Hutte - справочник для инженеров, техников и студентов Т.1 - Запорожец В.К.

Автор: Запорожец В.К.
Теги: инженерия машиностроение металлургия технический справочник проектирование переводная литература
Год: 1933
Похожие
Hutte. Справочник для инженеров, техников и студентов. Том второй
Hutte - справочник для инженеров, техников и студентов Т.5
Hütte. Справочник для инженеров, техников и студентов. Том 4
Мурзилка за 1960 год
Текст
                    НОТТЕ
СПРАВОЧНИК
ДЛЯ ИНЖЕНЕРОВ, ТЕХНИКОВ
И СТУДЕНТОВ
ТОМ ПЕРВЫЙ
ИЗДАНИЕ ПЯТНАДЦАТОЕ,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ПЕРЕВОД С 26 НЕМЕЦКОГО ИЗДАНИЯ ПОД ОБЩЕЙ РЕДАКЦИЕЙ
инж. В. К. Запорожец, проф. С. И. Курбатова
инж. Н. Л. Мануйлова и проф. С. Ф. Лебедева
1933
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ПО МАШИНОСТРОЕНИЮ И МЕТАЛЛООБРАБОТКЕ
МОСКВА - ЛЕНИНГРАД

Ответственный редактор
инж. В. А*. Запорожец
Технические редакторы
Л. Т. Васильев
М. Я. Бычков
2-я тип. ОЫТИ им. Евг. Соколовой. Ленинград, пр. Кр. Команд., 29

Предисловие к 15-му изданию
Общераспространенный технический справочник для инженеров
Htitte имеет уже более чем 75-летнюю давность. За эти 8/4 столетия
справочник был выпущен в Германии 26 изданиями, из коих первое
вышло в 1857 г., последнее в 1932 г. Настоящее 15-е русское издание
является переводом, с переработкой и дополнениями, последнего,
26-го, немецкого издания.
Изданием справочника Htitte преследуется цель дать книгу,
которая содержала бы в ясном изложении не только формулы,
таблицы и выводы из специальных курсов, необходимые при
выполнении учебных работ по. проектированию и расчету, но которая
служила бы, главным образом, удобным и надежным справочником
в практической деятельности инженеру. Такого характера книга
должна включать все необходимые для работы справочные сведения
ч, следовательно, избавить от поисков их в капитальных
сочинениях, что связано с большой затратой времени. В соответствии
с этим справочник Htitte заключает формулы и таблицы как
теоретического, так и практического характера, выводы из
элементарной и высшей математики, машиностроения, электротехники,
строительного дела, инженерного искусства, механической и
химической технологии — все это в свете последних достижений науки
и техники.
Для советских технических кадров справочная книга типа
Htitte имеет особо актуальное значение, как концентрирующая в одном
месте необходимейшие сведения общего и специального
технического характера, нужные для повседневной практической работы.
Однако для того, чтобы эта книга могла превратиться в
настольный справочник советского инженера и техника, конструктора и
проектировщика, необходимо было отразить в ней, если не в полном
объеме, то хотя бы в основном, характерные особенности
технического развития в СССР.
Последнее обстоятельство побудило редакционную коллегию .
дополнить книгу рядом важных для советского инженера сведений,
примечаниями и техническими условиями.
Так, раздел силовых установок пополнен оригинальной статьей
по теплоэлектроценталям, перреработан и дополнен отдел
материаловедения, дан к нему целый том дополнений в виде ОСТ и
технических норм (IV том справочника), даны оригинальные статьи по
прикладной механике, значительно дополнен отдел сопротивления

IV Предисловие
материалов, переконструирован отдел технической физики,
приведены извлечения из советских правил по технике безопасности и
дан ряд других сведений.
6 соответствии с исключительной ценностью и оригинальностью
справочника Htitte, со стороны редакционной коллегии "была
проявлена особая осторожность и тщательность при проведении этой
работы.
Признавая, что за краткостью срока, предоставленного редакций
для подготовки справочника (с 1/V 1932 г. по 1/Х 1932—5 мес), эта
доработка не везде проведена с желательной глубиной и
последовательностью, редакционная коллегия, отнюдь не преуменьшая
огромной ценности Hutte, считает все же, что кардинальным
решением в этом вопросе было бы создание своего оригинального
общетехнического справочника, построенного на базе советских и
иностранных материалов и требований, но созданного в основном
советскими учеными и инженерами. Последнее вызвано желанием
устранить свойственный даже лучшим иностранным справочникам
чуждый для советского читателя характер изложения справочных
данных и компиляции их, так как эти материалы предназначены для
обслуживания чуждых нам условий существования и развития
техники.
Выполненный план великих работ создал достаточно материалов
для такого справочника, воспитал достаточное количество советских
ученых и инженеров, вооруженных опытом и знаниями, способных
теперь уже взяться за осуществление этого трудного и сложного
задания.
В настоящее время редакция занята разработкой вопроса о
подготовке к изданию такого целиком советского общетехнического
справочника и надеется провести эту работу в кратчайший срок.
Переходя к особенностям настоящего издания Hutte,
необходимо отметить прежде всего, что крупные успехи научно-технических
исследований за последние годы не могли не оказать влияния — и
часто глубокого — на работу инженера на производстве, на
обработку материалов, на конструирование и методы постройки и,
наконец, на само руководство промышленными предприятиями.
В настоящем издании это развитие техники учтено: все разделы
подверглись тщательной переработке и целый ряд вопросов
обработан заново.
Наиболее важные дополнения I тома кратко перечислены
в настоящем предисловии и в предисловиях ко II и III томам.
При расположении материала справочника преследовалась цель
дать наиболее легкую ориентировку в нем. Применение нонпарели
для примеров и пояснений конструкций и т д. вызвано стремлением
усилить практическую часть справочника.
Чтобы обеспечить быстрое нахождение нужного материала,
в начале каждого тома дается систематизированное его содержание
и в конце — алфавитный указатель. Кроме того, в IV томе будет
помещен общий алфавитный указатель/ Нововведением также
является помещение перед каждым самостоятельным разделом крат-

Предисловие
V
кого содержания, позволяющего быстро отыскать те главы, формулы
и таблицы, которыми приходится пользоваться особенно часто.
Расположение материала в этом издании и разбивка его по
томам в основном остались прежними, но для удобства пользования
справочником первые два тома немецкого издания разбиты на три
тома и, кроме того, как указывалось выше, дан еще один
дополнительный том ОСТ и технических условий в виде приложения ко
всем предыдущим томам (в основном ко II тому). Уменьшением
объема каждого тома редакция стремилась достичь большей
портативности справочника. *
Первый том содержит, как и в предыдущих изданиях,
вспомогательные разделы техники, т. е. теоретические основы, которые
заканчиваются во II томе, посвященном в основном
машиностроению, и III — машиностроению и электротехнике.
Содержание I тома. Все разделы I тома 26 немецкого издания
подверглись тщательной переработке.
В отделе „Математика* сильно расширены математические
таблицы. Таблица степеней, корней, логарифмов, обратных величин,
длин окружностей и площадей круга продолжена теперь до 1500,
тогда как в прежних изданиях она заканчивалась на 1000. Вновь
составленные указания к пользованию математическими таблицами,
дающие также способы уточнения табличной разности и нахождения
промежуточных значений, расширяют возможности использования таблиц.
В главе .Расчет сложных процентов и рент* добавлена таблица,
позволяющая определить капитал при значении годовых процентов
от 3 до 10.
Кроме того, этот отдел дополнен главами о диференциальных
уравнениях с частными производными, вариационным исчислением
и краткими сведениями из теории математической статистики.
В главе „Интегральное исчисление* дополнены разделы
определенных интегралов, особенно употребительных в практических
вычислениях при расчетах.
Отдел „Механики* также значительно переработан, В главе
.Механика твердого тела" даны более подробные сведения об
ускорении Кориолиса и об ударе. В „Механику подобия" вновь
включена глава о термодинамическом подобии.
Особенно глубоко проработан раздел „Гидравлика и аэродина-
мика", из которого сделано два раздела: „Механика неупругих
(несжимаемых) жидкостей* и „Механика упругих (сжимаемых)
жидкостей". Последний раздел посвящен прежде всего определению
явлений течения при скоростях, близких к скорости звука и
превышающих эту скорость. Далее введена новая глава, посвященная
гидравлическому удару. Для того чтобы облегчить выполнение
наиболее часто встречающихся в этом разделе вычислений, даются
номограммы, а также приводятся пояснительные числовые примеры.
Это относится главным образом к номограммам по расчету
трубопроводов.
Что касается раздела „Прикладная механика", то редакционная
коллегия сочла необходимым, дать этот раздел, взамен немецкого

VI
Предисловие
текста, в совершенно оригинальной советской трактовке, как
принято прикладную механику излагать в советских технических
втузах и советской технической литературе, т. е. сообщить этому
разделу максимально практический характер, взамен теоретического
немецкого.
Раздел „Механика пластических деформаций* перенесен в отдел
„Сопротивление материалов", поскольку этот раздел непосредственно
связан с указанной дисциплиной.
Отдел „Техническая физика" сильно увеличен. Здесь
прежде всего сделана попытка внести однообразие в систему
определений путем сопоставления понятий о механических и электрических
колебаниях, их знаках, единицах измерения и названий. Определение
чисел собственных колебаний представлено более наглядно, дается
подробное описание графического способа, а также приведены
примеры на определение колебаний рам, мембран и пластинок. Новой
является и глава об измерении интенсивности звука: для облегчения
акустического расчета больших помещений приведены формулы и
диаграммы. Глава „Защита от сотрясений и звукопередачи"
значительно расширена. В главе „Оптика* дополнена прежде всего
фотографическая часть; новые таблицы позволяют графическое
нахождение отраженного луча.
В отделе „Теплота" дан раздел „Теплопередача". Глава
„Совершенные газы" также переработана и дополнена таблицами.
В главе „Пары" данные о смеси воздуха и водяного пара
приводятся в переработанном виде. Законы смеси воздуха и водяного
пара даются подробно, причем вновь добавлена диаграмма ix. Точно
так же новой является и таблица о насыщенном паре углекислоты.
Проделанная за последние годы исследовательская работа в области
сгорания потребовала включения основных сведений о сгорании,
зажигании и взрыве.
В отдел „Техника измерений" вошли данные по
нормализации измерений при помощи диафрагм и насадков; глава
„Взвешивание" ' вновь переработана. Отдел пополнен главой об измерении
колебаний.
Отдел „Геодезия", в целях приближения материала к
советскому читателю, написан совершенно заново, с учетом советской
геодезической практики и требований, предъявляемых к землемеру.
Значительному расширению подвергся отдел „Приложение",
который содержит теперь не только таблицы монет, мер и весов
различных стран, но также и сравнительные таблицы пересчета
иностранных мер и весов. Кроме того, приведено большое количество
новых таблиц для пересчета метрических мер в английские, старые
русские, японские, китайские и др. и обратно. При этом, помимо
единиц измерения длины, площадей и объемов — таблицы пересчета
даются и для единиц скоростей и энергии. Новыми также являются
таблицы, позволяющие быстрый подсчет объемов газа [ (1 -f- at), 1/(1 -f-
4- at) и т. д.]. В конце, как и в прежних изданиях, даются выдержки
из патентных законов важнейших стран мира; кроме того,
приведены извлечения из правил и инструкций об изобретениях в СССР.

Предисловие»
VTI
Обработка материала и просмотр справочника был проведен
с максимальной тщательностью, но все же в отдельные места
могли вкрасться неточности, ошибки, опечатки. За все указания
о необходимых исправлениях редакция заранее приносит
благодарность и просит все замечания направлять по адресу: Москва,
Пушечная, 9, Госмашметиздат,
^ Редакторами и авторами отделов I тома являлись:
1. Математики — проф. И. И. Привалов.
2. Механики (теорет. и прикл.) — проф. А. П. Малышев.
Гидроаэромеханики — инж. В. Л. Александров.
3. Технической физики — проф. В. Д. Зернов.
4. Теплоты — проф. Л. П. Смирнов.
5. Геодезии — проф. П. М. Орлов.
6. Техники измерений 1 „TTW п а Гл#%.„
7. Приложения | инж' С Я ГеРш-
Первый том, как и все последующие, составлялся под общей
редакцией редакционной коллегии в составе: инж. В. К.
Запорожца (отв. редактор), проф. С. И. Курбатова, проф. С. Ф.
Лебедева и инж. Н. Л. Мануйлова.
Техническое оформление издания производилось техническими
редакторами Л. Т. Васильевым и Я. Я. Бычковым, корректуру
держали А. Б. Пахман, С. Ф. Морошкин и А. Н. Ошер, выпускающим
состоял Ф. X. Артюхов.
Общее руководство изданием в целом выполнено зам. зав.
издательством Р. В. Галинскими.
Редакция отмечает исключительно четкую и напряженную
работу всего коллектива типографии им. Евгении Соколовой
в Ленинграде, где производилось печатание справочника, в
особенности в отношении чрезвычайно трудного и ответственного набора
книги и изготовления для него совершенно новых шрифтов.
Редакционная коллегия.

Оглавление
тома I
I ОТДЕЛ
Математика
Стр.
I Таблицы 2
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности и площади круга • . . . 2
„ 2. Мантиссы обыкновенных логарифмов 32
„ 3. Круговые функции 34
„ 4. Круговые, показательные и гиперболические функции .... 38
5. Объемы шара для диаметров d от 1 до 200 42
„ 6. Длина дуги, стрелка, длина хорды и илощадь сегмента для
радиуса, равного 1 43
„ 7. Длина дуги круга при радиусе, равном 1 45
„ 8. Перевод 90° деления квадранта в 100° 49
„ 9. Эллиптические интегралы 50
и 10. "Коэфициент бинома ( 1 ) ДО ( де) •• 51
„ 11. Квадратные и кубические корни некоторых дробей 51
„ 12. Часто встречающиеся числовые значения 51
„ 13, Кратные я и 1: я 52
„ 14. Некоторые степени, факториалы и обратные величины ... 52
Указания к пользованию таблицами 52
II. Арифметика и алгебра 61
A. Степени, корни, логарифмы 61
B. Теория соединений 65
C. Определители (детерминанты) 66
D. Уравнения 68
E. Расчет сложных процентов и рент 72
F. Ряды (конечные) 73
О. Бесконечные ряды, в частности, степенные 75
III. Круговые и гиперболические функции 80
A. Круговые (тригонометрические) функции 80
B. Плоские треугольники 84
C. Сферические треугольники 87
D. Гиперболические функции 88
E. Соотношения между круговыми, гиперболическими, показательными
функциями и их обратными величинами в комплексной форме ... 90
IV. Диференциальное и интегральное исчисления . . 91
A. Предел, непрерывность, диференцируемость 91
B. Производные и диференциалы . • 92
С. Ряды Тэйлора и Маклорена 95
D. Раскрытие неопределенностей 96
E. Наибольшие и наименьшие значения 97
F. Неопределенные интегралы 98
G. Обыкновенные диференциальные уравнения . 115
Н. Диференциальные уравнения с частными производными 121
I. Вариационное исчисление , .... 127

Or ттавлеиив ту
Стр.
V. Аналитическая геометрия и диференциальнвя
геометрия........ 128
A. Точка и прямая линия в плоскости 128
B. Плоские кривые •....• 131
C. Точка, прямая линия и плоскость в пространстве 157
D. Кривые двойной кривизны 163
E. Кривые поверхности 167
VI. Векторный анализ.... 174
VII. Комплексные числа и векторы плоскости,
функции комплексной переменной, конформное
изображение ' . • • 192
VIII. Практическая математика 200
A. Численные расчеты .,.. * 200
B. Номография 203
C. Теория вероятностей и теория ошибок при наблюдениях 209
D. Интерполяционное и разностное исчисление, аналитическое
представление табличных функций «... 215
E. Численные графические и механические методы практического
анализа 218
F. Тригонометрические ряды (Фурье) и гармонический анализ 228
О. Параллельная перспектива 234
XI. Площади, объемы и поверхности тел 236
II ОТДЕЛ
Механика
I. Механика твердых тел 247
A. Основные понятия механики 247
a) Единицы и системы мер 247
b) Векгор положения, скорость и ускорение 248
c) Сила и масса 249
d) Материальная точка и основное уравнение динамичи 251
e) Момент силы и пара сил 252
f) Ра.бота и мощность 254
g) Живая сила, или кинетическая энергия 255
B. Статика 256
a) Основные законы 256
b) Сложение и разложение сил, приложенных к твердому телу . . 257
c) Определение реакций опор 275
d) Равновесие сил, действующих на нить 277
e) Закон работы. Принцип виртуальных перемещений 280
f) Виды равновесия 283
C. Центр массы и момент массы второго порядка 285
a) Центр массы и центр тяжести 285
b) Моменты инерции и моменты центробежные # . . . 293
D. Теория движения (кинематика) 305
a) Движение точки 305
b) Движение твердого тела «... • 313
c) Относительное движение 324
d) Плоское движение 326
E. Динамика .' 332
a) Динамика материальной точки • . . . 3^2
b) Динамика системы материальных точек 341
c) Динамика твердого тела 349
d) Удар твердых тел 367

X
Оглавление
Стр.
II. Прикладная механика 363
A. Механизмы • ,. 363
a) Определения 363
b) Основной метод построения механизма 364
c) Преобразование механизмов 365
d) Изменение формы звеньев 366
e) Анализ и синтез механизма 368
B. Структура механизмов 369
а^ Состав механизма 369
b) Структурный анализ механизма 371
c) Синтез кинематической схемы механизма 374
C. Кинематика механизмов 375
I. Методы кинематического исследования механизмов 375
a) Метод засечек 375
b) Кинематические диаграммы (S, /), (v, f), (д, f) 376
c) Графическое диференцирование 377
d) Графическое интегрирование 379
e) Разметка путей точек механизмов методом круговых линеек . . 380
f) Построение планов скоростей и ускорений для плоских
механизмов ф. . 383
II. Передачи 393
a) Зубчатые передачи 393
b) Кулаки и эксцентрики 393
c) Редукторы скорости 401
D. Динамика механизмов 407
I. Трение в машинах 407
a) Сопротивление при относительном движении тел, прижатых
друг к другу 407
b) Сущность явления трения сухих и слабо смазанных тел 408
c) Сущность явления трения хорошо смазанных тел 414
d) Вычисление трения в разных деталях машин . . • 417
e) Трение в частях передач 419
f) Сопротивление при катании тел 423
g) Сопротивление шариковых и роликовых подшипников 425
п) О движении без трения - 426
П. Инерция в машинах 427
a) Разбивка и приведение масс 427
b) Уравновешивание масс на аалу 431
III. Механика подобия или теория моделей 433
A. Статическое подобие 434
B. Динамическое подобие 434
IV. Механика капельных жидкостей (гидромеханика) 443
А. Свойства жидкостей и газов 443
В Гидростатика " 446
а) Основные законы 446
, Ь) Гидростатическое давление, поддерживающая сила 446
c) Статическая устойчивость плавающих и погруженных в
жидкость тел 448
C. Гидродинамика ' # # # 449
a) Общие понятия ....*' * 449
b) Течения с потенциалом скорости . • 455
c) Течения с потерей энергии *...'.' 462
d) Движение воды в почве ' 482
e) Сопротивление тел \ 484
f) Жидкие струи ] \ 496
g) Крылья и воздушные випты \ 505

Оглавление XI
Стр.
V. "Механика сжимаемых жидкостей (аэромеханика) 518
A. Аэростатика 519
a) Основные законы 519
b) Статика атмосферы 520
B. Динамика газа 523
a) Движение газов по трубам переменного сечения и общие законы 523
b) Плоское течение при скоростях порядка ниже звуковой.
Правило Прандтля 528
c) Движение сжимаемой жидкости со сверхзвуковой скоростью . . 529
C. Гидравлический удар 535
III ОТДЕЛ
Техническая физика
I. Колебательный процесс 539
A. Предварительные замечания 539
B. Простой колебательный комплекс 542
C. Связанные колебательные комплексы 546
D. Область частот 548
II. Расчет собственных частот механических
комплексов 550
A. Общие сведения 550
B. Маятник. Струны и воздушные столбы 551
C. Стержни, валы 552
a) Число колебаний при изгибании 552
b) Колебания при скручивании 555
D. Фундаменты 557
E. Мембраны 559
F. Пластины 560
III. Акустика 563
A. Акустическое поле 563
B. Акустические аппараты 565
C. Область частот, употребляемых в речи, музыке и пении 570
D. Измерение интенсивности звука 572
E. Акустика больших помещений 573
IV. Защита от сотрясения и передача звука 576
A. Сотрясения и почвенные колебания 576
B. Звуковые колебания 582
V. Оптика 585
A. Основы 585
B. Отражение и преломление 587
a) Общие сведения 587
b) Линзы 590
c) Призмы 591
C. Оптические инструменты 592
а) Осветигельные приспособления 592
Ы Лупы, микроскопы, зрительные трубы 593
c) Фотографическая оптика 594
d) Измерительные инструменты 597
D. Поляризация 598
E. Интерференция 600

XII
Оглавтгеттб
IV ОТДЕЛ
Теплота
Стр.
I. Общие тепловые свойства тел 603
A. Температура 603
B. Расширение тел от теплоты 605
C. Теплоемкость (удельная теплота) 607
D. Температура смесей 610
E. Изменение строения тел от теплоты 611
II. Передача теплоты 614
A. Теплопроводность 614
B. Конвекция 622
a) Принужденное движение тепла 622
b) Свободное движение 630
c) Особые случаи 632
C. Прохождение тепла (теплоперепад) 634
a) Прохождение тепла (теплоперепад) при переменных
температурах жидкостей 635
b) Прохождение тепла через стенки, снабженные поперечными
ребрами • 4 . 637
D. Излучение тепла 637
E. Передача тепла путем конвекции, теплопроводности и излучения . 642
III. Основные законы термодинамики 643
a) Два основных закона термодинамики 643
b) Полезная работа 645
c) Формулы, основанные на обоих главных законах 645
d) Графические изображения 646
IV. Совершенные газы 647
a) Смеси газов • 653
b) Особые случаи изменения состояния 654
c) Особые рабочие процессы 657
V. Пары 661
a) Насыщенный пар 663
b) Перегретый пар (несовершенный газ) . . . . • 664
c) Смесь воздуха и водяного пара (влажный воздух) 680
d) Применение к теории паровой мащины 686
e) Аккумулирование водяного пара 688
f) Применение термодинамики к теории холодильных машиа . . . 690
VI. Движение газов и паров 698
a) Истечение 700
b) Движение газов и паров по трубопроводам 708
c) Мятие (дросселирование) 712
VII. Горение 714
a) Сгорание, вспышка, быстрота распространения вспышки, вчрыв 714
b) Единицы мер и обозначения 722
c) Расчет потребного для полного сгорания количества кислорода
и воздуха, а также количества и состава отходящих газов . . 723
d) Соотношения между составом топлива и составом сухих
дымовых газов, избытком воздуха и количеством отходящих газов . 726
e) Теплотворная способность (теплота горения). ." 729
f) Сгорание углерода и водорода 731
g) Температура сгорания 734
п) Горение, температура воспламенения, пределы и скорость
воспламенения 737
1) Газообразование (газогенераторный процесс) 740

Оглавление XIII
V ОТДЕЛ
Геодезия
Стр.
I. Введение 750
a) Организация в СССР геодезических и изыскательных рябот . . 750
b) Картографические работы в CCCiJ 751
c) Линейные меры 754
d) Угловые меры 754
II. Горизонтальная съемка 755
A. Обозначение точек и линий на местности 755
B. Способы съемок 756
C. Приборы для измерения линий и работа с ними 757
D. Угломерные инструменты 761
a) Главные части угломерных инструментов 761
b) Теодолит „. . . 762
c) Буссоль с диоптрами 769
d) Астролябия с диоптрами и трубой 770
e) Пантометр и гониометр 770
f) Экеры 770
g) Эклиметры 770
E. Измерение угла, ошибки его и точность 771
F. Ориентирование съемки 774
a) Общие данные 774
b) Определение истинного меридиана ..- 776
О. Различные случаи съемок 778
Н. Вычислительные и чертежные работы по составлению планов . '. '. 781
a) Составление плана по румбам '.'.'. 781
b) Составление плана по координатам !".!!!!!! 784
I. Вычисление площадей * . . . 790
III. Вертикальная съемка 793
A. Техническое (геометрическое) нивелирование 793
a) Продольное нивелирование 801
b) Поперечное нивелирование 804
c) Точное (прецизионное) нивелирование 806
d) Рельеф, горизонтали и их проведение 810
B. Тригонометрическое нивелирование 812
C. Барометрическое нивелирование * 813
D. Точность технического нивелирования, составление профиля .... 815
E. Разбивка кривых • 818
IV. Тригонометрическая сеть 819
A. Значение тригонометрической сети 819
B. Измерение базисов и углов 820
C. Географические координаты 824
D. Вычисление тригонометрической сети 826
V. Совместные съемки 826
A. Мензульная топографическая съем::я 826
B. Тахиметрическая съемка 828
C. Начемная фотосъемка 829
D. Аэрофотосъемка 830
VI. Стоимость геодезических работ 832
a) Инструкции 831
b) Сметы и нормы па геодезические работы , 832

XIV
Оглавление
VI ОТДЕЛ
Техника измерений
Стр.
Введение 835
I. Число оборотов машин; колебания 835
a) Измерение числа оборотов 835
b) Измерение механических колебаний 836
II. Измерения давления 837
III. Измерение количеств 840
A. Весы 840
B. Измерение расхода жидкостей 842
a) Измерение и взвешивание постоянно текущих или расходуемых
количеств 842
b) Водомеры для установки в трубопроводах 843
c) Отверстие истечения 844
й) Отверстие протока 844
e) Измерения с запрудами 844
f) Измерение помощью щита 845
g) Определение количеств из распределения скоростей 846
C. Измерение расхода газа 847
D. Измерение расхода пара 852
IV. Измерение мощности 856
V. Измерение теплоты ••• 861
A. Температура • 861
B. Количество тепла 865
IV. Измерения в технике сгорания 870
A. Определение теплопроизводительности 870
B. Анализ газа 871
Приложение
I. Таблица монет 877
П. Меры и веса различных стран 888
III. Сравнительные таблицы и таблицы перевода мер
и весов 914
A. Меры длины 914
B. Меры площадей 926
C. Мвры объемов и емкостей 930
D. Веса 937
Б. Веса на единицу длины 941
F. Веса на единицу площади 944
О. Веса на единицу объема (удельный вес) 948
Н. Скорости 952
I. Энергия 954
J. Объем газа 960
IV. Законы для защиты промышленной
собственности 966
Алфавитный указатель
Алфавитный указатель к I тому 98°

