тельно в кинетической форме.
В дальнейшем изложении приняты во внимание только меха-
нические явления колебаний, в частности акустиче-
ские. Вставляя в уравнения соответственные электрические вели-
чины, получим уравнения для электрических колебаний. Массу
нужно тогда заменить самоиндукцией, упругость — емкостью, меха-
ническое сопротивление—электрическим, силу — напряжением, ско*
рость — электрическим током и амплитуду — количеством электри*
чества.
В. Простой колебательный комплекс
Механический колебательный комплекс можно схематически
представить в виде массы т, упругости С и сопротивления w.
В сопротивление включены потери, вызываемые как внутренним
трением и тому подобными причинами, так и полезными со-
противлениями, к которым в случае механически-акустиче-
ских колебательных комплексов относятся сопротивления на излу^
чение.
Простой колебательный комплекс
543
Если колебания комплекса столь малы, что С и w независимы
от величины амплитуды (т всегда независимо), то колебания явля-
ются синусоидальными. Если через х обозначить отклонение и
через U—амплитуду в данный момент, через t — время, через ю
и f—число колебаний в течение 2 л и 1 сек, то отклонение х мо-
жет быть представлено в таком виде:
х = — U sin со t.
Знак и выбор синусоидальной и косинусоидальной функции
определяются начальными условиями.
_	• dx
Если v = х = — и t/max являются значениями скорости в дан-
• •	сРх
йый момент, и максимальной, а через b = х= и &тах обозначить
значение ускорения в данный момент, и максимальное, то имеем
(максимальные значения даны без знака):
Х = — diUcos^t |	=
х = 4" и sin О) t I ^max = U = ^max
Колебание вызывает появление сил упругости, трения и инер-
ции. Эти силы находятся в прямой зависимости от амплитуды,
скорости и ускорения. Если мгновенные и максимальные значения
этих сил обозначить через Р. и Рг , Р.„ и Р„. и Р и Р ,
с стах w wmax т mmax
то имеем (максимальные значения даны без знака):
Рс = х/С иР. = U/C
с	стах
и PWmax =
Рт = тх и /’ттах=«*тах-
Упругая сила и инерция являются безваттными,
т. е. эти силы не обладают мощностью; соответственные работы и
энергии:
являются также безваттными энергиями. Сила, прилагаемая к со-
противлению, является, наоборот, ваттной, т. е. производит работу.
Ее мощность:
N=4t-v^mt
а)	Свободные колебания
Если комплекс под влиянием однажды полученной энергии
приходит в колебание, то он является свободным. Сумма сил инер-
ции сопротивления и упругости должна постоянно равняться нулю,
т. е. имеем следующее диференциальное уравнение:
тх-]- шх~р х/С = 0;
514 Т. I. Отд. 3. Техническая физика. I. Колебательный процесс
круговая частота свободных колебаний в этом случае равна:
v = \/У1	(Ь/2 л)3 или для Ъ/2 л 1
V =*[1-1/2(Ь/2к)21.
Здесь v = VT/m С и b = nw/vm или приблизительно b = r.w^m = тстал>С.
Величина Ъ называется затуханием колебательного комплекса
(логарифмический декремент). В обычно встречающихся случаях (Ь/2 п)2 мало но
сравнению с 1. Величина v является собственным числом колебаний незатухающего
комплекса, а * — затухающего комплекса. В первом приближении можно считать,
что затухание не оказывает влияния на собственное число колебаний демпфирован-
ного комплекса.
Под действием затухания значение амплитуд С70, 6^, £72,...,/72j
постепенно уменьшается. Имеем
Ь = 1пЩ2/£/г + 1).
При небольшом затухании уменьшение амплитуды
ДУ=^г + 1-67г
мало по сравнению с самой амплитудой; для затухания имеем
b = Д U, U,
т е. одинаковое процентное уменьшение двух последующих макси-
мальных амплитуд. Если в течение одного периода совершена
работа ДА, то затухание равно
Ь = ДА./2А,
т. е. оно равно половине отношения энергии, потребленной в те-
чение периода, к общему количеству безваттной энергии.
Если в момент t = 0 максимальное значение амплитуды коле-
бания комплекса равно то получаем для диференциального
уравнения свободных акустических колебаний в случае Ь/2к 1
следующее решение:
х = UQe~sWcos v t,
причем 2tcs=v и sb = S есть коэфициент затухания.
Механический пример см.: для твердого тепа — „Акустика", стр. 566, рис. 21
для газообразного —„Акустика", стр. 567, рис. 23.	'
Ь)	Вынужденные колебания
В случае когда колебательный комплекс непрерывно возбу-
ждается внешним периодически действующим источником энергии,
то образуются вынужденные колебания. Для этих колебаний имеем
диференциальное уравнение
mx -j- wx -f- х/С — Р sin ш /,
где Р есть максимальное значение, а ф— угловая частота возбуж-
дающей силы.
Простой копеСателыгый комплекс
545
Для диференциального уравнения получаем ре-
шение:
— U/C = Р sin W = Р COS ?•
llidA	'	1 9	IIldA	I
Здесь ср есть угол фазы между возбуждающей силой и ско-
ростью колебательного комплекса. Возбуждающая сила Р разла-
гается на две составляющих, из коих та, которая перпендикулярна скорости vmax,
равна разности между силами массы и упругостью, тогда как слагающая, имеющая
ту же фазу, что и скорость vmax, совладает с мощностью, потребленной в колеба-
тельном комплексе. Тангенс угла ср равен: tg ср = (m/v — v|w) кН).
Скорость
t'max = Z’/®'• COS ?
и мощность
N = P^Zw • cos2 7
достигают своих максимальных значений
= p/w и Nq = P2/2w
ill 21X
в том случае, когда возбуждающая частота становится равной соб-
ственной частоте недемпфированного комплекса, т. е. в случае
резонансного возбуждения.
На фиг. 4. представлены три векторные диаграммы для случая
возбуждения частотой, меньшей, равной и большей собственной
частоты комплекса. Вектор 33 дает мгновенное направление ско-
рости. Вектор О А изображает возбуждающую силу Р, АВ — силу
упругости, опережающую скорость на 90°, ВС—силу инерции,
отстающую от скорости на 90°, и СО — силу трения или ваттную
силу, совпадающую по фазе со скоростью. При
электромагнитных колебаниях место силы зани-
мает напряжение, место скорости — сила тока
(стр. 543).
Кривая, изображающая зависимость мощно-
сти от частоты воз-
буждения, соответ- ?
ствует функции
cos2 или sin2 и на-	от-
зывается резо-
нансной кри-	*
вой колебатель- • w
ного комплекса.
• Фиг. 4.
Фиг. 5.
При этом предпо-
лагается, что максимальное значение возбуждающей силы одно
и то же при всех частотах.
Для частот вблизи резонанса
ш— 1 Z
и для отступлений от резонанса z. малых по сравнению с 1, полу-
чается
tg? = 2nz,b
546 Т. I. Отд. 3. Техническая физика. I. Колебательный процесс
И
М
= 1/[1 +(2^/Ь)2]
или	b = 2 л zV l/[iV0^—1]
Если передвигаться от точки резонанса по обоим направлениям к тем часто-
там, при которых получается половина резонансной мощности, то соответственная
ширина кривой резонанса, выраженная в процентах резонансной частоты и b
равняется b = itZ^. Путем этой формулы можно определить затухание колебатель-
ных комплексов, для которых имеется экспериментальное определение резонансной
кривой.
Пример. Две резонансные кривые представлены на фиг. 5. По оси абсцисс
отложены значения co/v, по оси координат N|N0. Кривая а соответствует затуха-
нию 0,1, кривая b — затуханию 0,4.
С. Связанные колебательные комплексы
(Колебательные системы)
Связь двух или нескольких комплексов может быть осущест-
влена либо по массе, либо по упругости. При упругой связи полу-
чаем диференциальное уравнение колебаний свободных или выну-
жденных (при возбуждении первого комплекса периодической силой)
/И1Х1 + wixi + Xi/Ci +	— 0 или Р sin оз
т<>Х2 “I- ^2Х2 ”1“ Х<>! С? —Н х1!Cjo о.
Величина С12 есть упругость, общая обоим комплексам, вели-
чины и С2— результирующие упругости отдельных комплексов,
образующиеся из свободных упругостей С]0 и С30 обоих ком-
плексов и из упругости связи С:2 согласно следующей формуле’
Г —	^10 и Г —	^20 £*12
1	С10 + С12	2 Cao+Q
(Связь в акустическом пространстве см. стр. 567.)
Отношения
— С]/С|2 И ^2 ~ ^2^12
называются коэфициентами связи обоих комплексов и пред-
ставляют собой отношение энергии, колеблющейся в элементе ком-
плекса, к общей колебательной энергии каждого из комплексов.
Величина
fc2 = k}k2 =
есть квадрат фактора связи колебательной системы, соста-
вленной из обоих колебательных комплексов.
Связь по массе двух комплексов выражается следующим ди-
ференциальным уравнением свободных или вынужденных колеба-
ний при возбужд нии первого комплекса периодической силой:
mLXl + W1X1 + Xl/Ci "t" ^12Х2 = ° или Р sin ш Ъ
m jci 4- w2x2 + Хз/С2 + mlgXi = 0.
Связанные колебательные комплексы
547
Масса т12 является общей (сопряженной) массой обоих ком-
плексов, величины и т2— общие массы отдельных комплексов,
включающие и массу связи. Свободные массы отдельных комплек-
сов ти10 и /м2о» соединяясь с массой связи т12, образуют резуль-
тирующие массы по следующим формулам:
^10^12	„	т2(}гщ2
rrtzo+ ’»!>
(Связь в акустическом грибе см. стр. 566.)
Коэфициенты связи и факторы связи выражаются следующим
образом: = mjmi2l k2 = т.у/т12 и k2 -- rn{m2/mi22.
а)	Свободные колебания
Два связанные комплекса обладают двумя собственными коле-
баниями, которые можно, пренебрегая действием затухания, выразить
следующим образом:
где и ч2 являются круговыми частотами собственных колебаний
обоих несвязанных комплексов, если каждый содержит член, выра-
жающий связь. При равенстве собственных колебаний = \2 = v
V =	(1±А).
а при связях, малых по сравнению с 1, получается
Энергия, получаемая одним из комплексов, частью уничтожа-
ется затуханием в этом комплексе, частью же благодаря связи по-
степенно переносится на другой комплекс, пока вся энергия не
станет колебаться во втором комплексе. После этого ход явления
изменяется, и энергия постепенно переходит в первый комплекс
и т. д. Колебания такого рода называют биениями. Продолжитель-
ность перехода энергии из одного комплекса в другой равна i/2k
колебания.
Затухание колебаний является арифметическим средним из
обоих отдельных затуханий Ьх и Ь2.
Ь = (Ьх + Ь2)/2.
Предпосылкой для такого рода затухающих колебаний является
состояние, при котором будет происходить большее поглощение
энергии связью, чем превращение ее в течение того же самого
времени в потери но затуханию, т. е. необходимо, чтобы
k > b jn и k > Ь2/к.
Этот случай имеет большое практическое значение, и его обо-
значают термином жесткая связь.
548 Т. I. Отд. 3. Техническая физика. I. Колебательный процесс
Отношение максимальных амплитуд в обоих комплексах в слу-
чае упругого сопряжения или связи по массе выражается
и^и2=	ИЛИ Vkjk[.
b)	Вынужденные колебания
В случае жесткой связи резонансная кривая имеет два макси-
мума: в случае когда k мало по сравнению с 1, они имеют место
при
Фиг 6.
4 = V (l-ft/2).
Расстояние обеих точек резо-
нанса определяет связь, и
V2)/v = *-
Каждая из точек резонанса обла-
дает затуханием, равным арифме-
тической средней обоих затуханий.
Экспериментальное определение
кривой резонанса дает возмож-
ность установить связь и сумму
затуханий.
На фиг. 6 изображена резонансная кривая такой связанной
колебательной системы, причем за абсциссу принята величина <o/v,
за ординату — N/Nq. При этом было выбрано Ьх = 0,1, Ьа = 0,2 и k =
= 0,32. Величина k в этом случае больше, чем и Ь2/л, следова-
тельно, мы имеем здесь жесткую связь.
Механический пример см.: для твердых тел — „Акустика", стр. 566, фиг. 22,
для газообразных — „Акустика", стр. 567, фиг. 24.
D. Область частот
Для области частот как механических, так и электрических
колебаний теоретически не имеется никаких границ, в природе
могут иметь место колебания с любой частотой. Однако существуют
характерные области частот, для которых ниже приводятся неко-
торые наиболее важные данные.
а) Область частот механических колебаний
Внутри области частот механических колебаний отличают слы-
шимые колебания, частоты которых заключаются в области от 1G
до 20000 в сек. Эти колебания называются звуковыми. Колеба-
ния с более низкими частотами называются инфразвуковыми,
колебания с более высокими частотами — ультразвуковыми
(фиг. 7). К инфразвуковым колебаниям относятся, например, колеба-
Область частот
549
иия почвы или грунта, которые могут быть вызваны проходящими
поездами, медленно вращающимися машинами, ветром, прибоем
и морозом. На область ультразвуковых колебаний падают механи-
ческие или звуко-
вые колебания, вы- —
зываемые некото- _
рыми насекомыми,
упругие колебания
воздуха, создавае-
мые высокочастот-
ным искровым раз-
рядом. Сюда же от-
носятся применяе-
мые в настоящее
время в подводной уЬ,-
сигнализации ира-г^——х_
диотехнике меха- 10 ю ю
нические колеба-'
"Инфразвук колеб  Дкустич.колеб !
Земле трясени я
и колебания почвы
различного poda
• <4
• *
•?!*
:Г;3
~ю^ ~юг
(Мехднич колебания,
вЬшыБпамие.
;3[ иокртвв^а 1
]§[ разрядом, |
ч! 11 пьезоэлектрик.
?»? • пр иста л лани,
J3 Jj магнито- I
j стрикциег2 I
। и проч. J
~ю* ю* То*	ю* ю'фсеп
ю' юг яг1 ю* 10 s иг9 xr'Ctyt
Фиг. 7.
ния пиезоэлектри-
ческих тел (например кварцовый вибратор или кварцовый волно-
мер), вызываемые работой магнето (колебания коротких стальных
стержней также лежат в области ультразвуковых колебаний).
Ь) Область частот электромагнитных колебаний
Известные в настоящее время электромагнитные колебания заклю-
чают в себе почти всю область частот от 0 до 1020 в сек. В технике
сильных токов применяв ся постоянный ток (0 в сек.) и переменный
ток от 15 до 60 в сек.
(низкая частота).
В настоящее время
для особых целей
(питание быстро-
ходных машин, на-
пример центробеж-
ных насосов, зву-
ковых аппаратов
для воздуха и во-
ды, электрических
ю° ю* ю* ю9 ю9 ю* io" но* ~юиBeen индукционных ап-
Частота в Герцах(0 сек)	паратов и электри-
Электрические
ролебания
Беспроволочная
телеграфия
И
ь Рентгена
’•? I
i

* 1
ю9 ю9 ю' ю* ю9 ю * ло
 Цлина волны в см
Г Г Г
£1
10
см
ческих индукцион-
фиг- 8-	ных печей) приме-
няются более вы-
сокие частоты, так называемые средние частоты от 100 до
100 000 в сек. В технике связи используются как вышеназванные
низкие и средние частоты, главным образом, звуковые в области
от 50 до 15 000 в сек., так и частоты, употребляемые в радио-
технике, которые в настоящее время лежат между 104 и 108 в сек.
550 т- 1- ОтД- 3- Техническая физика. II. Расчет собственных частот
Однако можно получить электрические колебания значительно более
высокой частоты, до 1011 в сек., которая лежит уже почти в ин-
фракрасных световых лучах. По другую сторону видимого света,
охватывающего область от 3,7 • 1014 до 1015, простирается ультра-
фиолетовая часть спектра вплоть до лучей у, частота которых
достигает 1030 периодов в сек.
Фиг. 8 дает сопоставление всех этих отдельных областей.
II.	Расчет собственных частот механических
комплексов
Составил проф. В. Г о р т, Берлин
А. Общие сведения
Определение понятий стр. 541.
Род колебаний. Материальная точка, связанная с некоторым
средним положением с помощью направленной силы (силы упру-
гости), имеет только „одну степень свободы" и вследствие
этого обладает только одной частотой собственных колебаний.
Упругие тела конечной величины (струны, трубки, стержни и т. д.)
обладают бесконечным числом степеней свободы и соответственно
бесконечным числом частот собственных колебаний.
Под основной частотой понимают собственную частоту с на-
именьшим числом колебаний частоты обертонов Sj в случае
струн и трубок являются кратными частоты основного тона. Плас-
тинообразные комплексы, как-то: мембраны, пластинки, обладают оо2
степеней свободы, которым соответствует оо2 частот собственных
колебаний (в дальнейших уравнениях обозначены порядковым но-
мером у)’); наименьшая частота $и, как и в предыдущем случае,
соответствует основному тону.
В дальнейшем выведены следующие обозначения (в технической системе
единиц):
j — собственная частота в сек~~\
sj'Sjj—собственная частота обертонов в сек~~^,
n —2 тс $ —круговая частота собственных колебаний н сек~1,
У, — круговая частота обертонов в сек~\
Jj — порядковые числа (колебаний).
— критическое число оборотов в
Т — период колебаний в сек,
т — масса в кг сек~~^ см~\
р — плотность (удельная масса) в кг сек 2
Е — модуль упругости в кг
G — модуль сдвига, модуль скольжения в кг см~~\
— экваториальный момент инерции сечения в сл4,
Jm — момент инерции массы в см кг сек 2.
1/р растяжение/поперечное сокращение,
F — площадь поперечного сечения в сл1,
/ — «дина в см;
в — скорость явука в см\сек~\
Маятник. Струны и воздушные столбы
551
Основные соотношения дают:
5 = v/2 г,
nk = 60 \/2 ~,
Jm = '”''2
где г—радиус инерции.
В. Маятник. Струны и воздушные столбы
а) Маятник
1. Л1атематический маятник (стр. 336). Точечная масса подве-
шена на нити, не обладающей массой. Число колебаний в сек.
$= Vg[U2n в сек~х
2. Физический маятник. Маятник, обладающий массой (стр. 343),
S =₽ VgmilJml'2 ' в сек~г.
где i— расстояние центра тяжести от точки подвеса.
I = Jmlmi носит название приведенной длины физического маят-
ника.
Ь)	Струны
Сокращения см. таблицу на стр. 541.
Кроме того:
Р — натяжение струны в кг,
I — длина струны в см,
F — поперечное сечение струны в см9,
а Vp^F — скорость звука в струне в см сек~1,
Sj=aJ\2l = llTJ
j = 1 дает основной тон при наименьшем числе колебаний,
= а/21 и при продолжительности колебаний и периоде коле-
баний 1\ = 2lja.
с)	Открытые трубки
I — длина трубки в см,
а — скорость звука в воздухе в см сек~~\
sj = aj[2l ~ 1/7)
1	х	а
j = 1 дает основной тон	.
d)	Закрытые трубки
Обозначения такие же, как и в В с).
^ = (2/-1)а/4/.
J—\ дает основной тон5х = а/4/. При одинаковой высоте ос-
новного тона закрытые трубки должны быть вдвое короче открытых.
552 Т. I. Отд. 3. Техническая физика. II. Расчет собственных частот
С. Стержни, валы
а) Число колебаний при изгибании v
В машиностроении применяется термин критическое
число оборотов, особенно в связи с колебаниями машинных
валов при изгибании; в случае скручивающих колебаний этот тер-
мин применяется реже. Во избежание неясностей мы в дальнейшем
будем делать различие между числами колебаний при изгибе и при
кручении. Понятие о критическом числе оборотов может быть
введено в том случае, когда при резонансе под действием центро-
бежных сил вращающегося не вполне сбалансированного машин-
ного вала образуются изгибающие колебания. При критическом
числе оборотов (в резонансе) вал вращается беспокойно, с неров-
ными движениями и при сильном изнашивании подшипников.
На достаточном расстоянии от критического числа оборотов вал
вращается спокойно.
1. Стержни с собственной и точкообразными массами. Если
стержень, обладающий собственной массой, несет также и точко-
образные массы (фиг. 9), то можно вычислить для каждой из этих
масс круговую частоту колебания а для самого стержня вычис-
ляется круговая частота \0.
1. t	Согласно принципу Diinkerley можно
уз найти тогда основную угловую частоту
'	системы по формуле:
Фиг. 9»	1Л2=1Лоа+Е1Л/.
2. Стержни (без массы) с точкообразными массами (рис. 2а—2d).
Стргжпи, палы
553
Найденная таким образом скорость колебания (круговая частота ко-
лебания) является наинизшей из всех возможных колебаний (частот) стержня или
его основным колебанием. Для изгибающих колебаний валов редко приходится вы-
числять высшее колебание, так как уже обычно основное колебание выше рабочей
скорости вала (круговая частота вращательного колебания). Для валов с двумя под-
шипниками и двумя массами A. Foppl дал в своих лекциях по технической меха-
нике т. IV, 3. А, 1909, В. G. Teubner, стр. 37, метод расчета обоих возможных тонов.
Для вычисления основной скорости можно воспользоваться также методом G. Kull
VDI 1914, стр. 249.
3. Стержни с собственной массой без точкообразных масс
а) Неизменное поперечное сечение
Мы имеем:
V = (?///4)(£//PF),
где Ру равен коэфициентам, зависимым от порядкового номера вы-
соты тона и условий закрепления (у = 1: основной тон).
Значения коэфициентов приведены в табл. 1.
Таблица 1. Коэфициенты в уравнении, определяющем собствен-
ные частоты (фиг. За—ЗЬ)-
Способ закрепления	Уравнение для определения Ру	Значения ру для /=1...5
Стержень сво- боден с двух	Z/* концов а) ( ~ 7	-  > L	!—/		 Стержень л	к прочно закре- 4	 плен с двух		1   —г концов	* cos ру ch ру = 1	Pj = 4,73; 0., = 7,853 Рз = Ю,996; р4 = 14,137 Р5 = 17,279
Стержень под- *. , перт в двух	"	! местах	|—	t — Ц	sin Ру =0	Ру=/п
Стержень за- креплен с одно- .л	 го конца и 94	 	J подперт с дру-	• го	cos ру • ch Ру = — 1	Р1 = 1,875; р2 = 4,694 р, = 7,855 р4 = 10,996; р5 = 14,137 рв =17,279
Стержень за- 	 креплен с од- d/u		 ного конца и	i	- подперт с дру- гого	tg Ру = th ру	р, = 3,927; ра = 7,069 Рз = Ю,21 р, = 13,352; р5 = 16,493
554 Т. I- Отд. 3- Техническая физика. II. Расчет собственньт'х частот
Р) Суживающееся поперечное сечение. Умень-
шение поперечного сечения F и момента инерции J могут быть
представлены кривыми с и с' (фиг. 10), где через Jmi и Fmi обозна-
чены значения для кривой с, через Jmi и Fmi — значения для кри-
вой с', соответствующие середине прута.
Вспомогательные величины вычисляются по формулам:
Круговая частота собственных
колебаний стержня с неизменным по-
перечным сечением, подчиненного тем
же условиям закрепления:
V/= (₽///<)
____ L______L----1-----J Круговая частота собственных ко-
г	лебаний суживающегося стержня при-
Фиг. ю.	близительно равна:.
V = V [1 -± ч'о’/J/n - ±ь
причем верхний знак (-]-) относится, к кривым с'-
Для коэфициентов оу, оь', ту, Ту' имеем следующую таблицу.
Таблица 2. Значения р, а, т, о', т'
Более толстый конец закреплен, другой
свободен
Толстый конец закреплен, другой
придержан
/	0	а	т	а*	т'		а	т	а'	1
1	1,875	0,193	0,807	0,493	0,493	3,927	0,431	0,569	0,626	0,857
2	4,6°4	0,406	0,594	0,703	0,703	7,069	0,480	0,520	0,612	0,724
3	7,855	0,468	0,532	0,661	0,661	10,210	0,490	0,510	0,623	0,680
4	10,996	, 0,483	0,517	0,649	0,649	13,352	0,494	0,506	0,628	0,663
5	14,137	. 0,490	0,510	0,645	0,645	16,493	0,496	0,504	0,631	0,654
6	17,279	। 0,493	0,507	0,642	0,642	—	0,497	0,503	0,633	0,649
оо	-	0,500	0,500	0,637 = 2/п	0,637 = 2/я	—	0,500	0,5С0	0,637 = 2/тс	0,637 = 2/п
4. Стержни, радиально закрепленные на краю вращающе-
гося диска (фиг. 11).
Обозначения, как раньше, кроме того:
R — радиус середины стержня в см,
Стержни, валы
555
о — угловая скорость диска в сек 1,	Z
I — длина стержня в см.
Скорость (круговая частота) v колебания стержн i
(основной тон) получается из формул:	!
v2=¥^+1,50“24i ₽i=i>875-
Фиг. 11
Ь) Колебания при скручивании
1.	Общие данные.
Обозначения, как на стр. 541, далее согласно фиг. 12:
1^, 1-л“- — действительная длина участка вала в см,
/01,, /qw • • — приведенная длина участка вала в см,
I z — длина цапфы кривошипа в см,
г, b, h — размеры кривошипа в см,
с = JGft — крутильная постоянная в см кг,
Cia, с23... —крутильные постоянные участки вала между массами соответствую-
щих индексов см кг, например cia = JaGlloia,
Jo — полярный момент инерции сечения приведенного вала в см4,
—действительные полярные моменты инерции поперечного сечения
вала между массами соответствующих индексов в см4,
Jz — d Jr.fdZ— полярный момент инерции поперечного сечения кривошипа в см4,
Выбирается средний диаметр с моментом инерции JQ. Для длин
отдельных участков вала (фиг. 12) вычисляют приведенные длины,
например по формуле:
Колена кривошипа заменяют участком сокращенного вала, длина
которого
/oft = 2r(G/£)(Jo/A) + Vo/4;
постоянные кручения отдельных участков вала получаются согласно
формуле:
cta =
Для нескольких последовательных частей вала, имеем:
1/C=1/C12 + 1/CM+1/C34+...
556 т. i. Отд. 3. Техническая физика. II. Расчет собственных частот
2.	Вал с одной массой на одном конце, другой конец за-
креплен (фиг. 13):
V2 = CIJ .
I т
3.	Вал с двумя массами (фиг. 14):
=	+ 1/4).
1	9
Фиг. 13.	Фиг. 14.	Фиг. 15.
4. Вал G тремя массами (фиг. 15): v2 определяется из вира-
[с13 (1/4, + 1/4а) + сй (1/4а + 1/4з)] +
+ сис23 + 1/4,4, +1/4,4J = 0.
Фиг. 15а.	Фиг. 16.
5. Вал с четырьмя массами (фиг. 16): применяются формулы
7-го и. в предположении, что л= 1.
6. Вал с тремя массами (фиг. 15а): одна из них (J ) является
зубчатой передачей с моментами инерции и / с радиусами
начальных окружностей гг и г".
Введем обозначения: г'1г" = л; J' -4- и2/5 6 7 =J и далее с1^т =а<;
Cr2l^mt “ а2> С23/Чпа = «З;	= а1 + а2 = а1> & а3 а4 = а2-
Тогда v2 определяется из уравнения;
— V2 (ах 4- а2) + (ага2 — а2а3 л2) = 0.
7. Вал с четырьмя массами (фиг. 16а): из них одна (Л„а)
является зубчатой передачей с моментами инерции и / с ра-
диусами начальных окружностей г' и г".
Положим: r'/r" =п\ J' -{-n2fT =	.
Стержттп, валы. Фундаменты
557
Далее
cv>IJ тг — ®1»	а2> с^^т, а3»
^2з/Лн» ~ а4» cM^tn3 ~ а5’ mt a6*
а1 ”F а2 = аЬ азЧ“а4~д2’ п? а5 4" а6 = a‘i’
Тогда v2 определяется из уравнения:
>6 — v4 (ах + а2 + #з) 4" («1^2 + «1^3 -F ^2дз — я2аз .— а4а5 я2) —
— (^1^3 — Д3а273 — а\ а4а5 «2) = °’
8. Валы с любым числом масс: из них одна (J т} является
зубчатой передачей с моментами
начальных окружностей г' и г".
инерции J' и J" с радиусами
/?.х тх
Фиг. 16а.
фиг. 17.
Положим гЧг^ — п} f -\-n2fT = J... . Далее Cv>IJm = а. •
1	т х 1 tnx frix
Сх-1, х/Л?гх = а2х—2»	х-|-1/Л?7х = а2х—1 • • •’ а1 Н" а2 ~ а1 • • • t а2х—3 4"
+ а2х-2 = Дх-1» ПЧх-1 4 а2х = Дх«
Тогда для вычисления v2 можно воспользоваться уравнением,
написанным в виде определителя:
Если здесь положить п= 1, то мы возвратимся к одному валу
без зубчатой передачи.
D. Фундаменты
Рамы R фундаментов машин (фундамент паровой турбины) под
действием неуравновешенных центробежных сил Р, создаваемых
вращающимися частями машины, могут прийти в вертикальное или
558 Т. I. Отд. 3. Техническая физика. II. Расчет собственных частот
горизонтальное колебательное движение в том случае, если число
обороюв машины совпадает с собственной частотой вертикальных
Фиг. 18Ь.
или горизонтальных колеба-
ний рамы фундамента.
Простейший слу-
чай. Все рамы равны между
собой и неподвижно закре-
плены на грунте. Центро-
бежные силы Р . лежат в
средней плоскости АВ сред-
ней рамы. Продольные бал-
ки L фундамента считаются
неподвижными по отноше-
нию к рамам /?. На фиг 18а и 18b показаны возможные формы
колебаний.
Обозначения:
Рт— действующий в середине перекладины груз машины (сосредоточен-
ный груз) в кг,
Ре—распределенный собственный груз перекладины в кг,
Pst — собственный вес подпорок рамы в кг,
Р^ — собственный вес продольных балок в кг,
fm>fe — прогибы перекладин, вызываемые грузами Рт и Ре, в см.
а)	Прогибы при вертикальных к о л е.б а н и я х:
1 Ра* (	0,75а	|
f =______т Z 1 —_______________>
48 EJ} (
н
5 Реа3 J 0,80а	1
= 384 £7, I1 ~ 6/2- Л//2+а( '
Сумма их служит для вычисления собственной частоты верти-
кальных колебаний рамы:
Ь)	Прогибы при горизонтальных колебаниях:
при
Р = Рт+Ре + ’/з(Р,+ ^) В кг
горизонтальный прогиб вычисляется по формуле:
, _ Р63 1 .	96	1
1 “ б£/2 t1 2aJJJi + 126 J B CM>
отсюда находим собственную частоту горизонтальных колебаний
*«, = 5//7 веек*1.
Мембрапы
559
В качестве модуля упругости в предыдущие формулы следует
подставить:
для стали:	Е == 2,2 • 10е кг см~\
для железобетона:
£=2,1 - IO5 кг см-9.
Если сделанные выше предположения не выполнены, то приве-
денные выражения для собственных частот не верны, и для их вы-
числения приходится пользоваться весьма сложными аналитическими
или графическими методами.
Е. Мембраны
а) Общие сведения
При круглых мембранах могут иметь место следующие формы
колебаний:
1. Узловые линии расположены по диаметру.
Колебания с 1 (2, 3 и т. д.) узловым диаметром называются колеба-
ниями 1-го (2, 3 и т. д.) порядка (фиг. 19а).
2. Узловые линии в виде кругов! (2, 3, 4) (фиг. 19&).
3.	Соединение 1
и 2 (фиг. 19с).
На фиг. 19 а—с заштри-
хованные площади можно пред-
ставить себе движущимися
вверх и наоборот.
При прямоугольных
мембранах, если стороны
li и /2 несоизмеримы,
возможны только коле-
бания с узловыми линиями, параллельными боковым поверхностям
(в виде шахматной доски). В противном случае могут возникнуть
также другие (криволинейные) узловые линии.
Ь) Частоты собственных колебаний
1.	Прямоугольная мембрана
Обозначения, как на стр. 541, далее:
р — напряжение мембраны неизменно вдоль края в кг см9,
— длины сторон прямоугольника в см,
а — Vр/р —скорость звука в мембране в см\сек~х,
^jj —собственная частота в сек
Тогда мы имеем:
Vff = а л У О7Л)2 + (7/У* •
560 Т. I. Отд. 3. Техническая физика. II. Расчет собственных частот
Подставляя в это уравнение вместо / и / любые целые числа,
получают собственные частоты мембраны. Для j и j — 1 получается
основной тон мембраны:
vlt=a«/ (l//t)2+(l//2)2 .
2.	Круглая мембрана
Обозначения прежние. Кроме того, R — радиус мембраны в см.
Для собственной частоты имеем:
W = hfalR-
суть корни характерного для мембраны периодического
уравнения, в данном случае идентичные с нулевыми положениями
бесселевых функций:
м г в2	з4	1
Л(₽) = Л- 1----------5—н-----------------------------...
J 2'11	22(/+1)	(2.2)3 21(7+1) (/+2) J
Таблица 3. Нулевые значения fyy
бесселевых функций
________________f_______________
0	|	1	2	|	3	|	4
6,38
9,76
13,02
16,22
7,59
11,06
14,37
17,62
Значения приведены в табл. З1)»
Получаемые при соб-
ственных колебаниях фигуры
состоят из соединения j уз-
ловых диаметров и j узло-
вых кругов (фиг. 19). Основ-
ному тону v00 соответствует
колебание мембраны без уз-
ловых линий.
F. Пластины
а)	Однородные покоящиеся пластины
Обозначения:
d — толщина пластины в см,
I — длина стороны в см,
К — радиус пластины в см,
т = 4 = удлинению: поперечное сокращение.
1.	Квадратные пластины. Определение собственной частоты
для замкнутой формы невозможно; мы ограничиваемся указанием
литературы 2). Для квадратных пластин с свободными краями наи-
меньшая собственная частота вычисляется по формуле:
2d/X Г Enfi
Р V 3p(m3—f) ’
где к согласно Ritz имеет для основного тона значение 12,43.
J) Nach Rayleigh, Theorie des Schalles, стр 364.
Ritz, Ann. der Physik (4) 28 (1909); 737, Go Id шапп, Diss., Breslau, 1918.
Пластины
561
2.	Круговые пластины. В эт®м случае собственная частота
имеет следующее выражение:
___2d g Г т^Е
V 3p(/n2—1) ’
Звуковые фигуры опять-таки являются соединением j узловых
диаметров с j узловыми кругами.
Таблица 4. Нулевые значения
круговой
Р7У периодического уравнения
пластины
Р) Для круговой пла-
стины с неподвижно за-
крепленными краями
а) Для круговой пла-
стины со свободными
краями
Ь)	Вращающиеся однородные пластины
Обозначения прежние. Кроме того, ю — круговая частота вращения в сек — к
Для собственной частоты имеем:
W3/”(w)2+(v)' ’
где ^jj~ собственная частота вращающейся пластины, не обладаю-
щей сопротивлением на прогиб, данная уравнением:
/	-В . I . |	3/77	1	«9 “И 3
Второй член уравнения представляет собственную частоту
покоящейся пластины, обладающей сопротивлением на прогиб:

. _ 2d Г т>-Е
PJJ & У Зр(/и’— 1) •
562 Т. I. Отд. 3. Техническая физика. II. Расчет собственных частот
Фиг. 20.
Обозначения:
с)	Вращающиеся неоднородные пластины
Важнейший практический пример: колебания колеса паро-
вой турбины, положенные здесь в качестве примера в основу теории х).
Напуск пара вызывает биения, при которых
шайбы турбины колеблются с узловой линией по
диаметру круга.
Эго имеет место, когда число оборотов совпа-
дает с одной из собственных частот, соответствующих
колебаниям с узловой линией по диаметру (фиг. 19b).
Вычисляют наибольшую потенциальную энергию
Фд прогиба, наибольшую кинетическую энергию
шайбы Ф при прохождении через свободное от на-
пряжения среднее положение и наибольшую работу
центробежной силы Фг Тогда Фь Ц- Ф* = Ф^. При
вычислении уравнения энергии должны быть соста-
влены отдельно для втулки, шайбы и обода. Упро-
щающее предположение для шайбы: поперечное сече-
ние в форме трапеции (фиг. 20).
у — собственная частота в сек—',
ш — круговая частота вращения шайбы в сек—
Е* == Ет-[(т2—1) в кг см~2,
т — пр'одольное удлинение: поперечное сокращение,
k — число узловых диаметров,
7?/, /?о> й0 в см, см. фиг. 20,
Jn — моменты инерции обода и втулки в см\
Ffc, Fn — поверхности обода и втулки в см\
s — показатель степени параболического закона изменения формы сред-
ней плоскости шайбы,
£ =
Вспомогательные величины вычисляются по формулам:
A (S, k) = (_ 6 — 2s_i + -2у -	2_  4.
+ -? - бТТз)] + 2 (* - У	- D- И].
В (5, А) = ^_|_2 — 2,+ з) —	+ 2 (2i + 2 — 2j+ з) ’
откуда:
_ { 2Л /?аА0® + [1-(1 /тГ1 k> (Jk +Jn&~ 3) )£'	<i>’
” Ra* WtaS	fя '.2i + 1)P	+ 2i-l ’
’) Сравни E. Oehler, Kruppsche Monatshefte, 1925, стр. 1 ff. — Stodola, Dampf-
und Gasturbinen. 6. Aufl., стр. 905, Berlin, 1924, Springer ETZ, стр. 1577.
Акустическое поле
563
В этом выражении, принимая число узловых диаметров, для которых должна
быть определена собственная частота, к = 1, 2, 3, 4 и т. д., все величины известны,
вплоть до величины $, так что v является ее функцией:
=	Ь).
Эта функция от 5 и подлежит определению.
,,	df(s, k) Л
Наименьшее значение , получаемое при — ~—- = 0, является хорошим
приближением к искомой собственной частоте (принцип наименьшего значения соб-
ственной частоты по Rayleigh).
Для устранения опасных колебаний шайбы определенные таким образов соб-
ственные частоты должны быть отличны от круговой частоты вращения:
ш;
ЛШ1П
лучше всего, если все
III. Акустика
Составили В. Ганеман, Берлин, Г. Гехт, Киль (А до D) и проф. д-р
инж. Е. Мишель, Ганновер (Е)
А. Акустическое поле
Обозначения такие же, как на стр. 541. Кроме того:
N—звуковая отдача в г* см3 сек~\
а — скорость распространения в см сек—*,
р — плотность среды в г* см—3,
р — акустическое давление в г* см—1 сек—3,
Q — ток в среде в см3 сек—\
к — длина волны в см,
г— расстояние в см,
/ — частота в сек~*.
Все величины — по системе CGS Э
В однородной среде бесконечного протяжения с плотностью р
от точкообразного источника звука распространяется шарообразное
акустическое поле. Через единицу шаровой поверхности, концентри-
ческой к источнику звука, проходит акустическая энергия:
(2л/)2 U2 cos2 ? = v2 cos2 ? = г* сек~3.
л	1	ла р
В табл. 1 даны скорости распространения акустических коле-
баний в различных средах 2) и их плотности.
Общая акустическая мощность сирены равна:
N = (2л /)2 Q2 р/2 л а (г* сл2 сек~3],
где Q есть поток, питающий сирену, в см9 сек-1. При этом еде-
лано допущение, что в прорезях сирены поток превращается в сн-
’) Сравнение технической и COS- системы мер см. стр. 247.
2) Способы определения скорости звука в различных средах из их физических
периметров можно найти в курсе физики Гринцеля.
554
Т. I. Отд. 3. Техническая физика. III. Акустика
Таблица 1. Скорость звука *)
1. В воздухе при барометрическом давлении 760.
Температура в °C	Скорость звука в м}сек	Плотность сухого возду- ха 2 3) по отно- шению к воде	Температура в °C	Скорость звука в м]сек	Плотность сухого возду- ха 2) по отно- шению к воде
- 20	319,3		+ 10	337,8	0,001247
— 10	325,6	—	+ 20	343,8	0,001205
0	331,8	0,001293	+ 40	355,3	—
2. В жидкостях и твердых телах3)
Тело	Температура в °C	Скорость звука в м)сек	Плотность
Вода		3,9	1399	1
Вода		13,7	1437	0,999312
Вода			25,2	1457	0,997019
Раствор хлористого натрия 10»/о		15	1470	1,073
То же l&’o . 			15	1530	1,11
То же 20Jl0 			15	1650	1,15
То же конц		14,7	1661	1,2
Метиловый спирт 11°, 			4,4	1496	0,98 <
Метиловый спирт абс			«Л	1264	0,794 <
Метиловый спирт абс		23	1160	0,794 4
Алюминий		18	5104	2,70
Железо		15-20	5124	7,86
Железная проволока		10-20	4913	—
Сталь мягкая ..... • 		15—20	4982	7,6 —7,8
Сталь отожженная		10	4880	7,6 —7,8
Медь		15-20	3553	8,93
Латунь 		—	3479	8,1 -8,6 1
Стекло 		15 17	5196	2,4 -2,6
Сосновое дерево 		—	4179	0,37-0,75 Б)
Дубовое дерево	  .	—	3381	0,61—1,03 Б)
нусоидальную форму без получения составляющей постоянного
тока. Возможное действие воронки или тела сирены во внимание
не принято.
Угол ср есть угол фазы между давлением и скоростью в любом
месте среды. На расстоянии г от источника звука имеем для тона
!) Winkelman и, Haudbuch der Physik, Bd. II, „Akustik".
8) v. Kahlrausch, Lehrbuch der praktischen Phyeik, 12 Aufl.
3) Landolt-B ornstein, Physikalisch-chemische Tabellen, 5 Aufl., Berlin 1923.
4) Плотность при 15°.
•j Высушенные на воздухе.
Акустические аппараты
565
длиною волны
Х = а//
тангенс угла фаз
tg f = Х/(2я г).
Максимум давления и скорости находятся в следующем соот-
ношении:
р = а р v cos ср.
Величина а р cos ср есть сопротивление распростра-
нению или волновое сопротивление шарообразной
волны. Для плоской волны имеем ср — 0.
В природе часто встречается распространение звука в не-
однородной среде, притом как в воздухе, так и в воде. На
распространение звука влияют в особенности слои с различными
температурами и воздушные течения (ветры); первое встречается
преимущественно в воде, а последнее—в воздухе. Неоднородности
в среде вследствие возникающих отражений и преломлений сильно
влияют на дальность распространения звука х).
В. Акустические аппараты
Акустические аппараты (передаточные или приемные) бывают
самых разнообразных типов. Целью этих аппаратов является полу-
чение акустической энергии из какой-либо другой энергии или же
превращение энергии акустической в иную форму. Для этих целей
применяются, кроме акустических комплексов, испускающих или
воспринимающих звук (открытые колебательные комплексы
или излучатели звука), также и замкнутые колебательные
комплексы. В следующих отделах описаны основные формы замкну-
тых колебательных комплексов и тех излучателей звука, которые
чаще всего применяются в технической акустике.
В этих акустических аппаратах особенно важную роль играет
электрическое возбуждение. Этому вопросу посвящен
особый отдел.
а) Замкнутые акустические колебательные комплексы
Основной формой практически применяемых замкнутых меха-
нически-акустических колебательных комплексов является соеди-
нение упругостей, почти свободных от масс, с массами, почти сво-
бодными от упругости. Колебательный комплекс считается замкну-
тым, если сопротивления излучению совершенно отсутствуют или
если ими можно пренебречь. Смотря по тому, состоит ли колеба-
тельный комплекс из твердого, газообразного или жидкого мате-
риала, получаются и различные основные формы (звуковой
гриб или звуковое пространство).
*) Lichte, Ober den Einflufi horizontaler Temperaturschichtung des Seewassers
auf die Reichwelte von Unterwasserschallsignalen, Phys. Z. 1919, стр. 385 до 389.—
Barkhausen u. Lichte, Quantitative Unterwasserschallversuche, Aiip. Phys.
1920, IV. Folge, Bd. 62.
566
Т. I. Отд. В. Техническая физика. III. Акустика
Обозначения:
/П10/л20/и12 — колебательные массы в г$,
С — упругость звукового гриба в г*—1 сек2,
Г—поперечное сечение в см2,
I — длина в см,
Е — модуль упругости в г* см—1 сек—2,
АхА2 — колебательная энергия г* см2 сек~2,
UtUt — амплитуда колебания в см,
k — фактор связи [1J,
d — толщина в см,
г — радиус в см,
Цо, Цо, Ца — объемы в см2,
рт — плотность материала мембраны в г* см—’.
Все «величины — по системе CGS
из двух
от*
с

Фиг. 21.
Звуковой гриб („Phys. Z.“ 1920, 21, стр. 187) (фиг. 21) состоит
асе и соединяющей их упругости. Число собственных
 колебаний дается выражением:
v2 _	_ min ~Н ^20
L	С m1Qm20 ’
II где т10и/П20 — обе колеблющиеся массы, а Сесть
Я	упругость звукового гриба. Если эта последняя
|Г	образована прутом сечения F, длины I и мо-
k дуль' упругости Е, находящегося под действием
|| продольного напряжения, то имеем:
I |	^_РЕт10+тж
I----I	I тмт№
Амплитуды UA и U9, а вместе с тем и энер-
фиг- 22- гии колебания:
А = ± т10 (2к /)2 U? и Л2 = -* т.№ (2л /)а t/2a
обеих масс обратно пропорциональны самим массам:
: U2 = Аг: А.> =	: т1(}.
Связь двух звуковых грибов является простейшей схемой
связи по массе (фиг. 22). Квадрат коэфициента связи двух
одинаково настроенных грибов, состоящих из отделенных друг от
друга двух масс /п10 и и третьей /и12, общей для первых двух,
и, наконец, из упругостей Сг и С2
^2 ______1___________!____
1 +	1 + т121т2() ‘
Все известные колебательные комплексы, как то: мембраны
струны, камертоны п т. д-., имеют равномерно распределенные
массу и упругость. Для проектирования и теоретического расчета
определенных акустических аппаратов приходится комплексы с не-
прерывным распределением приводить к эквивалентным звуковым
грибам.
Акустжмескпв аппараты
567
%
Звуковой гриб, эквивалентный например в мем-
бране, зажатой в очень тяжелое кольцо, состоит из масс и упругости:
mlQ — оо; т20 = 0,2d рт it г2; С = Q№r2l(d?E).
Здесь d — толщина, г—радиус, рт— плотность, Е — модуль
упругости мембраны; /п20 и С относятся к амплитуде центральной
точки мембраны.
Звуковое пространство *) (фиг. 23) состоит из двух обособ-
ленных пространств, соединенных каналом. Поток распространяется
из канала в обособленные простран-
ства. Если г есть радиус канала, то
длина его в каждом конце кажется
удлиненной на пг 4. Звуковое про-
странство есть основная форма газо-
образных или жидких колебательных
комплексов.
Число собственных колебаний \
определяется выражением:
К10—
7Z Г
Г 2
где И10 и V20— объемы обоих обособленных пространств. Макси-
мумы давления р} и р2 и вместе с тем колебательные энергии:
^1= VioPi2l2a2P и Л= V2oP22/2a2P>
в обоих обособленных пространствах обратно пропорциональны
объемам этих пространств:
Pi’Pz = Ai: А2=	• Vlo-
Соединение двух звуковых пространств (на фиг. 24 они изо-
бражены без соединительного канала) дает простейшую схему
упругой связи.
Упругости газовых пространств пропорциональны объемам,
вследствие чего для квадрата фактора связи двух звуковых про-
странств имеем:
*2_______J___________1.__
1-F V12/Vio 1 + ^2/^20 ‘
Примером связи комллекса из твердого материала с газообразным является
в теле-
равна
Фиг. 23.
V2 = д2
связь мембраны со звуковым пространством (фиг. 25) (например применение
фоне). Упругость объема связи V\o для амплитуды, центра мембраны
9Л,(а2ртс>).
Квадрат фактора связи мембраны и акустического пространства равен*
., =	1	1 / А . 9 _L hEd*\
1 + V^g/I^o М о,22л а= Р г4 Г
1) .Phys. г. 1921, 22, стр. 353.
568
Т. I. Отд. 8. Техническая физика. III. Акустика
Если заменить закрытое акустическое пространство открытым или резона-
тором Гельмгольца, то пространство V2, бесконечно велико, так что вто-
рой множитель в формуле становится равным единице, а первый остается неиз-
менным (применяется для громкоговорителей).
Ь)	Излучатели звука, или открытые колебательные комплексы
Обозначения табл. 2 имеют следующие значения:
ws — сопротивление излучению в г* сек—
ms — масса, колеблющаяся в среде, в г*,
—затухание излучения.
Случай 1 является общим, тогда как случаи 2—4 относятся
к размерам, малым по сравнению с длиною волны.
В случаях 2—4 сделано допущение, что колебания распростра-
няются по всему свободному пространству.
1.	Идеальный случай свободно колеблющейся шаро-
вой поверхности (так называемый пульсирующий или дышащий
шар).
Таблица 2. Излучатели звука х)
о . е сх «ё	Источники звука		ms	Ь,
1	Шар		4,	<*?_р	 1 + (Х/2кг)«	4л: г3 р 1+(2кг/Х)>	2п г
2	Поршневидная мембрана . . .	а р	/2п г У	i -J—г3Р ЗГ 2	1 |	Зтс» 2пг 16 V2 X
3	Закрепленная мембрана . . .		9/6	У 6 г1 2гс г 32	X
4	Резонатор Гельм- гольца . , . .		, Л 1 Я Л пг р (т)	1/2 i 4-*>72 х
2.	Поршневидная мембрана, т. е. жесткий круглый
поршень, упруго соединенный с телом очень большой массы;
мембрана колеблется в отверстии тела соответственной величины.
3.	Мембрана, закрепленная на краях. Излуча-
тели 1—3 считаются свободными от массы. Их собственная масса т
») ,Phys. Z. , 1916, 17, стр. 601 и 1917, 18t стр. 261,
Ажуетичеокне аппараты
569
суммируется с массой т* среды. Для вычисления затухания Ь, от-
несенного к собственной массе и массе среды, имеем формулу:
< _ < ГП, ________ S.___________1__________
— * т* 4- т ~ » 1 + 0,2d рт к г2/0,4г3 р ’
Если колебания происходят в половинном объеме, то масса
среды увеличивается в У2 раз, сопротивление излучению —
в 2 раза, затухание колебания — в У 2 раз по сравнению с ко-
лебанием целого объема.
4.	При резонаторах Гельмгольца без горла (ка-
нала) имеем I = 0; при излучении колебаний в половинный объем
масса среды остается неизменной, а сопротивление излучению и
, 2к г	„ .
затухание его = -у- увеличивается вдвое. Собственное число
колебаний резонатора с каналом равно
9 я к f2 * 1
— дЗ------------- —	•
/ + п:г/2 р ’
без канала
v2 = 2а2г1?.
с)	Электрическое возбуждение механических колебательных
комплексов
Кривая резонанса механически-акустического колебательного
комплекса, возбуждаемого электрическим путем, может быть полу-
чена:
1)	непосредственно ваттметром 1);	1
2)	посредственно, путем измере- *
ния ваттных и безваттных сопроти-
влений 2).	1
Из кривой резонанса (фиг. 26)
можно получить механически - элек-
трический к. п. д. 7]mie в виде отно-
шения отрезков АВ[АС.
Отрезок АВ представляет собой
часть подводимой электрической
л
С Частота
Фиг. 26.
мощности, превращенную в механическую; отрезок мощности
ВС—часть, превращенную в тепло (потери в железе и меди).
Обозначив первую через Ат, вторую через Av имеем:
^mje	A mJ (А т,-^ Ay)'
Для определения акустически - электрического
к. п. д. необходимо определить вторую кривую резонанса без из-
лучения звука.
’) , Phys. Z , 1919, 20, стр. 104 и 1922, 23, стр. 322.
I) Ann. d. Phys., 1919, 60, стр. 454 и 1920, 63, стр. 57.
570	!• ОтД- * Техническая физика. III. Акустика
Для подводных источников звука пользуются кривой ХОЛОСТОЙ
работы, полученной в воздухе для воздушных источников звука (например, откры-
тый резонатор), что дает достаточно точные практические результаты; открытый
резонатор заключают в замкнутое звуковое пространство, имеющее сходные усло-
вия. Если затухание при холостой работе равно Ьо, а затухание при излучении
равно Ь, то для акустическимеханического к. п. д. имеем:
_____ b — Ьо
^alm —	£	•
Тогда как для акустическиэлектрического к. п. д., т .е. для
отношения полученной звуковой мощности к первоначально затраченной электри-
ческой мощности, получается:
^а'е ~ ^т[ег^а\т ~ АтЦАт +	— ^0)/Ь.
С. Область частот, употребляемых в речи, музыке и
пении
Восприятие звука
интенсивности и частоты. На
связано с определенными границами
фиг. 27 нижняя кривая представляет
Частота
Фиг. 27.
порог раздражения для интенсив-
ности, при которой восприятие
звука еще имеет место. Верхняя
кривая изображает порог раздра-
жения для интенсивности, при
которой ощущение звука стано-
вится весьма неприятным. Абсцис-
сами на фиг. 27 являются числа
колебаний в сек., ординатами —
давление звука в динах на см1 при
входе в слуховой канал. Площадь,
ограниченная обеими кривыми,
называемая площадью слышимо-
сти, содержит все слышимые* *тоны
любой частоты и интенсивности. Нижняя и верхняя границы слы-
шимости, при которых тон одновременно делается слышимым и
ощущаемым, лежат около 16 и 20 000 колебаний в сек.
Область частот, употребляемых в пределах слышимости в речи
и музыке, установлена работами Карла Штумпфа 1)» Дэйтона
Клиренса Миллера2) и Карла Вилли Вагнера 3).
Результаты работ Штумпфа, в особенности приведенные ниже им открытые
факты, имеют основное значение для телефонной техники.
) Carl Stumpf, Sitzungsberichte d. Preuss. Akademie d. Wissenschaften. 1918,
ctd. 333, 1921, стр. 636.—P assow u. Schafer, Beitrage zur Anatorr.ie usw. des
Ohres.der Nase und des Halses, 1919, Bd. 12, стр. 234, 1921, Bd. 17, стр. 151 и 182.
*) Dayton Clarence Miller, The science of musical sounds, 2. Aufl, New
York 1924.
’) K. W. Wagner, Der Frequenzbereich von Sprache und Musik, Funk-Sonder-
heft der ETZ, April 1924. „Fernsprechen im W₽ltv?rkehr“, brsg. vom Reichspostministe*
rium, Berlin, November 1923.
Частоты, употребляемые в речи, музыке и пении
571
Колебания, составляющие гласные звуки, ле-
жат в пределах частот приблизительно от 350 до 5700 колебаний
в сек.; компоненты колебаний, соответствующие шипящим звукам,
доходят до частот 9000 колебаний в сек. Если уничтожить высо-
кие обертоны, то, согласно Штумпфу, звуки речи изменятся
так, как это показано в табл. 3.
Таблица 3. Звуковая область звуков речи
Изменения, претерпеваемые звуками речи при уничтожении высоких тонов
Верхние границы то- нов колеба- ния в сек.	Гласные	Согласные
6020	—	5 притуплено
4645	—	S сильно притуплено, Ch слегка при-
		туплено	*
3687	Е и I несколько заглушены и	S очень нерезко, F притуплено
	ослаблены	
2607	Е и I несколько хриплые и	S и F не могут уже быть точно раз-
♦	свистящие	личаемы; Ch сходно с тупым S
1953	А = АОа, б = Об, 0 = Uu,	Sch тупое; S, F, Сй неразличаемы;
	Е = О6, I = U	Т и Р едва различаемы; N, М, Ng, L
		неясны
1380	А затемнено, б = О, А -АО,	R очень ослаблено, все остальное не-
	0 = U, E = Ou, I = U	ясно или неразличаемо
977	А = Ао, А = Оа	R кажется глухим, слабым, прерывча-
		тым шумом
690	А,О,А,6, почти,как О; Е и I-- U	только слабые шумы
	как U	
517	Все гласные, как U	|	как выше
Влияние на телефонию. Эти данные о составе отдельных звуков речи при-
вели к весьма важным выводам о влиянии частоты на понятность речи при телефо-
нировании. Для полной передачи всех оттенков речи необходимы колебания, частота
которых находится между Юл и 10 000 в сек. Однако благодаря связанным с этим
трудностям и дороговизне изготовления соответственных аппаратов, на практике
почти всегда отказываются от этой большой области частот, особенно от тонов, ле-
жащих выше, чем 4000 колебаний в сек., причем речь оказывается еще достаточно
понятной. Более подробные данные можно найти в статье Карла Вилли Вагнера х).
Вторая часть этой работы относится также к тонам музыкальных инстру-
ментов, в частности к человеческому пению, флейте, скрипке и к рожку; для
этих инструментов указаны необходимые пределы частот.
0 Der Frequenzbereich von Sprache und Musik; Funk-Sonderheft der ETZ, Aprjl
572
Т. I. Отд. 8. Техническая физика. III. Акустика
D. Измерение интенсивности звука
1.	Измерение амплитуды скорости (шайба Релея). Круглая
шайба, подвешенная на крутильной нити, стремится стать перпенди-
кулярно к направлению распространения звука. Величина угла
отклонения шайбы является мерой амплитуды скорости звука и со-
гласно гл. А (стр. 563) дает вместе с этим интенсивность звука
в соответствующем месте звукового поля. Для среднего квадра-
тичного значения амплитуды скорости v (эффективное значение)
воздействующего звука имеем:
Q
и- = ~ • М/(р г3 sin 2 а),
где р — плотность окружающей среды в г* см~3,
г — радиус шайбы в см,
а — угол между нормальным и измененным положением шайбы,
7И — вращающий момент, создаваемый звуко,м в г* см^ сек—9.
Мы имеем:
М - D?,
где D <- крутящий момент нити, на которой подвешена шайба, 3 — угол закручи-
вания. D определяется из периода колебаний Т и момента инерции Jm шайбы
по формуле
D = Jm 4п»/Л.
2.	Измерение амплитуды давления. Амплитуда давления, так
же как и амплитуда скорости, дает интенсивность звука в опреде-
ленном месте звукового поля (гл. А, стр. 563). Выработанные для
этих измерений методы основаны на том, что под влиянием звуко-
вого давления механические комплексы приходят в колебательное
движение. В качестве механического комплекса большей частью
служит мембрана (или пластина), амплитуда которой измеряется
оптическим или электрическим методом.
По сравнению с оптическими методами электрический метод имеет то преиму-
щество, что, применяя усилительные лампы, можно значительно повысить его
чувствительность. Здесь приходится применять электромагнитный, электродинами-
ческий и электростатический принцип.
3.	Субъективный метод измерения звука. Чтобы получить
представление о субъективном, т. е. вызываемом в человеческом
органе слуха, впечатлении силы звука, создается нормальная шкала
нормальных звуков разной интенсивности, с которой сравнивают
измеряемую силу звука, приводя ее в совпадение с одной из сту-
пеней нормальной шкалы. Оказалось, что оба звука имеют при этом
весьма различную окраску, т. е. могут быть смесью тонов весьма
различных звуковых колебаний. Для измерения шумов Баркгаузен
применял маленький прерыватель (зуммер), дававший богатый
обертонами звук с основной частотой 500 в сек. Разделенное на
15 ступеней измерительное сопротивление позволяло последова-
тельно в два раза уменьшать или увеличивать электрическое
напряжение на измерительном телефоне, т. е. в четыре раза увели-
чивать или уменьшать интенсивность звука, при переходе на одну
Измерение интеноивнойти звука. Акустика больших помещений
ступень вниз или вверх. Разница между двумя ступенями (назван-
ная Баркгаузеном фоном) является, таким образом, мерой корня
квадратного из интенсивности звука.
Положение 1 (1-й фон) соответствует значению предела слышимости; положение
15 находится у предела болезненного восприятия.
Баркгаузеновский измеритель шумов вследствие своей портативности весьма
удобен для практических измерений силы всевозможных шуМов, и потому он
широко используется для целей установления и преодоления шума.
Е. Акустика больших помещений
Требуемые акустические качества. При хорошей слышимости
звук, производимый в каком-либо месте закрытого помещения,
должен восприниматься в любом другом месте без изменения
высоты и окраски тона, с определенной по возможности одинаковой
для всех мест силой раздражения и без помех, создаваемых ревер-
брацией (послезвучанием) и эхом. Это достигается надлежащими
размерами, выгодной формой и соответствующей цели обстановкой
помещения.
Данные для строительства. Величина помещения по возмож-
ности— не более 25 000 м3 для аудитории и 30 000 м3 для музы-
кальных зал; плоские, неискривленные контуры. Выгодна удлинен-
ная прямоугольная форма, но не широкая. Следует избегать одно-
стороннего увеличения какого-либо одного размера, прежде всего
высоты. Выгодно действует сильное расчленение стен и потолка.
Полезны также хоры и галереи. Слишком большой выступ галереи
создает неблагоприятное экранирование звука для расположенных
под ней мест. Ложи не следует располагать тесно, наподобие
ящиков.
Для выгодного расположения и достаточного
места органа надо следить, чтобы не было никаких строи-
тельных кожухов и никаких декоративных стен со слишком малым
количеством прорезей; своевременно получить указания у строителя
органа.
Источник звука должен находиться высоко, или ряды
кресел должны повышаться, или то и другое вместе. Основные
пункты примерно те же, что и для оптических возвышений. Для
кафедр выгодна покрышка около 3 м диаметром и задняя стена
из материала, отражающего звук. Занавесей здесь следует избегать.
Мебель лучше всего мягкая для уменьшения разницы в за-
тухании и продолжительности послезвучания в пустом и наполнен-
ном помещении. В главных проходах следует постлать дорожки
для заглушения шагов. -
При нагревающих и вентилирующих устрой-
ствах следует избегать восходящих воздушных течений между
источником звука и слушателями. Для бесшумной работы следует
выбирать достаточное поперечное сечение воздушного канала и
медленно вращающиеся вентиляторы.
Путь распространения звука. Путь распространения звука при
однократном или двукратном отражении не должен
574	Т. I. Отд. 3. Техническая физика. 1П. Акустика
превышать непосредственного расстояния от источника звука до
слушателя больше, чем на 17 м для речи и 12 м для музыки.
Слишком большой окольный путь ведет к появлению послезвуча-
ния и даже эхо. Это явле-
ние устраняют, обкладывая
соответствующие поверхно-
сти поглощающим звук ма-
териалом.
Вычисление продол-
жительности послезвуча-
ния. По Сабину продолжи-
тельность послезвучания со-
ставляет:
t — 0,163 VIA в сек,
где V — объем зала в м*;
А —поглощение звука, при-
веденное к эквивалентной
поверхности сравнения со-
ответствующей величины
(относится к звуку, не от-
раженному поверхностями
ограждения и, следователь-
но, исчезающему для уха
и из помещения). Единицей является поглощение звука идущим наружу отверстием
(полностью поглощающая поверхность) площадью в 1 я'; 0,163 имеет размерность,
обратную скорости в сек'м.
границы.,
тоооо
6000
woo
2000
юоо
600
*юо
200
100
30
аз
1DO
10
Фиг. 28.
Объем
помещения
М 1000
Определение поглощения звука. Величины поверх-
ностей, окружающих помещение
ваются различными способами,, как при техническом массовом
расчете (например, массивный пол, линолеум, деревянный пол,
деревянная обшивка, штукатурка, покрытие стен, застекление) и
умножаются на соответствующие коэфициенты поглощения звука,
приведенные в табл. 1. Рекомендуется определить поглощение
по частям, отнесенным к числу предметов или к определенному
объему.
Акустика больших помещений
575
Таблица 1. Поглощение звука
(при высоте тона 512 колебаний в сек.)
а)	Рассчитано на 1 л.2
поверхности
Облицовка из твердой сосны . 0,061—0,1
Штукатурка на деревянных планках 0,033
Штукатурка на проволочной сетке 0,033
Обыкновен. кирпичная стена .... 0,032
Линолеум на твердой подкладке . . 0,030
Стекло обычной толщины.......0,027
Штукатурка на кирпичной стене . 0,025
Бетон............................0,015
Мрамор...........................0,010
Слушатели....................0,96
Шерстяной войлок 2,5 см толщины
с тонким чехлом из материи . . 0,55
То же, покрытое краской . . 0,25—0,45
Отверстия отопительных и венти-
ляционных каналов.................0,50
Отверстие сцены....0,25—0,40
Различные звукопоглощающие ма-
териалы .....................0,25—0,70
Инсулит толщиною 1,3	см	.	.	. . • 0,31
Толстый ковер.....................0,29
Масляные картины с рамой	.... 0,28
Занавес...........................0,23
Ковер.............................0,20
Кокосовая циновка...........0,17
Пробка 2,5 см толщины.......0,16
Кретон (182 г/м*)...........0,15
Бязь (48 г)м*).............0,019
Ъ)	Рассчитано на 1 пред-
мет
Рояль.................  .....	0,60
Одна женщина.................0,54
Один мужчина.................0,48
Слушатели на одну персону . . . 0,44
Мягкий стул с кожаной обивкой . 0,30
Мягкая скамья с кожаной обивкой
и спинкой (на 5 мест) .... . . 1,10
То же на одно место.........0,28
Подушка на одно место.......0,20
Деревянная скамья со спинкой
(5 мест).................0,039
То же на одно место...... 0,0077
Церковная скамья на одно место .0,0186
Деревянный стул....... 0,0082—0,01
с)	Рассчитано на про-
странство в 1 лс3
Комнатные растения......., . 0,11
На фиг. 28 приведены требуемые значения поглощения для соответствующих
размеров помещения.
Из таблицы видно, что тонкие легкие материалы не влияют на
поглощение. То же справедливо относительно ненатянутых нитей,
сетей и т. д.
Примерная продолжи-
тельность послезвучания, со-
ответствующая значениям у V
для музыкальных помещений,
представлена на фиг. 29; для
музыкальных помещений и ау-
диторий— на фиг. 30.
Разница между вычислен-
ным и требуемым поглощением
звука, а также между вычислен-
ной и измеренной продолжи-
тельностью послезвучания, мо-
жет быть сглажена изменением'
Фиг 31.
обстановки.
Отражающие и резонирующие материалы следует по возможности помещать
вблизи источника звука. Поглощающие звук материалы следует помещать вблизи
слушателей и прежде всего на задней стене зала, противоположной источнику
звука.
Наивыгоднейшая продолжительность послезвучания раз-
лична в зависимости от обстоятельств (фиг. 31). Однако для про-
576 Т. I. Отд. 3. Техническая физика. IV. Защита от сотрясения
стоты она может быть представлена в виде средней величины.
Поглощение звука, необходимое для наивыгоднейшего акустиче-
ского действия, составляет в единицах около десятой части числа
Ябиниуы.
10000
5000
too
1000
SOO
ю
Фиг. 32.
кубометров в помещении (ср. фиг. 32).
Чистота тона достигается упо-
треблением большого количества де-
рева прежде всего вокруг источника
звука. Деревянный пол лучше на-
стилать
чем на асфальте. Деревянные под-
порки должны быть расположены
вдоль зала и находиться в материаль-
ной связи с помостом, который в
свою
на деревянных подпорках,
Объем
\ помещения
too *1000 м3
очередь сделан из дерева и по-
крыт деревянным полом. Дере-
вянные настилы, как и погло-
щающие звук обшивки стен,
не следует накладывать слиш-
ком плотно на массивные по-
верхности. С помощью прокла-
док из деревянных планок или рам следует монтировать их на
незначительном расстоянии от массивных поверхностей.
ю _
IV. Защита от сотрясения и передача звука
Составили проф. д-р-инж. Эрнст Шмидт, Данциг, (А) и д-р-инж. Р. Бергер,
Берлин (В)
Причина колебаний и сотрясений кроется в пере-
менных силах, которые возникают во всех машинах с движущимися
частями, как благодаря ускорению неуравновешенных частей, так
и по другим причинам (давление газа, магнитные силы, отдача
работающей машины и т. п.). Колебания распространяются через
почву или через конструкции, служащие фундаментом (почвенные
колебания), а также через воздух (воздушные колебания).
Вообще говоря, оба вида колебаний встречаются одновременно. Более высокая
частота выражается, главным образом, в виде неприятных шумов, тогда как более
низкие частоты, обычно обладающие значительной энергией и амплитудой, могут
вызвать благодаря резонансу опасные силы и движения даже в отдаленных зданиях.
Сотрясение, создаваемое уличным движением, часто наносит вред зданиям, обусловли-
вает порчу газопроводных труб и т. п. Уничтожение уличного шума необходимо
также по гигиеническим соображениям. Сотрясения и колебания вредно отзываются
на к. п. д. самой машины и часто уменьшают продолжительность ее жизни.
А. Сотрясения и почвенные колебания
Кроме обозначений стр. 541, введем следующие:
Р — сила, действующая на фундамент, в кг,
ki К — силы, образующие колебания, в кг,
т — масса в кг секшем,
з — смещение из положения покоя в см,
Сотрясения и почвенные колебания
577
t — время в сек.,
<р, ф — фазовый угол,
d — изменение формы упругой подставки в см.
1.	Силы, образующие колебания. Два основных типа:
периодически действующие силы и толчки. Перио-
дические силы могут быть разложены по Фурье на гармони-
ческие компоненты, которые можно рассматривать порознь. Сил ы,
возникающие при т о л ч к а х, характеризуются малой про-
должительностью действия и большой амплитудой. Во избежание
появления сил, вызывающих колебания, и для возможного их
уменьшения необходимо в месте возникновения колебаний самым
тщательным образом сбалансировать и уравновесить все подвижные
части машины,а также пользоваться соответственными конструкциями
и машинами (замена молота прессом при сваривании, заклепывании
и т. д.), энергию толчков* можно сильно ослабить, если уменьшить
жесткость толчка, т. е. уменьшить скорость возрастания силы.
Сотрясения улицы вследствие уличного движения тем сильнее, чем больше
неровностей в мостовой, чем больше неэластичные массы и скорости экипажей и
чем тверже сталкивающиеся тела. Устранение: замена каменной мостовой деревянной
или асфальтом; дутые шины вместо железных или резиновых, уничтожение толчков
о рельсы путем их сварки, своевременный отказ от старых экипажей с незаглу-
шенными двигателями.
2.	Масса и момент инерции машины. Распространение колеба-
тельной энергии возможно лишь тогда, когда переменная сила,
возникающая в источнике колебаний, переносится на этот самый
источник и на его основание. При этом должна быть преодолена
как инерция самой машины, так и инерция фундамента, поскольку
он прочно соединен с машиной, так что на основание действует
лишь составляющая обеих сил.
При толчке инерция массы все время противодействует обра-
зующей силе. Если k есть величина толчка в кг в некоторый
момент, tn [кг секшем] — инертная масса машины и фундамента,
s [см] — получающееся перемещение и t — время, то на основание
действует сила
о д d2s
at2
При периодических силах вида k = kQ sin w t также получается
периодическое движение вида $ = s0 sin (<ot—7), которое, вообще
говоря, обладает некоторым сдвигом фазы по отношению к силе k.
Сила инерции равна тогда
d^s
— m dt2 = т™2 Sq Sin — ?) —
В зависимости от угла сдвига фазы ср инерция массы умень-
шает или увеличивает силу, действующую на фундамент.
Смещение фазы ср зависит от способа соединения источника
колебаний с основанием и от упругих свойств этой последней.
57b T. I. Отд. 3. Техническая физика. TV. Защита от сотрясения
Если образуются пары сил, стремящиеся повернуть машину, то силы инерции
определяются моментом инерции. При вращающихся машинах необходимо также
считаться с жироскопическим действием вращающихся частей; при этом могут
возникнуть силы, лежащие вне плоскости действующей пары сил. Движение ротора
с небольшим эксцентрицитетом исследовано Blaess1).
Последующее касается, главным образом, колебаний, получающихся при передви-
жениях, ио оно может быть перенесено и на вращательные колебания.
3. Свойства фундамента Одна и та же машина в зависимости
ст места установки может вызвать весьма различные колебания.
Это явление объясняется особенностями
фундаментов, причем под этим словом надо
понимать не только фундамент в узком
смысле, прочно связанный с машиной, но
также более подвижную подставку фунда-
мента, т. е. здание, почву и т. д. При толч-
ках распространение колебаний тем мень-
ше, вообще говоря, чем незначительнее
скорость звука в материале фундамента.
При периодических силах в месте сопри-
косновения машины с фундаментом возни-
кают периодические силы, которые удоб-
нее всего представить в виде векторов на
плоскости, как это принято для изображе-
ния периодических сил в технике пере-
менных токов.
Периодическую величину круговой частоты о> (равной числу колебаний в те-
чение 2 п сек.) разлагают по осям соответственно подобранной системы координат
на периодические компоненты, и каждую из них, например вертикальную, можно
представить в виде вертикальной проекции вектора в плоскости на прямую („прямую
времени*4), вращающуюся в этой плоскости по направлению часовой стрелки с угло-
вой скоростью о>. На фиг. 33 О А есть такой векгор, gg — вращающаяся прямая
времени, О А' — проекция переменной силы О А в некоторый момент. Линия ОВ,
образующая с ОА угол <р, изображает тогда переменную силу, фаза которой запаз-
дывает на время -Л—. Можно также отказаться от проекции на прямую времени
и производить расчеты лишь с векторами как символами периодических явлений
согласно правилам исчисления двумерных векторов или комплексных чисел
в численной плоскости Гаусса.
Пусть О А изображает действующую на фундамент периодическую вертикаль-
ную силу Р, а О В - получаемую при этом (при круговой частоте «>) вертикальную
слагающую движения 5, с опозданием фазы ср. Если фундамент работает как вполне
упругая пружина, то s имеет одинаковую фазу с Р. Если же он действует, как
инертная масса, то s' противоположно силе. Вообще же движение отстает от силы
на угол, лежащий между 0 и 180’.
При определенной круговой частоте со влияние фундамента определяется вели-
чиной и положением вектора 5 по отношению к вектору силы Р, амплитуду кото-
рого мы можем положить равной 1. При изменении частоты со, $ перемещается так,
что его конечная точка описывает кривую, точки которой соответствуют определен-
ным значениям частоты и которую можно назвать „функцией фундамента44. Если эта
функция известна для каждой степени свободы фундамента, то его влияние вполне
определенно. Функция фундамента имеет, вообще говоря, вид последовательных
петель (фиг. 33), т. е. при возрастающей частоте амплитуды появляющиеся коле-
1 а е s s, Uber den Massenausgleich rasch umlaufender Кбгрет, ZAM, 1926,
Сотрясения и почвентгы© колебания
579
бания проходят через максимум и минимум, причем одновременно изменяется
сдвиг фазы между движением и силой. О виде функций фундамента мы еще мало
знаем. Расчеты и измерения для некоторых случаев были произведены Шмидтом.
Не столь полным образом характеризуется влияние фундамента
известными кривыми резонанса, указывающими только ампли-
туду колебаний, но не фазу.
За распространением колебаний в фундаменте обычно бывает
трудно проследить. В з д а'н и я х имеет место сложное взаимодействие
продольных и поперечных колебаний в отдельных частях конструк-
ции, причем часто встречается местный резонанс. Этот последний
легче устранить изменением массы и жесткости колеблющихся час-
тей, чем путем изменений в самой машине. В почве колебания
распространяются в виде продольных, поперечных и поверхност-
ных волн, из коих каждая распространяется самостоятельно
с особой скоростью. Наибольшей скоростью обладают продольные
волны, тогда как поперечные распространяются несколько медленнее;
оба вида волн являются объемными. Поверхностные волны распро-
страняются значительно медленнее и остаются на поверхности,
не проникая значительно вглубь. Они обычно являются наиболее
неприятными, так как благодаря распространению в плоскости
уменьшение амплитуды с увеличением расстояния является менее
значительным. Поверхностные волны особенно сильны в сырой,
мягкой земле, легко сдвигающейся; образованию волн препятствуют
возможно глубокие фундаменты (например, на сваях) и воздушные за-
зоры вокруг фундамента, благодаря которому устраняется непосред-
ственное соединение верхней части фундамента с прилегающей почвой.
4. Подкладки, пружинящие и заглушающие колебания.
Между машиной и фундаментом,часто располагают пружины и другие
упругие подкладки, которые дают большую свободу ма-
шине и соединенному с ней фундаменту, чем одному толь- э
ко фундаменту, что позволяет лучше использовать инерт-
ное сопротивление машины и тем уменьшить возникающие
силы. Н.а „статическую" нагрузку машин (вес машины,
натяжение закрепляющих винтов) налагается интересую-
щая нас „динамическая" нагрузка, обусловливаемая си-
лами. Такие подставки могут действовать, как вполне
упругие пружины; однако может получиться и уничтожение
энергии движения благодаря внутреннему трению. В первом
Р
случае изменение формы пропорционально и одинаково
направлено с силой. Во втором случай сжатие отстает фиг- З4-
от силы на фазу ф, и часть работы изменения формы пре-
вращается в тепло. Работа такого материала может быть охаракте-
ризована взаимным положением вектора силы Р и вектора d, опре-
деляющего изменение формы (фиг. 34). Компонента d в направлении
силы является упругой частью изменения формы, тогда как компо-
нента, к ней перпендикулярная, измеряет энергию, превращенную
в тепло. Упругое изменение формы при конструкциях пружин рас-
считывается сообразно роду постройки. При плоских подкладках
она получается из размеров и из модуля упругости; в качестве
580 Т. 1. Отд. 3. Техническая физика. IV. Защита от Сотрясеиия
подкладки наиболее пригодны вещества с небольшим модулем упру-
гости, как-то: резина, дерево, пробка, кожа, войлок и т. п. Суще-
ственно, чтобы упругость все время сохранялась, как это имеет место
для хорошей резины, в то время как войлок и другие пористые
вещества, особенно при высокой статической нагрузке, с течением
времени становятся тверже и под действием поглощенной воды, масла
и т. п. теряют свою упругость. Статическая нагрузка, совместимая
с сохранением пружинящего действия, равна для резины и нату-
ральной пробки около 5 к?/см-', для прессованной пробки, войлока, во-
локнистых строительных материалов и т. д. она еще меньше. Ампли-
туда динамической нагрузки всегда должна быть меньше статической.
Если обозначить произведением xl2Pd общую (кажущуюся)
работу на изменение формы, то V2 Msin^ превращается в тепло,
и тогда можно пользоваться отношением этих величин, т. е. sin 6 —
как „коэфициентом поглощения" для суждения о заглушающих
свойствах материала. Измерения коэфициента поглощения различных
веществ для колебаний от 800 до 2000 в мин., произведенные
Е .Шмидтом, дают следующую таблицу:
Таблица 2. Коэфициент поглощения различных веществ
Резина....................................................0,27
Волокнистые строительные пластинки........................0,14
Прессованная пробка........................•.........0,10—0,13
Естественная пробка............... ...................0,06—0,11
Пружинящая конструкция из	стали	или дерева..............0,00
Таким образом в резине приблизительно 1/4 работу, потраченной на изменение
формы, превращается в тепло. Ввиду этого, а также вследствие своего низкого мо-
дуля упругости, она является наиболее пригодным материалом для заглушающих
подкладок. При пользовании резиной надо обращать внимание на то , чтобы через
подкладку не проходили болты, зажимные винты и т. п., так как это уничто-
жило бы действие резины; и эти части конструкции надо изолировать.
5.	Графический расчет сложных ко-
лебательных явлений Если известна функ-
ция фундамента, степени свободы и область
частоты, то явление колебаний может быть
графически исследовано.
Принимают произвольную периодиче-
скую силу Р, действующую на фундамент
(фиг. 35), и соответственно вычисляют из
функции фундамента величину и фазу по-
лучаемого движения.
Если между машиной и фундаментом
находится упругая подкладка, то сила Р
вызывает в ней изменение формы, а дви-
жение машины равно sm = d. Чтобы
сохранить это движение вопреки инерции массы машины и влия-
нию фундамента, необходима в общем сила k = P—m<o2sm, графи-
чески определяемая, как показано на фиг. 35.
Если сила, вызывающая колебания в машине, имеет величину К,
отличную от k, то диаграмму достаточно увеличить в соотношении
Сотрясения и почвенные колебания
581
Klk и соответственным образом изменить ее масштаб, чтобы полу-
чить явления колебания и для этого случая. Чем больше k по срав-
нению с Sp тем меньше амплитуда колебаний, получаемых при
заданной силе.
При помощи диаграммы можно составить себе представление
о влиянии всех причин на колебания.
Если, например, усилить пружинящее действие в подкладке, т. е. увеличить d,
то диаграмма изменится, как показано пунктирными линиями на фигуре (обо-
значения поставлены там в скобках). В том частном случае, который показан на фи-
гуре, т. е. при неизменной амплитуде sj колебания, вектор k становится все меньше,
т. е. при той же величине силы Д’, возбуждающей колебания машины, колебания
фундамента усиливаются, несмотря на повышение пружинящего действия подставки.
6.	Влияние конструкции здания. Распространение сотрясений
и колебаний в зданиях в сильной степени зависит от их конструк-
ции. Железобетон, неподвижно связывающий отдельные части, осо-
бенно невыгоден и передает сотрясения, возникшие в одном конце
здания, в его другой конец. Неподвижные потолки и стены из же-
лезобетона часто действуют, как резонирующая мембрана.
Помочь этому можно следующими средствами:
Обширные конструкции подразделяют посредством скважин, наполненных
упругими веществами (скважины, рассчитанные на тепловое расширение, удовле-
творяют тому же условию).
Надо избегать неподвижно укрепленных потолков и стен.
Применяют пружинящие и заглушающие подкладки в местах опоры столбов
и т. п.
Все мелкие машины и другие источники колебаний тщательно изолируются
от остова здания посредством упругих подкладок.
Все крупные машины находятся на собственных независимых фундаментах,
снабженных по возможности глубокой и обезвоженной воздушной скважиной.
Мероприятия, клонящиеся к уменьшению передачи колебаний,
отчасти противоречат требованиям статики, так что необходимо
всегда тщательно исследовать этот вопрос.
7.	Общие правила, а) Сотрясения с обширной об-
ластью частот. В машинах с сильно изменяющимся числом обо-
ротов или при периодических силах с многочисленными гармони-
ческими колебаниями трудно избегнуть всех мест резонанса. В таких
случаях пытаются избегнуть хотя бы важнейших собственных ко-
лебаний и заглушить остальные подкладками, поглощающими энер-
гию (резина). Распространение колебаний в окружающее простран-
ство также оказывает заглушающее действие (заглушение излуче-
н нем).
Ь) Колебания постоянной частоты. Если машина
имеет неизменное число оборотов, так что в ней появляются лишь
силы определенной частоты колебаний то, вообще говоря, можно
путем соответственного подбора масс моментов инерции и жест-
кости опорных частей конструкции так выбрать резонансные час-
тоты и стены, чтобы рабочее число оборотов в машине попадало
в минимум резонанса. При увеличении массы и ослаблении отдельных
частей конструкции резонансные частоты понижаются, при обратных
же мерах они повышаются.
582 Т. I- ОтД- 8- Техническая физика. IV. Защита от сотрясения
Весьма целесообразно провести экспериментальное исследование колебаний при
различных числах оборотов работающей машины, например посредством вибро
графа Гейгера, а также наблюдать за влиянием небольших, легко проводимых изме-
нений (увеличение веса и т. д.) на кривые колебаний. Таким образом можно полу-
чить картину колебательных явлений при различных частотах и выработать соот-
ветственные меры.
В. Звуковые колебания
Воздушными звуковыми колебаниями (Luftschall) называются
колебания, распространяющиеся в воздухе. Они непосредственно
возникают при пении, игре на скрипке и т. п. При игре на рояле,
шуме, создаваемом машиной, наряду с воздушными возникают поч-
венные колебания (стр. 576), которые переходят через подставки
в почву и стены, там распространяются дальше и лишь посредством
колебаний упругих поверхностей передаются обратно в воздух.
1.	Переход звука между телами больших размеров. Два
проводника звука, граничащие друг с другом, обладают размерами
настолько великими в сравнении с длиной звуковой волну, что
в твердом материале не могут возникнуть упругие колебания.
Обозначения по системе CGS (ср. стр. 247):
Ne, Nr, Ntf падающая, отраженная и проходящая энергия звуковых колебаний
на единицу граненой поверхности в г* сек~~
Gi» fl2 — скорость звука в первом и втором проводнике звука в см сек ,
Pi» Ря — плотность первого и второго проводника звука в г* см~~3,
гг =. а^, г2 = а2р2 — сопротивление звуку в первом и втором проводнике звука
в г* сек см~~,
/7, = OjPxU),	= a. p.uj — жесткость звука в первом и втором проводнике звука в
г* сек—- см—*.
При перпендикулярном падении звуковой волны имеем:

QiPi ~ а?Ря ¥_ N (rt-r2
Л1Р1 + ДяРг /	6 \ П + Г2
d e (^Pi + ^r e M-rtf	+
Пример. Для воздуха, воды и песчаника имеем:
а = 33 ЗСО, 144 000 и 230 000 см сек \ р = 0.0С124; 1 и 2,3 [г* см~~*1.
При отвесном падении звука без упругих колебаний изгиба между
воздухом и водой ....	0,001153 Ne,
воздухом и песчаником .	= 0,000316 Ne,
водой и песчаником . .	= 0,672748 Ne .
2.	Передача звука через стены. Гораздо легче, чем в преды-
дущем случае, совершается переход звука между твердыми мате-
риалами и воздухом и обратно при возникновении упругих коле-
баний прогиба. Тело, совершающее упругие колебания, действует
в этом случае в качестве резонатора (звуковая антенна). Если
звук падает на стены, двери, окна и т. п., то дальнейший ход его
происходит согласно фиг. 36 (наглядное изображение Бергера).
Звуковые колебания.
583
Обозначения (рассчитано на единицу поверхности);
Мд ~ приходящая мощность, энергия звуковых волн в г* сек~
— отраженная мощность в г* сек—8,
Л^ — мощность проходящего звука в г* сек—3,
Nr — мощность звука, отраженного стеной, в г* сек—3,
Nq— мощность звука, распространяющегося в виде почвенных колебаний в со-
седние помещения, в г* сек~3,
Поток энергии от___\
источника звука
Приходящий Возвращающийся
| звук
Поток Npd
энергии на поверх
ности пластины,
ппоти8оположной_
источнику звука
Лоток |
энергии
в пластине
Фиг. 36»
r Пр Общая потеря звука
, / N& Боденшалъ - звук,
, .распространяю-
щийся по тдер -
дым. частям
вследствие превпа-
t	щекия его в тепло
Прошедший звук
Np — звуковая мощность, проникающая в поры и щели, в г* сек—3,
NpV — звуковая мощность, обращаемая в порах и щелях в тепло, в г* сек -3,
Npd~ звуковая мощность, прошедшая через поры и щели, в г* сек—8 ,
Nm—звуковая мощность поглощенная стеной, в г* сек 3,
Mniv — звуковая мощность с помощью трения внутри стены, превращенная
в тепло, в г* сек 3,
Nsr — звуковая мощность, излучаемая стеной в сторону источника зву: а, в
г* сек —3,
— звуковая мощность, излучаемая стеной в противоположную сторону, в
г* сек~3,
Ns — общее излучение стены в г* сек
7VW — звуковая мощность, превратившаяся в тепло внутри стены, в г* сек—3,
Nv — звуковая мощность, потерянная в стене, в г* сен—3,
'^D -^pd+^sd^	Kw=Npv.\- Nmv.
= Npv + Nmv + NB,	Ns- Nsr + Nsd.
Для защиты от передачи звука величины ND и NB должны
быть по возможности малы. Стена должна пропускать по возможности
меньше звука в противоположную сторону и в соседние помещения.
Npd будет мало, если уничтожить воздушные пространства
в щелях.
584 Т. I. Отд. 3. Техническая физика. IV. Защита от сотрясепия
Nsd будет мало, если будет мало звуковое излучение стены
Ns = Nsr Nsd, причем упругие колебания должны быть сделаны
по возможности меньшими.
NB будет мало, если соседние помещения хорошо защищены
от почвенных колебаний посредством прокладок из материалов,
заглушающих звук с незначительным сопротивлением.
3.	Стены в качестве резонаторов. Стена приводится звуко-
вым полем, действующим с одной стороны в упругие колебания, и
с обеих сторон передает колебания обратно в воздух.
Обозначения по системе CGS:
х, х, .V - отклонение, скорость и ускорение стены в см, см сек~х)
см сек—2;
Р —общая переменная сила, действующая на поверхность стены
со стороны звукового поля, пропорциональная поверхности стены в г* см сек—2,
т — масса стены в г*,
wv — сопротивление стены на трение (потери на трение) в г* сек—J,
wB — сопротивление краев стены (проводимость почвенных коле-
баний в соседние помещения) в г* сеп—1,
ws — сопротивление излучения (передача звука воздуху с обеих
сторон колеблющейся стены) в г* сск—
w = wv-\-wB-\-ws _ сопротивление стены в г* сек— i,
С — упругость стены в г*—1 сек2,
I,	b, s — длина, ширина (& </) и толщина стены в см,
F — поверхность стены в см-,
Е — модуль упругости стены в г* см~1 сек—2,
р — плотность стены в г* см—3,
— плотность воздуха в г* см~3,
а[— скорость звука в воздухе в см сек—1,
1 — длина звуковой волны в воздухе в см,
Ki — постоянная, сводящая упругие колебания стены к упругим
колебаниям поршневой мембраны.
/G — постоянная, зависящая от способа закрепления краев стены,
у = 4/'К«Ук1Ь—функция для сравнения размеров стены с дли-
ной волны К звуковых колебаний;
Jj(у) — бесселева функция первого порядка, находится по таблицам,
= 1—2 (у),у—функция, позволяющая судить об излучении звука.
Уравнение движения стены, совершающей упругие колебания,
имеет вид:
Р = mx-\-wx х/С *
или
РсЗ (h2 _1_ /3\2
Р =- K,F spx + (wv + wB + ws) x H-------b^3 ’  X,
ws = atftFh (>), Ns = -i- • ws xmax,
^B — 2 'WB •vmax>	4
Основы оптики
585
Теоретический расчет передачи звука прямоугольной стеной
для практики слишком сложен. В будущем следует ожидать опытов,
делающих возможным упрощенное рассмотрение этих вопросов.
Для квадратной стены в первом приближении теория дает:
>>4; Z/X> 0,564 и Zz(y)^l,
следовательно,
ws =
у< 4; Z/X < 0,564 и h (у) ^у/4,
следовательно,
ws = a^JP • 1,772 Z/X,
при у <4 стена излучает шаровые волны, при у >4—более и бо
лее плоские волны. Таким образом, если на стену падают звуковые
волны, то она получает тем меньшее ускорение, чем она тяжелее.
Амплитуда ее тем меньше, чем больше жесткость прогиба стены.
Чем больше внутреннее сопротивление, тем больше звука превра-
щается в тепло. Уменьшение послезвучания в помещениях дости-
гается в случае, если стены легко проводят звук, если окна открыты
или поверхности стен обшиты сильно поглощающими звук мате-
риалами.
V. Оптика ‘)
Составил д-р Г. Шульц, Берлин.
А. Основы
Электромагнитные волны, длина которых лежит между 300 р.
и 20 мр., называются световыми волнами.
В области от 300 |л и до 800 л/р. лежат тепловые волны (ультракрасные или
инфракрасные световые волны); область от 800 л/р. до 400 л/р. обнимает видимые
световые волны, в то время как более короткие волны, обладающие преимущественно
химическими свойствами, обозначаются термином ультрафиолетовый свет -)
Скорость распространения всех этих волн в вакууме равна
300 000 км!сек\ в непоглощающих весомых телах скорость эта меньше.
Отношение скоростей в вакууме и в данном теле называется пока-
зателем преломления.
Для измерения скорости света пользуются способами либо астрономическими
(затмение спутников лун Юпитера, способ Ремера, 1675 г., аберрация постоянных
1)	Литература: Forsterling, Lehrbuch der Optik, Leipzig, 1928, Hirzel.—
Gehrke, Handbuch der physikalischen Optik, Leipzig, 1927, Joh. Ambr Barth.—
Lummer, Die Lehre von der strahlenden Energie (Optik), Braunschweig, 1926, Vieweg &
Sohn.—C zapski-Eppenstein, Grundziige der Theorie der optischen Instrumente,
Leipzig, 1924, Joh. Ambr. Barth.—G 1 e i c h e n, T; eorie der modernen optischen Instru-
mente, Stuttgart, 1923, Enke.—А. К 6 n i g, Fernrohre und Entfernungsmesser, Berlin, 1923,
Springer — H. Schulz, Das Sehen, Stuttgart, 1920, Enke.—C h wolson, Lehrbuch
der Physik. II. Bd., 2. Abt., Braunschweig, 1925, Vieweg & Sohn.—P lank, Finfiihrung
in die theoretische Optik, Leipzig, 1927, Hirzel.
*) 1 ^iooo л/л/ = 10—8 мм: 1 м p = 10—• мм.
586	Т. т. Отд. Ч. Техническая физика. V. Отпка
звезд, способ Бредлея, 1726 г.), либо физическими (измерение времени, в течение
которого световой сигнал проходит определенное расстояние, способ Физ о, 1849 г.).
Для объективного измерения интенсивности излучения поль-
зуются термоэлементом, болометром или фотоэле-
ктрическими элементами (элемент с калием)1). Для види-
мой области обычно бывает достаточно субъективных методов.
Восприятие света. Всякое световое ощущение характеризуется
яркостью, цветом и насыщением.
Яркость определяется объективной интенсивностью излучения,
тогда как цвет и насыщение зависят от спектрального состава. По
мере уменьшения длины волны световое ощущение переходит от
красного к оранжевому, желтому, зеленому, синему и фиолето-
вому.
Причина цветного восприятия. По Юнгу-Гельм-
гольцу ощущение цвета сводится к возбуждению определен-
ных органов восприятия, находящихся в сетчатке человеческого
глаза. Эти органы расположены на концах нервов, лежащих непо-
средственно против входного отверстия (зрачка). Основными эле-
ментами восприятия являются красный, зеленый и фиолетовый.
Ощущение „белого" цвета наступает в случае, если все три основ-
ных элемента раздражены в одинаковой мере 2).
Основной белый цвет образуется совместным действием всех
длин волн; если распределение интенсивности по спектру соответ-
ствует распределению интенсивности солнечного спектра, вторичный
белый цвет получается при возбуждении глаза ограниченными участ-
ками спектра. Цвета, дающие в соединении ощущение белого цвета,
называются дополнительными (красный зеленый, оранжевый + си-
ний, желтый + фиолетовый).
Соответственными методами (призмы, диффракционные решетки
и т. п.) можно, наоборот, разложить белый цвет на составные цвета
(фиг. 52а, 52b стр. 597) и таким образом получить спектр, который
имеет вид веера, расположенного по длинам волн, начиная от крас-
ного цвета (около 800 л/р.) и кончая фиолетовым (около 400 л/р.).
Твердые и жидкие тела при лучеиспускании дают непрерывный
спектр, т. е. они посылают свет всех длин волны.
Источником чистого температурного излу-
чения служит черное тело, т. е. пустое пространство с по-
глощающими свет стенками, излучение которого не зависит от
констант самого тела. Основными законами черного излучения
являются: закон С т е ф а н а-Б о л ь т ц м а н а (стр. 638), закон сме-
щения Вина, связывающий длину волны Хт, соответствующую
максимуму энергии с абсолютной температурой Т по формуле:
\m Т = 29-10 (X в и)
!) Е. G е h ike, Handb. d. Physik, Optik, Bd. II, стр. 240, Leipzig, 1927, Joh. Ambr.
Barth.
2) А. К 6 n i g. Physiologische Optik (aus Handbuch der Experinientalpliysik \on
Wien Harms, Bd. 20), Leipzig, 1929, Akad. Verlagsges.
Отражение н преломление
587
и, наконец, закон Вина-Планка, дающий распределение энергии
<, ____________ 1 _______
^хт- Xs ' НВДДОЛ-!
h. -- 6,55 (эрг/сек)
А' = 1,346 • 10 — 16 (зрг/град).
с = 3«1О10 (см1 2 * сек).
Подобные законы имеют место для полированной платины и других тел, так
что. применяя их, можно судить о температуре излучателя по его излучению г).
Раскаленные газы испускают лишь волны. определенной
длины, характерные для их химического состава. При этом полу-
чаются линейчатые или полосатые спектры (химический спектраль-
ный анализ 2). Если между источником света и спектроскопом нахо-
дится газ, лучеиспускающий слабее, чем источник (например солнце
и окружающая его корона), то газ поглощает те самые линии, кото-
рые он испускал бы, будучи раскаленным; в спектре в соответствен-
ных местах получаются узкие темные линии, называемые линиями
Фраунгофера (1814 г.), чем дается основание для астрономического
спектрального анализа. Фраунгофер обозначил наиболее сильные
линии (идя от красного к фиолетовому) последовательными буквами
алфавита от А до Н, что позволило распределить спектр и ввести
однозначные обозначения. Эти обозначения часто употребляются
вместо указания длины волны (см. ниже „Призмы", 591).
В. Отражение и преломление
а) Общие сведения
Лучистая энергия, доходящая до границы двух тел, отчасти
отражается назад, отчасти же преломляется и проходит во вторую
середину. Для каждого элемента поверхности нормали
к падающей отраженной и преломленной волне лежат |
в одной плоскости; они образуют с нормалью к эле-
менту поверхности углы i\, i/, для которых имеем —п*
(фиг. 37):	’	t-Х
; лх sin — n2 sin i2	| 4
(закон преломления и отражения; и п2 дают Фиг. 37.
коэфициенты преломления первой и второй середины).
Вместо абсолютных значений коэфициентов преломления, относящихся к без
воздушному пространству (практически к воздуху), часто приводятся относительные
значения (п = п1\п^. Значения углов преломления, «соответствующие различным
относительным коэфициентам преломления в зависимости от угла падения, пред-
ставлены на фиг. 38.
’) Lummer, Grundlagen, Ziele und Grenzen der I^uchttechnik, Miinclien u. Ber-
lin, Oldenbourg. Geiger-Scheel, Handbuch der Pfiysik, Bd. XIX, 1928.
2) Formdnek, Die quantitative Spektralanalyse, Berlin, 1900, Rudolf Miicken-
berger.—К a i s e r, Handbuch der Spektroskopie, Leipzig, 1900 bis 1913 (1. bis 6. Bd.),
Hlrzel.	♦
588
Т. I. Отд. 3. Техническая физика. V. Оптика
Построение преломленного луча. Вокруг точки падения О
(фиг. 39) описывают два круга с радиусами г=1 и р = п. Через
точку пересечения прямой ЕО и круга 1 проводят прямую E'G,
параллельную перпендикуляру к плоскости падения ON. OG пред-
ставляет собой преломленный луч х).
Другой метод определения преломленного луча представлен на фиг. 40. Из
точки О проводят падающий луч ОА под углом, соответствующим величине угла
падения (47°). Далее проводят прямую АВ до пересечения с дугой круга, радиус
которого равен коэфициенту преломления второй среды (ОА = 1). Тогда прямая ОВ,
соединяющая точки О и В, дает на делениях круга угол преломления (25°).
Если совокупность элементарных поверхностей образует математически опре-
делимую поверхность, отклонения которой от идеальной формы малы по сравнению
с длиной волны, то такая поверхность называется оптически гладкой (поли-
рованной, зеркальной). Если же элементы плоскости по величине и направлению
распределены неравномерно, то поверхность называется матовой (рассеивающей).
Идеально отражающей является плоскость, которая отклоняет падающий
пучок световых лучей по направлениям, определяемым законами отражения и пре-
ломления ; идеально рассеивающей (диффузной) является поверхность,
которая при любом направлении падающих лучей отражает во все стороны прибли-
зительно одинаковое количество энергии (к такому случаю близко подходит поли-
рованная гипсовая поверх иость).
Фиг. 38.	Фиг. 39,
Сумма отраженной или преломленной JD энергии всегда
равна падающей энергии Jo . (Jo = JD. Отраженная интенсив-
ность при отражении от непоглощающих изотропных тел равна:
_ Jo j /sin (Zt — 4)\2 /tgp'i —Z2)\4
R 2 Vsin ('1 + z + VS + W J '
Если Zx или /2 равно 90°, то = Jo; вся энергия остается
в той же среде, в которой находится и падающий пучок (z’i = 90°—
скользящее падение; /2 = 90° возможно лишь при	и соответ-
ствует случаю полного внутреннего отражения).
Графический метод определения значений
sin (7Х - Z2): sin (4 + Z2) и tg (Zj — <2): tg (i^L)
заключается в следующем: пусть ОЕ—падающий, OR — отраженный, OG— прелом-
ленный луч. Проводим через произвольную точку Е падающего луча прямую, па-
раллельную OG. Тогда отрезек О<2'» если ОЕ принято за единицу, дает отношение
sin (Zi — 4) : sin (t\ -j- Z?) .
’) H. S ch ul z, Zeichnerische Darstellung der geometrischen Optik, Schweidnitz
1927, Kohn.
Отражение й преломление
589
Перпендикуляр, опущенный из Qf на OG, отсекает на OG отрезок, равный отно-
шению tg (/j — ь) • tg (h + 4) (фиг. 39).
В телах поглощающих отражательная способность почти не
зависит от угла падения (для серебра, смотря по степени полировки,
80—96%, для стали 65—70%).
В отношении распределения интенсивности в спектре отражен-
ного света следует различать свет, отраженный от граничной поверх-
ности, и свет, возвращающийся изнутри после многократного пре-
ломления. Последнее явление
(измельченные поглощающие
вещества, взвешенные в рас-
творах, штукатурки).
Распределение цветов по Ост-
вальду.
Белый цвет отражает все длины
волн видимого спектра полностью
(практически до 95°/°), черный погло-
щает весь падающий свет (окраски
отражают больше 2° с). Смеси черного
с белым дают серый цвет (не цветной
по Оствальду). Окрашенные цвета,
полностью отражающие половину ви-
димого света и полностью поглощаю-
щие другую половину, называются пол-
ными цветностями При этом одна из
этих двух областей должна быть не-
прерывной. Все практически существующие ,
могут быть представлены в виде смеси данного
цвета с белым, черным или в самом общем слу-
чае с белым и черным цветом, так что если общее
количество цветов принять за 100, то каждый
цвет может быть изображен тремя двузначными
числами, из которых первое дает цветовой тон,
второе и третье — содержание белого и черного
цвета. Изображение цветовых тонов по Оствальду
начинается желтым — 00 и проходит через крас-
ный — 25 и синий = 50 к зеленому = 75. Для
практики вместо ста делений достаточно иметь
шкалу с 24 ступенями цветных тонов и 8 сту-
пенями белого и черного цвета, для которых
выбирается ряд букв а, с, е, g, i, 1, и, р, так что
напр. 75 ng означает зеленый цвет с примесью
около 7% белого и 78<VO черного *).
преобладает при цветных окрасках
А^снат —
£ , Тяжелый*
{ Средний —
I Легкий —
,, Крон —
<зерк стекло)
Вода '
Воздух
цвета
3
вег
§
I
90-
Пер пендикуляр
втачке 'адекия
Фиг. 40.
Получение изображения светящейся точки. При отраже-
нии или преломлении лучи, исходящие из светящейся точки Р,
меняют свое направление. Если после преломления или отражения
лучи пересекаются в одной точке, то там получается действи-
тельное изображение точки Р; если же лучи пересекаются
при продолжении их назад, то изображение называется м и и м ы м.
Плоские зеркала, т. е. полированные плоскости с большой
отражательной способностью, дают мнимые изображения. Пред-
мет и изображение лежат одинаково далеко от зеркала и имеют
•) Ostwald, Maihematische Farbeniehre. 2. Atifl., Leipzig, 1921, Unesma.—Ders.,
Physikalische Farbeniehre, Leipzig, 1919, ebenda.—PodesU, Physiologische Farben-
iehre, Leipzig, 1922, ebenda.—KI ugh ardt, Z. f. techn. Physik 1927, стр. 299; 1928, стр. 382.
590
Т I Отд. 3. Техническая физика. V. Оптика
одинаковые размеры. Сферические з е р к а л а дают, вообще
говоря, изображения увеличенные или уменьшенные, которые при
выпуклых зеркалах всегда мнимы, а при вогнутых мнимы и дей-
ствительны.
Ь) Линзы
Линзы, или чечевицы, являются прозрачными телами,
ограниченными двумя шаровыми поверхностями; в зависимости от
положения и кривизны поверхностей пу-
чок параллельных лучей либо собирается
(фиг. 41а) или рассеивается (рассеивающие
линзы (фиг. 41b).
Для линз и сферических зеркал имеем
следующее соотношение между расстоянием
предмета $, расстоянием изображения s' и
фокусным расстоянием f (фиг. 42а),
-1/S 4-1/5'=- 1/Л
причем все расстояния считаются от точки <?
положительными по направлению движе-
ния света. Величина изображения у' по-
лучается из величины предмета по фор-
муле у'Iy = s'\s. Для графического по-
строения имеем следующее правило: из
точки Q (черт. 42b) проводится параллель
к оси линзы (или зеркала) FF', преломлен-
ный луч проходит через задний фокус F'.
Луч, идущий через передний фокус F, про-
ходйт сзади линзы параллельно к ее оси.
Точка пересечения Q' является точкой изо-
бражения. При рассеивающих линзах фо-
кус F' лежит впереди линзы, а фокус F—
позади ее. При сферических зеркалах единственный фокус F рас-
положен посредине между центром шаровой поверхности и зеркалом.
Для тонких линз имеем следующую формулу фокусного расстояния;
1//=(«-1)(1/Г,+ 1/г3),
где п есть показатель преломления, а /у и г2 — радиусы обеих
шаровых поверхностей, ограничивающих линзу. При выпуклых по-
верхностях они имеют положительный знак, а при вогнутых — от-
рицательный.
При линзах конечной толщины, прежде всего при сильно изогнутых стеклах,
как это часто делается в современных очковых стеклах, следует определять место
бесконечно тонкой линзы равного действия (главная плоскость), расстояние которой
от материальной линзы может быть весьма значительным.
Точное построение изображения возможно лишь при небольшом наклоне лучей
к оси, притом лишь для одной определенной линии волны. Поэтому обычно поль-
зуются сложными составными системами (объективы и окуляры из многих линз,
склеенных или несклеенных между собой), при которых погрешности изображения
доведены до допустимого минимума; этот минимум определяется недостатками
Отражение в преломление
591
глаз или регистрирующего приспособления (фотографическая пластинка). Для точ-
ного расчета хода лучей в таких сложных системах необходимо производить триго-
нометрические вычисления. Для качества изображения весьма важно положение
диафрагм, т. е. экранов, ограничивающих пучки световых лучей.
Недостатки простых линз
1.	Сферическая аберрация. Лучи, падающие параллель-
но оси на большом от нее расстоянии вследствие большого откло-
нения во внешних частях линзы, не собираются в одной точке и
отклоняются от сходящегося к оси пучка так, что в месте изображе-
ния точки могут получиться две линии (астигматиз м).
Если астигматизм резко выражен, то пучки лучей, главный луч которых на-
клонен к оптической оси, вообще говоря, не будет сходиться в одной точке. На изоб-
ражении получится пятно, интенсивность которого убывает к одной из сторон
(Кома).
2.	Искривление изображения. Точечные изображения
больших предметов также не получаются достаточно резкими,
так как поверхность изображения искривлена и не все точки изоб-
ражения попадают на экран (фотографический слой, проекционная
стена).
3.	Искривление. Масштаб изображения различен для раз-
личных частей его, вследствие чего прямые линии на изображении
получаются искривленными.
4.	Хроматическая аберрация. Вследствие зависимо-
сти коэфициента преломления от длины волны положение фокуса
и фокусное расстояние меняются с изменением окраски света;
в результате получаются изображения разной величины, расположен-
ные в разных местах. При конструировании оптической системы
необходимо учитывать, какие недостатки являются в данном случае
помехами и должны быть устранены. Одновременное полное устра-
нение всех недостатков невозможно.
Единицей оптической силы служит диоптрия. Линза с фокусным расстоя-
нием, равным 1 м, обладает оптической силой в 1 диоптрию.
с) Призмы
Призмы состоят из куска прозрачного тела, ограниченного
по меньшей мере двумя плоскостями. Падающий луч (фиг. 43) при
преломлении отклоняется от своего пер-
воначального направления и разлагается
в цветную полосу (дисперсия, или
рассеяние). Размеры рассеяния цве-
тов определяются составом стекла; раз- д
личают дисперсию частичную, полную и
относительную.
Если х и у — лучи определенной длины волны, то разность соответственных
показателей преломления пх — Пу называется частичной дисперсией, поскольку х и у
ограничивают лишь часть спектра. Если промежуток между этими двумя волнами
обнимает весь видимый спектр между фраунгоферовыми линиями от А до Н
В
Красный
=5^ йКелтьи
х Зеленый
Синий
Фиг. 43.
592
Т I. Отд. 3. Техническая физика. V. Оптика
(или же от В до О;, то получается полная дисперсия п^—пд	Вместо отно-
пр — пс	nD~x
сительной дисперсии v =-----— часто пользуются обратным значением --- ,
nD — 1	пР-пс
обратной относительной дисперсией.
Соединяя две призмы вместе, можно или устранить дисперсию
или добиться того, что проходящий луч не изменит направления
(ахроматические призмы и призмы прямого зрения). Отклонение
без разложения света на цвета достигается также в случае, если
лучи входят и выходят либо вертикально к поверхности, либо же
под равными, но обратными углами (измерительная призма по
Бауернфейнду, пентапризмы, призмы П о р р о).
С. Оптические инструменты
а)	Осветительные приспособления
При непосредственном освещении искусственными источниками
света часто не получается достаточной интенсивности. Применяя
зеркала или линзы, можно уменьшить расхо-
ждение лучей, испускаемых источником; при
пользовании конденсорами можно даже
заставить ЛУЧИ сходиться. Конденсоры, упо-
требляемые для проекции, состоят из двух
а	ь или трех линз (фиг. 44л— простой симметри-
Фиг 44 ческий конденсор; фиг. 446— тройной конден-
сор); они отбрасывают изображение источ-
ника света на входную диафрагму проектирующей системы.
1 очное схождение лучей в одной точке здесь не нужно. Эти системы ахрома-
тизируются лишь в специальных случаях. Излучение, уходящее в обратную сторону,
улавливается специальными зеркалами, чем усиливается свет (зеркальные лампы).
Прожекторы соединяют лучи, исходящие из источника, в па-
раллельный пучок. Для этого пользуются зеркалами из металла или
же из стекла, сзади посеребренного; для больших расстояний зер-
кала всегда берутся параболические. Источник света находится
в фокусе.
Так’ как каждый источник света имеет конечные размеры,
то лучи подвергаются рассеянию. Сила света по осевому направле-
нию равна J = HF (//—поверхностная яркость источника света,
F— сечение зеркала). Рассеяние о определяется углом, внутри
которого сила света не менее половины мзксимальной силы света
(иной раз и до 10%). Общий световой поток, исходящий из про-
жектора, при нормальном распределении света равен
Ф = max Jo2/3500.
На проекционном экране поверхности F2 освещение
£=(л J/F2) tg2 Ц/2),
если конденсор (зеркало) виден из источника света под углом <f.
Оптические инструменты
593
Обычные размеры зеркал колеблются между диаметрами 200—2500 мм, фокус*
яые расстояния — между 75 — 960 мм, тогда как рассеяние малых зеркал доходит
до 10° (автомобильные прожекторы), для больших оно равно приблизи-
тельно 0,75°. Наибольшая сила света лежит между 6000 свечей Гефнера (ацетиленовое
пламя) и 2 000 000 свечей (угли Герц-Бека). Расстояние, на которое свет проникает,
равно от 100 м до 115 км (вдоль горизонта); среднее поглощение света в воздухе
равно 10 о/о на 1 км. Прожекторы для торговых судов имеют диаметр 600 мм, а про-
жекторы для аэропланов — 300 мм.
Ь)	Лупы и микроскопы, зрительные трубы
Лупы. Для увеличения небольших предметов и для отсчета
шкал пользуются лупами, увеличение V которых определяется их
фокусным расстоянием f в мм. Для нормального глаза имеем
У = 250//. Предмет должен находиться поблизости от переднего
фокуса линзы. При увеличениях, больших чем V = 30, получаются
заметные искажения изображения. Вследствие незначительного рас-
стояния и ограниченного поля зрения лучше пользоваться простыми
микроскопами (фиг. 45), когда V больше 10; эти микроскопы
Фиг. 45.	Фиг. 46.
состоят из объектива О и окуляра А. Если обозначить через F
фокусные расстояния объектива, через /—фокусное расстояние
окуляра и если расстояние соседних фокусов (оптическая длина
трубы) есть /?1Л2 = Д, то У=Д/5-250//, где Д/F —с о б с т в е н-
ное увеличение объектива, а 250//—увеличение окуляра
(номер окуляра). Д лежит обычно между 160 мм и 200 мм. При
небольших увеличениях (до 50) достаточно обычного освещения.
При большем увеличении приходится прибегать к особым освети-
тельным приспособлениям (конденсор С—фиг. 45).
Диафрагмируя надлежащим образом освещающий пучок, можно
воспрепятствовать непосредственному проникновению света в оку-
ляр, так что небольшие частицы, расположенные внутри препарата,
начинают благодаря дифракции ярко светиться, в то время как фон
остается темным (освещение при темном п о л е) (ср. кар-
диоидный конденсора фиг. 46). Для непрозрачных предметов (метал-
лические шлифы) необходим вертикальный осветитель V (фиг. 45),
состоящий из плоско-параллельной пластинки и небольшого зеркала
или призмы над объективом.
Разрешающая способность определяется размерами
наименьшего еще видимого элемента структуры. Эта способность
зависит от длины волны X освещающего света и от численной
апертуры а объектива ak конденсора (апертура, или отверстие,
измеряется произведением из показателя преломления и синуса поло-
вины угла отверстия объектива, измеренного из фокуса). Максимум
а и ал равен приблизительно для сухой системы 0,95, и для масля-
594	Т. !• Отд. 8. Техническая физика. V. Оптика
ной иммерсии (кедровое или парафиновое масло) 1,4, а так как мы
имеем 6 = л/(а-j-а^), то для Х = 560л£р. значение о равно 0,2 |х. Увели-
чить разрешающую способность можно, применяя ультрафиолето-
вый свет и фотографию. Микроскопы для мастерских
15 <1/<500, препаровочные микроскопы 10<V<30,
металлографические микроскопы 17 < V < 2200.
При исследованиях металлов необходимо весьма сильное освещение, так как
в большинстве случаев приходится рабо<ать с очень большими увеличениями.
Исследуемый образец (травленный шлиф) кладется на горизонтальный стол, нахо-
дящийся сверху перпендикулярно поставленного объектива. Источник света, микро-
скоп (с изломанным ходом лучей) и фотографическая камера с большим расстоянием
часто монтируются на оптической скамье. Микроскоп снабжен подъемным окуляром.
Для исследования горных пород и руд микроскопы часто снаб-
жают поляризационными приспособлениями, чтобы различием цветов
повысить контрасты и иметь возможность наблюдать поляризацион-
ные картины.
Зрительные трубы служат для рассматривания удаленных пред-
метов под большим углом зрения. Фокусное расстояние F объек-
тива всегда больше фокусного расстоя-
О	А ния f окуляра (фиг. 47). Увеличение
V— тогда как яркость //выражается
——-------------Lil- Q- через Н— (р/V)2, где D есть диаметр
VI	объектива в мм. Субъективное
поле зрения определяется величи-
Фиг. 47.	ной поля окуляра, которое может быть
использовано; для нормальных окуля-
ров оно равно 40 — 50°, но в исключительных случаях может дохо-
дить до 70°. Объективное поле зрения определяется
делением этого числа на V.
Ручные зрительные трубы имеют положительный окуляр поРам с дену Гюйген-
су или Кельнеру и снабжены обычно системой призм для обращения изображе-
ния между обьскгивом и окуляром; увеличение равно 3—15, яркость лежит между
9 и 81. Для ночных наблюдений пригодны лишь зрительные трубы с Н > 25. Трубы
с рассеивающей линзой в качестве окуляра (трубы Галилея) применимы лишь до V=6,
так как иначе поле зрения становится слишком малым. Потери на отражение меньше,
чем в призматических трубах, так как на одни только призмы приходится потеря
света в 25J 0. Зрительные трубы часто применяются для наводки или для огечега
шкал (трубы с авгоколлимацией при осветительных призмах Р} (фиг. 47). Трубы,
служащие для прицела орудия, обычно имеют обращающую систему линз между
объективом и окуляром.
с)	Фотографическая оптика
Фотографические объективы, вообще говоря, являются собира-
тельными системами, дающими действительные изображения. Каче-
ства системы определяются корригированием фокусного расстояния f
и соотношением отверстия D : /, где D есть диаметр входной диа-
фрагмы. Чем больше отношение отверстий, тем ярче изображения,
размеры которых растут вместе с фокусным расстоянием. На прак-
тике сейчас применяются только апланаты (с плоским полем
изображения) и анастигматы; первые имеют полезное поле зрения
около 40°, а последние 55 — 60°.
Оптические инструменты
595
Фокусное расстояние обыкновенных объективов обычно равно диаметру наи-
большей фотографической пластинки, на которой должно еще получиться резкое
изображение: так, для пластинки 9X12 см фокусное расстояние равно 150 мм.
Наряду с этим употребляются объективы большого отверстия
с полем зрения до 110° и телеобъективы для дальних снимков.
Для съемки быстро движущихся предметов требуется большое отно-
шение отверстий D: так, для кинообъективов оно равно 1 : 1,8 до
3,2, для нормальных объективов D:f лежит между 1:4,5 и 1:6,8,
а для репродукционных объективов — между 1:11 и 1:15.
Определяемая соотношением отверстий относительная сила
света не дает надежного значения для действительной силы света.
Чем лучше коррегирован объектив, чем больше он содержит
линз, тем больше потери на отражение, которые при светосильных
объективах достигают 60%. Далее надо иметь в виду, что с увели-
чением силы света величина полезного поля зрения вследствие
сильного диафрагмирования убывает с краев.
Фиг. 48а.
Фиг. 48b.
Фиг. 48с»
Фиг. 48d.
Чем проще конструкция объектива, тем лучше изображение, так как при нали-
чии большого числа отражающих поверхностей вследствие многократного отражения
света возникают вредные побочные изображения.
Система линз. Простейший апланат (перископ) состоит из двух собирающих
менисков, расположенных симметрично по отношению к диафрагме (фиг. 48а); сфе-
рическая аберрация и искривление устранены, астигматизм и хроматическая абер-
рация еще имеют место. Последние могут быть устранены в случае, если обе линзы
составлены из разных сортов стекла (флинт-и кронгласе) (фиг. 48b). При анастигма-
тах, состоящих по меныпей мере из трех асимметрично расположенных линз (фиг. 48с
и d) вследствие исправления астигматизма практически достигается совершенно
плоское изображение. Для изготовления анастигматов необходимы специальные
сорта стекол (аномальные стекла, у которых дисперсия стекол
с большим коэфициентом преломления меньше, чем у стекол
с меньшим коэфициентом преломления). Отдельные группы
линз не употребляются сами по себе; при двойных анастиг-
матах (фиг. 48 е). состоящих в большинстве случаев из двух
полностью коррегированных анастигматов, расположенных
симметрично по отношению к диафрагме, можно использо-
вать как весь объектив, так и при незначительном диафрагми-
ровании переднюю или заднюю линзу отдельно. 1акие си-
стемы представляют вследствие ^того набор объективов. Теле-
объективы состоят из собирающей и рассеивающей систем Фиг. 48е.
(телепозитив и теленегагич). ^би*ее фокусное расстояние F
получается из фокусных расстояний /х и /2 положительной и отрицательной части и
расстояния между обеими по формуле

откуда получаем увеличение V—F\fy. Изменением е увеличение может быть уста-
новлено в определенных границах. Для фотографирования при ультрафиолетовом
свете употребляются объективы, изготовленные из материала, проницаемого для
ультрафиолетовых лучей (преимущественно кварц и плавиковый шпат), так как флинт-
глас заметно поглощает, уже начиная с 400 лту-.
38*
596
Т. I. Отд. 3. Техническая физика. V. Оптика
Глубина объектива не зависит от конструкции и определяется
фокусным расстоянием и отверстием диафрагмы. Она измеряется
разностью обратных расстояний наиболее близкого и наиболее
далекого предмета, изображения которых еще получаются резкими.
Глубина тем больше, чем меньше фокусное расстояние и отверстие
диафрагмы.
Для объективов со средним фокусным расстоянием (/ порядка 100 мм) глубина
объектива легко вычисляется в предположении, что допустимая неточность - соста-
вляет 0,1 мм. Если d— диаметр диафрагмы в мм, а расстояние установки пла-
стинки от объектива—а в м, то наименьшее (av) наибольшее (а^) расстояние до
предметов, изображения которых еще достаточно резки, даются следующими урав-
нениями:
11аг, = Ца+1/<1; 1/ал = Ца - l/d.
При любом фокусном расстоянии / имеем:
а =__________. ah -________________________а?
”	/н-о,1.г(а-/) ’	-	/*—0,1г(а —/) ’
L КО
Фиг. 49.
Фиг. 50.
где г = fid — относительный коэфициент от-
верстия.
Необходимое диафрагмирование при до-
пустимой неточности в 0,1 мм должно быть
равным
r = f{ah - аг)/[17-0,1.(аЛ 4-аг)],
где v — получаемое на снимке уменьшение.
Расстояние установки предмета определенной
глубины (от до av)
a = 2ahav\(ah + av).
Если предмет удален от объектива на п
фокусных расстояний, то изображение будет
уменьшено в отношении
1 : (п - 1).
К фотографическим аппаратам
присоединяются простые проекцион-
ные приборы, применяющиеся как
для проходящего света (диаскоп),
так и для падающего (эпископ)
или в виде комбинации того и дру-
гого (эпидиаскоп).
В первых источник света L (в настоящее время в большинстве случаев лампа
накаливания) проектируется на объектив Р (фиг. 49). в то время как диапозитив D
находится непосредственно позади конденсора К', вместо конденсора часто применяют
зеркало. При эпископической проекции свет, исходящий от лампы, направляется на
проектируемый предмет, укрепленный с помощью особого держателя против
диафрагмы или стеклянной пластинки. Проекционный объектив с большим фокусным
расстоянием (/=300—400 мм\ сильные увеличения вследствие невыгодного
использования света не рекомендуются) находится над объектом. Свет, отраженный
объектом, проходит через объектив, после чего отклоняется с помощью призмы
или зеркала на 90°. Последовательное расположение зеркала и проекционного
объектива может быть изменено (фиг. 50). В качестве проекционных объективов
служат светосильные системы типа Petzval или тройные системы, конструкция
которых сходна с линзой Cooke (Cooke-Linse). Если зеркало сделано вращающимся,
то один и тот же аппарат может быть использован как в качестве диаскопа, так
и в качестве эпископа; при чисто эпископическом проектировании вокруг объекта
может быть расположено несколько ламп (шаровой эпископ).
Оптические инструменты
597
d) Измерительные инструменты
Рефрактометр (фиг. 51) служит для определения показателя
преломления твердых и жидких тел. Исследуемое тело, если оно
твердое, должно иметь плоскую поверхность, кладется на измери-
тельную призму М и освещается пучком света, приблизительно
параллельным к поверхности соприкасания; если тело твердое, то
оно должно иметь одну плоскую поверхность. Коэфициент преломле-
ния Пд призмы М всегда должен быть больше, чем коэфициент
преломления тела К, вследствие чего все лучи в призме имеют
угол наклона i к перпендикуляру меньший, чем угол, определяемый
соотношением sin'Zr = /i/n0 (предельный угол при полном
внутреннем отражении). Направление выходящего луча ВС из-
меряется посредством трубы, вращаемой вокруг оси А; показатель
преломления п вычисляется по известному коэфициепту л0 и по
углу преломления ср (рефрактометр Пульфриха и Аббе).
Если освещать тело К светом в порядке различной
длины волн (например водородной трубкой, свет кото*
рой состоит из длин волн С = 656 м |л, F — 486 м у. и
G' == 434 м р. и натровым пламенем), то получается	/
также значение v для тела К.	\с/
Спектрометр. Непосредственное определение ве- \Z
личины п возможно при применении спектрометра,
состоящего из коллиматора S и зрительной трубы F, Фиг. 52b.
вращаемой вокруг вертикаль-
ной оси и снабженной пере- -	л	р
сп Г «У	о Флинт
крестными нитями (фиг. 52а). |
Призма Р, преломляющий угол ср т--—*
которой определяется путем измере- •
ния угла х = 2^ (фиг. 52b), образуе-	Крон Крон
мого параллельными пучками, отра-.
женными от обеих плоскостей АВ и	фиг< 53.
АС, устанавливается на минимум Д
отклонения преломленного луча (симметрический ход лучей), после чего коэфициент
определяется по формуле:
п = sin (Д + <р)/2 : (sin <р/2).
Спектроскоп. Для исследования спектра испускания служит
спектроскоп; в простейшем виде он состоит из щели S, на-
598
Т. I. Отд. 3. Техническая физика. V. Оптика
холящейся в фокальной плоскости коллиматорной линзы О, и из
рассеивающей призмы прямого зрения (фиг. 53). При наблюдении
спектра испускания раскаленных доменных газов можно определить
ход процесса в конверторе Бессемера или в доменной печи. При-
сутствие следов металлических паров (Na, Си, Fe и т. д.) выражается
в появлении определенных линий или групп линий в спектре (с п е к-
т р а л ь н ы й а н а л и з).
Колориметры служат для определения концентрации растворов
красящих веществ. Согласно закону Веег’а для данных компонент
Фиг. 54.
произведение из концентрации на толщину слоя
постоянно. Таким образом для нормальных рас-
творов концентрация мо-
жет быть легко найдена,
если будет определена
толщина одинаково силь-
но поглощающего
раствора извест-
ной концентрации.
Простой ко-
лориметр (Stammer,
Dubosq), употребляе-
мый в сахаропромыш-
ленности при исследо-
вании масел и в ана-