ЗАМЕЧЕННЫЕ ОПЕЧАТКИ
к I тому справочник* „Hutte"
Страница
21
26
26
26
26
28
29
30
31
31
49
60
63
88
108
137
183
216
219
243
269
297
303
487
505
557
563
6U6
608
608
610
612
613
617
624
Строка
1 сниву, 3 столбец
П - 2 .
1 . 4 „
1 - 5
17 „ 8 .
23 „ 3 п
2 „ 3 .
33 „ 4
13 сверху, 3 „
20 „ 2
Табл. 8. угол 5°20'
1 снизу
9 п
< 10 .
3 снизу
И сверху
1 снизу
2 „
19 „
формула объема
крестового свода
6 сверху
1 ■
10 снизу
табл. 15, вторая
колонка справа вверху
15 снизу
2 сверху
19 снизу
19 сверху, табл. 4,
колонка 3
табл. для ст,
столбец 6 слева
15 сверху
15 снизу, табл. 13
9 сверху п 15
18 „ „ 18
7 сверху
14 сверху, табл. 6
Напечатано
100 000 003
1 537 609
35,3575
10,3722
3476,7
2 242 039 552
2 738154 199
37,6553
3 105 745 679
2 149 456
5,9252
40., 85,837
* « 0,9939а +
— sin 0 sin cda
!-
а
2
*22
dA
dz
Х—Х0 _ 6*у9
1! Ла
АО0
(2ЯД + А')
Р
(Л)
J
3,3
ГЛ2
cn\J
см сек ~"2
25
—
0,0069-12
1,400
98,07
1,250
ГФ
L - 0,05
Должно быть
1000 0G0C00
1537 600
35,3553
10,7722
3876,7
2 342 039 552
2 738 124 1S9
37,6563
3 105 745 579
2 149 156
5,9259
40,8.5,837
« 0,939а +
+ sin В sin cda
с
/-
а
<
dAy
~~~dT
X—Xq A2V0
11 + ft5
OA0
(2#Д- A»)
1
(Л),
J9
0,3
V**2
Cn/Jm3
см сек~^
12,5
Запятую во всех
числах столбца перенести
на один знак влево
(т. е. вместо 10,113
надо 1,0113 и т. д.)
0,006912.
1400
99,07
1250
ГФ
£—0,05 (в0 ВСех
колонках таблицы)

Страница
624
630
66i
Ь4Э
649
704
726
734
734
7.8 .
812
813
869
863
883
884
914
918
920
920
920
921
923
924
925
928
948
Строка
9 снизу, табл. 7
8 сверху
10 *
8 онизу
1 я
5 снизу, табл. 2
3 снизу
14 сверху
15 „
5
16 снизу
10 „
3 сверху
7 „
1-я колонка, 7-я строка
снизу
1-я колонка, 16-я строка
снизу
5 снизу
табл. 4, а) 2-й столбец
слева
табл. 8, 2-я строка
сверху
то же
табл. 8, d-й столбец
слева
табл. 8, 1 -й столбец
слева, 14-я стр. свеоху
табл И, 3-й столбец
слева
табл. 14 а) 2-й столбец
справа
табл. 15 Ь) 2-й столбец
слева
табл. 22 Ь) 6-й
столбец слева
табл. 64 Ь) 3-й
столбец слева
Напечатано
d - 0,16
% 1
(1/Q j
CxHe |
i Ф* = !
— CCV p.79 CO,
COa
CO,
CO,
+ d*R
= d\g
стр. 869
354
2Э0 '
20
6 фут =s
48,480
2«
15/ie
280,08
1182,1
34,8268
35,1376
4.44Я44
32,1201
j 44,3227
Должно быть
j— 0,16 (В0 всех колон.,
ках таблицы)
8
(?<*
с,нв
Ф,-1
- CO„)tf>.79 СО,
СО
СО
СО
+ *№
стр 665
3,54
20
200
1 фут =
48,280
ь*
,5/l«
280,98
П81Д
35,826Г
34.1376
4,49944
31,1201
| 44,3237

I ОТДЕЛ
Математика
Составил проф. д-р Рудольф Р о т э, Берлин, при участии д-ра Иоганнеса Штейна
Перевод и дополнения под редакцией проф. И. И. Привалова
Стр.
I. Таблицы
Степени, корни, натуральные
логарифмы, обратные величины,
окружности и площади круга . 2
Мантиссы обыкновенных
логарифмов 32
Круговые функции 34
Круговые, показательные и
гиперболические функции 38
^Объемы шара 42
Длина дуги, стрелка, длина хорды
и площадь сегмента 43
Длина дуги круга 45
Перевод 90° деления квадранта
в 100° 49
Эллиптические интегралы 50
Коэфициенты бинома; квадр. и
кубич. корни некоторых дробей;
часто встречающиеся числовые
значения 51
Кратные к и 1 : к; некоторые
степени, факториалы и обратные
величины; указания к пользованию
таблицами 52
II. Арифметика и алгебра
Степени, корни, логарифмы .... 61
Теория соединений 65
Определители (детерминанты) ... 66
Уравнения 68
Расчет сложных процентов и рент 72
Ряды (конечные) 73
Бесконечные ряды 75
III. Круговые и
гиперболические функции
Круговые функции 80
Плоские треугольники 84
Сферические треугольники ... 87
Гиперболические функции .... 88
Показательные функции 90
IV. Диференциальное и
интегральное исчисление
Предел, непрерывность, диферен-
цируемость 91
Стр.
Производные и диферендиалы . . 92
Ряды Тэйлора и Маклорена .... 95
Раскрытие неопределенностей . . 96
Наибольшие и наименьшие
значения 97
Неопределенные интегралы .... Ь8
Обыкновенные диференциальные
уравнения 115
Диференциальные уравнения
с частными производными ... 121
Вариационное исчисление . . . . . 127
V. Аналитическая геометрия и
диференциальная геометрия
Точка и прямая линия в плоскости 128
Плоские кривые 131
Точка, прямая линия и плоскость
в пространстве 157
Кривые двойной кривизны .... 163
Кривые поверхности 167
VI. Векторный анализ 174
VII. Комплексные числа и
векторы плоскости, функции
комплексной переменной,
конформное изображение . 192
VIII. Практическая математика
Численные расчеты 200
Номография 203
Теория вероятностей и теория
ошибок при наблюдениях . . . 209
Интерполяционное и разностное
исчисление 215
Численные, графические и
механические методы практического
анализа 218
Тригонометрические ряды (Фурье)
и гармонический анализ .... 228
Параллельная перспектива .... 234
IX. Площади, объемы и
поверхности тел
Площади плоских фигур 236
Объемы и поверхности тел .... 239

I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности и площади круга
л
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12*
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
зе
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
л»
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
121
JL44-
1&V
196
2 25
2 56
2 89
3 24
3 61
400
4 41
4 84
5 29
5 76
625
6 76
7 29
784
8 41
900
9 61
10 24
10 89
1156
12 25
12 96
13 69
14 44
15 21
16 00
16 81
17 64
18 49
19 36
20 25
21 16
22 09
2304
24 01
25 00
л*
1
8
27
64
125
216
343
512
729
1000
1331
1728
2197
2 744
3 375
4096
4 913
5 832
6 859
8000
9 261
10 648
12 167
13 824
15 625
17 576
19 683
,21952
24 389
27 000
29 791
32 768
35 937
39 304
42 875
46 656
50 653
54 872
59 319
' 64 000
68 921
74 088
79 507
85 184
91 125
97 33В
103 823
110 592
117 649
125 000
у»-_
1,0000
1,4142
щт
2,0000
2,2361
2,4495
2,6458
2,8284
3,0000
3,1623
3.3166
3,4641
3,6056
3,7417
3,8730
4,0000
4.1231
4,2426
4,3589
4.4721
4,5826
4,6904
4,7958
4,8990
5,0000
5,0990
5,1962
5,2915
5,3852
5,4772
5,5678
5,6569
5,7446
5,8310
5,9161
6,0000
6,0828
6,1644
6,2450
6,3246
6,4031
6,4807
6,5574
6,6332
6,7082
6,7823
6,8557
6,9282
7,0000
7,0711
уГп.
1,0000
1,2599
\) 1,4422
1,5874
1,7100
1,8171
1,9129
2,0000
2,0801
2,1544
2,2240
2,2894
2,3513
2,4101
2,4662
2,5198
2,5713
2,6207
2,6684
2,7144
2,7589
2,8020
2,8439
2,8845
2,9240
2,9625
3,0000
3,0366
3,0723
3,1072
ЗЛ414
3,1748
3,2075
3,2396
3,2711
3,3019
3,3322
3,3620
3,3912
3,4200
3,4482
3,4760
| 3,5034
1 3,5303
3,5569
3,5830
3,6088
3,6342
3,6593
3,6840
In л
0,00000
0,69315
1,09861
1,38629
1,60944
1,79176
1,94591
2,07944
2,19722
2,30259
2,39790
2,48491
2,56495
2,63906
2,70805
2;77259
2,83321
2,89037
2,94444
2,99573
3,04452
3,09104
3,13549
3,17805
3,21888
3,25810
3,29584
3,33220
3,36730
3,40120
3,43399
3,46574
3,49651
3,52636
3,55535
3,58352
3,61092
3,63759
3,66356
3.68888
3,71357
3,73767
3,76120
3,78419
3,80666
3,82864
3,85015
3,87120
3,89182
3,91202
1000
л
1000,000
500,000
333,333
250,000
200,000
166,667
142,857
125,000
111,111
100,000
90,9091
83,3333
76,9231
71,4286
66,6667
62,5000
58,8235
55,5556
52,6316
50,0000
47,6190
45,4545
43,4783
41,6667
4о,оооа.
38,4615
37,0370
35,7143
34,4828
33,3333
32,2581
31,2500
30,3030
29,4118
28,5714
27,7778
27,0270
26,3158
25,6410
25,0000
?4,3902
23,8095
23,2558
22,7273
22,2222
21,7391
21,2766
20^333
20,4062
20,0000
пп
3,142
6,283
9,425
12,566
15,708
18,850
21,991
25,133
28,274
31,416
34,558
37,699
40,841
43,982
47,124
50,265
53,407
56,549
59,690
62,832
65,973
69,115
72,257
75,398
78,540
81,681
84,823
87,965
91,106
91,24$
97.389
100,531
103,673
106,614
109,956
113,097
116,239
119,381
122,522
125,66
128,81
131,95
135,09
138,23
141.37
144,51
147,65
150,80
153,94
157,08
тх л*
4
0, 78 54
3, 14 16
7, 06 86
12,56 64
19,63 50
28,27 43
38,48 45
50,26 55
63, 61 73
78, 53 98
95, 03 32
1 13, 09 7
1 32, 73 2
153,938
1 76, 71 5
2 01, 06 2
2 26, 98 0
2 54, 46 9
2 83, 52 9
3 14,15 9
3 46, 36 1
3 80,13 3
4 15, 47 6
452,389
4 90, 87 4
5 30, 92 9
5 72, 55 5
6 15, 75 2
6 60,520
7 06, 85 8
7 54, 76 8
8 04, 24 8
855,299
907,920
9 62, И 3
10 17, 88
10 75, 21
11 34,11
1194,59
12 56,64
13 20,25
13 85,44
14 52,20
15 20,53
15 90,43
16 61,90
17 34,94
18 09,56
18 85,74
19 63, 50
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
и
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50

Таблица
3
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
веЛИЧИНЫ, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
л
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
I?
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
л*
25 00
26 01
27 04
28 09
29 16
30 25
3136
32 49
33 64
34 81
36 00
37 21
38 44
39 69
40 96
42 25
43 56
44 89
46 24
47 61
49 00
50 41
5184
53 29
54 76
56 25
57 76
59 29
60 84
62 41
64 00
65 61
67 24
68 89
70 56
72 25
73 96
75 69
77 44
79 21
8100
82 81
84 64
86 49
88 36
90 25
92 16
94 09
96 04
98 01
100 00
л*
125 000
132 651
140 608
148 877
' 157 464
166 375
175 616
185 193
195 112
205 379
216 000
226 981
238 328
250 047
262 144
274 625
287 496
300 763
314 432
328 509
343 000
357 911
373 248
389 017
405 224
421 875
438 976
456 533
474 552
493 039
512 000
531441
551368
571 787
592 704
614 125
636 056
658 503
681 472
704 969
729 000
753 571
778 688
804 357
830 584
857 375
884 736
912 673
941 192
970 299
1000000
ут
7,0711
7,1414
7,2111
7,2801
7,3485
7,4162
7,4833
7,5498
7,6158
7,6811
7,7460
7,8102
7,8740
! 7,9373
8,0000
8,0623
8,1240
8,1854
8,2462
8,3066
8,3666
8,4261
8,4853
8,5440
8,6023
8,6603
8,7178
8,7750
8,8318
8,8882
8,9443
9,0000
9,0554
9,1104
9,1652
9,2195
9,2736
9,3274
9,3808
9,4340
9,4868
9,5394
9,5917
9,6437
9,6954
9,7468
9,7980
9,8489
9,8995
9,9499
' 10,0000
8
3,6840
3,7084
3,7325
3,7563
3,7798
3,8030
3,8259
3,8485
3,8709
3,8930
3,9149
3,9365
3,9579
3,9791
4,0000
4,0207
4,0412
4,0615
4,0817
4,1016
4,1213
4,1408
4.1602
4,1793
4,1983
4,2172
4,2358
4,2543
4,2727
4,2908
4,3089
4,3267
4,3445
4,3621
4,3795
4,3968
4,4140
4,4310
4,4480
4,4647
4,4814
4,4979
4,5144
4.5307
4,5468
4,5629
4,5789
4,5947
4,6104
4,6261
4,6416
In л
3,91202
3,93183
3,95124
3,97029
3,98898
4,00733
4,02535
4.04305
4,06044
4,07754
4,09434
4,11087
4,12713
4,14313
4,15888
4,17439
4,18965
4,20469
4,21951
4,23411
4,24850
4,26268
4,27667
4,29046
4,30407
4,31749
4,33073
4,34381
4,35671
4,36945
4,38203
4,39445
4,40672
4,41884
4,43082
4,44265
4,45435
4,46591
4,47734
4,48864
4,49981
4,51086
4,52179
4,53260
4,54329
4,55388
4,56435
4,57471
4,58497
4,59512
4,00517
1000
п
50,0000 i
19,6078
19,2308
18,8679
18,5185
18,1818
17,8571
17,5439
17,2414
16,9492
16,6667
16,3934
16,1290
15,8730
15,6250
15,3846
15,1515
14,9254
14,7059
14,4928
14,2857
14,0845
13,8889
13,6986
13,5135
13,3333
13,1579
12,9870
12,8205
12,6582
12,5000
12,3457
12,1951
12,0482
11,9048
11,7647
11,6279
11,4943
11,3636
11,2360
11,1111
10,9890
10,8696
10,7527
10,6383
10,5263
10,4167
10,3093
10,2041
10,1010
10,0000
К Л
157,08
160,22
163,36
166,50
169,65
172,79
175,93
179,07
182,21
185,35
188,50
191,64
194,78
197,92
201,06
204,20
207,35
210,49
213,63
216,77
219,91
223,05
226,19
229,34
232,48
235,62
238,76
241,90
245,04
248,19
251,33
254,47
257,61
260,75
263,89
267,04
270,18
273,32
276,46
279,60
282,74
285,88
289,03
292,17
295,31
298,45
301,59
304,73
307,88
311,02
314,16
5
4
19 63, 50
20 42,82
21 23, 72
22 06, 18
22 90, 22
23 75,83
24 63, 01
25 51, 76
26 42, 08
27 33, 97
28 27, 43
29 22, 47
30 19, 07
31 17, 25
32 16, 99
33 18, 31
34 21, 19
35 25, 65
36 31, 68
37 39, 28
38 48,45
39 59,19
40 71,50
41 85, 39
43 00, 84
44 17, 86
45 36, 46
46 56, 63
47 78, 36
49 01,67
50 26,55
51 53, 00
52 81, 02
54 10, 61
55 41, 77
56 74, 50
58 08, 80
59 44,68
60 82, 12
62 21, 14
63 61, 73
65 03, 88
66 47, 61
67 92, 91
69 39, 78
70 88, 22
72 38, 23
73 89, 81
75 42, 96
76 97, 69
78 53, 98
п
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100

Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩади Круга (Продолжение)
п
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
11$
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
1312
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
100 00
102 01
10404
106 09
10816
110 25
112 36
114 49
116 64
118 81
12100
123 21
125 44
127 69
129 96
132 25
134 56
136 89
139 24
14161
144 00
146 41
148 84
15129
153 76
1 56 25
158 76
1 6129
163 84
166 41
1 69 00
17161
174 24
176 89
179 56
1 82 25
1 84 96
1 87 69
19044
193 21
196 00
1 98 81
2 0164
2 04 49
2 07 36
2 10 25
2 13 16
2 16 09
2 19 04
2 22 01
2 25 00
я8
1000 000
1 030 301
1061208
1 092 727
1 124 864
1 157 625
1 191 016
1225 043
1 259 712
1295 029
1331000
1 367 631
1404 928
1 442 897
1481544
1 520 875
1 560 896
1 601 613
1643 032
1685159
1728 000
1 771 561
1 815 848
1 860 867
1906 624
1 953 125
2 000 376
2 048 383
2 097 152
2 146 689
2 197 000
2 248 091
2 299 968
2 352 637
2 406104
2 460 375
2 515 456
2 571 353
2 628 072
2 685 619
2 744 000
2 803 221
2 863 288
2 924 207
2 985 984
3048 625
3112 136
3 176 523
3 241 792
3307 949
3 375 000
ут
10,0000
10,0499
10,0995
10,1489
10,1980
10,2470
10,2956
10,3441
10,3923
10,4403
10,4881
10,5357
10,5830
10,6301
10,6771
10,7238
10,7703
10,8167
10,8628
10,9087
10,9545
11,0000
11,0454
11,0905
11,1355
11,1803
11,2250
11,2694
11,3137
11,3578
11,4018
11,4455
11,4891
11,5326
11,5758
11,6190
11,6619
11,7047
11,7473
11,7898
11,8322
11,8743
11,9164
11,9583
12,0000
12,0416
12,0830
12,1244
12,1655
12,2066
1 12,2474
-8
4,6416
4,6570
4,6723
4,6875
4,7027
4,7177
4,7326
4,7475
4,7622
4,7769
4,7914
4,8059
4,8203
4,8346
4,8488
4,8629
4,8770
4,8910
4,9049
4,9187
4,9324
4,9461
4,9597
4,9732
4,9866
5,0000
5,0133
5,0265
5,0397
5,0528
5,0658
5,0788
5,0916
5,1045
5,1172
5,1299
5,1426
5,1551
5,1676
5,1801
5,1925
5,2048
5,2171
5,2293
5,2415
5,Г536
5,1656
5,2776
5,2896
5,3015
5,3133
Inn
4,60517
4,61512
4,62497
4,63473
4,64439
4,65396
4,66344
4,67283
4,68213
4,69135
4,70048
4,70953
4,71850
4,72739
4,73620
4,74493
4,75359
4,76217
4,77068
4,77912
4,78749
4,79579
4,80402
4,81218
4,82028
4,82831
4,83628
4,84419
4,85203
4,85981
4,86753
4,87520
4,88280
4,89035
4,89784,
4,90527
4,91265
4,91Ь98
4,92725
4,93447
4,94164
4,94876
4,95583
4,96284
4,96981
4,97673
4,98361
4,99043
4,99721
5,00395
5,01064
1000
п
10,0000
9,90099
9,80392
9,70874
9,61538
9,52381
9,43396
9,34579
9,25926
9,17431
9,09091
9,00901
8,92857
8,84956
8,77193
8,69565
8,62069
8,54701
8,47458
8,40336
8,33333
8,26446
8,19672
8,13008
8,06452
8,00000
7,93651
7,87402
7,81250
7,75194
7,69231
7,63359
7,57576
7,51880
7,46269
7,40741
7,35294
7,29927
7,24638
7,19424
7,14286
7,092^0
7,04225
6,99301
6,94444
6,89655
6,84932
6,80272
6,75676
6,71141
6,66667
те п
314,16
317,30
320,44
323,58
326,73
329,87
333,01
336,15
339,29
342,43
345,58
348,72
351,86
355,00
358,14
361,28
364,42
367,57
370,71
373,85
376,99
380,13
383,27
386,42
389,56
392,70
395,84
398,98
402,12
405,27
408,41
411,55
414,69
417,83
420,97
424,12
427,26
430,40
433,54
436,68
439,82
442,96
446,11
449,25
452,39
455,53
458,67
461,81
464,96
468,10
471,24
~4~~
78 53,98
80 11,85
81 71,28
83 32,29
84 94,87
86 59,01
88 24,73
89 92,02
91 60,88
93 31,32
95 03,32
96 76,89
98 52,03
100 28,7
1 02 07,0
1 03 86,9
1 05 68,3
1 07 51,3
109 35,9
1 11 22,0
1 13 09,7
1 14 99,0
1 16 89,9
1 18 82,3
1 20 76,3
12271,8
1 24 69,0
1 26 67,7
1 28 68,0
1 30 69,8
1 32 73,2
1 34 78,2
1 36 84,8
1 38 92,9
1 41 02,6
1 43 13,9
1 45 26,7
1 47 41,1
149 57,1
1 51 74,7
1 53 93,8
1 56 14,5
158 36,8
1 60 60,6
1 62 86,0
1 65 13,0
1 67 41,5
1 69 71,7
1 72 03,4
174 36,6
176 71,5
п
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150

Таблица 1
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩади Круга (Продолжение)
л
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
К4
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
1Q9
200
Я»
2 25 00
2 28 01
2 3104
234 09
2 3716
240 25
2 43 36
2 46 49
2 49 64
2 52 81
256 00
2 59 21
2 62 44
2 65 69
268 96
2 72 25
275 56
2 78 89
2 82 24
2 85 61
2 89 00
2 92 41
2 95 84
2 99 29
302 76
306 25
3*09 76
313 29
316 84
3 20 41
3 2400
327 61
3 3124
334 89
338 56
342 25
345 96
349 69
353 44
3 57 21
36100
3 64 81
3 68 64
372 49
3 76 36
380 25
38416
388 09
3 92 04
3 96 01
400 00
л»
3 375000
3 442 951
3 511808
3581577
3 652 264
3 723 875
3 796 416
3 869 893
3 944312
4019 679
4096 000
4 173 281
4 251 528
4 330 747
4410 944
4 492 125
4 574 296
4 657 463
4 741632
4 826 809
4 913 000
5 000 211
5088 448
5 177 717
5 268 024
5 359 375
5 451 776
5 545 233
5 639 752
5735 339
5 832 000
5 929 741
6028 568
6 128 487
6 229 504
6331625
6434 856
6 539 203
6644 672
6 751269
6 859000
6 967 871
7 077 888
7 189 057
7 301384
7 414 875
7 529 536
7 645 373
7 762 392
7 880 599
8000 000
V*
12,2474
12,2882
12,3288
12,3693
12,4097
12,4499
12,4900
12,5300
12,5698
12,6095
12,6491
12,6886
12,7279
12,7671
12,8062
12,8452
12,8841
12,9228
12,9615
13,0000
13,0384
13,0767
13,1149
13,1529
13,1909
13,2288
13,2665
13,3041
13,3417
13,3791
13,4164
13,4536
13,4907
13,5277
13,5647
13,6015
13,6382
13,6748
13,7113
13,7477
13,7840
13,8203
13,8564
13,8924
13,9284
13,9642
14,0000
14,0357
14,0712
14,1067
1 14,1421
fir
5,3133
5,3251
5,3368
5,3485
5,3601
5,3717
5,3832
5,3947
5,4061
5,4175
5,4288
5,4401
5,4514
5,4626
5,4737
5,4848
5,4959
5,5069
5,5178
5,5288
5,5397 1
5,5505
5,5613
5,5721
5,5828
5,5934
5,6041
5,6147
5,6252
5,6357
5,6462
5,6567
5,6671
5,6774
5,6877
5,6980
5,7083
5,7185
5,7287
5,7388
5,7489
5,7590
5,7690
5,7790
5,7890
5,7989
5,8088
5,8186
5,8285
5,8383
1 5,8480
In л
5,01064
5,01728
5,02388
5,03044
5,03695
5,04343
5,04986
5,05625
5,06260
5,06890
5,07517
5,08140
5,08760
5,09375
5,09987
5,10595
5,11199
5,11799
5,12396
5,12990
5,13580
5,14166
5,14749
5,15329
5,15906
5,16479
5,17048
5,17615
5,18178
5,18739
5,19296
5,19850
5,20401
5,20949
5,21494
5,22036
5,22575
5,23111
5,23644
5,24175
5,24702
5,25227
5,^5750
5,26269
5,26786
5,27300
5,27811
5,28320
5,28827
5,29330
5,29832
1000
л
6,66667
6,62252
6,57895
6,53595
6,49351
6,45161
6,41026
6,36943
6,32911
6,28931
6,25000
6,21118
6,17284
6,13497
6,09756
6,06061
6,02410
5,98802
5,95238
5,91716
5,88235
5,84795
5,81395
5,78035
5,74713
5,71429
5,68182
5,64972
5,61798
5,58659
5,55556
5,52486
5,49451
5,46448
5,43478
5,40541
5,37634
5,34759
5,31915
5,29101
5,26316
5,23560
5,20833-
5,18135
5,15464
5,12821
5,10204
5,07614
5,05051
5,02513
5,00000
1С Л
471,24
474,38
477,52
480,66
483,81
486,95
490,09
493,23
496,37
499,51
502,65
505,80
508,94
512,08
515,22
518,36
521,50
524,65
527,79
530,93
534,07
537,21
540,35
543,50
546,64
549,78
552,92
556,06
559,20
562,35
565,49
568,63
571,77
574,91
578,05
581,19
584,34
587,48
590,62
593,76
596,90
600,04
603,19
606,33
609,47
612,61
615,75
618,89
622,04
625,18
1 628,32
ял*
4
176 71,5
1 79 07,9
1 81 45,8
183 85,4
1 86 26,5
1 88 69,2
1 91 13,4
1 93 59,3
196 06,7
198 55,7
2 01 06,2
2 03 58,3
2 06 12,0
2 08 67,2
2 И 24,1
2 13 82,5
2 16 42,4
2 19 04,0
2 21 67,1
2 24 31,8
2 26 98,0
2 29 65,8
2 32 35,2
2 35 06,2
2 37 78,7
2 40 52,8
2 43 28,5
2 46 05,7
2 48 84,6
2 51 64,9
2 54 46,9
2 57 30,4
2 60 15,5
2 63 02,2
2 65 90,4
2 68 80,3
2 7171,6
2 74 64,6
2 77 59,1
2 80 55,2
2 83 52,9
2 86 52,1
2 89 52,9
2 92 55,3
2 95 59,2
2 98 64,8
30171,9
3 04 80,5
3 07 90,7
3 11 02,6
3 14 16.9
п
150
151
152
153
154
155
156
157
-158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200

6
Т. I. Отд. 1. Математика. I Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВелИЧИНЫ, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
л
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
я»
400 00
4 04 01
4 08 04
4 12 09
41616
4 20 25
4 24 36
4 28 49
4 32 64
4 36 81
4 4100
4 45 21
4 49 44
4 53 69
4 57 96
4 62 25
4 66 56
470 89
4 75 24
4 79 61
484 00
4 88 41
4 92 84
4 97 29
5 0176
5 06 25
510 76
515 29
519 84
5 24 41
5 29 00
5 33 61
5 38 24
5 42 89
5 47 56
5 52 25
5 56 96
5 6169
566 44
5 7121
5 76 00
5 80 81
5 85 64
590 49
595 36
600 25
60516
610 09
615 04
6 20 01
625 00
Я8
8000 000
8 120 601
8 242 408
8 365 427
8 489 664
8 615 125
8 741 816
8 869 743
8 998 912
9 129 329
9 261000
9 393 931
9 528 128
9 663 597
9 800 344
9 938 375
10 077 696
10 218 313
10 360 232
10 503 459
10 643000
10 793 861
10 941048
11089 567
11239 424
11390 625
11543176
11697 083
11852 352
12 008 989
12 167 000
12 316391
12487 168
12 649 337
12 812 904
12 977 875
13 144 256
13 312 053
13 481 272
13 651 919
13 824 000
13 997 521
14 172 488
14 348 907
14 526 784
14 706 125
14 886 936
15 069 223
15 252 992
15 438 249
15 625 000
уПГ
14,1421
14,1774
14,2127
14,2478
14,2829
14,3178
14,3527
14,3875
14,4222
14,4568
14,4914
14,5258
14,5602
14,5945
14,6287
14,6629
14,6969
14,7309
14,7648
14,7986
14,8324
14,8661
14,8997
14,9332
14,9666
15,0000
15,0333
15,0665
15,0997
15,1327
15,1658
15,1987
15,2315
15,2643
15,2971
15,3297
15,3623
15,3948
15,4272
15,4596
15,4919
15,5242
15,5563
15,5885
15,6205
15,6525
15,6844
15,7162
15,7480
15,7797
15,8114
ут
5,8480
5,8578
5,8675
5,8771
5,8868
5,8964
5,9059
5,9155
5,9250
5,9345
5,9439
5,9533
5,9627
5,9721
5,9814
5,9907
6,0000
6,0092
6,0185
6,0277
6,0368
6,0459
6,0550
6,0641
6,0732
6,0822
6,0912
6,1002
6,1091
6,1180
6,1269
6,1358
6,1446
6,1534
6,1622
6,1710
6,1797
6,1885
6,1972
6,2058
6,2145
6,2231
6,2317
6,2403
6,2488
6,2573
6,2658
6,2743
6,2828
6,2912
6,2996
In л
5,29832
5,30330
5,30827
5,31321
5,31812
5,32301
5,32788
5,33272
5,33754
5,34233
5,34711
5,35186
5,35659
5,36129
5,36598
5,37064
5,37528
5,37990
5,38450
5,38907
5,39363
5,39816
5,40268
5,40717
5,41165
5,41610
5,42053
5,42495
5,42935
5,43372
5,43808
5,44242
5,44674
5,45104
5,45532
5,45959
5,46383
5,46806
5,47227
5,47646
5,48064
5,48480
5,48894
5,49306
5,49717
5,50126
5,50533
5,50939
5,51343
5,51745
5,52146
1000
я
5,00000
4,97512
4,95050
4,92611
4,90196
4,87805
4,85437
4,83092
4,80769
4,78469
4,76190
4,73934
4,71698
4,69484
4,67290
4,65116
4,62963
4,60829
4,58716
4,56621
4,54545
4,52489
4,50450
4,48430
4,46429
4 44444
4^42478
4,40529
4,38596
4,36681
4,34783
4,32900
4,31034
4,29185
4,27350
4,25532
4,23729
4,21941
4,20168
4,18410
4,16667
4Д4938
4,13223
4,11523
4,09836
4,08163
4,06504
4,04858
4,03226
4,01606
4,00000
1С Л
628,32
631,46
634,60
637,74
640,88
644,03
647,17
650,31
653,45
656,59
659,73
662,88
666,02
669,16
672,30
675,44
678,58
681,73
684,87
688,01
691,15
694,29
697,43
700,58
703,72
706,86
710,00
713,14
716,28
719,42
722,57
725,71
728,85
731,99
735,13
738,27
741,42
744,56
747,70
750,84
753,98
757,12
760,27
763,41
766,55
769,69
772,83
775,97
779,11
782,26
785,40
ic Л*
4
3 14 15,9
3 17 30,9
3 2047,4
3 23 65,5
3 26 85,1
330 06,4
3 33 29,2
3 36 53,5
3 39 79,5
3 43 07,0
3 46 36,1
3 49 66,7
3 52 98,9
3 56 32,7
3 59 68,1
3 63 05,0
3 66 43,5
3 69 83,6
3 73 25,3
3 76 68,5
3 80 13,3
3 83 59,6
3 87 07,6
330 57,1
3 94 08,1
3 97 60,8
4 01 15,0
4 04 70,8
4 08 28,1
4 И 87,1
4 15 47,6
4 19 09,6
4 22 73,3
4 26 38,5
4 30 05,3
4 33 73,6
4 37 43,5
4 41 15,0
4 44 88,1
4 48 62,7
4 52 38,9
4 56 16,7
4 59 96,1
4 63 77,0
4 67 59,5
4 7143,5
4 75 29,2
4 7916,4
4 83 05,1
4 86 95,5
4 90 87,4
л
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250

Таблица 1
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
л
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
зоо
я»
625 00
6 30 01
635 04
6 40 09
6 45 16
6 50 25
6 55 36
6 60 49
6 65 64
6 70 81
6 76 00
6 8121
6 86 44
6 9169
6 96 96
7 02 25
707 56
712 89
718 24
7 23 61
7 29 00
7 34 41
7 39 84
7 45 29
7 50 76
7 56 25
7 6176
7 67 29
7 72 84
7 78 41
7 84 00
7 89 61
7 95 24
8 00 89
806 56
8 12 25
817 96
8 23 69
8 29 44
8 35 21
8 4100
8 46 81
8 52 64
858 49
8 64 36
8 70 25
8 76 16
8 82 09
8 88 04
8 94 01
1 900 00
я»
15 625 000
15 813 251
16 003 008
16 194 277
16 387 064
16 581 375
16 777 216
16 974 593
17 173 512
17 373 979
17 576 000
17 779 581 1
17 984 728
18 191 447
18 399 744
18 609 625
18 821 096
19 034 163
19 248 «32
19 465 109
19 683 000 1
19 902 511
20 123 648-
гО 346 417
20 570 824
20 796 875
21 024 576
21 253 933
21484 952
21 717 639
21 952 000
22 188 041
22 425 768
22 665 187
22 906 304
23 149 125
23 393 656
23 639 903
23 887 872
24 137 569
24 389 000
24 642 171
24 897 088
25 153 757
25 412 184
25 672 375
25 934 336
26 198 073
26 463 592
26 730 899
'27 000 000
Уп
К
i |
15,8114 | 6,2996 1
15,8430
15,8745
15,9060
15,9374
15,9687
16,0000
16,0312
16,0624
16,0935
16,1245
16,1555
16,1864
16,2173
16,2481
16,2786
16,3095
16,3401
16,3707
16,4012
16,4317
16,4621
16,4924
16,5227
16,5529
16,5831
16,6132
16,6433
16,6733
16,7033
16,7332
16,7631
16,7929
16,8226
16,8523
16,8819
16,9115
16,9411
16,9706
17,0000
17,0294
17,0587
17.0880
17,1172
17,1464
17,1756
17,2047
17,2337
17,2627
17,2916
1 17,3205
6,3080
6,3164
6,3247
6,3330
6,3413
6,3496
6,3579
6,3661
6,3743 |
6,3825
6,3907
6,3988
6,4070
6,4151
6,4232
6,4312
6,4393
6,4473
6,4553
6,4633
6,4713
6,4792 '
6,4872
6,4951
6,5030
6,5108
6,5187
6,5265
6,5343
6,5421
6,5499
6,5577
6,5654
6,5731
6,5808
6,5885
G.5962
6,6039
6,6115
6,6191
6,6267
6,6343
6,6419
6,6494
6,6569
6,6644
6,6719
6,6794
6,6869
1 6,6943
In я
5.52146
5,52545
5,52943
5,53339
5,53733
5,54126
5,54518
5,54908
5,55295 |
5,55683
5,56068
5,56452 !
5,56834
5,57215 |
5,57595
5,57973
5,58350
5,58725
5,59099
5,59471
5,59842
5,60212
5,60580
5,60947
5,61313
5,61677
5,62040
5,62402
5,62762
5,63121
5,63479
5,63835
5.64191
5,64545
5,64897
5,65249
5,65599
5,65948
5,66296
5,66643
5,66988
5,67332
5,67675
5,68017
5,68358
5,68698
5,69036
5,69373
5,69709
5,70044
■ 570378
1000
л
4,00000
3,98406
3,96825
3,95257
3,93701
3,92157
3,90625
3,89105
3,87597
3,86100
3,84615
3,83142
3,81679
3,80228
3,78788
3,77358
3,75940
3,74532
3,73134
3,71747
3,70370
3,69004
3,67647
3,66300
3,64964
3,63636
3,62319
3,61011
3,59712
3,58423
3,57143
3,55872
3,54610
3,53357
3,52113
3,50877
3,49650
3,48432
3,47222
3,46021
,3,44828
3,43643
3,42466
3,41297
3,40136
3,38983
3,37838
3,36700
3,35570
3,34448
3.33333
к л
785,40
788,54
791,68
794,82
797,96
801,11
804,25
807,39
810,53
813,67
816,81
819,96
823,10
826,24
829,38
832,52
835,66
838,81
841,95
845,09
848,23
851,37
854,51
857,65
860,80
863,94
867,08
870,22
873,36
876,50
879,65
882,79
885,93
889,07
892,21
895,35
898,50
901,64
904,78
907,92
911,06
914,20
917,35
920,49
923,63
926,77
929,91
933,05
936,19
939,34
' 04..48
1С /7й 1
~~7~
4 90 87,4
4 94 80,9
4 98 75,9
5 02 72,6
5 06 70,7
5 10 70,5
5 14 71,9
5 18 74,8
5 22 79,2
5 26 85,3
я
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
530 92,9 1260
5 35 02,1 261
5 39 12,9
5 43 25,2
5 47 39,1
5 51 54,6
5 55 71,6
5 59 90,2
5 64 10,4
568 32,2
5 72 55,5
5 76 80,4
5 81 06,9
5 85 34,9
5 89 64,6
5 93 95,7
5 98 28,5
6 02 62,8
6 06 98,7
6 1136,2
6 15 75,2
6 20 15,8
6 24 58,0
6 2901,8
6 33 47,1
6 37 94,0
6 42 42,4
6 46 92,5
6 51 44,1
6 55 97,2
6 60 52,0
6 65 08,3
6 69 66,2
6 74 25,6
6 78 86,7
6 83 49,3
6 88 13,4
6 92 79,2
6 97 46,5
7 02 15,4
706 85,8
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
1 296
297
298
299
>300

8
Т. I. Отд 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
веЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
л
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
л*
900 00
906 01
912 04
9 18 09
9 24 16
9 30 25
9 36 36
9 42 49
948 64
9 54 81
9 6100
9 67 21
9 73 44
9 79 69
9 85 96
9 92 25
9 98 56
10 04 89
101124
10 17 61
10 24 00
10 30 41
10 36 84
10 43 29
10 49 76
10 56 25
10 62 76
10 69 29
10 75 84
10 82 41
10 89 00
10 95 61
11 02 24
11 08 89
11 15 56
11 22 25
11 28 96
1135 69
1142 44
114921
И 56 00
И 62 81
11 69 64
1176 49
1183 36
1190 25
11 97 16
12 04 09
12 1104
12 18 01
12 25 00
л8
27 000 000
27 270 901
27 543 608
27 818 127
28 094 464
28 372 625
28 652 616
28 934 443
29 21811?
29 503 629
29 791 000
30 080 231
30 371 328
30 664 297
30 959 144
31 255 875
31 554 496
31 855 013
32 157 432
32 461 759
32 768 000
33 076 161
33 386 248
33 698 267
34 012 224
34 328 125
34 645 976
34 965 783
35 287 552
35 611289
35 937 000
36 264 691
36 594 368
36 926 037
37 259 704
37 595 375
37 933 056
38 272 753
38 614 472
38 958 219
39 304 000
39 651 821
40 001688
40 353 607
40 707 584
41 063 625
41 421 736
41 781 923
42 144 192
42 508 549
42 875 000
>ЛГ
17,3205
17,3494
17,3781
17,4069
17,4356
17,4642
17,4929
17,5214
17,5499
17,5784
17,6068
17,6352
17,6635
17,6918
17,7200
17,7482
17,7764
17,8045
17,8326
17,8606
17,8885
17,9165
17,9444
17,9722
18,0000
18,0278
18,0555
18,0831
18,1108
18,1384
18,1659
18,1934
18,2209
18,2483
18,2757
18,3030
18,3303
18,3576
18,3848
18,4120
18,4391
18,4662
18,4932
18,5203
18,5472
18,5742
18,6011
18,6279
18,6548
18,6815
18,7083
ут
6,6943
6,7018
6,7092
6,7166
6,7240
6,7313
6,7387
6,7460
6,7533
6,7606
6,7679
6,7752
6,7§24
6,7897
6,7969
6,8041
6,8113
6,8185
6,8256
6,8328
6,8399
6,8470
6,8541
6,8612
6,8683
6,8753
6,8824
6,8894
6,8964
6,9034
6,9104
6,9174
6,9244
6,9313
6,9382
6,9451
6,9521
6,9589
6,9658
6,9727
6,9795
6,9864
6,9932
7,0000
7,0068
7,0136
7,0203
7,0271
7,0338
7,0406
7,0473
In л
5,70378
5,70711
5,71043
5,71373
5,71703
5,72031
5,72359
5,72685
5,73010
5,73334
5,73657
5,73979
5,74300
5,74620
5,74939
5,75257
5,75574
5,75890
5,76205
5,76519
5,76832
5,77144
5,77455
5,77765
5,78074
5,78383
5,78690
5,78996
5,79301
5,79606
5,79909
5,80212
5,80513
5,80814
5,81114
5,81413
5,81711
5,82008
5,82305
5,82600
5,82895
5,83188
1 5,83481
5,83773
5,84064
5,84354
5,84644
5,84932
5,85220
5,85507
5,85793
100Э
л
3,33333
3,32226
3,31126
3,30033
3,28947
3,27869
3,26797
3,25733
3,24675
3,23625
3,22581
3,21543
3,20513
3,19489
3,18471
3,17460
3,16456
3,15457
3,14465
3,13480
3,12500
3,11526
3,10559
3,09598
3,08642
3,07692
3,06748
3,05810
3,04878
3,03951
3,03030
3,02115
3,01205
3,00300
2,99401
2,98507
2,97619
1 2,96736
2,95858
2,94985
2,94118
2,93255
2,92398
2,91545
2,90698
2,89855
2,89017
2,88184
2,87356
2,86533
2,85714
ТС Л
942,48
945,62
948,76
951,90
955,04
958,19
961,33
964,47
967,61
970,75
973,89
977,04
980,18
983,32
986,46
989,60
992,74
995,88
999,03
1002,2
1005,3
1008,5
1011,6
1014,7
1017,9
1021,0
1024,2
1027,3
1030,4
| 1033,6
1036,7
1039,9
1043,0
1046,2
1049,3
1052,4
1055,6
1058,7
1061,9
1065,0
1068,1
1071,3
1074,4
1077,6
1080,7
1083,8
1087,0
1090,1
1093,3
1096,4
11099,6
тс й2
~~4~
7 06 85,8
7 11 57,9
7 16 31,5
7 21 06,6
7 25 83,4
7 30 61,7
7 35 41,5
7 40 23,0
7 45 06,0
7 49 90,6
7 54 76,8
7 59 64,5
7 64 53,8
7 69 44,7
7 74 37,1
7 79 31,1
7 84 26,7
7 89 23,9
7 94 22,6
7 99 22,9
8 04 24,8
8 09 28,2
8 14 33,2
8 19 39,8
8 24 48,0
8 29 57,7
, 8 34 69,0
8 39 81,8
8 44 96,3
1 8 50 12,3
8 55 29,9
8 60 49,0
8 65 69,7
8 70 92,0
8 76 15,9
8 81 41,3
8 86 68,3
8 91 96,9
8 97 27,0
9 02 58,7
9 07 92,0
9 13 26,9
9 18 63,3
9 24 01,3
9 29 40,9
9 34 82,0
9 40 24,7
Q 45 69,0
9 5114,9
9 56 62,3
9 62 11,3
л
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
33S
336
337
338
33S
340
341
342
342
344
34S
346
347
348
34S
1 350

Таблица 1
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
велИЧИНЫ, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩади Круга (Продолжение)
п
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
п*
12 25 00
12 32 01
12 39 04
12 46 09
12 53 16
12 60 25
12 67 36
12 74 49
12 81 64
12 88 81
12 96 00
13 03 21
13 1044
13 17 69
13 24 96
13 32 25
13 39 56
Г3 46 89
13 54 24
13 61 61
13 69 00
13 76 41
13 83 84
13 91 29
13 98 76
14 06 25
14 13 76
14 21 29
14 28 84
14 36 41
14 44 00
14 51 61
14 59 24
14 66 89
14 74 56
14 82 25
14 89 96
14 97 69
15 05 44
15 13 21
15 2100
15 28 81
15 36 64
15 44 49
15 52 36
15 6025
15 6816
15 76 09
15 84 04
15 92 01
16 00 00
л8
42 875 000
43 243 551
43 614 208
43 986 977
44 361864
44 738 875
45118 016
45 499 293
45 882 712
46 268 279
46 656 000
47 045 881
47 437 928
47 832 147
48 228 544
48 627 125
49 027 896
49 430 863
49 836 032
50 243 409
50 653 000
51064 811
51 478 848
51 895 117
52 313 624
52 734 375
53 157 376
53 582 633
54 010 152
54 439 939
54 872 000
55 306 341
55 742 968
56J81887
56 623 104
57 066 625
57 512 456
57 960 603
58 411072
58 863 869
59 319 000
59 776 471
60 236 288
60 698 457
61 162 984
61 629 875
62 099 136
62 570 773
63 044 792
63 521 199
64 000 000
V*
18,7083
18,7350
18,7617
18,7883
18,8149
18,8414
18,8680
18,8944
18,9209
18,9473
18,9737
19,0000
19,0263
19,0526
19,0788
19,1050
19,1311
19,1572
19,1833
19,2094
19,2354
19,2614
19,2873
19,3132
19,3391
19,3649
19,3907
19,4165
19,4422
19,4679
19,4936
19,5192
19,5448
19,5704
19,5959
19,6214
19,6469
19,6723
19,6977
19,7231
19,7484
19,7737
19,7990
19,8242
19,8494
19,8746
19,8997
19,9249
19,9499
19,9750
20,0000
3
7,0473
7,0540
7,0607
7,0674
7,0740
7,0807
7,0873
7,0940
7,1006
7,1072
7,1138
7,1204
7,1269
7,1335
7,1400
7,1466
7,1531
7,1596
7,1661
7,1726
7,1791
7,1855
7,1920
7,1984
7,2048
7,2112
7,2177
7,2240
7,2304
7,2368
7,2432
7,2495
7,2558
7,2622
7,2685
7,2748
7,2811
7,2874
7,2936
7,2999
7,3061
7,3124
7,3186
7,3248
7,3310
7,3372
7,3434
7,3496
7,3558
7,3619
7,3681
In л
5,85793
5,86079
5,86363
5,86647
5,86930
5,87212
5,87493
5,87774
5,88053
5,88332
5,88610
5,88888
5,89164
5,89440
5,89715
5,89990
5,90263
5,90536
5,90808
5,91080
5,91350
5,91620
5,91889
5,92158
5,92426
5,92693
5,92959
5,93225
5,93489
5,93754
5,94017
5,94280
5,94542
5,94803
5,95064
| 5,95324
5,95584
5,95842
5,96101
5,96358
5,96615
5,96871
5,97126
5,97381
5,97635
5,97889
5,98141
5,98394
5,98645
5,98896
5,99146
1000
л
2,85714
2,84900
2,84091
2,83286
2,82486
2,81690
2,80899
2,80112
2,79330
2,78552
2,77778
2,77008
2,76243
2,75482
2,74725
2,73973
2,73224
2,72480
2,71739
2,71003
2,70270
2,69542
2,68817
2,68097
2,67380
2,66667
2,65957
2,65252
2,64550
2,63852
2,63158
2,62467
2,61780
2,61097
2,60417
2,59740
2,59067
2,58398
2,57732
2,57069
2,56410
2,55754
2,55102
2,54453
2,53807
2,53165
2,52525
2,51889
2,51256
2,50627
2,50000
тел
1099,6
1102,7
1105,8
1109,0
1112,1
1115,3
1118,4
1121,5
1124,7
1127,8
1131,0
1134,1
1137,3
1140,4
1143,5
1146,7
1149,8
1153,0
1156,1
1159,2
1162,4
1165,5
1168,7
1171,8
1175,0
1178,1
1181,2
1184,4
1187,5
1190,7
1193,8
1196,9
1200,1
1203,2
1206,4
1209,5
1212,7
1215,8
1218,9
1222,1
1225,2
1228,4
1231,5
1234,6
1237,8
1240,9
1244,1
1247,2
1250,4
1253,5
1256,6
те л*
~~4~
9 62 11,3
9 67 61,8
9 73 14,0
9 78 67,7
9 84 23,0
9 89 79,8
9 95 38,2
10 00 98
10 06 60
10 12 23
10 17 88
10 23 54
10 29 22
10 34 91
10 40 62
10 46 35
10 52 09
10 57 84
10 63 62
10 69 41
10 75 21
10 8103
10 86 87
10 92 72
10 98 58
1104 47
1110 36
1116 28
И 22 21
11 28 15
113411
114009
114608
1152 09
| 1158 12
116416
117021
1176 28
1182 37
U88 47
1194 59
120072
12 06 87
12 1304
12 19 22
12 25 42
12 31 63
12 37 86
12 4410
125036
1 125664
л
35Э
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400

10
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности и площади круга (продолжение)
л
400
401
402
403
404
405 1
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
я»
16 00 00
16 08 01
16 16 04
16 24 09
16 32 16
16 40 25
16 48 36
16 56 49
16 64 64
16 72 81
16 81 00
16 89 21
16 97 44
17 05 69 1
17 13 96
17 22 25
17 30 56
17 38 89
17 47 24
17 55 61
17 64 00
17 72 41
17 80 84
17 89 29
17 97 76
18 06 25
18 1476
18 23 29
18 31 84
18 40 41
18 49 00
18 57 61
18 66 24
187489
18 83 56
118 92 25
19 00 96
19 09 69
19 18 44
119 27 21
19 36 00
19 44 81
19 53 64
19 62 49
19 7136
19 80 25
19 89 16
19 98 09
20 07 04
1 20 16 01
'20 2500
л8
64 000 000|
64 481 201
64 964 808 1
65 450 827
65 939 264
66 430 125
66 923 416
67 419 143
67 917 312
68 417 929
68 921 000
69 426 531
69 934 528
70 444 997
70 957 944
71 473 375
71 991 296
72 511 713
73 034 632
73 560 059
74 088 000
74 618 461
75 151 448
75 686 967
76 225 024
76 765 625
77 308 776
77 854 483
78 402 752
; 78 953 589
79 507 000
80 062 991
80 621568
81 182 737
81 746 504
82 312 875
82 881 856
83 453 453
84 027 672
84 604 519
85184 000
85 766 121
86 350 888
86 938 307
87 528 384
88 121125
88 716 536
89 314 623
89 915 392
90 518 849
191 125 000
уПГ
20,0000
20,0250
20,0499
20,0749
20,0998
20,1246
20,1494
20,1742
20,1990
20,2237
20,2485
20,2731
20,2978
20,3224
20,3470
20,3715
20,3961
20,4206
20,4450
20,4695
20,4939
20,5183
20,5426
20,5670
20,5913
20,6155
| 20,6398
20,6640
20,6882
20,7123
20,7364
20,7605
20,7846
20,8087
20,8327
20,8567
20,8806
20,9045
20,9284
20,9523
20,9762
21,0000
21,0238
21,0476
21,0713
21,0950
21,1187
21,1424
21,1660
21,1896
1 21,2132
V"\
7,3681
7,3742
7,3803
7,3864
7,3925
7,3986
7,4047
7,4108
•7,4169
7,4229
7,4290
7,4350
7,4410
7,4470
7,4530
7,4590
7,4650
7,4710
7,4770
7,4829
7,4889
7,4948
7,5007
7,5067
7,5126
7,5185
7,5244
7,5302
7,5361
7,5420
7,5478
7,5537
7,5595
7,5654
7,5712
7,5770
7,5828
7,5886
7,5944
7,6001
7,6059
7,6117
7,6174
7,6232
7,6289
7,6346
7,6403
7,6460
7,6517
7,6574
1 7,6631
In п
5,9946
5,99396
5,99645
5,99894
6,00141
6,00389
6,00635
6,00881
6,01127
6,01372 1
6,01616
6,01859
6,02102
6,02345
6,02587
6,02828
6,03069
6,03309 1
6,03548
6,03787
6,04025
6,04263
6,04501
6,04737
6,04973
6,05209
6,05444
6,05678
6,05912
| 6,06146
6,06379
6,06611
6,06843
6,07074
6,07304
6,07535
6,07764
6,07993
6,08222
6,08450
6,08677
6,08904
6,09131
6,09357
1 6,09582
1 6,09807
6,10032
6,10256
6,10479
6,10702
1 610925
1000
л
2,50000
2,49377
2,48756
2,48139
2,47525
2,46914
2,46305
2,45700
2,45098
2,44499
2,43902
2,43309
2,42718
2,42131
2,41546
2,40964
2,40385
2,39808
2,39234
2,38663
2,38095
2,37530
2,36967
2,36407
2,35849
2,35294
2,34742
2,34192
2,33645
2,33100
2,32558
2,32019
2,31481
2,30947
2,30415
2,29885
2,29358
2,28833
2,28311
2,27790
2,27273
2,26757
2,26244
2,25734
2,25225
2,24719
2,24215
2,23714
2,23214
2,22717
1 2,22222
п Л
1256,6
1259,8
1262,9
1266,1
1269,2
1272,3
1275,5
1278,6
1281,8
1284,9
1288,1
1291,2
1294,3
1297,5
1300,6
1303,8
1306,9
1310,0
1313,2
1316,3
1319,5
1322,6
1325,8
1328,9
1332,0
1335,2
1338,3
1341,5
1 1344,6
1347,7
1350,9
1354,0
1357,2
1360,3
1363,5
1366,6
1369,7
1372,9
1376,0
1379,2
1382,3
1385,4
1 1388,6
1391,7
1394,9
1 1398,0
1401,2
1 1404,3
1 1407,4
1 1410,6
1 1413,7
КП*
4
12 56 64
12 62 93
12 69 23
12 75 56
12 81 90
12 88 25
12 94 62
13 01 СО
13 07 41
13 13 82
13 20 25
13 26 70
13 3317
13 39 65
13 46 14
13 52 65
13 59 18
13 65 72
13 72 28 1
13 78 85
138544
13 92 05
13 98 67
14 05 31
14 1196
1418 63
14 25 31
14 32 01
14 38 72
14 45 45
14 52 20
14 58 96
; 14 65 74
п
400
401
402
403
404
405
406
407
4С8
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
14 72 54 I 433
14 79 34 1 434
14 86 17
14 93 01
14 99 87
15 06 74
15 13 63
15 20 53
15 27 45
15 34 39
15 41 34
15 48 30
1555 28
15 62 28
15 69 30
15 76 33
15 83 37
1 15 90 43
435
436
437
438
439
440
1 441
| 442
443
444
44£
Ш
441
44$
44$
|45(

Таблица 1
11
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продо икение)
п
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466 !
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
гС
20 25 00
20 34 01
20 43 04
20 52 09
20 6116
20 70 25
20 79 36
20 88 49
2D 97 64
2106 81
2116 00
2125 21
2134 44
2143 69
21 52 96
21 62 25
21 71 56
2180 89
2190 24
21 99 61
22 09 00
22 18 41
22 27 84
22 37 29
22 46 76
22 56 25
22 65 76
22 75 29
22 84 84
22 94 41
2304 00
2313 61
23 23 24
23 32 89
23 42 56
23 52 25
23 6196
23 7169
23 8144
23 9121
24 0100
24 10 81
24 20 64
24 30 49
24 40 36
24 50 25
24 6016
24 70 09
24 80 04
24 90 01
25 00 00
п*
91125 000
91 733 851
92 345 408
92 959 677
93 576 664
94 196 375
94 818 816
95 443 993
96 071 912
96 702 579
97 336 000
97 972 181
98 611 128
99 252 847
99 897 344
100 544 625
101 194 696
101 847 563 |
102 503 232
103 161 709
103 823 000
104 487 111
105 154 048
105 823 817
106 496 424
107 171 875
107 850 176
108 531 333
109 215 352
109 902 239
110 592 000
111284 641
111980168
112 678 587
113 379 904
114 084 125
114 791 256
115 501303
116 214 272
116 930 169
117 649 000
118 370 771
119 095 488
119 823 157
120 553 784
121287 375
122 023 936
122 763 473
123 505 992
124 251 499
1125 000 000
V*\
■frj
21,2132 7,6631 1
21,2368
21,2603
21,2838 1
21,3073
21,3307
21.3542
21,3776
21,4009
21,4243
21,4476
21,4709
21,4942
21,5174
21,5407
21,5639
21,5870
21,6102
21,6333
21,6564
21,6795
21,7025
21,7256
21,7486
21,7715
21,7945
21,8174
21,8403
21,8632
21,8861
21,9089
21,9317
21,9545
21,9773
22,0000
| 22,0227
22,0454
22,0681
1 22,0907
22,1133
22,1359
22,1585
22,1811
22,2036
22,2261
22,2486
22,2711
22,2935
22,3159
22,3383
1 22,3607
7,6688
7,6744
7,6801
7,6857
7,6914
7,6970
7,7026
7,7082
7,7138
7,7194
7,7250 1
7,7306
7,7362
7,7418
7,7473
7,7529
7,7584
7,7639
7,7695
7,7750
7,7805
7,7860
7,7915
7,7970
7,8025
7,8079
7,8134
7,8188
7,8243
7,8297
7,8352
7,8406
7,8460
7,8514
7,8568
7,8622
7,8676
7,8730
7,8784
7,8837
7,8891
7,8944
7,8998
1 7,9051
7,9105
7,9158
7,9211
7,9264
7,9317
1 7,9370
In п
6,10925
6,11147
6,11368
6,11589
6,11810 |
6Д2030
6,12249
6,12468
6,12687
6,12905
6,13123
6,13340
6,13556
6,13773
6,13988
6,14204
6,14419
6,14633
6,14847
6,15060
6,15273
6,15486
6,15698
6,15910
6,16121
6,16331
I 6,16542
6,16752
6,16961
6,17170
6,17379
6,17587
6,17794
6,18002
6,18208
6,18415
6,18621
6,18826
6,19032
6,19236
6,19441
6,19644
6,19848
6,20051
6,20254
6,20456
6,20658
6,20859
6,21060
6,21261
1 6,21461
1000
п
2,22222 j
2,21729
2,21239
2,20751
2,20264
2,19780 1
2,19298
2,18818 !
2,18341 1
2,17865
2,17391
2,16920
2,16450
2,15983
2,15517
2,15054
2,14592
2,14133
2,13675
2,13220
2,12766
2,12314
2,11864
2,11416
2,10970
2,10526
2,10084
2,09644
2,09205
2,08768
2,08333
| 2,07900
| 2,07469
2,07(Ь9
2,06612
1 2,06186
2,05761
2,05339
2,04918
2,04499
1 2,04082
2,03666
2,03252
2,02840
2,02429
2,02020
2,01613
2,01207
2.00803
2,00401
! 2,00000
1
те П
1413,7 1
1416,9 |
1420,0
1423,1 !
1426,3 '
1429,4 i
1432,6 1
1435,7
1438,8
1442,0
1445,1
1448,3
1451,4
1454,6
1457,7
1460,8
1464,0
1467,1
1470,3
1473,4
1476,5
1479.7
1482,8
1486,0
1489,1
1492,3
1495,4
1498,5
1501,7
1504,8
1508,0
1511,1
1514,2
1517,4
1520,5
1523,7
1526,8
1530,0
1533,1
1536,2
1539,4
1542,5
1545,7
1548,8
1551,9
1555,1
1558,2
1561,4
1564,5
1567,7
1 1570,8
, 1
тел* |
15 90 43
15 97 51
16 04 60
161171
1618 83
16 25 97 1
163313
164030
16 47 48
16 54 68
166190
16 6914
16 7639
16 83 65
16 9093
16 98 23
17 05 54
17 12 87
17 20 21
17'27 57
17 34 94
17 42 34
17 49 74
17 57 16
17 64 60
17 72 05
17 79 52
17 87 01
17 94 51
18 02 03
18 09 56
18 1711
18 24 67
! 18 32 25
183984
18 47 45
18 55 08
18 62 72
18 70 38
18 78 05
18 85 74
189345
19 0117
19 08 90
19 1665
19 24 42
19 32 21
194000
19 47 82
19 55 65
1 19 6350
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
| 486
487
! 488
48S
490
491
492
492
494
49S
496
497
498
49S
I50Q

12
Т. Т. -Отд 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВелИЧИНЫ, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
л
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
5Ь
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
•537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
л»
25 00 00
25 10 01
25 20 04
25 30 09
25 4016
25 50 25
25 60 36
25 70 49
25 80 64
25 90 81
26 0100
26 11 21
26 2144
26 31 69
26 4196
26 52 25
26 62 56
26 72 89
26 83 24
26 93 61
27 04 00
27 14 41
27 24 84
27 35 29
27 45 76
27 56 25
27 66 76
27 77 29
27 87 84
27 98 41
28 09 00
28 19 61
28 30 24
28 40 89
28 51 56
28 62 25
28 72 96
28 83 69
28 94 44
29 05 21
291600
29 26 81
29 37 64
29 48 49
29 59 36
29 70 25
29 81 16
29 92 09
30 03 04
3014 01
30 25 00
л3
125 000 000
125 751 501
126 506 008
127 263 527
128 024 064
128 787 625
129 554 216
130 323 843
131 096 512
131 872 229
132 651 000
133 432 831
134 217 728
135 005 697
135 796 744
136 590 875
137 388 096
138 188 413
138 991 832
139 798 359
140 608 000
141 420 761
142 236 648
143 055 667
143 877 824
144 703125
145 531 576
146 363 183
147 197 952
148 035 889
148 877 000
149 721 291
150 568 768
151 419 437
152 273 304
153 130 375
153 990 656
154 854 153
155 720 872
156 590 819
157 464 000
158 340 421
159 220 088
160103 007
160 989 184
161878 625
162 771 336
163 667 323
164 566 592
165 469 149
166 375 000
уп
22,3607
22,3830
22,4054
22,4277
22,4499
22,4722
22,4944
22,5167
22,5389
22,5610
22,5832
22,6053
22,6274
22,6495
22,6716
22,6936
22,7156
22,7376
22,7596
22,7816
22,8035
22,8254
22,8473
22,8692
22,8910
22,9129
22,9347
22,9565
22,9783
23,0000
23,0217
23,0434
23,0651
1 23,0868
23,1084
23,1301
23,1517
23,1733
23,1948
23,2164
23,2379
23,2594
23,2809
23,3024
23,3238
23,3452
23,3666
23,3880
23,4094
23,4307
23,4521
3
утг
7,9370
7,9423
7,9476
7,9528
7,9581
7,9634
7,9686
7,9739
7,9791
7,9843
7,9896
7,9948
8,0000
8,0052
8,0104
8,0156
8,0208
8,0260
8,0311
8,0363
8,0415
8,0466
8,0517
8,0569
8,0620
8,0671
8,0723
8,0774
8,0825
8,0876
8,0927
8,0978
8,1028
8,1079
8,1130
8,1180 '
8,1231
8,1281
8,1332
8,1382
8,1433
8,1483
8,1533
8,1583
8,1633
8,1683
8,1733
8,1783
8,1833
8,1882
8,1932
In л
6,21461
6,21661
6,21860
6,22059
6,22258
6,22456
6,22654
6,22851
6,23048
6,23245
6,23441
6,23637
6,23832
6,24028
6,24222
6,24417
6,24611
6,24804
6,24998
6,25190
6,25383
6,25575
6,25767
6,25958
6,26149
6,26340
6,26530
6,26720
6,26910
6,27099
6,27288
6,27476
6,27664
6,27852
6,28040
6,28227
6,28413
6,28600
6,28786
6,28972
6,29157
6,29342
6,29527
6,29711
6,29895
6,30079
6,30262
6,30445
6,30628
6,30810
6,30992
1000
л
2,00000
1,99601
1,99203
1,98807
1,98413
1,98020
1,97628
1,97239
1,96850
1,96464
1,96078
1,95695
1,95312
1,94932
1,94553
1,94175
1,93798
1,93424
1,93050
1,92678
1,92308
1,91939
1,91571
1,91205
1,90840
1,90476
1,90114
1,89753
1,89394
1,89036
1,88679
1,88324
1,87970
1,87617
1,87266
1,86916
1,86567
1,86220
1,85874
1,85529
1,85185
1,84843
1,84502
1,84162
1,83824
1,83486
1,83150
1,82815
1,82482
1,82149
1,81818
тел
1570,8
1573,9
1577,1
1580,2
1583,4
1586,5
1589,6
1592,8
1595,9
1599,1
1602,2
1605,4
1608,5
1611,6
1614,8
1617,9
1621,1
1624,2
1627,3
1630,5
1633,6
1636,8
1639,9
1643,1
1646,2
1649,3
1652,5
1655,6
1658,8
1661,9
1665,0
1668,2
1671,3
1674,5
1677,6
1680,8
1683,9
1687,0
1690,2
1693,3
1696,5
1699,6
1702,7
1705,9
1709,0
1712,2
1715,3
1718,5
1721,6
1724,7
1 1727,9
тс л*
4
19 63 50
19 7136
19 79 23
19 87 13
19 95 04
20 02 96
20 10 90
20 18 86
20 26 83
20 3482
20 42 82
20 50 84
20 58 87
20 66 92
20 74 99
20 83 07
20 91 17
20 99 28
21 07 41
21 15 56
2123 72
21 31 89
2140 08
2148 29
21 56 51
2164 75
21 73 01
21 81 28
21 89 56
2197 87
22 0618
22 14 52
22 22 87
22 3123
22 39 61
22 48 01
22 56 42
22 64 84
22 73 29
22 8175
22 90 22
22 98 71
23 07 22
2315 74
23 24 28
23 32 83
23 4140
23 49 98
23 58 58
| 23 67 20
23 75 83
л
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
| 547
548
549
1550

Таблица 1
13
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
веЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩади Круга (Продолжение)
л
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
л8
30 25 00
30 36 01
30 47 04
30 58 09
30 6916
30 80 25
30 91 36
31 02 49
31 13 64
31 24 81
3136 00
31 47 21
31 58 44
31 69 69
31 80 96
31 92 25
32 03 56
32 14 89
32 26 24
32 37 61
32 49 00
32 60 41
32 71 84
32 83 29
32 94 76
33 06 25
33 17 76
33 29 29
33 40 84
33 52 41
33 64 00
33 75 61
33 87 24
33 98 89
341056
34 22 25
34 33 96
34 45 69
34 57 44
34 69 21
34 8100
34 92 81
35 04 64
35 16 49
35 28 Зб
35 40 25
35 5216
35 64 09
35 76 04
35 88 01
36 00 00
Л»
166 375 000
167 284 151 1
1 168 196 608
169 112 377
170 031 464
170 953 875
171 879 616
172 808 693
173 741 112
| 174 676 879
175 616 000
176 558 481
177 504 328
178 453 547
179 406 144
180 362 125
181 321 496
182 284 263
183 250 432
184 220 009
185193 000
186169 411
187 149 248
188 132 517
189 119 224
190 109 375
191 102 976
192 100 033
193 100 552
194 104 539
195112 000
196 122 941
197 137 368
198 155 287
199 176 704
200 201 625
201 230 056
202 262 003
203 297 472
204 336 469
205 379 000
206 425 071
207 474 688
208 527 857
209 584 584
210 644 875
211 708 736
212 776 173
213 847 192
214 921 799
'216 000 000
ут
23,4521
23,4734
23,4947
23,5160
23,5372
23,5584
23,5797
23,6008
| 23,6220
23,6432
23,6643
23,6854
23,7065
23,7276
23,7487
23,7697
23,7908
23,8118
23,8^28
23,8537
23,8747
23,8956
23,9165
23,9374
23,9583
23,9792
24,0000
24,0208
24,0416
24,0624
24,0832
24,1039
24,1247
24,1454
24,1661
24,1868
24,2074
24,2281
24,2487
24,2693
24,2899
24,3105
24,3311
24,3516
24,3721
24,3926
24,4131
24,4336
! 24,4540
24,4745
24,4949
8
8,1932
8,1982
8,2031
8,2081
8,2130
8,2180
8,2229
8,2278
8,2327
8,2377
8,2426
8,2475
8,2524
8,2573
I 8,2621
8,2670
8,2719
8,2768
8,2816
8,2865
8,2913
8,2962
8,3010
8,3059
8,3107
8,3155
8,3203
8,3251
8,3300
8,3348
8,3396
8,3443
8,3491
8,3539
8,3587
8,3634
8,3682
8,3730
8,3777
1 8,3825
8,3872
8,3919
8,3967
8,4014
8,4061
8,4108
8,4155
1 8,4202
8,4249
8,4296
8,4343
In я
6,30992
6,31173
6,31355
6,31536
6,31716
6,31897
6,32077
6,32257
6,32436
6,32615
6,32794
6,32972
6,33150
6,33328
6,33505
6,33683
6,33859
6,34036
6,34212
6,34388
6,34564
6,34739
6,34914
6,35089
6,35263
6,35437
6,35611
6,35784
j 6,35957
6,36130
6,36303
6,36475
6,36647
6,36819
6,36990
6,37161
6,37332
6,37502
6,37673
6,37843
6,38012
6,38182
6,38351
6,38519
6,38688
6,38856
6,39024
6,39192
6,39359
6,39526
6 39693
1000
л
1,81818
1,81488
1,81159
1,80832
1,80505
1,80180
1,79856
1,79533
1,79211
1,78891
1,78571
1,78253
1,77936
1,77620
1,77305
1,76991
1,76678
1,76367
1,76056
1,75747
1,75439
1,75131
1,74825
1,74520
1,74216
1,73913
1,73611
1,73310
1,73010
1,72712
1,72414
1,72117
1,71821
1,71527
1,71233
1,70940
1,70648
1,70358
1,70068
1 1,69779
1,69492
1,69205
1,68919
1,68634
1,68350
1,68067
1,67785
1,67504
1,67224
1,66945
1,66667
тс л
1727,9
1731,0
1734,2
1737,3
1740,4
1743,6
1746,7
1749,9
1753,0
1756,2
1759,3
1762,4
1765,6
1768,7
1771,9
1775,0
1778,1
1781,3
1784,4
1787,6
1790,7
1793,8
1797,0
1800,1
1803,3
1806,4
1809,6
1812,7
1815,8
1819,0
1822,1
1825,3
1828,4
1831,5
1834,7
1837,8
1841,0
1844,1
1847,3
1850,4
1853,5
1856,7
1859,8
1863,0
1866,1
1869,2
1872,4
1875,5
1878,7
1881,8
1885,0
тс л8
4
23 75 83
23 84 48
23 93 14
24 01 82
24 10 51
24 19 22
24 27 95
24 36 69
24 45 45
24 54 22
24 63 01
24 71 81
24 80 63
24 89 47
24 98 32
25 07 19
25 16 07
25 24 97
25 33 88
25 42 81
25 51 76
25 60 72
25 69 70
25 78 69
25 87 70
25 96 72
26 05 76
26 14 82
26 23 89
26 32 98
26 42 08
26 51 20
26 60 33
26 69 48
26 78 65
26 87 83
26 97 03
27 06 24
2715 47
27 24 71
27 33 97
27 43 25
27 52 54
27 61 84
27 71 17
27 80 51
27 89 86
27 99 23
28 08 62
2818 02
28 27 43
л
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
5$8
589
590
591
1 592
593
594
595
596
597
598
59S
600

14
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
веЛИЧИНЫ, ОКружНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
950
л» ! п»
1 1
36 СО 00
36 12 01
36 24 04
36 36 09
36 48 16
36 60 25
36 72 36
36 84 49
36 96 64
37 08 81
37 2100
37 33 21
37 45 44
37 57 69
37 69 96
37 82 25
37 94 56
38 06 89
38 19 24
38 31 61
38 44 00
38 56 41
38 68 84
38 81 29
38 93 76
39 06 25
39 18 76
39 31 29
39 43 84
39 56 41
39 69 00
39 81 61
39 94 24
40 06 89
40 19 56
40 32 25
40 44 96
40 57 69
40 70 44
40 83 21
40 9600
41 08 81
41 21 64
41 34 49
41 47 36
4160 25
41 73 16
41 86 09
41 99 04
42 12 01
'42 25 00
216 000 000
217 081 801
218 167 208
219 256 227
220 348 864
221 445 125
222 545 016
223 648 5*3
224 755 712
225 866 529
226 981 000
228 099 131
229 220 928
230 346 397
231 475 544
232 608 375
233 744 896
234 885 113
236 029 032
237 176 659
238 328 000
239 483 061
240 641 848
241 804 367
242 970 624
244 140 625
245 314 376
246 491 883
247 673 152
248 858 189
250 047 000
251 239 591
252 435 968
253 636 137
254 840 104
256 047 875
257 259 456
258 474 853
259 694 072
260 917 119
262 144 000
263 374 721
264 609 288
265 847 707
267 089 984
268 336 125
269 586 136
270 840 023
1 272 097 792
273 359 449
274 625 000
ут
24,4949
24,5153
24,5357
24,5561
24,5764
24,5967
24,6171
24,6374
24,6577
24,6779
24,6982
24,7184
24,7386
24,7588
24,7790
24,7992
24,8193
24,8395
24,8596
24,8797
24,8998
24,9199
24,9399
24,9600
24,9800
25,0000"
25,0200
25,040р
25,0599
25,0799
25,0998
25,1197
25,1396
25,1595
25,1794
25,1992
25,2190
25,2389,
25,2587
25,2784
25,2982
25,3180
25,3377
25,3574
25,3772
25,3969
25,4165
25,4362
25,4558
25,4755
1 25,4951
з 1
8,4343
8,4390
8,4437
8,4484
8,4530
8,4577
8,4623
8,4670
8,4716
8,4763
8,4809
8,4856
8,4902
8,4948
8,4994
8,5040
8,5086
8,5132
8,5178
8,5224
8,5270
8,5316
8,5362
8,5408
8,5453
8,5499
8,5544
8,5590
8,5635
8,5681
8,5726
8,5772
8,5817
8,5862
8,5907
I 8,5952
8,5997
8,6043
8,6088
8,6132
8,6177
| 8,6222
8,6267
8,6312
8,6357
8,6401
8,6446
8,6490
8,6535
8,6579
1 8,6624
In п
6,39693
6,39859
6,40026
6,40192
6,40357
6,40523
6,40688
6,40853
6,41017
6,41182
6,41346
6,41-510
6,41673
6,41836
6,41999
6,42162
6,42325
6,42487
6,42649
6,42811
6,42972
6,43133
6,43294
6,43455
6,43615
6,43775
6,43935
6,44095
6,44254
6,44413
| 6,44572
6,44731
6,44889
6,45047
6,45205
6,45362
6,45520
6,45677
6,45834
6,45990
6,46147
6,46303
6,46459
6,46614
6,46770
6,46925
6,47080
6,47235
6,47389
6,47543
1 6,47697
1000
п
1,66667
1,66389
1,66113
1,65837
1,65563
1,65289
1,65017
1,64745
1,64474
1,64204
1,63934
1,63666
1,63399
1,63132
1,62866
1,62602
1,62338
1,62075
1,61812
1,61551
1,61290
1,61031
1,60772
1,60514
1,60256
1,60000
1,59744
1,59490
1,59236
1,58983
1,58730
1,58479
1,58228
1,57978
1,57729
1,57480
1,57233
1,56986
1,56740
1,56495
1,56250
1,56006
1,55763
1,55521
1,55280
1,55039
1,54799
1,54560
1,54321
1,54083
1 1,53846
тел
1885,0
1888,1
1891,2
1894,4
1897,5
1900,7
1903,8 |
1906,9
1910,1
1913,2
1916,4
1919,5
1922,7
1925,8
1928,9
1932,1
1935,2
1938,4
! 1941,5
1944,6
1947,8
1950,9
1954,1
1957,2
1960,4
1963,5
1966,6
1969,8
1972,9
1976,1
1979,2
1982,3
1985,5
1988,6
1991,8
1994,9
1998,1
2001,2
2004,3
2007,5
2010,6
2013,8
2016,9
2020,0
2023,2
2026,3
2029,5
2032,6
2035,8
2038,9
1 2042,0
те я* 1
— !п
i
28 27 43
28 36 87
28 46 31
28 5578
28 65 26
287475
28 84 26
28 93 79
29 0333
2912 89
29 22 47
29 32 06
29 41 66
29 51 28 1
29 60 92
29 70 57
29 80 24
29 89 92
29 99 62
30 09 34
3019 07
30 28 82
30 38 58
30 48 36
30 5815
30 67 96
30 77 79
30 87 63
30 97 48
3107 36
31 17 25
31 27 15
31 37 07
3147 00
3156 96
t 31 66 92
3176 90
31 86 90
3196 92
320695
3216 99
| 32 27 05
32 3713
3247 22
3257 33
32 67 45
327759
32 8775
32 97 92
33 0610
1 33 18 31
600
601
602
603
,604
'б05
606
607
608
609
610
6П
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
1 648
64S
I63C

Таблица 1
15
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ круга (Продолжение)
п
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
л»
42 25 00
42 38 01
42 5104
42 64 09
42 77 16
42 90 25
43 03 36
4316 49
43 29 64
43 42 81
43 56 00
43 69 21
43 82 44
43 95 69
44 08 96
44 22 25
44 35 56
44 48 89
44 62 24
44 75 61
44 89 00
145 02 41
45 15 84
45 29 29
45 42 76
45 56 25
45 69 76
45 83 29
45 96 84
1 46 10 41
46 24 00
46 37 61
46 51 24
46 64 89
46 78 56
46 92 25
47 05 96
47 19 69
47 33 44
47 47 21
47 6100
47 74 81
47 88 64
48 02 49
48 16 36
48 30 25
48 44 16
48 58 09
48 72 04
48 86 01
49 00 00
л*
274 625 000
275 894 451
277 167 808
278 445 077
279 726 264
281 011 375
282 300 416
283 593 393
284 890 312
286 191 179
287 496 000
288 804 781
290117 528
291 434 247
292 754 944
294 079 625
295 408 296
296 740 963
298 077 632
299 418 309
300 763 000
302111711
303 464 448
304 821 217
306 182 024
307 546 875
308 915 776
310 288 733
1 311665 752
313 046 839
314 432 000
315 821241
317 214 568
318 611987
320013 504
321 419 125
322 828 856
324 242 703
325 660 672
327 082 769
328 509 000
329 939 371
331 373 888
332 812 557
334 255 384
335 702 375
337 153 536
338 608 873
340 068 392
341 532 099
1 343 000 000
yir
25,4951
25,5147
25,5343
25,5539
25,5734
i 25,5930
25,6125
25,6320
25,6515
25,6710
25,6905
25,7099
25,7294
25,7488
25,7682
25,7876
25,8070
25,8263
25,8457
25,8650
25,8844
25,9037
25,9230
25,9422
25,9615
25,9808
26,0000
26,0192
26,0384
26,0576
26,0768
26,0960
26,1151
26,1343
26,1534
26,1725
26,1916
26,2107
26,2298
26,2488
26,2679
26,2869
26,3059
26,3249
26,3439
26,3629
26,3818
26,4008
26,4197
26,4386
1 26,4575
yvj
8,6624
8,6668
8,6713
8,6757
8,6801
8,6845
8,6890
8,6934
8,6978
8,7022
8,7066
8,7110
8,7154
8,7198
8,7241
8,7285
8,7329
8,7373
j 8,7416
8,7460
I 8,7503
8,7547
8,7590
8,7634
8,7677
8,7721
8,7764
8,7807
8,7850
8,7893
8,7937
8,7980
8,8023
8,8066
8,8109
1 8,8152
8,8194
8,8237
8,8280-
8,8323
8,8366
8,8408
8,8451
8,8493
8,8536
8,8578
8,8621
8,8663
8,8706
8,8748
1 8,8790
In n
6,47697
6,47851
6,48004
6,48158
.6,48311
6,48464
6,48616
6,48768
6,48920
6,49072
6,49224
6,49375
6,49527
6,49677
6,49828
6,49979
6,50129
6,50279
6,50429
6,50578
6,50728
6,50877
6,51026
6,51175
6,51323
6,51471
6,51619
6,51767
6,51915
6,52062
6,522C9
6,52356
6,52503
6,52649
6,52796
6,52942
6,53088
6,53233
6,53379
6,53524
6,53669
6,53814
6,53959
6,54103
6,54247
6,54391
6,54535
6,54679
6,54822
6,54965
6,55108
1000 ;
n
1,53846
1,53610
1,53374
1,53139
1,52905
1,52672
1,52439
1,52207
1,51976
1,51745
1,51515
1,51286
1,51057
1,50830
1,50602
1,50376
1,50150
1,49925
1,49701
1,49477
1,49254
1,49031
1,48810
1,48588
1,48368
1,48148
1,47929
1,47710
1,47493
1,47275
1,47059
1 1,46843
1 1,46628
1,46413
1,46199
1 1,45985
1,45773
1,45560
1,45349
1,45138
1,44928
1,44718
1,44509
1,44300
1,44092
1,43885
1,43678
1,43472
1,43266
1,43062
1 1,42857
Л П
2042,0
2045,2
2048,3
2051,5
2054,6
2057,7
2060,9
2064,0
2067,2
2070,3
2073,5
2076,6
2079,7
2082,9
2086,0
2089,2
2092,3
2095,4
2098,6
2101,7
2104,9
1 2108,0
2111,2
2114,3
2117,4
2120,6
2123,7
2126,9
2130,0
2133,1
2136,3
2139,4
2142,6
2145,7
2148,8
2152,0
2155,1
2158,3
2161,4
2164,6
2167,7
2170,8
2174,0
2177,1
2180,3
2183,4
2186,5
2189,7
2192,8
2196,0
1 2199,1
кп*
4
3318 31
33 28 53
33 38 76
•33 4901
33 59 27
33 69 55
33 79 85
33 90 16
34 00 49
3410 83
34 21 19
34 31 57
34 4196
34 52 37
34 62 79
34 73 23
34 83 68
34 94 15
35 04 64
35 15 14
35 25 65
35 3618
35 46 73
35 57 30
35 67 88
35 78 47
35 89 08
35 99 71
361035
36 2101
36 3168
36 42 37
36 53 08
36 63 80
36 7453
36 85 28
36 96 05
37 06 84
37 17 64
37 28 45
37 39 28
37 5013
37 60 99
1 37 7187
37 82 76
37 93 67
38 04 59
38 1553
382649
38 37 46
3848 45
n
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
870
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
i 694
695
696
697
698
1 699
1700

16
Т. 1*. Отд. 1. Математика, t. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
велИЧИНЫ, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩади Круга (Продолжение)
п
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
я8
49 0000
4914 01
49 28 04
49 42 09
49 56 16
49 70 25
49 84 36
49 98 49
5012 64
50 26 81
50 4100
50 55 21
50 69 44
50 83 69
50 97 96
Ы 12 25
51 26 56
5140 89
5155 24
51 69 61
5184 00
51 98 41
52 12 84
52 27 29
52 41 76
52 56 25
52 70 76
52 85 29
52 99 84
53 14 41
53 29 00
53 43 61
53 58 24
53 72 89
53 87 56
54 02 25
54 16 96
54 3169
54 46 44
54 6121
54 76 00
54 90 81
55 05 64
55 20 49
55 35 36
55 50 25
55 6516
55 80 09
55 95 04
5610 01
56 25 00
я3
343 000 000
344 472 1011
345 948 408
347 428 927
348 913 664
350 402 625
351 895 816
353 393 243
354 894 912
356 400 829
357 911 000
359 425 431
360 944 128
362 467 097
363 994 344
365 525 875
367 061 696
368 601 813
370 146 232
371 694 959
373 248 000
374 805 361
376 367 048
377 933 067
379 503 424
381 078 125
382 657 176
384 240 583
385 828352
387 420 489
389 017 000
390 617 891
392 223 168
393 832 837
395 446 904
397 065 375
398 688 256
400 315 553
401 947 272
403 583 419
405 224 000
406 869 021
408 518 488
410 172 407
411830 784
413 493 625
415 160 936
416 832 723
418 503 992
420 189 749
1 421 875 000
уп
26,4575
26,4764
26,4953
26,5141
26,5330
26,5518
26,5707
26,5895
26,6083
26,6271
26,6458
26,6646
26,6833
26,7021
26,7208
26,7395
26,7582
26,7769
26,7955
26,8142
26,8328
26,8514
26,8701
26,8887
26,9072
26,9258
26,9444
26,9629
26,9815
27,0000
27,0185
27,0370
27,0555
27,0740
27,0924
27,1109
27,1293
27,1477
27,1662
27,1846
27,2029
27,2213
27,2397
27,2580
27,2764
27,2947
27,3130
27,3313
27,3496
27,3679
27,3861
3
Yn
8,8790
8,8833
8,8875
8,8917
8,8959
8,9001
8,9043 j
8,9085 1
8,9127
8,9169
8,9211
8,9253
8,9295
8,9337
8,9378
8,9420
8,9462
8,9503
8,9545
8,9587
8,9628
8,9670
8,9711
8,9752
8,9794
8,9835
8,9876
8,9918
8,9959
9,0000
9,0041
9,0082
9,0123
9,0164
9,0205
9,0246
9,0287
9,0328
9,0369
9,0410
9,0450
9,0491
9,0532
9,0572
9,0613
9,0654
9,0694
9,0735
9,0775
9,0816
9,0856
In п
6,55108
6,55251
6,55393
6,55536
6,55678
6,55820
6,55962
6,56103
6,56244
6,56386
6,56526
6,56667
6,56808
6,56948
6,57088
6,57228
6,57368
6,57508
6,57647
6,57786
6,57925
6,58064
6,58203
6,58341
6,58479
6,58617
6,58755
6,58893
6,59030
6,59167
6,59304
6,59441
6,59578
6,59715
6,59851
6,59987
6,60123
6,60259
6,60394
6,60530
6,60665
6,60800
6,60935
6,61070
6,61204
6,61338
6,61473
6,61607
6,61740
, 6,61874
6,62007
1000
п
1,42857
1,42653
1,42450
1,42248
1,42045'
1,41844
1,41643
1,41443
1,41243
1,41044
1,40845
1,40647
1,40449
1,40252
1,40056
1,39860
1,39665
1,39470
1,39276
1,39082
1,38889
1,38696
1,38504
1,38313
1,38122;
1,37931 |
1,37741
1,37552
1,37363
1,37174
1,36986
1,36799
1,36612
1,36426
1,36240
1,36054
1,35870
1,35685
1,35501
1,35318
1,35135
1,34953
1,34771
1,34590
1,34409
1,34228
1,34048
1,33869
1,33690
1,33511
1,33333
1С Л
2199,1
2202,3
2205,4
2208,5
2211,7
2214,8
2218,0
2221,1
2224,2
2227,4
2230,5
2233,7
2236,8
2240,0
2243,1
2246,2
2249,4
2252,5
2255,7
2258,8
2261,9
2265,1
2268,2
2271,4
2274,5
2277,7
2280,8
2283,9
2287,1
2290,2
2293,4
2296,5
2299,6
2302,8
2305,9
2309,1
2312,2
2315,4
2318,5
2321,6
2324,8
2327,9
2331,1
2334,2
2337,3
2340.5
2343,6
2346,8
2349,9
2353,1
1 2336,2
те П*
~4~
38 48 45
38 59 45
38 70 47
38 81 51
38 92 56
39 03 63
39 14 71
39 25 80
39 36 92
39 48 05
39 59 19
39 70 35
39 8153
39 92 72
40 03 93
4015 15
40 26 39
40 37 65
40 48 92
40 60 20
40 7150
п
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
40 82 82 1 721
4094 15
4105 50
41 16 87
41 28 25
41 39 65
415106
4162 48
41 73 93
4185 39
41 96 86
42 08 35
42 19 86
42 3138
42 42 92
42 54 47
42 66 04
42 77 62
42 89 22
43 00 84
43 12 47
43 24 12
43 35 78
43 47 46
43 59 16
43 70 87
43 82 59
43 94 33
j 440609
! 44 17 86
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
!750

Таблица 1
17
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
веЛИЧИНЫ, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
л2
56 25 00
56 40 01
56 55 04
56 70 09
56 85 16
57 00 25
5715 36
57 3049
57 45 64
57 608t
57 76 00
57 91 21
58 06 44
58 2169
58 36 96
58 52 25
58 67 56
58 82 89
58 98 24
59 13 61
59 29 00
59 44 41
59 59 84
59 75 29
59 90 76
60 06 25
60 2176
60 37 29
60 52.84
60 68 41
60 84Q0
60 99 61
61 15 24
'6130 89
6146 56
61 62 25
61 77 96
61 93 69
62 09 44
62 25 21
62 4100
62 56 81
62 72 64
62 88 49
63 04 36
63 20 25
63 36 16
63 52 09
63 68 04
63 84 01
64 00 00
л*
421 875 000
423 564 751
425 259 008
426 957 777
428 661 064
430 368 875
432 081 216
433 798 093
435 519 512
437 245 479
438 976 000
440 711081
442 450 728
444 194 947
445 943 744
447 697 125
449 455 096
451 217 663
452 984 832
454 756 609
456 533 000
458 314 011
460 099 648
461889 917
463 684824
465 484 375
467 288 576
469 097 433
470 910 952
472729139
474 552 000
476 379 541
478 211 768
480 048 687
481890 304
483 736 625
485 587 656
487 443 403
489 303 872
491 169 069
493 039 000
494 913 671
496 793 088
498 677 257
500566184
502459 875
504358 336
506 261573
508 169 592
510082 399
512000 000
vr»
27,3861
27,4044
27,4226
27,4408
27,4591
27,4773
27,4955
27,5136
27,5318
27,5500
27,5681
27,5862
27,6043
27,6225
27,6405
27,6586
27,6767
27,6948
27,7128
27,7308
27,7489
27,7669
27,7849
27,8029
27,8209
27,8388
27,8568
27,8747
27,8927
27,9106
27,9285
27,9464
1 27,9643
27,9821
28,0000
28,0179
| 28,0357
28,0535
28,0713
28,0891
28,1069
28,1247
28,1425
28,1603
28,1780
28,1957
28,2135
28,2312
28,2489
28,2666
28,2843
з
9,0856
9,0896
9,0937
9,0977
9,1017
9,1057
9,1098
9,1138
9,1178
9,1218
9,1258
9,1298
9,1338
9,1378
9,1418
9,1458
9,1498
9,1537
9,1577
9,1617
9,1657
9,1696
9,1736
9,1775
9,1815
9,1855
9,1894
9,1933
9,1973
9,2012
9,2052
9,2091
9,2130
; 9,2170
1 9,2209
9,2248
9,2287
9,2326
9,2365
9,2404
9,2443
9,2482
9,2521
9,2560
9,2599
9,2638
9,2677
9,2716
9,2754
9,2793
9,2832
In л
6,62007
6,62141
6,62274
6,62407
6,62539
6,62672
6,62804
6,62936
6,63068
6,63200
6,63332
6,63463
6,63595
6,63726
6,63857
6,63988
6,64118
6,64249
6,64379
6,64509
6,64639
6,64769
6,64898
6,65028
6,65157
6,65286
6,65415
6,65544
6,65673
6,65801
6,65929
6,66058
6,66185
6,66313
6,66441
6,66568
6,66696
6,66823
6,66950
6,67077
6,67203
6,67330
6,67456
6,67582
6,67708
6,67834
6,67960
6,68085
6,68211
6,68336
6,68461
1000
п
1,33333
1,33156
1,32979
1,32802
1,32626
1,32450
1,32275
1,32100
1,31926
1,31752
1,31579
1,31406
1,31234
1,31062
1,30890
1,30719
1,30548
1,30378
1,30208
1,30039
1,29870
1,29702
1,29534
1,29366
1,29199
1,29032
! 1,28866
1,28700
1,28535
1,28370
1,28205
1,28041
1,27877
1,27714
1,27551
1,27389
1,27226
1,27065
J,26904
1,26743
1,26582
1,26422
1,26263
1,26103
1,25945
1,25786
1,25628
1,25471
1,25313
1,25156
1,25000
тг П
2356,2
2359,3
2362,5
3365,6
/368,8
2371,9
2375,0
2378,2
2381,3
2384,5
2387,6
2390,8
2393,9
2397,0
2400,2
2403,3
2406,5
2409,6
2412,7
2415,9
2419,0
2422,2
2425,3
2428,5
2431,6
2434,7
2437,9
2441,0
2444,2
2447,3
2450,4
2453,6
2456,7
2459,9
2463,0
2466,2
2469,3
2472,4
2475,6
2478,7
2481,9
2485,0
2488,1
2491,3
2494,4
2497,6
2500,7
2503,8
2507,0
2510,1
2513,3
тс п*
~1Г
4417 86
44 29 65
44 41 46
44 53 28
44 6511
4476 97
44 88 83
45 00 72
4512 62
45 24 53
4536 46
45 48 41
45 60 37
45 72 34
4584 34
45 96 35
46 08 37
46 20 41
46 32 47
46 4454
46 56 63
46 68 73
4680 85
46 92 98
47 05 13
4717 30
47 29 48
47 41 68
47 53 89
47 66 12
4778 36
47 90 62
4802 90
4815 19
4827 50
48 39 82
48 52 16
48 64 51
48 76 88
48 89 27
490167
4914 09
49 26 52
49 38 97
49 5143
49 63 91
49 76 41
49 88 92
50 0145
5013 99
50 2655
п
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
796
709
800
2. Hiitte, Справочник для инженеров, т. I.

18
Т. I. Отд. 1 Математика, t. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
Л2
64 0000
64 16 01
64 32 04
64 48 09
64 6416
64 80 25
64 96 36
6512 49
65 28 64
65 44 81
65 6100
65 77 21
65 9344
6609 69
66 25 96
66 42 25
66 58 56
66 74 89
66 9124
67 07 61
67 24 00
67 40 41
6756 84
67 73 29
67 89 76
68 06 25
68 22 76
68 39 29
68 55 84
68 72 41
68 89 00
69 05 61
69 22 24
69 38 89
69 55 56
69 72 25
69 88 96
70 05 69
70 22 44
70 39 21
70 56 00
70 72 81
70 89 64
71 06 49
71 23 36
7140 25
71 57 16
71 74 09
719104
72 08 01
72 25 00
л»
512000 000
513 922 401
515 849 608
517 781 627
519 718 464
521 660 125
523 606 616 1
525 557 9431
527 514112
529 475 129
531441000
533 411731
535 387 328
537 367 797
539 353144
541343375
543 338 496
545 338 513
547 343 432
549353 2591
551 368 000!
553 387 661
555 412 248
557 441 767
559 476 224
561 515 625
563 559 976
565 609 283
567 663552
569 722 789
571787 000
573 856 191
575 930 368
578 009 537
S80093 704
582182 875
584 277 056
586 376 253
588 480 472
590 589 719
592 704 000
594 823 321
596 947(688
599 077 107
601 211 584
603 351 125
605495 736
607 645 423
609 800192
611960 049
614 125 000
ут
28,2843
28*3019
28,3196
28,3373
28,3549
28,3725
28,3901
28,4077
28,4253
28,4429
28,4605
28,4781
28,4956
28,5132
28,5307
28,5482
28,5657
28,5832
28,6007
28,6182
28,6356
28,6531
28,6705
28,6880
28,7054
28,7228
28,7402
28,7576
28,7750
28,7924
28,8097
28,8271
28,8444
28,8617
28,8791
|28,8964
28,9137
28,9310
28,9482
28,9655
28,9828
[29,0000
29,0172
29,0345
29,0517
29,0689
29,0861
29,1033
29,1204
29,1376
' 29,1548
3
9,2832
9,2870
9,2909
9,2948
9,2986
9,3025
9,3063 1
9,3102
9,3140
9,3179
9,3217
9,3255
9,3294
9,3332
9,3370
9,3408
9,3447
9,3485
9,3523
9,3561
9,3599
9,3637
9,3675
9,3713
9,3751
9,3789
9,3827
9,3865
9,3902
9,3940
9,3978
9,4016
9,4053
9,4091
9,4129
9,4166
9,4204
9,4241
9,4279
9,4316
9,4354
9,4391
9,4429
9,4466
9,4503
9,4541
9,4578
9,4615
9,4652
9,4690
9,4727
in п
6,68461
6,68586
6,68711
6,68835
6,68960
6,69084
6,69208
6,69332
6,69456
6,69580
6,69703
6,69827
6,69950
6,70073
6,70196
6,70319
6,70441
6,70564
6,70686
6,70808
6,70930
6,71052
6,71174
6,71296
6,71417
6,71538
6,71659
6,71780
6,71901
6,72022
6,72143
6,72263
6,72383
6,72503
6,72623
6,72743
6,72863
6,72982
6,73102
6,73221 %
6,73340
6,73459
6,73578
6,73697
6,73815
6,73934
6,74052
6,74170
6,74288
6,74406
' 6,74524
1000
п
1,25000
1,24844
1,24688
1,24533
1,24378
1,24224
1,24069 1
1,23916 1
1,23762
1,23609
1,23457
1,23305
1,23153
1,23001
1,22850
1,22699
1,22549
1,22399
1,22249
1,22100
1,21951
1,21803
1,21655
1,21507
1,21359
1,21212
1,21065
1,2(919
1,20773
1,20627
1.2С482
1,20337
1,20192
1,20048
1,19904
1,19760
1,19617
1,19474
1,19332
1,19190
1,19048
1,18906
1,18765
1,18624
1,18483
1,18343
1,18203
1,18064
1,17925
1,17786
1,17647
к п
2513,3
2516,4
2519,6
2522,7
2525,8
2529,0
2532,1
2535,3
2538,4
2541,5
2544,7
2547,8
2551,0
2554,1
2557,3
2560,4
2563,5
2566,7
2569,8
2573,0
2576,1
2579,2
2582,4
2585,5
2588,7
2591,8
2595,0
2598,1
2601,2
2604,4
2607,5
2610,7
2613,8
2616,9
2620,1
2623,2
2626,4
2629,5
2632,7
2635,8
2638,9
2642,1
2645,2
2648,4
2651,5
2654,6
2657,8
2660,9
2664,1
2667,2
1 2670,4
4
50 26 55
50 3912
50 5171
50 64 32
50 76 94
50 89 58
5102 23
5114 90
5127 58
5140 28
5153 00
5165 73
5178 48
51 91 24
52 04 02
52 16 81
52 29 62
52 42 45
52 55 29
526814
52 81 02
52 93 91
53С6 81
5319 73
53 32 67
53 45 62
53 58 58
53 7157
53 84 56
53 97 58
.5410 61
54 23 65
5436 71
5449 79
54 62 88
54 75 99
54 8912
55 02 26
5515 41
55 28 58
55 4177
55 54 97
55 6819
55 8142
55 94 67
5607 94
56 21 22
56 34 52
56 47 83
56 61 16
56 74 50
п
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850

g
oooooooooo oooooooo 55 oooooooooo oooooooo S5 oooooooooo
cdcocococd cp со со со 3? oo oo oo oo oo oo oo oo oo 2 **J ^J *^ ~o -Я
COOO-^OiCn 4^COtO>- О COCO-^OiCn ^СОМи-ОфОО^ОСЛ
4*. 00 to к- О СО 00 "О О) С
4* со to i— О со со -л 5S ел 4bcoto»-»0
-I СОЮ 4*05СО^-4* ОЭСОь-СООЭ
8 000ИЮ С04^а>000 t04wC>cOtO СЛ00ЮО1О 4Ю0Ю^Ю
>-*4*СОО>Сп СПСОфч-'О »—4ь.СООСП О СО 4* i-* О •— 4ь СО О) СЛ
&СЛ
аэ4ь.СО>—СО «^О^Ю»— С0^4СЛ4*КЭ
4^^осоа> оои^^о coocotocn
Фа^ЮО COOi^COtO MQOOO
0>С04*»-*© >--4*СОО>СЛ OiC04*.i—О
•41 -vcvj«^-^^ *^**?5?53^ ^J^SSSffi ЙЙЖЙЙ ^^^^сФ ФФФФ05 cnppxpc? оо>о>д>о> о>о>оо>о> оо>о>«о>
to «ОЮМн-м Г^й°,9 ООСОЮСО србэвйОООО ^^Л-^*^05 0>0>0>0>0л Сл СЛ СП ф* £. 4». Б. Л СО Со СО СО tO W Ю Ю to и- •-* •—
(О О^'-'СОСП 4^ЮСО^)4^ *00**4СЛСО О 00 Oi СО н-* СО О) 4^ to СО -^ СЛ СО О 00 С» СО i-» СО *«4 4* Ю О СО О СО н- СО *<1 Сл Ю О СО Oi 4ь
§СЛ к^ -д СО СО СП»— -«JCOCO СлГОСОСлн- 00 tfb. »-* ■<! 4ь ь-ооСпЮСО ОС
-^ICnCOlO»-' h-tOC04*.O> COtOCPQOl ©OStOCD^l CnCOtOtOtO ЮС
Ю04кСО->1 СП»—KS^JCO Сл-34»»3>4>* -JCnOO^ltO ►—СУ>05н-н- ^jg
ор^Сл ЮСО*^4ъЮ СО-^СЛЮО COCJ4*tO© СО О) 4* N3 »-*
ОСл^Ю Со*^»—О»— -^COO-vJCn COtOtOtOtO OoOi^COtO
04*05СО ^Ю^"-^ WWCOSO) CO 00 to Ю О) СлООСлСЛ
5 to со 55 сл
СОСЛСО^С
5J?5P5Dt? goo^§p §й5?§§ §>§&~£
со to со с
союсосйсп ^^jooi-'c:
18!
ЮСЛСО-40 COCOKStO
0СЛ
Si
СОЮС005СЛ 4^-^00»-*C
ЮЮКЭКЭ
h2*°. h^*0.^*0*0. »o to to to to to ю to to to to to to to to to to to to to
соcO cococococo cococococo cococococo cococococo cococococo
d"cd"co"co"co ^oooooqoco оо«»5*о^а^ ^ViqjoiOi лраспЬ ~слслслсл4ь 'Юь.^'^еЛи 'oo'cococo'co co'to'to'to'to 'toWi--'»-''*—
ООСЛОО«— CO 00 05 4*00 »-*«ОСОСП4а. CO н-СО 00 Oi 4* СО »-» СО СО Oi 4^ to »— СО -J OS 4> tO ►-* СО-<1 Сл 4* to ОСО^»СЛ4>. ЮОСО^СЛ
о о> о со о> со со о> со to о> со to сл со to сл со ►— 4* -J •— 4* ^ р со о> со to сл со—Еоо со оэ со to сл соь-4* ^4 р со о> со ►- 4*
cococococo
-oosajCnS cotoocoo
Oi OiOiOiOiOi OiOiOiOiOi OiOiOiOiOi ^TiOiOiOiOi £i£iO*OiOi OiOiOiOiOi OiOiOiOiOi OiOiOiOiOi OiOiOiOiOi OiOiOiOiOi
Ъо ЪоЪо^^з^ "ЬзЪзЪз'Ьз'Ь? Ъз^Ъ^Ъ! Ъ^Ъ^Ъ? Ъ^ЪзЪзЪзЪз Ъ^ЬзЪзЪзЪ? "ЬзЪ^ЪзЪзЪз ЪзЪ?;^?^ Чт^^Ь?^?^ ^V^V'V
*- ^н-и-ч-и-* H->-»tOlOtO Ю tO to to to COCOCOCOCO COC04*4>.4»> 4^ 4*. *► 43» 4v сл Сл Сл СЛ Сл СлСЛСЛОО» OiOiOiOiOi ^l ^1 •>) *^ •>!
i— ЮСО4ь.ф-0 СОСО*-ЮСО 4*0>"<>ООСО •-* »>0 СО СЛ СТ> -^OOO'-'tO ►иСЛОСОСО 0^004*0) *>!COQ»-*tO 4*.Спа)СОСО ОЮСОСЛО
►- сослооосо слооосод> со.—4^С5ср ^эcл"^Qй? 2?SPMCnc5 t^ife"^^!^ SO^^O rfk^icorfk^ »—слооюсл c5co-«JQ4>.
*- СЛСООО"^ЬС *^tOOOCOO OiC00^4^ tOOCO^lCft 05СЛСЛСЛ0> C3500CO"—CO СЛ^10СО-»1 »—СЛС04^СО 4^.0C35tOCO Oi СО е- СО ^1
to ю to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to to к?
55 oooooooooo oocooo^^j -<i^i-<i-3-*i ^i-v)-<i^j-vi -v)«g-»q-41 -^ ^i-^-vi^j->i «iS*q^^j^ ^a^^-^^S
КЭ lotO^-^-»— OOOCOCO CD0O000000 SSSOJO) 05СЛСЛСЛ4»>. 4»-4i.CoCOCO OotOtOtO^- и- ►— О О О
jO Jb^te***^ GOplt^lpOi bOlDOiCOC) ^-**ъС)Ы4ь ^-JXCn^tO^JO $ПЬЭ<ОСЛОЭ PP>CopS 4b*-+Q0&.~
V colooco^J "os^'oo'too %со'*>1с>сл,со to'o'coViaj 'елсо'ьо'о'с© Ъо'сл'сл'со'ьэ <о'соЪоЪ5Сл "со'м^-'соЪо
to to to to to
оосл to^co^o»
Ъслсокэ^-
ю to to ins to
Oi Oi Oi Oi Oi
00-^-g ^i^i
tojop^^op
"co'co'cbcnV
S OiOiOiOiOi OiOiOiOiOi OiOiOiOiOi OiOiOiOiOi Oi Oi Qi Qi Oi Сл СЛ Сп Сл Сл Сл Сл Сл Сл Сл СЛ Сл Сл Сл Сл СлСлСпСлСл СлСлСлСлСл
сосососою to to to to to to«—^*b*v- ь-^-ь-»оо ooooo cococococo cococococo cococococo •^^>vj«sj^) *q-*j^oa>
Oi 4^CO»-OCO ->Ла)4».СО»0 рср<105СЛ CONDQCOOO Oi СЛ 4> Ю •— CO 00 ^Л СЛ 4* CO »-* О CO ■<! Oi 4k. CO Ю О CO 00 Oi СЛ 4*. Ю >— О CO ^1
•— ^сосоелн- ^сосоелн- ^acocochi— ^cococnto ob^ooco соелкзоо^ имсоосп юсоелкэсо oi»-*co4».i— co4^>-'^i4^
аю ►— — — !-»►-» t-^totoco4^ cnooocoi— сосл-^coio 4^-^рсосл осо-^^сл co4^oocooo cocococo4k poitooocn
- *■ СОСЛСОС04^ ^J»-^J4kCO 4*.СПОСЛКЭ •— •— CO Oi О -^ СЛ 4^ Сл CO to СО СЛ 4* СЛ ^4 О СЛ to О О Ю Сл О Oi СО СО 4^ Oi О
coco 00 со со оо 52 оо оо со со со со oo oo oo S2 во оо оо оо оо оо оо со оо с? oooooooooo 00 00 00 до 9R oo oo oo oo oo ooooooooS
<xico со со со со 5S оо оо со К оо оо оо оо оо vg -^ -д ■>! ->а -^ -vj-vj-^-д 22 о> о> о> ф сз> р> о о> Oi S сп сл ей сл сл слслслсл^
05СЛ 4^ СО to »-О «О 00 ^1OJ СП . 4^ CO tO ь- О CD СО •>! О) СЛ 4* СО N3 *- О СО 00 «^ О» СП J^COtOi— О СОСО-^СЪСЛ 4».COtOi—<
COCOCOCOCO 00 СО 00 СО
СОСОСО"^ "■"-"**•*
СО 00 -4

20
Т. I. Отд 1 Математика. I Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩади Круга '(Продолжение)
я*
8100 00
8118 01
81 36 С4
8154 09
81 72 16
8190 25
82 08 36
82 26 49
82 44 64
82 62 81
82 8100
82 99 21
83 17 44
83 35 69
83 53 96
83 72 25
83 90 56
84 08 89
84 27 24
84 45 61
84 64 00
848241
8500 84
8519 29
85 37 76
85 56 25
85 74 76
85 93 29
86 11 84
86 30 41
86 49 СО
86 67 61
86 86 24
87 04 89
87 23 56
87 42 25
87 60 96
87 79 69
87 98 44
88 17 21
88 36 00
88 54 81
88 73 64
88 92 49
89 11 36
89 30 25
89 49 16
39 68 09
89 37 04
90 06 01
90 25 00
Л1
ут
ук
729 000 000
731 432 701
733 870 808
736 314 327
738 763 264
741 217 625 I
743 677 416 !
746 142 643 I
748 613 312
751 089 429
753 571 000
756 058 031
758 550 528
761 048 497
763 551 944
766 060 875
768 575 296
771 095 213
773 620 632
776 151 559
778 688 000
781 229 961
783 777 448
786 330 467
788 889 024
791 453 125
794 022 776
796 597 983
799 178 752
801 765 089
804 357 000
806 954 491
809 557 568
812 166 237
814 780 504
817 400 375
820 025 856
822 656 953
825 293 672
827 936 019
830 584 000
833 237 621
835 896 888
838 561 807
841 232 384
843 908 625
846 590 536
849 278 123
851 971 392
854 670 349
857 375 000
30,0000
30,0167
30,0333
30,0500
30,0666
30,0832
30,0998
30,1164
30,1330
30,1496
30,1662
30,1828
30,1993
30,2159
30,2324
30,2490
30,2655
30,2820
30,2985
30,3150
30,3315
30,3480
30,3645
30,3809
30,3974
30,4138
30,4302
30,4467
30,4631
30,4795
30,4959
30,5123
30,5287
30,5450
30,5614
30,5778
30,5941
30,6105
30,6268
30,6431
30,6594
30,6757
30,6920
30,7083
30,7246
30,7409
30,7571
30,7734
30,7896
30,8058
30,8221
9,6549
9,6585
9,662С
9,6656
9,6692
9,6727
9,6763
9,6799
9,6834
9,6870
9,6905
9,6941
9,6976
9,7012
9,7047
9,7082
9,7118
9,7153
9,7188
9,7224
9,7259
9,7294
9,7329
9,7364
9,7400
9,7435
9,7470
9,7505 I
9,7540
9,7575
9,7610
9,7645
9,7680
9,7715
9,7750
9,7785
9,7819
9,7854
9,7889
9,7924
9,7959
9,7993
9,8028
9,$063
9,8097
' 9,8132
9,8167
9,8Л>1
9,8236
9,8270
9,8305
In п
1000
6,80239
6,80351
6,80461
6,80572
6,80683
6,80793
6,80904
6,81014
6,81124
6,81235
6,81344
6,81454
6,81564
6,81674
6,81783
6,81892
6,82002
6,82111
6,82220
6,82329
6,82437
6,82546
6,82655
6,82763
6,82871
6,82979
6,83087
6,83195
6,83303
6,83411
6,83518
6,83626
6,83733
6,83841
6,33948
6,84055
6,84162
6,84268
6,84375
6,84482
6,84588
6,84694
6,84801
6,84907
6,85013
6,85118
6,85224
6,85330
6,85435
6,85541
6,85646
1,11111
1,10988
1,10865
1,10742
1,10619
1,10497
1,10375
1,10254
1,10132
1,10011
1,09890
1,09769
1,09649
1,09529
1,09409
1,09290
1,09170
1,09051
1,08932
1,08814
1,08696
1,08578
1,08460
1,08342
1,08225
1,08108
1,07991
1,07875
1,07759
1,07643
1,07527
1,07411
1,07296
1,07181
1,07066
1,06383
1,06^70
1,06157
1,06045
1,05932
1,05820
1,05708
1,05597
1,05485
1,05374
1,05263
2827,4
2830,6
2833,7
2836,9
2840,0
2843,1
2846,3
2849,4
2852,6
2855,7
2858,8
2862,0
2865Д
28683
287l'>4
2874,6
2877,7
2880,8
2884,0
2887,1
2890,3
2893,4
2896,5 I
2899J !
2902,8
2906,0
2909,1
2912,3
29154
2918,5
2921,7
2924,8
29^8,0
293Ц
2934)2
2937,4
2940,5
2943,7
2946,8
2950,0
63 61 73
63 75 87
63 90 03
64 04 21
6418 40
6432 61
6446 83
64 6107
64 75 33
64 89 60
65 03 88
651818
65 32 50
65 46 84
65 6118
65 75 55
65 89 93
66 04 33
66 18 74
66 3317
66 47 61
66 62 07
66 76 54
66 9103
67 05 54
67 20 06
67 34 60
67 49 15
67 63 72
67 78 31
67 92 91
68 07 52
68 2216
68 36 80
68 5147
68 6615
68 80 84
68 95 55
6910 28
69 25 02
69 39 78
69 54 55
69 69 34
69 8415
69 98 97
7013 80
70 2865
70 43 52
70 58 40
70 73 30
• 70 88 22
934
935

Таблица 1
21
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
веЛИЧИНЫ, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
S93
994
995
996
997
998
999
1С00
л2
90 25 00
90 44 01
90 63 04
90 82 09
91 01 16
9120 25
91 39 36
9158 49
9177 64
91 96 81
9216 00
92 35 21
92 54 44
92 73 69
92 92 96
93 12 25
93 31 56
93 50 89
93 70 24
93 89 61
94 09 00
94 28 41
94 47 84
94 67 29
94 86 76
95 06 25
95 25 76
95 45 29
95 64 84
95 84 41
9604 00
96 23 61
96 43 24
96 62 89
96 82 56
9702 25
97 2196
97 41 69
97 6144
97 8121
98 01 СО
98 20 81
98 40 64
98 60 49
98 80 36
99 00 25
99 20 16
99 40 09
99 60 04
99 80 01
100 00 001
л'
857 375 000
860 085 351
862 801 408
865 523 177
868 250 664
870 983 875
873 722 816
876 467 493
879 217 912
881974 079
884 736 000
887 503 681
890 277 128
893 056 347
895 841 344
898 632 125
901 428 696
904 231063
907 039 232
909 853 209
912 673000
915 498 611
918 330048
921167317
924 010 424
926 859 375
929 714 176
932 574 833
935 441 352
938 313 739
941 192 000
944 076 141
946 966 168
949 862 087
952 763 904
955 671 625
958 585 256
961 504 803
964 430 272
967 361 669
970 299 000
973 242 271
976 191 488
979 146 657
982 107 784
985 074 875
988 047 936
991 026 973
994 011 992
997 002 999
100000000 1
\v«
30,8221
30,8383
30,8545
30,8707
30,8869
30,9031
30,9192
30,9354
30,9516
30,9677
30,9839
31,0000
31,0161
31,0322
. 31,0483
31,0644
31,0805
31,0966
31,1127
31,1288
31,1448
31,1609
31,176?
31,1929
31,2090
31,2250
31,2410
31,2570
31,2730
31,2890
31,3050
31,3209
31,3369
31,3528
31,3688
31,3847
31,4006
31,4166
31,4325
31,4484
31,4643
31,4802
31,4960
31,5119
31,5278
31,5436
31,5595
31,5753
31,5911
31,6070
31,6228
8 .
9,8305
9,8339
9,8374
9,8408
9,8443
9,8477
9,8511
9,8546
9,8580
9,8614
9,8648
9,8683
9,8717
9,8751
9,8785
9,8819
9,8854
9,8888
9,8922
9,8956
9,8990
9,9024
9,9058
9,9092
9,9126
9,9160
9,9194
9,9227
9,9261
9,9295
9,9329
9,9363
9,9396
9,9430
9,9464
9,9497
9,9531
9,9565
9,9598
9,9632
9,9666
9,9699
9,9733
9,9766
9,9800
9,9833
9,9866
9,9900
9,9933
9,9967
10,0000 1
In л
6,85646
6,85751
6,85857
6,85961
6,86066
6,86171
6,86276
6,86380
6,86485
6,86589
6,86693
6,86797
6,86901
6,87005
6,87109
6,87213
6,87316
6,87420
6,87523
6,87626
6,87730
6,87833
6,87936
6,88038
6,88141
6,88244
6,88346
6,88449
6,88551
6,88653
6,88755
6,88857
6,88959
6,89061
6,89163
6,89264
6,89366
6,89467
6,89568
6,89669
6,89770
6,89871
6,89972
6,90073
6,90174
6,90274
6,90375
6,90475
6,90575
6,90675
6,90776
1000
л
1,05263
1,05152
1,05042
1,04932
1,04822
1,04712
1,04603
1,04493
1,04384
1,04275
1,04167
1,04058
1,03950
1,03842
1,03734
1,03627
1,03520
1,03413
1,03306
1,03199
1,03093
1,02987
1,02881
1,02775
1,02669
1,02564
1,02459
1,02354
1,02249
1,02145
1,02041
1,01937
1,01833
1,01729
1,01626
1,01523
1,01420
1,01317
1,01215
1,01112
1,01010
1,00908
1,00806
1,00705
1,00604
1,00503
1,00402
1,00301
1,00*00
1,00100
1,00000 1
тс Л
2984,5Ч
2987,7
2990,8
2993,9
2997,1
3000,2
3003,4
3006,5
3009,6
31)12,8
3015,9
3019,1
3022,2
3025,4
3028,5
3031,6
3034,8
3037,9
3041,1
3044,2
3047,3
3050,5
3053,6
3056,8
3059,9
3063,1
ЗС66,2
3069,3
3072,5
3075,6
3078,8
3081,9
3085,0
3088,2
3091,3
3094,5
3097,6
3100,8
3103,9
3107,0
3110,2
3113,3
3116,5
3119,6
3122,7
3125,9
3129,0
3132,2
3135,3
3138,5
3141,6 1
1С Я8
4
70 88 22
710315
7118 09
7133 06
7148 03
7163 03
71 78 04
7193 06
72 08 10
72 23 16
72 38 23
72 53 32
72 68 42
72 83 54
72 98 67
73 13 82
73 28 99
73 4417
73 59 37
73 74 58
73 89 81
74С5 06
74 20 32
74 35 59
74 50 88
74 66 19
74 81 51
74 96 85
75 12 21
75 27 58
75 42 96
75 58 37
75 73 78
75 89 22
76 04 66
76 20 13
76 35 61
76 51 11
76 66 62
76 82 14
76 97 69
7713 25
77 28 82
77 44 41
77 60 02
77 75 64 ■
77 91 28
78 06 93
78 22 60
78 38 28
78 53 98 1
л
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000

22
Т. I Отд 1. Математика. I Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п
1000
1001
1002
1003
1004
1005
1С06
1007
1С08
1С09
1010
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
- 1021
1022
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
1030
1031
1032
1033
1034
1035
1 36
1037
Г38
1039
1040
1041
1042
1043
1С44
1045
1046
1047
1048
1049
1050
п"
1000 0Э0
1002 001
1004 004
1006 009
1 С08 016
1 010 025
1 012 036
1 014 049
1 016 064
1 018 081
1 020 100
1 022 121
1 024 144
1 026 169
1 028 196
1030 225
1032 256
1 034 289
1 036 324
1038 361
1040 400
1042 441
1044 484
1 046 529
1 048 576
1 050 625
1 052 676
1 054 729
1 056 784
1 058 841
1060 900
1 062 961
1 065 024
1067 089
1 069 156
1 071 225
1 073 296
1 075 369
1077 444
1 079 521
1081600
1 083 681
1 085 764
1 087 849
1 089 936
1 092 025
1 094 116
1096 209
1098 304
1 100 401
1102 500
«з
1000 000 000
1003 003001
1006 012 008
1009 027 027
1 012 048 064
1 015 075 125
1 018 108 216
1 021 147 343
1 024 192 512
1027243 729
1 030 301 000
1 033 364 331
1 036 433 728
1 039 509 197
1 042 590 744
1 045 678 375
1 048 772 096
1 051 871 913
1 054 977 832
1 058 089 859
1 061 208 000
1 064 332 261
1 067 462 648
1070 599 167
1 073 741 824
1 076 890 625
1 080 045 576
1083 206 683
1 086 373 952
1 089 547 389
1 092 727 000
1 095 912 791
1 099 104 768
1 102 302 937
1 105 507 304
1 108 717 875
1 111 934 656
1 115157 653
1 118 386 872
1 121 622 319
1 124 864 000
1 128 111 921
1 131 366 088
1 134 626 507
1 137 893 184
1 141 166 125
1 144 445 336
1 147 730 823
1151022 592
1 154 320 649
1 157 625 0001
у-п
31,6228
31,6386
3lt6544
31,6702
j 31,6860
31,7017
131,7175
[31,7333
31,7490
31,7648
31,7805
31,7962
31,8119
31,8277
31,8434
31,8591
31,8748
31,8904
31,9061
[31,9218
31,9374
31,9531
31,9687
31,9844
32,С0СО
32,0156
32,0312
32,0468
32,0624
32,0780
32,0936
32,1092
32,1248
32,1403
32,1559
32,1714
32,1870
32,2025
32,2180
32,2335
32,2490
32,2645
32,2800
32,2955
32,3110
32,3265
32,3419
32,3574
32,3728
32,3883
32,4037
з -
У-п
10,0000
10,0033
10,0067
10,0100
10,0133
10,0166
10,0200
10,0233
10,0266
10,0299
10,0332
10,0365
10,0398
10,0431
10,0465
10,0498
10,0531
10,0563
10,0596
10,0629
10,0662
10,0695
10,0728
10,0761
10,0794
10,С826
10,0859
10,0892
10,0925
10,0957
10,0990
10,1023
10,1055
10,1088
10,1121
10,1153
10,1186
10,1218
10,1251
10,1283
10,1316
10,1348
10,1381
10,1413
10,1446
10,1478
10,1510
10,1543
10,1575
10,1607
10,1640
In я
6,90776
6,90875
6,90975
6,91075
6,91175
6,91274
6,91374
6,91473
6,91572
6,91672
6,91771
6,91870
6,91968
6,92067
6,92166
6,92264
6,92363
6,92461
6,92560
6,92658
6,92756
6,92854
6,92952
6,93049
6,93147
I 6,93245
6,93342
6,93440
6,93537
6,93634
6,93731
6,93828
6,93925"
6,94022
6,94119
6,94216
1 6,94312
! 6,94409
6,94595
6,94601
6,94698
6,94794
6,94890
6,94986
6,95081
6,95177
6,95273
6,95368
6,95464
6,95559
6,95655
1000
п
1,00000
0,99900
0,99800
0,99701
0,99602
0,99502
0,99404
0,99305
0,99206
0,99108
0,99010
0,98912
0,98814
0,98717
0,98619
0,98522
0,98425
0,98328
0,98232
0,98135
0,98039
0,97943
0,97847
0,97752
0,97656
0,97561
0,97466
0,97371
0,97276
0,97182
0,97087
0,96993
*в,96899
0,96805
0,96712
0,96618
0,96525
0,96432
0,96339
0,96246
0,96154
0,96061
0,95969
0,95877
0,95785
0,95694
0,95602
0,95511
0,95420
0,95329
0,95238
7С П
3141,6
3144,7
3147,9
3151,0
3154,2
3157,3
3160,4
3163,6
3166,7
3169,9
3173,0
3176,2
3179,3
3182,4
3185,6
3188,7
3191,9
3195,0
3198,1
3201,3
3204,4
3207,6
3210,7
3213,8
3217,0
3220,1
3223,3
3226,4
3229,6
3232,7
3235,8
3239,0
3242,1
3245,3
3248,4
3251,5
3254,7
3257,8
3261,0
3264,1
3267,3
3270,4
3273,5
3276,7
3279,8
3283,0
3286,1
3289,2
3292,4
|3295,5
*3298,7
~4~
78 53 98
78 69 70
78 85 43
79 01 18
7916 94
79 32 72
79 48 51
79 64 32
79 8015
79 95 99
80 1185
80 27 72
80 43 61
80 59 51
80 75 43
80 9137
81 07 32
81 23 29
81 39 27
81 55 27
817128
81 87 31
82 03 36
82 19 42
82 35 50
82 51 59
82 67 70
82 83 82
82 99 96
83 16 12
83 32 29
83 48 48
83 64 68
83 80 90
83 97 13
8413 38
84 29 65
84 45 93
84 62 23
84 78 54
84 94 87
85 11 21
85 27 57
85 43 95
85 60 34
85 76 74
85 93 17
86 09 61
«6 26 06
86 42 53
86 59 01
п
1000
1001
1002
1003
1004
1005
1006
1007
1008
1009
1010
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
1030
1031
1032
1033
1034
1035
1036
1037
1038
1039
1040
1041
1042
1043
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050

Таблпца 1
23
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
веЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п
1050
1051
1052
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
1076
1077
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
1087
1(388
1089
1090
1091
1092
1093
1094
1095
1096
1097
1098
1099
1100
— '
я?
1102 500
1104 601
1 106 704
1 108 809
1 110 916
1 113 025
1 115 136
1117 249
1 119 364
1 121 481
1123 600
1 125 721
1127 844
1129 969
1 132 096
1 134 225
1 136 356
1138 489
1140 624
1 142 761
1144 900
1147 041
1149 184
1151 329
1153 476
1155 625
1 157 776
1 159 929
1162 084
1 164 241
1166 400
1168 561
1170 724
1172 889
1 175 056
1 177 225
1 179 396
1 181 569
1 183 744
1 185 921
1188 100
1 190 281
1 192 464
1194 649
1 196 836
1199 025
1 201 216
1203 409
1 205 604
1 207 801
1210 000
л3
1 157 625 000
1 160 935 651
1 164 252 608
1 167 575 877
1170 905 464
1174 241375
1177 583 6Ш
1 180 932 193
1 184 287 112
1187 648 379
1191 016 000
1194 389 981
1197 770 328
1201 157 047
1204 550 144
1 207 949 625
1 211 355 496
1 214 767 763
1 218 186 432
1 221 611 509
1225043 000
1228 480 911
1 231 925 248
1 235 376 017
1 238 833 224
1 242 296 875
1 245 766 976
1 249 243 533
1 252 726 552
1 256 216 039
1 259 712 000
1 263 214 441
1 266 723 368
1 270 238 787
1 273 760 704
1 277 289 125
1280 824 056
1 284 365 503
1287 913 472
1 291 467 969
1 295 029 ОГО
1 298 596 571
1 302 170 688
1 305 751 357
1 309 338 584
1 312 932 375
1 316 532 736
1 320 139 673
1 323 753 192
1 327 373 299
1 331 000 000
■ ■
у-п
32,4037
32,4191
32,4345
32,4500
32,4654
32,4808
32,4962
32,5115
32,5269
32,5423
32,5576
32,5730
32,5883
32,6037
32,6190
32,6343
32,6497
32,6650
32,6803
32,6956
32,7109
32,7261
32,7414
32,7567
32,7719
32,7872
32,8024
32,8177
32,8329
32,8481
32,8634
32,8786
32,8938
32,9090
32,9242
32,9393
32,9545
32,9697
32,9848
ЗЗ.ОСОО
33,0151
33,0303
33,0454
33,0606
33,0757
33,0908
33,1059
33,1210
33,1361
33,1512
33,1662
3
У~п
10,1640
10,1672
10,1704
10,1736
10,1769
10,1801
10,1833
10,1865
10,1897
10,1929
10,1961
10,1993
10,2025
10,2057
10,2089
10,2121
10,2153
10,2185
10,2217
10,2249
10,2281
10,2313
10,2345
10,2376
10,2408
10,2440
10,2472
10,2503
10,2535
10,2567
10,2599
10,2630
10,2662
10,2693
10,2725
10,2757
10,2788
10,2820
10,2851
10,2883
10,2914
10,2946
10,2977
10,3009
10,3040
10,3071
10,3103
10,3134
10,3165
10,3197
10,3228
In л
6,95655
6,95750
6,95845
6,95940
6,96035
6,96130
6,96224
6,96319
6,96414
6,96508
6,96602
6,96697
6,96791
6,96885
6,96979
6,97073
6,97167
6,97261
6,97354
6,97448
6,97541
6,97635
6,97728
6,97821
6,97915
6,98008
6,98101
6,98193
6,98286
6,98379
6,98472
6,98564
6,98657
6,98749
6,98841
6,98934
6,99026
6,99118
6,99210
6,99302
6,99393
6,99485
6,99577
6,99668
6,99760
6,99851
6,99942
7,00033
7,00125
7,00216
7,00307
1000
л
0,95238
0,95147
0,95057
0,94967
0,94877
0,94787
0,94697
0,94607
0,94518
0,94429
0,94340
0,94251
0,94162
0,94073
0,93985
0,93897
0,93809
0,93721
0,93633
0,93545
0,93458
0,93371
0,93284
0,93197
0,93110
0,93023
0,92937
0,92851
0,92764
0,92678
0,92593
0,92507
0,92421
0,92336
0,92251
0,92166
0,92081
0,91996
0,91912
0,91827
0,91743
0,91659
0,91575
0,91491
0,91408
0,91324
0,91240
0,91158
0,91075
0,90992
0,90909
п: Л
3298,7
3301,8
3305,0
3308,1
3311,2
3314,4
3317,5
3320,7
3323,8
3326.9
3330,1
3333,2
333S,4
3339,5
3342,7
3345,8
3348,9
3352,1
3355,2
3358,4
3361,5
3364,6
3367,8
3370,9
3374,1
3377,2
3380,4
Зс*83,5
3386,6
3389,8
3392,Э
3396,1
3399,2
3402,3
3405,5
3408,6
3411,8
3414,9
3418,1
3421,2
3424,3
3427,5
3430,6
3433,8
3436,9
3440,0
3443,2
3446,3
i 3449,5
I 3452,6
3455,8
тел*
—
86 59 01
86 75 52
86 92 03
87 08 57
87 25 11
87 41 68
87 58 26
87 74 85
87 9146
88 08 09
88 24 73
88 41 39
88 58 07
88 74 76
88 9146
89 08 18
89 24 92
89 41 67
89 58 44
89 75 22
89 92 02
90 08 84
90 25 67
90 42 52
90 59 38
90 76 26
90 9315
91 10 06
91 26 99
91 43 93
916088
91 77 86,
9194 84
92 1185
92 28 87
92 45 90
92 62 95
92 80 02
92 97 10
9314 20
93 3132
93 48 45
93 65 59
93 82 75
93 99 93
9417 12
94 34 33
945155
94 68 79
94 86 05
95 03 32
я
1050
1Г51
1052
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1032
1063
1064
1065
1066
1067
1068
1069
1070
1071
1072
1073
1074
1075
1076
1Г77
1078
1079
1080
1081
1082
1083
1084
1085
1086
1087
1088
1089
1090
1091
1092
1093
1094
1095
1036
1097
1098
1С99
1100

2 -ST
x 5
О. о
"g °
О О.
-В
3
s
- t£
* 2a
ч о *
о ~
« ч S
- 3 «
s В
« 5 2
в ев Б
Б °-
н ев S
ев х Н
S S
X £
I 2^
о * и
с 5
a> s
°§
S
ч
VD
^ Я
*L
IB
-V
IB
SS8SS 886882-223 22S22g?!SiS3S SSSSSSSSm 38S5858S333S SSSSSg
»■* i—t i-Ч 1-4 1-4 НИНИ1Н ^HtHHH H »-l 1-* T+ 1-4 »■* i—1 i—liH i—I i-4 ^4 i^ i—t i-* *^ i-Ц i-H i—I »-t т-Н т"Н т-1 i—11-» ^* 1—I i-* i-4 »-4 i^ ,^ i«4 H 1-4 ^
~cNQ^eN«© 1-«!^ю»л«р «coot^co t^o>соooю со^юooсо о£.с*.оо** IP»-• °o5sfcr осооою^ союоосоо» t-to^-ence r-
СОСОСЛСМЮ ОСЧСООТГ 00COt«-eMb- ОЦ^СООО"^4 ОСОСЧООЮ CN0010CNO Ь-iOCNOOO t^lOCOCNi-i ОО50000Г*- t^t^t^t»-00 00
SOb-iOCN CD t-Tf CN CD <0^i-iCft<0 "*• i-i CD CO •*? tNCDt^^CN ОЬ-ЮСО»-" OOCOrPCNCD b»iOCOi-4CD t^ ^ CN Q 00 CO*«Q0O <o
CNCOlOt». OOOCNTMO t»CDi-KN^R <O00CDi-iCO ЮСООООСМ ^<lOC^O>i-i (N^COOOCD »-4СОЮС^00 ONVOS O»4C0i5<3 ОС
CD CO CD CD CD 0)0)0)0)0) 0)0)0)0)0 OiOiOiOiOi О) О) CD CD О)' О) О) О) О) О ООООО ООООО ООООО ООООО О
OOCDOCNCO Ю<01»0)0
tt>NO)ON СО^СОГ^О) OriCO^ftO NOOOiHJO
^«OC^OOCJ,
i-ico-4<iot*- оо
ооооо
оооо оооо 00
оооо" о"
£. 1^.00 0)0
Qi-Hl—«»^i—•
isS§3
b»t^.t^C^b» Ь-Ь*^Ь.Ь»
CNTOCO^lO
оДооД
ииООО)
0.00^0.0
t^ t^ t-1^ t>.
S^coSS
иэсрь-ооо)
sssss
t^ t*. k> Ь-t*. t^
SylS a ES?4 TTi i_ !^т ?S ?i
CO
ооо"©© ооооо о"о"о*>оо"
ЮСО1>-00О)
О) CS Ю 00 1-н
со со со со со
о"©©*©*©*
g^CNC^CO
©"©"о*©"©"'
ооооо
^* ^1* ^* ^ф ^ч*
o'oooo
tOCftCSbOCO *-н ^« t^. О CO «O
oooo"© o*o"o"o"'o"> o*
CNCO^iOlO lO«0«0«Ot^ t^h-^-C^t*. Ь.<0<ОЮЮ TfTTCOCNi-i OOJOOb-tP IQCOCNi-iO) OOtOt'e^H Ot-lOeOr-i OOb-COCSO) b-
<Oi-*(bi-iCO HtOHtfiH to i-i CO t-i CO i-4 CO i-H cx5 i-< (QrHtOHCO HiAOiQQ "jQiCQ^ 0)4hO>^0) CO 00 CO 00 CO t^dNb-CSCO ^
<O00O)»-tCS TPIQSOOQ I^rO^Cfi^ OSQCScgiQ «D00O5^-tCS t«N»0 riSWcDb. OOOhA^ tfiSffiQCN CO 1Л CO ОрСЪ *^
'l'~i*"icic,l ^.ci.^lci^l со«ечеЯ^1сЯ еЯ^1Ч!,1'^^1 ^|1^.'*ч1Яи^ "ч"?^^*1! Ч.*!^.50-^. Ч^^К*^ ^^^^Ш» <4^.^.*1*1 °1
52 52 525252 5252525252 5252525252 52^525252 5252525252 52521725252 525252 5252 52525252'*^ 5252525252 5252525252 **^
сососососо сососососо сососососо сососососо сососососо сососососо сососососо сососососо сососососо сососососо со
>»-400Г^'Ф 1Л1ОС0СЧСП OrSOOb.'* lOSOCOCNCJ) Q^HOOt^Tf lOCOCOCNO) Q^OOtr^' lOCOCOCSO) Q^OOt^^j lOSPCQCNCn Q
^gssi ssisg ssisl SoSS3t3 ssUss sjo^^s ssiss ss^s^s saisi sSi^s I
PS SSSgS §5Sg^S Й?5§Ф8 fes3f:2g KSSSS^ ?SS?^ ^SSS2 »
^xh .-I ел со ч* I-* cdco^Fcno oocotPcno оос^иэ-ФсЯ i^oooc<»<o ub^coiNi-i иооЗо) со
^riSS riSSSS05 «эооо
0C0O5CS CNO
OCOCSCDlO CSOOiOCMCD
r-»^00i-<iO OJCNCOQCO t^i-«UD002J COOCOSrt VQOCNCOO «^^Г^УЗСЛ СЧСОО^ОО CN<OO)C0b* ^«J2MS HlOCfiCNtO Q
?ss§^i js^^cIcI сЗсо-сосо-з ssis0- ii^^^j §^s?§^ ^f §j$§ 5§?s?s?5 $5115 sssss §
§*-i4j«CD<0 lOCOCD^i-t Q'-"!*CDCO USCOCD-^^-i Q »-• "^ CD «О Ю CO CD ^ 1-1 Qih-*0)CD Ю CO CD Tp »-i О •-• ^? CD CO U3(OQ)^i-« О
1=322 ай^а §|§|§ §^!S хщщгщ ggggs gggsg |||gg ggggg ggsgg §
r-t 1-1^4 i-t i-l «-4 1-4 »-• i-« »-4 iHHl-ti-liH «-I f-l i-l 1-* i-4 *-t rH r-4 i-l r-4 »H r-l i-t t^ »-4 ИИИИИ •-! r4 i-l i-l t-4 НННг-lH f-4 *^ 1-4 oN «-4 «-4
"gSSSS ^8^S§g^S2S i3S^S2o-g}gj^ ^S^g5^g?3S5S?JS 88S588 S^^l?^ ^^^$5g
•-■'HiHrtH ^ч »-« i—11-4 1-4 ^ HHHi-• НтННИН *»^< ,^^ц,-4^и ^-i ^_| т_| ^н i-H PJ Hi-IHH ^4i-Hi-4t-4i-4 ^ HHfHH ^^t^i^i^r^ •»•
«" *-4 1-4 1-4 »-• r4Hl-tHH^HHHH nHHrlH^Hi-Hi-t »-• 1-H l^ T-4 1-4 ^ i-l ^-1 »-4 1-4 *-t v4 i-4 »-( т-4 ^^ »-4 1-4 l-t r>4 »-« tM i-l 1-4 iMi ^

Таблица 1
25
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
я
л'
1150, 1322 500
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
1162
1163
1164
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
1179
1180
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1187
1188
1189
1190
1191
1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1200
1 324 801
1 327 104
1 329 409
1 331 716
1334 025
1 336 336
1338 649
1340 964
1343 281
1345 600
1 347 921
1350 244
1352 669
1354 896
1 357 225
1359 556
1 361 889
1 364 224
1 366 561
1368 900
1 371 241
1373 584
1 375 929
1 378 276
1380 625
1 382 976
1 385 329
1 387 684
1390 041
1392 400
1 394 761
1 397 124
1 399 489
1 401 856
1404 225
1406 596
1 408 969
1411344
1 413 721
1 416 100
I 418 481
1 420 864
1 423 249
1 425 636
1 428 025
1430 416
1432 809
1435 204
1 437 601
1440 000
л1
1520 875 000
1 524 845 951
1 528 823 808
1 532 808 577
1 536 800 264
1 540 798 875
1 544 804 416
1 548 816 893
1 552 836 312
1 556 862 679
1 560 896 000
1 564 936 281
1 568 983 528
1 573 037 747
1 577 098 944
1 581 167 125
1 585 242 296
1 589 324 463
1 593 413 632'
1 597 609 809
1 601 613 000
1 605 723 211
1 609 840 448
1 613 964 717
1 618 096 024
1 622 234 375
1 626 379 776
1630 532 233
1 634 691 752
1 638 858 339
1 643 032 000
1 647 212 741
1 651 4С0 568
1 655 595 487
1 659 797 504
1 664 006 625
1 668 222 856
1 672 446 203
1 676 676 672
1 680 914 269
1 685 159 00р
1 689 410 871
1 693 669 888
1 697 936 057
1 702 209 384
I 706 489 875
1 710 777 536
1 715 072 373
1 719 374 392
1 723 683 699
1728 000 000
у-п
33,9117
33,9264
33,9411
33,9558
33,9706
33,9853
34,0000
34,0146
34,0294
34,0440
34,0588
34,0735
34,0881
34,1028
34,1174
34,1321
34,1467
34,1614
34,1760
34,1907
34,2052
34,2199
34,2345
34,2491
34,2637
34,2783
34,2929
34,3074
34,3220
34,3366
34,3512
34,3657
34,3802
34,3948
34,4093
34,4238
34,4383
34,4529
34,4674
34,4819
34,4964
34,51С8
34,5253
34,5398
34,5543
34,5688
34,5832
34,5977
34,6121
34,6266
34,6410
Г7
10,4769
10,4799
10,4830
10,4860
10,4890
10,4921
10,4951
10,4981
10,5011
10,5041
10,5072
10,5102
10,5132
10,5162
10,5192
10,5223
10,5253
10,5283
10,5313
10,5343
10,5373
10,5403
10,5433
10,5463
10,5493
10,5523
10,5553
10,5582
10,5612
10,5642
10,5672
10,5702
10,5732
10,5762
10,5791
10,5821
10,5851
10,5881
10,5910
10,5940
10,5970!
10,6000
10,6029
10,6059
10,6089
10,6118
10,6148
10,6177
10,6207
10,6236
10,6266
In п
7,04752
7,04839
7,04925
7,05012
7,05099
7,05186
7,05272
7,05359
7,05445
7,05531
7,05618
7,05704
7,05790
7,05876
7,05962
7,06048
7,06133
7,06219
7,06305
7,06390
7,06476
7,06561
7,06647
7,06732
7,06817
7,06902
7,06987
7,07072
7,07157
7,07242
7,07327
7,07412
7,07496
7,07581
7,07665
7,07750
7,07834
7,07918
7,08003
7,08087
7,08171
7,08255
7,08339
7,08423
7,08506
7,08590
7,08674
7,08757
7,08841
7,08924
7,09008
1000
л
0,86956
0,86881
0,86806
0,86730
0,86655
0,86580
0,86505
0,86430
0,86356
0,86281
0,86207
0,86133
0,86059
0,85984
0,85911
0,85837
0,85763
0,85690
0,85616
0,85543
,0,85470
0,85397
0,85324
0,85252
0,85179
0,85106
0,85034
0,84962
0,84890
0,84818
0,84746
0,84674
0,84602
0,84531
0,84459
0,84388
0,84317
0,84246
0,84175
0,84104
0,84034
0,83963
0,83893
0,83822
0,83752
0,83682
0,83612
0,83542
0,83472
0,83403
0.83333
кп
3612,8
3616,0
3619,1
3622,3
3625,4
3628,5
3631,7
3634,8
3638,0
3641,1
3644,2
3647,4
3650,5
3653,7
3656,8
3660,0
3663,1
3666,2
3669,4
3672,5
3675,7
3678,8
3681,9
3685,1
3688,2
3691,4
3694,5
3697,7
3700,8
3703,9
3707,1
3710,2
3713,4
3716,5
3719,6
3722,8
3725,9
3729,1
3732,2
3735,4
3738,5
3741,6
3744,8
3747,9
3751,1
3754,2
3757,3
3760,5
3763,6
3766,8
3769,9
ТТЛ*
4
1 03 86 89
1 04 04 96
104 2305
104 4115
104 59 27
104 77 41
1 04 95 56
1 05 13 72
1 05 31 91
1 05 50 10
1 05 68 32
1 05 86 55
1 06 04 79
1 06 23 05
1 06 41 33
1 06 59 62
1 06 77 93
1 06 96 25
1 07 14 59
107 32 94
' 1 07 51 32
1 07 69 70
1 07 88 10
1 08 06 52
1 08 24 95
108 43 40
1 08 61 87
108 80 35
108 98 84
1 09 17 36
109 35 88
109 54 43
1' 9 72 99
1 09 91 56
1 10 10 15
1 10 28 76
1 10 47 38
1 10 66 02
1 10 84 67
11103 34
111 22 02
1 1140 72
1 11 59 44
1 11 78 17
111 96 92
1 12 15 68
1 12 34 46
1 12 53 26
112 7207
1 12 90 89
1 13 09 73
л
1150
1151
1152
1153
1154
1155
1156
1157
1158
1159
1160
1161
1162
1163
1164
1165
1166
1167
1168
1169
1170
1171
1172
1173
1174
1175
1176
1177
1178
1179
1180
1181
1182
1183
1184
1185
1186
1187
1188
1189
1190
1191
1192
1193
1194
1195
1196
1197
1198
1199
1200

§lilli gjggjiiiSi iiiliilill ШШ111Ш11 lllssiilil iilli
§ iiiii iiiii Шт iiiii lilii iiiii iiiii iiiii iiiii liiii
§QCnOCnO СЛОСЛОО иаийЮ -ОГОООСОСО 4>СОСЛОСЛ l~t*^^00^ СОСЛОСПЮ «<JCOCpCn>- 9(0 00^0 CitOC04*Q
ОООИМ С»45»ф00© (O&OXCtC СПООЮ&О SOOM-ОКЗ ^?^Ф^Ф OtOCOChbO CDftf WO 00O5.KCOIs3 t—OOOO
|-*4ь.СОСПСЛ ОТСО^н*© nStDOCn oScO»^»-1© HfrWCiCn Oncost-'(5 н-4*СОО>СЛ СХОДНО H^tOAOl 0>C0 4*.»-*0
H- I—» н* Н-» »-» »-* |-^ >—' t—4—Ч-* »-Н'Н»»-1И 1—4—»»-*»-» H-* t-Ч-* H* •-* I— I—' H- I-» »-* I-* I-* »-* H* f- »-* »—' 1—Ч-* f» I—» I—» »—' Н-Ч-Ч—» H-» I—11—' t—» H-»
<o cococococo cococococo cpcoooooop oooocooooo cococococo cococococo cococo^^-a *«j^»»a^*^ -j*4^a»j-q -4»q^j-«a-»i
a cf&8£8 uo'SSci 8^SS8Si 32SS8 83ВД5&8 SSEo'cT; SgSgS 82832 388££-£§&ёсЗ
*•* fso^«g н-4».сокэо> окоема ослсолор soc©to*jio ^kd^jcoco coco4*oo> •—«^cococn »--*«J*»po> cocoocoq
►о 4*o>cocooo сососп^ю ь-ч-ч-*сосл анслОй cooco-»40i сп-^сон-4* cocooo*.»-» co-^cncnoi ■^coi-'^cp cococntoo
СП и-4* СП 4*. н- ф.Сп^.0^ 4»>COCOtOtO 5сПСОСО->1 »-* ^ ** •-* СЛ -О СП СО СП СО СПЮСлСлСО ОООО&и (С00)(0 0 n)K3>^Co6
§*ocowcpi-* г^солсло cotootooo «рсон-соо seS°2,-tP> t^SJJPSSQ 4».tococnco cooii-*coq сосетесь-» «4*.£cno
лсоюсою сооЗою© •—•чспсл-^ ооЗфФп «««icpiJt0 woiKoiQ слсои*со-н Kcotoco© юн-*4>н-1о cntoooo
COtOCoOiOi фь-^ООн-О СОЮСОСПСЛ ^^боиО СОГОСОСПСЛ 4^-*ICO»-'© СОЮСоСПСЛ Зь-«аОО«—© СОЮСоСПСЛ &-*JCOt— О
со cococococo ее со со со со cococococo cococococo cococococo cococococo cococococo cococococo cococococo cococococo
СП СлСлСЛСЛСП СЛСЛСЛСлСл СЛСЛСЛСЛСЛ СлСлСлСлСЛ CnCnCnCnpi jK4bjfc.jKjK Kt^^*. 4^^.^*.iS 4ь4ь4ь4ь4ь SS^^>^
Ъо "со со со "to "to юкэ1о*Ка'*ю I-»;-'»-'»-»"»-» "н-н-оо© ooooo "<d со ~co "co "(O 1o oo oooooo *co"coooViVj Vi'VqVr.^'Cj "o>V-—-—■•—
Сл 4> w ь- со ср iJ ел 4* ьэ ь- Я? fi? ^ S? & £2 *T* S£ £2 !"S ?/! & t°, ^ ж 2£ ^ ?/! !*i К! T* S£ 92 ^ 95 & £5 JTt Sfi 92 ^ 2? *r ^ !rt $24
СЛ ICOQD
-ЯО\ jttOQCO^ 4*.EOOCOCH CC^Ci
to со ел too
ч>-сп fc300
СЛ
gag^c
ОСЪ»---<1СО
•^cotocni-1
о рр о ©р о о о о о ррр о о ррррр орррр орррр орр ор о оррр ор ооо ооооо
"со ^jVjV^Vj VaVjVjVj'i.j хЧ1г<,гд<1г^ VjVaVi^T-o ^Ъ35$Ъзо> /о/сп'сп'сп'ф Ъ'спЪГсп'сн "©спел Ъ> "си Ъ>Ъ"*сп'сп'сн сп'епсн'сн'сл
^) О СИ СП СП СЛ СЛ СЛ 4* 4* 4> tfe-COCOCOtO ЮКЭ$Он-и- мОООЮ СО'чОСООООО OO^J^^J^J ffiOiawOj СЛСЛ4Ь.4^«*^ CoOOCOtOtO
to toencoo*^ *>tocoo5SJ оч*моо g?coo-^^- н-ооелкэсо ^^ь-«оо<й юеросоо -^*.1—сосл «Ьо^ам сослюсосп
КЗ СОЬ.СЛ->1СО COO>-*W*L СЛСЛ^ЛСОСО Он N300^ СЛО5*>Ю0СО OOt-MW 4^СЛСЛ05^4 0000COOO ь-^-КЭСОСО Ф.^СЛСЛСП
•ч ^-^^^*«а *j-^«*4-^^ ^i*j^j*j**i ^j^j*j^3^i -*j^**j^j-^ ^■^^-^■^ ^^4*a^i-^ j<i*j*>)-j^i ->j^4*»a*^j->j •^■^j-vi^a-vi
1* ^'^.'^-''ь-'*»— '^-'^-'^t-'^i '"^-'^'^.■*h-'*h-* X-'^^-'^-'U» 'U»'i-;-''^'l-i ■^-"^-."^-'h-''*»-» *Ui^1-»'U.l-i '?-*н-'1-»"оо oq"o"qq oqooo
Co to fO to Ю ЬОечЭЮКЭКЭ КЭКЭКЭн-ч-» >- н- (-* н- t— н-h-i-ч-ч-» <0<ЭС>С><0 ООООО OQOCOtP со Ф 35 СО <Ь cocScococp
OCOCO-vJCft СГ>Сл.иСоЮ tOH-OCOCO ОО^СПСЛ^ СОСОЮи-О СОСО00-ОО> Сп4^»иСоКЭ мООЮ» -^СПСлСЛ^к С01чЭ»-*ОО
н-СОСЛООО QtOjUCnOO Q Ю 4*. СП 00 ON3WCn-J СО н-Со Сл ^ СО О КЭ 4> Oi -*JCO»—СоСД О) 00 О N3 СО СЛ-^ СО О to 4>Сл«^СОО
ОООСОСО СООООО'Ч^ сЪслОь^СР Ю»-*СО00^ 0>>^.Со*-*0 СООа4^Сон-> CO^J4^tOO СОСЛСООСО СЛЮСОСПСО О~^4^»-*00
ррррр ррррр ррррр ррррр ррррр оорор ррррр ррррр ррррр ррррр
"зоЪооо Ъо'ЬодоЪо'до ■ооЪо'оо'со'оо ЪоЪс'оооо'оо ЪоЪоЪоЪоЪо ЪоЪоооЪоЪо 'оо'Ъо'ооЪоро ооЪоооЪо'оэ ЪоооЪоЪооо ЪоЪоооЪоЪо
эоо ооооо 55555 5^н->-"-*»г* н-»—к-t—н- ^|_*>-ч-»»-* ююгокэьо totoipioto ьокэюкэкэ cococococo
, .-»касо со4>слслф -j^cococo Oh-^-nsco со4>слслсп cn-»joocgco о»— >-кюсо со4>слслсл ->i^oococp с5*-*-юо5
(stococnto схсл!-'»*». »=;>>4^0-<i C0005COO oScoocnw сослсоосл сооелсоо r^*S!^a^ •r*°°S0,—°° слюсооэоЗ
kOOMSH- CftH-СЛОСЛ ОСЛн-СПКЭ -ЧСОСОСЛ»-» ^JCOOO>CO С005С0О*>) IPNSCO-vJCn КЭОСОО>СЛ COI—OCOCO О5СЛСЛ4*С0
I
Со Со Со Со Со Со СоСосоСоСо Со Со Со Со Со Со Со Со со со СоСоСососо Со Со Со Со со Со Со Со Со со Со Со Со Со Со Со Со со Со Со Со Со со со со
со cococococo срерсооооо ooSffiffioo 4^00000000 оооооосооо сооооооооо oooocooooo ooooSgpoo ^a-^-^-g-^i -<i -^ -vi 4 -^1
to ююн-к-н Qoocpcp coooSoo^i ^^a^jcnoj ослслслК 4^4^coS5co totowtoi-» ^-5-000 cococococo co^i^-go
j<4 сор^^ыь.^-* ^со^лн-^х^сл ьоюрыр pcop^jj^ ^-«j^.H-00 cntoppuo ppc^PJ41 copsjfkM S°S^^i30^ *э*op5*5°
о "co':^'b>'4>.co ^o'coVi'cn 4^со1оо'со Vj'cn^'colo оЧо^оасл co'Kso'coVi ослЪоТоо "соЪо'спслсо "Koolooooi "сл'со'ю'н^'со
N3 «ONDtOtOtO (ONStOfOtO IO to to t-1 •-» и- н-ч-» н-»-» !-• *-■-*•—н- н-ч-» I—>!-•»-» н- i-» ►— »-» t-» •— i—»»—• »—» i_» ■-> I-» I-» ►— ►-» •— •—* i—» •—»i—*
to КЭЮКЭии — ►— H-OO OOOCOCO COCOCOCOCO СО00СОСО-Ч -^^-J-lCn ОСПСПОСЛ СЛСЛСЛСЛ4». 4^4*.4^4^.4k COCOCOCOCO
-1 СЛС01—CO-vl СЛ&Л-ЧОЧ CnCOHkCO^a Cn^tOOOB 054*ЮрС© A^tOOOO ^JCnCOb-cO ^СЛСОн-СО ОбЛЛМО ООф^кЗО-
»- tOtOCOCOCO 4^Ф>СЛСЛО> O5^a^00CO COOO«-*bO Ь0С04*.СЛСЛ CJi«*JCOCOCO Oi—tOC04»> СЛО5-^00СО Он-КЭС04». СЛСП^СОСО
CO КЭО5О4>00 СО-^Ю*«5Ю ООСОСОСЛО SCocOffitO COC7>4^«--Cp 0>4>КЭО00 ^СЛ4^СОЮ 1-Ч--000 OOOf-t— КЭСо4*.СЛ-^
Сл Юн-ч-^СО^ ЮСО^-ЧЮО >~OitOOCO ОЮСПЬОСО COCOOCOCO СЛСОСО^^Д >->SCn.»it> ^>—0>Co>>* ЮСО^н-ОО СПСЛСПСОСО
Ял ю(окэюю ююю to К ^>кэ«оюю to u> to to rX to to to to to to to to to !д to to to to to to to кэ to 2: to to ю to кэ to to to to IS:
Wj>*».4^4a.4>4^ 4>4»-4^4».*CoCoCOuwCo CO CO Co Co Sg Ю to to Ю to tOKSIOWjg к-^-ммн. *-h-h-_i-- OOOOO OOOOg
О СССО^аЗсл 4^U0 Юн-О СОСО^СПСЛ 4*СОЮн- О СООО-^СЙСл *. СО to »- О СО СО -^ О СЛ 4». СО «О н- О «5 СО ^1 СП СЛ rffcCOtOt— О

Таблица 1
27
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
величины, окружности и площади круга (продолжение)
п
1250
1251
1252
1253
1254
1255
1256
1257
1258
1259
1260
1261
1262
1263
1264
1265
1266
1267
1268
1269
1270
1271
1272
1273
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
1281
1282
1283
1284
1285
1286
1287
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
1296
129/
1298
1299
1300
Л2
1562 500
1565 001
1567 504
1 570 009
1 572 516
1 575 025
1 577 536
1 580 049
1 582 564
1585081
1587 600
1 590 121
1592 644
1 595 169
1 597 696
1600 225
1602 756
1 605 289
1 607 824
1 610 361
1 612 900
1 615 441
1 617 984
1 620 529
1 623 076
1 625 625
1 628 176
1 630 729
1 633 284
1635 841
1638 400
1 640 961
1 643 524
1 646 089
1648 656
1 651 225
1 653 796
1 656 369
1 658 944
1 661 521
1 664 100
1 666 681
1 669 264
1 671 849
1 674 436
1 677 025
1 679 616
1 682 209
1 684 804
1687 401
1690 000
п*
1 953 125 000
1 957 816 251
1962 515 008
1 967 221 277
1 971 935 064
1 976 656 375
1 981 385 216
1 986 121 593
1 990 865 512
1 995 616 979
2 00Q376 000
2 005 142 581
2 009 916 728
2 014 698 447
2 019 487 744
2 024 284 625
2 029 089 096
2 033 901 163
2 038 720 832
2 043 548109
2048 383 000
2 053 225 511
2 058 075 648
2 062 933 417
2 067 798 824
2 072 671 875
2 077 552 576
2 082 440 933
2 087 336 952
2 092 240 639
2 097 152 000
2 102 071 041
2 106 997 768
2 111 932 187
2 116 874 304
2 121 824 125
2 126 781 656
2 131 746 903
2 136 719 872
2 141 700 569
2 146 689 000
2 151 685 171
2 156 689 С88
2 161 700 757
2 166 720 184
2 171 747 375
2 176 782 336
2 181 825 073
2 186 875 592
2 191 933 899
2 197 000 000
V*
35,3553
35,3695
35,3836
35,3977
35,4119
35,4260
35,4401
35,4542
35,4683
35,4824
35,4965
35,5105
35,5246
35,5387
35,5528
35,5669
35,5809
35,5950
35,6090
35,6231
35,6371
35,6511
35,6651
35,6791
35,6931
35,7072
35,7211
35,7351
35,7491
35,7631
35,7771
35,7910
35,8050
35,8190
35,8330
35,8469
35,8609
35,8748
35,8888
35,9026
35,9166
3-5,9305
35,9445
35,9583
35,9722
35,9861
36,0000
36,0139
36,0278
36,0416
36,0555
3/
]/п
10,7722
10,7750
10,7779
10,7808
10,7836
10,7865
10,7894
10,7922
10,7951
10,7980
10,8008
10,8037
10,8065
10,8094
10,8122
10,8151
10,8179
10,8208
10,8236
10,8265
10,8293
10,8322
10,8350
10,8378
10,8407
10,8435
10,8463
10,8491
10,8520
10,8548
10,8577
10,8605
10,8633
10,8661
10,8690
10,8718
10,8746
10,8774
10,8802
10,8830
10,8859
10,8887
10,8915
10,8943 |
10,8971
10,8999
10,9027
10,9055
10,9083
10,9111
10,9139 1
In л
7,13090
7,13170
7,13250
7,13330
7,13409
7,13489
7,13569
7,13648
7,13728
7,13807
7,13887
7,13966
7,14045
7,14125
7,14204
7,14283
7,14362
7,14441
7,14520
7,14598
7,14677
7,14756
7,14835
7,14913
7,14992
7,15070
7,15149
7,15227
7,15305
7,15383
7,15462
7,15540
7,15618
7,15696
7,15774
7,15851
7,15929
7,16007
7,16085
7,16162
7Д6240
7,16317
7,16395
7,16472
7,16549
7,16627
7,16704
7,16781
7,16858
7,16935
7,17012
1000
п
0,80000
0,79936
0,79872
0,79808
0,79745
0,79681
0,79618
0,79555
0,79491
0,79428
0,79365
0,79302
0,79239
0,79177
0,79114
0,79051
0,78989
0,78927
0,78864
0,78802
0,78740
0,78678
0,78616
0,78555
0,78493
0,78431
0,78370
0,78309
0,78247
0,78186
0,78125
0,78064
0,78003
0,77942
0,77882
0,77821
0,77760
0,77700
0,77640
0,77580
0,77519
0,77459
0,77399
0,77340
0,77280
0,77220
0,77160
0,77101
0,77042
0,76982
0,76923
кп
3927,0
3930,1
3933,3
3936,4
3939,6
3942,7
3945,8
3949,0
3952,1
3955,3
3958,4
3961,5
3964,7
3967,8
3971,0
3974,1
3977,3
3980,4
3983,5
3986,7
3989,8
3993,0
3996,1
3999,2
4002,4
4005,5
4008,7
4011,8
4015,0
4018,1
4021,2
4024,4
4027,5
4030,7
4033,8
4036,9
4040,1
4043,2
4046,4
4049,5
4052,7
4055,8
4058,9
4062,1
4065,2
4068,4
4071,5
4074,6
4077,8
4080,9
4084,1
к ла
_____
1 22 71 85
1 22 91 49
1 23 11 15
1 23 30 82
123 50 51
1 23 70 22
1 23 89 94
124 09 68
1 24 29 43
1 24 49 20
1 24 68 98
1 24 88 78
1 25 08 60
1 25 28 43
125 48 28
1 25 68 14
1 25 88 02
1 26 07 91
1 26 27 82
1 26 47 75
1 26 67 69
1 26 87 64
1 27 07 62
1 27 27 61
1 27 47 61
1 27 67 63
1 27 87 66
1 28 07 72
1 28 27 78
1 28 47 87
1 28 67 96
1 28 88 08
1 29 08 21
1 29 28 35
1 29 48 51
1 29 68 69
1 29 88 88
13009 09
1 30 29 32
1 30 49 56
1 30 69 81
130 90 08
1 31 10 37
1 31 30 67
1 31 50 99
1 31 71 32
1 31 91 67
1 32 12 04
132 32 42
1 32 52 82
1 32 73 23
л
1250
1251
1252
1253
1254
1255
1256
1257
1258
1259
1260
1261
1262
1263
1264
1265
1266
1267
1268
1269
1270
1271
1272
1273
1274
1275
1276
1277
1278
1279
1280
1281
1282
1283
1284
1285
1286
1287
1288
1289
1290
1291
1292
1293
1294
1295
1296
1297
1298
1299
1300

28
Т. I. Отд 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКруЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
я
1300
1301
1302
1303
1304
1305
1306
1307
1308
1309
1310
1311
1312
1313
1314
1315
1316
1317
1318
1319
1320
1321
1322
1323
1324
1325
1326
1327
1328
1329
1330
1331
1332
1333
1334
1335
1336
1337
1338
1339
1340
1341
1342
1343
1344
1345
1346
1347
1348
1349
1350
л*
1690 000
1 692 601
1695 204
1697 809
1 700 416
1703 025
1 705 636
1 708 249
1 710 864
1 713 481
1 716 100
1718 721
1721344
1 723 969
1 726 596
1 729 225
1 731 856
1 734 489
1737124
1 739 761
1742 400
1 745 041
1747 684
1 750 329
1 752 976
1 755 625
1 758 276
1 760 929
1 763 584
1 766 241
1768 900
1 771 561
1 774 224
1 776 889
1 779 556
1 782 225
1 784 896
1 787 569
1790 244
1 792 921
1795 600
1 798 281
1800 964
1803 649
1806 336
1 809 025
1 811 716
1 814 409
1 817 104
1 819 801
1 822 500
п»
2 197 000 000
2 202 073 901
2 207 155 608
2 212 245 127
2 217 342 464
2 222 447 625
2 227 560 616
2 232 681 443
2 237 810 112
2 242 946 629
2248 091000
2 253 243 231
2 258 403 328
2 263 571297!
2 268747 144
2 273 930 875
2 279 122 496
2 284 322 013
2 289 529 432
2 294 744 759
2 299 968 000
2 305 199 161
2 310 438 248
2315 685 267
2 320 940 224
2 326 203 125
2 331 473 976 !
2 336 752 783
2242 039 552
2347 334 289
2352 637 000
2357 947 691
2363 266 368
2368 593 037
2373 927 704
2 379 270 375
2 384 621 056 !
2389 979 7531
2 395 346 472
2400 721219
2 406104 000
2 411 494 821
2 416 893 688
2 422 300 607
2 427 715 584
2 433138 625
2 438 569 736
2444 008 923
2 449 456 192
2 454 911549
2 460375 000
уг
36,0555
136,0693
36,0832
36,0971
36,1109
36,1248
36,1386
36,1525
36,1663
36,1801
36,1939
36,2077
36,2216
36,2354
36,2491
36,2629
36,2767
36,2905
36,3043
36,3180
36,3318
36,3455
36,3593
36,3731
36,3868
36,4006
36,4143
36,4280
36,4417
36,4555
36,4692
36,4828
36,4966
36,5103
36,5240
36,5376
36,5513
36,5650
36,5787
36,5924
36,6060
36,6197
36,6334
36,6470
36,6606
36,6742
36,6879
36,7015
36,7151
36,7287
36,7423
ЦТ
10,9139
10,9167
10,9195
10,9223
10,9252
10,9279
10,9307
10,9335
10,9363
10,9390
10,9418
10,9446
10,9474
10,9502
10,9530
10,9557
10,9585
10,9613
10,9641
10,9668
10,9696
10,9724
10,9751
10,9779
10,9807
10,9834
10,9862
10,9890
10,9917
10,9945
10,9972
11,0000
11,0027
11,0055
11,0083
11,0110
11,0138
11,0165
11,0193
11,0220
11,0247
11,0275
11,0302
11,0330
11,0357
11,0384
11,0412
11,0439
11,0466
11,0494
11,0521
Inn
7,17012
7,17089
7,17166
7,17242
7,17319
7,17396
7,17472
7,17549
7,17625
7,17702
7,17778
7,17855
7,17931
7,18007
7,18083
7,18159
7,18235
7,18311
7,18387
7,18463
7,18539
7,18614
7,18690
7,18766
7,18841
7,18917
7,18992
7,19068
7,19143
7,19218
7,19293
7,19369
7,19444
7,19519
7,19594
7,19669
7,19744
7,19818
7,19893
7,19968
7,20042
7,20117
7,20192
7,20266
7,20341
7,20415
7,20489
7,20564
7,20638
7,20712
7,20786
1000
п
0,76923
0,76864
0,76805
0,76746
0,76687
0,76628
0,76570
0,76511
0,76453
0,76394
0,76336
0,76278
0,76220
0,76161
0,76104
0,76046
0,75988
0,75930
0,75873
0,75815
0,75758
0,75700
0,75643
0,75586
0,75529
0,75472
0,75415
0,75358
0,75301
0,75245
0,75188
0,75131
0,75075
0,75019
0,74963
0,74906,
0,74850
0,74794
0,74738
0,74683
0,74627
0,74571
0,74516
0,74460
0,74405
0,74349
0,74294
0,74239
0,74184
0,74129
0,74074
7СЛ
4084,1
4087,2
4090,4
4093,5
4096,6
4099,8
4102,9
4106,1
4109,2
4112,3
4115.5
4118,6
4121,8
4124,9
4128,1
4131,2
4134,3
4137,5
4140,6
4143,8
4146,9
4150,0
4153,2
4156,3
4159,5
4162,6
4165,8
4168,9
4172,0
4175,2
4178,3
4181,5
4184,6
4187,7
4190,9
4194,0
4197,2
4200,3
4203,5
4206,6
4209,7
4212,9
4216,0
4219,2
4222,3
4225,4
4228,6
4231,7
4234,9
4238,0
4241,2
132 73 23
132 93 66
1 33 14 10
133 34 56
133 5504
133 75 53
133 96 03
13416 56
134 37 09
134 57 65
1 34 78 22
134 98 80
13519 40
135 40 02
135 60 65
135 8130
1 36 01 97
136 22 64
136 43 34
136 64 05
136 84 78
1 37 05 52
138 26 28
137 47 05
1 37 67 84
137 88 65
1 38 09 47
138 30 30
1 38 5116
138 72 02
138 92 91
1 39 13 81
1 39 34 72
139 55 65
1 39 76 60
1 39 97 56
14018 54
140 39 53
140 60 54
140 8157
14102 61
1412367
1 41 44 74
14165 83
14186 93
142 0805
1 42 29 18
1 42 50 33
1 42 71 50
1 42 92 68
1 43 13 88
п
1300
1301
1302
1303
1304
1305
1306
1307
1308
1309
1310
1311
1312
1313
1314
1315
1316
1317
1318
1319
1320
1321
1322
1323
1324
1325
1326
1327
1328
1329
1330
1331
1332
1333
1334
1335
1336
1337
1338
1339
1340
1341
1342
1343
1344
1345
1346
1347
1348
1349
1350

Таблица 1
29
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
ВеЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
п
1350
1351
1352
1353
1354
1355
1356
1357j
1358
1359
1360
1361
1362
1363
1364
1365
1366
1367
1368
1369
1370
1371
1372
1373
1374
1375
1376
1377
1378
1379
1380
1381
1382
1383
1384
1385
1386
1387
1388
1389
1390
1391
1392
1393
1394
1395
1396
*397
1398
1399
1400
ssEeeassssar
Л*
1 822 500
1 825 201
1 827 904
1830 609
1833 316
1836 025
1 838 736
1 841 449
1844164
1846 881
1 849 600
1 852 321
1855 044
1 857 769
1 860 496
1 863 225
1865 956
1868 689
1 871 424
1 874 161
1 876 900
1 879 641
1 882 384
1 885 129
1 887 876
1890 625
1 893 376
1 896 129
1898884
1901641
1904 400
1 907 161
1 909 924
1 912 689
1915 456
1 918 225
1 920 996
1923 769
1926 544
1 929 321
1932100
1 934 881
1 937 664
1940 449
1 943 236
1 1946 025
1948 816
1 951 609
1954404
1957 201
1 S60 000
п*
2 460 375 000
2 465 846 551
2 471 326 208
2 476 813 977
2 482 309 864
2 487 813 875
2 493 326 016 I
2 498 846 293
2 504 374 712
2 509 911 279
2 515 456 000
2 521 008 881
2 526 569 928
2 532 139 147
2 537 716 544
2 543 302 125
2 548 895 896
2 554 497 863
2 560108 032
2 565 726 409
2 571353000
2 576 987 811
2 582 630 848
2 588 282 117
2 593 941624
2 599 609 375
2 605 285376
2 610 969 633
2 616 662 152
2 622 362 939
2 628 072 000
2 633789 341
2 639 514 968
2 645 248 887
2 650 991104
2 656 741625
2 662 500 456
2 668 267 603
2 674 043 072
2 679 826 869
2 685 619 000
2 691 419 471
2 697 228 288
2 703 045 457
2 708 870 984
2 714 704 875
2 720 547 136
2 726 397 773
2 732 256 792
2 738 154 199
2744 000 000
V~n
36,7423
36,7560
36,7695
36,7832
36,7968
36,8103
36,8239
36,8375
36,8511
36,8646
36,8782
36,8917
36,9053
36,9188
36,9323
36,9460
36,9595
36,9730
36,9865
37,0000
37,0135
37,0270
37,0405
37,0540
37,0675
37,0810
37,0945
37,1079
37,1214
| 37,1349
37,1484
37,1618
37,1753
37,1887
37,2022
37,2156
37,2290
37,2424
37,2559
37,2693
37,2827
37,2961
37,3095
37,3229
37,3363
37,3497
37,3630
37,3765
37,3899
37,4032
' 37,4166
з /—
11,0521
11,05481
11,0575
11,0603
11,0630
11,0657
11,0684 I
11,0712
11,0739
11,0766
11,0793
11,0820
11,0847
11,0875
11,0902
11,0929
11,0956
11,0983
11,1010
11,1037
11,1064
11,1091
11,1118
11,1145
11,1172
11,1199
11,1226
11,1253
11,1280
11,1307
11,1334
11,1361
11,1387
11,1414
11,1441
11,1468
11,1495
11,1522
11,1548
11Д575
11,1602
11,1629
11,1655
11.1682
11,1709
11,1735
11,1762
11,1789
11,1816
11,1842
' 11,1869
In п
7,20786
7,20860
7,20934
7,21008
7,21082
7,21156
7,21229
7,21303
7,21377
7,21450
7,21524
7,21598
7,21671
7,21744
7,21818
7,21891
7,21964
7,22037
7,22111
7,22184
7,22257
7,22330
7,22402
7,22475
7,22548
7,22621
7,22694
7,22766
7,22839
7,22911
7,22984
7,23056
7,23129
7,23201
7,23273
7,23346
7,23418
7,23490
7,23562
7,23634
7,23706
7,23778
7,23850
7,23921
7,23993
7,24065
7,24137
7,24208
7,24280
7,24351
1 7,24423
1000
л
0,74074
0,74019
0,73965
0,73910
0,73855
0,73801
0,73747
0,73692
0,73638
0,73584
0,73529
0,73475
0,73421
0,73368
0,73314
0,73260
0,73206
0,73153
0,73099
0,73046
0,72993
0,72939
0,72886
0,72833
0,72780
0,72727
0,72674
0,72622
0,72569
0,72516
0,72464
0,72411
0,72359
0,72307
0,72254
0,72202
0,72150
0,72098
0,72046
0,71994
0,71942
0,71891
0,71839
0,71787
0,71736
1 0,71685
0,71633
0,71582
0,71531
| 0,71480
1 0,71429
кп
4241,2
4244,3
4247,4
4250,6
4253,7
4256,9
4260,0
4263,1
4266,3
4269,4
4272,6
4275,7
4278,8
4282,0
4285,1
4288,3
4291,4
4294,6
4297,7
4300,8
4304,0
4307,1
4310,3
4313,4
4316,5
4319,7
4322,8
4326,0
4329,1
4332,3
4335,4
4338,5
4341,7
4344,8
| 4348,0
4351,1
4354,2
4357,4
4360,5
4363,7
4366,8
4370,0
4373,1
4376,2
4379,4
4382,5
4385,7
4388,8
4391,9
4395,1
1 4398,2
It Я2
1 43 13 88
143 3510
143 56 32
1 43 77 57
1 43 98 83
144 2011
144 4140
144 62 71
144 84 03
145 05 37
1 45 26 72
145 4810
145 69 48
1 45 90 88
1 46 12 30
1 46 33 73
1 46 55 18
146 76 65
1 46 98 13
14719 63
147 4114
1 47 62 67
1 47 84 21
148 05 77
148 27 34
148 48 93
1 48 70 54
1 48 92 16
1 49 13 80
149 35 45
1 49 57 12
1 49 78 81
150 00 51
1 50 22 22
150 43 96
150 65 70
150 87 47
1 51 09 25
1 51 31 04
1 51 52 85
1 51 74 68
1 51 96 52
1 52 18 38
1 52 40 25
1 52 62 14
1 52 84 04
15305 97
153 27 90
1 53 49 85
1 53 71 82
153 93 80
1350
1351
1352
1353
1354
1355
1356
1357
1358
1359
1360
1361
1362
1363
1364
1365
1366
1367
1368
1369
1370
1371
1372
1373
1374
1375
1376
1377
1378
1379
1380
1381
1382
1383
1384
1385
1386
1387
1388
1389
1390
1391
1392
1393
Ь94
1395
13?6
1397
1398
1399
1400

30
Т. I. Отд 1. Математика. Т. Таблицы
Таблица 1. Степени, корни, натуральные логарифмы, обратные
веЛИЧИНЫ, ОКРУЖНОСТИ И ПЛОЩаДИ Круга (Продолжение)
я
1400
1401
1402
1403
1404
1405
1406
1407
1408
1409
1410
1411
1412
1413
1414
1415
1416
1417
1418
1419
1420
1421
1422
1423
1424
1425
1426
1427
1428
1429
1430
1431
1432
1433
1434
1435
1436
1437
1438
1439
1440
1441
1442
1443
1444
1445
1446
1447
1448
1449
1450*
I л2
1 1960000
1 962 801
1 965 604
1968 409
1 971 216
1974 025
1 976 836
! 1979 649
1982 464
1 985 281
1 988 100
1 990 921
1 993 744
1 996 569
1 999 396
2 002 225
2 005 056
2 007 889
2 010 724
2 013 561
2 016 400
2 019 241
2 022 084
2 024 929
2 027 776
2 030 625
2 033 476
2 036 329
2 039184
2 042 041
2044 900
2 047 761
2050 624
2 053 489
2056 356
2059 225
2062 096
2 064 969
2 067 844
2 070 721
2 073 600
2 076 481
2 079 364 1
2 082 249 1
2 085 136
2088 025
2 090 916
2093 809
2096 704
2099 601
2 102 500 1
Л»
2744000 000
2 749 884 201
2 755 776 8С8
2 761 677 827
2 767 587 264
2 773505125
2 779 431 416
2 785 366143
2 791 309 312
2 797 260 929
2 803 221 000
2 809 189 531
2 815 166 528
2 821151 997
2 827 145 944
2 833 148 375
2 839 159 296
2 845178 713
2 851 2С6 632
2 857 243 059
2 863 288 000
2 869 341 461
2 875 403 448
2 881 473 967
2887 553 024
2 893 640 625
2 899 736 776
2 905 841 483
2 911 954 752
2 918 076 589|
2 924 207 000
2 930 345 991!
2 936 493 568 I
2 942 649 737
2948 814 504
2 954 987 875
2 961169 856
2967 360 453
2 973 559 672
2 979 767 519
2985 984000
2 992 209 121
2 998 442 888
3004 685 307
3010 936 384
3 017 196125
3 023 464 536
3 029 741623
3 036 027 392
3 042 321 849
3 048 625 000 1
\v^
37,4166
37,4299
37,4433
37,4567
37,4700
37,4833
37,4966
37,5100
37,5233
37,5366
37,5500
37,5633
37,5766
37,5899
37,6032
37,6165
37,6298
37,6431
37,6553
37,6696
37,6829
37,6962
37,7094
37,7227
37,7359
37,7492
37,7625
37,7757
37,7889
37,8021
37,8153
37,8286
37,8418
37,8550
37,8682
37,8814
37,89^6
37,9078
37,9210
37,9341
37,9473
37,9605
37,9737
37,9868
38,0000
38,0132
38,0263
38,0395
38,0526
38,0657
38,0788 1
V"
11,1869
11,1896
11,1922
11,1949
11,1975
11,2002
11,2028
11,2055
11,2082
11,2108
11,2135
11,2161
11,2188
11,2214
11,2240
11,2267
11,2293
11,2320
11,2346
11,2373
11,2399
11,2425
11,2452
11,2478
11,2504
11,2531
11,2557
11,2584
11,2610
11,2636
11,2662
11,2689
11,2715
11,2741
11,2767
11,2793
11,2820
-11,2846
11,2872
11,2898
11,2924
11,2951
11,2976
11,3002
11,3029
11,3055
11,3081
11,3107
11,3133
11,3159
11,3185 1
In л
7,24423
7,24494
7,24566
i 7,24637
7,24708
7,24779
7,24850
7,24922
7,24993
7,25064
7,25134
7,25205
7,25276
7,25347
7,25418
7,25488
7,25559
7,25630
7,25700
7,25771
7,25841
7,25912
7,25982
7,26052
7,26123
7,26193
7,26263
7,26333
7,26403
7,26473
7,26543
7,26613
7,26683
7,26753
7,26822
7,26892
7,26962
7,27031
7,27101
7,27170
7,27240
7,27309
7,27379
7,27448
7,27517
7,27586
7,27656
7,27725
7,27794
7,27863
7,27932 1
1000
п
0,71429
0,71378
0,71327
0,71276
0,71225
0,71174
0,71124
0,71073
0,71023
0,70972
0,70922
0,70872
0,70822
0,70771
0,70721
0,70671
0,70621
0,70572
0,70522
0,70472
0,70423
0,70373
0,70323
0,70274
0,70225
0,70175
0,70126
0,70077
0,70028
0,69979
0,69930
0,69881
0,69832
0,69784
0,69735
0,69686
0,69638
0,69589
0,69541
0,69493
0,69444
0,69396
0,69348
0,69300
0,69252
0,69204
0,69156
0,69109
0,69061
0,69013
0,68966 1
КП
4398,2
4401,4
4404,5
4407,7
4410,8
4413,9
4417,1
4420,2
4423,4
4426,5
4429,6
4432,8
4435,9
4439,1
4442,2
4445,4
4448,5
4451,6
4454,8
4457,9
4461,1
4464,2
4467,3
4470,5
4473,6
4476,8
4479,91
4483,11
4486,2
4489,3
4492,5
4495,6
4498,8
4501,9
4505,0
4508,2
4511,3
4514,5
4517,6
4520,8
4523,9
4527,0
4530,2
4533,3
4536,5
4539,6
4542,7
4545,9
4549,0
4552,2
4555,31
ял2
4
153 9380
1541580
1 54 37 82
1 54 59 85
154 8189
1 55 03 96
155 26 03
1 55 48 13
1 55 70 24
1 55 92 36
1561450
1 56 36 66
1 56 58 83
1 56 81 02
1 57 03 22
157 25 44
1 57 47 67
1 57 69 92
1 57 92 19
1 58 14 47
158 36 77
158 59 08
1 58 81 41
159 03 76
1 59 26 12
1 59 48 49
159 70 88
1 69 93 29
16015 71
160 3815
1J60 60 61
160 8308
1610656
1612806
1 61 50 58
1 61 73 12
1 61 95 66
1 62 18 23
162 40 81
162 6340
162 8602
163 08 64
1 63 31 29
1 63 53 95
1 63 76 62
163 99 31
1 64 22 02
1 64 44 74
1 64 67 47
1 64 90 23|
16513001
п
1400
1401
1402'
1403
1404
1405
1406
1407
14С8
1409
1410
1411
1412
1413
1414
1415
1416
1417
1418
1419
1420
1421
1422
1423
1424
1425
1426
1427
1428
1429
1430
1431
1432
1433
1434
1435
1436
1437
1438
1439
1440
1441
1442
1443
1444
1445
1446
1447
1448
1449
1450

g§S§&§ sSSlIiSiSg SSSi|S5S§S S^SS|S|SS 1&р§11§|| II1I&
gcooo^ocn 4»-coto — ^ cooo-^cncn 4*. S. to •— }££ со со -4 о en >u со го ь- ^ со oo ^j ел en 4* Co to ►-^ со oo ^i о en 4*coto»-' q i
ю totoiototo tototototo tototototo tototototo
tOtONDtOtO g*->-h-^«
^3 4U. ►-* 00 СП tOCO<
Ю K3tON3tOfcO WtOtOtOtO I
S4>. 4> 4». Co со Co N3 Ю to to >
^Sh-ООСП ЮСОСЪСОО ■
' ©OO — tO CoS^SiOOQ
э to to to to tototototo tototototo tototototo tototototo tototototo
H-M->-H-to tOtOCOCO»
tOJ*.C»>COtO СпСоЮСЛС
►—4».СОСЪСП С5С04».н-<
4^CptO-qiO '
' i-*»UcOO>Cn <
-•JCntOCOC
1 (OOOiM
tOCo4*.Cnq> Oi-^OOCOO
cpO>4>tO© O0<5>4jjCoN3
1 CiCOS»—© ►—4^coC5Cn
CO*3 4*£-OOCnls
Co Co Co Co Co Co Co Co Co Co Co Co Co Co Co Co
> со со со со со '
' 4^^3
4».CD
coco
coto
00.—
•4©
)N3 tOtOtO
> CO 00 00 «si
.4* 00*-4^.
со to en со 1
-iv- w »*J OO 1—> 4* 1
н-Ю «-©«qCOCO (
Co Co CO
tOtOlO
£££
►—СпЮ
4»> *»• СП
' -vJCntO
COO»
to to
C0-0
05CO
•»JtO
4* COCO ЧмАЧС
OCO~4 OOCnOO^C
С0О5СП 4*-«400.-'C
* tocoto»— <
r>-JOCntO <
э to со осп i
5СЛ1-С
> 00 СП J
-»>100t-
Co Co Co Co Co
tototototo
СП 00 tOCn CO
tOCT>*-OiO
en-^oooo 05
to со сон- 00
CoCnCo^J-g
со to coo) en
cocococcco cococoooco cococococo cococococo сососососо
§«gOJCnCng
Со "^н- 4ь 00
S2g2g
4b-OOiOC
4*^00 •—С
i. СП 4». to CO
S3£i£ootO СП
■^сососп^- ^сосоряо
oocn4^coco 4к.55сою-«а
СП СО СО СП О) СПСООО>>—
^кэСпОЮ» Со
©сос&сою К
СОЮ Со О) СЛ 4ь
00>—*-Q OiCOCOQOCO
4**000© -Л—СО»— -g
•чоо»—о cotocoocn
oto cocnisocpcg
S^82S
& &8SS8& &&Ы&& ££&££ Ы&&&& 8&8S& 8S8&88 SSSSSSSS &8g§S8£ %%%%& 8SS88S8S8S
3 bss^s ssfess sWss fesfefeb fefefebfe sssjs^sg fcfeafss s&fess ssgsr —~~
«О Oi Д*. >-* 00 Cn t«SCOCT>CO© ЧД- ООСП tOCOOSCoO «*)4*.>— 00 СП ЮсОфСоО ^^—*- — .... .^^-..^ >-.-... л^,
CO CPQ — tOtO Co 4». 4* Сл Cn CT> Ch C?> ^J ^Д -<1 -yj ^Д О0 00 00 "4 ^1 ->4 -4 --J -^ OS Q> CO CnC
^_ CO>—О СО ^4
OS^ 1—OOCntOOO
^CnCn COCO -"OOP
1 ±£&&fe bfefefefe bbb£g
^a 4^toco^o-4w ►— со en 4».»— coa>4*»--o
►— С5МСПО*. COCOO0tO**J MOiOt^O
ЪЪ&® S888888 833£$3 &с388& &&2££ gL_-_ „ я
со^-ооф сооооспсо ooocntoo -gentoo^j 4».toS^jE РсоаКм. oocj>coh*с
^tOO>0 СПСОС0ОО6О CnOCntDCO ^tOCnOrfk OOtOOJH-Cn «OCO-^>-'Cn COCO^l»—С
Р&РрСЭ G>P>&pp ppppp PPPPP Ppppp ppppp 00PPO PPPPP PPPPP PPPPP
Я1Р\ P?^???^?? ^SS22 ^^222 2222!
- - — — — — *o -g "^ e- ~~ -~ —' -
en >—en
^s$ss§Ssss
Юром JT'^JS'^CO C04>4».
_ 3- _. со Ьд to с
СПО Спи-OitOC
•4 5J«»4^G
*.Л^*.Л. 4k. 4ь. 4^ 4w 4k. 4* 4-^ 4» .£. 4v4^4>4^4^ ^Л^АД 4к.4к4>4^4х 4> 4*. 4». 4». 4x
, ^_ ^^ pgSSS SiS55ip ggSSS SSiSp g^SS2 SSggS'SSggSS
+Э .CDpJCOjOOJ роО^Ч^.^-* ^^J-'.pOCn ^OCOCh^O^CO O) CO jD ^50 jD^^wb-kOO pIH-iOOCntO COOiCOCOO
4^ tol—ooo'ki en4>.со»->о Ъо'-^сп^со »-to'boVi'o> Усои'ооо Vioi'^'co'h-t oloVjo)1^ cqTqo'cp-q o>'4>.'co'too 'co<io>cn'co
_аь4>4ъ 4^ 4^ 4>- 4fc 4^.
nencnen CnCnenCnCn
o^i-si«4 enencnojy1
^-^rfkt-1 -*a4*>-'Oocn
3 cialaiSnHn SSS^S 2222S 33333 2222o* SSSSS SSSSSo 88SS
2 SE83S g88S§ai SSSlfcS S2^^S 888523 2£5£2 c^^SSS? SSS2
a^ o^g^S! Sjg^^S li^feSe feSo^gai ?S8SS^ S38§^^ SSSfeS ^fefefeg; g^g^S oic%S338
пш ш$§ш» iase|22^ci§ ^ssgiiiii iiiii§ci§ig isgs|

32 Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 2. Мантиссы обыкновенных логарифмов
N
1С0
101
102
103
104
105
106
107
108
109
ПО
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
0
0000
0043
0086
0128
0170
0212
0253
0294
0334
0374
С414
0414
0792
1139
1461
1761
2041
2304
2553
2788
ЗОЮ
3222
3424
3617
3802
3979
4150
4314
4472
4624
4771
4914
5051
5185
5315
5441
5663
5682
5798
5911
6^21
6128
6232.
6335
6435
6532
6628
6721
6812
69о2
1
С0С4
0048
С090
0133
0175
0216
0257
0298
0338
0378
0418
Г453
0828
1173
1492*
1790
2068
2330
2577
2810
Э032
3243
3444
3636
3820
3997
4166
4330
4487
4639
4786
4928
5065
5198
5328
5453
5575
5694
5809
5922
6"31
6138
6243
6345
6444
6542
6667
6730
6821
6911
2
0009
0052
0095
0137
0179
0220
0261
С302
0342
0382
0422
0492
С864
12С6
1523
1818
2095
2355
2601
2833
3054
3263
3464
3655
3838
4014
4183
4346
4502
4654
4800
4942
5079
5211
5340
5465
5587
57С5
5821
5933
6042
6149
6.53
6355
6454
6551
6646
67J9
6830
6920
3
0013
0056
0099
0141
0183
0224
0265
0306
0346
0386
0426
0531
0899
1239
1553
1847
2122
2380
2625
2856
3075
3284
3483
3674
3856
4031
4200
4362
4518
4669
4814
4955
5092
5224
5d53
5478
5599
5717
5832
5944
6053
6160
6263
6365
6464
6561
6656
6749
68^9
692$
4
0017
С060
0103
0145
0187
0228
0269
0310
С350
0390
0430
0569
0934
1271
1584
1875
2148
2405
2648
2878
3096
3304
3502
3692
3874
4048
4216
4378
4533
4683
4829
4969
5105
5237
5366
5490
5611
5729
5843
5955
6064
6170
6274
6375
6474
6571
6665
6758
6848
6937
5
0022
0065
0107
0149
0191
0233
0273
0314
0354
0394
0434
Q607
0969
1303
1614
1903
2175
2430
2672
2900
3118
3324
3522
3711
3892
4065
4232
4393
4548
4698
4843
4983
5119
5250
5378
5502
5623
5740
5855
5966
6075
6180
6284
6385
6484
6580
6675
6767
6857
6946
6
0026
0069
0111
0154
0195
0237
0278
С318
0358
0398
0438
0645
1004
1335
1644
1931
2201
2455
2695
2923
3139
3345
3541
3729
3909
4082
4249
4409
4564
4713
4857
4997
5132
5263
5391
5514
5635
5752
5866
5977
6085
6191
6^94
6395
6493
6590
6684
6776
6866
6955
7
0030
0073
0116
0158
С199
0241
0282
0322
0362
0402
0441
0682
10о8
1367
1673
1959
2227
2480
2718
2945
3160
3365
3560
3747
3927
4099
4265
4425
4579
4728
4871
5011
5145
5276
5403
5527
5647
5763
5877
5988
6096
6.01
6304
6405
6503
6599
6693
6785
6875
6964
8
0035
0077
0120
0162
0204
0245
0286
0326
0366
0406
0445
0719
1072
1399
1703
1987
2253
2504
2742
2967
3181
3385
3579
3766
3945
4116
4281
4440
4594
4742
4886
5024
5159
5289
5416
5539
5658
5775
5888
5999
6107
6212
6314
6415
6513
6609
67«2
6794
6884
6972
9
0039
0082
0124
0166
0208
0249
0290
0330
0370
0410
0449
0755
1106
1430
1732
2014
2279
2529
2765
2989
3201
3404
3598
3784
3962
4133
4298
4456
4609
4757
4900
5038
5172
5302
5428
5551
5670
5786
5899
6010
6117
6222
6325
6425
6522
6618
6712
6803
6893
6981

Таблица 2 33
Таблица 2. МанТИССЫ Обыкновенных ЛОГарифМОВ (Продолжение)
N \
«50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
•89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
0
6990 1
7076
7160
7243
7324
7404
7482
7559
7634
7709
7782
7853
7924
7993
8062
8129
8195
8261
8325
83t8
8451
8513
8573
8633
8692
8751
8808
8865
8921
8976
9031
9085
9138
9191
9243
9294
9345
9<*95
1 9445
9494
9542
9590
9638
9685
9731
9777
9823
9868
9912
9956
1
6998
7084
7168
7251
7332
7412
7490
7566 1
7642
7716
7789
7860
7931
8000
8069
8136
8202
8267
8331
8395
8457
8519
8579
8639
8698
8756
8814
8871 !
8927
8982
9036
9090
9143
9196
9248
9299
9350
9400
9450
9499
9547
9595
9643
9689
9736
9782
98z7
9872
9917
9961
2
7007
7093
7177
7259
7340
7419
7497
7574
7649
7723
7796
7868
7938
8007
8075
8142
8209
8274
8338
8401
8463
85^5
8585
8645
8704
8762
8820
8876
8932
8987
9042
9096
9149
9201
9253
9304
9355
9405
9455
9504
9552
9600
9647
9694
9741
9786
9832
9877
9921
9965
3
7016
7101
7185
7267
7348
7427
7505
7582
7657
7731
7803
7875
7945
8014
8082
8149
8215
8280
8344
8407
8470
8531
8591
8651
8710
8768
8825
8882
8938
8993
9047
9101
9154
9206
9258
9309
9360
9410
9460
9509
9557
9605
9652
9699
9745
9791
9836
9881
9926
9969
4
7024
7110
7193
7275
7356
7435
7513
7589
7664
7738 1
7810
7882
7952
8021
8089
8156
8222
8287
8351
8414
8476
8537 |
8597 1
8657
8716
8774
8831
8887 !
8943
8998
9053
9106
9159
9212
9263
9315
9365
9415
9465
9513
9562
9609
9657
9703
9750
9795
9841
9886
9930
9974
5
7033
7118
7202
7284
7364
7443
7520
7597
7672
7745
7818
7889
7959
8028
8096
8162
8228
8293
8357
8420
8482
8543
8603
8663
8722
8779
8837
8893
8949
9004
9058
9112
9165
9217
9269
93-0
9370
9420
9469
9518
9566
9614
9661
9708
9754
9800
9845
9890
9934
9978
6
7042
7126
7210
7292
7372
7451
7528
7604
7679
7752
7825
7896
7966
8035
8102
8169
8235
8299
8363
8426 „
8488
8549
8609
8669
8727
8785
8842
8899
8954
9009
9063
9117
9170
9222
9274
9325
9375
9425
9474
9523
9571
9619
9666
9713
9759
9805
9850
9894
9939
9983
7
7050
7135
7218
7300
7380
7459
7536
7612
7686
7760
7832
7903
7973
8041
8109
8176
8241
8306
8370
8432
8494
8555
8615
8675
8733
8791
8848
8904
8960
9015
Я0С9
9122
9175
9227
9279
9330
9380
9430
9479
9528
9576
9624
9671
9717
9763
9809
9854
9899
9943
9987
8
7059
7143
7226
7308
7388
7466
7543
7619
7694
7767
7839
7910
7980
8048
8116
8182
8248
8312
8376
8439
8500
8561
8621
8681
8739
8797
8854
8910
8965
9020
9074
9128
9180
9232
9284
9335
9385
9435
9484
9533
9581
9628
9675
9722
9768
9814
9859
9903
9948
9991
9
7067
7152
7235
7316
7396
7474
7551
7627
7701
7774
7846
7917
7987
8055
8122
8189 "
8254
8319
8'82
8445
8506
8567
8627
8686
8745
8802
8859
8915
8971
9025
9079
9133
9186
9238
9289
9340
9390
9440
9489
9538
9586
9633
9680
9727
9773
9818
9863
9908
9952
9996

S SS58 83% SSgg £££ ggg g£gS %£g 858 SSgS %S5ig 8SS SSg3 355 $
•vedj
^ СЙСОЮ CO^OO СЛСО00
ub Oirroo см со ел см ю r- w.
**« *-*CJCO Tf —00 COCOO »>-
— ggcp «Он СОЮЬ- 00
Ю NMO — т
» — OOCO P06t> U5 СМСЛСО СООЮ COOCO CM фЮт-t t^COoO rfO»'* О '^•O'T 0OCOI> i-нт
„ <^ >. - vU 00 СЛ — CO Ю CO 00 O-HCO Ю t^ 00 © CM CO Ю COOOO — CO тг QSffl — CM CO Ю ж ~* — -
О О О О О О — ^i^Hf-i i-^ CM CM CM CM CM CM «COCO CO CO CO^ ^^тР **^ Ю ЮЮи|
о" о"о"о" о"о"о' ©"©"о*4 о" о4©-о" ©"о*©" 0*0*©Г о ©"о*©4 о"©*©" ©"©"©* о ©"о*©" ©"©© ©"©"© о ооо о
СО ООСМЮ СОЮ© СО —Ю "Ф 1*-^«Ю ОО^СМ — О- «*ч ОООЮ 0)н0 ЮСОСМ rf QOf — ОО* СО —00 Ю СМОЮ —
t< тн(00 ^сбсч юоо© см coTfrf йем© £?сооо ем юсог-с: союсм ■>..=.«<»• ю юсосл ^^оо г-юо зг «эчг?5 2J
op coco— ооюсо ©ь-ю см слсоео ©ta^ ©t'-Q Q сосмоо тгосо — г>.см г- смг^»— (DOTf орсмсо ел смюоо О
S см^ср г^сл — corfco 00 о> —со юсроо о — со ю SS95°» нсо? сос^сл о смсою сососл ©смсо * сор-оо ©
О ООО О О — —,- — — — СМ СМ СМСЧСМ «Я СО СО, W СО СО СО -V3* •* трт!"* Ю Ю Ю Ю Ю Ю Ю СО СО СО, <Ол «НО^СО, Г*^
о* о'о'о" о*о*©* о*©"©" ©* о*©"©" ©о©~ ©"©"©* о* о*4©"©" ©"о*©"" ©"©"©* ©" о"©'©' ©""о"©" с?©*© ©* ©"©"о" о"
см ^ —* сою— тгеооо ь- смоем со со «о со^ср оо елслоо ^оосл ь»рсл со CMTf- —еооо i
00 СМГ^ — ЮСЛСО СОСИ- СО ЮСОС© Ю^ГСМ СЛЮ© «З* t"»OiO ОООЮ — CD00 О ОООЮ ©СОтг ■
ю еоооо юсмр г^^см ел coco© £*.«•*•-- ^Tf^-i ь- сосле© емс^-со сп-ч'О ю ©тро> tFcocm <
О N-Ч-Й Г>-СЛ — СМтЬсО Ь- СЛ —СО * СО 00 О» — СО * COt^-СЛ i-HCMrf Ю f^ 00 Q «MCO^r COt^-СЛ <
О О О © О О — — — — — — СМ СМ СМСМСМ J^CO (О СО МРОСО ^^"t ff ^ i35 ЮЮЮ ЮЮЮ '
©* ©"©*©"' ©"о""©" о"©-©" ©* о"©"©? о о*© ©"о*©" о" ©"©"о* ©©*©" о" о" о" ©" ©"©"о" о* о"©" ©~©~© о ©©о о
> т** со со ^* ^* ^** со
«емоо см тЬт^см оо
3©СО 1^ ОСОСО 00
>СМС0 Tj« CDt*-0O C7>
5 СО СО СО СО СО СО СО
(Он* СОЮСМ СОЮ— — СОСООО rt«
"5S°?i SSS^ £rS?5 НЭ Sfe^ ^
CO ЮООСМ Ю <
SI —t>-co r
CNON ^"СМСЛ CO COON ^ — 00 Ю —00
_ _.i--- ьел© смт»<ю^ ел —см rfcoK ел —см
c5 © pc5 ©©— — — — — — см см c^cm^cm^ см со со
© ©"©"о" о"©"'©*' о*о"©" ©" ©"©"о" о*©*©* ©*©"©* ©"" о"©"©" о"©"©" ©"©"©" ©" ©"©"о" ©"©*"©" ©"©"о" о" ©"©"©" о
•iredj I
-«со ^.юю ^ооело пе?2 2122 SS220 -см« ^Й^ S5§5Sg co-SB с^Й^§ feBg5® 559 5:

4» ^4*»**. »£*CoCOCO COCOCO COCOCO S£tOtOtO tOtOtO Ю-tOtO Mb-»-»— (-»»-»»— ни-.»-» ■*
4». «Ю>-> OCOOO-<J ОЗСП4* СОЮ»-- OtOOOS ОЗСл4>> СОЮМ Ос©00*>) C3Cn4s> СО Ю<— OtOOOS ОЗСЛ4* СОК»»— С
© ррр р ррр ррр ррр р ррр ррр ррр р ррр ррр ррр р ррр ррр ррр :
J«a "sVj"^ Vj Vis^ соооЪо "ооооЪо "оо ооЪооо Ъэ'срс© 'to'to't© «о со'соср to "to с© «©"«©"со '«о "to "tot© "«©"«©"со "со"col© 1
»- СО Л СП ОЗ SOOCO ©»—Ю С04*СП ОЗ SOOC© $©©►-» tgbSSW CO 4*СпСП ОЗ ОЗ S S S 00 00 00CO CO (©COCO С© (О CO <
tO •—СоДа» OJ SQ000 «©COCO 0000S ОЗ 4*.lO»— OOOSco ONM (О СПн-0> ►--СЛО 4*00—* 4b. SOtO «*03S OOCOCO (
CO CO»—S О иОа О —О C3©>— о ОЗСОО SCO СЛ СЛ>—СП ОЗ СлОСО tOCOCO СО»—<3» ОО ОЗЮСЛ СП»—СП ОЗСООО I
4ь СЛ4ы-* 4ь СП»— 4». ЮСП4* SCnS СО ЮСЛ»— С©»—СП ©0000 С© МФО ОЗСОО S СП СО ►- С©-»J СЛ to'X> ОЗ СО С© СЛ <
о ©©о © оо© о©© о©© © ©©о ©о© ©оо о ©о© ооо ооо о ооо о©© о©© »-
S ^"H:^ i? гЧ^^ ооЪооо "ЬоЪоЪ
| Сою(
| SOC
4». Спс. ,
'^§88
' 000000 00(©С© (©(©СО СО COCOCO COCOCO COCOCO СО COCOCO COCOCO COCOCO i
i soooo coo»— »—юсо со 4>cncn озозоз ssoo oo ooooc© «oc©co cococo i
, COt—CO sjftjw (©©tO 00 iUOCn ©CncO CoS«— 4». ЧЮМ 4*CnS 00 CO CO i
i ЮСлОЗ СлОСО СООСп ОЗ Сп •— 4>- 4>»»—Сп S Сл О О? ЮООм Ю СО Со 4btOS
sen© I
I i—4>-S |
■ юерс
> •—4*С
р ррр р ррр РРР РРР Р РР£
s Vi^is V| ViVjVi "Ьо'оо'оо ЪоооЪо Ъо Т
- -^ a*» Jgsg gig SB ; _
-"OS 4ъ.<&ь- t— StsjC
5-» «ОСЛО» © 00©С
ррр ррр р ррр ррр ррр р ррр ррр ррр р
со со с© с© с© с© со со с© с© с© с© с© '
!S^99 9? оорос© cococo cocoio ;
«J sss s ss*
»— (O004> Ф S00C1
CO OiS& © «—ЮС
ю со к- c© 4*. оз оз с
СП SOOOS »— to»—С
00000 000000 OS 000000 OOCOcp C©C©
>мю EScn оз s s do с© о о >—ю
04»4ь gCONJ •— C>00S "fcfcOC© SCO
Dtoco totoS Co
ЭСОСО i
_0 00CO <
ОЗС© — I
Ю 00 CO OO CO 00 t* С _ _ _
_ —*--r- _- O3C0S 00O3>— COCOCO Ю t004> U-^-_
tO»- СОСООЗ О300Ю S 4*tOtO ЮСОСЛ MOM СП СОЮ4». S5W COC
о о о о р ©о © ррр о © ©
^ VjViVj Vi 'Vj'V)'^ ЪоЪо оо ■*•"•*
>— ЮСо4>» — — - ' -
|— Сосл М
tO CO Cop vi -ч^1
»— »^(—со »— S©
ррр ррр ррр
^1-^^ оо'оооо оо оо оо оо ооЪооо Ъо'сЪ'с© lo'to'to «о cococo со юс© со с© с© «о
озоос© о»—to С044-СЛ о> сл^оо сроо ►—toto со 4*.4^сп сло>о> *si-«i^j оо
too»— tototo •о—'- © oo-gen соь-оо слюс© сп msm -«in -vi н-сле© ю
— - -■ -~ — ~^сэ o>co«q c©--qco — — -~- ~~~. ^»
О) СО СО СП 0 05СП
I — *.Jk Ю00»— »— ^, ^
to to оо оо to to ел toe
ррр ррр ррр р ррр ррр ррр р
- - «^ 'tO^o'c© t©l©^© "t©
.СОС©С©СОСОСОСОСО
.- , Ю СПООг- COUiQ -J00CO C©
OO 4* О OS CO ^4 ООСлО Ю»—Oi СОСОСП CO
OltO COCTJ4». tO ©00O> 4w»—00 СЛЮО0 CO
so*
p©p p pGG ррр ррр :
^Vil^ Vi "^VqVi ЪоЪоЪо Ъо'ор'ср '
K1 Pi5 Ji. fn O5-J00 О •— Ю CO.^.^. i
ONtO <
;2 2i58 !
ppp ppp ppp p ppp ppp ppp p ррр ррр ррр Р
oo oo oo oo to со "to cot© t© со со со tocct© to со "со to 'to'co'c© (©"(©"с© "с© "со "со "с©
1 °5^Я!? «ООО ►— lOtO СО 4^4!»Сп СЛОЗО» ~^*»1-«д 00 ОсООСО COCOCO COCOCO СО
1 "^Ф^ ^Q^ 4* —О0 4>ь OCT)»— -sjr> Oi н-СЛОО Ю СЛ 00 О Ю4ьО> «5 00 СО СО
| СООСп ^JOitO 05 <
8^100 Ю СЛ00С ._ .. _.
О-*! >— СО*—ОЗ СО004>ь »«J«*14- ■
ЮСЛ 00 »— 4*-J 0t04» 0300(0 i
р ррр р ррр ррр ррр р ррр ррр ррр р ррр ррр ррр р ррр ррр ррр р
V) ViViVi Vi Vi'Vj^ "<j oo "oo ЪоЪоЪо "oo ЪоЪоЪо ЪоЪо'со 'tc'co'to "to "co'co'c© "c©"c© to "to"to "to "со 'co'cot© *t©'c©'t© "со со to t©
о i— со4> en O3^joo toon юсол сп оз^аоо сосоо н-toto со со4*.сл спдзоз ^*»а^ oo »ooto totpto tococ© to
-J tp>—33 4». 03^92 оофс© cpoooo *q дз4».ю ►-•оооз coos So tocn»— д>»—ел OjUOo •— Sso k:£q *>iooco c©
»— S5co>— s p»—О озо»— оозо i— розео o^qco слеп»— Сп оз Сп о wtoco coco»— оз Зоозю слей»— Сп оз Со оо
•— *»СП4>. "-1 4kCn— 4^tOCn 4^SCn S СОюСЛ »-(©►— СЛОСО 00 (ОЮОЗ ООЗСО OSCn СО »—COS OlN-CO ОЗСОСО СП
Град.
4ь 4>*4k ifbCScncn слслсп слслсл слфооз озозоз съезд? C3^Jss ^jss sss s25oooo 000000 1
Сп O3S00 t© О»-1 Ю CO*»Cn C73SOO CO О »— Ю CO 4k СП (73SOO CO О и-Ю CO 4*. СЛ OS 00 (О 0»—Ю Ш4^СП {

36
Т. I. Отд. 1. Математика. 1. Таблицы
Таблица 3. Круговые функции
(Продолжение)
5 1
0
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 |
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
0' |
0,00000
0,01746
0,03492
0,05241
0,06993
0,08749
0,10510
0,12278
0,14054
0,15838
0,17633
0,19438
0,21256
0,23t87
0,24^33
0,'^6795
0,28675 1
0,30573
0,32492
0,34433
0,36397
0,38386
0,40403
0,42447
0,44523
0,46631
0,48773
0,50953
0,53171
0,55431
0,57735
1 0,60086
0,62487
0,64941
0,67451
0,70021
0,7^654
0,75355
0,78129
0,80978
0,83910
0,869^9
0,90040
0,93^52
0,96569
| 60'
10' |
0,00291
0,02036
0,03783
0,05533
0,07285
0,09042
0,10805
0,12574
0,14351
0,16137 1
0,17933
0,19740
0,21560
0,23393
. 0,25242
0,27107
0,28990
0,30891
0,32814
0,34758
0,36727
0,38721
0,40741
0,42791
0,44872
0.46985
0,49134
0,51319
0,53545
0,55812
0,58124
0,60483
0,62892
0,65355
0,67875
0,70455
0,73100
0,75812
0,78598
0,81461
0,84407
0,87441
0,90569
0,93797
0,97133
| 50'
20' |
0,00582
0,02328
0,04075
0,05824
0,07578
0,09335
0,11099
0,12869
0,14648
0,16435
0,18233
0,20042
0,21864
0,23700
0,25552
0,27419
0,29305
0,31210
0,33136
0,35085
0,37057
0,39055
0,41081
0,43136
0,45222
0,47341
0,49495
0,51688
0,53920
0,56194
0,58513
0,60881
0,63299
0,65771
0,68301
0,70891
0,73547
0,76272
0,79070
0,81946
0,84906
0,87955
0,91099
0,94345
0,97700
J 40'
Tangens
30' |
0,00873
0,02619
0,04366
0,06116
0,07870
0,09629
0,11394
0,13165
0,14945
0,16734
0,18534 1
0,20345
0,22169
0,24008
0,25862
0,27732
0,29621
0,31530
0,33460
0,35412
0,37388
0,39391
0,41421
0,43481
0,45573
0,47698
0,49858
0,52057
0,54296
0,56577
0,58905
0,61280
0,63707
0,66189
0,68728
0,71329
0,73996
0,76733
0,79544
0,82434
0^5408
0,88473
0,91633
0,94896
0,98270
j 30'
40' |
I
0,01164
0,02910
0,04658
0,06408
0,08163
0,09923
0,11688
0,13461
0,15243
0,17033
0,18835
0,20648
0,22475
0,24316
0,26172
0,28046
0,29938
0,31850
0,33783
0,35740
0,37720
0,39727
0,41763
0,43828
0,45924
0,48055
0,50222
0,52427
0,54673
0,56962
0.59297
0,61681
0,64117
0,66608
0,69157
0,71769
0,74447
0,77196
0,80020
0,82923
0,85912
1 0,88992
0,92170
0,95451
0,98843
1 20'
j
50' |
0,01455
0,03201
0,04949
0,06700
0,08456
0,10216
0,11983
0,13758
0,15540
0,17333
0,19136
0,20952
0,22781
0,24624
0,26483
0,28360
0,30255
0,32171
0,34108
0,36068
0,38053
0,40065
0,42105
0,44175
0,46277
0,48414
0,50587
0,52798
0,55051
0,57348
0,59691
0,62083
0,64528
0,67028
0,69588
0,72211
0,74900
0,77661
0,80498
0,83415
0,86419
0,89515
0,92709
0,96008
0,99420
| 10'
60' 1
0,01746
0,03492
0,05241
0,06993
0,08749'
010510
0,12278
0,14054
0,15838
0,17633
0,19438
0,21256
0,23087
0,24933 1
0,26795
0,28675
0,30573
0,32492
0,34433
0,36397
0,38386
0,40403
0,42447
0,44523
0,46631
0,48773
0,50953
0,53171
0,55431
0,57735
0,60086
0,62487
0,64941
0,67451
0,70021
0,72654
0,75355
0,78129
0,80978
0,83910
0,86929
0,90040
0,93252
0,96569
1,00000
1 °'
1 Cotangens
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
I 49
48
47
46
45
**

Таблица 8 37
Таблица 3. Круговые функции (Продолжение)
41
S. !
0
1
2|
3
4
6
7
8
9
10
11
12
13 1
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
0'
оо
57,28996
28,63625
19,08114
14.30С67
11,43005
9,51436
8,14435
7,11537
6,31375
5,67128
5,14455 1
4,70463
4,33148
4,01078
3,73205
3,48741
3,27085
3,07768
2,90421
2,74748
2,60509
2,47509
2,35585
2,24604
2,14451
2,05030
1,96261
1,88073
1,80405
1,73205
1,66428
1,60033
1,53987
1,48256
1,42815
1,37638
1,32704
1,27994
"1,23490
1,19175
1,15037
1,11061
1,07237
1,03553
1 6(У
10' |
343,77371
49,10388
26,43160
18,07498
13,72674
11,05943
9,25530
7,95302
6,96823
6,19703
5,57638
5,06584
4,63825
4,27471
3,96165
3,68909
3,44951
3,23714
3,04749
2,87700
2,72281
2,58261
2,45451
2,33693
2,22857
2,12832
2,03526
1,94858
1,86760
1,79174
1,72047
1,65337
1,59002
1,53010
1,47330
1,41934
1,36800
| 1,31904
I 1,27230
| 1,22758
1,18474
1,14363
1,10414
1,06613
1,02952
| 50'
10' j
171,88540
42,96408
24,54176
17,16934
13,19688
10,71191
9,00983 !
7,77035 !
6,82694
6,08444
5,48451
4,98940
4,57363
4,21933
3,91364
3,64705
3,41236
3,20406
3,01783
2,85023
2,69853
2,56046
2,43422
2,31826
2,21132
2,11233
2,02039
1,93470
1,85462
1,77955
1,70901
1,64256
1,57981
1,52043
1,46411
1,41061
1,35968
1,31110
1,26471
1,22031
1,17777
1,13694
1,09770
1,05994
1,02355
| 40'
Cotangens
30'
114,58865
38,18846
22,90377 i
16,34986
12,70621
10,38540
8,77689
7,59575
6,69116
5,97576
5,39552
4,91516
4,51071
4,16530
3,86671
3,60588
3,37594
3,17159
2,98869
2,82о91
2,67462
2,53865
2,41421
2,29984
2,19430
2,09654
2,00569
1,92098
1,84177
1,76749
1,69766
1,63185
1,56969
1,51084
1,45501
1,40195
1,35142
1,30323
1,25717
1,21310
1,17085
1,13029
1,09131
1,05378
1,01761
| 30/
Tangens
40' |
85,93979
34,36777
21,47040
15,60478
12,25051
10,07803
8,55555
7,42871
6,56055
5,87080
5,30928
4,84300
4,44942
4.U256
3,82083
3,56557
3,34023
3,13972
2,96004
2,79802
2.651С9
2,51715
2,39449
2,28167
2,17749
2,08094
1,99116
1,90741
1,82906
1,75556
1,68643
1,62125
1,55966
1,50133
1,44598
1,39336
1,34323
1,29541
1,24969
1,20593
1,16398
1,12369
1,08496
1,04766
- 1,01170
| 20'
50' |
68,75009
31,24158
20,20555
14,92442
11,82617
9,78817
8,34496
7,26873
6,43484
5,76937
5,22566
4,77286
4,38969'
4,06107
3,77595
3,5^609
3,30521
3,10842
2,93189
2,77254
2,62791
2,49597
2,37504
2,263/4
2,16090
2,06553
1,97680
1,89400
1,81649
1,74375
1,67530
1,61074
1,54972
1,49190
1,437^3
1,38484
1,33511
1,28764
1,24227
1,19882
1,15715
1,11713
1,07864
1,04158
1,00583
| 10'
60'
57,28996
28,63625
19,08114
14,30067
11,43005
9,51436
8,14435 1
7,11537 1
6,31375
5,67128
5,14455
4,70463
4,33148
4,01078
3,73205
3,48741
3,27085
3,07768
2,90421
2,74748
2,60509
2,47509
2,35585
2,24604
2,14451
2,05030
1,96261
1,88073
1,80405
1,732(5
1,66428
1,60033
1,53987
1,48256
1,42815
1,37638
1,32704
1,27994
1,23490
1,19175
1,15037
1,11061
1,07237
1,03553
1,00000
0'
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
72
71
70
69
68
67
66
65
64
63
62
61
60
59
58
57
56
55
154
53
52
51
50
49
45
1 **
я
\&

38 Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 4. Круговые, показательные и гиперболические функции
(Аргумент в дуговых единицах и градусах)
X
0,00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
0,10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
0,40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
0,50
sin х
0,00000
0,01000
0,02000
0,03000
0,03999
0,04998
0,05996
0,< 6994
0,07991
0,08988
0,09983
0,10978
0,11971
0,12963
0,13954
0,14944
0,15932
0,16918
0,17903
0,18886
0,19867
0,20846
0,21823
0,22738
0,23770
0,24740
0,25708
0,26673
0,27636
0,28595
0,29552
0,30506
0,31457
0,32404
0,33349
0,34290
0,35227
0,36162
0,37092
0,38019
0,38942
0,39861
0,40776
0,41687
0,42594
0,43497
0,44395
0,45289
0,46178
0,47063
0,47943
COS X
1,00000
0,99995
0,99980
0,99955
0,99920
0,99875
0,99820
0,99755
0,99680
0,99595
0,99500
0,99396
0,99281
0,99156
0,99022
0,98877
0,98723
0,98558
0,98384
0,98200
0,98007
0,97803
0,97590
0,97367
0,97134
0,96891
0,96639
0,96377
0,96106
0,95824
0,95534
0,95233
0,94924
0,94604
0,94275
0,93937
0,93590
0,93233
0,92866
0,92491
0,92106
0,91712
0,91309
0,90897
0,90475
0,90045
0,89605
0,89157
0,88699
0,88233
0,87758
igx
0,00000
0,01000
0,02000
0/dOOl
0,04002
0,05004
0,06007
0,07011
0,08017
0,09024
ОДСОЗЗ
0,11045
0,12058
0,13074
0,14092
0,15114
0,16138
0,17166
0,18197
0,19232
0,20271
0,21314
0,22362
0,23414
0,24472
0,25534
0,26602
0,27676
0,28755
0,29841
0,30934
0,32033
0,33139
0,34252
0,35374
0,36503
0,37640
0,38786
0,39941
0,41105
0,42279
0,43463
0,44657
0,45862
0,47078
0,48306
0,49545
0,50797
0,52061
0,53339
0,54630
ех
1,00000
1,01005
1,02020
1,03045
1,04081
1,05127
1,06184
1,07251
1,08329
1,09417
1,10517
1,11628
1,12750
1,13883
1,15027
1,16183
1,17351
1,18530
1,19722
1,20925
1,22140
1,23368
1,24608
1,25860
1,27125
1,28403
1,29693
1,30996
1,32313
1,33643
1,34986
1,36343
1,37713
1,39097
1,40495
1,41907
1,43333
1,44773
1,46228
1,47698
1,49182
1,50682
1,52196
1,53726
1,55271
1,56831
1,58407
1,59999
1,61607
1,63232
1,64872
е-х
1,00С00
0,99005
0,98020
0,97045
0,96079
0,95123
0,94176
0,93239
0,92312
0,91393
0,90484
0,89583
0,88692
0,87810
0,86936
0,86071
0,85214
0,84366
0,83527
0,82696
0,81873
0,81058
0,80252
0,79453
0,78663
0,77880
0,77105
0,76338
0,75578
0,74826
0,74082
0,73345
0,72615
0,71892
0,71177
0,70469
0,69768
0,69073
0,68386
0,67706
0,67032
0,66365
0,65705
0,65951
0,64404
0,63763
0,63128
0,62500
0,61878
0,61263
0,60653'
sh х
0,00000
0,01000
0,02000
0,0300С
0,04001
0,05002
0,06004
0,07С06
0,08009
0,09012
1 0,10017
0,11022
0,12029
0,13037
0,14046
0,15056
0,16068
0,17082
0,18097
0,19115
0,20134
0,21155
0,22178
0,23203
0,24231
0,25261
0,26294
0,27329
0,28367
0,29408
0,30452
0,31499
0,32549
0,33602
0,34659
0,35719
0,36783
0,37850
0,38921
0,39996
0,41075
0,42158
0,43246
0,44337
0,45434
0,46534
0,4764Q
0,48750
ch x
1,00С00
1,00005
11,00020
1,00045
1,0Г080
1,00125
1,00180
1,00245
1,00320
1,00405
1,00500
1,00606
1,00721
1,00846
1,00982
1,01127
1,01283
1,01448
1,01624
1,01810
1,02007
1,02213
1,02430
1,02657
1,02894
1,03141
1,03399
1,03667
1,03946
1,04235
1,04534
1,04844
1,05164
1,05495
1,05836
1,06188
1,06550
1,06923
1,07307
1,07702
1,08107
1,08523
1,08950
1,09388
1,09837
1,10297
1,10768
1,11250
0,49865 1,11743
0,50984 1,12247
0,52110 '
1,12763 1
th*
0,00000
0,01000
0,02000
0,02999
! 0,03998
| 0,04996
0,05993
0,06989
0,07983
0,08976
0,09967
0,10956
0,11943
0,12927
0,13909
0,14889
0,15865
0,16838
0,17808
0,18775
0,19738
0,20697
0,21652
0,22603
0,23550
0,24492
0,25430
0,26362
0,27291
0,28213
0,29131
0,30044
0,30951
0,31852
0,32748
0,33638
0,34521
0,35399
0,36271
0,37136
0,37995
0,38847
0,39693
0,40532
0,41364
0,42190
0,43008
0,43820
0,44624
0,45422
0,46212 '
к в гра-
1 дусах
0,00
0,57
1,15
1,72
2,29
2,86
3,44
4,01
4,58
5,16
5,73
6,30
6,88
7,45
8,02
8,59
9,17
9,74
10,31
10,89
11,46
12,03
12,61
13,18
13,75
14,32
14,90
15,47
16,04
16,62
17,19
17,76
18,33
18,91
19,48
20,05
20,63
21,20
21,77
22,35
22,92
23,49
24,06
24,64
25,21
•25,78
26,36
26,93
27,50
28,07
28,65
• Дополн. табл. для значений аргумента я/4, п\2, Зтс/4, и, бтс/4, Зя/2, 7тс/4,2тс (стр. 42).
Примечание. Для значений х > 6,3 будет 1) (по меньшей мере для 3
десятичных знаков) sh* та ch дг « Ц%е-К\ расчет, как в прим. 2 (стр. 57); 2) thx «
S3 1,00000; 3) sin x, cos x, tg x равны соответственным значениям функций для
значений аргумента х — 2 тс, х — 4 тс, х — 6 тс.... , лежащих между 0,0 и 6,3. — Следуег
считаться с пробой ch x ± sh х = е ± •*.

tog:
>go?$£8£882gg82$g82gSgS22
О to 00*4 ел сп 4* со to A
2^883882882 gSSSSSSSSSag
О 0©©0©©0©0© ©©©ООООООО 00©0©©©00© ©0©000©0©© 0©0©©0©0©0
2 g § S2222ggSSS 33 sfofofa So S3 32 2 3 8 883 8 882 8*8 SSgSggSfgJ gSSfefefefcSVfeb
о oo op oe »q ~4 «^ -<j <j •<» ^ -~j -*j -»i kj ч -o. »q-^ ел ел ел ел ел ел ел ел •
-мБоюоооо *<i -vj ел ел сп л со со to >— н- о ю 5э оо -ч ел сп сп Ь. и,--,,. _.„
5Ji.cOCo**l>-'CntOCo ->l©4»»^4*-4k--ai—4*^4 ©СоСЛ00>-»4ьСЛ<£>|-14». OiOOOCoCn-^COi-'tO^ СЛООЮн-t0 4*C ^. >~^
п 35 н- *. сп ел ф ел со о-^ со оо to ел to н-to со со м •— со ел to оо со оо to сп >^ to »-* •— to i-* о оо ел со о ел •— ел "-1 ел оо н- л.
JtOtOtOch tOOOCO <5 4* Со 4». 00 4* СО Сп to СЛ СП 00 4* tO 4* «О *4 00 СО to 4* to to Ю СО О 4*. 4». «^ 4ь 55 to CO to to 4». CO 00 00 Co
о оооо©©оо©о ooo©©©o©o© oooo©o©o©© ©©оо©©©оо© ооооооо©©©
2 feWsfefeWsfc 8^288Г83888 gbbsaaSSSS WS^SSeS'SSSg |S8S288SS82SSS
о оо^сжхн-уэ-^спсо»— to-^Htoto-^&totooj ©©^jfe^oocn^-oojU j--»icocoo^tooocotocn ©SjH-^to^ato^to-^
со епососпел-^оооо^ел *>мдол«э*.акзсом оососооосл^н-оососр «оспоосоон-ооослйг toitc»tocn-»JOooo^cn
о to to © to So to со to сп н- •-» сп со 4^ оо ел оо to о •-* сп •-» «-« ф» to ->i ^4 •-- ел *> сп-о. to со оо о со оо сп 4* 4* ел © с> to •—>-* to 4* оо
* *
HiliillJlliilPiiilMIIllMl
gllSlIillSillllllililliill
IliligJllJillMlllillliiiSIllii
JillillillliilllllJlllSSllll
liliiliiiliilliillliiliililliiilil
lllllllllllllllllllillllllill
S3 gg8&2SSSS2 8S&&S&3S&& &££&£fe££©-©- 888$$8$$K£ SScSSSS©5©^^
8 "as 88 & 8?£ 2 sfQ l8fe 8^3 3 S&fcfc 32 "8 8 Й S^SS^Sb S W8 S Q 3"8&fc 8 S 88 fcsVa 88
H
e»
о
S
P
•о
<<
-J
о
BO
^ о
Е о Л 8»
*§£ &
IB" 3
Х Я
Я
•е-
X
Pi
Я 00
s <о

«и ~
S eg? *
- .д. SS «* U
gill i
еа S» £
К ^ г»
* о
sua
2 ES
*£§ S
§<о-&$£&££6££3££$о^^
1РРРРРРРРРР
dIo со'со'со со*со со со*
DCOCDCOCOCOCOTOOOi
ftCn£cotO»-»©00<l<
оооооооооо оооооооооо ©о©©о©©©©© сэооооррррр
с© с© со со оо оо оо оо
iSSSSSS&sg
_, н-*со-^Спсо»-»оос»0
-ЗООСООО-^Ок^^н-О
©&iH>»o)too5cntoooo
cococococptpcocococo cococQcococpcocooooo
at сп сп ел g if*. ф> со со со to »*э £ »^ •-'2 о о <р со
OC»CntOOOCntOcOCntO 004k©O}tO004k©Cn»—
00 О н-О СО-^ rf*. н-Oi О CoO}-«J00^10}4ki-»^tO
ktO©<©0000CO©tO
СОН-©©!-»
OO0^^CbS5lCn4kg
»»-»^to»4N5"<itoa>t-»
» СО bJ CO 4k ife Co н- 00 4k
5-со^
© рррррррррр рррррррррр
"© "в'о'н^'?-*'н-»'н-*н-'ь^'>-*'>-* 1-»^-*^-»~tO^O^oio^oWtO
^ 0D СО © »-pt tO Co 4k СП О О) *>а 00 СО О I—»tO Со 4к СП О)
3 sagSoSSSSs ScocoSScoSo'ooiljSi
»3 ^o>d)Cncn4kcoto^co оо о> 4> to о ч 4к »-* оо сп
4k »-'^jco-<a©tococo©'^ •—о*, сп 4k >-» сп со оо сп о
©©©©©©©©©© 0©0©©©0©©©
W8fcbfcfe"fc8f8 Vg W8fefe$ £%
^1 О) О) СП СП 4> 4к Со СО to I-* О © СО Q0 -«3 О СП 4к СО
***»! tO О0 СО ОО N5 О) О СО О) СО •-» СО 4к СП О О) О) О)
tOtO00tOtO©4kCntOO> О) tO-СП 4k СО СО О) 00 О) ©
© © оррррррр
V^^^^goicncnari
4*Sl—OOCntOOOCoOOCO
tocoto-^-atoto^O)©
Z*»8 &
8 ^а s
р-яи *
3» я » w g
s'a d я 5.
^ * Р» Я "О
2.° |» ^ Si
,4*. N» 0^0 00 00^^10)0} СП CnCn^4k4k_4k4kCOCOjM СО СО СО СО CO^tOtO Ю tO tO JOJOK3 tOJOM tO tO^tOj-» »- >-» M»-» н* *-♦-*_»-» _»-*j-*
о со со to © © en»-»*«i i
2? irt 92 со © сп оо сп со ■
ggg&p^s Q&gssgssggs sssggsisggg §392el§8§|
^й8Ш885 £&S33£83&s; 8^SSSl?Sg£oi S88fcS2££££
4k 4k 4> 4k 4k rfk 4k 4* 4k 4k 4k
s§
COCnCoQOoSjCnCn
©Cn4kO)i—©©tOO)©
4k CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO CO Co CO CO CO CO CO CO
o^^oojopo'^Vj»:!?-
>Э>Э tO tOtO^tO tO^OJOtO
"со оо ооЪд*'оо*Ц':<1 "Ц
о о © © о © о © © ©
"a'toloT
©©©©©©©©©©
О)О)0)0)-*1
*Cn^-0)t0004>l-»OOCn
OOi—0)4kCn004ktOCO
© © © о © © о о ©р ©©©©©©©о ©о
VdVd'to'toM'to'to'to'Voco ЪЪоооаооооЪсососо
•ч^дроодаоосососо© о о ь- и- *-* •— кэ nj to со
ся оо © со 5) со to сп оо I-» S^ococncococncoto
to о оо о) сл со to N3 to н- F3 to со *. oi об о to сп оо
^4kcocnOoocococ5co to оо ^«5 со .«k to со оо 5) -j
о©о©о©©©©©
SggSS^S^feSo
tO©i-»O)4kCn»-*COtOO0
>^ ©'co'co'cp'co'co *
■*0>-*COO)4ktOO i
0000000"^"^^«^«^O) <
0 O) 4k и- CO "•) СП CO •-» CO '
O) © •-* 00 Ю •-* ->J 00 4k О CO СП ►-» tO 00 -1»— CO С
> C04kCOO)O)00C0©CO©
i totototototototototo to to to to to to to to н
ООДиОМСлО О) 4k Co Co С
э со со со оо оо оо op оо оо s^s**i^*JsoiC6C» 0)0)0)0)0) ел сп спела
ssjissgaaSSs gggs^SssSII sSgggsgisi
o^SSfeSoiSgH g§SSo2^§S^£iJSg ^SSeS^gcl^S
'рррррррррр
> CO CO 00 00 00 00 00 00 00 00
> ©©COCOCOCOCOOOOOOO
i со «r* cp-sj сп со с со--а сп
> С04кСЛО)0)^0)ф4кСО
i to^oocncoo-дососп
©©©©©©©©©©
8§g2S2S252S§g^§o^
Со©00О)4к1-'СОСП4кН^
н-»СОО)СО©0)Ю-^Ю^
^СПСОСОСП-^СПООООЮ
рррррррррррррррррррр
" о ооЪооо'Ьо'Ьо'оо"*
ооооооооорооосоо
СЛ Сл СП СП 4к 4> 4к Со
COOOOH-OOCjijOcp
00 00 0 0)00
to to to ►-*»-»»-»
_„„ _^14к»-»-^4к£--^..,_
ppppppopо с
cococooooo*j-«ao)0>oi
"*"**СОСП>-**«)СОСОСЛ»-»
- —oooocSoo^cn
H-CO t—-»1 O) CO
8 82288S82222gg SSSo^^aioiSSS aSSS^SSSSo 8QQ8SSSS88W82S88SS85Q
Ж "feiSВSfSfcS^Sb £58883o888ё SSfe"^S8feV88S SSsSfefefeib8*8 ftfeb"25ЙЙ8
5s *
i ° 3
05 О
и
s
€
4k
Ы 3
SB
s s r-
•О <D £>
'о о в
о
p:
i =

Таблица 4
41
Таблица 4. Круговые, показательные и гиперболические функции
(Аргумент в дуговых единицах и градусах) * (Продолжение)
X
1,50
51
52
53
54
55
56
«57
£8
*59
1,60
70
80
90
2,00
10
20
«30
40
50
60
70
80
90
3,00
«10
20
зэ
4Э
50
61 |
70 '
80
*90
4,00
10 1
20
30
40
50
60
*70
80
90
5,00
10
20
30
♦ 40
50
60
70
80
90
6,00
*зо 1
sin х
0,99749
0,99815
0,99871
0,99917
0,99953
0,99978
0,99994
1,00000
0,99996
0,99982
0,99957
0,99166
0,97385
0,94630
0,90930
0,86321
0,80850
0,74571
0,67546
0,59847
0,51550
0,42738
0,33499
0,23925
0,14112
+0,04158
—0,05837
-0,15775
—0,25554
-0,35078
—0,44252
—0,52984
-0,61186
—0,68777
-0,75680
—0,81828
—0,87158
—0,91617
—0,95160
—0,97753
-0,99369
—0,99992
—0,99616
—0,98245
-0,95892
—0,92581
—0,88345
—0,83227
—0,77276
—0,70554
—0,63127
—0,55069
— 0,46460
—0,37388
—0,27942
4-0,(46811
cos х
0,07074
0,06076
0,05077
0,04079
v 0,03079
0,02079
0,01080
+0,00080
-0,00920
-0,01920
—0,02920
-0,12884
-0,22720
-0,32329
-0,41615
*tgx
14,10142
16,42809
19,66966
24,49841
32,46114
48,07849
92,62050
+ 1255,766
-108,6492
-52,06698
-34,23254
- 7,69660
- 4,28626
— 2,92710
— 2,18504
—0,50485'— 1,70985
-0,58859— 1,37382
-0,66628— 1,11921
-0,73739
-0,80114
-0,85689
-0,90407
- 0,91601
- 0,74702
- 0,60160
— 0,47273
—0,94222'— 0,35553
-0,97096 — 0,24641
-0,98999 — 0,14255
—0,99914
-0,99829
-0,98748
-0,96680
-0,93646
-0,89676
-0,84810
-0,79097
-0,72593
-0,65364
-0,57482
—0,49026
-0,40080
-0,30733
-0,21080
— 0,04162
4- 0,05847
0,15975
0,26442
0,37470
0,49347
0,62473
0,77356
0,94742
1,15782
1,42353
1,77778
2,28585
3,09632
4,63733
-0,11215 8,86018
—0,01239+80,71280
+0,08750
0,18651
0,28366
0,37798
-11,38487
- 5,26749
— 3,38052
— 2,44939
0,46852 — 1,88564
0,55437
0,63469
0,70867
0,77557i
0,83471 i
0,88552
0,92748
0,96017
0,99986
— 1,50128
— 1,21754
— 0,99558
— 0,8134
- 0,65973
- 0,52467
— 0,40311
— 0,291"1
+ 0,01681
e*
4,48169
4,52673
4,57223
4,61818
4,66459
4,71147
4,75882
4,80665
4,85496
4,9C375
4,95303
5,47395
6,04965
6,68589
е-*
0,22313
0,22091
0,21871
0,21654
0,21438
0,21225
0,21014
0,20805
0,20598
0.20393
0,20190
0,18268
0,165^0
0,14957
7,38906'0,13534
8,16617|0,12246
9,025010,11080
9,97418,0,10026
11,02318 0,09072
12,18249,0,08208
13,46374 0.07427
14,879730,06721
16,44465,0,06081
18,174150,05502
20,08554 0,04979
22,19795 0,04505
24,53253 0,04076
27,11264 0,03688
29,964100,03337
33,11545 0,03020
36,59823 0,02732
40,44730 0,02472
44,70118 0,02237
49,40245 0,02024
54,59815 0,01832
60,34029,0,01657
66,68633 0,0150)
73,69979 0,01357
81,45087i0,01228
90,01713 0,01111
99,48432 0,01005
109,9472
121,5104
134,2898
148,4132
164,0219
181,2722
200,3368
221,4064
244,6919
270,4264
^98,8674
330,^996
365, 375
403,4288
544,5719
0,00910
0,00823
0,10745
0,00674
0,00610
0,00552
0,00499
0,00452
0,00409
0,00370
0,00335
0,00303
O,O0L574
0.00248
0,00184
sh x
2,12928
2,15291
2,17676
2,20082
2,22510
2,24961
2,27434
2,29930
2,32449
2,34991
2,37557
2,64563
2,94217
3,26816
3,62686
4,02186
4,45711
4,93696
5,46623
6,05020
6,69473
7,40626
8,19192
9,05956
10,01787
11,07645
12,24588
13,53788
14,96536
16,54263
18,28546
20,21129
22,33941
24,69110
27,28992
30,16186
33,33567
36,84311
40,71930
45,00301
49,73713
54,96904
60,75109
67,14117
74,20321
82,00791
90,63336
100,1659
110,7009
122,3439
135,2114
149,434)
165,1483
182,5174
201,7132
272,2850
ch x
2,35241
2,37382
2,39547
2,41736
2,43949
th*
0,90515
0,90(594
0,90870
0,91042
0,91212
2,46186 0,91379
2,48448 0,91542
2,50735 0,91703
2,53047 0,91860
2,553840,92015
2,57746
2,82832
3,10747
3,41773
3,76220
4,14431
4,56791
5,03722
5,55695
6,13229
6,76901
7,47347
8,25273
0,92167
0,9J541
0,94681
0,95624
0,96403
0,97045
0,97574
0,98010
0,93367
0,98661
0,98903
0,99101
0,99263
9.1145810,99396
10,06766 0,99505
11,12150 0,99595
12,28665 0,99668
13,57476 0,99728
14,99874 0,99777
16,57282 0,99818
18,31278 0,99851
20,2360110,99878
22,36178 0,99900
24,71135,0,99918
27,30823 0,99933
30,17843,0,99945
33,35066 0,99955
36,85668 0,99963
40,73157,0,99970
45/ 1412 0,99975
49,74718 0,99980
54,97813,0,99983
60,75932
67,14861
74,20995
82,01400
90,63888
100,1709
110,7055
122,3480
135,2150
149,4354
165,1513
182,5211
201,7156
272,2869
0,99986
0,99989
0,99991
0,99993
0,99994
0,99995
0,99996
0,99997
0,99997
0,99998
0,99998
0,99999
0,99999
0,99999
хв
градусах
85,94
86,52
87,09
87,66
88,24
88,81
89,37
89,95
90,53
91,10
91,67
97,40
103,13
108,86
114,59
120,32
126,05
131,78
137,51
143,24
148,97
154,70
160,43
166,16
171,89
177,62
183,35
189,08
194,81
200,54
206,26
211,99
217,72
223,45
229,18
234,91
240,64
246,37
252,10
257,83
263,56
269,29
275,02
280,75
286,48
292,21
297,94
303,67
309,40
315,13
320,86
326,59
332,32
338,05
343,77
360,96
* Дополнит.таблица для значений аргумента те/4,те/2,Зте/4, п,5л/4, Згс/2,7«/4, 2*(стр. 42).

42
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 4. Круговые, показательные и гиперболические функции
(Окончание)
Дополнительная таблица для значений аргумента тс/4, тс/2, Зтс/4, тс,
5тс/4, Зтс/2, 7тс/4, 2 тт.
X
1/4тс = 0,7854
1/, тс = 1,5708
»/4тс = 2,3562
тс = 3,1416
Б/4тс = 3,9270
»/2тс = 4,7124
'/4тс = 5,4978
2я = 6,2832
sin х
0,70711
1,00000
0,70711
0,00000
-0,70711
—1,00000
-0,70711
0,00 00
COS X
0,70711
0,00000
-0,70711
—1,00000
—0,70711
0,00000
0,70711
1.0С000
igx
1
±oc
—1
0
1
±oo
—1
0
ex
2,19328
4,81049
10,55072
23,14069
50,75402
111,3178
244,1511
е-*
0,45594
0,20788
0,09478
0,04321
0,01970
0,00898
0,00410
535,4917 |0,00187
sh x
0,86867
2,30130
5,22797
11,54874
26,36716
55,65440
122,0735
267,7449
ch x
1,32461
2,50918
5,32275
11,59195
25,38686
55,66338
122,0776
267,7468
th x
0,65579
0,91717
0,98219
0,99627
0,99922
0,99984
0,99997
0,99999
л: в
град.
45,00
90,00
135,00
180,00
225,00
270,00
315,00
360,00
d
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Таблица 5. Объемы шара для диаметров d от
— Ф
6 |
0,523599
4,188790
14,13717
33,51032
65,44985
113,0973
179,5944
268,0826
381,7035
523,5988
696,9100
904,7787
1150,347
1436,755
1767,146
2144,660
25/2,441
3053,628
3591,364
4188,790
4849,048
5575,280
6370,626
7238,229
8181,231
9202,772
10305,99
11494,04
12770,05
14137,17
15598,53
17157,28
18816,57
20579,53
22449,30
24429,02
26521,85
28730,91
31059,36
33510,3?
d
41
42.
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
1 §0
т* j
36086,95
38792,39
41629,77
44602,24
47712,94
50965,01
54361,60
57905,84
61600,87
65449,85
69455,91
73622,18
77951,81
82447,92
87113,75
91952,32
96966,83
102160,4
107536,2
113097,3
118847,0
124788,2
130924,3
137258,2
143793,3
150532,6
157479,1
164636,2
172006,9
179594,4
187401,8
195432,2
2J3688.8
212174,8
220893,2
229847,3
239040,1
248474,9
258154,6
2§8082,6
d
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
ПО
111
112
ИЗ
114
115
•116
117
118
119
1 120
_1ф
278261,8
288695,6
299387,0
310339,1
321555,1
333038,2
344791,4
356817,9
369120,9
381703,5
394568,9
407720,1
421160,3
434892,8
448920,5
463246,7
477874,5
492807,0
508047,4
523598,8
539464,3
555647,2
572150,5
588977,4
606131,0
623614,5
641431,0
659583,7
678075,6
696910,0
716090,0
735618,6
755499,1
775734,6
796328,3
817283,2
838602,7
860289,5
882347,3
904778,7
d
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
1 154
155
156
157
158
159
1 160
т* \
927587,2
950775,8
974347,7
998305,9
1022654
1047394
1072531
1098066
1124004
1150347
1177098
1204260
1231838
1259833
1288249
1317090
1346357
1376055
1406187
1436755
1467763
1499214
1531112
1563457
1596256
1629511
1663224
1697398
1732038
1767146
1802725
1838778
1875309
1912321
1949816
1987799
2026271
2065237
1 2104699
1 21446S0
1 до
d
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
1 200
200
6
2185125
2226094
2267574
2309565
2352071
2395096
2438642
2482713
2527311
2572441
2618104
2664Э05
2711046
2758331
2806162
2854543
2903477
2952967
ЗС03006
3053628
3104805
3156551
3208869
3261761
3315231
3369282
3423919
3479142
3534956
3591364
3648369
3705973
3764181
3822996
3882419
3942456
4003108
4064379
4126272
1 4188790

Таблица в
43
Таблица 6. Длина дуги, стрелка» длина хорды и площадь
сегмента для радиуса, равного 1
и
П. Я
S1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32 1
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45 1
3£
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0873
0,1047
0,1222
0,1396
0,1571
0,1745
0,1920
0,2094
0,2269
0,2443
0,2618
0,2793
0,2967
0,3142
С3316
0,3491
0,3665
0,3840
0,4014
0,4189
0,4363
0,4538
0,4712
0,4887
0,5061
0,5236
0,5411
0,5585
0,5760
0,5934
0,6109
0,6283
0,6458
0,6632
0,6807
0,6981
0,7156
0,7330
0,7505
0,7679
0,7854 I
л;
ев
о,
и
| 0,0000
0,0002
0,0003
0,0006
0,0010
0,0014
0,0019
0,0024
0,0031
0,0038
0,0046
0,0055
0,0064
0,С075
| 0,0086
0,0097
0,0110
0,0123
0,0137
0,0152
0,0167
0,0184
0,0201
0,0219
0,С237
0,0256
0,0276
0,0297
0,0319
0,0341
0,0364
0,0387
0,0412
0,0437
0,0463
0,0489
0,0517
0,0545
0,0574
0,0603
0,0633
0,0664
0,0696
0,0728
0,0761
1
h
458,36
229,19
152,79
114,60
91,69
76,41
64,01
56,01
50,96
45,87
41,70
38,23
35,28
32,78
30,60
28,04
27,01
25,35
24,17
22,98
21,95
20,90
20,00
19,17
18,47
17,71
17,06
16,45
15,89
15,37
14,88
14,42
13,99
13,58
13,20
12,84
12,50
12,17
11,87
11,58
11,30
11,04
10,78
10,55
10,32 1
ьэ
§3
5S
0,0175
0,0349
0,0524
0,0698
0,0872
0,1047
0,1221
0,1395
0,1569
0,1743
0,1917
0,2091
0,2264
0,2437
0,2611
0,2783
0,2956
0,3129
0,3301
0,3473
0,3645
0,3816
0,3987
0,4158
0,4329
0,4499
0,4669
0,4838
0,5008
0,5176
0,5345
0,5513
0,5680
0,5847
0,6014
0,6180
0,6346
0,6511
0,6676
0,6840
0,7004
0,7167
0,7330
0,7492
0,7654 1
Л Св
се а
0,00000
0,00000
0,00001
0,00003
0,00006
0,00010
0,00015
0,00023
0,00032
0,00044
0,00059
0,00076
0,00097
0,00121
0,00149
0,00181
0,00217
0,0С257
0,00302
0,00352
0,00408
0,00468
Q.00535
0,00607
0,00686
0,00771
0,00862
0,00961
0,01067
0,01180
0,01301
0,01429
0,01566
0,01711
0,01864
0,02027
0,С2198
0,02378
0,02668
0,02767
0,02976
0,03195
0,03425
0,03664
0,03915 1
1С
\х u
"46~
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90 1
се*-»
is
0,8029
0,8203
0,8378
0,8552
0,8727
0,8901
0,9076
0,9250
0,9425
0,9599
0,9774
0,9948
1,0123
1,0297
1,0472
1,0647
1,0821
1,0996
1,1170
1,1345
1,1519
1,1694
1,1868
1,2043
1,2217
1,2392
1,2566
1,2741
1,2915
1,3090
1,3265
1,3439
1,3614
1,3788
1,3963
1,4137
1,4312
1,4486
1,4661
1,4835
1,5010 |
1,5184
1,5359
1,5533
1,5708 '
1—^—
ce
0,0795
0,0829
0,0865
0,0900
, 0,0937
1 0,0974
i 0,1012
0,1051
0,1090
0,1130
0,1171
0,1212
0,1254
0,1296
0,1340
0,1384
0,1428
0,1474
0,1520
0,1566
0,1613
0,1661
0,1710
0,1759
0,1808
0,1859
0,1910
0,1961
0,2014
0,2066
0,2120
0,2174
0,2229
0,2284
0,2340
0,2396
0,2453
0,2510
0,2569
0,2627
0,2686
0,2746
0,2807
0,2867
0,2929 1
1
h
10,10
9,89
9,69
9,50
9,31
9,14
8,97
8,80
8,65
8,49
8,35
8,21
8,07
7,94
7,81
7,69
7,56
7,46
7,35
7,24
7,14
7,04
6,94
6,85
6,76
6,67
6,58
6,50
6,41
6,34
6,26
6,18
6,H
6,04
5,97
5.90
5,83
5,77
5,71
5,65
5,59
5,53
5,47
5,42
5,36
fr»
S 2
is
1 38
0,7815
0,7975
0,8135
0,8294
0,8452
0,8610
0,8767
0.8924
0,9080
0,9235
0,9389
0,9543
0,9696
0,9848
1,0000
1,0151
1,0301
1,0450
1,0598
1,0746
1,0893
1,1039
1,1184
1,1328
1,1472
1,1614
1,1756
1,1896
1,2036
1,2175
1,2313
1,2450
1,2586
1,2722
1,2856
1,2989
1,3121
1,3252
1,3383
1,3512 1
1,3640
1,3767
1,3893
1,4018
1,4142 1
ГТГ
CO S
0,04176
0,04448
0,04731
0,05025
0,05331
0,05649
0,05978
0,06319
0,06673
0,07039
0,07417
0,07808
0,08212
0,08629
0,09059
0,09502
0,09958
0,10428
0,10911
0,11408
0,11919
0,12443
0,12982
0,13535
0,14102
0,14683
0,15279
0,15889
0,16514
0,17154
0,17808
0,18477
0,19160
0,19859
0,20573
0,21301
0,22045
0,22804
0,23578
0,24367
0,25171
0,25990
0,26825
0,27675
0,28540
Примечание к табл. 6. Радиус г для данной дуги / и стрелки Л
определяется из г = ///0, где 10 та длина дуги, которая при радиусе 1 соответствует
заданному /: h, помещенному в графе 1 таблицы. Если г—радиус круга, а
<р—центральный угол в градусах, то получим:
1) длина хорды s=2 r sin -у,
2) стрелка Л = г (l — cos -|-) = -|- tg -~ == 2r sin5
Л-
-s-
4 '
&/ длина дуги I = к г
180°
: 0,017453 г<р
-/
'+-"«■.

44
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Таблица 6. Длина, дуги, стрелка, длина хорды и площадь
сегмента ДЛЯ радиуса, равного 1 (Продолжение)
[тр.угл
град. II
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
ПО
111
112
ИЗ
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
ев"-*
§5
5&
1,5882
1,6057
1,6232
1,6406
1,6581
1,6755
1,6930
1,7104
1,7279
1,7453
1,7628
1,7802
1,7977
18151
1,8326
1,8500
1,8675
1,8850
1,9024
1,9199
1,9373
1,9548
1,9722
1,9897
2,0071
2,0246
2,0420
2,0595
2,0769
2,0944
2,1118
2,1293
2,1468
2,1642
2,1817
2,1991
2,2166
2,2340
2,2515
2,2689
2,2864
2,3038
2,3213
2,3387
1 2,3562
елка Щ
1
в-
о
0,2991
0,3053
0,3116
0,3180
0,3244
0,3"Ю9
0,3374
0,3439
0,3506
0,3572
0,3639
©,3707
0,3775
0,3843
0,3912
0,3982
0,4052
0,4122
0,4193
0,4264
0,4336
0,4408
0,4481
0,4554
0,4627
0,4701
0,4775
0,4850
0,4925
0,5000
0,5076
0,5152
0,5228
0,5305
1 0,5383
0,5460
0,5538
0,5616
0,56Р5
0,5774
0,5853
0,5933
0,6013
0,6093
1 0,6173
/
5,31
5,26
5,21
5,16
5,11
5,06
5,02
4,97
4,93
4,89
4,84
4,80
4,76
4,72
4,68
4,65
4,61
4,57
4,54
4,50
4,47
4,43
4,40
4,37
4,34
4,31
4,28
4,25
4,22
4,19
4,16
4,13
4,11
4,08
4,05
4,03
i 4,00
3,98
3,95
3,93
3,91
3,88
3,86
3,84
1 3,82
«о
is
аа
1,4265
1,4387
1,4507
1,4627
1,4746
1,4863
1,4979
1,5094
1,5208
1,5321
1,5432
1,5543
1,5652
1,5760
1,5867
1,5973
1,6077
1,6180
1,6282
1,6383
1,6483
1,6581
1,6678
1,6773
1,6868
1,6961
1,7053
1,7143
1,7233
1,7321
1,7407
1,7492
1,7576
1,7659
1,7740
ощадь]
•мента!
0,29420
0,30316
0,31226
0,32152 1
0,33093 1
0,34050 1
0,35021
0,36008
0,37009
0,38026
0,39058
0,40104
0,41166
0,42242
0,43333
0,44439
0,45560
0,46695
0,47845
0,49008
0,50187
0,51379
0,52586
0,53806
0,55041
0,56289
0,57551
0,58827
0,60116
0,61418
0,62734
0,64063
0,65404
0,66759
0,68125
1,7820 ,'0.69505
1,7899 0.7С897
1,7976 0.72301
1,8052 0,73716
1,8126 |0,75144
1,8199 ,0,76584
1,8271 0,78034
1,8341 ,0,79497
1,8410 10,80970
1 1,8478
0,82454
С '
х
11
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
1 180
бе
JL
2,3736
2,3911
2,4086
2,4260
2,4435
2,4609
2,4784
2,4958
2,5133
2,5307
2,5482
2,5656
2,5831
2,6005
2,6180
2,6354
2,6529
2,6704
2,6878
2,7053
2,7227
2,7402
2,7576
2,7751
2,7925
2,8100
2,8274
2,8449
2,8623
2,8798
2,8972
2,9147
2,9322
2,9496
2,9671
2,9845
3,0020
3,0194
3,0369
3,0543
3,0718
3,0892
3,1067
3,1241
1 3,1416
елка Л
в-
о
0,6254
0,6336
0,6416
0,6498-
0,6580
0,6662
0,6744
0,6827
0,6910
0,6993
0,7076
0,7160
0,7244
0,7328
0,7412
0,7496
0,7581
0,7666
0,7750
0,7836
0,7921
0,8006
0,8092
0,8178
0,8264
0,8350
0,8436
0,8522
0,8608
0,8695
0,8781
0,8868
0,8955
0,9042
0,9128
0,9215
0,9&)2
0,9390
0,9477
0,9564
0,9651
0,9738
0,9825
0,9913
1 1,0X0
/
Л
3,80
3,77
3,75
3,73
3,71 !
3,69
3,67
3,66
3,64
3,62
3,60
3,58
3,57
3,55
3,53
3,52
3,50
3,48
3,47
3,45
3,44
3,42
3,41
3,39
3,38
3,37
3,35
3,34
3,33
3,31
3,30
3.28
3.27
3,26
3,25
3,24
3,23
3,22
3,20
3,19
3,18
3,17
3,16
3,15
1 3,14
со
s п.
59
1,8544
1,8608
1,8672
1,8733
1,8794
1,8853
1,8910
1,8966
1,9021
1,9074
1,9126
1,9176
1,9225
1,9273
1,9319
1,9363
1,9406
1,9447
1,9487
1,9526
1,9563
1,9598
1,9633
1,9665
1,9696
1,9726
1,9754
1,9780
1,9805
1,9829
1,9851
1,9871
1,9890
1,9908
1,9924
1,9938
1,9951
1,9963
1,9973
1,9981
1,9988
1,9993
1,9997
1,9999
1 2,0000
э «>
о S
0,83949
0,85455
0,86971
0,88497
0,90034
0,91580
0,93135
0,94700
0,96274
0,97858
0,99449
1,01050
1,02658
1,04275
1,05900
1,07532
1,09171
1,10818
1,12472
1,14132
1,15799
1,17472
1,19151
1,20835
1,22525
1,24221
1,25921
1,27626
1,29335
1,31049
1,32766
1,34487
1,36212
1,37940
1,39671
1,41404
1,43140
1,44878
1,46617
1,48359
1,50101
1,51845
1,53589
1,55334
1,57080
4) площадь сегмента равна
2
(iw-*°-sln<?)>
5) площадь сектора равна -^- */* = 0.СС8 726 65 ? г5,
зьи
6) / = г соотв. ср == 57° 17' 44,806" = 57,2957795° = 206264,806",
7) arc 1° = к : 180 = 0,01745329252; lg arc 1° = 0,2418773676 — 2,
8) arc 1' = тс: 10800 = 0,00029088821. lg arc 1' =0,4637261172 4,
9) arc 1"=*: 648000 = 0,00000484814; lg arc 1" = 0,6855748668 - 6.

Таблица 1 45
Таблица 7. Длина дуги круга при радиусе,равном 1
10'
20'
30'
40'
50'
0,00000
0,01745
0,03491
0,05236
0,06981
0,08727
0,10472
0,12217
0,13963
0,15708
0,17453
0,19199
0,20944
0,22689
0,24435
0,26180
0,27925
0,29671
0,31416
0,33161
0,34907
0,36652
0,38о97
0,40143
0,41888
0,43633
0,45379
0,47124
0,48869
0,50615
0,52360
0,54105
0,56851
0,57596
0,59341
0,61087
0,62832
0,64577
0,66323
0,68068
0,69813
0,71558
0,73304
0,75049
0,76794
0,00291 |
0,02036
0,03782
«0,05527
0,07272
0,09018
0,10763
0,12508
0,14254
0,15999
0,17744
0,19490
0.21235
0,22980
0,24725
0,26471
0,28216
0,29961
0,31707
0,33452
0,35197
0,36943
0,38688
0,40433
0,42179
0,43924
0,45669
0,47415
0,49160
0,50905
0,62651
0,54396
0,56141
0,57887
0,59632
0,61377
0,63123
0,64868
0,66613
0,68359
0,70104
0,71849
0,73595
0,75340
0,77085
о/
10'
0,00582
0,02327
0,04072
0,05818
0,07563
0,09308
0,11054
0,12799
0,14544
0,16290
0,18035
0,19780
0,21526
0,23271
0,25016
0,26762
0,28507
0,30252
0,31998
0,33743
0,35488
0,37234
0,38979
0,40724
0,42470
0,44215
0,45960
0,47706
0,49451
0,51196
0,52942
0,54687
0,56432
0,58178
0,59923
0,61668
0,63414
0,65159
0,66904
0,68650
0,70395
0,72140
0,73886
0,75631
0,77376
0,00873
0,02618
0,04363
0,06109
0,07854
0,09599
0,11345
0,13090
0,14835
0,16581
0,18326
0,20071
0,21817
0,23562
0,25307
0,27053
0,28798
0,30543
0,32289
0,34034
0,35779
0,37525
0,39270
0,41015
0,42761
0,44506
0,46^51
0,47997
0,49742
0,51487
0,53233
0,54078
0,56723
0,58469
0,60214
0,619S9
0,63705
0,65450
0,67195
0,68941
0,70686
0,72431
0,74176
0,75922
0,77667
0,01164
0,02909
0,04654
0,06400
0,08145
0,09890
0,11636
0,13381
0,15126
0,16872
0,18617
0,20362
0,22108
0,23853
0,255с8
0,27343
0,29089
0,ЗГ834
0,32579
0,34325
0,36070
0,37815
0,39561
0,41306
0,43051
0,44797
0,46542
0,48287
С.50033
0,51778
0,53523
0,55269
0,57014
0,58759
0,60505
0,62250
0,63995
0,65741
0,67486
0,69231
0,70977
0,72722
0,74467
0,76213
0,77958
0,01454
0,03200
0,04945
0,06690
0,08436
0,10181
0,11926
0,13672
0,15417
0,17162
0,18908
0,20653
0,22398
0,24144
0,25889
0,27634
0,29380
0,31125
0,32870
0,34616
0,36361
0,38К6
0,39852
0,41597
0,43342
0,45088
0,46833
0,48578
0,50324
0,52069
0,53814
0,55560
0,57305
0,59050
0,60796
0,62541
0,64286
0,66032
0,677.7
0,69522
0,71268
0,73013
0,74758
0,76504
0,78249
' | 105 arc
1
2
3
4
5
6
7
8
9
29,1
58,2
87,3
116,4
145,4
174,5
203,6
232,7
261,8
//
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
108 arc
0,6
1,0
1,5
1,9
2,4
2,9
3,4
3,9
4,4
4,8
9,7
14,5
19,4
24,2
20'
30'
40'
50'

46 3\ *• Отд. 1. Математика, t. Таблицы
Таблица 7. Длина дуги круга при радиусе, равном 1 (Продолжение)

Градусы
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
65
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
0>
0,78540
0,80285
0,82030
0,83776
0,85521
0,87266
0,89012
0,90757
0,92502
0,94248
0,95993
0,97738
0,99484
1,01229
1,02974
1,04720
1,06465
1,08210
1,09956
1,11701
1,13446
1,15192
1,16937
1,18682
1,20428
1,22173
1,23918
1,25664
1,27409
1,29154
1,30900
1,32645
1,34390
1,36136
1,37881
1,39626
1,41372
1,43117
1,44862
1,46608
1,48353
1,50098
1,51844
1,5.5589
1,55334
* ~
10'
0,78831
0,80576
0,82321
0,84067
0,85812
0,87557
0,89303
0,91048
0,92793
0,94539
0,96284
0,98029
0,99775
1,01520
1,03265
1,05011
1,06756
1,08501
1,10247
1,11992
1,13737
1,15483
1,17228
1,18973
1,20719
1,22464
1,24209
1,25955
1,27700
1,29445
1,31191
1,32936
1,34681
1,36427
1,38172
1,39917
1,41663
1,43408
1,45153
1,46899
1,48644
1,50389
1,52135
1,53880
1,556^5
1С
20'
0,79122
0,80867
0,82612
0,84358
0,86103
0,87848
0,89594
0,91339
0,93084
0,94830
0,96575
0,98320
1,00066
1,01811
1,03556
1,05302
1,07047
1,08792
1,10538
1,12283
1,14028
1,15774
1,17519
1,19264
1,21009
1,22755
1,24500
1,26245
1,27991
1,29736
1,31481
1,33227
1,34972
1,36717
1,38463
1,40208
1,41953
1,43699
1,45444
1,47189
1,48935
1,50680
1,52425
1,54171
1,55916
20'
30'
0,79412
0,81158
0,82903
0,84648
0,86394
0,88139
0,89884
0,91630
0,93375
0,95120
0,96866
0,98611
1,00356
1,02102
1,03847
1,05592
1,07338
1,09083
1,10828
1,12574
1,14319
1,16064
1,17810
1,19555
1,21300
1,23046
1,24791
1,26536
1,28282
1,30027
1,31772
1,33518
1,35263
1,37008
1,38754
1,40499
1,42244
1,43990
1,45735
1,47480
1,49226
1,50971
1,52716
1,54462
1,56207
30'
40'
0,797f3
0,81449
0,83194
0,84939
0,86685
0,88430
0,90175
0,91921
0,93666
0,95411
0,97157
0,98902
1,00647
1,02393
1,04138
1,05883
1,07629
1,09374
1,11119
1,12865
1,14610
1,16355
1,18101
1,19846
1,21591
1,23337
1,25082
1,26827
1,28573
1,30318
1,32063
1,33809
1,35554
1,37299
1.39С45
1,40790
1,42535
1,44281
1,46026
1,47771
1,49517
1,51262
1,53007
1,54753
1,56498
4V
50'
0,79994
0,81740
0,83485
0,85230
0,86976
0,88721
0,90466
0,92212
0,93957
0,95702
0,97448
0,99193
1,00938
1,02684
1,04429
1,06174
1,07920
1,09665
1,11410
1,13156
1,14901
1,16646
1,18392
1,20137
1,21882
1,23627
1,25373
1,27118
1,28863
1,30609
1,32354
1,34099
1,35845
1,37590
1,39335
1.41С81
1,42826
1,44571
1,46317
1,48^62
1,49807
1,51553
1,53298
1,55^43
1,56789
50'
' \ Юбагс
1
2
з
4
5
6
7
8
9
29,1
58,2
87,3
116,4
145,4
174,5
203,6
232,7 .
261,8
"
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20
30
40
50
10 в arc
0,5
1,0
1,5
1,9
2,4
2,9
3,4
3,9
4,4
4,8
9,7
14,5
19,4
24,2

S ggS I §S3 §sS SS5I SSS ssii SHS S §§§ las §§s I *** sss ssss g
tototo ыюкз tototo to mmm мкзи i
8 000 OQCC COCOCO «О «O0000 000000 *-J^^ **J ^"-асЛ OiCT)C3J С&СЛСП
•<jCn.U tOOOO ^JCnCO >-» O00O CnCOJ- COOOO Л. tOi—CO ^ИНЬ Й>©00
^ ^> Ф^РЬЗ tfeTSSS b5*;^ SS bpri^ SS0.?" iJSb? 9! "^0Ь2 ^SS cocnoo
0tO«4 М05И OJOCn
CO»—S CT5CO»-* Л. OXOtO 4*.**lCO tO&.«4 «О tO *. "<1 &М0П SOW
ЭСЛ i—OtO ~OCO00 4> CO^O Cni—OT tO*«JCO 00 4*СОСЛ О®»-» OtO^l
э*д н-оя-* слосл о fbicu оососо to-Nito а> »-*ст>о ело*, <о4*оо
Ю tOtOtO tO tOtOtO tO ЬЭ tO tO tO Ю КЗ tO tO N9 W Ю с* i
8 82
to oo Cod
Sto tOt—i-» »-*i-4-i Q ООО 00(0 СОСОСО
ОН О00О 4*СО»— СО *JCT>4> ГОи-СО vlOlA
ъсо to^-q сокг* ->i eotoK sow сл~*10
ЭД> ОСЛ»-* 0>tC»J СО 00Л.СО .UOCn >—OtO
COO tO*>ltO О)»—О О СЛ О*- СО4*00 Со 00 to
-да ^JOTI^ N3 CJ да "М
000 tO^JtO ^4»—OJ •—
JO jOJOJO JO tOtOtO tOtOJO N9 N9 tO N9 tOtOtO JO JO J- J
V K5°*^ "ь? toloTo To'V-iw T-1-*"^» "»-• bob bob %
^ MOCO ^1 CnCotw OOOsj слеси Q 00Oi*C0H-cO
►> -OCOtO * «vjcotO ^SQ tOCn-*J О tcCn^J OtOCn '
СЛ »—OJtO "<l К 00 Co (ОДО Cni-»C?> tO "«JCoOO АЮ4^
О) ислО СЛ CO^kCO CoOOCO »<JtO"^ *■» 05»-*СЛ ОСЛСО i
*J SW Sb/ Si** WW VA*
эсо en aqco J
пм a> fo •<• со l . _
ЭСО 00 CO**JCO -*J»—С
UWU1 W< W^-4J WUJ*k Г^*-Щ -v|
Coojoo »-» смелое »-*coo> ос»—* о
cnoa> ►— Cito^a coooj*. сосло ел
ИСЛО СП С04ЬСО CoOOCO -JtO*>J ►-
to tototo
£ 8 S. &
JO W>9JO JOJOJO JO JO JO
"tO tO "tO N9 Ь^^-*^-* "н*-*-*"»-»
^1 0>4*.КЭ OCO^J СлСоМ
^1 СЮСЛ -<10tO СлООО
en tomato oococo ►fcpen
Oi ОСЛСО rf^cOCo 00 Co 00
00000 00*J-^
_5tO ^COOO J^COCn
4^.0000 ООЮ-J tOO»—
c^o1 S8S2 82S 5
СЛСО»-1 JbOtO »--rf>>CT5 CO
§MS КЭ^СО 0ОЛ.СО СЛ
СЛО 4ь(04ь ООСООО N9
N9 N9 tO tO N9 tO N9 Ю tOtOtO tO N9 tO
&S2co
to tototo to»-'»-' i
oo a> >f- to »-- со -*i i
p Co Сл 00 О Со Сл (
8J ^gg ^§2 1
jo totojo tototo
"h- bob ООО со CO CO
со cooogo oooooo oc-^i-^ -4 -^-^-^
О 00SO1 Comi OCOJA Co h'.0«>J ОЛМ OOS СП CotOOCOOCn
O) OOt—00 O500M COOJOT »-' ЛОФ^^СЯ'Г)»-*. СЛ COtO**«JCOtO
О СП»—O5tO^CO00rf^CO СП CCn»--a5tO^JCo004U CO Спбф MSNJ
"- ooto-ч мо>и оосл о 4*.со4к оосооо tomato о> I—ело слосл
S S2S
»• *^ со
tototo tototo tototo
JOJOJO JOJOJO J-J-J- j- ^-j-и- »-»»—j- *-*»—»- j- J-^-J- J"»J-»-1 — J""—
._ ._ bob bob bbb "со "соЪооо Ъэоо"Ьо "ooVjVi "»a s*4*^ bbb bb*a
OA.C0 МЮЧ Oi^tO О СО-^СЛСОЬООООСЛСЛ CO MCO00 04^М t-COvl Сл 4*.tOOcO««JCnCotOO
Л00»— СОООО "--feOJ 00 K-^OS CD»— ►& Oicp»— n> CnCDtO »f>-^icp tO^^J CO t04i>-<l Q N5 СЛ -4 О tO
^сл»— oto»^ coooco со »c»pcn »—a>to *«icooo S сосло сл»--о> to^jco oo *сосл ооз»— ^ito-^S
o-^»— ait—cn ослео л. со со oo co^ito *g»—o> »— слосл co^co coooco "^ to-^i»-* сБь-сп ослео
^Joll^jo^ ^.cocojoto j-j— j-o
"to4u.cn^oo 'i^'coVco^ "сослЬЪ»
COOO^JOCn 4*COtO»—
•—toco^cn <o>-4ooco
'boVjbcn'ii. Vco'to*»-'

5S5 SSS 555 ё l§§ §Ss ssS §
ssS ISS ssS § ISs &&£ £§£ © §§§ &$
COCOCO CO CO CO CO CO JO M JOJOJO JOJOJO JOJOJO JO JOJOJO JOJOJO JOtOtO N3
"и-'»-'о о* "o'b'v "со '«о"to"«о "оооооо ооЪооо «о, VjVjV» ^V)o> Ъ>съо> Ъ>
кэооо iScnco S»to o> jfeco»- cg-jcn **joo со ■scn.fc кэг>» осл& Si»
л№ф и5*55 со mS о «toto**ocoto.fc^4;D to cn«»j*5toen^j __. , ^
£§К»о-<10ооо$.соСп о Йн^ msco Sfto сп осям vjMoo coc6J. со Si
^^iiS* ~ч*»*^, s5«5n^ СП иСлО СЛСО.Ц COCO» CO OtOO игом СлОСЛ О Ф*
3co8&^8
tow to to to to to to to
- - - - - fen V*i"*
tO JO Ю tON3
"со со
> »co*3 to*3£« o> fc*cnc? Sco
50C050 coCoco Coco jo jo
tooc© -чепсо too» en
ijtSto ►fe^'S to&o to
оелн 5>to-«j уо»***- <©
OlCOJb to*.» CO 00 tO ^1
JO N9JO JOJOJO JOJOJO
tolo'co "со ооЪо Ъо gofeo
«^ 5tocn о r>t«
»— оосл oJEcj
S°«J^J °
tO N5 tO tO tO tO tO Ю tO tO to Ю tO N5 tO tO tO tO tO tO tO tO tO tO tOfcO
*Si?"^ *^^СП 050505 О АСЛСП СЛСЛСЛ 4*.*».
^jo>4*. M2« ослео м ooosS chcot— coco
**«1 ^ СО СПООЭ СОСЛОЭ О COOOO *-*СоСП 00»-»
JSSHS Р^гЗ bSSoco Ш ЩЩШ ©Фи ??*о
a» tomato о»»—ел
со coooto ^a
^£Co cog)
COCOCO COW CO JJ0J>5 JO JO JOJOJO JO tO JO JOJOJO
"»—h-»o "o ©~© © o^o ^o "co"co~co "срооЪо ЪоЪоЪо
8р|38йй§? 3 8^4 §88 885
.-S~* ~^~ У» . .«„„ ^л_ ^^g
w. , J СОСЛ00
rfb. СОСЛ C^ СП»-' '
tOO tO 0>»-»05 '
to to to to to to to to to to
S382 "S2"S QfeS 8
SSS8 8^8«25S 8 ж-
COt^CO CoOOtO -<ltOO> i-" 5>»-'
to to to to to to to to to
nco 5£сося
JO JOJOJO JO JO
Tu "л. Vco "соЪэ
•fe» Co»-' CO *3o>
cococo 50 со со 00 jw jo jo jojojo jojojo jojojo jo jojojo jojojo jojojo jo jo to to jo to to jo jo to jo jojojo jo jo
мм© "оо© ©о*со *ср ^lo'co ^Ъоoo Ъоoooo "» 0^3 <i V'^ffi P52?~<3> en о>Слсл ^лЪ}93 ^jlfe^ ~£± ^fc"*r?sJ ~r'~"
Й>СпО pScn COQCW СЛ So^Qo СЛ001-' (
»&coc7iocn>-*cnto -si cooo
o_»cn исло слео** to cooo
cococo со со со со со to to
to to to to to to to to to to to
jo to to to to jo jo jo to
ел ел "
JO JOJOJO JO JO
»£ь ^^ »J^ 1^ Co CO
сп'»^с>5л56»3(х.65 со J—oTcnoobicooSS^ J& cnlstfSoicp^K^ со to^-^lotoSl^Sto ел sioto cn-i
oco» £cpcn oSt— -^ to-^co те*.<е cnooj ^ -05090 cocoi& сосло en ь-^to oococo *.ooi >— o>»-*-q &»
*^tO*s) t0 6)n> ChOCn О 4b<0.& CO Co 00 tO^tO CD MOO OlJ)IS COrf^OD CO 00 to •>! tOOiH СП О СЛ О ** СО 4* »СО
totojo to to to jototo
Ъоо» "*
H-H-1t^ SQO -50CO CD COCOCO CO»» »»» 00 *J-^>I S4C1 0505СП О» СПСЛСЛ СЛСЛСП СЛ^^
ujhO ®5>.fe Co»—co 3 O5*to C-o*^ Слсокэ О ОоспСл Сон-со »спЬ. to S-»co*>q ел^to ocp^l
cn»">c>cnoo»-*Owcn » *-*cVen»>-»cocbcoi-' *. а^и аоф h*s со to*»^cotorf*.-goto
Rococo cococo cocojo
Co to О СофСл S»-»'^
JOJOJO JOJOJO tO tO tO
lolo^o to»00 "
» ffi;UND MIOS Q;^N3
f* Ф-OJCO >-*4^0> CDb-JSh
ooh-co cn»«-* Coencp >-* Ф^спсо »-*4^сп со
с?ЙЙЙ25Йс?2с1 8 5;^^2^с?Й
to to to to to to to to to to to
-<j*j»4 ^i^a^ encnen en спел
»-«1СПС01-''~>00О>*»> CO *?*'-0
COtO^ ^IvOtO rf».*«JCO to СЛ">1
O»---^ tO»CO CDrfkCO Ol ^ —
too»— СПОСЛ oKco ^
totojo jojojo jojojo
ел 01W
— ■ too
ЛСЛСЛ СЛ4
»^ tO MCI
ОСЛО ON
to to to to to
co»-«ao>oi rf».cofco»-k
rf».J0 4^JO^ Ф- COJiJtO tO ►—*-»►-О
'toVcn^i"» "iVcoV»"^ 'со'Ъло'сл
со»^о>сл rf^coto»-*
Ъо^'сп'сл'а 4^ Co "tot—

Таблица 9 49
Таблица 8. Перевод 90° деления квадранта в 100°

Градусы
а
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
0'
о,сооо
1,1111
2,2222
3,3333
4,4444
5,5556
6,6667
7,7778
8,8889
10,0000
11,1111
12,2222
13,3333
14,4444
15,5556
16,6667
17,7778
18,8889
20,0000
21,1111
22,2222
23,3333
24,4444
25,5556
26,6667
27,7778
28,8889
30,0С00
31,1111
32,2222
33,3333
34,4444
35,5556
36,6667
37,7778
38,8889
40,0000
41,1111
' 42,2222
43,3333
44,4444
45,5556
46,6667
47,7778
48,8889
50,0С00
10'
0,1852
1,2963
' 2,4074
3,5185
4,6296
5,7407
6,8519
7,9630
9,0741
10,1852
11,2963
12,4074
13,5185
14,6296
15,7407
16,8519
17,9630
19,0741
20,1852
21,2963
22,4074
23,5185
24,6296
25,7407
26,8519
27,9630
29,0741
30,1852
31,2963
32,4074
33,5185
34,6296
35,7407
36,8519
37,9630
39,0741
40,1852
41,2963
42,4074
43,5185
44,6296
45,7407
46,8519
47,9630
49,0741
50,1852
20'
0,3704
1,4815
2,5926
3,7037
4,8148
5,9252
7,037<)
8,1481
9,2593
10,3704
11,4815
12,5926
13,7037
14,8148
15,9259
17,0370
18,1481
19,2593
20,3704
21,4815
22,5926
23,7037
24,8148
25,9259
27,0370
28,1481
29,2593
30,3704
31,4815
32,5926
33,7037
34,8148
35,9259
37,0370
38,1481
39,2593
40,3704
41,4815
42,5926
43,7С37
44,8148
45,9259
47,0370
48,1481
49,2593
50,3704
30'
, 0,5556
1,6667
2,7778
3,8889
5,0000
6,1111
7,2222
8,3333
9,4444
10,5556
11,6667
12,7778
13,8889
15,0000
16,1111
17,2222
18,3333
19,4444 '
20,5556
21,6667
22,7778
23,8889
25,0С00
26,1111
27,2222
28,3333
29,4444
30,5556
31,6667
32,7778
33,8889
35,0000
36,1111
37,2222
38,3333
39,4444
40,5556
41,6667
42,7778
43,8889
45,С000
46,1111
47,2222
48,3333
49,4444
50,5556
40'
0,7407
1,8519
2,9630
4,0741
5Д852
6,2963
7,4074
8,5185
9,6296
10,7407
11,8519
12,9630
14,0741
15,1852
16,2963
17,4074
18,5185
19,6296
20,7407
21,8519
22,9630
24,0741
25,1852
26,2963
27,4074
28,5185
29,6296
30,7407
31,8519
32,9630
34,0741
35,1852
• 36,2963
37,4074
38,5185
39,6296
40,7407
41,8519
42,9630
44,0741 *
45,1852
46,2963
47,4074
48,5185
49,6296
50,7407
50'
0,9259
2,0370
3,1481
4,2593
5,3704
6,4815
7,5926
8,7037
9,8148
10,9259
12,0370
13,1481
14;2593
15*37С4
16,4815
17,5926
18,7037
19,8148
20,9259 .
22,0370
23,1481
24,2593
25,3704
26,4815
27,5926
28,7037
29,8148
30,9259
32,0370
33,1481
' 34,2593
35,3704
36,4815
37,5926
38,7037
39,8148
40,9259
4J2,0370
43,1481
44,2593
45,3704
46,4815
47,5926
48,7037
49,8148
50,9259

Градусы
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Для перевода
соответствующее |
ггла а > 45° в 100°-деление следует отыскать в таблице значение,
|0 = «° — п 45°, и прибавить к этому п 50.

50 Т. Т. Отд. 1. Математика. Т. Таблицы
Таблица 9. Эллиптические интегралы *
Эллиптические интегралы 1-го рода F («р, Л), k = sin »
XII *
0» 1
10
20 1
30
40
50
60
70
80
90 I
0,0000
0,1745
0,3491
0,5236
0,6981
0,8727
1,0472
1,2217
1,3963
1,5708
10»
0,(000
0,1746
0,3493
0,5243
0,6997
0,8756
1,0519
1,2286
1,4057
1,5828
20*
ОД 00
0,1746
0,3499
0,5263
0,7043
0,8842
1,0660
1,2495
1,4344
1,6200
30»
0,0000
0,1748
0,3508
0,5294
0,7117
0,8983
1,0896
1,2853
1,4846
1,6858
40»
0,0000
0,1749
0,3520
0,5334
0,7213
0,9173
1,1226
1,3372
1,5597
1,7868
50»
0,0000
0,1751
0,3533
0,5379
j 0,7323
0,9401
1,1643
1,4068
1,6660
1 1,9356
60'
0,0000
0,1752
0,3545
0,5422
0,7436
0,9647
1,2125
1,4944
1,8125
2,1565
70»
0,0000
0,1753
0,3555
0,5459
0,7535
0,9876
1,2619
1,5959
2,0119
2,5046
80°
0,0000
0,1754
0,3562
0,5484
0,7604
1,0044
1,3014
1,6918
2,2653
3,1534
90е
0,0000
0,1754
0,3564
0,5493
0,7629
1,0107
1,3170
1,7354
2,4363
со
Эллиптические интегралы 2-го рода Е (<р, ft), k — sin «
N^|| o» j Ю»
0°
10
20
30
40
50
60
70
80
90 1
i 0,0000
0,1745
1 0,3491
0,5236
0,6981
L 0,8727
1,0472
1.2217
1,3963
1 1,5708
0,0000
0,1745
0,3489
0,5229
0,6966
0,8628
1,0426
1,2149
1,3870
1,5589
20»
0,0000
0,1744
0,3483
0,5209
0,6921
0,8614
1,0290
1,1949
1,3597
1,5238
30»
0,1000
0,1743
0,3473
0,5179
0,6851
0,8483
1,0076
1,1632
1,3161
1,4675
40°
0,0000
0,1742
0,3462
0,5141
0,6763
0,8317
0,9801
1,1221
1,2590
1,3931
50»
0,0000
0,1740
0,3450
0,5100
0,6667
0,8134
0,9493
1,0750
1,1926
1,3055
60»
0,0000
0,1739
0,3438
0,5061
0,6575
0,7954
0,9184
1,0266
1,1225
1,2111
TO»
0,0000
0,1738
0,3429
0,5029
0,6497
0,7801
0,8914
0,9830
1,0565
1,1184
80°
0,0000
0,1737
0,3422
0,5007
0,6446
0,7697
0,8728
0,9514
1,0054
1,0401
90°
O.OOCO
0,1737
0,3420
0,5000
0,6428
0,7660
0,8660
0,9397
0,9848
1,0000
a
0°
1
2 I
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21.
22
К
1,5708
1,5709
1,5713
| 1,5719
1,5727
1,5738
1,5751
1,5767
1,5785
1,5805
1,5828
1,5854
1,5882
1,5913
1,5946
1,5981
1,6020
1,6061
1,6105
1,6151
1,6200
1,6252
1,6307
E
1,5708
1,5707
1.5703
1,5697
1,5689
1,5678
1,5665
1,5650
1,6630
1,5611
1,5589
1,5564
1,5537
1,5307
1,5476
1,5442
1,5405
1,5367
1,5326
1,5283
1,5238
1,5191
1,5142
a
23°
24
25
26
27
28
*>
30
31
32
33
134
35
36
37
138
39
40
41
42
43
44
45
m
1 1,6363
1,6426
1,6490
1 1,6557
1,6627
1,6701
1,6777
1,6858
1,6941
1,7028
1,7119
1,7214
1,7313
1,7415
1,7522
1,7633
1,7748
1,7868
1,7992
1.8122
1,8256
1,8396
1 l,8vc41
E
1,5090
1,5037
1,4981
1,4924
1,4864
1,4803
1.4740
1,4675
1,4608
1,4539
1,4469
1,4397
1,4323
1,4248
1,4171
I 1,4092
i 1,4013
1,3931
1,3849
1,3765
1,3680
1,3594
1 1,3506.
a
46°
47
48
49
50
51
52
53
54
55
1 56
157
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
К
1,8692
1,8848
1,9011
1,9180
1,9356
1,9539
I 1,9729
1,9927
2,0133
2,0347
2,0571
2,0804
2,1047
2,1300
2,1565
2,1842
2,2132
2,2435
2,2754
2,3088
2,3439
2,3809
2,4198
E 1
1,3418 1
1,3329
1,3238
1,3147
1,3055
1,2963
1,2870
1,2776
1,2682
1,2587
1,2492
1,2397
1,2301
1,2206
1,2111
1,2015
1,1921
1,1826
1,1732
1,1638
1,1546
1,1454
j 1,1362
a
69°
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
|82
83
84
8b
86
87
88
89
90
К
2,4610
2,5046
I 2,5507
I 2,5998
2,6521
2,7081
2,7681
2,8327
2,9026
2,9786
3,0617
3,1534
3,2553
3,3699
3,5004
3,6519
3,8317
4,0528
4,3387
4,7427
5,4349
00
■ 11 11 at
E
1,1273
1,1184
1,1096
1,1011
1,0927
1,0844
1,0764
1,0686
1,0611
1,0538
1,0468
1,0401
1,0338
1,0278
1,0223
1,0172
1,0127
1,0087
1,0053
1,0026
1,0008
1,0000
? tc/2 «p . it/2
Г= Г df -:K= f d* -: Я= С d<? Vl-Л* sin' ? ; E= f rf? Vl-Л* sin*"?
J Vl-**sin*<p J \\— ft'sin2? J J
0 0 0 0
* Ср. более подробные таблицы E. Jahnke и F. Emde, Таблицы функций
с формулами и кривыми. Лейпциг и Берлин 1909 (В. О. Teubner).

Таблицы 10, 11 n 12 51
Таблица 10. Коэфициенты бинома ( ? ) до
- М)№)И
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
66
78
91
105
1
4
10
20
35
56
84
120
165
220
286
364
455
(?)
1
5
15
35
70
126
210
,330
495
715
1001
1365
Ш%)\(?)
1
6
21
56
126
252
462
792
1287
2002
3003
1
7
28
84
210
462
924
1716
3003
5005
1
8
36
120
330
792
1716
3432
6435
(S)
1
9
45
165
495
1287
3003
6435
(S)|(5)
1
10
55
220
715
2002
5005
1
11
66
286
1001
3003
(Г.)
1
12
78
364
1365
(ЭДй)
1
13
91
455
1
14
105
Gn4)|(?5)
1
15
1
Таблица 11. Квадратные и кубические корни некоторых дробей
л
3;
vir
1111
V7
111
п
УК
1111
Vn
0,52276
0,65863
0,75395
0,82983
0,89390
0,94991
л
ft
I
УЧ
1111
1 3
Vn
ISIS
n
%
'/it
6/B
7i2
Уп
0,66667
0,74536
0,88192
0,28868
0,64550
0,76376
У7Г
llll
Таблица 12. Часто встречающиеся числовые значения
Вели- 1
чина |
1Г
п:2 I
к:3
и: 4
я»
It»
к«
к*
1:л
1:ж«
1 :я»
1 :**
1 Г 1С»
УК
УК '
it УК
3
it Kit
п
^,1415927
11,5707963
1,0471976
0,7853982
9,8696044
31,006277
97,409091
306,01968
0,3183099
0,1013212
0,0322515
0,010266
0.0С&68
1,7724539
1,4645919
5,5683280
k,6011511
lg п
0,49715
0,19612
0,02003
0,89509-1
0,99430
1,49145
1,98860
2,48575
0,50285-1
0,00570-1
0,50855-2
0,01140-2:
0,051425-3
0,24857
0,16572
0,74572
0,66287
Вели- 1
чина
4*»
«»: 4 |
пУт\
tc:VT
УЩ
V*:2
УгП\
УгГ*
3
v^r
УКГ2
укга\
3 1
УгГ*
Уг:п
м
п
Чп
39,478418'1,59636
2,4674011
4,4428829
2,221442
2,506628
1,253314
0,797885
0,977205
1,845261
1,162447
0,922635
0,860254
0,984745
0,434294
0,39224
0,64766
0,34663
0,39909
0,09806
0,90194-1
0,98998-1
0,26606
0,06537
0,96503—1
0,93463-1
0,99332-1
0,63778-1
Вели- I
чина 1
\:М !
g 1
g*
У7
1:2*
vrg
к УТ
nytg
*:V7
u-y^-g
с
e*
lie
lie*
У7
УТ
n
2,302585
19,81
96,2361
3,1320910
0,050968
4,42944,
9,839757
13,91536
1,003033
0,709252
2,718282
k389056
0,367879
0,135335
1,648721
1,395612
lg л
0,36222
0,99167
1,98334
0,49583
0,70730-2
0,64635
0,99298
1.14350
0,00132
0,85080-1
0,43419
0,86859
0,56571-1
0,13141-1
0,21715
0,14476

52
Т. 1. Отд. 1. Математика. 1. Таблицы
Таблица 13. Кратные -и1:л
1 я = 3,14159 »/* = 0,31831
2 я = 6,28319 */я = 0,63662
3 я = 9,42478 */я = 0,95493
4я = 12,56637
5я = 15,70796
6я = 18,8
«/я = 1,27324
8/я = 1,59155
в/я = 1,90986
7я = 21,99115 7/я = 2,22817
8я = 25,13274 «/я = 2,54648
9 я = 28,27433- »/я = 2,86479
Таблица 14. Некоторые степени, факториалы и обратные
величины
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2«
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
2048
4 096
8192
16 384
32 768
65 536
131 072
262 144
524 288
1 048 576
3"
3
9
27
81
243
729
2 187
6 561
19 683
59 049
177 147
531 441
1 594 323
4 782 969
14 348 907
43,046 721
129 140 163
387 420 489
1 162 261 467
3 486 784 401
1:2Л
0,50000
0,25000
0,12500
0.С6250
0,03125
0,01562
0,00781
0,00391
0,00195
0,00098
О.ОС049
0,00024
0,00012
0,000С6
0,00003
0,00002
0,00001
_.
- —
—
1:3я
0,33333
0,11111
0,03704
0,01235
0.0С412
0,00137
0,00046
0,00015
0,00005
0,00002
0,00001
—
—
—
—
—
—
__
—
—
п\
1
2
6
24
120
720
5 040
40 320
362 880
3 628 800
39 916 800
479 001 600
'—
—
—
—
—
—
—
1:(л0
1,00000
0,50000
0,16667
0,04167
0,00833
0,00139
0,00020
0,00002
—
—
—
—
—
—
—
—
—
__
_
—
Указания к пользованию таблицами
а) Получение промежуточных значений посредством
интерполяции
Промежуточные значения можно вычислять, основываясь на
пропорциональности между (достаточно малыми) приращениями
данных и искомых величин, когда восьмой долей второй
табличной разности можно пренебречь.
Так например, для у я при п = 29 таблица 1:
2-я разность (абс.) равна 0,0017; восьмая
доля ее 0,0002. Эта величина не оказывает
никакого влияния на 3-й десятичный знак корня, почему
и допускает для данного случая линейную интер- •
полицию.
Вообще, найденное путем
линейной интерполяции
промежуточное значение верно
п
28
29
30
V'
II
1-я
разность
0,0937
0,0920
2-я
разность
-0,0017

Указания к пользованию таблицами
53
с точностью менее единицы последнего десятичного знака, если
вторая разность в соответствующем месте таблицы не превышает
4 единиц последнего десятичного знака.
Указания относительно принимаемых во внимание границ сделаны в
нижеследующих примерах. Если вносимая относительно табличного значения
поправка имеет не больше 3 цифр, то для ее вычисления удобно пользоваться счет-
ной линейкой (Л) (сгр. 201).
Величина 1-й разности показывает,сколько строк
целесообразно вставить между двумя последовательными строками
таблицы и сколько верных знаков для этих промежуточных значений
можно считать достаточным; она дает также основание для
суждения о качестве полученных интерполяцией значений.
В помешенном рядом примере из табл. 1 первая разность равна 0,0036, с 36
единицами в 4-м десятичном знаке. Подразделение интервала между двумя соседними
значениями аргумента п на 36 частей дает новое значение 868,03, 868,06... с
интервалом 0,03. Поэтому при интерполяции, будь то от я к корню или наоборот,
присоединяется не больше 2 десятичных знаков и найден- •
ьое по корню число л будет верно только до 3 единиц I з
второго знака. я | уп
1-я
разность
0,0036
Когда на результат Интерпол я- —
ции оказывает влияние 2-я раз- 868 I 9,5391
н о с т ь (см. выше), табличную разность испра- 869 I 9.5427
вляют с помощью нижеследующей
вспомогательной таблицы по заданным приращению аргумента и 2-й
разности; с исправленной разностью интерполируют обычным способом.
Вспомогательная таблица поправок к табличной разности
(Поправки возрастают, как вторые разности, так что последние нужно учитывать
даже и в том случае, когда они превышают 100 единиц)
"
ч
2 0,0
££ 0,1
S| 0,2
&Q. 0,3
S*h 0,4
S* 0,5
SB o,6
Э§ 0,7
&* 0,8
я» 0,9
Ё 1'°
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2-я разность в единицах
10
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
20
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
30
15
13
12
10
9
7
6
4
3
1
0
40
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
последнего десятичного
50
25
22
20
17
15
12
10
7
5
2
0
60
30
27
24
21
18
15
12
9
6
3
0
70
35
31
28
24
21
17
14
10
7
3
0
80
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
0
знака
90
45
40
36
31
27
22
18
13
9
4
0
100
50
45
40
35
30
25
•20
15
10
5
0
Для у 29,386 по вышеуказанному находят вторую разность — 17 единиц.
Приращение аргумента равно 0,386. Следовательно, таблица под разностью 17 и против
0,386«0,4 дает с интерполяцией поправку в 5 единиц, которые и должны быть
прибавлены к первой разности» •• 920 (в другую сторону... 937). С результа-

54 / Т. Т. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
том...925 (исправленная табличная разность) интерполируют как обычно:
У 29 = 5,3852
Поправка — 925 « 0,386 = 357 (Л)
У 29,386 = 5,4209
Вообще значения, полученные интерполяцией со вторыми разностями, верны,
когда можно пренебречь Чь0 третьей разности.
Правило интерполяции. Поправка искомого числа
равна (исправленной) табличной разности X изменение аргумента.
В примерах табличная разность дана в единицах последнего
десятичного знака, а приращение аргумента — в долях интервала.
(П) означает поправка, (Л) — счетная линейка, (Т)в— таблица.
Примеры. 1. Таблица 1. я2: линейная интерполяция допустима.
Требуется найти 173,29s.
173» = 29 929 (Т) 174* - 173» =: 347,
П = 347 • 0,29 = 101 (Л)
173,29» = 30 030.
2. Таблица 1. я8: линейная интерполяция допустима только тогда, когда
можно отбросить гри последние цифры табличного значения.
3. Т а б л и 1 а 1. У п: для я > 76^ линейная интерполяция допустима. Для
п < 76 преобразовывают по формуле У п = 1/а У а*п с а, подобранным так, что
а*п > 76. В остальном а произвольно.
Требуется ж.йги
У 29,387 = 1), У 4. 29,387 = i/, У 117,548
У117 = 10,8167 (Т)
П -461-0,548= 253 (Л)
У 117,548- 10,8420
У29,387 = 5,4210,
•
4. Таблица 1. V л : для п > 46 линейная интерполяция допустима. Для
Ж 8
л < 46 преобразовывают по формуле Vn - 1/а У а»л с в, подобр энным так, что
а* л > 46.
Следует иметь в виду приближенные формулы для квя?р«тчых и кубических
корней (стр. 63 Ь) с 13 до 17).
3
Требуется найти У п помощью приближенной формулы:
S
Уз,14159 = 1,46 + 0,0046 = 1,4646
1,46» = 3,11214 (Т 1 с л = 146) *
Остаток 2945 : (3-146») = 982 : 21316 (Т 1) = 461 (Л).
5. Таблица 1. In n: для п > 163 допустима линейная интерполяция. Для
п < 163 преобразовывают по формуле In п = In (an) — In а с надлежаще выбранным
а так, чтобы былр an > 163

Указания к пользованию таблицами
55
Требуется найги In 17,384 = In 173,84 — In 10 (а = 10).
In 173 = 5,15329 (Т)
П = 577-0,84 _= 485 0Щ_
In 173,84 = 5,15814
— In 10 = — 2,30259 (Т)
In 17,384= 2,85555
Чтобы по In х найти число х, следует прибавлением или вычитанием
логарифма известного числа a (In а) к данному In х получить число In ах (или In х/а),
заключенное между числами 5,1 и 7,3, после чего применяется обычная интерпо-
лнция и результат делится (или умножается) на а.
Найти х = е^П4391
дано In х = 1,71439
In 100 = 4,60517 (Т)
In (100*) =6,31956 к нему ближайший
In 555 = 6,31897 (Т)
Разность = ... 59
Табличная разность = . . 180 » In 556 — In 555
м разность 59 .„„ /т
Приращение аргумента = —-— = тётг^ °»328 (Л)-
г табличная разность 180
Следовательно, 100* = 555 -f- 0,328 = 555,328, или
х = «1.71439 = 5,55328.
6. Таблица 1. 1000|я: для п > 377 линейная интерполяция допустима. Для
п < 377 преобразовывают по формуле 1000/я = (1000/ал)а с надлежаще выбранным а
так, чтобы было an > 377.
7. Таблица 1. * л, ~гп*'- линейная интерполяция допустима при всех
значениях.
8. Таблица 3. sin x, cos x: линейная интерполяция допустима всегда
точно так же, как и для tgx, если х < 46в40'. Внгэтото предела до 70*0' получают
только 4 верных цифры, а далее до 80в40' — только 3 и далее до 85"4Л'—только 2.
Более точное определение дает формула: tg х — 1/tg (90е — х) в сочетании с
таблицей значений 1000/л (ср. 6).
Требуется найти tg 89*25' = 1-35,
tg 30.'= 0,00873 (Т) tg 40' — tg 30' = ... 291
П = 291 • 0,5 = 1455
tg 35' = 0,01018,
1 1000
1^35'=0^5=101Г5-100(Т)
= 0,98184- 100 = 98,2.
(Линейная интерполяция дает неправильное значение 100,3).
Обратная задача см. 9.
9. Требуется найти х = arc sin 0,63662, или sin x = 0,63662.
Дано sin jr — 0,63562. Ближайшее значение табл.:
sin39°30' = ff,63608 (Т)
Разность = . . 54
Табличная разность = . .224 = sin (39ЧЭ1) — sin (o9°3J') для 10', поэтому
= . . 22,4 для Г.
Приращение аргумента = _Ра^!!Р^1— — _^ _ 2,4' (Л), следовательно,
табл. разн. 22,4
х = arc sin 0,63662 = 33°3J' + 2,4', = ЗЭ°32'24" - 0,69011 в д>го»ых единицах (Т 7).

56
Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
К табл. 4 круговых, гиперболических и
показательных функций. Таблица допускает определение
искомых величин обыкновенно почти с 5 знаками, причем
основному вычислению сопутствует вычисление 3 или 4 знаков
вспомогательными подсчетами на линейке.
Аргумент х дан в дуговых единицах; соответствующее ему приближенное
число градусов указывается в последнем столбце справа, например, х = 0,61« 34,95°.
До 1,60 значения аргумента (х) приводятся в таблице через одну сотую долю, далее
до 6,0—через одну десятую. Разложение функций в ряды даны на стр. 76, 79;
геометрически эти функции представлены на чертежах стр. 89. Формулы
(тождества) преобразования приведены на стр. 88, 90.
Чтобы вполне использовать табл. 4, нужно уметь достаточно
точно находить посредством интерполяции промежуточные значения.
При этом для значений х > 1,60 нужно поступать иначе, чем
для значений, лежащих ниже 1,60. При интерполировании нужно
исходить всегда от ближайшего табличного значения
аргумента так, чтобы изменение аргумента не превосходило половины
интервала между табличными значениями. Величина поправок (П)
находится помощью счетной линейки (Л).
а) Интерполирование в подробной части таблицы (х < 1,60). Для
круговых и гиперболических функций (за исключением тангенсов —
tg и th) в качестве табличной разности берут увеличенное в 1000 раз значение
соответствующей кофункции (вместо sin — cos; вместо sh — ch и обратно) с 3
знаками, а для показательной функции—увеличенное в 1000 раз значение самой
функции (с 3 знаками). Полученную поправку нужно прибавить к табличному значению
так, чтобы результат попал внутрь интервала. Погрешность результата не
превышает единицы пятой значащей цифры.
И™ ■ 1 -
Ближайшее табличное значение (Т) .
Табличная разность * X приращение
аргумента (Л)
sin 0,864 19
sin 0,86 = 0,757 84
652-0,419= 2 73
0,76057
1000 cos 0,86 = 652
£-0,19514
e—0.20_0i81873
819 • 0,486 - 3 98
0,822 71
lOOO*-0'20^^
Ближайшее табличное значение (Т). .
Табличная "разность * X приращение
ch 1,564 37'
ch 1,56 = 2,484 48 .
2270-С,437 = 992
2,4944
1000 sh 1,56 = 22*70
th 0,413 72
th 0,41 =0,388 47
846*0,372 — 3 14
0,391 61
th 0,42—th 0,41=846
Для гиперболического тангенса th табличную разность нужно находить
непосредственно вычитанием с 3 знаками.
Для тригонометрической функции tg x, неограниченно возрастающей при
х ->• л/2, способ определения промежуточных значений соответствующим образом
изменяется, а именно:

Указания к пользованию таблицами
57
от х = 0,00 до х = 0,20 —обычным способом; результат верен с точностью до 5 знаков
„ х = 0,20 „ х = 1,22 „ „ п » 4 »,
х — 1,22 „ х = 1,50 с исправленной первой разностью (см. выше); результат
верен с точностью до 4 знаков
, х = 1,50 „ х = 1,5700 по формуле:
tg х = 1/у + (0,002/у)8 — у/3, где у = 1,5708 — *;
результат верен с точностью до 4 знаков,
при этом первый член 1/у берется из таблицы обратных величин (1 1)
Требуется найти tg 1,5461
у = 0,0247
1/у = 40,486 (Т 1)
Поправка = —- 0,002
tg 1,5461 = 40,48
Поправки
— у/3=:—0,008
(0,002/у)* = -f- 0,006
— 0,002
b) Интерполирование в сокращенной части табл. 4 {х > 1,60). При
интерполировании пяти первых функций sin дг, cos *, tg x, ё^~ хч ё~~х аргумент (х)
уменьшают на одно из нижеуказанных чисел а и для уменьшенного аргумента
у (= х — а) вычисляют следующие функции (от у):
при выборе
а =
sin х =
cos л: =
tg* =
1,5708
cosy
— sin у
— ctgy
3,1416
— sin у
— cosy
tgy
6,2832
sin у
cosy
tgy
далее
для а
и/
для а
и/'
0,47
1,6
0,47
0,625
0,94
2,56
2,21
0,1097
2,23.
9,3
2,25
0,1054
2,76
115,8
I 4,32
0,0133
, 3,92
150,4
5,08
0,.0622j
4,3
73,7
5,8
330,3
6*42 *=*.)
5,116 y v *t
0,006 « *=« y-f*
Результат верен до 2 единиц 5-го знака.
Примеры. 1. cos 8,57 = cos 2,29 = — sin 0,72 = — 0,659
а - 6,28 а = 1,57
2,29 0,72 (3-значн.).
2. е~к = е -3,14159-^-0,931 59.(0Д1—0,0003) = 0^393 92 (0,11-0,0003) = 0,043213.
fl = 2,21 (Т 4) ' £ -4-3939
0,93159
/'
0,043331
— 118
0,043213
При вычислениях с 3 знаками всякая интерполяция отпадает,
1,6 = 3,525- 1,6 = 5,64 (Л)
Замечание.
например,
fl= 0,47
1,26
Промежуточные значения shx и сп* получают с точностью
до 1 и 2 единиц 5-го знака обыкновенным интерполированием, беря в качестве
табличной разности lfl0 соответствующего значения кофункции и прибавляя, кроме
того, к результату произведение из квадрата измененного аргумента Д на »/t°/o
табличного значения определенной функции. Например,

58 Т. I. Отд. 1. Математика. I. Таблицы
Требуется найти ....
Табличное значение sh =
en
(Л) Д-1Г =
«sh
sh 4,1523
sh 4,20 - 33,336
— 0,477 • 3,336 = - 1,591
0,227.0,167=+ 38
Результ. = 31,783
Функция th х для интервала х от 1,60 до 3,80 требует учета вторых разностей,
вне этих пределов (х > 3,80) достаточна линейная интерполяция.
При нахождении из таблиц значений аргумента х с линейной
интерполяцией необходимо помощью счетной линейки производить деление. При учете
вторых разностей сначала интерполируют линейно (исходя из ближайшего
табличного значения), чтобы получить приближенное значение приращения аргумента.
При этом находят, как указано выше, необходимую для точного определения
приращения аргумента „исправленную первую разность", с которой и интерполируют
обычным способом.
Если tg х лежит между 14,1 и 1256, быстрее всего приводит к цели формула:
х = 1,5708 — 1/tg х + 1/3 (1/tg x)K
Определение аргумента х в сокращенной части табл. 4
(ж > 1,60) требует особых приемов, смотря по тому, какая функция дана. Для
данных значений sin xy cos x, tg x « 1256) всегда можно по предыдущему найти
в начальной части табл. 4 значение х < 1,57, соответствующая функция которого
совпадает с заданной с точностью до знака. Прибавление или вычитание
надлежащего кратного п/2 = 1,5708 приводит, далее, к искомому значению аргумента.
Если дана функция ех (> 4,8), значение функции делят на 2, 5 или 10*..,
. определяют из главной части табл. 4 соответствующий аргумент (у) и увеличивают
его соответственно на In 2, In 5, In 10... (Т 1), подобным же образом поступают, если
дано е~* К 0,21). Например.
*—* = 0,12345 | • 2 = е~У = 0,246 90 табличная разность табличный аргумент
табл. знач. е~х^ = 0,246 60 (1000е—У) 1,400 00
разность 30 : 247 = 121
у = 1,39879
In 2 = 0,69315 (Т 1)
х = 2,091 94
Аргумент функций sh ж, ch х (т. е. функции Аг sh х, Ar ch x) для случая
х > 1,60 получают приближенно посредством обычной интерполяции, исходя из
ближайшего табличного значения, причем в качестве табличной разности берется
'/,0 кофункции. По приближенному значению приращения аргумента д определяется
поправка (= Д,»*/»0/о) табличного значения (Л), которая вычитается из
предварительной разницы, после чего, наконец, производится обычным способом
интерполяция.
Например, требуется найти х = Ar sh 63,169 из;
sh х - 63,169 sh/200 = 0,3°4 } поправка
(Т) sh 4,80 = 60,751 табл. разность Д Д* = 0,158 j 0,048
предв. разность = 2,418 : 6,076 = 0,398 (предв.)
П= —48
Разность = 2,370 : 6,076 = 0,390 (оконч.), таким образом, х — 4,8390.
Для функции th* определение х (т. е. образование функции Ar th) для
интервала г - 1 60 до 3,80 (Ш л от 0,922 до 0,999) производится путем исправления
первой разной*.

Указания к пользованию таблицами
59
Ь) Таблицы логарифмов
1. Обыкновенные (бригговы) логарифмы. Таблицы стр. 32,
правила вычислений — стр. 63.
с =10 log a = lg а означает, что а = 10* (а > 0).
д —число, с— логарифм.
Примеры.
lg ОД = 0,0000-1 или 0,1 = 10—1
lg 1=0,0000 . 1 = 10»
lg 10=1,0000 , 10 = 10»
lgl00 = 2,0000 . 100=10»
lg 0,374 = 0,5729 -1, или 0,374 = Ю0>5729 — 1 = 10°>5729.10—1
lg 3,74 = 0,5729 щ 3,74 = 10Р*5729 + 0 - i()0,5729.100
lg 37,4 = 1,5729 я 37,4= 1С0'5729+ 1 =100,5729.10,
lg 374 = 2,5729 . 374 =* lO^5729 + 2 = lO0*5729.10»
и т. д.
Всякий логарифм можно представить как сумму
неотрицательной правильной десятичной дроби (мантиссы) и
целого числа (характеристики). В обыкновенных логарифмах
характеристика определяется местом запятой в логарифмируемом
числе.
Длж числа 0,0374 табл. 2 (стр. 32) против 374 дает мантиссу 5729.
Характеристика — 2, поэтому
lg 0,0374 = 0,5729- 2.
С логарифмами, характеристики которых отрицательны, поступают при
вычислениях так же, как с алгебраическими двучленами. Их целесообразно
преобразовать, так, чтобы отрицательна! часть всегда оставалась целой. Например,
(lg 0,64) • 5 = (0,8062 — 1) • 5 = 4,0310 — 5 = 0,0310 — 1
(lg 0,64): 3 = (0,8062 - 1); 3 = (2,8062 -3):3 = 0,9354 - 1 и т. д.
Примеры.
1. * =
= l/0'5041'0'™. \gx= «/, [lg 0,5041 + lg 0,073 - (lg 1,71 + 2,3 lg 0,64)1
У 1,71 • 0,64^»°
lg 0,5041 = 0,7025 - 1
lg 0,073 = 0,8633 — 2 lg 0,64 = 0,8062 - 1
2,3 lg 0,64 = 0,8062 • 2,3 — 2,3
lg числителя = 1,5658 - 3 = 1,8543 - 2,3
(уменьшая абсолютные величины обоих
lg знаменателя = 0,7873 — 1 (см. на- членов на 1,3)
право) =0,5543 — 1
(-) (+,) lg 1,71=0,2330
lg подкоренного выражения = lg знаменателя = 0,7873 — 1
= 0,7785-2
lgjr = (l,7785-3):3
= 0,5928-1 •
x=z 0,3915
2. S-S*V* 1ля5,«217, 1^ = 0,35, « = 2*.0,6.

60
Т. I. Отд 1. Математика. I Таблицы
Формула для вычислений:
12 5 = lg S0 -f Р« lg * = lg 217 + 0,35-2п.0,6.0,4343 = 2,3365 -f 0,42*.0,4343
!g 0,42 = 0,6232 - I
lg я = 0,4971
lg 0,4343 = 0,6378 - 1
0,7581 - 1
2-й член = 0,5729
1-й член = 2,3365
lg 5 = 2,9094, откуда 5 = 811,7.
(см отд. II „Механика"), для |* = 0,35; ~ *= 0,6;
5 = 217.3,74 = 812 (Л).
2. Натуральные логарифмы (показатели степеней ё). Здесь
между характеристикой и местом запятой в числе никакой простой
зависимости нет.
In 0,12 = 0,8797 - 3, или 0,12 = /^797 - 3
In 1,2 =0,1823 . 1,2 = «А1823
In 12,0 = 2,4840 и т. д.
In 120,0 = 3,7875
3. Переход от одной системы логарифмов к другой.
Нужно умножить на 0,43429 (= 1/1п 10), или на 2,30259 (= In 10).
Например,
lg 12 = 0,434 29 In 12 = 0,434 29-2,484-) = 1,0792 и
In 12 = 2,302 59 Jg 12 = 2,302 50-1,079 18 = 2,4849.
с) Различные примеры
1. In (2 — 30 = x/t In 13 - / arc tg 1,5 = J,2825 - / 0,98303 (табл. 4, стр. 39).
Обратно, число л, которого натуральный логарифм In х = a -f Ы задан,
определяется из формулы х — еа + bl = ea cos Ь + iea sin b.
Например, из соотношения In х = — 2,4 -\- 7,3/ следует:
х = е~2>4 (cos 7,3 + i sin 7,3) = е"2»4 (cos 1,0168 + / sin 1,0168) = 0,0477 + «0,0771
2тс = 6,2832 (Т 4) для 1,02.. .= 0,52337 0,85211
Вычет щ^ п _ 852-0,32 = + 272 523-0,32 = — 167 (Л)
cos 1,0168 = 0,52609 sin 1,0168 = 0,85044
lg cos 1,0168 = 0,7211 - 1 lg sin 1,0168 = 0,9296 — 1
# — 2»4 = 0,09072...1g 0,09072 = 0,9577 — 2 = 0,9577 — 2
(Г 4) 0,6788 — 2 0,8873 — 2
Число равно 0,С47 73 0,07714; поэтому дг=
2. По формуле времени падения /=тг>/£«1п
(I, стр. 333) требуется вычислить высоту падения h для значений
Va = 20 м\сек, g = 9,81 м\се&% /= 5 сек.
Согласно формуле (стр. 89) Ar ch n = In (n ± — 1); поэтому для п = eS^W
данная формула примет вид: /= vJg*At ch (e8hlv*\ Аг ch (e&lvfy = gt/v0, е8н1у«* =
= ch (gtlvo).
Логарифмируя:
ghjv09 = \n ch (gtlvX или h = v?lg»\n ch (gtfv.) = (400/9,81) In ch (5-9,81,70);
A = 40,8 In ch 2,45 = 40»,«5,837 = 238,1 м.

Степени, корни, логарифмы
61
3. Формулу F = 12,5 dblh Uh\b- Y\ -f (4*/«t + In [ihib -f Y\ +(4Л/^] J»
или F =■ 50rf [ V 1 -f- c8 -J In (c -f- V 1 4- с*)\, где с = 4Л/ '•, для п л о с к о го
волнистого железа требуется соответствующим образом преобразовать и
вычислить для значений d = 0,62 лш, Ъ = 135 ллг, Л = 30 лж. Пусть Ahjb = sh «, тогда:
/=•= 12,5rf (4/sh a) [sh аК 1 + sh2 а -f In (sh a -|-V 1 + sh2a)], или согласно JSfe 7 (стр. 88)
= 50d |ch a + (!/sn °0 ln (sn « 4- ch a)], или по формуле 5
= 50rf Ich e + (1/sb o) ln («")] = 50d lcho + (a/sh a)].
Отсюда:
sh о = ЩЬ = 4-30/135 = 8/9 = 0,888 89
sh 0,80 • = 0,888 11
*) F = 50 -0,62 (1,3379+0,800 58/0,888 89)
1абличная
разность -=31 (1,34 + 0,90) (Л)
: 1337 (Л) = 31 • 2,24 = 69,4
Разность = 78
Д = 0,058, следовательно,
о = 0,800 58 и сп о = 1,3374 \ .*) Вычислено с 5 знаками только ради
П = 888• 0,058 =+ 5 / полноты.
= 1,3379
П. Арифметика и алгебра
Все числа, получающиеся от сложения, вычитани», умножения и деления
натуральных чисел 1, 2, 3,..., называются рациональными, например "/,; — 3/8;
3,1416; все прочие — иррациональными числами, например V 2 , тс.
На нуль нельзя делить; все знаменатели, встречающиеся в дальнейших
формулах, ф 0. Рациональные числа могут быть изображены конечными или
периодическими десятичными дробями, например '/5 = 0,2; '/з = 0,33... Каждое число
можно изобразить конечной десятичной дробью с достаточно большим числом знаков
и с любой точностью. Знак оо не число, но обозначает лишь, что данная переменная
величина может превзойти любое числовое значение. | х | < оо обозначает, что х
может принимать всякое числовое значение
А. Степени, корни, логарифмы
в) Степени (/я, л, р означают целые числа > 0)
В выражении ап = а-а'а... {п множителей) = Ь число а
называется основанием степени, £—степенью, п—показателем степени.
1. а • а = аг^ . 4. а -о = (a : Ь) .
т
2 т п т— я _ 771 л 77»
. а : а =ат . 5. 1:д = (1: а) =д
3. а о = (ab) . 6. (а ) = а = (а ) .
7. (— 1) = + 1 или — 1, смотря по тому, четное ли п или нечетное.
8. д°=1; 0 =0; 0° — неопределенность (стр. 96).
9. а2 — Ь2 = (а + Ь) (а — Ь). 10. а3:± Ь* = {а + Ь) (а2 ц: аЬ + &2).
п . ♦»

62 т- I- 0тД- 1 Математика. II. Арифметика и алгебра
12. - ±4 = а2п - а2п - Ч + а2п " 2Ь2-... + Ь2п.
13. а—7 f- = *2л -1 - а2п ~ Ч + а2"-3*2-...- ft2"-1.
14. Если д>1, то для л-> +оо, Нтй" = оо и Нтл~я = 0.
15. (а±Ь)* = а*=£2аЬ + Ь2.
16. (а ± by = аз;+; За2& + Зд*2 it #>.
17. Б и н о м Ньютона.
(а±Ь)п==ап+пап-хЬ + П(П1-1) ап~2Ь2±
■±п{п щп 2)аП_гь3+ + (_1)V.
1 • Z • О
Этот ряд конечный при п целом и положительном, в противном
случае ряд получается бесконечный (см. стр. 75).
Коэфициенты при степенях в (17) называются коэфициен-
тами бинома1). Обозначают:
10 п{п — 1)(Л-^2)...[л — (р — 1)] /п\
Читают .из п элементов по р*. s
19. Знаменатель Ь2«3 ... р=р\ читают .р-факториал". О!
полагают равным 1, (} = 1. Если р > л, то ( ) = 0.
Свойства биномиальных коэфициентов. Если
р < л, то:
»Ю-7ч£йг "••©-(.-,> "(Э-Ю-1-
»(;ji)-u.)+o-
»(;j:)-o+("7l)+(V)+-+o
эт(»+(")+(э+-+е)-2*-
»(Э-Й)+(Э—-k-^Q-*
*) Таблица коэфициентов бинома—см. стр. 51, таблица факториалов—стр. 52.

Степени, корни, логарифмы 63
Ь) Корни (at b должны быть >0)
т
В выражении У а = b число а называется подкоренным коли-
т
чеством, b корнем, т — показателем корня. Равенство V~a~= b
равносильно Ьт = а,
mm m fit m m
1. (УдГ) =а . 2. У~а = а11м. 3. У~а~Ь = У Т. УТ.
m m m m __ л m*
4. Уа:Ь = Уа:УЬ . Ъ. У а -У а =уат + п.
т т т т
6. УХ[а = 1/Уа = а~1/т. 7. Уя« = (У а )" = ал'т.
т/" л тп п Г~т
У УТ = У7=У /7
8.
9. V"7 :± J/T = Уа + Ь±2Уа~Ь.
2л 2л in + 1 2л -Ы
10. yV = zt|yT|; Ул = ^|Уа|. 11. У—л=: —|Уо|.
2л л , я
12. У — д = уУ—а = |Л'Уд , т.е. мнимый (см. ниже)
13. yWlEb pzal:-^. 14. ^flB^g « л db А.
я, 6
к пап 1
Формулы 13, 14, 15 имеют силу, если b весьма мало
сравнительно с а,
16. У а2 + Ь2 « 0,960л + 0,3986, если д>6. Ошибка меньше 4%
истинного значения. Более точно (по Шлемильху):
Уа2-{-&2-= о,9938д + 0,07036 + 0,3567 —.
17. У а2 + Ь2 + с2 «0,9939л + 0,3896 + 0,297г, если д>6>г.
Ошибка меньше 6% истинного значения.
с) Логарифмы
В выражении b\og a = с число Ь называется основанием
логарифмов, а — логарифмируемым числом, с — логарифмом.
1. loga = c означает Ьс = а. (Полагаем а>0, 6>1.)
Iog0 = — оо, log 1=0, log 6=1, logoo = oo.
2. *log (ас) = *log a -f *log с 4. blog (a") = n *log a.
3. *log — = *log a — *log e. 5. *log ^"a" = -1- *log a.

64 Т. I. Отд. 1. Математика. И. Арифметика и алгебра
6. log х = a\og x • log a = alog x: "log b. 7. \ogb- log a = I.
8. Логарифмы при основании £ = 2,718281828459... называются
натуральными, при основании 10 — обыкновенными, или
бригговыми. 'log а обозначают через In д, l0log а—короче,
через Iga.
9. Имеем: lg(10n) = n; lg (lO"") = — п; lg(a-10") = lgа + n;
)g (a: 10") = lg a — п. Далее, In (e± n) = ± n;
In (a. 10n) = In a + In (10*); In (a : 10м) = In a — In (10n).
10. Число (положительное или отрицательное) целых единиц
логарифма называется характеристикой (К), а правильная
десятичная дробь логарифма — его мантиссой (М). При
10 > a > 1 lg a имеет характеристику К = 0.
И. In л: = In 10 lg л: = 2,302 585 0930 lg л: ln1ni,T*_i
lg л: = lg ^ In лг =0,434 294 4819 In x *niuig*-i.
12. M = log* = 1: In b называется модулем системы с основанием b.
MlQ = 0,434 29.. .= lg* = 1: In 10 = 1:2,302 59.
13. loga = Mb -Ina.
d) Комплексные величины
Ни одно действительное число во второй степени не может быть
отрицательным. Комплексная величина — это число, составленное из двух обыкновенных
действительных чисел a, b в пару (a, b). С ними можно оперировать, как с
обыкновенными числами, если обозначить (я, 0) = в, (0, b) = ib, (a, b) = a-\-ib, i» = —1. Числа
вида а + ib (£ф0) называются мнимыми; при а = 0 — чисто мнимыми.
Это наименование осталось от прежних времен, когда смысл мнимых величин еще
не был достаточно осознан.
\.i=yZT\t Р== —1, /з = — /, 14=1, rl = — i.
2. /4л + т = im , следовательно, / 4л = + 1, / 4л +1 = + Л
/to+2 —1, /4« + 3 = _,д
3. Каждая комплексная величина, т. е. выражение, составленное из
действительных и мнимых величин, может быть приведена к виду
а + Ы% где а и b имеют действительные значения. Всякое
равенство между комплексными' числами остается справедливым,
если вместо величины / везде поставить — /.
4. Если а + Ы = 0, то а — 0 и b = 0.
Если а + W = в + р/, то a = а и b = p.
5. a+^* и »— &* называются сопряженными комплексными
величинами.
6. <.+«> («-^--n-*. f±«-5$^+-55f /.

Теория соединений 55
8. Каждая комплексная величина может быть приведена к
нормальному виду:
a-f Ы = г (cos cp 4~ / sin cp),
где
г = + У а2 + b2, coscp = a/r, siny — b/r, tgy = b/a;
при этом г называется модулем, <р — аргументом
комплексного числа а + ^\ а*2 = а2 + б2 — его нормой.
Относительно геометрического изображения комплексных величин и их
значения как векторов см. гл. VII.
9. cos cp + / sin cp = el<*, cos cp — / sin cp = e~iu? (формула Эйлера).
10. 1 : (coscp-f- /sin ^) = coscp — /sin cp.
11. (cos.vrt isinx) (cosy 3z isiny) = cos (x-\-y)+: i sin (x-{-y).
12. (cosxrt /sinx):(cos3/it: isiny) = cos(jc—y) ± /sin(;c—y).
13. Формула Моавра (для всякого значения я):
(cos cp ± / sin ср)л = cos п-$ 3z i sin /zcp.
14. у а + bi =|У г| ^cos -^ h ^in -^ J,
op измеряется в дуговых единицах (радианах); k — любое целое
число, для к —0, 1, 2, ... , п — 1 получают все возможные
значения корня.
15. К о р н и из единицы. У\ = cos 1- / sin = e2^ijnt
1 п ' п
yzz\ = cos (2/g+1)TC + /sin (2*+П* = *<2* +W
(А«0,1,2,.1Мл-1).
В. Теория соединений
1. Число возможных перестановок (соединение всех
элементов в любом возможном порядке) из п различных элементов
составляет:
1.2-3 ... л = /2!
Если между п элементами находится р одинаковых элементов
одного рода, q одинаковых элементов другого рода, г одинаковых
третьего рода и т. д., то число всевозможных перестановок:
п\
pl-ql-rl ..."
2. Число возможных сочетаний из f/, элементов по г (не
взирая на порядок) равно:
5. Hiitte, Справочник для инженеров, т. I.

66 Т I. Отд. 1. Математика. II Арифметика и алгебра
a) I ) без п о в т о р е н и й, т. е. когда каждый элемент входит
в соединение только один раз,
b) I ' с повторениями, т. е. когда каждый
элемент может вуодить в соединение г раз.
Число же вообще всех возможных сочетаний без повторений
из п различных элементов равно:
G)+G)+(S)+-+G)-'--
1.
3. Число возможных размещений (получаемых путем всех
возможных перестановок в каждом сочетании) из п элементов по
г элементов равно:
a) ( J • г\ = п\: (п — г)! без повторений [ср. п. 2,а].
b) п с повторениями [ср. п. 2, Ь].
С. Определители (детерминанты)
1. Определитель из п строк (гориз. ряды) и п столбцов
(вертик. ряды) (л2 элементов) называется определителем л-го порядка:
«1 bi *i •. • Pi
a2b2c2 ... р.г
Дз h съ • - • Ръ
апЬпсп --Рп
= 2(^*1 Vs.--Л,),
где аь Ьх рп означают п2 элементов определителя.
2. Определитель представляет собою сумму п\ членов; при
вычислении определителя первый член суммы получается, если
образовать ряд, идущий от первого элемента первой строки до последнего
элемента последней строки по направлению диагонали (atb^ ... рп),
а остальные члены получаются при перестановках (см. выше В)
указателей. Половина из полученных таким образом п\ членов будет
положительных и половина отрицательных, в зависимости от того,
будет ли число перестановок (инверсий) в соединении четное или
нечетное. Если в одной из перестановок данного ряда элемент
первоначально низшего ранга следует за элементом высшего ранга, то
оба эти элемента дают инверсию.
3. Вычисление определителя л-го порядка приводится к
определению л определителей (л—1)-порядка, называемых минорами:
агЬЛ
а2Ъ2\
= aj?2 — л
аЛ
и1 х
а? о2 с9
I яз ^з съ I
Vl) + аЪ (hc2 —■ Vl)t
Ь2с^.
h съ I 2 I h'
>.с%\

Определители
67
ах bx сх dx
a2 b2 c2 d2
% h c'6 ai
a^b^c^
b2 c2 d2
b^ds
^4 £4 d4
■a2
bx cxdx\
ЬЪ СЪ dA + 4
^4 ci d± 1
bxcvd,
b2 c2 d2
b^ c4 d±
— ^
bi <i <*i j
b2 c2 d2
b$ £3 d$
Минор к элементу xq получится, если зачеркнуть столбец, в
котором стоит х, и #-ю строку в первоначальном определителе. При
вычислении определителей миноры берут со знаком + или —, в
зависимости от того, будет ли сумма номеров зачеркнутых строки
и столбца давать число четное или нечетное.
4. Во всяком определителе можно столбцы заменить строками,
и наоборот. Например,
I ai bi I =
I а1 1*2 I
Mai
<*i *h c{
а2 Ь2 с2
Ч h ^з
=
ах а2 #3'
Ьх Ь2 Ьл
сх с2 св
5. Если в определителе переменить местами два параллельных
ряда, то получим новый определитель, равный первому, но с
обратным знаком.
6. Если умножить на определенную величину все элементы
строки или столбца определителя, то и сам определитель
умножится на ту же величину:
р
ах Ьх сх
а2 Ь2 с2
#3 "3 СВ
paxpbxpcx
а2 Ь2 с2
аг Ь6 с3
рах Ьх сх
ра2 Ь0 с2
рчНъ
ах Ьх сх
ах Ьх сх
а2 Ь2 с2
= 0,
#i ах Ьх
а2 а2 Ь2
<h 4 bl
= 0,
ах пах Ьх
а2 па2 Ь2
а3 ла3 63
= п
ах ах Ьх
а2 а2 Ь2
аг я 3 Ь%
7. Определитель, в котором все элементы двух строк или
столбцов, соответственно, равны или пропорциональны, равен нулю:
= 0.
8. Если элементы одной строки или столбца представляют суммы
из равного числа членов, то определитель разлагается на сумму
такого же числа определителей:
я i + Р\ + Яи h ci
Л2+Р2+#2»^2Г2 =
аг+ Рг+Яг> hcs I
9. Определитель не изменяет своей величины, если прибавить
ко всем элементам строки или столбца соответствующие элементы
другой строки или столбца, умноженные на произвольную величину:
I а\ + Рьь bi ci I
I Ч + Ph> h сз I
На этом свойстве определителя и правиле 3 основан следующий
способ вычисления определителя*
5»
i =
ах Ьх сх
&2 Ь2С2
я3 Ь3 с3
+
Pi К ^i
р2 Ь2 с2
Рз h £3
+
qx bx cx
Я 2 h c2
Яг h £3
ax bx cx
#2 Ь> C2
аъ b3 c3
=

68
Т. I. Отд. 1. Математика. И Арифметика и алгебра
-12 4-3
5 2—3 -2
-3—6 2 1
4-715
-10 -16 10 0
-1-10 10
-3-6 21
19 23 -9 О
умножаем 3-ю строку на 3 и складываем с 1-й строкой,
. п » . 2 „ . . 2-й .
- „ - . (-5) „ . „ 4-й .
получаем
разложим
определитель по элементам
= последнего столбца =
(соблюдать правило
знаков!)
10 16 —10
- 1 —10 1
19 23 —9
О 84 О
- 1 —10 1
19 23 —9
• разложим определитель
в по первой строке = 84
(соблюдать знаки!)
1 -1
19 -9
средцюю строку
__. умножаем на 10
""" и складываем с 1-й
строкой
= 84 (-9-1 19) = 840.
10. Правило умножения:
а2Ь2с2\
аАЧ
:«iPiTi
«гРл!
*зРзГ;
«Л+^А + ЛЗаЗ аА *
Мг+Ла2 + &ЗаЗ &iPi
а2?2 + дзРз «iTl + Л2Т2 + ЛЗТЗ
hk + ^зРз &iYi + %2+ hb
^1«1+^2а2 + сЗаЗ С А + *А + *вРв ^lYl + <VT2 + <ЭД
11. Особые определители:
= (%-*i) (•%-*i). • -(хп—хх) (хо—х2) (*4—дг2).
• • '(хп х£).. .(хп — хп _ 1).
, а\ h ci
С3 являются минорами определителя \а2Ь2с2
«з h cz
I А^С,
А2В2С2
Аъ&ъРъ
=
ai h ci
а2 Ь2 с2
<*з Ьъ сз
1 ххх^х^ ...ххп
1 x2x£xg ...xf
* ХПХп Хп • • *Хпп
Если Alt А2>...
Каждый минор берется со знаком -f- или —, смотря по тому,
будет ли сумма порядков строки и столбца соответствующего
элемента в данном определителе четной или нечетной.
D. Уравнения
а) Уравнения первой степени
*i* + Ь\У = с1) х =
а2х + b.>y = c2J у =
сА
c2b2
а2с2
:
&А
а%Ъ2
а А
а2Ь2
с
А
— c2b^
аА — Л2^1
= flica — a2cx
ахЬ2 — а2Ьх
<tix+hy+ciz = di)
а2х + Ь2у -)- c2z = d2 \. Если
a^x+bHy + csz = dl)
х =
<*Асх
d2b2c2
d'Jbtfb
:Д
У
=
«1
dxcx
d2c2
d3C3
:L
III
), z =
1 / в случае \
= D ф 0, то
HI
:£>.

Уравнения
69
При однородных уравнениях, т. е. при таких, где правые
части равенства равны нулю (dx = d2 = dB = 0), необходимо, чтобы
одновременно х = 0, у=0, г=0, или должно быть D = 0. Если D = 0,
то по крайней мере одно из уравнений либо вытекает как
следствие из других, либо—в случае системы неоднородных
уравнений— может^противоречить им. Эти результаты справедливы также
и для п уравнений с п неизвестными. Нередко, главным образом,
при многих неизвестных, пользуются следующим методом
исключения.
Комбинируя по два уравнения из п уравнений системы, надо
исключить из них одну и ту же неизвестную, тогда получится
система (п—1) уравнений с (л— 1) неизвестными; в этой системе
опять надо исключить другую неизвестную, отчего число их снова
уменьшится на единицу, и т. д., пока не получится одно уравнение
с одною неизвестною, из которого определится я-я неизвестная.
Подставляя найденную величину в одно из двух уравнений с двумя
неизвестными, находим (я — 1)-ю неизвестную- и т. д., определяем
но порядку все неизвестные.
Ь) Уравнения второй степени
Алгебраическое решение
1. X2 + px+q = 0, х p/2 + VpW-q,
«Ч-ftr + .-Ot- , = -^^Е,,%
- 2. Имеем х1-\-х2=—р, xxx2=q. Если р =—(*j+*2)» Я~-\-х\хи
ю хх и х2 представляют корни уравнения
(х — Xi) {х— х2) = x2-\-px-\-q = 0.
Тригонометрическое решение
(для вычисления посредством логарифмов при многозначных числах)
1.-й случай. х2±рх— q = 0; р и q положительны. Определяют
угол ср между 0 и 90° так, чтобы tg у =Y QiipftY, тогда корни
уравнения:
Xl = + tg№)YJ, *3 = =pV7/tg(?/2).
2-й случай, х2 ± рх -f- q — 0; р и q положительны. Определяя
угол ср, находящийся в первом квадранте, из sin со = Yq/ip/2), корни
уравнения найдем из формул:
*i = +Vqlg(?/2), х2 = =р Vl/tg «р/2).
Если sin <р>1» то корни мнимые, а именно:
х = Vq(zos^>±:isi^) = У1}е±1**,
где
cos <|< = ц- 1-. р] Y~q (ф между 0° и 180°).

70 Т. I. Огд. 1. Математика. II Арифметика и алгебра
с) Уравнения третьей степени
z*+az* + bz + c = 0.
Положив г — х — а/3, получим приведенное кубическое
уравнение вида: л:8 + Р'х + Я' — 0» или х* + %РХ+ 2а = 0, где положено:
/>' = & —e»/3, q'=*2pi7a* — abl3 + c9 р=Ш — а2/9,
а = а3/27 — аЬ/Ь + с/2.
Алгебраическое решение
Корни уравнения *3 + Зрл: + 2а = 0 определяются по
формулам Кардана:
x1 = u-\-v, x2 = w1u + w2v1 x^ = w2u-{-wivt
з _
где wv и до2 —оба сопряженные мнимые значения У1, а именно:
"1 = (-1 + 'УТ)/2, ш2 = (-1-/У"3)/2,
а и и г/:
з j з
« = /-?+У^ТР> v^V-q-V¥TJb-
Если а2 + р3 < 0 (casus irreducibilis), то все три корня получают
мнимую форму, тогда как они действительны. В этом случае
прибегают к тригонометрическому решению (см. ниже ел. 3).
Решение с помощью круговых и гиперболических функций
1-й случай. хь + Spxzt2а = 0, р>0,'а>0. Определяют
вспомогательную величину ср из sh ср = q: (р У/Г); тогда корни будут:
хх ='+ 2 Vp sin Ш *2 = ± Ур sh (ср/з) +#| УЗ^ ch (ср/3),
дг3 = + Ур sh (?/3) - lYty ch (ср/з).
2-й.случай, л:3 — 3px + 2q = 0, р>0, а>0, ръ<ф.
Определяют угол ср» из ch ср = Я'ЛрУТ)'* тогда корни будут:
дг, = н^ 2У^сп (ср/3), х2 = ±= Ур ch (ср 3) + / УЗ^ sh (ср/8),
ЛГ, = It Vp Ch (ср/3) - / УЗ^ Sh (cp/3).
3-й случай, *3 — 3px±2q = Q; р>0, а>0, /?3>а2.
Определяют угол ср из cos ср == q: (р Ур); тогда
хх = ч= 2 Ур cos (ср/3), л:2 = dt 2 Ур cos #(60° - ср/8);
A:3 = ^2y7cos(60° + cp/3).
4-й случай (предельный случай к 2 и 3).
, х* — Зрх ±. 2</ = 0. а > 0, р > 0, р3 = а2,
лх = + 2 К р~ хг = лг8 = Л: /р.

Уравнения
71
d) Уравнения четвертой степени
г* + az* -f bz2 +cz + d = 0.
Положив z = x — д/4, получим приведенное уравнение вида
*4 + рх2 + qx + г = 0.
Для нахождения корней этого уравнения необходимо прежде
решить следующее уравнение третьей степени:
У* + 2рУ2 + (р2 — ±г)у — q2 = 0.
Если ylt у2> Уъ являются его корнями, то корнями упомянутого
приведенного уравнения будут:
*2 = h(Vyi - Vyt - /л). ***=! (- Vyi - Уу2 + Ул).
при этом
Vyi*Y72-V7* =—q.
е) Методы приближенных решений
Алгебраические уравнения степени выше четвертой, вообще,
неразрешимы извлечением корня. Нижеприводимые практические
способы для нахождения действительных решений пригодны и для
трансцендентных уравнений. Раньше всего определяется
приблизительное значение корней данного уравнения /(лг) = 0.
1. При этом нередко можно пользоваться следующим
положением: если /(лг) вблизи искомого решения непрерывна и / (а)
положительна, a f(b) отрицательна, то между а и b находится нечетнре
число корней уравнения f(x) = 0, по крайней мере один корень.
2. Графическое ре шен и е. Чертим кривую y=f(x)
путем вычисления координат некоторых точек этой кривой; абсциссы
точек пересечения кривой с осью х представляют корни
уравнения. Часто предпочитают решаемое уравнение привести к виду:
fi(x) = f2(x), и вычертить обе кривые y=fl(x) и y=f2(x)t тогда
абсциссы общих точек их пересечения дают искомые корни уравнения.
3. Улучшение решения помощью Интерпол и'ро-
в а н и я (Regula falsi).
Если а — приблизительное значение корня уравнения f(x) = 0,
то поправка Ь к а определяется из
где at — величина, мало разнящаяся от а.
4. Правило" Ньютона. Поправка к а определяется из
где Р(х) первая производная от /(х) при х = я.

72 Т. I. Отд. 1. Математика. II. Арифметика и алгебра
5. Способ постепенного приближения. Решаемое
уравнение приводят к виду х = у(х), чтобы <р'(*Х !• Если
^—приближенное значение, определенное по 1 или 2, то величина х2 = <р (л^)
представляет дальнейшее приближение. Продолжая этот метод,
получают решение уравнения с любым желаемым приближением.
Е. Расчет сложных процентов и рент
Капитал К, отданный по k годовых, через п лет обращается:
a) при годовых сложных процентах в Кп = Крп>
где ;? = 1 4- &/100 = (100 + £)/100—годовой множитель учета.
b) При полугодовых сложных процентах (гос.
бумаги) капитал через п лет обращается в Кп = Kq2n, где
# = 1 -{- £/200 == (200 -f &)/200 — полугодовой множитель учета.
c) При непрерывном нарастании процентов,
предполагая, что проценты прибавляются к капиталу в каждый момент
времени, капитал К, отданный по k процентов, обращается через п лет в
Кп = КеЧп1т (ехси. табл. 4, стр. 38).
При годовых сложных процентах имеют место, далее,
следующие формулы.
При вкладе в начале каждого года суммы R в конце п-го
года вклады превращаются, вместе с наросшими процентами, в
Kn = Rp{P"-\)l(p-\).
Если в конце каждого года вносить одну и ту же сумму R,-
то через п лет получится капитал:
Kn = R{pn-\)l(p-\).
Ежегодное погашение какого-либо предприятия (например
концессии), рассчитанного на полное погашение в п лет, составляет в процентах:
' 100 ЩКп= 100 (р - \)\{рп-1).
. Если капитал К в конце каждого года увеличивается или
уменьшается на одну и ту же сумму /?, то через п лет он
обращается в Кп = Крп it R (рп — 1)/(/7 — 1). Капитал К, таким образом,
обратится в Кп через
log[(p-l)Kn + R]-\og[(p-l)K±R]
п = ; лет.
logp
Если ежегодно отнимается от капитала сумма R (рента),
большая, чем нарастающие на капитал К проценты, то весь капитал
Судет израсходован через
п = log/?-log [/?-(/>-!) ЛГ] лет
log/»

Ряды (конечные)
73
*Чо
3,0
3,25
3,5
3,75
4,0
4,25
4,5
5,0
5,5
б;о
7
8
9
10
Таблица 15. Величина
ежегодного погашения при к %
Число лет погашения
5 | 10
18,836
18,741
18,648
18,555
18,462
18,370
18,279
18,097
17,917
17,739
17,389
17,046
16,709
16,380
8,723
8,623
8,524
8,426
8,329
8,233
8,137
7,950
7,766
7,586
7,238
6,903
6,582
6,275
15 |* 20
5,376
5,278
5,183
5,087
4,994
4,902
4,811
4,634
4,462
4,296
3,979
3,683
3,406
3,147
3,722
3,627
3,536
3,446
3,358
3,272
3,187
3,024
2,868
2,718
2,439
2,185
1,955
1,746
| 25
2,742
2,653
2,567
2,483
2,401
2,321
2,243
2,095
1,954
1,822
1,581
1,368
1,181
1,017
30
2.101
2,018
1,937
1,858
1,783
1,709
1,639
1,505
1,380
1,264
1,059
0,883
0,734
0,608
35
1,653
1,575
1,499
1,427
1,357
1,290
1,227
1,107
0,997
0,897
0,723
0,580
0,464
0,06е)
40
1,326
1,252
1,183
1,115
1,052
0,991
0,934
0,827
0,732
0,646
0,501
0,с>85
0,296
0,226
45
1,078
1,010
0,945
0,884
0,826
0,771
0,720
0,626
0,543
0,470
0,350
0,259
0,190
0,139
50 | 60
0,886
0,823
0,763
0,707
0,655
0,606
0,560
0,477
0,406
0,344
0,246
0,174
0,123
0,086
0,613
0,558
0,508
0,462
0,420
0,381
0,345
0,282
0,230
0,187
0,123
0,080
0,051
0,033
70 | 75
0,4330,367
0,387 0,324
0,3460,286
0,3080,253
0,2740,222
0,2430,196
0,2160,172
0,169 0,132
0,1320,101
0,1030,076
0,062 0,044
0,0370,0?5
0,022 0,014
0,0130,008
80 | 90
0,3110,225
0,2720,193
0,2380,166
0,2080,141
0,181 0,120
100
0,164
0,138
0,115
0,096
0,081
0,157 0,102 0,067
0,1370,087 0,055
0,102 0,062 0,038
0,07б'0,044 0,026
0,057,0,0310,017
0,0310,016 0,008
0,018 0,008 0,004
0,009 0,004 0,002
0,005 0,(Ш 0,001
\ л
К /о \
3,0
3,25
3,5
3,75
4,0
4,25
4,5
5,0
5,5
6,0
7
8
9
10
Таблица 16.
5
1,159
1,173
1,188
1,202
1,217
1,231
1,246
1,276
1,307
1,338
1.4ТЗ
1,469
1,539
1,611
10
1,344
1,377
1,411
1,445
1,480
15
1,558
1,616
1,675
1,737
1,801
1,5161,867
1,5531,935
1,6292,079
1,7082,232
1,7912,397
1,967 2,759
2,159 3,172
2,367 3,642
2,594
4,177
20
1,806
1,896
1,990
2,088
2,191
2,299
Значения рт
25
30
2,094 2,427
2,225,2,610
2,3632,807
2,510)3,017
2,666'3,243
2,8313,486
2,41213,00513,745
2,65313,386,4,322
2,918 3,81314,984
3,207.4,292 5,743
3,87о'б,427 7,612
4,661,6,848; 10,06
5,604 8,623
6,727
10,83
13,27
17,45
35
1 при процентной таксе
40
2,814!3,262
3,063'3,594
3,3343,959
3,627 4,360
3,9464,801
45
3,782
4,217
4,702
5,242
5,841
4,292'5,285!6,508
4,667 5,8167,248
5,5167,040 8,985
6,514 8,513,11,13
7,686| 10,29
10,68'14,97
13,76
21,00
14,79 21,72131,92
20,41 31,41148,33
28,10
45,26
72,89
50
4,384
4,949
5,585
6,301
7,107
8,013
9,033
11,47
14,54
18,42
29,46
46,90
74,36
117,4
60
5,892
6,814
7,878
9,105
10,52
12,15
14,03
18,68
24,84
32,99
57,95
101,3
176,0
304,5
"70
7,918
9,382
11,11
13,16
15,57
18,42
21,78
30,43
42,43
59,08
114,0
218,6
416,7
789,7
75
9,179
11,01
13,20
15,82
18,95
22,68
27,15
38,83
55,45
79,06
159,9
321,2
641,2
1272
k
80
10,64
12,92
15,68
19,01
23,05
27,93
33,83
49,56
72,48
105,8
224,2
472,0
986,6
2048
%
90
14,30
17,79
22,11
27,47
34,12
42,35
52,54
80,73
123,8
189,5
441,1
1019
2336
5313
100
19,22
24,49
31,19
39,70
50,50
64,21
81,59
131,5
211,5
339,3
867,7
2200
5529
13781
Капитал К = R (рп— 1)//*л (р — 1) дает ежегодный доход (ренту)
R в течение п лет.
Рента /?, которую можно получать от капитала К в течение п лет,
составит # = Крп(р — \)1(рп—1); R означает также аннуитет
погашаемого в течение п лет долга /С.
В
п-й член
F. Ряды (конечные)
а) Арифметические ряды
арифметическом ряду а, а -(- d, a + 2</,
и = а + (п— \)d,
равен:
.. , а + (п — 1) d

74 Т. I. Отд. 1. Математика. II Арифметика и алгебра
а сумма п первых членов:
S = -L (« + «)„ = -J[2a + (n-l)rf].
Арифметический ряд Л-го порядка обладает следующим свойством. Из его
членов д0» «ii Дц • • • составляют схему разностей
где Дд0 = at — д0, Дд, = д,—д,, ... , Д*д0 = A^i — *<*<» д'д1 = Дл1 — Ави • • • и т. д.,
а Д/га0 = Д*ях = Д*д, =... должно иметь определенное значение. Тогда для л=0,1,2,...
ап = я0+ (i) Дво + (г)***» +•••+( к) дЛ*о.
откуда каждый член ряда можно подсчитать из начальных значений колонны
разностей; далее, для X = 1, 2,..., к
A* д0 = дх - (i) *X_i + (\) *х_2 -... + < -1)4 .
откуда из членов ряда можно подсчитать начальные члены колоннoi разностей. Эта
формула действительна для любого члена разности, ибо от него можно начать
соответствующую колонну.
Для ряда S = а0 -paj -|- д, + ••• + оп i имеем:
Ь) Геометрические ряды
В (конечном) геометтическом ряду а% aq, aq2t...% aqn~x n-i\
член равен: и = aqn~l и сумма п первых членов:
S = a (qn - \J(q -\) = (qu- a)/(q - 1).
Простейпий случай:
1 +х-\-х* + л*+ ... + хп~х = (1 — хп)Ц\ — *).
с) Некоторые особенные'ряды
1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5+6 + 7+.. .+(Л_1) + Л = ^+Я
3. 12 + 22 + 3«+ 42 + 52 + 63 + ■ ■ ■ + (*-1)2+л2= — \ .1}2(2з +1}>
4. 18 + 23 + 33 + 43 + 5^ + 63+. ..+(/1 — 1)3+ /уЗ=[/г(^+1)1
2
Л
5. 14+24+3^+...+ [п-\)*+ п* = ^(я + 1) (2 ч + 1) (ЗЛ+Зл-1),

Бесконечные ряды 75
6. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13+../ + (2/!-3) + (2л-1) = /А
7. l2 + 32 + 52 + 72+... + (2/z-l)2 = i/3n(2/z-l)(2/i+'l).
8. 13 + 33 + 53 + 73 + .... + (2/1 — 1)3 = Л2 (2л2 _ !).
G. Бесконечные ряды, в частности, степенные
а) Биномиальные ряды и особые случаи
\.{1±хГ=1±($)х + (*)*±($)*+..., \х\<\.
(п может иметь любое значение; коэфициенты бинома — стр. 62
и табл. 10 —стр. 51).
Чтобы (а + Ь)п разложить для любого п, обозначают через а
большее из двух чисел а и bf подставляют х = Ь/а;
(а + bf = ап (1 + Ь/а)п = ап (1 + х)п.
и производят разложение по ряду 1.
2. -у-^— =\ ц= х -\-х2ц: х'д-\-... (геометрический ряд).
о -,^'1 - 1 . 1 Ы , , Ы-3 , Ы.3-5 . .
3. > 1+^ = 1 + тд,^_^ + 2^_^^___^+...=
' ~1 + ^*~¥^ + 1б*~~128Х +256* ~~1024* + "в
1 , 1 ,1-3 9 ЬЗ-5 , . 1-3.5-7 .
4. ■ = 1 — — л: И х2 хъ А х*— ... =
f\+x 2 2-4 2-4-6 2.4.6-8
— 1—1 О-А >—А 3 I 35 4_J^. 5 I 231 8
-1 2Х-Г$Х- 16* +128^ 256* + 1024 х #'#
с -1/т-т— 1 . ! ь2 ai Ь2'5 * 1-2.5-8 , .
, , 1 1 , . 5 , 10 - , 22 . 154 А ,
= 1 + Т*~^-+^3-^ + 729*5-65бИ6+--
. 1 - 1 1 х . Ь4^ Ь4>7 Ь4.7-10 __
*"■ - 3 r3-6 3-6-9 г3-6.9«12 "•""
/1+дс
= 1—1 4--?- 2_14 3 J_^5.v4_^l 6J.I??. 6_
ЪХ^9Х^ 81* + 243 729* + 6561 * '' *

76 Т. I. Отд. 1. Математика. II. Арифметика и алгебра
8. 1 ^i-Lx+PJPp)x,_£SP + ^P + ^.,«+,..
<? q т q.lq q-lq-bq
V(l+x)P
Все биномиальные ряды сходятся для | х |<1.
Ь) Показательные и логарифмические ряды
1. ,* = 1 + Л + £? + ^ + |1 + £+..., \х\<оо.
2. a* = l+L^ + ^^ + (i^ + ..., |д|<00, а>0.
X2 *Г8 X* ХЬ
3. Ы(\+х) = х—^- + ^ ^" + ^ .... -К*< + 1.
v*2 v-3 у4 *-6
4. 1п(1-х)=-дг-^ -| -± 1Г----> -1<-*<+1-
&'-тй-2(*+т-+х+т-+т-"+---)' w<1-
,ln,=2[^[+^)3+l(^i)5+
+ Т(^47г)7+---]' причем *>0.
8. ,„(а + ,)=1„0 + 2[^ф7 + 1(14т)3 +
+ т(^+^)5+---]' пРичем«>° "*>-*•
Л « / , -./■—о—г—1-л I л:3 , 1-3 хъ
I • 3 • 5 *'. ',,^1
-2Т4Т6--Т-+- |ДГ|<1-
с) Разложение в ряды тригонометрических функций, их
обратных величин и гиперболических функций
В формулах 1 до 4 угол х надо измерять в дуговых единицах, а именно,
. х = я?°/180°, если «р° —величина угла в градусах.
х1 х\ х% х* х10
1. со8дс = 1—2Р + -5 6Г + -Щ ТОТ-1- ••-* '^Х00-

Бесконечные ряды
77
х х* . л* tf . х* *и , , \^
2. sInx=Tl зГ+5Г""7Г+9! TF + "-' 1^1<°°-
__ _i_j*1j 2хЪ . - 17*7 | 62x9 _*_
3. tg* — дг+ 3 -i 3>5-| 32.5.7 ^ З2- 5.7-9 ' v !*»<- 2'
1 Л' А'3 2хъ X7
ХЪ ХЪ X1 Х%
6. arctgx^^ з~ + ~5 7""^~9 "" I А" К *•
7. ch* = l+^+^ + -^+..., |лг|<со.
Хъ Л"5 X1
•8. 8Ь* = *.[--зГ+-5Г + "7Г "К""' И<оо.
d) Арифметические действия над степенными рядами
Сходящиеся степенные ряды можно в пределах их общей сходимости почленно
складывать друг с другом, умножать на любой числовой коэфициент, перемножать
их и делить друг на друга, если знаменатель не окажется равным нулю. Для
облегчения выкладок рекомендуется пользоваться следующими формулами:
' 1. Произведение двух степенных рядов:
(а0-т-а1х+а2х2 + агх* + ...) (b0 + bix+b2x2+bzx*+ ...) =
= *А + (<*(А + аА) х + (а0Ь2 + я А + а2Ь0) х* +
+ («А + «А + *А + д A) xs + ...
2. Частное двух степенных рядов:
а0 -f- aLx -f- Д2*2 + • •. __ Jh_ * + 4х + g2*2 + * • - _
b0 + biX + b2x*+... - ь09 i + M + ^2+... ~~
= <*Jb0 • [1 + ^ - ^) X + (а2 - «А + р^ - ft,) X* + (о, - «A -aA —
- Рз-Pl3 + «lPi2 + 2PA)^3 + («4 - «A - «2?2- «A~ ftl+ Pi4-«AB +
+ «aPi8+Paa + 2PA+2«AP>-3p12pa)^+...]:
3. Степени степенного ряда:
у = 1 + алг+ &jc2+ сл3 + ^л* + ...
могут быть приведены к виду:
/» = l-f- пах + Хи%

78 Т. I. Отд. 1. Математика. И. Арифметика и алгебра
при этом Хп имеет следующее значение:
^ = n[n-^^+b)X2+n^1^^ а*+(п-1)аЬ + с]х* +
+4("~1)%72)(""3)д4+(Л^Т"2)^+^^+
X2 = (a2 + 2b)x*+2(ab + c)x*+(b* + 2ac+2d)x*+ ...
Хь=3 (a2-f b)x2 + (a3+6ab + Зс) х*+3 (a2b+b2 ±2ac+d) x* +
Х_х = (а2—Ь)х2—(а*~2аЬ+с)х*+(а*—За2Ь + Ь2+2ас^х*--
Х_2 = (За2 — 2А) х2 — 2 (2а3_За& + с) л:3 +
+ (5а* — 12а2£ + 3&2 + баг — 2d) х* —
*_3 = 3 (2а2— 6) *2^- (10а3 — 12а& + Зс) л:3 +
+ 3 (5а4 — 10а26 -f 2b? + 4ас — d) x*
X, = — 1(а*/4 — Ь)х2+Ь(аЩ — аЬ/2+с)хЗ —
— i (5a4/64 — За2£/8 + ЬЩ + ас/2 — d)x* +
Xi == — i (a^/S — b) x2 + J (5a3/27 — 2a&/3 + с) л* —
— J (10a4/81 — 5a26/9 + ЬЩ + 2ac\3 — d) x* +
X_ , = Hi я2 — b) x2 — J(5a3/8 — 3a&/2 + с) л:3 +
+ J (35a4/64 — 15a26/8 + 362/4 + 3ac/2 — d) x* —
*_ i = 1 (2^2/3 — b) x2 — J (14a3/27 — 4afc/3 + c)x* +
+ J (35a4/81 — 14a26/9 + 262/3 + 4ac/3 — d) л4 —
*l = 1 («2/4 + b) x2 +| (-a3/24 + ab/2 + с) л:3 +
+1 (a4/64 — a26/8 + b2/4 + ac/2 + d) x* +
*j = ) (— a*/6 + &)*2 + 1 (2a3/27 — a&/3 + c) *3 +
+ ! (— 7a4/162 + 2a2fc/9 — Ь*,Ъ — ac/3 + d) x* +
*__. = 1 (5a2/4 — fc) л:2 — § (35a3/24 — 5a&/2 + с) л:3 +
+1 (105a4/64 — 35a2&/8 + 562/4 + bac\2 — d)x* —
X , == § (5a2/6 — b) x2 — | (20a3/27 — 5ab/3 + с) л:3 +
~3 + § (55a4/81 — 20a2fc/9 + 5*2/6 + 5ac/3 — d) л;4 —
4. Обращение степенного ряда:
y = x+bx2+cx*+dx* + exb + fxe+ ...,
дг=^ — by2+ (2b2—c)y3 — (5fc3—5fo + rf)^4+ (14&4—2\ЬЧ + 6M-f
+ 3c2 —O.V5 — l(w — 12&3c + 4&2a*+4&c2 — be — cd+yf)y* ...

Лесконечные ряды 79
Приведенные выше формулы дают результат лишь формального исчисления;
сходимость полученного степенного ряда, а тем самым, и пригодность результата,
должна быть проверена особо.
е) Некоторые другие бесконечные ряды и произведения
1. 7^ = 1 + в^ + в^ + ^^Г+^|?-+..., |*|<2*.
Здесь в1в — 1/2, *2 = Ve. *4 = — Vbo. ^ = V«. ^ = —Vm.
Bio = Vee. Да = -691/этзо. *u = 7e. ^16 = -3617/5ю.. --б е р н у л л и-
е в ы числа. Обозначение их не везде единообразно. Они подсчи-
тываются по рекурсионной формуле.
2. Bn = [B+lf,
где в правой части равенства надо вместо степеней Вх подставить
числа Вх. Имеем: В3 = Въ = В7 =* ... = 0.
о 1 D (2*)2 , D (2*)4 о (2лг)в , ...
(Ср. И, G с) 4, стр. 77).
4. xtgA: = (22~l)J52-^--(2*-l)B4-(2x)4 '
2! v" л/"' 4!
+ (26_l)£6i^!! + ..., |*|<*/2.
(Ср. II, G с) 3, стр. 77).
5. sin, =,(l_4)(l-^)(l-^)(l- 4Л-
6. cos*=(l-i£)(l—g£)(l—ig-)...
7. Л, =/(l+4)(l + ^)(l + ^)(l + -1£)-
8. ch_(1+-)(1+^)(,+ ^)...
ж—я ' х+гс ' л:— 2гс. ' лг + 2л ' х — Зя
+ лг + Зя + "•

80 Т. I. Отд. 1. Математика. III. Круговые и гиперболические функции
III. Круговые и гиперболические функции
А. Круговые (тригонометрические) функции
(Таблицы круговых функций —см. стр. 34 и 38).
Таблица 17. Угол в дуговых, единицах (радианах) и градусах
Угол а°, измеренный в градусах, выражается в дуговых единицах (радианах):
18()
arc 1° =
Л80
: 0,017 453, arc 57°, 296=1.
а°=:
sin а° =
cos а° =
tga° =
ctg a° =
arc а° =
0°
0
+ 1
О
с»
0
90°
+ 1
0
оо
0
*/i
180°
0
— 1
0
оо
к
270°
-1
0
оо
0
Зк/,
360°
0
+ 1
0
оо
2тс
30°
1/8=0,500
г^УЪ=09866
'/el/3^0,577
Кз=1,732
тс/в=0,524
45°
4*V2=047u7
''«^2=0,707
1
1
л/4=0,785
60°
'/'КЗ-0,866
i/a-0,5'JO
У'З- 1,732
'/.* ^3=0,577
п/3 =1,047
sin 9°
cos 9°
tg?°
Ctg «°
0° и 90°
+
+
+
+
Угол ф°
90°
и 180°
+
-
-
—
между
180° и
270°
- •
+
+
270° и
360°
—
+
-
—
Угол 9 в градусах
± сс°
± sin a°
+cos«°
± tg а°
± ctg«°
90° ± «°
-f- cosa°
:f sin а°
:р ctg а0
т tg «в
180° ± а°
Т sin а°
—cosa°
± tgae
± ctg*°
270е ± о9
— cos а"
± sin a°
+ ctga°
-F tgae
sin (45° ± а0) = cos (45° £ а°),
Периодичность:
sin (л: 4- 2Ап) = sin x%
cos (* + 2kn) = cos x,
tg (45° ± <к°) = CTg (45э * а°).
tg{x + kK) = tgx,
ctg (x + к л) = ctg x.
(k = 0, ±1, ±2,...)
а) Зависимость между тригонометрическими функциями
одного угла
1. cos2 а +■ sin2 а = 1. 2. tg а = sin a/cos a.
3. Ctg a = COS a/sin a = 1/tg a. 4. sec а = 1/COS a.
5. " cosec a = 1/sin a. 6. 1 -f- tg2 a = 1/cos2 a = sec2 a.
7. 1 + ctg2 a = 1/sin2 a = cosec2 a.
8. sin a = У1 — COS2 a = tg a/Zl+tg2 a = 1/]Л + ctg2 a.
9. COS a = У1 — Sin2 а -=- l/Y'\ -\- tg2 a = Ctg a/]/" 1 +• CtgJ a.

Круговые функций
61
b) Зависимость между тригонометрическими функциями
двух углов
Теоремы сложения
1. sin (« ± Р) = sin a cos р rt cos a sin
2. cos (a ±: P) = COS a cos Р ijt sin a sin
3. tg (а± Р) = (tge±tgP):(l4TtgitgP).
4. Ctg (а it p) = (Ctg а ctg p qr 1): (ctg p rfc ctg а).
5. sin а -f sin p = 2 sin J (<x-f- p) cos J (a — P).
6. sin a — sinp= 2 cos i (a + P)sin J(a — P)-
7. cosa + cosp= 2 cos J (a+P)cosJ(a —P).
8. cos a — cosp = — 2 sin J (* + P)sin J(a — P)-
9. tga±:tgp = -^^. 10. Ctgartctgp
cos* cos [
_ sin (P it a)
~~ sin a sin p '
Фиг, 1. Геометрическое изображение
функций sin и cos.
Фиг. 2. Геометрическое изображение
функций tg и ctg.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
sin2 a — sin2 p = cos2 p _ C0S2 a = sin (e _|_ p) sin (a _ pje
cos2 a — sin2 p = cos3 p — sin2 n = cos (a+P) cos (a — p).
sin a sin P = J cos (a — P) — J cos (a -f- P).
cos a cos p = J cos (a — p) + J cos (a -j- P)-
sin a COS P = i sin (a + P) + i sin (a — p).
tg at* P=(tga + tgp)/(ctga+ctgp)=—(tga—tgP)/(ctga
Ctg a ctg p = (Ctg a+ctg P)/(tg a+tg p) = —(ctg a—ctgp)/(tg a-
ctgg).
tgP).
Ctg a tg p =Jctg a + tg P)/(tg a+ctg P; = — (ctga-tg ?)/(tg a-ctgp).
с) Формулы для тригонометрических функций кратных углов
и частей угла
1. sin 2a = 2 sin a cos a, sin a = 2 sin J a cos J a.
2. sin 3a = 3 sin a — 4 sin8 a.
3. sin na = n sin a cos"*"1 a — ( " ) sin» a cos*-"3 <* +
+«)
4. cos 2a = cos2 a — sin2 a = 1 — 2 sin2 a =» 2 cos2 a — 1.
5. cos 3a = 4 COS3 a — 3 COS a.
sin5 a cos* "^a-

82 Я- 1- Отд. t. Математика. ПТ. Круговые й гиперболические функции
6. cos/la = COS* а— ( )sui2acos" 2а + ( . 1 sin4 a cos" 4a-r..
7. sin Ja = У^О— cos a)/2 = J Vl + sina —£ Vl — sin a.
8. cos £a = /(1 + cos a)/2 = i V\ + sinx + i V 1 — sin a.
л . , sin a 1 — cos a
9. tg |a = -
■FT
COS a
1 -j- COS a sin а Г 1 -j- COS a *
10. ctgJ« = T-5in^_ = i±«i£==T/i±
ь 1 — COS a sin a
fill. tg2a =■
2tgc
Sin '-
2
I — tg2 a ctg а — tg а
•» tg а :
COS a
COS a'
2tgi«
12. ctg2a = C % " = ±Ctga — Jtga, ctga = _ A ■
to 2 Ctg a J 6 2 6» s 2 Ctg ^a
1— tg2Ja "
Ctg2ja-1
13. tg За
3 tg а — tg3 а
1—3tg2a '
ic 2tg
15. Sin a = a
14. Ctg За:
Ctg3 а — 3 ctg a
3 ctg* or — 1 *
?5Г
16. COS a = * f—.
1 + tg2 £a
1+tgV
17. cos a it sin a = j/*l it sin 2a = Y~2 sin (i*i ±a)= }/Tcos (Jit rp а).
d) Степени синуса и косинуса
1. 2sin2a=l — cos2a. 2. 2 COS2 a = 1 -f cos 2a.
3. 4 sin3 a = — sin 3a -f- 3 sin a. 4. 4 COS3 a = cos 3a -j- 3 COS a.
5. При л нечетном:
sin*a=-bU
}~(л-1) Г
sin па —I j sin (/i — 2)a~H « ) sin(/i—4)a —
/i_3 ( n \
+<-»s?(4i)*4
6. При п четном:
/ 1 \ 2 " Г
sin" а =-^П—j СОЗЛа-(" jcos(n-2)a4-( 2)c<>S(/l-4)a - ...
...+ (-1)^ (ф) cos 4a + (- ifr ( «^2 ) cos 2, ] +(|) £.

Круговые функции
83
7. При п нечетном.
>п—1
cos" а = (-о") cos ла+ ( ?)cos(/z —2)а + ( 9 )cos (л —4)a-f
+( " ) cos (л — 6) a-f ... + ( я-3 ) cos За + ( я — 1 jcosg]
8. При п четном:
cos з= —
2'
—г'\ cos пя-\- ( )cos (п — 2)а-\-( J cos (n—4) *+...
/ * \ ( п \ -" /П
...+ I п — 4 cos 4а + I я- 2 Г COS 2а
'Относительно биномиальных коэфициентов —см. стр. 62 и табл. 10, стр. 51).
е) Обратные круговые функции
Обратные тригонометрические функции, благодаря
периодичности прямых функций, имеют бесконечное число
значений. Главные значения их определяются следующим образом:
у —arc sin л равносильно A==sin3'» причем—^~- <j><! + -=-ir,
j> = arccos.v 9 x = cosy „ 0<_y<ir,
у = arc tg x n x = tgy „ — 2- к <j> < + j t:,
^ = arcctgx , * = ctg.y „ 0<д/<тг,.
Угол у измеряется в дуговых единицах.
Графики обратных тригонометрических функций получаются из фиг. 1 и 2
(стр. 81), если построить зеркальные отображения изображенных кривых
относительно биссектрисы координатного угла (первого квадранта); главные ветви буду г
соответствовать жирно вычерченным дугам.
•
1. arc sin и = arc cos У1 — и2 = arc tg ^/Л = -^— arc cos //.
2. arc cos и = arc sin Vl — Ф = arc tg.
и
Уь=
У1-
1*2
И2
Я
2
7X
arc sin it.
и
71
3. arctgtt = arcsinrpY====-^-arcctgM.
arc tg и = arc ctg (l/«), в случае м > О,
G*

84 Т. !. Отд. 1. Математика. Ш. Круговые и гиперболические функции
arc igu = arc ctg(l/«) — я, в случае ы<0,
arc cos
1
= — arc cos
1
: l/2 аГС COS
1
r/2
1+H2
1
У1 + "2
: = —1/2 arc cos
, в случае и>0,
ы2
1+ы2
Теоремы сложения:
4. arc sin и ± arc sin v = arc sin (u Y\ — v2 zt v У1 — и2) =
= arc cos {Yl — и2 |Л — v2 ц:uv).
5. arc cos и rn arc cos v = arc sin (v Y\ — u2 d_ и УI — и2) =
= arc cos (uv ц: Y\ — u2 \ 1 — v2).
Kd_t/
, в случае и<0.
6. arc tg и 3z arc tg v = arc tg
7. arc sin (—-«) = — arc sin a.
9. arc tg (— ы) = — arc tg u.
1:
:ttl/
8. arc cos (— u) =x it — arc cos и.
10. arc ctg (— h) s я — arc ctg u.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
f) Зависимость между функциями трех углов а, {3, у
для а + р+у==18()0
sin а -f sin P -f- sin y =4 cos Ja cos J8 cos Jy.
cos a + cos p + cos 7 = 4 sin за sin Jp sin Jy + 1.
sin a -j- sin p •— sin y =4 sin Ja sin £P cos ft.
cos a + cos P — cos y = 4 cos Ja cos jp sin ft — 1.
sin2 a-}-sin2 p+sin2Y = 2 cos a cos P cos y + 2.
sin2 a+sin2 p — sin2 y = 2 sin a sin (3 cos y-
tga +tgP +tgY =tgatgptgY.
Ctgja
Ctg a ct;
ctg JP + Ctg ft = ctg Ja ctg tf ctg 1T.
p + ctg a ctg Y + Ctg P Ctg y = 1.
sin 2a + sin 2p + sin 2y = 4 sin a sin P sin y-
sin 2a -(- sin 2 p — sin 2y =.4 cos a cos p sin 7.
В. Плоские треугольники
(Формулы для площади треугольника—см. IX, стр. 236).
Обозначения:
а, Ъ, с— стороны треугольника,
*t Р» Т "~ Углы> им противолежащие,
р — радиус вписанного круга,
г — радиус описанного круга,
s-=zi(a + b + c) — полусумма сторон (полупериметр),
Лл, hfjy hc — три высоты,
ma, /пд. ю^—три линии, делящие стороны пополам (медианы),

Плоские треугольники gcj
«>0. wp, w^ — три биссектрисы,
Ра» Р&> Рс ~~"радиусы трех внешних кругов.
Знак ; ... позади формулы обозначает, что из нее вытекают еще две другие
формулы от кругового замещения я, Ь, с и а, р, у.
Ввиду того, что а -\- $ -\~ т = 180*", то имеют место и формулы A, f. от 1 до 11
а) Общие формулы
1. a/sin a = b/sin р = c/s'm y = 2г (теорема синусов).
2. a = b cos y + с cos p; ... (теорема проекций) с
3. л2 = £2 + с2 — 2bc cos a; ... (теорема косинусов).
fl2 = (^_|.c)2__4^cos2^; ... a2 = (& —c)2 + 4fosin2^; ..
. л sin y
4. tga = - !—
6 &— a cosy
sin
2 Г *c '••• a C0S 2 Г for
7 ta ^- - l/^~" 6H*-~C) - P .
g 2 Г s(s —д) ~~ « —a ' •"
8. (*+*)/* = cos !(«-й/совИ* + Р)= ]
n , ,w = C°S h ,(*~P)/Sin iT/ ;' • J (формулы Мольвейде).
9. {a — b)/c= sin^a — p)/sinJ(« + P) = j
'= sin Ha~-P)/cosJy; ... J
10. (a + b)/(a — 6) = tg J (a + P)/tg Ha — P); ... (теорема тангенсов).
11.
, . a P . Y а^ ,/(* — «) (5 — 6) (5 — c)
= *tg|tgjtg-l.
12 Pe= --L-rP = stgi = V"s(s-*)(s-c)/(s-a);
a S — и L
a
s — a
13. Ла= fcsinY = £sinp; ...
14. aha = Mb = chc = 2 Vs(s — a)(s — b) (s — c); .
15. ma=iy2(62+c2) —л"2;...
16. ma2 + ^2 + ^2 = l(fl2 + ^2+c2).
17. 1/p = 1/p. + 1/p* + 1/p, - 1/Л. + 1/Л» + Vhe.
18. 1/ра = ~1/Ла+1/Ль+ 1/Л,; ...

86 Т. I. Отд. 1. Математика. HI Круговые и гиперболические функции
Ь) Косоугольные треугольники
Данные Искомые
а, Ь, с \ а
1
a, b, a j 3, у
с
i
а, а, р
а, ft, у
ft, с
с
Формулы
cos « = —Z7 или см. выше формулы 5, 6 или 7
sin р = ft sin ana , у — 180° — (« + £),
£ = a sin у, sin а = ft cos «±Ув»-^ sin* а.
При а > ft существует лишь один треугольник. Имеем
р < 90° и р < а. При ft > а > & sin * существуют два
треугольника, для одного р острый, для другого р
—тупой. При ft sin « > а не существует треугольника.
ft = a sin p/sin a, г = а sin Y/sin а = a sin (а + P)/sin а
tg а = а sin y/(& — « cos y), rp — 18(T — (ot + T)
или
1 (а + P) = 90° - 1T
и
tg i(« - P)= -^y Ctg }T = -^ tg \ (* + P)
а = (« + P)/2 + (a - p)/2, p = (a + P)/2 - (a - p)/2
с = У а* -{- ft» — 2aft cos y = « »in Y/sin a = (я — ft)/cos <p,
где
tg y = 2l^aft sin iY/(« — ft).
с) Прямоугольные треугольники
а и ft — катеты, с — гипотенуза, а у-угол, противолежащий
катету а; т и л — отрезки гипотенузы с. ^
1. sin a — д/г. 2. cos a= ft/c. 3. tg a = alb. 4. ctg a = b/a.
5. ца+*2 = <* c=f^+J\ 6. hln = m/h,
№ = mn.
7. h/a = bict h = ab/c, h2 = аЩ(а* + V),
\/h*=l/a*-{-l/b*.
Фиг. 3.
8. /W/6 = &/c, b* = mC| | £2/a2 = mjn^
n/a = a/c, a2 = лс, f 1/Л2 = 1/c (1/m + 1
In).
d) Диференциальные формулы для плоских треугольников
Незначительные изменения сторон и углов тем точнее удовлетворяют
нижеследующим диференциальным формулам, чем меньше эти изменения; di, dp, df
означают изменения углов, выраженных в дуговых единицах; имеем;
</» - 0,0174$3 rf«° - rfa"/2062C5''

Сферические треугольники
87
Прямоугольный треугольник:
1. ada+bdb = cdc. 2. da\a = dc/c-\- ctgorfa.
3. da = tg<*db — 2a dp/sin 2a.
Косоугольный треугольник:
4. doi + dp + rfr = 0
5. flta/tf — ctg adz = <#>/& — ctg p dp = dc/c — ctg y **Y-
6. ada = (b — с cos a) db -\-(c — b cos a) dc -f- 6c sin arfa.
7. с cos p^a + a rft == — sin y<# + sin $dc.
С. Сферические треугольники
(Формулы для площади сферического треугольника — см. IX, стр. 242).
Пусть:
а, Ь, с — стороны треугольника,
а, (3, y — противолежащие углы,
s^=\{a + Ъ + с), <х^4(в + ? + *Ь
6 = a-f3-f"T — 180° — так называемый сферический избыток.
Следующие формулы действительны только для таких треугольников, стороны
и углы которых лежат между 0 и 180\ Каждому из таких треугольников
соответствует полярный треугольник, стороны которого равны 180° — «, 180° — 0,
180' —т. а углы 180° —л, 180" ~Ь и 180° — с. Из каждой формулы сферической
тригонометрии получается, таким образом, другая, не всегда отличная от
первоначальной формулы, применением ее для полярного треугольника, т. е. замещением
сторон дополнением соответствующих углов, а углов — дополнением
соответствующих сторон.
а) Общие формулы
1. sin a/sin a = sin 6/sin p = sin c/sin y (теорема синусов).
2. cos a = cos b cos с + sin b sin с cos a; ... (теорема косинусов).
3. cosa = — cos p cos y + sin p sin у cos л; ...
4. cos я sin 6 = sin я cos 6 cosy + sin с cos a; ...
ctg a sin b = sin y ctg a + cos y cos b; ...
5. cos a sin P = sin y cos a — sin a cos p cos с; ...
ctg a sin p == sin с ctg a — cos с cos p; ...
. a _/" — coscrcos(a — a)
6. sin у = J/ -
sin p sin y
sin
IL— л Г cos (q — EO cos (a — y)
C0S 2 ~~ V sin p sin y
a __ /~~sTn (s — b) sin (5 — c)
'2~~V sin 6 sin с ' " * '
a , Г sin ^ sin (s -#- я)
cos -~- =* 1/ , , \ ; .. .
2 r sin 6 sin с
8 ctg £ = ctg *a ctg *b + cos v •
9. tgJ-Vrtgi»tgi(*--«)tgia'--*)"tg««-* J^TeT

38 Т. I. Отд 1. Математика. Ill Круговые и гиперболические функции
10.
И.
ig\(a-b)
tgi(« + P)
tgH«-P)
cos£(«+P)
_ slnH«-B
8lnH« + P)
cos *(* + *) g 2''
(неперовы
аналогии)
(формулы
f Гаусса)
b) Прямоугольные сферические треугольники
гипотенуза, следовательно, y = 90°. то имеют мест
Если с
формулы:
1. cos с яв cos a cos 6 = ctg a ctg Р
2. cos д = cos a/sin p.
3. cos & = cos B/sin a.
4. sin a = sin a/sin c.
5. cos a = tg &/tg с
6. tg a = tg a/sin 6.
с) Диференциальные формулы для сферических треугольников
Незначительные изменения сторон и углов тем точнее удовлетворяют
нижеприведенным диференциальным формулам, чем меньше эти изменения; они могут
быть выражены в дуговых или угловых единицах.
1. da = cos $dc-\- cos y db-\-sin b sin? da.
2. da = — cos bdy — cos cd$ — sin p sin cda.
3. cigbdb — ctg с dc = ctg f3rfp— ctgY^Y-
4. sin y db — sin a d$ = sin p cos adc-f- sin b cos 7 flfe.
D. Гиперболические функции
(Таблицы гиперболических функций — см. стр. 38—42).
Основные формулы
ch<p- ±{е*+е~*).
sh? = -2-(e°-*-
ch cp + sh <p = **,
ch ф — sh ф = ^""'
3. thcp =
shtp
chcp
е-—е
4. cth <р
— сп У _. g?+ g"
sh 9 еч__ е-
7. ch*<p—sh»9=:l.
8. th у - cth 7 = 1.

Гиперболические функции
89
Для действительных значений переменной ср имеем:
ch<p>l, th2cp<l, cth2cp>l,
тогда как sh ср может иметь какое угодно (положительное или
отрицательное) значение.
9. sh (— ср) = — sh <
ch (— <р) = + ch cp,
cth (— ср) = — cth ср.
th (—ср) = —thcp,
10. Теоремы сложения:
sh (а ±: Р) = sh а ch Р ± ch а sh P,
ch (а rt p) = ch а ch p ± sh a sh p,.
th (а :±p)==(tha±th p): (lrtrth athp),
cth (а ± Р) = (1 ± cth а cth Р) : (cth а ± cth P).
11. sh 2ср ±= 2 sh ср ch ср = 2 th ср : (1 — th2 cp).
12. ch 2cp =ch2'f + sh2cp = 2sh2cp+l=2ch2»—1 =
= (l + th2cp):(l-th2cp).
13. th2f = 2th<? ;(l + th2cp).
14. cth 2cp = (1 + cth2 cp): 2 cth cp.
15. sha ztsh p = 2shH«:±:P)chHa=4rP).
16. cha +ch p = 2chJ(a+P)chH« —P).
17. cha —chp=^2shJ(a + P)shHa~-P)-
18. th a it th p = sh (a zt p): ch a ch p. .
19. (ch cp db sh cp)n= ch щ dt sh лср.
Геометрическое изображение—фиг. 4 и 5
Дальнейшие
формулы между
прочим у Е. J a h п-
k e u. F. E m d е,
Funktionentafeln,
Лейпциг и Берлин
1909, В. G. Teubner.
Обратные
величины
гиперболических функций
обозначают Аг1). Если
sh cp = м, то
пишут: ср = Аг sh и,
и соответственно,
Аг ch к, Аг th и,
Arcth и. Имеем:
Фиг. 4. Кривая y=ch x
является цепной линией.
Фиг. 5.
Аг shH = ln(H+/«2+ 1),
Аг lh и:
In
Аг ch и = In (и rt Yu2 — 1), Аг cth и •
In
l + u
1-й
й+1
*) Обозначе ше происходит от „area"
гиперболы (стр.141—142).
- площадь и связано с площадью сектора

90 Т. I. Огд. 1. Математика. III. Круговые и гиперболические функции
Е. Соотношения между круговыми, гиперболическими,
показательными функциями и их обратными
величинами в комплексной форме
1. ещ = cos -f + i sin ?, e~l* = cos cp — / sin 9 (формулы Эйлера).
2. cos ? = 1(^+ *-'>), sin ? = ^ (*<>-*-<>).
3. tg ? = - / <e" - «-'W'e + ^'*)f
ctg? = /(*'e + *-'*)/(^-*"'*).
4. cos/jc = chx, tg /jc = / th jc, sinix = ishx, ctgix ——icihx.
5. ch tx = cos jc, th ix = / tg x, sh ix = / sin xt cth /jc =—/ ctg x.
6. cos (x-{-iy) — cos x ch у— /sin x shy.
7. sin (x-\-iy) = sin xchy + icosxshy.
1 • _ JL sin2jK:4 *'sh 2v __ sin 2x + i sh 23/
». tg(A:+ OO-y —^2Ar_)_sh2J, ~ cos2AT+ch2>f '
1 sin 2* — / sh 2y _ sin 2jc — ish2y
d8 (■* + <"-У sin2Jt:+sh33/ ~ cos2.v — ch2>> *'
10. ^ +2kKi = ez (k = Q, rt 1, ±2, ...), т.е. <^ имеет мнимый
период 2тс/. Отсюда по п. 4 следует вследствие периодичности
гиперболических функций:
11. ch (z + 2kra) = ch z, th (z + kni) = th z,
sh (z + 2kr.i) = sh z, cth (* + **0 = cth z. __
12. Пусть2=*+/yH*I (cos'f-f/sin<p)===|2| ечу где |*| = У"л:2-|-у-
— модуль, а ср — аргумент мнимого числа z; ср. II, A, d). Тогда
имеем:
\ogz = \n\z\ + i4 + 2krJ (* = 0, +:1, ±2,...).
Логарифм имеет, следовательно, бесконечное число значений.
Под главным значением логарифма понимают:
logz = In z\-\-/<р.
13. log 1=0, log (—1) == /ти, log / = /те/2, log (— 0 = З/тс/2.
14. z1" = ew log г = ew l02 * + 2*7c/w.
15. /'' = <Гг-'2+2** = o,20788 • e2kK .
16. arc sin z = — 1 Ar sh iz = — i log (/2 -f- Y 1 — 22).
17. arc cos z — — / Ar ch z = ±. i log (z -{- i Y 1 — z2).
18. arc tg г = — i Ar th iz = -^т- log ■
6 2* s 1 — iz
1 |£ 1
19. arc ctg z = i At cth iz — -^ log
2/ * & -f 1 '
20. arc sin/# — i Ar sh a' = / log (л- -f- Y^ Л х%)

Предел, непрерывность, диференцируемость
91
21. arc cos ix = — / Ar ch ix == r./2 +: / log (л* + УI + л:2).
. . ,, г* 1 -4- jc
22. arc tg /jc = lArthx = у lo? ' .
/ x -4- 1
23. arc ctg /ж = — / Ar cth x = — — log - -^y.
IV. Диференциальное и интегральное
исчисления
А. Предел, непрерывность, диференцируемость
1. х -> а, или lim л: — а, означает, что переменная х беспредельно стремится
к постоянному значению а, не достигая последнего; а называется пределом
(limrs) х; х становится бесконечно малым означает то же, чго х -► 0.
х становится бесконечно большим, *->оо, означает, что
абсолютная величина х в процессе изменения переменной х превзойдет любое постоянное
значение.
Если / (х) является функцией действительной переменной (аргумента) х, то
\\mf(x) — b означает то же, что и f(x) ->• b, если х -> а, или практически:
х~>а
тем ближе / (х) т Ь, чем ближе х 7^ а.
2. Некоторые особые предельные значения (л целое число >0):
lim ап = оо для а > 1; = 1 для а = -f-1; = 0 для \а\ < 1; не существует, если а < — 1;
Л->оо
ап хп — ап „ I
lim —— = 0, lim = пап ~ 1>
п\ х—а
/i->jo x->a
sin х .. tg л ,. %-
hm = 1, lim -=— = 1, hm ax = 1,
*->0 * *->0 * *-И)
lim ( 1 Н J -= *N lim
л>оо >• ' л-к»
(.+*Г -■
lim
л->оо
л!
nne-nVH
(формула Стирлинга).
lim
л->оо
[2.4-6... (2л) "1* 1 тс ..
Тз^77Г(2л^1Г] ^Г = Т (Ф«Р«У^ Валлиса).
3. A.v является приращением х.
f {х) называется непрерывной в точке х, если f(x) имеет определенное
конечное значение и
lim/(*-г Ьх).-/(х).
Ддг-И)
4. / (х) называется диференцируемой в точке х, если предел
Длг~*0 Х
имеет определенное значение; /' (*) называется производной /(*).

92 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. ч интегр. исчисления
5. Геометрическое значение /' (х);
/'(*) = tg&,
е. равно тангенсу угла наклона касательной (кривой) у = f (х) в точке касания
Р (х, у) (фиг. 6).
6. Разность значений функции:
RPl=:Ay = f(x + bx)-f(x).
7. Диференциал от у =/(ж):
RS = dy = df (x) = /' (х) dx, где dx = А*.
Частное диференциалов равно производной:
\у
S&
/
а
•^^^
JLe
к
JSL = f
dx
/'(*).
Фиг. 6.
8. Каждая диференцируемая функция
одновременно и непрерывна, но не обратно.
Непрерывная кривая не имеет ни скачков, ни перерывов; диференцируемая не имеет,
кроме того, никаких углов.
В. Производные и диференциалы
а) Правила диференцирования
(а, Ь,..., т, п обозначают независимые от х постоянные, », v, w, ... диференцируе-
мые функции от v.)
1. (а)' — 0. 2. (да)' = аи'.
3. {и -f- v + w -f-...)'— ы' -f- v' 4- W-г-. .., вообще, действительно только для
конечного числа слагаемых.
4. (uv)' — ufv-\-uv'.
5 ( U V — U'V ~~ UV'
у v J ~ и*
6. (иягс> ...)'- (uvw ...) ( i- 1 (-•••). вообще,
действительно
только для конечного числа множителей.
7 **/(") _ _?/ . _£^_ _ffo_ _^
rf* — du ' dv ' dw dx
f=f (и), и - и (v), v — v («/), w — w (x)].
8. Если х = g{y) есть обратная функция от у =/(х), то имеем: g' (y)=z\ : /' (л*).
[цепное правило для сложных функций:
Ь) Производные элементарных функций
9. (хту=тхт—У
10. (е*)' — ех.
11. (а*)' - о-*" in a.
12. (In *)' — 1 : х.
13. (Я log*)'.-= 1 :*ln«,
14. (sin .v)' = cos jr.
15. (tg л)' - I.cos'jc.
16. (cos X)' =z — sin r.
17. (ctg4f/= —l:sin*Jf.
18. (arc sin*)' = l:Yl-x*.
19. (arc tg x)' -1 :(1 -f- *-).
20. (ars cos v)' = -1 : V\ - л:*.
21. (arc ctg д:)' = — 1 : (1 -f x*).
22. (sh л:)' = ch x.
23. (th л:)' — 1 : ch* x.
24. (ch *)' = sh x.
25. (cth x)' = — 1 : sh* *
с) Формулы диференцирования
Согласно п. А, 7 каждой упомянутой выше формуле дл* f (x) соответствует
формула для диференциала df(x), получающаяся от умножения первой на dx.
В нижеследующем пополненном перечне х, у, *, и,... могут, однако,
обозначать либо независимые переменные, либо функции тех же переменных,

Производные и диференциалы
1. da = 0, где а—постоянная.
2 d(ax)~adx.
3. d(x + y + z + u+...) = dx + dy + dz + du + ...t
вообще, действительно только для конечного числа слагаемых.
4. d(xy) = xdy+ydx.
fdx.dy.dz.du. \
5. d(xyzu...) = (-T+-j- + —+ — + -..)*У*".~
6 d± = ydX-Xdy- 19. dctgx^-J^-
у у2 sin2*
7. d(xm)^mxm"xdx. 20. dare sin jc = rf*
r- dx
VT=
X"
8. d>Yx~—^-. Л1 . rfjc
21Лс 2l- dare cos jc = .
1 Лс "*"
9' ^=~Ж- 22. rfarctg^^^L..
10. de* = exdx. oo ^.^^ **
ш. и* -е ^ 23 rfarcctg^ —r-x
11. dax = ax\nadx. 0yl ^,_,_. ^_jt
dx
Xй
12. <tln jc = — . 25. d In cos x = —tg a: dx.
24. rflnsinjc = ctgjcdjc.
-tg;
2rfjC
n 1 Лс 26. rf In tg x = . n .
13. rfalogx = __._. sln2jc
2 a JC
14. flfsinjc = cosjo/jc. 27. dlnctgjc =—
.r- , 1 COS-JfrfjC 00 , . , ,
15. d- = r-s 28. rfsh;c = ch.*:*/jc.
sin 2*
shi4jc
16. d cos at = — sin jc rfx.
29. d ch jc = sh x dx.
dx
1 = sin.t<ir За <*th*--asz,
cos* cos** 31. dcthxe. **
iq ^t —-A— sn2jc
I». « tg * cQs2 ^ . 32 d ^ = ^_! ^ (n ^ ^ + ^ ^
d) Производные и диференциалы высшего порядка
1. Пояснение: f (х) = [f (jc)]', d?f(x) = d [df(x)]t
вообще: /л) (jc) = [Л"1* (jc)]', rf"/ W = d [dn~l f(x)\.
Если jc независимая переменная, то
<pf(x) =/" (jc) dx*..., ^/(jc) = /<"> (jc) Лс" .
2. (jcw)(n)=^)/i!^-w = m(/n^l)(m--2)...(m--n + l)jc/,,"-/'.
3. (**)W = **. 4. (о*)<я> = в*(1пвЛ

94 Т. I. Отд. 1 Математика. IV. Дифер и rnrrerp. исчисления
5. (In л:)(л) = (— I)"-1 (п — 1)! : хп.
6. (sin х)(л) = sin (х + яте/2). 7. (cos х)(п) = cos (jc + /in/2).
8. (uv) (»> =* «<"> * + ( J ) "(л_1) с' + ( J ) >~2)f" + ...
''e+ ( n - 1 ) u'vin~l) + uv(n) = (" + *)(я). *
где правая часть означает результат, получающийся, если /?-я
степень образована по правилу бинома Ньютона при условии, что
вместо степеней подставлены производные, однако, вместо и° не 1,
а ц(°) = щ вместо v° не 1, a t/°) = v.
9. Если J/ =/(«) и w — и (*), то имеем:
d*/=/' (и) rfJM +/' (и) </« ,
d»/=/' ДО <р„ _j_ 3/" (I/) d*II rftt -f /" (И) <fa» И Т. Д.
е) Функции нескольких переменных
1. Если fix, у...)—функция двух ил« нескольких переменныу, то
-~ =/ху -ч— = /у ...—ч а с х н ы е производные, т. е. такие,
при образовании которых только х или у или ... рассматриваются
в качестве переменных. Далее, при определенных предпосылках
о непрерывности, имеем ч > = ^ . » или fxy = f и т. д., т. е. при
образовании производных высшего порядка порядок диференциро-
вания по различным переменным не имеет значения.
2. Полный диференциал:
?-£*+£*+*■*+■••■
d-t d2f дЧ
вообще, для двух переменных х, у:
/ д д \W
«"'=(-£"*+irf*) /•
где после формального вычисления степени по правилу бинома
Ньютона произведение dPf понимается как числитель частных
производных л-го порядка.
3. Чтобы диференциальное выражение Pdx-\- Qdy было
полным диферейциалом функции двух переменных, необходимо и
достаточно:
— : — -=-- (условие интегрируемости).

Ряды Тэйюрд тт Мяклореяа 95
При трех переменных, соответственно, для Р dx -f Q dy + R dz:
dQ '__ d/? дК—^. дР — dQ
^dz ~~~ dy ' dx ~~ dz ' dy ~~~ дл:
(Ср. также стр. 114 и 188)
f) Неявные функции
Для F (х, у)=0 имеем:
dy __dF^ .д£
dx ~~ dx ' dy '
d°-y __ I &F(dF\* 0 d*F dF dF d*F ( dFy~\ , f dF\s
dx* ~ [dx'Ady ) dxdy dx dy + dy2 \dx) \ '' \dy) '
С. Ряды Тэйлора и Маклорена
1. Теорема о среднем значении. Если f(x) однозначна,
непрерывна для х=аих~Ьи диференцируема для всех
значений х в промежутке от а до Ъ, то имеем:
/<*)-/(«) = <*-«)/'(5).
где £—промежуточное значение между а и Ь:
* = а+Ъ(Ь — а), 0<&<1.
Другой вид формулы:
f(x+h) = f(x) + hf'(S), 6 = jc + M, 0<»<1.
2. Формула Тэйлора. Если f(x) определена и
диференцируема до производной порядка п в промежутке от а (включ.)
до х Св.:люч.), то
I^W^ а1«-1 | п
где --+(я-1)! (Х й) +/?»'
*,= J „, (x-af, ; = а+Ь(х-а), 0<9<1.
Другой вид:
/u+ A) =/(*) + JL f'{x)+£f<>(x)+.,.+ £±f<n-i\x)+Rat
где
*я = ^/(п) (?). 6 = .v+»A, 0<8<1.

96 Т- I- Отд. 1. Математика. IV. Дифер. й интегр. исчисления
Форма Маклорена (формула Тэйлора для а = 0):
/w=/(0)+^,+4?^+...+^)^^-4/?.
л!
/?л = :Чт^^, е = е*. o<»<i.
3. Формула Тэйлора переходит в ряд .Тэйлора, если f(x) ди-
ференцируема до производной какого угодно порядка и lim Rn = 0
я->оо
для каждого Ь между 0 и 1. Маклоренова форма Тэйлоровского ряда
представляет разложение f(x) по степеням х (ср. И, G). Что не
всякую функцию можно разложить по степеням х, видно из примеров:
/(л) = —, —, —(я>0—целое число), Ух, \lYx,\nx, cigx
х х2 хп
и т. д.
4. Ряд Тэйлора для двух переменных:
/U+Л. y+k)^f(xty) + ^(J^h+~kY f{xty) +
где
(ср. еще В. е), 2, стр. 94).
D. Раскрытие неопределенностей
Если функция /(*) для х = а (где также может быть а = оо) не имеет
никакого определенного значения, а принимает неопределенный вид:
0 оо м ,оо
— , , 0 • ОО, ОО — ОО, 0°, ОО0, 1 ,
0 оо
то все же может оказаться, что существует предельное значение lim f(x). Лля
х+а
отыскания этого предельного значения1 можно пользоваться следующими правилами:
-J-. Если/(*) = Jig, 9 («> = <>, ф(а)=0, то
lim /(лг) = iim ^^г.
В случае необходимости метод можно повторить.

Наибольшие и наименьшие вначения
ОО п О
—. Поступают, как в случае -=-.
О • оо. Если f(x) = 9 (х) • ф (*), ср (а) = О и ф (я) = оо, то, подста-
1 » О
bhb-T7-t = xW» получают случаи -г-.
со — со. / (л:) = ср (лг) — 4» (*), ср (а) = оо, ф (л) = со. Приходят
к случаю -jr, для чего подставляют ср (л:) = 1: и (лг), ф (л:) = 1: v (x)9
r/ . v(x) — u(x) О
и fM = u(x)v(x)- "Ринимает вид "о-
0°, Iе0, со0. Если выражение /(*) = ф(-*)9^ для л: = а
принимает один из этих видов, то сначала определяют истинное значение
1п/(дг) как выше.
Е. Наибольшие и наименьшие значения
а) Функции одной переменной
Чтобы найти значения аргумента, при которых функция,
изображаемая кривой, не имеющей точек заострения, принимает
наибольшие и наименьшие значения, прежде всего следует решить уравнение:
Г(х) = 0.
Пусть х = а — решение этого уравнения. Затем составляются
высшие производные от f(x) до тех пор, пока не будет получена такая
производная,
которая при х = а не
равна нулю: \~гт
(Г^шъо) (/"*,laj<4tt ff'^taj»^ f/""*W«0/
Если ее порядок
П — четный, ТО При л —четное л—нечетное
х — а функция f(x) Фиг. 7. Фиг. 8. Фиг. 9. Фиг. ю.
имеет либо
максимум, либо минимум, смотря по тому, меньше или больше
нуля /М (х) при х = а\ если же порядок производной/^(а)
нечетный, то при х = а функция f(x) не имеет ни максимума ни минимума.
Пример. Сила действия кругового электрического тока на небольшой магнит,
ось которого совпадает с осью круга, выражается формулой:
~r«v
F =
_5_
где а есть радиус круга, х — расстояние от центра круга до среднего сечения
магнита, с — постоянная. При каком х величина F будет наибольлей?
Решение. Отбрасывая постоянную и возводя функцию F в квадрат,
получаем функцию
X*

98 т- I- ФтД- 1- Математика. IV. Дифер и иятегр. исчислений
которая имеет максимум (и минимум) при тех же значениях х, что и функция F.
a
Корни производной: л: = О, * = — . Очевидно, интересовать нас может только
второй корень.
2 (а* — 23а*х* + 36**)
/" (*) = -
При *= —вторая производная отрицательна. Следовательно, величина F имеет
наибольшее значение при х — —.
+ *)7
uououua nnu v ——
b) Функции двух или многих независимых переменных
Значения х и уу при которых функция f(x,y) достигает
максимума или минимума, удовлетворяют уравнениям:
дх ду
d2f дЧ ( д2/ V
Если, кроме тзго, ■^ -^ — (з—з~ ) > 0, то будет иметь место ма-
d2f d2f
ксимум, если обе производные^-^ и з-2<0, и минимум, если обе
d2f d2f ^ п
производные — и -^ > 0.
Если функция f(xit лг2,..., хп) должна принять максимум или
минимум при наличии условий <pi(-*i> *2» •••» хп) == 0»
ср2 = 0,..., tpm=0, то соответствующие значения х1% х2,..., хп должны
удовлетворять, кроме того, уравнениям
**=0 **=0 -^=0
дхг * дх2 » • • • • дд;я
где Ф = /+ Xffi + Х292+ ... + Хлсря, причем Xlt Х2, ..., Хя —
постоянные неопределенные множители.
F. Неопределенные интегралы
а) Общие правила
Пояснение: j f(x)dx = J(x)-\-С означает то же, что и f(x) =
= Г (дг); d [ff(x) dx] =/(х) dx; (ff(x)dx)'=f(x).
В формулах от 1 до 3 величины и и v суть функции
переменной X,

Неопределенные интегралы ytj
1. Г adu = a I du = au-{-C. 2. (u-\-v)dx=*udx-\-
-{- I vdx (способ разложения).
3. / udv = uv — / v du (интегрирование по частям).
4. I f(x)dx = I f[y(y)\ <p'Су) 4У» •* = ? (У) (способ подстановки).
5 JL ff(x,*)dx= f^i^dx (Диференцирование под
да J ч ' J дл знаком интеграла).
b) Основные интегралы
/* п _ хп+х , ri /г—какое угодно целое или дробное
1. / х ах— л_|_ j •" \ число,за исключением п=—1 (см.п.2).
2. /а^=г1пдг+С = 1псл-. 3. f exdx = ex+C.
4. / axdx = axJ\na+ С. 5. / sinxdx = — cosx-f С
6. у cos д: rfx = sin.x + C. 7. / -.^ = — ctg x+C.
Г dx L x „
8. / —5- = tg JC + C.
J cos2* &
9 / - = arc sin x 4- С = — arc cos * + £•
J V\—x*
/dx
y-qp-^ = arc tg x + С = - а гс с tg x + с
1. / sh x dx = ch л: -f- C. 12. f chx dx = sh x+C.
3- /w=th*+c- u- f-wr=-cihx+c-
5. /'-7^=- = Arshj«:+C = ln (лг+1^1+лг2) + С;
6. f r^l— =Arch.y+C = ln (x + Vx*—l)+C.
1 x4-1
«= Ar cth jc + с *= -^- In —L—г- -f- £.
1 2 jc — 1 '
с) Интегрирование рациональных функций
1. Если /?(*)= %jA — подлежащая интегрированию функция, где
следовательно, ?(•*) и /С*) являются целыми функциями (много-
7*

100 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер и иятегр. исчисления
членами), то, при степени числителя ср (х) не ниже степени
знаменателя/^), такую дробь сначала разлагают посредством деления R (х)
на целую функцию и остаток, являющийся правильной дробной
функцией (у которой степень числителя меньше степени
знаменателя). Интегрирование целой функции не представляет труда,
интегрирование же правильной рациональной функции основывается
на разложении на элементарные дроби. Если
/(х) = (в-а)*(х-Ь)К..(х-'пГ,
т. е. а, Ь, ... , гп — различные корни уравнения /(*) = 0, причем а
есть а-кратный, Ь — р-кратный, ..., m — (х-кратный корни, то имеет
силу разложение правильной рациональной функции на
элементарные дроби:
R(x)= -
f(x) ~(x-a)° (х-аУ
Вл В
а —1
— 1
+
1 •
1
+
Ai I
1
х — а
Bl !
х-Ь '
Mi
{x-bf (x — bf-1
"'^ (х—т)* (x-mf-x ~г
Для определения постоянных Ла, Аа __ х, ..., Мх правую часть
приводят к общему знаменателю f(x) и прибегают к сравнению
коэфициентов обеих частей при одинаковых степенях х. Это дает
достаточное число уравнений первой степени, из которых находят
В случае простых корней знаменателя (а = р = ... = {л = 1) Аь
Вх, ..., М± определяются из уравнений:
Корни я, by ..,, т могут быть действительными или мнимыми.
Если знаменатель f(x) имеет только действительные коэфициенты,
то мнимые корни встречаются попарно сопряженными. В этом
случае разложение можно представить через частные дроби
действительного вида:
Mx + N
(А+2Вх+Сх2)р
вильных рационалы
следовательно, к и
dx Г Mx + N
Интегрирование правильных рациональных действительно
дробных функций приводит, следовательно, к интегралам вида:
Г dx Г
I —- или /
J (х-a)* J
(А + 2Вх+Сх*У
dx.

Неопределенные интегралы 101
Первые вновь дают для а>1 рациональные функции, для
а = 1 логарифмы; вторые — рациональные функции и логарифмы
или арктангенсы.
2. Некоторые интегралы рациональных функций:
1. у(а+ЬхГdx = &-£+^1 + С (яф-1).
2- /-^ = ±Ща+Ьх) + С=±1пс(а + Ьх).
3- f-0^=i[a + bx-a\n(a + bx)]+C.
5. / ** -1|а« + »*+С
J x(a + bx) a x ~
ft Г dx - 1 l b 1 а + ^У , r
7 Г dx =- l +C
о / ** = L Lm a + bx+c
J xia + bxf a(a + bx) a*m x +C*
л Г dx 1 . л: . -
*■ / -si—5" = — arctg \-C.
J a2 + x* a 6 a v
3. y^r^==^ln|±£ + C = Arth^ + C, если*<1.
4. / ^2^ = yln^T+C==~Arcth^+^ если*>1.
5. Л f* й = Т^тагс1ё(^ VW) + C, если a*>0.
«/ a-\-bx2 у ab
J a — bx* 2Vab VHb - bx
Vab
= Arth(* УЩ + С, если ab>0.

102 т- I. Отд. 1. Математика. IV Дифер. и интегр. исчисления
,7. /■-
<*х 1 х b + cx . „ а ^ л
= __ arc tg —^=г- + С. если Д > 0
+ 2Ьх + сх2 V Д /4
Д = ас — £2
, .|„Г-А-»-«.+с=
А
■А
аГл:
2&с + сл:2
2У —Д /—A+ft + ^
1 Arth b+fl+C
- + С, если Д = 0.
1
если
-Д>0
Ь-\-сх
■ln(a + 2bx + cx2) +
ас — $Ь Г dx
f
19. f-
J о
dx
с J a + 2bx-+ ex* '
1 b + cx
[a + 2bx \- cx2)p 2 (ac - V) (p—1) (a + 2bx + с**)* ~l
(2p — S)c Г dx
■I) J (a-
20.
/
2 (ec - 62) (/> - 1)./ (а + 2*л:+СА:ау-1
(■+P*)dc р 1 .
(а + 2Ьх + сх*У 1c(p — 1) (а+26лг + слгУ_1
ас - pfr f __!&___
с J (a + 2bx+cx2f'
2i. у ** ><«+»*)"**= ^f^
d) Интегралы некоторых иррациональных функций
1. у V^+bUdx^iVaTbxf + C.
2. Г-* «ly^FK + C:
3. /* («.Hf,^ = А (3*6 - 2я{< + $Ьх) VJ+bi + С.
J \ a-\-bx db1

Неопределенные интегралы 103
л I с помощью подстановки v= Уа + bx
4* J (a + MVa + bx
приводится к виду с 15 или 16 (стр. 102).
, Г fix, Va~+bx) .
5. / л ! ах, где / и ср означают целые функции.
J cpU Va~+Tx)
п
Подставляем Уа + bx = у.
/dx x x
r = arc sin f- C= — arc cos U
Уа2-х2 a a
+ C' = 2arctgj/~^-f ,.
7. f—^^=,\n(x+Va^+x^) +
J Уа2+х2
+ C=-ln * + V"*+* +^ = Arsh 2-+C.
2 —x+ya*+x2 a
В следующих формулах подставлено У а -\- 2Ьх -[- сх2 = X.
8. С— = -±=\п{Ь + сх-У7Х) + С, если с>0,
J X ус
= -= Ar sh — ~*~ - + С, если яс — 62>0,
ус У ее — &2
Iai- Ь + СХ , - #в ^ Л
= —= Аг ch —- ' 4- С, если б2 — ас > 0,
/с Vb2-ac
— 1 . b -{-сх . _ .Л
arc sin — —|- С, если с < 0.
dx
У— с Уь2 — ас
J х с с J X
Ю Г xmdx ^ хт~ 1Х (т — \)а Г хт~\
J X ~~ тс тс J X
(2m — \)b fxm-ldx
тс J X
„ Г aQ + axx-\-a2x2 + ...+anxn
И. J ^ dx=
= (A0 + Alx + AaK* + ...+An_lx*~l)X+A f~t
где постоянные А0, Alt А2, ... , Ап__х и А определяются диференци-
рованием и сравнением коэфициентов.

104 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер и интегр. исчисления
= ^У а* + х*+^- Arsh ~+C.
13
14
• / Ya*-x*dx = ~V а* — х* + £ мс sin - + С.
J - Z Z CL
Г f&ZTtf dx = -у Vx* - a*- -у 1 n (д: + У ** - а* ) + С =
= ~ /д;2-а2--|- Ar ch-£ + C.
16. / 5— подстановкой =_у приводится к виду 10
•/ (* — л)рЛГ jc ~ a
(см. выше).
17. / —г-^—; я- ~тг подстановкой л: = -~г~-, если /7 и а
J а + 2$х + ух2 X у -f~ 1 ^
определить из уравнений
ТМ + РО + ?) + ««=0 и ^ + ft(p + rt + e = 0
и положить затем j/2 = 2:, разбивается на два интеграла:
/dz /» flte
которые определяются по 4 и 16 (см. выше).
18. Для определения / -ргт'-чг разлагают рк( на
элементарные дроби (выделив в случае надобности целую функцию) и
интегрирование производят по формуле 16; если знаменатель имеет
мнимые корни, то, в простейшем случае, соединив элементарные
дроби, содержащие в знаменателях мнимые выражения,
интегрирование производим по формуле 17.
Г (а+ Рлг) dx _ (aft — Ьа) + W - с*) * , г
J х* ~" (Ь*-ас)Х "г
е) Некоторые интегралы трансцендентных функций
1. f xnexdx = е*[хп-пхп~1 + п(п -\) х"-2—...+ {- \)пп\].
2. / In х dx = х In x — х + С.
19.

Неопределенные интегралы 105
3. f (In x)n dx = / yneydy для у = In x.
4
»/
4а. f -\nxdx=^-(lTix^+C.
5. уЯ(!М)П^ = -^-г(1пл:)'' + ЧС. (пф-1)
5а. f ^х = \п(\пх)+С.
7. f sin2xdx = — -4 sinlx + ^x+C.
Г \ \
8. / cos2xdx = -jsm2x -{- -яХ+С.
Г . ^ cos/ил: . „ 1Л /• . sin /и* , „
9. / sin mxdx— h ь. 10. / cos mx dx = \- С
J ™> J m
f . j cos (m + /z) л: cos (/я — /г) л; , „ . . ч
11. / sin mx cos ял: ал: = ^——z ттт {—hC;(/i/=t=/i)
,о /* 1 • ^ sin (/и — п)х sin(m + n)x . „ , . ч
12. / sinmxsmnxdx — —^, { ^——T-+G (/яфл)
У 2{т — п) 2(m + /i) ' ^ '
/• . sin (/и — /г) л: , sin (т 4- п) х . „ , . ч
13. / costfu:cos/M:d*= —^ '?— ~——с—\-С\ (т±п)
J 2 (/и -— л) ' 2 (/л + л) ' v ' '
14. / tgxdx = — \ncosx-{-C. 15. / ctg x dx =? In sin x -f C.
16- /жГ==,П*Т + С- 16a./^ = -2ArthH + C.
17" /c^=,ntg(T.+ y)+C- 17a./^=2arctg(^) + c;
/lT^-t8T+c- 19- /т^Л—*Ъ+*
/Sin*C0S*O*:=:-K-sin^+C. 21. / - - = In tg X t С
2 J sin л: cos л: б т
oon Г i n j COS Л: Sin""" 1Х . Я —1 /* . я_2 _.
221). / sin".*(fc = = 1 / smn *xdx.
ооп Г п j sinjccos"-1* , я —1 /■ я_о .
231). / cos" л: а* = 1 / cos" 2*ал\
18
20
J> Если п нечетное число, .то рекомендуется применять подстановку
cos х = z или sin x-z.

106 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
24.
25. Г cignx dx = - Ctf_ 1 x - f ctg" - 2xdx.
9fi Г ^х cosx , /i—2 /* dx
J sin** ~~ (n — ljsin*-1.* л —le/ sinn-2jc "
27 f dx — sinjc /2 — 2 /* дГ^:
•/ cos"* (n — l)cosn~~lx n — 1 У cos""-2.*
28i). fsinPxcos«xdx= ™P + l*™q-~lx +
\ Q -l Г - p o-2 ^ sin*7 1a:cosi' + 1jc ,
^P+qJ P+q ^
+ T / sinp"~"2.*cos*jt&v.
p+?,/
onn Г -P a j sin-' + 1* COS*+ 1* ,
291). / sin *\*r cosflл: d*== ^ h
+ tZi=l fsin-P + 2xcos<*xdx.
30x). / sin*7* cos ^jcrfjc= -л \-
+ ^~^2 / sin'*cos-« + 2*<fr.
31 ' dx l
sin"** cos"* m — 1 sinw * л: cos" !jc
/w -f /г — 2 y^ rfjf
— f-
1 t/ sin
/и — 1 t/ sinmjc cos" 2x
I U ч
/я-l snm~1Jtcosn-1A:
m + л — 2 /• Лс
tV-
m — 1 «/ sinm 2jc cos**
32.
33
/ *wsin x dx = — xm cos x -{- m I xm l cos x dx.
I xmcosxdx=xmsinx — m I xm ~~l sin x dx.
l) Если р или q нечетные положительные числа, то рекомендуется
применить подстановку cos х — г или sin x = z.

34
/;
dx
Неопределенные интегралы
2
107
а -\- 6 cos х у а2 •
если д2>62
arc
*(/:-^'4*)+с'
1 { b+acosx+Vb2— cPsinx . „
У* б2 - fl2 ° a+^COSAT
35.
У^2
cos л: dx
L^Arth (i/^tgl*Uc.
_Л2 \ Г 6 + л 2 /
Ь Ъ J а-
1
+ ^ cos х
36. / , Т"Л"7 , = — -f In (д + 6 cos л:) -f С
* Л + Я cos х + С sin х
37.
,/ Л -\- Ь COS ЛГ
/sin х dx
J а + 6 cos л: + £ sin л: J a-{-p с
+ (ficos«+Csi„a) f ?""» -
,/ а + Р cos ср
— (5 Sin a — С COS а) / —г—i -*— .
' J a + р cos cp
если принять 6 = р cos а, с = /? sin а и л: — а = ср-
COS (р
a sin 6л: — Ь cos 6л:
Л2 +62
+ с.
hrdr-" C0S ^ + Ь Sin 6ЛГ ^ -иГ
если
а2 < 62
38. /" еах sin bxdx =
39. /" *а* ее
40. / arc sin* <£*•==.* arc sin*-}- ТЛ —jc2+ С.
41. / arc cos л: *£с = л: arc cos л: — 1^1 — х2-\-С.
42. i arctgхdx=xtrctgx — y1ti С1 + ^ "^ c-
43. /" arc ctg л: **л:=л: arc ctg x + ~ In (1 + x2) + C.
В следующих интегралах R означает рациональную функцию.
44. / /?(suia:, cosjc, tgx, ctgx)dx. Если положить tg-=-=*,
dx = 2dt:(\ + t2), 81п^ = 2/:(1 + ^ cosjc= (1 -fi):(\ + t2)y
tgAT = 2^:(l — t2), ctg;t = (l—t2):2t, то интеграл переходит
в интеграл от рациональной функции от t
45. / /? (ех) dx; подставим ех = ty dx = dt: t.
46. / /?(shA:, chx, Шлг, cihx)dx приводится к 45.

108 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер и интегр. исчисления
Гиперболические функции можно рассматривать как круговые
функции с мнимыми аргументами (ср. Ill E, стр. 90) и
интегрировать по 44.
I) Определенные и несобственные интегралы
Определение:
Ь п
Г /(x)dx = um £ /tfx)*x;
а *=1
здесь интервал интегрируемости надо разделить на п любых частей bv 88,..., Ъп так,
чтобы b1-\-bi-{-,. . + bn = b —a; i\ — любое значение х внутри части fy» limes
надо брать для я->оои всех 8^ -> 0.
Геометрический смысл. Интеграл означает площадь, заключенную
между кривой f(x) [/(*)>0], осью х и ординатами f(a) и f(b). Действительно,
f(x) dx есть не что иное, как площадь прямоугольной полосы с шириною dx и
высотою /(*) (фиг. 11); не смешивать с элементом площади (стр. 115, замечание)
d
dx
f f(x)dx = f(x) = -±-J f(u)du.
Средние значения: ? — значение в
промежутке от а до Ь, 6 = а +• Ь (Ь — а),
0<0<1.
ь
a)/(5):
ы™
dx
(арифметическое среднее)
Ь)/(£)= |/ т—- / f(x)2dx (квадратичное среднее)
с) /($) = / f(x) y(x)dx: I <р (л:) dx, если <р (х) непрерывна и
а а
в промежутке от а до Ь не меняет своего знака (первая теорема
о среднем значении в интегральном исчислении).
b a be с b с
■-/--/ /-Л/ /-/-/■
a b и a b а а Ь
причем везде f(x)dx не выписано ради сокращения.

Неопределенные интегралы
109
VTfB
J Tt
dx
Ya-bx2 2Vb'
n к
5. / In cos x dx— In sir
5. / In cos x dx— I In sin x dx — — n In 2.
о о
oc
sin far
*/
олг = ~
f, при*>0. 7. f^£dx = ~.
) (л>0, целое)
о , о
*/2 ж/2
8. J sin2n + lxdx= f cos2n + lxdx=:
о 6
__ 2.4-6...2/*
3-5-7...(2/2+1) *
*/2 ic/2
9. У sin2nxdx = f cos2nxdx=
о о
_ ЬЗ»5.,,(2д-1) jc_
2-4-6...2/1 ' 2 '
oo oo
10. Je-Xdx=\. 11. J <T*dx=*4tYl:.
о о
со
. f xne-"*dx=-£-T a>0, /1 = 1,2,3...
12
13,
A*~W
* + 1 sin n %
, при 0<л<1.
■/
0
те
14. / In (1 zt 2a cos лг -f Л3) ^ =/ °'
при 0<а<1
. в>1.
g) Некоторые интегралы, не сводящиеся к элементарным
функциям. Интегрирование посредством разложения в ряды
Если fix) разлагается в сходящийся степенной ряд
f(x) = a0 -f агх + W + • • ♦,
то в пределах сходимости имеет место
Г fix)dx = А + а* + *± * + ■%- **+ ^L** + -.

ИО Т. I. Отд. I. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
х
л Г sin х . 1 jc3 , 1 хь . . . ^. .
С
2. Интегральный логарифм:
Г dx _ . f M . . f , 1 (In jc)2 1 (In*)8 .
J ТпТ = с+ ' l+ +^~~^T~ + ~3""^F ^"•••,
0 < x < oo,
где С = 0,577 215 665 (постоянная Эйлера).
3. Интеграл Гаусса вероятности появления
ошибки:
ф(х)=у=«/е~х'
dx
Табл. стр. 210.
4. Функция Гамма или /7-ф ункция Гаусса:
оо
Г(х+ 1) = П (х) = j е-' tx dt.
о
П(п) = п\ (п > 0, целое), /7(лг) = лг/7 (* — 1).
Я (дг — 1) • П (-— л:) = тг: sin тс x
Я (jc) = lim 7—, ,. .—г-тг- —:—-
n->Jx+V (x + 2)...{x + n)
1: П (х) = *с* . (l + -*-)*-**. (l + 4-У"2' (l + 4-)^""/3- *'
(Произведение Вейерштрасса)
\nn(x) = -Cx+±-SsX» i-S3^+-^S4^-+...|x.<l.
Здесь С постоянная Эйлера (2) и
& = -£- + -jr+-J-+...P- = 2.3,4...)
Sa = ^ = 1,64493; 5S = 1,20206; S4 = щ = 1,08232; S5= 1,03693,...

Неопределенйые интегралы 111
5. Эллиптические интегралы и функции.
Эллиптический интеграл имеет вид
fn(x,V7(d)dx9
где R — рациональная функция и f(x) = a -f- Ьх + сх2 + dx* + е** —
целая функция 3-й или 4-й степени. Простейшими эллиптическими
интегралами являются:
1.Вид С r dX [ r d* =Р{ък)а
J V(l— Jt2)(l—*2Jt2) J V^l — ^slns^ Vf
о о
II. Вид \^^Щ-йх= I Y\ — ^sin2cprfcp = £(?J Л).
(Нормальные формы Лежандра-Якоби).
При этом * = sin cp; k называется „модулем" интеграла.
„Полные" интегралы следующие:
К =Р(ф, k) Е =£(1г/2, к)
К' = F (те/2, V 1 — *2) Е' = £ (я/2, У1—Л2)
КЕ'+ЕК' —КК' = */2,
к.Л[1 + (^+^+(Ь|^р»+...]
в" 4-Ш"т-(НП-(ШГ!-]
Обратная функция от u — F(y, k) обозначается <p==am u (ам*
плитуда). Имеем:
* = sin am и = sn к = к —(1 + #) ~ + (1 + 14*2 + *4) -§у — + -..
cos am и = en к == 1 — ^ + (1 + 4 Л2) £?_ (1+44*2 + 16#) ~-|- —...
#<!.
У"1 — /г2*2 = A am и = dn и = 1 — Л2 -^ + £2(4 + Л2) -^- —
— *2(16_4- 44^2+ Л*)-^- Н ...
Табл. 9 эллиптических интегралов — см. стр. 50.
Нормальная форма Вейерштрасса Для интеграла вида 1:
■-/■
V As*
ds
— {go, g% данные постоянные),

112 Т. I. Отд. 1. Математика. IV Дпфер. и интегр. исчисления
а обратная функция:
s = to и = -L+ -&- «Ч^«* 4- -^- w6 4- ^?1|8 4- х)
h) Приближенное вычисление определенных интегралов
Интервал интегрирования (а...Ь) делим на п равных частей
(Ь — a):n = h, л\ = а + ХЛ(Х = 0, 1, 2.../г), следовательно, х0 = а,
хп = Ь, далее предполагаем ух =f(xx). Если/(лг) имеет
непрерывные производные до порядка 2г, то имеет силу формула
суммирования Эйлера:
ь
1. J f(x)dx^h(~-y0+yx-{-y2-+ ... +Уп..1+'2~Уп)
а
- *« ITW W~ГЮ\ ~~В*7Г1/'"№~~/"'(а)] "'"
h2r"2 lf(2r - 3) (2r - 3)
где ^«-^.^—/^(g), 6 = Л + (>(*-в), 0<0<1.
Здесь £1э £2, ^з--- так называемые бернуллиевы числа (стр. 79).
Для г= 2 имеем:
2. у /(^)^А'==Л^^о+Л+^з+...+Д'л-1+-2-^я)--
a
- i A» [/' (») -/' (а)] + /?, ^ = т50"(-^^ /<4'(6)-
3. Правило Симпсона:
ъ
/W^ = |-(Уо+4^+2^+4^ + 2^+...+ 4уя-1 + зд 4-/?-
* 2880 л* 7 w
/
п должно быть четное число. Для f(x) = а + рх + 7х2 + 5л:3
правило Симпсона оказывается точным без последнего
(остаточного) члена /?, вследствие /^ (х) = 0.
. J) Таблицы и формулы к указанным здесь функциям см. J а h п к е unci
Emde, Funktionentafeln mit Formeln und Kurven, Лейпциг и Берлин 1909, В О.
Teubner.

Неопределенные интегралы
ИЗ
4. Формула квадратуры Гаусса. Из
нижеприведенной таблицы берем для определенного значения п значения tb t2,... ,tn
нАъАь.. -Л» затем подсчитываем Ух »/[д -f (Ь—а) /Х],(Х=1,2,.. .,л);
тогда имеем:
//(г) Ас = (ft - в) (Л^ + 42К2+ ... +AnYn) + R,
где "я = (»-*>2° + 1 Г ^_ Т /Р») (5)
* (2л+ 1)! L(n+l)(« + 2)...(2n)J7 w«
при 5 = a+&(ft — a), 0<»<1.
Таблица 18. Числовые значения для формулы Гаусса
для квадратуры
п
1
2
3
4
/
/» = 0,5
/х = 0,21132
/, = 0,78868
/, = 0,112 70
/3=0,5
/8 = 0,88730
^ = 0,06943
/, = 0,33001
/8 = 0,66999
/4 = 0,930 57
А
А1=1
Ах = ll.
At = 1/»
*! = ■/.•
Л,=*/9
Лз = %
Л, = 0,17393
Л, = 0,326 07
А8 = 0,326 07
А4 = 0,17393
я
5
6
/
/1= 0,046 91
/» = 0,23077
/8=о,5
/4 = 0,769 23
/8 = 0,953 09
/,=0,03377
/а = 0,169 40
/. = 0,38069
Л = 0,619 31
/5 = 0,83060
/в = 0,966 23
л
А^ОДЦМб
Ла = 0,239 31
А8 = 0,284 44
Л4 = 0,239 31
А« = 0,118 46
А, =0,085 66
Л2 = 0Д8038
Л, = 0,23396
А4 = 0,23396
ЛБ = 0,18038
А« = 0,085 66
Здесь tb tp...ttnявляются корнями уравнения[tn(t — 1)л](/1) = 0,
тогда как *
о
Остаточный член во всех этих формулах служит для оценки
погрешности, практически, однако, остается без употребления. Ср.
.Практическая математика" на стр. 220 и след.
i) Криволинейные интегралы, кратные интегралы
1. Пусть Р(х, у, z\ Q(x,y, z\ R(xt y, z) три непрерывных
функции координат точки в пространстве; далее имеем три ди-
ференцируемых функции х = х (t)f у =у (/), z = z (t) для а < t < b,
каковыми определяется в пространстве дуга кривой АВ = (S).
8. Hutte, Справочник для инженеров, т. I.

\^4 **. I. Отд. t. Математика. IV. Дифер. и ийтегр. исчисления
Определение криволинейного интеграла:
в ъ
f(Pdx+Qdy+Rdz) = f[Px' (t)+ Qy' (t) + Rz' (t)]dt; . . (1)
Л(<5) t=a
при этом в P, Q, R вместо х, у, z должны быть подставлены х (t),
у (t), z (t). Криволинейный интеграл, помимо подлежащего
интегрированию диференциального выражения Рdx-{-Qdy~\-R dz и пределов,
зависит еще от пути интегрирования ((£).
Если
dR
дх
дР
dz
<ЭР
dQ
дх
Фиг. 12.
т. е. Р dx -\-Q dy -\- R dz является полным
диференциалом dy (стр. 94), то
в
f(Pdx+Qdy+Rdz)^9b-ya ... .(2)
А
при постоянных конечных точках А и В не
; зависит от пути интегрирования; у есть
■£г** потенциальная функция,
определенная с точностью до постоянного. То же
действительно и для f (Pdx-\- Qdy); надо лишь
принять z = О, R = 0.
2. Двойной интеграл. Пусть f(x, у) непрерывна в
области ограниченной замкнутой плоской кривой 93, тогда
aQ у2(х) Ь2 xt{y)
f[l(*>y) dx dy = /[//(*, у) dy] dx = f[ff(x, у) dx] dy...(S)
Здесь ах наименьшее, a2 наибольшее значение х; Ьг наименьшее,
b2 наибольшее значение^ для краевых точек; у^у^х) есть
уравнение кривой AiBiAs, у=У2(х) — кривой АуВ^А* x==xt(y)—
кривой В1А1В2% х = х2(у) — кривой ВкА2В2 (фиг. 12).
3. Формула Dirichlet:
ь х ь ь
7 [ JVC*. y)dy] dx = f[ff(x, y)dx] dy.
x^a y=a y—a x=y
4. Тройной интеграл, распространенный на часть
объема (Щ), соответственно подсчитывается:
]fff(x,y,z)dxdydz = f [J (J f(x,yt z)dx) dy]dz.
(&) *=Ci у=ух(г) х^хх{уу г)

Обыкновенные диференциальяые уравнений Ц5
Здесь сь с2 крайние значения z; yt (*), y^(z) — крайние
значения у на высоте z; хх(у, z), х2(у> z), крайние значения л: на
параллели к оси- х при постоянных у и z. Интегрирование можно
производить также и при другом порядке переменных, если вы*
брать соответствующие пределы.
5. Замечание: в ff (х, у) Их dy последняя часть, dx dy, означает элемет
площади do данной плоскости; применяя вместо прямолинейных координат
другую, например полярную систему координат г, <р» надо для do подставить
соответствующее выражение элемента площади (здесь г dr *#?, стр. 168, 169).
В ffff(x* У> *) dx dy dz последняя часть, dx dy dz, означает объемный
элемент dV пространства; применяя вместо пространственных координат х, у, г
другие, например цилиндрические координаты, надо для dV подставить
соответствующее выражение объемного элемента (стр. 185 и след.).
б Теоремы Стокса и Гаусса, а также формулу Грина
см. в гл. „Векторный анализ", стр. 187 и след.
7. Диференцирование интеграла по „параметру- а,
а (в) а (а)
Если пределы а и Ь постоянны, то в правой части отпадают
оба последних члена.
8. Относительно графических методов интегрирования и
применения математических измерительных приборов см. в главе
„Практическая математика", стр. 218 и след.
G. Обыкновенные диференциальные уравнения
а) Диференциальные уравнения парного порядка .
1. Разделение переменных. Если диференциальное уравнение
приводится к виду <р (х) dx = ф(у) dy, то общее решение:
fl{x)dx = f*(y)dy+C
2. Уравнения в полных диференциалах. P(xty)dx-\-
+ Q (х, У) 4У = 0, если левая часть представляет полный диферен-
циал, т. е. -^— = -~ (ср. В. е) 3, стр. 94). Общее решение таково:
f P(x, y)dx +J [Q(x,y)-f дР{£У) dx] dy = CXt
или
f Q (x, у) dy. +y ^P(x,y) -f dQi£y) V| dx - C,
3. Интегрирующий множитель. Если вышеупомянутое
условие интегрируемости (2) не соблюдено, то оно может быть
8

Иб Т. I. Отд. 1 Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
достигнуто умножением уравнения на величину М(х, у), так
называемый интегрирующий множитель, который должен
удовлетворять следующему диференциальному уравнению с
частными производными:
дМ л дМ _ Ал (dQ дР >
ду
«£—(«-$)■
Достаточно найти лишь одно решение этого диференциального
уравнения с частными производными.
4. Однородные диференциальные уравнения. Они
приводятся к виду y=/f—J. Подставляем -^- = f, dy*=xdt-\~ tdx.
Общее решение:
bx-f-jj^ + c
5. Линейные диференциальные уравнения имеют вид:
dy
dx
Решение:
+ P{x)y+q[x)^0.
у = е-/*М**(с- fq(x\e/PWdxdx).
6. Уравнение Бернулли. у -\-р\х)у + я(х)уп = 0.
Подставляя z=yl~n (лф 1). получаем относительно z линейное диферен-
циальное уравнение (см. 5).
7. Диференциальное уравнение Риккати.
У' + Р (*)У2 + Я {х)у + г(х) = 0.
Если известно одно из частных решений этого уравнения уъ то
подставляют у =Ух+1:г и получают линейное уравнение относи
тельно z.
8. Способ повторного диференцирования. у = F(xt у').
Положив / = ги диференцируя по х, имеем:
_df^MdF dz^
* ~~ дл: + dz ' dx '
т. е. получаем более простое диференциальное уравнение.
Выражение, найденное для z, следует подставить в у = р(х, z).
9. Диференциальное уравнение Клеро. у = ху' +f(y').
Общий интеграл у*= Cx-\-f(С) представляет систему прямых линий.
Особый интеграл выражает огибающую этой системы прямых
линий:
х—Г{р). У = -РГ(Р)+/(Р).

Обыкновенные диференциальные уравнения 117
Ь) Диференциальные уравнения второго порядка
1. /' =/(лг).
Решение:
у = Cdx ff(x)dx + Cx+ Cj
или
у = х ff(x)dx — fxf(x)dx + Cx+ Сг
Решение:
J VC+2ff(y)dy
3. у ==/(у'). Подставляя у' = г, у" = г', получаем
Г ^г . „ Ггйг . _
x=Jm+c и y=Jm+cb
из которых, исключив z, получим решение данного уравнения.
4. у" =f(yrt х). Подставляя у' = z, получаем диференциальное
уравнение первого порядка z' =-/(2, x), после интегрирования
которого имеем y=*fz (x) dx + С.
5. у" =f(y', у). Подставляя у' = z, уп' = z —, получаем ди-
//
ференциальное уравнение первого порядка z-j-=f(zt у), после
интегрирования которого имеем:
х
-■/■&+'
с) Линейные диференциальные уравнения
1. Общие положения.
dny у d"-ly dn~2y аУл.х«-у (Н
х^+х*7х^+х*1х^+--+х»-^+х"у-х-'-{1)
где,коэфициентыв^0,^1,...,Агя, а также „член* А'означают данные
функции от х. Если ^=0, то диференциальное уравнение
называется однородным (не смешивать с а) 4), в противном случае пол-в
ным. Если <р(*) является одним из решений полного, 'а уь У2*.*ЬУп
суть п линейно независимых решений однородного уравнения, т. е.
между которыми не существует никакой зависимости вида ауух-\-
+%У2 + • • • + апУп = 0 с постоянными коэфициентами аь аъ..., аП9
то общий интеграл от (1) будет:
У=С1У1+С2у2+... + С„уп+ч(х)
с п произвольными постоянными Сь С2,..., Ся.

118 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер и иитегр. исчисления
2. Постоянные коэфициенты, однородное диференциальное
уравнение.
dny , dn~ly , , dy
f + ^b^+- + --^+V-0 ...(2)
ух s=z еГх* есть одно из решений этого уравнения, если гх является
корнем алгебраического уравнения /i-й степени
(«характеристическое уравнение")
V+«I/-""1 +...+*„_! /•+«„ = о.
Если все его корни гъ г2,..., гя различны, то выражение
ужг^е^ + С*** + ... + Спегпх (*)
является общим интегралом диференциального уравнения (2).
Напротив, при многократных корнях, например при г1 = г2=...=
= гх =* г> тогда как Г\+\,...9га различны друг от друга и от /*,
имеем общий интеграл
у = (С1+Съ*+Слх*+ ... +Cxxk~l)e'x+Cx+lerW + ...+
+ Спе'п*.
Если гх — р -+- iqt г2 = р — fy сопряженные, мнимые корни
характеристического уравнения, то
С^х + С2ег** = в?* (Сг + Q cos qx + i<?x (Сх - Q sin ?л; =
= cxepx cos $u: + c2epx sin 0*.
3. Постоянные коэфициенты, полное диференциальное
уравнение.
dny dn~l v dy
ao^ + a^+-+a°->i+«•>-*<*>■ • • <3>
Общий интеграл имеет тот же вид (*), что и выше, только Ci9
С&...уСп являются не постоянными величинами, а функциями от лг,
производные которых определяются из следующих п линейных
.уравнений:
' С1У1 + с'2у2 +...4 0» =0
С\у\+С2у'2 +...+(?„/„ = 0

Обыкновенные диференциальные уравнения U9
где у\, Уъ • • •»Уп линейно независимые решения соответствующего
однородного диференциального уравнения (т. е. если написано
О вместо Х(х). После алгебраического вычисления с[, С'2у...,С'п
простым интегрированием находят C{t С2,.. ., Сп. (Метод
„вариации постоянных".)
Если Х(х) целая функция я-й степени, то у принимает вид
с постоянными Clt С& ..., Сп
У=СхУ1 + С*У%± ••• +Cnyn + F(x)t
где F(x) означает целую функцию п-й степени, коэфициенты
которой могут быть легко найдены подстановкой в данное диферен-
циальное уравнение. Если же Х=а, постоянной величине, тогда
общий интеграл имеет вид:
У=(кУг + С*Уш+ ... +Cnyn+-jj-.
—У-=/(х) имеет общий интеграл y=if...f f (x) dxn-\-g(x)t
dxn J J J
(n)
где g(x) произвольная целая функция (п — 1)-й степени;^ можно
также написать и в другой нередко употребляемой форме:
х
у= (1,-1)17*/('и*~°',"~1 dt+g{x)-
4. Диференциальные уравнения Эйлера.
^£+^-.^+...+,._,, £ + „_....«,
ух = хГх есть одно из решений этого уравнения, если /\ является
одним из корней алгебраического уравнения л-й степени
an+an-ir + an-2rC— 0+-..+
+ ebr(r-l)(r-2)...(r-«+l) = 0.
Если все его корни ги г2, ..., г г различны, то выражение
y=C1xr* + C2xr* + ...+ Cnxrn
является общим интегралом диференциального уравнения (4).
Напротив, при многократных корняу, например если гг = г2=...=
= гх = г является Х-кратным корнем, в то время как f\-fi» ••• гл
различны друг от друга и от /*, общий интеграл имеет вид:
у=[С1 + С2\пх + Сг(\пх)*+С4(\пх)*+ ... +сх(1плг)х-1]дгг+
+ Сх + 1дЛ+1+ ...+СщхГ*.

120 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и шп-егр. исчисления
Подстановка х = е\ dx = х dty (полное) диференциальное уравнение
Эйлера преобразует в (полное) линейное уравнение с постоянными
коэфициентами (случаи 2 и 3).
d) Системы диференциальных уравнений
Для определения нескольких функций^ (л:), у2(х\.. .,ут(х)
необходимо иметь между ними, их производными и независимым
переменным х минимум столько же диференциальных уравнений, сколь
велико число т функций. Если не все эти уравнения первого
порядка, то введением новых неизвестных функций можно привести
уравнения к системе п ер в ого порядка:
y'2 = P%{x%yvy%...,y„b
Ут=рт^У\>У2 Ут)'
Ибо если встретится ^ , то необходимо лишь принять —^ =
d2yl dym + x
=3/m + i» следовательно, —г^- = — . и соответственно при
высших степенях, чтобы, в конце концов, оставить производные только
первого порядка. Эту систему можно представить также в форме
dy1 : dy2 : ...: dym = Хх : Х2 : . .. : ХтУ где Хь Х2,. . „Хт функции
отх,уь у2,...,Ут.
Пример. Диференциальные уравнения линий векторного поля, („силовых линий"),
см. гл. .Векторный анализ" стр. 182.
Системы линейных однородных диференциальных
уравнений с постоянными коэфициентами. Для определения УьУ2,.*.,ут
даны т диференциальных уравнений следующего вида:
ЧУ1 + *2У2+ • • • +атУт+а'\У\+ • • • + а'тУт +
+ аЫ+. . . + а'яу"м + . . . +«М»+ • . . + а«,£? = 0.
где все коэфициенты аь а2,..., ct$ постоянные величины. Общее
решение такой системы имеет вид
9Х = сп «** + Си сГгХ + ■ . . + Clfe'r
'22е * "г • • • "Г 42 р
Уг = Си f* + С22^+ • • • + <Vrf>*
л, - стХ •«*+ V+ ... + ст/,»

Частные диференциальные уравнения 121
Число р зависит от порядка уравнений. В данные диференциальные
уравнения подставляем ух = С±/*, у2= С2егх,..., ут = Ст егх\ тогда,
опустив множитель erxt получаем для CltC2f..., Ст т линейных
однородных уравнений и так как не все из этих величин равны нулю,
то должен исчезнуть определитель системы (стр. 68). Это условие
дает алгебраическое уравнение р-й степени для г, корнями
которого являются г1% г2,...,г. Определив эти корни, тем самым
определим отношения С1: С2: ... : Ст. В таких же отношениях должны
быть выбраны в предыдущих формулах вообще произвольные
постоянные С1Х : С2\.. . .:Стх для ^=1|2, ...,р. Формулы
справедливы, если гъ г2,...,г различны, в противном случае имеют место
те же поправки, что и в с) 2.
Пример. Два сопряженных, затухающих, упругих н свободных колебания:
я/' Л" + */ У/ + *i ух 4- аг« yS + я/ У г' + Ъ yt = О,
Ъ?УХП + Ь/у/ + ЬхУх + Wyf + Ьъ 'уг' + Ьг у, = 0.
Подставляем ух = C^*, у2 =r Caerx и получаем
(*i"/* + а/г -f Oj) d + Wr* + «»'/■ + «*) С, = О,
(bSfi + V + &JQ + (W + b/r + 68)Ct = 0,
следовательно, остается решить уравнение 4-й степени
I ах"г* + а/г -f ах а%пгщ- + а/г + а% I _
I &/V + b/r + &! V/* + &//•+ 6* |
корни его /*!, г2, г8, г4. Если они все различны, то
У*~ aj'rt + a/n + аъ С* ~ •••- ai"r<* + at'r< + a, Lu* '
Относительно численного и графического интегрирования диференциальных
уравнений—см. гл. VIII, „Практическая математика", стр. 225.
Н. Диференциальные уравнения с частными
производными 1)
а) Первого порядка
Общие замечания. Пусть хь *„...,*л суть п независимых переменных,
zt=z (xlt *„... ,хп) — искомая функция, -^ — р1%.,., —- = рп, тогда
F{xl,xt,...,xn,z,pl,pt Рд) = 0 (1)
называется диференциальным уравнением с частными производными первого порядка.
Всякая функция
*(*l.*tr ••»*;!» г,С„Г8,...,Сл) = 0
1) Литература. Horn, Partielle Differentialglelchungen, Samml. Schubert, Bd. 60.—
Forsyth-Jacobsthal, Differentialglelchungen, 2. Aufl., Braunschweig, 1902.
Vieweg. — H о r t, Differentialglelchungen aes Ingenieurs, 2. Aufl., Berlin 1926, Springer,

122 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
ел произвольными постоянными называется полным
интегралом или полным решением уравнения (1), если исключение постоянных
из него при помощи частного диференцирования приводит к уравнению (1). Особое
решение получается исключением с1% с9,...,сп из g= 0 и —- = 0,... ^- = 0.
Общее решение содержит произвольную функцию от л — 1
аргументов, ее можно получить из полного интеграла, например, следующим образом :
положим £„?=¥ (clf с2,..., сп _ j) я исключим съ..., сп из g = 0, сп = «р и
Всякое частное решение уравнения (1) содержится в одном из трех
указанных типов.
Ограничимся здесь случаем двух независимых переменных х и у (п = 2) и
обозначим — =р, —-=^; однако, нижеприводимые способы решений применимы
и для случая, когда п > 2.
I. Линейное диференциальное уравнение
Pp+Qq = R, (2)
где Я, Q, /? — функции от х, у, г. Из системы двух обыкновенных
уравнений
Р ~~Q~~~ R
следует определить два независимых решения и (х, yt z) = clt
^ (*> У» ^)a=c2't тогда уравнение
Ф (ut v) = 0,
решенное относительно -г, дает общее решение уравнения (2).
dx dy dz у г
Пример. xp+yq=z. Решение. — = -^- = ~ , и = ~ = ct, v= — =ci,
Ф («, zr) = Ф (-£, y) = °» откуда г = х• 9 (-^-)-
II. Диференциальное уравнение вида
F(x9y, z,p, q) = 0 (3)
п dF v dF „ dF 7 dF D dF „
Составляем: -3— == A, -3— == r, 3— = z, 3— = P, 3— =0 и
&*:. dy dz 'dp dq v
интегрируем способом, указанным выше в пункте I, линейное
диференциальное уравнение с частными производными:
|-51-кф+<*-+.<»Й-<*+«£-

Частные диференциальные уравнения 123
относительно неизвестной функции -I (х, yt z, р% q\ что в свою
очередь сводится к решению системы диференциальных уравнений:
dx __ dy_ __ dz __ —dp __ — dq
P ~~ Q ~~ pP+qQ ~" X+pZ~~ Y~+~qZ (5)
Достаточно определить столько частных решений, сколько
необходимо, чтобы, принимая во внимание уравнение (3), получить
полное решение уравнения (4).
Пример, pq — ху ;=0. Решение. P — q, Q=?, X — — у, К= — дг, Z=0.
dx dy dz dp dq dx dp dy dq dz .
— = — = -— = -£- = —, или, так как pq = ху, — = -*-, ~ = —Ц — = pdx =
q p 2pq у x x p у q г
= qdyf поэтому x = cxp, y — c^q, причем сгсг =1, z = -— (*' — Q8) = -— {y- — q,*)
или г =r K(*» — ад О* - C2*j. "
b) Второго порядка
I. Замена переменных
Большинство встречающихся в физике и в технике
диференциальных уравнений с частными производными второго порядка
линейны относительно вторых производных ^ = г, з—-т- = s,
^~2 а= t и имеют форму
i4r+2fi5+a + Afr=0, (6)
где А, В, С зависят только от х, у% а М — также и от г, ру q.
Если 6 = 5 (*, зО. *) = Ч (*, .У) суть два решения диференциаль-
ного уравнения с частными производными первого порядка
Ap* + 2Bpq+Cq°- = Q (7)
и если ввести 6, у\ вместо х, у в качестве новых переменных, то
уравнение (6) переходит в уравнение
&* ж Л dz дх\
дТд^ = ф\^>г>7Т> д^) <8)
если В*— ЛС^О, и е уравнение
если В& — АС = 0 (параболический тип). Оба решения
уравнения (7) имеют действительную форму, если В2 — ЛС>0 (гипе р-
болический тип), если же В* — ЛС<0, то они имеют
сопряженно комплексную форму (эллиптический тип). Если
подставить

124 т- I- 0тД- 1- Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
то в случае эллиптического типа о и р будут действительными
числами, тогда будем иметь:
didrt ""да^Тдра '
II. Способ частных решений
Поясним этот способ, имеющий особо важное значение для
физико-технических пограничных задач, на примере. Диференци-
альное уравнение распространения теплоты в стержне (см. стр. 126)
может быть приведено к форме
*£ = ** (12)
(т — величина, пропорциональная времени, х — абсцисса оси стержня,
и •*- превышение температуры стержня относительно температуры
окружающей среды). Сделаем предположение, что и = Т(т). X{х);
1Г V//
тогда уравнение (12) принимает вид: -=- = -тг- Каждая из обеих
частей этого уравнения должна быть равна одной и той же
постоянной — X2, следовательно,
Г=*-х,\ X = Axcos\x + Blsin\x1
где Лх, Вх—постоянные. Таким образом их=Аке~х*х cos \x-\-
-\-Bxe~~Xi*s\n\x есть решение уравнения (12); следовательно,
решением этого уравнения будет также и
и = £(А*~Х*Тсо8Хлг + Ble-X*'ts\n'kx)t
причем X в сумме пробегает ряд определенных значений,
определенных пограничными условиями, например, ряд всех целых
положительных чисел. В этом случае получается ряд Фурье.
Следи х дих дих с
дует заметить, что также -^у, ^-, -^-, I uxd\ и т. п. представляют
собой решения уравнения (12).
III. Некоторые особые диференциальные
уравнения и их решения
1.^~2 + -v-y = 0 (уравнение потенциала)
Решение, и = / (х + /у) + g (x — /у). Если, в частности,
функция g сопряженно-комплексная с /, то
т. е. и есть действительная часть от /•

Частные диференциальные уравнения 125
2. Уравнение -^ = £2^-2(диференциальное
уравнение колеблющейся струны) при помощи подстановки
kt = iy приводится к случаю 1. Общим решением с двумя
произвольными функциями будет:
«=/(*+*<) + *(*-«).
Решение. и (х, t) = Е [Лх sin (Хя л//) сое (Хте ktjl) -f-
+ Дх sin (X 71 л://) sin (X к ktjl)]
для X = 1, 2,-... удовлетворяет начальному условию и (х, 0) = U (х\
-JL (х, 0) = V(x) и пограничным условиям и (0t t) «= и (/, /) = 0, если
о о
3. ^2- = с2 ( j-2 + 3-2) (колебания мембраны). Вводя
вместо х, .у полярные координаты г, <р, получаем:
&2 ~ W2 + r2 d?2 + r дгУ#
Способ частных решений в предположении, что
z= Г (*)•/?(/•). Ф(<р) дает:
* = const sin* (/ —*о) • sinn (cp — ср0). rnJn (— -^ ,
где Jn(x) есть решение диференциального уравнения
(обыкновенного) Бе с се л я:
^причем 5= — -^, tj = /?5 J,
именно
X Х^
•/я(дс) = 1+1!(1 + п)+2!(1-|-л)(2+Л) +
+ 3|(1 + я)(2Д:+п)(3 + п)+--+(|-У|<а3>-
4. g-g- =а ~Ш^~^^~д! + * ^ (телеграфное уравнение),

126 Т. I. Отд. 1. Математика. IV. Дифер. и интегр. исчисления
а, р, ?> О —постоянные, &2 = Р2— <*Т>0 (гиперболический тип).
Подставляя U = e~Xt и, —= =* S, — = т, получаем:
У а а
и для 1/2(=+т)«=^, V«(S—«)-^
Решение, и (;, т), удовлетворяющее начальным условиям
« (5. 0)«/(5), (|j)tfe0 = *Ю, будет:
5 + х
причем
ш-1[(С-6)»-тЧ и ?1(*)в1_-*? + ^_^ + --...=
= Л ( — ■*); ср. 3.
5. — = а2 -т-j— &ЭД + с2 (диференциальное
уравнение распространения теплоты в стержне; Ь —
превышение температуры стержня относительно температуры
окружающей среды, t — время). Подставляя Ь = -т^ -)- ё~~ т • и, получаем
-^— = з (ср. II). Способом частных решений находим решение
и (*» *)i удовлетворяющее начальному условию и (О, *) = U \х)
и пограничным условиям и (t, 0) = и (t, I) = 0:
и*=2Дх е-***#*1Р sin (Xtcjc//), (X = l,2,...),
причем
Sx = f /</(*) sin (^i)rf*.
г = 0
Другая форма решения:
" = ^f е~* U{x+2azVl) d*.

Вариационное исчисление 127
б. -ч "5 = е2Хг(диференциальное уравнение Л и у-
охоу
ч г-, Л\г d2\llU л.
в и л л я). После подстановки ^ * ==и получаем: ^ . = 2 X и;,
общим решением (с двумя произвольными функциями) будет
Y MY (у)
ЧтМ-ФООР"
. J. Вариационное исчисление
Основная задача. Определить такую кривую у=/(х), чтобы
заданный интеграл
ъ
J==f F(xty,y')dx
после подстановки в него у — f (х\ у'= f (х) принял значение
большее (или меньшее), чем для всякой другой кривой, проходящей
через ту же заданную начальную точку [а\ /(a)] и ту же заданную
конечную точку [b, f(b)\. v
1. Необходимое условие (но недостаточное). Для того, чтобы
интеграл J мог принять экстремальное значение, необходимо, чтобы
функция f{x) была решением диференциального уравнения Эйлера:
*L — JL(!*L\-t\ dF д2р ' d2F »d2F -n
ду dx\dy')~-U или ду дхду У дуду' У ду'2""""'
Кривая y=f(x) называется в таком случае „экстремалью".
Диференциальным уравнением Эйлера и начальной и конечной
точками экстремаль определяется в общем случае однозначно.
2. Необходимое условие. Чтобы интеграл J имел максимум,
необходимо, чтобы для у =/ (х), у' = f (x) и для всех х в области
интегрирования а <; х <; Ь выполнялось условие
d2F
-гт2>0 (условие Лежандра).
3. Необходимое условие. Положим
d2F d2F &F
(в левые части после выполнения диференцирования следует
подставить / (х) и /' (х) вместо у и у') и составим диференциальное
уравнение
Ru" (х) + R'n' (х) + «?' — Р) и (х) == 0;
для случая экстремума интеграла У написанное уравнение должно

128 Т* I» Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
обладать частным решением и(х), которое для а<*<6 отлично
от нуля.
Приведенные три необходимые условия являются также и
достаточными при условии, если кривую у =/ (х) сравнивать только
с такими кривыми yi=fi (х), для которых I/O*)-— Д (х) \ и
\f (*) —/х (•*) | достаточно малы (слабые экстремумы).
V. Аналитическая геометрия и диференциаль-
ная геометрия
А. Точка и прямая линия в плоскости
В нижеследующем предполагаем выбранной прямоугольную
декартову систему координат.
1. Если хь ух и х2, у2 координаты двух точек Ръ Р2, расстояние
между которыми равно /, а—угол, образуемый линией / с положитель-
> ным направлением оси абсцисс (оси jc-ob), то:
cosa = (*2 — xt)/l; sina = 0/2—yj/l; tgoL = (y2—y1)/(x2 — xl).
tg a называют наклоном или угловым козфициентом прямой,
проходящей через обе точки.
2. Координаты точки, делящей отрезок Р±Р2 B отношении
т: п = X (X > 0 внутреннее, X < 0 внешнее деление)
х = (^ + Хдг2)/(1+Х); y = {y1 + ly2)/{l+><).
3. Уравнения прямой. Уравнение прямой линии
относительно xt у есть уравнение первой степени и наоборот: любое
уравнение первой степени определяет прямую.
Ах + Ву + С = 0 (общий случай)
или, в случае #ф0, в преобразованной форме:
у = тх -f Ъ.
Здесь т означает угловой коэфициент (=tga; см. 1) и Ь
ординату точки пересечения прямой с осью у-ов.
Уравнение прямой х = а, перпендикулярной к оси лг-ов;
У = Ь, , „ , .у-ов;
, 9 у = тх, проходящей через начало
координат.
Уравнение прямой, проходящей через одну данную точку (хъУх):
У — У1 = т(х — xj.

1*очка и прямая линия в плоскости
129
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х^уЦ
и (х2, Уг):
У—Ух-
"Ух
(*--*i).
х2— хх
Если прямая отсекает на оси л>ов отрезок длиною я, а на оси
у-оъ отрезок Ь, то ее уравнение:
f- i = 1 (уравнение относительно отрезков).
Сравнивая последнее уравнение прямой с уравнением в общем
виде, имеем:
« —т> '-
Если перпендикуляр /,
составляющий с осью х-оъ угол а, опущен из
начала координат на прямую, то
-уравнение последней будет: х cos a -\-y sin а —
— / = 0 (нормальная форма Гее- фиг- 13-
се) (фиг. 13).
Чтобы привести уравнение прямой в общем виде
Ах + Ву+С = 0
к нормальному виду, необходимо разделить его на У A2 -f В2 и
положить:
А В , С
cos а = -— , sm а = —-— , -,—-, / =
/Л2 +■ 52 /л2 + Я2 /Л2 + В2
причем знак перед корнем следует выбрать так, чтобы / было
положительным.
4. Расстояние р точки Рх (xv ух) от прямой, заданной
уравнением в нормальном виде, выражается:
р = хх cos о -\-ух sin a — /;
р будет отрицательным, если точка (дс1,-у1) и начало координат лежат
по одну сторону прямой; положительным, если они лежат с разных
сторон (как на фиг. 13).
5. Уравнение всякой прямой, проходящей через точку
пересечения двух данных прямых Ахх-\-Вху-\- С^~О и А2х-$-В2у-{- С2 = 0,
имеет вид
Ахх + Вху -(- Сх -f k (A2x -f- B2y -f- C2) = 0 (пучок прямых),
где k означает произвольное число.
6. Угол а, составленный двумя прямыми (выраженными уравне-
9. Hutte, Справочник для инженеров, т. I.

130 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
ниями п. 5), определяется из:
А1А2 + В1В2 • А1В2 — А2В1
cos а = 1 л i 1 л _ sln ff __ i__j z__i
V^l» + #l2 A«+ #2* / V+ ^l2 Wf *|f
В зависимости от знака cos а и sin а получается острый или
тупой угол, образующие пару пополнительных углов.
Прямые параллельны (sinа = 0), если А2Вх = АхВ2 или
-± = -^. Прямые взаимно перпендикулярны (cos с = 0), если
Л2 п2
A1A7+B1Bi = 0.
Если уравнения прямых даны в виде:
у = т1х + Ьъ у==т2х + Ь2,
то имеем
cos g = ^1±т^«_, sin a = _=^Z^==§ tga^^""^.
/l + m^/l + wa* Vl+mjVl + mi* \ + щщ
и в случае параллельности прямых:
/Hj = т2,
а в случае их перпендикулярности:
ЩЩ +1=0 или т1 = .
7. Уравнения прямых, пересекающих прямую у = mx -f- ^ в
точке (хъ ух) под углом а:
т ± tg j .
.у — J'i = i г— (* — хА
8. Уравнения прямых, делящих пополам угол между двумя
данными прямыми (выраженными уравнениями (5), следующие:
Агх + Ву+Ъ ~-A2x + B2y+C2==Q
УАг* + Вх* + A^fi22
9. Три точки {хъуг\ (х2,у2), (х,у) лежат на одной прямой, если
1=0.
ХчУ2\
ху 1
10. Три прямых проходят через одну точку, если
\Аф2С2 =0.
I А$В%С% I

Плоские кривые 131
Преобразование координат. Обе системы координатных осей
должны иметь одинаковое направление вращения. Координаты точки
в первоначальной системе координат обозначают через х% у, а в
новой через х\ у'.
Параллельное перемещение системы
координатных осей. Если х0 и у0 координаты нового начала, то
*' = * — Xq, у'=у—
Совращение системы около начала координат.
Если а угол, который должен быть описан первоначальной
положительной осью л:-ов по направлению к первоначальной
положительной оси х-ов, для того чтобы принять положение новой оси
ж'-ов, то
*=;c'cosa—y'sina, y.= x'sina+y' cosa, x -\-iy = (х' -f- iy')el*>
x'= x cos a +y sin a, y' =y cos a—x sin at xr -f iy' = (x +iy)e~~h-
. При одновременном перемещении и вращении
системы координат следует соответственно соединить упомянутые
выше формулы.
Переход от прямоугольной' системы координатных
осей к косоугольной. Если ось х1 образует с осью х угол а,
а ось у' образует с той же осью угол р, то имеем:
х = х' cos a +у' cos р, у = х' sin a -f у' sin Р, х + (У = *' *** +У'*® >
х' sin (a — Р) = у cos р — * sin р, у' sin (a — Р) = х sin a —у cos-op.
Переход от прямоугольной системы координат к
полярным координатам. Если г радиус-вектор, а ф полярный
угол, составленный радиусом-вектором с полярной осью,
совпадающей с положительною осью лг-ов, то
г = У х2+у2, cos ф = x/r, sin ф' = у/г, tg <р =» у/*,
д: = г cos ф, у = г sin ф, * + iy = г*/? .
Для косоугольной системы с углом w имеем:
jc = г sin (ш — cp)/sin ю1 С =: r sm У/sin <°»
■■/-«г-;—о~г-^ *+.ycc,Sa> , у sin to
г = У х2 -{-у2 -f 2 лгу cos <о, cos ф ■= —— ,. sin ф = - .
В. Плоские кривые
а) Общие положения
1. В дальнейшем х% у обозначают прямоугольные
прямолинейные (декартовы) координаты. Точка Р (х, у) описывает кривую,
если ху у заданы как непрерывные (или непрерывные, по крайней
9*

132
Т. I Офд. 1 Математик*. V Аналитическая геометрия
мере, в отдельных частях) функции переменной t (вспомогательного
параметра): х = х (г), у ~у (г). Исключением t получаем
уравнение кривойв общей форме F(дг, у) = О либо, решив
относительно у, в преобразованной форме^^^у (л).
То же самое может быть сказано
относительно уравнения кривой в полярной
системе координат.
/ 2. Угол Ь, составляемый
касательной, направленной в сторону образования
кривой, с положительной осью *-ое
у (фиг. 14),для прямоугольной системы
>6^' координат находится из уравнений:
COS % ss -р , Sin ft
ds'
r;
Фиг. 14.
здесь диференииал дуги d$ » Y^+dy^^
« У"14\У'8 <**>0.
3. Если через 6 назовем угол
касательной по направлению увеличивающегося ?
с положительным направлением г (фиг. 14), то
i dr . . rdv ' . , rd»
ds9
ds
dr
4. Уравнение касательной к кривой в данной на ней точке
(х, у) есть:
Ч~~У
~^(Z^x) тнд£$~х) + ?£(г1~у)^о.
dxy
ду}
где $ и Т| означают текущие координаты любой точки касательной.
Длина касательной (фиг. 14) РТ =.у •
$-f YTW.
Длина по д касательной... QT~y-?-=*у:у'.
Полярная касате л ьна я.. РТ0-
rds
dr
r^df
^-m
Полярная подкасательная. ОТ0 = . .
Эти формулы дают длины отрезков, если справа взять
абсолютные значения.
5. Уравнение нормали в точке (х, у) имеет вид:
dxtt ч dF/t . dF/ x л
Ч-У^-^-х) или _(e~^)-~(r(-V)-0,
где ; и г] текущие координаты точек нормали.

Плоские кривые
133
Длина нормали PN = у~г-~у\/ 1 -+ (~) .
dy
Поднормаль QN — y-f-.
Полярная нормаль PN0 ^=-т- = 1/ г2 + (-7; ) •
Полярная поднормаль ON0 = — .
6. Асимптотические направления кривой (фиг. 15)
находятся отнесением уравнения кривой к полярной системе
координат и определением того предельного угла <р, при котором г-*оо.
В случае алгебраической кривой л-го порядка следует предвари*
тельно разделить уравнение этой кривой на гл; с этой целью прел-
ставим уравнение в виде:
F(x,y) = Pn + Fn_1 + Fn_2+...+F1+F(l = Q,
где Fk означает совокупность членов Л-го порядка функции F(x,y).
7. Асимптотами называются прямые, -
расстояние которых до точки кривой стремится
к нулю по мере удаления точки, движущейся
но кривой в бесконечность.
Для асимптоты х = а, перпендикулярной к
оси лг-ов, имеем у -> оо для х -> а; для
перпендикулярной к оси .у-ов, у =в= Ьл соответственно
х -* оо для у -* Ь. Если уравнение асимптоты
у = тх + I*, то т и |х определяются из
уравнения кривой yz=f(x) таким образом:
т = lim [f(x) : *], ц = lim [/(а:) - /и*]. фиг> 15'
лг->оо лг-*оо
При полярной системе координат сначала определяется (по 6) уго«
асимптотического направления <р = я, затем расстояние асимптоты р
от начала:
р = lim r sin (a — •?).
8. Две кривые, имеющие одну общую точку, образуют к а с а
н и е /1-го порядка, если первые п производных у', у"... у^ между
собою равны для обеих кривых в их общей точке, (п-\- 1)-е,Уя+^-е,
напротив, различны. В случае касания четного порядка кривые
пересекаются в общей точке; в случае касания не четного
порядка кривые только соприкасаются, не пересекаясь.
Прямая, касательная к кривой, вообще образует с нею касание
по меньшей мере 1-го порядка.
9. Круг кривизны в точке (я-, у) кривой есть тот круг,
который образует с кривой в этой точке касание по меньшей мере вю-

134 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
рого порядка (см. 8). Центр этого круга называется центром
ds
кривизны, радиус — радиусом кривизны Р = "Та или в
прямоугольных координатах:
(1 +у'2)Ч>
Р = у, .
а в полярной системе координат:
г> + 2г'2-~ г г'
1
Обратная величина k = — называется кривизной кривой в
точке (х, у).
10. Координаты $, у\, центра круга кривизны в
точке (*» У) находятся по формулам:
е =
или
или
или
£ = * — у
\~x-Q '
* х d*%
dy
ds'
Л+У2
-p5J»
. dx
ч=>+
1+У2
У"
, dx
i = x — p sin ft,
И. Эволютой данной кривой называется геометрическое
место ее центров кривизны (фиг. 16). При развертывании
касательной эволюты (натянутая нить) точки ка-
^-- сательной описывают систему
параллельных кривых, называемых эвольвентами
данной эволюты, к которым принадлежит и
первоначальная кривая. Чтобы найти
уравнение эволюты, из уравнения кривой и
уравнений 10 исключают координаты х, у.
Касательные к эволюте являются
одновременно нормалями к эвольвентам и наоборот.
Длина дуги между двумя точками эволюты
равна разности радиусов кривизны в
соответственных точках эвольвенты. Если
координаты какой-либо точки эволюты
заданы как функции длины дуги 5 эволюты, то
уравнения эвольвенты
определяются из следующих соотношений:
Фиг. 16.
ds ds

Плоские кривые
135
причем s0 длина ду1и эволюты до точки, где начинается
развертывание кривой.
12. Кривая обращена выпуклостью книзу, если у">0, и
вогнутостью книзу, если у"<О, В точке, где у" меняет свой
знак, кривая из вогнутой становится выпуклой или наоборот. Такая
точка называется точкой перегиба. Чтобы найти эти точки,
нужно решить уравнение у = 0. Если корни этого уравнения
одновременно удовлетворяют всем условиям
у'= 0, У4) = 0, ... Ул) = 0, но Ул+1} ф 0,
то эта точка будет точкой перегиба только в случае п четного.
В случае обыкновенной точки перегиба п = 2.
13. Кривая имеет особую точку, если одновременно
F(X,y)=0; g = 0; g = 0.
Составим
(d*F\2 d*Fd*F
[дхду) дх*ду*~
- В простейших случаях можнб различать:
Д>0: двойная точка с двумя действительными различными
касательными;
Д = 0: обе касательные совпадают, двойная точка называется тогда
точкой возврата (острие);
Д < 0: полученная точка называется изолированной ив ней
данная кривая не имеет действительной касательной.
14. Определение площадей. Площадь, ограниченная кривой
У=/(х)9 осью абсцисс и двумя ординатами у0 и у% которые
соответствуют абсциссам х0 и х, равна
X
F=Jf(x)dX.
Площадь, ограниченная кривой и двумя радиусами-векторами
г0 и г, которым соответствуют углы <р0 и ср> равна (формула
Лейбница);
<р
1
F--
'-4/"*.
<Ро
15. Длина дуги. Длина дуги s, заключенной между двумя
точками кривой, абсциссы которых х0 и х, определяется из выражения:
X X
s = I у dx* + dy* = J Vf+У2 dx\

136 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
в полярной системе координат имеем:
16. Огибающие кривые. Уравнение F (х, у, р) = 0, где р
переменный параметр, представляет вообще систему кривых, огибаемых
некоторою кривою линией, которая и называется огибающей
данной системы. Уравнение огибающей кривой находится исключением
р из двух уравнений:
^3^ = 0. F{x,y,P)~0.
17. Траектории. Кривая, пересекающая под прямым углом
систему кривых, изображенных уравнением F(x, у, р) = 0, где р
переменный параметр, называется (ортогональной) траекторией
данной системы кривых. Диференциальное уравнение траекторий
получается исключением р из уравнений:
d-q dF dF * ч л
Интегрируя таким образом полученное уравнение, получим
систему траекторий, зависящих от одного произвольного постоянного.
Ь) Конические сечения'
1. Общие данные. 1. Прямые, проходящие через точки на
окружности и через точку, лежащую вне плоскости круга, образуют
(косой) круговой конус. Плоскость пересекается с
поверхностью конуса по кривой, называемой коническим сечением.
Если плоскость проходит не через вершину конуса, то образуется
нераспадающееся коническое сечение; при прохождении ее через
вершину — распадающееся. Нераспадающееся коническое сечение
дает эллипс, параболу или гиперболу, смотря по тому,
имеет ли вспомогательная плоскость, проходящая через вершину
конуса и параллельная секущей плоскости, общей с конусом только
вершину этого конуса или еще одну (двойную) прямую или пару
прямых. Сечения вспомогательной плоскости являются
соответствующими распадающимися коническими сечениями.
2. Если точка Р движется таким образом, что расстояние ее PF
от некоторой постоянной точки F и расстояние PQ до некоторой
постоянной прямой находятся между собой в постоянном отношении
PF :PQ= e, то геометрическое место различных положений этой
гочки будет эллине, если г < 1, парабола — если е = 1, и
гипербола— еслие>1. Отношение е есть (числовой)
эксцентрицитет конического сечения. Постоянная точка F лежит на
главной оси и называется фокусом; постоянная прямая перпенди-

Плоские кривые
137
кулярна к главной оси и называется дирекгрисо й. Для круга
фокусом является центр, директриса лежит в бесконечности; г = 0.
3. Общее уравнение конических сечений в
прямоугольных или косоугольных координатах имеет вид:
апх* 4- 2 а]2ху + a^v2 + 2 ахх + 2 а2у + Дз == 0.
Для определения, какое коническое сечение представляет собою
данное уравнение второй степени (относительно х и у), следует
составить определитель уравнения:
I «I <*2 аъ!
и дискриминант Д = апа22 — л192, далее S « у (ли + д82)»
Центральные кривые:
ДфО
д >о
случай
эллипса
А <0
случай
гиперболы
А =0
случай параболы
7=fc О

нераспадающееся
конич.
сечение
Ja'n или Ja'ig > О
Эллипс
/а'и или 7а'28 < О
мнимый эллипс
Гипербола
Парабола
7 = 0

распадающееся
конич.
сечение
Пара прямых
с действ, точк. пересечения
мнимая действительная
Пера параллельных прямых
«1* — &\\<Н или «»* — ака»
> 0 | =0 | < О
действит.
и различи. |v
= 0 I
1 совпадают. I
При всяком перемещении начала и вращении прямоугольной координатной
системы величины 7, Д, S остаются неизменными (инвариантами). Если ап—Оц, ax*=i\
и Уяи > 0, то уравнение представляет (действительную) окружность.
Общий вид уравнения параболы будет:
(ах 4- Ьу + с)2+Ах+Ву + С = 0.
Для эллипса и гиперболы центр найд ем как точку пересечения
прямых:
апх -j- а12у -]- ях = 0 и а^ .х J{ а22у-\- аг = 0.
Из общего уравнения эллипса и гиперболы в прямоугольной
системе координат находят параллельным перемещением
координатной системы уравнение эллипса или гиперболы относительно
центра:
апх2 + 2 aV2xy -f a%y* = fc,

1*38 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
где k получается, если в левой части уравнения конического
сечения вместо х, у подставить координаты центра. Вращением
координатной системы приходим к уравнению относительно
главных осей:
ft**+ &/"=-.//*.
Угол вращения ср находим из следующих соотношений:
ео.2» — -*ЙГ*. sm2,= -^.
gl = S— W и g2 = S-\- W находятся как корни квадратного
уравнения:
2. Окружность. Общий вид уравнения окружности (фиг. 17):
(х-~х0)* + (у-у0У = &.
Фиг. 17. Фиг. 18.
Уравнение окружности относительно ц*е н т р а (начало
координат в центре М):
x2+y2 = R2 или r=R.
Уравнение окружности относительно вершины (начало
координат на окружности, ОХ—диаметр):
y2 = x(2R — х) или r = 2R cos (ср—<р0).
Уравнение окружности в полярных координатах
(полярная ось ОМ):
^-2r/-0cos(?-cpo) + ro2 = /?2.
Длину окружности и площадь круга — см. стр. 2 и
след. Площадь секторов и сегментов—см. стр. 43 и 238.
3. Эллипс и гипербола. Все нижеследующие выражения,
взятые с верхним знаком, относятся к эллипсу (фиг. 18), а с нижним —
к гиперболе (фиг. 19).
Уравнение относительно центра. Если кривые
отнесены к главным осям, то уравнение кривой:

Плоские кривые •
139
где 0А± (фиг. 18) и соответственно ОА (фиг. 19) равны а и ОВх
(фиг. 18) и соответственно AD (фиг. 19), равное Ь% означают полуоси.
Отсюда
У = — V±(a2 — x2),
причем знак корня можно взять любым.
Уравнение относительно вершины. Если начало
координат находится в вершине А2 или соответственно Ах (на оси
jc-ob), to уравнение кривой:
Ъ2 Ь2 ох2
-* a a2 r a
Расстояния фокусов Fx и F2 на оси л:-ов от точки О
определяются из выражений:
OF1^=OF2=ya2zpb2 .
В эллипсе В^х = B2F2 = OAt = я, в гиперболе OFx = OF2 = OD.
Отношение
OFt _Уа2ц=Ь2_
OAt ~~ a ~г
называется (числовым)
эксцентрицитетом
конического сечения. Для
эллипса е< 1, для
гиперболы е > 1.
Радиус ы-векто-
р ы, проведенные из
фокусов к какой-либо точке
конического сечения,
определяются из формул
(фиг. 18):
г2 = ац:шх,
г1 = + а+гх.
Для эллипса сумма этих радиусов-векторов, а для гиперболы их
разность постоянны; следовательно, в случае эллипса rt + r2 = 2 а
(на этом основано построение кривой посредством нитки), а для
гиперболы гх — r2 = ± 2 а.
Ордината, проведенная из фокуса:
Ь2

140 т- I- 0тД- * Математика. V. Анатитическая геометрия
Величина 2р называется параметром.
Сопряженными диаметрами называются такие, из
которых один делит пополам все хорды, параллельные другому.
Касательные в концах диаметра параллельны диаметру, сопряженному
с первым.
Если эти диаметры 2at и 2ЬХ образуют с главною осью (острые)
углы а и р, то
Ф :fc b2 = a\ it 6?; «6 = агЬх sin (a -f- Р); &2/а* = tga tg p.
Уравнение, отнесенное к косоугольной системе двух сопряженных
диаметров:
^ равнение касательной в точке (лг, у): —5- it -~ = 1.
Уравнение нормали: —гг— = =t ■ ' ■ -■■■ , где с и in —
r r 68л: a2j^ •
текущие координаты. Касательная и нормаль делят пополам углы,
образуемые радиусами-векторами.
х у
Гипербола имеет две асимптоты — ±. ~ = 0, т. е. ветви
гиперболы неограниченно приближаются к этим прямым. Каждая из
асимптот образует с осью л>ов острый угол а = arc tg (b : а).
Если провести прямую HS (фиг. 19), пересекающую обе ветви
гиперболы и ее асимптоты, то оба отрезка РН и RS,
заключенные между гиперболой и ее асимптотами, между собой равны.
На этом основано построение гиперболы по ее
асимптотам и одной из ее точек Р. Если прямая нормальна к оси
лг-ов, то часть прямой, расположенная между асимптотами, делится
одной ветвью гиперболы так, что произведение обеих частей
постоянно и равно Ьг. Если прямая параллельна оси лг-ов, то часть
прямой, лежащая между ветвями гиперболы, делится одной
асимптотой на две части так, что произведение этих частей постоянно
и равно я2. Отрезок касательной к гиперболе, заключенный между
асимптотами, делится пополам в точке касания. Площадь
треугольника, образуемого касательной и двумя асимптотами, имеет
постоянную величину, равную ab.
Если PXU и PXV (фиг. 19) параллельны асимптотам, то
Pit/• Pi V =4 (*« + **).
Площадь параллелограма OUP^ для каждой точки Рх гиперболы
имеет постоянное значение. Поэтому уравнение гиперболы,
отнесенное к ее асимптотам (в косоугольной системе), будет:

Плоские кряйые
141
Для любой точки Р(х, у) (фиг. 18 и 19, в последней фигуре
не нанесена касательная РГ):
касательная РТ = ~^-V — (я2 — £'2*2); подкасательная TQ~ze —+:х;
нормаль ЯЛГ = — j^rt(а2 — ъ2х2); поднормаль NQ = + —■ к.
Равнобокая гипербола. Асимптоты взаимно
перпендикулярны.
Уравнение относительно центра: х2— у* = а2.
Уравнение относительно асимптот: х'у' =*\а*.
Параметр: 2/7 = 2 я.
Далее имеем а = Ь, г = У% а = 45°.
Радиус кривизны в точке Р:
-~$+$}-*&
Фиг. 20.
Построение. Проведя
нормаль CG (фиг. 20) в точке С
кривой (построение касательной
см. стр. 143), соединяем С с
фокусом F; проводим затем GH JL ОС,
ПК ± СИ, найдем .точку К—
центр круга кривизны.
Для вершины А эллипса и
гиперболы:
9'^АМ^ — ^р.
Для вершины В эллипса:
f = BN=~-.
Проведя через D прямую J_ АВ, найдем центры кругов
кривизны М и N для вершины эллипса.
Полярное уравнение эллипса и гиперболы.
Принимая фокус Fx за полюс и FXAX за полярную ось (фиг. 18 и 19),
имеем уравнение конических сечений в полярной системе координат:
г^ Р = +*У-#)
1 +6COS'f 1-j-eCOS'f "
Площадь эллипса (фиг. 18):
OByPQ = ~ ху f \ ab arc sin (xja).
Площадь всего эллипса равна т. аЬ.

142
Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
Площадь гиперболы (фиг. 19):
APQ = \xy-\ab\n(xla + ylb) = ±xy-±ab Arch (*/*).
Вычитаемое представляет площадь сектора ОРА.
п глагътт ab , ab t 2 OU
Площадь ОАгРг U = — + -j- In -^.
Длина дуги всего эллипса:
Е(п/2, е)—полный эллиптический интеграл второго рода (табл. стр. 50).
Для я>& действителен также следующий ряд, где
подставлена Х = (а — b):{a-\~b)
Ь= 0,1 I 0,2
х = 1,0025 | 1,0100
0,3
1,0226
0,4
1,0404
0,5 I 0,6 I 0,7 I 0,8 I 0,9
1,0635 I 1,0922 I 1,1269 | 1,1679 | 1,2162
Приближенные формулы:
Uf&n [3(a+b)/2 — УЩ,
Uttv [(a + b)/2 + V(a* + b*)/2l
U/A « 0,9827 а + 0,3110 b + 0,2867 ЬУа.
Построение эллипса по данным его полуосям
а и Ь (Фиг. 21).
1. Из точки О описываем окружности радиусами a, b и а-\-Ь,
проводим произвольный радиус OJGH% затем из точек J и G
1У
Фиг. 21.
Фиг. 22.
проводим параллели координатным осям; точка С лежит на эллипсе,
a HCN есть нормаль в этой точке.
2. Отрезок прямой, равный а + Ь, скользит своими концами

Плоские кривые
143
по сторонам прямого угла. Точка соприкосновения между а и Ь
описывает тогда эллипс.
Построение касательной.
1. В точке Р, данной на кривой (фиг. 18). Делят пополам угол
между радиусами-векторами PFt и PF2 (стр. 139).
2. Из точки /?, находящейся вне кривой (фиг. 22). На большой
оси и на линии RFl9 как на диаметрах, описывают круги.
Касательные получаются соединением точек пересечения этих кругов Тх и Т2
с точкой /?. Описываем дуги: из точки R радиусом RFt и из точки F2
радиусом 2а; соединив точку пересечения этих дуг с фокусом F&
найдем точку касания Р.
Построение главных осей эллипса, ло заданным
(по направлению и величине) его сопряженные диаметрам
DDX = 2аг и EEl = 2bl (фиг. 23).
Фиг. 23. Фиг. 24.
1. Проводим EH JL DDlt откладываем EG = EGi = ODx = at;
тогда положение главной оси получится внутренним и внешним
делением пополам угла GOGv Длины главных осей равны:
2a = OGl+OG
2 Ь = 0GX — 0G.
Или иначе: построив 0G по предыдущему, описываем на 0G,
как на диаметре, круг из центра N Точки пересечения J и К
прямой NE с этой окружностью суть точки главных осей; имеем:
EJ=bt EK = a.
Окружность, центр которой М лежит на малой оси и которая
проходит через точку G и Сь пересекает большую ось в фокусах
Точка Е опишет эллипс, если перемещать линию GXEH так,
чтобы точка Gx оставалась на линии OG1 и ее продолжении, а Н
на £>£>!• Центр круга кривизны для Е есть сопряженная
с//четвертая гармоническая точка к точкам О,, Н и G.
2. (Фиг. 24). На Dx0 — ах описываем четверть окружности DF

144 Т. Т. Отд. 1 Математика. V. Аналитическая геометрия
Фиг. 25
и соединяем точку F с конечной точкой Е сопряженного диаметра bv
Эту прямую делят пополам в точке И и продолжают по обе ее
стороны.
Полуокружность, описанная
из центра Я
радиусом НО,
пересекает соединитель-
ную прямую в
точках G и Ог и
прямые OGx и OG
дают направление
главных осей.
Длины главных осей:
GE^FGx^a,
GF = EGi« b.

Построение эллипса
по его двум сопряженным диаметрам (DDt и ЕЕЬ
фиг. 25) при помощи касательных.
1. Строим параллелограм, в котором DDt и ЕЕг делили бы
пополам стороны АВ и ВС. На продолжении АВ откладываем отрезок
BS = DB, делим D^ на любое число (здесь 4) равных частей,
проводим S1,S2,S3\ точки пересечения этих прямых с СЕ будут 4,5,6.
Прямые 16, 25, 34 будут касательные
к эллипсу.
2. На прямой DE берем
произвольную точку М, проводим прямые AMQ
и MR || DXD\ прямая QR будет каса
тельной к эллипсу с точкой касания Р,
лежащей на прямой Е^М.
Для плавного вычерчивания эллипса прежде
всего необходимо у вершин построить круги
кривизны и обвести их циркулем в пределах
совпадения с эллипсом, что зависит от степени
точности вычерчивания. Промежуточные точки
можно соединить помощью лекал (фиг. 26).
4. Парабола. Уравнение
относительно вершины: у2 = 2рх,
где 2р—параметр.
Расстояние фокуса F от
вершины AF — iP <ФИГ- 27 и 27а>,
поэтому 21 р есть ордината, выставленная
в фокусе. Линия LR || оси j/-ob и от- фиг-
Обстоящая от нее на расстоянии -\p~~AL,
называется директрисой параболы
точки параболы /гЯ=Я/?=д:+-/?/2.
Диаметр Рх' параболы делит пополам все хорды аЬ !|
касательной Ру\ проведенной в конце диаметра; он называется диаме-
(стр. 137). Для каждой

Плоские кривьтё
145
тром, сопряженным с направлением Ру'. Следовательно, am=mb.
Приняв Рх' и Ру' за координатные оси, найдем уравнение
параболы :
v'2 — *P .х' — Ъп'х'
Уравнение касательной: t\y = р (5 + х) I tg & = Р/у»
Уравнение нормали: у\ —у = — (с — х)у/р J (стр. 132).
$ и т] означают текущие координаты точек касательной или нормали.
Фиг. 27. Фиг. 27а.
Касательная РТ и нормаль PN делят пополам углы FPR и FPx'.
Углы QPN, RPT, TPF, FTP = b; TA = AQ = x; TF = FP = FN =
= x-\-$p. Ось у-ов делит пополам отрезок касательной между
осью л:-ов и точкой касания, так что TS = SP.
Подкасательная TQ = 2х.
Поднормаль QN = р = постоянной.
В полярной системе координат уравнение параболы,
отнесенной к полярной оси г А и к полюсу F:
г = 2 = В.
1 + cos <p 2 cos2 £'f
Радиус кривизны:
р = (р 4- 2 лг)8/а / Yv = p/sin3 tf= №/p2,
где N— длина нормали.
Для построения р пользуются указаниями (фиг. 23), данными
для эллипса и гиперболы (стр. 143). Радиус кривизны в вершине
равен р.
Уравнение эволюты: 27 ру2 = 8 (х — /?)3 представляет
параболу Н е й л я или полукубическую параболу.
Построение полукубической и кубической парабол. Заданы вершина А,
ось АХ и точка Р искомой параболы.
Строим прямоугольник АВРХ, делим АВ (точками 1, 2, 3) и ВР (точками а, Ь, с)
на одинаковое число равных частей (здесь четыре) и описываем на ВР, как на диаметре,
полуокружность. Откладываем, например (фиг. 28а), хорду Вс' = Вс и проводим
10. Hiitte, Справочник для инженеров, г. I.

146 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
с'III перпендикулярно к ВР (соответственно на фиг. 28Ь проводим ее'
перпендикулярно к ВР и откладываем В III равной хорде Вс'). Наконец, проводим А III,
последняя пересекает прямую 3 Рпг параллельную АХ, в точке Ру// параболы.
Соответственно получаются остальные точки кривой.
Если для чертежа неудобно пользоваться полукругом, то можно применять
след. построение (фиг. 28с). Выбираем произвольно -точку с на АР, проводим acb,
axcj)x, с*сфъ перпендикулярно к АХ, сс±с« параллельно ХА, сг и с3 на линии Аа, с2
на Аа^ Тогда сх — точка обыкновенной параболы, сг — точка кубической параболы,
с3 — точка полукубической параболы.
Площадь APQ = \xy (фиг. 27); площадь aPb—\abcd\
приблизительно площадь сегмента, ограниченного какой-угодно частью
кривой, будет FЧ
мента (фиг. 27а).
>lgh, где g = ab—основание, a h—высота сег-
J
в
л
Л,
c*D&L
l8t*\
*Л
а
0
J>
X
Фиг. 28а. Кубическая
парабола.
Фиг. 28Ь.
Полукубическая парабола.
Фиг. 28с.
Длина дуги АР = 5 (фиг. 27):
1ЛИ
5 " iP ' Нё^'^+У2 +1п (у + УрЧТ2) - in р\
или
s = lp-(2t+sh2t),
где подставлено 2 х/у = sh t.
Если х/у малая дробь, то
приблизительно 1
По"этой же формуле
определяется длина дуги любой
плоской кривой, если вместо у
подставить g, а вместо х/у —
величину 2h/g.
Построение параболы. 1. По данным: вершине Л,
оси АХ и точке параболы Р (фиг. 29). Проводим АВ ±ЛХ;
Фиг. 29.

Плоские кривые
147
РВ J_ АВ; РВ и АВ делим на одинаковое число (здесь 8) равных
частей; соединяем, например, точку 7 на РВ с точкой А; из точки 7
на АВ проводим прямую,- параллельную АХ, тогда Р7 лежит на
параболе.
Или же из какой-нибудь точки, например 4, прямой РВ
проводим прямую 4 4 \_ВР и 4'Р4 II ВР\ тогда точка Р4 пересечения
последней прямой с прямой 4А есть точка параболы.'
2. Даны: вершина А и фокус F (фиг. 30). Если
перемещать в плоскости прямой угол так, чтобы вершина его
оставалась всегда на прямой Л К, а одна из сторон угла проходила всегда
через фокус, то другая сторона будет постоянно касаться параболы.
Или (фиг. 27) из любой точки Q оси jc-ob проводим QPJ_AF,
откладываем QN=2AF — p. Окружность, описанная из F
радиусом FN, определяет на QP точку параболы Р и точку
пересечения Т касательной РТ с осью л:-ов.
фиг. Зл Фиг 30а. Фиг. 31.
3. Даны две касательные PG и РН и их точки
касания G и Н (фиг. 30а). Делим PG и РН на п равных частей
(здесь на 7), тогда прямые 1 1, 2 2, 3 3, 4 4, 5 5 и 6 6 касательны
к параболе.
Это построение с успехом применяется к черчению плоских дуг.
4. Д а н ы: хорда GH, перпендикулярная к оси параболы, и
точка Р параболы (фиг. 31).
Проводим HS и PQ перпендикулярно к GH, затем GPR и QR.
Если QxPt J_ GH и QiR\ II QR, то GRX пересекает перпендикуляр
QiPi в точке Ръ принадлежащей параболе. QR параллельна
касательной GT в точке G. Перпендикуляр МТ в середине GH есть
главная ось и Л — вершина параболы, так что МА=АТ.
Определением касательных GT и НТ этот случай сводится к случаю 3.
Если даны точки И и Р и положение главной оси МТ, то
проводим НМ перпендикулярно к МТ, продолжаем ИМ на
величину GM = НМ; дальнейшее построение производится по
предыдущему.
10*

148
Т. I Отд. 1. Математика. V Аналитическая геометрия
Фш. 32.
Фиг. 33.
Построение касательной к параболе:
1. В точке Р на параболе (фиг. 27, стр. 145).
Откладываем А Т = AQ или TF = FP; ТР—искомая касательная.
Или прямая, проведенная через Р параллельно оси л>ов,
пересекает директрису LR в R. RF делится осью_у-ов в точке 5 пополам,
так что RS = SF.
fly ~-jfp PS ~~~ искомая ка"
сательная.
2. Из точки
U, лежащей
вне параболы
(фиг. 32).
Описываем из
U окружность
радиусом UF\
проводим из R и R'
линии, параллельные
главной оси; тогда
точки Р и Р'
будут точки касания
касательных UP и
UP'.
Имеем
параболу у = а-±-
+ Ьх -\- сх2. Направление ее главной оси параллельно оси у-ов.
Касательные в точке Р0 = (О, а) и в точке Р = (х, у) взаимно
пересекаются в точке Н (\х, а-\-\Ьх)\ касательная QQ0 в точке Р
(i х, я+i Ьх-\-\сх*) параллельна хорде PqP, как и прямая ТТ0.
Если точка R лежит на середине линии РТУ a R0 — на середине
Р0Т0, то прямая RR0 проходит через Н. Q лежит на середине
прямой PR, Q0 -г- на середине P0R0 (фиг. 33). Прямые PR0 и P0R
пересекаются в точке Рт.
с) Некоторые технически важные кривые
1. Циклоида. Обыкновенной циклоидой называется
кривая линия, описанная одной из точек окружности круга, когда
этот последний без скольжения катится по прямой.
Построение. Откладываем ОС = дуге О А = па, делим обе
на п равных частей (на фиг. 34 п = 4); определяем точки пересечения
7, 2, 3 и откладываем / а = а I, 2$ = Ь II и Зу = с III; точки а, р и y
лежат на циклоиде.
Или циклоида является огибающей для разных кругов, описанных
из точек деления линии ОС радиусами, равными хордам О I, Oil, OIII.
Уравнения циклоиды (фиг. 35):
x = a(t— sin*); у = a,(l —cost),
х — a arc cos (a —y)/a ± Y (2 a —y)y,
где a — радиус катящейся окружности, t — угол катания.

Плоские кривые . J49
Нормаль в какой-нибудь точке Р циклоиды всегда
проходит через точку касания В производящего круга с основанием;
РВ — нормаль, РА — касательная,
N= РВ = 2а sin \t = VTay.
Радиус кривизны: р = 4а sin 5 ^ = 2 V 2ау . p,
следовательно, в два раза длиннее нормали. Для вершины о имеем р = 4я;
для О имеем р = 0 (острие).
Фиг. 34. Фиг. 35.
Эволюта циклоиды такая же циклоида,- как и данная, но
смещенная на на в направлении оси+*-°в и на 2а —в
направлении оси — j/-ob.
Площадь OPQ = a2($t — 2 sin * + i sin 2 f)
*=i*x-iyV(2a—y)y.
Площадь, ограниченная полной дугой циклоиды = Зпа2.
Дуга ОР = 4а(\ —cos^t) = 4а + 2 V2a{2а —у).
Длина полной дуги циклоиды = 8 а.
Укороченная или удлиненная циклоида получается,
когда описывающая циклоиду точка находится внутри или вне
производящего круга на расстоянии с от его центра. Уравнения их:
х = at — с sin t, у — а — с cos t.
Указанное выше построение нормали обыкновенной циклоиды
•справедливо и для удлиненной и укороченной циклоиды.
2. Эпициклоида и гипоциклоида описываются точкой на
окружности круга, когда этот последний катится без скольжения
по основной окружности вне (фиг. 36а) или соответственно внутри
(фиг. 36Ь) этой окружности. Обозначим радиус неподвижной
окружности через а, производящей — через Ь.
Построение: делим полуокружность AD и угол АОЬ = %Ь/а
на п равных частей (на фиг. 36а и 36b n = 4), проводим радиусы
/, 2, 3, 4 через точку О, дуги окружности / 1% II 2, /// 3
описываем из О; откладываем затем 1ь1 = 1а, 11^ = 2$, ///yi = 3t,
получим точки о, р, у, о, принадлежащие эпициклоиде (фиг. 36а) или
соответственно гипоциклоиде (фиг. 36Ь).

150
Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
Или те же кривые являются огибающими для разных
положений кругов, описанных из точек пересечения радиусов /, 2, 3
с основным кругом, радиусами, равными хордам А /, А //, А III.
Фиг. 36Ь.
Уравнения (верхние знаки относятся к эпициклоиде,
нижние — к гипоциклоиде). Согласно обозначениям на фиг. 37 имеем:
X = (а ± о) cos — t ц: о cos U
v a a
у = (а ± о) sin — t — b sin t,
где t—угол катания, или
x = (a±b) cosx чР b cos —т— x»
у = (a ±l b) sin i — b sin —т— x»
где x — Угол вращения.
Нормаль в какой-либо точке Р
всегда проходит через точку касания В
в соответственном положении
производящего и основного кругов (фиг. 37).
Радиус кривизны
р = [4 b (а ± Ъ)Ца ±. 2Ь)) sin -i- U
Для точки А имеем: р = 0; для точки Ь имеем:
p = 4b(a±b);{a+2b).
Фиг. 37.

Плоские кривые -
151
Эволюта этих кривых представляет подобную им эпи- или
гипоциклоиду, ординаты которой уменьшены (соответственно
увеличены) в отношении a:(a±2b) ji которая повернута на 3z nb/a.
Площадь, заключенная между ОА, кривою и одним из
лучей ОР:
S = V2 (bla) (a±b){a + 2 b) (t - sin t).
Длина дуги s = 4 (a ± b) (1 — cos t/2) Ь}л\ длина дуги АЬ =
= 4 (adzb) b/a.
Уравнения этих кривых, исключением t, обращаются в
алгебраические, если отношение а к b — рациональное число. При
Ь = 1/2а гипоциклоида превращается в прямую, имеющую
направление АО. Каждая точка, не лежащая на окружности катящегося
круга, описывает тогда эллипс (планетные колеса, эллиптический
циркуль). При b = \а гипоциклоида обращается в (равнобокую)
3 2 2
астроиду, уравнение которой х* +.У3 = я3. При b = а
эпициклоида обращается в кардиоиду. Если А начало координат и АО
положительное направление оси Ох (фиг. 37), уравнение кардиоиды
имеет вид:
(у2 + х2- 2 ах)2 = 4а2 (х2 + у2)
или в полярных координатах
г = 2а (1 -f cos cp).
При b —* оо катящаяся окружность обращается в прямую,
а соответствующая кривая — в развертку круга (см. ниже 3).
Удлиненная и
укороченная эпи- или гипоциклоида
получается, когда точка, описывающая
кривые, находится вне или внутри
катящегося круга на расстоянии с от
его центра; уравнения этих кривых:
х = la + b)cos—/:
х ' а-
с cos
у = (а :£ b) sin — t — с sin
х а
а
а
нн
а
±
b
b
и
t.
Фиг. 38.
3. Развертка круга. Кривая эта
описывается каждою точкой прямой
линии, катящейся без скольжения по
данной окружности (на этом основано
построение кривой посредством нитки).
Построение (фиг. 38). Откладываем ВС = ^АВ и делим
обе на п (здесь 4) равных частей; проводим затем в точке /
касательную a F, равную 1 С = 1 ВС, в точке//касательную р//= •§- ВС
и т. д.

152
Т. Т. Отд. 1 Математика. V. Аналитическая геометрий
Уравнения развертки круга:
х — a(cos/+ t sin 0
у = a (sin t—*t cos t),
где t—угол поворота.
В полярных координатах:
<р = Yг2/<*2 — 1 — arc tg Yr*/a2—A .
Радиус кривизны р в какой-либо точке Р по величине и
направлению равен касательной РТ, проведенной из этой точки
к основному кругу, т. е. равен длине развернутой дуги АТ= at.
Длина дуги: АР = s == -^- = а-^
г* — а?
2а
Площадь сектора: АРО = \ аЧъ = J sp = ATP A.
4. Цепная линия и антифрикционная кривая (трактрисса).
Обыкновенная цепная линия представляет кривую равновесия'
вполне гибкой нити, подвешенной в двух
точках, нагрузка которой везде пропор-
__ циональна длине нити.
Уравнение:
у = /г/2 (eXIh + e~x\h )= h ch x/h
x = h\n (yjh ± Y(y/h)*— 1) = h Ar chy/h.
Начало координат лежит на h = MO
ниже наинизшей точки М цепной линии
*КК' (фиг. 39).
Угол $, образуемый касательной UP
в любой точке Р с (горизонтальной) осью
х-ов, определяется из
cos % = h/y.
Yiy/hf-l;
Вводя $, как независимую переменную, найдем следующие
уравнения цепной линии:
/г In
1 + sin О
у = /г/cos &.
Радиус кривизны в точке Р равен (и направлен обратно)
нормали в точке Р, расстояние от которой измерено до оси jc-ob:
h ~~ cos2»:
Площадь ОМРТ равна
F = h2shx/h = h2tgb = h YW-
H* =h- s.

Плоские кривые 153
Длина дути MP:
s = hshx/h^htgb=Vy*^2==PU==ODt
если TU и MD ± PU.
x = h\n [s/h + V\ + (s/h)*] = hArshs/h.
Из таблиц гиперболических функций ch x и sh x (стр. 38 и 42)
непосредственно получаются значения ординат и длин дуг цепной
линии при h = 1.
Эвольвента цепной линии (трактрисса Гюйгенса
или антифрикционная кривая). Если сматывание начинается
в вершине М, то для этой кривой имеем уравнение'
x = h\n k+V~h2-y2 ^Yh^IIy2 = hAvch - - VW=J^,
где знак квадратного корня такой же, как при х. В
параметрической форме:
x=h(t--tht), y = h/cht,
где t — независимая переменная.
Трактрисса обладает той особенностью, что длина касательной
UT от кривой до оси х постоянна. Ось х является асимптотой
обеих ветвей кривой. Трактрисса описывается средней точкой между
задними колесами экипажа, если средняя точка между передними
колесами движется по прямой, наклонной к начальному положению
продольной оси экипажа. Эволютой трактриссы является цепная
линия КМК'. Р есть центр кривизны; р = PU (см. выше).
Дуга MU= hlny/h. При увеличивающейся длине дуги имеем
(s — л:) -> h (1 — In 2) = 0,3069 h.
Если обозначить через 2L длину~цепи, через 2/—горизонтальное
расстояние от точки подвеса, а через 2Ь — вертикальное расстояние,
то можно найти параметр h, начало координат и тем самым низшую
точку цепной линии следующим образом.
Вычисляют YL2 — b2: I = с и определяют ф из трансцендентного
уравнения sh ср = сер (графически или каким-либо иным приемом
„Практической математики", стр. 71 и 218).
.Отсюда имеем h = l:y. Если еще вычислить d» из уравнения
th 6 = b: L (табл., стр. 38), то начало координат лежит на расстоянии
Уо = L cth cp ниже средней точки той хорды, которая соединяет точки
подвеса цепи; горизонтальное'расстояние начала координат от этой
средней точки равно Xq = ф h, притом в сторону более низкой точки
подвеса.
Если обе точки подвеса находятся на одинаковой высоте, то
Ь = 0, c^Ljl, ф = 0, х0 = 0.
Угол подвеса а получаем из cos a = h/y0 = / th <?/£?.
5. Архимедова спираль. 1. Архимедова спираль есть
геометрическое место точки Р, радиус-вектор которой ОР = г- изменяется

154 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
пропорционально углу вращения ср, измеряемому от определенного
постоянного начального луча. Ее уравнение в полярной
системе координат (фиг. 40):
г = ау.
Архимедова спираль состоит из двух ветвей, каждая из которых
является зеркальным отображением другой.
' 2. Кривая эта получается также, если точка Р движется с
равномерной скоростью по лучу ОР, который в свою очередь
равномерно вращается около неподвижного полюса О. Если одному обороту
луча ОР соответствует путь точки Р по ОР = г0, то при — оборота
величина радиуса-вектора г = г0/я,
т0 на чем и основано построение этой
спирали.
г0 = 2ка.
Полярная подкасатель-
н а я' ОТ0 = г2/а; полярная
поднормаль OiV0 = а = const; на этом
и основано проведение касательной
к спирали.
Радиус кривизны
_ (д2 + /-2)8/з
Р~ 2я2+г* '
Построение. Проведя к PN0 в N0
Фиг- 40- и к ОР в Р перпендикуляры,
пересекающиеся в точке Q, соединим
затем О с Q; пересечение OQ с нормалью PN0 дает центр
кривизны М (фиг. 40).
Длина дуги
* = 1*[?Т^ГТ*Ч-Аг8п*],
приближенно (для многих оборотов) s^3 9 ау2.
6. Гиперболическая спираль. Ее у р а в н е н и е: /чр = а. При
<р -> оо, г -> 0; полюс О есть асимптотическая точка, около
которой кривая делает бесчисленное множество оборотов, никогда
ее не достигая. При ср —^ 0, г->оо, т. е, прямая, параллельная
полярной оси на расстоянии я, есть асимптота спирали (фиг. 41).
Гиперболическая спираль состоит из двух частей,
представляющих зеркальное отображение друг друга.
Полярная подкасательная ОГ =— а = const.
Полярная поднормаль ON = — г2/а. Отсюда вытекает
построение касательной к спирали.
Радиус кривизны р = г(г2/«2 + 1)3Ч

Плоские кривые 155
Построение. Проведем в точке N0 перпендикуляр к PN0 до
пересечения с продолжением РО в точке Q, затем в точке Q
перпендикуляр к PQ; его точка пересечения М с PN0 есть центр
кривизны.
7. Логарифмическая спираль. Уравнение г = ает* (т>0). При
ср = 0, г = ОА = а (фиг. 42). Так как при <р->—-оо, г->- 0, то полюс О
есть асимптотическая точка, к которой при отрицательном ср
спираль все более и более приближается, никогда ее не достигая.
Касательная РТ образует в любой точке Р с радиусом-
вектором ОР постоянный угол ф = arc ctg m.
Полярная поднормаль
ON0 = r ctg ф = rm.
Полярная нормаль
PN0 = r VT+~m2 = r/sin ф;
полярная нормаль равна радиусу кри-
.визны р в точке Р.
Фиг. 41. Фиг. 42.
Эволюта спирали представляет такую же кривую, но
повернутую относительно данной на угол J те — (\nm)/tn.
Площадь сектора, описываемая радиусом-вектором,
начиная от точки Я, стремится при приближении точки к полюсу к
величине, именно, к половине площади треугольника ОРТ^
составленного радиусом-вектором касательной и полярной под касательной,
т. е. к величине
S = r2/4/7r.
Длина дуги, считая от точки Р% при приближении другой
концевой точки к полюсу, стремится к значению
s = r/cos ф = у 1 -J- m"~2 • г,
т. е. к длине полярной касательной PTQ.
Если логарифмическая спираль катится по прямой без
скольжения, то ее асимптотическая точка описывает другую прямую,
наклоненную к первой под углом Jit — ф.

156 т- I- ОтД- !• Математика. V. Аналитическая геометрия
8. Уравнения некоторых других кривых
Кривая
1. Циссоида
2. Лемниската Бернулли
3. Конхоида
4. Строфоида
5. Лист Декарта
6. Четверолистник
Прямоугольные координаты
у2 (а — х) — хъ
(х*+у2)2 = а2(х*-у2)
(х2+у2)(х-Ь)2 = аух2
(а + х)у2 = (а~х)х2
х*-\-у* = Заху
(х2+уУ = ^а^х2у2
Полярные координаты
г = a sin2 <jj/cos cp
г — а У со s 2 ср
г = b/cos y±a
r = a cos 2 cp/cos cp
3 a sin cp cos cp
sin3 cp + cos3 cp
r = a sin 2 cp
1. Циссоида (фиг. 43). Дан круг диаметром о; из одного конца А
неподвижного диаметра ОА, принимаемого за ось *-ов, проведена касательная AS; из другого
конца О диаметоа, принимаемого за начало координат, проводим произвольные
секущие ОВ до пересечения с АВ. Если теперь
откладывать BD— ОС или 02)=Я С, то точки D
определяют циссоиду.
2. Лемниската (фиг. 44) есть геометрическое
место всех точек Р, для которых произведение
■^ расстояний их г, и гг от двух неподвижных
точек Fx и Ft имеет постоянное значение е\ если
при этом FXF2 = 2e — a VT. О А = ОАх = а.
Две ветви кривой, пересекающиеся в точке
фиг# 44 О отрезка, перпендикулярны друг к другу. Вся
площадь лемнискаты F = a7. Если из средней
точки равносторонней гиперболы опустить
перпендикуляры к касательным, то геометрическое место оснований
перпендикуляров будет лемниската.
3. Конхоида (фиг. 45) есть геометрическое место точек D, Dx на пучке лучей
OD, проведенном из некоторой точки О к прямой BABV удаленной от точки О на
Фиг. 43. Фиг. 45.
расстояние Ь, если на этих лучах откладывать отрезки постоянной длины CD=CDx=a.
Точка О принадлежит кривой и является двойной точкой при д> Ъ и точкой
заострения при а = Ь.
Фиг. 46.

Точка, прямая линия и плоскость в пространстве 157
4. Правильная строфоида (фиг. 46) есть геометрическое место всех точек Р, Р*,
для которые ВР = ВР* = О В; Р, В, Р* лежат при этом на одном, выходящем из
постоянной точки А луче, В на оси у-ов, отстоящей от А на расстоянии а.
Строфоида имеет асимптоту х — а; АР'АР* = а* = const. Площадь ее петли
F = 2 (1 - те/4) а*.
С. Точка, прямая линия и плоскость в пространстве
В нижеследующем под xt у, г разумеются Декартовы взаимно
перпендикулярные координатные оси в пространстве. Прямые линии
следует рассматривать, как имеющие определенное направление; то же
относится к плоскостям, у которых одна сторона считается
положительной и именно соответствующая положительному вращению
(т. е. направленному против движения часовой стрелки).
Под углом (gh) между двумя направлениями в положительной
плоскости разумеют угол, который кратчайшим путем переводит g
в Л, при условии положительного вращения. Направленная
плоскость и пересекающая ее направление прямая определяют собою
правое винтовое вращение, если положительное
направление прямой исходит из положительной стороны плоскости.
Координатная система называется правой, если каждая из
трех осей вместе* с пересекаемой ею координатной плоскостью
образует правое вращение. Об основах и обозначениях
векторного анализа см. стр. 174.
1. Пусть Pi(xiy±Zi) и Р2 (х2у2 z2) какие-либо две
точки^расстояние между ними, а, р, у—три угла, образуемые вектором РгР2 =23
с тремя осями координат, тогда
/ = V(*2-*l)2+ СУ2 —Л)2+ (*2~*l)2.
cos a = (х2 — *!>//, cos Р = Оз —УЖ cos у = (z2 — zj/l;
cos2a+ cos2P + cos2y = 1.
Разности координат х2 — xv y2 —yv z2 — zx суть три
координаты вектора SB, где V= | $ |—его длина, cos a, cos р,
cosy—координаты соответственного единичного вектора 93°.
2. Разделив вектор РХР2 в отношении т: п (>0 при
внутреннем делении, <0 при внешнем делении) и называя координаты
делящей точки через х, у, г, имеем:
• х = (тх2 + пхг)1(т + л), у = (ту2 + пух)/(т + /г),
z — (mz2 + nz^ftm + п).
3. Угол cpi образуемый двумя заданными направлениями д1, plt Yi
и a2> Рг» Т2» определяется из
cos ср = cos ах cos a2 + cos Рх cos р2 -f- cos Yi cosy2 •
Если оба направления взаимно перпендикулярны (<р = 90°), то
cos ai cos a2 + cos pj cos p2 -j- cos Yi cos Y2 = 0-

158 т- 1- Отд. 1 Математика. V. Аналитическая геометрия
Если единичные векторы, соответствующие данным
направлениям, равны ЗЗ^ и 232°, то cos 9 = 9$i° 3S2° есть внутреннее
(скалярное) произведение. Условие перпендикулярности: 23^ 232° = 0.
4. Пусть X, p., v углы, образуемые нормалью к обоим заданным
в п. 3 (не параллельным) направлениям, т. е. к плоскости угла <р; тогда
cos X = (cos pt cos Y2— cos p2 cos Yi)/sin <p; ф
cos (j. = (cos Yi cos a2 — cos Y2 cos a/Vsin <p;
cos v = (cos ax cos p2 — cos a2 cos Pi)/sin 9.
Числители этих трех выражений —координаты внешнего
(векторного) произведения [%$i°$$2°]. Если 0<<р<тс, то sin<p>0 и
направление нормали таково, что ЗЗ^0, 232° и направление нормали
образуют при этой последовательности правую систему.
Кратчайшее расстояние между двумя прямыми
заданными направлениями (alf р1э уг) и (a2, р2, Y2)» проходящими
соответственно через точки Рг и Р2, равно абсолютной величине выражения
Р = (х2 — *i) cos X -f (у2 —уг) cos }х + (z2 — 2^) cos v.
Так как р = (23 ЗЗ^ 232°)/sin 9, где числитель есть тройное
скалярное произведение, то р>0, если 23, ЗЗх0, 232° в этой
последовательности образуют правую систему.
5. Прямая линия в пространстве определяется двумя
уравнениями первой степени:
у = тхх-\-Ьь z— т2х-+- Ь2:
Уравнения прямой, проходящей через точку Рг и составляющей
с координатными осями углы a, р, y:
(х — xO/cos a = (у —yt)lcos р = (z — zj/cos y.
Отсюда, в предыдущих уравнениях:
mx = cos p/cos a, m2 = cos y/cos a.
Общее значение этих трех отношений есть длина 5 вектора РХР.
Если О начало координат, ОР = г, ОРх = хг и $В<> единичный вектор
с координатами cos a, cos p, cos y, направление которых определяет
направление данной прямой, то пара уравнений этой прямой может
быть заменена векторным уравнением
с параметром s.
Уравнения прямой, проходящей через две данные точки (xltylt z{)
и (лга, у'2, z2):
(х - xt)Hx2 - хг) = (у -ух)1(у2 -Уг) = (* - *i)/(*£- *i)-
Если * есть общее значение трех отношений, а Р[Р2 = 23, то
пара уравнений может быть заменена векторным уравнением прямой
в Г==Г1 + 23/
с параметром t. Имеем s = | 231 • L

Точка, прямая лийий и плоскость п йросграйстве 159
6. Две прямые пересекаются между собой, если определитель
4 уравнений (приведенных к виду ax+$y-\-*(Z-\-b = 0) данных
прямых равен нулю. .
7. Уравнения плоскости. Плоскость определяется уравнением
первой степени:
Ax+By+Cz+D = 0,
и все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению первой
степени, лежат в одной и той же плоскости.
By-\-Cz-\-D = 0: Уравнение плоскости, параллельной оси *-ов
Ax+Cz+D = 0: , „ у-ов
Ax+By + D = 0: „ „ z-ов
Ах-\- Ву-\- Cz = 0: „ „ проходящей через начало
координат.
Если г есть радиус-вектор, а 51 вектор с координатами А, В, С,
то вышеприведенное общее уравнение плоскости может быть
представлено в векторном виде:
2lr+D = 0.
Вектор 31 перпендикулярен к плоскости, притом так, что его
положительное направление исходит из положительной стороны
плоскости, и вместе они определяют правое вращение. Пусть Рх точка
на плоскости, хх = ОРх, тогда D = — %xv Уравнение плоскости,
проходящей через заданную точку Р и перпендикулярной к заданному
вектору 31, будет, следовательно,
ЗЦг — г2) = 0 или A(x — x1)-{-B(y—yl)+C(z — Zi) = 0.
„Уравнение плоскости, пересекающей координатные оси а
расстояниях я, Ь% с от начала координат, xja'-\-yjb-\~z/c = l.
х = а: уравнение плоскости || плоскости^,
У^Ь\ „ . || . zx,
z = c\ , . || . • ху.
Уравнение плоскости, перпендикулярной к проходящему через
начало координат вектору I, имеющему длину / и составляющему
с осями координат углы а, р, у.
xcosa-\-y cosfi -f z cos y —1 = 0 или l°r—1 = 0
(нормальный вид Гессе).
Плоскость так направлена, что вместе с вектором I она определяет
правое вращение.
Для приведения общего уравнения плоскости
Ax + By+Cz-{-D = 0
к нормальному виду делят левую часть на то значение

160 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
при котором постоянный член полученной левой части примет
отрицательное значение (нормирование уравнения) и подставляют
cosa = i4:±|^|, cosp = В:± \Щ , cos? = С:± |«|,
/= —D:±|8C|>0.
Тогда cos a, cos р, cos y суть координаты единичного вектора 1°,
являющегося „вектором положения" плоскости.
8. Расстояние точки Рх от плоскости, заданной
уравнением нормального вида (см. выше), выражается абсолютной
величиной:
р = хх cosa-f-J'i cos р -f"*i cosy —1 или p = l°xi — l;
причем знак + или — для р получается в зависимости от того,
находится ли заданная точка и начало координат на различных сторонах
или соответственно на одной и той же стороне плоскости.
9. Если через точку Plt взятую на плоскости Ах-\-Ву -\-Cz-\-
+ D = 0, провести к ней нормаль, то уравнения последней будут
(х - хх)1А = (У -ydlB = (z - Sl)/C;
при параметре t получают векторное уравнение:
r = rt + W;
этот перпендикуляр параллелен и одинаково ч направлен с вектором
положения 51° плоскости.
10. Уравнение плоскости, проходящей через два пересекающиеся
в точке Р1 направления (аь рь Yi и a2, p2, y2)i выражается
(jc—jc^tcos рх cos y2— cos p2 cos Yi)+(y—\yi)(cos Yi cos a2—cosy2 cosa1) +
-{- (z — zt) (cos ax cos p2 — cos a2 cos px) == 0
или
(г —т1)[5В1°ад = 0,
где 5BL°, SS2° — единичные векторы, определяемые направлениями.
11. Уравнение всякой плоскости, проходящей через линию
пересечения двух плоскостей,
Aix + Bly+Ciz + D1 = 0 или Wix + D1=0
и
А^х + Btf + C2z + D2 = 0 или 2Г2т + £>2 = 0
будет
(А,х + В,у + C,z + D,)-h k(A2x + В2у + C2z + D2) = 0
или
(^ + k %2) х + Dt + kD2 = 0,
где k произвольное число (пучок плоскостей). Уравнение проекции
этой линии пересечения на плоскость ху или yz, или zx получится
исключением zy или х, или у из уравнений обеих плоскостей.
12. Угол ср, образуемый двумя плоскостями (уравнения которых
см. 11), определяется по

Точка, прямая линия и плоскость в пространстве 161
coS?g=— АЖ+В& + С&
УЩ+В? + С& (Л2а + BppSf)
или
cos ф = . - Щ ^2 —= ОТО 9Г О
ср есть также угол, образуемый обоими векторами 5lt и ^(О^фО).
А В С
Плоскости параллельны (ф = 0), если -~- = -=*• = ~.
А2 ti^ Cj
Уравнения двух параллельных плоскостей:
Aix + B1y + C1z + Dx = 0 или 5l1t + D1 = 0
и
i4xjc + ^j/ + CLz + D2 = 0 или %x + D2 = 0.
Плоскости перпендикулярны одна к другой (ср = 90е),
если
A^ + ^xJBa + CiCa^O или 21,212 = 0.
13. Уравнения плоскостей, делящих пополам углы между двумя
данными плоскостями (см. 11), имеют вид:
Atx + Bty+Ctz + Pi ± А2х +_В2у + C2z + D2^a
VAJ + BJ+d* VAf + Bf+Cf
или
«it+fli -к j£+D2_0
Если
xcosat-{-y cosj^-f-^ cos ft —lt = 0 или t^r — lt = 0
и
X COS a2 +.У COS P2 + Z COS Y2 — 4 = 0 ИЛИ У* х— ^2 — °
являются уравнениями обеих заданных плоскостей в нормальной
форме Гессе, то для уравнений обеих плоскостей, делящих углы
пополам, получаем
х (cos at ±: cos a2) -\-y (cos fo :r cos p2) -f 2 (cos Yt ^ cos f2; —-(*i ^2) = °
или
al0ztI20)r-(/1^:/2) = 0. '
14. Точки Я, Pj, P2, P3 лежат в одной плоскости, когда
1 х у z
lx1yiz1
lx2y2z2
:0
(х1 — r)(r2-r)(r3 — т)=0.
11. Hutte, Справочник для инженеров, т. I.

162 Т. I. Отд. "1. Математика, f. Айалияичемсай геометрия
Это является одновременно и уравнениями плоскости, определяемой
тремя не на одной прямой лежащими точками Ри Р2, Р$.
15. Четыре точки Р, Ръ Р2, Я3, не лежащие в одной плоскости,
определяют тетраэдр, объем которого равен абсолютному
значению
6
1 х у z
lx1y1zl
1 Х2У2 z2
1 *з.Кз Ч
Т=^(х1-х)(х2-х)(хд-х).
Т—положительно или отрицательно, смотря по тому, образуют ли ^
три вектора РРХ = т1э РР2 = х2 и РРЪ = г3 — правую или левую
систему.
Если даны длины шести ребер РРХ = а, РР2 = Ь, РРВ = с,
Р%Ръ ■= Р» P*Pi = Я и Р\Ръ = Л то объем тетраэдра вычисляют из
формулы:
О лв^аЧ
r20 p*b2l
q*p20 с21
а*Ь*с*0 1
11110
7* =
1
288
16. Четыре плоскости Л^лг + ^хЗ7 + Сх^+^х3^ или ^xr + ^\—^
(Х= 1, 2, 3, 4) проходят через одну и ту же точку, если
А2 В2 С2 и2
Аъ ^з Q ^з
Л4Д4С4£>4
=0.
Координаты
а в новой —
17. Преобразование прямоугольных координат
точки Р в старой системе обозначим через х, yt z,
через x't у\ zr.
Параллельный сдвиг осей. Если х0, y0t zQ —
координаты нового начала координат, то
: X — Хл,
У'*=У—Уо
г = z-
Вращениеосей около, начала координат. Косинусы углов,
образуемых новыми координатными осями х/\ у', zf
с осью
ЛГ-ОВ буду!
У-ов
Z ОВ „
тогда имеем
х = а'х' +Ь'у' Н
щу = а"х' -+ \Гу' -
z = a'"x' + Ь'У -
\-c'z'
-c"z'
-d"z'.
а«% Ь\ с",
а"', Ъ"\ сш\
х' = агх-\- а"у-f- а"г
y'=b'x+b"y + b'"z
z' = с' X 4- с"У + с" z.

Кривые двойной кривизны
163
Между коэфициентами имеют место следующие соотношения:
L
3.
а"2 +«'"2=1
.... ^
д'2
b'*
с/2_|_ c"2_j_c"'
&'2+</2 =1
£"2 + с"2 =1
|- а" Ъ" А
V Ъ" с" -
- (Г а" -
-а"'Ь"' = 0
-&"V"=0
-с"'а'"=0.
5. a' = b''cm —c"V"
у = с" а'" — а" с'"
с' = а" Ь" — Ъ" а'".
6. а":
с'а'
4. а'я"+&'&" +c'c" = 0
а"а'"+&"&'" + с"с"'=0
а'"аЧ-&"'&' +стс' = 0.
: </ &'» _ &' <.'» I 7. а'" = 6' с" — с' Ъ"
• ar<r — c'd" b''^c'a'' — а'*"
: V а"' — а' Ъ"\ с'" = а'Ь" — Ь' а".
а1 V с'
а" Ь" с"
ашЬ'"с'"
= + 1.
При одновременном сдвиге и вращении координатных
осей соединяем соответственные формулы параллельного сдвига
и вращения.
Применяя векторы, можно короче изобразить вращение
прямоугольной системы координатных осей следующим образом: i, j, ! —
единичные векторы на положительных осях je-ов, .у-ов и г-ов,-
а, Ь, с — на положительных осях х\ у', z\ тогда имеем
*Л+У1 + * = х'а +У'Ь + г'с
a = a'i + аГ\ + а"% Ь = Ь'[+ Ь«\ + Ъ"% с = с"х + сп\ + с'Ч
\ = а'а + Ь'Ь + с'с, 1= *"<*+Ь"Ъ +с"с, I = а"'а + b'"b + с'"с
i2=i2
'=1. ti=JI=
аз = Ъ2 = с2= 1,
J = [11], ! = [Щ
b = [са], с = [аб],.
:fi = 0, i = [ffl,
«! = + !•
afc = be = са = 0, а = [ос],
аос = +1.
18. Для преобразования прямоугольных координат х, у, г
точки в пространственные полярные г, ф, &, находим сначала
координаты точки л/, у, z\ отнесенные к прямоугольной системе
координат, начало которых совпадает с полюсом, плоскость х'у' —
с экваториальной плоскостью, а ось л:-ов — с полярной осью, от
которой отсчитывают угол Ф; тогда хг = г cos <|> sin Ь\ уг = г sin ф sin Ь\
z' = г cos ft.
Для точек оси z'-ов & = 0. Ср. фиг. 64 на стр. 186.
D. Кривые двойной кривизны
а) Общие положения
1. Если прямоугольные координаты ху у, z точки Рв
пространстве представляют непрерывные функции переменной t (параметр),
то, когда t изменяется, Р вообще описывает пространственную кри-
11*

164 f- 1- ОтД- 1- Математика. V. Аналитическая геометрия
вую. Эти три функции х = х(t), у = у(f), z = z(t) по
предположению могут быть достаточное число раз диференцируемы; они могут
быть выражены в виде радиуса-вектора г = г (t\ конечные точки
которого описывают кривую. Всякое уравнение вида F (х, у, z) = 0,
получаемое посредством исключения t,
представляет собою поверхность, на
которой расположена кривая. Во
многих случаях достаточны такие два
уравнения поверхностей:
F\{x%y, z) = О, F2(x, у, z) = 0
для определения кривой как
пересечения этих поверхностей.
Кривая определяется также
уравнениями ее проекций на плоскости
ху и xz: у = 9i (х); z = ср2(*), т. е.
как пересечение обоих вертикальных
Фиг. 47. проектирующих на этих плоскостях
цилиндров.
2. Углы а, р, y, образуемые касательной в точке Р с
координатными осями, определяются по:
dx D dy dz
cos Y = ~f~ ' COS V
COS<x =
ds
ds ' wwr ds '
{ds обозначает диференциал дуги):
ds = | dx | = Vdx1 + dy* + dz* (>0).
3. Косинусы направления касательной являются координатами
единичного вектора (вектора касательной) (фиг. 47):
t =-^-= ! cos a, cosfJ, cosy}» t2 = cos2 a -f cos2 p + cos2 y = 1
ds
Уравнения касательной в точке Р:
б — * -п—у _
С-*
dx dy dz
или если Я = {$, iq, С} радиус-вектор для любой точки касательной:
fR — г = ХЛ, где X обозначает переменный вдоль по касательной
скалярный параметр.
4. Уравнение нормальной плоскости (N):
(Z — x)dx + (yi—y)dy + (t; — z)dz = Q или (Ж — x)dx = Q.
5. Плоскостью кривизны (S) в точке Р называется
плоскость, имеющая с кривой касание по меньшей мере второго
порядка. Принимая
A*=dy<P* — dz<Py, B = dzd?x—dxd?z, C= dxd?y — dyd?xt
т. е. {Л, В, C} = [dxcPx],

Кривые двойной кривизны
165
уравнение плоскости кривизны будет:
A(Z — x) + B(n~y) + C(t: — z) = 0 или (Я —t)[<fc«Pr]=0
$ — X r\—y Z — Z
или
dx
d?x
dy
d*y
dz
d2z
= 0.
6. Лежащая в плоскости кривизны прямая, перпендикулярная
в точке Р к касательной, называется главной нормалью
в точке Р. Ее направление определяется вектором dt/ds = dh/ds2.
Абсолютная величина этого вектора называется первой
кривизной k кривой в точке Р:
k =
dt_
ds
Единичный вектор (dt/ds)° = (di/ds) :k = n называется вектором
главной нормали. Его координаты суть косинусы
направления главной нормали:
cos / = -г-з-: &,
ds1
cosm-
ds*'*'
d?z ,
cos n = -y-s-: k
ds*
n2 = cos2 /+ cos3 m •+- cos2 я = 1
in = cos a cos / + cos p cos w + cos y cos л = 0.
7. Прямая, перпендикулярная к плоскости кривизны и
перпендикулярная к касательной в точке Р, называется бинормалью
в точке Р. Направление ее определяется таким образом, чтобы она
с положительными направлениями касательной и главной нормали
образовала правую систему, т. е. направление бинормали должно
быть направлением бинормального вектора [ttt] = Ь.
Три вектора t, n, Ь образуют сопровождающий
трехгранник кривой. Плоскость t, Ь называется спрямляющей
плоскостью (/?).
Углы X, |л, v бинормали с осями координат находим из
cos X = A/kds3, cos p = B/kds3, cos v = C/kds3.
b2 = cos2X + cos'2{x-fcos2v= 1,
nb = cos / cos X -f- cos m cos p. -f- cos n cos v = 0,
Ы = cos X cos a -f- cos p. cos p + cos v cos y = 0.
8. Радиус кривизны р определяется из
*-= /(M)'+(3r)'+(S
Точка М главной нормали, для которой MP*
тром кривизны. Его координаты суть:
х + Р
(Рх
~d$2'
Уо=У+Р
d*y
ds*f
Zq'
' p, называется цен-
Tq = t + рП,

166 т« Ь ^ТД- !• Математика. V. Аналитическая геометрия
Круг, описанный радиусом MP =p на плоскости кривизны
вокруг точки М, как центра, имеет с кривой в точке Р
соприкасание по меньшей мере второго порядка и называется кругом
кривизны.
9. При движении вдоль кривой по положительному
направлению, определяемому t, плоскость кривизны вращается вокруг
касательной в данном месте. Вращение измеряется изменением вектора
бинормали db/ds; если d6f|tf, то получается правое вращение
вокруг вектора касательной t. Величина вращения определяется
множителем *, если положить
db/ds = — у. п.
у. есть вторая кривизна или кручение кривой. Смотря по
тому х>0 или у.<0 говорят о правом или левом кручении
кривой в точке А Имеем
db . d cos X d cos и, d cos v
y- = — n -j— = — cos / —- cos m —-J—?- — cos n —-j- -
ds ds ds ds
или, если длина дуги s — независимая переменная,
I dx dy dz
d?x dly ffiz
I ffix Фу d*z
или
у. = ^- (Affix + Bffiy + CcPz).
Для плоских кривых * = 0.
b) Цилиндрическая винтовая линия
1. Цилиндрической винтовой линией называется линия,
описанная точкой, равномерно движущейся по окружности круга,
который в свою очередь перемещается равномерно в направлении,
перпендикулярном к своей плоскости, т. е. описывает прямой* круговой
цилиндр.
Если а—расстояние точки Р от оси 2-ов, ср—угол вращения по
отношению к первоначальному направлению (оси л>ов) и с—коэфи-
циент пропорциональности, тогда имеем:
х = a cos <р, у = a sin ср, z = с ср,
ход винта h = 2пс, подъем винта tga = Л: 2тга = с:а.
2. Проекции винтовой линии на плоскостях xz-оъ и yz-ов суть
синусоиды, потому что
х\а = cos (z/c), у/а = sin (z/c)
3. Элемент дуги ds = Va7-{-c2rfcp; длина дуги
* р ds ds* ds*

Кривые поверхности
167
Следовательно, винтовая линия образуется также при наматывании
плоского прямоугольного треугольника с катетами 2 па и h на
круглый цилиндр радиуса а так, чтобы катет 2ка перешел в круг
основания цилиндра.
4. Касательный вектор t = cosa{—sin cp, coscp, tga}.
Касательная образует таким образе и с направлением оси z-ов
постоянный угол 90° — а. Уравнения касательной:
S— х_ т\—у С —г
sin cp ~~ cos <p ~~ tg a
5. Кривизна k = a/(a2 + с2). Радиус кривизны
f = (а2 + с2)/а = a/cos2 a.
6. Виток у. = cj(a2-\-c2) =,sin2a/c. Винтовая линия имеет
правое или левое направление в зависимости от того с > 0 или с < 0,
т. е. в зависимости от того, считать ли высоту
хода положительной в направлении -(-г-ов, или
обратно.
7. Построение проекции
винтовой линии на плоскости xz (фиг. 48).
Делим ход h = bbf на п (здесь 8) равных частей и
на столько же частей окружность круга,
представляющего горизонтальную проекцию цилиндра
(последние деления откладываем от Ь); через
первые точки деления проводим горизонтали,
а через вторые — вертикали; пересечение
горизонтали с соответствующей вертикалью дает
точку, лежащую на проекции винтовой линии.
Е. Кривые поверхности
а) Общие положения
1. Когда координаты х, у, z точки Р являются непрерывными
функциями двух переменных и, v (параметры), то .точка описывает
вообще кривую поверхность, на которой кривые и = const, v = const
образуют сеть криволинейных координат. Например,
х = о cos и cos v, у = a cos и sin v, z = a sin и дают шар радиуса а
с кругами широты (и = const) и меридианами (v — const).
Исключением uylv получаем уравнение поверхности F(xyy, г)=0
или, решая уравнение относительно г, z = z (x, у). Последний
случай имеет место для и = х, v =y.
Предполагается, что все встречающиеся функции могут быть
диференцированы достаточное количество раз. Обозначим через хи,
xv, хии и т. д. частные производные дх/ди, dxldv, д2х/ди2 и т. д.
Далее, обозначим по Эйлеру
" р' dy~q' дх2 ~~ г' дхду " 5' ду2 * *'
дх

? — х
хи
xv
щ-У
Уа
yv
Z-z I
ги
zv
L68 т- !• ОтД- !• Математика. V. Аналитическая геометрия
Три функции х*=х(и, v), y=y(u,v), z=*z(utv) могут быть
выражены одним радиусом-вектором г = х (и, v).
2. Квадрат элемента линии:
dx2 = ds* =_ dx* + dy2 + ^2 = И"2 + 2Frfiid» + Gdt/2,
где
E=xu2 = xa2+yu2 + zu2=\+p2,
77 = ги г* = *Л +ЛЛ, + «А = Р4*
обозначают основные величины первого порядка
Гаусса.
3. Уравнение касательной плоскости;
:0 или (Ш-х)хиху=0,
где fft а= {5, т], С}—радиус-вектор любой точки касательной плоскости,
или
$-х)Гх + ('<1-У)Ру + £-2)Гг~0 или (at-r)gradF = 0.
4. Уравнения нормали:
(6 - jc)//^ = (y) -.у)//^ = (С - z)/F, или SR - г = X grad F,
где X — переменный вдоль нормали параметр; или
(6 -*)М = fo ~У)1В = (С -*)/С или Я - г = ц [гигД
где
обозначают координаты вектора [xuxv]. Относящийся сюда
единичный вектор называется вектором нормали У1 = [xuxv]° и имеет
координатами косинусы углов, образуемых нормалью У1 с гремя
осями координат.
Если эти косинусы направления обозначим через Xt К, Z, то
$1 = {X, Yt Z}, и имеем:
X=A/T=FXIW = — pIT,
Y = B/T=FyIW= — qlT,
Z=C/T=FJW= + \IT,
где
Г»/Б5'^75=У>Н-^+1>0, W=V'Fx2 + F/ + F^>0
или
^ «[t„tv]: Г = grad Z7:! grad F|,

Кривые поверхности
169
5. Величина элемента кривой поверхности:
dO = Tdu dv = Wdx dy/Fg = Vp2 + ^ + l dx dy.
Для определения величины ограниченной части поверхности
вычисляют двойной интеграЪ ffdO, распространенный в пределах
переменных и, v или же соответственно х, у (стр. 115).
6. Две кривые и = const, v = const, проходящие через точку Р
поверхности, образуют координатный угол <о, для которого
cosa> = F:l/"£G, sin o> = Т: Y~EG-
Если F = О, то линии координат образуют ортогональную
сеть, т. е. перпендикулярно пересекаются. -
7. Всякая плоскость, проходящая через нормаль, пересекает
поверхность по линии, называемой нормальным сечением;
его кривизна п в точке Р называется кривизной
нормального сечения. Тогда имеем
_ Ldu2-j-2Mdudv + Ndy2
п~~ EdsP + 2Fda dv + Gdv1 '
где
^ = - * A = - (*Л +УиУи + *aZa)>
M=~ TvKa = - (xvXa +yvVu + zvZa) =
= ~ *u*v = - (*uXv +yJv + ZuZv)>
N=- xjkv = - (xvXv +yvYv + zvZv)
обозначают основные величины второго порядка.
Также
/- = ^аи = Ххаа + ¥Уии + Zzaa = rlT>
М = 9bcav = Xxav + Yyav + Zzav = 5/Г,
W = Wxvv = X*^ + Yyvv + Zzvv = */Г;
/i = (r rf*3-f 25 dx dy + f dy2)/Tds2.
8. T e о р ем а Менье. Плоскость, проходящая через
касательную к нормальному сечению и образующая с его плоскостью угол &,
пересекает поверхность по косому сечению, кривизна которого к
в рассматриваемой точке:
k = л/cos %.
9. Главные кривизны. Среди плоскостей, проходящих
через одну и ту же нормаль к поверхности, имеется вообще одна,
для которой соответствующая кривизна нормального сечения
наибольшая, и другая — для которой она наименьшая.
Соответствующие нормальные сечения называются главными
нормальными сечениями в данной точке Р поверхности, кривизны
называются главными нормальными кривизнами /zt и
п9; они определяются уравнениями:

170 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
пх + Яа = (GL - 2FM+EN): Г2 *= [(1 + q*) г - 2pqs f (1 +/>2) *]: Р,
- n1n2=(LN-M2):T* = (rt--sZ):T*,
где P=£G~f2 = p2 + ^a + l.
•10. Теорема Эйлера. Для нормального сечения, плоскость
которого образует с плоскостью главного нормального сечения (пх)
угол <р, имеем
л = nt cos2 cp -J- л2 sin2 9.
Главные нормальные сечения перпендикулярны друг к другу. Для
нормальной кривизны двух друг к другу перпендикулярных
нормальных сечений имеем п' + п" = /i^ -f- n2.
11. Величина Н= пг + п2 называется среднею кривизною,
а величина К = пхп2-=-(гауссовой) мерою кривизны
поверхности в точке Р.
Теорема Гаусса. Если изгибать поверхность без растяже-
.ния, то мера кривизны в соответственных точках остается
неизменной. Если АГ = 0, то поверхность может.быть развернута на
плоскость. При /С>0 имеем поверхность выпучивающуюся, а при /С<0
седлообразную.
Имеем далее
/С =
— 1
F F F F
1 хх 1 ху ' xz ' X
F F F F
ХУ У У У* У
F F F F
1 хг л у г ' zz J z
F F F 1
1 x ' у ' z x
п~ \дх^ ду~*~ dz)
12. Оба (всегда взаимно перпендикулярные) семейства кривых
поверхности, касательные которых определяют оба главные
нормальные сечения, называются линиями кривизны
поверхности. Если сеть координатных линий и = const, v = const состоит
из линий кривизны, ю F = О, М = 0.
Оба семейства кривых поверхности, касательные которых
определяют нормальные сечения кривизны п = 0, называются
асимптотическими линиями поверхности. Они только
вещественны, когда К <0. Если сеть координатных линий состоит из
асимптотических линий, то L = 0, 7V= 0.
Линии кривизны делят пополам углы асимптотических линий.
13. Если в пространстве три семейства поверхностей
пересекаются так, что в каждой точке пересечения все три линии разреза
взаимно перпендикулярны, то линии разреза являются вместе с тем
линиями кривизны тех поверхностей, на которых они лежат.
Ь) Поверхности второго порядка
1. Общий вид уравнения поверхностей второго порядка
*ц*а + аъУ2 + ая?2 + Ъа^уг -J- 2аъхгх + 2а1%ху + 2аих + 2a^y +
+ 2a^z 4-^44=0.

Кривые поверхности
171
2. Если обозначим для краткости
D =
«п а12 а1Ъ ан
«21 «22 «23 «24
«31 «32 «33 «34
«41 «42 «43 «44
Д =
«11 «12 «13
«21 «23 «23
«31 «32 «33
S = «11 + «22 + «33>* * = «22«33 + «33 «11 + «11 «22 ~" Л23 ~~ «31 ~~ Л12
(причем aik = ал/), то получим, при прямоугольных координатах,
следующие условия для вида поверхностей, представляемых общим
уравнением, поскольку оно действительно и не распадается на пару
плоскостей:
эллипсоид при £><0, $Д>0, *>0;
двуполый гиперболоид £><0, s А и t одновременно не>0;
однополый гиперболоид Z>>0, shut одновременно не>0;
конус D = О, Д ф 0, кроме того s А и / одновременно не > 0;
эллиптический параболоид при Д = 0, D<^0, />0;
гиперболический параболоид при А = 0, /5>0, *<0;
цилиндр при D = 0, Д = 0.
3. В поверхностях, имеющих центр (А20), последний
получается как точка пересечения следующих плоскостей: •
«11* + «12^ + «13* +Л14=Р
«21* + «22.У + «23* + «24 = °
«31* + «32.У + «33* + «34 = 0.
4. Приняв центр поверхности за начало координат, а ее
главные оси — за оси координат, получим следующие уравнения
поверхностей, имеющих центр:
эллипсоида: х2/а2 +y2/b2 + z2/c2 = 1
однополого гиперболоида: х2/а2 -\-у2/Ь2 — гЦс2 = 1
двуполого гиперболоида: х2)а2 —у2/Ь2 — z2/c2 = 1.
Здесь я, Ь, с обозначают полуоси главных сечений; в первом
случае они все действительны; во втором — Ы, а в третьем Ы и
ci означают мнимые полуоси гипербол главных сечений.
Длины полуосей получаем из
cfl = — Dfk1^ b2 = — £>/Х2Д, <* = — £>/Х3Д,
где Xlt Xg, X3 обозначают действительные корни кубического
уравнения
«U — ^ «J2 . «13
«12
Яоо —X я<
1-Х
= 0.
^13 «23
5. Конус. Всякое однородное уравнение второй степени с тремя
переменными вида:
Ах2 + By2 -\- Cz2 + Dxy + Exz + Fyz = Q

172 Т. I. Отд. 1. Математика. V. Аналитическая геометрия
представляет коническую поверхность, вершина которой
лежит в начале координат.
Если направляющая кривая конуса, вершина которого
совпадает с началом координат, представляет эллипс с полуосями
а и Ь, плоскость которого перпендикулярна к оси 2-ов и удалена
от начала координат на расстояние /г, то уравнение конической
поверхности:
х2/а2 +у2/Ь2 — z2/h2 = 0.
Если направляющая конуса представляет окружность
радиуса а, то в предыдущем уравнении надо положить b = а
(уравнение прямого кругового конуса).
6. Шар. Уравнение шаровой поверхности (качало координат
в центре шара):
x2+y2 + z2 = r2.
Если же £, Y), С означают координаты центра шаровой
поверхности, то ее уравнение:
(x-S)2+(y-l)2 + (*-W = r2.
Всякое уравнение вида:
x2+y2+z2 + Ax + By + Cz 4-Д = 0
представляет шаровую поверхность; при этом
г = ±Уа2 + В2 + С2-АО;
е — 4-* ч«-т* < = -тс
7. Параболоид. Уравнение параболоида в простейшем
виде: х2\2р-±.y2\2q = z. Верхний знак относится к эллиптическому,
а нижний к гиперболическому параболоиду; р и q суть параметры
парабол главных сечений.
8. Цилиндр. Уравнение цилиндрической поверхности,
перпендикулярной к одной из координатных плоскостей,
определяется уравнением кривой пересечения этой поверхности в
соответствующей плоскости.
Если линия пересечения цилиндра с плоскостью ху есть эллипс
или гипербола, полуоси которых а и Ъ, а образующие цилиндра
образуют углы а, р, ? с координатными осями, то уравнение
цилиндрической поверхности:
(х —- z cos a/cos ?)а (у — z cos ft/cos ?)2 __
a2 ~ Ь2 ~
Знак + для эллиптического, знак — для
гиперболического цилиндра. ,
Простейшее уравнение прямого параболического
цилиндра:
z = x2/2p.

Кривые поверхности
173
с) Винтовые поверхности
1. Если все точки плоской кривой описывают около одной
и той же оси винтовые линии одинакового хода h (стр. 167 и след.),
то получается общая винтовая поверхность. Если пересечь
винтовую поверхность плоскостью, содержащею ось, то кривая
пересечения дает профиль этой винтовой поверхности.
Если ось 2-ов является винтовой осью, z = /(x)—уравнение
профиля в плоскости xz, h —- ход витка, и — расстояние точки Р
поверхности от оси, v — угол, на который это расстояние (параллельно
к оси jc-ob) повернулось относительно первоначального положения,
то при h = 2 % с
x = ucosv, у — и sin v, z = cv-\- f(u)
представляет винтовую поверхность в параметрах.
Кривые и = const суть винтовые линии, v = const — линии ее
профилей. Исключение и% v возможно и дает:
z = cnctg£+f(Vx2+y2)-
2. Для f(u) = 0 получается обыкновенная винтовая
поверхность (витая поверхность), для h = О — поверхность
вращения, кривые и = const, v = const являются на ней кругами широты
и меридианами.
3. Квадрат линейного элемента
ds9- == [1 + /'(и)2] dtp + 2с f'(u) dudv + {Ф + с2) <к>\
Каждая винтовая поверхность развертывается на поверхности
вращения так, что винтовые линии соответствуют кругам широты.
4. Для витой поверхности (обозначения,
как в а), стр. 167) имеем:
ds* = du2+(u*+c°)dv9't .
£=1, F=0, G = a2+c*;
ее винтовые линии и профильные прямые
пересекаются везде перпендикулярно.
Далее,L = О, М «= — с/Vu2+c2, ЛГ= 0;
винтовые линии и образующие прямые
образуют сеть асимптотических линий
поверхности. * Фиг. 49.
5. Вектор нормали для витой поверхности
\ с sin v —с cost/ и
I V"2+c* ' V ti*+c*' V«3+c*
нормали поверхности образуют вдоль винтовой линии с осью z-on
постоянный угол.

174 Т. t. Отд. 1. Математика. VI. Векторный, анализ
6. Имеем Н = О, К = , 2_i_ 2\з ^ ^* так что эта поверхность
принадлежит к числу минимальных, т. е. к тем поверхностям, которые
при заданной ограничивающей кривой обладают наименьшей
площадью.
7. Площадь. Если пересечь винтовую поверхность
коаксиальным цилиндром радиуса а, плоскостью xz и любой плоскостью,
проходящей через ось z, образующей с плоскостью xz угол v,
то площадь ограниченного таким образом участка поверхности
(на фиг. 49 ОАВС) равна
О = -1 ifiv . [l/cos a -tg2 a • In tg (a/2)],
где tga = c/a есть подъем винтовой линии, вырезанной цилиндром.
VI. Векторный анализ1)
1. Перемещение, благодаря которому точка Р пространства
переходит в точку Q, определяется расстоянием (длиною),
направлением и смыслом направления участка PQ, который поэтому
может быть назван вектором (от латинского vehere). Всякое
представление, которое геометрически может быть выражено как
направленное протяжение, также называется вектором;
сюда относятся: скорость, ускорение, сила, сила электрического и
магнитного поля и т. д. В противоположность этому всякое число
и всякая величина, вполне определяемая одним числом, называются
скалярами (от латинского scala), как-то: температура, плотность,
работа, электрическое напряжение и т. д. В дальнейшем векторы
обозначаются черточкой наверху или готическими буквами:
PQ = ь = £
Задачей векторного исчисления является составление
формальных правил, согласно которым, с целью уменьшения
умственной работы, можно было бы также вести счет с векторами как
с числами. Однако, соответственно геометрическому определению
вектора и эти правила исчисления должны иметь геометрическую
природу. Эти правила покоятся на произвольных допущениях,
*) Литература. J. S p i е 1 г е i п, Lehrbuch der Vektorrechnung, Stuttgart, 1916;
С. R u n g e, Vektoranalysis, Bd. I, Leipzig, 1919; S. Valentine rf Vektoranalysta,
Leipzig, 1912 (G6schen); F. E m d e, Auszuge aus Maxwells Elektrizitat und Magnetismus,
Braunschweig, 1915; E. В u d d e, Tensoren und Dyaden im dreidimensionalen Raum,
Braunschweig, 1914; G. Jaumann, Grundlagen der Bewegungslehre, Leipzig, 1905;
H. Diefielhorst, Formeln und Satze der Vektorenrechnung, inOraetz, Handbuch
der Elektrizitat und dfes Magnetismus, Bd. IV, Leipzig (Joh. Ambr. Barth), S. 1138.

Перемещение
175
которые, однако, приноровлены к потребностям геометрии,
механики, математической физики и техники. Надо заметить, что уже
доказана невозможность перенести все правила исчисления j:
числами на исчисление с векторами в пространстве.
2. Два вектора PQ = b и RS = to тогда и только тогда между
собою равны, когда оба соответствуют одному и тому же
перемещению в пространстве, т. е. имеют одинаковую длину, направление
и смысл направления; это свободные векторы. Свободный
вектор может, следовательно, быть перемещаем в пространстве как
угодно параллельно, самому себе, причем длина и смысл
направления остаются неизменными. Векторы, встречаемые в физике, не
всегда являются свободными в этом смысле.
Вектор ОР=х с неизменной начальной точкой называется
радиус-вектором. Два радиус-вектора тогда между собою равны,
когда они идентичны, т. е. вполне совпадают.
3. Мерой длины вектора Ь является его
(абсолютное) значение; оно обозначается через |Ь|, причем
всегда |Ь|>0. „Величина" скорости, ускорения,
силы, «интенсивность» магнитной или
электрической силы поля являются такими значениями
векторов. Значение вектора естественно является ска- Фиг. 50.
л я р о м 1).
Вектор, начальная и конечная точки которого совпадают,
называется нулевым вектором и обозначается просто через 0. Его
значение равно нулю, его направление неопределенно.
4. Под — Ь = QP понимают вектор той же длины, что и b =PQ
и параллельный ему, но с противоположным направлением. Имеем
1-МНЫ-
Если т число, отличное от нуля, то через mb = bm— to обозначают
вектор, который при т > 0 параллелен и одинаково направлен (ff)
с вектором Ь, а при т < 0 параллелен и противоположно (||)
направлен и которого значение в \т\ раз больше, чем значение Ы
toffb при /я>0; tofjb при /и<0; |to| = |m|- |Ь|.
При т = 0, имеем тЬ = 0. Фиг. 50 показывает вектор И, 2Ь,
2 Ь. Имеем
ХОхЬ) = р.(ХЬ) = Х(лЬ.
5. Вектор у—г есть вектор параллельный и одинаково направлен-
ный к вектору Ь(ф0) со значением, равным единице; это есть
соответственный Ь вектор-единица; его обозначают через Ь°
(V в степени 0). Имеем, следовательно,
v = \v\-v°.
а) Абсолютное значение величины т также обозначают через |т|, но
обращение тут невозможно..
/У А

176 ?• 1- Отд. 1. Математика. VI. Векторный анализ
___ 6. Если путем_параллельного перемещения прибавить к вектору
АВ=*а вектор ВС=*Ь (фиг. 51), то ЛС*=с называется суммой
(составляющей) от а и Ь:
Сумма АВ = а и ВС'=—Ь называется разностью а и 6:
Ь = а — & = а + (— Ь).
В параллелограме, определяемом а и &, имеем с = a ф о и
Ь я= а — Ь, соответствующие диагоналям фиг. 52.
Имеем следующие правила:
а + Ь = U + а (закон перестановки в сложении),
а ф (& + с) = (а ф Ь) + с (закон соедингния),
Х(афБ)=ХафХБ (закон распределения),
а — а = 0.
Далее имеем |a + B|<|a| + !Н где знак
равенства имеет место при a ff Ь. Если
в1 + «а + --- + «я =0,
то эти последовательные п векторов обра-
Фиг. 51. зуют замкнутый (вообще говоря, косой)
многогранник с п сторонами.
7. Пусть а, р, г, Б, суть неравные нулю скаляры, а 5С, S3, (£, $)—
неравные нулю векторы; в этом случае получаем следующие
теоремы (и им обратные):
a) Если Ж параллельно S3, то а Ж ф p S5 = 0.
b) Если 2Г, S3, (S параллельны одной и той же плоскости
(компланарные векторы), но ни один из них не параллелен двум
другим векторам, то
а2Г+рЗЗ + Т(£ = 0.
c) Если 2Г, S3, (£, Ф расположены как
угодно, но среди них нет трех компланарных
и нет двух взаимно параллельных, то
а Яф рS3ф y (£ф &£) = 0. фиг> 52<
Отсюда вытекают следующие формулы:
А. Всякий вектор S3, параллельный вектору 31 (ф0), может
быть представлен в виде:
33 = Х2Г,
притом только одним способом (фиг. 53).
8. Если 2((ф0) и S3 (Ф0) между собою не параллельны, то
всякий вектор (5, компланарный с % и S3, может быть представлен
в виде:
(£ = ХЯф[л53,
притом только одним способом (фиг. 54).
ш/

Скалярное произведение 17?
С. Если Ж (фО), 33 (4=0) и (5 (=t=0) не компланарны, и среди
них нет двух взаимно параллельных, то всякий вектор Ъ может
быть представлен в виде:
Я) = Х§Г+цЗЗ + *<£,
притом одним только способом (фиг. 55).
Если % 33, (£ суть векторы-единицы, то величины X, jj., v
называются координатами вектора $) в отношении векторов Ж, 33, (S.
Фиг. 53. Фиг. 54. Фиг. 55»
8. Под углом ЖS понимают наименьший из углов,
образуемых направлениями 31 и 33:
0<|€8|<ir.
SB5t = — жЬ; cos$Bir = cos2f8; sin 33% = — sin жЪ.
9. Внутреннее (скалярное) произведение:
St S3 = (5133) = | Ж | • 1331 • cos жЬ
является числом (скалярным) *). Пример: сила $, неизменная по
величине и направлению, совершает вдоль направленного (прямого)
участка пути £ работу
4»$*=-:|$| -ISl-cossps.
33 9Г = 9Г S3 (закон переместительности внутреннего произведения),
2t(33 + (§:) = 2t33 + 2l(S (закон распределения),
(Х2033 = Х(2Ш) = Х2Ш.
Если ЗГЗЗ = 0, то Ж = 0 или S3 = 0 или Ж ± S3 и наоборот.
При 33 = 51 получается 9131 = Ж2 = | 21 |a = norm от Ж.
(Ж =£ S3)3 = 2Г2 :£ 22ГЗЗ + S32 (закон косинуса),
(5Г+ S3)2 - (51 - S3)2 = 42133.
10. Для проекции 33 на 2Ц=|=0) получаем (фиг. 56):
(Надо помнить, что сокращение векторных множителей недопустимо).
1) Для скалярного произведения употребляют также обозначения £?ДО, «•©,
'XS, (И, 93), но они не рекомендованы Комиссией AEF.
12. Hutte, Справочник для инженеров, т. I.

178 Т. I Отд. 1. Математика. VI. Векторный анализ
11. Три некомпланарных вектора U, 35, ЗВ образуют в этой
последовательности положительный (или с правым
вращением) трехгранник, если вращение направления it по направлению
к 35, сопровождаемое одновременным перемещением по
направлению 3S, приводит к правому вращению (фиг. 57 и 58).
Правозакрученный трехгранник характеризуется U 35 303 > О,
а левозакрученный U352B<0; ср. 13.
Фиг. 56.
(Спереди)
Фиг. 57.
Правое вращение.
(Спереди)
Фиг. 58.
Левое вращение.
12. Внешнее (векторное, векториальное)
произведение двух векторов U, 35 есть вектор 335, однозначно
определяемый следующими четырьмя положениями:
1. $BJ_U, 2. 35* ±35,
3. |SB| = |U| . |35| • |sinU8|, 4. иЗШ>0.
Таким образом векторное произведение [U35] есть вектор,
перпендикулярный к плоскости векторов U, 35 и длина которого
численно равна площади параллелограма, образованного из U и 35;
направление этого вектора определяется условием, чтобы U, S5,
[U35] в этой последовательности образовали правозакрученный
трехгранник (фиг. 59) !)•
Примеры. Момент вращения силы ф по отношению к точке вращения О и
точке приложения силы Р, где ОР = г, выражается векторным произведением
5Щ= [хщ, чем одновременно определяется и смысл вращения (фиг. 60).
Угловая скорость твердого тела, точка которого находится на расстоянии Т
от оси вращения, и движется со скоростью tf(J_r), определяется по величине
и смыслу вращения вектором
гг
Имеем:
[шг\ = v.
[3SU] = — [U35] (закон переместительности здесь не применим),
[U(Sl + 35)] = [USC]+[U33] (закон распределения),
4U35] = [XU33] = [UX35].
1) Иногда употребляются также следующие Комиссией AEF не
рекомендованные обозначения: У1Щ, ИХ$. ИдШ, uv, где «, г—векторы.

Векторное произведение
179
Если [U33] = 0, то U = 0 или 33 = О, или U || 33 и наоборот [UU] = 0;
[U33]2 = U2332--(U33)2,
[(U~5B)(U+3S)]=2[U35].
13. При трех векторах закон соединения не приложим ни для
внутреннего, ни для внешнего произведения, но имеем 5(133 ©] =
= 33 [©51] = © [5(33]. Этот скаляр, неизменный от циклической
перестановки величин 5Г, 33, (5, обозначается через §133® или (5(33©);
по абсолютной величине он равен объему параллелепипеда из трех
векторов 5(, 33, ©; он положителен, если 5(, 33, © образуют
положительную систему (фиг. 61).
= ©335( = 335(© = -5(33©.
15(33©|<|5(Н$В|-|©|, если 5(, 33, © все взаимно перпендикулярны.
5133(5 = 0, если 5(, 33, © взаимно компланарны.
i = 0.
то
Фиг. 59.
Фиг. во.
14. (5(33©).(И33303) =
IЖ 5(33 8KB I |5(2 2133 5(©
ЗЗП 3333 33393 , (5(33©)2 = 5(33 S2 23©
| ©U ©33 ©303 | I Ш 33© ©^
(5(35©)2 = ^ЗЗ2©2- 5(2 (33 ©)2- ЗЗ2 (©5()2--©2 (5(33)2 + 2 (5(33) (33©) (©51).
(5133©)2=[5133][33©][©5Ц.
15. Теорема развития:
[21[33©]] = (5(©) • SB - (5(33).. © = [[©33] Щ.
[5([33©]] + [33[©5(]] + [©[5(33J] =0- *
16. [5(33][©Ф] = (5(©)(ЗЗФ)-(33©)(5(Ф).
[[5(33] [©£>]] = (5(33$). ©-(5(33©)-£) = (5(©£)) -33 — (33 ©Ф) • 5(.
(5(33©) • ® = (ЗЗФ) [©5(] + (©£>) [5(33] + №И) [53©].
[5(U] [3333] [©355] = (5(1Щ) - (8<Ш). (5(33U). (©ЯШ).
(5(33©)33 = (3333©)5( + (SB©5()33 + (^5(33)©.
I 5(5Г 3351' ©5Г Ф5С
5(33' 3333' ©33' ©»'
5(©' ЗЗ©7 ©©' ©<&'
15(Я>' 33£)' <5Я>' 2)2)' I
12»
= 0,

130 Т. Т. Отд. 1. Математика. VI Векторный анализ
где % 93, (S, ©, 21', W, (£', О'— любые векторы.
17. Если а, Ь, с не компланарны, т. е. п&сфО, то три вектора
abc ' abc ' аЬс
называются обратными к a, Ь, с. Если все векторы имеют общую
исходную точку, то система а', Ь', с' образует угол, полярный
к углу а, Ь, с. Имеем:
а'Ь'с' ' а'Ь'с' ' а'Ь'с' '
ап' = ЬЬ' =s= ее' = 1, (аЬс) (а'Ь'с') = 1,
аЬ' = Ьа' = be' = cb' = са' = ас/ = 0.
$ = ($а') а + (535') b + (23с') с = (55а) а' + (336) б' + (53с) с'.
18. Разлагая "вектор S3 на два взаимно перпендикулярные
направления, из коих одно определяется вектором U, получаем:
1Ш ru[$ufl
.2 19. Все приведенные выше определе-
Т ния, теоремы и формулы независимы от
{§* системы координат. Прямоугольная,
правая картезианская система координат, опре-
» ,—j-р деляется (кроме положения начальной точ-
} ки О) тремя векторами-единицами i, j, f,
х/г о с н о в н ы м и векторами, которые взаим-
'cnt»**m но перпендикулярны и в указанной
последовательности образуют правую си-
фиг. 62. стему, причем их направления
последовательно совпадают с положительными осями
л, v, z. Вместе с тем определяется и масштаб координатных осей
(фиг. 62).
Имеем:
i2 = i2 = fa = l,
ij=if=fi=0, ii! = + l,
так что
Qfl-t, РЧ-J, [tfl-t
20. Проекции вектора Ж на t, J, f или, что то же самое, на три
координатные оси х, у, z пусть будут %х, %у% %z\ тогда 21 = 91х +
+ 21y + Wz. Координаты % пусть будут Ах, Ау, Аг\ так что 21ж==
Имеем:
««^t+^yi+^I-JA,, Л,, Л,}

Переменные векторы
181
> = а* + Ay2+Az\ \Щ = + Уа? + ау2-\ az2 = a.
cos Ш = АХ: А,
cos Щ = Ау : Л,
у
COS^f:
г у . ,., v,^ v*v~ ,4* : Л.
Эти .косинусы направления" вектора Ж вместе с тем являются
координатами вектора-единицы 51°= {cos Ш, cos 21{, cos&fj.
21. *+8 = {Лх+Я,. Л^+S,, Л, + Я,} =
^М,+ В,)1+Иу+Ву)1+И,Ч-В,)1
Х5Га= {ХЛ^, \Ау9 ХЛг} = Xi4xt+ Xi4 J+ Xi4,t
ШВ^Л^+Л^+Л^.
[«©1 =
i J f
^ж "у "г
Bx By Вг
-(A,Bt- АгВу)i + (АгВх - АхВг)\ +
+ (AxBy-AyBx)t.
Координаты [21931 получаются посредством циклической замены
букв *, у, г.
АхАуАг
ВхВуВг
ВХС2)-
- Ax(ByCz- ВгСу) + Ау(ВгСх-
\СхСуСг\ +Az(BxCy-ByCx).
t= {1,0,0} } = {0,1,0} != {0,0,1}
22. Вектор, направление и величина которого зависят от одной
или нескольких скалярных переменных, называется переменным
вектором. Непрерывность и диференцируемость по скалярным
переменным у векторов та же, что и у скалярных функций;
например, производная вектора 2> (t) по переменной t равна: •
58 (t + h) — S (t)
$B'(t):
= lim
л->0
h
диференциал равен:
и т. д.
Имеем:
(№ == Ъ' (i) dt
»</+Л) = 8Ю'+jp»'M+ ^8''(/)+...+ -^8(rt)W +
+ -jr»A Л).
где ©(*, Л)-* 0 при Л-* 0.
|d$B|<d|23|<|d$|

182 Т. I. Отд. 1. Математика. VI Векторный анализ
Когда длина 33 остается неизменной, то 33 d© = 0.
Когда направление 33 остается неизменным, то [33^33] = 0.
33°d(33°) = 0.
23. d(K+®) = cm+d%
d(U93)=rfn.33 + U.rf33
d[U93] = [dU23]-f[Ud&]
d(U332B) = (<Ш) SB2B_|_ u (rf5B) 3£ -f U33 («/») =
= П^2В + $В23аШ+2В1ЫЗЗ
d% = {dA t dA , dA) ,
. dx={dxdydz) \dx\ = Vdx* + dy2 + dz* = dte
есть длина элемента пространственной кривой (стр. 164). Вектор-
dx
единица -т— = t имеет направление касательной к этой простран-
ственной кривой, которая описывается конечной точкой Р
переменного радиус-вектора ОР = г (тангенциальный вектор).
24. Векторное поле есть часть пространства, в котором
каждой точке принадлежит некоторый вектор Ж (вектор поля);
через | Ж | обозначают силу (интенсивность) поля в данной точке.
Кривые, тангенциальные векторы которых в каждой точке
совпадают с вектором Ж°, называются полевыми или силовыми
линиями. Они определяются векторным диференциальным
уравнением первого порядка:
dx
[2Мг] = 0 или Ж° = -~ = 1,
совпадающим со скалярными диференциальными уравнениями
dx : dy : dz = А '.А : А .
Через обыкновенную точку однозначного векторного поля не
могут пройти две различные силовые линии. Это не относится
к особым точкам, где | Ж \ — 0 или | Ж | = со.
25. Скалярное поле есть часть пространства, каждой точке
которого соответствует значение скалярной функции ср.
Поверхности ср = const называются поверхностями уровня
скалярного поля. В однозначном скалярном поле через общую
точку не могут пройти две различные поверхности уровня. Каж
дому непрерывному скалярному полю соответствует векторное поле,
полевой вектор которого указывает направление наибольшего
изменения функции ср и которого значение равно этому измс-
нению -т1-
ds
Он называется градиентом ср, grad <р. Имеем:
dcp = grad ср. dx = -£ dx + -J- dy+ -£ dz.
Силовые линии grad ср пересекают поверхности уровня ср = const
нормально.

Скалярное поле
183
Если grad ср = ©, то ср называется потенциалом ®.
26. grad ср
дер
дх
1+ ду 1+ dz l>
*-*-Ф),+(£У+Ш
ду
(диференциальный параметр 1-го порядка),
grad (Сер) = С grad ср, где С есть скалярная постоянная,
grad (ср -f Ф) = grad ср + grad <f,
grad (<p<M = <р grad 6+ ф grad cp,
grad F (ср) = /?/ (ср) grad ср.
27. Градиент можно определить, как пространственное дифе-
ренцирование скалярной функции ср, при помощи векторного
диференциатора „набла"
так что
у ср = grad ср.
Знак V есть знак действия, аналогичный знаку d обычного
(скалярного) диференциального исчисления; так как результат
диференцирования не зависит от выбора прямолинейных координат,
то V имеет значение вектора, подчиняющегося правилам
векторного анализа, слагающие которого, однако, являются не
числами, а знаками диференцирования. В качестве диференциатора
V действует на стоящие от него вправо скалярные функции и
переменные векторы, поскольку они связаны с ним произведением;
диференциатор не действует на написанные влево от него скаляры
или векторы. В виду этого при вычислениях со знаком V нельзя
менять порядка символов.
28. Применение знака V к вектору % приводит к 1):
; div % =
дАх
дх
и к
■^+-£•<«»»? о
[У2Г] = гоШ:
t i
д д
дх ду
Ах А..
I
д
dz
А,
(дА, дА \ (дАх дАЛ (дАу дАЛ
\ ду дг)1'г\дг' дх)1'г\дх ~ду I
1) Вместо rot 51 — Комиссией AEF не рекомендуется — пишут также и curl %,
quid Я,

184 Т. I. Отд. 1. Математика. VI. Векторный анализ
2а div (X Ж) = X div 51 + (grad X ЗГ)
rot (ХЗГ) = X rot 31 + [grad X31]
div (ЗГ + 53) = div ЗГ + div 33
rot (51+ 33) = rot 3t + rot 33.
80. Если t = -7— = < -j-, -~-, -~ i тангенциальный
вектор пространственной кривой, то
dx дЖ_ 'dy _^_,_^£_ д5Г дЖ
{tV)*-~dF' дх "Т" ds ' ду + ds """5Г~~~ rf5
есть изменение 31 по направлению ds (или t).
(33 V) 51 =в 1331 • (33° V) ЗГ. есть изменение 51 по направлению 33,
помноженное на значение 33.
31. div [ЗСЗЗ] =* 33 rot ЗГ — 51 rot 33
rot [5133] = (33 V) 5t - (5С V) 33 + 5Г div 33 — 33 div 5t
grad (3133) « (33 V) 5C+ (ЗГ V) 33 + [Ж rot33] + [33 rot Щ
grad |5r|^(3t°V)3i:+[3l0rot3r]
(3PV)3i:0+[5t°rot5t°]=0.
Л2 Л2 Л2
32. V2 — -^a" + ~fca + ~a^" "" А (диференциатор 2-го порядка)
у* <р s div grad <р = А ¥ (диференциальный параметр
2-го порядка)
V (V 51) *= grad div Ж
[V [ V 51]] = rot (rot 51) =*= rot2 51 = grad div Ж — Д 51
[V V <p] *= rot grad (p = 0
V[V 5C] = div rot Ж = О
А (?Ф) = ?АФ + ФА?+2 grad 9 • grad ф.
33. [[V 5t] 33] = (V 33) Ж - V (5133) = (V 33) 51 - grad (5ГЗЗ)
5133(5 div ft = [3133] «£ V) £> + [33©] (51V) Ю+ [<Щ (33 V) Ф.
34. Пусть г = { jc, 3/, 2 } есть радиус-вектор, /" = I г |, r° = —
соответственный вектор-единица, с постоянный вектор; тогда:
г°
grad r =в х° grad (cr) = с, grad (r-i) = -^- э
grad/(r)=/'(r)r°,
div x = 3, div r° = у , div (--) = О,
div [cr] = 0, div [/(r) to] = 2 Z^L +// (r),
rot t = 0, rot [cr] = 2c, rot [/(r)r] =» 0,
(cV)t = c, Ay = 0.

Криволинейные и цилиндр, координаты
185
35. Конечная точка радиус-вектора х(и), зависящего от
скалярной переменной ы, описывает пространственную кривую; конечная
точка г (я, v) описывает кривую поверхность, на которой кривые
и = const, t/ = const образуют сеть. Конечная точка г (и, vt w)
описывает часть пространства, определенным образом подразделяемую
поверхностями и = const, v = const, w = const (и, vt w называются
криволинейными координатами (ср. стр. 167).
Квадрат линейного элемента любой кривой на поверхности
равняется dx2 = Edu2-f 2 Fdudv -f Gdv2, где
Я==С"^г)' F=~5u ~Bv9 G==z\di>J;
F == 0 означает, что кривые и = const ир = const взаимно
пересекаются под прямыми углами.
Вектор элемента поверхности d\ = -^ ^— datfv значения
| d f | = do равен VEG—F2 du dv.
Элемент объема пространства
Имеем
*оглс Г д% дх d<& дх\^ А
rot 2Ш = -5 ч -: -г-) da dv,
\ ди dv dv du / *
~~ i du \ ~~dv dw J ~*~ l)v \ dw ~du J "*"
■(«■£-£)]■
rftf A/ dl0.
Векторы (-^H = u, ( ~^-) = *>> \dw) e to являются
тангенциальными векторами трех координатных линий, вдоль которых
пересекаются в пространстве * поверхности и = const, v = const,
w = const, в конечной точке OP = г. Пусть вектор-поле St
разложен на слагающие по отношению к u, D, to. Тогда % = Л„и + Л„и-|-
-4-Л^Ш, причем и2 = to2 = to2 = 1.
36. Цилиндрические координаты. 2
г = {ucosv, и sin v, w} I
Ы = р, V = ф, О/ = Z (фИГ. 63) } |у/|
dz = ududvdw JL^..J «_
grad ,,=41 u+1-^^+4^» «/Pk ''. '
6 du [ и dv x dw / 41
div5r = l d(gi4«) 1 1 -M1.4- ^
tt da * a dt/ *" dw • Фиг. 63,

186
Т. I. Отд. 1. Математика. VI. Векторный^ анализ
t5C =
Л ср = -
а Ь
д 1_ _д_
ди и dv
Аи Av
1 дер д2у
и ди ' ди2
to
д
dw
Aw
+i
dv2 1
d2<p
k da/2
Шаровые полярные координаты.
г = | и cos v sin w, и sin t> sin w, и cos w }
a = |r|, » = ф, ш = ^(фиг. 64)
rfu = ц2 sin w fa dv dw
Фиг. 64.
gradcp = _Lu.
1
w sin w dv и dw
div Ж = Л -#- («2Л J + J ~v~
u1 du v ** ' и sin te; at;
д
и sin a/
^-(sin^J
rot % = —
u
4d«
4M
A _ J_ J_ ( о Jh\ . 1
9" a2 du Г da/""1" a2sii
b to
1 _d_ 1 a
и sin w dv и dw
Av Aw
d»-v ,
1
sin2 w dv1 ' a2 sin w dw
(sintt,-3i9-
37. а) Криволинейный интеграл вектора 5t вдоль участка
кривой С, распространенный от точки Pt до Р2:
я*
я»
I %dx= f (Axdx+A&dy + Azdz).
р[ (О р[
Криволинейный интеграл всегда является скаляром.
Пример. Работа силы £ вдоль участка пути (С) от Рх до Рг является
криволинейным интегралом
Р%
'-/
(С)
Ь) Скалярный интеграл площади вектора Ж по ограниченной
поверхности F или векторный поток У£ сквозь участок по-
верхности J7;

Теоремы Стокса, Гаусса и Грина
187
(F) (F)
= f f 1511 cos €& V EG — F* du dv,
(F)
где У1 есть вектор-единица нормали к поверхности,
с) Векторный интеграл площади:
О7) OF)
Криволинейный интеграл, распространенный по замкнутой
кривой (без двойных точек), называется интегралом по краю.
Интеграл поверхности, распространенный по замкнутой поверхности
(простого строения), называется интегралом по оболочке
или круговым интегралом. Такие интегралы обозначаются через J.
о о
38. Интегральная теорема Стокса:
fxoi<&d\ = f%dx,
причем круговой интеграл должен считаться от ограничивающей
линии F так, чтобы d\ и dx определяли правое вращение (фиг. 65).
39. Интегральная теорема Гаусса:
/div8Crfx = —/Strff,
(Я)
где интеграл по поверхности, ограничивающей
объем /?, должен быть так направлен, чтобы
вектор d\ был направлен внутрь.
40. /гоШ^ = 0,
Фиг. 65.
У г d f = — Зт, где т есть объем, заключенный внутри огра-
° ничивающей поверхности.
У grad <p rot 51 d т = — Г <р rot % d f,
(Я)
/гоШ*и=/[Strff].
(Я)
41. Теоремы Грина:
У<Р grad ф d f = — y*(fAij/-f grad <p grad ф) rf т,
v (A)

188 Т. I. Отд. 1 Математика. VI. Векторный апалиэ
У (ср grad ф — ^ grad cp) d \ = f (ф А <р — <р А 6) d т,
_ /9^f = /gradcprfT, /r2df = 2 /rrfx.
(/?) ° (/?)
42. Пусть т есть объем, ограниченный оболочкой
нижеследующих интегралов, тогда
grad ф = — Urn / —
div2t =
— Лто(т/^")'
rot 51 =
43. Потенциальное (свободное от вихрей) поле:
гоШ=0. В простом, связанном1), свободном от вихрей, поле всякий
криволинейный интеграл
/ких
Рг
имеет значение, не зависящее от вида пути, или /*2Ыг = 0.
Р*
2T=gradcp, 9= f 8Ых.
Pi
Потенциал «р однозначен и непрерывен.
В многократно связанном, свободном от вихрей поле, имеются
многозначные непрерывные потенциалы; их можно сделать
однозначными, если ввести поверхности изменений, где потенциалы
всегда претерпевают тот же самый скачок. Пример: электрическое
поле во внешнем пространстве трансформатора.
44. Поле, свободное от источников: div % = 0. В
таком поле векторный поток f%d\ сквозь поверхность с заданной
(П
ограничивающей кривой имеет значение, не зависящее от формы
поверхности или f% d f = 0. 31 = rot 55.
о
45. Слоистое (с нормальными поверхностями) поле:
51 rot St = 0. Только в таком поле (а следовательно, и в свободном
*) Поле называется просто связанным тогда, когда всякая замкнутая кривая
ограничивает в нем часть поверхности, целиком расположенную внутри поле.

Аффиноры (тензоры)
189
от вихрей) имеются поверхности, которые всегда перпендикулярны
к силовым линиям (поверхности уровня).
р р
2t = Xgrad<p, f\dx=f\d%
pi(C) рг
div Ж = X А ср + (grad X grad <p), rot Ж = [grad X grad 9].
46. Свободное от вихрей поле определяется указанием его
источников (div ST = р), а свободное от источников — его вихрями
(rot 5t = fR); любое поле однозначно определяется его источниками
(р) и вихрями (9%), поскольку выполнены определенные условия
непрерывности.
Аффиноры (тензоры)
47. Пусть а, Ь> с три (некомпланарных) вектора (ctfic =f= 0), равно
как и tt, b, to (иЬШфО). Если
Sp = act + P&-fYC И £t = ait + pfc+Yto,
то $ и D находятся в аффинорной связи. Согласно 17 имеем
Q = хх. а'ф +1) • Ь'ф + to • с'$,
где а', В', с' суть векторы, обратные к a, ft, с. Выражение для О
называется линейной векторной функцией от *Р и потому
Буква Ф указывает на линейное преобразование
(трансформацию), посредством которого вектор *р переходит в вектор П. Если
u, b, to обозначают наперед заданный трехгранник, то Ф
определяется тремя векторами а, Ь, с или а', о', с'. Такую,
примененную к вектору, трансформацию пишут в виде
ф = ц. а' + Ь • V + to • с'
и называют аффинором (прежде тензором*), a Q = Ф*р
называют „произведением* аффинора Ф на вектор *р.
48. В особом случае u = i, Ъ = \, to = I получается
о=Ф¥ = ь«ц*-н-»?+*•«¥
(здесь вместо 51, 53, (S написано а', Ь', с'), а разложение по
координатам дает*
1) Иногда употребляют термин „диада"; однако, этим словом обозначают я
более простои случай и»а'. Комиссия AEF не выработала своих предложении по
аффинерному анализу.

190 Т. I. Отд. 1. Математика. VI. Векторный анализ
Аффинор определяется теперь системой коэфициентов (матриц)
(AxAyAz\ /AxAyAz\
ВхВуВг\ £Х = (вхВуВ,Ъ.
cxcycj \cxcycj
49. Если
то
есть аффинор, сопряженный с Ф.
В частном случае (48) u = i, b = j, to = f получается
&' = Ф'ф = %гхф + ®.№ + &.1% = РхЯ + Ру% + Рг&,
разложением по координатам:
/4АА*\ /АААл
Ф' = АуВуСу ), О' = АуВ С $.
\лгвгсг) ^Агв2с2/
Таким образом Ф' получается из Ф путем замены столбцов и
строк.
50. Два аффинора называются между собою равными, если они
идентичны. Под суммой Ф,-(-ф2 подразумевают аффинор,
превращающий вектор $ в Фг $ + Фг % Имеем
ф1+Ф2 = и.№ + 5Г2) + Ь.(351 + §82) + Ш.(е1 + ^),
(^lv+^2* ^1у+^2у ^1г+^2г\
Вix + В2Х В1у + В2у Ви + В2г ) = Ф2 + Фг.
С\х + С2х С\у + С2у С1г + С1г'
ХФ = и-Х51+Ь.Х35 + Ш-Хе.
51. Симметрическим аффинором называют
такой,который совпадает со своим сопряжением: ф=Ф'. Кососимметриче-
ский а ф ф и н о р—это такой, который противоположен своему
сопряженному: Ф = — Ф'.
Аффинор
*21*22a23 I = («/*) (*• ^ = 1, 2, 3)
Дз1Л32аЗЗ/
симметричен, если aik = aki, кососимметричен, если aik = — akit
так что'д|7 = 0. Всякому симметрическому аффинору может быть
приписана поверхность второго порядка:
«и*2 + 2л12лу -f Л22>'2 + 2^23^^ + дзз*2 + 2%! zx =■ !»
называемая „тензорным эллипсоидом", хотя она и не всегда является
эллипсоидом.

Аффиноры (тензоры)
191
Всякий аффинор может быть представлен в виде суммы
симметрического и кососимметрического аффинора, а именно
ф=Г+Л Г=-1(ф + Ф'), А = \(Ф~Ф%
где Ф' есть аффинор, сопряженный с Ф; это разложение возможно
лишь одним способом. Т называется тензором от Ф, а А —
аксиатором от Ф:
T=is0, Л = ахФ.
4(«i3 + «3i) НЯ23 + Я32) *зз '
/ О Н«12—«2l) И«13—«3l)\
ахФ = ( H«2i—«12) 0 Н*я — *аа)).
\Н*И —«1в) Н«8Я— *2з) ° '
52. П р и м е р ы. а) Тензор напряжения. Упругое состояние тела определяется
тремя силами натяжения (или давления) и шестью срезывающими силами, которые
могут быть выражены в виде одного аффинора:
/Лу YXZ.
/лхгх^х\
( ХУ УУ2У 1 •
\X2Y2ZJ
Из механики известно, что этот аффинор симметричен, т. е. что Z» = Yg
b) Три величины, вводящие в ах Ф, могут быть представлены как координаты
вектора ш = i/t {aZi — flsa) i + i/t (<*i8_— Я31) i + Vt (e2i — «12) I. Тогда ах Ф $ ==_[ш" $].
В частности (ср. 12) ахФг = [шг] есть скорость вращения г, если через ш"
обозначить угловую скорость, при вращении вокруг оси, перпендикулярной к г.
c) Бесконечно малое изменение вектора $ под действием уносящей его
текущей жидкости, скорость которой пропорциональна вектору {и, v, w}, выражается
векторной функцией
fда ди да\
дх ду дг
* ' дх ду дг
dwdwdzv 1
\~дх ду дг ,
Разложение Ф на его тензор и аксиатор приводит к теореме Гельмгольца,
согласно которой всякая бесконечно малая деформация может быть выражена, как
соединение чистой деформации (в смысле примера а) и вращения (пример Ь),
причем параллельное перемещение не учитывается.

192 Т. I. Отд. 1 Математика. VII. Комплексные числа
VII. Комплексные числа и векторы плоскости,,
функции комплексной переменной,
конформное изображение 1)
а) Комплексные числа и векторы плоскости
1. На стр. 64 и 90 указаны формальные правила исчислений
с комплексными числами. Независимо от этого, комплексные числа
могут быть истолкованы с геометрически - векторной точки
зрения, что делает их особенно важными и необходимыми для
применений к математической физике, механике и
особенно электротехнике.
В дальнейшем будет говориться исключительно о векторах,
лежащих в одной плоскости. Обозначим через е H,i два взаимно
перпендикулярных вектора-единицы осей х и у\ тогда [е i] = f есть
вектор-единица, перпендикулярный к рассматриваемой плоскости,
обращенной к зрителю. Всякий вектор а плоскости может быть
представлен в виде 3 = -*С+.УЬ те х, у прямоугольные координаты
конечной точки радиус-вектора а по отношению к системе координат,
определяемой векторами с и t. Мы имеем тогда для сложения,
вычитания и умножения на (вещественное) число X, как и на стр. 180):
b±it = lx2zx')t + (y32y')i9
\£=± Хлге + \у'и
Если
и
<р = arc (a) = arc cos (x/\ g |) = arc sin (у/\ а |) = arc tg iylx)
суть полярные координаты конечной точки а, то
a = |al (cosy e+sincpt).
Стоящий в скобках вектор
с^ = cos 91 + sin cp I
является вектором-единицей отклонения (фазы) ср относительно
оси х; Со = е, ея/2 = t (фиг. 66).
2. Для внутреннего ( ) и внешнего [ ] произведения имеем
(ЬЬ')=хх'+уу'« |al • I 8' I cos^, (8 3) = lal2.
[ЪЬ'] = (±У'-ух').1 = \ь\Лъ'\*™П'1-
*) Литература. L. L e w e n t, Konforme Abbildung. Leipzig u. Berlin, 1912,
B. Q. Teubner; L. Bieberbach, Einfuhrung in die konforme Abbildung, Berlin u.
Leipzig, 1915, G. J. Goscben, San.mlung Goschen, Bd. 768; Holzmuller,
Einfuhrung in die Theorie der isogonalen Verwandtschaften, Leipzig, 1882; Ausgefuhrte Bei-
tpiele bei Th. Meyer, Konforme Abbildtng. Z. f. ang. Math. u. Mech. 3 S 136,1923.

комплексные числа ft векторы плоскости Jc$
Скалярное произведение является вещественным числом, тогда как
векторное произведение является вектором, не лежащим в данной
.плоскости. Это обстоятельство приводит к желательности
создания третьего вида умножения двух векторов (лежащих
в одной плоскости), при котором - и произведение (вектор) также
лежит в той же плоскости. Если з. = | з | • е? , $' = |! $' |. fy, то
(согласно определению)
- 8a'==ldl-la'|-e9 + 9,==l3|-|a,i(cos(9+?0e + sln(?+?,)i).
Этот вид умножения обладает также
тем достоинством, что для него
остаются в силе законы: 1)
переместительности з'8 = $з'; 2) соединения (ffi')tf =*
"= Ь (b'f) = 3 Ъ'Ь"\ 3) распределения
(а+*')«" = а'+ аТ.
Этим, путем можно . также и делить
векторы. Под з""1 =1/3 мы понимаем
.вектор, который при умножении на
3 (#= 0), согласно данному выше
определению, дает вектор с. Получаем одно- Фнг.бб.
значно
отсюда £=й>1-1=Ш^,^^№^т(ч'-
^) е-Ь sin (^—<p)i).
Конечно, только что указанное произведение обладает тем
недостатком, что оно зависит от выбора вектора е, т. е. от направления
оси абсцисс.
Имеем также
аз = а2 = 1а12еа?.
Если положить здесь з = е и з = *, то получим
с2 = с, I2 = еп = — е.
3. Обычно обозначают векторы по оси х (понимая их всегда
как радиус-векторы) просто абсциссами конечных точек, т. е. в виде
положительных или отрицательных кратных вектора-единицы с,
а этот последний обозначают через 1; далее, пишут / вместо t и z
.^вместо з1)- Тогда
/2== — if z=*x+yl.
Не надо только забывать, что здесь дг, у суть скаляры
(вещественные числа), /, z — векторы, и не надо удивляться, что полученное
, Дальнейшее можно найти во всех почти учебниках теории функций, например,
И. И. Привалов, Введение в- теорию функций комплексного переменного,
Госиздат, 1932 г. ^ .-
*j Обозначение / принадлежит Эйлеру'и повсюду употребляется ужеДбО лег.
К сожалению, некоторые электротехники иногда пишут /.

194 Т. I. Отд. i. Математика. VII. Комплексные чмсШ
для векторов выражение г2 = ~ 1 для скаляров (вещественных
чисел) не применимо.
Вектор z = x-\-yi обнимает два скаляра, последовательность
которых фиксирована и называется поэтому „комплексным числом"
(Гаусс), причем термин „число", до сих пор применявшийся лишь
к скалярам в этом смысле, ч распространяется и на векторы одной
плоскости. Основание такого распространения для понятия число
заключается в том, что правила исчисления с обычными
вещественными числами все без исключения применимы и к векторам
плоскости, если вычитание, умножение и деление (согласно 1 и 2)
соответственным образом определяется и при вычислениях всегда
полагается Р = — 1.
Когда пишут / = У— 1, то это можно и надо рассматривать
исключительно как особое начертание векторного уравнения
pz=z — 1, так как иначе можно впасть в ошибки прошлого или в
непонятную мистику, которым нет места в математике и которые
сказываются в прежнем названии „мнимые величины".
В целях удобства рекомендуется, следовательно, для вычислений с векторами
одной плоскости пользоваться комплексными числами. Как заметил Гаусс и доказал
Вейерштрасс, невозможна для векторов в пространстве создать исчисление, в кото
ром можно было бы применять все правила исчисления с обычными числами. Для
пространственных векторов рекомендуется поэтому векторное исчисление,
изложенное в отд. VI, стр. 174 и след.
Заметим еще, что вектор-единица сф по причине, указанной
ниже (см. Ь, стр. 196), может быть обозначаем и через е1*, т. е.
имеет место формула Эйлера:
е^ = cos <р +' Sln 9 = е«р.
4. Умножение zt «= |zx\ • г^ на z2 = \z2\» с^2 означает геометри
чески вращение вектора zx на угол <р2 и одновременно увеличение
(или уменьшение) его длины до значения | zx | • | z21
(вращательное растяжение). Деление есть не что иное, как поворот на
— <р2 (т. е. в противоположном направлении) и растяжение (или
«сжатие) его длины до значения | zL |: | z21.
Геометрическое построение w=z2xz2. Треугольник Oztw подобен
треугольнику 0\гх (фиг. 67). Умножение на / есть, следовательно, чистый поворот на 90е
в положительном направлении.
Геометрическое построение 1/г. Сперва конструируют сопряженное
значение * = | г | е _<в и из точки к проводят касательную к кругу радиуса 1.
Прямая ВВГ, соединяющая точки касания, пересекает вектор г в конечной точке Q'
искомого вектора OQ' — 1: г. (Трансформация посредством обратных радиусов или
обращение; Qf есть точка, обратная к г, фиг. 68.)
Геометрическое построение w — zi\Xf Строят треугольник 0\w, подобный
треугольнику Oz^zx (фиг. 69).
я I п I
Геометрическое построение VT. Круг радиуса |}/"|*11 с центром в нулевой

Комплексам* числа и векторы плоскости
195
точке делят на л равтлх частей, начиная от точки *о = -+- |/*l*l • гу\п. Точки
деления дают л значений для V г (фиг. 70, где л = 7).
Если *0. *п **. tn _ \ суть те л векторов, которые иду г о г ценгра О к
точкам деления, то имеем
а такиса
£ cos fc/л + Л 2 п'л) ^г 0 и £ sin (<?/л + * 2 я/л) = 0.
Фиг. 67.
Фиг. 68„
5. Целесообразно пользоваться векторами в плоскости в
применении к периодическим явлениям, которые протекают по закону
синусов. Пусть
имеем такое
синусоидальное
колебание it есть
время):
у = A sin (<o t + ?o\
его амплитуда Л,
его частота
колебания w,
следовательно, его период (про
должительность
колебания) 2 я/<о, его
начальная фаза ?0;
это колебание мо-
Фиг. 70.
жет быть рассматриваемо в
z = А е,„
качестве слагающей j>
вектора
Сложение двух колебаний ух и у2 в одно общее колебание может
быть достигнуто путем сложения соответственных векторов zb z2.
Для колебаний с одинаковой а>, так называемый множитель времени
u>/ = e один и тот же. При вычислениях и конструкциях с та-

196 Т- *• Отд- ! Математика. Vil. Ко*тявкх>йые числа
кими синхронными векторами можно, поэтому, пропускать этот мно*
житель и представлять себе, что вся плоскость вращается с
неизменной угловой скоростью со, так как в этом случае
существенным является лишь разность фаз векторов. Вместо этого можно
рассматривать плоскость как неподвижную, тогда как прямая,
проходящая через z = 0, вращается с угловой скоростью — <о, т. е.
в обратном направлении. На этом основаны, например,
диаграммы техники переменных токов.
Ь) Аналитические функции комплексной переменной.
Конформное изображение
1. Функция w =/(г) комплексной переменной г=*х-\- iy%
имеющая в каждой точке области плоскости г производную
rbaiSE±hFmmtf{A/ (1)
называется аналитической или правильной в этой
области. Разделив вещественную и мнимую части w= и (xty) -\- iv (х,у),
получаем для аналитической функции:
a i \ ди . : dv dw ди dv . dw
ГЫ = ЪТ + *-5! = Т1=-1-?У + оу=-*-ёу ■ (2)
в виду чего можно применить диференциальные уравнения Коши-
Ри мана
ди _ dv ди _ dv
дх ~ ду' ду~~~~Т7 (3)
и потенциальное уравнение Лапласа
дЧ дЧ л
d^+a^ = ° для * = и HV W
Об элементарных функциях см. Ill Е, стр. 90. В частности
необходимо указать на то, что вектор ёх *у = ех {cosy -\-ismy)
представляет аналитическую функцию z = х + iy% которой
производная тоже равна ехгу ; она обладает, следовательно, такими же
свойствами, как и вещественная показательная функция; далее, при
* = 0 она принимает значение 1 и обозначается поэтому через е*.
Для х ав 0 получаем тогда *
е(у = е ** cos у t i sin у,
т. е. формулу Эйлера.
2. Если приравнять вещественную часть u(xfy) аналитической
функции w==f(z) и ее мнимую часть v(xty) некоторой
произвольной постоянной, то на плоскости ху (плоскость г) получается сеть

Новф&ришош ввоОрАженив
107
из двух семейств кривых, которые во всех точках п*р%#<и#ния вэз-
имно перпендикулярны, так как
ди ду ди ду *
дх дх "*" ду ду **
Этим семействам соответствует в другой плоскости, плоскости wo
(плоскости w) сеть прямых, параллельных осям и и у.
Функция w=f(z) приводите соответствие каждой точке z
плоскости z некоторую точку w в плоскости w; говорят, что обе
плоскости изображаются одна на другую. Если функция w.=*f(z)
аналитическая, т. е. когда имеет место одно из условий 1,2 или 3,
то во всех точках, где/'(г) 4= 0, две пересекающиеся кривые,
плоскости z образуют такой же угол, как соответственные кривые
плоскости w в соответственной точке (winkeltreue Abbildung). Кроме
того, линейные элементы обеих кривых плоскости z в данной точке
находятся взаимно в таком же отношении, как линейные элементы
соответственных кривых плоскости w в соответственной точке
(сходство в мельчайших частях). Такое изображение посредством
аналитической функции называется конформным изо,б раже-
d w
й и е м. f'(z) = -т— называется отношением искажения, так как |/'£z)l
измеряет изменение длины, а атс (/' (z)) — вращение, испытываемое
небольшим участком плоскости z при изображении.
с) Некоторые частные виды конформных изображений
1. w = z-^-ct где с есть комплексная постоянная, изображает
параллельное перемещение плоскости z на величину вектора с по
его направлению и длине.
2. w = az -\- Ь (а ф 0 и 1) дает перемещение на Ь% вращение на
arc (а) и удлинение в отношении 1:|я|. Точка z^bj{\—а)
остается неизменной.
3. w=\/z дает трансформацию при помощи взаимных радиусов
(инверсия, зеркальное отражение от круга), как она построена на
фиг. 68. Точка z = 0 является „особым центром" (полюсом) и
превращается в „бесконечно далекую" точку (tp = oo). Внутренняя
часть круга-единицы переходит в наружную и наоборот. Точки
периферии превращаются в такие же; точки z = rt 1 остаются
неизменными. Круги и прямые плоскости z, не проходящие через
нулевую точку z = 0, превращаются в круги плоскости w\ круги
же и прямые, проходящие через точку z = 0, превращаются в
прямые плоскости w.
az~\- b
4. ш == / (2) = czA-d [линейная1) функция, сфО] превращает
совокупность всех кругов плоскости z в совокупность всех кругов
плоскости го, поскольку прямые определяются, как круги, проходя»
') .Линейна»" сказано здесь п смысле .линейно дробная", '

198 т- !• ^ТД- !• Математика. VII. Комплексные числа
щие через бесконечно далекую точку (z = оо или w = оо). Обе так
называемые „неподвижные точки"
Л, В = (а — d±. V\a — rf)» + ±bc) : 2c
плоскости z соответствуют тем же точкам плоскости w. Они
совпадают, если (а — d)2-f- Abe = 0: это „параболическая" линейная
функция. Линейная функция является единственной, дающей обра-
тимо-однозначное конформное изображение всей^плоскости
z на всю плоскость w, т. е., что каждой точке первой плоскости
соответствует определенная точка второй плоскости и наоборот.
/ (z) вполне определенно, если заданы три значения w, которые
l{z) принимает при трех различных значениях z. Если
Л = /(«). В = /(р), С=/(т),
то w получается из
W — А В —-А _ Z — a ft — a
w — C В—С 1^4 : ft —у
или (w, Л, B, C) = (z, a, ft, y), если обозначить таким образом двойное
отношение. Двойное отношение четырех точек остается при
линейном конформном изображении неизменным.
Некоторые особые случаи."
w = i—г—. изображает верхнюю половину плоскости у>0
на внутреннюю часть круга-единицы | w | < 1, а ссь дг-ов на его
край | w | = 1.
w= — изображает круг-единицу \z\ = 1 на круг-единицу
bz— a
bb>0.
| w\ = 1, если
дяде = k . изображает круговой треугольник плоскости z,
* а сумма углов которого
~^_ \ равна двум прямым и
стороны которого
проходят через одну точку я,
на прямолинейный
треугольник плоскости w.
Угол z = b (при y)
переходит в нулевую точку
(фиг. 71). Та же самая
функция изображает
круговой сегмент, состоящий
из двух, касающихся в точке а кругов плоскости z, — на полосу
плоскости w (фиг. 72) и круговое кольцо, образованное двумя
эксцентрическими кругами плоскости z в концентрическое
круговое кольцо плоскости w.
* * jf~ - " ' г - Плоскость
ю-Плоскость
Фиг. 71.

Частные виды конформных изображений
199
до = z + я2/* (# — вещественно). Кругам ( z \ = const плоскости z
соответствуют конфокальные эллипсы плоскости до, если | z | 4= я,
а кругу \z\ = a — участок | и |<2я.
5. w = z2. Прямые через точку z = Q превращаются 'в прямые
через точку до = О, причем каждая поворачивается на двойной угол.
Вокруг точки до = 0 (точка
разветвления) изображение углов не
получается точным. Вся плоскость z
изображается на двойную, из двух частей
состоящую плоскость до (двойная
плоскость Римана). Кривым и =
= const, v = const плоскости до со- ^Ьь^^/У пу-Плосность
ответствуют гиперболы х2—у2 = и, п а
2xy = v плоскости z\ напротив, па- *-'мос*ость
раллелям к осям х = const, у = const Фиг. 72.
плоскости z соответствуют
конфокальные параболы v2 = — Ах2 (и — х2) и Ф =4уа (а -\-у2)
плоскости ДО.
6. до = zn (я>0, целое число); аналогично предыдущему. Вся
плоскость z изображается на л-кратную, из п частей состоящую
плоскость до (л-кратная плоскость Римана). Нулевая точка до = О
.является /t-кратной точкой разветвления.
4 7. до = г1'" (а — вещественно). Внутренняя поверхность угла тса,
вершина которого лежит в нулевой точке 2 = 0и одна из сторон .
которого лежит на положительной оси л:-ов, изображается на
полуплоскости и>0, а соответственный сектор круга-единицы на
верхний полукруг v — + V1 — и2.
8. до — ег- Четырем полосам 0<.у <гс/2, rc/2<j/<>, ^<^<Зи/2,
3 7с/2 <; j> << 2 7i соответствуют по порядку 1, 2, 3 и 4 квадранты
плоскости до, всей плоскости г — бесконечно многократная
плоскость до, прямым х = const соответствуют круги | до | = е* = const,
прямым j> = const— прямые arc (до) = const.
9. до = sin z. Прямым х = const, .у = const плоскости z
соответствуют в плоскости до конфокальные гиперболы и эллипсы
и2 v2 цз , у2 _л
sin2 л: cos2* ' cha v ^ sh2y
10. до = log (г2— 1). Прямые и = const, v = const плоскости до,
параллельные осям, являются изображениями конфокальных кривых
Кассини (лемнискат) с фокусами х = г£ 1 и равносторонних
гипербол, проходящих через те же точки.
11. до = £-~2гс/г изображает пространство вокруг острия,
состоящего из-{-.*>оси и дуги круга, лежащей в плоскости z и
касательной к острию в нулевой точке на пространство вокруг
вершины вытянутого угла плоскости до. Точка г = 0 сама является
особой.

200 T I- ^ТД- *• Математика. VUJ. Практическая математика
VIII. Практическая математика
А. Численные расчеты
1. Общие правила для длинных вычислений. Установить
схему или формуляр вычислений, чтобы все вычисление стало
наглядным. Пользоваться отдельными листами клетчатой бумаги, исписывая
их с одной стороны. Побочные вычисления делать на краях, а
не на отдельных листках, чтобы можно было потом произвести
проверку. Числа, которые часто приходится складывать или вычитать,'
писать на отдельном „передвижном" листке. Не торопиться при
вычислениях.
2. Вспомогательные средства. Счетные линейки, счетные
машины, счетные таблицы, таблицы умножения: A. L. С г е 11 е, Rechen-
tafeln, Berlin 1907; L. Zimmermann, Rechentafeln, Uebenwerda;
kleine Ausgabe 1916,grosse Ausgabe 1896; J. Peters, Neue
Rechentafeln fur Multiplikation und Division mit alien ein- bis vierstelligen
Zahlen, Berlin 1909;, H. Wciskircher, Taschenbuch zum Schnell-
rechnen, Hannover 1914.
3. Умножение и деление. Для умножения можно пользоваться
таблицами квадратов (см. I т., стр. 2) по формуле:
(а 4- Ь\2 (а — 6\2
ab.
Деление можно привести при помощи таблицы обратных
величин к умножению и* наоборот (см. I т., стр. 2)
'и ] и 1
а:о = а--г, а- о = а:~г ,
о о
что облегчает многие вычисления. Divisionstafeln von. H. Rauschel-
bach, Gflttingen 1918.
4. Квадратные корни. Если х есть приближенное значение.
У л", то х -f- (а — лг2)/2лг является лучшим приближением. Если а =»
= b2 -f- s, где е мало по сравнению с Ь, то
- П/— Я/- д хп
5- у а. Если х есть приближенное значение у я, то х-\ зт
пх*
есть более точное приближение. Если а = Ьп ~\- е, где t мало пог
сравнению с Ь, то
,п-
Ь
6. Приближенные формулы. Для малых значений х имеем
(1 + х)"^1 + пх\ в частности:

Численные расчету 201
(14-^)а^1 + 2лг« УТ+хЯ&Х+{х
1/(1+*)«1— х% 1/^1+лгяЬ1—1дг
е*ж\+х. адг«1 + 1пд.х=1 + 2?30261£л-д:
In (1 + х) » х% lg (1 -f x)« 0,43429 • л:
sin xttx, sin а» « 0,01745 • а
cos х ж 1 — \ х\ tg х Я53 лг, ctg л: я^ 1 : л:
sh л; да лг, сп л: да 1 + J *2.
7. Вычисление погрешностей. Если Длг, Ду,... малые
погрешности х,у,..., то соответственные малые погрешности от f(x,yt...)
вычисляются из
Все погрешности здесь должны рассматриваться как абсолютные
значения.
А//1/1 называется относительной погрешностью/,
100Д//J/1 погрешность в процентах и т. д.
Д (дуд?)... __ Дд: , Д^ , _Д^
l*y*...f ~~ 1*1 ЬМ 1*1
+
Д
(у)-
V2
8. Счетная линейка. Устройство ^.Простая
логарифмическая счетная линейка2) состоит из ллоского
четырехгранного бруска с желобком для движка; поверх бруска и движка
может скользить бегунок, на стекле которого прочерчен штрих,
называемый визиром, которым пользуются при установке и отсчете
чисел.
На бруске и на лицевой стороне движка имеются по две логарифмических
шкалы с делениями для чисел от 1 до 10 (фиг. 73), причем масштаб верхних шкал—-
одной на бруске Л, другой — на движке В — в два раза меньше масштаба нижние
шкал (С, D), так что на верхних шкалах отрезок с делениями от 1 до 10 повторяется
два раза.
На оборотной стороне движка помещены три шкалы: lg sin (S) от 34' до 90е
в масштабе верхней шкалы бруска, lg tg (T) от 543' до 45® в масштабе нижней
шкалы бруска и, наконец, шкала; позволяющая в сочетании с нижней шкалой
бруска отсчитывать мантиссы логарифмов чисел от 1 до 10.
Постоянные на шкалах означают:
1)pg = 360.6o.60 = t06865„
2* ~"~"~ 1360.-П
^ л* г 360е-го деления круга
1) Литература. Oenaueres bei Hammer, Der logarithmische Rechenschieber
and sein Gebrauch, Stuttgart, 1908. См. также Панов, Д. Ю. Счетная линейка,
Техническое издательство, Москва, 1932 г.
*) В счетных линейках специального назначения нижеописываемое
расположение шкал сохраняется не всегда.

202 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая магематика
3) р„ = jr = 636 620у/ 400° -го деления круга.
Они служат для пересчета углов, выраженных в дуговой мере, в углы в
градусах.
те = 3,142.
Для вычисления площади круга по его диаметру:
с = Уцщ сj = с У10 == У*)/*".
Производство вычислений при помощи счетной линейки. Точность,
даваемая хорошей счетной линейкой длиною 25 см, составляет примерно от 0,1 до 0,3 <\«.
1. Умножение. Пример:
34,2X2,5 = 85,5.
Устанавливают начальное (конечное) деление движка на деление 34,2 нижней
шкалы бруска, передвигают бегунок до тех пор, пока визир не станет на деление
2,5 на нижней шкале движка; одновременно визир укажет на нижней шкале бруска
искомый результат — 85,5.
2. Деление. Пример:
85,5 : 34,2 = 2,50.
Устанавливают над делением 85,5 шкалы бруска деление 34,2 движка; искомый
результат, 2,50, отсчитывается на нижней шкале бруска под начальной (конечной)
точкой нижней шкалы движка.
Определение положения запятой в произведении н
частном. Если т есть число целых знаков в первом множителе или в делимом,
а я — число целых знаков во втором множителе или в делителе, то в произведении
числом целых знаков будет т + п, если отсчет производится влево от установки,
и w-f-л— 1, если отсчет производится вправо от установки; в частном же числом
целых знаков будет т — п, если отсчет производится вправо от усгановки, и /я—/i-f Ь
если отсчет производится влево от установки. Однако для контроля лучше
определять число целых знаков также путем приближенного вычисления в уме.
3. Степени и корни. Устанавливают визир бегунка на деление нижней
шкалы бруска, соответствующее возвышаемому в квадратную степень числу; на
верхней шкале бруска визир показывает результат; обратно, корни квадратные из чисел
верхней шкалы бруска находятся на нижней шкале бруска, при этом следует
помнить, что числа, из которых извлекается квадратный корень, если в них четное
число целых знаков, должны устанавливаться в правой части верхней шкалы бруска,
и в левой части, если в них число целых знаков нечетное. Другие степени
вычисляются при помощи логарифмирования (см. выше).
4. Тригонометрические функции. Пример:
tg 31е 10' = ctg 58° 50' = 0,605.
Устанавливают деление 31° 10' шкалы Г на оборотной стороне движка на
визирную черту, имеющуюся в выемке с правой стороны бруска, и отсчитывают на
лицевой стороне движка на нижней шкале у начального деления шкалы бруска
значение 0,605.
Для углов, больших 45'\ пользуются формулой;
Соответствующим образом определяются значения sin и cos.
При всяком положении средней подвижной части (движка) линейки имеют
место следующие соотношения отсчетоэ по шкалам;

Вомографпя
203
а) Нормальное положение движка (фиг. 73)
Установка визира на
У | г | и
LL
Е
К
фиг. 73.
У7
Vyafb
г"а\Ъ
w*bja
wVb\a
b) Опрокинутое положение движка (фиг. 74)
Установка визира на
х \ у \ г '
1
X
■ъ-чА
■#■
Фиг. 74.
с
!rf=y«
AT
с Уф
с*а\х
Y7
У
У\_
сУ а\у
ac"jz
V7
г
: Ув/г
с У ajw
cTalw*
Если движок повернуть обратной стороной кверху и нормально вставить в
линейку, то будет иметь место между прочим соотношение:
Л II а I a sin у/sin s
S\\s\ у
В. Номография ])
1. Под словом „номография" понимают графические, а
отчасти и вычислительные методы составления счетных таблиц.
Задачей номографии является нахождение для заданного уравнения
F (а, р, 7 ...) = 0 графического или механического
вспомогательного приспособления, которое позволяло бы с достаточной
точностью отсчитывать для каждого значения независимой
переменной соответственное значение переменной зависимости.
2. Основным элементом номографических таблиц надо считать
функциональную шкалу. Для составления прямолинейной
шкалы z = l'f(a) мм на одном и том же объекте из одной и той
же нулевой точки откладывают значения zx = / -/(aj) мм, z2~l »/(a2)
мм и т. д., а свободные конечные точки снабжают цифрами alf a2
и т. д. Расстояние / мм называется графической единицей.
^Литература. Lacmann, Die Herstellung gezeichneter Rechentafeln, Berlin, 1923.
(108 S.) (Beispiele ausschliesslich aus der Hydraulik.); Luc key, Einfuhrung indie
Nomographic, Leipzig u. Berlin 1918, 1920. (Math.-phys. Bibl.) (Einfuhrung): P i r a n f,
Die graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik. Samml. Gfccnen, Nr. 728.
(126 S.) (Einfuhrung; zahlreiche Beispiele aus Physik und Technik.); T h. Sen mid,
Darstellende Geometrie II, S. 329 ff. Samml. Schubert Nr. 66. (Zusammenhang mit
darst. Geom.); Schwerdt, Lehrbuch der Nomographic, Berlin 1924, Springer. (267 S.)
(Auf abbildungsgeometrischer Grundlage; Beispiele aus Physik und Technik; Aufgaben-
Sammlung mit L6sungen.); Werkmeister, Das Entwerfen vou graphischen
Rechentafeln. Berlin, 1923. (201 S.)

204 Т. L Отд. 1. Математаса. VIII. Практическая математика
Часто потребляемые шкалы.
Логарифмические шкалы: г> ^= / • lg а. На счетных линейках имеем чаще всего
/ = 250 мм; I = 125 мм; I = 83,3 мм. Относительная точность
отсчетов на логарифмической линейке является постоянной. В продаже
имеются и масштабы с логарифмическими делениями.
П р о е-к т и в н ы е шкалы:
z —
aoL-\-b
(ad — fa Ф 0).
При трех парах значений (a, z) эта шкала всегда может быть
получена из правильного деления (reg а) посредством центральной
проекции (проективные ряды точек в перспективе). Проективные шкалы
отличаются своей гибкостью по
*6
0.6
<?*
Щ
h
\т
м
\Ш
М
Ml 1
U&&
TCP
Mil
л \т
!
1
L
If \чЫ
,°>
-е'1/т
о оа s и з &5 j
6 7Г
отношению к заданным областям.
Степенные шкалы г = /-а*
обладают особо выгодными
частичными областями и могут поэтому
давать выгодные изображения.
Криволинейные шкалы
относятся к декартовой системе координат
(графические единицы для координатных
осей могут быть различными). Примеры:
х = г cos «, у — г sin а (правильное
круговое деление). Часто употребляются
стереографические круговые деления
Фиг. 75.
у =
1
1 -f- (с *)'' у 1 + (с «>»
или сходные с ними (см. 5).
Эмпирические кривые всегда могут быть превращены в
двойные шкалы (фиг.75). Двойные шкалы всегда дают для
масштаба и точности отсчета выгодные условия.
3. Таблицы функции с тремя и более переменными могут
быть в общем разбиты на три основные группы.
a) Сетчатые таблицы. Числа представлены линиями;
каждой переменной принадлежит группа кривых (или соответственно
прямых). Отсчет производится в пересечениях линий.
b) Таблицы линейных шкал (см. ниже стр. 206). Числа
представлены точками; каждой переменной соответствует шкала
Для отсчета пользуются линейкой или натянутой нитью так, чтобы-
соответственные значения а, р, y ... всегда находились на* одной
прямой.
Таблицы для четырех и более переменных часто представляют
в виде соединения сетчатых и линейных шкал.
c) Таблицы с особыми правилами отсчета (ключами). Гексагональные
таблицы очень распространены во Франции. Другие таблицы с особыми ключами
представляют собою единичные случаи и всегда могут получить всеобщее применение.
4. Сетчатые таблицы. Правильные сетки. В уравнении
^ (а. ?» Т) = ° рассматривают одну из переменны*, например y, как'

Ноыографла
205
параметр; тогда в координатной системе (а, р) получается семейство
кривых, из коих .каждая соответствует одному значению у. Кривые
(т) могут быть рассматриваемы как проекции линий уровня
поверхности F (а, Р, т) = 0 на плоскость (ар). Пример: уравнение
состояния pv = RT. Линии уровня в таблице (рv)т-изотермы, в таблице
(vT) — изобары, в таблице (рТ) — изохоры.
Номографически выгодные, изображения получаются чаще
всего.при искажении к.оординатной сети. Целью
искажений является возможное представление функций в виде прямых
линий (растяжение). При искажении сети- часто сохраняется
•параллельность координатнцх линий (геометрическое искажение).
Искаженные сетки называют функциональными сетками.
Фиг. 76. ' Фиг. 77.
Наиболее употребительна логарифмическая бумага.
1-й случай. Двойная логарифмическая сетка
х = lg а, у — lg p для уравнений типа оР 8* = /(7).
Логарифмирование дает:
/>-te« + ?.lgp=l£/(T),
г. е. px.+ qy = С, Изображение каждой кривой-(?) становится
прямой. На фиг. 76 изображено построение подобной сетки.
2-й случай. Ординарная логарифмическая сетка
х = а, у = lg р для функций типа р = /(т). [£(Т)]Ч При
логарифмировании получается: lg р = а. lg^(T) + lg/(T), т. е. у = сгх + ct. Вся-
кая линия (т) представлена прямой.
Пример общей искаженной сетки (фиг. 77). Центр тяжести
полукруглого кольцевого куска (радиусы г и R, радиус центра тяжести р). Группы
кривых (г) и (R) совпадают, " * <
группа (р) : , = - JL 1.

206 Т\ t. Отд. 1. Математика, Vltt. Практическая иаодматйка
Уравнения с более чем тремя переменными по возможности
разлагают на частные уравнения. Например F(at р, ?, 6) = О на
f\ («• Р; 0 = 0 и /2(y, 5; 0 = 0. При наложении частных таблиц
получается сетчатая таблица со счетными линиями (0- Если можно
добиться того, чтобы отдельные члены группы (0 были между
собою тождественны, то счетной линии может быть придан вид
подвижного шаблона (три степени свободы). На фиг. 76 изображена
кривая сложения по Мемке. аир определяют точку Р, с
которой шаблон прочно соединен; связанные пары значений (т, Ь)
отсчитываются вдоль счетной линии (точка Q).
Более общие таблицы получаются, если на самом шаблоне
находится сетчатая таблица.
Треугольные диаграммы для уравнений вида /(«) +
+ £(Р) + Л(т) = const. Они часто употребляются для химических
систем из трех тел и в термодинамике (номограммы уравнения
состояния газа).
При пользовании функциональными бумагами необходимо для
графического приведения наблюдений приписать каждой точке некоторый вес,
в зависимости от места и рода сетки. См. Schwerdt, Pbys. Z. 20, 1919, стр. 362.
5. Линейные таблицы.
F(*> P» т)=0 может быть представлена линейной таблицей, если
;*l(P) .MPH
»(Т) УМ 1
Условия, при которых возможно графическое изображение, теоретически
исследованы, но не получили еще практически удобного вида. В детерминанте через xlt ух
обозначены зависящие от « координаты точки шкалы а; то же самое относится
к М у.
Простейшая форма с тремя прямыми и параллельными
шкалами:
* *i = 0; х2 = с2; *з = Сз-
Изображенный тип: Fx{a) -f- F2($) + /^(т) = 0.
Задание: ух=-—-F^a); y2-= — F2$); .y3 = — — F9(t).
Логарифмически подразделенные шкалы приводят к изображению
произведений.
Более общая таблица с переменными шкалами (фиг. 78).
Функция: y = а5- Задание: jq = 0, 3,i = 1g«; х% = 1» У2=1+ у 1ЙТ;
x3= ^3 = 2/(2 —о). Шкалы ht (или Ь2) дают 102-? (или 10~2 • •/)- -
Таблицы с криволинейными шкалами (фиг. 79). Нагревание
электрических машин при постоянном подводе энергии. Функция: Т=■
^7^(1-*-*'). Задание: ^ = 0, >\=т-\ х2=\, У* = ^Т*
___100 10ГЖ
*3~ lOO-f-^'^^lOO+r!2*

Номография
207
Правила для отсчета: превышение температуры Г,° по
истечении времени tt; превышение температуры Т2° по истечении времени
/9=2 • tx (tt произвольно),
конечная установившаяся
температура 7^. -
Часто удается при
том же положении
линейки получить и
другие функции. На
основании уравнения G(a, P;
о) = 0 линейку лишают
одной степени свободы,
так что она скользит
вдоль одной из кривых
(скользящие
таблицы кривых).
Пример (фиг. 79). При
неизмененном значении
времени линейка скользит
по эллипсу. На
изображенном примере время
Если заменить шкалу,
зависящую от одной
переменной, сеткой,
пронумерованной по двум
переменным, то можно графически
представить функции четырех
до шести переменных. В
частности тип
FM'-
Ol.4<t,*)
всегда может быть
представлен параллельными шкалами
(«) и (р) и сеткой (y, 8), если
££*! . £&*x^G3L4 . дО*+
df * дЬ * аг * до *
Соединенные
линейные и сетчатые
шкалы получаются при
разложении, если не удается одну
из частных функций
представить линейной таблицей
желаемого вида. Пример: вес
труб на погонный метр: G —
= п,4 . Tf(Ds— Ф). Разложение:
I. D* — & = /*. II. О =ic/4.Y«А
Фиг. 79.
— и- — *-. it. kj =rt/*«Y»f*.
I представлено в виде .сетки справа (фиг. 80). Найденное значение / доводят
до линии Щ, затем слева в линейную таблицу. Результат G получается из (т).
Для линейных таблиц характерны те искажения, при которых
три точки, лежащие на одной прямой, приводятся в соответствен-

268 ^ t. ^гД *• Математика. VH1. Практическая математика
ное положение на номограмме. Это относится только к проектив-
^ым искажениям.
ап х + ДагУ + а2Ь
#31* + «В^У + Л33
Г ^V*
№-*
>
Л? J
-->
' -ч
\
V
К
\
L
}0
V i
"S
ч
\
\
\
¥0
V v
N
N
\
\
\
so
Ю t
N
\
>
\
\
1
60
Ю }
N
N
\
\
\
1
70
*~1
О 6
ss
V
[N
\
\
1
80
V 9
\
\
\
\
\
1
90
V
>
\
\
\>
1
too
>*
Фиг. 8а
с. неравным нулю де-
[tj ^ d терминантом
*п лп чя <п An ?п лп ал . .
\аП а12 *Щ
а = \а21 а22 а&\ •
lfl31 а32 а331
Аналитически
проективное искажение вы-
^«да I—IV \ \ |\1\ |\ 1\ | Ражается умножением
--""" [-\1 \ \ |\ 1\ 1\1\|\ I указанного в п. 5
детерминанта на а.
Детерминант а обладает
8 степенями свободы,
так что из каждой
таблицы можно
получить оо8 проективных
изображений, причем
всегда получаются проективные шкалы. Применение
проективных искажений является превосходным средством для получения
гибких таблиц.
6. Двойственность. На основе двойственности (соответствие
точек и прямых) линейные таблицы могут быть подчинены сетчатым
таблицам так, что каждая прямолинейная сетка непосредственно
может быть „переведена" в таблицу шкал. Практическое значение
имеет теорема воспроизведения: для изображения
прямоугольной сетки (х(а),у($)) на двух параллельных объектах с
произвольным расстоянием достаточно нанести на последних шкалы х(а)
и у($) с произвольными графическими единицами и из
произвольных начальных точек. В каждой жесткой системе возможно оо4
воспроизведений этого рода.
Принцип двойственности позволяет составлять эмпирические
таблицы шкал и производить в линейных таблицах исправления
по методу наименьших квадратов.
7^ Практическое. Вспомогательные таблицы для временных вычислений
целесообразно составлять при помощи готовых шкал (так называемых о с н о в н ы х
шкал) и набрасывать их на отпечатанных функциональных шкалах. Для рабочих
таблиц надо при составлении руководствоваться прежде всего удобством отсчета.
Зависимые деления надо отмечать одним цветом, сходными надписями и т. п.
Искажение светокопий при промывке не влияет на точность линейных и сетчатых та-
Олиц. При четко начерченных номограммах можно за предел принять 0,05 мм.

Теория вероятностей
209
С. Теория вероятностей и теория ошибок при
наблюдениях г)
а) Теория вероятностей
1. Под вероятностью w данного случая (явления)
разумеют отношение числа случаев а, благоприятствующих явлению,
к числу п всех вообще возможных случаев: w = afn,
w = О выражает невозможность данного случая, w = 1
выражает, что данный случай или явление достоверны.
2. Если wlt w2, тг... представляют вероятности нескольких
независящих друг от друга явлений, то вероятность w того, что
все эти явления будут иметь место одновременно или в заранее
определенном порядке, равна:
3. Вероятность w того, что из нескольких однородных явлений,
вероятности которых w1% w2% wz...t будет иметь место какое-
нибудь одно, равна:
» = wi + w2 + Щ + • • •
4. Относительными вероятностями двух явлений
называются те вероятности, которые получатся, если допустить, что
каждый из возможных случаев благоприятствует одному из этих
явлений. Если вероятности (абсолютные) этих явлений wl и w2t то
относительные их вероятности будут:
. ; и »» .
Wi + W2 Wl f Щ
Их сумма есть достоверность.
5. Вероятность того, что из двух явлений А и В, вероятности
которых wt и w2l А будет иметь место т раз, а В— п раз, в
определенном порядке, равна:
w = wLm w2n.
Если же порядок произвольный, то
(т-\-п)\ т' п
mini l
Ь) Теория ошибок при наблюдениях
1. Каждое наблюдение сопровождается случайными ошибками.
На каждую ошибку можно смотреть, как на сумму бесконечно
большого ^исла элементарных ошибок, которые могут быть как
положительными, так и отрицательными.
1) Литература. Е. Czuber, Wahrscheinlichkeitsrechnune, Leipzig u. Berlin, ДО4,
Teubner; ders., Theorie der Beobachtungsfehler, ebenda, 1891; Helmert, Ausglea-
chungsrechnung, Leipzig, 1907; C. H. Б е р н ш те»А n, Теория вероятностей,
Госиздат, 1927 г.

210 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
В этом предположении находим, что вероятность появления
ошибок в пределах :£ v выражается законом Гаусса
h
У л У к
ехр (— Л2^)
с тем большей точностью, чем больше число наблюдений.
Постоянная h обозначает при этом коэфициент точности ряда
наблюдений и характеризует частоту попадающихся безошибочных
наблюдений:
ср(0) == -^= = 0,5642Л.
У 7Г
2. Вероятность появления ошибки в пределах
:£ v, т. е. вероятность того, что ошибка наблюдения дойдет до
величины |tr| будет:
+_*
htv*dv = 0(hv),
™-77/'~
Фиг. 8L
где Ф (х) обозначает г а у с-
совский интеграл ошиб-
к и (стр. 110). Имеем W (со; =
=*Ф(оо) = 1.
На фиг. 81 изображены в
абсциссах v кривые для ср (v)
(кривая вероятности Гаусса) и
W (v) для h -- 1; ср. также ни-
жепомещенную таблицу. Точки
перегиба кривой лежат при
v = ± 1/(лУ"2) =±0,707 107/Л.
Значения величин для определения ошибок по Гауссу
V
0,0
од
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9'
1,0
1 *
0,56419
0,558 58
0,542 07
0,515 63
0,480 77
0,439 39
0,393 62
0,345 64
0,297 49
0,250 98
0,207 55
ф
0,000 00
0,112 46
0,222 70
0,328 63
0,428 39
0,520 50
0,603 86
0,677 80
0,742 10
0,7?691
0,842 70
V |
1,0
М
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
®
0,207 55
0,168 24
0,133 67
0,10410
0,079 47
0,059 46
0,043 61
0,03136
0,02210
0,015 26
0,010 33
Ф
-0,842 70
0,880 20
0,910 31
0,93401
0,952 29
0,966 11
0,976 35
0,983 79
0,989 09
0,992 79
0,9S5 32
V
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
: 2,8
2,9
3,0
<Р
0,010 33
0,006 86
0,004 46
0,002 84
0,00178
0,001 JD9
0,000 65
0.CC0 38
0,000 22
О,0С0 13
0,ОС0 07
--- ф
0,995 32
0,997 02
0,998 14
0,998 86
0,999 31
0,999 59
* 0,999 76
0,999 87
0,999 92
0,999 96
0,999 98
3. Арифметическая средняя, средняя и
вероятная ошибки. Под арифметическим средним значением какой-
либо функции ошибки ф (v) понимают значение интеграла

Теория вероятностей 211
-f оо " + °°
/ ф w ? («о ^=-4= А ♦ w e~'h%v*dv-
— оо — оо
Для ф (с/) = v получаем арифметическое среднее значение = 0.
Для ф (с) == | f | получаем арифметическую среднюю ошибку
+ оо _
^ \v\4(v)dv=\:h /*= rf = 0,564 19/Л.
/>
Для <f W = V2:
+ 0О
/
tf3<p(i/)rft/=l:2rt2 = m2,
— ос
где
m=l:h уТ= 0,707 107/Л = 1,253 31 d
называют средней ошибкой.
Вероятная ошибкаг есть ошибка с вероятностью
появления V2:
г = 0,476 936/Л = 0,674 49 т » \ т.
4. Если имеем п наблюдений одинаковой степени точности и
Ач, Хз, .. .,Х их /г разниц по отношению к арифметической средней,
то для больших значений п имеем приблизительно
d=—liAJL
У n(n-l)
У n-l' m У я(я-1)»
где dam имеют те же значения, что и выше, М — обозначает
среднюю ошибку среднего арифметического, а [а] — обозначает
сумму ах -f- а2 -\- ... 4-а » как это имеет обычно место при
поправках по Гауссу.
с) Поправки наблюдений. Способ наименьших квадратов
1. Вероятнейшее значение из п наблюдений одинаковой
точности хи x2t ..., х есть среднее арифметическое из всех
наблюдений
Х = - = ,
п п
При неодинаковой точности придают наблюдениям «веса*
Pi» />2» • -"Л> на основании закона, что одно наблюдение веса /? по
точности должно соответствовать р наблюдениям веса 1.
Вероятнейшее значение— среднее весов:
= Pl*l + Р**2 + . • • + РпХп _ \рх]
Pl + P2+...+PH ~ IP)

212 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
со средней ошибкой _^_
где
средняя ошибка наблюдения веса 1; Хх = х— xlt Х2 — л: — х2, ...
Хя = * —л:л называются кажущимися ошибками.
2. Распределение ошибок. Если f (х, у, z ...) есть
функция независимых аргументов, значения которых найдены путем
непосредственных наблюдений и которые обладают средними
ошибками т , /и , т ... , то среднее значение ошибки функции будет
В частном случае для / = ял: + by + с* + .. •
mf=V а2т2х+Ь2т2у+с2т2г+...
3. Выравнивание наблюдений; линейная
функция. Требуется определить наиболее вероятное значение
коэфициентов я, Ь, с линейной функции
f=ax + by+cz+ ...,
если имеется больше групп наблюдений (fx, хх% yx, zx ...), нежели
неизвестных коэфициентов. Из п линейных уравнений
ахх+byx+czx-\- ...=/х (»==!, 2 л)
с г «л) неизвестными а, Ь, с—образуют г нормальных ура в-
нений
[рхх] а+[рху] b + [pxz] <?+...= [pxf\
[РУ*\а + [рУУ\ Ь+lpyz] с+ ... = [pyf\
где через рх обозначен вес группы наблюдений (/х, xxt yx% zx...).
Решая уравнения, получаем однозначные значения для коэфициентов
at b, с ... При равной точности всех групп наблюдений
множитель р отпадает.
Если вставить найденные значения д, br с..., то первоначальные,
полученные из наблюдений, уравнения не будут удовлетворены, но
получатся „уравнения погрешностей" для кажущихся погрешностей
Средняя погрешность одного наблюдения веса 1 получится:

Теория вероятностей
213
Определенные этим путем коэфициенты д, Ь, с ... называются
также „наилучшими" значениями их, так как сумма [рЩ
взвешенных квадратов погрешностей имеет тогда минимум: метод
„наименьших квадратов".
Для решения уравнений погрешностей Гаусс указал особый
метод (см. литературу). Надо иметь в виду, что при образовании
нормальных уравнений получаемые произведения нельзя сокращать.
4. Особый случай линейной функции одной пере-
менной:/=д+&*: при равной точности наблюдений всех п групп:
[x)\xf]-\f\[xx] [x)[f]-n[xf]
[JC]2 — П[ХХ] ' [Х\*—П\ХХ\ #
Если, как это имеет место при наблюдении колебаний,
времени обращений и т. п., через равные промежутки х
производятся наблюдения fi% /2, .. .,/я одинаковой точности, то
наиболее вероятное значение разностей наблюдений /х —/x_j
(х = 2, 3, ..., п) равно
njt-lfi»-1) Vn-fi) + (я~3) Г/Л_1—/2> + (/г—5) (/,_2-/3) +...]• '
5. Нелинейная функция: f=f(a,btc...; xtytz...).
Если г есть число неизвестных коэфициентов а, Ь, с; п^>г число
групп наблюдений, то из г уравнений
/(я, Ьу с...; хх, ух, *х...)=/х (*=1, 2,...,/:)
определяются приближенные значения я0, Ь0, с0... неизвестных.
Если обозначить через а, р, у ... вводимые туда еще неизвестные
поправки, то в первом приближении имеем:
Я«.*.с..)-/(вьЛ.«ь...) + (^)в. + (-^)в1» + (^)вт+....
где выписаны только члены первого порядка а, р, у...; указатель О
показывает, что всюду вместоa,btc... надо вставлять приближенные
значения а0, Ь0, с0 ... Это дает линейное уравнение а, р, у • • •» так
что в дальнейшем можно поступать, как сказано в п. 3.
d) Статистика i)
1. Кривая распределения. Результаты статистических
наблюдений наносятся в каком-нибудь масштабе на ось абсцисс, которая
делится на достаточно малые отрезки; на этих отрезках строятся
прямоугольники, площади которых пропорциональны числу
наблюдений, приходящихся на рассматриваемый отрезок оси абсцисс.
*) Литература. С z u b е г, Die statistischen Forschungsmethoden, Wien',
1921; R.Becker, H. P 1 а и t u. J. R и n g e, Anwendungen der mathematischen
Statistik auf Probleme der Massenfabrikation, Berlin, 1927; Fabrikationskontrolle.
Herausg. von P la и t Berlin, 1930, VDI-Verlag; Artikel Grundlagen der mathematischen
Statistik (R. Rot he)?

214 Т. I. Отд. I Математика. Vin. Практическая математика
При неограниченном увеличении числа наблюдений и уменьшении
интервалов (отрезков оси абсцисс) получается в пределе кривая
распределения (идеальная), ординаты Н (х) которой дают величину,
пропорциональную числу наблюдений величины х.
ь 4-оо
Полное число наблюдений равно N= j H (x) dx = J H(x) dxt
а — со
если все наблюдения падают на интервал от лг = а до х = Ь\ при
конечном числе наблюдений iV=2/f(хх).
2. Средние значения.
Арифметическое среднее
fxH(x)dx 2ххН(хх)
М = й = '-i-^ .
Центральное значение (медиана) Л'это то значение,
для которого
х + оо
/ H(x)dx= f H(x)dx = 42N;
— со X
если результаты xlt х2, , xN расположены по их величине
и каждый из них повторен столько раз подряд, сколько он
появляется при наблюдении, то
если N—четное число и
Х = lk (*i/t (N - 1) + *ih (N + 1)),
если TV —нечетное число.
Квартили. Первая квартиль Qx:
j H(x)dx^ViN1
третья квартиль Q^-:
Q8
f H(x)dx = *UN.
— oo
Модой называется то значение х, для которого f(x) имеет
наибольшее значение.
3. Меры уклонений. Квадратическим уклонением
(дисперсией) называется величина
f(x)2H(x)dx
где v{x) = M— х есть поправка величины #,
/2v(xx)>H(xx) ffv(x)*H
"3V = V W

Интерполяционное и разностное исчисление 215
Линейное уклонение:
2\v(xx)\H(xx) J\v(x)\H(x)dx
^-*-
N ~ N
4. Частность: h (х) = —krJ-.
Закон больших чисел. С возрастанием числа
наблюдений N частность h (x) стремится асимптотически к предельному
значению, в благоприятном случае совпадающему с величиной
*_
w (х) ^ —j= ехр (— /г2*2) (где exp (z) = e),
с
Величину h = —= (s — дисперсия) называют мерой точности
у +•
статистического ряда наблюдений.
D. Интерполяционное и разностное исчисление,
аналитическое представление табличных функций
XqX^X2 . . . Хл
1. Таблица „из п пар значений -
| Mi)'2 • • • Уп
все абсциссы которых хх между собою различны, может быть
интерполирована при помощи определенной целой рациональной функции
y=f(x) степени не выше п. Согласно интерполяционной
формуле Л агранжа, эта функция принимает для x=xQi xif.. ,,хя
значения у0% уъ ...,уп:
(х — х^) (х — х2)... (х — хп)
y = f(x)=y0.
(Xq — Xj) (Х0 — Х2) . . . (Xq — Xn
(x — xQ) (x — x2) ... (x — xn)
+ ...+Л
(X — X0) (X — X{) ... (X— Xn_x)
2. Для той же цели служит интерполяционная
формула Ньютон-а:
g(x) =g(xo) + (x — x0)gi (xJ + Ix — Xq) {x — x1)gi(x2)+J..
+ (x - x0) (x — x^.^ix — xn_x) gn (xn),
где вспомогательные функции gx(x) имеют следующие значения: -
- M_gW-g{x0) ,_ g1(x)—gl(xl)
gl \X) — —Z » g2 \X) — , . • .
«* — лq x ■— X2

216
Т I. Отд. 1. Математика. УШ. ГГракти*геекая математика
*0
*2
Уо б
y±gi C*i) ч 8
y2gi(x3)g2(x2) 16
ysii(xB)g2(xB)gH(xB) 20
30
Для численных расчетов пользуются следующим расположением:
225
400 87,5
1600 137,5 6,25
2500 162,5 6,25 0
5600 223,96 6,205 — 0,0032 — 0,00034
В каждом столбце стоит разность между соответственным
членом соседнего слева столбца и первым членом столбца, деленная
на соответственную разность абсцисс.
Численный пример дает для квадратичной функции:
g\x) = 225 + 87,5 (х — 6) + 6,25 (х — 6) (х - 8) = 6,25 х\
если пользоваться только четырьмя первыми парами чисел
(напечатаны курсивом). Если взять и пятый член, то этим просто
прибавляется следующий член формулы; получается
G (х) = 6,25 л:2 — 0,00034 (х — 6) (х — 8) (х — 16) (л: — 20).
В этом состоит преимущество формулы Ньютона перед формулой
Лагранжа.
3. При равных разностях значений аргумента
Х\ Xq =
"*i:
= х„
хп_г = h = Д х пользуются
следующим расположением разностей (рядом указан численный
пример):
Уо
Уз
У*
*У*
ДУз
Д'Уо
Atj/,
- 4
- 2
0
+ 2
+ 4
+ 6
205
— 194
11 + 184
_ ю — 144
1 +40 +384
+ 30 +240
31 +280 +384
+ 310 + 624
341 + 904
+ 1214
1555
Здесь
АЛ=Л+1-Л, Д2Л=АЛ + 1~ДЛ. ДЗЛ«= ДЗЛ +1 - Д2Л и т- Д-
Имеем
дХЛ = Л ~(/1)л-1 + (2)л~2----+(-1)Х:Уо
Л^Л+С) A-Vo+ft) д23'о+... + Д^о.
4. Формула Ньютона при равных разностях
аргумента:
y.s=«W=>0T Л 1! Л2 2! +'"
дЛУо (* — *о)(* —*ib.-(*-*/,-i)
... + -_ _ .

Интерполяционное п раввоетное исчвелевие
217
В численном примере имеем Л=?,и = 5^(дг)=14-л + лЧ л* -f- л4.
Другой вид: положим (л: — *0)/Л = а, тогда будет
• y^yo+Ci) A^+(5) Л2^о+...4-р Ая^о ...(1)
х-гУ-2
*-iJ4
/
5. Эти формулы вполне точны лишь для
целых функций, т. е. соответственно для таблиц,
в одном из разностных столбцов которых всюду „-,,_,
получается значение нуль'. Если значения одного У
из столбцов малы, то формулы с достаточным
числом членов дают достаточное приближение.
Это касается и следующих формул, в которых
разности получаются из схемы (фиг. 82),
соответственно указанному пути (через X обозна- ~\
чено арифметическое среднее из выше- и ниже- *»л
расположенных разностей); путь для
приведенной выше формулы Ньютона (1) обозначен на фиг- 82«
чертеже через (1).
Формула Ньютона при возрастающих разностях:
•/*j
/
\
*хУ\ \
•-YJ/
•П)
з-Л+(1«)^_1+(-+1)дъ,_а + (-+2)^
-3
+
Формула Стирлинга:
, *.Уо+д.У-1
У=Уо+и -
и*
f-o-A2y_! +
2 ' 2
в(в-1)(и+1) &у_x+b*y_t
(2)
(3)
Формула Б е с с е л я:
У=Уо+"ЬУо+
u(u-l) &уп+&у_х
и (и — 1)(ц — 0,5)
&У-1 +
(4)
Для интерполяции таблицы вблизи значений x0t y0 более
пригодна формула Стирлинга (3) (*— 0,5 <! и <; + 0,5); наоборот вблиаи
середины интервала (0<!и<;1) более подходяща формула
Бесселя (4). Для концов таблиц более подходят обе формулы Ньютона
(1) и (2).
6. Сглаживание ряда наблюдений при равных раз
ностях аргумента. Всякий раз вместо ух берут арифметическое
среднее \ (з\_ 1+Л+Л +1) TPex последовательных значений.
Еще большая точность получается, если внести в ух поправку:
— з35 А4.Ух—2* В 4-м разностном столбце Д4.Ух—2 стоит в той же строке,
как и ух. Такое сглаживание особенно полезно перед нанесением

218 т- I- ОтД- 1. Математика. VIII. Практическая математика
и вычерчиванием кривых, а также перед численным или
графическим диференцированием.
7. Таоличное дифёренцирование и
интегрирование. Формула Стирлинга дает для производной при л: = х0
(или ы = 0)
2
Формула Бесселя дает (дг0 в начале области интегрирования)
У/Н^ = 6.^о + -2 ДЛ —уд 2 +
11 *у_г + *у_2 |
+ 720 2 '••'"
Формула Стирлинга дает (лг0 в середине области интегрирования)
xo—i
Е. Численные, графические и механические методы
практического анализа1)
1. Решение уравнений. О Ньютоновском методе приближений,
о „Regula falsi" и методе повторных подстановок см. стр. 71. Для
графического определения комплексных корней уравнения
F (z) = 0 делают подстановку z = x-\- iy и разлагают лев у ю
часть уравнения на ее вещественную и мнимую части: F{z)=*
= u(xt у) + iv(xt у) = 0. Тогда и (х, у) = 0, v(x, y) = 0 являются
двумя кривыми плоскости ху% пересечения которой с абсциссой х
и ординатой у дают вещественную и мнимую части искомого корня
z = х + iy уравнения F (z) = 0. Уточнение * найденного значения
может быть достипнуто по-способу Ньютона или повторной
подстановкой с двумя неизвестными (х, у); ср. напр. С. Runge und
Н. Кб nig, Numerisches Rechnen, глава 7.
Для решения трехчленных уравнений (вида zm + pzn -f-
•) Литература. W i 11 е г s, Graphische Integration, Saraml. G6schen; Numerische
Integration, Bd. 864, Methoden der praktischen Analysis, Leipzig, 1928, Goschen.-
C. Runge, Graphische Methoden, Leipzig, 1914, Teubner. Mehmke, Leitfaden zum
graphischen Rechnen, Leipzig, 1917, Teubner. v. S a n d e n, Praktische Analysis, 2.
Aufl., Leipzig, 1923, Teubner. С R u n g e u. H. К б n i g, Numerisches Rechnen,
Berlin, 1925» Springer. .....*

Численные, граф. и механ. методы практ. анализа 219
-f q = 0) вычерчивают прямые zm + xzn +у = 0 при различных
неизменных значениях z.
Более общее уравнение у (*) + 5 (р) • Ф (г) + *)(<?) — О также может быть решено
графически, если снабдить ось абсцисс шкалой функции & = i (p), а ось ординат
шкалой функции т) = tq (g).
2. Вычисление и построение целой рациональной функции
g (х) = аял;л + ап - 1 *" "~1 + • • • + aix + ао Для заданного значения
абсциссы л: = £. С этой задачей часто приходится встречаться при
определении численного значения степенных рядов. Вычисление
ведут по Горнеру:
ап — i
+ «„*
+ *л-2*
+ М + М
+ м
Сумма: ая | 6л _! | 0л_2 | *л-3 | ••• | *• | *i |Ь0=^(У
Здесь &х = лх-{-£х , jS. Если установить 6 на счетной линейке, то
вторая строка может быть отсчитана без изменения положения
линейки.
Пример.
cos х » 1 - ~ 4- -^ = 1 - 0,5 х* + 0,04167 х*
(начало разложения в ряд); £ = к/4 = 0,785.
0,04167
0
+ 0,037
- 0,5 I 0
+ 0,0257 1 —0,372
1
-0,2922
0,04167 | +0,037 | —0,4743 | —0,372 | +0,7078
Из таблиц получаем cos тс/4 = 0,7071.
Для построения g (5) проводят прямые лг=1илг = £и наносят
(с соблюдением знака) коэфициенты на ось у (фиг. 83). ЛО0 = я<),
^o^i = аъ АХА2 == #2» • • • Ап — Ил ^ а«- Затем проводят
последовательно АпЕп\\х, ЕпАп_ь РяЕя_г\\х, Еп_гАп_2, Ря-ХЕя_2\\хш...
Е^АЬ Р2Ег\\х, ExAq, причем в итоге Рх определяется ординатойg(6).
Другое
построение — см:
W e h a g e, Z. d.
V. d. 1,1877,21,
стр. 105. Этот
метод основан
на повторном
применении так
наз. пр еобра-
зования Сег-
н е р а, причем
из кривой ух =
=/(*)
получается кривая y2 = xf(x), а из ^2 = ?W получается у1 = у(х)/х
(фиг.- 84).
1
4
л,
Ае
—i
i
&
' i
^^
9fV
| «
К»
Ег
Е,
г m
Фиг. 83.

220 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
3. Измерения и построения на вычерченных кривых. Длина
дуги, а) При небольшой расстановке ножек циркуля откладывают
несколько хорд, так что получается многоугольник из хорд,
сосчитывают число хорд (последнюю неполную хорду оценивают
приблизительно) и наносят результат на прямую. При слишком малых
хордах происходит накопление погрешностей. Ь) Пользуются
курвиметром, который градуируют, предварительно проведя его вдоль
линии известной длины (проводить от
руки, а неч вдоль линейки).
4, Площадь, а) Если кривая начерчена
на миллиметровой бумаге, то сосчитывают
число квадратных миллиметров, причем
квадратики, перерезаемые кривой,
оценивают приблизительно. То же самое можно
получить, налагая кальку с миллиметровой
Фиг. 85. сеткой или стеклянную пластинку с
квадратным делением. В случае необходимости
надо проверить правильность миллиметровой сетки. Ь) Вырезать и
взвесить; вырезать из той же бумаги квадрат известного размера
и также взвесить, с) Разлагают площадь посредством параллельных
линий на полосы, которые на-глаз превращают в
прямоугольники; заштрихованные на фиг. 85 треугольники должны
при этом быть равной площади, к чему глаз весьма чувствителен,
Отрезки могут быть с достаточной точностью приняты за отрезки
парабол и их площади, согласно
правилу Ламберта, приняты равными
2/3 а а и 2/з^Р- Площадь равна тогда
F^ls(aai-b$) + 2gb.
d) Правило Симпсона. Если
все полосы имеют одинаковую
ширину о, то к хордам s проводят средние
линии т (фиг. 86) и получают
F~ Т {^~ТГ~ +S5 + 2Sm )• фиг-86-
25 и S/7Z можно измерить, налагая полосы бумаги, на которых
непосредственно суммируют отдельные хорды; можно также
воспользоваться курвиметром или миллиметровым делением счетной
линейки (не слишком короткой), укрепив на подвижной части
указатель из бумаги, доходящий до миллиметрового деления. (О
правиле Симпсона см. стр. 112); имеем:
h = ±bta=y0i b=yn,
*гп= У1+У*+Уь + ...
e) Формулы Чебышева. Они представляют площадь (кроме отрезков)'
приблизительно, «ак арифметическое среднее соответственно подобранных ординат
(хорд):
Г"*7 ~П
J

• Численные, граф. и мехай. методы практ. анализа 221
Если считать абсциссы из середины участков, ширина которых пусть равна 2 с, то,
обозначив через х\с абсциссу, соответствующую у\у получаем значения х^ из
нижеследующей таблицы (на фиг. 87 изображен случай п = 4, с = 1).
п = 2 *! = —0,57735 = —лг,,
п = 3 x1 — — 0l,70711 = — x3, Xz — 0,
п = 4 ЛЧ = -0,79465 = -л:4, хг = — 0,18759 = - х„
п = 5 Vx = — 0,83250 = — «*6, *г = — 0,37454 = - хА> хг — 0.
f) Формула Гаусса (стр. 113). Она наиболее точна, но менее удобна для
вычислений, нежели предыдущие.
g) Планиметр. Наиболее употребителен полярный планиметр
А м с л е р а. Если / есть длина подвижного рычага, R — пройденный
Фиг. 87. Фиг. 88. Фиг. 89.
роликом, путь, г — длина «полярного» рычага, р — расстояние
плоскости ролика от подвижного штифта F, то обведенная площадь
равна
F — IR при «внешнем полюсе» (фиг. 88),
F = /i? + тс(г2 + 2/?/ —/2) при свнутреннем полюсе» (фиг. 89).
Необходимо иметь в виду, что планиметр дает не абсолютное
значение площади, ограничиваемой данной кривой, но зависящую
от знака, смотря по тому, находится ли обкатанная площадь справа
или слева от обведенной кривой. Для градуирования планиметра
обводят им квадрат или круг с известной площадью, причем ролик
должен двигаться на той же бумаге и в направлении обвода *).
5. Другие измерения при помощи определенных интегралов.
Вышеприведенные способы определения площадей могут быть
употреблены вообще для определения значения определенного
интеграла
ь
f/Wdx,
а
1) Теория и конструкция этого и других планиметров и вообще всех сюда
относящихся инструментов см. A. G a i I e, Mathe.-natische fnstrumente, Leipzig u. Berlin.
1912, ТеиЬяет.

222 Т t- 0тД- *• Математика. VIII. йрактическай математика
причем его рассматривают как площадь, расположенную между
кривой у = f(x) и прямыми х = а, х — Ь% у — О, причем должен
учитываться знак (фиг. 90).
Примеры, а) Объем любого тела, размеры которого определены
сечениями, перпендикулярными к оси г. Определяют площади достаточного количества
сечений q (г) для достаточно большого числа
значений г, как указано выше, наносят на
миллиметровую бумагу .полученные числа в качестве
ординат к абсциссам г, соединяют конечные точки
плавной кривой и определяют искомый объем
Ь
-А V'^^(^4)>7nTt)))A »» f — / q(z)dz при помощи одного из вышеука-
j? ^
занных методов.
Ь) Т е л а вращения. Объем V, сгагиче-
ский момент 5 относительно плоскости, перпен-
*иг* 9°* дикулярной к оси вращения (х) в нулевой точке,
' момент инерции J относительно вращения;
Ъ Ъ Ь
V=nf y*dx, S = k f хущ- dx, J=1I2k fy* dx.
a a a
К абсциссам х меридианальной кривой у = у (х) наносят значения у* и у*;
планиметрирование получаемых кривых дает Vjfrc и 2 У/it. К абсциссам х* (квадратная
функциональная шкала на оси х) наносят ординаты у*\ планиметрирование
получаемой кривой дает 2 51л:.
c) Двойной интеграл ff «p (х) ф (у) dx dy, распространенный по
плоскости. Предельную кривую перечерчивают по координатной системе S = f ? (x) dx,
г) = fty (у) dy. Тогда двойной интеграл становится равным ff dbd-ц и
-распространен по ограниченной площади, т. е. он равен этой площади. Так, например,
полярный момент инерции плоскости относительно оси, проходящей через начало О и
перпендикулярной к плоскости участка, в полярных координатах выражается через
J=ff psd? d <p = 1/4/г4 dy, где г есть радиус-вектор точки ограничивающей кривой
по направлению <р« Положим г2 = R и перечертим ограничивающую кривую в
полярных координатах (JS, <р), тогда J = *и f Z?2 do, т. е. половине перечерченной
площади. Дальнейшие примеры см. R. Roth e, ETZ, 1920, стр. 999.
d) Для определения статических, центробежных и инерционных моментов
служат моментные планиметры; см. G а 11 е, а. а. О.
6. Графическое интегрирование. Чтобы к кривой y=f(x)no-
х
строить соответственную интегральную кривую Y = F(x) — С f(x) dx,
а
заменяют сперва (фиг. 91) интегрируемую кривую параллельными х
ступенями, так что в произвольных точках Pi,p2>Pu) ..., где кривая
и ступени имеют одинаковые ординаты и одинаковые абсциссы, они
ограничивали бы одинаковые площади от х = а. Для этого
необходимо так проводить параллельные у ступени, чтобы заштрихованные
отрезки справа и слева имели одинаковые площади. Выравнивание
производится на глаз, или если чертеж сделан на миллиметровой
бумаге, что всегда желательно, — путем сосчитывания квадратиков.
В параболах выравнивающая прямая пересекает горизонтальную
линию через середину хорды на 2/3 расстояния до параллельной каса-

Численные, граф. и мехай. методы практ. айализа 223
тельной. Тогда берут «полюс интегрирования» Я на расстояние
ОЯ=1 на отрицательной оси х. Ступени, параллельные х и
проходящие через ри р2» Рз»---> продолжают до пересечения с осью
у в точках с теми же индексами; затем проводят радиусы Я7, П2%
Л5,..., также начиная от
А (ОА = а) и
многоугольник АВ\\П U ВС\\П2,
CD || Я 5,... для каждой
ступени по одной стороне.
Этот многоугольник
является многоугольником
касательных ' к искомой
интегральной кривой с точками
соприкосновения Pi—А, Р2,
Яо,..., имеющими такие же
абсциссы, как и ри р2
pz,... Сама интегральная
Фиг. 91.
кривая вычерчивается посредством
лекала, если нужно при помощи параболической интерполяции (см.
стр. 148, фиг. 32).
Если полюсное расстояние ОП равно не 1, а J., то получается
интегральная кривая F(x)[k. Проверка: численная величина, какой-
нибудь ординаты интегральной кривой должна (будучи помножена
на X) дать площадь, которая может быть определена
планиметрированием, между данной кривой у =/(*) и этой ординатой. Путем
соответствующего подбора полюсного расстояния можно добиться
того, чтобы последняя (или наивысшая) точка кривой как раз еще
уместилась на чертежном листе. Заранее выбирают точку £/, где
она должна приблизительно оказаться (фиг. 92), приблизительно
проводят ступень, параллельную х для всего отрезка, заданного
отрезка кривой р0рп и SFJ || AU, чем определяется Я. Численное
интегрирование см. стр.
218. Об интеграторах
см. Gall е.
7. Графическое
диференцирование.
а) Касательная
при заданном на-
правлении.
Проводят несколько хорд,
параллельных
заданному направлению, и
соединяют их
середины вспомогательной
кривой (фиг. 93), которая встречается с заданной кривой в
точке Р соприкосновения касательной. Ь) Касательная в
заданной точке соприкосновения. Зеркальная линейка,
боковая отражающая поверхность которой перпендикулярна к плоскости
чертежа, так поворачивается, что зеркальное изображение кривой
является продолжением (без заметного излома) заданной кривой
Фиг. 92,

224 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
в точке Р\ прямая пересечения плоскости зеркала и чертежа является
тогда нормалью к кривой, а следовательно, перпендикуляр к ней,—
касательной. Зеркало должно быть металлическое или же состоять
из стекла с черной подкладкой; часто бывает достаточно куска
станиоля, наклеенного на вертжеальиую сторону счетной линейки,,
выглаженного и отполированного рукой, с) Диференциальная
кривая. Заданную кривую Y= F(x) заменяют описанным
многоугольником из касательных Я,, Р2, Р3, ... как описано в а\ причем
параллели к ним /7/, П2, П3,... проводят через полюс П (фиг. 91).
Прямые, параллельные осп х:*1 ply 2p2t3pdt
<5«»
,frxt
образуют лестницу, на
ступенях которой,
имеющих одинаковые
абсциссы с Plt Р2, Я3..., лежат
точки ри >2, ps, ... ди-
ференциальной кривой
У = F' (х) = / (х). Их
выбирают таким
образом, чтобы
треугольные отрезки, остающиеся
по обе стороны
ступеней, имели равные
площади (обратимость
графического
интегрирования).
8. Вторая интегральная
х
кривая 5 (x)^=fF (x) dx «
Фиг. 94.
sss f f f (х) dx dx может рыть
а а
достроена согласно п. 6
двукратным графическим
интегрированиям : ее ордината 5 (х) по
величине равна
статическому моменту площади под кривой у = f(x) относительно оси, проходя-
щей через х и включающей данную ординату. Касательная к кривой S(x) в точке
соприкосновения с абсциссой х (получается при построении) и любая ее ордината ij
по величине равна статическому моменту площади под кривой у = /(х) по
отношению к оси, включающей эту ординату т]. Эта касательная пересекает ось х
в абсциссе центра тяжести этой площади.
9. Другой метод двукратного интегрирования при помощи центров
тяжести. Дано ys=f(x), требуется найти
У.—
/.(*)
-/
fx(x) dx -f с. =
II
f (х) dx dx -i- c% x 4- г.
пр{ произвольных постоянных elt с* (фиг.. 94).
Начиная от * = 0, делят площадь у = /(*) на полосы равной ширины 1,
определяют их центры тяжести Sv Sd, ... и образуют прямоугольники
одинаковой площади с высотами / /?lt 2 Я.. • • • путем проведения горизонтальных сгу-
иеней (треугольники, лежащие выгае и ниже ступени, должны иметь одинаковые

Численные, граф. й меха я. методы практ. анализа $25
площади). Через полюс П (О П = 1) проводят радиусы П 0', /7 //, П 2'
строят 0 0' = сиО' V — 1 /?!, 1' 2' = 2 R2, 2'3'— 3 #,, ... обращая внимание на
знак, а затем строят, начиная у А (у — сл) многоугольник A£ II /70'. 2« 22Ц Л/',
S? 23 И П2Г, ..., причем, углы 2,» 29, • • • имеют такие же абсциссы, как
центры тяжести S1% S7, ... Этот многоугольник состоит из касательных к искомой
второй интегральной кривой с точками соприкосновения Blf Bt, .... имеющими
такие же абсциссы, как /?lf /?2, ...
Для определения центров тяжести можно рассматривать (при плоских кривых)
полосы, как трапеции, и действовать, как описано в отделе „Механика твердых тел"
(стр. 286). При участка* параболического вида проводят прямую, параллельную
хорде, на 2/s расстояния до параллельной касательной и определяют центр тяжести
ограниченной таким образом трапеции.
10. Обыкновенные диференциальные уравнения 1-го порядка
а) Численное интегрирование по Рунге-Кутта. Пусть
заланное диференциальное уравнение (сокращенное обозначение DG),
решенное относительно у\ имеет вид у' — f (х> у); требуется найти
решение у=у(х), которое для х = х0 принимает значение у0 —
= у(х0), где х0 и у0 произвольно заданные величины. Вычисляют
значения у, соответствующие аргументам х0, х0 + h, х0 + 2/г, . . .,
где h достаточно мало. Если значению х соответствует^, то x-\-h
соответствует ^ + ^> где k определяется следующим образом:
вычисляют
bi=f(x,y)bt k2=f(x+ \ht y+ \ kjh,
Ь*=/(х+ \h,y+ I kg)h, *4 =/(*+*. y + bjh,
откуда k = у у l+2 4 + k2 + k^ .
Для у' =*f(x) этот метод переходит в правило Симпсона !).
Ь) Графическое интегрирование при помощи
постепенных
квадратур. Исходят из
приближенного решения у=уг(х),
которое надо знать лишь вблизи
точки (дг0, Уо*. Решение
постепенно уточняют, пока истинное
решение не будет найдено с
точностью, допускаемой
чертежом.
а) Метод изоклин.
Сперва проводят ряд
достаточно близких кривых f(x,y) =
= с для различных значений
с = с0, cv c2» • • • (изоклины)
поблизости от~значения f(xQ,y0)=
= с0 (фиг. 95), а также соответствующий пучок лучей S0, 5lf S2,...
с любым центром W (на WQ л:, WQ = 1 восставляют в Q Ъер-
*) Дальнейшее, а также другие методы описаны у С. R u n g е и. Н. К б n i g;
Fr. A. W i 11 е г s. Numerische Integration, Samml. Goschen, T. 8b4.

226 'Г- !• Отд. 1. Математика. VIII. Практический математика
пендикуляры с0, си с2, ... принимая во внимание знак),
соединяют W с концами этих перпендикуляров. Через А0 (лг0, у0)
проводят A0Mlt параллельную к S0, причем Мх находится примерно
посередине между изоклинами
си тогда MxM2]\Sl9 M2MS\\S2
и т. д. Этим путем получается
многоугольник
касательных к искомому
первому приближению к
интегральной кривой диференциаль-
ного уравнения. Точки
соприкосновения являются точками
пересечения А0... с
изоклинами. Этот способ удобен лишь
тогда, когда изоклины
вычерчиваются просто.
р) Чертят (фиг. 96)
достаточно малую часть AqAx
начальной касательной (подъем
с0 =/U0, у0), вычисляют / (хг,
у1) = С1, где хиуг суть
координаты At и могут быть
получены из чертежа; прямую с
подъемом Cj проводят не в
Alt а в ЛГ, посередине между
А0 и Av С этой прямой NXA2
(А2 произвольно, но достаточно
близко от ЛГ,) поступают точно
так же, как раньше с AQAV
Получаемый многоугольник
AoNiN2 •.. есть многоугольник касательных к
искомому первому приолижению к интегральной кривой диференциаль-
ного уравнения. Точки касания BltB2,... лежат вертикально
над Аи А2, ...
7) Из первой приближенной кривой у =у1(х) получается более
точная путем обыкновенного интегрирования (квадратуры)
X
У г М = / /С*. Уь (*)) dx+y0.
X
Продолжая эту операцию, получаем уг(х)= f f(x,y2W) dx + Уо
и т. д. При известных условиях, которые на практике обычно
удовлетворяются* уп (х) при п -* оо сводится к искомому решению .у М-
Для построения из ух (х) следующего приближения у2 (х)
берут многоугольник касательных, построенный согласно а) или Р;, и
к нему из полюса интегрирования /7 (слева от О, О П=\>
проводят пучок лучей (О 0 = с0, О I ■= q, О 2 = са, .. .). Параллели к х

Численные, граф. и ме*ан. методы практ. анализа 227
через 0, 7, 2, ... встречают параллели к у (через Д), Z?lf B2, ...)
в точках/?0, plf р2, • •• (фиг. 97), которые соединяют по
возможности плавной кривой; эта кривая представляет f(x, yx(xj) и ее
графически интегрируют согласно п. 6, чтобы получить у2 (х). Эту
операцию продолжают до тех пор, пока два последовательных
приближения уп + х (*)» Уп (■*) совпадут (в пределах точности чертежа).
Гекомендуется сперва построить первую приближенную кривую согласно
а) или р) и затем уточнять ее до пределов точности чертежа. Достаточно при помощи
лекала продолжить на-глаз полученной таким образом начальный участок
интегральной кривой диференциального уравнения, чтобы в большинстве случаев получить
подходящее первое приближе! ге для дальнейшего построения.
11. Совокупные диференциальные уравнения 1-го порядка*
Простейший случай:
.*-'<**
*).
dz
dx
=g(x,y>*).
Согласно методу, описанному в п. 9, строят в двух координатных
плоскостях (ху) и (xz) кривые первого приближения уг (х), zx (x)
(фиг. 98) и уточняют их
у к ,~ „ . —^~ТИ— путем постепенных квад-
* рат>р«
Фиг. 98.
Фиг. °9.
Уп(х)
= / /(■*. Уп -1 (*). *п -1 (■*)) Л* +Уо

228 ^- '• 0ТЛ* *• Математик*. VIII. Практический математика
как указано в п. 10 ?)• Две начальные точки (x0t у0) и (х0, z0)
интегральной кривой должны быть заданы.
12. Диференциальные уравнения 2-го порядка^'" =/(*,.)'> У)-
а) Их превращают в совокупную систему
dx dx J *
и оперируют согласно п. 11. Начальная точка (лг0, у0) и начальное
направление у0' — z0 произвольно заданы.
Р) Интегрирование по радиусам кривизны. Если
вставить & = агс tgyf> р = ds/dti = 1 : (cos^&.y) в диференциаль-
ное уравнение, то оно принимает вид
l/ps=cos»ft./(*f у, tg»).
Для построения первой приближенной кривой пользуются
линейкой из целлулоида (фиг. 99) с отверстием Р для карандаша и двумя
перпендикулярными прямыми РМ и TiPT$. Оба значка Тг, Т2
находятся на расстоянии 1 от Р и служат для определения значения у';
на РМ = р отмечают иголкой соответственный центр кривизны М.
Первая приближенная кривая может быть таким образом
вычерчена посредством небольших кругов кривизны. Из соответственных
отсчетов вычисляют у" = р : cos3 ft. Двойное интегрирование
соответственной кривой дает новое, более точное приближение
решения уравнения.
F. Тригонометрические ряды (Фурье) и гармонический
анализ *)
1. Многие периодические явления (колебания, переменные токи
и т. д.) могут быть выражены точно или приближенно в виде
тригонометрических сумм:
Fn(t)=C0+Clsin(«>t + 9i)+C2s\n(2<ot+<?2) + ... +
•+C/Jsin(/io>/+<prt),
где С0, С1у С2, ..., Сп, cplt cp2, ...,<рл —постоянные. Мы имеем здесь
наложение п гармонических колебаний с одинаковой фазой ja (или
периодом /? = 2я/а>) и с различными, вообще говоря, амплитудами
d, C2, ..., Сп и начальными фазами срх, <р2, ... Функция Fn(t) сама
периодична: Fn (t + kp) = Fn (t) при k = r£ 1, :£ 2, ... Если
положить ш/*=л: и разложить sin (k ад * + ?*)» то ^л W пРим^т вид
^лW = ^о +aicos * + ^2 cos 2 л: + ... + ап cos nx +
+ bt sin jc -j- £2 sin 2 jc -f ... + bn sin лаг.
i) Литература. С. RuLge, Theorie und Praxis der Reihen, Leipzig,- 1904,