литической химии, со-
Фиг. 55.	стоит из двух трубок,
через которые прохо-
дит свет от общего источника (белый экран S, фиг. 54); позади трубок находится
призма сравнения Р и окуляр L.
Оптические пирометры. Они представляют собой фотометри-
ческие аппараты, служащие для измерения твхмпературы. Яркость
в большинстве случаев для ограниченной области спектра сравни-
вается с яркостью нормальной лампы, причем яркость лампы
сравнения L измеряется с помощью сопротивления (фиг. 55) или
производятся измерения освещенности поверхностей, освещенных
лампой сравнения и светящимся телом с помощью головки фото-
метра Кён ига-Мартенса (пирометр Холборна-Курл-
б а у м а, пирометр Ваннера) L
D. Поляризация* 2)
Общие понятия. Указание длины волны и ампли-
туды еще недостаточно для определения характера колебания.
Необходимо также знать направление колебания электрической
]) Не nnin g, Die Grundlagen, Methoden und Ergebnisse der Temperaturmessung,
Braunschweig, 1915, Vieweg & Sohn.—H olb orn, Scheel u. Henning, Warmeta-
bellen, Braunschweig, 1919, Vieweg & Sohn.—Gehlhoff, Lehrbuch der techn. Physik, 1.
Bd., Leipzig, 1924, Joh. Atnbr. Barth. — К e i n ath, Elektr. Temperaturmessgerate, Mun-
chen u. Berlin, 1923, Oldenbourg.
2) В e r e k, Mikroskopische Mineralbestimmung, Berlin, 1925, Borntrager. —
W. J. Schmidt, Anleitung zu polarisationsmikroskopischen Untersuchungen fiir Biolo-
gen, Bonn, 1924, Fr. Cohen.—We ins ch enk, Das Polarisationsmikroskop, 5. u. 6. Aufl.,
bearbeitet von J. Stiny, Freiburg 1 Bd.,1925, Herder.
Поляризация
599
силы или же положение плоскости поляризации, нормальной
к электрическому вектору (линейно-поляризованный свет).
Свет, имеющий колебания только в одном направлении, назы-
вается линейно-поляризованным. Явления поляризации осно-
ваны на разложении обычного света на две взаимно перпендикулярно
поляризованные компоненты; при применении черного зеркала
и стеклянных пластинок получаются лучи преломленный и отражен-
ный, тогда как двупреломляющие кристаллы (турмалин, известковый
шпат) дают луч обылновенный и необыкновенный. Вообще говоря.,
вторая компонента тем или иным путем удаляется из пучка лучей.
Особенно часто пользуются так называемыми
призмами Глана-Томсона Ч, состоящи-
ми из соответственным образом разрезанного и
затем вновь склеенного канадским бальзамом
куска исландского шпата (известковый шпат, фиг 5б.
гексагонально-ромбоэдрической системы).
Размер 2Й7 пространственного угла Ь, внутри которого выходит
поляризованный свет (с — темнота, а — естественный свет), зависит
не от отверстия, а только от угла S (фиг. 56) и положения кристалли-
ческих осей.
Свет эллиптической и круговой поляризации получается при
наложении двух взаимно перпендикулярных поляризованных линей-
ных колебаний, обладающих различными фазами (применение
кристаллических пластинок).
В оптически активных субгганциях, как и при прохождении через вещества,
находящиеся в сильных электрических или магни 1ных полях, линейно-поляризован-
ный луч разлагается на две поляризованные по кругу компоненты, распространяю-
щиеся с различными скоростями. По выходе наружу эти компоненты снова соеди-
няются, образуя линейно-поляризованный луч. плоскость поляризации которого
повернута относительно плоскости поляризации падающего луча. Важнейшими
субстанциями являются: нитробензол (элемент Каролуса) и тяжелое свинцовое
стекло (стекло Фарадея). Применяются для изменения интенсивности свега
в телевидении и звуковом кино.
Поляризационные аппараты. Они состоят по существу из
двух поляризационных призм (поляризатор и анализатор), освети-
тельной оптики и зрительной трубы для наблюдения; они употреб-
ляются для наблюдения за ходом производства на сахарных заводах,
промышленности искусственного шелка и т. д. Эти аппараты обычно
снабжены компенсаторами из кварцевых клиньев, что позволяет
пользоваться белым светом.
Поляризационные микроскопы. Отличаются поляризационные
микроскопы от нормальных тем, что они снабжены поляризатором
перед конденсором и анализатором в тубусе или позади окуляра.
При исследовании шлифов горных пород в поляризационном
микроскопе пользуются получаемыми при двоя <ом лучепреломлении
интерференционными цветами (получаются при пользовании парал-
лельным пучком поляризованного света) или поляризационными
фигурами (сходящийся пучок).
О Wien-Harms, Handb. d. Experimentalphysik Bd. 18, Abschn. Polarisation des
Lichtes, Leipzig, 1928, Akad. Verlagsges.
600	Т. !• ОТД* 3- Техническая физика. V. Оптика
Фотоэластический метод. При воздействии внешних сил (тепло,
давление) в теле получается определенное распределение напряжений,
что влечет за собой двоякое лучепреломление (оптическая
анизотропия). Прозрачная модель, дающая при надлежащем
освещении правильное распределение напряжений, наблюдается в
поляризационном свете.
Чтобы можно было одновременно обозреть большее поле, помещают поляриза-
ционные призмы в месте скрещения лучей (фиг. 57). С — конденсор, Р— поляриза-
тор, L—линза, М — мо-
дель, О± и О2—объек-
тивы, А — анализатор,
5 — пластинка или
экран. Иногда в местах
VL и V, помещают
кристаллы, дающие раз-
ность фаз на Ч4 волны
и, следовательно, свет
< *
Фиг. 57.
круговой поляризации).
Если модели изготовлены из стекла, то двойное преломление во всех случаях
пропорционально напряжению; в целлулоиде имеется упругое последействие, вслед-
ствие чего к измерениям можно приступать лишь спустя некоторое время; изме-
ряемое двойное преломление может быть компенсировано соответственными приспо-
соблениями (натянутая стеклянная пластинка, компенсатор Бабине).
Применения: исследование конструкционных элементов, частей аэропланов,
а также работающих инструментов.
Е. Интерференция
При наличии двух когерентных волн (происходящих от одного
и того же источника света) одинакового периода имеет место
пространственное колебание
интенсивности (интерферен-	ь	.
ция). Две отражающие поверх-	S___Я
ности, расположенные на близ-	8	S
ком расстоянии, дают интер-	"
ференцию одинаковой
толщины (мыльный пузырь). Интер-
ференция происходит в первом прибли-
жении, на передней поверхности. Ме-
ста равных расстояний обеих поверхно-
стей кажутся имеющими одинаковую
интенсивность или окраску. При поль-
зовании белым светом различные длины
волн взаимно налагаются, так что раз-
ность хода может быть наблюдаема
только приблизительно до 8 длин волн
(толщина 4|л); при однородном свете и правильно диафрагмирован-
ном источнике света полосы могут наблюдаться и при разности
хода по воздуху в несколько сантиметров.
Интерференцией пользуются для измерения небольших изменений расстояния
или разностей толщины (дилатометр Аббе-Физ о, интерференционный индикатор
Кирнера, интерференционный компаратор Гепеля). Так как одинаковой толщине
всегда соответствует одинаковое порядковое число полос (порядковое число равно
Интерференция
601
числу длин волн в разности хода), то путем счета полос можно установить разность
толщины.
Два масштаба приблизительно одинаковой толщины ABEF и A'B'EF (фиг. 58)
стоят против плоскости D D', находящейся у пр 'змы интерференционного компара-
тора Кестера (£—источник света, О—объектив трубы, Ао—окуляр, М—перекрестные
нити окулярного микрометра). Разница в толщине равна числу полос, видимых
в отраженном свете между D и D', помноженному на длину волны*
Для исследований наиболее пригоден свет гелия, так как он
дает при определенных порядковых числах характерные окраски.
Употребляются также кадмиевая искра и ртутная лампа, охлаждаемая
водой. В качестве нормальных длин волны пользуются следующими:
Нормальные длины волн [1
Кадмий	Ртуть	Неон	Гелий
Красный 0,6438472 Зеленый 0,5085824 Синий	0,4799911	ж	/ 0,5790659 Желтый	( 0,5769598 Зеленый 0,5460742 Фиолетовый 0,4358342	„	ж ( 0,6096154 Красный ( 03944832 Желтый / 0,5881892 Желтый (0>б852489	Красный 0,6678147 Желтый 0,5875618 Голубой 0,4921927
Новейшие исследования показали, что желто-зеленая линия криптона 0,56495924
вследствие простой структуры является более выгодной, чем линии кадмия, так что
было предложено считать ее первоначальной нормалью.
К технически важным применениям интерференции принадлежит также пред-
ложенный Г рюнейзеном метод определения растяжения упругих стержней
и метод К о р н у ш а для определения поперечного сжатия.
Интерференция равного наклона получается у плоско-
параллельной пластинки (установки Л у м м е р а, Перо). При одно-
родном свете получается достаточная резкость даже при разности
хода в 1,2-10е длин волн. Для измерений пользуются обоими
родами интерференции (интерферометр Майкельсона) или же
смешанными видами интерференции. Так, для измерения метра
в длинах волн, как единственной известной нам неизменной длины,
пользуются различными методами.
1 м = 1 553 164,13 длины волны красной кадмиевой линии. Измерения настолько
точны Р/40 X до 1/5П X), что ими пользуются для проверки оптических систем (кольца
Ньютона, методы Б р а т к е-В етцман и Г в и м а н а) и для определения незна-
чительных изменений плотности в газах (изменение плотности воздуха при прохо-
ждении летящих снарядов, газовый интерферометр, исследование рудничных газов).
IV ОТДЕЛ
Теплота
Составил проф. Е. Молье, Дрезден, при участии проф. Меркель, Дрезден.
Перевод и дополнения под редакцией проф. Л. И. Смирнова.
Стр.
I.	Общие тепловые свойства
тел
Температура..................603
Расширение тел от теплоты . . . 605
Теплоемкость (удельная теплота). 607
Температура смесей...........610
Изменение строения тел от теплоты 611
II.	Передача теплоты
Теплопроводность.............614
Конвекция....................622
Прохождение тепла — (теплопере-
пад) ......................634
Прохождение тепла (теплопере-
пад) при переменных температу-
рах жидкостей..............635
Прохождение тепла через стенки,
снабженные поперечными ребра-
ми ........................637
Излучение тепла.........• . . 637
Передача тепла путем конвекции,
теплопроводности и излучения . 642
III.	Основные законы термоди-
намики
Два основных закона термодинами-
ки ........................643
Полезная работа..............645
Формулы, основанные на обоих
главных законах............645
Графические изображения .... 646
IV Совершенные газы
Обшие понятия.................647
Смеси газов................... 653	I
Особые случаи изменения состоя-
ния............................ 654	I
Особые рабочие процессы .... 657	I
Стр.
V.	Пары
Насыщенный пар................663
Перегретый пар (несовершенный
газ)...........................664
Смесь воздуха и водяного пара
(влажный воздул)...............680
Применение к теории паровой ма-
шины...........................686
Аккумулирование водяного пара . 688
Применение термодинамики к тео-
рии холодильных машин .... 690
VI.	Движение газов и паров
Истечение.....................700
Формулы для истечения воздуха и
насыщенного водяного пара . . 704
Движение газов и паров по трубо-
проводам.......................708
Мятие (дросселирование).......712
VII.	Горение
Сгорание, вспышка, быстрота рас-
пространения вспышки, взрый . 714
Единицы мер и обозначения . . . 722
Расчет потребного для полного сго-
рания количества кислорода и
воздуха, а также количества и
состава отходяших газов .... 723
Соотношения между составом топ-
лива и составом сухих дымовых
газов, избытком воздуха и коли-
чеством отходящих газов . . . 726
Теплотворная способность (теплота
горения).......................729
Сгорание углерода и водорода . . 731
Уравнения сгорания для углерода
и водорода.....................734
Температура сгорания..........734
Горение, температура воспламене-
ния, пределы и скорость воспла-
менения .......................737
Газообразование (газогенератор-
ный процесс)...............  .	740
Температура
603
I. Общие тепловые свойства тел х)
А. Температура
Утвержденная декретом Совнаркома мера температуры (/) есть
деление стоградусной термодинамической шкалы; термодинамиче-
ская шкала практически не отличается от шкалы Цельсия 1). Градус
этой шкалы обозначается знаком °. Температура, которая отсчиты-
вается от исходной точки, лежащей на 273° ниже нуля шкалы Цель-
сия, называется абсолютной температурой (Г), а ее нуле-
вое деление — абсолютным нулем:
Т = / + 273.
Помимо стоградусной шкалы Цельсия (С) применяются также
и шкалы Фаренгейта (F) (в Америке и Англии) и Реомюра (R).
Между температурными шкалами существуют нижеследующие зави-
симости:
1°C = <|b°R = VF; 1° R = 6/4° С = V F; 1° F = 4|9° R = 6/9° С.
Температура по Цельсию = 6/9 X (темпер. по Фаренгейту — 32') = 5/4 X темпер,
по Реомюру.
Температура по Реомюру = 4|5 X темпер, по Цельсию = 4/9 X (темпер, по Фа-
ренгейту — 32э).
Температура по Фаренгейту = 9/Б X темпер, по Цельсию + 32° = 9/4 X темпер,
по Реомюру -р 32\
(См. на обороте таблицу для сравнения градусов.)
Для пересчета величины „абсолютной температуры- из градусов Цельсия Т
в градусы Фаренгейта Тф имеем следующие формулы:
Т = t + 273	Тф =	+ 459,4
Г = 6/9-/ф + 255,2	Тф = ’/Б./+ 491,4
Т=*/9-Тф	Тф = 9/5.Т.
За техническую единицу тепла принимается количество теп-
лоты, необходимое для нагревания при атмосферном давлении 1 кг
воды с 14,5° до 15,5°. Эга% единица тепла называется килограмм-
калорией (кг-кал) в отличие от единицы тепла, отнесенной к 1 г
воды — граммкалории (г-кал) — и применяемой в физике и химии.
Тепло может измеряться также единицами работы или энергии. Например :
1 кг-кал = 4184 ватгсекундам; 1 кг-кал = 427 килограммометрам (кгм); 1 кгм =
--0,002312 кг-кал\ 1 киловаттчас—860 кг-кал=3&1 0 0 кгм\ 1 лош. сила/час—№2кг-кал=
= 270 000 кгм.
Число */427, которое применяется для перевода единицы работы {кгм) в еди-
ницу тепла {кг-кал), обозначается в последующем буквой А; эта величина зависит
от ускорения силы тяжести (стр. 250). На 451 широты и на уровне моря 1/4=426,9,
а при g — 9,81 1/4 = 426,75. В последующем для 1/4 будет всегда применяться
Число 427 (4 — механический эквивалент тепла).
’) Для более детального ознакомления см. „Das deutsche Gesetz fiber die
Temperaturskala und die Warmeeinheit", Max Jacob, VDI, 1924, t. 68,
стр. 1176.
Т. I. Отд. 4. Теплота. I. Общие тепловые свойства теп
Таблица 1. Сравнение градусов Цельсия и Фаренгейта.
с	F	С	F	С	F	С	F	С	F	С	F
—20	- 4,0	4-зо	4-86,0	4-80	4- 176,0	4-130	4-266,0	4-180	4-356,0	+ 500	+ 932
—19	— 2,2	31	87,8	81	177,8	131	267,8	181	357,8	550	1022
—18	— 0,4	32	89,6	82	179,6	132	269,6	182	359,6	600	1112
—17	4-1,4	33	91,4	83	181,4	133	271,4	183	361,4	650	1202
-16	3,2	34	93,2	84	183,2	134	273,2	184	363,2	700	1292
—15	5,0	35	95,0	85	185,0	135	275,0	185	365,0	750	1382
-14	6,8	36	96,8	86	186,8	136	276,8	186	366,8	800	1472
-13	8,6	37	98,6	87	188,6	137	278,6	187	368,6	850	1562
-12	10,4	38	100,4	88	190,4	138	280,4	188	370,4	900	1652
-11	12,2	39	102,2	89	192,2	139	282,2	189	372,2	950	1742
-10	14,0	40	104,0	90	194,0	140	284,0	190	374,0	1000	1832
- 9	15,8	41	105,8	91	195,8	141	285,8	191	375,8	1050	1922
— 8	17,6	42	107,6	92	197,6	142	287,6	192	377,6	1100	2012
- 7	19,4	43	1093	93	199,4	143	289,4	193	379,4	1150	2102
— 6	21,2	44	111,2	94	201,2	144	291,2	194	381,2	1200	2192
— 5	23,0	45	113,0	95	203,0	145	293,0	195	383,0	1250	2282
— 4	24,8	46	114,8	96	204,8	146	294,8	196	384,8	1300	2372
— 3	26,6	47	116,6	97	206,6	147	296,6	197	386,6	1350	2462
- 2	28,4	48	118,4	98	208,4	148	298,4	198	388,4	1400	2552
— 1	30,2	49	120,2	99	210,2	149	300,2	199	390,2	1450	2642
0	32,0	50	122,0	100	212,0	150	302,0	200	392	1500	2732
+ 1	33,8	51	123,8	101	213,8	151	303,8	210	410	1550	2822
2	35,6	52	125,6	102	215,6	152	305,6	220	428	1600	2912
3	37,4	53	127,4	103	217,4	153	307,4	230	446	1650	3002
4	39,2	54	129,2	104	219,2	154	309,2	240	464	1700	3092
5	41,0	55	131,0	105	221,0	155	311,0	250	482	1750	3182
6	42,8	56	132,8	106	222,8	156	312,8	260	500	1800	3272
7	44,6	57	134,6	107	224,6	157	314,6	270	518	1850	3362
8	46,4	58	136,4	108	226,4	158	316,4	280	536	1900	3452
9	48,2	59	138,2	109	228,2	159	318,2	290	554	1950	3542
10	50,0	60	140,0	110	230,0	160	320,0	300	572	2000	3632
11	51,8	61	141,8	111	231,8	161	321.8	310	590	2050	3722
12	53,6	62	143,6	112	233,6	162	323,6	320	608	2100	3812
13	55,4	63	145,4	ИЗ	235,4	163	325,4	330	626	2150	3902
14	57,2	64	147,2	114	237,2	164	327,2	340	644	2200	3992
15	89,0	65	149,0	115	239,0	165	* 329,0	350	662	2250	4082
16	60,8	66	150,8	116	240,8	166	330,8	360	680	2300	4172
17	62,6	67	152,6	117	242,6	167	332,6	370	698	2350	4262
18	64,4	68	154,4	118	244,4	168	334,4	380	716	2400	4352
19	66,2	69	156,2	119	246,2	169	336,2	390	734	2450	4442
20	68,0	70	158,0	120	248,0	170	338,0	400	752	2500	4532
21	69,8	71 ,	159,8	121	249,8	171	339,8	410	770	2550	4622
22	71,6	72	161,6	122	251,6	172	341,6	420	788	2600	4712
23	73,4	73	163,4	123	253,4	173	343,4	430	806	2650	4802
24	75,2	74	165,2	124	255,2	174	345,2	440	824	2700	4892
25	77,0	75	167,0	125	257,0	175	347,0	450	842	2750	4982
26	78,8	76	168,8	126	258,8	176	348,8	460	860	2800	5072
27	80,6	77	170,6	127	260,6	177	350,6	470	878	2860	5162
28	82,4	78	172,4	128	262,4	178	352,4	480	896	2900	5252
29	84,2	79	174,2	129	264,2	179	354,2	490	914	2950	5342
Расширение теп от теплоты
605
В английской системе мер за единицу тепла принимается то его количество,
которое ну» но для нагрева 1 фунта (англ.) воды на 1° Фаренгейта, British
Thermal Unit (BTU), 1BTU = 0,252 кг-кал (см. .Приложение,) ’)•
В. Расширение тел от теплоты
Под коэфициентом линейного расширения а =
1 dl
— твердого тела подразумевают увеличение единицы длины
тела при повышении его температуры на 1°. Под коэфици ен-
к	р 1 dv
том объемного расширения н = у? твердого, жидкого
или газообразного тела подразумевают увеличение единицы объема
тела при повышении его температуры на 1°. Для однородных твер-
дых тел 0=3 а. К о э ф и ц и е н т расширения площади = 2а.
Таблица 2. Линейное расширение твердых тел2)
между 0° и tQ в мм\ отнесено к 1 м длины при 0°.
	0 до -190°	0 до 100°	Одо 200*	0 до 300°	0 до 400°	0 до 500е	Одо 600е	0 до 700е
Алюминий	•	-3,43	2,38	4,94	7,68	10,60	13,70	16,67	
Берлинский фарфор . . .	- 0,32	0,30	0,66	1,03	1,41	1,82	2,24	2,63
Бронза 		- 2,84	1,75	3,58	5,50	7,51	9,61		
Золото 		- 2,49	1,42						
Йенское стекло 16 III . .	— 1,12	0,81	1,67	2,60	3,50	4,63		
«	.	59 III . .	— 0,82	0,59	1,20	1,83	2,47	3,12		
„	„ 1565 III . .		0,345	0,72	1,12	1,56	2,02		
Константан		-2,26	1,52	3,12	4,81	6,57	8,41		
Латунь 		— 3,11	1,84	3,85	6,03	8,39			
Литое железо		— 1,67	1,20	2,51	3,92	5,44	7,06	8,79	10,63
Литая сталь		— 1,64	1,17	2,45	3,83	5,31	6,91	8,60	10,40
Магни!		— 4,01	2,59	5,39	8,36	11,53	14,88		
Машинный чугун		— 1,61	1,04	2,19	3,45	4,82	6,31	7,91	
Медь красная .......	— 2,66	1,65	3,38	5,18	7,07	9,04	11,09	
Никель		— 1,89			4,34	5,91 ‘	7,56	. 9,27	11,05
Олово 		— 4,24	2,67						
Палладий 		— 1,93	1,19	2,42	3,70	5,02	6,38	7,79	9,24
Платина 		- 1,51	0,90	1,83	2,78	3,76	4,77	5,80	6,86
Платина-иридий 80 : 20°/0 .	- 1,43	0,83	1,70	2,59	3,51	4,45	5,43	6,43
Сварочное железо ....	— 1,68	1,22	2,53	3,93	5,43	7,02	8,71	10,49
Свинец 		— 5,12	2,92						
Стекло кварцевое ....	0,0	0,05	0 12	0,19	0,25	0,31	0,36	0,40
Серебро 		— 3,21	1.97	4,00	6,08	8,23	10,43	12,69	15,14
Цинк		— 1,85	1,65						
Чугун высокого качества	- 1,59	1,04	2,21	3,49	4,90	6,44	8,09	9,87
9 Перевод единиц кг-кал в единицы BTU см. том II главу „Топливо" в отделе
„Материаловедение*.
2) Согласно испытаниям Phys.-Techn. Reichsanstalt; см. Warmetabellen von
Holborn, Scheel und Henning, Braunschwe g 1919, изд. F. Vieweg, а также
VDI, 1902, т 46, стр. 1532.
606
Т. I. Отд. 4. Теплота. I. Общие тепловые свойства теп
	0 до 8(0°	Одо 1 900°	I 0 до | 1000"	I 0 до 1 1100°	0 до 1200°	0 до 1300°	Одо 1400°	Одо 1500°
Берлинский фарфор . . . Никель	 Палладий 	 Платина	*. Платина-иридий 80 : 2Оэ,'о . Стекло кварцевое ....	3,10 12,89 10,74 7,94 7,47 0,45	3,60 14,80 12,27 9,05 8.53 0,50	4,31 16,78 13,86 10,19 9,62 0,54	10,73	11,88	13,05	14,26	15,49
Таблица 3. Объемное расширение 1000 ₽ при комнатной
температуре (20°).
Алкоголь.........1,10
Бензол . :.......1,25
Вода.............0,18
Глицерин.........0,50
Керосин . . . 1,00-0,92
Оливковое масло . 0,72
Репное масло . . . 0,90
Ртуть.............0,181
Серная кислота .... 0,55
Скипидар..........1,00
Эфир..............1,60
Таблица 4. .Линейная усадка некоторых металлов
(уменьшение линейных размеров отлитого предмета при его затвердевании и охла-
ждении)
Бронза.........1	:	63
Висмут ......	1	:	265
Колокольный ме-
талл ...........1	:	65
Латунь.........1	:	65
Литая сталь	.	.	.	1	:	64
Ковкий чугун . . . 1: 72
Олово . . . • . . 1: 128
Пудлинговая
сталь...........1	:	72
Пушечный металл 1 : 134
Полосок, железо
прокатное • . .1 : 55
Свинец..........1	:	92
Стальное литье . 1 : 50
Цинк литой . . . 1 : 62
Чугун................1	:	96
100 вес. част,	меди	1
125 вес. част.	>1	:	134
олова	)
В сталепрокатных мастерских принимают усадку равной в среднем 12 мм
на 1 погонный метр
Таблица 5. Удельный вес и удельный объем воды при различ-
ных температурах
(по Тизену, Шелю, Хирну, Диссельгорсту, Рамзею и Юнгу и др.).
Темпера- II тура	Удельный I вес	1	Удельный 1 объем	|	Темпера- । тура	1	Удельный вес	Удельный объем	Темпера- U тура	Я	Удельный 1 вес	1	Удельный i объем	|	Темпера- , тура	Удельный вес	Удельный 1 объем	1
0°	0,99987	•1,00013	30°	0,99567	1,00435	75"	0,9749	1 1,0258	200°	0,8628	1,1590
2	0,9f If 7	1,(W3	32	0,9е 5 5	I 1,0(4' 7	80	0,с718	: 1,0290	210	0,859	1,177
4	1,00000	1,00000	34	0,99440	1,00563	85	0,9687	1 1,03°4	220	0,837	1,195
6	0,99°97	1,(ХХ;('3	36	0,99372	1,(Х'632	90	0,°653	1,0350	230	0,823	1,215
8	0,99988	1,00012	38	0,99299	1,00706	95	0,9619	1,0396	240	0,809	1,236
1J	0,99973	1,00027	40	0,99224	1,00782	100	0,9584	1,0434	259	0,794	1,259
12	0,99е 53	, 1,1 хм ‘48	42	0,9447	1 ,(Х 861	110	0,°510	1,(515	260	0,779	1,283
14	0,99е’27	1,1'0(73	44	0,9е'( 66	1,00943	120	0,9435	1,06'4)	270	0,765	1,308
Гб	0,9е 897	1,(Х'ЮЗ	46	0,98е 82	1,01028	13Э	0,9351	1,( 6°4	280	0,75	1,34
18	0,91862	1,00138	48	0,98896	1,01116	140	0,9263 ।	। 1,0795	290	0,72	1,38
21	0,99823	1,00177	50	0,9881	1,0121	150	0,9172 ,	1,0903	300	0,70	1,42
22	0,99780	1,00221	55	С,°857	1,0145	160	0,9(76	1,1018	310	0,68	1,46
24	0,99732	1,00268	б!)	0,9832	1,0171	170	0,8973	1,1145	320	0,66	1,51
26	0,99681	1,(Х)320	65	0,е8( 6	1,0198	180	0,8866	1,1279			
28	0,99626	1,00375	7о	0,9778	1,0227	190	0,8750	1,1429			
Теплоемкость (удельная теплота)
607
Таблица 6. Объем 1 кг воды в литрах при различных темпе-
ратурах и давлениях
[По Бридж ману, Z. f. anorg. Ch. 1912, 77, стр. 384 (извлечение)].
Давле- ние ат	0’	Температура							| 80е
		10е	20°	30’ ,	| 40’	• 50е	60’	70°	
1	1,0001	1,0002	1,0017	1,0042	1,Си77	1,0119	1,0169	1,0225	1,0288
1 000	0,9579	0,9603	0,9631	0,9664	0,9701	0,9744	0,^792	0,9843	0,9897
2 000	0,9261	0,9294	0,9328	0,9365	0,9404	0,9446	0,9490	0.9538	0,9586
4 000	0,8808	0,8844	0,8 881	0,8898	0,8957	O,8°97	0,9038	0.9081	0,9124
6000 8 000 10 000 12 000	0,8481	0,8510	0,8546 0,8276	0,8565 0,8391 0,8108	0,8624 0,8u61 0,8150 O,7Sb7	0,8663 0,8400 0,8189 0,80(6	0,87(.’3 0,8439 0,8227 0,8044	0,8743 0,8478 0,8265 0,8681	0,8782 0,8514 0,8301 0,8116
Таблица 7. Удельный вес и удельный объем сжиженных газов
при 1 ат давления и соответствующей температуре кипения
	Температ. кипен. гр.	Удельный • вес кг\л	Удельный объем	1 л/кг	1		Температ. кипен. гр.	Удельный вес кг\л |	Удельный об ьем л[кг
Гелий,He .....	- 269	0,1222	8,18	Хлор. С1		- 33	1.569	0.641
Водород, Н. . . .	- 253	0,0700	14,3'0	Аммиак, NH3 • . .	— 33	0,680	1,47
Азот, N		- 195	0,804	1,244	Хлористый метил,			
Окисьуглерода, СО	— 190	0,793	1,261)	СН3С1		-24	0,99	1,01
Аргон, Аг		— 186	0,713	1,402	Сернист, газ, SO,.	— 10	1,46	0,685
Кислород, О . . .	- 182	1,143	0,875	Хлор, этил, С,Н6С1	+ 13	0,921	1,085
Расширение газообразных тел. При условии расширения под
постоянным давлением все газы имеют один и тот же коэфициент
объемного расширения	отнесенный к объему при 0°, т. е.
2 / о
и8_ v, = Vo
= к ——Z1-
1 273 4-/j ’
V2= 273_+_^	Z2.
273 +	7)‘
C. Теплоемкость (удельная теплота)
Таблица 8. Теплоемкость воды
1 еплоемкость с по Барнесу
t	с	‘ 1	с	t	с	t	I	*	
0°	1,0091	30’	0,9973	60е	0,9088	90’	1,9028
5	1,0050	35	1	0,9971	65	0,994	95	1,0034
10	1,0020	40	।	0,9971	70	1,(ХХ)1	100	1,0043
15	1,0600	45	•	0,9с73	75	1,0007		
20	0,9987	50	'	0,9977	80	1,0014		
25	0,9978	55	, 1	0,9982	85	1,0021		
608 т. i. Отд. 4. Теплота. I. Общие тепловые свойства тел
Теплоемкость по Йегеру и Штейнверу1)
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0°	(1.005)	(1,0045)	(1,004) 1,0008	(1,004)	(1,003)	1,0030	1,0026	1,0023	1,0019	1,0016
10	1.0013	1,0010		1,0005	1,0002	1,0000	0,9998	0,9996	0,9994	0,9992
20	0,9990	0,9988	0,9987	0,9985	0,9984	0,9983	0,9982	0,9981	0,9980	0,9980
30	0,9979	0,9979	03979	0,9979	0,9Q79	0,9979	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
40	0,9981	0,9982	0,9983	0,9985	0,9986	0,9987	0,9988	0,9990	0,9992	0,9994
50	0,9996									
Средняя теплоемкость воды ст между 0° и t° по Ди тер и си
t	cm	t	cm	t	1 cm	t .	1 cm
20°	1,0010	100	1,0000	180	1,0113	260	1,0315
40	03973	120	1.0Я20	200	1,0155	280	1,0380
60	0,9976	140	1,0046	220	1,0203	300	1,0449
80	0,9985	160	1,0077	240	1,0256		
ст = 0,9983 —0,005184 • //100 + 0,006912- (Z/100)2.
Удельной теплоемкостью с тела называется то количество
тепла в кг-ка л, которое необходимо для повышения температуры! кг
этого тела на 1°. Вообще говоря, теплоемкость зависит от темпера-
туры тела. Поэтому G кг тела, теплоемкость которого равна с, тре-
буют для повышения температуры с	количество тепла
Q=Gc(t2 — /х) в кг-кал при постоянном с
tl
cdt в кг-кал при переменном с.
Если, например,
= « + .......................................
то
q - о /.)+ у w -	1 (V - w • • •
Выражение
t
‘ ст = V' J* с dt +
0
называется средней теплоемкостью между 0° и /°.
Удельная теплоемкость газов и паров см. стр. 649 и след.
В нижеследующих таблицах приведена теплоемкость растворов
солей, которые применяются в холодильном деле. Данные почерп-
’) Sitz.-Ber. d. Berl. Axad. 1915, стр. 424.
Теплоемкость (удельная теплота)
609
путы из трудов: Н. Grober, Z. f. d. ges. Kalteindustrie 1909, стр. 41
.для NaCl; W. Koch, там же 1922, стр. 37 для СаС13 и MgCl2.
Таблица 9. Теплоемкость растворов поваренной соли
Содержание соли в 1С0 весовых частях раствора	10	12	14	16	18	2°	22	24	26о/о
- 20° — 10 0 + 10 + 20	0,885 0,889 0,892	0,869 0,872 0,875	а) ДЛЯ 0,851 0,854 0,857 0,860	: 1 кг 0,838 0,840 0,843 0,845	0,825 0,827 0,830 0,832	0,812 0,814 0,816 0,818	I 0,795 0,798 0,801 0,804 0,806	0,787 0,789 0J91 0,793	0,776 0,778 0,780 0,781
Ь) для 1 л
-20 — 10 0	0,954	0,950	0,946 0,946	0,944 0,944	0,942 0,942	0,941 0,941	0,940 0,940 0,940	0,939 0,939	0,939 0,938
4- 10	0,955	0,950	0,946	0,944	0,942	0,940	0,939	0,938	0,937
+ 20	0,956	0,951	0,947	0,944	0,942	0,939	0,938	0,936	0,934
Таблица 10. Теплоемкость растворов хлористого кальция
для 1 кг
Содержание соли в 100 весовых частях раствора	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40°/0
- 401
-30
-20
- 10
0
0,72Р
0,735
0,741
0,746
0,704
0,710
0,716
0,722
0,728
0,665
0,687 0,671
0,693 0,677
0,6991 0,683
0,705' 0,689
0,7111 0,695
0,644
0,650
0,656
0,662
0,668
0,674
0,680
0,630
0,636
0,642
0,648
0,654
0,660
0,666
0,621
0,627
0,633
0,639
0,645
0,651
0,620
0,626
0,633
0,639
0,613
0,620! 0,606
0,6271 0,614
0,602
Таблица 11. Теплоемкость растворов хлористого магния
для 1 кг
Содержание
соли в 100 ве-
совых частях
раствора
28	30
-30°
-20
-10
0
+ 10
4-20
0,762
0,821 0,794,0,768
0,853 0,825 0,799,0,774
0,857.0,830 0,804,0,780
0,861 (0,835 0,810,0,786
0,739
0,745
0,751
0,758
0,765
0,712
>0,719
>0,724
i 0,730
! 0,737
> 0,743
0,698'0,678
0,708,0,684
0,710,0,690
0,716,0,697
0,723.0,703
0,659
0,665
0,671
0,677
0,684
0,647 0,627
0,653 0,633
0,659 0,640
0,665 0,646
0,609
0,615
0,621
0,627
0,596
0,602
0,609
610 I. Отд. 4. Теплота. I. Общее тепловые свойства тел
Таблица 12. Средняя удельная теплоемкость твердых и ка-
пельно-жидких тел между 0° и 100°
Азот (жидкий)	....	0,430
Алюминий...........0,22
Аммиак ... •	.	.	.	.	1,00
Анилин.............0,49
Базальт............0,20
Бензол.............0,44
Бетон...........•	. 0,21
Висмут.............0,030
Вольфрам...........0,034
Гипс •............0,20
Глицерин..........0,58
Гранит............0,20
Графит ....... .0,20
Дерево (дуб)......0,57
Дерево (соснд) .... 0,65
Древесный уголь . . . 0,20
Железо и сталь . . .0,115
Зола..............0,20
Золото.............• 0,031
Каменный уголь . . . 0,31
Керосин . .........0,50
Константан............0,098
Кирпич.............С,22
Кислород (жидк.) . . .0,347
Кокс...............0,20
Латунь.............0,092
Лед- . • •.........0,50
Магний.............0,25
Марганец...........0,12
Медь...............0,094
Машинное масло	.	.	.	0,40
Мраморн. известняк	.	0,21
Никель............	0,11
Нафталин	...	•	.	.	0,31
Олово..............0,056
(оливковое масло . . .0,40
Платина............0,032
Песчаник...........0,22
Первичная смола . . 0Д>
Ртуть...........0,035
Спирт.............0,68
Сурьма............0,05
Свинец............0,031
Стекло............0,20
Серная кислота . . . 0,33
Серебро.........0,056
Сера ...	.... 0,18
Сернистая кислота . 0,32
Скипидар..........0,42
Тантал............0,036
Уксусная кислота . 0,51
Хлороформ.........0,23
Цинк............0,094
Шлаки.............0,18
Эфир . ...........0^54
Таблица 13. Средняя удельная теплоемкость cj железа между
0° и (° по Обергофферу
Количество тепла для нагрева 1 кг железа от 0е до
t	300	400	500	600	700	8(0	900	1003	1200	1,400
Со*	0,126	0,131	0,137	0,142	0,159	0,170	0,170	0,168	0,167	0,167
Qo*	37,7	52,2	68,3	85,0	111,6	136	153	168	200	233
D. Температура смесей
Правило Рихмана: G + Сц кг смеси, составленной из
G кг тела с температурой /° и теплоемкостью с и Gt кг тела с тем-
пературой и теплоемкостью clt имеют температуру
__ cGt-\- c1G1t1
т ~ cG + qGI ’
вообще tm =
YcGt
S cG
Чтобы поднять температуру t° тела, вес которого G кг и тепло-
емкость
другого
с, до температуры fm, необходимо примешать к нему Gv кг
тела с температурой и теплоемкостью с19 при этом
gl = g -  -------—
С1 Ц —
Это правило справедливо только в тех случаях, когда при смеши-
вании тел не происходит каких-либо особых физических или хими-
ческих явлений.
Изменение строения теп от теплоты
611
Е. Изменение строения тел от теплоты
Таблица 14. Температура плавления или затвердевания (в гра-
дусах) различных тел при давлении в 760лм<рт. ст.
Углерод . * . .	прибл. 3600	Латунь 		прибл. 900	Анилин 		— 6
Вольфрам . . .	.	3350	Бронза 		,	900	Скипидар . . . .	- 10
Тантал 		„	28(H)	Алюминий . . .	658	Насыщ. раствор	
Иридий .....	„	2350	Сурьма .....	630	повар, соли .	- 18
Родий . . • . .	„	2000	Цинк		419	Льняное масло	— 20
Платина ....	1764	Свинец 		327	Ртуть 		— 38,9
Палладий ....	1557	Кадмий 		321	Углекислота	
Берлинский фар-		Висмут 		271	(5,27 ат} . . .	— 56,3
фор		1550	Олово . . . . •	231,8	Хлороформ . . .	- 63
Железо (чистое)	1530	Мягкий припой .	135-210	Сернистая кисл.	— 73
Кобальт ....	1490	Висмутовый при-		Аммиак 		- 77
Никель		1450	пой 		94—128	Углекислота . .	— 79
Литое железо .	1350-1450	Каучук 		125	Толуол 		- 94,5
Сталь . . • ...	1300—1400	Сера (ромб.) . .	113	Хлор . .	—101
Шлаки домен-		Натрий 		97,5	Сероуглерод . .	-113
ные 		1300-1430	Нафталин ....	80	Алкоголь (см.	-114
Марганец ....	1260	Воск . 		64	ниже)		
Чугун серый . .	1200	Калий 		63	Эфир		—118
Чугун белый . .	ИЗО	Парафин ....	54	Бензин (уд. вес.	
Медь		1083	Стеарин ....	50	К 0,75) ....	—150
Золото .....	1064	Спермацет . . .	44	Азот		—210
Серебро ....	960	Фосфор ....	44	Кислород . . . •	—219
Эмалевые кра-		Бензол 		5,4		
ски 		960	Вода		0		
Дельта-металл .	950	Морская вода .	—2,5		
Точки замерзании
Водный раствор глицерина (по Боллею)			Водн. раств. спирта (по Бейльштейну)			
Вес. °'д	Удельный	j Точка за-	Вес. о'о	Точка за-	Вес. %	Точка за-
глицерина	вес	I мерзания	спирта	мерзания	спирта	мерзания
10	1,0245	- 1,0	2,58	— 1	21,7	— 12
20	1,0498	- 2,5	5,22	— 2	23,8	- 14
30	1,0771	— 6,2	7,36	- 3	26,0	- 16
40	1,1(45	— 17,2	9,58	— 4	28,0	— 18
45	1,1183	— 26,2	11,50	— 5	30,0	— 20
50	1,1320	- 32,0	13,27	— 6	33,5	— 24
АП	1,1582 {	ниже	16,53	— 8	37,3	-28
DU		— 35,0	19,09	-10	41,2	— 32
Температура плавления (в градусах) солей для соляных ванн 9
Азотнокислый калий	.340	Фтористый кальций .	1000	Хлористый калий . .	. 730
Азотно-натриевая соль		Фтористый литий . .	801	Хлористый кальций .	.720
(селитра) . . . • .	. 300	Фтористый магний • .	908	Хлористый магний .	.708
Поваренная соль . .	. 770	Фтористый натрий . .	902	Хлористая медь . . .	.498
Поташ		. 830	Фтористый стронций .	732	Хлорноватая медь . .	.434
	. 714	Хлористый алюминий .	180	Хлористое серебро .	481
Углекислый литий . .	. 695	Хлористый баний . .	860	Хлористый свинец .	.500
Фтористый барий . .	1000	Хлористое железо . .	300	Хлористый цинк . . .	.262
Фтористый калий . .	.790	Хлористый литий . .	600		
Werkst.-Techn. 1915, стр. 307.
612 Т. I* Отд. 4. Теплота. I. Общие тепловые свойства тел
Таблица 15. Точки кипения
Точки кипения воды t при различном стоянии барометра Ъ в мм рт. ст.
(по Вибе)
ь	t	1 ь	*	Ь	t	Ъ	1 '
680	96,92	715	98,30	745	99,44	775	100,55
685	97,12	720	98,49	750	99,63	780	100,73
690	97,32	725	98,69	755	99,82	785	100,91
695	97,52	730	98,88	760	100,00	790	101,09
700	97,71	735	99,07	765	100,18	795	101,26
705	97,91	740	99,26	770	100,37	800	101,44
710	9811						
Точки кипения (в градусах) различных тел при давлении в 760 мм рт. ст.
Азот		- 196	Льняное масло . .	316	Скипидар 		160
Аммиак		— 33	Насыщ. раств. хлор.		Спирт, абс		78,5
Анилин 		184	кальция . • . .	180	Толуол 		110
Аргон		- 186	Насыщ. раств. по-		Углекислота . . .	-78,5
Ацетилен		— 84	вар. соли ....	108	Фосфор 		290
Бензол 		80	Нафталин		218	Хлористый метил .	-24
Бензофенон . . .	306	Окись углерода .	—190	Хлор		-34,7
Вода		100	Парафин . • . . .	300	Хлороформ ....	61
Водород 		— 253	Ртуть 		357	Цинк		918
Гелий 		— 269	Сера (ромб.) . . .	444,5	Этилен 		-104
Глицерин 		290	Сернистая кислота	- 10	Эфир		35
Кислород 		- 183.	Сероуглерод . . .	46		
Теплотой испарения г жидкости называется то количе-
ство тепла в кг/калу которое необходимо для превращения 1 кг этой
жидкости при постоянном внешнем давлении в пар той же темпера-
туры. То же количество тепла освобождается при конденсации пара.
Теплота испарения зависит от температуры, при к( торой происходит
испарение. Таблицы значений г для водяного пара см. стр. 668.
Формулы для подсчета теплоты испарения:
Бензол:	г = 107,05 — 0,158 t (Griffith & Marshall)
Кислород: r= 69,67 — 0,208 Т 1	 O7Q4
Азот:	г= 68,85-0,2736 Т J U
Таблица 16. Теплота испарения при температуре кипения (1 ат)
Азот...............
Аммиак (при 0°) . . .
Анилин.........•	. .
Бензол (20°).......
Вода...............
Водород ...........
Кислород ... • . • .
Ртуть .............
48
300
104
106
539
109
51
72
Сера...............
Сероуглерод .......
Сернистая кислота .
Сернистая кислота
(при 0°)...........
Скипидар ..........
Спирт .............
362
85
95
91
70
210
Толуол ...........
Углекислота (при 0°) .
Хлор...............
Хлористый метил
(при и°)........
Хлороформ . . . . •
Эфир . . .........
85
56
62
97
58
90
Изменение строения теп от теплоты
613
Теплотой плавления твердого тела, называется то количе-
ство тепла в кг-кал, которое расходуется на то, чтобы 1 кг этого тела
перевести из твердого состояния в жидкое без повышения его темпера-
туры. То же количество тепла освобождается при застывании жид-
кого тела.
Таблица 17. Теплота плавления различных тел
Алюминий ....	92	Лед (вода) ....	79,5	Ртуть 		2,8
Бензол 		30	Медь ..... . .	43	Сера 		9
Висмут 		13	Нафталин ....	36	Серебро 		21
Доменные шлаки .	(50)	Олово 		14	Свинец ... • . .	6,3
Железо		(30)	Парафин 		35	Фосфор		5
Кадмий 		14	Платина 		27	Цинк		28
Таблица 18. Растворы газов в воде
1 м3 дестиллированной воды при давлении в 760 мм рт. ст. и различных темпе-
ратурах может растворить следующее количество газов в лг’.при 0° и 760 мм.
t	0°	20°	100°	t	0°	20°	100°
Азот		j 0,026	0,017	0,0105	Окись углерода .	0,039	0,025		
Аммиак		1,250	700	—	Сероводород . . .	5,0	2,8	0,87
Ацетилен . . . . •	1,89	1,12	—	Сернис1ая кислота.	87	43		
Воздух 		0,029	0,019	0,011	Углекислота . . .	1,87	0,96	0,26
Водород 		! 0,023	0,020	0,018	Хлор		5,0	2,5	0,00
Кислород 		0,053	0,034	0,0185	Хлористый водород		480	—
Раствор аммиака в воде (по Молье) 1
1 кг воды растворяет при указанных температурах и давлениях р в ат абс следую-
щие количества аммиака в кг
0°	20°	30°	40°	50°	| 60° | 70°	80°	1 90°	100°	110°| 120°| 130° | 140°	150°
0,22 0,35 0,57 0,88 1,23 1,62 2,01 2,40	0,085 0,172 0,337 0,515 0,666 0,812 0,953	0,043 0,109 0,247 0,400 0,521 0,632 0,735 0,839 1,С44	0,012 0,060 0,173 0,304 0,404 0,497 0,580 0,659 0,808 0,961	0,0235 0,111 0,224 0,311 0,389 0,459 0,524 0,639 0,758 0,873 0,989	0,065 0,030 0,158 0,104 0,232 0,167 0,299 0,224 0,357 0,274 0,414 0,3241 0,5120,406 0,605 0,482 0,694 0,556 0,786 0,629 0,877,0,699 0,972,0,776 1,072 0,855 1	1	0,061 0,111 0,159 0,222, 0,245 0,318 0,383 0,447, 0,506 0,5621 0,624 0,686	0,026 0,067 0,106 0,142 0,179 0,241 0,300 0,353 0,405 0,453 0,502 0,553	0,031 0,064 0,0931 0,124 0,177. 0,228 0,274 0,318, О,362| 0,404 0,444,	0.С02 0,029 0,053 0,020 0,078 0,040 0,0077 0,123 0,078 0,040 0,008 0,166 0,114 0,071 0,0345 0,208 0,149 0,101 0,060 0,247 0,18510,131 0,086 0,283 0,217 0,159 0,117 0.318 0,247 0,186 0,134 0,352 0,276 0,211 0,155	0,003 0,025 0,047 0,068 0,089 0,108
’) Mitt. Forschungsarb. № 63/64,
614	T. I. Отд. 4. Теплота. II. Передача теплоты
II.	Передача теплоты О
Переход некоторого количества тепла от одной точки простран-
ства к другой может происходить тремя различными путями:
1)	через теплопроводность, т. е. переход энергии внутри
тела от одной его частицы непосредственно к другой соседней
частице;
2)	через конвекцию, т. е. переход энергии вместе с отдель-
ными материальными частицами в виде тепла, в них содержащегося;
3)	через лучеиспускание, т. е. превращение тепла во время
передачи в другую форму энергии (излучение).
Все указанные возможности передачи тепла почти всегда проис-
ходят одновременно.
Согласно И закону термодинамики, теплота переходит (течет)
от места с большей температурой к месту с наименьшей температу-
рой. Под „тепловым потоком*, текущим в каком-либо направлении,
понимают то количество тепла, которое проходит в единицу времени
через единицу поверхности, расположенной под прямым углом к на-
правлению теплового потока.
А. Теплопроводность
Теплопередача путем теплопроводности в чистом виде возможна
только в твердых телах, ибо в жидкой и газообразной материи обмен
тепла происходит смешанным путем, т. е. одновременно конвекцией
и лучеиспусканием. Если расстояние между двумя точками однород-
ного твердого тела назвать dn, а разность температур dt, то вслед-
ствие теплопроводности данной материи в элемент времени dz через
перпендикулярный к направлению п элемент площади dF пройдет
количество тепла
dQ = — XdF-^~ dz,
on
где К есть коэфициент теплопроводности, характери-
зующий способность данной ’ материи проводить тепло; эта способ-
ность зависит от состояния материи. У твердых тел теплопроводная
способность почти постоянна, у газов же и жидкостей ее величина
сильно зависит от их температуры. Если количество тепла, проходя-
*) Литература: G г о b е г, Die Grundgesetze der Warmeleitung und des WSrme-
iiberganges, Berlin, 1921, Springer. Тою же автора: Einfuhrung in die Lehre von der
Warmeiibertragung, Berlin, 1926, Springer. Ten Bosch, Die Warmeubertragung, Berlin,
1926, Springer. Merkel, Die Grundlagen der Warmeubertragung, Dresden und Leipzig,
19z7, Steinkopf. H e n c k y, die WSrmeverluste durch ebene X^Snde, Mfinchen
u. Berlin, 1921, Oldenbourg. Knoblauch u. Reiher, Warmeflbertragung, Handb.
d. Experimentalphysik. Bd. 9, Lepzig, 1929, Akad. Verlagsges. J. S. Cammerer,
Der Wkrme- und Kilteschutz in der Industrie, Berlin, 1928, Springer. Schack,
Der industrielle Warmeubergang, DQsseldorf, 19^9, Stahleisen. Regeln Tur die Priifung
von VSrme- und KalteschUtzanlagen, Berlin, 1930, VDI-Verlag. Arch. WSrme, 1929,
стр. 279,
Теплопроводность
615
щее через dF в единицу времени, постоянно, т. е. = const. = —,
dt
то теплопередача называется „установившейся", причем тогда ^ = 0.
oz
Для неустановившейся теплопередачи действительно диферен-
циальное уравнение Фурье:
(дЧ _1_ дЧ •
dz~a + дУ» + dZ2 ) ’
где t — температура некоторой точки с координатами X, Y и Z
в момент 2, а — коэфициент, характеризующий способность к пере-
даче температуры : а — l/су [м2/час.], где X —коэфициент теплопро-
водности, у — удельный вес и с — теплоемкость. Если известны пре-
делы колебаний температуры и ее распределение по частицам тела,
то интегрирование приведенного выше уравнения дает изменения
температуры по времени и пространству t=.f(X, Y, Z, z)1).
Графический метод часто бывает значительно проще аналити-
ческого 2).
При установившемся потоке тепла как распределение темпера-
тур, так и интенсивность самого потока не зависит от времени:
d2t . d2t .
Особые случаи
Плоские, параллельные стенки. Установившийся поток.
Толщина В м, коэф, теплопроводности X \кг кал/м час']. Температура
стенок t° и 4°, падение температуры в направлении, перпендикуляр-
ном к стенке
d§ &	1 ‘ J ’
Для теплового потока под прямым углом к стенке имеем:
Q = X - — кг-кал/м2час.
’) R i е m а п n-W е b е г, Die partiellen Differentialgleichungen der mathema-
tischen Physik, Braunschweig, 1925, Vieweg & Sohn. Krauss, Die Grundgesetze
der WSrmeleitung und ihre An"wendung auf plattenformige Korper, Berlin, 1917, Sprin-
ger. Grdber, Erwarmung und Ankuhlung einfacher geometrischer Korper, VDI
1925, стр. 705. Temperaturverlauf und Wdrmestromungcn in periodisch erwSrmten
Кбгре.'п, Mitt. Forschungsarb. VDI^H. 300, Berlin, 1928.
s) Z. В. E. Schmidt, Ober die Anwendung der Differenzenrechnung auf tech-
nische Anheiz und Abkiihlungsprobleme, Beitriige zur techn. Mechanik u. Physik, Aug.
fCppl zum 70. Geburtstag, Berlin, 1924. Nussbaum, ZAM 1928, стр. 133. La ch mann,
VDI 1928, стр. Ц27.
616
Т. I. Отд. 4. Теплота. II. Передача тепдоты
Часто бывает удобнее применять для расчетов „удельное тепло-
вое сопротивление*	м2 час°/кг-кал.
Q=tlZ^.
rL
Стены, составленные из п слоев различной тол-
щины:	62, о3>... м и обладающие различными коэф, тепло-
проводности:	Х2,... ,ХЛ имеют суммарный коэф, теплового сопро-
тивления
п 6
rL = rL, + rL, + rLz + •  • + ri.n = 7 x час°1кг-кал.
Цилиндрические стены (трубы) с установившимся
тепловым потоком, направленным по радиусам изнутри наружу,^—
наружный диаметр, de — внутренний диаметр, А —длина трубы.
Поверхность, через которую проходит тепловой поток, возрастает
линейно, пропорционально радиусу; следовательно интенсивность
теплового потока, текущего в радиальном направлении, также как
величина падения температур в том же направлении уменьшается
обратно пропорционально радиусу.
В течение часа через наружную поверхность трубы в радиаль-
ном направлении протекает QH кг[кал-.
dH
—	— Z2)/ln т, где т = — .
В том же радиальном направлении через внутреннюю стенку
трубы (Fe = izdeL м?) проходит в течение часа поток тепла:
qe = ср . q =	—12)Iг1вкг-кал!м2 час,
в этой формуле коэфициент ср зависит от кривизны поверхности
стенки ср = (т — 1) и может быть взят из табл. 1.
<*н
Таблица 1. Зависимость коэфициента ср от
а в
т		/и	<Р	т	<Р	т	1 <Р |	т	
1,0	1,000	1,5	1,234	1,9	1,403	2,6	1,674	3,4	1,960
1,1	1,049	1,6	1,277	2,0	1,444	2,8	1,747	3,6	2,0z9
1,2	1,097	1,7	1,319	2,2	1,524	3,0	1,819	3,8	2,097
1,3 1,4	1,144 1,189	1,8	1,361	2,4	1,600	3,2	1,890 1	4,) I	2,163
Теплопроводность
617
Величина q соответствует тепловому потоку, проходящему через
стенку, ограниченную параллельными поверхностями, причем толщина
стенки В — dH — dQ м, а коэфициент теплопроводности К одинаков
с коэфициентом теплопроводности материала трубы:
q — (/i — t2) • 2Х (dH — de) = (4 — t2) IrL кг-кал/м2 час.
„Удельное тепловое сопротивление" для внутренней поверхности
трубы rL -rL i^. В течение z часов через внутреннюю поверхность
трубы проходит поток тепла Qe [кг-кал] = к L de- z • qe.
Составная труба из п слоев, с толщиной 52...Л
отдельного слоя, коэф, теплопроводности — Х1# Х2,.. ,\п и отношением
тп наружных диаметров к внутренним у отдельных
слоев, дает суммарное ^удельное тепловое сопротивление", отнесен-
ное к внутренней поверхности:
‘	п
rLe=^ <r/-kl	м* час’'/кг-кал,
причем	/ Xft соответствует удельному тепловому сопроти-
влению плоской стенки, имеющей толщину и коэф, теплопроводности
соответствующего слоя, acpft = 2 \/de In mk — коэф., зависящий от
кривизны внутренней поверхности трубы cpft = ^dke/de, где ср для mk
берегся из табл. 1. a dke означает внутренний диаметр &-го слоя.
Таблица 2. Значения коэфициента теплопроводности X в пре-
делах = 0°— 100° в кг-кал/м час° для различных материалов
Эти значения дают лишь средние величины, и на практике могут иметь место
значительные отклонения.
Согласно: Landolt & Bornstein, Phys.-Ghem. Tab.; Ko h 1га u s ch, Prakt.
Physik; G г d b e r und Poensgen; Holborn, Scheel und Henning-.
Warmetabellen, Z. f. d. ges. Kalteindustrie, 1924. Подробная сводка всех результатов
измерений у Е. Schmidt, Mitt. a. d. Forschungsheim f. Warmeschutz, Munchen,
1924, тетрадь 5.
Металлы *)	X	Металлы	X	Металлы	
Алюминий . . .	175	Свинец ....	30	Нейзильбер , .	25
Железо		40-50	Серебро ....	360	Сплав Вуда	
Золото . • . . .	* 265	Цинк		95	(26 РЬ + 7 Cd +	11,5
Медь	 Никель		300-340 50	Сплавы		+ 52 Bi + 16 Sn)	
Олово ...	55	Латунь ....	75-100	Константан . . .	20
Платина ....	60	Бронза 		55	Манганин ....	20
l) Max Jakob, Die Uarmeleitfahigkeit technisch wiciitiger Metalle und Le-
gierungen, Z. f. Metallkunde 16, 1921, стр. 353.
618
Т. I. Отд. 4. Теплота. П. Передача теплоты
Строительный материал	X	Строительный материал	X	Строительный материал	X
Асбестовый, ела- нец	 Асфальт 	 Базальт 	 Бетон 	 Бетон из домен- ных шлаков . Гипс литой . . . Гипс строитель- ный, 3 недели искусственной сушки	 Гнейс	 Гранит 		0,19 0,6 1.1—2,4 0,7—1,5 0,2 0,32 0,37 3,4 2,7-3,5	Дубовое дерево: поперек волок, вдоль волок. . Известняк . . . Кирпич 	 Кирпичи, кладка: совершен, сух. нормально влаж- ная 	 Кладка из г оте- санного камня . Кладка из пусто- телого кирпича Линолеум . . .	0,18 0,35 0,6—0,8 0,34—0,45 0,35—0,5 > 0,6-0,9 1,3-2,1 0,27 0,16	Мел ....?. Мрамор .... Песчаник .... Речной песок: О°'о влаги . . . 6,9®'f. влаги . . Сосновое дерево: поперек волок, вдоль волок. . Цемент затвер- девший .... Цемент в порош- ке	 Штукатурка . .	03 1,8—3, С 1,1—1,5 0,28 0,97 0,14 0,30 0,9 0,06 0,5-0,1
Прочие твердые тела	X	Прочие твердые тела	X
Лед		1,5	Котельн. накипь		1-3
Стекло 		0,5-0,9	Каучук 		0,1—0,2
Фарфор . •		0,9	Целлулоид белый ....	0,18
Каменн. уголь 		0,12-0,15	Подошвенная кожа . . .	0,14
Ретортный уголь 		3,7	Целлулоза прессо-	
Угольная пыль		0,1	ванная 	  .	0,21
Таблица 3. Материалы для тепловой изоляции х)
а)	Материалы для тепловой изоляции при низких температурах (ниже 0°)
(по G г б b е г, Forschungsarb. тетрадь 104).
Материал	Т кг\м*	X кг-кал}м час0 для tm		
		0е	— 50°	-100е
Асбест 	 <	702	0,201	0,196	0.190
1	470 с	0,133	0,127	0,117
Хлопчатая бумага 		81	0,048	0,043	0,038
Щелк		100	0,043	0,038	0,032
*) Из „Merkblatt fflr die wSrmetechnische Bedeutung und Beurteilung der
Warmeschutzmittel-, Archiv fflr Wirmewirtschaft 1922, стр. 682. См. также: Hencky,
Die Warmeverluste durcb ebene Wfinde. y — удельный вес в сухом состоянии,
tm — средняя температура изоляционного материале,
Теплопроводность
619
Ь)	Материалы для тепловой изоляции при невысоких температурах (до 120°)
Материал	т кг1м3	К кг-кал1м час0 для tm		
		0°	|	20°	40°
Пластины и камни	150	0,038	0,040	
				—
Пластины из пробки, торфа или войлока . . . . J	300	0,051	0,054	—
	600	0,076	0,080	—
	500	0,113	0,126	—
Дерево поперек волокон 	 1 1	600	0,130	0,143	—
	700	о,147	0,160	
	800	0,164	0,178	—
Гипс	J	800	0,20	0,21		
1	1200	0,35	0,36	—
Насыпной набивочный уплотненный				
материал				
Пробковые f величина зерна от 3 до 5 мм . .	45 85	0,031 0,038	0,032 0,042	0,035 0.046
	45	0,027	0,029	0,031
Шелковая плетенка (шнур)	{	130 150	0,034 0,0д9	0/136 0,042	0,038 0,045
Шерсть баранья		136 .	0,033	0,037	0,040
Торфяная мука, сильно{ сухая		190	0,040	0,041	—
гигроскоп.	1 норм, влажности .	. .	190	—	0,060	—
Древесная мука 		210	0,060	0,062	—
Солома 		140	0,039	0,043	—
г) Материалы для тепловой изоляции при средних температурах (до 600°)
 	  1 		  ' Материал	Т кг/м3	—	  I 1 _ —— X кг-кал1м час° для tm		
		100°	300° | 500®	
В готовой форме Обожженные кизельгуровые камни (пластины) . j полуцилиндры, кирпичи 	 1 Набивной материал Кизельгур кальцинированный	{ Кизельгуровая масса для труб	| Стеклянная ( набитая беспорядочно 	 шерсть	| волокна параллельны 		ЗОЭ 400 600	0,075 0,083 0,110	0,Ю1 0,109 С,135	0,125 0,135 0,160
		100"	200°	’ о00°
	250-270 350 500 600 700 800 420 410 220 580	0,055 0,066 0,076 0,093 0,111 0,130 0,073 0.С64 0,043 0,167	0,072 0,084 0,100 0,118 0,136 0,082 0,086 0,057 0,180	0,078 0,091 0,107 0,124 0,143 0,090 0,108 0,070 0,186
Естественная пемза ........................
Доменный I величина зе*на 30 мм . . . . •
шлак	1 в*личииа зерна от 2 до 5 мм . .
I велич. зерна 30 и 2 до 5 мм смеш.
Коксовый шлак, величина зерна до 15 мм . . .
Угольный шлак 9	........... , . ,
1	0е	50°
300	0.075	0,085
600	0,150	0,170
360	0,120	0,150
360	0,090	0,100
400	0,100	0,125
1000	0,120	0,150
700	0,120	0,150
620
Т. 1. Отд. 4. Теплота. II. Передача теплоты
d) Материалы для тепловой изоляции при высоких температурах
(огнеупорные камни 1)
Материал	X кг-кал! м час° для tm		
	200° |	6001	1000°
Кирпич силикатный 		0,56	0,88	1,19
Кирпич-динас	•		0,74	0,93	1,13
Шамотный кирпич	•	.	0,51	0,66	0,82
Магнезитовый кирпич		1,15	1,29	1,43
, Все приведенные выше цифровые данные, касающиеся коэфициента теплопро-
водности, представляют собою средние значения; на практике могут встретиться
значительные отклонения (до 2О°/о) от указанных, значений.
Таблица 4. Коэфициенты теплопроводности воздушных слоев
Эквивалентные коэфициенты теплопроводности воздушных слоев, заключенных
между шероховатыми и плоскими стенками (согласно Merkblatt fiir Warmeschutzmittel),
X в кг-кал}м час°.
Средняя температура	Толщина воздушного слоя в мм				
	5	20	40	80	120
0°	0,05	0,11	0,20	0,35	0,49
100	0,108	0,18	0,42	0,79	1,15
200	0,13	0,40	0,78	1,52	2,25
400	0,30	1,1	2,2	4,3	6,4
6С0	0,60	2,3	4,6	9,2	13,8
Таблица 5. Эквивалентные коэф, теплопроводности для вер-
тикальных, плоских воздушных прослоек х), включающие отдель-
ные величины переносимого тепла: через тепловой поток,
конвекцию и лучеиспускание
1. Ограничение поверхностями с большой лучеиспускающей способностью
Величина „относительной поглощательной способности" на обеих поверхностях
е= 0,9.
Средняя температура	Толщина воздушного слоя в см										
	0,5	1 1	2 1	3 1	4 1	5	6	8	| 10	1 12	115
0"	0,037	0,056	0,096	0,136	0,178!	! 0,222	0,268	0,364	0,47	0,58	। 0,74
50	0,051	0,081	0,142	0,204	0,268	0,334	0,40	0,54	0,69	0,84	I 1,07
100	0,068	0,113	0,204	0,295	0,39	0,48	0,58	0,78	0,99	1,20	1 1,51
200	0,118	0,206	0,39	0,56 |	0,75	0,93	1,11	1,49	2,87	2,25	| 2.84
300	0,190	0,346	0,66	0,97	1,29	1,69	1,92	2,56	3,21	3,76	1 4,81
500	0,41	0,80	1,55	2,30	3,06	3,82	4,59	6,12	7,65	9,19	11,5
1000	1J4	3,42	6,78	10,1 ।	13,5	16,9	20,2	27,0	33,7	40,4	50,5
0 См. W. van Rins urn, VDI 1918, стр. 601.
E. Schpiidt VDI 1927,'стр. 1395.
Теплопроводность
621
2. Ограничение поверхностями с небольшой лучеиспускающей способностью
(Обе поверхности из блестящего алюминия и величина „относительной погло-
щательной способности" е = 0,06 -|- 5.10~ °/)
Средняя температура	Толщина воздушного слоя в см										
	0,5 |	1 1	2	3	1 4	1 5	1 6	1 8	1 ю	| 12 1	i15
0°	0,021	0,024	0,032	0,041	0,051	0,063	0,078	0,110	0,152	0,195	0,264
50	0,025	0,028	0,037	0,047	0,058	0,071	0,086	0,120	0.164	0,209	0,282
100	0,028	0,032	0,043	0,053	0,066	0,080	0,097	0,134	0,180	0,228	0,303
200	0,036	0,042	0,057	0,072	0,089	0,107	0,128 I	0,173	0,227	0,284	0,371
300	0,045	0,055	0,076	0,098	0,121	0,147	0,175 |	0,234	0,302	0,372	0,471
Коэфициенты теплопроводности газов
Воздух:
X = 0,00167 . (1 + 0,000194 Г) /Т / (’ + -у) кг-кал!м час°.
(Nuss el t, Gesundheitsing. 1915, стр. 42). Формула приблизительно верна и для
кислорода, азота и дымовых газов.
/=|	0	| 20 | 40 | 60 | 80 | 100 | 200 | 500°
Х = | 0,0203 | 0,0216 | 0,0228 | 0,0240 | 0,0_52 | 0,0263 | 0,0318 | 0,0460 кг-кал[м час*
Водяной п а р: X = 0,00578 cv У Т /(1 -j-	j кг-кал! м час°.
(Nusse It, VDl 1917, стр. 685.) cv — теплоемкость при постоянном объеме.
t | 100 | 120 | 149 | 160 | 180 | 200 | 220 | 249 | 260 ( 28  | 30G°
X 10,020110,0212| 0,0223| 0,0235|0.0246 |о,0258[о,0269|о,( 281 |о,029210,03ЭЗ| 0,0315 кг-кал/м час9
Аммиак	X = 0,0185 (1 -|- 0,005/) кг-кал] м час0.
Углекислота X = 0,0121 (1 -f- 0,00385/) кг-кал/м час°.
Водород X = 0,142 (1 + 0,0029/) кг-кал] м час°.
Коэфициенты теплопроводности жидкостей
Вода 1 = 0,477 (1+>,003/) d. Physik 1920, стр. 537).			кг-кал!м час° между 0 и 80°		а с о b, Annalen	
			1 40 1	59 | 60 | 79 |		
' 1 0 1 10 1	20 |	I 30			80 | 90	| 1CG°
X | 0,477 | 0,491 |	0,505 |	0,519	| 0,533 |	0,548 | 0,562 | 0,576 |	0,590 | 0,605	| 0,619
Алкоголь	 Бензол 	 Глицерин безводный . Глицерин с 50<>/о воды	X =	0,15— 0,12 0,25 0,36	-0,20 ।	Оливковое масло 	 Минеральн. смазочн. масло . Керосин 	 Ртуть 			Х = 0,15 0,1 0,13 6,5
622
Т. I. Отд. 4. Теплота. II. Передача теплоты
В. Конвекция
В газах и жидкостях, нагретых неравномерно, передача тепла
происходит в результате движения их частиц. Это движение может
быть вызвано внешними или же какими-либо внутренними силами;
в первом случае движение частиц называется принудительным,
во втором — свободным Вследствие неравномерного распределения
тепла наряду с конвекцией происходит также и теплопередача
вследствие теплопроводности.
Особо важную роль играют явления, происходящие при пере-
даче тепла между жидкостью и окружающими ее стенками. При
этом частицы жидкости, находящиеся в непосредственном соседстве
со стенкой, быстро принимают ее температуру; однако разности
температур отдельных частиц пограничного слоя могут быть весьма
значительны (скачки температуры). Если t—температура стенки,
а & — средняя температура жидкости, то за время z через площадь F
стенки на жидкость перейдет количество тепла
Q = а . z • F • (t — ft).
Коэфициент теплопередачи а, встречающийся в этой
формуле, не есть величина постоянная, ибо его значение зависит
от состояния и характера жидкости (от ее плотности, способности
проводить тепло, теплоемкости, вязкости), от характера движения,
от температур стенки и жидкости, от формы, размеров и состояния
пограничных поверхностей и т. д.
а) Принужденное движение тепла
Обозначения:
^сек
'сек
а
асек
1в кг-кал} м час
в кал[мсек°.
(вкал/м9 час9
в кг-кал} м*сек°,
(в м9/час
в м9}сек
теплоемкость при постоянном
удельный etc влф’,
плотность массы в кг сек^м*
вязкость в кг сек(м\
скорость в М1с.ек.
давлении в кг-кал}кг9,
СР
Т
Р
Р-
w
. в м линейные размеры стенок,
например Zo, служит единицей
окружающих жидкость;- из них любая,
сравнения.
сек
асек /
^2
А)
кг-кал/м2 сек/
Коквехцкя
623
где Р и Z? — коэфициенты, не имеющие измерения:
Р== w^= wc^Iq = (число Рейнольдса).
В число факторов этого уравнения необходимо ввести еще
шероховатость стенки в форме небольших неровностей, в ка-
честве так называемой относительной шероховатости (отнесенной
к величине /0). Влияние ее еще недостаточно выяснено; поэтому
помещенные ниже формулы относятся только к трубам средней
шероховатости.
При температуре стенок t и при средней температуре жидкости
$ коэфициенты X, ср и 7 определяются из
в	&	в
t	t	t
Если температурная разность 0—t невелика, то достаточно
производить расчеты с коэфициентами, определенными для средней
температуры tm = (& + 0/2.
См. также L a t z к о, Z. f. d. ang. Math. u. Meeh. 1921, стр. 269.
1. Теплопередача в прямых трубах круглого сечения. Если
движение жидкости в трубе протекает спокойно, параллельными
струями, то коэфициент теплопередачи а с увеличением длины
трубы стремится к некоторому определенному предельному значению
а = 3,65 \/d кг-кал/м2 час°>
каковое достигается с точностью до 1% уже по проходе началь-
ного отрезка трубы
Lo — 0,05 wd?/acgK м.
На практике встречается почти исключительно неспокойное
вихревое течение; в таких случаях (см. N u s s е 11, Mitt. Forschungs-
arb. тетрадь 89 и VDI 1917, стр. 685, а также GrOber, Die
Grundgesetze der Warmeleitung und des Warmeiibergangs, Springer
1921) можно представить функцию Ф как произведение степенных
функций с постоянными показателями.
При диаметре трубы d и длине ее L имеем:
Средний коэфициент теплопередачи для трубы длиною Z,
1
а т = -—,---- а,
т 1+лх
624
Т. I. Отд. 4. Теплота, 11. Передача тештють!
а)	Газы и перегретые пары. Влиянием величины R можно
пренебречь, п3=^0
X / L \п\ / X	\ л.»
с е/с гл /	1 /	сек I -	, 9 о
агр =	т-------------кг-кал м2 сек.
сек d \ d \ wc yd /
Если а и X отнести к 1 часу, то по Греберу имеем
X (d \' /5 / wc у d \(',79
а = 22,5-^	) I— у------)	кг-кал!м- час°
а' = 1 051 а.
т >
Для газов расчет производится по формуле
ат = 23,7 L ~ 0,05 d““0,16 • (w • р)0,79 • b кг-кал'м2 час° ,
где р— абс. давление газа в ат и b = Xе’21 (ср у1)()’79 зависит только
от tm\ -ft — удельный вес при 1 ат абс. и t°m
Приведенные ниже таблицы дают числовые значения отдельных
факторов, входящих в формулу Гребера.
Таблица 6. Длина трубы L (в м)
L	Л-0,05.	L	£—0.05	L	£—0,05	L	д—0,05	L	£-0,05	L	£-0,05
0,1	1,12	0,6	1,03	2,0	0,97	7,0	0,91	30	0,84	80	0,80
0,2	1,08	0,7	1,02	3,0	0,95	8,0	0,90	40	0,83	90	0,80
0,3	1,06	0,8	1,01	4,0	0,93	9,0	0,89	50	0,82	100	0,79
0,4	1,05	0,9	1,01	5,0	0,92	10	0,89	60	0,81		
0,5	1,04	1,0	1,00	6,0	0,91	20	0,86	70	0,81		
Таблица 7. Диаметр трубы d (в м)
d	d-0,16	d		d	d-o,16	d	d-0,16	d	rf.-0,16
0,005	2,33	0,013	2,00	0,025	1,81	0,089	1,50	0,25	1,24
0,СС6	2,27	0,014	1,98	0,030	1,75	0,090	1,47	0,30	1,22
0,007	2,21	0,015	1,96	0,035	1,71	0,10	1,45	0,40	1,16
0,СС8	2,17	0,(16	1,94	0,040	1,67	0,12	1,4'	0,50	1,12
0,009	2,13	0,017	1,92	0,045	1,64	0,14	1 1,37	0,69	1,(9
0.010	2,(9	0,018	1,9)	0,(5)	1,62	0,16	' 1,34	0,70	1,(6
0,011	2,16	0,019	1,88	0,060	1,57	(-,18	1 1,31	0,80	1,04
0,012	2,03	0,(20	1,87	0,070	1,53	0,20	1,29	0,99	1,02
								1,00	1,00
Конвекций
625
Таблица 8. Скорость и давление (w • р)
w-p	(wp)'’79	w-p	(wp/V9	w-p	1 (и/р)г-79	Г ’ ’ । w-p	(wp)^79	W-p \	(wp/^79	w-p	(wp)°->79
0,01	0/25	0,69	0,148	0,8	0,84	7	4.65	35	16,6	75	30,3
0/2	0,046	0,1	0,16	(,9	0,92	8	5,16	40	18,4	80	31,9
0,03	0/63	0,2	0,26	1,0	1,00	9	5,66	45	20,2	85	33,5
0/4	0,079	0,3	(>,39	2	1,73	10	6.17	50	21,9	9J	35,0
0/5	0,093	0,4	0,49	3	2,38	15	8.47	55	23,6	95	36,5
0/6	0,108	0,5	0,58	4	2,99	20	10,7	60	25,3	109	38,0
0,07	0,122	0,6	(>,67	5	3,56	25	12,7	65	27,0		
0/8	(,135	0,7	0,76	6	4,П	30 1	14,7 1	70	28,7		
Более высокие значения произведения
находятся путем
перемножения.
w • р
Таблица 9.	ср)0,79 для воздуха
(и дымовых газов)
	Ъ		ь	т	b		b
-150	0,271	150	0,132	450	(\097	750	0,081
— 100	0,224	200	0,124	50J	0,093	800	0,080
- 50	0,192	250	0,117	550	0,090	850	0,079
0	0,171	300	0,111	600	0,088	900	0,078
50	0,154	350	0,105	650	0,085	950	0,077
130	0,142	400	0,101	700	0,083	1000	0,076
Значения, приведенные в этой таблице, приблизительно спра-
ведливы также и для кислорода и азота. На стр. 685 журнала
VDI 1917 г. Нуссельт дает диаграмму для определения коэфи-
циента теплопередачи без каких-либо выч 1слений.
Для перегретых паров имеем
ат = 23,7i-0’ 5 • а~ ’16 • w"’79 • b',
где b' зависит от р и tm 1).
Ь)	Жидкости. Коэфициентом R (Рейнольдса) пренебречь
нельзя.
Новые опыты Зеннекена и Штендера для воды производились
только с трубами в 1,92 м длиною и 17 и 28 мм диаметром. См.
Soennecken, Mitt. Forschungsarb. тетрадь 108/109. — S t е n d е г, Der
Wilrmeubergang an stromendes Wasser in vertikalen Rohren, Berlin
1924, Springer. Из этих опытов можно вывести следующую формулу:
Л1„ Л / wrf\°’435/®rfT\0’435	. , О
а=0,153« —I —	---L	кг-кал; м* час0,
d \ a J \ р. J
>) Таблица 10 на стр. 626.
626
Т. I. Отд. 4. Теплота. II. Передача теплоты
Таблица 10. Ь' = >.°’21(т • с^)0,79 для водяного пара
	1	3 !	5 i 1	7	9	11 i	13 ат абс:
100	0,162	—	—	—	—	—	—
120	0,155	—	—	—	—	—		
140	0,149	0,385	——	—	—	—	—
160	0,145	0,363	0,580	—	—.	—		
180	0,141	0,347	0,546	(',755	0,990	—	—
2С0	0,136	0,335	0,520	0,710	0,911	1,121	1,359
220	0,133	0,325	0,499	0,674	0,857	1,048	1,248
240	0,130	0,316	0,483	0,646	0.818	0,996	1,167
260	0,127	0,309	0,470	0,624	0,787	0,950	1,109
280	0,125	0,303	0,459	0,607	0,760	0,913	1,063
300	0.123	0,298	0,449	0,593	0,740	0,884	1,028
320	0,121	0,293	0,442	0,583	0,723	0,861	0,999
340	0,120	0,289	0,436	0,573	0,709	0,843	0,974
360	0,118	0,285	0,43 Э	0,564	0,696	0,826	0,952
380	0,117	0,281	0,424	0,556	0,685	0,812	(‘,934
400	0,116	0,278	0,420	0,550	0,675	0,799	0,916
Для расчета пользуются формулой
. 0,435 0,87
а = 0,153-к -М	W -
\а  р/	d°’13
d°’13
Ь = 0,153 Х(?/а у.)0,435 зависит только от средней температуры tm.
Последняя по Штендеру определяется из tm = Я 0,1 (t — Н)/—
темлерагура стенок, $ — температура воды.
Таблица И
Скорость w в м)сек	Диаметр трубы d в я
W	W0787	W	w0,F7
0,5	0,55	5,5	4.40
1,0	1,00	6,0	4,75
1,5	1,42	6,5	5,09
2,0	1,83	7.0	5,43 •
2,5	2,22	7'5	5.77
3.0	2,60	8.0	6,10
3,5	2,98	8,5	6,43
4,0	3,34	9,0	6,75
4.5	3,70	9,5	6.08
5,0	4,05	10,и	7,40
d	d-0,13	d	| rf-0,13
0,010	1,82	Qfi'30	1,58
0,012	1.78	0,l35	1,55
0,014	1.74	0,040	1,52
0,016	1,71	0,045	1,50
0,018	1.68	0,59	1,48
0.020	1.66	0,060	1,44
0^22	1,64	0,07J	1,41
0,024	1,62	0,08)	1,39
0,026	1,60	0,09)	1,37
0,028	1,59	0,100	1,35
Конвекция
627
Таблица 12. b = 0,153 л(у/а р,)(М35 и вязкость р. в кг сек м2
для воды
/°	р-.Ю8	b	/°	р-.Ю8	Ъ	1°	Р--Г6	b
0	183,3	1720	63	47,9	335.9	123	23.7	4790
10	133,3	2025	70	41,5	3610	130	21,6	5020
20	Ю2,4	2307	83	36,4	3860	140	20,0	5200
30	81,7	2572	93	32,3	4190	150	18,8	5370
40	66,8	2845	100	29,)	4320	160	17,7	5510
50	56,2	3100	119	26,1	4510			
2. Теплопередача в прямых трубах любого сечения. Фор-
мулы для труб круглого сечения справедливы также и для труб иной
формы, если заменить в них диаметр выражением
dk = b F/S в м,
где F — площадь сечения в м2, a S — та часть его периметра в м,
по которой происходит передача тепла (N u s s е 1 t, f VDI 1913,
стр. 199).
а)	Кольцевое сечение; D — внешний, d— внутренний
диаметры.
Теплопередача на внутренней и вне ш*н е й
поверхностях............................... dk	= D - d
Теплопередача только на внешней поверхности dfi = (ZJ2 — d2) D
Теплопередача только на внутренней поверх-
ности ...................................... dk	— (D2 — d’)/d
b)	Прямоугольное сечение со сторонами а и Ь. ,
Теплопередача по всему периметру............ dk	= 2ab/(a -f- b)
Теплопередача на двух противолежащих сторо-
нах b...................................... dk	= 2b
Теплопередача по одной стороне а............ dk	— 4b.
3.	Теплопередача в кривых трубопроводах (колена, змеевики).
Кривизна трубопровода усиливает перемешивание и увеличивает
теплопередачу. Цифрового материала из опытов для определения
коэфициента теплопередачи пока еще нет. При применении в дан-
ном случае формул для прямых трубопроводов получаются слишком
малые коэфициенты теплопередачи, т. е. несколько большие поверх-
ности нагрева. Если радиус кривизны трубопровода значительно
превышает радиус трубы, то влияние кривизны на теплопровод-
ность уменьшается.
4.	Теплопередача в трубах, расположенных перпенди-
кулярно к направлению течения. Влияние величины Р исчезает,
длина трубы также не играет роли. Для одной трубы (трубопровод
628
Т. I. Отд. 4. Теплота. II. Передача теплоты
под действием ветра) в потоке воздуха имеем по Нуссельту
(Gesundheitsing. 1922, стр. 97)
а = 0,01305 —( 12 500 4- —) кг-кал1м>- час*.
а\	jj. /
Согласно Шаку и Руммелю (Mitt, der Warmestelle, Dtisseldorf,
тетрадь 51), при скоростях воздуха больших, чем 1 м)сек, и диаметрах
труб больших 0,03 м можно пользоваться при расчетах приближен-
ной формулой
а = 4w°'7/d°'3.
Для перпендикулярно к длине обтекаемого газами пучка
труб (водотрубного котла) эти формулы справедливы только для
первого ряда труб. Вследствие возникающих при обтекании завих-
Таблица 13. Коэфициент теплопередачи а в кг-кал)м2 час °.
Труба в потоке воздуха
(По N u s s е 1 t, Gesundheitsing. 1922, стр. 99.)
= 100° t - 20° р = 1,03 ат абс.
d	w м[сек										
м	1	2	3	4	5	1 п	15	2)	25	50	1)0
0,605	61,5	70,0	76,8	83.8	90,3	122,2	150,7	177,2	109,0	313,7	500,0
(‘,010	34,6	41,9	48,4	54,9	61,1	88,7	115,4	136,8	156,9	220,7	405,0
0,016	24,5	31,3	37.8	43,2	49,1	74,3	95,7	113,3	133,6	218,3	352,0
0,020	2 ‘,9	27,4	33.5	39.0	44.3	67,9	92,1	106,6	125,0	2 2,4	328,8
0,026	17,9	24,5	29,6	34,9	39,8	63,1	81,2	98,6	115,2	186,8	392,2
0,033 -	15,4	21,3	26,7	31,7	36,5	57,1	75,3	91,8	107,2	174,0	281,7
0,042	13,4	19,1	24,2	28,8	33,4	52,6	69,6	84,9	99,8	161,4	263,9
0,048	12,5	18,0	23,2	27,6	31,8	50,9	67,3	81,5	95,7	154,5	255,2
0,052	11,9	17,4	22,5	26,8	31,0	49,9	65,0	78,9	93,3	150,6	247,0
0,059	11,2	16,6	21,5	25,6	29,7	47,5	63,0	76,8	89,6	146,7	240,0
0,076	9,9	15,0	19,5	24,5	27,3	43,8	58.1	71,1	83,2	141,2	222,0
0,083	9,6	14,4	18,8	22,8	26,5	42,5	56,7	69,3	81,5	132,8	217,0
0,089	9,3	14,1	18,4	22,2	25,9	41,9	55,5	68,2	79,4	129,6	214,1
0,095	9.1	13,8	17,9	21,8	25,2	40,9	54,5	66.5	78,1	127,7	2С7,2
0,102	8,8	13,5	17,5	21,3	24,8	40,2	53,3	65,5	76,1	124,7	2С4,3
0,1С8	8,6	13,2	17,2	20,9	24,25	39,5	52,3	63,9	75,0	123,1	201,8
0,114	8,4	12,9	16,9	20,6	24,1	38,7	51,7	63,0	73,8	120,8	198,1
0,121	8,2	12,6	16,5	19,95	23,6	37,95	59,9	61,9	72,4	118,8	194,6
0,127	8,0	12,5	16,35	19,6	23,1	37,4	50,1	61,4	72,0	118,2	193,0
0,140	7,7	12, ।	15,85	19,2	22,5	36,4	48,7	59,8	70,1	114,4	188,6
0,152	7,5	11,7	15,45	18,8	21,9	35,5	47,2	58,9	68,2	110,7	182,9
0,165	7,2	П,4	15,1	18,4	21,4	34,6	46,2	56,8	66,3	108,4	180,6
0,178	7,0	11,15	14,7	17,9	20,9	33,9	45,2	55,6	65,2	107,2	1 174,7
0,2ГЗ	6,75	10.7	14,1	17,2	20,05	32,6	44,1	53,3	62,6	103,2	168,7
Конвекция
629
рений, тепло воспринимается задними рядами пучка гораздо лучше,
и коэфициент теплопередачи увеличивается с увеличением числа
рядов труб 1).
5.	Теплопередача плоской стенке. Согласно опытам Юргеса
(Beihefte zum Gesundheitsing. серия 4, № 19, ноябрь 1924 г.), для
вертикальной стенки, вдоль которой со скоростью w протекает воз-
душный ПОТОК)
а = Awn + В •	кг-кал! м2 час°,
где е — основание натуральных логарифмов. Произведением В •
учитывается влияние естественной конвекции. Приближенные урав-
нения
для м!сек	а = С D • w кг-кал/м2 час0
для w>>5 м^сек	а — Aw0,78 кг-кал'м2час°
	А	В	п	С	D
Поверхность стенки полирована 		6.12	4,41	0,775	4,8	3,4
„	„ прокатана 		6,14	4,60	0,780	5,0	3,4
„	„ шероховата ....	6,47	5,03	0,784	5,3	3,6
При производстве опытов температура стенки равнялась 50°,
температура воздуха 20° и его давление 1 ат.
Таблица 14. Коэфициенты теплопередачи а в кг кал] м2час°
(По Ю рг е с у)
м\сек	Поверхность стенок			W м\сек	Поверхность стенок		
	полиро- вана	прока- тана	шерохо- вата		полиро- вана	прока- тана	шерохо- вата
0	4.41	4,6)	5,03	9	33.62	34,10	36,24
0.5	6,85	6,99	7.49	10	36.47	37,01	39,44
1	8.54	8,67	9,23	12	41,99	42.65	45,49
2	11,80	11,93	12.66	14	47,32	48,10	51,24
3	15,07	15,23	16,14	16	52,48	53.38	56.89
4	18.32	18.52	. 19,64	18	57.43	58,52	62,40
5	21.53	21,78	23,10	20	62,38	63,53	67,78
6	24.66	24,96	26,51	22	67,16	68,43	73,03
7	27.72	28,08	29,83	25	74,15	75,61	80,73
8	30,71	31,13	33,07				
’) Rietschel, Mitt. d. Charlottenburger Priifanstalt 1910, Heft 3. Kam-
merer, Versuche an einetn Stierlekessel mit Betrachtungen fiber den Warme-
durchgang, Z. bayr. Rev.-V. 1916. Thoma, Hochleishingskessel, Berlin, 1921,
Springer.
630
Т. I. Отд. 4. Теплота. П. Передача теплоты
Ь)	Свободное движение
Движения внутри данной материи происходят только вследствие
внутренних причин, а именно вследствие различия плотностей
отдельных частиц, возникших вследствие разности их температур.
Оставляя те же обозначения, что и для движения принужденного,
и при 0 = 273 + В и Т = 273 -|- t
3 — коэфициент объемного расширения (стр. 605).
Для газов р = 1/Гот. Т,п = -=f"
In 4-
0
(N u s s е 11, Gesundheitsing. 1915, стр. 477; Grob er, Grundgesetze).
1.	Теплопередача горизонтальному цилиндру (горизонталь-
ному трубопроводу). Нуссельт определил функцию Ф по опытам
над воздухом, произведенным Kennelly, Wright и Bylevelt, Langmuir,
Bylevelt, Wamsler (Mitt. Forschungsarb, тетрадь 98/99).
При a • d/\ = A
и
= _^J2_ in L = в
g P-2	£>20
A = 4" (B) a =	• А кг-кал/м2 час°.
Таблица 15. Функция Ф для воздуха
(и двухатомных газов)
в	А	В	А	В	А
	0,447	1	0,905	ю5	7,95
	0,468	13	1,203	106	14,46
10 Р	0,512	102	1,698	107	26,30
	0,585	108	2,63С		
10 1	0,716	10*	4,369		
Для других тел справедливо то же уравнение, если вместо В
ввести величину
В области, где В = 103 до 108 (паропроводы и водопроводы для
теплой воды), можно функцию Т представить в таком виде’.
Конвекция
631
А = 0,468 ]/В (см. G г б b е г);
тогда
а= 0,468 |/В кг-кал/м2 час°.
Для определения В для воздуха служит нижеприведенная таб-
лица значений при dQ = 0,01 и bQ = 760 мм рт. ст. Для других
диаметров труб d и давлений воздуха b находим В из выражения:
В = Во.№76О)2.(б//О,О1)з.
Коэфициент теплопроводности соответствует указанной в таблице
температуре tm.
О 013• 72	Т
Таблица 15. Во ~ -------(по Grober’y)
g'	«
/	0= 0		,<) = 4- 2 °		8=4-40°	
		I ио	hn	1	й0	*т |	Во
— 200	— 121	— 700 000	- 115	— 637 000	— 108 '	—	566 000
— 150	- 85	— 189 000	— 77	— 176 000	- 69 1	—	161 000
— 1С0	- 53	— 59 700	- 45.	— 60 500	- 37	-	59 600
- 50	— 26	— 16 900	- 16	— 20 200	- 8	-	22 300
+ о	О	0	4- ю	— 3 700	+ 19	-	6 400
4- 50	4- 24	+ 7 300	4- 35	3 800	4- 45	+	1 200
ьо	48	10 400	58	7 200	70	4 500
150	70	11 500	82	8 600	93	6 300
200	92	11 600	104	9 100	114	7 200
250	112	И 600	125	9 200	137	7 300
300	131	11 100	144	9000	158	7 200
350	152	10 500	165	8 500	178	7 100
400	170	9 900	185	8 100	198	6 800
450	190	9 300	203	7 70С	217	6 500
500	208	8 600	221	7 400	236	6 100
550	227	8000	240	6 900	255	5 900
600	244	7 600	258	6 500	272	5 600
650	261	7 100	275	6 200	291	5 300
7(Х)	278	6 700	292	5 800	308	5000
750	295	6 300	309	5 500 1	327	4 700
Для пересчета на давление b применяется следующая таблица:
b	760	750	74)	730	720	710	700 мм рт. ст.
W6 у	1,03	0,98	0,95	0,92	0,90	0,87	0,85
2.	Теплопередача плоским стенкам. Приближенные формулы
Нуссельта для воздуха (Mitt. Forschungsarb. тетрадь 63/64, стр. 82).
Я — температура воздуха,	t — температура стенки.
632
Т. I. Отд. 4. Теплота. II. Передача теплоты
а)	вертикальная стенка (также вертикальные трубы):
а = 3,0	0,08 • Д кг-кал/м2 час0 для Д = & —/<10°,
а = 2,2 }/ Д кг-кал/м2 час° для Д > 10°.
Ь)	Горизонтальная стенка:
а = 2,8	.
Если показание барометра заметно отклоняется от 760 мм давле-
ния ртутного столбца, а температура воздуха U — от 20°, то коэ-
фициент теплопередачи а следует еще помножить на выражение
Г 2,6 0 •
3.	Теплопередача от некипящей воды. В зависимости от формы
поверхности стенок (облегчающей или ограничивающей свободное
движение жидкости) получаются коэфициенты теплопередачи,
возрастающие с увеличением температурной разности и температуры
воды от 500 до 3000 кг-кал/м2 час°. При применении мешалок и
в зависимости от их действия наблюдаются коэфициенты от 2000
до 4000 кг-кал/м2 час01).
с)	Особые случаи
1. Конденсирующийся пар
Температура пара повсюду одинакова и равна температуре кипе-
ния. Вся разность между температурой стенки t и температурой
пара 0 действует на обволакивающий стенку слой конденсата. Чем
скорее последний удаляется (стекает), тем лучше протекает тепло-
передача (Nusselt, VDI 1917, стр. 541).
Для вертикальной плоской стенки высотою //имеем по Нус-
сельту при неподвижном паре
а = 0,943 1/ 2__1/____________кг-кал м2 сек°.
сек ’ Г р. г
Для у, X, р. подставляются значения, соответствующие воде при
температуре tm = 0,5 (11 -j- r — теплота испарения при &° в кг-кал.
При
А = 3600 • 0,943= АО
4/----г---
а = А 1/ -£777.-тг кг-кал/м2 час0.
У п (и — t)
Эти формулы справедливы также и для вертикальных труб.
О A u s t i п, VDI 1902, стр. 1890; Than, Z. f. d. ges. Kalteindustrie 1908,
стр. 41.
Конвекция
633
Если стена имеет против горизонтальной линии уклон в 3°, то
= а j/,sin|3.
Для горизонтальной трубы с диаметром d, если а — коэфициент
теплопередачи для вертикальной стены высотой Н = d,
атрубы	* а*
Если труба длиною L устанавливается один раз вертикально
(as) и другой раз горизонтально (aw), то отношение коэфициентов
теплопередачи awlas = 0,77 у/L/d.
Для конденсации, происходящей внутри трубы,
выше уравнения справедливы лишь в тех случаях,
вавшийся конденсат немедленно удаляется из трубы.
Если несколько труб,
у стенок которых пар кон-
денсируется, расположены
одна под другой, так что
конденсат верхней трубы
стекает на нижнюю, то сред-
ний коэфициент ап тепло-
передачи при п трубах, если
а — коэфициент для верхней
трубы, получается из
приведенные
когда Я)бразо-
Таблица 17. А = 3600 • 0,943
ДЛЯ воды
ап=а
о
10
20
30
40
59
60
1147
1270
1387
1495
1600
1700
1795
70
80
90
1 О
110
120
130
1890
1985
2075
2160
2255
2340
2420
140
150
160
170
180
190
200
2495
2570
2640
2710
2780
2840
2890
А
А
Содержащийся в конденсирующемся паре воздух ухудшает
теплопередачу, так как парциальное давление водяного пара, а
следовательно, и его температура при этом уменьшаются. Вредное
влияние примеси воздуха проявляется тем сильнее, чем ниже общее
давление смеси воздуха и паров.
Таблица 18. Конденсирующийся насыщенный пар, лишенный
примеси воздуха.
Коэфициент теплопередачи at [кг-кал! м* час °] вертикальной стенки высотой 1 м
при разности температур в 1° и средней температуре между температурой пара & п
и температурой стенки t.
0 = 0,5 (»Л-Н).
&	ai	г!	а,	&		&	а1	&	а1
0	5660	50	8285	90	10 010	130	11 530	170	12 770
10	6260	60	8735	100	10 420	140	И 850	180	13 020
20	6810	70	9165	НО	10 820	150	12 180	190	13 210
Зо	7320	80	9590	120	11 190	160	12 490	200	13 370
40	7820								
634
Т. I. Отд. 4. Теплота. И. Передача теплоты
II. Теплопередача от кипящей воды
а = 2000 до 6000 кг-кал1м2 час°.
Большие значения берутся при высших температурах и темпера-
турных разностях, а также при воде, находящейся в бурном движе-
нии х).
С. Прохождение тепла (теплоперепад)
Под прохождением тепла подразумевается передача тепла от од-
ной жидкости к другой, от которой она отделена стенкой.
Обозначения:
1% — температура горячей жидкости в”,
02 — температура холодной жидкости в °,
tx и ^ — соответствующие температуры поверхностей стенки в°,
ад и а, — коэфициенты теплопередачи в кг-кал\м2 час”,
о —толщина разделяющей стенки в м,
X — коэфициент теплопроводности разделяющей стенки в кг-кал\м час
Q — количество тепла, переданное за z часов, в кг-кал
Л — поверхность стенки в л2.
Для плоской стенки равномерной толщины поток тепла на 1 м2
в течение часа:
Q = kF • z — &2) кг-кал,
причем коэфициент теплопрохождения
k = -----—кг-кал, м2 час0.
1/«1 + V«2 + °/Х
Температуры поверхностей стенки находим из
^ = ^ + (^1-^2) W-
Если стенка состоит из ряда п отно прилегающих один к дру-
гому слоев толщиною о1, о2, о3 ... с коэфициентами теплопровод-
ности Х2, Х3 ..., тс
Val + 1/а2 +	+ &Л + &зАз + • • • ’
Для цилиндрической трубы длиною I с внутренним диамет-
ром de и внешним dH
Q = l- к -z •(»>-»2)/( -1	J_ in А).
/ M a2d2 1 2 A dgJ
. *) Austin, VDI 1902, стр. 1894. Holborn und Dittenberger,
VDI 1919. Classen. VDI 1902, стр. 418. R e u 11 i n g e r, VDI 1910, стр. 550.
Fehrmann, VDI 1919, стр. 974.
Прохождение тепла, (теплоперепад)
635
Если стенка трубы состоит из нескольких слоев, например
трех, с диаметрами dif dlt d2 и da, то
= I • я • z • (», - ».,) '7— - н-1---1- - - In —4- —1 — In -2- 4-
1 1	/ \	+ aada 1 2).! de  212 di +
4» Ч, — коэфициенты теплопроводности соответствующих
ев.
Если по сравнению с диаметром толщина стенки металлической
бы мала, то можно производить расчет теплопередачи по формул'е
плоских стенок; при этом в формулу подставляют величину
шней поверхности стенки, если значение а наружной жидкости
io по сравнению с з жидкости, находящейся внутри трубы, и на-
рот. Если же а внутри и снаружи приблизительно одинакова, то
ерхность трубы определяется по диаметру
dj -|- da
2	*
Таким образом при расчете поверхности нагрева котлов при-
дают:
для дымогарных труб — внутренний диаметр,
для водяных труб (водотрубные котлы) — внешний диаметр,
для труб пароперегревателей — средний диаметр.
а) Прохождение тепла (теплоперепад) при переменных
температурах жидкостей
Если температуры и жидкостей I и II на протяжении
устного периода времени меняются вследствие происходящего
кду ними теплообмена (жидкости неподвижны относительно по-
1ХНОСТИ нагрева), или же температуры жидкостей меняются в про-
:се их движения (движение жидкости вдоль поверхности нагрева),
количество переданного тепла определяется так же, как и при
(змеиной температуре:
Q = k-F-z-b,
'ЧГ	ГН9
I — средняя разность температур жидкостей I и И (М о 11 i е г,
>1	1897, стр. 153).
Если обозначить температуры в начале процесса теплообмена
= 0) или в месте начала поверхности нагрева через и
через Я/7 и V7 — температуру в конце процесса (z — z") или
юнце поверхности нагрева, и если принять во внимание, что
636
Т. I. Отд. 4. Теплота. IT. Передача теплоты
ТО
Д' = Я/ — о/
д" =	_ а/,
Дт = (4,-Д")/1П-^.
При этом ci вершенно безразлично, происходит ли течение од
жидкости относительно другой параллельно в одну или разные
роны, или же один поток течет в направлении, перпендикуляр
ко второму: прямоток, противоток и пересекающееся течение я
костей (см. Nusselt, VDI 1911, стр. 2021). При всех обстоят!
ствах в расчет принимается только поверхность нагрева, обращен
к более горячей жидкости.
Приблизительное определение средней температурной разнс
как средне-арифметической суммы Дд = (Д' -|- Д")/2 допустимо тот
в том случае, когда Д' = к".
Для более удобного определения Д/п = ^«Дд служит табл. И
Таблица 19. Ь = &т/&а
Д'/Д"	b	Д'/Д"	b	Д'/Д"	b	Д'/Д"	b
М	1,000	2,0	0,962	3,0	0,910	6,0	0,7
1,2	0,998	2,2	0,952	3,5	0,899	7,0	0,7
1,4	0,991	2,4	0,942	4,0	0,867	8,0	0,7
1,6	0,981	2,6	U,928	4,5	0,846	9,0	0,7
1,8	0,971	2,8	0,918	5,0	0,829	10,0	0,7
Эта таблица справедлива и для обратных величин в столбцах для Д'/Д"
Когда одна из двух жидкостей находится в состоянии кипе
или конденсации, ее температура не меняется; все вышеприве;
ные зависимости сохраняют свое значение, п^жчем V = 0/'
V = V-
Если
G, и G2—протекающее в час количество жидкостей в кг[час,
Ci и с2— их теплоемкости в кг-кал}кг\
1 \ + для прямотока,
— у GjCj “ ~G2c2 ) — для противотока,
3=^-
G2 с2
е — основание натуральных логарифмов.
Излучение тепла
637
температура жидкости при ее выходе определяется по сле-
щим формулам:
а) Прямоток.
1. Температура при вхсде &/,
температура при выходе Я/' = Я/
2. Температура при входе V,
температура при выходе &2" = И/
b) Противоток.

1. Температура при входе &/,
температура при выходе 11/'=
2. Температура при входе V',
температура при выходе V =
+ е) V
1 — £ е
(1~?) у + 3(1-е) а/
1 —
При двух потоках жидкости, текущих под прямым углом друг
pvry, теория передачи тепла изложена у N u s s е 11, VDI 1911,
. 2021.
Прохождение тепла через стенки, снабженные поперечными
ребрами !)
Увеличение поверхности стенки при помощи добавочных попе-
ных ребер бывает полезно лишь в том случае, если ребра вы-
1няются с той стороны, где можно ожидать менее интенсивной
лоотдачи.
Если увеличение гладкой поверхности стенки в F м- по-
енными ребрами достигает — F) м2, то коэфициент тепло-
едачи, отнесенный к гладкой поверхности стенки, выражается
F	F
рмулой а^ = ;а, где величина 5 берется от 0,4-^- до 0,6	.
этим коэфициентом теплопередачи расчет проводится анало-
1но расчету для обыкновенных плоских стенок без ребер.
D. Излучение тепла
Одновременно с теплопроводностью и конвекцией передача тепла
1ершаегся почти без исключения также и лучеиспусканием. Тепло-
эедача лучеиспусканием приобретает однако известное значение
1ько при высоких температурах. Излучающее тело превращает
1ло в лучистую энергию (колебания эфира) —это явление назы-
^тся лучеиспускательной способностью (эмиссией) лучей — и посы-
уг их в пространство. Пока лучистая теплота встречает на своем
’) Е. Schmidt. VDI 1926, стр. 885 und Mitt. Forschungsheim f. Warmeschutz,
7. Munchen, 1926. (Einfluss der Formgebung der Rippen).
G38
Т. I. Отд. 4. Теплота. II. Передача теплоты
пут только диатермические тела, т. е. тела, ее не зал
живающие, она, не изменяясь, проходит их насквозь. Если же
пути теплового луча встречается тело для него непрозрачное, т
его не пропускающее, то луч либо снова превращается в тег
либо отражается. Первое явление называется абсорбцией (погло|
нием), второе — отражением тепла. Среди реальных тел, однако,
абсолютно диатермического тела, как нет и абсолютных поглотг
лей и отражателей тепла.
По существу тепловые лучи ничем не отличаются от светов
только длина их волн больше. Вследствие этого для тепловых* лу
действительны все законы, установленные для света (скорость р
просгранения, преломление и пр , см. главу „Оптика“, стр. 585).
1. Твердые тела. Газы с технической точки зрения почти все
относятся к телам диатермическим.
Способность к лучеиспусканию Е данного т
измеряется количеством лучистого тепла в кг-кал!м2 час, кото]
испускается единицей поверхности тела за единицу времени. Пог
щательная способность тела (относительная поглощательная спос
ность) £ есть та часть количества падающего на тело лучист»
тепла, которое им поглощается, а отражательная способно
р = 1 — £ есть та часть тепла, которая телом отражается. Абсолют
чернее тело поглощает все падающие на него лучи (s5 = 1, ps —
Полная способность к лучеиспусканию Е, свойственная даннс
телу, распределяется на лучи различной интенсивности и различ!
длины волны
Е
Для лучеиспускательной способности Ек одной только дли
волны X имеем
Ел Esx =
т. е. отношение лучеиспускательной способности Еу какого-либо ti
к лучеиспускательной способности Es абсолютно черного тела pai
поглощательной способности ех первого по отношению к лучам i
же волны (закон Кирхгофа).
Тела, полная лучеиспускательная способность которых под
няется закону Кирхгофа, называются серыми телами. Больш
часть тел, встречающихся в технике, можно рассматривать как сер
для которых
Е=
причем Es — полная лучеиспускательная способность абсолютно ч
ного тела. Абсолютно черное тело излучает тепло в гораздо больц
степени, чем другие тела, так как £ всегда меньше единицы.
Лучеиспускательная способность абсолютно черного и сер(
тела пропорциональна четвертой степени их абсолютной температу]
Е=	кг-кал/м2 час — закон Стефана и Больцмана.
Излучение тепла
639
Постоянная лучеиспускания абсолютно черного тела
Cs = 4,93 кг-кал!м2 час (° абс)4.
(Landolt-Bdrnstein, Phys.-Chem. Tabellen, 5 изд., Berlin, 1923,
Springer. Особого внимания заслуживают результаты опытов Ger-
lach, Ann. d. Phys. 1916, 50 и Coblentz, Phys. Rev. 1919, 14.)
Для серого тела постоянная лучеиспускания
C=^CS кг-кал!м2 час (° абс)4.
' Если лучеиспускание тела не вполне удовлетворяет закону
Кирхгофа, то величина С меняется в зависимости от температуры.
Таблица 20. Относительная поглощательная способность е
(По Nusselt, Sigi, Wamsler, Westphal, Jiirges).
Металлы:
Чугун шероховатый, сильно окис-
ленный .........................0,94
Железо матовое, окисленное . . . 0,96
Железо, блестяще-полированное . . 0,29
Золото,гальванически кристаллизо-
ванное, блестящее, но не поли-
рованное .......................0,49
Медь полированная...............0,13
Медь слабо полированная.........0,17
Медь прокатанная................0,64
Медь шероховатая . •............0,76
Латунь магово-полированная .... 0,22
Серебро.........................0,03
Нинк матовый....................0,21
Олово.........................  0,05
Дерево гладкое .......
Базальт ..............
Красный песчаник . . .
Мрамор................
Гранит ...............
Доломитовая известь . .
Глинистый сланец . . .
Гипс..................
Строительны
0,78
0,72
0,60
0,58
0,45
0,41
0,69
0,78
е материалы
Известковый раствор, грубый, белый 0,90
Штукатурка ....	•........0,93
Кирпичная кладка............0,93
Гравий....................  0,29
Глина.......................0,39
Песок.............•.........0,76
Сажа (уголь)......................0,95
Стекло................  •.........0,93
Вода..............................0,67
Лед...............................0,64
Опилки древесные..................0,75
Бумага............................0,80
Прочие материалы
Пахотная земля................0,38
Чернозем.............•........0,66
Хлопчатобумажная ткань ..... . 0,77
Шелковая ткань................0,78
Шерстяная ткань...............0,78
Масляная окраска..............0,78
Масляный слой на никелированной
полированной жести
Толщина	е	Толщина	е
0 мм	0,06	0,08 мм	0,60
0,02 „	0,23	о,ю „	0,66
0,(4 „	0,39	0,20 „	0,80
0,06 „	0,50	оо	0,82
Цифровой материал, приведенный в таблице, дает средние значения вели-
чины в; однако, в зависимости от состояния внешней поверхности тела, могут
встретиться значительные отклонения.
640
Т. I. Отд. 4. Теплота. II. Передача теплоть!
Если полную способность данной поверхности к лучеиспусканию
обозначить буквой Е, то способность к лучеиспусканию перпенди-
кулярно к этой поверхности будет
Еп = E/tz кг-кал/м2 час,
а в направлении под углом ср, образованным с нормалью к этой
поверхности,
Ez = Еп • cos ср = (Е/л) • cos ср.
Вследствие этого из общего количества тепла, излучаемого эле-
ментом поверхности dflt на поверхность df2 попадает
dS19 ——	df^ • df.,,
где Е кг-кал/м2 час — полная лучеиспускательная способность эле-
мента поверхности dj\, a cpj и ср2 — углы, которые образует соеди-
няющая оба элемента dj\ и df2 прямая г с нормалями к этим эле-
ментам (закон косинусов интенсивности лучеиспускания или
закон Ламберта).
Применение закона к поверхностям различной формы см. G е г-
b е 1, Die Grundgesetze der Warmestrahlung und ihre Anwendung auf
Dampfkessel mit Innenfeuerung, 1917, Springer.
Количество тепла, которое путем лучеиспускания переходит от
поверхности I площадью F^ м2, с температурой абс и постоянной
лучеиспускания кг-кал/м2 час (° абс)4 к поверхности II (F2, Т2,
С2) за время z, определяется из
= Fi • z • С [(-^) -	] «жал.
Кажущаяся постоянная лучеиспускания С определяется по
Нуссельту (Mitt. Forschungsarb., тетрадь 264), если Cs — постоянная
излучения абсолютно черного тела, следующим образом:
1. Поверхность II со всех сторон окружает поверхность I.
С =	+	— 1/Q кг'кал1м2 час (° абс)4-
Частные случаи: a) F2 велико по сравнению с Fr (например,
трубопроводы в открытом месте); тогда С=С\.
Ь) /?1 = F2 (близко расположенные параллельные поверхности):
С
1
1/C1+1/C2-1/Q
кг-кал/м2 час (° абс)4.
2. Во всех других случаях (см. Nusselt, Gesundheitsing. 1918,
стр. 171) можно приблизительно принять
С = С1-С2/С, = е1С2=£2.С1.
Излучение тепла
641
Если принять, что
то получится
Q12 =	. z • С • a {tY — t£\
значение коэфициента а находится по табл. 21.
Л m (Ti/100)4- (Г2/190)4
Таблица 21. а = ——j—---------------
*1 — ^2
юэ
.200	300 400 500
600 700 800 903 1000"
— 273
— 200
- 100
о
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
о
0,0339
0,0518
0,2034
0,519
1,058
1,882
3,050
4,62
6,66
9,21
12,35
16,14
20,45
0,0156
0,0867
0,2764
0,644
1,251
2,155
3,418
5,10
7,24
9,96
13,26
17,21
21,88
0,2 70
0,465
0,923
1,630
2,673
4,08
5,94
8,28
11,19
14,72
18,92
23,87
0,814
1,380
2,225
3,408
4,99
7,03
9,59
12,72
16,50
20,97
26,21
2,076
3,070
4,422
6,19
8,44
11,33
14,62
18,66
23,42
28,96
4,233
5,77
7,75
10,23
13,27
16,92
21,26
26,33
32,20
9,73 12,19
24,36 28,01 32 29
29,76 33,7638,41
I
35,98 40,35 45,38
I
26,61
31,55 36,84
37,29 42,93
43,75 49,85
51,1 57,6
49,5
56,8 64,6
65,0 73,3
82,6
2.	Газы. Газы излучают и поглощают только лучи, волны кото-
рых по длине относятся к определенной, очень ограниченной обла-
сти; по отношению к тепловым лучам, лежащим вне этой области,
все газы диатермичны. У большей части газов область лучей, кото-
рые ими излучаются, настолько мала, что их можно считать вполне
диатермичными. Во всяком случае технически газы принимаются
за тела теплопрозрачные и не излучающие тепла ни при какой тем-
пературе (воздух, кислород, азот, водород).
Из технически важных газов только углекислота и водяной пар
отличаются известной способностью поглощать и испускать лучистое
642
Т. I. Отд. 4. Теплота. П. Передача теплоты
тепло. При нагреве выше 600° эти газы начинают излучать заметное
количество тепла, а при очень высоких температурах теплопередача
лучеиспусканием может даже превзойти передачу конвекцией и
теплопроводностью.
В противоположность твердым телам, у которых излучение и по-
глощение происходит только на поверхности, у газов способность
к поглощению зависит от толщины излучающего тепло слоя газа.
Так, е=1 — e~k‘s, где е — относительная способность к поглоще-
нию, е — основание натуральных логарифмов, 5 в м — длина пути
луча сквозь слой газа, k в ^/м — коэфициент поглощения.
Значения этого коэфициента k. колеблются между 0 (абсолютно
прозрачное тело) и оо (абсолютно черное тело)1).
Приближенные уравнения и таблицы для расчета излучения
углекислоты и водяного пара, см. S с h a k, Der Warmeiibergang in
technischen Feuerungen unter dem Einfluss der Eigenstrahlung der
Gase. Mitt. d. Warmestelle, Dusseldorf, тетрадь 55 и VDI 1924,
стр. 1017. Ten Bosch, Die Warmeiibertragung, Berlin.
E. Передача тепла путем конвекции, теплопроводности
и излучения
Если стенка передает тепло одновременно путем конвекции,
теплопроводности и излучения, то составные части подсчитываются
отдельно и полученные в результате такого подсчета значения сум-
мируются.
Если находящаяся по одну сторону стенки жидкость I отдает
ей тепло, которое на второй стороне передается газу II отчасти
путем конвекции и теплопроводности, отчасти же путем излучения
на-находящиеся вблизи другие окружающие поверхности, то коэфи-
циент теплопередачи k определяется из
* = —П—г~1 /7 -	I - кг-кал! час0,
l/ai-|- l/(a2+as)-|-o/k
ПРИЧеМ a - С[(Л/100)<-(Г3/100)4] ^гал/.н27дсо
— --------------ц----------п-4" килу лс
*2 — ^2
Здесь обозначают:
at/a2 — коэфициенты теплопередачи путем конвекции и теплопроводности,
'as—добавочный коэфициент теплопередачи излучением,
8 — толщина стенки в м,
К — коэфициент теплопроводности стенки,
0а — температура газа И,
Г, — температура поверхности II стенки,
/3, Т*— температура окружающих поверхностей,
С — кажущаяся постоянная лучеиспускания поверхности II стенки.
В большинстве случаев температуру окружающих стен t3 можно
считать равной температуре газов, т. е. 4 =
’) N u s s е 1 t, Der Warmeiibergang in der Verbrennungskraftmaschine, Mitt.
Forschungsarb.. тетрадь 264.
Основные ваконы термодинамики
643
III. Основные законы термодинамики *)
Обозначения:
Q — количество тепла в кг-кал,
Р — абсолютное давление (упругость) газов, паров и жидкостей в кг/м5,
р — то же давление в кг}см2 ат,
G — вес рассматриваемого тела в кг,
Vt v — объем в лс3, м3/кг,
t — температура в градусах,
T~t-\ 273 — абсолютная температура,
U, и-— внутренняя энергия в кг-кал,
S, s — энтропия в кг-кал)кг°
/,/—теплосодержание (общее количество тепла при постоянном давлении)
в кг-кал,
А =1/4и — механический эквивалент тепла 1 кгм в кг-кал,
ср, cv — теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме.
Все величины, взятые относительно веса исследуемого тела, независимо от
величины этого веса, обозначаются большими буквами, например: V, U, S, I;
если же величина относится к единице веса, то ее обозначение пишется малыми
буквами, например: vt и, s, /, так что V Gv, U = Gu и т. д., где G вес тела в кг.
Давление газов и паров измеряется в миллиметрах (или в мет-
рах) водяного столба (в. с.) или в миллиметрах ртутного столба
(р. с.), в кг/м2, кг/см2, фунт/дм2 и в атмосферах (таблицы для пере-
вода одной меры в другую, см. в .Приложении").
1 метрическая (техническая) атмо-
сфера (ат) = 1 кг]см3=735,5 мм
р. с. при 0° (= 737,4 мм р. с. при
15°) = 28,958 англ, дюйма р. с.
при 0° = 10,000 м в. с при 4- 4° =
= 14,223 англ. фунт./дм*= 0,968 ат.
1 старая физическ. атмосфера (ат)
= 760 мм р. с. при 0° (= 762 мм
р. с. при 15°) — 29,922 англ, дюй-
ма р. с. при 0° = 10,333 м в. с.
при -|- 4° = 14,696 англ, фунт./дм2 -
= 1,033 ат.
1 мм в. с. при 4- 4° = 1 кг’м^ = мм р. с. при 0°,
1 мм р. с. = 13,506 мм в. с. = 0,0613536 ат — 0,0013158 ат.
а)	Два основных закона термодинамики
1.	Первый закон термодинамики устанавливает принцип сохра-
нения энергии для всех процессов, сопровождающихся тепловыми
явлениями; согласно этому закону тепло и работа вполне
эквивалентны:
1 кг-кал = 427 кгм (стр. 603).
Если общее количество энергии тепла в состоянии I обозначим
в кгм и ту же величину для состояния II обозначим Е2 в кгм,
то согласно первому закону термодинамики изменение состояния
тела от I до II выразится уравнением
QIA-L = E2-Ei,
*) Подробное изложение см.: М. Планк, Термодинамика. Ш ю л е, Тех-
ническая термодинамика. Проф. Дьяков и А. Шапошников, Техническая
термодинамика в задачах. Хвольоон, Курс физики, т. III.
644 Т. I- Отд- 4- Теплота. III. Основные законы термодинамики
где Q — количество тепла в кг-кал, подведенного к телу извне во
время изменения его состояния, a L — механическая работа, про-
изведенная данным телом.
В дальнейшем рассматриваются исключительно жидкости, газы
и пары; внешняя работа А, совершаемая ими,состоит в преодолении
внешнего давления на их поверхность, которое при непрерыв-
ном (обратимом) изменении состояния всегда равняется
внутреннему давлению (упругости) жидкости. В таких случаях
dL = P dV и £= JPdV.
Общая энергия данного тела состоит из его внутренней
энергии (U), которая зависит только от внутреннего состояния
тела, и из внешней кинетической энергии. В особых слу-
чаях можно наряду с указанными выше родами энергии принять
в расчет еще и энергию от силы тяжести. Кинетическая энергия
встретится ниже при рассмотрении явлений, сопровождающих дви-
жение тел. Если кинетическая энергия неизменна или равна нулю, то
V*
dQ = АР dV + dU и Q= f АРdVU2— U,.
К,
Это уравнение одновременно устанавливает понятие о внутрен-
ней энергии U\ ее прирост равен сумме тепла и внешней работы,
воспринимаемых телом. Для подсчета количества энергии, присущей
телу, нет определенной начальной точки; поэтому подсчитываются
только изменения этой энергии. Единицей меры внутренней энергии
служит калория (кг-кал).
2.	Второй основной закон термодинамики гласит, что от тела
или системы тел, все материальные точки которых имеют одну и ту
же температуру, нельзя получить механической работы. При этом
предпосылается, что тела или системы тел ни по своей механической
природе, ни по своим химическим свойствам не способны произво-
дить механическую работу. Такое тело или систему тел считают на-
ходящимися в состоянии полного теплового равновесия. Тот же закон
формулирован Клаузиусом в другом виде: тепло не может само
по себе переходить от тела более холодного к телу более теплому:
такой переход совершается только за счет изменений в состоянии
других окружающих тел.
Математическое выражение второго основного закона для
обратимых процессов, т. е. непрерывных или процессов
равновесия, следующее:
dQ = Т dS.
Р, V, Т и U, так же, как и S, зависят только от состояния тела;
S называется его энтропией. Если для определенного состояния
тела известны параметры Р, V, Т и U, то его энтропия определяется
из равенства:
Т dS = dU + AP dV.
Полезная работа. Формулы
645
Второй закон термодинамики объясняет природу обратимых
процессов: обратимыми процессами называются такие, у кото-
рых сумма энтропии всех тел, участвующих в процессе, остается
неизменной. При необратимых процессах, т. е. при таких изме-
нениях состояния тел, которые протекают в условиях нарушенного
теплового равновесия, энтропия всей системы увеличивается. Энтро-
пия изолированной системы тел никогда и ни при каких обстоятель-
ствах не может быть уменьшена.
Ь)	Полезная работа
Чтобы из данной системы тел извлечь максимальное количество
внешней механической работы, необходимо эту систему каким-либо
обратимым путем привести в состояние полного равновесия. Дру-
гими словами: полезная работа Ln системы тел есть та часть
общего количества энергии, присущей системе, на которую это коли-
чество может быть уменьшено при неизменяющейся энтропии.
Во всех почти технических рабочих процессах наружная среда
является частью системы тел, участвующих в совершении работы.
Эту наружную среду можно рассматривать как резервуар при не-
изменяющемся давлении и температуре. В таких случаях основной
закон для наивыгоднейших рабочих процессов гласит: данная система
должна быть приведена к давлению и температуре окружающей
среды каким-нибудь обратимым путем. Если Е\, и означают
общую энергию, объем и энтропию системы (без наружной среды)
в начальном состоянии, Г2, ^2 п $2 “ те же величины после обра-
тимого перехода в конечном состоянии, Го и Ро— температуру и
давление окружающей среды, то полезная работа в кг-кал опреде-
ляется из
ALn = (£, - Е2) - Го - 52) + АР. (- У2).
Каждый из трех членов уравнения может иметь положительное
или отрицательное значение.
Потеря работы в кг-кал, которая в подобных случаях воз-
никает вследствие некоторой необратимой части процесса, равна
произведению из абсолютной температуры окружающей среды на
происходящее в этой части процесса увеличение энтропии.
Если из чисто практических сооб, ажений (недостаток охлажда-
ющей воды, невыгодный коэфициент передачи тепла) обмен тепла
между системой и окружающей средой невозможен, то довольству-
ются тем, что обратимым путем приводят систему лишь к давлению
окружающей среды.
с)	Формулы, основанные на обоих главных законах
Если все величины для единицы веса тела обозначим малыми
буквами v, s, и, а тептоемкость при постоянном давлении и соответ-
ственно постоянном объеме через ср и cv, то из главного уравнения
dQ = Tds = du-\- APdv
646 Т. I. Отд. 4. Теплота. III. Основные законы термодинамики
получатся соотношения:
dS~~ \ d~T)pdP^CP ~ А \ dTJvdv^Cv Т '
В некоторых технических применениях введение наряду с энер-
гией подобной ей величины i = иAPv представляет большое удоб-
ство. Эта величина представляет общее количество тепла при по-
стоянном давлении и называется „теплосодержанием*. От введения
величины i основное уравнение перелодит в
dQ = Tds = di — A vdP;
кроме1 того,
о-*
(^v\ _ дт(&_р\	(dT\-	di \ _ АГ , d(v/T)\
{dv J?1 \дТ‘); \dPJt~	ср{дР)т~ ep k dT )p
d)	Графические изображения
Во всех технических применениях термодинамики графические
построения состоят обыкновенно в том, что состояние рассматривае-
мого тела изображается точками на плоскости, для чего какие-либо
две из величин Р, Т, V, S, /, U выбираются в качестве прямоуголь-
ных координат в соответствующем масштабе 1).
*) Масштаб выбирается в зависимости от размеров предполагаемого чертежа.
Графически^ изображения. Совершенные газы
647
Диаграмма PV, диаграмма работы, индикаторная диаграмма.
Площщь под кривой, изображающей изменение состояния, пропор-
циональна произведенной работе fРdV.
Тепловая диаграмма, диаграмма TS. Энтропия откладывается
по оси абсцисс, а абсолютные температуры — по оси ординат. Пло-
щадь между полученной кривой, осью S и конечными ординатами
представляет теплоту, воспринятую телом. Адиабаты и изотермы
(см. стр. 654) в тепловой диаграмме имеют вид прямых, параллель-
ных осям. Тепловые диаграммы особенно целесообразны для изобра-
жения явлений, имеющих место в тепловых двигателях.
Энтропийно-тепловая диаграмма 9 (IS). Общее количество
тепла I = U-|- APV откладывается по оси ординат, а энтропия — по
оси абсцисс. Диаграмма эта в применении к тепловым двигателям
представляет то удобство, что все важнейшие величины для работы
и теплоты изображаются в ней отрезками, которые нетрудно отме-
рить и найти их чис овые значения. Энтропийно-тепловые диаграммы
особенно удобны во всех случаях, когда рассматривается движение
газообразных тел и прохождение их через сжатые сечения, а также
для паровых турбин. Такую диаграмму для водяного пара см. на
стр. 678.
IV. Совершенные газы
(Обозначгния см. сгр. 643)
Совершенными газами называются такие, к которым применимы
законы Бойля и ^Мариотта. Оба закона соединены и выражены
в основных уравнениях состояния совершенных газов:
Pv — RT\ PV=GRT.
R — называется постоянною газа; она обратно пропорциональна
плотности и молекулярному весу М газа. Если принять молекуляр-
ный вес кислорода = 32, то
R = 848/Af.
Это соотношение следует из закона Авогадро, по которому рав-
ные объемы газов при одинаковом давлении и температуре содер-
жат для всех газов одинаковое число молекул.
Из уравнений состояния и на основании соотношений, приве-
денных на стр. 646
т. е. энергия совершенных газов есть только функция температуры
(закон Дж а у л я).
’) М oilier, Neue Diagramme zur technischen Wafmelehre. VDI 1904,
стр. 271 и сл.
648
Т. I. Отд. 4. Теплота. IV. Совершенные газы
У газов — за исключением одноатомных — теплоемкости ср и cv
увеличиваются вместе с увеличением температуры (см. таблицу на
стр. 649). В пределах средних температур — особенно для дву-
атомных газов — можно считать теплоемкости величинами постоян-
ными и принять их равными некоторым средним значениям.
В нижеследующей таблице (стр. 649) эти значения определены для
комнатной температуры. Независимо от изменения теплоемкости из-
за перемены температуры всегда справедливо уравнение:
ср - cv = AR = 1,987/Л/	2/Л4.
Отношение теплоемкостей х = cpjcv имеет для одноатомных га-
зов неизменяющееся значение х=5/:ь а для двуатомных при обычных
температурах — почти постоянное значение х = 1,4. Для газов более
чем двуатомных значения х меньше и сильно зависят от темпе-
ратуры.
Кроме того,
^ = 2/М(х-1), ^ = 2х/Л4(х-1),
а для двуатомных газов
сг, = 5'Л4, ср = 7/М.
Количество энергии u = cvt-\-Cy если cv постоянно; в против-
ном случае и = j" cv dt -f- С. Общее количество тепла i' — cpt |- С,
если ср постоянно; в противном случае i = f cpdt + С и
dQ = сvdT+ APdv = CpdT- AvdP.
Энтропия совершенных газов определяется следующими выра-
жениями:
= cv In (АЛ) 4 С = cv In Р 4- ср In v + С
= cvln(Tvl-l) + C=cv\n Т + AR Inv-f-C
= СР 1п ~р(~х?'1)7г+ С = ср In Т - AR In Р + С.
Для газов во многих случаях удобнее производить расчеты отно-
сительно единицы объема вместо единицы веса. В качестве единицы
объема выбирают или один моль или лг3 при нормальных значениях
давления и температуры (нормальный кубический метр).
Моль — количество вещества, весящее М кг. Так как моль вещества, согласно
закону Авогадро, для всех совершенных газов при равных давлениях и тем-
пературах будет занимать один и тот же объем, то он одновременно является и еди-
ницей объема.
Нормальный кубический метр как в физике, так и нередко в технике, отно-
сится к 760 мм р. с. (1 ат.) и к О'1. Эту единицу обозначим N м3. При этом не-
обходимо различать количес!во вещества, которое действительно содержится 1 в м3
при (Г и 1 ат, от того количества, которое могло бы в м3 содержаться, если бы
газы строго следовали законам совер пенных газов (теоретический нормальный
кубический метр). Если нет никаких указаний, то предполагается именно последнее;
Таблица 1. Удельный вес и теплоемкость газов
Газ	Формула	Атомность	।	Молекулярный вес М		Вес в кг 1 м3 при 0° и 760 мм р. с.	Плотность по отношению	I к воздуху -- 1	1	Газовая передача R	Теплоемкость для 1 кг		Теплоемкость для 1 моля при 20° и 1 ат.		сп
								при и 1	20° ат.			
			при- близи- тель- ный	точный ДЛЯ Оа=32				СР	cv	ср	Cv	
Гелий 		Не	1	4	4,00	0,1785	0,138	212,0	1,251	0,755	5,00	3,02	1,66
Аргон 		Аг	1	40	39,94	1,782	1,378	21,26	0,127	0,077	5,07	3,07	1,66
Воздух 	 •	—	—	(29)	(28,95)	1,293	1,000	29,27	0,241	0,172	6,97	4,98	1,40
Кислород 		о»	2	32	32	1,429	1,105	26,50	0,218	0,156	6,99	4,99	1,40
Азот		N2	2	28	28,02	1,251	0,968	30,26	0,250	0,178	6,99	4,99	1,400
Водород 		Н8	2	2	2,016	0,0898	0,0694	420,6	3,408	2,420	6,87	4,88	1,407
Окись азота 		NO	2	30	30,01	1,342	1,036	28,26	0,241	0,175	7,26	5,26	1,38
Окись углерода 		СО	2	28	23,00	1,250	0,967	30,29	0,250	0,180	7,01	5,02	1,40
Хлористый водород . . ,	НС1	2	36,5	36,47	1,639	1,268	23,25	0,191	0,136	7,00	5,00	1,40
Углекислота 		СОа	3	44	44,00	1,977	1,529	19,27	0,202	0,156	8,89	6,86	1,30
Закись азота 		N.O	3	44	44,02	1,978	1,530	19,26	0,21	0,164	9,24	7,20	1,28
Сернистая кислота ....	so2	3	64	64,07	2,928	2,264	13,24	0,151	0,120	9,68	7,63	1,25
Аммиак		NH3	4	17	17,03	0,771	0,596	49,79	0,53	0,41	9,00	7,00	1,29
Ацетилен 		С2Н8	4	26	26,02	1,171	0,912	32,59	0,402	0,323	10,46	8,41	1,24
Хлорметил	•	СН3С1	5	50,5	50,48	2,309	1,783	16,80	(0Д8)	(0,14)	(9,Ю)	(7,10)	1,28
Метан		сн*	5	16	16,03	0,717	। 0,555	52,90	0,531	0,406	8,51	6,51	1,31
Этилен		сан4	6	28	28,03	1,260	! 0,975	30,25	0,365	0,292	10,23	8,19	1,25
Этан		сан6	8	30	30,05	1,356	1 1,038 1-	28,21	0,413	0,345	12,41	10,34	1,20
Удельный вес и теплоемкость газов
650
Т. I. Отд. 4. Теплота. IV. Совершенные газы
1 моль = 22,41 N лЛ Отнесенный к технической единице давления 1 N м3 = 1 м3
нри 1 ат и —8,8°. Принимая во внимание, что N м3 плохо подходит к техниче-
ским единицам, а также не дает круглых цифр для средних температур, в технике
обычно пользуются другими единицами; например 1 ма при 1 ат и 15° = 1|24,42 моля.
Так как для нас особенно важно, чтобы избранная единица находилась в простом
соотношении о молем, то за такую единицу примем 1/?4 моля, чго соответствует
1 м3 при 1 ат и 10'; этот нормальный кубический метр обозначим и м3.
Если т—количество вещества в молях, то G = шМ; уравнение
состояния принимает следующую форму:
РИ = 848тГ, ЛР- V = 1,987 тТ 2тТ
и для одного моля
ру= 848 Г, APV^ZT.
Вес 1 N м3 = М/22,41, а 1 п = М/24.
Оба количества относятся между собою по весу, как 1,071 : 1.
Теплоемкости для 1 моля будут
Мср и Мсо и — Мер = 1,987	2;
далее
Мср= 1,987 -х/(х — ]) и Mcv= 1,987/(х — 1).
Для двуатомных газов (х = 1,4):
Мср = 6,95 или ~ 7;
Nlcv = 4,96 или ~ 5.
Для 1 N м3:
Ср = МСр/22,41; Cv = Мс^/22,41; Ср — Cv = 0,0887 ~ 0,089;
далее
Ср = 0,089 • х/(х — 1); Cv = 0,089/(х - 1);
для двуатомных газов:
Ср = 0,311	0,31; Cv = 0,222	0,22.
Для 1 пл3:
Ср = М ср/2 4; Cv = М с^/24; Ср — Cv = 0,0828	0,083;
Ср = 0,083 • х/(х - 1); Cv = 0,083/(z - 1);
для двуатомных газсз:
Ср = 0,290; Cv =0,207 ^0,21.
Энтропия для 1 моля:
s = 1,987 In Р + ^-f In v) + So
S = 1,987 (yzH" 1п Г+1п V) + S° = 1>987 (t^T 111 T ~ ln P ) + So-
Изменение теплоемкости с температурой
651
Уравнение состояния газа для идеальных газов представляет тот
предел, к которому стремятся подойти по своим свойствам обыкно-
венные газы. Это приближение тем больше, чем меньше давление
и чем выше температура. Величина отступлений от свойств идеаль-
ных газов может быть установлена путем сравнения столбцов 5 и 6,
табл. 1, стр. 649.
Табл. 2 и 3 содержат для воздуха и водорода значения PvtRT,
более или менее отличающиеся от единицы, тогда как для идеальных
газов это значение равно 1.
Таблица 2. Значение величин PvIRT для воздуха
	0’ j	50»	100°	150е	— 	I  Я1 200е
р = о	1	1	1	1	1
10	0,9945	0,9990	1,0012	1,0025	1,0031
20	0,9895	0,9984	1,0027	1,0о51	1,0064
30	0,9851	0.9981	1.0045	1.0078	1,0097
40	0,9812	0,9982	1,0065	1.0198	1,0132
50	0,9779	0.9W6	1,0087	1,0139	1,0168
60	0,9751	0,9993	1,0112	1,0172	1,0205
70	0,9730	1,0004	1,0139	1,0Д)6	1,0.43
80	0,9714	1,0018	1,0169	1,0242	1,0.82
90	0,9704	1,0036	1,0201	1,0279	1,03.2
100 кг\см*	0,9699	1,0057	1,0235	1,0319	1,0364
Таблица 3. Значение величин PvIRT для водорода
t =	— 150°	— 1(0^ '	- 50° |	0°	50°	|	100"	2
Р = 0	1	1	1	1	1	1	1
10	1,0032	1,0064	1,0064	1,0061	1,0055	1,0'49	1,0.39
20	1,0073	1,0130	1,0130	1,0122	1,0111	1.00*8	1,0)78
30	1,0122	1,0199	1,0197	1,0183	1,0166	1,0148	1,0118
40	1,0180	1,0271	1,0265	1,0245	1,0222	1,0197	1,0157
50	1,0245	1,0345	1,0334	1,0307	1,0277	1,0246	1,0196
61	1,0319	1,0422	1,0404	1,0370	1,0332	1,0295	1,0235
70	1,1 402	1,0501	1,0476	1,0433	1,0388	1.0345	1,0274
8Q	1-,0492	1,0584	1.0548	1,0496	1,0443	1.03°4	1,0313
90	1,0591	1,0668	1,0622	1,0569	1,04('8	1,0443	1,0353
100 кг) см2	1,0699	1,0756	1,0697	1,0625	1,0554	1,0492	1,0392
Изменение теплоемкости с температурой. Из опытов Г’оль-
борна и Ген и : н г а, Пира, Бьеррума и др. получены ниже-
следующие средние значения темплоемкости при постоянном давле-
нии, отнесенные к 1 молю (М ср\ Чтобы получить значение ср для
1 кг, достаточно данные таблицы разделить на молекулярный вес
соответствующего газа. Если желают получить теплоемкость для 1 м3,
то данные таблицы делят либо на 22,41, либо на 24, в зависимости
от того, относятся ли расчеты к 0° и 760 мм давления или
к 1 лт и 10°.
652	т. I. Отд. 4. Теплота. IV. Совершенные газы
Таблица 4. Средняя теплоемкость М ср одного моля между 0°
и t° при постоянном давлении
Темп.	n?,o2, СО	Н2О	СО2	Темп. Г	n2, о„ СО	Н2О	СОа	Темп.	N.O., СО	Н2О	СО,
0	6,98	8,25	8,67	1100	7,29	9,13	11,54	2200	7,66	10,63	12,41
100	7,01	8,32	9,19	1200	7,32	9,23	11,65	23'Х)	7,70	10,83	12,46
200	7,03	8,39	9,64	1300	7,36	9,34	11,75	2400	7,73	11,04	12,51
300	7,06	8,46	10,01	1400	7,39	9,45	11,84	2500	7,77	11,25	12,56
400	7,09	8,54	10,32	1500	7,42	9,57	11,93	2600	7,80	11,49	12,60
500	7,11	8,61	10,58	1600	7,46	9,69	12,01	2700	7,84	11,74	12,64
6Г0	7,14	8,69	10,79	1700	7,49	9,83	12^09	2800	7,88	12,00	12,68
700	7,17	8.77	10,97	1800	7,52	9,97	12,16	2900	7,92	12,25	12,71
800	7,20	8,86	11,13	19QP	7,56	10,13	12,23	3000	7,95	12,52	12,74
900	7,23	8,95	11,28	2300	7,59	10,29	12,29				
1000	7,26	9,04	11,41	2100	7,63	10,46	| 12,35				
Значения, приведенные во второй						колонне (N_„ О.г, СО)			, могут	• применяться	
и к другим двуатомным газам, а также и к смесям таких газов.
Реньо, Видеман, Тибо и Нернст нашли следующие
значения теплоемкости ср для 1 кг вещества, в пределах указанных
в таблице температур:
Таблица 5. Теплоемкость ср при постоянном давлении для 1 кг
в указанных температурных пределах
Газ (пар)	Темпе- ратура	СР	Наблю- датель	Газ (пар)	Темпе- ратура	СР	Наблю- ' датель |
Ацетон С3Н6О . .	26-5-110	0,347	1 R	Аммиак NH3 . . .	23 -5-100	0,520	1 R
	27-5-179	0,374	1 В*		27-5-200	0,536	J В-
	129-5-273	0,412	Р.		3654-680	0,65	Н.
Этилен С2Н4 . . .	0	0,336		Бензол С6Н6 . . .	34-5-115	0,299	| в в.
	100	0,419	} В*		35-5-180	0,322	
	200	0,502			350	0,499	Т.
Эфир C4Hj0O . . .	25-5-111	0,428	1 в	Хлороформ СНС13	27-5-118	0,144	\ в.
	27-5-189	0,462			28-5-189	0,149	/
	69-5-224	0,480	р.		35J	0,152	т.
	350	0,601	т.	Закись азота N O	26-5-103	0,213	1 в
Спирт С,Н6О . . .	108-5-220	0,453	р.		26-5-206	0,224	Jв-
	-350	0,613	т.				
Для тел, играющих важное значение в процессе горения газов, как например
метан (СН4), этилен (С2Н4) и пары бензола (С6Н6), можно приблизительно принять
[М гД = 7,7 + 0,008 t для СН4,
[М = 9,4 4- 0,0111 для С2Н4,
(М ср)* = 19 + 0,028 t для СвН6.
С мп си газов
653
Таблица 6. Средняя теплоемкость воздуха в пределах от 20
до 100°, при различных давлениях
(По Гольборну и Якобу’)
	1	25	59	100	15J	290	300 am
cp =	0,242	0,249 |		0,269 |	0,282 i	0,292	0,303
а) Смеси газов
Пусть данная смесь состоит из отдельных газов, у которых веса
частиц равны glt g2, £3..., объемы гь г2, г3... или моли ть т2, т3..,
причем
E(ft)=l, £(rz)=l, E(^z) = m.
Для соотношений весовых объемных частей справедливы урав-
нения:
„ _	г = & .у (&\	г
2 (GMz) ’	1 Mi * I Mz г	1 m
Смеси газов заполняют данное пространство так, как если бы
каждая составная часть смеси занимала одна это пространство, неза-
висимо от присутствия других составных частей; частичные (пар-
циальные) давления газов слагаются в общую сумму и дают конеч-
ное давление смеси (закон Дальтона). Поэтому для смесей спра-
ведливы те же законы, что и для простых газов.
Частичные давления газов относятся между собою, как их объемы
или как их моли:
Pi • Pz • Рз- = П : г2 : г3... =- т1: т2 : ш3...
= PllP, Г2 = р2/р.
Постоянная газовой смеси
/ gi \	/ G \	848
R = S (ft Ri) = 848 2 mz у = 1/L	~ £(г. мр *
Выражение 2 (rzMz) занимает для смеси место молекулярного,
веса (кажущийся молекулярный вес).
Если мы выразим состав смеси газов при посредстве молей
отдельных составных частей, то уравнение состояния смеси получит
следующий вид:
Р V= 848 £ (znz) Т = 848 т 7,
*) Warmetabellen der phys.-techn. Reichsanstalt.
654
Т. I. Отд. 4. Теплота. IV. Совершенные гавы
т. е. оно ничем не отличается от уравнения состояния для простого
газа.
Смеси двуатомных газов для 1 лс3 при 0° и 760л/л£ давле-
ния (N м3) или для 1 м3 при 10е и 1 ат м3 имеют :
= 0,311 С = 0,290	, Мг^7
cv = 0,222 или cv = 0,207 ’ для 1 моля М с„ « 5
Теплоемкость смесей:
ср ~ S (Si cPi),	cv = 2 (Si cvi\ cp = £ (9
Cp = %(riCpi),	^(ri^vi)i cp— Cv = Д/j .)•
= 2 (ri cpi}> Mcv = Z(riMi Cvi), Cp-Cv ~ 2-1
b)	Особые случаи изменения состояния
(Кривые расширения)
Нижеследующие формулы отнесены к G кг газов. Если имеется
единица веса, то вместо И, {/, / и S надлежит поставить соответ-
ствующие малые буквы, а вместо G — единицу. Указатели 1 и 2
относятся к началу и концу изменения состояния (процесса). ср и
cv считаются постоянными.
1.	Объем постоянен •— изоплера (изохора)
g- = i( Q^U.-U^Gc^-t.)
Q = ^[	V(p2-Pl)w
Для двуатомных газов Q = 58,5 V(p2— pj.
2.	Давление постоянно (изобара)
=	L^P(V2-V1) = GR(t2-tl).
Q = О = AL.
3.	Температура постоянна (изотерма)
U =2 const,	pV = const,
= £=G/?Tlng = P1V1ln^, (?-ЛА(фиг.1).
4.	Энтропия постоянна (адиабата)
Q = o,...............................................(1)
р V’ = const, pjp2 = (V,/	........................(2, 3)
Гпучаи ^вменения состояния
655
Г1/х-1= const, r1/T2 = (K2/IZI)-i................................(4,	5)
= const, 7'i/7'2 = (pl/p2)(’-i)x,
AL =	— U2 == G cv(t} — /2)»
Для расчетов с помощью этих формул и фор-
мул, приведенных в последующей главе, пользу-
ются таблицей на стр. 656.
Значения показателей для двуатомных газов:
% = 1,4, х —1 =0,4,	(х —1)/х = 0,286,
1/х = 0,714,	1/(х — 1) = 2,5,	х/(х - 1) = 3,5,
5.	Политропа.
рУ” = const, pvn = const.
Эта кривая часто применяется для графического изображения
расширения в тепловых двигателях, причем показатели п обычно
колеблются в пределах между 1 и х. Уравнения, приведенные выше
для адиабаты (2 — 7), действительны и для политропы, если вместо
х подставить п.
Политропы для газов представляют кривые постоянной тепло-
емкости:
сп = cv (п — х)/(п—1), для 1<л<х сп отрицательно.
AL = G (сп - с(t2 - Л), Q = G сп (t2 -	,
Построение политропической кри-
вой1) (фиг. 2). Проводят О 4 под про-
извольным углом а к оси абсцисс;
определяют угол YOB = р из уравне-
ния (1 -]- tg ₽) = (1 -j- tg а)л; из точек С
и £>, соответствующих ординате и
абсциссе р$ и и0 для начального со-
стояния, проводят попеременно норма-
ли и наклонные под углом в 45° к коор-
динатным осям, как указано на фиг. 2;
тогда 1, 2, 3—точки искомой кривой.
’) Е. Brauer; ср. 2VDf 1885, стр. 433.
655
Т. I. Отд. 4. Теплота. IV. Совершенные газы
Таблица 7. Адиабатическое и политропическое расширение газов
		Для п				Для п		
Ps	!,4 (адиабата)	1.3	1,2		1,4 (адиабата)	I 1,3	1 *’2	L±l
	(Р1/р2)1/л = V2'Vi =				(р./р,:		= т,/г,=	
М	1,070	1,076	1,083	1,090	1,028	1,022	1,016	1,009
1,2	1,139	1,151	1,164	1,180	1,053	1,043	1,031	1,017
1,3	1,206	1,224	1,244	1,269	1,078	1,062	1,045	1,024
1,4	1,271	1,295	1,323	1,358	1,101	1,081	1,058	1,031
1,5	1,336	1,366	1,401	1,445	1,123	1,098	1,070	1,038
1,6	1,399	1,436	1,479	1,533	1,144	1,115	1,081	1,044
1,7	1,461	1,504	1,557	1,620	1,164	1,130	1,092	1,059
М	1,522	1,571	1,633	1,706	1,183	1,145	1,ЮЗ	1,055
1,9	1,581	1,638	1,706	1,791	1,201	1,160	1 113	1,060
2,0	1,641	1,705	1,782	1,879	1,219	1,174	1,123	1,065
2,5	1,024	2,023	2,145	2,300	1,299	1,235 1,289	1,165	1,087
3,0	2,193	2,330	2,498	2,715	1,369		1,201	1,105
3,5	2,449	2,624	2,842	3,126	1,431	1,336	1,232	1,121
4,0	2,692	2,907	3,177	3,505	1.487	1,378	1,260	1,134
4,5	2,926	3,178	3,5')0	3.925	1,537	1,415	1,285	1,147
5,0	3,156	3,449	3,824	4,320	1,583	1,449	1,307	1,157
5,5	3,378	3,712	4,142	4,710	1,627	1,482	1,328	1,167
6,0	3,598	3,970	4,447	5,100	1,668	1,512	1,348	1,177
6,5	3,809	4,218	4,760	5,483	1,707	1,540	1,366	1,186
7,0	4,012	4,467	5,058	5,861	1,742	1.566	1,383	1,194
7,5	4,217	4,710	5,360	6,250	1,778	1.591	1,399	1,201
8,0	4,415	4,050	5,650	6,620	1,811	1^616	1,414	1,208
8,5	4,612	5,187	5,950	6,997	1,843	1,639	1,429	1,215
9,0	4,800	5,420	6,24Q	7.370	1,873	1,660	1,442	1,221
9,5	4,093	5,651	6,528	7,742	1,903	1,681	1,455	1,227
10,0	5,188	5,885	6,820	8,120	1,931	1,701	1,468	1,233
11	5,544	6,325	7,376	8,845	1,984	1,739	1,491	1,244
12	5,900	6,763	7,931	9,574	2,034	1,774	1,513	1,253
13	6,247	7,193	8,478	10,39	2,081	1,807	1,533	1,263
14	6,587	7,614	9,018	11,01	2,126	1,839	1,549	1,271
15	6,919	8,030	9,551	11,73	2,168	1,868	1,570	1,279
16	7,246	8,438	10,08	12,44	2,208	1,896	1,587	1,287
17	7,566	8,841	10,60	13,14	2,247	1,923	1,604	1,294
18	7,882	9,238	11,12	13,84	2,284	1,948	1,619	1,301
19	8,192	9,631	11,63	14.54	2,319	1,973	1,633	1,307
-20	8,498	10,02	12,14	15,23	2,354	1,996	1,648	1,313
21	8,803	10,40	12,64	15,93	2,387	2,019	1,661	1,319
22	9,097	10,78	13,14	16,61	2,418	2,041	1,674	1,324
23	9,390	11,15	13,64	17,30	2,449	2,062	1,688	1,330
24	9,680	11,53	14,13	17,97	2,479	2,082	1,698	1,335
25	9,967	11,89	14,62	18,65	2,508	2,102	1,710	1,340
26	10,25	12,26	15,10	19,34	2,537	2,121	1,721	1,345
27	10,53	12,62	15,58	20,01	2,564	2,140	1,732	1,349
28	10,81	12,98	16,07	20,68	2,591	2,158	1,743	1,354
29	11,08	13,33	16,54	21,36	2,617	2,175	1,753	1,358
30	11,35	13,68	17,02	22,02	2,643	2,192	1,763	1,362
31	11,62	14,03	17,49	22,69	2,667	2,209	1,773	1,366
32	11,89	14,38	17,96	23,35	2,692	2,225	1,782	1,370
33	12,15	14,69	18,43	24,01	2,715	2,241	1,792	1,374
34	12,42	15,06	18,89	24,68	2,739	2,256	1,890	1,378
35	12,67	15,41	19,35	25,34	2,761	2,272	1,8<9	1,382
36	12,93	15,74	19,81	25,99	2,784	2,287	1,817	1,385
37	13,19	16,07	21,26	26,65	2,806	2,301	1,826	1,389
38	13,44	16,41	20,72	27,30	2,827	2,315	1,834	1,392
39	13,69	16,74	21,18	27,95	2,848	2,329	1,842	1,395
40	13,94	|	| 17,07	21,63 |	। 28,60	2,869	2,343	1,850	1,398
Особые рабочие процессы
657
Выгодно сделать tg а = 0,25; тогда для
/2 = 1,1	1,2	1,3	1,4 
tg (3 = 0,278	0,307 0,337	0,367
6.	Исследование кривой расширения (определение показа-
теля п). Пусть Vi и V2 — объемы двух состояний, и ^ — давле-
ния; тогда
п = (lgPi — lg/>2)/(lg Vz - lg Vt)-
При определении n для нескольких точек можно выяснить, будет ли
оно величиной постоянной и в каких пределах, и в какой мере
можно принимать изменение состояния данного тела по политропе.
При /2=1 получается равнобокая гипербола. Еще лучше
определить показатель п, если для различных точек кривой расши-
рения откладывать 1g И и lg/> в прямоугольных координатах. Для
/2 = const получается прямая; тангенс ее угла наклона = п.
с)	Особые рабочие процессы
1.	Круговой процесс (цикл) Карнэ (фиг. 3). Процесс протекает
по двум изотермам Т и Го и двум адиабатам.
7 2, адиабатическое сжатие от То до Т,
2	3, изотермическое расширение,
3	4, адиабатическое расши| ение от Т до 7'с,
4	7, изотермическое сжатие.
Рг Pt=PiPs> С2 р2 = V3 р3,
^2 ^4 — Л Л),	Pi = lZl р\,
К Ц,--- v\ 14,
L = GR (t- t0) In %. = P, Vi - 1) ln^» .
7*3	\;o	/ Pi
Коэфициент полезного действия цикла Карно:
V) = лд/<?23 = (7’— Го)/Г.
На фиг. 3 площадь 2 3 b а представляет собою
тепло Q23’ введенное в процесс, а площадь 4 1 ab—
отведенное тепло Q41. Площадь прямоугольника 1 2
3 4 дает получаемую работу цикла в кг-кал.
Если цикл протекает в обратном порядке, то
расходуется работа L, и теплота Q14 отводится при
низкой температуре Го; последняя в холодильной
машине представляет производительность охлажде-
ния.	фиг- 3.
658	Т. 1. Отд. 4. Теплота. IV.* Совершенные гавя
Величина
_ 014 __ П
AL Т — TQ
называется коэфициентом производительности хо-
лодильной машины, работающей по циклу Карно.
2.	Круговой процесс, протекающий между двумя изобарами
и двумя адиабатами (фиг. 4) (машины, действующие горя-
чим или холодным воздухом).
И4=г3 = г4 г2=ть	=
V2~ V'i Т2 Г/ Т4 \V2J \V3J \pj
(см. таблицу стр. 656);
AL — G с? (/3 — /2 — ^4	^1),
Для машин, действующих холодным воздухом (воздуходувки),
теоретическая площадь поршня F в м2 (.тля компрессоров двойного
действия)
где с — скорость поршня в м!сек и (?0- производительность охла-
ждения кг-кал/час.
3.	Круговой процесс между двумя изоплерами (изохорами)
и двумя политропами или адиабатами (цикл Оттов двигателях
внутреннего сгорания) (фиг. 5).
Показатель п для обеих политроп одинаков.
^2 _ 1 _ Р2 _ Pi
р9 pi'
Особые работав процессы
659
Га = Т\ = /М(л “ 1)/л _ ЛМ(" “ ^n(V_\n ~ 1
Л Л Ы \PJ
Среднее (индикаторное) давление диаграммы:
L
Таблица 8. Значения для а
рч	Р1	1 3	4	5	6	8	10	12	14	16
п = 1,4	а —	1,70	1,94	2,13	2,31	2,62	2,88	3,10	3,31	3,50
п= 1,3	а =	1,69	1,92	2,11	2.28	2,57	2,81	3,03	3,22	3,39
П = 1,2	а =	1,68	1,90	2,08	2,25	2,51	2^74	2,94	3,12	3,27
Если кривые 1 2 и 3 4 — адиабаты, то везде вместо п надо под-
ставить у.; кроме того,
= +
4.	Воздушный компрессор (фиг. 6).
Для компрессора без вредного простран-
ства и без потери работы (фиг. 6) рабо-
та сжатия для G кг и соответственно
Vм? воздуха или газа с давлением pQ
и температурой /0 до давления р будет:
Фиг. 6.
1. При изотермическом сжатии:
Р.
L— f VdP=GRT0\n —P0VAn —
I	Ро 0 Ро
так как
Г1 _ Та _ TOl Pi — ра И2, рх — pq.
660	!• ОТД- Теплота. TV. Совершенные гавы
Теплота, которая должна быть отведена охлаждающей водой
во время сжатия, Q12 = AL.
2. При политропическом или адиабатическом
сжатии:
L = G -	j R(t2 — ti).,
Pi — Рь> T\ — TQ.
Для адиабаты необходимо и заменить у..
Теплота, которая должна быть отведена,
<?12= —~г — al.
^12 X — 1 п
Наименьшую, а потому и наивыгоднейшую работу сжатия, дает
изотермический процесс, почему изотермой и пользуются для
сравнения при исследовании работы действующих компрессоров.
Выражение для работы сжатия (площадь L фиг. 6) можно во всех
случаях изобразись также в виде Л = 10 000 где рт среднее
давление идеального компрессора, работающего без вредного про-
странства и без потерь. Для определения рт при различных кривых
сжатия служит приведенная ниже таблица; рП1 == pQb (Ъ представляет
среднее давление, если всасывающее давление Pq=\ ат).
Таблица 9. Значения для b
Ч: II	1,5	2	2,5	3	4	5	6	8	10
п = 1 изотерма	} 0,405	0,693	0,916	1,099	1,386	1,61	1,79	2,С8	2,30
п = 1,1	J 0,418	0,715	0,957	1,155	1,470	1,73	1,95	2,29	2,56
л = 1,2	0,4z0	0,738	0,990	1,205	1,560	1,84	2,09	2,48	2,81
л = 1,3	0,425	0,754	1,018	1,252	1,640	1,95	2,22	2,67	3,04
л = 1,4 адиабата	} 0,430	0,768	1,046	1,290	1,703	2,04	2,34	2,84	3,26
Для получения работы компрессора-компаунд следует в вышеприведенные
формулы и таблицу подставить вместо р[р0 величину Vpip^ и полученную работу
удвоить в том предположении, что в промежуточном холодильнике охлаждение
производится до начальной температуры tQ.
Существующие компрессоры (фиг. 7) всасывают меньше воз-
духа, чем это соответствует полезному объему цилиндра. Отноше-
ние действительного количества всасываемого воздуха в м3 давления
Особые рабочие процессы. Пары
661
Ро и температуры t0 к полезному объему цилиндра называется коэфи-
циентом или степенью подачи К компрессора. Коэфициент этот
обусловливается величиной вредного пространства (обратное рас-
ширение 3 — 4, фиг. 7), сминанием (дросселированием) всасываемого
воздуха (Pl<ZPq) и его нагреванием от сгенок канала и цилиндра
(^1 > ^о)-	о
Измеренная индикатором индикаторная А Л-
работа сжатия всегда больше теоретической
работы при изотермическом сжатии; отноше-
ние обеих работ называется индикатор-
ным коэфициентом полезного
действия xii компрессора; он обусловли- U---^------“-------u‘*
вается недостаточным охлаждением (п > 1),	*>
увеличением работы вследствие сминания и	фИг. 7.
вредным нагреванием свежего воздуха от
стенок цилиндра во время всасывания, ибо работа увеличивается
вместе с повышением абсолютной температуры Тг. Если рП1 — сред-
нее давление теоретического (идеального) процесса, a pt— сред-
нее индикаторное давление исследуемого компрессора, К — коэфи-
циент его подачи, то r\. = X • рт1р1.
Коэфициент полезного действия и степень подачи К сильно
ухудшаются вследствие влияния стенок, особенно при увеличении
отношения давлений р:pG; этим объясняется выгодность действия
компрессоров компаунд двойного сжатия.
Для выяснения вредною влияния стенок определяют темпера-
туру после всасывания и в момент начала сжатия.
Л __(£i + g(? ‘ PiIPq
(сз +ео) ЧРз/Ро) * (То'Тз) +
Г3 принимают приблизительно равной температуре выходящего
воздуха. е0 есть отношение объема вредного пространства к объему,
описываемому поршнем, е3 и ех соотв. объему, пропорциональ-
ному пути, пройденному при начале обратного расширения и начале
сжатия, которые обычно принимаются равными 0 (или 1). Формулой
можно пользоваться для вычисления температуры и в какой-либо
другой точке кривой сжатия. Предполагается, что поршень и распре-
делительные органы совершенно плотны.
V. Пары *)
Если какой-либо газ сжимать при достаточно низкой постоян-
ной температуре, то этот газ при некотором определенном
давлении (так наз. д а в л е н и и насыщения), зависящем только
от этой температуры, и соответствующем объеме v" начнет перехо-
дить в жидкое состояние. Если дальнейшим уменьшением объема
’) Ф. М ю и ци нге р, Пар высокого давления, изд. Макиз 1926 г,
А. Р а д ц и г, Таблицы и диаграммы водяного пара, Госиздат, 1923 г. Москва,
662
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Паря
продолжать сжатие газа, то, начиная с этого момента, температура
и давление остаются без изменения до тех пор, пока газ не перей-
дет полностью в жидкое состояние; при этом жидкий газ будет зани-
мать объем vf.
Между началом и концом перехода в жидкое состояние газ будет
представлять смесь из газообразной (парообразной) части и жид-
кости (жидкая фаза). Пусть для 1 кг смеси х представляет паро-
образную часть, а у = 1 —х жидкую часть.
В области влажного пара или в пределах насыщения
температура будет только функцией давления — и наоборот. Соотноше-
ние между этими величинами называется уравнением упругости или
кривой давлений. Температура, соответствующая атмосферному давле-
нию, называется температурой кипения.
В последующем, где это необходимо для отличия и большей
ясности, температура насыщения, соответствующая данному давле-
нию pt будет обозначаться буквой t или Т (абс.).
Для каждого газа существует определенная наивысшая (предель-
ная) температура tk и соответствующее давление-pk, выше которых
переход газа в жидкость указанным выше путем больше не происхо-
дит. При таких обстоятельствах имеет место лишь постепенный переход
всей массы из одного аггрегатного состояния в другое. Состояние,
соответствующее температуре и давлению tk и pk, называется кри-
тическим. В этом сост >янии предельные точки (предельные кри-
вые) жидкости и пара совпадают. Вне значений tk и pk не суще-
ствует определенных границ между обоими аггрегатными состояниями.
Таблица 1. Температура кипения f760, критическая темпера-
тура tk, критическое давление pk am и критический объем
vk м3!кг
		I	Pk |	Ч	!|		6,0		Pk	vk
Ртуть, Hg .... Нафталин, С1РНЯ . Анилин, CcH7N . . Вода, Н2О ....	357 218 184 100	14.50| 468 425 374	1000 40 54 225	0,2 3,1	Сероводород, На8	 Пропан, С3Н9 . . Хлористый водо-	- 52 - 45	100 97	92 47	
Бензол, СвНв . . . Хлористый угле-	80	290	50	3,3	род, НС1 . . . Закись азота,N„O	- 80 - 92	51 37	84 74	2,2
род, CCh • . . .	77	283	46	1,8	Аиетилен, С,Н2 .	- 84	36	64	4,3
Спирт С«Н6О . . . Нормальный пен-	78	243	65	3,6	Этан, С,НП ". . . Углекислота, СО,	— 93 - 78	32 31	51 75	2,15
тан, C5Hlf . • •	36	197	34	4,3	Этилен, С.4Н4 . .	— 105	10	52	4,7
Эфир, С4Н10О . . . Сернистая кислота,	35	194	37	3,8	Метан, СН4 . . . Окись азота, NO .	-164 -150	- 83 - 93	47 66	6,2
SO2	 Хлористый этил, С.,Н5С1		—10 -13	157 183	80 56	1,95	Кислород, О2 . . Аргон, Аг ... . Окись углерода,	—183 -186	—119 —122	51 50	2,33 1,88
Хлор. С1,	 Хлористый метил,	-34	144	78	1,75	СО	 Азот, N2	1	—190 -196	-139 —147	36 I 34,6	3,2 3,2
СН3С1 . . . . •	-24	143	68	2,7	Неон, Ne . . . . j	—246	-228	27,7	2,07
Аммиак NH3 . . .	—33	133	116		Водород, Н,. . .	-253	-240	13,2	32,3
циан, С,?В ....	-21	| 128	62		Гелий, Не . . , •[	-269	-2681 2ДЗ		15,2
Насыщенный пав
663
а) Насыщенный пар
Обозначения:
v' и Vй—объем в м3/1 кг жидкости и пара в предельном состоянии, т, е. при
давлении насыщения, соответствующем данной температуре,
г—теплота испарения, т. е. количество тепла в кг-кал, необходимое
для испарения 1 кг жидкости при постоянных t и р,
Ф — АР (v" — v’)—работа в кг-кал, производимая при испарении вследствие увели-
чения объема (внешняя теплота испарения),
р г — ф— увеличение энергии в кг-кал вследствие испарения (внутренняя
теплота испарения),
s', i' и энтропия, теплосодержание и внутренняя энергия жидкости
в предельном состоянии.
Имеем следующие соотношения:
I' ~ и' + APv',
i" — i' +/• теплосодержание насыщенного пара
и" и' -|- р внутренняя энергия насыщенного пара,
s" = s' -|- г/Т энтропия насыщенного пара.
Чтобы избежать появления произвольных коэфициентов, теплосодержание I'
и энтропию s' жидкости, находящейся в предельном состоянии при 0°, приравни-
вают нулю.
1.	Уравнение Клапейрона. Эго уравнение выражает для насы-
щенных паров второй закон термодинамики:
Г л t rf
Для влажного пара в любом состоянии:
г
v = v' 4- х (и" — и'), и = и' 4- хр, s = s' 4- х -у’ i = ir 4“ xr.
При изменении состояния 12 для 1 кг
2
<?!2 =	— “/ + *2р3 — -V1P1 -f-dfPdV
1
ИЛИ
2
Q12 — V —- h' + Х2Г2 — Х\Г\— А У v dP.
1
2.	Водяной пар. Нижеследующие таблицы для насыщенных
водяных паров взяты из труда Mollier, Neue Tabellen und
Diagramme fur Wasserdampf. Шестое издание, Springer, 1929 г.
3.	Особые случаи изменения состояния (кривые расширения).
1.	Изотермы, одновременно и линии постоянного да-
вления (изобары): t = const, р = const.
L = P(V2-V1) = GP{v"-v') (x2-xr); Q=Gr(x2-x1).
В диаграммах PV и TS (стр. 647) изотермы представляют прямые,
параллельные оси абсцисс. В диаграмме LS (стр. 647) изотермы
также прямые линии, причем тангенс угла их наклона срответствует
абсолютной температуре Г.
664
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пары
2.	Адиабаты: $ = const.,
81 +	 rJTi = s2' + xz • г2/Т$ AL = G (и/ +	— u/ — x2p2).
При расширении сухого насыщенного водяного пара при давлении
до 25 ат можно в диаграмме PV изображать с достаточным прибли-
жением адиабату в виде политропы:
р V* — const и у. = 1,135.
В этом приближенном уравнении х не имеет того особого зна-
чения, чго у газов. Далее, работа G кг пара
L = W fl _1),xl
z -1L \pJ J ’
3.	Кривые постоянного паросодержания:х = const.
Если x 0,5, то для водяного пара давлением до 20 ат можно
принять с достаточной точностью:
— const или тф0,957 = 1,778 х,
т. е. кривые постоянного паросодержания суть политропы. Для
сухого насыщенного пара, где х= 1,
v"p0’957 = 1,778 или /W1’045 = 1,825.
Кривые для х = 0 и х = 1 называются предельными кри-
выми, ибо они отделяют область насыщенного состояния от других
областей. Для построения кривых одинакового содержания 'пара на
диаграммах PV, TS и JS (стр. 647) деляг отрезки прямых изотерм
между предельными кривыми на равные части и соответствующие
гочки соединяют кривыми.
4. Линии одинакового объема (изоплеры): v — const,
V' 4- х (v" — v') = const.
W' —	Q = G (ll2' + X2p2 — и/ — Xipi).
b) Перегретый пар (несовершенный газ)
У перегретого пара температура при данном давлении выше
нежели температура насыщения, соответствующая тому же.давлению
При низких давлениях перегретые пары приближаются к совершен-
ным газам й подчиняются их законам; чем выше давление, тем
Перегретый пар
665
'Таблица 2. Давление насыщенного водяного пара до критиче-
ской точки в KifCM* 2 i)
(по Гольборну, Генингу и Бауману)
t	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0е	0,0062	0,0067	0,0072	0,0077	0,0083	0,0089	0,0095	0,0102	0,0109	0,0117
10	0,0125	0,0134	0,0143	0,0153	0,0163	0,0174	0,0185	0.01°8	0,0210	0,0224
20	0,0238	0,0254	0,0270	0,0'86	0,0304	0,0323	0,0343	0,0364	0,0385	0,0408
30	0,0433	0,0458	0,0485	0,0513	0,0542	0.0573	0,0006	0,0640	0,0676	0,0713
40	0,0752	0,0793	0,08з6	0,0881	0,0928	0,0977	0,1029	0,1082	0,1138	0,1197
50	0,1258	0,1322	0,1388	0,1458	0,1530	0,1605	0,1683	0,1765	0,1850	0,Ю39
60	0,2031	0,2127	0,22:7	0,'*330	0,2438	0,2550	С,2666	0,2787	0,2912	0.3042
70	0,3177	0,3316	0.3461	0,3512	0,376^	0,3931	0,40°8	0,4270	0,4450'	0,4636
80	0,48_8	(Г,5026	0,5233	0,5446	0.5667	0,58°5	0,6130	0,6372	0.66221	0,6881
90	0,7148	0,7425	0,7710	0,8004	0,8и07	0,8620	0,842	0,9274	0,9616	0,9970
100	1,0333	1,0707	1,1093	1,1400	1,1898	1,231°	1,2751	1,3196	1,3656	2,4125
ПО	1,4610	1,5108	1,5619	1,6145	1,6686	1,7241	1,7810	1,83°5	1,8997	1,9615
120	2,0247	2,0895	2,1564	2,2248	2,2948	2.3670	2,4407	2,5164	2.5939'	2,6735
130	2,7549	2,8383	2,9239	3,0112	3,1011	3.1915	3,2854	3,3830	3,4816	3,5825
140	3,685	3,791	3,899	4,010	4,122	4,238	4,356	4,476	4,600	4,726
150	4,855	4.986	5,121	5,258	5,397	5,542	5,688	5.837	5,°89	6,145
160	6,303	6,465	6,631	6,799	6,072	7,147	7.3'5	7,508	7,694	7,884
170	8,079	8,274	8.476	8,680	8,8с0	9,102	9,319	9,539	9,763	9,993
180	10,225	10,462	10,704	10,°50	11,200	11,454	11,715	11 °79	12,247	12,520
190	12,799	13,082	13,о69	13,662	13,959	14,262	14,571	14,882	15,201	15,525
200	15,854	16,188	16,528	16,872	17,223	17,581	17,945	18,314	18,687	19,068
210	19,453	19,846	20,245	20,648	21,060	21,475	21,899	22,328	22,765	23,208
220	23,655	24,112	24,576	25,045	25,519	26,003	26.403	26,990	27.4 5	28,007
230	28,5^7	29,053	29,586	30,126	30,675	31,232	31,707	32,368	32,948	33,535
240	34,132	34,735	35,348	35,966	36,596	37,235	37,879	38,532	39,195	1 39,866
250	40.547	41,235	41,934	42,641	43,358	44,083	44,817	45)562	46,315	47,077
260	47,850	48,631	49,422	50,223	51,035	51,856	5'\685	53,5 7	54.376	55,238
270	56,110	56,992	57.884	58,787	59,701	60,625	61,550	62,507	63,465	64,435
280	65,42	66,41	67,41	68,43	69,45	70,49	71,55	72,61	73,69	74,78
290	75,88	76,99	78,12	79,27	80,42	81,58	82,77	83,96	85,17	86,39
300	87,63	88,88	90,13	91,41	92,68	93,09	95,29	96.63	97,97	99,32
310	100,68	102,08	103,46	104,88	106,31	107,75	109,20	110,67	112,15	113,66
320	115,17	116,71	118,26	119,83	121,41	123,00	124,62	126,25	127,91	129,58
330	131,25	132,95	134,67	136,41	138,15	130,92	141,71	143,52	145,34	; 147,18
340	149,04	150,91	152,80	154,71	156,65	158,59	160,58	162,56	164,58	166,60
350	168,64	170,71	172,79	174,90	177,02	179,17	181,33	183,53	185.75	! 188,00
360	190,26	192,55	194,86	197,21	199,57	201,99	204,44	206,90	209,40	!211,92
370	214,47	217,07	219,67	222,33	225,05	—	—	—	—	1 -
Примечание. Другие таблицы для водяного пара см. стр. 668 и сл., а для
сернистой кислоты, углекислоты и аммиака стр. 695, 696, 697 2) и сл.
’) Holborn, К. Scheel, F. Henning, WSrmetabellen der Physikalisch-
Technischen Reichsanstalt, Braunschweig 1919.
2) А. Рязанцев, IAS диаграмма для аммиака, Изв. ком. по холодильн.
делу, 1916 г.
666	Т. I. Отд. 4- Теплота. V-. Пары
больше отклонение перегретых паров от этих законов. При данном
давлении отклонение тем меньше, чем выше перегрев, т. е. чем выше
температура; таким образом, максимальное отклонение совпадает
с предельным состоянием насыщения. В критической точке имеем:
Перегретый водяной пар. Для вычисления объема,
энтропии и теплосодержания перегретого пара применяются фор-
мулы Молье, имеющие следующий вид:
v = 47,1 TIP -	— 332 (р/100)*,
5 = 0,47 t - 3! р -	(pl 1 ОО)3 + 595,
i = 0,47 In Т — 0,1103 In Р — ©j р — ®2 (р/1 ОО)3.
Вспомогательные величины 532 и т. д. зависят только от тем-
пературы и могут быть непосредственно взяты из табл. 8.
~ _	2	202,96	_ 1,5613
1- (7/100)% г51— (Г/100)'°1»	(Г/100)”Гз
— 1,9-108	_ 2,2248 • 1012	_ 2,0765 • 10Ю
—(77100)’4	'52— (Г/100)14	(Г/100Я ’
Формулы для V, s и / могут применяться при давлениях до 150 ат,
до предела насыщения, а при температурах свыше 400° — и для
более высоких давлений.
Внутренняя энергия перегретого пара определяется из общей
формулы; и = i — /Pv. Для давлений до 25 ат в области перегрева,
можно с совершенно достаточной точностью применять уравнения
адиабаты, как и для совершенных газов с% = 1,3, т. е.
PlT^lz — COnst, Tv0,3 = const, pt/1,3 = const.
Количество тепла, которое необходимо для того, чтобы нагреть
1 кг насыщенного пара при постоянном давлении до заданной тем-
пературы (теплота перегрева), получается, если из содержания тепла
перегретого пара, исчисленного по указаниям, сделанным выше, вы-
честь теплосодержание Z" насыщенного пара, соответствующее дан-
ному давлению: Qfi = Z— Z".
Значения Z и i" могут быть непосредственно взяты из табл. 3.
На диаграмме IS (стр. 678) можно просто измерить ординаты и та-
ким образом получить величины Z, Z" и
Таблицы для перегретого водяного пара
667
Таблица 3. Перегретый водяной пар
t	8.		3,		<5,	
0	0,070	0,020 1	7,1			
10	0,062	0,017 2	6,3			
20	0,056	0,014 8	5,6			
30	0,050	0,012 8	5,0			
40	0,045	0,011 1	4,5			
50	0,040	0,009 7	4,1			
60	0,036	0,008 5	3,7			
70	0,033	0,007 5	3,3			
80	0,030	0,006 6	3,0			
90	0,027	0,005 9	2,7			
100	0,024 9	0,005 20	2,52	1,90	52	22 090
110	0,022 8	0,004 64	2,31	1,30	37	15 000
120	0,020 9	0,004 15	2,12	0,91	25	10 000
130	0.019 2	0,003 72	1,95	0,64	17	7 000
140	0,017 7	0,003 35	1,80	0,45	12	5 000
150	0,016 3	0,003 02	’ 1,66	0,323	8,40	3 800
160	0,015 1	0,002 73	1,53	0,233	5,90	2 700
170	0,014 0	0,002 47	1,42	0,169	4,20	2000
180	0,013 0	0,002 24	1,32 -	0,124	2,99	1 500
190	0,012 1	0,002 04	1,23	0,091	2,16	1 100
200	0,011 26	0,001 859	1 143	0,067 7	1,565	790
210	0,010 50	0,001 698	1,066	0.050 5	1,143	590
220	0,009 81	0,001 553	0,995	0,037 9	0,841	444
230	0,009 17	0,001 423	0,931	0,028 6	0,622	335
240	0,008 59	0,001 307	0,872	0,021 7	0,463	254
250	0,008 05	0,001 202	0,817	0,016 57	0,347 0	194,0
260	0,007 56	0,001 108	0,767	0,012 71	0,261 0	149,0
270	0,007 И	0,001 022	0,721	ojweo	0,197 4	114,8
280	0,006 69	0,000 944	0,679	0,007 60	0,150 1	89,0
290	0,006 30	0,000 874	0,639	0,005 91	0,114 7	69,2
300	0,005 94	0,000 809	0,603	0,004 62	0,088 1	54,1
310	0.005 61	0,000 751	0,569	0,003 63	0,068 0	42,5
320	0,005 30	0,000 698	0.538	0,002 86	0,052 7	33,5
330	0,005 01	0,000 649	0,509	0,С02 26	0,041 0	26,5
340	0,004 74	0,000 604	0,482	0,001 80	0,032 0	21,0
350	0,004 50	0,000 563	0,456	0,001 431	0,025 12	16,76
360	0,004 26	0,000 526	0,433	0,001 145	0,019 78	13,41
370	0 004 05	0,000 491	0,411	0,000 919	0,015 64	10,77
380	0,003 84	0,000 459	0.390	0,000 741	0,012 40	8,67
390	0,003 65	0,000 430	0,371	С,000 599	0,009 88	7,01
400	0,003 48	0,000 403	0,353	0,000 486	0,007 89	5,69
410	0,003 31	0,000 378	0,336	0,000 395	0,006 32	4,63
420	0,003 15	0,000 355	0,320	0,000 322	0,005 09	3,77
430	0,003 01	0,000 334	0,305	0,000 264	0,004 10	3,09
440	0,002 87	0,000 314	0,291	0,000 216	0,003 32	2,53
450	0,002 74	0,000 296	0,278	0,000 178	0,002 69	2,09
460	0,002 65	0,000 278	0,265	0,000 147	0,002 19	1,72
470	0,002 54	0,000 263	0,254	0,000 122	0,О>1 79	1,42
480	0,002 43	0,000 248	0,243	0,000 101	0,001 46	1,18
490	0,002 32	0,000 234	0,232	0,000 084	0,001 20	0,98
500	0,002 19	0,000 221	0,222	0,000 070	0,000 99	0,82
668
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пары
Таблица 4. Насыщенный водяной пар
Давление	Темпе-	Абсолют	Объем	Вес 1 м3	Эшропия		
в кг 1см-	ратура	мая темп.	1 кг пара в м3	пара в кг	жидкости	пара	s”-s' = rlT
Р	t	Т	vrr		S'	sff	
0,01	6,6	279,6	131.60	0,007 60	0,0239	2,1305	2,1156
0,015	12,7	285,7	89,64	0.011 16	0,0453	2,1043	2,0595
0,02	17,1	290,1	68,27	0,014 65	0,0609	2,0803	2,0194
0,025	20,7	293,7	55,28	0,018 09	0,0732	2,0614	1,9883
0,03	23,7	296,7	46.53	0,021 4Э	0,0833	2,0460	1,9627
0,04	28,6	301,6	35,46	0,028 20	0,0996	2,0219	1,9223
0,05	32,5	305,5	28,73	0,034 81	0,1125	2,0032	1,8907
0,06	35,8	308,8	24,19	0,041 33	0,1232	1,9880	1,8648
0,08	41,1	314,1	18,45	0.054 20	0.1403	1,9642	1,8239
0,10	45,4	318,4	14,96	0,066 86	0.1539	1,9458	1,7919
0,12	49,0	322,0	12,60	0,079 37	0,1652	1,9308	1,7657
0,15	53,6	326,6	10,22	0,097 89	0,1792	1,9126	1,7334
0,20	59,7	332,7	7,797	0,128 3	0,1976	1,8892	1,6916
0,25	61,6	• 337,6	6,325	0,158 1	0,2'22	1,8712	1,6589
0,30	68,7	341,7	5,131	0,187 6	0,2244	1,8567	1,6323
0,35	72,3	345,3	4,614	0,216 7	0,2348	1,8441	1,6093
0,40	75,4	348,4	4,072	0,245 6	0,2439	1,8334	1,5895
0,60	80,9	353,9	3,304	0,302 7	0,2595	1,8156	1,5562
0,60	85.5	358,5	2,785	0,359 0	0,2723	1,8011	1,5288
0,70	89.3	362,5	2,411	0,414 7	0,2834	1.7889	1,5955
0,80	93,0	366,0	2,128	0,469 9	0,2931	1,7783	1,4852
0,90	96,2	369,2	1,906	0,524 6	0,3018	1,7690	1,4672
1,о	99,1	372,1	1,727	0,579 0	0,3096	1,7607	1,4511
1,1	101,8	374,8	1,580	0,632 9	0,3168	1,7532	1,4364
1,2	104,2	377,2	1,457	0.686 5	0,3235	1,7464	1,4229
1,3	106,6	379,6	1,352	0,739 9	0,3297	1,7401	1,4105
1,4	108,7	381,7	1,261	0,793 1	0,3354	1,7343	1,3989
1,5	110,8	383,8	1,182	0,846	0,3408	1,7289	1,3880
1,6	112,7	385,7	1,113	0.898	0,3460	1,7238	1,3778
1,8	116,3	389,3	0,997	1,003	0,3554	1,7146	1,3596
2,0	119,6	392,6	0,903	1,107	0,3639	1,7063	1,3424
2,2	122,6	395,6	0,826	1,210	0,3717	1,6988	1,3271
2,4	125,5	398,5	0.7616	1,313	0,3789	1,6920	1,3131
2,6	128,1	401,1	0,7066	1,415	0,3856	1,6857	1,3001
2,6	130,5	403,5	0,6592	1.517	0,3919	1,6799	1,2880
з,о	132,9	405,9	0,6180	1,618	0,3977	1,6745	1,2767
3,2	135,1	408,1	0,5817	1,719	0,4033	1,6694	1,2661
3,4	137,2	410,2	0,5495	1,820	0,4085	1,6646	1,2561
3,6	139,2	412,2	0,5208	1,920	0,4135	1,6601	1,2466
3,8	141,1	414,1	0,4951	2,020	0,4182	1,6558	1,2376
4,0	142,9	415,9	0,4718	2,120	0,4227	1,6518	1,2291
4,5	147,2	420,2	0,4224	2,368	0,4333	l,64z5	1,2092
5,0	151,1	424,1	0,3825	2,614	0,4428	1,6341	1,1913
5,5	154,7	427,7	0,3497	2,860	0,4515	1,62б5	1,1750
6,0-	158,1	431,1	0,3222	3,104	0,45°6	1,6195	1,1599
6,5	161,2	434,2	0,2987	3,348	0,4671	1,6131	1,1460
7,0	164,2	437,2	0,2785	3.591	0,4742	1,6071	1,1330
Таблицы для Насыщенного водяного Пара
669
Таблица 5. Насыщенный водяной пар.
Давлен. в kzIcm'' Р	Темпе- ратура 1	Содержа! не тепла		Теплота испаре- ния г	Энергия		u"—uf = Р	АР-
		жид- кости if	пара ///		жид- кости иг	пара и"		
0,01	6,6	6,6	598,0	591,4	6,6	567,2	560.6	30,83
0,015	12,7	12,7	600,9	588,2	12,7	569,4	556,7	31,49
0,02	17,1	17,1	602,9	585,8	17,1	571,0	553,8	31,98
0,025	20,7	20,7	604,6	583,9	20,7	572,2	551,5	32,37
0,03	23,7	23,7	606,0	582,3	23,7	573,3	549,6	32,69
0,04	28,6	28,6	608,2	579,6	28,6	575,0	546,4	33,22
0,05	32,5	32,5	610,0	577,5	32,5	576,4	543,9	33,64
0,06	35,8	35,8	611,5	575.8	35,8	577,6	541,8	33,99
0,08	41,1	41.1	614,0	572,8	41,1	579,4	538,3	34,56
0,10	45,4	45,4	615,9	570,5	45,4	580,9	535,5	35,02
0,12	49,0	49,0	617,6	568,5	40,0	582,2	533,1	35,40
0,15	53,6	53,6	619,6	566,0	53,6	583,7	530,1	35,88
0,20	59,7	5°. 7	622,3	562,7	59,7	585,8	5?6,1	36,52
0,25	64.6	64.6	624,5	550,9	64,6	587,4	522,9	37,02
0,30	68,7	68,7	626,3	557,6	68,7	588.8	520,2	37,45
0,35	72,3	72,3	627,8	555,6	72,3	5£0,0	517.8	37,81
0,40	75,4	75,4	629,2	553,8	75,4	591,1	515,6	38,13
0,50	80,9	80,9	631,5	550.6	80,9	592,8	512,0	38,67
0,60	85,5	85,5	633.4	548,0	85,5	594,3	508,9	39,12
0,70	89,5	8°,5	6о5,1	545.6	89,5	595,6	506,1	3°,51
0,80	93,0	93,0	636,5	543,6	93,0	596,7	503,7	39,84
0,90	<6,2	96,2	637,8	541,7	96,2	597,7	501,5	40,15
1,0	'99,1	99,1	639,0	539,9	99.1	598,6	499,5	40,42
1,1	101,8	101,8	640,1	538,3	101,8	599,4	497,6	40,68
1,2	104,2	104,3	641,1	536,7	104,3	600,1	495,8	40,91
1,3	106,6	106,7	642,0	535,3	106,6	600,8	494,2	41,12
1,4	108,7	108,9	642,8	533,9	108,8	601,5	492,6	41,31
1,5	110,8	110,9	643,6	532,7	110,9	602,1	491,3	41,49
1,6	112,7	112,9	644.3	531,4	112,9	602,6	48Э,7	41.67
1,8	116,3	116,6	645,7	529,1	116,5	603,7	487,1	41,98
2,0	119,6	119,9	646,9	5'7,0	119,8	604,6	484,7	42,26
2,2	122,6	123,0	648,0	525,0	122,9	605,4	482,5	42,51
2,4	125,5	125,8	649,0	523,1	125,8	606,2	480,4	42,75
2,6	128,1	128,5	649,9	521,4	128,5	606,9	478,4	42,г6
2,8	130,5	131,0	650,8	519,7	131,0	607,5	476,6	43,16
3,0	132,9	133,4	651,6	518,1	133,3	608,1	474,8	43,34
3,2	135,1	135,7	652,3	516,6	135,6	608,7	473,1	43,51
3,4	137,2	137,8	653,0	515,2	137,7	609,2	471,5	43,67
3,6	139,2	139,9	653,7	513,8	130,8	609,7	470,0	43,82
3,8	141,1	141,8	654,3	512,4	141,7	610,2	468,5	43,96
4,0	142,9	143,7	654,9	511,1	143,6	610,7	467,0	44,09
4,5	147,2	148,1	656,2	508,0	148,0	611,7	463,6	44,40
5,0	151,1	152,2	657,3	505,2	152,0	612,6	460,5	44,66
5,5	154,7	155,9	658,4	502,5	155,8	613,4	457,6	44,90
6,0	158,1	159,4	659,3	499,9	159,2	614,1	454,8	45,12
6.5	101,2	162,7	660,2	497,5	162,5	614,7	452,2	45,30
7,0	164,2	165,7	660,9	495,2	165,6	615,3	449,7	45,48
670
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Парк
Таблица 4. Насыщенный водяной пар (Продолжение)
Давление	Темпе-	Абсолют-	Объем	Вес 1 м3	Энтропия		
в кг}см*	ратура	ная темп.	1 кг пара в м3	пара к кг	жидкости	пара	s" — s' =^rlT
Р	t	Т	v”		s'	S"	
7,5	167,0	440,0	0,2609	3,833	0,4808	1,6015	1,1208
8,0	169,6	442,6	0.2454	4,075	0,4870	1,5962	1,1093
8,5	172,1	445,1	0,2317	4.316	0,4929	1,5913	1,0984
9,0	174,5	447,5	0,2195	4,556	0,4985	1,5866	1,0881
9,5	176,8	449,8	0,2085	4,797	0,5038	1,5822	1,0784
10	179,0	452,0	0,1985	5,037	0,5090	1,5778	1,0689
11	183,2	456,2	0,1813	5,516	0,5186	1,5699	1,0513
12	187,1	460,1	0,1668	5,996	0,5275	1,5625	1,0350
13	190,7	463,7	0,1545	6,474	0,5358	1,5556	1,0199
14	194,1	467,1	0,1438	6,952	0,5435	1,5493	1,0057
15	197,4	470,4	0,1346	7,431	0,5508	1,5432	0,9924
16	200,4	473,4	0,1264	7,909	0,5577	1,5375	0,9798
17	203,4	476,4	0,1192	8,389	0,5643	1,5321	0,9679
18	206,2	479,2	0,1128	8,868	0,5705	1,5270	0,9565
19	208,8	481,8	0,1070	9,349	0,5764	1,5220	0,9456
20	211,4	484,4	0,1017	9,83	0,5821	1,5173	0,9352
22	216,2	489,2	0,0927	10,79	0 5928	1,5084	0,9156
24	220.8	4°3,8	0,0850	11,76	0,6026	1,5001	0,8974
26	225,0	498,0	0,0785	12,74	0,6119	1,4923	0,8804
28	229,0	502,0	0,0729	13,72	0,6205	1,4850	0,8644
30	232,8	505,8	0,068 02	14,70	0,6287	1,4780	0,8493
32	236,4	509,4	0,063 72	15,69	0.6364	1,4713	0,8350
34	239,8	512,8	0,1)59 91	16,69	0,6437	1,4650	0,8213
36	243,1	516,1	0,056 51	17,70	0,6507	1,4589	0,8082
38	246,2	519,2	0,053 45	18,71	0,6573	1,4530	0,7958
40	249,2	522,2	0,050 69	19,73	0.6637	1,4474	0,7837
42	252,1	525,1	0,048 17	20,76	0.6698	1,4418	0,7721
44	254,9	527,9	0,045 88	21,80	0,6757	1,4365	0,7609
46	257,6	530,6	0,043 78	22,84	0,6813	1,4314	0,7500
48	260,2	533,2	0,041 85	23,89	0,6868	1,4264	0,7396
50	262,7	535,7	0,040 07	24,96	0,6921	1,4215	0,7294
55	268,7	541,7	0,036 16	27,65	0,7046	1,4098	0,7052
60	274,3	547,3	0,032 89	30,41	• 0,7162	1,3987	0,6826
65	279,6	552,6	0,030 09	33,23	0,7270	1,3882	0,6612
70	284,5	557,5	0,027 69	36,12	0,7371	1,3781	0,6410
75	289,2	562,2	0,025 59	39,08	0,7467	1,3684	0,6217
80	293,6	566,6	0,023 74	42,13	0,7557	1,3591	0,6033
85	297,9	570,9	0,022 10	45,24	0,7645	1,3501	0,5856
90	301,9	574,9	0,020 64	48,45	0,7731	1,3413	0,5682
95	305,8	578,8	0,^19 33	51,73	0,7813	1,3328	0,5515
100	309,5	582,5	0,018 15	55,11	0,7893	1,3245	0,5352
ПО	316,5	589,5	С,016 09	62,15	0,8049 -	1,3087	0,5U38
12 J	323,1	596,1	С,014 37	69,60	0.8198	1,2935	0,4737
130	329,3	602,3	0,012 90	77,50	0,8342	1,2789	0,4447
140	335,0	608,0	0,011 64	85,91	0,8483	1,2649	0,4166
150	340,5	613,5	0,010 54	94,87	0,8622	1,2514	0,3891
160	345,7	618,7	0,009 56	104,6	0,8754	1,2372	0,3618
180	355,4	628,4	0,007 82	128,0	0,9)44	1,2079	0,3035
200	364,2	637,2	0,006 14	162,9	0,9404	1,1715	0,2311
225	374,0	647,0	0,003 10	322,6	1,0558	1,0558	0
Таблицы для насыщенного водяного пара
671
Таблица 5. Насыщенный водяной пар (Продолжение)
Давлен, в кг[см~ Р	Темпе- ратура t	Содержание тепла		Теплота испаре- ния г	Энергия		и" — и' =^Р	АР'
		жид- кости i'	пара i"		жид- КОС1И uf	пара и”		
7,5	167,0	168,7	661,7	493,0	168,5	615,8	447,4	45,63
8,0	169,6	171,4	662,3	490,9	171,2	616,3	445,1	45.77
8,5	172,1	174,0	662,9	488,8	173,8	616,8	442,9	45,90
9,0	174,5	176,6	663,4	486,8	176,3	617,1	440,8	46,02
9,5	176,8	179,0	663,9	484,9	178,7	617,6	438,9	46,13
10	179,0	181.3	664,4	483,1	181,0	617,9	436,8	46,23
И	183,2	185,7	665,2	479,5	185,4	618,5	433,1	46,41
12	187,1	189,8	665,9	476,1	189,5	619,0	429.6	46,55
13	190,7	193,6	666,6	472,8	193,3	619,4	426,2	46,68
14	194,1	197,3	667,0	469,7	196,9	619.8	422,9	46,78
15	197,4	200,7	667,4	466,7	200.3	620,1	419,8	46,87
16	200,4	204,0	667,8	463,8	203.6	620,4	416,8	46,94
17	203,4	207,1	668,1	460,9	206,7	620,6	413,9	47,00
18	206,2	210,1	668,3	458,2	209,7	620,8	411,2	47.04
19	208,8	213,0	668,5	455,5	212,5	621,0	408,5	47,07
20	211,4	215,8	668,7	452,9	215,2	621,1	405,8	47,10
22	216,2	221,0	668,9	447,9	220.4	621,2	400,8	47,12
24	220.8	226,0	669,0	443,0	225,3	6Я,2	395,9	47,19
26	225,0	230,6	660,0	438,4	229,8	621,2	391.3	47,07
28	229,0	235,0	668,8	433,9	234,2	621,0	386,9	47,91
30	232,8	239,1	668,6	429,5	238,3	620,8	382,6	46,92
32	236,4	243,1	668,3	425,2	242,2	6'0,6	378,4	46,83
34	239,8	246,9	668,0	421,1	245.9	620,3	374.4	46,71
36	243,1	250,5	667,6	417,0	249,5	619,9	370,4	46,59
38	246,2	254,1	667,1	413,0	252,9	619,5	366,6	46,45
40	249,2	257,4	666,6	409,2	256.3	619,1	362,9	46,30
42	252,1	260,7	666,0	405,3	25°,5	618,6	359,1	46,14
44	254,9	263,9	665,5	401.6	26\5	618,2	355,7	45,97
46	257,6	266,9	664,8	397,9	265,5	617,6	352,1	45,79
48	260,2	269,8	664,1	394,3	268,4	617,1	348,7	45,61
50	262,7	272,7	663,4	390,7	271,2	616,5	345,2	45,41
55	268,7	279,6	661,5	381,9	277,9	614,9	337,0	44,91
60	274,3	286,1	659,5	373,5	284,2	613,3	329,1	44,35
65	279,6	292,2	657,5	365,3	290,2	611,7	321,5	43,77
70	284,5	298,0	655,3	357,3	295,8	609,9	314,1	43,16
75	289,2	303,5	653,0	349,5	301,1	608,0	306,9	42,52
80	293,6	308,8	650,6	341,8	306,2	606,1	299,9	41,87
85	297,9	313,9	648,1	334,2	311,1	604,1	293.0	41,19
90	301,9	319,0	645,6	326,7	316,0	602,1	286,2 .	40,49
95	305,8	323,9	643,0	319,2	320,7	600,0	279,4	39,8J
100	309,5	328,7	640,5	311,8	325,3	598,0	272,7	39,07
ПО	316,5	338,1	635,1	297,0	334,3	593,7	259,4	37,59
120	323,1	347,3	629,7	282,4	343,0	589,4	246,4	36,07
130	329,3	356,4	624,2	267,8	351,6	584,9	233,3	34,59
140	335,0	365,3	618,6	253,3	360,0	580,4	220,4	32,87
150	340,5	374,1	612,9	238,8	368,3	575,9	207,6	31,19
160	345,7	383,4	606,3	222,8	377,0	570,4	193,4	29,41
180	355,4	401,9	592,6	190,7	394,1	559,6	165,5	25,23
200	364,2	4.5,6	572,8	147,3	416,2	544,1	127,9	1934
225	374,0	501,1	501,1	0	! 484,8	484,8	0	0
672
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пары
Таблица 6. Насыщенный водяной пар.
Темпе- ратура t	Давление в кг!см2 Р	Объем		Вес кг\м* пара т"	Энтропия		s”—s' = r}T
		жидкости V'	пара и"		жид- кости	пара У'	
0	0,0062	0,001 0	206,5	0,00484	0	2,1800	2,1800
5	0,0089	0,001 0	147,1	0,(4)680	0,0182	2,1493	2,1311
10	0,0125	0,001 0	106,4	0,00940	0,0361	2,1200	2,0839
15	0,0174	о,схи 0	77,9	0,01283	0,0536	2,6920	2,0384
20	0,0238	0,001 0	57,8	0,01729	0,0708	2,0652	1,9944
25	0,0323	0,001 0	43,40	0,02304	0,0877	2,03°6	1,9519
30	0,0433	0,001 о	32,93	0,03036	0,1043	2,0151	1,9108
35	0,0573	0,001 0	25,25	0,03960	0,1207	1..9316	1,8709
40	0,0752	0,001 0	Р,55	0,05114	0,1367	1,9691	1,8324
45	0,0977	0,001 0	15,28	0,06543	0,1526	1,9475	1,7949
50	0,1258	0,001 о	12,054	0,0830	0,1682	1,9268	1,7586
55	0,1605	0,00-1 0	9.589	0,1043	0,1835	1,9'70	1,7235
60	0,2'31	0,001 0	7,687	0,1301	0,1с86	1,8880	1,6894
65	0,2550	0,001 о	6,209	0,1611	0,2136	1,8696	1,6560
70	0,3177	0,0010	5,052	0,1979	0,2283	1,8519	1,6236
75	0,393	0,001 0	4,139	0,2416	0,2427	1,8348	1,5921
80	0,483	0,001 о	3,414	0,2^29	0,2570	1,8184	1,5614
85	0,590	0,001 0	2,832	0,3531	0,2711	1,8025	1,5314
90	0,715	0,001 0	2,365	0,4229	0,2848	1,7873	1,5024
95	0,862	0,001 0	1,985	0,5039	0,2986	1,7724	1,4738
100	1,033	0,001 0	1,675	0,5970	0,3121	1,7582	1,4461
105	1,232	0,001 0	1,421	0,7036	0,3' >55	1,7443	1,4188
ПО	1,461	0,001 0	1,212	0,8254	0,3388	1,7309	1 3922
115	1,724	0,001 0	1,038	0,9635	0,3519	1,7180	1,3660
120	2,025	0,001 0	0,893	1,1199	0,3649	1,7053	1,3404
125	2,367	0,001 1	0,771 5	1,296	0,3778	1,6931	1,3153
130	2,755	0,001 1	0,669 3	1.494	0,3905	1,6812	1,2907*
135	3,192	0,001 1	0,583 1	1,715	0,4031	1,6696	“ 1,2666
140	3,685	0,001 1	0,509 6	1,962	0,4155	1,6583	1,2427
145	4,238	0,001 1	0,446 9	2,238	0,4279	1,6472	1,2194
150	4,855	0,001 1	0,303 3	2,543	0,4401	1,6364	1,1963
155	5,542	0,001 1	0,347 2	2,880	0,4522	1,6259	1,1737
160	6,303	0,001 1	0,307 5	3,252	0,4642	1,6156	1,1514
165	7,147	0,001 1	0,273 1	3,662	0,4761	1.6'54	1,1-93
170	8,080	0,001 1	0,243 1	4,113	0,4879	1,5954	1,1075
175	9,10	0,001 1	0,217 1	4,605	0,4996	1,5856	1/860
180	10,23	0,001 1	0,194 4	5,145	0,5112	1,5760	1,0648
185	11,45	0,001 1	0,174 4	5,734	0,5227	1,5665	1,0438
190	12,80	0,001 1	0,156 8	6,378	0,5342	1,5570	1,0228
195	14,26	0,001 2	0,141 3	7,078	0,5455	1,5476	1,0022
200	15,85	0,001 2	0,127 6	7,840 -	0,5567	1,5383	0,9816
205	17,58	0,001 2	0,115 4	8,667	0,5679	1,5291	0,9612
210	19,55	0,001 2	0,104 5	9,567	0,5790	1,5198	0,9408
215	21,48	0,001 2	0,094 9	10,540.	0,5901	1,5107	0,9206
220	23,66	0,001 2	0,086 2	11,600	0,6010	1,5015	0,9005
225	26,00	0,001 21	0,078 50	12,74	0,6118	1,4923	0,8805
230	28.53	0,001 22	0,071 55	13,98	0,6227	1,4831	0,8604
235	31,23	0,001 23	0,065 30	15,31	0,6335	1,4738	0,8404
240	34,13	0,001 24	• 0,059 67	16,76	0,6442	1,4646	0,8204
245	37,24	0,001 25	0,054 58	18,32	0,6548	1.4562	0,8004
Таблицы для йасыщениогб йодяноГо пара
673
Таблица 7. Насыщенный водяной пар
Темпе- ратура t	Содержан. тепла в 1 кг		Теплота испарения г	Энергия		и" — и7 = Р	АР- {v77 — V7}
	жидкости	пара		жид- кости и'	пара и" .		
0	0	595,0	595,0	0	564,9	564,9	30,11
5	5,0	597,3	592,3	5,0	566,6	561,6	30,65
10	10,0	599,6	589,6	10,0	568,4	558,4	31,20
15	15,0	602,0	587,0	15,0	570,3	555,3	31,74
20	20,0	604,3	584,3	20,0	572,0	552,0	32,29
25	25,0	606,6	581,6	25,0	573,8	548,8	32,83
30	30,0	608,9	578,9	30,0	575,5	545,5	33,37
35	35,0	611,2	57и,2	35,0	577,3	542,3	33,91
40	40,0	613,5	573,5	40,0	579,1	539,1	34,44
45	45,0	615,7	570,7	45,0	580,7	535,7	34,98
50	50,0	618,0	568,0	50,0	582,5	532,5	35,50
55	55,0	620,2	565,2	55,0	584,2	529,2	36,03
60	60,0	622,5	562,5	60,0	585,9	525,9	36,55
65	65,0	624,7	559,7	65,0	587,6	522,6	37,07
70	70,0	626,8	556,8	70,0	589,2	519,2	37,58
75	75,0	629,0	554,0	75,0	590,9	515,9	38,09
80	80,0	631,1	551,2	80,0	592,6	512,6	38,59
85	85,0	633,2	548,2	85,0	594,1	509,1	39,08
90	90,0	635,3	545,3	90,0	595,7	505,7	39,57
95	95,0	637,4	.542,4	95,0	• 597,4	502,4	40,04
100	100,0	639,4	539,4	100,0	598,9	498,9	40,51
105	105,1	641,3	536,3	105,1	600,3	495,2	40,97
ПО	110,1	643,3	533,1	110,1	601,8	491,7	41,42
115	115,2	645,2	530,0	115,2	603,3	488,1	41,87
120	120,3	647,0	526,7	120,2	604,7	484,4	42,29
125	125,4	648,8	523,5	125,3	606,1	480,8	42,71
130	130,5	650,6	520,1	130,4	607,4	477,0	43,11
135	135,6	652,3	516,7	135,5	608,7	473,2	43,51
140	140,7	653,9	513,2	140,6	610,0	469,3	43,88
145	145,9	655,5	509,6	. 145,8	611,2	465,4	44,24
150	151,0	657,0	536,0	150,9	612,3	461,4	44,59
155	156.2	658,5	502,3	156,1	613,4	457,4	44,92
160	161,4	659,9	498,5	161,2	614,5	453,2	45,23
165	166,6	661,2	494,6	166,4	615,5	449,1	45,53
170	171,8	662,4	490,6	171,6	616,4	444,8	45,79
175	177,1	663,5	486,5	176,8	617,2	440,4	46,05
180	182,3	664,6	482,3	182,0	618,0	436,0	46,27
185	187,6	665,5	477,9	187,3	618,7	431,5	46.48
190	192,9	666,4	473,5	192,5	619,4	426,8	46 66
195	198,2	667,1	468,9	197,8	619,9	422,1	46,81
200	203,5	667,7	464,2	203,1	620,4	417,3	46,93
205	208,9	668,2	459,3	208,4	620,7	412,3	47,02
210	214,3	668,6	454,4	213,8	621,1	4-7,3	47,08
215	219,7	668,9	449,2	219,1	621,2	492,1	47,11
220	225,1	669,0	443,9	224,5	621,2	396,8	47,11
225	230,6	669,0	438,4	229,9	621,2	391,3	47,07
230	236,1	668,8	432,7	235,3	621,0	385,7	46,99
235	241,6	668,4	426,8	240,7	620,7	380,0	46,86
240	247,1	668,0	420,8	246,2	620,2	374,1	46,71
245	252,7	667,3	414,5	251,6	619,6	368,0	46,51
674
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пары
Таблица 6. Насыщенный водяной пар (продолжение;
Темле- ратура t	Давление в кг\см- Р	Объем м3[кг		Вес кг}м3 пара 1"	Энтропия		s” - У = = г/Т
		жидкости	пара		жидкости S'	пара з"	
250	40,55	0,001 26	0,049 98	20,01	0,6654	1,4458	0,7804
255	44,08	0,001 27	0,045 79	21,84	0,6759	1,4з63	0,7604
260	47,85	0,001 28	0,041 99	23,82	0,6864	1,4267	0,7403
265	51,86	0,001 30	0,038 54	25,95	0,6968	1,4170	0,7202
270	56,11	0,001 31	0,035 38	28,27	0,7072	1,4073	0,7001
275	60,63	0,001 33	0,032 51	30,76	0,7176	1,3974	0,6798
280	65,42	0,001 34	0,029 88	33,47	0,7278	1,3873	0,6595
285	70,49	0,001 36	0,027 46	36,42	0,7381	1,3772	0,6391
2£0	75,88	0,001 38	0,025 25	39,60	0,7483	1,3668	0,6185
225	81,58	0,001 40	0,023 21	43,09	0,7585	1,3562	0,5977
300	87,6	0,001 42	0,021 31	46,93	0,7690	1,3454	0,5763
305	24,0	0,001 44	0,019 58	51,06	0,7797	1,3345	0,5548
310	100,7	0,001 46	0,017 99	55,59	0,7904	1,3234	0,5330
315	107,8	0,001 49	0,016 52	60,53	0,8014	1,3122	0.5108
320	115,2	0,001 52	0,015 16	65,95	0,8128	1,3009	0,4881
325	123,0	0,00155	0,013 91	71,92	0,8241	1,2891	0,4659
330	131,3	0,001 58	0,012 73	78,53	0,8360	1,2772	0,4412
335	139,9	0,001 62	0,011 65	85,84	0,8482	1,2651	0,4169
340	149,0	0,001 66	0,010 64	93,98	0,8608	1,2526	0,3918
345	158,6	0,001 71	0,009 71	103,00	0,8735	1,2391	0,3657
350	168,6	0,001 76 .	0,008 84	113,2	0,8874	1,2250	0,3376
355	179,2	0,001 83	0,008 03	124,6	0,9032	1,2091	0,3059
360	120,3	0,001 91	0,007 16	139,6	0,9214	1,1906	0,2692
365	202,0	0,002 04	0,006 53	153,1	0,9450	1,1670	0,2220
370	214,5	0,002 26	0,005 85	171,0	0,9791	1.1327	0,1536
374	225	0,003 10	0,003 10	322,6	1,0558	1,0558	0
Таблица 8. Перегретый водяной пар
Давле- ние в кг, см2 Р	Темпе- ратура насы- щения t	Содержа- ние тепла в насы- щенном паре 1"	Содержание тепла в кг перегретого пара при t =						
			200° '	| 250°	| 300°	| 350°	400°	450°	500°
5	151,1	657,3	683,2	708,4	733,0	757,2	781,2	805,1	828,9
6	158,1	659,3	682,0	707,6	732.4	756,8	780,9	804,8	828,7
7	164,2	660,9	680,7	706,7	731,8	756,3	780,5	804,6	828,4
8	169,6	662,3	679,4	705,9	731,1	755,8	780,2	804,3	828,2
9	174,5	663,4	678,1	705,0	730.5	755,4	779,8	804,0	828,0
10	179,0	664,4	676,8	704,1	729,9	754,9	779,5	803,7	827,8
12	187,1	665,9	673,9	702,4	728,7	754,0	778,8	803,2	827,3
14	194,1	667,0	670,8	700,5	727,4	753,1	778,0	802,6	826,9
16	200,4	667,8		698,6	726,1	752,1	777,3	802,0	826.4
18	206,2	668,3	—	696,7	724,8	751,2	776,6	801,5	826,0
20	211,4	668,7	—	694,6	723,5	750,2	775,9	800,9	825,5
25	222,2	669,0	—	689,0	720,1	747,8	774,1	799,5	824,4
30	232,8	668,6	—	682,7	716,5	745,4	772,3	798,1	823,3
35	241,4	667,8	—-	675,6	712,6	74?, 8	770,4	796,7	822,2
40	249,2	666,6	—	667,4	708,4	740,2	768,5	795,3	821,1
Таблицы для насыщенного и перегретого водяного пара
675
Таблица 7. Насыщенный водяной пар. (продолжение)
Темпе- ратура t	С одержан, тепла в 1 кг		Теплота испарения г	Энергия		— и' — Р	АР*
	жидкости	пара i"		жид- кости и/	пара и”		
250	258,3	666,4	408,1	257,1	619,0	361,8	46,26
255	264,0	665,4	401,4	262,7	618,1	355,5	45,96
260	269,6	664,2	394,5	268,2	617,1	348,9	45,62
265	275,3	662,7	387,4	273,8	615,9	342,2	45,24
270	281,1	661,2	380,1	279,4	614,7	335,3	44,77
275	286,9	659,4	372,5	285,0	613,2	328,2	44,27
280	292,7	657,3	364,6	290,6	611,5	320,9	43,73
285	298,5	655,1	356,5	296,3	609,8	313,5	43,09
290	304,4	652,6	348,1	302,0	607,7	305,7	42,42
295	310,4	649,8	339,5	307,7	605,5	297,8	41,67
300	316,6	646,8	330,2	313,9	603,3	289,4	40,83
305	322,9	643,6	320,7	319,7	600,5	280,7	39,94
310	329,3	640,1	310,8	325,9	597,7	271,8	38,98
315	336,0	636,4	300,3	332,3	594,7	262,4	37,94
320	343,0	632,5	289,5	339,0	591,6	252,7	36,81
325	350,0	628,1	278,1	345,6	588,1	242,5	35,60
330	357,5	623,5	266,0	352,6	584,3	231,8	34,28
335	365,2	618,7	253,5	359,9	580.5	220,6	32,88
340	373,3	613,5	240,2	367,5	576,4	208,8	31,35
345	381,7 •	607,7	226,0	375,4	571,7	196,3	29,67
350	390,8	601,1	210,3	383,8	566,4	182,6	27,76
355	401,0	593,1	192,1	393,4	560,1	166,7	25,41
360	413,0	583,4	170,4	404.5	552,4	147,9	22,52
365	428,5	570,1	141,6	418,9	542,0	123,1	18,56
370	451,0	549,8	98,8	439,7	525,7	86,0	12,80
374	501,1	501,1	0	484,8	484,8	0	0
Таблица 8. Перегретый водяной пар (продолжение)
Давле- ние в лгг/ам2 Р	Темпе- ратура насы- щения t	Содержа- ние тепла в насыщен- ном паре ///	Содержание тепла в 1 кг перегретого пара при L =						
			200°	250°	300°	350°	400°	450’	500’
50	. 262,7	663,4	—			699,1	734,6	764,7	792,4	818,8
60	274,3	659,5	—		688,1	728.5	760,6	789,4	816,5
70	284,5	655,2	—		675,2	721,8	756,4	786,3	814,2
80	293,6	650,6	—		660,1	714,4	751,9'	783,2	811,8
90	301,9	645,6	—	—	—	706,2	747,1	780,0	809,4
100	309,5	640,5	—	—	—	697,1	742,1	776,7	807,0
ПО	316,5	635,1	—	—	—	686,0	736,6	773,2	804,5
120	323,1	629,7	—	—	—	675,7	730,9	769,6	801,9
130	329,3	624,2	—	—	—	663,4	724,7	765,8	799,3
140	335,0	618,6	—	—	—	649,5	718,0	761,9	796,6
150	340,5	612,8	—	—	—	634,4	710,9	757,8	793,9
160	345,7	606,3	—	—	—	617,7	703,3	753,5	791,1
180	355,4	592,6	—	—				686,4	744,4	785,2
200	364,2	572,8	—	—	—		667,0	734,3	779,0
225	374,0	501,1	—	—	—	—	638,9	720,3	770,7
3
ОТ
Таблица 9. Значения для t, Р', I), х' и V
Ь _ упругость пара в мм р. с., хг и ir — содержание пара и тепла в 1 кг воздуха, насыщенного водяным паром
t град.	Р' кг]м*	$ мм р. с.	кг]кг	7' кг-кал] кг	t град.	Р' кг]м*	Ъ мм р. с.	кг/кг	i' кг-кал/кг
— 20	10,50	0,772	0,000654	— 4,42	10	125,20	9,21	0,00788	7,13
— 19	11,56	0,850	0,000720	— 4,14	11	133.84	9,84	0,00844	7.70
— 18	12,71	0,935	0,000792	— 3,86	12	143,01	10,52	0,00902	8,30
— 17	13,96	1,027	0,000870	— 3,57	13	152,69	11,23	0,00964	8,91	ЬЗ
— 16	15,33	1,128	0,000955	— 3,28	14	162,97	11,99	0,01030	9,56	•
-15	16,82	1,238	0,001048	- 2,98	15	173,86	12,79	0,01100	10,2
— 14	18,44	1,357	0,001150	— 2,68	16	185,37	13,63	0,01174	10,9	о
— 13	20,19	1,486	0,001260	— 2,37	17	197,55	14,53	0,01254	п>6	3
— 12	22,12	1,627	0,001379	- 2,06	18	210,42	15,48	0,01337	12,4
— И	24,20	1,780	0,001509	— 1,75	19	224,02	16,48	0,01425	13,2
— 10	26,46	1.946	0,001650	— 1,43	20	238,40	17,54	0,01519	И,°	н
— 9	28,89	2,125	0,001801	— 1,10	21	253,56	18,65	0,01618	14,8	«
— 8	31,56	2,321	0,001969	— 0,76	22	269,56	19,83	0,01724	15,7	§
— 7	34,43	2,532	0,002149	— 0,41	23	286,44	21,07	0,01833	16,6	©
— 6	37,54	2,761	0,002343	— 0,05	24	304,23	22,38	0,01951	17,6	3
— 5	40,90	3,008	0,002552	+ 0,31	25	322,98	23,76	0,02077	18.6
— 4	44,54	3,276	0,002781	0,69	26	342,74	25,21	0,02209	19,6	•
— 3	48,48	3,566	0,003030	1,08	27	363,54	26,74	0,02347	20,7	Й
— 2	52,74	3.879	0,00330	1,48	28	385,43	28,35	0,02493	21,9	?
— 1	57,32	4,216	0,00359	1,89	29	408,46	30,04	0,02649	23,1	.*2 К
0	62,26	4,579	0,00390	2,32	30	432,67	31,82	0,02814	24,3
1	66,97	4,93	0,00420	2,74	31	458,11	33,70	0,02988	25,6
2	71,98	5,29	0,00451	3,08	32	484,87	35,66	0,03169	27,0
3	77,29	5,69	0,00485	3,61	33	512,96	37,73	0,03364	28,4
4	82,95	6,10	0,00520	4,06	34	542,45	39,90	0,03569	29,9
5	88,96	6,54	0,00558	4,50	35	573.40	42,18	0,0379	31,5
6	95,35	7,01	0,00598	5,01	36	605,87	44,56	0,0401	33,2
7	102,15	7,51	0,00642	5,52	37	639,91	47,07	0,0425	34.9
8	109,38	8,05	0,00688	6,04	38	675,60	49,69	0,0451	36,7
9	117,05	8,61	0,00736	6,57	39	712,99	52,44	0,0478	38,6
10	125.20	9,21	0,00788	7,13	40	752.18	|	|	55,32	0,0506	40,6
(Продолжение)
t град.	Р' кг 1м*	5 мм р. с.	х' кг\кг	кг-кал\кг	t град.	Р' кг\м*	мм р. с.	кг\кг	кг-кал 1кг
40	752,18	55,32	0,0506	40,6	70	3177,1	233,7	0,2897	198,4
41	793,2	58.34	0,0536	42,7	71	3316,0	243,9	0,3086	211
42	836,1	61,50	0,0568	45,0	72	г.461,0	254,6	0,329	224
43	881,0	64,80	0.0601	47,3	73	3612,4	265,7	0,352	238
44	' 928,0	68,26	0,0637	49,8	74	3768,8	277,2	0,376	255
45	977,3	71,88	0,0674	52,2	75	3930,6	289,1	0,403	272
46	1028,5	75.65	0,0714	55,0	76	4097,8	301,4	0,432	290
47	1082,2	79.60	0,0755	57,9	77	4270,4	314,1	0.463	311
48	1138,1	83,71	0,0799	60,8	78	4449,9	327,3	0,499	333
4J	1196,7	88,02	0,0846	64,0	79	4636,2	341,0	0,538	358
50	1257,7	92,51	0,0895	67,3	80	4828	355,1	0,580	386
51	1321,5	97,20	0,0947	70,8	81	5026	369,7	0,628	417
52	1388,0	102,1	0,1003	74,6	82	5233	384,9	0,683	452
53	1457,5	107,2	0,1061	78,4	83	5446	400,6	0,744	491
54	1529,7	112,5	0,1123	82,6	84	5667	416,8	0,813	535
55	1604,8	118,0	0,1189	87,0	85	5895	433,6	0,894	587
56 .	1683,2	123,8	0,1259	91,9	86	6130	450,9	0,986	646
57	1765,0	129,8	0,1333	96,5	87	6372	468,7	1,093	715
58	1850.1	136,1	0,1412	101,7	88	6622	487,1	1,219	795
59	1938,8	142,6	0,1495	107,2	89	6881	506,1	1,373	894
60	2630,9	149,4	0,1585	113,0	90	7148	525,8	1,559	1014
61	2126,8	156,4	0,1680	119,2	91	7425	546,1	1,794	1164
62	2226,6	163,8	0,1783	126,0	92	7710	567,0	2,092	1355
63	2330,0	171,4	0,1888	132,8	93	8004	588,6	2,491	1610
64	2437,9	179,3	0,2005	140,6	94	8307	610,9	3,05	1970
65	2549,8	187,5	0,2129	148,6	95	8620	633,9	3,88	2500
66	2666,0	196,1	0,2260	157,0	96	8942	657,6	5,25	3380
67	2786,6	205,0	0,2403	166,4	97	9274	682,1	7,94	5100
68	2911,8	214,2	0,2559	176,5	98	9616	707,3	15,60	16010
69	3041,8	223,7 t	0,2721	187,2	99	9970	733,2	198,2	126900
70	3177,1	233,7	0,2897	198,4	100	10333	760,0	—	—
Смесь воздуха и водяного пара
678
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пары
Фаг. 8
IS — диаграмма для водяного пара
679
Диаграмма IS для водяного пара по Молье
Фиг. 8.
680
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пары
с) Смесь воздуха и водяного пара
(Влажный воздух)
Для смеси воздуха и водяного пара действительны те же законы,
что и для смеси совершенных газов, с тем лишь отличием, что
к воздуху можно подмешать только ограниченное количество пара
ввиду того обстоятельства, что парциальное давление водяного
пара в смеси не может быть больше давления, соответствующего
давлению насыщения при той температуре, которую имеет смесь.
Обычно парцшуьные давления водяного пара весьма незначи-
тельны по своейвеличине, а потому к водяному пару можно при-
менять законы, характеризующие совершенный газ.
При изменениях состояния смеси воздуха и водяного пара коли-
чество воздуха почти всегда остается неизменным, а количество водя-
ного пара уменьшается или увеличивается в зависимости от про-
цесса конденсации или парообразования, а потому удобно бывает
брать при подсчетах такое количество смеси, при котором воздух
составляет 1 кг, а водяной пар х кг.
В практических условиях чаще всего приходится иметь дело
с изменениями смеси воздуха и водяного пара при постоянном да-
влении, причем это давление обычно равно атмосферному.
Обозначения:
Р, р, h в кг\м9, кг[см\ мм р. с. — парциальные давления пара,
Р’,р',11’— парциальные давления пара, соответствующие температуре насыщения,
Рп, Рп» Ло —полные давления смеси,
Ро— Р, Pq —р, hQ — h — парциальные давления воздуха (или газа),
х — отношение количества пара к воздуху, содержащему этот пар. Обычно величина;
х дается в кг[кг, при этом
мп Р
х = -м^ • р^р кг1кг-
где молекулярный вес пара,
Mq— молекулярный вес воздуха (или газа).
Иногда бывает удобнее вести подсчеты х в моль/моль, при этом
Р
X = -5----моль! МО ль.
* 0— Г
Для смеси воздуха с водяным паром имеем:
х = О,622Р/(Ро— Р) кг/кг.
Если парциальное давление водяного пара достигает величины Plt
то
х’ = 0,622Р'/(Рр--Р') кг/кг.
Омесь воодуха и водяного пара
681
Значения х' можно найти в табл 9 стр. 676 -677 для суммарного
давления воздуха и пара — 735,5 мм р. с. (1 кг)см2). Этими же значе-
ниями х' можно пользоваться и для давлений смеси, немного отли-
чающихся ОТ 1 Kl'tCM2.
Если вес воздуха в смеси будет равен L кг, то вес смеси:
£(1 + х) кг.
Сви Сп — обозначают удельные теплоемкости при постоянном
давлении в 1 кг/см2 для воздуха и пара.
Для смеси воздуха и водяного пара имеем:
Св = 0,24 и Сп = 0,46.
I—	обозначает тепловой запас для 1 кг воздуха и х кг пара, считая
для воздуха начальную температуру 0°, а для пара воду при той
же температуре 0°.
/ = 0,24/+х(0,46/+595).
Если воздух насыщен водяным паром, то тепловой запас
/' = 0,24/ + xz(0,46/+ 595).
Эта величина может также быть взята из табл. 9.
насыщения* воздуха паром и обычно употребляется при техни-
ческих расчетах. Для воздуха, насыщенного паром, Ф = 1.
В метеорологии предпочитают употреблять обозначение ср —
„относительная влажность", подразумевая под этим обозначением
отношение веса пара G кг в V м* данной смеси воздуха и пара
к весу пара (G' кг) в том же объеме Vм\ при условии, что воздух
будет насыщен паром.
Ро — Р'
G' ~ G'•RT~P' -V~ Р'~Ч р0—р
Ввиду того, что при обыкновенных условиях давление Р лишь
немного отличается от Р', можно считать приближенно ср = ф.
Практический пример: 1. Влажный воздух с /х = 60° и ср = 0,7
нагревается до 80° при постоянном давлении в 750 мм р. с. Сколько
682
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пары
для этого надо затратить тепла? Какова относительная влажность
ср2 в конце нагрева?
0 7- 149 4
Х = °’622750^0,7ГГ494 = °-1009-
Сп = 0,24 + 0,1009 • 0,46 = 0,2865, Q = 0,2865 • 20 = 5,73 кг-кал,
_	750-0,1009	_П9п-
?2	355,1(0,622 + 0,1009)	’
2. Тот же воздух охлаждается; при какой температуре наступает
насыщение (точка росы)? Достаточно посмотреть в 9 табл, на стр.
676 — 677 чтобы узнать, при какой температуре величина х' равна
найденному значению х= 0,1009. Это имеет место при температуре
в 52,0°.
Многие практические задачи (сушилки, установки обратного
охлаждения) не могут быть непосредственно решены с помощью
приведенных выше формул, так как давление насыщения не является
простой функцией температуры. В таких случаях решение дости-,
гается проще всего графическим путем. Особенно рекомендуется
диаграмма с х и Z в качестве координат и с нанесенными линиями
постоянной температуры (прямые) и постоянной относительной
влажности (<р) (см. Молье VDI 1923, стр. 869 и 1929, стр. 1009).
Если речь идет не о смеси водяного пара и воздуха, а о любом
другом газе, к которому примешан любой пар (например, смесь
продуктов горения и водяного пара или воздуха и паров бензола :),
то в формулах, приведенных выше, подставляются соответствующие
цифровые значения. Во многих случаях расчет значительно упро-
щается, если содержание пара в газе выразить не в кг/кг, а
в моль!моль (пм^пм3) или в кг/пм3.
Объем V, содержащий (1 4- х) кг влажного воздуха, имеет вели-
чину :
У = 47,1 (0,622 + х)Г;Р0 м3,
а удельный объем того же воздуха
__ 47,1(0,622+х) Т м3
v ~ Л>0+*) кг ’
Диаграмма ix проф. Молье. Эта диаграмма начерчена в косо-
угольных координатах для величин/,х. По вертикальной оси коор-
динат отложены величины, пропорциональные теплосодержанию для
1 кг воздуха и х кг пара, а по оси абсцисс отложены величины,
пропорциональные х кг пара. Вначале координат имеем х = 0 и Z —0-
>) См. С. И. Вишняков, Теория карбюрации, Москва 1927 г.
Смесь воздуха и водяного пара
683
Угол между осями координат выбран так, что изотерма для 0°
проходит горизонтально в области ненасыщеннной смеси воздуха
и пара.
На диаграмме начерчена пограничная кривая для Ф = 1 и для
По трем сторонам диаграммы нанесены отметки, представляю-
щие продолжение прямых линий, идущих из начала координат О
и характеризующих величины dijdx.
Область тумана. Если изменение состояния смеси воздуха и пара
дает кривую Д/, х) = 0, пересекающую пограничную линию сверху
вниз, то это означает выделение воды или льда. Следовательно,
область, ограниченная сверху пограничной кривой, характеризует
наличие смеси воздуха, пара и воды или льда, причем вся масса
находится в тепловом равновесии, что возможно лишь в том слу-
чае, если вода и лед подвешены в смеси воздуха и пара в мелко
раздробленном состоянии.
684
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пары
Предположим, что к 1 кг сухого воздуха примешано х кг смеси
пара и воды или льда, причем из этого количества на долю насы-
щенного пара приходится х' кг, а остальные (х — х1) кг — на долю
воды или льда. Теплосодержание всей смеси: i = I' Ц- (х— x')t (для
воды) и i = i' — (х — х') '80— 0,5/) (для льда); следовательно, в обла-
сти тумана изотермы представлены прямыми линиями. Для 0° мы
имеем две изотермы: одну для воды, а другую для льда.
Изменение состояния при неизменном содержании воды.
Точка, характеризующая это состояние смеси, перемещается на (Z, х)
диаграмме по вертикальной линии, соответствующей х кг, взятым
на абсциссе в соответствующем масштабе. Вертикальное расстояние
между точками, соответствующими начальному и конечному состоя-
нию, пропорционально сообщенному или отнятому теплу
Q=L (0,24+0,46х)
где L — общее количество воздуха в кг.
Пересечение линии состояния с пограничной кривой дает точку
росы.
Смесь двух количеств влажного воздуха различного со-
става и различных температур. Предположим, что	кг
при температуре tr смешивается с Z2(^+Xi) кг ПРИ температуре t2
без добавочного сообщения тепла; в-таком случае точки, характе-
ризующие возможные состояния смеси, лежат на соединительной
прямой между точками 1 и 2, представляющими начальное и ко-
нечное состояние воздуха. Абсцисса хт для смеси при данных
условиях дается формулой:
Хт~ 4“ ^2Х2)/(^-1 “F ^2)-
Температура смеси может быть получена непосредственно из
диаграммы, причем безразлично, где находятся точки / и 2 по от-
ношению к пограничной линии. Если обе точки 1 и 2 лежат на по-
граничной линии, то при смешении всегда образуется туман. Если
же точка 1 лежит в области тумана, а точка 2 вне этой области,
то по (4 х) диаграмме легко определить то количество воздуха, не
насыщенного водяным паром, которое нужно примешать к влаж-
ному воздуху, чтобы устранить туман. Соединим точки 1 и 2
прямой линией и отметим точку пересечения этой линии с погра-
ничной кривой; абсцисса, соответствующая этой точке пересечения,
дает величину выше этого количества хт нельзя брать, не
рискуя получить туман; следовательно, отношение насыщенного
воздуха к ненасыщенному (по весу) дается формулой:
Z.i/Z.2 = (Хт —	— хт).
Если смешение двух количеств влажного воздуха сопрово-
ждается выделением или поглощением тепла—Q, то конечное состоя-
Смесь воадуха и водяного пара	685
ние смеси может быть получено нанесенным по вертикальному на-
правлению, в соответствующем масштабе, величины Q/L} или
Q/Lz, этим построением найдется точка 1 или точка 2, дальнейшее
же исследование можно вести указанным выше приемом.
Процесс смешивания водяного пара или воды с возду-
хом. Если подвести к сухому или влажному воздуху пар или
воду, то состояние воздуха изл енится, согласно (Z, х) диаграммы,
по закону прямой линии, проходящей через точку 1 (началь-
ное состояние воздуха). Направление этой прямой линии дается
di
формулой — = z0, причем t0 означает теплосодержание одного кг
пара или воды, подведенного к воздуху во время смешения. По
краям (Z, х) диаграммы имеются указатели направления этих
прямых линий, соответствующие различным величинам Zo (от 300
до 2000). При обычном начальном состоянии воздуха, примесь пара
ведет к образованию тумана. В случае постоянного поступления
пара в какое-либо пространство необходимо туда же подводить
определенное количество воздуха во избежание образования тумана.
Это количество воздуха (в кг) найдется по формуле L=G/(x'—xj,
где xf соответствует точке пересечения прямой изменения состоя-
ния смеси с пограничной кривой. Чем выше температура, тем
больше х', а следовательно, тем меньше количество воздуха, ко-
торое требуется подвести для уничтожения тумана.
Если к воздуху примешивается вода при температуре Z°, в мелко
раздробленном состоянии, то di/dx^t^ и состояние влажного воз-
духа меняется по линии, совпадающей с изотермой (Q=0), распо-
ложенной в области тумана, причем эта изотерма при невысоких
температурах воды почти совпадает с линией i = const.
Из вышесказанного ясно то преимущество, каким обладает
(Z, х) диаграмма для решения вопросов, связанных с созданием
наилучших условий работы обогревательных и вентиляционных
установок.
Влажный воздух определенного начального состояния
скользит по поверхности воды или льда, имеющей определен-
ную температуру. Над поверхностью воды или льда находится
слой воздуха, насыщенный водяным паром и обладающий той же
температурой Z'°, которую имеет вода или лед. Если с этим воздуш-
ным слоем приходит в соприкосновение воздушная масса опреде-
ленного состояния, то происходит процесс смешения, при котором
состояние воздуха изменяется. Это изменение может быть изучено
при помощи диаграммы (Z, х), нужно лишь провести прямую линию
из точки, характеризующей состояние воздуха, смешивающегося
с пограничным слоем, к той точке пограничной кривой, которая со-
ответствует температуре поверхностного слоя воды или льда. Если
количество пара в воздухе меньше, чем необходимо для его насы-
щения, то воздух будет получать пар из воды (процесс испарения),
если же количество пара в воздухе было больше, то будет про-
исходить выделение воды (появление росы).
686
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пары
Законы Дальтона и Левиса. Закон Дальтона для процесса
испарения формулируется следующим образом:
dW _ Ъ(р' — р)
dz ~ р0
Здесь dW—количество воды, испарившееся или выделившееся
с м2 в виде росы за время dz сек, о — коэф, испарения, зависящий
от характера движения воздуха над водяной поверхностью. Согласно
исследованиям проф. Левиса х) возможно заменить отношения пар-
циальных давлений в формуле Дальтона величинами, характеризую-
щими содержание влаги в воздухе и в прилегающем к водяной
поверхности слое, т. е. величинами х и х'\
Тот же автор показал, что коэф, испарения 6 находится в за-
висимости от коэф, теплопередачи а между воздухом и поверх-
ностью воды. Если удельная теплоемкость воздуха с содержанием
влаги х кг будет обозначена с', то а = ос', причем величина с'
может быть взята равной средней величине: с' — 0,25, поэтому
6 4а 2).
d) Применение к теории паровой машины
Обозначения:
р, Р — давление пара перед входом в лшшину,
t, £ — температура насыщения пара, соответствующая давлению р,
ЦТ — температура входящего пара в случае перегрева,
х — удельное содержание пара или паросодержание (при влажном паре).
Ц s — теплосодержание и энтропия пара,
Ро, Pq — противодавление (давление в конденсаторе или в выхлопе),
t , £0 — соответствующая противодавлению температура насыщения,
ta Та — температура выпускаемого пара в случае перегрева,
ха — удельное содержание пара при выпуске (при влажном паре),
ia — теплосодержание в нем.
Работа, которая может быть получена из одного кг пара
в идеальной машине, работающей без потерь, (т. е. при полном
адиабатическом расширении от р до р0 в теплонепроницаемом (изо-
лированном) цилиндре машины, работающей без трения и без
вредного пространства,
AL = i — Zo,
i) Lewis, The evaporation of a liquid into a gas. Meeh. Engineering 1922,
стр. 445.
’) Merkel, Dampfluftgemische in der Technik, Mitt. Forschungsarb. VDI, H.
275 u. VDI 1926, стр. 123.—Berieselungsverfliissiger, Zfd. ges. Kalte-Ind. 1927, стр. 24.—
Warmeiibergang an Luftkiihlern, VDI 1927, стр. 117.
H i r s c h, Die Abkiihlung feuchter Luft, Gesund. Ing. 1926, стр. 376.—Die Kiihlung
feuchten Gutes unter Beriicksichtigung des Gewichtsverlustes, Z. f. d. ges. Kalte-Ind,
1927,’стр. 97.—Trockentechnik, Berlin 1927, Springer.
Теория паровой машины
687
где Zo означает теплосодержание в конце после адиабатического
расширения, считая от начального состояния (р, Z, х) до р0.
AL = i — Iq называют также адиабатическим падением
тепла. Во всех случаях проще всего определить значение /L по
диаграмме IS водяного пара (стр. 678); для этого достаточно оты-
скать на диаграмме точку, соответствующую исходному состоянию
пара, причем вертикальное расстояние этой точки от линии про-
тиводавления р0 пропорционально AL.
При расчетах AL определяется следующим образом:
а)	Для перегретого пара, если он после адиабатического
расширения становится сырым, < Sq:
AL = i — z0	(s0 — s);
i и s определяются по формулам для перегретого пара, Zq и ^берутся
из таблиц.
Ь)	Для перегретого пара, если он после адиабатического
расширения все еще перегрет,	и р не выше 25 ат:
L = ^^Pv [1—	1>/Xj , где *=1,3.
с)	Для сухого насыщенного пара
Расход п а р а на л. с. ч. и д е а л ь н о й машины
Расход пара на квт-ч.
D -86°
^kw - AL •
Термический коэфициент полезного дей-
ствия паровой машины есть отношение полученной индикатор-
ной работы в тепл. един, к теплу, израсходованному на паро-
образование.
Вообще	I	Для сухого пара
Vt= ALil(i iw).	j	= ALp(i iw)
lw— теплосодержание питательной воды.
Расход тепла № на л. с. ч.
№=632/7],.
Индикаторный коэфициент полезного дей-
ствия т]. есть отношение действительно полученной индикатор-
ной работы к работе идеальной машины;
rll = Li:L = D:Db
688
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пари
е) Аккумулирование водяного пара 1)
1. Паровой аккумулятор с водяным простран-
ством (аккумулятор Руте а). Количество пара, которое
может быть взято из парового аккумулятора при понижении его
давления с рх до р2 получается из диференциального уравнения
dG __ cis'
гГГ'
Если Gt и G2 — вес в к? содержимого в паросборнике до и
после его разряда, а у/ — удельный вес воды в кг/м* до разряда,
то количество пара в кг, которое аккумулятор способен отдавать
на 1 jw3 содержащейся в нем воды,
gs =	=Т,/(1 —«]л'/(г/п) кг/м\
Интеграл разрешается с помощью эмпирических уравнений.
Пределы, между которыми эти расчеты были произведены, опре-
деляются давлениями от 0,5 до 34 ат 2). Результаты представлены
графически в диаграмме фиг. 10.
Кроме того, на диаграмме фиг. 10 нанесен также и удельный
вес у' воды. Применение диаграммы поясняется примерами.
Пример 1. Аккумулятор с объемом воды в 100 м3 разряжается с 10 де 5 ата.
Сколько пара он в состоянии отдать? Имеем согласно диаграмме
£•$=50,8 кг]м3 и Gs = 100 «59,8 = 5080 кг.
Пример 2. Аккумулятор содержит в разряженном состоянии 50 м9 воды при
3 ата давления. Какое количество пара нужно для его зарядки до давления в 15 ат?
Из диаграммы находим gs=109,6 кг/м3; у/ = 866,4 кг/м9; =932,5 кг/м9. Объем
воды после зарядки
К •=	= 50	- = 61,6 *
у/ — gs	866,4 — 109,6
и	= Г, • gs = 61,6 • 109,6 = 6750 кг.
Если зарядка аккумулятора производится паром с постоянным
теплосодержанием Zlt но любого состояния (т. е. перегретым или
влажным), то имеет место совершенно точная зависимость
,/,-4
—- /«’•
l-h
Если приравнять ix = Z^, то в области, лежащей между 1 и 60 ат, можно
пользоваться этим уравнением в качестве приближенного уравнения при расчетах
количеств пара, получаемого при разрядке. Ошибка даже при очень больших коли-
чествах пара не превышает 2°/©.
!) Ф. Мюнцингер, Пар высокого давления. —Л. Шнейдер. Использова-
ние отработанного тепла.
’) Е. Knopf, Dissertation, Dresden.
Аккумулирование водяного пара
689
690
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пары
2. Паровой аккумулятор с постоянным давле-
нием. Варьирование количества получаемого пара, при условии
постоянного количества доставляемого тепла, достигается в данном
случае тем, что при большой потребности в паре аккумулятор
питается слабее, а при меньшей потребности — сильнее. Таким пу-
тем можно, не меняя хода топки, довести испарение до' нуля или
повысить до того, что развиваемое количество пара в т раз пре-
высит нормальное (количество поданной питательной воды = коли-
честву воды, превращенной в пар). При этом т = (Z—/5)/г, где
i—теплосодержание, г — теплота испарения для насыщенного пара
при давлении котла и ts — температура питательной воды. Акку-
мулирующая способность на 1 ж3 питательного объема
— ts
ir — теплосодержание воды при давлении котла и у' — ее удель-
ный вес кг/м3. Как способность к перегрузке т, так и удельная
аккумулирующая способность gs повышаются с увеличением давле-
ния котла и с уменьшением температуры питательной воды *).
f) Применение термодинамики к теории холодильных машин 2)
(Машины, действующие холодными парами)
Холодильные машины состоят в главных чертах из компрес-
сора, испарителя и конденсатора (холодильника). Две последние
части образуются из системы змеевиков, в которых циркулирует
рабочая жидкость, большею частью аммиак, углекислота или сер-
нистая кислота. Наружная поверхность труб конденсатора омы-
вается охлаждающей водой, а труб испарителя — подлежащей
охлаждению жидкостью или воздухом. Особенно часто в качестве
промежуточного носителя холода применяется раствор соли3). Про-
цесс протекает между двумя давлениями, зависящими от кривой
давления паров применяемой рабочей жидкости, а именно: между
давлением р0 в испарителе и р в холодильнике. Первое из давле-
ний зависит, главным образом, от температуры, на которой поддер-
живается охлаждающая смесь; второе—от температуры и количе-
ства охлаждающей воды. Обычно температуры насыщения /0 и t,
соответствующие давлениям р0 и р, только немногим отличаются
от температур рассола и охлаждающей воды.
На фиг. 11 представлен холодильный процесс в тепловой
диаграмме (стр. 647). Компрессор всасывает из испарителя сухой
или слабо-влажный пар (состояние 1, фиг. И, точка 7), сжимает
его адиабатически до состояния 2, указанного в диаграмме точ-
кой 2, и нагнетает в конденсатор. Здесь пары рабочей жидкости,
J) Р a u er, Wftrme, 1923, стр. 356 и сл.
l) А. Р яванцев, Введение в теорию холодильных машин, „Вести. О-ва
технологов*, 1911 г.—В. Ц ы д з и к, Таблицы и диаграммы для расчета холодильных
машин, МВТУ, 1927 г.
•) Теплоемкость растворов поваренной соли, см. стр. 609.
Применение термодинамики к Теории холодильных машин 691
перегретые или высушенные во время сжатия, отдают свое
тепло Q охлаждающей воде и полностью переходят в жид-
кое состояние (кривая 2—3). В этом
состоянии 3 рабочая жидкость прохо-
дит регулирующий клапан (дроссель-
ный клапан), имея температуру /3, и
затем идет обратно в испаритель (точ-
ка 4). При проходе через регули-
рующий клапан небольшая часть жид- е
кости испаряется (состояние 4), а
остаток полностью или почти пол- |
ностью испаряется в испарителе (кри- f
вая 4—7), причем теплота промежу- J
точного носителя холода переходит 5
на рабочий пар. Это взятое от рассола |
количество тепла Qo и представляет
требуемую заданием производитель-
ность холодильного процесса.
Если обозначить работу компрес-
сора в кг-кал через AL, то главное	фиг
соотношение будет:
Q — Qq Ч- ^47..
Для выяснения экономичности холодильной машины опреде-
ляют отношение полученного холода Qo к затраченной работе AL;
это отношение называется коэфициентом производи-
тельности холодильной машины
е = Qo/AL.
Вместо коэфициента производительности часто дается произво-
дительность охлаждения k на л. с. ч.
k = 632 е.
Коэфициент производительности в значительной мере зависит от
температур рассола (охладителя) и охлаждающей воды конденса-
тора, а равно и от давлений, обусловленных этими температурами.
Применение регулирующего клапана вызывает, вследствие не-
обратимости процесса прохождения жидкости через этот клапан,
некоторую потерю производительности. Теряется работа ALe, кото-
рую могла бы произвести находящаяся под давлением рабочая жид-
кость, расширяясь в особом цилиндре, и, кроме того, уменьшается
на такую же величину и производительность охлаждения, ибо жид-
кость уносит с собой в испаритель в виде теплоты неотданную
работу ALe. Потеря производительности, зависящая от
регулирующего клапана, будет поэтому
692
Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пары
Оо + ALe
где е = j-j---jy представляет коэфициент производительности
Л £> — A
при особом цилиндре для расширения.
При применении такого цилиндра процесс протекал бы со-
гласно циклу Карно, при условии работы без перегрева и без
переохлаждения; в таком случае
* г-Го И
При данных температурах ALe
/L, Т
С = —е- —
AL Го*
зависит только от теплоемкости
Таблица 10. Объемное содержание 1 кг углекислоты в литра*
°C	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75
— 20	19,50	1,00	1,00	0,99	0,99	0,99	0,99	1 0,98 1	0,98	0,98	0,98	0,98
— 15	20,35	1,02	1,02	1,01	1,01	1,01	1,00	1,00	1,00	0,99	0,99	0,99
- 10	21,15	15,85	1,04	1,04	1,02	1,03	1,03	1,02 !	1,02	1,02	1,01	1,01
— 5	21,90	16,55	12,45	1,07	1,06	1,06	1,05	1,05	1,04	1,04	1,03	1,03
0	22,65	17,20	13,15	10,60	1,09	1,09	1,08	1,08	1,07	1,07	1,06	1,0€
5	23,35	17,80	13,80	11,20	8,90	1,12	1,12	1,11	1,11	1,10	1,09	l,0S
10	24,05 1	18,40	14,40	11,70	9,40	7,50	1,17	1,16	1,15	1,14	1,13	1,13
15	24,70	18,95	14,35	12,20	9,90	8,25	6,95	1,22	1,21	1,20	1,19	1,13
20	25,30	19,50	15,50	12,65	10,45	8,75	7,45	6,05	1,29	1,28	1,26	1,24
25	25,90	20,00	16,00	13,10	10,95	9,20	7,90	6,65	5,59	4,20	1,38	1,34
30	26,50	20,50	16,50	13,55	11,40	9,60	8,35	7,15	6,10	5,10	3,97	1,51
35	27,10	21,00	17,00	14,00	11,80	10,00	8,80	7,60	6,52	5,59	4,70	3,9(
40	27,70	21,49	17,45	14,40	12,20	10,40	9,20	7,95	6,90	6,03	5,27	4,71
45	28,30	21,98	17,90	14.80	12,60	10,80	9,55	8,30	7,25	6,40	5,75	4,91
50	28,85	22,47	18,35	15,20	13,00	11,20	9,90	8,65	7,60	6,76	6,06	5,3!
55	—-	22,96	18,80	15,60	13,40	11,50	10,25	9,00	7,90	7,08	6,36	5,6<
60	—	23,45	19,25	16,00	13,80	11,80	10,55	9,30	8,25	7,35	6,64	5,9'
65	—	23,94	19,65	16,40	14,15	12,10	10,85	9,60	8,50	7,62	6,90	6,2
70	—	24,43	20,05	16,80	14,50	12,40	11,10	9,90	8,80	7,90	7,16	6,5
75	—	24,92	20,45	17,20	14,80	12,70	11,40	10,20	9,10	8,20	7,40	6,7
80	—	25,42	20,85	17,58	15,10	13,00	11,70	10,45	9,40	8,48	7,63	7,0
85	—	25,91	21,25	17,95	15,45	13,30	11,95	10,75	9,65	8,74	7,88	7,2
90	—	26,40	21,65	18,30	15,75	13,60	12,20	11,00	9,90	8,98	8,12	7,4
15	—	26,89	22,00	18,65	16,05	13,90	12,45	11,25	10,15	9,21	8,36	7,6
100	—	27,88	22,40	19,00	16,35	14,20	12,70	11,50	10,40	9,43	8,60	7,8
105	— ;	1	——	22,75	19,35	16,65	14,50	12,95	11,75	10,65	9,65	8,80	8,1
110		—	23', 15	19,70	16,95	14,80	13,20	12,00	10,85	9,87	9,00	8,3
115	—	—	23’,50	20,05	17,25	15,05	13,45	12,20	11,10	10,10	9,20	8,5
120	—	—	23,85	20,35	17,55	15,35	13,70	12,40	11,30	10,30	9,40	8,(
125	—	—	24,20	20,65	17,80	15,65	13,95	12,60	11,50	10,50	9,60	8,3
139	—	—	24,50	20,95	18,05	15,90	14,20	12,80	11,70	10,70	9,75	9,(
135	—	—	24,80	21,25	18,30	16,15	14,45	13,00	11,90	10,90	9,95	9,1
140	—	——	25,10	21,55	18,55	16,45	14,70	13;20	12,10	11,10	10,10	9,1
145	—	—	23,40	21,80	18,80	! 16,70	14,95	13,40	12,25	11,25	10,25	9/
150		—	25,70	22,05	19,00	16,95	15,20	13,60	12,40	11,35	10,40 	9,<
Применение термодинамики к теории холодильных машин 693
работающего вещества в жидком состоянии; AL увеличивается
с увеличением теплоты испарения. Таким образом С примет значе-
ния тем менее выгодные, чем больше теплота жидкости и чем
меньше теплота испарения применяемого рабочего вещества.
В общем £ невыгодно близ критической точки.
Для аммиака и сернистой кислоты С = 0,04 до 0,08, в зависи-
мости от температур; для углекислоты С колеблется между 0,15
и 0,40.
Кроме вышеуказанных физических свойств рабочего вещества,
на величину С, как уже было указано, имеет влияние температура.
Потеря может быть значительно уменьшена, если температуру
перед регулирующим клапаном держать по возможности низкой.
при различных температурах и давлениях (по опытам Амагата)
80	85	90	95	100	105	ПО	115	| 120 ।	125	130	135	140	145	150 ат
0,98	0,98	0,98	0,97	0,97	0,97	0,97	0,97	0,97	0,96	0,96	0,с6	0,96	0,96	0,96
0,99	0,99	0,99	0,98	0,98	0,98	0,98	0,°8	0,98	0,97	0,97	0,97	0,97	0,97	0,97
1,01	1,01	1,00	1,00	1,00	0,99	0,99	0,99	0,99	0,98	0,98	0,98	0,98	0,98	0,98
1,03	1,02	1,02	1,02	1,01	1,01	1,01	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00	0,99	0,99	0,99
1,05	1,05	1,04	1,04	1,03	1,03	1,03	1,02	1,02	1,02	1,02	1,01	1,01	1,01	1,00
1,08	1,08	1,07	1,07	1,06	1,06	1,05	1,05	1,04	1,04	1,04	1,03	1,03	1,03	1,02
1,12	1,11	1,11	1,10	1,09	1,09	1,08	1,08	1,07	1,07	1,06	1,06	1,05	1,05-	1,04
1,17	1,16	1,15	1,14	1,13	1,13	1,12	1,П	1,11	1,10	1,09	1,09	1,08	1,08	1,07
1,23	1,22	1,20	1,19	1,18	1,17	1,16	1,15	1,15	1,14	1,13	1,13	1,12	1,11	1,10
1,31	1,29	1,27	1,26	1,24	1,23	1,22	1,21	1,20	1,19	1,18	1,17	1,16	1,15	1,14
1,48	1,41	1,38	1,35	1,32	1,30	1,29	1,27	1,26	1,24	1,23	1,22	1,21	1,20	1,19
2,68	1,71	1,58	1,51	1,45	1,40	1,37	1,35	1,33	1,31	1,30	1,28	1,27	1,26	1,25
3,80	2,99	2,29	1,80	1,67	1,57	1,51	1,47	1,43	1,39	1,37	1,35	1.33	1,32	1,31
4,36	3,67	3,07	2,61	2,19	1,86	1,72	1,64	1,58	1,52	1,48	1,45	1,42	1,40	1,38
4,76	4,17	3,65	3,19	2,76	2,38	2,09	1,88	1,77	1,67	1,62	1,57	1,53	1,49	1,46
5,10	4,53	4,09	3,62	3,20	2,82	2,55	2,30	2,05	1,90	1.81	1,73	1,67	1,62	1,58
5,40	4 85	4,44	3,99	3,56	3,20	2,91	2,68	2,45	2,22	2,04	1,92	1,84	1,77	1,71
5,68	5,15	4,72	4,29	3,92	3,53	3,25	2,97	2,75	2,54	2,35	2,29	2,04	1,95	1,86
5,94	5,43	4,99	4,56	4,21	3,84	3.52	3,25	3,02	2,80	2,62	2,45	2,29	2,16	2,03
6,19	5,68	5,23	4,81	4,45	4,10	3,80	3,50	3,26	3,04	2,86	2,69	2,52	2,38	2,24
6,44	5,93	5,47	5,06	4,69	4,34	4,03	3,74	3,48	3,26	3,06	2,90	2,74	2,59	2,44
6,66	6,18	1 5,70	5,28	4,90	4,56	4,25	3,96	3,70	3,47	3,27	3,09	2,92	2,77	2,62
6,87	6,39	5,90	5,48	5,10	4,76	4,45	4,18	3,92	3,67	3,47	3,28	3,10	2,95	2,80
7,08	6,60	6,12	5,68	5,30	5,00	4.64	4,37	4,10	3,86	3,65	3,46	3,27	3,11	2,97
7,30	6,80	6,32	5,86	5,50	5,14	4,83	4,54	4,29	4,05	3,83	3,63	3,44	3,28	3,13
7,49	7,00	6,51	6,05	5,68	5,33	5,01	4,71	4,48	4,22	4,00	3,80	3,60	3,49	3,29
7,06	7,19	; 6,69	6.23	5,85	5,59	5,19	4,88	4,64	4,40	4,16	3,95	3,75	3,57	3,44
7,85	7,37	6,90	6,41	6,03	5,67	5,35	5,04	4,80	4,55	4,32	4,11	3,90	3,74	3,58
! 8,04	' 7,54	7,06	6,58	6,20	5,84	5,52	5,20	4,94	4,70	4,48	4,26	4,04	3,88	3,72
| 8,23	1 7,76	7,20	6,74	6,36	6,00	5,67	5,34	5,08	'4,84	4,62	4,40	4,18	4,00	3,84
8,43	7,87	! 7,36	6,90	6,51	6,16	5,82	5,47	5,20	4,96	4,76	4,54	4,30	4,12	3,96
8,69	! 8,04	7,52	7,05	6,65	6,36	5,96	5,61	5,32	5,08	4,88	4,64	4,42	4,22	4,06
8,75	1 8,20	7,68	7,20	6,80	6,46	6,10	5,73	5,44	5,20	5,00	4,76	4,52	4,33	4,16
8,88	1 8,34	7,84	7,35	6,94	6,59	6,23	5,85	5,55	5,32	5 12	4,86	4,61	4,41	4,24
9,00	8,48	8,00	7,50	7,С8	6,71	6,35	5,98	5,65	5,42	5,22	4,95	4,69	4^0	4,32
694
Т. 1. Отд. 4. Теплота. V. Пары
Это обстоятельство имеет большое значение для углекислоты и до-
стигается особыми охладителями.
Работа сжатия AL идеального компрессора, ра-
ботающего без потерь. Вообще для 1 кг\ AL = i2 — iy при-
чем s2 = st.
а)	Присасывается сухой пар:
х	Г/р\(х-1)/х	1
„,"[(£) -ф
для NH3 и SO2 можно подставить: х/(х — 1) = 13/в» *=1»3.
Ь)	Пар становится сухим в конце адиабатического сжатия:
= Г'-/"+70
Значения см. в таблицах стр. 696 и след.
Теплота Q, отдаваемая конденсатору:
Q = ^2 — z3-
Значения Z3 берутся по значениям ir из таблиц для пара. Вели-
чина Z3 определяется по формуле: /2 = AL.
Прохождение через регулирующий клапан:
Z3 — z4> z3 = zo + отсюда определяется x4.
Продолжение текста на стр. 698
Таблица 11. Адиабатическое сжатие сухих насыщенных паров
углекислоты
р в кг!см- =		60	70	80	90	100
4 = - 50°	AL	25,0	27,25	29,25	31,05	32,6
	t	95,3	107,10	118,50	127,80	136,3
/о=-45°	AL	22,2	24,30	26,25	28,05	29,8
	t	87,2	99,00	110,0	119,5	127,8
4=- 40°	AL	19,65	21,65	23,50	25,25	26,8
	t	80,0	91,50	102,1	111,30	119,8
/0 = -35в	AL	17,4	19,40	21,1	22,8	24,3
	t	73,5	85,00	95,5	105,0	113,1
/0 = —30°	AL	15,15	17,18	19,00	20,63	22,14
	t	72,0	86,5	99,0	111,0	122,0
/0 = —25°	AL	13,19	15,14	16,90	18,47	19,92
	t	67,0	80,5	93,0	105,0	115,5
/0 = - 20°	AL	11,30	13,18	14,87	16,39	17,78
	t	62,0	75,0	87,5	99,0	109,0
4 = - 18°	AL	9,53	11,32	12,95	14,40	15,75
	t	57,0	70,0	82,0	93,0	103,0
/о = - 10°	AL	7,86	9,55	11,13	12,54	13,84
	t	52,0	65,0	76,5	87,0	97,5
Zo = - 6е	AL	6.31	7,90	9,42	10,77	12,0
	t	47,0	60,0	71,0	81,0	92.0
4 =* 0е ,	AL	4,85	6,30	7,76	9,07	10 25
	t	«2,0	55,0	66,0	76,0	2b.5
р = конечное давление сжатия,
/ = конечная температура,
/0 = начальная температура,
AL = работа сжатия для 1 кг углекислоты и кг-кад.
Применение термодинамики к теории холодильных машин
695
Таблица Па. Теплосодержание 1% углекислоты перед дроссель-
ным вентилем, при различных давлениях и температурах
p =	60	70	80	90	100 кг/см*
/8 = 10	105,5	105,0	104,7	104,4	104,2
/3 = 15	108,9	108,1	107,7	107,4	107,1
/3 = 20	113,6	111,9	111,1	110,6	110,1
/3 = 25	—	117,0	115,2	114,1	113,4
4 = 30	—	—	120,7	118,4	117,0
Таблица 12. Насыщенный пар сернистой кислоты SO2
(вычислена по опытам Cailletet & Mathias)
Температура t	Давление (ama) p	s 1 0	i Удельный вес Y7'	Содержание тепла			Теплота испарения			Энтропия		1 II к ]Кч
				в жидко-	сти Г	в паре i"	полная г	внутрен- няя р	внешняя ф	жидкости S*	пара s"	
• C	кг/см3	ма]кг	кг}ма	кг-кал1кг						кг-кал кг*°		
— 30	0,39	0,822	1,217		9,05	88,72	97,77	90,27	7,50	— 0,0351	0,3672	0,4023
— 25	0,51	0,643	1,556	—	7,62	89,28	96,91	89,24	7,67	— 0,0293	0,3614	0,3907
-20	0,65	0,513	1,950	—	6,15	89,77	95,92	88,12	7,80	-0,0234	0,3557	0,3791
- 15	0,83	0,416	2,406			4,66	90,16	94,82	86,90	7,92	- 0,0176	0,3499	0,3675
- 10	1,04	0,330	3,024	—	3,14	90,46	93,60	85,57	8,03	— 0,0117	0,3442	0,3559
- 5	1,29	0,270	3,708	—	1,58	90,69	92,27	84,15	8,12	- 0,0059	0,3385	0,3443
0	1,58	0,223	4,490		0	90,82	90,82	82,62	8,20	одюо	0,3327	0,3327
+ 5	1,93	0,184	5,443	+	1,61	90,86	89,25	80,99	8,26	+ 0,0059	0,3269	0,3210
+ 10	2,34	0,152	6,592	+	3,25	90,81	87,56	79,28	8,28	+ 0,0117	0,3212	0,3094
+ 15	2,81	0,127	7,893	+	4,92	90,68	85,76	77,46	8,30	+ 0,0176	0,3154	0,2978
+ 20	3,35	0,107	9,372	+	6,62	90,47	83,85	75,55	8,30	+ 0,0234	0,3096	0,2862
+ 25	3,96	0,090	11,148	+	8,35	90,17	81,82	73,54	8,28	+ 0,0293	0,3039	0,2746
+ 30	4,67	0,076	13,210	+ 10,11		89,78	79,67	71,44	8,23	+ 0,0351	0,2981	0,2629
+ 35	5,46	0,065	15,456	+ 11,90		89,30	77,40	69,24	8,16	+ 0,0410	0,2923	0,2513
+ 40	6,35	0,055	18,282	+ 13,71		88,74	75JD3	66,95	8,08	+ 0,0468 j	0.2865	0,2397
«= 0,3194 + 0,00117 /, | r/T = 0,3327 - 0,002324 /,
Г = 0,00117 6	• 1 p' = 0,0007.
Таблица 13. Насыщенный аммиачный пар NH3 9
Температура t	|	Давление (ата) Р	I	Объем			Удельный вес		Содержание тепла		Энергия пара и"	Теплота испарения			Энтропия		Г II Я5-
		жидкости		пара v"	жидкости	пара у"	в жидкости !	1' 		в паре		w | cd I IV	внутренняя р — и" — и'	внешняя = --AP(v''—v')	жидкости s'	пара s"	
°C	кг'см-		кг 1м3		кг/м3		кг-к а лк г		кг-кал'кг	кг-кал\кг			кг-кал кг°		кг-кал кг°
— 50	0,417	0,001	425	2,617	702	0,382	— 53,8	284,1	258,6	337,9	312,4	25,5	— 0,217	1,298	1,515
— 45	0,556	0,001	437	2,002	696	0,500	— 48,5	286,1	260,1	334,6	3^8,6	26,0	— 0,194	1,274	1,468
— 40	0,732	0,001	449	1,55G	690	0,645	— 43,2	288,1	261,5	331,3	304,8	26,5	- 0,171	1,251	1,422
— 35	0,950	0,001	462	1,215	684	0,823	— 37,9	290,0	263,0	327,9	300,9	27,0	— 0,148	1,229	1,377
— 30	1,219	0,001	476	0,963	678	1,038	— 32,6	291,9	264,4	324,5	297,1	27,4	— 0,126	1,209	1,335
— 25	1,546	0,001	490	0,771	671	1,297	— 27,3	293,7	265.8	321,0	293,1	27,9	— 0,104	1,190	1,294
— 20	1,940	0,001	504	0,624	665	1,604	— 21,8	295,5	267,1	317,3	289,0	28,3	— 0,083	1,171	1,254
— 15	2,410	0,001	519	0,569	659	1,966	— 16,4	297,1	268,4	313,5	284,9	28,6	— 0,062	1,153	1.215
— 10	2,966	0,001	534	0,418	652	2,390	— 11,0	298,7	269,6	30»7	280,7	29,0	— 0,041	1,136	1,177
— 5	3,619	0,001	550	0,347	645	2,883	— 5,5	300,1	270,7	305,6	276,3	29,3	— 0,020	1,120	1,140
0	4,379	0,001	566	0,290	639	3,452	+ 0,0	301,5	271,8	301,5	272,0	29,5	0,000	1,104	1,104
+ 5	5,259	0,001	583	0,244	632	4,108	+ 5,5	302,8	272,8	297,3	267,5	29,8	+ 0,020	1,089	1,069
+ Ю	6.271	0,001	601	0,206	625	4,859	+ 11,1	303,9	273,7	292,8	262,8	30,0	+ 0,040	1,074	1,034
4-15	7,427	0,001	619	0,175	618	5,718	+ 16,7	305,0	274,5	288,3	258,1	30,2	+ 0,059	1,060	1,001
+ 20	8,741	0,001	639	0,149	610	6,694	+ 22,4	305,9	275,3	283,5	253,2	30,3	+ 0,079	1,046	0,967
+ 25	10,225	0,001	659	0,128	603	7,795	+ 28,1	306,8	276,0	278,7	248,3	30,4	+ 0,098	1,032	0,934
+ 30	11,895	0,001	680	0,111	595	9,034	+ 33,8	307,4	276,5	273,6	243,2	30,4	+ 0,117	1,019	0,902
+ 35	13,765	0,001	702	0,096	588	10,431	+ 39,7	308,0	277,0	268,3	237,9	30,4	+ 0,135	1,006	0,871
+ 40	15,850'	0,001	726	0,083	580	12.С05	+ 45,5	308,4	277,4	262,9	232,6	30,3	+ 0,154	0,993	0,839
+ 45	18,165	0,001	750	0,073	571	13,774	+ 51,4	308,6	277,7	257,2	227,1	30,1	+ 0,172	0,981	0,809
+ 50	20,727	0,001	777	0,064	563	15,756	+ 57,4	308,7	277,8	251,3	221,4	29,9	+ 0,190	0,968	0,778
1) По опытам американского „Bureau of Standards" см. Z. f. d. ges. Kal.eindustrie", 1921, стр. 173.
Отд. 4. Теплота, V. Пары
Таблица 14. Насыщенный пар углекислоты СО2 х)
1	1 Температура/	1	Давление (ата)	1 Р	1	Объем		Удельный вес у"	Внутренняя энергия		Содержание тепла		Теплота испарения			Энтропия		J II
		жидкости v'	пара v"		жидкости '		пара и”	в жидкости	в паре zzz	к к Л X =: о с	внутренняя р	(ta-ita)dv= = ф ВВН1ПЭНЯ	жидкости	| пара $г‘	
° С	кг[см*	кг м3		кг/м3	кг-кал[кг		кг-кал[кг		кг-кал[кг			кг-кал ° кг		кг-кал ° кг
— 50	6,96	0,000 866	0.056 20	17,8	— 26,93	45,94	— 26,79	55,09	81,88	72,87	9,01	-0,1057	0,2613	0,3670
— 45	8,50	0,0С0 880	0,046 20	21,7	— 24,29	46,23	— 24,12	55,40	79,52	70',52	9,00	— 0,0940	0,2546	0,3486
— 40	10,28	0,000 895	0,038 20	26,2	-21,72	46,48	- 21,51	55,65	77,16	68,20	8,96	— 0,0828	0,2482	0,3310
— 35	12,31	0,000 912	0,031 80	31,5	— 19,18	43,69	- 18,92	55,84	74,76	65,87	8,89	—0,0719	0,2421	0,3140
— 30	14,60	0,000 930	0,026 66	37,5	— 16,67	46,85	— 16,35	55,97	72,32	63,52	8,80	—0,0613	0,2362	0,2975
-25	17,19	0,000 950	0,022 53	44,4	- 14,17	46,96	— 13,79	56,03	69,82	61,13	8,69	— 0,0509	0,2305	0,2814
— 20	20,09	0,000 972	0,019 19	52,1	-11,64	46,99	— 11,18	56,Q2	67,20	58,63	8,57	-0,0406	0,2249	0,2655
- 15	23,33	0,000 997	0,016 46	60,8	— 9,07	46,94	— 8,52	55,93	64,45	56,С1	8,44	-0,0304	0,2193	0,2497
— 10	26,94	0,001 024	0,014 16	70,6	- 6,43	46,82	- 5,78	55,76	61,54	53,25	8,29	-0,0204	0,2136	0,2339
— 5	30,95	0,001 054	0,012 18	82,1	- 3,70	46,65	— 2,94	55,48	58,42	50,35	8,07	- 0,0102	0,2077	0,2179
0	35,39	0,001 088	0,010 43	95,9	— 0,90	46,39	0	55,03	55,03	47,29	7,74	0	0,2015	0,2015
+ 5	40,29	0,001 126	0,008 86	112,9	+ 1,96	45,95	+ 3,02	54,30	51,28	43,99	7,29	+0,0104	0,1948	0,1844
4-ю	45,70	0,001 170	0,007 46	134,1	4" 4,94	45,26	+ 6,19	53,24	47,05	40,32	6,73	+0,0212	0,1874	0,1662
4-15	51,63	0.001 225	0,006 24	160,3	-- 8,23	44,29	+ 9,71	51,83	42,12	36,06	6,06	+0,0328	0,1790	0,1462
4-20	58,15	0,001 300	0,С05 16	193,3	--11JJ5	42,89	+ 13,72	49,92	36,20	30,94	5,26	+ 0,0457	0,1692	0,1235
— 25	65,29	0,001 420	0,004 18	239,3	+ 15,80	40,32	-- 17,97	46,71	28,74	24,52	4,22	--0,0598	0,1562	0,0964
--30	73,09	0,(01 675	0,003 00	333,3	+ 22,34	35,41	+ 25,22	40,56	15,34	13,07	2,27	+0,0830	0,1336	0,0506
--31	74,73	0,001 865	0,002 55	392	+ 25,40	32,29	+ 28,66	36,75	8,09	6,89	1,20	+0,0940	0,1206	0,0266
+ 31.35	75,31	0,002 160	0.002 16	463 ’	+ 28,44	28,44	+ 32,25	32,25	0	0	0	+ 0,1058	0,1058	0
Применение термодинамики к теории холодильных машин
О По Dr.-Ing. К.
L а и g е и, Z. f.
d. ges. Kalteindustrie, 1921, стр. 2.
698
Т. I. Отд. 4. Теплота. VI. Движение газов и паров
Производительность охлаждения Qo:
Qo — z*i — Ц =	4 = V + xirо-
Тепловой баланс всего кругового процесса: Q = Qq -|- AL.
Для углекислоты, ввиду близости критической точки, приме-
нение формулы а) (стр. 694) недопустимо. Для этих паров находят
по табл. 11 работу сжатия, а получаемую при сжатии темпера-
туру t (температуру перегрева) определяют графическим путем при
помощи диаграммы IS.
На табл. 12 до 15 даны для сернистой кислоты, аммиака, углекислоты и
хлористого метила важнейшие физические величины области насыщения.
Таблица 15. Насыщенный пар хлористого метила СН3С1 х)
°C	Р ата	кг/	v" м3	Г | кг-к	АР ал/кг	t °C	Р ата	1 1 кг[	v" 1м3	I АР r |(v"—v') кг-кал/кг	
— 40	0,474	0,976	784,3	101,8	8,98	0	2,494	1,048	167,1	97,0	10,02
— 35	0.601	0,983	629,1	101,4	9,13	5	2,969	1,059	141,9	96,1	10,11
— 30	0,755	0,992	509,0	100,9	9,28	10	3,511	1,071	121,0	95,1	10,19
-25	0,940	1,001	415,5	100,4	9,43	15	4,129	1,082	103,8	94,1	10,26
— 20	1,161	1,010	341,6	99,9	9,56	20	4,829	1,094	89,39	93,0	10,31
- 15	1,421	1,019	282,9	99,2	9,69	25	5,617	1,106	77,31	91,8	10,35
- 10	1,727	1,029	235,9	98,5	9,81	30	6,502	1,119	67,13	90,5	10,38
- 5	2,082	1,038	198,0	97,8	9,92	35 40	7,491 8,591	1,131 1,144	58,50 51,13	89,2 87,7	10,39 10,39
VI. Движение газов и паров
(См. „Механика капельных жидкостей", отд. 2, гл. IV)
Обозначения:
F, Рч — различные сечения струи в лс-,
G — протекающее через эти сечения за 1 сек. количество материи в кг,
w, Wp — средние скорости в рассматриваемых сечениях в м/сек,
h, hx, St, — высота сечений над произвольной горизонтальной линией в м,
и, Ир и9 — внутренняя энергия,
/, z2 “ теплосодержание в кг-кал на 1 кг материи, проходящей через сечения,
Р, Pit Pa — давления в кг/м*,
р, Р\ч Ръ— т0 же в кг! см9,
7, Ti, Ь—удельные веса в кг/м3,
v, vlt va —удгльные объемы м31кг для рассматриваемых сечений,
А = Х/<27»
Qia— количество поступающей извне теплоты в кг-кал, которое поглощается
1 кг жидкости на пути 1—2,
Я1а — энергия, затраченная на трение для 1 кг жидкости, в кгм,
£г_ ускорение силы тяжести, равное 9,81 м/сек9.
*) О. Holst, Диссертация.
Движение газов и паров
699
Для непрерывности движения, которое в дальнейшем всегда
предполагается, требуется условие:
z?	я	wi п w2 dv dF . dw /1Ч
G = Fi^Ti = ^2T2=^i^- = F^ или T’==7F*+(l)
Далее, по принципу сохранения энергии и, если положить
в основание расчетов кинетической энергии среднюю скорость,
определяющуюся из уравнения (I):
Wc? —
Л	+ «2 - щ »(-V2-	+A(h2- h.) = Q,3
или, введя теплосодержание,
А w£-w? + 4 _ Z1 _]_ А {h2 _ hi} = Qn
или
Aw dw .......
—-----\-di-\- A dh^dQ
Введя уравнение теплоты в форме
dQ = di — Av dP (стр. 646 и след.),
. . (2)
получаем для данного случая
dQ + Ad R = di — Av dP
или	г	..........(3)
<?i2+ Л/?12 = Za —Zx —A j vdPt
1
так как работа трения также является некоторым количеством
тепла, вводимого извне в струю текущих газов или паров, то,
приняв во внимание уравнения (2) и (3), получаем:
или
2
—f ^^+^а + №-Л1) = 0
* Г
• • (4)
wdw
~т~
YvdP+dR + dh^^
В большинстве встречающихся на практике случаев величинами
\h2 — а равно и Qnt как весьма малыми, можно пренебречь;
тогда
w2_ w2 t	Aw dw
A	—— = Zi —12 или---------= — dt
2£	1	2 g
700
Т. I. Отд. 4. Теплота. VI. Движение газов и паров
2
w92 —	С	гь wdw
И	—— = — V dP — /?19 или----------------= — vdP — dR.
2g	J	*- g
2
Если пренебречь также и трением, то Zx — /2 и j* v dP опреде-
1
ляются по уравнению адиабаты, ибо в этом случае к текущей жид-
кости теплота не прибавляется.
а) Истечение
Обозначения:
pi, Pt — постоянное давление в помещении (резервуаре), из которого
происходит истечение, в ат и в кг/м*,
Vi — температура, абсолютная температура и удельный объем в этом
помещении,
Ра — постоянное давление в помещении, куда втекает газ.
р0, Ро и /0, Го, — давление, температура и удельный объем вытекающей струи,
Д) — сечение отверстия истечения в л2,
w, — скорость истечения в мсек,
а — коэфициент сжатия струи.
Если предварительно пренебречь трением и принять, что ско-
рость в резервуаре, из которого происходит истечение, весьма мала
по сравнению с w0, то, в предположении, что струя в отверстии
истечения достигает давления окружающей среды ра, мы получим:
т. е. энергия истечения будет равна работе, которую мог бы произ-
вести, расширяясь по адиабате, газ (пар) давлением р в поршневой
машине, работающей с противодавлением р0.
Трение, подобно тому, как это имеет место в гидравлике, при-
нимается в расчет путем введения специального скоростного коэ-
фициента ср.
1.	Совершенные газы. Так как = С zo —+
(стр. 648 и след.), то, следовательно,
Л^ = ^(Г1-Г0);
введя уравнение адиабаты, получаем уравнение Цейнера
Истечение
701
или
Pq
(х-1)/х т
= ~ (см. также таблицу на стр. 656).
Температура вытекающего газа
При вытекании газа без трения, ср = 1, Го определяется из при-
веденной выше формулы и по таблице на стр. 656.
2.	Водяной пар. По приведенному выше закону энергия при
истечении водяного пара равна работе идеальной паровой машины
при том же давлении и противодавлении (адиабатический тепло-
вой напор); поэтому для определения выражения AwQ2/2g могут
служить формулы, приведенные на стр. 686 и след., касающиеся ра-
боты идеальной машины. Скорости истечения сырого, сухого и
перегретого пара можно просто отмерить на диаграмме IS (стр. 678)
при помощи имеющегося там особого масштаба w для скоростей.
3.	Показатель истечения. Формула (1) для определения ско-
рости истечения справедлива как для газов, так и для насыщен-
ного или перегретого водяного пара. Для сухого насыщенного во-
дяного пара, как уже указано (стр. 664), у. = 1,135, а для перегре-
того пара (стр. 6С6) х =1,3. В последнем случае формула эта не
должна применяться, коль скоро состояние пара переходит за пре-
дельную кривую. По предложению Цейнера можно для принятия
в расчет трения, вместо введения коэфициента у, заменить при
расширении газа показатель адиабаты у. несколько меньшим чис-
лом, так называемым показателем истечения т, при этом
Для определения показателя истечения т принимают некоторый
постоянный коэфициент сопротивления С;
/П = ^(1 +0/(1 4-^С).
Соотношение между коэфициентом скорости ср и показателем
истечения т зависит от отношения давлений рг: р0; для данного
показателя истечения коэфициент скорости будет тем больше, чем
больше Pi'.Pq. При небольших значениях рх \pQ можно приближенно
считать Pi = р0.
4.	Форма сопел (насадков), критическое соотношение да-
влений. Уравнения для w0 справедливы не только для концевого
702	!• ОТД- I- Теплота. VI. Движение газов и паров
сечения Fo сопла, но и для любого его сечения F, если ввести
соответствующее этому сечению давление р. Условие постепенного
падения давления с максимального значения до давления р0тре-
бует определенной формы сопла.
Из G = wF[v следует для газов и паров:
F= G:
При определенном, так называемом критическом соотношении
давлений
. 2	1)	3 +0,1314m
— =(-----гт . 1g — прибл. =	---------1;
Pi \т 4-1/	5 Pi н	3 -{-т
вышеприведенное уравнение дает для F наименьшее значение Fg.
При течении без трения т = х.
Если pa>ps, то указанный выше минимум не имеет значения,
и любой закругленный изнутри наконечник, суживающееся сопло
или отверстие в тонкой стенке дает цилиндрическую струю с наи-
большей скоростью истечения. Если же pa<Zps, то соплу должна
быть придана такая форма, при которой за внутренним закругле-
нием следует непосредственно наиболее узкое сечение Fs и затем
идет раструб с сечениями, постепенно увеличивающимися до Fo !).
Соотношение сечений FS'.FO легко определить, если в уравнение
для F ввести один раз pjp^ = pa/pr и другой раз р01рг = pjp^.
Fs =	+	/ АЛ1/m Zm +1
Л) \ 2 /	\ Pi /	|/ т — 1
_Ро\
P1I
(т—1)/т-
Для сухого водяного пара и течения без трения расширение сопла и увели-
чение скорости в его раструбе определяются по табл. 1.
Таблица 1. Значения основных параметров истечения из сопла
PilPo	Fa/Fs	Ws		Pl/Po			wjw. o °
100	13,80	3,72	2,58	20	3,97	1,99	2,18
90	12,69	3,56	2,56	10	2,44	1,56	1,92
80	11,56	3,40	2,54	8	2,07	1,44	1,86
70	10,40	3,22	2,51	6	1,72	1,31	1,74
60	9,16	3,03	2,47	4	1,35	1,16	1,55
50	7,98	2,83	2,43	2	1,02	1,01	1,12
1 Такие сопла применяются в паровых турбинах, инжекторах и т. д.
Истечение
703
Если при pa<Zps не применяется сопло с раструбом, а исте-
чение происходит из обыкновенного отверстия или из конически
суживающегося сопла, то в концевом сечении не может быть
достигнуто наружное давление и в нем само собою устанавли-
вается более высокое давление ps. Скорость ws в концевом сече-
нии сопла в этом случае не зависит от давления р0; она равна
или	_________
=ъ /X+ г=	=(^) (йр-)-
При истечении из таких отверстий или сопел вытекающая струя
расширяется вследствие сверхдавления.
Значение ws = Psvs» которое принимает скорость исте-
чения при течении без трения через наиболее узкое сечение, есть
не что иное, как скорость звука в среде и условиях ее
состояния, соответствующих тому, что имеется в данном наиболее
узком сечении.
С этой скоростью происходит также и течение через наиболее
узкое сечение сопел с раструбом.
Вообще для скорости звука
dP	Л
причем производная получается из уравнения адиабаты. Если
имеем
выше,
адиабату Pv* = const, то получим то же выражение, что и
т. е.
= Vg*PsVs-
5.	Количество вытекающего газа. Вообще имеем G = w0F0/v0.
При Pq^Ps и для правильно расширяющихся сопел с Pq<Ps
при истечении без трения
Это выражение можно еще помножить на некоторый коэфициент
истечения р., чтобы принять в расчет трение и, таким образом,
получить известную согласованность с данными опытов.
При применении показателя истечения получается:

___*
х — 1
704
Т. I. Отд. 4. Теплота. VI. Движение газов и парой
Для Po<Ps
при
7. = 1,4, 1,3, 1,135
получается
а = 2,145, 2,090, 1,991.
Fs есть наименьшее сечение сопла или наконечника.
6.	Истечение при незначительной разности давлений» При
Ро* Р\ > 0,9 можно с достаточной точностью (ошибка меньше 27о)
принять Vq = vt; поэтому
Wo = ? У 2g»! (Pr — Ро) •
В этих случаях количество вытекающего газа V дается часто в л/3
вместо кг\
V = a Fowo.
Формулы для истечения воздуха и насыщенного водяного пара
1. Воздух. Для различных значений т имеем нижеследующие
соотношения давления ps!pr и соответствующие коэфициенты ско-
ростей ср:
Таблица 2. Значения для	?g2 и					
т =	1,4	1,38	I 1,35	1 1,30	1,25
PslPi =	0,530	0,533	0,538	0,546	0,556
<Р? =	1	0,940	0,876	0,767	0,654
4>s=-		0,970	0,936	. 0,876	0,810
1. При pQ^>рs и для правильно расширяющихся сопел
с Ро < Ps	'__________________
w0 = 44,8 <р Улп -(Ро/Л)0’286)
(/>о/а)0'286 = ^о/Л (см. таблицу на стр. 656)
Истечение
705
G = 1,53 a F0P0
G — 1,53 р. FqPq
Количество вытекающего гаэа в м3 с давлением р0 и темпера-
ми Ть____________________________________
/{ ч 0,286 । ,	ч 0,286	।
[Ш
Таблица 3. Значения для р0:р j > 0,5
[по Вейсбаху и Грасгофу *)]
Род отверстия
(Л а ср С
Примечания
При круглом отверстии диаме-
тром в 14 мм в тонкой, плоской
стенке
0,65 0,981 0,04 1,388
При коротком цилиндрическом
насадке диаметром в 14 мм, без
внутреннего закругления
0,815
0.813
0,831
0,821
0,838
0,866
0,490
0,444
0,362
1,243
1,252
1,271
при Pj : р — 1,08
„ р0 : р! = 1,41
» Ро •• Pl = 1,70
При коротком, коническом нако-
нечнике с концевым диаметром
в 10 мм
0,97
1	0,974 0,034 1,392
По Бахману2) коэфициент истечения р. из круглых насад-
ков (отверстий) б тонкой стенке увеличивается при истечении
в атмосферу линейно, пропорционально манометрическому давле-
нию, при условии, что Pq^>ps'.
р. = 0,60+ 0,000197Л; //-^манометрическое давление в мм р. с.
Бахман нашел также небольшое увеличение р- с повышением
манометрического давления при прохождении газа через хорошо
закругленный наконечник.
Для насадка в 20 мм диаметром и 20 мм длиной значения р.
колебались в пределах от 0,96 до 0,98; этот насадок имел форму
Ц G г a s h о f, Theoretische Maschinenlehre, т. 1, стр. 580—592.
9) Диссертация, Гейдельберг. 1°Г2 г.
706
Т. I. Отд. 4. Теплота. VI. Движение газов й паров
синусоиды. Насадки, закругленные по другой форме и более
длинные, имели меньшее у-. Для хорошо закругленных нормальных
сопел 9 Якоб и Эрк2) нашли р. = 0,96.
2. Если	то = 18,3 ср VТь G = 3970р. Fs • pJVTv
По опытам Ц е й н е р а, для хорошо закругленных изнутри насад-
ков р- = 0,96. Это значение было подтверждено и Бахманом.
3. При небольшом сверхдавлен й и
w0 = 24 ? v Т7(1’G = 0.82 a? Ро V Рх{Ру-Р^ТГГ.
При истечении в атмосферу, если h представляет собой сверх-
давление в мм в. с., а b—показание барометра в мм р. с.,
wQ = 24 ср 1/ —	 или, приближенно, w0 = 0,24 ср У Т^г.
г 1и,/ • и /2 “j- 1
Во всех этих случаях количество вытекающего газа в л/3, отне-
сенного к состоянию 7Х и рь определяется из: V = а ср F^w^.
2. Сухой насыщенный водяной пар (при давлениях не выше
25 ат).
Таблица 4. Значения для ps!pb ср 3					И cp *8
m =	1,135	1,128	1,120	1,105	1,090
PsIPi =	0,577	0,579	0,581	0,583	0,585
	1	0,951	0,895	0,789	0,681
CPs -	1	0,975	0,946	0,888	0,825
1. Для Pq^>Ps и	и при правильно построенных соплах
w0 = 1680 vPl °-03 и \-(рМ°’й.
При истечении в атмосферу получим приблизительно
wfl = 880 ? /igTi-
2. При pQ<ips скорость пара в наиболее узком сечении Fs
наконечника определяется из ws = 422срр®'03 и почти не изме-
няется. Количество вытекающего в секунду пара определяется из
О = 153?Л>10’97 .
Regeln ffir Leistungsversiiche an Ventilatoren und Kompressoren des VDI.
Mitt. Forschungsarb. Изд. VDI. № 267.
Истечение
707
На основании опытов можно считать, что значение ср мало от-
клоняется от единицы.
Для незначительного сверхдавления
w0 = 579Pi0’03 V \—pQlpt.
При истечении в; атмосферу имеем приближенно:
Wq = 5,79 ср У h, G = 3,4 ар 7% У Л,
где h есть сверхдавление в мм в. с.
Таблица 5. Значения для pQ$7.
p =	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5	5,5	6	6,5
p0,97 3=	1,48	1,96	2,43	2,90	3,37	3,83	4,30	4,76	5,22	5,68	6,14
P-	7	7,5	8	8,5	9	9,5	10	10,5	11	11,5	12
p0,97	6,60	7,05	7,51	7,96	8,42	8,87	9,32	9,77	10,22	10,67	11,12
истечении в атмосферу
По опытам Розенгайна1) при
получены следующие значения ср:
Таблица 6. Значения для ср
Pi	2,4	3,8	5	8	12	15
Отверстие в тонкой стенке, ds = 4,8 мм ....	0,90	0,87	0,86	0,86	0,86	0,85
Расширяющееся сопло ds~ 4,8 мм	 d0 = 6,5 мм, 1 = 20 мм		} “	0,79	0,84	0,93	0,96	0,96
Согласно Бен дема ну2) вес пара в кг, вытекающего в се-
кунду из хорошо закругленного насадка, G = F Ф У Pi/v^ где при
PdPi > 0,93,
Po/Pi> 0,577,
Ро/Р1 < О»577»
ф = 416 У 1 - polplt
ф = 446,2 V 1 - 1,09 (1‘ - рйГр\} - (Po/Pi)2.
6 = 203,1.
*) Inst, of Civil Engineers, 1900.
*) Mitt. Forschungsarb., VDI, № 37.
708	т. i. Отд. 4. Теплота. VI. Движейне гавов и паров
Если разность давлений измеряется в мм р. с. (паромеры), то
в первом случае
G = 15,34 FVUJvi,
а во втором случае
G = 0,606 Р /(670 —
Ь) Движение газов и паров по трубопроводам
Для очень короткого трубопровода dl имеем, согласно стр. 699,
ур-ния 1—4,
dV dw	л w dw I A* I Л AU АГЛ
— = —	A-------Y dt-\- Adh = dQ\
vw £
dQ+ AdR = di—AvdP; +vdP+ dR + dh = 0.
При истечении газов и паров влияние трения может быть принято
в расчет путем введения коэфициента скорости (у). При течении
по более или менее длинному трубопроводу возникающее при этом
трение также необходимо принять во внимание. Соответствующие
исследования и их результаты помещены в главе „Механика ка-
пельных жидкостей", стр. 443 и след. Из рассмотренных там двух
случаев течения — параллельного и вихревого—остановимся только
на втором, так как на практике имеет место только вихревое дви-
жение. Для такого течения
dR = $~dl,
где D — диаметр трубы круглого сечения, I — длина трубопровода
и р— коэфициент трения, который при течении по шероховатым
трубам, применяемым в технике, находится в зависимости от со-
стояния текущего вещества и от состояния самого трубопровода,
как это более подробно изложено в упомянутой выше главе.
Зависимость коэфициента трения от состояния вещества и трубо-
провода чрезвычайно сложна и пока еще не вполне выяснена.
До тех пор, пока нет достаточно точных способов для опреде-
ления р и пока мы не имеем каких-либо его значений, полученных
непосредственно из опыта, приходится временно при расчетах обыч-
ных технических трубопроводов для воздуха (газов) и пара пользо-
ваться указанием Фрицше х) и принять в первом приближении,
что коэфициент р зависит только от количества вещества, проте-
кающего по трубопроводу за единицу времени. Это допущение
l) Mitt. Forschungsarb., № 60, также Ombeck, № 158/159. Изд. VDI,
Движение гавов и паров по трубопроводам	709
чрезвычайно упрощает практический расчет. Для такого расчета
берем G в кг/час и D в мм и получаем:
р = 2,86/G0’148 1)
Числовые значения этого выражения помещены в табл. 7.
Таблица 7. Коэфициенты сопротивления для трубопроводов
G	Р	G	Р	а	Р	G	Р
10	2,03	100	1,45	1 000	1,03	10 000	0,73
15	1,92	150	1,36	1 5С0	0,97	15 000	0,69
25	1.78	250	1,26	2 500	0,90	25 000	0,64
40	1,66	400	1,18	4 000	0,84	40 000	0,5)5
65	1.54	650	1.10	6 500	0,78	65 000	0,555
100	1,45	1000	1,03	10 000	0,73	100 000	0,520
Значения, приведенные в табл. 7, определены для трубопро-
водов обычной (средней) степени шероховатости.
1. Трубопроводы с небольшим падением давления. Если
падение давления в магистрали с постоянным диаметром незначи-
тельно по отношению к начальному давлению, то можно прене-
бречь изменением объема, а следовательно, и изменением скорости
течения; из уравнения
^+,^+(,*.« + .7.-0
следует
причем для р, v, у и w подставляются либо начальные, либо ко-
нечные, либо, наконец, средние значения этих величин. Во многих
случаях выражением можно вовсе пренебречь.
Приведенные выше уравнения могут быть приведены к другой
форме с помощью зависимости: 353,70 = у wZ)2, где G в кг!час,
Ь в мм, y в кг[м\ Ли/ в м, + h — для наклонных вверх, — h —
для наклонных вниз трубопроводов; можно, например, написать,
что
Pl- Рз — 12>5₽Т£)5~ 10000*
i) В многократно упоминавшемся отд. 2 в главе IV „Механика капельных жид-
костей* введен вместо 3 коэфициент сопротивления 1, причем
а /1000\
₽=Ы1=як
710
Т. I. Отд. 4. Теплота. VI. Движение газов и паров
Для воздуха и других газов:
Pi — р2 _ /₽h \ I
р D ~ I ) RT*
Для сухого насыщенного водяного пара давлением не свыше
25 ат\
Р1—Р2 = н- h \	1
р \ D I / 17790-р°’с425'
Для перегретого водяного пара величина т = находится из
уравнения на стр. 666.
Если по роду заданий G неизвестно и его надо определить, то
прежде всего принимают приблизительное значение ₽; затем из
полученного приближенного .значения G определяют соответствую-
щее более точное значение р и еще раз, окончательно, находят G.
При расчетах обыкновенных трубопроводов для пара, воздуха
или газов обычно не исходят из считающегося допустимым паде-
ния давления, а ведут расчет с известной из опытов максимально
допустимой скорости течения (см. соответствующий отдел). Данные
выше формулы применяются для контроля получающегося падения
давления.
2. Трубопроводы с сильным падением давления. При очень
длинных трубопроводах приходится нередко принимать столь
большие падения давления, что предположение v = const, w *= const
становится недопустимым. Диференциальные уравнения должны
в этих случаях интегрироваться при условии принятия во внима-
ние действительного состояния протекающего по трубопроводу
газа или пара.
В большинстве случаев можно обойтись простым соотношением
pv = const, дающим закон изменений давлений и объемов. Для
воздушных и газовых трубопроводов с неизменяющейся темпера-
турой расчет с pv = const дает совершенно точные результаты; но
и для хорошо изолированных паропроводов можно пользоваться
этим соотношением, не рискуя сделать большой ошибки. Для пря-
мого трубопровода с постоянным диаметром имеем вообще:
“	+	.... и
\ gPl.Vl /	I
При горизонтальном расположении магистрали получаем после
интегрирования:
A wA wf w2 _ ₽ w?l
2 V w2V g	’
о	Dhft I
Выражение -
небречь в этом случае
почти всегда очень мало и им можно пре-
Движение газов и паров по трубопроводам
711
2L = ,n i + Wwt2Z
PtvL 1 + Dh/iw.^l ..............™
Разлагая в ряд и принимая во внимание, что выражение 2h/(Plv1)
мало^и им можно пренебречь так же, как и членами высоких сте-
пеней, далее, что w2lwi = р^/ръ, получим:
Pi2-Pi?	/₽^22 _ h\ 21
Р<?	\ D ~ I] Р>у,
и после дальнейших упрощений
Р12-Р23. /W -н h \ 2/ .
Pi2 k D
при /г = 0 это уравнение становится идентичным с предыдущим.
После введения G следует:
^#=(125oooB^±4V2L
?2	\	Da	I ) Р&2
^=^ = (125ООоЦ^±4^.
Pi2	к	£>э	I ) P^i
Наиболее подходящий диаметр паропровода определяется в за-
висимости от падения давления вследствие сопро-
тивлений в трубопроводе и от тепловых потерь,
являющихся результатом внешнего охлаждения.
С уменьшением диаметра увеличивается сопротивление трубопро-
вода и уменьшается влияние внешнего охлаждения. Потери тепла
вследствие внешнего охлаждения определяются по законам тепло-
передачи, см. стр. 614 и след.
Определение наиболее целесообразного диаметра трубо-
провода, если задано требуемое в конце магистрали количество
пара и его давление, производится следующим путем:
1.	Если предписано давление в котле, то тем са-
мым дана также и допускаемая потеря давления; поэтому скорость
пара и диаметр паровой магистрали определяют по формуле для
сопротивления в паропроводе, не учитывая условий конденсации;
потеря от конденсации не может быть уменьшена без увеличения
потери давления, т. е. без уменьшения диаметра паропровода.
2.	Если давление в котле не задано, то диаметр
трубопровода находится сравнительным определением расхода пара
всей машинной установкой вместе с паропроводом при большой и
малой потере давления, т. е. при малом и большом диаметре трубо-
провода, а также в зависимости от практических требований, кото-
рые ставятся для работы машины.
Вообще с точки зрения стоимости пара небольшие диаметры
паропроводов при большой потере давления выгоднее больших
диаметров при малой потере давления.
712	T. I. Отд. 4. Теплота. VI. Движение газов и паров
с) Мятие (дросселирование) т)
Если в непрерывную струю пара или газа включить прибор
с уменьшенным проходным отверстием (дроссельный клапан, за-
движку и т. д.), то мятие газа или пара в узком сечении понижает
давление. Пусть р} и — давление и скорость перед узким сече-
нием, а р.2 и w2 — давление и скорость за ним; в случае если не
происходит теплообмена с окружающей средой, то уравнение про-
хождения через дроссельное отверстие будет:
А 2g + li = A 2^ + ,а-
Почти во всех случаях, встречающихся па практике, разницей
в кинетической энергии до и после узкого сечения можно прене-
бречь; тогда получается простая зависимость: изменения содержания
тепла при мятии не происходит: = i2.
Отсюда можно определить состояние газа или пара после
мятия, если известно его состояние до прохода через узкое сечение
и падение давления.
Очень подробные испытания над дросселированием воздуха
произвели Noil2) Bradley и Hale3).
1.	Совершенные газы (стр. 647 и след.). Для этих газов
i=cpT-\-C, поэтому 7\= Г2, т. е. при совершенных газах темпе-
ратура при мятии не изменяется. Большинство газов не вполне
следуют законам совершенных газов, поэтому являются и некото-
рые отклонения от указанного закона, а именно: от мятия темпе-
ратура несколько понижается. Этим явлением воспользовался Линде
при конструировании своей машины для превращения газов в жид-
кость. При определенных состояниях тел дросселирование, наоборот,
вызывает повышение температуры.
Изменение температуры при сминании газа определяется из
общего уравнения:
Опыты Томсона и Джауля над сминанием газов пока-
зали для давлений от 1 до 4,5 ат и температур от 14 до 100°, что
а = 0,271 для воздуха,
а = 0,333 для кислорода,
а =1,35 для углекислоты.
’) М. Лурье и Ф илонен ко, Об обмере воздуха в трубах при помощи
диафрагмы, „Изв. Теплотехн. и-та“, № 2, 1927 г.
•у Mitt. Forschungsarb., тетрадь 154, изд. Vdl.
•) Phys. Rev., 29, стр. 258, 1909 г.
Мятие (дросселирование)
713
Для водорода а имеет небольшое отрицательное значение.
Э. Фогель (диссертация) *) нашел в Мюнхенской техно-
физической лаборатории, что а зависит от давления, а именно:
а == 0,268—0,U0086p для воздуха,
а = 0,313—0,00035/? для кислорода.
Температура во время опытов не изменялась, оставаясь рав-
ной 10°. Пределы давления — до 150 ат,
2.	Насыщенные пары (стр. 6пЗ). Z = Z'-|-xr; поэтому
Ч + xiri =	+ Х2Г2» откуда можно определить паросодержание х2
после сминания (применение см. „Холодильные машины“, стр. 690).
Принимая во внимание, что Z" достигает максимума при 25д/и,
при мятии насыщенного (сухого) водяного пара давлением р<25ат
получается перегретый пар, а при р>25 ат—влажный пар.
Мятие перегретого водяного пара приводит к понижению темпе-
ратуры.
Явления мятия особенно наглядно выявляются в диаграмме IS.
В этой диаграмме линии мятия суть прямые, параллельные оси
абсцисс.
Потеря работы при мятии. Сжатие в дроссельных клапанах
представляет собою необратимый процесс и всегда имеет послед-
ствием уменьшение полезной работы тела, подвергшегося мятию.
Для паровых и холодильных машин эту потерю легко вычислить,
если вызываемое прохождением через дроссель увеличение энтро-
пии помножить на абсолютную температуру конденсатора (холо-
дильника) (стр. 645). Увеличение энтропии вычисляется по уравне-
нию тепла:
Тds = di — Av dP, откуда j = — А	.
До тех пор, пока Др не очень велико, можно принять
Д s = А~ д Р.
Для совершенных газов
Др 2 Др
Д$ = АР — =	— .
р М р
Для насыщенных паров
.	— v') а APv'-f-xty bp
дв = л^Г_^---------1др =-------j-- —
или, если х не очень мало,
1) Mitt. Forschungsarb., тетрадь 7, изд. VOL
714
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
Для перегретого пара
Д $ = [о,11 - 0,3 @1 р - 0,214 @2	.
Для © см. табл. 3 стр. 667.
В эти формулы необходимо подставить средние значения для
р, t и ф до и после мятия.
Пример. В паровой машине, работающей на выхлоп, пар сминается в паро-
проводе у входа в машину или в паровпускных каналах с 10 до 9 ат. Как велика
потеря работы AL^t Противодавление равно 1 ат.
Допустим, что машина работает сухим насыщенным паром:
= A — ГТ =	* “Л- ’ 372 = 4>04 кг-кал.
Если принять расход пара паровой машины Dz=12,5, то следует, что
ALj = 632/12,5 = 50,7 кг-кал. Потеря на сминание будет равна 4,04/59,7*100 = 7,95%
индикаторной мощности машины.
Пусть для той же паровой машины сминание при выходе пара = 0,1 ат (от
1,1 до 1,0). Тогда имеем в случае, если отходящий пар сырой, х = 0,94.
лг х ф Д р ~	0,94 • 40,42 0,1
ALd~ £ р	37J	1>05 372 =- 3,6 кг-кал
или 7,1°/о индикаторной работы.
Весьма существенное значение имеют потери при мятии в ци-
линдрах и трубопроводах холодильных машин.
VII. Горение ’)
а) Сгорание; вспышка; быстрота распространения вспышки;
взрыв * 2) 3)
1.	Сгорание. Сгорание соответствует процессу окисления,
происходящему с очень большой скоростью.
На этот процесс влияет:
а)	температура,
Ь)	концентрация (парциальное давление) химически влияющих
друг на друга веществ (закон В а н-Г о ф а),
с)	воздействие катализаторов.
а)	Температура. Если температура превосходит некоторый
предел и достигает так называемой „температуры вспышки", то
процесс окисления, происходивший до этой температуры весьма
медленно, получает с момента вспышки большую скорость и носит
название сгорания. Вспышка может произойти благодаря мест-
х) Единицы измерений и обозначения стр. 722.
2) Глава Vila составлена д-р-инж. В. Линднером, Дрезден.
3) Литература. Aufhauser, Brennstoff und Verbrennung, Berlin, 1926/28,
Springer. Brunswig, Explosivstoffe, 2 Aufl., Leipzig, 1923, Barth. Mache,
Die Physik der Verbrennungserscheinungen, Leipzig, 1928, Veit & Co. Wirth,
Brennstoffchemie, Berlin, 1922, Stilke.
Сгорание, вспышка, взрыв
715
ному повышению температуры. Для распространения горения
в остальной массе необходимо, чтобы теплота, развивающаяся
в смеси воздуха с горящим телом, была в состоянии нагреть окру-
жающую массу тела до температуры вспышки, причем быстрота
распространения процесса горения не должна понижаться до той
величины, при которой количество развивающегося при горении
тепла оказалось бы меньше одновременно происходящих при го-
рении потерь; кроме того, необходимо для успешного процесса
горения иметь надлежащую смесь воздуха с горящим газом
(избыток воздуха) как со стороны наличия горючего материала,
так и со стороны наличия кислорода, позволяющих иметь не-
обходимое количество тепла, приходящееся на объемную единицу
смеси.
Ь)	Повышение концентрации происходит обычно при
помощи предварительного сжатия смеси (в моторах) или путем
добавления чистого кислорода (горелка с подводом кислорода).
Большое практическое значение имеет для процесса сгорания твер-
дых и жидких тел надлежащая подготовка их поверхности и хоро-
шее распределение частичек горящих тел в смеси с воздухом. Чем
лучше распыление, тем большая скорость сгорания и тем меньше
требуется избыточного воздуха (распыленное горючее в газах,
угольная пыль).
с)	Роль катализаторов в процессах сгорания играю!
стенки тех пространств, где происходит горение. При определении
температуры вспышки необходимо учитывать это влияние.
Процесс горения. Ввиду того что главными составными
частями во всех технически важных горючих материалах являются
С и Н, то в результате полного сгорания получается углекислота
и водяной пар. Следовательно, процесс горения представляет собой
в чистом виде газовую реакцию, а потому твердые и жидкие тела
должны быть предварительно переведены в газообразное состояние.
В твердых телах началу процесса горения соответствует газифика-
ция. По мере того как полученные продукты возгонки окисляются,
появляе1ся пламя. Жирные угли с большим количеством летучих
составных частей дают длинное пламя. При обыкновенных топках
нужно различать сгорание над колосниковой решеткой, получаемое
благодаря сгоранию газов, выделившихся из горючего материала,
и сгорание на самой колосниковой решетке, получаемое благодаря
высокой температуре дестиллята.
Молекулы горючих материалов обычно имеют очень сложную
структуру, обладающую свойством распадаться при повышении
температуры. Этот распад молекул происходит до тех пор, пока
не будет закончено выделение водяного газа, имеющего составные
части СО и Н2. Молекула распадается тем легче, чем сложнее ее
структура и чем больше ее молекулярный вес.
Угли состоят из углеводородов неизвестной пока химической
структуры. Количество содержащегося в них кислорода тем больше,
чем моложе уголь, поэтому в более древних сортах угля молекулы
с большим трудом подвергаются распаду, тогда как у более моло-
716
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
дых углей можно, наблюдать окисление при обыкновенной темпера-
туре, если к углю имеется доступ воздуха.
Конечным продуктом термического распада при умеренных тем-
пературах мы имеем для всех углеводородов — метан СН4, ацети-
лен С2Н2 и бензол СГ,Н6 — как представителей отдельных рядов
с наименьшим молекулярным весом. Лишь при самых высоких
температурах эти химические соединения разлагаются на С, СО
и Н2. Свойства, обнаруживаемые водородом и углеродом при сго-
рании, весьма различны: в то время как Н2 может сгорать с боль-
шой скоростью и подвержен в сильной степени влиянию катализа-
торов, углерод начинает реагировать на кислород лишь в состоя-
нии красного каления. Чистый углерод и чистая окись углерода
не могут сгорать в отсутствии Н2 или Н2О. Окисление идет сов-
местно с образованием водяного газа, причем появляется одноатом-
ный кислород (OJ и можно сделать предположение о влиянии
на процесс сгорания группы (ОН) 9-
При надлежаще выбранном избытке воздуха можно все горю-
чие материалы полностью сжечь, а признаком недостаточного коли-
чества воздуха служит появление окиси углерода (СО) * 2), к кото-
рому бывает примешан Н2 и небольшое количество СН4 (треуголь-
ники сгорания по Оствальду), а потому обычный анализ отходящих
газов с определением лишь СО2, О2 и СО не может дать полной
картины процесса сгорания. При" сильном недостатке воздуха сго-
рание сопровождается выделением С в виде сажи или дыма. Это
явление бывает в топках при недостаточно хорошем смешении
горючего с воздухом. Выделение углерода может иметь место также
при внезапном охлаждении пламени горящих газов при соприкосно-
вении с холодными стенками.
2. Быстрота распространения вспышки. Вспышка может рас-
пространяться в горючей смеси двумя способами. Первый, наиболее
важный в техническом отношении способ дает медленное распро-
странение вспышки, причем это распространение совершается
слоями. Каждый слой получает от зоны горения достаточное коли-
чество тепла, чтобы быть нагретым до температуры воспламенения.
Существенное значение для быстроты распространения вспышки
имеют: теплотворная способность, отнесенная к объему смеси,
удельная теплота смеси и удельный вес смеси. Вопрос же о влия-
нии теплопередачи, как существенного фактора, должен считаться
в настоящее время еще открытым 3).
Определение (из вычислений) скорости распространения
вспышки, на основании физических и химических свойств горю-
чей смеси, весьма ненадежно и трудно выполнимо 4).
Наибольшую скорость распространения вспышки мы имеем
у смеси Н2 и Оа — 30 л^сек, а у смеси воздуха с Н2 эта скорость
’) Haber, Z. ang. Chemie 4^ 1929, стр. 745.
*) Meyer, Delft, VDI, 1929, стр. 824.
•) Stevens, Ind. Eng. Ch era., 20, 1928, VDI, 1929, стр. 648.
4) Nu s selt, VDI, 1915, стр. 872.
Сгорание, вспышка, варьгв
717
достигает лишь 12 м/сек. У других газов скорость распространения
значительно меньше: у смеси воздуха с влажным СО—1,0 м/сек\
у смесу воздуха с метаном —1,5 м/сек, у смеси воздуха с бензи-
ном и бензолом — 2,3 м[сек х), причем предполагается, что началь-
ное давление смеси — 1 кг/см2. У водорода скорость распростране-
ния вспышки возрастает тем сильнее, чем больше давление и чем
больше теплотворная способность смеси 2). Зависимость же от тем-
пературы невелика, если только сама температура смеси далеко
отстоит от температуры воспламенения 3). При СО скорость рас-
пространения вспышки увеличивается при увеличении содержания
паров воды и достигает наибольшей величины для смеси, содержа-
щей от 6 до 10 объем, единиц водяного пара 4), при большем же
содержании водяного пара быстрота горения уменьшается, в этом
случае водяной пар имеет то же значение, какое имеет любой
инертный газ, подмешенный к горючей смеси. Сильное задержи-
вающее влияние на процесс горения оказывает СО2 (остаточные
газы в цилиндре двигателя внутреннего сгорания). Время, необходи-
мое для полного сгорания какого-либо объема горючих газов,
можно сильно сократить, вводя вихревое движение смеси; так,
например, в быстроходных двигателях, несмотря на весьма малый
промежуток времени, предоставляемый на сгорание смеси, это сго-
рание обычно бывает вполне удовлетворительнее. Скорость распро-
странения пламени в пространстве получается путем геометриче-
ского сложения скорости распространения вспышки и скорости
истечения газовой смеси. Поэтому можно судить о скорости рас-
пространения вспышки по скорости истечения газа в горелке Бун-
зена и по положению зеленоватого конуса горящего газа (закон
Gouy 5).
Скорость распространения вспышки в большинстве случаев
перекрывается скоростью смещения частиц газа, вызываемых или
сжатием не сгоревшей еще смеси или расширением уже частью сго-
ревшей смеси 6).
При уменьшении в смеси составной части горючего материала
или кислорода скорость распространения вспышки уменьшается
до тех пор, пока развиваемого при горении тепла будет так мало,
что окружающие слои газовой смеси не могут быть нагреты до тем-
пературы воспламенения. При таком уменьшении скорости распро-
странения потери тепла возрастают по сравнению с теплотой, раз-
виваемой при горении. Следовательно, распространение зоны горе-
ния должно прекратиться еще раньше, чем скорость распростране-
ния вспышки сделается равной нулю. Эта граница носит название
*) Neumann, Mitt. Forschungsarbeiten, VDI, H. 79.
И Ni gel, Mitt. Forschungsarbeiten, VDI, H. 54.
•) M a c h e, Wien. Anz., 19-3, стр. 103.
4j U b belohd e u. Dommer, Journ. f. Gasbel., 57, 1914, стр. 757. E 1 11 s
u. Wnaeler, Journ. Chem. Soc., London, 1927, стр. 318.
6) M a ch e, Physik der Verbrennungserscheinungen, стр. 25.
fi) Endres, Der Verbrennungsvorgang in Gas- und Vergasermotor, Berlin, 1928,
Springer.
718
Т. I. Отд. 4. Теплота. VH. Горение
„нижний предел" скорости распространения вспышки, если в смеси
недостает горючего материала, а в том случае, когда ощущается
недостаток кислорода, эту границу обозначают—„верхним преде-
лом". Между этими пределами лежит „область вспышки"; она тем
больше, чем меньше потребное количество кислорода для сжига-
ния данной смеси и чем легче происходит расщепление молекул.
„Область вспышки" будет наибольшей для Н2 и СО и наимень-
шей для СН4 и СЙН6 ввиду того, что у метана- и бензола моле-
кулы „жароустойчивы". Наибольшую скорость распространения
вспышки мы имеем не для смеси горючих газов с теоретически
необходимым количеством кислорода, а для горючей смеси с неко-
торым недостатком воздуха. Это явление объясняется тем, что часть
„жароустойчивых" молекул при горении остается неразложенной,
а потому теоретически установленный запас кислорода практически
дает некоторый избыток, ускоряющий процесс горения основной
части смеси.
Пределы вспышки зависят от явлений конвекции, создающих
вихревые движения в горючей смеси. Форма и величина сосудов,
в которых происходит сгорание, также играет большую роль, при-
чем чем меньше размеры сосуда, тем уже предел вспышки. При
медленно сгорающих смесях форма факела при распространении
пламени не остается шарообразной, так как конвекционные токи
заставляют пламя быстрее подниматься вверх, чем расходиться в сто-
роны. Самый способ зажигания горючей смеси (искра, раскаленное
тело, пламя) оказывает существенное влияние на пределы вспышки,
заставляя расходиться теоретические подсчеты с наблюдаемыми
на опыте величинами. Приводимые в табл. 1 величины, характе-
ризующие „пределы вспышек" для различных горючих материалов,
предполагают начальное давление в 1 кг1см2 и температуру 20°
(у паров температура должна соответствовать давлению насыщения,
а потому иногда бывает больше 20°). Повышение начальной темпе-
ратуры расширяет пределы вспышки *); то же влияние имеет
и повышение давления * 2).
Для смеси, состоящей из нескольких горючих газов, можно
установить нижний предел вспышки. Обозначим через п и п' в %
составные части смеси (в объемных единицах) по отношению
к объему всей смеси, а через N и N' „предел вспышки" для отдель-
ных газов, находящихся в смеси. По Шателье имеем: + \тт- = 1.
N ' N'
Справедливость этого уравнения была доказана по отношению
к нижнему пределу многочисленными опытными исследованиями
на газообразных и парообразных горючих смеся с Для „верхнего
предела" это уравнение дает неправильные результаты 3).
Различные газы и пары, например — СН4, С2Н6, С2Н4, С2Н2,
J) White, Journ. Chem. Soc. London, 1925, стр. 672.
2) В e r 1 u. W e r n e r, Z. ang. Chem. 40, 1927, стр. 245. T e r r e s u. P i e n z,
GWF 57, 1914, crp. 990.
3) White, Journ. Chem. Soc. London, 1925, стр. 48
Сгорание, вспышка, взрыв
719
СО и С6Н6 дают при незначительных температурах вспышки значи-
тельное уменьшение скорости распространения самой вспышки,
но по мере поднятия температуры воспламенения увеличивается
и скорость распространения вспышки.
Собранные в табл. 1 числовые величины были получены ме-
тодом Dixon и Coward 2 *), состоящим в изолированном нагреве
горящего газа и воздуха (или О2) и учете влияния катализаторов.
Таблица 1. Пределы вспышек для различных горючих смесей
из воздуха и газов или паров 2).
	Нижний | Верхний предел вспышки (объем единицы горю-		Темпера- тура вспышки ’)
	чих газов	в смеси)	
Водород H, 		4,1 - 10,0	60—80	585
Водород с чистым O2 . Окись углерода CO	4,4 - 11,1	90,8 — 96,7	585
(влажный)		12,5 - 16,7	70 — 80	650
Метан CH4		5,3- 6,2	11,9 - 15,4	650 - 759
Этан С2Н6 		2,5- 4,2	9,5 - 10,7	520 - 630
Пентан С-,НП		1,1— 2,4	4.5- 5,4	—
Ацетилен С2Н2 		1,5- 3,4	46- 82	425
Ацетон С2Н“СОН ....	2,9— 3,3	9,6 — 10,9	178
Этилен С2Н4 		3,3- 5,7	13,7 - 25,6	545
Алкоголь С9Н.(ОН) . . .	2,6 - 4,0	12,3 - 13,6	350 )
Эфир (С2Н5)2О		1,6- 2,7	6,9— 7,7	400
Бензин 		1,4— 2,4	4,0— 5,0	415 ( 4)
Бензол С6Н6		1,3— 2,7 1 (	6,3- 7,0	570 1
3. Взрыв. Рядом с медленным распространением горения суще-
ствует еще другой, существенно отличный вид горения, носящий
название взрыва или детонации 5), при котором имеют место очень
большие скорости распространения вспышки. В этом случае
появляется в газовой смеси волна сжатия, повышающая темпера-
туру газа до температуры воспламенения, причем горение распро-
страняется со скоростью волны сжатия. Процесс горения на фронте
этой волны проходит очень интенсивно, так как этому способствует
большое давление и высокая температура. В горючей смеси дето-
нация может появиться как следствие волны сжатия, вызванной
взрывом какого-либо вещества (гремучая ртуть). Даже медленное
i) Dixon u. Coward, Journ. Chem. Soc. 1909, стр. 514. Domm er, GWF 59
1914, стр. 63. Wo Ilers u. Ё h m k e, Kruppsche Monat-h. 1921, crp. 1.
!) Terres, GWF, 1920, стр. 785- Berl u. Fischer, GWF 1924, стр. 284.
White, Journ. Chem. Soc. London, 125, 1924, стр. 2387
•) Теоретически правильная смесь при 1 кг!см- в °C.
4) При сгорании в кислороде.
6) N ern s t, VDI 1905, стр. 1426. Dixon, Phil. Trans. London 200, 19j3,
crp, 315.
720
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
горение может повести к детонации, если само горение происхо-
дит в длинных трубопроводах и несгоревшая еще часть смеси
повышает постепенно свое давление, благодаря чему возрастает
также скорость распространения вспышки 9- Такой детонации
в машинах и трубопроводах необходимо тщательно избегать ввиду
тех разрушений, которые сопровождают это явление.
Медленное горение отличается от взрывной волны тем, что
в первом случае продукты сгорания имеют движение, обратное
тому, какое имеет фронт зоны горения, во втором случае (случай
детонации) те же продукты сгорания двигаются по тому же напра-
влению, в котором идет взрывная волна. Это явление находит
свое объяснение в упругих свойствах горящей смеси: продукты
сгорания образуют подпорную волну ввиду того, что скорость
распространения взрыва достигает или превышает скорость звука.
Поэтому давление в подпорной волне у медленно горящих смесей
меньше, чем у несгоревшей части смеси, а при взрыве, наоборот,
это давление значительно больше.
Скорость взрывной волны* 2) — wd можно установить
из следующих соображений: предположим, что зона горения фиг. 12
неподвижна, а несгоревшая часть смеси имеет скорость wd пб на-
правлению к этой зоне. Если абсолютная скорость движения про-
дуктов горения — ws, то их скорость по отношению к зоне горения
будет равна (wd — ws) и направлена от этой зоны влево (направле-
ние скорости ws вправо будет считаться положительным). Из усло-
вия, что через плоскости / и //, ограничивающие зону горения,
должны проходить одни и те же массы, одина овые количества
движения и одна и та же величина кинетической энергии, мы имеем
три уравнения:
wd Pl = (wd -	?2.....................0)
Pi + Pt wd2 = Pa + P2 (,wd — ws)2...........(2)
I w<? \	/ twd — ®.)2 \
 Wd Pl + -2-) + Pl Wd = (Wd — P2 ^2 H--------------2----) 1
+ P2^d — Ws).......................(3)
причем „удельная кинетическая энергия" может быть дана уравне-
нием:
Е2—Е1 — 1/А [e^T.-T^-Q].....................(4)
В этих уравнениях введены следующие обозначения:
- удельная теплота продуктов сгорания LzlT2G,
Q — теплотворная способность реакции Р/Р,
9 Это явление впервые было изучено следующими учеными: Berthelot,
Sur la force des rnati£res explosives, Paris, 1883. — Mallard et Le Chatelier,
Ann. d. min. 8, 1883, стр. 274.
2) Chapman, Phil. Mag. 47, 1899, стр. 90. Becker, Z. f. Phys., 8, 1922,
стр. 321.—Z.f. techn. Physik 3, 1922, стр. 152. Jouguet, Journ. d. math, pares et
appl. 1, 1905, стр. 347.
Сгорание, вспышка, взрыв
721
р — плотность KT*IL\
w — скорость ЦТ,
v — удельный объем 1?1КТ\
Е— энергия 1?\'Гг
р — давление K/L*.
Из уравнения (1) и (2) следует:
= (Р2 — Pl) — v2)..........................(5)
WSZ = (Pi — Pl) (»1 —	..................(6)
Если для продуктов сгорания принять в грубом приближении
характеристическое уравнение правильным:
то можно из урав-
нений (4)—(7) по-
лучить новое урав-
нение, содержа-
щее, кроме неиз-
вестных величин
р.) и v2, величины
рь и харак-
теризующие на-
чальное состояние
смеси перед взры-
вом.
На фиг. 13 это начальное состояние предоавлено на диаграмме
(р, v) точкой А, с координатами t/x). Согласно предыдущим
уравнениям можно построить кривую DBE, характеризующую со-
стояние продуктов сгорания (кривая Hugoniot).
Из уравнения (5) имеем:
Wd=Vl V (Рг — P1)/(V1 — V2> = V1
Реальное значение wd мы имеем лишь при положительном зна-
чении tg а, следовательно, часть кривой — BE не может соответ-
ствовать какому-либо действительному процессу. Для медленного
сгорания имеет значение часть кривой—EF, так как здесь v2>vlt
а для детонации мы имеем часть кривой выше точки В. Сама же
точка В при равенстве и v2 дала бы практически невозможный
случай, = Chapman и Jouguet на основании изучения дина-
мики взрывной волны доказали, что устойчивая и однозначная ско-
рость взрывной волны существует лишь для такой детонации, при
которой продукты сгорания имеют состояние, представленное на
кривой точкой D — точкой касания прямой линии, проведенной из
точки А к кривой BD. Идя по этому пути, Jouguet в своих иссле*
722
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
дованиях установил для большего числа различных горючих сме-
сей соответствующие скорости детонации1). Изменения скорости
взрывной волны от изменения начального состояния горючей смеси
перед взрывом очень незначительны г
и могут быть установлены
опытным путем лишь при
наличии очень чувствитель-
ных приборов.
Теоретические исследо-
вания и результаты опытов
указывают на то, что мед-
ленное горение при наличии
зоны горения, имеющей
форму шара, не может пе-
рейти в состояние детона-
ции. Повидимому, такой пе-
реход может произойти
лишь при наличии плоской
формы зоны горения. По-
явление ударов в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания 2)
до настоящего времени еще не нашло разъяснения; согласно новей-
шим работам можно думать, что эти явления не связаны со взрыв-
ной волной.
Ь) Единицы мер и обозначения
Таблица 2. Скорость распростране-
ния взрывной волны
wd (MjceK)		
Смесь	Полученная из опыта (Dixon)	Полученная из вычис- лений (Jouguet)
2H2+O2 2CO + O2	2821 1750	2864 1910
Для твердого и жидкого топлива за единицу количества прини-
мается кг, а состав дается в весовых частях. Газообразное топливо
и газообразные продукты горения (дымовые газы, отходящие газы)
измеряются в пм3 (стр. 648), а также в молях (1 Моль = 24 пм3)',
состав же их дается в объемных частях. Вычисления с пм3 особенно
удобны для расчетов. Вес одного пм3 какого-либо вещества в кг ра-
вен 1/24 части молекулярного веса вещества, так что, например,
1 пм3 Н2 весит 1/12 кг, О2—4/з кг* * ^2 и СО —7/6 кг, Н2О —3/4 кг и т. д.
При веществах, не имеющих определенного молекулярного веса,
вместо него подставляют атомный вес; таким образом 1 идс8 угле-
рода весит 0,5 кг, а 1 пм3 серы — 4/3 кг.
Пусть:
с, h, о, п, s, w, а — содержание в топливе углерода, водорода, кислорода, азота,
серы, воды и золы в вес. единицах,
СО', Н2', СН/, N/ ... и т. д. — содержание этих отде!ьных газов в газообразном
топливе в объемных единицах,
СОа, О„ N„ СО, Н2, CHi — содержание в дымовых (отходящих) газах углекислоты,
кислорода, азота, окиси углерода, водорода и метана в объемных единицах при
сухих газах (без учета водяного пара и двуокиси серы),
С, N, Н — содержание в единице топлива углерода, азота и водорода в лл/\
О min —количество кислорода в пм3, или Моль, необходимого для полного сгорания
единицы топлива,
Lmjn — количество воздуха в пм9, или Моль, необходимого для годного сгорания
единицы топлива,
*) J о u g u е t, Verh. d. 2. int. Kongr. f. Meeh. Zflrich u. Leipzig, 1927, Orell
Ffissli, S. 15.
*) Ricardo, Schnellaufende Verbrennungsmaschinen, Berlin, 1926, Springer.
Whalmough, Detonation, The Aut. Eng. 17, 1927, S. 55.
Расчет процессов горения
723
V — общее количество отходящих газов и	— количество сухих отходящих газов
в пм9 для единицы топлива.
Кроме того, необходимо ввести еще две величины, характеризующие топливо:
« = О min/C,
V = N/C.
Для твердого и жидкого топлива N и \ почти всегда могут быть приняты
равными 0.
Главнейшие виды применяемого в технике топлива содержат в
качестве горючих составных частей только углерод, водород и не-
большие количества серы. Сгорание называется полным или совер-
шенным, когда углерод полностью сгорает в углекислоту (СО2),
водород — в воду (Н2О) и сера — в сернистую, кислоту (SO2). Горение
называется несовершенным, когда продукты горения содержат еще
вещества, способные гореть, например, твердый уголь в золе, шлаке
и саже и горючие газы, как-то: окись углерода (СО), водород (Н2),
метан (СН4) и другие углеводороды.
с) Расчет потребного для полного сгорания количества кисло-
рода и воздуха, а также количества и состава отходящих газов
Смотря по тому, в каком виде дан состав топлива, различают
при определении количества воздуха для горения и количества про-
дуктов сгорания следующие случаи:
1. Твердое и жидкое топливо, химическая структура
которого неизвестна, но содержание важнейших составных частей
определено элементарным анализом в весовых единицах. Сюда отно-
сятся все угли, различные сорта нефти и их перегоны.
Omin = t/12 +A/4 4-S/32 —о/32 в Mol/кг
h--------—I в пм3!кг>
О min = 2 С а [пмЗ/кг], а = 1 + 3 Л~(°~ Д)/8
О min = 2
Amin = 9,6
С
В выражении для а, в котором величиной $ можно пренебречь,
h — o/S представляет собою свободный водород.	*
Минимально потребное количество сухого воздуха для сгорания:
=9,6 с а [пм31кг],
о / J
так как воздух содержит 0,21 объемных частей кислорода.
При полном сгорании из 1 кг топлива получается:
углекислоты . с/12 Mol/яг = 2с пм^/кг,
воды.........Л/2 -|- w/\8 Mol/кг — 12/г -|-	[пм^/кг] = 9/г-|- w [лгг/кг],
двуокиси серы $/32 Mol/кг = | $ [пмР/кг] = 2$ [кг!кг}.
Если при сжигании топлива воздух подводится в избытке, при-
чем X = A/£min = 0/0 min есть коэфициент избытка воздуха, т. е.
46*
724
Т I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
отношение действительно подведенного количества воздуха или
кислорода к минимально (теоретически) необходимому количеству
воздуха или кислорода, то в продуктах горения имеется еще избы-
ток кислорода и весь азот воздуха, а именно:
кислорода . . (X—1) О min	пм3 или Моль
азота . . . . $ X О min	пм3 „	,
Всего .... (Х/0,21 — l)Omin = (X — 0,21) Z-min пм3 или Моль.
Общий объем дымовых газов составляет, если L — подведенное
количество воздуха в пм3,
[пм3/кг].
а для чистого углерода равна 1, а для угля принимает обычно
значение 1,1 до 1,2, для тяжелых масел — прибл. 1,2, а .при более
легких маслах значение это возрастает до 1,5 (керосин, бензин).
Пример. Дан буроугольный брикет следующего состава: с = 0,51, h = 0,042^
0 = 0,18, s = 0,018, w = 0,15, а =0,10. Имеем:
О min = 2(0,51. + 3 <0,042 — (0,18 - 0,018)/8 )•] = 1,150 [пм3/кг],
Lmin = 1.150/0,21 = 5,480 [пм3/кг), а = 1,15/(0,51-2) =1,128.
Допустим, что брикеты полностью сгорают при наличии избытка воздуха в 6О°/о;
тогда k = l,6, L = 1,6 • 5,48 = 8,766 и из 1 кг брикетов получаются следующие про-
дукты горения:
углекислоты 2 • 0,51 .......... 1,020 л.иь
воды 12 • 0,042 + 4/3 - 0,15 .. 0,704 я (или 0,528 кг)
двуокиси серы 3/4 • 0,018......0,014 п „ 0,036 , )
кислорода 0,6 • 1,150 ......... 0,690 п
азота 0,79 • 8,766 ............ 6,925 „
Итого дымовых газов . . 9,353 пм3,
т. е. на 0,587 пм3 больше подведенного количества воздуха.
2. Твердое и жидкое топливо однородного хи-
мического состава. Здесь для основания расчета достаточнс
химической формулы.
Пример. Нафталин, С10Н8, М = 128, с = 1,2.
1 Моль или 128 кг СюН84- (Ю + 2) Моль Оа = 10 Моль СО2 -|- 4 Моль Н.,0 или
относя к 1 кг топлива и выражая количества газов в пм3,
1 кг СюН8 + 12 15^ пм3 О2 = 10 yVs пм3 СО2 -J- 4 i22g пм3 НгО,
1 кг С10Н8 4- 2,25 пм3 Оа = 1,875 пм3 СОа + 0,75 пм3 НаО.
Для углеводорода общей формулы CwHnO0, молекулярный ве<
которого М = 12/и + /г + 16о, получаем:
1 кг CmH„О.+ (« + -" —=
= т7Йял3СО2 + у^ лл3НаО.
Расчет процессов горения
725
Для чистого алкоголя С2Н6О, М = 46, а =1,5, получаем:
1 кг С2Н6О + 1,565 пл? О2 = 1,043 пм3 СО2 + 1,565 пм3 Н,О.
Коэфициент <5 для углеводорода общей формулы
_ т-\- п/4 — о/2
~~ т
Определение количества кислорода и азота в отходящих газах
производится во всех случаях точно так же, как в случае 1.
3. Твердое и жидкое топливо, состоящее из опре-
деленной весовой смеси нескольких химически
однородных веществ, например смесь алкоголя и воды, про-
дажный бензол (масса из бензола, толуола и ксилола), смеси из
бензола, спирта, тетралина.
Количества потребного кислорода и продуктов горения полу-
чаются, если для отдельных составных частей поступают как в п. 2,
результаты помножают на соответственный весовой коэфициент и
затем слагают.
Например, спирт с g вес. ч. алкоголя;
1 кг спирта = g кг алкоголя + (1 — д) кг воды,
I кг спирта 4- g 1,565 пм3 О? = g 1,043 пм3 СО2 + [д 1,565 -f- (1 — д) пм9 Н2О.
4. Газы. При газах количество топлива тоже дается всегда
в объемных единицах; при этом нет нужды в особом задании рода
объемной единицы, если только для всех величин положена в основу
одна и та же единица.
Кроме Н2 и СО, горючие газы содержат большей частью раз-
личные углеводороды. Пусть одна объемная единица газа состоит
из следующих составных частей:
СО' + Н2' + СН4' + С2Н4' +0/ +N2' + СО2' =-1.
Потребное для сжигания одной единицы объема этой смеси ко-
личество кислорода в тех же объемных единицах
О min = 0,5 (СО' + Н2') + 2 СН4' + ЗС2Н/ - О2'.
Продуктами горения в этом случае являются в объемн. ед.,
если газ сгорает с количеством воздуха L = XOmin/0,21 объемн. ед.,
углекислота СО2' + СО' -f- СН4' -f- 2 С2Н4',
вода .... Н2' + 2 (СН4' -j- С2Н4'),
КИСЛОрОД.. (X—1) Omin = 0,21 L — Omin,
азот..................N2' + 79/21 • X О min = N2' + 0,79 L.
Число а для этого газа будет:
= 0,5 (СО' + Н9') 4- 2 СН4' +ЗС2Н4' - О2'
0 СО'+ СН/4-2 С2Н4'+ СО2'
и v N/C:
= N2'
v СО'+ СН4'+ 2 С2Н4'+ СО/ •
726
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горенке
d) Соотношения между составом топлива и составом сухих ды-
мовых газов, избытком воздуха и количеством отходящих газов
Следующие уравнения дают основания для учета опытных дан-
ных, полученных при испытаниях топочных установок и двигателей
внутреннего сгорания.
1. Полное сгорание. Так как при анализе дымовых газов при-
сутствие воды и двуокиси серы не обнаруживается, то, следова-
тельно, отходящие газы при полном сгорании содержат только СО2,
О2 и N2, сумма которых в объемн. ед. равна 1
CO2 + O2 + N2=1;
кроме того, имеются еще следующие соотношения:
Vt = С/СО2 пл£3,
О2/СО2 = (Х-1)а
и
Na/COa == (0,79/0,21) X а + v.
Этими уравнениями исчерпывается все, что можно сказать об этих
соотношениях. Путем исключения из них отдельных величин можно
получить целый ряд дальнейших уравнений, например,
со =	0.21_________ о =_________0.21 (Х-1)»
3 (X - 0,21) а 4- 0,21 (V + 1) ’ 2 (X - 0,21) а + 0,21 (v + 1) ’
0,79Хо 4-0,21 v	0,21 / 1	\
N2- (X — о, 21) а 4- 0,21 (V 4-1) ’ а <СО2+°	1	41)'
Для твердого и жидкого топлива с v=0уравнения
упрощаются:
гп__________0.21______о _	0.21 (Х-1)а
2~ (X —0,21)^4-0,21 ’	2~ (X-0,21) а4-0,21 ’
м _	°>79Хо	1 _ 0.21 / 1 ,	\\
Na (X — 0,21) а 4- 0,21 ’	а (,СО2 "Г °	1 )'
Для чистого углерода, независимо от X, N2 = 0,79 и
СО2-j" О2 = 0,21. Тоже справедливой для любого другого топлива,
для которого а 4- (0,21/0,79) v = 1, например для водяного газа, со-
стоящего из равных частей Н2 и СО. С увеличением избытка воз-
духа содержание N2 и СО24~"О2 для всех видов топлива.прибли-
жается к предельному значению 0,79 и 0,21 (табл. 3).
Для X = 1 получается О2 = 0; значения таблицы представляют
тогда максимальное содержание СО2.
Далее, при v = 0 получается: а — 1 = (0,21 — О2 — СО2)0,79 СО3;
в случае, если состав топлива не в точности известен, это уравнение
может дать о нем некоторое представление. Но так как 0,21—О2—СО2
Полное сгорание. Неполное горение
727
Таблица 3. Содержание в отходящих газах СО2 и О2
G		Род топлива	1	СО2 + О?) для X —			4
				15 1	2	3	
1,15	0	Уголь 		0,188	0,195	0,199	0,203	0,2С5
1,25	0	Бензол 		0,175	0,187	0,193	0,199	0,202
1.5	0	Спирт, бензин ....	0,151	0,171	0,181	0,191	0,196
2,0	0	Светильный газ ....	0,117	0,151	0,166	0,181	0,189
2,5	0	Ацетилен 		0,096	0,138	0,157	0,175	0,184
0,75	1,5	Генераторный газ . .	0,188	0,193	0,197	0,201	0,203
0,45	1,7	Колэвыиковый газ . .	0,228	0,224	0,222	0,219	0,217
0,50	0	Двуокись кислорода. .	0,347	0,307	0,285	0,262	0,230
всегда очень мало и так как абсолютно безошибочное проведение
анализа газов невозможно, то это суждение не имеет практической
ценности.
То же относится к подсчету избытка воздуха из анализа от-
ходящих газов при посредстве одной только формулы
X = (1 — СО2 - О2) / (1 - СО2 - О2 / 0,21),
Если при определении О2 получается ошибка в 1 объемн. про*
цент, то при определении X получается ошибка в 0,1 до 1,0, в за-
висимости от размера избытка воздуха. Предпочтительнее поэтому
пользоваться для X не этой формулой, а приведенной выше.
2, Неполное горение. Принимая, что отходящие газы содержат
горючие газы в виде окиси углерода, водорода и метана, и считая,
что химические знаки обозначают одновременно и объемные части,
получим для сухих дымовых (отходящих) газов:
co2 + o2+n2 + co + h2+ch4 = i.
Пусть, далее, в твердых остатках от горения (в золе, шлаках,
саже) имеются еще и частицы основного топлива, которые не сго-
рели или, лучше сказать, не перешли в газообразную форму про-
дуктов горения.
Эти частицы могут быть определены полным анализом твердых
остатков горения. Если отнести минимальное количество кислорода,
избыток воздуха, величины а, С и т. д. к количеству действительно
сожженного топлива, т. е. к количеству перешедших в отходящие
газы частиц единицы топлива, и обозначить их через Omin', X', а',
С', а часть общего количества углерода, действительно сгоревшего,
через а (а = С'/С), то получатся нижеследующие уравнения. Сухие
отходящие газы составляют:
Vt= а С/(СО2 + СО + СН4) пм*1кг,
далее,
О2 - 0,5СО — 0,5 Н2 - 2 СН4
СО3-И СО-f СН4
= (Х'—1)»'
728
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горепив
И
N2	0,79., , , ,
СО2 4- СО + СН4 = 0,21 ° + 
Из этих уравнений можно вывести, подобно тому, как это было
указано выше, целый ряд других соотношений.
Так как полный анализ твердых остатков горения производится
редко, то преобразуем эти уравнения таким образом, что примем во
внимание только выделившийся в твердой форме углерод, т. е. а,
и пренебрежем остальным содержимым твердого остатка.
Тогда вместо двух последних уравнений получим:
СОа + Оа + 0,5СО-0,5Н3~СН4	„ п . ,
“--------сбй^о+сн;--------------=(Х •-1)3 +1.
a N2 _0,79.	,
СО2 + СО +'сн4 "" 0,21 ’ + *•
X, ст, v относятся теперь опять к первоначальному составу топлива.
Из обоих последних уравнений можно путем исключения X опре-
делить по данным анализов топлива и отходящих газов ст, т. е. вы-
числить потерю углерода без непосредственных измерений. Однако
этот подсчет всегда приводит к совершенно непригодным резуль-
татам, так как он требует такой точности анализов отходящих газов,
какая на практике представляется абсолютно недостижимой. По-
этому а нужно определять либо путем опыта, либо же принимать
приближенное значение.
Для избытка воздуха имеем:
0,21 Г1 — 0,5 СО— 1,5Н2-2СН4	,
5 L СО2+СО + СН4 +а 1
и, следовательно,
X = я X' ст'/ст;
или же, если принять во внимание только несгоревший углерод:
X = —— а
1—0,5 СО — 1,5 Н2- 2СН
СО2 + СО + сн4
4 _|_0_ 1_ v
Из основных уравнений можно вывести также формулы для X'
и X, не содержащие ст' и ст, т. е. для твердого и жидкого топлива
(м = 0), причем не требуется данных об их составе.
Например, при ч — 0
07о_________О2 — 0,5 (СО-f-Н2) — 2 СН4____
’	0,21 (1 -СО2)-О2 + 0,185 (СО 4-Н2) + 1,37 СН4 ’
Но и эти формулы опять-таки не имеют большой ценности, так
как они требуют очень точных анализов газов. Ошибка в 1 объемн. °/0
Теплота горения
729
при определении О2 дает, например, для угля при V— 2 ошибку
уже свыше 0,2 в значении V и эта ошибка весьма быстро возра-
стает с увеличением избытка воздуха.
Если принять, что в отходящих газах пет Н2 и СН4, то содер-
жание в них СО можно рассчитать из данных содержания СО2 и О2
по следующему уравнению:
, со =s 0,21 - О, - 0,395 СО2
2 [0,79 (а - 1) + 0,21 v] / а + 0,605 ’
Ошибка при определении СО по этим формулам прибл. в 1,5
раз больше ошибок анализа при определении СО3 и О2. Формулы,
таким образом, недостаточно точны и непригодны для определения
небольших количеств СО. Всегда следует предпочитать непосред-
ственное определение СО по анализу.
Если в отходящих газах при недостатке воздуха и отсутствии кисло-
рода имеется лишь окись углерода, то мы имеем следующие формулы:
со =______Wi-x) • со + СО -_____________________ °’21___________
0,79 X а —|-0,21 (v-|-1) *	3“ 0,79Xa + 0,21(v+l)
v х 1
2-----СО
) —_____g _
и	2 + 3,76 СО ’
е)	Теплотворная способность (теплота горения)
Выделяющаяся при горении топлива теплота весьма различна
в зависимости от условий, при которых горение происходит, и мо-
жет быть всегда подсчитана, если только для какого-либо нормаль-
ного случая опытным путем определена была освободившаяся при
горении теплота. Нормальным случаем горения считается тот, при
котором смесь топлива и сухого воздуха полностью сгорает при
неизменном давлении в 1 ат, а продукты горения вновь приводятся
охлаждением к первоначальной температуре (0° или комнатная тем-
пература). Освобождающуюся при этом теплоту называют тепло-
творной способностью топлива (теплопроизводительностью), которая
равна разности количеств теплоты, содержащейся в горючей смеси
и в продуктах горения при одинаковой температуре:
Для топлива, не содержащего ни водорода, ни воды, например,
для чистого углерода, сухого кокса и древесного угля, окиси угле-
рода, теплотворная способность точно определена на основании вы-
шеизложенного. Теплота горения, например, совершенно не зависит
от того, происходило ли горение с минимальным количеством ки-
слорода или с любым избытком воздуха.
Для топлива, при котором в продуктах горения появляется вода,
теплотворная способность не может быть точно определена по при-
веденному выше указанию, так как в зависимости от количества
730
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
подведенного* воздуха часть воды будет находиться в парообразном
состоянии. Освобсждающаяся теплота горения будет для жидкой
части воды больше, чем для парообразной ее части, на количество
теплоты испарения. Для обычно принимаемой температуры в 0°
теплота испарения равна 595 или прибл. 600 кг-кал на 1 кг или же
прибл. 450 кг-кал на 1 пм3 воды.
Для определения теплотворной способности необходимо, таким
образом, иметь данные о физическом состоянии воды, получаемой
при горении. Различают два предельных случая, принимая всю воду
либо в жидком, либо в парообразном состоянии Этим предположе-
ниям соответствуют две теплотворные способности: высшая, отне-
сенная к жидкой воде, и низшая, отнесенная к воде в парообраз-
ном состоянии. Оба вида теплотворности отличаются друг от друга
на величину теплоты испарения всего количества воды. При извест-
ном составе топлива можно по одной теплотворной способности
рассчитать и другую. Разница между обоими значе-
ниями теплотворности у многих сортов топлива весьма
значительна: при хорошем каменном угле она составляет ~ .3 %,
при буроугольных брикетах ~ 6,5%, при рядовом буром угле ~ 15%,
при спирте и светильном газе ~ 10%.
Поскольку теплотворность рассматривается только как физи-
ко-химическая постоянная данного топлива, безразлично,
дано ли то или другое ее значение. Но теплотворность имеет и техно-
экономическое значение и по ней судят о возможности экс-
плоатации тепла и полезной работы из того или другого сорта то-
плива; кроме того, теплотворность служит основанием при соста-
влении теплового баланса. Для первой упомянутой здесь цели лучше
пользоваться низшей теплотворностью, так как отходящие газы топок,
отопительных установок и двигателей внутреннего сгорания почти
всегда имеют температуру, при которой вся вода находится еще в
парообразном состоянии; даже при топливе, выделяющем при сго-
рании много воды, достаточно при обычном избытке воздуха уме-
ренных температур отходящих газов, чтобы удерживать всю воду
в парообразном состоянии. В предположении, например, что X = 2
и что воздух сух, эта температура составляет даже при рядовом
буром угле с 50'/0 влаги только 50°. При буроугольных брикетах
среднего состава она составляет 36°, а при хорошем каменном угле —
всего 24°.
Принимая теплопроизводительпость за основу при составлении
тепловых балансов, можно получить большие неточности, если поль-
зоваться низшим значением теплотворности.
Исключительное пользование одним или другим значением не привело к удо-
влетворительным результатам. В то время как в Германии, например, при расчетах
применяют почти исключительно низшую теплотворность !)» во Франции и Америке
обычно пользуются высшей теплотворностью, применяя низшую теплотворность
только в соответствующих случаях
Новые нормы VDIпредусматривают низшую теплотворность.
f)	S. Merkel, Oberer Oder unterer Heizwert. Archiv fur Wiirmewirtschaft 1924 r.,
стр 163; а также отдел ,Паровые машины- в т. Щ,
Сгорание углерода и водорода
731
Теплотворная способность химических соеди-
нений не может быть определена по теплопроизводительности
отдельных элементов, так как для расщепления соединений всегда
требуется положительное или отрицательное количество теплоты.
Поэтому нельзя произвести точный расчет теплотворности твердого
и жидкого топлива помощью элементарного анализа, зная тепло-
творность углерода, водорода и серы.
Тот факт, что таким путем (по формуле = 8100 с -|-
4 28 000 (h — -тг) + 2300$—600w) все же удается получать более
или менее точные результаты, объясняется тем, что теплота расще-
пления соответственных соединений обычно очень невелика по срав-
нению с теплотворностью. Точные данные дают только калори-
метрические измерения.
При топливе, представляющем собой физическую смесь опре-
деленных химических соединений, в особенности же, когда речь
идет о смеси газов, теплотворность, напротив, .может быть точно
определена суммированием теплотворностей отдельных составных
частей. Так как, однако, степень точности анализа газов часто не-
велика, то и для газов предпочтительнее определение теплотворно-
сти помощью калориметра Юнкере а.
Наряду со сгоранием при постоянном давлении в технике часто
имеет значение и сгорание при постоянном объеме (дви-
гатели внутреннего сгорания). Теплота, освобождающаяся при этого
рода сгорании, — если представить себе, что продукты горения при-
ведены охлаждением к первоначальной температуре, — отличается от
теплоты сгорания при постоянном давлении на количество теплоты,
эквивалентное внешней работе, А 104 {V"—V'). Это значение может
быть положительным или отрицательным, в зависимости от того,
больше или меньше объем продуктов горения (К") при сгорании
под постоянным давлением, чем объем горючей смеси перед сжи-
ганием (К'). Практически разница между теплотворностью при по-
стоянном давлении и теплотворностью при постоянном объеме весьма
незначительна.
f) Сгорание углерода и водорода
Результаты определения теплотворной способности углерода
дают различные величины в зависимости от той формы, в которой
углерод сгорает. По данным, приводимым у Roth, 1 кг углерода
дает тепла в кг-кал, сгорая в виде:
алмаза —	7873	каменного угля	—	5050	до	8150
P-графита —	7856	кокса	—	7845	„	8050
а-графита —	7832	ацетиленовой сажи	—	8130.
В дальнейшем мы будем принимать для обычного углерода
(не кристаллического) наивысшую теплотворную способность —
со
Таблица 4. -Жидкое горючее
Топливо	Молек. вес М	Содержание в о'о по весу		<3	Уд. вес при 15°	Темпе- ратура кипения град.	Теплотворность для 1 кг		Для сжигания 1 кг необходимо в пм*		При сгорании 1 кг получается В ЛЛ13	
		с	h				высшая £>0	низшая s-a	кисло- рода °min	воздуха ^min	СО2	Н2(5
.Алкоголь С,Н6О	 Спирт 95 вес. °]о •	• • • 90 вес. о/о	 85 вес. °/о		46	52	13	1,500 1,500 1,5р0 1,500	0,794 0,809 0,8 23 0,836	78,3 78,5 78,7 78,9	7 100 6 740 6 390 6 039	6 400 6 040 5 700 5 340	1,565 1,49 1,41 1,33	7,5 7,1 6,75 6,4	1,04 0,99 0,94 0,89	1,565 1,55 1,54 1,53
Бензол (чистый) CSH6. . •	78	92,2	7,8	1,250	0,884	80,5	10 000	9 590	2,31	11,0	1,845	0,92
Толуол (чистый) С7ц8 . .	92	91,2	8,8	1,285	0,870	110	10 159	9 690	2,35	11,2	1,825	1,04
Ксилол (чистый) С8Ню . . Продажный бензол I	106	90,5	9,5	1,313	0,868	140	10 250	9 740	2,38	11,35	1,81	1,13
(9О°/о-ый бензол) 9 . . • Продажный бензол II		92,1	7,9	1,260	>0,882	см. 9	10 000	9 600	2,32	11,1	1,83	0,94
(5Э°/о-ый бензол) 2) . . .		91,6	8,4	1,300	0,876	СМ. 2)	10 100	9 650	2,36	11,3	1,82	1,05
Нафталин (чистый) СГН3 . (точка плавл. 80°)	128	93,7	"6,3	1,200	0,977 (при 80°) 1,152 (твердый 15’)	218	9 640	9 300	2.25	10,7	1,875	0,75
Тетралин (чистый) С10Н12 . (тетрагидронафталин)		132	90,8	9,2	1,300	0,975	205	10 240	9 750	2,36	11,25	1,82	1,09
Пентан 1	С3Н12		72	83,2	16,8	Тдо	0,627	37	11 759	10 850	2,67	12,7	1,665	2,00
Гексан 1	С6Н14		86	83,6	16,4	1,584	0,658	65	11 559	10 670	2,65	12,6	1,675	1,95
Гептан ( ) С7Н16 .	. .	ICO	83,9	16,1	1,571	0,683	98	11 520	10 660	2,64	12,6	1,68	1,92
Октан J С8Н18		114	84,1	15,9	1,562	0,700	125	11 500	10 650	2,63	12,6	1,68	1,895
Бензин (средн, значения) .		85	15	1,539	0,7 — 0,74	60—120	И 000	10 200	2,60	12,4	1,70	1,80
г. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
’) Прибл. состав: 0,84 бензола, 0,13 толуола и 0,03 ксилола. При нагреве до 100° 90°('о испаряется.
*) Прибл. состав: 0,43 бензола, 0,46 толуола и 0,11 ксилола. При нагреве до 100° испаряется 50»/0, до 12)° — 90<»|о.
•) Эти и прочие составные части метанового ряда суть главные составные части американского и галицийского бензина.
Таблица 5. Горение простых газов
Газы	Формула	Молек. вес М	Плотность относитель- но воздуха 6	а	Для сгора- ния 1 м3 не- обходимо м3 кислорода °min	Для сгора- ния 1 м3 не- обходимо м3 воздуха ^min	Высшая теплотвор- ность для 1 пм3 газа	Низшая теплотвор- ность для 1 п м3 газа
Окись углерода		СО	28	0,97	0,50	0,5	2,38	2 855		
Водород 		н2	2,016	0,07	—	0,5	2,38	2 855	2 410
Метан		сн4	16	0,554	2,00	2	9,52	8 900	8 005
Этан		С2Нв	30	1,035	1,75	3,5	16,7	15 590	14 170
Пропан		СзНд	44	1,52	1,666	5	23,8	22 000	20 230
Бутан		с4н10	58	2,00	1,625	6,5	31,0	28 600	26 400
Этилен 		сн4	28	0,965	1,50	3	14,3	14 400	13 520
Пропилен .	. .	...	СзН8	42	1,45	1,50	4,5	21,4	20 800	19 470
Бутилен 		с4нч	56	1,935	1,50	6	28,6	27 100	25 320
Ацетилен		сгна	26	0,90	1,25	2,5	11,9	13С00	12 550
Таблица 6. Горение технических газов
Газы	Средний состав в %						Кажу- щийся молек. вес М	Плот- ность относит. воз- духа = 1 6		м	Высшая тепло- творность для 1 пм3 £>о	Низшая тепло- творность для 1 пм3
	н2	со	СН4	(С2Н4)	СО2	N,						
Курной газ от кам. угля		27	7	48	13	3	2	15,7	0,54	1,81	0,024	7130	6470
Светильный газ I	51	8	32	4	2	3	11,2	0,39	2,11	0,060	5120	4570
Светильный газ II	56	13	23	2,5	2	3,5	11,0	0,38	2,15	0,085	4380	3900
Коксовальный газ	50	8	29	4	2	7	11,85	0,41	2,11	0,149	4820	4390
Водяной газ ...	49	42	0,5	—	5	3	15,9	0,55	0,979	0,063	2630	2410
Генераторный газ	12	28	3	0,2	3	54	25,1	0,87	0,773	1,57	1440	Д350
Газ Монда ....	25	12	4	0,3	16	43	23,7	0,82	0,840	1,32	1450	1300
Воздушный газ . .	6	23	3	0,2	5	62	26,6	0,92	0,672	1,97	1120	1070
Доменный газ . .	4 1	28	—	—	8	60	28,2	0,97	0,445	1,67	910	890
Сгорание углерода и водорода
734
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
8150 кг - кал / кг. Для 1 Моль теплотворная способность —
97 800 кг-кал) кг.
Для водорода наиболее вероятная наивысшая величина тепло-
творной способности (по Roth) —68 520 кг-кал для 1 Моль, или
2855 кг-кал для 1 пм3 (1/24 Моль), что соответствует 3057 кг-кал
для 1 теоретического N.M8, отнесенного к 0° и 760 мм рт. ст. и
33 988 ~ 34 000 кг-кал)кг.
Для теплотворной способности окиси углерода имеются лишь
устаревшие и весьма приближенные наблюдения.
Уравнения сгорания для углерода и водорода 1)
12 кг или 1 Моль	С + 1 Моль	оа	= 1 Моль	СОа 4- 97 800 кг-кал
1 кг	С 4- 2 п м3	О,	= 2 пм3	СО, 4- 8 150 „
1 кг	С +8/. кг	о2	=-- п1з кг	СО2 4- 8 150 „
1 Моль или 12 кг	С 4" 0,5 Моль	оа	= 1 Моль	СО • 4- 29 280	„
1 кг	С 4-1 пм3	Оа	= 2 пм3	СО 4- 2 440 ,
1 Моль	СО4- 0,5 Моль	О,	= 1 Моль	СО2 4- 68 520 .
1 пм3	СО4- 0,5 п м3	о.	= 1 пм3	СО2 4- 2 855 „
1 Моль или 2,016 кг	На 4- 0,5 Моль	оа	= 1 Моль	Н2О жидк. 4- 68 520 кг-кал
1 пм3	н, 4- о ,5 л-*8	оа	= 1 пм3	Н2О „	4- 2 855 „
1 кг	Н, 4- 8 кг	О2:	= 9 кг	HjO „	4-33 9S0 „
1 Моль	Н3 4- 0,5 Моль	Оа:	= 1 Моль	НаО пар. 4- 57 840 • „
1 пл8	На 4- 0,5 пм3	Оа :	= 1 п м3	НаО „	4- 2 410 „
1 кг	Н, 4- 8 кг	О2 =	= 9 кг	НаО 4-28 630 кг-кал.
Для многих подсчетов можно с достаточной точностью прини-
мать высшую теплотворность водорода и окиси углерода одинако-
вой (2855 кг-кал) пм3).
g)	Температура сгорания
Теоретической температурой сгорания назы-
вается та температура, которую приобретают образующиеся про-
дукты при полном сгорании и при условии восприятия ими всей
теплоты сгорания, т. е. когда тепло не отдается наружу. Действи-
тельная температура сгорания вследствие потерь тепла всегда меньше.
И здесь различают горение при постоянном давлении (топки) и при
постоянном объеме (двигатели внутреннего сгорания). В первом
случае остается постоянным теплосодержание, а во втором —
остается постоянной энергия. Величина температуры сгорания зави-
сит от рода топлива (теплотворность), от начальной температуры (по-
догрев воздуха для горения) и в значительной мере от избытка
воздуха. При вычислении температуры сгорания следует принимать
в расчет теплоемкости газов с повышением температуры см. табл. 4
на стр. 652.
9 L а п d о 11 und Bdrnstein. Physikalisch-Chemische Tabellen, 5-е изд.,
Берлин, 1923 г., Шпрингер и дополнительный»том, 1927.
Температура сгорания
735
При очень высоких температурах горение постепенно прини-
мает форму неполного, ибо тогда происходит распад углекислоты
и водяного пара.
Температура сгорания t для 1 кг твердого или жидкого топлива
с количеством воздуха £ = X*£min при начальной температуре воз-
духа в /] и при данном составе и известной теплотворности то-
плива определяется по следующей формуле:
К • £min • [МN ,0. • fl=
О
= [4	СО. + (4 + УМСрУ Н.0 + <Х - °’21) Iм J N.O.1 4
I	О '	' О	о J
При помощи таблицы для средней теплоемкости (стр. 652) на-
ходят величину /, задавшись предварительно некоторой температу-
рой t для выражения [Мср] • Zmin нужно выразить в Моль. Для обыч-
о
ных случаев, без предварительного подогрева воздуха, когда не
велика, можно принять:
= [~12~ Мср\ со. + (^ + уд-) Мср\ н.0 +
L	О'	'о
+ (X-0,21)Z.min
о J
Табл. 7 на стр. 737 дает для некоторых сортов топлива теорети-
ческую температуру сгорания при различном избытке воздуха и
при = 0°.
Потеря тепла от продуктов сгорания. Образующиеся в топке
продукты сгорания уходят в дымовую трубу с температурой t2, бо-
лее высокой, чем температура окружающей среды, что влечет за
собой определенную потерю; эта потеря от отходящих газов равна
количеству тепла Qs в отходящих газах и подсчитывается в кг-кал
для 1 кг топлива:
Qs = (*2 — *1) [-jy [Мср\ СОа +
(h 40) \ Аг	G П
2 +18	н.0 + (>- - 0.21) ^min [Мср] Nioa ;
'о	о J
если Qs подсчитать на основании анализа отходящих газов, то
получается;
736
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
Q, = (4 - <1) |Ч СО2 [Мср\ СОа + Vt (1 - СО2) [Me,]' NЛ +
l-o	о
, ( h . w \ г.,	1
+ (д + T8')[Af<'4N*OJ'
Vt—объем сухих отходящих газов, который необходимо выразить
в Моль (стр. 723); t2 — — разница между температурой отходящих
газов и температурой окружающей среды.
В нижеследующей табл. 7 приведены примеры для типичных
сортов топлива, различной температуры отходящих газов и раз-
личного избытка воздуха. Температура среды принята равной 0°.
Таблица 7. Температура сгорания, содержание в дымовых газах
углекислоты и потери от отходящих газов
Кратное число теорети- ческого коли- чества воздуха к	Содержание в отходящих газах СОЛ •/о	Теоретическая температура сгорания °C	Потери гепла в % от	при температуре отходящих газов				
			100°	200°	300°	4С0°	500°
Каменный уголь. 0,78 С, 0,С5 Н, 0,С8 О, 0,02 Н2О. = 7500 кг-кал\кг
1,0	18,7	2280	3,7	7,4	11,3	15,3	19,2
1,25	14,9	1925	4,5	9,1	13,8	18,6	23,4
1,5	12,4	1660	5,3	10,8	16.3	21,9	27,6
2,0	9,2	1305	7,0	14,1	21,3	28,6	36,0
2,5	7,4	1075	8,6	17,4	26,3	35,3	44,4
3,0	6,1	915	10,3	20,7	31,3	42,0	52,8
Буроугольные брикеты. 0,53 С, 0,С45 Н4 0,20 О, 0,15 Н2О. £					= 4800 кг-кал\кг		
1,0	19,0	2090	4,0	8,1	12,4	16,7	21,0
1,25	15,3	1780	4,9	9,8	14,9	20,1	25,4
1,5	12,7	1550	5,7	11,6	17,5	23,5	29,7
2,0	9,5	1230	7,4	15,0	22,6	30,4	38,3
2,5	7,6	1025	9,1	18,4	27,7	37,3	47,0
3,0	6,3	875	10,8	21,7	32,8	44,1	55,6
Бурый уголь. 0,28 С, 0,		02 Н, 0,С8 О, 0,54 Н2О.		= 2300 кг-кал1кг			
1,0	19,4	1640	5,3	10,6	16,1	21,7	27,4
1,25	15,5	1430	6,2	12,5	18,9	25,5	32,2
1,5	12,8	1265	7,1	14,4	21,7	29,3	36,9
2,0	9,6	1030	8,8	18,1	27,3	36,8	46,3
2,5	7,7	870	10,8	21,8	32,9	44,3	55,8
3,0	6,4	750	12,7	25,5	38,5	51,8	65,2
Доменный газ. 0,03 На + 0*29 СО + 0,08 СОа + 0,60 N2. £>и = 880 кг-кал\м*
1,0	23,6	1565	5,5	11,2	17,0	23,0	29,1
1,25	21,0	1430	6,2	12,4	18,9	25,5	32,2
1,5	19,0	1320	6,8	13,7	20,7	28,0	35,3
2,0	15,9	1140	8,0	16,1	24,4	33,0	41,5
2,6	13,7	990	9,2	18,6	28,1	37,9	47,8
Ы	12,1	895	10,4	21,0	31,8	42,9	54,0
Горейнв, темнвр&тура йосйпамвйейпй
737
При горении газов для подсчетов употребляют только объем-
ные количества, лучше всего Моль. Температуру сгорания t рассчи-
тывают по нижеследующему уравнению, если опять-таки tx — на-
чальная температура, а низшая теплотворность для 1 Моль ^моль =
=24 €>илл(з:
moi + h е ( у рим)=(F" W)-
О	о
V7 и V”— объемные количества отдельных газов до и после сго-
рания, отнесенные к единице объема горючего газа. Решение про-
изводится проще всего, если предварительно принять t по таблице
на стр. 652, а затем произвести повторный расчет. При газовых
двигателях необходимо всегда учитывать еще и остатки. При сго-
рании при постоянном объеме в вышеприведенной формуле сле-
дует заменить ср через cv. Если газ не подогревается предвари-
тельно перед горением, т. е. если не на много отличается от 0°,
то можно опять-таки рассчитывать по упрощенной формуле:
®«моль=а-о s
о
При сгорании при постоянном объеме наступает повышение
давления от pL до р, подсчитываемое из
*	Р = R"L
Pi R’Ti'
Потеря тепла от неполного горения равна теплотворности
продуктов сгорания. Если в отходящих газах учесть только окись
углерода, а в твердых остатках — только углерод, то для твердого
и жидкого топлива потеря тепла на 1 кг топлива:
Г 57ЮСО	qicaI
<?а — С | а со Со2 + (1	<*) 8150 | ,
где а — часть сгоревшего углерода, а СО и СО2 — содержание этих
газов в объемп. един, в отходящих газах.
h) Горение, температура воспламенения, пределы и скорость
воспламенения
Интенсивное горение данного тела происходит только тогда,
когда оно нагрето до температуры воспламенения, характерной для
этого тела; такое горение продолжается до тех пор, пока темпера-
тура не опускается ниже указанной температуры воспламенения и
пока количество кислорода для горения достаточно.
При охлаждении и недостатке в кислороде горение получается
неполное (выделение сажи и т. п.).
При сгорании твердого (и жидкого) естественного топлива
сперва происходит, как и при сухой перегонке (выделение газов),
разложение топлива с выделением газообразных продуктов, горя
щих пламенем.
738
Ф. t. бтд. 4. Теплота. VH. Гореийб
Топливо, не содержащее летучих веществ, например, древесный
уголь и кокс, не горит пламенем, а лишь тлеет. В обыкновенных
колосниковых топках необходимо поэтому различать горение над
колосниками, происходящее от пламени выделяющихся газов, и
горение на колосниках, вызываемое жаром раскаленного слоя остат-
ков от перегонки.
Для всех родов топлива продуктами полного сгорания явля-
ются углекислота и водяной пар.
Сажа и дым. При сгорании твердого топлива подача воздуха
сквозь колосники происходит часто неравномерно, вследствие чего
смесь из образующихся газов с воздухом оказывается несовер-
шенной. Кроме того, иногда выделение горючих газов (смоляных
паров и т. п.) происходит быстрее и в большем количестве, нежели
приток необходимого для полного сгорания воздуха. Часто также
образующееся пламя приходит до полного сгорания в соприкосно-
вение с холодными поверхностями, где охлаждается до темпера-
туры, лежащей ниже температуры воспламенения смоляных паров.
Ito всех указанных случаях получается дым и сажа. Полное сгора-
ние твердого топлива и его газообразных составных частей дости-
гается лишь путем правильного подвода воздуха.
Для предупреждения образования сажи и дыма необходимо
следить за тем, чтобы подвод воздуха и количество его находи-
лись в правильном взаимоотношении и чтобы газам давалась воз-
можность хорошо смешиваться с подводимым воздухом.
Кокс, из которого удалены все газы (летучие вещества), дает
без образования сажи и дыма при полном сгорании углекислоту,
а при неполном сгорании — окись углерода.
В горелке Бунзена горение может происходить при по-
ловинном количестве воздуха, необходимого для полного сгорания.
На внутреннем конусе бунзеновского пламени происходит сгорание воздуха
при избыточном притоке газа с образованием углекислоты, воды, окиси углерода и
водорода (равновесие водяного газа); в наружной оболочке пламени происходит при
избытке воздуха полное сгорание того газа, который раньше сгорел лишь отчасти,
причем образуется вода и углекислота; в промежуточной зоне горения не про-
исходит; ввиду того, что свободного кислорода не имеется, не может иметь места
и окисление, а пламя представляет собой смесь раскаленных газов, окруженных со
всех сторон чрезвычайно тонким слоем, в котором и происходит горение. При
дальнейшем увеличении притока воздуха в бунзеновской горелке происходит обрат-
ный удар пламени, т. е. скорость распространения пламени в обратную сторону
превышает скорость вытекания воздушно-газовой смеси из горелки. Если увеличить
последнюю скорость (сжатый газ, сжатый воздух, воздуходувка), то оказывается
возможным примешивать к газу перед горением все то количество воздуха, которое
необходимо для полного сгорания; таким образом достигается чрезвычайно горячее
пламя, сконцентрированное в малом объеме (кислород со светильным газом).
Если в какой-либо точке горючей смеси вызвать ее воспламе-
нение (вспышку), то сгорание смеси может вылиться в две формы,
совершенно отличные одна от другой. При медленном сгорании
скорость воспламенения зависит, главным образом, от теплопровод-
ности, теплоемкости и от изменения скорости реакции в зависимо-
сти от температуры. Другая форма горения зиждется на том явле-
нии, что воспламенение происходит в результате повышения тем-
Горение, температура аоспламенений
739
пературы, вызываемого сильным давлением (компрессионная
волна).
Пределы взрываемости находятся в тесной связи со скоростью
воспламенения. Для этих пределов скорость воспламенения равна
почти нулю. Как эти пределы, так и скорость воспламенения зави-
сят от природы горючего газа, рода и количества газов, входящих
в состав горючей смеси и не принимающих участия в горении,
а также от размеров и формы камеры, в которой происходит взрыв.
Нэгель1) определил при помощи шарообразной бомбы
емкостью в 30 л с центральной вспышкой для смесей со сред-
ним и высоким содержанием светильного и генераторного газов,
что скорость воспламенения почти независима от первоначального
давления. Смесь водорода и воздуха дает с увеличением давления
тем большие скорости воспламенения, чем выше содержание газа.
Область воспламеняемости газовоздушной смеси лежит между
двумя пределами: нижним — при избытке воздуха и высшим — при
недостатке его. Скорость воспламенения возрастает с возрастанием
объемного содержания в смеси горючего газа и проходит через
максимум, положение которого соответствует такому составу смеси,
при котором горючий газ не может полностью сгореть за недостат-
ком кислорода.
По Нейману2) смеси воздуха с парами бензина дают наи-
большею скорость воспламенения 2,6 м!сек~1 и наивысшую про-
изводительность машин при 20% недостатка в воздухе. Границы
взрываемости лежат при 1,40 и 4,13% объема горючего газа.
Таблица 8. Пределы взрываемости для различных газов и паров
Газы	Процентное содержание горючего газа в смеси			Область взрывае- мости прости- рается на °/0 воз- можных газо-воз- душных смесей	Самовоспламене- 1 ние в воздухе при | атмосферном да- । влении (темп, в °C)
	Взрыв не- возможен (низший предел)	Область взрываемо- сти в тру- бе 19 мм	Взрыв не- возможен (ВЫСШИИ предел)		
Окись углерода .... Водород 	 Водяной газ	 Ацетилен 	 Светильной газ ... Этилен 	 Алкоголь 	 Метан	 Эфир	 Бензол 	 Пептан	 Бензин 		16,4 9,4 12,3 3,2 7,8 4,0 3,9 6,0 2,6- 2,6 2,3 2,3	16,6 до 74,8 9,5 „ 66,3 12,5 „ 66,6 3,5 . 52,2 8,0 „ 19,0 4,2 „ 14,5 4,0 . 13,6 6,2 „ 12,7 2,9 „ 7,5 2,7 „ 6,6 2,5 „ 4,8 2,5 „ 4,8	75,1 66,5 66,9 52,4 19,2 14,7 13,7 12*,9 7,9 6,7 5,0 5,0	58,4 57,0 54,3 49,0 11,2 10,5 9,7 6,7 5,0 3,9 2,5 2,5	580 до 590 406 до 440 600 542 до 547 510 650 до 759 400 520 415
О Mitt. Forschungsarb., Н. 54, изд. VDI.
’) Mitt. Forschungsarb., Н., 79, изд. VtJi.
740	I. Отд. 4. Теплота. VII. Горенка
Определенные путем опытов величины скоростей воспламе»
нения и пределов взрываемости являются только лишь относитель-
ными. Форма сосуда, в котором происходит взрыв, и род воспла-
менения (искровое воспламенение, пламенное, через нагревание,
величина и сила искры) оказывают при этом влияние. Скорость рас-
пространения сгорания во взрывчатых газовых смесях значительно
увеличивается от вихревого движения, поэтому скорости воспла-
менения технических газовых смесей в газовых двигателях значи-
тельно больше и могут быть определены только в каждом отдель-
ном случае.
Точка воспламенения в значительной степени зависит от влия-
ния каталитических веществ (влияние стенок и т. п.). При отсут-
ствии этих влияний температуры воспламенения значительно выше.
Для водорода в этом случае наблюдалось повышение температуры
воспламенения до 845°.
i) Газообразование (газогенераторный процесс)
Генераторный газ получается, если в шахтной печи (газогене-
раторе) сквозь высокий слой раскаленного угля проходит воздух
и водяной пар. Большая часть угля сгорает первоначально в угле-
кислоту, которая затем в значительной своей части восстановляется
в окись углерода.
Вдуваемый водяной пар разлагается (обыкновенно тол1Жо час-
тично) на водород и кислород. Неразложившаяся его часть увели-
чивает содержание влаги в газе; если эта влага еще содержится
в газе во время его горения, то температуры сгорания понижаются.
Применение перегретого пара и подогрев вдуваемого воздуха
поэтому выгодны.
Внутренние процессы в слое топлива зиждятся на:
1)	законах соотношения количеств при химических превра-
щениях,
2)	тепловом балансе процесса, основанном на первом основном
законе термодинамики,
3)	законах химического равновесия, основанных на втором
основном законе термодинамики.
Газификация углерода. 1 кг С, будучи сожжен в СО2, разви-
вает 8150 кг-кал, а будучи сожжен в СО — 2440 кг-кал. Оба урав-
нения сгорания таковы:
1 кг С-|-2 пм3 О2 = 2 пм3 СО2-|-8150 кг-кал,
1 кг С + 1 пм3 О2 = 2 пм3 СО + 2440 кг-кал.
При газификации 1 & С освобождается,таким образом, 2440 кг-кал,
а 5710 кг-кал остаются химически связанными в газе. Коэфициент
полезного действия газификации есть отношение теплотворности по-
лученного газа к теплотворности одновременно сожженного угля:
ГляообрлвовАяжв
741
Коэфициентом полезного действия в обычном смысле можно
назвать только тогда, когда газ применяется в охлажденном виде,
как это, например, имеет место при газовых двигателях.
Если вместо О2 подводят воздух, то уравнение сгорания будет:
1 кг С 1/0,21 пм3 воздуха = 2 пм3 СО+ 0,79/0,21 пм3 Г+;
состав теоретического воздушного газа в объемн. ед. будет
0,347 СО+ 0,653 N2= 1.
1 кг С требует подвода 4,77 пм3 воздуха и образует 5,76 пм3 газа
теплотворностью в 990 кг-кал!пм3.
Путем подвода в генератор воды можно химически связать
в газе теплоту, освобождающуюся при получении воздушного газа.
Если эта теплота полностью используется для разложения воды
1 плг3Н2О жидк. + 2855 кг-кал = 1 пл€8Н2 + 0,5 лл<302, т. е., если
= 1, то
1220 СО = 2855 Н2.
Часть необходимого для газификации кислорода берется из воздуха,
а другая часть — от разложенной воды. Поэтому содержание азота
в газе
_ 0,79 СО — Н2
0,21 ’	2
и состав теоретического генераторного (смешанного) газа выра-
жается в объемн. ед. следующим образом:
0,40 СО + 0,17 Н2 + 0,43 N2 = 1.
Теплотворность его будет 1630 кг-кал/пм3.
Вследствие разложения воды количество горючих составных
частей газа увеличивается с 0,347 объемн. ед. при воздушном газе
до 0,570 объемн. ед. при генераторном газе.
Определенный на основании стехиометрических отношений и
теплового баланса состав газа не может быть достигнут на практике,
так как содержание горючих газов в генераторном- газе ограничено
равновесием, установление которого обусловливается температурой
и скоростью реакции, зависящих от каталитических влияний то-
плива!). Получение воздушного газа происходит по реакции
С + СО2 2 СО,
а получение генераторного газа по реакции
со2 + н2^со + н2о.
При возрастающей температуре реакции протекают слева направо,
а при понижении температуры — обратно. На этохМ основании гене-
раторный газ содержит всегда определенное количество СО2.
При умелом ведении процесса газификации газ при нормаль-
ных условиях содержит в среднем около 25% окиси углерода.
!) К. Neumann. Die Vorgange im Gasgenerator. Mitt. Forschungsarb, № 140,
Берлин, 1913 г.
742
Т. I. Отд. 4. Хеплота. VII. Горение
Высший предел этого содержания простирается до 31—32°/0, что
является следствием очень горячего хода генератора. Теплотвор-
ность приближается к своему предельному значению в 990 кг-кал; пм?.
При получении генераторного (смешанного) газа достижимая
теплотворность газа, а тем самыми коэфициент полезного действия
процесса зависят прежде всего от парциального давления водяного
пара в подводимой паровоздушной смеси, т. е. от соотношения
пара • и воздуха в смеси. При небольшом парциальном давлении
водяного пара получаемый газ богат окисью углерода и беден во-
дородом, тогда как высокое парциальное давление пара дает бога-
тый водородом и бедный окисью углерода газ. Неизбежным след-
ствием является в первом случае небольшое, а во втором — значи-
тельное содержание в газе углекислоты и водяного пара. Высота
слоя топлива должна быть тем больше, чем больше относительное
количество пара в подведенной паровоздушной струе, так как
от большей длительности реакции в слое топлива содержание в газе
углекислоты и водяного пара уменьшается.
Обозначив через СО, Н2, СО2 и N2 объемные части составных
частей полученного газа, имеем следующие уравнения1):
Н2 + СО I-СО2-I-N2 = 1,
21/79 N2 = 0,5 СО + СО? — 0,5 Н2 (потребный кислород),
Y) (СО СО2) = 0,7 (Н2 + СО) (тепловой баланс).
Из обоих первых уравнений находим следующие взаимоотно-
шения между отдельными составными частями газа:
38 СО?+ 23 СО = 7 Н? + 8
45 СО?+ 30 СО + 7N.; =15
45 Н? " + 15 СО + 38 N? =30
30 Н2 +23N2 = 15 СО? [-15.
Ощущаемое тепло получаемого при газификации газа составляет
на 1 пм3
Qf = 4150 (СО + СО?) - 2855 (СО + Н2).
Эту теплоту можно выразить и в зависимости от двух только
составных частей газа, например:
Qf = 3270 (1 — СО3) — 8150 (СО + СО2);
далее
т] = 3 — 0,8 (1 — СО2)/(СО СО2).
Пусть
высшая теплотворность для 1 п м3 газа,
L — количество воздуха в м3 для 1 м3 газа,
К — количество углерода в кг для I пм3 газа,
W— количество разложенной воды в кг для 1 пм3 газа.
1) Mollier. VDI 1907, стр. 5.32,
Газообразование
743
Тогда
= 2855 (Н3 + СО); L = N2/0,79; К = 0,5 (СО + СО2);
1Г = 0,75Н2.
Если в генератор не пропускают водяного пара, а только воз-
дух, то получают воздушный газ, состоящий из СО, N2 и
СО2, а именно:
СО = 1,652 (0,21 — СО2); N2 = 0,652 (1 + СО2);
0,21 — СО2
71 “ °’70г> 0,21 — 0,395 СО2 ‘
Водяной газ образуется пропусканием в генератор одного
При получении водяного газа vj = 1,41, т. е. к генератору нужно
подводить количество тепла, составляющее 41% теплотворности
использованного углерода, что совершается на практике в период
„горячего дутья", т. е. в период получения воздушного газа, чере-
дующийся с периодом „холодного дутья" или получения водяного
газа.
Состав водяного газа:
Н9 = 0,5 Н + С09);
СО = 0,5 (1—3 СО2).
„Горячее дутье" должно быть так налажено, чтобы образовы-
валось небольшое количество СО2; при этом газ получается с выс-
шей теплотворной способностью; если же образуется большое
количество СО2, то процесс дает наиболее совершенное сгорание,
но при этом газ получает меньшую величину теплотворной способ-
ности, так как теплотворная способность углерода почти полностью
744
Т. I. Отд. 4. Теплота. VIT. Горенка
содержится в водяном газе. Если СО2 выразить в объемных едини-
цах, то для „горячего дутья“ имеем отношение полной теплотвор-
ности получаемого водяного газа к теплотворности углерода:
0,4 (0,21 — СО2)/0,21 (1 + СО2).
В том случае, если СО2 = 0,21, это отношение равно 0, если же
СО2 = 0, то имеет место идеальный процесс воздушной газификации
и указанное выше отношение равно 0,4.
ф0, А, К и W вычисляют и в этих
случаях по вышеприведенным фор-
мулам.
Изменения в составе газа при
переменном ходе генератора (изме-
нение содержания СО2) показывают
диаграммы (фиг. 14 и 15) для гене-
раторного и для водяного газа. Со-
ставные части газа Н2, СО, СО2, N2
являются функциями содержания СО3
и коэфициента полезного действия
На оси абсцисс нанесено содержа-
ние углекислоты (СО2). Прямая ОР
при пересечении с перпендикуляром
ЕР дает коэфициент полезного дей-
ствия. Точка R (СО = 0) лежит всегда
на прямой DM. D имеет абсциссу 1/з
и ординату 2/3, М — абсциссу 0,21 или
же вообще содержание кислорода
в подведенном воздухе. Диаграмма
пригодна поэтому и для обогащен-
ного кислородом воздуха. Линия SA,
ограничивающая горючие составные части (Н24-СО), показывает
уменьшение теплотворной способности газа с "увеличением содер-
жания СО2 1).
Все предыдущие соображения относились к газификации чистого
углерода. Если приходится иметь дело с обыкновенным углем, то
в этом случае имеют значение содержащиеся в угле водород и другие
летучие составные части, а в получаемом газе будет находиться
кроме СО и Н2 еще СН4, а также тяжелые углеводы — С2Н4. Первое
уравнение из 4, данных на. ар. 742, нужно заменить "следующим
уравнением:
(30а + 8) СО2 4- (30 а— 7) СО = 8 + Н., +- (52 — 30а) СН4 +
4-(74 — 30а) С2Н4,
причем химические формулы обозначают объемные единицы, а зна-
чение а дано на стр. 724, но в том случае, если в золе находится
большое количество несгоревших остатков или происходит выде-
ление смолы, величина а будет отличаться от вычисленной по теоре-
тической формуле.
l) М о 1 lie г, Gleichungen und Diagramme zu den Vorjangen im Gasgener itor,
ZdVdI. 1907 г. стр. 532, а также J. Hoffmann, Jjtirn. f. Gasbel 1916 г., стр. 189.
Гавообравов&вшв
,745
Равновесие газовой смеси. Состояние равновесия смеси газов,
между которыми возможны химические реакции, дается суммарным
давлением А температурой Т и количеством отдельных газов, выра-
женным через/Пр т2... Моль. Обозначив через ср величину 5 — //Г,
мы имеем для этой смеси:
d ср = {ЦТ 2) dT — (Av[T'f dP
m2.. .)
Диференцируя при (Р,Г const), получаем уравнение рав-
новесия:
(<? <р)рГ = о
или
F (Р,Т,	m2.. . )=0.
Для 1 Моль одного из газов смеси имеем:

У -~-dT—AR In Pi + С,
где Р.— парциальное давление. Для всей смеси: ср--S (/nf cpz)
и
(д у)рт — 2 (/wz-д ср.)рг + 2 (ср. dm-)РТ — О,
так
как первый член равен 0, то условие равновесия примет вид
Е (?/ dm-i) = 0.
Измененные благодаря химическим реакциям массы газов
dm1: dm2 . находятся в простых числовых отношениях:
в зависимости от наличия той или другой реакции. Так, например,
при объединении массы dml — СО с массой dm2 — Оа в м .ссу
dm3— СО2 имеем: пг = — 1, и2 = — у и л3 = -|-1» причем у масс
исчезающих мы ставим знак —, а у масс возникающих знак-|--
Итак,	„
S («, ?;) =0.
Если поставить для значений ср:- указанные выше значения,
а отношение PJ Р заменить через rz в объемных единицах для
каждого газа в газовой смеси, то
Е («,?,)= j - (”'А dT — ARXnP^ — AR E (lnr"‘) + c
или, считая AR = 2, стр. 647,
in fxf •4---] = y fdT—in + +
746
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
Величина — ( + ) X(nzZz) = ^npH окончании химической ре-
акции представляет все выделившееся (или поглощенное) тепло
(теплотворная способность). Вычисления должны быть проведены
при теплотворных способностях, считая от 0°, и теплоемкостях, за-
висящих от температуры. Постоянная величина С определяется для
какого-либо определенного давления и соответствующей темпера-
туры смеси или находится по теореме Нернста из постоянных для
каждого отдельного газа.
В некоторых частных случаях бывает удобнее заменить объем,
ед. для отдельных газов их химическими формулами, помещенными
в скобках, а знаки величин пь п2.. .устранить, помещая исчезающие
вещества в знаменатели дроби, а в числители этой дроби помещая
вновь образуемые вещества.
Сжигание СО или распад СО2
1 СО-|-1о2^1СО2,
m JS£2L_=_1
1	2
[СО] [О2]2
Отношение объемных единиц к коэфициентам разложений v
углекислоты:
(СО2) = 2 (1— х)/(2 + хц (СО) = 2х/(2 + х) и (О2 -x/(2+.v',
следовательно,
In (1—х)Ч‘2+-у) = _ j JL_ dT_y |п с
Результаты подсчетов нанесены в виде кривых на фиг. 16.
Аналогичные результаты представлены на фиг. 17 для разложения
водяного пара, согласно общей формуле:
1Н3+у О2^1Н2О 1).
Температура. Влияние температуры на равновесие смеси за-
висит от знака величины q. Если теплота сгорания имеет положи-
тельный знак, то распад смеси увеличивается с увеличением темпе-
ратуры. Влияние же суммарного давления зависит от знака S (ziz).
В приведенных примерах S (п1) = — у, поэтому уменьшение давле-
ния увеличивает распад СО2 и Н2О.
1) S. N е rn s t, В j е г г u m, S i е g е 1, Z. f. phys. Chem. 56, 79, 87. — К. Neu-
mann, Mitt. Forschungsarb. VDI, H. 140 — M e n z e i, Die Theorie der Verbrennung,
Dresden, 1924, St$inkopff,
Газообра зованпв
747
Сгорание азота идет по схеме!
N2 + О2 ZZ2 2NO,
причем теплота сгорания отрицательна. Сгорание тем совершеннее,
чем выше температура. Техническое применение: получение окиси
Фиг. 17.
Фиг. 16.
азота при помощи вольтовой дуги. Так как £ (nz-) = 0, то влияние
давления отсутствует.
Уравнение равновесия смеси.
1	(NO,3	1
" (N2) (О2)	2
J" dT+ С.
Равновесие смеси для водяного газа.
Практически наиболее важный случай равновесия между че-
тырьмя газами: СО, СО2, Н2 и Н2О в газогенераторных установках
для получения водяного газа. Влияние давления отсутствует, так как
S (л,-) = 0.
Уравнение равновесия:
(соннао) = _1
(СО2) (Н2)	2 J Г2 +
По числовым подсчетам Неймана значение
дроби:
(СО2) (Н2)
в зависимости от температуры может
таблицы:
/ = 600	800	1000
К = 0,372 0,916 1,635
быть взято из следующей
1200 1400°
2,354 3,076
748
Г. I. Отд. 4. Теплота. VH. Горение
Р а в н о в е с и е с м е с и г а з о в в присутствии раска-
ленногоуглерода.
Уравнение равновесия остается прежним, но при определении
теплотворной способности смеси q нужно принять во внимание
и наличие углерода. Пример: получение СО2, согласно химической
формуле:
С+ СО2^2СО.
Условие равновесия:
1п-(СЖ-
(СО2)
Фиг. 19.
2
При помощи уравнений стр. 740 можно установить зависимость
объемного содержания составных частей воздушного газа от темпе-
ратуры (фиг. 18).
На фиг. 19 представлена графически величина распада СО2,
в СО при наличии С в пределах от 400 до 1000°.
На фиг. 20 даны кривые распада водяного пара в генераторах,
работающих с подводом воды. Кривые указывают на влияние
давления температуры.
В виду того обстоятельства, что каждое состояние равновесия
в смеси газов требует некоторого промежутка времени для своего
появления, величины измерений на самих генераторах часто не
совпадают с вычисленными величинами.
V ОТДЕЛ
Геодезия
Составил проф. П. М. Орлов
Стр.
I. Введение
Организация в СССР геодезиче-
ских и изыскательных работ. . 750
Картографические работы в СССР 751
Линейные меры................754
Угловые меры.................754
II. Горизонтальная съемка
Обозначение точек и линий на
местности...................755
Способы съемок................756
Способ обхода ............... 756
Полярный способ...............756
Способ координат ............ 756
Способ засечек................757
Приборы для измерения линий
и работа с ними..............757
Угломерные инструменты .... 761
Теодолит......................762
Лупа и микроскоп..............765
Уровень.......................765
Буссоль.......................766
Подставки.....................706
Зрительная труба ............ 767
Проверка теодолита............768
Буссоль с диоптрами- • . , . . . 769
Астролябия с диоптрами и трубой 770
Пантометр и гониометр.........770
Экеры.........................770
Эклиметры ...................•	770
Измерение угла, ошибки его и точ-
ность ......................771
Ориентирование съемки ....... 774
Общие данные..................774
Определение истинного меридиана 776
Различные случаи съемок .... 778
Вычислительные и чертежные ра-
боты по составлению планов . . 781
Составление плана по румбам . . 781
Составление плана по координа-
там .........................784
Вычисление площадей............ 790
Стр.
Ш. Вертикальная съемка
Техническое (геометрическое) ниве-
лирование ...................793
Нивелиры......................795
Продольное нивелирование .... 801
Поперечное нивелирование .... 804
Точное (прецизионное) нивелиро-
вание .......................806
Рельеф, горизонтали и их прове-
дение .......................810
Тригонометрическое нивелирова-
ние .........................812
Барометрическое нивелирование . 813
Точность технического нивелиро-
вания, составление профиля . . 815
Разбивка кривых...............818
IV.	Тригонометрическая
сеть
Значение тригонометрической сети 819
Измерение башсов и углов . . . 820
Географические координаты . . . 824
Вычисление тригонометрической
сети.........................826
V.	Совместные съемки
Мензульная топографическая
съемка......................826
Тахиметрическая съемка.......828
Наземная фотосъемка..........829
Аэрофотосъемка................830
VI.	Стоимость геодезических
работ
Сметы и нормы на геодезические
работы........................832
750
Т. I. Отд. 5. Геодезия. I. Введение
1. Введение
а)	Организация в СССР геодезических и изыскательных работ
Разрешение разнообразных вопросов, связанных с социалисти*
ческим строительством в СССР, требует знания территории страны,
ее топографии, чем и объясняется очень большой спрос на топо-
графические карты в различных районах СССР.
Общая изученность территории СиСР для инженерного дела
к 1932 г. составляла всего 13,8% всей страны. Это показывает, что
всякое новое инженерное дело прежде всего наталкивается на
недостаточное топографическое освещение изучаемой местности,
что властно диктует необходимость производства геотопографиче-
ских работ. При общей площади СССР в 21,4 млн. км2 до настоя-
щего времени остаются еще огромные пространства, не подверга-
вшиеся точным съемкам.
Промерить и изучить всю поверхность СССР является по-
требностью народного хозяйства, которая должна быть удовлетво-
рена в ближайшее время: по предположениям Госплана СССР во
вторую пятилетку должно быть заснято около 16,8 млн. км2, или
около 78% всей территории СССР.
Такой грандиозный объем предстоящих и выполняемых уже
работ требует наличия мощных геотопографических организаций,
призванных к разрешению этой задачи.
Для целей обороны страны геотопографические работы ведет
Военно-топографическое управление, ранее уже издававшее и теперь
издающее большое количество карт, главным образом средних и мел-
ких масштабов (1:100 000, 1 верста в дюйме и пр.). Для обслуживания
промышленности геотопографические работы производит Главное
геодезическое управление при Наркомтяжпроме (бывш. ВСНХ)
через свои, местные краевые аэро-фото-геодезические тресты (Москва,
Ленинград, Харьков. Самара, Саратов, Ростов н/Дону и пр.).
При каждом аэро-фото-геотресте имеется геосправбюро, при
помощи которого можно узнать о всех работах, выполненных
на определенной территории, и можно получить списки координат
основных пунктов и отметки реперов и марок разных видов ниве-
лирования.
Однако ни ВТУ, ни ГГУ до настоящего времени не смогли пол-
ностью удовлетворить запросов на геотопографические работы со
стороны всех заинтересованных учреждений, а поэтому сравнительно
еще много таких работ в СССР производится различными организа-
циями для потребностей, связанных, главным образом,с хозяйствен-
ным устройством и с инженерными изысканиями. Сюда следует отне-
сти государственные земельные тресты, краевые и республиканские,
Геодезические и картографические работы в ССОР
751
а также специальные изыскательские организации: Гидроэлектро-
проект с его несколькими отделениями на местах, Государственный
институт проектирования водных и гидротехнических сооружений
(Гипровод) и соответствующие сектора или отделы таких учрежде-
ний как Нижне-Волгопроект, Наркомвод, Наркомпуть, Главное
гидрографическое управление и пр.
Ь)	Картографические работы в СССР
Топографические карты изображают земную поверхность не
в строго подобном виде, а при помощи различных проекций, даю-
щих различные искажения в углах, в длинах линий, порознь или
вместе.
Все современные топографические карты составляются по так
называемой многогранной конической проекции, бла-
годаря которой планшеты имеют вид равнобочной трапеции, для
каждого масштаба определенных размеров. Эта проекция принята
Международным геодезическим конгрессом, Геодезической конфе-
ренцией в СССР и является обязательной при выполнении больших
съемок.
По международной номенклатуре вся поверхность земли раз-
деляется на трапеции, ограниченные меридианами и параллелями.
Счет параллелей идет от экватора к полюсам, а первым (нулевым)
меридианом считается гот, который проходит через Гринвич.
Основной международной картой считается карта масштаба
1:1000 000, или в 1 см 100 км. Такая карта имеет вид трапеции
с меридианами в 4° по широте и с параллелями в 6° по долготе;
первый ряд в 4° по широте около экватора обозначается латин-
ской буквой А, второй — буквой В и т. д. Для широт СССР ряды
обозначены буквами /, J, К, L, М, N, О, Р, Q, R, 3, Т. U, V. Все
ряды разделяются колоннами, идущими между меридианами. Счет
колонн идет с запада на восток и начинается от меридиана не
Гринвича, а от противоположного ему на 180°. Для СССР полу-
чаются номера колонн карты 1 :1 000 000 от 35 до 60. Таким образом
для любой части земной поверхности известны границы международ-
ной карты и ее номер в виде сочетания ряда и колонны (для г. Таш-
кента, напр., # — 42).
Вообще для карт различных масштабов приняты следующие
размеры:
1 :1 000 000		по долготе	6°,	по	широте	4°	
1:	; 500 000	V	»	3°			2°	
1 :	300 000	»> »	2°		V»	1°	
1 :	200 000		1°30'	п	99	1°	
1 :	100000		30'				20'
1 :	50000		15'	я	99		10'
1 :	25 000	П	V	7,5'	0			5'
1 :	10 000	М	V	3'45" ,		99		2' 30"
1 :	:	5 000	я	»	2'	»	0		1'
752
Т. I. Отд. 5. Геодезия. I. Введейив
Благодаря такому ограничению размеров карт планшет каждой
карты более крупного масштаба вмещается в планшет карты более
мелкого масштаба соответствующее кратное число раз. Так, карта
масштаба 1:100 000 размещается в карте масштаба 1:1 000 000
всего 144 раза в двенадцати рядах; счет листов идет от 1 до 144,
а общая номенклатура листа карты 1:100 000 будет состоять из
трех знаков, например, —37—79.
В настоящее время топографическая съемка ведется по пре-
имуществу в масштабе 1 :50 000, и размеры этой карты такоты, что
4 листа карты 1:50 000 заполняют целиком лист карты 1:100 000.
Таким образом лист карты 1:50 000 имеет обозначение, например,
;V—37—79—А.
Такая номенклатура и распределение на планшеты всей поверх-
ности земли необычайно стройно увязывает все геодезические
работы не только в пределах одной страны, но и в целых частях
света.
Многогранная проекция может применяться двумя способами:
а) каждая сферическая трапеция, ограниченная двумя меридианами
и двумя параллелями, проектируется на секущую плоскость, прохо-
дящую через вершины данной трапеции, и Ь) сначала сферическая
трапеция переносится на поверхность соответственно выбранному
конусу, а потом поверхность этого конуса разворачивается в пло-
скость.
В общем, при втором способе построения многогранная проекция будет пред-
ставлять собой поликоническую, или многоконическую, проекцию (с пере-
менным конусом) с меридианами — прямыми линиями.
Старые карты, примерно до 1920 г., составлялись в различных проекциях. Так,
очень распространенная старая карта в масштабе в 1 дюйме 3 версты составлена
корпусом военных топографов в проекции Бонна, конической и равновеликой,
так как она сохраняет равенство площадей в натуре и на карте; именно эта карта
основана на простой конической проекции, у которой параллели идут в виде кон-
центрических кругов через 207 по широте, причем размеры этих 20' откладываются
по действительной их величине, сообразно размерам сфероида Бесселя, на среднем
меридиане Пулкова, а для получения меридианов по параллелям откладываются соот-
ветствующие широте размеры дуг параллелей через каждые 20' долготы; наме-
ченные таким образом меридианы будут иметь вид кривых линий, сходящихся на
полюсе. На такой карте сохраняются площади, но искажаются азимуты и углы до
2°, а длины линий до 2 /0 на краях карты. На рамках листа карты расстояния между
меридианами и параллелями разделены на 20 частей, по одной минуте, так что
положение меридиана или параллели данной точки на карте можно определить
с точностью до 0,1' широты и долготы. Тоже старая карта в масштабе 10 в.
в дюйме построена по проекции Гаусса ввиде измененной простой конической
проекции. Меридианы имеют вид прямых линий, сходящихся в полюсе, а парал-
лели представляют дуги, постепенно расходящиеся к краям карты, так как для сохра-
нения равенства углов отрезки меридианов между параллелями постепенно увеличи-
ваются с тем, чтобы отношение части меридиана к прилегающей части дуги было равно
отношению соответствующих величин на земной поверхности. Сетка меридианов
на десятиверстной карте проведена через 307 по долготе от Пулкова, а сетка па-
раллелей — через 307 от экватора, и расстояние между меридианами и паралле-
лями разделено на 10 частей по 3 минуты, поэтому географические координаты
любой точки карты можно определить с точностью до 0,3 минуты по широте и долготе.
При пользовании картами предварительно следует выяснить
все особенности каждой карты с тем, чтобы заранее можно было
знать, что именно эта карта может дать в деле изучения данной
местности.
Картографические работы й СССР
753
Необходимо выяснить:
1.	Название карты.
2.	Масштаб карты обычно показывается внизу листа карты в двух
видах: масштаб линейный и масштаб численный, а именно: в сантиметре 250 м, или
1 : 25 000, в сайт. 500 м, или 1 : 50 000, в сайт. 1000 м, или 1 : 100 0000, в дюйме
1 верста или 1 : 42 000, в дюйме 3 версты, или 1 : 126 000, в дюйме 10 верст, или
1 : 420 000
3.	Район распространения карты и листа. В общем, район
распространения карты того или иного масштаба на отдельных планшетах карты
не показывается, а изображается на так называемых отчетных или сборных
картах мелкого масштаба. Но этим отчетным картам можно судить как о районе,
так и о названии карты и о количестве всех листов карты (3 в. в дюйме—584 и
10 в. в дюйме — 183).
4.	Площадь и район листа. Площадь листа карты зависит от мас-
штаба, а район листа обычно указывается сверху листа в виде надписи названия
республики, края и пр. Один лист карты 10 в. в 1 дм. покрывает площадь
в 47 500 кв. верст, лист карты 3 в. в 1Дм, покрывает 3415,5 кв. верст; листы же н вых
карт имеют непостоянные размеры, а поэтому и площади разных листов различны
и указываются внизу планшета. Примерные же их размеры для широты в 55 таковы:
лист масштаба 1 : 25 000 покрывает 98,8 км2, лист масштаба 1 : 50 U00 — 296 км\ лист
1 : 100 000-1182,2 км2.
Лист военно-топографической карты 3 версты в дюйме имеет вид прямоуголь-
ника со сторонами 58,5 X 42 см. Нумерация листов ведется по горизонтальным
рядам, счет которых идет с севера на юг римскими цифрами от I и до XXV; в каж-
дом ряду счет листов идет с запада на восток от 1 до 28 и далее. Таким образом
нумерация листов этой карты имеет два обозначения: ряд — римскими цифрами
и лист в ряду — арабскими, что и ставится вверху листа карты. Все листы д е с я-
тиверсгной карты имеют общую нумерацию от 1 до 145 + 20 листов с литерами
(А, В, С и т. д.), причем счет идет с севера на юг столбцами по первому столбцу,
потом переходит на второй столбец, опять с севера на юг и т. д. Номер карты
проставлен сверху, а по краям стоят номера соседних листов. Размер листа
карты — 48 X 63,5 см.
5.	Примечания на полях карты. На полях карты 3 в. в 1 дм. можно
найти указания, по каким материалам она составлена, в каком году рекогносциро-
вочно исправлена, когда нанесены железные и шоссейные дороги. Внизу карты Ю в.
в 1дм приведены главные условные знаки ситуации и указание, что курсивные
цифры обозначают высоту в футах (7 ф. = 1 саж. — 2,13 м). Очень существенные
прибавления имеются на полях планшетов карт 1:25 000, 1:50 О00 и 1; 100 000.
Здесь найдем схематический чертеж рамки планшета с размерами в сантиметрах,
площадь его в кв миллиметрах, схему меридиана истинного и магнитного, с указа-
нием склонения в известный год; далее указано, кто и когда снимал и чертил дан-
ный планшет и когда он отпечатан, приведены масштабы заложений; в одном из них
уклон показан в градусах, а на другом в десятичных дробях или в тангенсах.
6.	Условные знаки ситуации. Эги знаки делятся на два типа:
знаки, не изменяющиеся при изменении масштаба и дополняющие контуры карт, —
это контурные условные знаки и знаки, несколько меняющиеся с изменением
масштаба карты,—м а с ш т а б н ы е условные знаки ситуации. Так как на каждом
листе карты 10 в. в 1дм показаны главные условные знаки, то здесь стоит только
указать, что на этой карте белым цветом обозначена пашня, зеленой краской —
леса, горизонтальными штрихами — болота, вода обводится тонкими линиями, цифры
под названием поселений — д е с я т к и дворов в них. На карте 3 версты в дюйме
условные значки ситуации не разъяснены, а поэтому следует предварительно озна-
комиться с ними по таблицам условных знаков. На картах 2 в. в дюйме и 1 : 25 000,
1 : 50 000 и 1 : 100 000 условные знаки соответствуют знакам, специально проработан-
ных таблиц.
7.	Обозначение рельефа на карте. На карте 3 кв. в дюйме рельеф
показан штрихами по системе Л ем а на, но по шкале Военно-топографического упра-
вления, по которой покатости с углом наклона менее одного градуса ничем не
покрываются, а затем идут покатости с углами наклона в 1, bi2, 212 4, 6, 10, 15,
22, 23, 45°, которые покрываются штрихами сначала тонкими редкими, а затем
толщина и количество штрихов постепенно увеличиваются до 45". и для этого уклона
все штрихи сливаются в сплошную черную окраску. Там, где штриховка на карте
темнее и гуще, там круче рельеф местности, и наоборот, где светлее штриховка, там
местность положе, с меньшими уклонами. Овраги, горы и другие резкие изломы
местности на этой карте выражаются определенно, но равнинные и низменные
754
Т. I. Отд. 5. Геодезия. I. Введение
на этих картах видны из след, таолицы. в некоторых
встретить промежуточные горизонтали через сажень;
карт и с горизонталями через 2i/s м.
б	Сечение между
0	горизонталями
йме	2 саж.
2	„
2	„
200 м в см	5 м
500 „„ „	10 „
1000 м в см	20 ,,
места совершенно не получают рельефного обозначения. В дополнение к штриховке
на этой карте можно изредка встретить отметки в саженях над уровнем Балтий-
ского моря, у пунктов тригонометрической и геометрической сети, у закладных
марок, реперов,- а также иногда у уреза воды рек и озер. На этой карте рельеф
выражен наглядно, но не точно, а поэтому такая карта дает только общее предста-
вление о рельефе, что недостаточно при современных требованиях, а поэтому трех-
верстная карта считается неудовлетворительной и устаревшей. На карте 10 в.
в дюйме рельеф показан мелкими штрихами коричневого цвета и, таким образом,
выражен в самой общей форме. Именно этими штрихами выделяются горные хребты,
их отроги, отдельные возвышенности, но сове£шенно не затрагиваются пониженные
местности. Иногда можно найти на листе этой карты отметки, в футах от уровня
Балтийского моря, у точек тригонометрической сети. Значительно лучше, полнее
и точнее выражается рельеф горизонталями на карте Ча версты, 1 вер., 2 вер.
в дюйме новых съемок и на карте 1 : 25 000, 1 : 50 000, 1 : 100 СОЗ новейших съемок.
Сечения между горизонталями
случаях на этих картах можно
встречаются листы новейших
М а с ш т а
версты в дю
1 верста	„
2 версты	„
1 : ^5 000, или
1:50 000 . I
1 :100 000 „
Многие горизонтали помечены маленькими черточками, указывающими на-
правление ската воды, так что по такой горизонтали совершенно отчетливо видны
и сечение рельефа и его скаты. На этих картах у всех точек тригонометрической,
геометрической и нивелирной сетей поставлены отметки над уровнем Балтийского
моря соответственно в саженях или в метрах. Кроме того, многие горизонтали
подписаны (их высоты) среди планшетов и на рамках планшета; затем проставлены
отметки на всех возвышенных местах, на вершинах, у курганов, около уреза воды
в реках и в озерах, на болотах, у мельниц, мостов и пр.; внизу каждого план-
шета всех карт, кроме двухверстной, имеется масштаб заложений, по которому
можно судить об углах наклона и об уклоне любого направления на карте между
двумя соседними горизонталями. Благодаря такому обозначению рельефа эти карты
дают полное представление о топографии местности и в настоящее время считаются
наилучшими топографическими картами. Для более глубокого изучения рельефа
необходимы съемки и изыскания еще более крупных масштабов 1 : 10 000,
1 :5000 и т. д., что должно производиться самостоятельно в каждом отдельном
случае.
Карты в настоящее время издаются Военно - топографическим управлением и
трестом Госкартагеодезия и картоиздательствами краевых аэро-фото-геотрестов.
с) Линейные меры
Основной линейной мерой, применяемой при геодезических работах в СССР
в настоящее время, является метр, согласно декрету 1923 г. До этого же времени
геодезические работы производились саженными мерами, а поэтому многие старые
карты и планы, не утерявшие своей ценности до сих пор, составлены в различных
масштабах с саженными размерами (дюймы, футы, сотые доли сажени и пр.). Таким
образом и теперь еще приходится иметь дело со старыми мерами и поэтому необхо-
димо знать их взаимные соотношения: 1 саж. = 2,1336 л/, 1 м = 0,468691 саж.
d) Угловые меры
Основной угловой мерой считается прямой угол, который делится на девя-
носто частей, или градусов; градус делится на 60 частей, или минут,
одна минута делится на 60 частей, или секунд; 'таким образом в 1 градусе
заключается Збио". Секунды могут делиться на десятые, сотые и т. д. части. Такие
деления называются старые градусные деления.
В связи с введением метрических линейных мер появились предложения
Обозначение точек я линий на местности
755
делить прямой угол не на девяносто, а на сто частей, или градов. За последнее
время это подразделение сравнительно широко распространилось в практике и часто
уже геодезические работы стали выполняться инструментами с делениями на грады.
Один град делится тоже на сто часте'й, или содержит сто градных, или центи-
мальпых, минут (lg=100 = ,100е) , одна такая минута содержит сто центимальных
секунд (1^ = Iе = 100z/ — 100сс). Секунда делится на десятые, сотые и т. д. доли.
Эти деления называются новыми или десятичными. Обозначения центимальных
минут и секунд еще не установились окончательно, и здесь приводятся в двой-
ном виде.
Соотношение между старыми и новыми делениями даются в табличке:
1° = 1,111g.*.	1g = 0° 54'.
1' = 1,85185185е* ••	1е = 0°0'32",4.
Г' = 3,08641975сс* *.	1сс = 0° о' о", 324.
II.	Горизонтальная съемка
А. Обозначение точек и линий на местности
Съемочные геодезические работы имеют своей конечной целью
определение взаимного расположения различных точек, по которым
составляется представление о снимаемой местности.
Такие точки отмечаются на поверхности земли каким-нибудь
знаком, той или иной прочности, в зависимости от значения всей
съемки и важности в ней самой точки.
Съемки о.сновные для других последующих работ, долженствую-
щие сохраняться продолжительное время, обеспечиваются знаками
особенно прочными. Особенное внимание на закрепление точек
обращается при городских съемках, требующих высокой точности;
также необходимо прочно закреплять точки тригонометрических
сетей.
Для точек полигонометрических сетей в г.-Москве применяется
особый знак в виде металлической штанги, длиною в 1,5 м, заде-
ланной в бетон, и он служит пунктом, над которым производится
измерение углов.
Центром тригонометрического пункта обыкновенно служит
центральная точка металлической марки, вделанной в бетонный
столб или в большой камень. Для большей сохранности делаются
два центра: один на поверхности земли, а другой — под землей,
метра на 1,5—2, строго по вертикальной линии один над другим.
Для наблюдений центра из других точек над тригонометриче-
скими пунктами устанавливаются вышки в виде простых пирамид
или в виде сложных сигналов.	•
Вообще каждый закрепляемый пункт должен быть поставлен
так, чтобы он простоял возможно дольше без всяких повреждений,
а поэтому нужно внимательно выбрать для него место и придать
ему соответствующий вид.
В простейших съемках можно обходиться постановкой деревянных столбов
различных размеров, но всегда совершенно необходимо делать внизу крестовину;
низ столба, идущий в землю, обугливается, и весь столб плотно затрамбовывается
так, чтобы снаружи оставался небольшой конец в 0,5—1 м. Такие столбы, длиной
756	Т. I. Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
1,5—2	лс, толщиной 0,2—0,3 м, могут служить поворотными пунктами по границам
или пунктами тригонометрической сети IV—V класса.
В городах для съемки кварталов и фасадных линий съемочными пунктами
могут служить железные барочные костыли, размерами 0,2 лс, забиваемые в асфальт
тротуаров.	•
При съемках предварительных и облегченных, в лесу и в поле, можно приме-
нять деревянные колья небольших размеров, в 0,5—0,7 м, забиваемые в землю
и окапываемые небольшим курганчиком.
Для лучшей видимости^ для удобства измерения линии необхо-
димо пользоваться вешками, которые устанавливаются в пунктах
поворота и по линии. Вехи следует делать, примерно. 2—3 м дли-
ной, круглые в 0,03 м, окрашенные в белый и красный цвет. Чем
точнее нужно измерить угол, тем точнее следует устанавливать
вехи над наблюдаемыми точками.
В. Способы съемок
При каждой съемке нужно так расположить измерения, чтобы
по их данным впоследствии можно было составить чертеж, на кото-
ром в известном уменьшении и в подобном виде изобразилась бы
снимаемая местность.
1.	Пусть дан, напр., некоторый неправильный восьмиугольник
в натуре. Его можно изобразить на бумаге в уменьшенном подоб-
ном виде, если будут известны все углы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и все
линии 1—2, 2—3,,.. 5—6, 7—8 между ними. Для этого с помощью
угломерного инструмента измеряются последовательно, обычно по
ходу часовой стрелки, все внутренние углы, начиная с первой
точки: 7, 2,.., 6, 7, 8, и затем, так же последовательно, измеряются
все линии.
Такой способ съемки называется способом обхода. Способ
обхода широко применяется при землеустроительных работах, но
при его помощи не всегда удается охватить все геометрические
особенности местности.
2.	Следующий способ съемки, называемый полярным, приме'
няется в открытом месте там, где неудобно или невыгодно приме-
нять способ обхода.
Полярный способ заключается в том, что внутри снимаемого
учасука выбирается какая-нибудь центральная точка 1 и из нее,
как из полюса, измеряются все углы между точками: а, б, в, г, д, е,
лежащими на границах участка, и расстояния до них от точки 7,
или, другими словами, полярный способ дает возможность одно-
временно производить съемку целой системы треугольников по
двум сторонам и углу между ними.
3.	Если снимаемый контур имеет очень неправильный вид и
линии идут не прямые, а кривые, что очень часто наблюдается
в природе, то следует применять в дополнение к способу обхода
способ координат.
Например, если имеется криволинейный контур — река, овраг и т. д., то
вблизи его прокладываются прямые линии, называемые магистралями, и от них
промеряются все изгибы контура. Все промеры перпендикулярны к магистралям
и называются ординатами, а отрезки от начальной точки каждой магистрали
Способы съемок
757
до ординат называются абсциссами. Промер абсцисс всегда ведется от на-
чальной точки линии, т. е. от поворота.
4.	Следующий способ, применяемый сравнительно редко для
определения положения отдельных точек, называется способом
засечек.
Когда бывает необходимо определить положение некоторых точек, например
/, 2, 3 относительно других А и В, то это можно сделать так: измеряется доста-
точно точно линия А—В (базис) и с концов ее (сначала с А, потом с В) измеряются
углы на определяемые точки. Каждая из этих /, 2, 3 точек получится в вершинах
треугольников. Здесь, следовательно, решаются треугольники по стороне — основа-
нию-и двум прилегающим углам. Положение точек 1, 2, 3 можно получить геоме-
трически — построенисм-и тригонометрически — вычислением.
5.	Все описанные способы пригодны и необходимы для изме-
рения небольших пространств земной поверхности.
При развитии работ на большой площади эти способы сопро-
вождаются значительными ошибками в углах и линиях, что суще-
ственно влияет на положение дальних точек. Следовательно при
больших съемках в основу их надо положить такой способ, кото-
рый уничтожал бы безграничное нарастание ошибок. Это дости-
гается тем, что некоторые точки на местности соединяются между
собою особо точным способом, считаются опорными точками для
всей последующей съемки, и между ними ведется съемка всеми
описанными выше способами.
Этот способ съемки носит название тригонометрической
сети, или триангуляции.
Сущность его состоит в том, что избранная одна линия—базисМ
измеряется возможно точным способом. С обоих концов базиса
измеряются углы на точку Л, с точки А—на все избранные види-
мые точки Е, С, В и М. Затем углы точно измеряются во всех
остальных пунктах так, чтобы в каждом треугольнике были изме-
рены все три угла. Взаимное расположение точек вычисляется
тригонометрически, начиная с первого треугольника, по стороне
и углам.
С. Приборы для измерений линий и работа с ними
Чаще всего линии измеряются стальной двадцатиметровой
лентой. Лента имеет длину 20 м. Каждая лента делится на метры
и на десятые доли метра.
Части, меньшие десятой доли метра, определяются по особой
линеечке с делениями или на-глаз. В качестве вспомогательной
меры употребляется стальная или полотняная рулетка, главным
образом, для измерения коротких линий.
Для более точных работ линии можно измерять деревянными
жезлами — брусками. Концы брусьев имеют оковки, которыми
они и соприкасаются.
Для самых точных работ применяются различные, так называе-
мые базисные приборы, в виде металлических жезлов или про-
волок.
758
Т. I. Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
При измерении нужно обращать внимание на верность самой
меры: при неверной мере получится и неверный результат. Затем
следует учитывать поверхность той местности, на которой произво-
дится измерение: она может быть неровной, с кочками, кустарни-
ком, пнями и т. д. Все эти условия могут вредно влиять на резуль-
таты. Затем на точности работы может отразиться влияние темпе-
ратуры на длину ленты, состояние почвы по погоде и пр. Кроме
того, при измерении линии, по недосмотру, можно просчитать
целую меру, т. е. 20 л/, перепутать метры в остатке и т. д.
Все это вместе взятое заставляет относиться к измерениям
линий необычайно осторожно. Необходимо перед работами ленту
или другой мерный прибор проверить по всей длине и по отдель-
ным метрам, сличив ее с какой-нибудь надежной мерой. Такое
сличение называется компарированием. Чем точнее предпо-
лагаются работы, тем тщательнее должно быть компарирование,
с учетом температуры, коэфициента расширения металла, натяже-
ния меры и пр.
Если в общей длине меры при проверке получится разница, то
при измерении ее следует учитывать, вычисляя истинную длину по
формуле:
L = 20 п ± nq для 20-метровой ленты;
здесь L — истинная длина линии, и —число целых лент в линии,
a q — найденная разница в длине ленты с верной мерой.
Если лента получилась короче, то нужно брать знак минус
и наоборот.
При повторных измерениях почти всегда получаются различные
результаты. Полуразность двух результатов, деленная на среднее
арифметическое этих измерений, называется относительной
ошибкой одного измерения. Эти ошибки различны для разных
приборов и зависят от условий, при которых происходит измерение.
При измерении линии необходимо учитывать рельеф местности.
В природе редко встречаются линии горизонтальные, большин-
ство из них наклонено к горизонту под некоторыми углами. Эти
углы называются углами наклона и измеряются вертикальными
кругами и эклиметрами. Так как в конечном итоге работ необхо-
димо знать не наклонные линии, а их горизонтальные проложения,
то в результат измерения следует вводить поправку за наклон.
Если представить, что линия АС есть горизонт местности в
точке А, то наклонную линию АВ следует спроектировать на ли-
нию АС. Здесь угол при точке А обозначает угол наклона ли-
нии АВ к горизонту АС’, линия АВ есть измеренная наклонная
линия, АС есть проекция наклонной линии АВ на горизонт.
ЛС = ЛВсо5я. По этой формуле можно вычислять горизон-
тальное проложение по наклонной линии и по углу наклона. Однако
при малых углах cos а изменяется медленно, и поэтому им неудобно
пользоваться. Лучше вместо cos а ввести sin у и по нему вычис-
лять поправку за наклон.
Приборы для измерений линий
759
Разность между АВ и АС называется поправкой за на-
клон или АВ — АС—Х. Ее можно вычислить из формулы
АС = АВ cos а = d cos а; или АВ — АС = X=2d- sin2 .
Иногда величину X определяют вычислениями по логарифмам,
а чаще вычисляют по специальным таблицам поправок за наклон,
Поправка за наклон всегда имеет знак минус. Для угла в 1° по-
правка X равна 0,0001 длины линии, а для угла 2,5° поправка
равна 0,001 всей длины. При измерении лентой можно пренебречь
углами наклона менее одного градуса. При точных работах углы
наклона измеряются с точностью до одной минуты, и п правки
берутся не по таблицам, а вычисляются по логарифмам, по приве-
денным формулам.
Для того чтобы удостовериться в правильности измерения
линии, необходимо каждую линию промерять по
крайней мере дважды.
В круглых цифрах погрешность при измерении линии лентой
колеблется в пределах от Visoo Д° х/зооо всей длины линии.
При точных работах можно пользоваться лентой, натягивая ее
динамометрами. В таких случаях точность повышается до Vsoooo- Точ-
ность измерения линии жезлами примерно равна Vioooo-
Из сказанного видно, что точность измерения линии мерными
приборами зависит от устройства приборов и от внешних условий,
при которых производятся работы.
Конец и начало каждой ленты отмечаются железными колыш-
ками. Каждый раз лента должна укладываться строго по измеряе-
мой линии, встряхиваться и сильно натягиваться, чтобы она не про-
висала в неровностях местности.
Ошибки при измерении линий. Ошибки при измерении линии
лентой или жезлами многообразны, трудно уловимы и состоят из
ошибок случайных и систематических.
Случайные ошибки происходят от следующих причин:
а) плохая укладка ленты не по прямой линии (вешение), Ь) невер-
ность в определении угла наклона и поправки за наклон (приве-
дение к горизонту), с) изменение длины ленты при разных темпе-
ратурах, d) неравномерное натяжение ленты, е) провисание ленты
между неровностями почвы, f) ошибка в отметке начала и конца
ленты, g) неточный отсчет при конечной точке линии, h) общее
влияние качества почвы и погоды на измерение линии.
а)Ошибк-а от неправильной укладки ленты вы-
разится в том, что вместо прямой линии будет измерена ломаная
или кривая линия, которая больше прямой.
Ь)	Ошибка в определении угла наклона и вообще
ошибка в приведении к горизонту совершенно того же порядка,
что и предшествующая ошибка,указанная в п. а), только первая дает
уклонения от прямой линии в горизонтальной плоскости, а вторая—
в вертикальной. Общее влияние этих ошибок будет равняться вели-
чине корня квадратного из суммы квадратов этих ошибок.
760
Т. I. Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
с)	Ошибка от изменения температуры происходит
потому, что сличение ленты с нормальной мерой (компарирование)
пршсхо1ит обычно при температуре + 20° С, а работы произво-
дятся при других температурах, напр. зимой при —10° С, т. е. раз-
ность температур может достигать 30° С. Так как коэфициент рас-
ширения ленточной стали на 1° С равнг.этся 0,0000125, то, напр., при
15° С лента в 20 м изменится на 15 X 20 X 0,0000125 = 0,00675 м,
т. е. на 7 мм, что дает относительную ошибку в 1: 3000.
d)	Ошибка от неравномерного натяжения проис-
ходит вследствие той причины, что при компарировании ленте
дается натяжение в 10 кг, а в работе натяжение может быть больше
или меньше 10 кг. Средних размеров и среднего веса стальная
лента в 20 м при изменении натяжения на 10 кг меняет свою длину
на 2 мм, что дает относительную ошибку 1:10 000. При точных
работах требуется применение динамометров и натяжение ленты,
равное натяжению при компарировании.
е)	Провисание ленты между неровностями почвы может
значительно изменить ее длину, но ошибка, отсюда проистекающая,
приобретает типичный вид случайной ошибки, происходящей от
очень разнообразного состояния почвы во время измерения.
Абсолютная величина изменения длины между концами ленты
в 20 м от неровностей может достигать 1 см, что дает относитель-
ную ошибку 1 :2000.
f)	Ошибка в отметке н а ч а л а и к о н ца ленты возни-
кает вследствие тех приборов и приемов, при помощи которых
происходят укладка ленты у начальной точки и отметка конца
ленты.
g)	Неточность отсчета на конце линии может достиг-
нуть 0,01 м, и влияние этой ошибки обратно пропорционально длине
всей линии, напр., на 100 м относительная ошибка получится
1 :10000.
h)	Существенное значение на точность измерений линий лентой
имеют ошибки, помимо уже описанных, происходящие от общего
влияния качества почвы и погоды во время измерения
и достигающие при плохой погоде и рыхлой, мокрой почве отно-
сительной ошибки 1 :2000.
Систематическими ошибками называется ошибки, вхо-
дящие в измерения постоянно и происходящие от неверности при-
боров и пр.
Систематическая ошибка от неверности длины ленты
обнаруживается при компарировании и исключается. Полезно ленту
проверить до и после работ и брать средние результаты.
Объединяя все перечисленные ошибки, получим формулы:
М, = 0.01 /4-$ + 0,005 .-$2 для местности благоприятной,
Л12 = 0,01 /б • S + 0,0075 • £2 для местности средней,
2И3 = 0,01 У8 • S + 0,01 • S2 для местности неблагоприятной.
Угломерные инструменты
761
Здесь числовые коэфициенты получены опытным путем и ука-
зывают предельную допустимую разность между двумя измерениями
одной и той же линии.
Так как предельные ошибки допускаются втрое более средних,
то из этих формул можно получить примерную таблицу средних
расхождений двух измерений в таком виде:
Средняя разность между двумя изме- рениями в м	Средняя длина линии в м		
	Местность благоприятная	Местность средняя	Местность неблагоприят- ная
0,10	178	125	97
0,25	727	549	446
0,50	1752	1372	1148
0,75	2807	2228	1885
1,00	3847	3076	2617
Определение длины ленты (компарирование). Сличе-
ние длины ленты с нормальной линейной мерой производится
в настоящее время на специально устроенных приборах — ком-
параторах.
Измерение линий лентой с динамометром.
Динамометром называется прибор с тугой стальной пружиной,
дающей возможность изменять напряжение, измеряемое обычно
в килограммах.
При измерении линии лентой один конец ленты совмещается с началом* линии,
а к другому прикрепляется динамометр, которому придают напряжение компарйро-
вания (проверки) ленты. Когда лента таким образом натянута, между ее крайними
штрихами образуется расстояние, измеренное при компарировании, и благодаря
этому приему точность измерения линий значительно возрастает (до 1; 20 000).
D. Угломерные инструменты
а) Главные части угломерных инструментов
Каждый угломерный инструмент должен иметь: а) основной
круг с градусными делениями — лимб, который должен приво-
диться в горизонтальное положение помощью уровня; линия, про-
ходящая через центр лимба перпендикулярно к его плоскссти, назы-
вается вертикальной осью вращения инструмента;
Ь) дополнительный круг или часть круга (линейку) для отметки на
лимбе направлений линий — а л ид а д у: с) зрительный прибор для
направлений — трубу или диоптры; d) подставки для
трубы, е) г о р и з о н т а л ь н у ю ось вращения трубы.
Все главнейшие геодезические инструменты изготовляются по
этой схеме и отличаются между собой отделкой и различными
мелкими приспособлениями.
762
Т. I. Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
Ь) Теодолит
На фиг. 1 представлен типичный угломерный инстру-
мент—теодолит, применяемый в СССР.
У него имеются следующие части: V—три подъемных винта для приведения
лимба в горизонтальное положение. С ~ винт для зажима оси лимба, D — винт для
медленного, микрометрического движения лимба, L — лимб, А — алидада, зажимной
винт алидады, микрометренный винт алидады, 1 — верньер для определения частей
делений лимба, В — лупа верньера, U — уровень алидады, X — буссоль с магнитной
стрелкой, Е— подставки трубы, горизонтальная ось вращения трубы, NM — зрительная
труба, Ж — окуляр трубы, N— объектив трубы, кремальерный винт окуляра, 5—диа-
фрагма и крест нитей, F — вертикальный круг для измерение углов наклона, али-
дада вертикального круга, -за-
жимной винт трубы, микро-
метренный винт трубы, микро-
метренный винт алидады вер-
тикального круга.
Штативы служат
подставкой для инстру-
мента. Штатив состоит
из трех ножек, прикре-
пленных к общей части—
головке.
Становой винт
состоит из стержня с вин-
товой нарезкой, при по-
мощи которой стержень
ввинчивается в низ ин-
струмента. На становой
винт прикрепляется о т-
в е с — шнур с медным
грузом. Отвес, давая
вертикальную линию,
служит для центрировок
инструмента над точкой
земли.
Подъемные в и н-
т ы обычно располага-
ются так, что их оси со-
ставляют равносторонний
треугольник. Подъемные
винты могут изменять
положение лимба или
Фиг. 1.	всего инструмента в двух
направлениях, взаимно
перпендикулярных: сначала по направлению двух винтов, а потом
по третьему, который стоит под прямым углом к линии двух
других винтов. При помощи трех подъемных винтов и уровня
дается горизонтальное положение двух линий и, значит, вся плос-
кость лимба также будет горизонтальна.
Ось лимба представляет вертикальный конус, который входит
Угломерные инструменты
763
во втулку. От втулки идут стержни к подъемным винтам. Ось лимба
вращается во втулке. Чтобы прекратить грубое движение лимба во
втулке следует пользоваться заж и мате л ьны м винтом лимба.
Когда ось лимба зажата винтом, то лимб не может поворачи-
в; ься. Однако в таком случае можно дать лимбу медленное дви-
жение при помощи микро метренного винта лимба.
Лимб инструмента представляет металлический круг, на
котором нанесены градусные деления. Диаметры лимбов различны:
8, 10, 12 и более см. Градусные деления надписываются, примерно,
через десять градусов. Каждое градусное деление делится в свою
очередь на несколько частей. Сообразно с надписями и числом
делений легко определить наименьшее деление лимба.
Деления на лимбе наносятся с большой точностью. Чтобы предо-
хранить деления лимба от пыли и повреждений, часто лимбы за-
крываются особой покрышкой с двумя прорезами над верньерами;
такие лимбы называются закрытыми. Деления лимба идут от
0 до 360° или же от 0 до 400°.
Алидада имеет вид круга, меньшего диаметра, чем лимб,
помещается сверху лимба, имеет свою ось вращения внутри оси
лимба и может вращаться по лимбу. На алидаде расположена вся
верхняя часть инструмента: труба, буссоль, верньеры и т. д. На
алидаде отмечены два диаметрально противоположных штриха-
индекса, которые отмечают направление трубы по штрихам лимба.
Требуется, чтобы ось алидады совпадала с осью лимба, или чтобы
центр алидады совпадал с центром лимба. Невыполнение этого усло-
вия называется э к с цен т р и ц и т е т о м алидады.
Движение алидады по лимбу прекращается зажиматель-
н ы м винтом алидады.
Медленное движение сообщается алидаде ми к ром етрен-
ным винтом алидады.
Так как на лимбе невозможно наносить очень мелкие градусные
деления, а между тем отсчеты, соответствующие направлениям
линий, должны достигать точности до минуты и даже нескольких
секунд, то в дополнение к делениям лимба на алидаде наносятся
особые деления, или верньер. Верньеры служат для определения
(оценки) долей делений лимба и составляют одну из существенных
частей угломерных инструментов. Одно деление верньера меньше
одного наименьшего деления лимба и между ними получается
разность I — v = t, которая называется точностью вернь-
е р а;
Z = //(n+l)
или т о ч н о с т ь в е р н ь е р а равняется одному делению
лимба, разделенному на число делений верньера
между нулевым и конечным штрихами.
Таким образом, если нуль верньера будет стоять не против
градусного деления лимба, а между какими-нибудь делениями так,
что п е р в ы й штрих верньера совпадает со штрихом лимба, то это
будет обозначать, что нуль верньера прошел по лимбу дугу от
764
Т. I. Отд. 5. Геодезия. П. Горизонтальная съемка
ближайшего меньшего деления на одну точность верньера.
Если будет совпадать второй штрих, то это означает, что нуль
верньера прошел две точности и т. д. Отсюда вытекает правило
определения отсчета по лимбу и верньеру: сначала определяется
меньшее деление лимба до нуля верньера и к нему приба-
вляется отсчет по верньеру до штриха, совпадающего со штрихом
лимба. Например, нуль верньера установился между 121 и 122°,
в запись вносится 121°, далее видно, что десятый штрих верньера
совпал со штрихом лимба; значит к 121° нужно добавить 10 точ-
ностей верньера, т. е. 10/. Если / = 5', то окончательно отсчет
будет равен 121° 50'. Чаще всего употребляются лимбы с деле-
нием через половину градуса, с верньером в тридцать делений;
30'
в таком случае t = —=1Г. Например (фиг. 2). отсчет равен 131° 44'.
Если при отсчетах ни один штрих
верньера точно не совпадает со
штрихом лимба, а окажется, что
два соседних штриха одинаково
Фиг. 2.
близки к штрихам лимба, то следует брать среднее арифметическое
из показаний по обоим штрихам. По двум противоположным вернь-
ерам отсчеты должны различаться ровно на 180°. В том случае, если
алидада имеет эксцентрицитет, то отсчеты по двум верньерам будут
отличаться не ровно на 180°, а несколько больше или меньше. Пра-
вильный отсчет будет равняться среднему арифметическому из
первого отсчета и второго, уменьшенного на 180°. Именно для
уничтожения влияния внецентренности алидады и устраиваются два
верньера. Градусная величина эксцентрицитета при различных поло-
жениях алидады бывает различна и определяется как полуразность
отсчетов первого и второго, уменьшенного на 180°. Для отличия
друг от друга верньеры помечаются цифрами /, II или буквами
А и В.
Предположим, что центр лимба (фиг. 3) находится в точке L
и центр алидады не совпадает с центром лимба, а находится в точке А,
Точка О соответствует началу делений лимба, нанесенных по напра-
влению стрелки.
Если сделаем наведение на какую-нибудь точку, и алидада
займет положение ED, то по одному ее концу получим отсчет OD,
Угломерные инструменты
765
а по другому — ОЕ. Проведем через L линию, параллельную DE,
т. е. линию FC\ разность дуг OD и ОС даст CD = х или ошибку
отсчета по верньеру D, а разность дуг ОЕ и OF даст FE = —CD =
= — х, так как деления лимба возрастают по стрелке.
Кратко можно написать:
OD — (ОЕ— 180°)
-
или по отсчетам
у _ 56° 14'—(236° 10'—180°) _ 2,
или эксцентрицитет алидады равен полуразности отсчетов.
Далее,
= OD+ (05-180°)
т. е. верный отсчет равен полусумме отсчетов по обоим верньерам,
причем от одного из отсчетов нужно отнять 180°.
Пример. OD = 56° 14', ОЕ = 236° 10'.
Верный отсчет:
ос= 5644' +(23640'-180») = 56.12,t
Эти два правила указывают, что и для обнаружения эксцентри-
цитета и для получения верных отсчетов для данного направления
необходимо делать отсчеты по двум противоположным верньерам.
Лупа и микроскоп. Так как деления лимба и верньера наре-
заются тонко и их трудно рассматривать простым глазом, то у боль-
шинства инструментов при верньерах имеются лупы.
В точных инструментах вместо луп применяются микро-
скопы. Микроскопы могут быть простые с неподвижными нитями
и с подвижными нитями и тогда называются микроскопами-
микрометрами.
Отсчет по лимбу и шкале делается так: сначала определяется
положение большого штриха шкалы между штрихами лимба 183 и
184°, берется меньший отсчет 183°, к нему добавляется число штрихов
шкалы от большого штриха до 183°, получится 3', всего 183° 3', и затем
остаток определяется на-глаз — 0,4'. Итого полный отсчет 183° 3',4.
Уровень. Уровень имеет очень важное значение во всех геодези-
ческих инструментах, так как основа съемки требует приведения всех
инструментов в горизонтальное положение, чтобы получить все
линии и углы в горизонтальной проекции. Для уровней приготов-
ляются особые стеклянные трубки, внутренняя поверхность которых
шлифуется в виде кривых поверхностей различных радиусов.
Уровни в виде трубки называются цилиндрическими. Вместо
766
Т. I. Отд. 5. Геодезия. ТТ. Горизонтальная съемка
продолговатой цилиндрической трубки для уровней употребляются
также стеклянные сосуды, верхняя крышка которых изнутри имеет
поверхность шара того или другого радиуса. Такой уровень назы-
вается круглым.
Стеклянная трубка или шаровой сегмент уровня помещаются
в медные оправы. На поверхности уровня наносятся деления или
через 2 мм или через одну парижскую линию (2,26 мм) для наблю-
дения краев пузырька.
Для уровней берутся радиусы разных размеров, от несколь-
ких метров до ста и более. При каждом определенном радиусе одно
деление на поверхности уровня будет малой дугой круга этого
радиуса. Эта дуга будет измерять центральный угол а, ей соот-
ветствующий. Величина центрального угла а, соответствующего
одному делению уровня, обратно пропорциональна чувствитель-
ности уровня, или чем меньше угол а, соответствующий одному
делению уровня, тем точнее, чувствительнее уровень.
В теодолитах применяются преимущественно уровни, в кото-
рых дуга одного деления соответствует центральному углу в 20—
40 — 60", в других инструментах применяются и более чувстви-
тельные уровни с ценой одного деления в 2 — 5-- 10". Цену
деления уровня можно определить па специальном приборе — экза-
минаторе, или испытателе уровней. В круглом уровне внутренняя
поверхность образуется как часть шаровой поверхности, отсеченной
плоскостью (шаровой сегмент). Круглые уровни менее чувстви-
тельны, чем цилиндрические.
Буссоль. Буссоль состоит из круглой коробки с градусными
делениями, в центре которой на острие вращается магнитная стрелка.
Деления буссоли могут начинаться от 0° и итти против хода часовой
стрелки до 360°. Такое деление называется азимутальным.
Имеются также буссоли, в которых деления идут от 0° в обе сто-
роны до 90°, с одной и другой стороны; такое деление называется
румбическим.
Назначение буссоли состоит в определении магнитного ази-
мута или румба линии. Линия, соединяющая центр буссоли
с 0° деления, должна совпадать с направлением линии местности
Стрелка буссоли вращается на шпиле, а в центре стрелки вделан
твердый минерал — агат.
Иногда вместо полного круга для буссоли можно ограничиться
узкой коробкой для стрелки. В таком виде буссоль получает
название ориентир-буссоль.
Подставки. Подставки для зрительной трубы делаются различ-
ной формы, с расчетом, чтобы они выдержали тяжесть трубы, поз-
воляли трубе вращаться и не закрывали буссоли. Конечно, необ-
ходимо, чтобы обе подставки были равны друг другу, поэтому
при подставках имеются приспособления для изменения их высоты.
Горизонтальная ось вращения трубы лежит на подставках и
служит для поворотов трубы в вертикальной плоскости. Ось должна
Угломерные инструменты
767
Фиг. 4.
вверх и вниз, вправо и влево.
быть хорошо отшлифована и плавно вращаться в подставках. Изме-
нение высоты одной из поставок перемещает положение горизон-
тальной оси вращения трубы.
Зрительная труба. Геодезические трубы делаются по типу
труб, применяемых в астрономии, поэтому они называются астро-
номическими, или трубами Кеплера. Каждая геодезическая труба
состоит из двухтрубок — колен: объективное колено и окуляр-
ное. В объективном колене помещается большое двояковыпуклое
стекло — объектив, а в окулярном—малое — окуляр. При
наблюдениях объектив направляется к предмету, а окуляр —
к глазу.
Линия, соединяющая центры объектива и окуляра, называется
оптической осью трубы.
Для точного направле-
ния— визирования-в окуляр-
ном колене перед окуляром
помещается диафрагма с кре-
стом нитей. Линия, соединяю-
щая центр объектива и центр
креста нитей, называется в и-
з ир но й осью, геометриче-
ской осью трубы называется
ось цилиндров трубы. Цен-
тральная точка креста нитей и
служит для визирования. Крест
нитей вместе с диафрагмой
может перемещаться винтами
Окуляр в трубе имеет значение лупы, через которую рассмат-
ривается изображение, прошедшее через объектив (фиг. 4) Для
различного глаза окуляр, как и лупу, приходится придвигать или
отодвигать от изображения. Окуляр передвигается при помощи
кремальерного винта. Так как крест нитей служит для
точного наведения на намеченную точку, то нужно, чтобы крест
нитей был отчетливо виден. Окулярное стекло нужно передвигать
до тех пор, пока крест нитей не будет виден хорошо. Такое пере-
движение окулярного стекла называется установкой по глазу. Итак,
при пользовании трубой необходимо установить сначала окулярное
стекло по глазу для креста нитей, а затем, разглядывая предмет,
следует передвигать все окулярное колено кремальерным винтом
до получения ясного изображения предмета. Если эти две уста-
новки сделать плохо, то изображение сетки нитей и предмета не
будут казаться в одной плоскости, и такое явление называется
параллаксом, благодаря которому при перемещении глаза около
окуляра вправо или влево, вверх или вниз будет казаться, что
изображение предмета и креста нитей передвигаются. Чтобы унич-
тожить параллакс, нужно точнее повторить установку по глазу на
крест нитей и на предмет.
У величе нием трубы называется отношение величин углов.
768	Т. I. Отд. 5. Геодезия. П. Горизонтальная съемка
под которым виден данный предмет в трубе и простым глазом.
Увеличение прямо пропорционально фокусному расстоянию объек-
тива и обратно пропорционально фокусному расстоянию окуляра.
Практически увеличение трубы можно определить рассматриванием
делений рейки сразу через трубу и простым глазом в пределах
поля зрения объектива: отношение числа делений, видимых в пре-
делах диаметра объектива простым глазом, к числу делений, ви-
димых в трубу, и даст увеличение.
Особенное значение приобретает в настоящее время зрительная
труба П о р р о с внутренней передвижной линзой. Такие трубы
поставлены в нивелирах и теодолитах Ц е й с с а-В и л ь д а и,
пбвидимому, войдут во все современные инструменты. В этой трубе
установка для рассматривания предмета (фокусировка) производится
передвижением не окулярного колена, а передвижением внутренней
двояковыпуклой линзы. Одна из линз — неподвижный объектив,
другая линза — подвижная, третья линза — неподвижная окулярная,
и на ней нарезана сетка нитей, четвертая — лупа для рассматри-
вания изображения предмета и сетки нитей. В этой трубе линзы
А и С составляют объектив, сложный, с переменным фокусным рас-
стоянием, но с постоянным расстоянием от объектива до сетки нитей.
Проверка теодолита. Теодолиты бывают простые и по-
вторительные.
Простые теодолиты имеют такие лимбы, которые наглухо
соединены со своей подставкой, а повторительные имеют
вращающиеся лимбы.
Простые и повторительные теодолиты могут иметь то или
иное количество разных дополнительных частей.
Все проверки теодолитов разлагаются на такие приемы:
1)	Проверить перпендикулярность оси цилиндриче-
ского уровня на подставке трубы к вертикальной оси
вращения инструмента.
Для этой проверки весь инструмент приводится уровнем в горизонтальное поло-
жение при помощи подъемных винтов; уровень устанавливается сначала по двум
подъемным винтам, и пузырек уровня этими же винтами переводится на средину
уровня; обычно для этой цели нужно винты вращать в противоположных направле-
ниях; затем уровень поворачивается с алидадой на 90п, и его пузырек опять ста-
вится на средину одним третьим винтом; если уровень верен, то этими действиями
плоскость лимба будет приведена в горизонтальное положение.
Однако, чтобы убедиться в верности уровня, далее следует уровень с алидадой
повернуть на 180° (по делениям лимба).
Если пузырек уровня сойдет со средины уровня на несколько делений, то
это будет означать, что ось уровня не верна и ее следует поправить.
Исправительным винтом при подставке уровня нужно пузырек уровня пере-
двинуть к средине на половину делений, на которые пузырек отошел.
Эту проверку и исправление следует проделать несколько раз, чтобы совер-
шенно убедиться в исправности уровня.
Точно так же проверяется и круглый уровень.
2)	Визирная ось трубы должна быть перпендикулярна
к своей горизонтальной оси вращения.
Чтобы это проверить, нужно трубу крестом нитей направить на какую-нибудь
удаленную точку и сделать отсчет по лимбу и алидаде, по обоим верньерам; затем
труба переводится через зенит, алидада поворачивается.и труба опять наводится на
ту же точку; снова делается отсчет; полуразность отсчетов (с одного отсчета скиды-
вается 180°) дает ошибку неперпендикулярности осей; эта ошибка называется - колли-
мационной. Она происходит от неверной установки вертикальной линии креста
Угломерные инструменты
769
нитей; поэтому, для исправления, крест нитей нужно передвинуть вправо или влево
исправительными винтами диафрагмы.
Именно, так как верный отсчет при двух направлениях трубы на намеченную
точку равен среднему арифметическому из обоих отсчетов, то микром'етренныМ
винтом нужно установить нуль верньера на этот отсчет 1< потом навести крест нитей
на точку исправительными винтами.
Эту проверку и исправление также следует проделать несколько раз.
3)	Горизонтальная осьтрубы должна быть параллельна
плоскости лимба (подставки трубы должны быть равными) или перпендику-
лярна вертикальной оси вращения алидады.
При этой проверке инструмент приводится строго в горизонтальное положение;
затем трубу направляют на близкую, но высокую точку; далее трубу сле-
дует опустить и внизу, на одном уровне с лимбом инструмента,
под верхней точкой нужно наметить нижнюю точку против креста нитей; труба
переворачивается через зенит, снова наводится на верхнюю точку и опять опускается
до уровня нижней точки; если крест нитей точно ее покроет, то это будет означать,
что горизонтальная ось параллельна плоскости лимба; в противной случае одна из
подставок трубы изменяется исправительными винтами так, чтобы крест нитей
проходил через верхнюю и среднюю нижнюю точки.
Эти проверки — общие для всех теодолитов.
Дальше, в зависимости от наличия дополнительных частей применяются проверки
этих частей.
4)	Если при трубе имеется вертикальный круг или сектор со своей алидадой, то'
предъявляется требование: когда нули верньера алидады совме-
щены с нулями вертикального круга, визирная ось
должна быть горизонтальна.
Для проверки нужно инструмент привести в горизонтальное положение, навести
точно центр креста нитей на какую-нибудь высокую точку и сделать отсчет по вер-
тикальному кругу; затем труба переводится через зенит и снова направляется на
ту же точку; опять делается отсчет; полуразность даст ошибку, а верный угол
наклонения будет равен полусумме отсчетов. Перед каждым отсчетом пузырек
уровня при вертикальном круге ставится на середину микрометренным винтом
алидады.
Для исправления нужно передвинуть весь верньер на эту ошибку или вводить
ее в каждый отсчет, уменьшая или увеличивая его, в зависимости от знака ошибки.
с)	Буссоль с диоптрами
Буссоль состоит из коробки с магнитной стрелкой, линейки-
алидады. на концах которой стоят диоптры и баксы, которой
буссоль прикрепляется к штативу.
Проверки буссоли:
1)	Стрелка должна быть хорошо намагничена; плохо намагниченная стрелка,
будучи выведена из своего покойного состояния железом, очень медленно устанав-
ливается на прежнее место, а хорошо намагниченная - быстро. Для намагничивания
стрелка последовательно, из конца в конец, натирается магнитом.
2)	Стрелка должна вращаться на шпиле свободно; если стрелка при вращении
испытывает большое трение, то она не будет устанавливаться на прежнее место,
будучи выведена из покойного состояния, а будет застревать на разных делениях
буссоли, и тогда нужно будет заострить шпиль или переменить агат.
3)	Магнитная стрелка не должна иметь эксцентрицитета, т. е. должна вращаться
точно в центре кольца буссоли. Эксцентрицитет обнаруживается отсчетами по обоим
концам стрелки; полуразность отсчетов дает эксцентрицитет, а верный отсчет равен
полусумме.
4)	Магнитная ось и геометрическая ось стрелки должны совпадать. Для про-
верки делается отсчет по концам стрелки, затем шляпка стрелки вывинчивается
и ввинчивается на другую сторону стрелки, опять делается отсчет. х асхождение
отсчетов покажет на несовпадение осей. Для исправления следует стрелку сбоку
обточить.
5)	Диоптры имеют вид планок, в которых сделаны прорез »! с волоском и без
волоска; узкая щель и волосок служат плоскостью визирования; уга плоскость
диоптров должна быть вертикальной при работах; проверяется это условие по шнур/
770
Т. I. Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
с отвесом. Иногда вместо диоптров в буссоли прикрепляется труба. Проверки ее
Одинаковы с проверками трубы теодолита.
6)	Плоскость диоптров или трубы должна проходить через линию нулей конца
буссоли. Для проверки между диоптрами натягивается нить, а на объектив трубы
надевается крышка с отверстием; по нити или в отверстие крышки можно заметить
ошибку. Исправить можно только в мастерской.
d)	Астролябия с диоптрами и трубой
Астролябия состоит из лимба с диоптрами, который прикреп-
ляется к штативу; на лимбе — буссоль с алидадой и диоптрами,
вращающаяся вокруг вертикальной оси. Бывают астролябии и
с трубой. У таких инструментов вместо диоптров поставлена
труба. Проверки их сходны с проверками теодолитов. Точность
верньеров в 1 — 2'.
е)	Пантометр и гониометр
У пантометра лимб и алидада имеют вид высоких цилиндров,
стоящих один на другом. Благодаря такому устройству черточки
делений лимба и алидады пантометра имеют вертикальное располо-
жение. Передвижение алидады по лимбу производится по зубчатке
винтом под лимбом. Точность верньеров 2'. Для измерения углов
наклона имеется сектор.
Кроме этого у пантометра имеются буссоль, уровень и не-
сколько прорезов (диоптров) для построения прямых углов. Про-
верки пантометра сходны с проверками астролябии и теодолита.
Если с пантометра снять трубу, то получится инструмент—гон ио-
нет р, которым углы измеряются помощью диоптров, помещенных
на алидаде. Иногда гониометр применяется для быстрых построений
прямых углов.
f)	Экеры
Экерами называются приборы для построения постоянных
углов в 90, 45, 135° и т. д. Экеры служат для восставления
и опускания перпендикуляров и для самых простейших съемок.
Экеры имеют разнообразнейшее устройство, в зависимости от при-
менения тех или иных оптических приспособлений. У восьмигран-
ного экера диоптры расположены так, что их плоскости образуют
углы в 90, 45 и 135°. В двухзеркальном экере два зеркала уста-
новлены под углом в 45°.
Призменный экер имеет вид маленькой стеклянной прямо-
угольной призмы в оправе с ручкой.
g)	Эклиметры
Эклиметрами называются инструменты для измерения вер-
тикальных углов, для определения горизонтального положения
наклонной линии или для определения поправки за наклон.
Если через АВ обозначим измеренную наклонную линию,
через АС — ее горизонтальное проложение, через а — угол наклона
Измерение угла, ошибки его и точность
771
линии АВ к юризонту, через X = АВ — АС, т. е. поправку за
наклон, то X = АВ • sin2 . Для решения этих формул нужно в на-
туре измерить длину АВ лентой и угол наклона а — эклиметром.
Эклиметры имеют разнообразные устройства, но приемы по
определению угла наклона являются для всех эклиметров одинако-
выми и состоят в том, что в точке А эклиметр устанавливается
или на подставке или удерживается рукой над точкой Л, на неко-
торой высоте; в точке В ставится отвесно веха, на которой отме-
ряется и отмечается каким-нибудь знаком (бумажкой, щитком,
планкой) та же высота.
!• Эклиметр с отвесом. Наиболее простым эклиметром будет медный полу-
круг с градусными делениями, в центре которого прикреплен на оси отвес, сверху по-
лукруга помещается линейка для визирования, весь прибор шарниром прикреп-
ляется к полу, который при работе укрепляется в земле. Чтобы измерить угол, на
вехе отмечается высота эклиметра, на отметку наводится линейками по нулю отвеса
делается отсчет градусов, который и дает от 0е угол наклона линии.
2. Зеркальный эклиметр Тесдорфа. Этот эклиметр состоит из подставки,
к которой шарниром прикреплена визирная трубочка; на трубочке прикреплен
полукруг с делениями так, что ось трубочки параллельна диаметру полукруга;
в центре полукруга на оси помещаются небольшой уровень и линейка с указателем;
уровень и указатель соединены между собой и могут сообща менять свое поло-
жение так, что когда пузырек уровня находится на его средине, ось уровня будет
горизонтальна, а средняя линия указателя вертикальна, т. е. будет заменять отвес
простого эклиметра. Для наблюдения за положением пузырька уровня в верхней
части трубочки сделан вырез, и в самой трубочке поставлено зеркало так, что
изображение пузырька отражается и делается видимым в окуляре визирной тру-
бочки вместе с вехой; зеркало в трубочке закрывает половину поля зрения.
3. Эклиметр Брандиса. Этот эклиметр имеет вид трубочки с диоптром
и с вертикальным кругом с градусными делениями; центр круга совмещается
с линией визирования, и круг вращается на горизонтальной оси под влиянием не-
большого груза; для лучшего отсчета градусных делений к трубочке прикреплена
лупа; ниже нуля для углов повышения имеется знак ( + ), а выше нуля для углов
понижения знак ( —). Если визирная ось трубочки направлена по горизонтальной
линии, то нуль вертикального круга и нить диоптров совпадают и дают одну
линию. В нерабочем состоянии вертикальный круг зажимается пружинкой. При
визировании пружинка отпускается, а в момент отсчета зажимается. Отсчет, т. е.
величина угла наклона, соответствует тому градусному делению на вертикальном
круге, которое приходится на продолжении горизонтальной линии диоптров.
Отсчет делается с точностью до *//*. Результаты измерения используются по выше-
приведенным формулам.
Е. Измерение угла, ошибки его и точность
Для измерения угла прежде всего каждый инструмент центри-
руется над данной точкой, обычно по отвесу, потом приводится
в горизонтальное положение; затем визирная ось или коллима-
ционная плоскость инструмента поочередно наводится на сигналы,—
вехи, пункты или точки, между которыми измеряется угол; каждое
направление отмечается на инструменте, и разность двух соседних
отсчетов дает угол между данными направлениями. Чтобы суметь
точно измерить угол, нужно знать природу всех частных ошибок,
возникающих при измерении угла, и нужно всемерно стремиться
к уменьшению их влияния. Перечислим эти возможные ошибки.
772
Т. I. Отд. 5. Геодезия. П. Горизонтальная съемка
1. Центрирование. При неточной центрировке может ока-
заться (фиг. 5), что центр инструмента стоит не над вершиной
угла С, а над некоторой точкой на расстоянии т и под
углом у к измеряемой линии С±А. Таким образом вместо угла С
будет измерен угол Clt отличающийся от С на некоторую вели-
чину изменяющуюся в зависимости от расстояния ССХ = т,
угла СС\А=у и сторон СА = а и СВ = Ь. Общая поправка
к углу Сь обозначенная через /<', равняется
_	__ /n-sin_y tn • sinfj/ + Cj) __ m fs\ny sin(3r-|-Q)\
6‘Sinl' a-sinl' sin Г \ b	a /
Из этой формулы видно, что К' увеличивается с увеличением т
и с уменьшением а и Ь, и обратно.
При т — 0,01 м, а = b = 100 м, у = 90° и = 180° получим,
что К' = 0,7'. Отсюда можно сделать вывод, что чем точнее
требуется измерить угол, тем меньше должна быть ошибка в цент-
рировании.
2. Редукция, или поправка в направлении за неверное
стояние сигнала. При наведении визирной оси на необходимую
точку часто приходится ограничиваться наведением на тот сигнал,
который поставлен в точке для ее видимости. При наведении же
на.сигнал, очевидно, нужно требовать, чтобы сигнал стоял точно
по’вертикали над данным пунктом. Практически приходится визи-
ровать на веху, столб и пр.,и нужно, чтобы они стояли вертикально
над пунктом. Случается часто, что сигнал наклонился, вышел из
вертикального положения; пункта под ним не видно, и приходится
визировать на вершину неверного сигнала, что вызывает ошибку
в направлении.
а =------г-гг .
а • sin Г
Здесь т — расстояние уклонения визируемой точки сигнала
в перпендикулярном направлении от линии и а — длина линии; так
как т = h • sin 0, где Л — высота визируемой точки сигнала
и 0 — угол его наклона от вертикали, то
, h • sin 0
О = -----•—Г7»
а • sin 1'
Измерение угла, ошибки его и точность
773
Отсюда видно, что ошибка эта пропорциональна высоте сиг-
нала, углу его наклона и обратно пропорциональна длине линии.
Поэтому всегда следует заботиться о правильной постановке сиг-
налов, особенно при коротких линиях.
3. Негоризонтальнисть лимба. Горизонтальные углы местности
должны измеряться на горизонтальном же лимбе. Если лимб не при-
веден в горизонтальное положение, а составляет с горизонтом не-
большой угол, то отсчеты на нем будут заключать некоторую,
правда незначительную, ошибку. Именно при наклоне лимба к го-
ризонту даже на 20' (что очень невероятно при уровнях с деле-
ниями в 30 — 60") ошибка отсчета не превысит одной угловой
секунды.
4. Ошибка визирования. Эта ошибка зависит от устройства
визирной части инструмента и, конечно, тем меньше, чем больше
увеличение трубы и чем лучше виден визируемый сигнал.
5. Ошибка отсчета.
Ошибка отсчета прежде
всего зависит от точно-
сти верньера, а так как
часто ни один штрих
верньера не совпадает
со штрихом лимба и при-
ходится брать среднее
между двумя симметрич-
ными штрихами вернье
ра, то ошибку отсчета
здесь можно принять за
половину точности вер-
ньера. Далее, на точность
отсчета влияет эксцен-
Лимб
Фиг. 6.
трицитет алилады, а по-
этому совершенно обя-
зательно производство
отсчетов по всем вернь-
ерам алидады и вывод среднего из минут и секунд. В каждом угло-
мерном инструменте возможны случайные или систематические
ошибки делений лимба, могущие влиять на точность отсчета, а по-
этому также необходимо повторять измерение угла на разных частях
лимба, для чего каждый раз после одного измерения угла лимб
передвигается на некоторый угол и из всех измерений вычисляется
среднее.
6. Наклон горизонтальной оси вращения трубы. Если ось
вращения трубы горизонтальна, а визирная ось к ней перпендику-
лярна, то коллимационная плоскость трубы при визированиях всегда
будет вертикальна (фиг. 6), и измеряемый горизонтальный угол
между точками А и В измеряется на горизонтальном лимбе между
двумя вертикальными плоскостями дугою А^В^ Но если ось не
горизонтальна, то отсчеты на лимбе будут а и Ь, что поведет
к ошибке в угле, ибо дуга А^ не равна дуге ah.
774
Т. I. Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
Из сферического треугольника ZB можно написать соотношение
bBt = I • tg а.
Эта формула показывает, что в отсчеты входит ошибка от на-
клонности оси вращения трубы, и что эта ошибка прямо пропор-
циональна ошибке в положении оси и прямо пропорциональна тан-
генсу угла визирования, т. е. чем выше точка, тем больше ошибка
в отсчете.
Если допустить, что I = 1', то при а = 45° ошибка в отсчете
тоже будет равна 1'. Это правило следует помнить особенно при
измерении углов между двумя точками с разными высотами
(сигнал и земля, в горах и т. д.), когда надо хорошо выверить
уровни и ось, приводить инстру-
мент в горизонтальное положение
и измерять угол при двух поло-
жениях трубы.
7. Коллимационная ошибка,
или ошибка от неперпендикуляр-
ности визирной оси к горизон-
тальной оси вращения, приводит
к тому, что визирная ось описы-
вает не вертикальную плоскость
ZA (фиг. 7), а некоторую кони-
ческую поверхность, дающую дугу
малого круга ZYB, отстоящую от
вертикальной плоскости ZA на ду-
гу АВ = С, или на коллимацион-
ную ошибку. Для точки Л4 влия-
ние коллимационной ошибки на отсчет выразится в виде дуги
ВХА ~у, где j/ = C*seca. Так как sec а всегда больше единицы, то
ошибка в отсчете всегда будет больше коллимационной ошибки;
только при а = 0° у = С. Так как коллимационная ошибка исклю-
чается при наблюдениях при разных положениях трубы (круг
вправо и круг влево), то подобный прием измерения угла обяза-
телен для уточнения измерений.
F. Ориентирование съемки
а) Общие данные
Ориентировать съемку — значит определить располо-
жение данного участка земли или одной линии относительно стран
света.
Направление меридиана, проходящего через данную точку
земной поверхности, укажет направление север — юг. Линия, пер-
пендикулярная к меридиану, дает направление восток — запад. Линии
местности могут иногда совпадать с этими основными направле-
ниями, но чаще всего они идут, уклоняясь от них, и занимают
промежуточное положение.
На фиг. 8 через данную точку Р могут проходить линии раз-
Ориентирование съемки
775
личных направлений. Так, направление из точки Р на точку А идет
между севером и востоком, такое направление называется северо-
восточным; линия РВ идет на юго-восток; линия PC — на юго-
запад и линия PD — на северо-запад.
Углы, обозначенные на чертеже стрелками, называются рум-
бами. Румбом считается угол между ближайшим направлением
меридиана и данной линией, румб измеряется, следовательно, от
северного или южного направления
О до 90°. Например, может быть румб
линии СВ: 51° 13', JOB: 71° 28', ЮЗ:
18° 13' и СЗ: 66° 51'.
Одна и та же прямая линия пере-
секает различные меридианы под раз-
личными углами, так как все мери-
дианы не параллельны между собой
и сходятся в полюсах. Разность между
румбами одной и той же линии при
различных меридианах называется
сближением меридианов, слу-
жит меркой непараллельности их и
выражается приближенной формулой.
S = X • sin ср.
Здесь S—сближение меридианов,
X — разность долгот двух меридианов
и ср — средняя широта точек пересе-
чения меридианов прямой.
При ср = 50° и X = 4' = 4754 м
меридиана в обе стороны от
Фиг. 8.
Б = 3'.
Это означает, что если измеряемый участок имеет ширину по
параллели, примерно, 4,5 км, то меридианы крайних точек сбли-
жаются на 3'.
При ср = 50° и X = 13' или при X — равном, примерно, 15 км,
S = 10'.
Каждая линия, например, AAlt имеет прямой румб г; если же
направление той же линии считать обратно, то получается обратный
румб (линия А]А) — Гр Прямой и обратный румбы прямо противопо-
ложны по названиям. Что касается величины прямого и обратного
румбов, то для коротких плоских прямых линий их можно считать
одинаковыми, но для больших линий приходится учитывать разли-
чие в величинах румбов или, что одно и то же, — сближение мери-
диана.
Румбы линий отсчитываются или от северного или от южного
направлений меридиана; если же определять отклонения двух линий
только от северного направления меридиана, то образуются углы,
Называемые азимутами. Азимуты могут измеряться от 0 до 360°.
776
Т. I. Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
и разность двух азимутов равняется углу между этими линиями
(фиг. 9).
Часть чертежа между севером и востоком называется первой
четвертью, между востоком и югом — второй четвертью, потом
идут третья четверть и четвертая. В первой четверти азимут заклю-
чается между 0 и 90°, во второй — между 90 и 180°, в третьей —
между 180 и 270° и в четвертой — между 270 и 360°. Соотношения
между румбами и азимутами можно написать так:
Для первой четверти азимут равен румбу или
для первой четверти
„ второй
„ третьей	„
9 четвертой	„
=	гг	ИЛИ	1\ =	ctt
а2 = 180° —	Г2	»	г2 —	180° — а2
а3 = 180° +	Г3	„	г“ =	а3 — 180°
а4 == 360° —	Г4	„	Г± —	360° — а4.
На этих соотношениях осно-
вано перечисление азимутов
в румбы и обратно. Азимут для
одной и той же прямой линии
может быть прямым и обратным.
Прямой азимут равен обратному
азимуту плюс или минус 180° и
плюс б — сближение меридианов
при больших линиях, т. е.
= а2 zt 180° -|- о,
а для малых расстояние
а1 — ®2 ± 1^0°.
Направление считается пря-
мым тогда, когда многоугольник
обходится по направлению часовой стрелки; обход в противопо-
ложном направлении считается обратным.
Ь) Определение истинного меридиана
Направление истинного, или географического, меридиана можно
определить по небесным светилам: солнцу и звездам.
Определение истинного меридиана по солнцу. Несложно и
достаточно точно определение истинного меридиана по способу со-
ответственных высот солнца. Часа за три до полудня устанавливают
теодолит на открытом месте, приводят его в горизонтальное поло-
жение и через закопченное стекло или через призму с красным
или синим стеклом наводят трубу на край солнца. В этот момент
записывают показания часов и делают отсчеты на лимбе и верти-
кальном круге. Затем, не меняя положения трубы по высоте,
а только передвинув ее с алидадой, ждут после полудня того мо-
мента, когда солнце коснется нитей другим своим краем, и тогда
делают отсчет на часах И на лимбе. Полусумма отсчетов на лимбе
Ориентирование съемки
777
даст приближенный отсчет, соответствующий направлению визирной
оси на юг. Например II отсчет — 208° 15', 1 отсчет—163° 17', сред-
ний отсчет—185°46'. Если алидаду поставить на этот средний от-
счет, то визирная ось трубы пойдет приближенно на юг. Этот отсчет
нужно исправить за изменение склонения солнца. Если наблюдения
производятся между 22 декабря и 21 июня, то средний отсчет на
лимбе нужно уменьшить на поправку, если же наблюдения проде-
ланы между 21 июня и 22 декабря, то поправку нужно прибавлять
к среднему отсчету.
Итак, истинный отсчет будет
208О1У + 163°17,_^=185о^_/<.
t • До
Здесь К — поправка =	, которую нужно вычислить.
В этой формуле t—половина времени от первого наблюдения
до второго, выраженного в минутах; ДВ — изменения склонения солнца
в одну минуту времени; ср — географическая широта, получаемая
по карте местности возможно точнее (до минуты), 15 i — половина
времени от первого наблюдения до второго в часах и умноженное
на 15 градусов (время, обращенное в градусную меру). Поправку К
находят логарифмированием. Вычислив поправку, изменяют средний
отсчет; затем трубу наводят на предмет и определяют угол между
ним и югом, а по этому углу вычисляют азимут линии.
Наблюдение солнца следует проделать 2—3 раза до полудня
и при том же круге, делая отсчеты на лимбе и на вертикальном
круге. После полудня ставят трубу по соответственным отсчетам
на вертикальном круге, ждут момента наблюдений, замечают время
и отсчет на лимбе. Из полученных результатов берут среднее.
На другой день полезно наблюдения проделать при другом круге
и тоже взять среднее.
Определение истинного меридиана по наблюдениям соот-
ветствующих высот звезд. Хорошо выверенный теодолит уста-
навливается ночью на таком месте, чтобы были видны ззезды
и какой-нибудь светящийся предмет (фонарь на столбе, лампа и т. п.)
на расстоянии 500—600 м. Чтобы сетка нитей в трубе была видна,
необходимо ее осветить. Для этого на объектив трубы надевается
кольцо с металлическим зеркалом, которое сбоку освещается фо-
нарем. Лучи света отражаются от зеркала и освещают сетку. При-
водят инструмент строго в горизонтальное положение и делают
отсчет на предмет. Затем выбирается звезда, близкая к кульми-
нации, т. е. близкая к прохождению через меридианы ниже По-
лярной ззезды. Крест нитей наводится на звезду, и на вертикальном
и на горизонтальном лимбах делаются отсчеты. Таких наблюдений
делается несколько, в то время как звезда повышается или пони-
жается. После того как звезда достигнет нижней кульминации
и начнет повышаться, трубу ставят на соответствующие отсчеты
по вертикальному кругу и ждут (передвигая алидаду), чтобы звезда
Т. I. Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
снова прошла через крест нитей. В таком положении делают
отсчет по лимбу. Полусумма отсчетов на лимбе даст отсчет, соот-
ветствующий направлению меридиана на север. Снова делают
отсчет на предмет.
Магнитная стрелка. Так как магнитная стрелка дает направление относительно
стран света, то при геодезических работах она применяется часто. Известно, что
магнитная стрелка устанавливается по направлению магнитных сил, как бы исхо-
дящих от магнитных полюсов.
Наблюдениями установлено, что магнитная стрелка дает направление магнит-
ного меридиана, почти всегда не совпадающего с географическим, или истинным,
меридианом и уклоняющегося от него к западу или к востоку. Угол между
истинным меридианом и магнитным называется углом склонения и может быть
западным и восточным. В зависимости от положения точки наблюдения относи-
тельно магнитных полюсов находится величина угла склонения. Следовательно,
в различных точках земной поверхности могут быть различные склонения. Линии,
соединяющие точки с одинаковыми склонениями магнитной стрелки, называются
изогонами.
Многие наблюдения показывают, что в данной точке направление магнитного
меридиана не постоянное, а меняется постепенно в большие периоды времени
(около 450 лет). Это изменение склонения может дойти до наибольшего значения
на запад, потом поворачивает обратно, достигает крайней точки на востоке и идет
назад. Такое изменение стрелки называется вековым. Значит, в разные эпохи
магнитная стрелка имеет различное направление. Это обстоятельство очень важно
при пользовании старыми планами и картами.
Кроме векового изменения склонения магнитного меридиана, замечено суточное,
достигающее 10—15Л
Далее на магнитную стрелку действуют магнитные бури, заставляющие
стрелку иногда изменять свое положение до полуградуса. Магнитные бури являются
обычно в связи с северными сияниями и солнечными пятнами. Суточное изменение
и магнитные бури, учет которых невозможен при практических работах с магнитной
стрелкой, вынуждают пользоваться указаниями стрелки с точностью не более
15 минут.
Наконец, магнитная стрелка подвержена влиянию электрических токов (телефон,
телеграф), железа (рельсы, железные крыши, железные части инструмента и т. д.),
поэтому при работах с магнитной стрелкой следует соблюдать большую осто-
рожность.
Для каждой линии местности можно определить угол между него и магнитным
меридианом, подобно углу между линией и географическим меридианом. Угол,
считаемый между линией и ближайшим концом магнитного меридиана, называется
магнитным румбом; а угол между северным концом стрелки и линией — маг-
нитным азимутом. Соотношение между магнитными азимутами и магнит-
ными румбами то же, что и у географических, или истинных, азимутов
и румбов.
Угол между магнитными азимутами или румбами и истинными азимутами
или румбами также называется углом склонения. Иногда встречаются местности,
в которых наблюдается резкое изменение склонения магнитной стрелки, что
указывает на местные магнитные аномалии.
Перед работами стрелка должна быть хорошо намагничена естественным или искус-
ственным магнитом. Хорошо уравновешенная стальная намагниченная стрелка,
будучи намагничена, теряет равновесие и получает некоторый угол наклонения
к горизонту.
Для различных точек земли и угол наклонения различен. На магнитных по-
люсах и в местах сильной магнитной аномалии стрелка становится вертикально.
Линии, соединяющие точки с одинаковыми углами наклона, называются изо-
клинами.
С течением времени намагниченная стрелка теряет постепенно свою силу,
напряжение.
О. Различные случаи съемок
Каждый снимаемый участок з натуре имеет свою определенную
границу, состоящую из ряда линиц,
Различные случаи съемок
779
При общем осмотре участка нужно наметить повороты или
вершины углов; кривые линии (живые урочища) заменяются пря-
мыми линиями, или магистралями. От вершины до вершины линии
должны быть провешены и подготовлены для измерений.
Важной частью полевых съемочных работ является ведение
записей. В поле записывается весь цифровой измерительный
материал с таким расчетом, чтобы по нему можно было составить
чертеж. Очевидно, что эти все записи должны быть ясными, вер-
ными и полными, иначе трудно будет составить верный план.
В поле надо записывать все размеры граничных линий, все про-
меры ситуации, всё углы и другие детали съемки. Все главные
промеры записываются в геодезический журнал. Для
удобства следует журнал вести по разработанной форме. Кроме
журнала, необходимо составлять в поле приближенный
чертеж снимаемой местности со всеми цифрами измерений.
Такой чертеж называется абрисом, кроком.
Журнал и абрис должны быть безукоризненными по чистоте,
ясности и точности записей и вырисозке подробностей снимаемого
участка.
Углы измеряются каким-либо угломерным инструментом. Резуль-
таты измерения углов заносятся в особый журнал (правая страница
абриса) в определенном порядке.
Каждый угол измеряется дважды, с переводом трубы через
зенит и, если инструмент повторительный, с перестановкой лимба.
Отсчеты берутся по обоим верньерам, и из минут берется среднее.
Из двух полученных углов берется среднее.
Геодезический журнал
| № точек	| стояния	1	№ точек	I наблюдения ]	Верньеры		Средний отсчет	Угол
		I	II		
2	1 3 1 3	круг 218*40' 104-18' круг 40*51' 286'23'	право 41 17 лево 51 27	218’40,5' 104-17,5' 40U- 40-51' 286’26,5'	114°23' 114-2,5'
Средний угол	Угол наклона	Мера линий	Примечание
	1-2	1-2	Румб
114-23,75'	5-30'	124,51	линий 1—2 СВ: 4415"
Если у инструмента имеется вертикальный круг или сектор,
то для наклонных линий измеряются углы наклона сразу для всей
линии или по частям, если линия меняет уклоны. При измерении
угла наклона линии в ее начало ставится инструмент, а в конец —
веха; предварительно на вехе обозначается высота инструмента; затем
нужно трубу навести горизонтальной средней нитью на веху, нд
780
Т. 1. Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
отметку высоты инструмента. Высотой инструмента считается рас-
стояние от земли до горизонтальной оси вращения трубы.
Первый румб или азимут определяется по магнитной стрелке
или по небесным светилам.
При съемке астролябией и буссолью румбы измеряются в на-
чале и в конце каждой линии, т. е. измеряются прямые и обратные
румбы или азимуты. Каждый раз отсчет производится по обоим
концам стрелки и берется средний результат для уничтожения
влияния эксцентрицитета стрелки.
Прямые и обратные румбы или азимуты не должны отличаться
друг от друга более, чем на V2—*/4° Большая разница покажет
на действие какой-нибудь силы на магнитную стрелку, что и нужно
выяснить на месте (железная крыша, электрические провода и пр.).
По измерении угла и румбов можно их взаимно проверить по
таким соотношениям: если линии имеют одинаковое направление
(например СВ: 66° и СВ: 53°), то астролябический угол (меньший 180°)
равен 180° — (66° — 53°) = 167°, т. е. равен 180° без разности румбов;
если линии идут в противоположных направлениях (например СВ: 53°
и ЮЗ: 23°), то угол между ними равен разности румбов: 53° —
— 23° — 30°, при различии в названии румбов во вторых буквах
(например СВ: 67° и СЗ: 12°) угол равен 180° без суммы румбов: 180°—
— (о7° + 12° = 101° и, наконец, если названия румбов отличаются
первыми буквами (например СВ: 53° и ЮВ: 47 ), то у ол равен сумме
румбов: 53° 4- 47° = 100°. Эти соотношения легко выясняются из
наброска на бумаге направлений линий, причем румбы считаются от
первой точки до второй и от второй к третьей и т. д., по ходу ча-
совой стрелки.
Ввиду того, что румбы определяются с точностью не более 1/4°
соотношение между румбами и углами может расходиться на 1/2—3/4°.
Если вместо румбов определяются азимуты, то астролябический
угол всегда равняется разности азимутов линий при вершине изме-
ряемого угла.
Углы проверяются в замкнутом многоугольнике тем, что их
сумма 5 должна удовлетворять формуле
5= 180° (п — 2),
где п—число всех углов.
На точность измерения углов влияет ошибка при центрировке
инструмента и за наклон вех, поэтому следует тщательно центри-
ровать инструмент и устанавливать вехи. Ошибка в сумме углов
не должна превышать /и = /"/2 л, где t — точность верньера, а п —
число углов. В крайнем случае при неблагоприятных условиях
допускается предел втрое больший.
Полученная невязка в углах распределяется равномерно, не
более, одной точности, на углы с наименьшими сторонами.
При съемке внутренней ситуации могут применяться все спо-
собы съемок, смотря по необходимости.
При сложной ситуации внутренних ходов может быть много и
Вычислительные и Чертёжные работы но Составлению планов 781
они могут взаимно пересекаться. Внутренние ходы служат прекрас-
ным средством для п поверки съемки границ, разбивая участок на
более мелкие части. Такие пересечения ходов называются узло-
выми и. отмечаются в натуре и вычисляются тщательнее других.
При пересекающихся ходах увязка углов внутренних ходов должна
производиться так, чтобы, исправив один ход, не испортить точ-
ность другого.
Все результаты съемки внутренней ситуации заносятся в абрис
настолько хорошо, чтобы потом можно было легко составить план.
Часто при съемке внутренней ситуации можно ограничиваться
измерением только одних румбов линий без углов, особенно если
предполагается составить план в мелком масштабе.
Экерная самостоятельная съемка применяется очень редко и то
только при малых площадях.
В открытом месте весь данный участок можно разбить на тре-
угольники и измерить их основания и высоты, определенные эке-
ром. Такие треугольники легко построить на бумаге и по ним весь
участок.
Точность экерной съемки очень невелика, так как углы строятся
экером с ошибкой в 10—15' и линии строятся только короткие
(60—80 м),
Н. Вычислительные и чертежные работы по составле-
нию планов
а)	Составление плана по румбам
Составление плана сводится к изображению на бумаге резуль-
татов, полученных из измерений в натуре.
На плане взаимное расположение различных линий, по углам
между ними, должно соответствовать расположению на местности;
размеры же всех линий на бумаге должны быть в одном и том же
масштабе или уменьшении.
План по румбам составляется по найденным в натуре румбам
и линиям. Так как румбы местности отнесены к некоторому мери-
диану (магнитному или истинному), то и на бумаге нужно провести
среди листа линию, которая в дальнейшем будет изображать мери-
диан. Так как схождение меридианов для небольших участков не-
велико, то можно считать все меридианы параллельными среднему.
Для построения румбов, равных румбам местности, служит при-
бор транспортир. Постепенно поворачивая транспортир около
меридиана, не сдвигая центр его с меридиана, легко определять
по делениям полукруга углы поворота, т. е. румбы, с точностью до
четверти градуса. Отсчет в 30° по транспортиру покажет уклонение
внешнего края линейки его тоже на 30°. При уклонении вправо от
верхней части меридиана на бумаге образуется румб СВ: 30°; влево —
СЗ: 30° и т. д.; в направлении вниз и направо будут получаться
румбы ЮВ и вниз и налево — ЮЗ.
782
Т. I. Отд. 5. Гевдезия. II. Горизонтальная съемка
Для построения плана по румбам нужно иметь циркуль, линейку,
треугольник и транспортир.
Первая точка плана на бумаге выбирается произвольно с рас-
четом, чтобы чертеж расположился удобно (фиг. 10). Вторая точка
получится в конце первой линии по ее длине и румбу. Румб строится
при прочерченном меридиане на любой его точке транспортиром,
затем к внешнему краю транспортира прикладывается треугольник,
к нему линейка; треугольник и линейка плотно держатся пальцами
руки, а транспортир снимается. Продвижение треугольника по ли-
Л	нейке до начальной точ-
ки даст в ней направле-
ние, параллельное по-
строенному при мери-
диане румбу. Циркулем
по масштабу отмеряется
первая линия и нано-
сится на прочерченную
линию через первую точ-
ку. Получится конец пер-
вой линии или вторая
точка под румбом, напр.
СВ: 30°. После того как
будет намечена вторая
точка, строится вторая
линия для получения
третьей точки и т. д. до
последней линии. Конец
последней линии должен
совпасть с начальной
точкой. В случае несов-
падения этих точек полу-
чается невязка. Величина линии, соединяющей первую и по-
следнюю точки, определенная по масштабу, называется абсо-
лютной невязкой, а отношение этой величины к периметру —
относительной невязкой. Длярумбической съемки невязка
1
не должна превышать периметра. Большая невязка может по-
лучиться от грубой ошибки в измерении в натуре линии или румба, а
также и от грубой ошибки при составлении плана. Большая ошибка
в линии войдет ошибкой в положение остальных линий и даст
большую невязку, направление которой будет, примерно, парал-
лельно направлению ошибочной линии. По этим признакам отыски-
ваются ошибки в линии или румбе при больших невязках. Невязку,
меньше ^qq периметра можно рассматривать, как неизбежный ре-
зультат от влияния разнообразных мелких погрешностей при изме-
рении румбов и линий, а также и от неизбежных погрешностей
при вычерчивании плана. Такую невязку следует распределить
Вычислительные и чертежные работы по составлению планов 783
равномерно по всему многоугольнику или, иначе, разверстать. На-
правление невязки следует считать от конца последней точки к пер-
вой точке. Для разверстания невязки нужно провести через все
вершины линии, параллельные невязке, и в том же направлении;
по этим дополнительным линиям и в том же направлении все точки
участка, кроме первой, передвигаются так, что последняя точка
переходит в первую, т. е. переносится на всю невязку, предпослед-
няя точка передвигается несколько меньше, следующая еще меньше
и т. д., причем эти передвижения сходят на-нет к первой точке.
Чтобы не оыло произвола в распределении невязки, необходимо
откладывать на этих дополнительных параллельных линиях доли
невязки пропорционально расстоянию данной точки от начальной.
После того как у каждой точки будут отложены доли невязки,
все вновь полученные точки нужно соединить прямыми линиями,
и в результате получится увязанный полигон. Первая точка остается
без изменения и соединяется с последней и второй перемещенными
точками.
В том случае, когда на план приходится наносить по румбам
хода внутренней съемки, последнюю работу, обычно, производят
после увязки внешних границ. Внутренний румбический ход, со-
гласно данным съемки, начинается и кончается какими-нибудь точ-
ками внешнего обхода. При накладке таких ходов также полу-
чается невязка внутренних ходов. Если положить, как основу, что
увязанные линии внешних границ не должны изменяться, то увязку
внутренних ходов нужно производить между точками начала и
конца этих ходов.
„ 1
Для внутренних ходов невязка допускается в пределах до j-gg
длины внутреннего хода.
После накладки основных ходов пограничных и внутренних
линий производится детальная накладка всех результатов съемки.
Угломерная съемка, кроме румбов, дает еще и внутренние углы,
которые попутно проверяются румбами.
Чтобы составить планы этих съемок по румбам, следует при-
менять румбы не измеренные, а вычисленные. Вычисление произ-
водится так: 1) вычисляется сумма углов теоретическая и практи-
ческая; 2) допустимая полученная невязка в углах распределяется
на углы с наименьшими сторонами; 3) по начальному наблюденному
румбу вычисляется азимут; 4) по этому первому азимуту вычис-
ляются последующие азимуты помощью формулы:
а2 — ai 4" 180° — В.
Азимут линии АВ = ах; в точке В измерен правый угол (по
ходу); если линию АВ продолжить, то получим, что а1 = а2: если
к прибавить 180°, то получится обратный азимут линии АВ,
отняв от которого угол В получим азимут линии ВС=а2. Можно
сказать, что азимут линии последующей равен азимуту линии
предыдущей плюс 180° и минус правый угол.
784
Т. I. Отд. 5. Геодезий. П. Горизойггальйая съемка
Вычисленные азимуты перечисляются на румбы, по которым
и составляется план.
Вычисления располагаются в такую таблицу:
№ вершин	Изме- ренные углы	Испра- вленные углы	Вычисление азимутов	Румбы вы- численные	Мера линий	Примечание
1	Азиму	т линии	1-2... 52’15' + 180’	СВ : 52’15'	120,4	* Если азимут получится боль- ший 360°, то из него можно вы-
2	79’35' -5'	79’30'	232’15' — 79’зи'			
			152’45' + 180’	ЮВ : 27’15'	144,7	честь 360=, тогда получится его
3	77’25'	77’25'	332’45' — 77’25'			настоящая ве- личина.
			255е20' -f-180*	ЮЗ : 75’20'	191,4	Может слу- читься, что вы-
4	61°35' -5'	61’30'	435’20' — 61°30\			читаемый угол более умень-
			373’50' 13’50' + 180’	СВ : 13’50'	Кб,5	шаемого, тогда к уменьшаемо- му нужно при-
5	14Г40' -5'	141’35'	193’50' . — 141’35'			дать 360®, и опять получится окончательный
Сумма	36СГ15'|	360’0'	52’15'			азимут.
360° —.	36045' =	: - 15'	—			
Точно так же вычисляются румбы и в том случае, когда при
съемке получен начальный или какой нибудь другой румб или
азимут одной линии; все остальные румбы вычисляются по этому
основному румбу. Ошибка в основном румбе при отдельной, не
связанной с другими, съемке не имеет практического значения,
так как это не повлияет на взаимное расположение линий участка,
а только несколько изменит общую ориентировку его.
Вычисленные румбы, конечно, отличаются от измеренных,и иногда
разница достигает до 1/2 — 3Л° в пользу вычисленных.
Накладка плана по вычисленным румбам ни в чем не отличается
от накладки по измеренным румбам.
Ь)	Составление плана по координатам
1. Вычисления для составления плана по координатам. Наи-
лучший по точности современный способ составления планов — это
'составление по прямоугольным координатам.
Вычислительные и чертежные работы тто доставлению Планов 73.5
При составлении плана по прямоугольным координатам hcq6-
ходимо ознакомиться со своеобразным приложением правил анали-
тической геометрии к геодезии. По этим правилам, $ видоизмене-
ниями, принятыми в геодезии, положение каждой точки много-
угольника на плоскости определяется относительно двух взаимно
перпендикулярных линий XX и УК длинами перпендикуляров из всех
вершин многоугольника к этим линиям. Линия XX носит в гео-
дезии название оси абсцисс, или оси Х-ов, а линия YY— оси
ординат, или оси У-оз. Ось абсцисс изображает направление мери-
диана съемки и принята за основную, в отличие от аналитической
геометрии, так как счет азимутов идет от меридиана. Точка О пере-
сечения этих осей называется началом системы прямоугольных коор-
динат. Часть плоскости XOY носит название первой четверти,
YOX—второй четверти, XOY—третьей четверти и
YOX— ч е т в е р т о й четверти. Перпендикуляр ААр опущен-
ный из точки А на ось У-ов, называется абсциссой точки, а пер-
пендикуляр АА2 на ось Х-ов— ординатой точки А. Абсцисса и
ордината точки вместе называются координатами точки.
Абсциссы точек, расположенных выше оси У-оз, считаются поло-
жительными, а ниже — отрицательными; ординаты вправо
от оси Х-ов — положительными, а влево — отрицательными. Из
фиг. 11 видно, что координаты различных точек различны и отли-
чаются друг от друга размерами и знаками. Разность абсцисс
точки В и точки А, равтя BB3t называется приращением
координат линии АВ по оси Х-ов, а - разность ординат АВ3 —
приращением по оси У-ов. Для краткости приращение ВВ3 обо-
значается знаком Аа (дельта х), а приращение АВ3—&у (дельта у).
Е-сли координаты увеличиваются в первой четверти, то приращения
абсцисс и ординат положительны, но для других четвертей пло-
скости они имеют другие знаки. Эти знаки связаны с направлением
линий, что видно из следующих схем:
Направление линии	Приращения	
	Дх	Ду
СВ	+	+
ЮВ		+
ЮЗ	—	
СЗ	+	—
4- Ах
- Ду
+ Ах
t- Ду
-----------в
— Ах	— Ах
— Ду	+ Ду
I
10
С
Легко запомнить, что верхний X имеет на чертеже знак-f-»
нижний знак—, У вправо знак -|- и влево знак—. Из фиг. 11 видно,
что абсцисса точки В, или иначе Хв, больше абсциссы точки А, или
ХА, на величину ВВ3, или Дх. Это соотношение можно написать
в виде: Хв = ХА Дх. Точно так же YB = У4+ Ду. Точно такое же
786
Т. Т. Отд. 5. Геодезия. ТТ. Горизонтальная съемка
соотношение можно написать для любой пары смежных точек. Так
кл Дх и by могут иметь знак + или—, это соотношение в об-
щей форме можно написать так:
= Хп ± Ду и = Yn ±by.
Словами можно выразить, что координата точки последующей
равна координате точки предыдущей + или—приращение. При
Фиг. 11.
составлении плана ко-
ординаты первой точ-
ки могут быть извест
ны ИЗ” других вычи-
слений, или могут
быть взяты произ-
вольными, даже—при-
равнены нулю. Так
или иначе/ но имея
координаты начальной
точки,, можно вычис-
лить координаты вто-
рой точки, зная при-
ращения; потом пи
координатам второй
точки вычисляется
третья и т. д.
Вопрос о вычи-
слении координат
всех вершин много-
приращепий координат на
угольника сводится к определению
каждую линию (Дх и Ду). Из фиг. 11 видно, что ВВ3, или Дх, пред-
ставляет один из катетов прямоугольного треугольника АВВЛ, а АВ3,
или by,— другой катет. Гипотенуза этого треугольника АВ - d
(длина линии АВ, измеренная в натуре, горизонтальное проложе-
ние), а угол АВВЛ = г румб этой линии.
Отсюда видно, что
ВВ3 — АВ cos г, или Д х = dcos г,
АВ$ = АВ sin г или Aj/ = tfsinr.
Таким образом приращения Дх и by выражаются тригономе-
трическими формулами, которые могут быть вычислены в числовых
размерах.
1-й способ вычисления приращений. Так как
в формулы, выражающие приращения, кроме длины линии, входят
множителем cos г и sin г, то эти формулы можно вычислить, под-
ставляя в них величины натуральных тригонометрических функций
cos' а и sin'а.
Вычислительные и чертежные работы тто составлению планов 787
Например, линия d = 88,23 и румб СЗ: 23° 33'.
Дх = 88,23 cos 23° 33' = 88,23 X 0,91671 = + 80,881;
Д у = 88,23 sin 23° 33' = 88,23 X 0,39955 = — 35,252.
Знак zt ставится для четвертой четверти, по названию румба.
2-й способ сводится к логарифмированию формул:
х = d cos г и у = d sin г.
Логарифмирование дает:
1g Д х = lg^ + lg cos г и lg Sy = lg d-j- lg sin г.
Все вычисления можно расположить по такой схеме:
№ линий	Румбы	Мера линий	lg cos г lg d lg sin r	lg Д x lg	Приращение			
					±	X	±	У
1	СЗ: 23 ° 33'	88,23 и т. д.	9,96223 1,94562 9,60157	1,90785 1,54719	+	80,88	—	35,25
3-й способ. При этом способе приходится применять спе-
циальные таблицы, а именно: „Таблицы для вычисления прямо-
угольных координат" Гаусса или „Таблицы приращений прямо-
угольных координат" Орлова. Эти таблицы составлены так, что
в них для каждого румба от 0 до 90° через одну минуту даются
готовые приращения для различных линий: 10,20, 30,..., 90, или
1, 2, 3,..., 10. Для получения приращений линий в 100, 200,300 и
т. д. приходится брать табличные данные и переносить запятые
вправо, а для линий 0,1, 0,2, 0,3 и т. д. или 0,01, 0,02, 0,03 и т. д.—
влево на соответствующее количество знаков,
Вычисления для каждой пары Дх и Sy также располагаются
в строгую схему, как видно из примера:
Мера линий 88,23	№ линии 1—2 Румб СЗ: 23э 33'	
	Дх	Ду
80	73,34	31,96
8	7,33	3,20
0,2	0,18	0,08
0,03	0,03	0,01
88,23	+ 80,88	-35,25
788
Т. I. Отд. 5. Геодезия. П. Горизонтальная бъемкА
Или, если представить всю
вычислений азимутов по углам,
схему вычислений, начиная от
она может иметь такой вид:
1№	1 ' вершин 1	Внутр, углы	Ази- муты	Румбы		Длины линии	Приращения из таблиц		Вычисленные приращения			
						Дх	ДУ	±	Д х	±	Ду
1	69°12'	312°7'	СЗ:	47'53'	237,0	134,13 20,119 4,695	148,36 22,253 5,193	+	158,94	—	175,81
						158,944	175,806				
2	251°34г	240'33'	ЮЗ:	60’33'	167,7	49,166 29,500 3,442 0,344	87,079 52,247 6,096 0,610	—	82,45	-	146.03
						82,452	146,032				
Вполне достаточно выписать из таблицы для всех линий всего три
знака, а в окончательной сумме можно ограничиться двумя деся-
тичными знаками, отбрасывая третий и округляя результаты.
Каждое приращение можно назвать проекцией линии на ту или
иную ось координат. Так, приращения по оси Х-ов будут проек-
циями линий участка на ось Х-ов, а приращения на оси Х-ов —
проекциями на ось Х-ов.
Из фиг. 12 видно, что есть проекция, или приращение,
линии ЛЙсо знаком плюс, есть проекция, или приращение, ли-
нии ВС тоже со знаком плюс; в сумме
обе эти проекции равны некоторой ди-
х____________Я	нии Л1С] со знаком плюс. Для других ли-
ний приращения, или проекции, будут
а /	/,С	отрицательны и в сумме дадут линии со
---^<5	\	знаком минус. Сумма всех положитель-
|	/ | ных приращений в замкнутом полигоне
___________j должна равняться сумме всех отрица-
___________Q.—1_-—1-— тельных. Разность между такими сум-
А	& V, С, мами называется невязкой в при-
Фиг- 12-	ращениях. Корень квадратный из сум-
мы квадратов этих невязок дает невязку
данного полигона, и она не должна превышать 1:2000 периметра
Невязка допустимая разверстывается по приращениям Хи}
пропорционально длинам линий так, чтобы по исправлении полу
чить приращения, сумма которых равна, в отдельности по оси Л
и X, нулю.
Вычислительные и чертежные работы хго составлению планов 789
По исправленным приращениям, последовательным прибавле-
нием приращений к координатам начальной точки, получаются
координаты всех последующих точек.
Исправление приращений и вычисление координат видно из
следующего примера:
£	Вычис-	По-	Вычис-	По-	Исправленные		Координаты	
з	ленные		ленные					
%%	Lx	правки	Ду	правки	Д х	Ду	X	У
1							0,0	0,0
2	4-108,1		-153,8		+108,1	-153,8	4 Ю8,1	-153,8
3	4- 26,0	4-о,1	4- 21,1		+ 26,1	+ 21,1	+134,2	-132,7
4	4- 9,2		4- 24,5		+ 9,2	+ 24,5	+143,4	-108,2
5	4- 68,1		+ 74,5		+ 68,1	+ 74,5	+211,5	- 33,7
6	4- 31,8		+ 16,2		+ 31,8	+ 16,2	+243,3	- 17,5
7	4- 13,2'		4- 25,4		+ 13,2	-4- 25,4	+256,5	+ 7,9
8	+ 68,4	4-0Д	+ 38,7		+ 68,5	+ 38,7	+325,0	, +46,6
9	- 72,8	4-ОЛ	4-134,1		- 72,7	+134,1	+252,3	, +180,7
10	- 90,0		- - 62,9		— 90,0	- 62,9	+162,3	+117,8
11	-162,3		- 117,9	+0,1	-162,3	-117,8	0,0	0,0
	4-324,8	4-0,2	J +334,5		-4-325,0	+334,5		
	-325,1	4-0,1	1 -334,6	+0,1	-325,0	-334,5		
Не- вязка	I - 0,3		— 0,1		0,0	0,0		
2. Черчение плана по координатам. После вычисления коор-
динат вершин полигона можно приступить к составлению плана.
Чтобы строить координаты, надо на бумаге иметь оси координат,
пересекающиеся под прямым
Если координаты не-
большие, не более 15—
20 см, то построение пер-
пендикуляров и отклады-
вание линий циркулем пр -
изводится достаточно точно.
При больших координатах
нельзя ограничиваться од-
ной парой осей, а необ-
ходимо дополнить их по-
строение добавочными ли-
ниями, параллельными оси
абсцисс и ординат. В пере-
сечении они дадут сеть
квадратов или прямоуголь-
ников.
углом.
Фиг. 13
790
Т. I. Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
Обыкновенно вычерчивается сетка квадратов в 10—20 санти-
метров. Правильность построения проверяется верной линейкой по
вершинам квадратов: все соответствующие вершины квадратов
должны лежать на одной прямой, а также остатки квадратов на краях
бумаги в точности должны быть одинаковыми. Эти квадраты вычер-
чиваются в пределах участка. Одна из линий выбирается за ось Х-ов
так, чтобы поместились все X, а другая линия за ось К-ов так, чтобы
поместились все У. Пересечение этих линий будет началом коор-
динат. Чтобы строить точку по размерам координат, всегда можно
сообразить, в каком квадрате лежит точка. Например даны Х=4~895 м
и У = + 1200 м, квадраты по 500 м. Точка будет во втором положи-
тельном горизонтальном ряду и в третьем положительном верти-
кальном столбце. В надлежащем квадрате, по обеим сторонам его,
от линии-)-500 откладывают 895 — 500 = 395 л/, соединяют эти
точки и на этой линии уже откладывают 1200 — 1000 = 200 м. Эту
точку соединяют с началом координат в котором лежит первая
точка полигона, и получают первую линию учас1ка.
При вычерчивании плана но координатам большое* значение
имеет точное построение квадратов, на что надо обращать особенное
внимание.
При составлении уменьшенной или увеличенной копии пользуются „пропор-
циональным .циркулем**, или же пантографом. В пантографе полюс, обводной шпиль
и карандаш должны лежать в одной вертикальной плоскости. Для этого при дан-
ном отношении к оригиналу, например ставят линейку на деления */-. также
карандаш ставят по другой линейке на деление, обозначенное J/5. Переменив места
шпиля и карандаша, можно получить увеличенные копии. Работать пантографом
нужно не быстро, разместив его и бумагу на ровном столе.
I. Вычисление площадей
Определение площадей земельных участков можно производить
или по измерениям в натуре или по уже составленному плану.
В первом случае необходимо в натуре определяемый участок
разбить на простейшие геометрические фигуры (треугольники,
трапеции, квадраты и т. п.) и измерить в них же элементы, по ко-
торым возможно вычислить площадь треугольника, трапеции и пр.
Если для составления плана вычислены координаты, то можно
ими воспользоваться для определения площади всей фигуры по
одной из. формул:
2 ? — Уп (хп—1	хп+1)
или
2P = Sx„(yn+1 -Л-1).
Здесь Р искомая площадь и знак 2 (сигма) — или сумма про-
изведений всех ординат на разность абсцисс или сумма произведе-
ний всех абсцисс на разность ординат вершин.
Все такие вычисления располагаются в следующую схему для
ясности и удобства:
Вычисление площадей
791
12	3	4b	5	7
X X и	X	х п—1~ л+1	У	Уп+Х-Уп-1	( хп—1 хп-\-\)У^(Уп-\-\~Уп — 1) хп	
	м	м	м	м	м*	м*
1	0,0	-134,2	0,0			
2	*4-108,1		-153.8	-132,7	Д-20639,96	—14344,87
3	+134,2	— 35,3	-132,7	+ 45,6	+ 4684,31	+ 6119,52
4	+143,4	- 77,3	-108.2	+ 99,0	+ 8363,86	+14196,60
5	+211,5	— 99.9	- 33,7	+ 90,7	+ 3366,63	+ 19183,05
6	+243,3	- 45,0	- 17,5	+ 41,6	+ 787,50	+10121,28
7	+256,5	- 81,7	+ 7,9	+ 64,1	- 645,43	+16441,65
8	+325,0	+ 4,2	+ 46,6	+172,8	+ 195,72	4 56160,00
9	+?52,3	-1 162,7	4-180,7 +173.8	+ 71,2	+29399,89	+ 17963,76
10	+162.3	4'252,3		-180,7	+29720,94	—29327,61
1	0,0	+ 54,2	0,0	-271,6		
		^	1—473,4		у _ (+585,0 1 585,0	2 р ;Д-97158,81 — - 645,43 =	2 р -+140185,96 — — 43672,48 =
					= 96513,38 м'	= 96513,<36 м'
QARI Q ЦЙ i/?
Отсюда Р =	= 48256,69	= 4 га 8256,69
Прием двукратного определения площади по формулам 2Р =
= Л(Л-1-Л+1) и 2Р = хп(Уп+1— Л-1) служит для проверки
работы вычисления.
При наличии уже готового плана можно площадь вычислить,
разбив всю фигуру на простейшие геометрические фигуры (тре-
угольники, трапеции, квадраты и пр.) и вычислить их площади по
правилам геометрии.
Планиметр. Вычисление площадей производится достаточно
точно и быстро планиметром. Планиметр состоит из двух рыча-
гов Р п соединенных в точке G (фиг. 14). Рычаг Р вращается
около неподвижной точки полюса Р, другой рычаг своим шпилем
обходит.контур измеряемого участка и несет на себе счетный аппа-
рат, передвигающийся вместе с рычагом. Рычаг Р называется по-
792
Т. I. Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
лярн ы м, а рычаг F— обводным. Применение планиметра сво-
дится к тому, что острие устанавливается в какой-нибудь точке
контура измеряемого участка, делается отсчет по штрихам горизон-
тального круга и вертикального круга с верньером, наир. 2153, затем
внимательно шпилем обводится весь контур по ходу часовой
стрелки до начальной точки и снова делается отсчет, напр. 5575; раз-
ность 3422 будет выражать площадь участка в делениях пла-
ниметра. В том случае, если основной круг делает полный обо-
рот, прибавляются к последнему отсчету 10 000. Так ведется вы-
числение, если полюс планиметра расположен вне фигуры. Если же
полюс расположен внутри фигуры, то к последнему отсчету при-
бавляется постоянное число, например 18 675, и в этом случае
могут получиться такие числа: 18 675 -f- 2341 — 18 294 = 3422 Для
того чтобы этот результат превратить в гектары и з/2, нужно
знать цену одного деления планиметра и умножить резуль-
тат на эту цену. Например цена одного деления планиметра равна
0,01 га, или 100 м2, тогда 3422 деления планиметра будут соот-
ветствовать 34 га, или 2200 м2. Чтобы получить отсчет на плани-
метре, сначала нужно взять меньшую цифру у указателя круга,
напр. 6, потом по вертикальному колесу берется меньшая цифра и
деление до нуля верньера, напр. 4 и 5 и затем по верньеру, напр. 8.
Получается отсчет 6158. Цена деления планиметра определяется по
площади какой-нибудь правильной фигуры (квадрата, круга, прямо-
угольника). Обвод планиметром этой фигуры даст площадь ее
в делениях планиметра, напр. 1600, если эта площадь равна 16 га,
то измерение даст цену деления в 0,01 га или 100 м2 (16 га
разделены на 1600). Чтобы эту работу сделать точнее, можно
пользоваться квадратами координатной бумаги или контроль-
ной линеечкой, при помощи которой шпиль планиметра меха-
нически обводит площадь кругов разных площадей. Зная длину
линейки (радиус), можно вычислить площадь круга. Следует всегда
сбвод планиметром производить не менее двух раз, чтобы иметь
контроль точности работы. Разность между двумя определениями
не должна превышать части их арифметического среднего. Из
двух близких определений берется среднее.
Правила определений площади планиметром.
1. Когда полюс планиметра стоитвпе фигуры,
то разность отсчетов (второго и первого) нужно
умножить на цену деления.
2. Когда полюс сто'ит внутри фигуры, сначала
ко второму отсчету прибавляется постоянное
число, отнимается первый отсчет и затем уже
результат помножается на цен у п л а н и м л т р а.
Обводный рычаг может быть постоянной длины и пере-
менной. Переменный рычаг делается для того, чтобы в зависи-
мости от масштаба увеличивать или уменьшать цену деления и
Технические (геометрическое) нивелирование
793
постоянное число, так как с переменой масштаба может получиться
пена деления в виде дробного неудобного числа или слишком боль-
шого размера. Передвижением части рычага можно изменить его
длину до желаемых размеров.
Проверки планиметра и его ошибки. Перед употре-
блением планиметр необходимо проверить. Общий осмотр может
указать на некоторые очевидные недостатки планиметра, а общая
проверка производится путем измерения одной и той же площади
при разных положениях планиметра: точка соединения рычагов
вправо от измеряемой площади и влево. Следует всегда измерять
площади дважды так, чтобы выгиб рычагов был в противоположных
направлениях.	•
Небольшие разницы в пределах точности планиметра укажут
на общую его исправность, в противном случае нужно разыскать
механическую неисправность планиметра.
III. Вертикальная съемка (нивелирование)
Основная задача вертикальной съемки, или нивелиро-
вания,-^определение превышения одной точки над другой, а затем
по превышениям определение высоты.
Превышения можно определить разными способами: геомет-
рическим, тригонометрическим и физическим
(барометрическим).
А. Техническое (геометрическое) нивелирование
При геометрическом нивелировании применяются особые инстру-
менты - нивелир ы, помощью которых можно получить горизон-
тальные лучи зрения. Главными частями у нивелиров являются
точный цилиндрический уровень и сильная зрительная труба, визир-
ная ось которой должна быть параллельна оси уровня, благодаря
чему при приведении оси уровня в горизонтальное положение
достигается горизонтальность визирной оси или луча зрения. В ка-
честве вспомогательных частей к нивелирам добавляются ниве-
лирные рейки — доски с делениями.
Пусть (фиг. 15) на местности даются две точки А и В.
Расстояние по отвесу точки А от горизонта воды /V— N, или
будет высота точки А над уровнем моря, а Нв высота точки В. Раз-
ностью высот Нв — НА = h будет превышение В над А; отсюда
можно написать соотношение: Нв = НА + h или высота точки В
равна высоте точки А плюс превышение. Если точка В
выше точки А, то превышение h имеет знак плюс, если же точка В
ниже точки А, то превышение будет отрицательно; в общей
форме можно написать, что высота точки последующей
равна высоте точки предыдущей ± превышение.
Чтобы определить превышение, нивелир можно поставить по
средине между точками, а на точки устанавливать рейки (фиг. 16).
794 Т. I. Отд. 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
Уровень и труба устанавливаются в горизонтальном положении,
и труба поочередно наводится на рейку в точке Лив точке В.
Деления на рейках идут снизу, от земли, кверху. Горизонтальный
луч по рейке сделает отсчет, т. е. определит размер части рейки ют
земли до луча зрения, напр., по рейке А — 1243 мм, а по рейке В—
753 мм. Отсчет на заднюю рейку А называется взглядом на-
зад а, на переднюю рейку В — взглядом вперед Ь.
Из простых геометрических соображений видно, что а == h +- b
или h = а — Ь, т. е. по разности взгляда назад и вперед получается
превышение. Так как Ну -|- а = Н2 + Ь, то можно написать, что
//2 = Ну + а — b или высота точки последующей//., рав-
няется высоте точки предыдущей Ну плюс взгляд
назади минус взгляд вперед.
Сумма Ну + а, дающая высоту луча визирования над уровнем
моря называется горизонтом инструмента.
Таким образом вычисление высот точек можно ‘делать по
формуле Н2 = Ну ± h. т. е. помощью превышений, или же по фор-
муле Н2 = Ну + а — Ь, т. е. через горизонт инструмента.
Пусть высота точки А над уровнем моря равна 65,488 м, а —
= 0,453 м и b = 0.945 м. Высота точки В получится двояко: Н2 =
= 65.488 м — 0,492 м = 64,996 м или Н2 = 65,488 + 0,453 —
— 0,945 = 64,996 м.
Такой вид геометрического нивелирования называется ниве-
лированием из средины, так как инструмент ставится по
возможности на равных расстояниях от точки А и В. Точной
центрировки и установки инструмента на линии АВ, конечно, при
нивелировании из средины не требуется.
Превышение между двумя точками, применяя те же простые
геометрические соображения, можно получить и другим способом.
Так, если нужно определить превышение точки В над /, то, по-
ставив в точке А инструмент, надо сделать по рейке В отсчет а\
Техническое (геометрическое) нивелирование
795
превышение точки В над А будет равно h = i — а, где h—иско-
мое превышение, z—высота инструмента в А, а — отсчет вперед,
так как I = а 4- h. Такой способ называется нивелированием
вперед, и превышение равно разности высоты
инструмента и отсчета. Положительная разность укажет на
повышение, а отрицательная — на падение линии. В этом случае
инструмент центрируется окуляром над точкой А и
высота его определяется по рейке от земли до середины окуляра.
Рейки имеют, в среднем, ширину 10—12 см, толщину 1—2 см и длину 3—4 м.
Рейки раздвигаются, когда местность имеет большие уклоны, со значительным
понижением и когда нужно ожидать большие отсчеты по рейкам. После раздви-
жения части рейки взаимно закрепляются так, чтобы деления шли непрерывно^ про-
должаясь на стыках; на это надо обращать особое внимание, иначе в отсчеты может
войти значительная ошибка.
Для установки рейки вертикально, что требуется для правильности отсчетов,
следует к рейке прикрепить круглый уровень или отвес на небольшом шнуре.
Нивелиры. Нивелирами называются инструменты, при помощи
которых в натуре получается горизонтальная плоскость, или гори-
зонтальный луч, позволяющие определять, какие точки выше или
ниже друг друга.
Нивелиры обычно имеют зрительную трубу и цилиндрический
уровень. Зрительная труба и цилиндрический уровень в нивелире
прикреплены так, чтобы выполнялось главное свойство нивелира:
визирная ось трубы должна быть параллельной оси цилиндриче-
ского уровня.
Перед работами, чтобы получить горизонтальный луч или гори-
зонтальную плоскость линий визирования, следует помощью трех
подъемных винтов и уровня привести инструмент в горизонтальное
положение, для чего труба с уровнем устанавливаются сначала по
направлению двух подъемных винтов, и пузырек уровня сначала
при помощи перестановки ножек штатива, а потом только этими
двумя подъемными винтами устанавливается по средине трубки, затем
труба с уровнем поворачивается, примерно на 90°, и только третьей
ножкой штатива и только третьим подъемным винтом пузырек
опять ставится на средину трубки.
Все разнообразие конструкций нивелиров можно сгруппировать
по типам, отличающимся друг от друга, главным образом, располо-
жением и скреплением уровня и трубы; таких групп для совре-
менных нивелиров можно наметить четыре.
Тип 1. В нивелирах первого типа достигается осуществление
простого и прочного инструмента, удобного на полевых работах,
средней, но достаточной для технических целей, прочности. На
фиг. 17 изображен нивелир первого типа, под названием глухой
нивелир, так как в нем уровень и труба наглухо прикреплены
к подставке и друг к другу. Такие нивелиры применяются для тех-
нических работ небольшой точности; они имеют трубы с увеличе-
нием оксло 20 и менее раз и соответственной точности уровни
(одно деление равно дуге, стягивающей центральный угол в 20").
Сверху уровня иногда помещается зеркальце для наблюдения за
796 Т. I. Отд. 5. Геодезия. Ш. Вертикальная съемка (нивелирование)
пузырьком уровня. Длина трубы около 30 см. Простейшим видом
таких нивелиров служит нивелир карманный, очень небольших
размеров, труба 15—20 см длины, увеличение трубы около 10 раз.
Таким нивелиром пользуются только для самых первоначальных,
пробных измерений во время путешествий и рекогносцировок.
Т и п 2. В этом нивелире труба не прикреплена к подставке,
а лежит в лагерах, и удерживается застежками; уровень при-
креплен к подставке. Труба может перекладываться в подставках,
и поэтому такие нивелиры называются нивелирами с перекладываю-
щейся трубой и с уровнем при подставке. В этих нивелирах лучше,
Фиг. 17.
чем в глухих, контролируется параллельность осей трубы и уровня,
п: этому они считаются более надежными в работе и их делают
более точными: увеличение трубы около 30 раз, цена одного деле-
ния уровня 10", длина трубы около 45 см, прочная крестовина
внизу, большие подъемные винты с мелкой нарезкой для точной
установки уровня.
Т и п 3. В инструментах типа 2, при всех их достоинствах, при
перекладке трубы может быть нарушена параллельность оси визир-
ной и оси уровня вследствие изменения размеров подставок. По-
этому выработаны нивелиры третьего типа, у которых труба соеди-
нена непосредственно с уровнем (фиг. 18 и они вместе могут
перекладываться в подставках, что делает эту конструкцию очень
надежной, точной. Такие нивелиры применяются для нивелирования
высокой точности, имеют сильные трубы с увеличением около
Техническое (геометрическое) нивелирование	797
40 раз и длиною в 45 см, точные уровни (около 5") и прочные,
устойчивые штативы.
Тип 4. К этому типу можно отнести нивелиры Цейсса-Вильда,
у которых уровень помещается сбоку трубы и может переклады-
ваться на другой бок (оборотный уровень) вместе с трубой, чю
дает возможность исключать ошибку от непараллельное™ осей
уровня и трубы. Крэме того, оптика этого нивелира рассчитана так,
что окуляр может выниматься и вставляться в крышку объектива
Фиг. 18.
и таким образом окуляр станет объективом, а объектив — окуля-
ром, что позволяет делать еще два наблюдения.
Проверка нивелиров. Проверить нивелир нужно для
того, чтобы убедиться в правильном соотношении основных частей
нивелира, особенно чтобы выявить соблюдение основного условия:
визирная ось трубы должна быть параллельна
оси уровня. Только при наличии этого главного условия, при-
ведя ось уровня в горизонтальное положение, можно получить
горизонтальный луч визирования для отсчетов по рейкам.
Проверка нивелира типа 1. а) Ось уровня
должна быть перпендикулярна к вертикальной
оси вращения инструмента.
Перед каждой работой и перед проверкой нивелир сначала
нужно привести в горизонтальное положение, т. е. в такое поло-
7 '8 Т. I- Отд. 5. Геодезия. ITI. Вертикальная съемка (нивелирование)
жение, при к тором визирная ось при поворотах будет описывать
горизонтальную плоскость. Для этого ур вень сначала устанавли-
вается двумя винтами, а потом окончательно регулируется третьим
винтом. После этого для проверки нужно снова точно установить
пузырек уровня на средину делений и затем повернуть трубу
с уровнем на 180° так, чтобы окуляр занял место объектива и
обратно — объектив стал на место окуляра. Если при таком пово-
роте пузырек уровня не сойдет со средины, то это будет указывать
на исправн». сть установки уровня; в противном случае, т. е. когда
пузырек при повороте на 180° сойдет со средины, напр. на шесть
делении, то такой уровень нужно исправить, подняв или опустив
его один конец (фиг. 18) винтом настолько, чтобы пузырек уровня
ушел, обратно на половину своего уклонения от средины,
в нашем случае на три деления. Так как полное исправление сразу,
обычно, не удается, то следует всю проверку и исправление повто-
рить еще один - два раза, пока при поворотах на 180° пузырек не
перестанет смещаться со средины.
Ь) Теперь следует перейти к выявлению другого условия:
визирная ось трубы должна быть параллельна оси
уровня.
Если это условие в инструменте не выполнено, то при гори-
зонтальности оси уровня визирная ось трубы не будет горизон-
тальна, вместо верного отсчета b будет сделан по рейке отсчет невер-
ный Ьь и превышение точки А над точкой В будет вычислено
неверно. Именно, верно h = a — b, а будет вычислено h = a — blf
с ошибкой х, которая зависит от угла ошибки между осью уровня
и осью трубы и от расстояния ВК между инструментом и рейкой.
Здесь ошибка х прямо пропорциональна расстоянию и для равных
расстояний будет одинакова по размерам.
Эта ошибка происходит от неправильной установки сетки нитей,
и при проверке эту ошибку нужно выявить и исправить, передвинув
сетку нитей вертикальными винтами. Для проверки выбираются две
точки Л и В на сравнительно ровном месте, на расстоянии 50 м
друг от друга: в них забиваются небольшие колышки вровень
с землей и на них ставятся рейки; между этими точками, строго
посредине, ставится нивелир, приводится в горизонтальное поло-
жение, и по рейкам делаются отсчеты. Если визирная ось не парал-
лельна оси уровня и составляет с ней угол а, то вместо верных
отсчетов а и b будут сделаны неверные отсчеты аг и Ьг каждый
с ошибкой х или верное превышение h, = (at -j- x)—(bt x) = aY—bb
так как при вычитании ошибки х в отсчетах взаимно уничтожатся.
Отсюда видно, что при равных расстояниях от точки стояния ниве-
лира до реек, даже по получении неверных отсчетов, истинное пре-
вышение получается как разность этих отсчетов, так как ошибки
в обоих отсчетах взаимно уничтожаются.
Таким образом при нивелировании строго из средины можно
получать верное превышение как разность отсчетов по рейкам.
Вот этим обстоятельством и можно воспользоваться при про-
верке изучаемого условия:
Техническое (геометрическое) нивелирование	799
с) Выбираем две toikh А и В, ставим нивелир строго по сре-
дине и определяем верное превышение Л; затем нивелир переносим
в точку В, устанавливаем окуляром нивелир нал. точкой Л, изме-
ряем по рейке высоту инструмента / над точк. й В и делаем отсчет
по рейке, напр. Ь, если визирная ось пойдет выше оси уровня.
Разность I—b = /il даст неверное превышение с ошибкой 2х, сли-
чив которое с ранее полученным верным превышением, узнаем 2х.
Определив ошибку, нужно ее исправить, передвинув горизонталь-
ную нить так, чтобы по рейке получился верный отсчет b вместо
неверного Ьх. Чтобы убедиться в точном исправлении инструмента,
слеАует проверку эту и перестановку нитей повторить, пока ошибка
не дойдет до нуля или до 1—2 мм на расстоянии в 50 м.
Такая проверка называется проверка двойным нивелиро-
ван и е м.
Проверки нивелира типа 2. Проверки этого нивелира
несколько сложнее, так как здесь имеется перекладывающаяся труиа.
а)	Проверка уровня производится точно так же, как и
j нивелиров типа 1, т. е. при помощи поворота на 180°. Необ-
ходимое исправление выполняется винтом при уровне.
Ь)	Визирной осью трубы называется линия, соединяющая
крест нитей с центром объектива, а геометрической осью
называется ось объективной трубы (цилиндра). Ось визирная
должна совпадать с осью геометрической. Несоблю-
дение этого условия при перекладке и вращении трубы в под-
ставках обязательно вызовет смещение визирной оси, что поведет
к ошибкам в отсчетах по рейке. Чтобы выполнить эту проверку,
нужно трубу нивелира направить на какую-нибудь точку так, чтобы
точка пересечения нитей точно стала на точку визирования. В таком
положении нивелир закрепляется и затем труба постепенно повора-
чивается в подставках на 180°. Если при таком вращении трубы
окажется, что крест нитей не сходит с намеченной точки,. то
условие совпадения осей в нивелире соблюдается, если же крест
нитей сойдет, то нужно заметить, насколько, при повороте па 150°,
точки разошлись, разделить это расстояние- осей на-глаз пополам
и передвинуть сетку нитей исправляющими винтами, сначала на
половину вертикального расстояния, а потом на половину гори-
зонтального так чтобы пересечение нитей стало в среднюю точку.
После этого проверку и исправления снова следует повторить до
тех пор, пока крест нитей не будет сходить с намеченной точки.
с)	Далее следует убедиться в том, что подставки трубы
(фиг. 18) равны между'со б ой, иначе при перекладке трубы
могут получаться ошибки. Действительно, если мы приведем нивелир
в строго горизонтальное положение, наведем на рейку, стоящую
метров на 50 от инструмента, сделаем отсчет, потом переложим
трубу в подставках, повернем весь нивелир, снова наведем на рейку
и снова Сделаем отсчет, то должны получить два совершенно оди-
наковых отсчета по рейке. Отсчеты делаются по горизонтальной
нити и перед каждым отсчетом пузырек уровня одним подъемным
винтом ставится точно на средину. Если же получатся два разные
80Э Т. I. Огд. 5* Геодезия. ПТ. Вертикальная съемка (нивелирование)
отсчета, то одну из подставок нужно убавить» или увеличить так,
чтобы горизонтальная нить пришлась на средний отсчет; это и по-
кажет, что подстарки выравнены. Эту проверку и исправление н) жно
проделать раза два — три, пока при перекладке не будут получаться
совершенно одинаковые отсчеты, с допустимым расхождением
в 1—2 мм.
d; После этих трех проверок, чтобы окончательно убедиться
в параллельности визирной оси к оси уровня, нужно проверить
равенство диаметров цапф. т. е. тех колец, которыми кла-
дется труба в подставки. Эти цапфы с большей точностью обтачи-
ваются при изготовлении нивелиров, но в работе стираются, изна-
шиваются, поэтому и необходимо проверять равенство их диаметров.
Такую проверку возможно произвести в полевой обстановке путем
двойной нивелировки, рассматривая весь инструмент как „глухой"
нивелир. Если двойное нивелирование покажет в нивелире ошибку,
то она будет целиком зависеть от неравенства диаметров цапф,
что возможно исправить только на станке. До исправления таким
инструментом можно нивелировать только строго из средины, чтобы
рейки были на равных расстояниях от нивелира.
Проверки нивелира типа 3. а) Равенство под-
ставок уровня проверяется перекладкой трубы с уровнем
в подставках. Если пузырек уровня будет сходить со средины, то
исправительным винтом пузырек перегоняется обратно па поло
вину дуги уклонения.
Ь) Совпадение визирной оси и геометрической
проверяется и исправляется так же, как и в типе 2.
с) Р а в е п с т в о подставок трубы проверяется поворото.у
всего нивелира на 180° и исправляется элевационным винтом у под-
ставки, которым пузырек уровня перемещается обратно на поло-
вину уклонения.
• d) Равенство диаметров цапф проверяется, как и у
типа 2, двойным нивелированием.
Проверка нивелира Цейсса. При употреблении этого
инструмента в поле необходимо главным образом убедиться, что
ось цилиндрического уровня параллельна визирной оси трубы. Для
этого метрах в 50 от инструмента устанавливают рейку в верти-
кальном положении и делают по ней четыре отсчета при следую-
щих условиях: 1) окуляр на месте, уровень влево от зрительной
трубы; 2) окуляр на месте, уровень вправо от зрительн й трубы;
3) окуляр вставлен в крышку объектива, уровень вправо от зри-
тельной трубы; 4) окуляр вставлен в крышку объектива, уровень
влево от зрительной трубы.
Перед отсчетами пузырек устанавливается строго на средину,
что произойдет тогда, когда в призме будет видно совмещение его
концов.
Исправление инструмента производится следующим образам
Сначала нужно, исправить уровень, для чего трубу наводим на сред
ний отсчет из 1-го и 2-го положений и исправляющим винтом урозня
ставим его концы в совпадение. После этого исправляется положе-
Техническое (геометрическое) нивелирование	801
ние призмы, для чего зрительную трубу в 1-м положении устана-
вливают на средний отсчет по рейке из четырех отсчетов и, ослабив
винты, передвигают оправу призм, при помощи которых наблю-
дается пузырек уровня, винтом до тех пор, пока обе половинки
пузырька, видимые в призму, не придут в совпадение.
а)	Продольное нивелирование
Если две нивелируемые точки находятся на небольшом рас-
стоянии друг от друга (50—100 м) и взаимное их превышение не
более 3—4л<, то это превышение можно определить с одной стоянки
нивелира, поставив его или по средине между нивелируемыми точ-
ками, или же в одну из этих точек. В первом случае превышение
получится как разность отсчетов по двум рейкам, а во втором слу-
чае — как разность между высотой инструмента и отсчетом.
При нивелировании из средины почти все погрешности самого
нивелира, сказывающиеся на отсчетах, взаимно уничтожаются в раз-
ностях отсчетов, а при нивелировании вперед такие погрешности дей-
ствуют только в одну сторону, чем сильно понижают точность работ.
Если местность сильно гористая, то для получения превыше-
ния между двумя, даже близкими, точками следует линию между
этими точками разбить на части, и все превышение определяется
как сумма частных превышений.
Точно также, если нужно пронивелировать две значительно уда-
ленные друг от друга точки или вообще нужно пронивелировать
длинную линию, то ее следует разбить на части (фиг. 16), причем
каждая часть нивелируется отдельно. Превышение одной точки над
другой удаленной точкой составится в виде суммы превышений.
Отсюда высота конечной точки будет равна высоте начальной
точки плюс сумма всех частных превышений. Этим самым опреде-
ляется общий прием нивелирования удаленных точек или длинных
линий, т. е. нивелирования продольного. Именно, в таких
случаях вдоль линии отмеряются от начальной точки отрезки
линии, равные обычно 100 м, считая по горизонтальному расстоя-
нию. Такие расстояния называются пикетами. Для отмеривания
пикетов по горизонтальному направлению, а не по наклонным
линиям, в промеры вводятся поправки за наклон или лента вытя-
гивается горизонтально в воздухе, т. е. измерение ведется усту-
пами. В начале и в конце пикета забивается кол вровень с землей
для установки на нем рейки; этот кол называется точкой;
а рядом с ним забивается другой кол, высокий, для разыскивания
точки, называемый сторожком. Пикетные колья — точки и сто-
рожок — нумеруются, начиная с нуля, затем 1, 2 и т. д. Во время
разбивки пикетов, или пикетажа, ведется от-руки чертеж в пи-
кетажной книжке. В пикетажной книжке, которая делается из раз-
графленной в квадрат бумаги, с твердым переплетом, на каждой
странице посредине проводится прямая линия и на ней намечаются
начало и конец каждого пикета, ставятся номера пикетных точек,
указываются стрелкой повороты, надписываются углы поворотов,
репера, зарисовывается их внешний вид, отмечаются перемены
802 t. Отд. 5. Геодезия. Ш. Вертикальная сьемка (нивелирование)
в угодьях, переходы через дороги, ручьи, реки и т. д. и все про-
межуточные точки, выделяющиеся по своей высоте (точки пере-
лома местности). Расстояния между точками по горизонтальному
направлению равны обыкновенно 100 м, а положение промежу-
точных точек определяется горизонтальными промерами от преды-
дущей пикетной точки и обозначается номером предыдущей пи-
кетной точки плюс некоторое расстояние, напр. № 49 -j- 40, и по-
этому такие промежуточные точки называются кратко „плюсами".
Во время нивелирования инструмент ставится на равных расстоя-
ниях от пикетных точек, что определяется обычно шагомерно.
Нивелир приводится в горизонтальное положение, рейки
ставятся на пикетные точки, потом труба наводится сначала на
рейку А и делается отсчет а, потом на рейку В и получается
отсчет Ь. Для контроля полезно повторить всю работу, для чего
можно несколько переставить инструмент, сделав его немного
выше или ниже, или следует переложить трубу в подставках.
После этого нивелир снова приводится в горизонтальное положение
и вновь получаются отсчеты и bt. Проверка наблюдений про-
изводится путем вычисления превышения по разностям отсчетов,
т. е. должно существовать равенство а — b = аг — Ь{ или, так как
инструмент изменил свою высоту, то должно получиться другое
равенство: а — aL = b — Ьг Если эти оба равенства получаются не
в полной точности, то можно допустить уклонение в 3--4 мм, не
больше. Всегда нужно соблюдать правило: перед самым отсчетом
по рейке необходимо взглянуть на уровень и одним из подъемных
винтов поставить пузырек уровня точно на средину. После того
как пикетные точки будут пронивелированы, нужно заднюю
рейку ставить поочередно на промежуточные точки и на них
отсчеты берутся только при втором положении инструмента.
Записи отсчетов по рейкам ведутся в тысячных долях метра или в миллиметрах,
как видно из схемы журнала нивелирования. В этом журнале в скобках показаны
цифры порядка, по которому ведется запись. Сначала (I) записывается взгляд назад
на точку 0, потом (2) взгляд вперед на точку 1; затем высота инструмента
меняется и снова записывается (3) взгляд назад и (4) взгляд вперед. Разность между
двумя задними отсчетами должна равняться разности передних. Расхождение до-
пускается не более 4 мм, При больших расхождениях нивелирование повторяется,
а при удачном результате из двух взглядов берется среднее (5) и (6). Разность
средних взглядов назад и вперед дает превышение + или — (7). Условная высота
нулевой точки принята за 10 0J0. Прибавление к шей взгляда назад дает горизонт
инструмента (Ь), наконец, если из горизонта вычесть взгляд вперед, то получится
условная высота (отметка) точки 1. Разность отметок точки 1 и 0 должна быть
равна определенному превышению 1,618. При длинной нивелировке следует про-
верку вычислений делать по каждой странице; для этого подсчитывается сумма
всех средних взглядов назад и вперед; разность их должна равняться разности по-
следней и первой отметкам. Образцы проверок показаны в журнале нивелирования.
Все эти точки (пикетные или для краткости их называют также пикетами) нужно
ни елировать очень тщательно, так как высоты их вычисляются по предыдущей
и все ошибки могут накопляться и дурно влиять на конечный результат. Полезно
каждую линию нивелировать дважды, вперед и назад, или же в два нивелира, один
за другим. Если отметки начальной и конечной точек известны или нивелирный
ход идет кольцом, т. е. замкнутый, то в этих случаях получается контроль: сумма
всех превышений должна равняться разности отметок крайних точек, а в замкнутом
ходе —нулю. Разногласие между полученным результатом и теоретическим назы-
вается невязкой нивелирования. Невязка не должна превышать
Журнал нивелирования
(Число, месяц и год)
(Фамилия нивелировщика)
। Станция	1	№ точек	Отсчеты на рейке					Превышения		Горизонт инстру- мента	Получен- ная условная отметка	Испра- вленная услов- ная отметка	Отмет- ка отно- ситель- но уровня моря	Примечание
		Читанные			Средние		+	—					
		Задн.	Передн.	Пром.	Задн.	Передн.							
А	0 1	098(1) 075(3)	1,715(2) 1,694(4)		086,5(5)	1,704,5(6)		1,618(7)	10,086,5(8)	10,000 8,382(9)	10,000	75,000	10,000,0 4- 86,5 10,086,5 -1,704,5 8,382 + 73 8, 55 ’ —1,767,5 6,687,5 + Ю2 6,789,5 -1,676 5,113,5 Проверка (14)	(15) 261,5	0,000 -5,148 -4,886,5
	1 2	066(1) 080(3)	1,760(2) 1,775(4)		073(5)	1,767,5(6)		1,694,5(5)	8,455(8)	8,382 6,687,5(9)			
С	2 Н-45 3	111(1) 093(3)	1,685'2) 1,667(4)	1,241	102(5)	1,676(6)		1,574(7) 1,148	6,7895(8)	6,6875 5,539 5,113,5(9)			
													—4,886,5 —4,886,5 (16) 5,113,5 —1,000,0 -4,886,5 XIV
I	II	III	IV	V	261,5(10) VI	5,148(11) VII	0,000(12) [ VIII 1	4,886,5(13) IX	X 1	XI	XII	XIII	
о
Техническое (геометрическое) нивелирование
801 Т. I. Отд. б. Геодезия. Ш. Вертикальная съемка (нивелирование)
(10 VL -f- 1.0 L) мм, где L число километров между пикетами. Допускаемая невязка
распределяется равномерно на превышения так, чтобы сумма их равнялась теорети-
ческой. В том случае, если между пикетными точками имеется заметный перелом
линии в вертикальной плоскости, следует определить его прево1шение над предше-
ствующим пикетом, как превышение дополнительной точки.. Превышение „плюса-
определяется вычитанием из второго взгляда назад (0 '3) взгляд на „п пос“ (1.241).
Отсчеты на все промежуточные точки, где бы они ни была между пикетами, всегда
(условно) считаются взглядами вперед. На -крутом, но ровном косогоре сразу нельзя
пронивелировать точки, отстоящие друг от друга на 100 м, так как инструмент,
поставленный посредине, для задней точки будет стоять слишком низко (визирная
ось будет бить в землю), а для передней — слишком высоко (шзарная ось пройдет
выше рейки). Тогда нужно эту линию разбить на мелкие части и их нивелировать
последовательно, связывая произвольными точками х (иксовые).
Фиг. 19.
Для наилучшей со-
хранности, некоторые точки
для нивелирования устраи-
ваются особо прочными и
называются реперами.
Репером может служить
естественный большой ка-
мень, на самой верхней точ-
ке которого сделана кресто-
образная засечка, и эта точ-
ка пронивелирована, и вы-
числена ее отметка, кото-
рая сохранится на многие
годы. В лесу за репер можно
принять пень, в который
следует забить большой
гвоздь. В степи можно за-
капывать деревянные стол-
бы (фиг. ВДжелезныестолбы,
рельсы, железобетонные
тумбы и т. д. В городах
и поселках в стены зданий
заделываются чугунные от-
ливки — марки-или берутся
цоколи главных зданий, на
них точки отмечаются гвоз-
дями, масляной краской и
принимаются за репера.
Ь)	Поперечное нивелирование
Одно только продольное нивелирование дает представление об
изменении рельефа лишь вдоль оси нивелирования. Очень суще-
ственно при проектировании знать: намечена ли ось канала или до-
роги по ровному месту или по косогору.
Чтобы выяснить характер прилегающей к оси нивелирования
местности следует сделать дополнительное нивелирование в попе-
речном направлении, для чего разбиваются поперечники /, 1Ц 111
Техническое (геометрическое) нивелирование	805
и т. д., обычно перпендикулярно к оси нивелирования, влево и вправо.
Длина поперечников может быть различна в зависимости от целей
нивелирования и, напр. для дорог или каналов, равняется 25 --50 м
в обе стороны. Нивелирование по поперечникам можно вести
или одновременно с нивелированием магистрали или совершенно
самостоятельно, после нивелирования основного года. В первом
случае нивелир ставится, как обычно, посредине между пикетными
точками, и эти точки нивелируются при двух положениях инстру-
мента или трубы, затем убеждаются в получении превышения между
этими точками с требуемой точностью, и только после этого задняя
рейка снимается с точки и последовательно устанавливается на
отмеченных точках поперечника сначала вправо, потом влево.
Очень часто встречается потребность в полном выявлении рельеф 1
целой поверхности, что приводит к необходимости нивелирования
сплошного, а не по какому-нибудь одному направлению.
Вблизи этой площади или через нее проложим магистраль АВ
и по ней промерим равные отрезки А — 1, 1—2, 2—3 и т. д.
В полученных точках 7, 2, 3 и т. д. постановим перпендикуляры
так, чтобы они проходили через нивелируемую площадь, и на них
наметим пикетные точки. Расстояния между перпендикулярными
и пикетными точками делаются такими, чтобы между ними не оста-
валось заметных складок рельефа, другими словами, при очень
ровной местности и при мелких масштабах плана эти расстояния
можно увеличивать (до 200—500 м), а при более сложном рельефе
и при крупных масштабах следует сокращать (до 50—20 м). Ниве-
лирование начинается, конечно, от репера на магистрали и ведется
далее вдоль каждого намеченного перпендикуляра Если перпенди-
куляры отстоят друг от друга недалеко (100 м), то нивелир можно
ставить между ними и можно сразу вести нивелирование двух
ходов, делая отсчеты по двум задним рейкам и по двум передним.
В более общем виде этот прием нивелирования ровной поверх-
ности можно свести к разбивке на месте сети квадратов или
прямоугольников, в вершинах которых ставятся четыре рейки,
а нивелир — в средине квадрата. Построение сети квадратов очень
упрощает полевые работы по разбивке пикетажа и очень облег-
чает построение чертежа, так как в этом случае можно ограничиться
самыми несложными приемами измерений в натуре и графических
построений на бумаге. При нивелировании по квадратам всегда
будет два отсчета по двум задним рейкам и два отсчета по двум
передним рейкам. Проверкой отсчетов служит то соображение, что
из двух соседних квадратов превышение двух одинаковых вершин
должно получаться одинаковым. Например должно существовать ра-
венство разностей отсчетов 833 — 644 = 792 — 607, что и получается
с допустимой точностью в 0,004 м, так как в каждом отсчете может
быть ошибка в 0,001 м. Из этого соотношения, переставляя члены,
можно получить другое 833 + 607 = 792 -|- 644, т. е. суммы
накрест лежащих отсчетов должны быть равны.
Для вычисления отметок вершин всех квадратов нужно одну из
вершин принять за начальную, с известной высотой. Эту высоту
806 Т. I. Отд. 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
можно получить от ближайшего репера или же она берется про-
извольной.
Если стороны квадратов не велики, а у нивелира сильная
труба, можно из одной стоянки нивелира пронивелировать сразу
несколько квадратов.
с)	Точное (прецизионное) нивелирование
Прецизионное нивелирование служит не для детального
обслуживания рельефа, а исключительно для определения высот
опорных точек, к которым привязывается нивелирование геометри-
ческое и тригонометрическое. Точное нивелирование должно произ-
водиться при благоприятных условиях по ровной местности и поэтому
обыкновенно ведется по линиям железных дорог и по улицам боль-
ших городов. Как исключение точное нивелирование может приме-
няться и при других условиях, но результаты могут получиться менее
удовлетворительные.
Работа ведется так, чтобы по возможности были исключены
все погрешности нивелира и реек. Важно поэтому хорошо знать
устройство и проверки инструментов.
Для прецизионного нивелирования применяются большие ниве-
лиры с сильными трубами и с чувствительными уровнями
(фиг. 18). Увеличение трубы достигает 30—40 раз, а цена деле-
ния уровня 3—5". Уровень помещается обязательно вблизи трубы,
под ней илй на ней; труба и уровень перекладываются. Рейки при-
меняются обычно двухсторонние, нескладные, длиной 3 м\ на одной
стороне красные деления сантиметровые, а на другой черные в п/10 см.
На рейке прикрепляется круглый уровень и отвес для установки
ее в вертикальном положении. Рейки становятся не прямо на землю
или колышек, а на металлическую подставку — башмак. Если на
обеих сторонах реек деления различные, то отсчеты по обеим сто-
ронам всегда должны отличаться на одну и ту же поправку: красная
сторона равна черной -f- поправка.
В общем, каждый нивелир исследуется перед началом и по
окончании работ очень обстоятельно. Нужно выяснить: 1) увеличение
трубы и качество окуляра и объектива, 2) цену деления уровня,
3) плавность и верность движения окуляра, 4) равенство цапф,
5) правильность вращения всего инструмента и его винтов.
Деления реек сличаются с нормальной мерой и составляется
таблица поправок.
1)	Увеличение трубы и оптические свойства ее стекол нужно
знать, чтобы определить общее качество трубы.
2)	Определение цены деления уровня и вообще исследование
правильности делений уровня следует производить на испытателе
или по рейкам, для чего нивелир устанавливается на некотором,
точно измеренном расстоянии от рейки.
Цена деления уровня нужна для того, чтобы по уклонению
пузырька уровня от средины его можно было вводить поправку
Техническое (геометрическое) нивелирование
807
в отсчет по рейке, так как при точном нивелировании не следует
дожидаться, пока пузырек уровня станет точно на средину. Такая
поправка к отсчету пропорциональна цене деления и расстоянию
до рейки, что видно из таблицы:
Цена деления уровня	Расстояние		
	1	2	| 3 и т д.
5"	0,024	0,048	0,073
6"	0,029	0,058	0,087
7"	0,034	0,064	0,102
3)	Плавность и верность движения окуляра нужны для того,
чтобы при фокусировании трубы, при разных расстояниях до реек,
не вкрадывались лишние ошибки от колебания окуляра.
4)	Равенство цапф исследуется далее.
5)	Правильность вращения инструмента и его винтов иссле-
дуется внимательным осмотром всех движений инструмента в лабо-
раторной обстановке, что должно убедить в точности устройства
инструмента.
Прецизионные нивелиры проверяются подобно всем остальным
нивелирам, с теми изменениями в проверках, которые вызываются
положениями уровня под трубой или на трубе.
При неравенстве цапф у обоих типов инструментов визирная
ось трубы будет не параллельна оси уровня, т. е. не будет гори-
з нтальна, и в отсчеты необходимо вводить поправку за неправиль-
ность осей. •
В этом случае при горизонтальности оси цилиндрического
уровня визирная ось трубы, очевидно, будет наклоненена к гори-
зонту под некоторым углом /. Влияние этого наклона на отсчет по
рейке, в зависимости от расстояния между нею и нивелиром,
выразится так: dh = Dtgi, где D — расстояние.
Нивелирование примерно из средины даст влияние данной
погрешности на разность уровней двух точек в виде следующего
выражения:
dht - dh^ = £>зад. tg/ - Опер. tg i = Д = ( /?зад. - Dnep ) tg i = 8 tg i,
где 2)зад — расстояние до задней рейки и Z)nep — расстояние до пе-
редней рейки.
При £>зад, равном Z)nep, ошибка эта обращается» в нуль, но так
как добиться такого равенства очень затруднительно, то по крайней
мере следует стремиться к тому, чтобы £>зад — £>пер. не превосходило
2—3 м.
Для определения tg i делаются отсчеты на обе рейки при двух
установках инструмента ближе средины и дальше ее метра на 2—3,
808 Т. I. Отд. 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
так чтобы при отсчетах по рейкам не пришлось передвигать оку-
ляра; при этом получаются два уравнения:
для первой установки: h = (о^ — ₽t) + tg Z,
* второй , л = (а2 — ₽2) + о2 tg Z,
где h — действительная разность уровней, а — взгляды назад, (3 —
взгляды вперед, 6 — разность расстояния от инструмента до реек.
Отсюда	tg I =	.
°2 ~ Д
Перед всеми проверками следует убедиться, что при горизонтально-
сти инструмента одна нить вертикальна, а остальные—горизон-
тальны.
Определение tg I делается ежедневно во время работ. Расстоя-
ние от инструмента до реек определяется по дальномерным нитям,
для чего они предварительно проверяются; эти расстояния не должны
превышать 50 м\ вместо дальномерного определения можно пользо-
ваться стальными тросами (канатиками) в 50 м длиной. В этих
точках прочно вбиваются башмаки и устанавливаются на них рейки
по уровню.
После того наблюдение идет в /таком порядке:
I.	1) Приводится инструмент в горизонтальное положение;
2) наводится труба на заднюю рейку, на красную сторону, а пу-
зырек уровня подводится к средине; 3) отсчеты по уровню (сначала
окулярный, потом объективный конец); 4) отсчеты на рейке по трем
нитям (сантиметры и миллиметры или полусотни и полутысячные);
5) снова отсчеты по уровню; 6) отсчеты по рейке (дециметры или
полудесятые) по трем нитям.
II.	Такие же наблюдения по передней рейке.
III.	Рейки поворачиваются обратными сторонами — черными.
Наблюдения те же, что и по красным сторонам, только наблюде-
ния начинаются с передней рейки, а потом по задней.
IV.	После этого производится контроль наблюдения и записей
в следующем порядке: а) разности расстояний по задней и перед-
ней рейкам не должны превышать 1,5 м\ Ь) разности между отсче-
тами по верхней и средней, средней и нижней нитям и по одной
стороне реек должны быть одинаковыми с точностью до 1 мм\
с) наклонность уровня до отсчитывания по рейке и после должна
быть одна и та же с точностью до 0,3 деления; d) разности отсчетов
по соответствующим крайним нитям должны быть равны разности
по средней нити; е) исправленные отсчеты по средней нити за на-
клонность оси и уровня по красной стороне, сложенные с попра-
вочным дополнением, должны дать исправленные отсчеты по черной
стороне в пределах до 1 мм.
Работы по точному нивелированию начинаются- ежедневно от
прочно заложенных точек (марок) или реперов и кончаются на
прочной точке.
Репера устанавливаются через 5—6 км.
Техническое (геометрическое) нивелирование	809
Окончательные вычисления ведутся так: а) проверить правиль-
ность разностей одноименных нитей на заднюю и переднюю рейки,
выведенных в поле; Ь) вычислить среднюю разность по данным
трех нитей; с) вычислить среднее из отсчетов трех нитей на заднюю,
а также на переднюю рейки, чем проверить предыдущие вычи-
сления; d) вычислить среднюю наклонность уровня на заднюю и
переднюю рейки и ввести в результат поправку за разность наклон-
ностей уровня; независимо от этого ввести поправки за наклонность
уровня в оба результата, чем проверить предыдущие вычисления;
Журнал точного нивелирования
Штатив 9.
1923 г. 15 мая
Задн. р. № 3.	Передн. р. № 4.				
	__	4,23	+0,07	4,16		
рная стор. рейк] о ►о со о _1_н-	о » + о	«	+14,0-12,6	-0,21	+13,4-13,3	ерная стор. рей § 0	ю	0 о	-г— о о.	о. >»	1 1
	14,16 16,27 18,39	+4,50 +4,53 +4,57	9,66 11,74 13,82	
	+13.6-13,0	+8	+12.8-13.9	
<1> Контроль	16,278 192.0J6 208,284 3,07	+ 4,541 -f-65,602 +70,143 + 0,07	11.737 126,404 138.141 3,00	X S
Красная стор. ей СП N3 ГО N3 1 1 N3 О	+ 13,4-13,3	—0,20	+12,4—14,4	Красная стор. о 7 7
	13,28 15,26 17,25	+4,22 +4,25 4-4,29	9,06 11,01 12,96	
	+13,0+13,9	. +5	+12.8-13,9	
	15,261 180,000 —1	+ 4,258 +61,500	11.003 118,500 0	
е) суммировать исправленные разности от марки до марки; f) обра-
ботать результаты сравнения реек и ввести в предыдущую сумму
поправку за длину реек; g) ввести среднее значение угла между
осью уровня и осью трубы (tg I) и найти поправку за этот угол на
весь ход; h) ввести поправку за перемену нуля рейки; i) пере-
вести результат красной стороны реек в метрическую меру; j)найти
среднее из красной и черной стороны.
Отметки вычисляются обычным путем, суммированием - началь-
ной отметки с превышениями.
Невязка между данными реперами или в замкнутом ходе не
должна превышать 1— 2. мм[кл4
810 Т. I. Отд. 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
d) Рельеф, горизонтали и их проведение
Рассматривая внимательно чертеж нивелирования по квадратам,
можно по отметкам составить себе представление о рельефе изу-
чаемой местности.
Значительно нагляднее получается представление о рельефе,
если на плане мы найдем точки с одинаковыми высотами и соеди-
ним их линиями — горизонталями. Горизонтали соединяют
точки с одинаковыми высотами, не произвольными, а заранее
выбранных размеров. Именно для проведения горизонталей всегда
берут высоты, выражающиеся круглыми числами, идущими после-
довательно через 2, 5, 10, 25, 50 м или через 1, 0,5, 0,25, 0,1 м и т. д.
Для проведения всех этих горизонталей нужно на плане найти
соответствующие точки между теми точками, высоты которых уже
нанесены на план. Например, очевидно, что между вершинами
с высотами 10,00 и 9,80 точка с высотою 9,90 будет ровно на
середине; точно так же между точками 9,96 и 9,83 горизон-
таль 9,90 будет делить расстояние в отношении 6 к 7, так как
9,96 — 9,90 = 0,06, а 9,90 — 9,83 = 0,07, и таким образом, в данном
случае линию между вершинами квадратов нужно разделить на 13
частей (9,96 — 9,83 = 0,13) и, взяв шесть частей от верхней точки,
найдем место горизонтали.
Такой способ нахождения точек для горизонталей можно
назвать аналитическим, так как все дело сводится к вычисле-
нию отношений отрезков пропорционально разности высот. Если
таким путем просмотреть все стороны квадратов и вычислить для
каждой из них положение нужных точек, то последующее соедине-
ние точек с одинаковыми высотами и даст нам горизонтали в виде
плавных кривых линий. Для большей наглядности в некоторых
местах к горизонталям делаются коротенькие чертежи — перпен-
дикуляры для указания направления ската от более высокой гори-
зонтали к более низкой.
Другой способ проведения горизонталей называется графи-
ческим и состоит в том, что сначала по нивелирным отметкам
графически строится профиль данного направления, на нем находят
точки с требуемой высотой.и затем эти точки намечаются по про-
филю на плане. Таким образом видно, что для графического полу
чения точек горизонталей между данными на плане двумя точками а
с высотой 145,3 и Я' с высотой 150,8 нужно' для этих точек
построить профиль.. Если проводить горизонтали через метр
по высоте, то наша наклонная линия пересечет высотные линии
146, 147, 148, 149, 150 в соответствующих точках, проектируя кото-
рые вниз на горизонтальную линию плана, получим искомые точки
для горизонтали 146, для горизонтали 147 и т. д.
Выявление рельефа горизонталями. На ровной местности для
получения ее рельефа ж разбиваются квадраты, вершины которых
нивелируются, или проводятся ряды параллельных нивелирных
ходов; на все эти ходы составляется план и на нем наносятся
Техническое (геометрическое) нивелирование
811
отметки точек — результат нивелирования, по которым далее рассчи-
тываются горизонтали (фиг. 20). Нивелирные точки должны оувэты-
вать все характерные складки рельефа настолько густо, чтобы при
расчете между ними горизонталей нельзя было пропустить суще-
ственных изменений рельефа. Так как все точки горизонтали лежат
на одной высоте, то можно считать, что вся горизонталь лежит
в одной горизонтальной плоскости и как бы представляет собой след
сечения этой горизонтальной плоскости с данной местностью. Рас-
стояние по отвесу между такими* горизонтальными плоскостями
называется вертикальным сечением между горизонталями.
В зависимости от рельефа местности и от цели работ выбирается
различное вертикальное
сечение между горизон-
9,7.
9,69
10.00	9.98	9.9Л	10.0	9э5 99 933	989.79 9.7 9бл	96 9J58
95?
9.5
сти и для крупных мас-^
штабов вертикальное се- ’
чение берется небольшое
(0,1, 0,25, 0,50, 1,00	*!’
в холмистой местности
и для мелких масшта-
бов сечение колеблется
между 1 и 5 м, а для
гористой местности бе- №9S s*v i5'	945 94
ijo
рется большое сечение
в 10, 25 и 50 м и т. д.
Фиг. 23.
Для выражения рельефа в первую очередь производится нивелиро-
вание реперов, для чего от репера к реперу разбивается пикетаж.
После нивелирования реперов и определения их отметок можно
приступить к нивелированию всей местности, охватывая работой
все главнейшие элементы рельефа. Именно, важно провести ниве-
лирование по всем хребтам, по главным и второстепенным лощи-
нам и оврагам и т. д. Каждая отдельная часть нивелирования должна
начинаться от репера или от уже определенной по высоте точки
и заканчиваться у такой же нивелирной точки. В оврагах нивели-
руются дно и скаты с таким расчетом, чтобы можно было получить
достаточное количество точек для расчета горизонталей. Само собой
разумеется, что все нивелирные хода нужно предварительно раз-
бить на месте, снять и нанести на пчан. Нивелирные хода прокла-
дываются настолько часто, чтобы между ними не оставалось
больших изменений рельефа.
Значение планов с горизонталями. Расстояние между двумя
соседними горизонталями называется заложением. Если брать
заложения перпендикулярно к горизонталям, то при сравнении
двух или более таких заложений можно сказать, что большее зало-
жение указывает на более пологую местность, а меньшее — на
более крутую местность. Действительно, если d — заложение, h —
вертикальное сечение между горизонталями, то ~ = tga или угол
812 Т. I. Отд. в. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
наклона а будет тем меньше, чем больше заложение dt при одном
и том же сечении Л. Обратно, придавая углу а разные значения,
прировняв величину h 1 м, можно заранее вычислить величину
заложения и разместить в следующую таблицу:
1° 1 2е 1		3е	4°	5°	10°	15°	20°	25°	30е | 35°		40°	4 5°
57,3	28,7	10,1	14,3	11,5	5,7	‘ 3,8	2,8	2,2	1,8	1,5	1,2	1
Это же самое соотношение между заложением и углом наклона
можно изобразить в виде масштаба заложений, который
строится так: проводится вертикальная линия АВ и на ней через
некоторые промежутки отмечаются точки, около которых надписы-
ваются градусы углов наклона. Через полученные точки проводятся
перпендикулярно к АВ линии и на них откладываются размеры
заложений из приведенной таблицы и их концы соединяются
плавной кривой.
В. Тригонометрическое нивелирование
В простейшем случае (фиг. 21), когда уровенную поверхность между двумя
нивелируемыми точками можно принять за плоскость, превышение одной точки над
другой определяется формулой
й = d tg а...................... (1)
Но для определения превышения при тригонометрическом нивелировании на боль-
ших расстояниях следует применять тоже эту формулу, но к ней придается попра-
вочный на кривизну земли член d2i2 R, прямо пропорциональный квадрату расстоя-
ния между определяемыми точками и обратно пропорциональный радиусу кривизны
земли, т. е.
A = dtga4-d727?................... (2)
Полученная формула для превышения еще не полна, так как в ней не учтено
влияние на превышение рефракции в воздушной атмосфере, т. е.
сП я»	\ — К
A = d.tg.+ —.................................... (3)
Это будет окончательная формула для превышения, с учетом кривизны земли
и рефракции.
Если при наблюдениях измерялись не углы наклона, а зенитные расстояния,
причем Z = 90е—а, то
h = dctSZ+^^-d'-...................... (4)
X Л
Коэфициент К определяется из этой формулы, для чего берут две точки, геоме-
трическим нивелированием определяют величину й, измеряют-в натуре величины
d и оц и, зная радиус земли Л, вычисляют К. Для наших условий получено, что
К = 0,13, и формула (4) в таком случае принимает вид
0 44
A = rf.ctgZ+^^....................... (5J
к
Для суждений о величине поправок на кривизну земли и на рефракцию при-
ведем следующую таблицу.
Тригонометрическое и барометрическое нивелирование
813
Расстояния	Поправки		Общая поправка	Угол рефракции
	на кривизну	на рефракцию		
	в м			
100 м	0.001		0,001	.	
20) п	0,003	—	0,003	—
400 я	0,013	0,002	0,011	—
6'0 я	0,030	0,005	0,025	1"
8j0	„	0,051	0.0G7	0,044	2
1 км	0,078	0,010	0,008	2
2 „	0,320	0,047	0,273	4
3 „	0,71	0,1	0,61	6
4 п	1,29	0,2	' 0,09	8
5 „	2,00	0,3	0,70	11
Ю я	9,82	1,0	6,82	21
Формула называется 5-й формулой одностороннего наблюдения, и в нее входит
поправка на кривизну земли и рефракцию. Чтоб
нужно знать коэфициент К.
При взаимнообратных наблюдениях эта по-
правка уничтожается, и
 A = dtg«^?-............(6)
Так как наблюдения зенитных расстояний
определяются не с земли, а с высоты инстру-
мента, то полученное превышение следует уве-
личить на высоту инструмента + Z. Если наблю-
дения производятся не на землю, а на вершину
сигнала, то из h следует скинуть высоту сигнала,
и окончательно для односторонних наблюдений
получится формула
О R7
h^d.cXgZ + —^- + i- V.. . . .(7)
На коротких расстояниях и при угле накло-
на а эта формула примет другой вид:	’ фиг 21.
a=dtga + Z— V................... (8)
При взаимных наблюдениях, учитывая высоту инструмента и сигнала:
k hu.Z~Z	V'+.V,, i + <-.
A=dlg__----------_ +	............
С. Барометрическое нивелирование
В ртутном барометре высота ртутного столба зависит от давления атмосферного
воздуха. С изменением давления воздуха изменяется и высота ртутного столба.
Давление воздуха зависит от высоты столба воздуха, т. е. от высоты точки наблю-
дения над уровнем моря, от влажности воздуха, его температуры, а также
и от напряжения силы тяжести в данной точке, что связано с географическим
положением точки наблюдения. На показаниях барометра, кроме того, сказывается
его собственная температура.
При определении барометрических давлений в разных по высоте точках следует
814 T. I. Отд. 5. Геодезия^ Ш. Вертикальная съемка (нивелирование)
еще учитывать неравномерное распределение возду ^а по высоте. Выражаясь
в общей форме, можно сказать, что показание ртутного барометра есть функция
многих переменных, из которых некоторые не поддаются точному учету. Попыток
составить полную барометрическую формулу сделано очень много, но конечных
результатов все-таки не получено. Следует указать на формулу Лапласа, выражаю-
щую разность высот двух точек по барометрическим наблюдениям, а именно:
Hn = K-lg-B/BnQ+E-t).
Здесь Н — искомое превышение, t — средняя температура воздуха обеих опре-
деляемых точек, В и Вп — наблюдённые барометрические давления и К — некото-
рый определенный коэфициент. Или можно написать
Н = 18 400 м [1 + 0,003665 t (1g В - 1g Bn)].
Величина К определяется опытным путем из формулы, причем заранее определяется
превышение Н двух точек нивелированием и в них делаются наблюдения по баро-
метру. Последняя формула называется приближенной формулой барометрического
нивелирования, так как в ней учтены не все физические причины, влияющие на
барометрическое давление.
По формуле первой определяется высота Н над уровнем моря, и она называется
приближенной высотой; на практике приходится сначала определить превышения
одной точки над другой, а потом уже вычисляются их высоты над морем.
Далее эта формула преобразуется так, что вместо средней температуры воздуха
берется (/ — 15°) и вместо Е — вводится по 1равка а за среднюю влажность и сред-
нюю широту, что и приведет к окончательному виду:
h = (Н2 - Н.) + а (Я. - ЯД (/ - 15").
Здесь а равно примерно 0,003475.
Превышение, получающееся по этой формуле, выражается в метрах.
Чтобы пользоваться этой формулой и др., изданы разными авторами различные
таблицы (Шарнгорст, Срезневский, Певцов, Бик и др.). Эта формула имеет в виду
местность при 45° северной широты и среднюю влажность воздула и по преимуще-
ству применяется для практических целей.
Взамен ртутны; барометров употребляются очень широко анероиды, или без-
воздушные и безртутные барометры. Существеннейшая часть анероида состоит
из тонкой металлической коробки с волнистыми стенками, из которой насосом
выкачен воздух до сильного разряжения. На эту безвоздушную коробку давит
атмосферный воздух и в зависимости от изменения этого давления изменяется
положение стенок коробки. По середине одной из стенок коробки прикреплен
штифт, соединенный системой передачи со стрелкой, которая ходит по шкале
делений; таким образом давление воздуха, действуя на коробку, передвигает
стрелку по шкале. Деления шкалы нанесены в миллиметрах. При анероиде, под
стеклом, помещается термометр, измеряющий его температуру; другой термометр
должен определять температуру внешнего воздуха.
Анероиды —наиболее удобные (портативные) приборы для производства техниче-
ского барометрического нивелирования.
Барографы представляют видоизменение анероида тем, что шкала делений ане-
роида в барографе заменена клетчатой бумагой, которая прикрепляется к цилиндру,
вращаемому часовым меланизмом, и по бумаге стрелка вычерчивает кривую вре-
мени и давления.
Перед работами все приборы должны быть осмотрены и проверены. Ртутные
барометры сверяются с нормальными барометрами на физических и метеорологиче-
ских обсерваториях при различных температурах и давлениях. Наблюденные
поправки вводятся в вычисления. Так как деления на анероиде показаны в виде
одинаковых миллиметров, а между тем с изменением давления коробка анероида
изменяется неравномерно, а с ней и стрелка, то в анероиде необходимо определить
коэфициент поправки за деления шкалы; вся поправка выразится в виде числа С
(762 — А), где С — коэфициент, А — показания анероида и 762 — давление на уровне
моря. Такая поправка носит название поправки за шкалу. Далее замечено, что
показания анероида изменяются с изменением его температуры, и в эти показания
нужно вводить температурную поправку д/. где b — коэфициент и t температура
анероида. Наконец начальный отсчет по анероиду, при прочих равны; условиях,
может отличаться от показанний ртутного барометра. Разность таких отсчетов
Точность технического нивелирования, составление профиля 815
называется поправкой за стояние а. Эту поправку можно свести к нулю, уста-
новив стрелку анероида на отсчет, равный показанию барометра, что делается
винтом с обратной стороны анероида.
Окончательно, барометрическое давление при нуле градусов С получится
по формуле:
В0 = Д + д4-Ь# + с (762 — Д).
Эта формула показывает, что каждый отсчет по анероиду, прежде чем перейти
на показания ртутного барометра при нуле градусов, нужно исправить тремя
поправками. Все эти поправки определяются в лабораториях физической или
метеорологической обсерваторий в надлежащей обстановке. Без этих поправок
анероидом нельзя пользоваться.
Для анероида формулу можно видоизменить лак:
Л = (tfi — Я3) 4- а (Я, - Я2) (t — 15°).
Здесь — На — приблизительные высоты данных точек над уровнем моря —
берутся из таблицы, t — средняя температура точек и а — коэфициент, вычисляемый
для данной широты и средней влажности. Последний член формулы, обычно, тоже
получается по готовой таблице.
В дурную погоду, с резкими колебаниями атмосферного давления, работать
нельзя. Даже в хорошую погоду наблюдения надо организовать так, чтобы постоянно
можно было судить о суточном ходе барометрического давления на постоянной точке
вблизи работ. Для этой цели можно пользоваться показаниями ближайшей метеоро-
логической обсерватории или же следует организовать свои наблюдения на какой-либо
точке по барометру, анероиду или барографу и термометру. На этой станции в начале
работ сличаются показания остающихся приборов и тех, которые пойдут на местность.
Нужно записать время, давление, температуру воздуха и температуру приборов. Все
отсчеты следует производить не сразу, а дать прибору освоить свое положение,
держа анероид в горизонтальном положении на высоте груди и слегка постучав
по нему пальцем для преодоления трения частей механизма. Для определения
температуры воздуха термометр привязывается к шнуру и некоторое время вра-
щается (пращевой термометр). Затем рабочие приборы отправляются» и по ним
наблюдения ведутся в характерных точках, положение которых отмечается на карте,
плане или в абрисе. Каждый раз нужно записывать: время, показание анероида
до 0,1 мм, температуру анероида и воздуха. Если атмосферное давление постоянно
в день наблюдения, то анероид будет давать различные показания только из-за изме-
нения высот. Далее 25 км не следует уходить и обязательно нужно возвратиться
в тот же день к начальной точке, где производятся снова наблюдения и выясняется
вопрос об изменении давления в течение дня. Полученные данные вводится в вычи-
сление. Если контрольной станции почему-либо нельзя организовать, то можно от
начальной точки совершать с анероидом небольшие передвижения, снова вернуться
обратно и заметить разность показаний начальных и конечных. Эти разности можно,
с большой оговоркой, признать за невязку, которая и распределяется пропорцио-
нально времени. Сомнительность этого способа очевидна. При двух анероидах,
чтобы не возвращаться без надобности обратно, можно по уговору один анероид
оставить на месте до определенного часа, а другой пустить в работу. При неболь-
ших разностях по высоте (200 м), при небольшом удалении точек (5 км) можно
предполагать ошибку в превышении, определенном анероидом, около 2 м.
D. Точность технического нивелирования, составление
профиля
Для повышения точности нивелирных работ следует внима-
тельно наблюдать за установкой инструмента и реек.
Устанавливать нивелиры на станции нужно так, чтобы два подъем-
ных винта стояли по линии нивелирования, а третий винт —пер-
пендикулярно к ней. Перед самым отсчетом по рейке пузырек
уровня направляется на середину одного из двух винтов, стоящих
по направлению к рейке. Рейки устанавливаются строго верти*
816 Т. I- Отд. 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
кально по уровню или на-глаз. Качание рейки не допускается при
отсчетах менее 2 м. Отсчеты по рейке делаются с точностью до 2 мм.
Расхождения между превышениями, полученными из двух
положений инструмента на одной станции, не должны превышать
4 ми. Общая средняя невязка технического нивелирования, полу-
чаемая между марками или реперами, или невязка в замкнутом
ходе одного нивелира не должна превышать в среднем величины
о = 0,010 м Vn + 1,0 мм п, где п — число километров. При неблаго-
приятных условиях для работы, происходящих от состояния атмо-
сферы или почвы, указанная средняя допустимая ошибка может
быть увеличена, но не более, чём в два раза. В предвидении таких
обстоятельств следует в нивелирном журнале в графе примечаний
отмечать ветер, дождь, снег, сильные колебания воздуха при нагре-
вании, мокрый грунт, песок и пр.
Допустимая невязка в нивелирном ходе между двумя реперами
или марками распределяется на все связующие точки пропорционально
числу станций от начальной точки. Невязка в замкнутом ходе рас-
пределяется в обратном порядке пропорционально количеству
станций.
Составление профиля. Профиль дает графическое выражение
отметок, вычисленных по нивелирному журналу, расстояний между
пронивелированными точками и других величин, связанных с про-
изведенным продольным нивелированием. Для профиля берется осо-
бая „профильная" бумага, на которой отпечатана желтым или зеле-
ным цветом сетка квадратов в дециметр, сантиметр и миллиметр;
доли миллиметра определяются по черточкам. На такой бумаге
внизу выбирается одна из горизонтальных линий и на ней откла-
дываются пикетные расстояния в некотором масштабе (1:10 000,
1 :2000 и т. д.). Полученные точки нумеруются по журналу, и около
них надписываются „отметки земли*. Далее, эти отметки земли
откладываются вверх по вертикальным линиям, в своем масштабе,
более крупном (1 :1000, 1:200 и т. д.). Получаемые таким построе-
нием точки соединяются прямыми линиями, и получается графиче-
ское изображение вертикального разреза данной местности по линии
нивелирования.
Для вертикальных расстояний масштабы берутся более круп-
ные, чем для горизонтальных расстояний, для большей наглядности,
особенно в случае малой рельефности.
Проектная линия. По начерченному профилю удобно нанести
проектную линию будущего сооружения (дороги, канала и т. п.)
по определенным техническим заданиям. Например допустим, что на
профиле виден переход через овраг, над которым для пропуска
воды, если строится дорога, следует устроить мост. В зависимости
от количества ожидаемой воды и от других условий рассчитываются
отверстие моста и высота его, напр., взята отметка 23С00. На этой
высоте, на профиле, намечается горизонтальная линия с уклоном
нулевым и длиной в 300 м. Эти величины подписываются на про-
филе красной тушью в графе „отметки проектной линии*. После
Точность технического нинелиронанпя, составление профиля 817
этого вправо и влево от моста можно провести линии с некоторыми
уклонами, которые должны соответствовать техническим усло-
виям проектируемого сооружения. Уклоном называется отноше-
ние превышения между двумя точками к горизонтальному расстоя-
нию между ними или, иначе, уклон есть тангенс угла наклона линии
к горизонту. Например, уклон 0,002 означает, что на каждый метр
горизонтального расстояния подъем или падение линии равно
0,002 м\ на 1000 м, при таком уклоне, превышение равно 2 Mt а на
100 м — 0,2 м и т. д.
Фиг. 22.
Если взять уклон 0,002 влево от моста, а вправо—0,003, то
влево от пикетной точки с отметкой 23,000 отметки проектной
линии будут через каждые 100 м изменяться на 0,2 м, а вправо —
на 0,3 м. Все полученные отметки записываются красным в графу
„отметки проектной линии". Разности между отметками земли
и отметками проектной линии укажут на глубины будущих
выемок или на высоты будущих насыпей, надписываются вверху
профиля и называются „красными отметка ми“. Таким оора-
зом после нанесения на профиле проектной линии можно поити
в натуру и на каждой пикетной точке наметить соответствующую
высоту и глубину земляных работ. Особое значение имеет точка
„нулевых работ", где насыпь переходит в выемку. Расстояние d
этой точки от ближайшей пикетной точки вычисляется по формуле
d=D> —^-7, где D — длина пикета или 100 Mtb — красная отметка
а о	.
818 Т. I. Отд. 5- Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
в точке последующей, а величина а — отметка в точке предыдущей.
Для примера вычислим точку нулевых работ между пикетными
точками
Е. Разбивка кривых
При устройстве дорог или при проведении канав и каналов прямые участки при
перегибах соединяют дугами кругов различных радиусов, вписываемых в измерен-
ный угол. Кривая будет ка-
Фиг. 23.
саться сторон угла в двух
точках (начало и конец
кривой) (фиг. 23). Разме-
ры радиусов ук зываются
техническими условиями.
Если R есть радиус некото-
рого закругления, то его
элементы определяются
следующим образом в за-
висимости от величины
центрального угла y, равно-
го пополнению до 180° угла
между связывающимися
кривой прямыми участ-
ка пути. Величина ка а-
гельной от начала кривой
до вершины угла будет:

у°
Длина кривой К —	- - .
1 оО
Расстояние от вершины угла А до кривой (биссексгриса угла) равна:
в = .Rtg lrtglT.
Имеются специальные таблицы Кренке, Моржова и др. для разбивки кривых.
Табл. 1 Кренке дает величины К и В при радиусе, равном 1000 для всех централь-
ных углов и 0 до 120" через каждые 10'. Кривая, начало, конец и середина
которой могут быть легко найдены по табл. I Кренке, подробно разбивается сле-
дующим образом. Вообразим на разбиваемой кривой точки а, Ь, с..., отстоящие от
кривой на 5 м одна от другой; эти точки могут быть найдены по абсциссам Aaf,
Ab', Ас'... и ординатам а'а, b'b, с'с и т. д. относительно касательной.
Табл. 2 Кренке дает величины абсциссы и ординаты или х и у для кривых
разных радиусов, начиная ог 21 до ЮОООлх; длины дуг при этом для малых
радиусов (до КО м) следуют через 5 м, для более крупных (до 1000 м), через 10 ж,
потом через 50 и, наконец, через НО м.
Дан угоч А между прямыми участками пути: А = 155° 14', радиус закругления
R = 30) м.
Разбить кривую с касательных.
Находим центральный угол у = 180° — А — 24'46' и по таблице Кренке эле-
менты закругления:
Значение тригонометрической сети
$19
|	24°40'		24"50'	Табличная разность (на 10')	Поправка на 6' X 0,6	24°46' для 1000	для 300
т . . .	i . 1	218,64	220,17	1,53	0,92	219,56	65,87
к . . .	430,51	433,42	2,91	1,75	432,26	129,68
в . . .	. j	23,62	23,95	0,33	0,20	23,82	7,15
Кренке извлекаем
следующие
я = зоо,
абсциссы
К = 64,84
2
и ординаты
точек
Из табл. 2
кривой, начиная от
точек соприкосно-
вения се с прямы-
ми участками до-
роги, через каждые
Юж, считая по кри-
вой, т. е. эти таб-
лицы служат для
детальной разбив-
ки кривых
Длина дуги . .
,'бсцисса •
Ордината . . .
10
10,00
0,17
20
19,99
0,67
30
29,95
1,50
40	50
30,88 49,77
2,66	4,16
60
59,60
5,98
IV. Тригонометрическая сеть
А.	Значение тригонометрической сети
В тригонометрических сетях стороны и углы определяются
с высокой точностью, поэтому и взаимное расположение точек
вычисляется с малыми ошибками.
Подобно прецизионному нивелированию тригонометрическая
сеть служит для определения опорных точек, которыми можно
пользоваться для дальнейших работ.
Помощью тригонометрической сети разрешаются вопросы
о форме и размерах земли, в то же время она служит основанием
для последующих подробных съемок на больших частях поверх-
ности земли.
Тригонометрическая сеть располагается на снимаемой местности
в виде цепи или сети треугольников, ьершины которых называются
пунктами тригонометрической сети, а стороны —
сторонами тригонометрической сети.
Тригонометрические сети, со сторонами в 25—30 км и более
называются сетями! класса, сети со сторонами в 10—15/си — II клас-
са, со сторонами 5—8 лги—III класса и менее —IV класса. Сети!
класса считаются основой для последующих. Чем ближе класс сети
подходит к первому, тем точнее производится измерение углов
и сторон.
В тригонометрических сетях определяются все углы между сто-
ронами, азимут какой-либо из сторон (одной или нескольких)
и затем измеряется точно в натуре одна линия, по которой вычис-
ляются все стороны треугольников. Такая линия называется бази-
сом. По углам, первоначальному азимуту и сторонам вычисляются
приращения, а по ним координаты.
820 Т. I. Отд. 5. Геодезия. IV. Тригонометрическая сеть
Пункты тригонометрической сети на местности должны быть
прочно закреплены и видимы издалека, для чего они устанавли-
ваются на возвышенных открытых местах. Для закрепления три-
гонометрического пункта в яме 2—3 м глубины складывается из
кирпича на цементе или из бетона подземный центр в виде столба,
примерно, 0,5 м высоты и 0,4 м в квадрате. В середину столба
заделывается чугунная трубка или болт диаметром в 2 см\ этот
подземный центр засыпается землей и сверху из того же материала
или из большого камня - валуна сооружается большой надзем-
ный центр, тоже с маркой посередине. Центры закладываются так,
чтобы их марки приходились друг над другом точно по отвесу, что
делается помощью теодолита и шнуров, натягиваемых через яму
в трех направлениях. В качестве тригонометрического пункта можно
пользоваться подходящими сооружениями. Чтобы тригонометриче-
ский пункт был издалека виден, часто приходится над ним строить
вышки, сигналы, пирамиды из бревен. В таких случаях сначала
строится сигнал, а потом, точно по теодолиту, под его вершиной
закладываются центры. Пирамиды делаются простые из четырех
бревен в 12—15 м, вкопанных в землю и вверху соединенных
общей бабкой и крестовиной. При небольших сетях в бабку сверху
забивается гвоздь для визирования. Если с земли не видно сосед-
них пунктов, то вместо пирамиды строится высокий сигнал (ме-
тров 30—50).
Признано, что наиболее выгодные по точности и по площади
в тригонометрических сетях треугольники — равносторонние.
В.	Измерение базисов и углов
Основные линии тригонометрических сетей — базисы — изме-
ряются очень тщательно, так как ошибка в них передается в другие
стороны сети прямо пропорционально квадратному корню из числа
треугольников. Так, если базис измерен
.	\ с относительной ошибкой 1/100 000, то
/	\ через 25 треугольников относительная
/	\ ошибка стороны будет равна
^3^-—1/100 000 х j/25 = 1/20 000.
у	Для базиса выбирается ровная мест-
р	ность с таким расчетом, чтобы базис пере-
сек какую-либо сторону сети и образо-
фиг- 24-	вал с ней вытянутый ромб (фиг. 24). Ба-
зис будет представлять малую диагональ,
а сторона сети большую диагональ ромба. Отношение сазиса к сто-
роне сети не должно быть менее отношения 1 :5. Угол наклона базиса
определяется нивелировкой по отношению превышения к длине.
Для измерения базиса применяются различные базисные приборы:
стальные ленты, деревянные жезлы, металлические жезлы и инвар-
ные проволоки. Перед измерением базиса и после него рабочая
Намерение базисов и углов
821
линейная мера должна быть выверена с особой тщательностью по
нормальной мере. Такое сличение называется компарирова-
ни е м, или эталонирован и е м, базисного прибора. Сети
разных классов требуют базисов различной точности. Сети I класса
должны иметь базисы с ошибкой менее , II классаЪ7гА-^,г ,
OUU vUU	oUU UUU
для III, IV и V классов менее
Базисные приборы. Базисные приборы имеют своим назначе-
нием производство измерения в полевой обстановке базисов триго-
нометрических сетей; вследствие этого базисные приборы должны
удовлетворять двум непременным условиям: они должны быть очень
точны и удобны для полевых работ. Каждый базисный прибор (линей-
ная мера) прежде всего должен быть сличен с „нормальной
м еро й“, длина которой служит основой всех измерений.
Базисный прибор Иедерина. Этот прибор состоит из
нескольких инварных проволок (2—6) длиной около 24 м, диамет-
ром 1,7 мм, весом 0,4 кг, двух гирь по 10 кг каждая, нескольких
термометров - пращей, 20—30 штативов с целиками и двух тре-
ног с блоками. Проволоки изготовлены из сплава: 64% стали
и 36% никеля; такой сплаз ничтожно мало изменяет свою длину от
перемены температуры, отчего и получил свое название ..инвар“;
коэфициент расширения инвара доходит до 1:3000000 на 1° С.
Однако при комбинировании проволок, при измерении базиса,
в промежутках времени между этими работами следует измерять
температуру проволок, чтобы следить за их длиной. Ничтожность
температурных изменений позволит ограничивать отсчеты по тер-
мометрам до 1°С. Инварные проволоки имеют по концам хорошо
напаянные шкалы с сантиметровыми и миллиметровыми делениями;
шкалы кончаются ушками, на которые можно пристегивать доба-
вочную тонкую стальную проволоку, которая ходит по блоку тре-
ножника и натягивает при помощи гири всю большую проволоку.
При эталонировании и при измерении базиса проволоки должны
иметь совершенно одинаковое натяжение, при котором определяется
на компараторе длина прямой линии — хорды, соединяющей нули
шкал проволоки при температуре 20° С. При хранении и перевозке
проволоки наматываются не туго на барабан диаметром около 0,5м.
Нужно внимательно следить за тем, чтобы при перевозке и во время
работ проволоки не подвергались никаким ударам, отчего они легко
могут изменить свою длину. Для натяжения применяются две гири
по 10 кг\ эти гири точно выверяются до 1 а, хорошо никелированы
и сохраняются в удобных прочных футлярах. Проволоки натяги-
ваются гирями через блоки, которые укреплены на двух специаль-
ных треножниках; одна нога этого станка, направляемая вдоль
базиса, имеет вырез, в котором на шариках вращается блок, а две
другие ноги служат для поддержания ноги с блоком и с гру-
зом и располагаются в направлении, перпендикулярном к базису.
Для отсчитывания по шкалам вытянутой вдоль базиса проволоки
822
Т. I. Отд. 5. Геодезия. IV. Тригонометрическая сеть
применяются штативы с целиками. Металлические целики штатива
устроены так, что они могут передвигаться при помощи микромет-
ренного винта поперек базиса, и точка целика точно может быть
подведена к шкале проволоки. Вместо штативов иногда применяют
прочные деревянные колья, в верхнюю поверхность которых вместо
целиков забивают граммофонные иглы.
Измерение базиса прибором Иедерина. Предва-
рительно на базисной линии через каждый километр устанавли-
ваются временные центры для ночных перерывов, затем по проме-
рам через каждые 24 м определяются места для штативов с цели-
ками; штативы устанавливаются точно по линии базиса, причем
целик штатива должен стоять строго вертикально по линии базиса,
а расстояния между двумя соседними целиками могут отличаться
от 24 м + 4—6 см. После того как штативы будут установлены,
приступают к нивелированию целикоз, для чего следует пользо-
ваться маленькой легкой рейкой, которая ставится на целики,закры-
тые шляпками. Для измерения проволокой пролета между двумя,
соседними целиками - штативами около них устанавливаются тре-
ноги с блоками так, чтобы острие главной ноги было в вертикаль-
ной плоскости целиков, чтобы верхний край блока был немного
выше целика и чтобы ручки у блока треноги были горизонтальны.
Далее, мерная проволока пристегивается к проволокам, удержи-
вающим гири и перекидывающимся через блоки, вешаются гири и
постепенно проволоке дается нормальное на1яжение в 10 кг\ затем
по обеим шкалам мерной проволоки, по целикам, делаются отсчеты;
можно потом проволоку несколько передвинуть и сделать еще
один—два отсчета по шкалам; этим устанавливается контроль отсче-
тов. После этого первая проволока отстегивается и подаются вторая,
третья и т. д. Из всех измерений подсчитывается среднее арифме-
тическое длины базиса.
Относительные ошибки при измерениях базисов по способу
Иедерина чрезвычайно малы; можно считать среднюю опюситель-
ную ошибку такого измерения около 1:5000 000. Средняя скорость
такого измерения, примерно, равна 1 км в день, поэтому при по-
мощи прибора Иедерина теперь представляется возможность из-
мерять сравнительно быстро и очень точно большие базисы (10—
15 км).
Измерение углов Для измерения углов на пунктах триго-
нометрических сетей применяются самые точные угломерные ин-
струменты, конструкции которых очень разнообразны. В зависи-
мости от разряда сети применяются Солее точные или менее точные
инструменты. Чтобы получить понятие об этих инструментах, можно
ознакомиться с таблицей (см. стр. 823), характеризующей основные
свойства некоторых из таких инструментов.
В таких инструментах часто вместо луп и верньера приме-
няются микроскопы с микрометрическим барабаном для оценки
частей делений лимба. Для работ инструмент должен быть в полной
исправности и исследован. Проверки таких инструментов в общих
чертах совпадают с проверками обыкновенных теодолитов. Для полу-
Измерение базисов и углов
823
Диаметр круга в см	Деления на горизонт, круге	Деления на вертик. круге	Точность отсчетов	Фокусное расстояние в см	Увелич.	I Чувстви- | тельность । уровня
40	1/15°	1/15°	0,5”	75	75	1 ! 1"
34	1/12°	1/12°	1”	60	60	2”
16	1/6°	1/3°	5”	32	32	1	5" 1
чения высокой tomhociи углы измеряются многократно. Из несколь-
ких способов измерений углов следует остановиться на способе
круговых приемов.
После точного центрирования и приведения в горизонтальное положение труба
направляется по очереди на все видимые сигналы. Делаются отсчеты по всем верн--
ерам или микроскопам. Это действие называется п о л уцриемом. Затем труба
переводится через зенит, снова направляется на первый пункт в обратном порядке
на другие, снова первый пункт — второй полуприем, а всего целый прием. Для
второго приема лимб сдвигается, чтобы получить другие отсчеты, и все наблюдения
повторяются в том же порядке. На сетях I класса таких приемов при одится делать
12, на сетях И класса—9, III класса — 6 и IV — 3. Чтобы убеждаться в устойчивости
инструмента при столь точных и продолжительных работах, к универсальным
инструментам добавляется дополнительная труба, которая в начале наблюдений
направляется на какую-нибудь точку, и но устойчивости этого визирования наблю-
датель может судить об общей устойчивости всего инструмента. Контролем при
наблюдениях служат, кроме того, результаты последней графы журнала разность
отсчетов при Кр. II. и при Кр. Л., т. е. двойная коллимационная о ппбка: колебания
здесь должны совершаться, примерно, в пределах двух точностей верньеров. Так
как средний начальный отсчет на первую точку не равняется нулю, то следует из
всех других направлений скинуть эту величину и тогда получатся приведенные
направления. После приведения все < направлений каждого приема к начальному,
для каждого направления новых приемов получится несколько результатов (по числу
приемов). При 12 приемах лимб сдвигается после каждого приема на 15°, при 6
приемах — на 39° и при 3 приемах — на 60°. Из начальных и конечных направлений
берется среднее. Далее выписываются из всех приемов средние направления на
первую точку.
Способ Шрейбера для изменения углов имеет в вид}' основ-
ное требование: веса всех углов данной сети должны быть одина-
ковы. В связи с этим требованием каждый.угол измеряется само-
стоятельно между двумя сигналами и получается как разность двух
направлений. Так как вокруг каждой точки тригонометрической
сети, обычно, бывает несколько направлений, то углов между двумя
направлениями при п всего направлений может составиться:
(1—2). (1—3) (1—4).. .(1—л), всего п раз
(2—3) (2-4).. .(2-л)	л-1 „
(3-4)...(3—л) , л—2 „
(л- 1—л)
откуда и получится как сумма членов арифметической прогрессии
л	п(п—1)
сумма возможных парных измерений углов —, причем, ко-
нечно, предусматривается, что каждое направление наблюдается
824 Т. I- ОтД- Геодезия. IV. Тригонометрическая сеть
только один раз при одном и том же положении лимба. Таким
образом видно, что число возможных измерений угла на точке с п
направлений зависит от этого числа п. Для получения одинакового
веса для углов, измеряемых на точках с разными и, нужно приме-
нять различное количество приемов, т. е. нужно соблюдать постоян-
ство произведения пт. Для сетей первого класса пт = 24 и при
4 направлениях число приемов т = 6. Для других классов приме-
няется пт = 18, пт = 12 и т. д.
Чтобы измерение угла не попадало на одни и те же целения
лимба, последний следует планомерно переставлять, в зависимости
от числа направлений и приемов, по специальной схеме, установ-
ленной Шрейбером. Именно все приемы должны начинаться с раз-
ных градусных делений лимба
Способ повторений. Этот способ состоит в том, что измерение угла
начинается с наведения трубы на одну точку угла; лимб закреплен, для наведения
алидада с трубой поворачивается и делается первый отсчет Далее алидада осво-
бождается и труба наводится на вторую точку угла, алидада закрепляется, лимб
освобождается, весь инструмент поворачивается и труба с лимбом снова наводится
на первую точку; лимб закрепляется, а алидада наводится на вторую точку и
делается отсчет 5а. Измерение угла повторено и, если взягь разность 5, и раз-
делить на два, то получится величина угла. Таких повторений сразу можйо
делать п и, если i — последний отсчет, то величина угла будет равна а =
Sn 4-
=----------. Так следует производить измерение ? гла при Кр. Л, потом при Кр.
П из результатов брать среднее.
С. Географические координаты
Географические координаты служат для определения на поверх-
ности земного эллипсоида определенных точек, напр., астрономиче-
ских обсерваторий, пунктов тригонометрической сети, отдельных
выдающихся точек. Географические координаты определяются
и вычисляются с различными целями, разнообразными способами
и инструментами и служат основой для составления карт точных,
топографических и общих географических. Подобно всякой системе
координат Система географических координат имеет свои начальные
основные плоскости и линии: плоскость экватора, перпендикулярная
к оси вращения земли, земная ось, полюсы на ней и плоскость
какого-нибудь, так называемого, „первого” меридиана. Плоскость
экватора отстоит на 90° от полюсов, считая по дуге меридиана,
и зависит, следовательно, от положения полюсов. От экватора
к полюсам до определяемой точки, по меридиану, идет дуга сфе-
роида, соответствующая углу широты данной точки. Геодези-
ческой, или географической, широтой точки называется,
следовательно, угол между отвесной линией, проведенной через
данную точку и продолженной до плоскости экватора, с плоскостью
экватора, по проекции линии отвеса на ней.
Широта есть одна из географических координат, определяющих положение
то |ьи на земной поверхности.
Расхождение между геодезической и географической (астрономической) широ-
Географические координать!
825
тами будет в тех точках, в которых сила тяжести отклоняется от своего теоретиче-
ского направления,'т. е. там, где наблюдается аномалия силы тяжести, вследствие
того, что земная поверхность имеет форму, отличную от формы эллипсоида вра-
щения (геоид).
Географическая широта получается из астрономических наблюдений, а геоде-
зическая широта получается из начальной географической широты, по длине линии,
соединяющей начальную точку и определяемую по азимхту.
Долгота есть вторая географическая координата; она получается как угол
между плоскостью начального, „первого" меридиана и плоскостью меридиана дан-
ной точки в пересечении с плоскостью экватора или долгота измеряется по дуге
экватора между меридианами. За начальный меридиан условно принимается мери-
диан какой-либо обсерватории и от него, как от нуля, счет идет со знаком плюс
к востоку до 180е и со знаком минус к западу тоже до 180®.
В последнее время, по международному соглашению, начальным
меридианом принят Гринвичский и на всех новейших картах счет
долгот ведется от этого меридиана.
Каждая точка земной поверхности вполне определяется своими географиче-
скими координатами и высотой над уровнем моря. Знание географических коорди-
нат точки, или географического ее положения, прежде всего нужно для картогра-
фии. Карты составляются на основе геодезически или астрономически определен-
ных положений ряда точек: тригонометрических пунктов или астрономических
точек. При помощи тригонометрической сети составляются подробные топогра-
фические карты, географические координаты каждой точки которых могут быть
легко определены с достаточной точностью графически по сетке меридианов
и параллелей, имеющихся на всех картах. При помощи отдельных астрономических
точек возможно даль только схему карты, остальные же подробное!и наносятся
с топографических карт или по маршрутным съемкам. В таких случаях опреде-
ление географического положения какого-либо места хотя и можно делать по
сетке параллелей и меридианов, но значительно менее надежно.
Определение географического положения точки на местности
производится двояко: а) геодезическими приемами и наблюдениями
и Ь) астрономическими наблюдениями.
а)	Геодезический способ определения геогра-
фического положения точки основан на тригоно-
метрической сети. Все точки тригонометрической сети свя-
зываются последовательно рядами треугольников (триангуляция),
в которых измеряются все три угла, а затем по длине основной
линии базиса вычисляются все остальные стороны треугольников;
далее, по азимуту начальной линии вычисляются азимуты всех
остальных линий и, наконец, приступают к вычислению геогра-
фических координат (геодезическая’задача). Координаты начальной
точки и первоначальный азимут определяются из астрономических
наблюдений. Точность геодезического определения географических
координат — широты и долготы — зависит, конечно, от точности
наблюдений и вычислений и при самых точных приемах доходит
до + 0,001", что в линейных мерах для средних широт дает ошибку
в +3 см. Конечно, при более грубых приемах и при значительном
удалении от базиса точность значительно уменьшается.
Ь)	Астрономические способы определения
географического положения точек чрезвычайно разно-
образны. Широта каждой точки определяется независимо от других
точек по небесным светилам, и точность полевых астрономических
наблюдений достигает zt 01/', а точность наблюдений на обсервато-
826
Т. I. Отд. 5. Геодезия. V. Совместные съемки
риях достигает ± 0,С01". Особенность определения долготы состоит
в том, что определяется не долгота от первого лириди на, а раз-
ность долгот между данной точкой и какой-либо другой с извест-
ной уже долготой.
D. Вычисление тригонометрической сети
Общий порядок вычисления таков: 1) подсчитывается длина
базиса; 2) по базису и углам базисной сети вычисляется базисная
сторона; 3) обрабатываются журналы измерений направлений; 4) для
каждого направления составляется таблица по всем приемам и вы-
водится среднее арифметическое и уклонения от средины; 5) вычи-
сляются ошибки одного направления и арифметической средины;
6) вычисляются поправки за центрировки; 7) составляется таблица
окончательных направлений; 8) по разностям направлений вычи-
сляются углы для каждого треугольника; 9) подсчитывается сумма
углов в каждом треугольнике; 10) в больших треугольниках вычи-
сляется сферический избыток (эксцесс); 11) углы в треугольниках
уравновешиваются. В простых тригонометрических цепях на каждый
угол назначается по трети невязки в углах и по трети сфериче-
ского эксцесса, в сложных сетях уравновешивание углов произво-
дится по способу наименьших квадратов; 12) по базисной стороне
и углам последовательно вычисляются все стороны; 13) по началь-
ному азимуту и углам вычисляются азимуты всех сторон тригоно-
метрической сети; 14) вычисляются прямоугольные плоские или
Гаусса-Крюгера или географические координаты.
V. Совместные съемки
А.	Мензульная топографическая съемка
Мензульная топографическая съемка имеет своим назначением
получение рельефной карты или рельефного плана.
Основой для горизонтальной мензульной съемки должны слу-
жить пункты тригонометрической сети или пункты магистральных
ходов, прокладываемых в районе съемки. Магистральные ходы про-
кладываются между пунктами тригонометрической сети или же
обеспечиваются определением азимутов в начале и в конце.
Основой для вертикальной высотной съемки должны служить
реперы точного и технического нивелирования.
Желательно объединение в одном знаке пунктов тригонометри-
ческой сети или магистрального хода и нивелирного репера.
Рамкам планшета придается вид трапеций или квадратов, огра-
ниченных параллелями и меридианами, согласно международной
номенклатуре. Верхняя поверхность мензульной доски должна пред-
ставлять собой ровную поверхность, без трещин и различных
выемок и бугорков. Наклеенная на мензульную доску бумага
Мензульная топографическая съемка
827
должна плотно прилегать к поверхности доски, без случайных
неровностей и воздушных пузырьков. Рамка планшетов наносится
на верхнюю александрийскую бумагу. Размеры параллелей, мери-
дианов и диагоналей трапеций для каждого планшета находятся
по таблицам Топографо-геодезического отдела ГГУ (издание 1930 г.)
с перечислением от масштаба 1:25 000 к другим масштабам. После
Фиг. 25.
того как будут нанесены рамки и пункты опорной сети, нужно с полу-
ченного планшета снять три копии на полотняной кальке: 1) калька
высот, на которую в течение работ постепенно копируются только
высотные точки (в помощь для окончательного вычерчивания
рельефа); 2) калька контуров, на которую постепенно переносятся
только контуры ситуации в помощь при окончательном вычерчи-
вании, Vi 3) калька-дневник, на которой ежедневно показывается
район производственных работ (границы обводятся контуром, над-
писывается число и площадь в гектарах) (фиг. 25). Для подробной
828	Т. Ь ОтД- 5. Геодезия. V. Совместные съемки
мензульной съемки на основе тригонометрической сети на планшет
графически наносится геометрическая сеть из вспомогательных
точек. Точки геометрической сети выбираются на возвышенных
местах и в узле контурных линий с таким расчетом, чтобы опре-
деление их было наиболее точным, чтобы из них удобно было
производить съемку подробностей и чтобы они располагались
равномерно по снимаемой местности. Геометрическая сеть должна
составиться из треугольников, по возможности равносторонних, со
сторонами в 500—600 м', общее число точек геометрической сети
на планшет можно определить для средних условий в 15—20. Опре-
деление рельефа и подробностей производится при помощи верти-
кального круга кипрегеля и рейки. На каждой станции в начале
работы обязательно определение места нуля. Углы наклона для
получения превышений на пикетные точки измеряются только при
одном положении трубы (Кр. Пр. или Кр. Л.). После того как
около станции наберется достаточное количество пикетных точек,
нужно немедленно приступить к расчету и проведению горизонта-
лей. Совершенно недопустимо проведение горизонталей не на мест-
ности, без проверки в натуре правильности их нанесения. Высоты
горизонталей надписываются у краев планшета и по середине для
полной ясности.
В.	Тахиметрическая съемка
Тахиметрия, как и мензульная топографическая съемка, имеет
своей целью одновременное определение планового и высотного
расположения точек местности, с тем, однако, различием, что при
мензульной топографической съемке план получается в поле, а при
тахиметрической съемке, как и при угломерной, в поле ведется
абрис и журнал, а план составляется дома. Для тахиметрической
съемки применяется тахиметр, который представляет собою ин-
струмент повторительный и осложненный вертикальным кругом, как
у кипрегеля, и магнитной стрелкой в буссоли. Тахиметром и кипре-
гелем на мензуле расстояния определяются одинаково — по дально-
мерным нитям; угол цаклона тахиметром и кипрегелем определяется
одинаково по вертикальному кругу. Что же касается направлений
с точки на точку, то кипрегелем они прочерчиваются на планшете,
а при тахиметрической съемке нужно делать отсчеты по горизон-
тальному кругу или буссоли. Все отсчеты по тахиметру заносятся
в журнал во время работы в поле.
Инструмент устанавливается на станции, с которой сначала
определяются соседние станции, а затем лежащие кругом точки —
пикеты. Кроме журнала, во время тахиметрической съемки следует
вести абрис-кроки, т. е. чертеж от-руки, на котором показы-
вается расположение станций, пикетов, рельеф и т. д. План тахи-
метрической съемки составляется, как всякий угломерный план, или
по румбам или по координатам. Обыкновенно тахиметрическая
съемка применяется на небольших участках для составления планов
в крупных масштабах. Чтобы упростить получение азимутов, необ-
Тахиметрическая съемка. Наземная фотосъемка
829
ходимых для составления планов, следует на каждой станции инстру-
мент ориентировать, для чего нуль подвижного лимба совмещается
с нулехМ алидады, затем поворачивается до тех пор, пока направле-
ние трубы не совпадет с направлением магнитной стрелки; в таком
положении лимб закрепляется, и отсчеты по алидаде в дальнейшем
будут давать азимуты.
С. Наземная фотосъемка
Для съемки гористых мест, для съемки сложных и обнаженных
геологических образований, для съемки мест под гидротехнические
сооружения и во многих других случаях удобно применять назем-
ную стереофотосъемку.
Фиг. 26.
Существо этих работ заключается в том, что данная местность
снимается с двух концов какого-либо базиса по двум параллельным
направлениям, в результате чего получаются два снимка, позволяю-
щие видеть эту местность стереоскопически, рельефно. Каждая
пара таких снимков подвергается измерению на специальном при-
боре — стереокомпараторе, при помощи которого определя-
ются координаты любой точки местности для составления рельеф-
ного плана.
Имеются также другие приборы— стереоавтографы, кото-
рыми по негативам непосредственно вычерчиваются рельефные планы.
Для фотосъемки применяются специальные фотокамеры, напр.,
830
Т. I. Отд. 5. Геодезия. V. Совместные съемки
Цейсса или Вильда, которые можно устанавливать с большой точ-
ностью горизонтально и в определенном направлении (фиг. 26).
На каждом проявленном негативе автоматически появляются номера
пластинок, размер фокусного расстояния и направление горизон-
тальной и вертикальной осей пластинок.
Так как съемка ведется с двух различных точек, то положение
всякой точки местности по отношению к вертикальным осям пла-
стинок будет различно и будет отличаться на величину, называе-
мую линейным параллаксом.
На стереокомпараторе определяется этот параллакс —горизон-
тальная абсцисса и вертикальная ордината каждой нужной точки.
По этим величинам и по длине базиса вычисляются или опреде-
ляются графически пространственные координаты точек. Стерео-
автограф эту задачу решает механически и непосредственно строит
чертеж по мере изучения местности наблюдателем по негативам.
Преимущества наземной фотосъемки'перед всеми видами дру-
гих съемок следующие: 1) кроме плана, эта съемка дает фотографию
местности, что позволяет всегда вернуться к рассмотрению местно-
сти по мере надобности; 2) полевые работы продвигаются быстрее
мензульной или теодолитной съемки; 3) эта съемка может дать
любую точность и пригодна для любых масштабов; 4) стоимость ее
ниже стоимости других съемок; 5) особенно удобно фотосъемка
применяется в горных районах, трудно доступных для других ви-
дов работ.
D. Аэрофотосъемка
Под аэрофотосъемкой подразумевается съемка фотографиче-
ским аппаратом сверху, с летящего аэроплана. Съемка земли с аэро-
плана имеет целью получить ряд снимков вдоль какой-нибудь линии
(маршрутная съемка) или целой серии снимков, покрывающих опре-
деленную площадь земли (сплошная съемка). При маршрутной
съемке необходимо, чтобы каждый последующий снимок пере рыл
в некоторой части предыдущий по ходу маршрута, а при сплош-
ной съемке требуется еще перекрытие и боковое, с таким расчетом,
чтобы всегда смежные снимки имели общие точки.
Для аэрофотосъемки применяются аэропланы таких конструк-
ций, чтобы они имели скорость около 125 км в час, имели кабину
для фотоаппарата, наблюдателя - съемщика и могли бы забирать
определенную высоту. Фотографические аппараты строятся преиму-
щественно с большими фокусными расстояниями объективов —
18, 30, 50 см, с пленками или с пластинками; в последнее время
пленки почти совершенно вытеснили пластинки. Фотоаппарат Цейсса
имеет катушку на 400 снимков, размером 13Х18с.иили 18 X 18
фокусное расстояние 18 см\ перемотка пленки, действие затвора —
все производится автоматически, особым генератором, в зави-
симости от скорости и высоты полета, процента перекрытия
снимков и пр. Фотоаппарат устанавливается на полу кабины
самолета так, чтобы объектив его был обращен к земле в отвер-
Аэрофотосъемка
831
стие в полу кабины, и весь аппарат мог поворачиваться в горизон-
тальной и вертикальной плоскостях. Если представить себе, что
снимаемая местность (с высоты Н) совершенно горизонтальна, а ось
аппарата вертикальна, то на пленке или пластинке аппарата
(фокус = /) получится уменьшенное изображение местности, в мас-
штабе, равном . Объектив фотоаппарата подбирается таких
качеств, чтобы изображения на пленках имели наименьшие иска-
жения. Для устранения влияния непрозрачности воздуха—„дымки"—
применяются светофильтры желтые и оранжевые.
Переходя к анализу снимка с аэроплана, следует заметить,
что местность не всегда горизонтальна; от полета аэроплана ось
фотоаппарата все время испытывает перемещения; высота полета
тоже всегда меняется, вследствие чего фотографический снимок не
представляет точного уменьшения земной поверхности, а дает изо-
бражение с некоторыми искажениями. При желании получить из
фотоснимка настоящий план нужно его переделать, или трансфор-
мировать, так, чтобы на фотоснимке получилось подобное, в изве-
стном масштабе, и горизонтальное проложение местности. Трансфор-
мирование негативов производится на особых приборах—транс-
форматорах,—причем получается трансформированный снимок, по
которому можно уже составить план известной точности. Для
трансформирования снимка необходимо иметь на нем четыре и
более точек, изображающих точки местности, связанные между
собою обыкновенной геодезической съемкой и нивелировкой; система
этих точек называется геодезической основой. Сущность
трансформирования заключается в том, что негатив съемки проекти-
руется на экран, на котором прикреплен чертеж с геодезической
основой; дальше следует экран перемещать по отношению к объек-
тиву и его оси так, чтобы опорные точки негатива совместились
с точками геодезической основы; после этого экран закрепляется,
к нему прикрепляется светочувствительная бумага, на которой
производится печатание с негатива, в результате чего и получается
„трансформированный" снимок, в котором фотоснимок вмещен
в геодезическую основу.
По трасформированным снимкам далее составляется фотоплан,
или фотопланшет, для чего снимки подбираются по геодезической
основе так, чтобы все подробности на двух смежных снимках сов-
падали. Для этого обычно пользуются не всем снимком, а некоторой
центральной частью, обрезая его по краям. Подобранные фото-
снимки приклеиваются к планшету, и с него производятся репродук-
ции. Для получения на таких фотопланах рельефа можно далее фото-
планшеты пустить в поле с мензулой, на ю торой кипрегелем
добирается рельеф. Для этого даже можно пользоваться отдельными
снимками, Существуют приборы под названием стереоплан и-
гр а ф ы, при помощи которых по двум перекрывающим друг друга,
не менее как на 6G°/0, аэрофотоснимкам вычерчиваются автоматически
рельефные планы.
832	1. Отд. б. Геодезия. VI. Стоимость геодезических работ
Съемка должна производиться в совершенно ясную погоду,
безветренную, чтобы самолет не сносило сильно в сторону, и на
такой высоте, чтобы выдерживался определенный масштаб. Так,
например, для аппарата Цейсса с фокусным расстоянием / = 18 см
будем иметь следующую таблицу
Высота съемки ....... 900	м	1 800 м	2 700	3	000
Масштаб численный .... 1 : 5000	1 : 10 000	1 : 16 000 1 : 20	000
Масштаб в см.......... 50	м	100 м	150	200	м
Плошадь покрытия снимком
13 X 18 в км2..... 0,59	2,34	5,26	9,36
В хорошую погоду, при всех благоприятных условиях, можно
сделать до 400 снимков в течение летного дня (4—5 часов). Съемка
производится преимущественно в утренние часы, часов с 6—7 утра.
Аэрофотосъемка широко применяется для съемки больших
пространств, захватывая одним снимком значительную площадь.
Для еще большего захвата вместо камер с одним объективом стали
строиться камеры с четырьмя и даже девятью объективами.
Аэросъемка быстро развивается и в значительной степени содей-
ствует делу изучения поверхности земли.
Достоинства аэросъемки: 1) быстрота полевых работ, 2) чрезвы-
чайная наглядность, 3) проникновение в* малодоступные места.
Стоимость этих работ зависит от их объема, общих условий
организации дела и в среднем приближается к стоимости мен-
зульных топографических работ.
VI. Стоимость геодезических работ
а)	Инструкции
Для выполнения геодезических работ издаются специальные
инструкции для каждого вида работ, предусматривающие особые
условия и точность проводимых работ.
Расхождения в инструкциях, издаваемых различными учрежде-
ниями, побудило Госплан СССР обратить на это внимание, и в на-
стоящее время, по соглашению Главного геодезического управления
и Управления военных топографов, издаются инструкции по всем
видам геодезических и топографических работ, обязательные для
всех учреждений и ведомств. Пока изданы: по техническому ниве-
лированию, по астроработам и по мензульным топографическим
работам масштаба 1 : 10 000, 1:25 000 и 1:50 000.
Ь)	Сметы и нормы на геодезические работы
Перед началом всяких изысканий необходимо составить предварительную смету
стоимости геодезических и других работ. Нужно сначала подсчитать общее количе-
ство работы каждого вида, определить время, необходимое для выполнения этих ра-
бот, потом количество технические и другие работников, материалов и пр., установить
расценки и, наконец, подсчитать общую стоимость. Количество работы определяется
целью изысканий и наличием того или иного планового или нивелирного мате-
риала; время принимается по «Урочным нормам** на изыскательские работы; рас-
Сметы и нормы на геодезические работы	833
ценки берутся такие, какие имеются в соответствующих коллективных договорах,
и общая стоимость составится из полученной суммы и из прибавлений к ней
начислений на социальное страхование, на административно-хозяйственные расходы,
на амортизацию инструментов и пр.
Урочные нормы. Нормы изыскательски с работ даются для полевых работ
и для камеральных работ. Под полевыми работами разумеются работы
в поле и работы по приведению в порядок и обработке полевых материалов, кото-
рые связаны с работой в поле и должны производиться одновременно с последней.
К камеральным работам относятся работы по обработке полевых материалов, кото-
рые могут производиться по окончании полевого периода как лицами, ведущими
полевые работы, так и не принимающими в них участия. Урочные нормы рассчи-
таны на производство работ среднего масштаба как в отношении охватываемых
площадей, так и в отношении объема работ на каждой единице площади.
Для выполнения полевой работы образуются отряды, состав коих указывается
для отдельной работы. Полный состав такого отряда называется „рабочей силой",
причем под термином „подвода" разумеется как сама подвода, так и сопровождаю-
щий ее проводник. В случае, когда по’условиям местности пользование подводой
затруднительно, она заменяется тремя вьючными лошадьми с проводником.
Урочными нормами предусматривается те шический персонал трех категорий:
1) инженер, 2) старший техник и 3) техник.
Нормы полевых работ, указанные в урочных нормах, установлены для вось-
мичасового рабочего дня всего отряда (включая сюда и время, необходимое на
проход отряда от лагеря или сборного пункта на место работ и обратно, при
условии, что на это затрачивается в общей сложности не свыше 1 часа) и 24 дней
работы в мссяци в предположении, что технический персонал в каждый рабочий
день сверх восьмичасовой работы с отрядом работает над приведением в порядок
полевых записей.
В случае производства изыскательских работ в местности с неблагоприятными
климатическими условиями или в неблагоприятное время года, или при иных
условиях, сокращающих продолжительность рабочего дня ниже 8 часов в день или
число рабочих дней ниже 24 дней в месяц, или уменьшающих дневную выработку
против нормального размера, к нижеприведенном временным урочным нормам
следует вводить обоснованные соответствующими расчетами поправки на изменение
нормы выработки. Необходимость отступления от норм во время производства
работ удостоверяется особыми актами? Нормы камеральные работ, указанные
в урочных нормах, устанавливаются в предположении шестичасового рабочего дня.
Так как успешность геодезических работ в очень значительной степени зависит
от характера местности, то урочные нормы предусматривают уменьшение выработки
на плохой местности против выработки на хорошей ровной, открытой, сухой местности.
Нормы полевых работ устанавливаются для пяти категорий местности, отли-
чающихся друг от друга по признакам: 1) рельефа, 2) закрытости лесом или
строениями или прорезанности арыками и 3) заболоченности.
I категория — местность ровная, открытая, незаболоченная.
II категория — а) местность пересеченная, открытая; Ь) местность ровная,
заросшая или застроенная, или прорезанная арыками в общей сложности до 33%;
с) местность открытая и покрытая вязким болотом до 33%; d) чистое, некочковатое,
легко проходимое болото.
III категория — а) местность, пересеченная и заросшая или застроенная в общей
сложности до 50°/о; Ь) местность ровная, заросшая или застроенная, или проре-
занная арыками в общей сложности до 66%; с) местность, заросшая до 33% и в то же
время покрытая вязким болотом до 33%; d) болото кочковатое, сплошное, средне-
проходимое.
IV категория—а) горная местность открытая; Ь) местность, пересеченная, сплошь
заросшая или застроенная; с) местность ровная, сплошь заросшая или застроенная, или
прорезанная арыками; d) местность, заросшая до 66% и в то нее время покрытая
вязким болотом до 66%; е) открытое сплошное вязкое болото, труднопроходимое.
V категория — а) горная местность, сплошь заросшая; Ь) сплошное заросшее
вязкое болото, весьма труднопроходимое.
Нормы даны для местностей I категории. Для местностей II категории нормы
рабочей силы следует увеличивать на 50%, III категории —на 100%, IV категории —
на 200% и V категории — на 300% против указанных в Урочном положении.
VI ОТДЕЛ
Техника измерений 4
Составил проф. д-р инж. А. Г рамбер г, Франкфурт-на-Майне
Перевод и добавления под редакцией инж. С. Я« Г е р ш
Стр.
Введение
Измерительные приборы........835
Ошибки при измерениях........835
I.	Число оборотов машин;
колебания
Счетчики.....................835
Тахометры...............• . . 836
Тахографы . . . ’............836
Измерение колебаний..........836
Сейсмограф, виброграф........836
Колебания при удлинении и на-
пряжения: экстензограф, изме-
ритель удлинения.............837
Измерение силы звука от шума:
микрофон, телефон............837
Анализ формы вала посредством
осцилографа, гальванометра,
резонатора...................837
II.	Измерение давления
Измерение давления ......... 838
Барометр, манометр...........838
Микроманометр, диференциаль-
ный манометр.................839
III.	Измерение количеств
Весы.........................840
Коромысловые весы, весы с ука-
зателем ............ 	.... 840
Весы десятичные, сотенные, с пе-
редвижным грузом.............840
Весы с подвесными гирями .... 840
Автоматические весы  ........841
Путевые весы, передвижные бун-
керные весы..................841
Измерение расхода жид-
костей ......................842
Измерение и взвешивание посто-
янно текущих количеств . .	. 84?
Водомеры для установки в трубо-
проводах, скоростные водо-
меры, объемные водомеры, от-
крытые водомеры, водомер
Вентури......................843
Отверстие истечения . ...... 844
Отверстие протока............844
Измерения с запрудами........844
Измерение помощью щита .... 845
Определение количеств из распре-
деления скоростей............846
Стр.
Вольтмановская гидрометрическая
вертушка, трубка Прандтля . . 846
Измерение расхода газа 847
Газомер, измерители Рота, объем-
ные приборы................847
Измерение количества газа .... 848
Труба Якоби, Измерители
для сжатого воздуха,
сопла и диафрагмы..........848
Труба Вентури............• . 852
Измерение количества из распре-
деления скоростей..........852
Измерение расхода пара: 852
измерение воды, подаваемой
в котел; измерение пара, кон-
денсирующегося за машиной,
паромеры.....................853
IV.	Измерение мощности
Тормозные динамометры.......856
Динамометры.................858
Способ обратного давления . . . 858
Электрическое измерение мощ-
ности .....................858
Индикаторы..................859
V.	Измерение теплоты
Измерение температуры........862
Термометры...................862
Измерения с помощью электри-
чества .....................862
Проверка и установка термометра 863
Пирометр, конус Зегера.......865
Измерение количества тепла . . . 865
Измерение влажности воздуха . . 865
Психрометр...................866
VI. Измерения в технике
сгорания
Определение теплопроизводитсль-
ности.........................870
Калориметрическая бомба, кало-
риметр Юнкерса................870
Анализ газа: аппарат Орса, авто-
матические газоанализаторы . • 871
Приборы для анализа газа физи-
ческим путем..................873
Газоанализаторы Ранарекс и Си-
менса ........................873
Анализ газа доменных печей ... 875
1) О производстве электрических измерений — см. Хютте, том III, отдел
.Элек гр отехника“.
Измерение числа оборотов
835
Введение ’)
Все измерительные приборы требуют точной проверки и постоян-
ного надзора за исправностью состояния. Это правило должно
соблюдаться даже при самых простых измерительных приспосо-
блениях: следует следить, не износился ли тот или другой конец
метра, точно ли устанавливается коромысло весов, не отбиты -ли
углы гирь и не загрязнены ли последние; часы, всегда находящиеся
в употреблении, по большей части идут верно, но секундомеры
без часового механизма часто являются неточным прибором* Поэтому
рекомендуется пользоваться секундомером, действующим от часо-
вого механизма.
Неточно градуированные приборы дают постоянные
ошибки, которые не исключаются повторным наблюдением; слу-
чайные ошибки устраняются достаточно большим числом на-
блюдений, а ошибки, происходящие от неточного пуска и оста-
новки секундомера, исключаются достаточной продолжительностью
наблюдения; достаточная продолжительность наблюдения имеет
также существенное значение в случаях установившегося длитель-
ного отклонения от нормы. При помощи самопишущих (регистри-
рующих) приборов (возможны неточности вследствие трения в ме-
ханизме регистратора) или фотографической съемки ряда приборов,
установленных рядом др} г с другом, или посредством кинематогра-
фической съемки протекания данного процесса возможно избежать
ошибки при отсчете, достичь экономии в числе наблюдающих лиц,
строго одновременного наблюдения многих аппаратов и наблюдения
быстрых колебаний.
О единицах см. стр. 248 и следующие, 603, 643. Сравнение градусов
термометров: табл. 1, стр. 604. Меры и веса различных стран и таблицы для пере-
вода их см. Приложение.
Пределы погрешностей главнейших измерительных приборов см.
Приложение.
1. Число оборотов машин; колебания
а) Измерение числа оборотов
Счетчики требуют одновременного пользования часами. При
отдельных опытах — наблюдение числа оборотов от 1 до 5 минут.
При малом числе оборотов и коротком времени наблюдения — точное
наблюдение времени 10 или 100 оборотов при помощи секундо-
мера. При продолжительных опытах при каждом отсчете через
определенные промежутки времени записывают показания счет-
чика, по разнице показаний определяют равномерность хода и число
оборотов (в минуту). Счетные механизмы с выскакивающими чис-
Выдержки из Г рамбер г, Технические измерения при испытании машин
и в эксплоатации, 5 изд., Берлин, 1923, и его же, Испытание машин и их служба
в эксплоатации, 3 изд., Берлин, 1924. Имеется русский перевод, изд. Макиз, 1927.
53*
836 T- I- Отд. в. Техника измерений. I. Число оборотов машин; колебания
лами удобны для отсчета, но непригодны при большом числе обо-
ротов. Применяются приборы со стрелкой, регистрирующей наиболь-
шее число оборотов. Привод — от проволочной спирали или про-
стой проволоки, как гибкого вала.
Тахометры сразу дают число оборотов (в минуту), но требуют
проверки. Центробежный тахометр — неподвижный или в виде руч-
ного инструмента; последний по большей части устраивается пере-
ключаемым посредством механизма зубчатых колес для различных
пределов измерений (например, от 30 до 120, от 100 до 400, от 300
до 1200, от 1000 до 40и0 оборотов) одним и тем же инструментом.
Вихревой тахометр. Тахометры с жидкостью для стационарной уста-
новки, неизменные в их показаниях. Электрические тахометры для
отсчетов на расстоянии; отправитель — электромагнитная машина;
приемник — вольтметр. Приборы Фрама (S & Н, Hartmann & Braun):
набор пружин, настроенных на определенное число оборотов, воз-
буждается посредством резонанса; пружина, соответствующая наблю-
даемому числу оборотов, приходит в колебание; возбуждение элек-
трическим или механическим путем, первое и при измерениях
на расстоянии. Тахометры с механическим приводом особого дей-
ствия, независимые от сотрясений.
Тахографы, регистрирующие центробежные тахометры, с широ-
ким пределом измерений для наблюдения за подъемными маши-
нами и т. п., с узкими пределами измерений (обыкновенное число
оборотов в минуту — 500, предел измерений zt 12%) — транспор-
табельные для исследования регуляторов машин (Horn, Morell).
b) Измерение механических колебаний 1)2)
Сначала следует установить число колебаний, затем величину
(размах) и форму колебаний.
Измерение числа колебаний до 300 в минуту (5 герц; 1 герц =^=
колебанию или пер/сек) помощью секундомера.
Отсюда следующие случаи:
1.	Колебания (сотрясения) машин, домов, экипажей и су-
дов регистрируются сейсмографами (Spindler & Hoyer, Gottingen),
(слабые медленные движения) или вибрографом (Lehmann &
Michels, Altona) (отклонения zt 0,15 до 10 мм, частота колебаний
от 40 до 20 000 в минуту). Виброметр (Schenck, Darmstadt) показьь
вает отклонение без регистрации.
2.	Колебания при вращении в а л о в, угловые откло-
нения, неравномерность хода регистрируются помощью торзио-
графа (Lehmann & Michels); при сильной пружине можно измерять
число колебаний от 300 до 700 в минуту; со слабой пружиной
от 90 до 3000 в минуту, с увеличенной маховой массой пригодно
от 25 в минуту. При весьма значительном числе колебаний
Л На основании материала, предоставленного д-р инж. Гейгер.
*) Литература. Стендинг, Измерение механических колебаний, Берлин,
1928; VDI — Доклад Г е й г е р а. Механические колебания ц их измерения, Берлин,
1927, изд. Springer.
Намерение давления
837
(7000 до 20 000 в минуту) непосредственное соединение ременного
шкива с исследуемым валом.
Примечание к пп. 1 и 2. В случае (1) ма1:са покоится в продольном напра-
влении ; в случае (2) приспособление для увеличения отклонения соединяется с ис-
следуемой деталью помощью пружины и промежуточного включения. Масса
покоится или движется равномерно, причем движение (колебания) исследуемой
части записывается в увеличенном масштабе.
3.	Колебания при удлинении и связанные с ними
напряжения регистрируются помощью экстензографа (Lehmann
& Michels или Fereday-Palmer): зеркальце при относительных
колебаниях (отклонениях) отражает световой луч на фильму; или
измеритель удлинения (Kohledehnungsmesser) центральной лабора-
тории железной дороги в Берлине (с собственной частотой колеба-
ний до 60 000 в минуту) основан на измерении электрических
сопротивлений угля под давлением, которые переносятся на осцило-
граф (для мостовых полос и др.).
4.	Сила звука от шума, производимого машиной, опре-
деляется микрофоном, передатчиком и телефоном. Направление
звука, напр. при летной службе, определяется помощью двух воро-
нок, энергия которых по двум отдельным рукавам передается
в оба уха; большая конусная воронка, длиной равная 2 диаметрам
отверстия, дает лучшие результаты.
5.	Анализ формы вала (электрические переменные токи,
звук и т. д.) помощью прибора Сименс и Гальске, передающего
запись осцилографом, гальванометром Эдельмана или другими реги-
стрирующими приборами, имеющими достаточно высокую собствен-
ную частоту колебаний и разложение кривых гармоническими анали-
заторами Мадер в основных и высших колебаниях (см. стр. 232); или
исследование непосредственно помощью резонаторов, из которых
каждый приходит в колебание, когда его собственная частота коле-
баний совпадает с частотой исследуемых колебаний (аналогично
вибраторам Фрама и т. д.).
II. Измерение давления
Надо различать метрическую (техническую) атмосферу, 1 ат=\ кг\с и8—735,5 мм
рт. ст., от старой атмосферы (физической) — 1 фаз. ат = 760 мм рт. ст. = 1,033 ат
(метрической) (стр. 643)
1 мм вод. ст. (при 4е С) = 1 кг1м*
13,6 мм вод. ст. = 1 мм рт. ст. (при 0°).
Манометр показывает разность давлений между измеряемым
и окружающим, большей частью атмосферным давлением. Манометр
для измерения давления сверх атмосферного и вакуумметр для
давления ниже атмосферного по своей конструкции одинаковы.
Абсолютное атмосферное давление показывают барометры.
Пример. Манометр парового котла показывает 4,25 а/n, а барометр 705 мм рт. ст.,
барометрическая высота равна тогда 705/735,5 — 0,96 ат, и, следовательно, абсо-
лютное давление равно 4,25 4- 0,96 = 5,21 ат. Вода будет кипеть при темпера-
838 Т. I. Отд. 6. Техника измерений. II. Измерение колебания
туре 152,5° (см. стр. 668). Вакуумметр у конденсатора показывает 64,5 см =645 мм
ргГст. при том же барометрическом давлении. Абсолютное давление в этом месте
конденсатора равно 705 — 645 = 6 ) мм рт. ст. — 60/735,5 = 0,082 ат; температура
конденсации < 42’, вследствие парциального давления воздуха (см. стр. 677).
Измерение давления: а) в с т р у е: -^7 кг/л/2 называется ди-
намическим напором pd, который, слагаясь со статическим давле-
нием р кг)м2 абс., дает полное д а в л е н и е — pg\ последнее
будет измерено, если приемную трубку манометра направить от-
верстием против струи. Для измерения р нужно принимать меры
к устранению влияния pd путем: 1) закругления кромок приемного
отверстия и 2) помещения приемного отверстия в таком мертвом
угле, где нет сильных вихревых токов. Влияние динамического
давления особенно заметно при небольших давлениях и больших
скоростях; Ь) в неподвижной среде, при удельном весе
вещества 7 кг/м3, абсолютное давление в среде увеличивается
по направлению сверху вниз на каждый 1 м глубины на у кг/м2,
при изменениях удельного веса с температурой, приращение давле-
ния соответственно изменяется.
Пример. Полный напор, преодолеваемый насосом, равен показанию манометра
на всасывающей линии + показание манометра на нагнетающей линии ± разница
высот установки обоих манометров.
Барометр. Ртутный барометр: поправка на капиллярность (кроме
тех случаев, когда обе трубки одинакового диаметра) и температуру
выше 0°. Последняя при комнатной температуре до 1/30/0. Анероид-
ный барометр проверяется хорошим ртутным прибором.
Каждое б а р о м е т р и ч е с к о е показание требует поправки на
высоту местности, если давление воздуха хотят получить отнесенным к уров-
ню моря (для метеорологических целей). Если для опытов интерес представляет дей-
ствительное показание барометра, то поправка на высоту отпадает. Если положение
барометра берут из публикуемых метеорологических сообщений, то поправка должна
быть введена соответственно с высотой места и температурой (около 1 мм рт. ст.
для каждых 10 м высоты).
Манометр. Измерение больших и средних давле-
ний при помощи пружинного манометра, с трубчатой или пластин-
чатой пружиной. Последний мало чувствителен к ударам, но и менее
точен. Длина шкалы должна быть равна двойной величине обычно
измеряемого давления. Инструменты по возможности не должны
подвергаться действию высоких температур и толчков вследствие
внезапных изменений давления; используются водяные петли, глу-
шители ударов, трехходовой кран для проверки нулевой точки. При
вертикально идущих подводящих трубах малого диаметра (у пара)
требуется поправка на вес водяного столба; при возрастаю-
щем давлении нельзя быть всегда уверенным, что трубки напол-
нены водой.
Измерение небольших давлений и вакуума про-
изводится ртутным манометром: U - образная трубка или манометр
с чашечкой, последний лучше с переставляющейся нулевой точкой.
Измерение давления
839
При паре следует следить за водяным столбом, устанавливающимся
над ртутью: вода должна доходить точно до вертикальной подво-
дящей трубки. Имеем тогда измеряющую столб единицу (мм рт.ст. —
мм вод. ст.), Причем 1 мм (рт. ст. — вод. ст.) = 12,6 мм вод. ст. —
12,6 кг/м2.
Измерение очень малых давлений (тяга в топке).
Водяные манометры того же вида; более точны при употреблении
наклонной трубки; керосин имеет меньшее сцепление со стеклом, чем
вода; тот же результат от прибавления небольшого количества
едкого кали или мыла.
Микроманометр Креля (фиг. 1) представляет собой тягомер
с наклонной трубкой, приспособленный как для измерения весьма
малых разностей давления, так и для больших разностей. Наклонная
Фиг. 1. Микроманометр Креля.
измерительная трубка изо!нута по кривой, подчиненной закону
изменения величины У Н. Измерительной жидкостью служит алко-
голь 7 = 0,8. Трубка снабжена двумя шкалами в м ч вол. ст. и
в величинах w м/сек, причем шкала скоростей правильна только
для определенного газа.
Наклон рекнагелевского микроманометра 1:1000.
Хороший состав для наполнения: толуол С7Н8, удельный вес ^0,864
кг/дм3 при 20°, изменение 0,0011 на каждый градус, умеренное ис-
парение, химически постоянный, поэтому неизменный состав. Шкала
вследствие неправильности трубки наносится эмпирически. Градуиро-
вание дополнением Vсм3 толуола в резервуар диаметром 10 см = 78,5
см2. Если при этом столб в измерительной трубке уйдет на п' де-
лений, то при дальнейших измерениях отклонению на п делений будет
соответствовать давление столба толуола Л = п-10 V/(78,5• ri) мм.
Таким образом значение одного деления шкалы равно 10 V/(78,5 • п') мм
толуола, или при удельном весе толуола ? оно будет равно
Ю Иу/(78,5 • ri) мм вод. ст.
У манометра, содержимое которого могло бы иметь с обеих сторон различный
удельный вес (вследствие температуры, влажности, пэров толуола), не следует накло-
нять подводящей трубки. Следить за тем, чтобы трубки были плотны, иначе полу-
чаются ошибки в измерении. Если жидкость, давление которой измеряется, нахо-
дится в движении, то следует устранить влияние скорости: определение давления
840 Т. I. Отд. 6. Техника измерений. III. Измерение количеств
не тотчас за закруглением, чистое отверстие во избежание образования вихрей,
удаление заусенцев с металла. При тонких трубках: просверливание, использование
отводных отверстий.
Диференциальные манометры измеряют разницы давлений,
которые малы по сравнению с абсолютным давлением. Особенно
неблагоприятно может влиять уже упомянутое определение давле-
ния с двух сторон, равным образом при паре вышеуказанные
водяные столбы неопределенной высоты, которые по сравнению
с малыми разницами давлений приобретают большое значение; чтобы
сделать последние определенными, нужны или уравнительные
резервуары с поверхностями настолько большими, чтобы изменения
объема в манометре не влияли заметным образом на уровень жид-
кости в них, или присоединение к измерительным трубопроводам,
идущим вначале горизонтально.
II.	Измерение количеств ’)
А. Весы
Назначение:
а)	Однократное определение веса данного количества.
Особый случай: определение, сколько значительных количеств, почти
равных по весу, удовлетворяют требуемому значению в предписан-
ных границах, или насколько каждое из них отклоняется от этого
веса.
Ь)	Установление определенного весового количества при
складском взвешивании; особый случай: получение многих одина-
ковых количеств в известных границах, удовлетворяющих требуемо-
му значению.
Весы с подвижными гирями: простые коромысловые
весы для аналитических целей; для розничной мелкой продажи
в настоящее время применяются весы с указателем (Neigungs-
waage); сложные коромысловые весы; десятичные, сотенные
с передвижным грузом, по каждому коромыслу передвигается одна
большая и одна маленькая гиря для грубой и точной установки, или
в большой передвижной гире передвигаются вспомогательные шкалы;
как передвижные гири. Первые более удобны для обслуживания
и опытных целей, последние позволяют применять приспособления
для отпечатывания результата на карточке для производственных
целей; с нажимным приспособлением, также с зат юром, действую-
щим до тех пор, пока груз неуравновешен; бывают как с подвиж-
ными гирями, так и с указателем; последние давно в употребле-
нии в САСШ; в Германии допущены к употреблению только
после изменения правил о взвешивании в 1922 году. Комбинирова-
0 Литература. Цин гл ер, Постройка и теория сложных весов, Берлин, 1928,
Springer.
Весы
841
нием стараются устранить слабые места ‘отдельных весов. В деся-
тичных весах помощью вспомогательного передвижного груза устра-
няют необходимость иметь небольшие грузы. Весы с указателем,
помощью грубой установки груза (гири или подвижного груза),
при взвешивании многих одинаковых количеств, устраняют необхо-
димость передвижения указателя по всей шкале. Нормальный тип
весов в конце имеет нулевую точку; весы для взвешивания одина-
ковых количеств (пакетов) имеют приспособления для указателя веса,
коего шкала по обе стороны от нулевого значения показывает зна-
чения „больше* или „меньше" требуемого веса.
Весы, предназначенные для общественного пользования, должны
быть чувствительными; также должны быть чувствительны весы
в производстве, для определения веса пакетов, для продажи. Обяза-
тельна проверка новых весов, проверка работающих должна произ*
водиться каждые два года.
' Мостовые весы при определенной наибольшей нагрузке дают наиболее
точные показания. Неточность и нечувствительность не должны превышать 0,06%
(0.6 г на 1 кг) при максимальной нагрузке. При 1I,Q максимальной нагрузки ошибка
может равняться 0,12J/0 (1,2 г на 1 кг), т. е. ошибка’вдвое больше.
Десятичные и сотенные весы требуют уравновешивающих гирь
на чашках, что представляет неудобство, желательны по крайней мере вспомогатель-
ные передвижные гири для взвешиваний до 5 кг.
Автоматические весы (Reuther & Reisert, Schenck) для постоян-
ного контроля производства. Передвижная гиря, приводимая в дви-
жение взвешиваемым грузом по большей части при посредстве
сервомотора, автоматически останавливается, как только весы прихо-
дят в равновесие. Вес регистрируется большей частью при помощи
счетчика, может также и отпечатываться на контрольной карточке,
или же измерительный сосуд наполняется каждый раз одинаковым
количеством, причем приток после наполнения останавливается
автоматически и число наполнений записывается (Librawerke, Braun-
schweig). Первое, например, при перевешивании угля в вагонетках,
последнее при взвешивании свободного угля. Полуавтомати-
ческие весы Шенка, например для бункеров; если потянуть
за рычаг, то высыпается определенное количество (200 кг или
400 кг), и весы снова наполняются. Подсчет засыпок производится
счетным аппаратом.
Путевые весы устанавливаются на пути, ведущем, например,
в котельное здание. У весов с затвором въезд вагонеток, притом
только груженых, может происходить лишь с одной стороны.
Вагонетки могут проходить дальше через весы лишь после взве-
шивания (порядок всех операций принудительный). Обратное пере-
движение по весам невозможно. Обратные пути с разрывом, чтобы
наполненные вагонетки не могли проходить.
Передвижные бункерные весы служат одновременно и для
перемещения угля. Весы наполняются из расположенного выше
угольного ящика до тех пор, пока будет достигнут определенный
вес угля. Пополнение углем автоматически прекращается, когда
842 Т. I. Отд. 6. Техника измерений. III. Измерение количеств
весы приходят в равновесие. Другие конструкции—для канатных и
подвесных дорог, а также для установок для перемещения угля.
Затем как силосные весы для зерна и других сыпучих тел на
мельницах, пивоваренных заводах и т. д.
В. Измерение расхода жидкостей
Предварительное примечание к разделам от В до D
Инструменты со шкалой и цифровым отсчетом. Если в
.	dG
промежуток времени at надо измерить вес dG, то — называется потоком, т. е.
протекающим в единицу времени количеством, которое измеряется в кг1,сек (или
кг i час, по желанию может быть также отнесено и. к объему). В промежуток вре-
^2
мени от до t2 проходит общее количество 0= f dt, измеряемое в кг (или .и3).
Приборы со шкалой показывают па шкале поток, они удобны для наблю-
дения за ходом эксплоатации в данный момент, а также указывают изме-
нения в условиях таковой. Приборы со счетным механизмом поз-
воляют отсчитывать прошедшее общее количество и дают возможность после-
дующего контроля общей производительности, общего расхода и т. д. Аппа-
раты выбирают соответственно назначению. Если производить отсчеты потока на
инструментах со шкалой в промежутки времени Д/, то общее количество нахо-
^2 &Q
дится арифметическим путем по следующей формуле: О — V	или же
графическим путем — планиметрированием. При тасто меняющемся потоке еще
лучше графическая запись пишущими приборами. Если отсчитать на счетчике в
промежуток времени Д/ показание Gi и G2, то средний поток за этот интервал
fdGX О. — Gi „
I — ) =-	—1 . При достаточно коротком времени (если счетчик это допускает,
\d* )т
на что в интересах быстрой работы надо обращать внимание в
ч	dG (dG\
установках) или же при постоянном потоке
\ dt
Измерения в разделах В и С, а частью D производятся более
же путем, разграничение не имеет строгих границ.
лабораторных
или менее тем
а)	Измерение и взвешивание постоянно текущих или расхо-
дуемых количеств
Два сосуда поочередно наполняются и опоражниваются. Сосуды
или стоят на весах, и количество, так же как и время для их на-
полнения, определяется каждый раз, или же слив излишка ограни-
чивает наполнение, и излишек течет в освободившийся за это вре-
мя второй сосуд. Переключение — ручным способом (при опытных
установках) или механически: принцип открытых измерите-
лей жидкости (Eckardt, Schilde, Steinmuller, для небольших ко-
личеств, например центрального отопления Gebr. Siemens). Послед-
ние действуют частью по объему, частью по весу. Проще: напол-
нение сосуда, время по секундомеру, взвешивание. При опытах
определяется время много наполнения. В производстве отсчиты-
Измерение расхода жидкостей
843
вается положение при сменах, разница может составлять целое
наполнение.
При приближении к температуре в 100° предохранять от испа-
рения прикрытием; выше 100° перед выходом охлаждать и выпус-
кать под холодной водой.
Ь)	Водомеры для установки в трубопроводах
1. Скоростные водомеры (вода толкает колесо).
а) Струйные водомеры, особенно для мелких труб. Струя, вы-
ходящая из сопла, приводит в движение колесо с крыльями.
р) Вольтмановские водомеры для больших труб (главные изме-
рители). Большое крыльчатое колесо не заполняет всего диаметра
трубы ввиду загрязненности воды. Они строятся диаметром до
500 мм, соответственно 12 000 мъ1час. Крылья сменяемы, в особом
барабане (S & Н, Meinfccke), также под давлением (Bopp & Reuther).
2. Объемные водомеры с принудительным протоком воды, не
сработанные измеряют небольшие протекающие количества лучше.
7)	Дисковые водомеры (качающийся диск) употребляются там
же, где а.
о) Поршневые водомеры с движущимся вперед и назад порш-
нем (Eckardt, Schmid).
3.	Открытые водомеры см. (а).
4.	Водомер Вентури (фиг. 2). Сужение сечения трубы при-
близительно на 1/2 нормального и затем постепенное коническое
расширение до нормального диаметра трубы (желательно не для
Фиг. 2. Нормальная конструкция трубы Бентури.
измерения, но для целей эксплоатации) для обратного получения
потери давления. Потеря давления вследствие повышения скорости
в сужении измеряется при помощи диференциального манометра.
Измерение давления через кольцевые отверстия на окружности
трубы.
Описанные в пп. 1, 2 и 3 прибор измеряют интегральные количества про-
ходящей воды, причем требуется одновременное наблюдение времени, чтобы полу-
чить м31сек. Эти измерения пригодны только до известных пределов, до 5% нор-
мальной мощности (при новых дисковых водомерах около 2°/0)» ниже не приме-
нимы; п. 4 измеряет поток воды, если не устанавливается маленький водомер
между трубой и сужением как механическое интегрирующее приспособление
(парциальный прибор).
5.	Для измерения всякого рода жидкостей пригодны также все
типы паромеров, так, например, паромерБайера(фиг. 9, стр. 853),
если количество достаточно велико.. Отклонение (также при переходе
от пара к жидкости) пропорционально корню из удельного веса, если
§44 Т. I. Отд. 6. Техника измерений. ПТ. Измерение количеств
принять во внимание обратный подпор внутренних движущихся
частей в жидкости, а также внутреннее давление, которое дейст-
вует на сечение сальника. То, что прибор записывает, представляет
большое удобство.
Для питания котлов пригодны специальные конструкции
пп. a, y, 6 и 3 (последний, если температура воды ниже 100е)
а также пп. 4 и 5.
с)	Отверстие истечения
Измеряемая вода проходит через резервуар, из которого она
выходит через хорошо обработанное отверстие с сечением f м-.
Наблюдается высота столба h м над серединой отверстия (при вер-
тикальном выходе) или же над тем местом, где водяная струя отде-
ляется от отверстия (при горизонтальном выходе). Вытекающее
количество V=kf\/2gh м3/сек, причем коэфициент истечения
& = 0,605 для отверстия с острыми краями, если h ^>0,4 м и диа-
метр ^20 мм, в противном случае k больше; k = 0,99 для сильно
закругленных и отполированных отверстий. Отверстие — на доста-
точном расстоянии от стенок сосуда и дна. Если отверстий не-
сколько, то они должны быть достаточно удалены друг от друга,
чтобы быть уверенным в полном сужении. Высота должна быть
достаточной во избежание образования воронок. Водяной поток
должен быть равномерен, иначе отсчитывание высоты уровня не-
возможно. При неравномерном водяном потоке по способу Брауера
часть воды пропускается через маленькое отверстие и взвешивается,
при одинаковой высоте количества из других отверстий пропор-
циональны. Струи должны отделяться от стенки сосуда на одина-
ковой высоте1).
d)	Отверстие протока
Труба Вентури, подробно описанная для газов (см. стр. 852),
применима также и для жидкостей в трубопроводах.
е)	Измерения с запрудами
Правила для сооружения измерительных за-
пруд: ребро порога острое, тонкое, вертикальное, перпендикуляр-
ное к направлению потока. Запруда должна со стороны верхней
воды представлять собой вертикальную стенку. Ширина канала со
стороны верхней воды должна равняться ширине плотины во избе-
жание боковых сжатий (в необходимых случаях при помощи досок).
Хорошая вентиляция струи воды снизу, или же со стороны (при-
чем нижний канал шире, чем плотина), или искусственным подво-
дом воздуха. Тогда
(? = ~ kb у 2g7z3 м*1сек9
о
*) Коэфициенты для горячей воды, Forschungsarbeit VDI, Н. 213*
Измерение расхода жидкостей
845
причем по Rehbock i) Q = (1,782+ 0,24 he/p) h9/'; высота he =
= h + 0,0011 м, должна начинаться непосредственно над ребром
плотины.
Ъ—ширина плотины в л,
h—высота подпора над ребром плотины в лс, на таком расстоянии [4Л или
от водослива, чтобы уровень воды еще не был понижен,
р—высота ребра плотины, считая от подошвы, в м.
Необходимо, чтобы b^h, до 0,2 м, отсюда И= 40л/сек,
как минимальное количество; однако h 0,6 р; высота ребра пло-
тины р:>0,3 м. В опытах Rehbock высота под-
пора доходила // = 0,8 м и высота ребра плотины
до р = 1,2 м.	___
Значения Rehbock в среднем дают на 2,4%
меньшие количества воды, чем получаемые при Ужшл
пользовании формулой Frese. Исходя из новых
даННЫХ, К. П. Д. Турбины НеСКОЛЬКО увеЛИЧИТСЯ, а Фиг. 3. Водо-
насоса уменьшится 2).	слив*
При измерениях пользоваться только хорошо испытанными, вышеупомяну-
тыми соотношениями для запруд. Остерегаться определять k само-
стоятельно без достаточных вспомогательных средств. Если нельзя избежать других
форм плотин, то коэфициент истечения берут по стр. 497 и след.
Хорошо известна также треугольная плотина: вода
проходит через угловой прорез плотины; специальный с |учай: про-
рез прямоугольный, вершина внизу, стороны наклонены под 45°;
тогда	____
Q = («/15)	м^сек-
причем:	h = 0,05	0,1	0,15	0,2	0,25	м
по Барру	|л = 0,597	0,590	0,586	0,584	0,582
следовательно,
Q = 2,36 р-Л* = 0,000786 0,00440 0,01206 0,0247 0,0430 м*{сек.
При более продолжительных исследованиях течения воды в реках употреб-
ляются автоматически регистрирующие плотины.
f)	Измерение помощью щита
Условие: достаточной длины, хорошо и однообразно обработан-
ный канал постоянного сечения. Легкий щит, висящий на тележ-
ках, опускается в воду и плывет с ней, его скорость записывается
При помощи’электрических контактов. В лабораториях при про-
ектировании турбинной установки должен быть предусмотрен по-
добный канал.
О VDI, 1929, стр. я 17.
®) Последние опытные данные Kirschner und Е s t е г е г, VDI, 1930,
$тр. 1499, дают количества, средние между данными Frese и Rehbock.
846 Т. I. Отд. 6. Техника измерений. III. Измерение количеств
g)	Определение количеств из распределения скоростей
Устанавливается распределение скоростей w м/сек по сечению
f м-. Тогда V = f w • dfMp/сек. Неопределенность: невозможно изме-
рение у краев, где скорость понижается до пуля, к тому же не-
точность измерения скорости при сильном вихревом движении.
Измерения на прямом участке по возможности дальше от изгибов.
При круглых каналах (трубах) измерение на расстоянии одного
до трех диаметров, изображение результатов графическое, а имен-
но: w=/(r2) (г—расстояние от места измерения до оси трубы);
планиметрированием получается средняя высота: wni =
отсюда
v=wm-f.
Для измерения скорости служат:
1. Вольтмановская гидрометрическая вертушка1) употребля-
ется, принимая во внимание
Прорез.получ
стат.давление fi Кг/м*
Подпори. отверстие.
аолуч овщ.давление
^*2?/**/•«*
Направление тока
воздуха скоростью
W м/сек
уравнение вертушки, полученное опы-
том. Крыльчатое колесо измеряет ско-
рость воды, действуя на счетный ме-
ханизм или на электрические кон-
такты.
2. Трубка Прандтля (фиг. 4)
могла бы употребляться как для
воды, так и для воздуха. Отверстие,
противолежащее струе, измеряет об-
щее давление pg = р + у • кг/м-,
щель сбоку трубы — статическое да-
вление р. Разница есть динамическое
давление у • w2/‘2g, равная pdt от-
сюда
®	р//
ч 	Поправка у хороших инструментов ров-
на единице в том случае, если статическое
,	.	давление измеряется в таком месте, где нет
МЯОММБ I	ни всасывающего ни напорного действия
вследствие водоворота или изменения напра-
Разность давлений дйналГдавлен.г ' вления течения. Ввиду независимости от на-
кг/м* изменяем	трубки по отношению к направлению
г9 о f Z7	отверстие для выпуска равно 0,3 на-
,	.	_ -	_	ружного диаметра трубки (Kumbruch, Mitt.
Фиг. 4 Трубка Прандтля.	Forschungsarb. VDI, Н. 240), т. е. диаметра
переднего полушара.
В трубопроводах: ввод трубки через сальнихи или длин-
ные направляющие. Измерение динамического давления при помо-
щи перевернутой вверх U-образной трубки (следовательно Q), с воз-
духом, керосином (для малых скоростей) или чем-нибудь подобным
*) Подробное описание HdlW, IV. Aufl., III. Teil, 1. Bd. О вертушке особой
конструкции для мелких вод, Schweiz. Bauztg., 6 Oklober 1906, Oder Broschiiren von Ott
in Kempten, Ertel in Miinchen.
Измерение расхода газа
847
над водой, а также вниз повернутой трубкой с наполнением хлоро-
формом. У напорных труб воздух над водой должен накачивать-
ся насосами (велосипедный насос!), у высасывающих труб вода под-
нимается всасыванием (аспиратор из стеклянной трубки с резино-
вой трубкой, вдувания воздуха в трубы следует избегать).
С. Измерение расхода газа1)
1.	Газомер для непрерывных измерений объема при низких
давлениях. Мокрые газомеры с барабаном Кросле: ре-
зервуар наполняется водой несколько выше горизонтальной оси
вращения барабана. При постоянном уровне воды каждый оборот
барабана подает одинаковое количество газа. Незначительная раз-
ница в уровне воды не имеет значения, так как камера при запоре
поворачивает узкую верхушку сектора вниз. В больших так назы-
ваемых станционных газомерах постоянный уровень воды поддер-
живается непрерывным ее притоком и удалением (система Кинга).
Допускаемое число оборотов в час равняется приблизительно 100.
Неизбежное падение давления большей частью меньше 2 мм вод. ст.
Точность измерения хорошим газомером почти полная. Учету под-
дается даже минимальный приток газа. Колебания давления и ско-
рости дают чувствительные ошибки лишь в тех случаях, когда
происшедшие колебания воды временно открывают запорные края
(хлябающий шум). Если газ притекает не непрерывной струей, а
толчками, как, например, во всасывающей трубе газовых двигате-
лей, компрессоров и т. п., то устанавливается регулятор давления
(каучуковый мешок для сжатого газа, подвешенный на пружинах
колокол или мембраны и т. п. при газовсасывающих установках).
Сухие газомеры: два воздушных меха, которые регулируют
друг друга (менее точны), устраняют наполнение и опасность от
замерзания (для домовых установок).
2.	Измерители завода Рота в Аахене. Во внутри отшлифован-
ной, постепенно расширяющейся кверху измерительной трубке с
делениями поплавок поднимается притоком газа тем выше, чем
больше количество газа; поршень показывает в м?1сек газовый
поток, а не полное прошедшее количество, как газовые часы. Пор-
шень имеет винтообразные вырезы, поэтому колеблется, вращаясь
и не касаясь стенок. По большей части поршень приподнимается
при изменении на у10 максимального количества. Большие размеры.
Калибрирование после того, как газ довольно продолжительное время
пропускался, так как эбонитовые поплавки поглощают газ (потом
снова выделяют).
3.	Объемные приборы для лабораторных измерений и для про-
верки газомеров на газовых заводах. Колокола известного сечения
при опускании в резервуар с жидкостью вытесняют через трубу,
выходящую над жидкостью, объемы, которые могут быть точно
0 Ср. примечание к В, а также подробное описание в Правилах для испы-
тания мощности вентиляторов и компрессоров (т. III).
848 Т. I. Отд. 6. Техника измерений. III. Измерение количеств
определены. Давление и температура в колоколе наблюдаются; при-
ведение к нормальному состоянию (только, если действительно не-
обходимой. Давление при опускании неизменно, вследствие авто-
матического увеличения нагрузки колокола, соответственно обрат-
ному напору при более глубоком погружении колокола.
4.	Измерение количества газа нагнетанием его в резервуар
(важно для исследования компрессоров).
Пусть V—объемное содержание резервуара в ма,
Pi и рл—абсолютное давление в резервуаре в начале и конце опыта в
кг/лЛ,
р—таковое же для любого момента,
Г—абсолютная температура наполняющего газа для того же времени,
G-количество нагнетаемого газа в кг,
Я—газовая постоянная,
х—отношение удельных теплот содержимого в резервуаре, которое ком-
примируется вследствие наполнения газом—приблизительно адиабати-
чески.
Тогда
А
Зависимость между Т и р известна из наблюдений. Интеграл нахо-
дится графически или как средняя величина. Для постоянной тем-
пературы входящего газа Т будет
С = (И/х.*/?Г) (p2-Pi),
а для воздуха
О = (V/41,3) (р2-Р')!Т.
5.	Труба Якоби. Гладкая труба. Из потери рабочего давления
получается количество жидкости. Пригодна для калибрирования
других 1).
6.	Измерители для сжатого воздуха завода Бамберг
с отверстием протока, регулируемого мембранами; предназначены
для приборов, работающих сжатым
воздухом, и пр.
7. Сопла и диафрагмы. Для из-
мерения количеств протекающего
газа комиссией VDI были разработа-
ны правила, которые в значительной
мере базируются на данных Оппау 2).
Правила эти сводятся к следую-
щему.
В трубопроводе диаметром D мм
для перепада давления вставляется
сопло (фиг. 5) или диафрагма (фиг. 6)
Фиг. 5. Нормальное сопло 1930 г.
1 Mitt. Forschungsarb. VDI, Н. 267.
s) W i 11 e, Technische Mechanik und Thermodynamik, H. 1. bis 3, 1930.
Измерение расхода газа
849
диаметром rf, в результате чего происходит изменение площади
проходного сечения в отношении
т "d2/Dy — flF.
Увеличение скорости газа соответствует падению давления,
причем разница давлений может быть измерена с помощью дифе-
ренциалыюго манометра. Перепад давлений (рх — р2) кг/л*2, выражен-
ный в метрах столба жидкости уд. в у кг!м*
h = (р1 — р2)/’1 м.
Для ртути и воды разница в удельном весе составит:
°C 0°	5°	1J’	15е	2J°	25е
~ {1рт~ Т^ = 12’59	12>58	12»57	12’55	12,54	12,53	кг/л.
Зная перепад давления (pt — р2) кг/м*> можно определить коли-
чество протекающего газа G по формуле:
G = а • t * № • 0,01252 Y(Pi —	71 кг/час............(1)
Коэфициент истечения а при числе Рейнольдса Rq = ‘wD(1igrl выше опреде-
ленных значений зависит только от величины т и определяется опытом.
Коэфициент е зависит от степени сужения струи в случае протекания газа или
пара и выбирается в зависимости от величины x~Cp!cv, с одной стороны, и отно-
сительно перепада давления (рх — pJ/Pi, с другой стороны. Для несжимаемых жид-
костей е = 1.
Здесь приняты следующие значения:
— число Рейнольдса, отнесенное к диаметру трубопровода.
Tj - абсолютная вязко :ть в кг сек/м,
D — диаметр трубопровода в
Yi — удельный вес кг/м3, отнесенный к давлению рь
g — 9,81 м/сек2,
w -- скорость течения .в трубопроводе в ч\сек.
Для нормального сопла (фиг. 5) в табл 1 приводятся значения
а и е в зависимости от RD Значения для а могут иметь отклонения
— 0,5% (Для несжимаемых жидкостей). В случае газов и паров
значения е не имеют отклонений от приводимых величин.
Таблица 1. Коэфициенты истечения для нормального
сопла 1930 г.
т =	0,05	0,1
а =	0,987	0,989
для Rjy	63 000
0,15	0,2
0,993 0,999
85 000
0,25	0,3	0,35	0,4
1,006	1,016 1,029	1,045
130 000	180 000
0,45	0,5
1,066	1,096
280 000
Значения 1 — е для перепала давления 0,01
т =	0,05	0,2	0,3	0,4	0,5
Для х =	1,31	1 — е=	0,0060	0,0062	0,0066	0,0073	0,0082
„ х =	1,41	1—е=	0,0056	0,0058	0,0062	0,0069	0,0077
. х =	1,66	1 — с =	0,0048	0,0051	0,0054	0,0059	0,0067
850 т. I. Отл. б. Техника измерений. ТТТ. Измерение количеств
Таблица 2. Значения 1—е для нормальных диафрагм 1930 г.
т = 0,05	0,3	0,5	0,7
Для х = 1,31 1 —е = 0,00335 0,0036 0,0038	0,0044
, х=1,41 1-е -г 0,0021	0,00225 0,00285 0,0034
для перепада давления 0,01
Если будет иметь меньшие значения, чем это указано в табл. 1, то коэфи-
ииент а будет меньше и притом примерно на 4% для значения т каждого следую-
щего десятичного разряда; отклонения будут ± 1,5%.
Для нормальных диафрагм (фиг. 6) оказывает влияние шеро-
ховатость труб (на сопло не оказывает) и острота граней (послед-
ние должны быть абсолютно чистыми, острыми, без всякого отра-
Фиг. 6. Нормальная диафрагма
1930 г.
жения острия, чего достичь
обычными средствами в мастер-
ской невозможно). Значения
коэфициента истечения а для
этих идеальных условий — без
всяких изменений.
Для хорошо выполненных
в мастерской диафрагм (с не-
большим отражением острия)
при обычной шероховатости
труб (не заржавленных) ко-
эфициенты истечения а приве-
дены на диаграмме (фиг, 7).
Число Рейнольдса должно быть
jo WS060 &о юоооио гоо юо «оо ооо юоомм.
Диаметр трубы D 500 600
Фиг. 7. Коэфициент истечения а для нор-
мальных диафрагм 1930 г.
• 105 • т. Значения ко-
эфициентов, показанных на диаграмме, имеют отклонения в зависи-
мости от величины т и диаметра труб, согласно табл. 3.
Для сжимаемых жидкостей необходимо в формулу (1)
вводить коэфициент е, зависящий от (pt — Р2УР1 и х. Значения для
коэфициента е приведены в табл. 2. При этом получается увеличе-
ние общей степени отклонения.
При относительном падении Увеличение степени
отклонения на
(Р — ЛР =	0 ДО 1°/о	О»'о
свыше 1°'о ДО 2°/0	± 0,5%
свыше 2%	± 1,5°/0
Если число Рейнольдса Рр меньше, чем 2,5 то коэфициент а будет
больше и примерно на 0,02 при т = 0,25 и на 0,04 при т — 0,5.
Измерение расхода газа
851
Таблица 3. Величина отклонения коэфициента исте-
чения а для нормальных диафрагм 1930 г.
Выполнение обычное. Труба шероховатая.
Диаметр в мм
50— 100 | 100 — 200 | 200 — 300 | 300 и более
± 1
± 1
t 1
0,05 — 0,1
0,1 —0,2
0,2 —0,3
0,3 - 0,5
0,5 - 0,7
± 1
± 1
± 1
± 1
± 1,5
± 0,5
± 0,5
± 0,5
Отдельные характеристики сопла и диафрагмы:
сопло должно быть совершенно гладкое, форма должна быть прове-
рена помощью калибра. Измерение диаметра производится с точ-
ностью ±0,001 d. Грани диафрагмы должны быть острые. Лобо-
вая поверхность перед отверстием должна быть гладкая. Измерение
отверстия диафрагмы производят с точностью ±=0,о01 d.
Перед и после диафрагмы должны быть определенные участки
прямой трубы, чтобы избежать влияния поворотов трубопровода
на показания диференциального манометра.
Размеры прямого участка трубы приведены в табл. 4.
Таблица 4. Необходимый прямой участок труб для правильных
показаний давлений
т =	Нормальное сопло					Нормальная диафрагма				
	Перед соплом		I После сопла			Перед диафр.		После диафр.		
	0,2	| 0Л	| 0,2		| 0,4	0,2	0,4	0,2	0,4	
Простое колено .	9 D	15 D		5 D	10 D	8 D	18 D	5 D	5	D
Двойной поворот в плоскости . .	6 D	20 D		6 D	27 Z)	5 D	10 D	5 D	10	D
Тройной изгиб в пространстве .	20 D	30 D		10 D	27 D	28 D	28 D	5 D	5	D
Вентиль 		28 D	60 D		5 D	5 D	28 D	55 D	5 D	5	D
Эти значения даны		в случае,		если	отверстия для манометров просверлены					
в трубе. Если отверстия сделаны в шайбе сопла или диафрагмы, то длина трубы
до диафрагмы может быть короче на 2О?/о, длина же трубы после диафрагмы должна
быть всегда 5 D. Если длина трубы будет в два раза меньше, то ошибка при изме-
рении количества протекающего газа будет ± 0,5%.
Вещество должно находиться в чистом аггрегатном состоянии: ни капли влаги
в паре, а в жидкости не должно быть газа. Пульсация от поршневых машин не-
допустима.
Для старого нормального сопла 1912 г. (фиг. 8) применяется формула:
G = kf V 2g [pi — р2) ?! кг!сек.
Значения для коэфициента k приведены в табл. 5.
54*
852 Т. I. Отд. в. Техника измерений. III. Измерение количеств
Таблица 5. Значения коэфициента k для нормального сопла
1912 г. (Miiller und Peters, VDI, 1929, стр. 966).
R = wdlv = 25 000 50 000 100 000 200 000 300000 600 000 1 000 000
k = 0,947 0,956	0,963	0,968	0,972	0,977	0,979
8. Труба Вентури с точки зрения техники измерения равно-
сильна соплу с одинаковым соотношением диаметров при опреде-
лении давления у подпорного фланца; включенное за ним кони-
ческое расширение уменьшает дополнительно потерю давления
в видах экономии в стоимости эксплоатации; или же при данной
допускаемой потере давления в трубе Вентури получается во много
раз увеличенная разница давлений, следовательно, большая энергия
для измерения. Определение перед трубой Вентури и в сужении;
из соотношения диаметров Y т и разницы давлений вычисляется
количество, так же как у сопла
при расходе у края подпора, а
коэфициент k из градуировки. Ср.
фиг. 10, стр. 855.
9. Измерение количества из рас-
пределения скоростей, как в В, g).
Для измерения скоростей служат:
а) Анемометр с турбинным
колесом: ось вращения располагается
по направлению ветра, отсчет по счет-
Фиг. 8. Нормальное сопло 1912 г. чику или электрическим контактам.
Измеряет скорости от 0,5 до 10 м/сек.
Приборы с крыльями из слюды от 0,12 до 5 м/сек. Анемометры
с чашками: ось может быть в любом положении в плоскости нормаль-
ной к направлению ветра, отсчет производится тем же путем, измеряет
скорости от 1 до 30 м/сек. Одновременное наблюдение за часами
устраняется анемотахометром (соединение анемометра с чашками
с центробежным тахометром; Morell, Horn).
b; Приборы для измерения напора, в особенности трубка
Прандтля (фиг. 4) см. В, g), 2; статическое давление измеряется
помощью кольцевого прореза, общее давление помощью отверстия
на шарообразном конце. Присоединенный диферепциальный мано-
метр показывает динамическое давление (p-\-w2/2g • 7) — p=w2/2g • 7=
= pd кг/м2, этому соответствует w = ]^2g- в м/сек. Вследствие
того, что зависимость выражена во второй степени, измерение не-
больших скоростей (ниже 4 м/сек труднее). В необходимом слу-
чае — микроманометр. Вверх измерение неограничено.
D. Измерение расхода пара
См. предварительно примечание к разделу В.
1.	Измерение воды, подаваемой в котел. Уровень воды
в котле, а также в запасных резервуарах, если таковые имеются
должен оставаться постоянным, так же как давление в котле в начале
Намерение расхода пара
853
и конце измерения. Это достигается при помощи приспособлений,
описанных в В, а) (во всасывающей трубе и водомере питательной
воды) или В, Ь) (в напорном трубопроводе). При получении насы-
щенного пара измерение неточно на количество захваченной воды;
уровень воды следует держать
постоянно низким; непрерыв-
ное питание.
2.	Измерение пара, кон-
денсирующегося за машиной.
Расход конденсационных горш-
ков и т. п. измеряется отдельно.
При насыщенном паре ошибка,
как и в 1.
3.	Паромеры. Через сече-
ние F м2 при разнице давле-
ний (р± — р2} = Др кг!м2 перед
и за местом сужения и при
удельном весе кгЬР перед
этим местом проходит:
G = с • ру• V^i кгJ сек,
с = ky2g= постоянная аппа-
рата, обусловленная сужением
и трением. Она вводится также
как попртвка, потому что приме-
няемая формула, основанная на
опыте, приблизительна. При
паромерах с поплавком Др
обыкновенно постоянна, и F
является мерой для G. При
паромерах для измерения ко-
личества протекающего пара F
Фиг. 9. Поплавковый паромер завода
Bayer-Sienens. а —сопло, b — поплавок,
с—груз, d—никелевая штанга, е—пишу-
щий штифт, /—барабан.
постоянно, и УЬр служит ме-
рой для количества пара.
а)	Поплавковые па-
ромеры. Поток пара захва-
тывает с собой подвижную
часть, поплавок. Устройство
статически таково, что откло-
нение тем больше, чем больше
количество пара. По отклонению, следовательно, определяется коли-
чество пара. Поршень обыкновенно находится внутри резервуара,
который устанавливается на паропроводе, как вентиль (фиг. 9).
Ь)	Диафрагмовые паромеры. В паропровод вставляется
измерительная диафрагма (как для воздуха см. С, 7) или сопло. По-
теря давления в известном свободном сечении диафрагмы служит
мерой количества пара, оно отсчитывается по диференциальному
манометру или регистрируется таковым. Если вместо диафрагмы
854 Т. I. Отд. 6. Техника измерений. III. Измерение количеств
употребляют трубу Вентури ^фиг. 10), то имеется только неболь-
шая остающаяся потеря давления.
Оба типа устраиваются: а) для непосредственного отсчитыва-
ния моментального потока пара (так называемые napoBoie часы, неудачное назва-
ние, так как именно часы в свои^ показаниях уводят влеред; лучше—указатель пара).
Цель, например: в зависимости от раслода истопник регулирует огонь раньше,
чем давление в котле значительно изменится; р) для графического изоб-
ражения потока пара в виде диаграммы; абсциссы: время. Цель: позволяет
наблюдать за ходом эксллоатации и устанавливать впоследствии неэкономичность
работы. Планиметрированием получается прошедшее за все время количество ( а 12
или 24 часа), если ординаты пропорциональны количеству пара; для этого требуются
особые приспособления, так как иначе отклонения пропорционально! потере давления,
а следовательно, квадрату количества; у) для автоматического интегри-
рования при помощи счетного меланизма; в любое время может быть отсчитано
по счетчику прошедшее до этого количество. Суммирование производится механи-
чески (автоматический планиметр) или электрически (включение сопротивлений
и амперметра или и ваттметра).
При паромерах с поплавком, так же как и при диафрагменных
паромерах, постоянная аппарата с определяется или предваритель-
ными измерениями при определенном состоянии газа -ц или вычис-
ляется, принимая коэфициент истечения k, так же как и при воздухе.
При этом коэфициент истечения k при одинаковых замерах можно
переносить от одной среды к другой, поскольку Рейнольдсово
число Rd = wD'tJgTi одинаковое, ср. также С, 7 (формула 1,
фиг. 5, 6, 7. Табл. 1, 2 и 3). Вязкость \ = -qg/i пара (Speyerer,
Mitt. Forschungsarbeiten VDI, H. 273 или Правила для измерения
расхода „Durchfluflmessung mit genormten Dusen und Mefirandern
VDI", 1930.
Если давление и температура не соответствуют принятым, то
вводится поправка пропорционально У^; с этой целью наблю-
дается перед местом измерения и при перегретом паре также 7\.
Для насыщенного пара приблизительно пропорционально
тогда
G^.F.
некоторые паромеры учитывают р± автоматически, получая при по-
мощи передачи произведение У Ър • Ур±, которое они показывают,
записывают или интегрируют.
Выравнивающая сила, действующая на установку паромеров с по-
плавком, увеличивается с приближением к нулю, у паромеров для
измерения протекающего количества вследствие квадратной зави-
симости в уравнении потока она становится очень малой с приб-
лижением к нулю. Поэтому последние плохо показывают около
нуля, следовательно, неверное показание при небольшом расходе
(ниже 15 — 20% максимального показания, т. е. от 25 до 30%
от нормального) плохой контроль нулевой точки. С другой стороны,
паромеры с поплавком для диаметров подводящих труб больше
200 мм тяжелы и потому не строятся. Отсюда разделение областей
применения; измерители количества протекающего пара—для боль-
ших котельных, где нельзя ожидать малого расхода; паромеры с по-
Измерение расхода пара
855
плавком — для одиночных потребителей, а также для подводящих
труб в 200 мм и меньше. Вне котельных диафрагменные паромеры
представляют во время морозов опасность для наполненных водой
напорных труб, присоединения которых, как при всех диферен-
циальных манометрах для обеспечения постоянной высоты уровня
воды, должны иметь горизонтальные трубки или уравнительные
сосуды; держать их равномерно наполненными трудно, пузырьки
Фиг. 10. Регистрирующий измеритель
жидкости Siemens и Halske. Послед-
ний употребляется как паромер, если
предусмотрен уравнительный резер-
вуар. А и В — сосуды со ргутью,
В параболической формы.
Фиг. 11. Паромер Аскания. а—диа-
фрагма в трубопроводе, /—диафрагма
в ответвлении, d — эластичная мем-
брана, g— эжектор, Л —холодильник,
п—вакуумметр.
воздуха значительно влияют на неправильность показания раз-
ницы давления; пар, содержащий воздух, вводит новые
пузырьки воздуха. Потеря давления: при диафрагменных паро-
мерах возрастает от нуля большей частью до 0,15 кг/см2; при па-
ромерах с поплавком, начиная от нагрузки поплавка в 0,05 кг/см2,
возрастает до 0,15 кг/см2 вследствие сопротивлений потоку. Примене-
ние трубы Вентури дает большую разницу давлений для приведе-
ния в движение показывающего аппарата (большая выравнивающая
сила) при небольшой потере давления, не устраняет, однако, исчез-
новения этой силы вблизи нулевой точки; не. може^ этого сделать
и какая-либо передача.
с)	Паромер Аскания (фиг. 11) построен по принципу пар-
циального водомера. От трубопровода отводится в боковую ветвь
малого диаметра пар, который конденсируется, и конденсат изме-
856 Т. I. Отд. в. Техника измерений. IV. Измерение мощности
ряется точным водомером. В трубопровод и в ответвления вставляют
диафрагмы а и f и создают для них одинаковые условия истечения,
т. е. перепад давления поддерживается одинаковым как для диа-
фрагмы основного трубопровода, так и для диафрагмы ответвления.
Количество пара, протекающего по трубопроводу:
Q = q -F/f= qa,
где
q — количество пара, протекающего через ответвление (измеряется, как
конденсат);
Л— площадь живого сечения диафрагмы трубопровода;
/—площадь живого сечения диафрагмы ответвления.
Отношение F/f = а — постоянная паромера.
Для учета моментальных расходов пара имеется вакуумметр п,
показывающий разрежение, которое зависит от количества пара,
протекающего в единицу времени.
Согласно испытаниям в лаборатории проф. И о с с е в Шарлоттсн-
бургском политехникуме, точность паромера Аскания равна + 21,/о*
Там, где пар проходит толчками-• при поршневых двигателях,
еще на значительном расстоянии от машины, — непригоден ни один
паромер: паромер с поплавком колеблется, так что отсчитывание
невозможно, диафрагменный паромер дает, правда, хорошее отсчиты-
вание, но при этом получается неправильный результат.
IV. Измерение мощности
Работа: 1 ^я/?х-ч--860 кг-кал — 367 Г 00 кгм', 1 л. с. ч.=632 кг -кал — 270 000 кгм
Мощность: 1 кет = 1,36 л. с. — 102 кгм^сек — 0,239 кг-кал1сек;
1л. с. — 0,736 кет = 75 кгм[сек.
Мощность: N = 7И^«Л/716 л. с. —	кет; — измеренный момент
вращения в кгм, п — число оборотов в минуту.
1.	Тормозные динамометры создают вращательный момент
нагрузки и в то же время его измеряют. Оба действия независимы
друг от друга. Нажим Прон и состоит из укрепленного на валу
тормозного диска, на который действуют тормозные колодки (твер-
дое дерево и ти металл) (фиг. 12). Вес, соответствующий желаемому
моменту вр' щения (собственный вес тормозного рычага получается,
если освобожденный тормоз в положении покоя подпереть в точке b
трехгранной призмой), устанавливается на весах; при помощи на-
тяжных гаек достигается равновесие весов. Лучше, если имеются
пружины под гайками, чтобы можно было точнее устанавливать.
Тогда
М == G • /; N = G • I  п/7\Ъ — С • G • п (л. с.).
С—постоянная тормоза. Если весы заменены подвешенными гирями
(хорошее предохранение от сбрасывания), то при том же напра-
влении вращения вала рычаг должен быть повернут на 180°. Иначе
установка нестабильна. Хорошая смазка, хорошее охлаждение!
Измерение мощности
857
Размеры тормозного диска, согласно С. В а с li, по W < 1/75 -Ю'Ъ • d.
Причем:
d. — диаметр тормозного диск1 в с.и,
b — ширина тормозных колодок в ги,
w — до 0,5 при охлаждении воздухом,
— до 2Г5 при охлаждении водой,
— до 5,0 при охлаждении водой, больших скоростях и малом давлении на
единицу повер .ности.
Фиг. 12. Нажим Прони.
Фиг. 13. Канатный
тормоз.
Nt~(looi396Ti[rQ*rjP'-Pi]л с
Фиг. 14. Саморегулирующийся
тормоз Брауера.
Наппавленив
вперед
Прав -
'нагрузка
Ре г винт
При канатных тормозах (фиг. 13) заторможенная полезная мощ-
ность получается по формуле: N = rn (Q — Р)/716 л. с. (Р —-натя-
жение, отсчитываемое на пружинных весах в кг, г— радиус диска в я,
увеличенный на половину толщины ка-
ната, Q — подвешенный груз в кг).
Чтобы избежать регулирования от-
руки при изменении трения, применя-
ются самонатягивающиеся и самоослабля-
ющиеся динамометры (ленточный динамо-
метр Брауера, фиг. 14).
Водяные тормоза для большого
числа оборотов. Круглые диски, поме- '
щенные на валу машины, вращаются *
в резервуаре, который, смотря по на- |
грузке, более или менее наполнен во- :
дой. Движение воды стремится захва-
тить с собой резервуар; сила на окруж-
ности, так же как при нажиме Прони,
измеряется у рычага при помощи гирь ?
или же весами. Для не очень большого
числа оборотов: водяные тормоза Fron-
de. Вследствие карманообразной формы
лопаток сопротивление (получаемый мо-
мент вращения) больше, чем гладких
шайб (Krupp Germaniawerft). Ветрянка
числа оборотов, следовательно для аэропланных и автомобильных
моторов; при помощи пропеллеров также охлаждается мотор; тор-
мозные крылья с прямыми по большей части переставными поверх-
применима для большого
858 т. I. Отд. 6. Техника намерений. IV. Измерение мощности
костями сопротивления не охлаждают. Выверка крыльев. Зависи-
мость калибрования от плотности воздуха.
2.	Динамометры измеряют передаваемый момент, не уничтожая
его. Крутильный индикатор Fottinger измеряет скручи-
вание двух сечений вала на известном расстоянии друг от друга —
длина измерения. Дуга сдвига зарисовывается. Вращающий момент
вычисляется по формуле
М<ж -------32-1 КгСЯ;
где:
$ — угол кручения на измеряемой длине I см,
dndx—диаметр вала и отверстия в см,
G — модуль скольжения стали (для судовых валов G—829 000 кг!см*).
Другие динамометры (Fischinger, Rateau) дая измерения потребления энергии
станков очень редко употребляются, так как могут быть заменены 3 и 4.
3.	Способ обратного давления. Вращающему моменту, разви-
ваемому двигателем, соответствует обратный момент давления той же
величины, производимый станиной машины на фундамент. Следо-
вательно, можно вместо того, чтобы определять полезный момент
затормаживанием, определять обратный момент давления, устанавли-
вая корпус на двух весах или подвешивая его таким образом,
чтобы он мог вращаться. По этому моменту вычисляется мощность
так же, как при торможении. Но так как в противоположность
торможению мощность не уничтожается, то этот метод заменяет
динамометр.
Пример. Измеряется расход энергии центробежного насоса, причем последний
приводится в движение колеблющимся электромотором (колеблющееся динамо
Dr. Max Levy). Испытательная установка аэропланных моторов немецких испыта-
тельных лабораторий для воздухоплавания: нагрузка пропеллерами, но измерение
обратным давлением. При точных
измерениях не должно пренебрегать
тем, что обратный момент давления и
вращающий момент у вала различны
вследствие некоторых потерь; прини-
мают в расчет трение в подшипни-
ках и сопротивление воздуха (смотря
по установке в отдельных случаях).
Фиг. 15. Водяной реостат,
4.	Электрическое изме-
рение мощности. Во многих
случаях возможно определение
мощности машины-двигателя по
[мощности приводимой ею в
движение динамомашины, к.п.д.
которой известен. Наоборот,
работа, расходуемая на при-
ведение
определяется по мощности эле-
в действие станка,
ктродвигателя, приводящего
этот станок в действие, ибо
Измерение мощности
859
мощность** этого электродвигателя легко поддается точному изме-
рению.
В первом случае, если необходимо, поглощение получае-
мого электричества в водяных реостатах: расстояние пла-
стин соответственно напряжению, рабочие поверхности пластин
(односторонне, двусторонне,
силе тока. Регулирование
мощности глубиной погру-
жения и прибавлением со-
ды, поваренной соли или
соляной кислоты.
Представленный на фиг. 15
и 16 водяной реостат из 1 мм ли-
стового железа в трех бочках из-
под керосина’ пригоден для дли-
тельной нагрузки 240 кет и 220 в
между фазами (около 800 а в каж-
дой фазе); при 2 X 1 ,6 м3 дей-
ствующей поверхности было, сле-
довательно, 40 см3/а. Замена во-
ды только для того, чтобы она
не слишком кипела, — 1 м31час на
каждую бочку. При 500 в постоян-
ного тока часто достаточно чистой
воды без прибавления соли или
соды, при более высоки < напряже-
ниях, около 2С00 — 3000 в пере-
менного тока, можно всегда упо-
треблять чистую воду; вытекаю-
щая вода, однако, заряжена (осто-
рожность). Расстояние между элек-
тродами около 8 см для каждых
1С00 в при воде удельного сопро-
тивления 2000 ом)см3. Оставаться
ниже образования пузырьков во-
ды, так как таковые уменьшают
повер..ность электродов; при силь-
ном выделении газа нагрузка не-
постоянна, и электрода! могут на-
греться до плавления. При уста-’
новках с водяными турби-
нами в отводном канале можно
в продолжение ряда часов поль-
зоваться железными листами
смотря по надобности) соответственно
(толщиной 0,5-1 мм), скрепленными между собой кусками дерева, если они
постоянно остаются под водой (вследствие обратного подпора нагрузить тяже-
стями); плотность тока около 5 до 10 см3 для 1 а, следовательно, достаточно
трех пластин но 30 X 30 см с расстоянием 10—15 см для 500 кет при ЗиСО в трех-
фазного тока. Для поглощения применимы также проволочные спирали или лампо-
вые сопротивления.
Коэфициент полезного действия или потери в электрических
машинах берутся из данных фирмы или определяются особым опы-
том. Коэфициенты полезного действия включают потери в не-
обходимом добавочном сопротивлении или сопротивлении обмоток
поля.
5. Индикатор служит для определения индикаторной мощности
(подачи или расхода) всякого рода поршневых машин. Состоит
860 Т. I. Отд. 6. Техника измерена!. IV*. Измерение мощности
из цилиндра с поршнем, нагруженного сменяемой измерительной
пружиной, действующей на пишущий прибор, и барабана для бумаги,
приводимого в движение крейцкопфом при посредстве уменьшителя
хода с обратно действующей пружиной. Диаграмма: ординаты —
давление в цилиндре (сила поршня), а абсциссы — объемы хода
пути, проходимые поршнем); площадь, измеряемая планиметриро-
ванием, дает работу одного хода. Мощность ДТ., тогда
N. = F sn р./(60 -75)= Си р.л.с.
г w w	' wr г
Fw — действующая поверхность поршня (сечение цилиндра за вычетом
штока и т. д.) в см*,
s — ход поршня В ЛТ,
n.w ~ действующее число ходов в минуту,
— двойное число оборотов при машинах двойного действия (где Fw—сред-
няя из передней и обратной стороны поршня),
— число оборотов при простом действии или использование только
одной стороны машины двойного действия,
— половина числа оборотов при четырехтактных машинах,
Pi — среднее индикаторное давление в кг\см-,
— площадь диаграммы: длина диаграммы X масштаб пружины. При
четырехтактных машинах площадь потерь определяется особо при
помощи диаграмм слабых пружин, и найденная таким образом
Pi отнимается. При изменяющейся форме диа(рамм берут группу
в 5 диаграмм и определяют среднее так, например, при четырех-
тактных газовых двигателях.
С — постоянная цилиндра (может быть также отнесена к п вместо nw).
Индикаторная пружина лежит либо снаружи (холодна), либо
внутри (при тепловых двигателях, следовательно, тепла). Максималь-
ное давление, а также отклонение пишущего прибора индикатора
в мм для 1 кг/см2 давления обозначается на каждой пружине (мас-
штаб пружины); например, при 10-кг пружине: 1 кг = 6 мм, при
2-кг пружине: 1 кг = 25 мм. Так как пружины могут изменять
эластичность, то масштаб их надо проверять. Союзом германских
инженеров установлены нижеследующие условия испытания
индикаторных пружин:
1.	Каждый индикатор, пружины которого подлежат проверке, должен быть
предварительно исследован, главным образом по отношению к трению поршня,
плотности, а равно и мертвому ходу частей пишущего механизма.
2.	Индикаторные пружины испытываются нагрузкой гирями.
3.	Пружины испытываются в соединении с пишущим механизмом.
4.	Каждая пружина, которая при пользовании индикатором подвергается дей-
ствию высокой температуры, испытывается в холодном и горячем состоянии, т. е.
при 20® С (комнатная температура) и при 109® С.
5.	Испытание производится несколькими нагрузками, а именно: не менее
чем пятью нагрузками выше атмосферной линии и не менее чем тремя нагрузками
ниже ее. В протоколе исследования должны быть указаны все результаты наблю-
дений.
6.	Диаметр поршня индикатора измеряется при комнатной температуре.
Для определения р. из индикаторной диаграммы служит плани-
метр. При неоднородной пружине диаграмма делится на горизонталь-
ные полосы, площади которых планиметрируются отдельно. Таким
Температура
861
образом из нескольких диаграмм определяется средний их масштаб,
для того чтобы можно было планиметркровать большое число диа-
грамм, не разделяя их. Лучше избегать плохих пружин.
Специальные формы индикаторов: постоянно вращающийся
барабан или постоянно сбегающая бумага вместо попеременно по-
ворачивающегося барабана в одном и противоположном напра-
влениях. Они дают диаграммы времени или диаграммы пути криво-
шипа (вместо диаграмм пути поршня); цель: исследование про-
цесса вблизи мертвой точки. С той же целью снятие сдвинутых
диаграмм (движение барабана от шатуна, сдвинутого на 90°). Непре-
рывное снятие диаграмм пути поршня при помощи особого бара-
бана, который передвигает немного полосу бумаги в конце каждого
двойного хода, для того чтобы диаграммы были отделены друг
от друга. Индикаторы с переменными цилиндрами и поршнями,
последние с V2 или 1/5 или 4-кратной нормальной (3,14 см2 при
диаметре 2 см) площадью: масштаб пружин соответственно изменен;
важно при индицировании высоких давлений (мотор Дизеля) или
особенно малых давлений (воздуходувки, вакуумные насосы). При
большом числе оборотов уменьшение диаграммы в вышину
и длину, применение индикаторов с небольшой массой. Оптический
индикатор Шульца, аппарат Osa G. m. b. Н., Frankfurt а. М.
Индикатор luhasz (Lehmann & Michels) дает ряд отдельных
точек диаграммы.
Индицирование определенных родов машин: при машинах с несколькими
паровыми цилиндрами (двойного, тройного расширения, компаунд-машины) вычи-
сляются мощности отдельных цилиндров и затем суммируются. При двигате-
лях внутреннего сгорания главная диаграмма — с сильной пружиной
или с маленьким поршнем, а для площадей, которые должны быть отняты, —
со слабой пружиной. Разность этих двух индицированных давлений дает действую-
щее индикаторное давление. При насосах сильные колебания вследствие боль-
шой массы воды, особенно в отверстии для индикатора, поэтому последнее делается
широким и коротким. При ступенчатых поршневых насосах индицируется также
со стороны давления, так как диаграмма стороны давления в форме восьмерки
дает часто неодинаковую положительную и отрицательную площадь, откуда полу-
чается действующее давление на диференпиальную площадь; отсюда далее может
быть вычислена рабочая мощность диференциальной площади, которая прибавляется
к мощности 1лавного поршня. Подумать, прибавить или отнять!
Счетчик работы: индикатор с автоматическим непрерыв-
ным планиметрированием описываемой диаграммы. Общая индика-
торная работа отсчитывается счетным механизмом Maihak-BOttcher,
(Lehmann & Michels). Пригоден для не очень большого числа обо-
ротов вследствие влияния масс.
V. Измерение теплоты
А. Температура
Узаконенная шкала температуры, термодинамическая, получена
от — 193 до 630,5° (точка плавления сурьмы) электрическим пла-
тиновым термометром, оттуда до 1063° (температура плавления
862 Т. I- Отд. 6. Техника измерений. V. Измерение теплоты
золота) пирометром Ле-Шателье (Le Chatelier), выше — законом излу-
чения (Reichs-Min.-Bl. 17. 10. 24).. Для некоторых пределов шкалы
имеются постоянные точки (см. ниже). Шкала Цельсия определяется,
принимая за постоянные точки 0° — таяния льда и 100° — кипения
воды.
Показание температуры в °C, как выше указано, или °К
(° абс.), причем Т° К = ^° + 273. Градусы в обоих случаях те же,
нулевые точки различны.
За нормальную температуру обыкновенно принимают +20°,
однако, для определения метра, ома, нормального барометрического
давления 760 мм рт. ст., физической атм. она берется равной нулю,
для определения литра и сравнения плотности +4°.
Обыкновенные безвоздушные ртутные термометры применимы
до 300°, для более высоких температур трубка термометра над
ртутью наполняется азотом или углекислотой под давлением. В этом
случае ртутные термометры могут применяться до 550°, а беря
кварцевое стекло, до 800°. Низшая температура, для которой можно
ими пользоваться, — 39°.
Если не вся ртуть в термометре имеет температуру измеряемой
среды, то к отсчитываемому показанию термометра t необходимо
прибавить некоторую величину М, определяемую в зависимости
от длины ртутного столба f (в градусах), находящегося вне изме-
ряемой среды, и от температуры этого же столба / : М =
=/(/— ^)/6300. Для определения ^.служит вспомогательный термо-
метр, шарик которого находится на половине высоты ртутного столба
другого, и который укрепляется рядом с первым. Большие поправки
на длгну ртутного столба никогда не дают полной уверенности
в правильности измерения. Длинные ярусные термометры, например,
для наблюдения за отработанными газами в топках, калибрируются
иногда при поднявшемся ртутном столбе.
Для температур ниже —39° служат термометры, наполненные
алкоголем, толуолом, пентаном и нефтяным эфиром.
Электрический термометр сопротивления (платиновый термо-
метр) основан на закономерности увеличения электрического со-
противления платиновой проволоки с возрастанием температуры.
Составные части: любое число термометров, переключатель, милли-
вольтметр, аккумулятор или сухая батарея; часто еще мостик
Уитстона с тремя неизменными ветвями и четвертой-термометром;
в мостике чувствительный вольтметр; для измерения разности темпе-
ратур устанавливают по термометру в соседние стороны четырех-
угольника. Применяется вверх до 1000°, вниз — для любой темпера-
туры. Калибрируется по нормальному. Поправки на высоту ртутного
столба не требуются. Схема Бругера (Bruger), аппарат с вращающейся
катушкой, сравнивает сопротивления обеих катушек креста, вслед-
ствие чего независимость показаний от напряжения источника тока
(Hartmann & Braun).
Термоэлемент измеряет температуру при помощи напряжения
термоэлектрического тока. Две проволоки различных металлов спаи-
Температура
863
ваются между собой, и место спайки подвергается действию изме-
ряемой температуры, температура других концов держится постоянной.
Напряжение измеряется гальванометром или методом конденсации.
Калибровка по нормальному термометру или по известным постоян-
ным точкам (см. ниже). Для температур ниже 500° термоэлементы
изготовляются из красной меди — константана или железа — кон-
стантана (40% Ni, 60% Си); от 500 до 1Ь00° применяется термо-
метр Ле-Шателье из платины и платины с 10% родия. Преимуще-
ство по сравнению с термометром сопротивления: батарея отпадает;
недостаток: необходим весьма чувствительный гальванометр. Термо-
метры сопротивления интегрируют изменения температур на всей
длине проволоки, термоэлементы измеряют в одной точке. Само
место спайки должно иметь измеряемую температуру: избегать
отвода, и для этого — проводка длинных проводов в измеряемой
температуре или же проводка сквозь непроводящую тепло оболочку.
С другой стороны, прочие места перехода между различными ме-
таллами не должны давать значительных электродвижущих сил.
Для различных термоэлектрических пар при разнице тем 1ератур ]00° полу-
чаются нижеследующие электродвижущие силы в милливольтах:
Железо — константан 4,9 — 5,4; I Красная медь — никель 2,3;
Красная медь — константан 4,1;	Железо — платина 1,4 — 1,9;
Железо — никель 3,0 — 3,5;	| Платина — платина с 10°/о родия 1,0.
Для проверки термометра сравнивают его с другим, градуиро-
ванным Государственным физико-техническим институтом, таким
образом, чтобы шарик находился рядом с шариком в ванне с водой
пли маслом; мешают и следят за тем, чтобы ртутные столбы были
полностью погружены. Для высоких температур проверка произ-
водится по точно известным точкам плавления олова, свинца, цинка,
сурьмы, серебра, золота, никеля, платины и точкам кипения нафта-
лина, серы, цинка. Точное сравнение произвести трудно. Точно
известны следующие температуры, если только вещества совершенна
чисты: точка плавления глауберовой соли (лучше пользоваться как
точкой затвердевания) -|-32,38°; точка кипения Н2О 100 -f- 0,0367 •
• (р — 760) — 0,000 023 (р — 760)2; точка кипения нафталина -|- 218,0-{-
4-о,058 (р — 760); точка плавления олова -|- 231,8°; точка кипения
серы + 444,6 + 0,0909 (р — 760) — 0,000 043 (р — 760)2. Простое при-
способление для проверки представляет трубка с двойными стенками,
вставленная в трубопровод насыщенного пара вертикально для
выпуска конденсата; опущенный термометр сверяется по давлению
пара.
Установка. Пожалуй, гораздо важнее проверки — это рас-
положение самой части прибора, измеряющего температуру
(ртутый шарик, место спайки, проволока сопротивления), таким
образом, чтобы она приняла измеряемую температуру. Вредными
являются проводимость и излучение, как приток, так и
отвод тепла. Проводимость сокращается тем, что соседние с нагре-
ваемым местом части проводятся на достаточное протяжение в изме-
ряемую температуру: глубокое опускание термометра или патрубка
864
Т. I. Отд. 6. Техника измерений. V. Измерение теплоты
для его ввода, наружная поверхность патрубка (или другой по-
крышки) мала или защищена от потери тепла. Излучение умень-
шается: если поверхности, противолежащие нагреваемому месту,
имеют по возможности температуру измере-
Фиг. 17. Установка
ртутного термоме1ра
в паропроводе. Стенка
изолирована, патрубок
достаточно глубок и
вставлен в направле-
ние против потока
пара.
ния: стенки трубы защищены от потерь
тепла изоляцией или же термометр окружен
покрышкой, противодействующей излучению,
например в большинстве случаев цилиндриче-
ским листом жести, соприкасающимся со
всех сторон с измеряемой температурой. При-
мерные установки — фиг. 17 и 18. Непра-
вильное показание получается, если например
термометр, проходит в боров топки через кир-
пичную кладку без уплотнения (прокладки
с воздушной прослойкой нужно уплотнять
изнутри); всасываемый снаружи воздух может
в этом случае достичь термометра. В непо-
движном воздухе, вследствие его малой тепло-
емкости и плохой теплопроводности, термо-
метр должен пробыть довольно продолжитель-
ное время, пока он не примет правильную
температуру; по тем же причинам излучение
и проводимость приобретают большее значе-
ние; движущийся воздух выгоднее (аспира-
ционный термометр).
Приборы в эксплоатации. Все вышеупо-
мянутые, а кроме того, и металлические
термометры (различных расширений)
в виде стержня с корпусом со шкалой, как
манометр. Т а л ь и о т а з и м е т р (кипящая
жидкость, измерение да-
вления) той же формы,
также для показаний на
расстоянии при помощи
капиллярной трубки
(Gebr. Schmidt, Reutlin-
gen). Ртутный тер-
мометр давления
(расширение жидкой
Провод из константана
Изоляция Вместе изменения
f1 Ж ел. стержень
Г к гальванометру
L Стекл. буксы
Н - Жел.трубка с
J тонкими стенкам.
Фиг. 18. Установка термоэлемента в трубопро-
воде. Изолировка; ввод термоэлемента в изме-
ряемую температуру достаточно длинен, чтобы
устранить утечку тепла.
ртути, измерение давле-
ния), той же формы, так-
же показывает на рас-
стоянии. Все эти при-
боры сконструированы
прочными, однако, все-таки они чувствительны при пользовании,
а потому все более и более вытесняются электрическими методами
измерения, особенно для показаний на расстоянии.
Измерение высоких температур. Пирометр Ле-Шателье (термо-
элемент из платины и платины с 10% родия) до 1600°. Оптиче-
Количество тепла
855
с к ий пирометр (Siemens & Halske, Hase-Hannover) с наблю-
дением глазом. Сравнение яркости рассматриваемого предмета
с нормальной яркостью (нить лампы накаливания или поверхность,
освещенная ею); по большей части желательно видеть визируемый
предмет. Точность от 500 до 1500° приблизительно равняется =Ь 10°,
выше 1500° равняется+: 15°. Преимущества: отсутствие ломающихся
частей при высокой температуре во внутренности печи; недостаток:
субъективность наблюдения. Последний отсутствует при ардо-
метре (S & Н), объективный оптический пирометр, излучение
измеряется термоэлементом, последний применим даже ниже темпе-
ратур накаливания, хотя и нечувствителен, то же „Пиро“ фирмы
Hase-Hannover. Если пользоваться общим Излучением вместо одной
определенной длины волны, получаемой затемнением других, то при-
бор делается зависимым от черноты тела; та же температура
на блестящем платиновом листе получается ниже, чем у угля; для
сравнения часто не существенно.
Конус Зегера (пирамиды высотою* *в 6 см изготовляются 59 раз-
личных номеров для различных температур) изготовляется из смеси
силикатов и весьма удобен для определения степени обжига раз-
личных глиняных изделий и для других технических целей при
измерении температур от 600 до 2000° х). Конусы Зегера дают только
конечную температуру. Считается, что последняя достигнута, когда
конус дотрагивается своим острием подкладки. На достижение до
подкладки оказывает также значительное влияние время действия.
Хороший обжиг зависит не только от температуры, но и от времени.
Таблица 1. Точки плавления некоторых конусов Зегера
№	Темпе- ратура	№	Темпе- ратура	№	Темпе- ратура	№	Темпе- ратура
022 )	600	1а	1100	20	1530	35	1770
016	750	10	1300	26 3)	1580	39	1880
01а	1080	16	1435	30	1670	42	около 2000
В. Количество тепла
Количество тепла измеряется в калориях, 1 кг-кал нагре-
вает 1 кг воды от 14,5 до 15,5°, 860 кг-кал = 1 квт-ч. Измеряется
в частности количество теплоты, которое поглощается или выделяется:
1) при переходе с одного тела (проводник тепла) на другое, а) вслед-
ствие изменения температуры от tr до /2 и ₽) изменения аггрегат-
ного состояния; 2) при химических и химико-физических процессах,
особенно при сгорании; 3) при электрических процессах. При
«) Поставщик Chemisches Laboratorium f£ir Tonindustrie, Berlin NW 5 u. Porzel-
lan-Manufaktur, Berlin.
2) Произноси: нуль, двадцать два.
•) Керамиковые продукты, которые плавятся выше К. 3. 26, называются огне-
упорными.
866 Т. I. Отд. в. Техника измерений. V. Измерение теплоты
теплоте особенно большое значение имеет накопление, поэтому
при всех опытах, в которых влияние теплоты играет значительную
роль, принимать во внимание явление накопления. Различают:
1) опыты при установившемся состоянии; от рассматриваемой аппа-
ратуры берется столько же энергии, сколько подводится, так что
первая служит мерой второй; разницу между количеством энергии
в конце опыта и в начало учитывают, делая соответствующую по-
правку; 2) опыты при пуске или после выключения до остановки;
при этом следят за возрастанием или исчезновением энергии в на-
блюдаемой аппаратуре, когда только воспринимают или отдают ее,
т. е. накопляют или отпускают; непредусмотренная отдача или
потребление должны быть учтены в виде поправки.
Пример к 1: исследование мощности холодильной установки с поправкой
вследствие накопления; к 2: опыт охлаждения у холодильной установки с поправкой
на поглощение тепла. Практически, следовательно, 1 и 2 всегда параллельны,
но одно из них доминирует над другим.
W=G-c-(f2-/i) или W =
где W—количество тепла в кг-кал; G — вес нагреваемого веще-
ства; с — удельная теплота единицы веса; V—нагретый объем тела;
с' — удельная теплота единицы объема тела; t2 — ^ — повышение-
понижение температуры. Измерение количества см. отд. 6 — III,
удельная теплота см. отд. 4 — 1, табл. 8—13; для газов см. отд. 4—IV,
табл. 1. Для смеси газов (например дымовых газов) расчет с объ-
емами удобнее, так как удельная теплота всех двухатомных газов
приблизительно одинакова. Надо обратить внимание на то, относятся
ли данные для с' к 0° и 760 мм рт. ст. или к 15° и 1 кг/см2 или
еще к чему-нибудь, и затем высчитать V прлвильно.
При воздухе изменения (абсолютной) влажности (вследствие
испарения или конденсации) связаны с большим обменом теплоты,
что должно быть всегда учитываемо. См. пример ниже.
Измерение влажности воздуха. Свойства влажного воздуха
см. стр. 680. Если парциальное давление пара pd при темпера-
туре воздуха t, чему соответствует давление насыщенного пара pt, то
ср = pjpt называется относительной влажностью, или степенью
влажности; она дается также в процентах ср°/0 — 100 pd!pt- Так
как ниже 0° давление насыщенного пара рЕ над льдом отличается
от pw над водой (последний действителен при переохлаждении;
pE<ip^\ то имеются две степени влажности уЕ =PdlpE и срж =
' = pdlpw- Метеорология считается с (всегда точнее ниже 0°,
если точка таяния лежит ниже 0°); нам кажется, что правильнее,
по крайней мере для холодильников, пользоваться cp_g, так как
ниже 0° лед стабилен. Для многих целей достаточен хорошо выве-
ренный волосный гигрометр.
Психрометр. Термометр, шарик которого покрыт мокрой кисеей,
одновременно с другим термометром, имеющим сухой шарик, под-
вергается влиянию испытуемого воздуха температуры t\ влажный
Количество тепла
867
термометр теоретически устанавливается на той температуре, при
которой отходящий от мокрой кисеи насыщенный воздух имеет
то же количество теплоты, что и ненасыщенный подходящий воздух
плюс теплота испарения влажности, необходимой для насыщения;
из этого должна была получаться теоретически вычисленная разница
Д обоих термометров. Действительная разница между сухой (t) и
влажной температурой (/) будет t — f< Д; тогда а = (t — /)/Д <1 —
коэфициент психрометрической установки. Последний в особенности
зависит от обратного тока, который изменяется силой испарения
и должен ослаблять действующие на уменьшение разницы излу-
чение и теплопроводность.
Теоретическая психрометрическая разница дает теоретически
парциальное давление пара:
Pd =-------------ГЛ П.............................(1)
-/>,)-с, d(7?d//?z)
где
If — барометрическое давление;
г — теплота испарения;
X — теплосодержание;
Ср — удельная теплота 1 кг сухого воздуха;
р — давление пара, соответственно состоянию насыщения при температуре
t или /;
R — газовая постоянная воздуха или пара.
Определив Д = — - из наблюдаемой разницы температур t — /, возможно
Pd
также вычислить ср =--.
Pt
Формула согласно опытам (Ebert und Pfeiffer, Z. f. Phys. 46, 1928,
стр. 420) применима и для температур />>100° С; важна для иссле-
дования сушильных установок. При хорошей аспирации
t = 20	40	60	90 120°
а= 0,995 0,985 0,955 ‘ 0,95 0,95
Для температур до 40°С вместо формулы (1) применяется фор-
мула Шпрунга:
Pd = Pf~ °'5 760" {t—f) мм рт. ст.,.................(2)
для которой при замерзании кисеи рекомендуется брать:
Л* = /7£-°>445	(* — /) мм Рт- ст...........(2а)
Старые предписания с более высокими значениями чем,0,5 (мень-
шие значения а) отпали: психрометр должен хорошо аспирировать.
Если в воздухе образуются вихри, то искусственная аспирация не-
нужна. Безразлично, производился ли расчет по (2) или (2а) (что
868
Т. I. Отд. 6. Техника измерений. V. Измерение теплоты
зависит от состояния кисеи при измерении), можно вычислить
или смотря по желанию или цели.
Формула (1) действительна для влажного воздуха, а также и для
любой смеси газа и пара (или двух паров), если составные части
не действуют друг на друга термически или химически, например
Температура cyi.
Процентная степень влажности 100р
Фиг. 19. Теплосодержание влажного воздуха и теорегическар
психрометрическая разность Д для барометрической}высоты 760 мм
рт. ст. Пример: сушильн/i: сухой термометр показывает 90° С,
влажный 61°, следовательно,/ — /=29°; после установки психро-
метра коэфициент а = 0,97, следовательно, Д = (t — f)/a = 29;
0,97=30®. По таблице: 100 <р = 24°/0; количество тепла /= 103 кг-кал
в 1 кг воздуха 4* 0,13 кг пара = 1,23 кг смеси.
NH8 и Н2О; кисейная покрышка психрометра должна быть пропи-
тана чистой жидкостью, давление пара pd которой' отыскивается.
Для высоких температур из формулы (1) получаются графи-
ческим путем кривые фиг. 19, применимые, например, к сушильным
установкам.
Количество тепла
869
Таблица 2, pw — давление пара над водой и рЕ~ над льдом,
а также количество насыщения (выше 0° С) и уд(ниже 0°С)*
(Ср. также табл. 9, стр. 676 и табл. 2, стр. 665).
t _ 20 — 18 — 16 — 14 — 12 — 10 — 8 — 6 —4 —2	0 °C
Р w “	~	1,315	1,551	1,826	2,143	2,509	2,928	3,404	3,952	4,579	мм	рт.	ст.
рЕ 0,772 0,935	1,128	1,357	1,627	1,946	2,321	2,761	3,276	3,879	4,579	мм	рт.	ст.
0,90 1,08	1,29	1,53	1,83	2,17	2,56	3,01	3,54	4,15	4,84	г/л>
,t 0	4-2	4-4	4-6	4-8	4-10	4-12	4-14	4-16	4-18	4-20	°C
Р W 4,58	5,29	6,Г)	7,01	8,06	9,21	10,52	12,СО	13,63	15,48	17,54 мм	рт.	от,
Т W 4,84	5,57	6,37	7,26	8,28	9,41	10,7	12,1	13,7	15,4	17,3 г/л<»
Пример. Вычисление скрытого (связанного) тепла при установке для охла
Ядения воздуха. Перед охладителем значок 1, за охладителем 2.
Измеряются: объем воздуха
барометрическая высота
давление сверх атмосферного
абсолютное давление
сухой термометр
влажный термометр
отсюда вычисляется для воздушной
Vi = 24 500 м9}час, •
b = 752 мм рт. ст.,
рх =з 25 мм вод. ст. = 2 мм рт. ст.,
= 21 мм Ъод. ст. = 2 мм рт. ст.,
[6 4- р\; b -4- nJ = 754 мм рт. ст.,
/.=4-4,35°, /а = —1,75°,
fi = 4- 2,65°, А = - IJ5°;
объем при нормальном давлении (15°, 1 ат):
У = 24 500.	= 26 1С0 (при 1 ат, 15’).
735,5	277,35
удельная теплота, отпоенная к 1 ат и 15°:
Ср = 0,286 кг-кал/м9 (при 1 ат, 15°).
связанное тепло для воздуха;
26 100 • 0,286 . (4,35 4- 1,75) = 45 500 кг-кал/час.
Для паровой части с помощью таблиц пара. (См. табл. 9, стр. 676 и табл. 2,
стр. 869);
давление при насыщении для h pSi =6,25 мм рт. ст,
для ti' pSi—5t55 мм рт. ст.,
давление пара р^ = 5,55 — 0,5 • (4,35 — 2,65) = 4,70 мм рт. ст.,
относительная влажность	= 4,70 ; 6,25 = 0,752,
плотность насыщения для /t	=6,52 г/м3,
уд. вес паровой части 0,752 • 6,52 = 4,91 г/м9,
количество пара	Di = 24 5С0 • 0,004 91 = 120,2 кг\час,
относительная влажность	<ра = 1,
плотность насыщения для /а у5а = 4,23 г/м9 =
объем
V,	= 26 100 •	. ^25 = 24	л3/чя£>
количество пара Da = 24 000 • 0,004 23 = 101,5 кг/час,
осевшее количество пара Dx — D, = 18,7 кг/час,
теплота испарения около 0° г =595 кг-кал/кг,
связанная теплота для пара 18,7 • 595 = 11 100 кг-кал/час,
полная связанная теплота 45500 4-11100 = 56 600 кг-кал/час.
В этом расчете сделаны допущения: уменьшение объема вследствие-исчезно-
вения объема пара, а также влияние паровой части на удельную теплоту возможны
только при небольшом весе пара по сравнению с весом воздуха; следовательно, не
870	!• ОТО- Техника измерений. VI. Измерения в технике сгорания
всегда при высоких температурах (сушке) или низких давлениях (конденсационные
установки, вакуумные сушильные установки); здесь в случае необходимости сле-
дует переходить к парциальному давлению воздуха.
Потери через изоляцию определяются специальным методом Генки-Шмидт
(Forschungsheim fur Warmeschutz, Miinchen). Hencky, Gesund. Ing. 1919,; стр. 496;
Schmidt, Arch. AASrme, 1924, стр. 9).
VI.	Измерения в технике сгорания
СМ.
Высшая и
разд. VII, и „Материаловедение" (том II, разд.
Фиг. 20. Калориметр Юнкерса. /—камера сжигания,
2—горелка, 3—металлический кольцевой чехол для
циркуляции воды, 4, 5, б—термометры, 7—кран для
регулирования притока воды.
А. Определение теплопроизводительности
(или теплотворной способности)
низшая теплопроизводительность см. „Теплота*,
XI). Низшая, главным
образом, при произ-
водстве работы, выс-
шая при переносе те-
плоты; однако одно
число не может опре-
делить всех свойств
горючего материала.
QH = Qe — 600 w> где
w количество влаж-
ности, выделенной из
1 кг топлива (так
же, как - влажность,
уже содержавшаяся
в нем).
1.	Калориметри-
ческая бомба для
твердого горючего.
Отвешенное количе-
ство в присутствии
сгущенного кислоро-
да сжигается в бомбе
Вертел о-М а л ер а.
По повышению тем-
пературы калори-
метра вычисляется
высшая теплопроиз-
водйтельность. Чтобы
найти низшую, упо-
требляется или кро-
керовская бомба, ко-
торая позволяет изме-
рять воду при сгора-
нии, или же необходи-
мо произвести ана-
лиз топлива.
то*
Анализ газа
871
Точное калориметрирование является бесцельным, если взятие пробы не будет
произведено тщательным образом для получения среднего значения исследуемого
топлива. Так как измерение веса взятой пробы, напр. 1 г для каждой загрузки,
является неточным, то только последующим делением на две или четыре части
большей пробы при смешении образцов можно, при учете образовывающейся пыли,
получить пригодные результаты. Имеет влияние размалывание или дробление. Же-
лезные сосуды стираются, что при сгорании увеличивает зольность. Различают:
теплопроизводительность доставленного (часто влажного) воздушного сухого угля,
горючей массы. При одинаковом сорте угля состав горючей массы остается почти
постоянным, так что при нормальных условиях доставки для пересчета достаточно
определение влажности и содержание золы.
2.	Калориметр Юнкерса (фиг. 20) для жидких и газообразных
горючих материалов. Сжигается определенное взвешенное коли-
чество жидкого горючего или же количество газа, измеренное газо-
мером. Теплопроизводительность горючего определяется по повы-
шению температуры воды, протекшей в это время через калориметр.
В то же время или в более продолжительное собирается образую-
щаяся при сгорании вода. В последнее время очень распространен
калориметр Унион для простых целей; сравнение высшего тепло-
производства с тем же количеством гремучего газа, теплопроизво-
дительность которого (для На + О) 2020 кг-кал! м? (при 0°
и 760 мм рт. ст.)
3.	Определение теплопроизводительности химическим пу-
тем. Топливо анализируется и теплопроизводительность вычисляется
по формуле из результатов анализа.
В. Анализ газа
Из О2 воздуха при проходе через кокс образуется сначала СО.,
при более длинном пути (толстый слой) также СО; результат: дымо-
вые газы из СО2, О2, СО, N2
обозначаются процентно че-
рез k, о, с, п%. При сгора-
нии угля во время выделения
газов освобождаются углеводо-
роды, которые в воздухе долж-
ны сгорать, образуя СО2 и
Н2О; процентное количество
последней
Анализ дымовых тазов
дает k, о, с в сотых долях
газа, который принимается
сухим; тогда k + о + с +
+ п = 100%; общий объем го-
рячих дымовых газов, в кото-
рых Н2О находится еще В па- фиг* 21 • проверка анализа дымовых
рообразном состоянии, соста-	газов.
вляют 100 -|-w. Так как при
сгорании Н занимаемый Н2О объем при охлаждении исчезает, то п
поднимается свыше 79%, количество N2 как-будто возрастает; при
полном сгорании .без избытка воздуха, когда объем дымовых газов
получается наименьший и дымовые газы содержат только СО2 и N2,
872 Т. !• Отд. 6. Техника измерений. VI. Измерения в технике сгорания
то как п, так и k имеют наибольшее значение, зависящее от коли-
чества свободного Н2, т. е. не выровненного кислородом, точнее, от
отношения С : Н2 (другими составными частями, как, например, S,
пренебрегают). Эти наибольшие величины следующие (фиг. 21):
Для	углерода с С : Н3	= оо : max п = 79 max k = 21
,	кок«а	94	79,5	20,5
.	каменного угля	21	81,9	18,8
я	бурого угля	16	82,2	17,8
,	ацетилена, бензола	12	83,1	16,9
w светильного газа 2,2	9,9%	10,1%
max k получается, если подводится необходимое количество воз-
духа LQf лучше сказать, если засасываемый воздух соприкасается
с углеродом (толщина слоя!) столько времени, пока как-раз весь О2
не обратится в СОа. При других условиях, например, при тонком
слое, О2 остается вместе с СО2 в газе, т. е. засасывалось больше
воздуха, чем требовалось для сгорания угля, а именно L вместо £0;
отношение L : £0 = а. называется избытком воздуха; его вычисляют
из результатов анализа по формуле:
(точна, если топливо не содержит N4; для
воздушного газа неприменима),
_ max k _ 21 _
° - Т — 2Г^~о
(точна для чистого С, для кокса и камень
кого угля еще применима).
1.	Аппарат Орса длй исследования дымовых газов в котельных
установках: 100 объемных частей дымовых газов приводятся пооче-
редно в соприкосновение с жидкостями, поглощающими СО2, О2
и СО. Уменьшение объема после поглощения соответствующего
газа дает непосредственное объемное содержание этого газа в про-
центном отношении. Остаток принимается за N2. Заборной трубой
для газов служит обыкновенная газовая труба, при более высоких
температурах О 500°)—фарфоровая труба, при высоких — холодно-
горячая трубка (капиллярная трубка с водяным охлаждением).
Поглощающие вещества для:
CCL: калиевая щелочь, уд. в. от1,24 до 1,32(1 весовая часть КОН на 2 до 3 ве-
совых частей воды),
О.: пирогалловая кислота, 5 г распущены в 15 см9 теплой воды, сюда при-
мешивают 120 г едкого кали, распущенного в 80 см9 воды. Допускаемое поглоще-
ние равняется только 2-»/4 см9 О2. Поэтому лучше вводить в сосуды аппарата Орса
вместо стеклянных трубок палочки фосфора под дестиллированной водой. Погло-
щение очень сильное.
СО : раствор аммониохлористой меди: 250 г NH4C1, распущенных в 750 см9
воды и 200 г CuCl (запасный раствор с хорошей резиновой пробкой сохраняется
долго, если внутри находится медная спираль). При употреблении прибавляется %
(по объему) раствора аммония, уд. в. 0,91. Допускаемое поглощение 4 см9 СО.
Проверка анализа: для всех анализов зарисовывается
k = f (о) (фиг. 21). Для каждого горючего все точки должны лежать
на одной прямой, которая отрезает на оси ординат max k, а с другой
стороны идет к о = 21%. Точки рассеяны, если в течение периода
Анализ газа
873
загрузки содержание На изменяется. При неполном сгорании точки
лежат ниже.
2.	Автоматические газоанализаторы (Ados, Maihak, Eckardt)
для постоянного контроля эксплоатации. Непрерывная струя газов
из дымохода пропускается через газоанализатор. Определенные отме-
ренные объемы газа пропускаются через регулярные промежутки
времени сквозь калиевую щелочь и затем проталкиваются под не-
большой газомер. Ход газомера записывается. Последний тем
больше, чем меньше углекислоты содержится в газе, т. е. чем
больше кубических сантиметров газовой пробы попадает в газомер
после поглощения СОа. Большей частью определяется только СО2.
Дуплекс-моно фирмы Maihak измеряет также СО. Надо следить за тем,,
чтобы были короткие трубогТроводы и время, в продолжение кото-
рого производится анализ, было мало, дабы сократить запаздывание
в показаниях; чтобы они были плотны (сварены или, если они из
меди, спаяны); чтобы имелись сильные засасывающие приспосо-
бления (ртутный насос Maihak); чтобы установка была такова, чтобы
кочегар мог видеть результаты, так как иначе нельзя влиять на про-
цесс горения; чтобы результаты переносились к месту работы ко-
чегара (S & Н, в последнее время также Ados). Более простое
устройство: газ постепенно засасывается в течение всей рабочей
смены вентилятором через водоспуск, или колокол наполняется им
сквозь часовой механизм (Dittmar u. Vierth, Hamburg), средний
состав газов определяется прибором Орса.
Автоматические газоанализаторы применяются также для анализа
и других газов, для определения SO2. Необходимо подобрать опре-
деленный хим' ческий реагент для поглощения. Суммирование по-
глощенных количеств помощью специальных газовых весов.
3.	Приборы для анализа газа физическими способами
используют свойства газа, которые зависят от содержания СО2:
удельный вес (СО2 = 1,52 по сравнению с воздухом, равным 1),
теплопроводность (60 против 100), вязкость (14Г против 170), отно-
шение удельного веса к вязкости (72 против 133), коэфициент
преломления (450 против 295). Преимущества перед анализаторами:
отсутствие калиевой щелочи, немедленное показание, удобное часто
показание на расстоянии (место работы кочегара). Недостатки:
влияние других присутствующих газов, особенно Н3 и СН4, а также
температуры и влажности.
Газоанализатор Ранарекс (фиг. 22) основан на разнице
удельных весов воздуха и дымового газа в зависимости от содер-
жания в нем СО2. Помощью вентиляторов, вращающихся со ско-
ростью 3000 об/мин, создаются воздушный и газовый потоки,
действующие на крыльчатые диски, связанные между собой шар-
нирной системой со стрелкой, отклонения которой градуированы
по содержанию СО2 в дымовых газах. Достоинства прибора: нагляд-
ность показаний, простота и легкость монтажа, высокая чув-
ствительность и возможность работать при самых тяжелых
условиях.
874 T. I. Отд. 6. Техника измерений. VI. Измерения в технике сгорания
К недостаткам прибора следует отнести недостаточно полную
очистку газа помощью газового фильтра.
Газоанализатор Сименса (фиг. 23) основан на измене-
нии теплопроводности дымового газа в зависимости от его хими-
ческого состава. Если через проводник, расположенный в разной
среде, пропускать ток, то проводник окажется более нагретым
Фиг. 22. Схема установки газоанализатора Ранарекс. А—всасываю-
щая труба диам. 25 мм; В—стояк к фильтру; С—газовый фильтр;
D—труба от фильтра к газоанализатору наклоном диам. 9,5 мм;
Г— гидравлический затвор и одновременно служит для отвода кон-
денсационной воды из охладившихся газов; G—трехходовой кран;
Н—газовая камера; /—воздушная; К— увлажнитель для воздуха.
в том случае, если среда, через которую он проходит, является менее
теплопроводной, и электрическое сопротивление его изменится.
Изменение электрического сопротивления проводника, прохо-
дящего через дымовые газы, по отношению к проводнику, прохо-
дящему через воздух, определяется помощью мостика Уитстона,
и показания гальванометра служат мерой теплопроводности дымо-
вого газа, зависящей от его состава. Помощью газоанализатора
Сименса можно производить определение содержания в дымо-
вых газах СО2 и СО + На.
Схема расположения такого комбинированного прибора для
определения СО2 и СО + Н2 показана на фиг. 24.
У н о г р а ф Union Apparatenbau-Gesellschaft, Karlsruhe построен
на принципе использования скоростей протекания газов через ка-
пилляры и диафрагмц в зависимости от разной плотности этих
Анализ газа
875