GCschen.; v. Sanden, Praktisrhe Analysis, 2. Aufl., Leipzig, 1923; И И. Привалов,
Fiin Фуоье. Госиздат. 1й£0

Тригонометрические ряды и гармонический анализ 229
а0 — С0, ax = Cxsin<px> ^ = CxcoscP)» Х = 1, 2,...,л.
Если/(лг) есть периодическая функция периода 2 7t, то f(x) может
быть приближенно выражена через fn(x), в наиболее благоприятном
случае, т. е. когда средняя квадратичная погрешность
2*
[Ax)-fn{x)fdx
о
имеет возможно малое значение, когда коэфициенты a0t ах, Ьх
имеют значение
2тс 2те
./'
1 /' 1 /*
а0 = ^ / /(*)</*, дх = ~ I f{x)cos\xdxt
и о
'2тс
I sin X х dx
(формулы Эйлера). Эти значения независимы от л, и
следовательно, приложимы ко всякой тригонометрической сумме.
2. Для я->оо,/л(х) переходит в ряд Фурье функции f(x),
причем а0, ях, Ь} имеют вышеуказанные значения. Если заданная
функция/(jc), имеющая период 2 тс, для всех х в пределах 0 <! х < 2 тс
однозначна, ограничена, отдельные участки только увеличиваются
или только уменьшаются, и отдельные участки непрерывны, то ряд
* Фурье этой функции является сходящимся и во всех местах
непрерывности сумма равна f(x), а в местах разрыва сумма равна
среднему значению у [/(д; + 0)+/(лг—0)], rAe/(xdtO) = lim/(jcit е)для
е-)0и е>0.
3. Другие формулы для коэфициентов:
4-« тс
г. ах = ff(x) cos \х dx = j [f(x) -f/( — *)] cos Ix dx
— ic 0
тс 6X = ff(x) sin lxdx = f [/(*) —/(— *)] sin X* d*.
-в о
Если/(лг) четная, т. e.f(x) =/( — jc), то тс ях = 2ff(x) cos Хл: rfjc, ftx = 0.
о
Если/(х) нечетная, т. e.f(x) = —/(—*)> то ах = 0, тс bx = 2 J f(*)sin Xjtrf*.
о
Если f(x) = — /(^ + тс),т. е. кривая, относящаяся к одной половине

230 Т. I. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
периода, является зеркальным изображением другой половины
периода, то
тс
па2Х i i = 2J/(jc) cos(2X + \)xdx, я2Х = 0
те&2Х + 1 = 2f/(jc)sin(2X + l)xdx, b2X = 0.
6
Если F (x) имеет период /?, то ряд Фурье имеет вид
А0+ I >4xcos (X 2 тс л://?) +S #х sin (X 2 телг/р) (Х= 1,2,3,...)
рА0= Г F(x)dx /?ЛХ=2 /*F{x)cos(\2—x\dx
6 6
Р
рВх~2 fF(x)sin{\2-^yx.
6
4. Частные случаи.
a) Коммутированный синусоидальный ток: f(x) = sin x для
0<дг<те, /{*) =— sin* для те<д;<;2те (фиг. 100)
х. ч 2 4 /cos 2л: , cos4a: , cos 6* , \
b) Дуга параболы: f(x) = (д; — те)2 для 0<*<2те(фиг. 101)
л х Я2 I a /cOs * . COS 2 JC , COS ° X , \
/W=3- + 4"T-+-4— + -9-+-J-
c)/(*) = jc для 0<дг<2те (фиг. 102)
,, ч Л /sin л: , sin 2 лг . sin 3 jc . \
/w=*-4-r+_-+-_-+--0-
d) Трапеция: f(x) = b x/a для 0< л;< a,f{x) = b для я<лг<те—л,
f(x) = b(n — x)/a для те —а<д:<те, f( — x) = —f(x)=f (те-J- jc)
(фиг. 103)
Дд;) = — — Гу2 sina sin x + g^ sin 3 a sin3* + « sin5a sin5 д;-]-...).
e) Прямоугольник: f(x) = fc для 0 < д; < те, fix) = — 6 для
*<д:<2те (фиг. 104)
/./ ч 4 , / . , sin 3 л: . sin5jc . \
Этот случай содержится в предыдущем, если а -> 0.

Тригонометрические рйды и гармонический анализ 231
f) Треугольник Дх) = 2 £ х/ъ, для 0 < х < -^
f(x) = 2b(n — x)/n для j тс<лг<т:,
/(*) = — /( — x)=f(n + x) (фиг. 105)
SinA-
sin 3 л: sin 5 x
Q •
Этот случай содержится в случае
d), если а — к/2.
Фиг. 100.
Фиг. 102.
g) f(x) = х для 0 < х < тс,
/(лг) = 2тг—*для 71<лг<2тс (фиг. 106)
4/cos л: , cos3;t
ФИГ. 1чл*.
<
"■*!
i
... -,
|а
!**
[а
г
»** •
»wr- lu4
/W = f
тс V 1 ^ 9 ' 25
h) fix) = cos к* для 0 < x < тс, f(x) = cos и (2 тс — дг) для
тс<*<2тс;апроизвольно, но ф0, d=l, =Ь2,...
. sin и тс/1 2 я . 2м . \

232 т- I- Отд. !• Математика. VIII. Практическая математика
i) Л*) = —#ln(2siny) для 0<v<^t f(x) = f{ — x)
f(x) = cos x-\- j cos 2^+ 3-cos3^+ ...
5. Гармонический анализ. Разложение периодической
функции в тригонометрический ряд или приближенное
представление ее в виде тригонометрической суммы называется ее
гармоническим анализом.
Если f(x) задано не аналитически, а графически, например
в виде осциллограммы, то коэфициенты a0ia}^ Ьх могут быть весьма
удобно и точно -представлены при помощи гармонических
анализаторов. Простой анализатор указан О. Мадером (ETZ, 1909,
стр. 847). Другие анализаторы (Генрици, Юль, Михельсон и Страт-
тон) описаны у G а 11 е, Mathematische Instrumente, Leipzig, 1912;
Е О г 1 i с h, Aufnahme und Analyse von Wechselstromkurven,
Braunschweig, 1906.
6. Формулы Бесселя. Если период 2тс разделен на г
равных частей с абсциссами ^0=0, хи х2)..., хг = 2 тс (причем ха = 2 п air
для а = 0, 1, 2,..., г) и если соответствующие значения функции
f(xa)=ya заданы или могут быть получены из кривой путем
измерения, то интегралы лучще заменить суммами. Если
/ЛМ = ао + а\ cos х + <?2 cos 2 х -f-... + ап _ j cos (n—1 )x-]-ancos n лг-f-
-)-&! sin л: -\-b2 sin 2х-\-...+ bn_1s'm(n— \)х
имеет 2п коэфициентов и г=2гс, то действительны следующие
формулы (а= 1, 2, ... ,г):
(D
Если же г > 2 л, т. е. имеется больше результатов измерений, чем
коэфициентов, то имеем следующие формулы (одновременно
дающие „наилучшее" приближение в смысле метода наименьших
квадратов)
. '-я0 = £Л> ™3 = 2Sj'ecosp*e, rbo = 2Lyas\n$xa,
(И) ' * а
а = 1, 2,..„г, р = 1, 2,...,/z; r>2/z.
7. Метод Рунге. Выгоднее всего применять формулы (I) в том
случае, когда число г ординат является кратным четырех: г =4/7.
Тогда можно, „складывая" период, упростить вычисления. Для
г =12 {р =3) имеем следующую схему:
гл0 = ЕЛ»
а
гяо=2 Zyacos$xa
а
гЬр= 2 S^asinpxe
гяя = £(-1)*л
а
(Р=1. 2 п-
(•) = !, 2,... ,я-
-1)
-1).

Тригонометрические ряды « гармонический анализ 233
Ординаты
Сумма . .
Газн"ость .
! Ух
•)'!? • .I'll
Sq Si
dx
Уг Уг Уа Уь
Уш Уч V8 Уч
S% Sq Si S$
di dz d\ db
Ув
h
Сумма .
Разность
Сумма
Sq S± S% S3
S(t Se Sj
80 Si $2 $3
bd bi b*
Разносгь
d\ di d3
db d<
CTj CTj
Вычисление коэфициентов членов с косинусом
sin 60° = 1 — 0,1340 .
sin 90° = 1 .... {
Сумма
Сумма I -{- И
Разность I — II
«о
I
12
12
Si
*з
II |
я0
«6
ь2 '
ь0
I
bi
II
6flj
6а5
So
I
1 6
1 6
II
<h 1
0Г4
b0
I
b,
II
6«,
Вычисление коэфициентов членов с синусом
sin 30° — |
sin 60° = 1 — 0,1340 . . .
sin 90° — 1
Сумма
Сумма I + II
Разность I — И
<*3
I
1 6
6
a-
II
Ьь
Ьх
I
1 6
6
si
II
ь,
*i
| I
'3
II
J 6&8
В каждой строке надо помножать приведенные значения на
значение синуса, написанного слева. Умножение на 0,134 получается
при помощи счетной линейки точнее, чем на 1 — 0,134 = 0,866.
Для г=\2 и г = 24 имеется готовый формуляр С. Runge
u. F. Erade, RechenformularzurZerlegung einer empirisch gegebenen
periodischen Funktion in Sinuswellen, Braunschweig, 1913. Дальнейшее
см. C. R u n g e u. H. К б n i g, Numerisches Rechnen, Berlin, 1924.
Удобно приспособление Л. Германа в виде шаблона,
особенно в выполнении Л. Ципперера, Tafeln zur harmonischen
Analyse periodischer Kurven, Berlin (Springer), 1922.
Уточнение метода Рунге путем приближения к многоугольнику
из хорд или применения вспомогательной кривой, составленной из
дуг кубических парабол, описано Делленбахом, Arch. f. El. 10, 1922,
стр. 277. Для г=24 значения а^, Ь^ должны быть помножены на
множитель /Ср, согласно следующей таблице:
*я
0,999 93
0,998 88
0,994 53
0,983 53
К*
0,962 17
0,927 21
0,876 54
0,809 70
0,728 16
0,635 19
0,535 46
0,434 45

234 Т. Т. Отд. 1. Математика. VIII. Практическая математика
8. Графический метод. Если в формулы (I) вставить
вр + 0р = 'р, то
Векторы уае1 "длины \уа | и отклонения р ха геометрически
складывают. Для г = 8 и г = 12 можно воспользоваться лучистой звездой,
начерченной на кальке. Соответственная „направляющая линейка"
описана у San den, Praktische Analysis, 2. Aufl., стр. 128.
О. Параллельная перспектива
Для того, чтобы возможно яснее представить себе форму
какого-либо тела, а также соотношение всех его размеров, пользуются
очень часто так называемой параллельной
проекцией, которая хотя и дает
изображения, не вполне похожие на предмет
в натуре, но самое изображение предмета
исполняется гораздо легче, чем при
центральной проекции. Исполнение
изображения достигается всего легче способом
аксонометрических проекций.
Выбирают систему трех взаимно
перпендикулярных осей, к которым и относят
данное тело; на каждой из осей принимают
Фиг. 107. известный масштаб, проектируют оси
вместе с выбранными масштабами на бумагу и
все расстояния, которые у данного тела параллельны одной из осей,
наносят на чертеж параллельно проекции этой оси и в выбранном
для этой оси масштабе. Ось z-ов выбирается вертикальной.
При косой проекции направления осей и единицы длины
для масштабов могут быть выбираемы произвольно, лишь бы не
более как две из осей имели одно и то же направление и не более
как один из масштабов на оси был равен нулю (закон Польке).
Наиболее простые случаи (фиг. 107):
1.ех = еж=1; еу=\,\,\\ ср = 90°; t = 45°, 60°.
2. ех = еу = ег = 1; ср -f- ^ = 90° (военная перспектива).
Если тело ограничено не одними прямыми линиями и плоскими
фигурами, а кругами в различных положениях, круговыми
цилиндрами, конусами, шарами и, вообще, произвольными телами
вращения, то предпочитают прямоугольную проекцию. В этой
проекции величина масштабов, в которых откладываются различные
"измерения тела, находится в зависимости от направления осей, и,
наоборот, — направление осей зависит от выбранных масштабов.
В нижеследующей таблице приведены наиболее употребительные
соотношения х).
г) Для обыкновенных случаев рекомендуется проекция 1:1:1, наиболее простая
из проекций, близких к изометрической. Последняя в большинстве случаев дает не-

Параллельная перспектива
235
Обозначения:
е — единица длины действительного масштаба чертежа,
ех, ev, *2—единицы масштабов по отдельным осям,
У и ф _ острые углы, образуемые осями х и соотв. у с осью г-ов.
Прямоугольные проекции
Род проекции
Изометрическая проекция
Диметрическая проекция
Т;иметрическая проекция
ех : ву : ez
1:1:1
1:1:1
1:1:1.
1:1:1
5 :2:1
6 3
-9:1:1
10 2
ех:е
0,8165
11.1
0,9670
0,9853
cig ф 1 ctg ф
приблизительно
<р = ф = 6ЭЭ
1 :8
1:18
1 :32
1:5
1:11
7:8
17:18
31 : 32
1 :3
1 :3
Последняя графа служит для нанесения направления осей
проекции.
Пусть rx> ry1 rz будут отрезки, которые, будучи измерены
* в соответственных масштабах х% у, zt дают одну и ту же длину г
4 иг. 108. Фиг. "109.
(так что rz = г (ех: е и т. д.). Длина этих отрезков может быть
найдена и без употребления масштабов, посредством способа
уменьшения (фиг. 103). Лучи Сх, Су, С2 проведены к Л под углами,
синусы которых имеют значения еу:е, еи:е, е^:е.
луг
краевые изображения При черчении значительно можно выиграть во времени, если
прямые, па^алле. ьные з:ям проекций, чергигь по^ред:гвом чегырехугольника,
употребление которого в грех случаях показано на фиг. 109.

236 Т. I. Отд. 1. Математика. IX. Площади, объемы и поверхности тел
IX. Площади, объемы и поверхности тел
а) Площади плоских фигур
Фигура
1.
Треугольник
(см. стр.
84-85).

Прямоугольный

треугольник
(см. стр. 86)
2. Четырех-;
угольник
D и Dx
диагонали, <р
угол между
ними
Обозначение размеров
/Т^
/' кд\\
/ ^чЙАг *
\jr^r^Ai
****—±—^**
—-._-'
Фиг. ПО.
h высота J_ к стороне а,
s = \ (а + Ь + с)
«!, w2, /и8 средние линии
*о = \ (Щ + т- + *и8)
Jfi^i, *a V2. *зУз
координаты вершин
относительно произвольной
системы прямоугольных
координатных осей.
Начало координат
совпадает с вершиною
3:[*8 = 0, yz = 0]
a, b катеты
с гипотенуза
а угол, противолежа-
. щий стороне а
—-
^^у|\
Х*а Й^ V^-^*""^
*ML/^*-**"""*^
Фиг. 111.
m длина линии,
соединяющей средины
диагоналей
а, т два
противолежащих угла
Площадь F *)
F = \ah
= V
s(s — a) (s— b) {s — c)
= J a b sin v
__ a* sin p sin у
= 2a* sin a sin p sin y
= P8ctg£actgJp ctg^Y
! =p* = —
= Г
= 3
*r
Vs0 (Sq — /Wi) fa0 — fh) (s0 •— m3)
*s У2 1 = 1 { + **.Уз - *зУ* >
х*у* 1 * l 4- x.y, — *,y3 J
i I
? = Цх\кг*(Х1У*-х*уд
F = iab
= 5 a2 ctg a
= 5 b* tg a
= J c2 sin 2 a
& + d* = c»
F = \ (hx + /u) Z> = i D A sin <p
a« 4- 5* 4. c* -f- rf* = D! + Dx* -f 4 /и»
F = У (5 — a) (5 - b) (s — c) (s —~d) -
«4-Y
— abed cos? —;■—-
s = {a + b + c + W
J) Площадь положительна или отрицательна, смотря потому,
находится ли площадь при движении по периметру ее в порядке точек /, 2, 3 по
левую руку (левое вращение) или по правую руку (правое вращение). Фиг. 110
изображает отрицательную площад.

Площади плоских фигур 237
Фигура

Четырехугольник,
вписанный
в круг
Трапеция
Паралле-
лограм

Прямоугольник
Ромб
3.
Многоугольник

Правильный много,
угольник
См. табл.
стр. 238.
4. Круг
Таблицы
для F и U
см. стр. 2
•» след.
Обозначение размеров
а, Ь, с, d — 4 стороны
s = ± (a + b + c + d)
стороны
л высота
a, b стороны
л расстояние между
сторонами b
1 угол параллело-
грама
о, b стороны
а сторона \ б
Y угол / г"™*
координаты п вершин
относительно
произвольной системы
прямоугольных
координатных, осей
[Сумма внутренних
углов равна
(л -2). 180е]
а, ащу..., ап стороны
л-угольника
(«ul«v) Угол»
образованный я„ и av
г радиус вписанного
круга
R радиус описанного
круга
а = 2 У R* — г* сторона
л число сторон
е>° = 180° : л
U периметр
многоугольника
г радиус
d диаметр
U окружность
Площадь F
F = V(s — a) (s-b) (s — c) (s — d)
DDt = ac-\-bd
B a + b . DDX sin <p '
F = —j-h = ^
F— bh — ab sin у =
= \ DDX sin <p
2 (a* + &) = D' + Dj8
F = ab = jD*sin<p
F = a' sin т = J DDj
+ (*4у3 - *3y4) -f . ..
• • • + t^rt-l - *л-1 *л)
+ (*1Ул-*лЛ)}
(|i, v = l, 2, .. ., л-1)
F может быть определено также путем
разделения многоугольника
диагоналями на треугольники
F = J na9 ctg <p
= J «Я* sin 2 <р
= Л Г2 tg <р
СГ= лд = 2 л/? sin в
= 2 лг tg <p
Угол многоугольника
равен 180° — 2 <р°
^ = тс rs = tc/4£f = { Ud
= 0,785 398 163 4 #

238 Т. t. Отд. 1. Математика. 13t. Площади, объемы и Поверхности тел
Значения правильных многоугольников
п
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
16
20
24
32
48
64
F\a*
■111 lis ill III
FIR*
1,29^0
2,0000
2,3776
2,5981
2,7364
2,8284
2,8925
2,9389
3,0000
3,0505
3,0615
3,0902
3,1058
3,1214
3,1326
3,1365
Ffr*
ill 11! ill ill
R\a
0,5774
0,7071
0,8507
1,0C00
1,1524
1,3066
1,4619
1.618J
1,9319
2,4049
2,5629
3,1962
3,8306
5,1011
7,6449
10,190
K\r
2,0000
1,4142
1,2361
1,1547
1,1099
1,0824
1,0642
1,0515
1,0353
1,0223
1,0196
1,0125
1,0C86
1,0 48
1,0021
1,0012
a/R
III 11! Si? ill
a/r
3,4641
2,0000
1,4531
1,1547
0,0631
0,8284
0,7279
0,6498
0,5359
0,4251
0,3978
0,3168
0,2633
0,1970
0,1311
0,0983
rlR
0,5000
0,7 71
0,8090
0,8660
0,9010
0,9239
0,9397
0,9511
0,9659
0,9781
0,9808
0,9877
0,9914
0,9952
0,9979
0,9988
r\a
III 111 ii III
Фигура
Круговое
ксль ю.
Для F
можно

пользоваться
табл.стр.2
Круговой
сегмент;
табл. стр.43
и 44
Круговой
сектор.
Для F
можно

пользоваться
табл. стр. 2
и след.
Часть
кругового
коль ia
Обозначение размеров
R наружный 1 ра-
г внутренний J диус
D наружный \ диа-
d внутренний J метр
р средний радиус
о ширина кольца
г радиус
«р° центральный угол
в градусах
b длина д) ги
s длина хорды
h высота стрелки
г радиус
Ь длина дуги
<р° центральный угол
в градусах,
соответствующий дуге b
Ф дуга,
соответствующая радиусу = 1
фиг. 112.
Площадь F
F = k(R* — r')
= £ тс (D' - <t)
= 2тср8
r{b — s) + sh
~ 2
F=*\br
Ф°
= 360" КГ~
= !*/•
<р"тс «р°я
* ~ 180э °-\&~°Г

Площадь
кругового серпа
Объемы и поверхности тел 239
F — г (и + sin <р — <р" к/180") = л» т)
/
Т)
<//10
0,40
2rf/10
0,79
3rf/10
1,18
4rf/10
1,56
5rf/10
1,91
6i/10
2,25
7<f/10|8<//10
2,55
2,81
9rf/10
3,02
Фиг. 113.
5. Конические сечения. Эллипс и эллиптический сегмент
см. стр. 139—141. Гиперболический сегмент см. стр. 141—142.
Параболический сегмент см. стр. 145.
Площади других кривых см. стр. 148 до 156. Определение
площадей см. стр. 220.
Ь) Объемы и поверхности тел
Тело
1. Призма
Куб
Обозначение размеров
F площадь основания
Л высота
а ребро, d диагональ
V = объем, О = поверхность,
М = боковая поверхность
V = Fh
V = a8, 0 = 6а*

Трехгранная призма,
усеченная

непараллельно
основанию
Q сечение,
перпендикулярное ребрам
а, Ь, с длины трех
параллельных ребер
V=*J(e + b + c)Q
Усеченная непараллельно основанию л-гранная призма (и цилиндр). Если / длина
линии, соединяющей центры тяжести оснований, Q сечение призмы J_ к /, то V = Qt

Прямоугольный

параллелепипед
2.
Пирамида

Трехгранная
пирамида
а, Ъу с длины трех ребер
d диагональ
F площадь основания
h высота
*х У\ *i. х. у* г,, *3 Уз *з
координаты трех вершин;
начало координат
совладает с четвертой
вершиной
V^abc
#=а*-\-Ь* + с*
0 = 2{ab + ac+bc)
V=l Fh
\х»у3гл
*>
*) Объем положителен или отрицателен, смотря по тому, остается при обводе
внешнего треугольника НХР«Р, плЗскость слева или справа.

240 Т. Т. Отд. 1. Математика. IX. Площади, объемы и поверхности тел
Тело
Обозначение размеров
V— объем, О = поверхность,
М = боковая поверхность
Усеченная
пирамида
F, /площади параллельных
основании
h расстояние между
основаниями
А и а две соответственные
стороны оснований Fnf
V=lh(F+f + VFf)
3. Обелиск
V= lh[(2a + a^b + (2al^a)bl]
= It Л [ab + (a + at) {b + ftx) + ax b,)
4 Клин
V=l(2a + ai)bh
5. Цилиндр
F площадь основания
h высота
V^Fh
Круговой
цилиндр
г радиус основания
h высота
М==2кгН
О = 2 тс г [г + К)
Цилиндр
прямой,
усеченный

непараллельно
основанию

Цилиндрическая
подкова *)
Нх наиболее короткая
производящая цилиндра
Ля наиболее длинная
производящая цилиндра
г радиус основания
V=TC/*
fti + fr
Л1 = тс г {hx -f Ла)
Ж=2гЛ
Сечение проходит через центр
основания; следовательно, основание подковы —
полукруг, т. е. a = b — rl)
*) Если основание подковы больше или меньше полукруга, 2 а — ее прямая
сторона, ь — длина перпендикуляра, опущенного из основания h на 2а,2ср
—центральный угол основания подковы, то вообще:
V = [а (3г*- a*) -f 3г*(& — г) <р° тс/180 J Л/3 ft; Л* .-= [{Ь - г) ср" гс/180° + а] 2/Л/&.

Объемы и поверхности тел 241
Тело
Полый
цилиндр
(труба)
6. Прямой
круглый
конус
Усеченный
конус
7. Шар
(для V
служит табл. 5,
стр. 42, для
Отабл.стр.2
и след.)
Обозначение размеров
| R наружный радиус
1 г внутренний радиус
Л высота
s —R — г толщина
р = 5 (# + г) средний
радиус
г радиус основания
Л высота
s производящая
R и г радиусы оснований
h высота j
s = У& + Л2
3 j
г радиус = У 3 V/4 % —
= 0,620351 К?" 1
rf =2 г диаметр
V— объем, О = поверхность,
М = боковая поверхность
V= те h (R* — г-) = те hs (2 /? — s) =
= те/w (2 г -f -г) = 2 те Л8 р
' И=£те/«Л
Л1 = тегУ/Л + Л*=тег^
5= V r* + h*
У= $*Л (/?* + *>* + г')
Л1 = те S3
К=§ тег* = 4,1887£0205г»
= J те d» = 0,5235^8776 d»
0 = 4тег8 = те#
= 4 X площадь большего круга
R наружный радиус
г внутренний радиус
Dud диаметры
= | к(#»-/*)= J «(£)»-</»)
Л высота сегмента
г радиус шара
а радиус основания
= J те Л* (3/\— Л)
Л1 = 2тегЛ=те(а« + Л*)
а2 = Л (2 г—Л)
Л высота пояса
г радиус шара
д, Ь радиусы оснований
пояса; (а > Ь)
V= | те Л (За*+ 36* +Л2)
Л1 = 2тегА
ft* — Л*\*
16. Hutte, Справочник для инженеров, т. I.

242 Т• !• ^ТД- *• MaTeMatHKa. IX. Площади, объемы и поверхности тел
Тело j
Шаровой
сектор |
Сфериче-
двухуголь-
ник
Сфериче-
треуголь-
ник
8.
Эллипсоид
Эллипсоид
вращения
9.
Параболоид
вращения
Усеченный

параболоид
Обозначение размеров
^-[7Г^ |
ФИ1. И7.
<р° угол между отраничи-
гами
«° сферический избы юк,
углов треугольника
свыше 180°
а, Ьщ с три полуоси
i 1) если 2 а ось вращения:
2) если 2 Ь ось вращения:
г радиус основания
j h высота
Rt r радиусы параллельных
оснований
h высота
V— объем, О = поверхность,
М = боковая поверхность
V = | it r» h = 2,0943951024 г* Н
0 = тсг(2А-М)
М = -|^- тс г8 = 0,0349066 <р г'
Л1 ==-j^5- « /* = 0,0174533 s г»
V=$ тс а&с
И=| тс аГЬ
V— J тс г* Л = 1,5707Гб г» Л равно по ю-
вине кругового цилиндра для г и 7г.
V*= з «(/?*+О Л равно средней плошал i
X на высоту
10.
Цилиндрическое
кольцо
v-R-^-Я
Фиг. 118.
V==2rc2/?r?=r 19,730 /?г*
d« 2/ j =1 тс*D&jr= 2,4674 Ш*
0= 4 n*#r== 39,478 Rr
= тс* Dd = 9,86f 6 Drf
11. Чан или
кадка
Основания
произвольные, эллипсы с
полуосями a, b и а„ &J
Л высота
V== J тс Л [2 (ab + fl^ + аЬх + e^J
12. Бочка
D диаметр среднего сечения
d диаметр дна
Л высота
V Ж Д тс Л (2 D* -т- о") приблизительно д »я
круговой клепки,
К = Д тс Л (2 Z)* + М + | #)
точно для параболической клепки

Объемы й поверхности тел 243
Тело
13.
Цилиндрический
свод
14.
Крестовый свод
над прямо-
угол ьником
2SX2S
Обозначение размеров
s полупролет
г радиус внутренней
направляющей свода
Ь толщина свода
h высота свода
/ длина свода
s, г, В, Л, 2 s (вместо /), <р
обозначения, как и в 13, для
одного цилиндрического
свода
S, Ry А. Л, 2s, ф то же для
другого цилиндрического
свода
У= объем, О = поверхность
М = боковая поверхность
. » S
«ми«82- r_h
15. Если от шарового пояса (стр. 241) отнять усеченный конус,
радиусы оснований которого а и Ь, высота Л, образующая s, то объем
оставшегося кольца V = \ к hs*.
16. Призмойд, т. е. тело, ограниченное двумя параллельными
основными * плоскостями F0 и F2n и произвольным числом боковых
(треугольниками, трапециями, параллелограмами), вычисляется
по правилу Симпсона (стр. 112 и 220): V=lH(FQ-{-4F + F2n).
Примеры. 1. Если у обелиска высотою Л (стр. 240) основания представляют
трапеции, средние линии которых от и тъ а высоты с и съ то имеем:
V = \ h [(2m-fmi) c+(2 mx+ от) cj = \ h [тс + (от + отх) (с + <?i) + w^J.
2. Насыпь под дорогу. Если Л высота насыпи, Ъ ширина ее по верху>
1 : п наклон полотна, 1 : от уклон откосов, то имеем:
У = $Л»(я — т) [3& + 2Лот(1 — от:л)],
например, для л = 45 и от = 1,5:
V= 21,75 Л* (ft -f 0.S667 Л).
17. Правила Гюльдена (Паппуша).
1. Если
s длина кривой, которая вращается около оси, находящейся в одной с ней
плоскости, но кривую не пересекающей, и
х0 расстояние центра тяжести кривой до оси вращения,
то поверхность полученного таким образом тела
вращения будет:
jW = 2tca:0s, равное пути, проходимому центром тяжести X длину
кривой.
2. Если
F площадь плоской фигуры, которая вращается около оси, шходяшейся
в плоскости этой фигуры, но ее не пересекающей,
х0 расстояние центра тяжести этой фигуры до оси вращения,
то объем полученного таким образом тела вращения
будет равен:
16*

244 Т. I. Отд. 1. Математика. IX. Площади, объемы и поверхности тел
V= 2 тг х0 F, равное пути, проходимому центром тяжести X пло~
щадь фигуры.
3. Если имеем две параллельные оси вращения, расстояние
между которыми равно я, то, обозначая через Mt и Vt
поверхность и объем, отнесенные к одной оси, и через М2 " Vгг — те же
величины для другой оси, имеем:
Мх = 2 п as it М2 и К, = 2 7i a F + Vv
Здесь знак —, если 5 или F находятся между параллельными
осями; в противном случае знак +•
4. Если вообще y — f(x) уравнение меридианальной линии (ось
л: —ось вращения); М — часть поверхности, заключенная между
двумя плоскостями, проведенными в расстоянии хх и х2 от начала
координат нормально к оси дг-ов, и V— объем, заключенный между
теми же плоскостями и поверхностью тела вращения, то:
Af = 2rc [yds и V=nfy2dx.
ds = У dx2 -f- dy2 есть диференциал дуги меридианальной кривой.
5. Если 5 или F суть алгебраические суммы длин дуг sit s2, s3
и т. д. и соответствующих площадей 7^, F2, F& . .., и расстояния
xv х2, хг,... центров тяжести их от оси вращения известны, то
М = 2 я (skxx + s2x2 + %r3 + ...),
V =2n(Flx1 + F2x2 + F^ + .. .).
6. Для части тела вращения следует значения Ми V (в 1 до 5)
умножить на ср°:360°, если у° есть угол поворота в градусах (см.
например 13, стр. 243).
7. Вышеприведенные правила могут быть применяемы вообще
к какому угодно движению центра тяжести, лишь бы площадь
фигуры была перпендикулярна к направлению движения.

II ОТДЕЛ
Механика
Фамилии составителей и редакторов
Стр.
I. Механика твердых тел
Основные понятия механики 247
Единицы и системы мер 247
Вектор положения, скорость и
ускорение 248
Сила и масса 249
Материальная точка и основное
уравнение динамики 251
Момент силы и пара сил 252
Работа и мощность 254
Живая сила, или кинетическая
энергия 255
Статика 256
Основные законы 256
Сложение и разложение сил,
приложенных к твердому телу . . 257
Силы с общей точкой приложения 257
Система сил, лежащих в
плоскости и действующих на твердое
тело 260
Система сил в пространстве ... 270
Определение реакции опор .... 275
Равновесие сил, действующих на
нить 277
Закон работы. Принцип
виртуальных перемещений • 280
Виды равновесия 283
Центр массы и момент массы
второго порядка 285
Центр массы и центр тяжести . . 285
Определение центра тяжести ... 287
Положение центра тяжести для
технически важнейших линий,
поверхностей и тел 288
Моменты инерции и моменты
центробежные 293
Моменты инерции и моменты
центробежные для тела 293
Геометрические моменты инерции
и моменты центробежные для
плоских фигур 296
Моменты инерции важнейших
линий, поверхностей и тел . . . 299
Теория движения
(кинематика) 305
Движение точки 305
Движение твердого тела. .... 313
Относительное движение 324
Плоское движение 326
указаны в соответствующих отделах.
Стр
Динамика 332
Динамика материальной точки . * 332
Динамика системы материальных
точек 341
Динамика твердого тела 349
Удар твердых тел 357
II. Прикладная механика
Механизм 363
Основной метод построения
механизма 364
Преобразование механизмов . . . 365
Изменение формы звеньев .... 366
Анализ и синтез механизма . . • 368
Структура механизмов . • . 369
Состав механизма 369
Структурный анализ механизма . 371
Синтез кинематической схемы
механизма 374
Кинематика механизмов . . 375
Методы кинематического
исследования механизмов 375
Метод засечек 375
Кинематические диаграммы . . . 376
Графическое диференцирование . 377
Графическое интегрирование ... 379
Разметка путей точек механизмов
методом круговых линеек . . 380
Построение планов скоростей и
ускорений для плоских
механизмов 383
Передачи 393
Зубчатые передачи . . • 393
Кулаки и эксцентрики 393
Редукторы скорости 401
Динамика механизмов. . • . 407
Трение в машинах 407
Сопротивление при
относительном движении тел, прижатых
друг к другу 407
Сущность явления трения сухих
и слабо смазанных тел .... 408
Сущность явления трения хорошо
смазанных тел 414
Вычисление трения в разных
деталях машин 417
Трение в частях передач 419
Сопротивление при катании тел . 423
Сопротивление шариковых и
роликовых подшипников • • 425

Стр.
О движении без трения 426
Инерция в машинах 427
Разбивка и приведение масс . . . 427
Уравновешивание масс на валу . . 4J1
III. Механика подобия или
теория моделей
Статическое подобие 434
Динамическое подобие 434
IV. Механика капельных
жидкостей (гидромеханика)
Свойстважидкостей и газов 448
Таблицы и формулы 444
Гидростатика 446
Основные законы 446
Гидростатическое давление,
поддерживающая сила 446
Статическая устойчивость
плавающих и погруженных в
жидкость тел. Метацентр .... 448
Гидродинамика 449
Общие понятия и законы1 .... 449
Общие уравнения движения Навьс»
Стокса 451
Уравнение неразрывности .... 452
Уравнение Бернулли 452
Гидродинамический напор для
воды и воздуха (номограмма). 453
Течения с потенциалом скорости 455
Явления, в которых можно не
рассматривать влияния силы
тяжести 455
Движение под влиянием силы
тяжести . . . . • 460
Течения с потерей энергии .... 462
Прямые трубопроводы и каналы
с постоянным поперечным
сечением 462
Местные сопротивления 473
Расчет трубопроводов 480
Стр.
Движение води в почве AS2
Постоянное поперечное сеченне. 482
Сток подпочвенных вод 483
Сопротивление тел 484
Поверхностное трение. Тела
наименьше! о сопротивления. Есте-
ciвенный ветер 484
Течения с образованием вихрей . 488
Результаты опытов над
сопротивлением некоторых тел .... 490
Коэфициенты сопротивления
различных тел 492
Волновое сопротивление ..... 495
Жидкие струи 496
Образование струй, истечение из
отверстий 496
Высота и дальность полета
свободной струи 532
Давление струи на сосуд, из
которого она вытекает, и на
препятствия, ею встречаемые . . 503
Крылья и воздушные винты . . . 505
Плоское обтекание 505
Основные законы (теорема Кутга-
Жуковского) 505
Пространственное обтекание . . . 50Э
V. Механика сжимаемых
жидкостей (аэромеханика)
Аэростатика .... 519
Основные законы аэростатики . . 519
Статика атмосферы 520
Динамикагаза ........ 523
Движение газов по трубам
переменного сечения и общие
законы 523
Плоское течение при скоростях
порядка ниже звуковой.
Правило Прандтля 528
Движение сжимаемой жидкости
со сверхзвуковой скоростью . 529
Гидравлический удар .... 535

Основные понятия механики
L Механика твердых тел
Соаавил проф. д-р Людвиг Феппль, Мюнхен
Перевод и дополнения под редакцией проф. А. П. Малышева
А. Основные понятия механики
а) Единицы и системы мер
Под „измерением" понимают сравнение с однородной величиной,
принятой за единицу. Всякая скалярная величина состоит
из абсолютного числа, указывающего, сколько раз в ней содержится
величина, принятая за единицу, и из наименования, или
размерности. Такое же правило применяется и для абсолютной
величины вектора. Все величины, встречаемые в механике,
могут быть выведены по их размерности из трех главных, или
основных, единиц. В технической системе мер такими
единицами являются: длина (I), время (Т) и сила (F или Я).
Абсолютная (физическая) система мер, принятая также и
в электротехнике, отличается от технической системы мер третьей
основной единицей, именно: здесь принимают вместо силы массу (М).
Так как по основному уравнению динамики (стр. 251);
сила = масса X ускорение,
то в физической системе мер сила является
производной единицей, размер которой получается путем
умножения основной единицы массы на ра >мерность ускорения. Наоборот,
в технической системе мер масса является производной единицей,
которая получается путем деления основной единицы силы на
размерность ускорения. При переуоде от одной системы мер к другой
необходимо обращать внимание на эту зависимое! ь.
В обеих системах м^р время обычно измеряется секундами (сек).
В технической системе мер сила выражается в килограммах {кг), а
длина — в метрах (л*), а в физической системе мер масса — в
килограммах (кг) или в граммах (г), а длина — в сантиметрах (см), так
что кг или г в каждой из обеих систем мер имеют
различное значение. Для отличия от технического кг или г
обозначают физическое знаками кг* или г*. Наиболее важные для
механики величины и их размерности даны в табл. 1 (стр. 248).
В физической системе мер CGS (сантиметр-грамм-секунла) единицей силы
сл>жит дина. Она дает 1 грамму массы (г*) ускорение 1 см/сек*:
1 г* X 1 смj сек* = 1 дина.
Шинимая ускорение силы тяжести в нормальном месте ж g (стр. 25')==
= 9S0.6f5 см\секч-% имеем '):
Дя силовых единиц технической и физической системы мер
1 кг -= 1000 г* X 980,665 см\сек* = 0,930 665 • 10е дин,
1 АИНа = ^9W66oTW~ ** = 1'°197 ' 10~~* "*•
•) Так как для большинства технических расчетов величина ^—9,81 м сек- вполне
достаючла и общепринята, то эта величина примята как основа для всех расчетов
и таблиц в справочнике „Hutte".

248
Т. Т Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Таблица 1. Важнейшие механические величины
L — длина, Т— время, М — масса
Величины и обозначения
Размерность
в техниче-
1 ской си*
1 стеме мер
1 м
мщ-
М*
1
1
1 сек
1 м\сек
м\сек-
1 \\сек
1 \\сек-
1 кг сек*
1 м
1 кг сек*
1 кг
1 кг\м*
1 кгм
кг\м*
1
кг\м*
1 кг\м*
1 кг 1м
м*
м*
1 кгм сек*
1 лгал сгк»
I кгм
1 кгм J сек
1 «гл
1 кг*
1 кг сек
1 кг*« с**
1
1
1 м*]кг сек*
в физической
системе мер
см
см*
см*
1
1
сек
см \ сек
см\сек*
\\сек
If сек*
кг*
кг*1 см9
кг* см\сек*
кг*\см* сек*
кг* смг\сек*
кг*\см сек*
\ 1
кг*\см сек*
к г* 1см сек*
кг*\сек*
СМ*'
см*
кг* см*
кг* см*
кг* см*1сек*1
кг* см*\сек*
кг* см*\сек*
кг* см*\сек*
кг* см\сек
см* кгЦсек
1
1
см*\кг* сек*
Длина /, путь s . . .
Площадь г
Объем V
Уиол в, В, у ....
Телесный угол ш . .
Время /
Скорость v
Ускорение a, g. . .
Угловая скорость ш
Угловое ускорение е :
Масса тп
dm
Удельная масса, плотность р = — . . .
Сила, вес Р, G, F
Удельный вес у
Момент силы или пары сил М
Давление р, напряжение 8, х
Относительное удлинение t, сдвиг г • .
Модуль упругости Е = —
Модуль сдвига G = —
Интенсивность нагрузки q
Момент инерции Jq плошади
Центробежный момент Cq площади . .
Момент инерции J массы
Центробежный момент С массы . . . .
Работа W
Мощность N
Кинетическгя энергия, живая сила Е .
Потенциальна i энергия П
Количество движения, импульс mv . .
Момент количества движения В . . . .
КоэФяциент полезного действия т) . . .
Козф ндаент трения при скольжении и..
Постоянная тяготения
В формулах и уравнениях знаками + или — или =
могут быть соединены только величины одной и
той ж е размерности.
Ь) Вектор положения, скорость и ускорение
Для определения положения материальной точки служит век-
тор jr, проводимый в нее из любой точки пространства. Век-
тбр г можно заменить также тремя его компонентами х, yt z

Основные понятия механики
249
по осям прямоугольной координатной системы с началом в
неподвижной точке пространства.
Скоростью материальной точки, совершающей любое
движение, называется предельное значение отношения:
путь, пройденный за интервал времени _ ду
■ = v = —•
длительность интервала времени . at
Вектор скорости расположен по направлению dr, т. е. он лежит
на касательной к траектории материатьной точки; абсолютная
величина его равняется:
Под ускорением материальной точки, совершающей любое
движение, понимается предельная величина отношения:
изменение скорости за интервал времени _ fai rfty
длительность интервала времени ~~ . ~~" dt ~~ dt2'
Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости,
касательной к траектории в данной точке; направление его совпадает
с направлением dv, но, вообще, не совпадает с направлением v
(подробно см. стр. 311).
с) Сила и масса
1. Сила. Понятие о силе возникло из нашего силового
ощущения. При соприкосновении с каким-либо телом мы испытываем
чувство давления. Путем обобщения мы приходим к закону
взаимодействия, согласно которому сила понимается как
взаимодействие между двумя телами в том смысле, что два тела действуют
друг на друга равным-и, но противоположно направленными силами
(3-й закон Ньютона — закон действия и противодействия).
Сила есть вектор. Она всегда распределена по
поверхности, но в механике, для упрощения, часто принимают силу
сконцентрированной в одной точке, в точке приложения силы. Если
не считаться с состоянием напряжения и деформацией, вызываемыми
силами в теле, то точка приложения силы неважна, а существенна
только линия действия силы; вследствие этого силу называют
скользящим вектором (о сложении сил см. стр. 257).
Для измерения силы ее сравнивают с весом определенных
тел. Поэтому единицей силы является килограмм (кг). Эталоном
килограмма служит платино-иридиевый цилиндр, хранящийся в
Международной палате мер и весов в Севре близ Парижа. Вес эталона
килограмма с большой точностью приближается к. весу 1 дмъ чистой
воды при температуре 4° С для геогр 1фической широты Парижа.
На каждое тело на поверхности земли действует сила — его вес,
придающая телу постоянное ускорение, если его падению не препят-

250 т- I О'Д- 2. Механика. I. Механика твердых тел
ствуют другие тела. Ускорение падения g в одном и том же месте
не зависит от веса и вещества падающего тела.
В связи с географической широтой <р и с высотой h (в м) над
уровнем моря g (измерением в м/сек2) изменяется согласно
нижеследующей формуле:
g = 9,806056 - 0,025028 . cos 2cp — 0,000003/г.
Ускорения силы тяжести для городов СССР, приведенные к уровню моря
Название места g Название места g
Экватор 9,781 Москва 9,815
Тифлис 9,803 Ленинград 9,819
Одесса • 9,807 Архангельск 9,821
Харьков 9,810 ч Полюс 9,831
2. Масса. Масса тела — понятие, существенно отличное от его
веса. Она представляет собой присущую телу скалярную величину,
независимую от положения тела, между тем как вес изменяется
пропорционально g.
Коэфициент пропорциональности, на который нужно умножить
земное ускорение для получения веса G, ecib масса т тела;
G = mg.
Обыкновенными рычажными весами
определяется не вес тела, а его масса; весы, установленные в
любом месте поверхности земли в равновесии, останутся везде в
равновесии, в виду того, что веса обоих тел, при изменении положения
одинаково изменяются, между тем как массы их остаются
неизменными.
Все взвешивания промышленных товаров и в химии и т. д.
являются определениями массы, или количес.ва материала данного
тела. Масса тела остается неизменной при всех
физических или химических изменениях, которым
оно подвергается.
Переменную величину земного ускорения и, вместе с тем,
веса тела на поверхности земли нельзя узнать с помощью рычажных весов,
а только с помощью пружинных весов, отклонение которых дает меру для величины
веса. Точные измерения величины g производятся наблюдениями над колебаниями
маятника.
Удельный вес представляет собой вес единицы объема y = GjV,
причем G обозначает вес и V — объем однородного тела. Для
неоднородных тел удельный вес равняется f = dG/dV. (Данные
относительно удельного веса разных веществ см. в отделе
.Материаловедение".)
Удельная масса, или плотность, есть масса объемной
единицы p = m/V, причем т обозначает общую массу тела.
Удельным объемом называется объем единицы веса:
v = V/G, следовательно, iv = 1 и р = ^jg.
Удельным давлением, или напряжением
давления, называется давление на единицу площади: is=P//?, причем Р
обозначает общее давление, a F — площадь, по которой Р рас преде-

Основные понятия механики
251
лено равномерно. Это определение остается в силе и для
напряжения от растяжения 6 = P/F, и от сдвига -с = Q/F, причем сила Q
расположена в плоскости F. (Подробности см. в отделе „Сопротивление
материалов", т. II.)
Современная физика не применяет термина „удельное давление", так как на*
грузка, отнесенная к единице площади, называется просто „давлением". Существуют*
2 единицы давления, несколько отличных друг от друга; именно,
-техническая, ила метрическая атмосфера, иод которой подразумевается
давление в 1 кг на 1 смг, и физическая атмосфера, т. е. давление ртутного
столба высотой в 760 мм при 0°. При этом:
1 атм. физ. = 1,033254 атм. техн.,
1 атм. техн. = 0,967816 атм. физ.
Давление столба воды высотой в 10 м при температуре 4° С равно
технической атмосфере.
d) Материальная точка и основное уравнение динамики
Движение тела, совершающего только поступательное перемещение
(стр. 313), т. е. такое, при котором все точки тела проходят равные
и параллельные пути, может быть представлено как движение какой-
либо одной единственной точки, например центра тяжести. Представив
себе, что в этой точке сконцентрирована вся масса тела, приходят
к понятию о материал ьной точке, или центре масс,
каковое представление дает пригодную и упрощенную картину тела
для многих целей механики, главным образом, динамики.
Произведение из массы на скорость материальной точки называют
количеством движения ее. Оно представляет вектор, направление
которого совпадает с направлением скорости. Движение
материальной точки определяется законом движения Ньютона, или
динамическим основным уравнением: производная по
времени количества движения равна силе;
d(mv) __-
при постоянной массе:
т—=Р (массаXускорение = силе).
Это векторное уравнение можно представить тремя уравнениями
составляющих:
dvx d'lx v dv d2y dv2 cpz
где X, Г, Z—компоненты вектора силы по осям координат (х, у, z).
Если сила, приложенная к телу, есть его вес G, то динамическое
основное уравнение принимает вид:
m-g=G (стр. 250).
Для определения массы т можно вместо уравнения m-g=G
исходить из общего динамического основного уравнения:

252 т- I- ^ТД- 2. Механика. I. Механика твердых тел
и массу обозначить_такой скалярной величиной, которая от
умножения на ускорение а дает силу Р.
Частный случай закона движения Ньютона приводит к
закону инерции Галилея: всякое тело, без влияния
на него внешних сил, остается в покое или
перемещается прямолинейно и равномерно.
Динамическое основное уравнение и закон инерции предполагают существование
абсолютного пространства и связанной с ним системы координат.
Координатная система, прочно соединенная с землей, строго говоря, не
является абсолютным пространством, хотя она и приемлема для большинства
технических целей. То обстоятельство, что для земли как координатной системы не совсем
справедливы закон инерции и динамическое основное уравнение, подтверждается
различными известными опытами, как маятник Фуко, отклонение на
восток падающего гела и т. д. Со сферой неподвижных звезд связаны
астрономические координатные системы, для которых приблизительно точно
приложим закон инерции (инерционная система).
По принципу относительности Эйнштейна вообще не
существует абсолютного пространства, а все координатные системы равнозначны между
собою. Однако эта равнозначность всех координатных систем возможна лишь при
отказе и от понятия об абсолютном времени, так что при переходе от одной
системы координат к другой преобразовываются не только пространственные
координаты, но также и координаты времени.
е) Момент силы и пара сил
Сила Р, приложенная к какому-нибудь телу, рассматривается
(стр. 249) как скользящий вектор, точка приложения которого для
статики и динамики тела несущественна.
Наряду с самой силой столь же важное
значение имеет момент силы по
отношению к какой-либо точке. Если Р —
сила и О—любая точка, то под моментом силы
Р по отношению к точке О (фиг. 1)
понимается вектор М, абсолютная величина кото-
Фиг. 1 рого | М \ — Ра> т. е. равна величине силы,
умноженной на перпендикулярное (кратчайшее)
расстояние а между силой и точкой, или равна удвоенной площади
моментного треугольника, заштрихованного на фиг. 1.
Направление вектора момента перпендикулярно к плоскости,
содержащей в себе Я и О; стрелка вектора М определяется из
того условия, чтобы направление вращения силы Р вокруг О вместе
с поступательным движением, указываемым этой стрелкою М, давали
правое винтовое движение (движение пробочника) *). Если точка О
находится на линии действия силы, то момент силы равен нулю; если
он расположен на другой стороне силы, то момент изменяет свое *
направление (стрелку).
На основании этого определения момента силы можно написать:
М = [7Р],
1) См. стр. 178 .Векторный анализ"

Основные понятия механик!» 253
причем "г обозначает радиус-вектор от полюса моментов к точке
приложения силы, т. е. момент силы есть векторное, или
внешнее, произведение из радиуса-вектора г и силы р]
(См. ,Векторный анализ", стр. 174).
Если через точку О провести_ прямоугольную координатную
систему (х, у% z) и спроектировать М на оси этой координатной
системы, то три прямоугольных компонента Мх, Му и Мг от М
выражаются с помощью составляющих X, У, Z от Р и координат x,y,z
точки приложения А следующим образом:
Mx=Zy - Кг,
My = Xz- Zx,
Mz = Yx — Xy.
Эти три уравнения, вместе взятые, равнозначны вышеуказанному
векторному уравнению, как это вытекает из выражения векторного
произведения с помощью единичных векторов /, у, k в виде
детерминанта:
/ х X I
J у у .
k г Z \
Мх является моментом проекции Р на плоскость (yz) по
отношению к точке О; его называют также и моментом Р
относительно оси лг, соответственно этому М является моментом Р
относительно оси у и Мг — моментом Р относительно оси z. Вообще,
момент силы по отношению к какой-либо оси получается
проектированием силы на плоскость,
перпендикулярную к оси, и определением момента
проекции силы по отношению к точке, где ось
пересекает (прокалывает) плоскость.
Вектор момента представляет собой
совершенно свободный вектор, т. е. его можно передвигать
куда угодно параллельно его направлению,
между тем как вектор силы прикреплен к своей
линии действия.
Под парой сил понимают две равные, но
противоположно направленные силы Р и — Р
с параллельными линиями действия.
Характеристической величиной для пары сил является
ее вектор момента М9 величина которого
равняется площади параллелограма,
определяемого силами Р и — р, и направление которого перпендикулярно
к плоскости параллелограма; вектор этот выражается такой стрелою,
чтобы направление вращения пары сил вместе с поступательным дви-
М = [r P] =
Фиг. 2.

254 Т. I Отд 2 Механика. I. Механика твердых тел
жением, указываемым стрелою М> давало правое винтовое движение
(фиг. 2).
Момент пары сил представляет собою сумму моментов обеих сил
Р и —Р для любой точки.
Эта сумма всегда дает площадь параллелограмл, независимо от
положения точки, так что нет надобности в указании точки момента
пары сил, в противоположность моменту отдельной силы.
Две пары сил с одинаковой площадью параллелограма и с
одинаковым направлением вращения в той же самой или в
параллельных плоскостях равнозначны между собой. При различных
направлениях вращения они взаимно уничтожаются.
О сложении пары сил или моментов см. cip. 270.
f) Работа и мощность
1. Работа. Предположим, что на движущееся по прямой линии
тело по направлению его движения действует постоянная сила Р.
В таком случае произведение А = Ps называется работой силы
| р\ =з Р на пути | 5 | = 5. Если силовой вектор Р с вектором пути 5
образуют угол <р, то работа силы равна произведению силы на путь
и на coscp:
А = Ps cos 9 = Р s,
т. е. равна внутреннему произведению из силы и пути (см.
.Векторный анализ", стр. 174).
Работа может быть положительной или отрицательной, смотря
по тому, образуют ли Р и 5 острый или тупой угол. Если сила
расположена перпендикулярно к пути, как при центробежной силе, то
работа силы равна нулю.
Если точка приложения силы проходит по какому-нибудь
криволинейному пути или если на прямолинейном пути величина или
направление силы постоянно меняется, то общий итог работы
получается путем сложения всех элементарных работ, соответствующих
бесконечно малым участкам пути, на которые, как мы предполагаем,
разделено все движение:
А= f dA = СPds cos?= f^ds = f{Xdx+ Ydy + Zdz).
При графическом изображении работы принято
показывать путь точки приложения силы как абсциссу, а
соответствующую слагающую силу по направлению пути — как ординату
(касательная сила Р); тогда площадь, заключенная между кривой
и осью абсцисс, служит мерою произведенной работы.
Размерность работы равняется в технической системе мер [W) — [LP]
(см. стр. 248), единицей служит 1 кем. В физической системе мер единит
равняется 1 Dyncm (Эи« см) = 1 эрг:
1 эрг »1,02.10~8 кгм,
1 кгмтх 9,81-107 эрг «9-81 джоулей,
точно:
1 кг = 9,8062 : 1,0005 « 9.801 джоулей.

Основные понятия механики
255
Работа тяжести О на каком угодно пути, начальная точка
которого лежит выше конечной точки на расстоянии h (no вертикали),
равняется:
Если твердое тело, т. е. тело неизменяющейся
формы, вращается вокруг оси А на угол ср (в дуговом измерении)
и если отнесенный к оси вращения момент равняется МА , то
работа момента будет:
W— МАу = М cos а. ?,
причем а представляет собой угол, образованный вектором момента М
(отнесенным к любой точке оси вращения) с осью вращения А.
2. Мощностью называется работа, произведенная
в течение единицы времени:
N= —77- или Л/ = —->
at t
если работа_W не зависит от времени, т. е. если она постоянная.
Если сила Р постоянна и ее точка приложения проходит по прямо-
линейному__ пути с постоянной скоростью v по направлению силы,
то N=Pv. Но если Р и v образуют угол <х, то
N = Pv cos a.
Соответствующее выражение получится и в отношении мощности
при вращении твердого тела;
N = МА<о = Af<o COS а,
где со — угловая скорость вращения и МА — М cos a—отнесенный
к оси вращающий момент.
Размером мощности является в технической системе [N] = [РЫТ] (см. стр. 248),
единицей — кгм\сек\ в физической системе измерения [N] = [МЩТ*\ и 1 эрг/сек;
1010 эрг/сек называются 1 киловатт (kW) = 10С0 W. Наиболее употребительной
в машиностроении единицей измерения мощности является:
1 лошадиная сила {л. с.) = 75 кгм\сек%
1 л. с. — 75 кгм\сек = 0,736 kW,
1 kW = 1,36 л. с. — 102 кгм1сек,
1 кгм/сек « 9,81 W.
Отсюда следуют дальнейшие единицы работы:
1 лошадиная сила-час = 1 л. с. ч. = 270 000 кгм — 270 тм,
1 киловатт-час =1 kWh = 367 000 кгм. = 367 тм.
g) Живая сила, или кинетическая энергия
Если v—скорость материальной точки массы т, то выражение
E = L.mv2
называется кинетической энергией, или живой силой,
этой точки.

556 т- I Отд. 2. Механика. Т. Механика твердых теЛ
Если твердое тело производит чисто
поступательное движение со скоростью v, то кинетическая энергия его
будет £ = — . mi/2, если под величиною т понимается общая масса
тела. При чисто вращательном движении твердого тела вокруг
неподвижной оси А с угловой скоростью (о, £ = —.Улш2, если JA
выражает момент инерции тела относительно оси вращения А Если
твердое тело совершает какое-нибудь произвольное
движение, то кинетическая энергия его будет:
L2~~2 + 2'
где v0 — мгновенная скорость центра тяжести, о> — мгновенная
углевая скорость и Js — момент инерции тела относительно проходящей
через центр тяжести оси вращения (стр. 293).
В физике энергией называется всякая величина, равноценная какой-либо работе.
Отсюда происходит название кинетической энергии. Тяжесть О, находящаяся в
состоянии покоя на высоте Н над поверхностью земли, обладает потенциальной
энергией, или энергией положения, в размере" QH по • отношению
к земле. Другими видами энергии являются: потенциальная энергия сжатой пружины,
тепловая энергия, магнитная и электрическая энергия, энергия излучения,
химическая энергия.
Принцип сохранения энергии. Энергия, не может
быть ни создана, ни уничтожена, а лишь только
преобразована. Для каждых двух видов энергии
преобразование происходит по совершенно определенному коэфициенту
пропорциональности.
Для превращения, например, тепловой энергии в механическую мы имеем
соотношение:
1 Кал = 427 кгм
(механический эквивалент тепловой единицы). 1 киюкалорией (Кал) называется
количество теплоты, необходимое для повышения температуры 1 кг воды с 14Чш*
до 15Ча° (см. отд. „Теплота").
В. Статика
а) Основные законы
1. Теорема параллелограма сил. Две силы Р1 и Р2,
приложенные к одной точке, можно заменить
приложенной к той же точке равнодействующей силой /?,
равной по направлению и величине диагонали
параллелограма, постро_енн_ого_на Р1 и Р2 (фиг. 3).
В векторном изображении: R=Pl-\-P2.
2. Теорема о перенесении сил в твердых телах. Твердым
телом называют такое тело, форма и величина которого не
изменяется. В действительности нет твердых тел, так как каждое тело под
влиянием действующих на него сил подвергается некоторому изме-

Статика
557
не будет иметь
прибавятся две
Р с общей ли-
неяию своей формы, хотя последнее обычно очень невелико. В
статике и динамике пренебрегают этими малыми деформациями и
стремятся решить задачу, предполагая существование абсолютно твердого
тела. Если это удается, то говорят о статически
определенных задачах, в противном случае — о
статически неопределенных.
В учении о сопротивлении
материалов идеальное представление о
твердом теле обычно непригодно, потому что здесь
при вычислении внутренних сил и напряжений
все зависит, главным образом, от деформаций
тела.
Для движения или равновесия твердого тела
никакого значения, если к имеющимся уже силам
равные противоположно направленные силы
Линией действия и с любыми точками приложения.
Отсюда вытекает теорема перенесения: в твердом
теле можно произвольно переносить силы вдоль
линий их действия, так что точка приложения
силы не имеет никакого значения, а важна только
линия действия силы; т. е. силу можно
рассматривать как скользящий вектор.
Ь) Сложение и разложение сил, приложенных к твердому телу
I. Силы с общей точкой приложения
Если несколько сил Plt Р2, Р3,... приложены к одно!! точке
твердого тела, или линии действия сил пересекаются в одной точке, что,
согласно теореме перенесения (см. выше), есть то же самое, то силы
эти можно соединить в одну
результирующую, или
равнодействующую, которая проходит
через общую точку всех сил.
Сначала можно представить себе по
правилу параллелограма сил (фиг. 3)
сложенными две силы Р1% Р9 в одну
равнодействующую силу, последнюю
сложенной с Р8ит. д., пока в конце
Фиг. 4ь. концов все силы не будут
соединены в одну общую
равнодействующую. Этот способ получения равнодействующих сил Ри Р2»^8»" • ПРИ"
водит к построению силового многоугольника (фиг. 4Ь), который
получается геометрическим сложением данных сил Рь Я2>^8»-
..повеличине и направлению, причем линия, соединяющая начальную и
конечную точки многоугольника (его замыкающая сторона),
представляет равнодействующую по величине и по направлению
(фиг. 4). П ос л е до вате л ьность, в которой силы с к л а-

258 Т. I. Отд. 2. - Механика. I. Механика твердых тел
дываются, при этом не имеет никакого влияния
на конечный результат.
Это сложение сил называется графическим, или
геометрическим, сложением. На основании векторного исчисления
мы пишем:- _ _ __ __ _
Условие равновесия для сил, проходящих через одну
точку, будет: _ _
/? = 0, или ЕЯ* —О,
или геометрически: многоугольник, составленный из
си л Plt P2l Рз»«--» замыкается сам собою.
Для целесообразного соединения сил в одну равнодействующую
прибегают к помощи начертательной геометрии, причем пользуются
правилом проекций, по которому при прямоугольном или
косоугольном параллельном проектировании замкнутою
многоугольника в проекционной плоскости получается опять
замкнутый многоугольник, причем проекция равнодействующей
равна равнодействующей проекций сил.
При аналитическом способе вычисления равнодействующей
сил проводят прямоугольную координатную систему с произвольным
началом, например в общей точке пересечения всех сил, и
проектируют силы на направления трех осей:
Хг = Pi cos alt Yj = Рг cos plf Zx = Pt cos Yi и т. д.
Тогда три компоненты равнодействующей будут:
Х= R cos а = Е ЛГ/= Е Pt cos e/f
К= R cos p = E Y{ = E P{ cos e„
Z = R cosy = E Zt = E Pt cosy,.
Эти три уравнения равнозначны вышеприведенному векторному уравнению:
/Г= ЕР}.
По найденным компонентам равнодействующая определяется из
формулы:
R=Vx*+Y2 + z*,
а ее углы с осями координат получатся из соотношений:
X
cos a за »
у
cos р = ,
yX* + Y*+Z2
Z

Стати-ка
259
Условия равновесия через проекции по осям
координат будут:
ЯХ/=0, ZYi=0, EZ/=0.
Две силы, приложенные к одной точке, могут быть
в равновесии только тогда; когда они равной величины и
направлены в противоположные стороны. Три силы в одной точке
могут быть в равновесии только тогда, если они расположены
в одной плоскости и дают при сложении замкнутый треугольник.
О сложении параллельных сил_см. стр. 260. __
Разложение данной силы R по направлениям, имеющим с R
одну общую точку, возможно в плоскости и при двух
направлениях имеет одно ре- '
ш е н и е. Для этого строится парал- ,t
лелограм сил проведением через
конечную точку вектора "R параллелей
к данным направлениям 1 и 2,
причем отсекаются искомые слагающие
силы от R. Слагающие являются
полной заменой силы R (фиг. 5а и 5Ь).
О частном случае, когда прямые идут
параллельно и лежат в одной плоскости с
см. стр. 260.
В пространстве сила /? может быть
разложена единственным образомпо
трем любым направлениям, имеющим
с Й одну общую точку. Эту задачу
разложения можно разрешить точно так же, как
вышеуказанную задачу разложения в плоскости.
Если обозначить три линии направления
цифрами /, 2 и 3, то получим составляющие силы R
в этих направлениях путем проведения через Фиг. б.
конец вектора R параллельных плоскостей к
плоскостям 72; 23 и 31 трехгранного угла, образованного тремя
прямыми 7, 2, 3. Три плоскости трехгранного угла и три
параллельные плоскости, проведенные через конец вектора R, вместе
определяют косой параллелепипед, диагональ которого составляет Да ребра
представляют искомые слагающие силы R по трем направлениям
У, 2, 3,
Целесообразно использование при этом начертательной геометрии. Для этой
цели сила R и три линии направления должны быть, заданы в двух плоскостях
проекций.
• Способ Кульмана. Он основывается на следующих соображениях: каждая
задача разложения равнозначуща задаче равновесия. Для
этого нужно только изменить знаки отдельных слагающих. В данном случае речь
идет о равновесии между R и ее тремя слагающими по направлениям /, 2 и 3%
которых нужно представить себе измененными. Эти четыре силы можно сое-

260 Т. !• 0гД- 2- Механика. I. Механика твердых тел
динить попарно, например R и /, с одной стороны, 2 и 3, с другой стороны; тогда
Г пвнодействующая сил R и 1 должна быть в равновесии с равнодействующей сид
2 и 5, т. е. обе должны быть равной величины, иметь противоположное
направление и составлять одну прямую. Эту прямую, так называемую прямую
Кульмана , можно определить; так как она, с одной стороны, должна лежать в
плоскости 7? и 7, а с другой стороны, и в плоскости 2 и 5, то она ^вляется прямой
пересечения обеих плоскостей. Теперь нужно только в плоскости R и 1 разложить
данную силу R по направлениям / и прямой Кульмана, а последнюю слагающую
в плоскости 2 и 3 разложить по этим двум направлениям (фиг. 6).
Разложение силы R в плоскости более чем в двух направлениях,
проходящих через одну точку, или в пространстве — более чем
в трех направлениях, проходящих через одну точку, является уже
неопределенным.
II. Система сил, лежащих в плоскости и
действующих на твердое тело
1. Приведение к одной равнодействующей силе или к одной
равнодействующей паре. Пользуясь теоремой перенесения сил
для твердого тела, сначала складывают две силы плоской системы
в одну равнодействующую, для чего их перемещают вдоль по ли*
ни ям их действия до точки их пересечения и здесь складывают по
правилу параллелограма сил, затем таким же образом эту
частичную равнодействующую складывают с третьей силой, получают
вторую частичную равнодействующую и т. д. В результате,
перебрав все силы, приходят к одной общей
равнодействующей /?._Величина и направление ее определяется через R = £Р^- =
= Рг -f- Р2 + Р3 +..., положение ее относительно твердого тела или
заданной системы сил легко определяется
из указанного выше построения
равнодействующей.
В некоторых случаях такое построе-
I- -yf -ч-j -;^тг*—• ние равнодействующей приводит к па-
У Кс \1'' |\^J ре с и л (стр. 253), а именно: тогда, когда
в результате на параллельных линиях
остаются две равные по величине и
противоположно направленные силы. При
желании сложить две эти силы
вышеуказанным способом в одну
равнодействующую приходят к результирующей силе, по величине равной
нулю, находящейся в бесконечно удаленной точке плоскости.
Определение пары сил как бесконечно малой силы
в бесконечно удаленной точке плоскости имеет
в некоторых случаях известные преимущества
Две параллельные силы Р1 и Я2 (Флг* ^' не образующие пары
сил, складываются в одну равнодействующую таким образом: по
одной и той же линии прикладывают две равные по величине, но
противоположно направленные силы Т и — Г, что всегда можно
сделать (стр. 257), и находят #, как частную равнодействующую
Фиг. 7.

Статика
261
Фиг. 8а.
Фиг. 8Ь.
сил Pj и 7 и 7?2 Для Рг и — ^ Теперь /?х и /?^уже не параллельны,
и для них легко находят равнодействующую /?, являющуюся
одновременно и равнодействующей для Рх и Р2.
При двух одинаковых по величине, но противоположно направленных,
параллельных силах Р^ и Ра = — Pt (пара сил) приложение двух равных и противоположно
направленных сил Yn — Т по той же линии влияния привело бы только к новой
паре сил, вполне равнозначной первой, т. е. обладающей тем же моментом.
2. Веревочный многоугольник, а) Сложение сил. Чтобы
приведенный выше способ нахождения равнодействующей плоской
системы сил иметь возможность
использовать и тогда, когда точка
пересечения двух слагаемых в
частичную равнодействующую сил
лежит вне чертежа (например при
параллельных силах), прибегают
к примененному выше положению,
что две равные по величине, но
противоположно направленные по
одной и той же прямой, силы
могут быть произвольно прилагаемы, и тем самым статическое
значение плоской системы сил не^изменится. На этом и основано
применение веревочных многоугольников. На фиг. 8а надо найти
равнодействующую двух сил Р± и Р2, точка пересечения которых
лежит вне чертежа. По любой, но одной и той же, линии действия
прикладываем две равные по величине, но противоположно напра-
вленн_ые,__силы SQ и — SQ и определяем равнодействующую для 4
сил: S$, Рх±Р2> — So» причем первая частичная результирующая Sx
для S0 и Рг Проходит через точку пересечения /. Ее величину и
направление находим JH3 диаграммы сил (фиг. 8Ь). Через точку
пересечения // (Sj и Р2) проводим равнодействующую S2 для St и
Я2» величину и направление которой также находим из фиг. 8Ь.
«S2 представляет собою, таким образом, равнодействующую для 50,
Plt Р2; прибавляя силу—S0, получаем /?, как это видно на фиг. 8Ь.
Линия действия Р в плане сил фиг. 8а определяется точкой
пересечения ///, т. е. пересечением S2 и S0 или — S0.
Многоугольник S0, Si, S3, расположенный между заданными
силами, называется веревочным многоугольником.
О называется полюсом, S0, Sb S2 называются п о л ю с н ы,м и
лучами, или лучами веревочного многоугольника.
Название происходит оттого, что веревка, натянутая таким же
образом между силами, находится в равновесии и что при этом в
отдельных частях веревки возникают натяжения Sq, S"lt S^. В нашем
примере §о и S2 представляют собой первый и последний лучи
веревочного многоугольника, через точку пересечения которых
должна проходить равнодействующая R сил Р{ и Р.,.

262 т- Г- Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Вместо произвольного выбора «S0 и — S0 в плане можно
произвольно задаться полюсом О в диаграмме сил. В случае какого
угодно числа заданных сил в плоскости поступают таким же. путем.
Вычерчивание веревочного многоугольника можно подразделить на: 1)
вычерчивание силового многоугольника в плане сил; 2) выбор произвольной точки О в
плане сил в качестве полюса и проведение полюсных лучей от О к углам силового
многоугольника; 3) проведение параллелей к полюсным лучам в плане в качестве
лучей веревочного многоугольника; 4) точка пересечения первого и последнего лучей
веревочного многоугольника дает точку приложения равнодействующей, величина
и направление которой определяются из плана сил.
Если к системе сил, лежащих в плоскости, приложить с
обратным знаком равнодействующую, найденную помощью веревочного
многоугольника, то плоская система сил Рь Р2,...,Рп, — R
образует систему, находящуюся
It*
R
Фиг. 9Ь.
Пример двух параллельных сил,
действующих на балку.
в равновесии.
Следовательно, условиями равновесия
для плоской системы сил
являются: 1) з а м ы к.а н и е сило*
0вого многоугольника,
2) замыкание
веревочного многоугольника.
"Одного первого условия еще
недостаточно, так как оно
справедливо также и для пары сил.
Второе условие, напротив,
исключает возможность
равнозначности плоской системы сил
и пары сил (фиг. 9).
р) Разложение сил.
Силу, расположенную в
плоскости, можно разложить по двум
направлениям, имеющим с
силой одну общую точку (стр.
259). Если оба заданные
направления пересекаются с
силой в бесконечности, т. е. они
параллельны заданной силе, то такую задачу лучше всего решать
помощью веревочного многоугольника.
В случае расположения точки пересечения силы с обоими направлениями вне
пределов чертежа (даже при непараллельных направлениях) разложение сил также
производится помощью веревочного многоугольника, как и при параллельных
направлениях.
Пример. Пусть заданы сила R и параллельные направления / и 2, по которым
еила должна быть разложена (фиг. 10а).
Решение: Между R и налравлениями / и 2 располагаем веревочный
многоугольник так, чтобы углы лежали на R, / и 2; в остальном многоугольник может
быть совершенно произволен. Затем R переносится в масштабе на фиг. 10Ь, через
начальную и конечную точки R проводятся параллели к первому и последнему
лучам веревочного многоугольника Sj и 5„ которые пересекаются в полюсе О, через
который проводится параллель к лучу многоуюльника Sv Последний отрезает на R
Фиг. 10а.

Отатика
263
обе слагающие Рх и Ра, которые и являтотсяг искомыми составляющими R в
направлениях 1 и 2. Изменением знаков у Р, и Я, приходят к задаче равновесия,
соответствующей задаче разложения.
Обе задачи а) и j3), т. е. сложение параллельных сил в
плоскости в одну равнодействующую и их разложение по двум
параллельным направлениям, играют весьма важную роль при
определении опорных реакций* балки на двух опорах,
загруженной любым количеством параллельных сил. Из нижеследующего
примера видно, что для решения этой задачи достаточно лишь
построения одного веревочного многоугольника (фиг. 11а и lib).
Равнодействующая R заданных нагрузок (фиг. 11а) совершенно не нужна для
определения опорных реакций А и В. Первый луч веревочного многоугольника О
продолжают до пересечения с направлением реакции опоры Л, а последний (здесь 3)—
до пересечения с опорной реакцией В, и обе точки пересечения соединяют
замыкающей линией веревочного многоугольника.
Так как нагрузки Р1У Ра и Р3 совместно с опорными силами А и В должны
поддерживать балку в равновесии, то (стр. 261) соответствующий веревочный
многоугольник должен замыкаться. Площадь замкнутого многоугольника заштрихована
на фиг. На. гели к замыкающей линии веревочного многоугольника провести в
силовом многоугольнике через полюс О (фиг. lib) параллель, то последняя делит
линию нагрузок на отрезки, равные опорным давлениям А и В.
7) Веревочный многоугольник как площадь
моментов и площадь срезывающих сил для балки на двух
опорах. Замкнутый веревочный
многоугольник на фиг. Па обладает
одним важным свойством, в силу
которого такой многоугольник
называется площадью моментов
загруженной балки.
Изгибающий момент М, действующий в каком-
нибудь поперечном сечении балки ss
(фиг. Па), пропорционален
соответствующей высоте у в замкнутом
многоугольнике: M = #-j/, где Н есть
расстояние от полюса О до линии грузов,
так называемое полюсное
расстояние, измеряемое в масштабе
сил. Следовательно, с помощью
замкнутого многоугольника можно
немедленно определить место и
величину наибольшего изгибающего
момента; это место находится там, где у достигает максимального
значения, т. е. Мтах = Н-утах.
О применении веревочного многоугольника для построения
упругой линии балки см. II т.—„Сопротивление материалов*.
В последнее время веревочные многоугольники применяют для
расчета шарнирных механизмов.
На фиг. И с под площадью моментов приведена площадь
срезывающих сил. Последняя показывает, что срезывающая
сила при переходе через место приложения нагрузки меняется как

264 т- 1- 0тД- 2- Механика. I. Механика твердых тел
бы скачками. В первом (левом) отрезке до / она имеет значение Л,
во втором отрезке //—значение А — Pj и т. д. О зависимости
между площадью моментов, площадью срезывающих сил и
площадью нагрузки см. II т.—„Сопротивление материалов*.
Если на балку действует непрерывно распределенная
на гр у з#ка, то последняя определяется изплощади нагрузки
(фиг. 12)7 ординаты которой q означают интенсивность нагрузки,
или нагрузку на единицу длины в каждом месте, причем q dx
означает нагрузку, отнесенную к элементу длины dx балки;
размерность q выражается в кг/см.
При непрерывно распределенной нагрузке из веревочного
многоугольника получается веревочная кривая. Последняя
получается таким образом, что площадь нагрузки подразделяют на
некоторое число параллельных и достаточно узких полос, а
непрерывно распределенная нагрузка рассматривается как ряд сосредо-
Фиг. 12. Фиг. 13. Фиг. 14.
точенных в центрах тяжести этих полос отдельных грузов; для этих
грузов и строится, как выше, веревочный многоугольник. Чем
больше число полос, на каковые подразделена площадь нагрузок,
тем больше число вершин веревочного многоугольника, каковой
в конце концов перешел бы в веревочную кривую, если можно
было бы сделать полосы бесконечно узкими, а число их бесконечно
большим. Из многоугольника, соответствующего небольшому числу
полос, получают веревочную кривую как обертывающую
веревочного многоугольника, причем точки соприкосновения кривой со
сторонами веревочного многоугольника лежат по вертикали под
ограничивающими линиями отдельных загрузочных полос.
Замыкающая линия веревочной кривой вместе с самой кривой
ограничивает площадь моментов балки.
1. Пример. Площадь моментов для балки с равномерно
распределенной нагрузкой и лежащей на двух опорах
(фиг. 13).
Веревочная кривая или кривая моментов является в данном случае параболой:
^тах ^ Н ' Утах = ~g"»
если Q = <?/ есть общая нагрузка.
2. Пример. Площадь моментов балки, закрепленной с одного
конца, при равномерно распределенной н а гру зк е (фиг. 14).
Веревочная кривая, иди линия моментов, здесь также является параболой:
м и — &
мтъх ^ " * >'тах — -у»
При Q~ql

Статика
265
Дальнейшее рассмотрение случаев применения веревочного многоугольника
в качестве линии моментов имеет место в „Статике сооружений".
о) Зависимость между веревочными
многоугольниками, принадлежащими к одной и той же
системе сил. Если ,
для системы сил
построить силовой
многоугольник и затем веревочные
многоугольники для двух
полюсов О и О', то
точки пересечения
соответственных сторон обоих
веревочных
многоугольников все лежат на одной
прямой, параллельной
линии, соединяющей оба
ПОЛЮСа О И 0'\ Прямая Фиг. 15а. Фиг. 15Ь.
эта называется полярной
осью обоих веревочных многоугольников (фиг. 15а
и 15Ь). Этой теоремой пользуются для вычерчивания второго
веревочного многоугольника посредством полярной оси, не прибегая
к помощи полюсных лучей.
3. Аналитический метод исследования плоской системы сил.
Силу как скользящий вектор можно свободно перемещать только
вдоль линии действия ее, но не в параллельном к последней
направлении. При параллельном перенесении силы Р в положение /\
на расстояние а получается добавочный момент, равный по
величине М = Ра (фиг. 16), соответствующий паре сил Р и — Р\
Этой вспомогательной теоремой пользуются
при аналитическом исследовании плоской
системы сил.# Избирают произвольную точку в
плоскости системы сил и переносят все силы
параллельно самим себе в эту точку, причем каждый
раз возникает момент, равный моменту силы
относительно выбранной точки как центра
моментов. Все перенесенные в эту точку силы
складывают геометрически в одну равнодействующую:
R я= YtPi i так же как и моменты всех сил
относительно выбранной точки в один равнодействующий момент
Af=EAfz.. Целесообразно провести в плоскости системы сил
прямоугольную систему координат (х, у) с избранной точкой
переноса сил в качестве начала. Если слагающие силы Pi
обозначить через Xl% Yi% а координаты ее точки приложения—через x(tyh
то равнодействующая R определяется двумя составляющими:
Фиг. 16.
*=£*,. и Y=£Yit

266 Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
а результирующий момент М всех сил относительно начала
координат равен (стр. 253):
Х% Yи М называются тремя составляющими, или
компонентами, данной системы.сил.
При выборе другого моментного полюса равнодействующая R
не меняется, напротив, М, вообще говоря, меняется. Три
составляющие системы сил соответствуют трем степеням свободы
перемещения, каковыми обладает тело, совершающее плоское
движение.
После такого приведения системы сил к одной
равнодействующей сосредоточенной силе, действующей в определенной точке,
и к одному результирующему моменту относительно этого полюса
достигают упомянутого выше (стр. 257)
приведения к одной сосредоточенной рав-
r^w недействующей, для чего сосредоточен-
Фиг. 17.
Фиг. 18.
ную силу перемещают параллельно до тех пор, пока не наступит
момент, равный по величине — М, т. е. до взаимного уничтожения
обоих моментов.
Из Mi = Yixi — Х(у( следует, что момент силы Р. равен
сумме моментов ее прямоугольных составляющих [Xit Yj). Отсюда
следует закон моментов: момент равнодействующей
равен сумме моментов составляющих сил
плоской системы сил. (Общий закон моментов стр. 273).
Если плоская система сил находится в равновесии, то
все три ее составляющие должны быть равны нулю, т. е.
действительны три условия равновесия:
Последнее уравнение справедливо для любого моментного
полюса. Однако его необходимо считать только за одно уравнение,
ибо дл$г любого второго моментного полюса это уравнение не дает
новой зависимости, не содержащейся уже в трех упомянутых выше
условиях равновесия. Три условия равновесия можно также полу*

Отатика
267
чить, если для трех различных моментных полюсов положить сумму
статических моментов всех сил равной нулю.
Задача. Данная плоская система сил (либо ее
равнодействующая R) должна уравновешиваться тремя силами,
направления действия которых заданы. Определить
величины сил. ^_
Эта статическая задача сводится к разложению силы R по трем заданным
направлениям /, 2, 3 (фиг. 17). Для решения помещают полюс в точке пересечения
двух направлений, например в точке пересечения 2 и 3; величину и знак
составляющей силы Plt лежащей в /, находим из:
Rai=zPxbi.
Соответственно находим составляющие Р2 и Р3» лежащие на прямых 2 и 3,
Д1Я чего моментный полюс один раз помещают в точку пересечения прямых / и 5,
а затем — в точку пересечения прямых 1 и 2.
/>, = £•* И Р*=-Г*-
Решение возможно лишь тогда, когда три направления 1, 2 и 3 не проходят
через общую точку. Графическое решение этой задачи-см. стр.268.
Пример. Способ Риттера для расчета решетчатых ферм
(способ статических моментов). Сопротивления опор определяются по двум уравнениям
моментов относительно двух опор. Для определения напряжения в стержне 1
проводим сечение ss по трем стержням I, 2 и 3, не пересекающимся в одной точке
(фиг. 18), и составляем уравнения моментов для точек пересечения каждых двух
перерезанных стержя«й, заменяя разрезанные стержни их напря кениями 5,, 52, S3
в качестве внешних сил Например, приняв моментный полюс в точке О, точке
пересечения напряжений стержней S2 и S3, наводим:
712.Р-4а - Р-За - Р-2д - Р*а = Sx-h,
SL^=8P-ajh. |
Соответственно, определяются 5a и 58. i
Нередко вместо трех заданных прямых, по которым должна
быть разложена система сил или ее равнодействующая, задается f, [-fo*
направление лишь для одной слагающей и, кроме того, точка, л
через которую должна проходить вторая слагающая. Заменяя / т
точку горизонтальной и вертикальной прямыми, проходящими через // \Г
эту точку, по которым действуют силы, приходят к задаче, указан- /
ной выше.
Пример. Кран для склада (фиг. 19). Опорные давления,
испытываемые колонной крана: у верхних направляющих горизон- фиг* 1Э#
та льна я сила Я1( а в нижнем подшипнике сила с горизонтальной
составляющей Й и вертикальной V. Приняв точку пересечения Мх и V за
моментный полюс, имеем: H = Q*a\h. Из общего условия равновесия 2Я/ = 0 следует»
что Н1—Н, а из 2 Yi = 0 получаем V = Q.
4. Примеры равновесия плоских систем сил. Условия
равновесия для плоской системы сил (стр. 266): •
Е*/ =0, ZYt =0. Z(Yixi -*,.y,)«0.
Замыкаемость силового и веревочного
.многоугольников указывает на равновесие системы (стр. 262).
Две силы находятся в равновесии, если они равны по
величине, противоположно направлены и лежат на одной прямой.
Три силы могут находиться в равновесии, если, как это
вытекает т предыдущего, три силы пересекаются в

268 т- т- 0тд- 2- Механика. I. Механика твердых тел
одной точке и силовой многоугольник
замыкается.
Равновесие трех сил имеет важное значение для определения опорных реакций.
Из двух опорных реакций очень часто известно только направление одной и точка
приложения другой. Опорные реакции определяются из условия, что известная
равнодействующая нагрузок с обеими опорными реакциями пересекается в одной
точке и что силовой многоугольник трех сил должен замкнуться.
1. Пример. Кран для склада (фиг. 20). Опорная
реакция В у верхнего подшипника направлена горизонтально;
через точку О, точку пересечения нагрузки Q и верхней
опорной реакции В, должна проходить нижняя опорная реакция А.
Величины А и В определяются из силового треугольника.
Аналитический метод — см. стр. 267.
2. Пример. Строп вольная ферма,
подверженная давлению ветра с о д н ой стороны (фиг. 21).
, Левая опора фермы может перемещаться на катках по
горизонтальной площадке, вследствие чего реакция А вертикальна
Давление ветра дает равнодействующую W. Точка
пересечения ее О с известным направлением опорной реакции А
одновременно является и точкой, лежащей на направлении опорной
реакции В. Величины А и В определяются из силового
треугольника (фиг. 21).
3. Пример. Трехшарнирная арка (фиг. 22): шарниры Л, В и G; нагрузка
своей равнодействующей Q действует с одной стороны. Так как на правую часть
арки не действуют никакие внешние силы, то давление в шарнире G и опорная
реакция В должны быть равны по величине, направлены в противоположные
стороны и действовать по одной прямой, а именно, по линии BG. На левую часть, кроме
нагрузки Q и реакции опоры Л, действует еще реакция шарнира G в налравлении
прямой BG. Три силы, приложенные к левой части арки, должны проходить через
одну точку. Из силового треугольника определим величину давления в шарнире
А и G = В.
Если обе части трехшарнирной арки нагружены, то задачу решают методом
наложения в два приема, определяя сначала реакции в опорах под действием только
нагрузки левой части фермы, а затем особо под действием нагрузки правой части.
После этого результаты накладываются друг на друга, и по составляющим находятся
истинные величины реакции.
Подробно решение этой задачи излагается в „Статике сооружений".
Фиг. 21.
Фиг. 22.
Четыре силы в плоскости находятся в равновесии, если
при сложении попарно они дают две частные равнодействующие,
равные по величине и противоположно направленные. На этом
основана задача на разложение данной силы по трем заданным
направлениям, лежащим в одной плоскости; ибо при перемене знаков
в трех разложенных составляющих последние совместно с заданной
силой создают равновесие. Решение по способу Кульмана (фиг. 23)

Статика
269
сводится к тому, что заданную силу R продолжают до пересечения
с одним из заданных направлений, например 5, как и два других
направления / и 2. Линия С, соединяющая обе точки пересечения,
называется прямойКульмана. Разлагая R по направлениям 3
и С (фиг. 23Ь), получают слагающую Р3 от R по направлению 3,
а от разложения С по направлениям Р и 2 — слагающие Рг и Р&
Стрелки сил /, 2 и 3 на фиг. 23Ь соответствуют задаче
разложения; при изменении направлений стрелок силы /?, /, 2 и 3
представили бы замкнутый силовой многоугольник, причем
равнодействующей R и Р3 была бы С, а равнодействующей Рг, Р2 была
бы — С. Аналитическое решение задачи—см. стр. 267.
О статически определимых опорах какого-либо
тела в плоскости говорят тогда, если опорные реакции либо
давления в шарнирах
определяются, как в
приведенном выше примере, на
основании чисто статических
соображений.
Вопрос о том, являются
ли реакции опор статиче-,
ски. определимыми или
неопределимыми, решается,
прежде всего, подсчетом
неизвестных слагающих
опорных сопротивлений. Так как
между всеми силами, поддерживающими тело в равновесии,
существуют три условия равновесия, то из них возможно
определить однозначно только три неизвестных, так что задача при трех
неизвестных опорных слагающих определима, при числе же
неизвестных опорных слагающих более трех — задача статически
неопределима, причем степень статической неопределенности зависит от
числа неизвестных опорных слагающих, превышающего три.
Примеры. На фиг. 20 (стр. 268) три неизвестных опорных составляющих суть:
горизонтально направленная сила В, которая по характеру опоры не может иметь
вертикальной составляющей, и
горизонтальная и вертикальная составляющие силы А.
На фиг. 21 (стр. 268) три неизвестные опорные
составляющие суть: вертикально направленная
сила А, которая в силу роликовой опоры
не может иметь горизонтальной
составляющей, и горизонтальная и вертикальная
составляющие давления В.
На фиг. 22 (стр. 268) каждая из
шарнирных опор А и В имеет по две, т. е.
всего четыре неизвестных опорных составляющих. Так как трехшарнирная арка
состоит из двух частей, соединяющихся между собою у шарнира G, то между
четырьмя неизвестными опорными составляющими существует, помимо трех
условий равновесия, еще одно условие, сводящееся к тому, что направление действия
реакции шарнира В должно совпадать с направлением QB. Следовагельно, задача
статически определима.
Фиг. 23а.
Фиг. 23Ъ.
Фиг. 24.

270 Т- I- Отд. 2 Механика. I. Механика твердых тел
Пример статически неопределимой опоры: двухшарнир-
ная арка (фиг. 24). Статически неопределимой величиной является горизонтальная
слагающая И в А а В, так называемый горизонтальный распор д в у х-
шарнириой арки.
III. Система сил в пространстве
1. Сложение пар сил и векторов моментов, приложенных
к твердому телу. В главе А (стр. 252). было дано понятие о паре
сил и моменте силы относительно какой-нибудь точки. Если к
твердому телу приложено несколько пар сил, плоскости которых как
угодно расположены, то их можно привести к одной
результирующей паре сил. Для_этой цели отдельные пары сил
выражают векторами их моментов М( (стр. 252). Векторы моментов можно,
как совершенно свободные векторы, перемещая параллельно,
провести через одну
В с А
—ч
точку и
складывать в
равнодействующий
вектор — момент
М—с помощью
многоугольника
векторов, как обычно
поступают и при силах;
М= £ Щ .
Остается доказать, что
для моментов векторов
справедлива те же законы
геометрического сложения, что и
для сил.
На фиг. 25а в различных плоскостях даны две пары сил с векторами
моментов Мг и М.л. Так как пары сил можно в их плоскости перемещать как угодно,
если сохраняется площадь параллелограма и направление вращения, то обе пары
сил можно изобразить, как это имеет место на фиг. 25а, прямоугольниками с общей
линией основания Р либо — Р на общей прямой аа обеих плоскостей. Моменты
Mt и Жа пропорциональны высотам прямоугольников а и Ь. Так как обе силы
Я и — Р взаимно уничтожаются на аа, то остается пара сил, изображаемая
прямоугольником с высотой с. Вектор момента М этой равнодействующей пары сил
направлен перпендикулярно к прямоугольнику с высотой г, кроме того, для
равнодействующего момента М справедливо:! М | * | Mi | • | Мй \ = с: а: Ь,
На фиг. 25Ь выделен из фиг. 25а треугольник ABC с относящимися сюда
векторами моментов, перпендикулярными сторонам треугольника, которые должны
удовлетворять указанной выше зависимости.
Отсюда вытекает, что векторы моментов замыкаются в треугольник Л'В'С%
подобный треугольнику ABC. Иначе говоря, справедливо геометрическое сложение
векторов моментов: M=Mt -f» Mt.
Подобно тому, как пары сил приводятся к равнодействующей
паре геометрическим сложением векторов моментов, поступают
и при сложении моментов сил. Если имеем любую систему
сил, приложенную к твердому телу, и определяем сумму моментов
всех сил для любой точки, принятой за полюс, то по А, е) (стр. 252)
для каждой силы Р£ имеем момент:
Фиг. 25а.

СтатякА
271
M,=[r,Pt],
где ~r i означает радиус-вектор от полюса к точке приложения
силыЯг- ; эти векторы моментов складываются таким же образом, как
и выше. Результирующий момент всех сил относительно той же
точки как полюса будет:
или в системе координатных осей по А, е) (стр. 253):
Му — Ъ (My)t- Ъ(Х,х,— Ztx,),
Мх , Му , Мя —три составляющих результирующего вектора
момента М.
Мх называют также результирующим моментом
относительно оси х, My и Mz% соответственно, результирующими моментами
относительно осей у и г.
2. Произвольная система сил в пространстве. Для сложения
любой системы сил, действующих на твердое тело, поступают
подобно тому, как и при системе сил, ле-жащих в плоскости (стр. 260).
Выбирают произвольную точку, в которую параллеявно перешсят
все силы и складывают их в равнодействующую й^ЕР^
также проходящую через данную точку. При параллельном
перенесении сил появляются, однако, еще пары сил, векторы моментов
которых складываются, согласно вышеуказанному, в
результирующий момент Л/ = £ Л// .
Отсюда видно, что любую систему сил в
пространстве можно привести к сосредоточенной силе
# ==; £ Р^ , приложенной в любой заданной точке,
и к результирующему моменту м = ЕAf/ . Графическое
решение этой задачи производится с помощью начертательной
геометрии, причем в вертикальной и горизонтальной проекциях
производят геометрическое сложение сил и моментов. Относительно
аналитического способа расчета см. ниже. При выборе другого
полюса равнодействующая сила R не меняется, а меняется, вообще,
результирующий вектор моментов.
Приведение системы сил в теле к равнодействующей,
сосредоточенной в центре тяжести тела, и к результирующему моменту
относительно центра тяжести имеет большое значение для
теоремы движений центра тяжести в динамике (стр. 344). Заменив вектор
моментов парой сил в плоскости, перпендикулярной к вектору мо-

272 Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
ментов, можно всегда выбрать одну силу из пары сил так, чтобы
она пересекла равнодействующую скчу R, с которой ее можно
сложить геометрически. Тогда остаются две накрест
направленные непересекающиеся силы, заменяющие собой
данную систему сил. Следовательно, систему сил в
пространстве можно всегда привести к двум накрест
направленным силам и притти не к одному
определенному решению, а к бесконечно многим. Можно,
например, задать
для одной силы
точку, через
которую она должна
проходить, а для
другой силы
плоскость, в которой
она должна
лежать; или для
одной силы задать
произвольно
прямую действия ее,
Фиг. 26. тогда задача
решается однозначно.
Приведение системы сил в пространстве к равнодействующей
сосредоточенной силе, проходящей через заданную точку, и к
результирующему моменту может быть при выборе соответствующей
точки приведения представлено несколько иначе. На фиг. 26
исходят из сосредоточенной равнодействующей R и результирующего
момента М. Последний разложен на составляющие: Мх по
направлению R и М2—перпендикулярно к нему. Затем через R проводят
плоскость a _L M2, в которой R переносят параллельно в Rx до тех
пор, пока появится пара сил с моментом — М2 (фиг^б). Этот
момент —М2 уничтожается -\-М2, слагающей момента М. Другую
составляющую Af, т. е. Afj, можно перенести, как свободный вектор,
параллельно на линию влияния Rlt и тогда равнодействующая
сосредоточенная сила /?!=•£?£ и результирующий момент Мх
заменяют собой данную систему сил. Оба вектора лежат на одной и той
же прямой,называемой центральной осью системы сил.
Такое приведение системы сил называется приведением к
силовому винту, иди к д и н а м е, так как плоскость
равнодействующей пары сил Мх перпендикулярна к равнодействующей Rv
При изображении пространственной системы
сил в координатах поступают так же, как и при системе сил,
приложенных в плоскости (стр. 260). Приведение любой системы
к равнодействующей /? =£/^, приложенной в заданной точке О,
и к результирующему моменту М = £ Щ можно в прямоугольной

СтатпкЛ
т
координатной системе с начальной точкой О выразить следующими
шестью составляющими системы сил:
МЯ=Ъ{МЯ), =Z(Ziy, -ytz,),
Му = £ (му); = £ (Л, *, - Z. xt),
Мг =2(Af,), «=ВД*,-ВД.
Здесь Л}, F,-, Z,- обозначают составляющие Pit а ^, у£ , ^ —
координаты точки приложения Pi% каковая может быть произвольно
выбрана на линии действия Р;.
Эти шесть составляющих системы сил в пространстве
соответствуют шести степеням свободы тела в пространстве.
Для случая равновесия системы сил в
пространстве необходимо, чтобы равнодействующая сосредоточенная сила
R = Е Я/ и результирующий момент М = £ М{ исчезали для
любой точки, принятой за моментный полюс, а в координатной системе:
шесть составляющих системы сил должны
равняться нулю.
Здесь так же, как и при плоской системе сил (стр. 260),
справедлив закон моментов: геометрическая сумма моментов
равнодействующей данной системы сил
относительно любой точки равна геометрической сумме
моментов данных сил относительно той же точки.
Под равнодействующей здесь понимаются две накрест
направленные силы или равнодействующая сосредоточенная сила с
результирующим моментом, или любая другая совокупность, равнозначная
данной системе сил.
Закон моментов применим, например, для частного случая
нахождения равнодействующей параллельных сил. Во всяком
случае, равнодействующая сама параллельна заданным силам;
остается только определить направление действия. Для этой цели
относительно какой-либо точки составляют моменты всех заданных сил.
Все векторы моментов лежат в плоскости, перпендикулярной к
параллельным силам, и поэтому геометрическая сумма моментов
изображается многоугольником, лежащим в этой же плоскости.
Замыкающая линия многоугольника представляет результирующий
момент; по закону моментов он равен моменту равнодействующей,
т. е. равнодействующая /?, направление и величина которой уже
известны, может быть непосредственно найдена, для чего через
моментный полюс проводят плоскость, перпендикулярную
результирующему вектору моментов, и в эхой плоскости наносят
равнодействующую в таком расстоянии, чтобы произведение из | R | ца
это расстояние было равно результирующему моменту.

274 rf- t Отд 2. Механика. Т. ХГехашткп твердых гсл
3. Равновесие системы сил в пространстве и разложение
силы по шести направлениям. На основании сказанного выше для
системы сил в пространстве, находящейся в равновесии, должны
исчезнуть: 1) равнодействующая сосредоточенная сила £ Pt и 2) сумма
моментов всех сил для любой точки или любой оси, принятых за
моментные полюсы или оси. В координатной системе: все шесть
составляющих системы сил должны быть равны 0.
Равновесие двух и трех сил приводит к плоской системе сил
(стр. 262). Т р и не лежащих в одной плоскости силы не могут
находиться в равновесии; это ясно из того, что для к а ж-
д о й прямой, принятой за ось, должна была бы исчезнуть сумма
моментов. Так как оси можно провести через две силы, не
пересекая третьей, то между данными тремя- силами не может быть
равновесия. На основании тех же рассуждений находим, что для
равновесия четырех сил в пространстве необходимым условием
является, чтобы линии действия сил принадлежали к одному и тому
же семейству образующих поверхности однополого гиперболоида.
Родственными задачами на статическое равновесие являются
задачи на разложение какой-либо силы по заданным
направлениям, ибо при изменении знаков у разложенных составляющих
между последними и заданной силой наступает состояние равновесия.
По скольким же заданным ^шниям влияния может быть разложена
данная сила? Так как сила /?, с одной стороны, и направленные по
линиям действия силы, — с другой, должны быть совершенно
равнозначны, то обе системы сил должны быть совершенно аналогичными
во всех шести уравнениях (составляющих). Шесть составляющих R
получаются из общих выражений, приведенных на стр. 273, причем
вместо сумм подставляют простые выражения для силы R с
координатами X, К, Z и координаты x,y,z для точки ее приложения. В
соответствующих составляющих для искомой равнозначной системы,
силы которой направлены по заданным линиям действия, неизвестны
только величины этих сил, тогда как их направление и положение
определяются линиями действия. Имея, таким образом, шесть
уравнений, можно, конечно, определить и величину шести неизвестных
сил; следовательно:
Разложение одной силы по шести не
пересекающимся в пространстве прямым есть задача
определенная.
Исключения возможны, если шесть линий действия так рас
положены, что через них можно провести прямую, не пересекающую
одновременно /?. Разложение особенно просто, если три
из шести направлений пересекаются в одной точке, а три другие
лежат в одной плоскости. В этом случае через общую точку трех
первых и точку пересечения двух других проводят прямую,
пересекающую, таким образом, пять из шести направлений. Для этой
прямой как оси моментов момент силы R должен быть равен
моменту неизвестной шестой силы, которая отсюда и определяется.

Статика
275
' Соответственно находятся и другие неизвестные силы. И для
наиболее общего случая шести не
пересекающихся в пространстве прямых задача решается
помощью выбора соответственных осей
моментов; в этом случае за оси'моментов выбирают две прямые,
проходящие через четыре из шести направлений, и для них находят
уравнения моментов. В полученных двух уравнениях неизвестны
величины сил, направленных по двум последним линиям действия,
каковые и определяются.
Пример (фиг. 27). Стол находигся на шести опорах и подвержен действию
сосредоточенной нагрузки /?.
Линия mm пересекает стержни /, 2, 3, 4, и 5 на конечном или бесконечно
большом расстоянии, так что для нее, как для оси моментов, может быть определен
момент напряжения стержня б. Из уравнения моментов для оси пп определяется
напряжение стержня 5.
Задача на разложение важна для случая укрепления
какого-нибудь тела на тонких стержнях, которые
могут подвергаться только растягивающим или
сжимающим, но не изгибающим усилиям.
В пространстве, следовательно, требуется
шесть стержней для статически
определимого укрепления тела, причем следует
избегать исключений. При количестве
стержней менее шести, по крайней
мере, часть стержней у концов не должна
быть укреплена на шарнирах, и в этом
случае они подвергаются изгибающим усилиям.
При количестве стержней более
шести задача на разложение статически
неопределима и может быть решена только
с принятием во внимание деформаций.
с) Определение реакций опор
Если находящееся в покое тело К, испытывающее действие
заданных сил (нагрузки), поддерживается другими телами, то в
точках сопротивления (опорах) появляются силы. Эти силы,
действующие со стороны тела К на опоры (опорные давления),
равны по величине и противоположна направлены силам,
передаваемым опорами на К (сопротивления опор, опорные
реакции). Ср. закон взаимодействия.
Если только представляется, возможным (т. е. нет никаких
статически неопределимых опор, см. стр. 269), то расчету фермы должно
предшествовать определение опорных реакций (освобождение тела,
т. е. замена опор силами). Для этого нужно знать конструктивное
оформление опоры.
Опоры мостовых и железных конструкций. Плоские
пролетные конструкции: все силы лежат в плоскости
конструкции, а) Подвижной опорный шарнир (кат-
ковая опора, см. фиг. 28, у В, или качающаяся опорная колонна);
Фиг. 27.

276 Т. Т Отд 5 Механика. Т. Механики тпердмх тол
Фиг. 28.
опора допускает вращение вокруг точки шарнира и сдвижение по
прямой либо по дуге; сопротивление опоры должно поэтому
проходить через ось шарнира и быть перпендикулярным к пути
скольжения; одна опорная неизвестная равна величине опорной реакции.
Ь) Неподвижный опорный шарнир (шарнирная опора,
фиг. 28, у А); опора
допускает вращение вокруг
точки шарнира; опорное
сопротивление должно проходить,
следовательно, через ось
шарнира; две опорных
неизвестных равны
горизонтальной и вертикальной
составляющим опорной реакции, с) Неподвижное
закрепление (заделанный конец); конструкция покоится в плоской
поверхности (пересечение с плоскостью конструкции — прямая) на
опоре, с которой первая соединяется анкерными болтами; три
опорных неизвестных равны горизонтальной и вертикальной
составляющим опорной реакции и ее моменту вращения относительно любой
точки.
Пространственные пролетные конструкции,
а) Шарнирная опора, перемещающаяся по
поверхности; опора допускает вращение во все стороны вокруг точки
шарнира (шаровой шарнир) и такое же перемещение по плоскости
или шаровой поверхности; опорная реакция проходит через ось
шарнира и перпендикулярна к поверхности перемещения; одна
опорная неизвестная равна величине опорной реакции. Ь) Шарнирная
опора, передвигающаяся по линии; опора допускает вращение во
все стороны вокруг оси шарнира и перемещение по прямой либо
по дуге. Опорная реакция проходит через ось шарнира и лежит
в плоскости,
перпендикулярной к пути
перемещения; две
опорных неизвестных
равны горизонтальной
и вертикальной
составляющим опорной
реакции в этой
плоскости, с)
Неподвижная
шарнирная опора
допускает вращение во все
стороны вокруг оси
шарнира; опорная
реакция проходит через
ось шарнира; три
опорные неизвестные равны составляющим х, у, z опорной реакции.
Опоры в машиностроении. Подшипники для шеек
валов или обычные трансмиссионные подшипники не
е#Е==з
э>
•Фиг. 29.

Статика
277
воспринимают осевых усилий,'обычные шариковые или
роликовые подпятники не воспринимают усилий, действующих
наклонно к поддерживаемому валу. Нередко подшипники
устанавливают так, чтобы при различных видах нагрузки в действие
вступали различные группы подшипников. При двухколесных кранах
(фиг. 29 и 30) в зависимости от того, расположен ли кран
параллельно или поперек к ходовому рельсу, появляются опорные
реакции и давления подшипников, изображенные на фиг. 29 и 30; V есть
равнодействующая всех вертикальных сил, приложенных у
поворотной части крана, G — собственный вес подвижной платформы
крана с колонной; в первом случае для реакции опор имеем Нь
соответственно, давление подшипников: NL = Hi= Vv/hlt а для
опорных реакций /?х и R2:
#l==(G+ V)/2 — Vv\r и R2 = (G + V0/2 + Vv/r,
во втором случае имеем опорную реакцию у колеса и верхней
части ходового рельса Я2 = Vvjh1, для опорных реакций и
давлений подшипников (у обоих подшипников колонны крана):
#з = //3 — H'>h\lhi> или» соответственно, #4 — Н± = Hrh^lhy,
для вертикальной опорной реакции #=G + V\ в обоих случаях
у шарикового подшипника опорная реакция V направлена кверху,
а давление подшипника V—книзу (на фигуре не указано).
d) Равновесие сил, действующих на нить
Нитью (канат, веревка) называют тело, преимущественно
линейного измерения, которое в противоположность стержню н е
является жестким, т. е. не передает изгибающих моментов,
и в поперечных сечениях которого поэтому встречаются только
растягивающие напряжения; не имеют места здесь и сжимающие
усилия, ибо от действия последних нить немедленно изогнулась бы.
На стр. 261 нить применена в качестве веревочного
многоугольника для сложения и разложения сил. В этих случаях речь
идет исключительно о плоской системе сил, приложенной к нити,
натянутой в той же плоскости. При непрерывном распределении
сил, приложенных у нити в любом направлении, последняя
принимает вид пространственной кривой, соответствующей фигуре
равновесия. Оба крайние напряжения нити, рассматриваемые как
внешние силы, образуют с нагрузкой, приложенной к нити, систему
равновесия сил. В точке приложения сосредоточенной силы нить
дает перегиб (веревочный многоугольник).
Представим себе, что двумя соседними поперечными сечениями
выделен бесконечно малый элемент нити (фиг. 31), тогда
оба напряжения S и S-\-dS должны находиться в равновесии
с равнодействующей р ^нагрузки элемента ds. Условие равновесия
требует, чтобы все три силы лежали в одной плоскости и
давали замкнутый силовой треугольник (фиг. 32). Интенсивность на-

278 Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
грузки р с размерностью в кг/см представляет вектор,
расположенный в соприкасающейся" плоскости. От разложения р на
составляющую рп нормально к нити и на тангенциальную
составляющую pt получаем из фиг. 31 и 32:
Рп\ = ^
Pt\
l£i
Р
d\S
ds
или
Рп =
-, или pt =
_£
р
dS
ds
Отсюда следует: 5 = const
требует везде pt = Q, т. е. при
постоянном натяжении
только нагрузка, перпенди-
Фиг. 31.
нити S имеет место
кулярная к ней.
1. Пример. Замкнутая нить любой формы двигается с постоянной скоростью
всегда в тангенциальном йаправлении, так что ее форма остается неизменной.
Имеют место исключительно центробежные силы, действующие нормально к нити.
2. Пример. Нить натянута без т-ренйя через любую выпуклую поверхность.
Нить определяет геодезическую, т. е. кратчайшую линию, которую можно провести
от заданной начальной точки до конечной.
При рп = 0 имеем р = со, т. е. в данном случае нить, не
подверженная расположенной по нормали нагрузке рп, растянута по
прямой.
Если нагружающие нить усилия лежат в одной
плоскости, то нить также принимает форму плоской кривой
(фиг. 33). Натяжение нити S в
каком-нибудь сечении с
координатами jc, у имеет горизонтальную
составляющую Н и вертикальную
V. Если представить себе, что
двумя любыми поперечными
сечениями вырезана часть
загруженной нити, то условие равновесия
для горизонтального направления
х требует, чтобы горизонтальная
составляющая Н натяжения нити
везде имела одно и то же
значение: горизонтальное
растягивающее усилие
нити Н постоянно. Равновесие в вертикалях для элемента
нити, вырезанного двумя соседними поперечными сечениями,
требует:
dV
Фиг. 33.

Стагика
279
Так как -~- = tg а — тт ,
d*y
имеем -r^o =
dx2
И dx ''
H'
d2y _ (диференциальное уравнение
или dx* ~'(Jt веревочной кривой).
Если q задана как функция х (площадь нагрузки), то двойным
интегрированием находим у (графическое интегрирование, стр. 222).
Далее, имеем из:
р d(x =
p = q
что
dy_
dx
= tga:
.El
Pn
ds
dx
ds '
1 dS
/7COS3 ds p dx7
или
dS — p dyy
S — S0 = jpdy.
Уо
Фиг. 34.
Особые случаи: 1. Нагрузка равномерно распределена
относительно горизонтальной проекции, т. е.
V = px,
dy_
-JLx
dx~ И '
2H
х* (веревочная п а р а о о л а).
2. Нагрузка равномерно распределена по дуге s нити,
т. е.
р cos a = y = const;
отсюда следует при у0 = ///у, где f означает вес единицы длины нити (фиг. 34):
( - --\
41 1/°— Уо = *'■ -•
dx 1 \ I у а
у„ Уо У А
r dx9
ch
Уо Уо
j Sll -
Н
Уо?
(Уравнение цепной линии, см. „Математика", стр. 152. Таблицы для гиперболических
функций — стр. 38.)
Плоские цепные линии практически заменяются параболами.
Для натяжения нити 5 следует:
S = tf/cos a = рН/ч = у0р = Ну/у о,
т. с. натяжение нити 5 пропорционально ординате у.

280 Т. I. Отд 2. Механика. I. Механика твердых тел
е) Закон работы. Принцип виртуальных перемещений
В Ь) говорилось о различных случаях, в которых данная
система сил заменяется другой равнозначной системой.
Эквивалентность обеих систем сил при этом доказывается неоднократным
применением теоремы параллелограма сил (стр. 256) и
закона перенесения сил (стр. 257). Обе системы сил
равнозначны еще и в другом отношении, как это показал уже закон
моментов (стр. 266) и как это выражается нижеследующим законом
работы: работа всех сил, произведенная при любом
движении твердого тела, равняется работе,
произведенной равнодействующими.
При плоской системе сил, которую можно привести
к одной равнодействующей или паре сил, сумма работ всех сил
при любом передвижении равна работе равнодействующей или
равнодействующей пары сил при том же передвижении. С помощью
векторов можно написать этот закон в следующей форме:
Е />. dst = R ds%
причем dst выражает передвижение точки приложения силы Р{,
a^ds— точки приложения /?, так что вн} 1реннее произведение
Pidst означает работу Р0 a R ds — работу равнодействующей Л*.
Путем деления последнего уравнения на элемент времени dt% в
течение которого происходит передвижение твердого тела,
получаются скорости:
или
точек приложения сил Р{ или R:
-ZPjV^Rv.
Соответственное равенство справедливо и для
пространственной системы сил, причем нужно обратить внимание
на то, что пространственную систему сил в# общем случае можно
привести к двум накрест направленным силам или к
равнодействующей R с равнодействующей парой сил М, так что закон
работы можно выразить следующей формулой:
£ 'Pidsi = R ds + M cos a df, .
причем R ds обозначает работу равнодействующей силы R = Ц Рг
и Afcosarf-f — работу равнодействующего момента величиною

Статика
281
Щ) = М при повороте твердого тела 1^угол d%\ а представляет
угол между векторами момента М и осью вращения (стр. 255).
Делением на элемент времени dt получается из последнего
уравнения
причем со == —J- означает угловую скорость твердого тела, которую
нужно представить себе отложенной в виде вектора со на оси.
вращения (сгр. 314). Внутреннее произведение из М и со представляет
собой в этом случае работу момента М в единицу времени.
Если отделить в случае равновесия в сумме работ всех сил,
равняющейся при равновесии нулю, положительные работы от
отрицательных работ, то силы, совершающие положительные работы,
определяются как движущие силы, или просто как силы,
а силы, которые выполняют отрицательные работы, называются
сопротивлениями. Тогда закон работы гласит: пр'и
равновесии» работа движущих сил равна работе
сопротивлений.
В машине различают еще полезные сопротивления и
(вредные) сопротивления трения; полезные сопротивления
преодолеваются соответственно назначению машины, сопротивления
трения чаще всего не входят в план работы, но фактически
неизбежны. Мерою механического совершенства машины служит к о э-
фициент полезного действия:
_ полезная работа
' общая работа движущих сил
Часто на практике, не обращая внимания на сопротивления
движению, исследуют при помощи принципа работы условия
равновесия, т. е. определяют движущую силуР0, необходимую для
преодоления полезного сопротивления, после чего вычисляют
действительную движущую силу делением Р0 на определенный опытным
путем коэфициент полезного действия:
Для любой материальной с и с т е м ы, все точки
которой находятся в покое, действителен принцип виртуальных
перемещений (называемый также началом возможных перемещений,
или принципом виртуальных скоростей): сумма работ всех
внешних и внутренних сил при вполне
произвольных допустимых геометрическими
условиями системы (виртуальных) бесконечно малых
перемещениях bsg точек приложения равна нулю:
в координатах:
L(X,bxl+Ytbyl + Zlbzl) = 0.

282 " Т. Т Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Этим принципом пользуются для определения положения
равновесия тел.
О применении этого принципа к исследованию равновесия
механизмов см. ниже в отделе „Прикладной механики". Применение
начала возможных перемещений к
решению технических задач весьма
целесообразно во многих случаях, потому что
все внутренние силы в системе,
подчиняющиеся закону действия и
противодействия, выпадают из исследования, и часто
задача весьма упрощается. Таким образом,
реакции в опорах, давления между зубцами
зубчатых колес, давление ползуна на
направляющей и .тому подобные силы исклю-
Фиг. 35. чаются из анализа по этому принципу.
Пример (фиг. 35). При каком положении стержень АВ, несущий у В груз Q,
будет находиться в равновесии, если пренебречь собственным весом стержня и
если последний в Л и С скользит без трения? Так как опорные силы, передаваемые
стержню у Л и С, направлены перпендикулярно к направлению движения, точек их
приложения при виртуальном движении стержня, то работы этих сил равны нулю.
Остается лишь работа груза Q. Последняя равна нулю тогда, когда сдвижение точки В
при бесконечно малом перемещении горизонтально, чем и определяется
положение равновесия.
При неизвестных сопротивлениях опор и шарниров
виртуальные перемещения выбирают таким образом, чтобы выпало возможно
больше неизвестных.
При всех статически неопределенных задачах,
при которых с представлением о твердом теле * нельзя притти
к - решению, следует при использовании принципа виртуальных
перемещений прибегать к системе с виртуальными изменениями
формы тела.
Пример. Расчет статически неопределенной решетчатой
системы. Удалением одного стержня приходят к статически
определенной главной сетке, для которой можно рассчитать напряжение Г/(для
/-го стержня) на основании статических методов для данной нагрузки с
помощью первой диаграммы сил. Напряжение вынутого стержня равно не
нулю, как это предполагалось первоначально при главной сетке, а равно
неизвестной величине X, подлежащей расчету. Напряжение X ,,лишнего" стержня вызывает
в стержне / напряжение, прибавляющееся к Гг-, которое можно определить из
второй диаграммы сил и, для которой отпадают все нагрузки решетки,
а на месте лишнего стержня предполагается сила растяжения 1 т как единственная
внешняя сила для главной сетки. Так как лишний стержень испытывает усилие не
1 т, а неизвестное усилие Хт, то дополнительное налряжение для стержня
/составляет Xui и, следовательно, его общее напряжение
Si = Ti + Xu£.
Ко второму состоянию напряжения и применяем принцип виртуальных
перемещений, причем система перемещений, относящаяся к искомому напряжению 5,
применяется как виртуальная, что приводит к изменению длины стержня Д//:
*'/='А = г/(Г/+ *«,).
Работа напряжений стержня (внутренних сил) пркэтих перемещениях будет;
EA'i«/ = VrpilTi+Xui).

Статика
283
Так как для картины напряжения и в качестве внешних сил играют роль (на
месте лишнего стержня) только оба растягивающие усилия 1 т, то их можно
включить в упомянутую выше сумму, каковая распространится, таким образом, на
все стержни, включая и лишний. Тогда уравнение работы будет:
21 г/в/(Г/+ Ли/) = О,
откУда 2 г/в, 7*,
Х = ,
S^«/f
Суммы можно подсчитать из обеих диаграмм сил и тогда из последнего
уравнения получаем статически неопределенное напряжение стержня X.
Принцип виртуальных перемещений можно
считать исходным для всей механики, так как из
него можно вывести все другие законы.
f) Виды равновесия
Равновесие называется устойчивым, если тело, выведенное
бесконечно малым отклонением из положения равновесия, вновь
самостоятельно приходит в положение равновесия.
Пример. Неоднородный шар с эксцентрично расположенным центром тяжести
находится на горизонтальной плоскости в устойчивом равновесии, если
центр тяжести лежит по вертикали ниже центра шара. При незначительном
нарушении состояния равновесия центр тяжести поднимается, и, вместе с тем, возрастает
потенциальная энергия шара. Шар после своем смещения снова стремится к
первоначальному положению равновесия, при котором центр тяжести занимает свое
низшее положение, т. е. потенциальная энергия обладает минимальным значением.
Равновесие называется неустойчивым, если тело,
выведенное бесконечно малым отклонением из положения равновесия, не
возвращается больше в первоначальное положение равновесия, но
стремится к другому положению устойчивого равновесия.
Пример. Неоднородный шар с эксцентрично расположенным центром тяжести
находится на горизонтальной плоскости в неустойчивом равновесии,
если центр тяжести лежит по вертикали выше центра шара. При незначительном
нарушении состояния равновесия центр тяжести опускается, и, вместе с тем,
уменьшается потенциальная энергия шара. Шар после своего смещения стремится
к устойчивому положению равновесия с наинизшим положением центра тяжести,
каковое соответствует минимуму потенциальной энергии.
Равновесие называется безразличным, когда силы остаются
в равновесии также и в новом положении тела.
Пример. Однородный шар на горизонтальной плоскости. Центр тяжести и
центр шара совпадают, т. е. при любом смещении снова наступает равновесие.
Потенциальная энергия при этом не изменяется, так как центр тяжести не
поднимается и не опускается.
Признаком того или другого равновесия может быть
потенциальная энергия. Если составляющие X, F, Z силы Р, точка
приложения которой имеет координаты дг, у, г, могут быть
представлены как частные производные функции U (x,y, z) по лг, у% z,
т. е. если

284 Т. I. Огд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
то функция U называется потенциалом силы Р; она
представляет функцию, зависящую только от.положения точки
приложения силы Р. Потенциал тела весом G есть U — G-fa где h есть
высота подъема тела над любой горизонтальной плоскостью,
принятой за нулевое положение.
В состоянии равновесия производные U по
координатам должны быть равны нулю, т. е. U должно иметь предельное
значение либо быть постоянным. Если U максиму м,—р а в н о-
весие неустойчивое, U минимум, — равновесие
устойчивое; при U постоянном для всех
соседних положений — равновесие безразличное.
В тех случаях, когда силы не имеют потенциала,
для признака рода равновесия можно использовать работу,
которую совершают все силы при малейшем изменении положения: по
принципу виртуальных перемещений в случае равновесия работа
всех сил при всяком бесконечно малом виртуальном перемещении
равна нулю. Для решения вопроса, какой род равновесия имеет
место, надо выражение для работы сил, относящееся к
незначительному изменению координат положения равновесия, развернуть в ряд
по этим малым координатным изменениям; при атом исчезнет
бесконечно малый член первого порядка (по принципу виртуальных
перемещений), тогда как по бесконечно малым членам второго
порядка можно судить о роде равновесия. Если работа
отрицательна для всех виртуальных перемещений,—
равновесие устойчивое; если окажется какое-
нибудь виртуальное изменение равновесия, при
котором работа сил будет положительной,— то
и.меет место равновесие неустойчивое. При
безразличном равновесии из выражения для
работы сил исчезают не только члены первого
порядка, но и члены второго порядка.
Пример. На фиг. 35 (стр. 282) изображен случай неустойчивого -
равновесия.
Для решения вопроса относительно степени устойчивости какого-нибудь тела
служат следующие соображения: если тело покоится на плоскости без особого
укрепления (например кран с укосиной), то единственным сопротивлением
опрокидывающей силе (поднимаемому грузу) является собственный вес тела (а также и
противовеса, если таковой имеется). Момент вращения собственного веса
относительно исследуемого ребра опрокидывания называется моментом устойчивости,
момент вращения опрокидывающих сил относительно ребра вращения — моментом
опрокидывания. Тело не опрокидывается, если момент устойчивости больше
момента опрокидывания.
Мерой степени устойчивости механической системы
может служить скорость, с которой тело после некоторого
сдвижения возвращается в положение равновесия; при колебаниях
около положения равновесия такой мерой служит частота
колебаний. Степень устойчивости для регуляторов—см. т. II, отд. „Детали
машин".

Цоптр vrrtccbt n м ом опт мпоог.т второго порядка 285
С. Центр массы и момент массы второго порядка
а) Центр массы и центр тяжести
1. О б щ ire данные
Система материальных точек с массами ти т2 и т. д., общая
масса которой /и = /иг + /л2 + я^з■+- ... = Е mL> имеет центр массы,
для определения которого может быть написано уравнение:
ms = mirl+ т272 + ш6пд+ ... = ltml7i,
где б*—радиус-вектор к центру массы
из произвольной в пространстве
точки О, a rt — радиус-вектор из той
же точки в пространстве О к
материальной точке mt. Сумма
распространяется на все материальные
точки совокупной системы точек
(фиг. 36).
Если приведенное выше
уравнение для центра массы применить для
другой точки в пространстве О', из
которой провести радиусы-векторы
ri == а + ri» то имеем:
ms' = Е m-jl = £ /иДд -f- rj) = т{а-\- s),
чем доказывается, что конечная точка вектора s' вновь определяет
ту же точку 5, как и конечная точка вектора 5. Таким о б р а-
зо м, центр массы 5 не зависит от выбора полюса,
но определяется исключительно массами mt и их взаимным
расположением. Центр массы называют также центром тяжести
(см. ниже).
Выражение ms называют моментом т относительно 0;
соответственно miri называют моментом mL относительно 0. Если полюс
совпадает с центром массы, то s = Q. "Следовательно, для центра
массы как полюса имеем: Е miri = 0.
При однородном распределении массы вместо
суммы моментов отдельных материальных точек имеем интеграл:
ms =5= J r dm ,
где г—радиус-вектор от общего полюса к элементу массы dm.
Центр массы, или ценгр тяжести, совокупной системы точек
можно отыскан» еще таким образом, что сначала определяют
частичные'центры тяжести для отдельных групп

286 Т I Отд 2. Метавпка. I ^fexaникa твердых тел
точек, принимая, что в этих центрах сосредоточены массы групп
•точек; для них и отыскивается центр тяжести, являющийся
одновременно центром тяжести совокупной системы точек. Это вытекает
непосредственно из приведенного выше уравнения для центра тяжести,
в котором слагаются суммы моментов отдельных частичных сумм,
которые можно "заменить моментами их масс, сосредоточенных
в центре тяжести.
Если совокупная система точек разлагается всего лишь на две
частичные группы тх, т2 с центрами тяжести St и 52, то имеем:
ms = m1s1 -f- m2s2. Для центра массы как полюса имеем,
следовательно: 0 = miS± -(-/w252, т. е. центр массы лежит на линии,
соединяющей «Sj, и S2, которую он делит на отрезки, обратно
пропорциональные массам щ и т2. Та же зависимость существует между двумя
параллельными равнозначущими силами Рг и Р2 и их
равнодействующей R = P1-\-P2. Последняя всегда проходит через точку,
лежащую на линии, соединяющей точки приложения сил (Ах и А2)
при этом точка делит прямую АХА2 на отрезки, обратно
пропорциональные силам. Если при сохранении параллельности сил
вращать их произвольно около точек А1 и Л2, то равнодействующая 7?
всегда будет проходить через одну и ту же точку, которая
называется центром параллельных сил. То же справедливо и
для случая нескольких параллельных сил. Центр
параллельных сил совпадает, следовательно, с центром массы, который
получается, если предположить, что в точках приложения
параллельных сил находятся массы, пропорциональные явеличине
соответствующих сил. Силы тяжести можно рассматривать как такую систему
параллельных сил, которая согласно динамическому основному
уравнению (стр. 251) пропорциональна массам, так что равнодействующая
сил тяжести- должна всегда проходить через центр массы, как бы ни
вращать тело. На этом основании центр массы
называется также центром тяжести.
Для определения центра тяжести тела с объемом V принимают,
что тело однородно, т. е. равномерно заполнено массой, и определяют
центр тяжести этой равномерно распределенной массы. При
постоянной всюду плотности массы о имеем для m= V*h и mi = vio:
Vs = £ v(r. и, соответственно, = Г rdv.
Соответственно, находим центр тяжести материальной площади F
и материальной линии-L из:
Fs = L /// и, соответственно, = f r df,
Ls = £//,- ", соответственно, = f f dl.
Если jCy, ys, ?s суть координаты центра массы, x.9yi% zt —
координаты отдельных материальных точек, то имеем:

Центр маогм п момент массы пторого порядка 287
tnxs— S tnixi и, соответственно, —f x dm,
тУ8 ~ Е т/.У* и» соответственно, — j у dm,
mzs = £ /и,-*,- и, соответственно, = f z dm.
Если *5 = 0, т. е. плоскость yz проходит через центр тяжести
(плоскость центра тяжести), то jxdm = 0. Обычно
расстояние xs центра тяжести массы от плоскости (напр. плоскости yz)
находят из
тх$ — j х dm.
Если J* xdm = 0 и { у dm = 0, то ось z есть прямая центра
тяжести, ибо она проходит через центр тяжести.
Если однородная фигура или тело имеют
плоскость симметрии или ось симметрии или центр
симметрии, то" центр тяжести лежит в этих
элементах симметрии.
II. Определение центра тяжести
При однородном распределении массы, что обычно и имеет
место, для определения центра тяжести можно использовать а н а-
аитический метод; в этих
случаях необходимо обращать
особое внимание на условия
симметричности. Способ этот,
однако, не всегда пригоден из-за
трудности интегрирования.
Для практического
определения центра
тяжести однородно
распределенной массы разлагают общую
массу соответствующим
образом так, что легко находятся
частичные центры тяжести, а центр
тяжести полученной таким
образом совокупной системы точек
графически определяют по уравнению т*$ = £т,г,- (фиг. 37 и 38),
Дуга АВ, центр тяжести которой подлежит определению,
разлагается, например, на 8 равных по длине дуг, так что в
геометрической сумме £ rtifl все т1 равны по величине. Для линий и
плошадей находим центр тяжести разложением на отдельные
элементы, положение центра тяжести которых известно. Величину
каждого элемента принимаем за силу, которая приложена в центре
тяжести соответствующего элемента. Посредством многоугольника
сил и веревочного многоугольника находим равнодействующие этих
сил для двух произвольно выбранных направлений (фиг. 39). В
пересечении двух равнодействующих найдем искомый центр тяжести.
Фиг. 37.
Фиг. 3*.

288 Т- 1 ^ТД- 2 Механика. Т Механика твердых тел
Иногда удается и иным образом определить линии тяжести,
в точке пересечения которых лежит центр тяжести, например,
в плоском четырехугольнике (стр. 289).
Экспериментальное определение центра тяжести
сводится к подвешиванию тела за различные точки; нить, на
которой тело висит, каждый раз
определяет линию центра тяжести
(определение центра тяжести аэропланов или
паровозов).
Центры тяжести поверхности
вращения/7 или тела вращения
V определяются, если заданы
меридианная линия y=f{x) с осью вращения
как осью дг-ов и элементом линии
Фиг. 39.
Определение центра тяжести
полу- площади эллипса. Одна
линия центра тяжести есть ось
симметрии полуэллипса,
другая—построена помошью
веревочного многоугольника.
Прежде всего центр тяжести лежит на
оси лг-ов, являющейся согласно
понятию симметрии прямой центра тяжести.
Если поверхность вращения или тело
вращения распространяются между
координатами х1 и х2, то для положения центра
тяжести xs имеем: для поверхности
вращения:
Fxs = 2тс j xy ds, или xs = j xy ds I (у ds.
Для
тела вращени^:
Vxs — ъ( xy2 dx, или
xs = fxy2dx jy2dx,
HI.
Правила Гюльдена (Паппуш а)—см. стр. 243.
Положение центра тяжести для технически
важнейших линий, поверхностей и тел
чертежах и формулах центр тяжести везде* обозначен
В нижеследующих
буквою 6.
Прямая. 5 находится на середине прямой.
Периметр треугольника. Если Лх, Вк, Q—середины сторон а, Ь, с, то S
находится в центре круга, вписанного в тре>гольник А^ВуС^.
Расстояние центра тяжести от стороны треугольника а равно
х =— Ь + с
s 2 а + Ь + с'
где ha — высота, соответствующая стороне а.
Периметр параллелограмм. 5 находится на пересечении диагоналей.
Дуга круга (фиг. 40). 6' находится на прямой, делящей пополам Центральный
угол, и на расстоянии or центра, равном
х^ = rs\b — г sin a/arc я.
иге « = п«о/180° = мера дуги для половины центрального угла.

Центр массы и момент массы BTopofo Порядка 589
Половина окружи о.сти круга:
xs =2/»: Tt = 0,6366 г.
Четверть окружности круга:
xs = 2t V2i тс = 0,9003л
Шестая часть окружности круга!
xs = 3r: rt = 0,9549 л
Произвольная плоская дуга (фиг. 41). Расстояние х3& — Н>
Точность. По вышеприведенной формуле величина xs получается на 0,5»/0
меньше для щестой части круга и на 1,1»/о больше для четверти окружности,
нежели точная величина.
Дреугольник. 5 находится на пересечении медиан.
Расстояние S от одной из сторон равно одной трети соответствующей
высоты.
Если *х, >ч, zi\ х2, у„ z%\ *3, y3, г3 — координаты вершин
Треугольника, то координаты центра тяжести:
xs= x/$*(*i + **+ xt)% ys = !/,-(jr, +.У, -Ьл),
^=1/з-(г1 + г2-г-г3).
Параллелограм. 5 находится на пересечении
диагоналей.
Трапеция. I. 5 находится на прямой,
соединяющей середины М и N параллельных сторон- а и b
(фиг. 42). Расстояния ha и fy, равны:
ft д + 2й
3 д + &
Л 2a-f &
Фиг. 40.
ФИ1. 41.
отсюда находим построение: на продолжениях параллельныт сторон откладываем
BE *= а и CF= b; EF пересекает AIN в S.
2. Разлагаем трапецию на два треугольника (фиг. 43), имеющих центры
тяжести в 5Х и Sa. Прямая StS« пересекает MN в S.
Четырехугольник. Разлагают четырехугольник одною диагональю на два
треугольника с центрами тяжести в 5, и 5, (фиг. 44) и другою диагональю на два
треугольника с
центрами тяжести в Ss и 54.
Пересечение StSa с
S3SA дает искомый
центр тяжести 5.
Мл огоу го л ь н и к.
Разлагают
многоугольник на треугольники,
подсчитывают их
площади /, отмеряют
абсциссы и ординаты всех
вершин отдельных
треугольников, хи дг„ х3
и Уч У^ Уз, и тогда по
закону моментов имеем:
—а щ
—TZI^x
Фиг. 42.
Фиг. 43.
**j=E/4*i+*i+*i)/3 и
либо по общему способу (стр. 286).
Правильный многоугольник. S находится
или описанного круга.
^ = 2/-(У1+У.+У«)/3.
в центре вписанного

290 k 1- Отд. 2. Механика. 1. Механика твердых тел
Круговой сектор (фиг. 45). Для arc a = яа°/180° имеем:
,,= 4 ,' = 4 ^^ = 38,1972 ^± = 0 .
5 3 & 3 arc а а° З/7
где F = г2 arc а— площадь сектора.
Для площади полукруга имеем:
Для площади четверти круга (квадранта):
4 V~2
*=_..!_1г = 0,60О2г.
Для шестой части круга (сектанта):
Фиг. 44. Фиг. 45
Круговой сегмент (фиг. 46). Имеем:
"* s9 2 г8 sin3 а __ 4 г sin8 о
*s~~ "12F "~ "3 F "" 3" arc 2а — sin 2а
где F = -jr t* (arc 2а — sin 2а) — площадь сегмента.
Часть кругового кольца (фиг. 47):
_ 2 jy-y« ring -301070**-'У"**
Эллиптический сегмент (фиг. 48). Центры тяжести симметричных сегментов
АХВЛС и АцВ^С совпадают с центром тяжести кругового сегмента ABC,
отсекаемого хордой эллипса от круга, диаметр которого равен главной оси эллипса,
перпендикулярной к этой хорде.
Это 01 ношение основано на том, что эллипс есть фигура аффинная к кругу;
вообще, имеет место положение: при аффинном изображении плоской фигуры
изображение центра тяжести есть центр тяжести изображения.
Площадь параболы (фиг. 49):
xSi=4b.a% ySi =•/,.* для Si4
*5Я= '/ю-** У9% = "/«•* для s*-
Поверхность шарового пояса. 5 находится на середине высоты.
Боковая поверхность пирамиды или прямого конуса. S находится на линии,
соединяющей вершину с центром тяжести основания, на расстоянии одной трети
высоты от основания.
Боковая поверхность прямого усеченного конуса. Если радиусы верхнего
Фиг 46.

Центр массы и момент массь! второго порядка 291
И нижнего оснований г и R и высота Л, то расстояние центра тяжести от большего
основания:
_ Л /? + 2л
х*~ 3 tf + г'
Призма и цилиндр с параллельными основаниями. Центр тяжести 5
находится в середине линии, соединяюшей центры тяжести оснований.
Для центра тяжести скошенного цилиндра (фиг. 50) имеем:
/*■•*/
fxy-df
Фиг. 47.
Фиг. 48.
Фиг. 49.
My =5 f x*df — статический момент, Jy = f x"'»df — момент инерции основания
относительно оси ^-ов, JXy = f xy>df — центробежный момент основания для осей
дс и у (стр. 294). Если площадь основания симметрична относительно параллели
к оси у-ов, то имеем:
fydf
v. = . т. е.
' JV/
равно расстоянию
центра тяжести до площади
основания.
Наклонно усе*
ченный прямой круг-
Фиг. 50.
Фиг 51.
Фиг. 52.
лый цилиндр (фиг. 51). Если ху — плоскость симметрии, h — длина оси, а — угол
наклона сечения к плоскости основания, г—-радиус основания, то имеем:
Уз=
1 r*tga
h 1 r»tg«<x
2 + 8 h
Цилиндрическая подкова (фиг. 52):
*, = а«*.

592 Т. I. Отд. 2. Механика. 1. Механика твердых тел
Для поверхности Подковы:
1
Уз=
-пГ,
-т*
Для полой подковы (/?i /^ #, Л)i
3
ys=fi*W-'ЛЖ&-'9Ь
Пирамида и конус. Центр тяжести 5 находится на прямой, соединяющей
вершину с центром тяжести основания в расстоянии -j- этой прямой, считая от осно-
вания
Усеченная пирамида. Если А и В — площади оснований и Л — высота, то
расстояние центра тяжести от основания А:
~h А + 2 ^^Я + зв
S~~ 4 А + VAB + B
Усеченный круговой конус. Если /?иг- радиусы оснований и Л — высота,
то расстояние центра тяжести от основания:
xs~
4 R* + Rr + r* '
. 53). Расстояние це
2 га^-т-а^ + ^Ь + га^/
Обелиск (фиг. 53). Расстояние центра тяжести
от основания аЬ\
Фиг. 53.
Клин. При bt = 0 из предыдущей формулы
следует, что расстояние центра тяжести от
основания ab:
_ h a 4- ах
*s~ 2 2а + ах '
Шаровой сегмент. Обозначения, как на фиг. 46_(стр. 290). Расстояние центра
тяжести от центра шара:
_ 3 (2г~№
xs~ 4 Zr-h '
где Л — высота сегмента. Эта формула служит также для сегмента эллипсоида
ьращения, ось вращения которого равна диаметру шара. Расстояние центра тажес!и
от плоскости секущего круга радиуса р = -«- равно:
A h* + 2Р* — A 4r — h
'' 2 Л* + Зр* 4 Зг-Л*
3
Для полого полушара:
_ 3 R* - г*
5~ 8 #з - г» '
Дла полушара: *у
Шаровой сектор. Обозначения, как на фиг. 45 (стр. 290). Расстояние центр!
тяжести от центра шара, если h — высота сегмента:
**= 8/i-(l*+ cos а) г = •/■•От- Л).

Центр массы и момент массы второго порядка 293
Параболоид вращения. Если ось производящей параболы есть ось вращения,
Л — расстояние вершины от основания, то расстояние центра тяжести от основания:
Трехосный эллипсоид. Полуоси а, &, с. Для
октанта:
Дли с«ктора< кольцевого тела (фиг. 54) имеем .*
центр тяжести совпадает с центром тяжести дуги
круга радиуса
9 = f *•<!/: fx-df=*Jg/Mg.
если о — половина центрального угла сектора, то по
формуле для дуги круга расстояние центра тяжести
от оси вращения:
xs= p sin а/агса,
а расстояние центра тяжести от плоскости ху:
fxz-df
*s~~? 77 *
fx-df
Если образующая площадь кольцевого тела симметрична относительно парад»
лели к оси вращения, то имеем:
f*'d/
s ft/'
т. е. равно расстоянию до плоскости ху центра тяжести образующей площади.
Ь) Моменты инерции и моменты центробежные
1.Моменты инерции и моменты центробежные для
тела
Осевым, или экваториальным, моментом инерции JA тела
относительно оси А называется сумма произведений из массы частиц
dm на квадрат расстояния а этих частиц от оси А:
Уд *= J* a2 dm или = £ а*т1т
Полярным моментом инерции J0 тела относительно полюса О
называется сумма произведений из массы частиц dm на квадрат
расстояния г от полюса О:
J0 = j r3 dm или = £ r£2mi.
Плоскостным моментом инерции тела относительно плоскости
называется сумма гтроиэведепия из массы частиц dm на квадрат расстояния от
плоскости.
Момент инерции всегда величина положительная, размерность
его нгмеек2. При однородных телах постоянную плотность можно '

294 Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
вынести в качестве множителя перед .суммой или интегралом, и
тогда остается момент инерции геометрических тел fa2dvt или jr2dv
(стр. 296).
Момент инерции можно также писать в виде:
где m = 4£lmi либо = f dm —общая'масса тела, a k называется
радиусом инерции. Чтобы в этом случае получить момент инерции, равный
моменту инерции тела, нужно предположить, что общая масса тела
сосредоточена в одной точке на расстоянии k,от оси или полюса
(приведенная масса). При решении технических задач на практике
вместо выражения J = mk2 пользуются выражением махового
момента GD2, где G = mg — вес вращающегося тела и D = Ik —
его диаметр инерции; тогда имеем:
0£3 = 4£Л,асса.
Для махового момента можно пользоваться мерой кг м2, для
больших величин тм2.
Для трех осей Alt A2, Л3, пересекающихся под прямым углоь
в одной точке О, справедлива следующая зависимость между
полярным моментом инерции У0 и суммой трех осевых моментов инерции:
•/o = 1/2-(/4l+^ + -V
Если Js— момент инерции тела с массой т относительно оси,
проходящей через центр тяжести, /д — момент инерции
относительно оси параллельной, удаленной на расстояние е, то
^=4
+'несоответственная зависимость существует между полярным
моментом инерции У0 для любой точки О и полярным моментом инерции
Uo)s Для центра тяжести, находящегося от О в расстоянии е:
Jo=Vo)s + me2-
При осях параллельных момент инерции относительно оси,
проходящей через центр тяжести, наименьший.
Если Jx и У2~"моменты инерции двух тел относительно двух
параллельных осей, проходящих. через центры тяжести, то момент
инерции нового тела, составленного из данных относительно
новой параллельной оси, проходящей через общий их центр тяжести
J = Л + J2 + е*т1 # "h/fa + тъ)'
где е означает расстояние между полярными осями центров тяжести
масс т1 и /и2.
Центробежный, или девиационный, момент тела,
отнесенный к двум плоскостям, есть произведение из массы частицы dm
на расстояния х и у от этой частицы до обеих плоскостей:

Центр массы и момент массы второго порядка 295
Обыкновенно х и у перпендикулярны друг к другу, так что х и у
представляют прямоугольные координаты. Центробежный момент
может быть положительным, отрицательным или нулем. Он имеет
ту же размерность, что и момент инерции.
Для тела, центр тяжести которого совпадает с нулевой точкой
прямоугольной координатной системы xyz, имеем центробежные
моменты jf, J2X^ J- относительно параллельно расположенной
координатной системы x'y'z*', в которой координаты центра тяжести тела
а, Ь, с, имеем соответствующие центробежные моменты:
Jyz, == Jy2 + mbc, J2X, = J2X + mca, Jxy, «= Jxy + mat.
Пусть в прямоугольной системе координат Jx, Jy, J2 будут три
осевых момента инерции, a Jxy,Jyz и J2X — три центробежных
момента инерции, тогда можно определить момент инерции JA для оси,
проходящей через нулевую точку и образующей с координатными
осями углы а, р, т:
JA = Jx cos2 а + J у cos2 р + Jx cos2 T — %JXy cos а cos p —
— 2Jy2 cos p cos y — 2J2X cos т cos a.
Для каждой точки тела существует прямоугольная координатная
система, для которой три центробежных момента инерции Jxy, Jуг
и J2X равны нулю; эти три оси называются главными осями,
а соответствующие им моменты инерции — главными
моментами инерции, которые обычно обозначаются через А, В и
С (А > В > С). Момент инерции JA для оси, образующей углы а, р, т
с главными осями инерции, равен:
JA = A cos2 a + В cos2 p + С cos2 4.
Если тело имеет плоскость симметрии, то каждая прямая, к ней
перпендикулярная, представляет главную ось инерции. Если тело
имеет ось симметрии, то эта ось представляет одну из трех
главных осей инерции для каждой из ее точек.
Если по оси отложить от начала координат отрезок l/V^J, то
конечные точки отрезка лежат на эллипсоиде, эллипсоиде
инерции Пуансо для точки О, главные оси которого совпадают
с главными осями инерции, и его уравнение будет:
Л52 + Дт)2+а2 = 1.
Величины главных осей будут 1/УА I/Vb и 1/V^C. Эллипсоид
инерции для центра тяжести называется центральным
эллипсоидом; его главные оси называются также свободными осями
тела.
В теории волчка наряду с эллипсоидом инерции важную роль
играет также эллипсоид количества вращения. Он имеет то же напра-

296 Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
вление главных осей, что и эллипсоид инерции, и удовлетворяет
уравнению:
е*д4 + тг!уд + с2/с=1.
Величины главных осей его относятся, следовательно, как
т. е. являются обратными величинами соответственным главным
осям эллипсоида инерции.
II. Геометрические моменты инерции и моменты
центробежные для плоских фигур
Осевым, или экваториальным, моментом инерции плоской
фигуры относительно сси А, лежащей в этой же плоскости,
называется сумма произведений из элементов площади df на квадрат
расстояния а этих элементов от оси А:
Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно
полюса О, расположенного в плоскости, называется сумма
произведений из элементов площади df на квадрат расстояния г этих
элементов от полюса Q:
Центробежным, или девиационным, моментом плоской
фигуры относительно двух расположенных в плоскости осей называется
сумма произведений из элементов площади df на произведение
кратчайших расстояний х и у этих элементов от обеих осей:
Jxy=J*ydf-
Измеряя длины в м% получают моменты инерции и центробежные моменты
площадей в м*.
Все соотношения, приведенные в п. 1, действительны и для
п. 2, где они только несколько упрощаются благодаря отсутствию
третьей координаты.
Если принять 0 за начало прямоугольной системы координатных
осей, то для полярного момента инерции будем иметь:
. , Jo=jr*df=f(x*+y*)df=Jx + Jy,
где Jx и Jy — осевые моменты инерции площади относительно осей
х и у.
Если Js — момент инерции площади F относительно оси,
проходящей через центр тяжести, JA — момент инерции относительно
параллельной оси Л, удаленной на расстояние е% то

Центр массы и момент массы второго порядка 297
То же действительно и для полярного момента инерции (У0)
относительно центра тяжести и для полярного момента инерции
относительно любой точки в расстоянии е от центра тяжести:
Если центробежный момент У относится к двум взаимно
перпендикулярным осям х и у, проходящим через центр тяжести, то
центробежный момент Jx,y, для новых осей х' и у', сдвинутых
параллельно на расстояния а и Ь, будет:
*х'у' = Jxy + р'аЬ-
Две оси А± и Л2, для которых центробежный момент равен О,
называются сопряженными. Эти две взаимно
перпендикулярные оси называют главными осями для точки их пересечения.
Экваториальные моменты инерции для обеих главных осей являются
среди экваториальных моментов инерции для всех осей через
данную точку наименьшим и наибольшим (Утах и Ут!п).
Если для прямоугольной системы координат известны
центробежный момент Jxy и оба экваториальных момента инерции, то момент
инерции относительно некоторой оси, образующей с осью лг-ов угол а,
равен:
Ул = Jx cos2 a -f- J у sin2 a — У sin 2 а.
Для каждой точки площади существует прямоугольная система
координат, для которой центробежный момент Jxy равен нулю; эти
оси называют главными осями, а моменты инерции
относительно этих осей — главными моментами инерции,
обозначаемые обычно через А и В (А > В). Если главные оси инерции
принять за координатные оси, то момент инерции относительно любой
прямой, образующей угол а с осью л>ов, будет:
JA — A cos2 а Н- В sin2 а.
Из Jx, У и Зху для любой координатной системы определяются
углы <х0 и 90° -f ao> образуемые главными осями инерции с осью
х-ов, из
tg2a0 = 2Jxyl(Jy-Jx),
а величины А и В из:
Л = (/, + Jy)/2 + V Wy - 3хШ1 + J*x,.
B=(Jx + Jy)l2- V [(Jy-Jx)W2 + J*xy.
Если по каждой оси отложить от начала координат расстояние
1/ j/Уд , то конечные точки всех этих отрезков лежат на эллипсе —
первом эллипсе инерции, главные оси которого совпадают
С главными осями инерции; уравнение его:

298 Т Т Отд 2. Механика. I. Механика твердых тел
Эллипс инерции для ценгра тяжести называется
центральным эллипсом.
Если для всех осей, проходящих через одну точку, определить
из JA = Fk2 радиусы инерции k и на этих расстояниях провести
параллели к соответствующе осям, то параллели эти обертывают
второй эллипс инерции (эллипс инерции Кульмана).
Первый и второй эллипсы инерции между собой подобны и
имеют подобное расположение.
Если на первой главной оси, проходящей через центр тяжести S,
по обе стороны последнего отложить длину с, определяемую по
формуле А — В = Fc2, то получим постоянные точки Ft и F2
площади F. Моменты инерции для всех осей, проходящих через
эти точки, имеют одно и то же значение, равное А; эллипс инерции
таким образом превращается в круг.
С помощью постоянных точек легко определяются направления
обеих главных осей инерции для любой точки в плоскости фигуры:
они являются биссектриссами углов обоих лучей, проведенных
из постоянных точек к данному полюсу.
Круг инерции Мо р-Л а н д а. Если
даны для двух прямоугольных осей ОХ и
OY (фиг. 55) моменты инерции Jx и Jy и
центробежный момент Jxy, то откладываем
OC=Jx и CD = Jy, далее CT±OYn=Jxy;
описываем на линии OD = Jx + Jy = Jp
(полярном моменте инерции относительно
точки О), как на диаметре, круг, который
будет кругом инерции для точки О
Фиг. 55. * как для полюса- Точка Т наз. главной
точкой инерции. Диаметр,
проходящий через точку Т, дает обе главные оси инерции:
ОА с /max=7VI и ОВ с Jmin=TB.
Центробежный момент относительно двух произвольных взаимно
перпендикулярных осей, например ОЕ и OF, равняется
перпендикуляру TG, опущенному из Т на диаметр EF. Отрезки EG и соотв.
FG равны моментам инерции относительно осей ОЕ и соотв. OF.
Определение момента инерции плоских фигур. Моменты
инерции сечений для общеупотребительных гражданских и
искусственных сооружений приведена в отд. ,Материаловедение" (см.т. Ц),
также в таблицах Bohm и John, Scharowski, Zimmermann и др:
В машиностроении для неправильных сечений применяется гра-
фико-аналитический способ, подобный тому, как указано на стр. 287
для определения центра тяжести.
Вычерченное в масштабе сечение разделяется рядом линий, параллельных оси,
для которой требуется определить момент инерции, на отдельные полосы настолько
узкие, что их можно рассматривать как прямоугольники; определяется по чертежу
площадь/ и расстояние центра тяжести у и составляется сумма ^y*»f7^J. Расчет
производится всего удобнее при помощи таблиц.

Центр массы и момент массы второго порядка 299
Предполагается, что полосы выбраны достаточно узкими для того, чтобы
по сравнению с у*/ можно было пренебрегать моментом инерции полосы
относительно параллельной оси, проходящей через центр тяжести (b.h*/V2 =/Л-/12).
Для правильных фигур, у которых известно положение центра тяжести уч
площадь / и момент инерции ls относительно оси, параллельной оси центра
тяжести, нет надобности разлагать площадь на полосы; в этом случае вместоy*f
принимаем y*f+ fs.
Если требуется определить момент инерции неправильного сеч'ения, центр
тяжести которого еще неизвестен, относительно оси центра тяжести,
направление которой задано, то сначала определяем, согласно
нижеприведенным формулам, момент инерции для произвольной параллельной оси и
затем относим найденный момент к оси, проходящей через центр тяжести, путем
вычитания Frf; сечение F и расстояние центра тяжести ij определяются одно
временно при помощи таблиц.
III. Моменты инерции важнейших линий,
поверхностей и тел
(Подробные данные о моментах инерции употребительных сечений см. в отделе
„Сопротивление"материалов" — сопротивление изгибу, равно и в
отделе/^Материаловедение", т. II,
Тела и фигуры предположены однородными; М = G/g означает
общую массу тела; предполагая, что моменты инерции должны быть
рассчитаны в кгм сек2, геометрические моменты инерции в мъ (при
площадях м\ при линиях м% в дальнейшем взято ускорение силы
тяжести £ = 9,81 м/сек2, вес G в кг и удельные веса (см. ниже
Т, TU т. в кг/м?, кг/м2, кг/м.
Обозначения. Указатель при 7 означает ось, относительно которой
берется квмент инерции; Jp означает полярный момент инерции для названного
полюса.
у в кг\м равно весу единицы длины; геометрический момент инерции
получается из момента инерции массы вычеркиванием множителя y; \g.
у в кг/м"- равно весу единицы площади; геометрический момент инерции
получается из момента инерции массы вычеркиванием множителя ff\g»
у • в кг/м9 равно весу объемной единицы; геометрический момент инерции
получается из момента инерции массы вычеркиванием множителя y/g\
Прямая линия длиною 1\ одна конечная точка лежит на оси, другая — в
расстоянии г от оси.
I T/ I * АЛ * .
(фиг,
Дуга
. 56):
га круга с радиусом г и центральным углом 2 а
/ /*
Jx= — (arc 2 о — sin 2 о) = М -
', Y* I* ] о , • п ч мм Г* Л I Sil1 2 Л
Jy=*— -j (arc 2 а + sin 2 «) = Л«-^- ( 1-f-
f sin2«\
V arc 2 «У '
s).
Фиг. 56.
Jpo~- '
■ /* arc 2 о = Mr*.
Полная окружность: 2 a = 360°, arc 2« = 2к.
h
'po~
_4_
» 2 is = Mr*,
Jy = Jd =
8 2

300 Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
Окружность эллипса; а —половина большой, о— половина малой оси. При
к — V1 — Ь*1а* имеем (значение эксцентрицитета см. Аналитическая геометрия,
стр. 136):
Л.^а.^1_(4)^-(^)«-(5й),.«.-(^йг),.да-...]
и момент инерции относительно большой оси
/ ЬЗ.Б\М I
^2.4.6.8^ 10 J"
Треугольник; 5 — центр тяжести треугольника (фиг. 67):
Т/ дЛ«
j —ILEOl — m —
Фиг. 67. Н~ g 12 -Л1 6* »
. _ T//W , h(bt* + bj)\
JPB~T\~*~ + 12 ) *<
Jp8~~7 v*36"+ i2 is—;=ж—зе—
Для любой оси, проходящей через центр тяжести, справедливо: Js= M{ef-\-
-f е * + *8*)/12, где е(, *,, *з — расстояние вершин от оси.
Равнобедренный треугольник: fcl = fca = b/2.
. _ У b*h . У bha2h* + b*)
Jps-
JpBz
У bh(4h* + Zb*)
Z 144
Четырехугольник; неправильный четырехугольник (фиг. 58):
Параллелограм:
_ УД(У + *Л_„ 1 У + лл»
12
= Л1
Ромб:
♦иг. 88.

Центр массы и момент массы второго порядка 301
Прямоугольник: (фиг. 59)
JD=
Jx =
Jy=
tf £>4sins<p D«sin*tp
g 48 ~M 24
T/ bh* лй h*
Т"12- = Ж12-'
Jz~ g г М 3
. Y/ bh{b* + h?)
V = -y 12 =
:Ж
ft«4-/*«
12
Фиг. 59.
Постоянные точки поперечного сечения (стр. 298) определяются по фиг. 59,
если отложить ХВ = Л/2 и провести -£ FtBS — «$с FzBS = 3J°; тогда имеем:
FtS = f^S = с = V(hl2f-(d/2)s • IjV3
Квадрат со стороной а:
■V (Jx-Jv)lbh.
J* =
i -i r - У fl4
3 3
:M
fl*
Л,Я =
12
T/ a*
£ 3 3 ' '//75 =
Равнобедренная трапеция (фиг. 60;:
T/ h3(g + 3fr) _Mtf fl + 3»
У«~ £ 12 ~-Ж 6 fl + b '
_ 7/ /t»(3fl+^) ^^ я* За 4-6
6— ^
:Ж -
12
Y/ Л a*-
6*
Л1
g 48 fl —
T/ я» a* + 4ab + b*
£ 36 e + fr
6 fl-f b '
fl*4-b»
24 '
_ /ta fl» + 4flft -fr- b*
"Ml% (fl + 6)8 '
Фиг. ба
Правильный многоугольник. Если в —сторона, л —число сторон, /- — радиус
вписанного, Я —радиус описанного круга, то для всякой проходящей через
центр О экваториальной оси:
У ядг(12г» + а*) _ Лй 12/*4-а* м6Л«-а»
48
24
Ур0 _ 2JX.
Круг. Для любого диаметра:
Л/ =
"#»о-
У кг*
g 4
* 2 :
У nd*
g 64 "
=-г--гт-= ЛГ
* 32
Ж
4 •
/*

302 t Отд. 2. Механика, t Механика тверды* тел
Полукруг. Для ограничивающего диаметра (ось #-ов) и линии симметрии
(ось у-ов) имеем:
* -У # 8 4
Для центра:
Р°~~ g 4 -^Т*
Для центра тяжести:
, Т/ тс г* ( 32 \ /• / 32 \
Круговое кольцо; наружный радиус /?, внутренний радиус г:
Jd = -g 4 ssM 1 ' Jpo = 2J*
Круговой сектор (обозначение фиг. 56, стр. 299):
Jx = -i- -5- (arc 2 a — sin 2 a) = Af ~- 1 — J f
•* £ 8 v 4 V arc 2 a/ *
— JZ ^ arc 2 g — T'' K ** — м r*
«Vo- g- 4 ~ jg- "2л -Ж 2 •
(Если сектор составляет л-ую часть площади круга.)
ДлЪ центра тяжести 5 как для полюса
Круговой сегмент (обозначения фиг. 56, стр. 299):
Т/ г* ( 4 1 N
yJC=s-^-T^arc2e-TeIn2«+Tsin4«J =
— At — Л 5- 2 sin 2 а -- sin 4 а \
" 4\ 6 arc 2а-sin 2 а /'
^ = ^^(arc2«-Tsin4«J=r
— Af — А 4- -L 2 Si>1 2 g ~ S'n 4 g \
"" 4 V +~2" arc2a-sin2a /'
Т/ ^ / 2 1 \
V = -f т \агс 2 в - тsin 2 e"" тsin 4 V в
— л* * fi i * 2 sin 2 g ~sin 4 g )
~~ 2 V + 6 arc 2a- sin 2 a J'
Эллипс. Для диаметра 2д как оси дг-ов, диаметра 2Ъ как оси у-ов и центра О
как полюса:
, Т/ п аЬ* .. ft* . Т/ тс аЗ£ ai

Центр массы и момент массы второго порядка ЗОЗ
Парабола (фиг. 61):
/* =
211а&!_
g~ 15
Т/ Аа?Ь
g 7
Т/ 32аЧ
g 105
Т/ 16а8Ь
£ 175
5 '
За2
~Т •
8а2
35 '
12а»
175 '
Г
х
т
■»-<-- <Х-
^и
^
1
i
2Ъ
1 Г"
1 i
Фиг. 61.
Прямая призма и прямой цилиндр площадью сечения F и высотою Л.
Конечные плоскости параллельны. Полярная ось ZZ проходит через центр тяжести S
и параллельна ребрам; экваториальная ось QQ перпендикулярна в точке S к оси ZZ.
Моменты инерции площади F относительно QQ принимаем = iq, относительно ZZ
равным 1г. Имеем*
y<г = т(FШ + w«)• J*=iM*-
Прямоугольный параллелепипед. Оси х, у, г проходят через центр тяжести
в параллельны сторонам я, Ьу с:
Jx = ±^(b>+c>) = M
g 12
Куб, сторона равна а:
fr8-f с8
12
£ 6 6
Прямой круглый цилиндр. Радиус основания г, высота Л; оси как выше'при
прямом цилиндре:
Для оси, образующей со средней линией цилиндра угол <р, момент инерции:
1
/= JL l^L [Зг* (1 -f cos2 ?) + Л8 sin8 9]
М ^- [Зг8 (1 + cos8 <р) + Л8 sin8 9j.
Боковая поверхность цилиндра:
Mr*,
Л»
',-?^(*,+*,)-Л*тг
Полый цилиндр. R и г—наружный и внутренний радиусы, Л —высота; оси как
выше, при прямом цилиндре:
/?* + /*
/,-JL^C*-*.
Л1
^jL-JB^fa + r + frM.
Прямая пирамида и прямой конус. Отвес h (одновременно ось г), опущен*
ный из вершины на площадь основания F, проходит черев центр тяжеоти послед.

304 Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых fftfl
него; ось q перпендикулярна к оси г и проходит через центр тяжести тела; моменты
инерции основания относительно оси г принимаем равными /г; относительно
проекции оси q раиными /д. Тогда имеем:
J* - - Г '*. Jn - _ ( t 8() + 5 ^ .
£ 5 '*» 'l" *
Прямоугольная пирамида. Основание — прямоугольник со сторонами а и Ь;
высота А; оси как и выше, при прямом цилиндре, ось q параллельна стороне а:
^-Т 60 v" -г"'-- г]---
(6' + ^) =
* ^ 60 ^ т 4 у"" 20
Прямой круглый конус. Радиус основания г, высота Л, образующая s; оси
как выше, при. прямом цилиндре:
у* - ^ ю ю '
y лг«А / , ,'Л«\ „ 3 / , . А'\
у« = Т "IcT ('*+ TJ =ж 20 (r' + Tj'
Боковая поверхность конуса:
%~ g 2 ~ Ч'
Усеченный круглый конус. Радиусы оснований R и г, высота /г, образую*
щая s\ оси как п выше, при прямом цилиндре:
_ у тс h R* — г» 3 /?» - г5
* ~~ £ 10 Я - г ~ Ж 10 #» - г3 '
Боковая поверхность усеченного конуса
Т/ тс 5 R*-r* м R} + г»
Шар. Радиус л Для диаметра, принятого за ось,
g 15 5
П о л у ш а р. Если начало координат в центре и ось г перпендикулярна
к ограничивающей плоскости диаметра, г радиус шара, то
g
Полый шар. R наружный, г внутренний радиус; для всякого диаметра
Поверхность шара. Для всякого диаметра*, принятого за ось,
If 8тсг*=ж2г*
^ 3 3
Шаровой сегмент с высотою, равной Л; радиус шара г. Относительно oci
Симметрии:
g зо '■"■ —•т~"/--10 зГПГ

Теория движения (кинематика)
305
Шаровой сектор. Высота сегмента = Л, радиус шара == г. Относительно оси
симметрии:
7 2 те /2Л' „ tx шм h
Л =
g 15
-(ЗГ-Л) =
. м -£- (3r~ Л).
Кольцо (фиг. 62). Образующая поверхность симметрична относительно пря
мой mm, параллельной оси вращения. Ось г совпадает с осью вращений; ось q —
перпендикулярна к оси г; момент инерции для / относи- _
тельно оси т принимаем равным im относительно оси
q = / Тогда имеем:
М я= -i~ 2 it /?/ (по Гюльдену).
g
Фиг. 62.
Круговое кольцо. Радиус образующей окружности а\ ось q =»любому
диаметру в экваториальной плоскости:
* 2
JL]tR?L
g *
(4tf* + За*) = Ж
(4/?« -f 5а?) = /И
4/?* 4- За*
4/?« -{- 5а*
Эллиптическое кольцо. Полуось а в экваториальной плоскости
полуось b параллельна оси вращения; ось q — любому диаметру в экваториальной
плоскости:
j, = jl *|г» (4*+зя.) = ж i*t±*£,
т
£
2
v*Rab
4
(4#* 4" Зв* + 2ft-) = М
8
D. Теория движения (кинематика)
а) Движение точки
1. Прямолинейное движение. Положение точки,
находящейся в прямолинейном движении, вполне определяется нулевой
точкой О прямого пути и расстоянием
данной точки s=f(t) от нулевой точки в
известный момент времени. Путь s можно
изобразить графически как функцию
времени /при помощи кривой времени-
пути (фиг. 63). Скорость точки (стр. 249)
выражается формулой
ds df = tg <х (фиг. 63).
Фиг. 63.
Ускорение
t V~ dt = dt
точки (стр. 249)
dv &s d*/
dt
dP
dt*

306
f. i. Отд. 1 Механика, t. Механика, твердых тел
Если движение точки графически изображено кривой
времени-скорости (фиг. 64), то
rf/.
При движении точки по прямой линии с постоянной скоростью
кривая времени-пути представляется прямой линией (фиг. 65) и
tg a = v0 = const.
i
X.
У
<1
У
о
f
t
Фиг. 65.
Фиг. 66.
В этом случае ускорение равняется нулю. Пройденный путь
s = v0- L *
Движение точки называется ра вном.е р но-у с к о ре нны м
или —зам едл енны м, если ускорение а является величиной
постоянной и независимой от времени, а именно:
равномерно-ускоренным движением, если постоянное ускорение положительно и
равномерно-замедленным, если оно отрицательно.
В виду того, что ускорение в этом случае имеет одно и то же
значение для всех промежутков времени, это ускорение можно
выразить не только производной скорости по времени, но еще и
следующим отношением (для произвольного интервала от tY до U):
dv
а = -
dt
11 —.
изменение скорости
соответствующее время
Диаграмма
времени-скорости
является здесь прямой
линией (фиг. 66) с наклоном [J
tg р = а = const.
Фиг. 68.
Кривая
ни -п у т и
параболой
в р е м е-
является
(фиг. 67)
. ds
tge==rfT
: v = v0 -f at,
причем Vq обозначает скорость, соответствующую времени / = 0,

Теорий движений (кинематика)
307
Пройденный путь
at2-.
v + vo , _ v'
•fo2
2a
При vQ = 0 и s = h получаем
h = i/2/2a и v = j/" 2<й = а/.
Пример. Свободное падение в безвоздушном
пространстве а~ g = 9,81 м\сек- ^ускорению силы* тяжести.
Если считать время и путь от момента начала падения точки, находящейся
в покое (z/o = 0), то получаем:
Л =
р, v = gt, h =
v = V2gh.
v-j2g называется высотой соответствующей скорости v (высота подъема тела,
брошенного вверх со скоростью v). Таблицу для v*}2g и V2lh см. стр. 308 и 309.
При прямолинейном движении точки с
переменным ускорением движение можно представить графически
при посредстве кривой времени-пути (фиг. 63) или кривой
времените Липим
Фиг. 69.
Фиг. 70.
скорости (фиг. 64) или, наконец, кривой пути - скорости (фиг. 68).
Если дана кривая времени - скорости, то интегрированием s = f vdt
можно получить кривую времени-пути; ее можно получить и
графически (фиг. 69). От точки Я, расположенной на абсциссе, влево
от точки О и на расстоянии единицы, проводятся прямые к точкам
/, 2, ..,, 6, являющимся проекциями средних ординат v на ось
скоростей; кривая t— s получается проведением линий,
параллельных лучам от полюса Р.
Если скорость дана функцией пройденного пути t>(s), то время
ds
находится как функция пути из v = ■
•-Si
dt
ds_
W
Интегрирование может быть произведено графически по фиг. 70. От полюса Р,
отложенного на абсциссе вправо от нулевой точки О на расстоянии единицы,
проводятся прямые к точкам 7, 2 6, являющимся проекциями средних ординат 0
на оси скоростей. Линия s — t получается проведением отрезков, перпендикуляр»
ных лучам из полюса Р.

308 Ъ- 1- ^тд. 1 Механика, t. Мехавжса Твердых тел
Таблица 2. Высоты, соответствующие скоростям
Высоты Л в jh, соответствующие скорости (падения) для скоростей v
от 0 до 1000 м\сек
А = г>5/2^; £=9,81 м\секщ-«)
v 1
0
1
2
з
4 |
5
6
7
в
9 1
10
11 *
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
' 27
28
29
30
31
32
33
34
• 35
36
37
38
39
(
"~|
0,00000
0,05097
0,20387
0,45872
0,81549
1,27421
1,85486
3,49745
3,26198
4,13644
5,09684
6,16718
7,33945
8,61366
9,98981
11,4679
13,0479
14,7299
16,5138
18,3996
20,3874
22,4771
24,6687
26,9623
29,3578
! 31,8552
34,4546
37,1560
39,^692
42,8644
45,8716
48,9807
52,1917
55,5046
5*,919&
62,4363
66,0551
69,7757
73,5^84
77,5229
Эсновны
. Дано
ищем:
2. Дано:
tfrtllAM *
v 1
40
41
42
43
44
45
46
47 |
48
49 |
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
[ 77
78
79
е 3aj
*=.
V И
ж и
ZU
81,5494
85,6779
89,9083
94,2406 1
98,6748
103,211
107,849
112,589
117,431
122,375
127,421
132,669
137,819
143,170
148,624
, 154,179 <
159,837
165,5Р6
171,458
177,421
183,486
189,653
195,923
202,2°4
208,767
j 215,341
222,018
228,797
235,678
242,661
249,745
256,932
264,220
271,611
279,103
286,697
294,393
302,192
310,092
318,094
качи. (Д;
№- v
а
/Ю,
Л
V
80
81
82
83
84
85
86
87
88
Й9
90 !
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
105
115
125
135
145
155
165
175
185
195
200
205
215
225
235
245
255
265
1 275
1Я / =
ds
~ dt
S=»
ZlJ
326,198
334,404
342,712
351,121
359,633
368,247
376,962
385,780
394,699
403,721
412,844
422,069
431,397
440,826
450,357
459,990
469,725
479,562
489,501
499,541
509,684
561,927
674,057
796,381
928,899
1071,61
1224,52
1387,61
1560,91
1744,39
i 1938,07
2038,74
2141,95
2356,01
2574,34
2814,73
3059,38
3314,22
3579,26
3854,48
- 0 путь
й =
fvdt.
л
285
295
300
305
315
325
335
345 1
355 1
365
375
385
395
400
405
415
425
435
445
455
465
475
485
1 4°5
500
505
515
525
535
545
555
565
575
585
595
600
605
615
625
1 635
5 = 0
dv
dt "
a =■
h j
4139,91
4435,52
4587,16
4741,34
5057,34
5383,54
5719,93
6066,51
6423,29
6790,26
7167,43
7554,79
7952,34
8154,94
8360,09
8778,03
9206,17
9644,50
10093,0
10551,7
11020,6
11499,7
11989,0
12488,5
12742,1
12998,2
13518,1
; 14048,2
14588,4
15138,9
15699,5
16270,4
16851,4
17442,7
18044,1
18348,6
18655,3
19277,5
19909,5
20551,7
)•
_ (Ps
= dfl~
dv.
dt
v 1 h
645
655
665
675
685
695
700
705
715
725
735
745
755
765
775
785
795
800
805
815
i 825
835
845
855
865
875
885
895
900
905
915
925
935
945
955
965
975
985
J 995
j 1000
21204,1
21866,7
22539,5
23222,5
23915,7
24619,0
24974,5
25332,6
26056,3
26790,3
27534,4
28288,7
29053,3
29628,0
30612,9
31408,0
32213,3
32619,8
33028,8
33854,5
34690,4
35536,4
36392,7
37259,2
38135,8
39022,7
39919,7
40827,0
41284,4
41744,4
42672,0
43609,8
44557,8
45516,1
j 46484,5
47463,1
48451,8
49450,8
50460,0
50968,4

Теория движения (кинематика)
309
Таблица 3. Скорости
Скорости v в м\сек для А от 1 до 1000
v = V2gh\ . £=^9,81 м\се** »)
Л
1
2
3
4
5
' 6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
V
4,42945
6,26418
7,67202
8,85889
9,90454
10,8499
11,7192
12,5284
13,2883
14,0071
14,6908
15,3440
15,9706
16,5730
17,1553
17,7178
18,2630
18,7925
19,3075 *
19,8091
20,2983
20,7759
21,2428
21,6998
22,1472
22,5858
23,0161
23,4384
23,8535
24,2611
24,6621
25,0567
25,4452
25,8279
26,2050
26,5767
26,9433
27,3049
27,6619
28,0143
л|
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60 ,
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
1 76
77
78
79
80
V
28,3623
28,7061
29,0458
29,3816
29,7136 |
30,0420
30,3668
30,6881
31,0061
31,3209
31,6326
31,9412
32,2469
32,5497
32,8496
33,1469
33,4416
33,7337
34,0232
34,3105
34,5951
34,8775
35,1577
35,4356
35,7113
35,9850
36,2566
36,5262
36,7938
37,0594
37,3232
37,5851
37,8452
38,1035
38,3601
38,6150
38,8682
39,1198
39,3698
39,6182
1 h
81
82
83
84
85
86
ST
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99.
100
105
IKK
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
V
39,8650
40,1103
40,3542
40,5032
40,8375
41,0770
41.3151
41,5519
41,7873
42,0214
42,2542
42,4858
42,7160
42,9451
43,1729
43,3995
43,6250
43,8493
44,0724
44,2945
45,3883
46,4564
47,5005
48,5224
49,5227
50,5037
51,4655
52,4099
53,3376
54,2492
55,1462
56,0284
56,8973
57,7529
58,5961
59,4272
■60,2470
61,0555
61,8539
62,6418
А
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
460
470
480
490
500
510
520
530
540
550
560
570
1 580
1 590
600
V
64,1888
65,6993
67,1759
68,6107 I
70,0357
71,4227
72,7832
74,1188
75,4308
76,7202
77,9884
79,2364
80,4349
81,6750
82,8673
84,0429
85,2021
86,3458
87,4746
88,5889
89,6895
90,7767
91,8510
92,9129
93,9627
95,0010
96,0281
97,0443
98,0500
99,0454
100,031
101,007
101,974
102,931
103,880
104,820
105,752
106,675
107,591
108,499
А
610
620
630
640
650
660
670
680
6°0
700
710
720.
• 730
740
750
760
'770
780
790
800
810
820
830
840
850
860
870
880
890
900
910
9Ш
930
940
950
960
970
980
990
1000
V
109,399
110,292
111,435
112,057
112,929
113,795
114,653
115,506
116,352
117,192
118,026
118,855
119,677
120,494
121,305
122,111
122,912
123,708
124,498
125,284
126,064
126,840
127,611
128,378
129,140
129,897
130,650
131,399
132,143
132,883
133,620
134,352
135,080 .
135,804
136,525
137,^41
1 137,954-
138,664
139,369
1 140,071
3. Дано: v=f($), Д& ^ dv
ищем: а и t ^ J v ' a~~v~cfs '
4>
4, Дано: а =/(*),
ищем: s и v
о у
«) Точное значение р на стр. 25G,
Г adt, s = Г vdt

310 Т. I Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
5. Дано: а—/(«),
ищем: v и t
/S S
V + 2 Г ads, t= j *L.
6. Дано: a =/(?),
ищем: s и t
s-
v
dv
2. Криволинейное движение. Положение точки на ее
криволинейном пути определяется нулевой точкой О в пространстве
и вектором 7 из О, соответствующим временному положению точки,
(фиг. 71). Если г известен как функция времени, то этим вполне
определено движение точки.
По местному вектору г находим тангенциально направленную
скорость v и ускорение а (стр. 249)
- d'r - dv d2T
dt dt dtl
При применении прямоугольной
координатной системы (xty, z) положение
точки можно определить, представляя все ее три прямо-
Фиг. 71. угольные координаты в функции времени:
* = ¥(*). У = ИЪ> **=хМ-
Скорость в этом случае выражается составляющими:
а ускорение —- составляющими:
<fl2 * W» rf,2~V W, <Й2-Х W
Величина скорости:
| И | = v = Yv'2 + V2 + х'*
и величина ускорения:
| Ц | = а = W^ + ^ + x"2 #
Положение точки может быть определено так, что кривая пути
задается каким-нибудь методом геометрии (модель, координаты,
проекция в двух плоскостях), а пройденный точкой путь s
определяется от нулевой точки, лежащей на кривой, как s=f{t).
Точка имеет в пространстве три степени свободы,
соответственно оо3 положениям, которые она может занимать. Если точка
лежит в плоскости, то она имеет только две степени свободы и,
наконец, если точке предписан путь, то она имеет только одну степень
свободы. щ

Теория движения (кинематика)
311
Если вектор скорости v = — будет отложен от какой-нибудь
определенной точки О в пространстве, то конечная точка v
описывает годограф (фиг. 72). Скорость по годографу даст, по'вели-
- dv d*r
чине и направлению, ускорение а = —тт = -~fn •
Из годографа видно, что вектор ускорения а и вектор
скорости v совпадают по направлению только при прямолинейном
движении точки.
При криволинейном движении точки вектор
ускорения никогда не совпадает с направлением
касательной к кривой пути.
Вектор ускорения я, всегда лежащий в плоскости, касательной
к кривой пути, можно разложить на касательную соста-
dv .
вляющую а, = —тт = производной скорости по времени и и а но р-
мальную составляющую, направленную к центру кривизны
& ш
а „ = — = о)4р = v • (о.
р
При этом р означает радиус кривизны кривой
пути и со = v/p угловую скорость, с которой
точка движется вокруг центра кривизны. at
зависит от изменения величины скорости, а ап от
изменения направления скорости. При at = О,
получаем v = const, другими словами, v по величине не
изменяется, и точка движется по кривой любой формы с постоянной
скоростью. При ап = 0 получаем прямолинейное движение.
Пример. Движение точки по кругу радиуса г.*
dv
Касательное ускорение а/ = —тт- • При v = постоянной ускорение а: = 0.
Нормальное ускорение ап = v*\r направлено к центру круга. При постоянной скорости
v оно имеет постоянное значение.
Если движение точки дано отдельно кривой пути и
уравнением пройденного пути s, то получаем: скорость
ds dv d2s
v = —, касательное ускорение а^= ~гг = -тж и
нормальное ускорение «„ = v2/p (p = радиусу кривизны).
При помощи основного динамического уравнения (стр. 251),
из ускорения а умножением его на массу точки получаем по
направлению и величине силу Р, необходимую для получения
соответствующего движения. Подробнее см, отдел „Динамика", стр. 33?.
Фиг, 72.,

312 т- 1 ОтД- 2. Механика. I, Механика твердых гел
Для параллельной проекции (прямоугольной или
косоугольной) движения точки на плоскость законы проекция
остаются в силе: проекции скорости и ускорения по
величине и направлению равняются скорости и
ускорению, проекции точки.
Пример (фиг. 73). Точка Я движется по кругу радиуса г с постоянной
скоростью V.
Параллельной проекцией круг превращается в эллипс и скорость v и
ускорение а — в проекцию скорости vr и — ускорения а'. Движение точки Р* представляет
эллиптически-гармоническое движение, п^и котором^ускорение
всегда направлено к центру эллипса О'. Его величина равна проекции \а\ = u>2 r и
выражается | о7 | = <*»" r'; при этом о> есть постоянная угловая скорость, с которой
точка движется по кругу, а г' —
соответственный радиус эллипса. Таким образом
ускорение пропорционально радиусу эллипса;
поэтому соответственно а — — ios r будет:
а' — — ч>-'У.
Скорость vr параллельна сопряженному с г'
радиусу г/ и так как v = u> rlf имеем
другими словами: при эллиптически-
гармоническом движении
скорость параллельна и
пропорциональна сопряженному
диаметру, вто время как ускорение
направлено кцентру эллипса и
пропорционально соответственному радиусу эллипса.
Относительно силы, необходимой для - получения эллиптически-гармоничного
движения материальной точки, см. стр. 335. '
Если точка совершает одновременно два частныхдви-
жен.ия, то ее действительное движение получается сложением
этих частных движений. Согласно закону
независимости движений, можно при наличии нескольких причин,
вызывающих ряд* движений, рассматривать единичные движения,
происходящие независимо одно от другого, самостоятельно и сложением
их получать действительное движение; скорость и ускорение такого
сложного движения являются результатом геометрического сложения
скоростей^ и ускорений частных движений: f = tfi + t^"f »• *
а «=* ах + а2 ~Ь • • * В частности из этого следует, что при сложном
движении точки можно самостоятельно рассматривать проекции
частных движений,
1. Пример. Движение брошенного тела без
сопротивления воздуха: разложение движения в плоскости полета на частное
горизонтальное и вертикальное движение (подробнее см. отдел .Динамики", стр. 336).
2. Пример. Движение точки по винтовой линии. Если радиус
основного круга винтовой линии обозначим г, а угол подъема «, то получим tg a =
= Л/2 к г, где h ход винта или подъем винтовой линии. Движение точки по
винтовой линии с постоянной скоростью v можно рассматривать «сак результат двух
движений: по основному кругу г со скоростью v cos а и параллельно оси винта
со скоростью v sin а. Из такого подразделения легко найти радиус кривизны р винто-
Фиг. 73,

Теория движения (кинематика)
313
вой линии, ускорение точки, движущейся по винтовой линии, равняется v*'p с
направлением к центру кривизны. В виду того что вектор ускорения из-за
симметрии должен быть параллельным к основному кругу, ускорение точки,
спроектированное на основной круг, будет той же самой величиной, т. е (v* cos* a)/r. Отсюда
получается кривизна винтовой линии
ftp = (COS* «)/л
Кривизна любой кривой определяется уравнением — — ~-, где ds является
элементом линии кривой и d <р соответственным приращением угла
касательной; таким образом, возможно выразить и скручивание
пространственной кривой (так называемая вторая кривизна) формулой — =
л ft
= —— $ где Л—опять Э1емент линии кривой, а d Ь—с оответсгвенное
приращение угла касательной плоскости (см. „Математику",стр. 166).
Для винтовой линии можно найти скручивание следующим
механическим способом. Движение материальной точки по винтовой линии можно
рассматривать как движение точки параллельно оси винтовой линии с
постоянной скоростью v sin a и как движение по основному кругу радиуса г с постоянно*
скоростью v cos a. Из соответственного положения радиуса кривизны следует, что
из одного положения плоскости, образованной касательной и нормалью, можно
перейти в соседнее другое сдвигом параллельно оси винтовой линии на величину
rfS'Sin a при одновременном вращении около оси винтовой линии на величину
. , ds»cos a
т г
Проектированием всего вращения d ф касательной плоскости в направлении
касательной к винтовой линии получим da = </<|>*sin a, находим скручивание винтовой
ЛИНИИ'
1 db d<l> , eina-cosa
в ds ds r
b) Движение твердого тела
1. Поступательное перемещение или сдвижение. Под
поступательным перемещением или сдвижением твердого
тела подразумевается такое движение, при
котором все точки тела описывают
конгруэнтные друг другу пути; таким
образом, для указания движения всего тела до- /,'/ [ *>£\ \
v \ V
Пример (фиг. 74). Диск диаметр* АВ движется
статочно указать движение какой-нибудь 'w^j i <r
/входной его точки. Из начального положения ^^3^7^ , ~ЛЩ/;9
можно n<™vuHTb кяжпш» nnrAonviniiiPA , v I / .!'
no кругу радиуса R. Диск начерчен в четырех поло- ^-~/ * \%- "
жениях. Точка А движется по кругу радиуса R, так A\^Jd,
же как и центр М и другая конечная точка диска В.
Все пути тождественны друг другу. Фиг. 74.
Все, что было сказано (под „а*) относительно движения точки,
действительно и для поступательного перемещения твердого тела,
так как сдвижение тела определяется движением одной его точки.
Можно соединить в одно два движения, которые совершаются
одновременно одним и тем же твердым телом, складывая
геометрически скорости и ускорения обоих частных движений;

314* * Т. 1. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
В виду того, что точка в пространстве может занимать со8
различных положений, то говорят, что тело в пространстве имеет три
степени свободы. Если введено какое-нибудь ограничение
в том смысле, что, например, какая-нибудь определенная точка
связывается с какой-нибудь плоскостью или линией, то тело уже имеет
две или одну степень свободы.
Примером движения с одной степенью свободы является
движение крейцкопфа паровой машины. Направляющая в этом случае есть
прямая линия.
2. Вращение. При вращении тела две его точки остаются
неподвижными, стало быть, и связывающая их прямая также не
перемещается. Эта прямая называется осью вращения. Бесконечно
малое вращение называется элементом вращения. Ему
соответствует угол вращения da вокруг оси вращения в элемент
времени dt. Путь точки в расстоянии Ь от оси вращения будет ds = bda.
При неизменной оси вращения необходимо для полного
определения движения знать, кроме оси вращения, еще угол
вращения а, как функцию времени a~f(t).
Угловая скорость о> есть скорость изменения угла
вращения
da
Какая-нибудь точка в расстоянии b от оси вращения обладает
скоростью v = Ьа>. Угловое ускорение « означает скорость
изменения угловой скорости
d& <Ax
Какая-нибудь точка. Р в расстоянии Ь от оси вращения обладает
касательным ускорением at = b& и нормальным ускорением в
перпендикулярном направлении к оси вращенияan = vt/b—bш2 (стр.311).
Вращению около неподвижной оси вполне соответствуют
формулы прямолинейного движения точки (стр. 305). Надо только
вместо s, v и а подставить а, ш и е. При постоянной угловой
скорости получаем ее значение
_ ^а _ а _ Угол вращения
~~ dt ~ t ~ соответственное время
Вместо угловой скорости в технике пользуются числом
оборотов п в минуту, которое связано с угловой скоростью
равенством:
а) = 2 тс л/60 или п = 30 ш/я.
(Таблицу угловых скоростей см. стр. 317.) При постоянном
угловом у с к о р е ft и и имеем:
_ d ш _ <о2 — ojj изменение угловой скорости
~~ dt ~~ t,— tl ~~ соответствующий промежуток времени

Теория движения (кинематика)
315
Вращение называется ра в ном ер но ускоренным или
замедленным, смотря по тому, имеет ли е положительное или
отрицательное значение. Аналогично формулам (стр. 307) равномерно-
ускоренного движения точки получаем
1 ,Л "> + <*>o
;= f *dt=<*0t + \zt> = ^ptt
2е
Направление вра щ'е н и я при неподвижной оси
указывается знаком угловой скорости; при этом одно из направлений
считается положительным, а другое отрицательным. Этот способ,
однако, нецелесообразен, в случае если ось вращения меняется.
В этом случае ось вращения, величина и направление угловой
скорости задаются вектором угловой скорости
о>.Абсолютное значение вектора ш дает величину угловой скорости, линия его
направления — ось вращения, а стрелке у ш указывает
направление вращения; раз навсегда устанавливается, что вращение
направлено против движения часовой стрелки, если смотреть с конца
вектора на его исходную точку, или, что то же самое,
направление вращения, которое дает стрелка у <о, совпадает с
движением правой нарезки (см. „Векторный анализ",
стр. 178). При изменении вращения изменяете? в $ е
стрелка у со. ^f-^CJ^^l
Вектор угловой скорости ш связывается с мгно- ^к£^*3£э1/
венной осью вращения подобно силовому вектору ° «, я, А
и является поэтому скользящим линейным век- ^ '
тором. фиг-75-
Доказательством того, что вышеназванный вектор угловой скорости и> есть
на самом деле вектор в общепринятом смысле (см. „Векторный анализ", стр. 174),
служит геометрическое сложение двух угловых скоростей со, и ш, Нужно доказать
(фиг. 75), что при одновременном вращении твердого тела с угловыми скоростями to,
и ш, вокруг двух пересекающихся осей равнодействующая угловая скорость ~а>
получается геометрическим сложением:
w = u>j -|-
Недействительно каждая точка D на диагонали ОС параллелограма,
построенного на и>1 и ша, под влиянием обеих угловых скоростей остается в покое:
Pi *»>i — Р* ш! = OD (oot sin «t — to. sin aa) = 0,
так как из треугольника О АС следует:
со,/ша = sin a2'sin alt
то, следовательно, диагональ параллелограма есть на самом деле равнодействующая
угловая скорость. Чтобы показать, что величина равнодействующей угловой
скорости определяется величиной диагонали параллелограма, достаточно доказать, что
например скорость точки 4 не зависит от того, исходит ли она от 7о5 или отй>. Ht*
самом деле, если придерживаться обозначений фиг. 75, получаем
и> с = cof b или ф = u>f.»>/a = u>|»sin (a, -f- *,)/sin «, = ш9>ОС/0£,

316
Т. 1. Отд. Z. МеханиЕ*. I. Механика твердых тел
ш дано здесь расстоянием ОС. Этим доказана правильность векторного уравнения
иГе= ф% -f ша и показано, что для векторов угловых скоростей применимы обычные
правила векторного анализа.
Чтобы для точки Я твердого тела определить скорость vt
соответствующую угловой скорости «о, достаточно взять на оси вращения
точку О и провести радиус-вектор ОР = г (фиг._76). Величина
скорости \v\ s=v = b ш и направление t\
перпендикулярное к плоскости, образуемой ш и г, определяются
векторным произведением:
tT= [а> г].
Таким способом обозначения выясняется также
и знак направления ~v (см. „Векторный
анализ"). При прямоугольной координатной системе с на-
О последнее уравнение пишется следующим
Фиг. 76.
чальной
образом:
точкой
v =
1ЩХ
ИЛИ
= i (ш^ — <1>чУ) +J (<d3X — o>tz) + k (ю^у — 0)2Л)
Щ —<&хУ — <»2*.
vx = u)2z — о>ъу; v2 = ш3дг — шгг;
Если в твердом теле только одна точка неподвижна и тело
произвольно вращается около этой точки, то такое движение
называется сферическим. Оно состоит из вращения вокруг произвольных
осей вращения, которые, однако, всегда проходят через
неподвижную точку О. Представим себе в точке О, как в начальной точке
координат, систему координат х, у, z и выразим вектор угловой
скорости ш через его прямоугольные составляющие ш1% о>2, ш3; мы
увидим таким образом, что имеются оо3 различных сферических
движений. Вращению твердого тела вокруг
неподвижной точки соответствуют таким образом
три степени свободы. Ось меняет свое положение по
отношению к твердому телу и по отношению к неподвижному
пространству. Если представить себе, что следующие одно за другим
положения осей вращения зафиксированы в координатных
системах, одна из которых связана с твердым телом, а другая — с
пространством, то получим два полюсных конуса с общей вершиной,
причем конус, связанный с телом, будет катиться по полюсному
конусу, находящемуся, по отношению к пространству, в
неподвижности. Общая образующая обоих' конусов в какой-нибудь момент
времени называется мгновенной осью вращения.
Вектор угловой скорости есть скользящий вектор, так
как линия его направления дает ось вращения. Два равных
по величине, но действую nui e в
противоположном смысле вектора <вх и — а>1( направленные по
одной и той же линии, взаимно уничтожаются.

Теория движения (кинеыагика)
317
Таблице 4. Угловая скорость w для п от 0 до п = <
оборотов в минуту
л
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
НО
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210 1
220
230 |
240
250
260
270
280
290 '
300
зю !
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
460
470 i
480
400 i
0
0,0000
1,0472
2,0944
3,1416
4,1888
5,2360
6,2832
7,3304
8,3776
9,4248
10,472
11,519
12,566
13,614
14,661
15,708
16,755
17,802
18,850
19,897
20,944
21,991
23,038
24,086
25,133
26,180
27,227
28,274
29,322
30,369
31,416
32,463
33,510
34,558
35,605
36,652
37,699
38,746
39,794
40,841
41,888
42,935
43,982
45,029
46,077
47,124
48,171
49,218
50,265
51,313
1
0,1047
1,1519
2,1991
3,2463
4,2935
5,3407
6,3879
7,4351
8,4823
9,52%
10,577
11,624
12,671
13,718
14,765
15,813
16,860
17,907
18,954
.20,001
21.049
22,096
23,143
24,190
25,237
26,285
27,332
28,379
29,426
30,473
31,521
32,568
33,615
34,662
35,709
36,757
37,804
38,851
39,898
40,945
41,993
43,040
44,087
45,134
46,181
47,229
48,276
49,323
50,370
51,417
2
0,2094
1,2566
2,3038
3,3510
4,3982
3
0,3142
1,3614
2,4086
3,4558
4,5029
5,4454* 5,5501
6,4926' 6,5973
7,5398 7,6445
8,5870
9,6342
10,681
11,729
12,776
13,823
14,870
15,917
16,965
18,012
19,059
20,106
21,153
22,201
23,248
24,295
25,342
26,389
27,437
28,484
29,531
30,578
31,625
32,673
33,720
34,767
35,814
36,861
37,909
38,956
40,003
41,050
42,097
43,145
44,192
45,239
46,286
47,333
48,381
49,428
50,475
51«522
8,6917
9,7389
10,786
11,833
12,881
13,928
14,975
16,022
17,069
18,117
19,164
20,211
21,258
22,305
23,353
24,400
25,447
26,494
27,541
28,588
29,636
30,683
31,730
32,777
33,824
34,872
35,919
36,966
38,013
39,060
40,108
41,155
42,202
43,249
44,296
45,344
46,391
47,438
48,485
49,532
50,580
51,627
4
0,4189
1,4661
2,5133
3,5605
4,6077
5,6549
6,7021
7,7493
8,7965
9,8437
10,891
11,938
12,985
14,032
15,080
16,127
17,174
18,221
19,268
20,316
21,363
22,410
23,457
24,504
25,552
26,599
27,646
28,693
29,740
30,788
31,835
32,882
33,929
34,976
36,024
37,071
38,118
39,165
40,212
41,260
42,307
43,354
44,401
45,448
46,496
47,543
48,590
49,637
50,684
51,732
5
0,5236
1,5708
2,6180
3,6652
4,7124
5,7596
6,8068
7,8540
8,9012
9,9484
10,996
12,043
13,090
14,137
15,184
16,232
17,279
18,326
19,373
20,420
21,468
22,515
23,562
24,609
25,656
26,704
27,751
28,798
29,845
30,892
31,940
32,987
34,034
35,081
36,128
37,176
38,223
39,270
40,317
41,364
42.412
43,459
44,506
45,553
46,600
47,647
48.695
49,742
50,789
51,836
6 ' 7
1
0,6283 0,7330
1,6755 1,7802
2,7227: 2,8274
3,7699 3,8746
4,8171
5,8643
6,9115
7,9587
1 9,0059
10,053
11,100
12,147
13,195
14,242
15,289
16,336
17,383
18,431
19,478
20,525
21,572
22,619
23,667
24,714
25,761
26,808
27,855
28,903
29,950
30,997
32,044
33.091
34,139
35,186
36,233
37,280
38,327
39,375
40,422
41,469
42.516
43,^63
44,611
45,658
46,705
47,752
48,799
49,847
50,834
51,941
4,9218
5,9690
7,0162
8,0634
9,1106
10,158
11,205
12,252
13,299
14.347
15,394
16,441
17,488
18,535
19,583
20,630
21,677
22,724
23,771
24,819
25,866
26,913
27,960
29,007'
30,055
31,102
32,149
33,196
34,243
35,291
36,338
37,385
38,432
39,479
40,527
41,574
42,621
43,668
44,715
45,763
46,810
47,857
48,904
49,951
50,999 ;
52,046
8 9
1
0,8378
1,8850
2,9322
3,9794
5,0265
6,0737
7,1209
8,1681
9,2153
10,263
11,310
12,357
13,404
14,451
15,499
16,546
17,593
18,640
19,687
20,735
21,782
22,829
23,876
24,923
25,970
27,018
28,065
29,112
30,159
31,206
32,254
33,301
34,348
35,395
36,442
37,490
38,537
39,584
40,631
41,Ь78
42,726 1
43,773
44,820
45,867
46,914
47,962
49,009
50,056
51,103
52,150
\
0,9425
1,9897
3,0369
4,0841
5,1313
6,1785
7,2257
8,2729
9,3201
10,367
11,414
12,462
13,509
14,556
15,603
16,650
17,698
18,745
19,792
20,839
21,886
22,934
23,981
25,028
26,075
27,122
28,170
29,217
30,264
31,311
32,358
33,406
34,453
35.500
36,547
37,594
38,642
39,689
40,736
41,783
42,830
43,878
44,925
45,972
47,019
48,066
49,114
50,161
51,205
52.255

did
Ij Отд. 2. Механика, t. Механик* твердых те Л
Таблица 4. Угловая скорость <о для п от 500 до п ■
оборотов в минуту
п
500
510
520
530
540
- 550
560
570
580
590
600 '
610
620
630
640
650
660
670
680
690
700
710
720
730
740
750
760
770
780
790
800
810
820
830
840
- 850
860
870
880
890
900
910
920
930
940
950
960
970
980
<990
0
52,360
53,4071
54,454
55,501
56,549
57,596
58,643
59,690
60,737
61,785
62,832
63,879
64,926
65,973
67,021
68,068
69,115
70,162
71,209
72,257
73,304
74,351
75,398
76,445
77,493
78,540
79;587
80,634
81,681
82,729
83,776
84,823
85,870
86,917
87,965
89,012
90,059
91,106
92,153
93,201
94,248
95,295
96,342
1 97,389
1 98,437
99,484
100,53
101,58
102,63
103,67
1
63.465
53,512
2ч
52,569
53,617!
54,559 54,664
55,606. 55,711
56,653 56,758
57,701
58,748
59,795
60,842
61,889
62,937
63,984
65,031
66,078
67,125
68,173
69,220
70,267
71,314
72,361
73,409
74,456
75,503
76,550
77,597
78,645
79,692
80,739
81,786
82,833
83,881
84,928
85,975
87,022
88,069
89,117
90,164
91,211
1 92,258
93,305
94,352
95,400
96,447
97,494
,98,541
99,588
100,64
101,68
102,73
103,78
57,805
58,852
59,9С0
60,947
61,994
63,041
64,088
65,136
66,183
67,230
68,277
69,304
70,372
71,419
72,466
73,513
74,560
75,608
76,655
77,702
78,749
79,796
80,844
81,891
82,938
83,985
85,032
86,080
87,127
88,174
89,221
90,268
91,316
92,363
93,410
94,457
95,504
96,552
97,599
98,646
99,693
100,74
101,79
102,83
103,88
3
52,674
53,721
54,768
55,816
56,863
57,910
58,957
60,004
61,052
62,099
63,146
64,193
65,240
66,288
67,335
68,382
69,429
70,476
71,524
72,571
73,618
74,665
75,712
76,760
77,807
78,854
79,901
80^48
81,996
83,043
84,090
85,137
86,184
87J232
88,279
89,326
90,373
91,420
92,468
93,515
94,562
95,609
96,656
97,704
98,751
99,798
100,85
101,89
ZH
52,779
53,826
54,873
55,920
56,968
58,015
59,062
60,109
61Д5Й
62,204
63,251
64,298
65,345
66,392
67,440|
68,4871
69,534
70,581
71,628
72,676
73,723
74,770|
75,817
76,864
77,911
78,959
80,006
81,053
82,100
83,147
84,195
85,242
86,289
87,336
88,383
89,431
90,478
91,525
92,572
93,619
94,667
95,714
96,761
97,808
98,855
99,903
100,95
102,00
102,94 i 103,04
103,99
104,09
52,883
53,931
54,978
56,025
57,072
58,119
. 59,167
60,214]
61,2611
62,308
63,355
64,4СЗ
65,450
66,497
67,544
68,591
69,639
70,686
71,733
72,780]
73,827
74,875
75.922
76^69
78,016
79,063
80,111
81,158
82,205
83,252
84,299
85,347
86,394
87,441
88,488
89,535
90,583
91,630
92,677
93,724
94,771
95,819
96,866
97,913
98,960
100,01
101,05
102,10
103,15
104,20
6
52,988
54,035
55,083
56,1Э0!
57,177
58,224
59,271
60,319]
61,^6
62,413
63,460
64,507
65,555
66,002
67,649
68,696
69,743
70,791
71,838
72,885
73,932
74,979
76,027
77,074
78,121
79,168
80,215
81.263
82,310
83,357
84,404
85,451
86,499
87,546
88,593
89,640
90,687
91,734
92,782
93,829
94,876
95,923
96,970
, 98,018
99,065
100,11
101,16
102,21
103,25
104,30
7
53,093
54,140
55,187
56,285
57,282
58,329
59,376
60,423
61,470
62,518
63,565
64,612
65,659
66,706
67,754
68,801
69,848
70,895
71,942
72,990
74,037
75,084
76,131
77,178
78,226
79,273
80,320
81,367
82,414
83,462
84,509
85,556
86,6СЗ
87,650
88,698
89,745
90,792
91,839
92,886
93,934
94,981
96,028
97,075
98,122
99,170
100,22
101,26
102,31
103,36
104,41
8
53,198
54,245
55,292
56,339
57,386
58,434
59,481
60,528
61,575
62,622
63,670
64,717
65,764
66,811
67,858
68,906
69,953
71,000
72,047
73,094
74,142
75,189
76,236
77283
78,330
79,378
80,425
81,472
82,519
83,566
84,614
85,661
86,708
87,755
88,802
89,850
90,897
91,944
92,991
94,038
95,086
96,133
97,180
98,227
99,274
100,32
101,37
102,42
103,46
104£1
9
53,302
54,350
55,397
56,444
57,491
58,538
59,586
60,633
61,680
62,727
63,774
64.822
65,869
66,916
67,963
69,010
70,058
71,105
72,152
73,199
74,246
75,293
76,341
77,388
78,435
79,482
80,529
81,577
82,624
83,671
84,718
85,765
86,813
87,860
88,907
89,954
91,001
92,049
93,096
94,143
95,190
96,237
97,285
98,332
99,379
100,43
101,47
1 102,52
103,57
104,62

Теория Дйижеиия (кинематика)
319
V
\
ч
'<*
Фиг. 77.
Фиг. 78.
Если состояние движения тела характеризуется величиной ш
и если на какой-нибудь прямой, параллельной к о>, прибавить две
угловые скорости ш1 и —wv так что о>1 = ш, то о> и —coj
соединяются в пару угловых скоростей или в пару вращения. Пара
вращения представляет собою две равновеликие, противоположно
направленные угловые скорости, находящиеся на параллельных
осях (фиг. 77). _ _ _ _
Пара вращения с угловыми скоростями <oj = ш и о>2= —«>
(фиг. 78) и с расстоянием Ь между обеими угловыми скоростями
определяет параллелограм
площадью bo), которая остается
постоянной величиной даже
при допустимом перенесении
угловых скоростей по линиям
направления. Скорость
произвольной точки О в плоскости
пары вращения в
направлении, перпендикулярном к
плоскости этой пары, равняется v =
== ^1 ш1 "Г" ^2 w2 == ^ 0J ==
ПОСТОЯННОЙ. Отсюда следует, что пара вращения равнозначна
скорости прямолинейного сдвижения,
направленного перпендикулярно к плоскости пары
вращения, величина которой равняется площади
параллелограма такой пары.
Далее, из фиг. 77 следует: при параллельном
перенесении угловой скорости to на расстояние 6
перпендикулярно к оз появляется добавочная
скорость сдвижения, перпендикулярная к
плоскости сдвига и равная по величине bо>.
Все здесь изложенное аналогично параллельному перенесению
силы Р. Момент М, равный Ра% появляющийся при перенесении
силы Р, соответствует скорости сдвижения v, появляющейся при
параллельном перенесении скорости. (Подробнее при аналогии см.
п. 3 стр. 320.) Как в случае угловой скорости со, так и силы Р
имеем дело со скользящими векторами. В этом и заключается
аналогия между обеими.
Ускорение точки Р при вращении вокруг непо-
j _,
движной точки О следует из скорости — = v = [&г] дифе-
— d2? dv r~i i r--i ~ doi
ренцированием по времени д ==-—==—== IsrJ-f-1(0^|Гдев==-гг
означает вектор углового ускорения.
Часть ап = [u> v] = [u> [ш г] ] всего ускорения а дает
центростремительное ускорение, направленное от точки Р по перпендикуляру к мгндг

320 ^ 1 Отд. 2. Механика. I Механика твердых тел
венной оси вращения и имеющее величину ш»&, если Ь равно расстоянию точки Р
от оси вращения.
В случае, когда ось вращения постоянна, 7 совпадает по
направлению с ш и [I г] и означает тогда касательную составляющую ускорения точки Я.
В общем ел,у чае сферического дв и_ж е_н и я ось вращения изменяет
постоянно свое положение в пространстве. Тогда е и о> имеют различные
направления. Иногда оказывается выгодным разложить 7 на две составляющие: Tt по
направлению мгновенной оси вращения и еа, перпендикулярно к ней:
[77] - [-£l }] + [7, Р].
3. Общий случай движения твердых тел. Аналогия
между статикой и кинематикой твердого тела. Сложением
сдвижения (см. выше) и вращения (см. выше)
получается общее движение твердого тела. Движение
гела в данный момент определяется скоростью сдвижения щ
произвольной точки О и скоростью вращения <о вокруг оси,
проходящей через точку О. Точка Р в расстоянии г от О имеет
мгновенную скорость (фиг. 79)
vP = vQ + [<»>']>
[<ог] есть скорость точки Р относительно
О/ вследствие чего можно написать:
^Я = ^0+^Ротн.О ИЛИ ==^+^РО^
В виду наличия трех степеней свободы
сдвижения и трех степеней свободы
вращения, тело имеет в пространстве шесть степеней ев о-,
б о д ы.
Если для исследования мгновенного состояния движения
твердого тела взята другая начальная точка О' (фиг. 79),_то ее скорость
определяется при помощи первой начальной точки vQ'=v0-\- [o>5].
Вычитанием обоих векторных уравнений получаем
vp=V + РСг- П] = V + I* г'],
♦иными словами: при переходе к другой начальной
точке мгновенная угловая скорость ©не меняется;
меняется лишь скорость сдвижения %
Если твердое тело имеет одновременно несколько угловых
скоростей a>lt <*>2..., направления которых не пересекаются (лежат в
разных плоскостях), то их можно соединить в одну путем выбора
произвольной точки О, в которую параллельно переносятся
угловые скорости. Геометрическим сложением угловых скоростей,
проходящих через точку О, находится равнодействующая
угловая скорость
(Л ass Wj -\- Wg -J" W8 "H • • •

Теория движения (кинематика)
321
в системе сил
Вследствие параллельного перенесения каждой данной угловой
скорости ш,- в точку О прибавляется скорооть сдвижения vi (см. п. 2,
стр. 319). Равнодействующую скорость сдвижения находим из
Мгновенное состояние движения для точки О, как исходной
точки, определяется равнодействующей скоростью сдвижения v и
равнодействующей угловой скоростью а>. Все сказанное выше
аналогично сложению сил Р, действующих на твердое тело (стр. 271).
Подобно тому как система сил приводится к равнодействующей
силе Р = Pi + Р2 + ^з + • • •» проходящей через принятую за
исходную точку О и к равнодействующему вектору моментов
М = Mi + М2 + М$ -\- ..., так и общее состояние движения тела
характеризуется равнодействующей угловой скоростью <о,
проходящей через данную исходную точку О, и равнодействующей
скоростью сдвижения v.
Этим вполне выявляется аналогичность между
системой сил, действующих на твердое тело, и его
общим состоянием движения. Мы можем сделать
следующее сопоставление:
Здесь сила и угловая ско-
в состоянии движения рость суть скользящие век-
торы, в то время как мо-
сила Р __ I угловая скорость ф МеНТ И СКОрОСТЬ СДВИЖенИЯ
момент М скорость сдвижения v ОТНОСЯТСЯ К совершенно
пара сил пара вращения свободным векторам. В ЭТОЙ
аналогии заключается связь
между кинематикой и статикой твердого тела. Пользуясь ею,
можно любую задачу кинематики свести на соответствующую
задачу статики.
Впрочем аналогия эта только формальная. Придавать ей более
глубокое значение нельзя, так как действительное состояние
движения тела под воздействием системы сил вообще будет иным по
сравнению с тем, которое соответствует формальной аналогии.
Соответственно тому, как общая система сил приводится к
силовому винту (сосредоточенной силе и к паре сил) (стр. 272),
можно определенным подбором исходной точки мгновенное
состояние движения привести к винтовому движению, т. е. к
вращению вокруг оси с одновременным
сдвижением по направлению этой оси. Это превращение происходит
таким же образом, как и при силовой системе, нужно только
принять во внимание указанную выше аналогию.
1. Пример. _С л о ж е н и е двух параллельных скоростей
вращения Wj и ш, (фиг. 80).
Соответственно сложению параллельных сил (стр. 260), получаем
равнодействующее вращение _ _ _
Ш = UD, -{- (Oj ,

322 т- * 0тД 2- Механика. 1. Механика твердых тел
действующие параллельно и>, и
ном расстоянии aja* a u>2/u>i •
и в той же плоскости как ш, и о>3 в относи гель-
ах =з &• ы21(и>1 + шв),
: и • U),/(u)j + Ш3).
Если шх и to, параллельны, но по знаку противоположны, то
вышеприведенные формулы все же остаются в силе. Абсолютное значение равнодействующей
угловой скорости ш равняется разности данных двух угловых скоростей: ш=и)1 — ш„,
причем эта равнодействующая лежит вне площади, ограниченной iot и ш2, на
стороне той из них, абсолютная величина которой больше (фиг. 81)
а, = а • u>a,'(u>i — ш2), d2 = a • u>i|(u>j — u>,).
_ JIpH нескольких параллельных угловых скоростях
u),, u>2, ш3. .. лучше всего определить в плоскости х, у, перпендикулярной к
направлению угловых скоростей,
координаты их точек пересечений
с этой плоскостью (#! уХУ х2у*,
*зУз • • • )• Равнодействующая
угловая скорость
Ш = 1U, -j- U>J-T* Ш8 4" • • •
имеет тогда координаты
_ Ц>1 х\ + ша *2 + ^з *з + • • «
~~ а) '
1f_«*4.yi + tt>i.y«-T-4>».y3+ • • •
Здесь ш есть
алгебраическая сумма угловых
скоростей «olt ш2, ш,. . . , причем
каждая из этих скоростей берется с ее
знаком.
2. Пример. Сложение
двух вращательных
скоростей ш, и ша, если они
пересекаются.
w\ Г
Фиг. 80.
Фиг. 81.
Фиг. 82.
Равнодействующая угловая скорость и>3 = о>, -f- u>2i проходит через общую
точку пересечения и>1 и и>^.
Шариковый подпятник (фиг. 82). При вращении цапфы с угловой
скоростью ш8 шарики должны катиться как по цапфе, так и по опорному кольцу.
В этом случае ш3 должна быть составлена из вращения шариков с угловой
скоростью ш, и из вращения цапфы относительно шариков с угловой скоростью ша.
Поэтому три оси /—/', // и /// должны пересекаться в одной точке. Три
угловые скорости wjtu>2 и ш8 по величине таковы, что ш, равняется диагонали паралле-
лограма, построенного на ох и ш^.
3. Пример. Сложение двух вращательных скоростей
и^иша, не лежащих в одной плоскости (фиг. 83а и 83Ь).
Оси А, и Л, [ угол (ш^ ш,) = «] лежат в разных плоскостях; кратчайшее
расстояние между ними равняется а; [фиг. 83а дает перспективное изображение,
фиг. £ЗЬ— вспомогательную фигуру, соответственно силовому многоугольнику в
плоскости, перпендикулярной а\. В этом случае происходит винтовое движение
около оси Л0, перпендикулярной к а. Направление оси Л0, величина вектора вращения
равнодействующей угловой скорости и> следует из векторов вращения w, и ш, и
определяется при помощи треугольника угловых скоростей, по которому

Теория движения (кинематика)
328
Положение Л0 и величина скорости сдвижения v находятся разложением
ш| и u>i перпендикулярно и параллельно к ш; перпендикулярные к ш составляющие
йГ/ и to,' образуют пару вращения; следовательно, скорость сдвижения будет:
v — a w.;
= а ш/ -
Ц>,Ша
sm a,
и имеет указанное стрелкой направление; обе
другие составляющие й^" и «5,г; дают два
вращения в одном и том же направлении вокруг
параллельных осей; следовательно, расстояние
Л,Л0 = Я!= а • ш/'/ш = а • и)а(ш, + u>i cos *)/ш«,
расстояние
Д8Л0 = а% — а • и>/'/ш = а • u>,(u>, -f- **>« cos «)/ш*.
ш и ~v вместе дают винтовое движение.
Если представить себе вместо_ u>t и йГа силы
Рх и Ра, то вместо ш получим R, а вместо и
получим М, изображающие равнодействующую
силу и равнодействующий момент силового
винта [равнозначащий силовому кресту />, и
Ра (стр. 272)].
Фиг. 83а.
Фиг. 83Ь.
Сложение вращательной скорости
скоростью v, перпендикулярной
с посту-
первой
4. Пример.
пательной
(фиг. 84).
Проводим через ш плоскость а перпендикулярно к v к заменяем_v
равнодействующей парой вращения шх ша в плоскости а, причем ш = йГ, = — о>^, так чЮ
ш и ша взаимно уничтожаются. Остается, таким образом, в плоскости,
перпендикулярной к Vy одна угловая скорость ш,, параллельная шив
расстоянии а = гг/ш.
Таким образом, угловую скорость со и
перпендикулярно к ней направленную
поступательную скорость v легко
превратить в простую угловую скорость.
Из скорости точки Р произвольно движущегося
твердого тела #р = Ъ0 + [«>7] находится ускорение ди-
ференцированием по времени:
Фиг. 84.
dvp dvQ ___-
dt
dt
Г dt\
dvQ
Здесь обозначают -— ускорение начальной точки О
(поступательное ускорение), а [ег] +1 to— ускорение то ч
к и Р относительно О (ускорение вращени я); таким

324 f- I ^ТД 2- Механика* t Механика твердых теЛ
образом, можно написать, подобно тому как это делалось для
скоростей (стр. 320):
аР = а0 + ар ош 0 или ар = а0 -f aP0.
Слагающую [е г] можно разложить, как при сферическом
движении (стр. 320).
с) Относительное движение
1. Относительное движение при поступательном
переносном движении. Если тело С принадлежит системе тела В и в
этой системе перемещается, то можно изучать движение тела С по
отношению к телу В независимо от того, находится ли само тело В
в движении или оно неподвижно. В таком случае говорят об
относительных перемещениях, относительных
скоростях и относительных ускорениях в движении
тела С по отношению к телу В (фиг. 85).
Если система В неподвижна, то все параметры относительного
движения тела С являются вместе с тем и параметрами
абсолютного движения его. Если же система В имеет свое
движение по отношению к неподвижному пространству Д то тело С
получит кроме относительного еще второе движение вместе с
телом В, или так называемое переносное движение.
Обозначим через vb полную скорость поступательного движения
тела В и соответственно через:
vp — полную скорость точки Р, принадлежащей телу С,
bvp относительную скорость той же точки по отношению
к телу В,
°ь — ускорение тела В.
ар и ьар—полное и относительное ускорения точки Р.
Тогда получим:
"р = «ъ' + Л>»
аР = аь + ь*р •
Пример. Время качания маятника длиною / при малой амплитуде в
помещении, находящемся относительно земли в покое, будет равно Т = 2к Vlfg, причем
# —ускорение притяжения земли. Это время качания не изменяется, если маятник
находится в системе, совершающей относительно земли прямолинейное движение
с постоянной скоростью, так как ускорение движущегося тела равняется нулю.
Ускорение или замедление движущегося поезда также не окажет влияния на время
качания, так как это ускорение направлено горизонтально. Время качания в
лифте, спускающемся в н и з с ускорением а, будет Г = 2п Vif(g-a), так как
ускорение точки относительно лифта будет bac = g — а.
Соответственно этому время качания маятника в лифте, поднимающемся
вверх с известным ускорением, равняется Т —2к Vl\{g-f-а), так как ускорение
точки относительно лифта будет в этом случае ^ас = g-\-a.
2. Относительное движение при произвольном переносном
движении. В тех случаях, когда тело В (фиг. 85) имеет произволь-

Теория движения (кинематика)
325
ное движение, каждая точка его может получить скорость, отличную
от скоростей других точек и по величине и по направлению. Для
нахождения переносной скорости берут на теле В точку (хотя бы
она реально и не существовала), мгновенно совпадающую с точкой Я,
и определяют ее скорость. Назовем эту точку через Р', а ско-
Тогда можно на-
рость ее — через vp,.
писать:
vp=vp, + ь
'р-
Характер этого выражения остался
тот же, что и в 1-м случае.
Выражение абсолютного ускорения
при произвольном переносном движении фИг. 85.
изменяется. В этом случае полное
ускорение точки Р складывается уже из трех составляющих—п е р е н о с-
н о г о, относительного и поворотного, или
добавочного, называемого также ускорением Кориолиса. Обозначим
последнее через а . В таком случае получим:
где
ар=ар,-\- ьар + ак,
5* = 2[=-Л>],
причем здесь со — угловая скорость переносного движения.
Ускорение Кориолиса представляет собою
удвоенное векторное произведение угловой
скорости со тела и относительной скорости bVp, При
<*> = 0, т. е. при поступательном переносном движении, ускорение
Кориолиса исчезает, и мы имеем дело с 1-м случаем.
Для прямоугольной координатной системы с составляющими
угловой скорости «>!, со2, w3 и с составляющими относительной
скорости (vr)b (vr)2i (#r)3 получаем составляющие ускорения
Кориолиса:
(ак){ = 2 . [<оа • {vr\ — о>з • (vr)2)
Юг = 2 • [со3 • (сдх — wr (tg3]
(ak% = 2. К • (vr)2 — ша. (vjd.
Ускорение движущегося тела v' определяется для случая чистого
вращения (сферическое движение) тела по стр. 320, а для случая
общего движения — по стр. 323.
Для определения направления вектора Кориолисова ускорения пользуются
следующим правилом: вектор относительной скорости проектируется
на плоскость, перпендикулярную оси вращения
переносного движения, и полученная проекция поворач 1ваетс«
на 90" в сторону переносного движения, после чего она
показывает направление Кориолисова ускорения *).
1) См., например, Н. Жуковский, Аналитическая механика

326 T I ^ТД 2- Механика. Т. Механика твердых тел
Пример. Свободное падение у поверхности земли.
Если пренебречь вращением земли, то на материальную точку будет
действовать только ускорение притяжения g, направленного к центру земли.
Принимая во внимание вращение земли, нужно иметь в
виду, что свободное падение точки Р происходит на
движущемся теле (земля), угловая скорость которого
2л
" 24.60*60
1
сек.
Фи1. 86.
вляется по фиг. 86
(на запад):
В какой-нибудь точке земной поверхности на
географической широте <р имеет место ускорение движущегося тела
Iflp'l = к ш2 cos <p, направленное перпендикулярно к земной
оси (фиг. 86). К этому прибавляется абсолютное ускорение
материальной точки при свободном падении, зависящее от
действующей на нее силы земного притяжения. Она
направлена к центру земли и равняется ускорению силы
тяжести ар — g. Ускорение Кориолиса а^ — 2 [ш b vp] предста-
вектором, перпендикулярным к чертежу с направлением вперед
iak] — 2u>.£tfp«cos <?.
Относительное ускорение ^ар, наблюдаемое на земле, будет
ь~ар = "ар — Ирг — ~аь. Оно имеет составляющую R u>2 cos <p sin «p, направленную
к югу (южное отклонение), и составляющую 2 u> bvp cos <p, направленную на восток
(восточное отклонение). Южное отклонение при падении, продолжающемся
10 сек. (высота падения -- gt* — 490,5 м):
R ш* — cos с sin <p = 1,69 cos « sin « [м].
Для расчета восточного отклонения можно в выражении соответствующего
ускорения со значительной точностью принять #ор — gt, тогда получим двойным
интегрированием по времени восточное отклонение:
Для t = 10 сек. получим
Р
W£-^COS Ф.
0,238 cos «р в м:
й) Плоское движение
1. Определение плоского движения твердого тела. При
плоском движении пути всех точек твердого тела параллельны
плоскости, находящейся в покое. Движение вполне определено,
если известно движение ка%кой-нибудь плоскости, прочно связанной
с телом, относительно плоскости, неподвижной в пространстве.
Первая плоскость S представляет в этом случае тело, находящееся
в движении, вторая Ц — пространство, находящееся в покое.
Если точки Л, В, С,... в их различных положениях за
определенный промежуток времени будут спроектированы на плоскость,
находящуюся в покое, то на ней получатся траектории точек
ai Р» Т» •••; если проектировать системы кривых k, /, m, ... в их
разных положениях на неподвижную плоскость, то эти проекции
обертываются обертывающими траекториями х, X, р, ...
(фиг. 87).

Теория движения (кинематика)
327
Положение тела определено, если известно положение двух
точек А и В. Из начального положения Д В можно получить
конечное положение А', В' сначала параллельным сдвигом до А'ВХ
таким образом, чтобы точка А пришла в конечное положение,
потом вращением около точки А до положения А 'В' (фиг. 88).
Можно, однако, одним вращением
вокруг полюса О привести тело из
начального в конечное положение; этот полюс
лежит на пересечении перпендикуляров из
середин линий АА' и ВВ'. Сказанное
относится как к бесконечно малому, так и к
конечному перемещению. Каждое движение в
плоскости можно рассматривать, как состоящее
из целого ряда бесконечно малых
передвижений и каждый раз рассматривать это
движение, как вращение вокруг соответствующего фиг 87
полюса (мгновенный центр вращения).
Так как центр мгновенного вращения непрерывно меняет свое
положение, то геометрическое место его в неподвижной плоскости
получается в виде кривой линии—н еподвижной центроиды,
или неподвижной полоиды (полодии). Называют ее также
неподвижным центроидом (в мужеском роде). В то же
самое время в подвижной плоскости получается другое
геометрическое место центров мгновенного вращения—подвижная полои-
да (полодия, центроида, серполоида). Обе полоиды,
подвижная и неподвижная, являются сопряженными. Они катаются
друг по другу без скольжения, и в точке касания их лежит центр
мгновенного вращения отрезка АВ. Таким образом, движение этого
отрезка может быть представлено как результат катания полоид
друг по другу.
Если полюс во время движения остается в покое, то мы имеем дело с простым
вращательным движением с неподвижной осью и, если полюс удаляется в
бесконечность, то мы имеем дело с простым параллельным передвижением.
Нормали к траекториям точек и обертывающих кривых
проходят через соответственный полюс О (фиг. 87).
Если мы заставим плоскость 5 оставаться в
покое и будем двигать плоскость £ по плоскости 5
таким образом, чтобы относительное движение между
5 и Ц оставалось не нарушенным, то мы получим
так называемое обращенное движение. Система точек
\ | А, В, С на плоскости £ описывает в этом случае
\о траектории, но которые обыкновенно имеют дру-
Фиг. 88. г°й характер, чем траектории в первом случае.
Системы кривых а, р, y в £ скользят по
неподвижным точкам А, В, С; эти точки являются обертывающими
кривых. Для системы кривых *, X, ^ кривые k, I, m служат
обертывающими траекториями. Находившаяся в покое кривая полюса
превращается в подвижный полюсный путь и т. д.

328 т- * 0ТД 2 Механика. Т. Механика твердых тел
В этой геометрической зависимости ничего не изменяется, если
плоскости 2 и S находятся в движении, но, конечно, под тем
условием, что катание подвижной полоиды по неподвижной в
относительном их движении друг по другу сохраняется, причем в
обращенном движении будет иметь место уже катание неподвижной
полоиды по подвижной, которая по
С условию удерживается в покое.
Пример. Задача Кардана
(фиг. 89). Одна плоскость движется
таким образом по другой, что две
точки А и В движущейся плоскости
скользят по двум в точке М
пересекающимся и лежащим в неподвижной
плоскости прямым аир.
Полюс О: пересечение
перпендикуляров к а и р из точек А и В.
Подвижная полоида. Круг
р через Л, В и М.
Неподвижная полоида.
Круг тс с радиусом, равным диаметру
р, и с центром М.
Траектории точек. Для
всех точек, лежащих на кривой />, путь
есть диаметр неподвижной полоиды
(круга) л, проходящий через данную
точку; для всех остальных точек —
эллипсы, для центра круга р —
окружности с цент[Оа* М.
Обращенное движение
(фиг. 90): одна плоскость перемещается
по другой таким образом, что две
прямые аир, образующие друг с другом
неизменный угол, непрерывно скользят
по двум точкам А и В неподвижной
плоскости.
Полюс О: точка пересечения
перпендикуляров из А и В к линиям
аир. Подвижная полоида—к р у г тс.
Неподвижная полоида — круг р.
Траектории точек — кривые
Паскаля, в частности точки, лежащие
на подвижной полоиде, описывают
кардиоиды с точкой
возврата (острие); точки, лежащие вне
подвижной полоиды, описывают
траектории с изолированной
точкой, а точки, лежащие внутри
подвижной полоиды, описывают
траектории с петлей.
Фиг. 90
2. Скорость при плоском движении. При помощи мгновенного
полюса О (полюс скорости) можно рассматривать движение как
мгновенное вращение вокруг точки О. Скорости v отдельных точек Р
представляют собою перпендикуляры к радиусу ОР = г; их
величина v = «о г, причем оз означает мгновенную угловую скорость.
Если мы применим формулу скорости точки, принадлежащей телу,
совершающему произвольное движение в пространстве (стр. 320),
к движению в плоскости, то получим скорость v какой нь»будь

Теория движения (кинематика) 329
точки В в виде геометрической суммы скорости произвольной
начальной точ!КИ А и скорости вращения вокруг этой же точки
zfg = vA + AvB. Относительная скорость В по отношению к Л
направлена перпендикулярно к В А и равна ВА*&. Если мы за
начальную точку А возьмем полюс О, то получим vA = 0, и тогда
остается vB == PvBt
Конечные точки скоростей v, построенных на отдельных точках
системы, образуют систему точек, подобную точкам плоскости; эта
система сдвинута по отношению к первой на угол <р, если tgcp = o>.
Если из какой-нибудь произвольной точки О плоскости нанести
скорости по их направлению и величине, то конечные точки
векторов скоростей образуют систему точек, подобную точкам
плоскости. Это построение дает так называемый план скоростей.
3. Ускорение при плоском движении. Как при скорости, так
и здесь ускорение ав точки В, принадлежащей подвижной плоскости,
можно рассматривать как геометрическую сумму из ускорения аА
произвольной начальной точки Л и относительного ускорения лав
точки В относительно точки Л, а именно: ав = аА + Аа3. Это
разложение ускорения ав соответствует разложению (стр. 323) при движении
твердого тела в просгранстве. Ввиду того что расстояние точек В и Л
не изменяется, выражение Аар дает нам ускорение вращения,
которое совершается точкой В относительно Л.
Вращательное ускорение a!l в можно разложить на нормаль-
— А°2В
ное ускорение Апв величиною ап в —~Tr~ ~ ^£-u>2,
направленное от В к А, и на касательное ускорение AtB величиною
AtB = АВ • — = АВ • е, направленное перпендикулярно к В А.
Ускорение
Аав= АВ- У'^Прр.
Отсюда ускорение точки В:
аВ= аА + АаВ= аА +АПВ + А~*В'
По стр. 320 мгновенная величина угловой скорости о> для любых
направлений системы одна и та же. Вращательное ускорение Аав
составляет с прямой В А угол ^» nietg<{>= AtB : л/гб=е/«)-.
Конечные точки ускорений а, нанесенных от соответственных точек
системы, образуют систему точек, подобную точкам плоскости (Бур

330 Т I Огд. 2 Механика. Т. Механика твердых тел
местер, 1878). Если от какой-нибудь произвольной точки О
плоскости будут отложены ускорения точек системы, то конечные точки
ускорений образуют систему точек, подобную точкам
движущейся плоскости. Это построение дает план ускорений
плоского движения.
Подобно тому как формуле скорости vB = vA -f- лг>д(стр. 329)
соответствует формула ускорения ав = аА -\-Аав, так и полюсу
(полюсу скорости) О соответствует полюс ускорения 02, который
Фиг. 91. Фиг. 92
в данное мгновение не обладает ускорением. (Подробности о планах
скоростей и ускорений см. ниже в „Прикладной механике".)
Точки двигающейся плоскости, находящиеся в данное
мгновение на точках перегиба W их путей, лежат на круге, так
называемом круге перегиба, проходящем через полюс скорости Ot
и полюс ускорения 02; диаметр этого круга перпендикулярен к
неподвижной полоиде (фиг. 91). Через полюс перегиба Q проходят
скорости vB и ускорения ав всех точек В круга перегиба Q
можно еще найти, как пересечение скорости Vq полюса
ускорения 02 с ускорением а полюса скорости Ov
Круг перегиба К\ представляет собою геометрическое место
точек плоскости, не имеющей нормального ускорения.
Геометрическим местом точек плоскости без касательных ускорений является
круг ЛГ2, круг перемены, вполне определенный обоими полюсами Ох
и 02 и точкой Т; точка Г находится как пересечение прямой Q02
с прямой ОхТ, перпендикулярной к QOv Ускорение а0 полюса Ог
будет __
а0 = d • ш2 = е • е
(фиг. 91) (<о — угловая скорость, е — угловое ускорение) *).
О Подробнее и применения см. Виттенбаузр, Графическая динамика»
Берлин, 1923, Юлиус Шпрингер.

Теория движения (кинематика)
331
Представим себе, что какая-нибудь точка проходит полюсный
путь, причем она всегда совпадает с мгновенным полюсом; ее
скорость и называется
скоростью перемены
полюса; она равняется
и = d со.
Центр кривизны
траектории точки Р можно
найти при помощи круга
перегиба (Грюблер, 1884)
(фиг. 92). Для
построения необходимо иметь
только точку перегиба
W на О^Р\ а не весь
круг перегиба.
Центр кривизны К
кривой траектории
точки Р находится на
соединяющей прямой РОх
точки Я и полюса 01# Точку
пересечения этой прямой
с кругом перегиба
обозначим через W. Для радиуса
следующее значение:
Фиг. 93.
кривизны р = КР получим тогда
Построение р по этой формуле показано на фиг. 92 пунктиром:
через точки Р и Ох проводят произвольно направленные прямые,
пересекающиеся в точке D. Через 0{ проводят прямую,
параллельную DW; эта прямая пересекает PD в точке Е. Параллельная
к DOx через Е пересекает OtP в центре кривизны К.
При помощи центра кривизны_/С и радиуса кривизны кривой
пути можно разложить ускорение ар точки Р на нормальное
ускорение ап
=V/p:
: ад2 • г2/р по направлению к центру кривизны и на
касательное ускорение
dvp
~dt
по направлению касательной к пути (стр. 329).
Если известны центры кривизны Кх и Kt путей двух точек А и В, то можно
найти круг перегиба Ас и касательную полюса (Бобилльер, 1870) (фиг. 93). Точка
пересечения AKt и ВК% дает нам полюс скорости Ot. Через точку пересечения G
прямых АВ и KVK9 проводим соединяющую прямую GOu кроме того, через О,
прямую ОхН параллельно КгК.О и через Н прямую, параллельную к GOv Последняя
пересекает прямые AOt и ВОг в точках круга перегиба Wx и Wt. Три точки Оц
Wu Wt определяют круг перегиба. Прямые в точках У7, и W„ перпендикулярны*

332 т- I Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
к AOi и ВОц пересекаются в полюсе перегиба Q. Прямая,
перпендикулярная к OtQ в точке Ои дает касательную полюса /. Отметим, что •£: GOxA = «£ BOJ.
Этот закон применим для нахождения для каждой точки С соответствующий ей
центр кривизны Кь пути. Для этого мы строим •£: COxt — § от ЛО, к OxG' и находим
точку пересечения G' прямых OiG/ и С А. Соединительная прямая G'KX
пересекает СОх в /С8. Доказательство см. Виттенбауэр, „Графическая динамика".
Применение кинематики плоскости см. отдел „Прикладная
механика". #
Е. Динамика
а) Динамика материальной точки
Примечание. На стр. 251 дано объяснение понятия материальной точки и
основное уравнение динамики:
_ - d v d* s
р = т а — т -j^ = m d/2 •
Основное уравнение динамики дает зависимость между кинематикой (глава D) и
динамикой: если известно_ускорение а материальной точки, то умножением его на
массу т получается сила Р и, наоборот, если известна сила, действующая на
материальную точку, то делением на массу т получаем ускорение. Сила и ускорение
материальной точки представляют собою векторы одинакового направления.
1. Прямолинейное движение. На стр. 305 рассматривалось
прямолинейное движение материальной точки, независимо от
причины, т. е. силы, вызвавшей это движение. Силу Р мы получаем
умножением ускорения а на массу т материальной точки (см. выше).
При прямолинейном движении векторы скорости и ускорения,
а следовательно, и вектор силы, совпадают с прямой, по которой
происходит движение материальной точки. Если сила Р
равняется нулю, то материальная точка находится либо в покое,
либо в постоянном прямолинейном движении с одинаковой
скоростью, так как ускорение также равняется нулю. Если сила
постоянна по величине и по направлению, то мы
имеем дело с равномерно-ускоренным или замедленным
движением. Если начальная скорость равна нулю или совпадает с
направлением силы, то движение будет прямолинейным,
равномерно-ускоренным или же замедленным; например, падение
в безвоздушном пространстве (стр. 307). Силой в этом случае, по
величине и направлению, является притяжение земли, т. е. вес
материальной точки.
1. Пример. Свободное падение при наличии со л рот и-
вления воздуха. Кроме веса G, действует сопротивление воздуха №,
направленное противоположно движению, следовательно, вертикально вверх и
возрастающее пропорционально квадрату скорости (Ньютон); таким образом W— G<t>/tf0)*,
причем 77о есть скорость в конце падения.
Основное уравнение динамики гласит;

Динамика
333
(для v — v0 будет -~ = 0)
dv
Vo*
Отсюда получаем высоту падения в зависимости от скорости:
J J a 2g J v0*—v* 2g v<?—v*
или, наоборот:
н время падения:
* = *01Л-,-2*Л<"°'
о о
Скорость в конце падения v0 получаем из опытов над моделями, и она
соответствует формуле:
где у — удельный вес воздуха (нормально 1 и*3 воздуха равен 1,293 кг), g~
ускорение падающего тела, F — максимальная площадь тела, перпендикулярная к
направлению движения, и с — коэфициент, найденный из опытов над моделями и
зависящий от формы тела (см. „Механика жидких и газообразных тел", стр. 49J и
след.).
2. Пример. Прямолинейное гармоническое колебание.
Если материальная точка притягивается пропорционально ее расстоянию к центру
притяжения и если начальная скорость совпадает с прямой, соединяющей точку
с центром притяжения, то точка эта будет совершать прямолинейное гармоническое
колебание относительно центра притяжения. Примем центр притяжения за нулевую
точку и обозначим пройденный за время t путь через х, тогда основное
динамическое уравнение примет вид:
сРк
m4F = -cx'
с называется напряжением поля, т. е. это есть сила, необходимая для
отклонения материальной точки на 1 см; размерность с — кг\см; \/с называется
емкостью; пример: пружина с грузом, совершающим колебания около
положения равновесия. При Ус/т =зи> (частота колебания) решение диферен-
циального уравнения дает
х = A sin ш / + В cos ш /,
постоянные А и В зависят от пределов интегрирования, например, если для
/ = 0 начальная скорость была v0, то
Максимальное отклонение,
ного колебания Г = 2 л/ш =
Число колебаний в секунду
здесь р0/ц), называется амплитудою.
2 к Ут\с, следовательно, не зависит от
ns =1/Г=о)/2тс.
Время
поламплитуды.
Теория гармонических колебаний играет в
машиностроении большую роль, вследствие чего этот род движения
разбирается особо в отделе „Техническая физика" (стр. 539 и след.).

334 Т. I Отд 2. Механика, t. Механика твердых тел
8. Пример. Движение по наклонной плоскости без
трения (фиг. 94). Действие подставки (наклонной плоскости) может выражаться
только силой N, перпендикулярной к этой плоскости. Мы имеем дело с двумя
силами: весом О, направленным вертикально вниз, и нормальной реакцией TV,
перпендикулярной к наклонной плоскости. Ввиду того что движение происходит
по направлению наклонной плоскости, обе нормальные
к наклонной плоскости составляющие должны взаимно
уничтожаться, т. е.
N = Рп = Q cos *.
Причиной движения останется составляющая силы О,
направленная параллельно плоскости: P/ = G sin а. Эта сила
вызывает прямолинейное движение
материальной точки с постоянным ускорением а = g sin a.
Движение по наклонной плоскости,
Фиг. 94. принимая во внимание трение. Коэфициент
трения (стр. 411) между скользящим телом и наклонной
плоскостью обозначим через \>.; на тело в этом случае действует еще сила
трения T=[t.N в направлении, противоположном двии ению; по направлению
движения остается сила
G sin а —- [л N — G t^sin а — [> cos а)
с ускорением
a =£(sin а — (х cos а).
2. Криволинейное движение. На стр. 311 рассматривалось
криволинейное движение точки. Из ускорения умножением на массу т
получим необходимую для движения силу Р как по направлению,
так и по величине.
Так как при криволинейном движении точки появляется
центростремительное ускорение:
где г — радиус кривизны траектории точки, то, как следствие из
1-го закона Ньютона, должна появиться инерционная сила,
противодействующая этому ускорению. Это — центробежная сила.
Она равна и прямо противоположна центростремительной
силе:
Р = та„ = т — = т со3 г.
п г
Чаще всего материальная точка при криволинейном движении
принуждается кривизной направляющей (кулиса, рельс) сойти
с прямолинейного направления или у твердого тела одна точка
принуждается к криволинейному движению вследствие сцепления
ее с другими точками тела. В этих случаях внешней силой
является центростремительная, а центробежная сила должна
рассматриваться как реакция на действие центростремительной
силы.
Например, железнодорожный вагон (как материальная точка) испытывает на
себе влияние силы, направленной к центру кривизны пути, т. е. влияние
центростремительной силы; его колеса прилегают к наружным рельсам. Колеса производят
на наружные рельсы в свою очередь давление той же силы, но противоположного
направления (центробежная сила).

Динамика
3S5
' 7г- -li
Слово центробежная' сила имеет и второе значение.
Мы можем сравнивать криволинейное движение материальной
точки с простой задачей равновесия; к действующим силам,
конечно, не находящимся в равновесии, так как они вызывают
криволинейное движение, присоединим еще новую силу, которая
находилась бы в равновесии с действующими. В случае материальной
точки, проходящей по кривой с постоянной скоростью, эта
добавочная сила будет равна и противоположна центростремительной
силе.
В противоположность вышеупомянутой центробежной силе
в данном случае нужно представить себе добавочную силу,
действующую непосредственно на материальную точку. Эта
центробежная сила является первым примером вспомогательной
силы Д а л а м б е р а (стр. 342).
1. Пример. Подъем наружного железнодорожного рельса
на закруглении (фиг. 95). Для того чтобы на закруглениях вагон своими
колесами не прилегал к наружным рельсам, т. е. для того
чтобы он мог воспринять действие центростремительной ,
силы, не опрокидываясь, наружные рельсы приподнима- j»J _
ются на высоту Л; эта высота рассчитывается из условия, ft» «L
чтобы равнодействующая веса G и центробежной силы I <*
С== mv*/r (г — радиус кривизны рельс), обе действующие р Сф
в центре тяжести S, совпадали с осью симметрии ваго- A f j
на SO; для того чтобы равнодействующую равномерно
распределить на оба колеса Р, наружный рельс при- _
поднимают на величину Н. Имеем: tg a = С/О. Для ' а/ | - у
малых значений h можно писать tg a = hjs (s — расстоя- \ *
ние между рельсами), тогда получим: г
hjs = C;G~ v*Jrg или h = v-sjrg. Фиг. 95.
Пусть, например, дано:
v = 15 ж/сек г — 500 м.
В СССР нормальная ширина колеи между внутренними гранями головок
рельс равна 1524 мм, но при закруглениях она изменяется, так что при г =500 мм
«на должна быть взята в размере 1534 мм. Принимая далее £ = 9,81 м\сек*, найдем:
Л = 0,0705 м.
2. Пример Эллиптически-гармоническое движение. На
стр. 312 показано, что ускорение проекции движущейся точки получается парал-
лечьным проектированием ускорения точки (закон проекции); для получения
величины силы, действующей на материальную точку и вызывающей движение, можно
применить этот закон, если масса при проектировании остается неизменной. При
эллиптически-гармоническом движении (стр. 312) ускорение, а следовательно, и
сила всегда направлены к центру эллипса О' (фиг. 73). Ее величина
р" = — т ш* 7'.
По закону независимости движений можно при
наличии нескольких сил, одновременно действующих на
материальную точку, рассматривать движение под влиянием отдельных сил
и сложением получить действительное движение; при этом силы
складываются геометрически, как и скорости и ускорения. В
частности, можно действительное движение материальной точки
проектировать на оси прямоугольной координатной системы х, у% z.
Основное уравнение динамики пишется тогда не в векторах, а в
координатах:

336 т- * Огд. 2 Механика. I. Механика твердых тел
Х-.
dv
х &Х
v dvy <Ру
Y=may^m-dF==mW>
dVz d22
£ f 3. Пример. Движение тела, брошенного под углом без
сопротивления воздуха (фиг. 96). Ввиду дейотвия только одной
силы Z = —G, из К=0 и (Vy)0 — 0 следует, что это движение происходит все
время в плоскости дгг; из Х=0 следуег,1 что горизонтальная проекция скорости
сохраняет все время одно и то же значение и именно (vQ)x.
dvz
1!з Z = —G = m следует, что движение материальной точки'в верти-
dt
кальной проекции cooieeicieyeT свободному падению. Движение
брошенного тела составляется, таким образом, из движения
свободного падения по вертикали и горизонтального движения
с постоянной скоростью.
Движение брошенного тела можно вывести интегрированием век юрного урав-
— dv - — — _
нения g^—nr, где g есть ускорение силы тяжести, v = v0 -f- gU причем
постоянная интеграла vQ означает начальную скорость, s = v0t -f--«-]F^ (Фиг* 96).
1
ыг
У
\
(v0fx
<*
60t/
s
i***'
X л
1
nr m-
I, dX /v
Из -^- = vx — (v0)x = v0 cos « следует
x = v0 cos «•/
0)
dv
Из
= — g следует
dz
= v0 sin * -
•gl
Фиг. 96.
г — v0 sina«f-
gt>
(2)
Уравнения (1) и (2) суть уравнения параболы с параметром t. Исключением t
получаем уравнение параболы:
г = х tg a — -—-i-—j— x*.
s 2 v0* COS* a
Дальность полета: S = sin 2 **Vt?\g, т. е. максимальное значение для
« = 45°.
Продолжительность полета: t = wjv0 cos а = 2 w0 sin <zjg.
Высота полета: Л = sin8 *'V<?\2 g.
4. Пример. Простой маятник (математический маятник) (фиг. 97).
При малом отклонении обе силы, действующие на материальную точку
(вес G и натяжение нити Т3), расходятся на бесконечно малый угол «р; поэтому
вплоть до членов высшего порядка F всегда равняется О; сила, заставляющая точку
возвращаться в положение равновесия
р = — 0? == — 0/[.х = — ex.
Из этого видно, что сила Р пропорциональна амплитуде х и всегда направлена
к положению равновесия (х = 0). Согласно стр. 333 маятник производит при малых

Динамика
337
амплитудах гармонические колебания с частотой Ус\т — Уgft ,
что соответствует полному -времени колебания
Г=2 я Ут\с =2 « У l\g .
При больших отклонениях (фиг. Р8) целесообразно исходить из
принципа живой силы (стр. 338) и-сравнить положение наибольшего отклонения а
с произвольным положением «р. Положению а соответствует кинетическая энергия,
равная нулю (так как скорость в этом месте разняется нулю), и максимальная
потенциальная энергия, ибо тело в этом положении занимает самое высокое
положение. Сравнение с положением 9 (скорость v) дает
у mv* = mgl (cos ? — cos «),
(1)
причем
v = l
dt
Нормальное ускорение равно ап
нормальная сила равна ml
( d4 \»
{dt )
, следовательно,
Она является равнодействующей
напряжения нити F и составляющей веса по направлению нити. Таким образом н а-
пряжение н и ти F—Gceav + mll — I . Касательное ускорение
dv d*9
равно fl/ = —jf- — — / -j—~, и касательная сила равна О sin «p. Основ-
dt
dt*
ное динамическое уравнение движения
материальной точки в касательном
направлении будет
/
rf2?
dt*
•■ — g sin «.
.(2)
Для малых отклонений
можно вместо sin 9 писать «, мы
получаем тогда при />9 = х диференци-
альное уравнение гармонического
колебания :
d*x g
dt*
I
Фиг. 97.
Фиг. 98.
Для больших отклонений получаем из второго уравнения одно
кратным интегрированием по времени:
Вторичным интегрированием получаем время
2е
—~ (cos © — сое «>.
<-у
/ы
dy
У cos«
(эллиптический интеграл),
необходимое материальной точке для пробега расстояния между z и * в одном или
другом направлении.
Разложением интеграла в ряд можно найти продолжите чьи ость
одного простого качания, т. е. время между двумя последовательными
.прохождениями через положение покоя:
Т*= л УЩ [1 + й)= sin' (*/2)~b(* • D* sin* (e/2) +•••).
22. Hfltte. Справочник для инженеров, т I.

Т I 01д
Механика. ! Механика тверды ж тел
Up» «<8* с достаточной точностью (до я- 10/<,0)
1 ♦, независимо от величины отклонения.
Длила секундного маятника
тс*~ I сек* ' I
Для g = 9,81 м\сек*
/ = 0,994 м.
Если материальная точка вынуждена совершать движение по
определенной поверхности, уравнение которой /(jc,^,^) = 0, причем
движение точек происходит без трения, то найти диференциаль-
ное уравнение движения точки можно исключением X из трех
уравнений:
d& ox dt- dy dt3
гте X, Y, Z суть составляющие данной внешней силы и
дг
х* х*. хд/
хд/
дх ' ду ' dz '
составляющие нормального давления N поверхности на
материальную точку. Величина этого нормального давления
5. Пример. Шаровой маятник (фиг. 99)
Материальная точка подвешена на невесомом стержне (или
нити) длиною /, могущем произвольно вращаться у точки
подвеса А, так что точка может двигаться по поверхности
шара с центром А и радиусом / (2 степени свободы). Одно
из возможных движений шарового маятника является
коническое движение, при котором стержень I движется по
поверхности конуса вокруг вертикальной оси АА с углом у
вершины 2 а. Условие этого движения следует из равновесия
между натяжением нити /% воображаемой центробежной
силой С и весом:
Фиг. 9*.
С == mv*\r = F sin я ;
v*// sin a = g tg а;
время одного оборота
Г=: 2mjv
G = F cos a;
v* = gl sin* а/cos *,
2 к Vqos а Ijg .
3. Закон живых сил. Из основного уравнения динамики Р=
tiv
dt
следует умножением на элемент пути ds (см. „Векторный анализ",
стр. 174) _
P-ds*=*m~ -dl=mdv.v=\md{v^=di/^\ (1)
Р- ds—работа силы Р на пути ds; в координатах:
Р • ds _ Р- ds • cos (Pds) -= Xdx \~ Ydy+ Zdz

Динамика
339
mt/2/2 — кинетическая энергия материальной точки, ее
живая сила, работоспособность.
Уравнение (1) выражает закон живых сил: работа силы
равняется приращению кинетической энергии
материальной точки.
Интегрированием в определенных пределах отрезка кривой
пути получаем:
Р ds= mv2/2 — mv02/2 = Е —- Д>.
р
Если возможно определить силу из потенциала П (х у z)t так что
■ л_ "
ds
то закон живых сил выражается:
-П+П0 = Е-Ео
или
П+ Е = П0 + Ео = const;
т. е. сумма потенциальной энергии П и
кинетической энергии Е всегда остается постоянной.
4. Импульс силы. Количество движения. Так как
то t
rP-dt = m'V (1)
о
Левая часть этого уравнения носит название импульса
силы, а правая — количества движения.
В том случае, когда сила Р прикладывается к телу на ходу
при наличии у тела уже скорости % получим:
/
P.dt=m(v—v0) (2)
/'
/
Выражения (1) и (2) показывают, что импульс силы
равен количеству движения или изменению количества
движения за данный интервал времени.
Практически этими выражениями удобно пользоваться тогда,
когда сила дана в функции времени.
5. Закон площадей для материальной точки. Из основного
уравнения динамики Р = у ' следует умножением внешним об-
разом (векторное произведение) на какой-либо произвольно через
точку О проведенный радиус-вектор 7 (фиг. 100)
tP.71-[^.7]-[<£.7]+[«.S-]-i[-4
22*

340 т- 1 0тд 2 Механика. I. Механика твердых тел
[то • £]=[«»."5]
допустимо, так как
Прибавление выражения I mv • —
это векторное произведение равняемся нулю. (Оба вектора
произведения mv и v имеют одинаковое направление; см.
,Векторный анализ", стр. 174.) [Рг] есть статический момент
силы Р относительно точки О (стр. 252). [mv r]—тоже
статический момент количества движения mv
относительно той же точки О; этот момент называется еще
импульсом вращения В. Закон площадей гласит:
d
IP-
?]=^[m5.
или
Тл dB
О)
Фиг. 100.
[Р ~г) =
словами: момент силы, приложенной
к материальной точке
относительно произвольной точки, равняется
изменению по времени (т. е.
производной по времени) импульса
вращения В для той же точки.
В координатной системе, проходящей через
точку О, как через начало, получаем:
iXx\
kZz
. [*$Ч -[-"4
= т •
iaxx
kagz
Yz — Zy = m-(ay-z — a, -у)
Zx — Xz = m*(ag • x— ax • z)
Xy—Yx = m-(ax *y
(2)
ay -x)
Дуl Д,
- dv
суть составляющие ускорения я = — по направлению
осей х, у, z.
Каждое из этих трех уравнений выражает закон площадей для
одной (из трех) осей координатной системы, например Yz — Zy
дает проекцию вектора моментов на ось ху иначе говоря, момент
силы Р относительно оси х (стр. 253); соответственно
т(а.
•а2'У)
производную по времени составляющей х импульса вращения;
вместо составляющей х импульса вращения можно сказать: импульс
вращения для оси х или момент количества движения mv
относительно оси х. Для какой-нибудь произвольной оси получим закон
площадей из уравнения (1) проектированием на ось в следующем
виде:

Динамика
341
M' = 4tr <3>
причем AV означает момент Р и В' — момент mv относительно оси.
Если эта ось будет превращена в ось л;-ов, то получим вместо
уравнения (3) первое уравнение из вышеприведенных трех
уравнений (2).
В особом случае, если сила Р% действующая на материальную
точку, является центральной силой (например сила
упругости, сила тяготения), статический момент силы исчезает для
центра тяжести О, как начальной точки; в этом случае импульс
вращения В должен оставаться постоянным;
— « 0; B~[mv'~r] — const.
Вследствие того что v = —, нолучаем [rdr] = const dt\ это
обозначает, что площадь треугольника, построенного на г и dr
(на фиг. 101 обозначено штриховкой), для одного и того же
элемента времени dt постоянна и независима от
положения точки на ее пути. Этот результат
можно выразить следующим образом: радиус-
вектор г из центра притяжения к
материальной точке покрывает в
одинаковые времена одинаковые
площади (2-й закон Кеплера). Из этого
особого случая вытекает наименование „закон
площадей".
Ь) Динамика системы материальных точек
Под системой материальных точек, или материальной
системой, понимается в механике такое тело, которое в
противоположность твердому может претерпевать изменения формы.
Материальная система состоит часто из частей, представляющих в
отдельности твердые тела, находящиеся в движении одно относительно
другого, например: паровоз и его колеса и части
парораспределения, пароход и его машина и т. д. Человек, рассматриваемый
с точки зрения динамики, представляет собою тоже материальную
систему. Нашу планетную систему можно рассматривать как
материальную систему, в которой солнце и планеты в отдельности
представляют материальные точки. Твердое тело
представляет особый частный случай материальной системы, не
подвергающейся изменению формы. Общие законы движения материальной
системы применяются, главным образом, к твердому телу. При
материальной системе особенно важно . различие между наружными и
внутренними силами. Например, в планетной системе все силы

342 Т I 0ТД- 2- Механика. 1. Механика твердых тел
притяжения между отдельными планетами и солнцем представляют
собою внутренние силы. Если же будет рассматриваться
система, состоящая из земли и луны в отдельности, то сила
притяжения между землей и луной, действующая как на землю, так и
на луну, является внутренней силой, а притяжения солнца и других
планет являются для системы земля — луна внешними силами.
Напряжения упругого тела являются внутренними силами.
В паровозе внутренними силами являются: давление пара, давление
между шатуном и кривошипом и т.д.; внешними силами
являются: вес паровоза, давление рельс, сопротивление трения
рельс, сопротивление воздуха и т. д.
1. Принцип Даламбера. Первый пример вспомогательной силы
Даламбера был дан в виде воображаемой центробежной силы
(стр. 335), приложенной к материальной точке с целью свести
задачу динамики на соответствующую задачу статики. В общем для
материальной точки следует из основного уравнения динамики: '
что прибавлением воображаемой силы
к реально существующим силам, равнодействующая которых есть Р,
приводит к P-f-Q = 0. Другими ^словами, существует
равновесие между действительной силой Р и воображаемой Q, которая
называется вспомогательной силой Даламбера, или
силой инерции.
В случае материальной системы с произвольным
движением рассуждают точно так же. Если внешнюю силу, или
в случае нескольких внешних сил их равнодействующую,
приложенную в какой-нибудь точке системы, назвать Р и если
внутренние силы, поскольку они действуют на ту же точку, соединить
в Е F, то для каждой точки системы действительно основное
уравнение: •
mJf = P + EF. .(1)
Если к действительно существующим силам Я+Е/7 прибавим
вспомогательную силу Даламбера Q= — т -^ , то получим
равновесие в каждой точке
Р + 2 F+ Q = О (2)
Следовательно, и вся материальная система будет в равновесии
В приведении задачи динамики к задаче статики заключается сущ-

Динамика
343
ность принципа Даламбера. Если распространить уравнение (2) на
все точки, то получим:
Е P + EEF+E Q-0.
(3)
В двойной сумме всех внутренних сил ЕЕ F последние входят
по закону действия и противодействия попарно, следовательно,
ЕЕ F -0 (4*
таким образом остается
£ (Я+<?) = 0 '• • ■©
Сумма этЪ распространяется на все точки материальной системы»
однако уравнение (5) еще не представляет собою достаточного
условия равновесия. Ввиду того что равновесие имеет место, если
каждая точка системы находится в равновесии, то мэжно написать
условие равновесия, например, в виде принципа виртуальных
перемещений (стр. 280)
Е(7*+Р)о5«0 (6)
или в коордшшах
Величина bs с составляющими блг, by, bz
представляет собою произвольное
виртуальное перемещение соответствующей
материальной точки. Уравнения (6) и (7)
действительны, пока виртуальные перемещения &s не
вызывают работы внутренних сил, т. е. если
ЕЕ?- os = 0 (8)
Это действительно, например, для случая,
когда перемещения 5 s происходят без
изменения формы материальной системы.
Принцип Даламбера применим для расчета прочности тел,
находящихся в движении.
Пример. Физический маятник (фиг. 102). На материальную
точку ш/ действуют следующие силы: вес т/# и напряжение соседних точек; последние
по принципу Даламбера исчезают как внутренние силы. Кроме этих реальных сил,
_ dPr,
представим себе вспомогательную силу Даламбера Qf = — т4-
нормальную составляющую (центробежную силу)
и касатеп,и;ро силу
ri
эта сила имеет

344 Т. I Отд 2. Механика. I. Механика твердь» тел
Знак минус следует из того, что -~- всегда отрицательно. Кроме этих сил,
действующих на отдельные материальные точки, имеется еще сила сопротивления
опоры, приложенная к оси вращения; давление опоры неизвестно ни по величине,
ни по направлению. Все эти силы должны находиться в равновесии, t авнодействую-
шая R всех отдел н.лх сил тяжести проходит через центр тяжести S. Для оси
вращения А в качестве оси моментов следует
или при YtmirP ~J (момент инерции относительно оси вращения) имеем:
J ~£п = ~ Я*-sin «f (1)
(диференциальное уравнение физического маятника).
Уравнение (1) превращается в диференциальное уравнение математического
маятника (стр. 336) при 5 = I, /? = тц и У = /?./*; следовательно, мы имеем
возможность физический маятник обратить в математический той же
продолжительности колебания; приведенная длина маятника: 1прив% — J\ms. ТочкаSx
на прямой, соединяющей точку олоры А и центр тяжести 5 в расстоянии 1Прив,
от точки опоры, называется центром качания маятника; прямая,
проведенная через эту точку параллельно оси вращения, называется осью качания.
Если ось олоры и ось качания будут взаимно заменены, то время качания не
изменяется.
Силу, действующую в точке А. можно получить по величине и направлению
при помощи нижеприведенного угашения равновесия, вытекающего из
соображения, что геометрическая сумма всех сил, включая силу инерции, равняется нулю.
Например, в пулевом положении (<р = 0) по уравнению (1) будет -зтг=°»
и, следовательно, Q' = 0. Остаются только центробежные силы С( = mi (-—■ J rt как
единственные вспомогательные силы Даламбера:
e-sff,-($);s>i7i-($);.«7.
(стр. 285); по закону живых сил (стр. 338) для ? = 0
если « означает наибольшее отклонение, получаем | С | = 2т (1 — cos a). Rs*\J =
= 2/? (1 — cos а) • s9'i* (i — радиус инерции (стр. 234); следовательно, давление опоры
А = #+ 'С = R [1 + (1 - cos а).**/Г],
оно совпадает с перпендикуляром, проходящим через ось вращения.
Другие примеры применения принципа Даламбера помещены в отделе
.Прикладная механика".
2. Законы центра тяжести. Из определения центра тяжести
(как центра массы) стр. 285 имеем:
диференцированием по времени получаем:
dif &ri — —
т -тг = Ъ mi -~ или /я i/0 « £/w, i/, (1)

Динамика 345
{vQ есть скорость центра тяжести); словами: количество
движения, или импульс материальной системы, l^w^-
равняется количеству движения центра тяжести
mv0, в котором сосредоточена вся масса
материальной системы (первый закон центра тяжести).
В координатах получаем вместо уравнения (1)
т (v0)x = Ът{ {%)()х , т (v0)y = £ mi {vt)y, т (v0)2 = £/n, (vt)g.
Диференцированием уравнения (1) по времени получаем основной
закон центра тяжести
dv0 dvt _ _ч
Ввиду того что двойная сумма внутренних сил ЕЕ/^—О (закон
действия и противодействия), получаем:
т-^ ==£/>,.== Я; (2)
словами: движение центра тяжести происходит так,
как если бы в нем была сосредоточена вся масса
системы и к нему были отнесены параллельно
самим себе все внешние силы Pit соединенны е в одну
равнодействующую R = £ Р,- (второй или основной закон
центра тяжести, принцип движения центра тяжести).
На основании этого закона динамика материальной точки может
быть значительно расширена, так как движение центра тяжести
материальной системы также можно свести на движение
материальной точки.
Пара сил может вызвать только вращение вокруг центра
тяжести. Ввиду того что всякую произвольную систему сил,
действующую на материальную систему, всегда можно представить
одной равнодействующей силой /?, приложенной в центре тяжести,
и одним равнодействующим моментом Л! (см. „Статика", стр. 271),
всякое движение материальной системы сводится по закону центра
тяжести к движению центра тяжести, зависящему от /?, и к
вращению вокруг центра тяжести, зависящему от М.
Примеры. Взрывающаяся граната. Если не принимать в расчет
сопротивление воздуха, то движение центра тяжести гранаты до и после взрыва
происходит по параболе; взрыв гранаты не оказывает влияния на движение центра
тяжести, так как сила взрыва является только внутренней силой. Граната, бывшая
до взрыва твердым телом, превращается после взрыва в систему материальных
точек.
Противовесы на ведущих колесах паровоза необходимы
по закону центра тяжести для того, чтобы избегнуть во время движения машины
смещения центра тяжести относительно рамы.

346 Т 1 ®ГЯ- 2 Механика. I Механика твердых тел
В координатах закон движения центра тяжести
по уравнению (2) выражается так:
d{V()x d(v0)v d(v()).
яА£*-ЪХй-Х; «-JjL-sy.-y; m-l-l-izt-b
причем Xt У,Z являются составляющими равнодействующей /?= Е Рг
На этом основании закон движения центра тяжести остается в силе
для любого направления движения, нужно только силы и
ускорение центра тяжести проектировать в том же направлении
(например ось х-ов).
Пример. Отдача пушки при выстреле. Вес ядра G = mg\ скорость
ядра при выстреле относительно орудия в горизонтальном направлении равна v.
Вес орудия Gx = тхе. Какова скорость отдачи орудия vj Орудие и ядро образуют
материальную систему во время и после выстрела. Основной закон движения ^ентра
тяжести для горизонтали, в которой происходит движение орудия, гласит, что при
отсутствии горизонтально направленных внешних сил, тормозящих обратное
движение, центр тяжести материальной системы остается в покое. Из первого закона