А

газов Влияние влажности должно быть устранено подсушкой или
насыщением.
4.	Для анализа газа домен- п
ных печей служат подобные же и'
устройства, а именно: р а з в и т ы е
аппараты Орса (поглощение
дымящейся серной кислотой),опре-
деляющие присутствие тяжелых
водородов, а также СН4 и Н2. По-
рядок: СО2, SKW, О2, СО, все по-
глощается, примешан воздух, сго-
рание в платиновом капилляре
Дрешмитта; происходящее
при этом уменьшение объема Д
обозначает Н2 = 2/я Д или СН4 =
= V2 если Н2 и СН4 присутство-
вали, то вновь"образованный СО2
поглощается, было СН4 = СО2,
остается На = ®/з(Д — 2 СО2).
Н I G
Фиг. 23. Схема газоанализатора Си-
менса для определения СО2 в дымо-
вых газах. А, В—ветви мостика Уит-
стона в одной камере; С, D — ветви
мостика Уитстона во второй камере;
G—источник энергии; /—реостат; Н—
амперметр, В—самопишущий прибор.
и
В
А
Фиг. 24. Схема расположения газоанализатора Сименса для СОа и
СО 4- На- А—присос дымовых газов, В—холодильник, С—керамиче-
ский фильтр; D—дроссельная трубка; В—контрольный фильтр;
F— манометр; G—водоструйный насос; //—амперметр; /—реостат;
R—самопишущий прибор; S—источник электр. тока; Г,—уловитель
СОг; Га—уловитель СО4-Н2; Zx—указатель СО2; Z2—указатель СО-|-На.
Приложение
Составил инж. Ф. Л юдл о в, Берлин
Перевод и дополнения под ред. инж. С. fl. Г е рш
Стр.
I.	Таблица монет
Данные о валюте и монетах наибо-
лее важных государств.......877
II.	Меры и веса различных
стран....................888
Великобритания ............. 890
Германия...................	. 894
Сев.-Амер. Соединенные Штаты 902
Союз Советских Социалистиче-
ских Республик (СССР) .... 904
Франция......................906
Допускаемые погрешности для
измерительных приборов . . . 910
Перевод времени..............912
III.	Сравнительные таблицы
и таблицы перевода мер
и весов
Меры длины (табл. 1—17).... 914
Старые меры (футы, руты, мили,
меры земельных площадей, меры
емкости для жидкостей и для
сыпучих тел)................914
Старые прусские меры........917
Английские футы.............917
Английские статутные и морские
мили. Арды, 64-е и 16-е доли
дюйма, футы и дюймы.........918
Русские версты, сажени, аршины,
вершки......................923
Китайские Йины..............925
Японские шаку кан.........  926
Меры площадей (табл. 18—25). . 926
Английские акры, кв. ярды, футы,
дюймы.......................926
Русские десятины, кв. сажени,
аршины, вершки...............928
Меры объемов и емкостей
(табл. 26-38)............... 930
Английские куб. ярды, футы,
дюймы......................930
Русские куб. *сажени, аршины,
вершки.......................932
Английские имперские квартеры,
галлоны......................933
Североамериканские галлоны . . 934
Нефтяные баррили...............935
Русские бочки, четверти, ведра.. 935
Веса (табл. 39—47) ........... 937
Англ, тонны, судовые тонны, цент-
неры, квартеры, фунты, трой-
ские граны....................937
Русские пуды, лоты, доли .... 940
Веса на единицу длины (табл.
48-51).......................	941
Английские фунты/ярды........941
Фунты/фугы разных стран .... 942
Англ, фунты/футы, — /дюймы. . 942
Стр.
Прежние русские единицы изме-
рения .......................943
Веса на единицу площади (да-
вления) (табл. 52—62)....... 944
Английские тонны/кв. дюйм . . . 943
Прежние русские единицы изме-
рения .......................943
Фунты/кв. футы,—/кв. дюймы раз-
ных стран....................944
Англ, фунты/кв. футы,/кв. дюй-
дюймвлмгрт. ст.; англ, дюймы
рт. ст. в мм вод. ст.; англ, дюйм
рт. ст. в физ. атм............946
Веса на единицу объема (уд.
вес) (табл. 63—67)........... 948
Фунты/куб. футы разных стран . 948
Английские фунты/куб. футы . . 948
Английский фунт/куб. дюйм, трой-
ские граны/куб. дюйм.........949
Сравнение шкал ареометров . . • 950
Скорости (табл. 68—74) ....	952
мм\сек — м/час, см*\сек — л]час,
г\сек — кг1час, узлы — м[сек,
узлы — ярды/час, английские
сток в минутах, м[сек. — англ,
фут/мин., ма(час — англ. куб.
фут/мин........................952
Энергия (табл. 75-85)......... 954
Сравнение единиц работы .... 954
Сравнение единиц мощности . . . 956
Фунтофут — кгм, л. с. разных
стран, л. с. — kW, англ. л. с.
(HP) — к№,-кгкал.]сек — kW . . 956
kWh — кг-кал; kWh — BTU (Брит.
термич. единица)...............958
Котловые лошадиные силы, ВНР 958
кг-кал — ВТ U..................959
Объем газа (табл. 86—88) .... 960
Значения 1-|-а£................960
Значения 1 (l-j-aZ)............961
Значения Т^1\..................-62
Значения pilp9 . . . ..........964
Азбука Морзе . ................966
IV.	Законы для защиты про-
мышленной собственности
Международный союз для защиты
промышленной собственности . 936
Наиболее важные постановления
законов о патентах..........966
Положение и инструкции об изо-
бретениях и технических усо-
вершенствованиях в СССР • . . 972
Таблица монет
877
I. Таблица монет ’)
Приводимая в таблицах ценность монет большей частью есть
паритетная ценность монеты, исчисленная на основе содержания
чистого золота в данной монете; ценность эта выражена в рублях,
считая 1 рубль содержащим 0, 774234 г чистого золота. Во многих
государствах (напр. Англия, САСШ, Швеция и др.) существовав-
ший прежде размен казначейских и банковых • билетов на золото
приостановлен, в связи с чем ценность казначейских и банковых
билетов подвержена значительным колебаниям, и в отношении
таких валют нельзя поэтому составить таблицы, имеющей значение
на более или менее продолжительное время. Курсовую цен-
ность таких валют приходится узнавать из газет.
Серебряные монеты в сношениях с заграницей имеют часто
лишь ценность, равную стоимости своего металла, и в нужных слу-
чаях последняя приводится; разумеется, она может подвергаться
значительным колебаниям. В некоторых странах серебряные, монеты
имеют значение только как разменные монеты.
Прочие монеты — это, как правило, разменные монеты и в этом
случае стоимость их материала гораздо ниже, чем ценность их в че-
канной монете.
Сокращения: ЗВ — золотая валюта, СВ —серебряная валюта, ДВ—двойная ва-
люта, БВ —бумажная валюта.
зм — золотая монета, см — серебряная монета, нм —никелевая монета, мм—
медная монета, бм — бронзовая монета, ам -алюминиевая монета, рм —разменная
монета.
Вес монет обозначает общий ее вес (действительный); число, поставленное
после обозначения веса, указывает содержание чистого металла.
Наименование монет по странам	Ценность в совет, валюте	
	|руб.|	коп.
Абиссиния 1 талер Марии-Терезы (бер), общ. вес28,067 г, содерж. чистого серебра 0,8333 .		58,34
1 талер Менелика (талари), общ. вес ~ 28,075 г, со- держ. чистого серебра 0,835=16 гуэрх . . . . рИ		58,34
Монеты в 1, ’/., i/4, yi6 и ’/20 талера. Кроме того мелкие, медные мо- неты, пейса	1			0,05
Наименование монет
по странам
Австрия (ЗВ)
Ценность
в совет,
валюте
руб.| коп.
1 шиллинг=100 грошей—10 000
старых крон
зм: 100 шиллингов, общ. вес
23,5245 г, содерж. чистого
золота 0,9 . . .......... 27	34,99
и 25 шиллингов
см: 2, 1 и 0,5 шиллинга
нм: 0,10 шиллинга
мм: 2 и 1 грош.
Раньше: 1 крона = 50 крейце-
ров =160 геллеров .... — 39,36
9 См. также Swoboda, „Die Arbitrage*, 17-ое изд., Берлин 1928 г., Haude und
Spenersche Buchhandlung. — Geld-, Mass- und Gewichtszeiger fur den Weltverkehr", изд.
Industrie - und Handelskamer, Дюссельдорф. — Weltiibersicht der Masseinheiten, изд.
Hamburgischen Wellwirtschaftsarchiv.
878
Приложение
Наименование монет по странам	Ценность в совет, валюте руб. ( коп.	Наименование монет по странам	Ценность в совет. валюте руб.| коп.
1 австр. гульден=100 крей-
церов .................
1 золотой гульден=2 кроны
38 геллеров ...........
1 дукат (3,442 г золота) . .
1 талер Марии - Терезы,
общ вес 28,(67 г, со-
держав. чистого серебра
О.ЬЗЗЗ (чеканка произво-
дится еще и в настоящее
время для Востока)^ . .
Албания (ЗВ)
1 золотой франк = 5 лек = 100
сантимов
зм: ICO франков, общ. вес
32,3 г, содерж. чистого зо-
лота 0,9 . . .............
и 20 и 10 франков.
см: 5 лек, общ. вес 5 г, содерж.
чистого серебра 0,9 . . . .
5,2 и Ч2 франка
нм: 1, 1/, и Ч4 лек
бм: 0,10 и 0,05 лек
Аравия
1 реал = 11 пиастров —0,1 фун-
та стерлингов ......
см: 1, Va и V4 реала
1 круш в 40 дивани .....
1 махмуди в 20 race........
1 меккаталер в 80 кубир
(ценность внутри страны) .
1 талер Марии-Терезы ....
Аргентина (ЗВ)
(Фактически Б В)
1 пезо (оро)=100 центаво
1 онца=4 аргентино =20 пезо.
зм: 1 аргентино (=5 пезо), общ.
вес 8,065 г, содерж. чисто-
го золота 0,9..........
и Ч, аргентино
см: ‘(не имеется в обращении)
1 пезо (25 г, содерж. чисто-
го серебра 0,9)
4v Чм Чк» Чаз пезо
нм: 20, 10 и 5 центаво
мм: 2 и 1 центаво
1 бумажн. пезо офиц.=0,44 зо-
лотого пезо................
4
9
78,71
93,76
44,48
58,34
46,13
11,11
94,45
7,87
9,72
64,37
58,34
Афганистан
1 амани = 30 афгани = ЗСОО
пуль
зм: 1 амани, общ. вес 7,988 г,
содерж. чистого золота
0,91667 ...................
и амани
см: 1 афгани, общ. вес 9,9 г,
содерж. чистого серебра
0,5........................
и Ч» афгани
мм: 10, 5 и 2 пуб
11 старых кабульских ру-
пий = 10 афгани.
Бельгия (ДВ)
1 франк = 100 сантимов
Основная монетная единица:
1 бельга (не имеется в об-
ращении), вес чистого зо-
лота 0,209211 г = 5 стабили-
зованных бумажных фран-
ков (175 франков=1 фунт
стерлингов (по паритету).
зм: 100, 20 и 10 франков преж-
ней валюты, старый франк:
общ. вес 0,3226 г, содерж.
чистого золота 0,9=6,825
нового франка .	. * . .
см: 5, 2, 1 и 0,5 франков преж-
ней валюты, 1 старый
франк: вес 5 г, содерж. чи-
стого серебра 0,9 = 2,05 но-
вого франка; стоимость
серебра .....................
нм: (чист.): 2 и 1 франк, 50 сан-
тимов
нм: 25, 10 и 5 сантимов
мм: 2 и 1 сантим.
Болгария (ДВ)
37,58 1 лев = 100 стотинки
До войны 1 лев,общ. вес0,32258г,
содерж. чистого золота 0,9
Теперь ценность бумажного
лева по паритету...........
Золотых и серебряных монет
в обращении нет
нм: 2Чг» 5, 10 и 20 стотинки
бм: 1 и 2 стотинки
82,41 ам: 1 и 2 бумажных лева.
9
45,91
8,8
27,02
37,5
11,11
37,5
14,04
Таблица монет
879
Наименование монет
по странам
Ценность
в совет,
валюте
руб.] коп.
Наименование монет	Ценность в совет.
по странам	валюте
	руб.] коп.
Боливия (ЗВ)
1 боливиано=1С0 центаво
зм: 1 боливар, общ. вес
6,10189 г, соперж. чистого
золота 0,9 = 10 боливиано
и двойной боливар ....
см: 1 боливиано (15 г, содерж.
чистого серебра 0, 8), ’/2бо-
ливиано
нм и мм: 20, 10 и 5 центаво.
Бразилия (ЗВ)
Новые монеты:
1 круцейро = 100 центезимо
зм: 1 круцейро ............
2, 5 и 10 круцейро
см: 5, 10, 20, 50 центезимо
нм: ’/8, 1, 2 и 4 центезимо
Раньше:! мильрейс=1С00 рейсов
зм: 10 мильрейсов, общ. вес
8,965 г, содерж. чистого
золота 0,91667 . • . . . .
см: 2, 1 и 0,5 мильрейса
рм: 2, 1, ’/8 мильрейса*
400, 200 и 100 рейсов
1 бумажный мильрейс = 0,18 г
чистого золота . . . .	.
1 конто де рейс (расчетная
монета) = 50 короа = 10СО
мильрейсов . •............
7
14
10
1061
Великобритания (ЗВ)
1 фунт стерлингов или 1 со-
верен (£), общ. вес 7,988057 г
(=123,27447 грана), содерж.
чист, золота 0,91667 = 20
шиллингов (s)................. 9
1 гинея (как монета не суще-
ствует) =21 шилл............	9
1 шиллинг = 12 пенсов (d)=
48 фартингов..................—
зм: 5, 2, 1 и 0,5 фунт, стерл.
см: 5 шилл. (крона), 4 шиллин-
га (двойной флорин), 2.5
шилл. (полкроны), 2 шил-
линга (флорин) и 1 (общий
вес 5,655181 а, содерж. чи-
стого серебра до 1920 г.
0,925, после 0,5)
шиллинг
6, 4, 3, 2 пенса и 1 пенни
мм: 1, 4t и х/4 пенни (фартинг)
1 тройский фунт (торговый)
стандартного (монетного)
золота, содерж. И унций
09,32
18,63
32,43
61,66
24,51
54,33
45,91
93,14
47,23
чистого золота =46 фунтов
стерл. 14,5 шилл.г следо-
вательно, 1 тройский фунт
(12 унций) чистого золота
=50 фунт, стерл. 19 шил-
лингов. Стандартное золо-
то содержит, следователь-
но, чистого золота 1,/11 =
91,667о/о.
Ирландское свобод-
ное государство
Английские деньги особой че-
канки.
Кипр
9 медных пиастров = 1 шилл.
Индия и Бирма
Официальная расчетная моне-
та 1 фунт стерлингов=
13’/3 рупий.
1 золотая рупия с 0,732 г чи-
стого золота .............. —
1 рупия (10,.692 г чистого се-
ребра^ 16 анна =64 пайс
= 192 пай = 3840 кёш (оф.)
= 1 шилл. 6 пенс........... —
см: 1, ’/, и */4 рупии
нм: 1, 4 и 8 анна
мм: 1 пай, 3 пая = 1 пайс
1 крор = 4 ареб = 10Э лак =
10 млн. рупий
зм: 1 мохур (10,98 г чистого
золота) —15 рупий (номи-
нально) .................. 14
*/s и Ча мохура.
Австралия и Новая
Зеландия
Английские деньги особой че-
канки.
Канада, Ньюфаунд-
ленд, Гондурас
1 доллар = 100 центов..... 1
1 соверен=4,867 доллара ...	9
Английские деньги не имеют
4 почти обращения.
Кроме канадских, в обра-
щении и деньги Сев.-Аме-
рик. Соед. Штатов.
94,45
70,84
16,7
94,37
45,91
880
Приложение
Наименование монет по странам	Ценность в совет, валюте	Наименование монет по странам	Ценность в совет, валюте
	руб.| коп.		руб.| коп.
Вест-Индия
Английская валюта, ' золотые
доллары, золотые дублоны
(в 64 шиллинга).
Африка
Англ, деньги; на о. Маврикия
1 индусская рупия ....
В Занзибаре: 1 сев.-амер. дол-
лар =2 нузу = 4руба. . .
см: 1 рупия............‘.
8, 4 и 2 анна
1 талер Марии-Терезы (джа-
нуарио)..................
Прочие протектораты
Англ, деньги или монеты, со-
ответствующие английской
валюте.
Венгрия (ЗВ)
1 пенге = 100 филлеров
зм: нет в обращении, золотой
паритет для 1 пенге . . .
см: 1 пенге (5 г)
нм: 50 филлеров
ник. и бронз, монеты:
10 и 20 филлеров.
медн. и бронз, монеты: 1 и 2
филлера.
Венецуэла (ЗВ)
1 боливар = 100 центов
зм: 1С0 боливар (пахано), общ.
вес 32,258 г, содерж. чист,
золота 0,9...............
25 и 20 боливар
см: 5, 21/,, 2, 1 (5 г, 0,9 чист, се-
ребра), 1/» и х/4, боливара
нм: у* и 1/10 боливара
мм: 5, 2 и 1 центаво
1 венецолано или пезо = 5 бо-
ливар ...................
1 пезо сенцилло или макукино
= 4 боливара.
Гаити (ЗВ)
1 гурдз= 100 центимов = дол-
лара (0,334 г. чистого золо-
та 0,9) .................
Золотые и серебр. монеты
САСШ
нм: 60, 20, 10 и 5 центимов
мм: 3, 2 и 1 центим.
	Гватемала (ЗВ)	
70,84 94,37 70,84	1 кветзал = 100 центаво зм: 10 кветзал, общ. вес 16,72 г, содерж. чист, золота 0,9 . 20 и 5 кветзал см: 1 кветзал, общ. вес 33,33 ?, содерж. чистого серебра 0,72	« мм: 5, 1 и у2 пезо 1 бумажный пезо = Удо золо- того кветзала.	19
58,34	Германия (ЗВ)	
33,98 59,3	1 рейхсмарка=100 пфеннигов зм: (не имеется в обращении) 1 крона, общ. вес 3,98248 г, содержит чистого золота 0,9=3,58425 г чистого зо- лота 	 2511 крон весят в золоте 1 кг (общ. вес); из 1 кг чистого золота че- канятся, следователь- но, 2790 рейхсмарок см: 5, 3, 2 и 1 (общ. вес 5 г, содерж. чистого серебра 0,5) марка нм: 50 пфеннигов медн. и алюмин, монеты: 10 и 5 пфеннигов. меди., олов. и цинк, монеты: 2 и 1 пфенниг мм: старые и рентные 2- и 1-пфенниговые монеты Раньше: 1 талер = 30 грошей по 12 пфеннигов	 7 гульденов южно-герман- ской валюты=4 талера.	4 1
43,67
59,73
63
Гондурас
87,52 j лемпира=У, доллара — 100
центаво .........................
зм: 20 и 10 лемпир (общ. вес
8,35906 г, содерж. чистого
золота 0,9)
Серебр. разм. монета: 50 и 25
центаво
38,89 Никел. и медная разм. мо-
нета: 5 центаво
Медн., оловянн., цинк. разм.
монета: 1 центаво
38,9
97,23
1
Таблица монет
881
Наименование монет по странам	Ценность в совет, валюте	Наименование монет по странам	Ценность в совет, валюте	
	руб. коп.		руб.	коп.
Греция (ЗВ)
1 драхма (0,019526 г чист, золо-
та) = 1С0 лепт..............
Золот. и серебр. монет в об-
ращении нет
рм: 1 и 2 драхмы 5, 10, 20 и
50 лепт.
25,23
Дания (ЗВ)
1 крона = 100 бре
зм: 10 крон, общ. вес 4,4803 г,
содержит чистого золота
0,9........................ 5
и 20 крон
см 9: 2 и 1 крона, 25 и 10 бре
бм: 5, 2 и 1 бре
Кроме того,
медн., никел. и алюмин, мо-
неты: 2, 1 и '/2 кроны
нм: 2б бре
мм: 10 бре.
Исландия (ЗВ)
1 крона = 100 аурар....... —
см: 25 аурар
медн. и никел. монеты: 10 и
25 аурар.
Данциг (ЗВ)
1 гульден = ’/?5 Фунт. стерл.=
100 гульден-пфеннигов . .
зм: 25 гульденов, общий вес
7,988 г, содерж. чистого зо-
лота 0,91667................ 9
см: 5, 2, 1 и ’/, гульдена
нм: 10 и 5 пфеннигов
мм: 2 и 1 пфенниг.
Доминиканская республика
(ЗВ)
1 пезо =100 центаво = 0,2 амер,
доллара .................... —
1 золот. доллар = 1 долл. Сев.-
Ам. Соед. Штатов ....	1
нм: 20; Ю; С ,4; 0,2, Ч2 и i/4
центаво
мм: 0,1 и Ц9 центаво.
20,88
52,09
37,84
45,91
38,89
94,37
Египет (ЗВ)
1 секин (егип. фунт) = 100 пи-
астрам=10СО ошр-эль-герш
1 пиастр = 40 пара (медина) =
40«12 гедид • (серебр.) или
40.3 аспер или = 10 миллем
зм: 1 фунт, общ. вес 8,5X) г,
содержит чистого золота
0,875 .....................
и ’/• Фунта.
Большей частью считают
1 англ, фунт =97,5 пиастра,
отсюда 1 египетск. фунт .
см: 10 пиастров, общий вес
14,0 г, содерж. чист, сере-
бра 0,833 ..............
20, 5, 2 пиастра
нм: 10, 5 и 2 миллемы
бм: 1 и 1/2 миллемы.
Испания (ЗВ)
1 пезета = 100 центезимо
зм: 100 пезет, общ. вес 32,258 г,
содерж. чист, золота 0,9 .
25, 20. и 10 пезет
см: 5 пезет = 1 дуро 2, 1 (5 г,
содержит чистого серебра
0,835) и Ч-» пезеты
мм: 10 и 5 центезимо
1 бумажная пезета (с очень
колеблющимся курсом)
в апр. 1930 г...........
Италия (ЗВ)
1 лира = 100 чептезими
1 стабилизированная лира, общ.
вес 0,0879895 г. содерж. чи-
стого золота 0,9.......
зм: (старой чеканки): 100 лир,
общий вес 32,75816 г, со-
держ. чистого золота 0,9 .
50, 20, 10 и 5 лир
см: 20, 10 и 5 лир
нм: 2, 1, 0,5 и 0,2 лиры
бм: 10 и 5 чентезими.
Ливия
Итальянские монеты, раньше:
1 махбуб = 20 пиастров . . . .
1 герш (пиастр)=40 пара =
120 акдье .................
9 60,73
9 69,99
2 89,84
37 50,3
— 24,54
- 10,23
37	50,3
1 66,С8
—	8,33
1) См. также Норвегия.
882
Приложение
Наименование монет	Ценность в совет.	Наименование монет	Ценность в совет.
по странам	валюте	по странам	валюте
	руб.] коп.		руб. | коп.
Эритрея
1 эритрейский талер (общ. вес
25 г, содерж. чистого ме-
талла 0,9)— 5 франков (цен-
ность внутри страны) . .	1
см: 4/г0, 2/10 и ‘/ip талера
1 талер Марии-Терезы . . . ~	—
Новая денежная единица:
1 талер Италии (общ. вес
25,0668 г, вес чист, сере-
бра 0,9).................7Z	—
Китай
Подготовляется введение но-
вой денежной системы.
Счет ведется в серебре и
золоте по весу (таель);см.
также стр. 896
1 хайгуанский (правительствен-
ный, портовый) таель =
1,114 шанхайского, или
1,1015свагоуского, или 1,Г5
тяндзинского или 1,017 ку-
пинского, или 1,002 кантон-
ского таеля и т. д Преж-
няя ценность при отноше-
нии золота к серебру _
15 5:1...................... 2
1 хайгуанский таель = 37,783 г
чистого серебра ...........
(Средний курс колебался в де-
сятилетие 1911—1920 меж-
ду 0,62 и 1,39 америк. дол-
лара)
Отдельные монеты: кёш (ли,
тангтисан, сапэк, питие) из
меди и олова; 1'603—1703
кёш=1 таель серебра. Дру-
гие расчетные монеты: се-
ребряные доллары различ-
ного рода.
Колумбия (ЗВ)
1 пезо (фуэрте оро) = 100 цен-
таво
зм: 10 пезо, общ. вес 15,976 г,
содержание чистого золота
0,91667 ................... 18
5 пезо (колумб. фунт) и
2,5 пезо
см: 50 (медио пезо), 20 (пезета)
и 10 (реаль) центаво
ны: 5, 2 и 1 центаво.
87,52 58,34 51,86	Корея Японские монеты, изредка также латунные кэш. Костарика (ЗВ) 1 колон = 100 центов = *|* дол- лара . . • 	 зм: 2, 5, 10 (7,78 г, содерж. чист. золота 0,9) и 20 колон (вышла из употребления) см: 1 колон, 25 и 10 ценюв мм: 5 и 10 центов.	—	48,62
	Куба		
	1 золотой пезо = 1 доллар Сев -Амер. Соед. Штатов . зм: 20, 10, 5 и 1 пезо см: 1 пезо, 40, 20 и 10 центов нм: 5, 2 и 1 цент Монеты Сев.-Амер. Соед. Штатов.	1	94,64
96,78	Латвия (ЗВ)		
93,99	1 лат = 100 сантимов зм (не имеется в обращении): 1 лат, общ. вес 0,32258 г, содерж. чистого золота 0,9 см, 2 и 1 лаг (5 г содерж. чи- стого серебра 0,835) нм: 50, 20 и 10 сантимов бм: 5, 2 и 1 сантим.	—	37,5
	Либерия		
	1 либерийский доллар=100цен- тов,—’н, англ. фунт, стерл. зм: не имеется см: 59, 25 и 10 центов мм: 2 и 1 цент Также англ, монеты.	1	97,25
91,82	Литва (ЗВ)		
	1 лит=100 центов	 зм (нет в обращении): 50 литов, общ. вес 8,35:;2 г, содерж. чист, золота 0,9 .	9	19,45 71,84
Таблица монет
883
Наименование монет
по странам
Ценность
в совет,
валюте
руб. | коп.
Наименование монет
по странам
I
см: 1 (2,7 г, содерж. чист, се-
ребра 0,5). 2 и 5 литов
медн. и алюм. монеты: 1, 5,
10, 20 и 50 центов.
Люксембург
1 франк=1ОЭ сантимов, бель-
гийский курс..............
175 франков = 1 ф. стерл.
Монеты из никеля, цинка и
железа в 2i;s, 5, 10, 25
сантимов. 1 и 2 франка.
Все бельгийские монеты.
Марокко
1 митскал (метекал, пиастр),
26,2 г чист, серебра = 10
у кий (окиат, унций) = 40
мусмен = 240 флюс или
делила = 960 кирет или =
= 100 сайт...............«
Французские и испанские мо-
неты.
Мексика (ЗВ)
1 пезо = 100 центаво
зм: 10 пезо (хидальго), общ.
вес 8,3333 ?, содерж. чи-
стого золота 0,9............
50 пезо (центенарио), 20
пезо (ацтека), 5 пезо (ме-
диохидальго), 2i/2 и 2 пезо
см: 2 пезо (виктория), 1 пезо
(16,667 г), 0,5 пезо (тостон)
сер. разм. монета: 200 и 10
цен га в о
никел. разм. монета: 5 центаво
бронз, разм. монета: 20, 10,5,
2 и 1 центаво.
Непал
1 мохар = 6 айна = 40 пайс.
Нидерланды (ЗВ)
1 гульден (флорин) = 100 цен-
тов .......................
зм: 10 гульденов (вильгельмс-
дор), общ. вес 6.72С1 г,
содерж. чист, золота 0,9
и 5 гульденов
Двойной дукат, общ. вес
_	6,98 г, содерж. чистого зо-
лота 0,983 •...........
1 дукат.
см: 2т/2 гульдена (25 а, содерж.
чист, серебра 0,72) (рикс-
далер), 1 и 1/2 гульдена
сер. разм. монета 25 и 10 цен-
тов
бронз, разм. монета: 2i/2, 1 и
]/2 цента
никел. разм. монета: 5 цент.
В колониях, кроме того, старо-
испанские пиастры и мекси-
канские пезо, офиц. = 2,55
голландского флорина, ру-
пий.
65,28
Суматра
1 таель=4 пардова = 16 ме-
кис = 64 копанга...........
Никарагуа
1 кордоба=КО центаво
зм: не чеканится; 1 кордоба,
9	68,6 общ. вес 1,6718 г, содерж.
чистого золота 0,9 ... .
см: 1 кордоба, 50, 25 и 10 цен-
таво
нм: 5 центаво
мм: 1 и 1/2 центаво.
Норвегия (ЗВ)’)
1 крона = 100 бре
зм: 10 крон, общ. вес 4,4803 г,
содерж. чист, золота 0,9 .
20 и 5 крон
см (очень мало в обращении):
2 (15 г) и 1 (7,5 г) крона
Ценность
в совет,
валюте
руб. | ко п.
- 78,11
7 81,27
8 86,18
8 79,7
1 94,37
5 20,88
9 Скандинавский монетный договор между Данией, Швецией и Норвегией.
884
Приложение
Наименование монет по странам	| Ценность в совет. валюте руб. | коп.	Наименование монет по странам	Ценность в совет, валюте руб. 1 коп.
(содерж. чистого серебра
0,8), 50 (5 г) и 25 (2,42 г)
бре (содерж. чистого се-
ребра 0,6), 10 (1,45 г) бре
(содерж. чист, серебра 0,4)
нм: 1 крона, 50, 25 и 10 бре
бм: 5, 2 и 1 бре.
Панама (ЗВ)
1 балбоа = 10 центаво = 1 дол-
лар С.-А. С. Штагов . . .
зм: (не имеется): монеты С.-А.
С. Штатов
см: 50, 25 и 10 центаво, а так-
же монеты С.-А. С. Шт.
нм: 5 и 2,5 центаво
рм: монеты С.-А. С. Штатов.
Парагвай (ЗВ)
(в действительности Б В)
1 пезо = 100 центаво
зм (не имеется): 1 золотой пе-
зо = 1 аргентинский золо-
той пезо...................
см: не имеется
нм: 2, 1 и 0,5 пезо
1 бумажный пезо = ’/|8,75 арген-
тинского бумажного пезо =
—’/<7,81 золотого пезо . .
1
1
Перу (ЗВ)
1 либра (перуанский фунт)=Ю
соль по 1С0 центаво =7,988
г, содерж. чистого золота
0,91667 ....................
1 соль, общ. вес 25 г, содерж.
чистого серебра 0,9 —10 ди-
наров или реалов = 100 цен-
таво (ценность серебра
1,19 герм, марок) офиц. =
= 2 шиллинга................
зм: по новой валюте: 10 соль
оро, общ. вес 6,01853 г,
содерж. чист, золота 0,9=
= 4 доллара.................
и 50 соль оро
серебр. разм. монета: I и
соль
нм: 20, 10 и 5 центаво
мм: 2 и 1 центаво.
Польша (ЗВ)
1 злотый =100 грошей
зм: 100 злот., общ. вес 18,7546 г,
содерж. чист, золота 0,9 .
50 злотых и 25 злотых
(дукат.)
см: 5 злотых и 2 злотых
нм: 1 зл., 50, 20 и 10 грошей
бм: 5, 2 и 1 грош
Кроме того, старая серебр.
разменн. монета в 2 и 1 зло-
9
45,91
94,45
77,38
80,27
Персия (ДВ)
1 туман = 10 кран=200_шахи
1 кран = 1000 динаров (только
расчетная монета)
зм: 10 кран, общ. вес 2,85 г,
содерж. чистого золота 0,9,
20 и 10 кран новой чекан-
ки, 2, 5, 10 и 20 кран ста-
рой чеканки
см: 1 кран, общ. вес 4,693 г,
содерж. чист, серебра 0,9
1/», 2 и 5 кран
нм: 1 и 2 шахи
Разрабатывается новый монет-
ный закон, по которому:
1 пахлави = 20 реалов=1 ф.
стерл.
3
Португалия (ЗВ)
1 эскудо = 100 центаво = 1000
рейсов .....................
зм (не имеется в обращении):
1 крона, общ. вес 17,735 г,
содерж. чистого золота
29,66	0,91667 = 10 эскудо или
мильрейсов = 10000 рейсов
см (не имеется в обращении):
1 тостао = 100 рейсов. . .
нм: 10 и 1 эскудо
10,19 мм: 1 эскудо
никел. и медн. разм. монета:
50, 20, 10 и 5 центаво *
1 конто (расчетная монета) =
= 10(4? эскудо
1 крусадо большей частью =
= 480 рейсов.
2
21
10,2
0,17
20,84
Таблица монет
885
Наименование монет по странам	Ценность в совет, валюте	Наименование монет по странам
	руб. I коп.	
Ценность
в совет,
валюте
|| руб. | коп.
Гвинея
1 макута = 50 рейсов (1,5 м
полотна) ...............
Гоа
1 серебряная рупия .....
Макао
1 мексиканский пиастр ....
Мозамбик
Португальская валюта.
Тимор
1 патака = 9—9,5 эскудо.
Румыния (ЗВ)
1 лей = 100 бани
1 стабилизированный лей, общ.
вес О/'10 г, содерж. чист,
золота 0,9..............
рм: 1 и 2 лея, 25 и 50 бани
Филиппины
10,19
70,84
96,77
1 филиппинский пезо = 100 цен-
таво =1/а доллара ..........
см: 1 пезо, 50, 20 и 10 цен-
таво
нм: 5 центаво
мм: 1 центаво.
Сиам
1 дос (золотой)=10 золотых
тикалов, общ. вес 6,2 г,
содерж. чистого золота 0,9
1 тикал серебра (общий вес
15 г)-=100 сатанг, 11,8 ти-
кала =1 ф. стерлинг, или
1 тикал .................
см: 50 и 25 сатанг
нм: 10 и 5 сатанг
мм: 1 сатанг.
97,23
7 20,89
80,1
Сальвадор (ЗВ)
1 колон =100 центаво
зм: 1 колон, общ. вес 0,836 г,
содерж. чист, золота 0,9
(в обращении не имеется)
Доллар САСШ = 2 колона
см: 1, 0,5.0,25,0,20, 0,10 и 0,f5
колона
нм: 10, 5, 3 и 1 центаво.
Северо-Ахмериканские Соеди-
ненные Штаты (ЗВ)
1 доллар $ -100 центов (с)
зм: 10 долларов (игл), общ. вес
16,7185 г, содерж. чистого
золота 0,9 = 2з2,2 грана . •
20 долларов (двойной игл)
и 5 долларов
см (содерж. чист, серебра 0,9):
1 (вес 26,729 ?) доллар
50, 25 (квартэр) и Ю(дайм)
(2,5 г) центов
нм: 5 центов
бм: 1 (пекко) цент.
19
1,16
97,23
43,67
СССР (ЗВ)
1 червонец (банковый билет)
= 10 руб., 1 рубль содержит
0,774234 г чистого золота .
1 рубль = 100 копеек
В обращении серебряные и
никелевые монеты в 20,
15 и 10 коп.
бронзовые и медные монеты:
5, 3, 2 и 1 копейка.
Турция (ЗВ)
1 турецкая лира (турецкий
фунт) = V.0 куруш (пиастр)
= 4000 пара
зм: 1 турецкая лира, общ. вес
7,216 г, содерж. чистого
золота 0,9.................
5, 2ч2, Да и ’|4 турецкой
лиры.
см: 0,20, 0,10 (12,028 г, со-
держ. серебра 0,83), 0,05,
0,02, 0/1 меджидие -или
турецкой лиры
бронз, и никелев. монета: 25,
10, 5, 2Д2 и 1 пиастр, 20, 10
и 5 пара
1 бумажн. турецкий фунт
(сент. 1930 г.).........
10
8 .54,51
92,68
886
Приложение
Наименование монет по странам	Ценность в совет, валюте руб. | коп.	Наименование монет по странам	Ценность в совет, валюте руб. | коп.
Уругвай (ЗВ)
1 пезо = 1С0 центезимо
1 дублон = 10 пезо
зм: не имеется в обращении:
1 пезо, вес 1,697 г, содерж.
чистого золота 0,91667 . .
см: 1 и 1/2 пезо, 20 центезимо
нм: 5, 2 и 1 центезимо.
Финляндия (ЗВ)
1 марка (23 750 штук на 1 кг,
содерж. чист, золота 0,9)
= 100 пенниа..............
зм: 100 марок, общий вес
4,210 53 г, сод. чист. зол. 0,9
и 2(0 марок
10 марок прежней валюты,
общ. вес 3,2258 г, содерж.
чист, золота 0,9 = 76,61 но-
вых марок .............
и 20 марок прежней ва-
люты
см: 2 и 1 марка, 50 и 25 пенниа
алюм. и бронз, монеты: 5, 10
и 20 марок
нм: 1 марка, 50 и 25 пенниа
мм: 5 и 10 марок и, кроме то-
го, старые: 1, 5 и 10 пенниа
Франция (ЗВ)
1 франк = 20 су = 100 санти-
мов, стабилизованная цен-
ность: 100 франков ....
зм: 1С0 новых франков (общ.
вес 6,55 г, содерж. чист,
золота 0,9), нет в обра-
щении. Золотые монеты
прежней валюты не имеют
значения монет, а только
товарное значение.
100 прежних франков, общ.
вес 32,2580 г,(содерж. чист,
золота 0,9), 59, 40, 20, 10
и 5 франков
см: новые: 10 франков (общ.
вес 10 г, содерж. чистого
серебра 0,68) и 20 франков;
старые: 5, 2, 1 (общ. вес
5 г, содержание чистого
серебра 0,835) и 0,5 фран-
ка, имеют тоже только то-
варное значение
2
4
3
01,41
5,09
89,39
75,03
61,5
ник. и медн. монеты: 2, 1 и
0,5 франка
нм: 25, 10 и 5 сантимов
бм: 10 и 5 сантимов
Франк, как денежная единица,
являлся основной денеж-
ной единицей для несуще-
ствующего уже теперь Ла-
тинского монетного союза
Из 1 кг чистого золота чекани-
лось прежде 3444,44 фран-
ка, из 1 кг чистого серебра
222,22 франка. 310С франков
золотом или 40 франков
серебром в 5 франковых
монетах весили 1 кг. Соот-
ношение ценности сере-
бра и золота = 1 : 15,5.
Тунис
Монеты французской валюты
Раньше:
1 пиастр (сбиглен)=16 кару-
бов = 52 асперов серебра .
1 буми = 100 пиастров ....
Передняя Индия,
Кохинхина
1 золотая пагода =3,5 рупии =
= 28 фанамов = 672 кёш . |
1 серебряная рупия .....
Индо-Китай
1 пиастр серебра с 24,49 г чи-
стого серебра = 100 цен-
тов =600 сапэ^ . . . . ~
см: 1, х/8, ’/- и 4iQ пиастра
нм: 5 центов
мм: 1 цент
1 кван = 10 мэхе или мо-
тий = 60 сапэк (донг, пети)
1 шукк = 10 кван (чучу)
Вест-Индия
1 аньше: 100 франк, франц.
Вест-Индии=5’4,054 фра щ. |
франка ............... 1
Реюньон	I
1 пиастр--100 центов . . . . I
22
3
20
1
22,69
65,92
11,14
70,84
61,12
27,01
87,52
Таблица монет
887
Наименование монет	Ценность в совет.	Наименование монет	Ценность в совет.
по странам	валюте	по странам	валюте
	руб. । кон.		руб. 1 коп.
Мадагаскар
Французская валюта
1 фарасана = 5 франков, а так-
же талер Марии-Терезы
Новая Каледония и
Таити
1 пятифранковая монета . . .
1 пиастр...................
Чехо-Словакия (БВ)
1 крона = 100 геллеров . . . .
см: 10 крон (редкой
нм: 5, 1, 0,5 и 0,2 кроны
бм: 10 и 5 геллеров.
Чили (ЗВ)
1	пезо = Юб центаво
1	кондор = 10 пезо
зм: 10' пезо, общ. вес 20,33966г,
содерж. чист, золота 0,9 .
50 и 20 пезо
см: 5 пезо, общий вес 25 г,
содерж. чистого серебра
0,72.......................»
2	, I и 0,5 пезо
нм: 20, 10 и 5 центаво.
Швейцария (ЗВ)
1 франк = 100 сантимов (рап-
пен)
зм: 10 франков, общий вес
3,2258 г, содерж. чистого
золота 0,9................
и 20 франков
см: 5, 2 и 1 (5 г, содерж. чи-
стого серебра 0,8<55) и 0,5
франка
бм: 20, 10 и 5 сантимов
мм: 2 и 1 сантим.
Швеция (ЗВ)
1 крона = 10(; бре
зм: 10 крон, общ. вес 4,^803 г,
содерж. чист, золота 0,9 .
1
1
3
	20 и 5 крон см: 2, 1,	J/4, i/10 кроны медн. и ник. монета: 50, 25 и	
58,34 87,52	10 бре. Эквадор (ЗВ) 1 сюкре = 100 центаво .... зм: 1 кондор, общ. вес 8,359 25 г, содержание чистого золо-	—
74,01 5,76 95,01 44,91 75 20,88	та 0,9 = 25 сюкре	 и 2 кондора см: 1 и 2 сюкре, 50 центаво нм: 10, 5 и 2Ч3 центаво мм: 1 центаво. Эстония (ЗВ) 1 крона, общ. вес 0,403 226 г, содерж. чистого золота 0,9= = 100 центов	 зм: нет в обращении см; 2 и 1 крона (еще не вы- пущены) мм : 50 и 25 центов, но име- ются монеты и в 10 крон 10, 5, 3 и 1 марки прежней валюты (1 марка = 1/100 кроны). Югославия (БВ) 1 динар = 100 пара	 зм (нет в обращении): 20 ди- наров, общ. вес 6,4516 г, содерж. чист, золота 0,9 . см: нет в обращении нм: 2, 1 и Ч, динара рм: 5, 10 и 2’5 пара. Япония (ЗВ) 1 иена = 100 сен = 1000 рин зм (нет в обращении): 10 иен, общ. вес 8.j33 г, содержа- ние чистого золота 0,9 . . 20 и 5 иен см: 5^ и 29 сен нм: 10 и 5 сен мм: 1 сен и 5 рин	9 7 9
38,89
71,84
52,09
37,5
50,06
67,67
888
Приложение
II. Меры и вес;
Метрическая конвенция 20 мая 1875 г. К ней принадлежат: Германия, бывш. Австро
Швеция, Норвегия, Швейцария, Турция, Аргентина, Соединенные Штаты Америки, Перу
Колумбия, Коста-Рика, Эквадор, Гватемала, Гондурас, Люксембург, Никарагуа, Парагвай
Метрическая конвенция преследует цели: 1. Изготовление образцовых метра и кило]
народных мер, заменяющих собою существовавшие эталоны метра 1|
Меры длины	1//Z	Меры поверхности	
Абиссиния 1 мадда = 5 м 1 кинт = 0,45 до 0,5 м 1 канд = 2 зиншер = 0,4572 м 1 пик халеби — 1.5, кенд = — 0,686 м 1 зиншер = 0,229 м	0,2 2,22 до 2 2,181 1,458 4,367	1 калад = 24 до 38 га	0,004 17 до 0,С02 63
Австрия, Венгрия, Чехо-Сло- вакия метрические 1 м = 0,999 997 64 нормального метра = 443,294 889 8 париж- ской линии 1 морская миля =1,852 км раньше: 1 венск. фут =12 дюймов (по 12 линий) = 0,316 081 м 1 венск. локоть =0,777 558 м I венск, клафтер = 6 фут = = 1,896 484 м 1 почтов. миля = 7,585 936 км Венгерская миля = 8,35_»6 км	0,5400 3,1637 1,2861 0,5273 0,1318 0,1197	метрические, раныье: 1 кв. фут =0,099 907 и* 1 кв. клафгер = 3,596 652 л’ 1 сев. австр. иох=1600 кв. клафт. = 1,575 462 2 га 1 кв. миля в 10 000 иох (в*16(0 кв. клафт. каждый иох) = = 57,546 42 км* 1 венгерский иох = 1290 кв. клафтер= 0,431 598 га	10,0079 0,278 00 1,737 73 0,017 38 2,316 97
Аравия 1 драа = 0,488 м 1 кобидо =0,482 м	2,049 2,075		
Аргентина метрич , раньше: 1 браза=2 вара = 2-3 пьес = = 6-12 пюльгадас = 1,732 м 1 линеа = 0,002 200 м 1 легуа = 6000 вара = 5,196 км 1 метрическая аргентинская ле- ту а =5,00 км	0,5774 454,55 0,1925 0,2000	метрич., раньше: 1 кв. вара-= 0,749956 м2 1 маннана = 1 вара = 7,499 56 м- 1 квадра =1,6874 гл 1 кв. легуа = 26,998 42 км*	1,3334 0,1833 0,5926 3,7039 102
Примечание. Все единицы мер посредством числа п могут быть отнесены к метри-
озпачаег то число метрических единиц, которое содержится в данной единице меры,
для Великобритании 1 фагом = ;т меграм = 1,828 798 м\ 1 м = 1/п фатом — 0,5468 фатома и
’) Смотри также таблицы в разделе III.
Мери и веса различных стран
889
различных стран 9
Венгрия, Бельгия, Нидерланды, Дания, Испания, Италия, Франция, Португалия, СССР,
Венецуэла, Сербия, Румыния, Великобритания, Япония, Мексика, Боливия, Бразилия, Чили,
Сальвадор, Уругвай; также ввели техническую систему новообразовавшиеся государства,
грамма и сравнение их с существующими мерами страны; 2. Выбор и хранение между-
килограмма. 3. Периодическое сравнение местных и образцовых мер.
^1еры объема и емкости	1/п	Меры веса	1/п
Абиссиния 1 ардеб=10 мадега (гондар) = = 4,4 л 1 ардеб—24 мадега (массуах)— = 10,56 л	0,2273 0,0947	1 рогтель = 12 ваких=0,-31 кг 1 фразула = 16,66 кг 1 окет=-^— фразулы=27,7 г 60 J	3,23 0,06 0,036
Австрия, Венгрия, Чехосло- вакия метрические, раньше: 1 кб. фут = 0,031 578 67 м3 1 кб. клафтер = 6 829 099 2 м3 1 шахтрута = 3,157 867 м3 1 венск. метце = 4 четверти = =0,614 868 3 гл 1 ведро в 40 масс =0,565 890 гл 1 масс -4 зейдель = 1,414 724 л 1 венгерское ведро = 64 зей- дель = 0,5430 гл	31,667 0,1466 0,3167 1,6264 1,7671 0,7069 1,8416	метрич. 1 «-2 = 0,999 997 8 норм, килогр. раньше: 1 венск. (и баварск.) фунт в 32 лота = 0,560 С60 кг 1 венск. лот = 17,561 87 г 1 венск. центнер = 56,0060 кг 1 аптек. фунг = 0,420#г 1 штейн в 20 фун. = 11,212 кг	1,785 52 0,057 14 0,017 86 2,381 0,891 СО
Аравия 1 тиман г-56,8 л 1 кудди (жидкости) = 7,6 л	0,0176 0,132	1 бахар = 300 роттель = 83,05 кг	0,0120
Аргентина ме»рич., раньше: 1 кваргилла = 34,299 <48 л 1 фанега = 4 квартилла = = 137,197 712 л 1 фраско=4 кварты = = 2,375 138 л 1 баррил ---20 галлоноз или о2 фраско= 0,760014 1 гл 1 пипа —4 карга =4-16 кор- таньес = 64«3 фраско = = 4,560 264 гл	2,9154 102 L2885 103 0,4210 1,3158 0,21929	метрич., раньше: 1 либра=16 онца=16* 16 адарм= = 256-36 грано -0,4594 кг 1 тонелада — квин1алов = = 20-4 арроба = 80*25 либ- ра =0,9188 tn 1 марко = 8 онц = 8«144 кви- лат = 1152-4 грано =229,70 г	2,176 91 1,0886 4,3538 103 “
феской системе мер. В графе 1{п даны обратные числа для п. Таким образом число п
а 1/п — число единиц данной меры, соответствующее метрической единице меры. Например)
наир., 683,5 М — 683,5*0,5468 — 373,7 фатома.
890	Прил<		)жение	
Меры длины	1/Л	Меры поверхности	j	
Афганистан 1 аршин = 1,025 м 1 аршин для шерсти = 1,12 м	0,976 0,893		
Бельгия метрич., раньше: 1 брабантский локоть (Брюс- сель) =0,695 м	1,439	метрич.	
Болгария метрич., раньше: 1 портняжный аршин=0,680 м 1 каменшицкий аршин =0,758 м	1,471 1,319	метрич. 1 дюлюм или увраг=9,19 а	0,109
Боливия метрич., раньше: 1 вара =0,835 м 1 легуа = 40 луадр =5,196 км	1,198 0,192	метрич. 1	1 1	
Бразилия метрич., раньше старопорту- гальские: 1 ковадо по 2 песа в 1,5 паль- мо = 0,686 м 1 брасса по 2 вара = 2,2 м 1 легуа = 25 0 брасса =5,5 км 1 ярд = 0,91 м 1 пе -- 0,343 м	1,4577 0,45^5 0,1818 1,0989 2,9155	метрич., раньше старопоргу- гальские: 1 кв. ковадо = 0,4706 м3 1 кв. пе = о,1176 м3 1 кв. брасса = 4,84 м3 1 кв. легуа =30,25 км2	2,1249 8,5 35 0,2066 0,0331
Великобритания допущены метрич. меры и веса 1 дюйм (inch, in.), раздел, на 16 или 12 частей ’) = = 2,539 997 8 см	0,3937	1 кв. дюйм (sq.in.)=6,4516 си’ 1 кв. фут (sq. ft.) = 0,692 £0 м3 1 кв. ярд = 0,8361 м3	0,1550 10,7639 1,1960
J) При температуре 0°. Для пересчета на техническую температуру в 20°: 1 дюйм-
«=25,40095мм, До 1897 г. 1 дюйм ==2о,399 541 мм, На основании последних сравнений дюйм
$ метром, произведенных Национальной физической лабораторией, 1 дюйм = 25,399 9 62 мл
Меры и веса различных стран
891
Меры объема и емкости	1/п	Меры веса	1/л
Афганистан как в Персии		1 маан=4 ока = 4,18 кг	0,239
Бельгия метрич.		метрич.	
Болгария метрич., раньше: 1 кили —12 шиник = 2Ю л 1 ведро (для жидкостей) = = 10 оки = 12,8 л 1 дунайское кило = 10 крини = = 100 оки =128 л 1 царьградское кило = 37 л	0,004 17 0,0781 0,007 81 0,0270	метрич., раньше; 1 ока = 1,282 кг	0,780
Боливия метрич., раньше: 1 нсп. фанега = 137,2 4, 1 обыкнов. фанега = 2'/о исп. фанеги 1 кантара = 16,13 л	0,007 29 0,062	1 метрич., раньше: 1 квинтал = 4 арроба = 100 ли- бров = 46,0 кг 1 карга = 6 арроба = 69,0 кг	1 0,0217 0,0145
Бразилия метрич., раньше старопорту- гальские: 1 можо = 15 фанга = 4 аль- квеира 1 а.нквеира по 4 маквии, в ризных городах различно: 40, 50, 70, 160 л, в Нара- хиба = 3,2 гл 1 пипа по 25 аль.мудов = = 4,7 2 гл	0,3125 0,2087	метрич., раньше старопорту- гальские: 1 квинтал = 4 арроба =32 ара- теля =58,752 кг 1 аратель = 2 марки = 16 он- са=128 ойтаво = 0,459 кг 1 тонелада = 13,5 квинтала = =793,152 кг	1,702 05 100 2,1786 0,126 08 100
Великобритания ’) допущены метрич. меры и веса 1 куб. дюйм (cu. in.) = = 16,3870 СЛ18 1 куб. фуг (си. ft.)---- = 0,028 317 ма	0,061 02 35,3 U8	1 торговый фунт(а\оиdu poids 1b.) (торговый вес)=16унций-= 16-16 драхм =7000 тройских гран =0,453 5ь2 44 кг	2,2046 223
*) См. также таблицы в разделе Щ,
892
Приложен по
Меры длины	Пп	Меры поверхности	У”
1 фут (foot, ft.)=12 дюйм.= =0,394 799 73 м 1 ярд=3 фута = 0,914 399 2 м 1 фатом =2 ярда = 6 фут. = = 72 дюйма = 1,828 798 м 1 пол (од) = 16,5 фут. = = 5,0292 м 1 чейн=1С0 линкс = 792 дюй- ма = 20,12 м 1 государств, англ, миля (sta- tute mile) = 8 фурлонов = = 8*220 ярдов = 1760,3 фут = =1,609 342 6 км 1 обыкнов. англ, миля (лондон- ская миля) = 5000 фут. = = 1.523 999 км 1 морск. миля (узсл) = - - 6080 фут. = 1,853 18 км *) в торговле: 12 ярдов =11 м 3 мили назыв. 1 лиг Мил, хэнд, спэи см. С.-Ам. Соед. Шт. (стр.902)	3,2808 1,0933 0,5468 0,1988 0,0497 0,6214 0,6562 0,5396	1 кв. пол = 25,293 м* 1 акр = 160 кв. пол = 4840 кв. ярдов = 40,4685 а 1 кв. миля = 640 акров = = 2,59 км* 1 кругл, дюйм (circular inch) = = тс/4 кв. дюйма =0,7851 кв. дюйма = 5,067107 см* 1 кругл, миля fcircularmilej = — Viuooueo Круглого дюйма = = 0,00059671 мм*	0,0395 0,0247 0,3861 0,197 35 1973,5
О ст* Индия (британская) 1 res- (бенгальский) по 2 хат (по 24 англи в 1 хат) = 1 англ. ярду=0,9144 м 1 миля (1С00 англ, фатом по 4 кубит или 2 бенгальск. гёза) = 1,8288 км 1 кубит’(Мадрасский)=0,4572 м 1 гёз (Бомбейский) = 0,6858 м В оптовой торговле —англ, ярд	1,0936 0,5468 2,1872 1,45^2	1 кв. ярд=0,8361 м- 1 акр = 40,4671 а 1 кв. фут = 0,6929 м* 1 кв. кубит = 0,209 м* 1 кв. гёз (Бомбейский) = = 0,4703 м* 1 кв. миля = 3,3444 к,и* 2	1,196 17 0,024 7£ 10,7643 4,7847 2,1262 0,2990
Венгрия (см. Австрия)			
’) 6С80 англ, фугов представ ihioi округленную позусумму ’/во градуса экватора
и градуса меридиана, причем длина меридиана принимается равной 40 000 кмл и длина
экватора —5400 геогр. милям. В английском адмиралтействе принимают 1 Admiralty mile =
—6086.5 фут. = 1,8551 км = 1\^ градуса экватора = 1/4 географической мили.
2) С 1898 года. Имперский галлон 1824 года содержал 10 торговых фунтов воды.
По объему он считался равным 4,543 46 л Английская система мер и весов пережила
с тех пор ряд изменений. На основании официально установленных изменений имиерскии
галлон 1873 года содержал 277,510 куб. дюймов = 4,541 740 л, имп. галлон 1878 года—
277,274 куб. дюйма=4,543 457 л, имп. галлон 1889 года —277,462 куб. дюйма =4,546 525 л,
имп. галлон 1898 года—277,260 куб. дюйма =4,515963 л. Сопасно международной конвенции
1 торговый фут=0,453 592 4 кг. Таким образом галлон 1878 года содержит фактически
4,543 457:0,453 592 4 = 10,0166 фунта, галлон 1898 года-4,545 963:0,453 592 4 = 10,0221 фупгд,
Морт.т и Ttfra различных стран
893
Меры объема и емкости	1	1/л	|	Меры веса	1	1/л
1 куб. ярд -7646 м3 1 регистров. тонна = 1С0 куб. .	фут. =2.832 м3 И океанск.тонна=40куб. фу г.= = 1,1327 м3 1 имперск. галлон = 4 кварты = = 8 пинт = 32 джилл = = 277,260 куб. дм. = 4,54596л 2) 1 старый (Винчестерск.) гал- лон =231 куб. дюйм. = 5/Г) имп. галл. 3) -3,785442 л Л бушель =8 галлонов (по 4,543 46 л) = 36,34768 л 1 ласт=10 квартер. = 10-8 бу- шелей =80*4 пек. = 320-2 гал- лонов =29,078144 гл 1 барриль = 2 кильдеркина = = 2-2 фиркина = 4 • 9галл.= = 1,6365 гл 1 анкер 4) = 10 имп. галл. 1824 года =0,45435 гл 1 тан 4) = 2 пайп (Butts) = = 2-2 хогсхэд = 4*63 галл.= = 11,45 гл 1 панчен 4)=2/в пайп=2 тайрс.= = 1,333 хогсхед = 84 галл.= = 3,8 гл	1,3980 0,3532 0,8829 0,2200 0,2643 2,7512 100 0,0344 0,6110 2,2009 0,0873 0,2632	1 тройский фунт (монетный, золот., серебр. и аптекарск. вес) = 12 унц. — 12-20 весовых пенни (dw.) = 5769 тройск. гран. = 0,373 241 95 кг 1 судовая малая тонна (short ton) = 2000 фун. (lbs.) = = 907,1853 кг 1 большая тонна (long ton) = = 20 центнеров = 20«4 квар- теров=80-28 фунт. (2240 lbs.)— = 1016,0471 кг 1 центнер (cwt.) = 112 фун. = = 50,80235 кг 1 унция = 1/16 фунта = 28,3495 г 1 тройск. гран =0,064 799 г 1 унция = 1/и тройск. фунта = = 31,103 496 г	2,679 23 1,102 31 1000 0,984206 1000 0,019 68 0,035 27 15,432 4 0,032 151
Ост-Индия (британская) Жидкости измеряются англ, импер. галлонами или, как зерно, на вес 1 кахун (Бенгалия) по 16 со- алли = 1354,78 кг 1 кандри рису (в Бомбее) весит 97,95 кг 1 rape (в Мадрасе) по 80 пара (по 5 маркал пара) = 4,916 м3	0,738 15 1000 0,0102 0,2034	1 базарн. моунд=40 сир (Seers) по 16 читтак (по 5 тол в ка- ждом читтаке) = 37,324 кг 1 фактория -моунд =33,868 кг 1 бомбейский моунд по 40 сир (по 30 пара в каждом сире) = = 12,70 кг 1 мадрасский моунд = 11,34 кг 20 моунд = 1 канди.	0,026 79 0,029 53 0,078 74 0,088 18
Венгрия (см. Австрия)			
Старое постановление, что имперский галлон должен содержать 10 фунтов воды, потеряло
таким образом силу, тем не менее общепринято считаться с этим неверным предположе-
нием, и для жидкостей при переводе веса на емкость и, наоборот, это легко ведег к значи-
тельным ошибкам, особенно когда дело идет о больших количествах, например при
отправке водой нефти в цистернах. По предложению ь. Моллер-Фернау в „Werft,
Reederei,Hafen" 1929 г., тетр. 16, нужно в таком случае принимать за галлон „нефтяной
галлон" объемом в 276,800 куб. дюймов. Такси галлон содержит 10 фунтов воды или
4,5з5 924 л.
1 нефт. барриль = 35 англ. нефт. галлонам = 5,6065 куб. фута = 158,758 дм9 (см.
стр. 935); 1 англ, тонна =6,4000 нефт. барриля; 1 метр. тонна = 6,2989 нефт. барриля.
3v С 1878 года.
*) Эти меры пива и спиртных напитков различны в различных местностях.
894
Приложение
Меры длины	1/п	Меры поверхности	|	11п
Германия (Германская система мер и ве- сов с 30 мая 1908 г.) 1 метр (1,000 003 01 нормального метра = 443,29727 парижской линии) содержит 10 деци- метров по 10 сантиметров 1 сантиметр содержит 10 мм 1 километр = 1000 м 1 герм, линейн. миля = 7,5 км 1 географич. миля (15 миль = =1° экватора)=7,420 438 54 км 1 германск. (и франц.) морская миля (60миль = 1 градус ме- ридиана) = 1,852 км 1 фадеп = 1,829 м 1 кабель по 120 фаден=0,22 км 1 градус экватора = 111,3066 км 1 градус мерид. =111,1206 км	0,1333 0,1348 0,5400 0,5467 4,545 0,008 984 0,009	1 кв. метр (.м2) содержит 100 кв. дециметров по 109 кв. сантиметров 1 кв. сантиметр содержит 100 кв. миллиметров 1 гектар по 100 ар (каждый ар в VM) м*) 1 кв. километр = 100 га 1 географ, кв. миля = = 55,06291 км*	0,018 16
Г ватемала метрич., раньше: 1 вара=0,836 м 1 легуа=4 км	1,196 0,250	метрич., раньше: 1 кв. вара = 0,6987 м 1 кабальериа = 64 манцанов = = 44,72 га	1,431 2,237 10*
Греция метрич. 1 греческ. миля = 10 км 1 стадия = 1 км 1 пик = 10 пальм = 1 м 1 пик = 8 рупи = 0,648 м	0,1 1,0 1,0 1,543	метрич. 1 стремма=10 а	0,1
Дания метрич., раньше: 1 рута = 5 ален (по 2 фута) = = 3,1о8 535 ч 1 миля = 2000 прусск. рут = = 7,532484 км	0,3186 0,1328	метрич., раньше: 1 кв. рута = 100 кв. фут. = = 9,85 м* 1 тонна земли = 560 кв. рут = = 0,55163 га	0,101 52 '	1,8128
Египет метрич., кроме того: 1 дира мамари = 6 кабда = = 24 усбаа = 144 хабба шер = = 144«6 кират барсум = 0,75 м 1 баа = 4 дира мамари = 3 м 1 дира балади = 0,58 м 1 касаба = 3,55 м 1 хиндаса=0,656 м	1,3333 0,3333 1,7241 0,2817 1,5244	метрические, кроме того: 1 кират - 3 хабба =6 данек = = 24 сахам= 175,085 м* 1 сахам = 24 сахтут = 7,293 м* 1 феддан = 24 кират = = 0,420 083 3 га 1 кв. пик (дира мамари) = = 0,5625 м* 1 кв. касаба=12,6025 м*	5,7143 10’ 0,1371 2,3805 1,7778 0,0794
Меры и веса различных стран			895
Меры объема и емкости	1//2	Меры веса	1/л
Германия ^Германская система мер и ве-			
сов с 30 мая 19С8 г.)			
1 куб. метр (в некоторых обла-		1 килограмм (=0,999999842нор-	
стях называется штер) по		мального килограмма) по	
1000 куб. дециметров или		1000 граммов в 1000 милли-	
литров в 1000 куб. сантим.		граммов каждый грамм	
каждый литр по 1000 куб.		100 граммов =1 гектограмм	
миллим, в куб. сантим.		1 кг = 2 (старых) таможенных	
1 гектолитр = 100 литров		фунта	0,5
1 литр =1000 миллилитров		1 тонна (раньше в 20 центне-	
1 шсффель=О5 гл (теперь не	2,0	ров) = 10и0 кг	0,001
существует официально)		1 двойной центнер = 100 кг	0,01
1 оксгофт = 2,20 гл	0,4545	1 (метрич.) карат=0,2 г	5,0
1 штюкфас по 71/, ом = 12,0 гл	0,0833	1 между нар. карат = 0,2051 г	4,8757
1 тонна (мера судового		1 судовой ласт в 2 тонны =	
объема) = 2,12 м3	0,4717	= 2000 кг	0,0005
Гватемала			
метрич., раньше:		метрич., раньше:	
1 фанега=0,55 гл	1,818	1 квинтал =100 либров = 50 кг	0,02
1 арроба = 16,13 л	6,200 "1Ц2*	1 арроба = 11,502 кг	8,694 "rF
Греция метрич. 1 кило = 1 гл	1	метрич. 1 статер (кантаро) = 44 ока = = 55,32 кг	1J75 56
1 зерновое кило = 22 ока =			100
= 0,357 гл	2,801	1 мина = 1500 драХхМ = 1,5 кг	0,667
1 барела = 48 л	0,0208	1 ока = 1,28 кг	0,781
Дания			
метрич., раньше:		метрич., раньше:	
1 тенде = 8 скеппер = 1,391 гл	0,7189	1 ком. ласт = 5200 ф. =2600я:г	0,038 46
1 ом - 4 анкера = 1,51 гл	0,6623		100
1 канна = 2 потта = 1,93 л	0,5181	1 центнер = 100 фунт. = = 1000 орт = 50 кг	0,02
		1 корабельн. фунт = 20 лис-	0,625
		фунт. = 160 кг	юо’
Египет			
метрич., кроме того:		метрич., кроме того:	2,226
1 кадах=2 нусф-кадах=4 руба=		1 кантар = 36 ока и 100 ротль =	
= 8 тумна = 16 харуба =	0,4848	= 100-144 дирхем = 44,928 кг	102
= 32 кират = 2,062 л			2,671
1 :.рдеб = 6 веба = 96 кадах =		1 окла = 12 дирхем =37,44 г	
= 0,198 гл	5,051		10я
1 веба = 2 кела - 4 руб =		1 дирхем=16 кират=64 камха=	0,321
= 8 мелва = 0,33 гл	3,0303	= 3,12 г	
		1 магар = 18 кират = 3,51 г	0,285
		1 миткал==24 кнрат=4,68 г	0,214
896
Приложение
Меры длины		Меры поверхности	|	1/л
Италия метрич., раньше. 1 кана —2,645 м Триполи и Барка 1 драа эндасе = 0,670 .и 1 драа араби — 0,483 м	1 0,378 1,493 2,070	метрические	1
Испания мечрич., раньше: 1 вара=3 пиес = 0,835 м 1 вара (в Мадриде) =0,843 м 1 пальмо = 0,209 м 1 легуа = 6,6872 км	1,198 1,186 4,785 0,1495	метрик., раньше: 1 фанегада = 64,4 а	0,015 53
Китай 1 йин (чанг) = 10 чи (ковид, фут) = 100 цун (пант) - ВИ 1000 фын =3/73 М 1 йин по договору с Англией = = 3,581 м 1 ли (миля) = 180 фадсн = = 1800 землемерных ковид = = 0,6444 км	0,2681 0,2793 1,5518	1 мау = 631 м* 1 кинг = 0,2453 га Шелковые’изделия по весу	1,5848 1иОо 4,0766
Монголия 1 алдан = 5 тохой или чи = = 50 имагоо = 5С0 поон = = 1,60 м 2 алдана=1 кхосалдан = 1 хосан 1 кхуби = 36 алдан = 57,6 м	0,667 0,01786	1 кв. алдан=2,56 м* 1 у рей = 360 кв. алдан =921,6 м* 1 кхубари=1ЭЗ урей=92160лР	0,391 0,001 085 1,085 10«
Меры и веса различных стран
897
еры объема и емкости	\	1/я	Меры веса	|	1/л
алия метрич., раньше: :ома в Милане = 100 гл :ома в Риме = 1,042 гл (масло) = 1,1'7 гл (вино) =2 барилла омоло = 55,54 л (орла = 49,74 л )арилл от 30 до 140 л • иполи и Барка реба = 4 темен = 1,073 гл ^арилла = 24 боцце = 63,о9 л	0,685 (,6 09 0,895 0,018 0,020 0,932 0,0158	метрич., раньше: 1 кантаро (Неаполь) = 89,1 кг 1 кантаро (Сардиния) = 42,26 кг 1 кантар=40 ок = 48,83 кг 1 роттель=16 укиен=0,488 кг	1 0,0112 0,0236 0,0205 2,049
шания метрич., раньше: <ахиз = 12 фанег ^6,66 гл <антара 16,13 л типа ^4,356 гл 5ота?^4.84 гл иоио^2,58 гл	1,1501 0,0620 0,2296 0,2о66 0,-3876	метрич., раньше: 1 квинтал = 4 арроба = = 100 либров =46.01 кг 1 тонелада = 20 квинталов = = 92и,2 кг	0,021 73 1,0866 IO’"
>тай чи зерна = 10 шинг = 1,031 гл сай зерна = 2 ху = 20шинг = = 1,2243 гл ?рно и жидкости, впрочем, большей частью по весу)	0,97о8 0,8168	1 пикуль = 100 кеттис = = 1600 таелей (лианг) = 60,453 кг 1 таель = 10 ме или цин = = 100 кондор ин или фын = = 1000 кёш (сабек) в разных провинциях разное значение для серебра (в Кантоне) = = 37,573 г хэйгуанский таель (для тамо- женных расчетов и т. п.) = = 37,783 г	1,6542 Юо 2,661 48 100 2,646 69 100
о н г о л и я iy или того = 503,5 куб. има- оо = 10 схин = 100 алага = = 16,5 л 1ан = 10 ду = 165 л	0,0606 0.0J606	1 чин = 16 лианг = 160 цин = = 1600 поон = 0,6 кг 1 поон = 10 ли = 100 хоу = = 0,375 г	1,667 2,637
898
Приложение
Меры длины	Уп	Меры поверхности	1/л
Корея 1 тья=0,52 м 1 ли = 403 м	1,923 2,481 1000		1 1
Литва метрич , также прежние русские меры: верста = верста сьекснис = сажень уолактис = аршин верскас = вершок педа = фут колис = дюйм		метрич., также прежние русские меры: кетвиртинис варстас — = кв. верста десимтине = десятина кетвиртинис сьекснис= = кв. сажень w	уолактис = = кв. аршин ,	верскас = = кв. вершок „	педа = кв. фут „	ко лис = кв. дюйм	
Марокко метрич., наряду с ними: 1 дхра=8 домин =0,571 м	1,751	метрич.	
Мексика мегрич., раньше: 1 легуа=2500 треза = 5000 ва- рч =4,13 км 1 вара=3 пьес = 0,835 м	0,2421 1,198	метрич., раньше: 1 кабаллерия = 12 фанегад = = 42,8 га	0,0234
Нидерланды метрич., раньше: 1 локоть (Амстердам) = 0,687 м 1 локоть (Брабанг) = 0,686 м 1 Фут (foot) = 0,281 м	1,456 1,458 3,559	метрич. 1 бундер = 100 квадр.рут.=1 га	1,00
Норвегия метрич., раньше: 1 миля = 6С00 фа ден = 11,295 км 1 ален=2 фута=48 д. = 0,627 м	0,0885 1,595	Метрич.	
Меры и веса различных стран			899
1еры объема и емкости	11п '	|	Мерывеса	1/л
>рея как Япония, кроме юго: мал = 10 тол = 100 хоп = 0,5 гл гуи (зсрно) = 1,3182 гл	2 0,759	как Япония, кроме того: 1 канн = 16 нианг = 0,608 кг	1,645
1тва метрич., также прежние русские мерл: бу сьекснис = куб. сажень „ уолактис = куб. аршин „ верскас =куб. вершок „ педа	=куб.	фуг „ колис = куб. дюйм :гвиртис = четверть тунтойи=0,5 кетвиртиса желис = четверик 'састунтойи = 2 сикелиса рциус = гарнец = 2 пусгор- циуса 1бирас = ведро >нка (стуопа) = кружка (штоф) икелис=0,1 кружки		метрич., также прежние русские меры пудас = пуд сварас — фунт логас = лог золотникас = золотник дал и с — доля	
[арокко метрич. и наряду с ними: ixxa = 4 мухд = 57,6 л уба = 15 л	0,0174 0,0667	ме!рич. и наряду с ними: 1 кантар = 100 ротал.=2500 либров=50,8 кг	0,0197
(ексика метрич-, раньше: карга = 2 фанеги = 1,816 гл арробат= 16,2 л баррил =0,775 гл	0,551 0,и617 1,2908	метрич., раньше: 1 квинтал = 4 арробы = 46,08 кг 1 тонна = 20 квинталов = 920 кг 1 карга = 184,025 кг	0,0217 0,00 109 0,00 543
идерланды метрич., раньше: ласт = 27 муд = 30,04 гл аам = 1,5522 гл	0,0333 0,644	метрич., раньше: 1 центнер -100 фунт. = 49,41 К'	0,0202
орвегия метрич., раньше: зерн. тонна=144 потт=1,39 гл ом = 155 потт = 1,496 гл	0,719 0,668	метрич., раньше: 1 центнер = 100 фунтов = = 49,84 кг	0,0201
900
Приложение
Меры длины	1/и	Меры поверхности	|	
Палестина 1 драа = 0,75 м 1 пик = 0,67 м	1,333 1,493	1 1 дунам = 9,19 а	0,109
Парагвай метрич., раньше: 1 вара=3 пьес = 0,838 м 1 легуа = 5000 вара=41,928 км.	1,193 2,385 100	метрич., раньше: 1 кв. легуа=1758 га 1 кв. линьо = 48,83 а 1	• 5,688 104 2,048 1СЦ
Персия мегрич., раньше: 1 гёс (сер, аршин) =4 чебареков= -- 16 джир=1,04 м и 1,05 м 1 фарсанг=6000 гёс шахских = = 6,24 км	0,962 0,160	метрич.	1,4312 3^2209 Ю3’ 0,3578
Перу метрич., кроме того: 1 вара = 3 фута = 36 дюймов = =0,835 905 м 1 легуа=20 ООО футов=5,5727 км	1,1963 0,1794	метрич., кроме того: 1 кв. вара= 9 кв. ф. =0,698 737 м- 1 кв. легуа =31,054 99 км* 1 фанегада=8 топо = 40 000 кв. вара = 2,7949 га	
Польша метрич.		метрич.	
Португалия метрич., раньше: 1 вара = 5 пальм =1,10 1 ковадо = 0,66 м 1 брацца=2 вара = 2,2^и 1 легуа = 6,197 км	С,909 1,515 0,455 0,1611	метрич., раньше: 1 грира = 58,96 а	0,016 91
Пруссия (старые меры): 1 фут в 12 дюймов по 12 линий в дюйме = 0,313 853 5 м 1 локоть=0,666 94 м 1 лахтер=2,092 36 м 1 рута в 12 футов = 3,76624 м	1 3,1862 1,4994 0,4779 0,2655	1 кв. фу г = 0,098 50 м* 1 кв. рута = 14,185 м* 1 морген в 180 кв. рут = =0,2553224 га 1 кв. дюйм =6,8406 см*	10,151 9( 0,0705 3,916 6! 0,146 1!
>) См. также таблицы в разделе III.
Меры и веса различных стран
901
1 е р ы объема и емкости	1/п	Меры веса	1/л
алестина кола = 62,4 л ява = 20,2 л	0,0160 0,0495	1 окка = 400 дирхем = 1,248 кг	0,801
арагвай метрич., раньше: фанега=12 .алмуд=2,88 гл пипа=6 баррилов =5,916 гл	0,3472 0,1690	метрич., раньше: 1 квинтал = 4 арроба = = 100 либров =45,94 кг	0,0218
ерсия метрич., раньше: артаба = 8 коллотхун = 25 ка- пиха = 50 хеника = 20Э секс- тарио = 65,789 л	0,0152	метрич., раньше: 1 холвар=294,41 кг 1 ширас=588 кг	3,397 103 1,70 103
еру метрич., кроме того: куб. фут = 0,021 632 5 м8 объемная тонна=1,518375 2 м9 фанега = прибл. 0,555 гл галлон америк. =3,7854 л	46,2267 0,6586 1,8182 0,2642	метрич., кроме того: 1 фу нт = 16 унций = 0,460 093 кг 1 квинтал = 4 арробы = = 100 фунт.	2,1735
ольша метрич.	1		метрич.	
ортугалия метрич., раньше: фанега=4 алкеира=55,36 л майо = 8,30 гл пипа (в Опорто)=30 алмуд = =5,34 гл	0,018 06 0,1205 0,1873	метрич., раньше: 1 квинтал = 4 арроба = 128 арра- теля = 58,75 кг 1 аррагель = 2 марки= 1 = 16 унций = 128 ойтаво 1 тонелада = 13,5 квинт.=793 кг	0,017 02 0,007 81 0,001 26
руссия , (старые меры) куб. фут=0,03092 м8 куб. дюйм = 17,891 см8 клафтер в 108 куб. фут.= =3,339 м8 шахтрута в 144 куб. фут.= = 4,452 . и’ оксхофт = 1,5 ома=3 ведра = 6 анкер = 180 кварт = 11520 куб. дюйм. = 2,06105 гл шеффель = 16 метце = =48 кварт=0,549 61 гл	32,342 0,0559 0,2995 0,2246 0,4852 1,8195	1 (цолл) фунт = 30 лот = =300квентхен =30000 корн= = 0,500 кг 1 старый прусский (и вюртем- бергск.) фунт=0,4677 кг 1 судовой ласт = 40 центне- ров =4000 фунтов =2000 кг 1 гамбургский коммерч. ласт = =6000 фунтов	2,000 2,1381 0,05 100 0,033 33 "100
902
Приложение
Меры длины	1/п	|	Меры поверхности
Румыния Молдавия метрич,, раньше: 1 станьенул = 8 палм=64 пал- мак. =2,23 м 1 рупул = 2 греул = 0,079 63 м 1 котул =0,637 м 1 линия= 0,002 90 м	1 0,448 12,55 1,570 344,8	I метрич., раньше: 1 фалцеа = 1,432 195 га 1 кв. станьен = 0,049 729 а
Валахия метрич., раньше: 1 станьенул = 8 палм=80 деге- тул= 1,9665 м 1 рупул = 8 греул=0,664 м 1 котул=0,0415 м 1 линия=0,102 46 м	0,509 1,506 24,04 9,760	метрич., раньше: 1 погонул = 0,501 179 га 1 кв. станьен=0/'38 670 а
Северо-Американские Соеди- ненные Штаты Официально английские меры и вес с некоторыми видоизме- нениями; см. также Великобри- тания, стр. 890. Допускаются и метрические меры и веса. По закону Менденгола 1893 г. основной мерой установлено: 1 ярд (при 16"|з°) = 3600/3937 м = =0,914 401 8 м (при 0°) 1 фут = 1/8 ярда = 0,304 800 6 м 1 дюйм = 4,2 фута = = 25,400 050 8 мм 1 мил=,/1Ооо дюйма = = 0,025 400 05 мм 1 хэнд=4 дюйма = 10,1602 см 1 спэн = 9дюймов=22,860 04 см 1 фатом = 2 ярда = 1,828 803 6 м 1 поль=5,5 ярда=5,029 209 9 м 1 чэйн=22 ярда = 20,1168 м 1 статутная миля = 8 фарлон- гов = 1760 ярдов = 5280 фу- тов =1,609 347 км 1 морская миля = 1,854 96 км 1 военный шаг (military расе) = = 0,7620 м	1,0936 3,2808 0,03937 39,3701 0,0984 0,0437 0,5468 0,1988 0,0497 0,6217 0,5391 1,3123	• 1 кв. ярд=0,836 130 78 м* 1 кв. фут = 9,290 342 дм* 1 кв. дюйм=6,451 625 8 см* 1 кв. поль = 25,292 93 м* 1 акр =40,4687 а 1 секшн (section, кв. миля) = --2,5899 км* 1 тауншип = 36 секшн = =93,236 км* Круглый дюйм, круглая миля, см. Великобритания, стр. 892
Меры и веса различных стра'			903
Меры объема и емкости	1 1 п	|	Меры веса	|	1/л
умыния			
Молдавия			
метрич., раньше:		метрич., раньше:	
куб. станьен = 11,089 57 .и3	0,090	1 ока = 4 литрула=400 драмул	
вадра = 10 ока = 0,152 гл	6,579	= 1,291 кг	0,775
литра = 10 драмул =0,d8 л	2,632		
кило = 20 баница = 4,35 гл	0,230		
а л а х и я			
метрич., раньше:		метрич., раньше:	
куб. станьен = 7,604 6Q6 м3	0,131	1 ока=4литрул.=400 драмул. =	0,786
. вадра = 10 ока =0,1288 гл . литра = 10 драмул =0,322 л . кило = 20 баница=6,792 68 гл	7,764 3,012 0,147	= 1,272 кг	
			
Северо-Американские Сое- диненные Штаты			
1 куб. ярд=0,764 572 917 м3	1,3079	1 центнер (hundred weight)	
1 куб. фут = 28,317 013 8 дм3	0,055 32	часто=4 квартера = 100 фун-	
1 куб. дюйм = 16,387 162 3 см3	0,061 02	тов = 45,359 24 кг	
1 унция для жидкости (fluid		1 квинтал = 220,46 фунта =	
ounce)=29,57 см3	0,033 82	= 100 кг	0,022 05
1 драм для жидкости (fluid		1 милльер =2201,6 фунта =	
dram) =3.697 см3	0,2705	= 1090 кг	0,01
1 галлон = 231 куб. дюйм.=		1 мучной баррил=196 фунтов=	
=3,785 442 л »)	0,2642	= 88,9 кг	0,001
1 кварта = 7* галлона =		1 мясной баррил=200 фунтов=	
=0,946 36 л	1,0567	= 90.7 кг	0,011 25
1 бушель=0,352 42 гл	2,8375	1 соляной баррил = 280 фун-	
1 баррил = 31,5 галлона =		тов =127,0 кг	0,011 02
= 1,192 414 гл	0,8386	1 хамфн (Humpheon) маисовой	
1 нефтяной галлон =3,779 94 л1)	0,2646	муки---800 фунт. = 362,9 кг	0,007 87
1 нефтяной баррил = 42 нефтя-		Далее, как в Англии (см.	
ных галлона = 1,587 58 гл 2) Далее, как в Англии 1 регистровая тонна = 100 куб.	0,6299 0,3532	стр. 893).	0,002 76
			
футов =2,8317 м3			
1 морская тонна=40 куб. фу-			
тов =1,1327 м3	0,8829		
J) Это число показывает принятую теперь величину. Она выведена из английского
имперского галлона, когда объем последнего принимался в 277,274 куб. дюйма, и равняется
5/6 его, т. е. 277,274 • 5/с =231 куб. дюйм. Подробнее см. примечание к стр. 892. Амери-
канский нефтяной галлон, согласно Моллер-Фернау, должен считаться равным
Б/в английского нефтяного галлона, т. е.=5/0 • 276,800 куб. дюйма —230,667 куб. дюйма =
=s|g«4,535 924 /=3,779 94 л.
°) Принятие 1 нефтяного баррила нефти = 42 галлонам объемом в 231 куб. дюйм =
— 1,589 89 гл (стр. 935) приводит к неверным расчетам.
904	Приложение		
Меры длины	1/л	Меры поверхности	i;^
Сиам			
1 кеп = 0,25 м 1 сок = 0,5 м 1 ва —2,0 м 1 сен = 40 м	4,0 2,0 0,5 0,025	•	
Союз Советских Социалисти- ческих Республик (СССР)			1	
(В СССР введены и повсеместно приняты метрические меры и веса)			
1 метр (лг) (= международному метру; платино-иридиевая ко- пия, знак № 28, передана в 1889 году первой Междуна- родной конференцией мер и весов; хранится в Главной палате мер и весов; 1 метр (л/) = 443,295 936 париж- ской линии, содержит 1U де- циметров (дм) по 10 санти- метров (см) по 10 милли- метров (мм) 1 километр (кл/) = 1000 м		1 кв. метр (л/2) = 100 кв. деци- метров (дм2) по ЮОкв. санти- метров (см2) по 100 кв. милли- метров (мм2) 1 гектар (га) по 1С0 ар (а) по 100 м2 1 кв. километр (кл/2) = 100 га	
раньше применялись: 1 сажень (по 7 фут. или по 3 аршина в 16 вершк.) = = 2,133 60 м 1 русск. фут = 1 английск.футу по 12 дюймов = 0,304 800 м 1 верста = 500 саженей = = 1,066 800 км 1 миля по 7 верст = 7,467 600 км	0,4687 3,2808 0,9374 0,1339	раньше применялись: 1 десятина = 1,092 54 га= = 2400 кв. саженей 1 кв. верста = 1,138 06 км2	0,°15 298 5 0,878 686 6
Турция			
метрич.. кроме того:		метрич., кроме того:	
1 сирамимари = 24 пармак = = 24-12 хат = 288«12 нокта = = 0,757 74 м 1 кулак = 2,5 сирамимари = = 1,895 м 1 наргиле = 2 брит = 2-4 фер- сах = 8-3милль = 24-250и си- рамимари =45 480 м	1,321 0,528 2,199 105	1 кв. сирамимари = 576 кв. пар- мак—-576-144 кв. хат = 0,5741 л/’ 1 эвлек = 4и0 кв. сирамимари = = 229,75 м2 1 дэнум = 4 эвлек = 919,3 м2 1 джериб = 1 га	1,7418 4,3526 103 1,0877 10’
1 карей арсуну (аршин) = =8 уруп=16 керрах = 0,6858л/ 1 эндасе = 8 уруп = 16 керрах = =0,6525 м	1,458 1,533		
Меры и веса различных стран
905
еры объема и емкости	1//Z	Меры веса		|	1/Л
1М				1 0,167 1000
анг = 20 кананг = 10 л	од	1	бхара=6Э00 кг	
анан = 1 л	1		пикуль (хап) = 50 чунг =	
ат —20 л	0,05	1		0,0167
ан —1000 л	0,001		= 100 таелей = 60 кг	
виси — 2ЭС0 л	0,0005	1	катти=80 тикал =0,60 кг	1,67
		1	карат=0,2 г	5
оз Советс:<их Социалисти- ких Республик (СССР)				
ложение о мерах и весах				
от 6 июня 11г24 г.)				
>гб. метр (м3)--1000 куб. де-		1	килограмм ^^нормальному	
«метров (длг3) по 1000 куб.			образцовому килограмму;	
нпиметров (см3) по 1000 куб.			платино-иридиевая копия	
миллиметров (мм3)			хранится в Главной палате	
«тр (л) = (объем одного кило-			мер и весов	
)амма воды при макс. уд.		1	килограмм (кг)=1000 грамм, (г)	
ice и 760 мм рт. ст.) —			по 1000 миллиграмов (мг)	
— 1,000 028 куб. дециметра		1	тонна = 1( СО кг	
молитр (кл) = 10 гектолитр.		1	центнер —иО кг	
(гл) по 1оО литров (л)				
1тр - 1000 миллилитров (мл)				
раньше применялись:			раньше применялись:	
тб. сажень = 9,712 68 м3	0,102 96	1	фунт=0,409 512 410 кг	2,441 93
>чка = 40 ведер по 100 ча-		1	пуд = 40 фунтов по 32 лота	
рок =4,С19 763 5 гл	0,2033		по 3 золотника по 96 долей =	
>ужка (штоф) = 1,229 94J л	0,8131		= 16,389 496 кг	0,061 05
тверик = 4 четверки по		1	тонна = 6,2 берковца по	
2 гарнца =26,2о8 738 л	0,03811.		10 пудов = 1015,5 кг	0,000 984 1
тверть по 2 осьмины г.г» пайка по 2 четверика =				
= 2,и9О с99 1 гл	0,4764			
дро по 10круж.=12,299 409 л	0,о813			
ция				
мегрич., кроме того:			метрич., кроме того:	1,7714
1ле стамбульская = 4 шиник	2,703	1	кантар = 44 окка = 55,449 58 кг	
4-2 кугу = 8*2 сарф = 37 л			окка = 4р0 дирхем =	10а
	102	1		
			- - 400*4 денк = 1,282 945 кг	0,7795
		1	денк = 4 кират =4-4 буг-	
			дэй = 0,801 906 25 г	1,2470
		1	мискал = 1,5 дирхема = = 4,811 43 г	0,2078 4,4287
		1	секи = 4 каптар = 225,798 кг иени кантар=50 кг	IO3 2,000
		1		100
906
Приложение
Меры длины	1/д	Меры поверхности	|	1/д
Уругвай метрич.; раньше, теперь неразрешаемые: 1 квадра = 100 вар = 300 пие = = 85,9 м 1 легуа = 5,154 км	0,011 64 0,1940	метрич.; раньше, теперь неразрешаемые: 1 кв. легуа =26,6 км2	0,0376
Финляндия и Балтийские окраинные государства Литва см. стр. 898 метрич.		метрич.	
Франция метрич., раньше: 1 парижский фут = 0,324 839 м (1 м = 443,295 936 парижской линии) 1 лье=4,4519 км 1 локоть (aune)= 1,183 м	3,0784 0,0022558 0,2246 0,845	метрич.	
Алжир 1 пик араби=0,476 м 1 , туре цк. = 0,636 м 1 , халеби = 0,686 м	2,101 1,572 1,458		
Т у н и с 1 драа эндасе =0,672 м 1 драа араби = 0,488 м 1 драа стамбули=0,637 м	1,488 2,019 1,572		
Передняя Индия 1 кондэ (=2 шпанна) = 0,519 м	1,927		
Мартиника и Гваделупа 1 локоть (aune) = l,191 м	0,840		
Чехо-Словакия			
см. Австрия (стр. 888)			
Швейцария			
метрич., раньше: 1 рута (= 12/а клафтера)=10 фу- тов = 100 дюймов = 3 м	0,3333	метрич., раньше: 1 кв. клафтср=3,24 м' 1 юхарт=0,б6 га	0,309 2,777
Меры и веса различных стран
907
Леры объема и емкости	11» 1	|	Меры веса	Ип
угвай			
метрич.; раньше, теперь		метрич.; раньше, теперь	
неразрешаемые:		неразрешаемые:	
ранета = 1,4 гл	0,714	1 квинтал = 4 арроба =	2Д77
шла —4,55 гл аррил — 32 фраско =	0,2198	= 100 либров = 45,94 кг	
			100 0,108 83
= 128 кварт = 1,0528 гл	0,950	1 тонелада= 918,8 кг	
аллон = 3,805 л	0,2628		100
1НЛЯНДИЯ и Балтийские раинные государства .			
метрич.		метрич.	
>анция			
метрич., раньше:		метрич., раньше:	
тер = 1000 л	0,001	1 квинтал = 100 ливров =	
уассо = 16 литрон = 13,01 л	0,0768	= 200 марок —48,95 кг	0,0204
1ЮИД - 3 тьсрсон=2,6822 гл	0,373	1 денье (вес для шелка) =	
ордосская бочка=9,12 гл	0,1096	= 0,0531 г	18,83
ж и р аах=58 л	0,0172	1 кантар аттари = 100 ротте-	
у.чла = 162/3 л	0,06	лей=54,6 кг	0,0183
		1 кантар геддари = 100 ротте-	
		лей=61,43 кг	0,0163
		1 роттель кебир=0,92 кг	1,087
нис			
:афис = 16 уэба = 4,96 гл	0,202	.	1 кантар = 100 роттелей	1,972
1еттар = 10 л	0,1	1 ротгель аттари =0,507 кг	
аа = 1,26 л	0,794	1 роттель сукки =0,568 кг	1,761
		1 роттель кхадари=0,639 кг	1,565
редняя Индия алл он = 24 пакка = 0,359 гл	2,786	1 барре или кенди = 20 моунд =	
:аах=0,58 гл артиника и Гваделупа	1,724	=234,96 кг	0,004 26
аррил = 4 фрекин = 1,0244 гл	0,976	1 баррик = 100 фунт. = 489,5 кг	0,002 04
>аррик = 100 пот = 1,8626 гл	0,537	1 кантар = 44 окен=56,32 кг	0,0178
хо-Словакия			
см. Австрия (стр. 889)			
аейцария			
метрич., раньше:		метрич., раньше:	
я жидкостей) 1 заум = 4 эй-	0,6667	1 центнер = 100 фунтов = 50яг	0,02
мер = 100 масс = 1,5 гл я сыпучих тел) 1 мальтер = = 2,5 сестера = 100 имми =		1 килоцентнер = 100 кг	0,01
			
= 1,5 гл	0,6667		
908
Приложение
Меры длины	1/л	Меры поверхности	
Швеция метрич., раньше: 1 фамн = 3 ален — 6 футов = = 60 дюймов —1,7814 м 1 миля = 10,6886 км	0,5614 0,0936	метрич., раньше: 1 тунланд = 2 шпанланда = = 32 каппланда = 56 000 кв. фут. =0,493 641 га	2,025 /
Югославия метрич., раньше. 1 аршин или риф —0,6858 м 1 агач = 5,001 км	1,458 одоо	метрич., раньше. 1 ланац = 57,55 а	0,0174
Южная и Центральная Америка ]) метрич., также старокастильск.: 1 вара = 3 пике = 4 палмос = = 0,8359 м 1 вара (в Колумбии) = = 4 куартас = 0,80 м 1 вара (в Чили) =0,8475 м 1 вара (в Эквадоре) = 0,848 м 1 ярда (в Колумбии) = 0,91 м 1 легуа в 3 мильи =5,572 км 1 легуа (в Колумбии)= = 62,5 куадра = 5 км	1,1963 1,25 1,18 1,18 1,0989 0,1795 0,2	метрич., также старокастильск.: 1 ареа (в Колумбии) = 10 м* 1 фанегада (в Венецуэле) = = 0,6987 га 1 фанегада (в Колумбии) = =0,64 га 1 кабальериа (в Костарика) = = 40,07 га	од 1,4456 0,156 0,0249
Япония метрич. и английская, кроме того: 1 шаку кане = Ю сун=100 бу = =0,303 м 1 ри=36 чо = 2160 кен по 6 шаку =3,927 км 1 шаку для материи=0,379 м	3,3003 0,2516 2,6385	1 J метрич. и английская, кроме того: 1 кв. чо = 10 тан по 300 цубо или бу=0,99 га 1 цубо = 36 кв. шаку =3,3 м9	1,0101 0,3030.
*) Данные применимы для Чили, Колумбии, Костарика, Эквадора, Гватемалы, I
дураса, Никарагуа, Сальвадора и Венецуэлы, но в отдельных государствах более
менее отличаются от старых мер
Меры и веса различных стран
909
ж-J- 		 ' Ц-li '  Меры объема и емкости	\\п	|	Меры веса	|	Vti
[веция метрич., раньше: ам=6 куб. фут. = 60 канн = = 1,570:313 гл тонна = 1,6489 гл	0,6368 0,6065	метрич., раньше: 1 центнер = 100 скольфунтов по 100 орт=42,507 58 кг 1 судовой фунт = 170,028 кг 1 судовой ласт = 5760 фунт. = = 2450 кг	0,023 52 5,881 38 1000 0,408 16 1000
Югославия метрич., раньше: аков = 40 ока = 56,59 л	0,0177	метрич., раньше: 1 товар = 100 ока = 127,8 кг	0,007 82
>жная и Центральная мерика гтрич., также старокастильск.: кахиз = 12 фанег *) по 12 се- лемин=6,66 гл кантара=8 акумбр по 4 ку- артилья = 16,328 л мойо = 2,5826 гл пипа = 4,3570 гл бота = 4,8411 гл галлон (в Колумбии) для ма- сла =3,78 л ботслла (в Колумбии)=0,7 л им уд: колумбийская мера хлеба	0,1501 0,0612 0,3872 0,2295 0,2066 0,2646 1,4286	метрич., также старокастильск.: 1 квинтал = 4 арроба = = 100 либр = 200 маркам = = 1690 унций по 16 адарм = = 46,Ои93 кг 1 кастельяно (в Колумбии для золота) = 1/юо либры = 4,6 г 1 тонелада=20 квинталоз= = 920 кг (в Колумбии 1000 кг} 1 карга (в Колумбии)=0,125/ч 1 квинтал (в Колумбии) = 50 кг 1 квилат (в Колумбии для зо- лота и драгоценных камней) = = 1/«5оо либры =0,2 г	2,173 47 100 0,2173 0,108674 100 8,0 0,02 5,0
1ОНИЯ метрич. и английская, кроме того: шо по 10 го = 1,803907 л коку =10 ту по 10 шо = = 1,803 907 гл тате цубо=6,0105 л»	0,5544 0,5544 0,1664	мегрич. и английская, кроме того: 1 кин =160 момме = 1600 фун по 10 рин =0,690 кг 1 кван по 1000 момме = =3,7565 кг 1 пикуль?)=1С0 кет гис = 60,0 кг	1,667 0,266 19 0,0167
*) Фанега часто отличается от приведенной величины.
а) Необщеупотребительный китайский вес.
910
Приложений
Допускаемые погрешности для основных измеритель-
ных приборов
по Положению о мерах и весах для Германской империи от 8 ноября 1911 года
в редакции от 3 мая 1930 г. (извлечение)
I. Измерение длины и поверхности
Таблица 1. Допускаемые погрешности для линеек и рулеток
Измерительный прибор	Общая длина в м	Допуск, по- греши, в мм	
Металлические линейки	От 10 до 7 включ. „6,4	„ 3 и 2 1 0,5 0,2 0,1	6 4 2 1 0,5	Допускаемая погре ш- ность для делений: 1.	В мерах длиною свыше 3 м для расстояния какого-либо деле- ния от ближайшего к нему конца линейки (рулетки)—половина по- грешности, допускаемой для всей длины. 2.	В мерах длиною в 3 м и ниже для расстояния какого-либо деле- ния как от одного, так и от дру- гого конца линейки (рулетки) — такая же погрешность, как и для всей длины. 3.	В мерах любой величины допускается разница в длине со- седних сантиметров и полу санти- метров— 1 мм, разница в длине со- седних миллиметров и полумилли- метров—0,2 мм.
Линейки из другого ма- • териала	От 10 до 7 включ. „ 6 „ 4	„ „3,2 1 0,5 0,2 и 0,1	12 8 4 2 1 0,5	
Рулетки	50 и 40 От 30 до 20 включ. 15 От Ю до 7 включ. „ 6 „ 4	, 3 и 2 1 '0,5	16 12 8 6 4 2 1,5 1	
Таблица 2. Допускаемые погрешности для измерителей толщины (Kluppmasse)
Измерительный прибор	Общая длина в м	Допуск, по- греши, в мм	
Измеритель [ толщины из \ металла	1	От 2 до 1,6 вкл. „ 1,5 „ 0,6 , 0,5 и ниже	2 1 0,5	Допускаемые погреш- ности для расстояний между свободными кон- цами измерительных при- боров, при отсчете этого расстояния по масштабу: 1. При измерителях толщины из дерева — погрешность в трой- ном размере. 2. Для измерителей из других материалов допускается двойная против предельных погрешностей, установленных для всей длины.
Погрешности для измерительных приборов
911
(Продолжение)
Измерительный прибор	Общая длина в м	Допуск, по- греши. в мм	
Измеритель ( толщины из j другого мате- । риала	1	От 2 до 1,6 вкл. я 1,5 „ 0,9 „ „ 0,8 я 0,6 „ 0,5 0,4 0,3 0,2 и 0,1	4 2 1,5 1 0,5	Допускаемые погреш- ности для делений: 1.	Для расстояний какого-либо деления от начала (нулевой точки) измерительного прибора погреш- ности остаются такими же, как и для всей длины. 2.	Разница в длине соседних сантиметров или полусантиметров в 1 мм. 3.	Разница в длине соседних миллиметров и полумиллиметров- ое мм.
Допускаемые погрешности для приборов для измерения
поверхности
Допускаемые погрешности для каждой поверхности в пределах данной меры
составляют г/50 ее номинальной величины
II. Меры жидких тел
Таблица 3
Допускаемые погрешности при мерах
в 1 л или более 1/2С0 объема
0,5 л............	5 см9
0,2 и 0,1 л . .	2	,
0,05 л............	1	„
0,02............. 0,8	„
0,01 ............ 0,4	„
Ч................	2,5	.
III. Меры сыпучих тел
Таблица 4
Допускаемые погрешности в цилиндри-
ческих мерах в
100 л.......	800 см9'
50 ................... 400	„
20............ 2С0	,
10............ 100	„
5............ 50	„
2............ 20	„
1 и 0,5 л . .	.	10	„
0,2 и 0,1 л .	.	4	я
0,1)5 л..........	2	я
1/4..............
IV. Гири
Таблица 5
а) Допускаемые погрешности для торговых гирь, Ь) допускаемые погрешности
для точных гирь 1)
Вес гири	а	Ь	Вес гири	а	д	Вес гири	а	ь
50 кг	20 г	5 г	500 г	500 мг	250 мг	200 мг	1 _	
20 я ’	8 „	4 „	259 „	259 „	130 „	100 „	/	
ю .	5 я	2,5 „	200 „	200 „	100 „	50 „		
5 „	32 мг	12 мг	125 „	149 „	70 „	20 я	> -	1 м
2 я	24 „	6 „	100 „	120 „	60 „	10 „	1	
1 •	2) .	4 „	50 .	юо „	50 „	5 я		0,5 .
5 „	2,5 г	1 25 г	20 „	69 „	30 „	2 я	—	0,4 я
2 „	1,2 „	0,6 „	Ю .	40 „	20 „	1 л	—	0,2 „
1 „	0,8 я	0,4 ,	500 мг	—	2 „			
1) В отношении золотых монет существуют особые постановления.
ПрИЛОЖРНИ
V. Весы
Таблица 6. Допускаемые погрешности торговых весов
Тип весов	Наибольшая допусти- мая нагрузка	Допускаемая погрешность
Равноплечные весы	1С0 г или меньше от 1С0 г до 209 г „ 200 „ „	5 кг ,	5 кг „ 10 , 10 кг или выше	4 мг на каждый г при макси- мальной нагрузке 400 мг 2 мг на каждый г при макси- мальной нагрузке 10 г 1 г на каждый кг при макси мальвой нагрузке
Десятичные и сотенные весы	—	1,2 г иа каждый кг при макси- мальной нагрузке
Весы с включаемыми гирями Сложные весы с передвиж- ными гирями Платформенные весы с пе- редвижными гирями	12 кг или меньше от 12 кг до 20 кг 20 кг или выше	2 г на каждый кг при макси- мальной нагрузке 24 г 1,2 г на каждый кг при макси- мальной нагрузке
Простые безмены с пере- движной гирей	-	2 г на каждый кг при макси- мальной нагрузке
Весы со стрелочным указателем	1 кг или меньше от 1 кг до 2 кг „ 2 „ „ 12 „ „12 я „ 20 „ „ 20 „ или выше	4 мг на каждый г при макси- мальной нагрузке 4 г 2 г на каждый кг при макси- мальной нагрузке 24 г 1,2 г на каждый кг при макси- мальной нагрузке
При нагрузке ниже максимальной допускаемая погрешность равна величине,
которая получается для данной нагрузки по табл. 6, однако, не меньше одной пяюй
погрешности, допускаемой при максимальной нагрузке; но дтя весов со стрелочным
указателем при шкале меньше, чем на 2030 кг, допускаемая погрешность не меньше
величины, которая получается как допускаемая погрешность при максимальной
нагрузке данных весов; при шкале на 2300 кг и больше величина погрешности при-
нимается в 2400 г, ести эти величины больше, чем одна пятая погрешности, допу-
скаемой при максимальной нагрузке. Для точных весов, для автоматических весов
и весов для железнодорожных грузов и почтовых отправлений существуют особые
нормы.
Перевод времени
За общее мировое время (одновременно западноевропейское время) принято
время по гриническому меридиану, за среднеевропейское время —время по 15®
восточной долготы, следовательно, среднеевропейское время равняется всемирному
времени1 час, восточноевропейское время (по и0° вост, долготы) равняется все-
мирному времени-}-2 часа. В Сев.-Амер. Соед. Штагах имеются 5 поясов, в которых
время отстает от всемирного времени на 4, 5, 6, 7 и 8 часов.
Перевод времени
913
Разница между местным временем и среднеевропейским
временем
(знак Ч~ обозначав!	\ что местное время	впереди; знак —,	что местное время отстает)
Название	ч Название I		Название
места	ч'	м. сек.	места	ч. м. сек	места	ч- м сек*
Аахен ... — 0	35 42 Гринвич .	.— 100	Пекин . . . Ч~ 6 । 45 53
Тильзит . . Ч- 0	27 39 Гаванна .	. — 6 29 55	Филадельфия — 6 1 0 38
Аделаида . . Ц- 8	4 20 Гельсингфорс Ч- 0 39 49		Рига . . . . Ч- 0 36 28
Амстердам . — 0	40 11 Гонконг .	.4- 6 36 42	Рио-де-Жаней-
Антверпен . — 0	42 23 Каир . . .	• Ч~ 1 3 9	ро .... — 3 52 41
Афины	0	34 53 Калькутта	.4- 4 53 19	Рим .... — 0 10 35
Байа .... — 3	33 58 Капштадт	.4- 0 13 55	Сан-Франци-
Бангкок . . И- 5	42	4 Константино-		ско .... — 9 9 43
Барселона . — 0	51 25 поль . .	.4- 0 55 56	Занзибар . . Ч~ 1 36 46
Батавия . . Ч~ 6	7 33 Лиссабон .	. - 1 36 45	Шанхай . . Ч- 7 5 57
Бейрут . . . Ч- 1	21 55 Лондон . .	. — 1	0 37	Сингапур .4- 5 55 25
Берн .... — 0	30 14 Мадрид .	. - 1 14 45	Стокгольм .Ч~ 0 12 14
Бомбей. . . Ч- 3	51 16 Милан . .	0 23 14	Сидней . . . Ч- 9 4 50
Брюссель . . — 0	42 31 Манилья .	.4- 7 3 60	Вальпараисо — 5 46 34
Будапешт . -J- 0	16 15 Мельбурн	.4- 8 39 54	Варшава . . Ч~ 0 24 7
Буэнос-Айрес— 4	53 29 Мексико .	. — 7 36 27	Вашингтон — 6 8 16
Бухарест . . Ч~ 0	44 27 Нью-Йорк	.— 5 55 54	Вена ... Н- 0 5 21
Чикаго ... — 6	50 27 Осло . . .	.- 0 17	6	Иокагама Ч~ 8 18 53
Дерпт(Юрьев)+ 0	46 53 Панама. .	6 18	9	
Генуя ... — 0	24 19 Париж . .	0 50 39	
В СССР п<*ш	1ято общемировое деление на пояса		, причем в пределах СССР
имеем от второго	до двенадцатого пояса с разностью между поясами в 1 час.		
Официальное время во всем СССР на 1		час впереди поясного времени.	
Разница между местным и общемировым временем для главнейших городов			
СССР представлена	на следующей таблице.		
Для сравнения со среднеевропейским временем нужно цифры таблицы умень-			
шить на 1 час.			
Название города	№ пояса	Впереди общемирового времени на		
		час.	мин.	сек.
Москва		2	2	30	17
Ленинград 		2	2	1	1
Харьков 		2	2	24	54
Минск		2	1	52	14
Тифлис		3	2	59	11
Алма-Ата		Б	5	7	46
Владивосток 		9	8	37	31
Киев		2	2	2	1
Новосибирск		6	5	31	40
Одесса		2	2	3	2
Ростов	  .	2	2	38	51
Ташкент		5	4	37	И
Томск 		6	5	39	51
Фрунзе		5	4	58	27
Хабаровск		9	9	0	12
При пересечении кораблями 180’ долготы меняются показания календаря.
При направлении на запад —на одно число вперед, причем теряется один день
недели, при направлении на восток —повторяется тоже число и тот же день недели.
914
Приложение,
III. Сравнительные таблицы и таблицы пере-
вода мер и весов
А. Меры длины
Предварительное замечание. Приведенные в нижеследующих таблицах меры
исчислены для нормальной температуры в 0°. Чтобы получить эти меры для нор-
мальной температуры в 20°, нужно указанные числа при переводе метрических
мер в неметрические меры помножить:
для линейных мер......................на	0,999 962
„ квадратных мер...................... 0,999	924
» кубических „ ......................  0,999	886
а при переводе из неметрических мер в метрические:
для линейных мер......................на	1,000 038
• квадратных мер...................... 1,000	076
„ кубических „ . . . ................ „	1,0СО 114
(например, 1 англ, дюйм при 0° = 25,399 978 мм, при 20° = 25,490 95 мм).
Таблица 1. Сравнение мер некоторых стран с метрическими мерами ‘)
В графе а перевод в метрические меры, в графе b перевод из метрических мер
(величины, обратные величинам графы а)
		Футы		Квадратные футы		Кубические футы	
		а	b	а	b	а	Ь
		м		м'		м9	
Пруссия	' Дания 			} 0,3139	3,1862	0,0985	10,152	0,0309	32,346
Бавария ...		0,2919	3,4263	0,0852	11,740	0,0249	40,224
Саксония 			0,2832	3,5312	0,9802	12,469	0,0227	44,032
Австрия 		1 фут =	0,3161	3,1637	0,0999	10,(.08	0,0316	31,660
Англия	 САСШ	 СССР		=12 дюймам	j 0,3048	3,2808	0,0929	10,764	0,0283	35,315
Норвегия			7 0,3138	3,1872	0,9985	10,158	0,0309	32,378
Франция			0,3/48	3,0784	0,1055	9,4768	0,0343	29,174
Вюртемберг • • • 1 Баден	| Швейцария . . . .	1 1 фут = Г =10 дюймам	0,2865 } 0,3900	3,4905 3,3333	0,9821 0,0900	12,184 11,111	0,0235 0,0270	42,528 37,037
Швеция	)		0,2969	3,3681	0,0882	11,344	0,0262	38,208
Линия обозначает при двенадцатидюймовэм футе одну двенадцатую часть
дюйма ("), при десятидюймовом футе —одну десятую часть дюйма.
*) Хотя во всех германских государствах официально введена метрическая
система мер и весов, но часто в области сел! ского хозяева употребляются и старые
единицы измерения.
Таблипт.т Дли сравнения и перевода мер it весов
915
	Руты (клаф- теры, сажени, туазены, фатны)		Квадратные руты		Кубические руты	
	а	b	а	b	а	b
	м		м?		м3	
Пруссия 1 рут = 12 ф	 Бавария 1 рут = 10 ф	 Саксония 1 рут = 15’/6 ф. . . • . Вюртемберг 1 рут = 10 ф		3,7662 2,9186 4,2950 2,8649	0,26552 0,34263 0,23283 0,34905	14,185 8,5181 18,447 8,2077	0,070499 0,11740 0,0542^8 0,12184	53,423 24,861 79,233 23,515	0,018719 0,,046223 0,012621 0,042527
Швейцария ) 1 ₽УТ=1° ф ’ • Австрия 1 клафтер=6 ф		З.СОСО	0,33333	9,0000	0,11111	27,000	0,037037
	1,8965	0,52726	3,5971	0,27800	6,8224	0,146580
Англия } 1 РУТ=16.5 Ф- • • -	5,0292	0,19884	25,293	0,039538	127,20	0,0078618
СССн 1 сажень=7 ф	 Дания 1 рут = 10 ф	 Швеция 1 фатн=6 ф	 Франция 1 туазен=6 ф		2,1336 3,1385 1,7814 1,9490	0,46870 0,31862 0,56136 0,51307	4,5521 9,8502 3,1734 3,7987	0,21968 0,10152 0,31512 0,26324	9,7123 30,915 5,6531 7,4039	0,10296 0,032347 0,176895 0,13506
Мили
1 градус экватора = 111,307 км, четверть меридиана по Бесселю = 10 000 856 м,
1 средний градус меридиана =60 морских миль = 1/эо четверти меридиана =111,121 км
а b
а
км
км
Германская географическ.
миля = */15 град, экват. .
Северо-германск. м. 1868 г.
Морская м. = Veo градуса .
Прусская м. )=24000 ф. .
Датская м. I *
Баденская м. = 29 629,6 ф. .
Баварская ...............
Вюртембергская м.........
Австрийская м. = 24 С00 ф.
Шведская м. = 36000 ф. . .
Норвежская м.=36000 ф. .
Английская сухопутная
миля (статут - миля; =
= 5280 ф.
7,4204
7,5000
1,852
7,5325
8,88с0
7,4204
7,4487
7,5859
10,6884
11,2955
1,6093
0,1348
0.13J3
С,540о
0,1328
0,1125
0,1348
0,1343
0,1318
0,0986
0,0885
0,6214
Английская морская миля
(sea mile) = 6080 ф.
Французское лье........
„ (старое) мор-
ское лье
Французская новая морск.
миля
Испанская новая легуа . .
Португальская миля . . .
Португальская новая легуа
Швейцарская вегштунде =
= 16 0(0 ф.
Русская верста=509 саж. .
1,8532
4,4519
5,5556
1,852
6,6872
2,0656
5,0000
4,8000
1,С668
0,5396
0,2246
0,1800
0,5400
0,1495
(,4841
0,2000
0,2083
0,9374
916
Приложение
Меры земельных площадей
	а	Ъ		а	Ь
	га			га	
Прусский морген = 180 кв.	0,2553	3,9166	Югославский ланатц . . .	0,5755	1,7377
РУТ			Английский и сев.-америк.	0,4047	
Баварский тагеверк =	0,3407	2,9349	акр = 16Э кв. рут		2,4711
=4Г 0 кв. рут			Русская десятина=2400 кв.		
Саксонский акр = 300 кв.			саженей	1,0925	0,9153
РУТ	0,5534	1,8069	Датская тонна-=560 кв. р. .	0,5516	1,8128
Вюртембергский морген =		3,1729	Норвежская тонна		0,3937	2,5400
= 4г0 к^. рут	0,3152		Шведская тонна=56С00кв.		
Баденский морген и швей-			футов	0,4936	2,0258
царский юхер = 400кв. р.	0,3600	2,7778	Испанская фанегада . . .	0,644	1,5528
Австрийский (венский)	0,5755	1,7377	Португальская грира . . .	0,5896	1,6961
йох = 1600 кв. клафтер .					
Меры емкости для жидкостей					
	I а	b	1	1 а	b
	Л			л	
Прусская кварта = 64 куб.			Датский потт		0,966	1,0352
дюйма	1,1450	0,8733	Русская кружка (штоф) =		
Баварский шт о ф=0,043 куб.	1,6690		= 75,057 куб. дюйма	1,2299	0,8130
фута		0,9354	Английский имперский гал- лон (1878 г.)=277,274 куб.		
Саксонский (дрезденский)	0,9356				
штоф=71,186 куб. дюйма		1,0688	дюйма 9	4,5435	0,2201
Вюртембергская мера жид-			Сев.-америк. галлон =		
кости (Helleichmass) =	1,8371		= 5/6имперск. галлона=		
= 78,125 куб. дюйма		0,5444	= 231 куб. дюйм.	3,7854	G,2642
Баденскай и швейцарская			Шведский штоф (каппе)=		
масса (Mass)=0,05556 куб.		0,6667	= 100 куб. дюйм.	2,6172	0,3821
фута	1,5000		Норвежский потт=54 куб.		
Австрийская масса =			дюйма	0,9653	1,0359
= 0,0448 куб. фута	1,4147	0,7069			
Меры емкости для сыпучих тел
	а	Ъ		а	b
Прусский шеффель = =3072 куб. дюймов Баварский шеффель= = 20$ штофов	гл 0,5496	1,8195	Датская тонна		гл 1,391	0,7189
	2,2236	0,4497	Австрийская (венская) метце = 1,9471 куб. фут.	0,6149	1,6264
Саксонский (дрввденский) шеффель=790Окуб. дюй- мов	1,0383	0,9631	Англ. бушель=8 галлонов 1 Русский чбт%ерик= = 1601,2 Куб. Дюйм.	0,3635 0,2624	2,7512 3,8111
Вюртембергск. шеффель = =7537 куб. дюймов	1,7723	0,5642	Шведский шпанн = 28 што- фов	0,7328	1,3646
Баденский мальтер = = 100 масс (Mass)	1,5000	0,6667	Норвежская тонна = =7776 куб. дюймов	1,39	0,7194
х) Ср. стр. 1077.
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
917
Таблица 2а. Перевод старых прусских мер в метрические
Фут Кв. фут Куб. фут	м	м3	ЛС3	Дюйм Кв. дюйм Куб. дюйм	см	см3	см
1	0,313 85	0,098 50	0,030 92	1	2,615 4	6,840 6	17,891
2	0,627 7	0,197 01	0,061 83	2	5,230 9	13,681	35,782
3	0,941 5	0,295 51	0,092 75	3	7,846 3	20,522	53,673
4	1,255 4	0,394 02	0,123 66	4	10,462	27,362	71,564
5	1,569 3	0,492 52	0,154 58	5	13,077	34,203	89,456
6	1,883 1	0,591 02	0,185 49	6	15,693	41,043	107,35
7	2,197 0	0,689 53	0,216 41	7	18,308	47,884	125,24
8	2,510 8	0,788 03	0,247 33	8	20,924	54,724	143,13
9	2,824 7	0,886 54	0,278 24	9	23,539	61,565	161,02
мер в старые прусские меры
Таблица 2Ь. Перевод метрических
лг, лх9, м3	Фут	Дюйм	Кв. фут	Кв. дюйм	Куб. фут	| Куб. дюйм
1	3,186 2	38,234	10,152	1 461,9	32,316	55 894
2	6,372 4	‘	76,469	20,304	2 923,7	64,692	111 787
3	9,558 6	114,703	30,456	4 385,6	97,038	167 681
4	12,744 8	152,938	40,607	5 847,5	129,384	223 575
5	15,931 0	191,172	50,759	7 309,3	161,729	279 468
6	19,117 2	229,406	60,911	8 871,2	194,075	335 362
7	22,303 4	267,640	71,063	10 233,1	226,421	391 256
8	25,489 6	305,875	81,215	11 695,0	258,767	447 150
9	28,675 8	344,109	91,367	13 156,8	291,113	503 043
Таблица За. Перевод английских футов в метрические меры 9
Фут Кв. фут Куб. фут	м	м- 9	м3	Дюйм Кв. дюйм Куб. дюйм	см	см*	см3
1	0,304 8С0	0,092 903	0,028 317	1	2,540 0	6,451 6	16,387
2	0,609 599	0,185 8С6	0,056 634	2	5,080 0	12,903 2	32,774
3	0,914 399	0,278 709	0,084 950	3	7,620 0	19,354 8	49,161
4	1,219 199	0,371 612	0,113 267	4	10,160 0	25,806 3	65,548
5	1,523 999	0,464 514	0,141 584	5	12,700 0	32,257 9	81,935
6	1,828 798	0,557 417	0,169 901	6	15,240 0	38,709 5	98,322
7	2,133 598	0,650 320	0,198 217	7	17,780 0	45,161 1	114,709
8	2,438 398	0,743 223	0,226 534	8	20,320 0	51,612 7	131,096
9	2,743 198	0,836 126	0,254 851	9	22,860 0	58,064 3	147,483
Таблица ЗЬ. Перевод метрических мер в английские футы 9
м, м9, м3	Фут	Дюйм	Кв. фут	Кв. дюйм	Куб. фут |	| Куб. дюйм
1	3,280 8	39,370 1	10,763 9	1 550,01	35,314 7	61 023,9
2	6,561 7	78,740 2	21,527 8	3 100,01	70,629 5	122 047,8
3	9,842 5	118,110 3	32,291 8	4 650,02	105,944 2	183 071,7
4	13,123 4	157,480 5	43,055 7	6 200,02	141,259 0	244 095,6
5	16,404 2	196,850 6	53,819 6	7 750,03	176,-573 7	305 119,5
6	19,685 1	236,220 7	64,583 5	9 300,04	211,888 5	366 143,5
7	22,965 9	275,590 8	75,247 4	10 850,04	247,203 2	427 167,4
8	26,246 7.	314,960 9	86,111 4	12 400,05	282,518 0	488 191,3
9	29,527 6	354,331 0	96,875 3	13 950,06	317,832 7	549 215,2
Русские меры в футах почти полностью соответствуют английским мерам
в футах. Таблица перевода английских мер в большинстве случаев пригодна и для
русских мер.
*) Таблицы значений от 0 до 10Э приведены ниже,
918
Приложение
Таблица 4. а) Перевод английских статутных миль в километры
Ь) Перевод километров в английские статутные мили
а) статут, миля =8 фурлонг. = 1763 ярд. — 5280 фут. = 1,609 342 6 км
	0	1	2	г	4	1 5	1 6	7	1 8	1 9
0			1,609	3,219	4,828	6,437	8,047	9,656	11,265	12,875	14,484
10	16,093	17,703	19,312	20,921	22,531	24,140	25,749	27,359	28,968	30,577
20	32,187	33,796	35,406	37,015	38,624	40,234	41,843	43,452	45,062	46,671
30	48,180	49,890	51,499	53,108	54,718	56,327	57,936	59,546	61,155	62,764
40	64,374	65,983	67,592	69,202	70,811	72,420	74,030	75,639	77,248	78,858
50	80,467	82,076	83,686	85,295	86,904	88,514	90,123	91,733	93,342	94,951
60	96,561	98,170	99,779	101,389	102,998	104,607	106,217	107,826	109,435	111,045
70	112,654	114,263	115,873	117,482	119,091	120,701	122,310	123,919	125,529	127,138
80	128,747	130,357	131,966	133,575	135,185	136,794	138,403	140,013	141,622	143,231
90	144,841	146,450	148,и60	149,669	151,278	152,888	154,497	156,106	157,716	159,325
100	160,934	162,544	164,153 Ь)	165,762 ) 1 км =	167,372 0,621 372	168,981 стат, ми	170,590 1ЛИ	172,200	173,809	175,418
0			0,621 37	1,242 74	1,864 12	2,485 49	3,106 86	3,728 23	4,349 60	4,970 98	5,592 35
10	6,213 72	6,835 С 9	7,456 46	8,077 84	8,6С9 21	9 320 58	9,941 95	10,563 3	11,184 7	11,806 1
20	12,427 4	13,048 8	13,670 2	14,291 6	14,912 9	15,534 5	16,155 7	16,777 0	17,398 4	18,019 8
30	18,641 2	19,262 5	19,883 9	20,505 3	21,126 6	21,748 0	22,369 4	22,990 8	23,612 1	24,233 5
40	24,854 9	25,476 3	26,097 6	26,719 0	27,340 4	27,961 7	28,583 1	29,204 5	29,825 9	3^,447 2
50	31,068 6	31,690 0	32,311 3	32,932 7	33,554 1	34,175 5	34,796 8	35,418 2	36,039 6	36,660 9
60	37,282 3	о7,903 7	38,525 1	39,146 4	39,767 8	40,389 2	41,010 6	41,631 9	42,253 3	42,874 7
70	43,496 0	44,117 4	44,7о8 8	45,360 2	45,981 5	46,002 9	47,224 3	47,845 6	48,467 0	49,088 4
80	49,709 8	50,331 1	59,952 5	51,573 9	52,195 2	52,816 6	53,438 0	54,059 4	54,680 7	55,302 1
90	55,923 5	56,544 9	57,166 2	57,787 6	58,409 0	59,030 3	59,651 7	60,273 1	60,894 5	61,515 8
100	62,137 2 Таб	62,758 6 лица 5.	63,о79 9 а) Пере	64,001 3 вод анп	64,622 7 1ИЙСКИХ	62,244 1 морски	65,865 4 X миль	66,486 8 в кило	67,108 2 метры	67,729 5
Ь) Перевод километров в английские морские мили
а) 1 морская миля = 6080 фут. = 1,853 182 4 км
	0 1	1 1	2	1 3	1 4	5	1 6	1 7	1 8	1 9
0			1,853	3,706	5,560	7,413	9,266	11,119	12,972	14,825	16,679
10	18,532	29,385	22,238	24,0*1	25,945	27,798	2Р,651	31,5*4	33,357	35,210
20	37,064	38,9.7	40,770	42,623	44,476	46,330	48,183	50,036	51,889	53,742
30	55,595	57,449	59,302	61,155	63,008	64,861	66,715	68,568	70,421	72,z74
40	74,127	75,980	77,834	79,687	81,540	83,393	85,246	87,100	88,953	90,806
50	92,659	94,512	96,365	98,219	100,072	101,925	103,778	105,631	107,485	109,338
60	111,191	113/ 44	114,897	116,750	118,6*4	120,457	122,310	124,163	126,016	127,870
70	129,723	131,576	133,429	135,282	137,135	138,989	140,842	142,695	144,548	146,401
80	148,255	150,108	151,961	153,814	155,667	157,521	159,374	161,227	163,080	164,933
90	166,786	168,640	170,493	172,346	174,199	176,052	177,906	179,759	181,612	183,465
10Э	185,318	187,171	189,025	190,878	192,731	194,584	196,437	198,291	200,144	201,997
			Ь)	1 км=0,539 612 морской			мили			
0			0,539 61	1,079 22	1,618 84	2,158 45	2,698 06	3,237 67	3,777 28 4,316 90		4,856 51
10	5,396 12	5,935 73	6,475 34	7,014 96	7,554 57	8,094 18	8,633 79	9.173 40,9,713 02		10,252 6
20	10,792 2	11,331 9	11,871 5	12,411 1	12,95)7	13,490 3	14,029 9	14,569 5 15,109 1		15,648 7
30	16,188 4	16,728 0	17,267 6	17,807 2	18,346 8	18,886 4	19,426 0	19,965 6	20,505 3	21,044 9
40	21,584 5	22,124 1	22,663 7	23,203 3	23,742 9	24,282 5	24,822 2	25,361 8	25,901 4	26,441 0
50	26,980 6	27,520 2	28,(59 8	28,599 4	29,139 0	29,678 7	3\2183	3 >,757 9	31,2*7 5	31,837 1
60	32,376 7	32,916 3	33,455 9	33,995 6	34,535 2	35,074 8	35,614 4	36,154 0	36,693 6	о7,233 2
70	37,772 8	38,312 5	38,852 1	39,391 7	39,931 3	40,470 9	41,010 5	41,559 1	42,089 7	42,629 3
80	43,169 0	43,708 6	44,248 2	44,787 8	45,327 4	45,867 0	46,406 6	46,946 2	47,485 9	48,025 5
90	48,565 1	49,104 7	49,644 3	50,183 9	50,723 5	51,263 1	51,802 8	51,342 4	52,882 0	53,421 6
100	53,961 21	54,500 8	55,040 4	55,580 0	56,119 6	56,659 3	57,198 9	57,738 5	58,278 1	58,817 7
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
919
Таблица 6. а) Перевод английских ярдов в метрические меры
Ь) Перевод метрических мер в английские ярды
а) 1 ярд=3 фута =0,914 399 2 м
I 2 I 3 I
0
4	|	5	|	6 |	7 |	8 |	9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
9,143 99
18,288 О
27,432 О
36,576 О
45,720 О
54,864
64,(08 С
73,152 О
82,296 0
91,440 0
0,914 4С
10,058 4
19,202 4
28,346 4
37,490 4
46,634 4
55,778 4
64,922 4
74,066 4
83,210 4
92,354 4
1,828 80
10,972 8
20,116 8
29,260 8
38,4' 4 8
47,548 8
56,692 8
65,836 8
74,980 8
84,124 8
93,268 8
2,743 20
11,887 2
21,031 2
30,175 2
39,319 2
48,463 2
57,6 7 2
66,751 2
75,895 2
85,039 2
94,183 2
3,657 60
12.801 6
21,945 6
31,089 6
40,233 6
49,377 6
58,521 6
67,665 6
76,809 6
85,953 6
95,097 6
4,572 00 5,486 40
13,716 0 14,630 4
22,860 0 23,774 4
32,( 04 0 32,918 4
41,148 0 42,062 4
50,292 0 51,2(6 4
59,436 0 69,350 4
68,580 0 69,494 4
77,724 0 78,638 4
86,868 0 87,782 4
96,012 0 96,926 4
6,400 79
15,544 8
24,688 8
33,832 8
42,976 8
52,120 8
61,264 8
70,408 8
7,315 198,229 59
16,459 2 17. J73 6
25,6'3 z 26,517 6
34,747 2 35,661 6
43,891 2 44,805 6
53,035 2 53,949 6
62,179 2 63,093 6
71,323 2 72,237 6
79,552 8 80,467 2 81.381 9
88,696 8,89.611 2 90,525 6
97,840 8 98.755 2 99,669 6
b) 1 м = 1,093 614 3 ярда
лс|0|1|2|з|4[5|С|7|8(9
О
10
20
30
40
50
60
70
90
Пю
		1 093 61	2,187 22- 3,280 83		4,374 44 5,468 05 6,561 66		7,655 27	8,748 88	9.842 49
10,93 61	12,('23 7	13,123 3	14,216 9	15.310 5 16,404 2 17,497 8		18,5Я 4	19,685 0	20,778 6
21,872 2	22,935 8	24,059 4	25,153 0	26,216 6 27,340 3 28,433 9		29,527 5	30,621 1	31,714 7
32,8( 8 3	33,901 9	34,995 5	36,089 1	37,182 7( 38,276 4 39,370 0		40,463 6	41,557 2	4z,650 8
43,744 4	44,838 0	45,931 6	47,025 2	48,118 8 49,212 5 50,306 1		51,399 7	52,493 3	53,586 9
54.680 5	55,774 1	56,867 7	57,961 3'	59,054 9 60,148 6161,242 2		62,335 8 63,429 4		64,523 0
65,616 6	66,710 2	67,803 8	68,897 41	69,991 0 71,084 7J2,178 6		73,271 9	74,365 5	75,459 1
76,552 7	77,646 3	78,739 9	79,833 5	80,927 1, 82,020 8	83,114 4	84,208 j	85,3 >1 6	86,395 2
87,488 8	88,582 4	89,676 0	90,769 6	91,863 2 92,956 9	94,050 5	95,144 1	96,327 7	97,331 3
98,424 9	99,518 5	100,61 2	101,706 |	102,799 1 103,89 3	1' 4,987	106,080	107,174	108,267
119,361	110,455	111,548	112,642	113,735 114,829	115,923	117,016	118,110	119,203
Таблица 7. Перевод 64-х долей дюйма в миллиметры >)
1 дюйм = 25,399 978 мм, г/в4 дюйма =0,396 874 7 мм
64-е доли "	мм	64-е доли11	мм	64-е доли"	| мм	64-е доли'7	| мм
1	0,397	17	6,747	33	13,097	49	19,447
2= i/3a	0,794	18 = 9/3S	7,144	84 = 17/з2	13,494	50=35/3,	19,844
3	1,191	19	7,541	35	13,891	51	20,241
4 = 1/ig	1,587	20=5/1С	7,9о7	36=9/|в	14,287	52=>’/1в	20,638
5	1,984	21	8,334	37	14,684	53	21,034
6=’/3J	2,381	22 = и/8,	8,731	38 —19/82	15,081	54=27/8,	21.431
7	2,778	23	9,128	39	15,478	55	21,828
8=i|e	3,175	24=з/в	9,525	40 = в/в	15,875	56 = 7/в	22,225
9	3,572	25	9,922	41	16,272	57	22,622
ю=в/8.	3,969	26 = 18/3,	10,319	42 = «/и	16,669	58=«/32	23,019
11	4,366	27	10,716	43	17,С66	59	23,416
12=’/16	4,762	28 = ’/1в	11,112	44 = "/и	17,462	6Э=%в	23,812
13	5,159	29	11,509	45	17,859	61	24,209
14=7/32	5,556	30=(%	11,9Гб	46=2з/32	18,256	62=81/31	24,606
15	5,953	31	12,3 3	47	18,653	63	25, 03
	6,350	32=’/а	12,700	48 = 3/<	19, ('53	64 = 1	25,400
’) Пересчет 64-х долей дюйма при температуре в 20° см. DIN 890 и 893
и wBetriebshlhte“, 3 изд. 1929 г., ст. 2. '/с4 дюйма при 20° = 0,396 890 мм; 1 дюйм’ =
«= 25,4( 0 95 мм.
Таблица 8. Перевод 16-х долей дюйма в мил;
га	0	J/ie	11в	3/;б	Ч*	6/16	3/в
0	0,000	1,587	3,175	4,762	6,350	7,937	9,525
1	25,400	26,987	28,574	30,162	31,749	33,337	34,924
2	50,799	52,387	53,974	55,561	57,149	58,736	60,д24
3	76,199	77,786	79,374	80,961	82,549	84,136	85,723
4	101,60	103,19	104,77	106,36	107,95	109,54	111,12
5	127,00	128,59	130,17	131,76	133,35	134,94	136,52
б	152,40	153,98	155,57	157,16	158,75	160,33	161,92
7	177,80	179,38	180,97	182,56	184,15	185,73	187,32
8	203,20	204,78	206,37	207,96	209,55	211,13	212,72
9	228,60	230,18	231,77	233,36	234,95	236,53	238,12
10	254,00	255,58	257,17	258,76	260,35	261,93	263,52
11	279,39	280,88	282,57	284,16	285,74	287,33	288,92
12	304,79	306,38	307,97	309,56	311,14	312,73	314,32
13	330,19	331,78	333,37	334,96	336,54	338,13	339,72
14	355,59	357,18	358,77	360,36	361,94	363,53	365,12
15	380,99	382,58	384,17	385,76	387,34	388,93	390,52
16	406,39	407,98	409,57	411,16	412,74	414,33	415,92
17	431,79	433,38	434,97	436,55	438,14	439,73	441,32
18	457,19	458,78	460,37	461,95	463,54	465,13	466,72
19	482,59	484,18	485,77	487,35	488,94	490,53	492,12
20	507,99	509,58	511,17	512,75	514,34	515,93	517,52
21	533,39	534,98	536,57	538,15	539,74	541,33	542,92
22	558,79	560,38	561,96	563,55	565,14	566,73	568,31
23	584,19	585,78	587,36	588,95	590,54	592,13	593,71
24	609,59	611,18	612,76	614,35	615,94	617,53	619,11
25	634,99	636,58	638,16	639,75	641,34	642,93	644,51
26	660,39	661,98	663,56	665,15	666,74	668,33	669,91
27	685,79	687,38	688,96	690,55	692,14	693,72	695,31
28	711,19	712,77	714,36	715,95	717,54	719,12	720,71
29	736,59	738,17	739,76	741,35	742,94	744,52	746,11
30	761,99	763,57	765,16	766,75	768,34	769,92	771,51
31	787,39	788,97	790,56	792,15	793,74	795,32	796,91
32	812,79	814,37	815,96 ।	। 817,55	819,14	820,72	822,31
1иметры. 1 дюйм =25,Зс9 978 мм, 1/]в дюйма = 1,587 498 6 мм
7/16	’/2		б/8	п/16			’/в	u/i6	|Дюи-| мы 11
11,112	12,700	14,287	15,875	17,462	19,050	20,637	22,225	23,812	0
36,512	38,099	39,687	41,274	42,862	44,449	46,037	47,624	49,212	1
61,911	63,499	65,086	66,674	68,261	69,849	71,436	73,024	74,611	2
87,311	88,898	90,486	92,073	93,661	95,248	96,836	98,423	100,01	3
112,71	114,30	115,89	117,47	119,06	120,65	122,24	123,82	125,41	4
138,11	139,70	141,28	142,87	144,46	146,05	147,63	149,22	150,81	5
163,51	165,10	166,68	168,27	169,86	171,45	173,03	174,62	176,21	6
288,91	190,50	192,08	193,67	195,26	196,85	198,43	200,02	201,61	7
214,31	215,90	217,48	219,07	220,66	222,25	223,33	225,42	227,01	8
239,71	241,30	242,88	244,47	246,06	247,65	249,23	250,82	252,41	9
265,11	266,70	268,28	269,87	271,46	273,05	274,63	276,22	277,81	10
290,51	292,09	293,68	295,27	296,86	298,44	30 ,03	301,62	303,21	11
315,91	317,49	319,08	320,67	322,26	323,84	325,43	327,02	328,61	12
341,31	342,89	344,48	346,07	347,66	349,24	350,83	352,42	354,01	13
366,71	368,29	369,88	371,47	373,06	374,64	376,23	377,82	379,41	14
392,11	393,69	395,28	396,87	398,46	400,04	401,63	403,22	404,81	15
417,50	419,09	420,68	422,27	423,85	425,44	427,03	428,62	430,20	15
442,90	444,49	446,08	447,67	449,25	450,84	452,43	454,02	455,60	17
468,30	469,89	471,48	473,07	474,65	476,24	477,83	479,42	481,00	18
493,70	495,29	496,88	498,47	500,05	501,64	503,23	504,82	506,40	19
519,10	520,69	522,28	523,87	525,45	527,04	528,63	530,22	531,80	20
544,50	546,09	547,68	549,27	550,85	552,44	554,03	555,61	557,20	21
569,90	571,49	573,08	574,66	576,25	577,84	579,43	581,01	582,60	22
595,30	596,89	598,48	600,06	601,65	603,24	604,83	606,41	608,00	23
620,70	622,29	623,88	625,46	627,05	628,64	630,23	631,81	633,40	24
646,10	647,69	649,28	650,86	652,45	654,04	655,63	657,21	658,80	25
671,50	673,09	674,68	676,26	677,85	679,44	681,03	682,61	684,20	26
696,90	698,49	700,07	701,66	703,25	704,84	706,42	708,01	709,60	27
722,30	723,89	725,47	727,06	728,65	730,24	731,82	733,41	735,00	28
747,70	749,29	750,87	752,46	754,05	755,64	757,22	758,81	760,40	29
773,10	774,69	776,27	777,86	779,45	781,04	782,62	784,21	785,80	30
798,50	800,09	801,67	803,26	804,85	866,44	808,02	809,61	811,20	31
823,90	825,49	827,07	828,66	830,25	831,83	833,42	835,01	836,60	32
920	Приложение
33 34	333,1» 863,58	ЗЗУ,7/ 865,17	341,3b 866,76	342, SO 868,35	344,53 869,93	846,12 871,52	847,71 873,11	849,80 874,70
35	888,98	890,57	892,16	893,75	895,33	896,92	898,51	900,10
36	914,38	915,97	917,56 '	919,15	920,73	922,32	923,91	925,50
37	939,78	941,37	942,96	944,55	946,13	947,72	949.31	950,90
38	965,18	966,77	968,36	969,94	971,53	973,12	974,71	976,29
39	990,58	992,17	993,76	995,34	996,93	998,52	1000,1	1001,7
40	1016,0	1017,6	1019,2	1020,8	№22,3	1023,9	1025,5	1027,1
41	1041,4	1043,0	1044,6	1046,2	1047,7	1049,3	1050,9	1052,5
42	1066,8	1068,4	1( 70,0	1071,6	1073,1	1074,7	1076,3	1077,9
43	1092,2	1093,8	1095,4	1097,0	1098,5	1100,1	1101,7	1103,3
44	1117,6	1119,2	1120,8	1122,4	1123,9	1125,5	1127,1	1128,7
45	1143,0	1144,6	1146,2	1147,8	1149,3	1150,9	1152,5	1154,1
46	1168,4	1170,0	1171,6	1173,2	1174,7	1176,3	1177,9	1179,5
47	1193,8	1195,4	1197,0	1193,6	1200,1	1201,7	1203,3	1204,9
48	1219,2	1220,8	1222,4	1224,0	1225,5	1227,1	1228,7	1230,3
49	1244,6	1246,2	1247,8	1249,4	1250,9	1252,5	1254,1	1255,7
50	1270,0	1271,6	1273,2	1274,8	1276,3	1277,9	1279,5	1281,1
51	1295,4	1297,0	1298,6	1300,2	1301,7	1303,3	1304,9	1306,5
52	1320,8	1322,4	1324,0	1325,6	1327,1	1328,7	1330,3	1331,9
53	1346,2	1347,8	1349,4	1351,0	1352,5	1354,1	1355,7	1357,3
54	1371,6	1373,2	1374,8	1376,4	1377,9	1379,5	1381,1	1382,7
55	1397,0	1398,6	1400,2	1401,8	1403,3	1404,9	1406,5	1408,1
56	1422,4	1424,0	1425,6	1427,2	1428,7	1430,3	1431,9	1433,5
57	1447,8	1449,4	1451,0	1452,6	1454,1	1455,7	1457,3	1458,9
58	1472,2	1474,8	1476,4	1478,0	1479,5	1481,1	1482,7	1484,3
59	1498,6	1500,2	1501,8	1503,4	1504,9	1506,5	1508,1	1509,7
60	1524,0	1525,6	1527,2	1528,8	1530,3	1531,9	1533,5	1535,1
61	1549,4	1551,0	1552,6	1554,2	1555,7	1557,3	1558,9	1560,5
62	1574,8	1576,4	1578,0 1603,4	1579,6	1581,1	1582,7	1584,3	1585,9
63	1600,2	1601,8		1605,0	1606,5	1608,1	1609,7	1611,3 1636,7
64	1625,6	1627,2	1628,8	1630,4	1631,9	1633,5	1635,1	
65	1651,0	1652,6	1654,2	1655,8 1681,2	1657,3	1658,9	1660,5	1662,1
66	1676,4	1678,0	1679,6		1682,7	1684,3	1685,9	1687,5
67	1701,3	1703,4	1705,0	1706,6	1708,1	1709,7	1711,3	1712,9
ЛЮЙ-. мы 1	0 |	lht	1/9 !	®/ie	1	s/i6 |	»/. 1	’/и |
850,88 876,28	802,4/ 877,87	804,00 879,46	800,00 881,05	857,23 882,63	858,82 1860,41		862,00 887,4J	33 34
					884,22	885,8 i		
901,68	903,27	904,86	906,45	908,03	909,62	911,21	912,80	35
927,08	928,67	930,26	931,85	933,43	935,02	936,61	938,20	36
952,48	954,07	955,66	957,25	958,83	960,42	962,01	963,60	37
977,88	979,47	981,06	982,64	984,23	985,82	987,41	988,99	38
1003,3	1004,9	1006,5	1008,1	1009,6	1011,2	1012,8	1014,4	39
1028,7	1030,3	1031,9	1033,5	1035,0	1036,6	1038,2	1039,8	40
1054,1	1055,7	1057,3	1058,9	1060,4	1062,0	1063,6	Ю65,2	41
1079,5	1081,1	1С82.7	1084,3	1085,8	1087,4	1089,0	1090,6	42
1104,9	11С6,5	1108,1	1109,7	1111,2	1112,8	1114.4	1116,0	43
1130,3	1131,9	1133,5	1135,1	1136,6	1138,2	1139,8	1141,4	44
1155,7	1157,3	1158,9	1160,5	1162,0	1163,6	1165,2	1166,8	45
1181,1	1182,7	1184,3	1185,9	1187,4	1189,0	1190,6	1192,2	46
1206,5	1208,1	1209,7	1211,3	1212,8	1214,4	1216,0	1217,6	47
1231,9	1233,5	1235,1	1236,7	12о8,2	1239,8	1241,4	1243,0	48
1257,3	1258,9	1260,5	1262,1	1263,6	1265,2	1266,8	1268,4	49
1282,7	1284,3	1285,9	1287,5	1289,0	1290,6	1292,2	1293,8	50
1308,1	1309,7	1311,3	1312,9	1314,4	1316,0	1317,6	1319,2	51
1333,5	1335,1	1336,7	1338,3	1339,8	1341,4	1343,0	1344,6	52
1358,9	1360,5	1362,1	1363,7	1365,2	1366,8	1368,4	1370,0	53
1384,3	1385,9	1387,4	1389,1	1390,6	1392,2	1393,8	1395,4	54
1409,7	1411,3	1412,9	1414,5	1416,0	1417,6	1419,2	1420,8	55
1435,1	1436,7	1438,3	1439,9	1441,4	1443,0	1444,6	1446,2	56
1460,5	1462,1	1463,7	1465,3	1466,8	1468,4	1470,0	1471,6	57
1485,9	1487,5	1489,1	1490,7	1492,2	1493,8	1495,4	1497,0	58
1511,3	1512,9	1514,5	1516,1	1517,6	1519,2	1520,8	1522,4	59
1536,7	1538,3	1539,9	1541,5	1543,0	1544,6	1546,2	1547,8	60
1562,1	1563,7	1565,3	1566,9	1568,4	1570,0	1571,6	1573,2	61
1587,5	1589,1	1590,7	1592,3	1593,8	1595,4	1597,0	1598,6	62
1612,9	1614,5	1616,1	1617,7	1619,2	1620,8	1622,4	1624,0	63
1638,3	1639,9	1641,5	1643,1	1644,6	1646,2	1647,8	1649,4	64
1663,7	1665,3	1666,9	1668,5	1670,0	1671,6	1673.2	1674,8	65
1689,1	1690,7	1602,3	1693,9	16с5,4	16--7.0	1698,6	1700,2	66
1714,5	1716,1	1717,7	1719,3	1720,8	1722,4	1724,0	1725,6	67
			1 1	1 '	1	1	1 ls/.e	г з =15
40
КЗ
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
922
Приложение
Таблица 9. Перевод английских, футов и дюймов в миллиметры
1 фут = 304,799 73 мм
Фут	Дюйм	0"	Г'	2"	3"	4"	5"	6" 1	7"	%"	9"	10"	11"	12"
	0	0	25,4	51	76	102	127	152	178	203	229	254	279	3 5
1	12	305	ЗЗГ-	356	381	406	432	457	483	508	533	559	584	610
2	24	610	635	660	686	711	737	762	787	813	838	864	889	914
3	36	914	940	965	991	1016	1041	1067	1092	1118	1143	1168	1194	1219
4	48	1219	1245	1270	1295	1321	1346	1372	1397	1422	1448	1473	1499	1524
5	60	1524	Г 549	1575	16г0	1626	1651	1676	1702	1727	1753	1778	1803	1829
6	72	1829	1854	1880	1905	193	1956	1981	2007	2032	2057	2083	21(8	2134
7	84	2134	2159	2184	22К	2235	2261	2286	2311	2337	2362	2388	2413	24>8
8	96	2438	2464	2489	2515	2540	2565	2591	2616	2642	2667	2692	2718	2743
9	108	2743	2769	2794	2819	2845	2870	2896	2921	2 946	2972	2997	3023	3048
10	120	3048	3073	3099	3124	3150	3175	3200	3226	3251	3277	3302	3327	3353
11	132	3353	3378	3404	3429	3454	3^80	3595	3531	3556	3581	3607	3632	3658
12	144	3658	3683	3768	3734	3759	3785	3810	3835	3861	3886	3912	3937	3962
13	156	3962	3 988	4013	4039	4064	4 ('89	4115	4140	4166	4191	4216	4242	4267
14	168	4 267	4293	4318	4343	4369	4394	4420	4445	447i	4496	4521	4547	4572
15	180	4572	4597	4623	4648	4674	4699	4724	4750	4775	4801	4826	4851	4877
16	192	4877	4902	4928	4953	4978	5004	5029	5055	5080	5105	5131	5156	51§2
17	204	5182	52г7	5232	5258	528о	53г9	5334	5359	5385	5410	5435	5461	5486
18	216	5486	5512	55j7	5563	5588	5613	5639	5664	5690	5715	5740	5766	5791
19	228	5791	5817	5842	5867	5893	5918	5944	5969	5994	6020	6045	6G71	6096
20	240	6096	6121	6147	6172	6198	6223	6248	6274	62°9	6325	6350	6375	6401
21	252	6401	6426	6452	6477	6502	6528	6553	6579	66°4	6629	6655	668(	6706
22	264	6706	6731	6756	6782	6807	6833	6858	6883	69г9	6934	6960	6 985	7010
23	276	7010	7036	7С61	7087	7112	7137	7163	7188	7214	7239	7264	7 290	7315
24	288	7315	7341	7366	7391	7417	7442	7467	7493	7518	7 545	7569	7594	7 620
25	300	7620	7645	7671	7696	7722	7747	7772	7798	7823	7849	7874	7899	7925
26	312	7925	7950	7975	8001	8026	8052	8077	8102	8128	8153	8179	8 204	8230
27	324	823С	8255	8280	8306	8332	8357	8382	8 408	8433	8458	8481	8509	8534
28	336	8534	8559	8585	8610	8636	8661	8686	8712	8737	8763	8788	8814	8839
29	348	8839	8864	8890	8915	8941	8966	8991	9017	9042	9068	9093	9118	9144
30	360	9144	9169	9195	9220	9 246	9271	9296	9322	9347	9373	9398	9423	9 449
31	372	9449	9474	9500	9525	9551	9576	9601	9627	9652	9677	9703	9728	9753
32	384	9754	9779	9804	9830	9855	9881	9906	9931	9957	9982	100С8	10(33	10058
33	396	10058	10083	10 К 9	10134	10160	10185	10210	10236	10261	10287	10312	10337	10363
34	408	10363	10388	10414	10439	10465	10490	10515	10541	10566	10592	10617	10642	10668
35	420	10668	10693	.0719	10744	10 п<	10795	10820	10846	10871	10807	10922	10947	Г 973
36	432	10973	10998	11024	11049	11075	11100	11125	11151	11176	11202	11227	11252	11278
37	444	11278	11303	11328	11354	11379	11405	11430	11455	11481	11506	11532	11557	11582
38	456	11582	И 6Г7	11633	11658	11684	11709	11734	11760	11785	11811	11836	11861	11887
39	468	11887	11912	11938	11963	11989	12014	12039	12065	12090	12116	12141	12166	12192
40	480	12192	12217	12243	12268	12294	12319	12344	12370	12395	12421	12446	12471	12497
41	492	12497	12522	12548	12573	12598	12624	12649	12675	12700	12 725	12751	12776	12802
42	504	128°2	12827	12852	12878	12 943	12929	12954	12979	13005	13030	13J56	13г81	13106
43	516	13106	13132	13157	13183	13208	13233	13259	13284	13310	13335	13360	13386	13411
44	528	13411	13437	13462	13487	13513	13538	13564	13589	13614	13640	13665	13691	13716
45	540	13716	13741	13767	13792	13818	13843	13868	13894	13919	13945	13970	13995	14021
46	552	14021	14046	14072	14097	14122	14148	14173	14199	14224	14249	14 275	143г0	14326
47	564	14326	14351	14376	144г2	14427	14453	14478	14503	14529	14554	14580	14605	14630
48	576	146JC	14656	14681	14707	14732	14757	1478д	14808	14834	14859	14884	14910	14935
49	588	14935	14961	14986	15011	15037	15 062	15088	15113	15138	15164	15189	15215	15240
50	600	15‘40	15265	15291	15316	15342	15367	15392	15418	15443	15469	15494	15519	15545
51	612	15545	15570	15596	15621	15646	15672	15697	15723	15748	15773	15799	15824	15850
52	624	15850	15875	15900	15926	15951	15977	16002	16027	16053	16078	16104	1612°	16154
53	636	16154	16180	16205	16231	16256	16Л31	16.о07	16332	16358	16383	16408	16434	16459
54	648	16459	16485	16510	16535	16561	16586	16612	16637	16662	16688	16713	16739	16764
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
923
Табляца 10. Перевод метров в английские футы
1 м = 3,280 843 фута
	0	1	2	3	4	1 5	6	1 7	1 8 |	1 5
0			3,281	6,562	9,843	13,123	16,404	19,685	22,966	26,247	29,528
10	32,808	36,089	39,370	42,651	45,932	49,213	52,493	55,774	59,055	62,336
20	65,617	68,898	72,178	75,459	78,740	82,021	85,302	88,583	91,864	95,144
30	98,425	101,706	104,987	108,х68	111,549	114,829	118,11)	121,391	124,672	127,953
40	131,234	134,514	137,795	141,076	144,357	147,638	150,919	154,199	157,480	160,761
50	164,042	167,3^3	170,604	173,885	177.165	180,446	183,727	187.008	190,289	193,570
60	196,850	2 0,131	203,412	206,693	209,974	213,255	216.535	219,816	223,097	226,378
70	229,659	232,940	236,220	239,501	242,782	246,063	249,344	252,625	255,906	259,186
80	262,467	265,748	269,029	272,310	275,591	278,871	282,152	285,433	288,714	291,995
90	295,276	298,556	301,837	305,118	308,399	311,680	314,961	318,241	321,522	‘324,803
100	328,084	331,365 Таблица	334,646 11. Пе|	337,927 >евод са 1 см=0	341,207 штимет] ,393 701 ]	344,488 ?ов в ан [3 дюйма	347,769 ТЛИЙСК1 1	351,050 ле дюй1	354,331 иы	357,612
	0 1	1 1	2 1	\ 3 1	1 4 1	1 5	6 1	1 7 1	1 8 1	* 9
0			0,393 7	0,787 4	1,181 1	1,574 8	1,968 5	2,362 2	2,755 9	3,149 6	3,543 3
10	3,937 0	4,330 7	4,724 4	5,118 1	5,511 8	5,905 5	6,299 2	6,692 9	7,086 6	7,480 3
20	7,874 0	8,267 7	8,661 4	9,055 1	9,448 8	9,842 5	10,236 2	10,629 9	11,023 6	11,417 3
30	11,811 0	12,204 7	12,598 4	12,992 1	13,385 8	13,779 5	14,173 2	14,566 9	14,960 6	15,354 3
40	15,748 0	16,141 7	16,535 4	16,929 1	17,322 8	17,716 5	18,110 3	18,504 0	18,897 7	19,291 4
50	19,685 1	20,078 8'20,472 5		20,866 2	21,259 9	21,653 6	22,047 3	22,441 0	22,834 7	23,228 4
60	23,622 1	24,015 8j24,409 5		24,803 2	25,196 9	25.590 6	25,981 3	26,378 0	26,771 7	27,165 4
70	27,559 1	27,952 8 28,346 5		28,740 2	29,133 9	29,527 6	29,921 3	30,315 0	30,708 7	31,102 4
80	31,496 1	31,889 8^32,283 5		32,677 2	33,070 9	33,464 6	33,858 3	34,252 0	34,645 7	35.039 4
90	35,433 1	ЗД826 8.36,220 5		36 614 2	37,007 9	37,401 6	37,795 3	38,189 0	38,582 7	38,976 4
100	39,370 1	39,763 8|40,157 5		40,551 2	40,944 9	41,338 6	41,732 3	42,126 0	42,519 7	42,913 4
Таблица 12. а) Перевод русских верст в километры
Ь) Перевод километров в русские версты
а) 1 верста=5С0 саженей = 1,066 80 км
О 1	|	2	3	4	|	5	6	|	7	|	8	|	9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10,668 О
21,336 0
32,004 О
42,672 (
53,340 0
64,008 О
74,676 О
85,344 О
96,012 О
106,680
1,066 80
11,734 8
2?,402 8
33,070 8
43,738 8
54,406 8
65,074 8
75,742 8
86,410 8
97,078 8
107,747
2,133 60
12,801 6
23,469 6
34,137 6
44,805 6
55,473 6
66,141 6
76,809 6
87,477 б'
98,145 6;
108,814|
3,200 40
13,868 4
24,536 4
35,204 4
45,872 4
56.540 4
67,208 4
77,876 4
88,544 4
99,212 4
109,880
4,267 20
14,935 2
25,603 2
36,271 2
46,939 2
57,607 2
68,275 2
78,943 2
89,611 2
100,279
110,947
5,334 00
16,002 0
26,670 0
37,338 0
48,0Г6 0
58,674 0
69,342 0
80,010 0
90,678 0
101,346
112,014
b) 1 км=0,937 382 8 версты
6,400 80
17,068 8
27,736 8
38,404 8
49,072 8
59,740 8
70,4г8 8
81,076 8
91,744 8
102,413
113,081
7,467 60
18,135 6
28,803 6
39,471 6
50,139 6
60,807 6
71,475 6
82,143 6
92,811 6
103,480
114,148
8,534 40 9,601 20
19,202 4 20,269 2
29,870 4 30,937 2
40,538 4 41,605 2
51,206 4 52,273 2
61,874 4 62,941 2
72,542 4.73,609 2
83,210 4,84,277 2
93,878 4^4,945 2
104,546 105,613
115,214 |116,281
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
9,373 83
18,747 7
28,121 5
37,495 3
46,869 1
56,243 О
65,616 8
74,990 6
84,364 5
93,758 3
0,937 38
10,311 2
19,685 О
29,058 9
38,432 7
47,806 5
57,180 4
66,554 2
75,928 О
85,391 8
94,675 71
1,874 77
11,248 6
20,622 4
29,996 3
39,370 1
48,743 9
58,117 7
67,491 6
76,865 4
86,239 2
95,613 0
2,812 15
12,186 0
21,559 8
30,933 6
40,307 5
49,681 3
59,055 1
68,428 9
77,802 8
87,176 6
96,550 4
3,749 53
13,123 4
22,497 2
31,871 О
41,244 8
50,618 7
59,992 5
69,366 3
78,740 2
88,114 0
97,487 8
4,686 91
14,060 7
23,434 6
32,808 4
42,182 2
51,556 1
60,929 9
70,303 7
79,677 5
89,051 4
98,425 2
5,624 30 6,561 68
14,998 1 -------
24,372 О
33,745 8
43,119 6
52,493 4
61,867 3
71,241 1
80,614 9
89,988 7
99,362 6
15,935 5
। 25,309 3
1 34,683 2
i 44,057 О
53,430 8
; 62,804 6
72,178 5
। 81,552 3
90,926 1
; 1оо,зоо
7,499 06
16,872 9
26,246 7
35,620 5
44,994 4
54,368 2
63,742 О
73,115 9
82,489 7
01,863 5
101,237
8,436 45
17,810 3
27,184 1
36,557 9
45,931 8
55,305 6
64,679 4
74,053 2
83,427 1
92,800 9
102,175
924
Приложение
Таблица 13. а) Перевод русских саженей в метры
Ь) Перевод метров в русские сажени
а) 1 сажень=7 футов=3 арш. = 2,133 6О м
	0	1	2	3	4	5 1	6 1	7	8	9
0			2,133 60	4,267 20	6,400 80	8,534 40	10,668 0	12,801 6	14,935 2	17,068 8	19,202 4
10	21,336 0	23,469 6	25,603 2	27,736 8	29,870 4	32,004 0	34,137 6	36,271 2	38,404 8	40,538 4
20	42,672 0	44,805 6	46,939 2	49,072 8	51,206 4	53,340 0	55,473 6	57,607 2	59,740 8	61,874 4
30	64,008 0	66,141 6	68,275 2	70,408 8	72,542 4	74,676 0	76,809 6	78,943 2	81,076 8	83,210 4
40	85,344 0	87,477 6	89.611 2	91,744 8	93,878 4	96,012 0	98,145 6	100,279	102,413	104,546
50	106,680	108,814	110,947	113,081	115,214	117,318	119,482	121,615	123,749	125,882
60	128,016	130,150	132,283	134,417	136,550	138,684	140,818	142,951	145,085	147,218
70	149,352	151,486	153,619	155,753	157,886	160,020	162,154	164,287	166,421	168,554
80	170,688	172,822	174,955	177,089	179,222	181,356	183,490	185,623	187,757	189,890
90	192,024	194,158	196,291	198,425	200,558	202,692	204,826	206,959	209,093	211,226
100	213,360	215,494	217,627	219,761	221,894	224,028	226,162	228,295	230,429	232,562
О
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
4,686 91
9,373 83
14,060 7
18,747 7
23,434 6
28,121 5
32,808 4
34,495 3
42,182 2
46,869 1
b) 1 м=0,468 691 4 сажени
0,468 69	0,937 38	1,406 07	1,874 77	2,343 4б'2,812 15	3,280 84	3,719 53	4,218 22
5,156 61	5,624 30	6,092 99	6,561 68	7,030 37 7,499 06	7,967 75	8,436 45	8,9051 4
9,842 52	10,311 2	10,779 9	11,248 6	11,717 3 12,186 0	12,654 7	13,123 4	13,592 1
14,529 4	14,998 1	15,466 8	15,935 5	16,404 2 16,872 9	17,341 6	17,810 3	18,279 0
19,216 3	19,685 0	20,153 7	20,622 4	21,091 1 21,559 8	22,028 5	22,497 2	22,965 9
23,903 3	24,372 0	24,840 6	25,309 3	25,778 0 26,246 7	26,715 4	27,184 1	27,652 8
28,590 2	29,058 9	29,527 6	29,996 2	30,464 9 30,933 6	31,402 3	31,871 0	32,339 7
33,277 1	33,745 8	34,214 5	34,683 2	35,151 9 35,629 5	36,089 2	36,557 9	37,026 6
37,964 0	38,432 7	38,901 4	39,370 1	39,838 8 40,307 5	40,776 2	41,244 8	41,713 5
42,650 9	43,119 6	43,588 3	44,057 0	44,525 7 44,994 4	45,463 1	45,931 8	46,460 4
47,337 8	47,806 5	48,275 2	48,743 9	49,212 6 49,681 3	50,150 0	50,618 7	51,087 4
Таблица 14. а) Перевод русских аршин в метры
Ь) Перевод метров в русские аршины
а) 1 аршин = 1/3 сажени = 16 верш. =0,711 200 м
1	1 0 1	1 1	2 1	3	4 1	5 1	1 6 1	1 7	8	9
0		0,711 20;	1,422 40	2,133 60	2,844 89	3,556 00	4,267 2	4,978 40	5,689 60	6,400 80
10	7,112 00	7,823 20,	8,534 40	9,245 60	9,956 80	10,668 0	11,379 2	12,090 4	12,801 6	13,512 8
20	14,224 0	14,935 2	I 15,646 4	16,357 6	17,068 8	17,780 0	18,491 2	19,202 4	19,913 6	20,624 8
30	21,336 0	22,047 2	22,758 4	23,469 6	24,180 8	24,892 0	25,603 2	26,314 4	57,025 6	27,736 8
40	28,448 0 29,159 2		29,870 4	30,581 6	31,292 8	32,004 0	32,715 2	33,426 4	34,137 6	34,848 8
50	35,560 0	36,271 2	36,982 4	37,693 6	38,404 8	39,116 0	39,827 2	40,538 4	41,249 6	41,960 8
60	42,672 0	43,383 2	44,094 4	44,805 6	45,516 8	46,228 0	46,939 2	47,650 4	48,361 6	49,072 8
70	49,784 0	50,495 2	51,206 4	51,917 6	52,628 8	53,340 0	54,051 2	54,762 4	55,473 6	56,184 8
80	56,896 0	57,607 2	58,318 4	59,029 6	59,740 8	60,452 0	61,163 2	61,874 4	62,585 6	63,296 8
90	64,008 0 64,719 2		65,430 4	66,141 6	66,852 8	67,564 0 68,275 2		68,986 4	69,697 6	70,408 8
1С0	71,120 0, 71,831 2		72,542 4	73,253 6	73,964 8	74,676 0|75,387 2		76,098 4	76,809 6	77,520 8
b) 1 м= 1,406 074 аршина
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
14,060 7
28,121 4
42,182 1
56,242 8
70,303 5
84,364 2
98,424 9
112,486
126,546
140,607
1,406 07
15,466 8
29,527 5
43,588 2
57,648 9
71.709 6
85,770 3
99,831 0
113,892
127,952
142,013
2,812 14
16,872 8
30,933 5
44,994 2
59,054 9
73,115 6
87,176 3
101,237
115,298
129,358
143,419
4,218 21
18,278 9
32,339 6
46,400 3
60,461 0
74,521 7
88,582 4
102,6^3
116,704
130,765
144,825
5,624 28
19,685 0
33,745 7
47,806 4
61,867 1
75,927 8
89,988 5
104,049
118,110
132,171
146,231
7,030 35
21,091 1
35,151 8
49,212 5
63,273 2
77,333 9
91,3 46
105,455
119,516
133,577
147,637
8,436 42
22,497 1
36,557 8
50,618 5
64,679 2
78,739 9
92,800 6
106,861
120,922
134,983
149,043
9,842 49
23,903 2
37,963 9
52,024 6
66 085 3
80,146 0
94,206 7
108,267
122,328
136,389
150,449
11,248 6
25,309 3
39,370 0
53,430 7
67,4914
81,5521
95,6128
109,673
123,734
137,795
151,856
12,654 6
26,715 3
40,776 0
54,836 7
68,897 4
82,958 1
97,018 8
111,080
125,140
139,201
153,262
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
925
Таблица 15. а) Перевод русских вершков в сайт иметры
Ь) Перевод сантиметров в русские вершки
а) 1 вершок = 4,4450 см
	0	1	2	3	4	1 5	6	7	1 8	1 Я
0			4,445 00	8,89'00	13,335 0	17,780 0	22,225 0	26,670 0	31,115 0	35,560 0	40,005 0
10	44,450 0	48,895 0	53,340 0	57,785 0	62,230 0	66,675 0	71,120 0	75,565 0	80,010 0	84,455 0
20	88,900 0	93,345 0	97,790 0	102,235	106,680	111,125	115,570	120,015	124,460	128,905
30	133,350	137,795	142,240	146,685	151,130	155,575	160,020	164,465	168,910	173,355
40	177,800	182,245	186,690	191,135	195,580	200,025	204,470	208,915	213,360	217,805
50	222,250	226,695	231,140	235,585	240,030	244,475	248,920	253,365	257,810	262,255
60	266,700	271,145	275,590	280,035	284,480	288,925	293,370	297,815	302,260	306,705
70	311,150	315,595	320,040	324,485	328,930	333,375	337,820	342,265	346,310	351,155
80	355.600	360,045	364,490	368,935	373,380	377,825	382,270	386,715	391,160	395,605
90	400,050	404,495	408,949	413,385	417,830	422,275	426,720	431,165	435,610	440,055
100	444,500	448,945	453,390 Ь	457,835 ) 1 см =	462,280 0,224 971	466,725 9 вершк	471,170 :а	475,615	480,060	484,505
0			0,224 97	0,449 94	0,674 92	0,899 89	1,124 86	1,349 83	1,574 80	1,799 78	2,024 75
10	2,249 72	2,474 69	2,699 66	2,924 63	3,149 61	3,374 58	3,599 55	3,824 52	4,049 49	4,274 47
20	4,449 44	4,724 41	4,949 38	5,174 35	5,399 33	5,624 30	5.84? 27	6,074 24	6,299 21	6,524 19
30	6,749 16	6,974 13	7,199 10	7,424 07	7,649 04	7,874 02	8,058 99	8,323 96	8,548 93	8,773 90
40	8,998 88	9,223 85	9,448 82	9,673 79	9,898 76	10,123 7	10,348 7	10,573 7	10,798 7	11,023 6
50	11,248 6	11,473 6	11,698 5	11,923 5	12,148 5	12,373 5	12,598 4	12,823 4	13,048 4	13,273 3
60	13,498 3	13,723 3	13,948 3	14,173 2	14,398 2	14,623 2	14,848 1	15,073 1	15,298 1	15,523 1
70	15,748 0	15,973 0	16,198 0	16,422 9	16,647 9	16,872 9	17,097 9	17,322 8	17,547 8	17,772 8
80	17,997 8	18,222 7	18,447 7	18,672 7	18,897 6	19,122 6	19,347 6	19,572 6	19,797 5	20,022 5
90	20,247 5	20,472 4	20,697 4	20,922 4	21,147 4	21,372 3	21,597 3	21,822 3	22,047 2	22,272 2
100	22,497 2	22,722 2	22,947 1	23,172 1	23,397 1	23,622 0	23,847 0	24,072 0	24,297 0	24,521 9
Таблица 16. а) Перевод китайских йин в метры
Ь) Перевод метров в китайские Йины
а) 1 йин=10 чи = 100 фэн = 3,581 м
	0	1 '	1 2	1 3 |	4	1 5 |	6	7 1	8	9
0			3,581	7,162	10,743	14,324	17,905	21,486	25,067	28,648	32,229
10	35,810	39,391	42,972	46,553	50,134	53,715	57,296	60,877	64,458	68,039
20	71,620	75,201	78,782	82,363	85,944	89,525	93,106	96,687	100,268	103,849
30	107,430	111,011	114,592	118,173	121,754	125,335	128,916	132,497	136,078	139,659
40	143,240	146,821	150,402	153,983	157,564	161,145	164,726	168,307	171,888	175,469
50	179,050	182,631	186,212	189,793	193,374	196,955	200,536	204,117	207,698	211,279
60	214,860	218,441	222,022	225,603	229,184	232,765	236,346	239,927	243,508	247,089
70	250,670	254,251	257,832	261,413	264,994	268,575	272,156	275,737	279,318	282,899
80	286,480	290,061	293,642	297,223	300,804	304,385	307,966	311,547	315,128	318,709
90	322,290	325,871	329,452	333,033	336,614	340,195	343,776	347,357	350,938	354,519
100	358,100	361,681	365,262	368,848	372,424	376,005	379,586	383,167	386,748	390,329
b) 1 м = 0,2792 йина
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
2,792 0
5,584 0
8,376 0
11,168 0
13,960 0
16,752 0
19,544 0
22,336 0
25,128 0
27,920 0
0,279 2
3,071 2
5,863 ?
8,655 2
0,558 4
3,3504
6,142 4
8,934 4
11,447 2
14,239 2
17,031 2
19,823 2
22,615 2
25,407 2
28,199 2
11,726 4
14,518 4
17,310 4
20,102 4
22,894 4
25,686 4
28,478 4
0,837 6
3,629 6
6,421 6
9,213 6
12,005 6
14,797 6
17,589 6
20,381 6
23,173 6
25,965 6;
28,757 6
1,116 8
3,908 8
6,700 8
9,492 8
12,284 8
15,076 8
17,868 8
20,660 8
23,452 8
26,244 8
29,036 8
1,396 0
4,188 0
6,980 0
9,772 0
12,564 0
15,356 0
18,148 О
20,940 О
23,732 О
26,524 О
29,316 С
12,843 2
15,635 2
18,427 2
21,219 2
24,011 2
26,803 2
29,595 2
1,954 4
4,746 4
7,538 4
10,330 4
2,233 6
5,025 6
7,817 6
10,609 6
13,122 4
15,914 4
18,706 4
21,498 4
24,290 4
27,082 4
29,874 4
13,401 6
16,193 6
18,985 6
21,777 6
24,569 6
27.36J 6
30,153 6
2,512 8
5,304 8
8,096 8
10,888 8
13,680 8
16,472 8
19,264 8
22,056 8
24,848 8
27,642 О
30,432 8
926
Приложение
Таблица 17. а) Перевод японских Шаку кане в метры
Ь) Перевод метров в японские шаку кане
а) 1 шаку кане = 10 сун=100 бу = 0,303 м
	0	1	2	3	4	5	6 1	1 7	1 8	9
0			0,303	0,6п6	0,904	1,212	1,515	1,818	2,121	2,424	2,727
10	3,033	3,333	3,636	3,939	4,242	4,545	4,848	5,151	5,454	5,757
20	6,060	6,363	6,666	6,969	7,272	7,575	7,878	8,181	8,484	8,787
30	9,090	9,393	9,696	9,999	10,302	10,695	10,908	11,211	11,514	11,817
49	12,120	12,423	12,726	13,029	13,332	13,635	13,938	14,241	14 544	14,847
50	15,150	15,453	15,756	16/59	16,362	16,665	16,968	17,271	17,574	17,877
60	18,180	18,483	18,786	1°,089	19,392	19.695	19,998	20,301	20,604	29,907
70	21,210	21,513	21,816	22,119	22,422'	22*725	23,0'28	23,331	23,634	23,937
80	24,240	24,543	24,846	25,149	25,452	25,755	26,058	26,361	26,664	26,967
90	27,270	27,573	27,876	28,179	28,482	28,785	29,088	29,391	29,694	29,997
100	30,300	30,603	30,906	31,299	31,512	31,815	32,118	32,421	32,724	33,027
b) 1 л«= 3,300 33 шаку кане
0			3,300 33	6,600 66	9,90'1 99'	13,201 3	16,501 7	19,802 0	23,102 3	26,402 6	29,703 0
10	33,УЗ 3	36,303 6	39,604 0	42,904 3	46,204 6	49,505 0	52,805 3	56,105 6	59,405 9	62,706 3
20	66,0(6 6	69,306 9	72,607 3	75,907 6	79,207 9	82,508 3	85,808 6	89,108 9	92,409 2	95,709 6
30	99,009 9	102,310	105,611	108,911	112,111	115,512	118,812	122,112	125,413	128,713
40	132,013	135,314	138,614	141,914	145,215	148,515	151,815	155,116	158,416	161,716
50	165,017	168,317	171,617	174,917	178,218	181,518	184,818	188,119	191,419	194,719
60	198/'20	201,320	204,620	207,921	211,221	214,521	217,822	221,122	224,422	227,723
70	231/ 23	234,323	237.624	240,924	244,224	247,525	250,825	254,125	257,426	260,726
80	264,026	267,327	270,627	273,927	277,228	280,528	283,828	287,129	290,429	293,729
90	297,030	300,330	303,630	306,931	310,231	313,531	316,832	320,132	323,432	326,733
100	330,033	333,333	336,634	339,934	343,234	| 346,535	349,835	353,135	356,436	359,736
В. Меры площадей
а)	Перевод английских акров в ары
Ь)	Перевод гектаров в английские акры
а) 1 акр = 160 кв. пол = 4840 кв. ярдов = 40,4685 а
	0	1 1	1 2	1 3	1	4	1 5	1 6	1 7	8 1	1 9
0			40,468 5	80,937 0	121,406	161,874	202,343	242,811	283,289	323,748	364,217
10	404,685	445,154	485,622	526,091	566,559	607,028	647,496	687,965	728,433	768,902
20	809,370	849,839	890,307	930,776	971,244	Ю11.71	1052,18	1092,65	1133,12	1173,59
30	1214,С6	1254,52	1294,99	1335,46	1375,93	1416,49	1456,89	1497,33	1537,80	1578,27
40	1618,74	1659,21	1699,68	1740,15	1780,61	1821,08	1861,55	1902,02	1942,49	1982,96
50	2023,43	2063,89	2104,36	2144,83	2185,30	2225,77	2266,24	2306,70	2347,17	2387,64
60	2428,11	2468,58	2509,05	2549,52	2589.Q8	2630,45	2670,92	2711,39	2751,86	2792,33
70	2832,80	2873,26	2913,73	2954,20	2994,67	3035,14	3075,61	3116,07	3156,54	3197,01
80	3237,48	3277,95	3318,42	3358,89	'3399,35	3439,82	3480,29	3520,76	3561,23	3601,70
90	3642,17	3682,63	3723,10	3763,57	3834,04	3844,51	3884,98	3925,44	3965,91	4006,38
100	4046,85	4087,32	4127,79	4168,26	4208,72	4249,19	4289,66	4330,13	437b,60	4411,07
b) 1 га = 2,471058 акра
0	—	2,471 06	4,942 12	7,413 17	9,884 23	12,355 3	14,826 3	17,297 4	19,768 5	22,239 5
10	24,710 6	27,181 6	29,652 7	32,123 8	34,594 8	37,065 9	39,536 9	42,008 0	44,479 С	46,050 1
20	49,421 2	51,892 2	54,363 3	56,834 3	59,305 4	61,776 5	64,247 5	66,718 6	69,189 6	71,660 7
30	74,131 7	76,602 8	79,073 9	81,544 9	84,016 0	86.487 0	88,958 1	91,429 1	93,900 2	96,371 3
40	98,842 3	101,313	103,784	106,255	108,727	111,198	113,669	116,140	118,611	121,082
50	123,553	126,024	128,495	130,°66	133,437	135,908	138,379	140,850	143,321	145,792
60	148,263	159,735	153,206	155,677	158,148	160,619	163,090	165,561	168,032	170,503
70	172,974	175,445	177,916	180,387	182,858	185,329	187,800	190,271	192,743	195,214
80	197,685	200,156	202,627	205,098	207,569	210,040	212,511	214,982	217,453	219,924
90	222,395	224,866	227,Зл7	229,808	232,279	234,751	237,222	239,693	242,164	244,6j5
100	247,106	249,577	252,048	254,519	256,990	259,461	261,932	264,403	266,874	269,345
Таблицы для сравнения п перевода мер и весов
927
Таблица 19. а) Перевод английских квадратных ярдов в квадратные метры
Ь) Перевод квадратных метров в английские квадратные ярды
а) 1 кв. ярд = 9 кв. фут. = 0,836125 897 м2
|	0 г 1	1	2	1	3	|	4	|	5	6 |	7 |	8 |	9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
8,361 26
16,722 5
25/83 8
33,445 0
41,806 3
5°, 167 6
58,528 8
66.890 1
75,251 3
83,612 6
0,836 13
9,197 38
17,558 6
25,919 9
34,281 2
42,642 4
51,ОС 3 7
59,364 9
67,726 2
7Ь,087 5
84,448 7
1,672 25
10,033 5
18,394 8
26,756 0
35,117 3
43,478 5
51,839 8
60,201 1
68,562 3
76,923 6
85,284 8
2.508 38
10,869 6
19,230 9
27,592 2
35,953 4
44,314,7
52,675 9
61,037 2i
69,398 4'
77,759 7|
86,121 о;
3,344 50
11,705 8
20,067 0
28,428 3
36,789 5
45,150 8
53,512 1
61,873 3
70,234 6
78,595 8
86,957 1
4,180 63	5,016 76	5.852 88	6.689 01	7,525 13
12,541 <	13,378 0	14,214 1	15,050 3	15,886 4
20,903 1	21,739 3	22,575 4	23,411 5	24,247-7
29,264 4	30,100 5	30,936 7	31,772 8	о2,608 9
37,625 7	38,461 8	39,297 9	40,134 0	40,970 2
45,986 9	46,823 1	47,659 2	48,495 3	49,331 4
54,348 2	55,184 3	56,020 4	56,856 6	57,692 7
62,709 4	63,545 6	64,381 7	65,217 8	66.053 9
71,070 7	71,906 8	72,743 0	73,579 1	74,415 2
79,432 0	80,268 1	81,104 2	81,940 3	82,776 5
87,793 2	88,629 3	89,465 5	90,301 6	91,137 7
b) 1 м2 =1,195 992237 кв. ярдов
11.959 9
23,919 8
35.879 8
47,839 7
59,799 6
71,759 5
83,719 4
95,679 4
107,639
119,599
1,195 99
13,155 9
25,115 8
37,075 8
49,035 7
60,9°5 6
72.955 5
84,915 4
96,875 4
108,835
120,795
2,391 98
14.351 9
26,311 8
38,271 7
50,231 7
62,191 6
74,151 5
86,111 4
98,071 3
110,031
121,991
3,587 98
15,547 9
27,517 8
39,467 7
51,427 7
63,387 6
75,347 5
87,307 4
99,267 3
111,227
123,187
4,783 97
16,743 9
28,703 8
4'\6бЗ 7
52,623 6
64,583 6
76,543 5
88,503 4
100,463
112,423
124,383
5,979 96
17,939 9
2^,899 8
41.85Э 7
53,819 6
65,779 6
77,739 5
89,699 4
101,659
113,619
125,579
7,175 95
19,135 9
31,095 8
43,055 7
55,015 6
66,975 6
78,935 5
90,895 4
102,855
114,815
126,775
8,371 94
2\331 9
32, 91 8
44,251 7
56,211 6
68,171 5
8'),131 5
92/ 91 4
104,051
116,011
127,971
9,567 94110,763 9
21,527 9 22,723 8
33,487 8 34,683 8
45,447 7 46,643 7
57,407 6158,603 6
69,367 5'70,563 5
81,327 5 82,523 4
93,287 4 94,483 4
Таблица 20. а) Перевод английских квадратных футов
0
105,247
117,207
129,167
Ю6.443
118,403
130,363
в квадратные метры
Ь) Перевод квадратных метров в английские квадратные футы
а ) 1 кв. фут = 0,092 902 877 м*
2	|	3	|	4
5 |	6 I 7 |	8 |	9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,92903
1,858 06
2,787 09
3,716 12
4,645 14
5,574 17
6,503 20
7,432 23
8,361 26
9,290 29
0,092 90
1,021 93
1,950 96
2,879 99
3,809 02
4,738 05
5,667 (8
6,596 10
7,525 13
8,454 16
9,383 19
0,185 81	0,278 71	0,371 61	0,464 51	0,557 42	0,650 32	0,743 22
1,114 83	1,207 74	1,300 64	1,393 54	1,486 45	1,579 35	1,672 25
2,043 86	2,136 77	2,229 67	2,322 57	2,415 47	z,508 38	2,601 28
2,972 89	3,065 79	3,158 70	3,251 60	3,344 50	3,437 41	3,530 31
3,°01 92	3,994 82	4,087 73	4,180 63	4,273 53	4,366 44	4,459 34
4,830 95	4,923 85	5,016 76	5,11/9 66	5,202 56	5,295 46	5,388 37
5,759 98	5,852 88	5,945 78	6,038 69	6,131 59	6,224 49	6,317 40
6,68901	6,781 91	6,874 81	6,967 72	7,060 62	7,153 5х	7,246 42
7,618 04	7,710 94	7,803 84	7,896 74	7,989 65	8,082 55	8,175 45
8,547 06	8,639 97	8,732 87	8.825 77	8,918 68	9,011 58	9,104 48
9,476 09. 9,569 00		9,661 90	9,754 80	9,847 70(9,940 61		10,033 5
b) 1 м2 = 10,763930134 кв. фута
0,836 13
1,765 15
2,694 18
3,623 21
4,552 24
5,481 27
6,410 30
7,3э9 33
8,268 36
9,197 з8
10,126 4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
107,639
215,279
322,918
430,557
538,197
645,836
753,475
861,114
968,754
1076,39
10,763 9
118,403
226,043
333,682
441,321
548,960
656,600
764,239
871,878
979,518
1087,16
21,527 9
129,167
236,806
344,446
452,085
559,724
667,364
775,003
882,642
990,282
1097,92
32,291 8
139,931
247.570
355,210
462,849
570,488
678,128
785,767
893,406
1001,05
1108,68
43,055 7
150,695
258,334
365,974
473,613
581,252
688,892
796,531
904,170
1011,81
1119,45
53,819 7
161,459
269,098
376,738
484,377
592,016
699,655
807,295
914,934
1022,57
1130,21
64,583 6
172,223
279,862
387,501
495,141
602,780
710,419
818,059
925,698
1033,34
1140,98
75,347 5 86,111 4
182,987 (193,751
290,626 '301,399
398,265 409,029
505,905
613,544
7Л.183
828,823
936,462
1044,10
1151,74
516,669
624,308
7о1,947
839,587
947,226
1054,87
1162,50
96,8754
204 515
312,154
419,793
527,433
635,072
742,711
850,350
957,990
1065,63
1173,27
928
Приложение
Таблица 21. а) Перевод английских квадр. дюймов в квадратные сантиметры
Ь) Перевод квадратных сантиметров в англ, квадратные дюймы
а) 1 кв. дюйм = 6,451588 24 см1
	0	1	2	3	4	5	1 6	7	1 8	' 9
0			6,452	12,903	19,355	25,806	32,258	38,710	45,161	51,613	58,064
10	64,516	70,967	77,419	83,871	93,322	96,774	103,225	109,677	116,129	122,580
20	129,032	135,483	141,935	148,387	154,838	161,290	167,741	174,193	180,645	187,096
30	193,548	199,999	206,451	212,902	219,354	225,806	232,257	238,709	245,160	251,612
40	258,064	264,515	270,967	277,418	283,870	290,322	296,773	303,225	309,676	316,128
50	322,579	329,031	335,483	341,934	348,386	354,837	361,289	367,741	374,192	380,644
60	387,095	393,547	399,999	406,450	412,902	419,353	425,805	432,257	438,708	445,160
70	451,611	458,063	464,514	470,966	477,418	483,869	490,321	496,772	503,224	509,676
80	516,127	522,579	529,030	535,482	541,934	548,385	554,837	561,288	567,740	574,192
90	580,643	587,095	593,546	599,998	606,449	612,901	619,352	625,804	632,256	638,706
100	645,159	651,610	658,062	664,514	670,965	677,417	683,868	690,320	696,772	703,223
			Ь) 1	си2=0,155 000 593 9 кв. дюйма						
0			0,155 00	0,310 00	0,465 00	0,620 00	0,775 00	0,930 00	1,085 00	1,240 00	1,395 01
10	1,550 01	1,705 01	1,860 01	2,015 01	2,170 01	2,325 01	2,480 01	2,635 01	2,790 01	2,945 01
20	3,100 01	3,255 01	3,410 01	3,565 01	3,720 01	3,875 02	4,030 02	4,185 02	4,340 02	4,495 02
30	4,650 02	4,805 02	4,960 02	5,115 02	5,270 02	5,425 02	5,580 02	5,735 02	5,890 02	6,045 02
40	6,2С0 02	6,355 02	6,510 03	6,665 03	6,820 03	6,975 03	7,130 03	7,285 03	7,440 03	7,595 03
50	7,750 03	7,905 03	8,060 03	8,215 03	8,370 03	8,525 03	8,680 03	8,835 03	8,990 03	9,145 04
60	9,300 04	9,455 04	9,610 04	9,765 04	9,920 04	10,075 0	10,230 0	10,385 0	10,540 0	10,695 0
70	10,850 0	11,005 0	11,160 0	11,315 0	11,470 0	11,625 0	11,780 0	11,935 0	12,090 0	12,245 0
80	12.4000	12,555 0	12,710 0	12,865 0	13,020 1	13,175 1	13,330 1	13,485 1	13,640 1	13,795 1
90	13,950 1	14,105 1	14,260 1	14,4151	14,570 1	14,725 1	14,880 1	15,035 1	15,190 1	15,345 1
100	15,5001	15,655 1	15,810 1	15,965 1	16,120 1	16,275 1	16,430 1	J6 585 1	.16,7401	16,895 1
Таблица 22. а) Перевод русских десятин в гектары
Ь) Перевод гектаров в русские десятины
а) 1 десятина = 2400 кв. саженей = 1,092 54 га
	1	0 1	1 1	2	|	3	|	4 1	5	1 6 1	7	8	1 9
0	—	1,092 54	2,185 08 3,277 62	4,370 16	5,46270	6,555 24	7,647 78	8,740 3.	9,832 86
10	10,925 4	12,017 9	13,110 5 14,203 0	15,295 6	16,3881	17,480 6	18,573 2	19,665 7	20,758 3
20	21,850 8	22,943 3	24,035 9 25,128 4	26,221 0	27,3135	28,406 0	29,498 6	30,691 1	31,683 7
30	32,776 2	33,868 7	34,961 3 36,053 8	37,146 4	38,2389	39,331 4	40,424 0	41,516 5	42,609 1
40	43,701 6	44,794 1	45,886 7 46,979 2	48,071 8	49,1643	50,256 8	51,349 4	52,441 9	53,534 5
50	54,627 0	55,719 5	56,812 1 57,904 6	58,997 2	60,0897	61,182 2	62,274 8	63,367 3	64,459 9
60	65,552 4	66,644 9	67,737 5 68,830 0	69,922 6	71,0151	72,107 6	73,200 2	74,292 7	75,385 3
70	76,477 8	77,570 3	78,662 9 79,755 4	80,848 0	81,9405	83,033 0	84,125 6	85,218 1	86,310 7
80	87,403 2	88,495 7	89,588 З,1 90,680 8	91,773 4	92,8659	93,958 4	95,051 0	96,143 5	97,236 1
90	98,328 6	99,421 1	100,514 101,606	102,699	103,791	104,884	105.976	107,069	108,161
100	109,254	110,347	111,439 | 112,532	113,624	114,717	115,809	116,902	117,994	119,087
b) 1 гд=0,915298 5 десятины
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
9,152 98
18,ЗС6 0
27,458 9
36,611 9
45,764 9
54,917 9
64,070 9
73,223 8
82,376 8
91,529 8
0,915 30
10,068 3
19,221 3
28,374 2
37,527 2
46,680 2
55,833 2
64,986 2
74,139 1
83,292 1
92,445 1
1,830 60
10,983 6
20,136 6
29,289 5
38,442 5
47,595 5
55,748 5
65,901 5
75,054 4
84,207 4
93,360 4
2,745 89
11,898 9
21,051 9
30,204 8
39,357 8
48,510 8
57,663 8
66,816 8
75,960 7
85,122 7
94,275 7
3,661 19
12,814 2
21,967 2
31,120 1
40,273 1
49,426 11
58,579 1
67,732 1
76,885 0
86,038 0
95,191 0
4,576 49
13,729 5
22,882 5
32,035 4
41,188 4
50,341 4
59,494 4
68,647 4
77,800 3
86,953 3
96,106 5
5,491 79
14,644 8
23,797 7
32,950 7
42,103 7
51,256 7
60,409 7
69,562 6
78,715 6
87,868 6
97,051 €
Q,407 09г7,322 38
15,560 1 16,475 4
24,713 0 25,628 3
33,866 0 34,781 3
43,019 0
52,172 О
61,325 О
70,477 9
79,630 9
88,783 9
97,936 9
43,934 3
53,087 3
62,240 3
71,393 2
80,546 2
89,699 2
98,852 2
8,237 68
17,390 7
26,543 6
35,696 6
44,849 6
54,002 6
63,155 6
72,308 5
81,461 5
°О,614 5
99,767 5
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
929
Таблица 23. а) Перевод русских квадратных саженей в квадратные метры
Ь) Перевод квадратных метров в русские квадратные сажени
а) 1 кв. сажень = 4,552 25 м1
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0			4,55225	9,10450	13,6568	18,2090	22,7613	27,3135	31,8658	36,4180	40,9703
10	45,5225	50,0748	54,6270	59,1793	63,7315	68,2838	72,8360	77,3883	81,9405	86,4928
20	91.0450 136,568	95,5973	100,150	104,702	109,254	113,806	118,359	122,911	127,463	132.015
30		141,120	145,672	150,224	154,777	159,329	163,881	168,433	172,986	177,538
40	182,090	186,642	191,195	195,747	200,299	204,851	209,404	213,956	218,508	223,060
50	227,613	232,165	236,717	241,269	245,822	250,374	254,926	259,478	264,031	268,583
60	273,135	277,687	282,240	286,792	291,344	295,896	300,449	305,001	309,553	314,105
70	318,658	223,210	327,762	332,314	336,867	341,419	345,971	350,523	355,076	359,628
80	364,180	368,732	373,285	377,837	382,389	386,941	391,494	396,046	400,598	405,150
90	409,703	414,255	418,807	423,359	427,912	432,464	437,016	441,568	446,1211	450,673
100	455,225	459,777	464,330	468,882	473,434	477,986	482,539	487,0911 491,643.		496,195
			b) 1 лГ =		0,2196 716 кв. сажени					
0			0,219 67	0,439 34	0,659 02	0,878 691 1,098 36		1,318 03 1,537 70		1,757 38 1,977 05	
10	2,196 72	2,416 39	2,636 06	2,855 74	3,075 41	3,295 08	3,514 75|3,734 42		3,954 10 4,173 77	
20	4,393 44	4,613 И	4,832 78	5,052 46	5,272 13; 5,491 80		5,711 4715,931 14		6,150 82,6,370 49	
30	6,590 16	6,809 83	7,029 50	7,249 18	7,468 85' 7,688 52		7,908 19 8,127 86		8,317 54	8,567 21
40	8,786 88	9,006 55	9,226 22	9,445 90	9,665 57	9,885 24	10,104 9 10,324 6		10,544 3	10,763 9
50	10,983 6	11,203 3	11,422 9	11,642 6	11,862 3	12,082 0	12,301 6 12,521 3		12,741 0	12,960 6
60	13,180 3	13,400 0	13,619 7	13,839 3	14,059 0	14,278 7	14,498 4 14,718 0		14,937 7	15,157 4
70	15,377 0	15,596 7	15,816 4	16,036 1	16,255 7	16,475 4	16,695 1	16,914 7	17,134 4	17,354 1
80	17,573 8	17,793 4	18,013 1	18,232 8	18,452 4	18,672 1	18,891 8,19,111 5		19,331 1119,550 8	
90	19,770 5	19,990 2	20,209 8	20,429 5	20,649 2	20,868 8	21,088 5 21,308 2		21,527 9'21.747 5	
100	21,967 2	22,186 9	22,406 5	22,626 2'	22,845 9	23,065 6	23,285 2 23,504 9		23,724 6 j 28,944 2	
Таблица 24. а) Перевод русских квадратных аршин в квадратные метры
Ь) Перевод квадратных метров в русские квадратные аршины
а) 1 кв. аршин = 0,505 805 м*
1	1 0	1 1	2	1 3	4	1 5	6 1	1 7	8	9
0			0,505 81	1,011 61	1,517 42	2,023 22	2,529 03	3,034 83	3,540 64	4,046 44	4,552 25
10	5,058 05	5,563 86	6,069 66	6,575 47	7,081 27	7,587 08	8,092 88	8,598 69	9,104 49	9,610 30
20	10,116 1	10,621 9	11,127 7	11.633 5	12,139 3	12,645 1	13,150 9	13,656 7	14,162 5	14,668 3
30	15,174 2	15,680 0	16,185 8	16,691 6	17,197 4	17,703 2	18,209 0	18,714 8	19,220 6	19,726 4
40	20,232 2	20,738 0	21,243 8	21,749 6	22,255 4	22,761 2	23,267 0	23,772 8	24,278 6	24,784 4
50	25,290 3	25,796 1	26,301 9	26,807 7	27,313 5	27,819 3	28,325 1	28,830 9	29,336 7	29,842 5
60	30,348 3	30,854 1	31,359 9	31,865 7	32,371 5	32,877 3	33,383 1	33,888 9	34,394 7	34,с0Э 5
70	35,406 4	35,912 2	36,418 0	36,923 8	37,429 6	37,935 4	38,441 2	38,947 0	39,452 8	39,958 6
80	40,464 4	40,970 2	41,476 0	41,981 8	42,487 6	42,993 4	43,499 2	44,005 0	44,510 8	45,016 6
90	45,522 5	46,028 3	46,534 1	47,039 9	47,545 7	48,051 5	48,557 3	49,063 1	49,568 9	50,074 7
100	50,580 5	51,086 3	1 51,592 1	52,097 9	52,603 7	53,109 5	53,615 3	54,121 1	54,626 9	55,1327
			Ь)	1 л<’ =	1,977 045	кв. аршина				
0			1,97705	3,95409	5,93114	7,90818	9,88523	11,8623	13,8393	| 15,8164	17,7934
10	19,7705	21,7475	23,7245	25,7016	27,6786	29,6557	31,6327	33,6098	35,5868	37,5639
20	39,5409	41,5179	43,4950	45,4720	47,4491	49,4261	51,4032	53,3802, 55,3573		57,3343
30	59,3114	61,2884	63,2654	65,2425	67,2195	69,1966	71,1736	73,1507	75,1277	77,1048
40	79,0818	81,0588	83,0359	85,0129	86,9900	88,9670	90,9441	92,9211	94,8982	96,8752
50	98,8523	100,829	102,806	104,783	106,760	108,737	110,715	112,692	114,669	116,646
60	118,623	120,600	122,577	124,554	126,531	128,508	130,485	132,462	134,439	136,416
70	138,393	140,370	142,347	144,324	146,301	148,278	150,255	152,232	154,210	156,187
80	158,164	160,141	162.118	164,095	166,072	168,049	170,026	172,003	173,980	175,957
90	177,934	179,911	181,888	183,865	185,842	187,819	189,796	191,773	1 193,750	195,727
100	197,705	199,682	201,659	203,636	205,613	207,590	209,567	211,544; 213,521		215,496
936
Приложение
Таблица 25. а) Перевод русских квадратных вершков в квадратные сантиметры
Ь) Перевод квадратных дециметров в квадратные вершки
а) 1 кв. вершок=19,7580 см3
	0	1	2	3	4	5	6	7 1	8 1	9
0			19,7580	39,5160	59,2740	79,0320	98,7900	118,548	138,306	158,064	177,822
10	197,580	217,338	237,096	256,854	276,612	296,370	316,128	335,886	355,644	375,402
20	395,160	414,918	434,676	454,434	474,192	493,950	513,708	503,466	553,224 572,982	
30	592,740	612,498	632,256	652,014	671,772	691,530	711,288	731,046	750,804,	770,562
40	790,320	810,078	829,836	849,594	869,352	889,110	908,868	928,626	948,384' 968,142	
50	987,900	1007,66	1027,42	1047,17	1066,93	1086,69	1106,45	1126,21	1145,96	1165,72
60	1185,48	1205,24	1225,00	1244,75	1264,51	1284,27	1304,03	1323,79	1343,54' 1363,30	
70	1383,06	1402,82	1422,58	1442,33	1462,09	1481,85	1501,61	1521,37	1541,121 1560,88	
80	1580,64	1600,40	1620,16	1639,91	1659,67	1679,43	1699,19	1718,95	1738,70	1758,46
90	1778,22	1797,98	1817,74	1837,49	1857,25	1877,01	1896,77 2094,35 ика	1916,53	1936,28	1956,04
100	1975,80	1995,56	2015,32 Ь)	2035,07 1 дм9 =	2054,83 5,061 235	2074,59 кв. вер>		2114,11	2133,86} 2153,62	
0			5,06124	10,1225	15,1837	20,2449	25,3062	30,3674	35,4286	40,4899	45,5511
10	50,6124	55,6736	60,7348	65,7961	70,8573	75,9185	80,9798	86,0410	91,1022	96,1635
20	101,225	106,286	111,347	116,408	121,470	126,531	131,592	136,653	141,715	146,776
30	151,837	156,898	161,960	167,021	172,082	177,143	182,204	187,266	192,327	197,388
40	202,449	207,511	212,572	217,633	222,694	227,756	232,817	237,878	242,939	248,001
50	253,062	258,123	263,184	268,245	273,307	278,368	283,429	288,490	293,552	298,613
60	303,674	308,735	313,797	318,858	323,919	328,980	334,042	339.103	344,164	349,225
70	354,286	359,348	364,409	369,470	374,531	379,593	384,654	389,715	394,776	399,838
80	404,899	409,960	415,021	420,083	425,144	430,205	435,266	440,327	445,389	450,450
90	455,511	460,572	465,634	470,695	475,756	480,817	485,879	490,940	496,001	501,062
100	506,124	511,185	516,246	521,307	526,368	531,430	536,491	541,552	546,613	551,675
С. Меры объемов и емкостей
Таблица26. а) Перевод английских кубических ярдов в кубические метры
Ь) Перевод кубических метров в английские кубические ярды
а) 1 куб. ярд = 0,764 552 851 3 м9
о
1	|	2	З|4|5|б|7|8|9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
7,645 53
15,291 1
22,936 6
30,582 1
38,227 6
45,873 2
53,518 7
61,164 2
68,809 8
76,455 3
0,764 55
8,410 08
16,055 6
23,701 1
31,346 7
38,992 2
46,637 7
54,283 3
61,928 8
69,574 3
77,219 8
1,529 11
9,174 63
16,820 2
24,465 7
32,111 2
39,756 8
47,402 3
55,047 8
62,693 3
70,338 9
77,984 4
2,293 66
9.939 19
17,584 7
25,230 2
32,875 8
40,521 3
48,166 8
55,812 4
63,457 9
71,103 4
78,748 9
3,058 21
10,703 7
18,349 3
25,994 8
33,640 3
41,285 9
48,931 4
56,576 9
64,222 4
71,868 0
79,513 5
3,822 76
11,468 3
19,113 8
26,759 4
34,404 9
42,050 4
49,695 9
57,341 5
64,987 0
72,632 5
80,278 1
4,587 32 5,351 87
12,232 8 12,997 4
19,878 4 20,642 9
27,523 9 28,288 5
35,169 4 35,934 0
42,815 0 43,579 5
50,460 5 51,225 0
58,106 0 58,870 6
65,751 5 66,516 1
6,116 42
13,762 0
21,407 5
29,053 0
36,698 5
44,344 1
51,989 6
59,635 1
67,280 7
73,397 1 74,161 6-74:926 2
81,042 6|81,807 2182,571 7
6,880 98
14,526 5
22,172 0
29,817 6
37,463 1
45,108 6
52,754 2
60,399 7
68,045 2
75 690 7
83,336 3
b) 1 м9 = 1,307 954 213 куб. ярда
0			1,30795	2,61591	3,92386	5,23182	6,53977	7,84772	9,15568 10,4636		11,7716
10	13,0795	14,3875	15,6954	17,0034	18,3114	19,6193	20,9273	22,2352	23,5432	24,8511
20	26,1591	27,4670	28,7750	33,0829	31,3909	32,6988	34,0068	35,3148	36,6227	37,9307
30	39,2386	40,5466	41,8545	43,1625	44,4704	45,7784	47,0863	48,3943	49,7023	51,0102
40	52,3182	53,6261	54,9341	56,2420	57,5500	58,8579	60,1659	61,4738	62,7818	64,0897
50	65,3977	66,7057	68,0136	69,3216	70,6295	71,9375	73,2454	74,5534	75,8613	77,1693
60	78,4772	79,7852	81,0931	82,4011	83,7001	85,0170	86,3250	87,6329	88,9409	90,2488
70	91,5568	92,8647	94,1727	95,4806	93,7886	98,1965	99,4045	100,712	102,020	103,328
80	104,635	105,944	107,252	108,560	109,868	111,176	112,484	113,792	115,100	116,408
30	117/716	119,024	120,332	121,640	122,948	124,256	125,564	126,872	128,179	129,487
1QQ	130,735	132,103	133,411	134,719	136,027	137,335	138,643	139,951	141*259	142.567
Т<1блицы догя сравнения и перевода мер и весов
931
Таблица 27. а) Перевод английских куб. футов в кубические дециметры
Ь) Перевод кубических метров в английские кубические футы
а) куб. фут. = 28,316 772 27 дм3
1	0	1	2	3 1	4	5 1	6	1 1	8	9
0			28,3168	56,6336	84,9504	113,267	141,584	169,901	198,218	226,534	254,851
10	283,168	311,485	339,802	368,118	396,435	424,752 ,	453,069	481,386	509,702	538,019
20	566,336	594,653	622,970	651,286	679,603	707,920 I	736,237	764,554	792,870	821,187
30	849,504	877,821	906,138	934,454	962,771	991,088	1019,40	1047,72	1076,04	1104,36
40	1132,67	1160,99	1189,31	1217,62	1245,94	1274,26	.1302,57	1330,89	1359,21	1387,52
50	1415,84	1444,16	1472,47	1500,79	1529,11	1557,42	1585,74	1614,06	1642,37	1670,69
60	1699,01	1727,32	1755,64	1783,96	1812,28	1840,59 1868,91		1897,23	1925,54	1953,86
70	1982,18	2010,49	2038,81	2067,13 |	2095,44	2123,76 :	2152,08	2180,39	2208,71	2237,03
80	2265,34	2293,66	2321,98	2350,29	2378,61	2406,93	2435,24	2463,56	2491,88	2520,20
90	2548,51	2576,83	2605,15	2633,46	2661,78	2690,10	2718,41	2746,73	2775,05	2803,36
100	2831,68	2860,00	2888,31	2916,63 I	2944,95	2973,26 ;	3001,58	3029,90	3058,21	3086,53
			Ь) 1	: м3 = 35,314 763 758 куб.			фута			
0	—	35.3148	70,6296	105,944	141,259	176,574	211,889	247,204	282,518	317,833
10	353,148	388,463	423,778	459,092	494,407	529,722	565,037	600,352	635,666	670,981
20	706,296	741,611	776,926	812,240	847,555	882,870	918,185	953,500	988,814	1024,13
30	1059,44	1094,76	1130,07	1165,39	1200,70	1236,02	1271,33	1306,65	1341,96	1377,28
40	1412,59	1447,91	1483,22	1518,54	1553,85	1589,17	1624,48	1659,80	1695,11	1730,43
50	1765,74	1801,05	1836,37	1871,68	1907,00	1942,31	1977,63	2012,94	2048,26	2083,57
60	2118,89	2154,20	2189,52	2224,83	2260,15	2295,46	2330,78	2366,09	2401,41	2436,72
70	2472,04	2507,35	2542,67	2577,98	2613,30	2648,61	2683,92	2719,24	2754,55	2789,87
80	2825,18	2860,50	2895,81	2931,13	2966,44	3001,76	3037,07	3072,39	3107,70	3143,02
90	3178,33	3213,65	3248,96	3284,28	3319,59	3354,91	3390,22	3425,54	3460,85	3496,17
100	3531,48	3566,79	3602,11	3637,42	3672,74	3708,05	3743,37	3778,68	' 3814,00	3849,31
Таблица 28. а) Перевод английских кубических дюймов в куб. сантиметры
Ь) Перевод кубических дециметров в английские куб. дюймы
а) 1 куб. дюйм = 16,387 019 9 см3
1	0 1	1 1	2	3	4	5 1	6	7	8 1	9
0			16,387	32,774	49,161	65,548	81,935	98,322	114,709	131,096	147,483
10	163,870	180,257	196,644	213,031	229,418	245,805	262,192	278,579	294,966	311,353
20	327,740	344,127	360,514	376,901	393,288	409,675	426,062	442,449	458,836	475,223
30	491,610	507,997	524,384	540,771	557,158	573,545	589,932	606,319	622,706	639,093
40	655,480	671,867	688,254	704,641	721,028	737,415	753,802	770,189	786,576	802,963
50	819,350	835,737	852,124	868,511	884,898	901,285	917,672	934,059	950,446	966,833
60	983,220	999,607	1015,99	1032,38	1048,77	1065,15	1081,54	1097,93	1114,32	1130,70
70	1147,09	1163,48	1179,86	1196,25	1212,64	1229,02	1245,41	1261,80	1278,19	1294,57
80	1310,96	1327,35	1343,73	1360,12	1376,51	1392,90	1409,28	1425,67	1442,06	1458,44
90	1474,83	1491,22	1507,60 1671,48	1523,99	1540,38	1556,76	1573,15	1589,54	1605,93	1622,31
100	1638,70	1655,09		1687,86	1704,25	1720,64	1737,02	1753,41	1769,80	1786,19
			Ъ) 1	дм3 = 61,023 909 куб. дюйма						
0			61,0239	122,048	183,072	244,096	305,120	366,143	427,167	488,191	549,215
10	610,239	671,263	732,287	793,311	854,335	915,359	976,383	1037,41	1098,43	1159,45
20	1220,48	1281,50	1342,53	1403,55	1464,57	1525,60	1586,62	1647,65	1708,67	1769,69
30	1830,72	1891,74	1952,77	2013,79	2074,81	2135,84	2196,86	2257,88	2318,91	2379,93
40	2440,96	2501,98	2563,00	2624,03	2685,05	2746,08	2807,10 2868,12		2929,15	2990,17
50	3051,20	3112,22	3173,24	3234,27	3295,29	3356,32	3417,34 3478,36		3539,39	3600,41
60	3661,43	3722,46	3783,48	3844,51	3905,53	3966,55	4027,58	4088,60	4149,63	4210,65
70	4271,67	4332,70	4393,72	4454,75	4515,77	4576,79	4637,82	4698,84	4759,86	4820,89
80	4881,91	4942,94	5003,96	5064,98	5126,01	5187,03	5248,06	5309,08	5370,10	5431,13
90	5492,15	5553,18	5614,20	5675,22	5736,25	5797,27	5858,30	5919,32	5980,34	6041,37
100	6102,89	6163,41	6224,44	6285,46	6346,49	6407,51	6468,53	6529,56	6590,58	6651,61
932
Приложение
Таблица 29. а) Перевод русских кубических саженей в кубические метры
Ь) Перевод кубических метров в русские кубические сажени
а) 1 куб. сажень = 9,712 68 м3
	0	1	2	3	4	1 5	6	7	1 8	1 9
0			9,71268	19,4254	29,1380	38,8507	48,5634	58,2761	67,9888	77,7014	87,4141
10	97,1268	106,839	116.552	126,265	135,978	145,690	155,403	165,116	174,828	184,541
20	194,254	203,966	213,679	223,392	233,104	242,817	252,530	262,242	271,955	281,668
30	291,320	301,093	310,806	320,518	330,231	339,944	349,656	359,369	369,082	378,795
40	388,507	398,220	407,933	417,645	427,358	437,071	446,783	456,496	466,209	475,921
50	485,634	495,347	505,059	514,772	524,485	534,197	543.91Q	553,623	563,335	573,048
60	582,761	592,473	602,186	611,899	621,612	681,324	641,037	650,750	660,462	670,175
70	679,888	689,600	699,313	709,026	718,738	728,451	738,164	747,876	757,589	767,302
80	777,014	786,727	796,440	806,152	815,865	825,578	835,290	845,003	854,716	864,429
90	874,141	883,854	893,567	903,279	912,992	922,705	932,417	942,130	951,843	961.555
100	971,268	980,981	990,693	1000,41	1010,12	1019,83	1029,54	1039,26	1048,97	1058,68
			Ь)	1 м9 = 0,102 958 2 куб. сажени						
0			0,102 96	0,205 92	0,308 87	0,411 83	0,514 79	0,617 75	0,720 71	0,823 67	0,926 62
10	1,029 58	1,132 54	1,235 50	1,338 46	1,441 41	1,544 37	1,647 33	1,750 29	1,853 25	1,956 21
20	2,059 16	2,162 12	2,265 08	2,368 04	2,471 00	2,573 96	2,676 91	2,779 87	2,882 83	2,985 79
30	3,088 75	3,191 70	3,294 66	3,397 62	3,500 58	3,603 54	3,706 50	3,809 45	3,912 41	4,015 37
40	4,118 33	4,221 29	4,324 24	4,427 20	4,530 16	4,633 12	4,736 08	4,839 04	4,941 99	5,044 95
50	5,147 91	5,250 87	5,353 83	5,456 78	5,559 74	5,662 70	5,765 66	5,868 62	5,971 58	6,074 53
60	6,177 49	6,280 45	6,383 41	6,486 37	6,589 32	6,692 28	6,795 24	6,898 20	7,001 16	7,104 12
70	7,207 07	7,310 03	7,412 99	7,515 95	7,618 91	7,721 87	7,824 82	7,927 78	8,030 74	8,133 70
80	8,236 66	8,339 61	8,442 57	8,545 53	8,648 49	8,751 45	8,854 41	8,957 36	9,060 32	9,163 28
90	9,266 24	9,369 20.	9,472 15	9,575 11	9,678 07	9,781 03	9,883 99	9,986 95	10,089 9	10,192 9
100	10,295 8	10,398 8	10,501 7	10,604 7	J0,707 7	10,810 6	10,913 6	11,016 5	11,019 5	11,222 4
Таблица 30. а) Перевод русских кубических аршин в кубические метры
Ь) Перевод кубических метров в кубические аршины
а) 1 куб. аршин = 0,359 729 м9
	0	1 1 1	1 2 |	1 3	1 4	5 1	1 6	1 7 1	8 |
0	—	0,359 73	0,719 46	1,079 19	1,438 92	1,798 65	2,158 37	2,518 10	2,877 83
10	3,597 29	3,957 02	4,316 75	4,676 48	5,036 21	5,395 94	5,755 66	6,115 39	6,475 12
20	7,194 58	7,554 31	7,914 04	8,273 77	8,633 50	8,993 23	9,352 95	9,712 68	10,072 4
30	10,791 9	11,151 6	11,511 3	11,871 1	12,230 8	12,590 5	12,950 2	13,310 0	13,669 7
40	14,389 2	14,748 9	15,108 6	16,468 3	15,828 1	16,187 8	16,547 5	16,907 3	17,267 0
50	17,986 5	18,346 2	18,705 9	19,065 6	19,425 4	19,785 1	20,144 8	20,504 6	20,864 3
60	21,583 7	21,943 5	22,303 2	22,662 9	23,022 7	23,382 4	23,742 1	24,101 8	24,461 6
70	25,181 0	25,540 8	25,900 5	26,260 2	26,619 9	26,979 7	27,339 4	27,699 1	28,058 9
80	28,778 3	29,138 0	29,497 8	29,857 5	30.217 2	30,577 0	30,936 7	31,296 4	31,656 2
90	32,375 6	32,725 3	33,095 1	33,454 8	33,814 5	34,174 3	34,534 0	34,893 7\	35.253 4
100	35,972 9	36,332 6	36,692 4	37,052 1	37,411 8	37,771 5	38,131 3	38,491 0[38,850 7	
3.237 56
6,834 85
10,432 1
14,029 4
17,626 7
21,224 0
24,821 3
28,418 6
32,015 9
35,613 2
39,210 5
b) 1 м9 = 2,779 872 куб. аршина
0			2,77987	5,55074	8,33962	11,1195	13,8994	16,6792	19,4591	22,2390	25,0188
10	27,7987	30,5786	33,3585	36,1383	38,9182	41,6981	44,4779	47,2578	50,0377	52,8175
20	55,5974	58,3773	61,1572	63,9371	66,7169	69,4968	72,2767	75,0565	77,8364	80,0163
30	88,3962	86,1760	88,9559	91,7358	94,5156	97,2955	100,075	102,855	105,635	108,415
40	111,195	113,975	116,755	119,534	122,314	125,094	127,874	130,654	133,434	136,214
50	138,994	141,773	144.553	147,333	150,113	152,893	155,673	158,453	161,233	164,012
60	166,792	169,572	172,352	175,132	177,912	180,692	183,472	186,251	189,031	191,811
70	194,591	197,371	200,151	202,931	205,711	208,490	211,270	214,050	216,830	219,610
80	222,390	225,170	227,950	230,729	233,509	236,289	239,069	241,849	244,629	247,409
90	250,188	252,968	255,748	258,528	261,308	264,088	266,868	269,648	272,427	275,207
100	277,987	280,767	283,547	286,327	289,107	291,887	294,666	297,446	300,226	303,006
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
933
Таблица 31. а) Перевод русских кубических вершков в кубические сантиметры
Ь) Перевод кубических дециметров в русские кубические вершки
	0	1	а) 1 куб. вершок =» 87,8244 сл«8					1 7	8	1 9
			2	3	4	5	1 6			
0			87,8244	175.649	263,473	351,298	439,122	526,946	614,771	762,595	790,420
10	878,244	966,С 68	1053,89	1141,72	1229,54	1317,37	1405,19	1493,01	1580,84	1668,66
20	1756,49	1844,31	1932,14	2019,96	2107,79	2195,61	2283,43	2371,26	2459,08	2546,91
30	2634,73	2722,56	2810,38	2898,21	2986,03	3073,85	3161,68	3249,50	3337,33	3425,15
40	3512,98	3600,80	3688,62	3776,45	3864,27	3952,10	4039,92	4127,75	4215,57	4303,40
50	4391,22	4479,04	4566,87	4654,69	4742,52	4830,34	4918,17	5005,99	5093,82	5181,64
60	5269,46	5357,29	5445,11	5532,94	5620,76	5708,59	5796,41	5884,23	5972,06	6059,88
70	6147,71	6235,53	6323,36	6411,18	6499,01	6586,83	6674,65	6762,48	6850,30	6938,13
80	7025,95	7113,78	7201,60	7289,43	7377,25	7465,07	7552,90	7640,72	7728,55	7816,37
90	7904,20	7992,02	8079,84	8167,67	8255,49	8343,32	8431,14	8518,97	8606,79	8694,62
100	8782,44	8870,26	8958,09	9045,91	9133,74	9221,56	9309,39	9397,21	9485,04	9572,86
			Ь)	1 см* =	11,386 35 куб. вершка					
0		11,3864	22,7727	34,1591	45,5454	56,9318	68,3181	79,7045	91,0908	102,477
10	113,864	125,250	186,636	148,023	159,409	170,795	182,182	193,568	204,954	216,341
20	227,727	239,113	250,500	261,886	273,272.	284,659	296,045	307,431	318,818	330,204
30	341,591	352,977	364,363	375,750	387,136	398,522	409,909	421,295	432,681	444,068
40	455,454	466,840	478,227	489,613	500,999	512,386	523,772	535,158	546,545	557,931
50	569,318	580,704	592,090	603,477	614,863	626,249	637,636	649,022	660,408	671,795
60	683,181	694,567	705,954	717,340	728,726	740,113	751,499	762,885	774,272	785,658
70	797,045	808,431	819,817	831,204	842,590	858,976	865,363	876,749	888,135	899,522
80	910,908	922,294	933,681	945,067	956,453	967,840	979,226	990,612	1002,00	1013,39
90	1024,77	1036,16	1047,54	1058,93	1070,32	1081,70	1093,09	1104,48	1115,86	1127,25
100	1138,64	1150,02	1161,41	1172,79	1184,18	1195,57	1206,95	1218,34	1229,73	1241,11
Таблица 32. а) Перевод английских имперских квартеров
в гектолитры
Ь) Перевод гектолитров в английские имперские квартеры
а) 1 квартер = 8 бушелей * 32 пека = 64 галлона*= 2,907 814 гл
	0	1	2	1 3	4	1 5	1 6	7	8	9
0			2,90781	5,81563	8,72344	11,6313	14,5391	17,4469	20,3547	23,2625	26,1703
10	29,0781	31,9860	34,8938	37,8016	40,7094	43,6172	46,5250	49,4328	52,3407	55,2486
20	58,1563	61,0641	63,9719	66,8797	69,7875	72,6954	75,6032	78,5110	81,4188	84,3266
30	87,2344	90,1422	93,0500	95,9579	98,8657	101,773	104,681	107,589	110,497	113,405
40	116,313	119,220	122,128	125,036	127,944-	130,852	133,759	136,667	139,575	142,483
50	145,391	148,299	151,206	154,114	157,022	159,930	162.838	165,745	168,653	171,561
60	174,469	177,377	180,284	183,192	186,100	189,008	191,916	194,824	197,731	200,639
70	203,547	206,455	209,363	212,270	215,178	218,086	220,994	223,902	226,809	229,717
80	232,625	235,533	238,441	241,349	244,256	247,164	250,072	252,980	255,888	258,795
90	261,703	264,611	267,519	270,427	273,335	276,242	279,150	282,058	284,966	287,874
100	290,781	293,689	296,597	299,505	302,413	305,320	308,228	311,136	314,044	316,952
			b' 1 гл =		: 0,343 901 квартера					
-0	«а	0,343 90	0,687 80	1,031 70	1,375 60	1,719 51’2,063 41		2,407 31	2,751 21	3,095 11
10	3,439 01	1 3,782 91	4,126 81	4,470 71	4,814 61	5,158 5 2 5,502 42		5,846 32	6,190 22	6,534 12
20	6,87802	7,221 92	7,565 82	7,909 72	8,253 62	8,597 53,8,941 43		9,285 33	9,629 23	9,973 13
30	10,317 0	10,660 9	11,004 8	11,348 7	11,692 6	12,036 5 12,380 4		12,724 3	13,068 2	13,412 1
40	13,756 0	14,099 9	14,443 8	14,787 7	15,131 6	15,475 5	15,819 4	16,163 3	16,507 2	16,851 1
50	17,195 1	17,539 0	17,882 9	18,226 8	18,570 7	18,914 6	19,258 5	19,602 4	19,946 3	20,290 2
60	20,634 1	20,978 0	21,321 9	21,665 8	22,009 7	22,353 6	22,697 5	23,041 4	23,385 3	23,729 2
70	24,073 1	24,417 0	24,760 9	25,104 8	25,448 7	25,792 6	26,136 5	26,480 4	26,824 3	27,168 2
80	27,512 1	27,856 0	28,199 9	28,543 8	28,887 7	29,231 6	29,575 5	29,919 4	30,263 3	30,607 2
90	30,951 1	31,295 0	31,638 9	31,982 8	32,326 7	32,670 6	33,014 5	33,358 4	33,702 3	34,046 2
100	34,390 1	34,734 0	35,077 9	35,421 8	35,765 7	36,109 6|36,453 5		36,797 4	37,141 3	37,485 2
934
Приложение
Таблица 33. а) Перевод английских имперских галлонов в литры
Ь) Перевод литров в английские имперские галлоны
а) 1 имперский галлон 1898 г. =277,260 куб. дюйма = 4,545 963 л
	0	1	2	3	4	5	6	7 1	8	9
0			4,54596	9,09193	13,6379	18,1839	22,7298	27,2758	31,8217	36,3677	40,9137
10	45,4596	50,0056	54,5516	59,0975	63,6435	68,1894	72,7354	77,2814	81,8273	86,3733
20	90,9193	95,4652	100,011	104,557	109,103	113,649	118,195	122,741	127,287	131,833
30	136,379	140,925	145,471	150,017	154,563	159,109	163,655	168,201	172,747	177,293
40	181,839	186,384	190,930	195,476	200,022	204,568	209,114	213,660	218,206	222,752
50	227,298	231,844	236,390	240,936	245,482	250,028	254,574	259,120	263,666	268,212
60	272,758	277,304	281,850	286,396	290,942	295,488	300,034	304,580	309,125	313,671
70	318,217	322,763	327,309	331,855	336,401	340,947	345,4931	350,039	354,585	359,131
80	363,677	368,223	372,769	377,315	381,861	386,407	390,953	395,499	400,045	404,591
90	409,137	413,683	418,229	422,775	427,321	431,866	436,412	440,958	445,504	450,050
100	454,596	459,142	463,688	*468,234	472,780	1 477,326	481,872	486,418	! 490,964	495,510
	Ъ) 1 Л:	=0,219 975 47 имперского			галлона	=61,023 909 куб. дюйма (табл. 28b)				
0			0,219 98	0,439 95	0,659 93	0,879 90	1,099 88	1,319 85	1,539 83	1,759 80	1,979 78
10	2,199 76	2,419 73	2,639 71	2,859 68	3,079 66	3,299 63	3,519 61	3,739 58	3,959 56	4,179 53
20	4,399 51	4,619 49	4,839 46	5,059 44	5,279 41	5,499 39	5,719 36	5,939 34	6,159 31	6,379 29
30	6,599 27	6,819 24	7,039 22	7,259 19	7,479 17	7,699 14	7,919 12	8,139 09	8,359 0 7	8,579 04
40	8,799 02	9,019 00	9,238 97	9,458 95	9,678 92	9,898 90	10,118 9	10,338 8	10,558 8	10,778 8
50	10,998 8	11,218 8	11,438 7	11,658 7	11,878 7	12,098 7	12,318 6	12,538 6	12,758 6	12,978 6
60	13,198 5	13,418 5	13,638 5	13,858 5	14,078 4	14,298 4	14,518 4	14,738 4	14,958 3	15,178 3
70	15,398 3	15,618 3	15,838 2	16,058 2	16,278 2	16,498 2	16,718 1	16,938 1	17,158 1	17,378 1
80	17,598 0	17,818 0	18,038 0	18,258 0	18,477 9	18,697 9	18*917 9	19,137 9	19,357 8	19,577 8
90	19,797 8	20,017 8	20,237 7	20,457 7	20,677 7	20,897 7	21,117 6	21,337 6	21,557 6	21,777 6
100	21,997 6	22,217 5	22,437 5	22,657 5	. 22,877 5	23,097 4	23,317 4	23,537 4	23,757 4	.23,977 3
Таблица 34. а) Перевод американских винчестерских галлонов в литры
Ь) Перевод литров в американские винчестерские галлоны
а) 1 галлон = 231 куб. дюйм=3,785 442 л
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
2	|	3	|	4	5	] 6 1	7 |	8 | 9
		3,78544	7,57088	11,3563	15,1418	18,9272	22,7127	26,4981	30,2835	34,0690
37,8544	41,6399	45,4253	49,2107	52,9962	56,7816	60,5671	64,3525	68,1380	71,9234
75,7088.	79,4943	83,2797	87,0652	90,8506	94,6361	98,4215	102,207	105,992	109,778
113,56^	117,349	121,134	124,920	128,705	132,490	136,276	140,061	143,847	147,632
151,418	155,203	158,989	162,774	166,559	170,345	174,130	177,916	181,701	185,487
189,272	193,058	196,843	200,628	204,414	208,199	211,985	215,770	219,556	223,341
227,127	230,912	234,697	238,483	242,268	246,054	249,839	253,625	257,410	261,195
264,981	268,766	272,552	276,337	280,123	283,908	287,694	291,479	295,264	299,050
302,835	306,621	310,406	314,192	317,977	321,763	325,548	329,333	333,119	336,904
340,690	344,475	348,261	352,046	355,832	359,617	363,402	367,188	370,973	374,759
378,544	382,330	386,115	389,901	393,686	397,471	401,257	405,042	408,828	412,613
b) 1 л = 0,264 169 9 галлона
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
2,641 70
5,283 40
7,925 Ю
10,566 8
13,208 5
15,850 2
18,491 9
21,133 6
23,775 3
26,417 0
0,264 17
2,905 87
5,547 57
8,189 27
10,831 0
13,4727
16,1144
18,756 1
21,397 8
24,039 5
26,681 2
0,528 34
3,170 04
5,811 74
8,453 44
11,095 1
13,736 8
16,378 5
19,020 2
21,661 9
24,303 6
26,945 3
0,792 51
3,434 21
6,075 91
8,717 61
11,359 3
14,001 0
16,642 7
19,284 4
21,926 1
24,567 8
27,209 5
1,056 68
3,698 38
6,340 08
8,981 78
11,623 5
14,265 2
16,906 9
19,548 6
22,190 3
24,832 0
27,473 7
1,320 85 1,585 02
3,962 55 4,226 72
6,604 25 6,868 42
9,245 95 9,510 12
11,887 6
14,529 3
17,171 0
19,812 7
22,454 4
25,096 1
27,737 8
12,151 8
14,793 5
17,435 2
20,076 9
22,718 6
25,360 3
28,002 0
1,849 19
4,490 89
7,132 59
9,774 29
12,416 0
15,057 7
17,699 4
20,341 1
22,982 8
25,624 5
28,266 2
2,113 36
4,755 06
7,396 76
10,038 5
12,680 2
15,321 9
17,963 6
20,605 3
23,247 0
25,888 7
128,530 3
2,377 53
5,019 23
7,660 93
10,302 6
12,944 3
15,586 0
18,227 7
20,869 4
23,511 1
26,152 8
28,794 5
О I
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
935
Таблица 35. а) Перевод нефтяных баррилей в гектолитры ’)
Ь) Перевод гектолитров в нефтяные баррили
а) 1 нефтяной барриль =42 нефтяных галлона по 5/6«10 фунтов воды (=230,667 куб.
дюйма или 3,779 94 дм3) = 1,58/ 574 8 гл 2)	♦
•	0	1	2 •	3	4 I	1	5 |	1	6	1	1 7	8	1	9
0			1,58757	3,17515	4,76272	6,35030	7,93787	9,52545	11,1130	12,7006	14,2882
10	15,8757	17,4633	19,0509	20,6385	22,2260	23,8136	25,4012	26,9883	28,5763	30,1639
20	31,7515	33,3391	34,9266	36,5142	38,1018	39,6894	41,2769	42,8645	44,4521	46,0397
30	47,6272	49,2148	50,8024	52,3900	53,9775	55,5651	57,1527	58,7403	60,3278	61,9154
40	63,5030	65,0906	66,6781	68,2657	69,8533	71,4409	73,0284	74,6160	76,2036	77,7912
50	79,3787	80,9663	82,5539	84,1415	85,7290	87,3166	88,9042	90,4918	92,0793	93,6669
60	95,2545	96,8421	98,4296	100,017	101,605	103,192	104,780	106,368	107,955	109,543
70	111,130	112,718	114,305	115,893	117,481	119,068	120,656	122,243	123,831	125,418
80	127,006	128,594	130,181	131,769	133,356	134,944	136,531	138,119	139,707	141,294
90	142,882	144,469	146,057	147,644	149,232	150,820	152,407	153,995	155,582	157,170
100	158,757	160,345	161,933	163,520	165,108	166,695	168,283	169,871	171,458	173,046
b) 1 гл=0,629 8916 нефтяного барриля ’)
0			0,629 89	1,259 78	1,889 67	2,519 57	3,149 46	3,779 35	4,409 2415,039 13		5,669 02
10	6,298 92	6,928 81	7,558 70	8,188 59	8,818 48	9,448 37	10,078 3	10,708 2 11,338 0		11,967 9
20	12,597 8	13,227 7	13,857 6	14,487 5	15,117 4	15,747 3	16,377 2	17,007 1 17,637 0		18,266 9
30	18,896 7	19,526 6	20,156 5	20,786 4	21,416 3	22,046 2	22,676 1	23,306 0123,935 9		24,565 8
40	25,195 7	25,825 6	26,455 4	27,085 3	27,715 2	28,345 1	28,975 0	29,604 9	30,234 8	30,864 7
50	31,494 6	32,124 5	32,754 4	33,384 3	34,014 1	34,644 0	35,273 9	35,903 8	36,533 7	37,163 6
60	37,793 5	38,423 4	39,053 3	39,683 2	40,313 1	40,943 0	41,572 8	42,202 7	42,832 6	43,462 5
70	44,092 4	44,722 3	45,352 2	45,982 1	46,612 0	47,241 9	47,871 8	48,501 7	49,131 Б	49,761 4
80	50,391 3	51,021 2	51,651 1	52,281 0	52,910 9	53,540 8	54,170 7	54,800 6	55,430 5	56,060 4
90	56,690 2	57,320 1	57,950 0	58,579 9	59,209 8	59,839 7	60,469 6	61,099 5	61,729 4	62,359 3
100	62,989 2	63,619 1	64,248 9	64,878 8	65,508 7	66,138 6	66,768 5 67,398 4		68,028 3	68,658 2
Таблица 86. а) Перевод русских бочек в гектолитры
Ь) Перевод гектолитров в русские бочки
а) 1 бочка = 40 ведер (табл. 381 = 4,919 763 5 гл
	0 I	1 1	1 2	3	4	4	1 6 |	1 7 |	1 8 1	9
0			4,91976	9,83953	14,7593	19,6791	24,5988	29,5186	34,4383	39,3581	44,2779
10	49,1976	54,1174	59,0372	63,9569	68,8767	73,7964	78,7162	83,6360	88,5557	93,4755
20	98,3953	103,315	108,235	113,155	118,074	122,994	127,914	132,834	137,753	142,673
30	147,593	152,513	157,432	162,352	167,272	172,192	177,111	182,031	186,951	191,871
40	196,791	201,710	206,630	211,550	216,470	221,389	226,309	231,229	236,149	241,068
50	245,988	250,908	255,828	260,747	265,667	270,587	275,507	280,426	285,346	290,266
60	295,186	300,106	305,025	309,945	314,865	319,785	324,704	329,624	334,544	339,464
70	344,383	349,303	354,223	359,143	364,062	368,982	373,902	378,822	383,742	388,661
80	393,581	398,501	403,421	408,340	413,260	418,180	423,100	428,019	432,939	437,859
90	442,779	447,698	452,618	457,538	462,458	467,377	472,297	477,217	482,137	487,057
100	491,976	496,896	501,816	506,736	511,655	516,575	521,495	526,415	531,334	536,254
b) 1 гл = 0,203 261 8 бочки
0			0,203 26	0,406 52	0,609 79	0,813 05	1,016 31	1,219 57	1,422 83	1,626 09	1,829 36
10	2,032 62	2,235 88	2,439 14	2,642 40	2,845 67	3,048 93	3,252 19	3,455 45	3,658 71	3,861 97
20	4,065 24	4,268 50	4,471 76	4,675 02	4,878 28	5,081 55	5,284 81	5,488 07	5,691 33	5,894 59
30	6,097 85	6,301 12	6,504 38	6,707 64	6,910 90	7,114 16	7,317 42	7,520 69	7,723 95	7,927 21
40	8,130 47	8,333 73	8,537 00	8,740 26	8,943 52	9,146 78	9,350 04	9,553 30	9,756 57	9,959 83
50	10,163 1	10,366 4	10,569 6	10,772 9	10,976 1	11,179 4	11,382 7	11,585 9	11,789 2	11,992 4
60	12,195 7	12,399 0	12,602 2	12,805 5	13,008 8	13,212 0	13,415 3	13,618 5	13,821 8	14,025 1
70	14,228 3	14,431 6	14,634 8	14,838 1	15,041 4	15,244 6	15,447 9	15,651 2	15,854 4	16,057 7
80	16,260 9	16,464 2	16,667 5	16,870 7	17,074 0	17,277 3	17,480 5	17,683 8	17,887 0	18,090 3
90	18,293 6	18,496 8	18,700 1	18,903 3	19,106 6	19,309 9	19,513 1	19,716 4	19,919 7	20,122 9
100	20,326 2	20,529 4	20,732 7	20,936 0	21,139 2	21,342 5	21,545 8	21,749 0	21,952 3	22,155 5
*) См. примечание к стр. 903.’) Для других жидкостей в САСШ барриль считается
в 1,589 886 гл = 42 галлонам по 231 куо. дюйма (=3,785 442 дм\ табл. 34), соответ-
ственно 1 гл = 0,628 976 3 барриля. Для этого барриля цифры табл. 35а должны быть
помножены на 1,001 46, а цифры табл. 35b должны быть помножены на 0^98 57.
936
Приложение
Таблица 37. а) Перевод русских четвертей в гектолитры
Ь) Перевод гектолитров в русские четверти
а) четверть«=8 четверикам (по 26,238738 л) = 32 четверкам (по 6,5596845 л)=64 гарнцам
(по 3,2798423 л) = 2,099 099 гл .
	0 1	1 1	2	3 I	4 I	б I	6 I	7	8 1	9
0			2,09910	4,19820	6,29730	8,39640	10,4955	12,5946	14,6937	16,7928	18,8919
10	20,9910	23,0901	25,1892	27,2883	29,3874	31,4865	33,5856	35,6847	37,7838	39,8829
20	41,9820	44,0811	46,1802	48,2793	50,3784	52,4775	54,5766	56,6757	58,7748	60,8739
30	62,9730	65,0721	67,1712	69,2703	71,3694	73,4685	75,5676	77,6667	79,7658	81,8649
40	83,9640	86,0631	88,1622	90,2613	92,3604	94,4595	96,5586	98,6577	100,757	102,856
50	104,955	107,054	109,153	111,252	113,351	115,450	117,550	119,649	121,748	123,847
60	125,946	128,045	130,144	132,243	131,342	136,441	138,541	140,640	142,739	144,838
70	146,937	149,036	151,135	153,234	155,333	157,432	159,532	161,631	163,730	165,829
80	167,928	170,027	172,126	174,225	176,324	178,423	180,523	182,622	184,721	186,820
90	188,919	191,018	193,117	195,216	197,315	199,414	201,514	203,613	205,712	207,811
100	209,910	212,009	214,108	216,207	218,306	220,405	222,504	224,604	226,703	228,802
b) 1 гл = 0,47632485 четверти = 3,8111588
= 30,489271
четверика = 15,244 635 четверки =
гарнца
0			0,476 39	0,952 79	1,429 18	1,905 58	2,381 97	2,858 37	3,334 76	3,811 16	4,287 55
10	4,763 95	5,240 34	5,716 74	6,193 13	6,669 53	7,145 92	7,622 32	8,098 71	8,575 11	9,051 50
20	9,527 90	10,004 3	10,480 7	10,957 1	11,433 5	11,909 9	12,386,3	12,862 7	13,339 1	13,815 4
30	14,291 8	14,768 2	15,244 6	15,721 0	16,197 4	16,673 8	17,150,2	17,626 6	18,103 0	18,579 4
40	19,055 8	19,532 2	20,008 6	20,485 0	20,961 4	21,437 8	21,914 2	22,390 6	22,867 0	23,343 3
50	23,819 7	24,2Р6 1	24,772 5	25,248 9	25,725 3	26,201 7	26,678 1	27,154 5	27,630 9	28,107 3
60	28,583 7	29,060 1	29,536 5	30,012 9	30,489 3	30,965 7	31,442 1	31,918 5	32,394 8	32,871 2
70	33,347 6	33,824 0	34,300 4	34,776 8	35,253 2	35,729 6	36,206 0	36,682 4	37,158 8	37,635 2
80	38,111 6	38,588 0	39,064 4	39,540 8	40,017 2	40,493 6	40,970 0	41,446 3	41,922 7	42,399 1
90	42,875 5	43,351 9	43,828 3	44,304 7	44,781 1	45,257 5	45,733 9	46,210 3	46,686 7	47,163 1
100	47,639 5	48,115 9	48,592 3	49,068 7	49,545 1	50,021 5	50,497 8	50,974 2	51,450 6	51,927 0
Таблица 38. л) Перевод русских ведер в литры
Ь) Перевод литров в русские кружки
а) 1 ведро=10 кружек = 12,299409 л
2 |	3 |	4	|	5 |	6 |	7 |	8 |	9
0
10
20
30
40
50
60
70
30
90
100
122,994
245,988
368,982
491,976
614,971
737,965
860,959
983,953
1106,95
1229,94
12,2994
135,294
258,288
381,282
504,276
627,270
750,264
873,258
996,252
1119,25
1242,24
24,5988
147,593
270,587
393,581
516,575
639,569
762,563
885,558
1008,55
1131,55
1254,54
36,8982
159,892
282,886
405,881
528,875
651,869
774,863
897,857
1020,85
1143,85
1266,84
49,1976
172,192
295,186
418,180
541,174
664,168
787,162
910,156
1033,15
1156,14
1279,14
61,4971
184,491
307,485
430,479
553,473
676,468
799,462
922,456
1045,45
1168,44
1291,44
73,7965
196,791
319,785
442,779
565,773
688,767
811,761
934,755
1057,75
1180,74
1303,24
86,0959	98,3953	110,695
209,020	221,389	233,689
332,084	344,383	356,683
455,078	467,378	479,677
578,072	590,372	602,671
701,066	713,366	725,665
824,060	836,360	848,659
947,055	959,354	971,653
1070,05	1082,35	1094,65
1193,04	1205,34	1217,64
1316,04	1328,34	1340,64
0
b) 1 л = 0,813 04721 кружки
0			0,813 05	1,626 09	2,439 14	3,252 19	4,065 24	4,878 28	5,691 33	6,504 38	7,317 41
10	8,130 47	8,943 52	9,756 57	10,569 6	11,382 7	12,195 7	13,008 8	13,821 8	14,634 8	15,447 9
20	16,260 9	17,074 0	17,887 0	18,700 1	19,513 1	20,326 2	21,139 2	21,952 3	22,765 3	23,578 4
30	24,391,4	25,204 5	26,017 5	’26,830 б	27,643 6	28,456,7	29,269 7	30,082 7	39,895 8	31,708 8
40	32,521 9	33,334 9	34,148 0	34,961 0	35,774 1	36,587 1	37,400 2	38,213 2	39,026 3	39,839 3
50	40,652 4	41,465 4	42,278 5	43,091 5	43,904 5	44,717 6	45,530 6	46,343 7	47,156 7	47,969 8
60	48,782 8	49,595 9	50,408 9	51,222 0	52,035 0	52,848 1	53,661 1	54,474 2	55,287 2	56,100 3
70	56,913 3	57,726 4	58,539 4	59,352 4	60,165 5	60,978 5	61,791 6	62,604 6	63,417 7	64,230 7
80	65,043 8	65,856 8	66,669 9	67,482 9	68,296 0	69,109 0	69,922 1	70,735 1	71,548 2	72,361 2
90	73,174 2	73,987 3	74,800 3	75,613 4	76,426 4	77,239 5	78,052 5	78,865 6	79,678 G	80,491 7
100	81,304 7	8^,117 8	82.930 8	83,743 9	84,556 9	85,370 0	86,183 0	86,996 1	87,809 1	88,622 1
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
937
D. Веса
Таблица 39. а) Перевод английских тонн в тонны метр. _
Ь) Перевод метр, тонн в английские тонны °
а) 1 тонна (long ton) = 20 центнеров = 20Х4 квартера = 80X28 фунтов = 1,12 судовой
(short) тонны = 1,016 С47 06 тонны
	0	1	2	3	4 I	5 I	6	7	8	9
0			1,01605	2,03209	3,04814	4,06419	5,08024	6,09628	7,11233	8,12838	9,14442
10	10,1605	11,1765	12,1926	13,2086	14,2247	15,2407	16,2568	17,2728	18,2888	19,3049
20	20,3209	21,3370	22,3532	23,3691	24,3851	25,4012	26,417»	27,4333	28,4493	29,4654
30	30,4814	31,4975	32,5135	33,5296	34,5456	35,5616	36,5777	37,5937	38,6098	39,6258
40	40,6419	41,6579	42,6740	43,6900	44,7061	45,7221	46,7382	47,7542	48,7703	49,7863
50	50,8024	51,8184	52,8344	53,8505	54,8665	55,8826	56,8986	57,9147	58,9307	59,9468
60	60,0628	61,9789	62,9949	64,0110	65,0270	66,0431	67,0591	68,0752	69,0912	70,1672
70	71,1233	72,1393	73,1554	74,1714	75,1875	76,2035	77,2196	78,2356	79,2517	80,2677
80	81,2838	82,2998	83,3159	84,3319	85,3480	86,3640	87,3801	88,3961	89,4121	90,4282
90	91,4442	92,4603	93,4763	94,4924	95,5084	96,5245	97,5405	98,5566	99,5726	100,589
100	101,605	102,621	103,637	104,653	105,669	106,685	107,701	108,717	169,733	110,749
	b) 1 т (метр.)		= 0,984206 long tons = 19,68417 центн. =78,73648 квартера							
0			0,98421	1,96841	2,95262	3,93682	4,92103	5,9Q524	6,88944	7,87365	8,85785
10	9,84206	10,8263	11,8105	12,7947	13,7789	14,7631	15,7473	16,7315	17,7157	18,6999
20	19,6841	20,6683	21,6525	22,6367	23,6209	24,6052	25,5894	26,5736	27,5578	28,5420
30	29,5262	30,5104	31,4946	32,4788	33,4630	34,4472	35,4314	36,4156	37,3998	38,3840
40	39,3682	40,3524	41,3367	42,3209	43,3051	44,2893	45,2735	46,2577	47,2419	48,2261
50	49,2103	50,1945	51,1787	52,1629	53,1471	54,1313	55.1155	56,0997	57,0839	58,0682
60	59,0524	60.0366	61,0208	62,0050	62,9892	63,9734	64,9576	65,9418	66,9260	67,9102
70	68,8944	69,8786	70,8628	71,8470	72,8312	73,8155	74,7997	75,7839	76,7681	77,7523
80	78,7365	79,7207	80,7049	81,6891	82,6733	83,6575	84,6417	85,6259	86,6101	87,5944
90	88,5785	89,5627	90,5469	91,5312	92,5154	93,4996	94,4838	95,4680	96,4522	97,4363
100	98,4206	99,4048	100,389	101,373	102,357	103,342	104,326	105,310	106,294	107,278
	Таблица 40.		а) Перевод английских судовых тонн					в килограммы		
а) судовая (short) тонна = 2С00 фунтов — 0,892857 long tons=£07,184 88 кг
Ь) Перевод метр, тонн в английские судовые тонны
5
0
3
6
7
8
9
2
4
о
ю
20
30
40
50
60
70
80
90
100
9 071,85
18 143,7
27 215,5
36 287,4
45 359,2
54 431,1
63 502,9
72 574,8
81 646,6
90 718,5
907,185
9 979,03
19 050,9
28 122,7
37 194,6
46 266,4
55 338,3
64 410,1
73 482,0
82 553,8
91 625,7
1 814,37
10 886,2
19 958,1
29 029,9
38 1(1,8
47 173,6
56 245,5
65 317,3
74 389,2
83 461,0
92 532,9
2 721,55
11 793,4
20,865,3
29 937,1
39 009,0
48 080,8
57 152,6
66 224,5
75 296,3
84 368,2
93 440,0
3 628,74
12 700,6
21 772,4
30 844,3
39 916,1
48 988,0
58 059,8
67 131,7
76 203,5
85 275,4
94 347,2
4 535,92
13 607,8
22 679,6
31 751,5
40 823,3
49 895,2
58 967,0
68 038,9
77 110,7
86 182,6
95 254,4
5 443,11
14,515,0
23 586,8
32 658,7
41 730,5
50 802,4
59 874,2
68 946,1
78 017,9
87 089,8
96 161,6
6 350,29
15 422,1
24 494,0
33 565,8
42 637,7
51 709,5
60 781,4
69 853,2
78 925,1
87 996,9
97 068,8
7 257,48
16 329,3
25 401,2
34 473,0
43 544,9
52 616,7
61 688,6
70 760,4
79 832,3
88 904,1
97 976,0
8 164,66
17 236,5
26 308,4
35 380,2
44 452,1
53 523,9
62 595,8
71 667,6
80 739,5
89 811,3
98 883,2
b) 1 т = 1,102311 судовой тонны
0			1,10231	2.2С462	3,30693	4,40924	5,51155	6,61387	7,71618	8,81849	9,92080
10	11,0231	12,1254	13,2277	14,3300	15,4324	16,5347	17,6370	18,7393	19,8416	20,9439
20	22,0462	23,1485	24,2508	25,3532	26,4555	27,5578	28,6601	29,7624	30,8647	31,9670
30	33,0693	34,1716	35,2740	36,3763	37,4786	38,5809	39,6832	40,7855	41,8878	42,9901
40	44,0924	45,1948	46,2971	47,3994	48,5017	49,6040	50,7063	51,8086	52,9109	54,0132
50	55,1155	56,2179	57,3202	58,4225	59,5248	60,6271	61,7294	62,8317	63,9340	65,0363
60	66,1387	67,2410	68,3433	69,4456	70,5479	71,6502	72,7525	73,8548	74,9571	76,0595
70	77,1618	78,2641	79,3664	80,4687	81,5710	82,6733	83,7756	84,8779	85,9803	87,0826
80	88,1849	89,2872	90,3895	91,4918	92,5941	93,6964	94,7987	95,9011	97.0034	98,1057
90	99,2080	100,310	101,413	102,515	103,617	104,720	105,822	106,924	10$, 026	109,129
100	110,231	111,333	112,436	113,538	114,640	115,743	116,845	117,947	119,050	120,152
938
Приложение
С
Таблица 41. а) Перевод английских центнеров в килограммы
Ь) Перевод килограммов в английские центнеры
1 центнер = 4 квартера =112 фунтов (табл. 43) = 50,802 353 кг
1
2	3	|	4
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
508,024
1016,05
1524,07
2032,09
2540,12
3048,14
3556,16
4064,19
4572,21
5080,24
о
50,8024
558,826
1066,85
1574,87
2082,90
2590,92
3098,94
3606,97
4114,99
4623,01
5131,04
10
101,605
609,628
1117,65
1625,68
2133,70
2641,72
3149,75
3657,77
4165,79
4673,82
5181,84
20
152,407
660,431
1168,45
1676,48
2184,50
2692,52
3200,55
3708,57
4216,60
4724,62
5232,64
203,209
711,233
1219,26
1727,28
2235,30
2743,33
3251,35
3759,37
4267,40
4775,42
5283,44
5	6	|	7	|	8
304,814| 355,616'
812,838.' 863,640
1320,86 1371,66
1828,88 1879,69
254,012
762,035
1270,06
1778,08
2286,11
2794,13
3302,15
3810,18
4318,20
4826,22
5334,25
2336,91
2844,93
3352,96
3860,98
4369,00
4877,03
5385,05
2387,71
2895,73
3403,76
3911,78
4419,80
4927,83
5435,85
406,419
914,442
1422,47
1930,49
2438,51
2946,53
3454,56
3962,58
4470,61
4978,63
5486,65
9
457,221
965,245
1473,27
1981,29
2489,32
2997,34
3505,36
4013,39
4521,41
5029,43
5537,46
Ь) 1 кг = 0,019 684 1 центнера
30	| 40
50	| 60
70 | 80 | 90
0
100
200
S00
400
500
600
700
800
900
1000
1,968 41
3,936 82
5,905 23
7,873 64
9,842 05
11,8105
13,778 9
15,747 3
17,715 7
19,684 1
0,196 84
2,165 25
4,133 66
6,102 07
8,070 49
10,038 9
12,007 3
13,975 7
15,944 1
17,912 5
19,881 0
0,393 68
2,362 09
4,330 50
6,298 92
8,267 33
10,235 7
12,204 1
14,172 6
16,141 0
18,109 4
20,077 8
0,590 52
2,558 93
4,527 35
6,495 76
8,464 17
10,432 6
12,401 0
14,369 4
16,337 8
18,306 2
20,274 6
0,787 36
2,755 78
4,724 19
6,692 60
8,661 01
10,629 4
12,597 8
14,566 2
16,534 7
18,503 1
20,471 5
0,984 21
2,952 62
4,921 03
6,889 44
8,857 85
10,826 3
12,794 7
14,763 1
16,731 5
18,699 9
20,668 3
1,181 05
3,149 46
5,117 87
7,086 28
9,054 69
11,023 1
12,991 5
14,959 9
16,928 3
18,896 7
20,865 2
1,377 8911,574 73
3,346 30 3,543 14
5,314 71 ;5,511 55
7,283 1217,479 96
9,251 53
11,219 9
13,188 4
15,156 8
17,125 2
19,093 6
21,062 О
9,448 37
11,416 8
13,385 2
15,353 6
17,322 О
19,290 4
21,258 8
1,771 57
3,739 98
5,708 39
7,676 80
9,645 21
11,613 6
13,582 О
15,550 4
17,518 9
19,487 3
21,455 7
Таблица 42. а) Перевод английских квартеров в килограммы
Ь) Перевод килограммов в английские квартеры
а) 1 квартер = 28 фунтов = 12,700 59 кг
0 I 1
2	|	3 Г 4	|	5	1	6 |	7 |	8 |	9
0			12,7006	25,4012	38,1018	50,8024	63,5030	76,2035	88,9041	101,605	114,305
10	127,006	139,706	152,407	165,108	177,808	190,509	203,209	215,910	228,611	241,311
20	254,012	266,712	279,413	292,114	304,814	317,515	330,215	342,916	355,617	368,317
30	381,018	393,718	406,419	419,119	431,820	444,521	457,221	469,922	482,622	495,323
40	<508,024	520,724	533,425	546,125	558,826	571,527	584,227	596,928	609,628	622,329
50	635,030	647,730	660,431	673,131	685,832	698,532	711,233	723,934	736,634	749,335
60	762,035	774,736	787,437	800,137	812.838	825,5д8	838,239	850,940	863,640	876,341
70	889,041	901,742	914,442	927,143	939,844	952,544	965,245	977,945	990,646	1003,35
80	1016,05	1028,75	1041,45	1054,15	1066,85	1079,55	1092,25	1104,95	1117,65	1130,35
90	1143,05	1155,75	1168,45	1181,15	1193,86	1206,56	1219,26	1231,96	1244,63	1257,36
100	1270,06	1282,76	1295,46	1308,16	1320,86	1333,56	1346,26	1358,96	1371,66	1384,36
1 кг = 0,078 736 51 квартера
0
10
20
30
40
50
60
70
80
9Э
190
0,787 36
1,574 73
2,362 09
3,149 46
3,936 82
4,724 19
5,511 55
6,298 92
7,086 28
7,873 65
0,078 74
0,866 10
1,653 47
2,440 83
3,228 20
4,015 56
4,802 >2
5,590 29
6,377 65
7,165 02
7,952 38
Ь)
0,157 47
0,944 84
1,732 20
2,519 57
3,306 93
4,094 зо;
4,881 66
5,669 03
6,456 39
7,243 76
8,001 12
0,236 21
1,023 57
1,810 94
2,598 30
3,385 67
4,173 03
4,960 40
5,747 76
6,535 13
7,322 49
8,109 86
0,314 95
1,102 31
1,889 68
2,677 04
3,464 40
4,251 77
5,039 13
5,826 50
6,613 86
7,401 23
8,188 59
0,472 42'0,551 16
1,259 78 1,338 52
2,047 15.2,125 88
2,834 5112,913 25
3,621 88 3,700 61
4,409 244,487 98
5,196 61 !5,275 34
5,983 97 6,062 71
6,771 34;6,850 07
0,393 68
1,181 05
1,968 41
2,755 78
3,543 14
4,330 51
5,117 87
5,905 24
6,692 60. и, / / 1 о** и,оии V/
7,479 9б| 7,558 70 7,637 44
8,267 33'8,346 07 8,474 8Q
 0,629 89 ।
1,417 26
2,204 62 :
2,991 99 
3,779 35 1
4,566 72 •
5,354 08 .
6,141 44 ।
6.9-8 81
7,716 17 '
,8,503 54 с
0,708 63
1,495 99
2,283 36
3,070 72
3,858 09
4,645 45
5,432 82
6,220 18
7,007 55
7.794 91
8,582 28
Таблицы для сравнения и перевода мер я весов
339
Таблица 43. а) Перевод английских фунтов в килограммы
Ь) Перевод килограммов в английские фунты
а) английский торговый фунт = 1,215 28 тройских фунта = 16 унций (по 2^3495?) =
= 256 драхм (по 1,771 845 г) = 70С0 тройских грана = 0,453 592 44 яг
	0	1	2	3	4	5 1	1 6	7	8	9
0			0,4536	0,9072	1,3608	1,8144	2,2680	2,7216	3,1751	3,6287	4,0823
10	4,5359	4,9895	5,4431	5,8967	6,3503	6,8039	7,2575	7,7111	8,1647	8,6183
20	9,0719	9,5254	9,9790	10,4326	10,8862	11,3398	11,7934	12,2470	12,7006	13,1542
30	13,6078	14,0614	14,5150	14,9686	15,4222	15,8757	16,3293	16,7829	17,2365	17,6901
40	18,1437	18,5973	19,0509	19,5045	19,9581	20,4117	20,8653	21,3189	21,7724	22,2260
50	22,6796	23,1332	23,5868	24,0404	24,4940	24,9476	25,4012	25,8548	26,3084	26,7620
60	27,2156	27,6692	28,1227	28,5763	29,0299	29,4835	29,9371	30,3907	30,8443	31,2979
70	31,7515	32,2051	32,6587	33,1123	33,5659	34,0195	34,4730	34,9266	35,3802	35,8338
80	36,2874	36,7410	37,1946	37,6482	38,1018	38,5554	39,0090	39,4626	39,9162	40,3697
90	40,8233	41,2769	41,7305	42,1841	42,6377	43,0913	43,5449	43,9985	44,4521	44,9057
160	45,3592	45,8128	46,2664	46,7200	47,1736	47,6272	48,0808	48,5344	48,9880	49,4416
b) 1 кг = 2,204 622 3 фунта = 35,273 956 8 унции = 564,383 3 драхмы
0			2,205	4,409	6,614	8,818	11,023	13,228	15,432	17,637	19,842
10	22,046	24,251	26,455	28,660	30,865	33,069	35,274	37,479	39,683	41,888
20	44,092	46,297	48,502	50,706	52,911	55,116	57,320	59,525	61,729	63,934
30	66,139	68,343	70,548	72,752	74,957	77,162	79,366	81,571	83,776	85,980
40	88,185	90,389	92,594	94,799	97,003	99,208	101,413	103,617	105,822	108,026
50	110,231	112,436	114,640	116,845	119,050	121,254	123,456	125,663	127,868	130,073
60	132,228	134,482	136,686	138,891	141,096	143,300	145,505	147,710	149,914	152,169
70	154,323	156,528	158,733	160,937	163,142	165,341	167,551	169,756	171,960	174,165
80	176,370	178,574	180,779	182,983	185,188	187,393	189,597	191,802	194,097	196,211
90	198,416	200,620	202,825	205,030	207,234	209,439	211,644	213,848	216,053	218,257
100	220,462 !	222,667	224,871	227,076	229,281	231,485	233,690	235,894	238,099	240,304
Таблица 44. а) Перевод английских тройских гран, в граммы
Ь) Перевод граммов в английские тройские граны
а) 1 тройский гран =1/7000 торгового фунта = 1/5760 тройского фунта = 0,064 7£>8 92 г
	0 1	1 1	2	1 3	4	5	6	7	8	9
0			0,064 80	0,129 60	0,194 40	0,259 20	0,323 99	0,388 79	0,453 59	0,518 39	0,583 19
10	0,647 99	0,712 79	0,777 59	0,842 39	0,907 18	0,971 98	1,036 78	1,101 58	1,166 38	1,231 18
20	1,295 98	1,360 78	1,425 58	1,490 38	1.555 17	1,619 97	1,684 77	1,749 57	1,814 37	1,879 17
30	1,943 97	2,008 77	2,073 57	2,138 36	2,203 16	2,267 96	2,332 76	2,397 56	2,462 36	2,527 16
40	2,591 96	2,656 76	2,721 55	2,786 35	2,851 15	2,915 95	2,980 75	3,045 55	3,110 35	3,175 15
50	3,239 95	3,304 74	3,369 54	3,434 34	3,499 14	3,563 94	3,628 74	3,693 54	3,758 34	3,823 14
60	3,887 94	3,952 73	4,017 53	4,082 33	4,147 13	4,211 93	4,276 73	4,341 53	4,406 33	4,471 13
70	4,535 92	4,600 72	4,665 52	4,730 32	4,795 12	4,859 92	4,924 72	4,989 52	5,054 32	5,119 И
80	5,183 91	5,248 71	5,313 51	5,378 31	5,443 11	5,507 91	5,572 71	5,637 51	5,702 30	5,767 10
90	5,831 90	5,896 70	5,961 50	6,026 30	6,091 10	6,155 90	6,220 70	6,285 50	6,350 29	6,415 09
100	6,479 89	5,544 69	6,609 49	6,674 29	6,739 09	6,803 89 6,868 69		6,933 48	6,998 28	7,063 08
b) 1 г = 15,432 356 1 тройского грана
0			15,43	30,86	46,30	61,73	77,16	92,59	108,03	123,46	138,89
10	154,32	169,76	185,19	200,62	216,05	231.49	246,92	262,35	277,78	293 21
20	308,65	324,08	339,51	354,94	370,38	385,81	401,24	416,67	432,11	477,54
30	462,97	478,40	493,83	509,27	524,70	540,13	5Эб,56	571,00	586,43	601,86
40	617,29	632,73	648,16	663,59	679,02	694,46	709,89	725,32	740,75	756,18
50	771,62	787,05	802,48	817,91	833,35	848,78	864,21	879,64	895,08	910,51
60	925,94	941,37	956,81	972,24	987,67	1003,10	1018,53	1033,97	1049,40	1064,83
70	1080,26	1095,70	1111,13	1126,56	1141,99	1157,43	1172,86	1188,29	1203,72	1219,15
80	1234,59	1250,02	1265,45	1280,88	1296,32	1311,75	1327,18	1342,61	1358,05	1373,48
90	1388,91	1404,34	1419,78	1435,21	1450,64	1466,07	1481,50	1496,94	1512,37	1527,80
100	1543,24	1558,67	1574,10	1589,53	1604,97	1620,40	1635,83	1651,26	1666,69	1682,13
940
Приложение
Таблица 45. а) Перевод русских пудов в килограммы
Ь) Перевод килограммов в русские пуды
а) 1 пуд»= 40 фунтов (по 0,409 512 410 кг) = 40*32 лота (табл. 46)=1280*3 золотника
(по 4,265 754 г) = 3840*96 долей (табл. 47) = 16,380 496 кг
	0	1	2	3	4 1	5	6	7 1	8	9
0	—	16,3805	32,7610	49,1415	65,5220	81,9025	98,2830	114,6631	I 131,044	147,424
10	163,805	180,185	196,566	212,946	229,327	245,707	262,088	278,468	294,849	311,229
20	327,610	343,990	360,371	376,751	393,132	409,512	425,893	442,273	458,654	475,034
30	491,415	507,795	524,176	540,556	556,937	573,317	589,698	606,078	622,459	638,839
40	655,220	671,600	687,981	704,361	720,742	737,122	753,503	769,883	786,264	802,644
50	819,025	835,405	851,786	868,166	884,547	900,927	917,308	933,688	950,069	966,449
60	982,8^0	999,210	1015,59	1031,97	1048,35	1064,73	1081,11	1097,49	1113,87	1130,25
70	1146,63	1163,02	1179,40	1195,78	1212,16	1228,54	1244,92	1261,30	1277,68	1294,06
so	1310,44	1326,82	1343,20	1359,58	1375,96	1392,34	1408,72	1425,10	1441,48	1457,86
80	1474,24	1490,63	1507,01	1523,39	1539,77	1556,15	1572,53	1588,91	1605,29	1621,67
1С0	1638,05	1654,43	1670,81	1687,19	1703,57	1719,95	1736,33	1752,711	1769,09	1785,47
b) 1 кг = 0,С61 048 211			пуда = 2,441 928 44 фунта			= 78,141 71 лота		= 234,425 13 золотника		
0			0,061 05	0,122 10	0,183 14	0,244 19	0,305 24	0,366 29	0,427 34	0,488 39	0.549 43
10	0,610 48	0,671 58	0,732 58	0,793 63	0,854 67	0,915 72	0,976 77	1,037 82	1,09887	1,159 92
20	1,220 96	1,282 01	1,343 Об	1,404 И	1,465 16	1,526 21	1,587 25	1,648 30	1,709 35	1,770 40
30	1,831 45	1,892 49	1,953 54	2,014 59	2,075 64	2,136 69	2,197 74	2,258 78	2,319 83	2,380 88
40	2,441 93	2,502 98	2,564 02	2,625 07	2,686 12	2,747 17	2,808 22	2,869 27	2,930 31	2,991 36
50	3,052 41	3,113 46	3,174 51	3,235 56	3,296 60	3,357 65	3,418 70	3,479 75	3,540 80	3,601 84
60	3,662 89	3,723 94	3,784 99	3,846 04	3,907 09	3,968 1314,029 18		4,090 23	4,151 28	4,212 33
70	4,273 37	4,334 42	4,395 47	4,456 52	4,517 57	4,578 62 4,639 66		4,700 71	4,761 76	4,822 81
80	4,883 86	4,944 91	5.005 95	5,067 00	5,128 05	5,189 ю'б,250 15		5,311 19	5,372 24	5,433 29
90	5,494 34	5,555 39	5,616 44	5,677 48	5,738 53	5,799 58'5,860 63		5,921 68	5,982 72	6,043 77
100	6,104 82	6,165 87	6,226 92	6,287 97	6,349 01	6,410 0616,471 И		6,532 16	6.593 21,6,654 25	
		Таблица 46.		, а) Перевод русских лотов в граммы						
				Ь) Перевод граммов в русские лоты						
	а) 1 лот =		= 1 /аз Фунта = 3 золотника = 288 долей =					12,797 263 г		
	0 1	1 1	2	3	4	5	6 1	1 7	8	9
0			12,7973	25,5945	38,3918	51,1890	63,9863	76,7836	89,5808	102,378	115,175
10	127,973	140,770	153,567	166,364	179,162	191,959	204,756	217,553	230,351	243,148
20	255,945	268,742	281,540	294,337	307,134	319,932	332,729	345,526	358,323	371,121
30	383,918	396,715	409,512	422,310	435,107	447,904	460,701	473,499	486,296	499,093
40	511,890	524,688	537,485	550,282	563,079	575,877	588,674	601,471	614,268	627,066
50	639,863	652,660	665,458	678,255	691,052	703,849	716,647	729,444	742,241	755,038
60	767,836	780,603	793,430	806,227	819,025	831,822	844,619	857,416	870,214	883,011
70	895,808	908,605	921,403	934,200	946,997	959,795	972,592	985,389	998,186	1010,98
80	1023,78	1036,58	1049,38	1062,17	1074,97	1087,77	1100,56	1113,36	1126,16	1138,96
90	1151,75	1164,55	1177,35	1190,15	1202,94	1215,74	1228,54	1241,33	1254,13	1266,93
100	1279,73	1292,52	1305,32	1318,12	1330,92	1343,71	1356,51	1369,31	1382,10	1394,90
		Ь)	1 г = 0,078 141 71		лота = 0,234 425 13 золотника					
0			0,078 14	0,156 28	0,234 43	0,312 57	0,390 71	0,468 85'0,546 99		0,625 13’0,703 28	
10	0,781 42	0,859 56	0,937 70	1,015 84	1,093 98	1,172 13	1,250 27	1,328 41	1,406 65	1,484 69
20	1,562 83	1,640 98	1,719 12	1,797 26	1,875 40	1,953 54	2,031 68	2,109 83	2,187 97	2,266 И
30	2,344 25	2,422 39	2,500 53	2,578 68	2,656 82	2,734 96	2,813 10	2,891 24	2,969 38	3,047 53
40	3,125 67	3,203 81	3,281 95	3,360 09	3,438 24	3,516 38	3,594 52	3,672 66	3,750 80	3,828 94
50	3,907 09	3,985 23	4,063 37	4,141 51	4,219 65	4,297 79	4,375 94	4,454 08	4,532 22	4,610 36
60	4,688 50	4,766 64	4,844 79	4,922 93	5,001 07	5,079 21	5,157 35	5,235 49	5,313 64	5,391 78
70	5,469 92	5,548 06	5,626 20	5,704 34	5,782 49	5,860 63	5,938 77	6,016 91	6,095 05	6,173 20
80	6.251 34	6,329 43	6,407 62	6,485 76	6,563 90	6,642 05	6 720 19	6,798 33	6,876 47	6,954 61
90	7,032 75	7,110 90	7,189 04	7,267 18	7,345 32	7,423 46	7,501 60	7,579 75	7,657 89	7,736 03
100	7,814 17	7,892 31	7.970 45	8,048 60	8.126 74	8,204 88	8,283 02	8,361 16	8,439 30	8>51745
Таблицы Для сравнения и перевода мер и весов
941
Таблица 47. а) Перевод русских долей в миллиграммы
Ь) Перевод граммов в русские доли
а) 1 доля = 44,434 940 мг
	0	1	’ 2	3	4	1 5	1 6	1 7	1 8	1 9
0	—	44,4349	88,8699	133,305	177,740	222,175	266,610	311,045	355,480	399,914
10	444,349	488,784	533,219	577,654	622,089	666,524	710,959	755,394	799,829	844,264
20	888,699	933,134	977,569	1022,00	1066,44	1110,87	1155,31	1199,74	1244,18	1288,61
30	1333,05	1377,48	1421,92	1466,35	1510,79	1555,22	1599,66	1644,09	1688,53	1732,96
40	1777,40	1821,83	1866,27	1910,70	1955,14	1999,57	2044,01	20.88.44	2132,88	2177,31
50	2221,75	2266,18	2310,62	2355,05	2399,49	2443,92	2488,36	2532,79	2577,23	2621,66
60	2666,10	2710,53	2754,97	2799,40	2843,84	2888,27	2932,71	2977,14	3021,58	3066,01
70	3110,45	3154,88	3199,32	3243,75	3288,19	3332,62	3377,06	3421,49	3465,93	3510,36
80	3554,80	3599,23	3643,67	3688,10	3732,53	3776,97	3821,40	3865,84	3910,27	3954,71
90	3999,14	4043,58	4088,01	4132,45	4176,88	4221,32	4265,75	4310,19	4354,62	4399,06
100	4443,49	4487,93	4532,36	4576,80 b) 1 г=	4621,23 : 22,50481	4665,67 25 доли	4710,10	4754,54	4798,97	4843,41
0			22,5048	45,0096	67,5144	90,0192	112,524	135,029	157,534	180,038	202,543
10	225,048	247,553	270,058	292,563	315,067	337,572	360,077	382,582	405,087	427,591
20	450,096	472,601	495,106	517,611	540,115	562,620	585,125	607,630	630,135	652,639
30	675,144	697,649	720,154	742,659	765,164	787,668	810,173	832,678	855,183	877,688
40	900,192	922,697	945,202	967,707	990,212	1012,72	1035,22	1057,73	1080,23	1102,74
50	1125,24	1147,75	1170,25	1192,75	1215,26	1237,76	1260,27	1282,77	1305,28	1327,78
60	1350,29	1372,79	1395,30	1417,80	1440,31	1462,81	1485,32	1507,82	1530,33	1552,83
70	1575,34	1597,84	1620,35	1642,85	1665,36	1687,86	1710,37	1732,87	1755,38	1777,88
80	1800,38	1822,89	1845,39	1867,90	1890,40	1912,91	1935,41	1957,92	1980,42	2002,93
90	2025,43	2047,94	2070,44	2092,95	2115,45	2137,96	2160,46	2182,97	2205,47	2227,98
100	2250,48	2272,99	2295,49	2318,00	2340,50	2363,01	2385,511 2408,01		2430,52	2453,02
Е. Веса на единицу длины
Таблица 48. а) Перевод английских фунтов на ярд в килограммы на метр
б) Перевод килограммов на метр в английские фунты на ярд
а) 1 фунт на ярд = 0,496 0551 кг}м (или 1 м\кг=0,4960881 ярда на фунт)
0|1|	2|3|4|5|6|7ц8|9
0			0,496 06	0,992 11	1,488 17	1,984 22	2,480 28	2 976 33	3,472 39	3,968 44	4,464 50
10	4,960 55	5,456 61	5,952 66	6,448 72	6,944 78	7,440 83	7,936 89	8,432 94	8.929 00	9,425 05
20	9,921 И	10,417 2	10,913 2	11,409 3	11,905 3	12,401 4	12,897 4	13,393 5	13,889 6	14,385 6
30	14,881 7	15,377 7	15,873 8	16,369 8	16,865 9	17,361 9	17,858 0	18,354 0	18,850 1	19,346 2
40	19,842 2	20,338 3	20,834 3	21,330 4	21,826 4	22,322 5	22,818 5	23,314 6	23,810 7	24,306 7
50	24,802 8	25,298 8	25,794 9	26,290 9	26,787 0	27,283 0	27,779 1	28,275 2	28,771 2	29,267 3
60	29,763 3	30,259 4	30,755 4	31,251 5	31,747 5	32,243 6	32,739 7	33,235 7	33,731 8	34.227 8
70	34,723 9	35,219 9	35,716 0	36,212 0	36,708 1	37,204 2	37,700 2	38,196 3	38,692 3	39,188 4
80	39,684 4	40,180 5	40,676 5	41,172 6	41,668 7	42,164 7	42,660 8	43,156 8	43,652 9	44,148 9
99	44,645 0	45,141 0	45,637 1	46,133 2	46,629 2	47,125 3	47,621 3	48,117 4	48,613 4	49,109 5
100	49,605 5	50,101 6	50,597 6	51,093 7	51 589 7	52,085 8	52,581 8	53,077 9	53,574 0	54,070 0
Ъ) 1 кг\м = 2,015905 фунта на ярд (или 1 ярд на фунт = 2,015905 м/кг)
0			2,01590	4,03181	6,04771	8,06362	10,0795	12,0954	14,1113	16,1272	18,1431
10	20,1590	22,1749	24,1908	26,2068	28,2227	30,2386	32,2545	34,2704	36,2863	38,3022
20	40,3181	42,3340	44,3499	46,3658	48,3817	50,3970	52,4135	54,4294	56,4453	58,4612
30	60,4771	62,4930	64,5089	66,5248	68,5407	70,5566	72,5725	74,5884	76,6044	78,6203
40	80,6362	82,6521	84,6680	86,6839	88,6998	90.7157	92,7316	94,7475	96,7634	98,7793
50	100,7Q5	102.811	104,827	106,843	108,859	110,875	112,891	114,907	116,922	118,938
60	120,954	122,970	124,986	127,002	129,018	131,034	133,050	135,066	137,081	139,097
70	141,113	143,129	145,145	147,161	149,177	151,193	153,209	155,225	157,241	159,256
80	161,272	163,288	165,304	167,320	169,336	171,352	173,368	175,384	177,400	179,415
90	181,431	183,447	185,463	187,479	189,495	191,511	193,527	195,543	197,559	199,574
100	201,590	203,606	205,622	207,638	209,654	211,670	213,686	215,702	217,718	219,734
942
Приложение
Таблица 49. Перевод фунтов на фут различных государств в килограммы на
метр и обратно
Фунт/фут	прусск. I меры	кг\м английск. меры	австр. меры	кг\м	прусск.	Фунт/фут англ.	австр.
1	1,5931	1,4882	1,7719	1	0,6277	0,6720	0,5644
2	3,1862	2,9763	3,5438	2	1,2554	1,3439	1,1287
3	4,7793	4,4645	5,3157	3	1,8831	2,0159	1,6931
4	6,3724	5,9527	7,0875	4	2,5108	2,6879	2,2575
5	7,9655	7,4408	8,8594	5	3,1385	3,3598	2,8218
6	9,5586	8,9290	10,6313	6	3,7662	4,0318	3,3862
7	11,1517	10,4172	12,4032	7	4,3939	4,7038	3,9506
8	12,7448	11,9053	14,1751	8	5,0217	6,3758	4,5150
9	14,3379	13,3935	15,9470	9	5,6494	6,0477	5,0793
Таблица 50. а) Перевод английских фунтов на фут в килограммы на метр
Ь) Перевод килограммов на метр в английские фунты на фут
а) 1 англ, фунт на фут = 1,4881655 кг\м (или 1 лг/кг = 1^4881655 фута на фунт)
	1 0 1	1 1	2 I	3 I	4 I	5 I	6 I	7 I	8 I	9
0	—	1,48817	2,97633	4,46450	5,95266	7,44083	8,92900	10,4172	11,9053	13,3935
10	14,8817	16,3698	17,8580	19,3462	20,8343	22,3225	23,8107	25,2988	26,7870	28,2752
20	29,7633	31,2515	32,7397	34,2278	35,7160	37,2042	38,6923	40,1805	41,6686	43,1568
30	44,6450	46,1331	47,6213	49,1095	50,5976	52,0858	53,5740	55,0621	56,5503	58,0385
40	59,5266	61,0148	62,5030	63,9911	65,4793	66,9675	68,4556	69,9438	71,4320	72,9201
50	74,4083	75,8965	77,3846	78,8728	80,3610	81,8491	83,3373	84,8255	86,3136	87,8018
60	89,2900	90,7781 ,	92,2663	93,7545	95,2426	96,7308	98,2190	99,7071	101,195	102,683
70	104,172	105,660	107,148	108,636	110,124	111,612	113,101	114,589	116,077	117,565
80	119,053	120,541	122,030	123,518	125,006	126,494	127,982	129,470	130,959	132,447
90	133,935	135,423	136,911	138,399	139,888	141,376	142,864	144,352	145,840	147,328
100	148,817	150,305	151,793	153,281	154,769	156,257	157,746	159,234	160,722	162,210
b) 1 кг[м=0,671968 24 фунта на фут (или 1 фут на фунт = 0,67196824 м}кг)
0	—	0,671 97	1,343 94	2,015 90	2,687 87	3,359 84	4,031 81	4,703 78	5,375 75	6,047 71
10	6,719 68	7,391 65	8,063 62	8,735 59	9,407 56	10,079 5	10,751 5	11,423 5	12,095 4	12,767 4
20	13,439 4	14,111 3	14,783 3	15,455 3	16,127 2	16,799 2	17,471 2	18,143 1	18,815 1	19,487 1
30	20,159 0	20,831 0	21,503 0	22,175 0	22,846 9	23,518 9	24,190 9	24,862 8	25,534 8	26,206 8
40	26,878 7	27,550 7	28,222 7	28,894 6	29,566 6	30,238 6	30,910 5	31,582 5	32,254 5	32,926 4
50	33,598 4	34,270 4	34,942 3	35,614 3	36,286 3	36,958 3	37,630 2	38,302 2	38,974 8	39,646 1
60	40,318 1	40,990 1	41,662 0	42,33 1 0	43,006 0	43,677 9	44,349 9	45,021 8	45,693 2	46,365 8
70	47,037 8	47,709 7	48,381 7	49,( 53 7	49,725 6	50,397 6	51,069 6	51,741 6	52,413 5	53,085 5
80	53,757 5	54,429 4	55,101 4	55,773 4	56,445 3	57,117 3	57,789 3	58,461 2	59,133 2	59,805 2
90	60,477 1	61,149 1	61,821 1	62,493 0	63,165 0	63,837 0	64,509 0	65,180 9	65,852 9	66,524 9
100	67,196 8	67,868 8	68,540 8	69,212 7	69,884 7	70,556 7	71,228 6	71,900 6	72,572 6	73,244 5
Таблица 51. а) Перевод английск. фунтов на дюйм в килограммы на сантиметр
Ь) Перевод килограммов па сантиметр в английск. фунты на дюйм
а) 1 фунт на дюйм=0,17857986 кг\см (или 1 см1кг = 0,17857986 дюйма на фунт)
011|2|3|4|5|6|7|8	9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1,785 80
3,571 60
5,357 40
7,143 20
8,929 00
10,714 8
12,500 6
14,286 4
16,072 2
17,858 0
0,178 58
1,964 38
3,750 18
5,535 98
7,321 78
9,107 58
10,893 4
12,679 2
14,465 0
16,250 8
18,036 6
0,357 16
2,142 96
3,928 76
5,714 56
7,500 36
9,286 16
11,072 0
12,857 8
14,643 6
16,429 4
18,215 2
0,535 74
2,321 54
4,107 34
5,893 14
7,678 94
9,464 74
11,250 5
13,036 3
14,822 1
16,607 9
18,393 7
0,714 32
2,500 12
4,285 92
6,071 72
7,857 52
9,643 32
11,429 1
13,214 9
15,000 7
16,786 5
18,572 3
0,892 90
2,678 70
4,464 50
6,250 30
8,036 10
9,821 90
11,607 7
13,393 5
15,170 3
16,965 1
18,750 9
1,071 48
2,857 28
4,643 08
6,428 88
8,214 68
10,000 5
11,786 3
13,572 1
15,357 9
17,143 7
18,929 5
1,250 06
3,035 86
4,821 66
6,607 46
8,393 26
10,179 1
11,964 9
13,750 7
15,536 5
17,322 3
19,108 1
1,428 64
3,214 44
5,000 24
6,786 04
8,571 84
10,357 6
12,143 4
13,929 2
15,715 О
17,500 8
19,286 6
1,697 22
3,393 02
5,178 82
6,964 62
8,750 42
10,536 2
12,322 0
14,107 8
15,893 6
17,679 4
19,465 2
Таблицы для сравнения я перевода мер и весов
943
b) 1 кг!см = 5,599 735 8 фунта на дюйм (или 1 дюйм на фунт=5,599 735 8 см1кг)
|	0	1	|	2	3|4|5|6|7|8|	9
0 10 20 30	55,9974 111,995 167,992	5,59974 61,5971 117,595 173,592	11,1995 67,1969 123,194 179,192	16,7992 72,7966 128,794 184,791	22,3990 78,3964 134,394 190,391	27,9987 83,9961 139,994 195,991	33,59841 39,19821 44,7979 89,5958 95,1956 100,795 145,593 151,193 156,793 201,591 207,190 212,790	50,3977 106,395 162,392 218,390
40	223,990	229,589	235,189	240,789	246,389	251,988	257,588 263,188 268,788	274,387
50	279,987	285,587	291,186	296,786	302,386	307,986	313,585 319,185 324,785	330,385
60	335,984	341,584	347,184	352,784	358,383	363,983	369,583 375,183 380,782	386,382
70	391,982	397,582	403,181	408,781	414,381	419,981	425,580 431,180 436,780	442,379
80	447,979	453,579	459,179	464,778	470,378	475,978	481,578 487,177 492,777	498,377
90	503,977	509,576	515,176	520,776	526,376	531,975	537,575 543,175 548,775	554,374
100	559,974	565,574	571,173	' 576,773	582,373 1	1 587,973 (	. 593,572| 599,172| 604,772	610,372
Таблица 52. а) Перевод английских тонн на кв. дюйм в килограммы
на квадратный сантиметр
Ь) Перевод килограммов на квадратный сантиметр в англий-
ские тонны на квадратный дюйм
а) 1 тонна на кв. дюйм = 157,4879 кг1см* (или 1 см21кг = 157,4879 кв. дюйма на тонну)
|0	|1|а|3|4|5|6|7|8|9
0			157,488	314,976	472,464	629,952	787,440	944,928	1 102,42	1 259,90|	11 417,39
10	1 574,88	1 732,37	1 889,86	2 047,34	2 204,83	2 362,32	2 519,80	2 677,30	2 834,78	2 992,27
20	3 149,76	3 307,25	3 464,74	3 622,22	3 779,71	3 937,20	4 094,69	4 252,18	4 409,66	4 567,15
30	4 724,64	4 882,13	5 039,62	5 197,10	5 354,59	5 512,08	5 669,57	5 827,06	5 984,54	6 142,03
40	6 299,52	6 457,01	6 614,50	6 771,98	6 929,47	7 086,96	7 244,45	7 401,94	7 559,42	7 716,91
50	7 874,40	8 031,89	8 189,38	8 346,86	8 504,35	8 661,84	8 819,33	8 976,82	9 134,30	9 291,79
60	9 449,28	9 606,77	9 674,26	9 921,74	10 079,2	10 236,7	10 394,2	10 551,7	10 709,2	10 866,7
70	И 024,2	И 181,6	11 339,1	11 496,6	И 654,1	И 811,6	И 969,1	12 126,6	12 284,1	12 441,5
80	12 599,0	12 756,5	12 914,0	13 071,5	13 229,0	13 386,5	13 544,0	13 701,4	13 858,9	14 016,4
90	14 173,9	14 331,4	14 488,9	14 646,4	14 803,9	14 961,4	15 118,8	15 276,3	15 433,8	15 591,3
100	15 748,8	15 906,3	16 063,8	16 221,3	16 378,7	16 536,2	16 693,7	16 851,2	17 008,71	|17 166,2
b) 1 кг1см*= 0,006 349 694 тонны на кв. дюйм (или 1 кв. дюйм на тонну =
=0,006 349 694 см^кг)
|	0	| 10	20 | 30 I 40	|	50 | 60 | 70 | 80 | 90
о
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0,634 97
1,269 94
1,904 91
2,539 88
3,174 85
3,809 82
4,444 79
5,079 76
5,714 72
6,349 69
0,063 50
0,698 47
1,333 44
1,968 41
2,603 37
3,238 34
3,873 31
4,508 28
5,143 25
5,778 22
6,413 19
0,126 99
0,761 96
1,396 93
2,031 90
2,666 87
3,301 84
3,936 81
4,571 78
5,2С6 75
5,841 72
6,476 69
0,190 49
0,825 46
1,460 43
2,095 40
2,730 37
3,365 34
4,000 30
4,635 28
5,270 25
5 905 22
6,540 18
0,253 99
0,888 96
1,523 93
2,158 90
2,793 87
3,428 83
4,063 80
4,698 77
5,333 74
5,968 71
6,603 68
0,317 48
0,952 45
1,587 42
2,222 39
2,857 36
3,492 33
4,127 30
4,762 27
5,397 24
6,032 21
6,667 18
0,380 98
1,015 95
1,650 92
2,285 89
2,920 86
3,555 83
4,190 80
4,825 77
5,460 74
6,095 71
6,730 68
0,444 48
1,079 45
1,714 42
2,349 39
2,984 36
3,619 33
4,254 29
4,889 26
0,507 98
1,142 94
1,777 91
2,412 88
3,047 86
3,682 82
4,317 79
4,952 76
5,524 23 5,587 73
6,159 20 6,222 70
6,794 1716,857 67
0,571 47
1,206 44
1,841 41
2,476 38
3,111 35
3,746 32
4,381 29
5,016 26
5,651 23
6,286 20
6,921 17
1 русск. фунт/сажень —0,169193 кг\м
1	„	„	/аршин	=0,507580	кг\м
1		»	/ФУТ	—1,34354	кг\м
1	„	„	/вершок	=9,21288	кг[м
1	„	„	/дюйм	=0,161072	кг\см
1 русский пуд/кв. саж. =3,59833 кг\м2
1	, фунт/ „	„	=0,089958 к?1ма
1	п	/кв.	арш. =0,809625	кг]м2
1	„	„	/кв.	фут =4,40796	кг1ма
1	„	/кв.	верш.=207,26	кг/л/8
1	„	„	/кв. дюйм =0,063 4746 кг/сл/3
1 русск. фунт/куб. саж.=0,0421627 кг]м3
1	„	/куб. apm.= l,ld839 лгг/л/3
1	„	„	/куб. фут -14,4618 яг/л/3
1	.	„	/куб. верш.=4,66286 кг/chi3
1		-	/куб. дюйм=0,0249899кг1см9
1 кг\м =5,91039 фунт/сажень
1	кг\м	=1,97013	„	/аршин
1	кг]м	=0,74430	„	(фут
1	кг/'м	=0,108 544	,	/вершок
1	кг{см	=6,208 38	„	/дюйм
1	кг\ма	=0,277907	пуд/кв.	саж.
1	кг]м*	= 11,1163 фунт/кв.	саж.
1	кг\м2	=1,23514	„ /кв.	аршин
1	кг/аг	=0,226862	„ /кв.	фут
1 кг]м2 =0,0048248 „ /кв. вершок
1 кг[см2 = 15,7544	„ /кв. дюйм
1 кг/м3 =23,7177 фунт/куб. сажень
1 кг]м3 =0,878432 „ /куб. арш.
1 кг\м3 =0,0691476 „ /куб. фут
1 /сг/дл/3=0,214461 „ /куб. верш.
1 кг/см3 = 40,0161	в /куб. дюйм
944
Приложение
F. Веса на единицу площади (давления)
См. также табл. 52 и значения для русских мер на стр. 943.
Таблица 53. Перевод фунтов на кв. фут для различных стран в килограммы
на кв. метр и обратно	_____
Фунт/кв. фут	прусск. меры	кг\м* англ, меры	австр. меры	кг}м*	Фунт/кв. фут		
					прусск.	англ.	австр.
1	5,0761	4,8824	5,6058	1	0,1970	0,2 48	0,1784
2	10,1523	9,7649	11.2116	2	0,3940	0,4096	0,3568
3	15,2284	14,6473	16,8174	3	0,5910	0,6144	0,5351
4	20,3046	19,5298	22,4232	4	0,7880	0,8192	0,7135
5	25,3807	24,4122	28,0291	5	‘0,9850	1,0240	0,8919
6	30,4568	29,2946	33,6349	6	1,1820	1,2289	1,0703
7	35,5330	34,1771	39,2407	7	1,3790	1,4337	1,2487
8	40,6091	39,0595	44,8465	8	1,5760	1,6385	14,270
9	45,6853	43,9420	50,4523	9	1,7730	1,8433	16,054
Таблица 54. а) Перевод англ.фунтов на кв. фут в килограммы на кв. метр
Ь) Перевод килограммов на кв. метр в англ, фунты на кв. фут
а) 1 фунт на кв. фут = 4,882 437 кг}м* (или 1 м*1кг = 4,882 437 кв. фута на фунт)
	I	1	0 I	1 1	2 1	1	3	|	1	4 |	1 5	6	1 7	8 I	1 9
0			4,882	9,765	14,647	19,530	24,412	29,295	1 34,177	39,060	43,942
10	48,824	53,707	58,589	63,472	* 68,354	73,237	78,119	; 8з,оо1	87,884	92,766
20	97,649	102,531	107,414	112,296	117,179	122,061	126,943	131,826	136,708	141,591
30	146,473	151,356	156,238	161,120	166,003	170,885	175,768	180,650	185,533	190,415
40	195,298	200,180	205,062	209,945	214,827	219,710	224,592	229,475	234,357	239,239
50	244,122	249,004	253,887	258,769	263,652	268,534	273,416	278,299	283,181	288,064
60	292,946	297,829	302,711	307,594	312,476	’317,358	322,241	327,123	322,006	336,888
70	341,771	346,653	351,535	356,418	361,300	366,183	371,065	370,948	380,830	385,713
80	390,595	395,477	400,360	405,242	410,125	415,007	419,890	424,772	429,654	434,537
90	439,419	444,302	449,184	454,067	458,949	463,832	468,714	473,596	478,479	483,361
100	488,244	493,126	498,009	502,891	507,773	512,656	517,538	522,421	527,303	532,186
Ъ) 1 кг1мя=з0,204 816 23 фунта на кв. фут (или 1 кв. фут на фунт=0,204 816 23 м2/кг)
0 10 20 30	2,0482 4,0963 6,1445	0,2048 2,2530 4,3011 6,3493	0,4096 2,4578 4,5060 6,5541	0,6144 2,6626 4,7108 6,7589	0,8193 2,8674 4,9156 6,9638	1,0241 3,0722 5,1204 7,1686	1,2289 3,2771 5,3252 7,3734	1,4337 3,4819 5,5300 7,5782	1,6385 3,6867 5,7349 7,7830	1,8433 3,8915 5,9397 7,9878
40	6,1926	8,3975	8,6023	8,8071	9,0119	9,2167	9,4215	9,6264	9,8312	10,0360
50	10,2408	10,4456	10,6504	10,8553	11,0601	11,2649	11,4697	11,6745	11,8793	12,0842
60	12,2890	12,4938	12,6986	12,9034	13,1082	13,3131	13,5179	13,7227	13,9275	14,1323
70	14,3371	14,5420	14,7468	14,9516	15,1564	15,3612	15,5660	15,7708	15,9757	16,1805
80	16,3853	16,5901	16,7949	16,9997	17,2046	17,4094	17,6142	17,8190	18,0238	18,2286
90	18,4335	18,6383	18,8431	19,0479	19,2527	19,4575	19,6624	19,8672	20,0720	>0,2768
100	20,4816	20,6864	20,8912	21,0960	21,3009	21,5057	21,7105	21,9153	22,1201	22,3249
	Таблица 55. Перевод фунтов				на кв.	дюйм для различных стран				
в килограммы на кв. сантиметр и обратно
Фунт/кв. ФУТ	прусск. I меры |	я:г/с,и2 англ, меры	австр. меры	кг\см*	ф; прусск. |	унт/кв. фу англ. |	т австр.
1	0,0731 I	0,0703	0,0807	1	13,681	14,223	12,388
2	0,1462	0,1406	0,1614	2	27,361	28,447	24,776
3	0,2193	0,2109	0,2422	3	41,042	42,670	37,164
4	0,2924	0,2812	0,3229	4	54,722	56,893	49,552
Б	0,3655	0,3515	0,4036	5	68,403	71,117	61,940
6	0,4386	0,4218	0,4843	6	82,083	85,340	74,328
7	0,5117	0,4921	0,5652	7	95,764	99,563	86,716
8	0,5848	0,5625	0,6458	8	109,444	113,787	99,103
9	0,6579	0,6328	0,7265	9	123,125	128,010	111,491
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
945
Таблица 56. а) Перевод английских фунтов на кв. дюйм в кгслг1
б) Перевод кг^м1 в англ, фунты на кв. дюйм
а) 1 англ, фунт на кв. дюйм =0,070 307 097 кг]см2 (или см*1кг = 0,070 307 697 кв. дюй-
ма на англ, фунт)
I 0	[	1	|	2	|	3	|	4	5	| 6	| 7 I 8	| 9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,703 07
1,406 14
2,109 21
2,812 28
3,515 35
4,218 43
4,921 50
5,624 57
6,327 64
7,030 71
0,070 31
0,773 38
1,476 45
2,179 52
2,882 59
3,585 66
4,288 73
4,991 80
5,694 88
6,397 95
7,101 02
0,140 61
0,843 69
1,546 76
2,249 83
2,952 90
3,655 97
4,359 04
5,062 И
5,765 18
6,468 25
7,171 32
0,210 92
0,913 99
1,617 06
2,320 14
3,023 21
3,726 28
4,429 35
5,132 42
5,835 49
6,538 56
7,241 63
Ь) кг1см*= 14,223 315 англ, фунта на
0,281 23
0,984 30
1,687 37
2,390 44
3,093 51
3,796 58
4,499 65
5,202 73
5,905 80
6,608 87
7,311 94
0,351 54 0,421 84 0,492 15
1,054 61 ’1,124 91 1,195 22
1,757 68 1,827 99 1,898 29
2,460 75
3,163 82
3,866 8°
4,569 96
5,273 03
5,976 10
6,679 17
7,382 25
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
142,233
284,466
426,699
568,933
711,166
853,399
995,632
1137,87
1280,10
1422,33
14,223
156,456
298,690
440,923
583,156
725,389
867,622
1009,86
1152,09
1294,32
1436,55
28,447
170,680
312,913
455,146
597,379
739,612
881,846
1024,08
1166,31
1308,54
1450,78
0,562 46|О,632 76
1,265 5311,335 84
\	|2.О38	91
2,671 67 2,741 98
3,374 74
4,077 81
4,780 88
5,483 95
6,187 02 _______
6,890 10 6,960 40
7,593 17 7,663 47
1	10	U,OOZ	40|U,l
.1,195 22 1,265 5311,<
I 1,898 29 1,968 6')|2.(
и 2.601 36 2.671 67 2'
2,531 06)2,601 36
3,234 1з!з,304 43
3,937 20 --------
4,640 27
5,343 34
6,046 41
6,749 48
7,452 55
I 4,007 50
’ 4,710 58
t 5,413 65
6,116 72
; 6,819 79-
. 7,522 86
3,445 05
4,148 12
4,851 19
5,554 26
6,257 33
кв. дюйм [) (или 1 кв. дюйм на англ, фунт-
= 14,223 315 см^кг)
42,670
184,903
327,136
469,369
611,603
753,836
896,069
1038,30
1180,54
1322,77
1465,00
56,893
199,126
341,360
483,593
625,826
768,059
910,292
1052,53
1194 76
1336,99
1479,22
71,117
213,350
355,583
497,816
640,049
782,282
924,515
1066,75
1208,98
1351,21
1493,45
85,340
227,573
369,806
512,039
654,272
796,506
9д8,739
1(80,97
1223,21
1365,44
1507,67
99,563' 113,787
241,796: 256,020
384,030 398,253
526,263; 540,486
668,496
810,729
952,962
1095,20
1237,43
1379,66
1521,89
Таблица 57. а) Перевод тройских гран на кв. дюйм в граммы на
682,719
824,952
967,185
1109,42
1251,65
1393,88
1536,12
128,010
270,243
412,476
554,709
696,942
839,176
981,409
1123,64
1265,88
14( 8,11
1550,34
...	,	,	кв. дециметр
Ь) Перевод граммов на кв. дециметр в тройские граны на кв. дюйм
а) 1 тройский гран на кв. дюйм = 1,004 387 5 г/дм" (или 1 дм*[г=1,004 387 5 кв.
0
2
дюйм на тройск. гран)
3	|	4 т 5 I 6
7
8
9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ъ) I
10,043 9
20,087 7
30,131 6
40,175 5
50,219 4
60,263 2
70,307 1
80,351 О
90,394 8
100,439
1,004 39
11,048 3
21,092 1
31,136 0
41,179 9
51,223 7
61,267 6
71,311 5
81,355 3
91,399 2
101,443
2,008 77
12,052 6
22,096 5
32,140 4
42,184 3
52,228 1
62,272 О
72,315 9
82,359 7
92,403 6
102,447
г/длс2=0,995 631 тройск.
3,013 16
13,057 0
23,100 9
33,144 8
43,188 6
53,232 5
63,276 4
73,320 3
83,364 1
93,408 О
103,452
> 4,017 55
I 14,061 4
। 24,105 3
34,149 2
44,193 0
54,236 9
64,280 8
74,324 6
84,368 5
94,412 4
104,456
5,021 94
15,065 8
25,109 7
35,153 5
45,197 4
55,241 3
65,285 2
75,329 О
85,372 9
95,416 8
1 5,461
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,9563 2
19,912 6
29,869 О
39,825 3
49,781 6
59,737 9
69,694 2
79,650 5
89,606 9
99,563 2
0,995 63
10,951 9
20,908 3
30,864 6
40,820 9
50,777 2
60,733 5
70,689 9
80,646 2
90,602 5
100,559
1,991 26' 2,986 90
11,947 6 --------
21,903 9
31,860 2
41,816 5
51,772 9
61,729 2
71,685 5
81,641 8
91,598 1
101,554
грана на кв. дюйм (или
=0,995 631 8 дм^г)
7,030 71 8,035 10
17,074 6 -------
27,118 4
37,162 3
47,206 2
57,250 1
67,293 9
77,337 8
87,381 7
97,425 5
107,469
6,026 32
16,070 2
26,114 1
36,157 9
46,201 8
56,245 7
66,289 5
76,333 4
86,377 3
96,421 2
106,465 ______ , _
1 кв. дюйм на тройск. гран =
18.079 О
28,122 8
38,166 7
48,210 6
58,254 4
68,298 3
78,342 2
88,386 1
98,42^ 9
И 8,474
9,0394 8
19,083 4
29,127 2
о9,171 1
49,215 0
59,258 8
69,302 7
79,346 6
89,390 4
99,434 3
109,478
12,943 2
22,899 5
32,855 8
42,812 2
52,768 5
62,724 8
72,681 1
82,637 4
92,593 8
102,550
3,982 53
13,938 8
23,895 2
33,851 5
43,807 8
53,764 1
63,720 4
73,676 8
83,633 1
93,589 4
103,546
4,978 1615,973 79
14,934 5 15,930 1
24,890 8i25,886 4
34,847 1
44,803 4
54,759 7
64,716 1
74,672 4
84,628 7
94,585 (;
104,541
35,842 7
45,799 1
55,755 4
65,711 7
75,668 О
85,624 3
95,580 7
105,537
6,969 42 7,965 05
16,925 7i 17,921 4
26,882 1 27,877 7
36,838 4137,834 0
46,794 7 47,790 3
56,751 0 57,746 6
66,7и7 3 67,703 О
76,663 6 ЛГ'Л Л
86,620 О
96,576 3
1и6,5зЗ
77,659 8
87,615 6
97,571 9
107,528
. 8,960 69
18,917 0
28,873 3
। 38,829 4
; 48,786 0
; 58,742 3
। 68,698 6
; 78,654 9
88,611 2
98,537 5
108,524
*) Пост. Междун. конференции паросиловых установок в Лондоне, июль 1929 г.,
1 кг!см* = 14,223 334 фунта на кв. дюйм (средний между анг. и амер, дюймом).
946
Приложение
Таблица 58. Сравнение атмосфер с высотой ртутного столба
(в скобках приведены обратные величины)
1 метр, атмосфера (ат) (1 кг\см*)		0,967 78 физ. ат. при 760 мм рт. ст (1,033 296)			
		0,970 39 „ _ 735,53 мм рт. “ 28,122 прусск. 28,958 англ.		„	28 париж. дюйма рт. ст. (1,030 5) ст. (0,001 359 6) (табл. 59) дюйма рт. ст. (0,0356)	
или 10 м вод. ст. при	4п С.				
				К. „	п	„ (0,0345) (табл. 61) „ (0,0368)
		27,170	парижс		
Таблица 59. а) Перевод килограммов на кв. сантиметр в мм ртутного столба при 0°					
Ь) Перевод миллиметров ртутного столба при 0° в мм водяного					
столба при		4° С			
а) 1 кг[см? =		10 000 мм	вод. столба = 735,532 мм рт. ст.		
0	1 0,1 |	0,2	0,3	0,4 1	0,5	0,6 1 0,7 1 0,8 | 0.9
0	—	73,6	147,1	220,7		294,2	367,8	441,3	514,9	588,4	662,0
1	735,5	809,1	882,6	956,2		1029,7	1103,3	1176,9 1250,4 1324,0 1397,5
2	1471,1	1544,6	1618,2 1691,7		1765,3	1838,8	1912,4 1985,9 2059,5 2133,0
3	2206,6	2280,1	2353,7 2427,3		2500,8	2574,4	2647,9 2721,5 2795,0 2868,6
4	2942,1	3015,7	3089,2 3162,8		3236,3	3309,9	3383,4 3457,0 3530,6 3604,1
5 3677,7 3751,2	3824,8 3898,3		3971,9	4045,4	4119,0 4192,5 4266,1 4339,6
6 4413,2	4486,7	4560,3 4633,9		4707,4	4781,0	4854,5 4928,1 5001,6 5075,2
7 5148,7 5222,3	5295,8 5369,4		5442,9	5516,5	5590,0 5663,6 5737,1 5810,7
8 5884,3 5957,8	6031,4 6104,9		6178,5	6252,0	6325,6 6399,1 6472,7 6546,2
9 6619,8 6693,3	6766,9 6840,4		6914,0	6987,6	7061,1 7134,7 7208,2 7281,8
10 7355,3 7428,9	7502,4 7576,0		7649,5	7723,1	, 7796,6 7870,2 7943,7 8017,3
b) 1 мм	рт. ст. = 13,5956 мм вод. ст. — 0,001 359 56 кг^м*				
0 1 1 1	2	1 3 |	4 1	5 1	6 1	7 |	8	9
0	—	13,60	27,19	40,79		54,38	67,98	81,57	95,17 108,76 122,36
10	135,96	149,55	163,15 176,74		190,34	203,93	217,53 231,13 244,72 258,32
20	271,91	285,51	299,10 312,70		326,29	339,89	353,49 367,08 380,68 394,27
30	407,87 421,46	435,06 448,65		462,25	475,85	489,44 503,04 516,63 530,23
40	543,82 557,42	571,02 584,61		598,21	611,80	625,40 638,99 652,59 666,18
50	679,78 693,38	706,97 720,57		734,16	747,76	761,35 774,95 788,54 802,14
60	815,74 829,33	842,93 856,52		870.12	883,71	897,31 910,91 924,50 938,10
70	951,69 965,29	978,88 992,48		1006,07	1019,67	1033,27 1046,86 1060,46 1074,05
80 1087,65 1101,24	1114,84 1128,43		1142,03	1155,63	1169,22 1182,82 1196,41 1210,01
90 1223,60 1237,20	1250,80 1264,39		1277,99	1291,58	1305,18 1318,77 1332,37 1345,96
100 1359,56 1373,16	1386,75 1400,35		1413,94	1427,54	1441,13 1454,73 1468,32 1481,92
Таблица 60. а) Перевод английских фунтов на квадратный дюйм в мм рт. ст.
Ь) Перевод мм рт. столба в английские фунты на кв. дюйм
а) 1 фунт на кв. дюйм = 51,713 12 мм рт. ст.
	0 1	1 1 1	2	3	1 4 1	1 5	1 6	7	8	9
0	—	51,7	103,4	155,1	206,9	258,6	310,3	362,0	413,7	465,4
10	517,1	568,8	620,6	672,3	724,0	775,7	827,4	879,1	930,8	982,5
20	1034,3	1086,0	1137,7	1189,4	1241,1	1292,8	1344,5	1396,3	1448,0	1499,7
30	1551,4	1603,1	1654,8	1706,5	1758,2	1810,0	1861,7	1913,4	1965,1	2016,8
40	2068,5	2120,2	2171,9	2223,7	2275,4	2327,1	2378,8	2430,5	2482,2	2533,9
50	2585,6	2637,4	2689,1	2740,8	2792,5	2844,2	2895,9	2947,6	2999,4	3051,1
60	3102,8	3154,5	3206,2	3257,9	3309,6	3361,3	3413,1	3464,8	3516,5	3568,2
70	3619,9	3671,6	3723,3	3775,0	3826,8	3878,5	3930,2	3981,9	4033,6	4085,3
80	4137,0	4188,8	4240,5	4292,2	4343,9	4395,6	4447,3	4499,0	4550,7	4602,5
90	4654,2	4705,9	4757,6	4809,3	4861,0	4912,7	4964,4	5016,2	5067,9	5119,6
100	5171,3	5223,0	5274,7	5326,5	5378,2	5429,9	5481,6	5533,3	5585,0	5636,7
Таблицы для сравнения и перевода мор и весов
947
b) 1 мм рт. ст. = 0,019 337 45 фунта на кв. дюйм
	0	10	20	30	40 |	|	50	60	70	80	90
0			0.193	0,387	0,580	0,774	0,967	1,160	1,354	1,547	1,740
100	1,934	2,127	2,321	2,514	2,707	2,901	3,094	3,287	3,481	3,674
200	3,868	4,061	4,254	4,448	4,6-1	4,834	5,028	5,221	5,415	5,608
300	5,801	5,995	6,188	6,382	6,575	6,768	6,962	7,155	7,348	7,542
400	7,735	7,929	8,122	8,315	8,509	8,702	8,895	9,089	9,282	9,476
500	9,669	9,862	10,056	10,249	10,443	10,636	10,829	11,023	11,216	11,409
600	11,603	11,796	11,990	12,183	12,376	12,570	12,763	12,956	13,150	13,343
700	13,537	13,730	13,923	14,117	14,310	14,504	14,697	14,890	15,084	15,277
800	15,470	15,664	15,857	16,051	16,244	16,437	16,631	16,824	17,017	17,211
900	17,404	17,598	17,791	17,984	18,178	18,371	18,564	18,758	18,951	19,145
1000	19,337	19,531	19,724	19,918	20,111	20,304	20,498	20,691	20,884	21,078
Таблица 61. а) Перевод англ, дюймов рт. ст. при 0° в мм вод. ст. при 4°
Ь) Перевод м вод. столба при 4° в англ, дюймы рт. ст. при 0° С
а) 1 дюйм рт. ст. (inch of mercury) = 345,328 мм вод. с г.
	0 1	1 1	2 1	3	4	5 1	1 6	7	8	о
0			345,3	690,7	1 036,0	1381,3	1 726,6	2 072 0	2 417,3	2 762,6	3 108,0
10	3 453,3	3 798,6	4 143,9	4 489,3	4 831,6	5 179,9	5 525 2	5 870,6	6 215,9	6 561,2
20	6 906,6	7 251,9	7 597,2	7 942,5	8 287,9	8 633,2	8 978,5	9 323,9	9 669,2	10 014 5
30	10 359,8	10 705,2	И 050,5	И 395,8	11 741,2	12 086,5	12 431,8	12 777,1	13 122,5	13 467,8
40	13 813,1	14 158,4	14 503,8	14 849,1	15 194,4	15 539,8	15 885,1	16 230,4	16 575,7	16 921,1
50	17 266,4	17 611,7	17 957,1	18 392,4	18 647,7	18 993,0	19 338,4	19 683,7	20 029,0	20 374,4
60	20 719,7	21 065,0	21 410,3	21 755,7	22 101,0	22 446,3	22 791,6	23 137,0	23 482,3	23 827,6
70	24 173,0	24 518,3	24 863,6	25 208,9	25 554,3	25 899,6	26 244,9	26 590,3	26 935,6	27 280,9
80	27 626,2	27 971,6	28 316,9	28 662,2	29 007,6	29 352,9	29 698,2	30 043,5	30 388,9	30 734,2
90	31 079,5	31 424,8	31 770,2	32 115,5	32 460,8	32 806,2	33 151,5	33 496,8	33 842,1	34 187,5
100	34 532,8	34 878,1	35 223,5	35 568,8	35 914,1	36 259,4	36 604,8	36 950,1	37 295,4	37 640,8
b) 1 м вод. ст. = 2,8958 дюйма рт. ст.
0	—	2,895 8	5,791 6	8,687 4 11,583 2		14,479 0	17,374 8	20,270 6123,166 4	26,062 2
10	28,958 0	31,853 8	34.749 6	37,615 4- 40,541 2		43,437 0	46,332 8	49,228 6 52,124 4	55,020 2
20	57,916 0	60,811 8	63,707 6	66,603 4 69,499 2		72,395 0	72,290 8	75,186 6 81,082 4	83,978 2
30	86,874 0	89,769 8	92,665 6	95,561 4	1 98,457 2	101,35 3	104,249	107,145! 110,040	112,936
40	115,832	118,728	121,624	121,519	127,415	130,311	133,207	136,103 138,998	141,894
50	144,790	147,686	150,582	153,477	156,373	159,269	162,165	165,061! 167,956	170,852
69	173,748	176,644	179,540	182,435	185,331	188,227	191,123	194,019 196,914	199,810
70	202,706	205,602	208,498	211,393	214,289	217,185	220,081	222,9771 225,872	228,768
80	231,664	234,560	237,456	240,351	243,247	246,143	249,039	251,935 254,830	257,726
90	260,622	263,518	266,414	269,309	272,205	275,101	277,997	280,893 283,788	286,684
100	289,580	292,4	295,372	298,267	301,163	304,059	306,955	309,851' 312,746	315,642
Таблица 62. а) Перевод англ, дюймов рт. ст. в физические атмосферы
Ь) Перевод физических атмосфер в англ, дюймы рт. сг.
а) 1 дюйм рт. ст. = 0,033 421 02 физ. ат
4	|	5	| 6 I 7 I 8	! 9
0 10 20 30	0,334 21 0,668 42 1,002 63	0,033 42 0,066 84		0,100 26 0,434 47 , 0,768 68 1,102 89	0,133 68j 0,167 И 0,200 53 0,467 89 0,501 32 0,534 74 0,802 10 0,835 53 0,868 95	
		0,367 63 0,701 84 1,036 05	0,401 05 1 0,735 26 1,069 47			
					1,136 31	1,169 741,203 16
40	1,336 84	1,370 26	1 1,403 68	1,437 10	1,470 52	! 1,503 95 1,537 37
50	1,671 05	1,704 47	1,737 89, 1,771 31		1,804 74	1 1,838 16'1,871 58
60	2,005 26	2,038 68	2,072 10	2,105 52	2,138 95	2,172 37=2,205 79
70	2,339 47	2,372 89	2,406 31	2,439 73	2,473 16	2,506 58 2,540 00
80	2,673 68	2,707 19	2,740 52	2,773 9ч	2,897 37	2,840 79 2,874 21
90	3,007 89	3,041 31|	1 3,074 73	3,108 15	3,141 58	3,175 00 3,208 42
100	3,342 10	3,375 52	3,408 94	3,442 37	3,475 79	3,509 21 3,542 63
0,233 95	0,267 37	0,300 79
0,568 16	0,601 58	0,635 00
0,902 37	0,935 79	0,969 21
1,236 58	1,270 00	1,303 42
1,570 79	1,604 21	1.637 63
1,905 00	1,938 42	1,971 84
2,239 21	2,272 63	2,306 05
2,573 42	2,606 84	2,640 26
2,907 63	2,941 05	2,974 47
3,241 84	3,275 26	3,308 68
3,576 05	3,609 47|	3,642 89
0
2 I 3
948
Приложенттб
b) 1 физ. am — 29,921 29 дюйма рт. ст.
	0	1 1	2 1	3	4	5	6 I	7 1	8 1	1 9
0			29,921	59,843	89,764	119,685	149,606	179,528	209,449	239,370	269,292
10	299,213	329,134	359,056	388,977	418,898	448,819	478,741	508,662	538,583	568,505
20	598,426	628,347	658,269	688,190	718,111	748,032	777,954	807,875	837,796	867,718
30	897,639	927,560	957,482	987,403	1017,32	1047,25	1077,17	1107,09	1137,01	1166,93
40	1196,85	1226,77	1256,69	1286,62	1316,54	1346,46	1376,38	1406,30	1436,22	1466,14
50	1496,06	1525,99	1555,91	1585,83	| 1615,75	1645,67	1675,59	1705,51	1735,44	1765,36
60	1795,28	1825,20	1855,12	1885,04	| 1914,96	1944,88	1974,81	2004,73	2034,65	2064,57
70	2094,49	2124,41	2154,33	2184,25	. 2214,18	2244,10	2274,02	2303,94	2333,86	2363,78
80	2393,70	2423,63	2453,55	2483,47	! 2513,39	2543,31	2573,23	2603,15	2633,07	2663,00
90	2692,92	2722,84	2752,76	2782,68	2812,60	2842,52	2872,44	2902,37	2932,29	2962,21
100	2992,13	3022,05	3051,97	3081,89	3111,82	3141,74	3171,66	3201,58	3231,50	3261,42
G. Веса на единицу объема (удельный вес) .
(русские меры стр. 943)
Таблица 63. Перевод фунтов на куб. фут различных стран в кг]м3 и обратно
Фунт/куб. Фут	прусск. меры	кг/лх3 англ, меры	австр. меры	кг/лх3	Ф} прусск, меры	/нг/куб. ф' англ. | меры |	УТ австр. меры
1	16,172 9	16,019 6	17,735 4	1	0,061 83	0,062 42	0,056 38
2	32,345 9	32,039 2	35,470 8	2	0,123 66	0,124 85	0,112 77
3	48,518 8	48,058 8	53,206 2	3	0,185 50	0,187 27	0,169 15
4	64,691 8	64,078 4	70,941 6	4	0,247 33	0,249 69	0,225 54
5	80,864 7	80,098 0	88,677 0	5	0,309 16	0,312 12	0,281 92
6	97,037 6	96,117 5	106,412 3	6	0,370 99	0,374 54	0,338 31
7	113,210 6	112,137 1	124,147 7	7	0,432 82	0,436 97	0,394 69
8	129,з83 5	128,156 7	141,883 1	8	0,494 65	0,499 39	0,451 08
9	145,556 5	144,176 3	159,618 5	9	0,556 49	0,561 81	0,507 46
Таблица 64. а) Перевод англ, фунтов на куб. фут в килограммы на куб. метр
Ь) Перевод килограммов на куб. метр в англ, фунты на куб. фут
а) 1 фунт на куб. фут = 16,018 508 /сг/дг’ (или 1 м31кг = 16,018 508 куб. фута на фунт)
	0	1	2	3	4 1	5	6	7	8	9
0	—	16,0185	32,0370	48,0556	64,0740	80,0926	96,1111	112,130	128,148	144,167
10	160,185	176,204	192,222	208,241	224,259	240,278	256,296	272,315	288,333	304,352
20	320,370	336,389	352,407	368,426	384,444	400,463	416,481	432,500	448,518	464,537
30	480,556	496,574	512,592	528,611	544,630	560,648	576,667	592,685	608,704	624,722
40	640,741	656,759	672,778	688,796	704,815	720,833	736,852	752,870	768,889	784,907
50	800,926	816,944	832,963	848,981	865,000	881,018	897,037	913,055	929,074	945,032
60	961,111	977,129	993,148	1009,17	1025,18	1041,20	1057,22	1073,24	1089,26	1105,28
70	1121,30	1137,31	1153,33	1169,35	1185,37	1201,39	1217,41	1233,43	1249,44	1265,46
80	1281,48	1297,50	1313,52	1329,54	1345,56	1361,57	1377,59	1393,61	1409,63	1425,65
90	1441,67	1457,68	1473,70	1489,72	1505,74	1521,76	1537,78	1553,80	1569,81	1585,83
100	1601,85	1617,87	1633,89	1649,91	1665,92	1681,94	1697,96	1713,98	1730,00	1746,02
Ь) I	кг[м* =	0,062 427 78 фунта на куб. фут (или 1 куб. фут на фунт = 0,062 427 78 м3[к2)								
1	1 0	10	20 |	1 30	40	50	60	70	80	90
0	—	0,624 28	1,248 561 1,872 83		2,497 И	3,121 39	3,745 67	4,369 94	4,994 22	5,618 50
100	6,242 78	6,867 05	7,491 33	8,115 61	8,7398 9	9,364 16	9,988 44	10,612 7	11,237 0	11,861 3
200	12,485 6	13,109 8	13,734 1	14,358 4	14,982 7	15,606 9	16,231 2	16,855 5	17,479 8	18,104 1
300	18,728 3	19,352 6	19,976 9	20,601 2	21,225 4	21,849 7	22,474 0	23,098 3	23,722 6	24,346 8
400	24,971 1	25,595 4	26,219 7	26,843 9	27,408 2	28,092 5	28,716 8	29,341 1	29,965 3	30,589 6
500	31,213 9	31,838 2	32,462 4	33,086 7	33,711 0	34,335 3	34,959 6	35,583 8	36,208 1	36,832 4
600	37,456 7	38,080 9	38,705 2	39,329 5	39,953 8	40,578 1	41,202 3	41,826 6	42,450 9	43,075 2
700	43,699 4	44,323 7	44,948 0	45.572 3	46,196 6	46,820 8	47,445 1	48,069 4	48,693 7	49,317 9
800	49,942 2	50,566 5	51,190 8	51,815 1	52,439 3	53,063 6	53,687 9	54,312 2	54,936 4	55,560 7
900	56,185 0	56,809 3	57,433 6	58,057 8 64,300 6	58.682 1	59,306 4	59,930 7	60,554 9	61,179 2	6R803 5
1000	62,427 8	63,052 1	63,676 3		64,924 9| 65,549 2		66,173 4	66,797 7	67,422 0	68,046 3
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
949
Таблица 65. а) Перевод англ, фунтов'куб. дюйм в килограммы/куб. сантиметр
Ь) Перевод килограмм./куб. сантиметр в англ, фунты/куб. дюйм
а) 1 фунт на куб. дюйм = 0,027 679 983 5 кг/см3 (или 1 см31кг = 0,027 679 983 5 1$уб.
дюйм, на фунт)
	0	1	2	3	4 1	5 1	6 1	7	1 8	1 9
0			0,027 68	0,055 36	0,083 04	0,110 72	0,138 40	0,166 08	0,193 76	0,221 44'	0,249 12
10	0,276 80	0,304 48	0,332 16	0,359 84	0,387 52	0,415 20	0,442 88	0,470 56	0,498 24	0,525 92
20	0,553 60	0,581 28	0,608 96	0,636 64	0,664 32	0,692 00	0,719 68	0,747 36	0,775 04	0,802 72
30	0,830 40	0,858 08	0,885 76	0,913 44	0,941 12	0,968 80	0,996 48	1,024 16	1,051 84	1,079 52
40	1,107 20	1,134 88	1,162 56	1,190 24	1,217 92	1,245 60	1,273 28	1,300 96	1,328 64	1,356 32
50	1,384 00	1,411 68	1,439 36	1,467 04	1,494 72	1,522 40	1,550 08	1,577 76	1.6J5 44	1,633 12
60	1,660 80	1,688 48	1,716 16	1,743 84	1,771 52	1,799 20	1,826 88	1,854 56	1,882 24	1,909 92
70	1,937 60	1,965 28	1,992 96	2,020 64	2,048 32	2,076 00	2,103 68	2,131 36	2,159 04	2,186 72
80	2,214 40	2,242 08	2,269 76	2,297 44	2,325 12	2,352 80	2,380 48	2,408 16 2,435 84		2,463 52
90	2,491 20	2,518 88	2,546 56	2,574 24	2,601 92	2,629 60	2,657 28	2,684 96 2,712 64		2,740 32
100	2,768 00	2,795 68	2,823 36	2,851 04	2,878 72	2,906 40	2,934 08	2,961 76.2,989 44		3,017 12
	b) 1 кг/гл» = 36,127 180 6			фунта на куб. дюйм (или 1 куб = 36,127 180 С6 см3/кг)				I. дюйм на фунт =		
0	—	36,13	72,25	108,38	144,51	180,64	216,76	£52,89	289,02	325,14
10	361,27	397,40	433,53	469,65	505,78	541.91	578,03	614,16	650,29	686,42
20	722,54	758,67	794,80	830,92	867,05	903,18	939,31	975,43	1011,56	1047,69
30	1083,82	1119,94	1156,07	1192,20	1228,32	1264,45	1300,58	1336,71	1372,83	1408,96
40	1445,09	1481,21	1517,34	1553,47	1589,60	1625,72	1661,85	1697,98	1734,10	1770,23
50	1806,36	1842,49	1878,61	1914,74	1950,87	1986,99	2023,12	2059,25	2095,38	2131,50
60	2167,63	2203,76	2239,88	2276,01	2312,14	2348,27	2384,39	2420,52	2456,65	2492,77
70	2528,90	2565,03	2631,16	2637,28	2673,41	2709,54	2745,66	2781,79	2817,92	2854,05
80	2890,17	2926,30	2962,43	2998,56	3034,68	3070,81	3106,94	3143,06	3179,19	3215,32
90	3251,45	3287,57	3323,70	3359,83	3395,95	3432,08	3468,21	3504,34	3540,46	3576,59
100	3612,72	3648,85	3684,97	3721,10	3757,23	3793,35	3829,48	3865,61	3901,74	3937,86
Таблица 66. а) Перевод англ, тройских гран/куб. дюйм в граммы/куб. дециметр
Ь) Перевод грамм/куб. дециметр в англ, тройские граны/куб. дюйм
а) 1 тройский гран на куб. дюйм = 3,954 284 6 г [дм3 (или 1 дм3/г = 3,954 284 6 куб.
дюйма на тройский гран)
	0	1 1	2	3 1	4	1 5	6 1	7	1 8	9
0	—	3,954 28	7,908 57	11,862 9	15,817 1	19,771 4	23,725 7	27,680 0	31,634 3	35,588 6
10	39,542 8	43,497 1	47,451 4	51,405 7	55,360 0	59,314 3	63,268 6	67,222 8	71,177 1	75,131 4
20	79,085 7	83,040 0	86,994 3	90,948 6	94,902 8	98,857 1	102,811	106,766	110,720	114,674
30	118,629	122,583	126,537	130,491	134,446	138,400	142,354	146,309	150,263	154,217
40	158,171	162,126	166,080	170,034	173,989	177,943	181,897	185,851	189,806	193,760
50	197,714	201,669	205,623	209,577	213,531	217,486	221,440	225,394	229,349	233,303
60	237,257	241,211	245,166	249,120	253,074	257,029	260,983	264,937	268,891	272,846
70	276,800	280,754	284,709	288,663	292,617	296,571	300,526	304,480	308,434	312,389
80	316,343	320,297	324,251	328,057	332,160	336,114	340,069	344,023	347,977	351,931
90	355,886	359,840	363,794	367,749	371,703	375,657	379,611	383,566	387,520	391,474
100	395,428	399,383	403,337	407,291	411,246	415,200	419,154	423,108	427,063	431,017
Ь) 1	г/дм3 =	= 0,252 890 23 тройского грана на куб. дюйм (или 1 куб. дюйм на трой- ский гран = 0,252 890 23 дм3/г)								
0	—	0,252 89	0,505 78	0,758 67	1,011 56	1,264 45	1,517 34	1,770 23	2,023 12	2,276 01
10	2,528 90	2,781 79	3,034 68	3,287 57	3,540 46	3,793 35	4,046 24	4,299 13	4,552 02	4,804 91
20	5,057 80	5,310 69	5,563 58	5,816 47	6,069 36	6,322 26	6,575 15	6,828 04	7,080 93	7,333 82
30	7,586 71	7,839 60	8,092 49	8,345 38	8,598 27	8,851 16	9,104 05	9,356 94	9,609 83	9,862 72
40	10,115 6	10,368 5	10,621 4	10,874 3	И,127 2	11,380 1	11,632 9	11,885 8	12,138 7	12,391 6
50	12,644 5	12,897 4	13,150 3	13,403 2	13,656 1	13,909 0	14,161 9	14,414 7	14,667 6	14,920 5
60	15,173 4	15,426 3	15,679 2	15,932 1	16,185 0	16,437 9	16,690 8	16,943 6	17,196 5	17,449 4
70	17,702 3	17,955 2	18,208 1	18,461 0	18,713 9	18,966 8	19,219 7	19,472 5	19,725 4	19,978 3
80	20,231 2	20,484 1	20,737 0	20,989 9	21,242 8	21,495 7	21,748 6	22,001 4	22,254 3	22,507 2
90	22,760 1	23,013 0	23,265 9	23,518 8	23,771 7	24,024 6	24,277 5	24,530 3	24,783 2	25,036 1
100	25,289 0	25,541 9	25,794 8	26,047 7	26,300 6	26,553 5	26,8и6 4	27,059 3	27,312 1	27,565 0
950
• Приложение
Таблица 67а. Сравнение шкал ареометров разных
Y — удельный вес,
Боме рациональ- ный __ 144,30	Боме Герлаха или новый 146,78	Боме голландский или старый _	144 7“ 144--Л ... I44 п —144	 7 12,b" С	Боме американский 145 7 — 145 — « ,	145 п = 145	 7 60° F = 15,56° С	Баллинга 200 7 “200 — п п=2ео-2(« 7 17,5° С
7 “ 144,30—п лллъ 144’3 /г=144,3	 7 Норм, темпе- ратура 15° С				
	‘ “ 146,78 -п п _146,78-1^8 7 17,5° С			
0	+ 0,05	— 0,04	0,00	+ 0,07
10	1'\22	+ 9,94	+10,05	13,92
20	20,39	19,92	20,10	27,78
30	30,56	29,91	30,15	41,64
40	40,73	39,89	40,19	55,49
50	50,89	49,87	50,24	69,35
60	61,06	59,85	60,29	83,20
64	65,13	63,84	64,31	88,74
66	67,16	65,84	66,32	91,51
68	69,20	67,84	68,33	94,29
Таблица 67b. Сравнение показаний ареометров разных
7 — удельный вес,
Боме рациональный _ 144,3	Бомс Герлаха или новый _146,78_ 7 ” 146,78 + п 146.78 		Боме _ 146 7“ 136+п 146 п —	136 7 12,5° С	Боме голландский или старый 144 7^ 144 +я 144 /г=	144 7 12,5° С	Бомс американ- ский _ 140 7 “130 + п п=™-13Ъ 7 69° F = = 15,56° С	Баллинга - 20 } 7 “ 200+я я = 2°2-2ЭО 7 17,5° С
1 ~ 144,3 - п 144,3					
<	п=	146,78					
Норм, темпе- ратура 15" С	j	17,5° С				
0	- 0,05	+10,04	+ 0,04	+10,00	- 0,07
10	+10,12	20,16	10,02	19,70	+13,78
20	20,28	30,28	20,00	29,40	27,64
30	30,45	40,40	29,99	39,11	41,50
40	40,62	53,52	39,97	48,81	55,35
50	50,79	60,64	49,95	58,51	69,21
60	60,96	70,76	59,93	68,21	83,06
70	71,13	80,88	69,91	77,91	96,92
78	79,27	88,98	77,90	85,68	108,00
80	—	—	—	—	—
90	—	—	—	—	—
Примечание к таблице 67. Цифры таблицы в горизонтальных рядах
Показание ареометра (число отсчитанных градусов) является правильным лишь в
нормальной температуре данной системы ареометра.
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
951
систем для жидкостей тяжелее воды
п — показания ареометра (градусы)
Бека _ 170 7“ 170-л и=17о-222 т 12,5° С	Бри^с-Фишера _ 400 7—4С0- п п—400	 7 12,5° R = = 15,625° С	СтоП11ани _ 166_ 7“166-л л = 166-^ 7 12,5° R = = 15,625° С	Относитель- ный удельный вес 15°/15° (при 15° отне- сенный к воде при 15° С)	Относитель- ный удельный вес 15°/4° (при 15° отне- сенный к воде при 4° С)
- 0,05	+ 0,03	+ 0,01	1,0000	0,9991
-4-11,74	27,75	11,52	1,0745	1,0735
23,52	55,47	23,02	1,1656	1,1646
3о,31	83,19	34,52	1,2625	1,2614
47,09	110,90	46,02	1,3835	1,3823
58,87	138,62	57,53	1,5302	1,5289
70,66	166,34	69,03	1,7117	1,7102 •
75,37	177,43	73,63	1,7970	1,7954
77,73	182,97	75,93	1,8429	1,8413
80,08	188,51	78,23	—	—
систем для жидкостей легче воды
п — показания ареометра (градусы)
Бека _ 170 7 “ 170+п п-™-170 7 12,5° С	Бригс- Фишера 4 0 7“ 400+л Л=4“-4(Ю 7 12,5° R = =15,625° С	Стоппани _ 166 7“166-л 166 л=	166 7 12,5° R = = 15,625° С	1 Картье v _ 136,8	А.Р.У. американский нефтяного ин-та _ 141,5 7 “131,5+ п 141,5 , „ с л=	131,5 7 60° F=15,56° С	Относительный удель- ный вес (при 15° С, отнесенный к воде при 15° С)		Относительный удель- ный вес (при 15° С, отнесенный к воде при 4° С)
			7“126,1+л л=^_126<1 7 12,5° С			
+ 0,05	- 0,03	— 0,01	+10,74	Ю	1,000	0,999
11,83	+27,69	+11,49	20,22	19,84	0,935	0,934
23,62	55,40	22,99	29,71	29,66	0,878	0,8775
35,40	83,12	34,50	39,19	39,49	0,828	0,827
47,19	110,84	46,00	48,67	49,21	0,783	0,782
58,97	138,56	57,50	58,15	58,94	0,743	0,742
70,75	166,27	69,00	67,64	68,53	0,7063	0,7057
82,54	193,99	80,51	77,12	78,63	0,6734	0,6728
91,97	216,17	89,71	84,71	86,49	0,6491	0,6486
—	—	—	—	88,46	0,6433	0,6428
—	—	—	—	98,25	0,6159	0,6153
соответствуют друг другу для одной и той же жидкости и той же температуры,
том случае, если измерения производятся при температуре, соответствующей
962
Приложение
Н. Скорости
Таблица 68. а) Перевод миллиметров (или метров) в секунду в метры (или
километры) в час. — Перевод куб. сантиметров (или литров)
в секунду в литры (или куб. метры) в час.— Перевод граммов
(или килограммов) в секунду в килограммы (или тонны) в час.
Ь) Перевод метров (или километров) в час в миллиметры (или
метры) в секунду. — Перевод литров (или куб. метров) в час
в кубические сантиметры (или литры) в секунду. — Перевод
килограммов (или тонн) в час в граммы (или килограммы)
в секунду
а) 1 мм1сек — 3,600 м!час
	0	1	2	3 1	1 4	5	6	7	1 8	9
0			3,6	7,2	10,8	14,4	18,0	21,6	25,2	28,8	32,4
10	36,0	39,6	43,2	46,8	50,4	54,0	57,6	61,2	64,8	68,4
20	72,0	75,6	79,2	82,8	86,4	90,0	93,6	97,2	100,8	104,4
30	108,0	111,6	115,2	118,8	122,4	126,0	129,6	133,2	136,8	140,4
40	144,0	147,6	151,2	154,8	158,4	162,0	165,6	169,2	172,8	176,4
50	18и,0	183,6	187,2	190,8	194,4	198,0	2U1.6	205,2	208,8	212,4
60	216,0	219,6	223,2	226,8	230,4	234,0	237,6	241,2	244,8	248,4
70	252,0	255,6	259,2	262,8	266,4	270,0	273,6	277,2	280,8	284,4
80	288,0	291,6	295,2	298,8	302,4	306,0	309,6	313,2	316,8	320,4
90	324,0	327,6	331,2	334,8	338,4	342,0	345,6	349,2	352,8	356,4
100	36U.0	363,6	367,2	370,8	374,4	378,0	381,6	385,2	388,8	392,4
b) 1 Mj'iac = 0,277 78 мм1сек
1 0		. 10	20 |	30 |	|	40	50	60	70	80	90
0	—	2,778	5,556	8,333	11,111	13,889	16,667	19,444	22,222	25,000
100	27,778	30,556	33,333	36,111	38,889	41,667	44,444	47,222	50,000	52,778
200	55,556	58,333	61,111	63,889	66,667	69,444	72,222	75,000	77,778	80,556
300	83,333	86,111	88,889	91,667	94,444	97,222	100,000	102,778	105,556	108,333
400	111,111	113,889	116,667	119,444	122,222	125,000	127,778	130,556	133,333	136,111
500	138,889	141,667	144,444	147,222	150,000	152,778	155,556	158,333	161,111	163,889
600	166,667	169,444	172,222	175,000	177,778	180,556	183,333	186,111	188,889	191,667
700	194,444	197.222	200,000	202,778	205,556	208,333	211,111	213,889	216,667	219,444
800	222,222	225,000	227,778	230,556	233,333	236,111	238,889	241,667	244,444	247,222
900	250,000	252,778	255,556	258,333	261,111	263,889	266,667	269,444	272,222	275,000
1000|	277,778	280,556	283,333	286,111	288,889	291,667	294,444	297,222	300,000	302,778
Таблица 69. Перевод узлов (в час) в метры в секунду
1 узел = 1852 м1час = 0,514 44 м]сек
	0	1	2	3	4	5 I	6	7	8 1	1 9
0			0,514	1,029	1,543	2.058	2,572	3,087	3,601	4,116	4,630
10	5,144	5,659	6,173	6,688	7,202	7,717	8,231	8,745	9,260	9,774
20	10,289	10,803	11,318	11,832	12,347	12,861	13,375	13,890	14,404	14,919
30	15,433	15,948	16,462	16,977	17,491	18,005	18,520	19,034	19,549	20,063
40	20,578	21,092	21,606	22,121	22,635	23,150	23,664	24,179	24,693	25,208
50	25,722	26,236	26,751	27,265	27,780	28,294	28,809	29,323	29,838	30,352
60	30,866	31,381	31,895	• 32,410	32,924	33,439	33,953	34,467	34,982	35,496
70	36,011	36.525	37,040	37,554	38,069	38,583	39,097	39,612	40,126	40,641
80	41,155	41,670	42,184	42,699	43,213	43,727	44,242	♦ 44,756	45,271	45,785
90	46,300	46,814	47,328	47,843	48,357	48,872	49,<586	49,9и1	5и,415	50,930
100	51,444	51,959	52,473	52,988	53,502	54,017	54,531	55,и46	55,56и	56.U74
Примечание. Для перевода английских морских миль цифры таблиц должны
быть помножены на 1,00064, для английских адмиралтейских миль — на 1,0017,
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
953
час
Таблица 70. Перевод узлов в ярды в
1 узел = 2025,35 ярдов в час
	0	1	2	3	4	5	6	1 7	8	9
и		2 025	4 051	6 076	8 101	10 127	12 152	, 14 177	16 203	18 22Й
10	20 253	22 279	24 304	26 330	28 355	30 380	32 406	34 431	36 456	38 482
20	40 507	42 532	44 558	46 583	48 608	50 634	52 659	54 684	56 710	58 735
30	60 760	62 786	64 811	66 836	68 862	70 887	72 912	74 938	76 963	78 989
40	81 014	83 039	85 065	87 090	89 115	91 141	93 166	95 191	97 217	99 242
50	101 268	103 293	105 318 107 344		109 369	111 394	113 420	115 445	117 470	119 496
Таблица 71		а) Перевод английских статутных миль в час в метры в секунду Ь) Перевод метров в секунду в английские статутные мили в час а) 1 статутная миля в час = 0,447 039 6 м\сек								
	0	1	2	3	4	5	1 6	7	8 1	1 9
0	—	0,447 04	0,894 081 1,341 12		1,788 16	2,235 20	2,682 24	3,129 28	3,576 32 4,023 36	
10	4,470 40	4,917 44	5,364 48'5,811 52		6,258 56	6,705 60	7,152 64	7,599 68	8,046 72 8,493 76	
20	8,940 80	9,387 84	9,834 88	10,281 9	10,729 0	11,176 0	11,623 0	12,070 1	12,517 1 12,964 2	
30	13,411 2	13,858 2	14,305 3. 14,752 3		15,199 4	15,646 4	16,093 4	16,540 5	16,987 5 17,434 6	
40	17,881 6	18,328 6	18,775 7	;19,222 7	19,669 8	20J16 8 24,587 2	20,563 8	21,010 9	21,457 9 21,905 0	
50	22,352 0	22,799 0	23,246 1	23,693 1	24,140 2		25,034 2	25,481 3	25,928 3 26,375 4	
60	26,822 4	27,269 4	27,716 5	'28,163 5	28,610 6	29,057 6	29,504 6 29,951 7		30,398 7 30,845 8	
70	31,292 8	31,739 8	32,186 9	, 32,633 9	33,081 0	33,528 0	33,975 0 34,422 1		34,869 1	35,316 2
80	35,763 2	36,210 2	36.657 3	37,104 3	37,551 4	37,998 4	38,445 4138,8°2 5		39,339 5	39,786 6
90	40,233 6	40,680 6	, 41,127 7	41,574 7	42,021 8	42,468 8	42,915 8 43,362 9		43,809 9	44,257 0
100	44,704 0	45,151 0 t	! 45,598 1 >) 1 Mlcei	| 46,045 1 к = 2,231	46,492 2 793 стат	46,939 2 утной Ml	47,386 2147,833 3 4ли в час		48,280 3	48,727 4
0	—	2,231 79	4,463 58	6,695 37	I 8,927 16	11,159 0	13,390 7	15,622 5	17,854 3	20,086 1
10	22,317 9	24,549 7	26,781 5	29,013 3! 31,245 1		33,476 9	35,708 6	37,940 4	40,172 2	42,404 0
20	44,635 8	46,867 6	49,099 4	51,331 2	1 53,563 0	55,794 8	58,026 5	60,258 3	62,490 1	64,721 9
30	66,953 7	69,185 5	71,417 3	73,649 1	75,880 9	78,112 7	80,344 4	82,576 2	84,808 0	87,039 8
40	89,271 6	91,503 4	93,735 2	95,967 0	'98,198 8	100,431	102,662	104,894	107,126	109,358
50	111,590	113,821	116,053	118,285	! 120.517	122,748	124,980	127,212	129,444	131,676
60	133,907	136,139	138,371	140.603	, 142,835	145,066	147,298	149,530	151,762	153,994
70	156,225	158,457	160,689	162,921	165,152	167,384	169,616	171,848	174,080	; 176,311
80	178,543	180,775	183,007	185,239	187,470	189,702	191,934	194,166	196,398	198,629
90	200,861	203,093	205,325	207,556	209,788	212,020	214,252	216,484	218,715	220.947
100	223,179	225,411	227,643	229,874 |	| 232,106	234,338	236,570	238,802	241,033	1 243,265
перевода анг. морских миль цифры табл, а) должны
Примечание. Для перевода анг. морских миль цифры табл, а) должны
быть умножены на 1,5152, для английских адмир. миль—на 1,51269, а цифры табл
о) должны быть разделены на те же числа.
Таблица 72. Часовая скорость в узлах при прохождении пробного участка
в 1000 м по времени прохождения в минутах и секундах
сек	0| 1		1 2	мин. 3	। 4 | 5 1	! 6	сек|	0	мин.					1 6
									1 1	1 2	1 з	4	1 5	
о|	—	32,397	16,198	10,799	8,099,6,479	5,399	3U I	64,794	21,598	12,959	9,256 9,169	7,199|	5,890	4,984
2	—	31,352	15,933	10,680	8,032 6,436	5,369	32	60,745	21,128	12,778		7,146 5,854		4,958
4	—	30,372	15,676	10,564	7,966 6,394	5,340	34	57,171	20,675	12,622	9,083	7,094	5.81Q	4,933
6	—	29,452	15,427	10,450	7,90116,352	5,311	36	53,995	20,248	12,460	8,999	7,043	5,785	4,908
8	**	28,585	15,186	10,339	7,838 6,311	5,282	38	51,153	19,835	12,302	8,916	6,992	5,751	4,884
10	—	27,769	14,952	10,230	7,775'6,270	5,253	40	48,596	19,438	12,149	8,835	6,942	5,717	4,859
12	—	26,997	14,726	10,124	7,713'6,230	5,224	42	46,281	19,057	11,999	8,755	6,893	5,683	4,835
14	—	26.268	14,508	10,019	7,653 6,190	5,197	44	44,178	18,690	11,852	8,677	6,844	5,650	4,811
16	—	25,576	114,293	9,917	7,593'6,151	5,169	46	42,257	18,338	11,709	8.601	6,796	5,618	4,787
18	—	24,921114,085		9,816	7,534 6,112	5,142	48	40,496	17,998	11,570 8,525		6,749	5,585	4,764
20	—	24,298] 13.884		9,719	7,476 6,074	5,115	50	38,876	17,671	11,434^8,451		6,702	5.553	4,741
22	—	23,705	13,688	9,623	7,419 6,036 5,088		52	37,о81	17,355	11,30118,378		6,657 5,522		14,718
24	— 1	I 23,1411	113,498	9,528	7,363 5,999 5,и62		54	35,996	17,051	11,171 8,307		6,612 5,491 4,695		
20 .	—	22,602'13,316		9,4^6	7,306 5,962 5,035		56	34,711	16,757	11,044 8,232'6,567 5,460.4,672				
281|		122,089,13,134		9,345	7,253 5,926 5,Оо9		581	33,514	16,473	10,920 8,159|6,523|5,429|4,650				
Узел = морская миля в час = 3600» 1С00/( 1852 «время в сек,) = 1943,84/ время в сек.
954
Приложение
Таблица 73. Перевод метров в секунду в английские футы в минуту
-	1 м}сек = 196,581 фута в минуту
	0	1	2	3	4	1 5	6	7	8 1	9
0			196,9	393,7	590,6	787,4	984	1 181	1378	1575	1772
10	1 969	2 165	2 362	2 559	2 756	2 953	3 150	3 346	3 543	3 740
20	3 937	4 134	4 331	4 528	4 724	4 921	5 118	5 315	5 512	5 709
30	5 906	6 102	6 299	6 496	6 693	6 890	7 087	7 283	7480	7 677
40	7 874	8 070	8 268	8 465	8 661	8 858	9 055	9 252	9 449	9 646
50	9 843	10 039	10 236	10 433	10 630	10 827	11 024	И 221	11 417	11 614
60	11 811	12 008	12 205	12 402	12 598	12 795	12 992	13 189	13 386	13 583
70	13 780	13 976	14 173	14 370	14 567	14 764	14 961	15 158	15 354	15 551
80	15 748	15 945	16 142	16 339	16 535	16 732	16 929	17 126	17 323	17 520
90	17 717	17 913	18 ПО	18 307	18 504	18 701	18 898	19 095	19 291	19 488
100	19 685	19 882	20 079	20 276	20 472	20 669	20 866	21 063	21 260	21457
Таблица 74. Перевод куб. метров в час в английские куб. футы в минуту
1 м31час = 0,588 579 4 куб. фута в минуту
|0|1|2|3|4|5|6	|	7	|	8	|	9
0			0,59	1,18	1,77	2,35	2,94	3,53	4,12	4,71	5,31
10	5,89	6,47	7,06	7,65	8,24	8,83	9,42	10,01	10,59	11,18
20	11,77	12,36	12,95	13,54	14,13	14,71	15,30	15,89	16,48	17,07
30	17,66	18,25	18,83	19,42	20,01	20,60	21,19	21,78	22,37	22,95
40	23,54	24,13	24,72	25,31	25,90	26,47	27,07	27,66	28,25	28,84
50	29,43	30,02	30,61	31,19	31,78	32,37	32,96	33,55	34,14	34,73
60	35,31	35,90	36,49	37,08	37,67	38,26	38,85	39,43	40,02	40,61
70	41,20	41,79	42,38	42,97	43,55	44,14	44,73	45,32	45,91	46,50
80	47,09	47,67	48,26	48,85	49,44	50,03	50,62	51,21	51,79	52,38
90	52,97	53,56	54,15	54,74	55,33	55,92	56,50	57,09	57,68	58,27
100	58,86	59,45	60,04	60,63	61,21	61,80	62,39	62,98	63,57	64,16
I. Энергия
Таблица 75. Сравнение различных единиц работы
	Эрг	Джоуль ватт/сек.	Кило- граммо- метры	Англ, фунтофуты	Лош. сила в час	Англ. лош. сила в час
1 эрг . . 1 джоуль 1 кгм . . 1 фунто- фут. .	1 1,000 51-10’ 9,806 2.10’ 1,355 8-10’	0,999 5-10-7 1 9,801 3 1,355 1	1,019 8-10—8 1,020 3.10—’ 1 0,138 3	7,376 0.10-8 7,379 8-10-’ 7,233 0 1	СЛ со со со to С ^4 О СО ОО СП СП -ч 00 О С С О 1 Пл	3,725 2-10—14 3,727 2-10—’ 3,652 9-10-в 5,050 5-10-7
\ л. с. . 1 англ. л. с. . 1 kWh .	2,647 7-1013 2,684 4-1018 3,601 8.10’8	2,646 4-106 2,683 0-104 3,600 0-106	2,700 0-Ю5 2,737 5-105 3,673 1-10в	1,952 9-106 1,980 0-Ю6 2,656 7- Ю6	1 1,013 9 1,360 4	0,986 3 1 1,341 8
1 кг-кал 1 BTU (брит, терм, един.).	4,186 З-Ю’о 1,054 9-Ю’о	4,184 2-103*) 1,054 4-103	4,269 0-Ю2 1,075 8- 10s	3,087 8-103 7,781 2-10’	1,581 1-10-3 3,984 4-10—4	1,559 5-Ю-з 3,929 9-10—4
1 л-ат . R. . .	1,013 3-Юо 8,313-10’	1,012 8-102 8,309	1,033 3-10 8,481.10-!	7,473 9-10 6,134 3	3,827 0-10—5 | 3,141-10—6	3,774 5-Ю-з 3,098 1-10-е
*) В Германии официально установлено 4184.
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
955
	Киловатт- час	Килограмм- калория	Британск. термин, един.	Литр- атмосфера	Газовая постоянная R
1 эрг . . . 1 джоуль . 1 кгм . . . 1 фунто- фут .. . 1 л. с. . . 1 англ. л. с. 1 kWh. . . 1 кг-кал . 1 BTU . . 1 л-ат . . R . . . .	2,776 3*10—14 2,777 8-10-’ 2,722 5-10—в 3,764 7-10-’ 0,735 1 0,745 3 1 1,162 3-Ю-з 2,928 9-10-4 2,813 2-10-5 2,309 0-10-6	2,388 7-10—11 2,389 9-10—* 2,312 5-Ю—з 3,238 6-10-* 6,324 7-102 6,412 4-Ю2 8,603 8-10’*) 1 0,252 2,420 5-Ю-2 1,986-Ю-з	9,479 0-10—11 9,483 7-10—4 9,295 6-Ю-з 1.285 2-Ю-з 2,509 8-103 2,544 6-Ю3 3,414 2--О3 3,968 3 1 9,605 2-10—2 | 7,880 9-Ю-з	9,869-10—10 9,874-10-з 9,678-10-2 1,337 8-10-2 2,613 0-10* 2,649 3-10* 3,554 7.10* 4,131-10 1,041 1-10 1 8,204-10-2	1,202 9-10-8 1,203 5-10-1 1,179 1 1,630 2-10-» 3,183 7-Ю5 3,227 8-Ю5 4,330 8-105 5,035 2-10’ 1,268 9-10’ 1,218 9.10 1
*) В Германии официально установлено 860.
1 т-м-- 3,229 англ, тонны-фут.	1 англ, тонна-фут — 0,3097 т-м
1 т-км = 0,6116 англ, тонны-мили	1 англ. тонна-миля=1,635 т-км
Таблица 76. Сравнение единиц работы разных стран
Единица работы	Пруссия	Англия	Австрия |	СССР |	Швеция
1 кгм = п фунтофут .	6,3724	7,2329	5,6489 1	8,0114	I 7,9236
1 фунтофут = 1[п кгм	0,1569	0,1383	0,1770	|	।	0,1248	|	0,1262
Таблица 77. а) Перевод английских фунтофутов в килограммометры
Ь) Перевод килограммометров в английские фунтофуты
а) 1 фунтофут = 0,138 25 кгм
	0	1	2	3	4	5 1	6 1	7 1	8	9
0	—	0,138 25	0,276 50	0,414 75	0,553 00	0,691 25|0,829 5О'о,967 75! 1,106 00				1,244 25
10	1,382 50	1,520 75	1,659 00	1,797 25	1,935 50	2,073 75	2,212 0012,350 25!2,488 50			2,626 75
20	2,765 00	2,903 25	3,041 50	3,179 75	3,318 00	3,456 25	3,594 50,3,732 7513,871 00			4,009 25
30	4,147 50	4,285 75	4,424 00	4,562 25	4,700 50	4,838 75	4,977 00 5,115 25 5,253 50			5,391 75
40	5,530 00	5,668 25	5,806 50	5,944 75	6,083 00	6,221 25	6,359 50 6,497 75 6,636 00			6,774 25
50	6,912 50	7,050 75	7,189 00	7,327 25	7,465 50	7,603 75	7,742 00 7,880 25		8,018 50	8,156 75
60	8,295 00	8,433 25	8,571 50	8,709 75	8,848 00	8,986 25	9,124 50	9,262 75	9,401 00	9,539 25
70	9,677 50	9,815 75	9,954 00	10,092 3	10,230 5	10,368 8	10,507 0	10,645 3	10,783 5	10,921 8
80	11,060 0	11,198 3	11,336 5	11,474 8	11,613 0	11,7513	11,889 5	12,027 8	12,166 0	12,304 3
90	12,442 5	12,580 8	12,719 0	1 12,857 3	12,995 5	13,133 8	13,272 0	13,410 3	13,548 5	13,686 8
100	13,825 0	13,963 3	14,101 5	14,239 8	14,378 0	14,516 3	14,654 5	14,792 8	14,931 0	15,069 3
b) 1 кгм — 7,233 фунтофут а
0	—	7,233	14,466	21,699	28,932	36,165	43,398	50,631	57,864	65,097
10	72,330	79,563	86,796	94,029	101,262	108,495	115,728	122,961	130,194	137,427
<0	144,660	151,893	159,126	166,359	173,592	180,825	188,058	195 291	202,524	209,757
30	216,990	224,223	231,456	238,689	245,922	253,155	260,388	267,621	274,854	282,087
40	289,320	296,553	303,786	311,019	318,252	325,485	332,718	339,951	347,184	354,417
50	361,650	368,883	376,116	383,349	390,582	397,815	405,048	412,281	419,514	426,747
60	433,980	441,213	448,446	455,679	462,912	470,145	477,378	484,611	491,844	499,077
70	506,310	513,543	520,776	528,009	535,242	542,475	549,708	556,941	564,174	571,407
80	578,640	585,873	593,106	600,339	607,572	614,805	622,038	629,271	636,504	643,737
90	650,070	658,203	665,436	672,669	679,902	687,135	694,368	701,601	708,834	716,067
100	723,300	730,533	737,766	744,999	752,232	759,465	766,698	773,931	781,164	788,397
956
Приложение
Таблица 78. Перевод единиц мощности
	эрг/сек.	кгм! сек	англ, фунтофут/ сек.	л. с.	англ. л. с.	kW
1 эрг/сек. . 1 кгм\сек . 1 фунто- фут/сек. \ л. с. . . 1 англ. л. с. (HP). . . 1 kU . . .	1 9,806 2 «107 1,355 8-107 7,354 6-109 7,456 6.10’ 1,00051.10’0	1,019 8-10-8 1 0,138 255 75 76,040 1,020 3-105	7,376 2-10—в 7,233 0 1 542,47 550 7,379 7-103	1,359 7-10~10 1,333 3-10-2 1,8434-Ю-з 1 1,013 9 1,360 4	1,3411-10-50 1,3151-10-2 1,818 2.10 з 0,986 3 1 1,341 8	0,9991-10-'" 9,8013-10-3 1,355 1-10 3 0,735 1 0,745 3 1
1 кг-кал\сек — 5,692 л. с. = 5,6148 англ. л. с. (HP) = 4,184 kW.
1 л. г. = 0,1757 кг-кал1сек; 1 англ. л. с. (HP) = 0,1781 кг-кал^сек.
1 kW = 0,2390 кг-кал1сек.
Таблица 79. Сравнение лошадиных сил разных стран
	Англия: 1 англ. л. с.=550 фун-' то-фут/сек.	Австрия: 1 л. с. =430 фунто- фут/сек.	Пруссия: 1 л. (.=48') фунто- фут/сек.	Саксония: 1 л. с.=539 фунто- фут/сек.	Баден: 1 л. с.= =539 фунто- фут/сек.	Вюртенберг: 1 л. с.= =525 фунто- фут/сек.
1 м л. с. (75 кг.ч1 сек)		0,986 3	0,9853	0,9957	0,9994	1,000	0,9973 л. с.
1 л. с. разных стран 		1,013 87	1,0149	1,0043	1,0003	1,000	разл. стран 1,0027 м л. с.
	76,040	76,119	75,325	75,045	75,000	75,204 кгм1сек
Таблица 80. а) Перевод лошадиных сил в киловатты
Ь) Перевод киловаттов в лошадиные силы
а) 1 л. с. = 0,735 10 kW
	0	1	2	1. 3	4	5	1 6	7	8	9
0	—	0,7351	1,4702	2,2053	2,9404	3,6755	4,4106	5,1457	5,8808	6,6159
10	7,3510	8,0861	8,8212	9,5563	10,291	11,027	11,762	12,497	13,232	13,967
20	14,702	15,437	16,172	16,907	17,642	18,378	19,113	19,848	2J.583	21,318
30	22,053	22,788	23,523	24,258	24,993	25,729	26,464	27,199	27,9_>4	28,669
40	29,404	30,139	30,874	31,609	32,344	33,080	33,815	34,550	35,285	36,020
50	36,755	37,490	38,225	38,960	39,695	40,431	41,166	41,901	42,636	4J,371
60	44,106	44,841	45,576	46,311	47,046	47,782	48,517	49,252	49,987	50,722
70	51,457	52,192	52,927	53,662	54,397	55,133	55,868	56,603	57,3з8	58,073
80	58,808	59,543	60,278	61,013	61,748	62,484	63,219	63,954	64,689	65,424
90	66,159	66,894	67,629	68,364	69,099	69,835	70,570	71,305	72,040	72,775
100	73,510	74,245	74,980	75,715	76,450	77,186	77,921	78,656	79,391	80,123
Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
957
b) 1 kW = 1,3604 л. с.
	0	1	2	3	4	5 I	1 6	1 7 i	i 8	9
0			1,3604	2,7208	4,0812	5,4416	6,8020	8,1624	9,5228 I	I 10,883	12,244
10	13,604	14,964	16,325	17,685	19,046	20,406	21,766	23,127	24,487	25,848
20	27,208	28,568	29,929	31,289	32,650	34,010	35,370	36,731	38,091	39,452
30	40,812	42,172	43,533	44,893	46,254	47,614	48,974	50,335	51,695	53,056
40	54,416	55,776	57,137	58,497	59,858	61,218	62,578	63,939	65,299	66,660
50	68,020	69,380	70,741	72,101	73,462	74,822	76,182	77,543	78,903	80,264
60	81,624	82,984	84,345	85,705	87,066	88,426	89,786	91,147	92,507	96,868
70	95,228	96,588	97,949	99,309	100,67	102,03	103,39	104,75	106,11	107,47
80	108,83	110,19	111,55	112,91	114,27	115,63	116,99	118,35	119,72	121,08
90	122,44	123,80	125,16	126,52	127,88	129,24	130,60	131,96	133,32	134,68
100	136,04	137,40	138,76	140,12	141,48	142,84	144,20	145,56	146,92	148,28
Таблица 81. а) Перевод англ, лошадиных сил в киловатты
Ь) Перевод киловаттов в английские лошадиные силы
а) 1 англ. л. с. (HP) = 0,745 292 6 kW
	0	1	2	3	4 1	5 1	6	7	8	9
0			0,7453	1,4906	2,2359	2,9812	3,7265	4,4718	5,2171	5,9623	6,7076
10	7,4529	8,1982	8,9435	9,6888	10,4о4	11,179	11,925	12,670	13,415	14,161
20	14,906	15,651	16,396	17,142	17,887	18,632	19,378	20,123	20,868	21,613
30	22,359	23,104	23,849	24,595	25,340	26,085	26,831	27,576	28,321	29,066
40	29,812	30,557	31,302	32,048	32,793	33,538	34,284	35,029	35,774	36,519
50	37,265	38,010	38,755	39.501	40,246	40,991	41,736	42,482	43,227	43,972
60	44,718	45,463	46,208	46,954	47,699	48,444	49,189	49,935	50,680	51,425
70	52,171	52,916	53,661	54,406	55,152	55,897	56,642	57,388	58,133	58,878
80	59,623	60,369	61,114	61,859	62,605	63,350	64,095	64,840	65,586	66,331
90	67,076	67,822	68,567	69,312	70,058	70,803	71,548	72,293	73,039	73,784
100	74,529	75,275	76,020	76,765	77,510	. 78,256	79,001	79,746	80,492	81,237
			b) 1	kW = 1,341 755 англ. л. с			-• (HP)			
0			1,3418	2,6835	4,0253	5,3670	6,7088	8,0505	9,3923	10,734	12,076
10	13,418	14,759	16,101	17,443	18,785	20,126	21,468	22,810	24,152	25,493
20	26,835	28,177	29,519	30,860	32,202	33,544	34,886	36,227	37,569	38,911
30	40,253	41,594	42,936	44,278	45,620	46,961	48,303	49,645	50,987	52,328
40	53,670	55,012	56,354	57,695	59,037	60,379	61,721	63,062	64,404	65,746
50	67,088	68,430	69,771	71,113	72,455	73,797	75,138	76,480	77,822	79,164
60	80,505	• 81,847	83,189	84,531	85,872	87,214	88,556	89,898	91,239	92,581
70	93,923	95,265	96,606	97,948 (	99,290	100,63	101,97	103,32	104,66	106,00
80	107,34	108,68	110,02	111,37 '	112,71	114,05	115,39	116,73	118,07	119,42
90	120,76	122,10	123,44	124,78	126,12	127,47	128,81	130,15	131,49	132,83
100	134,18	135,52	136,86	138,20	139,54	140,88	142,28	143,57	144,91	146,25
Таблица 82. а) Перевод килограмм-калорий в секунду в киловатты
Ь) Перевод киловаттов в килограмм-калории в секунду
а)	1 кг-кал1сек = 4,184 kW
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
41,840
83,680
125,520
167,360
209,200
251,040
292,880
334,720
376,560
418,400
4,184
46,024
87,864
129,704
171,544
213,384
255,224
297,064
338,904
380,744
422,584
8,368
50,208
92,048
133,888
175,728
217,568
259,408
301,248
343,088
384,928
426,768
12,552
54,392
96,232
138,072
179,912
221,752
263,592
305,432
347,272
389,112
430,952
16,736
58,576
100,416
142,256
184,096
225,936
267,776
309,616
351,456
393,296
435,136
20,920
I 62,760
104,600
146,440
188,280
230,120
271,960
313,800
355,640
397,480
439,320
25,104
66,944
108,784
150,624.
192,464'
234,304
276,144
317,984
359,824
401,664
443,504
29,288
71,128
112,968
154,808
196,648
238,488
280,328
322,168
364,008
405,848
447,688
33,472
75,312
117,152
158,992
200,832
242,672
284,512
326,352
368,192
410,032
451,872
37,656
79,496
121,336
163,176
205,016
246,856
288,696
330,536
372,376
414,216
456,056
958
Приложение
b) 1 kW = 0,239 005 7 кг-кал\сек
	0	1	2	3	4 1	5	6	7 1	f 8	9
0	—	0,239	0,478	0,717	0,956	1,195	1,434	1,673	1,912	2,151
10	2,390	2,629	2,868	3,107	3,346	3,585	3,824	4,063	4,302	4,541
20	4,780	5,019	5,258	5,497	5,736	5,975	6,214	6,453	6,692	6,931
30	7,170	7,409	7,648	7,887	8,126	8,365	8,604	8,843	9,082	9,321
40	9,560	9,799	10,038	10,277	10,516	10,755	10,994	11,233	11,472	11,711
50	11,950	12,189	12,428	12,667	12,906	13,145	13,384	13,623	13,862	14,101
60	14,340	14,579	14,818	15,057	15,296	15,5э5	15,774	16,013	16,252	16,491
70	16,730	16,969	17,208	17,447	17,686	17,925	18,164	, 18,403	18,642	18,881
80	19,120	19,359	19,598	19,837	20,076	20,315	20,554	' 20,793	21,033	21,272
90	21,511	21,750	21,989	22,228	22,467	22,706	22,945	23,184	23,423	23,662
100	23,901	24,140	24,379	24,618	24,857	25,096	25,335	25,574	25,813	26,052
Таблица 83. а) Перевод киловаттчасов в килограмм-калории
(1 kWh=860 кг-кал)
Ь) Перевод килограмм-калорий в киловаттчасы
(1 кг-кал = 0,001 162 79 kWh)
	1	2	|	3	4 1	5	6	7 1	8	!	9
а)	860	1720 I 2580	3440	4300	5160	6020 |	6880 1 /740
1000 Ь)	1,162 79	2,325 58( 3,488 37	4,651 1б|	5,813 95	6,976 74	8,139 531	9,302 32(10,46511
Таблица 84. а) Перевод киловаттчасов в британские термические единицы
(1 kWh = 3414,2 BTU)
Ъ)	Перевод британских термических единиц в киловаттчасы
(1 BTU 0,000 292 89 kWh)
1	1 1	2	1 3	4	1	5	|	6 1	7	8	9
а)|	3414,2 I	6828,4	I 10 242,6	13 656,8; 17 071,01	20 485,21	23 899,4	27 313,6	30 727,8
10 000 Ь)|	2,9289 |	5,8578	[ 8,7867	11,7156 1 14,6445 |	17,5734 1	20,5023	23,4312	26,3601
Котловые лошадиные силы (Kesselpferdestarke)
В САСШ принято продавать котлы по котловым лошадиным силам. Одной котло-
вой лошадиной силе соответствует поверхность нагрева в 10 англ. кв. футов (по
постановлению стандартной комиссии Союза американских инженеров в 1876 г.;
тогда котел поверхностью в 10 кв. футов давал достаточное количество насыщенного
пара для одной лошадиной силы, а именно 34,5 англ, фунтов (15,65 кг1час).
Принимают, что английский нормальный пар в 212° F = 100° С имеет теплоту испа-
рения 539 кг-кал]кг, немецкий — 640 кг-кал1кг. Это соответствует 34,5 англ, фунтам
насыщенного пара с 10 кв. футов в час, т. е. 34,5 (0,454/10) *0,3052 539/640 = 14,22 кг]м-
в час немецкого нормального ггара.
• Испарительная способность современных котлов считается в процентах от этих
величин. Вышеуказанное нормальное испарение принимается за 1СОо/о. Новые котлы
работают нормально с производительностью 200<>'а (т. е. 2*14,22 = 28,4 кг/.и2 в час)
и часто могут работать с большей нагрузкой в 4С0°'о (56,8 кг^м2 в час).
Англ. л. с. (ВНР) = Brake horspower (английская и американская юрмозная
лошадиная сила): 1 ВНР = 2ге л/60*г*Р/550 л. с. (где г—в английских футах и Р—в ан-
глийских фунтах) = л/5252. [л. г.].
Примечание к табл. 85. При пересчете BTU в кг-кал и обратно следует разли-
чать, идет ли вопрос о количестве теплоты или о теплотворной способности (отне-
сенной к весовой единице). В первом случае годны второй и третий столбцы, в по-
следнем случае четвертый и пятый и т. д. (Срав. Отд. пТеплота“, стр. 605).
Таблица для сравнения и перевода мер и весов
959
Таблица 85. Сравнение килограмм-калорий с английской еди-
ницей тепла (British Thermal Unit)
(BTU/°F = 0,4536 (англофунт, в кг) х 5/9 (°F в °C) кг-кал — 0,252 кг-кал/0° С
Число	|	ВТ U в	• кг-кал	кг-кал в BTU	BTU/фунт кг-кал!кг	кг-кал1кг П BTU/фунт	BTU куб. фут в кг-кал/л.з	кг-к ал) м3 в BTU куб. Фут Г»	BTU/kb. фут в кг-кал[мз	кг-кал1м- в BTU/kb. фут	BTU/kb. дюйм в кг-кал)м-	кг-кал!мъ в BTU/kb. дюйм
1	0,252	3,968	0,556	1,80	8,899	0,112	2,712	0,369	390,6	0,002 6
1,2	0,302	4,762	0,667	2,16	10,679	0,135	3,255	0,442	468,7	0,003 1
1,4	0,353	5,556	0,778	2,52	12,459	0,157	3,797	0,516	546,8	0,003 6
1,6	0,403	6,349	0,889	2,88	14,239	0,180	4,340	0,590	625,0	0,004 1
1,8	0,454	7,143	1,000	3,24	16,019	0,202	4,882	0,664	703,1	0,004 6
2	0,504	7,937	1,111	3,60	17,798	0,225	5,425	0,737	781,2	0,005 1
2,2	0,554	8,730	1,222	3,96	19,578	0,247	5,967	0,811	859,3	0,005 6
2,4	0,605	9,524	1,333	4,32	21,358	0,270	6,510	0,885	937,4	0,006 1
2,6	0,655	10,318	1,444	4,68	23,138	0,292	7,052	0,959	1015,6	0,006 7
2,8	0,706	11,111	1,556	5,04	24,918	0,315	7,595	1,032	1093,7	0,007 2
3	0,756	11,905	1,667	5,40	26,698	0,337	8,137	1,105	1171,8	0,007 7
3,2	0,806	12,699	1,778	5,76	28,477	0,360	8,680	1,180	1249,9	0,0С8 2
3,4	0,857	13,492	1,889	6,12	30,257	0,382	9,222	1,253	1328,0	0,008 7
3,6	0,907	14,286	2,000	6,48	32,037	0,405	9,765	1,327	1406,2	0,009 2
3,8	0,958	15,080	2,111	6,84	33,817	0,427	10,307	1,401	1484,3	0,009 7
4	1,008	15,873	2,222	7,20	35,597	0,449	10,850	1,475	1562,4	0,010 2
4,2	1,058	16,667	2,333	7,56	37,377	0,472	11,392	1,548	1640,5	0,010 8
4,4	1,109	17,461	2,444	7,92	39,156	0,494	11,935	1,622	1718,6	0,011 3
4,6	1,159	18,254	2,556	8,28	40,936	0,517	12,477	1,696	1796,8	0,011 8
4,8	1,210	19,048	2,667	8,64	42,716	0,539	13,020	1,770	1874,9	0,012 3
5	1,260	19,842	2,778	9,00	44,496	0,562	13,562	1,843	1953,0	0,012 8
5,2	1,310	20,635	2,889	9,36	46,276	0,584	14,105	1,917	2031,1	0,013 3
5,4	1,361	21,429	3/00	9,72	48,056	0,607	14,647	1,991	2109,2	0,013 8
5,6	1,411	22,222	3,111	10,08	49,836	0,629	15,190	2,065	2187,4	0,014 3
5,8	1,462	23,016	3,222	10,44	51,615	0,652	15,732	2,138	2265,5	0,014 8
6	1,512	23,810	3,333	10,80	53,395	0,674	16,275	2,212	2343,6	0,015 4
6,2	1,562	24,693	3,444	11,16	55,175	0,697	16,817	2,286	2421,7	0,015 9
6,4	1,613	25,397	3,556	11,52	56,955	0,719	17,360	2,359	2499,8	0,016 4
6,6	1,663	26,191	3,667	11,88	58,735	0,742	17,902'	2,433	2578,0	0,016 9
6,8	1,714	26,984	3,778	12,24	60,515	0,764	18,445	2,507	2656,1	0,017 4
7	1,764	27,778	3,889	12,60	62,294	0,787	18,987	2,581	2734,2	0,017 9
7,2	1,814	28,572	4,000	12,96	64,074	0,8С9	19,530	2,654	2812,3	0,018 4
7,4	1,865	29,365	4,111	13,32	65,854	0,832	20,072	2,728	2890,4	0,018 9
7,6	1,915	30,159	4,222	13,68	67,634	0,854	20,615	2,802	2968,6	0,019 5
7,8	1,966	30,953	4,333	14,04	69,414	0,876	21,157	2,876	3046,7	0,020 0
8	2,016	31,746	4,444	14,40	71,194	0,899	21,700	2,949	3124,8	0,020 5
8,2	2,066	32,540	4,556	14,76	72,973	0,921	22,242	3,023	3202,9	0,021 0
8,4	2,117	33,334	4,667	15,12	74,753	0,944	22,785	3,097	3281,0	0,021 5
8,6	2,167	34,127	4,778	15,48	76,533	0,966	23,327	3,171	3359,2	0,022 0
8,8	2,218	34,921	4,889	15,84	78,313	0,989	23,870	3,244	3437,3	0,022 5
9	2,268	35,715	5,0С0	16,20	80,093	1,011	24,412	3,318	3515,4	0,023 0
9,2	2,318	36,508	5,111	‘ 16,56	81,873	1,034	24,955	3,392	3593,5	0,023 6
9,4	2,369	37,302	3,222	16,92	83,652	1,056	25,497	3,465	3671,6	0,024 1
9,6	2,419	38,096	5,333	17,28	85,432	1,079	26,040	3,539	3749,8	0,024 6
9,8	2,470	38,889	5,444	17,64	87,212	1,101	26,582	3,613	3827,9	0,025 1
10	2,520	39,683	5,556	1 18,00	88,992 |	1,124	27,125 |	| 3,687	3906,0	[ 0,025 6
1 BTU/дюйм = 9,9213 кг-кал/м', 1 BTU/kb.	1 А'г-/лзл/л/=0,1008 BTU/дюйм; 1 кг-кал) м2
фут °F в час = 1,5072 кг-кал)м2 °C в час;	°C в час=0,6635 BTU/ кв. фут °F в час;
1 BTU/фут °F в чал = 0,4593 кг-кал),и °C	1 кг-кал{м °C в час = 2,1772 BTU/фунт
в час; 1 BTU/кв. дюйм °F в час=217,О кг-	1°F в час; 1 кг-кал{мг СС в час=0,0С4 608
кал)м' °C в час; 1 BTU/дюйм °F в час =	BTU/ кв. дюйм °F в час; 1 кг-кал)м
= 5,5118 кг-клл1м °C в час.	°C в час = 0,18143 BTU/дюйм °F в час.
J. Объем газа	<£
О
Таблица 86. Пересчет объема газа при постоянном давлении для других температур *)
Значения 1 + <х/, «=0,003 67
t	— 9	—8	—7	-6	—5	—4	—3	—2	- 1	1 0	t
	0,893 57	0,897 24	0,900 91	0,904 58	0,908 25	0,911 92	0,915 59	0,919 26	0,922 93	0,926 60	— 20
	0,930 27	0,933 94	0,937 61	0,941 28	0,944 95	0,948 62	0,952 29	0,955 96	0,959 63	0,963 30	-10
	Q,966 97	0,970 64	0,974 31	0,977 98	0,981 65	0,985 32	0,988 99	0,992 66	0,996 33	1,000 00	0
	0	1	2	3	4	1	5	1	6	1 7	1 8		9		
о	1,000 00	1,003 67	1,007 34	1,011 01	1,014 68	1,018 35	1,022 02	1,025 69	1,029 36	1,033 03	
10	i;036 70	1,040 37	1,044 04	1,047 71	1,051 38	1,055 05	1,058 72	1,062 39	1,066 06	1,069 73	
20	1,073 40	1,077 07	1,080 74	1,084 41	1,088 08	1,091 75	1,095 42	1,099 09	1,102 76	1.106 43	
30	1Д10 10	1,113 77	1,117 44	1,121 11	1,124 78	1,128 45	1,132 12	1,135 79	1,139 46	1,143 13	
40	1,146 80	1,150 47	1,154 14	1,157 81	1,161 48	1,165 15	1,168 82	1,172 49	1,176 16	1,179 83	
50	1,183 50	1,187 17	1,190 84	1,194 51	1,198 18	1,201 85	1,205 52	1,209 19	1,212 86	1,216 53	
60	1,220 20	1,223 87	1,227 54	1,231 21	1,234 88	1,238 55	1,242 22	1,245 89	1,249 56	1,253 23	
70	1,256 90	1,260 57	1,264 24	1,267 91	1,271 58	1,275 25	1,278 92	1,282 59	1,286 26	1,289 93	
80	1,293 60	1,297 27	1,300 94	1,304 61	1,308 28	1,311 95	1,315 62	1,319 29	1,322 96	1,326 63	
90	1,330 30	1,333 97	1,337 64	1,341 31	1,344 98	1,348 65	1,352 32	1,355 99	1,359 66	1,363 33	
100	1,367 00	1,370 67	1,374 34	1,378 01	1,381 68	1,385 35	1,389 02	1,392 69	1,396 36	1,400 03	
110	1,403 70	1,407 37	1,41104 ,	1,414 71	1,418 38	1,422 05	1,425 72	1,429 39	1,433 06	1,436 73	
120	1,440 40	1,444 07	1,447 74	1,451 41	1,455 08	1,458 75	1,462 42	1,466 09	1,469 76	1,473 43	
130	1,477 10	1,480 77	1,484 44	1,488 11	1,491 78	1,495 45	1,499 12	1,502 79	1,506 46	1,510 13	
140	1,513 80 |	| 1Д17 47	1,521 14	1,524 81	1,528 48	1,532 15	1,535 82	1,539 49	1,543 16	1,546 83	
150	1,550 50	1,554 17	1,557 84	1,561 51	1.565 18	1,568 85	1,572 52	1,576 19	1,579 86	1,583 53	
160	1,587 20	1,590 87	’	1,594 54	1,598 21	1,601 88	1,605 55	1,609 22	1,612 89	1,616 56	1,620 23	
170	1,62390 :	1,627 57	1,631 24	1,634 91	1,638 58	1,642 25	1,645 92	1,649 59	1,653 26	1,656 93	
180	1,660 60 I	1 1,664 27	1,667 94	1,671 61	1,675 28	1,678 95	1,682 62	1,686 29	1,689 96	1,693 63	
190	1,697 30	1,700 97	1,704 64	1,708 31	1,711 98	1,715 65	1,719 32	1,722 99	1,726 66	1,730 33	
200	1,734 00	1,737 67	1,741 34	1,745 01	1,748 68	1,752 35	1,756 02	1,759 69	1,763 36	1,767 03	
210	1,770 70	1,774 37	1,778 04	1,781 71	1,785 38	1,789 05	1,792 72	1,796 39	1,800 06	1,803 73	
220	1,807 40	1,811 07	1,814 74	1,818 41	1,822 08	1,825 75	1,829 42	1,833 09	1,836 76	1,840 43	
230	1,844 10	1,847 77	1,851 44	1,855 11	1,858 78	1,862 45	1,866 12	1,869 79	1,873 46	1,877 13	
240	1,880 80	1,884 47	1,888 14	1,891 81	1,895 48	1,899 15	1,902 82	1,906 49	1,910 16	1,913 83	
250	1,917 50				1						
’) Более подробные таблицы см. Lunge-Berl, Chemisch-technische Untersuchungsmethoden, 7. Aufl.. Berlin 1921, Springer,
и Landolt-B6rnstein,_Physikalisch-chemische Tabellen, 5. Aufl., Berlin 1923, Springer.
Приложение
Значения -——-
1 + a t
Таблица 87.
t	—9	— 8	— 7	-6	— 5	— 4	— 3	— 2	— 1	0	t
	1,119 И	1,114 53	1,109 99	1,105 49	1,101 01	1,096 58	1,092 19	1,087 83	1,083 50	1,079 22	-20
	1,074 95	1,070 73	1,066 55	1,062 38	1,058 25	1,054 17	1,050 10	1,046 07	1,042 08	1,038 10	— 10
	1,034 17	1,030 24	1,026 36	1,022 52	1,018 68	1,014 89	1,011 14	1,007 40	1,003 69	1,000 00	0
	0	1	2	3	4	5	1 6	7	8	9	
о	1,000 00	0,996 34	0,992 71	0,989 И	0,985 53	0,981 98	0,978 45	0,974 95	0,971 48	0,968 03	
10	0,964 60	0,961 20	0,957 82	0,954 46	0,951 13	0,947 82	0,944 54	0,941 27	0,938 03	0,934 82	
20	0,931 62	0,928 45	0,925 29	0,922 16	0,919 05	0,915 96	0,912 89	0,909 84	0,906 82	0,903 81	
30	0,900 82	0,897 85	0,894 90	0,891 97	0,889 03	0,886 17	0,883 30	0,880 44	0,877 61	0,874 79	
40	0,871 99	0,869 21	0,866 45	0,863 70	0,860 97	0,858 26	0,855 56	0,852 89	0,850 22	0,847 58	
50	0,844 95	0,842 34	0,839 74	0,837 16	0,834 60	0,832 05	0,829 52	0,827 00	0,824 50	0,822 01	
60	0,819 54	0,817 08	0,814 64	0,812 21	0,809 80	0,807 40	0,805 01	0,802 64	0,800 28	0,797 94	
70	0,795 61	0,793 29	0,790 99	0,788 70	0,786 42	0,784 16	0,781 91	0,779 67	0,777 45	0,775 24	
80	0,773 04	0,770 85	0,768 67	0,766 51	0,764 35	0,762 22	0,760 10	0,757 98	0,755 88	0,753 79	-
90	0,751 71	0,749 64	0,747 59	0,745 54	0,743 51	0,741 48	0,739 47	0,737 47	0,735 48	0,733 50	
100	0,731 53	0,729 57	0,727 62	0,725 68	0,723 76	0,721 84	0,719 93	0,718 03	0,716 14	0,714 27	
110	0,712 41	0,710 55	0,708 70	0,706 85	0,705 03	0,703 22	0,701 41	0,699 60	0,697 81	0,696 62	
12)	0,694 25	0,6ч2 49	0,690 73	0,688 99	0,687 25	0,685 52	0,683 80	0,682 09	0,680 39	0,678 69	
130	0,677 00-	0,675 32	0,673 65	0,671 99	0,670 35	0,668 70	0,667 05	0,665 43	0,663 81	0,662 20	
140	0,660 59	0,658 99	0,657 40	0,655 81	0,654 24	0,652 68	0,651 12	0,649 56	0,648 02	0,646 49	
150	0,644 96	0,643 43	0,641 92	0,640 41	0,638 91	0,637 41	0,635 92	0,634 44	0,632 97	0,631 50	
160	0,630 04	0,628 59	0,627 13	0,625 71	0,624 27	0,622 85	0,621 41	0,620 01	0,618 60	0,617 19	
170	0,615 80	0,614 41	0,613 03	0,611 65	0,610 28	0,608 92	0,607 56	0,606 21	0,604 87	0,603 53	
180	0,602 20	0,600 87	0,599 54	0,598 22	0,596 91	0,595 61	0,594 31	0,593 02	0,591 73	0,590 45	
190	0,589 17	0,587 90	0,586 63	0,585 37	0,584 12	0,582 87	0,581 63	0,580 39	0,579 15	0,577 92	
200	0,576 70	0,575 48	0,574 27	0,573 06	0,571 86	0,570 66	0,569 47	0,568 28	0,567 10	0,565 92	
210	0,564 75	0,563 58	0,562 42	0,561 26	0,560 11	0,558 96	0,557 81	0,55} 67	0,555 53	0,554 41	
220	0,553 28	0,552 16	0,551 05	0,549 93	0,5^8 82	0,547 72	0,546 63	0,545 53	0,544 44	0,543 35	
230	0,542 27	0,541 19	0,540 12	0,5з9 05	0,537 99	0,536 93	0,535 87	0,5з4 82	0,533 77	0,532 73	
240	0,531 69	0,530 65	0,529 62	0,528 59	0,527 57	0,526 55	0,525 54	0,524 52	0,523 52	0,522 51	
250	0,521 51										
Объем газа
962
Приложение
Таблица 88а. Изменение объема газа при постоян]
273-
273 J
ХЛ Л х	-20 253	— 10 263	0 273	+ ю 283	20 293	30 303	40 313	59 323	60 333	70 343	31
— 20°	1	1,0395	1,0790	1,1186	1,1581	1,1976	1,2371	1,2767	1,3162	1,3557	1,
— 10	0,9620	1	1,0380	1,0760	1,1141	1,1521	1,1901	1,2281	1,2661	1,3042	1,
0	0,9267	0,9634	1	1,0366	1,0733	1,1099	1,1465	1,1832	1,2198	1,2564	1,
+ 10	0,8940	0,9293	0,9647	1	1,0353	1,0707	1,1060	1,1413	1,1767	1,2120	1,
20	0,8635	0,8976	0,9317	0,9659	1	1,0341	1,0682	1,1024	1,1365	1,1706	1,
30	0,8350	0,8680	0,9010	0,9340	0,9670	1	1,0330	1,0660	1,0990	1,1320	1,
40	0,8083	0,8403	0,8722	0,9042	0,9361	0,9681	1	1,0320	1,0639	1,0958	1,
60	0,7833	0,8143	0,8452	0,8762	0,9071	0,9381	0,9690	1	1,0310	1,0619	I,1
60	0,7598	.0,7898	0,8198	0,8499	0,8799	0,9099	0,9399	0,9700	1	1,0300	1,'
70	0,7376	0,7668	0,7959	0,8251	0,8542	0,8834	0,9125	0,9417	0,9709	1	1,'
80	0,7167	0,7451	0,7734	0,8017	0,8300	0,8584	0,8866	0,9150	0,9433	0,9717	
90	0,6970	0,7245	0,7521	0,7796	0,8072	0,8347	0,8622	0,8898	0,9173	0,9449	О,1
100	0,6783	0,7051	0,7319	0,7587	0,7855	0,8123	0,8391	0,8659	0,8928	0,9196	0,
110	0,6606	0,6867	0,7128	0,7389	0,7650	0,7911	0,8172	0,8433	0,8694	0,8956	о,
120	0,6438	0,6692	0,6947	0,7201	0,7456	0,7710	0,7964	0,8219	0,8473	0,8728	о,.
130	0,6278	0,6526	0,6774	0,7022	0,7271	0,7518	0,7767	0,8015	0,8263	0,8511	о,
140	0,6126	0,6368	0,6610	0,6852	0,7095	0,7337	0,7579	0,7821	0,8063	0,8305	о,
150	0,5981	0,6218	0,6454	0,6690	0,6927	0,7163	0,7400	0,7636	0,7872	0,8109	0,
160	0,5843	0,6074	0,6305	0,6536	0,6767	0,6998	0,7229	0,7460	0,7690	0,7921	0,.
170	0,5711	0,5937	0,6163	0,6388	0,6614	0,6840	0,7066	0,7291	0,7517	0,7743	0,
180	0,5585	0,5806	0,6026	0,6247	0,6468	0,6689	0,6909	0,7130	0,7351	0,7572	о,
ISO	0,5464	0,5680	0,5896	0,6112	0,6328	0,6544	0,6760	0,6976	0,7192	0,7408	о,
200°	0,5349	0,5560	0,5772	0,5983	0,6143	0,6406	0,6617	0,6829	0,7040	0,7252	0,
Конечный объем va для конечной температуры ta находится на линии пересече
конечный объем для 1 м9 при изменении температуры от tt = 100° до /а=20°, торг
конечная 10Э°, горизонтальный ряд 20, вертикальный столбец 100, то объем 1 м9 увел
значение конечного объема в горизонтальном ряду для конечной температуры и в ве
Объем газа
963
злении при различных температурах ^значения
г, 1	1
-7-г-; ^-1
90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200°
•63	373 1	383	393	403	413	423	433	443	453	463	473°
48	1,4743	1,5138	1,5534	1,5929	1,6324	1,6719	1,7115	1,7510	1,7905	1,8300	1,8696
02	1,4182	1,4563	1,4943	1,5323	1,5703	1,6083	1,6464	1,6844	1,7224	1,7604	1,7985
97	1,3663	1,4029	1,4-396	1,4762	1,5128	1,5495	1,5861	1,6227	1,6594	1,6960	1,7326
27	1,3180	1,3533	1,3887	1,4240	1,4594	1,4947	1,5300	1,5653	1,6007	1,6360	1,6714
89	0,2730	1,3072	1,3413	1,3754	1,4095	1,4437	1,4778	1,5119	1,5461	1,5802	1,6143
во	0,2310	1,2640	1,2970	1,3300	1,3630	1,3960	1,4290	1,4620	1,4950	1,5281	1,5611
98	1,1917	1,2237	1,2556	1,2876	1,3195	1,3515	1,3834	1,4153	1,4473	1,4793	1,5112
39	1,1548	1,1858	1,2167	1,2477	1,2786	1,3096	1,3406	1,3715	1,4025	1,4334	1,4644
91	1,1201	1,1502	1,1802	1,2102	1,2403	1,2703	1,3003	1,3303	1,3604	1,3904	1,4204
33	1,0875	1,1166	1,1458	1,1750	1,2041	1,2332	1,2624	1,2915	1,3207	1,3499	1,3790
33	1,0567	1,0850	1,1133	1,1417	1,1700	1,1983	1,2266	1,2550	1,2833	1,3116	1,3400
	1,0275	1,0551	1,0826	1,1102	1,1377	1,1653	1,1928	1,2204	1,2479	1,2755	1,3030
12	1	1,0268	1,0536	1,0804	1,1072	1,1340	1,1609	1,1876	1,2145	1,2413	1,2681
г8	0,9739	1	1,0231	1,0522	1,0783	1,1044	1,1306	1,1566	1,1828	1,2089	1,2350
17	0,9491	0,9746	1	1,0255	1,0509	1,0763	1,1018	1,1272	1,1527	1,1781	1,2036
17	0,9256	0,9504	0,9752	1	1,0248	1,0496	1,0744	1,0992	1,1241	1,1489	1,1737
9	0,9032	0,9274	0,9516	0,9758	1	1,0242	1,0484	1,0726	1,0969	1,1211	1,1453
2	0,8818	0,9054	0,9291	0,9527	0,9764	1	1,0236	1,0473	1,0709	1,0946	1,1182
3	0,8614	0,8845	0,9076	0,9307	0,9538	0,9769	1 I	1,0231	1,0462	1,0693	1,0924
4	0,8420	0,8646	0,8871	0,9097	0,9323	0,9549	0,9774	1	1,0226	1,0452	1,0677
3	0,8234	0,8455	0,8675	0,8896	0,9117	0,9338	0,9559	0,9779	1	1,0221	1,0442
0	0,8056	0,8272	0,8488	0,8704	0,8920	0,9136	0,9352	0,9568	0,9784	1	1,0216
1	0,7886	0,8097 	0,8309	0,8520	0,8732	0,8943	0,9155 ' 1	0,9366	0,9о77	0,9789	1
читального ряда начальной температуры 4 с вертикальным столбцом /2. Например,
ый ряд ЮО, вертикальный столбец 20, v9 = 0,7855 м3. Если начальная температура 20°,
я до 1,2730 лгз. При определении удельного веса поступают наоборот: находят
юм столбце для начальной температуры (см. примечание стр. 964)
964
Приложение
Таблица 88b. Изменение объема при постоям
^2 = ^1	, Р1
Pi
А Pi	650	660	670	680	690	700	710	720	730	740	
650 мм рт. ст.	1	0,985	0,971	0,956	0,942	0,929	0,915	0,903	0,890	0,878	(
660	1,015	1	0,985	0,971	0,957	0,943	0,930	0,917	0,904	0,892	(
670	1,031	1,015	1	0,985	0,971	0,957	0,944	0,931	0,918	0,905	(
680	1,046	1,030	1,015	1	0,986	0,971	0,958	0,944	0,932	0,919	(
690	1,062	1,045	1,030	1,015	1	0,986	0,972	0,958	0,945	0,932	(
700	1,077	1,061	1,045	1,029	1,014	1	0,986	0,972	0,959	0,946	(
710	1,092	1,076	1,060	1,044	1,029	1,014	1	0,986	0,973	0,959	(
720	1,108	1,091	1,075	1,069	1,043	1,029	1,014	1	0,986	0,973	(
730	1,123	1,106	1,090	1,074	1,058	1,043	1,028	1,014	1	0,986	(
740	1,138	1,121	1,105	1,088	1,072	1,057	1,042	1,028	1,014	1	С
750	1,154	1,136	1,119	1,103	1.087	1,072	1,056	1,042	1,027	1,014	
760	1,169	1,152	1,134	1,118	1,101	1,086	1,070	1,056	1,041	1,027	1
770	1,185	1,167	1,149	1,132	1,116	1,100	1,084	1,069	1,055	1,041	1
780	1,200	1,182	1,164	1,147	1,130	1,114	1,099	1,083	1,068	1,054	1
790	1,215	1,197	1,179	1,162	1,145	1,129	1,113	1,097	1,082	1,068	1
800	1,231	1,212	1,194	1,176	1,159	1,143	1,127	1,111	1,096	1,081	1
810	1,246	1,227	1,209	1,191	1,174	1,157	1,141	1,125	1,110	1,095	1
820	1,262	1,242	1,224	1,206	1,188	1,171	1,155	1,139	1,123	1,108	1
830	1,277	1,258	1,239	1,221	1,203	1,186	1,169	1,153	1,137	1,122	1
840	1,292	1,273	1,254	1,235	1,217	1,200	1,183	1,167	1,151	1,135	1
850	1,308	1,288	1,269	1,250	1,232	1,214	1,197	1,181	1,164	1,149	1
860	1,323	1,303	1,284	1,265	1,246	1,229	1,211	1,194	1,178	1,162	1
Конечный объем для давления р4 находится на линии пересечения горизо)
объем v2 для 1 м9 при изменении давления р^вОО мм рт. ст. до ра = 720 мм р
= 1,111 м3 при начальном давлении 720 мм рт. ст. и конечном 8С0 мм рт. ст., Пересе’
для 1 м3 772=0,900 м3. При определении удельного веса поступают наоборот: на:
с вертикальным столбцом для начального давления.
Примечания к таблицам 88а и 88b. Если изменение объема происходит при
при изменении одного только давления и отдельно при изменении одной только тел
объема. Например, требуется определить изменение объема 1 л<8 газа при нали
при изменении только температуры по табл. 88 а будет 0,8898, при изменении дав.
Объем газа
965
мпературе, но для разных давлений (значения^1
мм рт. ст.; vx = l
760	770	780	790	800	810	820	830	840	850	860 мм рт. ст.
,855	0,844	0,833	0,823	0,813	0,803	0,793	0,783	0,774	0,765	0,756
,868	0,857	0,846	0,835	0,825	0,815	0,805	0,795	0,786	0,777	0,767
,882	0,870	0,859	0,848	0,838	0,827	0,817	0,807	0,798	0,788	0,779
,895	0,883	0,872	0,861	0,850	0,840	0,829	0,819	0,810	0,800	0,791
,908	0,896	0,885	0,873	0,863	0,852	0,841	0,831	0,821	0,812	0,802
,921	0,909	0,897	0,886	0,875	0,864	0,854	0,843	0,833	0,824	0,814
,934	0,922	0,910	0,899	0,888	0,877	0,866	0,855	0,845	0,835	0,826
,947	0,935	0,923	0,911	0,900	0,889	0,878	0,867	0,857	0,847	0,837
,961	0,948	0,936	0,924	0,913	0,901	0,890	0,880	0,869	0,859	0,849
,974	0,961	0,949	0,937	0,925	0,914	0,902	0,892	0,881	0,871	0,860
,987	0,974	0,962	0,949	0,938	0,926	0,915	0,904	0,893	0,882	0,872
1	0,987	0,974	0,962	0,950	0,938	0,927	0,916	0,905	0,894	0,884
,013	1	0,987	0,975	0,963	0,951	0,939	0,928	0,917	0,906	0,895
,026	1,013	1	0,987	0,975	0,963	0,951	0,940	0,929	0,918	0,907
,039	1,026	1,013	1	0,988	0,975	0,963	0,952	0,940	0,929	9,919
,053	1,039	1,026	1,013	1	0,988	0,976	0,964	0,952	0,941	0,930
,065	1,052	1,038	1,025	1,013	1	0,988	0,976	0,964	0,953	0,942
,079	1,055	1,051	1,038	1,025	1,012	1	0,988	0,976	0,965	0,953
,092	1,078	1,064	1,051	1,038	1,025	1,012	1	0,988	0,976	0,965
,105	1,091	1,077	1,063	1,050	1,037	1,024	1,012	1	0,988	0,977
,118	1,104	1,090	1,076	1,063	1,049	1,037	1,024	1,012	1	0,988
,132	1,117	1,103	1.089	1,075	1,062	1,049	1,036	1,024	1,012	
го ряда для начального давления pi с вертикальным столбцом />г. Например, конечный
пучается пересечением горизонтального ряда 800 с вертикальным столбцом, т. е. тл2 =
зизонтального ряда 720 мм рт. ст. с вертикальным столбцом 800 мм рт. ст. дает объем
1ченис конечного состояния на пересечении горизонтального ряда для конечного давления
ими давления и температуры, то тогда по табл. 88 а и 88Ъ находят отдельно значения
ры, и полученные значения помножают. Тогда получают значения полного изменения
раметрах 90° и 759 мм рт. ст. для состояния 59° и 700 мм рт. ст. Изменение объема
табл. 88b будет 1,072. Общее изменение объема 0,8898*1,072 = 0,9539 «и8.
966
Приложение
Азбука Морзе
Буквы и цифры составляются из точек и черточек, длина чер-
точки равна трем точкам; промежуток между значками одной буквы
равен длине одной точки, между двумя буквами — длине трех точек,
а между словами — длине пяти точек.
А • —	Ж • • • —	Н — •	У . . —	Щ		 _
Б — • . .	3 • 			О		ф . . — .	ы - 		
В •		и. .	П 				х • . . .	ю • 		
Г			К—* —	Р . — .	ц_ . _ .	я • - • -
д- . .	л • — • •	с • • •	ч	.	ь — . . —
Е •	М		т —	ш		й	
IV. Законы для защиты промышленной
собственности
а)	Международный союз
для защиты промышленной собственности
(Извлечение из Правил)
Подданные государств, заключивших настоящий договор, а также лица,постоянно
в них живущие, сделавшие заявку в пределах одного из этих государств в надле-
жащей форме на предмет получения патента или образца, пользуются в других
странах правом приоритета в течение 12 месяцев со дня первой заявки.
Большинство государств разрешает поддерживать право приоритета на патент-
ную заявку и заявку на образец в государстве своей оседлости, и наоборот. Неко-
торые страны не предоставляют права приоритета, если подданный какого-либо
государства или лицо, имеющее в этом государстве постоянную оседлость, сделало
первую заявку в другой стране.
По германскому законодательству заявление на приоритет может быть пред-
ставлено на всякую любую прежнюю заграничную заявку, поскольку до нее не воз-
никли еще нарушающие новизну обстоятельства. Наоборот, большинство других
стран разрешает право приоритета лишь на основании первой из ряда нескольких
заграничных заявок.
Для осуществления изобретения установлен минимальный срок в 3 года, который
в большинстве стран считается со дня тамошней заявки. Неосуществление может
быть разрешено в зависимости от обстоятельств. Относительно осуществления
(однако, не сроков приоритета) остаются в силе прежние соглашения, по которым
изобретение, запатентованное в Швейцарии, считается осуществленным, если оно
действительно осуществлено было в Германии, поскольку оно там ограждено патен-
том, и наоборот.
В отношении к Северо-Американским Соединенным Штатам обоюдной принуди-
тельности осуществления не существует до тех пор, пока эта принудительность
не введена у себя Соединенными штатами.
Ь)	Наиболее важные постановления законов о патентах г)
Австрия (Союз). Основной и добавочный патенты. Продолжитель-
ность патента: 18 лет со дня публикации заявленного изобретения. Отсут-
ствие предварительной проверки новизны и патентоспособности. По публикации
заявки вывешивание в продолжение 2 месяцев на предмет оспаривания. Сборы:
заявочный —30 шиллингов (действителен за первый год) и за добавочный патент —
70 шиллингов. Ежегодные сборы после публикации заявки:
*) Настоящие данные соответствуют положению в декабре 1930 г. См. также
М i 11 е n е t, Patenttabellen.
Важнейшие постановления законов о патентах
967
за	2	год	30	шиллингов	за	8 год	120 шиллингов	за	14	год	480	ШИЛЛИНГОВ
	3		35			9 „	150		15		600	
	4		45			ю „	180		16	л	800	
	5		55			11 „	230		17		1100	
	6		70			12 „	300		18	л	1500	*1
Я	7	я	90		п	13 ,	380					
Осуществление в течение 3 лет.
Бельгия (Союз). Основные, вводные патенты и патенты по усовершенство-
ванию. Продолжительность патента: считая пятнадцать лет со дня
заявки. Вводные патенты сохраняют свою действительность наравне с наиболее дли-
тельными заграничными патентами, патенты по усовершенствованиям теряют свою
силу одновременно с основным патентом. Отсутствие предварительной проверки.
Предоставление без гарантии с сохранением прав третьих лиц на страх заявителя.
Сборы: за первый год —50 фр., за второй —100 фр., за третий —150 фр., за четвер-
тый— 200 фр., за пятый—250 фр. и т. д. с повышением в 50 фр. за каждый после-
дующий год, пока в двадцатом году не будет достигнута ставка в 1000 фр. Патент
действителен до тех пор, пока не происходит осуществления заграницей, или если
осуществление производства произойдет в течение одного года по осуществлению
заграницей. Объяснительные материалы в течение трех месяцев после подачи
заявления, патентные материалы не публикуются; публикация коротких извле-
чений.
Болгария (Союз). Основной и добавочный патенты. Без предварительной
проверки. Продолжительность патента: 15 лет со дня заявки. Сборы:
за первый год —60 зол. лев; годичный сбор возрастает за каждый год на 60 зол. лев
и достигает в 15 году 900 лев. За добавочные патенты единовременный сбор в 60 зол.
лев. Осуществление в течение трех лет.
Бразилия (Союз). Основные и добавочные патенты. Продолжитель-
ность патента: 15 лет со дня заявки. Отсутствие предварительной проверки.
Предоставление патентных прав без гарантии с сохранением прав третьих лиц.
Сборы: заявочный сбор—25мильрейс, сбор при предоставлении патента—50 миль-
рейс за основной и добавочный патенты. Ежегодные сборы: первый год—50 миль-
рейс, второй —80 мильрейс, третий —ПО мильрейс и за каждый следующий год на
30 мильрейс более, чем в предыдущем. При добавочных патентах — сбор в размере
суммы, причитающейся с основного патента за следующий год. Публикация основных
элементов содержания патента. Осуществление в течение трех лет.
Великобритания (Союз). В доминионах и колониях особые законы, в боль-
шей или меньшей степени присоединяющиеся к законам метрополии.
Основной и добавочный патенты. Продолжительность патента:
предварительно в течение 9 месяцев со дня заявки и по предоставлении патента
в течение 16 лег, считая с того же момента. Какие-либо истекающие до этого срока
иностранные патенты влияния на продолжительность великобританского патента не
оказывают. Проверка лишь формальной правильности материалов, а также того,
не было ли данное изобретение запатентовано в Великобритании за 50 лет раньше,
после чего предварительная охрана на 9 месяцев (до предоставления патента). Выве-
шивание в течение 2 месяцев, заявка претензий допустима. После этого оконча-
тельное предоставление патента. ДобавЪчные патенты действительны на срок годности
основного патента. Сборы: при заявке на предварительную охрану —1 ф. ст., при
подаче окончательного описания—3 ф. ст. (или одновременно вместе —4 ф. ст.).
Ежегодные сборы: за 5-й год —5 ф. ст., за 6-й год —6 ф. ст., за 7-й год —7 ф. ст.
и т. д., за 16-й год —16 ф. ст. Патенты с оговоркой „Licence of right" оплачиваются
половиной указанных сборов. Продление срока до 1 месяца — 2 ф. ст., до 2 меся-
цев—4 ф. ст., до 3 месяцев — 6 ф. ст. Осуществление в течение 3 лет. Ввод
разрешен. Внутренней потребности надлежит удовлетворять посредством фабрикации
в стране.
Венгрия (Союз). Основной и добавочный патенты. Продолжитель-
ность патента: 15 лет со дня публикации. Добавочные патенты истекают
одновременно с основным, выдаются только владельцам основного патента. Прекра-
щение прежних иностранных патентов влияния не оказывает. Проверка новизны.
Предоставление патента после вывешивания в течение 2 месяцев. Заявочный сбор —
20 пенго, штемпельный сбор за прошение—8 пенго, за доверенность— 1,6 пенго и
за каждый лист описания —0,30 пенго. Сбор за 1 год 25 пенго за основной патент
и 20 пенго за добавочный патент в течение 60 дней после извещения. Годовые
сборы — в дату публикации.
968
Приложение
1 ГОД	25 пенго	6 год	90 пенго	11 год	220 пенго
2 „	30 „	7 „	120 „	12 „	270 „
3 „	35 „	8 „	130 „	13 „	320 „
4 „	50 „	9 „	150 „	14 „	370 „
5 »	70 „	ю „	180 „	15 „	450 ,
Осуществление в течение 3 лет. Ввод разрешен.
Германия (Союз). Основные и добавочные патенты. Продолжитель-
ность патента: в течение 18 лет со дня, следующего за днем заявки. На про-
должительность германского патента не влияют аналогичные более старые загранич-
ные патенты. Добавочные патенты теряю г силу одновременно с основным патентом.
Предварительная проверка контролирующим учреждением (решение
вопроса о патентоспособности) по истечении двухмесячного вывешивания и проверки
возможных возражений, предоставление патента. Сборы: заявочный сбор —25 мк.,
сбор при заявлении претензии —20 мк., заявление о предоставлении лицензии в при-
нудительном порядке —50 мк., сбор при подаче заявления на предмет обжалования
по предыдущему пункту —150 мк. Ежегодные сборы:
1	2	3	4	5	6	7	8	9	год
30	30	30	30	50	75	100	150	200	мк.
10	и	12	13	14	15	16	17		18_	год
300	400	500	600	700	800	900	1000	1200	мк.
Взнос производится в течение 2 месяцев по истечении полного года со дня сле-
дующего за заявкой патента; добавочный сбор взимается в течение следующих
6 недель. Осуществление в течение 3 лет со дня заявки. Ввод разрешен.
Материалы доступны всякому для обозрения в патентном управлении в течение
2 месяцев. Патентные материалы публикуются; кроме того в „Патентном Вестнике"
печатаются выдержки.
Греция. Основные и добавочные патенты. И родолжит ельность
патента: 15 лет со дня после заявки. Гез проверки новизны и патентоспособ-
ности. Сборы: заявочный —120 драхм (включая сбор за первый год). Ежегодные
сборы:
за 2 год
„ 3 „
" 2 -
” б ’
240 драхм
360	„
за	7	год	840	драхм
„	8	„	960	„
„	9	„	1080	„
„	Ю	„	1200	„
„	П	„	1320	„
за	12 год	1440	драхм
„	13	„	1560	„
„	14	„	1680	„
„	15	„	1800	„
480	„
600	„
720	.
Осуществление в течение 3 лет.
Дания (Союз). Основные и добавочные патенты. Продолжительность
патента: 15 лет. Добавочные патенты теряют силу одновременно с основным
патентом. Отсутствие предварительной проверки. Сборы: заявочный сбор—50 крон,
сбор при предоставлении патента —35 крон. Ежегодные сборы: за первые 3 года
по 25 крон, за вторые 3 года —по 50 крон, за третье трехлетие—по 100 крон, за
четвертое трехлетие —по 200 крон и за последнее трехлетие по 300 крон. Осуще-
ствление в течение трех лет.
ДаНЦИГ (Союз). Без проверки на предмет ограждения. Продолжитель-
ность патента: 17 лет со дня, следующего за днем заявки. Охрана патента
теряет силу по истечении 4-го, 8-го, 11-го или 14-го года, если в течение 3 месяцев
по истечении этих сроков не был внесен сбор в размере каждый раз 35 данцигских
гульденов. Заявочный сбор —40 данцигских гульденов.
Испания (Союз). Основные, добавочные и вводные патенты. Продолжи-
тельность патента: 20 лет со дня заявки. Добавочные патенты истекают
одновременно с основным; для вводных патентов срок не свыше 10 лет. Проверка
патентоспособности. Сборы: 1-й год—10 пезет с уплатой в течение 15 дней. Гербо-
вый сбор в 90 пезет в течение месяца после опубликования за основные и вводные
патенты, за добавочные патенты единовременно 50 пезет И штемпельный сбор
30 пезет. Ежегодные сборы:
Важнейшие постановления законов о патентах
969
2 год
3 „
4 „
5 -
6 „
7 „
8 „
20 пезет
30
40
75
90
105
120
9	год	135	пезет
10	„	150	„
11	„	220	„
12	„	240	„
13	„	260	„
14	„	280	>
15 год
300 пезет
320 п
340	„
360 w
380	„
400	„
17 я
18 „
19 „
20 „
Осуществление в течение 3 лет.
Италия (Союз). Изобретательские, вводные и добавочные патенты. Продол-
жительность патента: 15 лет со дня заявки. Вводные патенты истекают
одновременно с наиболее продолжительным иностранным патентом. Добавочные
патенты действительны на весь срок основного патента и выдаются в течение
6 месяцев по предоставлении основного патента и только обладателю патента. Без
проверки новизны. Сборы: заявочный сбор —100 лир, также и за добавочные
патенты —100 лир. Годичные сборы начинаются с 50 лир и повышаются ежегодно
на 50 лир. За добавочные патенты единовременный сбор —100 лир. Осуществление
в пределах Италии 2 года, в союзных странах — 3 года.
, Мексика (Союз). Продолжительность патента: 20 лет по заявке.
Пролонгация на 5 лет возможна при добавочном сборе. Проверка новизны — по
желанию (специальный сбор). Сборы: заявка —за основной патент —15 пезо, за
добавочный патент—10 пезо. За предоставление патента основного —15 пезо, доба-
вочного—5 пезо в течение 30 дней со дня извещения. Ежегодные сборы: за основной
патент по 10 пьез, за добавочный по 5 пьез. Осуществление необязательно, однако,
возможны принудительные лицензии.
Нидерланды (Союз). Основные и добавочные патенты. Продолжитель-
ность патента: 15 лет со дня заявки. Проверка новизны производится. По
публикации заявки вывешивание в продолжение 4 месяцев на предмет оспарива-
ния. Сборы: заявочный — 75 гульд. До последнего дня месяца, следующего за тем
месяцем, во время которого патент был признан, обладатель патента должен упла-
тить 60 гульд. Дальнейшие ежегодные сборы:
за 2 и 3 год по 60 гульденов I за 10 — 12 года по 120 гульденов
„ 4-6 я в 80 в	и 13-15 „	, 140
п 7-9 я „ 100	„ J
Осуществление в течение 5 лет.
Норвегия (Союз). Основной и добавочный патенты. Продолжитель-
ность патента: 17 лет; добавочный патент теряет силу одновременно с основ-
ным; проверка новизны. Сборы: заявочный — 30 крон, включая сбор за 1 год.
В течение 2 месяцев по публикации заявки —50 крон плюс добавочный сбор в 15 крон
при наличии чертежей, или 15 крон за каждую страницу патентной заявки, если
чертежа не имеется. За патенты, исключая добавочные, уплачивается 15 крон за
2-й год силы патента и после этого ежегодно с добавлением 5 крон до 5-го года
включительно; с добавлениехМ 10 крон ежегодно в течение следующих 5 лет, с доба-
влением 30 крон ежегодно в течение 10—15 года и с добавлением 50 крон ежегодно
в течение последних 2 лет. Осуществление в течение 3 лет.
Польша (Союз). Основной и добавочный патенты. Продолжитель-
ность: 15 лет со дня заявки. Проверка формальностей. Сборы: заявочный —
35 злотых и штемпельный—2 злотых. По истечении месяца со дня публикации
заявки уплачивается годичный сбор 40 злотых за основной патент и 40 злотых за
добавочный. Ежегодные сборы:
2 год	60 злот.	7 год	250 злот.	12 год	700 злот.
3 „	80 „	8 „	300 „	13 „	850 „
4 я	120 „	9 я	400 „	14 „	1000 „
5 я	150 „	10 „	500 „	15 „	1150 ,
6 „	200 .	И -	600 .		
Португалия (Союз). Изобретательские и
удостоверения. Продолжительности пат
вводные патенты, добавочные
е н т а: 15 лет со дня заявки,
970
Приложение
Вводные патенты максимум на 10 лет. Проверка формальностей: предоставление
патента 3 месяца после публикации заявки. Сборы: 45 эскудос за каждый год.
Румыния (Союз). Основные, вводные патенты и патенты по улучшению.
Продолжительность патента: 15 лет со дня заявки изобретения, 10 лет
для патентов по улучшению. Без проверки новизны. Сборы: заявочный для
основного патента 500 лей, для вводного —1000 лей, для патента по улучшению —
1000 лей (действителен как сбор для всего времени действия патента). Расходы по
публикации 50 лей. Изготовление—200 лей, штемпельный сбор—100 лей.
Ежегодные сборы:
за 1 до 3 года 600 лей I за 6 до 10 года 2500 лей
„ 4 „ 5 „ 1400 „ | „ 11 „ 15 „ 6000 .
За вводный патент сборы в двойном размере.
Осуществление в течение 4 лет.
Северо-Американские Соединенные Штаты (Союз). Добавочных
патентов нет. Продолжительность патента: 17 лет со дня предоста-
вления. Иностранные патенты влияния не имеют. Проверка новизны. Сборы: при
заявке — 25 долл., при предоставлении — 25 долл. Осуществление необязательно,
однако, длительное бездействие может действовать уничтожающе, если в дальнейшем
будет заявлено и осуществлено аналогичное изобретение. Ввод разрешен.
Помимо перечисленных государств, патентные законы существуют еще в сле-
дующих странах:
Аргентина
Боливия
Чили
Костарика
Куба
Доминиканская
респ.
Эквадор
Эстляндия
Гватемала
Гаити
Гондурас
Исландия
Колумбия
Конго
Латвия
Люксембург
Марокко
Никарагуа
Панама
Парагвай
Перу
Филиппины
Сан-Сальвадор
Тунис
Турция
Уругвай
Венецуэла.
СССР. Основной и добавочные патенты. Продолжительность патента:
15 лет со дня публикации заявки, допускается пролонгация на 5 лет. Единовременная
заявочная пошлина 60 руб. Пошлина уплачивается вперед в течение 2 месяцев
каждого года.
Ежегодные		сборы:						
1 год	50	руб.	8	год	225	руб.	15 год	575 руб.
2 „	50		9		275		16 „	625 „
3 „	50		10		325		17 „	675 „
4 „	75		И		375		18 „	725 „
5 „	100		12		425		19 „	775 „
6 „	125	л	13		475		20 „	825 „
7 „	175		14	п	525			
С предприятий и организаций обобществленного сектора пошлины не взимаются.
В отдельных случаях изобретатели-трудящиеся и их наследники могут освобождаться
от взносов заявочной и патентной пошлины.
Осуществление в течение 3 лет.
Патентные материалы публикуются в „Вестнике Комитета,по делам изобре-
тений".
Финляндия (Союз). Основные добавочные патенты. Продолжитель-
но с т ь п а т е н т а—20 лет. Предварительная проверка, вывешивание в течение
л	~ ' заявочный сбор —150 финск. мк. Ежегодные сборы:
год ’
2 месяцев.
1	год
2	„
3	„
4	„
5	„
6	„
7	»
Сборы:
финск.
50
100
200
300
400
500
600
мк.
8
9
10
11
12
13
14
700
800
900
1000
1100
1200
1300
финск.
мк.
15 год
16 „
17 „
18 „
19 „
20 „
1400 финск. мк.
1500
1600	„
1700
1800
1900
Важнейшие постановления ааковов о патентах
971
Франция (Союз). Основной, вводный и добавочный патенты. Продолжи-
тельность патента: 15 лет со дня заявки. Сила вводного патента истекает
одновременно с иностранным патентом, добавочный патент теряет силу одновременно
с основным. Без проверки новизны или патентоспособности. Изготовление патента —
3 до 4 месяцев после заявки. Сборы: заявочный сбор для основных патентов —
300 фр. (действителен также в качестве сбора за первый год), за добавочные патенты —
120 фр. Сбор при предоставлении патента —10 фр.
Ежегодные сборы: за 1, 2, . . . 5 годы по 300 фр.
,	.	„ 6, 7, ... 10 „	„ 400 „
за всякий следующий год по 500 фр.
Осуществление в течение 3 лет для французских граждан, для прочих—2 года.
ЧеХОСЛОВаКИЯ (Союз). Основные и добавочные патенты. Продолжи-
тельность патента; 15 лет со дня публикации. Добавочные патенты исте-
кают одновременно с основным патентом. Без проверки новизны уплачивается
в течение 2 месяцев со дня разрешения. В течение 3 месяцев со дня уведомления
о разрешении вносится 100 крон —сбор за 1 год, дальнейшие сборы: заявочный
в 100 крон и 36 крон штемпельный. Сбор по опубликованию: расходы печати
8и крон за страницу текста и 100 крон за страницу чертежей. Ежегодные
сборы:
2 юд	125 крон	7 год	400 крон	12 год	1100 крон
3 „	150 „	8 „	500 „	13 „	1300 .
4 „	200 „	9 „	600 „	14 „	1500 „
5 „	250 „	W „	700 .	15 „	1700 „
6 „	300 „	И -	900 .		
Добавочные патенты оплачиваются сбором в 2С0 крон. Осуществление в течение
3 лет. Ввод разрешен.
Швейцария (Союз). Основные и добавочные патенты, которые должны быть
постоянно превращаемы в основные. Продолжительность патента:
15 лет со дня заявки. Строгая проверка формальностей без проверки новизны.
Добавочные патенты истекают одновременно с основным. Сборы: заявочный —
20 фр., 1-й год —20 фр., 2-й год —30 фр., 3-й год —40 фр. и т. д. с повышением
на 10 франков в год до 160 фр. за 15 год. Осуществление в течение 3 лет. Ввод
разрешен.
Швеция. Основной и добавочный патенты. Продолжительность
патента: 17 лет со дня заявки. Добавочный патент теряет силу одновременно
с основным. Без проверки новизны. Сборы: заявочный 50 крон (действителен
как уплата за 1 год). Сбор при предоставлении патента 60 крон в течение 2 месяцев
со дня публикации заявки.
Ежегодные сборы:
за	1—3 год	по	40	крон
„	4-5	„	.	60	„
„	6—7	.	„	100	„
,	8-9	„	„	150	„
за	10-11	год	ио	200 крон
»	12-13	„	„	250	„
„	14-15	„	.	300	„
я	16—17	„	.	400	„
Осуществление в течение 3 лет.
Югославия (Союз). Основной и добавочный патенты. Продолжитель-
ность патента: максимум ’15 лет по публикации патентной заявки. Предва-
рительная проверка; однако, не проверяется новизна. Сборы: заявочный сбор —
100 динаров. Ежегодные сборы:
1	год	100 дин	J 6	год	320 дин	11	год	880 дин
2		120 „	1 7		400 „	12		1040 „
3		140 п	1 8		480 я	13		1200 „
4		180 „ .	I 9		560 .	14		1360 „
5	Я	240 „	10	я	720 „	15	я	1520 „
За добавочные патенты взимается единовременный сбор в размере 200 дин.
Осуществление в течение 3 лет.
972
Приложение
ЯПОНИЯ (Союз). Основной и добавочный патенты. Продолжительность
патента: 15 лет со дня публикации заявки. Возможно удлинение срока патента
в исключительных случаях 10 лет. Проверка новизны. Сборы: заявочный на
основные патенты —10 иен, на добавочные — 5 иен (одновременно за 3 года при
предоставлении патента).
Ежегодные сборы
за
Сверх этого
1— 3 года .
4-5 „ .
6- 9 „ .
Ю-12 „ .
13-15 „ .
1— 3 „ по
4— 6 . „
7-Ю „ „
. 10 иен
. 15
. 25
. 35
. 50
. 100
. 150
.200
За добавочные патенты
при продолжении основного
уплачивается при заявке единовременный сбор в 80 иен.
патента — 60 иен.
с)	Извлечение из Положения об изобретениях и технических
усовершенствованиях в СССР
1.	Общие положения
1.	Настоящее Положение распространяется: а) на новые изобретения; б) на
прочие технические усовершенствования.
2.	Автор нового изобретения может требовать или а) чтобы было признано
только его авторство или б) чтобы ему было также предоставлено исключительное
право на изобретение.
В первом случае на изобретение выдается авторское свидетельство, во втором
случае — патент.
В самой заявке должно быть указано, желает ли изобретатель получить автор-
ское свидетельство или патент.
3.	Авторские свидетельства и патенты выдаются только на новые изобретения,
которые могут быть выполнены промышленным путем.
Авторские свидетельства и патенты выдаются только на новые способы изгото-
вления лечебных, пищевых, вкусовых и друхих вешес.в, полученных химическим
путем, но не на самые вещества.
4.	В тех случаях, когда на изобретение выдается авторское свидетельство,
применяются следующие положения:
а)	право использовать изобретение в пределах Союза ССР принадлежит госу-
дарству;
б)	кооперация и другие организации обобществленного сектора могут на равных
основаниях с государственными органами использовать те изобретения, которые
относятся к кругу их деятельности;
в)	сам изобретатель (или его наследник), если он кустарь или частный пред-
приниматель, может использовать изобретение в своем предприятии;
г)	прочие частные лица, а также кооперативы, не входящие в кооперативную
систему, могут использовать изобретение с разрешения отраслевого государственного
органа, к ведению которого относится данное изобретение, и на условиях, опреде-
ляемых этим органом;
д)	если изобретение признано полезным для. народного хозяйства Союза ССР,
изобретатель имеет право на вознаграждение от государства или от соответствующей
организации, по принадлежности;
е)	если изобретение, не признанное полезным для народного хозяйства, приме-
няется в каком-либо предприятии, изобретатель или его наследник имеют право
получить вознаграждение от этого предприятия. Размер вознаграждения в этом
случае устанавливается по соглашению, а при недостижении соглашения —опреде-
ляется судом;
ж)	изобретатель-трудящийся имеет право на льготы, указанные в настоящем
положении (ст. 93—104).
5.	В тех случаях, когда на изобретение испрашивается исключительное право
(патент), применяются следующие положения:
а)	без согласия лица, которому принадлежит патент, никто не может использо-
вать изобретение; сам обладатель патента может осуществлять изобретение с соблю-
Положение об изобретениях в ОСОР
973
дением законов о частной предпринимательской деятельности; иностранцы же и
иностранные юридические лица могут осуществлять изобретение с соблюдением
законов о порядке допущения иностранного капитала к хозяйственной деятельности
в пределах Союза ССР;
б)	патент выдается сроком на 15 лет; срок исчисляется со дня окончательного
постановления о выдаче патента, но права обладателя патента охраняются с того
дня, с которого считается первенство заявки (ст. 43);
в)	лицо, которому принадлежит патент (патентообладатель), может выдать дру-
гому лицу (лицензиату) разрешение (лицензию) на использование изобретения
полностью или частично;
г)	учреждения, предприятия и лица, которые до заявки изобретения, независимо
от изобретателя, применяли в пределах Союза ССР данное изобретение или сделали
все необходимые к тому приготовления, сохраняют право на дальнейшее использо-
вание изобретения (право преждепользования);
д)	обладатель патента обязан в течение трех лет со дня выдачи патента лично
или через лицензиата осуществить свое изобретение в пределах Союза ССР в про-
мышленном масштабе. Не считается осуществлением изобретения ввоз предмета его
из-за границы, как в готовом виде, так и в виде отдельных частей для сборки
в пределах Союза ССР; если изобретение в указанный срок не осуществлено, то
Комитет по изобретательству при СТО по заявлению заинтересованного органа,
организации или лица выдает принудительную лицензию на осуществление изобре-
тения и определяет размер вознаграждения, которое должно быть выплачено обла-
дателю патента;
е)	если изобретение имеет существенное значение для государства, но с обла-
дателем патента не будет достигнуто соглашение, Комитет по изобретательству при
СТО имеет право вынести постановление о принудительном отчуждении патента
или о выдаче лицензии (разрешение использовать изобретение) в пользу заинтере-
сованного государственного органа. Размер вознаграждения, которое в этом случае
должно быть выплачено обладателю патента, определяется Комитетом по изобрета-
тельству;
ж)	по делам о патентах на изобретения взимаются предусмотренные настоящим
Положением пошлины (ст. 67);
з)	изобретатель, которому выдан патент, не пользуется льготами, которые
настоящим Положением предоставлены изобретателю, получающему авторское сви-
детельство;
и)	изобретатель, которому принадлежит патент, может до истечения срока дей-
ствия патента обменять его на авторское свидетельство; условия и порядок такого
обмена устанавливаются Комитетом по изобретательству при СТО;
к)	изобретатель, который имеет на одни изобретения авторское свидетельство,
а на другие - патенты, может пользоваться льготами по авторским свидетельствам,
если он откажется в пользу государства от патентов или обменяет их на авторские
свидетельства.
6.	Патент не выдается, но выдается авторское свидетельство:
а)	если изобретение сделано в связи с работой изобретателя в научно-исследо-
вательских институтах, конструкторских бюро, опытных цехах,лабораториях и тому
подобных органах обобществленного сектора по изысканию, разработке и испытанию
изобретений;
б)	если изобретение сделано по специальному заданию государственного органа
или организации обобществленного сектора;
в)	если изобретатель получил материальную помощь от государства или орга-
низации обобществленного сектора для разработки изобретения.
7.	Право получить авторское свидетельство или патент, а также выданные
авторское свидетельство и патент переходят по наследству.
Праьо получить патент, а также выданный патент могут быть переуступлены
изобретателем или его наследниками любому лицу и в дальнейшем могут перехо-
дить от одного лица к другому как по договору, так и по наследству.
В авторском свидетельстве или патенте, хотя бы выдаваемом не самому изобре-
тателю, обязательно указывается имя изобретателя.
Примечание. Договоры о передаче патента и о выдаче лицензии
(ст. 5 п. „в") должны быть зарегистрированы в бюро новизны Комитета по изоб-
ретательству при СТО; иначе эти договоры признаются недействительными.
8.	Договор изобретателя с частным лицом об уступке прав на будущие изобре-
тения признается недействительным.
9.	Тот, кто в заявке заведомо неправильно укажет автора изобретения, привлек
кается к уголовной ответственности.
974
Приложение
Равным образом привлекается к уголовной ответственности тот, кто неправо-
мерно использует изобретение, право осуществления которого принадлежит госу-
дарству.
Тот, кто нарушит исключительное право липа, имеющего патент на изобретение,
обязан возместить ему причиненные убытки.
10.	Лица, предложившие государственному органу или организации обобщест-
вленного сектора технические усовершенствования, которые не являются новыми
изобретениями, премируются, в случае принятия этих предложений, по особой шкале
ставок (ст. 90). Они также пользуются льготами согласно ст. 105.
О принятых по их предложению технических усовершенствованиях они могут
получить соответствующие удостоверения. Эти удостоверения выдаются теми орга-
нами и организациями, которые используют предложения.
11.	Иностранцы пользуются правами, вытекающими из настоящего Положения,
наравне с гражданами Союза ССР.
Комитет по изобретательству при СТО имеет право по соглашению с Народ-
ным Комиссариатом по иностранным делам устанавливать специальные ограничения
для граждан и юридических лиц тех государств, которые не представляют взаимно-
сти гражданам и юридическим лицам Союза ССР.
d) Извлечение из инструкции Комитета по изобретательству при
Совете труда и обороны о вознаграждении за изобретения,
технические и организационные усовершенствования
1.	Вознаграждение за изобретения выдается изобретателям, получившим автор-
ское свидетельство, если их изобретения признаны полезными для народного хозяй-
ства Союза ССР (в том числе для социально-культурных целей, для обороны и т. п.).
Как за технические усовершенствования, вознаграждение выдается за принятые
предложения, имеющие техническо-конструктивный характер или изменяющие техно-
логический процесс производства, если на них не получено авторское свидетельство.
Как за организационные усовершенствования, вознаграждение выдается за про-
чие полезные предложения, принятые к осуществлению.
Примечание 1. В тех случаях, когда изобретение признается полез-
ным, до разрешения вопроса о выдаче авторского свидетельства вознаграждение
за него выплачивается как за техническое усовершенствование с последующим
перерасчетом после выдачи авторского свидетельства.
Примечание 2. В случае, если выданное авторское свидетельство
будет аннулировано по причине отсутствия новизны, производится перерасчет
вознаграждения, которое исчисляется как за техническое усовершенствование.
Однако, уже выданные в счет вознаграждения суммы возврату не подлежат.
2.	За предложения (изобретения, технические и организационные усовершен-
ствования), основной эффект которых выражается в экономии, вознаграждение вы-
дается, исходя из годовой экономии по шкалам (ст. ст. 6, 7 и 8).
При этом в отношении технических и организационных усовершенствований
годовой экономией признается экономия за первый год осуществления предложения.
В отношении же изобретений годовой экономией признается экономия за тот год
из числа первых трех лет осуществления изобретения, в который оно получит наи-
большее применение.
3.	Годовой экономией первого года признается экономия за первые 12 месяцев
применения данного изобретения, технического или организационного усовершен-
ствования.
При этом, когда применение предложения началось среди года, предполагаемая
экономия (ст. 14) исчисляется за остающуюся часть года по производственной про-
грамме данного года, а за недостающую до 12 месяцев часть следующего года —
по программе следующего года, если она известна, если же неизвестна, — то исходя
из программы текущего года.
4.	При исчислении экономии от вносимого предложения сопоставляются кальку-
ляции стоимости продукции (если основной эффект предложение дает в области
производства) или эксплоатационных расходов (если основной эффект предложение
дает при эксплоатании изобретенных или усовершенствованных изделий) до приме-
нения предложения и при его применении. При этом в обоих случаях учитываются
амортизационные, накладные и другие расходы. Расходы же, связанные с разра-
боткой предложения (изготовление чертежей, моделей, образцов и т. п.) и его
испытанием, в расчет не принимаются.	t
Инструкция о вознаграждении за изобретения в ССОР
975
5.	За предложения, основная польза от которых выражается не в экономии,
размер вознаграждения устанавливается отраслевым органом по изобретательству
(при объединении, центральном управлении и т. п.) или администрацией предприя-
тия, по принадлежности (ст. ст. 18 и 20). Для этого предложение, в зависимости от
его важности, приравнивается к предложению, дающему ту или иную сумму годо-
вой экономии, после чего размер вознаграждения исчисляется по соответствующей
шкале с установленными в настоящей инструкции надбавками или вычетами.
6.	Размер вознаграждения за изобретения определяется по следующей шкале:
При годовой экономии (в рублях) До 500 руб.		Размер вознаграждения ЗО°/о экономии, но не менее 100 руб.
500 —	1	000	руб. 1 000 —	5	000	„ 5 000 —	10	000	, 10 000 — 50 000 » 50 000 — 100 000 я 100 0С0 — 250 000 „ 250 000 — 500 000 „ 500 000 —1 ОСО 000 „ свыше 1 000 000 .		20о|о+	50 руб. 15°!о + 100 „ 12<>,0 +	250	я 10% +	450	„ бо/о+ 2 450 „ 5о/в + 3 450 , 40/o-L 5 950 „ Зо/о-+-10 950 . 2о/о + 2О 950 „ но не свыше 100 000 руб.
7.	Размер вознаграждения за технические усовершенствования определяется
по следующей шкале:
При годовой экономии
(в рублях)
до 500 руб.
Размер вознаграждения
30°/о экономии, но не
менее 50 руб.
500 —
1 000-
5 000 —
10 ОСО-
БО 000-
100 000 —
250 000-
500 000 -1
свыше 1
1 000 руб.
5 000 „
10 000 „
50 000 „
100 000 „
200 000 „
500 000 „
000 0С0 „
000000 „
Зо/о-кЮЭО „
2,5о/о--2 130 „
2о/о4-3 38О .
1,5 о/о -р 5 880 „
но не свыше 500 000
руб.
9.	К установленному по соответствующей шкале размеру вознаграждения де-
лается надбавка:
а)	в размере от 50 до 100<*/о> если предложение освобождает от импорта или
расширяет экспорт;
б)	в размере до 25о('о, если предложение дает экономию дефицитных материа-
лов без ухудшения качества продукции.
Соответствующим образом повышается и максимум допускаемой выплаты.
10.	В исключительных случаях вознаграждение может быть установлено выше
максимума по особому постановлению соответствующего наркомата.
13.	Вознаграждение выплачивается в следующем порядке. Вознаграждение
до 500 руб. выплачивается немедленно после окончательного признания соответ-
ствующим органом полезности предложения (т. е. в тех случаях, когда для выясне-
ния полезности предложения требуется испытание — после испытания).
Если вознаграждение не превышает 10 000 руб., 25°'о выдается немедленно
после окончательного признания полезности предложения, 25°/0 — при введении его
в эксплоатацию, а остальная часть через 6 месяцев после введения его в эксплоа-
тацию.
Если вознаграждение превышает 10 000 руб., то немедленно после окончатель-
ного признания полезности предложения выдается 25°/о» немедленно после ввода его
в эксплоатацию — еще 25°/0; остальная часть вознаграждения выплачивается не
позже 3 месяцев по истечении первого года эксплоатации.
По желанию лица, получающего вознаграждение, выплата его может произво-
диться частями (погодно, поквартально, помесячно), о чем заключается письменное
соглашение.
14.	Суммы, выплачиваемые до ввода предложения в эксплоатацию ^ст. 13),
976
Приложение
исчисляются, исходя из экономии, предполагаемой согласно плану использования
предложения, согласно ст. 3. Суммы же, выплачиваемые после приступа к эксплоа-
тации, исчисляются, исходя из экономии, фактически выявившейся за время эксплоа-
тации.
В тех случаях, когда экономия от применения изобретения за второй год
эксплоатации больше, чем за первый, и за третий больше, чем за второй — доплата
производится не позднее, чем через 3 месяца по истечении каждого года.
15.	Если предложение сделано несколькими лицами сообща, то вознаграждение
делится между ними по их соглашению. При отсутствии соглашения вопрос по их
просьбе разрешается судом или общественной организацией.
16.	Вознаграждение за дополнительное изобретение исчисляется из расчета той
суммы, на которую увеличилась годовая экономия от основного изобретения.
17.	Если основное изобретение, само по себе, не было признано полезным,
но потом признано полезным в связи с дополнительным изобретением, то вознагра-
ждение исчисляется из расчета годовой экономии от совместного применения основ-
ного и дополнительного изобретений.
При этом, если дополнительное изобретение сделано не автором основного
изобретения, то распределение вознаграждения между обоими изобретателями уста-
навливается тем органом, который определяет размер вознаграждения.
18.	Вознаграждение за изобретения устанавливается и выплачивается отрасле-
выми органами по изобретательству (при объединениях, центральных управлениях
и т. п.) производящей или потребляющей отрасли, согласно ст. 22.
19.	В тех случаях, когда предприятие или трест, входящий в объединение, при-
ступают, к использованию изобретения раньше, чем отраслевой орган по изобрета-
тельству (при объединении, центральном управлении и т. п.) определит его полез-
ность, они выплачивают изобретателю вознаграждение по правилам премирования
технических усовершенствований. Когда же отраслевой орган утверждает план
использования изобретения, он одновременно определяет размер вознаграждения,
исходя из значения изобретения для всей отрасли (или для всего народного хозяй-
ства, если изобретение имеет значение для различных отраслей). В счет этого
вознаграждение засчитываются суммы, полученные изобретателем от предприятия
или треста.
20.	Постановление администрации предприятия об отказе в выдаче вознагра-
ждения или о размере и порядке выплаты вознаграждения может быть обжаловано
в отраслевой орган по изобретательству, а если предприятие находится в другой
местности — в комиссию, которая образуется в составе представителей администра-
ции и профсоюза и представителя местного совета в качестве председателя.
В тех случаях, когда размер вознаграждения устанавливается отраслевым
органом по изобретательству (ст. ст. 18 и 20), его решение может быть обжаловано
в комиссию, образуемую согласно ст. 91 Положения об изобретениях и технических
усовершенствованиях.
21.	В тех случаях, когда предложение принято к разработке органом, изгото-
вляющим соответствующие изделия, но основной эффект получится при эксплоа-
тации изобретенного или усовершенствованного изделия (например новая конструк-
ция паровоза или трактора, дающая большую экономию топлива), или если предло-
жение имеет межотраслевое значение — вознаграждение выплачивается изготовляю-
щим органом. При этом часть годовой экономии, отчисляемая в фонд содействия
изобретательству, включается в калькуляцию себестоимости изделий.
Это правило не применяется в тех случаях, когда предложение самостоятельно
разрабатывается централизованными потребителями соответствующих изделий
(НКВоенмор, НКПС, НКВод, ВОГВФ, НКСнаб, НКПит, НКЗем, отраслевые объеди-
нения ВСНХ и т. п.). В этих случаях изготовляющие органы реализуют предло-
жения в порядке выполнения заказа централизованного потребителя, последний же
сам вознаграждает автора предложения и производит установленные отчисления
от экономии в свой фонд содействия изобретательству.
22.	Вознаграждение за предложения по охране труда и технике безопасности
устанавливается: отраслевыми органами по изобретательству — по соглашению
с соответствующим центральным или местным органом труда, предприятиями —
по соглашению с инспектором труда.
(Опубликов, 31 октября 1931 г. в „Вестнике Комитета по изобретательству при СТО*
№ 10—1931 г.)
Инструкция об обмене патентов на изобретения в СССР 97?
е) Инструкция Комитета по изобретательству при СТО об обмене
патентов на изобретения на авторские свидетельства
На основании ст. $ постановления Центрального исполнительного комитета
и Совета народных комиссаров от 9 апреля 1931 г. о введении в действие Поло-
жения об изобретениях и технических усовершенствованиях и ст. 5 п. „и“ упомяну*
того Положения (Собр. зак. СССР 1931 г. № 21, ст. ст. 180 и 181) устанавливается
следующий порядок обмена патентов, полученных изобретателями, на авторские
свидетельства.
1.	Обмен патентов, выданных на основании закона от 12 сентября 1924 г*
о патентах на изобретения
1.	Изобретатели, получившие патенты до введения в действие Положения
об изобретениях и технических усовершенствованиях от 9 апреля 1931 г. и же-
лающие обменять эти патенты на авторские свидетельства, подают в Бюро новизны
Комитета по изобретательству при СТО, в годичный срок со дня опубликования
настоящей инструкции в „Вестнике Комитета по изобретательству при СТО", за-
явления с просьбой об обмене полученных патентов на авторские свидетельства.
Примечание. Днем выдачи патента считается день опубликования
окончательного постановления о выдаче патента по ст. 40 пост. ЦИК и
СНК СССР от 12 сентября 1924 г. „О патентах на изобретения" (Собр. зак.
СССР 1924 г., № 9, стр. 97).
2.	Заявления об обмене могут подавать лишь авторы изобретения или их
наследники.
3.	Изобретатель, переуступивший патент частному лицу (гражданину или юри-
дическому лицу), не может обменять его на авторское свидетельство.
Изобретатель, выдавший частному лицу лицензию, может обменять патент
на авторское свидетельство, если действие выданной лицензии прекратилось и если
о допущении обмена просит отраслевой орган, заинтересованный в использовании
изобретения (объединение, центральное управление, трест, не входящий в объеди-
нение и т. п.), или общество изобретателей.
4.	Обмену не подлежат те патенты, по которым к моменту подачи заявления
об обмене не внесены все причитающиеся платежи по пошлинам. Однако следующие
категории патентообладателей могут обменивать в пределах указанного годового
срока свои патенты на авторские свидетельства независимо от того, уплачена ли
ими патентная пошлина согласно § 5 — 7 и 13 постановления С ГО от 12 мая 1931 г.
о пошлинах по делам о патентах на изобретения (Собр. зак. Союза ССР 1931 г.
№ 30, ст. 234):
а) рабочие и служащие, работающие в государственных органах, коопера-
тивных и общественных организациях Союза ССР и союзных республик, а также
работающие в пределах Союза ССР в частных предприятиях и у частных лиц;
б) землепользователи, обладающие правом избирать в советы; в) учащиеся; г) лица,
состоящие в рядах Красной армии; д) инвалиды труда и войны, состоящие на со-
циальном обеспечении; е) члены уставных промысловых и трудовых артелей и
кустари, работающие без применения наемного труда; ж) прочие граждане по осо-
бому постановлению Комитета по изобретательству при СТО.
5.	В заявлении об обмене должны быть указаны № патента, имя, отчество,
Фамилия, социальное положение и адрес заявителя, сведения е том, переуступлен ли
патент и выдана ли лицензия, когда, кому и на каких условиях, а также о том,
осуществлено ли изобретение, когда и где. Наряду с этими сведениями заявитель
должен указать, остаются ли в его распоряжении другие патенты на изобретения
(указать их №№), об обмене которых на авторские свидетельства заявитель не нросит.
Примечание. Заявления об обмене подаются по каждому патенту
отдельно.
6.	К заявлению об обмене должна быть приложена патентная грамота, если
она получена. В случае же, когда на основании патента были заключены какие-
либо договоры, должны быть представлены копии договоров.
II.	Обмен патентов, выданных на основании закона от 9 апреля 1931 г.
об изобретениях и технических усовершенствованиях
7.	Изобретатель, получивший патент в порядке Положения об изобретениях
В технических усовершенствованиях, и его наследники могут обменять патенХ
Приложенйд
978
на авторское свидетельство в течение 6 месяцев со дня выдачи патента, если они
никому уе переуступили патента и не выдали лицензии.
В остальных случаях обмен патента на авторское свидетельство допускается
лишь с разрешения Комитета по изобретательству при СТО, если заявление об
обмене поддерживается заинтересованным отраслевым органом и обществом изобре-
тателей.
Примечание. Днем выдачи патента считается день опубликования
вступившего в силу постановления о выдаче патента (ст. 74 Положения об
изобретениях и технических усовершенствованиях).
III. Права лиц, обменявших патенты на авторские свидетельства
8.	Изобретатели, обменявшие все принадлежащие им патенты на авторское
свидетельство, пользуются, если изобретения их признаны полезными для народного
хозяйства Союза ССР, всеми правами и льготами, предоставленными Положением
об изобретениях и технических усовершенствованиях изобретателей, имеющим
авторское свидетельство.
9.	Если изобретатель до обмена патента на авторское свидетельство уступил
патент или выдал лицензию учреждению, предприятию или организации обобще-
ствленного сектора, то после обмена патента на авторское свидетельство договор
о переуступке прав аннулируется и отраслевой орган по изобретательству назна-
чает вознаграждение за использование изобретения в размерах, предусмотренных
инструкцией Комитета по изобретательству при СТО, с зачетом полученных по до-
говору сумм. Суммы» полученные изобретателем до обмена, возврату не подлежат.
IV. Порядок выдачи авторских свидетельств взамен патентов
10.	В месячный срок по получении заявления об обмене с необходимыми мате-
риалами Бюро новизны Комитета по изобретательству при СТО выдает изобрета-
телю авторское свидетельство. Копия выданного авторского свидетельства посы-
лается в отраслевой орган по изобретательству вместе с материалами, необходи-
мыми для установления полезности изобретения.
11.	О выдаче авторских свидетельств в обмен на патенты Бюро новизны произ-
водит публикацию.
12.	Заявления и переписка об обмене патентов на авторские свидетельства
свободны от каких бы то ни было сборов (ст. 57 Положения об изобретениях
и технических усовершенствованиях).
13.	Заявление об обмене патента на секретные изобретения подаются с соблю-
дением порядка, установленного для секретных заявок.
f) Правила получения разрешения на заявку советстких изобре-
тений за границей и на переуступку прав по ним за пределами
СССР
1.	Согласно ст. 6 постановления Совнаркома СССР от 14 и:>ля 1928 г.
„Об использовании изобретений- и приказа ВСНХ СССР от 17 февраля 1930 г.,
№ 843, разрешения на заявку советских изобретений за границей и на передачу
прав на них за пределами СССР выдаются Комитетом по делам изобретений ВСНХ
СССР (Комподиз).
2.	Все государственные учреждения и предприятия, кооперативные организации
и частные лица, физические и юридические, желающие запатентовать в каком-либо
иностранном государстве изобретение, сделанное гражданином Союза ССР, или же
передать в какой бы то ни было форме иностранным юридическим и физическим
лицам права на эксплоатацию изобретения за границей, должны подать Комподизу,
по каждому изобретению отдельно, письменное заявление.
3.	В заявлении должны быть указаны точно имя, отчество и фамилия или
наименование заявителя, адрес его, название изобретения, время зая- :л его в Ко-
митете по делам изобретения и № заявочного свидетельства.
Кроме того, в заявлениях о разрешении заявки должно быть ук.	н каких
странах, за чей счет будет производиться запатентование, а в за;чл	о разре-
шении передачи прав на эксплоатацию — номера и даты инс. л зая.г ок
и патентов.
4.	К заявлениям обязательно прилагаются в копиях:
а)	договоры на использование изобретений в пределах СССР с отзывами про-
Пре титла о заявках советских изобретений за границей
979
мышленного предприятия, осуществляющего изобретения, если таковые договоры
заявителем заключены;
б)	имеющиеся по данному изобретению отзывы о произведенных испытаниях
опытах и т. п.
5.	По заявлениям, к которым не приложены сведения, перечисленные в § 3 и 4,
Комподиз не позднее 5 дней со времени получения заявления посылает соответ-
ствующее требование заявителю с указанием срока представления нехватающих
материалов.
6.	Заявление с вышеуказанными приложениями может быть подаваемо в Ком-
подиз авторами или владельцами изобретения и промышленных образцов от себя
лично — по почте или через посредство органов по реализации изобретений.
7.	По получении заявления Комподиз обязан в течение двух месяцев определить
патентоспособность предложения и к тому же сроку затребовать от соответствую-
щих промышленных объединений заключения о степени полезности изобретения
и пригодности его для реализации на внешнем рынке, после чего выносит постано-
вление:
а)	о разрешении производства заявки изобретения или передачи прав на него
за границей с указанием государств, в которых может быть произведено патен-
тование ;
б)	о предоставлении дополнительных технических и экономических данных
или о производстве технических и экономических экспертиз;
в)	о приобретении ВСНХ СССР или подлежащими народными комиссариатами
Союза ССР или союзной республики (по соглашению с ними) прав на эксплоатацию
изобретений за границей;
г)	об отказе в разрешении производства заграничной заявки или передачи
прав на заявленное изобретение.
Примечание. При выдаче разрешений (п. иа“) Комподиз вправе опре-
делить государство, в котором должно быть произведено запатентование или
реализация изобретения, независимо от указаний заявителя.
8.	Комитету по делам изобретений предоставляется право предложить изобре-
тателям и их правопреемникам, сделавшим заявки в Комитет, но не подавшим зая-
вления о запатентовании принадлежащих им изобретений за границей, сделать
соответствующее заявление и представить для этого все необходимые данные.
9.	Постановления Комподиза об отказе в разрешении произвести заграничные
заявки или передачи права на реализацию за границей могут быть обжалуемы
заинтересованными лицами и учреждениями в Президиум ВСНХ СССР в течение
двух недель со дня вручения просителю постановления об отказе в его“ходатайстве.
Постановления Президиума ВСНХ СССР по этому предмету признаются оконча-
тельными.	в
10.	Всем изобретениям, по которым выдано разрешение на патентование или
реализацию за границей, Комподиз ведет реестр, в котором отмечаются все пере-
дачи прав на пользование изобретением, о времени, месте и форме осуществления.
11.	Все учреждения, предприятия и лица, получившие в вышеуказанном по-
рядке разрешения на заявку изобретений за границей или на передачу прав
на изобретение иностранным юридическим или физическим лицам, обязаны в ме-
сячный срок по осуществлении заявки или передачи прав сообщить о том Ком-
подизу.
Алфавитный указатель
к I тому Хютте
Составил инж. М. Д. Сандомирский
При пользовании настоящим указателем следует иметь в виду, что каждое на-
звание в нем в большинстве случаев упоминается лишь один раз и
не повторяется в перестановке слов, например: „Аккумулятор Рутса" не имеет
повторения „Рутса аккумулятор"; „Акустика помещений" не повторяется в переста-
новке „Помещений акустика" и т. д.
При составлении указателя не всегда можно было строго придерживаться прин-
ципа указывать сперва основное слово, а потом его определение, например, „Акку-
мулятор паровой", а потому при ненахождении нужного основного понятия следует
искать его по относящемуся к нему определению.
Цифры со звездочками означают, что материал помещен в таблице.
А
Аберрация сфериче-
ская ...............591
— хроматическая . . 591
Абсолютное простран-
ство ...........252
— система мер . 247, 248*
— температура . . . 643
Абсолютный нуль . . 603
Адиабата 647, 654, 658, 664
Адиабатический те-
пловой напор . . 701
Адиабатическое па-
дение тепла . . . 687
Адиабатическое изме-
нение состояния . 519
Адиабатическое рас-
ширение . . . 656*, 657
— сжатие.......... 657
— — углекислоты в
холодильной ма-
шине ........ 694
Азбука Морзе.... 966
Азимут.............775
Аккумулирование во-
дяного пара . . . 688
Аккумулятор паровой 688
— — с постоянным
давлением . . . 690
Аккумулятор Рутса . 688
Аккумулятора паро-
вого диаграмма . 689
Аккумулятора парово-
го аккумулирующ.
способность . . 690
----разряд.........688
Аксиатор .......... 191
Акустика........... 563
Акустика помещений 573
Акустические аппа-
раты .......... 565
— качества (требуе-
мые) больших по-
мещений • . . . . 573
— колебательные ком-
плексы .........565
Акустическое поле . 563
Алгебра............ 61
Алгебраическая сум-
ма угловых скоро-
стей •......... 322
Алидада........ 761, 763
Алкоголь........... 444
Амплитуда колеба-
— центра мембраны . 567
Анализ газа........ 871
----доменных печей 875
— дымовых газов . . 871
— и синтез механиз-
ма ....... . 368
— формы вала . . . 837
Анализатор Мадера . 837
Анатитическое пред-
ставление таблич-
ных функций . . 215
Анастигматы........594
Анемометр ...... 852
Анероид.............814
Антифрикционная кри-
вая .........152,	153
Антициклоны .... 488
Аппарат Орса . . 872, 875
Апертура численная . 593
Апланаты........... 594
Аргумент в градусах 38*
---- дуговых едини-
цах ............ 38*
— комплексного числа 65
Ардометр........... 865
Арифметика.........	61
Архимедова спираль . 153
Астигматизм .	... 591
Астроида............. 151
Асимптотические на-
правления кривой 133
Асимптоты.......... 133
Астролябия.........770
Атмосфера техниче-
ская (метрическая)
251, 643, 837
— стандартная . . 520, 521*
— физическая 251, 643, 837
Афинор кососимме-
трический .... 190
— симметрический . 190
— сопряженный . . . 190
Афиноры............ 189
Аэродинамический ра-
счет самолета . • 520
Алфавитный указателе
981
Аэростата вес .... 521
— объем............ 521
— подъемная сила 521, 522
— равновесие . . 521, 522
Аэромеханика .... 518
Аэростатика........519
Аэрофотосъемка . . . 830
Б
Базисные приборы 757, 821
Базисный прибор Ле-
дерина ......... 821
Базисов измерение . 820
Базис съемки .... 757
Барограф............814
Барометр анероид . . 814
— ртутный .... 813, 838
Бесселевых функций
нолевые значения 560*
Биений колебания . . 5э9
Биения..............539
— период............ 539
— частота........... 539
Бинома коэфициенты 51
Бинормаль .......... 165
Биплан.............. 509
Болометр............586
Бомба калориметри-
ческая ......... 870
— Нэгеля........... 739
Бочка............... 242
Бунзена горелка . . . 7J8
Буссоли проверка . . 769
Буссоль.............766
— с диоптрами • . . 769
Быстрота распростра-
нения вспышки 714, 716
В
Вакуумметр.........837
Ватерлиния......... 448
Вводные насадки . . 476
Вейерштрасса нор-
мальная форма .	111
Вектор ............ 174
— единица.......... 175
— касательной .... 164
— линейный......... 315
— момента.......... 253
— нулевой.......... 175
— О1 носи тельной ско-
рости ........'	. 325
— положения .... 248
— поля............. 182
—,свободный .... 175
— скорости.........311
— тангенциальный . 182
— угловой скорости . 315
— углового ускоре-
— ния.............. 319
— ускорения .... 311
Вектора косинусы на-
правлений ...» 181
Вектора вращение . . 178
— линейное преобра-
зование ........... 189
Векторный анализ . . 174
Векторная линейная
функция............ 189
Векторное поле . . . 182
— произведение ... 178
Векторный диферен-
циатор............. 183
— поток............ 186
Векторов сумма и
разность......... 176
Векторы в примене-
нии к периодиче-
ским явлениям . .	195
— компланарные . . 176
— некомпланарные . 178 j
— обратные......... 180
— параллельные ... 176
— плоскости........ 192
Величины для опре-
деления ошибок
по Гауссу .... 210*
— комплексные ...	64
Величины обратные 2*, 52*
Вентиля продолжи-
тельность закры-
тия ............... 536
Веревочная кривая .	2G4
Веревочный много-
угольник .... 261
----как площадь мо-
ментов и площадь
срезывающих сил
для балок на двух
опорах......... 263
Вероятность появле-
ния ошибок . . . 210
Верчение тел .... 407
Веса наблюдений . .	211
Весовая плотность
, жидкости .... 443
Весов наблюдений
среднее........ 211
Весы............... 849
— автоматические . .	841
— коромысловые . . 840
— передвижные бун-
керные ........ 841
— путевые.......... 841
— с подвижными ги-
рями .......... 840
----указателем . . 840
— полуавтоматиче-
ские Шенка . . . 841
Ветряного двигателя
лопатки........ 515
----мощность . . . 515
---- осевая тяга . . 515
Ветряные двигатели . 514
Ветряных двигателей
крылья......... 516
----профили крыль-
ев ................ 5161
Вешки..............
Взрыв .............
Взрывающаяся ‘ гра-
ната ..............
Вибратор Фрама . . •
Виброграф .........
Виброметр .........
Виды равновесия . .
Винтовая линия ци-
линдрическая . .
Винтовая поверхность
Винтовой линии ви-
ток ...............
---- длина дуги . .
----касательный век-
тор ..........
— — кривизна . . .
----радиус кривиз-
ны ................
----элемент дуги . .
— поверхности век-
тор нормали . . .
----площадь ....
Винтов практический
расчет .........
Винтовые поверхности
Винты-пропеллеры
Вихревая нить, труб-
ка, шнур ....
Вихревые линии . . .
Вихрей отрывание . .
Вихрь .............
Вихря напряжение . .
— поле ............
Влажного воздуха
объем .............
---- скольжение . •
---- удельный <бъем
Влажность относи-
тельная ........
Влажный воздух . . .
Внешние силы ....
Внешняя теплота испа-
рения .............
Внутренние силы . .
Внутренняя теплота
испарения ....
Вода и лед, подвешен-
ные в смеси воз-
духа и пара . . .
Водомер Вентури . .
Водомеры ..........
— вольтмановскис . .
— дисковые ........
— объемные.........
— открытые.........
— поршневые ....
— скоростные ....
— струйные ........
Водородная трубка .
Водослив ..........
Водостоки открытые
Водяного газа равно-
весие смеси . . .
— — состав . , ♦ , ,
756
719
345
837
836
836
283
166
173
167
166
167
167
167
166
173
174
514
173
510
451
451
489
450
451
451
68?
685
682
663
343
663
683
S43
843
843
843
843
843
843
843
843
597
497
467
747
747
982
Алфанптнътй указателе
Водяного пара разло-
жение .......... 746
Водяной газ....... 743
— пар.............. 738
.Воздействие катали-
заторов при го-
рении .......... 714,	715
Воздух, насыщенный
водяным паром . 676*
Воздуходувка . . .	658
Воздушные винты 505, 518
Воздушный газ . . . 743
Воздушных вингов ха-
рактеристика . . 518
Волновое сопротивле-
ние судна .... 495
Волны на поверхно-
сти жидкости . . 460
— стоячие.......... 542
— тяжелые и капил-
лярные ......... 460
Волчок, свободный от
сил..............350
—	симметричный . . 352
—	тяжелый....... 353
—	шаровой....... 352
Вольтмановская ги-
дрометрическая
вертушка .... 846
Воспламенениеискро-
вое, пламенное и
через нагревание 740
Воспламенения преде-
лы ............. 737
— скорость	. .	.	737,	738
— температура	...	737
— точка..........740
Восприятие	звука	. •	570
г- света......... 586
— цветное........ 586
Вращательное растя-
жение .......... 194
Вращающаяся скамей-
ка Прандтля . . .	348
Вращающиеся диски . 486
Вращение............. 314
—	винтовое....... 157
—	вокруг полюса	.	.	327
—	воздушного	шара	.	348
—	равномерно уско-
ренное и заме-
дленное .......... 315
— струи............ 512
твердого тела во-
круг неподвиж-
ной точки . . 316, 350
Вспышка при сгора-
нии ............. 714
Вспышки быстрота
распространения . 714
Вторичный поток . . 475
Выделение сажи . . . 737
Выравнивание наблю-
дений ............. 212	|
Высота и дальность
полета свободной
струи .... 502, 503*
Высота падения твер-
дых тел . . . 308*, 333
— сопротивления . . 441
Вытекание цз-под щи-
та ................. 461
Вычисление площа-
дей при составле-
нии геодезических
планов . . .	790, 791*
Вычисления для со-
ставления геоде-
зического плана
по координатам 783, 784
Вязкость........ 443, 622
— воды..........	444*
— воздуха............ 445*
— кинематическая . . 443
— — воды...... 444*
---- воздуха	....	445*
----газов..... 445*
----жидкостей	.	.	.	445*
— относительная . . 443
— по шкале Энглера 444
Г
Газа постоянная . . . 647
Газификации к. п. д. 740
— ощущаемое тепло 742
— процесс........... 741
Газификация углерода 740
Газоанализатор Рана-
рекс............ 873
— Сименса.......... 874
Газоанализаторы ав-
томатические . . 873
Газование........... 740
Газов атомность . , . 649
Газовая постоянная .	518
Газов и паров исте-
чение ...........700
— молекулярный вес 649*
Газовой смеси равно-
весие .......... 745
----- уравнение рав-
новесия .... 745
Газов смеси......... 653
— постоянная .... 653
— совершенных исте-
чение .............700
— теплоемкость и
удельный вес . . 649*
Газов теплопередача 624
Газовые измерители
Рота............ 847
Газогенератор .... 740
Газогенератора вну-
тренние процессы. 740
Г азогенёраторного
процессатепловой
баланс........... 740
Г азогенераторный
процесс........ 740 I
Газомеры мокрые и
сухие........... 847
Газообразование . . . 740
Газы совершенные 647, 700
Гальванометр Эдель-
мана ..........•	837
Гармонический анализ 228
— анализатор .... 232
Гармоническое дви-
жение эллиптиче-
ское ........... 335
— колебание прямо-
линейное .... 333
Гаусса интеграл оши-
бок .............210
Генераторного газа
теплотворность . 742
Генераторный газ . . 739,
740, 742
Гениометр........... 770
Географические коор-
динаты . . . 752, 824
Географического по-
ложения астроно-
мический способ
определения . . . 825
— — геодезический
способ опреде-
ления ........ 825
Географическое поло-
жение .... . . 825
Геодезическая невяз-
ка .........•	782
— основа.............831
Геодезические вычис-
лительные и чер-
тежные работы . 781
—	работы в СССР . . 750
Геодезический жур-
нал ............ 779
—	абрис, крок, чер-
теж . ...........779
— план, составлен-
ный по координа-
там ............ 789
Геодезический план,
составленный по
румбам ...... 781
Геодезических работ
инструкция . . . 832
----сметы и нормы 832
----стоимость . . . 832
Геодезия	749
Геометрические изо-
бражения триго-
нометрических
функций.........	81
Геометрическое по-
строение ком-
плексных чисел . 194
Геометрия аналитиче-
ческая......... 128
— диференциальная .	128
Гессе нормальная
форма........... 129
Алфавитный указатель;
983
Гигрометр волосный • 866
Гидравлический ра-
диус .... 462, 465
— удар..............535
Гидродинамика . . . 449
Г идродинамики общие
понятия..........449
Г идродинамический
напор........... 490
Г идродинамическое
давление........ 453
Г идрометрическая
вертушка Вольт-
мана.............846
Гидромеханика . . . 443
Гидростатика .... 446
Гидростатики основ-
ные законы . . . 446
Гидростатическое да-
вление ......... 446
Гипербола; . . . 136, 138
— равнобокая . . 141, 657
Гиперболоид......... 171
Гиперболическая спи-
раль ........... 154
Гиперболической спи-
рали построение.	155
Гиперболы конфо-
кальные ........ 199
— равнобокой по-
строение ....... 141
Гиперболы площадь . 142
— построение .... 140
Гипоциклоида и эпи-
циклоида .... 149
---- удлиненная и
укороченная . . 151
Гласные звуки .	. 571*
Годограф . . • . 311, 460
Горелка Бунзена . . . 738
Горение........ 714, 737
— интенсивное . . . 737
— на колосниках . . 738
— над колосниками . 738
— неполное......... 737
— простых газов . . 733*
— технических газов 733*
Горения процесс . . . 715
— температура . . . 714
Горизонталей прове-
дение аналитиче-
ское .............•	810
----графическое . . 810
Горизонтали........810
Горизонтальная съем-
ка .................755
Горизонт инструмента 7е4
Горючая смесь .... 738
Горючей смеси вспышка 738
Горючие газы .... 738
Горючих материалов
молекулы .... 715
Градиент........... 182
Градусы Цельсия и
Фаренгейта . . . 604*
Граммкалория . • . . 603
Граничная линия . • 457
— поверхность.... 457
Графический метод
определения ин-
тенсивности при
отражении .... 588
— расчет колебатель-
ных явлений . . . 580
Громкоговоритель . • 568
Д
Давление ветра на
строения........... 488
— и скорость в фор-
муле Гребера . . 625*
— насыщенного пара 665*
— насыщения пара . 661
— пара над водой и
льдом............. 869*
— на стенки в произ-
вольном напра-
влении ............ 447
----нормальное . 446
— подшипников . . . 277
— струи ....... 503
----на пластинку . 504
Двигатели внутрен-
него сгорания . . 658
Движение волчка . . 350
— без трения .... 426
— брошенного тела . 312
— винтовое.........321
— в канале.........460
— воды в почве . . . 482
— газов по трубам . 523
---------и без тре-
ния .............523
----и паров .... 698
----по тру-
бопрово-
дам. . . . 708
— криволинейное . 310, 334
— ламинарное . . 462, 484
— обращенное .... 328
— относительное . . 324
Движение относитель-
ное при поступа-
тельном перенос-
ном движении . . 324
— — произвольном
переносном дви-
жении ..............324
— переносное .... 324
— плоское...........326
— по наклонной пло-
скости .........334
— прямолинейное . 305,322
—- Poinsot..........351
— равномерно уско-
ренное и замед-
ленное ..........306
— свободного волчка 351
Движение сжимае-
мой жидкости со
сверхзвуковой
скоростью .... 529
— сферическое . . . 320
— твердого тела 313, 358
----и брошенного
под углом .... 336
— точки............ 305
----по винтовой ли-
нии ...........312
---- по кругу ... 311
— — прямолинейнее
с переменным
ускорением . . . 307
— тепла принужден-
ное ............ 622
— турбулентное . 462, 484
— центра тяжести . . 345
— эллиптически гар-
моническое . . . 312
Движения газов и па-
ров условие не-
прерывности . . 699
— твердых тел об-
щий случай . . . 32Q
Двойственность (в но-
мограммах) .  . 208
Двоякое лучепрело-
мление .........599
Действительный про-
цесс удара .... 367
Детерминанты ....	66
Детонация при взры-
ве ........... 719’
Джоуль..............254
Диаграмма время-ско-
рость ..........306
— для ламинарного
потока........ 463*
— индикаторная . . 642
— 1S для водяного
пара........ 678, 679
— коэфициентов со-
противления . . . 442
— Молье для смеси
воздуха и пара . 682
— путь-время .... 376
— работы PV .... 64$
— распада водяного
пара............748
----углекислоты . • 74fr
— сил............*	. 261
— скорость-время . . 37?
— тепловая, TS . . . 64?
— ускорение-время . 378
— характеристик со-
пла Лаваля . . . 526
— холодильной ма-
шины ...........690
— цикла Карно . • . 658
— цикловая..........397
— энтропийно тепло-
вая (IS).......64?
984
Алфавитный указатель'
Диаграммы генера-
торного газа . 743, 744
— кинематические . . 376
— Молье для смеси
воздуха и пара по-
граничная кривая 683
— никла Карно сред-
нее давление . . 659
Диада.......... 364, 371
Диаметр инерции . .	294
— трубы в формуле
Гребера........ 624*
Диаметры сопряжен-
ные ............... 140
Диатермические тела 638
Диафрагма измери-
тельная ........... 853
Диафрагмы . . • 498, 848
— нормальные .... 850
Дилатометр Аббе-Фи-
зо . . .............600
Дина............... 247
Динамика............332
— газа............. 523
— материальной точки 323
— механизмов .... 407
— системы матери-
альных точек . . 341
— твердого тела . . . 349
Динамически подоб-
ные явления . . . 441
Динамическое подо-
бие ........... Г	. 442
Динамометр ленточ-
ный Brauer’a . . . 857
Динамометры тормоз-
ные ............... 856,	858
Диоптрия........... 591
Диоптры.............761
Диоскоп.............596
Диполь......... 457, 458
— и параллельный по-
ток ............... 458
Диполя момент . . . 457
— поле..............457
Директрисса....... 137
Дирижаблей (моде-
лей) коэфициенты
сопротивления . . 49С*
— (формы) сопроти-
вления .............490
— формы.............490
Дирижаблей Цеппели-
на коэфициенты
сопротивлений . 491*
Дирижабля выгодные
формы.......... 458
—	динамическая подъ-
емная сила ... 491
— результирующая
сила сопротивле-
ния .............. 491
—	устойчивость дви-
жения ......... 491
Дисперсия.......... 591
Дисперсия относи-
тельная .......... 592
Диференциальное
уравнение вере-
вочной кривой . . 279
Диференциальные
уравнения 1-го по-
рядка, совекуп-
ные, графический
способ интегриро-
вания . . • . .	227
— уравнения 1-го по-
рядка, численные
и графические
способы интегри-
рования .......... 225
----2-го порядка,
способы интегри-
рования ....... 228
Диференциалы....	92
— высшего порядка .	93
Диференциальная
кривая......... 224
Диференциальный па-
раметр .... 183, 184
Диференциатор ... 184
Диференцирование
графическое . 223, 377
— табличное .... 218
Диференцирования
правила и формулы 92
Диференцируемость .	91
Дифракционная ре-
шотка ...... 586
Диффузоры ..... 475
Длина световой волны 586
— трубы в формуле
Гребера........ 624*
Длины волн нормаль-
ные ...........601*
Добавочная скорость 401
Дополнительные цве-
та ............... 586
Дождевание искус-
ственное .	... 503
Допускаемые погреш-
ности для весов . 914
Допускаемые погреш-
ности для гирь • 911*
-------мер жидких
и сыпучих
тел...............911
-------основных из-
мерительных
приборов . . 910
------- при измере-
нии длин и
поверхностей 910
Дробей квадратные
корни ,».... 51*
— кубические корни 51*
Дуги длины . 43*, 45*, 135
Дутье горячее .... 743
— холодное......... 743
Дым.................738
Е
ех, е~х . •........ 38*
Единица оптической
силы............ 591
— силы..............247
Единицы дуговые . .	80
— мер.............. 247
---- и обозначения
при горении . 722
----тепла..........603
Емкость............333
Естественный ветер 484,488
Ж
Жезл при съемках . . 757
Живая сила......... 255
Жидкая фаза .... 662
Жидкие струи .... 496
Жидкое горючее . . 732*
Жидкость идеаль-
ная ............ 443,	451
Жироскоп [Плика . • 354
3
Зависимость между
тригонометриче-
скими функциями
двух углов ....	81
---------одного угла 80
---------трех уг-
лов ...	84
Задача Кардана . . . 328
Закон Био-Савара . . 455
— Бойля и Мариотта 647
— Ван-Гофа......... 714
— взаимодействия . 249
— Гей-Люссака . . . 519
— Gouy..............717
— Гука..............361
— Дальтона......... 653
----и Левиса . . . 586
— движения Ньютона 252
— действия и проти-
водействия . . . 249
— Джоуля........... 647
— живых сил .... 338
— инерции Галилея . 252
— Кеплера (2-й) ... 341
— Кирхгофа......... 638
— количества движе-
ния .............348
— Ламберта ..... 640
— Мариотта .... 519
— моделей Рейнольд-
са ................ 441
— моментов сил . 266, 273
— независимости дви-
жений .... 312, 335
— Паскаля..........446
— преломления и от-
ражения света. • 587
Алфавитный указателе
985
Закон переместитель-
ности внутренне-
го произведения 177
— перенесения сил 256,280
— перестановки и сло-
жения ............ 176
— площадей мате-
риальной точки . 339
----системы мате-
риальных точек . 346
— подобия..........442
----Коши..........439
----Ньютона .... 435
----Рейнольдса . 440, 441
----Фруда...........437
— проекции.........311
— работы........... 280
— распределения . 176, 177
— смещения Вина . . 586
— соединения .... 176
— соотношения коли-
честв при химиче-
ских превращениях 740
— Стефана и Больц-
мана ........ 586, 638
— трения Кулона . . 410
— центра тяжести . . 344
Законов подобия вы- •
вод............ 435
Законы термодинами-
ки .............643
— химического рав-
новесия ....... 740
Замена звеньев меха-
низма  .........365
Замещение звеньев
механизма .... 365
Замыкание веревоч-
ного многоуголь-
ника .......... 262
— многоугольника
сил............ . 262
Застойная жидкость . 475
Затвердевания тел
температура . . 511*
Затухание излучения 568
Защита от сотрясений 576
Звено трехподводко-
вое............ 371
Звука излучатели . . 568
— передача......... 576
— поглощение . . . 575*
- скорость......... 564
Звуковая мощность . 583
----излучаемая сте-
ной	. . 583
----поглощаемая
стеной........ 583
----превратившаяся
в тепло .... 583
— область звуков речи 571
Звуковое простран-
ство ....... 565,	567
Звуковой гриб ... 565
566, 567
Зеркала плоские . . 590
— сферические • . . 589
Зеркальное отраже-
ние ........... 458
Значение	. 423*
—	min х для бипла-
нов ...........510*
—	рп при процентной
таксе &°/0.............
—	PvfRT для водо-
рода ..*... 651*
— PvIRT для воздуха 651*
Значения весовой
плотности газа, на-
полняющего аэро-
стат ......... 522*
-	1 4-	. . . . . . 960*
-	................ 961*
1 at
—	х (отношение теп-
лоемкостей) и не-
которых функций
его............... 519*
—	коэфициентов для
определения кру-
говой частоты . . 554
-	........... 964*
Ръ
—	падения давления
(d : dj».......... 470*
—	сжатия струи
и а) ... 474*
- ~................ 962*
11
Зрительная труба
Порро.............768
Зрительной трубы
увеличение .... 767
Зрительные трубы 593, 767
Зуммер..............572
И
Излучатели звука . 568*
Излучение......... 863
— тепла........... 637
----газов.........641
------------------твердых тел . . 637
Изменение состояния
пара, особые слу-
чаи ........... 663
---тел от теплоты 611
— температуры при
дросселировании
газов .............712
— теплоемкости с
температурой . . 651
— формы звеньев ме-
ханизма ....... 366
Измерение...... 247
Измерение амплитуды
давления .... 572
---- скорости .... 572
— базиса прибором
Иедерина .... 822
— базисов и углов . 820
— больших давлений 838
— влажности .... 866
— воды, подаваемой
в котел........ 852
— высоких темпера-
тур ............864
— газа нагнетанием в
резервуар .... 848
---- объемными при-
борами .... 847
----по распределе-
нию скоростей . 852
— давлений......... 838
----в- неподвижной
среде......... 838
Измерение давления
в струе........ 838
— звука, субъектив-
ный метод.... 572
— и взвешивание по-
стоянно расходуе-
мых количеств. , 842
— интенсивности зву-
ка .............572
— и построение на
вычерченных кри-
вых ........ . . 220
— колебаний . . 836, 837
— количества тепла . 865
— количеств........ 840
— мощности .... 856
---- способом обрат-
ного давления . 858
----электрическим
способом . . . 858
— очень малых да-
влений ........ 839
— пара автоматиче-
ским интегриро-
ванием ........ 854
----конденсирую-
щегося за ма-
шиной .... 853
----непосредствен-
ным отсчитыва-
нием ...... 854
----по графику . . 854
— площадей .... 220
— при помощи опре-
деленных интегра-
лов ............ 221
— расхода газа . . . 847
----жидкостей . . . 842
-------запрудами .	844
— — — инструмента-
ми со шка-
лой .............. 842
-------помощью
щита .... 845
936
Алфавитный указатель
Измерение давления
по отверстию
истечения. . 844
Про10-
ка. . . 844
---------распреде-
лению ско-
ростей . . 846
----— приборами со
счетным ме-
ханизмом - . 842
.---пара............852
Измерение силы . . . 249
----звука машины . 837
— температуры ... 861
----гальванометром 863
----методом конден-
сации ..............863
—* теплоты.........861
— углов по способу
Шрейбера .... 823
----при съемке . . 771
Измерения в технике
сгораии а......870
угла ошибки и точ-
ность ......... 771
Измерительные ин-
струменты (опти-
ческие) .......... 597
Измеритель шумов
Баркгауаена . 572, 573
Измерители для сжа-
того воздуха . . . 848
— жидкости открытые 842
Изобара........... 654
Изогоны............778
Изоклины...........778
Изоплера .... 654, 664
Изотерма .... 654, 663
Изотермическое рас-
ширение .........657
— сжатие........... 657
Изохора........... 654
Изыскательные рабо-
ты в СССР . . . 750
Импульс сил . . . 339, 454
Инвар.............. 821
Инварные проволо-
ки ............. 821
Индикатор...........859
— Inharz’a........ 861
— крутильный FSttin-
ger’a............858
Индикаторная диа-
грамма ..........860
— работа............861
Индикаторное сопро-
тивление ........509
Индикаторных пру-
жин условия испы-
тания .............
Индикаторов специ-
альные формы . .
Индикатор оптиче-
Ский Шульца . .
860
861
861
Индйцирование ма-
шин .............861
Инерция в маши-
нах .............427
Интеграл векторный
площади......... 187
— Гаусса............ ПО
— двойной.......... 114
— криволинейный . . 186
— Мунка............ 508
— скалярный площа-
ди вектора . . . 186
— тройной ......... 114
Интегралы кратные . 113
— криволинейные . . 11 >
----определенные . 114
— некоторых ирра-
циональных функ-
ций ............... 102
— неопределенные .	98
— не сводящиеся к
элементарным
функциям .... 109
— определенные . . . 108
----приближенное
вычисление . . 112
— основные.........	99
— трансцендентных
функций ....	104
— эллиптические . 50*, 111
Интегрирование гра-
фическое 222, 307, 379
---- двукратное . . 224
I — по Рунге-Кута . . 225
, — разложением вряды 109
— рациональных
функций.........	99
Интегрирование та-
бличное ........ 218
Интегрирующий мно-
житель ......... 115
Интенсивность звука 572
— лучеиспускания . 640
— солнечного спектра 586
Интерполирование .	56
Интерполяции правила 54
Интерполяционное
исчисление . . . 215
Интерполяция ....	52
Интерференционные
цвета........... 599
Интерференционный
индикатор Кир-
нера............ 600
— компаратор Гепе-
ля.............. 6С0
---- Кестера .... 601
Интерференция . . . 660
— равного наклона . 601
Интерферометр Май-
кельсона........ 601
Искривление изобра-
жения ............. 591
Исследование кривой
расширения . . • 657
Истечение водяного
пара................701
— газов и паров . . 700
---------при незна-
чительной
разности
давлений 704
— из косо вставлен-
ной насадки . . . 500
---- круглого отвер-
стия .............. 498
— — отверстий . . . 496
------- в толстой
стенке . . . 498
--------- тонкой
стенке . . 500
—------частично ни-
же уровня
свободной
поверхности 497
— — прямоугольного
отверстия .... 498
Истечение из сопла
Лаваля...........534
— на воздух . . . . •	496
— под свободной по-
верхностью жид-
кости ...........496
— при круглой на-
садке .......... 499
Истечения из сопел,
основные пара-
метры ......... 702*
------- трубопровода 499
Источники звука под-
водные ........ 570
Источник и сток рав-
ных расходов . . 457
Исчисление вариаци-
онное .......... 127
— диференциальное .	91
— интегральное . . •	91
К
Калориметр . . . • . 598
— Унион............871
— Юнкерса . . . 731, 871
Калориметрическая
бомба Бертело-
Малера . .	. . 870
Калория............603
Калька высот .... 827
— дневник..........827
— контуров......... 827
Камеральные работы 833
Каналы с постоянным
сечением .... 462
Капилляр Дрешмита. 875
Капиллярность . . . 444
Кардиоида .... 151, 328
Картина относитель-
ных скоростей . . 38-
---- ускорений . . . 38
АлфавотЧйыЯ утей затеях»
987
Картографические ра-
боты в СССР . . 751
Карты градусы . . . 754
— линейные меры . . 754
— угловые меры . . . 754
Касательная полярная 132
Касательное ускоре-
ние ..................389
Касательной длина . . 132
— уравнение .... 132
Катализаторы в про-
цессе горения 714, 715
Каталитическое влия-
ние топлива . . . 741
Катание резиновых
шин .... 424*, 425*
— тел........... 4и8,	423
----чистое......... 408
Квадранта делений
перевод . .	. . 49*
Квадратическое укло-
нение ...........214
Квадраты чисел ...	2*
Квартили..............214
Керл скорости .... 450
Киловатт............. 255
Килограмм . . . 247, 249
Килограмукалория . 603
Кинематика......... 305
— механизмов . . . 375
Кинематические диа-
граммы ..........376
Кинематический коэ-
фициент вязкости 443
Кинематическое ис-
следование дви-
жения штанги
эксцентрика ... 396
Кинетическая энер-
гия ............ 255,	339
----взрыва.........720
Кипения температура 662*
— точка.............. 612
Клина объем и по-
верхность .... 240
Кокс................. 738
Колебание гармони-
ческое ......... 539
—	несущее........540
—	простое.......... 539
Колебаний мембраны
узловые точки и
линии .......... 539
— механических об-
ласть частот . . . 548
— модуляция .... 540
— род................ 550
— свободных частота . 540
— связанных „	542
Колебаний электро-
магнитных область
частот.......... 549
Колебания............ 835
— вертикальные фун-
даментов ........558
Колебания вращаю-
щихся однород-
ных пластин... 561
— вынужденные . . 540,
544, 548
— вынужденного ди-
ференциальное
уравнение «... 545
— горизонтальные
фундаментов . . 558
— затухающие . . . 539
— звуковые . . . 548, 582
— зданий............579
— инфразвуковые . . 548
— квадратных пластин 560
— круговых пластин. 561
— машин.............836
— мебран........... 559
— механические . 539, 541*
— нарастающие . . . 539
— период........... 539
— пластин	560
— постоянной часто-
ты ............. 581
— при вращении ва-
лов ............ 836
----скручивании . . 555
----скручивании с 1,
2, 3 и 4-й массами
на конце........... 556
----с любым чи-
слом масс .... 557
— — удлинении . . . 837
— свободные (соб-
ственные) .... 540,
543, 547
— синусоидальные . . 543
— составляющие глас-
ные звуки .... 571.
— угловая’ (круго-
вая) частота . . . 539
— ультразвуковые . . 548
— фундаментов . . . 557
— электрические 539, 541*
Колебательного ком-
плекса затухание. 544
----полезное сопро-
тивление .......... 542
Колебательной систе-
мы жесткая связь 547
Колебательные ком- ,
плексы акустиче-
ские открытые . . 565
---- замкнутые . 565
----излучающие . . о40
---- механические . 540
----открытые . . . 540
----связанные . 540, 546
---- электрические . 540
— системы .... 540, 546
Колебательный ком-
плекс простой • . 542
— процесс.......... 539
Колебательных ком-
плексов упругость 546
Колебательных си-
стем коэфициент
связи...............546
Количество вращения
материальной си-
стемы ..............347
----твердого тела . 347
— вытекающего пара 703
— движения . . 251, 331
— энергии совершен-
ных газов .... 648
Колодец.............484
Компаратор • . . . . 761
Компарирование при
съемках . . . 7о8, 761
Компас с волчком . . 355
Компенсатор Бобине » 600
Комплексные величи-
ны ................. 64
— числа............ 192
Комплексных вели-
чин аргумент . .	65
— — модуль ....	65
— -«• норма........65
Компоненты ...... 249
— системы сил .... 266
Ком । * ресс ио иная вол на 739
Компрессе? I воздуш-
ного л» аграмма . 659
---- отведенная те-
плота ............. 660
----работа сжатия 659,660
— вредное простран-
ство  .............. 661
— идеального работа
сжатья..............694
---- среднее давле-
ние ............ 660
— компаунд работа . 660
— коэфициент подачи 661
— к. п. ........... 661
— полезный объем ци-
линдра ......... 660
Компрессор воздуш-
ный ............ 659
— двойного действия 658
Компрессоры ... с 848
Конвекция . . . 614, 622
Конденсор кардиоид-
ный .............593
Конденсоры.........592
Конические сечения . 136
Конических сечений
сравнение .... 137*
Конструкция зданий и
распространение
сотрясений . . . 581
Конус............171,	291
Конуса Зегера .... 865
Конусов Зегера точки
плавления .... 865*
Конформное изобра-
жение .... 192, 196
----обратимо одно-
значных .... 198
988
Алфавитный указатель
Конформных изобра-
жений частные
виды............ 196
Конхоида............ 156
Концевые потери . . 509
Концентрация дефор-
мации .............. 361
Координатная система
правая.......... 157
Координат прямо-
угольная система 128
— преобразование . * 131
— прямоугольных
преобразование 162, 163
Координаты криволи-
нейные .......... 185
— цилиндрические .	185
— шаровые полярные 186
Корни.............61,	63
—ь квадратные .... 2*
—	 кубичные......	2*
—	чисел............ 2*
Косой скачок .... 533
Коромысло............364
Косинус........ 34*, 38*
Косинуса степени . .	82
Котангенс........... 36*
Коэфициента сопро-
тивления оценка 470
Коэфициент Ъ' для
водяного пара . . 626*
— волнистости . . . 466
— вязкости.........443
Коэфициент вязкости
жидкости в зави-
симости от темпе-
ратуры ........ 445*
—	испарения .... 686
— истечения для нор-
мальных диафрагм,
850*, 851*
-------нормального
сопла .... 849*
— Коши............. 439
— линейного расши-
рения .......... 605
—	лобового сопроти-
вления ......... 505
-------крыльев . . 529
— момента..........505
—	объемного расши-
рения .......... 605
—	преломления света 587
— поглощения .... 580*
— подъемной силы 505, 529
К. п. д......... 281, 859
—	акустически элек-
трический .... 569
— идеального пропел-
лера ........... 511
—	паровой машины
индикаторный . . 687
-------термический 687
Коэфициент просачи-
ваемости .... 482
Коэфициент просачи-
ваемости по Гуген-
тоблеру........ 482*
------- Терцаги . . . ч83
— Пуассона......... 362
— разложения угле-
кислоты ........ 746
— расширения пло-
щади ........... 605
— расхода .... 496, 498
---- для вертикаль-
ных плотин ... 501
------- водосливов . 500
-------круглого
отверстия. . 498*
— Рейнольдса .... 441
Коэфициент скорости
при истечении га-
зов и паров ... 701
— сопротивления 441, 463
----в трубах .... 464
----для гладких труб
462, 464
— теплопередачи . . 686
----в трубах, пер-
пендикулярных
направлению те-
чения ....... 628*
----для газов ... 624
----жидкостей . 625
-------и значение
входящих
в него ве-
личин 626*, 627*
— — перегретых па-
ров ............... 625
----плоской стенки
по Юргесу. . . 629*
----трубы (средний) 623
— теплопроводности 614,
616*, 617*, 622, 635
----воздушных слоев 620*
----газов..........621*
----жидкостей . . . 621*
---- эквивалентный
для вертикаль-
ных, пдбскид
воздушных слоев 620*
— точности наблюде-
ний ............. 210
— трения .... 410, 411*
----для бандажей . 412*
----гибкой связи . . 422
----для трубопрово-
дов .......... 708
----экипажей . 413*
---- полозьев . . 413*
----по Пуассону*. . 416
Коэфициент скорости
при трогании с
места............414*
— смазки (внешнего) 414
-------(внутреннего) 414
Коэфициент трения
точидышх камней 414*
Коэфициенты, опре-
деляющие соб-
ственные частоты
стержней . . .	553*
— сопротивления для
трубопроводов . . 709*
---различных тел . 492*
— шероховатости . . 466*
Кран для склада . . . 268
Краны двухколесные 277
Кратные тс . • ...	52*
£
тс
52*
Кратчайшее расстоя-
ние между двумя
прямыми........ 158
Кремальерный винт . 767
Крестовый свод ... 243
Кривая времени . . . 305
----пути ...	. 306
----скорости . . . 306
— Паскаля...........328
— пути..............305
—	распределения . . 213
—	резонанса . . . 569, 570
Кривая сложения . . 206
Кривизна вторая . . 166
—	кривой......... 134
—	первая......... 165
— средняя.......... 170
Кривизны главные . . 169
— круг..........133, 166
— круга центр ... 134
— мера............. 170
— параллельные глав-
ные ............ 169
— плоскость» .... 164
Кривизны радиус . . 165
— центр............. 165
Кривой изолирован-
ная точка .... 135
— кручение.......... 166
— особая точка ... 135
— поверхности кри-
визна нормально-
го сечения . . • . 169
Кривошип...............364
Кривошипный меха-
низм .......... 428
Кривые двойной кри-
визны ......... 163
—	огибающие ....	136
—	Петрова........415
—	плоские....... 131
—	поверхности	.	.	.	167
Кривых поверхностей
нормальное сече-
ние ........... 169
Кривые постоянного
паросодержания . 664
— предельного паро-
содержания . . . 664
— расширения. . • • 654
Алфавитный указатель
989
Кривые свободной по-
верхности .... 461
Критическая скорость 463
— температура пара 662*
— точка.............449
Критический объем
паров.......... 662*
Критическое давление
паров.......... 662*
— отношение давле-
ний ............ 524
— соотношение да-
влений при исте-
чении из сопла . 701
Кронглас .... 589, 595
Круга окружность .	2*
— площадь........... 2*
Круг.................237
Круг инерции Мор-
Ланда ...........298
Круговая частота вра-
щения ...........561
Круговой процесс
Карно........... 657
----с двумя изоба-
рами и двумя
адиабатами . . 658
--------- изохорами
и двумя
адиабата-
ми ... . 658
Круг перегиба .... 330
— трения........... 421
Крыла относительный
размах ..........509
— площадь.......... 505
— размах............505
— свойства.........507
— скорость.........505
— форма.............507
Крыло монопланное . 509
Крыльев ветряного
двигателя относи-
тельный размах . 517
--------симметрич-
ные профили 517
— обобщенные фор-
мы ----- 508
Крылья............... 505
Кубы чисел.........	2*
Кулаки и эксцентрики 393
Кулисса.............366
Кулиссный камень . . 366
Л
Лежандр-Якоби нор-
мальные формы . 111
Лемниската Бернулли 156
Лента при съемках 757
Лимб........... 761, 763
Линейка счетная ... 201
Ливейная усадка ме-
таллов ....... 606*
Линейная функция . 212
— — одной перемен-
ной .......... 213
— расширение твер-
дых тел......... 605*
Линзы . -...........590
Линии асимптотиче-
ские ........... 170
— кривизны......... 170
— Маха......... 530, 533
— тока (в жидкостях) 449
Линия действия сил . 249
Лист Декарта .... 156
Логарифмическая спи-
раль ........... 155
Логарифмов обыкно-
венных мантиссы 32*
— таблицы..........	59
Логарифмы ...» 61, 63
— натуральные . . 2*, 60
— обыкновенные . .	59
Лошадиная сила . . . 255
Лошадиные силы кот-
ловые ...........958
Лупа........... . 593, 765
Лучи веревочного
многоугольника . 261
Лучеиспускание . . . 614
Лучеиспускательная
способность . 637, 638
Лучистая энергия . . 637
М
Магнитная стрелка . 778
Магнитной стрелки
вековое изменение 778
Магнитный азимут . . 778
Максимальное сплю-
щивание .........362
Манометр .... 837, 838
Манометры диферен-
' циальные .... 840
Мантиссы обыкновен-
ных логарифмов. 32*
Масса......... 247,	249
— машины..........577
—	приведенная . . . 360
Масс приведение в
кривошипном ме-
ханизме .........428
— разбивка и приве-
дение ...........427
— уравнение на валу 429
Масштаб времени . . 434
— длины.............434
— карты.............753
— переноса......... 434
— сил...............434
— ускорений «... 378
Массы приведенные . 427
— сосредоточенные . 427
Математика.........	1
— практическая , . . 200
Материальная система 341
--- с произвольным
движением . . . 342
— точка............ 251
Материальной систе-
мы количество
вращения .... 347
Материалы для тепловой
изоляции 618*. 619*, 620*
— отражающие и ре-
зонирующие . . . 575
Маятника время ка-
чания .... 324, 337
— секундного длина . 338
— физического дифе-
ренциальное урав-
нение ..............344
—	центр качания . . 344
Маятник.............551
—	математический и
физический . . . 551
Маятник простой (ма-
тематический) . . 336
— физический .... 343
— Фуко..............252
—	шаровой ...	. 338
Мгновенное напра-
вление скорости. 545
Мебель (значение в
акустике) .... 573
Медленное сгорание . 738
Международная карта 751
Международной кар-
ты масштаб ... 751
Мембрана, яакреплен-
ная на краях . . 568
Мембраны........... 559
Мера точности стати-
ческого ряда на-
блюдений .... 215
Метацентр...........448
Метод „вариации по-
стоянных" .... 119
—	Грюнейзена .... 601
— Dixon и Coward . 719
— Sacerek...........375
—	касательных . . . 377
— кинематического
исследования ме-
ханизмов .... 375
—	Корнуша . . . • . 601
— конформных пре-
образований . . . 459
—	круговых линеек . 380
— ложных положений 388
— измерения ординат 377
— изоклин . . . . •	225
—	планиметрирования 379
— подсчета площади
на миллиметровой
бумаге............. 379
Методы практическо-
го анализа, числен-
ные, графические
и механические , 218
990
Алфавитный указатель
Методы практическо-
го анализа при ре-
шении уравнений . 218
Методы практическо-
го анализа при
вычислении и по-
строении целой
рациональной
функции............ 219
— приближенных ре-
шений уравнений 71
Рунге............ 232
— средних ординат . 379
— хорд.............377
Механизм............ 363
Механизма построе-
ния основной ме-
тод ............ 364
Механизма структур-
ный анализ ... 371
Механизм в связан-
ном построении . 364
ч— двукривошипный 363,373
Механизмов преобра-
зование ...........365
Механизм однокриво-
шипный ............ 363
— плоский........ 372*
Механизм простран-
ственный .... 372*
—- свободной струк-
туры ............. 364
— трехкривошипный 363,
373
— четырехзвенный 386, 391
— шепинга..........392
Механизмы двухзвен-
ные ....... 371
— кривошипные . . . 363
— многозвенные . . 371
— одно-, двух-, . .
п-кривошипные 374
— трехзвенные ... 371
Механизм эксцентри-
ковый ..............393
Механика.......247
— капельных жидко-
стей .......... 443
— подобия......433
Механика прикладная	363
— твердых тел	.	.	.	247
Механики важнейшие
величины .... 248*
— основные понятия 247
Механические колеба-
ния ........... 539
Механический экви-
валент тепла . . 643
Механических ком-
плексов расчет соб-
ственных частей 550
Микроманометр Креля 839
— Ремнагеля .... 839
Микрометр окуляр-
рый.............601
Микроскоп.........765
Микроскопы........ 593
— для мастерских . . 594
— металлографиче-
ские ............. 594
— препаровочные . . 594
Мнимые величины . 194
Многогранная кони-
ческая проекция . 751
Множитель в форму-
ле Гребера для
воздуха и дымо-
вых газов .... 625*
Многоугольник . . . 237
— сил..............257
Мода.............. 214
Модуль упругости
жидкостей.... 535
----материала
трубы..........535
Модуляции колебаний
частота....... 540
— синусоидальной
векторная диа-
грамма ........540
— колебаний .... 540
Молекулярный вес
воздуха....... 680
----кажущийся . . 653
----пара...........680
Моль.......... 648,	736
Моля теплоемкость . 650
Момент вращения для
преодоления тре-
ния ............486
— инерции машины . 577
----осевой........293
----плоскостный . . 293
----полярный . . . 293
— масс 2-го порядка . 285
— маховой.........294
— пары сил........ 254
— силы............ 252
---- статический . . 340
— тела центробеж-
ный ....... 294
Моменты инерции . . 293
----геометрических
плоских фигур . 296
----важнейших ли-
ний поверхно-
стей и тел . . . 299
----главные .... 295
---- плоских фи-
гур • . . . . 297
----и моменты цен-
тробежные тела 293
----осевые .... 296
Моменты инерции от-
носительно парал-
лельных осей . . . 294
---- полярные . . . 296
— центробежные . • 293
----плоских фигур . 296
Мощность ..........254
Мятие насыщенных па-
ров ............713
— (дросселирование)
пара........... 712
— совершенных га-
зов ............712
Н
Нагрузка...........275
Наибольшие и наи-
меньшие значения 97
Нажим Прони .... 856
Напор, затрачивае-
мый при протека-
нии ...............483
Направление враще-
ния ............315
— потока.......... 531
Напряжение давления 250
— поля.............333
Насадки вводные • . 476
Насыщенного аммиач-
ного пара темпе-
ратура, давление,
объем, удельный
вес, содержание
тепла, энергия,
теплота испаре-
ния, энтропия . . 696*
Насыщенного пара
сернистой кисло-
ты SO8 темпера-
тура, давление,
объем, удельный
вес, содержание
тепла, теплота
испарения, энтро-
пия .............. 695*
— пара углекислоты
температура, да-
вление, объем,
удельный вес, вну-
тренняя энергия,
содержание тепла,
теплота испаре-
ния, энтропия . . 697*
Насыщенный пар хло-
ристого метила . 698*
Начало возможных
перемещений . . 281
Начальное состояние
смеси перед взры-
вом ...............721
Нелинейная функция 213
Неопределенные ин-
тегралы ........... 98
Неперовы аналогии .	88
Неподвижное закре-
пление .........276
Неподвижный опор-
ный шарнир . . . 276
Непрерывность ...	91
Нивелира визирная
ось..............79
Алфавитный указателе
991
Нивелира лагеры . . 796
— проверка . . . . • 797
Нивелир глухой . . . 795
— карманный .	. . 796
—	Цейсса...........£00
Нивелирный отсчет . 794
Нивелирование . . . 793
— барометрическое . о13
— геометрическое . . 793
— из середины ... 794
— поперечное .	. . 804
—	продольное .... 801
— техническое .... 793
— точное............806
— тригонометрическое 812
Нивелирования журнал 803*
Нивелирования полю-
сы ............ 802
— технического точ-
ность.......... 815
— точного журнал . 869*
Нивелиры .... 793, 795
Номограмма для опре-
деления гидродина-
мического напора 453
-------коэфициентов
сопротивления 466
---расчета трубопро-
водов ............. 469
— теплосодержания
влажного воздуха 868
Номография......... 203
Нормаль............ 133
— главная.......... 165
Нормальная мера . . 821
Нормальное ускорение 389
Нормальные сечения
главные............ 169
Нормальный кубиче-
ский метр.... 648
Нормаль полярная . . 133
Нутация.............354
О
Обертон............. 550
Обертонов круговая
частота......... 550
— собственная — . . 550
Объектив.............593
Объектива глубина . 596
Объем бочки .... 242
— влажного воздуха . 682
— воды при разных
температурах и
давлениях	. . . 607*
—	клина........... 240
Объем крестового
свода........... 243
—	обелиска.......240
—	тел вращения . . 243
— цилиндрического
свода.............. 243
— чана или кадки , . 242
Объемное расширение 606*
— содержание 1 кг
углекислоты при
разных температу-
рах и давлениях . 692
Объемы важнейших
геометрических
тел............. 239	- 242
— тел.......... 236,	239
Область влажного
пара............662
—	вспышки.........718
—	тумана..........683
Обозначение рельефа
на карте ..... 753
— точек и линий на
местности .... 755
Оборотов критическое
число...............550
Обращение движения
эксцентрикового
механизма .... 396
Обтекание...........458
—	вогнутой поверх-
ности ..........533
— внутреннего угла . 5^3
— газовым потоком . 531
— — — кривой по-
верхности .... 532
— плоское.......... 505
— плоской пластинки. 533
Обтекание простран-
ственное . . . 492*, 509
— слабо искривлен-
ных поверхностей. 486
Окружности круга 2*, 138
Окуляр..............593
Опорные давления . . 275
— реакции...........275
--- балки на двух
опорах..........263
Опоры в машинострое-
нии ....*.. 276
— мостовых и желез-
ных конструкций. 275
Определение истинного
меридиана .... 776
-------по звездам . 777
— масштаба скорости 377
— реакций опор ... 275
— центра тяжести (ана-
литическое и прак-
тическое) .... 287
— экспериментальное 288
Определители ....	66
Оптика............. 585
Оптическая поверх-
ность ......... 588
Оптические инстру-
менты ..........592
Опыты Андреса ... 475
— над сопротивлением
тел...............  490
Осветительные при-
способления . , , 592
Оси главные плоских
фигур...........297
----тел............ 295
— сопряженные пло-
ских фигур . . . 297
Основное уравнение
динамики . • . . 251
Основной план . . . 550
Особые рабочие про-
цессы ......... 657
Особые случаи изме-
нения состояния . 654
Осцилограф.........837
Ось вращения . . 256, 314
— главная...........448
Отверстие в толстой
стенке......... 498
— истечения .... 844
— протока...........844
Отверстия с напра-
вляющими стен-
ками ...........498
Отводы Т-образные . 477
Отдача пушки при вы-
стреле .........346
Отклонение восточное 326
— снаряда.......... 355
— южное............ 326
Отложения в чугун-
ных трубах . . . 471*
Относительная шеро-
ховатость .... 465
Относительное движе-
ние . . • .... 324
— перемещение . . . 324
Относительные ошиб-
ки при съемках . 758
Относительные ско-
рости ..........324
— ускорения .... 324
Отражаемая интенсив-
ность ......... 588
Отражение звука . . 573
— света.............Б87
— тепла.............638
Отсечение звеньев . 365
Ошибка арифметиче-
ская средняя . . . 210
— вероятная .... 210
— при измерении
углов каллима-
ционная............774
— при съемке в от-
метке начала и
конца ленты . . . 760
Ошибка арифметиче-
ская средняя от
влияния почвы и
погоды..............760
Ошибка при оъемке от
изменения темпе-
ратуры ............ 760
--------- неточно-
стей от-
счета. , . 76Q
992
Алфавитный указатель
Ошибка при съемке от
неравномерного на*
тяжения ..... 760
-------— провисания 760
— средняя . . . • . . 210
Ошибки визирования
при измерении
углов............... 773
—	в определении угла
наклона . . . • . 759
—	постоянные . • . . 835
— при съемке предель-
ные ................ 761
---измерении углов
от наклона гори-
зонтальной оси
вращения трубы . 773
---измерении углов
от негоризон-
тальности лимба 773
---съемках .... 757
-------систематиче-
ские .... 760
-------средние . . 761*
— случайные .... 835
— укладки ленты при
съемках.............759
Ошибок при съемках
формулы .... 760
Ощущаемое тепло при
газификации . . 742
П
Падение давления	463
— кошки............. 348
— свободное в безвоз-
душном простран-
стве ........... 307,	332
---при сопротивле-
нии воздуха . . 332
— тепла адиабатиче-
ское . . • . . . . 687
Пантометр........... 770
Парабола .... 136, 144
— веревочная .... 279
Параболоид вращения 242
— гиперболический . 171
— эллиптический . . 171
Параболы длина дуги . 146
— диаметра сопряжен-
ные ................ 145
-	директрисса .	.	.	144
—	конфокальные	.	.	199
—	Нейля........... 145
—	параметр........ 144
—	площадь......... 146
— полукубической и
кубической по-
строение ....... 145
— построение .... 146
— радиус кривизны . 145
— уравнение в поляр-
ной системе коор-
динат .............. 145
Пароболы уравнение
относительно вер-
шины ...............144
Пара водяного насы-
щенного абсолют-
ная температура . 668
-------давление . 665*,
668*, 669*
------- вес .... 668*
-------объем . . . 668*
-------теплота ис-
парения . . 669*
-------содержание
тепла .... 669*
-------температу-
ра . . 66о*, 669*
------- энергия . . 669*
-------энтропия . 668*
-------парциальное
давление . . 680
----перегретого объ-
ем, теплосодер-
жание и энтро-
пия .................666
-------давление, тем-
пература, со-
держание те-
пла .... 673*
— вращения . . 319, 363
— вантовая.......... 363
— входящего темпе-
ратура ............ 666
Пара давление перед
входом в машину 686
— катящихся рыча-
гов.................367
— кинематическая . . 370
Параллакс.......... 767
Параметры..........	140
Параллельная перспе-
ктива .......... 234
Пара перегретого вну-
тренняя энергия . 666
— поступательная 363, 368
Пара работы в иде-
альной машине . 686
— сил...............252
— теплосодержание . 686
— удельное содержа-
ние ................686
— энтропия.........686
Пар водяной .... 663
----перегретый . . 687,
667*, 674*
— насыщенный . . . 663
Паромер .... 843, 853
— Аскания.......... 855
Паромер Байера. . . 843
Паромеры............708
— диафрагмовые . . 853
— поплавковые . . . 853
Паросборник .... 688
Паросодержание... 686
Пар, отдаваемый ак-
кумулятором Рутса 688
Пар, перегретый . . 664
Парциальное давление
при горении . . . 714
Пары................661
— высшие............368
Пары кинематические 371
— перегретые .... 624
Первый меридиан . . 824
Перевод американских
винчестерских гал-
лонов в л и об-
ратно ............ 934*
— английских акров
в ары и обратно 926*
----дюймов ртут-
ного столба в мм
водяного столба 947*
----ртутного стол-
ба в физиче-
ские атмо-
сферы и об-
ратно . . . 947*
----морских миль в
км и обратно . 918*
----имперских гал-
лонов в л и
обратно .... 934*
---- квартеров в
гл и обратно 933*
----квадратных фу-
тов в ж2 и об-'
ратно............. 927*
----куб. ярдов в м9
и обратно . . . 930*
----л. с. в kWt и об-
ратно .... 957*
— — статутных миль
в км и обратно 918*
----миль/час в
м\сек и об-
ратно . . . 953*
----судовых тонн
в кг и обратно 937*
---- тонн в тонны
метрические и
обратно .... 937*
----тонн/кв. дюйм
в кг\см9 и об-
ратно ....	943*
----тройских гран
в г и обратно . 943
-------гран/куб. дюйм
в г/дм9 и об-
ратно .... 949*
----фунтов в кг и
обратно.... 939*
----фунтов/дюйм в
в кг[см и об-
ратно ....... 942*
----футов и дюймов
в мм.............. 922*
— — футов в метри-
ческие меры и
обратно.... 917*
Алфа-тгитны W уКЖЗПТСлЪ
993
Перевод английских
фунтов/кв. дюйм в
кг/см3 и обратно 945*
----фунтов/кв. дюйм
в мм ртутного
столба и об-
ратно .	... 946*
----фунтов/куб. дюйм
в кг/см3 и об-
ратно ........ 949*
----фунтов/куб. фут
в кг/м3 и обратно 948*
----фунто-фут в кгм
и обратно . . ; 955 
----фунтов/фуг в
кг/м и обратно 942*
----фунтов/ярд в
кг/м и обрат-
но ........... 941*
---- центнеров в кг
и обратно . . 938*
----кв. ярдов в м3
и обратно . . . 927*
----ярдов в метри-
ческие меры и
обратно .... 919*
— верст в км и об-
ратно ........ 923*
—	вершков в см и
обратно......... 925*
—	времени........ 912
—	г/сек в кг/час или
кг/сек в m/час и
обратно .... 952*
—	десятин в га и об-
ратно ............. 928*
— единиц мощности 956*
— кв. аршин в м3 и
обратно......... 929*
----вершков в см3
и обратно . . . 930*
----дюймов в см3
и обратно . . . 928*
— кв. саженей в м3 и
обратно......... 929*
—	квартеров в кг и
обратно......... 938*
—	киловаттчасов в
британские терми-
ческие единицы и
обратно......... 958*
----в кг-кал .... 958*
— кг-кал в англий-
ские единицы те-
пла и обратно . 959*
— кг-кал/сек в kW и
обратно......... 957*
—	кг/см3 в мм рт. ст.
и обратно .... 946*
— китайских йин в м
и обратно .... 925*
— куб. аршин в м3 и
обратно......... 932*
----вершков в см3
и обратно . . . 933*
Перевод дюймов в см3
и обратно . . . 931*
— м3/час в англ. куб.
футы/мин. . . . 954*
— куб. саженей в м3
и обратно .... 932*
---футов в дм3 и
обратно.........931*
—	л. с. в kW и обратно 956*
— м вод. ст. в англ.
дюймы рт. ст. . . 947*
---в англ, футы . 923*
— м/сек в англ, фу-
ты/мин ....... 954*-
—	мм рт. ст. в мм
вод. ст......... 946*
—	мм/сек в м/час или
м/сек в км/час и
обратно......... 952*
— нефтяных барилей
в гл и обратно . 935*
— пудов в кг и обратно 940*
— русских бочек в л
и обратно .... 935*
---ведер в л и
обратно .... 936*
---долей в мг и
обратно.........941*
---лот вгиобратно 940*
--- четвертей в гл
и обратно .... 936*
— саженей в м и об-
ратно ......... 924*
—	см в англ, дюймы 923*
— см3 (или м3)/сек в
л (или м3)/час и
обратно......... 952*
—	старых прусских
мер в метриче-
ские и обратно . 917*
— тройских гран/кв.
дюйм в г/дм3 . . 945*
— узлов в м/сек. . . 952*
---в ярды/час . . . 953*
— фу нт./кв. дюйм раз-
личных стран в
кг/см3 и обратно . 944*
— фунт./кв. фут в
кг/м3 и обратно . 944*
— фунт./кв. фут раз-
личных стран в
кг/м3 и обратно . 944*
— фунт/куб. фут раз-
личных стран в
кг/м3 и обратно . 948*
— фунт./фут разных
стран в кг/м и об-
ратно ......... 942*
—	16-х долей дюйма
в мм........... 920*
—	64-х долей дюйма
в мм............919*
— японских шаку-
. кане в м и об-
ратно ............. 926*
Передаточное число
отрицательное . . 402
Передача диференци-
альная или эпи-
циклическая ... 401
— звука •.......... 576
---через стены . . 582
— теплоты . . . 614, 622
Передачи........... 393
—	зубчатые........ 393
—	рядовые (последо-
вательные) цилин-
дрические и чер-
вячные .............401
Преломление света . 587
Пересчет объема га-
за при постоян-
ном давлении для
других темпера-
тур .............. 962*
Переход звука .... 582
Периметр смачивае-
мый ............... 462
Пикет, пикетаж - . . 801
„Пиро“ HaSe—Hannover 865
Пирометр ле-Шателье 862,
863, 864
— оптический . . 598, 865
Планиметр . i . . 221, 791
— автоматический . 854
План сил........... 261
—	скоростей .... 385
— ускорений и ско-
ростей ........ 330
Планшет.............826
Плоская пластинка,
параллельная на-
правлению потока 484
—	система сил .... 260
Плоские пролетные
конструкции ...	275
—	зеркала......... 589
—	стенки......... 446
Плоский гааовый по-
ток ............ 530
—	эксцентрик .... 394
	и штанга . . . 393
Плоское маховое ко-
лесо .......... 354
Плоской системы сил
аналитический ме-
тод исследования 265
Плоскость в простран-
стве ........... 157
—	поляризации . . . 599
— симметрии . . • . 458
Плотина треугольная 845
Плотность...........251
— весовая...........518
---воды............. 444*
---воздуха . . 445*, 521
---жидкости . . . 443
— жидкости или газа
массовая .... 443
— массовая..........518
994
Алфавитный указателе
Плотность воды . • . 444*
---- воздуха .... 445*
Площадей определе-
ние ................ 135
Площади главнейших
геометрических
фигур .... 236—239
— плоских фигур . . 236
— тел............... 239
Площадь моментов 263, 264
— нагрузки . . . 264, 279
— положительная и
отрицательная. . 236
Поверхности второго
порядка......... 170
— главнейших геоме-
трических тел 239—242
— тел.......... 236,	239
Поверхностное натя-
жение ...........444
— трение.........• 484
Поверхность, идеаль-
но отражающая . 588
— — рассеивающая
(диффузная) . . 588
— тела вращения . . 243
— уровня скалярного
поля................ 182
Поводок . . .........364
Повышение концен-
трации при горе-
нии .............715
Погашения ежегод-
ные .............73*
Поглощательная спо-
собность ....... 638
---- относительная . 639*
Поглощающие веще-
ства •...........872
Поглощение звука 574,575*
Пограничный слой 476, 489,
527
Погрешностей вычи-
сление ......... 201
Подвижной опорный
шарнир...........275
Подводные источники
звука........... 570
Подъемная сила . 443, 505
Подъем рельса на за-
круглении .... 335
Подкасательная по-
лярная . • .... 132
Подкасательной длина 132
Подкладки, заглуша-
ющие колебания. 579
Поднормаль......... 133
Подобие динамиче-
ское ........... 434
— статическое .... 433
Подобия статического
метод........... 433
Подпочвенные воды . 484
Подпятники ролико-
вые ............ 277
Подпятники шарико-
вые ............ 277
Подставки зритель-
ной трубы.... 766
Подшипник для шеек
валов........... 276
Подшипники транс-
миссионные • . . 276
Показатель истечения
газов и паров . . 701
— преломления . 585, 590
Полевые линии ... 182
— работы...............833
Полезная работа . 281, 645
оле зрения объек-
тивное ............... 594
---субъективное . 594
— свободное от источ-
ников ..............188
—	скоростей.....507
—	потенциальное	.	.	188
—	слоистое	.	.	.	.	•	188
Полипланы.........506
Политропа..............655
Политропическое рас-
ширение газов. . 656*
Политропы построе-
ние .............655
Положение точки на
криволинейном
пути ..*.... 310
Полоида (полодия) не-
подвижная н по-
движная ....... 327
Полуприем (при изме-
рении углов) в
геодезии........823
Получение изображе-
ния светящейся
точки.......... 589
Пользование табли-
цами ........... 52
Полюса касательная . 331
— кривая............327
Полюс диаграммы сил 261
— мгновенный . . 327, 331
Полюсное расстояние 263
Полюсные лучи ... 261
Полюсный путь . 327, 331
Полюс перегиба . . . 332
— сил...............261
—	скорости.......331
Поляризационные
аппараты .... 599
— фигуры........... 599
Поляризационный
микроскоп .... 599
Поляризация .... 598
Полярная ось веревоч-
ного многоуголь-
ника ........... 265
Поправки наблюдений 211
Поршневидная мем-
брана ............ 5681
Послезвучания про-
должительность . 574
Постоянная капилляр-
ности ......... 460
— лучеиспускания . . 639
Постоянные точки
площади............ 298
Построение изобра-
жения ..........590
— преломленного
луча........... 588
— планов скоростей . 383
Поступательное пере-
мещение твердого
тела . . • .... 313
Потенциал............... 450
—	многозвучный . . 456
—	скорости............ 451
Потенциальное поле . 188
Потенциальный по-
ток ............ 451, 488
Потери дросселирова-
ния ........... 533
—	от отходящих га-
зов .............. 736*
— при расширении
струи......... 474*
—	тепла от неполного
горения . . . 735, 737
Потеря давления в
трубопроводах	.	480
—	кинетической энер-
гии ............... 361
—	работы.......... 645
---------при мятии . .	.	713
------------------------для пере-
гретого
пара . . . 714
--------- для совер-
шенных
газов и па-
ров . . . 713
— тепла от продуктов
сгорания.................735
Потока срыв . . . 476, 529
Поток, двигающийся
со сверхзвуковой
скоростью .... 529
— двух- и трехраз-
мерный . . . . us 529
Потоки сложные . . 456
— элементарные ... 455
Поток параллельный 455,
---и источник . . . 456
— радиальный .... 456
— сзади пропеллера 512
— циркуляционный . 456
Почвенные колебания 576
Появление росы . . . 685
Правила диференци-
рования ....	92
Правило Гюльдена
(Паппуша) .... 243
— масштаба.........435
Алфавитный указатель
995
Правило Прандтля . 528
— Рихмана.......... 610
— Симпсона......... 220
Правильный много-
угольник-соотно-
шение размеров . 238*
Предел.............. 91
Пределы взрываемо-
сти различных га-
зов и паров . • . 739*
— вспышек для горю-
чих смесей . . . 719*
Преобразование вра-
щательного дви-
жения в поступа-
тельное ........... 393
— скоростной энер-
гии в энергию да-
вления ............ 506
Прецессионного дви-
жения ось .... 353
Прецессия земли . . 354
— псевдорегулярная . 354
— регулярная .... * 353
Прибавление звеньев 365
Приближенное умно-
жение и деление 2С0
Приближенные ква-
дратные корни . 200
— формулы..........200
п
приближенный Vа . 200
Приборы для анализа
газа........... 873
---- измерения ли-
ний при съемке . 757
Прибор Энглера . . . 444
Приведение плоской
системы сил к
одной равнодей-
ствующей или к
одной паре . . . 260
Призма Глана-Том-
сона ........... 599
Призмоид........... 243
Призмы............. 591
Применение теории
волчка.......... 354
Принцип виртуаль-
ных скоростей . . 281
----перемещений 280, 281
— Гамильтона .... 348
— Даламбера .... 342
— относительности . 252
Принцип сохранения
энергии............256
Приращение угла ка-
сательной .... 313
Причина колебаний и
сотрясений . . 576
Проводимость .... 863
Продолжительность
качания маятника 337
— послеэвучания . . 575
Продолжительность
удара .... 361, 362
Продукты распада го-
рючих материалов 716
Проективные искаже-
ния .............. 208
Проектирование экс-
центриков .... 397
Проектная линия . . ’ 816
Проекции аксоно-
метрические . . . 234
— косые................. 234
— прямоугольные 234,235*
Проекция Бонна . . . 752
— Гаусса.................752
— диметрическая . . 235*
— изометрическая . 235*
— коническая много-
гранная .............751
— поликоническая . . 752
— триметрическая . 235*
Прожекторы .... 592
Произведения беско-
нечные .............. 79
Производительность
охлаждения . . 657
---холодильной ма-
шины ...........698
Производные ....	92
— элементарных
функций ....	92
—	высшего порядка .	93
Пропеллера идеально-
го мощность . . 512
---теория..........511
— коэфициент на-
грузки ............. 511
—	к. п. д.......... 511
—	лопасть.......... 513
—	поступь..........510
—	число лопастей	510, 513
Пропеллеров практи-
ческий расчет	. .	514
Пропеллеры......... 510
Просачиваемость
грунта..........483
Пространственные
пролетные кон-
струкции .... 275
Пространственный
направляющий паз 395
Противовесы веду-
щих колес паро-
воза ..............345
Противодавление . . 686
Противоток......... 637
Процесс испарения . 685
— колебательный . , 539
— необратимый . . . 645
— обратимый .... 644
Профиль Жуковского 459
Прохождение через
регулирующий
клапан холодиль-
ной машины . . . 695
Прыжок воды . . 461, 474
Прямая в плоскости . 128
— в пространстве 157, 158
— Кульмана........ 269
Прямоток...........637
Прямоугольные коор-
динаты при со-
ставлении геоде-
зического плана . 785
Прямые, параллель-
ные и перпенди-
кулярные .... 130
Психрометр.........866
Психрометра аспира-
ция ............867
Пульсирующий шар . 568
Путь распростране-
ния звука пуч-
ности ..........542
Пучности скорости . 542
Р
Работа..............254
— движущих сил . . 281
— перегретого пара
в машине .... 687
—	сухого насыщенно-
го пара в машине 687
— полезная..........645
—	трения.......... 419
Работы графическое
изображение . . 254
Равновесие безразлич-
ное ........... 283
—	неустойчивое . . . 283
— плоской системы
сил............ 267
— сил ......... 257, 262
---действующих
на нить........ 274
— системы сил в
• пространстве . . 273
— устойчивое .... 283
Равнодействующая си-
ла ............ 257,	271
Радианы............. 80
Радиус-вектор .... 175
—	гидравлический . . 462
—	инерции.........551
— кривизны......... 134
Радиусы-векторы эл-
липса и гипербо-
лы ............ 139
Разбивка кривых . . . 818
Развертка круга ... 151
Разделение перемен-
ных ........... 115
Разложение сил . . . 257,
259, 262
— силы в простран-
стве ...............274
— топлива...........737
Размещений число . .	66
Разностное исчисле-
ние ........... 215
996
Алфавитный указатель
Раскрытие неопреде-
ленностей .... S6
Распределение ветров 487*
— давлений......... 489
—	источников истоков 489
— ошибок........... 212
—	цветов по Ост-
вальду .........589
Распространение
звука.......... 573
Рассеяние света ... 591
Расстояние точки от
прямей......... 129
—	фокусов в эллипсе
и гиперболе . . 139
Раствор аммиака в
воде...........613*
Растворы газов вводе 613*
Расширение газо-
образных тел . . 607
— тел от теплоты • . 605
— цапф..............366
Расчет кислорода и
воздуха и состава
отходящих газов
для твердого и
жидкого топлива
и для газов . 723 и 725
Расчет собственных
частот механиче-
ских комплексов . 550
— трубопроводов . . 480
— пара............... 687
—	рент.............. 72
—	тепла на л. с./час . 687
Расчеты численные . 200
Расчленение процесса
удара............361
Реакции опор .... 275
Редукторы гидравли-
ческие ......... 405
— скорости.........401
— эпициклические	.	.	401
Редукцця при изме-
рении углов	.	.	.	772
Резонанс............. 545
Резонансная кривая . 545
Резонатор Гельмголь-
ца ............. 568,	569
Результирующая пара
сил............. 270
Результирующий мо-
мент •.......... 271
Рельеф . i • • . . . 810
Репер........... 804,	808
Рефрактометр .... 597
Ржавление труб ... 471
Римана двойная плос-
кость .......... 199
— л-кратная плос-
кость ...... 199
Ритера способ расчета
ферм ...... 267
Род колебаний .... 550
РОТ*р скорости ... 450
Рулетка............. 757
Румбы................775
— магнитные .... 778
Рядов степенных про-
изведение и част-
ное ............ 77
---степени ....	77
Ряд Тэйлора для двух
переменных ...	96
Ряды арифметические	73
— бесконечные . . 75, 79
— биномиальные . .	75
—	геометрические . .	74
—	конечные........	73
—	логарифмические и
показательные . . 76
— особенные .... 74
— тригонометриче-
ские ........... 228
—	Тэйлора и Макло-
рена .......	95
—	Фурье.............228
С
Сажа.................. 738
Самотормозящая пе-
редача ........ 419
Сварка рельсов ... 577
Сверлящее движение
тел............ 407
Светильный газ . . . 739
Свет линейно-поляри-
зованный .... 599
Световые волны . . . 585
Свет эллиптический и
круговой .... 599
Свечи Гефнера . . . 593
Свободная атмосфера 520
Свободные оси волчка 351
Свойства жидкостей
и газов............ 443
—	поверхности тела . 489
Сглаживание ряда на-
блюдений .... 217
Сгорание......... 714
—	азота......... 747
—	углерода и водо-
рода ..............731
Сгорания скорость
распространения.	740
—	температура	.	.	.	714
Сдвижение твердого
тела............313
Сегмента площадь . . 43*
Сейсмограф......... 836
Секундомер......... 836
Съемка вертикальная 793
— маршрутная . . . 830
— сплошная.............830
—	тахиметрическая . 828
— топографическая . 826
Съемки ориентиро-
вочные .........774
—	совместные .... 826
Съемочных работ ве-
дение записей . . 779
Сети координатной
искажение .... 205
Сетка искаженная об-
щая . ..............205
— логарифмическая
двойная............205
---- ординарная . . 205
Сетки правильные . . 204
— функциональные . 205
Сжатие в насадках . 473
— струи.............473
— цапф.............366
Сжимаемость .... 444
Сила........... 247,	249
— вспомогательная
Даламбера . . 335, 342
— давления на стен-
ки в произволь-
ном направлении 447
— и продолжитель-
ность удара . . . 361
— касательная .... 337
— нормальная .... 337
— нормального да-
вления на стенки 446
— равнодействующая 256
— света............ 592
— трения............408
— центральная ... 341
— центробежная . . 334
— центростремитель-
ная ............334
Силовой многоуголь-
ник . ..........257
Силы движения . . . 281
— единица...........247
— образующие коле-
бания и толчки . 577
— с общей точкой
приложения ... 257
Синтез кинематиче-
ской схемы меха-
низма ......... 374
Синус........... 34*, 38*
Синуса степени • . .	82
Система линий . . . 595
— сил в пространстве
270, 271
----действующих на
твердое тело . 321
Системы мер .... 247
Скаляр..174, 175
Скалярная функция	.	182
Скалярное поле	.	.	.	182
— произведение	.	.	•	177
Скольжение — враще-
ние ........... 407
— точки.............  407
Скользящий вектор- f 249
Скорости .... 368, 309*
— в водопроводах и
каналах...............472
Алфавитный укавателъ
997
Скорость фабричных
и каналах ....	472
—	воды в каналах . . 472*
— в судоходных кана-
лах ............ 472
—	и уклоны.......472
—	распространения
акустических ко-
лебаний ........ 563
— распространения
вспышки, нижний
и верхний предел 718
— угловой параллель-
ное перемещение 319
Скоростная высота . 453
Скоростной напор . . 505
Скорость .... 248, 249
— ветра ....... 486
— взрывной волны . 720
— детонации при
взрыве ...... 722
— звука . . . 518, 523, 703
----в воздухе, жид-
костях и твер-
дых телах . . . 564*
----в струне .... 551
— истечения газов и
паров................. 701
— колебания .... 553
— критическая . . . 524
— перемены полюса . 331
— потока .... 441, 518
— предельная .... 525
— при плоском дви-
жении .................328
— распространения
волн в вакууме . 585
----взрывной волны 722*
— — волны..........460
----вспышки при
горении .... 716
— регулярной пре-
цессии тяжелого
волчка........... 353
— сдвижения	....	320
— точки..........305
— угловая . .	.	314,	317*
----мгновенная . . 320
----равнодействую-
щая ...................321
— фильтрации	•	. .	482
— ядра........... 346
Скручивание про-
странственной
кривой.......... 313
Слив через изгиб дна 461
Сложение векторов
моментов .... 270
— вращательной и по-
ступательной ско-
рости ................ 323
— двух вращатель-
ных скоростей . . 322
— — параллельных
скоростей вращения 321
Сложение моментов
сил................ 270
— параллельных сил 260
— пар сил ...... 270
— сдвижения и вра-
щения твердого
тела................320
— сил.......... 257,	261
---графическое . . 258
Сложных процентов
расчет.............. 72
Смазочные масла . . 417*
Смеси воздуха и во-
дяного пара вес . 681
------------ тепло-
вой за-
пас • . 681
------------ относи-
тельная
влаж-
ность . 682
------------измене-
ние со-
стояния 684
Смесь влажного воз-
ду> а различного
состава и темпе-
ратур ............. 684
— воздуха и водяно-
го пара........... 680
Смешивание водяного
пара или воды с
воздухом .... 685
Смоляные пары . . . 7о8
Согласные...........571
Содержание пара в
газе ....... 682
— углекислоты в ды-
мовых газах . . 736*
— СО2 О, в отхо-
дящих газах . . 727*
Соединений теория .	65
Сокращение цапфы . 366
Сопровождающий
трехгранник кри-
вой ................. 165
Сопла................ 848
Сопло Лаваля .... 524
— нормальное .... 849
Сопротивление . • . 281
— воздуха............333
— волновое.........495
—	запорных приспо-
соблений .... 479*
— катания резино-
вых шин . • . . 425*
Сопротивлен. лобовое 443
— мостовых устоев . 480
— пластинок, обтяну-
тых полотном . . 485
— при катании тел . 423
— при относитель-
ном движении тел 407
— решоток..........479*
—	снарядов.......530
Сопротивление тел . 484
— шариковых и ро-
ликовых подшип-
ников ............•	425
Сопротивления в ко-
ленах и закругле-
ниях . . . 476*, 477*
— в отводах .... 478*
— местные (в трубах) 473
— опор............. 275
—	полезные........281
—	трения ...••. 281
Составление геодези-
ческого плана по
румбам.......... 781
-------по координа-
там ............ 784
—	профиля при ниве-
лировании . 815, 816
Состав механизма . . 369
— топлива, дымовых
газов и избыток
воздуха . • • 726, 727
Сотрясения......... 576
-	- с обширной об-
ластью частот . . 581
Спектр..............586
Спектральный анализ 598
Спектр непрерывный 586
Спектрометр.........597
Спектроскоп........597
Способ засечек • • • 757
— координат .... 756
— Кульмана разло-
жения сил.... 259
— наименьших квад-
ратов .... 211, 826
Способность к пере-
даче температуры 622
Способ обхода . . . 756
— повторений .... 824
— триангуляции . . . 757
Способы вычисления
приращений при
составлении пла-
нов ............... 786
— геодезических съе-
мок ............ 756
Спрямляющая пло-
скость ......... 165
Сравнение атмосфер с
высотой ртутного
столба......... 948*
Сравнение мер некото-
рых стран с метри-
ческими мерами . 916*
— различных единиц
работы............ 956*
— шкал ареометров .	52*
Среднее арифметиче-
ское наблюдений. 214
Средние значения на-
блюдений .... 214
Статика............ 256
— атмосферы «... 520
998
Алфавитный указатель
Статики основные за- |
коны................ 256	I
Статистика..........213
Статическая устойчи-
вость плавающих
тел............. 448
Статический момент
силы............ 340
Статически неопреде-
ленная решетчатая
система......... 282
— неопределимая си-
стема .......... 369
—	неопределимые за-
дачи .............. 282
—	определимое тело . 369
— определимые опоры 269
Стекло Фарадея . . . 599
Стенки кривые . . . 447
— плоские.......... 447
Стены как резонаторы
звука........... 584
Степени.........52*, 61
— свободы . 310, 314, 316,
320, 369, 550
— чисел............. 2*
Степень насыщения
воздуха и водяного
пара.............681
— устойчивости . . . 284
Стереоавтограф . . . 829
Стержни ...» ... 552
— радиального закре-
пления ......... 554
— с неизменным по-
перечным сече-
нием . . . . • . . 553
----собственной мас-
сой ............ 552
----суживающимся
поперечным се-
чением ............ 554
----точкообразными
массами .... 552*
Стержня, радиально
закрепленного, ско-
рость (круговая
частота)...........555
— с суживающимся
сечением круго-
вая частота .... 554
Стехиометрические от-
ношения .... 741
Стойка механизма . . 364
Сток подпочвенных
вод............. 483
Стрелка дуги .... 43*
Стропильная ферма . 268
Строфоида .... 156, 157
Структура механиз-
мов ............ 369
Структурный анализ
механизмов . . . 371
Струны..............551
Сухая перегонка . . . 737
Сушилка........... 682
Сферический двух голь-
ник ............ 242
— избыток.......... 826
— треугольник . . . 242
Сфероид Бесселя . . 762
Схема Бругера .... 862
— упругой связи . . 567
Счетчики оборотов . 862
Счетчик работы ... 561
Т
Таблица мер и веса
разных стран 888
и след.
—	монет разных стран 877
и след.
•	— поправок, вспомо-
гательная .... 53*
Таблицы линейные . 206
— линейных шкал . . 204
— сетчатые..........204
—	с криволинейными
шкалами............206
—	сравнительные и
переводы мер и
весов............. 916*
—	счетные..........203
—	функций с тремя и
более перемен-
ными .............. 204
Тальпотазиметр . . . 864
Тангенс........ 36*, 38*
—	угла фаз звуковой
волны...............565
Тахиметрия . . . . •	828
Тахографы...........836
Тахометры..........836
Твердое тело .... 256
Твердые тела .... 638
Тела изотропные, не-
отражающие . . • 588
Тела наименьшего со-
противления . . . 484
Телеобъективы.... 595
Телефония........... 571
Температура . . 603, 861
— абсолютная .... 603
— дестиллата при го-
рении . . . • . . 715
— кипения паров . . 662*
— нормальная .... 862
— плавления золота . 862
Температура сгорания
. 734, 736*
Температурное излу-
чение ............. 586
Температуры плавле-
ния или затверде-
вания ............ 611*
Температура плавле-
ния солей .... 611*
— показания ..... 862
емпературы постоян-
ные точки .... 863
— Реомюра, Цельсия
и Фаренгейта . . 603
—	- смссеи..........610*
Тензоры.............. 189
Теодолит............. 762
Теодолита верньер . 763
—	проверка.......768
—	становой и подъ-
емный винты . . 762
—	штатив.........762
Теорема воспроизве-
дения ............208
—	Гаусса для кривых
поверхностей .	.	170
—	Жуковского . .	.	458
—	интегральная
Гаусса......... 187
---Стокса.......... 187
— количества движе-
ния ..............454
—	косинусов ....	85
—	Кутта-Жуковского 505
—	Менье............ 169
—	о перенесении сил 256
— о среднем значе-
н	ии / (х)....... 95
Теорема параллело-
г	рама сил .... 256
—	синусов .......... 85
—	Эйлера........... 170
Теоремы Гельмгольца 454
—	Грина............ 187
—	о потенциальных
потоках и вихрях 454
— сложения обрат-
ных круговых
функций........	84
--- тригонометриче-
ских функций . .	81
Теоретическая темпе-
ратура сгорания. 734
Теория вероятностей 299
— гармонических ко-
лебаний ..... 333
—	движения.......305
—	моделей........433
—	ошибок............209
—	паровой машины . 686
Тепла механический
эквивалент . . • 613
Тепловой поток . 615, 617
Тепловые свойства тел 603
Теплоемкости газов . 648,
649*
Теплоемкость .... 607
— воды .... 607*, 608*
— при постоянном да-
влении 622, 643,646,652*
-------объеме . 643, 646
— растворов пова-
ренной соли. . . 609*
---хлористого каль-
ция .......... 609*
'Алфавитный указатель
999
Теплоемкость магния 609*
— смесей........... 654
— средняя воздуха . 653*
----одного Моля . . 652*
Теплообмен...........635
Теплопередача в кри-
вых трубопрово-
дах .............627
---- плоской стенке 629
— — прямых трубах
кольцевого се-
чения ..............627
--------- круглого
сечения 623, 627
— ------- прямо-
угольного
сечения •	627
----трубах, распо-
ложенных пер-
пендикулярно к
направлению те-
чения • . . . . 627
_ _ трубах, распо-
ложенных пер-
пендикулярно к
горизонтальному
цилиндру . 630*, 631*
— конденсирующего-
ся пара........ 633*
— от кипящей воды. 634
----некипящей воды 632
— плоским стенкам 631, 632
— при конденсирую-
щемся паре . . . 632
---- свободном дви-
жении ........630
— путем конвекции,
теплопроводности
и излучения . 641, 642*
— через плоские па-
раллельные стенки 615
----составную тру-
бу ................ 617
----стены из л слоев 616
----трубы.......... 616
Теплопередачи особые
случаи .... 615, 632
Теплоперепад .... 634
— для плоской стенки 634
----цилиндрической
трубы.............. 634
— при переменных
температурах жид-
костей ............ 635
Теплоперепад через
стенки с попереч-
ными ребрами . . 637
Теплопроводность. . 614
Тепл о производитель-
ность .......... 870
Теплотворная способ-
ность .......... 629
----смеси газов . . 748
----химических со-
единений ... 731
Теплосодержание . . 653
— углекислоты . . . 695*
Теплота............ 602
—	горения..........729
—	испарения .... 612
	 при температу-
ре кипения . . 612*
— отдаваемая конден-
сатору .........694
—	плавления .... 613
—	плавления различ-
ных тел............613*
Термодинамики вто-
рой закон .... 644
— графические изо-
бражения .... 646
— основные законы и
формулы . . 643, 645
— первый закон . . . 643
— применение к хо-
лодильным маши-
нам ................690
Термодинамическая
шкала ............. 603
Термометра проверка 683
— электрическая
установка .... 863
Термометр вспомога-
тельный ........... 862
— ле-Шателье .... 863
— ртутный . . . 862, 864
— спиртовый .... 862
— электрический пла-
тиновый ....... 861
---сопротивления . 862
Термометры металли-
ческие ............ 864
— ярусные.......... 862
Термоэлемент . . 586, 862
Техника измерений . 833
Техническая физика .. 538 I
Течение ламинарное
(Poiseuil) .... 463
— одно-, дв^х-и трех-
размерное .... 450
— плоское.......... 528
— плоскопараллель-
ное ............449*
— с образованием
вихрей......... 488
--- потенциалом
скорости....... 455
--- потерей энергии 462
— турбулентное . . . 464
— установившееся и
неустановившееся 449
— через пологое воз-
вышение дна . . 461
Ток вязких жидко-
стей .......... 441
Толуол............. 444
Тоны музыкальных
инструментов	571
Топографическая
съемка.......... 752
Топографические
карты ...... 751
Тормоза водяные . . 857
Тормоз-ветрянка . • 857
Тормоз водяной
Froude......... 857
— канатный.........857
Точка в плоскости . • 128
----пространстве • 157
— кипения нафталина 863
----серы........... 863
— плавления глаубе-
ровой соли . . . 863
----олова..........863
----сурьмы .... 861
— приложения силы . 249
Точки замерзания гли-
церина и спирта . 611*
— кипения воды . . . 612*
----разных тел . . 612*
Точность верньера
теодолита .... 763
Траёкторт7^ сберты-
ваю'цие.........326
— точек.............326
Траектория......... 136
— с изолированной
точкой..........328
----петлей.........328
Трактрисса......... 152
— Гюйгенса.........153
Транспортир .... 781
Трансформированный
снимок.........831
Трение в болте с гай-
кой ............ 420,	421
----винювой пере-
даче ............429
---- клинчатом пол-
зуне ......... 418
— — концевом под-
шипнике .... 421
----машинах* . . . 497
— внутреннее в дета-
лях машин .... 417
Трение в подпятниках 421
----подшипникам и
шарнирах ... 421
---- частях передач 419
— гибких тел .... 422
— клина .	....	429
— при горизонталь-
ной плоскости. . 417
----наклонной плос-
кости ............... 418
— слабо смазанных тел 412
— сухих и слабо сма-
занных тел .... 4СЗ
— хорошо смазанных
тел.................. 414
— цапф в шарнир-
ных механизмах . 421
Трения в деталях ма-
шин вычисление. 417
— закон Кулона . . • 4D
1000
л£аптгп:ыЯ указатель’
Трения законы Рени . 412
— коэфициенты для
бандажей .... 412*
------экипажей . . 413*
----полозьев .... 413*
---при трогании с
места........414*
---- точильных кам-
ней ................ 414
— относительная по-
теря работы ... 419
— работа........... 419
таблица Вестин-
гауза и Галтона . 412
-- теория гидродина-
мическая .... 414
Трения теория меха-
ническая . . . . • 409
---- молекулярная . 409
Треугольник........ 236
Треугольники плоские 84
— сферические ...	87
Трехповодковое звено- 364
Трехшарнирная арка 268
Триада............... 364
Тригонометрическая
сеть . ..........819
Тригонометрические
пункты.......... 820
— суммы............228
Тригонометрической
сети вычисления . 826
— — значение . . . • 819
— — классы........ 819
Труба Вентури 475, 844,
852, 854
— Прандтля . . 846, 852
— Якоби........... 848
Трубы закрытые . . 551
— открытые .... 551
Трубопровода диа-
метр .......... 711
----определение . . 711
Трубопроводы .... 467
— напорные........ 482
•— прямые......... 462
г— с небольшим паде-
нием давления . . 709
----сильным паде-
нием давления . 710
Тушение пожар» . . 503
У
Увеличение объектива 593
Углекислота........738
Угли Герц—Бека . . 593
Угловая скорость твер-
дого тела .... 281
Угломерные инстру-
менты ...... 761
Углы поворота ры-
чага ..............
---- эксцентрика . . 395
Угол атаки ...	. 505
Угол в радианах в гра-
дусах ......... 80*
— Маха................ 530
— между векторами . 177
----заданными на-
правлениями . . 157
----плоскостями . . 160
— обхвата..............422
— расширения . . . 475
— сдвига фазы . . . 577
— фазы звуковой
волны............. 564
Уголь древесный . . 738
— жирный...............715
Угольная пыль ... 715
Удара второй период 358
— коэфициент	....	359
— нормаль.........357
— первый период	,.	.	357
— сила............. .	358
Удар внецентровой 357, 359
— воды о твердое
тело.................. 537
— вполне пеупругий 359
---- упругий .... 359
— вращающий . . . 360
— колебательный . . 361
— косой............... 357
— прямой .... 357, 358
— по телу с непо-
движной осью вра-
щения ................ 360
— твердых тел	.	. .	357
— упругий........ 361
— центральный	.	357,	358
Удельная кинетиче-
ская энергия . . 720
— масса............... 250
— теплоемкость . . . 608
----железа--------610*
------------------твердых и ка-
' пел ьно - жидких
тел ..............610*
— теплота продуктов
сгорания ....	720
Удельное давление . . 250
— тепловое сопроти-
вление ............... 616
Удельный вес 250, 956* и
след
----воздуха .... 333
----и удельный объ-
ем воды .... 606*
-------------газов . 607*
— объем------ 250
----воды ...... 682
Узлы (в колебаниях) . 542
— скорости.......... 542
— тока.............. 542
Уклонение кватратиче-
ское............ 214
— линейное.........215
Унограф............ 875
Уплотнения прямой
скачок.......... 525
Уплотнения скачок . 525
Уравнение архимедо-
вой спирали . . .	154
— гиперболической
спирали.......... 154
— гиперболы, отне-
сенное к асимп-
тотам ........... 140
— движения стены,
совершающей
упругие колебания 584
— динамики для вра-
щения твердого тела 347
---- основное .... 336
— диференциальное
Бесселя........	125
----Клеро.......... 116
----колеблющейся
струны........ 125
---- Луивилля . . . 127
— — однородное . . 118
----полное......... 118
----Рикката .... 116
--- распространения
теплоты в стер-
жне ................126
--- термодинамики. 645
— касательной • . .	132
— Клапейрона ...» 663
— колебания мембра-
ны . • ........... 125
—	конических сечений 137
—	кривой............ 132
—	неразрывности 452. 523
—	нормали.........	132
—	нормальной плоско-
сти . . • . • • • 164
—	окружности в по-
лярных координа-
тах .............. 138
--- относительно
центра........ 138
— параболического ци-
линдра ........... 172
— параболоида . • •
— параболы в поляр-
ной системе коор-
динат ............ 14э
---общий вид ...
---относительно вер-
................. 59
— ПЛОСКОСТИ .... Ю»
—	поверхностей вто-
рого порядка • .	170
—	потенциала . • • •	124
— прямой в простран-
стве ..........
--- относительно от-
резков ......... 129
—	развертки круга .	152
—	телеграфное . . .	125
—	Цейнера........... 700
—	цепной линии . . .	152
—	циклоиды.......... 148
—	эволюты . . ...	145
Алфавитный указатель
1001
Уравнение эллипса и
гиперболы 137, 138,139
---------- полярное. 141
— эллиптического и
гиперболического
цилиндров .... 172
— эпициклоиды и гипо-
циклоиды .... 150
Уравнений диференци-
альных системы . 120
— решение приближен-
ным методом . .	71
— — с помощью кру-
говых и гипербо-
лических функ-
ций ................ 70
Уравнения........... 68
— Бернулли . . 452, 523
— в полных диферен-
циалах............. 115
— второй степени . .	69
— движения Навье-
Стока............451
— диференциальные
второго порядка . 117
--------линейные . 116,117,122
----обыкновенные .	115
•---однородные . .	116
---- первого порядка 115
----с частными про-
изводными ... 121
----Эйлера.........119
— Лагранжа.........348
— окружности общий
вид............. 138
— первой степени . .	68
— прямой........... 128
— равновесия смеси
газов........... 747
— сгорания......... 740
---- для углерода и
водорода.... 734
— третьей степени .	70
— четвертой — ...	71
— Эйлера . 352, 446, 452
Уравновешивание дви-
жущихся масс су-
довых машин . . 348
Уровень........ 761,765
— круглый.......... 766
— цилиндрический . 766
— свободной поверх-
ности ............. 461
Урочные нормы . . . 833
Ускорение . . . 248, 219
— вращения . . 323, 329
— Кориолиса .... 392
— касательное . 311, 329,
331, 337
— нормальное . 311, 329,
331, 337
— относительное . . 325
— падающего тела . 333
— переносное .... 325
Ускорение поворотное
или добавочное
(Кориолиса) . . . 325
— поступательное . . 323
— потока........... 489
— при плоском дви-
жении .......... 329
— силы тяжести. 247, 250
— точки.............305
— угловое...........314
— центростремитель-
ное ............ 319
Ускорения касатель-
ная составляющая 311
— Кориолиса соста-
вляющая ............325
— нормальная соста-
вляющая ............311
Условие параллельно-
сти плоскостей . . 16Д
— перпендикулярно-
сти плоскостей. . 161
— равновесия сил . . 258
-- связи........... 369
Условные знаки на
карте...............753
Установка обратного
охлаждения . . . 682
Ф
Фазовый угол .... 577
Факториалы ....	52*
Фактор связи .... 567
Фильтрующего веще-
ства средний диа-
метр зерен . . . 482
— слоя толщина ... 482
Фильтры •...........482
Флинтглас . .’ . 589, 595
Фокус...............136
Фокусное расстояние. 590
Форма сопел........701
Формула Bazin . . . 468
— барометрическая . 520
— Beyerhas ..... 468
— Бесселя . . . 217. 232
— Борда—Карно . • . 474
— Виллиса..........401
— GanguilletH Kutter . 468
— Гребера.......... 624
— Гуилье............ 87
— Dirichlet........ 114
— Кардана..........	70
— Моавра............ 65
— Прандтля.........485
— Стирлинга ... 217
— Тейлора..........	95'
— Forchheimer .... 468
— Чебышева .... 220
— Шпрунга..........867
— Эйлера комплекс-
ных величин . . 90, 194
Формулы Вейсбаха,
Дарси, Biel, Ланга
и Мизеса .... 467
Формулы Гаусса . .	83
---- для квадратуры
численные значе-
ния ................ИЗ*
— двух законов тер-
модинамики . . . 645
— диференцирования 92
— для истечения воз-
духа . . 705, 705*, 706*
---------и насы-
щенного
пара . . . 705
----— сухого насы-
щенного лара 706,
706*, 707*
— интерполяционные
Ньютона и Ла-
гранжа .........215
— Мольвейде ....	85
Фотографическая оп-
тика ...........594
Фотокамера Цейсса . 829
Фотосъемка наземная 829
Фотоэластический ме-
тод ............... 600
Фотоэлектрический
элемент..........586
Фрауенгоферовы ли-
нии ............ 587
Фундаментов свойства 578
Фундаменты.........557
Функции аналитиче-
ские комплексной
переменной ... 196
— Бесселя.......... 560
— гиперболические
(основные фор-
мулы) .............. 88
............. 38*,	88, 90
— комплексной пере-
менной ........ 192
Функции круговые и
гиперболические
(соотношения ме-
жду ними) ....	90
— круговые обратные	83
— нескольких пере-
менных .....	94
— неявные..........	95
— одной и двух пе-
ременных ... 97, 98
— периодические . . 228
— показательные 38* и след.
— тока (в жидкости). 449
— три!онометриче-
ские........ 34*, 80*
*---трех углов ...	84
— эллиптические . . 111
Функций гиперболиче-
ских разложение
в ряды.............	76
— иррациональных
интегрирование . 102
— рациональных
интегрирование •	9|
1002
Алфавитный указатель
Функций трансцен-
дентных ингегралы 104
— тригонометриче-
ских зависимость 80
----обратных разло-
жение в ряды . .76
----разложение в
ряды......	76
----формулы крат-
ных углов и ча-
стей угла , . .	81
Функция Гамма • • . ПО
— П Гаусса......... ПО
X
Характеристики опыта 485
Характеристическое
уравнение про-
дуктов сгорания. 721
Характеристичное
число..............441
Химический состав го-
‘ рючих материалов 715
Холодильная машина 657,
690
Холодильной машины
адиабатическое
сжатие............. 694*
----испаритель . . 690
----компрессор . . 690
---- конденсатор . . 690
— — коэфициент про-
изводительности 658,
691
----потеря произво-
дительности . . 691
----производитель-
ность .............691
-------охлаждения 691,698
— — рабочая .лид-
кость . . . . . 691
----регулирующий
клапан............. 691
Хорды длина .... 43*
Ц
Цена деления .... 766
Центральное значе-
ние (медиана) . . 214
Центра тяжести ко-
ординаты .... 286
•— — определение . . 287
—------аналитиче-
ское .... 287
—------практическое 237
----— эксперимен-
тальное . . . 288
---- плоскость . . . 287
— — положение для
технически важ-
нейших линий,
поверхностей и
тел .... 288-2U
Центр вращения мгно-
венный ............ 327
Центрирование при
измерении углов 772
Центр кривизны . . . 366
----кривой траекто-
рии ............331
— массы......... 285, 286
Центроида (центроид)
неподвижная и по-
движная .........327
Центр параллельных
сил............. 286
— тяжести .... 285, 286
----клина и обели-
ска ............292
----поверхности вра-
щения ......... 288
----тела вращения .	288
—; — цилиндрической
подковы ....	291
Цепная линия . . 152, 279
Цикла Карно диаграмма657
----к. п. д-------657
------------------работа------------ 657
— Отто диаграмма . 659
------------------к. п. д. • • • • 650
------------------работа.659
Цикл Карно...............657
— Отто...............658
Циклоиды............ 148
— укороченная и уд-
линенная .... 149
Циклоны..............488
Цилиндр . . 171, 172, 240
— коаксиальный . . .	174
Цилиндрическая под-
кова ............ 240
Цилиндрический свод 243
Цилиндрическое кольцо 242
Циркуляция...........450
— вокруг крыла . . . 505
Циссоида..........• 156
Ч
Чан................ 242
Часовая скорость в
узлах при прохо-
ждении пробного
участка........... 955*
Частичное сжатие
струи...............500
Частность............ 215
Частота колебаний . 333
— основания .... 550
— собственных коле-
баний мембран . 559
-------круглой мем-
браны . . . 560
-------прямоуголь-
ной мембраны 559
Частоты............ 550
— в речи, музыке и
пении...........570
Частоты собственных
колебаний .... 550
Черное тело...........586
Черчение плана по ко-
ординатам .... 789
Четверолистник . . . 156
Четырехугольник . . 236
Числовые значения,ча-
сто встречающиеся 51»
Число оборотов машин 835
— Рейнольдса . 443, 462,
485, 623, 625, 849, 854
---критическое . . 463,
465
— собственных звуко-
вых колебаний	.	.	567
— условий	связи	.	.	370
— Фруда...........495
— Шези............467
Чистое катание . . . 370
Чистота тона .... 576