центра тяжести следует mxvг = m(v — vx). Величина v — vx дает абсолютную
величину скорости ядра по горизонтали. Следовательно»
vx = vm\{m -4- mj) = vG\{G ■+■ GJ.
Если мы напишем закон движения центра тяжести следующим
образом: _ _
d(mv0) _dS __ъ т
—dt~~-dF-R' ' ' '. {S)
где 5=s/ni>o *= S mivi обозначает количество движения или импульс
материальной системы, то закон центра тяжести выражается как
закон количества движения. Словами: изменение во
времени, т. е. производная количества движения
материальной системы, равно равнодействующей
внешних сил.
3. Закон площадей системы материальных точек. Закон
площадей для отдельной материальной точки (стр. 340) гласит:
V"5 lp'7J ~4i[m^r*] (фиг* 103)*
В материальной системе к внешней силе Pt,
действующей на материальную точку, прибавляются
Фиг. 103 внутренние силы:
±№гп] = [Рг-г1) + №Ъ)-п]-
Суммированием выражений для всех отдельных точек системы
получаем закон площадей материальной системы в следующей форме.
^= £[/>,. ^]=}:Л!, = ЛУ (!)
По закону действия и противодействия внутренние силы
исчезают и В = Е [т№* ri] Дает >.ко л и ч ест в о вращения ма-

Динамика
347
термальной системы" относительно произвольно взятой
точки О, как начальной точки.
Закон площадей можно выразить следующими словами: произ-
водная по времени количества вращения
материальной системы относительно произвольной
точки равняется сумме статических моментов
внешних сил для той же точки, как полюса моментов.
Закон площадей н закон импульса соответствуют один другому.
В координатах вместо векторного уравнения (1) имеем:
dB* dBv dB2
_* = Е(Л1/Ь=Л1,; -^=Е(Л1,)у = Му; -^ = £<Aff), = Afff
где
Вх = Lmi(yv2 — zvy){; By = ltmi (zvx — xvg)f Bz = ^m/ (xvy —yvx){.
Эти три уравнения выражают закон площадей для осей xt у и г\
например Мх представляет сумму всех моментов сил относительно
оси х и Вх количества вращения относительно оси дг, т. е. сумму
статических моментов количеств движения всех точек материальной
системы относительно оси х. Для какой-нибудь произвольной оси
закон площадей можно выразить тем же способом, как и для
координатной оси. Достаточно соответственную ось избрать осью дг-ов
прямоугольной системы координат. Если величину количества
вращения для соответствующей оси обозначим через В\ а сумму
моментов сил — через М', то получим:
dt
Количество вращения для твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной в пространстве оси с угловой
скоростью «о, по отношению этой оси будет В = /о>, таким
образом закон площадей переходит в основное уравнение
динамики для вращения твердого тела вокруг постоянной оси:
dm
Между этим основным уравнением для вращения твердого тела
„ * dv й
и основным уравнением динамики материальной точки т —тт = Р
существует аналогия. Масса точки т соответствует моменту
инерции У, скорость точки v — угловой скорости тела а>, сила
Р—моменту М.
Пример. Система материальных точек, находившаяся вначале в покое, и на
которую не действуют внешние силы, может вращаться вокруг некоторой оси
« том смысле, что часть материальной системы с моментом инерция JL вращается
вокруг оси с угловой скоростью u*j; тогда остальная часть с моментом инерции /,
должна вращаться вокруг той же оси в обратном напраптении с угловой

348 T J- ОтД- 2 Механика. I. Механика твердых тел
скоростью ш2; эта скорость рассчитывается на основании закона площадей, так
как вследствие отсутствия внешних сил количество вращения всей материальной
системы должно все время равняться нулю:
•Лш1 — Л10. =0
или
Л
<*>, = ■— *;,
например» вращение воздушного шара в одном направлении, если
пассажиры двигаются в корзине в обратном направлении.
Сюда же относится случай падения кошки, которая, iак известно,
всегда падает на ноги. Хотя здесь действует наружная сила — вес кош» и, — но эта
сила сама по себе не в состоянии вызвать поворота. Перекручивая переднюю
и заднюю часть своего тела при вытягивании и втягивании лап для изменения
момента инерции, кошка может повернуться вокруг своей оси. Хвост помогает
этому, действуя наподобие руля
Закон площадей можно демонстрировать на человеке, находящемся на легко
вращающемся диске (вращающаяся скамейка Прандтля). Если
человек вращает палку горизонтально над своей головой в одном направлении, то он
сам вращается в обратном направлении.
Если центр тяжести системы материальных точек остается
в покое (следовательно, по закону центра тяжести внешние силы
отсутствуют), количество вращения не зависит от выбора
начальной точки. Доказательство (фиг. 104):
mi в •= 2 [тм • г.] ,
в' = Е [ты • ~г\ \ = s \тйЪ{. (7, + Ъ)] =
так как £ [miv{ •"&] = [(Ц /п^/) • Щ = 0.
Уравновешивание движущихся масс судовых
машин (по Ш л и к у). Кривошипы отдельных цилиндров
многоцилиндровой судовой машины располагаются один относительно
другого таким образом, чтобы, во-первых, при работе машины центр
тяжести движущихся частей оставался по отношению к судну
в покое (закон центра тяжести) и, во-вторых, чтобы количество
вращения движущихся масс относительно произвольной точки
(выбор этой точки согласно вышесказанному безразличен) равнялся бы
нулю. Если оба эти условия соблюдены, то работающая машина не
производит сотрясения судна *).
4. Уравнения Лагранжа и принцип Гамильтона. Пусть
положение данной системы (например ряд шарнирно соединенных
твердых тел) определяется независимыми частями ql% q2
(обобщенные координаты, не связанные между собою какими-нибудь
условиями, например угол поворота кривошипа и т. д.).
<) Подробнее см. A. F о р р 1, Техническая механика, часть 4, Берлин и
Лейпциг, Б. Г. Тейбнер.

Динамика
349
Имеем для каждой координаты qt уравнение следующей формы:
дЕ
dqt
d / дЕ\
dt\db)
= >>
называемое уравнением Лагранжа.
В этом уравнении Е представляет кинетическую энергию сис-
dqt
темы, Qi^-jr и Ft Дает внешнюю силу, отнесенную к
координате qr т. е. Fibqi представляет собою работу внешних сил
системы при изменении одной из координат qt на bqit в то время
как другие координаты остаются неизмененными.
Ft имеет размерность силы, если qi выражает длину. F( имеет
размерность момента, если qt представляет угол и т. д.
Подобно уравнениям Лагранжа, принцип Гамильтона
служит для вывода уравнения движения системы, обладающей
несколькими степенями свободы. Применение этого принципа,
однако, ограничивается тем случаем, когда внешние силы выводятся
из потенциала /7 (стр. 283), так что работа внешних сил при
виртуальном перемещении Ь qi координаты qt будет
Уравнение Лагранжа в этом случае будет:
д(Е — П) = d I дЕ \
дЯ( М \ d<j, ) '
Все эти формулы можно выразить в одной формуле:
о [ (£-/7)d/ = 0.
о
Это уравнение выражает принцип Гамильтона. Словами: вариация
интеграла по времени функции Е— П равняется
нулю или интеграл по времени функции Е — П
принимает для действительно начавшегося движения
крайнее значение по сравнению со всеми другими,
бесконечно близко расположенными движениями,
которые за тот же промежуток времени приводят
систему из данного начального состояния в
данное конечное состояние.
с) Динамика твердого тела
_ Ввиду того что твердое тело представляет частный случай
системы материальных точек, а именно систему с неизменяемой

360 1' I- Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
формой, для него действительны все законы, которые были в и. b
выведены для системы точек.
1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси. На
стр. 347 приводится для случая вращения твердого тела вокруг
неподвижной в пространстве оси динамическое уравнение J—=M.
Если момент вращения М = 0, то происходит вращение с
постоянной угловой скоростью. Если М = const, то мы имеем дело
с равномерно-ускоренным или — замедленным вращением с
ускорением вращения —— == —j- = const. При этом действительны формулы,
соответствующие прямолинейному равномерно-ускоренному
движению материальной точки (стр. 306).
Кинетическая-энергия вращательного
движения есть
Ее величина равна работе момента Af, который приводит тело,
находившееся ранее в покое, во вращательное движение с угловой
СКОрОСТЬЮ О).
2. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки
(движение волчка). Движение твердого тела с одной неподвижной
точкой (сферическое движение) разбиралось с точки зрения чистой
теории движения на стр. 320. Тело, подвешенное таким образом,
имеет три степени свободы вращения. Моменты инерции тела
относительно осей, проходящих через неподвижную точку, даются так
называемым эллипсоидом инерции (стр. 295), центр
которого совпадает с неподвижной точкой тела.
Свободный от сил волчок
Свободный от сил волчок совершает движение,
соответствующее движению твердого тела, не находящегося под действием
внешних сил и имеющего некоторое начальное вращение вокруг
неподвижной точки. Вращающееся тело может поддерживаться
в центре тяжести (например подвесом Кардана), для того чтобы
уничтожить влияние силы тяжести. Если центр тяжести не
совпадает с точкой опоры, то вес оказывает влияние на движение. Если
у волчка, имеющего опору в центре тяжести, пренебречь
сопротивлениями трения, то мы будем иметь случай движения волчка,
свободного от внешних сил. При общем движении твердого тела
(стр. 320), как известно, можно для движения центра тяжести
применить законы центра тяжести. Тогда остается только вращательное
движение, которое совершается так, как-#удто центр тяжести^
закреплен. По закону площадей (стр. 346) количество вращения В по
величине и направлению не изменяется по времени для
неподвижной точки, принятой за начало координат. Количество вращения
по отношению к мгновенной оси вращения (стр. 346) равняется

Динампка
351
где В' есть проекция В на мгновенную ось вращения. Ввиду
того что кинетическая энергия вращательного движения
/?=$Уо>2 должна оставаться неизменной, конечная точка вектора
угловой скорости (о, который должен откладываться от
неподвижной точки на мгновенной оси вращения, перемещается по
эллипсоиду инерции (стр._295). Из £ = £./ш2 = ££'со = const вытекает,
что произведение В • <о = 2Е = const или что проекция о/ угловой
скорости на неизменное направление количества вращения всегда
должна иметь значение о/ = 2Е/В = const. Из этого следует, что
движение свободного волчка можно представить,
как катание эллипсоида инерции по неизменной
плоскости, лежащей перпендикулярно к В на
расстоянии о/ = 2EjB (движение Poinsot)- (фиг. 105). При
катании на эллипсоиде инерции образуется п о л о и д а, на
плоскости — герполоида. Соответственные конуса, которые
получаются соединением точек упомянутых кривых с неподвижной
точкой, называются конусом полоиды и конусом герпо-
лоиды. Если количество вращения В будет определено по
отношению к неподвижной точке О для всех осей вращения,
проходящих через О при неизменном значении кинетической энергии Е%
то конечные точки векторов количеств вращения лежат на
эллипсоиде количества вращения (стр. 295), направления главных осей
которого совпадают с таковыми эллипсоида инерции (фиг. 105)
Подобно тому, как плоскость,
касательная к эллипсоиду инерции,
перпендикулярна к вектору количества вращения,
так, обратно, плоскость, касательная
к эллипсоиду количества вращения,
будет перпендикулярна к соответственной
оси вращения (фиг. 105). Вообще говоря,
мгновенная ось вращения и ось
количества вращения не совпадают. Как
видно из фиг. 105, они совпадают только по
трем главным осям эллипсоидов
инерции и количества вращения; эти три
оси называются поэтому
свободными осями, так как
продолжительное вращение вокруг них возможно без
наличия внешних сил. Из этих трех
осей, однако, только две, соответствующие максимальному и
минимальному моментам инерции, устойчив ы, третья . ось —
неустойчива, что можно себе уяснить с помощью движения Poinsot.
Для того чтобы изучить картину движения
свободного волчка во времени, необходимо вернуться к дифе-
ренциальному уравнению закона площадей
Эллипсоид wtp/iuuif %
! ylЭллиЛеаи9
" количества 8гтщ*«иА
Фиг. 105.

352 Т. I Отд; 2. Механика. I. Механика твердых тел
Если это уравнение отнести к координатной системе, связанной
с главными осями х, у, z (Jv J2, J3— суть моменты инерции по
отношению осей х, у, z) с начальной точкой в О, то получим
векторное уравнение, отнесенное к подвижной системе координат:
-^- = -[»Я] (1)
или в координатах с .
ш = /а)х -f уш2 -f- £а>3,
В = iB1 +jB2 + kBd = Uxnx +yV2a>8 -f kJb^
йщ Jn — J*
2—^3 .
dt ~ jt "«"»
d<o2 Л — Jt
dti>o J л Jo
Уравнения \
Эйлера ) (2>
Для симметричного волчка, подвешенного в центре
тяжести, получаем, если У3 = моменту инерции для оси симметрии
(«принятой за ось 2-ов) и вследствие 71 = У2:
йщ /< -— Л
Л — Л.
Л
dt
——- = 0, т. е. со, = const
di s
Из симметрии осей эллипсоида инерции (фиг. 105) следует, что
вектор угловой скорости to описывает в качестве конуса полоиды
круглый конус вокруг оси фигуры и, как конус герполоиды,
круглый конус с количеством вращения В в качестве оси.
Интегрируя последнее уравнение, получаем время оборота конуса
неподвижной в волчке полоиды:
Г = 27г/а>3.71/(У1 — Jo).
Время оборота оси фигуры вокруг неподвижного в пространстве
направления количества вращения для симметричного волчка
1 |5| /A2to2+^ + -V^?'
В особом случае симметрично'го волчка, когда У3 = Л (моменты
инерции равны для всеу осей), говорят о шаровом волчке,
у которого всякая ось является главною или свободною

Динамика
853
Тяжелый волчок
Тяжелый волчок отличается от свободного тем, что он
подвергается влиянию внешних сил, прежде всего веса волчка. Влияние
веса свободного волчка было уничтожено опорой в центре тяжести.
Если это не имеет места, то вес оказывает
влияние на движение волчка. Важен
случай тяжелого симметричного
волчка с точкой опоры на оси симмет-,
рии (фиг. 106, вместо волчка здесь
начерчена только его ось симметрии).
Ввиду того, что центр тяжести 5
находится на расстоянии s от опорной
точки О, закон площадей для точки О в
качестве начальной точки выражается так:
(1)
причем
\M\=zQs%\nb.
Направление М перпендикулярно к оси симметрии. Количество
вращения В при быстро вращающихся волчках (см. ниже)
приближенно совпадает с осью симметрии. Его величина £ = /<о, где У—
момент инерции волчка по отношению его оси симметрии, <о —
угловая скорость волчка. Изменение количества вращения dB согласно
уравнению (1) перпендикулярно к В, следовательно, изменяет только
направление В, но не величину; По фиг. 106
или
\dB\ = \B\sinbd4 = \M\dt=Qss\Tibdt
-зг = тг=т = — (независимо от Ш).
Чем больше угловая скорость волчка о>, тем меньше -тт-, тем
dy
dt
dy
точнее совпадение количества вращения с осью фигуры. -± дает
угловую скорость регулярной прецессии тяжелого симметричного
волчка. ОА (фиг. 106) является осью прецессионного движения.
Продолжительность прецессии
т == 2 п Ш = 2тс • Ju/Qs.
Земля также производит подобное движение. Вследствие сжатия земли все
силы тяготения, вызванные солнцем и действующие на отдельные части земля,
23. Hfitte, Справочник для инженеров, т. I.

354 Т. I. Отд. 2. Механика. I Механика твердых тел
можно заменить одной силой, проходящей через центр земли, и сравнительно
небольшим моментом. Этот момент является причиной прецессии земли.
В действительности количество вращения В тяжелого волчка
не совпадает точно с осью фигуры, так как, кроме вращения вокруг
оси фигуры, совершается также и движение прецессии вокруг оси
прецессии. Поэтому движение волчка
только приближается к регулярной
прецессии, а фактически к ней
прибавляется еще движение, называемое
нутацией. Она тем меньше, чем
больше угловая скорость волчка. При
постепенном торможении движения
(например игрушечный волчок,
вращающийся с постепенным
замедлением) нутация, вначале едва
заметная, ясно увеличивается. Вследствие
такого нарушения регулярной пре-
псев до р е гу л я рн о й прецес-
не по круговому конусу, а между
двумя круговыми конусами (фиг. 107).
З.-Применение теории волчка. Если какое-либо тело вращается
с постоянной угловой скоростью о) вокруг произвольной в
пространстве и в теле неподвижной и несвободной оси, ^проходящей
через центр тяжести, то вектор количества ^ращения В (фиг. 108)
не совпадает .с вектором угловой скорости ш. Для.того чтобы имело
место движение вокруг оси АА с постоянной угловой скоростью о>,
по закону площадей необходимо, чтобы момент М = -^т- величиной
Фиг. 107.
цессии нутацией говорят о
сии. Ось фигуры движется
\М\ = \В
Sina-g- = |B|
<it
о> sin at = /<оа tg a
передавался на твердое тело через его осевую установку.
Для вращения плоского махового кольца (фиг. 109)
необходим момент |Af| = p.«, который определяется по закону
площадей:
Ра*
dB
dt
-l»i-§-*
Здесь обозначают: J—момент
инерции махового кольца, » —
его угловую скорость вращения и -jr—-угловую скорость, с
которой вращается плоскость кольца маховика.
Корабельный жироскоп Шлика (фиг. 110) состоит
из волчка К (маховик), вращающегося в точках D и Е рамы; эта
рама может вращаться вокруг точек А и С судна ABC.
Схематический чертеж (фиг. ПО) дает разрез судна.

Динамика
'355
При боковой качке судна, которая состоит из вращения вокруг
продольной оси судна (проекция этой оси есть точка 5), быстро
вращающийся волчок - вследствие присущих ему степеней свободы
может производить род прецессионного движения г). Торможением
(на практике — масляным тормозом) составляющей этого движения
Фиг. 108.
Фиг. 109.
соответствующей вращению вокруг оси рамы АС, одновременно
тормозится и другая составляющая движения, а именно качка
судна 2). х
Боковое отклонение снаряда, вылетающего из
нарезного дула орудия, объясняется тем, что
сопротивление воздуха W обыкновенно не проходит через центр тяжести ядра,
вследствие чего возникает вращающий момент вокруг, его центра
п тяжести S; по закону площадей
это вызывает изменение во
времени количества вращения
В — J ш и тем самым
отклонение острия ядра из плоскости
полета (фиг. 111).
Фиг. 112.
Ш
Фиг. ПО.
Фиг. 111.
Компас с волчком представляет собою в существенном
очень быстро вращающийся маховик; его горизонтальная ось
укреплена' на плавниках, так что ось его может устанавливаться в
горизонтальном положении.
Если ось волчка совпадает с плоскостью меридиана (фиг. 112),
то земля вследствие угловой скорости <ое вызывает
соответствующий географической широте <р момент М , величина
закону площадей равна:
которого по
l) M. S с h й 1 е г, Материалы к теории корабельного жироскопа Шлика, Z. d. V.
d. I, 1924, стр. 1224.
') Подробнее см. А. Р б р р 1, Техническаа механика, ч. 4 и 6, Лейпциг и
Берлин, 1923, 1927, Б. Г. ТеАбиер.

356 Т. I. Отд. 2. Механика. I. Механика твердых тел
м
dB
dt
= I B\ ca^sincp =r Уш<|)йsincp (фиг. 112).
Здесь обозначают: У-— момент инерции и ш—угловую скорость волчка.
Ввиду того что М действует в горизонтальной плоскости, он не
вызывает вращения волчка.
Если ось волчка совпадает с направлением восток-запад (фиг. 112),
то вращение земли на географической широте <р вызывает момент Л1,
по закону площадей равный
М -
dB
dt
= В <otf = /а
Момент М лежит в плоскости меридиана
8 и направлен перпендикулярно к оси земли,
так что он имеет действующую составляющую
Мг = М cos ср = J ш (ое cos ср,
которая совпадает с радиусом земли (фиг. 113);
♦ Фиг из. она вРа1Дает плавающий волчок до
совпадения его оси с меридианом.
Волчок находит частое применение для стабилизации движения
(однорельсовая дорога, сбрасывание в цель снарядов с аэроплана,
движение аэроплана и т. д. *).
4. Общее движение твердого тела. С точки зрения теории
движения (стр. 320) самое общее движение твердого тела может
рассматриваться, как сдвижение относительно произвольной
начальной точки и вращение вокруг этой точки. Если начальной точкой
будет избран центр тяжести, то движение центра тяжести можно
определить на основании закона центра тяжести (стр. 344); остается
только движение вокруг центра тяжести, которое происходит таким
образом, как-будто сам центр тяжести находится в покое; в этом
случае для вращательного движения вокруг центра тяжести можно
применить законы движения волчка.
1. Пример. Центр тяжести падающего обломка скалы движется по
параболе, если не принимать во внимание сопротивление воздуха. Вращение вокруг
центра тяжести происходит, как у свободного волчка (движение Poinsot, стр. 351).
2. Пример. Шар устанавливается на наклонной плоскости и освобождается
без толчка; он катится по плоскости вниз. Рассмотрим, при каких условиях
произойдет только катание или только скольжение шара. Коэфициент трения при
скольжении (л (стр. 411) известен (фиг. 114). На шар действуют две силы: вес
шара Q, проходящий через центр шара, и давление плоскости, которое разлагается
на нормальную составляющую ЛГ, проходящую через центр шара, и на составляю-
*) Подробнее см. у Kleln-Sommerfeld, Theorle des Kreiseta, Bd. 4
(Anwendungen), Berlin u. Leipzig 1910,Teubner und Grammel, „Der Kreisel", Brauit-
schweig 1920, Vfeweg. — Die Mittel zur Verringerung der Schlingerbewegung ia Werft-
Reederei-Hafen, 1928, IX. Jihrg.-A. F б p p 1, „Technische Mechanik", Bd. 4 u. 6,
Leipzig u. Berlin, 1923, 1927, Teubner.

Динамика
357
щую трения F. Применение законов центра тяжести к движению центра шара
ЛГ=г Q cos в (1)
и ■
т ^r = Q sin « — F (2)
at
где v означает скорость, параллельную наклонной плоскости. Вращательное
движение может происходить только вокруг оси центра тяжести, направленной
перпендикулярно к плоскости чертежа (фиг. 114). Основное уравнение динамики такого
вращательного движения гласит:
'г*- * (3>
где / = у тг- (стр. 304) — осевой момент инерции шара с массой /и, а ш — угловая
скорость шара.
При чистом к а ч е н и и /р=г ш и F^ |x N. По уравнениям (2) и (3) для
случаев качения будет:
образом
rfu>
dt Q sin a — F
* ™* rfu> ~ rF
F = -f Q sin «J
$-**•■
Фиг. 114.
Это означает, что чистое качение происходит при Ц. ^ |- tg «.
EcflH{x<-|-tga, т. е. при более крутой плоскости или при
меньшем трении, то происходит качение и скольжение
шара. При р. = 0 произойдет только скольжение шара.
d) Удар твердых тел
При ударе двух твердых тел играет роль только относитель-
н а я скорость обоих тел; мы можем поэтому одно из этих тел
рассматривать как бы находящимся в покое и наблюдать
движение только второго ударяющего тела. В момент касания
обоих тел можно к точке соприкосновения провести плоскость,
касательную к обоим телам. Прямая, перпендикулярная к этой
плоскости и проходящая через точку соприкосновения, называется
линией или нормалью удара. Если линия удара проходит
через центр тяжести обоих тел, то удар называется
центральным, в каждом другом случае — внецентренным ударом.
Удар называется прямым, если тело, производящее удар,
находится относительно тела, воспринимающего удар, в поступательном
движении по направлению нормали удара; в противном случае удар
называется косым.
При ударе двух тел нельзя считать тела абсолютно твердыми.
Изменение формы соударяющихся поверхностей настолько важно
для процесса удара, что им невозможно пренебречь. При ударе
различаются два периода. Первый период начинается касанием

358 т- 1- 0тд- *• Механик». I. Механика твердых тел
обоих тел. В этот период происходит сплющивание касающихся
поверхностей. К концу первого периода сплющи ванце,
следовательно, и сближение, обоих тел достигает максимума; точки
прикосновения обоих тел имеют одинаковую скорость. Тогда начинается
второй период, во время которого сплющивание исчезает
вполне или только частью. Этот период длится до момента
расхождения обоих тел. _
Сила удара Р действует обыкновенно только в
продолжение очень короткого времени. Она возрастает во время первого
периода обыкновенно до больших размеров и падает во время
второго периода до нуля. Для процесса движения действителен
закон количества движения (стр. 346), интегрированием которого
по времени от t до f для первого или второго периодов удара
или всего времени удара получаем:
* /
mbv = m(v' — v) = j Pdt= J (1)
В сравнении с силами удара на время периода процесса удара
можно пренебречь всеми влияниями других сил, как, например, веса,
т. е. при ударе тела можно рассматривать как совершенно
свободные.
1. Прямой, центральный удар. При прямом, центральном ударе
линия удара проходит через центр тяжести обоих тел, и
относительное движение представляет собою поступательное движение,
параллельное линии удара, например удар двух шаров параллельно
прямой, проходящей через центры. Обозначим через т1 и т2 массы
обоих тел, v1 и v2 — их скорости перед началом удара, и — их общая
скорость в момент наибольшего взаимного давления, vxr и v2 —
скорости к концу удара. Мы получим:
Щ Щ + Щ Щ = (mi + Щ) и = тх vx'+ m2v2'
и
51 = m1(tf1 — u) = m2(u-r-v2); S2^=m1 {u — vx') = m2{v2' — и).
Частное k = S2/Si называется коэфициентом удара; его
величина зависит от степени упругости или соответствующей
пластичности обоих тел; предельные значения коэфициента удара суть:
k = 0 для совершенно неупругого удара и k = 1 для удара вполне
упругого.
Из полученных соотношений найдем:
и соответственно
k = <fi/—g

Динамик*
359
Подстановкой
мх I/, -f т2 v2 mivl'-\-m2v2
U я= 1 ==^~ —j—
/Wj -f- /Я2 IWj "f- fH2
получаем:
Как видно, этот коэфициент не зависит от масс тх и т2.
Общий случай: 0<&<1.
Имеем для скоростей:
и = (тх vx + т2 v2) I (щ + m2),
v1/ =* и — k (vL — v2) m2 /(тх + m2); i>2' = и -f Л (i^—v2) m1/(m1-fma\
для изменения количества движения каждого тела:
5 = тх (vx — tf/) = m2 (i>2'—t>2) = (1 + *) (^i — «tf 04 ^2/(^1 + wa^
для потери живой силы:
Вполне неупругий удар: Л = О, t// = t>2' = и.
. F_ m^ (г/j — р2)2 _ (^-и)2 . (и~^)2
(Принцип К а р н о)
Вполне упругий удар: Л=1, ЕасО.
, (т|--т8)*1 + 2т2Р2 , _ 2m1y1 — (mi — m2)v2
V\ — . » Vo — , ,
"*1 Т Щ. т\ "Г ^2
„ ^ т1^1 Ь^2^2
"*i +• Щ
для mj = m2 будет i>/ =* t>2, v2' »= t^;
для tf2 = 0 будет v1/=t/1.(m1—m2)/(m1 + /"2). v2/ = v1- 2m1/(m1+m2).
Определение коэфициента удара Л: имеем f&^hjh,
где &! означает высоту, до которой шар отскакивает при падении
с высоты h на горизонтальную неподвижную плоскость (v2 = О,
т2 = со, vx « "^2^/2, я/ = У 2 g/^). Величина Л2 зависит в большой
степени от скорости, с которой происходит удар, т. е. от h.
Средние значения k при vt« 2,8 м/сек следующие: для слоновой кости
k = |, для стали и пробки k = J, для стекла Л == $$, для дерева Л = i.
2. Прямой внецентренный удар. В этом случае ударяющее
тело имеет относительно ударяемого тела опять только
поступательное движение, параллельное линии удара. Линия удара не
проходит, однако, через центр тяжести обоих тел.

360 т- !• 0тД- *• Механика. I. Механика твердых тел
Пример. Шар массы тх ударяет в рычаг массы т% со скоростью vx в
расстоянии р от центра тяжести рычага (фиг. 115). Удар вполне упрут (Л = 1). К концу
первого периода скорость точек касания О обоих тел одинакова и равна и. У
рычага движение состоит из сдвижения центра тяжести 5 со скоростью и и враще-
«"" rfca
Тю-
ния рычага со скоростью ш вокруг центра тяжести:
и — а^ + шр.
По закону количества движения имеем:
Фиг. 115. и « ^^~
где i в У 3\т% означает радиус инерции второго тела относительно центра
тяжести. При р = 0 получаем формулу прямого центрального удара (см. 1). Если
введем приведенную массу
т/ х= т^Щ(р* + **)>
то получим
а е. тх vx\{mx + *»/)»
т. е. согласование с прямым центральным ударом. Ввиду того что картина второго
периода удара упругих тел представляет собою, так сказать, зеркальное
изображение первого периода, то при помощи приведенных масс в согласие с
соответствующими формулами прямого удара получаем скорости в местах удара:
vxr = vx (mt — m9')/(Wi + "*«'); v/ = 2ml v^\{mx -f m/)+
3. Удар по телу с неподвижною осью вращения (фиг. 116).
Два тела, вращающиеся вокруг параллельных осей Аг и Л2,
соударяются с угловыми скоростями о>! и ш2. Моменты инерции обоих тел
по отношению к осям вращения обозначим через Jx и У2. Формулы
прямого центрального удара применимы здесь, если ввести
m1 = yj/a12, щ = Ца£\ v1 = a1a>1, v2 = a2<»2, v1' = al«>1',
v2 = a2 **2f (mi и Щ—приведенные массы относительно места
удара).
Если необходимо избежать
влияния удара на ось А2, то точка удара
и точка вращения А2 должны
располагаться относительно друг друга,
как центр качания и точка подвеса фиг# 11б .
физического маятника (стр. 344),
т. е. а2 = ^тъеъ гДе Н обозначает расстояние центра тяжести
от оси вращения.
4. Вращающий удар. На двух валах, расположенных по одной
оси, закреплены два маховика с моментами инерции Jx и J2. В то
время как первый маховик вращается со скоростью mlt второй
находится в покое. Оба вала соединены муфтой. Как велика угловая
скорость а/, с которою будут вращаться оба маховика? Подобно
тому как при обыкновенном ударе играет роль закон количества
движения, так при вращающем ударе важен закон площадей
(стр. 346). Вследствие отсутствия внешних сил количество
вращения должно оставаться постоянным, т. е. после удара должно быть
тем же, как и до удара:
У1ш1 = (У1 + У2)ш/;
отсюда следует:

Динамика 361
Потеря кинетической энергии при вращающем
ударе:
5. Расчленение процесса удара. Герц1) первым высказал
важное для рассмотрения всех ударов предположение, что
продолжительность удара гораздо Дольше того времени, которое требуется
упругой волне для пробега через ударяющие тела. При большой
скорости звука твердых тел (у стекла и железа около 5000 м сек~~1,
у дерева 3000 до 4000 м сек~1) это легко можно было ожидать у
небольших тел. Правильность предположения Герца была
подтверждена опытами, произведенными Гамбургером а) и Бергером 3).
Каждое возвращение волны удара связано с вздрагиванием
поверхности удара и является, следовательно, нарушением
действительного процесса удара. Вследствие колебаний, испытываемых телами
от ударов, происходит потеря механической энергии, потому что
энергия колебаний не может быть обратно использована, а в конце-
концов переходит в тепловую энергию. Явления колебания поэтому
представляют собою нарушения действительного процесса удара.
При центральном ударе двух шаров или других тел, имеющих во
все стороны приблизительно одинаковые размеры, колебания при
ударе в общем не играют большой роли. На расчленение удара на
действительный процесс удара и на колебательный удар, который
следует рассматривать как нарушение, указал, главным образом, и
Рамзауэр 4).
6. Сила и продолжительность удара. В данном случае будет
принят во внимание только действительный процесс удара в
предположении, что колебательным ударом мы пренебрегаем.
Экспериментально этого можно достигнуть концентрацией деформации на
месте удара в соответствующем буфере, вследствие чего сами
ударяющие тела могут рассматриваться как твёрдые. Силу удара при
чисто упругом ударе Герц вывел исследованием на основании
закона Гука (Hook) состояния напряжения и деформации в точке
соприкосновения двух сталкивающихся шаров с радиусами г, и г2. Он
нашел следующее соотношение между силой удара Р и общим
сжатием х:
P=ctx\ (1)
причем постоянная
= 16 1^
Cl 3 Vl/vi+(l/v2)-(*rf53'
*) Н е г t z, О соприкосновении твердых упругих тел Journal f. reine u. ange-
wandte Mathematik, т. 92,1881; или Oesammelte Werke, т. 1, стр. 165.
«) Hamburger, Dissertation, Breslau, 1885.
8) Berger, Закон .протекания силы при ударе, Braunschweig, 1924.
*) Ramsauer, Экспериментальные и теоретические основы упругого и ме*
ханического удара, Annalen a. Physik, 30, 1909, стр. 417.

362 т *• Отп. 2 Механика. I. Механика твердых тел
При этом &! и Ь2 представляют собой сокращения значения
a = (2/6)(i-i/v),
причем 1/v обозначает коэфициент Пуассона, т. е. для железа
приблизительно 0,3, и G — модуль упругости сдвига, т. е. для железа
приблизительно 800 000 кг см~~2. Если для упрощения
предположить, что тело массы щ ударяет в тело массы т2, находящееся
первоначально в покое, со скоростью v% то Герц находит как меру
для максимального сплющивания
а м
/ 5 тх т2 V ?
Хт*х~\4с1т1 + т2)Х' }2)
f
но так как согласно уравнению (1) Ртлх= сг хтйХ, то вытекает
зависимость максимального давления удара Р от относительной
скорости V.
Л..*'-*.» (3)
причем постоянная kx исчисляется следующим образом:
k /5 тх т2 у J
Для продолжительности удара Герц получает:
Т =2,9432 ?™L %
v
или, если вставить величину для хтах, указанную уравнением (2),
r«*/fa при h = 2.9432. (4-|^;f
т. е. продолжительность удара уменьшается при возрастающей
скорости, но только очень медленно, а именно обратно корню 5-й
степени из скорости удара.
Из литературы о сплющивани, силе удара и продолжительности удара, кроме
приведенных выше, можно указать еще на следующие труды:
Н б n i g e r, Применение кинематографии для определения силы удара при
испытании на удар, Z. d. V.d. 1.1912, стр. 1501.
Planck, Наблюдения за динамическим напряжением при растяжении, Z. d.
V.d. 1.1912, стр. 17.
S e e h a s e, Экспериментальное определение протекания силы удара и
определение работы деформации при опытах сплющивания, Mitt. Forschungsarb., VDI, 1915.
Хорошее обозрение дает книга F. В е г g e г, Закон протекания (хода) силы
при процессе удара, Braunschweig, 1924f Viewefc.

Механизм
363
II. Прикладная механика
Под редакцией проф. А. П. Малышева
А. Механизм
Обработано проф. Г. Марк .Мюнхен.
а) Определения
Под механизмом понимают сочетание твердых тел, взаимно
подвижных, так наз. звеньев для целей передачи движений и сил.
В последующем рассмотрены плоские механизмы, движение всех
звеньев которых происходит в плоскости или может быть
представлено в плоскости. Движение звеньев механизма является
принужденным: каждому положению звена соответствует только одно
положение всех остальных звеньев, причем взаимная связь и
зависимость всех звеньев во время движения не нарушается и не изменяется.
Звенья механизма соединены парами.
"Низшие пары: пара вращения (цапфа и подшипник),
пара поступательная (крейцкопф и направляющие),
винтовая пара (гайка и винт).
Высшие пары: катящиеся рычаги, ролик и кулак, стержень в
непрерывном касании с дугой, шарик в шариковом подшипнике
Фиг. 1. Фиг. 2. Фиг. 3.
Однокривошип- Двухкривошипный Трехкривошипный
ный механизм механизм механизм
и пр.; высшие элементарные пары должны быть сведены к низшим
путем добавления звена (стр. 366).
Одно неподвижное (или рассматриваемое в качестве такового)
звено механизма называется стойкой или рамой. Остальные
звенья подвижные. Движение может быть сообщено одному звену
от внешнего источника силы или нескольким' звеньям — каждому
независимое. В случае принужденного движения движение звеньев
вполне определяется в зависимости от заданного движения одного
звена или ряда их. Ради простоты изучения можно принять, что
движение передается от внешнего источника через звенья,
соединенные с неподвижным звеном; эти звенья называются кривошипами
(если они описывают полный круг). В зависимости от числа
независимых движений различают одно-, двух-... я-к р и в о ш и п-
н ы е механизмы (фиг. 1—3).
Все важные в машиностроении механизмы могут быть
представлены как кривошипные (по W. Lynen). Это представление не
противоречит требуемой общности происхождения движений.

364 Т. I. Отд. 2 Механика. И. Прикладная механика
Ь) Основной метод построения механизма
Механизм в самой общей форме называется „механизмом
свободной структуры"; сообщаемые ему движения с угловыми скоростями
wi» °>2» шз и т- Д- независимы друг от друга. Если все движения
зависят от одного, т. е. <(>2 = ^ш1) и т- Д-» то механизм приведен
через эту связь к механизму с одним кривошипом. Такой механизм
является механизмом „связанной структуры" (или с одной степенью
свободы) (фиг. 4 и 5). В случае механизма связанной структуры
двухкривошипный
механизм (фиг. 4) состоит из
двух кривошипов / и 5,
двух поводков 2 и 4, тяги 5
и стойки 6; трехкриво-
шипный механизм (фиг. 5)
имеет кривошипы /, 3
Фиг. 4. Фиг. 5. и 5, три поводка 2, 4 и 6%
Механизм в связанном построении Две ТЯГИ 7 И 0, ОДНО Трех-
поводковое звено 8 и
стойку 10. Число звеньев /z-кривошипного механизма с
принужденным движением равно An — 2 и всегда четное: четное
число звеньев — признак и условие принужденного движения. Для
механизма свободной структуры независимые движения должны быть
рассматриваемы, как замена связывающих тяг (звеньев 7 и 9, фиг. 5).
Если назвать сочетание двух звеньев диадой (фиг. 6), трех
звеньев триадой (фиг. 7), то структура механизма может быть
Фиг. 6. Фиг. 7. Фиг. 8.
описана так: двухкривошипный механизм составлен из двух диад,
трехкривошипный из двух диад и одной триады; четырехкриво-
пйшный — из 2 диад и 2 триад, л-кривошипный — из 2 диад и
'л — 2 триад; шестикривошипный механизм также легко
анализируется по этой схеме (фиг. 8).
Из приведенной классификации выпадает механизм с одним
кривошипом; его образование выяснится из отдела с) и ел. Состав
этого механизма следующий: кривошип /, поводок 2, коромысло 3
и стойка 4. Характерным звеном трехкривошипного механизма
и с большим числом кривошипов является трехповодковое звено,
к шарнирам которого присоединены поводки или тоже трехповод-
ковые звенья,
<7

Механизм
.-565
Обозначения. Целесообразно обозначать при анализе структуры: кривошипы —
нечетными арабскими цифрами, тяги, связывающие кривошипы, —последующими
арабскими нечетными цифрами, трехповодковые звенья—следующими за ними
четными, стойку—самым большим четным числом. Угловые скорости и ускорения получают
индекс в зависимости от того, к какому звену они относятся; линейные скорости и
ускорения, а также силы имеют индексы буквенные, относящиеся к определенной точке.
Шарниры стойки носят римские цифры, концы кривошипов обозначаются буквами
Л, В... г, концы поводков буквами С, #... /С, остальных точек—Л, М.„ Р и тяг—Q, /?...
с) Преобразование механизмов
1. Прибавление звеньев. Вставка диады между двумя
подвижными звеньями (фиг. 9); то же между неподвижным и подвижным зве-
Фиг. 10.
Фиг. 11,
Фиг. 11
Фиг. 12а.
ном (фиг. 10). Если оценить диаду, как-пару поводков 2-кривошипного
механизма, у которого устранены кривошипы, то можно представить
себе также, что у
многокривошипного
механизма отняты
кривошипы, а остаток его
присоединен к
некоторому другому
механизму. Пример
преобразования
2-кривошипного через
прибавление остатка 3-кри-
вошипногона фиг. 11.
2. Отсечение звеньев. Приемы — прекращение движения ,
кривошипа, устранение тяги. Пример двухкратного отсечения на
фиг. 12 и 12а. Оказывается, что прекращение движения
кривошипа преобразует 2-кривошипный механизм в механизм с одним
кривошипом (фиг. 13 и 13а). Этим путем найдено для него место
в приведенной классификации. На фиг. 14 представлен механизм,
полученный из 3-кривошипного устранением кривошипа и тяги.
3. Замена звеньев (фиг. 15). Звено / заменено двумя ему
параллельными между двумя параллелями; первое звено становится
излишним кинематически и для счета; это — лишний член.
4. Замещение. Один кривошип заменяется целым механизмом
(фиг. 16). Здесь один кривошип / заменен механизмом 2-кривошип-
ным //, 12, 13 и 14 с, угловыми скоростями ши и to^.

366
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Эти замещения могут быть сделаны в произвольном числе: они
ведут к изменению числа звеньев на четное число и оставляют
механизм механизмом с принужденным движением.
Фкг. 13.
Фиг. 13а.
Фиг. 14, ^
d) Изменение формы звеньев.
Изменения связаны с расширением и сжатием цапф
по Бурмейстеру.
Примеры фиг. 17 и 17а: расширение папфы А дает
эксцентрик; если от цапфы и вкладыша применяется только часть, то это
называют сжатием
(сокращением цапфы)
(фиг. 18). Расширение
цапфы при точке 11
фиг. 18 и сокращение
ее до кольцевого
сектора дает кулиссный
камень 5,
перемещающийся в
направляющей дуге — кулиссе.
Если цапфу
расширить до
бесконечности, направляющая
дуга переходит в
прямую линию
(фиг. 19): таково
происхождение
поступательной пары из пары
вращения. Из фиг. 18
и 19 следует, что
радиус кривизны пути
\м 13 1Л звено 3 идентич-
*** ны. Поэтому можно
во многих случаях
вводить радиус
кривизны в качестве заменяющего звена. Путем расширения и
сокращения цапфы из пары вращения происходят высшие элементарные
пары: катящиеся рычаги, кулаки, скользящие дуги, зубчатые
колеса и пр. Они могут быть дополнены прибавлением звеньев
Фиг. 17а.
Фиг, 18.
Фиг. 19.

Механизм 367
к центру кривизны пары и присоединением кривошипных
механизмов нормальной формы.
Фиг. 23а, 23Ь, 23с иллюстрируют порядок действий: цапфы А и В
расширяются, звено 2 заменяется пружиной. Размеры цапфы изменены до необходимой
величины.
Фиг. 21. Фмг. 21а.
Примеры: 1. Пара катящихся рычагов (фиг. 20). Центры кривизны
рычагов С и D находятся на прямой CD. Однокривошипный механизм состоит
из звеньев 1, 2,3 а стойки 8; он дополнен звеньями 4%5 и 6, также 7, длина последнего
Фиг. 23а. Фиг. 23Ь. Фиг. 23с
бесконечно велика. Связь между рычагами поддерживается силой пружины: вместо
соединения звеньев посредством пары имеем здесь замыкание силой. Точка С-ц
кривизны звена 3 относится к атому звену, точка D-ц кривизны звена 5 — к атому по*
следнему.

368 т- *• Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Так как кривизна двух рычагов непрерывно изменяется, то подвергается и
изменению и отрезок CD, так что член 4 (CD) механизма будет звеном
определенной длины для каждого момента движения, но различной длины для двух
соседних моментов.
2. Ролик и некруглая шайба (кулак)
(фиг. 21 и 21а). Центр ролика перемещается так, как-
будто он управляется через штангу из одного и того же
центра С криволинейной поверхности, одновременно
испытывая воздействие бесконечно удаленного центра ///.
Звено 4 непрерывно изменяется в соответствии с
центром кривизны кулака.
Фиг. 24а.
Распределение Лентца — MAN
3. Также зубчатые колеса могут быть получены этим путем (фиг. 22):
давление в зубцах — замыкание силой, центры кривизны Поверхности зубцов — точки
соприкасающихся колес.
Кривошипные механизмы могут иметь бесконечно длинные звенья. Двухкриво
шипные механизмы с звеньями бесконечной длины /, 2, 3, 4 на фиг. 24 и 24а.
е) Анализ и синтез механизма
Для критического изучения существующего механизма (анализ)
и для проектирования нового (синтез) необходимо представить себе
нормальную форму механизма.
Поступательные пары, высшие пары, должны быть
преобразованы в пары вращения подходящим изменением радиусов кривизны.

Структура механизмов
369
Определение однокривошипных механизмов не представляет
затруднений. У двухкривошипного механизма должно быть два поводка,
которые соединены одним шарниром. Коромысло с присоединенными
поводками—характерный признак 3-й многокривошипных
механизмов, поэтому целесообразно при преобразовании механизма итти от
коромысла через поводки к кривошипам.
Механизмы под абзацами от b до d — механизмы с принужденным
движением, что можно доказать просгыми геометрическими соображениями. Они
удовлетворяют также условиям принужденного движения в форме G г u b 1 ег' а.
Если механизм должен удовлетворять определенном условиям относительно
положения и размеров, то необходимо установить геометрические основания для
этого (Работы А 1х ' а по примеру В u r mei st е г ' а и Griibler'a, кратко
изложенные Бейером).
В. Структура механизмов
По способу проф. А. П. Малышева, составил инж. И. С. Мясников
а) Состав механизма
Для определения положения твердой) тела в пространстве необходимо и
достаточно знать положение каких-нибудь трех точек эгого тела А, В и С. Расстояния
между этими точками постоянны и могут быть выражены уравнениями:
ев-'луьрв-УлУ+Гв—лУ-** (1>
{хс-хлУ + Рс-УаУ+{жс-жлУ=™ (2)
Сс-'вУ+Сс-УвУ+Сс—в)—^ (3)
При движении твердого тела в пространстве необходимо определить 9
координат tx , х , х , уд, у , у , гл, z , г \. Тело, для которого имеется 9
уравнений, связывающих названные координаты — статически определимо:
твердое тело, для которого можно составить более 9 уравнений, представляет
собой статически неопределимую систему с лишними связями; если
уравнений меньше 9, получается подвижная система; степень подвижности
системы характеризуется числом степеней свободы.
При движении твердого тела параллельно плоскости для определения
положения всей фигуры необходимо и достаточно знать положение 2 точек этого тела.
Статически определимая фигура должна иметь 4 уравнения; фигура с лишними
связями — более 4 уравнений и фигура с одной или несколькими степенями
свободы — менее 4 уравнений.
Уравнения, связывающие различные точки системы, называются условиями
связи. Статически определимая система должна иметь: в пространстве 9 условий
связи для каждого тела; при движении параллельно плоскости - 4 условия связи-
Число недостающих уравнений для определения системы называется числом
степеней свободы. Для определения положения стержня в пространстве
необходимо 9 условий связи (на плоскости 4). Если вместо 9 условий связи имеется
только 8, то стержень в пространстве будет иметь 1 степень свободы; при 7 условиях
связи — 2 степени свободы и т. д.
Если стержень на плоскости имеет 3 условия связи, то он имеет 1 степень
свободы, при 2 условиях связи — 2 степени свободы и т. д.
Механизмом называется система (группа сочлененных звеньев),
имеющая одну степень свободы и могущая совершать движение с циклом.
Всякий, механизм состоит из звеньев и кинематических пар. Тело, у
которого взаимное расположение точек определяется
заданными условиями связи, входя в состав механизма,
называется его звеном.. Звенья могут быть изменяемыми и неизменяемыми,

370 т- !• 0тД- 2- Механика. ТТ. Прикладная механика,
у неизменяемых звеньев расстояния между любыми точками все время остаются
постоянными, у изменяемых же звеньев расстояние между точками может
изменяться. Если закономерность развития деформации при движении неизвестна, то
теряется связь, а если она известна — связь восстанавливается.
Всякое приспособление, при помощи которого сцепля«
ются звенья, называется кинематической парой. С
аналитической точки зрения кинематическая пара есть совокупно сть условий связи,
определяющих относительное движение двух звеньев,
образующих эту пару. Всякое звено может иметь различное число
кинематических пар, которыми оно связывается с другими звеньями.
Стержни АВ, FC, ED имеют по 2 кинематических пары в точках А, В, С, D,
Е и F, а стержень В CD — три кинематических пары.
Для того чтобы установить, является ли данная система механизмом,
необходимо знать число условий связи. Число условий связи должно быть меньше числа
координат точек, необходимых для
определения положения всех звеньев, на единицу.
Если, например, система в пространстве
состоит из 4 звеньев, то для определения
положения всех звеньев надо знать 36
координат, считая на каждое звено по 3 точки и
для каждой точки 3 координаты. Для
определения положения 4 звеньев в системе на
плоскости необходимо знать 16 координат.
В первом случае система будет являться
механизмом, если имеется 35 условий связи;
во втором случае, если будет дано 15 условии
связи. Число условий связи в неизменяемых
звеньях определяется легко. Для каждого
твердого звена в пространстве можно написать три условия связи (расстояния
между тремя точками). Для каждого звена на плоскости можно написать одно
условие связи (расстояние между двумя точками). Если обозначить через п число
звеньев, то число условий ч:вязи, вносимых звеньями, будет:
Фиг. 25.
Зп — для системы в пространстве,
п ■— для системы на плоскости.
Сложнее дело обстоит с определением числа условий связи в кинематических парах.
Ь практической работе для подсчета числа условий связи в кинематических
парах удобно пользоваться следующей сокращенной таблицей для наиболее ходовых
кинематических пар *).
Способ сцепления звеньев
Число уело
в пространств,
механизме
5
3
5
2
2
1
вий связи
в плоском
механизме
2
2
2
1
2
i 1
К механизмам могут быть прибавлены группы сцепленных звеньев, и в
результате может быть получен более сложный механизм или, наоборот, от какого-нибудь
х) А. П. Малышев, Анализ и синтез механизмов с точки зрения их
структуры, Томск, 1923 г. Е г о ж е, Кинематика механизмов, Москва, 1УЗЗ.

Структура механизмов
371
Фиг. 26.
Фиг.
сложного механизма может быть отнята группа сцепленных звеньев, после чего
также получится упрощенный механизм. Для того чтобы система, после удаления
группы звеньев осталась механизмом,
очевидно, необходимо, чтобы в удаляемой
(или прибавляемой) группе было бы столько
условии связи, сколько координат. К
наиболее известным в литературе группам
звеньев, которые можно прибавлять к
механизму или отнимать от него, относятся:
1. Диада (фиг. 26). В плоском
движении диада имеет 8 координат (2 звена
по 4 координаты) и 8 условий связи
(2 в звеньях и 6 в парах).
2. Трехповодковое звено (фиг. 27).
8 плоском движении (при 4 звеньях)
имеется 16 координат и 16 условий связи
(4 в звеньях и 12 в парах).
В пространственном движении с уда- k
лением группы звеньев должно уноситься по 9 условий связи на каждое звено. При
удалении триады, состоящей из 3 звеньев, должно быть унесено 27 условий связей
(9 в звеньях и 18 в парах).
Ь) Структурный анализ механизма
При исследовании механизмов прежде всего необходимо иметь уверенность
в том, что данная конструкция кинематически правильна. Если отдельные звенья
имеют больше 1 степепи свободы, необходимо их обследовать, в какой степени
лишние свободы безвредны для движения всего механизма.
Двухзвенные механизмы
Положение звеньев двухзвенного механизма определяется: а) в
пространственном движении 18 координатами, б) в плоском движении 8 координатами. При уело*
вии что одно из звеньев неподвижно, остается: а) в пространственном движении
9 координат, б) в плоском движении 4 координаты. Если система состоит из твердых
звеньев, то в подвижном звене будет 3 условия связи в пространственном движении
и 1 условие связи в плоском движении, а на кинематическую пару останется 5
условий связи (5-й класс *) в пространственном движении и 2 условия связи (2-й класс)
в плоском движении. Наиболее распространенными парами, годными для сцепления
двух звеньев, в пространственном механизме является цилиндрический шарнир
и ползун на направляющей. Обе эти пары 5-го класса.
Примерами кинематических пар для плоского двухзвенного механизма могут
быть: цилиндрический шарнир, ползун, колесо, катающиеся в плоскости по данной
кривой, и др.
Трезвенные механизмы
При условии, что одно звено трехзвенного механизма неподвижно, координат,
подлежащих исследованию, будет: а) в пространственном движении 18, б) в плоском
движении 8. Если система состоит Из неизменяемых звеньев, то в подвижных звеньях
будет: 6 условий связи в пространственном движении и 2 условия связи в плоском
движении, а на кинематические пары останется И условий связи в
пространственном движении и 5 условий связи в плоском движении. Так как в трехзвенном
механизме возможны три пары, то в пространственном движении возможны следующие
комбинации: а) 2 пары 5-го класса и 1 пара 1-го класса, б) 1 пара 5-го класса,
1 пара 4-го и 1 пара 2-го, в) 1 пара 5-го класса и 2 пары 3-го класса, г) 2 пары 4-го
класса и 1 пара 3-го класса.
В плоском трехзвенном механизме пары могут распределиться единственным
образом, а именно: 2 пары 2-го класса и 1 пара 1-го класса.
Многозвенные механизмы
Пусть дано п сцепленных между собою звеньев с п кинематическими паоами.
При одном неподвижном звене число координат в подвижных звеньях будет:
1) Кинематические пары, имеющие 1 условие связи, отнесены к 1-му классу,
имеющие 2 условия, отнесены ко 2-му классу и т. д.

372 7 1- Отд. 2. Механика. П. Прикладная механика
9 (л — 1) в пространственном движении, 4 (л — 1) в плоском движении.
Число условий связи в звеньях будет: 3 (л — 1) в пространственном движении
/г — 1 в плоском движении.
Число условий связи в кинематических парах должно быть: 6л — 7 в
пространственном движении, Зл — 4 в плоском движении.
Пользуясь указанными данными, можно составить таблицу для механизма
с различным числом входящих в него звеньев.
ьев
09 5
со со
og
зя
s а>
Т S
2
3
4
5
6
7
8
9
10
? 1
X се
Ч К
3 2
ей
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Пространственный механизм
число
координат в

подвижных
звеньях
9 (л-1)
9
18
27
36
45
54
63
72
81
условий
связи в
звеньях
3 (л-1)
3
6
9
12
15
18
21
24
27
условий
связи в
кинематич.
парах
6л-7
5
И
17
23
29
35
41
47
53
Плоский механизм
число
координат
в
подвижных
звеньях
4 (л-1)
4 "
8
12
16
20
24
28
32
36
условий
связи в
звеньях
л-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
условий
связи в
в нарах
Зл-4
2
5
8
11
14
17
20
23
26
и т. д.
Если в пространственном механизме считать все пары 5-го класса, то формула
механизма будет выглядеть так:
9(л-1) = 3(л-1)4-5л + 1.
Так как цилиндрический шарнир в
пространственном механизме относится
к парс 5-го класса, то с помощью
формулы механизма решается вопрос
о числе звеньев в замкнутом
пространственном стержневом механизме,
звенья которого соединены
цилиндрическими шарнирами:
6 (л — 1) = 5л + 1,
откуда л = 7.
В плоских механизмах
цилиндрический шарнир имеет 2 условия связи,
и формула замкнутого стержневого
механизма, звенья которого
соединены цилиндрическими шарнирами,
получит вид:
4 (л — 1) = п — 1 -f 2л + 1 = Зл,
откуда п = 4.
1. Пример. Является ли
авиационный мотор механизмом с 1-й
степенью свободы (фиг. *8)/ В могоре
имеется 11 подвижных звеньев '5
поршней. 5 шатунов и 1 кривошип). Движение плоское. Значит, могор имеет 44 координаты.
Условий связи в звеньях 11
Ползунов но направляющим .... 10
Условий связи в шарнирах 22
Всего ... 43

Структура механизмов
373
В таком виде, как мотор представлен на схеме, он является механизмом с 1-й
степенью свободы. Если бы 3-й шатун (так называемый главный) был усгроен так же,
как все остальные, то головка его выделилась бы в особое звено. Тогда
получилось бы 48 координат и 46 условий связи, т. е. болтающаяся система, и мотор не
мог бы работать.
2. Пример. Правильно ли в рулевом управлении автомобиля в точках В и С
ставятся шаровые шарниры (фиг. 29)? Механизм пространственный, четырехзвенный.
Координат в подвижных звеньях 27. Условий связи в звеньях 9, затем в
цилиндрических шарнирах (в точках А и D) 10 условий связи, в шаровых шарнирах 6. Всего
условий связи 25, т. е. две степени свободы. Лишняя стелень свободы состоит
в том, что стержень ВС может поворачиваться вокруг своей оси, что не представляет
А В
Фиг. 29. \~/ Фиг. 30.
никакой опасности. Напротив, она необходима, так как расстояние между опорами А
и D не является жестким (рессо а^.
3. Пример. Является ли изображенное на фиг. 3) приспособление для качания
решет в ручных веялках механизмом?
Механизм п острансгвенный, четырехзвенный. Координат в подвижных звеньях 27.
Условии связи в звеньях Q, в цилиндрических шарнирах 20, всего 29.
Следовательно. ука?анное приспособление является не механизмом, а статически
неопределимой системой, и поэтому движение возможно лишь благодаря большим зазорам
в и'а 'ни..ах, чем обеспечиваются лишние степени свободы. От этого получается
сильный стук машины в работе.
4. Пример. Является ли группа звеньев, представленная на фиг. 1 (стр. 363)
механизмом? Группа состоит из 4 звечьев. Звенья 7, 2, 3 подв1жные, а звено 4
неподвижное. Для о феделения положения подвижны* звеньев в плоском движении надо
знать 3 X 4 = 12 координат. Условий связи в звенья.с — 3, условий связи в
цилиндрических шарикаt 8, — всего И. Следовательно, представленная на фиг. 1 с^ема
отвечает ме анизму.
5. Пример. Отвечает ли представленная на фиг. 2 (стр. 363) схема механизму
с одной степенью свободы? Для определения положеьия подвижных зв ньев
в плоском движении необ одимо знать 16 координат. Условий свяш в подвижных
звенья*— 4, условий связи в цилиндрически ч шарнирах— 10,-всего 14.
Таким образом в данной группе оказалось 2 степени свободы, а следовательно,
теряет я определенность движения. Для того чтобы получить полную
определенность в дви*ен4и всеч звеньев, необ .одимо ввели еше одно условие связи. Эго
условие связи может бштъ введено в виде самостоятельного движения одного
из звеньев. На фиг. 2, кроме крисошипа /, вращающегося по часовой стрелке
с углевой скоростью u)lt зветю 3 также вращается зависимо ог кривошипа. 1
с угловой скоростью ш9. В таком случае вв >дится дополнительно условие связи
ввиде u>8 = /(iL.J. а в сумме потучается 15 условии сьязи, и ipynna звеньев,
представленная на фиг. 2 становится ме аш-рмом с 1 степенью свободы. Чакой ме.*а-
ни м называется двучкривошипным.
6. Пример. Соответствует ли представленная нч фиг. 3 (стр. 363) схема ме<а-
низму/ Для определения положения подвижных звен »ев в плоском движении
необ .одимо знагь 28 координат. Условий связи в подвижны* звенья «. — 7, условий
связи в цилиндрически ч шарнира*—18, всего 25. Следовательно, в рассматриваемой
груп ie налицо 3 степени свободы, а поэтому, 1ак же как и в предыдущем примере,
определенность движения теряется. Для того чтобы данная с ема соответствовала
ме анизм , необ одимо ввести дополнительно 2 условия связи. Эти недостающие
условия связи можно ввести в виде:
ш8 = /К) и ш6=/{ш1) или w5=/(u>3),
тогда в итоге булет 27 уел вий связи и с^ема будет соответствовать механизму.
Такой механизм называется трехкривошипным.

374 Т I. Отд. 2 Механика. II. Прикладная механика
В зависимости от числа независимых движений различают одно- двух-... п-
кривошипные ме-.гнизмы. На фиг. 8 (стр. 364) представлена схема шестикри-
вошипного механизма. Структурный анализ этой схемы показывает, что
для определения положения подвижных звеньев в плоском движении необходим*
знать 84 координаты.
Условий связи в подвижных звеньях—21, условий связи в цилиндрических
шарнирах—62, всего 83. Следовательно, данная с ема соответствует механизму. Если
в этой схеме выбросить 13, 76, /7, 19 и 21 звенья и ввести условия связи в виде:
ЮЗ = /К). ^5=/Ю» u)7=/(")l). <*>,= /(l^) И Ш11==/(и)1),
то получится новая схема, соответствующая также механизму. В самом деле, для
определения положения подвижных звеньев в плоском движении необходимо будет
знать 64 координаты. Условий связи в подвижных звеньях —16, условий связи
в цилиндрических шарнирах — 42, условий связи в виде
5, всего ЬЗ.
Все важные в машиностроении механизмы могут быть
представлены как кривошипные (по W. Lynen, см. выше). Это
представление не противоречит требуемой общности происхождения
движений.
Из рассмотрения фиг. 3 и 8 можно заметить, что характерным звеном 3-криво-
шипного механизма и механизма с большим числом кривошипов является 3-повод-
ковое звено, к шарнирам которого присоединены поводки или тоже 3-поводковые
звенья.
Кроме стержневых механизмов, звенья которых получают п самостоятельных
движений, в практике машиностроения часто встречаются эксцентриковые
механизмы и механизмы, состоящие из зубчаток (диференциалы), звенья которых
также получают п самостоятельных движений. Метод структурного анализа для них
должен быть таким же, т. е. должны быть даны дополнительно условия связи,
определяюшие взаимосвязь самостоятельных движений.
с) Синтез кинематической схемы механизма
С точки зрения структуры, все без исключения механизмы должны
удовлетворять известным требованиям. При построении схем новых механизмов
возникают вопросы: а) к чему присоединить механизм, б) как можно присоединить к
механизму новое звено, в) как в механизме можно заменять одни звенья другими, г) как
соединять между собой построенные цепи и механизмы.
а) За привод, к "которому присоединяется механизм, можно брать вал
трансмиссии, электромотор, термический двигатель и т. п. Здесь важно знать одно:
сколько степеней свободы
имеет сам привод.
b) К механизму
пространственному или плоскому
с одной степенью свободы мож»
но присоединять
только такие группы, в которых
число координат равно числу
условий связи. Путем
последовательных присоединений
различных групп можно
образовать какое-угодно число
различных механизмов.
c) В механизмах воз-
Фиг. 31. Фиг. 32. можна замена и
перестановка различных
звеньев, при этом получаются совершенно новые механизмы.
7. Пример. На фиг. 31 предс!авлен плоский механизм. Проверка правильности
его структуры дает: число кординат в звеньях 36, условий связи в звеньях 9, в
кинематических ьарас 26, всего 35. Следовательно, с точки зрения структуры
механизм правилен. С удалением звена АВ число координат уменьшится на 4, а число

Кинематика механизмов 375
условий связи на 5. Для правильности модификации в оставшуюся после удаления
звена ЛВ группу необходимо ввести одно условие связи. Можно, например, в точке
М прихватить ползун с направляющими. В таком случае будет введено 4
координаты и 5 условий связи, а поэтому цепь, изображенная на фиг. 32, будет также
механизмом.
d) При соединении ряда механизмов, каждый из которых имеет
одну степень свободы, необходимо брать такие звенья и пары, при которых
после соединения — в комбинированных механизмах — будет обеспечено движение
с 1 степенью свободы. Два механизма могут быть соединены при помощи шестерни,
свободно вращающейся на неподвижной оси. Такое соединение возможно как для
пространственных, так и плоских механизмов. В самом деле: вводится 9 координат
в пространственном механизме и 4 координаты в плоском, а условий связи 10 для
пространственного механизма и 5 для плоского.
Практический синтез заключается в построении схем отдельных механизмов
и затем в их последовательном или параллельном соединении. Сначала соаавляются
схемы на одну операцию, а затем приступают к сборке комбинированного
механизма. Разумеется, после построения схем механизмов на одну операцию и схемы
комбинированного механизма, все они должны подвергнуться структурному анализу.
Подробности см. в названных выше работах.
С. Кинематика механизмов
I. Методы кинематического исследования
механизмов
а) Метод засечек
Составил инж. М. Чемисов
Нахождение траекторий точек, принадлежащих различным
звеньям плоских механизмов, может выполняться как аналитически,
так и графически. Одним из самых распространенных и
убедительных методов, применяемых для этой цели, является метод
засечек, состоящий в том, что положение искомой точ ,и механизма
определяется графически построением пересечения двух окружностей
данных радиусов. Работа по этому методу выполняется, главным

376 Т 1. Огд 2 Механика. II. Прикладная механика
образом, при помощи циркуля. Содержание метода легко
проследить на примере четырехзвенного механизма ABECD (фиг. 33),
в Kv тором звено AD является неподвижным.
Окружность, описываемую точкою В ведущего звена АВ, делят на 12 (16, 24 и т. д.)
равных частей 'за исходный момент для деления окружности рекомендуется брать
мертвое положение механизма) и переходят к разметке пути точки С. Все 12 искомых
точек С лежат на траектории S—S. описанной около центра D радиусом DC, между
двумя крайними мертвыми положениями.
Мертв )е положение механизма определяют засечкой из центра А на дуге 5—5
точек М и Мп радиусом, равным для правого мертвого положения сумме АВ -f- ВС,
а для левого —разности ВС — АВ. Затем для каждого из 12 положений точки В
кривошила находят соответствующее положение точки С. Так. например, из первого
положения тонки В (цифра / на круге В) циркулем, длина раствора которого равна
постоянной длине звена В С, на траектории S—S делаю1 засечку и получают первое
положение точки С (цифра / на круге S—S). Аналогично определяют положение
и остальных точек. Соединяя одноименные положения точек В и С прямой линией,
получают мгновенные положения шатуна ВС (они показаны на чертеже лишь в
разорванном виде, чтобы не затемнять построение).
Для нахождения траектории точки F, принадлежащей звену ВС и лежащей
на ьгправлении линии ВС, на каждом мгновенном положение последней из точки В
длиною BF делают засечки. Соединяя найденные точки F0, £\, F. ... плавной кривой,
получают искомую траекторию точки F.
Для на ождения траектории точки Е, не лежащей на линии ВС, но жестко
с ней связанной, поступают следующим образом. На звене ВС для каждого
мгновенного положения строят засечьами (из точки В радиусом BE, а из точки С —
радиусом СЕ) фигуру dEL и находя г положения точки Е. Соединяя найденные
точки Ео, £",, Е£ ... плавной кривой, получают искомую траекторию Е.
Ь) Кинематические диаграммы (S, t), {v, t), {a, t)
Составил инж. М. Ч е м и с о в.
Построение диаграммы: путь- время (5,t) (фиг.34).
Для построения диаграммы S=/ (t) берут траекторию исследуемой
точки (для примера взята
траектория точки С, фиг. 33). От
начала координат по оси абсцисс
откладывают в.
соответствующем масштабе истекшее время
движения (линия абсцисс
делится на равное число
промежутков, соответствующих числу
деления окружности В), а по
оси орлинат откладывают
соответствующие величины
пройденного пути.
На ординате / откладывают
отрезок пути 0-1, пройденный точкою. С за
время t, равное Ци части оборота
кривошипа. На последующих ордина-
гтах откладывают приращения пути,
пройденное за равнее промежутки
Фиг. 34 времени t. = ta = t4= ... — \г. Для
ординаты 2 приращение путл 1—2
откладывают отрезком 2Г—2Х, для
ординаты 3 приращение пути 2—3 отрезком З'—З, и т. д. Соединяя полученные
точки 1', 2Г, Зг ... плавной кривой, получают закон изменения пути 5 в функции
времени /.

кинематика механизмов
377
с) Графическое диференцирование
Составил инж. М. Чемисов
Для нахождения кривой скорости по кривой перемещения или
кривой ускорения по кривой скорости можно указать три
графических метода:
а — метод измерения ординат,
b — метод хорд,
с — метод касательных.
а) Построение диаграммы: скорость-время (v,/).
методом измерения ординат (фиг. 35). Скорость точки С
определяется формулой
dSc приращение пути
v° "*"" ~df ~~ "элемент времени
Эта вэличина в любом интервале приближенно определяется, как
>/+г
St
ti+i-'t
В этом случае в каждом интервале скорость принимают за
среднюю и на диаграмме (t/, t) откладывают ее (в соответств/ющем
масштабе) в середине интервала.
Таким образом'получены:
О о Ol «Ьч «^9
h — fi 12 — h
В данном случае t2 — tx = tb —12
и т. д., но в общем' случае это не
обязательно.
Соединением полученных toj
чек vv v2i v3 ... плавной кривой
получают" закон изменения
скорости vc в функции времени.
Определение
масштаба скорости. Величина
приращения пути, например, отрезка
а2—о2/=умм. Величина элемента
времени отрез а 1 —2 = х мм.
1 мм по оси ординат равен b м.
1 мч по оси аосцисс равен t сек.
Коэфициент пропорциональности
для отрезков = k
__ ds _ by
v"~df~~ ~xT'
Эту величину на диаграмме
(vt t) откладывают отрезком у =. v/k. Фиг. 35.
о,
4
V
0
а
-Л \ .
h
h
4*.
6,
7р
Ъ
а0
3
А
с,
3
^
3
)
4,
&
i
1
г0
5
ф
1 Л
* :
i.

378
Т. I. Отд. 2 Механика. II. Прикладная механика
Следовательно,
1 мм = — м/сек. •
Построение диаграммы (я, t) и определение масштаба для
ускорений производят аналогичным методом.
Ь) Построение д и аграмм ы: у скор ен ие—время (д, t)
методом хорд (фиг. 35). Линию абсцисс диаграммы (v, f) делят
на несколько частей 0—1, 1—2, 2—3 и т. д. и на кривой скорости
получают соответствующее число точек alb1c1di..., которые
соединяют между собой прямыми линиями, т. е. проводят хорды.
На искомой диаграмме (я, t) через полюс 0Х на расстоянии k мм
от оси ординат проводят прямые линии, параллельные хордам
соответствующих точек диаграммы (v, t). Прямые линии 0Х—10, 0г—20,
0Х—30... отсекают на оси ординат отрезки, пропорциональные
средним величинам ускорений для соответствующих интервалов времени.
Из треугольника 0 — ах — 1 диаграммы (t/, t), подобного
построенному треугольнику 02 — 10 — 00 диаграммы (a, t)t получают
00 — 10 = /». tg ср. Но tg 9 = —77 = я, следовательно,
_ 00—10 _ух
От оси ординат из точек 10, 20, 30... проводят прямые линии
параллельно оси абсцисс до пересечения с соответствующими
ординатами (проведенными в серединах интервалов) и получают точки
ао> ^о» Со • • • Соединением найденных точек плавной кривой
получают закон изменения ускорения а в функции времени t Аналогично
этим же методом могут быть построены и диаграммы (v, t) из
диаграммы (S, t).
Масштаб ускорений. По диаграмме (v, t) для любой
точки скорости имеют два уравнения
' v = пу и t = mxf
где 1 мм по оси ординат равен п м/сек,
1 мм но оси абсцисс равен т сех.
Следовательно, ускорение а в искомый момент времени равно
dv ndy n ,
а — —— = —^- = — tg ф,
dt max m 6T
но tgcp по диаграмме (я, t) равен —г-, следовательно,
где у,—длина ординаты на диаграмме (я, /)•

Кинематика механизмов
379
с) Метод касательных. Метод касательных
аналогичен методу хорд при построении диаграммы (a, t) на основании
диаграммы (v, t). Этот метод отличается от метода хорд тем, что из
полюса 0! проводят прямые линии, параллельные не хордам, а
касательным к кривой (v, t) в интервальных ее точках. Дальнейший ход
построения целиком совпадает с методом хорд.
По точности метод хорд выше метода касательных, так как
в последнем результат (я, t) зависит от того, как обведены точки
кривой (v, t). Метод же хорд свободен от ?того произвола.
d) Графическое интегрирование
Составил инж. Н. И. Чемисов
Для построения диаграммы скорости по диаграмме ускорения
или диаграммы пути по диаграмме скорости можно указать три
графических метода:
а — метод средних ординат,
b — метод планиметрирования,
с — метод подсчета площади при
помощи клетчатки (миллиметровой бумаги).
a) Построение диаграммы:
путь-время (5, t) по
диаграмме. (#, f) методом средних
ординат (фиг. 36). Линию абсцисс
диаграммы (v, t) разбивают на несколько
равных частей и через ,точки деления
проводят ординаты до пересечения
с кривой скорости, получают ряд точек
я<)> ^oi со---
Полученные площадки 0д01;
1а0Ь02 и т. д. пропорциональны
приращениям пути 5 за соответствующие
промежутки времени.
См. отд. I: „Практическая
математика* стр. 200.
b) Построение диаграм- Фиг. 36.
мы (S, t) методом
планиметрирования или с) подсчета площади при
помощи клетчатки. Площади на диаграмме (v, t) можно измерять
при помощи планиметра, или непосредственным подсчетом клеток
на миллиметровой бумаге. Затем результаты откладывают в
надлежащем масштабе на диаграмме (S, t). Ординате а—1 диаграммы (S, f)
соответствует площадь 0а0\ диаграммы (и, t), ординате b — 2 —
площадь 0£02, ординате с — 3 — площадь 0с03 и т. д.
Соединением найденных точек д, Ь, с, d... плавной кривой
получают искомую интегральную кривую.

380 т 1- ОгД- 2 Механика. II Прикладная механика
е) Разметка путей точек механизмов методом круговых линеек
Составил инж. Ф. А. Соколов
В практике довольно чисто встречаются механизмы, отдельные
точки которых имеют весьма малые пути даже при вычерчивании
механизма в натуральную величину.
Примером могут служить механизмы парораспределения,
механизмы нодачи в металлообрабатывающих станках, текстильных и
других машинах, у которых отдельные звенья имеют довольно большие
размеры, а перемещения точек интересующего нас звена весьма малы.
Производить исследование таких путей методом засечек
нецелесообразно, так как в работе требуются большие размеры бумаги,
специальные штангенциркули, и все-таки в разметке можно легко
допустить ошибки. Поэтому в подобных случаях следует рекомендовать
метод круговых линеек.
Метод круговых линеек позволяет делать разметку путей
исследуемого механизма в увеличенном масштабе (даже больше
натуральной ее величины), что дает возможность получить более точные
измерения. Сущность этого метода заключается в применении
шаблонных круговых лекал-линеек, откуда и получилось название метода.
Применение метода круговых линеек лучше всего показать на
примерах.
1. Пример. Пусть дан шатунно-кривошипный механизм ABC (фиг. 37), у которого
требуется разметить пути ползуна С.
Меланизм имеет достаточно длинный шатун, поэтому применим метод круговых
линеек.
Прежде всего нужно изготовить шаблон из картона или кальки. -
Раствором штангенциркуля, равным длине шагуна ВС, описывают г*
дугу 55 на картоне. Затем аккуратно вырезают шаблон с дугой 55 Ьл
и основанием SP (фиг. 38); последнее должно быть направлено по у А
радиусу R. \/ А
Если вычертить отдельно кривошипную окружность (фиг. 39) V/ А
в увеличенном масштабе и построить в таком же и,' 'А "
масштабе шаблон по указанному выше способу, то перемете- у^ \
ние ползуна С можно получигь внутри кривошипной окруж- у \
Фиг. 37. Фиг. 38.
ности В. Для этого делят на равные части кривошипную окружность в таком
порядке, как она разделена в мехачизме (фиг..37). Загем последовательно
прикладывают круговой шаблон так, чтобы его основание 5Р совпадало с линией ценгров
механизма пп, а дуга SS проходила через точки деления кривошипной
окружности 7, 2, 3, ...
Фиг 39 ясно показывает разметку пути точки С ползуна внутри кривошипной
окружности, причем механизм даже не вычерчивается.
Достоинство этого метода заключается в том. что все траектории точек
механизма можно собрать на сравнигел« но небольшом участке бумаги.
На фиг. 40 показан четырехзвенный механизм ABCD, на котором изображен
принцип переноса путей.
Точки В и С перемещаются по окружностям. При переносе путей необходимо
задаваться линиями переноса. На чертеже направление переноса обозначено стрел-

Кинематика механизмов 381
кой /. Линию переноса следует брать параллельно звену, соединяющему точки
переносимых путей в любом расположении механизма. Например, для механизма 4BCD
(фиг. 40) линии переноса взяты параллельно звену ВС в третьем положении. Для
этого через точку А проводим линию, параллельную звену В3С3 и затем из точки С
радиусом равным АВ засекаем центр О.
Далее из точки О радиусом СС— АВ
проводим пунктирную окружность.
Проводим линии переноса от делений
/, 2, 3,. . ., 8 сплошной окружности
до пунктирной окружности, последнюю
размечаем соответственно делениям
/о, 2о> 3,,... з0.
По указанному выше способу
делаем шаблон радиусом В С. Полученный
шаблон устанавливается своим
основанием на линию переноса так, чтобы
точка 5 совпала с одиим из делений
пунктирной окружности. Тогда дуга
шаблона 55 пересечет дугу
(траекторию), описываемую точкой С; деления
пунктирной окружности должны
соответствовать делениям на дуге С. На
фиг. 40 заштрихованный шаблон,
приложенный к 1-му делению пунктирной
окружности, пересекает траекторию
точки С в / и т. д.
В целях экономии бума! и и
получения точных данных можно
выполнить построение, увеличенное в л раз,
следующим образом.
Сначала в малом масштабе чертят схему механизма и принимают какое-нибудь
положение шатуна за направление переноса (например, четвертое). Отдельно от
схемы механизма нужно построить кривошипную окружность в увеличенном в л раз
Фиг. 39.
масштабе, и разделить ее на 12 (или 16, 24,...) равных частей. Через эти деления
провести короткие направления линии переноса параллельно звену ВС, а из 4-й точки
параллельно направлению CD на схеме откладывают отрезок л CD и находят, таким
образом, перенесенную точку D.
Далее, как указано выше, устанавливаем шаблон, который своей дугой 55 будет
указывать пересечения с кругом С по всем интервалам.

382
Т. I. Отд. 2 Механика. П. Прикладная механика
Фиг. 41.
2 Пример. На фигуре 41 показан механизм паровой машины, у которого на
шатуне расположена точка М.
Разметка путей
точек В СМ производится
так:
1. Вычерчиваем
схему механизма в ма-
чом масштабе.
2. Задаемся
масштабом построения
траекторий
исследуемых точек В, С, М.
3. 8 выбранном масштабе п описываем кривошипную окружность В (фиг. 42)
и делим ее в таком же порядке, как кривошипную окружность механизма.
4. Через каждое деление окружности проводим линию переноса, параллельную В С
(см. механизм фиг. 41).
5. Через четвертое деление кривошипной окружности проводим траекторию
точки С (линию, параллельную направляющей ползуна).
Далее прикладываем, последовательно, шаблон, вычерченный радиусом пВС по
вышеизложенному. В результате получим разметку путей точки С.
На чертеже шаблон показан на линии переноса в 11
делении кривошипной окружности.
Для определения траектории точки М соединим
соответственные деления траекторий С и В: 1—/', 2—2',
3—3',..., 72—
12',...
прямыми линиями. На
этих прямых
строим треугольники,
подобные треугольнику
звена В СМ, как
указано на фиг. 42. Через
деления 11% 2v3i,..., /2,
на треугольниках
проводим плавную кривую,
которая и будет
траекторией точки М,
Как видно из
фигуры 42, все траектории
рассматриваемых точек
механизма проходят
через одну точку в 4-м
делении окружности.
В более сложных
механизмах применяют
несколько шаблонов.
Для примера разберем
механизм ABCDE
(фигура 43), для
разработки которого берут два
шаблона.
Проводим
окружность радиусом АВ в увеличенном масштабе (фиг. 44) и делим ее на равные части
соответственно окружности точки В рассматриваемого меланизма (фиг. 43).
Первоначальное положение механизма для точки В берем в 4-м делении.
Через четвертое деление окружности В радиусом K=nCD проводим дугу из
центра Оц где п — масштаб у величения. Радиус дуги С расположен параллельно
линии CD рассматриваемого механизма.
Далее, по описанному выше способу, шаблоном I, установленным на линии
переноса, параллельной звену В С, размечаем пути точки С.
Через размеченные пути С проводим линии _переноса, параллельные линии СЕ
рассматриваемого механизма. Радиусом R = п • ED из точки 08 проводим дугу Е
также через 4-е деление окружности В. Направление этого радиуса параллельно
линии ED схемы.
Фиг. 42.

Кинематика механизмов
383
Для путей точки встроим шаблон II, дуга которого вычерчена радиусом R = n • СЕ.
Стрелки /i и ft указывают направления переноса. На фиг. 44 показано положение
шаблона II, дуга которого делает засечки путей на траектории точки Е.
Фиг. 43 и 44.
Хотя выше, в примерах для переноса путей, была взята точка 4 на
кривошипной окружности, однако с таким же успехом можно было брать и любое другое
положение кривошипа.
I) Построение планов скоростей н ускорений для плоских
механизмов
Составил доц. И. В. Иванов-Загребалов
1. Исследование механизмов с помощью кинематических
диаграмм (5, /), (v, t) и (a, t), несмотря на свою простоту, не всегда
является достаточным. Эти диаграммы дают лишь скалярные
величины скоростей и ускорений. При этом ускорение получается не
полное, а только тангенциальное.
Если же нужно знать полное ускорение точки, а также
скорости и ускорения не только по величине, но и по направлению,
то пользуются методом планов скоростей и ускорений.
Кроме того, метод планов скоростей имеет важное значение
в строительной механике, где с помощью его определяются усилия
в сложностержневых и рамных инженерных сооружениях.
2. При построении планов скоростей исуодят из
предположения, что звенья, входящие в состав механизма,—твердые тела, т. е.,
что расстояния между точками звена неизменны.

384 Т Т. Отд. 2 Механика. П. Прикладная механика
Пусть (фиг. 45) у твердого тела АВ известны по величине и
направлению скорости точек А и В, именно: vA и vB.
Разложим эти скорости по двум направлениям: по линии АВ
(составляющие vA и v'B) и по перпендикулярному к АВ
(составляющие v'A и v"3). Скорости (vA и v'B), с которыми точки А и В
движутся вдоль линии АВ, не могут быть разными, иначе это при-
Фиг. 45.
Фиг. 46.
вело бы к изменению расстояния между ними, а должны быть
равными и направленными в одну сторону, т. е. vA = vB.
Но скорости. vA и vB являются проекциями скоростей точек
А и В на линию АВ. Таким образом получаем зависимость:
проекции скоростей двух точек твердого тела на
линию, соединяющую эти точки, должны быть равны
и направлены в одну сторону.
3. Звено ABC (фиг. 46) вращается с постоянным числом
оборотов п в минуту вокруг неподвижной точки А.
Так как 1/л = 0и проекция ее на линию АВ равна нулю, то
и проекция vB на линию АВ равна нулю, т. е. vB должна быть
перпендикулярна к АВ. Величина скорости точки определится по
числу оборотов и длине АВ:
2кАВ кп
АВ =<
Аналогично определится скорость точки С:
V
причем
АВ.
c±.AC;vc=~.AC=o>B-AC,
v
в
V,
АВ
АС
т. е. при вращении твердого тела около неподвижной точки
скорости точек этого тела пропордиональны расстояниям этих точек
до центра вращения и направлены перпендикулярно к своим
радиусам.

Кинематика механизмов
385
4.
точки
На
С в
основании
механизме
положений // и
паровой машины
точка
Ч»и
Фиг. 47.
/// определим скорость
(фиг. 47, 1), в котором
С движется по
горизонтали, следовательно, и vc будет
горизонтальна. vB^AB.
Опуская перпендикуляр из конца
в на продолжение ВС,
находим проекцию vB на эту
линию, затем от точки С на той же
линии откладываем проекцию
vc , равную проекции vB, и из
полученной" точки восставляем
перпендикуляр до пересечения
с направлением скорости точки
С, которую этим и определяем.
Этот метод нахождения
скоростей, т. е. путем построений
на самой схеме механизма, неудобен и сложен.
Перенесем заштрихованные прямоугольные треугольники
параллельно самим себе к произвольной точке О (фиг. 47, II) так,
чтобы точки В и С совпали с этой точкой, тогда равные катеты'
треугольников совпадут, а два других катета составят прямую,
перпендикулярную к ВС.
В полученной фигуре скорости двух точек твердого тела
выходят из одной точки, а концы этих скоростей лежат на прямрй,
перпендикулярной к линии, соединяющей эти точки. Это будет
справедливо и для всяких других двух точек, принадлежащих
твердому телу.
Таким образом, если из произвольной точки о
(полюса) проведем отрезки, параллельные и равные
или пропорциональные
скоростям двух точек
жесткого тела, то концы этих
отрезков будут лежать на
прямой, перпендикулярной
к линии, соединяющей эти
„точки.
Пользуясь этой основной
зависимостью, найдем скорость точки С
следующим построением (фиг. 47, III):
через полюс о проводим obi%vB
be J_ ВС и в пересечении be с на-,
правлением ос определяем конец
вектора v0
Полученная фигура и носит
название плана скоростей, в котором все скорости выходят из одной

386 т- *• 0тД- 2- Механика. II. Прикладная механика
точки (полюса , и определяются по величине и по направлению для
данного положения механизма.
1. Пример. Четырех.ве :ный механизм (фиг. 48).
Точка В вращается равномерно с числом оборотов п в минуту, скорость ее
VB == ~4ff ^В м\сек, где АВ выражено в метрах.
Из произвольной точки о проводим прямую, параллельную vq, и откладываем
*В
на ней отрезок ор = — мм, полагая, что скорости будут в масштабе а.
Затем через полюс проводим прямую, параллельную vc (J. CD), а через точку
Ь прямую, перпендикулярную к ВС, пересечение этих прямых и даст точку С —
конец ьектора. _
v „ складывается геометрически из v D и Dv „
С В а С
С по отношению к точке В, т. е.
- относительной скорости точки
vC~vB^BwO
V.3 вектора относительной скорости видно, что точка С вращается в
относительном движении вокруг подвижной точки В против часовой стрелки, с угловой
скоростью
Ь С =
С в
~ВС '
Ьс-л _
сек
ВС
5. Если в рассмотренном механизме на звене ВС требуется
найти скорость точки К, то на пересечении прямых ck J_ СК и
bk _L BK (фкг. 49у найдем конец вектора скорости точки К, а
величина его определяется из , - -
vk = OK • а м сек~х-
Треугольник
bck подобен
треугольнику В С К,
так как стороны
ихвзаимн
перпендикулярны.
То, что
сказано о звене
LCK, может
относиться к лю-"
бому другому
звену.
То, что сказано о точке К, может относиться и к любой другой
точке, а п этому:
для каждого звена механизма в плане
скоростей получается подобная фигура, повернутая
относительно звена на 90°.
Фигура эта состоит из относительных скоростей точек звена и
аосит название картины относительных скоростей для данного звена.
Фиг. 4ь.

Кинематика механи »мов
387
6. При скольжении или катании двух звеньев друг по другу
проекции скоростей одноименных точек на общую нормаль к
направляющей равны и направлены в одну сторону.
На фиг. 50, I точка В двойная: она принадлежит втулке,
скользящей по подвижному звену АА, и самому ЗБену А А.
Рассматривая полные скорости этих точек i£^ и vB ),
состоящие из слагающих скоростей, расположенных по направлению
направляющего звена (v'B и v'B) и по нормали к нему (v"B и vBJ,
приходим к заключению, что составляющие по нормали не могут быть
разными, так как иначе это привело бы к тому, что в этом
направлении втулка должна или отстать или уйти вперед от направляющего
звена, чего не должно быть по условию. Следовательно, vB ~ vB.
Если одно звено катится
по другому звену, то точка
касания их -двойная и
скорости их имеют ту же
зависимость ((} иг. 50, II).
1. Пример.
Поперечно-строгальный станок (шеппинг) (фиг. 51).
Точки В и D двойные:
В точка звена АВ
Вх я „ CD
D CD
D, „ ползуна MM
Так как точки В4 и D принадлежат одному звену и скорости этих точек пер
пендикулярны к CD и пропорциональны расстояниям их до неподвижной 'точки С,
порядок построения плана скоростей будет следующий:
1. ob I AB
~ — VB
2. ob = — мм
4. ЬЬХ || ВС
_ _ <D
б. ой = оЬх тт^т
6. od || vDi
7. dd, || q
Все точки .вена ММ имеют одн
наковую скоА есть
vM - - ото м. сек~~1.
2. Пример. Рычаг с кулачком
(фиг. 52, 1).
Точка В двойная:
Вх — точка кулачка; В — точка
рычага; р — радиус кривизны кулачка
в точке касания. Порядок построения
j плана скоростей:
л 7: ГПГБ —I 4. Ob±BC
1. vB^ « — Afi м сек -1-
Фиг. 51.
2. ob, ± AB
VB.
3. ob, = -=*-
5. bbt± p
6. od± СГ
7. bd±Br
25*

388 г- I- 0тД- 2 Механика. И Прикладная механика
Измерив в мм отрезок od, подсчитаем скорость точки D
"vj) z=iod<* м сек~~ . -
На фиг. 52, II рычаг касается кулачка разными точками. План скоростей
получается следующим построением:
(Bi—точка кулачка,
1. obi I AB
В,—точка рычага)
4. &Л Ц CD
__ CD
5. od = oft, • T==-
6. v£) — od*a мсек-
2. ob, = -
3. оьл _L c#
7. Для более сложных механизмов план скоростей можно
построить методом ложных положений, пользуясь
следующей геометрической зависимостью: если подобно изменяемый
л-угольник перемещается так, что п—1 вершин его перемещаются по
п—1 прямымдо и л-я вершина
также перемещается по прямой,
3. Пример. Дан механизм
ABCDKMF (фиг. 53).
Точки b и с находим по преды-
^^.^ дущему:
6
Го—' ^4
1. ob ±АВ
— vb
2. оЪ = —
а
3. ос±АС
4. ос~ —
а
5. Ьс±ВС.
Согласно
зависимости по пункту (4)
точка d будет лежать
на прямой J_ к CD,
проведенной через
точку с, точка к — на
прямой _|_ к ВК,
проведенной через Ь, и точка /и—
на прямой X к MF,
проведенной через полюс о.
Проводим эти
Фиг. 52 прямые и на одной из
них, совершенно
произвольно, задаемся положением точки, соответствующей этой прямой, например, dv.
Зная rflt находим ku проводя прямую dtfti J_ DK до пересечения с прямой, на
которой должна лежать точка k. Согласно зависимости (5) треугольник DKM
должен повториться в плане в виде подобной фигуры, а поэтому строим Д d^m»
подобный Д DKM, проводя прямые <*,/и, J_ DM и k./я, JL КМ.
Полученная точка тх не лежит на прямой, соответствующей этой точке.
Задаемся новым положением точки d, именно d{, повторяя предыдущие построения,
получаем Дг/.Л,/и„ который опять оказывается неверным.
Проводя прямую через точки т, и /я, до пересечения с прямой,
соответствующей этой точке, получаем действительное положение точки т, а затем и
действительное положение треугольника dmkt проводя прямые d/иЦ^от, и ЛтН^/я,.
8. В общем случае, при вращении точки В около неподвижной
точки А полное ускорение ее направлено под углом р. к радиусу
АВ и рассматривается состоящим из двух слагаемых — тангенциаль-

Кинематика механизмов
389
ного или касательного ускорения at и центростремительного или
нормального ап (фиг.,54, I».
Как известно из теоретической механики величины их выражаются:
АВ
J AB,
а, «
dv dm
-<^АВ.
~ dt
Полное ускорение точки В есть
угольника с катетами aB,ns и йв(*
dt
гипотенуза прямоугольного
и величина его будет:
тре-
У ^2 + Дя2-ЛВ|/"(о^+(
rfcoN2
dt) '
а тангенс угла наклона
На основании
этих значений для
ав и tg jx следует,
что при вращении
твердого тела
около неподвижной
точки полные
ускорения всех его
точек
пропорциональны расстояниям этих точек до неподвижной
.оси вращения и направлены под одним и тем же
углом к своим радиусам.
В случае, е^сли точка В вращается с
постоянным числом оборотов, то vв = const и dvB = О,
следовательно,
ние точки В
и at = 0, тогда полное ускоре-
Фиг. 63.
АВ
= — Iе АВ м сек
,30;
54, П)
будет направлено по радиусу (фиг.
от точки В к точке А.
9. Если в рассмотренном случае (фиг.
54,1) точка А подвижна и сама имеет в
данный момент поступательное движение, то
рассмотренное ускорение течки В будет
относительным ускорением по отношению
к точке Л, т. е. Аав.
Полное ускорение точки В будет равно геометрической сумме
ускорения точки А и Аав; именно: Дд = <*А + А~ав.
w-Const

390
T J Отд 2. Механика. П. Прикладная механика
Определим ускорение точки С (нолзуна или поршня) в наро
вой машине (фиг. 55, I).
Движение точки С можно рассматривать
подвижной точки В, и ускорение ее будет
как вращение около
равно геометрической
сумме относительного ускорения вас и ускорения ав,
т. е.
ав + <
но в отнссительном движении точка
имеет и
тангенциальное и центростремительное ускорения, следовательно,
ускорение точки С будет складываться из трех слагаемых:
1в
-Мси +
В" С„
Построим эту сумму, но предварительно
точки С прямолинейное—по горизонтали,
\
В
заметим, что движе*
т. е. по кругу с
радиусом, равным
бесконечности,
следовательно,
направление полного
ускорения ее
будет тоже
горизонтально.
Построим
сначала план
скоростей из полюса о
(фиг. 55, II). При
равномерном
вращении точки В
ус :орение ее
будет направлено по
АВ, а величину ее
подсчитаем по предыдущему. Из произвольной точки о2 (фиг. 55, III)
.«-РсЭР
Фиг. 56
проводим отрезок, равный и параллельный ав —
член геометрической суммы, второй член вас
от С !< В, а величина его определится из выражения
это будет первый
будет направлен
йГ. v =
вис<
in)
Bvc
~ВС
ВС
= т,
где be берем из плана
Третий член подсчитан
известно, а именно gn.c
(t)
скоростей и ВС
быть не может,
составляет прямой угол с
- из размеров механизма,
но направление его нам
радиусом, т. е.
с СВ. На этом основании из конца вектора т проводим прямую X
ВС, пересечение которой с горизонталью, проведенной через о, и
определит конец вектора ускорения ~ас.
10. Как и в плане скоростей, всякое звено л плане ускорений
повторяется в виде подобной фигуры, но поверн/той относительно
его на некоторый угол, причем эта фигура состоит из относи-

Кинематика механизмов
SSI
тельных ускорений и носит название картины относительных
ускорений данного звена.
1. Пример Четырехзвенный механизм (фиг. 56).
При гц, = const для построения плана ускорений проводим о9Ь\\АВ и откла-
а д
дьв.ем о£ = — мм, затем через полю: о, проводим прямуюIIВС и проектируем
Al'n^
План ускорений
1мм -p$j
на нее ob, т. е. проводим bb' \_ВС. Подсчитываем на основании плана скоростей'
— bic^-tfl
векгор m. — ——— мм и откладываем его от Ь' в соответствующем направлении,
£С»3
N М к
Шс'6 Г- „ AZ2.
из полученной точ и с' проводим проектирующий луч (]_ ВС), на котором и должна
лс кать точка с. Затем от полюса на линии J! CD, откладываем ~т = (л) = W в
ю ———bsIL^L^LvKw (otc берется в мм из плана скоростей), получаем точку с",
CD.p CD-?

392 Т I. Отд. 2 Механика. II. Прикладная механика
Проводя через нее направление тангенциального ускорения точки С, в пересечении
е предыдущим лучом получим с и, следовательно, вектор о3с
Строя на относительном ускорении Вс Д bcj, подобный Д BCF, получаем точку /
а следовательно, и ускорение ар « о77'Р м\сек%-*
Величины т в предыдущих построениях планов ускорений найдены путем
подсчета, но они могут быть найдены также и графически.
11. В звеньях, имеющих, кроме относительного движения, также
еще криволинейное* переносное, нередко появляется ускорение
Кориолиса (добавочное или поворотное). (См. „Теория движения4*,
стр. 267).
2. Пример. Механизм шеппинга (фиг. 5?)
В — точка звена АВ
Вх - „ „ CD
D - ., „CD
DL — „ „ MM.
Строим план скоростей и, пользуясь им, находим направление относительной
скорости точки В на основании зависимости:
v „ = v п 4~ _ гГ_ или ~ob = оЬл 4- &&,
XJ i3, Dx О
и направление угловой скорости переносного движения (и> ) —этим и определится
направление ускорения Кориолиса.
В данном примере полное ускорение подвижной точки В известно, а для
определения ускорения точки Вх зависимость будет следующая:
пр. ав — акор s= gp. ав%.
(Из проектирования на нормаль к поверхности кулиссы)
vb
Порядок построения: oJb\\ АВ; о^Ь — — ; через полюс оа проводим прямую J_ CD
«
и на нее проектируем Ь (bb' || CD). Из Ь' влево откладываем b'bx = тх — —^- мм,
?
_ od-<*
где акор =2^ VB'^CD^ 2 bbx*a -=jljum, где bbx и od в мм из плана скоростей.
Из Ь,' проводим проектирующий луч|| CD, на котором будет лежать точка Ьх. Через
полюс проводим прямую, параллельную CD, и на ней откладываем огЬх" (С'ЬХ") =
Old.2 a2
— ms = ——— мм. Из полученной точки Ьх" проводим проектирующий луч LCD до пе-
с^.р
ресечения с предыдущим лучом, что и дает точку Ьх.
-з -г- CD
Ctf
В узле D проекции ускорений точек D и D, на горизонталь должны отличаться не
ускорение Кориолиса, которое равно нулю, так как £рновая_ скорость переносного
движения ползуна ММ равняется нулю, следовательно, odx*=om и а~м «=от«р л «**—*•

Кинематика нвхаллзмов
893
II. Передачи
а) Зубчатые передачи (см. Детали машин)
Ь) Кулаки и эксцентрики
Составил А. М.
Передача движения при помощи зубчатых колес находит
применение по преимуществу в тех случаях, когда требуется сохране- ^
ние передаточного числа и надежность сцепления. Лишь в редких
случаях применяются некруглые зубчатые колеса, причем
возможные закономерности изменения передаточного числа все же
ограничены. Применение кулаков и эксцентриков в этом отношении
имеет большие преимущества. При помощи этих деталей возможно
осуществить преобразование вращательного движения в
поступательное, или во вращательное же, как в плоском, так и в
пространственном расположении звеньев механизма; кроме того,
возможно преобразование равномерного вращательного движения
в неравномерное движение заданного звена механизма, причем
закономерность изменения кинематических параметров может быть
выбрана по усмотрению конструктора. Наконец, кулаки и
эксцентрики позволяют осуществлять прерывистое движение рабочего
органа машины с остановками в заданные моменты времени и
на заданную продолжительность.
Бее это достигается при сравнительно несложном
конструктивном оформлении и небольшом числе звеньев механизма.
По принципу действия кулаки и эксцентрики родственны
зубчатым колесам, так как передача во всех этих случаях осуществляется
непосредственным давлением криволинейного контура одного звена
на тело другого звена. Отличие между зубчатыми колесами и
эксцентриками можно усмотреть в том, что зубчатые колеса в
относительном движении взаимно обкатывают друг друга своими
контурами, в то время как эксцентрик последовательно всеми точками
своего контура воздействует сосредоточенно в одно место на
ограниченный участок сопряженного звена. Второе существенное отличие'
состоит в том, что зубчатые колеса по своей конструкции способны
осуществлять непрерывную передачу движения в одном направлении,
кулаки же и эксцентрики в состоянии передавать сопряженному
звену только колебательные движения.
При исследовании эксцентрикового механизма необходимо
установить зависимость между углами поворота эксцентрика и
движением сопряженного с ним звена. Рассмотрим наиболее важные
случаи.
1. Плоский эксцентрик и штанга. Механизмы этого рода
назначаются для преобразования вращательного движения в
поступательное (фиг. 58).

394 т- I- ^ТД- 2- Механика. П. Прикладная механика
Пусть эксцентрик А вращается около оси В, штанга же
перемещается вертикально вдоль оси т-т и имеет на нижнем своем
конце круглый каточек К, которым она
и упирается в контур эксцентрика.
Сначала выстраивают эквидистантный
контур Аь отстоящий от данного контура
на расстоянии радиуса
каточка К. Благодаря
этому контур Лхвсегда
удерживает на себе
центр каточка О.
Затем из центра В
\и г * о о ПрОВОДЯТ ЛуЧИ ПОД
углами 22,5° или 30°
и во всяком случае не более 45°, которые
пересекут контур А* в точках 7, 2, 3 и т. д.
.Сносят из центра В эти точки циркулем
на вертикаль mm и получают отметки
положения центра каточка при движении
я, Ь, с и т. д. Остается построить диаграмму,
характеризующую движение штанги в функ-
Фиг. 58. ции времени.
Считая, что эксцентрик вращается
равномерно, полагаем, что равным углам поворота его ОВ1, 1В2, 2ВЗ
и т. д. соответствуют равные времена. Поэтому на оси абсцисс
(справа) размечаем 12 одинаковых
интервалов и, наконец, по правилам
аналитической геометрии соединяем
соответственные точки. Таким образом
получается диаграмма (5, t). Дальнейшая
обработка ее и получение производных
диаграмм (t>, t) и (я, f) производится по
изложенным выше методам.
2. Плоский эксцентрик и рычаг
с каточком (фиг. 59). Следуя порядку,
изложенному для предыдущего случая,
' сначала выстроим эквидистантный
эксцентрик. Ах по данному А. Центр каточка О д\
перемещается по окружности Q, оплсан- "\
ной из оси вращения рычага С.
Размечаем контур эксцентрика Ах и
получаем точки: 1,2, 3 и т. д., причем здесь
нет нужды заботиться о том, чтобы углы
OBI, 1BJ, 2ВЗ и т. д. были равны друг
другу. Важнее дать такую разметку
контура Лж, чтобы все крутые переходы
на нем были хорошо размечены.
Названные Же УГЛЫ МОГуТ быть ПРОИЗВОЛЬНЫ. фиг. 59.

Кинематика механизмов
395
После этого из центра В циркулем сносим точки 1, 2, 3 и т. д.
на круг Q, где соответственно получаются точки д, bt с и т. д. Эти
последние точки следует соединить как с центром Bt так и с
центром С. При этом получаются:
аВ1% ЬВ2, сВЗ и т. д. — углы поворота эксцентрика и
ОСа, ОСЬ, ОСс ит.д. —углы поворота рычага ОС
Внизу дана кривая зависимости углов поворота рычага (р) от углов
поворота эксцентрика (а). Как видим, ось абсцисс оказзлась
разделенной на неравные интервалы. Однако же эксцентрик может
вращаться равномерно и все же этим
неравным угловым интервалам
будут соответствовать
пропорциональные неравные времена, т. е.
ось абсцисс снова может быть
принята за ось времен.
3. Пространственный
направляющий паз. Вышеописанные
эксцентриковые передачи
отличаются тем свойством, что они
надежно действуют лишь до тех
пор, пока радиус- эксцентрика
увеличивается. Тогда действительно
получается принужденное
движение. Что же касается обратного
хода штанги или рычага, то контур
эксцентрика может на этом участке
движения только поддерживать
каточек, тянуть же штангу и тем
более преодолевать ее
сопротивление он здесь уже не может.
Очевидно, вышеописанные
конструкции пригодны для тех
случаев, когда в одном направлении
движения выполняется известный
рабочий процесс, а в обратном
направлении имеет место так называемое холостое движение, т. е.
без нагрузки.
В тех же случаях когда оба хода оказываются рабочими,
необходимо применять так называемый направляющий паз, который
по существу является двухсторонним эксцентриком и может
принуждать к движению сопряженное звено в обе стороны.
На фиг. 60 изображен цилиндр Л, на поверхности которого
прорезана канавка ВВ% являющаяся направляющим пазом для
пальца С, укрепленного на штанге КК, перемещающейся
параллельно образующей цилиндра. При вращении цилиндра штанга
получает колебательное движение. Внизу дана развертка
цилиндрической поверхности и направляющего паза на ней. Здесь видно,

396 т I- Огд 2 Механика. II Прикладная механика
что за первый оборот палец пройдет по канавке DElt за второй
оборот по канавке EFX и, наконец, за третий оборот по FDV После
трех оборотов цилиндра палец С возвращается в свое исходное
положение.
Кинематическое исследование движения штанги лучше всего
проводить на развертке цилиндра. Предполагая, что цилиндр
вращается равномерно* отмечаем на развёртке 8 равных интервалов
и проводим горизонтали через точки деления. Точки пересечения
горизонталей со сред-
-X,
Фиг. 61.
этих
ними линиями канавок, как
например Af, N% P, Q и т. д.,
сносим на горизонтальную
кромку DF, где и получим
точки т, nt p и т. д.,
указывающие положения пальца
штанги в конце каждого
интервала. Таким образом
определились перемещения
штанги: Ет, тп, пр и т. д.
Этим способом нужно
обработать все три канавки и
затем обычными методами
составить диаграммы: путь-
скорость-ускорение-время.
Очень удобно в этом
случае применить метод
планов скоростей. Так как
линейные окружные скорости
на поверхности цилиндра
одинаковы для всех точек, то для примера скорости точек М и R
могут быть представлены равн )великими векторами г/, отложенными
. по вертикальному направлению. Проектируя эти скорости на
нормали а и bf получим в горизонтальном направлении векторы
скоростей точек М и /?, обозначенные через v7 на седьмой горизонтали
и Vi на четвертой. Подобным же образом могут быть построены
векторы скоростей и для других моментов движения.
4. Обращение движения эксцентрикового механизма. Во
многих случаях метод обращения движения дает прекрасные результаты
при кинематическом исследовании эксцентриковых механизмов.
На фиг. 61 изображен эксцентрик А и налегающая на него
сверху планка CD, вращающаяся около неподвижного центра О.
При непрерывном вращении эксцентрик, нажимая на планку,
приводит ее в колебательное движение. Угловые перемещения планки
можно получить из углов р, под которыми наклонена планка
по отношению к неподвижной линии центров ВО. По методу
обращения движения считаем эксцентрик неподвижным, а планку вместе
с ее осью вращения О поворачиваем против часовой стрелки
(по заданию эксцентрик вращается по часовой стрелке). Тогда

Кинематика механизмов
397
центр О займет последовательно положения 7, 2, 3 и т. д. и планка
соответственно — 1DL, 2D2, JD3 и т. д. Эти положения планки
получаются проведением касательных из точек /, 2, 3. . .к
контуру эксцентрика. В результате получаются углы pif р2, Рз и т- Д-
Теперь нетрудно определить угловые перемещения планки. Для
этого следует взять разности:
P-Mi-P» Р2-Р3ИТ.Д.
Если эксцентриковая
окружность была разделена на п
равных частей в
предположении, что эксцентрик
вращается равномерно, то
каждое приращение угла поворота планки
эксцентрика на угол
2я
| Поворот
вправо
Выстой
Повор
Алв&о
Выстой
1 _ 1 а ± j _ —1. 1 —\
2
Фиг. 62.
4ceh.
соответствует повороту
Затем обычными методами составляется диаграмма Р =/(«) = 9 (*)
и, наконец, производные диаграммы скорости и ускорения в
движении планки.
Достоинство этого метода — его простота. Недостаток в том,
что часто при обращении движения требуются ненормально
большие размеры бумаги, что технически
затрудняет выполнение работы.
5. Проектирование эксцентриков.
Приступая к проектированию эксцентрикового
механизма, конструктор должен иметь'в виду
следующие этапы работы: а) на основании
тщательного изучения технологической
сущности той операции, которая будет
осуществляться эксцентриковым механизмом, нужно
составить цикловую диаграмму
движения рабочего органа, Ь) выбрать тип
механизма, с) определить положение оси
вращения эксцентрика, d) выбрать закономерность движения рабочего
органа, е) построить кинематические диаграммы, 1) вычертить
контуры идеального и реального эксцентриков.
Рассмотрим эти этапы работы по отдельности,
а) При разработке цикловой диаграммы движения рабочего
органа необходимо определить продолжительность полного цикла
движения, длительность рабочего и холостого хода, а также
продолжительность остановок (выстой). Оформление "цикловой
диаграммы может быть в виде прямолинейной или круговой диаграммы.
На фиг. 62 для примера показана прямолинейная цикловая
диаграмма, а на фиг. 63 — круговая, причем продолжительность
составных частей и расположение их на обеих диаграммах
одинаковы. Отметим кстати, что хорошая проработка цикловой
диаграммы приводит к сокращению той или иной составной части
Фиг. 63,

398 f• I- Отд. 2 Механика. IU Прикладная механика
цикла, благодаря чему цикл сокращается и повышается
производительность машины.
b) При выборе типа механизма необходимо учитывать общую
конструктивную ситуацию, назначение механизма, характер
выполняемой операции, размер нагрузки, предполагаемое расположение
звеньев. Здесь конструктор решает, плоский или пространственный
механизм необходимо проектировать, будет ли эксцентрик со
штангой или с рычагом и т. д.
c) Так как размеры эксцентрика неизвестны, то неизвеспю
также, где должна быть расположена ось вращения его. Ниже
в примере задача нахождения этой оси разрешена.
d — е) Далее конструктор должен выбрать законы движения
рабочего органа. В этом отношении в его распоряжении Есегда
Фиг. 64 4 иг. 64а.
имеются большие возможности. На фиг. 64 изображены кривые
путей а% Ь, с и д?, затем соответств} ющие им по порядку кривые
скоростей Л, В,С и D и, наконец, кривые ускорений а, р, ? и s-
Кривые скоростей Л, В, С и D подобраны таким образом, что все
они имеют одинаковый по величине максимум vmuz. При этом А —
прямоугольник, В — эллипс, С— парабола и, наконец, D — синусоида.
Площади этих кривых относятся друг к другу, как числа:
Так как площади эти в соответствующем масштабе равны
амплитудам качания рабочего органа, то отсюда видно, что
наибольшая амплитуда получится при законе скоростей А, а
наименьшая— при законе скоростей Г.

Кинематика механизмов
399
Легко получить вывод и из обратной постановки задачи.
Именно, если размах качания рабочего органа задан (рабочий ход),
то при законе скоростей А получится наименьший tfmax, при
законе же скоростей D — наибольший. Кривые В, Ь и С, с занимают
промежуточные положения.
Так как кинетическая энергия массы пропорциональна квадрату
скорости, то закономерность А при данном размахе приводит
к кинетической энергии в четыре раза меньшей, чем
закономерность D.
Переходя к рассмотрению кривых ускорений, замечаем, что
в самом выгодном положении оказывается кривая S, у которой
максимальное ускорение меньше всех. Кривая а в начальный момент
движения и конечный имеет ускорения, равные бесконечности,
в течение же всего интервала ускорения равны нулю. Кривые
Р и 7 занимают промежуточные положения.
Таким образом исследование приведенных закономерностей дает
основание сделать следующие выводы:
1. Движение по законам я, Л, а характеризуется самой малой
CKopotTbio vmax и, следовательно, самой малой кинетической
энергией. При этом, однако, получаются в начальной и конечной точках
бесконечно большие ускорения и, следовательно, удары.
2. Движение по законам dy D, Ь характеризуется плавност; ю
хода, отсутствием ударов, но при этом получаются высокие
скорости vmax и большие кинетические энергии.
3. Другие кривые Ь, В% Э, а также с, С, -\ занимают
промежуточное положение между рассмотренными.
В каждом конкретном случае конструктор должен выбрать
подходящую закономерность, причем на базе приведенных кривых
он может составить комбинированную кривую, чтобы, например,
избежать удара в начальный момент и не получить очень высокой
кинетической энергии.
f) После того как закономерность выбрана и диаграмма (S, t)
определилась, остается вычертить профиль эксцентрика. Задача этт
является обратной по отношению к тем, которые были решены
выше (фиг. 58, 59 и 60).
Пример. Пусть требуется спроектировать контур эксцентрика для поднятия
и опускания рабочего стола машины с остановками вверху и внизу.
a) Пусть изучение процесса
движения столика позволяет
установить периоды движения и на
этом основании составляется
цикловая диаграмма (фиг. 65).
b) Для движения столика
выбираем эксцентриковый механизм О
с вертикально двигающейся
штангой.
c) Положение центра
эксцентрика определится следующим образом.
Пусть сечение эксцентрикового вала определено по конструктивным
соображениям и диаметр вала равен 40 мм. Втулка также рассчитана и диаметр ее равен
80 мм. Для того чтобы каточек штанги не упирался непосредственно на втулку,
Подъем
[__ 1_.
Выстой
вверху
Спуск
Выстой 1
внизу
0,1
0,2
0,3
4* СрсеН
Фиг. 65.

400 Т. I. Отд. 2 Механика. II. Прикладная метяпика
прибавим 5 им и таким образом найдем наименьший радиус эксцентрика
80 '
г яя -—\~ Ь-мм — 45 мм
Подобным же образом найдется наименьший радиус каточка, укрепленного
на конце штанги. На фиг. 66 показано расположение механизма.
Здесь /?в — наименьши i радиус эксцентрика,
а г0 — радиус каточка.
d) Для подъема и спуска столика выбираем
гармоническое движение, т. е. кривые типа D.
Это делается в допущении, что механизм
тихоходный при небольшие массах, так что
значительная кинетическая энергия не возникнем за о
в остальных отношениях закономерности эти о-
роши.
e) На основании изложенного построены на
фиг. 67 диаграммы скоростей и путей штанги.
Так как подъем и спуск штанги по величине
равны друг другу, то на диаграмме скоростей
площади двух синусоид также должны быть равны.
Отсюда получается различие в высоте синусоид,
что в свою очередь характеризует скорости при
подъеме и спуске, именно при спуске столик имеет
vmax в два раза больший, чем при поднятии.
f) Теперь остается разбить эксцент^ковую
окружность на интервалы, соответствующие
интервалам кинематических диаграмм, и обратными
засечками определить профиль сначала идеального
эксцентрика Ах (фиг. 67а), а аатем и реального Лл
Построение ясно из чертежа.
Оно начато с наинизшего положения штанги,
Фиг. 66. т. е. с окружности, соответствующей
наименьшему радиусу эксцентрика RQ.
От точки 0 до точки 8 при повороте
эксцентрика на 144° идет подъем штанги. Затем от точки 8 до 9 радиус эксцентрика не
изменяется, и штанга остается неподвижной вверху. Эксцентрик при этом повора-
Фиг. С7«.
Фиг. 67.

Кипемаигк* механизмов
401
чивается на 72е. Далее при повороте еше на 72° радиусы эксцентрика убывают и на
остальной части контур сохраняет форму дуги круга, описанной наименьшим
радиусом.
В результате получается контур, изображенный пунктирной линией. Он
является идеальным эксцентриком, сцепляющимся с центром каточка.
Проводя из разных точек этого контура семейство кругов (чем больше, тем
лучше) радиусом г0 и затем огибающую их, находим искомый профиль эксцентрика А.
Литература: W. Smith, Engineering Kinematics, 1923. — Н. Schreck,
Kinematics of Cams, calculated by Graphical Methods. Mech. Eng. 1926. — С Ham and
E. Crane. Mechanics of Machinery, 1927. — Д. З е р н о в, Прикладная механика,
1925. — Л. Левенсон, Кинематика ме^низмов, 1932. — К. Рерих, Кулак, Техн.
Энцикл. т. И. — J. А. Н а 11, Inertia Forces in Cam Mechanisms. Machinist 1933.
с) Редукторы скорости
Составил доц. СО. Доброгурский
Так называются механизмы для уменьшения скорости вращения.
Механические редукторы представляют зубчатые передачи между
двумя валами с значительным передаточным числом. Кроме рядовых
(последовательных) цилиндрических и червячных передач (фиг. 68),
часто встречаются еще редукторы эпициклические, или диференци-
альные. В них один из передаточных валов со своими опорами
перемещается в пространстве без нарушения сцепления с
остальными валами. Расчет таких передач можно вести несколькими
способами.
Формула Виллиса дает следующее соотношение между числами
оборотов ведущего вала (rij), рычага, или иной детали (перекидки),
несущей опоры подвижного валика (л), и ведомого вала (л2):
п2 = nj+nil — /).
Здесь i выражает передаточное число механизма в том случае,
когда его перекидка остановлена (п = 0), и он работает как
обыкновенная, а не диференциальная передача.
Эту формулу можно представить еще в следующем виде:
«>2 = о>х/ -(- О) (1 — /),
где <о, &ь ш2 являются угловыми скоростями: рычага, ведущей
шестерни и ведомой шестерни, а / является произведением чисел
зубцов всех ведущих колес, деленное на произведение всех ведомых-
Оба выражения для а>2 и п2 показывают, что абсолютная скорость
ведомой шестерни ш2 состоит из двух слагаемых: (о1./ = <о3 —
первого члена второй части уравнения Виллиса, и добавочной
скорости ю (* — /), происходящей вследствие вращения рычага.
При этом'нужно иметь в виду, что все три вращения
происходят в одну сторону — по стрелке часов, и это направление
принято за положительное. Если при том же направлении вращения
ведущей шестерни (ее всегда можно считать движущейся по
часовой стрелке) рычаг движется в обратную сторону, то его ско-

Т. I. Отд. 2. Механика. П. Прикладная механика
рость ш или число оборотов л нужно вводить в >равнение
Виллиса с минусом; если обратным станет направление вращения
ведомой шестерни, то отрицательными будут не только со2 или л2,
но и передаточное число /. Так, например, при двух сцепляющихся
Фиг. 68
колесах / следует считать отрицательным, если же будет
введена промежуточная ось, и направления вращения станут
одинаковыми, / сделается положительным.
Второй — графический способ — решения той же задачи
предложен проф. Л. П. Смирновым и независимо от него Куцбахом.
Схему простейшего диференциального механизма можно
представить в виде двух колес (фиг. 69), причем подшипники ведомого

Кинематика механизмов
403
расположены в рычаге, свободно вращающемся вокруг оси А.
Ведущая шестерня А имеет угловую скорость <оь и скорости ее
точек будут изменяться, начиная от нуля (в центре) до наибольшего
значения, соответствующего скорости точки С и выражаемого на
фиг. 69 отрезком Сс. Закон их изменения выразит прямая Ас, так как
скорости прямо пропорциональны радиусам вращения. Тангенс
угла САс% т. е. отношение вектора скорости Сс к радиусу,
представит в том же масштабе угловую скорость. На линии Ас
фиг. 69 вращение ведомой шестерни вместе с рычагом совершенно
не отражается. Рычаг имеет угловую скорость ш, и скорости его
точек могут быть представлены
подобно скоростям шестерни А
треугольником ADd. Это
вращение служит также источником
поворота ведомой шестерни В
вокруг ее оси. При повороте
рычага колесо В будет принуждено
катиться своими зубьями по
зубцам неподвижного колеса А\
вследствие этого ведомая шестерня
начнет поворачиваться вокруг
своей оси В. Если первая, ведущая шестерня, не остается
неподвижною, а сообщает ведомой некоторое вращение, то оно будет
складываться алгебраически с тем поворотом, который ведомое
колесо получило благодаря вращению рычага.
В случае неподвижного рычага мы имели бы самую
обыкновенную зубчатую передачу, ось шестерни В была бы неподвижной,
и ее диаграмма скоростей выразилась бы пунктирной линией Вс\
вращение рычага придает точке В скорость, выражаемую
ординатою ВЬ линии Ad. Ведомое колесо вращается при движущемся
рычаге вокруг центра В, который сам вращается вокруг точки А; '
абсолютное движение ведомой шестерни будет в этом случае,
как доказывается в теоретической механике, также вращатель-
н ы м, но вокруг некоторого мгновенного центра. Поэтому на нашей
диаграмме скорости точек ведомого колеса и для этого случая
вращения представятся ординатами прямой линии; две ее точки —
скорости зубца С и центра В известны; остается лишь соединить
прямою точки с и Ь. Треугольники скоростей СсЕ и FfE
показывают скорости всех точек ведомого колеса; нулевая скорость
(точка Е) соответствует мгновенному центру вращения.
Следовательно, вращение рычага заставило ведомую шестерню вращаться
эксцентрически — вокруг не геометрического, а мгновенного
центра Е; скорости точек С и F ее окружности оказываются при
этом неодинаковыми. Угловая скорость абсолютного вращения
(тангенс угла СЕс) не равна угловой скорости при неподвижном рычаге
(тангенс угла СВс); их разность дает добавочное вращение шестерни,
происходящее от движения рычага.
Разберем двумя способами перебор станка (фиг. 70). В ней г и гг
представляют два шкива; на одном из них по желанию может

404 Я. *• Отд. 2. Механика. И. Прикладная механика
работать ведущий ремень. Шкив гх закреплен на валу W, и при
работе ремня на нем вал W получает то же число оборотов в
минуту, что и шкив
Сравнивая фиг. 70 с рассмотренной схемой (фиг. 69),
находим, что ведущей шестерне соответствует у нас колесо t, рычагу —
шкив г, а ведомому колесу — шестерня gx. Таким образом /ь = 0
(храповик s задерживается от вращения собачкой), а число
оборотов п перекидки равно числу оборотов шкива. Передаточное число /
при неподвижном рычаге (перекидке) равно отношению чисел зубьев
ggi
По формуле Виллиса получаем:
число оборотов вала = п2 = 0* i-\-n (1 — 1.
Если п = 80, t = 39, tx = 23, g = 23 и gx = 40, то
«,-eo(l-g)- + 2.
Итак, передаточное число диференциального перебора
оказывается весьма значительным.
Фиг. 71 представляет графическое исследование того же
механизма. Точка А обозначает центр вала; по оси абсцисс отложены
отрезки: АВ, равный радиусу шестерни t, ВС, равный радиусу
шестерни g; в обратном направлении CD — радиус шестерни tt и DA—
радиус шестерни gx. Точка С представляет центр болта Ь (фиг. 70),
и сумма радиусов t и g равна в механизме сумме радиусов tx и gv
Точка А (центр вала) имеет нулевую скорость, так как
неподвижна при его вращении; скорость точки В также равна нулю, потому
что шестерня t вместе с храповиком неподвижна. Скорость точки С
изображаем отрезком Сс; при этом тангенс угла сАС в некотором
масштабе представит угловую скорость шкива. Шестерни g и tx
должны будут вращаться с большею угловой скоростью (тангенс

Кинематика механизмов
405
угла сВС). Скорость точки D касания шестерен tx и gx выразится
ординатой Dd, а угловая скорость шестерни g, и вала W —
тангенсом угла dAD. Отношение tg dAD: tg с AC — еС: сС.
представляет передаточное число дифе-
ренциального перебора, и если
чертеж исполнен точно, должно
быть равно 1:40. х
Простейшим методом расчета
является формула Виллиса.
Затруднения и довольно серьезные
при ее применении встречаются
лишь в знаках (+ или —) чисел
оборотов и передаточного числа,
подставляемых в формулу. В
механизмах пространственных
правильная постановка этих знаков тре- Фиг- 71-
бует особенной тщательности.
Здесь-то и начинается область применения двух других способов,
в которых нет необходимости отдельно обсуждать знаки
рассматриваемых угловых скоростей.
Приведем схему фрикционного
редуктора Гаррара, описанного проф. П. К.
Худяковым („Вестник инженеров*, 1927, № 10).
Ролики a, b я с охвачены кольцом d,
надетым с легкой натяжкой; последняя
уравновешивается сопротивлением роликов и на
подшипники не передается. При движении
ведущего ролика а кольцо d захватывается
трением и сдвигается в положение,
показанное на "фиг. 72 пунктиром, причем на
место диаметра кольца EF становится его
хорда, меньшая по длине. Благодаря этому
увеличивается трение между роликами и происходит передача
движения от а к Ь. Передаточные числа могут быть очень
значительными.
Фиг. 73 и 74 изображают гидравлические редукторы поршневой
(системы Дженни) и лопаточный (системы Энор). В первом
цилиндры насосов и двигателей расположены параллельно оси вала;
шатуны поршней соединены шарнирно с наклонными шайбами а и е.
Шайба а двигателей закреплена на ведомо.м валу под
постоянным углом, угол же наклона шайбы е% ведущей насосы, может
изменяться при помощи червяка /г. В этом и состоит регулирование
числа оборотов, сообщаемого редуктором ведомому валу.
Каждая из половин редуктора Энор (фиг. 74), т. е. и насос и
двигатель, состоит из вращающегося колеса dt несущего лопатки с,
с роликами, движущимися в пазу корпуса д. Последний смещен
относительно центра вращения вала, и изменение этого
эксцентрицитета служит для регулирования числа оборотов ведомого вала,
так как изменяет количество подаваемого насосом или потребляемого

406 Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
мотором масла. На чертеже насосная часть имеет меньший диаметр,
что соответствует передаче с уменьшением скорости вращения.
При-больших скоростях гидравлические регуляторы скорости
(редукторы) встречаются редко и уступают свое место
электрическим передачам с регулировкою числа оборотов мотора.
Фиг. 73.
Трансмиссионные электродвигатели (тяговые и крановые моторы
имеют свои специальные устройства для изменения скорости) —
с регулированием числа оборотов и работают на постоянном и
на трехфазном токе.
Сечение по двигателя Ведомый вал (двигателе Ведущий вал
Фиг. 74.
Возможность регулирования числа оборотов электродвигателя
является очень важной: благодаря ей мотор может приспособиться
к скорости машины - орудия, причем значительная часть передач
(зубчатых, ременных и др.) между ними становится излишней.
Механические редукторы имеют широкое распространение в
станках, коробках скоростей и подач, трансмиссиях от электромоторов
и в подъемных устройствах. Наряду с ними встречаются и
редукторы, работающие по иным принципам, — гидравлические и
электрические.

Динамика механизмов 407
Первые представляют собою две гидравлических машины,
поршневых или лопаточных: приводный насос с одним или многими
цилиндрами, подающий жидкость (чаще всего масло) под давлением
во вторую часть, и двигатель, поршневой или турбинный,
вращающийся под действием поступающей в него жидкости. Регулируя
ее количество или давление (в разных системах имеются для этого
различные приспособления), мы находу плавно изменяем-число
оборотов, а иногда и направление вращения второй, ведомой
половины редуктора и механизмов, которые она приводит в движение.
Литература. Смирнов Л. П., Кинематика механизмов и машин. — С м и р-
н о в Л. П., Исследование вращательного движения при помощи треугольников
скоростей (статья в „Вестнике инженеров и техников", 1932, № 8). — Schlesinger,
BerechnungderWerkzeugmaschinen(„'Werkstattstechnika, 1910).—Самусь А. М.,
Гидравлическая передача в машиностроении („Вестник комитета по изобретениям", 1931);—
Die Elektromotoren in ihrer Wirkungsweise und Anwendtmg von K. Meller. — H и т-
гдмиер, Электромоторы, их работа и применение.
D. Динамика механизмов
Составил А. М.
I. Трение в машинах
а) Сопротивление при относительном движении тел, прижатых
друг к другу
Два тела могут касаться друг друга в одной или нескольких
точках, по линии, или, наконец, по целой поверхности. Если тела
касаются друг друга только в одной точке и затем при
относительном движении одного из этих тел по другому
точка эта остается неподвижной, то возможно л}.
лишь вращение первого тела около этой самой
точки.
Движение это называется верчением тела.
Если ось верчения остается постоянной,
движение называют иногда сверлящим по аналогии
с движением сверла.
Если некоторая точка одного тела в
относительном движении пробегает ряд точек,
принадлежащих другому телу, получается
скольжение точки. Подобным же образом целая
группа точек одного тела может одновременно скользить по
поверхности другого тела, причем пути и скорости скольжения
каждой точки могут быть отличными от путей и скоро тей
скольжения других точек.
Скольжение-вращение получается тогда, когда тело
В вращается около оси п'—п и в то же время продвигается вдоль
нее (фиг. 75). Термин этот нужно отличать от простого скольжения
при вращении тела В около А. Наконец в том случае, когда
ряд точек, принадлежащих одному телу, последовательно приходит
в соприкосновение с рядом точек, принадлежащих другому, полу-

408 т- 1- 0тД- 2- Механика. II. Прикладная механика
чается качение тела, или явление катания тел. Если катание не
сопровождается хотя бы частичным скольжением, оно называется
чистым.
Хотя верчение теоретически относится только к одной точке,
однако практически всегда около точки касания двух поверхностей
(напр., двух шаров) при некотором нажатии их, под влиянием
деформации, образуется некоторая площадка взаимного касания, в
результате чего при относительном движении по принципу верчения
оказывается налицо скольжение точек на этой площадке.
Таким образом при осевом давлении у шпинделя получается трение
в подпятнике (стр. 421).
Скольжение всегда сопровождается потерей мощности, так как
в плоскости взаимного касания тел в этом случае возникает сила
сопротивления, или т р е н и е, и, кроме того, точка приложения
этой силы перемещается.
Ниже будет указано, что при катании тел друг по другу также
возникают сопротивления и потребляется мощность.
На основании изложенного ниже будут рассмотрены лишь
случаи сопротивления при скольжении и катании тел.
Ь) Сущность явления трения сухих и слабо смазанных тел
Пусть дано два тела: А — неподвижное и В — перемещающееся
так, что между двумя этими телами удерживается соприкосновение
по плоскости п—п (фиг. 76). Сила N, нормальная к поверхности
соприкасания тел, сжимает их между собой. Опыт
|jV показывает, что в этом случае возникает как бы
сцепление между обоими телами, и чтобы сдви-
т • в
п ■/ , - ■ нуть тело В по направлению, параллельному
У///Ш//Щу/;/шш плоскости п—п% необходимо приложить силу Д
А величина которой определяется эмпирически в
каждом отдельном случае особо.
фиг 76 Возникающее сопротивление называется
трением, а сила сопротивления — силой трения.
Сила эта реактивна. Она уравновешивает силу Р, в то время как
нормальное давление уравновешивается силой реакции опорной
поверхности. Таким образом можно написать соотношения:
Т=Р (1)
R = N, . . • • (la)
SAf = 0, (2)
где 7 — сила трения, R — сила реакции поверхности, а £Л4 — сумма
моментов всех сил относительно любой точки. Если считать, что
сила Р также приложена в плоскости п—п, то опрокидывающая
пара сил Р и Т равна нулю. Опыт показывает, что сцепление между
телами зависит от многих факторов, так что в каждом отдельном
случае лишь определенное значение силы Р оказывается
достаточным для сдвига тела В по телу А. Назовем это значение через Р0.

Динамика механизмов
409
В таком случае всякая сила Рх < Я0 не в состоянии сдвинуть тело В.
Но ур-ние (1), очевидно, справедливо для всякого значения силы Я,
т. е. оно справедливо и для случая, когда тело В остается
неподвижным, т. е. Tt = Pi» Таким образом при неподвижном положении тела
В сила трения может принимать все возможные значения от 0 до
Ро, т. е. она по существу оказывается неопределенной величиной.
Далее, опыт показывает, что после того как тело В тронулось
с места, сопротивление трения сейчас же ослабевает и для
дальнейшего поддержания равномерного движения достаточно иметь
уже силу Р2, которая меньше, чем Р0. Наконец, при установившемся*
равномерном движении тела В получается некоторое постоянное
сопротивление, которое выражено было в ф-ле (1) через Р.
Если бы мы представили схему изменения силы трения от
момента приложения силы Р до достижения равномерного движения,
причем силу Р увеличивали бы постепенно, до момента начала
движения, то получили бы диаграмму, изображенную на фиг. 77.
Здесь показано, что в покое сила трения постепенно изменялась
бы от нуля до величины P0i затем тело В начало бы свое
движение и сейчас же сила трения упала
бы до тех пор, пока не установилось
бы равномерное движение,
соответствующее сопротивлению Т.
А. Верховский показал 1), что
переход тела из состояния покоя в
движение происходит плавно, так что
движение фактически имеет место
уже при самых малых значениях
тянущей силы Я. Однако эти предварительные смещения очень малы
и измеряются лишь одним-двумя микронами.
Механическая теория трения твердых тел основана на
том, что поверхности трущихся тел предполагаются всегда
шероховатыми, и если простым глазом шероховатости незаметны,
то при микроскопическом исследовании поверхности
ясно видна кристаллическая структура твердых тел. На
этом основании предполагают, что зерна, лежащие на
поверхности одного тела, частично зацепляются за зерна
другого тела, и затем при движении тел друг по другу
зерна эти обрываются, чем объясняется шум при
трении и пыль, остающаяся на поверхностях после трения.
Молекулярная теория трения 2) строится на
том положении, что нажатые друг на друга молекулы
двух тел подвержены взаимно отталкивающим силам,
молекулы же, приближающиеся друг к другу, взаимно
притягиваются. Если сдвигать одно тело по другому,
Фиг. 78. то получается перераспределение молекулярных сил,
Фиг. 77.
О А. Верховский, Явление предварительных смещений при трогании
несмазанных поверхностей с места. Жур. „Прикл. физика" Томск, техн. инст-та, 1926.
■) О. Т о ш 1 i n s о n, A. Molecular Theory of Friction, .Phil. Mag.", 1929.

410 Т. I. Отд. 2. Мехяжжжа. П. Прикладная механика
причем сдавленные молекулы освобождаются друг от друга и
отталкивающие их силы перестают действовать. Но вместо этих молекул
другие пары их вступают во взаимодействие и подвергаются новым
отталкивающим силам и т. д. В этом процессе происходит
непрерывная потеря работы молекулярных сил, что и характеризует собою
явление, известное под именем трения.
Хотя по механической теории трение между телами должно уменьшаться по
мере увеличения шлифовки поверхностей, однако совершенно"особый случай
представляют высоко отполированные и притертые друг к другу пластинки АиВ (фиг. 78),
трение между которыми оказывается очень большим вследствие того, что между
пластинками в процессе притирания вытеснен воздух и таким образом пластинки
§ти оказываются под сильным нажатием атмосферного давления.
Основной закон трения сухих тел, указанный еще Амонтоном
(1699), экспериментально утвержденный Кулоном!) (1781),
проверенный в большой серии опытов Мореном 2) (1831), Р е н н и 3) и
др., носит чаще всего имя Кулона. Он формулируется очень
просто в виде соотношения: *
T=*?N (3)
Здесь Т и N имеют значения, данные выше в ф-ле (1), а р. —
некоторый числовой коэфициент, который для каждых трущихся тел
имеет свое особое определенное значение. Он называется к о э ф и-
циентом трения. Как видно, закон (3) устанавливает
простую пропорциональную зависимость между силой трения и
нормальным нажатием тел друг на друга. Вся задача экспериментаторов
заключалась в том, чтобы определить коэфициент трения для
разных материалов при разных условиях опыта. Кулоном
установлено, что:
1. Трение зависй*т от материала трущихся тел и состояния
их поверхностей.
Очевидно, хорошо обработанные поверхности имеют трения
меньше, чем грубо обработанные.
2. Трение зависит от продолжительности предварительного
неподвижного контакта трущихся тел.
Опыт показал, что если тела наложены друг на друга и остаются
в покое некоторое время, тотфи последующем движении трение будет
выше, если предварительный контакт был продолжительнее.
3. Трение при троганий с места больше, чем при последующем
установившемся движении.
4. Трение при установившемся движении не зависит от
величины скорости скольжения.
5. При данном давлении между телами трение не зависит от
величины поверхности соприкосновения этих тел.
Отрицательная формулировка двух последних положений не может быть при- -
знана строгой по своему существу. Очевидно, она была допущена Кулоном лишь
потому, что он сам имел сомнения в этих положениях.
*) Coulomb, Thgorie des machines simples, 1781, „Mem. des savants Strangers", 1785.
*) Morin, Nouvelles experiences sur lefrottement, Mem. de TAcad.francaise, 1833.
•) R e n a i e, „Dinglera Polyt. Journal-, 1829.

Динамика механизмов
411
Таблица 1. Коэфициенты трения |1 и ц0
(по Морену и др.)
Трущиеся тела
I-
и
Коэфициент
скользящего трения |х
it
d
Коэфициент трения
для момента трогания
с места (л
I
ili
Металл по металлу
Бронза по бронзе . .
» чугуну . .
„ „ железу . .
Чугун по чугуну или
бронзе
Жел. по чуг. или бронзе
Железо по железу. . .
Сталь по стали ....
Различные тела
Чугун по дубу ....
Железо по дубу . . .
Латунь по дубу . . .
Дуб по дубу
Воловья кожа по дубу (
Воловья кожа в поршн./
Кожаный ремень по
дубовому барабану . .
Кожаный ремень по
чугуну
Пеньковый канат по не-
обработанн. дереву .
То же по полированн.
Дуб, белый бук, бакаут
по полированному
граниту или желтой
меди
Камни или кирпич по
кирпичу
Камни по железу . .
Камни по дереву . . .
Кам. клад, по бетону.
К аменная кладка по
растительной земле .
То же
То же •
Сталь по льду ....
±
кожа
плашмя
кожа
на
ребро

плашмя

плашмя
0,20
0,21
0,18
0,44
0,49
0,48
0,34
,19
>0,33
0,56
0,27
0,56
0,16
0,15
0,19
0,23
(сухое
мыло)
0,08
(сало)
0,16
0,15
0,31
0,22
0,26
(мыло)|
0,25
t>,29
0,36
0,19
0,15
0,62
0,62
0,54
0,43
0,61
0,43
0,16
0,13
0,11
(сало)
0,44
(масло, мыло)
(сухое
мыло)
0,71
0,36
0,79
- I 0,12 | 0,62
(масло, мыло)
|0,47
I | i
10,28 0Л2 | 0,38
0,50
0,33
гладко обделанный
на свежем растворе
сухой и твердой
средней
сырой и глинистой
0,0141 - | - | -
0,53—0,73
0,50—0,70
0.42—0,49
0,46-0,60
0,76 | -
0,65
0,45
0,30
0,027
II
0,53
Г 0 49
I (ба-
I каут)
I 0,40
(насухо)
J) Знак = означает, что движение направлено вдоль волокон обоих тел, знак ф,
что оно направлено поперек волбкон, а знак I , что торец движется вдоль волокон
дерева.

412 т 1- Отд. 2. Межаника. П. Прикладная механика
Коэфициент трения считается для данных тел величиной
постоянной и от нагрузки N не зависящей.
Р е н н и устанавливает следующие положения (1829):
1. Коэфициент трения волокнистых веществ возрастает с
увеличением поверхности соприкосновения и времени предварительного
контакта, но уменьшается с повышением скорости относительного
движения или давления.
2. Для дерева, металла и камней можно считать, что трение не
зависит от величины поверхности, скорости и времени
предварительного контакта.
3. Трение больше у мягких тел, чем у твердых.
4. Предел порчи трущихся поверхностей определяется
твердостью более мягкого из двух тел.
Веллингтон (1888) нашел, что при малых скоростях, близких
к нулю, трение быстро падает, если скорость увеличивается, но при
дальнейшем возрастании скорости падение это постепенно
уменьшается.
Вестингауз и Галтон дают такую таблицу трения стального обода
по рельсу:
Скорость мили | час 10 15 25 38 45 50
Коэфиц. трения 0,110 0,087 0,080 0,051 0,047 0,040
Как видно, в данном случае получилось падение коэфициента .
трения с повышением скорости скольжения.
Что касается трения слабо смазанных поверхностей,
под которыми подразумевают поверхности, смазанные маслом и
затем тщательно вытертые сухой тряпкой, то в этом случае принято
считать, что законы и свойства трения сухих тел остаются и здесь
без изменения.
Нам пришлось убедиться из опыта, что даже при наличии достаточного
количества смазки на трущихся поверхностях иногда удерживается закон (3), если
только шпиндель неспокойно ведет себя в опоре и таким образом полного
разделения шипа от вкладыша смазка не обеспечивает. Но при этом, конечно,
коэфициент трения изменяется и не может быть определен из таблиц, которые
приводятся ниже.
Таблица 2. Коэфициенты трения для бандажей
Стальныебандажи по сухим стальным рельсам,
по Пуарэ.
(Вес вагонов от 3400 до 8400 кг)
Скорость км в час 77 = 16,56 | 26,28 | 31,68 | 51,48 | 72,03 | 79,20
Коэфициент трения ц = 0,209 | 0,206 | 0,171 | 0,145 | 0,136 | 0,112
Чугунные тормозные колодки по стальным
бандажам, по Галтону.
Скорость км в час v « 0 | 8,05 | 16.С9 | 40,03 | 72,36 | 96,48
Коэфициент трения ц = 0,33) | 0,2731 0,2421 0,1661 0,1271 0,074
Если v скорость (постоянная) движения поезда в км/час, то по

Динамика механизмов
413
опытам Вихерта1) для трения скольжения между тормозными
колодками литой стали и стальными бандажами получается
fx = P(l+ 0,0112 v)/(l + 0,06 v)t
где в случае сухих трущихся поверхностей р = 0,45, а в случае
мокрых р = 0,25. Если поезд, имеющий скорость v, должен быть
остановлен, то для всего времени торможения »можно принимать
один средний коэфициент трения рЛ Для различных скоростей v
имеем нижеследующие коэфициенты трения, причем для р/
приняты невыгодные условия (мокрые рельсы):
Скорость
в км/час v ■
Поверхности
трения сухие.. (х в
Поверхности
трения мокрые (х =
Среднее
значение . . . • н-' =
0
0,450
0,250
10
0,313
0,174
0,201
20
0,250
0,139
0,164
30
0,215
0,119
0,142
40
0,192
0,107
0,128
50
0,176
0,098
0,117
60
0,164
0,091
0,109
70
0,154
0,086
0,103
80
0,147
0,082
0,098
90
0,141
0,078
0,093
Таблица 3. Коэфициенты общего трения для экипажей
Для железных шин 2):
Гладкая дорога из гранитных плит
Рельсы городских дорог в среднем .,006 до
Хорошая асфальтовая мостовая • . .
Отличная булыжная мостовая
Шоссированная обыкновенным щебнем дорога в хорошем
состоянии . . . .
Хорошая деревянная мостовая
Хорошая булыжная мостовая
Шоссированная дорога в хорошем состоянии
п „ покрытая пылью и пр
' Плохая булыжная мостовая •
Шоссированная дорога, покрытая грязью, разъезженная . . .
Грунтовые дороги, очень хорошие
Шоссированный путь, плохо построенный
Грунтовые дороги, разные 0,080 до
Сыпучий песок 0,15 я
0,0Э6
0,008
0,010
0,015
0,016
0,018
0,020
0,023
0,028
0,033
0,035
0,045
0,050
0,160
0,30
Трение резиновых шин по дороге существенно зависит как от
материала и состояния дороги, так и от конструкции резиновой
покрышки. Опыты над автомобилями при скорости до 25 км/час дают
ц = 0,021 до 0,031.
Таблица 4. Коэфициенты трения полозьев
Деревянные полозья по глад- 1 без смазки 0,38
кому каменному или дере- } смазка сухим мылом 0,15
вянному пути ' смазка салом 0,07
Деревянные полозья по снегу и льду 0,035
То же, на полозья обиты железом 0,02
») „Zentralbl. Bauv.H, 1894, стр. 73.
») „Zentralbl. Bauv.", 1888, стр. 543.

414 Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Таблица 5. Коэфициенты трения точильных камней
Материал
Крупнозернистый песчаник....
Мелкозернистый мокрый камень .
Чугун
0,21 до 0,24
0,72
Сталь
0,29
0,94
Железо
0,41 до 0,46
1,0
Таблица 6. Коэфициенты трения при трогании с места
Давление
кг\см*
13,1
15,75
23,5
31,5
39,4
47,2
55,2
Железо
по железу
0,25
0,27
0,31
0,38
0,41
Повреждена
поверхность
Железо
по чугуну
0,28
0,29
0,33
0,37
0,37
0,38^
Повреждена
поверхность
Сталь
по чугуну
0,30
0,33
0,35
0,35
0,36
0,40
Повреждена
поверхность
Латунь
по чугуну
0,23
0,22
0,21
0,21
0,23,
0,23
0,23
с) Сущность явления трения хорошо смазанных тел
Хорошо смазанными поверхности называются в том случае
когда они при накладывании друг на друга оказываются полностью
разделенными слоем смазки, так что не касаются друг друга.
Хотя слой смазки очень тонок и чаще всего измеряется по своей
толщине лишь тысячными долями миллиметра (микронами), однако
слой этот может быть представлен состоящим из бесконечно
большого числа диференциально тонких слоев, которые увлекают
последовательно друг друга в движение, причем преодолевается
внутреннее сцепление между частицами жидкости, или вязкость.
На этом основании Н. Петров дал гидродинамическую теорию
трения хорошо смазанных тел (1883) и закон трения в таком виде:
r=J^ (4)
где Т—сила трения, р. — коэфициент внутреннего трения, Q —
поверхность шипа, V— окружная скорость его.
Наконец, знаменатель
причем ХА и Х^— коэфициенты внешнего трения смазки на
поверхностях металла, а е — толщина смазывающего слоя.
Для смачивающих жидкостей коэфициенты внешнего трения
можно считать очень большими по сравнению с величиной вну-

•ft/. *оиф
ooooo

416 т- т- Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
треннего трения. Поэтому в упрощенном виде формула Петрова
имеет вид:
т^ V-QV
е
(5)
Здесь коэфициент внутреннего трения jx определяется
экспериментально по Пуазейлю, поверхность трения и окружная «скорость
вычисляются по размерам конструкции и заданному числу
оборотов вала. Что же касается толщины смазочного слоя, то величина
ее е опытным путем определяется с большим трудом,. Во многих
случаях она была определена Петровым *), который, кроме того,
дает соотношение
*i _
VW
-.-уп- : №
где $! и е2 — толщины смазки в двух опытах, а Рх и Р2
соответствующие давления на подшипник.
При пользовании формулой Петрова необходимо учитывать температуру
в смазке во время работы, так как влияние ее на числовое значение коэфициента
внутреннего трения очень велико (см. стр. 415).
На фиг. 79 даны кривые внутреннего трения в функции
температуры, полученные в опытах Петрова, проф. А. Зайцева и др.
Здесь следует отметить, что проводимые с большей
легкостью определения вязкости на приборе Энглера
непригодны для расчетов по формуле Петрова. То же
самое нужно сказать и о применении других
вискозиметров. Единственно правильным методом для этой цели
является определение вязкости по
Пуазейлю из протекания жидкости по
капиллярной трубке АВ (фиг. 80), причем
вычисление производится по формуле
.r*-P-t
Фиг. 80.
8Q-L
(7)
где:
г—радиус внутреннего отверстия капилляра АВ,
Р — давление, под которым находится жидкость в капилляре,
t — время вытекания жидкости,
Q — объем вытекшей жидкости,
L — длина капилляра.
Трудность постановки опыта заключается в необходимости изолировать
капилляр в тех случаях, когда определения делаются при температурах, отличных от
комнатной.
Радиус капилляра определяется взвешиванием пустого и наполненного водой
отрезка его определенной длины по объему воды. Его следует проверить при
разных температурах.
*) Н. Петров, Трение в машинах и влияние на него смазывающей жидкости.
-, 1883.
.Инж. журн,

Динамика механизмов
417
В следующей таблице приведены краткие извлечения из
опытных данных, полученных Петровым *).
Таблица 7. Извлечения из работы Н. Петрова
Название масла
Получено из опытов н;
специальной машин
Сурепное
*»
Темное минеральное ....
Спермацетовое .
Вагонной оси
Сурепное
Темное минеральное ....
Смесь темного минерального
с вазелином , .
7,7
3,1
6,0
1,7
51,5
40,0
40,2
45,2
42,3
22,8
26,1
49,4
0,00273
0,00409
0,00536
0,0С462
0,00102
0,00845
0,01290]
0,03000
6750
6750
6750
6750
6750
60С0
6000
5900
474,7
474,7
474,7
2844
2470
3420
3420
3410
1882
823
1117
938
913
403
403
900
4900
3 078
4 666
7 033
5 092
10 500
15 700
26 5С0
Здесь: т — расход масла г/мин,
t — температура в °С,
^ — коэфициент внутреннего трения,
Q — поверхность в мм2,
Р — давление полное в кг,
v — окружная скорость в мм/сек,
Т—сила трения в граммах.
Разработкой гидродинамической теории трения на основе,
данной Н. Петровыми), занимались Жуковский3), Рейнольде 4), Зоммер-
фельд 5) и др.
d) Вычисление трения в разных деталях машин
Горизонтальная плоскость; сила и
тяги Р горизонта л ьна (фиг. 81) La
Давление между телами G,
Сила тяги Р, сила трения Т.
Момент сил при повороте тела
около точки А.
Г =А
Gm
РЬ = Ga.
Фиг. 81.
1) Н. П е т р й в, Опыт над трением жидкостей, .Изв. Пет. техн. инст.\ 1886.
*) Н. Петров, Гидродинамическая теория трения до работы Зоммерфельда
сущность сделанного им шага вперед. Вест. О-ва Тех. 1905. N. Petroff, ггоЛе-
ment dans les machines, „Зап. Акад. наук", СПБ, 1900. Е u s w a 11, Theory of
Lubrication.
8) H. Жуковский, О гидродинамической теории трения. „Ж. Р. Ф. X.
О-ва", 1886.
*) Os b. Reynolds, On the Theory of Lubrication, „Phil. Trans.", 1886.
5) A. S о ш m e г f e 1 d, Zur hydrodyn. Theorie der Reibung, „Zeit. f. Mat. und
Physik", 19C4.

41*
Т. 1. Отд. 2. Мехапйка. 11. Прикладная мехаяика
То же, .но сила тяги наклонна (фиг. 82).
•-*f Давление G — Р sin о.
Lis Трение Г «=5 = Р cos а = р. (G — Psin а)
COS а + p. Sin а
Момент сил при повороте тела около точки Л:
Sb = (G — 0) я.
Наклонная плоскость; случай общий (фиг. 83).
Давление О cos а — Psin р. „ _.я
Сила трения Г=S — F = Р cos р — G sina =»
r= ji.(Gcosa—-Psin Р).
ЕСЛИ JA хх tg р, ТО \ F<
p = sjn^pja
cos(pq=p)
0-----/
Здесь верхние знаки соответствуют подъему груза вверх,
£ нижние — спуску его.
Момент сил при повороте тела около точки А:
(Р cos Р — G sin a)b — (G cos a — Р sin P) a = 0.
rP To же, при условии, чтор = 0
(фиг. 84).
cosp
ji a
Фиг. 84.
-*>
#л »= (Р— G sin a) £ — G cos a • а а 0.
To же, при условии, что р = —- a
(фиг. 85).
Фиг. 85. Р = tg (a it p) G.
Клинчатый ползун (призма) (фиг. 86).
Коэфициент трения призмы
sina *
Фиг. 86.

Динамика механизмов
419
е) Трение в частях передач
1. Общие данные. Для какого-либо известного движения (конечное или
бесконечно малое движение) передачи обозначают:
Р — приложенная движущая сила в кг,
Q — полезное сопротивление передачи в кг,
Wp—приложенная работа вкгм,
Wq — полезная работа в кг м.
Тогда, если пренебречь возможными изменениями живой силы,
следует
Wp=Wg+Wr U7. = работе трения,
1) = ~- = козфициенту полезного действия,
wp
* Wr
Ь = — = относительной потере работы.
Wq
Имеем:
*= 1/4-1, ч = 1/(1 + »).
vm^/ш/Шщ^^
Если yj < 0,5,
то 0 < 1 и
передача
самотормозящая.
Если Р0—
теоретическая
движущая сила в кг,
которая в состоянии
удерживать в
равновесии полезный
груз Q без
наличия сопротивлений
трения, a
Q0—теоретический
полезный груз в кг,
который могла бы
преодолевать движущая
сила Р, при условии отсутствия трения, то
v) = P0/P=Q/<?0.
Если передача состоит из отдельны* последовательно сцепленных друг
с другом элементарных передач, имеющих коэфициенты полезного
действия Y]t, y)2i 43i • • • »т0 общий коэфициент полезного действия будет
При обратном движении действует полезное сопротивление
в качестве движущей силы. В этом случае необходима или сила Я'
для препятствования обратному движению (Р'<Р); или же
необходима сила Р'1\ действующая в обратном направлении, чтобы
вызвать обратное движение (самотормозящая передача),
Фиг. 87а,

420
Т. I. Отд. 2. Механика. IT. Прикладная механика
2. Трение клина. Для передачи по фиг. 87 (клин) следует для
Р и Я' и соотв. для Р" (см. п. 1)
\ -P»}=Q
cos рз sin [а ± (ра + P2)l
cosp1cos[azt(p2+ рз)]
Силы на клине Р, Л^ и N2 (нормальные давления), Рг н F2
(трение), а также на ползуне Q, N2 и N3, t\ и Fz находятся в
равновесии.
Соотношение между силами видно из графического решения
фиг. 87Ь.
Самоторможение будет происходить при а < pi+ p2-
Для рх = р2 — рз = р будет проще:
р/, -р" }=Qtg(«ziz2p); iQ = tg а/tg (а Н- 2 р).
3. Трение в винтовой передаче. В винтовых
передачах необходимо принимать во внимание трение
в шейке и в пяте, трение в направляющей
передвижной гайке и т. д.
Болт с гайкой, а) Прямоугольная нарезка.
Обозначим (фиг. 88):
h — ход или шаг винта,
г — радиус средней винтовой линии,
а — угол наклона средней винтовой лини",
tg ос = Л/2я г = 1 : п — подъем средней винтовой линии,
Р — силу, действующую на радиусе г,
К — силу, приложенную к плечу радиуса R (ключ),
Q — вертикальный груз.
Получим KR = Pm (Р, Р', Р"см. выше):
Р \ Л ♦ , J- V Л Л ± 2Г 1С JA,
р, _p„)=QtHf) = q2nfT;t.
Самоторможение для'а < р.
Коэфициент полезного действия ?) = tg «/tg (а -f- p).
Если принять во внимание подпятник при том же р:
*i = tga/tg(« + 2p),
как у клина
р) Треугольная и трапецевидная нарезка. Обозначения, см. or).
Далее назовем через р половину угла при вершине нарезки, например р = 30е в
нарезке Селлерса.
Имеем:
Р
Фиг. 88
:Q-tg(a± р'*
где
tg р' = (t cos a Vi + tg* « -f tg* p в ц V\ -f- cos" a tg2 p .
В большинстве случаев угол а мал и поэтому приближенно tg p' = jx/cos &
Самоторможение для о < р'.
Коэфициент полезного действия т) = tg а/tg (a -f- рО.
В виду того что р' > р, степень полезного действия для треугольной нарезки
при равном угле подъема меньше, нежели для прямоугольной (3 = 0):
Y) Если d — наружный диаметр нарезки, dt — внутренний, s, — отверстие ключа
(см. II т. отдел .Детали машин", болты), гп —радиус опорной площади гайки и р., —
коэфициент трения между гайкой и шайбой, то получаем
Г = (d + ад* #.= «! + *)/4 К l,4rt tg a = ^+^

Динамика механизмов
421
Отсюда момент вращения затягивания гайки:
М = Pr + Qr0 ъ = [rg (р' + а) + 1,4 jt J Qr.
и момент воащения для отпуска гайки:
Л!" = P"r + Q?0 (х, = ftg (р' - а) + 1,4 щ] Qr.
Для прямоугольной нарезки вместо р' нужно писать р.
Вилт с гайкой. Коэфиииенг полезного действия винтовой передачи, как
таковой, остается, как и для болта с гайкой:
4 = tg o/tg (a 4- Р).
Подробнее см. отдел „Детали машин", т. II.
4. Трение в подшипниках и шарнирах. Подпятник
Обозначим через:
Р — давление на пяту по направлению ее оси в кг,
dF — элемент трущейся поверхности подпятника в см*,
у — расстояние этого элемента от оси вращения в см,
р — постоянное нормальное давление на элемент dF в кг см—9,
jjl — коэсри^иент трения скольжения.
Момент трения пяты будет
Mr= pp \ydF
в кг см*
Работа трения в секунду при п об/мин
Wr = Мг п л/30 в кгсм секг\
В случае кольцевой пяты (фиг. 89) (и для
гребенчатой цапфы подшипника) Судет:
л/г 2 п&-г*
При г = 0 следует для сплошного круга
Концевой подшипник. Если Р — давление, передаваемое
на цапфу в кг, / — длина и 1г — диаметр цапфы в см, p = P/2rl —
среднее нормальное давление на цапфу (удельное давление на
цапфу, или давление на единицу площади проекции) в кг/см2,
|лх — коэфициент трения цапфы (см. ниже трение цапф), то при
условии неудовлетворительной смазки получим момент трения
для цилиндрической цапфы (фиг. 90) Мг = \ххРг в кгсм.
Работа трения в секунду при л об/мин
Wr = Mrnn/3D = (x£ Pr ъ л/30 в кгсм сек-\ щ
Для конических цапф (фиг. 91) следует вместо г принимать
средний радиус. При услозии же хорошей смазки нужно
пользоваться формулой Петрова (см. выше).
Трение цапф в шарнирных механизмах. Круг
трения. Если цапфа радиуса г (фиг. 92) вращается в подшипнике
с сухим или смешанным трением, то сила трения, действующая п«

422
Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
касательной, вычисляется в каждой точке по нормальному
давлению N и равна jj. N; при этом р = tg p есть обыкновенный
коэфициент трения для скользящего трения. Момент трения, т. е.
момент сил трения относительно оси цапфы как оси моментов будет:
Коэфициент трения цапфы (Ад будет, следовательно, больше,
нежели [л, так как £ N > Р.. Его можно определить только
опытным путем, так как распределение сил N неопределенно.
Фиг. 90.
Фиг. 91.
Фиг. 92.
Круг радиуса q = y.t r по фиг. 93 называется кругом трения.
Если сила Р приложена эксцентрично, но проходит через круг
трения, то цапфа не вращается, так как момент трения Mr = qP,
возникающий при вращении, больше, нежели момент Р.
5. Трение гибких тел. Если гибкое тело (канат, ремень, тормоз»
ная лента, фиг. 94) обхватывает цилиндр и если обозначим через 5,
и S2 натяжение обоих концов, то для
тихоходных передач
Si<V*.
р<
е**— 1
St^w-vs,
Фиг. 94. в1""
Для быстроходпых же передач пригодны уравнения
Р<
ё**
Р< («•»-!)($-*-£)
где: Р =■ Sj — St окружное усилие на ободе,
е — основание натуральных логарифмов,
а — угол обхвата гибкой связью обода,
|t — коэфициент трения гибкой связи на ободе,
q — вес погонной единиц-л длили гибкой связи,
v — линейная скорость г бкой связи*
?—ускорение силы тяжести.

Динамика механизмов
423
Знак равенства имеет место, если гибкое тело скользит по цилиндру,
знак неравенства — при относительном покое.
В зависимости от того, будет ли между гибким телом и
цилиндром происходить относительное движение или такого движения
не существует, для величины ц. принимается коэфициент трения
для движения или для покоя.
Имеем еп = 23,1407 и \g en = 1,3643764.
«
2*
0,1
0,2
0,3
0,4
0,425
0,45
0,475
0,5
0,525
0,55
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0
1,5
2,0
2.5
3,0
3/
4,0
1 од
1,06
1,13
1,21
1,29
1,31
1,33
1,35
1,37
1,39
1.41
1,46
1,55
1,65
1,76
1,87
2,57
3,51
4,81
6,59
9,02
12,35
0,15
1.1
1,21
1,32
1,46
1,49
1,53
1,56
1,60
1,64
1,68
1,76
1,93
2,13
2,34
2,57
4,11
6,59
10,55
16,90
27,08
43,38
Таблица 8. Значения е
0,2
1,13
1,29
1,45
1,65
1,70
1,76
1,82
1,87
1,93
2,00
2,13
2,41
2.73
3,10
3,51
6,59
12,35
23,14
43,38
81,31
152,40
0,25
1,17
1,37
1,60
1,87
1,95
2,03
2.11
2,19
2,28
2,37
2,57
3,00
3,51
4,11
4,81
10,55
23,14
50,75
111,32
244,15
535,49
1*
0,3
1,21
1,46
,1.76
2,12
2,23
2,34
2,45
2,57
2,69
2,82
3,10
3,74
4,52
5,45
6,59
16,90
43,38
111,32
285,68
733,14
1881,5
0,35
1,25
1,55
1,93
2,41
2,55
2,69
2,84
3,00
3,17
3,d5
3,74
4,66
5,81
7,24
9,02
27,Г8
81,41
244,15
733,14
2199,9
6610,7
|i\
0,4
1 1.29
1,65
2,13
2,73
2,91
3,10
3,30
3,51
3,74
3.98
4,52
5,81
7.47
9,60
12,^5
43.38
152,40
535.49
1881,5
6610,7
23 227
0,45
1,33
1,76
2,34
3,10
3,33
3,57
3,83
4,11
4,41
4,74
5,45 1
7,24 1
9,60 |
12,74
16,90
69,49
285,68
1174,5
48*8,5
19 851
81 610
0,5
1,37
1,87
2,57
3,51
3,80
4.11
4,45
4,81
6,20
5,63
6,59
9,02
12,35
16,90
23,14
111.32
5-3S.49
2575,9
12391
59608
286744
f) Сопротивление при катании тел
Пусть цилиндрический каток К находится на горизонтальной
плоскости Е—£ под давлением О. Как бы тверд каток этот ни был
он получит известную
деформацию и кривизна его контура
на участке АВ несколько
изменится (фиг. 95). Вместе с тем
получит деформацию также и
опорная площадка ЕЕ, пере?
ходя из плоскости в
цилиндрическую поверхность. Пока
никакой горизонтальной силы
к телу К не приложено, система
окажется симметрично дефор*
мированной и все диферен-
Фиг. 95.
циальные силы реакции q — q сложатся в равнодействующую /?, kq»
торая пройдет по своему направлению через ось катка Q,

424 Т. I. Отд. 2. Механика. II. Прикладная механика
Как только будет приложена к телу К горизонтальная сила Р
(фиг. 96), цилиндр этот получит тенденцию скользить по
плоскости ЬЕ, но вследствие трения на участке АВ он будет
поворачиваться по часовой стрелке, причем диференциальные силы
реакции q—q слева будут уменьшаться вследствие приподнимания
здесь цилиндра, а справа увеличиваться. При этих условиях реакция
опоры не пройдет через центр О и в результате сила Р должна
будет преодолеть сопротивление, которое определится из
соотношения:
Pr=G\,
(8)
где X является коэфициентом сопротивления катанию. Как видно,
коэфициент этот имеет размер линейной величины и измеряется
обычно в сантиметрах. Кулон и другие исследователи нашли значения
этого коэфициента из опытов при хорошей обработке поверхностей:
дерево по дереву 0,05 — 0,06 см, железо по железу 0,005 см.
Новейшие опыты дают для стальных шариков в
шарикоподшипниках
X = 0,0005 — 0,001 см.
Таблица 9. Американские данные о катании резиновых шин
по разным дорогам
Дорога
Сопротивление
на 1000 фут.
нагрузки в фунт.
Автор
Бетон
Асфальт
Дерево
Мостовая
Глина
Гравий
Песок
Хороший
Полу гладкий
Неудовлетворительный
Настил
Гладкая сухая
Хорошая
Немного поврежденная
Сухая пыльная ....
Плохая
Сухая
Хороший
Свободный
На дороге
Свободный
9—19
7
11
13
13
15
17
18
21-24
22-45
45
25
75-100
150—200
1^50
А
В
С
В
Я, С
D
С
D
Е
С, D
В
D
Bt D
Литература. А) А. В г о w n e and E. L о с k w о о d. Practical Testing of Motor
Vehicles, irans. S. A. F. x, Psrt 1. —В) О. Watson, Diagrams for Automobil Power
Calculations. (Am. M»ch. K06). — С) Е. F a v а г у, Motor Vehicle Engineering. —
D) M. Forestier, Proc. *£ 2-d International Congress Automobil.— E) H. Rodier,
Automobil ХШ.- F) Auto Engineers Year Book. 1920. — G) H. Wim peris Proc.
lost Auto En?. VIII, стр. 281, ' r

Динамика механизмов 425
Таблица 10. Сопротивление катания резиновых шин при разных
скоростях Ц
Тип машины
Рено, 30 л. с.. . . <
Даймлер, 40 л. с. . \
1

Скорость
км1час
1 ю
20
30
40
50
.60
70
10
20
30
40
50
60
70
80

Сопротивление на
тонну веса
машины
в кг
23,3
22,4
20,4
19,2
21,3
21,3
24,5
2з7б
24,6
25,1
25,8
27,5
27,3
Тип машины
Бюссинг грузо- J
вой, 45 л. с, I
Мерседес . . . <

Скорость
км\час
10
20
30
40
10
20
30
40
50

Сопротивление на
тонну веса
машины
в кг
17,5
18,1
19,0
20,8
21,9
22,6
24,2
26,8
30,7
g) Сопротивление шариковых и роликовых подшипников
Сопротивление шариковых подшипников зависит от их
конструкции и смазки. Считают, что коэфициент сопротивления катания
шариков колеблется от 0,0005 до 0,001 см и остается почти
независимым от скорости и от нагрузки.
Что касается роликовых подшипников, то для них коэфициент X
берут в пределах от 0,0035 до 0,014. При этом коэфициент этот
весьма сильно возрастает при малых нагрузках. Он возрастает также
при малых скоростях. По данным Штрибека2) средние значения X
для роликовых подшипников при разных давлениях получились
в такой зависимости:
q=z
х =
3
0,0045
5
0,0034
7,5
0,0027
10
0,0023
15 кг/см2
0,0018
где q — среднее давление на осевое сечение ролика, отнесенное
к 1 см2 площади.
О A. R i e d I е г. Scientific Determination of the Merits of Automobiles.
*) SUibeck, V. D. U 190?

426 *Г- I. Отд. 2. Механика* II. Прикладная механика
Гесс описывает опыты по определению экономии в трении при применении
подшипников с кольцевой смазкой и' замене их шарикоподшипниками. Когда
вал переставили на шариковые подшипники, а восемь контрприводов от этого вала
оставили на скользящих опорах, то получили около 35"^ экономии в потерях на
трение, а когда переменили все подшипники контрприводов также на шариковые.
то получили около 70°/о экономии.
Литература
Н. Hess, „Trans. A. S. М. Е." 1909.
J. Denton, Special experiments with lubricants, „Trans. Am. Soc. Mech.
Eng.«, 1891.
В. Карпенко, К вопросу о трении поршня. Томск, 1913.
В. Tower, Experiments on th« oil Pressure in a bearing, Inst, of Mech.
Ing, 1885.
В. Пинегии, Опыт исследования распределения давлений на плоской
сяте. Томск, 1909.
P. Shaw, Friction of dry solids in vacuo, „Phil. Mag." 1930.
J. Kuhn and R. Mickle, Variation of the Coeff. of Friction with differ,
toads and bearings metals, „Engin. News", 1893.
M. С h a r p y, Etude sur les alliages blancs dits antifriction, 1901.
M. Robin, Memoires Carnegie Iron and Steel Inst., 1910.
N. Pecoraro, Recherches experimentales sur les metaux antifriction, „Ass.
internet, pour les essai des materiaux", 1912.
; А. Малышев, Изнашиваемость металлов oi трення, 1917.
А. Малышев, Изнашиваемость кожи от трения, 1920, ,Журн. О-ва
сиб. инж.\ ('
h) О движении без трення
Проф. Н. Е. Жуковский высказал соображения о возможности
получить движение без трения для тех случаев, когда трение не
зависит от скорости.
Проф. И. И. Васильев передает эти идеи в следующем виде. Пусть в
горизонтальной плоскости натянуты параллельно друг другу нити, подобно тому как
располагается основа в ткацком станке (фиг. 97). Если все четные нити двигать
одним приводом слева направо, а нечетные
другим приводом в обратном направлении,
то тело Л, уложенное сверху всей системы
^ нитей, останется без движения. При таких
условиях тело это может двигаться
беспрепятственно вправо или влево,—в
зависимости от того, в каком направлении
оно получит толчок, и затем, тронувшись
в одном направлении, оно без торможения
Фиг. 97. будет продолжать свое движение.
Подобным же образом можно
получить движение без трення при вращении вала. Для этого необходимо вращать
вкладыши подшипников в противоположные стороны и таким образом создать два
противоположных момента сил трения на валу, так ч,о моменты эти взаимно
уничтожаются. После этого можно повернуть вал в каком-нибудь направлении и
он придет во вращательное движение без торможения и без замедления хода так,
как будто бы трения совсем не существовало.
Маятник, построенный в физической лаборатории Московского текстильного
института, установленный в простых неподвижных опорах (цилиндрические
вкладыши) способен был давать только до 10 качаний, после чего останавливался. Но
тот же маятник при вращении вкладышей в противоположные стороны давал до
2000 качаний, прежде чем останавливался.
Как видно из изложенного, движение без трения можно
получить в отдельных органах машины, хотя при этом трение не только
существует, но даже увеличивается, так как создается искусственно

Динамика механизмов
427
встречное движение. Таким образом работа трения в этом случае
существует, но выбранный орган машины оказывается свободным
от тормозящего действия трения. Это может быть важным при
проектировании измерительных приборов (тахометров, динамометров и
др.), где собственные сопротивления измеряющего органа должны
быть по возможности малы.
П. Инерция в машинах
а) Разбивка и приведение масс
Составил инж. А. И. Смирнов
В целях упрощения решения задач об инерционных усилиях,
возникающих в механизмах, Виттенбауером предложен метод замены
распределенных масс звеньев механизма фиктивными, или так
называемыми приведенными сосредоточенными массами. Сущность
данного метода заключается в двух последовательных операциях:
1) все распределенные массы заменяются сосредоточенными и 2) вес
разбросанные в механизме сосредоточенные массы заменяются
одной так называемой приведенной массой, сосредоточенной
в избранной точке, называемой точкой приведения.
Для того чтобы механизм гфи этом не изменял своих
статических и динамических свойств, должны быть выполнены следующие
условия механики:
1. Сумма сосредоточенных масс должна равняться распределгн-
ной массе звена
£**,= М.
2. Центр тяжести приведенных масс должен совпадать с
центром тяжести звена
2«/Х/=0 | для плоских
Ъгщу1 = 0 j механизмов
3. Момент инерции сосредоточенных масс относительно'центра
тяжести должен равняться моменту инерции звена
где т. —сосредоточенная масса;
М — масса исследуемого звена,
х^—координаты точки приложения сосредоточенной массы
(центр тяжести — начало координат),
гхч— расстояние точки приложения сосредоточенной массы до
центра тяжести звена,
О — момент инерции звена относительно его центра тяжести.

428 т- *• 0ТД- 2- Механика. II. Прикладная механика
Число сосредоточенных масс и их положение выбирается в
зависим зсти от конкретных условий (формы каждого звена). Если
звено симметрично и центр тяжести его определяется одним
уравнением, достаточно выбрать три точки сосредоточивания масс, так
как необходимые условия механики в этом случае для плоского
движения дают три уравнения. При отсутствии симметричности
звена, необходимые условия механики дают 4 уравнения, в этом
случае следует сосредоточить массы в 4 различных точках. При
двух точках сосредоточивания массы должны лежать на одной
прямой с центром тяжести звена, а при одной точке масса совпадает
с центром тяжести звена.
При динамическом исследовании механизма в целом
приведение всех сосредоточенных масс к одной точке осуществляется
при необходимом условии сохранения кинетической энергии, т. е.
кинетическая энергия приведенной массы должна быть равна
кинетической энергии механизма
Е= <i_ = i/2M.t/a.
На основании этого следует, что приведенная к одной общей
точке масса механизма может быть вычислена из соотношения:
-.[.,(•?)■]'
где: М—суммарная приведенная масса,
mi — отдельная сосредоточенная масса,
vt — скорость точки приведения звена.
v — скорость общей точки приведения механизма (центра
приведенной массы).
Пример. Приведение масс в кривошипном механизме паровой
машины (фиг. 93).
я
Фи1. 98. Фиг. 99»
Масса данного механизма состоит из 3 частей:
1. Массы (Мх) звеньев, совершающих поступательное движение
(поршень, шток, крейцкопф).
2. Массы (М2) шатуна, совершающего сложное дзижение.
3. Массы (Afjj) кривошипа и вала, совершающих вращательное
движение

Динамика механизмов 429
Массы Mi поступательно движущихся звеньев сосредоточиваем
в точке А и обозначаем через та #
Массу шатуна М2 (фиг. 99) разбиваем на три части и
сосредоточиваем в точках А, В и С (точка С—центр тяжести шатуна). На
основании вышеприведенных условий механики должно быть:
та+тЬ+тс'~М*
та' а — mb' b=-0,
та'а2+ть'Ь*=Ъ,
где: maf, mb't mcf —сосредоточенные массы шатуна в точках А, В, С%
а, Ь — расстояние точек сосредоточения от центра
тяжести шатуна;
1 в —момент инерции шатуна относительно центра
тяжести его.
Решая совместно данные три уравнения, находим:
(a+b)a la9
mh'
г .
b ~ (а+Ь)Ь ~ lb'
Массу кпивошипа и вала Л/3 приводим к пальцу £♦ На
основании равенства
находим:
mbn «ii.
где: \ — момент инерции кривошипа и вала относительно оси
вращения,
г — радиус кривошипа.
Складывая сосредоточенные массы в соответствующих точках,
будем иметь:
Сосредоточенные массы в точке А:
6
Мвв/я + 7?:

430 T- L 0тД- 2- Межаника. II. Прикладная механика
в точке В:
в точке С:
м» = ^ + 7*;
м<=Л<з-^.
После этого приведем все найденные массы к одной точке
механизма; за такую точку удобнее всего принять палец кривошипа В
как совершающий вращательное движение.
На основании вышеизложенного будем иметь:
«-«.(£)'+«>+«. (§)'•.
где
va, wо — скорости точек А, С.
vb — скорость пальца кривошипа,
Фиг. 100V
те и другие можно взягь
из плана скоростей для
определенных положений механизма.
Диаграмма (фиг. 100) дает
наглядное представление
величин приведенных масс для
данного механизма. Здесь по оси
абсцисс отложены отрезки пути
кривошипа за время одного
полного оборота, а по ордина-
гтгтам в масштабе — величины
приведенных масс. Из
диаграммы нетрудно видеть, что
приведенная масса для кривошипного механизма паровой машины
является величиной переменной, притом меняется по закону
колебаний кинетической энергии.
В том случае, когда шатун плоского механизма не является
симметричным телом, необходимо брать 4 сосредоточенных массы
в точках А, В, С и S, где S — центр тяжести. При этом четвертая
точка С может быть в любом месте. Проводят через S координатные
оси Ок и Оу и составляют 4 уравнения:
1. /и/ + ш/ + ж/ + т/ = Л/2,
2. та'ха + ть'хь±тс'хс = 0,
3. /я/ уа+ mb'yb =£ т/ус *= 0,
4. ma're»+m/rb2+m/re«»6.

Динамика механизмов 431
Знаки в ур-ниях (2) и (3) зависят от расположения координатных
осей.
Литература. P. Wittenbauer, Oraphische Dynamik. — А. П. Малышев,
Известия Текстильн. ин-та за 1928 г., т. I. — Я» В. Столяров, Теория меха-
низмов. — Бажин и Кетов, Графический расчет махового колеса по способу
проф. Виттенбауера
Ь) Уравновешивание масс на валу
Составил доц. И. В. Сергевнин
Случай 1. На валу 00 (фиг. 101) имеем эксцентрично поса*
женную массу т. В этом случае для ее уравновешивания
достаточно приложить массу т1 так, чтобы
т* тщ, центры тяжести обеих масс располага-
Т Тг лись на одной прямой,
перпендикулярен то I ной оси вращения и пересекающей эту
Т А ось, а центробежные силы, развиваемые
*"*' •* этими массами, были бы равны и напра-
Фиг. Ю1 влены в противоположные стороны, т. е.
тч&г = тхч>2ги или тг = тхги
г
откуда /«! = — /я.
ri
Случай 2. На валу 00 (фиг. 102) расположены эксцентрично массы
1, 2, 3 так, что центры тяжести их находятся в одной плоскости,
перпендикулярной оси вращения 00. Для уравновешивания этих
масс достаточно построить многоугольник сил, составленный из
центробежных сил: Ci=m1o)2r1; C^^nu^r^ и т. д. Замыкающая сторона
является уравновешивающей R по величинеи направлению. При
этом на чертеже определяется угол вектора R с вектором г3.
Подобрав* соответственно массу и радиус, расположим вектор^ в той же
плоскости, что и данные массы, под углом а к вектору г3.
Случай 3. На валу 00 (фиг. 103) расположены массы 1, 2, 3,4,
в плоскости, проходящей через ось вращения 00. Чтобы
определить по величине и направлению уравновешивающую R, построим
многоугольник центробежных сил 1,2,3,4. Замыкающая R является
искомой. Точку приложения ее А найдем, если по общему правилу
построим веревочный многоугольник. Зная величину центробежной
уравновешивающей силы R, подбираем соответственно величины
массы и расстояние центра тяжести ее от оси вращения.
Случай 4. Этот случай йаиболее часто встречается в
практике. На валу 00 заданы в двух проекциях приведенные массы
1, 2 л 3 (фиг. 104). Для уравновешивания их поступим так. Из
полюса р строим многоугольник сил, составленный из приведенных
сил Сх, С2, Съ и т. д. Направление векторов 1, 2 и 3 должно быть
параллельно соответственным силам. Замыкающая R является уравно*

432
Т. I. Отд. 2. Механика. П. Прикладная механика
вешивающей этой системы, которую мы должны создать
прибавлением добавочной массы на выбранном нами расстоянии от оси
вала. Точку приложения этой уравновешивающей и ее направление
Фиг. 102.
Фиг. 103.
надо определить. Точка А приложения силы R на валу определяется
так. Взяв систему координат YOX в таком расположении, чтобы
рдна из осей была Ц /?, другая 1йи, спроектировав многоугольник
сил на эти оси, повернем
OY и ОХ около начала
координат О до вертикального
положения OYx и OXv
Построением веревочного
многоугольника и пересечением
двух крайних лучей в точке а
находим точку Л, где
приложена должна быть по оси Y,
под углом а к силе Ct
уравновешивающая сила /?. .
Таким образом система
по оси К уравновешена.
Аналогично описанному
уравновешивание производится и
по оси X, разница лишь
в том, что в результате
получаем уравновешивающую
пару сил, момент которой
M=HL, где
И — полюсное
расстояние в масштабе
многоугольника сил,
L — расстояние по
вертикали между крайними
лучами в масштабе длины
вала 00
Фиг. 101

Механика подобия — постановка задания
433
Уравновешивающую пару можно приложить где угодно по длине
вала. Выбрав по усмотрению длину плеча /, находим силу Р = — t
которую подобно R должны создать центробежной силой, приложив
в р — р, соответствующие массы, располагая их в плоскости,
перпендикулярной плоскости действия R.
(II. Механика подобия или теория моделей
Составил профессор д-р-инж. В е б е р, Берлин.
Перевод под редакцией проф. А. П. Малышева.
Постановка задания. На основании результатов опытов над
малыми моделями требуется определить числовые данные
соответствующих значений — например, пути, времени, скорости,
ускорения, силы, напряжения, работы, мощности, в тепловых проблемах
температуры и т. д. — для большого, действительного сооружения,
геометрически подобного модели.
Теория моделей применима только в тех случаях, когда оба сравниваемые
явления подобны в нижеуказанном смысле, т. е. если они удовлетворяют
определенным условиям подобия. Эти условия должны быть так поставлены, чтобы диферен-
циальные уравнения задачи (или их интегралы) для главного сооружения получали
полное согласование с соответственными диференциальными уравнениями (или
интегралами) для модели.—Метод моделей применяется с успехом там, где
интегрирование диференциальных уравнении, вследствие больших математических
затруднений, не удается, но где практика требует числового решения задачи. Этот метод»
основан отчасти на опытах с моделями, отчасти на математической дедукции:
результат опыта с моделью дает ненаходимое аналитическим путем числовое значение
интеграла, которое, по особым правилам, перечисляется на большое сооружение.
Теория моделей часто применяется в кораблестроении, в
построении воздухоплавательных аппаратов, водяных
турбин, водяных сооружений, для нахождения потерь в
трубопроводах, также при разрешении тепловых проблем и
во многих других случаях, где анализ не дает решения основных уравнений.
Различаются статическое, динамическое, термическое и
термодинамическое подобия. Однако применение теории моделей возможно и для
влектрических, магнитных и разных других видов подобия. Проблема
статического подобия имеет место, если из измеренных сил, напряжений или
деформации находящейся под нагрузкой статической модели, например бруса с
переменным поперечным сечением, подверженного продольному изгибу, или стержня
решетчатой фермы, подверженного продольному изгибу, должны быть сделаны
заключения о соответственных числовых значениях главного сооружения, геометрически
подобного модели. Динамическое подобие имеет место, если из опытных результатов
динамически работающей модели (например течение, с образованием волн около
частично погруженного руля) будут вычисляться соответственные размеры
геометрически подобного главного сооружения. При этом нельзя упускать из виду, что
к модели принадлежит не только руль, но главным образом его окружающая
жидкость. С термическим подобием мы имеем дело, когда, например, из
переменного по времени температурного поля какой-либо модели должны быть сделаны
заключения о температурном поле геометрически подобного главного сооружения.

434 ф« *• 0тД- *• Механика. III. Механика подобия
А. Статическое подобие
Метод и пример. Тонкий модельный стержень, исполненный
как тело вращения с выпуклой образующей, подвергается опытам
продольного изгиба центральной нагрузкой; при этом дана нагрузка
Я1 = 12,50 кг. Модуль упругости материала модели Ev Требуется
найти нагрузку Р2 главного сооружения, геометрически подобного
модели, но линейно в 10 раз большего, X = 10, и модуль упругости
которого Е2 не равен Е{. напри-мер, E2 = 2EV При этом сделана
предпосылка, что род опоры в обоих случаях одинаков и что
критическая нагрузка продольного изгиба сравнительного стержня не
переходит предела пропорциональности.
Мы можем воспользоваться ураонением Бернулли для кривизны
двух геометрически подобных упругих линий:
Для главного сооружения (Г.) 1/р2 = M.2/E2J2 = РгУ2\Ег]2,
Для модели (М.) 1/рх = MJE^ « P^yJE^,
(Р1 2 — радиусы кривизны, Мг 2 — изгибающие моменты, Jl2 —
моменты инерции)^ Отсюда вычисляется нагрузка продольного изгиба
Р2 для главного сооружения
р2 == Р^Е2/ЕЬ т. е. Ра а 12,50 • 102.2 = 2500 кг.
В. Динамическое подобие
1. Основные понятия. Движения главного сооружения (Г.) и
модели (М.) происходят динамически подобно, если оба явления во
всех своих частях как в геометрическом смысле, так и в смысле
времени и сил подобны. Соответственно трем.основным единицам
технической системы измерений — м, сек, кг, — положенным здесь
всюду в основу, существуют три основных масштаба X, т, тс: м а с-
штаб длины X равняется отношению соответственных длин во
всех частях (например твердое тело и окружающая его жидкость)
обоих геометрически подобных приспособлений, следовательно
X = Z.: /; масштаб времени т равняется отношению
соответствующих времен Г. и М., следовательно, z=T\t и масштаб
сил х равняется отношению соответственных сил, следовательно,
х = К: k. Для данного опыта с моделью X, т, х являются
постоянными числами. Масштаб переноса соответственных
скоростей будет К:^«=Х/т, а ускорений аГ:ам = Х/с2. При динамически
подобных явлениях диференциальные уравнения движения для Г.
возможно привести в полное согласование с таковыми же для М.

Динамическое подобие
435
В практических выполнениях опытов с моделями следует обращать
внимание на геометрическое подобие местных границ обоих
сравниваемых явлений и следить, чтобы начальные условия для обоих
отвечали динамическому подобию.
2. Правило масштабов. Масштаб переноса для двух
соответственных величин необходимо выводить из основных масштабов
X, т, х в общем так же, как и соответственные единицы измерений
выводятся из основных единиц м, сек, кг.
Пример. Масштаб переноса для двух соответственных мощностей будет Е:е =
esXx/т, так как мощность измеряется в мкг\сек. После выбора X, т, х возможно из
результата измерений М. определить численно и по размерности всякую
произвольную величину динамически подобно работающего Г. Относительно дальнейших
подробностей мех-аники подобия и относительно опытов с моделями см. специальные
работы, стр. 442.
3. Вывод законов подобия. Из X, т, х можно в большинстве
случаев задаться X произвольно; тих обыкновенно нельзя брать
произвольно, так как между X, т, х существуют зависимости. Эти
последние можно найти из условия, что для всех родов сил,
принимающих существенное участие в течении обоих динамически
подобных явлений, должен быть одинаковый масштаб сил х. Смотря по
роду сил между X, т, х получаются различные зависимости,
вследствие чего при производстве опытов над моделями необходимо
принимать во внимание особые законы моделей. Сравнение только
сил инерции для Г. и М. приводит к общему закону
подобия Ньютона. Одновременно при действии притяжения земли
нужно принимать во внимание закон моделей Фруда, при
действии упругих сил по Гуку — закон моделей Коши и при
действии внутренних сил трения вязких жидкостей — закон моделей
Рейнольдса. Из каждого рода силы, определяемой новым
физическим коэфициентом, вытекает новый закон моделей. Поэтому
нормальные силы на несжимаемых твердых или жидких телах не
обусловливают никакого закона моделей. — Если в ускорении
принимают участие одновременно несколько родов сил, то часто
появляются, как указано ниже, непреодолимые затруднения: в таком
случае невозможно построить модель, динамически работающую
в совершенстве.
4. Общий закон подобия Ньютона. Сравнение сил инерции Г.
и М. можно производить следующим образом. Пусть диферен-
циальные уравнения, выражающие явления для Г. и М., имеют для
материальной частицы в произвольном направлении X следующую
форму:
Для Г. McPX/dT2 = К% для М. m&xIdP = Л.
Знаки формул, обозначенные большими буквами или (ниже) в
скобках, относятся к главному явлению, малые буквы—и без скобок—
к модели. Масштаб сил х получаем таким образом из сравнения
сил инерции: х ^Ма^таМ9

436 т- !• 0тД- 2- Механика. III. Механика подобия
Если обозначить отношение материальных частиц через Д//т=р.
и по правилу масштабов подставить для отношения
соответствующих ускорений аг/ам = Х/т2, то получим уравнение: х = р, Х/т2.
Если это уравнение будет выполнено в отношении трех основных
масштабов X, т, х, то диференциальное уравнение главного
явления переходит вследствие
ЛЛФХ сРх X „ ,
MdTS=m*dF^ = K = k%
в диференциальное уравнение модельного явления
d2x .
Если для р. подставим:
р, = Af: ж * Й1 Vol: i vol = (р) Vol: р vol = Ф X»,
где (р) и p — плотности обоих ускоряемых материалов Г. и M.t
Vol и vol — объемы, то получим основную зависимость
-4-?£ <•>
которая выражает: если два явления движения должны
происходить динамически совершенно подобно, то необходимым условием
этого является уравнение (1). Ввиду того что X, т, х в каждом
единичном случае имеют определенные числовые значения, то и
(р)/р для определенного сравнения «моделей имеет определенное
числовое значение.
Если через К и k обозначим произвольные соответствующие
Г. и М. силы, то основное уравнение (1) может быть написано
следующим образом:
ъ-К -_(Р)>^2-(Р)^2
к ~~ р т2 - p/t,2 '
или в форме двух уравнений, вводя для этого отвлеченное число а,
K = a(p)FV2 и Л = арМ (la)
.в которых F и /, V и v соответствующие, но вообще
произвольные поверхности и скорости Г. и М Два уравнения (1а)
представляют общий закон подобия Ньютона, который гласит: при условии
полного динамического подобия соответствующие силы инерции,
а вследствие постоянства значения х, также и все другие
соответствующие силы Г. и М. находятся в отношении плотностей обоих
материалов, кроме того, в отношении соответствующих поверхностей
и квадратов соответствующих скоростей. Следовательно, для дина-

Динамическое подобие
437
мического подобия всех соответствующих сил всегда имеет
значение закон квадратов скоростей пары уравнений (1а).—При помощи
зависимостей
F:f=LlL2:l1l9
и V2:v*= VtVziVM^iVz- Vx) V2:(v2-vJv2=L*T-*:Pt-*
общему закону подобия можно придать следующую целесообразную
форму:
К = а" (р) FV1 V2 k = a"p fvx V2
K=*€t"(p)F(VE-Vd V2 k = a"'Pf(v2 — v1)v2
К = оГ" (?) L* T~* k = a""p /«1-\
Уравнение масштабов (1) но содержанию равнозначаще общему
закону подобия Ньютона.
Если силы инерции играют главную роль в опытах с
моделями, как например в гидродинамике свободных от трения и
несжимаемых жидкостей, при обтекании несущих плоскостей
аэропланов и их винтов, поверхности которых вызывают большие
ускорения в окружающей среде, — то общий закон подобия имеет
преобладающее значение. В этих случаях, с очень большим
приближением, можно пренебречь дальнейшим законом моделей—т
зависит от X— и при опытах с моделями можно быть свободным
в выборе Хит, следовательно, и в выборе V/v = \/t. Необходимо
только обращать внимание на геометрическое подобие ускоряющих
и ускоряемых тел и можно пользоваться общим законом подобия
Ньютона (уравнения 1 а) без всяких ограничений.
Если дело касается, например, подъемной силы К несущей поверхности,
измеренной перпендикулярно к скорости тока V, то в геометрически подобной модели
измеряется соответствующая подъемная сила k для каждого угла атаки и тогда
вычисляется а из о = ft/p fv9, где v и о известны (плотность и скорость текущей
навстречу модели жидкости), а для f будет избрано произведение из глубины профиля
на ширину крыла. Подъемная сила для главного сооружения вычисляется из
К = а (р) F V*, где а тот же коэфициент, что у соответственного опыта с моделью,
а плотность жидкости (р) и F и V относятся к соответствующим величинам (Г.).
5. Закон подобия Фруда. Если на Г. и М. действует
притяжение земли как ускоряющая сила, то, на основании сравнения сил
инерции, снова действителен общий закон подобия Ньютона (урав-
i\ (р) X4
нение 1) х=^ —f и одновременно, вследствие притяжения земли,
имеет место зависимость
- x = ^) = MVol = (r)X3
mg fvol • y •
так что
(Й м (?) *4 (т)/(р) * (g) *
Ы£ \* =JL±.- или Ч-Ц^ = _. или isi-s-r.

438 Т. I. ©тд. 2. Механика. III. Механика подобие
Отсюда следует:
*-/*Ш (2)
и для соответствующих времен Т и t
T:t=V~LJ(g):VVg (2а)
где (g) и g— ускорения силы тяжести для Г. и М. Уравнение (2)
показывает, что масштаб времени не может быть взят произвольно,
а определяется выбором X. Из соответственных
скоростей-получаем из V7v = X/x и из уравнения (2) соотношение V:v = Y^(g)lg
или V:v^VTig)'VW- (2b)
Для случая (g)= g этим уравнением пользуются в
кораблестроении как законом Фруда, для соответствующих скоростей,
в форме: если системы волн от Г. и М., образованные на
поверхности воды под влиянием силы тяжести, должны быть динамически
подобными, то отношение скорости М. и скорости Г., т. е.
геометрически подобного большого судна, должно равняться отношению
квадратных корней из соответственных длин.
Ввиду того что современная механика моделей предпочитает
безразмерное выражение результатов опытов с моделями, то
закону Фруда нужно дать другую форму; из уравнения (2Ь) получаем
V*/Hg) = tfi/lg = F, (2с)
где F—отвлеченное число, коэфициент Фруда. Закон Фруда по
уравнению (2с) гласит: если движения Г. и М., под влиянием
притяжения земли, протекают динамически подобно, то коэфициент
Фруда F для Г. и М. имеет одно и то же значение, независимое
от выбора системы измерений. Уравнения (2), (2а), (2Ь) и (2с) в их
выводах однозначащи и дают закон моделей Фруда для применения
его при влиянии притяжения земли.
Для объяснения безразмерного выражения воспользуемся примером
произвольной формы не вполне погруженной в воду поверхности руля, установленного под
произвольным углом и образующего, под влиянием силы тяжести, волны на
поверхности воды. На малой модели, геометрически подобной Г., измеряется для
определенного погружения и определенного угла поворота давление на руль k
отдельно для каждой скорости течения v. После этого вычисляется для каждого
значения a = klpfv* и а наносятся, как ординаты, над абсциссами — коэфициентами
Фруда F = v*jlg. Линия а над гй/lg, определенная рядом точек, называется линией
давления на руль. Она действительна для случаев геометрического подобия
произвольной величины, произвольной скорости течения и произвольной жидкости. Для
Г. вычисляется соответственное давление на руль из К = а (р) FV3, где а означает
ту ординату найденной опытами над моделью диаграммы, которая относится к
абсциссе v*flg = V*/L (g) = F разбираемого случая.
Этот способ приводит к тому же результату, как если бы в каждом отдельном
опыте соблюдался закон соответствующих скоростей и, помимо а, вычислялось
значение К из измеренного значения k при помощи зависимости
,_* (Р) X* _(P)FV
7Г = р ** p/v*
или при помощи
где (?) и т—удедлые мес&;подверженных ускорению материалов

Динамическое подобие 439
Относительно возникающих, вследствие трения на поверхности, при опытах
с моделями затруднений и о способах их устранения см. Johow-Foerster, Hilfsbuch
fur den Schiffsbauk Berlin 1920, Julius Springer.
6. Закон подобия Коши. Если на тело формы бруса
действуют силы инерции и упругие силы рода Гука, как например
при продольных колебаниях брусьев или канатов, то, принимая во
внимание силы инерции, применим общий закон подобия Ньютона,
как выше во втором случае:
р Т3
Если F и е модули упругости для Г. иМ., то вследствие К*=(<з)Р»*
= (е; EF и k = <j/= e ef получается дальнейшее уравнение
k &ef e *
так как удлинения (е) = Д L/L и е = А ///, вследствие поставленного
условия геометрического подобия дают одинаковые значения для Г. и
М. Отсюда следует
(р)/р.Х'/* = Х«.£/*,
откуда определяется т в зависимости от X:
*=¥ш (3)
Для соответственных времен, следовательно, имеет место
T:t=L/V&(?):l/VW, (За)
так что при одинаковом материале Г. и М. времена колебаний
пропорциональны их линейным размерам. Для соответственной
скорости следует из V/v = Х/т:
V:v=VW)'.VW, (ЗЬ)
так что для одинакового материала закон подобия Коши для
соответствующих скоростей переходит в форму V= v. Для
безразмерного выражения следует
WV^e/ip) = WV^Tp = с, (Зс)
где С—отвлеченное число, коэфициент Коши. Закон подобия Коши
rto уравнению (Зс) гласит: если два явления в Г. и М. вполне
динамически подобны, то даже при выборе различных систем
измерений число Коши С для Г. и М. имеет одно и то же значение.
Уравнения (3), (За), (ЗЬ) и (Зс) в их смысле равноценны и
представляют закон подобия Коши, которым нужно пользоваться при
действии указанных упругих сил. При одинаковых материалах Г. и М.
получается для сил: х = /С:Л = Х2 = /г:/, откуда следует равенство
напряжений.

440 т- *• ^ТД- 2- Механика, III. Механика подобия
' Те же законы моделей действительны при изгибе тел формы
бруса. Если, однако, в телах формы бруса вместо удлинения имеем
дело с явлением сдвижения рода Гука, то необходимо модули
упругости Е и е в Г. и М. заменить модулями сдвига G и g.
Закон подобия Коши для собственных колебаний валов в Г. и М.,
при различных материалах, может быть написан следующим образом:
или при одинаковом материале Г :* = £:/, т. е. времена колебаний
относятся как линейные размеры Г. и М. или числа колебаний
пропорциональны линейным размерам. О применимости закона моделей
для упругих явлений в плитах, дисках, сосудах, колоколах и
неограниченных твердых телах см. литературу, указанную на стр. 442.
7. Закон подобия Рейнольдса. Если при явлении течения
действуют силы инерции и внутренние силы трения вязких
несжимаемых жидкостей, то, принимая опять во внимание силы инерции,
имеем:
р х2
и на основании сравнения внутренних сил трения Кик, если (yj)
и Y] будут значения коэфициентов вязкости жидкостей Г. и М.
в технической системе измерений — следовательно, в кг, сек, м~2
и приняв во внимание:
dV . dv__ X ^__J_
dN: dn~~ x X — x •
пслучим:
а= dN = w1
k"~ do f yj x
X*.
Отсюда следует
9 * П ' ' (4)/(P) {)
и для соответствующих времен для Г. и М.:
(Ч)/(Р) ' Ч/Р"» * * { }
если частное из технического -козфициента вязкости и плотности
будет названо модулем вязкости (v) и v для Г. и М. — в м2 сек~ *.
В последнее время для модуля вязкости вместо <v) и v пишут (М)
и М.

Динамическое подобие
441
Для соответствующих скоростей получаем при V/v = Хт
К:, » ШЙ-&:* (4Ь)
X ф L I
уравнение, которое при одинаковых жидкостях переходит в V:v
= 1/Z,: 1/1 или VL = vl, и закон подобия Рейнольдса в узком смысле
для соответствующих скоростей гласит: соответствующие скорости
при выборе одинаково вязких жидкостей для Г. и М. относятся
обратно пропорционально линейным измерениям. — Для
безразмерного выражения следует из уравнения (4Ь):
ia/(v) = i>//v = tf, (4с)
где R— отвлеченное число, коэфициент Рейнольдса. Закон моделей
Рейнольдса по уравнению (4с) гласит: если два явления течения
в вязких жидкостях Г. и М. проходят динамически подобно, то,
даже при выборе различных систем измерения, оба коэфициента
Рейнольдса R имеют для Г. и М. одинаковые значении. Уравнения (4),
(4а), (4Ь) и (4с) равноценны и представляют закон моделей
Рейнольдса, которым следует пользоваться при действии внутренних
сил трения в жидкостях.
При одинаковых материалах Г. и М. получаем для сил
Х = К= (У1)ХХ_(ц)У1^(г))(у) = 1
k V) Т f[Vl Y) V '
т. е. при одинаковых жидкостях в динамически подобных явлениях
течений получаются соответственно равные силы.
Применение воздуха для Г. и М. с предпосылкой одинакового состояния
приводит обыкновенно к невыполнимому уравнению V: v = 1/Z. : 1//, так как для
модели линейно в X раз меньшей пришлось бы применить в X раз большую скорость,
нежели у Г. Эти затруднения устраняются производством опытов не в воздухе, а
в воде, модуль вязкости которой, смотря по температуре, в 10—20 раз меньше
воздуха.
Применение безразмерного выражения поясним здесь на
примере тока вязких жидкостей в прямом трубопроводе кругового
сечения. Высоты сопротивления для Г. и М., при вполне
динамически подобном течении будут
L V2 I v2
w=lD'm и г-х*гв-
где X — отвлеченное число, характеристичное число или коэфициент
сопротивления, определяемый опытным путем измерением—размеры
модели не должны быть малыми — в трубе с заданной
шероховатостью внутренних стен, при непрерывно изменяющихся скоростях
протока, при помощи уравнения
X — W

442 Т- *• ^ТД- 2 Механика. III. Механика подобия
Это число X наносится как ордината над коэфициентом Рейнольдса
R = vd/vt принятым за абсциссу. Линия Х=/(#) называется
диаграммой коэфициентов сопротивления. Динамически подобное
явление течения Г. имеет тот же коэфициент Рейнольдса /?, а
следовательно, и то же X, таким образом для Г. становится известной
и величина сопротивления W. Полное динамическое подобие
требует геометрического подобия формы неровности внутренней стенки,
а не одинаковой шероховатости. Дальнейший материал к этому см.
коэфициенты сопротивления в отделе: течения в наполненных
трубопроводах (стр. 462 и т. д.) и соответственные новые труды в
Z. f. ang. Math. u. Mech.
8. Законы подобия при одновременном действии
нескольких сил. Если в явлениях ускорения Г. и М. принимают участие
две различного рода силы, например силы тяжести и упругие
силы, как это имеет место во время движения поезда по
колеблющемуся мосту, то необходимо пользоваться, кроме общего закона
подобия Ньютона, одновременно двумя законами подобия, для
каждого из родов сил в отдельности. В этом случае для трех
основных масштабов X, т, х существуют три уравнения. X нельзя
брать произвольно,* а должно вычисляться из них наряду стих.
Предписания законов подобия в действительности часто трудно
выполнимы. Относительно дальнейших подробностей и
„несовершенного" или „приближенного" динамического подобия см. литературу,
указанную ниже.
Литература
М. Weber, Die Grundlagen der Ahnlichkeitsmechanik und ihre Verwertung bei
Modellversuchen, Jahrb. d. Schiffbautechn. Ges. 1919, стр. 355. — Ders., Periodisches
System der Modellgesetze, Sammelheft 1 des Ansschusses fur technische Mechanik des
Berliner Bezirksvereins deuischer Ingenieure 1919. —Ders., Das allgemeine Ahnlichkeita-
prinzip der Physik und sein Zusammenhang mit der Dimensionslehre und der Modell-
wissenschaft, Jahrb. d. Schiffbautechn. Ges. 1930. — Ders., Die spezifischen Drehzahlen
und die anderen Kenngrossen der Wasserturbinen, Kreiselpumpen, Windrader und
Propeller als dimensionsfreie Kenngr6ssen der AhnlichkeKsphysik, Z. Schiffbau und Schif-
lahrt 1930. — W. Herrmann, Die Anwendung des Ahnlichkeitsprinzips der Mechanik
auf zeitlich beliebig veranderliche Vorgange mit besonderer Berucksichtigung schiffbau-
llcher und aerodynamlscber Probleme, Jahrb. d. Schiffbautechn. Ges. 1930.

Свойотва жидкостей и газов
443
IV. Механика капельных жидкостей
(Гидромеханика)
Составил дипл.-инж. проф. д-р А. Б е т ц, Геттинген.
Перевод под редакцией инж. Л. Александрова
Обозначения важнейших величин, наиболее часто ветречающихся в формулах,
и их размерности
Р — подъемная сила; сила, перпендикулярная к направлению движения, в кг,
F — площадь в мг%
V — объем в -и3,
d — диаметр в м,
R — число Рейнольдса (также и газовая постоянная),
Q — лобовое сопротивление; сила в направлении движения в кг,
g = 9,81 м/сек9, — ускорение силы тяжести,
р = 13,6 кг\м? — давление в кг\м* или am = кг/см* = 10* кг\м* или в мм рт. ст. ')t
t — время или другие величины) в сек,
и, v, w — компоненты скорости по х, v, г (или другие величины) в м\сек,
х, у, г — прямоугольные координаты точки в м,
7 — весовая плотность жидкости или газа в кг\мг (удельный вес),
т)—коэфициент полезного действия,
jx— коэфициент вязкости в кг сек\м9,
v = р.: р — кинематический коэфициент вязкости в м*{сек,
р = -у: g — массовая плотность жидкости или газа в кг сек*1м*.
А. Свойства жидкостей и газов
Вязкость. Как жидкости, так и газы обладают тем общим
свойством, что ничтожные силы вызывают в них изменения формы
произвольной величины. Впрочем, только при
бесконечно медленном изменении формы,
требуемая сила будет бесконечно малой.
Выделим в жидкости или газе
параллелепипед ABCD с площадью основания F и
высотою h (фиг. 1). Его можно
деформировать в параллелепипед ABCD' с теми
же площадью основания и высотою и так,
чтобы во время деформации грань CD
передвигалась относительно грани АВ со
скоростью v. Для этого к каждой из граней АВ и CD необходимо
приложить силу
P=pFv/h = pFdv/dh.
р. есть величина, зависящая от свойства вещества и
называемая вязкостью (коэфициент вязкости). Отношение этой
величины к плотности р называется .кинематической
вязкостью v (кинематический коэфициент вязкости) 2).
Жидкость, в которой отсутствуют силы вязкости, называется
идеальной жидкостью.
Фиг. 1.
') Иногда применяется еше понятие относительной вязкости,
которая представляет собой отношение вязкости [х (или v)k вязкости
воды. В технике вместо вязкости [а часто пользуются вязкостью по шкале Энглера,
для измерения которой существуют особые приборы Энглера (формула пересчета
на ст». 444). При сильно турбулентном состоянии жидкости вязкость увеличивается.
*) Таблицы—в .Приложении".

444
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
Сжимаемость. В то время как газы под действием давления
сжимаются, подчиняясь закону Мариотта (/?.# = const),
капельные жидкости даже при сильном давлении почти не изменяют
своего объема (таблица на стр. 445). В учении о движении капельных
жидкостей — гидродинамике — жидкость почти всегда можно
предполагать несжимаемой; но и в газах изменения объема иногда
бывают настолько малы, что ими вполне можно пренебречь, и в этих
случаях законы движения для газов и жидкостей одни и те же.
В общем случае сжимаемость газов приходится вводить в расчет
только тогда, когда наблюдающиеся скорости приближаются по
своей величине к скорости звука в рассматриваемом газе. Случаи
движения, в которых принимаются в расчет изменения
объема, указаны в гл. V „Механика сжимаемых жидкостей" (стр. 519),
а также в отд. «Теплота".
Поверхностное натяжение и капиллярность. На границе
соприкосновения двух жидкостей или между жидкостью и твердым
телом действуют молекулярные силы, которые стремятся уменьшить
поверхность соприкосновения (поверхностное натяжение). Это
поверхностное натяжение является, между прочим, причиной круглой
формы падающих капель. В случае соприкосновения жидкости и
твердого тела поверхностное натяжение вызывает на границе
соприкосновения более или менее значительное поднятие или
опускание свободной поверхности жидкости.
В трубках с диаметром d мм вода поднимается (в мм) на
высоту ЛдаЗО/tf, а между пластинками с расстоянием а (в мм)—
на высоту Ля^15/а.
Для алкоголя соответственные значения поднятия будут:
h=Wld и Ля^5/а; для толуола: htt\3/d и htt&l^d.
Таблицы и формулы
Связь между кинематической вязкостью v м2/сек и
вязкостью Е по шкале Энглера *) (для жидкостей с £<1,1 прибором
Энглера пользоваться нельзя). По U bbeloh de 10е v = 7,32 • Е—
— (6,31/£), или точнее по Vogel 104 v = £ • 0,076(1 ~1/£3).
Таблица 1. Весовая плотность ?, массовая плотность р,
вязкость р. и кинематическая вязкость v воды
Величина и
размерность
р „ кг сек*/м* . . .
10у „ кг сек\м% ....
Температура в°С
0
1000
101,9
183
1,80
10
1000
101,9
133
1,30
20
998
101,7
103
1,01
40
992
101,1
66,8
0,661
60
983
100,2
48,3
0,482
80
972
99,1
36,4
0,368
100
958
97,8
28,9
0,296
J) Ubbelohde, Tabellen znm Englerschen Yiskosimeter, 2, Aufl., Leipzig,
1918, Hirzel. E r k, Zahigkeitsmessungen und Flflssigkeiten uud Untersuchung von
Viskosimetern, Mitt. Forschungsarb. VDI. H. 288.

Свойства жидкостей я газов
445
Таблица 2. Коэфициент вязкости р. разных жидкостей в
зависимости от температуры
Наименование
жидкости
0°
0,0179
0,0170
0,0044
46
1 "*"'
20°
0,0101
0,0157
0,0038
8,7
7.24
9,47
40е
0,0066
—
0,0032
—
2,23
1,30
60е
0,0048
—
—
0,68
0,54
80°
0,0036
—
—
0,28
0,26
100°
0,0028
0,0122
—
0,12
0,12
Уд. вес
Вода
Ртуть
Сероуглерод . . . .
Глицерин
Касторовое масло .
Цилиндровое масло
1,0
13,55
0,96
1,26
0,969
0,91
Таблица 3. Кинематическая вязкость v в м2/сек некоторых
жидкостей
Найме нование
жидкости
Бензин ....
Бензол ....
Толуол ....
Касторовое
масло ....
Смазочное ма-
Темп.
в°С
20
20
0
40
40
v в л*/с**ХЮ"в
0,83
0,73
0,87
230
60
Наименование
жидкости
Алкоголь . . •
Глицерин . . .
Ртуть
Эфир
Керосин . . .
Воздух жидк..
Темп.
ввС
20
20
|. 20
I 20
20
—
vBjks/tt?*X10"6
1,51
848
0,114
0,316
2,2
0,33
Таблица 4. Весовая плотность т, массовая плотность р,
вязкость (л. и кинематическая вязкость v воздуха при давлении
в 764) мм рт. ст.
Величина и
размерность
т в кг\м* ....
р „ кг сек*\мА . .
10у п кг сек\м*. . .
10*# п м*\сек ....
Температура
-20е
1,39
0,142
1,59
11,3
—10°
1,34
0,137
1,65
12,1
0°
1,29
0,132
1,71
13,0
10°
1,24
0,127
1,77
13,9
20°
1,20
0,123
1,83
14,9
40°
1,12
0,114
1,95
17,0
60°
1,06
0,108
2,07
19,2
80°
0,99
0,101
2,19
21,7
100°
0,94
0,096
2,33
24.5
10V = 1,712 У\ + 0,003665 t • (1 +0,00080-/)».
(л не зависит от давления, f и р изменяются прямо пропорционально, a v обратно
пропорционально давлению.
Таблица 5. Кинематическая вязкость v в м2/сек Некоторых
газов при давлении 760 мм рт. ст.
I Температура
Наименование газа
Водород
Окись углерода .
Кислород
Двуокись углерода
Гелий
в °С
vXlO"
0
0
0
0
0
94,5
13
1,4
7,2
106

446
Т. I. Отд. 8. Механика. ГУ. Гидромеханика
Вязкость р. в кг сек/м* некоторых газов при 0° и давления
в 760 мм рт. ст: углекислый газ 1,5«КГ-6, кислород 2,0«КГ"6,
азот 1,7-10""6, водород 0,88 • 1 (Г6, водяной пар 0,92-КГ"6.
В. Гидростатика
а) Основные законы
Закон Паскаля. Внешнее давление, действующее на
некоторый объем жидкости в каком-нибудь одном направлении,
передается по всем направлениям, не изменяя своей величины.
Уравнения Эйлера. Если в жидкости выделить бесконечно
малый параллелепипед, одна из вершин которого .лежит в точке Р и
грани которого равны dx, dy, dz, то этот параллелепипед будет
находиться в состоянии равновесия при соблюдении следующих
уравнений:
% = ?Х, | = рУ, %-=?Z, dp = P(X.dx+Y-dy + Z-dz),
причем через X, Yt Z обозначены компоненты массовой силы,
действующей в точке Р и отнесенной к единице массы, через р—
гидромеханическое давление в точке Р и через р — плотность. Для
свободной поверхности, а также для поверхностей равного
давления (поверхности уровня) dp = 0, и последнее уравнение
обращается в следующее: X*dx -f Y>dy-\-Z-dz = 0. Массовая сила,
компоненты которой обозначены через X, У, Z, в каждой точке
жидкости перпендикулярна к поверхностям равного давления.
В жидкостях, которые подвержены только действию силы
тяжести, поверхностями равного давления будут шаровые поверхности
(приближенно — плоскости), которые расположены концентрически
(параллельно) со свободной поверхностью.
Ь) Гидростатическое давление, поддерживающая сила
1. Сила нормального давления на стенки
а) Плоские стенки. Обозначения:
F — площадь смачиваемой плоской стенки в лА,
Л — расстояние центра тяжести смачиваемой стенки от свободной поверхности
жидкости (по вертикали),
а — угол между плоскостью стенки F и горизонтальной плоскостью,
х,у— координаты центра давления в м (точка приложения силы давления жидкости),
причем ось х совмещена с прямой пересечения плоскости, проведенной через
F, с плоскостью свободной поверхности жидкости, а эа ось у взята
какая-нибудь прямая в последней плоскости, перпендикулярная к оси х,
§ — кратчайшее расстояние периметра площади F от оси х-ов в м,
S —статический момент в л» \ „тлтмш„ «? ~»па<..м.а «.■>,» ~~~ *•
/ - момент инерции в м* ) пл<>щади F относительно оси дг-ов,
/*и—центробежный момент площади F относительно осей дг-ов и у-ов в м*.

Гидростатика
447
Сила нормального давления равна Fh у в кг, и координаты точки
приложения равнодействующей силы будут:
у = J:S = J sin z:Fh, x — Jxy: S=Jxy sin a : Fh.
Если площадь F имеет ось симметрии, перпендикулярную к оси дг,
то, взяв эту ось симметрии за ось у% будем иметь: х = 0.
Величина координаты у для некоторых площадей:
для прямоугольника с основанием, параллельным свободной поверхности
жидкости, и высотою а:
у = (а : 3)-[(3 е + 2 а): (2* -f а)] -f *; для е = 0, у == 2а : 3;
для трапеции с основаниями Ь, и bH (fr0 — верхнее основание), параллельными
свободной поверхности жидкости, и высотою а:
^ 2e(bt + 2bu) + a(bQ + 3bu)
У~2' 3e{b0 + bu)-\- a(bo+2bu) + е;
для треугольника с основанием, параллельным свободной поверхности
жидкости, высотою а и вершиной, расположенной под основанием:
у = 0,5 а'[(2е -f- а): (Зе + a)] + е; для е = 0,у = 0,5 я;
если вершина расположена на свободной поверхности жидкости, у =0,75а;
для круга с диаметром 2а или эллипса с вертикальной осью 2а:
у = л + в + [0,25а*: (а + е)];
если круг или эллипс касаются свободной поверхности жидкости, у = 1,25 а,
Ь) Кривые стенки. Разбивая кривую стенку на ряд
площадок, которые можно принять за плоские, определяют силу давления
для каждой такой площадки; разлагая их на три составляющие —
две горизонтальные и одну вертикальную—суммируют их в
отдельности и получают, таким образом, полные силы в вертикальном и
горизонтальном направлениях; сложение же последних приводит к
одной равнодействующей силе только в том случае, если они все
пересекаются в одной точке, в противном случае получается
результирующая сила и результирующая пара.
2. Сила давления в произвольном направлении на стенку
какой-угодно формы получается суммированием сил на отдельные
элементы этой стенки, причем каждая такая элементарная сила равна
проекции площади этого элемента на плоскость, перпендикулярную
рассматриваемому направлению, умноженной на расстояние центра
тяжести этого элемента до свободной поверхности жидкости и на
вес единицы объема жидкости. Отсюда следует, что сила
вертикального давления на какую-нибудь площадь равна весу столба
жидкости, расположенного над этой площадью до свободной
поверхности. Сила давления на площадь F в направлении,
образующем с плоскостью острый угол р, равна Fht sin p, причем h есть
расстояние центра тяжести площади F до свободной поверхности
жидкости. Для целиком или частично погруженного в жидкость тела
результирующая поддерживающая сила равна весу вытесненной
жидкости.

448
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
с) Статическая устойчивость плавающих и погруженных
в жидкость тел
Обозначим центр тяжести тела, вес которого равен Gkz, через 5,
центр тяжести вытесненного объема с весом D кг — через d. Если
в качестве действующих сил рассматривать только вес тела и
поддерживающую силу жидкости, то тело будет плавать (без
воздействия внешних сил), если D = G и если одновременно d лежит
на вертикали, проходящей через s (ось плавания). Если D < G,
то тело погружается. Если£>0, то тело поднимается до гех пор,
пока D не сделается равным G. Свободная поверхность жидкости
пересекается с плавающим телом по так называемой ватерлинии,
которая ограничивает площади плавания. Если плавающее тело
наклонить около оси, параллельной одной из двух главных осей
инерции площади плавания, то поддерживающая сила D пересечет
ось плавания в точке, называемой метацентром. В общем
случае для каждой из обоих главных осей инерции имеется ?вой
метацентр (продольный и поперечный метацентры)
Введем обозначения:
У, и /, — моменты инерции относительно главных осей площади плавания
в мА;
тх и mt — расстояния метацентров от центра тяжести s плавающего тела в м;
е — расстояние в м между точками d и s перед вращением, причем е
положительно, если d лежит выше s, и отрицательно в противном случае;
V — объем вытесненной жидкости в м*.
Для наклона (вращения) тела на угол ах относительно оси Jx
необходим момент
М] = Dm1 sin at [кгм]%
а для наклона на угол а2 относительно оси Уа — момент
М2 = Dm2 sin <x2 [кгм].
Вращение относительно любой другой оси можно разложить на
вращения относительно осей Jx и У2 и, таким образом, определить
соответствующий момент.
Для небольших углов a: ml=*(J1: V)-}-е и /я2 = (Л: Ю +е-
У тел, погруженных в жидкость (подводные лодки), у аэростатов,
дирижаблей ватерлинии не имеется, следовательно, ^ = 72 = 0;
поэтому они будут находиться в устойчивом равновесии только
тогда, когда их центр тяжести лежит на одной вертикали с центром
тяжести вытесненного объема жидкости или воздуха и п о д ним.
Понятие метацентра в этом случае утрачивает свой смысл, так как
метацентр совпадает с центром тяжести вытесненного объема.
Если внутри плавающего тела находятся свободные поверхности
жидкости (частично наполненные резервуары, воздух в частично
наполненных воздушных мешках в аэростатах), наличие которых
дает возможность жидкости, ими ограничиваемой, перемещаться
при наклоне плавающего тела, то при определении положения
метацентра (т) следует ввести в формулу моменты инерции этих
поверхностей с отрицательным знаком. Наличие таких свободных
поверхностей понижает устойчивость плавающих тел.

Гидродинамика
449
С. Гидродинамика
а) Общие понятия
1* Линии тока, функция тока, критические точки. Кривые,
касательные к которым в каждое точке совпадают с направлением
течения жидкости, называются линиями тока. При
установившемся движении (см. следующий параграф) линии тока совпадают
с траекториями отдельных частиц; при неустановившемся же
движении они отличны друг от друга. В двухразмерном потоке для
каждой линии тока можно найти такую величину ^< которая дает
количество жидкости, протекающей через любое поперечное
сечение между взятой линией тока и некоторой другой линией тока,.
принятой за нулевую; эту величину называют функцией тока.
Если и обозначает компонент скорости в направлении оси х> а
v—в направлении оси yi то
ду ох
Понятие функция тока можно применить и к пространственным
(трехразмерным) потокам, симметричным относительно продольной
оси (например обтекание шара); в этом случае функция тока дает
секундное количество жидкости,
протекающей через поперечное сечение тела
вращения, образуемого рассматриваемой
линией тока при ее вращении вокруг оси
симметрии.
При обтекании жидкостью тела имеется
линия тока, которая у тела разделяется.
Точка, где это происходит (фиг. 2, точка
Рг), называется передней критической
точкой. У кормовой части тела, в
задней критической точке Р2> линия тока опять смыкается. В
критических точках скорость потока относительно тела равна нулю.
2. Установившееся и неустановившееся течения. Течение
называется установившимся, если в нем в каждом его месте
скорость со временем не меняется ни по величине, ни по
направлению, иными словами, если наблюдателю представляется все время
одна и та же картина течения (пример: истечение жидкости под
постоянным напором через насадок). При движении же
какого-нибудь тела в покоящейся жидкости течение уже не будет
установившимся, так как тело и картина обтекания, вызванная его
движением в глазах наблюдателя, все время передвигаются. Тем не
менее это явление можно привести к установившемуся: для этого
надо выбрать соответствующую систему координат, вместе с
которой двигались бы и наблюдатель и тело. Есть, наконец, и такие
явления, которые нельзя привести к установившимся: например
движение в жидкости двух тел с различными скоростями. На
практике в большинстве случаев приходится иметь дело или с устано-
Фиг. 2.

450 T> L 0тД а Ммании. IV. Гждромехмшкл
г
V
u*du
* *
х
Фиг. 3.
вившимися течениями или с такими, которые могут быть приведены
к установившимся..
3. Одноразмерное, двухразмерное и трехразмерное течение.
Существуют течения, состояние которых меняется, главным образом,
вдоль некоторой линии, в то время как в направлении,
перпендикулярном к этой линии, оно в существенном остается неизменным;
такие течения (потоки) называются
одноразмерными (пример: движение жидкости в
трубе). В большинстве весьма важных
технических задач, составляющих предмет
гидравлики, течение жидкости может рассматри*
ваться как одноразмерное. В других
же случаях течение происходит так, что
картина потока одна и та же во всех
параллельных плоскостях; примером может служить
обтекание цилиндрического тела, бесконечно
длинного в направлении оси или же
ограниченного с боков плоскими стенками, между которыми жидкость
протекает. Изучение таких двухразмерных, или плоских,
потоков гораздо легче, чем изучение потоков тр е х р аз м е р н ы х,
или .пространственных.
4. Вихрь, потенциал. Обозначим через о> среднюю угловую
скорость^ с которой вращается около своего центра частица
жидкости в виде шара. Она определяется своими 3 компонентами для
3 взаимно перпендикулярных осей (фиг. 3):
1 / dv ди\ 1 (ди dw\ 1 /dw dv\
Удвоенная угловая скорость называется ротором или кёр-
лом скорости и обозначается: rot t>.
Вообразим в жидкости поверхность F, ограниченную кривой s
(фиг. 4). Пусть в какой-нибудь точке контура s жидкость имеет
скорость v. Компонент скорости v в
направлении касательной в рассматриваемой «точке s
обозначим через v'. Составив произведение из
линейного элемента ds контура и компонента v' и
взяв от этого выражения интеграл вдоль всего
замкнутого контура ( ф). получим величину Г =
= ф Vе ds% называемую циркуляцией.
Циркуляция Г и ротор rot t> связаны между собою
следующим соотношением:
r = /(rotc)-d§f.
где d£5 есть элемент площади, rot г — ротор для оси,
перпендикулярной к dfi, и интегрирование распространяется по всей площади,
ограниченной рассматриваемым контуром. Если ротор одинаков для
всей поверхности, ю
r = grotp;

ГнДродввдмяа*
461
rot tJ есть вектор. Циркуляция есть скалярное произведение двух
векторов (t> и ds или rot t> и d%), следовательно, она есть скаляр.
Если какая-нибудь частица жидкости вращается как твердое тело
с угловой скоростью <*>; то для окружности с диаметром г,
описанной около оси вращения:
Г = 2т: г • по, rot v = Г :F=z 2кг- г to : г2п = 2 • ш.
Как и должно быть, ротор в два раза больше угловой скорости.
Линии, касательные к которым в каждой их точке совпадают
с направлением результирующей оси вращения вращающейся
жидкости, называются вихревыми линиями. Совокупность
вихревых линий, проходящих через односвязную поверхность,
называется вихревой нитью, шнур ом, трубкой или,
наконец, просто вихрем. Впрочем, вихрем часто v
называют вихревую нить вместе с окружающей ее *
невращающейся жидкостью — полем вихря. ^
Иногда еще слово вихрь употребляется в одном _^ »■, d .
смысле с ротором. Циркуляцию вокруг вихревой. I^L : v Г
трубки называют напряжением вихря. 'р'
Вихрь в виде поверхности называется вихревой 1
пеленой; она является поверхностью разрыва ^
скоростей, так как скорость при переходе с
одной стороны этой поверхности на другую изме- фиг- 5-
няется скачком на конечную величину Дг/,
равную циркуляции на единицу длины &v = dr/ds (фиг. 5).
Если какая-нибудь область потока свободна от вихрей (rot я = 0),
то в каждой точке этой области можно найти такую величину Ф, что
дФ дФ дФ
дх * ду • dz
Ф называют потенциалом скорости, а поток, свободный
от вихрей, — потенциальны м потоком.
В идеальной жидкости вращение отдельной частицы
никогда не может измениться (ср. приведенные ниже в п. 5 теоремы
е) 3 и е) 4). В частности, если циркуляция по любому замкнутом/
контуру везде равна нулю, то движение идеальной жидкости
может быть только потенциальным.
5. Формулы и теоремы, а) Общие уравнения
движения Н а в ье-Сто кса:
ди . ди , ди . ди 1 др ( \
dt ' дх г ду^ dz р ду* \ Г
dw . dw , dw , dw _ 1 dp . i k \

452 Ф. I* Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
ди «
-а- есть приращение за 1 сек. компонента скорости В
Направлении оси х в определенном месте пространства;
ди , ди , ди . da
есть 11рираш,енйе за 1 секунду компонента скорости в направлений
оси х рассматриваемой частицы жидкости, которая в
общем случае за промежуток времени dt изменяет свое положение
в пространстве. X есть внешняя сила, приходящаяся на единицу
массы, -J- — градиент давления в направлении оси х; р • v • Аи =
/ дЧ , д-и , д2и \
= Р • v ( ~^т + ~т~2~ т* ту )"~сила в направлении оси ^возникающая
от трения смежных частиц жидкости. В идеальной жидкости, где
трения между частицами не существует, последний член пропадает,
поэтому в приведенных выше уравнениях он заключен в скобки {}.
Совокупность остальных членов известна под названием уравнений
Эйлера; последние пригодны только для идеальной жидкости.
b) Уравнение неразрывности. Из условия, что в
элемент пространства переменного объема должно втекать столько же
жидкости, сколько из него вытекает, получается уравнение
неразрывности для жидкости с постоянной плотностью:
ди . dv , dw
-5—г -5—г -г- = 0 или chv v — 0.
дх ' ду l dz
Для потенциального потока (стр. 451) это уравнение можно
заменить таким:
или в цилиндрических координатах
г = ух*+у* , <р = arc tg [—), z:
д*Ф . 1 дФ , 1 д*Ф . д*Ф .
Если плотность жидкости не постоянна, то уравнение неразрывности
будет:
др , д(ри) , d(pi>) , d(pw) л dp . .. f ч
Л+-|г + -|± + -дг = ° ИЛИ lF + d,v(PD> = a
Иногда при решении некоторых задач приходится допускать,
что в некоторых местах потока div v не равен нулю. Такие места
называются источником или стоком, смотря по тому, положителен
или отрицателен для них div v (источник и сток см. стр. 456).
c) Уравнение Бернулли. Интегрирование эйлеровых

Гидродинамика 453
уравнений для безвихревого движения дает уравнение
Бернулли:
~2~ + Р + hi + ?-fir = const = pQ.
дФ дФ
При установившемся движении -с- = о, и член р-тт- исчезает,
Л? есть то давление, которое производит столб весомой жидкости
высотой h. На тот же столб действует поддерживающая сила
(стр. 448). Так как эта последняя равна и прямо противоположна
силе веса этого столба, то эти две величины и уравновешиваются.
При рассмотрении движения жидкости, не имеющей свободных
поверхностей раздела, соединяют обе величины статического
давления вцесте: p~\-h-{ = p\ и эта сумма представляет собой общую
величину статического давления. Если, например, жидкостные
манометры находятся на одной высоте и в плоскости, принятой
< ю" 2 3*36 Г7 г v2 "* s$ $ ю 2 з • ss в ю* г з • s»
I'MM H^li)v!wibA|>.^l^,htl4i^4|ji^/Ji\iMiR i f пКу.'Ь^Ж1|А|'Л'1^1 ht|M,l.|4'|'v^J^
/ 2 r3tl*S678SfO 0ллЛ „20 30 90 50 SO Ю 80 90 ЮР
— vfifceKj Воздух
8 8 7 2 i • 5 * 8 Ю * i 3 * S t 8 Ю* 8> 3 * S 6 8 Ю* 2 3 • S
Aj о.? с,з a* as aearaoojj D~z~ * * * s $ i 8 9 ю
—- vfM/ceHj Soaa
Фиг. 6. Номограмма для определения гидродинамического напора для воды и
воздуха.
за нуль (h — 0), а соединительные трубки от приемника к
манометрам наполнены той же жидкостью, в которой измеряется давление,
то эти манометры и покажут полное статическое давление р -f- lv\.
v2р/2 есть кинетическая энергия единицы объема
жидкости и называется гидродинамическим давлением
(напором) (фиг. 6). Вместо гидродинамического давления в кг/м2 или мм
вод. ст. можно указывать высоту столба рассматриваемой жидкости,
который оказывает такое же давление. Эта высота h = v2/2g
называется скоростной высотой (таблица на стр. 308). Уравнение
Бернулли действительно для всей безвихревой области жидкости.
Если поток установившийся, но не свободный от вихрей, то
уравнение давления справедливо для каждой отдельной линии тока,
если только можно пренебречь влиянием вязкости. Но при переходе
от одной линии тока к другой постоянная в этом уравнении меняется.
Для установившегося движения, введя понятие полного
статического давления р\ уравнение Бернулли принимает следующую
простую форму:
pi>a/2 + />' = const.

454
Т. I. Отд. 8. Механика. IV. Гидромеханика
При больших скоростях движения капельной жидкости
образуются полости очень низкого давления, приближающегося к
абсолютному вакууму; в этом случае из жидкости будут выделяться
пары, которые коренным образом изменят строение потока
(кавитация). Это явление имеет место в быстровращающихся водяных
винтах и турбинах и уменьшает их к. п. д. (небольшая кавитация
дела не портит и может даже увеличить к. п. д.). При кавитации
наблюдается сильное изнашивание материала; причины этого
недостаточно пока еще изучены. Можно предположить, что при вновь
быстром возрастании давления образующиеся пузырьки
разрушаются, отчего могут возникнуть толчкообразные удары о лопасти такой
большой силы, что будет превзойдена прочность материала. Кроме
того, играют также, повидимому, некоторую роль и химические
процессы. При некоторых условиях в воде могут возникать также
и отрицательные давления (растягивающие усилия) без кавитации г).
По наблюдениям Аккерета это может произойти в том случае,
когда при очень большой скорости пузырьки не успевают
образоваться и когда течение не турбулентное. Играет ли это явление
какую-либо роль в технических приложениях, пока еще неясно.
d) Теорема количества движения (в частности
справедливая без ограничений и для явлений с потерями энергии).
Импульс с и л ы = масса X скорость. Секундное количество
движения массы жидкости, вступающей в какую-
нибудь ограниченную область жидкости,
уравновешивается внешними силами, действующими на
эту область. (Количество движения выходящей из области
массы жидкости надо считать отрицательным.) К внешним силам,
главным образом, принадлежат давления, действующие на
поверхность, ограничивающую рассматриваемую область. Количество
движения, подоСно силе, — вектор, поэтому равновесие должно
существовать и между соответствующими компонентами.
e) Теоремы о потенциальных потоках и вихрях.
Теоремы 4, 5 и 6 даны Гельмгольцем и носят его имя.
1. Если жидкость приведена в движение только разностью
давлений и при этом в движении не проявляется вязкость, то
образуется потенциальный поток.
2. Если какой-нибудь поток является потенциальным, то он во
внутренней своей области остается таким и при наличии
вязкости. Последняя начинает оказывать влияние только в тех
местах, где происходит соприкосновение потока с ограничивающими
стенками.
3. В идеальной жидкости, следовательно, и в
потенциальных потоках, не может быть потери энергии. При
равномерном движении тела сопротивление, оказываемое ему тело>\и
равно нулю. (Сопротивление, которое оказывают реальные жидкости,
возникает от образования вращающихся частиц жидкости.)
'; Т h о m a*, Die Kavitation bel Wasserturbinen, Wasserkraftjahrbuch, Muncheii,

Г ядро динамике
455
4. В идеальной жидкости циркуляция вокруг вихревой
нити не меняется со временем,.в частности никакая
частица не может притти во вращение, если она не обладала им
ранее.
В реальной жидкости эта теорема имеет только приближенный характер и
только при условии, что или вязкость достаточно мала или же поток в достаточном
удалении от стенок является потенциальным (ср. теорему 2); она не исключает
возможности образования внутри идеальной жидкости
поверхностей раздела.
5. Вихревая нить состоит всегда из одних и
тех же частиц жидкости, даже передвигаясь или меняя
свою форму.
6. Циркуляция вокруг вихревой нити
одинакова вдоль всей длины нити. Поэтому нить может
окончиться только на границе жидкости в
противном случае она замыкается.
; - у/ »■ ( [((П&п ) *-
Фиг. 7. Фиг. 8. Фиг. 9. Фиг. 10.
I юследння теорема носит исключительно геометрически \ (кинематический)
характер, следовательно, не зависит от каких бы то ни .было свойств жидкости.
7. Скорость в поле вихря какой-угодно формы, напряжение
которого равно Г, может быть выражена интегралом, взятым вдоль
всей длины вихревой нити. Участок вихревой нити ds обусловливает
в точке Р поля (фиг. 7) скорость
dv = Г (ds: 4 п г2) sin ? = Г (ds: 4 л a2) sin3 ?.
При этом dv перпендикулярно к плоскости, определяемой точкой Р
и элементом ds (за он Б и о- С а в а р a). (NB. Поле скоростей вихря
одинаково с магнитным полем вокруг проводящего электрический
ток проводника, имеющего одинаковую форму с вихревой нитью.)
Ь) Течения с потенциалом скорости
I. Явления, в которых можно не рассматривать
влияния силы тяжести
Так как в однородной жидкости гидростатическая поддержи-
вающа'я сила определенного объема равна весу этого объема, то
обе эти силы взаимно уничтожаются. Явление происходит так, как
если бы притяжения земли не было вовсе. На границе двух
жидкостей различных плотностей, в частности на свободной поверхности
жидкости, этого уже нет. Здесь, например, под действием силы
тяжести могут возникнуть волны.

456 т- !• 0тД- 2- Мехавика. IV. Гидромеханика
1. Элементарные потоки. Параллельный поток (фиг. 8). Все
линии тока одинаково направлены, и скорость всюду одна и
та же.
Радиальный поток (фиг. 9). Жидкость течет из одной точки,
из источника, по радиусам, по всем направлениям в
бесконечность. Количество жидкости, вытекающее в 1 сек., называется
расходом Е в м3/сек источника. Скорость v в расстоянии г м от
источника равна
v = Е'Акг2 м/сек.
Потенциал: Ф = — Е: 4яг м2/сек.
При плоском движении источник сосредоточен не в точке,
а распределен вдоль прямой линии. Расход Е в м21сек в этом случае
будет количество жидкости, вытекающее из единицы длины этой
линии. Скорость в расстоянии г м равна:
V — Е:2кг м/сек.
Потенциал: Ф = (Е: 2 ti) In r мЦсек.
Если расход отрицателен, следовательно, скорость направлена
по радиусам внутрь, то такой поток называют стоком.
Циркуляционный поток (фиг. 10). Жидкость двигается по
концентрическим кругам вокруг некоторой оси так, что всюду,
кроме как на самой оси, она свободна от вихрей. Если
циркуляция вокруг оси равна Г, то скорость v в точке Р на
расстоянии г м от вихря равна:
v = Г : 2 тс г м/сек,
а потенциал
Ф = (Г : 2 п) (ф + 2тг п) м?-\сек,
где <р обозначает угол, образованный радиусом, проведенным
в точку Я, с радиусом, принятым за нулевой, а п — произвольное
целое число (многозначный потенциал). Плоский
радиальный поток и чисто циркуляционный поток переходят один
в другой, если поменять ролями потенциальные линии и линии тока.
2. Определение новых, сложных потоков путем сложения
элементарных. Если два потенциальные потока наложить один на
другой так, чтобы скорости нового
потока в каждой точке получались
геометрическим сложением скоростей в тех же
точках первоначальных потоков, то вновь
получивдшйся поток будет тоже
потенциальным. Таким путем могут быть
получены самые разнообразные потоки.
Источник и параллельный поток
(фиг. 11). Жидкость, вытекающая из
источника, остается внутри некоторой
поверхности. Пространство, заключенное
внутри этой поверхности, можно представить себе замененным твер*
дым телом; поток вне этой поверхности при этом не меняется. И обратно,
Фиг. п.

Гидродинамика
457
нарушение, производимое в параллельном потоке подобного рода
твердым телом, совпадает с полем скоростей источника,
помещенного в параллельном потоке. Обозначим через %v м/сек скорость
невозмущенного параллельного потока, через Е м3/сек или м2/сек
расход источника, через а м расстояние источника от передней точки
тела и через D м толщину тела в достаточно большом удалении
от его края, направленного навстречу параллельному потоку, тогда
для пространственного потока
а = 0,5-УЁТ0пГ=О/4; D = 2*VFJvV;
для плоского потока
а = E/2vk = D/2k; D = Е / v.
Из этих соотношений определяются положение и расход источ-
иш$а, могущего собою Заменить тело, помещенное в параллельный
поток и его возмущающее. Если тело имеет несколько неправильную
форму, то оно все-таки по крайней мере
приближенно может быть заменено таким и точником.
Источник и сток равных расходов (фиг. 12).
Если уменьшить расстояние а и увеличить
расход Е так, чтобы
а- Е = М — const,
то из этого потока получают, как предельный
случай/ так называемый дублет или диполь (фиг. 13).
г*- a -п
Фиг, 12.
У диполя линиями тока служат окружности,
называют моментом диполя.
Скорость в поле диполя:
в пространственном потоке:
и = — (Af/4 те г8) • (3 cos' ? — 1);
v = — (М/4 к г3) • 3 sin <р cos <p;
результирующая
Yu2+zP = (MI4ni*) V3 cos2 <р + 1 ;
в плоском потоке:
и = — {М/2 к г2) • (2 cos2 ср — 1);
v = — (М/2 тг г2) • 2 sin ? cos cp;
результирующая
У и°- + V1 = (М/2 к г2).
Потенциал соответственно будет:
М 7VT
М м*/сек или мд/сек
Фиг. 13.
Ф:
4тг г^
coscp;
Ф:
2 71 г
cos ср.
Источник, сток и параллельный поток (фиг. 14). Граничная
поверхность (или в случае плоского потока, граничная лилия)

458* т- I- 0тД- 2 Мехаввжа. IV. Гидромеханика
подобна эллипсоиду вращения (или соотв. эллипсу), дает
возможность обтекание таких тел изучать путем замены самих тел
источником и стоком. |
Особый случай: диполь и параллельный поток. Граничная
поверхность — сфера (или окружность). Если скорость
параллельного потока равна v м/сек, диаметр граничной фигуры d Mt
а скорость у поверхности этой фигуры w м/сек, то:
для пространственного потока (шар) d-=2 yM/2nv,
w = 1,5 v sin cp;
для плоского потока (круг)
d = 2yrM/2nv, w=2vsin<p.
^..^Шштшв».
Фиг. 14.
Фиг. 15.
Непрерывное распределение источников и
стоков в соединении с параллельным потоком дает возможность
получить весьма выгодные формы дирижаолей *) (фиг. 15;
зачерченная площадь выше оси изображает распределение источников, ниже
оси — стоков).
Обтекание бесконечного круглого цилиндра сложным
параллельным и циркуляционным потоком (фиг. 16^ Цилиндр
испытывает на единицу дли-
ны поддерживающую силу,
направленную
перпендикулярно к v и равную р tv
(теорема Жуковского).
Зеркальное отражение. .
Если поток зеркально
отразить относительно
какой-нибудь плоскости, то
эта плоскость отражения фИГ.%17.
делается плоскостью'
и может быть заменена твердой стенкой. Обратно
эффект плоской стенки может быть заменен добавочным потоком,
получающимся от зеркального отражения рассматриваемого потока
относительно стенки (пример: источник вблизи стенки, фиг. 17)
Для плоского потока можно находить зеркальные изображения
и от круга (фиг. 18). Если точка Р лежит от центра круга О
с радиусом г на расстоянии д, то соответствующая ей в зеркаль-,
') Fuhrmann, Theoretische und experimentelle Untersuchungen an Ballonmo-
dellen, Diss. Gottingen, 1912 und Jahrb. d. Motorluftschiff-StudiengeselUchaft 1911/12,
стр. 65 ff.,—v. Кйгшап, Berechnung der Druckverteilung an Luftschiffkurpern. АЫь
•us d, Aerodynatnischen Institut an der TH Aachen, neft 6,
Фиг. 16.
симметрии

Гидродинамика
459
ном изображении точка F лежит на линии ОР на расстоянии
ar = fija от центра. Бесконечно удаленной точке соответствует центр
круга. Для шара (простр. поток) вопрос значительно усложняется.
Пример. Спереди самолетной стойки dt = 5*15 см на расстоянии 20 см
помещен приемник показателя скорости. Каково влияние этой стойки на показание
прибора ?
Стойку можно заменить источником и стоком (фиг. 14) с расходом Ettdv =
яг 0,05 v м*\сек; расстояние а « t = 0,134 м. Для учета влияния этой стойки
к
ее в свою очередь можно приближенно заменить диполем М — Еа = 0,0067 v мг\сек
с расстоянием -= —-»0,07 м от передней кромки стойки. Расстояние диполя
от приемника г =* 0,2 -f- 0,07 = 0,27 м. Возмущение потока от диполя
М ,п „ _„„ v
2 кг*
(2 — 1)= 0,0067
2 к 0,27» '
i 0,015 v.
Прибор будет показывать на l'/i% меньше, причем эта ошибка пропорциональна
квадрату расстояния.
Фиг. 18.
Фиг. 19.
3. Применение метода конформных преобразований (стр. 197).
Применение этого метода возможно лишь для плоских потоков;
результаты получаются в высшей степени плодотворные.
Преобразование С = гЛ (фиг. 19). Поток в плоскости Z,
параллельный плоской стенке, отображается на внешнюю область угла
(плоскость С2, л<1) плоскости С или на внут- (
реннюю его область (плоскость Сх, n > 1).
Величина угла р = п • 180°.
С = 1: г. Окружности (в том числе и
прямая) переходят в окружности или прямые.
Параллельный поток переходит в диполь.
С = г + (I / z). Окружность через точки
z = — 1 и z = + l переходит в дугу
окружности (случай Kutta, фиг. 20, кривая /).
Особый случай: окружность через точки
z = — 1 и z = -fl и с центром в z = 0
переходит в отрезок прямой. Круг, заключающий
внутри себя точку z = + l и круг /,
отображается на область, имеющую вид профиля
крыла (профиль Жуковского, фиг. 20, кривая //) *)•
Если зеркально отразить плоскость С относительно оси х
[С = «(*) + *>(*)].
>) Е. Trefftz, Graphische Konstruktion Joukowskischer Tragfiachen, ZFM, 1913i
стр. 130,
Фиг. 20.

460 т- I- 0тД- 2- Механика. IY. Гидромеханика
то С = и(-г) — iv(z). Координаты этого зеркального изображения
равны компонентам скорости соответствующей точки плоскости z
(годограф). Это преобразование применяется, главным образом,
при потоках со струями, не имеющих твердых границ (стенок).
За границами струи жидкость покоится. Давление постоянно;
z поэтому давление, а также
скорость на границе струи должны
быть тоже постоянны. Линия
тока с постоянной скоростью
переходит в годографе в дугу
окружности. Пример: истечение
из сосуда (фиг. 21).
Соответственные точки обеих областей
обозначены одинаковыми
буквами. Потоки, получающиеся
отображением при помощи
годографа, могут быть вновь конформно отображены в элементарные
потоки. Надо заметить, что в действительности поверхности раздела
в таких потоках (в примере — границы свободной струи)
неустойчивы, тем не менее результаты получаются достаточно точные.
II. Движение под влиянием силы тяжести!)
1. Волны на поверхности жидкости
Обозначения (кроме уже введенных на стр. 443):
/—длина волны в м, I /— глубина воды в м
С—постоянная капиллярности в кг]м] с— скорость распространения волны в м/сек,
Если t^$>lt то с = |^^/:2тс; при небольших волнах наравне
с силой тяжести играет роль и поверхностное натяжение: с =
= V (gl:2n) -f- (2гсС:р/) . При /х = 2п VC:gp с принимает
значение ст-т = j/4gC: р (для воды 1Х = 0,0172 м и cmin = 0,233 м1сек).
Волны с />/х называются тяжелыми, с /<7i —
капиллярными. Так как с зависит от /, то при группе волн волны
различной длины смещаются друг относительно друга. В результате
появляющейся интерференции вся группа волн распространяется
dc
уже с другой скоростью с' = с — ^ш~Тг Для тяжелых волн с'= 0,5 с,
для капиллярных с9 = 1,5 с.
Если t <^ /, то с = Vgt
Для любой глубины t:
с = Vgl/2 tz tgh (2тс*//).
2. Движение в канале при наличии повышения дна. Пусть
вода из большого озера перетекает через порог плотины (фиг. 22).
Если повышение дна сравнительно полого, так что линии тока
1) По Пран дтдю, Flussigkeitsbewegung, HandwOrterpucfc der Naturwissen$chaften,
«тр. 101,

Гидродинамики
461
искривлены сравнительно мало, вертикальным ускорением
(центробежными силами) можно пренебречь. Тогда скорость в каком-нибудь
месте зависит только от величины понижения в этом месте сво*
бодной поверхности: v = Y2gh. Если через Ь обозначить ширину
порога плотины, то расход через
какое-нибудь поперечное сечение
выразится равенством:
Q = b (a-h) V2gii.
Каждой глубине дна а
соответствуют два понижения hx и h2
свободной поверхности, одно до, другое
ПОСЛе наивысшей ТОЧКИ Порога ПЛО- фиг> 22. Течение через пологое воз-
тины. Наивысшей же точке порога вышение дна.
плотины а = а0 соответствует только
одно понижение свободной поверхности h0 = a0/3. Расход в этом
месте равен
<?о = Ь Vg&aolW = 0,385 И V2g^.
Больше этого количества при заданной высоте уровня свободной
поверхности перетечь не может. Однако при помощи сооружений
Фиг. 23. Слив через изгиб дна.
Фиг. 24. Вытекание из-под щи га
перед донным возвышением.
до или после порога плотины можно достичь уменьшения этого
расхода или сохранения его величины при большей высоте уровня
в озере (а0' >а0), На фиг. 23 и 24 показано, как это делается.
Фиг. 26. Прыжок воды.
Кривую, по которой
располагается уровень свободной
поверхности, можно получить из
вышенаписанного равенства
для Q, если из него, по
заданному Q определить значения h
(понижение уровня), соответствующие каждому значению а
(глубина). На фиг. 25 изображены типичные виды таких кривых для
различных случаев с равными расходами Q. Кривая /— / V соответ-
Фиг. 25. Расположение кривых
свободной поверхности при различных
условиях.

462 $• 1. °*Д- * Мехавяжа. IV. Гядроме±&я«кА
ствует случаю, изображенному на фиг. 22; случаю на фиг. 23
соответствует сплошная кривая над точками / и //, а случаю на
фиг. 24 —нижняя кривая ///—IV.
Если сооружение, построенное за порогом плотины,
недостаточно высоко, то поток вместо формы, изображенной на фиг. 23,
принимает форму, изображенную на фиг. 26!» Сначала вода стекает
с плотины так же, как в случае, изображенном на фиг. 22, за
порогом же плотины образуется прыжок воды, причем
происходит потеря энергии (удар), и течение замедляется. Вид кривой
свободной поверхности изображен на фиг. 25 пунктирной линией
между // и /V. (О размерах прыжка и величине происходящей
потери энергии см. стр. 474.)
с) Течения с потерей энергии
I. Прямые трубопроводы и каналы с постоянным
поперечным сечением
Введем обозначения (кроме уже введенных выше):
F — поперечное сечение (или часть его. если оно не все заполнено
жидкостью) трубы или канала в .и-,
U— смачиваемый периметр в м%
d — диаметр круглой трубы в м,
г — радиус круглой трубы в м,
г =F I U — гидравлический радиус (для круглых труб гг = г / 2 = d / 4) в м,
Q — расход в 1 сек. в м3/сек,
v — скорость в каком-нибудь месте поперечного сечения в н\секщ
v0 = QjF — средняя скорость в м/сек,
R = vod J v — число Рейнольдса (для круглых труб), отнесенное к диаметру d,
R' = VqT1 / v — число Рейнольдса, отнесенное к гидравлическому радиусу,
/?"== #/2 — число Рейнольдса, отнесенное к радиусу,
X = [А р : v0* (р : 2)]»(d: I) — коэфициент сопротивления в трубе или канале, причем
А р [лгг/л2] есть падение давления на протяжении / м,
Л0 — коэфициент сопротивления для гладких труб,
/=Др / y/—уклон,
£== А р : [v<? (р : 2)] — коэфициент сопротивления какого-нибудь местного препятствия,
причем А р означает разность давлений до и после препятствия,
k — коэфициент шероховатости [X = 10 ~~ 2 (ft / d)0»3*4J,
Е —- коэфициент шероховатости (волнистости) (X = Х0.|),
X', Vt k' — величины, соответственные X, а0, ft, если в формулах диаметр d
заменить гидравлическим радиусом г'.
В трубе или канале движение жидкости может быть
ламинарным или турбулентным. В первом случае линии тока
параллельны стенкам. В последнем же случае происходят
движения жидкости и в поперечном направлении. То или другое
состояние движения жидкости зависит от средней скорости течения
V& от размеров трубы (в круглых трубах, например, от диаметра)
и от кинематической вязкости v. Величиной, характеризующей
состояние потока, является число Рейнольдса/? = v^d/v,
размерность которого равна нулю (см.,Механика подобия", стр. 433). В
гладких прямых цилиндрических трубах течение всегда ламинарное, если
число Рейнольдса #<2320; если оно до этого было турбулентным,
то при достижении числом R только что указанного значения, оно
опять становится ламинарным. При /?>2320 поток все же может
оставаться ламинарным, если тщательно уменьшить всякого рода

Гндрояянашгка
463
—vjfa/cM}^ щель
«5»
нарушений правильности течения. Но если бнб у*кё быЛб
турбулентным, оно таким же остается. Чем больше число Рейнольдса,
тем меньших нарушений правильности достаточно для того, чтобы
сделать поток турбулентным!), так что практически при /?>3000
движение почти всегда турбулентное. Число Рейнольдса,
соответствующее нижней границе турбулентного состояния течения,
называется
критическим рейнольд-
совым числом:
#*р=2320.
Скорость,
соответствующая этому
значению рейнольдсо-
ва числа при задан- ^
ных диаметре трубы |
и кинематической вяз- ij
кости, называется
критической
скоростью vKp,
(О гидравлическом
радиусе и
соответствующих формулах см.
сгр. 465).
Объяснение к фиг.
27. Расход Q мг\сек,
скорость течения по трубе v0
м1 сек (нижняя шка л а)
при разности давлений в
1 кг\м* на 1 м длины
трубы для труб различных
диаметров d мм (левая
с т и fx кг\сек\мъ.
Для течения дквозь щель (плоское сечение) высоты а [мм] (правая
in к а л а) значение скорости v0 следует прочитывать по верхней шкале. Расход Q
для щели шириной, равной высоте а, будет 10~^ v0a*.
Для других разностей давления найденные из номограммы вешчины для v9 и Q
должны помножаться на соответствующее падение давления на 1 м в кг\м*.
Ламинарное течение (течение Poiseuill). Закон
распределения скоростей по поперечному сечению дается параболой
* = 2*0[1-(2*/4>«1,
где х есть расстояние от оси трубы.
Коэфициент сопротивления Х = 64//?.
Падение давления Д^ = 32 pv0(l / (Р),
(Этим простым соотношением часто пользуются для определения вязкости |л; падение
давления при этом измеряется капиллярной трубкой.)
—*•% fiyce/t] Труба.
Фиг. 27. Диаграмма для ламинарного потока,
шкала) и для жидкостей различной вязко*
1) Schiller, Experimented Untersuchungen zum Turbulenzproblem, ZAM, l9il,

464 $. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
При плоском течении между двух параллельных стенок, нахо«
дящихся на расстоянии а% падение давления будет:
При достаточно хорошем закруглении входа в трубу в этом
месте движение жидкости еще остается потенциальным. Для
окончательного образования ламинарного течения потоку необходимо
протечь расстояние / я^ 0,029 Rd *).
Турбулентное течение. В гладких трубах, а также с известным
приближением и в не очень шероховатых, скорость 2) (средняя во
времени) в расстоянии х от оси трубы равна
t>=U9»0 |^1-(2W'25]
4l
4 j» t ls3 » S %S TO*
■, Of i T i ii—Г i i
Фиг. 28. Коэфициенты сопротивления труб в зависимости от рей-
нольдсова числа. Кривые для .ламинарного" и „турбулентного"
режима отвечают действительности, кривые же для шероховатых труб
(шероховатость 1 и 2 рода) приведены лишь схематично.
Коэфициент сопротивления для гладких труб (фиг. 28)
4
X0 = Q,3164 У1:/? (Blasius) »).
В шероховатых4) трубах сопротивление всегда больше, чем
в гладких. Согласно изысканиям Hopf5) и Fromm6) следует раз-
•) Schiller, Die Entwicklung der laminaren Geschwindigkeitsverteilung und
ihre Bedeutung fiir die Zahigkeitsmessung, 2AM, 1922, стр. 86.
») v. Karmin, Ober laminare und turbulente Reibung, ZAM, 1921, стр. 233.
s) H. Blasius, Der Ahnlichkeitsgesetz bei Reibungsvorgangen in Flussigkeiten,
МШ. Forschungsarb., VDI, Heft 131. По новым исследованиям Jakob u. Erk (Mitt.
Fprschungsarb., Heft VDI. 267) для /?>105 формула Blasius дает слишком низкие
знамения. Ими дана формула X =0,00714 + 0,614 R~ °&.
*) Трубы в гидравлике называются гладкими, если возвышения на стенках
грубы <С130 dR -'/е.
6) L. Hopf, Die Messung der hydraulischen Rauhigkeit, ZAM, 1923, стр. 329.
«) К. Fromm, StrumungsAiderstand in rauhen Rohren, ZAM, 1923, стр. 339.

Гидродинамика
465