Шайба Релея .... 572
Шар............... 241
Шара объем . . 42*, 241
Шепинг............ 387
Шероховатость . . . 465
Шарнирная опора . . 276
Шарнир цилиндриче-
ский ............370
Шарнир шаровой . . 370
Широта географиче-
ская ............824
— геодезическая . . 824
Шкала Beaufon’a . . 487
—	температуры термо-
динамическая . . 862
—	функциональная . 203
—	Энглера........ 444
Шкалы криволинейные 204
— логарифмические .	204
— основные........208
—	проективные ... 204
—	соединенные .... 207
— степенные .... 204
— часто употребляе-
мые ............... 204
III ганга и плоский экс-
центрик .........393
3
Эволюта.............134
Эквивалентность тепла
и работы .... 643
Экер............... 770
Эклиметр .... 758, 770
— Брандиса........771
—	зеркальный Тес-
дорфа...............771
—	с отвесом.....771
Экстентограф . . . . 837
Алфавитный указатель
1003
Эксцентрика идеаль-
ного и реального
контуры...........397
— полный цикл дви-
жения ............. 397
— рабочий и холостой
ход................ 397
Эксцентрик для подня-
тия и опускания
рабочего стола ма-
шины .............. 399
Эксцентрик идеальный 397
Эксцентрики и кулаки 393
Эксцентриков проекти-
рование ........... 397
Эксцентрик плоский
и штанга .... 393
— реальный......... 397
Эксцентрицитет. 136, 139
Эксцесс............ 826
Электрическое возбу-
ждение механиче-
ских колебатель-
ных комплексов . 569
Электромагнитные
волны............585
Элемент вращения . 314
— Каролуса..........599
— нити бесконечно-
малый ......... 277
Эллипс......... 136, 138
Эллипса и гиперболы
сопряженные диа-
метры .......... 140
Эллипс и гипербола . 138
— инерции второй
(Кульмана) . . . 298
----первый .... 297
— — центральный . . 298
Эллипсоид .... 171, 242
— вращения . . . 242, 292
— инерции Пуансо . 295
— количества движе-
ния ........... 295
— центральный . . . 295
Эллипсы конфокаль-
ные .............. 199
Эмиссия............ 637
Энергия........... 956*
Энергия истечения га-
зов и паров . . . 700
— кинетическая . 258, 339
----вращательного
движения .... 350
— потенциальная 256, 283
Энтропийные таблицы 520
Энтропия .... 643, 644
Эпидиаскоп ..... 596
Эпископ............ 596
Эпициклоида .... 149
Эрг................ 254
Эффект Магнуса . . 517
Я
Явления отражения . 534
Поступило к печати с матриц 25 июня 1934 г.
Формат бумаги 72X105.
Количество бум. листов 31э/ая.
Авторских листов 85,4.
Количество печ. знаков в 1 бум. листе 11 240.
Ленинградский Облгорлит № 6820.
Зак. № 321.
Тираж 35000 экз.
Изд. № 296.
4-я тип. ОНТИ НКТП СССР„Кр. Печатник*. Ленинград, Междунар. яр.. 75а.