личать два рода шероховатостей. При первом коэфициент
сопротивления не зависит от числа Рейнольдса, но зависит от
относительной шероховатости k/dt т. е. отношения коэфициента
шероховатости k (табл. 6, стр. 466) к диаметру трубы d:
\=\Q-2(k/d)°>m.
При втором роде шероховатости X зависит о г числа Рейнольдса,
но не зависит от диаметра трубы (при одинаковом материале
стенок). Приближенно можно положить:
Х = >о&.
где Х0 есть коэфициенг сопротивления для гладких труб, а £
(табл. 7, стр. 466)—коэфициент поверхности 2-го рода (возможность).
Вообще говоря, всякий материал обладает обоими родами шероховатости. Но
из них проявляется при измерениях тот, который дает большее сопротивление.
Поэтому, если жидкость движется по трубе с шероховато лью 1-го рода так, что число
Рейнольдса уменьшается (фиг. 28) и коэфициент сопротивления приближается к
значению коэфициента сопротивления для гладких труб, то начинает проявляться
шероховатость 2-го рода; прямая, до этого горизонтальная, постепенно переходит в
прямую, параллельную Х0 (фиг. 28).
Наоборот^ кривая сопротивления для шероховатости 2-го рода при большом
значении числа'Рейнольдса переходит в горизонтальную прямую.
Для определения сопротивления в трубопроводах с некруглым
поперечным сечением и в каналах вместо диаметра d веодится
гидравлический радиус *)
г' = FjU.
(NB. Для круглых труб гидравлический радиус равен половине
геометрического радиуса; в открытых каналах, глубина воды в
которых незначительна по сравнению с шириной, гидравлический
радиус приближенно равен средней глубине воды). Предыдущие
формулы принимают теперь следующий вид:
R' = t/r'/v = Я/4.
Критическое рейнольдсово число R'Kp = 580,
V = Х/4 = 4/R' 2) для ламинарных потоков (R < 580),
V = Xq/4 = 0,05594 V l/R' для турбулентных потоков при
гладких стенках (/?/>580),
*) Для поперечных сечений слишком необычной формы этот прием, быть может,
не совсем точен, но, как показывают опыты, для турбулентного сечения он вполне
применим, по крайней мере для целиком залолненны< трубопроводов. Для
ламинарного течения отклонения несколько больше. См. Schiller, Uber den Str6mungswlderstand
von Rohren verschiedenea Querschnitts und Rauhigkeitsgrades, ZAM, 1923, стр. 2.
В открытых, каналах известное влияние оказывает еще наличие свободной поверх*
ности.
*) Число 4 — для круглых труб; для поперечны; сечений другого вида: 3,56 —
для квадрата, 4,44 — для прямоугольника с отношением сторон 1 : 4.

4(5б т- ' 0тД 2 Механика. IV Гидромеханика
X' = 1(Г~2 (kr: г')0,314 для турбулентных потоков при
шероховатых стенках 1-го рода,
X' = Х0' • 5 для турбулентных потоков при шероховатых стенках
2-го рода,
к' = k: 330.
Если обозначить для труб соответствующие величины,
относящиеся вместо диаметра к радиусу, значком", то будут иметь место
следующие формулы:
4
#" = |д'в1я 16/Я", Х0" = Ц = 0,0669|/Х,
% X" = 10"2 (^)П'314. X" = V 6. Ь" = Л/18,2.
Таблица 6. Коэфициенты шероховатости k и kf
Материал к вм k' в м (ft/5)0»314
1. Новые металлические трубы, достаточно гладкие, __8
асфальтированная жесть 1,5 4*10 0,7
2. Новые чугунные и железные трубы, хорошо за- 9
глаженный цемент 2,5 7»10 0,8
3. Старые железные трубы, заржавленные 5 1,5-10 1,0
4. Незаглаженный цемент, загрязненные чугунные f
трубы, нестроганые доски 7 2*10 1,1
5. Кирпич, тесаный камень 10 3*10~~' 1,2
6. Мелкий гравий (от 1 до 2 см) 70 2» 10""* 2,3
7. Крупный гравий (от 3 до 5 см) 300 8'Ю""1 3,7
8. Дно, заросшее водорослями ') 5000 15 8,8
Таблица 7. Коэфициент шероховатости (волнистости) ;
М атериал 5
Асфальтированное железо от 1,2 до 1,5
Деревянные трубы п 1,5 . 2
_, -~~ЛилиЛ
Ю е з • 5 в в Юы г * з $ § Ш
'n^l' У ,il'Wt,'flllf|,'^,1i-,|Vir|'l'i'lvll,v'l fAl.llli'tj N^^V^iiS't'ilrvVvi'tfiju/iV'v'vvl^Ah'ili1^
Ю* hi* i XT s I J w \ i* I i»
——2 UJIU"?
Фиг. 29. Номограмма для определения коэфициентов X и X' в зависимости от
k\d и соответственно от hr\r'.
Для быстрого вычисления X для трубопроводов и каналов
с шероховатостью 1-го рода служит номограмма фиг. 29. На ней X
(или X') нанесены в зависимости от относительной шероховатости.
») Для этого случая формула Hopf и Fromm неприменима. Вообще в реках
сопротивление намного больше, чем должно было бы быть, согласно шероховатости
щх стенок.

ГиДро динамиКД
467
Пример. Новая чугунная труба (ft =s 2,5 ж) диаметром <£= 100 мм (0,1л);
A ss \ = 25, Х=2,8 • 10""*. Канал с цементными стенками (kf =2 • КГ"*), гидравли-
rf 0,1
ческий радиус г* = \ м; ~ = 2-10-* /1 = 2-10 -*, X' = 2,9.10~i.
Для расчета трубопроводов и каналов служит номограмма стр. 469.
Другие часто применяемые формулы
1. Трубопроводы
По D u p u i t (1854) и С h e z у (в английских справочниках)
X = 0,03.
Можно применять при ненадежном задании требуемого расхода Q и при Принятии
в расчет позднейшего увеличения шероховатости стенок труб (в городских
водопроводных сетях); в общем случае для новых труб дает слишком большие значения,
но зато облегчает вычисления и соответствует трубам с тонким осадочным слоем.
По Вейсбаху (1855) X = 0,0144-f 0,00947 : Ущ.
Применима к достаточно гладким трубам с диаметром d7^0,06 м; при
меньших d получающееся значение X слишком мало, при ббльших — слишком велико.
По Дар си (1857) X = 0,01989 -f- (0,00050 : d).
Для труб с гладкими стенками. Для шероховатых стенок следует увеличивать
значение вдвое.
По Biel (1S07, Mitt. Forschungsarb. VDI, H. 44; ZdVDI, 1908, стр. 1035.
Позднейшая улучшенная формула (1925, Techn. Mecbanik, VDI-Verlag):
Х»ОДО94 + |/ГА+|/*£. 2j.
Для гладких труб е= \Л0~~ м, х = 0,45*10 м.
Для железных труб $ = 8-10 мл х » 0,8»10 м.
Для чугунных труб t = 32-10"""e м, х = 1,9.10""* м.
По Lang (1905):
k=z a + 0,0018 :Vv^d;
с — 0,012 для гладких трубопроводов, 0,020 для новых труб, соединенных муфтами.
Формула Ланга (1917 г.): V X г>0 = У л vq ♦+- ^64 v : d.
Здесь vq — щ — vKpm [vKp — критическая скорость (стр. 463)]; при Vo < vKpm9 vq
следует считать равной нулю; а — коэфициент шероховатости, средняя величина
которого 0,009.
По М и з е с у 1) (1914) (ft—коэфициент шероховатоста):
X = 0,0096 + V&kid -f- ^3~Г#;
вблизи же критической скорости;
X = (0,0096 + V&k:d).[\ - (3000 : R)\ + V(l — 2000//?)ЭД -f 64/Я.
2. Открытые водостоки (реки и каналы)
В гидравлике вместо коэфидиента сопротивления X' пользуются так называемым
числом Ш е з и V^g/X' в формуле:
fe = ^2Ji>7 VPi.
MMises, Element^ der teebniscben Hydromechanlk, В. О. Teubner, Leipzig,
1914. В этой книге дана таблица значении k для различных материалов.

468
Ф. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханике
По Вейсбаху для рек и каналов с шероховатыми стенками
X' =* 0,0074 + (0,000433/^о).
Для шероховатых стенок в среднем Х' = 0,0075 и V 2gj/' — 51.
По В а г i n (новая формула 1897):
/*-
*' = 0,00259
87
1+-^:
Vr'
{'Sf
1. Для строганых досок или цемента с = 0,06
2. и тесаного камня в нестроганых досок с — 0,16
3. „ бутовой кладки с — 0,47
4. „ земляных каналов чистых, профиль правильный . . . с гг 1,30
5. . русел с булыжниками (по К u 11 е г) с — 1,75
По Ganguillet nrsutter1) основная формула:
/f.
23 -f (1: п) -f (0,00155 : /)
' 1 + [23 + (0,00155 : i)}-(n : V7') '
где я равно от 0,010 (для стенок из тщательно выстроганных досок) до 0,030 (для
русел с булыжниками). Если i > 0,0005, то
v = 100 У? • V7T: (b + V7),
где Ь имеет значения от 0,12 до 2,44, в зависимости от шероховатости смачиваемой
поверхности
По Beyerhaus8)t>0 = ar* i ' . а = 28 для рек.
По Forchheimer *) ?о = ar'*• Л*.
При а = 0,657 и р = 0,5 формула Forchheimer становится индентичной с при»
веденной выше формулой Норг и Fromm. В этом счучае а и к' связаны
соотношением
а*/2£=100/*Л8М*
Цемент {
Д оски {
а
91
106
72
1 Ш
*
0,60
0,68
0.60
0.68
Мелкий f
гравий I
Крупный гравий
от ,
до
а
62
74
58
а 1
0.73
0,74
0.82
Кирпич .
Земляное [ чист,
ложе I обык.1
0,61
0,92
1,12
*) Применимость этой формулы в настоящее время подвергается сомнению,
см. Beyerhaus, Die Trugschlusse aus den Mississippi-Messungen von
Humphreys u. Abbot und der fehlernafte Bau der Qangulllet-Kutterschen Formel
(Zentrafbl. Bauv. 1921, стр. 168).
•) Beyerhaus, Qeschwindigkeitsformeln fflr WasserlSufe und massgebendes
ОеПШе; Mangel der Ganguillet-Kutterschen Formel und Darlegung eines geeigneten
Ersatzes (Bauing. 1921, стр. 485 и 523).
•) Forchnelraer, Der Durchfluss des Wassers durch R6hren und OrSben,
Insbesondtre durch Werksgrflben grosser Abmessungen, Berlin, 1923.

GOfo
г>Р
СНГ/м2]
Глад
Воз&у*
—>др С«г/«%
Шерох
• v9 [м/сен]
вода
! , /;<%г,м,^1иГ^Гг^,^,^1'>» -■ ^, )|#...,г^.г,1,..ji,fl\i,''bt.i. s, i, l^Tr'),y,|',W'l"l>1'*) WH^'iM», 1
» « ft ft м * «ft »\^ * • * » * > *» * ft * ~
» воздух
чг^ воздух и вода
J Л.1.1.1.ыЛ ...1...Л .1,1,1.1,1/. I.1...J ,1,1,.,.,!■■/. ...К. „1. I.I Ь ■ ...I....1 ■ I .1,1.1,1,1,1*. ...I....I , l.l.l.Ы.1.Г. ...I....I , I,t,1,1.1,1,1 ....I...
« * ^ « « ft * * • » $ ^ « * ^ ,„ « » \§ * « * §
>» ** * Вода
' -* ^ - • воздух
|.,..ln.,|,l.p,h|*i. .Г,|.м|,„.|пи1|,..Г..м|...,|.|,],|
* Аиаметрш трубы по 0*№«ог
Фиг. 30. Номограмма для расчета трубопроводов.
воздух и вода
I ■)■ ■ \,4"l,vl"i"l 1"H"H ' \ Л 'Н > i ■ t'-i't'l'i'i'i't'li 'i'l

470 Т. I Отд 2 Механика. IV Гпдромехппика
Практические указания к оценке коэфициента
сопротивления.
Изменение X вследствие уменьшения диаметра d
до значения dv В трубопроводах диаметр d с течением времени
уменьшается, что происходит из-за отложения на стенках трубы
осадков. Если отложение совершается равномерно, то dL равно
новому просвету трубы. Если же отложение осадков происходит с
образованием больших наростов, достигающих высоты 0,5 d и очень
неравномерно распределенных, то dt уже нельзя считать равным
диаметру оставшегося поперечного сечения; дело в том, что
наросты увеличивают смачиваемый периметр и повышают
шероховатость. Небольшие изменения диаметра имеются во всех тянутых
или прессованных на сердечнике трубах (стеклянных, свинцовых,
медных, латунных, цинковых, встык или внахлестку сваренных
железных трубах); этих небольших изменений достаточно даже для
того, чтобы X менялась в зависимости от направления, по которому
протекает вода (Blasius, Forschungsarb. VDI, Heft 131).
При уменьшении диаметра трубы от d до di падение давления
при одном и том же расходе меняется в отношении (djd^, причем
Хпринимается постоянной (шероховатые трубы).
При принятии в расчет определенных
значений dt и X следует обращать
внимание на следующее.
Новые трубы. Чугунные трубы
делаются разной длины; узкие трубы делаются
более короткими. Всякое соединение двух
отдельных труб сопряжено вообще с
небольшим смещением их вдоль поперечного
сечения или, в случае муфтового соединения,
с небольшим осевым расхождением. Так как
Значения (d\d^
d,\d
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
{d\d,f
12,9
8,62
5,95
4,21
3,С6
dild
0,85
о,ео
0,93
0,Р5
0,98
да.)5
2,27
1,69
1,44
1,29
'1,18
Пояснение к фиг. 30.
Номограмма дает зависимость между диаметром трубы d м, скоростью
жидкости v м\сек, расходом Q мг\сек% рейнольдсовым числом /?, падением давления
р K2JM* на 1 л длины трубы (для воды падение / в мм на 1 м трубы) для гладких
и шероховатых труб с коэфициентом шероховатости k — 5 м (заржавленные старые
железные трубы) для воды и воздуха.
В случае труб с другой шероховатостью 1-го рода (табл. 6) надо
величины шкалы „Д р шерох." номограммы помножить на соответствующие вели-
чин а (-г-J , взятые из последнего столбца табл. 6. Для труб с шероховатостью
2-го рода надо значения, полученные по шкале .Д р глад." номограммы помножить
соответственно на величины коэфициента шероховатости из табл. 7. Если невполне
ясно, к какому роду шероховатости отнести данную трубу, следует найти обе
указанные величины и взять большую.
1. Пример. Заржавленная железная труба (k — 5 -и) диаметром 0,15 м, через
которую протекает вода со скоростью vQ = 0,6 м\сек. Расход Q = 0,0105 м^сек,
рейнольдсово число R ==§$•№* (выше критического), падение давления на 1 л
а) по шкале „шерох.- А р = 3,65 кг\м*% Ь) по шкале „гладк." Д р = 2,23 кг\м*
(принимается первое значение).
2. Пример. Та же труба, через которую протекает воздух со скоростью
т>, = 8,8 м\сек, Q = 0,155 м*\сек% tf «3,0.10*, Д р = 0,97 кг\м* (другая величина 0,59
не годится).
3. Пример. Асфальтированная железная труба (k = 1,5 л(, 5 = 1,4) диаметром
0,15 му скорость течения воды v0 = 0,6 м\сек, Q и R, как и выше. ткача „шерох."
дает Д р = 2,56 кг\м*% 8 шкала ,гладк.- д р ■= 3,12 нг{мГ- (принимается последние
величина)

Гидродинамика
471
оба эти обстоятельства вызывают сопротивление, то в трубопроводам из коротких
труб X больше, чем при длинных трубах. Прокатанные железные муфтовые трубы
делаются длиною от 7 до 10 м.
Тянутые трубы нельзя считать имеющими всюду одинаковый диаметр, так как
на величине \ ввиду большой ее чувствительности отражаются даже небольшие
изменения диаметра; встык сваренные трубы часто имеют сварочные швы,
выступающие внутрь; оцинкованные трубы внутри иногда очень шероховаты. Деревянные
трубы, сделанные из клепок, имеют очень гладкие стенки (ZdVDI, 1Р09, стр. 933).
При передаче по трубопроводам сырой нефти, обладающей большей вязкостью,
вместе с нею вводится в трубопровод вода, обладающая меньшей вязкостью, и обе
вместе приводятся в трубопроводе во вращение; благодаря этому более тяжелая
вода отбрасывается к стенкам, чем значительно уменьшается величина X (ZdVDI,
1908, стр. 1о68). Затем в особых резервуарах обе жидкости разделяются путем
отстаивания.
Трубы, бывшие в употреблении. Уже спустя несколько дней
после начала работы вода осаждает на стенках труб слой мути, уменьшающий
просвет трубы на 2—3 мм. Внутренние стенки железных труб не ржавеют
как при отсутствии воздуха, так и при наличии его в поглощенном состоянии,
если же в воде содержатся кислоты и соли, разъедающие железо, последнее ржавеет.
В местах с уменьшенным давлением (всасывающие трубы, верхушка сифона,
расширение трубы, дроссельный клапан) растворенные в воде газы (воздух, угольная
кислота, хлороводород, сернистая кислота, аммиак и др.; см. отдел IV „Теплота",
растворение газов в воде) освобождаются и ускоряют разъедание
незащищенных мест на внутренней поверхности стенок; прежде всего это происходит
в местах отставания потока от стенок.'При нефильтрованной воде осадки на стенках
иногда образуют корку до 60 мм толщиною. Количество осаждений
пропорционально количеству протекшей воды. Тупиковые трубы остаются чистыми;
повышение скорости течения воды в трубе, а также ее асфальтирование не уменьшают
образования отложений. Частые освобождения труб от воды увеличивают
образование ржавчины; при новом наполнении вода окрашивается в коричневый цвет.
Нефильтрованная и неосвобожденная от железистых примесей вода,
протекающая по чугунным трубам, дает отложения, первоначально состоящие из
неравномерно разбросанных наростов, имеющих форму полушара; эти наросты растут,
образуя на стенах волнистые слои, а местами—целые складки. Отложившаяся масса
состоит из бурого железняка с примесью других минералов в зависимости от
происхождения воды; встречаются также и раковины. Единственным средством против
такого рода отложений является освобождение воды от примесей железа и газов
и последующая ее фильтрация (перед впуском в трубопровод). Грунтовые воды,
содержащие свободную кислоту, разрушают чугунные и цементированные трубы
и образуют на стенках отложения из пористого графита в случае чугунных труб,
и из кремневой кислоты в случае цементированных труб. В случае нефильтрованной
грунтовой воды стенки труб иногда зарастают водорослями, а в случае
нефильтрованной речной в трубы могут попадать разные мелкие животные (главным образом
выводки угрей); то и другое сильно мешает работе водомеров.» В железных трубах
иногда образуются тонкие веточки, растущие к середине трубы. В свинцовых трубах
только спустя много лет образуется тонкий равномерный налет.
Теплую воду нельзя пропускать по асфальтированным трубам. Вода,
содержащая кислоты, должна пропускаться через свинцовые, оловянные, глиняные,
каменные, деревянные или выложенные деревом трубы; вода с примесью солей
должна пропускаться через цинковые, свинцовые, деревянные, никелевые и
бронзовые трубы. Воду, содержащую угольную кислоту, нельзя пропускать но железным
и цинковым трубам.
В чугунных трубах, по которым пропускалась нефильтрованная речная вода,
обнаружены следующие отложения в процентах к первоначальному диаметру трубы:
d в м
Число лет работы
Отложения . . . .
0,076
*гО
35
0,07^
32
75
0,102
22
54
0,152
10
20
0,152
20
33
0,204
24
36
0,381
40
28
Для сохранения надлежащей производительности трубопровода устанавливаются
особые колодцы для прочистки труб на расстоянии 50—60 м друг от друга; первая
чистка производится немедленно после укладки труб, последующие—через каждые
2—3 года. Относительно заржавленна внешних с т е н v к железных труб,

472
Т. I. Огд 2. Механика. IV. Гидромеханика
проложенных в гл; нисгой почве, содержащей ги ic, см. М е е 1 i n ge r, Journ. f. Gasb. u.
VVasservers., 1918, стр. 73; о материалах для труб, наиболее пригодных для проводки
определенной воды, см. S p i e g е 1 b e r g, Gesundhe tsing,, 1918, № 11.
Изменения, происходящие внутри труб, можно обнаружить путем установки
в трубопроводах двух вертикальных труб (пьезометров), удаленных друг от друга
на небольшое расстояние /. (При этом обе трубы соединяются1между собою трубкой
с краном; трубка эта соединяет те места вертикальных труб, до которых уровень
жидкости не доходит; кран служит для того, чтобы путем разрежения или сжатия
воздуха поддерживать уровень в вертикальных трубах на высоте, удобной для
набиодениш В случае небольшой разности уровней, последние увеличиваются при
помощи диференциачьчых трубок; см. ь г a b b e" e, Gesundheilsing., приложение 1,
143, стр 5. разность оэои^ уровней дает высоту, соответствующую сопротивлению
участка труб^ длиною / при скорости 1ечения v, при которой трубопровод дает
количество воды Q. Если Q остается постоянным, то по увеличению этой высоты
• можно судить, нужно ли произвести прочистку трубопровода или же заменить
трубы новыми.
Употребительные скорости и уклоны
В городских водопроводных сетях г/0 = 0,6 —
0,7 м/сек.
Канал ы. Для того чтобы дно канала не разрушалось, не
следует, чтобы скорость (в м/сек) превосходила указанные в табл. 8
величины
Таблица 8. Скорости воды в каналах
Материал русла
Vo
Материал русла
v*
Илистая земля и коричневая
гончарная глина
Мелкий песок
Железистоизвестковая глина,
жирная глина
Речной песок жирный
0,12
0,16
0,?5
0,50
Гравий
Булыжник
Куски шифера
Отложения горных пород
Чвердые скалы
1,00
1.Г5
1,80
2,30
3,50
Чтобы вода не осаждала в канале несомых ею веществ, средняя
скорость не должна быть меньше:
для воды, несущей легкий ил
v0 = 0,25 м/сек,
для воды, несущей песок
vQ = 0,50 м/сек.
В фабричных каналах v = 0,4—0,8 м/сек; при этом
уклон подводящего канала делают равным от 0,0005 до 0,0004,
уклон отводящего канала—от 0,002 до 0,001.
Судоходные каналы, устраиваемые так, что они могут
освобо сдаться от водь* для их очистки, и одновременно служащие
для осушения или, наоборот, для орошения, а также для питания
нлжележащих водоемов, имеют уклон от 0,000005 до 0,000040;
практически эти уклоны (до 75 км длины канала) равны нулю.
Наибольшие допустимые для судоходства уклоны—от \ : 600 до 1:500;
уклонов в.лше 1:5000 следует стараться избегать.

Гидродинамика
473
П. Местные сопротивления
Обозначения, кроме указанных на стр. 443:
Ри ^ii^i — давление в кг/м9^ скорость в м\сек, поперечное сечение в ,и'
до препятствия,
Pii vtyF^ — соответственные величины после препятствия,
р0, z>0, Fo - соответственные величины в самом узком месте,
р'ч v\Ff (= <*Fj) — соответственные величины в Mecie сжатия струи,
Cj = [Pi — Р% + (^i2 — vf) p/2J: [ vf- p/2J — коэфициент сопротивления, отнесенный
к самому узкому месту.
*м "= Со (FJF0)8 — коэфициент сопротивления, отнесенный к сечению Ft4
£j — Cj (^а/^о)2— коэфициент сопротивления, отнесенный к сечению /%,
{,' = £а а* — коэфициент сопротивления, отнесенный к месту сжатия
струи,
а — сжатие струи.
1. Основные формулы. При сужении сечения трубы (изменение
скорости и давления вдоль потока) с хорошо закругленным
входом не получается никаких потерь, кроме потери на трение.
Коэфициент сопротивления С0 равен от 0,06 до 0,005. Чем более
гладка поверхность трубы и чем больше рейнольдсово число, тем
меньше потери. Примером
наилучшего закругления
может служить насадок типа
JG (фиг. 82, стр. 500).
При плохо закругленном
входе и тем
острых краях (фиг. 31 и
32) образуется струя, кото- Фиг, 31. Фиг. 32.
рая сужается за входом еще
более. Получающееся затем снова расширение влечет за собой
потери согласно нижеуказанным положениям. Отношение поперечного
сучения сжатой струи к поперечному сечению отверстия называется
коэфициентом сжатия или просто сжатием о; оно в значительной
степени зависит от формы краев входа.
Между коэфициентом расхода |х (стр. 496) и сжатием а существует
следующая зависимость: |х = а':, где величина <р характеризует собой влияние трения
(вязкости) и обычно равно от 0,97 до 0,998 и даже 1.
В насадках с внезапным расширением при хорошо закругленных
краях получается небольшое сжатие, если насадок продолжается
в виде короткой трубки.
Если при сужении трубы с прямоугольными краями /70<0,1/71,
то получается так называемое совершенное сжатие, и величина a
получает нижеследующие значения:
a -= 0,62 до 0,64 для отверстий с острыми краями»
= ',7 . 0,8 „ .с очень мало закругленными краями,
= 0,9 ,, с закругленн! ми краями,
= 0,99 „ n с гладкими и хорошо закругленными краями,
(фиг. 36, стр. 476).
При /7o>0,l/?i» « увеличивается соответственно скорости
протекания (несовершенное сжатие), при острых краях по Вейсбах;.
[кругленном *? ""*** i %J^^C*fa_
более ^при \ [ >;<^ j^

474
Т. I Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
0,01
0,60
м
0,61
0,2
0,62
0,4
0,65
0,6
0,70
0,8
0,77
1,0
1,00
FtlFi
При внезапном расширении струи в круглой трубе (фиг. 31
и 32) потеря энергии определяется по теореме о количестве
движения:
Сечение F' Сечение F%
Сек. количество движения . . %Ffv'* — pF2vzz
Действующая сила pf F2 —PJF&
Сек. количество движения -\- сила = 0, вместе с уравнением нераз-*
к ывности v'F' = v2F2, дает
в то время как при отсутствии потери энергии было бы
Р2*-р' = №'*-ъ*)рР;
отсюда потеря энергии (формула Борда-Карно) будет
Pi -Р2 = (у'-~Щ)2И2-
Качество:
_ Р2 — Pr __ 2v2 _ 2
^~ Р£-р' ~~ ^2 + V ~~ l-\-F2jF*~'
Коэфициенты сопротивления:
^ = 11 — F'W. ^2 = {FJF - 1 )8.
Полное превращение энергии происходит на Тмине, равной 8
диаметрам х).
Таблица 9. Потери при расширении струи
F'\F*
С
0
0
1
оо
t,l
0,182
0,81
81
0,2 0,3
0,333
0,64
16
0,461
0,49
5,44
. 0,4
0,572
0,36
2,25
0,5
(,667
Г,25
1,4)
0,6
0,75
С,16
(,444
(J
м
0,8 | С,9 | 1
III
0,947
0,01
0,0123
1
0
0
Сюда надо еще прибавить небольшую потерю при
предшествующем сжатии [С2 = (0,06 до 0,005) (F2/F0J2] и потерю на
прямолинейном участке между Ff и F2.
Частный случай внезапного расширения — прыжок воды (стр. 462).
Даны vx и tx (фиг. 33); найти v* и /2. На основании предыдущего получаем:
l) Schutt. Versuche zur Bestimmung der Energieverluste bei plotzlicher Roh-
i«rweiterung.— i h о m a. Mitt. d. H>dr«ul. Inst. d. iH, Alunchen, HefL 1.

Гидродинамика
475
.е ^ ■ ''-"
где d= Vgtt есть скорость распространения основной волны на глубине ti (стр. 447)
Из этого уравнения определяется /а, а затем из уравнения неразрывности
Vl tt = v%t2 скорость v2.
Течение до прыжка зависит от формы канала только до того места, где
образуется прыжок, течение же после прыжка зависит только от формы канала,
которую он имеет ниже места прыжка. Прыжок происходит приблизительно в том
месте, для которого удовлетворяется вышенаписаи-
ное уравнение- Если оно не соблюдается нигде, как ___«_-
это, например, бывает в том случае, когда второе пре- ГГ'Т* -* '— i—.
пятствие (фиг. 24, стр. 461) слишком низко, вода т- т —{1 s *У \ъ
перетекает это препятствие, почти не теряя при ^ ~~~7V'~"~~'. \
этом энергии (согласно исследованиям Н. 1 h о m а). ^777,777777777777777777777.
Если второе препятствие слишком высоко, течение . 00 _.
происходит так, как указано на фиг. 23, стр. 461. Фиг- 33- Прыжок воды.
При постепенном расширении (фиг. 34) (уменьшение скорости,
увеличение давления в направлении течения; диффузоры,
трубки Вентури) образуется прилипание жидкости к стенке
(пограничный слой), что мешает превращаться скоростной энергии
в энергию давления. При быстром
расширении наступает отставание жидкости от
стенки (течение с образованием вихрей,
см. стр. 488), жидкость образует свободную
фиг 34. струю, окруженную завихренной „застойной
жидкостью", которые дальше смешиваются
друг с другом. Такое быстрое расширение трубы подобно
внезапному расширению, причем потери могут быть иногда даже и
больше. Наивыгоднейший угол расширения S = 8°, причем:
р2 — р1== (от 0,80 до 0,85) (v? - v22) р/2,
Co^d-loT 0,15 до 0,20) [1 -{F1/F2n
Опыты Андреса ') показали, что условиями превращения скоростной
энергии vf\2g в энергию давления в сечении F2 с наименьшей потерей служат: круглый
профиль трубы, коническое расширение, винтовое или вихревое движение в
расширении, гладкий и закругленный переход трубы в расширение и особо гладкие
стенки труб (последнее в случае железных труб обычно не выдерживается).
Помощью отсасывания пограничного слоя можно избежать и в случае быстрого сужения
трубы отставания жидкости от стенок и таким образом получить короткие
диффузоры хорошего качества 2).
В закруглениях частицы жидкости, движущиеся с большей
скоростью, имеют большее стремление к прямолинейному движению,
чем двигающиеся с меньшей скоростью. Задержанный стенками слой
прижимается к внутренней стороне закругления, тогда как более
быстро двигающиеся частицы отбрасываются к внешней стороне и
там задерживаются сильнее, чем в прямом течении. Вследствие
оттеснения медленно движущихся частиц к обеим по отношению
к плоскости симметрии сторонам стенок образуется пространственный
спиралеобразный поток, так называемый „вторичный поток" 8).
») Mitt. Forshungsarb. VDI, Heft 76, 1909. Также см. ZdVdl, 1910, стр. 1585. об
опытах с постоянно расширяющимися трубами прямоугольного сечения см. Hoc h-
• child, Forshungsarb., Heft 114, 1910. О течении в расширяющихся каналах
см. R. Кг б пег, Forschungsarb., Heft 222, 1920.
») А с к е г е t, Grenzschichtabsaugung, ZdVdl, 1926, стр. 1153.
•) 18 i а с h s e n, Innere Vorg3ng« in $tr6menden Flussigkeiten und Gasen.

476
Т. I. Отд. 2. Механика. IV Гидромеханика
Местное сопротивление зависит в известной степени также и от вида
трубопровода до и после него. В первом случае оно зависит от того распределения
скоростей, с которым поток вступает в данное препятствие. От него зависит также
сохранение или нарушение равномерности потока и образование свободной струи.
2. Опытные данные. Вводные насадки (фиг. 35—38). По Вейсбаху:
hw»w;»A
W
Фиг. 35.
Входная кромка а
острая: С = 0,50;
кромка тупая:
4 = 0,25.
НН
Фиг. 36. В за-
' ВИСИМОСТИ ОТ
гладкости
стенок С = 0,06 до
0,005.
Фиг. 37. Угол вход-
ной кромки
затупленный (90°): С =
= 0,56; входная
кромка Ъ острая: С=
= 3,0, наибольшее
сжатие.
Фиг. 38.
Входная кромка
острая: С = 0,5 -f
+ 0,3 cos 6 -f
+ 0,2 cos2 5.
Сопротивления в коленах и закруглениях (разница с
сопротивлением прямой трубы той же длины и одинаковой
шероховатости). В опытах Мюнхенской лаборатории коэфициент
шероховатости был £^0,73 м, диаметр трубы dtt 0,043; таким образом
k/d= 17 (см. табл. б на стр. 466).
Колено под углом, поперечное сечение круглое. Угол
отклонения 5 (фиг. 39). ПоКирхбахуиШубарту1) (t> > 2 л//с£я:, d = 43MM).
Фкг. 39.
б
Гладкая С ....
Шероховатая С . .
lid
Гладкая С • . • .
Шероховатая С . .
22,5°
0,07
0,11
0,71
0,51
0,51
У IJd
Гладкая С
Шерохова!
*ая С .
30°
0,11
0,17
0,943
0,35
0,41
45°
0,24
0,32
1,174
0,33
0 38
1 1,23
0,
о,
16
3)
60°
0,47
0,68
1,42
0,28
0,38
1,67
С
(
,16
\38
1 »
90е
1,13
1,27
1,86
0,29
0,39
2,37
0,14
0,26
2,56
0,36
0,43
6,28
0,40
0,45
3,77
0,1(
о,*
!
со
0,47
0,64
Фиг. 41.
Закругления. Круглая труба, угол поворота о0. Значения С даны
для v0d/s = 225000 по Гофману и Василевскому2).
Z. d. VDI, 1911, стр. 215. См. также Н. R 1 с h t e r, Der Druckabfall in gekrumten
flatten Rohrleltungen, Forschungsarb., Heft 338, 193J.
0 T h о m a, Mitt. d. Hydraul. Inst. d. TH, Munchen, Heft 2 ц. 3.
») Ibid , Heft 2, 3 u. 4.

Гидродинамика
477
Фиг. 43 rid
( 8 = 15° . .
22,5°. .
Гладкая { 45° . .
s°° • •
I 90° . .
Шероховатая 90° .
1
0,03
0,045
0,14
0,19
0,21
0,51
2
0,03
0,045
0,09
0,12
0,14
0,30
4 | 6
0,03
0,045
0,08
0,10
0,11
0,23
0,03
0,045
0,075
0,09
0,09
0,18
10
0,03
0,045
0,07
0,07
0,11
0,20
'«"J^i*,
£?«-
Фиг. 42. Гладкая: £=0,103
шероховатая: С =» 0,32.
/
Фиг. 43.
3,5
Приближенные формулы по Вейсбаху.
Колено:
C = sin2o/2 + 2sinn/2,
для 90° < Ь < 180° также С = 1 — 2 cos Ь.
Закругление:
С = 0,13 +0,16 (-'
Для ходовых труб водяного отопления по Б р а б б е *).
Колена 90°, снаружи немного закруглены, вставляемая часть
с острыми краями; d в мм обозначает диаметр в свету ввинчиваемой
трубы; в противоположность вышеуказанному случаю здесь
происходит в колене уширение трубы:
' 49
0,83
Закругление на 90° (на обоих концах нарезная муфта,
следовательно, труба в закруглении не расширяется):
=
=
14
1,7
20
1,7
25
1,3
34
1,1
39
1,0
1,2
1,1 0,86 0,53 0,42 0,51
Для правильно построенного трубопровода при угле
поворота в 90° можно достигнуть для коэфициента сопротивления
значения С = 0,15 2). Однако эта
величина относится только к
правильному потоку; для неправильных
потоков, которые получаются,
например, за турбинами, винтовыми
вентиляторами и т. п., значение
для С будет значительно больше.
Т-образные отводы. Все три патрубка одинаковы, сечение
круглое; края отвода—острые. Cd — коэфициент сопротивления
прямой части; Сд — коэфициент сопротивления отвода, оба отнесены
Фиг. 44.
Фиг. 45.
Л Beiheft I zum Gesundheitsing, 1913.
*) Ergebnisse der Aerodynamischen Versucbsanstalt Gottlngen, I. Lfg., стр. 17,
Munchen, 1921.

473 ^- ' 0тД 2 Механика. IV Гидромеханика
к полной скорости (наибольшая скорость) *). Закруглением краев
потери уменьшаются (табл. 10).
Таблица 10
QaIQ
««
Ь
■ ' щи ! , i .■ва=аасяас=а= , г =
Отвод по фиг. 44
0
0,95
С,04
0,2
0,88
—0,08
0,4
0,89
-0,05
0,6
0,95
0,07
0,8 | 1
1,10
0,21
1,28
0,35
Приток по фиг. 45
0
-1,2
0,04
0,2
-0,4
0,17
0,4
0,08
0,30
0,6
0,47
0,41
0,8 | 1
0,72
0,51
0,91
0,60
Таблица 11. Наивыгоднейший диаметр ответвления орЫд для
Т-образного отвода.
Цилиндрическое ответвление с углом отвода 8 при данном QaIQ (края закруглены
с радиусом г = 0,1 da)2).
ь
opt djd
va\v
V
,11' 1 1 I. 1 —j
QaIQ = 0,3
90' | 60»
1
0,3
0,72
0,61
0,8
0 59
45°
0,58
0,9
'0,35
Qa/Q = 0,5
90»
1
0,5
0,75
60° | 45°
0,79
0,8
0,54
0,75
0,9
0,32
QaIQ = 0,7
90»
1
0,7
0,88
60°
1
0,7
0,52
45*
1
0,7
6,30
Принимая во внимание стоимость, а также и потери Cj, обычно величина da
меньше, чем указанный в таблице гидравлический оптимум.
Для ходовых Т-образных ответвлений для сети водяного
отопления см. Brabbee, Beiheft l zum Gesundheitsing., 1913.
Сопротивления различных преград и запорных
приспособлений (для труб и каналов). По опытам Guilleaume 3), для
нормального вентиля паровой турбины:
Диаметр трубы в мм
Ci
350
7,3
300
7,2
200
6,2
100
5,5
О сопротивлениях различных вентилей для водяного отопления см. Beiheft 11
zum Gesundheitsing., 1918; Arabros ius, Untersuchungen an Regelvorrichtungen fiir
Dampf- und Wasserheltzkorper.
*) G. V о g e 1, Untersuchungen iiber den Verlust in rechtwinkligen Rohrverzwei*
gungen.,—T h о m a, Mitt. d. Hydraul. Inst. d. TH, Munchen, H. 1 u. 2.
*) rhomi, Der hydraulische Verlust in Formstiicken, Bericht fiir den Weltin*
genieurkongress in Tokio 1929.
*) Feuerungstechnik 1913/14, стр. 254.

Гпдрод-инаметета
479
Таблица 12. Сопротивление запорных приспособлений
(по Вейсбаху)
Тонкая задвижка в прямоугольной (
трубе (высота а: ширина о ж 1:2. <
Высота подъема Л) (
Тонкая задвижка в круглой трубе {
Кран с прямоугольным отверстием (
(угол поворота 5; полное закрытие {
при 6 = 668/4°) ^
Прямоугольный дроссельный кла- J
пан_(угол поворота 8) |
Круглый дроссельный клапан
Л/д = О
с»= о
A/rf= О
С,= О
5 = 10"
Cj= 0,31
5=10"
d= 0.45
С,= 0,52
0,2
0,38
lU
0,26
20"
1,84
20"
1,34
1,54
0,4
2,1
!/а
2,1
30"
6,15
40"
9,3
10,8
0,6 1
8,1
зи 1
17,0
40"
20,7
60^
77,4
118
0,8
44,5
*/•
98
55"
309
70"
368
751
Сопротивление решеток (по Киршмеру и Спанглеру*), размеры
см. фиг. 46 и 47).
abed
Г д г к I
штлтгггяггт
. Q.5S 0.5$
1)
Фиг. 46 Установка решетки по
отношению к потоку.
Фиг. 47. Форма стоек решеток.
При потоке, нормальном к решетке (а = 0°)
С, = £ (s/bp sin о.
Форма стоек по фиг. 47
2,42
b
1,83
с d
1,67 1,04
• 1 '
0,92 0,76
g
1,79
Значения \ для bjs=\,7 и 8 = 90е при косом обтекании:
Форма стоек
а = 30"
а = 45"
а = 60"
а
1,46
2,05
4,26
Ь
0,76
1,29
2,45
с
0,71
1,29
2,81
d
0,43
0,94
2,19
е
0,68
1,29
3.05
/
0,22
0,67
1,84
/
1,81
2,72
4,26
k
1,53
2,32
3,43
/
1,62
2,12
3,88
1) Т h о ш a, Mitt. d. Hydraul Inst d. TH, Miinchen, H. 1 u. 2.

480 т- !• 0тД- 2- Механика. IV Гидромеханика
Сопротивление мостовых устоев. Для большинства мостов
Подробности см. R e h b о с k, Zur Frage des Brttckenstaues,
Ztrbl. Bauv., 1919, стр. 197.
1 И. Расчет трубопроводов
Обозначения:
Fa — поперечное сечение трубопровода у входа в м*. %
Fx, F2, F1H F2 и т. д.—поперечное сечение трубопровода в местах х% г, 1, 2 и т. д. в м*,
F0 — поперечные сечения эквивалентной насадки *) (коэфициент расхода
fi = 1), через которое при одинаковой разности давлений ре — ра
протекало бы одно и то же количество жидкости Q в м\
Q — количество жидкости, протекающее через трубопровод в м*\секу
^м ^««) vx и т. д., va — средние скорости в поперечных сечениях Fl% Ft% Fx и т. д.,
Fa в м*\сек,
vQ — компонент скорости жидкости у входа в трубопровод (отрицательные
значения не принимаются в расчет) в м.\сек,
ре — давление до входа в трубопровод, увеличенное на vj*'jr, в кг\м*л
рх, рг, pt, рг и т. д., ра — давления в поперечных сечениях Fx, Fgt FM Fa и т. д.,
Fa в кг\мР%
Не, Нх и т. д. — высоты, соответствующие этим давлениям. Они получаются
делением давлс ий на тНе=ре: y и т. д. в м,
hlt Л„ и т. д., Лд — высоты поперечных сечений Flt F£ и т. д., Fa — над входном
поперечным сечением в мл
£ г, Сх, C.j и т. д. — коэфициенты сопротивления при входе и для отдельных
препятствий в местах 1, 2, и т. д.,
Х^ — коэфициент сопротивления прямого участка трубопровода в месте xt
ix, dx% (rxf) - длина и диаметр (гидравлический радиус) этого участка трубопровода.
Потеря давления на прямых участках трубопровода:
А лз уа i*. 1*-
2 QLeFx2 ' dx-
Потеря давления, обусловленная сопротивлениями при входе
и отдельных препятствий в местах 1, 2 и т. д.:
2 V Ч F»
Потеря при выходе:
_L_2L
2 FJ-
Полная же потеря давления равна:
1) В горном деле вместо эквивалентной насадки вводится понятие
„эквивалентное отверстие" А с ковфи иенгом расхода jt=0,65, FQ — 0,65A»

Гидродинамика 481
Поперечное сечение эквивалентной насадки:
/ х a С„ 1
_iL 4- v n J. —
п * а
Из предпоследнего уравнения следует:
* = ,:1/ -е?7-^ + ^Т7 + ^
£~Fo]A/^-Az + ^r)(2:p).
Давление в каком-нибудь месте z трубопровода:
/^^-^-Т^ТТ + Е.ттг-^ + Е.Ут
* 'г ' х "х л п
(Q предварительно вычисляется из предшествующих уравнений.
Знак суммы 2 распространяется на протяжение трубопровода от его
начала до места z.)
Если вместо давления р в расчет желательно ввести напоры Н,
то в предыдущих формулах надо ре, рг и т. д. заменить через уЯ^,
7Нх и т. д. Если, кроме того, вместо диаметра тр>бы желательно
иметь дело с ее гидравлическим радиусом, то в формулах следует d
заменить через г', а X — через X'. В открытых каналах разность
Рг — ре, входящая в последнее уравнение, равна нулю. Это
уравнение дает возможность определить высоту hz уровня воды в месте z.
Практические указания. В случае длинных трубопроводов,
кончающихся открытым водоемом, при определении ре и ра следует
принимать во внимание разность давлений воздуха на концах трубо»
провода; в случае же коротких трубопроводов с постоянными
условиями влажности давление воздуха можно считать одинаковым.
В некоторых местах трубопровода давление рг, определяемое
из вышенаписанного уравнения, может быть ниже
атмосферного; скорее всего это может случиться в наклонных или коротких
трубопроводах с небольшими сопротивлениями или в местах сужения
(например около частично закрытых регулирующих или запорных
приспособлений); при больших скоростях течения в таких сужениях
может образовываться кавитация (стр. 454), которая будет
разъедать материал трубы.
Если в трубопровод проникает воздух (через входное
или выходное отверстие или через такие неплотные места, где
давление в трубопроводе ниже атмосферного) или освобождаются газы,
до того растворенные в жидкости (вследствие понижения давления
или повышения температуры), или, наконец, если имеет место
понижение давления (образуются пустоты), то эти газы собираются
в наивысшей точке трубопровода и постепенно уменьшают расход.
Если при всяких обстоятельствах в наизысших точках трубопровода
давление остается выше атмосферного, то собравшиеся там газы
могут быть отведены через вставленные там трубки. Если же давление
31. Hiitte, Справочник для инженеров, i 1

482 Т- I. °ТД- 2 Механика. IV. Гидромеханика
в этих местах ниже атмосферного, газы приходится отсасывать.
Соответствующей установкой трубопроводов можно достигнуть
самостоятельного удаления газов!).
Если выходное отверстие трубопровода лежит выше
свободной поверхности жидкости, то через это
отверстие в трубопровод может проникать воздух, если только давление
к выходу трубопровода не понижается. Последнее можно достичь
либо подъемом последнего участка трубопровода перед выходным
отверстием, либо созданием больших сопротивлений, либо
уменьшением поперечного сечения перед выходным отверстием.
Напорные трубопроводы с переменным
уклоном или переменным диаметром в наклонных участках могут
заполняться жидкостью не сплошь, что иногда является причиной опасного
гидравлического удара (Ztg. d. Ver. d. Eisenb.-Verw., 1902, № 31).
Предохранение: установка широкого компенсатора (штольни),
резервуара или воздушного колпака.
d) Движение воды в почве2)
I. Постоянное поперечное сечение. Фильтры
Обозначения:
v — скорость фильтрации в м\сек — секундное количество жидкости в мг\сек,
которое протекает через 1 м"- фильтра,
/—-толщина фильтрующего слоя в направлении протекания жидкости в м,
т — часть объема почвы, приходящаяся на свободные промежутки,
d — средний диаметр зерен фильтрующего вещества в м,
// — напор, затрачиваемый при протекании, в мл
k — коэфициент просачиваемости, в м\сек.
V=kH\L
Величина k зависит:
1. От величины зерен фильтрата; при тонком песке k
пропорционально диаметру песчинок.
Таблица 13. Коэфициент просачиваемости по Гугентоблеру
Материал
Песок садовый ....
Чистый гравий «...
Гравий с песком . . .
■еяаеяявавЕВ
lOOOrf
5-15
8—50
0,5-40
т
38,5 {
41,9 {
27,5 {
^•Ю»
316
363
1680
2520
32
25
а
1,08
1,25
1,10
1,70
1,12
1,23
Для скоростей
равных (1000 v)
0,37- 1,7
1,7 -13
0,4 - 2,0
2,0 —13,4
0,1 - 0,5
0,5- 3£
*) А. V о g t, Heber und Hebefleitungen, Jahrb. f. Casbel. 1920, стр. 22.
•JForchheimer, Hydraulik, Leipzig 1914, Teubner; также ZdVdl, 1901,
стр. 1736 и EnzyklopSdie der mathem. Wissenschaften, Abschn. Hydraulik.

Гидродинамика
483
При крупном песке, гравии и щебне этот простой закон неприменим. Кроме
k ti
того, v уже не пропорционально Н. По Гугентоблеру *) (1000z>)*=—7— (табл. 13).
2. От большей или меньшей плотности песка.
3. В большой степени от чистоты песка. Небольшие примеси
глины или других водонепроницаемых материалов могут в
значительной степени изменить величину k.
Замечание. Вследствие большой зависимости просачиваемости от
характера грунта, при неизвестном грунте следует проводить специальные опыты.
О самоуплотнении слежавшихся песка и глины, см. Гугентоблер 1\
Просачиваемость грунта
может быть уменьшена,
главным образом, устройством
р 1збухающих
промежуточных слоев (глина, окись
железа, перегной, корни
растений); эти промежуточные
слои оказывают действие
даже при нескольких мм
толщины; «се-таки толщину та*
ких слоев следует брать
большей, в виду
возможности размыва почвы,
неравномерного опускания ее,
прорытия ходов животными.
Сухая глина при разбухании в воде увеличивается в своем объеме
приблизительно в 2,5 раза; поэтому глину не следует употреблять
в качестве прокладки для подпорных стенок (для этой цели
предпочтительнее щебень). Для уменьшения просачиваемости
водопроницаемого слоя его утрамбовывают глиной с небольшим содержанием
воды и засыпают сверху еще слоем песка — в целях предохранения
от последующего размывания. Просачиваемость илистой глины
приблизительно в 1000 раз больше, чем насыро утрамбованной чистой
глины (см. Moormann, Journ. f. Gasbel. u. Wasservers., 1894,
стр. 409)3).
И. Сток подпочвенных вод4)
Так как предпосылки, положенные в основу теории стока
подпочвенных вод, в действительности никогда точно не
удовлетворяются (например, просачиваемость почвы не везде одинакова), то
!) W. Hugentobler, Bericht fiber die Versuche zur Ermittlung des Durch-
flussgesetzes undder Durchlassigkeitskonstanten fur den Durchfluss von Wasser durcb
verscniedene Kies- und Sandmaterialien in der Versuchsanstalt Manegg. Schweizerischt
Wasserwirtschaft, 1925, стр. 123.
») T e г z a g hi, Erdbaumechanik, Leipzig u. Wien, 1926, Deuticke.
•) Относительно просачиваемости грунта в каналах см. В г u n п е г,
Distillation, Dresden, 1917, а также S ch a f е г, Zen t ra lb I. Bauv., 1917, стр. 401.
«JfloForchhtlrae г'у, Hydraulik.
Таблица 14. Коэфициент просачи
ваемости по Терцаги *)
Материал
Морской песок . .
Светлый речной (
1
Речной песок с
примесью глины . .
lOOOrf
0,116
0,22
0,28
0,64
0,013
m
( 0,50
{ 0,43
{ 0,39
0,43
0,41
0,44
0,35
10*.JV
126
118
89
41
61
266
2,2

484
Т I Отд 2 Механика. IV Гидромеха никл
приводимые ниже формулы могут применяться в непосредственной
близости от колодцев только как приближенные.
Подпочвенные воды над горизонтальным
плоским водонепроницаемым слоем. Колодец имеет
проницаемые стенки, расположенные над водонепроницаемым слоем
(фиг. 48) (совершенный колодец).
Введем обозначения:
Q — количество воды, выкачиваемое в 1 секунду из колодца, в м^сек*
г0 — высота воды в колодце в м,
г — высота воды на расстоянии г м от середины колодца, в м,
2г0 — диаметр колодца, в м,
Тс — просачиваемость почвы (количество протекающей жидко ти в м*\сек через
поперечное сечение в 1 л2 при разности давлений в 1 м
вод. столба на 1 м длины).
Тогда
z2_*0a = (Q:^).ln(r:r0).
Эта формула практически применима гакже и в том
случае, когда колодец не доходит до водонепроницаемого
слоя (несовершенный колодец).
mm-
Фиг. 48.
е) Сопротивление тел
I. Поверхностное трение. Тела наименьшего
сопротивления. Естественный ветер
При обтекании жидкостью твердых стенок скорость ближайшего
к стенкам пограничного слоя уменьшена, причиной чему служит
трение жидкости о стенки. Движение в
эгом пограничном слое может быть или
ламинарное или турбулентное
(стр. 462). Около самой стенки скорость
потока равна нулю. При ламинарном
движении зависимость увеличения скорости от
расстояния у от стенки — линейная, при
турбулентном — пропорциональна л/у (фиг.
49). Впрочем, указанное имеет место только фиг-49- кривые возрастания
в ближайшей к стенке части пограничного ^l^t^Z^^l
слоя, с дальнейшим же удалением от стенки женин (правая) в погранич-
скорость постепенно становится постоянной. ном слое.
1. Плоская пластинка, параллельная направлению потока.
Давление по всей поверхности одинаково
Введем обозначения:
О — площадь плоской стенки, в jk8,
Wy— сила трения, испытываемая этой площадью, в кг,
v — скорость потока вне пограничного слоя относительно стенки, в мсенл
с*— коэфициент трения,

Гидродинамика 485
/ — длина пластинки в направлении потока, в л/,
vt
R=i число Рейнольдса, от которого зависит с*1)»
Тогда
U7/=v80cy-p:2.
Если в пограничном слое движение ламинарное2), то
^ «1,327/ТТЛ.
При турбулентном пограничном слое и гладкой поверхности
стенки 2)
cf = 0,072 (1:7?) °'2.
У пластинки, спереди удлиненной и заостренной, движение
пограничного слоя, около передней части ее ламинарное, а около
задней части — турбулентное. В таких случах по РгапсНГю3)
Cy=a(\:Rf*-$:R).
По исследованиям Gebers'a здесь а = 0,074, р= 1700. Формула
действительна только до тех пор, пока она дает значения бблыние,
чем формула для ламинарного пограничного слоя; в противном
случае следует пользоваться предыдущей формулой.
При турбулентном пограничном слое и шероховатых стенках с
больше, чем при гладких стенках. Wieselsberger 4) для пласти
иок длиною от 0,5 до 2 м, обтянутых аэропланным
полотном, нашел:
Су = 0,009 до 0,012 при R *= 6 • 105,
Су =н 0,007 до 0,008 при R = 6.106;
для обтянутых же слегка опаленным суровым полотном:
Су = 0,005 до 0,008 независимо от R.
(Бблыние значения соответствуют более коротким пластинкам,
так как в этом случае больше относительная шероховатость.)
Значение Су для материала, 6 раз покрытого аэролаком, приближается
к теоретическому значению:
с, = 0,072(1: Я)0-2.
») В авиации часто вместо числа Рейнольдса R пользуются так называемой
характеристикой опыта Es=vt [v в м\сек, t в мм]. При нормальных условиях для
воздуха /?ж70£.
М v. К А г m A n, Uber laminare und turbulente Reibung, ZAM, 1921, стр. 233.
•) Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Gottii gen, I. Lip, стр. 136.
♦) Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Gottingen, I LfgMcTp, 120.

486
Т I Отт, 2 Механика. IV. Гидромеханика
2. Вращающиеся диски в покоящейся жидкости (смачиваются
жидкостью с обеих сторон).
Обозначения:
d — диаметр диска, в ж,
п— число оборотов в минуту (i/мин.).
и = rid к : 60 — окружная скорость в м/сек,
ud:v — число Рейнольдса,
М — момент вращения, необходимый для преодоления трения, в кгм.
По Kdrmdn'y x):
при ламинарном пограничном слое
{^- < 5 • 10*) М = 0,65^ .о,5р. «2 уТГай,
при турбулентном пограничном слое
(^- > 5 • 10») М = 0,021 rfs 0,5р«2 ^(7Ги5).
Эти формулы выведены теоретически и хорошо подтверждаются
наблюдением *:).
: 3. Обтекание слабо искривленных поверхностей тела малого
сопротивления. До места с наименьшим давлением поток
обыкновенно движется ламинарно, начиная отсюда—турбулентно. Величина
сопротивления того же порядка, что и для плоских пластинок с
одинаковой поверхностью. Так как пограничный слой большей частью
очень тонок, то распределение давления вдоль поверхности может
быть выведено путем принятия потока потенциальным. Примерами
могут служить дирижабли, стойки аэропланов и крылья (коэфициенты
сопротивления приведены в следующем параграфе и далее, при
описании крыльев).
4. Естественный ветер. Ветер представляет собою турбулентное
движение воздуха вдоль земной поверхности, причем пограничный
слой может иметь несколько километров в толщину. Турбулентность
выражается в периодических волнах и неравномерных порывах.
Скорость ветра с удалением от поверхности земли быстро
и неравномерно увеличивается; в виду этого измерения скорости
в. сильной степени зависят от установки измерительных приборов и
обыкновенно носят лишь относительный характер. Поэтому
обыкновенно удовлетворяются оценкой скорости ветра по определенным
признакам3). Ветры Со скоростью больше 20 м/сек бывают редко.
Впрочем, в единичных случаях наблюдаются порывы со скоростью
до 40 м/сек на материке и до 50 м/сек у берегов. При ураганах же,
при которых образуются водяные смерчи и т. п., скорости могут
достигать чрезвычайно большой величины.
') v. К i г га a n, Ober laminare und turbulente Relbung, ZAM, 1921. стр. 233.
*) Versuehe vonScbmidt, ZdVdl, 1921, стр. 441.
•) Шкала ветров В е a u f о г t'a< т. Ш — .Ветряные турбины".

Гидродинамика
487
Дни, когда ветер онин или несколько раз превосходит силу 8
по шкале Beaufort'a (да 15 м/сек), лля Берлина составляют 4, Франкфурт
та-на-МаЙне—8, Аахена—19, Гамбурга—37, Боркума—58 дней в году.
Таблица 15. Распределение ветров по степени их скорости и по
временам года1)
Средние значения из пятилетних наблюдений прусской аэронавигационной
обсерватории в Lindenberg'e. (Указанные числа дают вероятности в °/0.)
Высота над уровнем
моря в м
Поверхность земли *)
500
1000
1500
2000
Поверхность земли
500
1000
1500
2000
Поверхность земли
500
10Г0
1500
2000
Поверхность земли
500
' 1000
1500
2000
Поверхность земли
5С0
1000
1500
2000
2500
3000
3500
С
0 до 2
18,8
6,1
7,3
8,7
| 4,6
20,1
13,9
13,4
15,3
14,6
23,2
15,9
13,6
li,7
14,6
24,2
9,7
11,7
11,5
12,0
21,4
11.7
11,0
12,6
11,8
11,2
10,4
9,6
корость ветра в м/сек
2 до 5 1
5 до 10
10 до 15
свыше 15
Зима (декабрь — февраль)
4?,0
12,5
11,4
7,6
4,7
35,2
33,6
2Q,0
27,6
25,3
3,7
24,1
28,0 ,
30,6
40,5
Весна (март — май)
4?,2
21,5
20,5
18,9
14,6
32,7 .
38,8
34,0
27,5
27,9
4,5
17,3
20,5
26,4
28,6
Лето (июнь — август)
46,2
25,1
23,8
23,7
14,5
30,1
38,8
35,5
26,8
25,1
0,5
14,4
18,2
26,3
30,9
Осень (сентябрь — ноябр
45,3
; 1°,з
17,3
16.4
12,8
28,1
36,5
34,5
31,2
27,7
1,8
19,7
22,5
26,5
29,5
Среднее за год
1 44,2
1Q,4
! 18,3
16,8
12,1
9,4
8,3
7.2
| 31,6 1 2,6
37,0 18,7
33,6 22,5
28,4 27,4
26,5 32,0
20,4 1 34,3
18,0 30,9
14,1
26,8
3,3
23,7
24,3
25,5 1
24,9
0ф
8,5
11,6
11^9
14,3
—
6,0
8,9
9,5
14,9
ь)
0,6
14,8
14,0
14,4
18,0
! 0,2
13,2
14,6
14,8
17,6
! 24,6
1 32,4
42,3
Средняя
скорость
м\сек
_
4,9
11,4
11,3
11,6
12,7
4,9
7,8
8,5
¥
9,5
4Д
7,0
7,7
8,4
10,2
4,5
9,5
9,4
9,4
10,5
4,7
8,9
9,2
9,4
10,5
12,1
13,0
15,1
Сильное увеличение скорости ветра при переходе от поверхности земли к
высоте в 500 м происходит обыкновенно почти над самой землей (приблизительно на
высоте 100 м).
1) Взято у R. Assman, „Die Wind* in Deutschland". 1910.
*) От 40 до 120 м над уровнем моря.

488 т- I- Отд 2. Механика. IV. Гидромеханика
В северном полушарии направления ветров идут Есегда так, что
области с низким барометрическим давлением ими огибаюхся против
часовой стрелки („циклоны"), а области с высоким барометрическим
давлением —по часовой стрелке („антициклоны*). В южном
полушарии — наоборот. В середине области с низким давлением воздух
медленно поднимается, в середине же области с высоким давлением—
опускается. Местные ограниченные циклоны возникают главным
образом в средних широтах и в теплые времена года; то же самое
относится и к вихрям с горизонтальной осью (порывы ветра, идущие
впереди грозы, которые часто связаны с вертикальными течениями
значительной скорости).
Давление ветра на строения. При оценке ожидаемого
наивысшего давления следует главным образом рассматривать
незащищенные стороны строения.
Более достоверный расчет возможен путем производства
испытания с моделью 1). Давление на отдельные стенки, крыши и т. д.
зависит от формы всего сооружения, а также от расположения
соседних строений (если такие имеются). При одинаковой внешней
форме строения и одинаковом направлении ветра давление воздуха
все же может быть очень различным в зависимости от того, как
сообщается с окружающим воздухом внутренность строения. Даже
коыши строений могут подвергаться сильному всасыванию вверх,
чго до последнего времени совершенно не учитывалось
официальными нормами расчета строений на безопасность. При грубом
предварительном расчете для плоских стен можно положить р = 0,1 v2
(р—давление ветра в кг!м2, v — скорость ветра в м/сек)2).
II. Течения с образованием вихрей3)
Если давление быстро возрастает вдоль аенки по направлению
движения, то пограничный слой жидкости, прилипающий к стенке и
обладающий меньшей кинетической энергией, чем другие слои, не
может проникнуть в область с большим давлением. Поэтому этот
слой постепенно совершенно останавливается, вследствие чего в
рассматриваемом месте происходит накапливание жидкости, которая
в конце-концов врывается в потенциальный поток, наполняя его
вращающимися областями жидкости (вихри). Благодаря этому весь
потенциальный поток в корне изменяется. С этим изменением
связано другое распределение давления вдоль стенки: силы давления
имеют результирующую, действующую как сопротивление
(сопротивление формы). Отрывание вихрей происходит периодически само
1) Vorlaufiger Auszug a us Gottinger Messungen im Jahrb. d. deutschen Ges.
f Bauingenieurw , 3. Bd., 1928, стр. 87; 4. Bd., 192Э, стр. 160. К. БункиниА. Чере-
w у х и н, Давление ветра на крыши и стены здании, Труды ЦАГИ, вып. 35, 1928.
*)Buchegger, Windgeschwindigkelt und Winddruck, Bauing., 1922, стр. 491*
8) P г a n d 11, Ober Flussigkeitsbewegung bei sehr kltiner Reibung. Перевод
.Теория несущего крыла", М., 1931.

Гидродинамика
489
собой. В некоторых случаях это отрывание вилрей происходит
поразительно правильно, в строго определенном порядке* (вихри Каг-
man'a)*). Этим, между прочим, объясняется гудение телеграфных
проводов и свист при быстром движении тростью. Количественная
сторона явления отрывания вихрей без опытных данных может
быть более или менее точно учтена только в очень редких
случаях
Если в каком-нибудь месте тела происходит отрывание
вихрей, то оно зависит:
a) от распределения давления или, что то же самое,
от формы поверхности в рассматриваемом месте; сильное повышение
давления уменьшает отрывание вихрей; повышение давления
наблюдается, главным образом, сзади очень выпуклых участков
поверхности, и еще более— сзади острых краев;
b) or ускорения потока — в случае неустановившегося
движения; ускоренное движение препятствует образованию вихрей,
замедленное движение, наоборот, способствует;
c) от толщины пограничного слоя; толстый
пограничный слой (обусловленный, например, длинным участком свободной
поверхности перед рассматриваемым местом) отрывается легче, чем
тонкий;
d) от состояния пограничного слоя (ламинарное или
турбулентное); если для какого-нибудь тела пограничный слой бла
годаря увеличению скорости из ламинарного становится
турбулентным, то это изменение состояния пограничного слоя может вызвать
такое перемещение точки отрыва вихрей, что сопротивление станет
значительно меньше (см. сопротивление шара и цилиндра, фиг. 70,
стр. 495); такого рода явления бывают ярко выражены только в тек
случаях, когда рассматриваемое тело обладает большим
сопротивлением формы (следовательно, у продолговатых тел, обладающих,
главным образом, сопротивлением трения, этого не бывает) и когда место
отрыва вихрей не обусловливается очень большой кривизной или
наличием острых ребер, а лежит в области с более или менее
незначительной кривизной.
Если радиус кривизны равен г, то переход в пограничном слое от ламинарного
состояния к турбулентному совершается приблизительно при vr:v~Q» 10* до
15 • 1С* (меньшие числа — для вихревого протекания, ббльшие — для безвихревого;
ср. опытные данные шара и цилиндра, стр. 494).
е)от свойств поверхности тела; эта зависимость пока
еще мало выяснена; шероховатые поверхности иногда понижают
сопротивление, именно, когда они состояние пограничного слоя из
ламинарного переводят в турбулентное и когда благодаря этому
наступает явление, описанное в d). В общем же случае происходит
увеличение сопротивления, подобно тому как при течении жидкости
в шероховатых трубах.
J) К & г m £ п u. R u b а с h, Ober den Meohani.mus iks Hussig etts» und Luft»
widerstandee, Phyz. Z„ 1912, стр. 43.

490
Т ! Отд 2 Механика. IV. Гидромеханика
III. Результаты опытов над сопротивлением
некоторых тел
Обозначения:
V7— полное сопротивление тела (W^ -f Wr) в кг,
Wj — сопротивление формы (или сопротивление давления, результирующая
нормальных давлений) в кг,
Wr — сопротивление трения в кг,
t — длина тела в м,
d — диаметр в м%
ф — наибольшее поперечное сечение, перпендикулярное скорости v (миле-
левое сечение) в м\
О — поверхность тела в л»,
V — объем тела в л*3,
v — скорость в м\сек,
q = (р : 2).*?2 — гидродинамический напор в кг\м*%
с= W: q® — коэфициент сопротивления, отнесенный к $.
Формы, придаваемые дирижаблям (тела вращения). При
движении в осевом направлении сопротивление направлено по оси
симметрии. Так как сопротивление формы
очень мало, главное влияние оказывает
трение оболочки. Силы давления
воздуха действуют на поверхность тела
перпендикулярно к ней.
Prandtl, сделав в модели испытуемого тела
отверстия, путем измерения Манометром
давления внутри модели определил сопротивление
формы в отдельности от сопротивления трения.
Компонент этого софотивления в направлении
потока дает W^. Полное сопротивление
определяется непосредственным измерением сил 1).
На фиг. 50 показано распределение давлений
v модели I. Положительно»е разности давлений
отложены кверху, отрицательные книзу.
Пунктирная линия изображает распределение давления в
Фиг. 50. соответствующем участке при предположении,
Таблица 15. Коэфициенты сопротивления моделей дирижаблей
(Имеющих формы, изображенные на фиг. 50, при v = 10 м/сек и 1$°)
Модель
d в м . . .
фв*1 .
О в м* ... .
Vb *» . . . .
I
1,30
0,20
0,0314
0,7450
0,0339
11
1.125
0,194
0,0296
0,47£0
0,0182
II.
1,145
0,188
0,0278
0,4790
0,0182
Модель
\ Wr:q-0 . .
\ Wr:q® . .
Wd:q® . . .
Wq:Qs. • •
W:q.V\r . .
I
0.00244
0,0578
0,0616
0,1194
0,0358
JI
0,00168
0,0272
0.0398
0,0670
0,0286
III
0,0013
0,0224
0,0342
0,0566
0,0228
») Fnhrmin'n. См. сноску на стр. 458.

Гидродинамика
491
что обтекание тела безвихревое (стр. 458, фиг. 15). До места отрыва вихрей
теоретические и экспериментальные результаты хорошо совладают.
Сопротивление нииболее хорошей модели III равно вгего лишь
приблизительно ^-в сопротивления круглой пластинки такого же диаметра.
Приводимые в таблице 16 коэфиниенгы сопротивления уменьшаются с
увеличением v, так как трение об оболочку возрастает медленнее, чем вторая степень v.
Если положить Wr — av$, то
I
л
для м о д <
п
1,71
1 Л И
, III
1,55.
Полнее сопротивление приближается к определенному предельному значению;
оно для моделей II и III при ^ = 10 н^ек еще не достигается. Оснастка дирижаблей
и аэростатов во много раз повышает сопротивление.
Таблица 17. Коэфициенты сопротивления форм дирижаблей
Цеппелин
(Получены на основании действительных полетов 1).
Дирижабль
L.43
L.59
1 в м
140
197
197
227
d в м
14
23,8
23,8
23,8
W:q®
0,34
0,11
0,076
0,088
\Г :(q-tv*)
III!
-
Направление движения с осью симметрии
составляет некоторый угол а0. В таком случае результирующая
сила сопротивления отклоняется в противоположном направлении на
значительно больший угол. Согласно опытам, произведенным в Гет-
тингене с теми же моделями, что и выше, вертикальный компонент
полного сопротивления уже при а = око ю 6° достигает значения
горизонтального W при прямом движении, причем само W
увеличивается очень мало.
Этим пользуются для достижения так называемой
динамической подъемной силы дирижабля. '
Устойчивость движения. Сила R пересекает ось
симметрии в большом удалении о г центра тяжести тела, даже перед
передним краем тела; поэтому уже при небольших угловых
отклонениях тело стремится стать осью симметрии поперек направления
движения. При помощи особых поверхностей (стабилизаторов),
неподвижно приделанных к кормовой части дирижабля, вызываются
добавочные стабилизирующие силы, отодвигающие результирующую
силу сопротивления за центр тяжести, благодаря чему при угловых
отклонениях дирижабль сам стремится вернуться в исходное
положение.
!) М и и k, The Drag of Zeppelin airships, R€port U7,
o.ittee for Aeronautics, Washington, 1923.
National Advisory Com-

492
Т. I. Отд. 2. Механика. IV, Гидромеханика
Таблица 18. Коэфициенты сопротивления различных тел О
а) Пространственное обтекание
w
Шар (фиг. 70)
vd
для
Фиг. 51.
<1
24v Л , 3vd\
i Удлиненный эллипсоид
5 : 9 (фиг. 70) ...
Фиг. 52.
Сплющенный эллипсоид I
4 : 3 (фиг. 70) ...
-Gi
Фиг, 54.
Круглая пластинка
(фиг. 70) ... .
круглых пластинки
на расстоянии / друг
за другом ....'.
Фиг. 55.
0,09 3)
0,13 *)
0,47
0,05 до 0,1
0,2
0,6
1,11
0,93
0,78
1,04
1,52
*) Приведенные значения взяты, главным образом, из „Ergebnissen der Aerodyna-
mischen Versuchaanstalt zu Gottingen, II. Lfg., Munchen, 1923, и из книги Eif f e Ги,
„Resistance de l'air tt Paviation", Paris, 1910.
*) Б авиационной технике пользуются не числом Рейнольдса, приведенным
здесь, а так называемой характеристикой опыта E = vd[v в м\сек, d в мм],
составляющей приблизительно Чп часть числа Рейнольдса. При вихревом движении
критические рейнольдсовы числа меньше. (Wieselsberger. Der Luftwiderstand von
Kugeln. ZFM, 1914, стр. 140). *
8)Flachsbart, Neue Untersuchungen fiber den Luftwiderstand von Kueeln.
Phye. Z., 1927, стр.. 461. *
*) J а с о b e, Sphere drag tests in the variable density wind tunnel, Nat Advisory •
Co mm. for Aeronautics, 1929, lectin. Стр. 312.

Гидродинамика
493
Фиг. 66.
Круговой цилиндр,
продуваемой
параллельно образующей . .
И
Круговой цилиндр, hi о
дуваемый
перпендикулярно к
образующей
(^ = 8,8.10.)
Фиг. 57.
СЗ!
Фиг. 58.
Прямоугольник со сто- I
ронами а и b . .
1
d "
J
Фиг. 69.
Р\ ) 1олушар (без
*" кЙ)^
ограничиваем/ 1 ющейплоско-
вг'"1- :ти) ....
Фш. оО.
Фиг. 61.
Конус (с плоскостью
основания) . . .
Фиг. 6?.
Фиг. 63.
Решетчатая ферма *)
(0 - сумма
площадей отдельных
стержней)
//* =
//rf=l
2
5
10
40
ajb =
выпуклый
вогнутый
угловое отверстие 60°
угловое отверстие 30*
0,2 < Ю- < 0,5
ао
W
Я*
0,91
0,85
0,87
0,99
0,63
0,68
0,74
0,82
0,98
1,20
1,10
1,15
1,19
1,29
1,40
2,01
0,34
1,33
0,51
0,34
от 1,5 до 1,7
') Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Gottingen, 3. Lief., 1927.
Там приведены также опыты с взаимным влиянием двух, одна за другой
устанавливаемых ферм.

494 Т. 1. Огд. 1 Механика. IV. Гидромеханикл
Ь) Пл оскопаралл ельное тече
ною / действует сопротивление
ни е. На участок тела дли-
к-
*!
л
ФИГ. 64.
Киуговой цилиндр
" (фиг. 70)
vd ^ л «
для < 0,2
V
8rcv
*~~vd (2,002 -In vdfr) \
Проволока ,
I
W
C~'qld
t»rf/v>5.106 0,3 до 0,4!
di 2
Фиг. 65.
'^L
•1
•
Фиг. 66.
-&>i
~гт
Фиг. 67.
Пластинка с
краями,
закругленными по дуге
окружности
d\t- 0,0333
Клинообразная
пластинка
^// = 0,0417
<*.//== 0,025
Профили различной
толщины ....
уф « 10е
Фиг. 68.
Профилированная
проволока
-СЮ
Фиг. 69
11рофилированная
стальная труба
(каплеобразный профиль)
vdi* > прибл. б'Ю4
tw//v<2.10*
1,2
около 1,1
= 5.10е
vt
= 2.106
0,78
0,66
v//v=5.105
0,53
v//v = 2-10e 0f46
d\t = 0,055
dlt = 0,125
d\t - 0,197
vd\n «3.10s
до 10*
«<=4
0,193
0,096
0,080
0,3 до 0,4
0,2
0,1
0,0053
0,0060
0,0078

Гидродинамика
495
IV. Волновое сопротивление!)
Обозначения:
L — длина корабля в л,
JL'=c/—длина, на которой
образуются волны в «и,
J — длина волны, в м,
t — глубина воды в л«,
с — скорость
распространения волн в л/<гл\
v — скоро ль судна в м\сгк
И"да— волновое сопротив. е
ние в кг.
При движе! ии на
поверхности жилкос*и какого-
либо тела (например судна*
образуются волны, которые
вызывают потерю энергии,
прибавляющуюся к потерям
на трение и на вихреобра-
зование; эти волны
вызывают особое сопротивление.
г
<•*
(2
to
Цё
Qo
Q3
Орц
'V
с
\
1
+
хч
'• Ю'
ы
J^L
П1
Т~1
-+
Т
)
•
JL.
»
V
\
■^
П^ап
V
д
н
Л
\ \м
\
\
/S
1—;
з\
г-*
Фиг. 70. Коэфициенты сопротивления в
зависимости от рейнольдсова чи:ла для цилиндра
{1), плас1инки(2), сплюсн\того эллипсоида {3),
шара (4) и удлиненного эллипсоида (5).
Волновое сопротивление выражается следующим образом:
где С зависит только от числа Фруда -у-(см.гл. ,Механика подобия",
стр. 437).
Для глубокой воды (*>"9")» гДе c = l/-Jr~-> приближенно
v* ■ . gU I , . 2nL'
При
2kL' gV _ (2/2 + 1)
член с косинусом равен— 1 и ве-
/ "" сг» 2
личина С получает наименьшее значение;
при —-— = ■£-£- = /z этот член с косинусом равен -f-1
и величина С получает наибольшее значение,
(л —целое число, а и &—постоянные, зависящие от формы судна.)
>) Н a v е 1 о с k, Proc. Roy. Soc, London 1908 и следующие годы. — Н о g n e г,
О be r die Theorie der von einem Schiff erzeugten Wellen und des Wellenwiderstan-
des. Proceedings of the first international Congress for applied Mechanics, Delft, 1924.
Horn, Theorie des Schiffes, Handb. d. phys. a. techn. Mechamk, Bd. V.

496 т- I. °']Д. - Механика. TV. Гидромеханика
На мелкой воде t<^L, с -=У gtn не зависит от длины волны, при
v^i Y gt имеется сильно выраженный максимум сопротивления; при
i>> Vgt сопротивление немного меньше, чем при той же скорости
на глубокой воде.
f) Жидкие сгруи
I. Образование струй, истечение из отверстий
Обозначе[ ия:
F — поперечное сечение отверстия для истечения в лй,
v — скорость истечения в м\сек,
Q — расход в м91сек,
\> — коэфидиент расхода,
р — разность между давлением внутри сосуда и давлением в пространстве,
куда жидкость вытекает, в кг/м*-,
h — высота свободной поверхности над отверстием для истечения в му
р, Т» g — см. стр. 443.
1. Основные положения
При истечении жидкости через отверстие в стенке сосуда в
общем случае образуется жидкая струя. Скорость истечения равна
t/ = V2/?:p.
Если /?, а вместе с ним и v для всего отверстия для истечения
остаются неизменными» то в 1 секунду вытекает количество жидкости
Q = y.Fv = \xF V^P'-p.
Если бы все линии тока при выходе были параллельны и не
происходило никакой потери энергии, то ^ равнялось бы 1. В
действительности эти условия отчасти соблюдаются только при отверстиях
с хорошо закругленными краями (фиг. 81 и 82). При истечении же •
через отверстие с острыми краями в тонкой стенке, струя по выходе
из отверстия сжимается, так что полезное поперечное сечение
оказывается значительно меньше, чем F. Кроме того, вследствие потери
энергии v несколько менее, чем то получается по формуле; впрочем,
большей частью это влияние очень незначительно. Оба влияния
учитываются коэфициентом расхода р. (значения его даны на стр. 498).
В случае истечения, происходящего под действием только силы
тяжести, следует различать следующие случаи.
а) Истечение под свободной поверхностью жидкости (фиг. 71)
v=V2g(hi—h2),
Р) Истечение на воздух, горизонтальное донное отверстие
(фиг. 72). Высота уровня свободной поверхности над устьем
отверстия равна h
v » Y2gK
O^^FYWi.

гидродйзд&гйКД
497
;) Плоскость Отверстия для истечения наклонена к свобод-
ной поверхности жидкости под углом <f (фиг. 73)
h0 — расстояние верхнего края 1
\ от свободной поверхности в м>
hu — расстояние нижнего края j r
у — ширина площади F на расстоянии h н от свободной поверхности в М>
Скорость v = Y*lgh неодинакова для всего поперечного сечения
отверстия
suit ,/ J * sind>
ho ho
Если у постоянно и равно b (прямоугольное отверстие), to
f
Фиг. 71.
Фиг. 72.
Фиг. 73.
Фиг. 74.
Круглое отверстие. Радиус г, центр на глубине hs в ж:
. _ , Г, 1 /rsin<|i\2 5 /rsin<|>\4 "1
Частный случай: ho—0, ф = 90° — водослив (фиг. 74).
(Значения р. см. на стр. 501).
1. Ширина водослива одинакова и равна Ь:
Q = (2:3)-\>ЬНяу*&Ги.
2. Трапеция с горизонтальными параллельными стенками-
(длина верхней — Ь0, нижней — Ьи):
Q^(2:\5)^ha]/2^ra^2b0 + 3ba).
Отверстие для истечения частично ниже уровня нижней
свободной поверхности. Для части отверстия, лежащего над
уровнем нижней свободной поверхности, расход определяется по (y), для
нижней же части отверстия — по (а). Коэфициенты расхода для обеих
частей могут быть различны.

49$ 1 t. бтд. 1 Mcxautifci. IV. Гидроатяак!
2 Коэфяаиенты расхода (отнесены к наиболее узкому отверстию)}
Существует разница (исключая влияние капиллярности), вытекает ли
вода в воздух или вода в воду (также воздух в воздух)» В последнем
случае величина \i несколько Меньше, чем в первом; однако в общем
разница эта не особенно велика и * не превосходит величины 0,01.
Отверстие без направляющих стенок дли струй, т» е.
отверстие в плоской и очень тонкой стенке; в случае более толстой ётенкй
края отверстия заострейы. Выпускание воды в воздух (по Вейсд
бах у)*
а) Поперечное сечение сосуда перед отверстием >. 10/7, так что"
скоростью подхода жидкости к отверстий можно пренебречь.
Для круглого отверстия (совершенное сжатие): при
сравнительно большой глубине и большом отверстии р. = 0,61; при
меньших величинах глубины и отверстия:
диаметр отверстия в см . ; . 0,44 12 3 4
t-лубина воды 0,^5 м . . . . |* = 0,68 0,64 0,63 0,62 0,614
н 0,60 м .... ft = 0,66 0,63 0,62 0,61 0.С07
\i Зависит, с одной стороны, от рейнольдсова числа, т. е. от dY h\v
а с другой—от соотношения геометрических величин d/h.
Для прямоугольного отверстия величину р.
приближенно можно принимать такой же, как и для круглого.
р) Поперечное сечение сосуда перед отверстием для истечения
Fg^lOF; скоростью подхода пренебрегать нельзя, сжатие
несовершенное. Следует умножить (по Вейсбаху) выше стоящие
значения [д. на следующие числа:
при F: Fz 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
для Округл 1,014 1,034 1,06 1,09 1,13 1,19 1,26 1,35 1,47 1,63
дляFпрямоугольна. . 1,019 1,042 1,07 1,11 1,15 1,21 1,28 1,36 1,47 1,61.
Круглые отверстия в схеме на фиг. 32, стр. 473, так называемые
диафрагмы, служат для измерения расхода жидкости (например
диафрагма типа VDI) 1).
Отверстия с направляющими стенками для струи, т. е.
отверстия в толстой стенке или отверстия с короткой насадкой (по
Вейсбаху).
а) Отверстие в толстой стенке. Если края входного
поперечного сечения образуют прямой угол или угол < 150°, то при
небольшой длине отверстия сжатие образуется так же, как и выше,
в случае очень тонкой стенки; затем струя опять расширяется и
в случае отверстия или насадки с параллельными стенками она может
опять прилечь вплотную к ним, если только расстояние между
плоскостями входа и выхода из отверстия больше ширины отверстия; для
коротких насадок и отверстий действительны значения [л,
приведенные выше в а).
П Размеоы см.: Regeln ffir leittun$ffW$uche *n Vtnttbtertv upd KomprtMorto,

faApoAtftoWtftfu
499
р) Круглый насадок, вставленный
лярно к внутренней стенке.
5V И'/*в 2*/,в 45° 6?4te
0,95 6,92 0,88 0,?5 0,68
Фиг. 75, 8 = 0е
край а как Л
перпеядику*
о»ез(/ = з^)
0,63 (/ = 2,6d).
При острых краях наибольшее значение у. равно 0,946 для & =* б8//»
Фиг. 76* / = 3 до 5d,
край а острый: ц около 0,82;
край а немного закреплен: jx около 0,90;
край а как следует закруглен: ^ около 0,97.
следует за- V fi— 0,§7
круглен: )
край а острый ^ = 0,83 0,94 t),92 0,85 0,75 0,68
шгштяот
тъ/г'яжщ
Щ
Фиг. 76.
Фиг. 77. Фиг. 78.
Фиг. 79.
Фиг. 77. Толщина кольцевой площади, направленной против
потока, равна по крайней мере 5 мм:
6=0° 224,° 45° 67» '2° 90е
И- = 0,54 0,55 0,58 0,60 0,63 (/ = d).
Если В = 0° и края отверстия, направленные против потока, как
следует заострены, то ц принимает значение 0,50 — наименьшее из
возможных при наличии сжатия.
Фиг. 78. При l = 0,6d, р.=^=0,9б до 0,99, в зависимости от
степени гладкости стенок и скорости течения.
Фиг. 79. В зависимости от угла,-длины насадка
и скорости течения р. = 0,96 до 2,3 (относительно
узкого поперечного сечения), выходящая струя внутри
полая и имеет веерообразный вид.
Y) Истечение из трубопроводов (вода
в воду или воздух в воздух, причем влияние
скорости подхода к отверстию в приводимых значениях
коэфиниентов уже учтено).
Обозначения:
dt — диаметр трубы,
d —-диаметр наименьшего сечения насадка.
Фиг. 80, / = 3d, F и F0 обозначают площади поперечных сечений.
Края суженной часги острые;
Фиг. Ы).
при: F: F0 = 0,1
|а = 0,83
0,2
0,84
0,3
0,85
0,4
0,87
0,5
0,88
0,6
0,90
0,7
0,92
0,8
0,94
Фиг. 81!). Нормальный насадок VDI гх = 1,4йГэ
чения коэфициента расхода р.2):
■) См. сноску ка стр. 498.
0,9 1,00
0,965 1,00
r2 = 0,5d, зна-
i I е г и, Р е t е г t, Durchtfuiizthlen <Jer NormaldtHe fdVdl, 1ОД стр. Ш

500 Ф. t. Отд. 1 Механика. IV. ЕидромеЗгаййК*
Рейнольдсово число vrf/v
rf1==175 . rf = 70
25000
0,947
50 000
0,955
0,957
' 100 000
0,962
0,964
200 000
0,967
0,970
450 000
0,972
0,975
1000000
0,979
Применением в насадке цилиндрической части можно увеличить значение
коэфициента р- (ср. насадок JG).
Фиг. 82. Насадок JG *), /"i» 0,33d, r2 = 0,2rf, / = 0,6rf.
d\dx
0,1
0,98
0,2
1,001
0,3
1,021
0,4
1,049
для —>10*.
о) Косо вставленные насадки в виде труб с
острыми входными краями и / = 3d;
и осью струи:
Y означает угол между осью насадки
Фиг.
т = 90° 80° "70е 60° 50° 40е 30^
(х= 0,82 0,8) 0,78 0,76 0,75 0,73 0,72.
е) Отверстия в тонкой стенке,
частично снабженные
подводящими поверхностями,
которые могут быть образованы также
дном и стенками.
Если 1//г обозначает ту часть
смачиваемого периметра отверстия,
которая снабжена поЯводяшей
поверхностью, то при острых краях
отверстия значения \С9 приведенные в а) и
р) по Бидоне и В, е й с б a x у,
увеличиваются на:
: 1,4 d. 0,1?8: п для небольших круглых отверстий,
-0,5d. 0,134:/! * „ прямоугольных отверстий,
0,157: л „
Г
т
1.
ш
f
у$щ/ууу\
А
-ztj
Фиг. 82.
r, = rf/3. rt=0,2d.
/=0,6rf, a=0,3rf.
Причина этого увеличения лежит в уменьшенном сжатии струи
(частичное сжатие), обусловленном наличием подводящих поверхностей.
3. Козфициенты расхода для водосливов
Обозначения:
В — ширина подводящего канала в м,
Ь — ширина плотины в ж,
//'—глубина канала перед плотиной в м,
h — глубина порога плотины под уровнем свободной поверхности в м,
измеренная по крайней мере в расстояния ЗЛ от порога водослива.
Приведенные здесь значения ц для воды учитывают скорость
подхода воды, так что для расхода попрежнему действительна формула:
Q = ЦК? • (2; 3) • Y^gh (стр. 497).
») W111 е, Pufctiflueebeiwerte der JQ-Mfindungea fur Wtiser, Ol, Dimpf and Gi,

Гидродинамика
501
b жз В = постоянно, бокового сжатия струи нет. Плотина
вертикальная, вершина плотины тонкая и остроконечная, под струю
имеет свободный доступ воздух.
Rehbock *) вводит вместо высоты h другую величину
Л^ = Л Н- 0,0011 м
Тогда
I* = 0,6035 + 0,0813Лг/(# - Л),
Q = [1.782 + 0,24Л#/(// — Л)] Л$>.
Швейцарские нормы2) дают:
р. = 0,615 [1 + 1/(1000Л + 1,6)] [1 +0,5Л/Я],
при
Я—Л>0,3 я\ Л<#— h\ 0,025 л*<Л<0,8 л«.
Такие водосливы применяются, главным образом, для измерения
расхода воды8)'.
Для вертикальных плотиц с широкой вершиной толщиною
в 6 м и острым краем, обращенной вверх по течению, значения р
получаются умножением таковых'для плотин с острыми вершинами
на следующие поправочные множители:
при h: 8 = 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50
на 0,75 0,78 0,82 0,86 0,90 0,93.
При Л < 1,55 вершина плотины смачивается всегда, при Л ^1,5
до 2,Оо—-не всегда, а дри Л>2о струя перескакивает через
вершину плотины, так что (х получает то же значение, что и для
водослива с острым ребром. Если сторону плотины, обращенную вверх
по течению, как следует закруглить, ц увеличивается на 0,1—0,15.
Если воздух не имеет доступа под падающую
струю (невентилированная струя), то по В a z i п'у значения ^
получаются из таковых для плотин с вентилированными струями
умножением их
при h < 0,23 м на (до) 1,08
„ h«0,23 м п . 1,29
. h > 0,23 м я . 1,15 до 1,19.
£</? (боковое сжатие струи), плотина вертикальна и
перпендикулярна к направлению потока, ребра острые. По Frese, пока
Л>0,1 м и <0,6 м:
«) Rehbock, Wassermessung mit scharfkantigen Oberfallwehren, ZdVdl, 1929,
стр. 817.
*) Normen fur "Wassermessung, Aufgestellt vom Schweiz. Ing.- ц. Arch.-Ver., 1924.
•) Kirschmer, Untersuchung der Oberfallkoeffizienten fur einige Wehre mit
gerundeter Krone.—R. H a i 1 e r, Fehlerquellen bei der Oberfallmessung, Mitt. 4,
Hydr. Inst. d, TH Munghen, H. 2% 192»,

502 Т' *• ОВД- *• Межаника. IY. Гидромеханика
Г Г (Ь\2 0№™ 1/ h V\
»- т\1+1°>25Ы + °'025 + шчт\Ы }•
где /и = 0,5755 + [0,017: (Л + 0,18)] - [0,075:(Ь+ 1,2)].
По швейцарским нормам *)1
^ОТ{0,578+0.037(^+3^0-^2},
где
т = [1 + 0,5(^)4(Л/Я)2].
Для указанных выше особых случаев надо р. умножить на
соответствующие данные выше коэфициенты.
Для измерения расхода при больших его
величинах применяются специального типа плотины (фиг. 83).
В этом случае по Вагг'у 2) для £>8Л и а = 90°
И- = 0,565 + 0,0868/ Yh.
II. Вы с о т а и дальность полета свободной струи
Обозначения:
Н — напор перед насадкой в мч
S — высота полета струи в лс,
W — дальность полета струи в м.
По W e i s b а с h'y (Lehrb. d. Theor. Mechanik, § 461) наибольший
коэфициент полезного действия дает короткий конический насадок
с угловым отверстием в 6°; у этого насадка при отсутствия ветра:
// = 3 5 10 15 20 м
d= 10 мм 5 = 2,85 4,68 8,81 12,06 14,32 м
d = 14 мм 5 = 2.91 4,80 9,28 13,26 16,67 м.
Ниже (стр. 503) помещена таблица, показывающая некоторые из
результатов, полученных Ргеетап'ом3) при испытании
брандспойтов с диаметром rf= 19 до 35 мм. (Значения S и W приведены
для брандспойта, наклоненного под углом в 32°.)
Хороший насадок в самой узкой части должен иметь очень
гладкие стенки и особенно гладкие края выходного отверстия, без
малейших неровностей или постепенного расширения (округления); в
противном случае струя разбрызгивается. Вполне хорош насадок
длиною от 0,5 до \fid (фиг. 78, стр. 499). При небольшом сужении
устья насадка (от 5 до самое большее 13°) струя разбрызгивается
менее, чем при прямой цилиндрической форме насадка или при
истечении через отверстие с острыми краями со сжатием струи.
О качестве струи судят по длине струи, на протяжении которой от
") См. сноску 2 на стр. 501.
*) В а г г, Experiments upon the flow of water отег triangular notches. Engng 89,
стр. 435, 1910.
•) Freeman, Verhandlungen der American Society of Civil Engineers, New YorKi
^uv. 1890, а также Jourp. f. Qasbel. uf Wassever*., 1890, J* 32-<H,

Гидродинамике 503
Высота и дальность
полета в м
S <
W<
Струи, еще не разры- j
вающеися при свежем {
ветре '
Самых внешних капель f
при безветрии (
.Струи, еще не разры- i
вающеися при свежем J
ветре *
.Самых внешних капель {
при безветрии \
Напор (перед насадкой) Н в м =
5
3,7
4,0
4,3
4,6
4,3
5,5
7,8
8,8
10 | 15
7,3
7,9
8,8
9,5
7,0
9,5
15,5
17,4
11,0
11,6
20
14,4
15,2
13,1 ' 17,7
14,0 18,3
9,5
13,1
23,2
26,6
11,0
15,8
28,6
34,2
30
16,2
18,3
25,3
27,8
14,0
20,4
35,8
47,0
40
21,6
24,6
31,0
36,0
15,8
23,0
41,0
55,0
5Э
23,6
27,7
36,0
43,0
17,7
25,0
•45,0
62,0
6) | 70
24,4
29,6
39,0
48,0
19,5
27,С
48,5
67,0
25,4
31,0
41,0
50,0
20,8
28,7
51,0
72,0
1Ж±Г..ЧЯ
d
в мм
19
35
19
35
19
35
19
35
струи не отлетают в стороны капли и струя производит впечатление
стеклянной.
О трении в трубах или рукавах, подводящих воду к насадкам,
см. с) стр. 462.
Для тушения пожара лучше пользоваться одной струей
с большим поперечным сечением, чем двумя с маленькими сечениями,
так как у первой струи больше дальность полета и, кроме того, она
быстрее тушит огонь благодаря .расхлестыванию*. Ширина насадка
направляющей трубы ни в коем случае не должна превышать 0,25
се длины, так как в противном случае благодаря трению
уменьшаются как высота, так и дальность полета струи. О сопротивлении
в рукавах см. Sander (диссертация), Stuttgart, 1914.
Для не к у с ст в е нн о г о дождевания употребляются
особые дождевые трубы или разбрызгивающие насадки. Если
желательно, чтобы все отверстия дождевой трубы дазали приблизи1ельно
одинаковое количество воды, то сумма п перечных сечений всех
отверстий должна составлять приблизительно около одной четверти
поперечного сечения трубы. Разбрызгивающие насадки позволяют
достигнуть более равномерного орошения поверхности,
ограниченной крайними каплями струи. О приспособлениях для дождевания и
о разбрызгивающих насадках, см. ZdVd!, Hartmann, 1915, стр. 494
и Krtiger, 1919, стр. 49 и 1920, стр. 322.
Ш. Давление струи на сосуд, из которого она
вытекает, и на препятствия, ею встречаемые
Обозначения:
Q — количество жидкости, вытекающее в 1 сек. из сосуда или притекающее
к препятствию, в M*jceK,
г- плотность жидко-ти в кг сек%/м*,
— поперечное сечение струи в **,
^

504 Т. I. Отд. *. Механика. IV. Гидромеханике
v — скорость струй относительно сосуда, из которого она вытекает, или
тела, к которому она притекает, в м\сек,
F' — свободная поверхность жидкости в сосуде в м-%
v'— скорость, с которою опускается уровень свободной поверхности в
сосуде, в м\сек,
!» ?i — углы, образуемые струями жидкости с поверхностью тел на фиг. 85—88.
Если жидкость вытекает из сосуда (фиг. 84), то она действует
на сосуд с силой Р = pQv -.
Фиг. 84
Фиг. 85.
■pv2F, направленной против v. Если,
кроме того* уровень; свободной
поверхности в сосуде опускается со
скоростью vr = Q: F\ то сосуд
испытывает еще со стороны жидкости
силу Pf = pQv' = р-
Q2:F',действующую вертикально вниз. (Если F'^§>Ft
то последней силой можно
пренебречь). .
Если жидкая струя притекает к
какому-нибудь телу, то последнее
испытывает силу P = pQv в
направлении струи. К этой силе
прибавляется еще сила, действующая в обратную сторону и
обусловливаемая той частью жидкости, которая оттекает от тела.
Если v по сечению F непостоянно, то следует вместо Qv
подставить J v2 dF.
Частные случаи: плоская пластинка, образующая с
направлением струи угол а (диаметр пластинки > 6 диаметров струи, фиг. 85)
Р = р Q v sin a.
Р перпендикулярно к плоскости пластинки. (Трение о поверхность
пластинки здесь в расчет не принимается.)
Фиг. 86.
Фиг. 87.
Фиг. 88.
Фиг. 89.
Небольшая плоская пластинка (фиг. 86), выпуклая или
вогнутая поверхность тела вращения (фиг. 87 и 88):
P = pQv(l -cos?) или P=xpQv(l + cosp1).
Пластинка с загнутыми краями (фиг. 89) pt == 0°, P = 2pQv.
В случаях, когда р<90°, трение увеличивает давление струи, в
случаях же, когда рх < 90° —- уменьшает. О вычислении величины
трения см. указания на стр. 485,

Гидродинамика
505
g) Крылья и воздушные винты *)
На тело, движущееся в воздухе, со скоростью V, воздух
действует с некоторой силой, в общем случае составляющей с
направлением движения определенный угол. Компонент этой силы по
направлению, противоположному
направлению движения, называется
лобовым сопротивлением Q. Для его
преодоления необходима затрата
работы (работа за 1 сек. равна QV).
Другой компонент этой силы в
направлении, перпендикулярном к V,
называется подъемной силой Р; для его
преодоления не требуется затраты
работы. Из экономических соображений
на практике при движении тел в воз- **■"
духе используют тела такой формы, Фиг. 90.
подъемная сила которых во много
раз больше лобового сопротивления; этим достигается
незначительная затрата энергии QV при большой подъемной силе Р. Такие тела
называются крыльями. Отношение е = Q: Р выражает собой
величину, обратную качеству крыла.
Введем обозначения:
* о — массовая плотность воздуха в кг сек*\м*,
S — площадь крыла (наибольшая проекция его) в м-ч
I — размах крыла в м
t — ширина крыла в м (фиг. 90),
V— скорость крыла относительно воздуха в м\сек,
о — угол атаки (угол между направлением движения и хордой, (фиг. 90),
q = Vp*j2 — скоростным напор в кг\лС-,
Р — подъемная сила, перпендикулярная к V, в кг%
са= —ё коэфициент подъемной силы кгу
Q — лобовое сопротивление лгг,
£«;= -~Fi—коэфициент лобового сопротивления,
w qot
М — момент сил относительно точки О, указанной на фиг. 90, в кгм,
ст=—~- — коэфициент момента,
Г—циркуляция вокруг крыла (стр. 450) в лР\сек.
I. Плоское обтекание
1. Основные законы. Подъемная сила отрезка крыла длины /
бесконечного размаха равна pV-П (теорема Кутта-Жу ков-
с к о г о):
р = р vn,
0 В е t z, Tragflugel und hydraulische Maschinen, Handb. d. Phys., 7. Bd,
Berlin, 1927,—В. Голубев, Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке,
Труды ЦАГИ, вып. 29, 1927.—Э» Голубев, Теория крыла аэроплана конечного раз-

506
Т. 1. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
Если имеется бесконечный ряд крыльев (решетка, полниланы;
обозначения на фиг. 91), отклоняющих поток жидкости на конечный
угол, то компонент скорости v, перпендикулярный к плоскости
решетки, одинаков как перед решеткой, так
и сзади нее Меняется только компонент,
параллельный плоскости решетки, так что
и2 Ф их. Циркуляция вокруг крыла равна:
. Г=а(и2 — Wj).
Разность давлений в потоке перед
решеткой и сзади нее
Pi — Ръ = ("22 — %2) • 0$р + р',
где р' выражает собою потерю энергии.
Если и2<^иъ то при не слишком
большом р\ при проходе потомка через решетку
можно достичь увеличения давления,
Фиг,
Р% — JPi*=("j
2 — /
2)-0,5Р
лопатки
Сила, действующая на единицу длины
плоскости решетки (фиг. 91), равна:
Py = pTv = p ау(и2 — их),
а в направлении, перпендикулярном к плоскости
лопатки,
?х = (Pi — Л)* = °>5Р r(ui + и2) +Р'*-
Если ит — 0,5 • (их + и2) обозначает среднее
значение компонента скорости, параллельного плоскости
решетки, то качество решетки в случае падения давления
(преобразование энергии давления в скоростную энергию) равног
в направлении
- _4ii-
Фиг. 92.
4i
_%^U2_U2)
= 1-
(■-*)■(■+••£)■
2(Pi — Pz) Рх—Рг
а в случае повышения давления (преобразование скоростной
гии в энергию давления-:
1Р>
энер-
2^£lUi 3El_efi...^:f1 + t.^V
>("l2-^2) P("i2-«22) \ Mm/ \ V /
р(«1*-
Если лопатки расположены радиально (центробежные насосы,
фиг. ^2) и Q м3/сек есть количество жидкости, протекающее в 1 сек.
через решетку, то момент вращения, получающийся на п лопатках,
равен:
маха, Труды ЦАГИ, вып. Ь8, 1931.-Г. Глауэрт, Основы теории крыльев и винта,
ГНТИ, 19f lt Р г » п й X1 - Т \ • t < е о 9, Hydro- ццй Aeromecbaai с, Ва\ Нт Berlin, 1931.

Гмдродинамию*
507
М з= pnTQ:2n = pQiu^ — и2г2) (Эйлерово турбинное
уравнение).
2. Поле скоростей. Потенциальный поток вокруг крыла очень
просто определяется для лрофиля Жуковского *) при помощи
конформных преобразований. Для определения возмущений,
вызываемых крылом в жидкости в некогором удалении от крыла,
обыкновенно бывает достаточно заменить крыло
прямолинейным вихрем (стр.456) с той же циркуляцией,
что и у крыла. Этот вихрь, заменяющий крыло,
следует предположить проходящим через точку
приложения подъемной силы для взятого крыла.
Приближения получаются обыкновенно очень хо-
* рошие, если только рассматри-
у/ вать места потока, удаленные
\. ь/ от крыла на расстояние, боль-
^V J шее половины ширины крыла.
\1 Поэтому крыло обусловливает
^^^ в потоке скорость на расстоя-
Фиг. 9зТ^ нии г от кРыла (Фиг- 93),
равную и = Г:2гк, и
направленную перпендикулярно к г (перед крылом вверх,
над крылом назад и под крылом вперед).
В случае ряда вихрей, заменяющих собою ряд крыльев (фиг. 94).
на расстоянии х от какого-нибудь вихря, вызванная им скорость будет:
w^f:[2aih(xu:a)]2).
Эта формула показывает, что w увеличивается с уменьшением х,
откуда, между прочим, следует, что для устранения удара при входе
воды в колесо турбины, глубина лопаток которого невелика по
сравнению с их взаимным расстоянием я, лопатки надобно
искривлять сильнее, чем это следует из обычной теории турбин.
3. Зависимость свойств крыла от его формы 3). Величина
циркуляции теоретически получается из условия, что жидкость не
обтекает заднего ребра крыла В действительности же, вследствие
образования сзади крыла мертвого пространства, циркуляция всегда
несколько меньше, чем то следует из теории. Разность тем больше,
чем больше величина е.
Теоретические значения для небольших углов атаки
и небольшой кривизны (опытные данные на стр. 516):
*) Т г е f f t z, Graphische Konstruktion Joukowskischer Tragflachen, ZFM.
1913, стр. 130. О Профилях любой формы см. G е с к е 1 е г, Ober Auftrieb una
statische Lungsstabilitat von Flugzeugtragflflgeln in ihrer Abhangigkeit von der Pro-
filform, ZFM, 1922, стр. 137. Глауерт, Основы теории крыльев и винты, М, 1931.
Об решетках см. К б n i g, Potentialstromung durch G i 11 e r, ZAM, 1922, стр. 422,
8) Cm. Handbuch der Phys.*7 Bd, стр. 2<i8.
») Birnbaum, Die tragende Wirbelflache als Hilfsmittel zur Behandlung des
ebenen probjems der Tragflugeltheorie, ZAM. 1923, стр. 2S0. — О профиле
Жуковского и с Ким сходных см. Т г е f f t z, Graphische Konstruktion Joukowskischer
Tragflachen, ZFM, 1913, стр. 130. Далее, Mises, Zur 'Iheorie des Tra^fl3chenauf.
tfiebes, ZFMT 1917f стр. lo7, 1920, стр. C$ * 87,
Фиг. 94.
за крылом вниз,

SOS
Т. I. Отд. 2. Механика. IV. Гидромеханика
Плоская пластинка, угол атаки а (фиг. 95).
са = 2п sin а, ст = 0,57i sin а.
Пластинка, изогнутая но дуге круга (фиг. 96)
са = 2ти sin (а + Л-) = 2г. (sin а -f 2 -~) ,
Профиль формы
'-т[»-»-¥]-[>-(¥Л«*»^
Фиг. 95
Фиг. 97.
При этом (фиг. 97), р = 0,25 (ф + ср) = 2/: *; y = 0,25 (ф — ф).
Обобщенные формы крыльев (интеграл Мунка). Ось
абсцисс направлена по потоку и проходит через заднюю кромку
профиля; координаты задней кромки будут:
х = t/2, у = 0.
Тогда
са = 2
1
ydx
('/2~*)j/W-.
xydx
t2V(t/2)* — x2
(относительно середины профиля),
4*\ ydx
J \t/2-x fi )i
(относительно передней кромки).
Эти формулы приближенно могут применяться и для не очень
толстых профилей, если вместо профиля рассматривать его среднюю
линию,

Гидродинамика
509
П. Пространственное обтекание
(О турбинах, насосах и вентиляторах см. III том)
1. Монопланное крыло. Разность давлений, существующая по
обе стороны крыла, может на конце его исчезнуть. Следствием
будет уменьшение поддерживающей силы при заданном угле атаки.
Для того чтобы получить ту же подъемную силу, как и в случае
плоского течения, надо увеличить угол атаки на величину А в.
Но с этим явлением связана еще потеря энергии, которая сказы*
вается в увеличении сопротивления. Эти влияния обнаруживаются5
тем менее, чем более размах крыла при заданной подъемной силе
и заданной скорости. Сопротивление, обусловливаемое концами крыла,
называется индуктивным сопротивлением или концевыми
потерями (Q;, соответствующий коэфициент сопротивления cw). Эта
сопротивление при заданной подъемной силе и заданном размахе
будет иметь наименьшую величину в том случае, когда
распределение подъемной силы по размаху крыла имеет форму полуэллипса.
В этом случае:
Д а = 57,3° • Р/ nql* = 57,3° • (cJtz) • (S//2),
S/l2 называется относительным размахом крыла. При
прямоугольном очертании крыла S = It н Sjl1 = tjl.
Если известны соответственные значения подъемной силы
лобового сопротивления и угла атаки для крыла с размахом 1Х и
площадью Slt то из этих значений могут быть легко получены
значения соответствующих величин для другого крыла с тем же
профилем, но другим размахом /2 и другой площадью 52. Именно,
са2 ~ сах = са*
<Ч = С*,+К2М (W - W). Ч = «1 + ЯЗ0 (cJt.) (S^ - SJI&.
(Индекс 1 относится к значениям для первого крыла, индекс 2 — второго крыла.)
На практике применяются крылья, имеющие приближенно форму
прямоугольника; хотя для них распределение поддерживающей силы немного уклоняется от
эллиптического, тем не менее приведенные формулы оказываются для них вполне
пригодными. Больших отклонений можно ожидать только в тех случаях, когда крыло
в средней своей части имеет вырезы; иногда это влечет значительное увеличение cW{.l)
2. Биплан 2). Значения, относящиеея к одному крылу,
обозначены индексами 1, значения, относящиеся к другому
крылу,-—индексами 2. Какое из этих крыльев верунее или нижнее —
безразлично, h обозначает расстояние между обоими крыльями, измеренное
перпендикулярно к V.
l) M u 11 г а у, Neuere Messungen an Flugeln mit Ausschnitten, ZFM, 1929,
стр. 161.
') По Prandtl'io, Ergebnisse der Acrodynamischen VersuchsansUlt, Ц, Lfg.
стр. 9, Щ. Lfg., стр. 9.

610 t. t. бтд. 1 Меивика. IV/ PttAfiotifltaififfft
К индуктивному1 сопротивлению отдельных крыльев присоедй*
няется еще другое индуктивное сопротивление, возникающее от
взаимного влияния обоих крыльев. Оно одинаково для обоих крыльев,
если крылья расположены друг над другом без выноса:
Полное индуктивное сопротивление равно:
Для биплана с выносом полное индуктивное сопротивление*
то же, что и для биплана с крыльями без выноса* но с одинаковым
вертикальным расстоянием h между крыльями, только сопротивление
иначе распределено между обоими крыльями: переднее крыло имеет
меньшее, а заднее — большее индуктивное сопротивление.
Значение d зависит от расположения и величины обоих крыльев»
а значение *, кроме того» от распределения подъемной силы между
Ьбоими крыльями. При наивыгоднейшем распределении у. получает
наименьшее значение (табл. 19).
Таблица 19. Значения min *
h/l,
/а//1==0,8
№ = 0,6
0,05
in
0,1
111
0,15
ill
0,2
us
0,3
lis
0,4
11!
0,5
ill
Приближенная формула для 1Х = /., = / действительна для Л/7 =
= 15доЛ// = 1/2:
а = [1 - (0,66Л//)]: [1,055 + (3,7Л//)1 min у. = _|^-^/' .
3. Винты !). Обозначения (кроме уже указанных на стр. 443):
d — диаметр вит а в л,
п — число оборотов винта в 1/мин.
V — погтулательная скорость винта относительно
покоящегося воздуха в м\сек,
о> = тел/30 — угловая скорость в 1/сек.,
и = ftitrf/6J — окружная CKopOwTb винта в м\сек%
Х = V\u — поступь,
г — число лопастей винта,
») Betz, Tragflfigel und hydraulische Maschiren, Handb. d. Phys., 7. Bd., Berlin, Г927.
В. Алек андров. Вихревая теория Н. Жуковского и расчет по ней гребных воз-~
душных винтов. Техн. воздушн. флота, Ms 3, 1928. Г. Кузьмин, Исследование
ра оты воздушных винтов, Труды НАГИ, вып. 45, 1930. Г. Кузьмин, Расчет
винта по вихревой теории. Труды ЦАГИ, вып. 132, 1932. Последние три работы
касаютс» вихревой теории ввита Жуковского, не изложенной * настоящем спра*
фучнике.

Гядродмпшш
an
- тяга винта в #*, es «
Ф
СуХ* — коэфициент тяги
коэфициент нагрузки,
** pl2'VTtd*l4
Мд — момент вращейий йинта в кгм,
Md
*d » M9w,»^u.^T ~ коэфициент момент*,
= ^r— X — коэфициент полезного Действий УййгЙ.
<»
V
«*
4'
C.t
V
(|«
Я
\
7т.
]\
~~
\
ч
s
i
1—
I
1 *
1—
>
«
0
'<]
Фиг. 98.
Md4i kd
Теория идеального пропеллера *) предложена Rankine'oM й
Froud'oM в 1882 г. Кроме потерь у лопасти винта (стр. 514* см. также
формулу для y)2 на ар. 506 для случая ряда крыльев), возникает еще
неизбежная потеря вследствие ограниченных размеров лопасти; для
достижения тяги ь'еобходимо, согласно теореме о количестве д«*а*
жения, сообщать ускорение некоторой,
массе воздуха, кинетическая энергия
которой пропадает.
Если тягу можно считать
распределенной произвольно по площади всего
круга, определяемого диаметром винта
(бесконечно большое число лопастей),
а вращением в струе, отбрасываемой
винтом назад, пренебречь, то потеря,
обусловленная наличием этой струи, будет
наименьшей в том случае, если тяга
распределена по всей площааи круга, ометаемой винтом пропеллера.
В этом случае потеря, вызываемая струей, зависит ог коэфициента
нагрузки cs, Коэфициент полезного действия такого идеального
пропеллера (идеальный к. п. д.) равен (фиг. 98):
Скорость в струе за пропеллером больше скорости пропеллера
на ши равна
w V
В плоскости пропеллера скорость равна V-\--<r- = —.
Диаметр d' струи за пропеллером меньше диаметра d пропел-
лера (сжатие струи). Для cs < 1:
rf':d«l—(с,:8).
Действительный коэфициент полезного действия винта всегда
меньше, чем идеальный: tj = yj^, • y)ot ; yjot называют относительным
*) Под пропеллером разумеется некоторый аппарат, который отбрасывает воздух
В ограниченной струе* Лопастный винт естц следовательно, частный случай ндо

512 ^- !• ^ТД- * Механика. IV. Гидромеханика
к. п. д. Он дает представление о потерях рассматриваемого винта.
Для хороших винтов y)ot заключается между 0,85 и 0,93.
Для Кя^О, т. е. винта, работающего на месте или геликоптер-
ного, теория идеального пропеллера дает следующую величину
мощности:
Скорость за пропеллером:
w = У 8 Ф/(ртк&)>
скорость в плоскости пропеллера:
-£ = У2Ф/(Р1с*,.
На практике обычно дается не тяга, а мощность мотора [кгм/сек],
и соответственно, коэфициент мощности:
' Т с.
2 V 4
Для расчета винтов при заданной мощности составлены особые
диаграммы, позволяющие быстро получать искомые соотношения 1).
Влияние конечного числа лопастей и вращения струи 2).
(Приводимые далее результаты действительны только для
пропеллеров с небольшой нагрузкой или с небольшой поступью. Для
других пропеллеров они применимы лишь приближенно.)
Поток сзади винта с наименьшей потерей
энергии имеет такую форму, как если бы траектории,
описываемые каждой лопастью его (винтовые
поверхности), отвердели и передвигались назад
с определенной скоростью w.
Скорость этого передвижения равна:
w = V- cs: {2 . [1 — X»ln (1 + 1/Х2)]}.
Если w не слишком мало по сравнению с V, то точнее вместо А
вставить Ха ж X + (w: 2и).
На основании приведенной теоремы находится максимальный
теоретический коэфициент полезного действия винта с бесконечно
большим числом лопастей, но с принятием в расчет потерь
вследствие вращения в струе за винтом 3):
') H of f, Die Strahltheorie in ihrer praktischen Anwendung, ZFM, 1924, стр. 51.
*) По A. Betz'y, Schraubenpropeller mit geringstem Energieverlust, mit
einem Zusatz von Prandtl, Nachrichten v. d. Kgl. Ges. d. \Ussenschaften zu
G6ttingen, Math phys K1., 1919, стр. 193. Перевод: Бетц, О пропеллере с наименьшей
потерей мощности, Техн. возд. флота № 4 и № 5, 1927 г. См. также В е t z, Eine
Erweiterung der Schraubenstrahl-Theorie, ZFM, 1920, стр. 105.
") При помощи соответствующих приспособлении, устраиваемых до или сзади
винта, эти потери в значительной своей части могут быть избегнуты, в результате
чего уменьшается разность между *)теор ят\т.

Ридродинамиаа 513
\eop=(2-2)'(1+/1 + ^~S)»
где
S = 2ХХ2 In [1 + (1: h% h ^ I + (w: 2a).
Винт с конечным числом г лопастей при поступи X
и с коэфициентом нагрузки cs можно считать относительно идеаль*
ного коэфициента полезного действия т\{ или у]теор приближенно
равноценным винту с бесконечно большим числом лопастей, но
с немного большим коэфициентом нагрузки;
Поэтому в формулах для t\m и т)теор и вместо 6S следует
подставить с/.
При наивыгоднейшем распределении тяги по лопасти тяга на
единицу длины на расстоянии г от оси равна:
**&HpVw (m)2 ■ . arc cos Г *'[1 ~ (2' ' ^ ; 2X
dr ~ z P^^^-arccos*
Если скорость, обусловливаемая в по- V
токе самим крылом, у крыла в осевом на- \ *}-4--~~~-^ri&
правлении равна w', а в тангенциальном и'> \'\ ^ку' 1
то элемент лопасти, отстоящий от оси на \ /УуЗ !м»и*
расстоянии г, вместо абсолютных скоростей tjt^ ' --'г''1 .
К (скорость движения) игш(в тангенциаль- .^L—«* — ■*'
ном направлении) будет обладать относи- 5у
тзльно жидкости скоростями К-f- о/ в осевом
и г<о — и' в тангенциальном направлении. Для винта с
наименьшей потерей энергии вызванные скорости wr и и' равны:
, __ W (По)2 f__ W У'Г(Р
w ~~ 2 '№+(ЫР U ~"~2~* 1/2 + (гсо)2 •
Лопасть винта. Если вызванные скорости равны wr и «', то
на лопасть винта жидкость набегает со скоростью:
К0 = V(V+w')*+(ru>-u')2.
Направление этой скорости образует с плоскостью
вращения винта угол р (фиг. 99), причем tg (3 = (К+и>') • (го> — и')-
В этом месте элемент лопасти длиною rfr испытывает подъемную
силу г/Р = 0,5р« V02tcat перпендикулярную к К0, и сопротивление
dQ=edP, параллельное К0. Разложение в осевом и тангенциальном
направлениях дает:
d® = cat • (р : 2). К0 [(/-со — и') — е (К + w')] dr,
rfAfrf = ce/-(p:2)-K0[(K+w') + «(r«-ii')]rrfr.
33. Hutte, Справочник для инженеров, т. I.
Фиг. 99.

514 3\ t. Отд. 1 Механика. IV. Гидроме*айик&
Отсюда коэфициент полезного действия рассматриваемого
элемента лопасти:
_ Vd<b V гш — и' 1 — t tg p _
Ч- *<Ш, K+uK" ra> ' l+ectgp ""Y)Teop'Y)2
причем
V к гш _ u'
—-;—- =± ъ соответственно, -ту—.—; = ti _
V-\-W m V-\-Wf Па 1еоР
есть максимальный теоретический коэфициент полезного действия
(стр. 512), а (1—etgp):(l + bCtgP) = Y)2 —коэфициент полезного
действия лопасти (стр. 506).'
Вышенаписанные равенства для с1Ф (или для dMd) позволяют
вычислить cat для желательного распределения d$:dr
(наивыгоднейшее распределение, стр. 513) или для dMd:dr; ca зависит от
угла атаки а. Последний выбирается так, чтобы & (отнесенное к
одному только профильному сопротивлению —плоское обтекание) было*
наименьшим. Этим определяется величина t и положение (P-f-o)
профиля. При выборе профиля приходится руководствоваться не
только гидродинамическими соображениями, но и соображениями
прочности. Для водяных винтов, учитывая кавитацию, большей
частью можно допускать только небольшие значения са, и поэтому
для этих винтов выбирают профили, имеющие наивыгоднейший
коэфициент е при небольшом са (слабо вогнутые профили).
Для предварительного расчета вместо вышеприведенного
выражения для йФ можно пользоваться приближенным равенством
d<&^cat-(?:2)-(n»)*dr.
Основания практического расчета винтов. 6 нормальных
случаях винт подбирается на основании опытных исследований
(стр. 518). Для предварительного расчета диаметра и коэфициента
полезного действия достаточно применения теории идеального поо-
пеллера. При заданном шаге и заданной скорости коэфициент ч\т
увеличивается с увеличением диаметра. При заданном числе оборотов
относительный к. п. д. у\от уменьшается с увеличением диаметра
(расчет увеличения или уменьшения производится или на основании
опытных исследований, И1и по формуле для т)2. Последняя, впрочем,
не учитывает потерь вследствие вращения. Поэтому yjot меньше,
чем y)2). Если винт работает в возмущенном потоке (винт сзади
парохода), необходимо принимать во внимание условия измененного
потока, иначе могут произойти значительные потери *).
4. ветряные двигатели 2). Вводя те же предположения, что1 и
М Kempf, Dem Nachstrom angepasste Propeller, Werft, Reederei. Hafen,
1924, стр. 93.
*j #«tz, \\indenergie und ihre Ausnutzung durch Windmuhlen, GSttingen,

Гидродинамика
515
в случае теории идеального пропеллера, можно вывести следующие
теоремы.
Наибольшая теоретически достижимая мощность, которую может
развить ветряной двигатель с диаметром d при скорости ветра V, равна:
16
AL
J-V» —.
Мощность, достигаемая в действительности, — меньше: N=s
= Л^тах«С При прохождении воздуха через колесо скорость его
замедляется на К:3, следовательно, скорость его прохождения через
колесо равна 21ЛЗ.
f-Q't
f-*Q03t
f-0
Фиг. 100. Пластинки различной вогнутости.
Осевая тяга, соответствующая этим условиям, равна
Ф = 8/9-р/2- V*.&k/4.
Размеры лопастей подбираются так, чтобы приближенно
достигалась эта тяга (расчет ширины лопастей и установки тот же, что
и для винтов). Быстроходные ветряные двигатели имеют
небольшое число узких лопастей, тихоходные — большое число или же
широкие лопасти. Предел для быстроходных ветряных колес
1926. Vandenhoeck u. Ruprecht, Modellversuchsergebnisse: Ergebnisse der
Aerodynamischen Versuchsanstalt zu GOttlngen, III. Lfg.t стр,. 139, Munchen, 1927.
Oldenbourg, Versuche an ausgefuhrten Windmuhlea. La Cour-Kaufmann, Die
Windkraft und ihre £nwendungen, Leipzig 1905 и A report on the use of
windmills for the generation of electricity, Oxford, 1926, Clarendon Press.

516 Я. I. Отд. 1 Механика. 1Y. Гидромеханика
V:и«0,2. У нормальных четырехлопастных ветряков V:uttQA> и
тихоходных — V:uttl.
Фиг.
101. Профили одинаковой толщины, но разной вогнутости (Геттинген,
№ 448, 447, 446).
Фиг. 102 Профили одинаковой средней вогнутости, но разной толщины
(Геттниген, № 451, 450, 449).
5. Опытные данные. Крылья. На фиг. 100—103 изображена
.в виде кривой (поляра Лилиенталя) зависимость между са
(ординаты) и cw (абсциссы нанесены в 5-кратном масштабе по сравнению

Гидродинамика
517
с са) для различных крыльев. У точек кривой помечены углы, им
соответствующие. Кроме того, на этих диаграммах представлена
зависимость • коэфициента момента ст (абсциссы) от са (ординаты)
(центр моментов—фиг. 90). Все крылья имеют один и тот же
относительный размах (стр. 509) 1:5 (переход к другому размаху—стр. 509).
Индуктивное сопротивление, соответствующее этому
относительному размаху, нанесено в виде параболы. Профильное
сопротивление определяется расстоянием между параболой и полярой х).
Коэфициент подъемной силы может быть увеличен до са^2
путем устройства в крыле щели, идущей параллельно размаху
крыла, и увеличен еще выше — путем устройства нескольких щелей
Фиг. 103, Симметричные профили различной толщины (Геттинген, № 445, 409, 410).
(крылья Lachmann'a и Handley-Page) a). Аналогичное явление
происходит при отсасывании пограничного слоя з).
Вращающиеся тела тоже могут иметь подобно крыльям
подъемную силу, перпендикулярную к V (эффект4 Магнуса). Если
окружная скорость вращающегося вокруг своей оси цилиндра
равна и, то наибольшая подъемная сила будет при ы:Кя^З,5.
Величина са доходит до 10. Такое необычно большое значение
получается только при устройстве на концах цилиндра
выступающих дисков, вращающихся вместе с цилиндром (по РгапсШ'ю) 4).
Этим эффектом пользуются для приведения в движение
кораблей, не прибегая к помощи парусов5).
*) Фиг. 100 взята из статьи О. F б р р 1, ZFM, 1910, стр. 129; фиг. 101—103 из
Ergebnisse* der Aerodynamischen Versuchsanstalt zu Gottingen, 1. Lfg.
*) Ergebnisse der Aerodynamischen Versuchsanstalt, Gottingen, II Lief., стр. 55.
9) Schrenk, Tragfiugel mit Grenzschichtabsaugung, Lnftfahrtforschung, 2.Bd.,H.2,1928.
*) P r a n d 11, Magnuseffekt und Windkraftschiff. Naturwissenschaften, 1925,
стр. 93. Bet z, Der Magnuseffekt, die Grundla^e des Flettnerrotors, ZdVdl, 1925,
стр. 9. А с k e r e t. Das Rotorschiff und seine priysikalischen Grundlagen, 1925.
5)Flettner, Die Anwendung der Erkenntnisse der Aerodynamik zum Wind-
antrieb von Schiffen, Werft, Reederei, Hafen, 1924, стр. 657. T r a d t, Der Umbau
des Motorseglers „Buckau" zum Flettner-Rotors.hiff und seine Erprobungen, Werft.
Reederei, Hafen, 1925, стр. 160. Y • '

51S т- !• 0тЛ- 2- Механика. V. Аеромеханика,
Воздушные винты*). На фиг. 104 даны значения ks$ kd и vj
в зависимости от X (обозначения указаны на стр. 510) для трех
воздушных винтов с различным отношением И: d. Шаг И равен
высоте хода винтовой поверхности, в которой расположены хорды
поперечных сечений лопасти [Я = 2гк • tg (a -f- Р), фиг. 99].
Фиг. 1С4. Характеристики винтов различного шага.
V. Механика сжимаемых жидкостей
(Аэромеханика)
Составил проф. А. Б е т ц, Геттинген.
Перевод и дополнения под редакцией инж. В. Александрова.
Обозначения:
F — площадь, поперечное сечение протекаемой жидкости в М*%
R — газовая постоянная,
Т — абсолютная температура в °,
а — скорость звука в м(сек,
р — давление в кг\м*^
v — скорость потока в м\сек,
g— ускорение силы тяжести =9,81 м/еек\
Y — весовая плотность в кг\мгъ
х — Cp\cv — отношение удельных теплот при постоянном давлении и
постоянном объеме,
р = tig — массовая плотность.
О По Durand и Lesley, Experimental research on airpropellers,
доклад 141, National advisory committee for Aeronautics, 1922. В атом докладе
приведены многочисленные опытные результаты о воздушных винтах. Н. П. Л е с я и-
к о в а, Графики для расчета гребных винтов, М., 1932 О водяных винтах
многочисленные сведения можно найти у Schaffran, Systematische Propelleprerttichft
ScWffbau, Berlin, \Ш

Аэростатика
519
А. Аэростатика
а) Основные законы
Понятия об абсолютной температуре, идеальных газах, одно-
дву- и многоатомных газах, о газовой постоянной, — см. отдел
„Теплота", стр. 603.
У идеальных газов между давлением /?, плотностью (весовой)
Y1) и абсолютной температурой Т существует следующая
зависимость :
Р/(ТЛ = Л
Отсюда при постоянной температуре:
р/у = const (закон Мариотта);
при постоянном давлении:
Y Т = const (закон Г е й-Л ю с с а к а).
У капельных жидкостей в большинстве случаев
происходит лишь незначительное изменение плотности.
Изменение первоначальной плотности на каждый
фкг/см2 давления составляет у воды 44«10~6 (при 6600 кг/см2
30. Ю-6 ZdVdl, 1911,стр., 1309), ртутиЗ-Ю*"6, эфира 110-КГ6-
При сжатии упругой жидкости затрачивается некоторая работа,
которая проявляется в нагревании жидкости (см. отдел „Теплота").
Если снаружи не подводится и не отводится никакой теплоты
(адиабатическое изменение состояния), то
вследствие этого вместе с изменением плотности происходит
определенное изменение температуры; в этом случае для идеальных
газов существует следующая зависимость:
ti/t. = hlH - Wp2)1,x=мтуи*-».
Таблица 1. Некоторые функции %
1,,
X
1,67
1,5
1,4
1,3
U2
X
0,600
0,667
0,714
0,769
0,833
1
х —1
1,5
2
2,5
3,33
5
LziL/'x + i
1 \У ~2-
0,4
0,333
0,286
0,231
0,167
1,155
1,118
1,095
1,072
1,049
/KN
2,000
2,236
2,449
2,768
3,317
Ш*"п
0,487
0,512
0,528
0,546
0,564
Одноатомные газы
Двуатомные газы
(воздух)
Перегретый пар
*) В учении о теплоте вместо весовой плотности т нередко применяется удеяь
ный весовой объем v—1/т. Но ввиду того, чго в динамике газа буквой v во мно
гих случаях обозначается скорость, то эта величина, во избежание недоразумений,
здесь не применяется,

520
Т. I. Отд. 2. Механика. Y. Аэромеханика
Значение % для различных газов—см. отдел „Теплота*, таблица
на стр. 637. Для исследования реальных газов или неполного
адиабатического изменения состояния пользуются в большинстве
случаев приблизительно теми же уравнениями, лишь с несколько
иными значениями %.
Для паров, поведение которых сильно отличается от
поведения идеальных газов, вь.есто уравнений пользуются так называемыми
энтропийными таблицами (для водяного пара — см. отдел
„Теплота", стр. 678—679).
Ь) Статика атмосферы
Значок 0 соответствует значениям соответствующих величин над уровнем
моря, h — высота над уровнем моря в км.
1. Свободная атмосфера. Барометрическая формула.
Давление воздуха (барометрическое давление) над уровнем моря, в
среднем, равно 760 мм ртутного столба или 10 333 кг/м*. В зависимости
от метеорологических причин оно колеблется, примерно, от 720
до 800 мм ртутного столба, т. е. в пределах zt 5'%.
Барометрическая формула. Если не принимать в расчет
влияние влажности, определить которую практически в
большинстве случаев бывает затруднительно, то для средних географических
широт:
Л» - *i = (18,4 + 0,067;m) lg pjp2,
где h2—/^—разность высот в км двух точек, р2 и
рх—соответствующие давления воздуха и tm— средняя температура столба воздуха
между ними. Нагревание воздуха на 1° дает поэтому для
наблюденного соотношения давлений увеличение разности высот, примерно,
на 4°/Г0.
При адиабатическом расширении воздуха с высотой каждым
100 м высоты соответствует падение температуры, примерно, на 1°.
Меньшее падение температуры означает устойчивое, а большее —
неустойчивое состояние атмосферы.
Для целей воздухоплавания и авиации введена так называемая
стандартная атмосфера, которая дает определенный закон
изменения основных метеорологических элементов с высотой. К этой
атмосфере приводятся все испытания самолетов, а также, исходя
из нее, производится и аэродинамический расчет самолета.
Стандартная атмосфера введена во многих странах, а также и в СССР.
Исходные данные в ней следующие:
/?0= 10332 кг\м\ t0= 15° (Г0= 288°), Yo= U26 "г1м**
р0 = 0,125 кг сек2/м*;
падение температуры до высоты 11000 м выражается в б,5ф на
каждые 1000 м\ начиная с рысоты И 000 м температура постоянная
И равна — 56,5°,

Аэростатика 521
Изменение давления и плотности до высоты 11000 м
вычисляется по формуле Бьеркнесса:
PfPo = О - Л/44 300)5'256, р/Ро = (1 -Л/44 300)4'256;
выше 11000 м отношения соответствующих давлений и плотностей
равны между собой и могут быть выражены формулой Галлея:
Р/Ри = P/Pii = е - (* - пооо/6340.
Таблица 2. Стандартная атмосфера г)
Высота
в м
0
1000
1200
1400
1500
1600
1800
2000
2200
2400
2 500
2600
2800
3000
3500
4000
4500
5000
5500
6500
6 500
7000
7500
8000
9000
10 000
11000
12 000
13 000
14 000
15 000
Р\Ро
1,0000
0,8870 1
0,8656
0,8448
0,8345
0,8243
0,8042
0,7845
0,7652
0,7463
0,7370
0,7278
0,7097
0,6918
0,6490
0,6082
0,5696
0,5030
0,4983
0,4655
0,4344
0,4^51
0,3773
0,3512
О,-' 032
0,2606
0,2229
0,1903
0,1627
0,1389
0,1186
р в мм
рт. ст.
760,0
674,1
657,9
642,0
634,2
626,4
611,2
596,2
581,6
567,2
560,1
553,1
539,3
525,8
493,2
462,3
432,9
405,1
378,7
353,8
330,2
307.8
28б;8
266,9
230,5
198,2
169,4
144,6
123,7
105,6
90,1
t°
Ь 15,0
- 8,5
- 7,2
- 5,9
- 5,3
+ 4,6
+ 3,3
4- 2,0
. + 0,7
— 0,6
- 1,3
- 1,9
— 3,2
- 4,5
- 7,8
- 11,0
- 14,3
- 17,5
-20,8
- 24,0
- 27,3
-30,5
- 33,8
-37,0
- 43,5
— 50,0
-56,5
- 56,5
- 56,5
— 56,5
_ 56,5
Т
в кг\м*
1,2250
1.1120
1,0903
1,0690
1,0584
1,0480
1,0272
1,0068
0,9868
0,9670
0,9572
0.9475
0,9283
0,9094
0,8634
0,8193
0,7770
0,7363
0,6972
0,6598
0,6240
0,5896
0,5567
0,5252
0,4664
0,4127
0,3636
0,3104
0,2653
0,2266
0,1935
Р/Ро
1,0Г00
0,9074
0,8897
0,8723
0,8637
0,8551
0,8382
0,8216
0,8052
0,7891
0,7811
0,7732
0,7575
0,7420
0,7046
0,6686
0,6340
0,6008
0,5689
0,5384
0,5091
0,4810
0,4542
0,4285
0,3806
0,3667
0,2967
0,2533
0,2165
0,1849
0,1579
2. Подъемная сила и равновесие аэростата
Обозначения:
y — весовая плотность воздуха вблизи аэростата в кг/м3,
to — » » п на земле в кг\мг^
Y7 —• п п 'газа, наполняющего аэростат, в кг\м\
V — объем аэростата [«'],
G — вес аэростата, включая нагрузку, в кг.
*) Более подробную таблицу можно найти в „Материалах по
аэродинамическому расчету самолетов", Сборник под ред, В.Александрова, Трудл ЦАГИ, вып. 42,
№. 1929,

- 522
Т. I. Отд. 2. Механика. V. Аэромеханика
Подъемная сила аэростата Р в кг выражается как разность
между полной гидростатической подъемной силой газа Ку и весом
газа VY-
р = КТ - W = V (7 - т') = Vt (1—т7т) = ^То (1—77Т^ Т/То.
Таблица 3. Значения ?'
при /?0 = 760 мм рт. ст. и Г° = 273° (/в = 0°) для сухого воздуха (?„ = 1,293 кг\м*)
Газ I y' в кг\м% -у'/т Tod — т'/т) b *г/ля
Светильный газ I 0,67 до 0,45 0,52 до 0,35 0,62 до 0,84
Водород чистый 0,0896 0,0692 1,203
Водород неочищенный .... I 0,15 0,12 1,1
Нагретый воздух имеет ту же подъемную силу, при 370° как светильный газ и
при 1000° как водород.
1 и т/ с высотой изменяются приблизительно одинаково:
(77т *= const).
Равновесие аэростата наступает, когда Р = G. Если Р^> G,
то аэростат поднимается. Если аэростат выполнен (т. е. полностью
наполнен газом), то V постоянно, и подъем вверх должен
сопровождаться вытеканием газа через апендикс; т//т и вместе с этим Р
уменьшаются до тех пор, пока не наступит равновесие. Если
аэростат выполнен частично, то баллон надувается в том соотношении,
в каком уменьшается плотность газа, при этом измещение баллона
и подъемная его сила остаются постоянными до тех пор, пока
он не будет выполнен. Если P<^G, то аэростат опускается,
оболочка спадает, измещение остается постоянным; равновесия в этом
случае достигнуть нельзя. В мягких дирижаблях, для того чтобы
оболочка при спуске не спадала, а всегда была натянута, делаются
специальные воздушные мешки, так называемые баллонеты, в
которых поддерживается помощью вентилятора определенное давление;
при подъеме расширяющийся в оболочке газ вытесняет из
баллонетов воздух.
Повышение температуры воздуха на . 1° уменьшает высоту
равновесия аэростата, примерно, на 30 м. Повышение температуры
газа на 1° повышает высоту равновесия аэростата, примерно, на 20 м
для светильного газа, на 2 м для чистого и на 3,3 м для
неочищенного водорода. Уменьшение веса аэростата на 1°/д увеличивает
высоту равновесия на §0 м,

Дянамяк» rasa
523
В. Динамика газа *)
"Помимо обозначений, приведенных на стр. 518, вводятся следующие
обозначения :
ро» ?о» То» Р*» До — давление, температура, весовая плотность, массовая
плотность и скорость звука в покоящемся газе (давление в котле, температура котла
и пр.);
р'', 7Л т', рг, а' — соответствующие величины для случая движения газа со
скоростью звука (критическое состояние).
Приводимые формулы, вообще говоря, действительны лишь для идеальных
газов (воздуха). Если они действительны для любых газов, они печатаются жирным
шрифтом.
а) Движение газов по трубам переменного сечения и общие
законы
1. Движение без трения. Уравнение неразрывности
(стр. 452) для переменной плотности может быть написано в
следующем виде:
dp . д(ри) . d(pv) , дСрхю) п до . .. , ч Л
-dt+te+ъ+йГ0' или -ar+d,v<"> = 0-
Скорость звука в каком-либо газе равна:
Таблица скорости звука в различной среде приведена на стр. 564.
Уравнение Бернулли (стр. 453) для переменной плотности может
быть написано в следующем виде:
р
2/2 -f Г -^ + gh = const.
Член gh учитывается лишь при явлениях метеорологического
характера, в других случаях им можно пренебречь. Так как
превращение давления в скорость в большинстве случаев происходит
очень быстро, то этот процесс можно считать почти всегда
адиабатическим.
Тогда для идеальных газов 2) действительна следующая
зависимость:
'j P г a n d 11, Stroraende Bewegung der Gase und Dempfe, Enzykl. d. math.
Wissensch., Bd. V, Leipzig, Teubner, Prindtl, Gasbewegung, Handwdrterbuch d.
Naturwissenschaften, Bd. 4, стр. 558, Jena 1913, Fischer. S с h u 1 e, Techn.
Thermodynamic Berlin, 1923, Springer. S to do la, Dampf- und Gasturbinen, Berlin, 1924,
Springer. А с k e r e t, Gasdynamik, Handb. d. Physik, Bd. 7, стр. 288, Berlin, 1927,
Springer. Busemann, Gasdynamik, Handb. d. Eip.-Physik, Bd. IV, Leipzig, 1930.
Akad. Verlagsges. В. Александров, Техническая гидродинамика» Москва, 1932.
*) Приближенное исследование реальных газов и неполного адиабатического
изменения путем подбора соответствующего значения * приведено на стр. 519. При
быстром расширении насыщенных паров нормальное сгущение в большинстве
случаев происходит не сразу, а сначала имеет место падение температуры, в
особенности, пока v < af (Stodola). Поэтому пары по своему поведению в большинстве
случаев вплоть до состояния насыщения приближаются к. поведению идеальных 1а.зо*

524
Т. I. Отд. 2. Механика. V. Аэромеханика
х-1
*— 1 Ро
Ь-Ш'1
Введя сюда скорость звука а0 в покоящемся газе (или а' при
критическом состоянии, или а при скорости, v) получаем:
х-1
(PlPo) * =(T/To)x"1=(p/Po)x"1-7'/7,o«l--!^-L(^fl)2 =
-1 ^
|(t;/a02 = l:(l + ^(^)2).
х + 1
у. — 1 #2 _ аг
Для 1//д0<0,5 приближенно получаем:
7/То = Р/Ро~1— ^-(^/«o)2.
Количество газа, протекающее в 1 сек. через трубу переменного
сечения, будет:
pFv = const.
Ввиду существования зависимости между р и v согласно
предыдущим уравнениям существует также соответствующая
зависимость между р и F и между v и F. При этом с возрастанием
скорости v соответствующее поперечное сечение уменьшается, и
достигает наименьшей величины при v = я'. При дальнейшем
возрастании скорости уменьшение плотности р больше, чем
увеличение скорости, вследствие чего поперечное сечение должно снова
расшириться (сопло Л а в а л я). На фиг. 1 (стр. 526) дана
зависимость между различными величинами.
Критическая скорость а', имеющая место в наиболее
узком поперечном сечении, есть скорость звука в газе при
имеющейся в этом месте температуре. Так как температура с
возрастанием скорости или с падением давления понижается, то эта
критическая скорость а' меньше скорости звука а0 покоящегося газа и
равна:
Отношение давления р' в наиболее узком месте к давлению
покоящегося^ газа р0 (критическое отношение
давлений) равно:
/ 2 \х/(х—*)
р'/р0 = ( j = 0,528 (для х = 1,4; для других значений г.—см.
табл. 1).

Динамика rasa 525
При расширении газа до давления, равного нулю, в качестве
предельной скорости будем иметь ;
^шах- У *-Г То*
Далее, получаем следующее соотношение.'
(для х=1,4; для других значений * — см. табл. 1).
Скорость звука в газе, движущемся со Скоростью v,
будет:
а = W-i/2(y..-l)/2, *' = /2/(у.+ 1). T/"a2+t;2(y.—1)/2.
2. Прямой скачок уплотнения. При данном количестве
жидкости, протекающей в любом поперечном сечении, за исключением
наименьшего, возможно наличие двух скоростей: одной скорости
порядка ниже звуковой, другой — порядка выше звуковой.
Вследствие этого поток, движущийся со сверхзвуковой скоростью,
может перейти с так называемым скачком уплотнения
в поток, имеющий скорость ниже скорости звука, не нарушая
уравнения неразрывности. При этом происходит внезапное
повышение плотности и температуры. Этот процесс связан с потерей
энергии (потеря на скачок, стр. 474). Обозначив индексом 1 величины
перед скачком уплотнения, индексом 2 — величины после скачка,
получим:
vtv2 = a'2, HlH = (fi/*')2 = (a'Ab)2. P2 - Pi = (h - Pi)a'2-
В то время как для получения скорости v1 при давлении рх
требуется в котле давление
Ро = Pi [1 - (fi/*o)2 (v. - 1)/2] - х/(х ~!),
для непосредственного получения скорости v2 требуется меньшее
давление р0* (соответствующая плотность будет р0*).
Соответственно с этим эффективность газа вследствие скачка
уплотнения уменьшается таким же образом, как если бы газ при
давлении р0 был доведен путем дросселирования до давления р0*
(см. отд. „Теплота", стр. 712).
Эта потеря давления (фиг. 1) находится из уравнения:
Ро* - f М2 / * -(Vila'f (*- *)/(* + 1)\1/(х ~ l) 9f
Ро \a'J U — (aVVl)2(x_ 1)/(v. + 1 >; - Ро •
Увеличение энтропии на каждый кг газа, имеющее место пои
скачке уплотнения, равно:
Si - st = — AR In (/?o*/Po)-

526 Т. I. Отд. 2. Механика. V. Аэромеханика
Примечание. Если при скорости порядка ниже звуковой, v < a\ поставить
i а садок (трубку Пито, см. отдел VI „ Техника измерения") огверстием против
направления движения газового потока, то внутри этой трубки возникает давление
р9, которое, следовательно, может быть непосредственно измерено. При
сверхзвуковом скорости, однако, перед трубкой Пито сначала происходит скачок уплотнения,
поэтому наступает давление не ptt а несколько меньшеер9*.
Фиг. 1.
На диаграмме фиг. 1 отрезком кривой В—С представлена
зависимость между скоростью истечения и противодавлением
в конце сопла Лаваля для случая, когда отношение наименьшего
сечения к сечению у выхода имеет как раз теоретическую величину
(кривая F'/F). В этом случае газ без возмущений вытекает из сопла
(за исключением небольших возмущений, получающихся вследствие
того, что выходное отверстие сопла часто имеет не
цилиндрическую, а коническую форму, так что внешние линии тока при
выходе испытывают незначительное искривление). •
Если у данного сопла Лаваля противодавление меньше или
несколько больше, чем это соответствует отношению сечений F'/F,
ТО в выходящей струе образуются колебания.(количественное ис-

Динамика газа
527
следование того же вопроса при плоском потоке—см. стр. 534).
Средняя скорость истечения (т. е. та, которая наступила бы при
затухании колебаний, если бы у границы струи одновременно
не получались потери на смешение) в этих случаях1) представлена
на фиг. 1 для различных отношений сечений F'jF в виде прямых
(например E—G—H), касающихся кривой ВС в точке
(например О), принадлежащей к данному сечению. Чтобы не затенять
диаграмму, большинство этих прямых вычерчены лишь частично,
полностью представлены лишь прямые для /7///7=1 (сопло без
расширения) и для F'/F=Qfi (прямая Е—G—M). Если
противодавление лежит выше верхней крайней точки (И) прямой,
соответствующей данному сечению у выхода, то скачок уплотнения
происходит внутри сопла. Для этого случая зависимость между
давлением и скоростью для данных сопел (отношение сечений F'jF)
представлена помощью примыкающих к прямым кривых
(например H—I).
Внезапное повышение давления при скачке уплотнения вызывает часто срыв
пограничного слоя (стр. 488). но вследствие связанного с этим изменения
направления потока скачок уплотнения становится косым по отношению к направлению
потока (косой скачок уплотнения, стр. 533). В этом случае внутри сопла возникают
аналогичные колебания, какие имеют место в случае, приведенном на фиг. 14. Если
эти колебания до выходного отверстия сопла снова погашаются настолько, что
вытекающий газовый поток равномерно заполняет собой сечение у выхода, то при
данном конечном давлении скорость истечения не зависит от рода скачка
уплотнения, поэтому так же при косых скачках уплотнения эта скорость внутри сопла
имеет ту же величину, что и при прямых скачках уплотнения. Вследствие этого
кривые Н — Л несмотря на изменение процесса, сохраняют свое значение. Все
прочие потери, имеющие место в расширенной части сопла, в особенности (например,
при превращении скорости в давление) после скачка уплотнения, также не влияют
на результат (они уравновешиваются соответствующим ослаблением скачка
уплотнения). Влияние имеют только потери в узкой части сопла.
Если вытекающая струя неравномерно заполняет сечение сопла, то в сопле
получается та же картина, что и в сопле с меньшим сечением у выхода.
Пример. Воздух при р0 = 5 am и / = 15 е (Т = 288°, а0 = 340 м\сек, а'=*
= 310 м\сек) вытекает из сопла Лаватя, у которого конечное сечение F = Iе/, F*% т. е.
F'jF— 0,6. При конечном давлении /> = 0,13 р0= 0,65 am (точка G)'газ' без
возмущений вытекает из сопла. Скорость истечения газа v = 1.625а' = 504 м\сек.
Если противодавление />=0,25 am, т. е. /?//*> = 0,05, то на линии G—E средняя
скорость истечения будет равна v — 1,80а' = 588 м\сек. Если нельзя получить
идеального состояния протекания на кривой BGС, например при колеблющихся
противодавлениях, то следует стремиться получить таковое на прямой G—Я с малым
противодавлением *), однако, незначительные избыточные давления особенно не
сказываются на кривой G—H (только для этого случая сопло получаегся слишком
длинным, и соответственно с этим появляются значительные потери на трение).
Если противодавление р — 2,0 am, т. е. р\р0 = 0.4, то на линии G—H средняя
скорость истечения будет v = 1,01л/ = 313 м\сек. Если противодавление р » 4 am,
т. е. р/ро = 0,8, то скачок уплотнения происходит перед выходом воздуха из
сопла. Конечная скорость на криъэй #—/ будет ^ = 0,46а' =143 м\сек.
При противодавлении в 4,75 am (pjp0z=0,%) ни в одном месте сопла не может
быть достигнута скорость, большая скорости звука. Конечная скорость на кривой
А—I будет
v = 0,29а' = 90 м/сек.
•)Zerkowitz, Dingier, 1914, стр. 639.
»> Z е г к о w i t z, Uber die Stromung in it Oberschallgeschwindigkeit, Inasbrucker
Vortrige, Berlin, 1924, Springer,

528 *• I. б*Д. S. Механика. "V. Аэромеханика
Во всех случаях, в которых внутри сопла может быть достиг*
нута или превзойдена скорость звука, вес газа,
протекающего в 1 секунду, будет:
(7//То=— из фиг. 1, стр. 526).
Ро
У обыкновенных сопел (без последующего расширений после
Наиболее узкого места) сечение у выхода является одновременно
наименьшим сечением, т. е. F//F = 1. При противодавлении
Р<Р' (р'/Ро есть критическое отношение давлений) в конце
сопла имеет место скорость, равная скорости звука.
Зависимость между давлением и средней скоростью после вы*
хода газа из сопла дана прямой В—Е0 (фиг. 1) (колебания в
выходящей струе). При противодавлении р>// зависимость между
давлением и скоростью представлена кривой А—В (фиг. 1).
Вследствие потери энергии в сопле вышеприведенные теоретические
значения для скоростей истечения следует помножать на некоторый поправочный
коэфИм,иент <р, а значения для веса газа, протекающего в единицу времени, — на
коэфициент (х, причем оба коэфициента, вообще говоря, немного меньше единицы.
О величине этих значений и практических формулах истечения—см. отдел „Теплота",
стр. 700.
Ь) Плоское течение при скоростях порядка ниже звуковой.
Правило Прандтля *)
До тех пор, пока скорость установившегося потока ниже
скорости звука, характер потока в качественном отношении тот же,
что и у несжимаемых жидкостей (при сверхзвуковой скорости весь
характер потока значительно изменяется). Разница только в том,
что с возрастанием скорости уменьшается плотность и что
вследствие этого для сжимаемой жидкости в местах большей скорости
требуется относительно большее сечение (большие расстояния между
линиями тока!), чем для несжимаемой.
Так как на выпуклой стороне поверхности скорость возрастает,
а на вогнутой — уменьшается, то сжимаемость жидкости оказывает
влияние в смысле усиления искривления линий тока. Для плавных
контуров, у которых наклон элементов поверхности по отношению
к невозмущенному потоку незначителен, это влияние при плоском
потоке в количественном отношении может быть выражено с
помощью правила Прандтля (действительно, примерно, для
»/а<0,8):
„При обтекании плоского тела сжимаемой жидкостью,
движущейся со скоростью v <^ а\ давление, действующее на тело, будет
равно давлению, испытываемому соответствующим телом в
несжимаемой жидкости, при одинаковой скорости и плотности, если
J) А с k e r e t, Uber LuftkrSfte bei sehr grossen Gesc'iwindigkeiten, insbesondere
bei ebenen Stromungen, Helvetica physica Acta, I., стр. 301.

-Дитеалглка газа 529
ординатыху -L v тела в сжимаемой жидкости относятся, к
соответствующим ординатам .у' тела в несжимаемой жидкости, как
Вследствие одинакового распределения давления условия для
срыва потока (стр. 488) также в обоих случаях приблизительно
одинаковы*.
Пршмер. Плоская пластинка с малым углом атаки а в сжимаемой жидкости
имеет, примерно, одинаковые коэфициенты подъемной силы (стр. 515), что и в
несжимаемой жидкости при угле атаки а' = а /^1 — (v/а)*. Чтобы профили крыльев
в сжимаемой жидкости имели приблизительно те же качества, что и в несжимаемой,
необходимо уменьшить толщину профиля, стрелку прогиба и угол атаки в отношении
V 1- '(via/.
Опытные данные 1)—фиг. 2.
Фиг. 2. Коэфициенты подъемной силы и лобового сопротивления крыльев
различной толщины при скорости, приближающейся по своей величине к ско- -
рости звука. Числа! у кривых обозначают отношение vja скорости потока
к скорости звука, числа, помеченные градусами, обозначают углы атаки.
Относительно са, cw и кривой индуктивного сопротивления—см. стр. 515.
с) Движение сжимаемой жидкости со сверхзвуковой скоростью
1. Особенности потока, движущегося со сверхзвуковой
скоростью. Возмущения (с незначительным изменением плотности)
распространяются в жидкости лишь со скоростью звука. При обтекании
препятствия Р жидкостью со сверхзвуковой скоростью (v^>af)
(фиг. 3) влияние его может распространяться лишь внутри конуса
(трехразмерный поток) или угла (двухразмерный поток), равного 2а,
причем
sin а = a/v.
') В г i g g s, Hall, D г у d e n, Aerodynamic characteristics of airfoils at high
speeds, Rep. 207, 1925. Перевод: Аэродинамические характеристики дужек при
больших скоро :тях, Технич. заметки ЦАГИ, № 3, 1932.

530
Т |. Отд 1 Механик*. V Автомеханика
За пределами этой области не происходит никаких возмущений.
Линии М (фиг. 3), ограничивающие область возмущения, называются
линиями Маха, а угол о, образованный этими линиями с
линиями тока, называется углом Маха.
Эти возмущения, образующиеся вдоль линий Маха, являются особенностью
потока, движущегося со сверхзвуковой скоростью. Для исследования потока имеет
преимущество то обстоятельство, что отдельные области, ограниченные линиями
Маха, могут быть исследованы независимо от окружающей их среды, и весь поток
может быть построен путем надлежащего наложения таких отдельных областей
(фиг. 12}.
2. Опытные данные о сопротивлении снарядов *). При
сверхзвуковой скорости помимо потерь энергии на поверхностное
трение и образование вихрей получаются
еще потери вследствие возникновения
звуковой волны (скачок уплотнения). Эти
последние потери зависят в сильной степени
от формы головной части снаряда
(остроконечная форма имеет преимущество перед
круглой). Коэфициент сопротивления вблизи
скорости звука, вообще говоря, достигает
Фиг. з. своей максимальной величины. Однако при
очень плохих формах головной части
коэфициент сопротивления с
возрастанием скорости продолжает медленно
возрастать и дальше (фиг. 4, обозначение
для с—см. стр. 516).
3. Плоский газовый поток.
Обтекание газовым потоком
стенки, внезапно обрывающейся.
Решение по Прандтль-Майеру2).
Пусть газ, движущийся со сверх-
o,s ю г,* г,о г,*Где звуковой скоростью, обтекает стенку,
Фиг. 4. коэфициенты сопроти- внезапно обрывающуюся в некоторой
вления снаряда с остроконечной точке. Предположим, что в области за
и мкругленно^формой голов- стенкой имеется полное разрежение
р = 0 (фиг. 5). Пройдя стенку, газовый
поток под влиянием перепада давления испытывает некоторое
отклонение и, кроме того, вследствие одновременного расширения
до давления, равного нулю, приобретает предельную скорость
vmax ж=л а' V& + 1)/(* —1У По аналогии можно предположить, что
по любому лучу, проведенному через край стенки, во всех
направлениях от края имеется одинаковое состояние газа. Лучи,
проведенные через край стенки, представляют собой линии Мала; по
') К. В е с к е г und С г a n z, Artiller. Monatshefte, 1912, №69 и 71; С г a n x
Lehrbuch der Ballistik, 1 Bd., Berlin 19 5, Springer.
*) Ih. Meyer, Ober zweidimensionale bewegungsvorg2nge In eiaem Gas, das
«ftit Obmchailgeschwind'gkei; stromt. Mitt Furschungsarb- VDI, H. 62.

Дина кика гаад
531
этому для угла ф, образованного направление^ потока с
перпендикуляром, проведенным к лучу (^ *= 90° — а), получаем:
ХО 1,2 7.9 16 1.8 2,0 2.8 £« 2.6 2,8
Фиг. б. Зависимость между величинами, характеризующими состоя-
яие газа, и углом отклонения при обтекании стенки для воздуха
(х5? 1,4) и перегретого пара (х = 1,3).
где v обозначает скорость на данном луче. Если луч образует с пер*
пендикуляром к первоначальному направлению потока (к
направлению стенки) угол «р, то угол отклонения его от своего
первоначального направления будет:

532 Т. I. Отд. 8. Механика. "V: "Аэромеханика
Между ср и ф существует следующая зависимость:
Так как отношение давления р на луче к давлению р0 в
покоящемся газе или к давлению р/ в газе, двигающемся со скоростью
звука, определяется имеющейся в данном месте скоростью (фиг. 1,
отрезок кривой В—С), то величины р/р', v/af, <p, ф, v могут быть
выражены в каждом отдельном случае в зависимости друг от друга
(фиг. 6).
Так как при сверхзвуковой скорости процессы, происходящие
в каком-либо месте, не зависят от- последующих в этом- месте
процессов, то из потока, изображенного на фиг. 5 (основное решение),
можно получить поток, обтекающий угол, ограниченный
вышеуказанной стенкой и лучом, проведенным через край стенки.
Фиг. 7. Фиг. 8. V. St— скачок уплотнения
Таким образом задача обтекания любого угла фиг. 7 п,р и
данной скорости потока vx сводится к следующему. Скорости' vx соответствует
на диаграмме фиг. 6 определенная точка v^\ar на оси абсцисс. Соответствующая
величина кривой v дает тот угол отклонения vlf который, если исходить-из
скорости звука, должен существовать для того, чтобы была достигйута скорость vv
Кроме того, другие кривые дают угол 4ч (дополнительный к углу (Маха), вне
которого возникают возмущения потока, и наконец, угол «lt характеризующий
соответствующий луч на фиг. 5. Затем находят дальнейшее отклонение" на угол 8, т. е., от
v, на v-{ = v,-J-S. После этого соответствующие остальные величины: w/a', ф«
и «8 следует брать из диаграммы на основании известной величины vs. Они дают
скорость потока vt после отклонения, угол Маха, равный 90° — ф8,"за пределом
которого кончается переходная область (отсюда снова имеется постоянная
скорость vt), и угол ?5» характеризующий соответствующий луч на фиг. 5. Поток
в переходной области между обеими линиями Маха Afi и Ж2 тождественен потоку,
заключенному в секторе между ф, и ?, на фиг. 5 (пример на стр. 633).
Обтекание газовым потоком кривой поверхности
(фиг. 8). Кривую поверхность можно представить себе как
состоящую из последовательности весьма малых граней я применить
к ней вышеописанный метод. При этом состояние в точке Р
зависит от угла отклонения v = v1-|-o, где vlf так же как и в случае
обыкновенного угла, определяется из скорости потока vlt а Ь
обозначает угол, образованный касательной, проведенной к
поверхности через точку Р, с направлением потока. Все прочие
величины, относящиеся к точке Я и к линии Маха, проведенной
через эту точку, следует брать из диаграммы для угла отклонения v.
Вместо скорости потока vx могут быть также даны для какого-либо

Динамита таеа
533
участка какие-либо другие величины, данные в диаграмме; отсюда
вышеуказанным способом может быть всегда определен' весь поток.
Обтекание потоком внутреннего угла (фиг. 9).
В данном случае v2<Cvv Пусть линия Маха М2, принадлежащая
к t/2, будет расположена
перед линией Мъ
принадлежащей к vv Таким образом
в данном случае не может
образоваться переходная
область, как в случае
обтекания внешнего угла. Вместо
этого на поверхности
прерывности, заключенной
между обеими линиями Маха,
происходит косой скачок
уплотнения. Для него
действительны условия прямого
скачка уплотнения, если
принять во внимание, что компоненты скорости перпендикулярны
к поверхности скачка уплотнения. Компоненты скорости,
параллельные поверхности скачка уплотнения, остаются без изменения.
Зависимость между начальной и конечной скоростью (vx и vj, углом отклонения 8
Рп*
и потерей на дросселирование —• (пунктир) при косом скачке уплотнения для воз-
Ро
духа (х = 1,4) дана на фиг. 10 *).
Пример, vja' — 1,97; vja = 3; 8 = 15"; v^af = 1,7; — = 0,9. Поверхность
Pa '
скачка уплотнения _1_ /W
Фиг. 10.
V.St— скачок уплотнен.
Фиг. 11.
V.St-
*v5 %;
-скачок уплотнен.
Фиг. 12.
"vS^ Обтекание пото-
^vkom вогнутой
поверхности (фиг. . 11).
В точке пересечения линий
Маха, идущих от вогнутой
поверхности, происходит
скачок уплотнения. От
последнего отходят новые возмущения, которые внутри угла Маха
распространяются в направлении потока. Если этот скачок
уплотнения лежит достаточно далеко от вогнутой поверхности и если
последняя не слишком длинна, то возмущения, исходящие от скачка
уплотнения, не встречают больше эту поверхность. В данном
случае давления и скорости определяются аналогичным способом,
как и для выпуклых поверхностей.
Прнмер. Плоская пластинка *) (фиг. 12) наклонена к направлению
потока под углом атаки а = 5°. Давление воздуха р = 1гат = 104 кг\мг, t воздуха =
— 15° (Г = 188°, а — 340 м\сек, р = 0,128 кг сек-\м 4), скорость потока v = 480 мкек.
*)Busemann. Gasdynamik, Handbuch der Exp.-Physik. Bd. IV, Leipzig, 1930
*) Изогнутые пласгинки: А с k e r e t, Luftkrafte auf Flugel, die mit grossereral*,
Schallgeschwindigkeit bewegt werden. ZFM. 1925, H. 16, crp. 72.

534
Т» I. Отд. 2. Механика. V. Аэромехат*ка
Тогда v\a ?= 1,4; v\af «= 1,3; в' « 368 м\сек (из фиг. 1 или из формулы стр. 525V,
далее, для v/a* = 1,3 из диаграммы фиг. 6 получаем:
р\р' =0,585, р' = 1,70 р = 1,70-10* кг\м*.
Со стороны пониженного давления (сверху) имеем: *0=х9* (из
фиг. 6), v a= v() 4-« = 9* -f 5е = 14"*, откуда из фиг. 6 получаем:
vs\a' = 1,4; t>,=368-l,4 = 516м\сек\ ps\p' = 0,47,рg= 1,70-0,47 р = 0,80-10* kzIj*».
Со стороны повышенного давления (снизу) имеем: косой
скачок уплотнения с углом отклонения 8 = о = 5°, т»/"= 1,4 представлен на фиг. 10
в виде кривой (вторая снизу). Для 8 = 5° из фиг. 10 получаем vd\a = 1,15. pf\pb
(на фиг. 10 пунктирные кривые) > 0,99, т. е. может быть принято ^ 1 (потерей на
образование скачка уплотнения можно пренебречь). Для vd/af — 1,15 из диаграммы
фиг. 6 получим: рд\р' = 0,78 (если бы р0*/Ро значительно отличалось от единицы,
то, для того чтобы получить p^lp', результат следовало бы помножить на величину
Р«*Ы- Pd= 0.78/»' = 0,78-1,70/> = 1,33-10* кг,'м*.
Если Р обозначает площадь пластинки, то разница между давлениями рд—р^
даст силу p=F (Prf—Pj)» перпендикулярную к плоскости пластинки, откуда подъем
ная сила будет Р cos «, лобовое сопротивление Р sin е. Путем деления этих
величин на p/2-z'2/7 определяются и коэфициенты подъемной силы и лобового
сопротивления :
ca={pd-p5) сое 5в/(р/2) т>? = (1,33 - 0,80).10*.0,996/(0,064.480«) - 0,36,
cw = ca-tg 5° = 0.36-0,0875 — 0,0315.
Коэфициент • « сw\ca = tg 5° = 0,Г875.
В значении величины cw (и соответственно, с этим в значении величины t)
содержатся лишь потери вследствие явлений, присущих сверхзвуковой скорости,
кроме того, имеет место еще потеря на поверхностное трение.
Примечание. Для малых углов атаки а при сверхзвуковой скорости,
независимо от х будем иметь:
ce = WV («/aP—1, сш = Аа>//(«/а)«—1, • = «.
Явления отражения. Если у выходного отверстия сопла
Лаваля внешнее давление меньше, чем давление в сопле, то от
Фиг. 13 и 14. Истечение из сопла /"аваля в пространство с
давлением, меньшим (фиг. 13) или большим (фиг. 14), чем в сопле. (V. Sf—
скачок уплотнения).
краев насадки отходят волны разрежения, испытывающие некоторое
отклонение. Образующиеся при этом линии Маха (звуковые волны)
пересекаются с соответствующими волнами, отходящими от
противолежащего края. Встретив на пути своего распространения
свободные границы газовой струи, они отражаются от этих границ
(падение давления переходит в возрастание давления.) Вследствие
этого образуется поток, изображенный на фиг. 13. (В областях,

Гидравлический удар 535
обозначенных pj, pa,/>2, давление и скорость постоянны. Переход
из одного состояния в другое происходит в промежуточных
областях, имеющих форму сектора.) В точке В начинается
повторение того же процесса, который, однако, вследствие смещения у
границы постепенно ослабляется.
Если внединее давление больше, чем давление в сопле, но не
настолько велико, чтобы внутри сопла произошел скачок уплотнения
(стр. 527), то от краев сопла будут отходить косые скачки
уплотнения (фиг. 14, обозначенные V. St). В дальнейшем поток
испытывает те же изменения, что и на фиг. 13, только вместо двух первых
непрерывных областей разрежения получаются прерывные скачки
уплотнения. Однако волны разрежения, образующиеся вледствие
отражения этих скачков уплотнения, распространяются расходящимся
пучком, вследствие чего последующие сгущения и разрежения
происходят без нарушения непрерывности. В сечении В начинается
повторение процесса. (О средней скорости истечения—см. стр. 527 и фиг. 1).
У насадков с овальным сечением выхода эти
явления отражения становятся несимметричными и вызывают
отклонение струи и одновременно более сильное в ней разрежение I).
С. Гидравлический удар2)
Помимо обозначений, указанных на стр. 618, вводятся следующие обозначения?
а — скорость распространения волн, возбужденных изменением давления в м\секу
v — скорость течения в Mjce/c,
*~ модуль упругости жидкости в кг/м*,
Е— модуль упругости материала трубы в кг/м*,
d — диаметр трубы в м,
6 — толщина стенки трубы в м,
L — длина трубы от вентиля до входного или выходного отверстия в м,
t — время в сек.,
р — давление в кг\мР.
Если в трубе, по которой протекает жидкость, уменьшить
скорость протекания путем перестановки вентильного клапана, то перед
клапаном происходит повышение давления, позади него —
уменьшение давления. Волна сгущения, вызываемая при каждом изменении
положения вентиля, распространяется по трубе со скоростью а, для
которой действительно следующее уравнение:
l/rf«p(l/t+ */£*).
Для железных труб, по которым протекает вода, скорость
распространения волны, в среднем, будет:
а = 1000 м/сек.
') S t о d о 1 a, Dampf- und Gasturblnen, 6. Aufl., стр. 112. Theoretlsche Berechnting
л Prandtl-Busemann, Naherungsverfahren zur zeichneris hen ErraitJung von
ebenen Str5mumgen ir.it Oberschallgeschwindigkeit, Zurich, 19."9, Urell Fiissli.
*) Allievi-Dubs-Bataillard, Allgemeine iheurie fiber die ver&nderlicbe
Bewegung des Wassers in Leitungen, Berlin. 1909, Springer.
О гидравлическом ударе см. также изложение теории Н. Жуковского — Л. Лей-
б е н з о н, Руководство по нефтепромысловой механике. Часть 1, Гидравлика, ГНГИ,
1931. стр. 29&

536 т- *• °ТД- 2. Механика. V. Аэро'мехаапка
1. Продолжительность закрытия вентиля (сек.) I < 2£/а. Во
время закрытия вентиля возрастание давления перед ним, (или иа:-
дение давления позади него) при уменьшений скорости протекания
от t/j до v2 будет:
Вследствие увеличения разности давлений перед .вентилем и
позади него через вентиль протекает большее количество жидкости,
чем при установившемся потоке. Пусть у выходного отверстия
трубы установлен вентильный1 клапан, коэфициент сопротивления
которого, отнесенный к сечению трубы (стр. 473), обозначим через Ct;
тогда между' избыточным давлением рх перед клапаном и скоростью
потока vx в трубе; при установившемся потоке существует
следующая зависимость:
Если теперь коэфициент сопротивления изменится так/ что он
в определенный момент времени будет иметь величину С, то
избыточное давление р перед вентилем (по сравнению с постоянным
давлением позади него) находится из следующего уравнениям .
Р2— 2р [pt + pavt - pa*/l] + (px+ pw,)» = 0.
Во всех местах трубы, отстоящих от начала на расстоянии
at
1/^>-к~у имеет место одинаковое повышение или падение давле-
ния р —pv
2. Продолжительность закрытия вентиля t>2L/a. В начале
трубы происходит отражение волны сгущения. Отраженная волна
разрежения пробегает через трубу до ее выходного отверстия в
промежуток времени t0 = 2L/a; поэтому давление, найденное по
формулам, приведенным в п. 1, следует уменьшить на величину
избыточного давления, имевшего место в момент t0 (или увеличить
на величину давления ниже атмосферного). Явления отражения
могут повторяться несколько раз, если вентиль остается достаточно
долгое время открытым.
Частичные отражения происходят, кроме того, во всех тех
местах, где изменяются диаметр трубы.или толщина стенки трубы
(например на всех фланцах или других соединениях). Вследствие
этого давление с течением времени выравнивается. Если принять
время, потребное на закрывание вентиля, f^> 2L/at то упругими
процессами можно пренебречь. Тогда повышение давления у
выходного отверстия трубы, согласно уравнению Бернулли (стр. 453),
для трубы постоянного диаметра длиной L будет:
Р-А> = (р/2) (vf-v*)+PLdv/dt.'

Гидравлический удар
537
Опасным является: 1) повышение давления в подводящем трубопроводе при
закрывании вентиля, 2) падение давления в подходящем трубопроводе при
открывании вентиля, в особенности в тех местах, которые, хотя и отстоят or входного
отверстия трубы достаточно далеко, так что U > at/2, однако, лежат сравнительно
высоко над вентилем, ввиду чего рх само по себе уже мало (в данном случае имеется
опасность, что трубы могут быть сдавлены); 3) разрежение позади вентиля 'чвсасы-
вающая труба турбины) при закрывании последней: водяной столб открывается, и
при этом р может понизиться почти до абсолютного вакуума. При отбрасывании
жидкости назад получаются сильные удары (см. 3, .Удар о твердое тело"). Для
устранения первгой опасности рекомендуется Останавливать воздушные колпаки,
которые вблизи вентиля"* присоединены с помощью вспомогательного трубопровода
к главному трубопроводу; для устранения второй опасное* ги компенсатор следует
по возможности приблизить к месту крутого спуска трубопровода; если этого
сделать невозможно,~то следует усилить трубопровод в опасном месте; для
устранение третьей опасности необходимо предусматривать предохранительный клапан,
который впускает при понижении давления в трубопроводе воздух, вследствие чего
ослабляется обратный удар воды..
. 3. Удар воды о твердое тело. Явление удара наступает также
и в том случае, когда струя или капля жидкости внезапно
наталкивается на твердое тело. Если скорость звука в жидкости
обозначим через ах (следует учитывать возрастание скорости с
повышением, давления), в твердом теле — через. а2 и нормальный
компонент относительной скорости* между жидкостью и- поверхностью
тела через v, то давление будет:
р х pa^v/i^ -f- a^.
При ударе конденсированных частиц воды о Лопасти турбины
l3to. давление может превысить прочность лопастей, и в этом случае
лопасти будут разъедаться (согласно сообщению Акерета)1).
1)См. опыты Н pn egger, MetMlerosion durch Wasser und Dampf, Verb. d. 2
internat. Kongr. f. techn. Mech. in Zurich, 1926.

ОТДЕЛ 3
Техническая физика1)
Фамилии составителей указаны в соответствующих отделах
Перевод и дополнения под редакцией проф. В. Я. Зернова
Стр.
I. Колебательный процесс
Технические понятия 539
Величины и обозначения
механических и электрических колебаний
(таблица) 541
Простой колебательный комплекс . 542
Связанные колебательные
комплексы 546
Область частот механических
колебаний 548
Область частот электромагнитных
колебаний 549
II. Расчет собственных частот
механических комплексов
Род колебаний 550
Маятник, струны, воздушные
столбы 551
Стержни, валы 552
Фундаменты 557
Мембраны 559
Пластины 560
III. Акустика
Акустическое поле 563
Скорость звука в воздухе, жидко*
стях и твердых телах (таблицы). 564
Акустические аппараты 565
Излучатели звука (таблица) . . . 568
Частоты, употребляемые в речи,
музыке и пении 57J
Звуковая область звуков речи
(таблица) 571
Измерение интенсивности звука . 572
Акустика больших помещений . . 573
Поглощение звука (таблица) . . . 575
стр.
IV. Защита от сотрясения и
передача звука
Сотрясения и почвенные колебания. 576
Силы, образующие колебания . . 577
Коэфициент поглощения (таблица). 580
Графический расчет сложных
колебательных явлений 580
Влияние конструкции здания ... 581
Звуковые колебания 582
Передача звука между телами
больших размеров 582
Прохождение авука через стены . 582
V. Оптика
Скорость рас пр остр а ения .... 585
Восприятие света 586
Отражение и преломление .... 587
Распределение цветов по Оствальду 589
Возникновение изображения . . . с89
Зеркала 589
Линзы 590
Призмы 591
Олгические инструменты 592
Осветительные приспособления . 592
Лупы, микроскопы, зрительные
трубы. . * 593
Фотографическая оптика 594
Системы линз 595
Проекционный фонарь (диаскоп,
эпидиаскоп) 5°6
Измерительные инструменты... 597
Рефрактометр . 597
Спектроскол 597
Поляризация 598
Интерференция 600
Нормальные длины волн (таблица). 601
*) Ввиду особой .важности для инженера механики, сопротивления материалов
и теплоты, они изложены в особых отделах, а именно, 2, 4 и 5.

Технические понятие
539
I. Колебательный процесс
Составили В. Ганеманн, Берлин, и Г. Г е х т, Киль
А. Предварительные замечания
Колебательный процесс состоит в том, что энергия,
существующая в одной форме, периодически, в определенные
отрезки времени, превращается в энергию другой формы, после чего
происходит обратное превращение в первую форму, и т. д. Энергия
может быть либо механическая либо электрическая.
В общем случае энергия переходит при этом из потенциал' ной формы в
кинетическую. При механических колебаниях потенциальной формой
является энергия положения (пример: упругая пружина или поле силы
тяжести), кинетической — энергия движения, называемая также живой ,
силой (пример: движущаяся масса). При электрических
колебаниях потенциальной формой является электрическое поле '([пример:
конденсатор), кинетической—магнитное поле (пример: магнитное поле
кагушки).
Время, потребное для совершения одного полного колебания,
называется периодом колебания У. Число периодов в секунд}
называется частотой колебания /, следовательно, /— 1/7*. Величина
составленная из произведения частоты на 2тс, называется угловой
(круговой) частотой колебания со.
Предельные значения величин, меняющихся в процессе колебания
(сила или напряжение, скорость или ток, отклонение или количество
электричества), называются амплитудами U.
Колебания, следующие закону синуса, называют простыми, или
ническими, колебаниями. Если обозначить переменную величину через х,
постоянную амплитуду через С/, круговую частоту через и>, то уравнение
гармонических колебании может быть представлено в виде х = V sin ш/ или л = 0 cos u>t.
Векторное изображение уравнения х = U cos Ы представлено на фиг. 1, причем
в моменты, когда * = 0 2л, 4гс, . . ., jr = U.
Все периодические колебания могут был» согласно принципу Фурье (стр. 228),
представлены в виде суммы гармонических (синусоидальных) колебании.
Синусоидальное колебание, входящее в со-
Фиг» 1.
гар мо-
Г,
*•* f-
•** гч
став этой суммы и обладающее
наименьшей частотой, называется
основным. Остальные колебания, частоты
которых отличны от частоты
основного тока, называются оберто-
нами.
Г) f I ' I Т ' ** I V* Колебание называется затухаю-
1/£ / i ! \ I I щ и м, если в течение определенного
I/ I \* J I I >1 I отрезка времени амплитуда его убы-
г о о* mf/i ot a<• to it вает, и нарастающим, если она
возрастает. При затухающих
колебаниях амплитуда колебании с течением
времени убывает, при незатухающих—
амплитуды отдельных колебательных
процессов остаются постоянными.
Под биениями понимают
процесс наложения двух гармонических
(синусоидальных) колебаний с близкими друг к другу частотами. Амплитуды такого
сложного колебания с течением времени убывают и возрастают по закону синуса.
Продолжительность одного такого возрастания и убывания называется
периодом биений; число биений в единицу времени называется частотой
биении. Частота биений равна разности частот обоих накладывающихся колебании.
На фиг. 2 представлена векторная диаграмма такого биения. 0/х представляет
Ь)
с/
Г*\
Фиг. 2.
») Так как для наук, стоящих на границе между техникой и физикой, еще не
существует точно нормированных обозначений, то применяемые в следующие глав»ж
обозначения и меры не всегда одинаковы. Редакция.

■540 Т. I. Отд. 3. Техническая физика. I. Колебательный процеоо
собой вектор колебания с частотой /,•; О/* — вектор колебания с частотой /3.
Фиг. 2а дает о б uf у ю векторную диаграмму биения. На фиг.'2b—f
изображены для примера положения векторов ОД и .О/* и величина их
результирующей ОА в моменты времени °//,, »/Л, *'//i,.... V/i для случая /я = 3/4 h и в
предположении, что в ^момент / = 0 векторы О/, и 0/я имеют одинаковое направление.
Так как оба вектора вращаются с различной скоростью, то в определенные моменты
времени они суммируются алгебраически; в эти моменты времени амплитуда
сложного колебания проходит через максимум или минимум. Промежуток времени
между наступлением алгебраического сложения и вычитания является полови-
йой периода биений.
Если амплитуды гармонического, т. е. синусоидального, незатухающего
колебания периодически изменяются каким-либо периодическим процессом, частоты
которого значительно меньше частоты самих коле-
9 баннй, то мы имеем модуляцию колебаний.
Первоначальное колебание называется несущим
колебанием. Частота периодического изменения
ш Л амплитуды называется ч а с то т о й модуляции.
Vf Такое синусоидально модулированное колебание
можно представить себе составленным из
колебания несущей частоты, на которое накладывается
сопровождающее его колебание одно с несколько
более высокой и другое с несколько более низкой
частотой; частота одного из них равняется сумме,
с) частота другого — разности частот несущих и
модулирующих колебаний (фиг. 3).
На фиг. За—с представлена векторная
диаграмма синусоидальной моду-
колебания. Вектор ОА- представляет собой
\с
I I У
Ь)
Фиг. 3.
л я ц и и
лируемое
гармонического
___ моду-
колебание с частотой /; АВ _и_ АС являются максимальным
значением увеличения и уменьшения- вектора О А по отношению к среднему его
значению. Подобную синусоидальную модуляцию с частотой А/ можно изобразить,
как показано на фиг. 3d, вращением двух векторов АВ и АС, вращающихся
вокруг точки А в противоположных направлениях с частотой Д/. итсюда
получается векторная диаграмма Зс, на которой три вектора: вектор ~ОА с частотой /,
вектор ОВ с частотой /-f- Д/ и вектор ОС с частотой-/•—Л г, вращаются в
одинаковом направлении, /—несущая частота, /-f-Д/ или/—Д/ являются частотами
вызванных модуляцией добавочных колебаний.
Механические или электрические комплексы, в которых
происходят колебания, называются колебательными комплексами. Свободными,
или собственными, колебаниями называются колебания, которые
зависят исключительно от свойств колебательного комплекса. Частота свободных
колебаний называется собственной частотой. Колебательные комплексы,
обладающие несколькими собственными колебаниями, или частотами, называются
колебательными системами (связанные колебательные комплексы).
Замкнутые или почти замкнутые колебательные комплексы, или системы,
'имеют место в том случае, когда окружающая среда не возбуждается или
возбуждается/в незначительной степени колебаниями комплекса, или системы..
Открытые колебательные комплексы, или системы, имеют место, когда
окружающая среда возбуждается их колебаниями и энергия этих комплексов
передается среде; такие комплексы называются также излучающими
комплекс а мчи.
Колебания/вызываемые в колебательном комплексе, или системе, посторонней
периодической силой, называются вынужденными колебаниями.
Резонанс наступает в случае, если частота возбуждающей силы совпадает с
собственной частотой колебательного комплекса или с одной из собственных частот
колебательной системы.
В некоторых случаях в колебательном комплексе, или системе, появляются
одновременно свободные и вынужденные, колебания, в особен^'
ностив момент Haqaia или прекращения вынужденных колебаний (процессы вклю>'
чения и выключения).
Связью называется взаимодействие между, несколькими комплексами, в
результате которого колебания в одном комплексе вызывают колебания в других.
1акие связанные комплексы имеют несколько собственных частот, причем соб-

Вел-ичяпн я' обозначения колебания 5'41
5
а:
ы
>знач'
ю
О
т
сч
\\С=с
X
и
w
V
Ь
Рс
Р,п\
Р >
&т
Ас
N
О)
V
V.
D .
^ 1
/
S
Т
к
f
X
м
гханические
единицы »)
система
CGS
г*
г*—! с^«
г* сек—*
см
см
г* гг/г-•
ел сек.—1
см сек—*
г* гл« г*«—*
г*ли* сек—*
г*см* сек—-
г*см* сек—*
сек—j
сек—*
сек—1
1
сек-^1
сек—*
сек—1
1 сек
•- 1'.
Г
| C-V
техническая
система
кг сек* см
см,кг
кг\см '
£М
гл
*г сек\см
см сек—*
см сек—*
1
«■
1
гж кг
СИ* If?
гл кг сек—л
ieh—1
сек—1
сек—*
'-.'■ 1
сек—'
сек—*
• *
сек—1
сек
1 * '
Г ' Г
1 см
колебания
название
Масса .
Упругость
Постоянная
упругость
Мгновенное
значение отклонения
Максимальное
значение отклонения
Сопротивление
Скорость
Ускорение
Сила
Сила упругости
Сила инерции
Сила сопротивления
Кинетическая
энергия
Потенциальная
энергия
Мощность
Круговая частота
Круговая частота
собственных
колебаний
незатухающих комплексов
Круговая, частота
собственных
колебаний
затухающих комплексов
Логарифмический
декремент
затухания
Коэфициент
затухания
Число колебаний
(частота)
Собствен н. "частота
Период колебаний
Коэфициент связи
| Фазовый угол
возбуждающей
силы
Длина волны
_
■ * ■ •■
Электрические колебания

технические
единицы
генри
фарада
кулон
ампер
то же
ом
ампер
лмп jceK
■ вольт
вольт
вольт
вольт
ватт/ сек
ватт\(ек
ватт
сек—»
сек—'
сек—1
t '
сек—*
сек—*
»■
се*-^
сек
1
1
см
название
Индукция
Емкость
—
Количество
электричества
Максимальное
значение колич. электр.
Сопротивление
Сила тока
Изменен, силы тока
Электродвиж; сила
Э. Д. С. емкостная
Э. Д. С. самоиндукд.
Омич. падение
напряжения
Энергия
магнигного поля
Энергия
электрического поля
Электр, мощность
Круговая частота
Круговая частота
собственных
колебаний
незатухающих комплексов
Круговая частота
собственных
колебаний
затухающих комплексов
Логарифмический
декремент
затухания
Коэфициент
затухания
Число колебаний
• Собствен», чистота
Период колебаний
1 Коэфициент связи
1 Фазовый угол
возбуждающего
напряжения
Длина волны
J) Сравнение физической CGS с технической системой мер см. стр. 247.

542 Т. I. Отд. 3. Техническая фиалка. I. Колебательный проце-до
ственная частота несвязанных комплексов изменяется, если на них наложена связк
Частоты связанных комплексов называются также связанными
частотами.
При* каждом колебании, при переходе одной формы энергии в другую,
появляются потери, величина которых, отнесенная к общему количеству колеблющейся
энергии, является мерой затухания (логарифмический декремент, коэфициент
затухания) (стр. 544).
Наряду с колебательными процессами в замкнутых колебательных комплексах
существуют процессы в окружающей нас среде, при которых равным образом
энергия периодически превращается из одной формы в другую (звуковые и
электрические волны).
Колебания обычно распространяются в виде волны, колебательная энергия
которой перемещается с определенной скоростью, называемой скоростью
распространения волны. Скорость эта для электромагнитных волн
равна ЗХ 108 м1сек, для звука при 0°С в воздухе около 330 м\сек, в воде около
1500 м\сек (ср* табл. 1,стр. 564).
Длина волны распространяющегося колебания получается делением скорости
распространения в соответствующей среде на частоту колебаний. Таким образом
между длиной волны X, скоростью распространения а и числом колебаний в секунду
имеет место соотношение;
Наряду с распространяющимися волнами существуют стоячие волны,
при котррых колеблющаяся в среде энергия связана с определенными отрезками
пространства. В этих отрезках, ограниченных длиной волны, энергия находится как
в потенциал'ной, так и в кинетической форме, причем в определенных точках,
удаленных доуг от доуга на расстояние одной полуволны, энергия находится
только в потенциальной форме, а в точках, смещенных относительно этих последних
на четверть волны, — только в кинетической форме. Эти точки называются
пучностями и узлами; примером точек, в которых энергия находится только
в кинетической форме, являются пучности скорости в механике или
пучности тока в электричестве; точками, в которых энергия находится
только в потенциальной форме и, следовательно, не имеется кинетической энергии,
служат в механике узлы скорости ив электричестве узлы тока. В
некоторые моменты времени, промежутки между которыми равняются половине периода,
вся энергия находится только в потенциальной форме, и, наоборот, в моменты,
отстоящие от предыдущих на четверть периода, вся энергия находится
исключительно в кинетической форме.
В дальнейшем изложении приняты во внимание только
механические явления колебаний, в частности
акустические. Вставляя в уравнения соответственные электрические
величины, получим уравнения для электрических колебаний. Массу
нужно тогда заменить самоиндукцией, упругость — емкостью,
механическое сопротивление—элекгрическим, силу — напряжением,
скорость— электрическим током и амплитуду — количеством
электричества.
В. Простой колебательный'комплекс
Механический колебательный комплекс можно схематически
представить в виде массы /и, упругости С и сопротивления w.
В сопротивление включены потери, вызываемые как внутренним
трением и тому подобными причинами, так и полезными
сопротивлениями, к которым в случае
механически-акустических колебательных комплексов относятся сопротивления на
излучение.

ПроетоЙ колебательный компл<»«4 543
Если колебания комплекса столь малы, что С и w независимы
от величины амплитуды (т всегда независимо), то колебания
являются синусоидальными. Если через х обозначить отклонение и
через U—амплитуду в данный момент, через / — время, через ш
и /— число колебаний в течение 2 тс и 1 сек, то отклонение х
может быть представлено в таком виде:
х = — Usiaoit.
Знак и выбор синусоидальной и косинусоидальной функции
определяются начальными условиями.
с • dx
Если v = х = — и vmaz являются значениями скорости в дан-
&х
ный момент, и максимальной, а через Ь = х *= -—^ и Ьтлх обозначить
значение ускорения в данный момент, и максимальное, то имеем
(максимальные значения даны без знака):
i = — a>£/cos«>* | *т9Л = <*и
i=r + a>2tfsina>* | *гоах = ш2 У = » "шах
Колебание вызывает появление сил упругости, трения и
инерции. Эти силы находятся в прямой зависимости от амплитуды,
скорости и ускорения. Если мгновенные и максимальные значения
этих сил обозначить через Р, иР. , Рт и Р„. и Р и Р
г с сп»ах w wm&% т «ища*
то имеем (максимальные значения даны без знака):
Рс=х/СиРСта=и1С
Pw = wx к PWma = wvmt%
Рт*=тх и РШшах=т»тах.
Упругая сила и инерция являются безваттными,
т. е. эти силы не обладают мощностью; соответственные работы и
энергии:
являются также безваттными энергиями. Сила, прилагаемая к
сопротивлению, является, наоборот, ваттной, т. е. производит работу.
Ее мощность:
а) Свободные колебания
Если комплекс под влиянием однажды полученной энергии
приходит в колебание, то он является свободным. Сумма сил
инерции сопротивления и упругости должна постоянно равняться нулю,
т. е. имеем следующее диференциальное уравнение:
т'х~\- wx-\-x[C = 0;

§44 *• I. бтд. &• Техническая физика.- I.. Колебательный процесс
круговая частота свободных колебаний в этом, случае, равна:
7 = v/Vrl + (b/2ii)a или для Ь/2к<^1
7 = v[l-i/, <Ь/2*)2].
Здесь v = VljmC иЬ = nwjvm или приблизительно b = nwjvm = кгичС*
Величина b называется затуханием колебательного комплекса
(логарифмический декремент). В обычно встречающихся случаях (Ь/2 гс)* мало по
сравнению с ^Величина v является собственным числом колебаний незатухающего
комплекса, a v — затухающего комплекса. В первом приближении можно считать,
что затухание не оказывает влияния на собственное число колебаний демпфирован''
ного комплекса.
Под действием затухания значение амплитуд £/0, Ui% U23...,UZ
/^4-1'•• постепенно уменьшается. Имеем
При небольшом затухании уменьшение амплитуды
мало по сравнению с самой ампдятудбй; для затухания имеем
b^AO/U,
т е. одинаковое процентное уменьшение двух последующих макси-*
мальных амплитуд. Если в течение одного периода совершена
работа ДЛ, то затухание равно
Ь-ДЛ/24,
т. е. оно равно половине отношения энергии, .потребленной в
течение периода, к общему количеству безваттной энергии.
Если в момент * = 0 максимальное значение амплитуды
колебания комплекса равно £/0, то нблучаем для диференциального
уравнения свободных акустических колебаний в случае Ь/2 п <§^ 1
следующее решение:
#= {/^"-"^cosv*,
причем 2«5=v и sb = & есть коэфициент Затухания.
М#ханяческий пример см.: для твердого тем — „Акустика", стр. 566, рис. 21 j
для газообразного — ,,Акустика*% стр. 567, рис. 23.
Ь) Вынужденные колебания
В- случае когда колебательный комплекс непрерывно
возбуждается внешним периодически действующим источником энергии,
то образуются вынужденные колебания. Для этих колебаний имеем
диференциальное уравнение
мх -f wx + х/С = Р sin ш г,
где Р есть максимальное значение, а о> — угловая частота
возбуждающей силы

Простой колебательны А комплекс
ш
Для^ диференциального уравнения получаем
решение:
тЬ„
UjC = Psin% wvn
Р cos 9.
Здесь <р есть угол фазы между возбуждающей силой и
скоростью колебательного комплекса. Возбуждающая сила Р
разлагается на две составляющих, из коих та, которая перпендикулярна скорости vma%t
равна разности между силами массы и упругостью, тогда как слагающая, имеющая
ту же фазу, что и скорость Фтах» совпадает с мощностью, потребленной в
колебательном комплексе. Тангенс угла <р равен: tg? = (u>/v — ^u>) njb.
Скорость
и мощность
max «P/W CO$?
N = pz/2w • cos2 f
достигают своих максимальных значений
vo„
: P/W И N0 = /«/2»
в том случае, когда возбуждающая частота становится равной
собственной частоте недемпфированного комплекса, т. е. в случае
резонансного возбуждения.
На фиг. 4. представлены три векторные диаграммы для случая
возбуждения частотой, меньшей, равной и большей собственной
частоты комплекса. Вектор 93 дает мгновенное направление
скорости. Вектор О А изображает возбуждающую силу Р, АВ— силу
упругости, опережающую скорость на 90°, ВС—силу инерции,
отстающую от скорости на 90°, и СО — силу трения или ваттную
силу, совпадающую по фазе со скоростью. При
электромагнитных колебаниях место силы
занимает напряжение, место скорости — сила тока
(стр. 543).
Кривая, изображающая зависимость
мощности от частоты
возбуждения,
соответствует функции /г\ | г-«
cos2 или sin2 и
называется
резонансной
кривой колебатель- «и» *•* •"*
ного комплекса. Фиг«4- фш- 5-
При этом
предполагается, что максимальное значение возбуждающей силы одно
и то же при всех частотах.
Для частот вблизи резонанса
o>/v = 1 -{- z
и для отступлений от резонанса z% малых по сравнению с 1,
получается
tg<pa=2rc*/b
А
to
'О
S
ь
/
m
i
vi
У
м
/
и
4
А
ггт
\
ш\\\
\
\\\\
IN
V К
Ш>
NLT1
гН
а» о*
v v*f

546 *. 1. Отд. I. Те*нй<кн:*а£ физика. 1. Колебательный продвсв
И
A.= l/[l+(2tc^/b)«]
или Ь = 2 7t ^У l/[iV0/7V— 1].
Если передвигаться от точки резонанса по обоим направлениям к тем
частотам, при которых получается половина резонансной мощности, то соответственная
ширина кривой резонанса, выраженная в процентах резонансной частоты Z/, и D
равняется b = rcZ/j. Путем этой формулы можно определить затухание
колебательных комплексов, для которых имеется экспериментальное определение резонансной
кривой.
Пример. Две резонансные кривые представлены на фиг. 5. По оси абсцисс
отложены значения ш/v, по оси координат NjN0. Кривая а соответствует
затуханию 0,1, кривая b — затуханию 0,4.
С. Связанные колебательные комплексы
(Колебательные системы)
Связь двух или нескольких комплексов может быть
осуществлена либо по массе, либо по упругости. При упругой связи
получаем диференциальное уравнение колебаний свободных или
вынужденных (при возбуждении первого комплекса периодической силой)
т1х1 + wlxl + "*l/Qt + *2/Cl3 — 0 ИЛИ Р Sin ш *>
т2х2 + щх2 + х21С2 + хг/С12 = 0.
Величина С12 есть упругость, общая обоим комплексам,
величины Сх и С2— результирующие упругости отдельных комплексов,
образующиеся из свободных упругостей С10 и С20 обоих
комплексов и из упругости связи С]2 согласно следующей формуле*
Q — ^Ю ^12 и Q _ ^20^12
+ С^2 £"20
(Связь в акустическом пространстве см. стр. 567.)
Отношения
К — С1/С12 и k2 — с%!С\2
называются коэфициентами связи обоих комплексов и
представляют собой отношение энергии, колеблющейся в элементе
"комплекса, к общей колебательной энергии каждого из комплексов.
Величина
k2 = k}k2 = CiC2fCi22
есть квадрат фактора связи колебательной системы,
составленной из обоих колебательных комплексов.
Связь по массе двух комплексов выражается следующим ди-
ференциальным уравнением свободных или вынужденных
колебаний при возбуждении первого комплекса периодической силой:
mjci -f a>i*i + xJCx -f- ml2x2 = 0 или Р sin u> t%
тЛ* + w^i+xi/c* + muxi = o.

ОпяваниШ КолебаФеЛьные fcoiitrrtetcrtW
54?
Масса mi2 является общей (сопряженной) массой обоих
комплексов, величины т1 и т2— общие массы отдельных комплексов,
включающие и массу связи. Свободные массы отдельных
комплексов т10 и /я20, соединяясь с массой связи /я12, образуют
результирующие массы по следующим формулам:
m10mi2 __ т^тХ2
ТПл — ■; И /По — ; ♦
mi0~\-mi2 ' ^20 + ^12
(Связь в акустическом грибе см. стр. 566.)
Коэфициенты связи и факторы связи выражаются следующим
образом: kt = m^\mlb k2 = т2//я12 и k2 = m±m2\m122.
а) Свободные колебания
Два связанные комплекса обладают двумя собственными
колебаниями, которые можно, пренебрегая действием затухания, выразить
следующим образом:
где vx и v2 являются круговыми частотами собственных колебаний
обоих несвязанных комплексов, если каждый содержит член,
выражающий связь. При равенстве собственных колебаний vx = v2 = v
Vft2 = v2(l±*),
а при связях, малых по сравнению с 1, получается
vfc = v (1 ± k;2).
Энергия, получаемая одним из комплексов, частью
уничтожается затуханием в этом комплексе, частью же благодаря связи
постепенно переносится на другой комплекс, пока вся энергия не
станет колебаться во втором комплексе. После этого ход явления
изменяется, и энергия постепенно переходит в первый комплекс
и т. д. Колебания такого рода называют биениями.
Продолжительность перехода энергии из одного комплекса в другой рабна 1/2k
колебания.
Затухание колебаний является арифметическим средним из
обоих отдельных затуханий bj и Ь2.
Ь = (Ь1 + Ь2)/2.
Предпосылкой для такого рода затухающих колебаний является
состояние, при котором будет происходить большее поглощение
энергии связью, чем превращение ее в течение того же самого
времени в потери по затуханию, т. е. необходимо, чтобы
Л>Ь1/я и Л>Ь2/т1.
Этот случай имеет 'большое практическое значение, и его
обозначают термином жесткая связь.

548 * *• ^тд. * Техшчеева* физика. 1 Колебадоаытя прочее^
Отношение максимальных амплитуд в обоих комплексах в ел у*
чае упругого сопряжения или связи по массе выражается
UxIU%=^Vhih или YkJb-
b) Вынужденные колебания
В случае жесткой связи резонансная кривая имеет два
максимума: в случае когда k мало по сравнению с 1, они имеют место
при
Ъ«г.,(1+А/2); vfej=v (1—Л/2).
М?й_ Расстояние обеих точек
резонанса определяет связь, и
Каждая из точек резонанса
обладает затуханием, равным
арифметической средней обоих затуханий.
<*•* о* w г* *♦ v Экспериментальное определение
кривой резонанса дает возмож-
фиь *• ность установить связь и сумму
затуханий.
На фиг. 6 изображена резонансная кривая такой связанной
колебательной системы, причем за абсциссу принята величина cu/v,
за ординату — N/Nq. При этом было выбрано ^ = 0,1, Ь2 = 0,2 и k =
= 0,32. Величина к в этом случае больше, чем bjn и Ь^я,
следовательно, мы имеем здесь жесткую связь.
Механический пример см.: для твердых тел — „Акустика44, стр. 566, фиг. 22,
для газообразных — Акустика", стр. 567, фиг. 24.
D. Область частот
Для области частот как механических, так и электрических
колебаний теоретически не имеется никаких границ, в природе
могут иметь место колебания с любой частотой. Однако существуют
характерные области частот, для которых ниже приводятся
некоторые наиболее важные данные.
а) Область частот механических колебаний
Внутри области частот механических колебаний отличают
слышимые колебания, частоты которых заключаются в области от 16
до 20000 в сек. Эти колебания называются звуковыми.
Колебания с более низкими частотами называются инфразвуковыми,
колебания с более высокими частотами — ультразвуковыми
(фиг. 7). К инфразвуковым колебаниям относятся, например, колеба-
ша

Обидеть часто*
549
ния почвы или грунта, которые могут быть вызваны проходящими
поездами, медленно вращающимися машинами, ветром, прибоем
и морозом. На область ультразвуковых колебаний падают
механические или звуко-
"Индз/киб^/п нолеб; Анусгщч..нолеб \ УАъпцщ*б9*\
вые колебания, вы
зываемые
некоторыми насекомыми,
упругие колебания
воздуха,
создаваемые
высокочастотным искровым
разрядом. <2юда же
относятся
применяемые в настоящее
время в подводной f\^ ^ -».#
Эем^лтцмсениа
и колебания почбы
различного ftoda
г!
Si—i.
^ Мехамичмолебания.
|-Л, Лаыдвалм
*||| искроит* 1
4 «|| пьезсэлехтди*
5 • sj • */» металлами,
^[^j магните- |
i un/iov* I
~~tr ~ю* Jo* Jtrfce*
сигнализации и pa-г ч—*i—■?—■ ^—-a—-»—^=—^« - ^» ■ ~v
диотехнике меха- "' "' •• ' "' * *r> »- *• *r< voe*
нические колеба- Фиг. 7.
ния пиезоэлектри-
ческих тел (например кварцовый вибратор или кварцовый
волномер), вызываемые работой магнето (колебания коротких стальных
стержней также лежат в области ультразвуковых колебаний).
Ь) Область частот электромагнитных колебаний
Известные в настоящее время электромагнитные колебания
заключают в себе почти всю область частот от 0 до 1020 в сек. В технике
сильных токов применяется постоянный ток (0 в сек.) и переменный
ток от 15 до 60 в сек.
Заехтпичееяил
ролебания
I—J
Бесп]1О0<ш>ч.наз
телеграфия.
... »_■ ._ I ...
ю9 ю*
J-
II
* Рентгена]
-яучгь
J* W Ю* *Г
Ю* tO* Ю* V 4»' _
/lAUHa 09АНЫ б СМ
п? 5* li* ю* ющ юм
Частота вГеццах(бсек)
, Фиг. 8.
(низкая частота).
В настоящее время
для особых целей
(питание быстрэ-
ходых машин,
например
центробежных насосов,
звуковых аппа^ нов
для воздуха и
воды, электрических
ющ vu б сен индукционных
аппаратов и
электрических
индукционных печей)
применяются более вы-
частоты от 100 до
как вышеназванные
ю^кем
сокие частоты, так, называемые средние
100 000 в сек. В технике связи используются
низкие и средние частоты, главным образом, звуковые в области
от 50 до 15 000 в сек., так и частоты, употребляемые в
радиотехнике, которые в настоящее время лежат между 10* и 108 в сек.

550 Т. 1. Отд. 3. Техническая физика. И. Расчет собственных частот
Однако можно получить электрические колебания значительно более
высокой частоты, до 1011 в сек., которая лежит уже почти в
инфракрасных световых лучах. По другую сторону видимого света,
охватывающего область от 3,7 • 1014 до 1015, простирается
ультрафиолетовая часть спектра вплоть до лучей у, частота которых
достигает 1020 периодов в сек.
Фиг. 8 дает сопоставление всех этих отдельных областей.
II. Расчет собственных частот механических
комплексов
Составил проф. В. Г о р т, Берлин
А. Общие сведения
Определение понятий стр. 541.
Род колебаний. Материальная точка, связанная с некоторым
средним положением с помощью направленной силы (силы
упругости), имеет только „одну степень свободы" и вследствие
этого обладает только одной частотой собственных колебаний.
Упругие тела конечной величины (струны, трубки, стержни и т. д.)
обладают бесконечным' числом степеней свободы и соответственно
бесконечным числом частот собственных колебаний.
Под основной частотой понимают собственную частоту с
наименьшим числом колебаний ^; частоты обертонов s, в случае
струн и трубок являются кратными частоты основного тона. Плас-
тинообразные комплексы, как-то: мембраны, пластинки, обладают оо3
степеней свободы, которым соответствует оо2 частот собственных
колебаний (в дальнейших уравнениях обозначены порядковым
номером jj); наименьшая частота slb как и в предыдущем случае,
соответствует основному тону.
В дальнейшем выведены следующие обозначения (в технической системе
единиц):
s— собственная частота в сек~~\
sj syj— собственная частота обертонов в сек~*,
v=2n,y—круговая частота собственных колебании в сек~*%
v/tV/7— круговая частота обертонов в «к""1,
//— порядковые числа (колебаний),
Л£ — критическое число оборотов в мин~*,
Т — период колебаний в сек,
m — масса в кг сек * см ',
р — плотность (удельная масса) в кг сек~^ см~~*,
Е — модуль упругости в кг см~~2,
G — модуль сдвига, модуль скольжения в кг см ^,
Уд — экваториальный момент инерции сечения в см*,
Jm — момент инерции массы в см кг сек 2,
l/jjL=m— растяжение/поперечное сокращение,
F — площадь поперечного сечения в см*,
I — длина в см;
а— скорость звука в см\сек~^.

Маятник Струны в вовдушныв столбы
551
Основные соотношения дают:
s = v/2 тг,
nA = 60v/2Ti,
где г — радиус инерции.-
В. Маятник. Струны и воздушные столбы
a) Маятник
1. Математический маятник (стр. 336). Точечная масса
подвешена на нити, не обладающей маееой. Число колебаний в сек.
s= Vgllftn B сек"1,
2. Физический маятник. Маятник, обладающий массой (стр. 343),
S = YgmilJm№ * в сек~1*
где / — расстояние центра тяжести от точки подвеса.
/ = J Л mi носит название приведенной длины физического
маятника.
b) Струны
Сокращения см. таблицу на стр. 541.
Кроме того:
Р — натяжение струны в кг,
/ — длина струны в см,
F — поперечное сечение струны в см9,
а — Vp}p F — скорость звука в струне в см сек~^,
Sf=aJi2t = l/Tj
j = 1 дает основной тон при наименьшем числе колебаний,
st = а/2/ и при продолжительности колебаний и периоде
колебаний T1 = 2i/a.
c) Открытые трубки
/ — длина трубки в см,
а — скорость звука в воздухе в см сек~~^.
sj = а/121 = 1/7)
/ = 1 дает основной тон sA = -^ .
d) Закрытые трубки
Обозначения такие же, как и в В с).
*у = й/-1)а/4/.
У=1 дает основной тон$1 = а/4/. При одинаковой высоте
основного тона закрытые трубки должны быть вдвое короче открытых.

552 Т 1 Отд. 8 Тгхяичеева* физика. II Расчет собственны! часто*
С. Стержни, валы
а) Число колебаний при изгибании v
В машиностроении применяется термин критическое
число оборотов, особенно в связи с колебаниями машинных
валов при изгибании; в случае скручивающих колебаний этот
термин применяется реже. Во избежание неясностей мы в дальнейшем
будем делать различие между числами колебаний при изгибе и при
кручении. Понятие о критическом числе оборотов может быть
введено в том случае, когда при резонансе под действием
центробежных сил вращающегося не вполне сбалансированного
машинного вала образуются изгибающие колебания. При критическом
числе оборотов (в резонансе) вал вращается беспокойно, с
неровными движениями и при сильном изнашивании подшипников.
На достаточном расстоянии от критического числа оборотов вал
вращается спокойно.
1. Стержни с собственной и точкообразными массами. Если
стержень, обладающий собственной массой, несет также и точко-
образные массы (фиг. 9), то можно вычислить для каждой из этих
масс круговую частоту колебания vy, а для самого стержня
вычисляется круговая частота v0.
^=f) Q ■ / Q=3 Согласно принципу Dunkerley можно
~ щ9 "f *4 *i найти тогда основную угловую частоту v
системы по формуле:
фиг. э. 1/^=>1/V+EVV-
2. Стержни (без массы) с точкообразными массами (фиг. 2а—2d)
1Ьй
3
—а ■'■ д Н
П
J m
Щ
v* = SEJfPm
v«= 3EJl\a*ti*m
для а = Ъ ss (//2): v* =
4SZJ
Рт
* sr
\2EJP
для а = Ъ = //2 ; v« = (768f7)E/7Pm
для а «* * » //2 : ** «• \92EJjPm

Ст*ожни, к&лк
553
Найденная-таким образом скоро,сть колебания (круговая частота
колебании) является наинизшей из всех возможных колебаний (частот) стержня или
его основным колебанием. Для изгибающих колебаний валов редко приходится вы-
числять высшее колебание, так как уже обычно основное колебание выше рабочей
скорости вала (круговая частота вращательного колебания). Для валов с двумя
подшипниками и двумя массами A. Fdppl дал в своих лекциях по технической
механике т. IV, 3. А, 1909, В. О. Teubner, стр. 37, метод расчета обоих возможных тонов,
Лля вычисления основной скорости можно воспользоваться также методом О. KuU,
ZdVdl 1914, стр. 249. х
3. Стержни с собственной массой без точкообразных масс
а) Неизменное поперечное сечение
Мы имеем:
*/ = (Р///4)(£//рП
где Ру равен коэфициентам, зависимым от порядкового номера
высоты тона и условий закрепления (/ = I; основной тон).
Значения коэфициентов 8. приведены в табл. 1.1
Таблица 1. Коэфициенты в уравнении, определяющем
собственные частоты (фиг. За—3d).
Способ закрепления
Уравнение для
определения Эу
Значения (5у для
/«1...5
Стержень
свободен с двух
концов а)
Стержень д
прочно
закреплен с двух
концов
3» I
Стержень под- ^,
перт в двух чк
местах | » l
э
Стержень si-
креплен с
одного конца и
подперт с
друге
Э/ch Зу =
Р» = 4,73; &, = 7,853
0,= 10,996; р4 = 14,137
fc - 17,279
ein py «= 0
Э/=/«
сое 0у • cb Эу = — 1
рж == 1,8?5; в, = 4,694
0, = 7,855
Р4 = 10,996; Э» = 14,137
Р. = 17,279
Стержень за- J\.
креплен с од- ФС
ного конца и
подперт с дру
гого
t£ By » 1Ь Ру
Р» = 3,927; р,= 7,069
р, = 10,21
9« в 13,362: ?,»К*4»3

554 Т. I. Отд. 8. Техническая физика. И Расчет собственных частое
Р) Суживающееся поперечное сечение.
Уменьшение поперечного сечения F и момента инерции J могут быть
представлены кривыми сне' (фиг. 10), где через Jmi и Fmi
обозначены значения для кривой с, через Imi и Fmi — значения для
кривой с', соответствующие середине прута.
Вспомогательные величины вычисляются по формулам:
-Л
F„-F
w
7mi) '
Круговая частота v. собственных
колебаний стержня с неизменным
поперечным сечением, подчиненного тем
же условиям закрепления:
Фиг. 10.
V
Q/l*HJaE/Fa9).
Круговая частота собственных
колебаний суживающегося стержня
приблизительно равна:
причем верхний знак (+) относится к кривым с'*
Для коэфициентов оу, ©у', ту., ту' имеем следующую таблицу.
Таблица 2.
Более толстый конец закреплен
/
1
2
3
4
5
6
оо
свободен
Р
1,875
4,694
7,855
10,996
14,137
17,279
а
0,193
0,406
0,468
0,483
0,490
0,493
0,500
X
0,807
0,594
0,532
0,517
0,510
0,507
0,500
а'
0,493
0,703
0,661
0,649
0,645
0,642
0,637 = 2/ic
Значения р, с
другой
т'
0,493
0,703
0,661
0,649
0,645
0,642
0,637 = 2/к
J, Т,
а', т
/
Толстый конец закреплен
придержан
Р
3,927
7,089
10,210
13,352
16,493
—
—~
а
0,431
0,480
0,490
0,494
0,496
0,497
0,500
т
0,569
0,520
0,510
0,506
0,504
0,503
0,500
а'
0,626
0,612
0,623
0,628
0,631
0,633
0,637 ==2/тс
. другой
т'
0,857
0,724
0,680
0,663
0,654
0,649
0,637 = 2/к
4. Стержни, радиально закрепленные на краю
вращающегося диска (фиг. 11).
Обозначения, как раньше, кроме того:
R — радиус середины стержня вй.

Стержни, валы
555
u> — угловая скорость диска в сек х,
I — длина стержня в см.
Скорость (круговая частота) v колебания стержня
(основной тон) получается из формул:
v2 = lF7^+1'50'o24> Pi = 1.875.
Фиг. П.
Ь) Колебания при скручивании
1. Общие данные.
Обозначения, как на стр. 541, далее согласно фиг. 12.
Ли h%" —действительная длина участка вала в см,
'мл /о«з«" —приведенная длина участка вала в см,
lz — длина цапфы кривошипа в см,
г, b, h — размеры кривошипа в см,
с = JG\V— крутильная постоянная в см кг,
с\ъ fj3- • • — крутильные постоянные участки вала между массами
соответствующих индексов см кг, например сы = JnO\lm,
У0 — полярный момент инерции сечения приведенного вала в см*,
Л«»Лз"-—действительные полярные моменты инерции поперечного сечения
вала между массами соответствующих индексов в см4,
Jz = dz4KJ32— полярный момент инерции поперечного сечения кривошипа в см4,
Js=b№l\2 — момент инерции поперечного сечения колена кривошипа в см4.
А*
\-\
ГТ*Сг
т
№*
Фиг. 12.
та-вй jgh
Выбирается средний диаметр с моментом инерции У0. Для длин
отдельных участков вала (фигТ 12) вычисляют приведенные длины,
например по формуле:
'012 — «Л) I j :
Колена кривошипа заменяют участком сокращенного вала, длина
которого
tok~2r(GIE)(J0jJs) + l,JQ/J,;
постоянные кручения отдельных участков вала получаются согласно
формуле:
с12 = ЛА7ом.
Для нескольких последовательных частей вала, имеем:
l/c= l/cw+ 1/сда+ 1/cjmH- ...

556 т- *• °ТД- •• Техммчесжм физика. П. Расчет собственны! частот
2. Вал с одной массой на одном конце, другой конец
закреплен (фиг. 13):
3. Вал с двумя массами (фиг. 14):
v»-*u(l/y„+!/./„).
^И^НН
Фиг. 13.
Фиг. 14.
Фиг. 15.
4. Вал с тремя массами (фиг. 15): ^ определяется из выра-
жения*
v* - v« [с1а(1/УШ] + l,Jmt)+ cffl {\ищ + l/Jm>)] +
Фиг. 16,
5. Вал с четырьмя массами (фиг. 16): применяются формулы
7-го п. в предположении, что п = 1.
6* Вал с тремя массами (фиг. 15а): одна из них \Jm ) является
зубчатой передачей с моментами инерции Ут и J"m с радиусами
начальных окружностей г' и г".
Введем обозначения: г'/г" = щ f + n*f =J„ и далее cUJm —а,;
Тогда v2 определяется из уравнения:
v4 — v2 {ах + а2) + (ata2 — а2*3 л3) = а
7. Вал с четырьмя массами (фиг. 16а): из них одна (Jmn)
является зубчатой передачей с моментами инерции f и/ с
радиусами начальных окружностей г' и г".
Положим: г*\г" «л;
*mt;

Омдешя, или Фундамент
55t
Далее
c<alJ =а4; Сз4//тз = аб; <W^m4 e *e-
аг -f- в2 = д1» аз + а4 = л2» л" аб + ав ~ аз
Тогда v2 определяется из уравнения:
v6 - -И (ах + Ч + *з) + v2 (аха2 + а^з + л2дз — «л — «4а5 *2) —
— КДоЯз ~ ЛЗа2аЗ ~ ^«A^2) = °*
8. Валы с любым числом масс: из них одна Uщ) является
зубчатой передачей с моментами инерции /т и f'm с радиусами
начальных окружностей г'иЛ
ffCSicHts
Q
iSi-
Фиг. 16а.
Положим г7г" = л; У + п*Г
' т.. * п
фиг. 17.
Далее с12/.
Л
*2х-3 +
c%—\,-*lJmx *= а2х—2» Cxt x4-l/^wx * а2х—1-
+ а2х-2 = Лх-1» л2а2х~1 Ь в2х = ах'
Тогда для вычисления v2 можно воспользоваться уравнением,
написанным в виде определителя:
V* — ах
0=
л,а2х~1
ч
• • в2х
Если здесь положить л= 1, то мы возвратимся к одному валу
без зубчатой передачи.
D. Фундаменты
Рамы R фундаментов машин (фундамент паровой турбины) под
действием неуравновешенных центробежных сил Я, создаваемых
вращающимися частями машины, могут притти в вертикальное или

558 Т. !• Огд. S. Техническая физика. И. Packet собственных частей1
ФИ1. 1ьа.
Фиг. 18b.
горизонтальное колебательное движение в том случае, если число
оборотов машины совпадает с собственной частотой вертикальных
или горизонтальных
колебаний рамы фундамента.
Простейший
случай. Все рамы равны между
собой и неподвижно
закреплены на грунте.
Центробежные силы Р лежат в
средней плоскости АВ
средней рамы. Продольные бал*
ки L фундамента считаются
неподвижными по
отношению к рамам /?. На фиг. 18а и 18Ь показаны возможные формы
колебаний.
Обозначения:
Рт — действующий в середине перекладины груз машины
(сосредоточенный груз) в кг,
Ре — распределенный собственный груз перекладины в кг,
PS1 — собственный вес подпорок рамы в кг,
Pi — собственный вес продольных балок в кг,
fm, fe — прогибы перекладин, вызываемые грузами Рт и Ре, в см.
а) Прогибы при вертикальных колебаниях:
_ l Рта* f, °>75*
fm
Г1'
48 EJ,
f - 5 Р«* 1г
Je 384 EJX \
6/2.yt/72+
0,80д
;}
Сумма их служит для вычисления собственной частоты
вертикальных колебаний рамы:
sv=WT^+K *сек~\
Ь) Прогибы при горизонтальных колебаниях:
при '
Р-Рщ+Ре+Ч^+Рь)*™,
горизонтальный прогиб вычисляется по формуле:
1~ 6Е/2
отсюда находим собственную частоту горизонтальных колебаний
"Г 20/3/4 + 12*} B CMt
4V7
в сек
.—1

tfeir6i)aftti
559
В качестве модуля упругости в предыдущие формулы следует
подставить:
для стали:
Я== 2,2- 10е кг см
— 2.
тя железобетона:
Е = 2,1
105 кг см'2.
Если сделанные выше предположения не выполнены, то приве*
денные выражения для собственных частот не верны, и для их
вычисления приходится пользоваться весьма сложными аналитическими
или графическими методами.
Е. Мембраны
а) Общие сведения
При круглых мембранах могут иметь место следующие формы
колебаний:
1. Узловые линии расположены по диаметру.
Колебания с 1 (2, 3 и т. д.) узловым диаметром называются
колебаниями 1-го (2, 3 и т. д.) порядка (фиг. 19а).
2. Узловые линии в виде к р у г о в 1 (2, 3, 4) (фиг. 19Ь).
3. Соединение 1
и 2 (фиг. 19с). L^—-^
На фиг. 19 а—с
заштрихованные площади можно
представить себе движущимися
ввер/ и наоборот.
При прямоугольных
мембранах, если стороны
L и /«
несоизмеримы,
Фиг. 19.
возможны только
колебания с узловыми линиями, параллельными боковым поверхностям
(в виде шахматной доски). В противном случае могут возникнуть
также другие (криволинейные) узловые линии.
Ь) Частоты собственных колебаний
1. Прямоугольная мембрана
Обозначения, как на стр. 541, далее:
р — напряжение мембраны неизменно вдоль края в кг см9,
1\1Л — длины сторон прямоугольника в см,
а— У р\? —Скорость звука в мембране в см\сек~хч
^jj — собственная частота в сек *.
Тогда мы имеем:

560 Т 1- 0тД * Тежяичеежая фяашса. II Расчет собственных часто!
Подставляя в это уравнение вместо j и / любые целые числа,
получают собственные частоты мембраны. Для j и/=1 получается
основной тон мембраны:
vu=Biiicl/r(l//1)»+0/«1 .
2. Круглая мембрана
Обозначения прежние. Кроме того. R — радиус мембраны в еж
Для собственной частоты имеем:
fyj суть корни характерного для мембраны периодического
уравнения, в данном случае идентичные с нулевыми положениями
бесселевых функций:
J/(P)=4h—*—+ р- ■■
I n/.l 2»(У+1) (2- 2)* 2IC/+1)04-2)
^1
о.
Таблица 3. Нулевые значения ?>j]
бесселевых функций
_
/
0
1
2
3
/
0
2,40
5,52
8,65
11,79
1 | 2
3,83
7,02
10,17
13,32
5,14
8,42
11,62
14,80
3
6,38
9,76
13,02
16,22
4
7,59
11,06
14,37
17,62
Значения приведены в табл. З1).
Получаемые при
собственных колебаниях фигуры
состоят из соединения j
узловых диаметров и J
узловых кругов (фиг. 19).
Основному тону Voq соответствует
колебание мембраны без
узловых линий.
F. Пластины
а) Однородные покоящиеся пластины
Обозначения:
d —толщина пластины в см,
I — длина стороны в см,
R — радиус пластины в см,
т =- 4 = удлинению: поперечное сокращение.
1. Квадратные пластины. Определение собственной частоты
для замкнутой формы невозможно; мы ограничиваемся указанием
литературы 2). Для квадратных пластин с свободными краями
наименьшая собственная частота вычисляется по формуле:
2d VI / Ет*
V- /' V Зр(/И2— 1) '
где X согласно Ritz имеет для основного тона значение 12,43.
*) Nach Raylelgh, Theorie dee Schalles. стр. 364.
П R i t x, Ann. der Phyeik (4) 28 (1909); 737, О о I 4 га a a o, Dtaa., Breflau, 191ft

Пдаотикн
.561
2. Круговые пластины. В этем случае собственная частота
имеет следующее выражение:
*//вт£Р//у
тгЕ
Зр(т2-1)
Звуковые фигуры опять-таки являются соединением / узловых
диаметров с /^узловыми кругами.
Таблица 4. Нулевые значения руу периодического уравнения
круговой пластины
*) Для круговой
пластины со свободными
краями
«.
0
1
2
3
/
0
2,22
9,58
21,91
1
5,10
14,93
2
1,38
8,82
21,09
*~
3
3,19
13,29
28,00
—
Р) Для круговой
пластины с неподвижно
закрепленными краями
/
0
1
2
0
3,20
6,31
9,44
J
1
4,61
7,80
10,96
•2
5,91
9,20
12,40
b) Вращающиеся однородные пластины
Обозначения прежние. Кроме того, и> — круговая частота вращения в сек — К
Для собственной частоты имеем:
'/т-/№(*)•.
где vyj — собственная частота вращающейся пластины, не
обладающей сопротивлением на прогиб, данная уравнением:
7/
Ът
Ьт
Второй член уравнения v"~ представляет собственную частоту
покоящейся пластины, обладающей сопротивлением на прогиб:
" -а 2d Г гп^Е
ЧП~~*1Т R* У Зр(/яа-1)

562 Т\ 1- Отд. 8. Техническая физика. П. Расчет собственных частот
с) Вращающиеся неоднородные пластины
Важнейший практический пример: колебания колеса
паровой турбины, положенные здесь в качестве примера в основу теории *).
Напуск пара вызывает биения, при которых
шайбы турбины колеблются с узловой линией по
диаметру круга.
Это имеет место, когда число оборотов
совпадает с одной из собственных частот, соответствующих
колебаниям с узловой линией по диаметру (фиг lSb).
Вычисляют наибольшую потенциальную энергию
Фь прогиба, наибольшую кинетическую энергию
шайбы Ф при прохождении через свободное от
напряжения среднее положение и наибольшую работу
центробежной силы Фг Тогда Ф^ -j- Фг = Ф^. При
вычислении уравнения энергии должны быть
составлены отдельно для втулки, шайбы и обода.
Упрощающее предположение для шайбы: поперечное сече-
Фиг. 2о. ние в форме трапеции (фиг. 20).
Обозначения:
v — собственная частота в сек—1,
ш — круговая частота вращения шайбы в сен—',
В * = Emi/(m'i—\) в кг сМ~*,
т — продольное удлинение: поперечное сокращение,
fe — число узловых диаметров,
/?Л, /?/, /?о» Л0 в см, см. фиг. 20,
/ft, Jn — моменты инерции обода и втулки в см4,
fft, Fn — поверхности обода и втулки в см9,
s — показатель степени параболического закона изменения формы
средней плоскости шайбы,
Вспомогательные величины вычисляются по формулам:
\2s + 2 2s+3j * ^25 + 2 2* + 3/'
ЛИ
2s
6s ■
откуда:
V ■"". *V VKRa В + Fk + Fn ^ + *) о ~~ ^
25—1
О Сравни E. Oehler, KruppscheMonatshefte, 1925, стр. 1 ff. — Stodola, Dampf-
und Gesturbinen. 6. Aufl., стр. 90% Berlin, 1924, Springer ETZ, стр. 1577.

Акустическое пол«
563
В этом выражении, принимая число узловых диаметров, для которых должна
быть определена собственная частота, к — 1, 2, 3, 4 и т. д., все величины известны,
вплоть до величины $, так что v является ее функцией:
** = /(*, *)•
Эта функция от s и подлежит определению.
Наименьшее значение v^ , получаемое при ^—- = 0, является хорошим
приближением к искомой собственной частоте (принцип наименьшего значения
собственной частоты по Rayleigtt).
Для устранения опасных колебаний шайбы определенные таким образом
собственные частоты должны быть отличны от круговой частоты вращения:
*min
лучше всего, если все
v*min>0>-
Ш. Акустика
Составили В. Г а н е м а н, Берлин, Г. Гехт, Киль (А до D) и проф. д-р
инж. Е. Мишель, Ганновер (Е)
А, Акустическое поле
Обозначения такие же, как на стр. 541. Кроме того:
N — звуковая отдача в г* см9 сек—*л
а — скорость распространения в см сек—г,
р — плотность среды в г* см—**
р — акустическое давление в г* см—1 сек—9,
Q — ток в среде в см* сек~\
\ — длина волны в см,
г — расстояние в см%
/ ~_ частота в сек—1.
Все величины — по системе CGS *)
В однородной среде бесконечного протяжения с плотностью р
от точкообразноге источника звука распространяется шарообразное
акустическое поле. Через единицу шаровой поверхности,
концентрической к источнику звука, проходит акустическая энергия:
4г- (2*/)2 ^cos^cp = 4г- f2 cos2 ф = н2- г* сенГг.
i Z 2а p
В табл. 1 даны скорости распространения акустических
колебаний в различных средах 2) и их плотности.
Общая акустическая мощность сирены равна:
N=(2Kf^Q^p/2na [г* см2сек-%
где Q есть поток, питающий сирену, в см? сенГ1. При этом
сделано допущение, что в прорезях сирены поток превращается в си-
>) Сравнение технической и COS- системы мер см. стр. 247.
*) Способы определения скорости звука в различных средах из их физически*
периметров можно найти в курсе физики Гринцеля.

564 1* *• °т*- &• Техническая финика. [11. Акустика
Таблица 1. Скорость звука *)
1. В воздухе при барометрическом давлении 760.
Температура
п вС
-20
— 10
0
Скорость
звука
в м\сек
31<>,3
3;5,6
331,8
Плотность
сухого
воздуха 2) по
отношению к воде
0,001203
Температура
в 9С
[-10
-20
-40
Скорость
звука
в м!сек
337,8
343,8
355,3
Плотность
сухого
воздуха ') по
отношению к воде
0,001247
0,0С1205
2. В жидкостях и твердых телах3)
Тело
Температура]
в вС
Скорость
звука
в м\сек
Плотность
Вода
Вода
Вода
Раствор хлористого натрия 1С»'0
То же 15г'0
То же 20'ю •
То же конц
Метиловый спирт 11°'о
Метиловой спирт абс
Метиловый спирт абс
Алюминий
Железо
Железная проволока .
Сталь мягкая
Сталь отожженная
Медь
Латунь
Стекло . ,
Сосновое дерево
Дубовое дерево , .
3,9
13,7
25,2
15
15
15
14,7
4,4
8,4
23
18
15-20
10—20
15—20
10
15-20
15-17
14^7
1457
1470
1530
1650
1661
14Р6
1264
1160
5104
5124
443
4<*2
4880
3553
3479
5196
4179
3381
1
0,Р90312
0,с97019
1,С73
1,11
1,15
1,2
0,98 *)
0,794 «
0,794 * )
2,70
7,86
-7,8
-7,8
7,6.
7,6-
8,93
8,1 -8,6 V
2,4 -2,6
0,37-0,75 *)
0,61-1,03«)
нусоидальную форму без получения составляющей постоянного
тока. Возможное действие воронки или тела сирены во внимание
не принято.
Угол ср есть угол фазы между давлением и скоростью в любом
месте среды. На расстоянии г от источника звука имеем для тона
') Winkelmann, Haudbuch der Physik, Bd. II, „Akustik"
•) v. Kahlrausch, Lehrbuch der praktischen Physik, 12 Aufl.
•) Landolt-B6rnstein, Physikalisch-chemische Tabellen, 5 Aufl., Berlin 1923.
*) Плотность при 15е.
') Высушенные на воздухе.

Акустические аппараты
566
длиною волны
>• = *//
тангенс угла фаз
tg¥ = V(2*r).
Максимум давления и скорости находятся в следующем
соотношении:
р = a pv cos <р.
Величина а р cos <p есть сопротивление
распространению или волновое сопротивление шарообразной
волны. Для плоской волны имеем ср ===== 0.
В природе часто встречается. распространение звука в
неоднородной среде, притом как в воздухе, так и в воде. На
распространение звука влияют в особенности слои с различными
температурами и воздушные течения (ветры); первое встречается
преимущественно в воде, а последнее—в воздухе. Неоднородности
в среде вследствие возникающих отражений и преломлений сильно
влияют на дальность распространения звука *).
В. Акустические аппараты
Акустические аппараты (передаточные или приемные) бывают
самых разнообразных типов. Целью этих аппаратов является
получение акустической энергии из какой-либо другой энергии или жз
превращение энергии акустической в иную форму. Для этих целей
применяются, кроме акустических комплексов, испускающих или
воспринимающих звук (открытые колебательные комплексы
или излучатели звука), также и замкнутые колебательные
комплексы. В следующих отделах описаны основные формы
замкнутых колебательных комплексов и тех излучателей звука, которые
чаще всего применяются в технической акустике.
В этих акустических аппаратах особенно важную роль играет
электрическое возбуждение. Этому вопросу посвящен
особый отдел.
а) Замкнутые акустические колебательные комплексы
Основной формой практически применяемых замкнутых
механически-акустических колебательных комплексов является
соединение упругостей, почти свободных от масс, с массами, почти
свободными от упругости. Колебательный комплекс считается
замкнутым, если сопротивления излучению совершенно отсутствуют или
если ими можно пренебречь. Смотря по тому, состоит ли
колебательный комплекс из твердого, газообразного или жидкого
материала, получаются и различные основные формы (звуковой
гриб или звуковое пространство).
») Lichte, Ober den Einflufi horizontaler Temperaturschichtung des Seewassers
auf die Reichwelte von Unterwasserschallsignalen, Phys. Z. 1919, стр. 385 до 389.—
Barkhausen u. Lichte, Quimiiailve Unterwasserschallversuche, Ann. Phys.
J920, IV Folge, Bd. 62.

566
Т. I. Отд. 3. Техническая физика. III. Акуотика
Обозначения:
тют*^т^ — колебательные массы в г*,
С — упругость звукового гриба в г*—* секчу
F — поперечное сечение в см*,
I — длина в см,
Е — модуль упругости в г* см—* сек—9,
AiAjt — колебательная энергия г* см9 сек—9,
ихи% — амплитуда колебания в см,
k — фактор связи [1],
d — толщина в см,
г — радиус в сму
У»* V*h Vig — объемы в см9,
рт — плотность материала мембраны в г* см—9.
Все величины в системе COS
Звуковой гриб („Phys. Z.* 1920, 21, стр. 187) (фиг. 21) состоит
из двух масс и соединяющей их упругости. Число собственных
колебаний дается выражением:
С m10W2o '
где т10н /%,— обе колеблющиеся массы, а Сесть
упругость звукового гриба. Если эта последняя
образована прутом сечения F, длины / и
коэфициента упругости Е, находящегося под действием
продольного напряжения, то имеем:
& = ?Е 0*10+0*20
/ /WiO0*2O
Амплитуды Ux и £/2, а вместе с тем и
энергии колебания.
1*1
г
| w»
R
J
i
\е
Фиг. 21. Фиг. 22.
Ах = у «10 (2« /)2 ^12 и Л2 - ~ /%> (2*/)* £/ji
обеих масс обратно пропорциональны самим массам:
Ut: U2 = 4Х: А2 = /и^: w10.
Связь двух звуковых грибов является простейшей схемой
связи по массе (фиг. 22). Квадрат коэфициента связи двух
одинаково настроенных грибов, состоящих из отделенных друг от
друга двух масс т10 и т™ и третьей /я12, общей для первых двух,
и, наконец, из упругостеи Сг и С2
*2 = _J L___.
1 + 0*12/0*10 * + 0*i2/0|ao
Все известные колебательные комплексы, как-то: мембраны
струны, камертоны и т. д., имеют равномерно распределенную
массу и упругость. Для проектирования и теоретического расчета
определенных акустических аппаратов приходится комплексы с
непрерывным распределением приводить к эквивалентным звуковым
грибам.

Акустические аппараты
567
Звуковой гриб, эквивалентный например в
мембране, зажатой в очень тяжелое кольцо, состоит из масс и упругости:
т10 = со; m2U = 0,2d р я г2; С = 0,22r2/(d3£).
Здесь d —толщина, г — радиус, рт
упругости мембраны; /%> и С относятся к амплитуде
точки мембраны.
Звуковое пространство *) (фиг. 23) состоит
ленных пространств, соединенных каналом. Поток распространяется
из канала в обособленные
пространства. Если г есть радиус канала, то
длина его в каждом конце кажется
удлиненной на тгг/4. Звуковое
пространство есть основная форма
газообразных или жидких колебательных
комплексов.
Число собственных колебаний v
определяется выражением:
плотность, Е — модуль
центральной
из двух обособ-
Л
Чош
V*
Фиг. 24. .
'+■
VioVi
10^20
Фиг. 23.
Фиг. 25.
где К10 и ^20 — объемы обоих обособленных пространств.
Максимумы давления рх и р2 и вместе с тем колебательные энергии:
в обоих обособленных пространствах обратно пропорциональны
объемам этих пространств'
Р1.Рл = А-Аа=* V*>- V^
Соединение двух звуковых пространств (на фиг. 24 они
изображены без соединительного канала) дает простейшую схему
упругой связи.
Упругости газовых пространств пропорциональны объемам,
вследствие чего для квадрата фактора связи двух звуковых про*
странств имеем:
1 * 1
# =
1+VWVio l+ViJVnm
Примером связи комплекса из твердого материала с газообразным является
связь мембраны со звуковым пространством (фиг. 25) (налример применение в
телефоне). Упругость объема связи Vl0 для амллигуды центра мембраны равна
9Л/(а*р*г).
Квадрат фактора связи мембраны и акустического пространства равен.
1 - ,Д . 9 1 hEd*\
# =
1 + VJVK
/(■♦
0,22 * а*р г*
») „Phys. Z." 1921, 22, CTp.35i,

56В т !• 0тД 3 Технически физика, ill. Алсу с Tint a
Если заменить закрытое акустическое пространство открытым или
резонатором Гельмгольца, то пространство Улг бесконечно велико, так что
второй множигель в формуле становится равным единице, а первый остается
неизменным (применяется для громкоговорителей).
Ь) Излучатели звука, или открытые колебательные комплексы
Обозначения табл. 2 имеют следующие значения:
ws — сопротивление излучению в г* сек—г,
ms — масса, колеблющаяся в среде, в г*,
ts — затухание излучения.
Случай 1 является общим, тогда как случаи 2—4 относятся
к размерам, малым по сравнению с длиною волны.
В случаях 2—4 сделано допущение, что колебания
распространяются по всему свободному пространству.
1. Идеальный случай свободно колеблющейся
шаровой поверхности (так называемый пульсирующий или дышащий
шар).
Таблица 2. Излучатели звука 1)
о .
2§
1
2
3
4
Источники звука
Поршневидная
мембрана . . .
Закрепленная
мембрана . . .
Резонатор
Гельмгольца ....
»*
4*1 + (Х/2кг)«
^"•(^Т
*-(-^)\
^ "(-¥)••
т*
4л г» р
1+(2*/7>>'
17Т">
9VT
.-,(/+V)
ь.
2кг
П1Г
Зте* 2it r
16^2" X
K6V» 2т: г
32 X
2. Поршневидная мембрана, т. е. жесткий круглый
поршень, упруго соединенный с телом очень большой массы;
мембрана колеблется в отверстии тела соответственной величины.
3. Мембрана, закрепленная на краях.
Излучатели 1—3 считаются свободными от массы. Их собственная масса m
') .Phys. Z.\ 1916, 17, стр. 001 и 1917, \%, сгр. 261.

-Ляуетическмв ьдпарапь
569
суммируется с массой т среды. Для вычисления затухания Ь,
отнесенного к собственной массе и массе среды, имеем формулу:
s — h т* — Ь* -
1 ^ /иД/й - 1+0,2дГртт:г2/0,4гЗр '
Если колебания происходят в половинном объеме, то масса
среды увеличивается в "]f2 раз, сопротивление излучению —
в 2 раза, затухание колебания — в У 2 раз по сравнению с
колебанием целого объема.
4. При резонаторах Гель м гольца без горла
(канала) имеем / = 0; при излучении колебаний в половинный объем
масса среды остается неизменной, а сопротивление излучению и
2я г
затухание его Ь = —г— увеличивается вдвое. Собственное число
колебаний резонатора с каналом равно
яа-2 1
-а*
без канала
/ + КГ/2
V2 = 2fl2r/p.
с) Электрическое возбуждение механических колебательных
комплексов
Кривая резонанса механически-акустического колебательного
комплекса, возбуждаемого электрическим путем, может быть
получена:
1) непосредственно ваттметром *);
2) посредственно, путем
измерения ваттных и безваттных
.сопротивлений 2).
Из кривой резонанса (фиг. 26)
можно получить
механически-электрический к. п. д, i\m^e в виде
отношения отрезков АВ/АС.
Отрезок АВ представляет собой
часть подводимой электрической
мощности, превращенную в механическую;
ВС—часть, превращенную в тепло (потери
Обозначив первую через Ат% вторую через А9
Чт1е= АтКАт+ Av)' -
Для определения акустически - электрического
к. п. д. необходимо определить вторую кривую резонанса без
излучения звука.
Частота
Фиг. 26
отрезок мощности
в железе и меди),
имеем:
«) „Phys. Z", 1919, 20, стр. 104 и 1922, 23, стр. 322.
t) Ann. 4. Phys., 1^19, 60, стр. 454 и 1920, 63, стр. 67.

570 Т. I. Отд 3 Техническая физика. III Акустик»
Для подводных источников звука пользуются кривою холостой
работы, полученной в воздухе для воздушных источников звука (например,
открытый резонатор), что дает достаточно точные практические результате;; открытый
резонатор заключают в замкнутое звуковое пространство, имеющее сходные
условия. Если затухание при холостой работе «равно b , а затухание при излучении
равно Ь, го для акустическ и-м еханического к. п. д. имеем:
" ^0
т*а1т — ' D
Тогда как для акустически-электрического к. п. д., т .е. для
отношения полученной звуковой мощности к первоначально затраченной
электрической мощности, получается:
Me e Чт\е*Щт в Ат/(Ат + Av)'^ - Ь0)/ь.
С. Область частот, употребляемая
пении
в речи, музыке и
3
*>
*
$
?•■»
#•
ю*
Дин, см1
1
'
^
S
\
\
14 ч.
Ч
j
^
*г
i
1
1
1
f
' 1
Восприятие звука связано с определенными границами
интенсивности и частоты. На фиг. 27 нижняя кривая представляет
порог раздражения для
интенсивности, при которой восприятие
звука еще имеет место. Верхняя
кривая изображает порог
раздражения для интенсивности, при
которой ощущение звука
становится весьма неприятным.
Абсциссами на фиг. 27 являются числа
колебаний в сек., ординатами —
давление звука в динах на см2 при
входе в слуховой канал. Площадь,
ограниченная обеими кривыми,
называемая площадью
слышимости, содержит все слышимые тоны
любой частоты и интенсивности. Нижняя и верхняя границы
слышимости, при которых тон одновременно делается слышимым и
ощущаемым, лежат около 16 и 20000 колебаний в сек.
Область частот, употребляемых в пределах слышимости в речи
и музыке, установлена работами Карла Штумпфа i), Дэйтона
Кляренса Миллера2) и Карла Вилли Вагнера 3).
Результаты работ Штумпфа, в особенности приведенные ниже им открытые
факты, имеют основное значение для телефонной техники.
mss юг* чт ъ»т$сен
Частота
Фиг. 27.
J) Carl S t u m p f, Sitzungsberichte d. Preuss. Akadernie d. Wissenschaften 1918,
стр. 333, 1921, стр. 636.—P assow u. S с h 3 f e r, Beitra"ge zur Anatomie usw. des
Ohres der Nase und des Halses, 1919, Bd. 12, стр. 234, 1921, Bd. 17, стр. 151 и 182.
«jDaytonCUrenceMiller, The science of musical sounds, 2. Aufl, New
York 1924.
») K. W. W a g n e r, Der Frequenzberekhl von Sprache und Musik, Funk-Sonder
heft der ETZ, April 1924. „Fernsprechen ira Weitverkehr", hrsg. voro Reichspostministe-
rium, Berlin, November 19i3 * r

Частоты, употребляемые в речи, музыке и пении 571
Колебания, составляющие гласные звуки,
лежат в пределах частот приблизительно от 350 до 5700 колебаний
в сек.; компоненты колебаний, соответствующие шипящим звукам,
доходят до частот 9000 колебаний в сек. Если уничтожить
высокие обертоны, то, согласно Штумпфу, звуки речи изменятся
так, как это показано в табл. 3.
Таблица 3. Звуковая область звуков речи
Изменения, претерпеваемые звуками речи при уничтожении высоких тонов.
Верхние
границы
тонов
колебания в сек.
6020
4645
3687
2607
1933
1380
977
690
517
Гласные
_
—
Е и I несколько заглушены и
ослаблены
Е и 1 несколько хриплые и
свистящие
А = АОа, б = Об, 0 = Ufi,
Е=-Об, I = U
А затемнено* 6 = О, А = АО,
0 = U. E=Ou, I = U
А = Ао, А = Оа
А\О,А,0, почти как О; Ей 1— V
как U
Все гласные, как U
Согласные
S притуплено
S сильно притуплено, Ch слегка
притуплено
S очень нерезко, F притуплено
S и F не могут уже быть точно
различаемы; Ch схо,гн с тупым S
Sen тупое; S, F, Ch неразличаемы;
Т и Р едва различаемы; N, M, Ng, L
неясны
R очень ослаблено, все остальное
неясно или неразличаемо
R кажется глухим, слабым,
прерывчатым шумом
только слабые шумы
как выше
Влияние на телефонию. Эти данные о составе отдельных звуков речи
привели к весьма важным выводам о влиянии частоты на понятность речи при
телефонировании. Для полной передачи всех оттенков речи необходимы колебания, частота
которых находится между 10Э и 10 000 ч сек. Однако благодаря связанным с этим •
трудностям и дороговизне изготовления соответственных аппаратов, на практике
почти всегда отказываются от этой большой области частот, особенно от тонов,
лежащих выше, чем 4000 колебаний в сек., причем речь оказывается еще достаточно
понятной. Более подробные данные можно найти в статье Карла Вилли Вагнера 1).
Вторая часть этой работы относится также к тонам музыкальных
инструментов, в частности к человеческому пению, флейте, скрипка и к рожку; для
этих инструментов указаны необходимые пределы частот.
*) Der Frequenzbereich топ Sprache und Musik, FunkSonderheft d«r ETZ, April
1924, стр, 6

572 т 1- 0тД * Техническая физика. Ill Акустик*
D. Измерение интенсивности звука
1. Измерение амплитуды скорости (шайба Релея). Круглая
шайба, подвешенная на крутильной нити, стремится стать
перпендикулярно к направлению распространения звука. Величина угла
отклонения шайбы является мерой амплитуды скорости звука и
согласно гл. А (стр. 563) дает вместе с этим интенсивность звука
в соответствующем месте звукового поля. Для среднего
квадратичного значения амплитуды скорости v (эффективное значение)
воздействующего звука имеем:
1/2 = 1 . Л1/(р г» sin 2*)t
где р — плотность окружающей среды в г* см—3,
г — радиус шайбы в см,
« —- угол между нормальным и измененным положением шайбы,
М — вращающий момент, создаваемый звуком в г* с и' сек—*
Мы имеем.
где D — крутящий момент нити, *на которой подвешена шайба, 3 — угол
закручивания. D определяется из периода колебаний Т и момента инерции Jm шайбы
по формуле.
г. Измерение амплитуды давления. Амплитуда давления, так
же как и амплитуда скорости, дает интенсивность звука в
определенном месте звукового поля (гл. А, стр. 563). Выработанные для
этих измерений методы основаны на том, что под влиянием
звукового давления механические комплексы приходят в колебательное
движение. В качестве механического комплекса большей частью
служит мембрана (или пластина), амплитуда которой измеряется
оптическим или электрическим методом.
По сравнению с оптическими методами электрический метод имеет то
преимущество, что, применяя усилительные лампы, можно значительно повысить его
чувствительность. Здесь приходится применять электромагнитный,
электродинамический и электростатический принцип.
3* Субъективный метод измерения звука. Чтобы получить
представление о субъективном, т. е. вызываемом в человеческом
органе слуха, впечатлении силы звука, создается нормальная шкала
нормальных звуков разной интенсивности, с которой сравнивают
измеряемую силу звука, приводя ее в совпадение с одной из
ступеней нормальной шкалы. Оказалось, что оба звука имеют при этом
весьма различную окраску, т. е. могут быть смесью тонов весьма
различных звуковых колебаний. Для измерения шумов Баркгаузен
применял маленький прерыватель (зуммер), дававший богатый
обертонами звук с основной частотой 500 в сек. Разделенное на
15 ступеней измерительное сопротивление позволяло
последовательно в два раза уменьшать или увеличивать электрическое
напряжение на измерительном телефоне, т. е. в четыре раза
увеличивать или уменьшать интенсивность звука, при переходе на одну

Йвмереииб ин?еномхлго<л и звука. Акустика больших помещений 573
ступень вниз или вверх. Разница между двумя ступенями
(названная Баркгаузеном фоном) является, таким образом, мерой корня
квадратного из интенсивности звука.
Положение 1 (1-й фон) соответствует значению предела слышимости; положение
15 находится у предела болезненного восприятия.
Баркгаузенавский измеритель шумов вследствие своей портативности весьма
удобен для практических изм^ений силы всевозможных шумов, и потому он
широко используется для целей установления и преодоления шума.
Е. Акустика больших помещений
Требуемые акустические качества. При хорошей слышимости
звук, производимый в каком-либо месте закрытого помещении,
должен восприниматься в любом другом месте без изменения
высоты и окраски тона, с определенной по возможности одинаковой
для всех мест силой раздражения и без помех, создаваемых ревер-
брацией (послезвучанием) и эхом. Это достигается надлежащими
размерами, выгодной формой и соответствующей цели обстановкой
помещения.
Данные для строительства. Величина помещения по
возможности—не более 25000 мг для аудитории и 30000 ж3 для
музыкальных зал; плоские, неискривленные контуры. Выгодна
удлиненная прямоугольная форма, но не широкая. Следует избегать
одностороннего увеличения какого-либо одного размера, прежде всего
высоты. Выгодно действует сильное расчленение стен и потолка.
Полезны также хоры и галереи. Слишком большой выступ галереи
создает неблагоприятное экранирование звука для расположенных
под ней мест. Ложи не следует располагать тесно, наподобие
ящиков.
Для выгодного расположения и достаточного
места органа надо следить, чтобы не было никаких
строительных кожухов и никаких декоративных стен со слишком малым
количеством прорезей; своевременно получить указания у строителя
органа.
Источник звука должен находиться высоко, или ряды
кресел должны повышаться, или то и другое вместе. Основные
пункты примерно те же, что и для оптических возвышений. Для
кафедр выгодна покрышка около 3 м диаметром и задняя стена
из материала, отражающего звук. Занавесей здесь следует избегать.
Мебель лучше всего мягкая для уменьшения разницы в
затухании и продолжительности послезвучания в пустом и
наполненном помещении. В главных проходах следует постлать дорожки
для заглушения шагов.
При нагревающих и вентилирующих
устройствах следует избегать восходящих воздушных течений между
источником звука и слушателями. Для бесшумной работы следует
выбирать достаточное поперечное сечение воздушного канала и
медленно вращающиеся вентиляторы.
Путь распространения звука. Путь распространения звука при
однократном или двукратном отражении не должен

574 Т. !. Огд. 5. Техническая физика. Ш Акустика
превышать непосредственного расстояния от источника звука до
слушателя больше, чем на 17 м для речи и 12 м для музыки.
Слишком большой окольный путь ведет к появлению послезвуча-
ния и даже эхо. Это явле-
ъданици
10000 \
6000
ЧО00\
tooo\
ние устраняют, обкладывая
соответствующие
поверхности поглощающим звук
материалом.
Вычисление
продолжительности послезвуча-
ния. По Сабину
продолжительность послезвучания
составляет:
г = 0,163 V/A в сек,
где V— объем зала в м9;
А — поглощение звука,
приведенное к эквивалентной
помещений поверхности сравнения
соответствующей величины
(относится к звуку, не
отраженному поверхностями
Фиг. 28. ограждения и,
следовательно, исчезающему для уха
и из помещения). Единицей является поглощение звука идущим наружу отверстием
(полностью поглощающая поверхность) площадью в 1 м*; 0,163 имеет размерность,
обратную скорости в сек м.
Определение поглощения звука. Величины
поверхностей, окружающих помещение (стены, потолок, пол), устанавли-
Объел*
го зо ю у?
Фиг. 30.
ваются различными способами, как при техническом массовом
расчете (например, массивный пол, линолеум, деревянный пол,
деревянная обшивка, штукатурка, покрытие стен, застекление) и
умножаются на соответствующие коэфициенты поглощения звука,
приведенные в табл. 1. Рекомендуется определить поглощение
по частям, отнесенным к числу предметов или к определенному
объему.

Акустика больших помещений
Таблица 1. Поглощение звука
(при высоте тона 512 колебаний в сек.)
а) Рассчитано на 1 л**
поверхности
Облицовка из твердой сосны .0,061—0,1
Штукатурка на деревянных планках 0,033
Штукатурка на проволочной сетке 0,033
Обшкновен. кирпичная стена .... 0,032
Линолеум на твердой подкладке . . 0,030
Стекло 'обычной толщины 0,027
Штукатурка на кирпичной стене . 0,025
Бетон 0,015
Мрамор 0,010
Слушатели 0,96
Шерстяной войлок 2,5 см толщины
с тонким чехлом из материи . . 0,55
То же, покрытое краской . . 0,25—0,45
Отверстия отопительных и
вентиляционных каналов 0,50
Отверстие с^ены 0,25—0,40
Различные звукопоглощающие
материалы 0,25—0,70
Инсулит толщиною 1,3 см 0,31
Толстый ковер 0,29
Масляные картины с рамой . . . 0,28
Занавес 0,23
Ковер 0,20
Кокосовая циновка 0,17
Пробка 2,5 см толщины 0,16
Кретон (182 г/л2) 0,15
Бязь (48 г1м*) 0,019
Ь) Рассчитано
мет
на 1 прел-
Рояль . . . , .0,60
Одна женщина 0,54
Один мужчина . . 0,48
Слушатели на одну персону . . . 0,44
Мягкий стул с кожаной обивкой . 0,30
Мягкая скамья с кожаной обивкой
и спинкой (на 5 мест) .,••.. 1,10
То же на одно место 0,28
Подушка на одно место . ... 0,20
Деревянная скамья со спинкой
(5 мест) 0,039
То же на одно место 0,0077
Церковная скамья на одно месю .0,0186
Деревянный стул 0,0(82—0,01
с) Рассчитано на
пространство в 1ж'
Комнатные растения 0,11
На фиг. 28 приведены требуемые значения поглощения для соответствующих
размеров помещения.
Из таблицы видно, что тонкие легкие материалы не влияют на
поглощение. То же справедливо относительно ненатянутых нитей,
сетей и т. д.
Примерная продолжи-
тельность послезвучания, со-
ответствующая значениям у V
для музыкальных помещений,
представлена на фиг. 29; для
музыкальных помещений и
аудиторий—на фиг. 30.
Разница между
вычисленным и требуемым поглощением
звука, а также между
вычисленной и измеренной
продолжительностью послезвучания,
может быть сглажена изменением
обстановки.
Отражающие и резонирующие материалы следует по возможности помещать
вблизи источника звука. Поглощающие звук материалы следует помещать вблизи
слушателей и прежде всего на задней стене зала, противоположной источнику
звука.
Наивыгоднейшая продолжительность послезвучания
различна в зависимости от обстоятельств (фиг. 31). Однако для про-
Фиг 31.

57о Т I- Отд Я. Техническая физика. IV Зашита от сотрясения
ioaao
баоо\
стоты она может быть представлена в виде' средней величины.
Поглощение звука, необходимое для наивыгоднейшего
акустического действия, составляет в единицах около десятой части числа
кубометров в помещении (ср. фиг. 32).
Чистота тона достигается
употреблением большого количества
дерева прежде всего вокруг источника
звука. Деревянный пол лучше
настилать на деревянных подпорках,
чем на асфальте. Дерезянные
подпорки должны быть расположены
вдоль зала и находиться в
материальной связи с помостом, который в
свою очередь сделан из дерева и
покрыт деревянным полом. Дере-
Объем
i I Щи' 1 И11111
—1"1. ШТНГ I 111 f I ill 'Г in
помещения.
<V
КЮ'ТСООЖЗ
Фиг. 32.
док из деревянных планок или
незначительном расстоянии от массивных поверхностей.
вянные настилы, как и
поглощающие звук обшивки стен,
не следует накладывать
слишком плотно на массивные
поверхности. С помощью прокла-
рам следует монтировать их на
IV. Защита от сотрясения и передача звука
Составили проф. д-р-инж. Эрнст Шмидт, Данциг (А) и д-р-инж. Р. Бергер,
Берлин (В)
Причина колебаний и сотрясений кроется в
переменных силах, которые возникают во всех машинах с движущимися
частями, как благодаря ускорению неуравновешенных частей, так
и по другим причинам (давление газа, магнитные силы, отдача
работающей машины и т. п.). Колебания распространяются через
почву или через конструкции, служащие фундаментом (почвенные
колебания), а также через воздух (воздушные колебания).
Вообще говоря, оба вида колебаний встречаются одновременно. Более высокая
частота выражается, главным образом, в виде неприятных шумов, тогда как более
низкие частоты, обычно обладающие значительной энергией и амплитудой, могут
вызвать благодаря резонансу опасные силы и движения даже в отдаленных зданиях.
Сотрясение, создаваемое уличным движением, часто наносит вред зданиям,
обусловливает порчу газопроводных труб и т. п. Уничтожение уличного шума необходимо
также по гигиеническим соображениям. Сотрясения и колебания вредно отзываются
на к. п. д. самой машины и часто уменьшают продолжительность ее жизни.
А. Сотрясения и почвенные колебания
Кроме обозначений стр. 541, введем следующие:
Р — сила, действующая на фундамент, в кг,
*, К — силы, образующие колебания, в кг%
м — масса в кг сек*/см,
f — смешение из положения покоя ■ смх

Сотрясения ш почвенные коавбання 577
I - время в сек.,
f t ф — фазовый угол»
d — изменение формы упругой подставки в см.
1. Силы, образующие колебания. Два основных типа4:
периодически действующие силы и толчки.
Периодические силы могут быть разложены по Фурье на гаомони-
ческие компоненты, которые можно рассматривать порознь. (J и л ы,
возникающие при толчках, характеризуются малой
продолжительностью действия и большой амплитудой. Во избежание
появления сил, вызывающих колебания, и для возможного их
уменьшения необходимо в месте возникновения колебаний самым
тщательным образом сбалансировать и уравновесить все подвижные
части машины,а также пользоваться соответственными конструкциями
и машинами (замена молота прессом при сваривании, заклепывании
и т. д.), энергию толчков можно сильно ослабить, если уменьшить
жесткость толчка, т. е. уменьшить скорость возрастания силы.
Сотрпсения улицы вследствие уличного движения тем сильнее, чем больше
неровностей в мостовой, чем больие неэластичные массы и скорости экипчжей и
чем тверже сталкивающиеся тела. ^ странение: замена каменной мостовой деревянной
или асфальтом; дут^е шины вместо железных или резиновых, уничтожение толчков
о рельсы путем их сварки, своевременней отказ от старых экипажей с незаглу-
шенными двигателями.
s •
2. Масса и момент инерции машины. Распространение
колебательной-энергии возможно лишь тогда, когда переменная сила,
возникающая в источнике колебаний, переносится на этот самый
источник и на его основание. При этом должна быть преодолена
как инерция самой машины, так и инерция фундамента, поскольку
он прочно соединен с машиной, так что на основание действует
лишь составляющая обеих сил.
При толчке инерция массы все время противодействует
образующей силе. Если k есть величина толчка в кг в некоторый
момент, т [кг сек2/см] — инертная масса машины и фундамента,
s [см]— получающееся перемещение и t — время, то на основание
действует сила
* = *--* лг
При периодических силах вида k = kQ sin ш t также получается
периодическое движение вида s = s0sin(u>*— ?), которое, вообще
говоря, обладает некоторым сдвигом фазы по отношению к силе k.
Сила инерции равна тогда
— т --j-2-=wa>2s0sin(a>*-~ <р) = mw's,
В зависимости от угла сдвига фазы <р инерция массы
уменьшает или увеличивает силу, действующую на фундамент.
Смещение фазы <р зависит от способа соединения источника
колебаний с основанием и от упругих свойств этой последней.

578 Т. 1. Отд. I. Тсхвячеома фиаты, \V, Защит* ot шрясения
Если образуются пары сил, стремящиеся повернуть машину, то силы инерции
определяются моментом инерции. При вращающихся машинах необходимо также
считаться с жироскопическим действием вращающихся частей; при этом могут
возникнуть силы, лежащие вне плоскости действующей Пары сил. Движение ротора
с небольшим эксцентрицитетом исследовано Blaess1).
Последующее касается, главным образом, колебаний, получающихся при
передвижениях, но оно может быть перенесено и на вращательные колебания.
3. Свойства .фундамента. Одна и та же машина в зависимости
от места установки может вызвать весьма различные колебания.
Это явление объясняется особенностями
фундаментов, причем под этим словом надо
понимать не только фундамент в узком
смысле, прочно связанный с машиной, но
также более подвижную подставку
фундамента, т. е. здание, почву и т. д. При
толчках распространение колебаний тем
меньше, вообще говоря, чем незначительнее
скорость звука в материале фундамента.
При периодических силах в месте
соприкосновения машины с фундаментом
возникают периодические силы, которые
удобнее всего представить в виде векторов на
плоскости, как это принято для
изображения периодических сил в технике
переменных токов.
Фиг. 33,
Периодическую величину круговой частоты ш (равной числу колебаний в"
течение 2 л сек.) разлагают по осям соответственно подобранной системы координат
на периодические компоненты, и каждую из них, например вертикальную, можно
представить в виде вертикальной проекции вектора в плоскости на прямую („прямую
времени"), вращающуюся в этой плоскости по направлению часовой стрелки с
угловой скоростью и>. На фиг. 3s О А есть такой вектор, gg — вращающаяся прямая
времени, О А' — проекция переменной силы О А в некоторый момент. Линия ОВ,
образующая с ОА угол <р, изображает тогда переменную силу, фаза которой запаз-
Ф
дывает на время —. Можно также отказаться от проекции на прямую времени
и производить расчеты лишь с векторами как символами периодических явлений
согласно правилам исчисления двумерных векторов или комплексных чисел
в численной плоскости Гаусса.
Пусть О А изображает действующую на фундамент периодическую
вертикальную силу Я, а ОВ — получаемую при этом (при круговой частоте и>) вертикальную
слагающую движения s, с опозданием фазы <р. Если фундамент работает как вполне
упругая пружина, то s имеет одинаковую фазу с Я. Если же он действует, как
инертная масса, то s противоположно силе. Вообще же движение отстает от силы
на угол, лежащий между 0 и 180\
При определенной круговой частоте и> влияние фундамента определяется
величиной и положением вектора s по отношению к вектору силы Я, амплитуду
которого мы можем положить равной 1. При изменении частоты u>, s перемещается так,
что его конечная точка описывает кривую, точки которой соответствуют 01феделен-
ным значениям частоты и которую можно назвать „функцией фундамента". Если эта
функция известна для каждой степени свободы фундамента, то его влияние вполне
определенно. Функция фундамента имеет, вообще говоря, вид последовательных
петель (фиг. 33), т. е. при возрастающей частоте амплитуды появляющиеся коле*
>) В1 a t s t, Obex deo Masaeuausgleich rascb umlaufeader Когрег. 2АМ, 1926,
стр. 429.

Сотрясения й Ьочвътт* Койвбаням 579
бДнйВ Проходят через максимум и минимум* причем одновременно изменжется
сдвиг фазы между движением и силой. О виде функций фундамента мы еще мало
знаем. Расчеты И измерения для некоторых случаев были произведены Шмидтом.
Не столь полным образом характеризуется влияние фундамента
известными кривыми резонанса, указывающими только
амплитуду колебаний, но не фазу.
За распространением колебаний в фундаменте обычно бывает
трудно проследить. В зданиях имеет место сложное взаимодействие
продольных и поперечных колебаний в отдельных частях
конструкции, причем часто встречается местный резонанс. Этот последний
легче устранить изменением массы и жесткости колеблющихся
частей, чем путем изменений в самой машине. В почве колебания
распространяются в виде продольных, поперечных и
поверхностных волн, из коих каждая распространяется самостоятельно
с особой скоростью. Наибольшей скоростью обладают продольные
волны, тогда как поперечные распространяются несколько медленнее;
оба вида волн являются объемными. Поверхностные волны
распространяются значительно медленнее и остаются на поверхности,
не проникая, значительно вглубь. Они обычно являются наиболее
неприятными, так как благодаря распространению в плоскости
уменьшение амплитуды с увеличением расстояния является менее
значительным. Поверхностные волны особенно сильны в сырой,
мягкой земле, легко сдвигающейся; образованию волн препятствуют
возможно глубокие фундаменты (например, на сваях) и воздушные
зазоры вокруг фундамента, благодаря которому устраняется
непосредственное соединение верхней части фундамента с прилегающей почвой.
4.«Подкладки, пружинящие и заглушающие колебания.
Между машиной и фундаментом часто располагают пружины и другие
упругие подкладки, которые дают большую свободу
машине и соединенному с ней фундаменту, чем одному
только фундаменту, что позволяет лучше использовать
инертное сопротивление машины и тем ,уменьшить возникающие
силы. На „статическую" нагрузку машин (вес машины,
натяжение закрепляющих винтов) налагается
интересующая нас „динамическая" нагрузка, обусловливаемая
силами. Такие подставки могут действовать, как вполне
упругие пружины; однако может получиться и уничтожение
энергии движения благодаря внутреннему трению. В первом
случае изменение формы пропорционально и одинаково
направлено с силой. Во втором случае сжатие отстает фиг- &.
от силы на фазу ф, и часть работы изменения, формы
превращается в тепло. Работа такого материала может быть
охарактеризована взаимным положением вектора силы Р и вектора dt
определяющего изменение формы (фиг. 34). Компонента d в направлении
силы является упругой частью изменения формы, тогда как
компонента, к ней перпендикулярная, измеряет энергию, превращенную,
в тепло. Упругое изменение формы при конструкциях пружин
рассчитывается сообразно роду постройки. При плоских подкладках
она получается из размеров и из модуля упругости; в качеств

580 Т *• Отд. I. f ел нечеткая фнаяга. !V. Зашита от eofpfleertm*
подкладки наиболее пригодны вещества с небольшим модулем упру*
гости, как*то: резина, дерево, пробка, кожа, войлок и т. п.
Существенно, чтобы упругость все время сохранялась, как это имеет место
для хорошей резины, в то время как войлок и другие пористые
вещества, особенно при высокой статической нагрузке, с течением
времени становятся тверже и под действием поглощенной воды, масла
И т. п. теряют свою упругость. Статическая нагрузка, совместимая
с сохранением пружинящего действия, равна для резины и нату*
рааьной пробки окслэ 5 кг/см2\ для прессованной пробки, войлока, во*
локнистых строительных материалов и т. д. она еще меньше.
Амплитуда динамической нагрузки всегда должна быть меньше статической.
Если обозначить произведением l/2Pd общую (кажущуюся)
работу на изменение формы, то Ч2- Pd sin 6 превращается в тепло,
и тогда можно пользоваться отношением этих величин, т. е. sin ty —
как „коэфициентом поглощения" для суждения о заглушающих
свойствах материала. Измерения коэфициента поглощения различных
веществ для колебаний от 8J0 до 2000 в мин., произведенные
Ь Д1 м и д т о м, дают следующую таблицу:
Таблица 2. Коэфициент поглощения различных веществ
Резина 0,27
Волокнистые строительное пластики . . 0,14
Прессованная пробка «... 0,10—0,13
Естественная пробка « 0,06—0,11
Пружинящая конструкция "из стали или дерева 0,00
Таким образом в резине приблизительно J/4 работы, потраченной на изменение
формы, превращается в тепло. Ввиду этого, а также вследствие своего низкого
модуля упругости, она является наиболее пригодном материалом для заглушающих
подкладок^ При пользовании резиной надо обращать внимание на то , чтобы через
подкладку, не проходили болты, зажимные винты и т. п., так как это
уничтожило бы действие резины; и эти части конструкции надо изолировать.
5. Графический расчет сложных
колебательных явлений Если известна
функция фундамента, степени свободы и область
частоты, то явление колебаний может быть
графически исследовано4.
Принимают произвольную
периодическую силу Р, действующую на фундамент
(фиг. 35), и соответственно вычисляют из
функции фундамента величину и фазу
получаемого движения.
Если между машиной и фундаментом
находится упругая подкладка, то сила Р
Фиг. ьь. вызывает в ней изменение формы, а
движение машины равно sm~ Sf\- d. Чтобы
сохранить это движение вопреки инерции массы машины и
влиянию фундамента, необходима в общем сила k = Р—m<o2smt
графически определяемая, как показано на фиг. 35.
Если сила, вызывающая колебания в машине, имеет величину К,
отличную от kt то диаграмму достаточно увеличить в соотношении

Оотгйоення и почвенные колебания
581
K/k и соответственным образом изменить ее масштаб, чтобы
получить явления колебания и для этого случая. Чем больше k по
сравнению с Sp тем меньше амплитуда Колебаний, получаемых при
заданной силе.
При помощи диаграммы можно составить себе представление
о влиянии scex причин на, колебания.
Если, например, усилить пружинящее действие в подкладке, т. е. увеличить rf,
то диаграмма изменится, как* показано пунктирными линиями на фигуре
(обозначения поставлены там в скобках). В том частном случае, который показан на
фигуре,' т. е. при неизменной амплитуде Sf колебания, вектор k становится все меньше,
т. е. при той же величине силы А', возбуждающей колебания машины, колебания
фундамента усиливаются, несмотря на повышение пружинящего действия подставки.
6. Влияние конструкции здания. Распространение сотрясений
и колебаний в зданиях в сильной степени зависит от их
конструкции. Железобетон, неподвижно связывающий отдельные части,
особенно невыгоден и передает сотрясения, возникшие в одном конце
здания, в его другой конец. Неподвижные потолки и стены из
железобетона часто действуют, как резонирующая мембрана.
Помочь этому можно следующими средствами:
Обширные конструкции подразделяют посредством скважин, наполненных
упругими веществами (скважины, рассчитанные на тепловое расширение,
удовлетворяют тому же условию).
Надо избегать неподвижно укрепленных потолков и стен.
Применяют пружинящие и заглушающие подкладки в местах опоры столбов
и т. п.
Все мелкие машины и другие источники колебаний тщательно изолируются
от остова здания посредством упругих подкладок.
Все крупные машины находятся на собственных независимых фундаментах,
снабженных по возможности глубокой и обезвоженной воздушной скважиной.
Мероприятия, клонящиеся к уменьшению передачи колебаний,
отчасти противоречат требованиям статики, так что необходимо
всегда тщательно исследовать этот вопрос.
7. Общие правила, а) Сотрясения с обширной
областью частот. В машинах с сильно изменяющимся числом
оборотов или при периодических силах с многочисленными
гармоническими колебаниями трудно избегнуть всех мест резонанса. В таких
случаях пытаются избегнуть хотя бы важнейших собственных
колебаний и заглушить остальные подкладками, поглощающими
энергию (резина). Распространение колебаний в окружающее
пространство также оказывает заглушающее действие (заглушение
излучением).
Ь) Колебания постоянной частот.ы. Если машина
имеет неизменное число оборотов, так что в ней появляются лишь
силы определенной частоты колебаний то, вообще говоря, можно
путем соответственного подбора масс моментов инерции и
жесткости опорных частей конструкции так выбрать резонансные
частоты и стены, чтобы рабочее число оборотов в машине попадало
в минимум резонанса. При увеличении массы и ослаблении отдельных
частей конструкции резонансные частоты понижаются, при обратных
же мерах они повышаются,

582 1*. I. Отд. 3. Техническая физика. IT. Защита от сотрясения
Весьма целесообразно провести экспериментальное исследование колебаний при
различных числах оборотов работающей машины, например посредством
вибрографа Гейгера, а также наблюдать за влиянием небольших, легко проводимых
изменений (увеличение веса и т. д.) на кривые колебаний. Таким образом можно
получить картину колебательных явлений при различных частотах и выработать
соответственные меры.
В. Звуковые колебания
Воздушными звуковыми колебаниями (Luftschall) называются
колебания, распространяющиеся в воздухе. Они непосредственно
возникают при пении, игре на скрипке и т. п. При игре на рояле,
шуме, создаваемом машиной, наряду с воздушными возникают
почвенные колебания (стр. 576), которые переходят через подставки
в почву и стены, там распространяются дальше и лишь посредством
колебаний упругих поверхностей передаются обратно в воздух.
1. Переход звука между телами больших размеров. Два
проводника звука, граничащие друг с другом, обладают размерами
настолько великими в сравнении с длиной звуковой волны, что
в твердом материале не могут возникнуть упругие колебания.
Обозначения по системе COS (ср. стр. 247):
Ne, Nr, N^ — падающая, отраженная и проходящая энергия звуковых колебаний
на единицу граненой поверхности в г* сек~9,
я,, Да —скорость звука в первом и втором проводнике звука в см сек~~1%
Pi» Ра — плотность первого и второго проводника звука в г* слГ~ь,
/•j = atflt r2 = fl2p, — сопротивление звуку в первом и втором проводнике звука
в г* сек~~ см~ ,
Я, = fliPi^» Щ — йар^ш — жесткость звука в первом и втором проводнике звука в
т*сек—г см—1.
При перпендикулярном падении звуковой волны имеем*
N'-Ne[ al9l + ai?iJ **{\ + гА ) " N'\Hx + HJ,
d «<*1Р1+«,Р|Г - « (ri + rj -"e (Нг + НР '
Пример. Для воздуха, воды и песчаника имеем:
а ш 33 300, 144 000 и 230 000 см сек~\ р = 0.0С124; 1 и 2,3 [г* см~~3\.
При отвесном падении звука без упругих колебаний изгиба между
воздухом и водой .... ЛГ^ = 0,001153 Ne,
воздухом и песчаником . N4 = 0,000316 Ne,
водой и песчаником . . N^ =* 0,672748 Ne .
2. Передача звука через стены. Гораздо легче, чем в
предыдущем случае, совершается переход звука между твердыми
материалами и воздухом и обратно при возникновении упругих
колебаний прогиба. Тело, совершающее упругие колебания, действует
в этом случае в качестве резонатора (звуковая антенна). Если
звук падает на стены, двери, окна и т. п., то дальнейший ход его
происходит согласно фиг. 36 (наглядное изображение Бергера).

6вуковж« кояебдняя
583
Обозначение (расчитано на единицу поверхности);
ЛГд — приходящая мощность, энергия звуковых волн в ** сек—•,
N# — отраженная мощность в г* сек—*,
Nq — мощность проходящего звука в г* сек-~**
Nr — мощность звука, отраженного стеной, в г* сек—*,
Nq— мощность звука, распространяющегося в виде почвенных колебания в
соседние помещения, в г* сек—*,
Приходящий Возвращающий6*
Поток энергии от
источника звука \,/,м,,^та+лгл*А ~ ~ ■ м
* £222u22br^2%*fiflCiJ*4 _ д^ Обща* потеря звука
f Afc Воденшалъ~звул,
/гаспространяк*-
Eaj4 щийся по ъдер •
' дым. частям
* Поте/гя звука
вследствие превда*
Поток Kpd
энергии на поверх
кости пластины.
Противоположной^
источнику Звука
щсния etc 3 тепло
Прошедший звук
Фиг. 36.
Np — звуковая мощность, проникающая в поры в щели, в г* сек—*,
Npv — звуковая мощность, обращаемая в порах и щелях в тепло, в г* сек—*,
Npd— звуковая мощность, прошедшая через поры и щели, в г* сек—а ,
Nm — звуковая мощность, поглощенная стеной, в г* сек—*, ,
Nmv— звуковая мощность с помощью трения внутри стены, превращенная
в тепло, в г* сек—*,
Nsr — звуковая мощность, излучаемая стеной в сторону источника звука, в
t* сек —*,
ЛГ5</— звуковая мощность, излучаемая стеной в противоположную сторону, в
t* сек—\
Ns —общее излучение стены в ** сек—*,
Nw — звуковая мощность, превратившаяся в тепло внутри стелы, в *• сск—*>,
Nv — звуковая мощность, потерянная в стене, в г* сек—■,
< ND=»pd+"sd. NR=*r+"sr> Nw=>**pv + Hmv.
**v = Hpv + >tmv + HB'' N,= Nsr + t*sd-
Для защиты от передачи звука величины ND и NB должны
быть по возможности малы. Стена должна пропускать по возможности
меньше звука в противоположную сторону и в соседние помещения.
Npd будет мало, если уничтожить воздушные пространства
в щелях.

584 Т. I. Отд. I. Техническая физика. IV Защита от сотрясения
Nsd будет мало, если будет мало звуковое излучение стены
!\ls = Nsr 4- Nsd, причем упругие колебания должны быть сделаны
по возможности меньшими.
N# будет мало, если соседние помещения хорошо защищены
от почвенных колебаний посредством прокладок из материалов,
заглушающих звук с незначительным сопротивлением.
3. Стены в качестве резонаторов. Стена приводится
звуковым полем, действующим с одной стороны в упругие колебания, и
с обеих сторон передает колебания обратно в воздух.
Обозначения по системе COS:
*, х, х — отклонение, скорость и ускорение стены в см, см сек—1,
см сек—9;
Р —общая переменная сила, действующая на поверхность стены
со стороны звукового поля, пропорциональная поверхности стены в 2* см сек—*,
т — масса стены в г*,
wv — сопротивление стены на трение (потери на трение) в г* сек—1,
Wq — сопротивление к^-аев стены (проводимость почвенных
колебаний в соседние помещения) в г* сек—1,
ws — сопротивление излучения (передача звука воздуху с обеих
сторон колеблющейся стены) в г* сек—1,
w = wv -f- wq -f- ws —сопротивление стены в г* сек—\
С — упругость стены в г*—х сек2,
I, Ъ, s — длина, ширина (Ь </) и толщина стены в см,
F — поверхность стены в см9,
В —модуль упругости стены в г* см~~1 сек~~-9,
р — плотность стены в г* см—9,
Л — плотность воздуха в г* см—*,
щ— скорость звука в воздухе в см сек—1,
X — длина звуковой волны в воздухе в см,
Кх — постоянная, сводящая упругие колебания стены к упругим
колебаниям поршневой мембраны.
Kt — постояьная, зависящая от способа закрепления краев стены,
v = 4'bVr/fr —функция для сравнение размеров стены с
длиной волны X звуковых колебаний;
- Л(у) — бесселева функция первого порядка, находится по таблицам,
hty\ = 1—2 Л(У)/У~Функция, позволяющая судить об излучении звука.
Уравнение движения стены, совершающей упругие колебания,
имеет вид:
р= mx + wx + xfC
или
Р » KXF 89х + К + wB + ws) х + E^bt(P' x,

О л но вы оптаки
585
Теоретический расчет передачи звука прямоугольной стеной
для практики слишком сложен. В будущем следует ожидать опытов,
делающих возможным упрощенное рассмотрение этих вопросов.
Для квадратной стены в первом приближении теория дает:
У>4; /Л>0,564 и Л(у)я^1,
следовательно,
ws *= aihF>
у<4; //Х< 0,564 и h (у) жуЛ,
следовательно,
ws^=alplF-\J72 l[k,
при ,у<4 стена излучает шаровые волны, при -у>4 — более и
более плоские волны. Таким образом, если на стену падают звуковые
волны, то она получает тем меньшее ускорение, чем она тяжелее.
Амплитуда ее тем меньше, чем больше жесткость , прогиба стены.
Чем больше внутреннее сопротивление, тем больше звука
превращается в тепло. Уменьшение послезвучания в помещениях
достигается в случае, если стены легко проводят звук, если окна открыты
или поверхности стен обшиты сильно поглощающими звук
материалами.
V, Оптика1)
Составил д-р Г. Шульц, Берлин.
А. Основы
Электромагнитные волны, длина которых лежит между 300 ц
и 20 м\х, называются световыми волнами.
В области от 300 ц и до 800 му. лежат тепловые волны (ультракрасные или
инфракрасные световые волны); область от 800 м[* до 400 м\ь обнимает видимые
световые волны, в то время как более короткие волны, обладающие преимущественно
химическими свойствами, обозначаются термином ультрафиолетовый свет8).
Скорость распространения всех этих волн в вакууме равна
300 000 км/сек\ в иепоглощающих весомых телах скорость эта меньше.
Отношение скоростей в вакууме и в данном теле называется
показателем преломления.
Для измерения скорости света пользуются способами либо астрономическими
(затмение спутников лун Юпитера, способ Р е м е р а, 1675 г., аберрация постоянных
*) Литература: F6rsterling, Lehrbuch der Optik, Leipzig, 1928, Hirzel.—
Oehrke, Handbuch der physikalischen Optik, Leipzig, 19^7, Jon. Ambr. Barth.--
Lummer, Die Lehre von der strahfenden Energie (Optik), Braunschweig, 1926, Vieweg A
Sohn.—С zapski-Eppenstein, Grundzuge der Theorie der optischen Instruments
Leipzig, 1924, Joh. Ambr. Barth.-Gl eichen, T. eorie der modernen optischen Instru-
mente, Stuttgart, 1923, Enke.—А. К С n i g, Fernrohre und Entfernungsmesser, Berlin, 1923,
Springer -HU S c,h u 1 z, Das Sehen, Stuttgart, 1920, Enke.—С hvolion, Lehrbuch
der Physik, II. Bd., 2. Abt.. Braunschweig, 1925, Vieweg & Sohn. -P la n k, Eiofuhrung
In die theoretische Optik, Leipzig, 1927, Hirzel.
tj i p чг i/1000 мм v 1Q—• мм: U|ir 10—• мм.

586 т I. Отд. 8. Техническая физика. V. Огттнк*
«везд, способ Б р е д л е ж, 1726 г.), либо физическими (измерение временя, в течение
которого световой сигнал проходит определенное расстояние, способ Физо, 1849 г.).
Для объективного измерения интенсивности излучения
пользуются термоэлементом, болометром или
фотоэлектрическими элементами (элемент с калием) *). Для
видимой области обычно бывает достаточно субъективных методов.
Восприятие света. Всякое световое ощущение характеризуется
яркостью, цветом и насыщением. '
Яркость определяется объективной интенсивностью излучения,
тогда как цвет и насыщение зависят от спектрального состава. По
мере уменьшения длины волны световое ощущение переходит от
красного к оранжевому, желтому, зеленому, синему и .фйолето-;
вому.
Причина цветного восприятия. По Юнгу-Гельм-
гольцу ощущение цвета сводится к возбуждению
определенных органов восприятия, находящихся в сетчатке человеческого
глаза. Эти органы расположены на концах нервов, лежащих
непосредственно против входного отверстия (зрачка). Основными
элементами восприятия являются красный, зеленый и фиолетовый.
Ощущение „белого" цвета наступает в случае, если все три
основных элемента раздражены в одинаковой мере 2).
Основной белый цвет образуется совместным действием всех
длин, волн; если распределение интенсивдости по спектру
соответствует распределению интенсивности солнечного спектра, вторичный
белый цвет получается при возбуждении глаза ограниченными
участками спектра. Цвета, дающие в соединении ощущение белого цвета,
называются дополнительными (красный + зеленый, оранжевый +
синий, желтый + фиолетовый).
Соответственными методами (призмы, диффракционные решетки
и т. п.) можно, наоборот, разложить белый цвет на составные цвета
(фиг. 52а, 52Ь стр. 597) и таким образом получить спектр, который
имеет вид веера, расположенного по длинам волн, начиная от
красного цвета (около 800 м\С) и кончая фиолетовым (около 400 мр).
Твердые и жидкие тела при лучеиспускании дают непрерывный
спектр, т. е. они посылают свет всех длин волны.
Источником чистого температурного
излучения служит черное тело, т. е. пустое пространство с
поглощающими свет стенками, излучение которого не зависит от
констант самого тела. Основными законами черного излучения
являются: закон Стефана-Больтцмана (стр. 638), закон
смещения Вина, связывающий длину волны \т, соответствующую
максимуму энергии с абсолютной температурой Г по формуле:
ХШГ=2940(Х в к)
») Е. О е h г k е, Handb. d. Pbyslk, Optik, Bd. II, стр. 240, Leipzig, 1927, Job. Ambf.
Barth.
*) А. К б n I g, Physiologische Optik faus Handbnch der ExptriroeotalphysUi von
ЧМеп Harms, Bd. 20). Leipzig, 1929. Ated V«rlagsge|

Отражение и преломление
587
и, наконец, закон Вина-Планка, дающий распределение энергии
Лез 1
^гя Х5 ' eWK){cikT)— 1
h = 6,55 (эрг/с»*)
Л" = 1,346 • 10 — 16 (эрг/град).
с = 3.1010 (см\сек).
Подобные законы имеют место для полированной платины и других тел, гак
что, применяя их, можно судить о температуре излучателя по его излучению 1).
Раскаленные газы испускают лишь волны определенной
длины, характерные для их химического состава. При этом
получаются линейчатые или полосатые спектры (химический
спектральный анализ 2). Если между источником света и спектроскопом
находится газ, лучеиспускающий слабее, чем источник (например солнце
и окружающая его корона), то газ поглощает те самые линии,
которые он испускал бы,будучи раскаленным; в спектре в соответствен^
ных местах получаются узкие темные линии, называемые линиями
Фраунгофера (1814 г.), чем дается основание для астрономического
спектрального анализа. Фраунгофер обозначил наиболее сильные
линии (идя от красного к фиолетовому) последовательными буквами
алфавита от А до Н, что позволило распределить спектр и ввести
однозначные обозначения. Эти обозначения часто употребляются
вместо указания длины волны (см. ниже „Призмы", 591).
В. Отражение и преломление
а) Общие сведения
Лучистая энергия, доходящая до границы двух тел, отчасти
отражается назад, отчасти же преломляется и проходит во вторую
средину. Для каждого элемента поверхности нормали
к падающей отраженной и преломленной волне лежат j
в одной плоскости; они образуют с нормалью к
элементу поверхности углы ib */, /2, для которых имеем
(фиг. 37):
it = //; пх sin ix = п2 sin /a
(закон преломления и отражения; пг и п2 дают Фиг. 37.
коэфициенты преломления первой и второй средины).
Вместо абсолютных значений коэфициентов преломления, относящихся к
безвоздушному пространству (практически к воздуху), часто приводятся относительные
значения (я = пг\п£. Значения углов преломления, соответствующие различным
относительным коэфициентам преломления в заьлсимости от угла падения, пред*
ставлены на фиг. 38.
*) Lummer, Qrundlagen, Ziele und Orenzen derLeuchttechnik. Mfinchen u. B«r»
Un, Oldenbourg. G ei g e r-S с h e e 1. Handbuch der Physik. Bd. XIX, 1928.
*)Form4nek, Die quantitative Spektralanalyse, Berlin, 1900, Rudolf MQcken»
berger.—К aiser, Handbuch der Spektroskopie, Leipzig, 1900 bis 1913 (l. bis 6. Bd.),
Hirze]

588 Т. I. Отд. t. Техническая физии. V. Оптик»
Построение преломленного луча. Вокруг точки падения О
(фиг. 39) описывают два круга с радиусами г = 1 и р = л. Через
точку пересечения прямой ЁО и круга г = 1 проводят прямую £fG,
параллельную перпендикуляру к плоскости падения ON. OG
представляет собой преломленный луч *).
Другой метод определения преломленного луча представлен на фиг. 40. Из
точки О проводят падающий луч ОА под углом, соответствующим величине угла
падения (47 е). Далее проводят прямую АВ до пересечения с дугой круга, радиус
которого равен коэфициенту преломления второй среды (ОА » 1). Тогда прямая ОВ,
соединяющая точки О и а, дает на делениях круга угол преломления (25 ).
Если совокупность элементарных поверхностей образует математически
определимую поверхность, отклонения которой от идеальной формы малы по сравнению
с длиной волны, то такая поверхность называется оптически гладкой
(полированной, зеркальной). Если же элементы плоскости по величине и направлению
распределены неравномерно, то поверхность называется матовой (рассеивающей).
Идеально отражающей является плоскость, которая отклоняет падающий
пучок световых лучей по направлениям, определяемым законами отражения и
преломления ; идеально рассеивающей (диффузной) является поверхность,
которая при любом направлении падающих лучей отражает во все стороны
приблизительно одинаковое количество энергии (к такому случаю близко подходит
полированная пыеовая повеогьо ть). .,
Фиг. 38. Фиг. 39.
Сумма отраженной J# или преломленной JD энергии всегда
равна падающей энергии У0 . (70 = J#-{- JD). Отраженная
интенсивность при отражении от непоглощающих изотропных тел равна:
J0 I/stnft-frU» /tg(/t-fr)\»\
* = Тysin Oi + h)! + Itg (h + i2)j ) '
•Если ix или i2 равно 90°, то J# = J0; вся энергия остается
в той же среде, в которой находится и падающий пучок (it = 90°—
скользящее падеяие; /2,= 90° возможно лишь при лх^> щ и
соответствует случаю полного внутреннего отражения).
Графический метод определения значений
sin ft-/,): sin (/, + /*) и tg-(/1-fr):tg(/1+*)
заключается в следующем: пусть ОЕ-—падающий. OR — отраженный, OQ-—
преломленный луч. Проводим через произвольную точгу Е падающего луча прямую,
параллельную 00. Тогда отрезок OQ', если ОЕ принято за единицу, дает отношение
sin (h - 4): sin (/j + h) .
») H. S с b u 11, Zeichnerische Darstellung der geometrisciieu Optik, Scbweldntt*
1927, Kohn.

Отражение й преломление
5s*
уляр, опущенный из Q' на 00, отсекает на 00 отрезок, равный отно»
^ению tg (/, - 40 : tg (/, + к) (Ф«г. 39).
В телах поглощающих отражательная способность почти не
зависит от угла падения (для серебра, смотря по степени полировки*
80—96%, для стали 65—70%).
В отношении распределения интенсивности в спектре
отраженного света следует различать свет, отраженный от граничной
поверхности, и свет, возвращающийся изнутри после многократного
преломления. Последнее явление преобладает при цветных окрасках
(измельченные поглощающие
вещества, взвешенные в
растворах, штукатурки).
Распределение цветов по
Оствальду.
Белый цвет отражает все длины
волн видимого спектра полностью
(практически до Р5», черный
поглощает весь падающий свет (окраски
отражают больше 2°о). Смеси черного
с белым дают серый ьзет (не цветной
по Оствальду). Окрашенное цвета,
полностью отражающие половину
видимого света и полностью
поглощающие другую половину, называются
полными иветностями при этом одна из
с»тих двух областей должна быть
непрерывной. Все практически существующие цвега
могут быть представлены в виде смеси дачного
цвета с белым, черным или в самом общем
случае с белым и черным цветом, так что если общее
количество цветов принять за 1G0, то каждый
цвет может быть изображен тремя двузначными
числами, из которых первое дает цветовой тон,
второе и третье — содержание белого и черного
цвета. Изображение цветово1Х тонов по Оствальду
начинается желтым = 00 и проводит через
красный = 25 и синий = 50 к зеленому = 75. Для
практики вместо ста делений достаточно иметь
шкалу с 24 ступенями цветных тонов и 8
ступенями белого и черного цвета, для которых
выбирается ряд букв а, с, е, g[, i, I, n, р, так что
напр. 75 ng означает зеленый цвет с примесью
около 7°/о белого и 78о/0 черного *).
Получение изображения светящейся точки. При
отражении или преломлении лучи, исходящие из светящейся точки Р,
меняют свое направление. Если после преломления или отражения
лучи пересекаются в одной точке, то там получается
действительное изображение точки Р\ если же лучи пересекаются
при продолжении их назад, то изображение называется мнимым.
Плоские зеркала, т. е. полированные плоскости с большой
отражательной спосооностью, дают мнимые изображения.
Предмет и изображение лежат одинаково далеко от зеркала и имеют
£ . Тяжелый* Y [ т
§ 1 Средний ^%9\^Г^
^ I Легкий - v
/луг* стенло/ ^
Вода ' ~
Воздух
Лерпемд,и*ул*ц1
\ в точке -адения.
Фиг. 40.
») О s t w а 1 d, Mathetische Farbenlehre, 2. Aufl., Leipzig, 1921, Unesma.—Ders.t
Physikalische Farbenlehre, Leipzig, 1919, ebenda.—F о de s t a. Physiologjsche
Farbenlehre, Leipzig, 1Ш,ebenda.-Klughardt, Z. f. techn. Physik 1927, стр. 299; 192S, стр. 3&,

590 *. t. Отд. 8. Техническая физйКа. V. Оптике
одинаковые размеры. Сферические зеркала дают, вообще
говоря, изображения увеличенные или уменьшенные, которые при
выпуклых зеркалах всегда мнимы, »а при вогнутых мнимы и
действительны.
Ь) Линзы
Линзы, или чечевицы, являются прозрачными телами*
ограниченными двумя шаровыми поверхностями; в зависимости от
положения и кривизны поверхностей
пучок параллельных лучей либо собирается
(фиг. 41а) или рассеивается (рассеивающие
линзы (фиг. 41Ь).
Для линз и сферических зеркал имеем
следующее соотношение между расстоянием
предмета s, расстоянием изображения s' и
фокусным расстоянием / (фиг. 42а),
_ 1/5+1/^=1//,
причем все расстояния считаются от точки 5
положительными по направлению
движения света. Величина изображения у'
получается из величины предмета по
формуле y'/y = s'ls. Для графического
построения имеем следующее правило: из
точки Q (черт. 42Ь) проводится параллель
к оси линзы (или зеркала) FF',
преломленный луч проходит через задний фокус F'.
Луч, идущий через передний фокус F,
проходит сзади линзы параллельно к ее оси.
Точка пересечения Q' является точкой
изображения. При рассеивающих линзах
фокус Ff лежит впереди линзы, а фокус F—
позади ее. При сферических зеркалах единственный фокус F
расположен посредине между центром шаровой поверхности и зеркалом.
Для тонких линз имеем следующую формулу фокусного расстояния;
1//-=(л-1)(1/г1+1/'Ж
где п есть показатель преломления, а г± и га — радиусы обеих
шаровых поверхностей, ограничивающих линзу. При выпуклых
пофиг. 42а.
is:
*N
I9
Фиг. 42b.
s£
имеют положительный знак, а при вогнутых — от-
верхностях они
рицательный.
При линзах конечной толщины, прежде всего при сильно изогнутых стеклах,
как это часто делается в современных очковых стеклах, следует определять место
бесконечно тонкой линзы равного действия (главная плоскость), расстояние которой
от материальной линзы может быть весьма значительным.
Точное построение изображения возможно лишь при небольшом наклоне лучей
к оси, притом лишь для одной определенной линии волны. Поэтому обычно
пользуются сложными составными системами (объективы и окуляры из многих линз,
склеенных или несклеенных между собой), при которых погрешности изображения
доделены до допустимого минимума; этот минимум определяется недостатками

Отражение в Upeaolttfefiil*
591
ГЛаа или регистрирующего приспособления (фотографическая пластинка). Для тоз-
ного расчета хода лучей в таких сложных системах необходимо производить триго*
нометрические вычисления. Для качества изображения весьма важно положение
диафрагм, т. е. экранов, ограничивающих пучки световых лучей.
Недостатки простых линз
1. Сферическая аберрация. Лучи, падающие
параллельно оси на большом от нее расстоянии вследствие большого
отклонения во внешних частях линзы, не собираются в одной точке и
отклоняются от сходящегося к оси пучка так, что в месте
изображения точки могут получиться две линии (астигматизм).
Если астигматизм резко выражен, то пучки лучей, главный луч которых
наклонен к оптической оси, вообще говоря, не будет сходиться в одной точке. На
изображении получится пятно, интенсивность которого убывает к одной из сторон
(Кома). -
2. Искривление изображения. Точечные изображения
больших предметов также не получаются достаточно резкими,
так как поверхность изображения искривлена и не все точки
изображения попадают на экран (фотографический слой, проекционная
стена). /
3. Искривление. Масштаб изображения различен для
различных частей его, вследствие чего прямые линии на изображении
получаются искривленными.
4. Хроматическая аберрация. Вследствие
зависимости коэфициента преломления от длины волны положение фокуса
и фокусное расстояние меняются с изменением окраски света;
в результате получаются изображения разной величины,
расположенные в разных местах. При конструировании оптической системы
необходимо учитывать, какие недостатки являются в данном случае
помехами и должны быть устранены. Одновременное полное
устранение всех недостатков невозможно.
Единицей оптической силы служит диоптрия. Линза с фокусным
расстоянием, равным 1 м, обладает оптической силой в 1 диоптрию.
с) Призмы
Приемы состоят из куска прозрачного тела, ограниченного
по менъыей мере двумя плоскостями. Падающий луч (фиг. 43) при
преломлении отклоняется от своего
первоначального направления и разлагается
в цветную полосу (дисперсия, или
рассеяние). Размеры рассеяния
цветов определяются составом стекла;
различают дисперсию частичную, полную и
относительную.
Если х и у — лучи определенной длины волны, то разность соответственных
показателей преломления пх — Пу называется частичной дисперсией, поскольку я и у
ограничивают лишь часть спектра. Если промежуток между этими двумя волнами
обнимает весь видимый шектр между фрауигоферовыми линиями от А до И

5gJ T f. Отд. I. Тмиичвекня фяатг*. V. Огттмка
(пли же от В до 0>, то получаете! полная дисперсия *н~~пА (яО~я£)- Вместо огив*
сительной дисперсий v = г- часто пользу iotci обратным значением ,
обратной относительной дисперсией;
Соединяя две призмы вместе, можно или устранить дисперсию
или добиться того, что проходящий луч не изменит направления
(ахроматические призмы и призмы прямого зрения). Отклонение
без разложения света на цвета достигается также в случае, если
лучи входят и выходят либо вертикально к поверхности, либо же
под равными, но обратными углами (измерительная призма по
Бауернфейнду, пентапризмы, призмы Порро). .
С. Оптические инструменты
а) Осветительные приспособления
При непосредственном освещении искусственными источниками
света часто не получается достаточной интенсивности. Применяя
зеркала или линзы, можно уменьшить расхо-
чг-тр ждение лучей, испускаемых источником; при
JjjL пользовании конденсорами можно даже
giaf заставить лучи сходиться. Конденсоры, упо-
&Д требляемые для проекции, состоят из двух
а ь или трех линз (фиг. 44а — простой симметри-
Фиг 44 ческий конденсор; фиг. 446 — тройной
конденсор); они отбрасывают изображение
источника света на входную диафрагму проектирующей системы.
Точное схождение лучей в одной точке здесь не нужно. Эти системы
ахроматизируются лишь в специальных случаях. Излучение, уходяшее в обратную сторону,
улавливается специальными зеркалами, чем усиливается свет (зеркальные лампы).
Прожекторы соединяют лучи, исходящие из источника, в
параллельный пучок. Для этого пользуются зеркалами из металла или
же из стекла, сзади посеребренного; для больших расстояний
зеркала всегда берутся параболические. Источник света находится
в фокусе.
Так как каждый источник света имеет конечные размеры,'
то лучи подвергаются рассеянию. Сила света по осевому
направлению равна J = HF (А/— поверхностная яркость источника света,
F — сечение зеркала). Рассеяние о определяется углом, внутри
которого сила света не менее половины ь чеимальной силы света
(иной раз и до 10%). Общий световой поток, исходящий из
прожектора, при нормальном распределении света равен
Ф = max Уо2/3500.
На проекционном экране поверхности F2 освещение
E=(nJIF2)ig*m,
если конденсор (зеркало) виден из источника света под углом ф.

Оптические инструменты
S93
Обычные размеры зеркал колеблются между диаметрами 200—2500 мм,
фокусные расстояния — между 75 — 960 мм, тогда как рассеяние малых зеркал доходит
до 10° (автомобильные прожекторы), для больших она равна
приблизительно 0,75е. Наибольшая сила света лежит между 6000 свечей Гефнера (ацетиленовое
пламя) и 2 000 000 свечей (угли Герц-Бека). Расстояние, на которое свет проникает,
равно от 100 м до 115 км (вдоль горизонта); среднее поглощение света в воздухе
равно 10°'о на 1 км. Прожекторы для торговых судов имеют диаметр 600 мм, а
прожекторы для аэропланов — 300 мм.
Ь) Лупы и микроскопы» зрительные трубы
Лупы. Для увеличения небольших предметов и для отсчета
шкал пользуются лупами, увеличение V которых определяется их
фокусным расстоянием / в мм. Для нормального глаза имеем
К = 250//. Предмет должен находиться поблизости от переднего
фокуса линзы. При увеличениях, больших чем К =30, получаются
заметные искажения изображения. Вследствие незначительного
расстояния и ограниченного поля зрения лучше пользоваться простыми
микроскопами (фиг. 45), когда V больше 10; эти микроскопы
| С щ О t А ПА
I 1v аьь. а
Фиг. 45. Фиг. 46.
состоят из объектива О и окуляра А Если обозначить через F
фокусные расстояния объектива, через /—фокусное расстояние
окуляра и если расстояние соседних фокусов (оптическая длина
трубы) есть /?1/72 = Д, то V=&/F-250/f, где А//7 — с обствен-
ное увеличение объектива, а 250//—увеличение окуляра
(номер окуляра). Д лежит обычно между 160 мм и 200 мм. При
небольших увеличениях (до 50) достаточно обычного освещения.
При большем увеличении приходится прибегать к особым
осветительным приспособлениям (конденсор С—фиг. 45).
Диафрагмируя надлежащим образом освещающий пучок, можно
воспрепятствовать непосредственному проникновению света в
окуляр, так что небольшие частицы, расположенные внутри препарата,
начинают благодаря дифракции ярко светиться, в то время как фон
остается темным (освещение при темном поле) (ср. кар-
диоидный конденсор (фиг. 46). Для непрозрачных предметов
(металлические шлифы) необходим вертикальный осветитель V (фиг. 45),
состоящий из плоско-параллельной пластинки и небольшого зеркала
или призмы над объективом.
Разрешающая способность определяется размерами
наименьшего еще видимого элемента структуры. Эта способность
зависит от длины волны X освещающего света и от численной
апертуры а объектива ak конденсора (апертура, или отверстие,
измеряется произведением из показателя преломления и синуса
половины угла отверстия объектива, измеренного из фокуса). Максимум
а и ak равен приблизительно для сухой системы 0,95, и для масля-
•*•

5£4 т ] 01Д 3- Техническая физика. V. Оптика
ной иммерсии (кедровое или парафиновое масло) 1,4, а так как мы
имеем Ь = Х/(а + ak), то для Х = 560 му. значение 5 равно 0,2 {а.
Увеличить разрешающую способность можно, применяя
ультрафиолетовый свет и фотографию. Микроскопы для мастерских
15<К<500, препаровочные микроскопы 10<V<30,
металлографические микроскопы 17<V<2200.
При исследованиях металлов необходимо весьма сильное освещение, так как
в большинстве случаев приходится работать с очень большими увеличениями.
Исследуемый образец (травленный шлиф) кладется на горизонтальный стол,
находящийся сверху перпендикулярно поставленного объектива. Источник света,
микроскоп (с изломанным ходом лучей) и фотографическая камера с большим расстоянием
часто монтируются на оптической скамье. Микроскоп снабжен подъемным окуляром.
Для исследования горных пород и руд микроскопы часто
снабжают поляризационными приспособлениями, чтобы различием цветов
повысить контрасты и иметь возможность наблюдать
поляризационные картины.
Зрительные трубы служат для рассматривания удаленных
предметов под большим углом зрения. Фокусное расстояние F
объектива всегда больше фокусного расстоя-
о л ния / окуляра (фиг. 47). Увеличение
<-—\ . V=F/ft тогда как яркость Я выражается
Ы ч чеРез Н = №1 Ю2» гяе & есть диаметр
уи объектива в мм. Субъективное
поле зрения определяется величи-
фиг. 47. ной поля окуляра, которое может быть
использовано; для нормальных
окуляров оно равно 40 — 50°, но в исключительных случаях может
доходить до 70°. Объективное поле зрения определяется
делением этого числа на V.
Ручные зрительные трубы имеют положительный окуляр по Рамсдену,
Гюйгенсу или Кельнеру и снабжены обычно системой призм для обращения
изображения между объективом и окуляром; увеличение равно 3—15, яркость лежит между
9 и 81. Для ночных наблюдений пригодны лишь зрительные трубы с Н > 25. Трубы
с рассеивающей линзой в качестве окуляра (трубы Галилея) применимы лишь до V=6,
так как иначе поле зрения становится слишком малым. Потери на отражение меньше,
чем в призматических трубах, так как на одни только призмы приходится потеря
света в 25° с. Зрительные трубы часто применяются для наводки или для отсчета
шкал (трубы с автоколлимацией при осветительных призмах Р) Гфиг. 47). Трубы,
служащие для прицела орудия, обычно имеют обращающую систему линз между
объективом и окуляром.
с) Фотографическая оптика
Фотографические объективы, вообще говоря, являются
собирательными системами, дающими действительные изображения.
Качества еистемы определяются коррегиро'ванием фокусного расстояния/
и соотношением отверстия О : /, где D есть диаметр входной
диафрагмы. Чем больше отношение отверстий, тем ярче изображения,
раамеры которых растут вместе с фокусным расстоянием. На
практике сейчас применяются только апланаты (с плоским полем
изображения) и анастигматы; первые имеют полезное поле зрения
около 40°, а последние 55 — 60°.

Олтические инструменты
595
Фокусное расстояние обыкновенных объекгивов обычно равно диаметру
наибольшей фотографической пластинки, на которой должно еще получиться резкое
изображение: так, для пластинки 9X12 см фокусное расстояние равно 150 мм.
Наряду с этим употребляются объективы большого отверстии
с полем зрения до 110° и телеобъективы для дальних снимков.
Для съемки быстро движущихся предметов требуется большое
отношение отверстий D:f; так, для кинообъективов оно равно 1 :1,8 до
3,2, для нормальных объективов D:f лежит между 1 :4,5 и 1 :б,8,
а для репродукционных объективов — между 1:11 и 1:15.
Определяемая соотношением отверстий относительная сила
света не дает надежного значения для действительной силы света.
Чем лучше коррегирован объектив, чем больше он содержит
линз, тем больше потери на отражение, которые при светосильных
объективах достигают 60%. Далее надо иметь в виду, что с
увеличением силы света величина полезного поля зрения вследствие
сильного диафрагмирования убывает с краев.
Фиг. 48а.
Фиг. 48Ь.
Фиг. 48с.
Фиг. 48d.
Чем проще конструкция объектива, тем лучше изображение, так как при
наличии большого числа отражающих поверхностей вследствие многократного отражения
света возникают вредные побочные изображения.
Система линз. Простейший апланат (перископ) состоит из двух собирающих
менисков, расположенных симметрично по отношению к диафрагме (фиг. 48а);
сферическая аберрация и искривление устранены, астигматизм и хроматическая
аберрация еще имеют место. Последние могут быть устранены в случае, если обе линзы
составлены из разных сортов стекла (флинт- и кронгласе) (фиг. 48Ь). При
анастигматах, состоящих по меньшей мере из трех асимметрично расположенных линз (фиг. 48с
и d) вследствие исправления астигматизма практически достигается совершенно
плоское изображение. Для изготовления анастигматов необходимы специальные
сорта стекол (аномальные стекла, у которых дисперсия стекол
с большим коэфициентом преломления меньше, чем у стекол
с меньшим коэфициентом преломления). Отдельные группы
линз не употребляются сами по себе; при двойных
анастигматах (фиг. 48 е), состоящих в большинстве случаев из двух
полностью коррегированных анастигматов, расположенных
симметрично по отношению к диафрагме, можно
использовать как весь объектив, так и при незначительном
диафрагмировании переднюю или заднюю линзу отдельно. Такие
системы представляют вследствие этого набор объективов.
Телеобъективы состоят из собирающей и рассеивающей систем
(телепозитив и теленегатив). Общее фокусное расстояние F
получается из фокусных расстояний fx и ft положительной и отрицательной части и
расстояния между обеими по формуле
/'-ЛЛ/СЛ-г-Л-').
откуда получаем увеличение V=zFif\. Изменением е увеличение может быть
установлено в определенных границах. Для фотографирования при ультрафиолетовом
сзете употребляются объективы, изготовленные из материала, проницаемого для
ультрафиолетовых лучей (преимущественно кварц и плавиковый шпат), так как
флинтглас заметно поглощает, уже начиная с 400 мц.
Фиг. 4Se.

596 т- т- 0тД- 3- Техническая физика. V. Оптика
Глубина объектива не зависит от конструкции и определяется
фокусным расстоянием и отверстием диафрагмы. Она измеряется
разностью обратных расстояний наиболее- близкого и наиболее
далекого предмета, изображения которых еще получаются резкими.
Глубина тем больше, чем меньше фокусное расстояние и отверстие
диафрагмы.
Для объективов со средним фокусным расстоянием (/ порядка 1С0 мм) глубина
объектива легко вычисляется в предположении, что допустимая неточность
составляет ОД мм. Если d— диаметр диафрагмы в мм, а расстояние установки
пластинки от объектива—а в м, то наименьшее (av) н наибольшее (л^) расстояние до
предметов, изображения которых еще достаточно резки, даются следующими
уравнениями:
\\av = \\а + 1/d; \\ah = \\a - \\d.
При любом фокусном расстоянии /имеем:
- - & °h:
Of*
/4-0,1-г (а-У)
/»-0>(а-/) '
Объект
Фиг. 50.
где г =//d —относительный коэфициент
отверстия.
Необходимое диафрагмирование при
допустимой неточности в 0,1 мм должно быть
равным
_ r = f(ah - av)l[vOMah +■ av)],
где v __ получаемое на снимке уменьшение.
Расстояние установки предмета определенной
глубины (от а% до av)
a = lafiavi(ah + av).
Если предмет удален от объектива на п
фокусных расстояний, то изображение будет
уменьшено в отношении
1 : (я - 1).
К фотографическим аппаратам
присоединяются простые
проекционные приборы, применяющиеся как
для проходящего света (диаскоп),
так и для падающего (эпископ)
или в виде комбинации того и
другого (эпидиаскоп).
Зегшало
В первых источник света L (в настоящее время в большинстве случаев лампа
накаливания) проектируется на объектив Р (фиг. 49), в то время как диапозитив D
находится непосредственно позади конденсора К; вместо конденсора часто применяют
зеркало. При эпископической проекции свет, исходящий от лампы, направляется на
проектируемый предмет, укрепленный с помощью особого держателя против
диафрагмы или стеклянной пластинки. Проекционный объектив с большим фокусным
расстоянием (/=300—400 мм; сильные увеличения вследствие невыгодного
использования света не рекомендуются) находится над объектбм. Свет, отраженный
объектом, проходит через объектив, после чего отклоняется с помощью призмы
или зеркала на 90°. Последовательное расположение зеркала и проекционного
объектива может быть изменено <фиг. 50). В качестве проекционных объективов
служат светосильные системы типа Petzval или тройные системы, конструкция
которых сходна с линзой Cooke (Cooke-Linse). Если зеркало сделано вращающимся,
то один и тот же аппарат может быть использован как в качестве диаскопа, так
и в качестве эпископа; при чисто эпископическом проектировании вокруг объекта
может быть расположено несколько ламп (шаровой эпископ).

Оптические инструменты
597
d) Измерительные инструменты
Рефрактометр (фиг. 51) служит для определения показателя
преломления твердых и жидких тел. Исследуемое тело, если оно
твердое, должно иметь плоскую поверхность, кладется на
измерительную призму М и освещается пучком света, приблизительно
параллельным к поверхности соприкасания; если тело твердое, то
оно должно иметь одну плоскую поверхность. Коэфициент
преломления п0 призмы М всегда должен быть больше, чем коэфициент
преломления тела К, вследствие чего все лучи в призме имеют
Фиг. 51
Фиг. 52а.
угол наклона / к перпендикуляру меньший, чем угол, определяемый
соотношением siniT = п/п0 (предельный угол при полном
внутреннем отражении). Направление выходящего луча ВС
измеряется посредством трубы, вращаемой вокруг оси А; показатель
преломления п вычисляется по известному коэфициенту п0 и по
углу преломления ср (рефрактометр Пульфриха и Аббе).
Если освещать тело К светом в порядке различной
длины волн (например водородной трубкой, свет
которой состоит из длин волн С = 656 м [л, F = 486 м ^ и
G' = 434 м\х и натровым пламенем), то получается
также значение v для тела К.
Спектрометр. Непосредственное определение
величины пвозможно при применении спектрометра,
состоящего из коллиматора «S и зрительной трубы Ft
вращаемой вокруг
вертикальной оси и снабженной пере- ^
крестными нитями (фиг. 52а). |
Призма Р, преломляющий угол ф Т~ ~"~
которой определяется пугем
измерении я угла х — 2<р (фиг. 52Ь),
образуемого параллельными пучками,
отраженными от обеих плоскостей АВ и
Л С, устанавливается на минимум Д
отклонения преломленного луча (симметрический ход лучей), после чего коэфициент
определяется по формуле:
п ~ sin (Д 4- Ч>№ : (sin ф/2).
Спектроскоп. Для исследования спектра испускания служит
спектроскоп; в простейшем виде он состоит из щели S, на-
Фиг. 52Ь.

598
I. Отд 3. Тстнптостсая физика. Т. Оптика
холящейся в фокальной плоскости коллиматорной линзы О, и из
рассеивающей призмы прямого зрения (фиг. 53). При наблюдении
спектра испускания раскаленных доменных газов можно определить
ход процесса в конверторе Бессемера или в доменной печи.
Присутствие следов металлических паров (Na, Си, Fe и т. д.) выражается
в появлении определенных линий или групп линий в спектре
(спектральный анализ).
Колориметры служат для определения концентрации растворов
красящих веществ. Согласно закону Веег'а для данных компонент
произведение из концентрации на толщину слоя
постоянно. Таким образом для нормальных
растворов концентрация
может быть легко найдена,
если будет определена
толщина одинаково
сильно поглощающего
-Ш""1 раствора извест-
J I , ной концентрации.
л
SMMMW
Простой
колориметр (Stammer,
Dubosq),
употребляемый в сахаропромыш-
ленности при
исследовании масел и в
аналитической химии, со-
Фиг. 54. Фиг. 55. стоит из двух трубок,
через которые
проходит свет от общего источника (белый экран S, фиг. 54)! позади трубок находится
призма сравнения Р и окуляр L.
Оптические пирометры. Они представляют собой
фотометрические аппараты, служащие для измерения температуры. Яркость
в большинстве случаев для ограниченной области спектра
сравнивается с яркостью нормальной лампы, причем яркость лампы
сравнения L измеряется с помощью сопротивления (фиг. 55) или
производятся измерения освещенности поверхностей, освещенных
лампой сравнения и светящимся телом с помощью головки
фотометра Кёнига-Мартенса (пирометр Холборна-Курл-
б а у м а, пирометр В а н н е р a) i.
D. Поляризация2)
Общие понятия. Указание длины волны и
амплитуды еще недостаточно для определения характера колебания. (
Необходимо также знать направление колебания электрической
OHenning, Die Grundlagen, Methoden und Ergebnisse der Temperaturmessung,
Braunschweig, 1915, Vieweg & Sohn.— Holborn, Scheel u. Henning, Wfirmeta-
bellen, Braunschweig, 1919, Vieweg & Sohn.—Gehlhoff, Lehrbuch der techn. Physik, 1.
Bd., Leipzig, 1924, Jon. Ambr. Barth. — K«in ath, Elektr. Temperaturmessgerute, Mun-
chen u. Berlin, 1923, Oldenbourg.
*) Berek, Mikroskopische Mineralbestimmung, Berlin, 1925, Borntr3ger. —
VV. J. Schmidt, Anleitung zu polarisationsmikrosfeopischen Untersuchun gen fur Biolo-
gen, Bonn, 1924. Fr. Cohen.—Wei nschenk, Das Polarisatfonsmlkroskop, 5. u. 6. Aufl.,
bearbeftet von J- Stiny, Freiburg i. BM 1925, Herder.

ГГо;тлр1Т8ЯЩпт
699
силы или же положение плоскости поляризации, нормальной
к электрическому вектору (линейно-поляризованный свет).
Свет, имеющий колебания только в одном направлении,
называется линейно-поляризованным. Явления поляризации
основаны на разложении обычного света на две взаимно перпендикулярно
поляризованные компоненты; при применении черного зеркала
и стеклянных пластинок получаются лучи преломленный и
отраженный, тогда как двупреломляющие кристаллы (турмалин, известковый
шпат) дают луч обыкновенный и необыкновенный. Вообще говоря,
вторая компонента тем или иным путем удаляется из пучка лучей.
Особенно часто пользуются так называемыми
призмами Глана-Томсона *),
состоящими из соответственным образом разрезанного и
затем вновь склеенного канадским бальзамом
куска исландского шпата (известковый шпат,
гексагонально-ромбоэдрической системы).
Размер 2 W пространственного угла Ь, внутри которого выходит
поляризованный свет (с — темнота, а — естественный свет), зависит
не от отверстия, а только от угла S (фиг. 56) и положения
кристаллических осей.
Свет эллиптической и круговой поляризации получается при
наложении двух взаимно перпендикулярных поляризованных
линейных колебаний, обладающих различными фазами (применение
кристаллических пластинок).
В оптически активных субстанциях, как и при прохождении через вещества,
науодящиеся в сильных электрических или магнитных полях,
линейно-поляризованный луч разлагается на две поляризованные по кругу компоненты, разпространяю-
щиеся с различными скоростями. По выходе наружу эти компоненты снова
соединяются, образуя линейно-поляризованный луч, плоскость поляризации которого
повернута относительно плоскости поляризации падающего луча. Важнейшими
субстанциями являются: нитробензол (элемент Каролуса) и тяжелое свинцовое
стекло (стекло ч* а р а д е я). Применяются для изменения интенсивности света
в телевидении и звуковом кино.
Поляризационные аппараты. Они состоят по существу из
дпух поляризационных призм (поляризатор и анализатор),
осветительной оптики и зрительной трубы для наблюдения; они
употребляются для наблюдения за ходом производства на сахарных заводах,
промышленности искусственного шелка и т. д. Эти аппараты обычно
снабжены компенсаторами из кварцевых клиньев, что позволяет
пользоваться белым светом.
Поляризационные микроскопы. Отличаются поляризационные
микроскопы от нормальных тем, что они снабжены поляризатором
перед конденсором и анализатором в тубусе или позади окуляра.
При исследовании шлифов горных пород в поляризационном
микроскопе пользуются получаемыми при двоя:омлучепреломлении
интерференционными цветами (получаются при пользовании
параллельным пучком поляризованного света) или поляризационными
фигурами (сходящийся пучок).
J) Wien-Harm», Handb. d. Experimentalphyaik Bd 18, Absclin Polarisation dci
Liclites, Leipzig, 1928, Akid Verlagsg-ee.

600 т- 1- 0тД 3- Техническая физика. V. Оптика
Фотоэластический метод. При воздействии внешних сил (тепло,
давление) в теле получается определенное распределение напряжений,
что влечет за собой двоякое лучепреломление (оптическая
анизотропия). Прозрачная модель, дающая при надлежащем
освещении правильное распределение напряжений, наблюдается в
поляризационном свете.
Чтобы можно было одновременно обозреть большее поле, помещают
поляризационные призмы в месте скрещения лучей (фиг. 57). С —конденсор,
Я—поляризатор, L—линза, Л1 —мо-
L И о, л дель, Ох и 02—объек-
А °* ^^. тивы, А — анализатор,
п ^""""^ S — пластинка или
экран. Иногда в местах
Vt и К, помещают
кристаллы, дающие
разность фаз на !J4 волны
и, следовательно, свет
круговой поляризации).
Если модели изготовлены из стекла, то двойное преломление во всех случаях
пропорционально напряжению; в целлулоиде имеется упругое последействие,
вследствие чего к измерениям можно приступать лишь спустя некоторое время;
измеряемое двойное преломление может быть компенсировано соответственными
приспособлениями (натянутая стеклянная пластинка, компенсатор Бабине).
Применения: исследование конструкционных элементов, частей аэропланов,
а также работающих инструментов.
Е. Интерференция
h~f-'
н л
Интер-
При наличии двух когерентных волн (происходящих от одного
и того же источника света) одинакового периода имеет место
пространственное колебание
интенсивности
(интерференция). Две отражающие
поверхности, расположенные на
близком расстоянии, дают
интерференцию одинаковой
толщины (мыльный пузырь),
ференция происходит в первом
приближении, на передней поверхности.
Места равных расстояний обеих
поверхностей кажутся имеющими одинаковую
интенсивность или окраску. При
пользовании белым светом различные длины
волн взаимно налагаются, так что
разность хода может быть наблюдаема
только приблизительно до 8 длин волн
(толщина 4р.); при однородном свете и правильно диафрагмирован-,
ном источнике света полосы могут наолюдаться и при разности
хода по воздуху в несколько сантиметров.
Интерференцией пользуются для измерения небольших изменений расстояния
или разностей толщины (дилатометр Аббе-Физо, интерференционный индикатор
Кирнера, интерференционный компаратор Гепеля). Так как одинаковой толщине
всегда соответствует одинаковое порядковое число полос (порядковое число равно
Фиг. 58.

Интерференция
601
числу длин волн в разности хода), то путем счета полос можно установить разность
толшины.
Два масштаба приблизительно одинаковой толщины ABEF и A'B'EF (фиг. 58)
стоят против плоскости D'D\ находящейся у призмы интерференционного
компаратора Кестера (L—источник света, О—объектив трубы, Л0—окуляр, Ж—перекрестные
нити окулярного микрометра). Разница в толщине равна числу полос, видимых
в отражённом свете между D и D', помноженному на длину волны.
Для исследований наиболее пригоден свет гелия, так как он
дает при определенных порядковых числах характерные окраски.
Употребляются также кадмиевая искра и ртутная лампа, охлаждаемая
водой. В качестве нормальных длин волны пользуются следующими:
Нормальные длины волн ji
Кадмий
Красный 0,6438472
Зеленый 0,5085824
Синий 0,4799911
Ртуть
* / 0,5790659
Желтый ( 0,5769598
Зеленый 0,5460742
Фиолетовый 0,4358342
Неон
- / 0,6096154
Красный ( о,5944832
Желтый /0.5881892
ЖеЛТЫЙ 10,5852489
Гелий
Красный 0,6678147
Желтый 0,5875618
Голубой 0,4921927
Новейшие исследования показали, что желто-зеленая линия криптона 0,56495924
вследствие простой структуры является более выгодной, чем линии кадмия, так что
было предложено считать ее первоначальной нормалью.
К технически важным применениями интерференции принадлежит также
предложенный Грюнейзеном метод определения растяжения упругих стержней
н метод Корнуша для определения поперечного сжатия.
Интерференция равного наклона получается у
плоскопараллельной пластинки (установки Л у м м с р а, Перо). При
однородном свете получается достаточная резкость даже при разности
хода в 1,2 • 1С1 длин волн. Для измерений пользуются обоими
родами интерференции (интерферометр Майкельсона) или же
смешанными видами интерференции. Так, для измерения метра
в длинах волн, как единственной известной нам неизменной длины,
пользуются различными методами.
1 м = 1 553 164,13 длин волны красной кадмиевой линии. Измерения настолько
точны О/40 *■ до ^50 *•)» что ими пользуются для проверки оптических систем (кольца
Ньютона, методы Братк е-В етцман и Твимана) и для определения
незначительных изменений плотности в газах (изменение плотности воздуха при
прохождении летящих снарядов, газовый интерферометр, исследование рудничных газов).

IV ОТДЕЛ
Теплота
Составил проф. Е. Молье. Дрезден, при участии проф. Мерке ль, Дрезден.
Перевод и дополнения под редакцией проф. Л. П. Смирнова.
Стр.
I. Общие тепловые свойства
тел
Температура 603
Расширение тел от тецлогы 605
Теплоемкость (удельная теплота) . 607
T'MHL'paiypa смесей 610
Изменение строения тел от теплоты 611
II. Передача теплоты
Теплопроводность 614
Конвекция . 622
Прохождение тепла — (теплопере-
пад) 634
Прохождение тепла (теплопере-
иад)при переменных
температурах жидкостей 635
Прохождение тепла через стенки,
снабженные поперечными
ребрами 637
Излучение тепла • . . Ьо1
Передача 1епла путем конвекции,
1еплопроводносги и излучения . 642
II! Основные законы
термодинамики
Два основных закона
термодинамики 643
Полезная работа 645
Форм>лы, основанные на обоих
главных законах 645
Графические изображения .... 646
IV Совершенные газы
Обшие понятия 647
Смеси газов 653
Особые случаи изменения еоиои-
ния ,,,.... 654
Особые рабочие процессы . . . . <>57
Стр.
V Пары
Насыщенный пар . 663
Перегретый пар (несовершенный
газ) 664
Смесь воздуха и водяного пара
(влажный воздух) 680
Применение к теории паровой
машины 686
Аккумулирование водяного пара 688
Применение термодинамики к
теории холодильных машин .... 690
VI. Движение газов и паров
Истечение 700
Формулы для истечения воздуха и
насыщенного водяного пара . . 7С4
Движение газов и паров по
трубопроводам 70S
Мятие (дросселирование) 712
VII Горение
Сгорание, вспышка, быстрота
распространения вспышки, взрыв 714
Единицы мер и обозначения . . . 722
Расчет потребного для полного
сгорания количества кислорода и
воздуха, а также количества и
состава от-содяших газов . . . . 723
Соотношения между составом
топлива и составом сухих дымовых
газов, избытком воздуха и
количеством отходящих газов . . . 726
Г' плот ворная способность (теплота
горения) 729
Сгорание углерода и водорода . . 731
Уравнения сгорания для углерода
и водорода 734
Температура сгорания 734
Горение, температура
воспламенения, пределы и скорость
воспламенения 737
Газообразование
(газогенераторный процесс) 740

Температура
603
I. Общие тепловые свойства тел 1)
А. Температура
Утвержденная декретом Совнаркома мера температуры (t) есть
деление стоградусной термодинамической шкалы;
термодинамическая шкала практически не отличается от шкалы Цельсия *). Градус
этой шкалы обозначается знаком °. Температура, которая
отчитывается от исходной точки, лежащей на 273° ниже нуля шкалы
Цельсия, называется абсолютной температурой (Т), а ее
нулевое деление — абсолютным нулем:
T = t + 273.
Помимо стоградусной шкалы Цельсия (С) применяются также
и шкалы Фаренгейта (F) (в Америке и Англии) и Реомюра (R).
Между температурными шкалами существуют нижеследующие
зависимости:
13C = VR = VF; 1°R=VC=9|«°F; l°F=VR = 5le3C
Температура по Цельсию =s/9 X (темпер, по Фаренгейту — 32°) = 5/4 X темпер.
по Реомюру.
Температура по Реомюру = «|5 X темпер, по Цельсию = */«, X (темпер, по
Фаренгейту — 32°).
Температура по Фаренгейту = 9/б X темпер, по Цельсию -f- 32' = 9/4 X темпер
по Реомюру -f- 32D.
(См. на обороте таблицу для сравнения градусов.)
Для пересчета величины „абсолютной температуры" из градусов Цельсия Т
в градусы Фаречггйта Тф имеем следующие формулы:
Т = t + 273 Тф = /ф 4- 459,4.
Т = 5/9-/ф + 255,2 Тф = »/.,./ + 491,4,
т^'Ъ-Тф тф = >/5.г.
За техническую единицу тепла принимается количество
теплоты, необходимое для нагревания при атмосферном давлении 1 кг
воды с 14,5° до 15,5°. Эта единица тепла называется килограмм-
калорией (кг-кал) в отличие от единицы тепла, отнесенной к 1 г
воды — граммкалории (г кал) — и применяемой в физике и химии.
Тепло может измеряйся также единицами работы или энергии. Например :
1 кг-кал - 4184 ваттсекундам; 1 кг-кал = 427 килограммометрам (кгм); 1 кгм =
= 0,002342 кг-кал; 1 киловаттчас=860 кг-к ал=367 000 кгм; 1 лош.сила,'час=632лгг-*ал=
= 270 000 кгм.
Число J/427, которое применяется для перевода единицы работы (кгм) в
единицу тепла (кг-кал), обозначается в последующем буквой А; эта величина зависит
от ускорения силы тяжести (стр. 250). На 45° широты и на уровне моря 1/Л=426,9,
а при g — 9,81 1/Л = 426,75. В последующем для 1/А будет всегда применяться
число 427 (А — механический эквивалент тепла).
*) Для более детального ознакомления см. „Das deutsche Gesetz ubex die
Temperaturskala mid die Wfirraeelnheft", Max Jacob, ZdVdI. 1924, т. 68,
стр. 1176.

504 Т. I Огд 4 Теплота. I. Общие тепловые свойства тел
Таблица 1. Сравнение градусов Цельсия и Фаренгейта.
с
- 20
-19
-18
-17
-16
-15
-14
-13
—12
-11
-10
— 9
— 8
- 7
- 6
-5
- 4
— 3
- 2
- 1
0
4- 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
F
-4,0
— 2,2
-0,4
+ М
3,2
5,0
6,8
8,6
10,4
12,2
14,0
15,8
17,6
19,4
21,2
23,0
24,8
26,6
28,4
30,2
32,0
33,8
35,6
37,4
39,2
41,0
42,8
44,6
46,4
48,2
50,0
51,8
53,6
55,4
57,2
59,0
60,8
62,6
64,4
66,2
68,0
69,8
71,6
73,4
75,2
77,0
78,8
80,6
82,4
84,2
С
+ 30
31
32
33
34
1 36
36
1 37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
1 55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
1 79
F
+ 86,0
87,8
89,6
91,4
93,2
95,0
96,8
98,6
100,4
102,2
104,0
105,8
107,6
109,4
111,2
113,0
114,8
116,6
118,4
120,2
122,0
123,8
125,6
127,4
129,2
131,0
132,8
134,6
136,4
138,2
140,0
141.8
143,6
145,4
147,2
149,0
150,8
152,6
154,4
156,2
158,0
159,8
161,6
163,4
165,2
167,0
168,8
170,6
.172,4
174,2
С
+ 80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
1С6
107
108
109
ПО
111
И2
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
J29
F
+ 176,0
177,8
179,6
181,4
183,2
185,0
186,8
188,6
190,4
192,2
194,0
195,8
197,6
199,4
201,2
203,0
204,8
206,6
208,4
210,2
212,0
213,8
215,6
217,4
219,2
221,0
222,8
224,6
226,4
228,2
230,0
231,8
233,6
235,4
237,2
239,0
240,8
242,6
244,4
246,2
248,0
249,8
251,6
253,4
255,2
257,0
258,8
260,6
262,4
264,2
С
+ 130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
F
+- 266,0
267,8
269,6
271,4
273,2
275,0
276,8
278,6
280,4
282,2
284,0
285,8
287,6
289,4
291,2
293,0
294,8
296,6
298,4
300,2
302,0
303,8
305,6
307,4
309,2
311,0
312,8
314,6
316,4
318,2
320,0
321,8
323,6
325,4
327,2
329,0
330,8
332,6
334,4
336,2
338,0
339,8
341,6
343,4
345,2
347,0
348,8
350,6
352,4
354,2
С
+ 180
181
1 182
| 183
184
185
180
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
1 197
198
199
20Э
210
220
230
240
250
i 260
| 270
280
290
300
1 310
320
330
340
350
360
370
380
390
400
410
420
430
440
450
460
470
| 480
490
F
+ 356,0
357,8
359,6
361,4
363,2
365,0
366,8
368,6
370,4
372,2
374,0
375,8
377,6
379,4
381,2
383,0
384,8
386,6
388,4
390,2
392
410
428
446
464
482
500
518
536
554
572
590
608
626
644
662
680
698
716
734
752
770
788
806
824
842
860
878
896
914
С
+ 500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200
1250
1300
1350
1400
1450
1500
1550
1600
1650
1700
1750
1800
1850
1900
1950
2000
2050
2100
2150
2200
2250
2300
2350
2400
2450
2500
2550
2600
2650
2700
2750
2800
2850
2900
2950
F
+ 932
1022
1112
1202
1292
1382
1472
1562
1652
1742
1832
1922
2012
2102
2192
2282
2372
2462
2552
2642
2732
2822
2912
3002
3092
3182
3272
3362
3452
3542
3632
3722
3812
3902
3992
4082
4172
4262
4352
4442
4532
4622
4712
4802
4892
4982
5072
5162
5252
5342

Расширение тел от теплоты
605
В английской системе мер за единицу тепла принимается го ею количество,
которое нужно для йаг^еда X фунта (англ.) воды на 1° Фаренгейта, British
Thermal Unit (BTU), 1BTU = 0,252 кг-кал (см. „Приложение") ').
В. Расширение тел от теплоты
Под коэфициентом линейного расширения а —
1 dl
= — -т- твердого тела подразумевают увеличение единицы длины
тела при повышении его температуры на 1°. Под коэфициен-
том объемного расширения Р = тт ~уг твердого, жидкого
или газообразного тела подразумевают увеличение единицы объема
тела при повышении его температуры на 1°. Для однородных
твердых тел р = 3а. Коэфициент расширения п л о щ а д и = 2а.
Таблица 2. Линейное расширение твердых тел2)
между 0° и t° в мм; отнесено к 1 м длины при 0°
Алюминий •
Берлинский фарфор . . .
Бронза
Золото
Иенское стекло 16 III . .
• 59 III . .
„ 1565 III . .
Константан
Латунь
Литое железо
Литая сталь
Магнии
Машинный чугун
Медь красная
Никель
Олово
Палладий
Платина
Платина-иридий 80 : 20<>/0 .
Сварочное железо . , . .
Свинец
Стекло кварцевое . . . .
Серебро
Цинк
Чугун высокого качества
0 до
-190°
-3,43
-0,32
•2,84
-2,49
-1,12
-0,82
-2,26
-3,11
-1,67
- 1,64
-4,01
- 1,61
-2,66
-1,89
-4,24
-1,93
-1,51
-1,43
-1,68
-5,12
0,0
-3,21
-1,85
- 1,59
0 до
100°
2,38
0,30
1,75
1,42
0,81
0,59
0,345
1,52
1,84
1,20
1Д7
2,59
1,04
1,65
2,67
1,19
0,90
0,83
1,22
2,92
0,05
1,97
1,65
1,04
0 до
200*
4,94
0,66
3,58
1,67
1,20
0,72
3,12
3,85
2,51
2,45
5,39
2,19
3,38
2,42
1,83
1,70
2,53
0 12
4,00
2,21
0 до
300°
0 до
400°
0 до
500'
7,68
1,03
5,50
2,60
1,83
1,12
4,81
6,03
3,92
3,83
8,36
3,45
5,18
4,34
3,70
2,78
2,59
3,93
0,19
6,08
3,49
10,60
1,41
7,51
3,59
2,47
1,56
6,57
8,39
5,44
5,31
11,53
4,82
7,07
5,91
5,02
3,76
3,51
5,43
0,25
8,23
4,90
13,70
1,82
9,61
4,63
3,12
2,02
8,41
7,06
6,91
14,88
6,31
9,04
7,56
6,38
4,77
4,45
7,02
0,31
10,43
6,44
0 до
600°
16,67
2,24
8,79
8,60
7,91
11,09
9,27
7,79
5,80
5,43
8,71
0,36
12,69
8,09
0 до
700°
2,63
10,63
10,40
11,05
9,24
6,86
6,43
10,49
0,40
15,14
9,87
») Перевод единиц кг-кал в единицы BTU см. том II главу „Топливо" в отделе
„Материаловедение".
*) Согласно испытаниям Phys.-Tec tin. Reichsanstalt; см. Werraetabellen von
Holborn, Scbeel und H e n n i n g Брауншвейг, 1919, изд. F. Vieweg, а также
ZdVdI. 1902 г., т. 46, стр. 1532.

606 Т. I. Отд. 4. Теплота. I. Общие тепловые овойотва. тел
0 до
800 ■»
()до
900°
0 до
1000°
0 до
1100°
0 до
1200°
~7Гдо~
1300°
0 до
1400°
0 до
1500э
Берлинский фарфор . . .
Никель
Палладий
Платина
Платина-иридий 80 : 20°/о .
Стекло кварцевое
3,10
12,89
10,74
7,94
7,47
0,45
3,69
14,80
12,27
9,05
8,53
<\50
4,31
16,78
13,86
10,19
9,62
0,54
10,73
11,88
13,05 14,26
15,49
Таблица 3. Объемное расширение 1000 В при комнатной
температуре (20°).
Алкоголь 1,1)
Бензол 1,25
Вода 0,18
Глицерин 0,50
Керосин . . . 1,00-0,92
Оливковое масло . 0,72
Репное масло . . . 0,90
Ртуть 0,181
Серная кислота . . . 0,55
Скипидар, 1,00
Эфир 1.60
Таблица 4. Линейная усадка некоторых металлов
(уменьшение линейных размеров отлитого предмета при его затвердевании и
охлаждении).
Бронза 1 : 63
Висмут ...... 1 :265
Колокольный
металл 1 : 65
Латунь 1 : 65
Литая сталь . . . 1 : 64
Ковкий чугун ... 1: 72
Олово ...... 1 : 128
Пудлинговая
сталь 1 : 72
Пушечный металл 1 !134
Полосов. железо
прокатное • . . 1 : 55
Свинец 1 : 92
Стальное литье . 1 : 50
Цинк литой . . . 1 : 62
Чугун 1 : 96
100 вес. част, меди 1
125 вес. част. >1 : 134
олова )
В сталепрокатных мастерских принимают усадку равной в среднел! 12 мм
на 1 погонный метр
Таблица 5. Удельный вес и удельный объем воды при
различных температурах
(По Тизену, Шелю, Хирну, Диссельгорсту, РамзеюиЮнгуи др.).
OS
О-
<и
is.
•S
2
£
л 1
Удел
вес
>> о
HP
«*
Ч ус
>> о
Н t-
>» СО
3 S
с; <у
■С \о
>> О
S2*1
SW
>» ш
ja 2
е- <и
2> to
>» О
0°
2
4
6
8
1)
12
14
Г6
18
20
22
24
26
28
0,99987
0,99997
1,00000
0,99997
0,99988
0,99973
0,99953
0,99927
0,99897
0,99862
0,99823
0,99780
0,99732
0,99681
0,99626
1,00013
1,00003
1,00000
1,00003
1,00012
1,00027
1,00048
1,00073
1,00103
1,00138
1,00177
1,00221
1,00268
1,00320
1,00375
30°
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
55
60
65
70
0,99567
0,99505
0,99440
0,99372
0,99299
0,99224
0,99147
0,99066
0,98982
0,98896
0,9881
0,9857
0,9832
0,9806
0,9778
1,00435
1,00497
1,00563
1,00632
1,00706
1,00782
1,00861
1,00943
1,01028
1,01116
1,0121
1,0145
1,0171
1,0198
1,0227
75'
80
85
90
95
100
по
120
130
140
150
160
170
180
190
0,9749 |
0,9718 !
0,9687 !
0,9653 .
0,9619
0,9584
0,9510
0,9435
0,9351
0,9263
0,9172
0,9076
0,8973
0,8866
0,8750
1,0258
1,0290
1,0324
1,0359
1,0396
1,0434
1,0515
1,0600
1,0694
1,0795
1,0903
1,1018
1,1145
1,1279
1,1429
200°
210
220
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
0,8628
0,850
0,837
0,823
0,809
0,794
0,779
0,765
0,75
0,72
0,70
0,68
0,66
1,1590
1,177
1,195
1,215
1,236
1,259
1,283
1,3^8
1,34
1,38
1,42
1,46
1,51

Теплоемкость (удельная теплота)
607
Таблица 6. Объем 1 кг воды в литрах при различных
температурах и давлениях
[По Б р и д ж м а н у, Z. f. anorg. Ch. 1912, 77, стр. 384 (извлечение)).

Давление
am
1
1000
2000
4000
6 000
8000
10 000
12 000
0°
1,0001
0,9579
0,9261
0.8808
0,8481
Температура
ii(i
10° 20е
1,0002
0,9603
0,9294
0,8844
0,8510
1,0017
0,9631
0,9328
0Л61
0,8546
0,8276
301 1 40е I 50°
1,0042
0,9664
0,9365
0,8898
0,8565
0,8301
0,8108
1,0077
0,9701
0,9404
0,8957
0,8624
0,8361
0,8150
0,7967
1,0119
0,9744
0,9446
0,8997
0,8Ь63
0,8400
0,8189
0,8006
60е
1,0169
0,9792
0,9490
0,9038
0,8703
0,8439
0,8227
0,8044
70° J 80-
1,0225
0,9843
0,9538
0,9081
0,8743
0,8478
0,8265
0,8081
1,0288
0,9897
0,9586
0,9124
0,8782
0,8514
0,8301
0,8116
Таблица 7. Удельный вес и удельный объем сжиженных газов
при 1 am давления и соответствующей температуре кипения
2 я
Н as
3 5
>, 00 1>> О «*
Гелий, Не ....
Водород, Н . . .
Азот, N....
Окисьуглерода, СО!
Аргон, Аг
Кислород, О . . . |
-253
• 195
-190
■186
■ 182
0,1222
0,0700
0,804
0,793
0,713
1,143
8,18
14,30
1,244;
1,26с1
1.4°2
С,875|
Хлор, С1 . . . .
Аммиак, NH4 • .
Хлористый метил,
СН8С1 I!
Сернист, газ, SO,.
Хлор, этил, С,Н6С1
— 24
— 10
+ 13
1,560
0,680
0,99
1,46
0,921
0.641
1,47
1,01
0,6?5
1,085
Расширение газообразных тел. При условии расширения под
постоянным давлением все газы имеют один и тот же коэфициент
объемного расширения р =— отнесенный к объему при 0°, т. е.
^-^"273"""^ ~273 + *i *
У> _ 273 + /2
Vx 273 + tL
С. Теплоемкость (удельная теплота)
Таблица 8. Теплоемкость воды
Теплоемкость с по Барнесу
7!>
t
(>°
• 5
10
15
2)
25
с
1,0091
1,0050
1,0020
1,0000
0,9987
0,9978
/
30е
35
40
45
50
55
с
0,9973
0,9971
0,9971
0,9973
0,9977
0,99Ь2
/
60°
65
70
75
80
85
■ ч ' ш 1
е
0,9088
0,9994
1,0001
1,0007
1,0014
1,0021
/
90е
95
100
с
1,0028
1,0034
1,0043

608
Т. I. Отд. 4 Теплота. Т. Общие тепловые свойства тел
t
0°
10
20
30
40
50
0
(1,005)
1,0013
0,9990
0,9979
0,9981
0,9996
Теплоемкость
1
(1,0045)
1,0010
0,9988
0,9979
0,9982
2
(1,004)
1,0008
0,9987
0,9979
0,9983
по Иегеру и Ште
3
(1,004)
1,0005
0,9985
0,9979
0,9985
4
(1,003)
1,0002
0,9984
0,9979
0,9986
5
1,0030
1,0000
0,9983
0,9979
0,9987
й н в е р у *)
6
1,0026
0,9998
0,9982
0,9979
0,9988
7 | 8
1,0023
0,9996
0,9981
0,9979
0,9990
1,0019
0,9994
0,9980
0,9980
0,9992
9
1,0016
0,9992
0,9980
0,9981
0,9994
Средняя теплоемкость воды ст между 0° и /° по Дитериси
/
20°
40
60
80
ст
1,С010
0,9973
0,9976
0,9985
/
1 0
120
140
160
ст
1,ОЭ00
1,0320
1,0046
1,0j77
IM
t
180
200
220
240
ст
10,113
10,155
10,203 1
10,256
/
260
280
300
1,0315
1,0380
1,0449
ст = 0,9983 -0,005184 • #100 + 0,0069 • 12(//100)2.
Удельной теплоемкостью с тела называется то количество
тепла в кг-кал, которое необходимо для повышения температуры 1 кг
этого тела на 1°. Вообще говоря, теплоемкость зависит от
температуры тела. Поэтому G кг тела, теплоемкость которого равна с,
требуют для повышения температуры с ^0до^20 количество тепла
Q=zGc (t2 — *i) в кг-кал при постоянном с
и
и
Q=G f cdt в кг-кал при переменном с.
Если, например,
* = « + р/ + т/«
• - О Га (/,- /,
■'.)+j №-« + ■£ W
tf>.
■■]■
Выражение
-"/
*rf* «a + ze/. + ^x/,
называется средней теплоемкостью между 0° и t°.
Удельная теплоемкость газов и паров см. стр. 649 и след.
В нижеследующих таблицах приведена теплоемкоеib растворов
солей, которые применяются в холодильном деле. Данные почерп-
») Sitz.-Вег. d. Bed. Axad. 1915 г., стр. 424.

Теплоемкость (удельная теплота)
609
нуты из трудов: Н. Gruber, Z. f. d. ges. Kalteindustrie 1909, стр. 41
для NaCl; W. Koch, там же 1922, стр. 37 для СаС12 и MgCl2.
Таблица 9. Теплоемкость растворов поваренной соли
Содержание соли
в 100 весовых
частях раствора
10
12
14
16
18
20
22
24 26°/0
а) для 1 кг
— 20
-ю
о
+ ю
+ 20
— 20
— 10
о
+ ю
+ 20
0,885
0,889
1 0,892
0,869
0,872
0,875
0,851
0,854
0,857
0,860
0,838
0,840
0,843
0,845
0,825
0,827
0,830
0,832
0,812
0,814
0,816
0,818
0,795
0,798
0,801
0,804
0,806
0,787
0,789
0^791
0,793 1
Ь) для 1 л
0,954
0,955
1 0,956
0,950
0,950
0,951
0,946
0,946
0,946
0,947
0,944
0,944
0,944
0,944
0,942
0,942
0,942
0,942
0,941
0,941
0,940
0,939
0,940
0,940
0,940
0,939
0,938
0,939
0,939
0,938
0,936
0,776
0,778
0,780
0,781
0,939
0,938
0,937
0,934
Таблица 10. Теплоемкость растворов хлористого кальция
Содержание соли
в 100 весовых
частях раствора
-40°
-30
-20
-10
0
+ ю
+ 20
20
0,729
0,735
0,741
0,746
22
0,704
0,710
0,716
0,722
0,728
для 1
24
0,687
0,693
0,699
0,705
0,711
26
0,665
0,671
0,6/7
0,683
0,689
0,695
кг
28
0,644
0,650
0,656
0,662
0,668
0,674
10,680
30
0,630
0,636
0,642
0,648
0,654
0,660
0,666
32
0,621
0,627
0,633
0,639
0,645
0,651
34
0,620
0,626
0,633
0,639
36
0,613
38
0,620' 0,606
0,627
■ 0,614
40°[„
0,602
Таблица 11. Теплоемкость растворов хлористого магния
Содержание
соли в 100
весовых частях
раствора
-30е
-20
-10
0
Н- 10
4-20
10
0,853
0,857
0,861
12
14
0,82110,794
0,825 0,799
0,8300,804
0,835
0,810
J
16
0,762
0,768
0,774
0,780
0,786
цля 1
18
0,739
0,У45
0,751
0,758
0,765
кг
20
0,712
0,719
0,724
0,730
0,737
0,743
22
24
1
0,698 0,678
0,7030,684
0,7100,690
0,71б|0,697
0,723
0,703
I
26 28
1 1
0,659
0,665
0,671
0,677
0,684
0,647
0,653
0,659
0,665
30
0,627
0,633
0,640
0,646
32
0,609
0,615
0,621
0,627
340/,
0,5Э6
0,602
0,609

610 Т. I. Отд. 4. Теплота. I. Общие тепловые свойства тел
Таблица 12. Средняя удельная теплоемкость твердых и
пельно-жидких тел между 0° и 100°
ка-
Древесный уголь .
Железо и сталь •
. . 0 ГЗО
• .0,57
. .0,20
. .0,115
. . 0,20
Каменный уголь . .
Керосин
Константан
Кирпич
Кислород (жидк.) . .
Медь
М нииняое масло . .
Моаморн. известняк
Никель
< ливковое масло . .
.0,31
.0,5'
. 0,( 98
.С,22
.0,347
.0,1^
. 0,С94
.0,40
.0,11
.0,11
. 0,40
Первичная смола.
Ртуть
Спирт
иурьма
Серная кислота . .
Сера
Сернистая кислота
Уксусная кислота
.0,5
.0,035
.0,58
.0,05
.0,33
. 0 056
.0,18
.0,32
.0,42
.0,036
.0,51
.0,23
.0,18
.0<54
Таблица 13. Средняя удельная теплоемкость с</ железа между
0° и Р по Обергофферу
Количество тепла Q0' для нагрева 1 кг железа от 0е до /•
/
*'
Q.'
300
0,126
37.7
400
0,131
52,2
500
0,137
68,3
600
0,142
85,0
700
0,159
111,6
его
0,170
136
900
0,170
153
1003
0,168
168
1200
0,167
20J
1,400
0,167
233
D. Температура смесей
Правило Рихмана: G-\-Gx кг смеси, составленной из
G кг тела с температурой (9 и теплоемкостью с и Gt кг тела с
температурой t\ и теплоемкостью сь имеют температуру
__ с G t + сх Gi tx
т~~ cG + cxGt
вообще tm =
ZcGt
Чтобы поднять температуру г° тела, вес которого G кг и
теплоемкость с, до температуры fm% необходимо примешать к нему Gt кг
другого тела с температурой t\ и теплоемкостью cv при этом
Это правило справедливо только в тех случаях, когда при
смешивании тел не происходит каких-либо особых физических или
химических явлений.

изменение строения tea от feroiorbt
611
Е. Изменение строения тел от теплоты
Таблица 14. Температура плавления или затвердевания (в гра*
дусах) различных тел при давлении в 760 мм рт. ст.
Углерод . . . .
Вольфрам . . .
Тантал
Иридий
Родий . . • . .
Платина . . . .
Палладий ....
Берлинский
фарфор
Железо (чистое)
Кобальт . . . .
Никель
Литое железо .
Сталь . . • ...
Шлаки
доменные
Марганец....
Чугун серый . .
Чугун белый . .
Медь
Золото . . . • .
Серебро . . . .
Эмалевые
краски
Дельта-металл .
прибл. 36Э0
. 3350
т 2800
„ 2350
. 2000
1764
1557
1550
1530
1490
1450
1350-1450
1300—1400
1300-1430
1260
1200
ИЗО
1083
1064
960
960
950
Латунь
Бронза
Алюминий . . .
Сурьма
Цинк
Свинец
Кадмий . . . . .
Висмут
Олово .....
Мягкий припой .
Висмутовый при-
пой
Каучук
Сера (ромб.) . .
Натрий .....
Нафталин....
Воск
Калий
Парафин . . . .
Стеарин . . . .
Спермацет . . .
Фосфор . . . .
Бензол
Вода
Морская вода
прибл. 900
п 900
658
630
419
327
321
271
231,8
135-210
94-128
125
ИЗ
97,5
80
64
63
54
50
44
44
5,4
0
-2,5
Анилин ....
Скипидар . . .
Насыщ. раствор
повар, соли .
Льняное масло
Ртуть
Углекислота
(5,27 am) . .
Хлороформ . .
Сернистая кисл
Аммиак ....
Углекислота .
Толуол ....
Хлор . .
Сероуглерод .
Алкоголь (см.
ниже)....
Эфир . . ... .
Бензин (уд? вес
К 0,75) . . .
Азот
Кислород . . .
- 6
- U
-18
-20
-38,9
-56,3
-63
-73
-77
-79
- 94,5
-101
-113
-114
-118
-150
-210
-219
Точки замерзания
Водный раствор глицерина
(по Б о л л е ю)
Вес. о/4
глицерина
10
20
30
40
45
50
ео
Удельный
вес
1,0245
1,0498
1,0771
1,1045
1,1183
1,1320
1,1582 |
Точка
замерзания
- 1,0
- 2,5
- 6,2
-17,2
-26,2
-32,0
ниже
-35,0
Водн. раств. спирта (по Бейльштейну)
Вес. о/0
спирта
2,58
5,22
7,36
9,58
11,50
13,27
16,53
19,09
Точка
замерзания
- 1
- 2 i
- з I
— 4 I
— 5
— 6
- 8
-10
Вес. в/0
спирта
21,7
23,8
26,0
28,0
30,0
33,5
37,3
41,2
Точка
замерзания
— 12
-14
-16
-18
-20
-24
-28
-32
Температура плавления (в градусах) солей для соляных ванн*)
Азотнокислый калий . 310
Азотно-натриевая соль
(селитра) ...» . . 300
Поваренная соль • . . 770
Поташ 830
Сода 714
Углекислый литий . . . 695
Фтористый барий . • 1000
Фтористый калий . . . 790
') Werkst-Techn. 1915
Фтористый кальций . 1000
Фтористый литий . . 801
Фтористый магний • . 908
Фтористый натрий . . 902
Фтористый стронций . 732
Хлористый алюминий • 180
Хлористый барий . . 860
Хлористое железо . . 300
Хлористый литий . . 600
г.% стр. 307.
Хлористый калий . . .730
Хлористый кальций . . 720
Хлористый магний . • 708
Хлориотая медь . . . .498
Хлорноватая медь . • . 434
Хлористое серебро . .481
Хлористый свинец • . 50J
Хлористый цинк ... 262

612 Ф. I. ОтД- 4. Теплота. 1. Общие тепловые свойства тел
Таблица 15. Точки кипения
Точки кипения воды t при различном стоянии барометра b в мм рт. ст.
(по В и б е)
ь
680
685
690
695
700
705
710
<
96,92
97,12
97,32
97,52
97,71
97,91
9811
I •
715
720
725
730
735
740
/ '
98,30
98,49
98,69
98,88
98,07
99,26
1 ь~
745
750
755
760
765
770
/
99,44
99,63
99,82
100,00
100,18
100,37
Ь
775
780
785
790
795
800
t
100,55
100,73
100,91
101,09
101,26
101,44
Точки кипения (в градусах) различных тел при давлении в 760 мм рт. ст.
Азот . .
Аммиак.
Анилин .
Аргон .
Ацетилен
Бензол .
Бензофенон
Вода . .
Водород
Гелий. .
Глицерин
Кислород
-196
- 33
184
■186
- 84
80
306
100
-253
-269
290
-183
Льняное масло . .
Насыщ. раств. хлор,
кальция . • . .
Насыщ. раств.
повар, соли . . . .
Нафталин
Окись углерода .
Парафин . • . . .
Ртуть
Сера (ромб.) . . .
Сернистая хислота
Сероуглерод . . .
316
180
108
218
-190
300
357
444,51
- 10
46
Скипидар ....
Спирт, абс. . . .
Толуол
Углекислота . .
Фосфор ....
Хлористый метил
Хлор
Хлороформ . . .
Цинк
Этилен
Эфир
160
78,5
НО
-78,5
290
-24
-34,7
61
918
-104
35
Теплотой испарения г жидкости называется то
количество тепла в кг/кал, которое неоОходимо для превращения 1 кг этой
жидкости при постоянном внешнем давлении в пар той же
температуры. То же количество тепла освобождается при конденсации пара.
Теплота испарения зависит от температуры, при которой происходит
испарение. Таблицы значений г для водяного пара см. стр. 668.
Формулы для подсчета теплоты испарения:
Бензол: г = 107,05 — 0,153 t (Griffith & Marshall)
Кислород: r = 69,67 — 0,208
Азот:
r= 68,85-0,2736 Т } (г-' + 273)
Таблица 16. Теплота испарения при температуре кипения (1 am)
Азот
Аммиак (при 0е) .
Анилин •
Бензол (20°)....
Вода
Водород
Кислород . . . • .
Ртуть ....
48
300
104
106
539
109
51
72
Сера
Сероуглерод . . . .
Сернистая кислота
Сернистая кислота
(при 0°). . . .
Скипидар
Спирт
Толуол
Углекислота (при 0°)
Хлор
Хлористый метил
(при 0°)
Хлороформ ....
Эфир
85
56
62
97
58
90

Изменение строения теп от. теплоты 513
Теплотой плавления твердого тела называется то
количество тепла в кг-кал, которое расходуется на то, чтобы 1 кг этого тела
перевести из твердого состояния в жидкое без повышения его
температуры. То же количество тепла освобождается при застывании
жидкого тела.
Таблица 17. Теплота плавления различных тел
Алюминий . . . .
Бензол
Висмут
Доменные шлаки .
Железо
Кадмий
30
13
щ
Лед (вода)
Медь . . .
Нафталин
Олово . .
Парафин .
Платина .
79,5
43
36
14
35
27
Ртуть. .
Сера
Серебро
Свинец .
Фосфор
Цинк . .
2,8
9
21
6,3
5
28
Таблица 18. Растворы газов в воде
1 м9 дестиллированнои воды при давлении в 760 мм рт. ст. и различных темпе-
ратурах может растворить следующее количество газов в м9 при 0° и 760 мм.
20е
100°
20°
100°
Азот . .
Аммиак .
Ацетилея
Воздух .
Водород
Кислород
0,026
1,250
1,89
0,029
0,023
0,053
0,017
700
1,12
0,019
0,020
0,034
0,0105
0,011
0,018
0,0185
Окись углерода .
Сероводород . . .
Сернистая кислота.
Углекислота . . .
Хлор
Хлористый водород
0,039
5,0
87
1,87
5,0
560
0,025
2,8
43
0,96
2,5
480
0,87
0,26
0,00
Раствор аммиака в воде (по Мольв) *
1 кг воды растворяет при указанных температурах и давлениях р в am абс.
следующие количества аммиака в кг.
р
0,1
0,2
0,5
1.0
1,5
2,0
2,5
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
0°
0,22
0,35
0,57
0,88
1,23
1,62
2,01
2,40
20е
0,085
0,172
0,337
0,515
0,666
0,812
0,953
30е
0,043
0,109
0,247
0,400
0,521
0,632
0,735
0,849
1,044
40°
0,012
0,060
0,173
0,304
0,404
0,497
0,580
0,659
0,808
0,961
50°
0,0235
0,111
0,224
0,311
0,389
0,459
0,524
0,639
0,758
0,873
0,989
60°
0,065
0,158
0,232
0,299
0,357
0,414
0,512
1 70е
0,030
80°" | 90е
0,104 0,06110,026
0,167,0,1110,067
100°
0,031
0,224 0,159 0,106 0,064
0,274,0,222 0,142 0,093
110°
0.С02
0,0^9
0,053
0,324 0,245|0,179 0,124 0,078
0,406 0,318 0,241 0,177 0,123
0,605'0,482 0,383 0,300 0,22810,166
0,694 0.556 0,447,0,353 0,274!0,208
0,786.0,6^9 0,50610,405 0,318.0,247
0,877
0,972
1,072
0,699 0,562 0,453 0,362 0,283
0,776 0,624 0,5^2 0,404;0.318
0,855
0,686
0,553(
0,444
0,352
120°
0,020
0,040
0,078
0,114
0,149
0,185
0,217
0,247
0,276
130° 1 140°
1
150е
1
1
0,0077
0,040 0,008
0,071 0,0345
0,101 0,06J
0,131 0,086
0,159 0,117
0,186 0,134
0,211 |0,155
0,003
0,025
0,04/
0,068
0,089
0,108
») Mitt. Fortchungearb M 63 64.

614
Т. I. Отд. 4. Теплота. IT. Передача тегщоты
II. Передача теплоты *)
Переход некоторого количества тепла от одной точки
пространства к другой может происходить тремя различными путями:
1) через теплопроводность, т. е. переход энергии внутри
тела от одной его частицы непосредственно к другой соседней
частице;
2) через к о н в е к ц и ю, т. е. переход энергии вместе с
отдельными материальными частицами в виде тепла, в них содержащегося;
3) через лучеиспускание, т. е. превращение тепла во время
передачи в другую форму энергии (излучение).
Все указанные возможности передачи тепла почти всегда
происходят одновременно.
Согласно II закону термодинамики, теплота переходит (течет)
от места с большей температурой к месту с наименьшей
температурой. Под „тепловым потоком", текущим в каком-либо направлении,
понимают то количество тепла, которое проходит в единицу времени
через единицу поверхности, расположенной под прямым углом к
направлению теплового потока.
А. Теплопроводность
Теплопередача путем теплопроводности в чистом виде возможна
только в твердых телах, ибо в жидкой и газообразной материи обмен
тепла происходит смешанным путем, т. е. одновременно конвекцией
и лучеиспусканием. Если расстояние между двумя точками
однородного твердого тела назвать dn, а разность температур dt, то
вследствие теплопроводности данной материи в элемент времени dz через
перпендикулярный к направлению п элемент площади dF пройдет
количество тепла
где X есть коэфициент теплопроводности,
характеризующий способность данной материи проводить тепло; эта
способность зависит от состояния материи. У твердых тел теплопроводная
способность почти постоянна, у газов же и жидкостей ее величина
сильно зависит от их температуры. Если количество тепла, проходя-
*) Литература: ОгбЬег, Die Grundgesetze der Warmeleitung und des WMrme-
ftberganges, Berlin, 1921, Springer. Того же автора: Einfuhrung in die Lehre von der
warmeubertragung, Berlin, 1926, Springer. Ten Bosch, Die Warmeubertragung, Berlin.
1926, Springer. M e г k e 1, Die Gmndlagen der Warmeubertragung, Dresden und Leipzig,
1927, Steinkopff. Hencky, die Warmeverluste durch ebene WSnde, Munchen
u. Berlin, 1921, Oldenbourg. Knoblauch u. Reiner, Warmeubertragung, Handb.
d. Experimentalphysik. Bd. 9, Lepzig, 1929, Akad. Verlagsges. J. S. Cammerer,
Der Warme- und Kaiteschutz in der Industrie, Berlin, 1928, Springer. S с h а с k,
Der industrielle Warmeubergang, Dfisseldorf, 19.9, Stahleisen. Regeln fur die Prfifung
von WMrme- und Kalteschutzanlagen, Berlin, 1940, VDI-Verlag. Arch. Warme, 1929,
стр. 279.

Теплопроводность
615
щее через dF в единицу времени, постоянно, т. е. -^ = const. = ~,
*Q -_Д
Z '
dt
то теплопередача называется „установившейся", причем тогда ^-=0.
Для неустановившейся теплопередачи действительно диферен-
циальное уравнение Фурье:
dz~~a\dX?~irdY2+ д&У
где t — температура некоторой точки с координатами X, Y и Z
в момент zf a — коэфициент, характеризующий способность к
передаче температуры : а = Х/с у [м2/час], где X—коэфициент
теплопроводности, у ~ удельный вес и с — теплоемкость. Если известны
пределы колебаний температуры и ее распределение по частицам тела,
то интегрирование приведенного выше уравнения дает изменения
температуры по времени и пространству t=f(X, К, Z, z)1).
Графический метод часто бывает значительно проще
аналитического 2).
При установившемся потоке тепла как распределение
температур, так и интенсивность самого потока не зависит от времени:
dt Л дЧ , &t , дЧ
Особые случаи
Плоские, параллельныестенки. Установившийся поток.
Толщина 5 м, коэф. теплопроводности X [кгкал/м час']. Температура
стенок tt° и 4°> падение температуры в направлении,
перпендикулярном к стенке
dt_ h-Js
db о 11Щ'
Для теплового потока под прямым углом к стенке имеем:
Q = X 1Т 2 кг-кал1мЧас.
') Riemann-Weber, Die partietlen Differentialgleichungen der mathema-
tischen Physik, Braunschweig, 1925, Vieweg & Sohn. Krauss, Die Grundgesetze
der Warmeleitung und ihre Anwendung auf plattenformige Korper, Berlin, 1917,
Springer. Gr6ber, Erwarmung und Ankuhlung einfacher geometrischer Кбгрег, ZdVdl
19^5, стр. 75. Temperaturverlauf und VVarmestr6mung~n in periodisch erwarmterj
Korpern, Mitt. Forschungsarb. VDI H. 3C0, Berlin, 19.8.
2) Z. B. E. S с h m i d t, Ober die Anwendung der Differenzenrechnung auf tech-
nische Anheiz und Abkuhlungsprobleme, Beitrage zur techn. Mechanik u. Physik, Aug
F6ppl zum 70. Geburtstag, Berlin, 19*4. Nussbaum, ZAM 19k8, стр. 133. Lachmann.
ZdVdl 1928. стр. 11-7.

616
Т I. Отд. 4. Теплота. II. Передача тешцоты
Часто бывает удобнее применять для расчетов „удельное
тепловое сопротивление*4
= у м2 час°Iкг-кал.
Стены, составленные из /г слоев различной
толщины: Ь1ч Ь2, Ч *п м и обладающие различными коэф.
теплопроводности: \и Xg, ХЛ имеют суммарный коэф. теплового
сопротивления
rL = rLx + rl% + гц + ... + rLn = £ у м* час°/кг-кал.
Цилиндрические стены (трубы) с установившимся
тепловым потоком, направленным по радиусам изнутри наружу, dH —
наружный диаметр, de—внутренний диаметр, Z, — длина трубы.
Поверхность, через которую проходит тепловой поток, возрастает
линейно, пропорционально радиусу; следовательно интенсивность
теплового потока, текущего в радиальном направлении, также как
величина падения температур в том же направлении уменьшается
обратно пропорционально радиусу.
*В течение часа через наружную поверхность трубы в
радиальном направлении протекает QH кг/кал:
dH
QH = 2nL\(tl—- t2)l\nт, где т = -:—.
ав
В том же радиальном направлении через внутреннюю стенку
трубы (Fe = ndeL м2) проходит в течение часа поток тепла:
qg = <р. q = (/j — t2)/rL кг-кал/м2 час,
в этой формуле коэфициент <? зависит от кривизны поверхности
стенки ср = (т — 1) и может быть взят из таблицы 1.
dH
Таблица 1. Зависимость коэфициента ср от m=-r-
т
1,0
U
1,2
1,3
1,4
*
1,000
1,049
1,097
1,144
1,189
т
1,5
1,6
I»7
1,8
*
1,234
1,277
I 1,319
| 1,361
т
1,9
2,0
2,2
2,4
<Р
1,403
1,444
1,5^4
1,600
т
2,6
2,8
3,0
3,2
<Р
1,674
1,747
1,819
1,890
т
3,4
3,6
3,8
4,0
1,960
2,029
2,097
2,163

Теплопроводность
617
Величина #-соответствует тепловому потоку, проходящему через
стенку, ограниченную параллельными поверхностями, причем толщина
стенки b = dH — deMt а коэфициент теплопроводности X одинаков
с коэфициентом теплопроводности материала трубы:
q = {ti — t2) • 2Х (dH — de) = (tt — t2)/rL кг-кал/м* час.
„Удельное тепловое сопротивление* для внутренней поверхности
трубы rL ~rL Iу. В течение z часов через внутреннюю поверхность
трубы проходит поток тепла Qe [кг-кал] =TzLde* z *qQ.
Составная труба из п слоев, с толщиной Ьи Ь2...Лп
отдельного слоя, коэф. теплопроводности — Хх, Х2,.. .ХЛ и отношением
Щ* /и2,... тп наружных диаметров к внутренним у отдельных
слоев, дает суммарное .удельное тепловое сопротивление",
отнесенное к внутренней поверхности:
%= 2 <%/**) м* час0/кг-кал,
причем rL = lk J \k соответствует удельному тепловому
сопротивлению плоской стенки, имеющей толщину и коэф. теплопроводности
соответствующего слоя, а<р$ = 2bk/de In mh—коэф., зависящий от
кривизны внутренней поверхности трубы <рЛ = ydke/de, где ср для mk
берется из табл. 1, a dke означает внутренний диаметр k-то слоя.
Таблица 2. Значения коэфициента теплопроводности X в
пределах = 0° — 100° в кг-кал 1м нас0 для различных материалов
Эти значения дают лишь средние величины и на практике могут иметь место
аначительные отклонения.
Согласно: Landolt & B6rnetein, Phys.-Ghem. Tab.; Kohlrausch, Prakt
Physik; G г б b e r und Poensgen; Holborn, Scheel und H e n n i n g.
Warmetabellen, Z. f. d. ges. Kalteindustrie, 1924. Подробная сводка всех результатов
измерений у Е. S с h m i d t, Mitt. a. d. Forschungsheim f. Wermeschutz, Munchen,
1924, тетрадь 5.
Металлы *)
Алюминий . . .
Платина ...»
X
175
40-50
265
300-340
50
55
60
Металлы
Свинец ....
Серебро ....
Сплавы
Латунь ....
X
30
360
95
75-100
55
Металлы
Нейзильбер . .
Сплав Вуда
(26Pb4-7Cd-f
+ 52 Bi + 16 Sn)
Константан • . ♦
Манганин • • • •
X
25
И.5
20
20
*) Max Jakob, Die WMrmeleitffthigkeit technisch wichtiger MeUUe und L+-
gierungen, Z. f. Metallkunde 16, 1924, стр. 353.

618 Т. I. Отд. 4. Теплота. П. Передача теплоты
Строительный
материал
Строительный
материал
Строительный
материал
Асбестовый
сланец
Асфальт
Базальт
Бетон
Бетон из
доменных шлаков .
Гипс литой . . .
Гипс
строительный, 3 недели
искусственной
сушки
Гнейс
Гранит
0,19
0,6
1 1-2,4
0,7—1,5
0,2
0,32
0,37
3,4
2,7-3,5
Дубовое дерево:
поперек волок,
вдоль волок. .
Известняк . . .
Кирпич '0,34—0,45
Кирпичи, кладка:!
совершен, сух. 0,35—0,5
нормально влаж'
ная
Кладка из неоте-|
санного камня .
Кладка из
пустотелого кирпича
Линолеум . . .
0,18
0,35
0,6-0,8
0,6-0,9
1,3-2,1
0,27
0,16
Мел
Мрамор ....
Песчаник....
Речной песок:
Оо/о влаги . . .
6,9°'о влаги . •
Сосновое дерево:
поперек волок,
вдоль волок. .
Цемент
затвердевший ....
Цемент в
порошке
Штукатурка . .
0,8
1,8-3,0
1,1—1,5
0,28
0,97
0,14
0,30
0,9
0,06
0,5—0,8
Прочие твердые тела
X
1,5
0,5-0,9
0,9
0,12-0,15
3,7
0,1
Прочие твердые тела
Целлулоид белый ....
Подошвенная кожа . . .
Целлулоза прессо-
X
1—3
0,1-0,2
0,18
0,14
0,21
Таблица 3. Материалы для тепловой изоляции 1)
а) Материалы для тепловой изоляции при низких температурах (ниже 0°)
(по О г б b e r, Forschungsarb. тетрадь 104).
Материал
••••{
Т
кг\м*
702
470
81
100
X кг-кал\м час0
0°
ян
— 50°
in
для tm
—100°
0.191
0,117
0,(Ь8
0,032
1) Из „Merkblatt fur die wMrmetechnische Bedeutung und Beurteilung der
Wfirmeschutzmittel", Archiv fur Warmew'rtschaft 1922, стр. 682. См. также: Hencky,
Die Warmeverluste durch ebene Wande. y — удельный вес в сухом состоянии,
tm — средняя температура изоляционного материала.

Теплопроводность
619
b) Материалы для тепловой изоляции при невысоких температурах (до 120°)
Материал
X кгкйл\м час0 для tm
Пластины и камни
Плаотины из пробки, торфа или войлока
■I
Дерево поперек волокон
Гипс
Насыпной наб и в о ч н ы й уплотненный
материал
Пробковые f величш|а зерна от 3 до б мм . .
опилки | » " 3 » 5 , . .
Шелковая плетенка (шнур)
Шерсть баранья
Торфяная мука, сильно( сухая • • •
гигроскоп. { норм, влажности ....
Древесная мука
Солома
150
300
600
500
600
700
800
800
1200
45
85
45
130
150
136
190
190
210
140
0,038
0,051
0,076
0,113
0Д30
0,147
0,164
0,20
0,35
0,031
0,038
0,027
0,034
0,(Х>9
0,033
0,040
0,060
0,039
0,040
0.054
0,080
0,126
0,143
0,160
0,178
0,21
0,36
0,032
0,042
0,029
0,036
0,041
0,037
0,041
0,060
0,062
0,043
0,035
0,046
0,031
0,038
0,045
0,040
с) Материалы для тепловой изоляции при средних темпера! урах (до 600е)
Материал
Т
кг\м*
X кг-кал\м час0 для tn
100е
300°
500е
В готовой форме
Обожженные кизельгуровые камни (пластины)
полуцилиндры, кирпичи
300
400
600
0,075
0,083
0,110
0,101
0,109
0,135
100°
200°
Набивной материал
Кизельгур кальцинированный
Кизельгуровая масса для труб
Шлаковая шерсть • .
Стеклянная { набитая беспорядочно .
шерсть \ волокна параллельны .
Асбест • . •
/ 250-270J
350
500
600
700
800
420
410
220
580
Естественная пемза
величина зерна 30 мм .... •
величина зерна от 2 до 5 мм . .
велич. зерна 30 и 2 до 5 мм смеш.
Коксовый шлак, величина зерна до 15 мм . . .
Угольный шлак
Доменный
шлак
0,055
0,066
0,076
0,093
0,111
0,130
0,073
0,064
0,043
0,167
0,072
0,084
0,100
0,118
0,136
0,082
0,086
0,057
0,180
0,125
0,135
0,160
300е
0,078
0,091
0,107
0,124
0,143
0,090
0,108
0,070
0Л86
300
600
360
360
400
1000
700
0,075
0,150
0,120
0,090
0,100
0,120
0,120
50'
0,Г85
0,170
0,150
0,100
0,125
0,150
0,150

620
Т. I. Отд. 4. Теплота. П. Передача теплоты
d) Материалы для тепловой изоляции при высоких температурах
(огнеупорные камни 1)
Материал
X кг-кал/м час0 для tm
200° | 6(ХР
0,56
0,74
0,51
1,15
0,88
0,93
0,66
1,29
1000е
1,19
1,13
0,82
1,43
Все приведенные выше цифровые данные, касающиеся коэфициента
теплопроводности, представляют собою средние значения; на практике могут встретиться
значительные отклонения (до 20%) от указанных значений.
Таблица 4. Коэфициенты теплопроводности воздушных слоев
Эквивалентные коэфициенты теплопроводности воздушных слоев, заключенных
между шероховатыми и плоскими стенками (согласно Merkblatt fur Warmeschutzmittel),
X в кг-кал\м час°.
Средняя
температура
0°
100
200
400
6.0
5
0,05
0,108
0,13
0,30
0,60
Толщина
23
0,11
. 0,18
0,40
1,1
2,3
воздушного
40
0,20
0,42
0,78
2,2
4,6
слоя в мм
80
0,35
0,79
1,52
4,3
9,2
120
0,49
1.15
2,25
6,4
13,8
Таблица 5. Эквивалентные коэф. теплопроводности для
вертикальных, плоских воздушных прослоек *), включающие
отдельные величины переносимого тепла: через тепловой поток,
конвекцию и лучеиспускание
1. Ограничение поверхностями с большой лучеиспускающей способностью
Величина «относительной поглощательной способности" на обеих поверхностях
е = 0,9.
Средняя
температура
0°
50
100
200
300
500
1000
Толщина воздушного слоя в см
0,5 | 1
0,037
0,051
0,068
0,118
0,190
0,41
1,74
0,056
0,081
0,113
0,206
0,346
0,80
3,42
2 | 3 | 4
0,096
0,142
0,204
0,39
0.66
1,55
6,78
0,136, 0,178
0,204! 0,268
0,295! 0,39
0,56
0,97
2,30
10,1
0,75
1,29
3.06
13,5
5
0,222
0,334
0,48
0,93
1,60
3,82
16,9
6
0,268
0,40
0,58
1Д1
1,92
4,59
20,2
8 | 10 | 12 | 15
0,364 0,47
0,54
0,78
1,49
2,56
6,12
27,0
0,69
0,99
2,87
3,21
7,65
53,7
0,58
0,84
1,20
2,25
3,76
9,19
40,4
0,74
1,07
1,51
2.84
4,84
11,5
50,5
») См. W. van Rinsum, ZdVdl 1918, стр. 601.
•) Б. S с b m i d t ZdVdi 1927, стр. 1395.

Теплопроводность
621
2. Ограничение поверхностями с небольшой лучеиспускающей способностью
(Обе поверхности из блестящего алюминия и величина „относительной погло-
щательной способности" е = 0,06 •+- 5 .10~~ ^/)
Средняя
температура
0°
50
100
200
300
Толщина воздушного слоя в см
0,5 | 1 | 2
0,021
0,025
0,028
0,036
[0,045
ни
0,032
0,037
Г,043
0,057
0,076
3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 10
0,041
0,047
0,053
0,072
0,098
0,051
0,058
0,066
0,089
0,121
0,063
0,071
0,080
0,107
0,147
0,078
0,086
0,097
0,128
0,175
0,110
0,120
0,134
0,173
С,234
0,152
0,164
0,180
0,227
0,302
12
0,195
0,209
0,228
0,284
0,372
15
0,264
0,282
0,303
0,371
0,471
Коэфициенты теплопроводности газов
Воздух:
X = 0,00167 • (1 + 0,000 194 Т) УТ /(l + ~\ кг-кал/м ча<*.
(N u s s e 11, Gesundheitsing. 1915, стр. 42). Формула приблизительно верна и для
кислорода, азота и дымовых газов.
20
40
60
80
100
200 | 500е
Х = | 0,0203 | 0,0216 | 0,0228 | 0,0240 | 0,0252 | 0,0263 | 0,0318 | 0,0460 кг-кал\мчас°
Водяной п а р: X = 0,00578 cv Y т/[} + "г") кг-мл/мчад0.
(N u s se It, ZdVdl 1917, стр. 685.) cv — теплоемкость при постоянном объеме.
/ | 100 | 120 | 140 | 160 | 180 | 200 | 220 | 240 | 260 | 280 | 300е
X |o,020l|o,0212|o,0223|0,0235|o.0246|o,0258JO,0269|o,028l|o.0292|o,Oa03[ 0,Q315 кг-кал/м ча€*
Аммиак X = 0,0185(1 -f- 0,005*) кг-кал/м час0.
Углекислота X = 0,0121 (1 + 0,0038§^ кг-кал/м час*.
Водород X = 0.142 (1 + 0,0029*) кг-кал/м час*.
Коэфициенты теплопроводности жидкостей
Вода X = 0,477 (1 -f /,003/) кг-кал\м час9 между 0 и 80° (Jacob, Annalen
d. Physik 1920, стр. 537).
/ I 0 I 10 I 20 I ЭО
40
50
60
70
80
90 | 100»
0,477 | 0,491 | 0,505 | 0,519 | 0,533 | 0,548 | 0,562 | 0,576 | 0,590 | 0£U6 | 0,619"
Алкоголь X = 0,15—0,20
Бензол 0,12
Глицерин безводный . 0,25
Глицерин с 5оо'о воды 0,36
Оливковое масло Х = 0,15
Минеральн. смазочн. масло . 0,1
Керосин 0,13
Ртуть 6,5

622 Ф. I. 0тД- *• Теплота. II. Передача теплота
В. Конвекция
В газах и жидкостях, нагретых неравномерно, передача тепла
происходит в результате движения их частиц. Это движение может
быть вызвано внешними или же какими-либо внутренними силами;
в первом случае движение частиц называется принудительным,
во втором — свободным. Вследствие неравномерного распределения
тепла наряду с конвекцией происходит также и теплопередача
вследствие теплопроводности.
Особо важную роль играют явления, происходящие при
передаче тепла между жидкостью и окружающими ее стенками. При
этом частицы жидкости, находящиеся в непосредственном соседстве
со стенкой, быстро принимают ее температуру; однако разности
температур отдельных частиц пограничного слоя могут быть весьма
значительны (скачки температуры). Если * —температура стенки,
a ft — средняя температура жидкости, то за время г через площадь F
стенки на жидкость перейдет количество тепла
<? = «.*•/*•(* — »).
Коэфициент теплопередачи а, встречающийся в этой
формуле, не есть величина постоянная, ибо его значение зависит
от состояния и характера жидкости (от ее плотности, способности
проводить тепло, теплоемкости, вязкости), от характера движения,
от температур стенки и жидкости, от формы, размеров и состояния
пограничных поверхностей и т. д.
а) Принужденное движение тепла
Обозначения:
XI I в кг-кал\м час9
*сек J к09Фициент теплопроводности { UKaAfMeeK;
*сек J коэфицивнт теплопередачи (конвекции) | вкг.каА{м,сек%
а \ (в лС/час
а \ способность к передаче температуры j в мцсек
€р теплоемкость при постоянном давлении в кг-кал\кг \
7 удельный вес вкг/м\
р плотность массы в кг сек*/м*
р. вязкость в кгсек(м\
w скорость в м\сек.
!<,,!,,*,... в м линейные размеры стенок, окружающих жидкость; из них любая,
например /0> служит единицей сравнения.
«о

Конвекция 623
где Я и R — коэфициенты, не имеющие измерения:
р^^^* —££!L_ /? = tBf/0p/fA (число Рейнольдса).
В число факторов этого уравнения необходимо ввести еще
шероховатость стенки в форме небольших неровностей, в
качестве так называемой относительной шероховатости (отнесенной
к величине /0). Влияние ее еще недостаточно выяснено; поэтому
помещенные ниже формулы относятся только к трубам средней
шероховатости.
При температуре стенок t и при средней температуре жидкости
Ь коэфициенты X, с» и у определяются из
ь ь ь
/ t t
Если температурная разность 0 — t невелика, то достаточно
производить расчеты с коэфициентами, определенными для средней
температуры tm = (& -f-1)/2.
См. также L a t z k о, Z. f. d. ang. Math. u. Mech. 1921, стр. 269.
1. Теплопередача в прямых трубах круглого сечения. Если
движение жидкости в трубе протекает спокойно, параллельными
струями, то коэфициент теплопередачи а с увеличением длины
трубы стремится к некоторому определенному предельному значению
а = 3,65 \/d Kz-KOAJM2 час°,
каковое достигается с точностью до 1% уже по проходе
начального отрезка трубы
Ц =» 0,05 wd?/acefC м.
На практике встречается почти исключительно неспокойное
вихревое течение; в таких случаях (см. N u s s e 11, Mitt. Forschungs-
arb. тетрадь 89 и ZdVdl 1917, стр. 685, а также GrOber, Die
Grundgesetze der Warmeleitung und des Warmeubergangs, Springer
1921) можно представить функцию Ф как произведение степенных
функций с постоянными показателями.
При диаметре трубы d и длине ее L имеем:
-7*(т)>**-
Средний коэфициент теплопередачи для трубы длиною £,
1
а =в ————. • в
т 1 + я, '

624
Т. I. Отд. 4. Теплота. II. Передача теплоты
а) Газы и перегретые пары. Влиянием величины R можно
пренебречь, л3*=~0
Если а и X отнести к 1 часу, то по -Греберу имеем
а = 22,5 -^ (-j-J (—^—) кг-кал/м* нас0
ат = 1,051 а.
Для газов расчет производится по формуле
ат = 23,7 Z.-0'05*/-0'16 • (w • />)0'79 • Ь кг-кал.'м*чае0,
где р —- абс. давление газа в ат и Ь — X0»21 (ср Yi)0,79 зависит только
от tm\ Yi — удельный вес при 1 ат абс. и t°m
Приведенные ниже таблицы дают числовые значения отдельных
факторов, входящих в формулу Гребера.
£
0,1
0,2
0,3
0,4
0,6
£-0,С5
1,12
1,08
1,06
1,05
1,04
£
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Таблица 6.
£—0,05
1,03
1,02
1,01
1,01
1,00
£
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
Длина трубы L
£-0,05
0,97
0,95
0,93
0,92
0,91
£
7,0
8,0
9,0
10
20
£-0,05
0.91
0,90
0,89
0,89
0,86
(в м)
1
30
40
50
60
70
£—0,05
0,84
0,83
0,82
0,81
0,81
£
80
90
100
£-0,05
0,80
0,80
0,79
d
0,005
Of0C6
0,007
0Ж8
0,009
0>10
0,011
0,012
rf-0,16
2,33
2,27
2,21
2,17
2,13
2,09
2,06
2,03
Таблица 7. Диаметр трубы d (
d
0,013
0,014
0,015
0,016
0,017
0,018
0,019
rf—0,16
2,00
1,98
1,96
1,94
1,92
1,90
1,88
0,Г20 | 1,87
d
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
0,050
0,С60
0,070
d—0,16
1,81
1,75
lQ
1,67
1,64
1,62
1,57
1,53
d
0,C80
0,C«0
| 0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
в м)
rf-0,161
1,50
1,47
1,45
1,40
1,37
1,34
1,31
1,29
d
0,25
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1 1,00
d-0,16
1,24
1,22
1,16
U2
1,09
1,06
1,04
1,02
1,00

Конвекция 625
Таблица 8. Скорость и давление (w • р)
W'P
0,01
0,Г2
0,03
0,С4
0,С6
0,(6
0,07
0,08
(«рЛ79
0,025
0,046
0/63
0,079
0,093
0,108
0,122
0,135
w*p
0,09
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
{wp)W
0,148
0,16
0,26
0,39
0,49
°'S
0,67
0,76
wp
0,8
0,9
1,0
2
3
4
5
6
{wpfJ*
0,84
0,92
1,00
1,73
2,38
2,99
3,56
4,11
wp
7
8
9
10
15
20
25
30
W)°>79
4,65
5,16
5,66
6,17
8,47
10,7
12,7
14,7
w.p
35
40
45
50
55
60
65
70
(wp)W
16,6
18,4
20,2
21,9
23,6
25,3
27,0
28,7
w-p
75
80
85
90
95
100
{wp)W
30,3
31,9
33,5
35,0
36,5
38,0
Более высокие значения произведения w > р находятся путем
перемножения.
Таблица 9. Ь=\°'2ХАчх cpf"n для воздуха
(и дымовых газов)
'«
-150
— 100
- 50
0
50
1 0
b
0,271
0,224
0,192
0,17)
0,154
0,142
<«
150
200
250
300
350
400
Ь
0,132
0,124
0,117
0,111
0,105
0,101
*т
450
500
550
600
650
700
b
0,097
0,093
0,090
0,088
0,085
0,083
'т
750
800
850
900
950
1000
Ь
0,081
0,080
0,079
0,078
0,077
0,076
Значения, приведенные в этой, таблице, приблизительно
справедливы также и для кислорода и азота. На стр. 685 журнала
ZdVdl 1917 г. Нуссельт дает диаграмму для определения коэфи-
циента теплопередачи без каких-либо вычислений.
Для перегретых паров имеем
ат « 23,7 Г"0'"05 • d~0'16. w0"79. У,
где W зависит от р и tm l).
Ь) Жидкости. Коэфициентом R (Рейнольдса) пренебречь
нельзя.
Новые опыты Зеннекена и Штендера для воды производились
только с трубами в 1,92 м длиною и 17 и 28 мм диаметром. См.
Soennecken, Mitt. Forschungsarb. тетрадь 108/109, —St en der, Der
Warmeubergang an strflmendes Wasser in vertikalen Rohren, Berlin
1924, Springer. Из этих опытов можно вывести следующую формулу:
в=0>153 . А ( £ fm(^f™«,Ka4* час*.
») Таблица 10 на стр. 626.

626 ^- 1- Отд. *• Теплота. И. Передача теплоты
Таблица 10. Ъ' *= X°^21(y • ^)0>79 для водяного пара
1 "« ■' III1
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
400
1
0,162
0,155
0,149
0,145
0,141
0,136
0,133
0,13)
0,127
0,125
0423
0,121
0,12)
0,118
0,117
0,116
3
—
0,385
0,363
0,347
0,335
0,325
0,316
0,309
0,303
0,298
0,293
0,289
0,285
0,281
0,278
5
—
0,581
0,546
0,520
0,499
0,483
0,470
0,459
0,449
шш
0,420
7
—
0,755
0,710
0,674
0,646
С,624
0,607
0,593
0,583
0,573
0,564
0,556
0,550
9
—
0,99Э
0,911
0,857
0,818
0,787
0,760
0,740
0,723
0,709
0,696
0,685
0,675
И
—
-
1,121
1,048
0,996
0,950
0,913
0,884
0,861
0,843
0,826
(,812
0,799
13 am абс.
—
-
1,350
1,248
1,167
1,109
1,063
1,028
0,999
0,974
0,952
0,934
0,916
Для расчета пользуются формулой
/ у \ 0,435 0,87 0,87
Ь = 0,153 My/д ц)0,435 зависит только от средней температуры tm.
Последняя по Штендеру определяется из tm = & -f 0,1 (t — ft);t —
температура стенок, Ь — температура воды.
Таблица 11
Скорость w в м/сек Диаметр трубы d в м
W
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
«,0,87
0,55
1,00
1,42
1,83
2,22
2,60
2,98
3,34
3,70
4,05
w
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
I 8,5
В
10,0
о/),87
4,40
4,75
5, 9
5,43
5,77
6,10
6,43
6,75
6,08
7,40
d
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
0,022
0,024
0,026
0,028
d-0,13
1,82
1,78
1,74
1,71
1,68
1,66
1,64
1,62
1,60
1,59
d
0,030
0,035
0,С40
0,045
0,50
0,С60
0,070
0,08)
0,090
0,100
rf~0,13
1,58
1,55
1,52
1,50
1,48
1,44
1,41
1,39
1,37
1,35

ЮоивекЕгия 627
Таблица 12. Ь = 0,153 Му/а^М^ и вязкость \х в кг сек м2
для воды
t°
0
10
20
30
40
50
|A.10S
183,3
133,3
1 '2,4
81,7
66,8
56,2
b
1720
2025
2307
2572
2845
3100
t°
60
70
80
90
100
ПО
МО*
47,9
41,5
36,4
32,3
29,0
26,1
Ь
ззаэ
3610
3880
4130
4320
4510
/°
12Э
13Э
14Э
153
16Э
и-.ь6
23,7
21,6
20,0
18,8
17,7
b
479Э
5J20
5200
5370
5510
2. Теплопередача в прямых трубах любого сечения.
Формулы для труб круглого сечения справедливы также и для труб иной
формы, если заменить в них диаметр выражением
dk = 4 F/S в м,
где F — площадь сечения в м2, а S — та часть его периметра в м,
по которой происходит передача тепла (Nusselt, ZdVdl 1913,
стр. 199).
a) Кольцевое сечение; D — внешний, d~внутренний
диаметры.
Теплопередача на внутренней и внешней
поверхностях dk= D — d
Теплопередача только на в н е ш н е й поверхности dk = (D2 — d?)[D
Теплопередача только на внутренней
поверхности dk=z(D*—d2)ld
b) Прямоугольное сечение со сторонами а и Ь.
Теплопередача по всему периметру dk*= ЧаЬЦа + Ь)
Теплопередача на двух противолежащих
сторонах Ь dk = 2b
Теплопередача по одной стороне а dk~4b.
3. Теплопередача в кривых трубопроводах (колена, змеевики).
Кривизна трубопровода усиливает перемешивание и увеличивает
теплопередачу. Цифрового материала из опытов для определения
коэфициента теплопередачи пока еще нет. При применении в
данном случае формул для прямых трубопроводов получаются слишком
малые коэфициенты теплопередачи, т. е. несколько большие
поверхности нагрева. Если радиус кривизны трубопровода значительно
превышает радиус трубы, то влияние кривизны на
теплопроводность уменьшается.
4. Теплопередача в трубах, расположенных
перпендикулярно к направлению течения. Влияние величины Р исчезает,
длина* трубы также не играет роли. Для одной трубы (трубопровод

poo
"tot-1-.
CO 00 СЛ
V»oto
Сл
ел
Х^СЛ
"totolu
21,4
20,9
20,05
34,6
33,9
32,6
46,2
45,2
44,1
coo"oo
66,3
65,2
62,6
838
toM*.
180,6
174,7
168,7
0,127
0,140
0,152
^IJ<100
•—to to
^*Ьсл
16,35
15,85
15,45
oopco
"botoJo
23,1
22,5
21,9
0,108
0,114
0,121
"»о*1иЪ>
"bitoto
5>pj5
'in'co'to
20,9
20,6
19,95
24,25
24,1
23,6
50,1
48,7
47,2
61,4
59,8
58,0
72,0
70,1
68,2
193,0
188,6
182,9
уэ^асо
63,9
63,0
61,9
Л."ЬоО
23,1
120,8
118,8
201,8
198,1
194,6
0,089
0,095
0,102
pptO
"oot-co
"ppj*
"слоо"^
"oiloV
22,2
21,8
21,3
0,059
0,076
0,083
"ЪУсО"1ч9
"tuoo
pjo»—
"оослЪ»
25.6
24,5
22,8
j*pp p^Sp
"cototo oi^oVi
40,2
828
"сослсл
68,2
66,5
65,5
79,4
78,1
76,1
29,6
127,7
24,7
214,1
2u7,2
204,3
47,5
43,8
42,5
63,0
58,1
56,7
76,8
71,1
69,3
сл1оо
Co*. J».
jo»-o>
"ooToVj
240,0
222,0
217,0
0,042
0,048
0,052
1оЪ»"л
■ЧСОСО
24,2
23,2
22,5
tOtsJNS
p^ip
ooo oo
33,4
31,8
31,0
52,6
50,9
49,9
Cnj^JcO
ОСоЬ
84,9
81,5
78,9
99,8-
95,7
93,3
161,4
54,5
50,6
263,9
255,2
247,0
0,020
0,026
0,033
1pkto'«0
27,4
24,5
21,3
33,5
29,6
26,7
39,0
34,9
31,7
44,3
39,8
36,5
67,9
63,1
57,1
92,1
81,2
75,3
106,6
98,6
91,8
125,0
115,2
107,2
?ow
оЪ0 4к
•—N3 00
Vto"oo
0,005
0,010
0,016
61,5
34,6
24,5
со*. 59
^-*н- О
Co"cOO
76,8
48,4
37,8
83,8
54,9
43,2
90,3
61,1
49,1
-J00N5
jtwpp
"CO^INJ
юГ^сл
рСЛ^-Р
177,5
136,8
113,3
199,0
156,9
133,6
313,7
220,7
218,3
500,0
405,0
352,0
*
-
to
со
**
en
о
Сл
8
to
Сл
s
100
t*.
^
к
s
X
s
00
Я
®
•о
ф
у*
9

Конвекция
629
рений, тепло воспринимается задними рядами пучка гораздо лучше
и коэфициент теплопередачи увеличивается с увеличением числа
рядов труб1).
5. Теплопередача плоской стенке. Согласно опытам Юргеса
(Beihefte zum Qesundheitsing. серия 4, № 19, ноябрь 1924 г.), для
вертикальной стенки, вдоль которой со скоростью w протекает
воздушный поток
а =ж Awn + В • e-°'6w кг-кал/м* час°%
где е —основание натуральных логарифмов. Произведением В • e~~°'6w
учитывается влияние естественной конвекции. Приближенные
уравнения
для w < 5 м/сек а = C + D'W кг-кал/м2 час°
для до>5 м/сек а = Aw0'™ кг-кал/м2час°
, „ прокатана
, „ шероховата ....
А
6,12
6,14
6,47
В
4,41
. 4,60
5,03
п
1й
С
4,8
5,0
5,3
D
3,4
3,4
3,6
При производстве опытов температура стенки равнялась 50°,
температура воздуха 20° и его давление 1 am.
Таблица 14. Коэфициенты теплопередачи а в кг-кал/ м2час°
(По Ю р г е с у)
W
м\сек
0
0,5
1
2
3
4
5
6
7
8
Поверхность стенок

полирована
4,41
6,85
8,54
11,80
15,07
18,32
21,53
24,66
27,72
30,71

прокатана
4,60
6,99
8,67
11,93
15,23
18,52
21,78
24,96
28,08
31,13

шероховата
5,03
7,49
9,23
12,66
16,14
19,64
23,10
26,51
29,83
33,07
w
м\сек
9
10
12
14
16
18
20
1 22
25
Поверхность стенок

полирована
33,62
36,47
41,99
47,32
52,48
57,43
62,38
67,16
74,15

прокатана
34,10
37,01
42,65
48,10
53,38
58,52
63,53
68,43
75,61

шероховата
36,24
39,44
45,40
51,24
56,89
62,40
67,78
73,03
80,73
!) R i e t s с h е 1, Mitt. d. Charlotteaburger Prufanstalt 1910, Heft 3. Kim-
merer, Versuche an einem Stierlekessel mit Betrachtungen tiber den Wurme-
durchgang, Z. bayr. Rev.-V. 1916. Tboma,. Hochlelstungskesiel, Berlin, 1921,
Springer.

630
Т. I. Отд. 4. Теплота. 11. Передача теплоты
Ь) Свободное движение
Движения внутри данной материи происходят только вследствие
внутренних причин, а именно вследствие различия плотностей
отдельных частиц, возникших вследствие разности их температур.
Оставляя те же обозначения, что и для движения принужденного,
и при в = 273 + 9 и Г=273 + *
сек /0 \ Я-рг J -
р—коэфициент объемного расширения (стр. 605).
Т
Для газов р =а 1/Г .
7\ =
In
(Nusselt, Gesundheitsing. 1915, стр. 477; G ruber, Grundgesetze).
1. Теплопередача горизонтальному цилиндру
(горизонтальному трубопроводу). Нуссельт определил функцию ч7 по опытам
над воздухом, произведенным Kennelly, Wright и Bylevelt, Langmuir,
Bylevelt, Wamsler (Mitt. Forschungsarb. тетрадь 98/99).
При а • dfk = A
и
cPf(t — 6
£>2
a = — • А кг-кал/м2 час0
Таблица 15. Функция 4f для воздуха
(и двухатомных газов)
в
1^5
™ *
™ >
™ >
кГ1
А
0,447
0,468
0,512
0,585
0,716
В
1
и
10*
10»
10*
А
0,905
1,203
1,698
2,633
4,360
• В
108
ь«
10'
А
7,95
14,46
26,30
Для других тел справедливо то же уравнение, если вместо В
ввести величину
I возд.
В области, где В =* 103 до 108 (паропроводы и водопроводы дл5*
теплой воды), можно функцию Ф представить в таком виде
В' =В\ )

Конвекция
631
тогда
А = 0,468 У В (см. G г 6 Ъ е г);
i = -т 0,468 \/ В кг-кал/м* час°.
Для определения В для воздуха служит нижеприведенная
таблица значений В0 при rf0 = 0,01 и &0 = 760 мм рт. ст. Для других
диаметров труб d и давлений воздуха Ь находим В из выражения:
В = V (6/760)». (<*/0,01)з.
Коэфициент теплопроводности соответствует указанной в таблице
температуре *т.
Таблица 16. В0 = 0,°^8 т2?б° In ~ (по G г 0 b e г'у)
/
— 200
— 150
-100
- 50
+ о
+ 50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
600
650
700
750
ъ=о°*
*т
— 121
- 85
- 53
- 26
0
+ 24
48
70
92
112
131
152
170
190
208
227
244
261
278
295
Во
-700 000
- 189 сОО
- 59 700
— 16 900
0
+ 7300
10 400
11500
11600
11600
11 100
10 500
9900
9300
8600
8000
7600
7 100
6 700
6300
8
'«
-115
- 77
- 45
- 16
+ 10
+ 35
58
82
104
125
144
165
185
203
221
240
258
275
292
309
= -^20в
В'о
-637 000
-176 000
— 60500
- 20200
- 3 700
4- 3 800
7 200
8600
9 100
9 200
9000
8500
8 100
7 700
7400
6900
6500
6200
5800
5500
0
*т
-108
- 69
- 37
- 8
+ 19
4- 45
70
93
114
137
158
178
198
217
236
255
272
291
3 8
327
= +4ов
В0
-566000
- 161 000
- 59 600
— 22 300
— 6 400
-f 1200
4500
6300
7200
7300
7 200 .
7100
6800
6500
6100 n
5900
56С0
5300
5000
4700
Для пересчета на давление Ь применяется следующая таблица:
ь
(ft/76 )■
760
li00
750
0,98
740
0,95
730
0,92
720
0,90
710
0,87
700 мм рт. ст.
0,85
2. Теплопередача плоским стенкам. Приближенные формулы
Нуссельта для воздуха (Mitt. Forschungsarb. тетрадь 63/64, стр. 82).
0 — температура воздуха, tf —температура стенки.

632 т 1. °ТД * Теплота. П. Передача теплоты
a) вертикальная стенка (также вертикальные трубы):
о = 3,0 + 0,08 • Д кг-кал/м* нас0 для Л « & — / < 10°,
а в 2,21/ Д кг-кал/м2 час° для Д > 10°.
b) Горизонтальная стенка:
. а = 2,8 ^7.
Если показание барометра заметно отклоняется от 760 мм
давления ртутного столбца, а температура воздуха Ь — от 20°, то коэ-
фициент теплопередачи а следует еще помножить на выражение
V 2,6 е'
3. Теплопередача от некипящей воды. В зависимости от формы
поверхности стенок (облегчающей или ограничивающей срободное
движение жидкости) получаются коэфициенты теплопередачи,
возрастающие с увеличением температурной разности и .температуры
воды от 500 до 3000 кг-кал/м2 час°. При применении мешалок и
в зависимости от их действия наблюдаются коэфициенты от 2000
до 4000 кг-кал/м2 нас01).
с) Особые случаи
1. Конденсирующийся пар
Температура пара повсюду одинакова и равна температуре
кипения. Вся разность между температурой стенки t и температурой
пара & действует на обволакивающий стенку слой конденсата. Чем
скорее последний удаляется (стекает), тем лучше протекает
теплопередача (Nusselt, ZdVdl 1917, стр. 541).
Для вертикальной плоской стенки высотою Я имеем по Н у с-
сельту при неподвижном паре
*ж = °>943 V 7^*«* у Г кг-кал/м2 сек°.
Для т, X, (j. подставляются значения, соответствующие воде при
температуре tm = 0,5 (t> + 0°1 г — теплота испарения при &° в кг-кал.
При
А = 3600 • 0,943 у т-*^ - №
а = А у jjQ^fi кг-кал/м2 нас0.
Эти формулы справедливы также и для вертикальных труб.
*) Austin, ZdVdl 1902, стр. 1890; Than, Z. f. d. gee. Klltelndustrie 19П8,
стр 41.

.Конвекция
633
Если стена имеет против горизонтальной линии уклон в р°, то
ор = а у SlrTp.
Для горизонтальной трубы с диаметром d, если а — коэфициент
теплопередачи для вертикальной стены высотой Н = d,
атрубы = °»77 * *•
Если труба длиною L устанавливается один раз вертикально
(as) и другой раз горизонтально (aw), то отношение коэфициентов
теплопередачи ajas = 0,77 ^/Tjd.
Для конденсации, происходящей внутри трубы, приведенные
выше уравнения справедливы лишь в тех случаях, когда
образовавшийся конденсат немедленно удаляется из трубы.
у cTEeZ кГр°ьГп0арТЙ ™лица »• А = 3600 • 0,943 f»
денсируется, расположены 4ЛЯ В°ДЫ
одна под другой, так что
конденсат верхней трубы
стекает на нижнюю, то
средний коэфициент ап
теплопередачи при п трубах, если
a — коэфициент для верхней
трубы, получается из
Содержащийся в конденсирующемся паре воздух ухудшает
теплопередачу, так как парциальное давление водяного пара, а
следовательно, и его температура при этом уменьшаются. Вредное
влияние примеси воздуха проявляется тем сильнее, чем ниже общее
давление смеси воздуха и паров.
Таблица 18. Конденсирующийся насыщенный пар, лишенный
примеси воздуха.
Коэфициент теплопередачи а, [кг-кал/м* час °] вертикальной стенки высотой 1 м
при разности температур в 1° и средней температуре между температурой пара 9 л
и температурой стенки /.
6 = 0,5 (»„ + /).
/
0
10
20
30
40
50
60
А
1147
1270
1387
1495
1600
1700
1795
. i ,■ i i не
70
80
90
100
ПО
120
130
А
1890
1985
2075
2160
2255
2340
2420
/
140
150
160
170
180
1 190
200
А
2495
2570
2640
2710
2780
2840
2890
■ ■ и
а
0
10
20
30
40
«1
5660
6260
6810
7320
7820
Ь
50
60
70
80
а,
8285
8735
9165
9590
Ь
90
100
110
120
«.
10010
10420
10820
11190
Ь
130
140
150
160
«j
11530
11850
12180
12490
Ь
170
180
190
200
«1
12770
13020
13210
13370

634
Т. I. Отд. 4. Теплота. ТТ. Передача теплоты
П. Теплопередача от кипящей воды
а = 2000 до 6000 кг-кал/м2 час°.
Ббльшие значения берутся при высших температурах и
температурных разностях, а также при воде, находящейся в бурном
движении *).
С. Прохождение тепла (теплоперепад)
Под прохождением тепла подразумевается передача тепла от
одной жидкости к другой, от которой она отделена стенкой.
Обозначения:
flj — температура горячей жидкости в°,
02 — температура холодной жидкости в °,
/, и t9 — соответствующие температуры поверхностей стенки в°,
otj и а8 — коэфициенты теплопередачи в кг-кал\мг час0',
о—толщина разделяющей стенки в м,
X — коэфициент теплопроводности разделяющей стенки в кг-кал\м час
Q — количество тепла, переданное за г часов, в кг-кал
F — поверхность стенки в м\
Для плоской стенки равномерной толщины поток тепла на 1 м2
в течение часа:
Q = kF • z (Ъх — 0g) кг-кал,
причем коэфициент теплопрохождения
k = ~п—r~Ti—г^тг м-кал/м2 час°.
Температуры поверхностей стенки находим из
t2 = b2 + (h-h)b!«2°-
Если стенка состоит из ряда плотно прилегающих один к
другому слоев толщиною оь о2, о3 ... с коэфициентами
теплопроводности Xlf X2, Х3 ..., то
Для цилиндрической трубы длиною / с внутренним
диаметром de и внешним dH
*) Austin, ZdVdl 1902, стр. 1894. Holborn und Dittenberger,
ZdVdl 1919. Classen, ZdVdl 1902, стр. 418. R e u 11 i n g e r, ZdVdl 1910, стр. 550.
Fehrmann, ZdVdl 1919, стр. 974.

Прохождение тепла (теплоперепад) 535
Если стенка трубы состоит из нескольких слоев, например
из трех, с диаметрами dit dlt d2 и dai то
где >ч, Х2, Х3 — коэфициенты теплопроводности соответствующих
слоев.
Если по сравнению с диаметром толщина стенки металлической
трубы мала, то можно производить расчет теплопередачи по формуле
для плоских стенок; при этом в формулу подставляют величину
внешней поверхности стенки, если значение а наружной жидкости
мало по сравнению с а жидкости, находящейся внутри трубы, и
наоборот. Если же а внутри и снаружи приблизительно одинаковы, то
поверхность трубы определяется по диаметру
dt + da
2 '
Таким образом при расчете поверхности нагрева котлов
принимают:
для дымогарных труб — внутренний диаметр,
для водяных труб (водотрубные котлы) — внешний диаметр,
для труб пароперегревателей — средний диаметр.
а) Прохождение тепла (теплоперепад) при переменных
температурах жидкостей
Если температуры 0Х и $2 жидкостей I и II на протяжении
извесгного периода времени меняются вследствие происходящего
между ними теплообмена (жидкости неподвижны относительно
поверхности нагрева), или же температуры жидкостей меняются в
процессе их движения (движение жидкости вдоль поверхности нагрева),
то количество переданного тепла определяется так же, как и при
неизменной температуре:
где Ат — средняя разность температур жидкостей I и И (Mollier,
ZdVdl 1897, стр. 153).
Если обозначить температуры в начале процесса теплообмена
[z = 0) или в месте начала поверхности нагрева через Ьг и 0/,
а через Ььа и &2" — температуру в конце процесса {z = z") или
в конце поверхности нагрева, и если принять во внимание, что

636 T J- 0ТД- 4- Теплота. II. Передача теплоты
то
Ди = (Д'-Д")/1п-^-.
При этом совершенно безразлично, происходит ли течение одной
жидкости относительно другой параллельно в одну или разные
стороны, или же один поток течет в направлении перпендикулярном
ко второму: прямоток, противоток и пересекающееся течение
жидкостей (см. Nusselt, ZdVdl 1911, стр. 2021). При всех
обстоятельствах в расчет принимается только поверхность нагрева, обращенная
к более горячей жидкости.
Приблизительное определение средней температурной разности
как средне-арифметической суммы Дд = (Д' + Д")/2 допустимо только
в том случае, когда Д' = Д".
Для более удобного определения Д/я = 6«Да служит табл. 19:
Таблица 19. Ь = &т/Ьа
Д'/Д"
1.0
1,2
м
1,6
1,8
b
1,000
0,998
0,991
0,981
0,971
Д'/Д"
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
b
0,962
0,952
0,942
0,928
0,918
А'/Д"
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
b
0,910
0,899
0,867
0,846
0,829
Д'/Д"
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
Ь
0,798
0,770
0,748
0,729
0,710
Эта таблица справедлива и для обратных величин в столбцах для Л'/А" и Ь.
Когда одна из двух жидкостей находится в состоянии кипения
или конденсации, ее температура не меняется; все
вышеприведенные зависимости сохраняют свое значение, причем $/ = %г№ или
А / A If
Если
О, и G*—протекающее в час количество жидкостей в кг\часл
сх и ct—и* теплоемкости в кг-кал\кг°<
к __ / J 1 \ -f- Для прямотока,
~~ ^ О, с, - Gtct ) — для противотока,
g — основание натуральных логарифмов.

Излучение тепла
637
►»'+
(1
(1-
ТТР(1-8)(а
-P)«V+0-
1 —Ре
-P)V + PU-
>i'-V)-
«)V
е)»,'
то температура жидкости при ее выходе определяется по
следующим формулам:
a) Прямоток.
1. Температура при входе $/,
температура при выходе 0," = V — v . а 0 — е) (V—V)<
2. Температура при входе Ъ2'9
ft
температура при выходе ft2" =
b) Противоток.
1. Температура при входе %х',
температура при выходе &/' =
2. Температура при входе 02">
температура при выходе 02' — ^
При двух потоках жидкости, текущих под прямым углом друг
к другу, теория передачи тепла изложена у Nusselt, ZdVdl 1911,
стр. 2021.
b) Прохождение тепла через стенки, снабженные поперечными
ребрами*)
Увеличение поверхности стенки при помощи добавочных
поперечных ребер бывает полезно лишь в том случае, если ребра
выполняются с той стороны, где можно ожидать менее интенсивной
теплоотдачи.
Если увеличение гладкой поверхности стенки в F л&
поперечными ребрами достигает (/^ — F) м2, то коэфициент
теплопередачи, отнесенный к гладкой поверхности стенки, выражается
формулой а^ = $а, где величина £ берется от 0,4—^г- до 0,6—J~ *
С этим коэфициентом теплопередачи а^ расчет проводится
аналогично расчету для обыкновенных плоских стенок без ребер.
D. Излучение тепла
Одновременно с теплопроводностью и конвекцией передача тепла
совершается почти без исключения также и лучеиспусканием.
Теплопередача лучеиспусканием приобретает однако известное значение
только при высоких температурах. Излучающее тело превращает
тепло в лучистую энергию (колебания эфира)— это явление
называется лучеиспускательной способностью (эмиссией) лучей — и
посылает их в пространство. Пока лучистая теплота встречает на своем
1) Е. Schmidt. ZdVdl 1926, стр. 885 und Mitt. Forschungsheim f. Wirmeschutz,
H. 7. Munchen, 1926. (Einfluss der Formgebung der Rippen).

638
Т I. Отд. 4. Теплота. II. Передача теплоты:
пути только диатермические тела, т.е. тела, ее не
задерживающие, она, не изменяясь, проходит их насквозь. Если же на
пути теплового луча встречается тело для него непрозрачное, т. е.
его не пропускающее, то луч либо снова превращается в тепло»
либо отражается. Первое явление называется абсорбцией
(поглощением), второе— отражением тепла. Среди реальных тел, однако, нет
абсолютно диатермического тела, как нет и абсолютных
поглотителей и отражателей тепла.
По существу тепловые лучи ничем не отличаются от световых,
только длина их волн больше. Вследствие этого для тепловых лучей
действительны все законы, установленные для света (скорость
распространения, преломление и пр., см. главу „Оптика", стр. 585).
1. Твердые тела. Газы с технической точки зрения почти всегда
относятся к телам диатермическим.
Способность к лучеиспусканию Е данного тела
измеряется количеством лучистого тепла в кг-кал/м2час, которое
испускается единицей поверхности тела за единицу времени. Погло-
щательная способность тела (относительная поглощательная
способность) е есть та часть количества падающего на тело лучистого
тепла, которое им поглощается, а отражательная способность
р = 1 — е есть та часть тепла, которая телом отражается. Абсолютно
черное тело поглощает все падающие на него лучи (е5=: 1, р^ —0).
Полная способность к лучеиспусканию £, свойственная данному
телу, распределяется на лучи различной интенсивности и различной
длины волны
Для лучеиспускательной способности Ех одной только* длины
волны X имеем
т. е. отношение лучеиспускательной способности Ех какого-либо тела
к лучеиспускательной способности Es абсолютно черного тела равно
поглощательной способности ех первого по отношению к лучам той
же волны (закон Кирхгофа).
Тела, полная лучеиспускательная способность которых
подчиняется закону Кирхгофа, называются серыми телами. Большую
часть тел, встречающихся в технике, можно рассматривать как серые,
для которых
причем Es — полная лучеиспускательная способность абсолютно
черного тела. Абсолютно черное тело излучает тепло в гораздо большей
степени, чем другие тела, так как е всегда меньше единицы.
Лучеиспускательная способность абсолютно черного и серого
тела пропорциональна четвертой степени их абсолютной температуры:
£= С(Г/100)4 кг-кал/м2 нас—закон Стефана и Больцмана.

Излучение тепла
639
Постоянная лучеиспускания абсолютно черного тела
С5 = 4,98 кг-кал/м2час (°абс)4.
(Landolt-BOrnstein, Phys.-Chem. Tabellen, 5 изд., Berlin, 1923,
Springer. Особого внимания заслуживают результаты опытов Ger-
U ch, Ann. d. Phys. 1916, 50 и Coblentz, Phys. Rev. 1919, 14.)
Для серого тела постоянная лучеиспускания
C=z Cs кг-кал/м2 час (° абс)4.
Если лучеиспускание тела не вполне удовлетворяет закону
Кирхгофа, то величина С меняется в зависимости от температуры,
Таблица 20. Относительная поглошдтельная способность е
(По Nusselt, Sigl, Wamsler, Westphal, Jfirges).
Металлы:
Чугун шероховатый, сильно
окисленный 0,94
Железо матовое, окисленное . . 0,96
Железо, блестяще-по жированное . . 0,29
Золото,гальванически
кристаллизованное, блестящее, но не
полированное 0,49
Медь полированная 0,13
Медь слабо полированная . .
Медь прокатанная
Медь шероховатая . • . .
Латунь матово-полированная
Серебро
Цинк матовый
Олово
0,17
0,64
0,76
0,22
0,03
0,21
0,05
Строительные материалы
Дерево гладкое . . .
Базальт ... .ч... .
Красный песчаник . ,
Мрамор
Гранит ....,..,
Доломитовая извеси. ,
Глинистый сланец . .
Гипс
6
сл
S X 4
d м '
н <и
«U
г 0.78
0,72
0,60
0,58
0,45
0,41
0,69
{ 0,78
о 2
* 2
е; Я Ч
Прочие материалы
Известковый раствор, грубый, белый 0,90
Штукатурка .... • 0,93
Кирпичная кладка 0,93
Гравий • 0,29
Глина 0,39
Песок • 0,76
Сажа (уголь) . . .
Стекло
Вода
Лед
Опилки древесные
Бумага
0,95
0,93
0,67
0,64
0,75
0,80
Пахотная земля . .
Чернозем •
Хлопчатобумажная ткань .
Шелковая ткань
Шерстяная ткань
Масляная окраска ....
0,38
0,66
0,77
0,78
0,78
0,78
Масляный слой на никелированной
полированной жести
Толщина
0 мм
0,02 „
0,04 „
0,06 „
е
0,06
0,23
0,39
0,50
Толщина
0,08 мм
0,10 „
0,20 .
оо
е
0,60
0,66
0,80
0,82
Цифровой материал, приведенный в таблице, дает средние значения
величины в; однако, в зависимости от состояния внешней поверхности тела, могут
встретиться значительные отклонения.

640 ^ ' 0тД- *• Теплота. I! Передала теплота*
Если полную способность данной поверхности к лучеиспусканию
обозначить буквой Е, то способность к лучеиспусканию
перпендикулярно к этой поверхности будет
Еп = Е/тс кг-кал/м2 час,
а в направлении под углом <р> образованным с нормалью к этой
поверхности,
Др = Еп • cos ср = (Е/п). cos ср.
Вследствие этого из общего количества тепла, излучаемого
элементом поверхности dfv на поверхность df2 попадает
где Е кг-кал/м? час — полная лучеиспускательная способность
элемента поверхности dflt а <рх и <р2 ~" Углы# которые образует
соединяющая оба элемента dfx и df2 прямая г с нормалями к этим
элементам (закон косинусов интенсивности лучеиспускания или
закон Ламберта).
Применение закона к поверхностям различной формы см. G е г-
b e I, Die Grundgesetze der Warmestrahlung und ihre Anwendung auf
Dampfkessel mit Innenfeuerung, 1917, Springer.
Количество тепла, которое путем лучеиспускания переходит от
поверхности I площадью /^ м2, с температурой 7^° абс и постоянной
лучеиспускания Сх кг-кал1м2час (° абс)4 к поверхности II (F2, Г2»
С2) за время z, определяется из
*.-'.-'[(й)ЧЭД
кг-кал.
Кажущаяся постоянная лучеиспускания С определяется по
Нуссельту (Mitt. Forschungsarb., тетрадь 264),] если Cs -— постоянная
излучения абсолютно черного тела, следующим образом:
1. Поверхность II со всех сторон окружает поверхность I.
с = i/Ci+WOTd^W кг'кал1мг "*' (°абс)4'
Частные случаи: a) F2 велико по сравнению с Fx (например,
трубопроводы в открытом месте); тогда C=^Q.
b) Fx = F2 (близко расположенные параллельные поверхности):
с = 1/с1+1/сг-1/с, **""'* час (°абс)4-
2. Во всех других случаях (см. Nusselt, Gesundheitsing. 1918,
стр. 171) можно приблизительно принять
С^С1'С21С5 = г1С2^в2>С1.

Йадучение теплА 041
Если принять, что
то получится
значение коэфициента а находится по табл. 21.
Таблица* а-Ш*£=Ш»
т?т^
д
- 273
— 200
- 100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
■я^нёяняв"
-273
0
0,0039
0,0518
0,2034
0,519
1,058
1,882
3,050
4,62
6,66
9,21
12,35
900 Il6,14
100»
20,45
"
-200
0,0156
0,0867
0,2764
0,644
1,251
2,155
3,418
5,10
7,24
9,96
13,26
17,21
21,88
— 100
0,2070
0,465
0,923
1,630
2,673
4,08
5,94
8,28
11,19
14,72
18,92
23,87
0
0,814
1,380
2,225
$,408
4,99
7,03
9,59
12,72
16,50
20,97
26,21
;
100
2,07l
3,070
4,422
6,19
8,44
11,30
14,62
18,66
23,42
28,96
200
4,233
5,77
7,75
10,23
13,27
16,92
21,26
26,33
32,20
300
7,53
9,73
12,46
15,77
19,71
24,36
29,76
35,98
400
12,19
15,19
18,70
23,04
500
18,48
22,38
26,96
28,01 32 29
j
33,7638,41
40,35
45,38
600
700
26,61,
31,55 36,84
37,29
43,75
51,1
42,93
49,85
57,6
800
49,5
56,8
65,0
900
64,6
73,3
1000е
82,6
2. Газы. Газы излучают и поглощают только лучи, волны
которых по длине относятся к определенной, очень ограниченной
области; по отношению к тепловым лучам, лежащим вне этой области,
все газы диатермичны. У большей части газов область лучей,
которые ими излучаются, настолько мала, что их можно считать вполне
диатермичными. Во всяком случае технически газы принимаются
за тела теплопрозрачные и не излучающие тепла ни при какой
температуре (воздух, кислород, азот, водород).
Из технически важных газов только углекислота и водяной пар
отличаются известной способностью поглощать и испускать лучистое
41. Hfitte, Справочник для инженеров, т. I

642 ^. I. °ГА * Теплота, tl. Передача тепяотк*
тепло. При нагреве выше 600° эти газы начинают излучать заметное
количество тепла, а при очень высоких температурах теплопередача
лучеиспусканием может даже превзойти передачу конвекцией и
теплопроводностью.
В противоположность твердым телам, у которых излучение и
поглощение происходит только на поверхности, у газов способность
к поглощению зависит от толщины излучающего тепло слоя газа.
Так, е=1 — e~~ks, где е — относительная способность к
поглощению, е — основание натуральных логарифмов, s в м — длина пути
луча сквозь слой газа, к в 1/м — коэфициент поглощения.
Значения этого коэфициента к колеблются между 0 (абсолютно
прозрачное тело) и со (абсолютно черное тело)1).
Приближенные уравнения и таблицы для расчета излучения
углекислоты и водяного пара, см. S с h a k, Der Warmeiibergang in
technischen Feuerungen inter dem Einfluss der Eigenstrahlung der
Gase. Mitt. d. Warmestelle, Dusseldorf, тетрадь 55 и ZdVdl 1924,
стр. 1017. Ten Bosch, Die Warmeubertragung, Berlin.
E. Передача тепла путем конвекции, теплопроводности
и излучения
Если стенка передает тепло одновременно путем конвекции,
теплопроводности и излучения, то составные части подсчитываются
отдельно и полученные в результате такого подсчета значения
суммируются.
Если находящаяся по одну сторону стенки жидкость I отдает
ей тепло, которое на второй стороне передается газу II отчасти
путем конвекции и теплопроводности, отчасти же путем излучения
на находящиеся вблизи другие окружающие поверхности, то
коэфициент теплопередачи к определяется из
?." !/«,+ !/(«.'+■<) + »Л «-"Ч/*"*
причем _ СГ(Г3/100)'-(7У100)Ч ^^^ ^
Здесь обозначают:
а,а, — коэфициенты теплопередачи путем конеекции и теплопроводности,
«у — добавочный коэфициент теплопередачи излучением,
8 — толщина стенки р. м,
X — коэфициент теплопроводности стенки,
Ъ2 — температура газа II,
*i, /, — температура поверхности II стенки,
/3, Гд—температура окружающих поверхностей,
С — кажущаяся постоянная лучеиспускания поверхности II стенки.
В большинстве* случаев температуру окружающих стен tB можно
считать равной температуре газов, т. е. /8=*$а.
') Nil see И, Der Warmeubergang in 4er Verbrennungskraftmaschine, Mitt.
FOrschungsarb., тетрадь 264.

Основные 8ЯКОНЫ термодинамики
643
III. Основные законы термодинамики \)
Обозначения:
$z
V, v-
t-
7W+273 -
U, и-
S, s-
Л /-
A ^Im -
ср* cv~
количество тепла в кг-кал,
абсолютное давление (упругость) газов, паров и жидкостей в кг\м*,
то же давление в кг\смг am,
вес рассматриваемого тела в кг,
объем в ж3, м91кг,
температура в°,
абсолютная температура,
внутренняя энергия в кг-кал,
энтропия в кг-кал\кг°
теплосодержание (общее количество тепла при постоянном давлении)
в кг-кал,
механический эквивалент тепла 1 кгм в кг-кал,
теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме.
Все величины, взятые относительно веса исследуемого тела, независимо от
величины этого веса, обозначаются большими буквами, например: V, U, S, I;
если же величина относится к единице веса, то ее обозначение пишется малыми
буквами, например: v, и, s, /, так что V= Gv, t/= Gu и т. д., где С вес тела в «г.
Давление газов и паров измеряется в миллиметрах (или в
метрах) водяного столба (в. с.) или в миллиметрах ртутного столба
(р. с), в кг/м2, кг/см2, фунт/дм2 и в атмосферах (таблицы для
перевода одной меры в другую, см. в „Приложении").
метрическая (техническая)
атмосфера (ат) = 1 кг1см*=735,5 мм
р. с. при 0° (= 737,4 мм р. с. при
15°) = 28,958 англ. дюйма р. с.
при 0° =* 10,000 м в. с при + 4е =
= 14,223 англ. фунт./дм*= 0,968am.
старая физическ. атмосфера (am)
= 760 мм р. с. при 0° (= 762 мм
р. с. при 15е) = 29,922 англ.
дюйма р.'с. при 0° = 10,333 м в.с.
при -{- 4° = 14,696 англ. фунт./дмг=
= 1,033 am.
^ 1 мм в. с. при + 4° = 1 кг\мх — 0,07355 мм р. с. при 0Р,
1 мм р. с. = 13,596 мм в", с. = 0,0013596 am == 0,0013158 am.
а) Два основных закона термодинамики
1. Первый закон термодинамики устанавливает принцип
сохранения энергии для всех процессов, сопровождающихся тепловыми
явлениями; согласно этому закону тепло и работа вполне.
эквивалентны:
1 кг-кал = 427 кгм (стр. 603).
Если общее количество энергии тепла в состоянии I обозначим
Ех в кгм и ту же величину для состояния II обозначим Е2 в кгм,
то согласно первому закону термодинамики изменение состояния
тела от I до II выразится уравнением
^Подробное изложение см.: М. П л а н к, Термодинамика. Ш ю л е",
Техническая термодинамика. Проф. Дьяков и А. Шапошников, Техническая
термодинамика в задачах. Хвольоон, Курс физики, т. III.

544 Т- I 0т4- 4- Теплота. III. Основные законы термодинамики
где Q — количество тепла в кг-кал, подведенного телу извне во
время изменения его состояния, a L — механическая работа,
произведенная данным телом.
В дальнейшем рассматриваются исключительно жидкости, газы
и пары; внешняя работа L, совершаемая ими, состоит в преодолении
внешнего давления на их поверхность, которое при
непрерывном (обратимом) изменении состояния всегда равняется
внутреннему давлению (упругости) жидкости. В таких случаях
dL = P dV и L= f PdV.
Общая энергия данного тела состоит из его внутренней
- энергии (£/)» которая зависит только от внутреннего состояния
тела, и из внешней кинетической энергии. В особых
случаях можно наряду с указанными выше родами энергии принять
в расчет еще и энергию от силы тяжести. Кинетическая энергия
встретится ниже при рассмотрении явлений, сопровождающих
движение тел. Если кинетическая энергия неизменна или равна нулю, то
V* .
dQ^APdV+dU и <?= Г APdV+Ui—Ui.
vx
Это уравнение одновременно устанавливает понятие о
внутренней энергии U\ ее прирост равен сумме тепла и внешней работы,
воспринимаемых телом. Для подсчета количества энергии, присущей
телу, нет определенной начальной точки; поэтому подсчитываются
только изменения этой энергии. Единицей меры внутренней энергии
служит калория (кг-кал).
2. Второй основной закон термодинамики гласит,' что от тела
или системы тел, все материальные точки которых имеют одну и ту
же температуру, нельзя получить механической работы. При этом
предпосылается, что тела или системы тел ни по своей механической
природе, ни по своим химическим свойствам не способны
производить механическую работу. Такое тело или систему тел считают
находящимися в состоянии полного теплового равновесия. Тот же закон
,формулирован Клаузиусом в другом виде: тепло не может само
по себе переходить от тела более холодного к телу более теплому:
такой переход совершается только за счет изменений в состоянии
других окружающих тел.
Математическое выражение второго основного закона для
обратимых процессов, т. е. непрерывных или процессов
равновесия, следующее:
dQ = T dS.
Я, V, Т и U, так же, как и S, зависят только от состояния тела;
5 называется его энтропией. Если для определенного состояния
тела известны параметры Я, К, Г и U, то его энтропия определяется
из равенства:
Т dS = d(J + AP dV.

Полезная работа. Формулы
645
Второй закон термодинамики объясняет природу обратимых
процессов: обратимыми процессами называются такие, у
которых сумма энтропии всех тел, участвующих в процессе, остается
неизменной. При необратимых процессах, т. е. при таких
изменениях состояния тел, которые протекают в условиях нарушенного
теплового равновесия, энтропия всей системы увеличивается.
Энтропия изолированной системы тел никогда и ни при каких
обстоятельствах не может быть уменьшена.
Ь) Полезная работа
Чтобы из данной системы тел извлечь максимальное количество
внешней механической работы, необходимо эту систему каким-либо
обратимым путем привести в состояние полного равновесия.
Другими словами: полезная работа/^ системы тел есть та часть
общего количества энергии, присущей системе, на которую это
количество может быть уменьшено при неизменяющейся энтропии.,
Во всех почти технических рабочих процессах наружная среда
является частью системы тел, участвующих в совершении работы.
Эту наружную среду можно рассматривать как резервуар при
неизменяющемся давлении и температуре. В таких случаях основной
закон для наивыгоднейших рабочих процессов гласит: данная система
должна быть приведена к давлению и температуре окружающей
среды каким-нибудь обратимым путем. Если Elt Vx и Sx означают
общую энергию, объем и энтропию системы (без наружной среды)
в начальном состоянии, Е2, V2 и $2 ~~ те же величины после
обратимого перехода в конечном состоянии, Т0 и Р0 — температуру и
давление окружающей среды, то полезная работа в кг-кал опреде-
ляется из
ALn = (£, - Е2) - Г0 (Sx - S2) + АР0 (V± - V2).
Каждый из трех членов уравнения может иметь положительное
или отрицательное значение.
Потеря работы в кг-кал> которая в подобных случаях
возникает вследствие некоторой необратимой части. процесса, равна
произведению из абсолютной температуры окружающей среды на
происходящее в этой части процесса увеличение энтропии.
Если из чисто практических соображений (недостаток
охлаждающей воды, невыгодный коэфициент передачи тепла) обмен тепла
между системой и окружающей средой невозможен, то
довольствуются тем, что обратимым путем приводят систему лишь к давлению
окружающей среды.
с) Формулы, основанные на обоих главных законах
Если все величины для единицы веса тела обозначим малыми
буквами i>, s, и, а теплоемкость при постоянном давлении и
соответственно постоянном объеме через с и cv1 то из главного уравнения
</Q= Tds = du + AP4v

646 Т. I. Отд. 4. Теплота. III. Основные законы термодинамики.
получатся соотношения:
ср ev^AT^dTjJ^Tjjt
~4wp4~d^V А\~дт)гг{-дЬ')г;
Щя А ("57 V ("Э7)Г~Л (~дД#
В некоторых технических применениях введение наряду с
энергией подобной ей величины / = д -f* APv представляет большое
удобство. Эта величина представляет общее количество тепла при
постоянном давлении и называется „теплосодержанием". От введения
величины / основное уравнение переходит в
dQ = Tds = di~A vdP;
кроме того,
(■&),-* (£).-*■ {%)r-v
(-£).- * (£).-"' (4f)„-v
(dcv\ __ Ау(&Р\ ( дТ\ 1 / di\ __ AT' (djylT)\
\dv)T-Ai\dT')j \дР)Г cp\dPjf cp \ dT Jp
d) Графические изображения
Во всех технических применениях -термодинамики графические
построения состоят обыкновенно в том, что состояние
рассматриваемого тела изображается точками на плоскости, для чего какие-либо
две из величин Р, Т, Vf S, /, U выбираются в качестве
прямоугольных координат, в соответствующем масштабе *).
') Масштаб выбирается в 1ависимости от размеров предполагаемого чертежа.

Графические изображения. Совершенные газы
647
Диаграмма PV, диаграмма работы, индикаторная диаграмма.
Площадь под кривой, изображающей изменение состояния,
пропорциональна произведенной работе j PdV.
Тепловая диаграмма, диаграмма TS. Энтропия откладывается
по оси абсцисс, а абсолютные температуры — по оси ординат.
Площадь между полученной кривой, осью 5 и конечными ординатами
представляет теплоту, воспринятую телом. Адиабаты и изотермы
(см. стр. 654) в тепловой диаграмме имеют вид прямых,1
параллельных осям. Тепловые диаграммы особенно целесообразны для
изображения явлений, имеющих место в тепловых двигателях.
Энтропийно-тепловая диаграмма*) (/5). Общее количество
тепла 1= U-\- AP.V откладывается по оси ординат, а энтропия —по
оси абсцисс. Диаграмма эта в применении к тепловым двигателям
представляет то удобство, что все важнейшие величины для работы
и теплоты изображаются в ней отрезками, которые нетрудно
отмерить и найти их числовые значения. Энтропийно-тепловые диаграммы
особенно удобны во всех случаях, когда рассматривается дви>яение
газообразных тел и прохождение их через сжатые сечения, а также
для паровых турбин. Такую диаграмму для водяного пара см, на
стр. 678.
IV. Совершенные газы
(Обозначения см. стр. 643)
Совершенными газами называются такие, к которым применимы
законы Бойля и Мариотта. Оба закона соединены и выражены
в основных уравнениях состояния совершенных газов:
Pv = RT\ PV^GRT.'
R — называется постоянною газа; она обратно пропорцйональпа
плотности и молекулярному весу М газа, Если принять
молекулярный вес кислорода = 32, то
/? = 848/Af.
Это соотношение следует из закона Авогадро, по'которому
равные объемы газов при одинаковом давлении и температуре
содержат для всех газов одинаковое число молекул.
Из уравнений состояния и на основании соотношений, приве*
денных на стр. 646
■ (£)-'(-£)„-—.
т. е. энергия совершенных газов есть только функция температуры
(закон Д ж а у л я).
»)М oilier, Neut Dfajjramnu ?ur t«chnf$ch?n V ^rmelehre. ZdVdl 1904,
«Tp. 271 ff C*.

648 Т. Т. Отд. 4. Теплота. IV. Совершенные га8вп
У газов —за исключением одноатомных— теплоемкости ср и cv
увеличиваются вместе с увеличением температуры (см. таблицу на
стр. 649). В пределах средних температур — особенно для
двуатомных газов — можно считать теплоемкости величинами
постоянными и принять их равными некоторым средним значениям.
В нижеследующей таблице (стр. 649) эти значения определены для
комнатной температуры. Независимо от изменения теплоемкости из-
за перемены температуры всегда справедливо уравнение:
ср - cv = AR=\ ,987/Af ^ 2/Af.
Отношение теплоемкостей х = сJcv имеет для одноатомных
газов неизменяющееся значение *=«=б/з» а для двуатомных при обычных
температурах — почти постоянное значение у. = 1,4. Для газов более
чем двуатомных значения * меньше и сильно зависят от
температуры.
Кроме того,
^ = 2/Л*(*~1), гр'«2х/Л1(*-1),
а для двуатомных газов
с„ = 5Ш< ср^7/М.
Количество энергии u — cvt-{-C, если cv постоянно; в
противном случае и = j cv dt -f- С. Общее количество тепла i = cpt f- С,
если с постоянно; в противном случае / = J cpdt-\- С и
dQ = cvdT+ APdv = cpdT— AvdP.
Энтропия совершенных газов определяется следующими
выражениями:
s = cv\n(Pvx)-i C = cv\nP + cp\nv + C
= cv\n(Tvx-1) + С = cv\n T+ ARlnv + С
^c^n-^^+C^c^nT^ARlnP+a
Для газов во многих случаях удобнее производить расчеты
относительно единицы объема вместо единицы веса. В качестве единицы
объема выбирают или один моль или м* при нормальных значениях
давления и температуры (нормальный кубический метр).
Моль — количество вещества, весящее М кг. Так как моль вещества, согласно
закону Авогадро, для всех совершенных газов при равных давлениях и
температурах будет занимать один и тот же объем, то он одновременно является и
единицей объема.
Нормальный кубический метр как в физике, так и нередко в технике,
относится к 760 мм р. с (1 апи) и к 0\ Эту единицу обозначим N м*. При этом
необходимо различать количество вещества, которое действительно содержится 1 в м*
при 0° и 1 am, от того количества, которое могло бы в ж8 содержаться, если бы
газы строго следовали законам совершенных газов (теоретический нормальный
кубический метр). Если нет никаких указаний, то предполагается именно последнее

Удельный вес и теплоемкость газов
649
со
о
«
ев
о
о
ж
<и
о
ч
Е
со
ч
5
ее
Я
CCJ
Н
§§8ё
О К'"
с ч с
О) Ч
и*
л
§*о .
о и к-«
ч 5 ©-я
tf BbslTddau KBaocej
о о o> o>
CO CO *4" ^*
8 8 8 8 8 8
i£ и* ю" <o tC t*T
8—< о •-" о»
ж "^ »-« Ю -^
|C 00 t«^ CO* 00
3
o^ «^ o> o^ ел oo
ю"4 ю* <o to* «Г со
<NO^ 8» C^^S^l 2 Ю^ °1 ^.
tC t»T t>T oo* oT^ oTo" o* oo* о" с*
Ю^СЧСОСООвЭОсОСО^О (О Л© M Ю
Ю N t-» Ю t^CM Ь- СО СОЮ СО 25 *-« еч •* О № I1
s ор ^ ^ *1 *1 *1 *t "1 "I *"V 'l "*«Я ^ ^1 ^ 'Я
о* о* о* о* о* с" о о о*о* о*4© о* о" о* ©* сГо"
is 2» Q» ^О и« ^^c^Or^45M
"Э °* S ~« «О 4f Ю О О ~ Ю СО О «СО <© »-«
^^с^еч С| ^. in м '-«см сч — * ^ и. w w^ ^
-Го* о* о* о4 со о" о" о" о" о" о* о о о, о" 6* о"
о о ©, о" о о*4
о8 £8
) N ?i СО
Юг» (О •** О) <Л
со* о? сГ со" с* £* (о«
о ю ~
о> cn еч
с^ еч
О* об*
со сч
j = Лх/ftreoe м
ошнэлтешо
on чювнхо1ги
$g 83 88 gfc 88 8S 82 813
*-^сожо«-«жо>о о о w ю юс^юо» t^ ю
о «-» ~ ~ о" о* 1-* о* »-^ -* pJn о" о* «о
(0 шн
a °
S
£? Э со о -* о>
££ 8$ Й§
о* J -* ^ ~ о ~ ~
СО £
(О О)
00 СО •"* Г* . © t*»
■^ и N О — СЧО — ~
11
о
СЧ .-« ♦-'О Г- © Wb. СО tN ООСО СО Ю
ож о ол ож ^ ож ©^ ол © ©_ "? ©^ о о
ер С* С? "о" Ю *# *? "Ф t>T CO* Q* СО* 00 О*
<N COCN СО^ чг СО Ui CM Ю-* CSC0
*# «* t^ СО О СО 00 '
•4* со «и еч ю »-| с* »
чхэонкоху
|-« l(NNNn«CS««W^^WU)(0«
В1Г^Кс10ф
X 5 I О 21
оо
U * «в
ЕО Zoo ZCJ UU UU
Go Яб к =
#:
• : • § :.
и а «с
углерода . .
стый водород
яслота ....
<
ь азота
стая кислота . .
*к
лен .
1етил
х •
*5
{- О О U
5 о, о х во «ж
О. 5 5 w
I •»«*ожвоххЧисв<игач12»-ь

550 Т. I. Отд. 4. Теплота. IV. Совершенные газы
1 моль = 22,41 N м9. Отнесенный к технической единице давления 1 N м9 = 1 м*
яри 1 am и — 8,8°. Принимая во внимание, что N мг плохо подходит к
техническим единицам, а также не дает круглых цифр для средних температур, в технике
обычно пользуются другими единицами; например: 1 м* при 1 am и 15° = 1|24,42 моля.
Так как для нас особенно важно, чтобы избранная единица находилась в простом
соотношении о молем, то за такую единицу примем х/,4 моля, что соответствует
1 м* при I am и 10"; этот нормальный кубический метр'обозначим п мъ.
Если т— количество вещества в молях, то G = тМ; уравнение
состояния принимает следующую форму:
, РУ = ШтТ, AP-V = l,9S7mTtt2mT
и для одного моля
ЯУ=848Г, APV^2T.
Вес 1 Njw3 = M/22,41, а 1 п л*з==М/24.
Оба количества относятся между собою по весу, как 1,071 : 1.
Теплоемкости для 1 моля будут
Ч1ср н Mcv и Mcp — Nlcv = 1,987^2;
далее
Мгр = 1,987-%/(* — 1) и Mcv =1,987/(ч — 1).
Для двуатомных газов (х = 1,4):
Мср = 6,95 или ~ 7;
М^ = 4,9б или ~ 5.
Для 1 Njm»:
Ср = №р/22,4\; Cv = McJ22,4\; Ср — Cv = 0,0887 <х> 0,089;
далее
Ср = 0,089. х/(х - 1); Cv = 0,089/(х - 1);
для двуатомных газов:
Ср = 0,311 « 0,31; Cv = 0,222 « 0,22.
Для 1 пл3:
С^-М^/24; Cv = McJ24; Ср- Cv = 0,0828 «0,033;
Ср = 0,083- х/(х-1); Cv = 0,083/(y.-l);
для двуатомных газов:
Ср =» 0,290; Сг = 0,207 « 0,21.
Энтропия для 1 моля:
5 = 1.987 (—L In P + -^Л- In р) + S„
5 *= 1,987 (-j4j lnT+ln w) + S0 = 1,987CjzrT In Г- In />Y+ 50.

Изменение теплоемкости о температурой
651
Уравнение состояния газа для идеальных газов представляет тот
предел, к которому стремятся подойти по своим свойствам
обыкновенные газы. Это приближение тем больше, чем меньше давление
и чем выше температура. Величина отступлений от свойств
идеальных газов может быть установлена путем сравнения столбцов 5 и б,
табл.* 1, стр. 649.
Табл. 2 и 3 содержат для воздуха и водорода значения PvfRT,
более или менее отличающиеся от единицы, тогда как для идеальных
газов это значение равно 1.
Таблица 2. Значение величин PvjRT для воздуха
t=
р= 0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 кг\см*
0е
1
0,9945
0,9895
0,9851
0,9812
0,9779
0,9751
0,9730
0,9714
0,9704
0,9699
50е
1
0,9990
0,9984
0,9981
0,9982
0,9986
0,9993
1,0004
1,0018
1,0036
1,0057
100°
1
1,0012
1,0027
1,0045
1,0065
1,0087
1,0112
•1,0139
1,0169
1,0201
1,0235
150°
1
1,0025
1,0051
1,0078
1,0108
1,0139
1,0172
1,0206
1,0242
1,0279
1,0319
200°
1
1,0031.
1,0064
1,0097
1,0132
1,0168
1,0205
1,0243
1,0282
1,0322
1,0364
Таблица 3. Значение величин PvIRT для водорода
/ = " 1
р= 0
10
20
30
40
50
60
70
8Э
90
100 кг/см*
-—150е |
1
1,0032
1,0073
1,0122
1,0180
1,0245
1,0319
\ 1,С402
! 1,0492
1,0591
1,0699
- ICO0"1,
1
1,0С64
1,0130
1,0199
1,0271
1,0345
1,0422
1,0501
1,0584
1,0668
1,0756
" -50° | 0°
1
1,0064
1,0130
1,0197
1,0265
1,0334
1,0404
1,0476
1,0548
1,0622
1,0697
1
1,0061
1,0122
1,0183
1,0245
1,0307
1,0370
1,0433
1,0496
1,0560
1,0625
~ -50° |
1
1,0055
1,0111
1,0166
1,0222
1,0277
1,0332
1,0388
1,0443
1,0498
1,0554
100°
1
1,0049
1,0098
1,0148
1,0197
1,0246
1,0295
1,0345
1,0394
1,0443
1,0492
200*
1
1,0039
1,0078
1,0118
1,0157
1,0196
1,0235
1,0274
1,0313
1,0353
1,0392
Изменение теплоемкости с температурой. Из опытов Голь-
борна и Геннинга, Пира, Бьеррума и др. получены
нижеследующие средние значения темплоемкости при постоянном
Давлении, отнесенные к 1 молю (М ср\ Чтобы получить значение ср для
1 кг, достаточно данные таблицы разделить на молекулярный вес
соответствующего газа. Если желают получить теплоемкость для 1 м\
то данные таблицы делят либо на 22,41, либо на 24, в зависимости
от того, относятся ли расчеты к 0° И 760 ми дарления или
к 1 am и 10"\

652 т^ I- ^ТД *• Теплота. IV. Совершенные газы
Таблица 4. Средняя теплоемкость Мср одного моля между 0°
и t° при постоянном давлении
Темп.
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
N„02,
СО
6,98
7,01
7,03
7,06
7,09
7,11
7,14
7,17
7,20
7,23
7,26
н2о
8,25
8,32
8,39
8,46
8,54
8,61
8,69
8J7
8,86
8,95
9,04
со^
8,67
9,19
9,64
10,01
10,32
10,58
10,79
10,97
11,13
11,28
11,41
Темп.
1100
1200
1300
1400
1500
1600
17С0
1800
1900
2 00
I 2100
N„ 0„
СО
7,29
7,32
7,36
7,39
7,42
7,46
7,49
7,52
7,56
7,59
7,63
н2о
9,13
9,23
9,34
9,45
9,57
9,69
9,83
9,97
10,13
10,29
10,46
СОа
11,54
11,65
11,75
11,84
11,93
12,01
12,09
12,16
12,23
12,29
12,35
Темп.
2200
2300
2400
2500
2600
2700
2800
2900
3000
со
7,66
7,70
7,73
7,77
7,80
7,84
7,88
7,92
7,95
н2о
10,63
10,83
11,04
11,25
11,49
11,74
12,00
12,25
12,52
CO.,
12,41
12,46
12,51
12,56
12,60
12,64
12,68
12,71
12,74
Значения, приведенные во второй колонне (N2, Ог, СО), могут применяться
и к другим двуатомным газам, а также и к смесям таких газов.
Реньо, Видеман, Тибо и Нернст нашли следующие
значения теплоемкости с для 1 кг вещества, в пределах указанных
в таблице температур:
Таблица 5. Теплоемкость ср при постоянном давлении для 1 кг
в указанных температурных пределах
Газ (пар)
Ацетон С3Н60 . .
Этилен CjH, . . .
Эфир С4Н,0О . . .
Спирт С8Н60 . . .

Температура
264-110
274-179
1294-273
0
100
200
254-111
274-189
694-224
350
1084-220
350
СР
0,347
0,374
0,412
0,336
0,419
0,502
0,428
0,462
0,480
0,601
0,453
0,613

Наблюдатель 1
>?:
}■
1",:
Т.
р.
т.
Газ (пар)
Аммиак NH3 . . •
Бензол CffH6 . . .
Хлороформ СНС13
Закись азота N.,0

Температура
234-100
274-200
3654-680
344-115
354-18Э
350
274-118
284-189
35Э
264-103
26>206
ср
0,520
0,536
0,65
0,299
0,322
0,499
0,144
0,149
0,152
0,213
0,224

Наблюдатель 1
н.
>*•
т.
}в.
т.
J в.
Для тел, играющих важное значение в процессе горения газов, как например
метан (СН4), этилен (СаН4) и пары бензола (QeHe), можно приблизительно принять
[М ср]\ = 7,7 + 0,008 / для СН4,
[М cp]t = 9,4 4- 0,01 И для СаН4,
[М ср)У = 19 -f 0,028 / для С.Нв.

Cmroh гавов
653
Таблица б. Средняя теплоемкость воздуха в пределах от 20
до 100°, при различных давлениях
р-
ср =
1
0,242
(По Гольборну и Яко
25
0,249
50
0,255
100
0,269
бу1)) v
15Э
0,282
200
0,292
300 am
0,303
а) Смеси газов
Пусть данная смесь состоит из отдельных газов, у которых веса
частиц равны glt g2, gd...t объемы rv r2, rs:.. или моли ть m2, m3..,
причем
Для соотношений весовых объемных частей справедливы
уравнения:
gi =
ri~M^:S(fi£
ftli
1 m
Смеси газов заполняют данное пространство так, как если бы
каждая составная часть смеси занимала одна это пространство,
независимо от присутствия других составных частей; частичные
(парциальные) давления газов слагаются в общую сумму и дают
конечное давление смеси (закон Дальтона). Поэтому для смесей
справедливы те же законы, что и для простых газов.
Частичные давления газов относятся между собою, как их объемы
или как их моли:
Pi-P2-Pi- = riir2:r3
Щ • Щ : Щ-
ri=Pi/P> r2 = p2/p.
Постоянная газовой смеси
R= S (&*/) = 8482 (§-) =1/2 (^)
848
Выражение £ (г{Щ занимает для смеси место молекулярного
веса (кажущийся мол-екулярный вес).
Если мы выразим состав смеси газов при посредстве молей
отдельных составных частей, то уравнение состояния смеси получит
следующий вид:
РК=848Е(т/) Г=848т7',
») Warmetabelleri der phys.-techtt. Reichsaustalt.

654 Т. I. Отд. 4 Теплота. IV. Совершенные гааь*
т. е. оно ничем не отличается от уравнения состояния для простого
газа.
Смеси двуатомных газов для 1 л*3 при 0е и 760 мм
давления (N л*3) или для 1 мг при 10° и 1 am мв имеют:
CD*= 0,311 С = 0,290 ч Мс_^7
с' = 0,222 или с' = 0,207 5 АЛЯ Х моля Мс^5
Теплоемкость смесей:
ср = 2 (л <„/), ** = s (ft <**), *Р = ъ!/7Щ'
1,987
^ е* EfaM,)'
М', = 2 (О м/ ',/), м cv = Е С/м/ <*/), ср- ^
Ь) Особые случаи изменения состояния
(Кривые расширения)
Нижеследующие формулы отнесены к G кг газов. Если имеется
единица веса, то вместо V, U, I н S надлежит поставить
соответствующие малые буквы, а вмесю G — единицу. Указатели 1 и 2
относятся к началу и концу изменения состояния (процесса), с и
cv считаются постоянными.
1. Объем постоянен — изоплера (изохора)
Q = ~f v(P2-Pi)= d:i v(P2-Pi)io*
Для двуатомных газов Q = 58,5 V(p2-~Pi)*
2. Давление постоянно (изобара)
■SL = ^-, А = Р(и2-ц) = о/гй-у.
- 3. Температура постоянна (изотерма)
U — const, p V ва const,
|J = ^, L-G^ring^PxViIn^, (?=^(фиг.1).
4. Энтропия постоянна (адиабата)
(?=о (1)
/^"-const, pJPt^WVtf, (2,3)

Случаи лячрш'нин состояния
655
ГКХ_1= const,
^TJF =const-
ri/r, = (VVW-', (4,5)
TJT, = (pJptf*-4>*, (6,7)
-ЙМЬЙМЭТ
Для расчетов с помощью этих формул и
формул, приведенных в последующей главе,
пользуются таблицей на стр. 656.
Значения показателей для двуатомных: газов: фИГ. i.
* = 1,4, х — 1 =0,4, (у. — 1)/* = 0,286,
1/х = 0,714, 1/(х - 1) =,2,5, х/(х - 1) = 3,5.
5. Политропа.
pV1 &= const, pvn = const.
• Эта кривая часто применяется для графического изображения
расширения в тепловых двигателях, причем показатели* п обычно
колеблются в пределах между 1 их, Уравнения, приведенные выше
для адиабаты (2—-7), действительны и для политропы, если вместо
х подставить п,
Политропы для газоз представляют кривые постоянной
теплоемкости:
сп *= cv (п — х)/(л — 1), для 1 < п < х сп отрицательно.
AL=G (сп - cv)(t2- h), Q=Gcn(t2- tx),
L =
GR_
1
(h-bV <? = "
AL,
'-m-?№ [■-©"]
(Л - 1)//I I
Й[ИЭ J
.PiVr
•я2кг
Построение по штропической
кривой 1) (фиг. 2). Проводят 0.4 под про- *
извольным углом а к оси абсцисс;
определяют угол YOB~$ из
уравнения (1 + tg Р) = (1 -ftg a)«; из точек С
и D, соответствующих ординате и
абсциссе р0 и v0 для начального
состояния, проводят попеременно
нормали и наклонные под углом в 45° к
координатным осям, как указано на фиг. 2;
тогда 1, 2, 3—точки искомой кривой.
\J
V
V
X
о
п— 1
/
"^<d
.4»
к
%
D
И
j
\
У
2
\^> -
у
X
^
Фиг. 2.
•) Е В га u e г; ср. ZdVdl 1885, стр. 433.

656 Т- I. Отд. 4. Теплота. IV. Совершенные газтд
Таблица 7. Адиабатическое и политропическое расширение газов
Р\
р%
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
-30
31
32
33
34
35
36 1
•37
38
39
40
1,4
(адиабата)
(PilP
1,070
1,139
1,206
1,271
1,336
1,399
1,461
1,522
1,581
1,641
1,924
2,193
2,449
2,692
2,926
3,156
* 3,378
3,598
3,809
4,012
4,217
4,415
4,612
4,800
4,993
5,188
5,544
5,900
6,247
6,587
6,919
7,246
7,566
7,882
8,192
8,498
8,803
9,097
9,390
9,680
9,967
10,25
10,53
10,81
11,08
11,35
11,62
11,89
12,15
12,42
12,67
12,93
13,19
13,44
13,69
13,94
Для п
1,3
~W^
1,076
1,151
1,224
1,295
1,366
1,436
1,504
1,571
1,638
1,705
2,023
2,330
2,624
2,907
3,178
3,449
3,712
3,970
4,218
4,467
4,710
* 4,950
5,187
5,420
5,651
5,885
6,325
6,763
7,193
7,614
8,030
8,438
8,841
9,238
9,631
10,02
10,40
1*,78
11,15
11,53
11,89
12,26
12,62
12,98
13,33
13,68
14,03
14,38
14,69
15,С6
15,41
15,74
16,07
16,41
16,74
17,07
1,2
И,/У, = "
1,083
1,164
1,244
1,323
1,401
1,479
1,557
1,633
1,706
1,782
2,145
2,498
2,842
3,177
3,500
3,824
4,142
4,447
4,760
5,058
5,360
5,650
5,950
6,240
6,528
6,820
7,376
7,931
8,478
9,018
9,551
10,08
10,60
11,12
11,63
12,14
12,64
13,14
. 13,64
14,13
14,62
15,10
15,58
16,07
16.54-
17,02
17,49
17,?6
18,43
18,89
19,35
19,81
20,26
20,72
21,18
21,63
1,1
1,090
1,180 !
1,269
1,358
1,445
1,533
1,620
"1,706
1,791
- 1,879
2,300
2,715
3,126
3,505
3.925
4,320
4,710
5,100
5,483
5,861
6,250
6,620
6,997
7,370
7,742
8,120
8,845
9,574
10,30
11,01
11,73
12,44
13,14
13,84
14,54
15,23
15,93
16,61
17,30
17,97
18,65
19,34
20,01
20,68
21,36
22,02
22,69
23,35
24,01
24,68
25,34
25,99
26,65
27,30
27,95
28,60
1,4
(адиабата)
Для п
! 1,3
(Pi/p2)(rt~1)|w
1,028
1,053
1,078
1,101
1,123
1,144
1,164
1,183
1,201
1,219
1,299
1,369
1,431
1,487
1,537
1,583
1,627
1,668
1,707
1,742
1,778
1,811
1,843
1,873
1,903
1,931
1,984
2,034
2,081
2,126
2,168
2,208
2,247
2,284
2,319
2,354
2,-387
2,418
2,449
«,479
2,508
2,537
2,564
2,591
2,617
2,643
2,667
2,692
2,715
2,739
2,761
2,784
2,806
2,827
2,848
2,869
1,022
1,043
1,062
1,081
1,0Р8
1,115
1,130
1,145
1,160
1,174
1,235
1,289
1,336
1,378
1,415
1,449
1,482
1,512
1,540
1,566
1,591
1,616
1,639
1,660
1,681
1,701
1,739
1,774
1,807
1,839
1,868
1,896
1,923
1,948
1,973
1,996
2,019
2,041
2,062
2,082
2,102
2,121
2,140
2,158
2,175
2,192
2,209
2,225
2,241
2,256
2,272
2,287
2,301
2,315
2,329
2,343
=
| 1,2
= Л/г,=
1,016
1,031
1,045
1,058
1,070
1,081
1,092
1,103
1113
1,123
1,165
1,201
1,232
1,260
-1,285
1,307
1,328
1,348
1,366
1,383
1,399
1,414
1,429
1,442
1,455
1,468
1,491
1,513
1,533
1,549
1,570
1,587
1,604
1,619
1,633
1,648
1,661
1,674
1,688
1,698
1,710
1,721
1,732
1,743
1,753
1,763
1,773
1,782
1,792
1,800
1,809
1,817
1,826
1,834
1,842
1,850
!_м_
1,009
1,017
1,024
1,031
1,038
1,044
1,050
1,055
1,060
1,065
1,087
1,105
1,121
1,134
1,147
1,157
1,167
1,177
1,186
1,194
1,201
1,208
1,215
1,221
1,227
1,233
1,244
1,253
1,263
1,271
1,279
1,287
1,294
1,301
1,307
1,313
1,319
1,324
1,330
1,335
1,340
1,345
1,349
1,354
1,358
1,362
1,366
1,370
1,374
1,378
1,382
1,385
1,389
1,392
1,395
1,398

Особые рабочие процессы 557
Выгодно сделать tg a = 0,25; тогда для
/1 = 1,1 1.2 1,3 1,4
tg P = 0,278 0,307 0,337 0,367
6. Исследование кривой расширения (определение
показателя п). Пусть Vx и V2 — объемы двух состояний, рг и ^ —
давления; тогда
При определении п для нескольких точек можно выяснить, будет ли
оно величиной постоят ой и в каких пределах и в какой мере
можно принимать изменение состояния данного тела по политропе.
При п—\ получается равнобокая гипербола. Еще лучше
определить показатель п. если для различных точек кривой
расширения откладывать \g V и \gp в прямоугольных координатах. Для
п =. const получается прямая; тангенс ее угла наклона = п.
с) Особые рабочие процессы
1. Круговой процесс (цикл) Карно (фиг. 3). Процесс протекает
по двум изотермам Т и Т0 и двум адиабатам.
/ 2, адиабатическое сжатие от Т0 до Т,
2 5, изотермическое расширение,
3 4, адиабатическое расширение от Т до 7^
4 1, изотермическое сжатие.
P2Pi=Pl Л» V2 Рг = ^8 Hi
Г2Г4=7\ Г3, ViPb=*VApv
(ei\(x ~1)/х - (£i\{% ~1)/х - (Ух\ж ~' ~ да* ~ ^ Л
L= GR(t- «In SA = Pl yx (T- Л1п£*
Рг Vo / Ps
Коэфициент полезного действия цикла Карно:
4 = AL/Q*=*(T-.T0)/T.
На фиг. 3 площадь 2 3 Ь а представляет собою j *Щ%Щ,
тепло р2з* введенное в процесс, а площадь 4 1а b— j ''/у
отведенное тепло Qu. Площадь прямоугольника / 2 '
3 4 дзет получаемую работу цикла в кг-кал.
Если цикл протекает в обратном порядке, то
расходуется работа Z., и теплота QH отводится при
низкой температуре Г0; последняя в холодильной я^-'1^ £
машине представляет производительность
охлаждения. *иг- 3-
о
Ш

658 Т. I. 0]д 4 Топлбта. IV Совершеянт,те гааы
Величина
называется коэфициентом производительности
холодильной машины, работающей по циклу Карно.
2. Круговой процесс, протекающий между двумя изобарами
и двумя адиабатами (фиг. 4) (машины, действующие
горячим или холодным воздухом).
К4 Т3 Г4 Т- Т~ / 1/А* — * / I/A* ~ Х / п \(*~ D/x
vt = T2 = -
(см. таблицу стр. 656);
1
, (X - 1)/х
<?я Г, * \р)
Для машин, действующих холодным воздухом (воздуходувки),
теоретическая площадь поршня F в м? (для компрессоров двойного
действия)
F_ * Qo ^4 |/>
с 300000 Г4—72 ' ' '°
Фиг. 5.
где с — скорость поршня в м/сек и ft- производительность
охлаждения кг-кал/час.
3. Круговой процесс между двумя изоплерами (изохорами)
и двумя политропами или адиабатами (цикл О т т о в двигателях
внутреннего сгорания) (фиг. 5).
Показатель п для обеих политроп одинаков.
^= Il^zEl — El
Т* Та рш рА'

Особые рабочие процессы
659 -
Ъ - Та - (Ех\{п~ т - (ElV" "'"Ш"~'
h~Tt-\pJ ~{Pi) \vj '
-й(г-')[Ш"~'-']-
Среднее (индикаторное) давление диаграммы:
L_ __
\\п
Pi
"-*(Й-0^
(pAf-m_l
i
1/я
■ apx
— 1
(5-0-
Pal Pi
/1 = 1,4
/2 = 1,3
П = 1,2
a =
a =
a =
Таблица 8
1
3 j 4
1,70
1,69
1,68
1,94
1,92
1,90
. Значения
5 6 8
1 1
2,13
2,11
2,08
2,31
2,28
2,25
2,62
2,57
2,51
для a
10
2,88
2,81
2,74
,
12
3,10
3,03
2,94
14
3.31
3,22
3,12
16
3,50
3,39
3,27
Если кривые 1 2 и 3 4 — адиабаты, то везде вместо п надо
подставить v.; кроме юго,
AL = Gcv{ta-ti-tt + tl) = GcvTl(Jji- 1) [(-£)'^_i].
4. Воздушный компрессор (фиг. 6)-
Для компрессора без вредного
пространства и без потери работы (фиг. 6) рабо- 1Ч,
та сжатия для G кг и соответственно ^—
Vm? воздуха или газа с давлением р0 Фиг. е.
и температурой t0 до давления р будет:
1. При изотермическом сжатии:
L= j VdP=GRT0\n-£- = Р^ХпЛ- t
так как
49*
о»
Ро " L Ро
P\V\=P*V* Pi^Po-

660 ^- 1 ^ТД *• Теплота. IV. Совершенные газы
Теплота, которая должна быть отведена охлаждающей водой
во время сжатия, Q12~ AL.*
2. При политропическом или адиабатическом
сжатии:
Р\ = Ро> Л = Г0. ,
Для адиабаты необходимо «заменить х.
Теплота, которая должна быть отведена,
Наименьшую, а потому и наивыгоднейшую работу сжатия, дает
изотермический процесс, почему изотермой и пользуются для
сравнения при исследовании работы действующих компрессоров.
Выражение для работы сжатия (площадь L фиг. 6) можно во всех
случаях изобразить также в виде L== 10 000 V\Pm, гДе/?т — среднее
давление идеального компрессора, работающего без вредного
пространства и без потерь. Для определения рт при различных кривых
сжатия служит приведенная ниже таблица; рт = p0b \b представляет
среднее давление, если всасывающее давление ро=\ am).
Таблица 9. Значения для Ь
р:ро =
л = 1
изотерма
л =1,1
л = 1,2
л = М
л =1,4
адиабата-
1,5
} 0,405
0,418
0,4z0
0,4^5
} 0,430
2
0,693
0,715
0,738
0,754
0,768
2,5
0,916
0,957
0,990
1,018
1,046
3
1,099
1,155
1,2Г5
1,252
1,290
4
1,386
1,470
1,560
1,640
1,703
5
1,61
1,73
1,84
1,95
2,04
6
1,79
1,95
2,09
2,22
2,34*
8
2,С8
2,29
2,48
2,67
2,84
10
^2,30
2,56
2,81
3,04
3,26
Для получения работы компрессора-компаунд следует в вышеприведенные
формулы и таблицу подставить вместо pjp0 величину Ур1р0 и полученную работу
удвоить в том предположении, что, в промежуточном холодильнике охлаждение
производится до начальной температуры /„.
Существующие компрессоры (фиг. 7) всасывают меньше
воздуха, чем это соответствует полезному объему цилиндра.
Отношение действительного количества всасываемого воздуха в мг давления

Особые рабочие процессы. Пары „ 661
р0 и температуры tQ к полезному объему цилиндра называется коэфи-
циентом или степенью подачи X компрессора. Коэфициент этот
обусловливается величиной вредного пространства (обратное
расширение 3 — 4, фиг. 7), сминанием (дросселированием) всасываемого
воздуха (Pi<^Po) и его нагреванием от стенок канала и цилиндра
&>/о).
Измеренная индикатором индикаторная
работа сжатия всегда больше теоретической
работы при изотермическом сжатии;
отношение обеих работ называется
индикаторным коэфициентом полезного
действия t\i компрессора; он
обусловливается недостаточным охлаждением (л>1),
увеличением работы вследствие сминания и фиг. 7.
вредным нагреванием свежего воздуха от
стелок цилиндпа во время всасывания, ибо работа увеличивается
вместе с повышением абсолютной температуры Tv Если рт —
среднее давление теоретического (идеального) процесса, а /^- —
среднее индикаторное давление исследуемого компрессора, X
—коэфициент его подачи, то у\( = X • pmlpi.
Коэфициент полезного действия t\t и степень подачи X сильно
ухудшются вследствие влияния стенок, особенно при увеличении
отношения давлений р:рь, этим объясняется выгодность действия
компрессоров компаунд двойного сжатия.
Для выяснения вредного влияния стенок определяют
температуру Тх после всасывания и в момент начала сжатия.
J±_ (н + ^'Pi/Po #
?о (£з + ео) • (Рз/Ро) • (7V Тв) + X '
Г3 принимают приблизительно равной температуре выходящего
воздуха. е0 есть отношение объема вредного пространства к объему,
описываемому поршнем, е3 и ei соотв. объему,
пропорциональному пути, пройденному при начале обратного расширения и начале
сжатия, которые обычно принимаются равными 0 (или 1). Формулой
можно пользоваться для вычисления температуры и в какой-либо
другой точке кривой сжатия. Предполагается, что поршень и
распределительные органы совершенно плотны.
V. Пары 1)
Если какой-либо газ сжимать при достаточно низкой
постоянной температуре, то этот газ при некотором определенном
давлении (так наз. давлении насыщения), зависящем только
от этой температуры, и соответствующем объеме v" начнет
переходить в жидкое состояние. Если дальнейшим уменьшением объема
') Ф. Мюнцингер, Пар высокого давления, изд. Макиз 1926 г.
А. Р а д ц и г, Таблицы и диаграммы водяного пара, Госиздат 1923 г. Москва.

662
Т. 1. Отд. 4. Теплота. V. Пары
продолжать сжатие газа, то, начиная с этого момента, температура
и давление остаются без изменения до тех пор, пока газ не
перейдет полностью в жидкое состояние; при этом жидкий газ будет
занимать объем v'.
Между началом и концом перехода в жидкое состояние газ будет
представлять смесь из газообразной (парообразной) части и
жидкости (жидкая фаза). Пусть для 1 кг смеси х представляет
парообразную часть, а у = 1 —- х жидкую часть.
В области влажного пара или в пределах насыщения
температура будет только функцией давления — и наоборот.
Соотношение между этими величинами называется уравнением упругости или
кривой давлений. Температура, соответствующая атмосферному
давлению, называется температурой кипения.
В последующем, где это необходимо для отличия и большей
ясности, температура насыщения, соответствующая данному
давлению р, будет обозначаться буквой t или Т (абс).
Для каждого газа существует определенная наивысшая
(предельная) температура tk и соответствующее давление pk> выше которых
переход газа в жидкость указанным выше путем больше не
происходит. При таких обстоятельствах имеет место лишь постепенный переход
всей массы из одного аггрегатного состояния в другое. Состояние,
соответствующее температуре и давлению tk и pk, называется
критическим. В этом состоянии предельные точки (предельные
кривые) жидкости и пара совпадают. Вне значений tk и pk не
существует определенных границ между обоими аггрегатными состояниями.
Таблица 1. Температура кипения /7б0, критическая
температура tk, критическое давление pk am и критический объем
vk м*/кг
Pk vk
*k
Pk *>k
Ртуть, Hg .
Нафталин, С1ПН8
Анилин, CeH7N .
Вода, Н20 . . .
Бензол, CeH« • .
Хлористый
углерод, ССЬ • . .
Спирт OHe U . .
Нормальный пен-
тан, С5Н1в .
Эфир, С4Н10О .
Сернистая кислота,
SO,
Хлористый этил,
С.гН5С1 ....
Хлор, С1, . . . .
Хлористый метил.
СН8С1 ....
Аммиак NH8. .
циан. C,N, . . ,
357
218
184
100
80
77
78
36
35
I
-10
14501
468
425
374
290
283
243
197
194
157
Ш
144,
-24 143
-33 | Ш|
-211 128
1000
40
54
225
50
46
65
34
37
801
56
78
116|
62|
0,2
3,1
3.3
1,8
3,6
4,3
3,8
1,95]
1,75]
2,7
Сероводород,
H„S
Пропан, С3Н9 . .
Хлористый
водород, НС1 . . •
Закись азота, N.,0
Аиетилен, С Н2 •
Этан, С,Н6 . . .
Углекислота, СО,
Этилен, С*Н4 . .
Метан, СН4 . . .
Окись азота, NO .
Кислород, Oj . .
Аргон, Аг . . . .
Окись углерода,
СО
Азот, N,
Неон, Ne .
Водород, Н, . , .
Гелии, Не .". . •
-52
- 451
-80
- 92
-84
- 93
- 78
-105
-164
-150
-1831
-186
-190
-1Г6
-246
-253
-269!
100
97|
51
36
32!
31
10]
- 83
- 93
-119
-122
-139 36
-147
-228
-240
34,6
27,7
13,2
-268! 2,33|
2,2
4,3
2,15
4,7
6,2
2,33
1,88
3,2
3,2
2,07
32,3
I 15,2

Насыщенный даю
663
а) Насыщенный пар
Обозначения:
vf и t/'—объем в мг\\ кг жидкости и яара в предельном состоянии, т, е. при
давлении насыщения, соответствующем данной температуре,
г—теплота испарения, т. е. количество тепла в кг-'кал, необходимое
для испарения 1 к? жидкости при постоянных tup,
Ф — АР {v" — гг')--Работа в кг-кал, производимая при испарении вследствие
увеличения объема (внешняя теплота испарения),
о = г — 4>—увеличение энергии в кг-кал вследствие испарения (внутренняя
теплота испарения),
$', if и иг—энтропия, теплосодержание и внутренняя энергия жидкости
в предельном состоянии.
Имеем следующие соотношения:
// = «/ +APv',
W = if -f- r теплосодержание насыщенного пара
и//ч=и/4-р внутренняя энергия насыщенного пара,
s" = 5' + *\Т энтропия насыщенного пара.
Чтобы избежать появления произвольных коэфициентов, теплосодержание if
и энтропию s' жидкости, находящейся в предельном состоянии при 0°,
приравнивают нулю.
1. Уравнение Клапейрона. Эго уравнение выражает для
насыщенных паров второй закон термодинамики:
Т=М*'-*)ТГ
Для влажного пара в любом состоянии:
v = vf4-х(и" — v% и = и' + *Р» s — s'+x-Y*i = i''\~xr.
При изменении состояния 12 для 1 кг
2
Qli = и2 ~ и\ + *зРз — Х\?1 + А JP dv
1
или
2
Ql2 = ll — *1 + Х2Г2 — *1>*1 — AJV dP-
1
2. Водяной пар. Нижеследующие таблицы для насыщенных
водяных паров взяты из труда Mollier, Neue Tabellen und
Diagramme fur Wasserdampf. Шестое издание, Springer, 1929 г.
3. Особые случаи изменения состояния (кривые расширения).
1. Изотермы, одновременно и линии постоянного
давления (изобары): t = const, p = const.
L = P(V2-Vl) = GP(vf'-vf) (X2-X& Q = Gr(x2-x1).
В диаграммах PV и TS (стр. 647) изотермы представляют прямые,
параллельные оси абсцисс. В диаграмме IS (стр. 647) изотермы
также прямые линии, причем тангенс угла их наклона соответствует
абсолютной температуре Г,

664 т- I- 0тД *• Теплота. V Пары
2. Адиабаты: s = const.
*1 + *1 ' 'l/^l = V + *2 • ^2/^2; ^ = О (И/ + *lPl - V — *2P2>-
При расширении сухого насыщенного водяного пара при давлении
до 25 а/и, можно в диаграмме Я К изображать с достаточным
приближением адиабату в виде политропы:
р Vх = const и х = 1,135.
В этом приближенном уравнении х не имеет того особого
значения, что у газов. Далее, работа G кг пара
3. Кривые постоянного паросодержани я: дс = const.
Если лг;>0,5, то для водяного пара давлением до 20 am можно
принять с достаточной точностью:
pvl"0i5 = const или 1тЛ957 = 1,778 лг,
т. е. кривые постоянного паросодержания суть политропы. Для
сухого насыщенного пара, где х = 1,
0'У,95Т = Ь778 или pt*1'045 =* 1,825.
Кривые для х = 0 и лг = 1 называются предельными
кривыми, ибо они отделяют область насыщенного состояния от других
областей. Для построения кривых одинакового содержания пара на
диаграммах PV, TS и JS (стр. 647) деляг отрезки прямых изотерм
между предельными кривыми на равные части и соответствующие
точки соединяют кривыми.
4. Линии одинакового объема (изоплеры): v = const,
1/ -f- x (v" — v') = const.
xx (vx" - vt') = x2 {v2" - v2'); Q = G (u2' + *2p3 - ut' — *lPl).
b) Перегретый пар (несовершенный газ)
У перегретого пара температура при данном давлении выше
нежели температура насыщения, соответствующая тому же давлению
При низких давлениях перегретые пары приближаются к
совершенным газам и подчиняются их законам; чем выше давление, тем

Перегретый пар
665
Таблица 2. Давление насыщенного водяного пара до
критической точки в кг/см21)
(по Гольборну, Генингу и Бауману)
/
(Г
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200
210
21.0
230
240
250
260
270
280
290
300
310
320
330
340
350
360
370
0
0,0С62
0,0Ь5
0,0238
0,04d3
0,0752
0,1258
0,20dl
0„Л77
0,48.8
0,7148
1,0333
1,4610
2,0.47
2,7549
3,685
4,855
6,о03
8,079
10,225
12,799
15,854
19,453
23,655
28,5Л
34,132
40,547
47,850
56.110
65,42
75,88
87.63
100,68
115,17
13U5
149,04
168,64
190,26
214,47
1
0.0Г67
0,01^4
0,0.54
0,Г458
0,0793
0,1322
0.21J7
0,3316
0,50^6
0,7425
1,0707
1,5108
2,0895
2,8^83
3,791
4,986
6,465
8,Л4
10,462
13,082
16,188
19,846
24,112
29*053
34,735
41,235
48,631
56,992
66,41
76,99
88,88
10/.08
116 71
132,95
150,91
•170,71
19^,55
217,07
2
0,0072
0,0143
0,0170
0,0485
0,08^6
0,1388
0,22.7
0,3461
0,5233
0,7710
1,1093
1,561°
2,1564
2,9239
3,899
5,121
6,631
8.476
10,704
13„i69
16,528
20,245
24,576
29,586
35,348
41,934
49,422
67.884
67,41
78,12
90,13
103 46
118,26
134.67
152,80
172,79
1Г4,86
219,67
3
0,0077
0,0153
0,0186
0,0513
0,0881
0,1458
0,°330
0,3612
0,5446
0,8004
1,14°0
1,6145
2,2248
3,0112
4,010
5,258
6J09
8,680
10,р50
13,662
16,872
20,648
25,045
30,126
35,966
42,641
4
0,0083
0,0163
0,0,304
0,0542
0,0928
0,1530
0,2438
0,3769
0,5667
0,8о07
1,1808
1,6686
2,2948
3,1011
4,122
5,397
6,<>72
8,8Г0
11,200
13,959
17,223
21,060
25,519
30,675
36,596
43,358
50,223 51,035
58,787
68,43
79,27
91,41
104,88
119,83
136,41
154,71
174,90
197,21
222,33
59,701
69,45
80,42
92,68
106,31
121,41
138,15
156,65
177,02
199,57
225,05
5
0,0089
0,0174
0,0323
0,0573
0,0977
0,1605
0,2550
0,3°31
0,5895
0,8620
1,2319
1,7241
2,3670
3,1915
4,238
5,542
7,147
9,102
11,454
14,262
17,581
21,475
26,003
31,232
37,235
44,083
51,856
60,625
70,49
81,58
93,99
107,75
123,00
139,92
158,59
179,17
201,99
—
6
0,0095
0,0185
0,0343
0,0606
0,1029
0,1683
С2666
0,4098
0,6130
0,8942
1,2751
1,7810
2,4407
3,2854
4,356
5,688
7,3?5
9,319
11,715
14,571
17,945
21,899
^26,403
31,797
37,879
44,817
52,685
61,560
71,55
82,77
95,29
109,20
124,62
141,71
160,58
181,33
204,44
~~
7
0,0102
0,0F8
0,0364
0,0640
0,1082
0,1765
0,2787
0,4270
0,6372
0,9274
1,3196
. 1,8395
2,6164
3,3830
4,476
5,837
7,508
9,539
11,979
14,882
18,314
22,328
26,990
32,368
38,532
45.562
53,527
62,507
72,61
83,96
96,63
110,67
126,25
143,52
162,56
183,53
206,90
—*
8
9
0,0109 0,0117
0,0210 0,0224
0,0385' 0,0408
0,0676 0,0713
0,1138
0,1850
0,2912
0,4450
0,6622
0,9616
1,3656
1,8997
2,5039
3,4816
4,600
5,989
7,694
9,763
12,247
15,201
18,687
22,765
27,4°5
32,948
39,195
46,315
54,376
63,465
73,69
85,17
97,97
112,15
127,91
145,34
164,58
185,75
209,40
~
0,1197
0.1939
0,3042
0,4636
0,6881
0,9970
1,4125
1,9615
2,6735
3,5825
4,726
6,145
7,884
9,993
12,520
15,525
19,068
23,208
28,007
33,535
39,866
47,077
55,238
64,435
74,78
86,39
99,32
113,66
129,58
147,18
166,60
188,00
211,92
Примечание. Другие таблицы для водяного пара см. стр. 668 и ел.,
сернистой кислоты, углекислоты и аммиака стр. 695, 696, 697 ») и ел.
») Holborn, К. Scheel, F. Henning, Warmetabellen der Physikalisch-
Technischen Reichsanstalt, Braunschweig 1919.
8) А. Рязанцев, VS диаграмма для аммиака, Изв. ком. по холодильн.
делу, 1916 г.

666
Т. I. Отд 4. Теплота. У. Пары
больше отклонение перегретых паров от этих законов. При данном
давлении отклонение тем меньше, чем выше перегрев, т. е., чем выше
температура; таким образом, максимальное отклонение совпадает
с предельным состоянием насыщения. В критической точке имеем:
Ж) =оо. (*£\ —оо. (*\
Перегретый водяной пар. Для вычисления объема,
энтропии и теплосодержания перегретого пара применяются
формулы Молье, имеющие следующий вид:
v = 47,1 Т\Р — 33х — 932 (/7/100)2,
s = 0,47*-&/> - 32(Р/Ю0)з + 595,
/ = 0,47 In T — 0,1103 In P - ©, р - ©2 (р/100)».
Вспомогательные величины 33,, 332 и т. д. зависят только от
температуры и могут быть непосредственно взяты из табл. 8.
su _ 2 ^ _ 202,96 __ * 1,5613
(7УЮ0),0/Я 01 (Г/100),0/з W1 (Г/ЮО)18/*
эт „ 1,9 - 108 _ 2,2248*1012 _ 2,0765 ■ 10Ю
^2-(77100)" ^2~ (77100)" ^2~ (Г/100Я '
Формулы для v,s и i могут применяться пря давлениях до 150 am,
до предела насыщения, а при температурах свыше 400°—- и для
более высоких давлений.
Внутренняя энергия перегретого пара определяется из общей
формулы; u = i — APv. Для давлений до 25 am в области перегрева, •
можно с совершенно достаточной точностью применять уравнения
адиабаты, как и для совершенных газов сх = 1,3, т. е.
р/Та/ш = constf 7i>0'3 = const, /rc1'3 = const.
Количество тепла, которое необходимо для того, чтобы нагреть
1 кг насыщенного пара при постоянном давлении до заданной
температуры (теплота перегрева), получается, если из содержания тепла
перегретого пара, исчисленного по указаниям, сделанным выше,
вычесть теплосодержание I" насыщенного пара, соответствующее
данному давлению: Qa = i— i".
Значения i и i" могут быть непосредственно 'взяты из табл. 3.
На диаграмме IS (стр. 678) можно просто измерить ординаты и
таким образом.получить величины /, i" и Qa.

^i£ii §£§§§ lilsl giiiH Siiil §§§§§ S§lis sssss ©-sbsc
о ррррр pooop орорр роооо роооо рооор рроор ррррр ррррр ррррр
-v» л-л-~-_^ ggggg ggggg "SSRgg SlRS^g §SS*°® ^22222 S^SSli 8 £?§£!£ 2SSS5
ЗР. НЯРЙЙ P.P.°V° ggggg a>8°i£3oo oo8S©~ ?3£Хсла> ^jSetc* ^©oj55© 2n©o>to©
izi
II
•— corfkCnOi*^ oo © •— ос •** aooo^oj »*» © & о со ьзо>»-спо слн-оослю иоонсо sweooto
\
p ррррр ррррр ррррр ррррр ррррр ррррр ррррр pp^pp
ю со .u o> »>i со н-соСп^о <£ Сп о to gi о *». to en с
— ttbOOCoOOO) tUObCnOOCO OtOi-'OiCO 4* <£> 00 >-H|
ооооо ооооо
00 tOO»—
838 88888 S8338 88338 8S°iS 2222S
мми &¥Х~~ Sfc-tOtCCO СоСТЖ^СЛ Сп&^бОСО *-Ю*ь^4С
sss зйязя °.£$oi8 ssss©1 юс
N700(0 «*1G.COOO<©
Э05СЛСЛ»-! f-OOOOtOt—
ч
р
S
SQ
о орооо ооооо роооо роооо ооооо © о о *■
83 ££В£^ £88&& £$£££& SegSS 83322 238S8S &ЙЙ88 g&G^S
to ЮСо&СлОО ИСЛООМ >-5t- С0О5 tOtOOO<OCO <ОСО«—-*l*4 to *-СП О» GO
^OOO^J^- 'сл©Ъ>'со*-*
"О
CD
н
г:
о ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо ооооо оор^-и
8 §8888 83388 88388 88888 88322 88888 SfesfSB fc£288
о ооооо ооооо оооим H-toNJCoS cn<j<5(oo) Е*оо=3©-д *-4*.«осСсо
5 gS££S ££Й8& S^2Sfe g&?888 28823 ^охосл^
© J*.»-W-^ 00 Oi.**tOCnO> «Эи-«ООЙ>-
09
, о
S
о
*—•-* tO СОСЛ
О ООООО ООООО ООООО ООООО ООООО ©ООи-*- ЬЭ*О*ьСЛ00 tO^)On-lN?
8 88?88 8"8"8§| 82228 £28§§ bgS^ £§£?§ SSfeSe
О 1-4 н- t-i W ю CXtUCnG)'^) ЮЮСЛЮСЛ tOt-»tO0000 »и©*^и-'»«1 СсЮи-СоСл
<D to .£.->4 >-* ©> С0»-©Сс00 О0£О5^»— OOSOh *4иДОО
а
SI
■о
*-ч—tOWCO Сл^ОСлкЗ
»-ч-»»-» кэсо^сл*^ »-'So S2 *"^ о° &QOQQ
о Pzt*?**0 ъэрр**^ ^*$°РРР Z^PS&S3?* РР^Р?* ^^^оо ооооо 88888
"be To*»—Tu^io 'сп^З^'ф"0* o'enViV'^ ©'слсл'сп,*«— loo'booo
tc ocoowtoto coo^acot© >-*-q^ji»-oi

-40>О>СЛСЛ 4* 4*00 СО Со COCONJWN» М(0*->-м ,— *-»-*■»*- ООООО ООООО ООООО ООООООО
Ъспосдо VoVo* tooJoob^ to"b"ooo>"cn Ъ cola-о ggg-gg o^o^S fefeSSS S28"SS^2S
£2 83 £2 Sfefc&S &fe£8a 8$??p ?%£?? 8JB83SJ5 &3&SS pp&bpt 8&8©\3jS>
loto't-'^il-* to"co»-*toto *—tocn^-cn o>o> Co *o,oo "Wo/wooh* too cento "^"co -о/оэ*1*! aoVn*» 'cn'cn'W^'H-Wcb
££££& fe££££ &&££% £8888 83333 &8S&& g£££S 88S2SS8 8888*883
jq$:p-q^, pfn^Ujcp РРР-Г**0 j-".}0^0".00 ^i0^^)0 PP^Py3 PPT^T^^ сяьзоояь» pi ~p со о ел x>
toto^-at- toto*-toto "£-"сосл"и-сп "окл'о.'^о.'Ьо ,Jo.a>to'oot-» too"cn*cnto Vco*^"o>^4 "о>"о"4ь">-Ъо "cno>'ViVi*t-'V4"o>
ООООО ООООО ООООО ООО"—»— *-•— е-.-»*- •—tOWtOCO 4* 4*. Cn 0>-»J
Tsfetsfcfc feV^fek fc'sfeVa ¥ssb*s fe&Wa ofeb'sfe 'ss'&Vs
«o»to^io ммслО'О ,122-с,сп^ o> со -»4 со to н-м«доч o> oo *- Cn 4* to 4». — cn «*i
СП^КЭ^СЛ 4* 00 >—CO СП SOWOO)
^-.н-ч—и-ю Ю Co 4». Cn O» 00 со
OtO4*004»» 00О1О5СЛ00 5'-
coc*jc»>nj|o ^o^^i-
t-Si&O*' OOOOC
•»acncn4*co ioh-i
«ооо^сло*
"PP
?"oo"bo
poopо opppo
СЛ *cn W О t
-o tsv cn •— Cn <
cOCv. f»
COCOO
•-СОСПСОО
4». CO 4* ^ tO
OJCO^O^)
ооооо ооо оо о о
8ооро ЪЪЪЪЪЪЪ
-д05СЛ4*. СО {О N3 ►-* и- и- О
о>-о.о>»-»со
СО-4СЪОСО
5 -X? X) СП О С
ооооо ооооо
fe^CftCnbo Co*3toCnCn
ppppо PPPPP PPPPP PPPP° о о op о op ооо о op о о о о
"*&""■*■ "Cv"t "со "сс"а-сос<. со "с«-^*- со "со "со 'co'to'tototo to to to "to t— C-t-**'—'l-.t-i t-о ооооо
ptoooos "^ ?> S^db •& ^I'i^'^Q о oooscn 4> Co to — «o -^ o> cn .& to ►- со oo ««i a> .£ £3
Со^)и-слоо •"tvLCps&Q aupcoao j-coc^nso co*.4>to--4 сослиосо woaaowco
Co ^4 CO О) СО -О. СО 4*. О 00 4* ^4 Cn 00 О» CO *- 4* Си СП (oSo^tOO) Ю Ю CO Co tO СП СЪ CO to CD Co (5
8222?co 2cn2
2£8g,£ InSSS
i>a> o> -«si -«i ->j -4 -«j~j-^-^«-j -o.^-^cooo
CO Г» 00 00 f» CO Q CO CO 'O
N9 N3 N3 Ю tO tO tO
' " *- ". CO 2 С
ftNNCO О CO Q •—' t>J Ю C- <£■ 4*. СЛ CT> О ^J 00 О •-» CO 4». Cn "^4 GO «-»Qr4^0500 б tO »(k O. CO 2 d)
о 4* сося to доа>4*<исо & ост» о. О cooooo^cn S.*qmS toocnSco cCJ-c££-o.£*5
*. cn со ^а о oo о. а> со .о Оин-^со*^ о а. со •— cn .£ ~ -^ to to ф со со io о to со о 4* со 3» ел
ииииммм
?* т* !^ •-: *i ^чумм to to too» со сосос>Сч,со со 4* .*». j> 4* 4*4*01 спел engjeneno» *j-4^ioooo oeebVob-
C>4>Cn-^«0 Q to Co 4». Cn oi *^ 00 О •-» N3*»Cn^lO0 со н- to to Cn o> 5o о iO cn Со О CO Cn CO CvOi ОМф со to*» 00 £- Сл -*
S©-i2Snt-' Р<еЗзо> cnoioooco s.ojs» ooptoS*- ^с7»слсо5> «ocotoco*- itcn«--S.*» omSSx» jen
О О CO О Co tOi—ОСПн- H*JO>—»- •—4*6>00O СОСЛС0 4*»— tOtOtnOOtO Cn Co CO CO 0> rft-vjcOCOOO ^Co*«4Co4^CnO>

Таблицы для насыщенного водяного пара 669
Таблица 5. Насыщенный водяной пар
Давлен. 1
в кг\смл 1
Р 1
0,01
0,015
0,02
0,025
0,03
0,04
0,05 !
0,06
0,08
0,10
0,12
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0-
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,5
5,0
5,5
6, >
6.5
7.0
1
Темпе- 1
ратура 1
/ J
6,6
12,7
17.1
20,7
23J
28,6
32,5
35,8
41,1
45,4
4о,0
53,6
50,7
64,6
68,7
72,3
75,4
80,9
85,5
89,5
93,0
96,2
99,1
1С1,8
104,2
106,6
108,7
110,8
112,7
116,3
119,6
122,6
125,5
128,1
130,5
132,9
135,1
137,2
139,2
141,1
142,9
147,2
151,1
154,7
158,1
1Ь1,2
164,2
Содержа! ие тепла
жид- 1
кости
/' 1
6,6
12,7
17,1
20,7
23,7 1
28,6
32,5
35,8
41,1
45,4
49,0
53,6
59,7
64,6
68,7
72,3
75,4
80,9
85,5
89,5
93,0
96,2
99,1
101,8
104,3
106,7
108,9
110,9
112,9
116.6
119,9
123,0
125,8
128,5
131,0
133,4
135,7
137,8
139,9
141,8
143,7
148,1
152.2
155,9
159,4
162,7
165,7
пара
117 1
5С8,0
6С0,9
602,9
604,6
606,0
6Г8,2
610,0
611,5
614,0
615,9
617,6
619,6
622,3
624,5
626,3
627,8
629,2
631,5
633,4
6,55,1
636,5
637,8
639,0
640,1
641,1
642.0
642,8
643,6
644,3
645,7
646,9
648,0
649,0
649,9
650,8
651,6
652,3
653,0
653,7
654,3
654,9
656,2
657,3
658,4
659,3
660,2
660,9
Теплота

испарения
г
591,4
5F8,2
585,8
583,9
582,3
570,6
577,5
575.8
572,8
570,5
568,5
566,0
562,7
550,9
557,6
555,6
553,8
550,6
548,0
1 545,6
543,6
541,7
539,9
538,3
536,7
535,3
533,9
532,7
531,4
529,1
527,0
525,0
523,1
521,4
519,7
518,1
516,6
515,2
513,8
512,4
511,1
508,0
505,2
502^5
499,9
497,5
495,2
Энергия

жидкости
иг
6,6
12,7
17,1
20,7
23,7
28,6
32,5
35,8
41,1
45,4
49,0
53,6
59,7
64,6
68,7
72,3
75,4
80,9
85,5,
89,5
93,0
96,2
99.1
101,8
104,3
106,6
108,8
110,9
112,9
116,5
119.8
122,9
125,8
128,5
131,0
133,3
135,6
137,7
139,8
141,7.
143,6
148,0
152,0
155,8
159,2
162.5
165,6
пара
и"
567,2
569,4
571,0
572,2
573,3
575,0
576,4
577,6
579,4
580,9
582,2
583,7
585,8
587,4
588,8
590,0
591,1
592,8
504,3
5°5,6
5°6,7
597,7
598,6
599,4
1 600,1
! 600,8
601,5
602,1
602,6
603,7
604,6
605,4
606,2
1 606,9
607,5
608,1
608,7
609,2
609,7
610,2
610,7 '
611,7
612,6
613.4
614,1
614,7
615,3
и"—и'
==Р
560,6
556,7
553,8
551,5
54Q,6
546,4
543,9
541,8
538,3
535,5
533,1 1
530,1
52fc,l
522,9
5?0,2
517,8
515,6
512,0
508,9
506,1
503,7
501,5
499,5
497,6
1 495,8
494,2
492,6
491,3
489,7
487,1
484,7
482,5
480,4
478,4
476,6
474,8
473,1
471,5
470,0
468,5
Г 467,0
463,6
460,5
457,6
454,8
452,2
1 449,7
■sa
АР*
30,83
31,49
31,98
32,37
32,69
33,22
33,64
33,99
34,56
35,02
35,40
35,88
36,52
37,02
37,45
37,81
38,13
38,67
39,12
39,51
39,84
40,15
40,42
40,68
40,91
41,12
41,31
41,49
41,67
41,98
42,26
42,51
42,75
42,96
43,16
43,34
43,51
43,67
43,82
43,96
44,09
44,40
44,66
44,90
45,12
45,30
45,48

670 т- I Отд 4 Теплота. V Пары
Таблица 4. Насыщенный водяной пар (Продолжение)
Давление 1
в кг\слС 1
Р 1
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
22
24
26
28 •
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
110
120
130
140
150
160
180
400
225

Температура
t 1
167,0
16<>,6
172,1
174,5
176,8
179,0
183,2
187,1
1S0,7
194,1
197,4
200,4
• 203,4
206,2
208,8
211,4
216,2
220,8
225,0
229,0
232,8
236,4
239,8
243,1
246,2
249,2
252,1
254,9
257,6
260,2
262,7
268,7
274,3
279,6
284,5
289,2
293,6
297,9
301,9
305,8
309,5
316,5
323,1
329,3
335,0
1 340.5
1 345,7
355,4
364,2
374,0

Абсолютная темп.
Т J
440,0
442,6
445,1
447,5
449,8
452,0
456,2
460,1
463,7
467,1
470,4
473,4
476,4
479,2
481,8
484,4
489,2
4°3,8
4Р8,0
502,0
505,8
509,4
512,8
516,1
519,2
522,2
525,1
527,9
530,6
533,2
535,7
541,7
547,3
552,6
557,5
562,2
566,6
570,9
574,9
578,8
582,5
589,5
596,1
1 602,3
1 608,0
1 613,5
1 618,7
1 628,4
637,2
647,0
О'ъем
1 кг пара
в м3
v" 1
0,2609
0,2454
С2317
0,2195
0,2085
0,1085
0,1813
0,1668
0,1545
0,14о8
0,1346
0,1264
0,1192
0,1128
0,1070
0,1017
0,0927
0,0850
0,0785
0,0729
0.068 02
0,063 72
0,и5Э91
0,056 51
0,С53 45
0,050 69
0,048 17
0,045 88
0,043 78
0,041 85
0,040 07
0,03616
0,032 89
0,030 09
0,027 69
0,025 59
0,023 74
0,02210
0,020 64
0,и19 33
0,01815
С,016 09
С,014 37
0,012 90
1 0,011 64
1 0,010 54
1 0,009 56
1 0,007 82
1 0,006 14
| 0,00310
Вес 1 м*
пара в кг
1" 1
3,833
4,075
4,316
4,556
4,797
• 5,037
5,516
5,996
6,474
6,952
7,431
7,909
8,о89
8,868
9,349
9,83
10,79
11,76
12,74
13,72
14,70
15,69
16,69
17,70
18,71
19,73
20,76 1
21,80
22,84
23,89
24,96
27,65
30,41
1 33,23
36,12
39,08
42,13
45,24
48,45
51,73
55,11
62,15
69,60
77,50
85,91
94,87
104,6
1 128,0
162,9
3*2,6
Энтропия
жидкости
5'
0,4808
0,4870
0,49 9
0,4°85
0,5038
0,5090
0,5186 1
0,5 75 1
0,5358
0,5435
0,5508
0,5577
0,5643
0,5705
0,5764
0,5821
0,5928
0,6026
0,6119 1
0,6205 !
0,6287
0,6164
0,64^7
0,6507
0,6573
0,6637
0,6698
0,6757
0,6813
0,6868
0,6921
0,7046
0,7162
0,7 70
0,7371
0,7467
0,7557
0,7645
0,7731
0,7813
0,7893
0,8049
0,8198
0,8342
0,8483
0,8622
0,8754
0,9J44
0,9404
| 1,0558
пара
s"
1,6015
1,5962
1,5^13
1,5866
1,5822
1,5778
1,5649
1,5625
1,5556
1,5493
1,5432
1,5375
1,5321
1,5270
1,5220
1,5173
1,5084
1,5001
1,4^23
1,4850
1,4780
1,4713 |
1,4650
1,4589
1,45з0
1,4474
1,4418
1,4365
1,4314
l,4z64
1,4215
1,40°8
l,d987
1,3882
1,3781
1,3684
! 1,3591
1,3501
1,3413
1,3328
1,3245
1,3087
1,2935
1,2789
1,2649
1,2514
1,2372
1,2079
1,1715
| 1,0558
= г\Т
1,1208
1,1093
1,0°84
1,0881
1,0784
1,0689
1,0513
1,0350
1,0199
1,0057
0,9924
0,9798
0,9679
0,9565
0,9456
0,9352
0,9156
0,8974
0,8804
0,8644
0,8493
0,8350
0,8213
0,8082
0,7958
0,7837
0,7721
0,7609
0,7500
0,7396
0,7294
0,7052
0,6826
0,6612
0,6410
0,6217
0,6033
0,5856
0,5682
0,5515
0,5352
0,5038
0,4737
0,4447
0,4166
0,3891
0,3618
0,3035
0,2311
1 0

Таблицы для насыщенного водяного пара 671
Таблица 5. Насыщенный водяной пар (Продолжение)
. {авлен.
в кг\см*
р 1
7,5 1
8,0
8,5
9,0
9,5
10
11
12
13
14
15
16 1
17
18
19
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50*
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
1Ю
120
130
140
150
160
180
200
225

Температура
t 1
167,0
169,6
172,1
174,5
176,8
179,0
183,2
187,1
190,7
194,1
197,4
2Г0,4
203,4
206,2
208,8
211,4
216,2
220,8
225,0
229,0
232,8
236,4
239,8
243,1
246,2
249,2
252,1
254,9
257,6
260,2
262,7
268,7
274,3
279,6
284,5
289,2
293,6
297,9
301,9
305,8
309,5
316,5
323,1
329,3
335,0
340,5
1 345,7
355,4
364,2
374,0
Содержание тепла!

жидкости
ir \
168,7
171,4
174,0 1
176.6 1
17?,0
181.3
185,7
189,8
193,6
197,3
200,7
204,0
207,1
210,1
213,0
215,8
221,0
226,0
230,6
235,0
239,1
243,1
246,9
250,5
254,1
257,4
260,7
263,9
266,9
269,8
272,7
279,6
286,1
292,2
298,0
303,5
308,8
313,9
319,0
323,9
328,7
338,1
347,3
356,4
365,3
374,1
383,4
401,9
1 425,6
1 501,1
пара 1
V 1
661,7
662,3
662,9
663,4
663,9
664,4
665,2
665,9
666,6
667,0
667,4
667,8
668,1
668,3
668,5
668,7
668,9
669,0
669,0
668,8
668,6
668,3
668,0
667,6
667,1
666,6
666,0
665,5 !
664,8 1
664,1
663,4
661,5
659,5
657,5
655,3
' 653,0
650,6
648,1
645,6
643,0
640,5
635,1
629,7
624,2
618,6
612,9
606,3
592,6
572,8
501,1
Теплота

испарения
г
493,0
4Г0,9
488,8
4£6,8
484,9
483Л
470,5
476,1
472,8
469,7
466,7
463,8
460,9
458,2
455,5
452,9
447,9 !
443,0
438,4
433,9
429,5
425,2
421,1
417,0
413,0
409,2
405,3
401,6
397,9
394,3
390,7
381,9
373,5
365,3
357,3
349,5
341,8
334,2
326,7
319,2
311,8
297,0
282,4
267,8
253,3
238,8
222,8
190,7
147,3
0
Энергия
жид-
КОС1И
«'
168,5
171,2
173,8
• 176,3
178,7
181,0
185,4
18л,5
193,3
196,9
N 200,3
203,6
206,7
209,7
212,5
215,2'
220,4
225,3
229,8
234,2
238,3
242,2
245,9
249,5
252,9
256,3
259,5
262,5
265,5
268,4
271,2
277,9
284,2
290,2
295,8
301,1
306,2
311,1
316,0
320,7
325,3
334,3
343,0
351,6
360,0
368,3
377,0
394,1
416,2
| 484,8
пара
и"
615,8
616,3
616,8
617,1
617,6
617,9
618,5
619,0
619,4
619,8
620,1
620,4
620,6
620,8
621,0
621,1
621,2
621,2
621,2
621,0
620,8
6Ю,6
620,3
619,9
619,5
619,1
618,6
618,2
617,6
617,1
616,5
614,9
613,3
611,7
609,9
608,0
606,1
604,1
602,1
600,0
5р8,0
593,7
589,4
| 584,9
580,4
575,9
570,4
559,6
1 544,1
[ 484,8
а" — я'
447,4
445,1
44^,9
440,8
438,9
436,8
433,1
429,6
426,2
422,9
419,8
416,8
413,9
411,2
408,5
405,8
400,8
395,9
391,3
386,9
382,6
378,4
374,4
370,4
366,6
362,9
359,1
355,7
352,1
348,7
345,2
337,0
329,1
321,5
314,1
306,9
299,9
293,0
286,2
279,4
272,7
259,4
246,4
2&3,3
220,4
207,6
193,4
165,5
127,9
0
АР-
45,63
45,77
45,90
46,02
46,13
46,23
46,41
46,55
46,68
46,78
46,87
46,94
47,00
47,04
47,07
47,10
47,12
47,10
47,07
47,01
46,92
46,83
46,71
46,59
46,45
46,30
46,14
45,97
45,79
45,61
45,41
44,91
44,35
43,77
43,16
42,52
41,87
41,19
40,49
39,83
39,07
37,50
36,07
34,50
32,87
31,19
29,41
25,23
19,34
1 «

£i§i§§ Issli §§&§§ SSsSs Ss&gS §Ss§s ggsgo? sssss So-ags? sssc
•2 н
-Oop ^oj—^O^Ij^i jSkJO^-pp 00^)p0\4k I* CO.?0!0.!0 i0^-^■*^"*t— 0000° OOOOO OOOOO OOOOO
^^^^^ ^^^^^ '^■c,C)>0-5p ооо"Ъо
9}r*<S§°$P ^SnbgjM <b-qcn4>co toJ=»i=i?5S
to ел о со Co -*JCnco©cn -JCn-^coto ,со*4кэооо5
soi-oia» -^toooCoco оо4кСлсою
E£coS8 o>co&88 йоо.йо £*$£$ Cc00«OCnO> NJtOCbG
o»ocotocn оослкэсл-^ cn4k*-t>
OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO
~8oW8 88J38J8 %8888 888"88 S&ov'8''8 8"8%^88 "88888 8"8888 88"888 §888%
OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO
OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO OOOOO О *■*•-"-*'— *-tOWCo4k СЛО^СОМ Сп-ойЙй Sj-^Oi^C
IfSfSfS''0, "SVsbs SgVsb У1$Й2& feWsft 1р§~&3 "fejRS^SS 88SS? fefcfclgfe *вЪ**'!-г
4кСОСл*-00 0>4к4кСЛ-*1 н-<Л4к4к~>1 СоСО^-Зсо SSCotDM £. CO tO •-СЛ CnCnt04ktO NSc5-«4<04k
^^СцСлСЛ Ю«ОСЛ4кО> СО 00 4k 4k I-» миСлЮС») СО СП n- CO СЛ
oocncncoto •—-^tooo*^ «оа>слсл4к 4kCocototo to
ЙЗГ&1Й2 jtfeWg VSgsjS Ъ%Ъ&'
OOSSO 00004к£пСл COtOtOC
it-j-'h-i— »-*oppp opppp ppppp о op op ooooo
ito~*»i"4kto "»—"co'oo'^'cn Ъ» 4*. "со to to "J—t-»"H* «-• о ooooo ooooo
* SS — mtSo-b OtwCn-Q4k «OOCoOOO ЖслСоСой им555
<ОСЛ4кСПО «О «О •—«О C3> <©•— N-COO 4k — OICCO tO004k0000
G04k©O)4k (OCOOO^
op op о popop ppppp PPPPP PPPPP OPPPP PPPPP PPPPP PPPPP PPPP
"Oibl'Oi'bi'Oi 'Ь>Сп'сл'СлСЛ "СЛ Сл'СлЪык -£-4k*£*V*k "4k 4k"ife'Cc"C0 "L "Co'w'Co'CO tototololo *tO tol-.'t-t;» "^-1_»t-1-"Q "оЪЪЪг
cnibCotw»— о <р -о, o> ел f wnh.<£> 55 -j 5> en X toHpios фслсЗю^- <o с» ^J ел 4* ы>~* Г29°Я1 спамооо ^4 ел со ►-» *-
JkSkSStO»- >-©<0:Чо> Сл4кКЭи-со -^ СП & tO О ^СлСОЧ 4к — ?Й СЛ Ю СО К •-* -^ tO СО Со 00 Со СО Ю 55 О 4> «*1 OC«J)00
СО Ю СП ^ 00 © *-» О «О *J СП tO "*4 tO О» <0*-*bib3*+ «О СЛ н- СП 00 to CO 00 СП ■-* СП 00 *-» © ««) Со СП СП СП Ю СП "»4 "^ СО «4 00 СП ►— N3
" 5fi
*-*•—»•—»•—» I—* ►-* i-» .-* *-»j— j-н-*-^-^* н-ц-_Цою tO (О КЗ tO tO
^•^•igVi"^ ^o'Wbo'oo'oo 'oo'ooootolo to^coioot
4к4>4к4к4к слслслслсл слслслслсл ел сп сн сп ей сп сп сп сп сп i?*^^-^H "Я lb? 95 9? 9? 9° 2? 22 ^£9 <р»Ъэо Q.^rt'T^
CnK^JOOtO OMh-toSj 4кСЛСП-^00 tOO»--N3CO 4kOl^CO<0 0>-*C04kCn nJOOO^M СЛСПОО _5N5 4k Ol О»—СО CH «© N3 4k 00
Cnikuo-Kj ь-о«о«ооо ^т^ распел ^ФйЗЖФ ГЗ 9° SS "t c0 9*95:2??? ^>>J^9?fe KSS95??$5 sw^w^ &й2Я2
КЗ CD 00 «—CO СП ^J CO и-CO CDOChOO) 4к4кСЪ«Э4к tO Co СП tO •-» Co О CO Co tO 4k О-СЛ 4k 00 (0 0)0009 СП ►—СП *-СП Ю О О СО О
ЭОООО ООООО
j--> н- — ►- — н- tO tO Ю N3 СО
§йс?2 со^^з:^
5«^^4 ^J0000«O<O СОрОн-н
кСЛСп <X>4kS00CO 4k4k(ON^§

Таблице дли насыщенного йодяноГо пара §73
Таблица 7. Насыщенный водяной пар

Температура
/
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
165
170
175
180
185
190
195
200
205
210
215
220
225
230
235
240
245
Содержан. i
жидкости
V
0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
50,0
55,0
60,0
65,0
70,0
75,0
80,0
85,0
90,0
95,0
100,0
105,1
110,1
115,2
120,3
125,4
1 130,5
135,6
140,7
145,9
151,0
156,2
161,4
166,6
171,8
177,1
182,3
187,6
192,9
198,2
203,5
208,9
214,3
219,7
225,1
230,6
236,1
241,6
247,1
252,7
гепла в 1 кг
пара
in
595,0
597,3
599,6
602,0
604,3
606,6
608,9
611,2
613,5
615,7
618,0
620,2
622,5
624,7
626,8
629,0
631,1
633,2
635,3
637,4
639,4
641,3
643,3
645,2
647,0
648,8
650,6
652,3
653,9
655,5
657,0
658,5
659,9
661,2
662,4
663,5
664,6
665,5
666,4
667,1
667,7
668,2
668,6
668,9
669,0
669,0
668,8
668,4
668,0
! 667,3
Теплота
испарения
г
595,0
592,3
589,6
587,0
584,3
581,6
578,9
576,2
573,5
570,7
568,0
565,2
562,5
559,7
556,8
554,0
551,2
548,2
545,3
542,4
539,4
536,3
533,1
530,0
526,7
523,5
520,1
516,7
513,2
509,6
506,0
| 502,3
498,5
494,6
490,6
486,5
482,3
477,9
473,5
468,9
464,2
459,3
454,4
449,2
443,9
438,4
432,7
426,8
420,8
414,5
Энергия

жидкости
и'
0
5,0
10,0
15,0
20,0
25,0
30,0
35,0
40,0
45,0
50,0
55,0
60,0
65,0
70,0
75,0
80,0
85,0
90,0
95,0
100,0
105,1
110,1
115,2
120,2
125,3
130,4
135,5
140,6
145,8
150,9
156,1
161,2
166,4
| 171,6
176,8
182,0
187,3
192,5
197,8
203,1
208,4
213,8
219,1
224,5
229,9
235,3
240,7
246,2
251,6
пара
и"
564,9
566,6
568,4
570,3
572,0
573,8
575,5
577,3
579,1
580,7
582,5
584,2
585,9
587,6
589,2
590,9
592,6
594,1
595,7
597,4
598,9
600,3
601,8
603,3
604,7
606,1
607,4
608,7
610,0
611,2
612,3
613,4
614,5
615,5
616,4
617,2
618,0
618,7
619,4
619,9
620,4
620,7
621,1
621,2
'621,2
621,2
621,0
620,7
620,2
619,6
а'> - и>
= Р
564,9
561,6
558,4 |
555,3
552,0
548,8
545,5
542,3
539,1
535,7
532,5
529,2
525,9
522,6
519,2
515,9
512,6
509,1
505,7
502,4
498,9
495,2
491,7
488,1
484,4
480,8
477,0
473,2
469,3
465,4
461,4
457,4
453,2
449,1
444,8
440,4
436,0
431,5
426,8
422,1
417,3
412,3
407,3
402,1
396,8
391,3
385,7
380,0
374,1
368,0
АР>
(v"—v>)
30,11
30,65
31,20
31,74
32,29
32,83
33,37
33,91
34,44
34,98
35,50
36,03
36,55
37,07
37,58
38,09
38,59
39,08
39,57
40,04
40,51
40,97
41,42
41,87
42,29
42,71
43,11
43,51
43,88
44,24
44,59
44,92
45,23
45,53
45,79
46,05
46,27
46,48
46,66
46,81
46,93
47,02
47,08
47,11
47,11
47,07
46,99
46,86
46.71
46,51

674 т- *• 0тД- *• Теплота. V. Парта
Таблица 6. Насыщенный водяной пар (продолжение)

Температура
t
250 -
255
260
265
270
275
280
285
290
295
300
305
310
315
320
325
330
335
340
345
350
355
360
365
370
374
Давление
в кг\Смч-
Р
40,55
44,08
47>85
51,86
56,11
60,63
65,42
70,49
75,88
81,58
87,6
94,0
100,7
107,8
115,2
123,0
131,3
139,9
149,0
15§,6
168,6
179,2
190,3
202,0
214,5
225
, 06beiv
жидкости
V'
0,001 26
0,001 27
0,001 28
0,001 30
0,001 31
0,001 33
0,001 34
0,001 36
0,001 38
0,00140
0,001 42
0,001 44
0,001 46
0,001 49
0,001 52
0,001 55
0,001 58
0,001 62
0,001 66
0.С01 71
0,001 76
0,001 83
0,601 91
0,002 04
0,002 26
0,003 10
1 MSJM
пара
„//
0,049 98
0,045 79
0,041 99
0,038 54
0,035 38
0,032 51
0,029 88
0,027 46
0,025 25
0,023 21
0,021 31
0,019 58
0,017 99
0,016 52
0,015 16
0,013 91
0,012 73
0,011 65
0,010 64
0,009 71
0,008 84
0,008 03
0,007 16
0,006 53
0,005 85
0,003 10
Вес кг\м%
пара
7"
20,01
21,84
23,82
25,95
28,27
30,76
33,47
36,42
39,60
43,09
46,93
51,06
55,59
60,53
65,95
71,92
78,53
85,84
93,98
103,00
113,2
124,6
139,6
153,1
171,0
322,6
Энтропия
жидкости
S'
0,6654
0,6759
0,6864
0,6968
0,7072
0,7176
0,7278
0,7381
0,7483
0,7585
0,7690
0,7797
0,7904
0,8014
0,8128
0,8241
0,8360
0,8482
0,8608
0,8735
0,8874
0,9032
0,9214
0,9450
0,9791
1,0558
пара
S"
1,4458
1,4363
1,4267
1,4170
1,4073
1,3974
1,3873
1,3772
1,3668
1,3562
1,3454
1,3345
1,3234
1,3122
1,3009
1,2891
1,2772
1,2651
1,2526
1,2391
1,2250
1,2091
1,1906
1,1670
1,1327
1,0558
»^—— 11
sr/ — s' =5
= riT
0,7804
0,7604
0,7403
0,7202
0,7001
0,6798
0,6595
0,6391
0,6185
0,^977
0,5763
0,5548
0,5330
0.5108
0,4881
0,4659
0,4412
0,4169
0,3918
0,3657
0,3376
0,3059
0,2692
0,2220
0,1536
0
Таблица 8. Перегретый водяной пар

Давление
в кг\см*
Р
5
6
7
8
9
10
12
14
16
18
20
25
30
35
40

Температура

насыщения
/
151,1
158,1
164,2
169,6
174,5
179,0
187,1
194,1
200,4
206,2
211,4
222,2
232,8
241,4
249,2

Содержание тепла
в
насыщенном
паре
i"
657,3
659,3
660,9
662,3
663,4
664,4
665,9
667,0
667,8
668,3
668,7
669,0
668,6
667,8
666,6
Содержание тепла в1 w перегретого пара
при t —
200° | 250" | 300'
683,2
682,0
680,7
679,4
678,1
676,8
673,9
670,8
708,4
707,6
706,7
705,9
705,0
704,1
702,4
700,5
698,6
696,7
694,6
689,0
682,7
675,6
667,4
733,0
732.4
| 731,8
731,1
' 730.5
729,9
728.7
727,4
726,1
724,8
723,5
720,1
716,5
712,6
708,4
350° | 400° | 450' | 500^
757,2
756,8
756,3
755,8
755,4
754,9
754,0
753,1
752,1
751,2
750,2
747,8
745,4
742,8
740,2 |
781,2
780,9
780,5
780,2
779,8
779,5
778,8
778,0
777,3
776,6
775,9
774,1
772,3
770,4
768,5
8С5Д
804,8
804,6
804,3
8С4,0
803,7
803,2
802,6
802,0
801,5
800,9
799,5
7Р8Д
796,7
795.3
828,9
828,7
828,4
828,2
828,0
827,8
827,3
826,9
826.4
826,0
825,5
824,4
82d,3
822,2
821,1

Таблицы для насыщенного и перегретого водяного пара 675
Таблица 7. Насыщенный водяной пар. (продолжение)

Температура
t
250
255
260
265
270
275
280
285
2G0
295
ЗСО
305
310
315
320
325
330
335
340
345
350
355
360
365
370
374
Содержан.
жидкости
258,3
264,0
269,6
275,3
281,1
286,9
292,7
298,5
304,4
310,4
316,6
322,9
329,3
336,0
343,0
350,0
357,5 .
365,2
373,3
381,7
390,8
401,0
413,0
428,5
451,0
501,1
тепла в 1 кг\
пара
/" |
666,4
665,4
664,2
662,7
661,2
65М
657,3
655,1
652,6
649,8
646,8
643,6
640,1
636,4
632,5
628,1
623.5
618,7
613,5
607,7
601,1
593,1
583,4
570,1
549,8
501,1
Теплота
испарения
г
408,1
401,4
394,5
387,4
380,1
372,5
364,6
356,5
348,1
339,5
330,2
320,7
310,8
300,3
289,5
278,1
266,0
1 253,5
240,2
226,0
210,3
192,1
170,4
141,6
98,8
0
Энергия

жидкости
и'
257,1
262,7
268,2
273,8
279,4
285,0
290,6
296,3
302,0
307,7
313,9
319,7
325,9
332,3
339,0
345,6
35->,6
359,9
367,5
375,4
383,8
393,4
404 5
418,9
439,7
484,8
|
пара
и" 1
619,0
618,1 1
617,1
615,9
614,7
613,2
611,5
609,8
607,7
605,5
603,3
600,5
597,7
594,7
591,6
588,1
584,3
580.5
576,4
571,7
566,4
560,1
552,4
542,0
525,7
484,8
ип - и'\
= Р
361,8 1
355,5
348,9
342,2
335,3
328,2
320,9
313,5
305,7
297,8
289,4
280,7
271,8
262,4
252,7
242,5
231,8
220,6
208$
196,3
182,6
166,7
147,9
123,1
86,0
1 °
АР»
(v"—v')
46,26
45,96
45,62
45,24
44,77
44,27
43,73
43,09
42,42
41,67
40,83
39,94
- 38,98
37,94
36,81
35,60
34,28
32,88
31,35
29,67
27,76
25,41
22,52
18,55
12,80
1 °
Таблица 8. Перегретый водяной пар (Продолжение)

Давление
в кг\ем*\
Р
50
ео
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
180
200
225
Теиле-
ратура

насыщения
/
262,7
274,3
284,5
293,6
301,9
309,5
316,5
323,1
329,3
335,0
340,5
345,7
355,4
364,2
374,0

Содержание тепла
в
насыщенном паре
i"
663,4
659,5
655,2
650,6
645.6
640,5
635,1
629,7
624,2
618,6
612,8
606,3
592,6
572,8
501,1
Содержание тепла в 1 «г перегретого пара
при / =
200°
\\
2501
-
300°
699,1
688,1
675,2
660,1
350°
734,6 I
728,5
721,8
714,4
706,2
697,1
686,0
675,7
663,4
649,5
634,4
617,7
4С0°
764,7
760,6
756,4
751,9
747,1
742,1
736,6
730,9
724,7
718,0
710,9
703,3
686,4
667,0
638,9
450°
792,4
789,4
786,3
783,2
780,0
776,7
773,2
769,6
765,8
761,9
757,8
753,5
744,4
734,3
720,3
500>
818,8
816,5
814,2
811,8
809,4
807,0
804,5
801,9
799,3
796,6
793,9
791,1
785,2
779,0
770,7

Т. I. Отд. 4. Теплота. V. Пары
,1
ьГ«>Гоо>ов>оГ &<Si-4C*cb Tf^Ao'tdVT оооГо"4^^ ^ю^состГ ~?2'^(&,я о
<-1 ,-нт..,_,-* ♦-!г-<гнI-^-. ^.^,cn(n6« (NCnknojcs сосорососо ^
OO^CjTfQ OrJ«rrt>.ift CJOO^PJ^ f^Ot^COO "^ООС^О
О0"3<0<0?5 Ot^iQC0(N ^-.»-i(N05iO SOJOJ^ *-i00tO<OCO O5^iOr-i00
555QH ^н^чт-i^^h ^,-,^,-,-н S3<MC4<NC4 CSKNCOCOCO CO "^ Tf "£-«f
ooo^op^ о^оооо^ ооооо ооооож qoqoq qoqqq
o"ko*>o>o"'o", o'oo'o'd4 ©*>o'o*o"'o4 0*0"о~о"ож oo*o*o"o* ooedd
m^NWO) OJCOCOOOOQ «*• tO 0Э Г* 00 (О^тСЮ^ СЧ О «О CO О 00 CO t^ О <Ч" СЧ
N»U5NOi Ь-<Х>Ю^Ч» i/quq00O^C*q SCNS^COO^ ^^^^"t ihiOO«3'* CO
OiO>c>~~ е»с6*чм/йЧо* г^~оо"оГ«-ГоГ toio<oooo .-нсою^сГ ci^ftCofe*' in
тЧг+^4 «-i ,-! »-i _■ ,-. HH<fHNW «Sic*C4CSrO C0C0C0C0C0 4f "V ^ 'Ф Ю lO
O^i-iCftr- «OMflNN O<0C0tJ«C0 00"4"*fPO«0 t<- ^ b» CO lO Qh-нОФ 00
e*ooptoo> оосою^о ^юю^с^ ол^-ют^тг <o^«-ioqo>^ •"# oqo^co o^ »-^
lo'coco^e^ci coLrTt^ro4^ ooco'ofco"^ cJcTcoiogp4 сТосГч^сясз cJupgTioof c^T
«СО^ЮСО b.00O>i-"CS (Г5ЮООООО CSTffcOOOO ГОЮМ-н^ NQCONth Ю
.-J^^^Sh ^.S^iCSJC^ <NC^CM<NC0 COCOCOCOT <*^чпЫП iC©tO<Of- b-
o»rf«o^-oo ooooscoio cooco«-40 t-iOoooooj еч^оо^со hhn^n со
««^r-^oq^c^ o<oe>qot>» "^l*-!1^4!©. cq^o^oq cot^o^o^ юо^юою i-^
^^00*00 со" oJcJc^cs^-T -н^оо*©" oOi-4~r* с^с^еосогг* 'ViAiototo t>
M M I M M I M M I +
rCONOiO MQOTO) О —«C5CT>C0 CS - _
lOCSOSlO rf ift CO t». О ЙОСО^^ LO00-O
§§§§§ 88888 §§.§§§ 1!§88 1§IS§ 88§Д8 8
сГррро" pp'pp'p"' o*oo",ocT <S<S<d<d<S о'о'о'о'о <э<э<эос>
2ЙЯ52Я 9°<o<g£2 £сооо>о ^~^ я
^ofofeTof cococo'co*^ '+i?iAiOiD «э'ьС^оооо" оГ
a. 4
cooostc ^e-sfcor^—. ©оэог-^со ic^cocs»-" о-чечео^' io<£b.oo©> о
Mill I M M i M M M M I

rfkCoWMO tOOO^JC
л -■ ~~ Сл^СоСокэ
МСЛООЮСЛ —х-—— -
<р j-j оо ■-» »g o> оо кэоо^
•-» oooooooo "to о О) оо То оо и* о to oo Vj'cno'cn'^i "-лТ-'кэслео oo'^-ioj-'
^-— ©oto «ооооо«^^з
WM4 Ю00СОСОСЛ
, -~,_»O)C0tO
00
КЭЮМим »-»•_> i-» i-» i-» ммммм i-*i_>t_>
Мн-ОШОО S^O)№*. Jfc. CO to Ю *- i— О О tO tO 0000 *3.«^ «О. О О) О) Сл СП
Со*ьСлО)-4 СО^СОСЪсО »OO)tOCo00 K3^tO*>4tO ООСОСССЛ»— О04*.»-»О0СЛ
"О. *-4ЮО"-»СЛ СО *ь 00 4ь >fb O)»—0000O СЛЬОн-ЮСЛ О-^'
82 S2S
р ррррр рррро ророо оорор рррор ррррр
to To'toTo'to'to lo^^-'T-**!— ^-"UT-^X- ииноо gobbo "ооооо
00 NWi^M»- QOO^lOJCn ^^00Ю>-» мООСООО 00-*J^J^JO сБфСлСлСЛ
«о кэслрфю ооооооооо «Он-с3слоо кэоолуэ *tt2S"l—"^ co°S>9i2
•^ »—coCoOtO СЛОООООСЛ СП Ю Сою со Со *-Со ■<! Сл ОХОСл^*» -«Ji-'OOCDO)
tO ОО^ОСЛ^ ЛСОМии OOtOtOOO OO-kJ^J^O) в)©СлСлСЛ .ft .*. *ь .^ .Jk
р j^pp^oo ркэррсо "5^5"^^ i^^^P^1 j^O^cnto p^ptop
V "мсп^ЬЪ Vooomo То^слЪо 'oVcnoo'co obo"toolo "oo'coo^'o)
О «OtOCOCOJP ^tOtOtOtO 0000000000 0000000000 -^*J^^^ «g^vJ^JS
О tO00^O)Cn 1&С0КЭН-О tO00*>JO)Cn 4*. CO to ь-О <О00-ЧО)СЛ rfkCOtO^-O
000^1^^ 0)О)О50)СЛ СлС
. _oQ^Jrfk.H- ОЭО)СО>--00 О 4
^Jt—^J4*tO Обмыл ОО tO ■Ч! CO CO 0>5
э to to oo oo
Э OtO CO <T
;888 &l3$S ®^***
to"toVooo) "oo^o©*-*
"^ *^!^0)0)0) ОСлСПСлСЛ Сл^^Лфк rfxJbCoCoCo CoC0CoCo*O MtOtOtONJ
g> coooocnco i--ooo)4kto ooooiwco ngoooioi *Ln3>-»ooo -4iO)cnJ>co
p P,>>,$oj«jSo poo^ipoi рыоороз тр^ФСп r^^^-r^i0 J^P^Jkp
"о 'кэЪо^'сл'сЪ "1оо)Он-"оо ^-''n-'^i'to'o) ЪоЪ)'со'*4ь-» о col-'ik.l— lo^i'bs'co^
to»-»
-oo ooooo poooo poooo
i CJcons oo р^о-осл со to о со oo oo-sjg>aiCrj сл rf* 4* 4* 4* со со со о; to
©4>СЛ00 СЛСОСОСОСЛ ^Ji-*CO00cO ♦— 4>O0N3OO COCOOJCOO -*JCntO©00
»-*(O^CO COCOCOCDrfk. СоЗьСОООО 00 CO CON? CO O) to CO 00 CO
5828
ОмйСл COOCOi—О 00^J-O.O)Cn СЛ4ь4>4ьСО COCoColOtO K5MWMM
-Q»Q iJ*r5>05^ <ОСО*-4Ю0 СосОСп^ОО СлСо — CO^J ^Cojoh-cO
OOOO О О Сл 4»» 4* 4* Сл СЛ О) -О. СП •— to -J О) 00 Co *- © to Сл 00 4w *- 00
Ш
ttdttii ojohbEoh и тзх^1Г8оа «гоэгеэ

678 Т. I. Отд. i Теплота. V. Пары
Диаграмма IS для водяного пара по Молье
&***
Зхттюпия
ФИГ. 8.

IS — диаграмма для водяного пара
679
Х2-кал
600
1*
vool
Диаграмма IS для водяного пара по Молье
§ $$$$ § $&$ j> j b W » ft н ь \ ь ь Л $* & %
"Фиг. 8.
#>

680 Т. I. Отд. i. Теплота. V. Пары
с) Смесь воздуха и водяного пара
{Влажный воздух)
Для смеси воздуха и водяного пара действительны те же законы,
что и для смеси совершенных газов, с тем лишь отличием, что
к воздуху можно подмешать только ограниченное количество пара
в виду того обстоятельства, что парциальное давление водяного
пара в смеси не может быть больше давления, соответствующего
давлению насыщения при той температуре, которую имеет смесь.
Обычно парциальные давления водяного пара весьма
незначительны по своей величине, а потому к водяному пару можно
применять законы, характеризующие совершенный газ.
При изменениях состояния смеси воздуха и водяного пара
количество воздуха почти всегда остается неизменным, а количество
водяного пара уменьшается или увеличивается в зависимости от
процесса конденсации или парообразования, а потому удобно бывает
брать при подсчетах такое количество смеси, при котором воздух
составляет 1 кг, а водяной пар х кг.
В практических условиях чаще всего приходится иметь дело
с изменениями смеси воздуха и водяного пара при постоянном
давлении, причем это давление обычно равно атмосферному.
Обозначения:
Я, />, Л в кг1м*} кг\см*, мм р. с. — парциальные давления пара,
Р*, р\ Л' — парциальные давления пара, соответствующие температуре насыщения,
Л>» P*i Ло~ полные давления смеси,
Р0— Р, р0 — р, Л0 — Л — парциальные давления воздуха (или газа),
дг — отношение количества паре к воздуху, содержащему этот пар. Обычно величина;
х дается в кг\кг, при этом
мп р
где Mfj— молекулярный вес пара,
Mq— молекулярный вес воздуха (или газа).
Иногда бывает удобнее вести подсчеты х в моль/моль, при этом
Р
Xz== моль/моль.
г0 — г
Для смеси воздуха с водяным паром имеем:
х = 0,622Р/(Р0— Р) кг/кг.
Если парциальное давление водяного пара достигает величины Pv
то
х' «= 0,622/>7(Р0 — Р') м/кг-

Омесь воздуха и водяного пара
681
Значения х' можно найти в табл 9 стр. 676 -677 для суммарного
давления воздуха и пара — 735,5 мм р. с. (1 кг/см2). Этими же
значениями х' можно пользоваться и для давлений смеси, немного
отличающихся от 1 кг/см2.
Если вес воздуха в смеси будет равен L кг, то вес смеси:
Д1 + х) к*<
Свп Сп — обозначают удельные теплоемкости при постоянном
давлении в 1 кг/см2- для воздуха и пара.
Для смеси воздуха и водяного пара имеем:
Св = 0,24 иСя= 0,46.
* — обозначает тепловой запас для 1 кг воздуха и х кг пара, считая
для воздуха начальную температуру 0°, а для пара воду при той
же температуре 0°.
/ = 0,24*+*(0,46*+ 595).
Если воздух насыщен водяным паром, то тепловой запас
/' = 0,24/+*'(0,46/+595).
Эта величина может также быть взята из табл. 9.
Отношение ф =—г — тъ nk ' n7 носит название «степень
х (Н0 — и ) и
насыщения" воздуха паром и обычно употребляется при
технических расчетах. Для воздуха, насыщенного паром, ф = I.
В метеорологии предпочитают употреблять обозначение ср —
„относительная влажность", подразумевая под этим обозначением
отношение веса пара G кг в Vм* данной смеси воздуха и пара
к весу пара (G' кг) в том же объеме К л*3, при условии, что воздух
будет насыщен паром.
G G'RT^P*V_P } Ро — Р*
9 G'~~G'-RT Р'. К~~Р'~ v Р0— P *
В виду того, что при обыкновенных условиях давление Р лищь
немного отличается от Р', можно считать приближенно ср = ф.
Практический пример: 1. Влажный воздух с ^ = 60° и ср = 0,7
нагревается до 80° при постоянном давлении в 750 мм р. с. Сколько

682 т- I- 0тД 4- Теплота. V. Пары
для этого надо затратить тепла? Какова относительная влажность
ср2 в конце нагрева?
О 7 • Г49 4
•* = 0-622750l0,7.;49,4 = 0-1009-
Сп = 0,24 + 0,1009 • 0,46 = 0,2865, Q = 0,2865 • 20 = 5,73 кг-кал%
- 750 «0,1009 __
?2 355,1(0,622+0,1009) ~ '
2. Тот же воздух охлаждается; при какой температуре наступает
насыщение (точка росы)? Достаточно посмотреть в 9 табл. на стр.
676—677 чтобы узнать, при какой температуре величина х' равна
найденному значению л: = 0,1009. Это имеет место при температуре
в 52,0°.
Многие практические задачи (сушилки, установки обратного
охлаждения) не могут быть непосредственно решены с помощью
приведенных выше формул, так как давление насыщения не является
простой функцией температуры. В таких случаях решение
достигается проще всего графическим путем. Особенно рекомендуется
диаграмма с х и / в качестве координат и с нанесенными линиями
постоянной температуры (прямые) и постоянной относительной
влажности (ср) (см. Молье ZdVdl, 1923, стр. 869 и 1929, стр. 1009).
Если речь идет не о смеси водяного пара и воздуха, э о любом
другом газе, к которому примешан любой пар (например, смесь
продуктов горения и водяного пара или воздуха и паров бензола х),
то в формулах, приведенных выше, подставляются соответствующие
цифровые значения. Во многих случаях расчет значительно
упрощается, если содержание пара в газе выразить не в кг/кг, а
в моль/моль (ил*3/ял*3) или в кг/пм'6.
Объем V, содержащий (1 + л:) кг влажного воздуха, имеет
величину:
V = 47,1 (0,622 + х)Т]Р0 м\
а удельный объем того же воздуха
47,1 (0,622+ х) Т м^
"~ Р0{\ + х) кг'
Диаграмма ix проф. Молье. Эта диаграмма начерчена в
косоугольных координатах для величин /, х. По вертикальной оси
координат отложены величины, пропорциональные теплосодержанию для
1 кг воздуха и х кг пара, а по оси абсцисс отложены величины,
пропорциональные хкг пара. Вначале координат имеемх = 0 и /=0.
1) См. С. И. Вишняков, Теория карбюрации, Москва 1927 г.

Смесь воздуха и водяного пара 683
Угол между осями координат выбран так, что изотерма для 0°
проходит горизонтально в области ненасыщеннной смеси воздуха
и пара.
На диаграмме начерчена пограничная кривая для 6 = 1 и для
давления смеси р0 = 1 кг/см2.
Фиг. 9. /я-днаграммаГ
По трем сторонам диаграммы нанесены отметки,
представляющие продолжение прямых линий, идущих из начала координат О
и характеризующих величины dijdx.
Область тумана. Если изменение состояния смеси воздуха и пара
дает кривую /(/, л:) = 0, пересекающую пограничную линию сверху
вниз, то - это означает выделение воды или льда. Следовательно,
область, ограниченная сверху пограничной кривой, характеризует
наличие смеси воздуха, пара и воды или льда, причем вся масса
находится в тепловом равновесии, что возможно лишь в том
случае, если вода и лед подвешены ц смеси воздуха и пара в мелко
раздробленном состоянии-

684
Т. I. Отд. 4. Теплота. У. Парк
Предположим, что к 1 кг сухого воздуха примешано х кг смеси
пара и воды или льда, причем из этого количества на долю
насыщенного пара приходится х/ кг, а остальные (х — х') кг — на долю
воды или льда. Теплосодержание всей смеси: / = /' + (х — x')t (для
воды) и / = /' — (х — xf) (80— 0,5/) (для льда); следовательно, в
области тумана изотермы представлены прямыми линиями. Для 0° мы
имеем две изотермы: одну для воды, а другую для льда.
Изменение состояния при неизменном содержании воды.
Точка, характеризующая это состояние смеси, перемещается на (/, х)
диаграмме по вертикальной линии, соответствующей х кг, взятым
на абсциссе в соответствующем масштабе. Вертикальное расстояние
между точками, соответствующими начальному и конечному
состоянию, пропорционально сообщенному или отнятому теплу
0=1 (0,24+0,46*) Й-/Л
где L — общее количество воздуха в кг.
Пересечение линии состояния с пограничной кривой дает точку
росы.
Смесь двух количеств влажного воздуха различного
состава и различных температур. Предположим, что ^(l+n) кг
при температуре tx смешивается с L2(l-\-x1) кг при температуре t2
без добавочного сообщения тепла; в таком случае точки,
характеризующие возможные состояния смеси, лежат на соединительной
прямой между точками 1 и 2, представляющими начальное и
конечное состояние воздуха. Абсцисса хт для смеси при данных
условиях дается формулой:
*„=(£,*!+ £Л)/(11 + £^.
Температура смеси может быть получена непосредственно из
диаграммы, причем безразлично, где находятся'точки / и 2 по
отношению к пограничной линии. Если обе точки 1 и 2 лежат на
пограничной линии, то при смешении всегда образуется туман. Если
же точка 1 лежит в области тумана, а точка 2 вне этой области,
то по (/, х) диаграмме легко определить то количество воздуха, не
насыщенного водяным паром, которое нужно примешать к
влажному воздуху, чтобы устранить туман. Соединим точки 1 и 2
прямой линией и отметим точку пересечения этой линии с
пограничной кривой; абсцисса, соответствующая этой точке пересечения,
дает величину хт; выше этого количества хт нельзя брать, не
рискуя получить туман; следовательно, отношение насыщенного
воздуха к ненасыщенному (по весу) дается формулой:
LJL2 = (хт — х2)/(х1 — хт).
Если смешение двух количеств влажного воздуха
сопровождается выделением или поглощением тепла—Q, то конечное состоя*

Смесь воздуха tt водяного it ар а,
685
ние смеси может быть получено нанесенным по вертикальному
направлению, в соответствующем масштабе, величины Q/Ц или
QIL% этим построением найдется точка / или точка 2, дальнейшее
же" исследование можно вести указанным выше приемом.
Процесс смешиваний водяного пара или воды с
воздухом. Если подвести к сухому или влажному воздуху пар или
воду, то состояние воздуха изменится, согласно (/, х) диаграммы,
по закону прямой линии, проходящей через точку 1
(начальное состояние воздуха). Направление этой прямой линии дается
* ~ di
формулой -т- = i0, причем /0 означает теплосодержание одного кг
пара или воды, подведенного к воздуху во время смешения. По
краям (/, х) диаграммы имеются указатели направления этих
прямых линий, соответствующие различным величинам /0 (от 300
до 2000). При обычном начальном состоянии воздуха, примесь пара
ведет к образованию тумана. В случае постоянного поступления
пара в какое-либо пространство необходимо туда же подводить
определенное количество воздуха во избежание образования тумана.
Это количество воздуха (в кг) найдется по формуле L=GI(x'—xt)t
где л/ соответствует точке пересечения прямой изменения
состояния смеси с пограничной кривой. Чем выше температура, тем
больше л/, а следовательно, тем меньше количество воздуха,
которое требуется подвести для уничтожения тумана.
Если к воздуху примешивается вода при температуре t°, в мелко
раздробленном состоянии, то di/dx=t0, и состояние влажного
воздуха меняется по линии, совпадающей с изотермой (С?=0),
расположенной в области тумана, причем эта изотерма при невысоких
температурах воды почти совпадает с линией / = const.
Из вышесказанного ясно то преимущество, каким обладает
(/, х) диаграмма для решения вопросов, связанных с созданием
наилучших условий работы обогревательных и вентиляционных
установок.
Влажный воздух определенного начального состояния
скользит по поверхности воды или льда, имеющей
определенную температуру. Над поверхностью воды или льда находится
слой воздуха, насыщенный водяным паром и обладающий той же
температурой t'°, которую имеет вода или лед. Если с этим
воздушным слоем приходит в соприкосновение воздушная масса
определенного состояния, то происходит процесс смешения, при котором
состояние воздуха изменяется. Это изменение может быть изучено
при помощи диаграммы (/, л:), нужно лишь провести прямую линию
из точки, характеризующей состояние воздуха, смешивающегося
с пограничным слоем, к той точке пограничной кривой, которая
соответствует температуре поверхностного слоя воды или льда. Если
количество пара в воздухе меньше, чем необходимо для его
насыщения, то воздух будет получать пар из воды (процесс испарения),
если же количество пара в воздухе было больше, то будет
происходить выделение воды (появление росы).

686
T\ t. Отд. i. Теплота. V. Парьт
Законы ДальТона и Левиса. Закон Дальтона для процесса
испарения формулируется следующим образом:
dW Чр' — р)
dz ~~ р0
Здесь d\V—количество воды, испарившееся или выделившееся
с м2 в виде росы за время dz сек, о — коэф. испарения, зависящий
от характера движения воздуха над водяной поверхностью. Согласно
исследованиям проф. Левиса 1) возможно заменить отношения
парциальных давлений в формуле Дальтона величинами,
характеризующими содержание влаги в воздухе и в прилегающем к водяной
поверхности слое, т. е. величинами х и х'\
dW
Тот же автор показал, что коэф.. испарения о находится в
зависимости от коэф. теплопередачи а между воздухом и
поверхностью воды. Если удельная теплоемкость воздуха с содержанием
влаги х кг будет обозначена с', то а = ос', причем величина с'
может быть взята разной средней величине: с' — 0,25, поэтому
о ^ 4а 2).
d) Применение к теории паровой машины
Обозначения:
р, Р — давление пара перед входом в машину,
t, £ — температура насыщения пара, соответствующая давлению р
/, Т — температура входящего пара в случае перегрева,
х — удельное содержание пара или паросодержание (при влажном паре),
/, s — теплосодержание и энтропия пара,
Рмч Ро — противодавление (давление в конденсаторе или в выхлопе),
t, £о —• соответствующая противодавлению температура насыщения,
ta Ta — температура выпускаемого пара в случае перегрева,
ха "*" удельное содержание-пара при выпуске (при влажном паре),
ia — теплосодержание в нем.
Работа, которая может быть получена из одного кг пара
в идеальной машине, работающей без потерь, т. е. при полном
адиабатическом расширении от р до р0 в теплонепроницаемом
(изолированном) цилиндре машины, работающей без трения и без
вредного пространства,
AL = / — /0,
*) Lewis, The evaporation of a liquid into a gas. Mech. Engineers or 1922,
стр. 445.
»)Merkel, Dampfluftgemische in der Technik, Mitt.. Forschungsarb. VDT, H.
275 u. ZdVdil926, стр 123.—Berieselungsverflussiger, Zfd. ges. Kalte-Ind. 1927, стр.24.—
Warmeubergang an Luftkuhlern, ZdVdl 1927, стр. 117.
H i r s с h, Die Abkuhlung feuchter Luft, Gesund. Ing. 1926, стр. 376.-Die Kuhlung
feuchten Gutes unter Berucksichtigung des Gewichtsverlustes, Z. f. d. ges. Kalte-Ind,
1927» стр. 97.—Trockentechnik, Berlin 1927, Springer.

Теория паровой машптш
687
где /о означает теплосодержание в конце после адиабатического
расширения, считая от начального состояния (р, t, x) до р0.
AL — i — /0 называют также адиабатическим падением
тепла. Во всех случаях проще всего определить значение AL по
диаграмме IS водяного пара (стр. 678); для этого достаточно
отыскать на диаграмме точку, соответствующую исходному состоянию
пара, причем вертикальное расстояние этой точки от линии
противодавления /70 пропорционально AL.
При расчетах AL определяется следующим образом:
a) Для перегретого пара, если он после адиабатического
расширения становится сырым, s<s0: '
AL^i — /q +£0(*о— s);
i и s определяются по формулам для перегретого пара, /q и ^берутся
из таблиц.
b) Для перегретого пара, если он после адиабатического
расширения все еще перегрет, s>s0 и р не выше 25 am:
c) Для сухого насыщенного пара
AL^r-fi + ZvisQ-s").
Расход пара на л. с. ч. идеальной машины
632
Расход пара на квт-ч.
°™- AL'
Термический коэфициент полезного
действия r,t паровой машины есть отношение полученной
индикаторной работы L; в тепл. един, к теплу, израсходованному на
парообразование.
Вообще I Для сухого пара
т], = ALJ(i - iw) J ъ = ALW—iJ.
iw — теплосодержание питательной воды.
Расход тепла W на л. с. ч.
W=632/yj,.
Индикаторный коэфициент полезного дей*
ствия f]f есть отношение действительно полученной
индикаторной работы к работе идеальной машины;
у), = Lt: L = D : D/#

688 т- I- 0тД- 4- Теплота. V. Пары
е) Аккумулирование водяного пара i)
1. Паровой аккумулятор с водяным простран-
ством (аккумулятор Руте а). Количество пара, которое
может быть взято из парового аккумулятора при понижении его
давления с р1 до р2 ат% получается из диференциального уравнения
G "г/Т'
Если G± и G2 — вес в кг содержимого в Паросборнике до и
после его разряда, а у/ —удельный вес воды в кг/м3 до разряда,
то количество пара в кг, которое аккумулятор способен отдавать
на 1 лс3 содержащейся в нем воды,
& = Ti' ^7J^=Ti'( 1 -4*'11'п)кг1м*.
Интеграл разрешается с помощью эмпирических уравнений.
Пределы, между которыми эти расчеты были произведены,
определяются давлениями от 0,5 до 34 am 2). Результаты представлены
графически в диаграмме фиг. 10.
Кроме того, на диаграмме фиг. 10 нанесен также и удельный
вес -[' воды. Применение диаграммы поясняется примерами.
Пример 1. Аккумулятор с объемом воды в 100 м* разряжается с 10 до 5 ата
Сколько пара он в состоянии отдать? Имеем согласно диаграмме
^5=50,8 кг'м* и 0^=100.50,8 = 5080 кг.
Пример 2. Аккумулятор содержит в разряженном состоянии 50 м* воды при
3 ата давления. Какое количество пара нужно для его зарядки до давления в 15 я/ж»
Из диаграммы находим ^=109,6 кг\м\ y/ = 866,4 кг\м*\ у/ =932,5 кг\м*. Объем
воды после зарядки
V' = V* 1Г-17 = Ю 866^4о9Гб - 61'6 -
и О, = ^-^ = 61,6.109,6 = 6750 кг.
Если зарядка аккумулятора производится паром с постоянным
теплосодержанием iv но любого состояния (т. е. перегретым или
влажным), то имеет место совершенно точная зависимость
Если приравнять /, = i , то в области, лежащей между 1 и 60 am, можно
пользоваться этим уравнением в качестве приближенного уравнения при расчетах
количеств пара, получаемого при разрядке. Ошибка даже при очень больших
количествах пара не превышает 2°/о.
!) Ф. М ю н ц и н г е р, Пар высокого давления. — Л. Ш н е й д е р.
Использование отработанного тепла.
*) Е. Knopf, Dissertation, Dresden.

Аккумулирование водяного пара
44. Hiiie» Справочник для инженерии, т. I.

690
Т. I. Отд. 4. Теплота. V Пары
2. Паровой аккумулятор с постоянным
давлением. Варьирование количества получаемого пара, при условии
постоянного количества доставляемого тепла, достигается в данном
случае тем, что при большой потребности в паре аккумулятор
питается слабее, а при меньшей потребности — сильнее. Таким
путем можно, не меняя хода топки, довести испарение до нуля или
повысить до того, что развиваемое количество пара в т раз
превысит нормальное (количество поданной питательной воды =
количеству воды, превращенной в пар). При этом /я = (/—ts)/rt где
/—теплосодержание, г — теплота испарения для насыщенного пара
при давлении котла и ts — температура питательной воды.
Аккумулирующая способность на 1 м? питательного объема
V — теплосодержание воды при давлении котла и y' —ее удель-
вес в кг/м?. Как способность к перегрузке /я, так и удельная
аккумулирующая способность gs повышаются с увеличением
давления котла и с уменьшением температуры питательной воды *).
f) Применение термодинамики к теории холодильных машин 2)
(Машины, действующие холодными парами)
Холодильные машины состоят в главных чертах из
компрессора, испарителя и конденсатора (холодильника). Две последние
части образуются из системы змеевиков, в которых циркулирует
рабочая жидкость, большею частью аммиак, углекислота или
сернистая кислота. Наружная поверхность труб конденсатора
омывается охлаждающей водой, а труб испарителя — подлежащей
охлаждению жидкостью или воздухом. Особенно часто в качестве
промежуточного носителя холода применяется раствор солиь).
Процесс протекает между двумя давлениями! зависящими от кривой
давления паров применяемой рабочей жидкости, а именно: между
давлением р0 в испарителе и р в холодильнике. Первое из
давлений зависит, главным образом, от температуры, на которой
поддерживается охлаждающая смесь; второе—от температуры и
количества охлаждающей воды. Обычно температуры насыщения t0 и tt
соответствующие давлениям р0 и /?, только немногим отличаются
от температур рассола и охлаждающей воды.
На фиг. 11 представлен холодильный процесс в тепловой
диаграмме (стр. 647). Компрессор всасывает лз испарителя сухой
или слабо-влажный пар (состояние 1, фиг. 11, точка /), сжимает
его адиабатически до состояния 2, указанного в диаграмме
точкой 2, и нагнетает в конденсатор. Здесь пары рабочей жидкости,
П Р а и е г, Warme, 1923, стр. 356 и ел.
*) А. Рязанцев, Введение в теорию холодильных машин, „Вести. О-ва
технологов", 1911 г.—В. Ц ы д з и к, Таблицы и диаграммы для расчета холодильных
машин, МВТУ. 1927 г.
•) Теплоемкость растворов поваренной соли, см. стр. 609.

Применение термодинамики к теории холодильных машин 591
Фиг. 11.
перегретые или высушенные во время сжатия, отдают свое
тепло Q охлаждающей воде и полностью переходят в
жидкое состояние (кривая 2—3). В этом
состоянии 3 рабочая жидкость
проходит регулирующий клапан
(дроссельный клапан), имея температуру £3, и
затем идет обратно в испаритель
(точка 4). При проходе через
регулирующий клапан небольшая часть
жидкости испаряется (состояние 4), а
остаток полностью или почти
полностью испаряется в испарителе
(кривая 4—^1), причем теплота
промежуточного носителя холода переходит
на рабочий пар. Это взятое от рассола
количество тепла Q0 и представляет ^1
требуемую заданием
производительность холодильного процесса.
Если обозначить работу
компрессора в кг-кал через AL% то главное
соотношение будет:
Q=Q0 + AL
Для выяснения экономичности холодильной машины
определяют отношение полученного холода Q0 к затраченной работе AL;
это отношение называется коэфициенгом
производительности холодильной маш ины
е = QQ/AL.
Вместо коэфициента производительности часто дается
производительность охлаждения k на л. с, ч.
k = 632 е.
Коэфициент производительности в значительной мере зависит от
температур рассола (охладителя) и охлаждающей воды
конденсатора, а равно и от давлений, обусловленных этими температурами.
Применение регулирующего клапана вызывает, вследствие
необратимости процесса прохождения жидкости через этот клапан,
некоторую потерю производительности. Теряется работа ALe%
которую могла бы произвести находящаяся под давлением рабочдя
жидкость, расширяясь в особом цилиндре, и, кроме того, уменьшается
на такую же величину и производительность охлаждения, ибо
жидкость уносит с собой в испаритель в виде теплоты неотданную
работу ALe. Потеря производительности, зависящая от
регулирующего клапана, будет поэтому
44»

692
Т. I Отд 4. Теплота. V. Пары
, Qo+ALe
где г' = -j- ту представляет коэфициент производительности
при особом цилиндре для расширения.
При применении такого цилиндра процесс протекал бы
согласно циклу К а р н о, при условии работы без перегрева и без
переохлаждения; в таком случае
,_ п __/£»_*;
• ~Т-Т0 И ;_ AL То;
При данных температурах ALe зависит только от теплоемкости
Таблица 10. Объемное содержание 1 кг углекислоты в литрах
°с
— 20
- 15
- 10
- 5
0
5
10
15
20
" **
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
105
ПО
115
120
125
13а
135
14и
145
150
20
19,50
20.35
21,15
21,°0
22,65
23,35
24И5
24,70
26,30
25,90
26,50
27,10
27,70
28,30
28,85
—
—
—
—
—
—
, —
—
—
~~
~"
—
—
—
—
—
—
—
"~"
25
1.00
1,02
15.85
16.55
17,20
17,80
18,40
18,Р5
19,50
20,00
20,50
21,00
21.49
21,98
22,47
22,96
23,45
23.94
24,43
24,92
25,42
25,91
26,40
26,89
27,38
—
1 —
1 —
—
—
—
—
—
"*"
1
30
1,00
1,02
1,04
12.45
13,15
13,80
14,40
14,95
15,50
16,00
16,50
47,10
17,45
17,90
18,35
18,80
19,25
19,65
20.L5
20,45
20,85
21,25
21.65
22,00
22.40
22,75
2d. 15
2*50
23,fc5
24,20
24,50
24.80
25.10
25.40
25,70
35
0,99
1,01
1,04
1.07
10,60
11,20
11,70
12,20
12,65
13,10
13,55
14,00
14,40
14.80
15,20
15,60
16,00
16,40
16,80
17,20
17,58
17,Ь5
18.30
18.65
19,00
19,35
1 19,70
1 20.L5
20,6Ъ
20,65
20,95
21.25
21.55
21.80
22,(5
40 !
0,99
1,01
1,02
1.Г6
1,09
8,90
9,40
9,90
10.45
10,95
11,40
11,80
12,20
12,60
13,00
13,40
1.5,80
14,15
14.50
14,80
15.10
15,45
15.75
16,(5
16.J5
16,65
16,* 5
17,25
17.55
1 17,80
18,С5
18,30
18,55
18,80
19,00
45
0,99
1.01
1,03
1,(6
1,09
1,12
7.50
8.25
8,75
9,20
9,60
10,(0
10,40
10.80
11,20
11,50
11,80
12,10
12,40
12,70
13,00
13.30
13.60
13,90
14,20
14.50
14.t0
15,05
15,^5
15,65
15,90
16,15
16,45
16.70
16,95
50
0,99
1,00
1,03
1,'5
1,08
1,12
1,17
6,95
7,45
7,90
8.35
8,80
9,20
9,55
9,90
10,25
10,55
10,85
11,10
11,40
11,70
11,95
12,20
12.45
12.70
12,95
Ы,20
13.45
U,70
13,95
14.20
14.45
14,70
14,£5
15,20
55
0,Р8
1,(0
1,02
1,05
1,08
1.11
1,16
1,22
6.05
6,65
7,15
7,60
7,95
8,30
8,65
9,00
9,30
9,60
9,90
10,20
10,45
10,75
11,00
11,25
11,50
11.75
12,00
12.20
12,40
12,60
12,80
13,00
ld,20
13.40
13,60
60
0,°8
1,00
1,02
1,04
1,07
1,11
1,15
1,21
1.29
5,59
6,10
6,52
6,90
7,25
7.60
7,90
8,25
8,50
8,80
9,10
9,40
9,65
9,Г0
10,15
10,40
10,65
10.85
11,10
11,сЮ
11,50
11,70
11,90
12,10
12,25
12,40
65
0,98
0,99
1,02
1,04
1,07
1,10
1,14
1,20
1,28
4,20
5,10
5.59
6,03
6,40
6,76
7,08
7,35
7.62
7.90
8,20
8.48
8,74
8,£8
9,21
9,43
Р,65
9,87
10,10
10,30
10,50
10,70
10,£0
11,10
11,25
11,35
70
0,^8
0,99
1.01
1,03
1,06
1,09
1,13
1.19
1. 6
1,38
3,97
'4,70
5,27
5,75
6,06
6,36
6.64
6,90
7.16
7,40
7.63
7,88
8.12
8,d6
8,60
8,80
9,00
9,20
9,40
9,60
9.75
9,95
10,10
10,25
10,40
75
0,98
0,99
1,01
1.03
1,06
1,09
1,13
1,18
1,24
1,34
1,58
3,90
4,71
, 4Л>5
5,32
5,66
5.97
""
6,27 |
6,55
6,79
7,03
7,24
7.45
7,67
7,88
8,10
8,32
8,50
8,69
8,83
9,00
9,17
9,44
9,47
9,60

Применение термодинамики к теории холодильных машив 693
работающего вещества в жидком состоянии; AL увеличивается
с увеличением теплоты испарения. Таким образом С примет
значения тем менее выгодные, чем больше теплота жидкости и чем
меньше теплота испарения применяемого рабочего вещества.
В общем С невыгодно близ критической точки.
Для аммиака и сернистой кислоты С = 0,04 до 0,08, в
зависимости от температур; для углекислоты С колеблется между 0,15
и 0,40.
Кроме вышеуказанных физических свойств рабочего вещества,
на величину С, как уже было указано, имеет влияние температура.
Потеря может быть значительно уменьшена, если температуру tb
перед регулирующим клапаном держать по возможности низкой.
при различных температурах и давлениях (по опытам Амагата)
80
0,98
0,99
1,01
1.03
1,05
1,08
1,12
1,17
1,23
1,31
1,48
2,68
3,80
4,36
4,76
5.10
|5,40
5,68
5.04
6,19
6,44
6.66
6,87
7.С8
7,30
7,49
7,t6
7,85
8,04
8,23
8,43
8,60
8,75
8,88
9,00
85
0.*8
0,99
1.01
1,02
1,05
1.Г8
ХМ
1.16
1.22
1,29
1.41
1.71
2.99
3.67
4,17
4.53
4.85
5.15
5.43
5,68
5,93
6.18
6.39
6.60
6.80
7,00
7,19
7.37
7.54
7,76
7,87
8,04
8,20
8,^4
8,48
90
0,°8
0,99
1,00
1.02
1,04
1.07
1.11
1.15
1.20
1,27
1,38
1.58
2,29
3.07
3,65
4,09
4.44
4.72
4.99
5.23
5.47
5.70
5,°0
6.12
6,32
6.51
6.69
6,90
7.Г6
7,20
7,36
7,52
7.68
7,84
8,iX)
95
0,97
0.98
1.00
1.02
1.04
1.07
1,10
1.14
1.19
1,26
1.35
1,51
1.80
2,61
3.19
3.62
3.99
4.29
4.56
4,81
5.06
528
548
568
5,86
6.05
6.23
6.41
6,58
6,74
6,90
7,05
7.20
7.35
7,50
100
0,97
0,98
1.00
1,01
1,03
1,06
1.09
1.13
1.18
1,24
1.32
Л.45
1.67
2.19
2,76
3.20
3.56
3.Q2
4.21
4,45
4.60
4.90
5.10
5.30
5,50
5.68
5.85
6,03
6,20
6,36
6,51
6,65
6,80
6,94
7,С8
105
0,97
0.98
0.99
1.01
1,03
1.06
1.09
1.13
1,17
1,23
1.30
1,40
1.57
1,86
2,38
2,82
3.20
3.53
3.84
4.10
4.34
456
4.76
5.00
5,14
5,33
5.50
5.67
5.84
6,00
6,16
6,36
6,46
6.59
6,71
ПО
0.97
0,с8
0,99
1,01
1.03
1.05
1.08
1.12
1,16
1,22
1,29
1,37
1.51
1.72
2,09
2,55
2,91
3,25
3.52
3.80
4.03
4,25
4.45
464
4.83
5,01
5,19
5.35
5.52
5.67
5.82
5,66
6,10
6,23
6,35
115 1 120
i
0,97
0.98
0.99
1.00
1,02
1.05
1.Г8
1.11
1.15
1,21
1,27
1.35
1.47
1.64
1,88
2,30
2,68
2,97
3.25
3.50
3 74
З.°6
4.18
4,37
4,54
4,71
4,88
5.04
5.20
5.34
5,47
5,61
5.73
5,85
5,98
0,97
0,98
0,99
1,00
1,02
1.04
1.07
1.11
1.15
1,20
1,26
1,33
1.43
1.58
1,77
2,05
2.45
2,75
3.<>2
3.26
3.48
3.70
3.92
4.10
4.29
4.48
4.64
4.80
4,94
5,08
5,20
5,32
5,44
5.55
5,65
| 1
125 1 130
0,°6
0,97
0.98
1,00
1,02
1.Г4
1,07
1.10
1.14
1.19
1,24
1,31
1.39
1,52
1,67
1.90
2.22
2.54
2.80
3,04
3.26
3.47
3.67
3.86
4,05
4,22
4,40
4.55
4,70
4,84
4,96
5.08
5,20
5.32
5,42
0,96
0,97
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,09
1.13
1.18
1,23
1.30
1.37
1.48
1,62
1.81
2,04
2,35
2.62
2,86
3,06
3,27
3,47
3.65
3,83
4,00
4,16
4,32
4,48
4,62
4,76
4,88
5,00
5.12
5,22
135
0,°6
0,97
0,98
1,00
1,01
1,03
1,06
1,09
1.13
1,17
1,22
1,28
1,35
1,45
1.57
1,73
1.Q2
2,29
2,45
2,69
2,90
3,09
3,28
3,46
3,63
3,80
3,95
4.11
4,26
4,40
4,54
4,64
4,76
4,86
4,95
140
0,96
0,97
0,98
0,99
1,01
1,03
1.05
1,08
1,12
1,16
1,21
1,27
1.33
1,42
1,53
1,67
1,84
2,04
2,29
2,52
2,74
2.92
3,10
3.27
3,44
3,60
3.75
3,90
4.Г4
4,18
4,30
4,42
4,52
4,61
4,69
145
0,06
О.о?
0,98
0,09
1,01
1,03
1,05
1.Г8
1,11
1,15
1.20
1,26
1,32
1,40
1.49 |
1,62
1,77
1,°5
2,16
2,38
2,59
2.77
2,95
з!п
3.28
3,40
3,57
3,74
3,88
4,00
4,12
4,22
4,33
4,41
4,50
150
am
0,96
0,97
0,98
0,99
1,00
1,02
1,04
1,07
1,10
1Д4
1,19
1,25
1,31
1,38
1,46
1,58
1.71
1,86
2.03
2,24
2,44"
2,62
2,80
2,97
3,13
3,29
3,44
3,58
3,72
3,84
3,06
4.06
4,16
4,24
4,32

694 т- I- 0тД 4 Теплота. V Пары
Это обстоятельство имеет большое значение для углекислоты и
достигается особыми охладителями.
Работа сжатия AL идеального компрессора,
работающего без потерь. Вообще для 1 кг: AL = t2 — /lf
причем s2 = sv
a) Присасывается сухой пар:
AL-^AP0«>[{j£-lVt-l]..
для NH3 и S02 можно подставить: х/(х—1) = 13/3, х=1Д
b) Пар становится сухим в конце адиабатического сжатия:
л£=*"-<;+Го(5о-*")
Значения см. в таблицах стр. 696 и след.
Теплота Q, отдаваемая конденсатору:
Q = /a —/3.
Значения /3 берутся по значениям /' из таблиц для пара.
Величина /2 определяется по формуле: /2 = /х + AL.
Прохождение через регулирующий клапан:
/3 = /4; /3 = h + xtr& отсюда определяется *4.
Продолжение текста на стр. 698
Таблица П. Адиабатическое сжатие сухих насыщенных паров
уклекислоты
р в кг/см9
4 =-50°
*о = -45°
/0=-40в
4=-35°
/0 = —30°
/о=-25°
/0 = _20в
/0 = ~-1б°
/о = — 10е
/о=- б°
/» = 0°
= |
AL
t
AL
t
AL
t
AL
t
AL
t
AL
t
AL
t
AL
t
AL
t
AL
t
AL
t
60
25,0
95,3
22,2
87,2
19,65
80,0
17,4
73,5
15,15
72,0
13.19
67.0
11.30
62.0
9.53
57,0
7.86
52.0
6,31
47,0
4,85
42,0
70
27,25
107.10
H,30
99.00
21.65
91.50
19.40
85,00
17.18
86.5
15.14
80.5
13.18
75.0
11,32
70.0
9.55
65.0
7.90
6C.0
6.30
55,0
80
29.25
118,50
26.25
110.0
23,50
102,1
21,1
95,5
19.00
99,0
16.90
93.0
14.87
87,5
12.95
82.0
11,13
76.5
9,42
71.0
7.76
66,0
90
31,05
127.80
2b,05
Цч.5
25.25
IH.-jO
22.8
105.0
20.63
111.0
18,47
105.0
16,39
99.0
14.40
93.0
12,54
87.0
10,77
81.0
9.07
76,0
100
32.6
136.3
29.8
127,8
263
11Я8
24,3
113,1
22,14
122.0
19,92
115.5
17.78
109,0
15,75
Ю3.0
13.84
97,5
12,0
92,0
10.25
86,5
p sb конечное давление сжатие, /n = начальная температура,
t =* конечная температура, AL = работа сжатия для 1 кг углекислоты в кг-кал.

Применение термодинамики к теории холодидьнях машин ^95
Таблица На. Теплосодержание ^ углекислоты перед
дроссельным вентилем, при различных давлениях и температурах
р =
/,= 10
4 = 15
4 = 20
/8 = 25
4 = 30
60
105.5
108.9
113,6
—.
~
70
105,0
108,1
111,9
117,0
—
80
104,7
107,7
111,1
115,2
120,7
90
104.4
107,4
110,6
114,1
118,4 *
100
кг\сМ*
104,2
107.1
110.1
113,4
117,0
Таблица 12. Насыщенный пар сернистой кислоты S02
(вычислена по опытам Cailletet & Mathias)
Л
Температур
в С
.-30
-25
-20
- 15
-10
- 5
0
+ 5
+ 10
+ 15
+ 20
+ 25
+ 30
+ 35
4-40
Давление ]
{ата) р
KZJCM*
0,39
0,51
0,65
0,83
1.С4
1,29
1,58
1,93
2,34
2,81
3.35
3,96
4,67
5.46
6,35
ъ
s
о>
га
\о
О
м*\кг
0,822
0;643
0,513
0,416
0,330
0,270
0,223
0.184
0,152
0,127
0,107
0,090
0.076
0,165
0,055
Удельный вес
кг\м%
1,217
1.556
1,950
2,406
3,024
3,7Г8
4,490
5.443
6,5°2
7,8°3
9,372
11,148
13,210
15,456
18,282
Содержание
тепла
6
ы
** .-
* К
И
<о
о.
а
с
ю
- Тепло га
испарения
№
О
к
О-О.
н
х ев
оа а
к
к
S
Э
й>
я
09
кг-кал\кг
- 9,05
- 7,62
- 6,15
- 4,66
- 3,14
- 1,58
0
+ 1,61
+ 3,25
+ 4.02
+ 6,62
+ 8,35
+10,11
+ 11,90
+ 13,71
88,72
89,28
89,77
90.16
90,46
90,69
90,82
90;86
90.81
90.68
90.47
90,17
89,78
89,34
88,74
97,77
96,91
95,92
94.82
93.60
92,27
90.82
89,25
87,56
85.76
83,85
81,82
79,67
77,40
75,03
90,27
89.24
88,12
86,°0
?5,57
84,15
82,62
80.09
79,28
77,46
75 55
73,54
71,44
69,24
66,95
7,50
7,67
7,80
7,92
8.03
8,12
8,20
8,26
8.28
8,30
8,30
8,28
8,23
8.16
8.С8
Энтролия
я.
Ь
S
се
о.
«а
с
"«о
1
II
кг-кал
кг °
— 0,0351
— 0,0293
— 0,0234
— 0,0176
— 0,0117
-0,0059
0.ОГ00
+ 0,0059
+ 0,0117
+ 0,0176
+ 0,0234
+'0,0293
+ 0,0351
+ 0,0410
+ 0,0468
0.3672
0.3614
0,3557
0,34' >°
0,3442
0,3385
0,3327
0,3269
0,3212
0,3154
0,3096
,0,3039
0,2981
0,2923
0,2865
0,4023
0,3907
0,3791
0,3675
0.3559
0,3443
0,3327
0,3210
0,3094
0,2978
0,2862
0,2746
0,2629
0,2513
0,2397
с = 0,3194 + 0,00117 /, | г\Т = 0.3327 - 0,002324 t,
*' = 0,00117 t, I *' = 0,0007.

696
Т I Отд 4 Теплота, V Пары
§$Ш Ш£3 ПНИ §5886
-"ОО ООООО
,.s vdvu
OOff — 0><J> O^^OCOO ГГСТ^ГС
O. t-« Ю ?» О Ot-iOJO?» OMNd
28 c? 538
о о а. о Э>
т-н'^'о о"о
ихэомУиж
a.SSSS Si^gi §§?§!! SS3SS
o'do'co' o'dcdd o'oo'o'o'o ©*ooro*o
II I II II I II +++++ +++++ Й
= ^ввнтэна
WOWO^ 05CCC0OP0 UJOOONfO^ ^•f fO-^O» *•
ййя&а J5s««a aassss tfgtfsa °.
g
,й — UT2 = 6
кнннэ(1хХна
rftqoqoi^ «-«оо>ь^ро q»ooq^Nfo ^°l?£>-i4.
co&Scocs c>ic3eScsc<i cncscmcncncs счсмсчсмсч •£
BVHITOII
o^tocoo^u^ e^iof-to. iq-ooqeoiot"* «Я^сгеЧ00. с
SSSSS §§§£§ saSlis SII^S I
un bcIbu KHadaHg
adeu e
ИХЭ0М1ГИЖ a
(q-^ieq^ oq^^tqf^ oqoot^tocoo too^ft^op^
ooQ'-rf'** юг*ГоссгГо* *-*c**d*a«iOjo eo't**t^t^*t>T
емсчcs»csсм cs еЗ еч с* е5 счсчсчсчсчсч счсчсчсчеч
i---«-hOO^ NW-tNt и^°Я010,01°0 T^C^COf^
lills &&§i§ 8blill §£££§
00ЮСМС5СО COOOtOW СЮ^!4-^*"*^ OOr^lO^f^ со
333 $58 БЯ2Д* ^riSSJS S&SSfc *H
I II II II II I ++++++ +++++ -g
Д BdBU
S8SS8 g38£g SS^s^o^ g-oggs w
«iftSooo Лфо^рооо Tf^oot^cqt^ o^-Khi 4-
0*0*0*0*.-* hihfhnn co^^iocotC сГо'еч^о'ю °
g&SSlS &g£8S 22SSS8 &ЙЙБ558 *
,.a vdBu
el§§8 E8S5$ tgS&M =1111 I
с*сч<-*-*о 00000* o*o'o*oo*o ©oo*o*©* S
ИХЭ0Х1ГИЖ
$,?$з$ ISsSs ssssss ggstss: *
888|§ S8i. = 8. §88888 88888 1
©о*©*©*©* 0*0000 0000*00 0*000*0 g
о
(0Ш17) 9ИНЭ1ГШ11Г
5P.§s |||?Д §§($~Ш $£«§£
©*©*©*©*•-« ^^caesco ^riocdb*odo* «—-с uioo'o"
; vd£ivddiii»i
S>$$88 8*2C,° °">£!2S8 &$*33
Mill Mill +4-H-+ +++++

Применение термодинамики к теории холодильных машип
,?-„$•:
OtoOOtO^r lQt—&&>iO'& СЧС^10"Г<РЮ
to З- -э — b со «5 ^ -о — о со to •*? с* 5 «л <3
ddoodo - 0*0*00*0*0* 0*0*0*0*0*0*0
lts bcIbii
/S ИХЭОНЯИЖ
CO to CN —OHO »PS«NiO00 ^C^^totoC©
<otS^P^J^>« ^» — -- b о o> 00 ri. to 35 *o ** о
c* esf c5 S еЗ г$ сч.счсчй?*-* IS — —— — — ^
ocoo'o'o 0*0*0*0*0*0* 0*0*0*00*0*0
0*0*0*0 00 0*0*0*000* 0*C*0*CO*0 0
МММ MM + 44+444+
Сл-„д)сГ**=
= ф ввнтэна
©isjpssg бзйс-ед ЕДзаБД
0)0*00060006* ооо6оо*оог«*ьГ <0<oto*Ve<-4O
о
з
Н I
о
■* j
<•>
5
а !
о»
2
X
X
v .
3
о
d EHHHddxXHg
S5SSfeS§2 ЗГгЗЗЗЗ SSJSSS
££8$Sd S8S&*s3 3*8ЙаЗ*в
У BBHI/OU
00N(O©f4N OtofS^SOQ tOCMO^TfOi
»-*о*г>.*чг-no* fc; T *r ?£ 42 гй г-'саtoodiO*oo""o
001>-1-1^ t^ to tototouoiOiO "чг^г^Эсч —
S3
/y/ sdBU 8
cxnorrt^co
tOtoiOtotOiO
tOtOtOtOioS
^* CO £1 — to lO to
CMoqa.r^toi^?^
£3 "3 *r 5§ *« eo £j
ИХЭОМЬИЖ 8
CX CNJ —' CN Ю OS
M I II I
^-tqt^o^ o^
^"odto'ci of
Tl I I 4
to oj cc (** to ad cs*
44+4-444
,.v vdvu
ИХЭОЯУИЖ
o. еч *r to 00 «я
999944
o> ^•paioerto
о. о эо to со en
4$4444
SSSSSSa
to*^r»-*c*toV »"*o><oco*©*«-*
c* c< w »■* •— •■* *■*
I II I I I I II I 14
s
„X ЭЭ8 И1ЧНЧ1Г91Г^
oo^estqiq^r,
£ <N <N CO 5o 5
^-OOto—OiO» *-tC0C0C0*O
ua vdBii
ИХЭОХКИЖ
404404
000000
04. to 4- м о 00
cccco.8,
о*©'©*о © о
3c52£8to2
0*0*0*0*0*0*0"
00 00 00 o> o; o>
o'o'o*c*o*o*
i§|i.§|
o*©*©*o'o©**
g§Slg|§
8888°38
c'd ©'©'o'o'o*'
(годе) 9HHdif8Bff
«ооо'осч^гС
; vdXxtd9UH»x
МММ
111 +
+++++++

698 Т. I Отд. 4. Теплота. VI Движение газов и паров "
Производительность охлаждения Q0:
Со = h — U = h — 4l к — W H~ *iro-
Тепловой баланс всего кругового процесса: Q = Q0 + AL.
Для углекислоты, ввиду близости критической точки,
применение формулы а) {стр. 694) недопустимо. Для этих паров находят
по табл. 11 работу сжатия, а получаемую при сжатии
температуру * (температуру перегрева) определяют графическим путем при
помощи диаграммы IS.
На табл. 12 до 15 даны для сернистой кислоты, аммиака, углекислоты и
хлористого метила важнейшие физические величины области насыщения.
Таблица 15. Насыщенный пар хлористого метила СН3С1 *)
t
°с
— 40
— 35
-30
-25
— 20
-15
-10
- 5
Р
ата
0,474
0,601
0.755
0,940
1.161
1,421
1,727
2,082
V1
V"
кг\м%
0,«76
0,983
0,992
1,001
1.010
1.019
1.029
1,038
784.3
629,1
509,0
415,5
341.6
282,9
235.9
198,0
Г
АР j
(*"-*'J
кг-кал\кг
101.8
101 4
100,9
100,4
99.9
99.2
98,5
97,8
8,98
9,13
9.28 !
9,43
9.56
9,69
9,81
9,92
i
/
еС
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Р
ата
2.494
2.969
3.511
4.129
4.829
5,617
6.502
7,441
8,591
v'
v"
кг\м*
1.048
1.059
1,071
1.(82
1,0©4
1,1<*
1,119
1,131
1,144
167.1
141.9
121.0
103.8
8^.39
77.31
67.13
58,50
51,13
I АР
г Yv"-V)
кг-кал\кг
97,0
96.1
95,1
94.1
РЗ.О
91.8
90,5
8<\2
87,7
10,02
10,11
10.19
10.26
10,31
10,35
10.38
10,39
10,39
VI. Движение газов и паров
(См. Механика капельных жидкостей", отд. 2, гл. IV)
Обозначения:
F, i7,, /% — различные сечения струи в м\
О—протекающее через эти сечения за 1 сек. количество материи в л»,
w, wt, */, — средине скорости в рассматриваемых сечениях в м<сек,
Л, Л„ Л? -высота сечении над произвольной горизонтальной линией в м%
в, «j, ut — внутренняя энергия,
/» li* i* — теплосодержание в кг-кал на 1 кг материи, проходящей через сечения.
Р, Р1щ Рш — давления в кг\м\
Рч Рп Pi— то ж* в кг см*ц
1i Ti> T- —У*елы1ые веса в кг\мг%
«Ч vx, vt — удельные объемы м*1кг для рассматриваемых сечений,
А = Ч4,7,
Qia—количество поступающей извне теплоты в кг-кал, которое поглощается
1 кг жидкости на пути 1—2, .
/?„ — энергия, затраченная на трение для 1 кг жидкости, в кгм,
^—ускорение силы тяжести, равное 9,81 м\секК
1) О. Н о U t, Диссертация.

-.Движение газов и паров
699
Для непрерывности движения, которое в дальнейшем всегда
предполагается, требуется условие: ~ - ^
dv dF . dw
G = Flw1u = F2W2b=Fi^r =F<<
Щ
= ^r +
W
(1)
Далее, по принципу сохранения энергии и, если положить
в основание расчетов кинетической энергии среднюю скорость,
определяющуюся из уравнения (1):
We>2 _ щ2
«2 ~ «1 + Л (^2 — Pi*i) + A (h2 - hx) = <?1а
или, введя теплосодержание,
~ + h-h+Hh2-h)=Qn
щ2 __ Wh2
2g
Aw dw
)-di + Adh = dQ
g
Введя уравнение теплоты в форме
dQ = di — Av dP (стр. 646 и след.),
получаем для данного случая
dQ+AdR = di~AvdP
(2)
или
Q12+ ARii^b — ii-AfvdP,
(3)
так как работа трения также является некоторым количеством
тепла, вводимого извне в струю текущих газов или паров, то,
приняв во внимание уравнения (2) и (3), получаем:
Wf^eWl*+ fvdP+Ra + (b-ku = 0
ИЛИ
wdw
g
±vdP+dR + dh = Q.
(4)
В большинстве встречающихся на практике случаев величинами
' (h2 — /*i), а равно и Ql2t как весьма малыми, можно пренебречь;
тогда
Wt)2—w2 Awdw ..
А -^-тг—i- = /,—/,, или = —di
%g l g

700 Т I. Отд .4 Теплота. V]. Движение газов и паров
2
■"£.-- fodP-RuHM!!LE!!L--vdp-dR.
1
2
Если пренебречь также и трением, то it — i2 и i v dP опреде-
l
ляются по уравнению адиабаты, ибо в этом случае к текущей
жидкости теплота не прибавляется.
а) Истечение
Обозначения:
Pi, Рх — постоянное давление в помещении (резервуаре), из которого
происходит истечение, в am и в кг1м*,
'» T\% V\ — температура, абсолютная температура и удельный объем в этом
помещении,
Реп Ра ~~ постоянное давление в помещении, куда втекает газ,
р0. Р0 и /о* Т'о» г»0 — давление, температура и удельный объем вытекающей струи,
Fo — сечение отверстия истечения в м\
w0 — скорость истечения в м\секл
а — коэфициент сжатия струи.
Если предварительно пренебречь трением и принять, что
скорость в резервуаре, из которого происходит истечение, весьма мала
по сравнению с w0t то, в предположении, что струя в отверстии
истечения достигает давления окружающей среды рд, мы получим:
А
*l_
2g A
^ = '-L=A= fvdPt
P«
т. е. энергия истечения будет равна работе, которую мог бы
произвести, расширяясь по адиабате, газ (пар) давлением р в поршневой
машине, работающей с противодавлением р0.
Трение, подобно тому, как это имеет место в гидравлике,
принимается в расчет путем введения специального скоростного коэ-
фициента <р.
1. Совершенные газы. Так как it = срТх + С, i0 = cpT0-{- С
(стр. 648 и след.), то, следовательно,
. Щ
2
введя уравнение адиабаты, получаем уравнение Цейнера
о\) = <Р
уЩ'- (Г"'"]

Истечение
701
или
\ I ~Т (см' также таблицу на стр. 656).
Температура вытекающего газа
г.= Г1-^-П-,г,[.-(ЙГ"1- .
При вытекании газа без трения, <р = 1, Т0 определяется из
приведенной выше формулы и по таблице на стр. 656.
2. Водяной пар. По приведенному выше закону энергия при
истечении водяного пара равна работе идеальной паровой машины
при том же давлении и противодавлении (адиабатический
тепловой напор); поэтому для определения выражения Aw^ftg могут
служить формулы, приведенные на стр.686 и след., касающиеся
работы идеальной машины. Скорости истечения сырого, сухого и
перегретого пара можно просто отмерить на диаграмме IS (стр.678)
при помощи имеющегося там особого масштаба w для скоростей.
3. Показатель истечения. Формула (1) для определения
скорости истечения справедлива как для газов, так и для
насыщенного или перегретого водяного пара. Для сухого насыщенного
водяного пара, как уже указано (стр. 664), х = 1,135, а для
перегретого пара (стр. 666) х = 1,3. В последнем случае формула эта не
должна применяться, коль скоро состояние пара переходит за
предельную кривую. По предложению Цейнера можно для принятия
в расчет трения, вместо введения коэфйциента <р, заменить при
расширении газа показатель адиабаты х несколько меньшим
числом, так называемым показателем истечения т, при этом
- Для определения показателя истечения m принимают некоторый
постоянный коэфициент сопротивления С;
m = x(l+C)/(l+xQ.
Соотношение между коэфициентом скорости ср и показателем
истечения m зависит от отношения давлений рх'Рь для данного
показателя истечения коэфициент скорости будет тем больше, чем
больше Рх'.ро- При небольших значениях р\\р$ можно приближенно
считать рг = р0.
а__/и—-1 х
4. Форма сопел (насадков), критическое соотношение да
влений. Уравнения для wQ справедливы не только для концевого

702 ^- !• Отд. 4. Теплота. VI. Движение газов и паров
сечения F0 сопла, но и для любого его сечения F, если ввести
соответствующее этому сечению давление р. Условие постепенного
падения давления с максимального значения рх до давления р0
требует определенной формы сопла.
Из G — wF/v следует для газов и паров:
При определенном, так называемом критическом соотношении
давлений
. 2 тцт-1) 3 +0,1314т
7Г=Ь+Т/ ' ,в"л привд-"~з+^ ,:
вышеприведенное уравнение дает для F наименьшее значение Fs.
При течении без трения т=х.
Если pa>ps, to указанный выше минимум не имеет значения,
и любой закругленный изнутри наконечник,, суживающееся сопло
иди отверстие в тонкой стенке дает цилиндрическую струю с
наибольшей скоростью истечения. Если же pa<ips, то соплу должна
быть придана такая форма, при которой за внутренним
закруглением следует непосредственно наиболее узкое сечение Fs и затем
идет раструб с сечениями, постепенно увеличивающимися до F0 l).
Соотношение сечений FS:F0 легко определить, если в уравнение
для F ввести один раз pJPi = pa/Pi и другой раз PqIPi=pJp^
Для сухого водяного пара и течения без трения расширение сопла и
увеличение скорости в его раструбе определяются по табл. 1.
Таблица 1. Значения основных параметров истечения из сопла
'Л
100
90 |
80
70
60
50
*ofFs
13,80
1;\69
11,56
10,40
9.16
7,98
*№
3,72
3,56
3,40
3,22
3,03
2,83
w0/w,
2.58
2.56
2.54
2,51
2.47
2,43
'l/'o
20
10
8
6
4
2
*№
3.97
2.44
2,07
1.72
1,35
1,02
V*
1.99
1,56
1,44
1Л1
1,16
1,01
2,18
1,92
1,86
1,74
1,55
1,12
» Такие сопла применяются в паровых турбинах, инжекторах и т. д.

Истечение
703
Если при Pa<ips не применяется сопло с раструбом, а
истечение происходит из обыкновенного отверстия или из конически '
суживающегося сопла, то в концевом сечении не может быть
достигнуто наружное давление и в нем само собою
устанавливается более высокое давление ps. Скорость ws в концевом
сечении сопла в этом случае не зависит от давления /?0; она равна
v/зг^ял
•.-V *r—Ti^SqiT
ИЛИ
При истечении из таких отверстий или сопел вытекающая струя
расширяется вследствие сверхдавления.
Значение ws~yrgr.Psvs, которое принимает скорость
истечения при течении без трения через наиболее узкое сечение, есть
не что иное, как скорость звука в среде и условиях ее
состояния, соответствующих тому, что имеется в данном наиболее
узком сечении.
С этой скоростью происходит также и течение через наиболее
узкое сечение сопел с раструбом.
Вообще для скорости звука
■ш/ dP
У *77'
причем производная — получается из уравнения адиабаты. Если
имеем адиабату Pvx = const, то получим то же выражение, что и'
выше, т. е.
ЕС Количество вытекающего газа. Вообще имеем G = w0Fq/vq.
При p0^ps и для правильно расширяющихся сопел с Ро<Сра
при истечении без трения
°-'.1/*^[(*Г-(*П-
Это выражение можно еще помножить на некоторый коэфициент
истечения р., чтобы принять в расчет трение и, таким образом,
получить известную согласованность с данными опытов.
При применении показателя истечения получается:

704 X. 1. Отд. 4. Теплота. VI. Движение газов a napol
ДЛЯ p0<Ps
или при истечении без трения:
при
х=1,4, 1,3, 1,135
получается
а = 2,145, 2,090, 1,991.
Fs есть наименьшее сечение сопла или наконечника.
6. Истечение при незначительной разности давлений. При
4 />о:/*1>0|9 можно с достаточной точностью (ошибка меньше 2J/0)
принять v0 = vx\ поэтому
Wo^yVlgVi (Pi-Pq).
В этих случаях количество вытекающего газа V дается часто в мл
вместо кг:
V=zF0w0.
Формулы для истечения воздуха и насыщенного водяного пара
1. Воздух. Для различных значений т имеем нижеследующие
соотношения давления ps\p\ и соответствующие коафициенты
скоростей ^ ;
Таблица 2. Значения для pJPi, ?з2 и f .
т =
PslPi =
*5* =
** =
1,4 .
0,530
1
1,38
0.533
0,940
0,970
1,35
0,538
0,876
0,936
1,30
0,546
0,767
0,876
1,25
0,556
0,654
0,810
1. При fo>ps и для правильно расширяющихся сопел
с Pq<Ps
w0 = 44,8 v V Тх [1 - (PolPi?'2*6}
(/VPi)°'286a= TJTX (cm- таблицу на стр. 656>

Истечение
705
или
~«1Л,н*п..
Количество вытекающего газа в мъ с давлением р0 и
температурой 7\,
/, ч 0,286 | f ч0,286 ,
TAf) [(H) -'}■ .
Таблица 3* Значения для р01рг>0,5
[по Вейсбаху и Грасгофу *)]
Род отверстия
При круглом отверстии
диаметром в 14 мм в тонкой, плоской
стенке
При коротком цилиндрическом
насадке диаметром в 14 мм, без
внутреннего закругления
При коротком, коническом
наконечнике с концевым диаметром
в 10 мм
V-
0,64
0,815
0.813
0,831
0,97
а
0,65
1
1
1
Т
0,981
ш
0,974
С
0,04
0,490
0,444
0,362
0,034
m
1,388
1,243
1,252
1,271
1,392.
Примечания
-
при р0 : р — 1,Г8
- p0:pi = \Al
- p^:pt = U0
-
По Бахману2) коэфициент истечения р. из круглых
насадков (отверстий) в тонкой стенке увеличивается при истечении
в атмосферу линейно, пропорционально манометрическому
давлению, при условии, что po^>ps'
jx = 0,60 +0,000197h\ h — манометрическое давление в мм р. с.
Бахман нашел также небольшое увеличение р. с повышением
манометрического давления при прохождении газа через хорошо
закругленный наконечник.
Для насадка в 20 мм диаметром и 20 мм длиной значения -ц
колебались в пределах от 0,96 до 0,98; этот насадок имел форму
») G г a s h о f, Theoretische Maschinenlehre, т. 1, стр. 580—592.
•) Диссертация, Гейдельберг. 1912 г.
45. HUtte, Справочник для инженеров, т. I.

706
Т. I. Отд. 4. Теплота. VI. Движение газов и паров
синусоиды. Насадки, закругленные по другой форме и более
длинные, имели меньшее \*.. Для хорошо закругленных нормальных
сопел *) Я к о б и Эрк2) нашли р. == (Щэ.
2. Если р0<р8, то ша = 18,3ср Уть G = 3970(д./% . pJVTv
По опытам Ц е й н е р а, для хорошо закругленных изнутри
насадков ^ = 0,96. Это значение было подтверждено и Бахманом.
3. При небольшом сверхдавлении
«0 = 24 ? /Г,(1-А>/А). О = 0,82 а<р F0 / Pt (Р, - Р0)/7£
При истечении в атмосферу, если .Л представляет собой
сверхдавление в мм в. с, а 6 — показание барометра в мм р. с,
w0 = 24<pl/ 1 о 7. hit -4- 1 HJ*H' пРи^лиженно» w0 = 0,24<р V" 7^.
Во всех этих случаях количество вытекающего газа в ж3,
отнесенного к состоянию Тх и plf определяется из: V=ay F0w0.
2. Сухой насыщенный водяной пар (при давлениях не выше
25 am).
Таблица 4. Значения для pjpb ? 2и <р
/п =
Рв1р1 =
«*• =
ф*^
1,135
0,577
1
1
1,128
0,579
0,Р51
0,975
1,120
0,581
0,895
0,946
1,105
0,583
0,789
0,888
1,090
0,585
0,681
0,825
1. Для р0 > рв и pQ < p и при правильно построенных соплах
ш0=1580 ?Л °'03 V 1—(Po/Pi)°^.
При истечении в атмосферу получим приблизительно
ш0 = 880? VlgPi-
2. При Ро<Ср скорость пара в наиболее узком сечении Fs
наконечника определяется из we = 422cpPi0,03 и почти не
изменяется. Количество вытекающего в секунду пара определяется из
G = 153cp/^Pl0'97.
*) Regeln fur Leistungsvereuche an Ventilatoren und Kompressoren des Vdl.
*) Mitt. Forschuntfsarb. Изд. Vdl. J* 267.

Истечение
707
На основании опытов можно считать, что значение 'f мало
отклоняется от единицы.
Для незначительного сверхдавления
^0 = 579срр1°'03У*1-р0//;1.
При истечении в атмосферу имеем приближенно:
w0 = 5,79 т У Л, G = 3,4 a? F0 У\
где h есть сверхдавление в мм в. с.
Таблица 5. Значения для р0,97.
р =
р0,97 =
Р =
р0,97 =
1,5
1,48
7
6,60
2
1,96
7,5
7,05
2,5
2,43
8
7,51
3
2,90
8,5
7,96
3,5
3,37
9
8,42
4
3,83
9,5
8,87
4,5
4,30
10
9,32
5
4,76
10,5
9,77
5,5
5,22
11
10,22
6
5,68
11,5
10,67
6,5
6,14
12
11,12
По опытам Розенгаина *) при истечении в атмосферу
получены следующие значения «р:
Таблица 6. Значения,для <р
Рх
Отверстие в тонкой стенке, ds = 4,8 мм .....
2,4
0,90
)-
3,8
0,87
0,79
5
0,86
0,84
8
0,86
0,93
12
0,86
0,96
15
0,85
0,96
Согласно Бендеману2) вес пара в кг, вытекающего в
секунду из хорошо закругленного насадка, G = F 6 V Р\1^ь где при
/\>'/>i>0,93, <1 = Ш У 1—Po/ft,
PolPi > 0,577, . ф = 446,2 V 1 — 1,0Э(1 — Го/Pl) - (Ро/Рд2. Ч
Po'Pi< 0.577, 4 = 203,1.
») Inst, of Civil Engineers, 1900.
*) Mitt. Forschungsarb., Vdl, № 37.
4S*

708 Т. I. Отд. 4. Теплота. Vl. Движение газов я пагэов
рели разность давлений измеряется в мм р, с. (паромеры), то
в первом случае
G = 15,34 F /Jijvl,'
а во втором случае
G = 0,60G F V(p70 — h/pL)hlvL.
b) Движение газов и паров по трубопроводам
Для очень короткого трубопровода dl имеем,.согласно стр. 699,
ур-ния 1—4,
civ dw . w dw . ,. . . .. . ~
— = —; A h di + A dh = dQ\
v w g
dQ+AdR=.dl — AvdP; ^-^- -\• vdP + dR + dh = 0.
При истечении газов и паров влияние трения может быть принято
в расчет путем введения коэфициента скорости (?). При течении
по более или менее длинному трубопроводу возникающее при этом
трение также необходимо принять во внимание. Соответствующие
исследования и* их результаты помещены в главе „Механика
капельных жидкостей", стр. 443 и след. Из рассмотренных там двух
случаев течения — параллельного и вихревого—остановимся только
на втором, так как на практике имеет место только вихревое
движение. Для такого течения
dR = $^dl,
где D — диаметр трубы круглого сечения, / — длина трубопровода
и р — коэфициент трения, который при течении по шероховатым
трубам, применяемые в технике, находится в зависимости от
состояния текущего вещества и от состояния самого трубопровода»
как это более подробно изложено в упомянутой выше главе.
Зависимость коэфициента трения от состояния вещества и
трубопровода чрезвычайно сложна и пока еще не вполне выяснена.
До тех пор, пока нет достаточно точных способов для
определения р и пока мы не имеем каких-либо его значений, подученных
непосредственно из опыта, приходится временно при расчетах
обычных технических трубопроводов для воздуха (газов) и пара
пользоваться указанием Фрицше х) и принять впервом приближении,
что коэфициент р зависит только от количества вещества,
протекающего по трубопроводу за единицу времени. Это допущение
>) Mitt frorschungsarb., № 60, также О m b е с к, № 158,159. Изд. Vdl.

Движение гавов и паров по трубопроводам 709
чрезвычайно упрощает практический расчет. Для такого расчета
берем G в кг/час и D в мм и получаем:
Р. = 2.86/Ч30'148 1)
Числовые значения этого выражения помещены в табл. 7.
Таблица 7. Коэфициенты сопротивления для трубопроводов
о
10
15
25
40
65
100
Р
2,03
1,92
1,78
1,66
1,54
1,45
G
100
150
250
400
650
1000
Р
1,45
1,36
1,26
1,18
1,10
1,03
G
1 000
15С0
2500
4000
6500
10 0Г0
Р
1,03
0,97
0,90
0,84
0,78
0,73
G
10 000
15 000
25 000
40 000
65 000
100 ОСО
Р
0,73
0,69
0,64
0,595
0,555
0,520
Значения, приведенные в табл. 7, определены для
трубопроводов обычной (средней) степени шероховатости.
1. Трубопроводы с небольшим падением давления. Если
падение давления в магистрали с постоянным диаметром
незначительно по отношению к начальному давлению, то можно
пренебречь изменением объема, а следовательно, и изменением скорости
течения; из уравнения
g * D п
следует
р-р -ЛЕ^- h \i ил„ pi-p—-.(?** ^ М /
причем для р, vt y и w подставляются либо начальные, j.:j6o
конечные, либо, наконец, средние значения этих величин. Во многих
случаях выражением . можно вовсе пренебречь.
Приведенные выше уравнения могут быть приведены к другой
форме с помощью зависимости: 353,70 = т wD\ где G в кг1час,
D в мм, y в кг/м9, h и / в Mt -\-h — для наклонных вверх, — h —
для наклонных вниз трубопроводов; можно, например, написать,
что т
*) В многократно упоминавшемся отд. 2 в главе IV .Механика капельных
жидкостей" введен вместо Р коэфициент сопротивления X, причем
. /1000\- _,,

710 Т. I. Отд. 4. Теплота. VI. Движение газов и паров
Для воздуха и других газов:
Pi-p% -f?w2 + М 1
р V D - / )RTm
Для сухого насыщенного водяного пара давлением не свыше
25 am:
Р1-Р2 e /P«!l^ /г \ /
р \ D I /17 790.р°'(
р^,0425-
Для перегретого водяного пара .величина y = 1/f находится из
уравнения на стр. 666.
Если по роду заданий G неизвестно и его надо определить, то
прежде всего принимают приблизительное значение Р; затем из
полученного приближенного значения G определяют
соответствующее более точное значение р и еще раз, окончательно, находят G.
При расчетах обыкновенных трубопроводов для пара, воздуха
или газов обычно не исходят из считающегося допустимым
падения давления, а ведут расчет с известной из опытов максимально
допустимой скорости течения (см. соответствующий отдел). Данные
выше формулы применяются для контроля получающегося падения
давления.
2. Трубопроводы с сильным падением давления. При очень
длинных трубопроводах приходится нередко принимать столь
большие падения давления, что предположение v = const, w *= const
становится недопустимым. Диференциальные уравнения должны
в этих случаях интегрироваться при условии принятия во
внимание действительного состояния протекающего по трубопроводу
газа или пара.
В большинстве случаев можно обойтись простым соотношением
pv = const, дающим закон изменений давлений и объемов. Для
воздушных и газовых трубопроводов с неизменяющейся
температурой расчет с pv = const дает совершенно точные результаты; но
и для хорошо изолированных паропроводов можно пользоваться
этим соотношением, не рискуя, сделать большой ошибки. Для
прямого трубопровода с постоянным диаметром имеем вообще:
f1i/1 w£ \ ' gP1vl) wt2 -f- D/г/р / v '
При горизонтальном расположении магистрали получаем после
интегрирования: •
2 V w£) g wx~ D *
Выражение ' почти всегда очень мало и им можно
пренебречь в этом случае

Движение газов и паров по трубопроводам 711
2/1,_ 1 + Dh/Wl
Р& п \ + Dhfiwfl w
Разлагая в ряд и принимая во внимание, что выражение 2hj(P^j{)
мало и им можно пренебречь так же,, как и членами высоких
степеней, далее, что w2/w1=p1/p2l получим:
Pi2-/>2a /P«fc'l, h \ 11
р2* [ D - / )P2v2
и после дальнейших упрощений
Pi2-P22 _($Щ2 + М2/ ,
Pl* [ о - i ;рЛ'
при h = О это уравнение становится идентичным с предыдущим.
После введения G следует:
р? \ D& /у P2v2
Наиболее подходящий диаметр паропровода определяется в
зависимости от падения давления вследствие
сопротивлений в трубопроводе и от тепловых потерь,
являющихся результатом внешнего охлаждения.
С уменьшением диаметра увеличивается сопротивление
трубопровода и уменьшается влияние внешнего охлаждения. Потери тепла
вследствие внешнего охлаждения определяются по законам
теплопередачи, см. стр. 614 и след.
Определение наиболее целесообразного диаметра
трубопровода, если задано требуемое в конце магистрали количество
пара и его давление, производится следующим путем:
1. Если предписано давление в котле, то тем
самым дана также и допускаемая потеря давления; поэтому скорость
пара и диаметр паровой магистрали определяют по формуле для
сопротивления в паропроводе, не учитывая условий конденсации;
потеря от конденсации не может быть уменьшена без увеличения
потери давления, т. е. без уменьшения диаметра паропровода.
2. Если давление в котле не задано, то диаметр
трубопровода находится сравнительным определением расхода пара
всей машинной установкой вместе с паропроводом при большой и
малой потере давления, т. е. при малом и большом диаметре
трубопровода, а также в зависимости от-лрактических требований,
которые ставятся для работы машины.
Вообще с точки зрения стоимости пара небольшие диаметры
паропроводов при большой потере давления выгоднее больших
диаметров при малой потере давления.

712 ^» !• 0ГД- *• Теплота. VI. Дпижение гавов и паров
с) Мятие (дросселирование) 1)
Если в непрерывную струю пара или газа включить прибор
с уменьшенным проходным отверстием (дроссельный клапан,
задвижку и т. д.), то мятие газа или пара в узком сечении понижает
давление. Пусть рх и wL — давление и скорость перед узким
сечением, а /72 и w2 — давление и скорость за ним; в случае если не0
происходит теплообмена с окружающей средой, то уравнение
прохождения через дроссельное отверстие будет:
A Wl2 I • А Щ2 . •
Почти во всех случаях, встречающихся на практике, разницей
в кинетической энергии до и после узкого сечения можно
пренебречь; тогда получается простая зависимость: изменения содержания
тепла при мятии не происходит: it = i2.
Отсюда можно определить состояние газа или пара после
мятия, если известно его состояние до прохода через узкое сечение
и падение давления.
Очень подробные испытания над дросселированием воздуха
произвели Null2) Bradley и Hale3).
1. Совершенные газы (стр. 647 и след.). Для этих газов
i=cpT-{- С, поэтому Г1= Г2, т. е. при совершенных газах
температура при мятии не изменяется. Большинство газов не вполне
следуют законам совершенных газов, поэтому являются и
некоторые отклонения от указанного закона, а именно: от мятия
температура несколько понижается. Этим явлением воспользовался Линде
при конструировании хвоей машины для превращения газов в
жидкость. При определенных состояниях тел дросселирование, наоборот,
вызывает повышение температуры.
Изменен-ие температуры» при сминании газа определяется из
общего уравнения:
Кар), cp\dP)T ср['ит)р v\ ср\ ат )р
Опыты Томсона и Джауля над сминанием газов
показали для давлений от 1 до 4,5 am и температур от 14 до 100°, что
а = 0,271 для воздуха,
а = 0,333 для кислорода,
а = 1,35 для углекислоты.
/Д7\ /273\*
') М. Лурье и Филоненко, Об[обмере воздуха в трубах при помощи
диафрагмы, „Изв. Теплотехи. и-таи, № 2, 1927 г.
*> Mitt. Forschungsarb., тырл/г* 154, йзд. Vdl.
») Phye. Rev., 29, стр. 258, 1909 г.

Мятие (дросселирование)
713
Для водорода а имеет небольшое отрицательное значение.
Э. Фогель (диссертация) J) нашел в Мюнхенской техно-
физической лаборатории, что а зависит от давления, а именно:
а = 0,268—0,00086р для воздуха,
а = 0,313—0,00085р для кислорода.
Температура во время опытов не изменялась, оставаясь
равной 10°. Пределы давления —до 150 am. ч
2. Насыщенные' пары (стр. 6^»3). / = /' + хг; поэтому
* i + *iri = *а 4~ х2гъ откуда можно определить паросодержание х2
после сминания (применение см. «Холодильные машины", стр. 690).
Принимая во внимание, что /" достигает максимума при 25 am,
при мятии насыщенного (сухого) водяного парИ давлением р<^2Ъат
получается перегретый пар, а при /?>25 am—влажный пар.
Мятие перегретого водяного пара приводит к понижению
температуры.
Явления мятия особенно наглядно выявляются в диаграмме IS.
В этой диаграмме линии мятия суть прямые, параллельные оси
абсцисс.
Потеря работы при мятии. Сжатие в дроссельных клапанах
представляет собою необратимый процесс и ^всегда имеет
последствием уменьшение полезной работы тела, подвергшегося мятию.'
Для паровых и холодильных машин эту потерю легко вычислить,
если вызываемое прохождением через дроссель увеличение
энтропии помножить на абсолютную температуру конденсатора
(холодильника) (стр. 645). Увеличение энтропии вычисляется по
уравнению тепла:
Tds = di — Av dP, откуда (-— J = — A -^-.
До тех пор, пока tip не очень велико, можно принять
Для совершенных газов
р М р *
Для насыщенных паров
д,_л _ ар « _
или, если х не очень мало,
£ Р
») Mitt. Forschungsarb., тетрадь 7, изд. Vdl.

714
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
Для перегретого пара
^«[о.и-озвхр-о.гмс^)*]^.
Для © см. табл. 3 стр. 667.
В эти* формулы необходимо подставить средние значения для
р, t и ф до и после мятия.
Пример. В паровой машине, работающей на выхлоп, пар сминается в
паропроводе у входа в машину или в паровпускных каналах с 10 до 9 am. Как велика
потеря работы ALj? Противодавление равно 1 am.
Допустим, что машина работает сухим насыщенным паром:
ALd= Л ,t,^ ±±£- So = -|f • -fe ■ 372 = 4,04 кг-кал.
Если принять расход пара паровой машины D/ = 12,5, то следует, что
Д1,-= 632/12,5 = 50,7 кг-кал. Потеря на сминание будет равна 4,04/50,7*100 = 7,95%
индикаторной мощности машины.
Пусть для той же паровой машины сминание при выходе пара = 0,1 am (от
1,1 до 1,0). *Гогда имеем в случае, если отходящий пар сырой, х = 0,94.
х Ф Д Р о. 0,94 . 40,42 0,1 0„0 0 в
AL*= Ht -/-*° = 373 1^5-372 = 3,6**-*^
или 7,1°/о индикаторной работы.
Весьма существенное значение имеют потери при мятии в
цилиндрах и трубопроводах холодильных машин.
VII. Горение х)
а) Сгорание; вспышка; быстрота распространения вспьплки;
взрыв 2)3)
1. Сгорание. Сгорание соответствует процессу окисления,
происходящему с очень большой скоростью.
На этот процесс влияет:
a) температура, •
b) концентрация (парциальное давление) химически влияющих
друг на друга веществ (закон В а н-Г о ф а),
c) воздействие катализаторов.
а) Температура. Если температура превосходит некоторый
предел и достигает так называемой „температуры вспышки■, то
процесс окисления, происходивший до этой температуры весьма
медленно, получает с момента вспышки большую скорость и носит
название сгорания. Вспышка может произойти благодаря мест-
*) Единицы измерений и обозначения стр. 722.
») Глава Vila составлена д-р-инж. В. Линднером, Дрезден.
■) Литература. AufhSuser, Brennstoff und Verbrennung, Berlin, 1926/28,
Springer. Brunswig, Explosivstoffe, 2 Aufl., Leipzig, 1923, Barth. Mache,
Die Phyeik der Verbrennungserscheinungen, Leipzig, 1928, Veit A Co. Wirth,
- Brennstoffchemie, Berlin, 1922, Stilkt

' Сгорание, ветшшка, взрыв
715
ному повышению темпеоатуры. Для распространения горения
в остальной массе необходимо, чтобы теплота, развивающаяся
в смеси воздуха с горящим телбм, была в состоянии нагреть
окружающую массу тела до температуры вспышки, причем быстрота
распространения процесса горения не должна понижаться до той
величины, при которой количество развивающегося при горении
тепла оказалось бы меньше одновременно происходящих при
горении потерь; кроме того, необходимо для успешного процесса
горения иметь надлежащую смесь воздуха с горящим газом
(избыток воздуха) как со стороны наличия горючего материала,
так и со стороны наличия кислорода, позволяющих иметь
необходимое количество тепла, приходящееся на объемную единицу
смеси.
b) Повышение концентрации происходит обычно при
помощи предварительного сжатия смеси (в моторах) или путем
добавления чистого кислорода (горелка с подводом кислорода).
Большое практическое значение имеет для процесса сгорания
твердых и жидких тел надлежащая подготовка их поверхности и
хорошее распределение частичек горящих тел в смеси с воздухом. Чем
лучше распыление,- тем большая скорость сгорания и тем меньше
требуется 'избыточного воздуха (распыленное горючее в газах,
угольная пыль).
c) Роль катализаторов в процессах сгорания играют
стенкл тех пространств, где происходит горение. При определении
температуры вспышки необходимо учитывать это влияние.
Процесс горения. В виду того что главными составными
частями во всех технически важных горючих материалах являются
С и Н, то в результате полного сгорания получается углекислота
и водяной пар. Следовательно, процесс горения представляет собой
в чистом виде газовую реакцию, а потому твердые и жидкие тела
должны быть предварительно переведены в газообразное состояние.
В твердых телах началу процесса горения соответствует
газификация. По мере того как полученные продукты возгонки окисляются,
появляется пламя. Жирные угли с большим количеством летучих
составных частей дают длинное пламя. При обыкновенных топках
нужно различать сгорание над колосниковой решеткой, получаемое
благодаря сгоранию газов, выделившихся из горючего материала,
и сгорание на самой колосниковой решетке, получаемое благодаря
высокой температуре дестиллята.
Молекулы горючих материалов обычно имеют очень сложную
структуру, обладающую свойством распадаться при повышении
температуры. Этот распад молекул происходит до тех пор, пока
не будет закончено выделение водяного газа, имеющего составные
части СО и Ц2. Молекула распадается тем легче, чем сложнее ее
структура и чем больше ее молекулярный вес.
Угли состоят из углеводородов неизвестной пока химической
структуры. Количество содержащегося в них кислорода тем больше,
'чем моложе уголь, поэтому в более древних сортах угля молекулы
с большим трудом подвергаются распаду, тогда как у более моло-

716
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
дых углей можно наблюдать окисление при обыкновенной
температуре, если к углю имеется доступ воздуха.
Конечным продуктом термического распада при умеренных
температурах мы имеем для всех углеводородов — метан СН4,
ацетилен С2Н2 и бензол С6Нб —как представителей отдельных рядов
с наименьшим молекулярным весом. Лишь при самых высоких
температурах эти химические соединения разлагаются на С, СО
и Н2. Свойства, обнаруживаемые водородом и углеродом при
сгорании, весьма различны: в то время как Н2 может сгорать, с
большой скоростью и подвержен в сильной степени влиянию
катализаторов, углерод начинает реагировать на кислород лишь в
состоянии красного каления. Чистый углерод и чистая окись углерода
не могут сгорать в отсутствии Н2 или Н20. Окисление идет
совместно с образованием водяного газа, причем появляется
одноатомный кислород (Oj) и можно сделать предположение о влиянии
на процесс сгорания группы (ОН) *).
При надлежаще выбранном избытке воздуха можно все
горючие материалы полностью сжечь, а признаком недостаточного
количества воздуха служит появление окиси углерода (СО) 2), к
которому бывает примешан Н2 и небольшое количество СН4
(треугольники сгорания по Оствальду), а потому обычный анализ отходящих
газов с определением лишь С02, Оа и СО не может дать полной
картины процесса сгорания. При сильном недостатке воздуха
сгорание сопровождается выделением С в виде сажи или дыма/ Это
явление бывает в топках при недостаточно хорошем смешении
горючего с воздухом. Выделение углерода может иметь место также
при внезапном охлаждении пламени горящих газов при
соприкосновении с холодными стенками.
2. Быстрота распространения вспышки. Вспышка может
распространяться в горючей смеси двумя способами. Первый, наиболее
важный в техническом отношении способ дает медленное
распространение вспышки, причем это распространение совершается
слоями. Каждый слой получает от зоны горения достаточное
количество тепла, чтобы быть нагретым до температуры воспламенения.
Существенное значение для быстроты распространения вспышки
имеют: теплотворная способность, отнесенная к объему смеси,
удельная теплота смеси и удельный вес смеси. Вопрос же о
влиянии теплопередачи, как существенного фактора, должен считаться
в настоящее время еще открытым 8).
Определение (из вычислений) скорости распространения
вспышки, на основании физических и химических свойств
горючей смеси, весьма ненадежно и трудно выполнимо 4).
Наибольшую скорость распространения вспышки мы имеем
у смеси "На и 02 — 30 м/сек, а у смеси воздуха с На эта скорость
J) H a b е г, Z. ang. Chemie 42, 1929, стр. 745
«) М е у е г, Delft, ZdVdl, 1929, стр. 824.
») S t е v е п в, Ind. Eng. Chem., 20, 1928, Zd\
*) N u t s 111, ZdVdl, 1915, стр. 872.

Сгорание, вспышка, взрыв
717
достигает лишь 12 м/сек. У других газов скорость распространения
значительно меньше: у смеси воздуха с влажным СО —1,0 м/сек;
у смеси воздуха с метаном —1,5 м/сек, у смеси воздуха с
бензином и бензолом — 2,3 м/сек г), причем предполагается, что
начальное давление смеси — 1 кг/см2. У водорода скорость
распространения вспышки возрастает тем сильнее, чем больше давление и чем
больше теплотворная способность смеси 2). Зависимость же от
температуры невелика, если только сама температура смеси далеко
отстоит от температуры воспламенения 3). При СО скорость
распространения вспышки увеличивается при увеличении содержания
паров воды и достигает наибольшей величины для смеси,
содержащей от 6 до 10 объем, единиц водяного пара 4), при большем же
содержании водяного пара быстрота горения уменьшается, в этом
случае водяной пар имеет то же значение, какое имеет любой
инертный газ, подмешенный к горючей смеси. Сильное
задерживающее влияние на процесс горения оказывает С02 (остаточные
газы в цилиндре двигателя внутреннего сгорания). Время,
необходимое для полного сгорания какого-либо объема горючих газов,
можно сильно сократить, вводя вихревое движение смеси; так,
например, в быстроходных двигателях, несмотря на весьма малый
промежуток времени, предоставляемый на сгорание смеси, это
сгорание обычно бывает вполне удовлетворительнее. Скорость
распространения пламени в пространстве получается путем
геометрического сложения .скорости распространения вспышки и скорости
истечения газовой смеси. Поэтому можно судить о скорости
распространения вспышки по скорости истечения газа в горелке Бун-
зена и по положению зеленоватого конуса горящего газа (закон
Gouy 5). •
Скорость распространения вспышки в большинстве случаев
перекрывается скоростью смещения частиц газа, вызываемых или
сжатием не сгоревшей еще смеси или расширением уже частью
сгоревшей смеси 6).
При уменьшении в смеси составной части горючего материала
или кислорода скорость распространения вспышки уменьшается
до тех пор, пока развиваемого при горении тепла будет так мало,
что окружающие слои газовой смеси не могут быть нагреты до
температуры воспламенения. При таком уменьшении скорости
распространения потери тепла возрастают по сравнению с теплотой,
развиваемой при горении. Следовательно, распространение зоны
горения должно прекратиться еще раньше, чем скорость
распространения вспышки сделается равной нулю. Эта граница носит .название
') Neumann, Mitt. Forschungsarbeiten, VDI, H. 79.
*) N a g e 1, Mitt. Forschungsarbeiten, VDI, H. 54.
*) M а с h e, Wien. Anz., 19-3, стр. 103.
4)Ubbelohde u. Dommer, Journ. f. Gasbel., 57, 1914, стр. 757. Ellis
u. Whaeler, Journ Chem. Soc, London, 1927, стр. 318.
5) Ma che, Physik der Yerbrennungserscheinungen, стр. 25. -
6) E n d r e s, Der Verbrerinungsvorgang in Gas- und Vergaseimotor, Berlin, 1928,
Springer.

,718
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Гонение
„нижний предел" скорости распространения вспышки, если в смеси
недостает горючего материала, а в том случае, когда ощущаете*»
недостаток кислорода, эту границу обозначают—„верхним
пределом". Между этими пределами лежит „область вспышки"; она тем
больше, чем меньше потребное количество кислорода для
сжигания данной смеси и чем легче происходит расщепление молекул.
„Область вспышки" будет наибольшей для Н2 и СО и
наименьшей для СН4 и С6Н6 в виду того, что у метана и бензола
молекулы „жароустойчивы". Наибольшую скорость распространения
вспышки мы имеем не для смеси горючих газов с теоретически
необходимым количеством кислорода, а для горючей смеси с
некоторым недостатком воздуха. Это явление объясняется тем, что часть
„жароустойчивых" молекул при горении остается неразложенной,
а потому теоретически установленный запас кислорода практически
дает некоторый избыток, ускоряющий процесс горения основной
части смеси.
Пределы вспышки зависят от явлений конвекции, создающих
вихревые движения в горючей смеси. Форма и величина сосудов,
в которых происходит сгорание, также играет большую роль,
причем чем меньше размеры сосуда, тем уже предел вспышки. При
медленно сгорающих смесях форма факела при распространении
пламени не остается шарообразной, так как конвекционные токи
заставляют пламя быстрее подниматься вверх, чем расходиться в
стороны. Самый способ зажигания горючей смеси (искра, раскаленное
тело, пламя) оказывает существенное влияние на пределы вспышки,
заставляя расходиться теоретические подсчеты с наблюдаемыми
на опыте величинами. Приводимые в табл. 1 величины,
характеризующие „пределы вспышек* для различных горючих материалов,
предполагают начальное давление в 1 кг/см2 и температуру 20°
(у паров температура должна соответствовать давлению насыщения,
а потому иногда бывает больше 20°). Повышение начальной
температуры расширяет пределы вспышки *); то же влияние имеет
и повышение давления 2).
Для смеси, состоящей из нескольких горючих газов, можно
установить нижний предел вспышки. Обозначим через п и пг в °/0
составные части смеси (в объемных единицах) по отношению
к объему всей смеси, а через N и N' „предел вспышки" для
отдельных газов, находящихся в смеси. По Шателье имеем: -jj- -f — = 1.
Справедливость этого уравнения была доказана по отношению
к нижнему пределу многочисленными опытными исследованиями
на газообразных и парообразных горючих смесяс. Для „верхнего
предела" это уравнение дает неправильные результаты 3).
Различные газы и пары, например —СН4, С2Н6, С2Н4, С2Н2,
*) W h i t e, JouriL Chem. Soc. London, 1925, стр. 672.
*) В е г 1 u. Werner, Z. ang. Chem, 40, 1927, стр. 245. Terres u. P i e n z,
GWF 57, 1914, стр. 990.
*) White, Journ. Chem. Soc. London, 1925, стр. 48.

Сгорание, вспышка, взрыв
719
СО и С6Н6 дают при незначительных температурах вспышки
значительное уменьшение скоростей распространения самой вспышки,
но по мере поднятия температуры воспламенения увеличивается
и скорость распространения вспышки.
Собранные в табл. 1 числовые величины были получены
методом Dixon и Coward *), состоящим в изолированном нагреве
горящего газа и воздуха (или Оа) и учете влияния катализаторов.
Таблица 1. Пределы вспышек для различных горючих смесей
из воздуха и газов или паров 2)
Водород Н,
Водород с чистым Ол .
Окись углерода СО
(влажный)
Метан СН4
Этан С2Нв *. .
Пентан CgHj
Ацетилен С2НЛ
Ацетон СяНБСОН ....
Этилен С»Н4
Алкоголь СаНе(ОН) . . .
Эфир (СаН5)аО
Бензин
Бензол СвНв
Нижний 1 Верхний
предел вспышки
(объем единицы
горючих газов а смеси)
4,1 - 10,0
4,4 - 11,1
12,5 -16,7
5,3— 6,2
2,5- 4,2
U— 2,4
1,5— 3,4
2,9— 3,3
3,3- 5,7
2,6- 4,0
1,6- 2,7
1,4— 2,4
1,3— 2,7
60— 80
90,8 - 96,7
70-80
11,9 - 15,4
9,5 — 10,7
4,5- 5,4
46— 82
k 9,6 — 10,9
13,7 - 25,6
12,3 - 13,6
6,9- 7,7
4,0— 5,0
6,3— 7,0

Температура
вспышки *)
585
585
650
650 — 750
520 — 630
—
425
178
545
350 \
400 1
415 f 4)
570 J
3. Взрыв. Рядом с медленным распространением горения
существует еще другой, существенно отличный вид горения, носящий
название взрыва или детонации 5), при котором имеют место очень
большие скорости распространения вспышки. В этом случае
появляется в газовой смеси волна сжатия, повышающая
температуру газа до температуры воспламенения, причем горение
распространяется со скоростью волны сжатия. Процесс горения на фронте
этой волны проходит очень интенсивно, так как этому способствует
большое давление и высокая температура. В горючей смеси
детонация может появиться как следствие волны сжатия, вызванной
взрывом какого-либо вещества (гремучая ртуть). Даже медленное
!) Dixon u. Coward, Journ. Chem. Soc. 1909,стр. 514. fiommer, GWF59
1914, стр. 63. WolUrs u. Ehmke, Kruppsche Monatsh. 1921, стр. 1.
*)Terres, GWF, 1920, стр. 785- Berl u. Fischer, GWF 1924, стр. 284.
White, Journ. Chem. Soc. London, 125, 1924, стр. 2387
•) Теоретически правильная смесь при 1 кг/см? в °С.
4) При сгорании в кислороде.
Б) N е г n g t, ZdVdl 1905, стр. 1426. Dixon. Phil. Trans. London 200, 1903,
стр, 315.

720
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
горение может повести к детонации, если само горение
происходит в длинных4 трубопроводах и не^горевшая еще часть смеси
повышает постепенно свое давление, благодаря чему возрастает
также скорость распространения вспышки *). Такой детонации
в машинах и трубопроводах необходимо тщательно избегать ввиду
тех разрушений, которые сопровождают это явление.
Медленное горение отличается от взрывной волны тем, что
в первом случае продукты сгорания имеют.движение, обратное
тому, какое имеет фронт зоны горения, во втором случае (случай
детонации) те же продукты сгорания двигаются по тому же
направлению, в котором идет взрывная волна. Это явление находит
свое объяснение в упругих свойствах горящей смеси: продукты
сгорания образуют подпорную волну ввиду того, что скорость
распространения взрыва достигает или превышает скорость звука.
Поэтому давление в подпорной волне у медленно горящих смесей
меньше, чем у несгоревшей части смеси, а при взрыве, наоборот,
это давление значительно больше.
Скорость взрывной волны2) — wd можно установить
из следующих соображений: предположим, что зона горения фиг. 12
неподвижна, а несгоревшая часть смеси имеет скорость wd по
направлению к этой зоне. Если абсолютная скорость движения
продуктов горения — ws% то их скорость по отношению к зоне горения
будет равна (wd — ws) и направлена от этой зоны влево
(направление скорости ws вправо будет считаться положительным). Из
условия, что через плоскости / и //, ограничивающие зону горения,
должны проходить одни и те же массы, одинаковые количества
движения и одна и та же величина кинетической энергии, мы имеем
три уравнения:
«Ъ Pi = («Ъ — w,) ра 0)
/ ™и2\ I wd— ws^\
™dPi [Ei + -2-j + Pi wd =* (wd — ws) h (£2H ~2—j +
+ P%(*>d — Ws)> <3>
причем «удельная кинетическая энергия" может быть дана
уравнением:
E2^E1^l/A[cv(Ti"Tl)-Q] (4)
В этих уравнениях введены следующие обозначения:
cv — удельная теплота продуктов сгорания L?lT2G,
Q — теплотворная способность реакции L*\T*t
*) Это явление впервые было изучено следующими учеными: Berthelot,
Sur la force des matieres explosives, Paris, 1883. —Mallard et Le Chatelier,
Ann. d. min. 8, 1883, стр. 274.
*) С h a p m a n, Phil. Mag. 47, 1899, стр. 9Э. Becker, Z. f. Phys., 8, 1922,
стр. 321.— Z. f. techn. Physik 3, 1922, стр. 152. J о u g u e t, Journ. d. math, pur et
appl. 1, 1905, стр. 347.

Сгорание, вспышка, взрыв
721
р — ПЛОТНОСТЬ
w— скорость ЦТ»
v — удельный об ьем L*l KT*,
Е— энергия L*IT2,
р -— давление /Г/1».
Из уравнения (1) и (2) следует:
W/ = (P2 — Pi) Vl2f(Vl — Vз)
и>32=(Р2— Pl){Vl — V^ .
(5)
(6)
Если для продуктов сгорания принять в грубом приближении
характеристическое уравнение правильным:
RT2 = p2/?i,
«3
то можно из
уравнений (4)—(7)
получить новое
уравнение,
содержащее, кроме
неизвестных величин
р2 и */2, величины
рь vt и Ть
характеризующие
начальное состояние
смеси перед
взрывом.
На фиг. 13 это начальное состояние представлено на диаграмме
(/?, v) точкой А с координатами (ръ vA. Согласно предыдущим
уравнениям можно построить кривую DBE, характеризующую
состояние продуктов сгорания (кривая Hugoniot).
Из уравнения (5) имеем:
сго/ганил
шщ
»d'ws 1
1 Несгопедшаа
1 чаешь смесей
Yvl'iTi'iy
1 "Й"
Ml
Фиг. 12.
Wa = vi V(p2—Pi)№i — *ъ) = *>i V4*-
Реальное значение wd мы имеем лишь при положительном
значении tg о, следовательно, часть кривой — BE не может
соответствовать какому-либо действительному процессу. Для медленного
сгорания имеет значение часть кривой — EF, так как здесь v2^>vb
а для детонации мы имеем часть кривой выше точки В. Сама же
точка В при равенстве vx и v2 дала бы, практически невозможный
случай, wd = 00. Chapman и Jouguet на основании изучения
динамики взрывной волны доказали, что устойчивая и однозначная
скорость взрывной волны существует лишь для такой детонации, при
которой продукты сгорания имеют состояние, представленное на
кривой точкой D — точкой касания прямой линии, проведенной из
точки А к кривой BD. Идя по этому пути, Jouguet в своих иссле-

722
Т. I Отд. 4 Теплота. VII Горенио
дованиях установил для большего числа различных горючих
смесей соответствующие скорости детонации1). Изменения скорости
взрывной волны от изменения начального состояния горючей смеси
перед взрывом очень незначительны и могут быть установлены
опытным путем лишь при
Таблица 2. Скорость распростране
ния взрывной волны
wd (м/сек)
Смесь
Полученная . Полученная
из вычис-
из опыта
(Dixon)
лений
(Jouguet)
2Но + 02
2СО + 02
2821
1750
2864
1910
наличии очень
чувствительных приборов.
Теоретические
исследования и результаты опытов
указывают на то, что
медленное горение при наличии
зоны горения, имеющей
форму шара, не может
перейти в состояние
детонации. Повидимому, такой
переход может произойти
лишь при наличии плоской
формы зоны горения.
Появление ударов в цилиндрах двигателей внутреннего сгорания2)
до настоящего времени сше не нашло разъяснения; согласно
новейшим работам можно думать, что эти явления не связаны со
взрывной волной.
Ь) Единицы мер и обозначения
Для твердого и жидкого топлива за единицу количества
принимается кг, а состав дается в весовых частях. Газообразное топливо
и газообразные продукты горения (дымовые газы, отходящие газы)
измеряются в пм* (стр. 648), а также в молях (1 Моль = 24 пмъ)\
состав же их дается в объемных частях. Вычисления с пмъ особенно
удобны для расчетов. Вес одного пмъ какого-либо вещества в кг
равен V24 части молекулярного веса вещества, так что, например,
1 пм* Н2 весит Via кг, 02—%кг, N2 и СО — 7/6 кг, Н20 — 3/4 кг и т. д.
При веществах, не имеющих определенного молекулярного веса,
вместо него подставляют атомный вес; таким образом 1 пл&
углерода весит 0,5 кг, а 1 ял*3 серы — 4/3 кг.
Пусть:
с, h, о, л, s, w, а —содержание в топливе углерода, водорода, кисчорода, азоте,
серы, воды и золы в вес. единицах,
СО/, Н2\ СН/, N/ ... и т. д. — содержание этих отде^ных газов в газообразном
топливе в объемных единицах,
С02, 02, N„ СО, На, СН< — содержание в дымовых (отходящих) газах углекислоты,
кислорода, азота,* окиси углерода, водорода и метана в объемных единицах при
сухих газах (без учета водяного пара и двуокиси серы),
С, N, Н —содержание в единице топлива углерода, азота и водорода в пмг,
°min —количество кислорода в пм9, или Моль, необходимого дл! полного сгоранря
единицы топлива,
Lmin — количество воздуха в пм*, или Моль, необходимого для полного сгорания
единицы топлива,
•') Jouguet, Verh. d. 2. int. Kongr. f. Mech. Zurich u. Leipzig, 1927, Orell
Fussli, S. 15.
f) R i с а г d o, Schnellaufende Verbrennungsmaschinen, Berlin, 1926, Springer.
Whatmough, Detonation, The Aut. Eng. 17, 1927, S. 66.

Расчет процессов горения
723
V—общее количество отходящих газов и Vt — количество сухих отходящих газон
в пм* для единицы топлива.
Кроме того, необходимо ввести еще две величины, характеризующие топливо:
*=Omin/C,
v = N/C.
Для твердого и жидкого топлива N и v почти всегда могут быть приняты
равными 0.
Главнейшие виды применяемого в технике топлива содержат в
качестве горючих составных частей только углерод, водород и
небольшие количества серы. Сгорание называется полным или
совершенным, когда углерод полностью сгорает в углекислоту (С02),
водород — в воду (Н20) и сера — в сернистую кислоту (S02). Горение
называется несовершенным, когда продукты горения содержат еще
вещества, способные гореть, например, твердый уголь в золе, шлаке
и саже и горючие газы, как-то: окись углерода (СО), водород (Н2),
метан (СН4) и другие углеводороды.
с) Расчет потребного для полного сгорания количества
кислорода и воздуха, а также количества и состава отходящих газов
Смотря по тому, в каком виде дан состав топлива, различают
при определении количества воздуха для горения и количества
продуктов сгорания следующие случаи:
1. Твердое и жидкое топливо, химическая структура
которого неизвестна, но содержание важнейших составных частей
определено элементарным анализом в весовых единицах. Сюда
относятся все угли, различные сорта нефти и их перегоны.
О min = с/12 + Л/4 + 5/32 — 0/32 в Mol/кг
Omin = 2 \с + 3 [h — ^р^)1 в пм*/кг,
Omin = 2со[пм*/кг]9 а = 1 + з/*-~(°~~,У)/8.
В выражении для а, в котором величиной s можно пренебречь,
h — о/8 представляет собою свободный водород.
Минимально потребное количество сухого воздуха для сгорания.
£т1п = 9,би + з(л + ^=^)1=9,6 са [пм*1кг],
так как воздух содержит 0,21 объемных частей кислорода.
При полном сгорании из 1 кг топлива получается:
углекислоты . с/12 Мо\/кг — 2с пмъ/кгу
воды Л/2 + «г/18 Мо1/л:г = 12Л + \w [пм*/кг]=Ш-\-т [кг/кг],
двуокиси серы 5/32 Мо\/кг = | s [пм3/кг] = 25 [кг/кг].
Если при сжигании топлива воздух подводится в избытке,
причем X = L/L min = О/О min есть коэфициент избытка воздуха, т. е.

724 т- I. 0ТД. 4- Теплота. VII. Горение
отношение действительно подведенного количества воздуха или
кислорода к минимально (теоретически) необходимому количеству
воздуха или кислорода, то в продуктах горения имеется еще
избыток кислорода и весь азот воздуха, а именно:
кислорода . . (X—1) Omin пмв или Моль
азота . . . . J} X О min пм* „
Всего . . . . (Х/0,21 — 1)0min = (X — 0,21) Lmin пм* или Моль.
Общий объем дымовых газов составляет, если L — подведенное
количество воздуха в пм9,
£_|_6Л+|о + |«; [пм2/кг].
а для чистого углерода равна 1, а для угля принимает обычно
значение 1,1 до 1,2, для тяжелых масел — прибл. 1,2, а при более
легких маслах значение это возрастает до 1,5 (керосин, бензин).
Пример. Дан буроугольный брикет следующего состава: с = 0,51-, h = 0,042,
о = 0,18, 5 = 0,018, w = 0,15, a =0,10. Имеем:
О min = 2,0,51 + 3 <0,042 — (0,18 - 0,018)/8 >] = 1,150 [пм*\кг\,
Lmin = 1,150/0,21 = 5,480 [/ijh8/i«J, <т = 1,15/(0,51-2) =1,128.
Допустим, что брикеты полностью сгорают при наличии избытка воздуха в 60°/0;
тогда X = 1,6, L = 1,6*5,48 = 8,766 и из 1 кг брикетов получаются следующие
продукты горения:
углекислоты 2 • 0,51 ....
воды 12 • 0,042 4- 4/3 . 0,15 .
двуокиси серы 3/4 • 0,018 . .
кислорода 0,6-1,150 . . . t
азота 0,79 • 8,766
. 1,020 пм*
. 0,704 „ (или 0,528 кг)
. 0,014 „ ( „ 0,036 „ )
. 0,690 „
. 6,925 „
Итого дымовых газов . . 9,353 пм*,
т. е. на 0,587 пм* больше подведенного количества воздуха.
2. Твердое и жидкое топливо однородного
химического состава. Здесь для осн ования расчета достаточно
химической формулы.
Пример. Нафталин, C10He, M = 128, a =1,2.
1 Моль или 128 кг С10Н8+ (Ю -f 2) Моль О, = 10 Моль СО, + * Моль Н*0 или,
относя к 1 кг топлива и выражая количества газов в пм*,
■ 1 кг С10Нв + 12 & пм* О, = 10 #8 пм* СО, -f 4 й48 пм* Н.О,
1 кг С10Нв -f- 2,25 пм* О* = 1,875 пм* СОа + 0.75 пм* НяО.
Для углеводорода общей формулы Ctw Ип 00, молекулярный ве**
которого М = 12 ю -f n + 16о, получаем:
1 ,<гСтНп00+(т + ?- —1)^™302 =
eWgi«*»COa+£^/!*»H10.

Расчет процессов горения
725
Для чистого алкоголя С»НвО, М = 46, <т = 1,5, получаем:
1 кг С.НвО + 1,565 пм* О, = 1,043 пм* С08 + 1,565 лл3 Н,0.
Коэфициент а для углеводорода общей формулы
_ т + п/4 — о/2
"" т
Определение количества кислорода и азота в отходящих газах
производится во всех случаях точно так же, как в случае 1.
3. Твердое и жидкое топливо, состоящее из
определенной весовой смеси нескольких химически
однородных веществ, например смесь алкоголя и воды,
продажный бензол (масса из бензола, толуола и ксилола), смеси из
бензола, спирта, тетралина.
Количества потребного кислорода и продуктов горения
получаются, если для отдельных составных частей поступают как в п. 2,
результаты помножают на соответственный весовой коэфициент и
затем слагают.
Например, спирт с g вес. ч. алкоголя;
1 кг спирта = g кг алкоголя -\- (1 — Q) кг воды,
1 кг спирта + 8 1,565 пм* О. = в 1,043 пм* СО, + [б 1,565 -f (1 - g) |] пм* Н,0.
4. Газы. При газах количество топлива тоже дается всегда
в объемных единицах; при этом нет нужды в особом задании рода
объемной единицы, если только для всех величин положена в основу
одна и та же единица.
Кроме Н2 и СО, горючие газы содержат большей частью
различные углеводороды. Пусть^одна объемная единица газа состоит
из следующих составных частей:
СО' + На' + СН4' + С2Н4' +Оа' +N2' + С02' =г U
Потребное для сжигания одной единицы объема этой смеси
количество кислорода в тех же объемных единицах
Оmin = 0,5 (СО' + Н2') + 2 СН4' + ЗС2Н4' - Оа'.
Продуктами горения в этом случае являются в объемн. ед.,
если газ сгорает с количеством воздуха L = XOmin/0,21 объемн. ед.,
углекислота С02' + СО' + СН4' + 2 С2Н4',
вода Н2' + 2(СН4' + С2Н4'),
КИСЛОРОД.. (X — l)Omin = 0,21 Z, — Omin, ,
азот N2'+ 79/21-X О rain = N2' +0,791.,
Число а для этого газа будет:
__ 0,5 (СО' + Н2') 4- 2 СН4' +ЗС2Н4' - 02'
а СО' + СН4' + 2 С2Н4' + СОа'
и v = N/C: -
v = "*-
СОЧ СН4'+ 2 C9H4f-f СО/ '

726 Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
d) Соотношения между составом топлива и составом сухих ды-
мэвых газов, избытком воздуха и количеством отходящих газов
Следующие уравнения дают основания для учета опытных
данных, полученных при испытаниях топочных установок и двигателей
внутреннего сгорания.
1. Полное сгорание. Так как при анализе дымовых газов
присутствие воды и двуокиси серы не обнаруживается, то,
следовательно, отходящие газы при полном сгорании содержат только С02,
02 и N2, сумма которых в объемн. ед. равна 1
C02 + 02 + N2=l;
кроме того, имеются еще следующие соотношения:
Vt = С/С02 пм\
02/С02 = (Х-1)а
и
Na/CCKj = (0,79/0,21) X а + v.
Этими уравнениями исчерпывается все, что можно сказать об этих
соотношениях. Путем исключения из них отдельных величин можно
получить целый ряд дальнейших уравнений, например,
го = 021 _ o,2i (Х-1)с
2 (X - 0,21) а + 0,21 (v -И) 2 ~~ (Ь — 0,21) а + 0,21 (v + 1) '
хт _ 0,79 X а + 0,21v , _ 0,21 ( 1 \
. 2~ (X - 0,21) а + 0,21 (v 4-1) ' * "^VTa^""1""";*
Для твердого и жидкого топлива с v = 0 уравнения
упрощаются:
ГО - °'21 о - °'21^-1)°
^^2- (X —0,21) а+ 0,21 ' 2~~ (Х~ 0,21) а+ 0,21 ' ,
м 0,79 X а 0,21/ 1 , -\
N2= (Х-О.гЦа + О.гГ' X-"V"lc02" + a-1J-
Для чистого углерода, независимо от X, N2 = 0,79 и
002 + 02 = 0,21. Тоже справедливо и для любого другого топлива,
для" которого a+ (0,21/0,79) v = 1, например для водяного газа,
состоящего из равных частей Н2 и СО. С увеличением избытка
воздуха содержание N2 и С02+"02 для всех видов топлива
приближается к предельному значению 0,79 и 0,21 (табл. 3).
Для X = 1 получается 02 = 0; значения таблицы представляют
тогда максимальное содержание С02.
Далее, при v = 0 получается: a — 1 = (0,21 — 02 — СО2)0,79 С02;
в случае, если состав топлива не в точности известен, это уравнение
может дать о нем некоторое представление. Но так как 0?21—02—С02

Полное сгорание. Неполное горение
727
Таблица 3. Содержание в отходящих газах С02 и 02
а
1,15
1,25
1,5
2,0
2.5
0,75
0,45
0,50
V
0
0
0
0
0
1,5
U
0
j
Род топлива
Уголь
Бензол
Спирт, бензин . .
Светильный газ . .
Ацетилен . ...
Генераторный газ
Колошниковый газ
Двуокись кислорода
1 *
0,188
1 0,175
I 0,151
1 0,117
0,0Р6
1 0,188
1 0,228
0,347
СО. + 02) для
1.5 |
0,195
0,187
0,171
0,151
0,138
0,193
0,224
0,307
2
0,199
0,193
0,181
0,166
0,157
0,197
0,222
0,286
Х =
з 1
0,203
0,1-99
0,191
0,181
0,175
0,201
0,219
0,26?
4
0,205
0,202
0,196
0,189
0,184
0,203
0,217
0,230
всегда очень мало и так как абсолютно безошибочное проведение '
анализа газов невозможно, то это суждение не имеет практической
ценности.
То же относится к подсчету избытка воздуха из анализа
отходящих газов при посредстве одной только формулы
Х = (1-СО2-О2)/(1-СО2-О2/0,21),
Если при определении 02 получается ошибка в 1 объемн. про"
цент, то при определении X получается ошибка в 0,1 до 1,0, в
зависимости от размера избытка воздуха. Предпочтительнее поэтому
пользоваться для X не этой формулой, а приведенной выше.
2, Неполное горение. Принимая, что отходящие газы содержат
горючие газы в виде окиси углерода, водорода и метана, и считая,
что химические знаки обозначают одновременно и объемные части,
получим для сухих дымовых (отходящих) газов:
C02 + 02 + N2 + CO+H2+CH4=l.
Пусть, далее, в твердых остатках от горения (в золе, шлаках,
саже) имеются еще и частицы основного топлива, которые не
сгорели или, лучше сказать, не перешли в газообразную форму
продуктов горения.
Эти частицы могут быть определены полным анализом твердых
остатков горения. Если отнести минимальное количество кислорода,
избыток воздуха, величины а, С и т. д. к количеству действительно
сожженного топлива, т. е. к количеству перешедших в отходящие
газы частиц единицы топлива, и обозначить их через Omin'* X', с',
С, а часть общего количества углерода, действительно сгоревшего,
через а (а = С'/С), то получатся нижеследующие уравнения. Сухие
отходящие газы составляют:
Vt = а С/(С02 + СО + СН4) пм^кг,
далее,
02 - 0,5СО — 0,5 Н2 - 2 СН4
со2 + со + сн4
:(Х'-1)а'

728
Т. I, Отд. 4. Теплота. YII. Гореяие
»2 —^X'a' + v'.
С02 + СО + СН4 - 0,21
Из этих уравнений можно вывести, подобно тому, как это было
указано выше, целый ряд других соотношений.
Так как полный анализ твердых остатков горения производится
редко, то преобразуем эти уравнения таким образом, что примем во
внимание только выделившийся в твердой форме углерод, т. е. а,
и пренебрежем остальным содержимым твердого остатка.
Тогда вместо двух последних уравнений получим:
_ С02 + 02 + 0,5 СО - 0,5 Н2 - СН4
a со2 + со + ен4 = (*-1>"+1.
aN9 0,79, ,
С02+СО + СН4 0,21
X, <т, v относятся теперь опять к первоначальному составу топлива.
Из обоих последних уравнений можно путем исключения X
определить по данным анализов топлива и отходящих газов а, т. е.
вычислить потерю углерода без непосредственных измерений. Однако
этот подсчет всегда приводит к совершенно непригодным
результатам, так как он требует такой точности анализов отходящих газов,
какая на практике представляется абсолютно недостижимой.
Поэтому а нужно определять либо путем опыта, либо же принимать
приближенное значение.
Для избытка воздуха имеем:
0,21Г1-0,5СО--1,5Н2-2СН4 Л
о L С02+СО + СН4 ~г J
и, следовательно,
Х = aX' с'/a;
или же, если принять во внимание только несгоревший углерод:
,0,21Г 1-0,5СО-1,5Н2-2СН4 1
к-~~1а со2 + со + сн; h 1 у
Из основных уравнений можно вывести также формулы для X'
и X, не содержащие с' и а, т. е. для твердого и жидкого топлива
(v = 0), причем не требуется данных об их составе.
Например, при v =? 0
\. _ , ft7n О2-0,5(СО + Н2)-2СН4
1 ~ и,/У 0,21 (1 - С02) - 02 + 0,185 (СО + Н2) + 1,37 СН4 '
Но и эти формулы опять-таки не имеют большой ценности, так
как они требуют очень точных анализов газоэ. Ошибка в I об-ьемн. %

Теплота горения
729
при определении 02 дает, например, для угля при X' = 2 ошибку
уже свыше 0,2 в значении X' и эта ошибка весьма быстро
возрастает с увеличением избытка воздуха.
Если принять, что в отходящих газах нет Н2 и СН4, то
содержание в них СО можно рассчитать из данных содержания С02 и 02
по следующему уравнению:
гол-го - 0,21 -02-0,395С02
-I- ^2- [0>79(а _ 1)_|_ 021 V] /а + 0,605 *
Ошибка при определении СО по этим формулам прибл. в 1,5
раз больше ошибок анализа при определении СОа и 02. Формулы,
таким образом, недостаточно точны и непригодны для определения
небольших количеств СО. Всегда следует предпочитать
непосредственное определение СО по анализу.
Если в отходящих газах при недостатке воздуха и отсутствии кислр-
рода имеется лишь окись углерода, то мы имеем следующие формулы:
co-*m^K^-i со + со,- °«21
0,79 Ха +0,21 (v+1) ' ' г 0,79 X а + 0,21 (v + 1)
•2_L+!co
и ~ 2 + 3,76 СО #
е) Теплотворная способность (теплота горения)
Выделяющаяся при горении топлива теплота весьма различна
в зависимости от условий, при которых горение происходит, и
может быть всегда подсчитана, если только для какого-либо
нормального случая опытным путем определена была освободившаяся при
горении теплота. Нормальным случаем горения считается тот, при
котором смесь топлива и сухого воздуха полностью сгорает при
неизменном давлении в 1 am, а продукты горения вновь приводятся
охлаждением к первоначальной температуре (0° или комнатная
температура). Освобождающуюся при этом теплоту называют
теплотворной способностью топлива (теплопроизводительностью), которая
равна разности количеств теплоты, содержащейся в горючей смеси
и в продуктах горения при одинаковой температуре*
£=./'-./".
Для топлива, не содержащего ни водорода, ни воды, например,
для чистого углерода, сухого кокса и древесного угля, окиси
углерода, теплотворная способность точно определена на основании вы-,
шеизложенного. Теплота горения, например, совершенно не зависит
от того, происходило ли горение с минимальным количеством
кислорода или с любым избытком воздуха.
Для топлива, при котором в продуктах горения появляется вода,
теплотворная способность не может быть точно определена по
приведенному выше указанию, так как в зависимости от количества

730
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
подведенного воздуха часть воды будет находиться в парообразном
состоянии. Освобождающаяся теплота горения будет для жидкой
части воды больше, чем для парообразной ее части, на количество
теплоты испарения. Для обычно принимаемой температуры в 0°
теплота испарения равна 595 или прибл. 600 кг-калт 1 кг или же
прибл. 450 кг-кал на 1 пм3 воды.
Для определения теплотворной способности необходимо, таким
образом, иметь данные о физическом состоянии воды, получаемой
при горении. Различают два предельных случая, принимая всю воду
либо в жидком, либо в парообразном состоянии Этим
предположениям соответствуют две теплотворные способности: высшая,
отнесенная к жидкой воде, и низшая, отнесенная к воде в
парообразном состоянии. Оба вида теплотворности отличаются друг от друга
на величину теплоты испарения всего количества воды. При
известном составе топлива можно по одной теплотворной способности
рассчитать и другую. Разница между обоими
значениями теплотворности у многих сортов топлива весьма
значительна: при хорошем каменном угле она составляет прибл. 3%,
при буроугольных брикетах ~ 6,5%, при рядовом буром угле ~ 15%,
при спирте и светильном газе ~ 10%.
Поскольку теплотворность рассматривается только как
физико-химическая постоянная данного топлива, безразлично,
дано-ли то или другое ее значение. Но теплотворность имеет и техно-
экономическое значение и по ней судят о возможности экс-
плоатации тепла и полезной работы из того или другого сорта
топлива; кроме того, теплотворность служит основанием при
составлении теплового баланса. Для первой упомянутой здесь цели лучше
пользоваться низшей теплотворностью, так как отходящие газы топок,
отопительных установок и двигателей внутреннего сгорания почти
всегда имеют температуру, при которой вся вода находится еще в
парообразном состоянии; даже при топливе, выделяющем при
сгорании много воды, достаточно при обычном избытке воздуха
умеренных температур отходящих газов, чтобы удерживать , всю воду
в парообразном состоянии. В предположении, например, что Л = 2
и что воздух сух, эта температура составляет даже при рядовом
буром угле с 50% влаги только 50°. При буроугольных брикетах
среднего состава она составляет 36°, а при хорошем каменном угле —
всего 24°.
Принимая теплопроизводительность за основу при составлении
тепловых балансов, можно получить большие неточности, если
пользоваться низшим значением теплотворности.
Исключительное пользование одним или другим значением не привело к
удовлетворительным результатам. В то время как в Германии, например, при расчетах
применяют почти исключительно низшую теплотворность J), во Франции и Америке
обычно пользуются высшей теплотворностью, применяя низшую теплотворность
только в соответствующих случаях *).
*) Новые нормы Vdl предусматривают низшую теплотворность.
*) S. Мегkel, ОЪегег oder unterer Heizwert. Archiv fur Warmewirtschaft 1924 г.,
стр. 153; а также отдел .Паровые машины" в т. III.

Сгорание углерода и водорода 731
Теплотворная способность химических
соединений не может быть определена по теплопроизводительности
отдельных элементов, так как для расщепления соединений всегда
требуется положительное или отрицательное количество теплоты.
Поэтому нельзя произвести точный расчет теплотворности твердого
и жидкого топлива помощью элементарного анализа, зная
теплотворность углерода, водорода и серы.
Тот факт, чго таким путем (по формуле § = 8100 с +
+ 28 000 (h—£-) + 2500 s — 600 w) все же удается получать более
или менее точные результаты, объясняется тем, что теплота
расщепления соответственных соединений обычно очень невелика по
сравнению с теплотворностью. Точные данные дают только
калориметрические измерения.
При топливе, представляющем собой физическую смесь
определенных химических соединений, в особенности же, когда речь
идет о смеси газов, теплотворность, напротив, может быть точно
определена суммированием теплотворностей отдельных составных
частей. Так как, однако, степень точности анализа газов часто
невелика, то и для газов предпочтительнее определение
теплотворности помощью калориметра Юнкере а.
Наряду со сгоранием при постоянном давлении в технике часто
имеет значение и сгорание при'п о с т о я н н о м объеме
(двигатели внутреннего сгорания). Теплота, освобождающаяся при этого
рода сгорании, — если представить себе, что продукты горения
приведены охлаждением к первоначальной температуре, — отличается от
теплоты сгорания при постоянном давлении па количество теплоты,
эквивалентное внешней работе, А 104 (V"— V). Это значение может
быть положительным или отрицательным, в зависимости от того,
больше или меньше объем продуктов горения (V") при сгорании
под постоянным давлением, чем объем горючей смеси перед
сжиганием (V). Практически разница между теплотворностью при
постоянном давлении и теплотворностью при постоянном объеме весьма
незначительна.
f) Сгорание углерода и водорода
Результаты определения теплотворной способности углерода
дают различные величины в зависимости от той формы, в которой
углерод сгорает. По данным, приводимым у Roth, 1 кг углерода
дает тепла в кг-калу сгорая в виде:
алмаза — 7873 каменного угля — 505.0 до 8150
Р-графита — 7856 кокса — 7845 „ 8050
а-графита — 7832 ацетиленовой сажи — 8130.
В дальнейшем мы будем принимать для обычного углерода
(не кристаллического) наивысшую теплотворную способность —

Таблица 4. Жидкое горючее
Топливо
Спирт 95 вес. о/0 . . . .
Бензол (чистый) С„Н6. . .
Толуол (чистый) С7Нв • •
Ксилол (чистый) CeHw . .
Продажный бензол I
(90о/о-ый бензол)») . . .1
Продажный бензол II
(50»,'0-ый бензол)•) . . .
Нафталин (чистый) С10Н9.
(точка плавл. 80°)
Тетралин (чистый) С10Н„ . 1
(тетрагидронафталин)
Гептан | ) С7Н,в . . . J
Бензин (средн. значения).
Молек.
вес
' М
46
78
92
106
128
132
72~
86
100
114
Содержание
В о.'о
по весу
с
52
92,2
91,2
90,5
92,1
91,6
93,7
90,8
83,2
83,6
83,9
84,1
85
h
13
7,8
8,8
9,5
7,9
8,4
6,3
9,2
16,8
16,4
16,1
15,9
15
сг
1,500
1.500
1^500
1,500
1,250
1,285
1,313
1,260
1,300
1,200
1,300
1,600
1,584
1,571
1,562
1,530:
Уд. вес
при 15°
0,794
0,809
0,823
0,836
0,884
0,870
0,868
0,882
0,876
0,977
(при 80°)
1,152
(твердый
15°)
0,975
0,627
0,658
0,683
0,700
0,7 — 0,74

Температура
кипения
град.
78,3
78,5
78,7
78,9
80,5
ПО
140
' см.»)
см.»)
218
205
37
65
98
125
60-120
Теплотворность
для 1 кг
высшая
7 100
6 740
6390
6030
10 000
10 150
10 250
10 000
10 100
9 640
10 240
1Т75ХГ
11550
11520
11500
11000
низшая
6 400
6 040
5 700
5340
9 590
9 690
9 740
9600
9650
9300
9 750
10 850
10 670
10 660
10 650
10 200
1
1 Для сжигания
1 кг необходимо
в пмг

кислорода
°min
1,565
1,49
1,41
1,33
2,31
2,35
2,38
2,32
2,36
2,25
2,36
2,67
2,65
2,64
2,63
2,60
воздуха
7,5
7,1
6,75
6,4
11,0
11,2
11,35
11,1
11,3
10,7
11,25
12,7
12,6
12,6
12,6
12,4
При сгорании
1 кг получается
в пмг
СОа
1,04
0,99
0,94
0,89
1,845
1,825
1,81
1,83
1,82
1,875
1,82
1,665
1,675
1,68
1,68
1,70
н,о
1,565
1,55
1,54
1,53
0,92
1,04
1,13
0,94
1,05
0,75
1,09
2,00
1,95
1,92
1,895
1,80
*) Прибл. состав: 0,84 бензола, 0,13 толуола и 0,03 ксилола. При нагреве до 100е 90°/о испаряется.
») Прибл. состав: 0,43 бензола, 0,46 толуола и 0,11 ксилола. При нагреве до 1С0° испаряется 50о,'о, до 12Je — 90«/0.
») Эги и прочие составные части метанового ряда суть главные составные части американского и галицийского бензина.

Таблица 5. Горение простых газов
Газы
Формула
Молек.
вес
М
Плотность

относительно воздуха
8
Для
сгорания 1 м3
необходимо м*\
I кислорода
Omin
Для сгора- J
ния 1 л8
необходимо м*
воздуха
Высшая

теплотворность для
1 njKs газа
Низшая

теплотворность для
\ пм* газа
Окись углерода
Водород . . .
Метан ....
Этан
Пропан ....
Бутан ....
Этилен ....
Пропилен .
Бутилен . . .
Ацетилен . . .
СО
сн4
СаНв
с3нв
С4Нц>
с,н4
СаН6
С4Н,
С2Н2
28
2,016
16
30
44
58
28
42
56
26
0,97
0,07
0,554
1,035
1,52
2,00
0,965
1,45
1,935
0,90
0,50
2,00
1,75
1,666
1,625
1,50
1,50
1,50
1,25
0,5
0,5
2
3,5
5
6,5
3
4,5
6
2,5
* 2,38
2,38
9,52
16,7
23,8
31,0
14,3
21,4
28,6
11,9
2 855
2855
8900
15 500
22 000
28 600
14 400
20 800
27100
13С00
2 410
8005
14 170
20 230
26 400
13 520
19 470
25 320
12 550
/
Газы
Курной газ от кам.
угля . . ..-. . .
Светильный газ I
Светильный газ II
Коксовальный газ
Водяной газ ...
Генераторный газ
Газ Монда ....
Воздушный газ . .
Доменный газ . .
н2
27
5i
56
50
49
12
25
6
4
Таблица 6.
Средний состав в
СО
7
8
13
8 1
42
28
12
23
28
СН4
48
32
23
29
0,5
3
4
£
—
\стип
(С3Н<)
13
4
2,5
4
—
0,2
0,3
0,2
Горение технических газов
%
С02
3
2
2
2
5
3
16 1
5 1
8
N,
2
3
3,5
7
з
54
43
62
60

Кажущийся
молек.
вес
М
15,7
11,2 1
11,0 !
11,85
15.9
25,1
23,7
26,6
28,2 |
Плот-
относит.
1 духа = 1
S
0,54
0,39
0,38
0,41
0,55
0,87
0,82
0,92
0,97
а
1,81
2,11
2,15
2,11
0,979
0,773
0,840
0,672
0,445
V
• 0,024
0,06)
0,085
0,149
0,063
1,57
1,32
1,97
1,67
1 Высшая

теплотворность
для 1 л л*3
£о
7130
5120
4380
4820
2630
1440
1450
1120
910
Низшая

теплотворность
для 1 пм*
*«
6470
4570
3900
4300
2410
1350
1300
1070
890
£
О
СО
СО

734
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
8150 кг - кал / /а. Для 1 Моль теплотворная способность —
97 800 кг-кал/кг.
Для водорода наиболее вероятная наивысшая величина
теплотворной способности (по Roth) —68 520 кг-кал для 1 Моль, или
2855 кг-кал для 1 пмъ (1/24 Моль), что соответствует 3057 кг-кал
для 1 теоретического Nm*, отнесенного к 0° и 760 мм рт. ст. и
33988 ~ 34 000 кг-кал/кг.
Для теплотворной способности окиси углерода имеются лишь
устаревшие и весьма приближенные наблюдения.
Уравнения сгорания для углерода и водорода г)
12 кг или 1 Моль С + 1 Моль Оа = 1 Моль С02-4- $7 800 кг-кал
1кг С +2 пм* 0Л = 2пм* СО,-f 8 15Э „
1кг С -\-*\%кг 0.2 = "13кг С02+ 8150 „
1 Моль или 12 кг С -f 0^ Моль Оа = 1 Моль СОа -f 29 280
1 кг С + 1 пм* 02 = 2лж3 С02+ 2 440 „
1 Моль СОН- 0,5 Моль О., = 1 Моль СО* + 68 520 .
I пм* СО+0,5лл8 02 = 1йл» С02+ 2855 „
1 Моль или 2,016 кг Н2 4- 0,5 Моль Оа = 1 Моль НаО жидк. -f- 68 520 кг-кал
I пм* Н,4-0,5лл* 02 — \пм3 НгО „ -f 2855 „
1 кг Н, + 8 кг Ог = 9 кг НаО „ 4- 33 9<~0 »
1 Моль Н2 + 0,5 Моль Оа = 1 Моль НаО пар. + 57 840 „
1лл» На + 0,5лл* Оа = 1пл«3 НаО „ + 2410 „
1 кг H, + 8w Ог = 9 кг НаО 4- 28 630 кг-кал.
Для многих подсчетов можно с достаточной точностью
принимать высшую теплотворность водорода и окиси углерода
одинаковой (2855 кг-кал/пм3).
g) Температура сгорания
Теоретической температурой сгорания
называется та температура, которую приобретают образующиеся
продукты при полном сгорании и при условии восприятия ими всей
теплоты сгорания, т.'е. когда тепло не отдается наружу.
Действительная температура сгорания вследствие потерь тепла всегда меньше.
И здесь различают горение при постоянном давлении (топки) и при
постоянном объеме (двигатели внутреннего сгорания). #В первом
случае остается постоянным теплосодержание, а во втором —
остается постоянной энергия. Величина температуры сгорания
зависит от рода топлива (теплотворность), от начальной температуры
(подогрев воздуха для горения) и в значительной мере от избытка
воздуха. При вычислении температуры сгорания следует принимать
в расчет теплоемкости газов с повышением температуры см. табл. 4
на стр. 652.
.l) L а п d о 11 und В б г n s t e i n. Physikalisch-Chemische Tabellen, 5-е изд.,
Берлин, 1923 г.. Шпрингер и дополни! ельный том, 1927.

Температура сгорания
735
При очень высоких температурах горение постепенно
принимает форму неполного, ибо тогда происходит распад углекислоты
и водяного пара.
Температура сгорания t для 1 кг твердого или жидкого топлива
с количеством воздуха £ = X«Imin при начальной температуре
воздуха в tx и при данном составе и известной теплотворности
топлива определяется по следующей формуле:
о
=[^Мсо, + (|+ $ [Л1с4н,о + ^-0.21)АшШ [М*,]нл]'-
При помощи таблицы для средней теплоемкости (стр. 652)
находят величину t, задавшись предварительно некоторой
температурой t для выражения [МсЛ • Lm[n нужно выразить в Моль. Для обыч-
о
ных случаев, без предварительного подогрева воздуха, когда tt
невелика, можно принять:
Фа = [i2 \Мср)со, + (у + -Ц-) [Мер] На0 +
+ (X-0,21)Lmin[Af^]NiObf_<l).
О J
Табл. 7 на стр. 737 дает для некоторых сортов топлива
теоретическую температуру сгорания при различном избытке воздуха и
при tt = 0°.
Потеря тепла от продуктов сгорания. Образующиеся в топке
продукты сгорания уходят в дымовую трубу с температурой t2,
более высокой, чем температура окружающей среды, что влечет за
собой определенную потерю; эта потеря от отходящих газов равна
количеству тепла Qs в отходящих газах и подсчитывается в кг-кал
Для 1 кг топлива:
Qs = ((2-ti)\~[Mcp}COt+
*• о
Т + Т8 ) 1Мег) н,о + <х - 0.2D imin [^„]n,o,| ;
'о о J
если Qs подсчитать на основании анализа отходящих газов, то
получается:

736
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
<?. = te - h) \ Vt C02 [Afcjfco, + ^(1- С02) [Ме*^л +
*- О О
' Ят + ^^рКо].
Vt—объем сухих отходящих газов, который необходимо выразить
в Моль (стр. 723); t2 — tx — разница между температурой отходящих
газов и температурой окружающей среды.
В нижеследующей табл. 7 приведены примеры для типичных
сортов топлива, различной температуры отходящих газов и
различного избытка воздуха. Температура среды принята равной 0°.
Таблица 7. Температура сгорания, содержание в дымовых газах
углекислоты и потери от отходящих газов
Кратное
число
теоретического
количества воздуха
X
Содержание
в отходящих
газах С02
°/о
Теоретическая
температура
сгорания
°С
Потери гепла в % от фн при
температуре отходящих газов
100°
200°
300е
400°
500°
Каменный уголь. 0,78 С, 0,05 Н, 0,08 О, 0,02 НаО. %>и = 7500 кг-кал\кг
1,0
1,25
1,5
2,0
2,5
3,0
18,7
14,9
12,4
9,2
7,4
6,1
2280
1925
1660
1305
1075
915
3,7
4,5
5,3
7,0
8,6
1 ю,з
7,4
9,1
10,8
14,1
17,4
20,7
11,3
13,8
16,3
21,3
26,3
31,3
15,3 1
18,6
21,9
/8,6
35,3 1
42,0 |
19,2
23,4
27,6
36,0
44,4
52,8
Буроугольные брикеты. 0,53 €, 0,045 Н, 0,20 О, 0,15 Н20. Ьи =4800 кг-кал\кг
1,0
1,25
1,5
2,0
2,5
3,0
19,0
15,3
12,7
9,5
7,6
6,3
2090
1780
1550
1230
1025
875
4,0
4,9
5,7
7,4
9,1
10,8
8,1
9,8
11,6
15,0
18,4
21,7
12,4
14,9
17,5
22,6
27,7
32,8
16,7
20,1
23,5
30,4-
37,3
44,1 1
21,0
25,4
29,7
38,3
47,0
Бурый уголь. 0,28 С, 0,02 Н, 0,08 О, 0,54 HjO. bu = 2300 кг-кал\кг
1,0
1,25
1,5
2,0
2.5
3,0
19,4'
15,5
12,8
9,6
7,7
6,4
1640
1430
1265
1030
870
750
5,3
6,2
7,1
8,8
10,8
1 12,7
10,6
12,5
14,4
18,1
21,8
25,5
16,1
18,9
21,7
27,3
32,9
38,5
21,7
25,5
29,3
36,8
44,3
51,8
27,4
32,2
36,9
46,3
55,8
65,2
Доменный газ. 0,03 Н2 -f- 0,29 СО + 0,08 СОд -f 0,60 Na. fyu = 880 кг-кал\мг
1,0
1,25
1,5
2,0
2,5
3,0
23,6
21,0
19,0
15,9
13,7
12,1
1565
1430
1320
1140
990
895
1 5,5
6,2
6.8
8,0
9,2
10,4
11,2
12,4
13,7
16,1
18,6
21,0
17,0
18,9
• 20,7
24,4
28,1
31,8
23,0 |
25,5
28,0
33,0
37,9
42,9 J
29,1
32,2
35,3
41,5
47,8
54,0

Горение, температура воспламенений
737
При горении газов для подсчетов употребляют только
объемные количества, лучше всего Моль. Температуру сгорания t
рассчитывают по нижеследующему уравнению, если опять-таки tt —
начальная температура, а низшая теплотворность для 1 Моль $йМоль =
=24£tt/Wf8:
Ъии*+кЪ{Г[Мс&^Ъ(У"[МсА).
о о
V7 и V" — объемные количества отдельных газов до и после
сгорания, отнесенные к единице объема горючего газа. Решение
производится проше всего, если предварительно принять t по таблице
на стр. 652, а затем произвести повторный расчет. При газовых
двигателях необходимо всегда учитывать еще и остатки. При
сгорании при постоянном объеме в вышеприведенной формуле
следует заменить с через cv. Если газ не подогревается
предварительно перед горением, т. е. если tt не на много отличается от 0°,
то можно опять-таки рассчитывать по упрощенной формуле:
Фвмоль = ('-<i) 2 {У"Ще*]).
О
При сгорании при постоянном объеме наступает повышение
давления от рх до р% подсчитываемое из
JL- Rr!L
Потеря тепла от неполного горения равна теплотворности
продуктов сгорания. Если в отходящих газах учесть только окись
углерода, а в твердых остатках — только углерод, то для твердого
и жидкого топлива потеря тепла на 1 кг топлива:
Г 5710СО . п ,Q1-J
^==g[gco + co2+(1~g)8150b
где а—часть сгоревшего углерода, а СО и СОа — содержание этих
газов в объемн. един, в отходящих газах.
h) Горение, температура воспламенения, пределы и скорость
воспламенения
Интенсивное горение данного тела происходит только тогда,
когда оно нагрето до температуры воспламенения, характерной для
этого тела; такое горение продолжается до тех пор, пока
температура не опускается ниже указанной температуры воспламенения и
пока количество кислорода для горения достаточно.
При охлаждении и недостатке в кислороде горение получается
неполное (выделение сажи и т. п.).
При сгорании твердого (и жидкого) естественного топлива
сперва происходит, как и при сухой перегонке (выделение газов),
разложение топлива с выделением газообразных продуктов,
горящих пламенем.

738
Т. I. Отд. 4. Теплота. VII. Горение
Топливо, не содержащее летучих веществ, например, древесный
уголь и кокс, не горит пламенем, а лишь тлеет. В обыкновенных
колосниковых топках необходимо поэтому различать горение над
колосниками, происходящее от пламени выделяющихся газов, и
горение на колосниках, вызываемое жаром раскаленного слоя
остатков от перегонки.
Для всех родов топлива продуктами полного сгорания
являются углекислота и водяной пар.
Сажа и дым. При сгорании твердого топлива подача воздуха
сквозь колосники происходит часто неравномерно, вследствие чего
смесь из образующихся газов с воздухом оказывается
несовершенной. Кроме того, иногда выделение горючих газов (смоляных
паров и т. п.) происходит быстрее и в большем количестве, нежели
приток необходимого для полного сгорания воздуха. Часто также
образующееся пламя приходит до полного сгорания в
соприкосновение с холодными поверхностями, где охлаждается до
температуры, лежащей ниже температуры воспламенения смоляных паров.
Во всех указанных случаях получается дым и сажа. Полное
сгорание твердого топлива и его газообразных составных частей
достигается лишь путем правильного подвода воздуха.
Для предупреждения образования сажи и дыма необходимо
следить за тем, чтобы подвод воздуха и количество его
находились в правильном взаимоотношении и чтобы газам давалась
возможность хорошо смешиваться с подводимым воздухом.
Кокс, из которого удалены все газы (летучие вещества), дает
без образования сажи и дыма при полном сгорании углекислоту,
а при неполном сгорании — окись углерода.
В горелке Бунзена горение может происходить при
половинном количестве воздуха, необходимого для полного сгорания.
На внутреннем конусе бунзеновского пламени происходит сгорание воздуха
при избыточном притоке газа с образованием углекислоты, воды, окиси углерода и
водорода (равновесие водяного газа); в наружной оболочке пламени происходит при
избытке воздуха полное сгорание того газа, который раньше сгорел лишь отчасти,
причем образуется вода и углекислота; в промежуточной зоне горения не
происходит; ввиду того, что свободного кислорода не имеется, не может иметь места
и окисление, а пламя представляет собой смесь раскаленных газов, окруженных со
всех сторон чрезвычайно тонким слоем, в котором и происходит горение. При
дальнейшем увеличении притока воздуха в бунзеновской горелке происходит
обратный удар пламени, т. е. скорость распространения пламени в обратную сторону
превышает скорость вытекания воздушно-газовой смеси из горелки. Если увеличить
последнюю скорость (сжатый газ, сжатый воздух, воздуходувка), то оказывается
возможным примешивать к газу перед горением все то количество воздуха, которое
необходимо для полного сгорания; таким образом достигается чрезвычайно горячее
пламя, сконцентрированное в малом объеме (кислород со светильным газом).
Если в какой-либо точке горючей смеси вызвать ее
воспламенение вспышку), то сгорание смеои может вылиться в две формы,
совершенно отличные одна от другой. При медленном сгорании
скорость воспламенения зависит, главным образом, от
теплопроводности, теплоемкости и .от изменения скорости реакции в
зависимости от температуры. Другая форма горения зиждется на том
явлении, что воспламенение происходит в результате повышения тем-

Горение, температура воспламенения
739
пературы, вызываемого сильным давлением (компрессионная
волна). ' ,
Пределы взрываемости находятся в тесной связи со скоростью
воспламенения. Для этих пределов скорость воспламенения равна
почти нулю. Как эти пределы, так и скорость воспламенения
зависят от природы горючего газа, рода и количества газов, входящих
в состав горючей смеси и не принимающих участия в горении,
а также от размеров и формы камеры, в которой происходит взрыв.
Н э г е л ь 1) определил при помощи шарообразной бомбы
емкостью в 30 л с центральной вспышкой для смесей со
средним и высоким содержанием светильного и генераторного газов,
что скорость воспламенения почти независима от первоначального
давления. Смесь водорода и воздуха дает с увеличением давления
тем большие скорости воспламенения, чем выше содержание газа.
Область воспламеняемости газовоздушной смеси лежит между
двумя пределами: нижним — при избытке воздуха и высшим — при
недостатке его. Скорость воспламенения возрастает с возрастанием
объемного содержания в смеси горючего газа и проходит через
максимум, положение которого соответствует такому составу смеси,
при котором горючий газ не может полностью сгореть за
недостатком кислорода.
По Нейману2) смеси воздуха с парами бензина дают
наибольшую скорость воспламенения 2,6 м\сек~х и наивысшую
производительность машин при 20Уо недостатка в воздухе. Границы
взрываемости лежат при 1,40 и 4,13% объема горючего газа.
Таблица 8. Пределы взрываемости для различных газов и паров
т .mi ! —
Газы
Окись углерода ....
Светильный газ . . .
Эфир
Бензин
Процентное содержание горючего
газа в смеси
А х
S о - си
л S Z, Ч
мойа
CQ oqScs
16.4
9,4
12,3
3,2
7,8
4,0
3,9
6.0
2,6
2,6
2,3
2,3
SS-a
*° £•£ а»
О £ию
16.6 до 74.8
9.5 „ 66,3
12,5 „ 66.6
3.5 „ 52,2
8,0 . 19.0
4.2 „ 14.5
4,0 . 13,6
6.2 я 12.7
2,9 „ 7.5
2,7 „ 6 6
2.5 „ 4,8
2,5 1 4,8
<и х
« s y "*
CQ еа 2-е
75,1
665
66.9
52.4
19.2
14,7
13,7
12,9
7,9
6,7
5,0
5,0
II
Область взрывае- |
мости
простирается на °/о
возможных газо-воз-1
душных смесей |
58.4
57.0
54.3
49,0
11,2
10,5
9.7
6,7
5,0
3,9
23
2,5
A ago
х с ^ ю
£ « * .
S х * С
о еа о 1
« 2 S ч>
« я н ч
U х со аз
580 до 590
406 до 440
6'Ю
542 до 547
510
650 до 750
400
520
415
») Mitt. Forschungsarb., H. 54, изд. Vdl.
•) Mitt. Forschungsarb., H., 79, изд. Vdl.

740
JSD. I. Отд. 4. Теплота. VII. Гореяио
Определенные путем опытов величины скоростей
воспламенения и пределов взрываемости являются только лишь
относительными. Форма сосуда, в котором происходит взрыв, и род
воспламенения (искровое воспламенение, пламенное, через нагревание,
величина и сила искры) оказывают при этом влияние. Скорость
распространения сгорания во взрывчатых газовых смесях значительно
увеличивается от вихревого движения, поэтому скорости
воспламенения технических газовых смесей в газовых двигателях
значительно больше и могут быть определены только в каждом
отдельном случае.
Точка воспламенения в значительной степени зависит от
влияния каталитических веществ (влияние стенок и т. п.). При
отсутствии этих влияний температуры воспламенения значительно выше.
Для водорода в этом случае наблюдалось повышение температуры
воспламенения до 845°.
i) Газообразование (газогенераторный процесс)
Генераторный газ получается, если в шахтной печи
(газогенераторе) сквозь высокий слой раскаленного угля проходит воздух
и водяной пар. Большая часть угля сгорает первоначально в
углекислоту, которая затем в значительной своей части восстановляется
в окись углерода.
Вдуваемый водяной пар разлагается (обыкновенно только
частично) на водород и кислород. Неразложившаяся его часть
увеличивает содержание влаги в газе; если эта влага еще содержится
в газе во время его горения, то температуры сгорания понижаются.
Применение перегретого пара и подогрев вдуваемого воздуха
поэтому выгодны.
Внутренние процессы в слое топлива зиждятся на:
1) законах соотношения количеств при химических
превращениях,
2) тепловом балансе процесса, основанном на первом основном
законе термодинамики,
3) законах химического равновесия, основанных на втором
основном законе термодинамики.
Газификация углерода. 1 кг С, будучи сожжен в С02,
развивает 8150 кг-кал, а будучи сожжен в СО — 2440 кг-кал. Оба
уравнения сгорания таковы:
U2C + 2 пм* 02 = 2 ллс3 СО*+ 8150 кг-кал,
1 кг С+1 о» 02 = 2 пм* СО"*+ 2440 кг-кал.
При газификации 1 кг С освобождается,таким образом, 2440 кг-кал,
а 5710 кг-кал остаются химически связанными в газе. Коэфициент
полезного действия газификации есть отношение теплотворности
полученного газа к теплотворности одновременно сожженного угля:

Гя япобря аовя ггтт*
741
Коэфициентом полезного действия в обычном смысле можно
назвать т) только тогда, когда газ применяется в охлажденном виде,
как это, например, имеет место при газовых двигателях.
Если вместо 08 подводят воздух, то уравнение сгорания будет:
1 кг С+ 1/0,21 пм* воздуха = 2 пм* СО+ 0,79/0,21 пм* Л;
состав теоретического воздушного газа в объемн. ед. будет
0,347 СО + 0,653 N2=l.
I кг С требует подвода 4,77 пмъ воздуха и образует 5,76 пм9 газа
теплотворностью в 990 кг-кал/пм\
Путем подвода в генератор воды можно химически связать
в газе теплоту, освобождающуюся при получении воздушного газа.
Если эта теплота полностью используется для разложения воды
1 пмв Н20 жидк. + 2855 кг-кал=1 ял*8Н2 + 0,5 лл*302, т. е., если
4 = 1, то
1220 СО = 2855 Н2.
Часть необходимого для газификации кислорода берется из воздуха,
а другая часть — от разложенной воды. Поэтому содержание азота
в газе
0,79 СО — Н2
N2 = W—2
и состав теоретического генераторного (смешанного) газа
выражается в объемн. ед. следующим образом:
0,40 СО + 0,17 Н2 + 0,43 N2 = 1.
Теплотворность его будет 1630 кг-кал/пм*.
Вследствие разложения воды количество горючих составных
частей газа увеличивается с 0,347 объемн. ед. при воздушном газе
до 0,570 объемн. ед. при генераторном газе.
Определенный на основании стехиометрических отношений и
теплового баланса состав газа не может быть достигнут на практике,
так как содержание горючих газов в генераторном газе ограничено
равновесием, установление которого обусловливается температурой
и скоростью реакции, зависящих от каталитических влияний
топлива!), Получение воздушного газа происходит по реакции
С + С02 ^ 2 СО,
а получение генераторного газа по реакции
С02+Н2;=!СО + Н20.
При возрастающей температуре реакции протекают слева направо,
а при понижении температуры — обратно. На этом основании
генераторный газ содержит всегда определенное количество С02.
При умелом ведении процесса газификации газ при
нормальных условиях содержит в среднем около 25% окиси углерода.
') К. Neumann. Die Vorgange im Oasgenerator. Mitt. Forschungsarb, № 140,
Берлин. 1913 г.

742
Т. I Отд 4. Теплота. VTI. Горрние
Высший предел этого содержания простирается до 31—32%, что
является следствием очень горячего хода генератора.
Теплотворность приближается к своему предельному значению в 990 кг-кал/пм$.
При получении генераторного (смешанного) газа достижимая
теплотворность газа, а тем самыми коэфициент полезного действия
процесса зависят прежде всего от парциального давления водяного
пара в подводимой паровоздушной смеси, т. е. от соотношения
пара и воздуха в смеси. При небольшом парциальном давлении
водяного пара получаемый газ богат окисью углерода и беден
водородом, тогда как высокое парциальное давление пара дает
богатый водородом и бедный окисью углерода газ. Неизбежным
следствием является в первом случае небольшое, а во втором —
значительное содержание в газе углекислоты и водяного пара. Высота
слоя топлива должна быть тем больше, чем больше относительное
количество пара в подведенной паровоздушной струе, так как
от большей длительности реакции в слое топлива содержание в газе
углекислоты и водяного пара уменьшается.
Обозначив через СО, Н2, С02 и N2 объемные части составных
частей полученного газа, имеем следующие уравнения1):
H9 + C0 + C09 + N9=1,
2Г/79 No = 0,5 СО + С02 — 0,5 Н2 (потребный кислород),
Y) (СО + С02) = 0,7 (Н2 + СО) (тепловой баланс).
Из обоих первых уравнений находим следующие
взаимоотношения между отдельными составными частями газа:
38С02 + 23СО= 7Н2 + 8
45СО2 + 30СО+ 7 No =15
45Н3 +15CO + 38No =30
30 Н2 +23N2 = 15С02+15.
Ощущаемое тепло получаемого при газификации газа составляет
на 1 пмъ
Qf = 4150 (СО + С0.2) — 2855 (СО + Н2).
Эту теплоту можно выразить и в зависимости от двух только
составных частей газа, например:
Qf = 3270 (1 — С02) — 8150 (СО + СО*);
далее
1) = 3 - 0,8 (1 - С02)/(СО + С02).
Пусть
ф0—- высшая теплотворность для \ п м* газа,
I — количество воздуха в мъ для 1 м9 газа,
#__ количество углерода в кг для 1 пм9 газа,
W— количество разложенной воды в кг для 1 пм* газа.
») М о 11 i е г. ZdVdI. 1907, стр. 532.

Гавообразование
743
Тогда
£0 = 2855 (Н2 + СО); L = N2/0,79; К = 0,5 (СО + С02)?
№ = 0,75Н2.
Если в генератор не пропускают водяного пара, а только
воздух, то получают воздушный г а 3; состоящий из* СО, N2 и
С02, а именно:
СО = 1,652 (0,21 — С02); N2 = 0,652 (1 + С02);
0,21 — С02
tj = 0,705
0,21 — 0,39о С02 %
Водяной газ образуется пропусканием в генератор одного
только водяного пара; он состоит из На и СО, а также часто
небольшого количества СОа.
b-2S00
2000
IF- то \
/5Tfc Щ
WOO tj
soo %
tr06
\\ras 8
'ОЛ | ir
N«8
-<?./
4—0 <*>*-0
-f.o
F
В
ь-о
г
Уг
?г.
yo/,
г-'
/
*i
fffti
_JL
D
?s
#
к?
Л
z/'
У
<y»
У2
я*
'У
*V
И
А
Фиг. 14.
При получении водяного газа т) = 1,41, т. е. к генератору нужно
подводить количество тепла, составляющее 41% теплотворности
использованного углерода, что совершается на практике в период
«горячего дутья", т. е. в период получения воздушного газа,
чередующийся с периодом „холодного дутья" или получения водяного
газа.
Состав водяного газа:
Н9 = 0,5(1 + СОо);
СО = 0,5(1—ЗСОа).
„Горячее дутье* должно быть так налажено, чтобы
образовывалось небольшое количество С02; при этом газ получается с
высшей теплотворной способностью; если же образуется большое
количество С02, то процесс дает наиболее совершенное сгорание,
но при этом газ получает меньшую величину теплотворной
способности, так как теплотворная способность углерода почти полностью

744
Т I Отд 4. Теплота. Vil Гореттив
£
содержится в водяном газе. Если С02 выразить в объемных
единицах, то для „горячего дутья" имеем отношение полной
теплотворности получаемого водяного газа к теплотворности углерода:
0,4 (0,21 — СО2)/0,21 (1 + С02).
В том случае, если СО2 = 0,21, это отношение равно 0, если же
С02 = 0, то имеет место идеальный процесс воздушной газификации
и указанное выше отношение равно 0,4.
ф0, Z., К и W вычисляют и в этих
случаях по вышеприведенным
формулам.
Изменения в составе газа при
переменном ходе генератора
(изменение содержания С02) показывают
диаграммы (фиг. 14 и 15) для
генераторного и для водяного газа.
Составные части газа Н2, СО, С02, N2
являются функциями содержания СОа
и коэфициента полезного действия yj.
На оси абсцисс нанесено
содержание углекислоты (С02). Прямая ОР
при пересечении с перпендикуляром
EF дает коэфициент полезного
действия. Точка R (СО = 0) лежит всегда
на прямой DM. D имеет абсциссу i/3
и ординату 2/3, М — абсциссу 0,21 или
же вообще содержание кислорода
в подъеденном воздухе. Диаграмма
Фиг. 15. пригодна поэтому и для
обогащенного кислородом воздуха. Линия SA,
ограничивающая горючие составные части (H2-f СО), показывает
уменьшение теплотворной способности газа с увеличением
содержания С02 !).
Все предыдущие соображения относились к газификации чистого
углерода. Если приходится иметь дело с обыкновенным углем, то
в этом случае имеют значение содержащиеся в угле водород и другие
летучие составные части, а в получаемом газе будет находиться
кроме СО и Н2 еще СН4, а также тяжелые углеводы — С2Н4. Первое
уравнение из 4, данных на стр. 742, нужно заменить следующим
уравнением:
(30а + 8) С02 + (30 а— 7) СО = 8 + Н, + (52 — 30а) СН4 +
+ (74 — 30сг)С2гС
причем химические формулы обозначают объемные единицы, а
значение а дано на стр. 724, но в том случае, если в золе находится
большое количество несгоревших остатков или происходит
выделение смолы, величина а будет отличаться от вычисленной по
теоретической формуле.
') М о 1 1 i е г, Glekhungen und Diagramme zu den VorpSngen im Gasgenentoiv
ZdVdI. 1907 г., стр. 532, а также J. Hoffmann, Jwurn. f. Oasbel 1916 г., стр. 189*
с
f
Qtfr
[7
о
Si '
:k
Iro
У
| 7
] /
1/
^ 1
cA
\
/
f
/
f
H2
.
9 1
J*
И
4
i
/
/
/ 1
>
\
Щ
4 1
\Л*
4\ I
No
1 ГЧ
4s
I ч
1 I 4
1 I
в
\^c\
4
к
In
A

Гавообравованив 745
Равновесие газовой смеси. Состояние равновесия смеси газов,
между которыми возможны химические реакции, дается суммарным
давлением Р, температурой Г и количеством отдельны* газов,
выраженным через ть т2... Моль. (Обозначив через ср величину 5 — ЦТ%
мы имеем для этой смеси:
rfcp = (ЦТ2) dT—(Av/T) dP
<р=/(P,7>lt ет2...).
Диференцируя при (Р,Т const), получаем уравнение
равновесия:
или
F(P,T, mb т2. ..)=0.
Для 1 Моль одного из газов смеси имеем:
?/= -IJ-dT-ARlnPi+C,
те Р. — парциальное давление. Для всей смеси: 9 = 2(0*,^)
и
(д ср)рг = S К- д ср.) РТ + £ (срг. д/и,) рт = О,
так как первый член равен 0, то условие равновесия примет вид
S(?/rfm/)-=0.
Измененные благодаря химическим реакциям массы газов
dm1: dm2:... находятся в простых числовых отношениях: п1:п2:...
в зависимости от наличия той или другой реакции. Так, например,
при объединении массы dm1 — СО с массой dm2 — 02 в м~ссу
dmz — С02 имеем: лх = — 1, п2 = — -у и л3 = + 1» причем у масс
исчезающих мы ставим знак —, а у масс возникающих знак + •
Итак, _
2(Л/?/) = 0.
Если поставить для значений <р/ указанные выше значения,
а отношение P(l P заменить через г,- в объемных единицах для
каждого газа в газовой смеси, то
- £(/*/?/)= f S(y/^ dT—ARXnpW-AR д (lnt»i) + C
или, считая Л/? = 2, стр. 647,
ln[t?'.t?...J«i- Г^+Uffbi: *Г-In/*• + *+••■ + £

746
Т. ! Отд. 4. Теплота. VII Гороние
Величина — (+) £(л,*/) = Я при окончании химической
реакции представляет все выделившееся (или поглощенное) тепло
(теплотворная способность). Вычисления должны быть проведены
при теплотворных способностях, считая от 0°, и теплоемкостях,
зависящих от температуры. Постоянная величина С определяется для
какого-либо определенного давления и соответствующей
температуры смеси или находится по теореме Нернста из постоянных для
каждого отдельного газа.
В некоторых частных случаях бывает удобнее заменить объем,
ед. для отдельных газов их химическими формулами, помещенными
в скобках, а знаки величин nv я2.. .устранить, помещая исчезающие
вещества в знаменатели дроби, а в числители этой дроби помещая
вновь образуемые вещества.
Сжигание СО или распад СОа
ico + lo2^icoa,
[СО] [02]2 J
Отношение объемных единиц к коэфициентам разложений х
углекислоты:
(С02) » 2 (1 - х) I (2 + х); (СО) = 2*/(2 + х) и (02) = х/(2 + лг),
следовательно,
Результаты подсчетов нанесены в виде кривых на фиг. 16.
Аналогичные результаты представлены на фиг. 17 для разложения
водяного пара, согласно общей формуле:
1Н2+у02;-1Н20 1).
Температура. Влияние температуры на равновесие смеси
зависит от знака величины q. Если теплота сгорания имеет
положительный знак, то распад смеси увеличивается с увеличением
температуры. Влияние же суммарного давления зависит от знака £ (#/)•
В приведенных примерах £ (п1) = — -^-, поэтому уменьшение
давления увеличивает распад С02 и Н20.
>) S. N е г s t, В j е г г u m, S i e g е 1, Z. f. phys. Chem. 56, 79, 87. — К.
Neumann, Mitt Forschungsarb. Vdl, H. 140 — M e n z e I, Die Tiieorie der Verbrennung,
Dresden, 1924, Steinkupff.

Газообразование
747
Сгорание азота идет по схеме:
N2 + 02^2NO,
причем теплота сгорания отрицательна. Сгорание тем совершеннее,
чем выше температура. Техническое применение: получение окиси
as-
(Кб-
44-
02-
п
\сОг
/ X 3^v
,/\^< Й7|
то0
2000°
Фиг. 16.
Фиг. 17.
азота при помощи вольтовой дуги. Так как yi(nl) = 0, то влияние
давления отсутствует.
Уравнение равновесия смеси:
(NO)2
In
(N2)(02)
—1 f±-
2 J T*
dT+C,
Равновесие смеси для водяного газа.
Практически наиболее важный случай равновесия между
четырьмя газами: СО, С02, Н2 и Н20 в газогенераторных установках
для получения водяного газа. Влияние давления отсутствует, так как
2(Л/) = о.
Уравнение равновесия:
Объем ед.
In
(СО,(н2о)_ 1 Г §LdT.r
(C02j (Н2) - 2J Pfl/ + C-
По числовым подсчетам Неймана значение
дроби:
(СО) (Н20)
Я =1п
(С02) (Н2)
в зависимости от температуры может быть взято из следующей
таблицы:
* = 600 800 1000 1200 1400°
К = 0,372 0,916 1.L35 2,354 3,076

748
Т I Отд 4. Теплота. VlT Горрптто
Равновесие смеси газов в присутствии
раскаленного углерода.
Уравнение равновесия остается прежним, но при определении
теплотворной способности смеси q нужно принять во внимание
и наличие углерода. Пример: получение С02, согласно химической
формуле:
С+С02^!2СО.
Условие равновесия:
In
(СО)2 __ 1 Г
(С02)~ TJ
Т2
dT—ЫР+С.
TOUT
t-Ш
При помощи уравнений стр. 740 можно установить зависимость
объемного содержания составных частей воздушного газа от
температуры (фиг. 18).
На фиг. 19 представлена графически величина распада С02,
в СО при наличии С в пределах от 400 до 1000°.
На фиг. 20 даны кривые распада водяного пара в генераторах,
работающих с подводом воды. Кривые указывают на влияние
давления температуры.
В виду того обстоятельства, что каждое состояние равновесия
в смеси газов требует некоторого промежутка времени для своего
появления, величины измерений на самих генераторах часто не
совпадают с вычисленными величинами.

V ОТДЕЛ
Геодезия
Составил проф. П. М. Орлов
Стр.
I. Введение
Организация в ССС^ геодезиче-
с их и изыскательных работ. . 750
Картографические работы в \-CCP 751
Линейные меры 754
Угловые меры 7о4
II. Горизонтальная съемка
Обозначение точек и линий на
местное! и 755
Способы съемок 7 »6
Слособ обхода 756
Полярный способ 756
Способ координат 756
Слособ засечек 757
Приборы для измерения линий
и работа с ними 757
Угломерные инсгрументы .... 761
Теодолит 762
Лупа и микроскол 76/
Уровень , v 765
Буссоль . . .ч 7t>6
Подставки 798
Зрительная труба 767
Проверка теодолита 768
Буссоль сдио.прами* • 769
Астролябия с диоптрами и трубой 770
Пантометр и гониометр 770
Экеры 770
Эклимегры • 770
Измерение угла, ошибки его и
точность 771
Ориентирование съемки 774
Общие данные 774
Определение истинного меридиана 776
Различные случаи съемок .... 778
Вычислительные и чертежные
работы по составлению планов . . 781
Составление плана по румбам . . 781
Составление плана по
координатам 784
Вычисление площадей .... . . 790
Стр.
III. Вертикальная съемка
Техническое (геометрическое)
нивелирование 793
Нивелиры 7°5
Продольн >е нивелирование .... 8о1
Попе, ечное нивелирование • . . 804
То шое (прецизионное;
нивелирование 806
Рельеф, горизонтали и их
проведение 810
Тригонометрическое
нивелирование £12
Барометрическое нивелирование . 813
Точность технического
нивелирования, составление профиля . . 815
Разбивка кривых 818
IV. Тригонометрическая
сеть
Значение тригонометрической сети 819
Измерение Оазисов и углов . . . 820
Географические координаты . . . 824
Вычисление тригонометрической
сети 826
V. Совместные съемки
Мензульная топографическая
съемка 826
Тахиметрическая съемка 828
Наземная фотосъемка 829
Аэрофотосъемка &Ю
VI. Стоимость геодезических
работ
Сметы и нормы на геодезические
работы , ... 832

750
Т. I. Отд. 5. Геодезия. I. Введение
I. Введение
а) Организация в СССР геодезических и изыскательных работ
Разрешение разнообразных вопросов, связанных с
социалистическим строительством в СССР, требует знания территории страны,
ее топографии, чем и объясняется очень большой спрос на
топографические карты в различных районах СССР.
Общая изученность территории С^СР для инженерного дела
к 1932 г. составляла всего 13,8% всей страны. Это показывает, что
всякое нооое инженерное дело прежде всего наталкивается на
недостаточное топографическое освещение изучаемой местности,
что властно диктует необходимость производства
геотопографических работ. При общей площади СССР в 21,4 млн. км2 до
настоящего времени остаются еще огромные пространства, не
подвергавшиеся точным съемкам.
Промерить и изучить всю поверхность СССР является
потребностью народного хозяйства, которая должна быть
удовлетворена в ближайшее время: по предположениям Госплана СССР во
вторую пятилетку должно быть заснято около 16,8 млн. км'г, или
около 78% всей территории СССР.
Такой грандиозный объем предстоящих и выполняемых уже
работ требует наличия мощных геотопографических организаций,
призванных к разрешению этой задачи.
Для целей обороны страны геотопографические работы ведет
Военно-топографическое управление, ранее уже издававшее и теперь
издающее большое количество карт, главным образом средних и
мелких масштабов (1:100 000, 1 верста в дюйме и пр.). Для обслуживания
промышленности геотопографические работы производит Главное
геодезическое управление при Наркомтяжпроме (бывш. ВСНХ)
через свои местные краевые аэро-фото-геодезические тресты (Москва,
Ленинград, Харьков, Самара, Саратов, Ростов н/Дону и пр.).
При каждом аэро-фото-геотресте имеется геосправбюро, при
помощи которого можно узнать о всех работах, выполненных
на определенной территории, и можно получить списки координат
основных пунктов и отметки реперов и марок разных видхм
нивелирования.
Однако ни ВТУ, ни ГГУ до настоящего времени не смогли
полностью удовл_1ворить запросов на геотопографические работы со
стороны всех заинтересованных учреждений, а поэтому сравнительно
еще много таких работ в СССР производится различными
организациями для потребностей, связанных, главным образом,с
хозяйственным устройством и с инженерными изысканиями. Сюда следует
отнести государственные земельные тресты, краевые и республиканские,

Геодезические и картографические работы в ОСОР 751
а также специальные изыскательские организации: Гидроэлектро-
проект с его несколькими отделениями на местах, Государственный
институт проектирования водных и гидротехнических сооружений
(Гипровод) и соответствующие сектора или отделы таких
учреждений, как Нижне-Волгопроект, Наркомвод, Наркомпуть, Главное
гидрографическое управление и пр.
Ь) Картографические работы в СССР
Топографические карты изображают земную поверхность не
в строго подобном виде, а при помощи различных проекций,
дающих различные искажения в углах, в длинах линий, порознь или
вместе.
Все современные топографические карты составляются по так
называемой многогранной конической проекции,
благодаря которой планшеты имеют вид равнобочной трапеции, для
каждого масштаба определенных размеров. Эта проекция принята
Международным геодезическим конгрессом, Геодезической
конференцией в СССР и является обязательной при выполнении больших
съемок.
По международной номенклатуре вся поверхность земли
разделяется на трапеции, ограниченные меридианами и параллелями.
Счет параллелей идет от экватора к полюсам, а первым (нулевым)
меридианом считается тот, который проходит через Гринвич.
Основной международной картой считается карга масштаба
1:1000 000, или в \ см 100 км. Такая карта имеет вид трапеции
с меридианами в 4° по широте и с параллелями в 6° по долготе;
первый ряд в 4° по широте около экватора обозначается
латинской буквой А второй — буквой В и т. д. Для широт СССР ряды
обозначены буквами /, У, /С, L, M, N, О, Я, Q, /?, 5, Г, U, V. Все
ряды разделяются колоннами, идущими между меридианами. Счет
колонн идет с запада на восток и начинается от меридиана не
Гринвича, а от противоположного ему на 180°. Для СССР
получаются номера колонн карты' 1 :1 000 000 от 35 до 60. Таким образом
для любой части земной поверхности известны границы
международной карты и ее номер в виде сочетания ряда и колонны (для г.
Ташкента, напр., К — 42).
Вообще для карт различных масштабов приняты следующие
размеры:
1:1 000 000 по долготе 6°, по широте 4°
1: бииООО , ,3° 2°
1: 300 000 , .2° 1°
1-: 203 0ГЮ „ я 1°30' , „ 1°
1: 100000 „ 30' „ 20'
1: 50000 „ 13' я „ 10'
1: 25 000 „ . 7,5' , „ 5'
1: 10 000 „ . 3'45" „ „ 2'30"
1: 50U0 . 2' . I'

752
Т. I. Отд. 5. Геодезия. I. Введение
Благодаря такому ограничению размеров карт планшет каждой
карты более крупного масштаба вмещается в планшет карты более
мелксго масштаба соответствующее кратное число раз. Так, карта
масштаба 1:100 000 размещается в карте масштаба 1:1 000 0и0
всего 144 раза в двенадцати рядах; счет листов идет от 1 до 144,
.а общая номенклатура листа карты 1:100 000 будет состоять из
трех знаков, например, N—37—79.
В настоящее время топографическая съемка ведется по
преимуществу в масштабе 1 :50 (Ю0, и размеры этой карты таковы, что
4 листа карты 1:5и0и0 заполняют целиком лист карты 1:100 000.
Таким образом лист карты 1:50000 имеет обозначение, например,
N—37—79—А
Такая номенклатура и распределение на планшеты всей
поверхности земли необычайно стройно увязывает все геодезические
работы не только в пределах одной страны, но и в целых частях
света.
Многогранная проекция может применяться двумя способами:
а) каждая сферическая трапеция, ограниченная двумя меридианами
и двумя параллелями, проектируется на секущую плоскость,
проходящую через вершины данной трапеции, и Ь) сначала сферическая
. трапеция переносится на поверхность соответственно выбранному
конусу, а потом поверхность этого конуса разворачивается в
плоскость.
В общем, при втором способе построения многогранная проекция будет
представлять собой поликоническую, или многоконическую, проекцию (с
переменном конусом) с меридианами — прямыми линиями.
Старье карты, примерно до 1920 г., составлялись в различных проекциях. Так,
очень распространенна* старая карта в масштабе в 1 дюйме 6 вер_ты составлена
корпусом военных топографов в проекции Бонна, конической и равновеликой,
так как она сохраняет равенство площадей в натуре и на карте; именно эта карта
основана на простой конической проекции, у которой параллели идут в виде
концентрических кругов через Л)' по широте, причем размеры этих 20' откладываются
по действительной их величине, сообразно размерам сфероида Бесселя, на среднем
меридиане Пулкова, а для получения меридианов по параллелям откладываются
соответствующие широте размеры дуг параллелей через каждые 20' долготы;
намеченные таким образом меридианы будут и\ еть вид кривых линий, сходящихся на
полюсе. На такой карте сохраняются площади, но искажаются азимуты и углы до
2°, а длины линий до 2 U на краях карты. На рамках листа карты расстояния между
меридианами и параллелями разделены на 20 частей, по одной минуте, так что
положение меридиана или параллели данной точки на карте можно определить
с точностью до 0,Г широты и долготы. Тоже старая карта в масштабе 10 в.
в дюйме построена по проекции Гаусса ввиде измененной простой конической
проекции. Меридианы имеют вид прямых линий, сходящихся в полюсе, а
параллели представляют дуги, постепенно расходящиеся к краям карты, так как для
сохранения равенства углов отрезки меридианов между параллелями постепенно
увеличиваются с тем, чтобы отношение части меридиана к прилегающей части дуги было равно
отношению соответствующих величин на земной поверхности. Сетка меридианов
на десятиверстной карте проведена через 30' по долготе от Пулкова, а сетка
параллелей — через 30' от экватора, и расстояние между меридианами и
параллелями разделено на 10 частей по 3 минуты, поэтому географические координаты
любой точки карты можно определить с точностью до 0,3 минуты по широте и долготе.
При пользовании картами предварительно следует выяснить
все особенности каждой карты с тем, чтобы заранее можно было
знать, что именно эта карта может дать в деле изучения данной
местности.

Картографические работы в СССР
753
Необходимо выяснить:
1. Название карты.
2. Масштаб карты обычно показывается внизу лис га карты в двух
видах:«масштаб линейный и масштаб численный, а именно: в сантиметре 250 ,«, или
1 : 25 000, в сант. 500 мч или 1 : 50 000, в сант. 1000 ж, или 1 : 100 0000, в дюйме
1 верста* или 1: 42 000, в дюйме 3 версты, или 1 : 126 000, в дюйме 10 верст, или
1 : 4201 00.
3. Район распространения карты и листа. В общем, район
распространения карты того или иного масштаба на отдельных планшетах карты
не показывается, а изображается на так называемых отчетных или сборных
картах мелкого масштаба. Но этим отчетным картам можно судигь как о районе,
так и о названии карты и о количестве всех листов карты (3 в. в дюйме—584 и
10 в. в дюйме — 183).
4. Площадь и район листа. Площадь листа карты зависит от
масштаба, а район листа обычно указывается сверху листа в виде надписи названия
республики, края и пр. Один лист карты 10 в. в 1 д. покрывает площадь
в 47 500 кв. верст, лист карты 3 в. в 1 д. покрывает 3415,5 кв. верст; листы же н^вых
карт имеют непостоянные размеры, а поэтому и площади разных листов различны
и указываются внизу планшета. Примерные же их размеры для широты в 55° таковы:
лист масштаба 1 : 25 000 покрывает 98,8 км2, лист масштаба 1 : 50 000 — 296 км2, лист
1 : 100 000—1182,2 км2.
Лист военно-топографической карты 3 версты в дюйме имеет вид
прямоугольника со сторонами 58,5 X 42 см. Нумерация листов ведется по горизонтальным
рядам, счет которых идет с севера на юг римскими цифрами от I и до XXV; в
каждом ряду счет листов идет с запада на восток от 1 до 28 и далее. Таким образом
нумерация листов этой карты имеет два обозначения: ряд — римскими цифрами
и лист в ряду — арабскими, что и ставится вверху листа карты. Все листы деся-
тиверсгной карты имеют общую нумерацию от 1 до 145 + 20 листов с литерами
(А, В, С и т. д.), причем счет идет с севера на юг столбцами по первому столбцу,
потом переходит на второй столбец, опять с севера на юг и т. д. Номер карты
проставлен сверху, а по краям стоят номера соседних листов. Размер листа
карты — 48 X 63,5 см.
5. Примечания на полях карты. На полях карты 3 в. в 1 д. можно
найти указания, по каким материалам она составлена, в каком году рекогносциро-
вочно исправлена, когда нанесены железные и шоссейные дороги. Внизу карты 10 в.
в 1 д. приведены главные условные знаки ситуации и указание, что курсивные
цифры обозначают высоту в футах (7 ф. = 1 саж. = 2,13 м). Очень существенные
прибавления имеются на полях планшетов карт 1: 26 000, 1 : 50 000 и 1: 100 000.
Здесь найдем схематический чертеж рамки планшета с размерами в сантиметрах,
площадь его в кв. милиметрах, схему меридиана истинного и магнитного, с
указанием склонения в известный год; далее указано, кто и когда снимал и чертил
данный планшет и когда он отпечатан, приведены масштабы заложений; в одном из Них
уклон показан в градусах, а на другом в десятичных дробях или в тангенсах.
6. Условные знаки ситуации. Эги знаки делятся на два типа:
знаки, не изменяющиеся при изменении масштаба и дополняющие контуры карт, —
это контурные условные знаки-и знаки, несколько меняющиеся с изменением
масштаба карты,—масштабны е условные знаки ситуации. Так как на каждом
листе карты 10 в. в 1 д. показаны главные условные знаки, то здесь стоит только
указать, что на этой карте белым цветом обозначена пашня, зеленой краской —
леса, горизонтальными штрихами — болота, вода обводится тонкими линиями, цифры
под названием поселений — десятки дворов в них. На карте 3 версты в дюйме
условные значки ситуации не разъяснены, а поэтому следует предварительно
ознакомиться с ними по таблицам условных знаков. На картах 2 в. в дюйме и 1 : 25 000,
1:50 Г00 и 1 : 100 000 условные знаки соответствуют знакам, специально
проработанных таблиц.
7. Обозначение рельефа на карте. На карте 3 в. в дюйме рельеф
показан штрихами по системе Л емана, но по шкале Военно-топографического
управления, по которой покатости с углом наклона менее одного градуса ничем не
покрываются, а затем идут покатости с углами наклона в 1, 1м«» 2ч% 4, 6, 10, 15,
22, 23, 45°, которые покрываются штрихами сначала тонкими редкими, а затем
толщина и количество штрихов постепенно увеличиваются до 45° и для этого уклона
все штрихи сливаются в сплошную черную окраску. Там, где штриховка на Kapfe
темнее и гуще, там круче рельеф местности, и наоборот, где светлее штриховка, там
местность положе, с меньшими уклонами. Овраги, горы и другие резкие изломы
местности на этой карте выражаются определенно, но равнинные к низменные

?54 Т. t. Отд. Ь. Геодезия. 1. Введение
места совершенно не получают рельефного обозначения. В дополнение к штриховке
на этой карте можно изредка встретить отметки в саженях над ур внем
Балтийского моря, у пунктов тригонометрической и геометрической сети, у закладных
марок, реперов, а также иногда у уреза воды рек и озер. На этой карте рельеф
выражен наглядно, но не точно, а поэтому такая карта дает только общее
представление о рельефе, что недостаточно при современных требованиях, а поэтому
трехверстная кьрта считается неудовлетрорительной и устаревшей. На карте 1 в.
в дюйме рельеф показан мелкими штрихами коричневого цвета и, таким образом,
Выражен в самой об^ей форме. Именно этими штрихами выделяются горные хребты,
их отроги, отдельные возвышенности, но совершенно не затрагиваются пониженные
местности. Иногда можно найти на листе этой карты отметки, в футах от уровня
Балтийского моря, у точек тригонометрической сети. Значительно лучше, полнее
и точнее выражается рельеф горизонталями на карте i/s версты, 1 вер.. 2 вер.
в дюйме новых съемок и на карте 1 : 25 fin 1 :5' ОЭЭ, 1 : 100«О» новейших съемок.
Сечения между горизонталями на этих картах видны из след. таблицы. В некоторых
случаях на этих картах можно встретить промежуточные горизонтали через сажень;
встречаются листы новейших карт и с горизонталями через 2h% м.
Масштаб
Ц% версты в дюйме
1 верста „
2 версты „
1 : .5 0' О, или 200 м
1 :50 000, . 500 .
1:100 000, . 1000
в
щ
м
см
п
в см
Сечение межлу
горизонталями
2 саж.
2 .
2 »
5 м
ю .
20 w
Многие горизонтали помечены маленькими черточками, указывающими
направление ската воды, так что по такой горизонтали совершенно отчетливо видны
и сечение рельефа и его скаты На этих картах у всех точек тригонометрической,
геометрической и нивелирной сетей посгавлены отметки над уровнем Балтийского
моря соответственно в саженях или в меграх. Кроме того, многие горизонтали
подписаны (их высоты) среди планшетов и на рамках планшета; затем проставлены
отметки на всех возвышенных местах, на вершинах, у курганов, около уреза воды
в реках и в озерах, на болотах, у мельниц, мостов и пр.; внизу каждого
планшета всех карт кроме двухверстной, имеется масштаб заложений, по которому
можно судить об углах наклона и об уклоне любого направления на карте между
двумя соседними горизонталями. Благодаря такому обозначению рельефа эти карты
дают полное представлсни о топографии иесгн >см и в н стоящее время считаются
наилучшими топографическими картами. Для более глубокого изучения рельефа
необходимы съемки и изыскания еще более крупных масштабов l:10 0iO,
1:5'ХЮ и т. д., что должно производиться самостоятельно в каждом отдельном
случае.
Карты в настоящее время издаются Военно - топографическим управлением и
трестом Госкаргагеодезия и картоиздательствами краевых аэро-фото-геогрестов.
с) Линейные меры
Основной линейной мерой, применяемой при геодезических работах в СССР
в настоящее время, является метр, согласно декрету 192J г. До этого же времени
геодезические работы производились саженными мерами, а поэтому многие старые
карты и планы, не утерявшие своей ценности до сих пор, составлены в различных
масштабах с саженными размерами Оиоимы, футы, сотые доли сажени и пр.). Таким
образом и теперь еще приходится иметь дело со старыми мерами и поэтому
необходимо знать их взаимные соогношения: 1 саж. = 2,1о36 м% 1 * = и,468691 саж.
d) Угловые меры
Основной угловой мерой считается прямой угол, который делится на
девяносто частей, или градусов; градус делится на 60 частей, или минут,
одна минута делится на 60 частей, или секунд; таким образом в 1 градусе
заключается 3500". секунды могут делиться на десятые, сотые и т. д. части. Такие
деления называются старые градусные деления.
В связи с введением метрических линейных мер появились предложения

Обозначение точек и линий на местности
755
делить прямой угол не на девяносто, а на сто частей, или градов. За последнее
время это подразделение сравнительно широко распространилось в практике и часто
уже геодезические работы стали наполняться инструментами с делениями на грады.
Один град делится тоже на сто частей или содержит сто градныл, или центи*
мальных. минут (1^=100 = 100е), одна такая минута содержит сто центимальных
секунд (1' = lc = lOo"=100cc). Секунда делится на десятые, сотые и т. д. доли.
Эти деления называются новыми или десятичными. Обозначения центимальных
минут и секунд еще не установились окончательно, и здесь приводятся в
двойном виде.
Соотношения между старыми и новыми делениями даются в табличке:
1Э =1,111£... \g =0а54'.
1'«1,85185185С... 1е = 0°о'32",4.
1" = 3,08641975сс... 1СС = 0° О' о", 324.
II. Горизонтальная съемка
А. Обозначение точек и линий на местности
Съемочные геодезические работы имеют своей конечной целью
определение взаимного расположения различных точек, по которым
составляется представление о снимаемой местности.
Такие точки отмечаются на поверхности земли каким-нибудь
знаком, той или иной прочности, в зависимости от значения всей
съемки и важности в ней самой точки.
Съемки основные для других последующих работ,
долженствующие сохраняться продолжительное время, обеспечиваются знаками
особенно прочными. Особенное внимание на закрепление точек
обращается при городских съемках, требующих высокой точности;
также необходимо прочно закреплять точки тригонометрических
сетей.
Для точек полигонометрических сетей в г. Москве применяется
особый знак в виде металлической штанги, длиною в 1,5 я,
заделанной в бетон, и он служит пунктом, над которым производится
измерение углов.
Центром тригонометрического пункта обыкновенно служит
центральная точка металлической марки, вделанной в бетонный
столб или в большой камень. Для большей сохранности делаются
два центра: один на поверхности земли, а другой — под землей,
метра на 1,5—2, строго по вертикальной линии один над другим.
Для наблюдений центра из других точек над
тригонометрическими пунктами устанавливаются вышки в виде простых пирамид
или в виде сложных сигналов.
Вообще каждый закрепляемый пункт должен быть поставлен
так, чтобы он простоял возможно дольше без всяких повреждений,
а поэтому нужно внимательно выбрать для него место и придать
ему соответствующий вид.
В простейших съемках можно обходиться постановкой деревянных столбов
различных размеров, но всегда совершенно необходимо делать внизу крестовину;
та* столба» идущий в землю, обугливается, и вел столб плотно заграмбев^ваегся
*к. чтобы снаружи оставался небольшой конец в 0,5—1 м. Такие столбы, длиной

756 Т. I. Отд. 5. Геодезия. И. Горизонтальная съемка
1,5—2 м, толщиной 0,2—0,3 л*, могут служить поворотными пунктами по границам
или пунктами тригонометрической сети IV—V класса.
В городах для съемки кварталов и фасадных линий съемочными пунктами
могут служить железные барочные косгыли, размерами 0.2 м, забиваемое в асфальт
тротуаров.
При .ъемках предварительных и облегченных, в лесу и в поле, можно
применять деревянные колья небольших размеров, в 0,5—0,7 м% забиваемые в землю
и окапываемые небольшим кургаьчиком.
Для лучшей видимости, для удобства измерения линии
необходимо пользоваться вешками, которые устанавливаются в пунктах
поворота и по линии. Вехи следует делать, примерно, 1—3 м
длиной, круглые в 0,03 м, окрашенные в белый и красный цвет. Чем
точнее нужно измерить угол, тем точнее следует устанавливать
вехи над наблюдаемыми точками.
В. Способы съемок
При каждой съемке нужно так расположить измерения, чтобы
по их данным впоследствии можно было составить чертеж, на
котором в известном уменьшении и в подобном виде изобразилась бы
снимаемая местность.
1. Пусть дан, напр., некоторый неправильный восьмиугольник
в натуре. Его можно изобразить на бумаге в уменьшенном
подобном виде, если будут известны все углы 1, 2, 3, 4% 5, 6, 7, 8 и все
линии /—2, 2—3,... 5—6, 7—8 между ними. Для этого, с помощью
угломерного инструмента измеряются последовательно, обычно по
ходу часовой стрелки, все внутренние углы, начиная с перзой
точки: /, 2,... 6, 7, 8, и затем, так же последовательно, измеряются
все линии.
Такой способ съемки называется способом обхода. Способ
обхода широко применяется при землеустроительных работах, но
при его помощи не всегда удается охватить все геометрические
особенности местности.
2. Следующий способ съемки, называемый полярным,
применяется в открытом месте там, где неудобно или невыгодно
применять способ обхода.
Полярный способ заключается в том, что внутри снимаемого
участка выбирается какая-нибудь центральная точка У и из нее,
как из полюса, измеряются все углы между точками: а, б, в, г, д, е,
лежащими на границах участка, и расстояния до них от точки Л
или. другими словами, полярный сп соб дает возможность
одновременно производить съемку целой системы треугольников по
двум сторонам и углу между ними.
3. Если снимаемый контур имеет очень неправильный вид и
линии идут не прямые, а кривые, что очень часто наблюдается
в природе, то следует применять в дополнение к способу обхода
способ координат.
Например, если имеется криволинейный контур — река, овраг и т. д., то
вблизи его прокладываются прямые линии, называемое магистралями, и от них
промеряются все изгибы контура. Все промеры перпендикулярны к магистралям
и называются ординатами, а отрезки от начальной точки каждой магисграли

Способы съемок
757
до ординат называются абсциссами. Промер абсцисс всегда ведется от
начальной точки линии, т. е. от поворота.
4. Следующий способ, применяемый сравнительно редко для
определения положения отдельных точек, называется способом
засечек.
Когда бывает необходимо определить положение некоторых точек, например
1, 2, 3 относительно других А и в, то эю можно сделать так: измеряется
достаточно точно линия А—В (базис) и с концов ее (сначала с Л, потом с В) измеряются
углы на определяемые точки. Каждая из этих /, 2, 3 точек получится в вершинах
треугольников. Здесь, следовательно, решаются треугольники по стороне —
основанию и двум прилегающим углам. Положение точек /, 2, 3 можно получить
геометрически — п,строением и тригонометрически — вычислением.
5. Все описанные способы пригодны и необходимы для
измерения небольших пространств земной поверхности.
При развитии работ на большой площади эти способы сопро-
вожд1Ются значительными ошибками в углах и линиях, что
существенно влияет на положение дальних точек. Следовательно при
больших съемках в основу их надо положить такой способ,
который уничтожал бы безграничное нарастание ошибок. Это
достигается тем, что некоторые точки на местности соединяются между
собою особо точным способом, считаются опорными точками для
всей последующей съемки, и между ними ведется съемка всеми
описанными выше способами.
Этот способ съемки носит название тригонометрической
сети, или тр и а н гул я иМ и.
С/щностьего состоит в том, что избранная одна линия—баз исЛ1
измеряется возможно точным способом. С обоих концов базиса
измер* ются углы на точку А, с точки Л—на все избранные
видимые точки Е, С, В и М. Затем углы точно измеряются во всех
остальных пунктах так, чтобы в каждом треугольнике были
измерены все три угла. Взаимное расположение точек вычисляется
тригонометрически, начиная с первого треугольника, по стороне
и углам.
С. Приборы для измерений линий и работа с ними
Чаще всего линии измеряются стальной двадцатиметровой
лентой. Лента имеет длину 20 м. Каждая лента делится на метры
и на десятые доли метра.
Части, меньшие десятой доли метра, определяются по особой
линеечке с делениями или на-глаз. В качестве вспомогательной
меры употребляется стальная или полотняная рулетка, главным
образом, для измерения коротких линий.
Для более точных работ линии можно измерять деревянными
жезлами — брусками. Концы брусьев имеют оковки, которыми
они и соприкасаются.
Для самых точных работ применяются различные, так
называемые базисные приборы, в виде металлических жезлов или
проволок.

758 т- I. Отд- *• Геодезия. II. Горизонтальная съ«мкл
При измерении нужно обращать .внимание на верность самой
меры: при неверной мере получится и неверный результат. Затем
следует учитывать поверхность той местности, на которой
производится измерение: она может быть неровной, с кочками,
кустарником, пнями и т. д. Все эти условия могут вредно влиять на
результаты. Затем на точности работы может отразиться влияние
температуры на длину ленты, состояние почвы по погоде и пр. Кроме
этого, при измерении линии, по недосмотру, можно просчитать
целую меру, т. е. 20 м, перепутать метры в остатке и т. д.
Все это вместе взятое заставляет относиться к измерениям
линий необычайно осторожно. Необходимо перед работами ленту
или другой мерный прибор прозерить по всей длине и по
отдельным метрам, сличив ее с какой-нибудь надежной мерой. Такое
сличение называется компарированием. Чем точнее
предполагаются pat оты, тем тщательнее должно быть компарирование,
с учетом температуры, коэфициента расширения металла,
натяжения меры и пр.
Если в общей длине меры при проверке получится разница, то
при измерении ее следует учитывать, вычисляя истинную длину по
формуле:
L = 20 п ± nq для 20-метровой ленты;
здесь L — истинная длина линии, п — число целых лент в линии,
a q — найденная разница в длине ленты с верной мерой.
Если лента получилась короче, то нужно брать знак минус
и наоборот.
При повторных измерениях почти всегда получаются различные
результаты. Полу разность двух результатов, деленная на среднее
арифметическое этих измерений, называется относительной
ошибкой одного измерения. Эти ошибки различны для разных
приборов и зависят от условий, при которых происходит измерение.
При измерении линии необходимо учитывать рельеф местности.
В природе редко встречаются линии горизонтальные,
большинство из них наклонено к горизонту под некоторыми углами. Эти
углы называются углами наклона и измеряются вертикальными
кругами и эклиметрами. Так как в конечном итоге работ
необходимо знать не наклонные линии, а их горизонтальные проложения,
то в результат измерения следует вводить поправку за накл< н.
Если представить, что линия АС есть горизонт местности в
точке Л, то наклонную линию АВ следует спроектировать на
линию АС. Здесь угол при точке А ооозначает угол наклона
линии АВ к горизонту АС; линия АВ есть измеренная наклонная
линия, АС есть проекция наклонной линии АВ на горизонт.
AC = ABcosa. По этой формуле можно вычислять
горизонтальное проложение по наклонней линии и по углу наклона. Однако
при малых углах cos а изменяется медленно и поэтому им неудобно
пользоваться. Лучше вместо cos а ввести sin -у и по нему
вычислять поправку за наклон.

Приборы для измерений линий 759
Разность между АВ и АС называется поправкой за
наклон или АВ — АС=Х. Ее можно вычислить из формулы
АС — АВ cosa = rf cos a; или АВ — АС= X=2d-sin2~.
Иногда величину X определяют вычислениями по логарифмам,
а чаще вычисляют по специальным таблицам поправок за наклон.
Поправка за наклон всегда имеет знак минус. Для угла в 1°
поправка X равна 0,0001 длины линии, а для угла 2,5° поправка
равна 0Д01 всей длины. При измерении лентой можно пренебречь
углами наклона менее одного градуса. При точных работах углы
наклона измеряются с точностью до одной минуты, и поправки
берутся не по таблицам, а вычисляются по логарифмам, по
приведенным формулам.
Для того чтобы удостовериться в правильности измерения
линии, необходимо каждую линию промерять по
крайней мере дважды.
В круглых цифрах погрешность при измерении линии лентой
колеблется в пределах от Visco Д° V3000 всей длины линии.
При точных работах мсжно пользоваться лентой, натягивая ее
динамометрами. В таких случаях точность повышается до V^oooo»
Точность измерения линии жезлами примерно равна Vioroo*
Из сказанного виАно, что точность измерения линии мерными
приборами зависит от устройства приборов и от внешних условий,
при которых производятся работы.
Кгн^ц и начало каждой ленты отмечаются железными
колышками. Каждый р 13 лента должна укладываться строго по
измеряемой линии, встряхиваться и сильно натягиваться, чтобы она не
провисала в нерозностях местности.
Ошибки при измерении линий. Ошибки при измерении линии
лентой или жезпами многообразны, трудно уловимы и состоят из
ошибок случайных и систематических.
Случайные сшибки происходят от следующих причин:
а) плохая укладка ленты не по прямой линии (вешение), Ь)
неверность в определении угла наклона и поправки за наклон
(приведение к гориз нту), с) изменение длины ленты при разных
температурах, d) неравномерное натяжение ленты, е) провисание ленты
между неровностями почвы, f) ошибка в отметке начала и конца
ленты, g) неточный отсчет при конечной точке линии, h) общее
влияние качества почьы и погоды на измерение линии.
a) Ошибка от неправильной укладки ленты
выразится в том. что вместо прямой линии будет измерена ломаная
или кривая линия, которая больше прямой.
b) Ошибка в определении угла наклона и вообще
ошибка в приведении к горизонту совершенно того же порядка,
что и предшествующая ошибка, указ. в п. а), только первая дает
уклонения от прям й линии в горизонтальной плоскости, а вторая—
в вертикальной. Общее влияние этих ошибок будет равняться
величине корня квадратного из суммы квадратов этих ошибок.

760 т * Отд 5. Геодезия. TI Горизонтальная сье\гка
c) Ошибка от изменения температуры происходит
потому, что сличение ленты с нормальной мерой (компарирование)
происходит обычно при температуре -|-20оС, а работы
производятся при других температурах, напр. зимой при —10° С, т. е.
разность температур может достигать '60° С. Так как коэфициент
расширения ленточной стали на 1° С равняется 0,0000125, го, напр., при
15° С лента в 20 м изменится на 15 X 20X0,0000125 = 0,00675 м%
т. е. на 7 мм, что дает относительную ошибку в 1:3000.
d) Ошибка от неравномерного натяжения
происходит вследствие той причины, что при компарировании ленте
дается натяжение в 10 «г, а в работе натяжение может быть больше
или меньше 10 кг. Средних размеров и среднего веса стальная
лента в 20 м при изменении натяжения на 10 кг меняет свою длину
на 2 мм, что дает относительную ошибку 1:10000. При точных
работах требуется применение динамометров и натяжение ленты,
равное натяжению при компарировании.
e) Провисание ленты между неровностями почвы может
значительно изменить ее длину, но ошибка, отсюда проистекающая,
приобретает типичный вид случайной ошибки, происходящей от
очень разнообразного состояния почвы во время измерения.
Абсолютная величина изменения длины между концами ленты
в 20 м от неровностей может достигать 1 см, что дает
относительную ошибку 1:2000.
f) Ошибка в отметке начала и конца ленты
возникает вследствие тех приборов и приемов, при помощи которых
происходит укладка ленты у начальной точки и отметка конца
ленты.
g) Неточность отсчета на конце линии может
достигнуть 0,01 м, и влияние этой ошибки обратно пропорционально длине
всей линии, напр., на 100 м относительная ошибка получится
1:100J0.
h) Существенное значение на точность измерений линий лентой
имеют ошибки, помимо уже описанных, происходящие от общего
влияния качества почвы и погоды во время измерения
и достигающие при плохой погоде и рыхлой, мокрой почве
относительной ошибки 1 : 2и00.
Систематическими ошибками называются ошибки,
входящие в измерения постоянно и происходящие от неверности
приборов и пр.
Систематическая ошибка от неверности длины ленты
обнаруживается при компарировании и исключается. Полезно ленту
проверить до и после работ и брать средние результаты.
Объединяя все перечисленные ошибки, получим формулы:
Мг = 0,01 Y4-S + 0,005 ."^2 для местности благоприятной,
М2 = 0,01 V6-S + 0,0075• £2 для местности средней,
Мъ = 0,01 У 8 «S +0,01 •$* для местности неблагоприятной.

Угломерные инструменты
761
Здесь числовые коэфициенты получены опытным путем и
указывают предельную допустимую разность между двумя измерениями
одной и той же линии.
Так как предельные ошибки допускаются втрое более средних,
то из этих формул можно получить примерную таблицу средних
расхождений двух измерений в таком виде:
Средняя разность
между двумя
измерениями в м ,
0.10
0.25
0,50
0,75,
1,00
Средняя длина линии в м
Местность
благоприятная
178
727
1752
2807
3847
Местность
средняя
125
549
1372
2228
3076
Местность

неблагоприятная
97
446
1148
1885
2617
Определение длины ленты (компарирование).
Сличение длины ленты с нормальной линейной мерой производится
в настоящее время на специально устроенных приборах —
компараторах.
Измерение линий лентой с
Динамометром называется прибор с тугой
дающей возможность изменять напряжение,
в килограммах.
При измерении линии лентой один конец ленты совмещается с началом линии,
а к другому прикрепляется динамометр, которому придают напряжение компариро-
вания (проверки) ленты. Когда лента таким образом натянута, между ее крайними
штри ами образуется расстояние, измеренное при компарировании, и благодаря
этому приему точность измерения линий значительно возрастает (до 1 :20 000).
динамометром,
стальной пружиной,
измеряемое обычно
D. Угломерные инструменты
а) Главные части угломерных инструментов
Каждый угломерный инструмент должен иметь: а) основной
круг с градусными делениями—лимб, который должен
пригодиться в горизонтальное положение помощью уровня; линия,
проходящая через центр лимба, перпендикулярно к его плоскости,
называется в е р т и кал ьн о й осью вращения инструмента;
Ь) дополнительный круг или часть круга (линейку) для отметки на
лимбе направлений линий — а л и да ду: с) зрительный прибор для
направлений — трубу или диоптры; d) подставки для
трубы, е) горизонтальную ось вращения трубы.
Все главнейшие геодезические инструменты изготовляются по
этой схеме и отличаются между собой отделкой и различными
мелкими приспособлениями.

762 Т. I. Отд. 5. Геодезия. II. Горизояггалыгая съемка
Ь) Теодолит
На фиг. 1 представлен типичный угломерный
инструмент — теодолит, применяемый в СССР.
У него имеются следующие части: V— три подъемных винта для приведения
лимба в горизонтальное положение, С — винт для зажима оси лимба, D — винт для
медленного, микрометрического движения лимба, L — лимб, А - алидада, зажимной
винт али ад.м, микрометренный винт алидады, /—верньер для определения частей
делении лимба, а — лупа верньера, U — уровень алидады, X — буссоль с магнитной
стрелкой, Я—подставки трубы, горизонтальная ось вращения трубы, NM — зрител ^ная
труба, М — окуляр трубах, N—объектив труб.*, кремальерный винт окуляра, .S —
диафрагма и крест нитей, F — вертикальный круг для измерения углов наклона, али-
фиг« ь всего инструмента в двух
направлениях, взаимно
перпендикулярных: сначала по направлению двух винтов, а потом
по третьему, который стоит под прямым углом к линии двух
других винтов. При помощи трех подъемных винтов и уровня
дается горизонтальное положение дв*'х линий и, значит, вся
плоскость лимба также будет горизонтальна.
Ось лимба представляет вертикальный конус, который входит

Угломерные инструменты
763
во втулку. От втулки идут стержни к подъемным винтам. Ось лимба
вращается во втулке. Чтобы прекратить грубое движение лимоа во
втулке, следует пользоваться зажимательным винтом лим^а.
Когда ось лимба зажата винтом, то лимб не может
поворачиваться Однако в таком случае можно дать лимбу медленное дви- .
жение при помощи микрометренного винта лимба.
Лимб инструмента представляет ме аллический круг, на
котором нанесены градусное деления. Диаметры лимбов различны:
8, 10, 12 и более сч. Градусные деления надписываются, примерно,
через десять градусов. Каждое градусное деление делится в свою
очередь на несколько частей. Сообразно с надписями и числом
делений легко определить наименьшее деление лимба.
Деления на лимбе наносятся с большой точностью. Чтобы
предохранить деления лимба от пыли и повреждений, часто лимбы
закрываются особой покрышкой с двумя прэрезами над верньерами;
такие лимбы называются закрытыми. Деления лимба идут от
О до 360° или же от 0 до 400°.
Алидада имеет вид круга, меньшего диаметра, чем лимб,
помещается сверху лимба, имеет свою ось вращения внутри оси
лимба и может вращаться по лимбу. На алидаде расположена вся
верхняя часть инструмента: труба, буссоль, верньеры и т. д. На
алидаде отмечены два диаметрально противоположных штриха-
индекса, которые отмечают направление трубы по штрихам лимба.
Требуется, чтобы ось алидады совпадала с осью лимба, или чтобы
центр алидады совпадал с центром лимба. Невыполнение этого
условия называется эксцентрицитетом алидады.
Движение алидады по лимбу прекращается
зажимательным винтом алидады.
Медленное движение сообщается алидаде микрометре н-
ным винтом алидады.
Так как на лимбе невозможно наносить очень мелкие градусные
деления, а между тем отсчеты, соответствующие направл.ниям
линий, должны достигать точности до минуты и даже нескольких
секунд, то в дополнение к делениям лимба на алидаде наносятся
особые деления, или верньер. Верньеры служат для определения
(оценки) долей делений лимба и составляют одну из существенных
частей угломерных инструментов. Одно деление вернье, а меньше
одного наименьшего деления лимба и между ними получае!Ся
разность / — v = t, которая называется точностью
верньера;
/ = //(я+1)
или точность верньера равняется одному делению
лимба, разделенному на число делений верньера
между нулевым и конечным штрихами.
Таким образом, если нуль верньера будет стоять не против
градусного деления лимба, а между какими-нибудь делениями так,
что первый штрих верньера совпадает со штрихом лимба, то это
будет обозначать, что нуль верньера прошел по лимбу дугу от

764 Т. I Отд. 5. Геодезпя. П Горизонтальная съемка
ближайшего меньшего деления на одну точность верньера.
Если будет совпадать второй штрих, то это означает, что нуль
верньера прошел две точности и т. д. Отсюда вытекает правию
определения отсчета по лимбу и верньеру: сначала определяется
меньшее деление лимба до нуля верньера и к -нему
прибавляется отсчет по верньеру до штриха, совпадающего со штрихом
лимба. Например, нуль верньера установился между 121 и 122°,
в запись вносится 121°, далее видно, что десятый штрих верньера
совпал со штрихом лимба; значит к 121° нужно добавить 10
точностей верньера, т. е. 10/. Если / = 5\ то акончательно отсчет
будет равен 121° 50'. Чаще всего употребляются лимбы с
делением через половину градуса, с верньером в тридцать делений;
30'
в таком случае t = —=1'. Например (фиг. 2). отсчет равен 131° 44'.
Если при отсчетах ни один штрих
верньера точно не совпадает со
уштрихом лимба, а окажется, что
два соседних штриха одинаково
Фиг. 2. Фиг. 3.
близки к штрихам лрмба, то следует брать среднее арифметическое
из показаний по обоим штрихам. По двум противоположным
верньерам отсчеты должны различаться ровно на 180°. В том случае, если
алидада имеет эксцентрицитет, то отсчеты по двум верньерам будут
отличаться не ровно на 180°. а несколько больше или меньше.
Правильный отсчет будет равняться среднему арифметическому из
первого отсчета и второго, уменьшенного на 180°. Именно для
уничтожения влияния внецентренности алидлды и устраиваются лва
верньера. Градусная величина эксцентрицитета при различных
положениях алидады бывает различна и определяется как полуразность
отсчетов первого и второго, уменьшенного на 180°. Для отличия
друг от друга верньеры помечаются цифрами /, // или буквами
Л и В.
Предположим, что центр лимба (фиг. 3) находится в точке L
и центр алидады не совпадает с центром лимСа, а находится в точке Л.
Точка О соответствует началу делений лимба, нанесенных по
направлению стрелки.
Если сделаем наведение на какую-нибудь точку, и алидада
займет положение ED, то по одному ее концу получим отсчет OD,

Угломерные инструменты
765
а по другому — ОВ. Проведем через L линию, параллельную DE,
*. е. линию FC; разность дуг OD и ОС даст CD = v. или ошибку
отсчета по верньеру D, а разность дуг ОЕ и Отдаст FE = —CD =
= — х, так как деления лимба возрастают по стрелке.
Кратко можно написать:
_ ОР — (ОЕ- 180°)
*"" 2
или по отсчетам
у = 56° 14'—(236° 10'—180°) =
или эксцентрицитет алидады равен полуразности отсчетов.
Далее,
ос^ OD + (ОД-180Р)
т. е. верный отсчет равен полусумме отсчетов по обоим верньерам,
причем от одного из отсчетов нужно отнять 180°.
Пример. OD = 56° 14', 0£ = 236° 10'.
Верный отсчет:
ос= 56-14-+ (гзбпо>-ш-) = ^^
Эти два правила указывают, что и для обнаружения
эксцентрицитета и для получения верных отсчетов для данного направления
необходимо делать отсчеты по двум противоположным верньерам.
Лупа и микроскоп Так как деления лимба и верньера
нарезаются тонко и их трудно рассматривать простым глазом, то у
большинства инструментов при верньерах имеются лупы.
В точных инструментах вместо луп применяются
микроскопы. Микроскопы могут быть простые с неподвижными нитями
и с подвижными нитями и тогда называются микроскопами-
микрометрами.
Отсчет по лимбу и шкале делается так: сначала определяется
положение большого штриха шкалы между штрихами лимба 183 и
184°, берется меньший отсчет 183°, к нему добавляется число штрихов
шкалы от большого штриха до 183°, получится 3', всего 183° 3', и затем
остаток определяется на-глаз — 0,4'. Итого полный отсчет 183° 3',4.
Уровень. Уровень имеет очень важное значение во всех
геодезических инструментах, так как основа съемки требует приведения всех
инструментов в горизонтальное положение, чтобы получить все
линии и углы в горизонтальной проекции. Для уровней
приготовляются особые стеклянные трубки, внутренняя поверхность которых
шлифуется в виде .кривых поверхностей различных радиусов.
Уровни в виде трубки называются цилиндрическими. Вместо

766 'I' 1- 0ТД 5- Геодезия. И. Горизонтальная оътк&
продолговатой цилиндрической трубки для уровней употребляются
также стеклянные сосуды, верхняя крышка которых изнутри имеех
поверхность шара того или другого радиуса. Такой уровень
называется круглым.
Стеклянная трубка или шаровой сегмент уровня помещаются
в медные оправы. На поверхности уровня наносятся деления или
через 2 мм или через одну парижскую линию (2,26 мм) для
наблюдения краев пузырька.
Для уровней берутся радиусы разных размеров, от
нескольких метров до ста и более. При каждом определенном радиусе одно
деление на поверхности уровня будет малой дугой круга этого
радиуса. Эта дуга будет измерять центральный угол а, ей
соответствующий. Величина центрального угла а, соответствующего
одному делению уровня, обратно пропорциональна
чувствительности уровня, или чем меньше угол а, соответствующий одному
делению уровня, тем точнее, чувствительнее уровень.
В теодолитах применяются преимущественно уровни, в
которых дуга одного деления соответствует центральному углу в 20—
40 — 60", в других инструментах применяются и более
чувствительные уровни с ценой одного деления в 2 — 5 — 10". Цену
деления уровня можно определить на специальном приборе — экза-
минаторе, или испытателе уровней. В круглом уровне внутренняя
поверхность образуется как часть шаровой поверхности, отсеченной
плоскостью (шаровой сегмент). Круглые уровни менее
чувствительны, чем цилиндрические.
Буссоль. Буссоль состоит из круглой коробки с градусными
делениями, в центре которой на острие вращается магнитная стрелка.
Деления буссоли могут начинаться от 0° и итти против хода часовой
стрелки до 360°. Такое деление называется азимутальным.
Имеются также буссоли, в которых деления идут от 0° в обе
стороны до 90°, с одной и другой стороны; такое деление называется
румбическим.
Назначение буссоли состоит в определении магнитного
азимута или румба линии. Линия, соеАиняющая центр буссоли
с 0° деления, должна совпадать с направлением линии местности.
Стрелка буссоли вращается на шпиле, а в центре стрелки вделан
твердый минерал — а га г.
Иногда вместо полного круга для буссоли можно ограничиться
узкой коробкой для стрелки. В таком виде буссоль получает
название ориентир-буссоль.
Подставки. Подставки для зрительной трубы делаются
различной формы, с расчетом, чтобы они выдержали тяжесть трубы,
позволяли трубе вращаться и не закрывали буссоли. Конечно,
необходимо, чтобы обе подставки были равны друг другу, поэтому
при подставках имеются приспособления для изменения их высоты.
Горизонтальная ось вращения трубы лежит на подставках и
служит для поворотов трубы в вертикальной плоскости. Ось должна

Угломерные ийсгр-ум^нтЫ
161
быть хорошо отшлифована и плавно вращаться в подставках.
Изменение высоты Омной из подставок перемещает положение
горизонтальной оси вращения трубы.
Зрительная труба. Геодезические трубы делаются по типу
труб, применяемых в астрономии, поэтому они называются
астрономическими, или трубами Кеплера. Каждая геодезическая труба
состоит из двух трубок — колен: объективное колено и
окулярное. В объективном колене помещается большое двояковыпуклое
стекло — о бъе кт и в, а в окулярном—малое — окуляр. При
наблюдениях объектив направляется к предмету, а окуляр —
к глазу.
Линия, соединяющая центры объектива и окуляра, называется
оптической осью трубы.
Для точного направле- Г^^_
ния — визирования в
окулярном колене, перед окуляром
помещается диафрагма с
крестом нитей. Линия,
соединяющая центр объектива и центр
креста нитей, называется в и-
зирной осью,
геометрической осью трубы называется
ось цилиндров трубы.
Центральная точка креста нитей и
служит для визирования. Крест
нитей вместе с диафрагмой
может перемещаться винтами вверх и вниз, вправо и влево.
Окуляр в трубе имеет значение лупы, через которую
рассматривается изображение, прошедшее через объектив (фиг. 4). Для
различного глаза окуляр, как и лупу, приходится придвигать или
отодвигать от изображения. Окуляр передвигается при помощи
кремальерного винта. Так как крест нитей служит для
точного наведения на намеченную точку, то нужно, чтооы крест
нитей был отчетливо виден. Окулярное стекло нужно передвигать
до тех пор. пока крест нитей не будет виден хорошо. Такое
передвижение окулярного стекла называется установкой по глазу. Итак,
при пользовании трубой необходимо установить сначала окулярное
стекло по глазу для креста нитей, а затем, разглядывая предмет,
следует передвигать все окулярное колено кремальерным винтом
до получения ясного изображения предмета. Если эти две
установки сделать плохо, то изображение сетки нитей и предмета не
будут казаться в одной плоскости, и такое явление называется
параллаксом, благодаря которому при перемещении глаза около
окуляра вправо или влево, вверх или вниз будет казаться, что
изображение предмета и креста нитей передвигаются. Чтобы
уничтожить параллакс, нужно точнее повторить установку по глазу на
крест нитей и на предмет.
Увеличением трубы называется отношение величин углов,
Фиг. 4.

768 Т. I. Отд. 5. Геодезия. II Горизонтальная съемка
под которым виден данный предмет в трубе и простым глазом.
Увеличение прямо пропорционально фокусному расстоянию
объектива и обратно пропорционально фокусному расстоянию окуляра.
Практически увеличение трубы можно определить рассматриванием
делений рейки сразу через трубу и простым глазом в пределах
поля зрения объектива: отношение числа делений, видимых в
пределах диаметра объектива простым глазом, к числу делений,
видимых в трубу, и даст увеличение.
Особенное значение приобретает в настоящее время зрительная
труба П о р р о с внутренней передвижной линзой. Такие трубы
поставлены в нивелирах и теодолитах Цейсе а-В и л ь д а и,
повидимому, войдут во все современные инструменты. В этой трубе
установка для рассматривания предмета (фокусировка) производится
передвижением не окулярного колена, а передвижением внутренней
двояковыпуклой линзы. Одна из линз — неподвижный объектив,
другая линза — подвижная, третья линза — неподвижная окулярная,
и на ней нарезана сетка нитей, четвертая—лупа для
рассматривания изображения предмета и сетки нитей. В этой трубе линзы
А и С составляют объектив, сложный, с переменным фокусным
расстоянием, но с постоянным расстоянием от объектива до сетки нитей.
Проверка теодолита. Теодолиты бывают простые и
повторительные.
Простые теодолиты имеют такие лимбы, которые наглухо
соединены со своей подставкой, а повторительные имеют
вращающиеся лимбы.
Простые и повторительные теодолиты могут иметь то или
иное количество разных дополнительных частей.
Все проверки теодолитов разлагаются на такие приемы:
1) Проверить перпендикулярность оси
цилиндрического уровня на подставке трубы к вертикальной оси
вращения инструмента.
Для этой проверки весь инструмент приводится уровнем в горизонтальное
положение при помощи подъемных винтов; уровень устанавливается сначала по двум
подъемным винтам, и пузырек уровня этими же винтами переводится на средину
уровня; обычно для этой цели нужно винты вращать в противоположных
направлениях; затем уровень поворачивается с алидадой на 90° и его пузырек опять
ставится на средину одним третьим винтом; если уровень верен, то этими действиями
плоскость лимба будет приведена в горизонтальное положение.
Однако, чтоб!» убедиться в верности уровня, далее следует уровень с алидадой
повернуть на 180° (по делениям лимба).
Если пузырек уровня сойдет со средины уровня на несколько делений, то
это будет означать, что ось уровня не верна и ее следует поправить.
Исправительным винтом при подставке уровня нужно пузырек уровня
передвинуть к средине на половину делений, на которые пузырек отошел.
Эту проверку и исправление следует проделать несколько раз, чтобы
совершенно убедиться в исправности уровня.
Точно так же проверяется и круглый уровень.
2) Визирная ось трубы должна быть перпендикулярна
ксвоейгоризонтальнойоси вращения.
Чтобы это проверить, нужно трубу крестом нитей направить на какую-нибудь
удаленную точку и сделать отсчет по лимбу и алидаде, по обоим верньерам; затем
труба переводится через зенит, алидада поворачивается и труба опять наводится на
ту же точку; снова делается отсчет; полу разность отсчетов (с одного отсчета
скидывается 180 )дае г ошибку неперпендикулярности осей; эта ошибка называется — к о л л и*
мадионной. Она происходит от неверной установки вертикальной линии креста

Угломерные инструменты
769
нитей; поэтому, для исправления, крест нитей нужно передвинуть вправо или влево
исправительными винтами диафрагмы.
Именно, так как верный отсчет при двух направлениях трубы на намеченную
точку равен среднему арифметическому из обоих отсчетов, то микрометренным
винтом нужно установить нуль верньера на этот отсчет и потом навести крест нитей
на точку исправительными винтами.
Эту проверку и исправление также следует проделать несколько раз.
3) Горизонтальная осьтрубыдолжна быть параллельна
плоскости лимба (подставки трубы должны быть равными) или
перпендикулярна вертикальной оси вращения алидады.
При этой проверке инструмент приводится строго в горизонтальное положение;
затем трубу направляют на близкую, но высокую точку; далее трубу
следует опустить и внизу, на одном уровне с лимбом инструмента,
под верхней точкой нужно наметить нижнюю точку против креста нитей; труба
переворачивается через зенит, снова наводится на верхнюю точку и опять опускается
до уровня нижней точки; если крест нитей точно ее покроет, то это будет означать,
что горизонтальная ось параллельна плоскости лимба; в противной случае одна из
подставок трубы изменяется исправительными винтами так, чтобы крест нитей
проходил через верхнюю и среднюю нижнюю точку.
Эти проверки — общие для всех теодолитов.
Дальше, в зависимости от наличия дополнительных частей применяются проверки
этих частей.
4) Если при трубе имеется вертикальный круг или сектор со своей алидадой, то
предъявляется требование: когда нули верньера алидады
совмещены с нулями вертикального круга, визирная ось
должна быть горизонтальна.
Для проверки нужно инструмент привести в горизонтальное положение, навести
точно центр креста нитей на какую-нибудь высокую точку и сделать отсчет по
вертикальному кругу; затем труба переводится через зенит и снова направляется на
ту же точку; опять делается отсчет; полуразность даст ошибку, а верный угол
наклонения будет равен полусумме отсчетов. Перед каждым отсчетом пузырек
уровня при вертикальном круге ставится на середину микрометренным винтом
алидады.
Для исправления нужно передвинуть весь верньер на эту ошибку или вводить
ее в каждый отсчет, уменьшая или увеличивая его, в зависимости от знака ошибки.
с) Буссоль с диоптрами
Буссоль состоит из коробки с магнитной стрелкой, линейки-
алидады, на концах которой стоят диоптры и баксы, которой
буссоль прикрепляется к штативу.
Проверки буссоли:
1) Стрелка должна быть хорошо намагничена; плохо намагниченная стрелка,
будучи выведена из своего покойного состояния железом, очень медленно
устанавливается на прежнее место, а хорошо намагниченная — быстро. Для намагничивания
стрелка последовательно, из конца в конец, натирается магнитом.
2) Стрелка должна вращаться на шпиле свободно; если стрелка при вращении
испытывает большое трение, то она не будет устанавливаться на прежнее место,
будучи выведена из покойного состояния, а будет застревать на разных делениях
буссоли и тогда нужно будет заострить шпиль или переменить агат.
3) Магнитная стрелка не должна иметь эксцентрицитета, т. е. должна вращаться
точно в центре кольца буссоли. Эксцентрицитет обнаруживается отсчетами по обоим
концам стрелки; полуразностЪ отсчетов дает эксцентрицитет, а верный отсчет равен
полусумме.
4) Магнитная ось и геометрическая ось стрелки должны совпадать. Для
проверки делается отсчет по концам стрелки, затем шляпка стрелки вывинчивается
и ввинчивается на другую сторону стрелки, опять делается отсчет, расхождение
отсчетов покажет на несовпадение осей. Для исправления следует стрелку сбоку
обточить.
б) Диоптры имеют вид планок, в которых сделаны прореа^ с волоском и без
волоска; узкая щель и волосок служат плоскостью визирования; эта плоскость
диоптров должна быть вертикальной при работах; проверяется это условие по шнуру
49. Hutte, Справочник для инженеров, т. I.

770 Т I. Отд. 5 Геодезия. II Гормзоягалъная съемка
с- 01 весом. Иногда вместо диоптров в буссоли прикрепляется труба. Проверки ее
одинаковы с проверками трубы теодолита.
6) Плоскость диоптров или трубы должна проходить через линию нулей конца
буссоли. Для проверки между диоптрами натягивается нить, а на объектив трубы
надевается крышка с отверстием; по нити или в отверстие крышки можно заметить
ошибку. Исправить можно только в мастерской.
d) Астролябия с диоптрами и трубой
Астролябия состоит из лимба с диоптрами, который
прикрепляется к штативу, на лимбе — буссоль с алидадой и диоптрами,
вращающаяся вокруг вертикальной оси. Бывают астролябии и
с трубой. У таких инструментов вместо диоптров поставлена
труба. Проверки их сходны с проверками теодолитов. Точность
верньеров в 1—2'.
е) Пантометр и гониометр
У пантометра лимб и алидада имеют вид высоких цилиндров,
стоящих один на другом. Благодаря такому устройству черточки
делений лимба и алидады пантометра имеют вертикальное
расположение. Передвижение алидады по лимбу производится по зубчатке
винтом под лимбом. Точность верньеров 2'. Для измерения углов
наклона имеется сектор.
Кроме этого, у пантометра имеется буссоль, уровень и
несколько прорезов (диоптров) для построения прямых углов.
Проверки пантометра сходны с проверками астролябии и теодолита.
Если с пантометра снять трубу, то получится инструмент —
гониометр, которым углы измеряются помощью диоптров, помещенных
на алидаде. Иногда гониометр применяется для быстрых построений
прямых углов.
f) Экеры
Экерами называются приборы для построения постоянных
углов в 90/45, 135° и т. д. Экеры служат для восстановления
и опускания перпендикуляров и для самых простейших съемок.
Экеры имеют разнообразнейшее устройство, в зависимости от
применения тех или иных оптических приспособлений. У
восьмигранного экера диоптры расположены так, что их плоскости образуют
углы в 90, 45 и 135°. В двухзеркальном экере два зеркала
установлены под углом в 45°.
Призменный экер имеет вид маленькой стеклянной
прямоугольной призмы в оправе с ручкой.
g) Эклиметры
Эклиметрами называются инструменты для измерения
вертикальных углов, для определения горизонтального положения
наклонной линии или для определения поправки за наклон.
~ Если через АВ обозначим 'измеренную наклонную линию,
через АС — ее горизонтальное («роложение, через о — угол наклона

Измерение угла, ошибки его и точность 771
линии АВ к горизонту, через X = АВ — АС, т. е. поправку за
наклон, то Xs= AB • sin2 -у. Для решения этих формул нужно в
натуре измерить длину АВ лентой и угол наклона а — эклиметром.
Эклиметры имеют разнообразные устройства, но приемы по
определению угла наклона являются для всех эклиметров
одинаковыми и состоят в том, что в точке А эклиметр устанавливается
или на подставке или удерживается рукой над точкой Л, на
некоторой высоте; в точке В ставится отвесно веха, на которой
отмеряется и отмечается каким-нибудь знаком (бумажкой, щитком,
планкой) та же высота.
1« Эклиметр с отвесом. Наиболее простым эклиметром будет медный
полукруг с градусными делениями, в центре которого прикреплен на оси отвес, сверху
полукруга помещается линейка для визирования и весь прибор шарниром
прикрепляется к полу, который при работе укрепляется в земле. Чтобы измерить угол, на
вехе отмечается высота эклиметра, на отметку наводится линейка и по нулю отвеса
делается отсчет градусов, который и дает от 0е угол наклона линии.
2. Зеркальный эклимегр Тесдорфа. Этот эклиметр состоит из подставки,
к которой шарниром прикреплена визирная трубочка; на трубочке прикреплен
полукрув с делениями так, что ось трубочки параллельна диаметру полукруга;
в центре полукруга на оси помешается небольшой уровень и линейка с указателем;
уровень и указатель соединены между собой и могут сообща менять свое г
сложение так, что когда пузырек уровня находится на его средине, ось уровня будет
горизонтальна, а средняя линия указателя вертикальна, т. е. будет заменять отвес
простого эклиметра. Для наблюдения за положением пузырька уровня в верхней
части трубочки сделан вырез и в самой трубочке поставлено, зеркало так, что
изображение пузырька отражается и делается видимым в окуляре визирной
трубочки вместе с вехой; зеркало в трубочке закрывает половину поля зрения.
3. Эклиметр Брандиса. Этот эклиметр имеет вид трубочки с диоптром
и с вертикальным кругом с градусными делениями; центр круга совмещается
с линией визирования, и круг вращается на горизонтальной оси под влиянием
небольшого груза; для лучшего отсчета градусных делений к трубочке прикреплена
лупа; ниже нуля для углов повышения имеется знак ( + ), a Boiiiie нуля для углов
понижения знак ( —). Если визирная ось трубочки направлена по горизонтальной
линии, то нуль вертикального круга и нить диоптров совпадают и дают одну
линию. В нерабочем состоянии вертикальный круг зажимается пружинкой. При
визировании пружинка отпускается, а в момент отсчета зажимается. Отсчет, т. е.
величина угла наклона, соответствует тому градусному делению на вертикальном
круге, которое приходится на продолжении горизонтальное линии диоптров.
Отсчет делается с точностью до Чл°. результаты измерения используются по
вышеприведенным формулам.
Е. Измерение угла, ошибки его и точность
Для измерения угла прежде всего каждый инструмент
центрируется над данной точкой, обычно по отвесу, потом приводится
в горизонтальное положение; затем визирная ось или
коллимационная плоскость инструмента поочередно наводится на сигналы,—
вехи, пункты или точки, между которыми измеряется угол; каждое
направление отмечается на инструменте, и разность двух соседних
отсчетов дает угол между данными направлениями. Чтобы суметь
точно измерить угол, нужно знать природу всех частных ошибок,
возникающих при измерении угла, и нужно всемерно стремиться
к уменьшению их влияния. Перечислим эти возможные ошибки.
49*

772 Т * 0тД- 5- Геодезия. II Горизонтальная съемка
1. Центрирование. При неточной центрировке может
оказаться (фиг. 5), что центр инструмента стоит не над вершиной
угла С, а над некоторой точкой Cv на расстоянии т и под
углом у к измеряемой линии Q/4. Таким образом вместо угла С
будет измерен угол Q, отличающийся от С на некоторую
величину К\ изменяющуюся в зависимости от расстояния CCt = m,
угла СС{А=у и сторон СА = а и СВ = Ь. Общая поправка
к углу Сь обозначенная через К\ равняется
ir/-v-Lv - m'siny m-s\n(y + C1)_ m /siny sinjy+C^
А -Vr**- fr.sinl' л-sinl' ""sin 14 b a )'
Из этой формулы видно, что К' увеличивается с увеличением т
и с уменьшением а и bt и обратно.
Фиг. б.
При \п «= 0,01 л, а = Ь = 100 Л€, у = 90° иС, = 180° получим,
что ЯГ' = 0,7'. Отсюда можно сделать вывод, что чем точнее
требуется измерить угол, тем меньше должна быть ошибка в
центрировании.
2. Редукция, или поправка в направлении за неверное
стояние сигнала. При наведении визирной оси на необходимую
точку часто приходится ограничиваться наведением на тот сигнал,
который поставлен в точке для ее видимости. При наведении же
на сигнал, очевидно, нужно требовать, чтобы сигнал стоял точно
по вертикали над данным пунктом. Практически приходится
визировать на веху, столб и пр. и нужно, чтобы они стояли вертикально
над пунктом. Случается часто, что сигнал наклонился, вышел из
вертикального положения; пункта под ним не видно, и приходится
визировать на вершину неверного сигнала, что вызывает ошибку
в направлении.
т
a«sinl
Здесь т — расстояние уклонения визируемой точки сигнала
в перпендикулярном направлении от линии и а — длина линии; так
как m = /Z'Sinp, где Л —высота визируемой точки сигнала
и р — угол его наклона от вертикали, то
Л • sin p
а • sin Y

Измерение угла, ошибки его и точность
773
Отсюда видно, что ошибка эта пропорциональна высоте
сигнала, углу его наклона и обратно пропорциональна длине линии.
Поэтому всегда следует заботиться о правильной постановке
сигналов, особенно при коротких линиях.
3. Негоризонтальность лимба. Горизонтальные углы местности
должны измеряться на горизонтальном же лимбе. Если лимб не
приведен в горизонтальное положение, а составляет с горизонтом
небольшой угол, то отсчеты на нем будут заключать некоторую,
правда незначительную, ошибку. Именно при наклоне лимба к
горизонту даже на 20' (что очень невероятно при уровнях с
делениями в 30 — 60") ошибка отсчета не превысит одной угловой
секунды.
4. Ошибка визирования. Эта ошибка зависит от устройства
визирной части инструмента и, конечно, тем меньше, чем больше
увеличение трубы и чем лучше виден визируемый сигнал.
5. Ошибка отсчета.
Ошибка отсчета прежде
всего зависит от
точности верньера, а так как
часто ни один штрих
верньера не совпадает
со штрихом лимба и
приходится брать среднее
между двумя
симметричными штрихами
верньера, то ошибку отсчета
здесь можно принять за
половину точности
верньера. Далее, на точность
отсчета влияет
эксцентрицитет алилады, а
поэтому совершенно
обязательно производство
отсчетов по всем
верньерам алидады и вывод среднего из минут и секунд. В каждом
угломерном инструменте возможны случайные или систематические
ошибки делений лимба, могущие влиять на точность отсчета, а
поэтому также необходимо повторять измерение угла на разных частях
лимба, для чего каждый раз после одного измерения угла лимб
передвигается на некоторый угол и из всех измерений вычисляется
среднее.
6. Наклон горизонтальной оси вращения трубы. Если ось
вращения трубы горизонтальна, а визирная ось к ней
перпендикулярна, то коллимационная плоскость трубы при визированиях всегда
будет вертикальна (фиг. 6), и измеряемый горизонтальный угол
между точками А и В измеряется на горизонтальном лимбе между
Двумя вертикальными плоскостями дугою А^. Но если ось не
горизонтальна, то отсчеты на лимбе будут а и Ь% что поведет
к ошибке в угле, ибо дуга АХВХ не равна дуге ab.
Лимб
Фиг. 6.

774 т г ^ТД 5 Геодезия. II Горизонтальная съемка
Из сферического треугольника ZB можно написать соотношение
bBt = h tg a.
Эта формула показывает, что в отсчеты входит ошибка от
наклонности оси вращения трубы, и что эта ошибка прямо
пропорциональна ошибке в положении оси и прямо пропорциональна
тангенсу угла визирования, т. е. чем выше точка, тем больше ошибка
в отсчете.
Если допустить, что /=1', то при а = 45° ошибка в отсчете
тоже будет равна V. Это правило следует помнить особенно при
измерении углов между двумя точками с разными высотами
(сигнал и земля, в' горах и т. д.), когда надо хорошо выверить
уровни и ось, приводить инстру-
Z, Z мент в горизонтальное положение
и измерять угол при двух
положениях трубы.
7. Коллимационная ошибка,
или ошибка от
неперпендикулярности визирной оси к
горизонтальной оси вращения, приводит
к тому, что визирная ось
описывает не вертикальную плоскость
ZA (фиг. 7), а некоторую,
коническую поверхность, дающую дугу
малого круга ZtB, отстоящую от
вертикальной плоскости ZA на
дугу АВ = С, или на
коллимационную ошибку. Для точки М
влияние коллимационной ошибки на отсчет выразится в виде дуги
В^А=у9 где у = C'Seca. Так как sec a всегда больше единицы, то
ошибка в отсчете всегда будет больше коллимационной ошибки;
только при a = 0°, у = С. Так как коллимационная ошибка
исключается при наблюдениях при разных положениях трубы (круг
вправо и круг влево), то подобный прием измерения угла
обязателен для уточнения измерений.
F. Ориентирование съемки
а) Общие данные
Ориентировать съемку — значит определить
расположение данного участка земли или одной линии относительно стран
света.
Направление меридиана, проходящего через данную точку
земной поверхности, укажет направление север — юг. Линия,
перпендикулярная к меридиану, дает направление восток — запад. Линии
местности могут иногда совпадать с этими основными
направлениями, но чаще всего они идут, уклоняясь от них, и занимают
промежуточное положение.
На фиг. 8 через данную точку Р могут проходить линии раз-

Ориентирование съемки
775
Запад
личных направлений. Так, направление из точки Р на точку А идет
между севером и востоком, такое направление называется
северовосточным; линия РВ идет на юго-восток; линия PC-г на юго-
запад и линия PD — на северо-запад.
Углы, обозначенные на чертеже стрелками, называются
румбами. Румбом считается угол между ближайшим направлением
меридиана и данной линией, румб измеряется, следовательно, от
северного или южного направления меридиана в обе стороны от
О до ^0°. Например, может быть румб
линии СВ: 54° 13', ЮВ: 71° 28', ЮЗ:
18° 13' и СЗ: 66° 51'. Мер,
Одна и та же прямая линия
пересекает различные меридианы под
различными углами, так как все
меридианы не параллельны между собой
и сходятся в полюсах. Разность между
румбами одной и той же линии при
различных меридианах называется
сближением меридианов,
служит меркой непараллельности их и
выражается приблчженной формулой.
Ь = X. sin ср.
Здесь 5—сближение меридианов,
X — разность долгот двух меридианов
и с? — средняя широта точек
пересечения меридианов прямой. Фяг. 8. .
При 9 = 50° и X = 4' = 4754 м
Ь = 3'.
Это означает, что если измеряемый участок имеет ширину по
параллели, примерно, 4,5 км, то меридчаны.крайних тачек
сближаются на 3'.
При 9 = 50° и X = 13' или при X—равном, примерно, \Ъ км,
Ь = 10'.
Каждая линия, например ААЬ имеет прямой румб г; если же
направление той же линии считать обратно, то получается обратный
румб (линия АХА) — rv Прямой и обратный румб прямо
противоположны по названиям. Что касается величины прямого и обратного
румбов, то для коротких плоских прямых линий их можно считать
одинаковыми, но для больших линий приходится учитывать
различие в величинах румбов или, что одно и то же, — сближение
меридиана.
Румбы линий отсчитываются или от северного, или от южного
направлений меридиана; если же определять отклонения двух линий
только от северного направления меридиана, то образуются углы,
называемые азимутами. Азимуты могут измеряться от 0 до 360°,

776 т- I- 0ТД- 5- Геодезия. II. Горизонтальная съемка
и разность двух азимутов равняется углу между этими линиями
(фиг. 9).
Часть чертежа между севером и востоком называется первой
четвертью, между востоком и югом —второй четвертью, потом
идет третья четверть и четвертая. В первой четверти азимут
заключается между 0 и 90°, во второй — между 90 и 180°, в третьей —
между 180 и 270° и в четвертой — между 270 и 360°. Соотношения
между румбами и азимутами можно написать так:
Для первой четверти азимут аг равен румбу гх или
для первой четверти с^ = гх или гх = ах
. второй , а2=180° —г2 , г2 = 180° — а2
. третьей , аз = 180° + г3 . г3 = аз-180°
. четвертой , а4 = 360°—г4 „ г4 = 360о —а4-
На этих соотношениях
основано перечисление азимутов
в румбы и обратно. Азимут для
одной и той же прямой линии
может быть прямым и обратным.
Прямой азимут равен обратному
азимуту плюс или минус 180° и
плюс о — сближение , меридианов
при больших линиях, т. е.
ах = а2 ± 180° + &.
а для малых расстояние
«1 = «2 ± 180°.
Фиг. 9. Направление считается
прямым тогда, когда многоугольник
обходится по направлению часовой стрелки; обход в
противоположном направлении считается обратным.
Ь) Определение истинного меридиана
Направление истинного, или географического, меридиана можно
определить по небесным светилам: солнцу.и^звездам.
Определение истинного меридиана по солнцу. Несложно и
достаточно точно определение истинного меридиана по способу
соответственных высот солнца. Часа за три до полудня устанавливают
теодолит на открытом месте, приводят его в горизонтальное
положение и через закопченное стекло или через призму с красным
или синим стеклом наводят трубу на край солнца. В этот момент
записывают показания часов и делают отсчеты на лимбе и
вертикальном круге. Затем, не меняя положения трубы по высоте,
а только передвинув ее с алидадой, ждут после полудня того
момента, когда солнце коснется нитей другим своим краем и тогда
делают отсчет на часах и на лимбе. Полусумма отсчетов на лимбе

Ориентирование съемкк
777.
даст приближенный отсчет, соответствующий направлению визирной
оси на юг. Например II отсчет—-208° 15х, I отсчет—163° 17',
средний отсчет —185° 46'. Если алидаду поставить на этот средний
отсечет, то визирная ось трубы пойдет приближенно на юг. Этот отсчет
нужно исправить за изменение склонения солнца. Если наблюдения
производятся между 22 декабря и 21 июня, то средний отсчет на
лимбе нужно уменьшить на поправку, если же наблюдения
проделаны между 21 июня и 22 декабря, то поправку нужно прибавлять
к среднему отсчету.
Итак, истинный отсчет будет
208<ЧУ + 163°1Г_^185О46,_^
t« да
Здесь К — поправка = j■-, которую нужно вычислить.
В этой формуле t—половина времени от первого наблюдения
до второго, выраженного в минутах; До — изменения склонения солнца
в одну минуту времени; <р— географическая широта, получаемая
по карте местности возможно точнее (до минуты), 15 t — половина
времени от первого наблюдения до второго в часах и умноженное
на 15 градусов (время, обращенное в градусную меру). Поправку К
находят логарифмированием. Вычислив поправку, изменяют средний
отсчет; затем трубу наводят на предмет и определяют угол между
ним и югом, а по этому углу вычисляют азимут линии.
Наблюдение солнца следует проделать 2—3 раза до полудня
и при том же круге, Желая отсчеты на лимбе и на вертикальном
круге. После полудня ставят трубу по соответственным отсчетам
на вертикальном круге, ждут момента наблюдений, замечают время
и отсчет на лимбе. Из полученных результатов берут среднее.
На другой день полезно наблюдения проделать при другом круге
и тоже взять среднее.
Определение истинного меридиана по наблюдениям
соответствующих высот звезд. Хорошо выверенный теодолит
устанавливается ночью на таком месте, чтобы были видны звезды
и какой-нибудь светящийся предмет (фонарь на столбе, лампа и т. п.)
на расстоянии 500—600 м. Чтобы сетка нитей в трубе была видна,
необходимо ее осветить. Для этого на объектив трубы надевается
кольцо с металлическим зеркалом, которое сбоку освещается
фонарем. Лучи света отражаются от зеркала и освещают сетку.
Приводят инструмент строго в горизонтальное положение и делают
отсчет на предмет. Затем выбирается звезда, близкая к
кульминации, т. е. близкая к прохождению через меридианы ниже
Полярной звезды. Крест нитей наводится на звезду, и на вертикальном
и на горизонтальном лимбах делаются отсчеты. Таких наблюдений
Делается несколько, в то время как звезда повышается или
понижается. После того как звезда, достигнет нижней кульминации
и начнет повышаться, трубу ставят на соответствующие отсчеты
по вертикальному кругу н ждут (передвигая алидаду), чтобы звезда

778 Т. I. Отд 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
снова" прошла через крест нитей. В таком положении делают
отсчет по лимбу. Полусумма отсчетов на лимбе даст отсчет,
соответствующий направлению меридиана на север. Снова делают
отсчет на предмет.
Магнитная стрелка. Так как магнитная стрелка дает направление относительно
стран света, то при геодезических работах она применяется часто. Известно, что
магнитная стрелка устанавливается по направлению магнитных сил, как бы
исходящих от магнитных полюсов.
Наблюдениями установлено, что магнитная стрелка дает направление
магнитного меридиана, почти всегда не совпадающего с географическим, или истинным,
меридианом и уклоняющегося от него к западу или к востоку. Угол между
истинным меридианом и магнитным называется углом склонения и может быть
западням и восточным. В зависимости от положения точки наблюдения
относительно магнитных полюсов находится величина угла склонения. Следовательно,
в различных точках земной поверхности могут быть различные склонения. Линии,
соединяющие точки с одинаковыми склонениями магнитной стрелки, называются
изогонами.
Многие наблюдения показывают, что в данной точке направление магнитного
меридиана не постоянное, а меняется постепенно в большие периоды времени
(около 450 лет). Это изменение склонения может дойти до наибольшего значения
на запад, потом поворачивает обратно, достигает крайней точки на востоке и идет
назад. Такое изменение стрелки называется веков ыгм. Значит, в разные эпохи
магнитная стрелка имеет различное направление. Это обстоятельство очень важно
при пользовании старыми планами и картами.
Кроме векового изменения склонения магнитного меридиана, замечено суточное,
достигающее la—le^.
Далее на .магнитную стрелку действуют магнитные бури, заставляющие
стрелку иногда изменять свое положение до полуградуса. Магнитные бури являются
обычно в связи с северными сияниями и солнечными пятнами. Суточное изменение
и магнитные бури, учет которые невозможен при практических работах с магнитной
стрелкой, вынуждают пользо_ваться указаниями стрелки с точностью не более
16 минут.
Наконец, магнитная стрелка подвержена влиянию электрических токов (телефон,
телеграф), железа (рельсы, железные крыши, железные части инструмента и т. д.),
поэтому при работах с магнитной стрелкой следует соблюдать большую
осторожность.
- Для каждой линии местности можно определить угол между нею и магнитным
-меридианом, подобно -углу между линией и географическим меридианом. Угол,
считаемый .между линией и ближайшим концом магнитного меридиана, называется
магнитным румбом; а угол между северным концом стрелки и линией —
магнитным азимутом. Соотношение между магнитными азимутами и
магнитными румбами то же, что и у географических, или истинных, азимутов
-и румбов.
Угол между магнитными азимутами или румбами и истинными азимутами
или румбами также называется углом склонения. Иногда встречаются местности,
в которых наблюдается резкое изменение склонения магнитной стрелки, что
указывает на местные магнитные аномалии.
Перед работами стрелка должна быть хорошо намагничена естественным или
искусственным магнитом. Хорошо уравновешенная стальная намагниченная стрелка,
будучи намагничена, теряет равновесие и получает некоторый угол наклонения
к горизонту.
Для различных точек земли и угол наклонения различен. На магнитных
полюсах и в местах сильной магнитной аномалии стрелка становится вертикально.
Линии, соединяющие точки с одинаковами углами наклона, называются
изоклинами.
С течением времени намагниченная стрелка теряет постепенно свою силу,
напряжение.
О. Различные случаи съемок
Каждый снимаемый участок в натуре имеет свою определенную
границу, состоящую из ряда линий.

Различные случая съемок 779
При общем осмотре участка нужно наметить повороты или
вершины углов; кривые линии (живые урочища) заменяются
прямыми линиями, или магистралями. От вершины до вершины линии
должны быть прозешены и подготовлены для измерений.
Важной частью полевых съемочных работ является ведение
записей. В поле записывается весь цифровой измерительный
материал с таким расчетом, чтобы по нему можно было составить
чертеж. Очевидно, что эти все записи должны быть ясными,
верными и полными, иначе трудно будет составить верный план.
В поле надо записывать все размеры граничных линий, все
промеры ситуации, все углы и другие детали съемки. Все главные
промеры записываются в геодезический журнал. Для
удобства следует журнал вести по разработанной форме. Кроме
журнала, необходимо составлять в поле приближенный
чертеж снимаемой местности со всеми цифрами измерений*
Такой чертеж называется абрисом, кроком.
Журнал и абрис должны быть безукоризненными по чистоте,
ясности и точности записей и вырисовке подробностей снимаемого
участка.
Углы измеряются каким-либо угломерным инструментом.
Результаты измерения углоз заносятся в особый журнал (правая страница
абриса) в определенном порядке.
Каждый угол измеряется дважды, с переводом трубы через
зенит и, если инструмент повторительный, с перестановкой лимба.
Отсчеты берутся по обоим верньерам и из минут берется среднее.
Из двух полученных углов берется среднее.
Геодезический журнал
56
9 S
о а
51
2
X
1 № точек
1 наблюден!
1
3
1
3
Верньеры
I
круг
218°«0'
104П8'
круг
40-51'
286*26'
II
право
41
17
лево
51
27
Средний
отсчет
218*40,5'
104в17,5'
40J°
40*51'
286°26,5'
Угол
114э23'
114°2,5'
Средний
угол
114в23,75'
•
Угол
наклона
1-2
5*30'
Мера
линий
1-2
124,51
Примечание
Румб
линии 1—2
СВ.: 44П5"
Если у инструмента имеется вертикальный круг или сектор,
то для наклонных линий измеряются углы наклона сразу для всей
линии или по частям, если линия меняет уклоны. При измерении
угла наклона линии в ее начало ставится инструмент, а в конец ^-
веха; предзарительно на вехе обозначается высота инструмента; затем
нужно трубу навести горизонтальной средней нитью на веху, на

780 т- I- Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
отметку высоты инструмента. Высотой инструмента считается
расстояние от земли до горизонтальной оси вращения трубы.
Первый румб или азимут определяется по магнитной стрелке
или по небесным светилам.
При съемке астролябией и буссолью румбы измеряются в
начале и в конце каждой линии, т. е. измеряются прямые и обратные
румбы или азимуты. Каждый раз отсчет производится по обоим
концам стрелки и берется средний результат ддя уничтожения
влияния эксцентрицитета стрелки.
Прямые и обратные румбы или азимуты не должны отличаться
друг от друга более, чем на х/2—У40. Большая разница покажет
на действие какой-нибудь силы на магнитную стрелку, что и нужно
выяснить на месте (железная крыша, электрические провода и пр.).
По измерении угла и румбов можно их взаимно проверить по
таким соотношениям: если линии имеют одинаковое направление
(напр. СВ: 66° и СВ: 53°), то астролябический угол (меньший 180°)
равен 180° — (66° — 53°) = 167°, т. е. равен 180° без разности румбов;
если линии идут в противоположных направлениях (напр., СВ:53°
и ЮЗ: 23°), то угол между ними равен разности румбов: 53° —
— 23° = 30°; при различии в названии румбов во вторых буквах
(напр., СВ:67° и СЗ: 12°) угол равен 180° без суммы румбов: 180°—
— (67°+ 12°) = 101° и, наконец,, если названия румбов отличаются
первыми буквами (напр. СВ:53° и ЮВ: 47-), то угол равен сумме
румбов: 53° + 47° = 100°. Эти соотношения легко выясняются из
наброска на бумаге направлений линий, причем румбы считаются от
первой точки до второй и от второй к третьей и т. д., по ходу
часовой стрелки.
В виду того, что румбы определяются с точностью не более У4°,
соотношение между румбами и углами может расходиться на 1/2—8/4°-
Если вместо румбов определяются азимуты, то астролябический
угол всегда равняется разности азимутов линий при вершине
измеряемого угла.
Углы проверяются в замкнутом многоугольнике тем, что их
сумма 5 должна удовлетворять формуле
5= 180° (л— 2),
где п — число всех углов.
На точность измерения углов влияет ошибка при центрировке
инструмента и за наклон вех, поэтому следует тщательно
центрировать инструмент и устанавливать вехи. Ошибка в сумме углов
не должна превышать m — tY'Zn, где / — точность верньера, an —
число углов. В крайнем случае при неблагоприятных условиях
допускается предел вгрое больший.
Полученная невязка в углах распределяется равномерно, не
более одной точности, на углы с наименьшими сторонами.
При съемке внутренней ситуации могут применяться все
способы съемок, смотря по необходимости.
При сложной ситуации внутренних ходов может быть много и

Вычислительные и чертежные работы по составлению планов 781
они могут взаимно пересекаться. Внутренние ходы служат
прекрасным средством для проверки съемки границ, разбивая участок на
более мелкие части. Такие пересечения ходов называются
узловыми и отмечаются в натуре и вычисляются тщательнее других.
При пересекающихся ходах увязка углов внутренних ходов должна
производиться так, чтобы, исправив один ход, не испортить
точность другого.
Все результаты съемки внутренней ситуации заносятся в абрис
настолько хорошо, чтобы потом можно было легко составить план.
Часто при съемке внутренней ситуации можно ограничиваться
измерением только одних румбов линий без углов, особенно если
предполагается составить план в мелком масштабе.
Экерная самостоятельная съемка применяется очень редко и то
только при малых площадях.
В открытом месте весь данный участок можно разбить на тре- .
угольники и измерить их основания и высоты, определенные
экером. Такие треугольники легко построить на бумаге и по ним весь
участок.
Точность экерной съемки очень невелика, так как углы строятся
экером с ошибкой в 10—15' и линии строятся только короткие
(60—80 м).
Н. Вычислительные и чертежные работы по
составлению планов
а) Составление плана по румбам
Составление плана сводится к изображению на бумаге
результатов, полученных из измерений в натуре.
На плане взаимное расположение различных линий, по углам
между ними, должно соответствовать расположению на местности;
размеры же всех линий на бумаге должны быть в одном и том же
масштабе или уменьшении.
План по румбам составляется по найденным в натуре румбам
и линиям. Так как румбы местности отнесены к некоторому
меридиану (магнитному или истинному), то и на бумаге нужно провести
среди листа линию, которая в дальнейшем будет изображать
меридиан. Так как схождение меридианов для небольших участков
невелико, то можно считать все меридианы параллельными среднему.
Для построения румбов, равных румбам местности, служит
прибор транспортир. Постепенно поворачивая транспортир около
меридиана, не сдвигая центр его с меридиана, легко определять
по делениям полукруга углы поворота, т. е. румбы, с точностью до
четверти градуса. Отсчет в 30° пс транспортиру покажет уклонение
внешнего края линейки его тоже на 30°. При уклонении вправо от
верхней части меридиана на бумаге образуется румб СВ: 30°; в-ieeo -
СЗ: 30° и т. д.; в направлении вниз и направо будут получаться
румбы ЮВ и вниз и налево — ЮЗ.

782
Т I Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
Для построения плана по румбам нужно иметь циркуль, линейку,
треугольник и транспортир.
Первая точка плана на бумаге выбирается произвольно с
расчетом, чтобы чертеж расположился удобно (фиг. 10). Вторая точка
получится в конце первой линии по ее длине и румбу. Румб строится
при прочерченном меридиане на любой, его точке транспортиром,
затем к внешнему краю транспортира прикладывается треугольник,
к нему линейка; треугольник и линейка плотно держатся пальцами
руки, а транспортир снимается. Продвижение треугольника по ли-
N нейке,до начальной
точки даст в ней
направление, параллельное
построенному при
меридиане румбу. Циркулем
по масштабу отмеряется
первая линия и
наносится на прочерченную
линию через первую
точку. Получится конец
первой линии или вторая
точка под румбом, напр.
СВ: 30°. После топикак
будет намечена вторая
точка, строится вторая
линия для получения
третьей точки и т. д. до
последней линии. Конец
последней линии должен
совпасть с начальной
точкой. В случае
несовпадения этих точек
получается невязка. Величина линии, соединяющей первую и
последнюю точку, определенная по масштабу, называется
абсолютной невязкой, а отношение этой величины к периметру —
относительной невязкой. Длярумбической съемки невязка
не должна превышать 7у-г периметра. Большая невязка может
получиться от грубой ошибки в измерении в натуре линии или румба, а
также и от грубой ошибки при составлении плана. Большая ошибка
в линии войдет ошибкой в положение остальных линий и даст
большую невязку, направление которой будет, примерно,
параллельно направлению ошибочной линии. По этим признакам
отыскиваются ошибки в линии или румбе при больших невязках. Незязху,
меньше ^ периметра можно рассматривать, как неизбежный
результат от влияния разнообразных мелких погрешностей при
измерении румбов и линий, а также и от неизбежных погрешностей
при вычерчивании плана. Такую невязку следует распределить
Фиг. 10.

Вычислительные и чертежные работы по составлению планов 783
равномерно по всему многоугольнику или, иначе, разверстать.
Направление невязки следует считать от конца последней точки к
первой точке. Для разверстания невязки нужно провести через все
вершины линии, параллельные невязке, и в том же направлении;
по этим дополнительным линиям и в том же направлении все точки
участка, кроме первой, передвигаются так, что последняя точка
переходит в первую, т. е. переносится на всю невязку,
предпоследняя точка передвигается несколько меньше, следующая еще меньше
и т. д., причем эти передвижения сходят на-нет к первой точке.
Чтобы не было произвола в распределении невязки, необходимо
откладывать на этих дополнительных параллельных линиях доли
невязки пропорционально расстоянию данной точки от начальной.
После того как у каждой точки будут отложены доли невязки,
все вновь полученные точки нужно соединить прямыми линиями
и в результате получится увязанный полигон. Перзая точка остается
без изменения и соединяется с последней и второй перемещенными
точками.
В том случае, когда на план приходится наносить по румбам
хода внутренней съемки, последнюю работу, обычно, производят
после увязки внешних границ. Внутренний румбический ход,
согласно данным съемки, начинается и кончается какими-нибудь
точками внешнего обхода. При накладке таких ходов также
получается невязка внутренних ходов. Если положить, как основу, что
увязанные линии внешних границ на должны изменяться, то увязку
внутренних ходов нужно производить между точками начала и
конца этих ходов.
Для внутренних ходов невязка допускается в пределах до г^
длины внутреннего хода.
После накладки основных ходов пограничных и внутренних
линий производится детальная накладка всех результатов съемки.
Угломерная съемка, кроме румбов, дает еще и внутренние углы,
которые попутно проверяются румбами.
Чтобы составить планы этих съемок по румбам, следует
применять румбы не измеренные, а вычисленные. Вычисление
производится так: 1) вычисляется сумма углов теоретическая и
практическая; 2) допустимая полученная невязка в углах распределяется
на углы с наименьшими сторонами; 3) по начальному наблюденному
румбу вычисляется азимут; 4) по этому первому азимуту
вычисляются последующие азимуты помощью формулы:
о2 = ах + 180° — В.
Азимут линии АВ = о^; в точке В измерен правый угол (по
ходу); если линию АВ продолжить, то получим, что ах = а2: если
к аг прибавить 180°, то получится обратный азимут линии АВ%
отняв от которого угол В получим азимут линии ВС=<*2. Можно
сказать, что азимут линии последующей равен азкмуту, линии
предыдущей, плюс 180° и минус правый угол.

784
Т. I. Отд. 5. Геодезия. И. Горизонтальная съемка
Вычисленные азимуты перечисляются на румбы, по которым
и составляется план.
Вычисления располагаются в такую таблицу:
вершин

Измеренные
углы

Исправленные
углы
Вычисление
азимутов
Румбы
вычисленные
Мера
линии
Примечание
Сумма
360°-
Азимут линии I 1—2... 52°15'
+ 180°
79°35
-5'
77°25'
6Г35'
-б'
14Г40'
-5'
360°15'| ЗбСРО'
360°15'=-15'
79°30'
77°25'
6Г30'
232°15'
- 79°3и'
15245'
-f 180е
332°45'
— 77°25'
255*20'
+ 180°
435°20'
- 61°30'
37J°50'
13°50'
+ 180°
СВ :52°15'
ЮВ : 27°15'
ЮЗ : 75°20'
СВ : 13°50'
120,4
144,7
191,4
1С6,5
141*35' |
193°50'
141e,i5'
52°15'
Если азимут
получится
больший 360% то из
него можно
вычесть 360% тогда
получится его
настоящая
величина.
Может
случиться, что
вычитаемый угол
более
уменьшаемого, тогда
к
уменьшаемому нужно
придать 360° и
опять получится
окончательный
азимут.
Точно так же вычисляются румбы и в том случае, когда при
съемке получен начальный или какой-нибудь другой румб или
азимут одной линии; все остальные румбы вычисляются по этому
основному румбу. Ошибка в основном румбе при отдельной, не
связанной с другими, съемке не имеет практического значения,
так как это не повлияет на взаимное расположение линий участка,
а только несколько изменит общую ориентировку его.
Вычисленные румбы, конечно, отличаются от измеренных и иногда
разница достигает до Va —8/4° B пользу вычисленных.
Накладка плана по вычисленным румбам ни в чем не отличается
от накладки по измеренным румбам.
Ь) Составление плана по координатам
1. Вычисления для составления плана по координатам.
Наилучший по точности современный способ составления планов — это
составление по прямоугольным координатам.

Вычислительные и чертежные работы гго составлению планов 785
При составлении плана по прямоугольным координатам
необходимо ознакомиться со своеобразным приложением правил
аналитической геометрии к геодезии. По этим правилам, с
видоизменениями, принятыми в геодезии, положение каждой точки
многоугольника на плоскости определяется относительно двух взаимно
перпендикулярных линий XX и YY длинами перпендикуляров из всех
вершин многоугольника к этим линиям. Линия XX носит в
геодезии название оси абсцисс, или оси Л-ов, а линия YY— оси
ординат, или оси К-ов. Ось абсцисс изображает направление
меридиана съемки и принята за основную, в отличие от аналитической
геометрии, так как счет азимутов идет от меридиана. Точка О
пересечения этих осей называется началом системы прямоугольных
координат. Часть плоскости XOY носит название первой четверти,
YOX—второй четверти, XOY—третьей четверти и
КОХ—четвертой четверти. Перпендикуляр ААЬ
опущенный из точки А на ось К-ов, называется абсциссой точки, а
перпендикуляр АА2 на ось Л-ов — ординатой точки А. Абсцисса и
ордината точки вместе называются координатами точки.
Абсциссы точек, расположенных выше оси К-ов, считаются
положительными, а ниже — отрицательными; ординаты вправо
от оси Л'-ов — положительными, а влево — отрицательными. Из
фиг. 11 видно, что координаты различных точек различны и
отличаются друг от друга размерами и знаками. Разность абсцисс
точки В и точки А, равная ВВ$, называется приращением
координат линии АВ по оси Л'-ов, а разность ординат АВВ —
приращением по оси К-ов. Для краткости приращение ВВг
обозначается знаком кх (дельта х\ а приращение АВг — by (дельта j/).
Если координаты увеличиваются в первой четверти, то приращения
абсцисс и ординат положительны, но для других четвертей
плоскости они имеют другие знаки. Эти знаки связаны с направлением
линий, что видно из следующих схем:
Направление
линии
СВ
ЮВ
ЮЗ
СЗ
Приращения
А*
+
—
+
Ду
+
+
+ Длг
-Ду
— Длг
-Ау
-г Ду
— Lx
+ Л.У
Легко запомнить, что верхний X имеет на чертеже знак +1
нижний знак—, Y вправо знак -f- и влево знак—. Из фиг. 11 видно,
что абсцисса точки В, или иначе Хв, больше абсциссы точки Л, или
ХА, на величину BBZ> или кх. Это соотношение можно написать
в виде: Хв = ХА -|~ Дл:. Точно так же YB= YA-\- by. Точно такое же

786 Т. I. Отд. 5 Геодезия. И Горизонтальная съемка
соотношение можно написать для любой пары смежных точек. Так
ка^к Ajc и Ау могут иметь знак-[-или—> это соотношение в
общей форме можно написать так:
Словами можно выразить, что координата точки последующей
равна координате точки предыдущей + или — приращение. При
составлении плана
координаты первой
точки могут быть
известны из других
вычислений, или могут
быть взяты
произвольными,
даже—приравнены нулю. Так
или иначе, но имея
координаты начальной
+ У точки, можно
вычислить координаты вто-
С рой точки, зная
приращения; потом по
координатам второй
точки вычисляется
третья и т. д.
Вопрос о вычи-
Фиг п. слении координат
всех вершин
многоугольника сводится к определению приращений координат на
каждую линию (Ал: и Ду). Из фиг. 11 видно, что ВВ& или Длг,
представляет один из катетов прямоугольного треугольника АВВЪ, а АВ3,
или Ду,— другой катет. Гипотенуза этого треугольника АВ = d
(длина линии АВ, измеренная в натуре, горизонтальное проложе-
ние), а угол АВВ3 = г румб этой линии.
Отсюда видно, что
BBZ = АВ cos г, или Д х = d cos г,
а
АВп = АВsin г или by = dsinr.
Таким образом приращения Да: и by выражаются
тригонометрическими формулами, которые могут быть вычислены в числовых
размерах.
1-й способ вычисления приращений. Так как
в формулы, выражающие приращения, кроме длины линии, входят
множителем cos r и sin r, то эти формулы можно вычислить,
подставляя в них величины натуральных тригонометрических функция
cosy а и sin' я.

Вычислительные и чертеяоные работы гго составлению планов 787
Например, линия d = 88,23 и румб СЗ: 23° 33'.
Ал: = 88,23 cos 23° 33' = 88,23 X 0,91671 = + 80,881;
Ay = 88,23 sin J230 33' = 88,23 X 0,39955 = — 35,252.
Знак it ставится для четвертой четверти, по названию румба.
2-й способ сводится к логарифмированию формул:
x = dcosr и y = dsinr.
Логарифмирование дает:
lg Д х = lg d 4- lg cos r и lg Ay = lg d -\- lg sin r.
Все вычисления можно расположить по такой схеме:
•ввгягнгг--
№
линий
1
Румбы
СЗ: 23°33'
Мера линий
88,23
и т. д.
lg cos r
\g sin r
9,96223
1,94562
9,60157
1,90785
1,54719
Приращение
±
+
X
80,88
±
-
У
35,25
3-й способ. При этом способе приходится применять
специальные таблицы, а именно: „Таблицы для вычисления
прямоугольных координат" Гаусса или „Таблицы приращений
прямоугольных координат" Орлова. Эти таблицы составлены так, что
в них для каждого румба от 0 до 90° через одну минуту даются
готовые приращения для различных линий: 10,20, 30,..., 90, или
1, 2, 3,..., 10. Для получения приращений линий в 100, 200,300 и
т. д. приходится брать табличные данные и переносить запятые
вправо, а для линий 0,1, 0,2,0,3 и т. д. или 0,01, 0,02, 0,03 и т. д.—
влево на соответствующее количество знаков,
Вычисления для каждой пары Ах и Ау также располагаются
в строгую схему, как видно из примера:
Мера линий
88,23
80
8
0,2
0,03
№ линии 1-
Румб СЗ: 23*
д*
73,34
7,33
0,18
0,03
-2
33'
АУ
31.S6
3,20
0,08
0,01
88,23 • т- 80,88 | - 35,25

788 Т. I. Отд. 5. Геодезия. И Горизонтльна я съёмки
Или, если представить всю схему вычислений, начиная от
вычислений азимутов по углам, она может иметь такой вид:
шин 1
о.
23
1
2
Внутр.
углы
69°12'
251°34'

Азимуты
312°7'
240°33'
Румбы
СЗ: 47°53'
ЮЗ: 60°33'
Длины
линии
237,0
167,7
Приращения
из таблиц
Ад:
134,13
20,119
4,695
158,944
49,166
29,600
3,442
0,344
82,452
Ьу
148,36
22,253
5,193
175,806
87,079
52,247
6,096
0,610
146,032
Вычисленные
приращения
±
+
А*
158,94
82,45
± | Ду
-
175,81
146,03
Вполне достаточно выписать из таблицы для всех линий всего три
знака, а в окончательной сумме можно ограничиться двумя
десятичными знаками, отбрасывая третий и округляя результаты.
Каждое приращение можно назвать проекцией линии на ту или
иную ось координат. Так, приращения по оси Х-оъ будут
проекциями линий участка на ось Х-оъ, а приращения на оси F-ob —
проекциями на ось К-ов.
Из фиг. 12 видно, что AxBt есть проекция, или приращение,
линии АВ с знаком плюс, ВХСХ есть проекция, или приращение,
линии ВС тоже со знаком плюс; в сумме
обе эти проекции равны некоторой
линии AxCi со знаком плюс. Для других
линий приращения, или проекции, будут
отрицательны и в сумме дадут линии со-
знаком минус. Сумма всех
положительных приращений в замкнутом полигоне
должна равняться сумме всех
отрицательных. Разность между такими
суммами называется невязкой в
приращениях. Корень квадратный из
суммы квадратов этих невязок дает невязку
данного полигона и она не должна превышать 1 :2000 периметра.
Невязка допустимая развёрстывается по приращениям X и У
пропорционально длинам линий так, чтобы по исправлении
получить приращения, сумма которых равна, в отдельности по оси X
и К, нулю.
В, D, С,
Фиг. 12.

Вычислительные и чертежные работы по составлению планов 789
По исправленным приращениям, последовательным
прибавлением приращений к координатам начальной точки, получаются
координаты всех последующих точек.
Исправление приращений *й вычисление координат видно из
следующего примера:
S
Вычис-
g ленные
°* А *:
2£ 1 *
1
2 1
3 1
4
5
6
7
8
9
10
11
£{

невязка
+108,1
4-26,0
+ 9,2
+ 68,1
+ 31,8
+ 13,2
+ 68,4
— 72,8
- 90,0
-162,3
+324,8
-325,1
- 0,3

Поправки
+0,1
+0,1
+0,1
+0,2
+0,1

Вычисленные
Ьу
-153,8
+ 21,1
+ 24,5
+ 74,5
+ 16,2
+ 25,4
+ 33.7
+134,1
— 62,9
-117,9
1+334,5
\-334,6
— 0,1

Поправки
+0,1
+0,1
Исправленные
Ал:
+108,1
-26,1
- 9,2
-68,1
-31,8
- 13,2
+ 68,5
-72,7
— 90,0
-162,3
4-325,0
-325,0
0,0
Ыу
-153,8
-21,1
- 24,5
-74,5
- 16,2
^25,4
+ 38,7
+134,1
- 62,9
-117,8
+334,5
-334,5
0,0
Координаты
X
0,0
-108,1
-134,2
-143,4
-211,5
-243,3
-256,5
-Ь325,0
-252,3
-162,3
0,0
У
0,0
-153,8
-132,7
-108,2
-33,7
- 17,5
+ 7,9
+ &6
+180J
+117,8
0,0
2. Черчение плана по координатам. После вычисления
координат вершин полигона можно приступить к составлению плана.
Чтобы строить координаты, надо на бумаге иметь оси координат,
пересекающиеся под прямым углом.
Если координаты
небольшие, не более 15— § %
20 см, то построение
перпендикуляров и
откладывание линий циркулем
производится достаточно точно.
При больших координатах
нельзя ограничиваться
одной парой осей, а
необходимо дополнить их
построение добавочными
линиями, параллельными оси
абсцисс и ординат. В
пересечении они дадут сеть
квадратов или прямоуголь
ников. Фиг. 13.
200

790 Т. I. Отд 5. Геодезия. II Горизонтальная съемка
Обыкновенно вычерчивается сетка квадратов в 10—20
сантиметров. Правильность построения проверяется верной линейкой по
вершинам квадратов: все соответствующие вершины квадратов
должны лежать на одной прямой, а также остатки квадратов на краях
бумаги в точности должны быть одинаковыми. Эти квадраты
вычерчиваются в пределах участка. Одна из линий выбирается за ось ЛГ-ов
так, чтобы поместились все X, а другая линия за ось У-ов так, чтобы
поместились все У. Пересечение этих линий будет началом
координат. Чтобы строить точку по размерам координат, всегда можно
сообразить, в каком квадрате лежит точка. Например даны .Ar=-f-895 м
и У = + 1200 м, квадраты по 500 м. Точка будет во втором
положительном горизонтальном ряду и в третьем положительном
вертикальном столбце. В надлежащем квадрате, по обеим сторонам его,
от линии -f- 500 откладывают 895 — 500 = 395 м, соединяют эти
точки и на этой линии уже откладывают 1200—1000 = 200 м. Эту
точку соединяют с началом координат, в котором лежит первая
точка полигона, и получают первую линию участка.
При вычерчивании плана по координатам большое значение
имеет точное построение квадратов, на что надо обращать особенное
внимание.
При составлении уменьшенной или увеличенной копии пользуются
„пропорциональным циркулем", или же пантоггафом. В пантографе полюс, обводной шпиль
и карандаш должны лежать в одной вертикальной плоскости. Для этого при
данном отношении к оригиналу, например */8, ставят линейку на деления */,, также
карандаш ставят по другой линейке на деление, обозначенное lfs. Переменив места
шпиля и карандаша, можно получить увеличенные копии. Работать пантографом
нужно не быстро, разместив его и бумагу на ровном столе.
I. Вычисление площадей
Определение площадей земельных участков можно производить
или по измерениям в натуре или по уже составленному плану.
В первом случае необходимо в натуре определяемый участок
разбить на простейшие геометрические фигуры (треугольники,
трапеции, квадраты и т. п.) и измерить в них же элементы, по
которым возможно вычислить площадь треугольника, трапеции и пр.
Если для составления плана вычислены координаты, то можно
ими воспользоваться для определения площади всей фигуры по
одной из формул:
или
2Р=Ъ*п(Уп+1-Уп-1).
Здесь Р искомая площадь и знак 2 (сигма) — или сумма
произведений всех ординат на разность абсцисс или сумма
произведений всех абсцисс на разность ординат вершин.
Все такие вычисления располагаются в следующую схему для
ясности и удобства:

Вычясленм* гглощаде*
791
12 3 4 6 б 7
S
1
2
3
4
5
в
7
8
9
10
1
м
0,0
-1<W,1
-134,2
г 143,4
-211,Ь
-243.3
-2Ь6,Ь
-325,0]
-252,3
hl62,3
0,0
х я—1—*п+1
м
-134,2
— 35,3
-77,3
- 99.9
-.450
— 81,7
+ 4,2
-t-162,7
V _|-Н73,4
** -"1-473,4
>
ж
0,0
-153,8
—132,7
—108.2
- 33,7
— 17,5
4- 7,9
+ 46,6
+180,7
+170,8
0,0
Уп+\-Уп-1
м
1 -132,7
I 4-45,6
+ 99,0
4-90,7
4- 41.6
4- 64.1
4-172,8
+ 71,2
-180,7
-271,6
V /4-585,0
*-1-585,0
=н^вяяя=
(*я-1-*я+1)Уя
м*
4-20639,96
4- 4684,31
+ 8363,86
4- забб,вз
4- 787,50
— 645,43
4- 195.72
4-29399.89
4-29720,94
2 Я=4-97158,81-
- 645,43 =
= 96513,38 м*
«
(Уп+\-Уп-1)хп
м*
—14344.87
- 6119,52
-14196,60
-19183,05
-10121,28
-16441.65
-56160,00
-17963,76
—29327,61
2 Р=4-140185,96-
-4367 2,48 =
"
96513,36 м*
Отсюда Р = ^ад38_л^ = 4825б>69 м2 ^± га 825б,69 Л
Прием двукратного определения площади по формулам 2Я =
= Л(^-1~^4-0 и2Р = ^(^4-1~-^~1) СЛУЖИТ для пРовеРки
работы вычисления.
При наличии уже готового плана можно площадь вычислить,
разбив всю фигуру на простейшие геометрические фигуры
(треугольники, трапеции, квадраты и пр.) и вычислить их площади по
правилам геометрии.
Планиметр. Вычисление площадей производится достаточно
точно и быстро планиметром. Планиметр состоит из двух
рычагов Яи/7, соединенных в точке G (фиг. 14). Рычаг Р вращается
Фиг. 14.
около неподвижной точки полюса Я, другой рычаг своим шпилем
обходит контур измеряемого участка и несет на себе счетный апаа^
рат, передвигающийся вместе с рычагом. Рычаг Р называется по-

792 Т. I. Отд. 5. Геодезия. II. Горизонтальная съемка
лярным, а рычаг F — обводным. Применение планиметра
сводится к тому, что острие устанавливается в какой-нибудь точке
контура измеряемого участка, делается отсчет по штрихам
горизонтального круга и вертикального круга с верньером, напр. 2153, затем
внимательно шпилем обводится весь контур по ходу часовой
стрелки до начальной точки и снова делается отсчет, напр. 5575;
разность 3422 будет выражать площадь участка в делениях
планиметра. В том случае, если основной круг делает полный
оборот, прибавляется к последнему отсчету 10 000. Так ведется
вычисление, если полюс планиметра расположен вне фигуры. Если же
полюс расположен внутри фигуры, то к последнему отсчету
прибавляется постоянное число, например 18 675, и в этом случае
могут получиться такие числа: 18 675 + 2341 — 18 294 = 3422. Для
того чтобы этот результат превратить в гектары и м%, нужно
знать цену одного деления планиметра и умножить
результат на эту цену. Например цена одного деления планиметра равна
0,01 га, или 100 м2, тогда 3422 деления планиметра будут
соответствовать 34 га, или 2200 м2. Чтобы получить отсчет на
планиметре, сначала нужно взять меньшую цифру у указателя круга,
напр. 6, потом по вертикальному колесу берется меньшая цифра и
деление до нуля верньера, напр. 4 и 5 и затем по верньеру, напр. 8.
Получается отсчет 6458. Цена деления планиметра определяется по
площади какой-нибудь правильной фигуры (квадрата, круга,
прямоугольника). Обвод планиметром этой фигУРы Даст площадь ее
в делениях планиметра, напр. 1600, если эта площадь равна 16 га,
то измерение даст цену деления в 0,01 га или 100 м2 (16 га
разделены на 1600). Чтобы эту работу сделать точнее, можно
пользоваться квадратами координатной бумаги «ли контрол ь-
ной линеечкой, при помощи которой шпиль планиметра
механически обводит площадь кругов разных площадей. Зная длину
линейки (радиус), можно вычислить площадь круга. Следует всегда
обвод планиметром производить не менее двух раз, чтобы иметь
контроль точности работы. Разность между двумя определениями
не должна превышать =^г части их арифметического среднего. Из
двух близких определений берется среднее.
Правила определений площади планиметром.
1. Когда полюс планиметра стоит вне фигуры,
то разность отсчетов (второго и первого) нужно
умножить на цену деления.
2. Когда полюс стоит внутри фигуры, сначала
ко второму отсчету прибавляется постоянное
число, отнимается первый отсчет и затем уже
результат помножается на цену планиметра.
Обводный рычаг может быть постоянной длины и
переменной. Переменный рычаг делается для того, чтобы в
зависимости от масштаба увеличивать или уменьшать цену деления и

Техническое (геометрическое) иивелирование 793
постоянное число, так как с переменой масштаба может получиться
цена деления в виде дробного неудобного числа или слишком
большого размера. Передвижением части рычага можно изменить его
длину до желаемых размеров.
Проверки планиметра и его ошибки. Перед
употреблением планиметр необходимо проверить. Общий осмотр может
указать на некоторые очевидные недостатки планиметра, а общая
проверка производится путем измерения одной и той же площади
при разных положениях планиметра: точка соединения рычагов
вправо от измеряемой площади и влево. Следует всегда измерять
площади дважды так, чтобы выгиб рычагов был в противоположных
направлениях.
Небольшие разницы в пределах точности планиметра укажут
на общую его исправность; в противном случае нужно разыскать
механическую неисправность планиметра.
III. Вертикальная съемка (нивелирование)
Основная задача"вертикальной съемки, или
нивелирования,—определение превышения одной точки над другой, а затем
по превышениям определение высоты.
Превышения можно определить разными способами:
геометрическим, тригонометрическим и физическим
(барометрическим).
А. Техническое (геометрическое) нивелирование
При геометрическом нивелировании применяются особые
инструменты — нивелиры, помощью которых можно получить
горизонтальные лучи зрения. Главными частями у нивелиров являются
точный цилиндрический уровень и сильная зрительная труба,
визирная ось которой должна быть параллельна оси уровня, благодаря
чему при приведении оси уровня в горизонтальное положение
достигается горизонтальность визирной оси или луча зрения. В
качестве вспомогательных частей к нивелирам добавляются
нивелирные рейки — доски с делениями.
Пусть (фиг. 15) на местности даются две точки А и В.
Расстояние по отвесу точки А от горизонта воды N— N, или
НА, будет высота точки А над уровнем моря, а Нв высота точки В.
Разностью высот НВ—НА = h будет превышение В над А; отсюда
можно написать соотношение: Нв =HA-\-h или высота точки В
равна высоте точки А плюс превышение. Если точка В
выше точки А, то превышение h имеет знак плюс, если же точка В
ниже точки А, то превышение будет отрицательно; в общей
форме можно написать, что высота точки последующей
равна высоте точки предыдущей:!: превышение.
Чтобы определить превышение, нивелир можно поставить
посредине между точками, а на точки устанавливать рейки (фиг. 16).

794 Т I Отд 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
Уровень и труба устанавливаются в горизонтальном положении,
и труба поочередно наводится на рейку в точке Лив точке В.
Деления на рейках идут снизу, от земли, кверху. Горизонтальный
луч по рейке сделает отсчет, т. е. определит размер части рейки от
земли до луча зрения, напр., по рейке А — 1243 мм, а по рейке В—
753 мм. Отсчет на заднюю рейку А называется взглядом
назад я, на переднюю рейку В — взглядом впереди.
Из простых геометрических соображений видно, что а = h -f- b
или h = a — b, т. е. по разности взгляда назад и вперед получается
Фиг. 15. Фиг. 16.
превышение. Так как Нх-{-а = Н2-\-Ь, то можно написать, что
H2 = Hi-\-a — b или высота точки
последующей/уравняется высоте точки предыдущей Нх плюс взгляд
назади минус взгляд вперед.
Сумма Hi + a% дающая высоту луча визирования над уровнем
моря, называется горизонтом инструмента.
Таким сбразом вычисление высот точек можно делатд» по
формуле #2 = #i — Л, т. е. помощью превышений, или же по
формуле #2 = #i + а — Ь, т. е. через горизонт инструмента.
Пусть высота точки А над уровнем моря равна 65,488 м, а =
= 0,453 м и £ = 0.945 м. Высота точки В получится двояко: Я3 =
= 65,488 м — 0,49* м = 64,936 м или Н2 = 65,488 + 0,453 —
— 0,945 = 64,996 м.
Такой вид геометрического нивелирования называется
нивелированием из средины, так как инструмент ставится по
возможности на равных расстояниях от точки А и В. Точной
центрировки и установки инструмента на линии АВ, конечно, при
нивелировании из средины не требуется.
Превышение между двумя точками, применяя те же простые
геометрические соображения, можно получить и другим способом.
Так, если нужно определить превышение точки В над А, то,
поставив в точке А инструмент, надо сделать по рейке В отсчет а*

Техническое (геометрическое) нивелирование
795
превышение точки В над А будет равно Л = / — д, где
h—искомое превышение, /—высота инструмента в Л, а —отсчет вперед,
так как / = а + h. Такой способ называется нивелированием
вперед и превышение равно разности высоты
инструмента и отсчета. Положительная разность укажет на
повышение, а отрицательная — на падение линии. В этом случае
инструмент центрируется окуляром над точкой А и
высота его определяется по рейке от земли до середины окуляра.
Рейки имеют, в среднем, ширину 10—12 см, толщину 1—2 см и длину 3—4 м.
Рейки раздвигаются, когда местность имеет большие уклоны, со значительным*
понижением и когда нужно ожидать большие отсчеты по рейкам. После раздви-
жения части рейки взаимно закрепляются так, чтобы деления шли непрерывно
продолжаясь на стыках; на это надо обращать особое внимание, иначе в отсчеты может
войти значительная ошибка.
Для установки рейки вертикально, что требуется для правильности отсчетов,
следует к рейке прикрепить круглый уровень или отвес на небольшом шнуре.
Нивелиры. Нивелирами называются инструменты, при помощи
которых в натуре получается горизонтальная плоскость, или
горизонтальный луч, нозволяющие определять, какие точки выше или
ниже друг друга.
Нивелиры обычно имеют зрительную трубу и цилиндрический
уровень. Зрительная труба и цилиндрический уровень в нивелире
прикреплены так, чтобы выполнялось главное свойство нивелира:
визирная ось трубы должна быть параллельной оси
цилиндрического уровня.
Перед работами, чтобы получить горизонтальный луч или
горизонтальную плоскость линий визирования, следует помощью трех
подъемных винтов и уровня привести инструмент в горизонтальное
положение, для чего труба с уровнем устанавливаются сначала по
направлению двух подъемных винтов, и пузырек уровня сначала
при помощи перестановки ножзк штатива, а потом только этими
двумя подъемными винтами устанавливается посредине трубки, затем
труба с уровнем поворачивается, примерно на 90°, и только третьей
ножкой штатива и только третьим подъемным винтом пузырек
опять ставится на средину трубки.
Все разнообразие конструкций нивелиров можно сгруппировать
по типам, отличающимся друг от друга, главным образом,
расположением и скреплением уровня и трубы; таких групп для
современных нивелиров можно наметить четыре.
Тип 1. В нивелирах первого типа достигается осуществление
простого и прочного инструмента, удобного на полевых работах,
средней, но достаточной для технических целей, прочности. На
фиг. 17 изображен нивелир первого типа, под названием глухой
нивелир, так как в нем уровень и труба наглухо прикреплены
к подставке и друг к другу. Такие нивелиры применяются для
технических работ небольшой точности; они имеют трубы с
увеличением около 20 и менее раз и соответственной точности уровни
(одно деление равно дуге, стягивающей центральный угол в 20").
Сверху уровня иногда помещается зеокальце для наблюдения за

796 Т. I. Отд. 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирован-ие)
пузырьком уровня. Длина трубы около 30 см. Простейшим видом
таких, нивелиров служит нивелир карманный, очень небольших
размеров, труба 15—-20 см длины, увеличение трубы около 10 раз.
Таким нивелиром пользуются только для самых первоначальных,
пробных измерений во время путешествий и рекогносцировок.
Тип 2. В этом нивелире труба не прикреплена к подставке,
а лежит в лагерах, и удерживается застежками; уровень
прикреплен к подставке. Труба может перекладываться в подставках,
и поэтому такие нивелиры называются нивелирами с
перекладывающейся трубой и с уровнем при подставке. В этих нивелирах лучше,
Фиг. 17.
чем в глухих, контролируется параллельность осей трубы и уровня,
поэтому они считаются более надежными в работе и их делают
более точными: увеличение трубы около 30 раз, цена одного
деления уровня 10", длина трубы около 45 см, прочная крестовина
внизу, большие подъемные винты с мелкой нарезкой для точной
установки уровня.
Тип 3. В инструментах типа 2, при всех их достоинствах, при
перекладке трубы может быть нарушена параллельность оси
визирной и оси уровня вследствие изменения размеров подставок.
Поэтому выработаны нивелиры третьего типа, у которых труба
соединена непосредственно с уровнем (фиг. 18) и они вместе могут
перекладываться в подставках, что делает эту конструкцию очень
надежной, точной. Такие нивелиры применяются для нивелирования
высокой точности, имеют сильные трубы с увеличением около

Техническое (геометри*тебк>ое) инйелйрованиб 797
40 раз и длиною в 45 см, точные уровни (около 5") и прочные,
устойчивые штативы.
Тип 4. К этому типу можно отнести нивелиры Цейсса-Вильда,
у которых уровень помещается сбоку трубы и может
перекладываться на другой бок (оборотный уровень) вместе с трубой, что
дает возможность исключать ошибку от непараллельности осей
уровня и трубы. Кроме того, оптика этого нивелира рассчитана так,
что окуляр может выниматься и вставляться в крышку объектива
Фиг. 18.
и таким образом окуляр станет объективом, а объектив —
окуляром, что позволяет делать еще два наблюдения.
Проверка нивелиров. Проверить нивелир нужно для
того, чтобы убедиться в правильном соотношении основных частей
нивелира, особенно чтобы выявить соблюдение основного условия:
визирная ось трубы должна быть параллельна
оси уровня. Только при наличии этого главного условия, при-г
ведя ось уровня в горизонтальное положение, можно получить
горизонтальный луч визирования для отсчетов по рейкам.
Проверка нивелира типа 1. а) Ось уровня
Д.олжна быть перпендикулярна к вертикальной
оси вращения инструмента.
Перед каждой работой и перед проверкой нивелир сначала
нужно привести в горизонтальное положение, т. е. в такое поло-

798 Т. I. Отд. 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
жение, при котором визирная ось при поворотах будет описывать
горизонтальную плоскость. Для этого уровень сначала
устанавливается двумя винтами, а потом окончательно регулируется третьим
винтом. После этого для проверки нужно снова точно установить
пузырек уровня на средину делений и затем повернуть трубу
с уровнем на 180° так, чтобы окуляр занял место объектива и
обратно — объектив стал на место окуляра. Если при таком
повороте пузырек уровня не сойдет со средины, то это будет указывать
на исправность установки уровня; в противном случае, т. е. когда
пузырек при повороте на 180° сойдет со средины, напр. на шесть
делений, то такой уровень нужно исправить, подняв или опустив
его один конец (фиг. 18) винтом настолько, чтобы пузырек уровня
ушел обратно на половину своего уклонения от средины,
в нашем случае на три деления. Так как полное исправление сразу,
обычно, не удается, то следует всю проверку и исправление
повторить еще один —два раза, пока при поворотах на 180° пузырек не
перестанет смещаться со средины.
Ь) Теперь следует перейти к выявлению другого условия:
визирная ось трубы должна быть параллельна оси
уровня.
Если это условие в инструменте не выполнено, то при
горизонтальности оси уровня визирная. ось трубы не будет
горизонтальна, вместо верного отсчета Ь будет сделан по рейке отсчет
неверный Ьь и превышение точки А над точкой В будет вычислено
неверно. Именно, верно h — a — b, а будет вычислено h = а — Ьь
с ошибкой Ху которая зависит от угла ошибки между осью уровня
и осью трубы и от расстояния ВК между инструментом и рейкой.
Здесь ошибка х прямо пропорциональна расстоянию и "для равных
расстояний будет одинакова по размерам.
Эта ошибка происходит от неправильной установки сетки нитей,
и при проверке эту ошибку нужно выявить и исправить, передвинув
сетку нитей вертикальными винтами. Для проверки выбираются две
точки А и В на сравнительно ровном месте, на расстоянии 50 м
друг от друга; в них забиваются небольшие колышки вровень
с землей и на них ставятся рейки; между этими точками, строго
посредине, ставится нивелир, приводится в горизонтальное
положение и по рейкам делаются отсчеты. Если визирная ось не
параллельна оси уровня и составляет с ней угол о, то вместо верных
отсчетов а и b будут сделаны неверные отсчеты а± и Ь1 каждый
с ошибкой х или верное превышение h = {ах -f- jf)—(^ + х) = аг—Ьь
так как при вычитании ошибки х в отсчетах взаимно уничтожатся.
. Отсюда видно, что при равных расстояниях от точки стояния
нивелира до реек, даже по получении неверных отсчетов, истинное
превышение получается как разность этих отсчетов, так как ошибки
в обоих отсчетах взаимно уничтожаются.
Таким образом при нивелировании строго из средины можно
получать верное превышение как разность отсчетов по рейкам.
Вот этим обстоятельством и можно воспользоваться при
проверке изучаемого условия.

Техническое (геометрическое) йивелировааие
799
с) Выбираем две точки А и В, ставим нивелир строго по
средине и определяем верное превышение /г; затем нивелир переносим
в точку В, устанавливаем окуляром нивелир над точкой #,
измеряем по рейке высоту инструмента / над точкой В и делаем отсчет
по рейке, напр. Ь, если визирная ось пойдет выше оси уровня.
Разность /—Ь = ht даст неверное превышение с ошибкой 2х,
сличив которое с ранее полученным верным превышением узнаем 2х,
Определив ошибку, нужно ее исправить, передвинув
горизонтальную нить так, чтобы по рейке получился верный отсчет b вместо
неверного bv Чтобы убедиться в точном исправлении инструмента,
следует проверку эту и перестановку нитей повторить, пока ошибка
не дойдет до нуля или до 1—2 мм ^т расстоянии в 50 м.
Такая проверка называется проверка двойным
нивелированием.
Проверки нивелира типа 2. Проверки этого нивелира
несколько сложнее, так как здесь имеется перекладывающаяся труба.
a) Проверка уровня производится точно так же, как и
у нивелиров типа 1, т. е. при помощи поворота на 180°.
Необходимое исправление выполняется винтом при уровне.
b) Визирной осью трубы называется линия, соединяющая
крест нитей с центром объектива, а геометрической осью
называется ось объективной трубы (цилиндра). Ось визирная
должна совпадать с осью геометрической.
Несоблюдение этого условия при перекладке и вращении трубы в
подставках обязательно вызовет смещение визирной оси, что поведет
к ошибкам в отсчетах по рейке. Чтобы выполнить эту проверку,
нужно трубу нивелира направить на какую-нибудь точку так, чтобы
точка пересечения нитей точно стала на точку визирования. В таком
положении нивелир закрепляется и затем труба постепенно
поворачивается в подставках на 180°. Если при таком вращении трубы
окажется, что крест нитей не сходит с намеченной точки, то
условие совпадения осей в нивелире соблюдается, если же крест
нитей сойдет, то нужно заметить, насколько, при повороте на 180°,
точки разошлись, разделить это расстояние осей на-глаз пополам
и передвинуть сетку нитей исправляющими винтами, сначала на
половину вертикального расстояния, а потом на половину
горизонтального, так, чтобы пересечение нитей стало в среднюю точку.
После этого проверку и исправления снова следует повторить до
тех пор, пока крест нитей не будет сходить с намеченной точки.
c) Далее следует убедиться в том, что подставки трубы
{фиг. 18) равны между собой, иначе при перекладке трубы
могут получаться ошибки. Действительно, если мы приведем нивелир
в строго горизонтальное положение, наведем на рейку, стоящую
метров на 50 от инструмента, сделаем отсчет, потом переложим
трубу в подставках, повернем весь нивелир, снова наведем на рейку
и снова сделаем отсчет, то должны получить два совершенно
одинаковых отсчета по рейке. Отсчеты делаются по горизонтальной
нити и перед каждым отсчетом пузырек уровня одним подъемным
винтом ставится точно на средину Если же получатся два разные

800 f- *• ОтД- 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелированне)
отсчета, то одну из подставок нужно убавить или увеличить так,
чтобы горизонтальная нить пришлась на средний отсчет; это и
покажет, что подставки выравнены. Эту проверку и исправление нужно
проделать раза два — три, пока при перекладке не будут получаться
совершенно одинаковые отсчеты, с допустимым расхождением
в 1—2 мм.
d) После этих трех проверок, чтобы окончательно убедиться
в параллельности визирной оси к оси уровня, нужно проверить
равенство диаметров цапф, т. е. тех колец, которыми
кладется труба в подставки. Эти цапфы с большой точностью
обтачиваются при изготовлении нивелиров, но в работе стираются,
изнашиваются, поэтому и необходимо проверять равенство их диаметров.
Такую проверку возможно произвести в полевой обстановке путем
двойной нивелировки, рассматривая весь инструмент как „глухой"
нивелир. Если двойное нивелирование покажет в нивелире ошибку,
то она будет целиком зависеть от неравенства диаметров цапф,
что возможно исправить только на станке. До исправления таким
инструментом можно нивелировать только строго из средины, чтобы
рейки были на равных расстояниях от нивелира.
Проверки нивелира типа 3. а) Равенство
подставок уровня проверяется перекладкой трубы с уровнем
в подставках. Если пузырек уровня будет сходить со средины, то
исправительным винтом пузырек перегоняется обратно на
половину дуги уклонения.
b) Совпадение визирной оси и геометрической
проверяется и исправляется так же, как и в тине 2.
c) Равенство подставок трубы проверяется поворотом
всего нивелира на 180° и исправляется элевационным винтом у
подставки, которым пузырек уровня перемещается обратно на
половину уклонения.
d) Равенство диаметров цапф проверяется, как и у
типа 2, двойным нивелированием.
Проверка нивелира Цейсе а. При употреблении этого
инструмента в поле необходимо главным образом убедиться; что
ось цилиндрического уровня параллельна визирной оси трубы. Для
этого метрах в 50 от инструмента устанавливают рейку в
вертикальном положении и делают по ней четыре отсчета при
следующих условиях: 1) окуляр на месте, «уровень влево от зрительной
трубы; 2) окуляр на месте, уровень вправо от зрительной трубы;
3) окуляр вставлен в крышку объектива, уровень вправо от
зрительной трубы; 4) окуляр вставлен в крышку объектива, уровень
влево от зрительной трубы.
Перед отсчетами пузырек устанавливается строго на средину,
что произойдет тогда, когда в призме будет видно совмещение его
концов.
Исправление инструмента производится следующим образом.
Сначала нужно исправить уровень, для чего трубу наводим на
средний отсчет из 1-го и 2-го положений и исправляющим винтом уровня
ставим его кониы в совпадение. После этого исправляется ноложе-

Техническое (геометрическое) йивёл-ироМетйё 801
ние призмы, для чего зрительную трубу в 1-м положении
устанавливают на средний отсчет по рейке из четырех отсчетов и, ослабив
винты, передвигают оправу призм, при помощи которых
наблюдается пузырек уровня, винтом до тех пор, пока обе половинки
пузырька, видимые в призму, не придут в совпадение.
а) Продольное нивелирование
Если две нивелируемые точки находятся на небольшом рас*
стоянии друг от друга (50—100 м) и взаимное их превышение не
более 3—4 ж, то это превышение можно определить с одной стоянки
нивелира, поставив его или по средине между нивелируемыми
точками, или же в одну из этих точек. В первом случае превышение
получится как разность отсчетов по двум рейкам, а во втором
случае — как разность между высотой инструмента и отсчетом.
При нивелировании из средины почти все погрешности самого
нивелира, сказывающиеся на отсчетах, взаимно уничтожаются в
разностях отсчетов, а при нивелировании вперед такие.погрешности
действуют только в одну сторону, чем сильно понижают точность работ.
Если местность сильно гористая, то для получения
превышения между двумя, даже близкими, точками следует линию между
этими точками разбить на части, и все превышение определяется
как сумма частных превышений.
Точно так же, если нужно пронивелировать две значительно
удаленные друг от друга точки или вообще нужно пронивелировать
длинную линию, то ее следует разбить на части (фиг. 16), причем
каждая часть нивелируется отдельно. Превышение одной точки над
другой удаленной точкой составится в виде суммы превышений.
Отсюда высота конечной точки будет равна высоте начальной
точки плюс сумма всех частных превышений. Этим самым
определяется общий прием нивелирования удаленных точек или длинных
линий, т. е. нивелирования продольного. Именно, в таких
случаях вдоль линии отмеряются от начальной точки отрезки
линии, равные обычно 100 м, считая по горизонтальному
расстоянию. Такие расстояния называются пикетами. Для отмеривания
пикетов по горизонтальному направлению, а не по наклонным
линиям, в промеры вводятся поправки за наклон или лента
вытягивается горизонтально в воздухе, т. е. измерение ведется
уступами. В начале и в конце пикета забивается кол вровень с землей
для установки на нем рейки; этот кол называется точкой;
а рядом с ним забивается другой кол, высокий, для разыскивания
точки, называемый сторожком. Пикетные колья — точки и
сторожок — нумеруются, начиная с нуля, затем 1, 2 и т. д. Во время
разбивки пикетов, или пикетажа, ведется от-руки чертеж в
пикетажной книжке. В пикетажной книжке, которая делается из
разграфленной в квадрат бумаги, с твердым переплетом, на каждой
Странице посредине проводится прямая линия и на ней намечаются
начало и конец каждого пикета, ставятся номера пикетных точек,
указываются стрелкой повороты, надписываются углы поворотов,
репера, зарисовывается их внешний вид, отмечаются перемены

802 $• *• Отд, 5 Геодезия. Ш. вертикальная съемка (нивелирование)
в угодьях, переходы через дороги, ручьи, реки и т. д. и все
промежуточные точки, выделяющиеся по своей высоте (точки
перелома местности). Расстояния между точками по горизонтальному
направлению равны обыкновенно 100 м, а положение
промежуточных точек определяется горизонтальными промерами от
предыдущей пикетной точки и обозначается номером предыдущей
пикетной точки плюс некоторое расстояние, напр. № 49 -f- 40, и
поэтому такие промежуточные точки называются кратко „плюсами".
Во время нивелирования инструмент ставится на равных
расстояниях от пикетных точек, что определяется обычно шагомерно.
Нивелир призодится в горизонтальное положение, рейки
ставятся на пикетные точки, потом труба наводится сначала на
рейку А и делается отсчет я, потом на рейку В и получается
отсчет Ь. Для контроля полезно повторить всю работу, для чего
можно несколько переставить инструмент, сделав его немного
выше или ниже, или следует переложить трубу в подставках.
После этого нивелир снова приводится в горизонтальное положение
и вновь получаются отсчеты at и bv Проверка наблюдений
производится путем вычисления превышения по разностям отсчетов,
т. е. должно существовать равенство а — Ь = ях — Ьх или, так как
инструмент изменил свою высоту, то должно получиться другое
равенство: а — aY = Ь — bv Если эти оба равенства получаются не
в полной точности, то можно допустить уклонение в 3—4 мм, не
больше. Всегда нужно соблюдать правило: перед самым отсчетом
по рейке необходимо взглянуть на уровень и одним из подъемных
винтов поставить пузырек уровня точно на средину. После того
как пикетные точки будут пронивелирозаны, нужно заднюю
рейку ставить лоочередно на промежуточные точки и на них
отсчеты берутся только при втором положении инструмента.
Записи отсчетов по рейкам ведутся в тысяшых долях метра или в миллиметрах,
как видно из схемы журнала нивелирования. В этом журнале в скобках показаны
цифры порядка, по которому ведется запись. Сначала (I) записывается взгляд назад
на точку 0, потом (2) взгляд вперед на точку 1; затем высота инструмента
меняется и снова записывается (3) взгляд назад и (4) взгляд вперед. Разность между
двумя задними отсчетами должна равняться разности передних. Расхождение
допускается не более 4 мм, При больших расхождениях нивелирование повторяется,
а при удачном результате из двух взглядов берется среднее (5) и (6). Разность
средних взглядов назад и вперед дает превышение -f- или — (7). Услорная высота
нулевой точки принята за IO.OjO. Прибав1ение к ней взгляда назад дает горизонт
инструмента (Ь), наконец, если из горизонта вычесть взгляд вперед, то получится
условная высота (отметка) точки 1. Разность отметок точки 1 и 0 должна быть
ра^на определенному превышению 1,618. При длинной нивелирозке следует
проверку вы шелений делать по каждой страни Ае; для этого подзчитывается зеумма
всех средних взпядо! назад и вперед; разность ихдотжна равняться разности
последней и первой отметки. Образцы проверок показаны в журнале нивелирования.
Все эти точки (пикетные или длл краткости их называют такье пикетами) нужно
ни елировать очень тщательно, так как высоты их вычисляются по предыдущей
и все ошибки могут нако шяться и дурно вшять на конечный результат. Полезно
каждую линию нивелировать дважды, вперед и назад, или же в два нивелира, один
за другим. Если отметки начальной и конечной точек известны или нивелирный
ход идет кольцом, т. е. замкнутый, тэ в этих случаях получается контооль: сумма
всех превышений должна ав>Я1ься разности отметок крайних то 1ек, а в замкнутом
ходе— нулю, разногласие между полученным результатом и теоретическим
называется н е в я з к ой нивелирования. Невязка не должна превышать

Журнал нивелирования
(Число, месяц и год)
(Фамилия нивелировщика)
я
S
<5
А
С,
I
о
2
0
1
1
2
2
+45
3
II
Отсчеты на рейке
Читанные
Задн.
098(1)
075(3)
066(1)
080(3)
111(1)
093(3)
III
Передн.
1,715(2)
1,634(4)
1,760(2)
1,775(4)
1,685'2)
1,667(4)
IV
Пром.
1,241
V
Средние
Задн.
086,5(5)
073(5)
102(5)
261,5(10)
VI
Передн.
1,704,5(6>
1,767,5(6)
1,676(6)
5,148(11)
VII
Превышения
+
0,000(12)
VIII
1 —
1,618(7)
1,694,5(5)
1,574(7)
1,148
4,886,5(13)
IX
Горизонт

инструмента
10,086,5(8)
8,455(8)
6,7895(8)
X

Полученная
условная
отметка
10,000
8,382(9)
8,382
6,687,5(9)
6,6875
5,539
5,113,5(9)
XI

Исправленная

условная
отметка
10,000
XII

Отметка

сительно
уровня
моря
75,000
XIII
Примечание
10,000,0
-4- 863
10,086,5
-1,704.5
8,382
4- 73
8/55
—1,7673
6,687,5
+ 102 "
6,7893
—1,676
5,113,5
Проверка
(14) (15)
261,5 0,000
-5,148 -4,886,5
—4,886,5 —4,886,5
(16)
5,113,5
—1,000,0
-4,886,5
XIV
О»
8

804 Т- I Отд. 5. Геодезия. Ш. Вертикальная съемка (ижбелироваяие)
(10 T^L -|~ 1»0 Z.) мм, где Z число километров между пикетами. Допускаемая невязка
распределяется равномерно на превышения так, чтобы сумма их равнялась
теоретической. В том случае, если между пикетными точками имеется заметный перелом
линии в вертикальной плоскости, следует определить его превышение над
предшествующим пикетом, как превышение дополнительной точки. Превышение „плюса"
определяется вычитанием из второго взгляда назад (093) взгляд на „плюс" (1,241).
Отсчеты на все промежуточные точки, где бы они ни были между пикетами, всегда
(условно) считаются взглядами вперед. На крутом, но'ровном косогоре сразу нельзя
пронивелировать точки, отстоящие друг от друга на 100 м, так как инструмент,
поставленный посредине, для задней точки будет стоять слишком низко (визирная
ось будет бить в землю), а для передней — слишком высоко (визирная ось пройдет
выше рейки). Тогда нужно эту линию разбить на мелкие части и их нивелировать
последовательно, связывая произвольными точками х (иксовые).
Для наилучшей
сохранности, некоторые точки
для нивелирования
устраиваются особо прочными и
называются реперами.
Репером может служить
естественный большой
камень, на самой верхней
точке которого сделана
крестообразная засечка, и эта
точка пронивелирована и
вычислена ее отметка,
которая сохранится на многие
годы. В лесу за репер можно
принять пень, в который
следует забить большой
гвоздь. В степи можно
закапывать деревянные
столбы, (фиг. 19)железныестолбы,
рельсы, железо-бетонные
ту мбы и т. д. В городах
и поселках в стены зданий
заделываются чугунные
отливки — марки или берутся
цоколи главных зданий, на
них точки отмечаются
гвоздями, масляной краской и
принимаются за репера.
Фиг. 19.
Ь) Поперечное нивелирование
Одно только продольное нивелирование дает представление об
изменении рельефа лишь вдоль оси нивелирования. Очень
существенно при проектировании знать: намечена ли ось канала или
дороги по ровному месту или по косогору.
Чтобы выяснить характер прилегающей к оси нивелирования
местности следует сделать дополнительное нивелирование в
поперечном направлении, для чего разбиваются поперечники /, //, ///

Техническое (геометрическое) нивелирование
805
и т. д., обычно перпендикулярно к оси нивелирования, влево и вправо.
Длина поперечников может быть различна в зависимости от целей
нивелирования и, напр. для дорог или каналов, равняется 25—50 м
в обе стороны. Нивелирование по поперечникам можно вести
или одновременно с нивелированием магистрали или совершенно
самостоятельно, после нивелирования основного года. В первом
случае нивелир ставится, как обычно, посредине между пикетными
точками, и эти точки нивелируются при двух положениях
инструмента или трубы, затем убеждаются в получении превышения между
этими точками с требуемой точностью и только после этого задняя
рейка снимается с точки и последовательно устанавливается на
отмеченных точках поперечника сначала вправо, потом влево.
Очень часто встречается потребность в полном выявлении рельефа
целой поверхности, что приводит к необходимости нивелирования
сплошного, а не по «какому-нибудь одному направлению.
Вблизи этой площади или через нее проложим магистраль АВ
и по ней промерим равные отрезки А — 1, 1—2, 2—3 и т. д.
В полученных точках 7, 2, 3 и т. д. восстановим перпендикуляры
так, чтобы они проходили через нивелируемую площадь, и на них
наметим пикетные точки. Расстояния между перпендикулярными
и пикетными точками делаются такими, чтобы между ними не
оставалось заметных 'складок рельефа, другими словами, при очень
ровной местности и при мелких масштабах плана эти расстояния
можно увеличивать (до 200—500 м)% а при более сложном рельефе
и при крупных масштабах следует сокращать (до 50—20 м).
Нивелирование начинается, конечно, от репера на магистрали и ведется
далее вдоль каждого намеченного перпендикуляра. Если
перпендикуляры отстоят друг от друга недалеко (100 м), то нивелир можно
ставить между ними и можно сразу вести нивелирование двух
ходов, делая отсчеты по двум задним рейкам и по двум передним.
В более общем виде этот прием нивелирования ровной
поверхности можно свести к разбивке на месте сети квадратов или
прямоугольников, в вершинах которых ставятся четыре рейки,
а нивелир — в средине квадрата. Построение сети квадратов очень
упрощает полевые работы по разбивке пикетажа и очень
облегчает построение чертежа, так как в этом случае можно ограничиться
самыми несложными приемами измерений в натуре и графических
построений на бумаге. При нивелировании по квадратам всегда
будет два отсчета по двум задним рейкам и два отсчета по двум
передним рейкам. Проверкой отсчетов служит то соображение, что
из двух соседних квадратов превышение двух одинаковых вершин
должно получаться одинаковым. Например должно существовать
равенство разностей отсчетов 833 — 644 = 792 — 607, что и получается
с допустимой точностью в 0,004 м, так как в каждом отсчете может
быть ошибка в 0,001 м. Из этого соотношения, переставляя члены,
можно получить другое 833 -f 607 = 792 -f- 644, т. е. суммы
накрест лежащих отсчетов должны, быть равны.
Для вычисления отметок вершин всех квадратов нужно одну из
вершин принять за начальную, с известной высотой. Эту высоту

806 Т. I. Отд. 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
можно получить от ближайшего репера или же она берется
произвольной.
Если стороны квадратов не велики, а у нивелира сильная
труба, можно из одной стоянки нивелира пронивелировать сразу
несколько квадратов.
с) Точное (прецизионное) нивелирование
Прецизионное нивелирование служит не для детального
обслуживания рельефа, а исключительно для определения высот
опорных точек, к которым привязывается нивелирование
геометрическое и тригонометрическое. Точное нивелирование должно
производиться при благоприятных условиях, по ровной местности и поэтому
обыкновенно ведется по линиям железных дорог и по улицам
больших городов. Как исключение точное нивелирование может
применяться и при других условиях, но результаты могут получиться менее
удовлетворительные.
Работа ведется так, чтобы по возможности были исключены
все погрешности нивелира и реек. Важно поэтому хорошо знать
устройство и проверки инструментов.
Для прецизионного нивелирования применяются большие
нивелиры с сильными трубами и с чувствительными уровнями
(фиг, 18). Увеличение трубы достигает 30—40 раз, а цена
деления уровня 3—5". Уровень помещается обязательно вблизи трубы,
под ней или на ней; труба и уровечь перекладываются. Рейки
применяются обычно двухстороннее, нескладные, длиной 3 м\ на одной
стороне красные деления сантиметровые, а на другой черные в и/ю см.
На рейке прикрепляется круглый уровень и отвес для установки
ее в вертикальном положении. Рейки становятся не прямо на землю
или колышек, а на металлическую подставку — башмак. Если на
обеих сторонах реек деления различные, то отсчеты по обеим
сторонам всегда должны отличаться на одну и ту же поправку: красная
сторона равна черной + поправка.
В общем, каждый нивелир исследуется перед началом и по
окончании работ очень обстоятельно. Нужно выяснить: 1) увеличение
трубы и качество окуляра и объектива, 2) цену деления уровня,
3) плавность и верность движения окуляра, 4) равенство цапф,
5) правильнссть вращения всего инструмента и его винтов.
Деления реек сличаются с нормальной мерой и составляется
таблица поправок.
1) Увеличение трубы и оптические свойства ее стекол нужно
знать, чтобы определить общее качество трубы.
2) Определение цены деления уровня и вообще исследование
правильности делений уровня следует производить на испытателе
или по рейкам, для чего нивелир устанавливается на некотором,
точно измеренндм расстоянии от рейки.
Цена деления уровня нужна для того, чтобы по. уклонению
пузырька уровня от средины его можно было вводить поправку

Техническое (геометрическое) нивелирование
807
в отсчет по рейке, так как при точном нивелировании не следует
дожидаться, пока пузырек уровня станет точно на средину. Такая
поправка к отсчету пропорциональна цене деления и расстоянию
до рейки, что видно из таблицы:
Цена деления
уровня
5"
1
В!
Расстояние
*
0,048
0,058
. 0,064
3 и т д.
ill
3) Плавность и верность движения окуляра нужны для того,
чтобы при фокусировании трубы, при разных расстояниях до реек,
не вкрадывались лишние ошибки от колебания окуляра.
4) Равенство цапф исследуется далее.
5) Правильность вращения инструмента и его винтов
исследуется внимательным осмотром всех движений инструмента в
лабораторной обстановке, что должно убедить в точности устройства
инструмента.
Прецизионные нивелиры проверяются подобно всем остальным
нивелирам, с теми изменениями в проверках; которые вызываются
положениями уровня под трубой или на трубе.
При неравенстве цапф у обоих типов инструментов визирная
ось трубы будет не параллельна оси уровня т. е. не будет
горизонтальна, и в отсчеты необходимо вводить поправку за
неправильность осей.
В этом случае, при горизонтальности оси цилиндрического
уровня визирная ось трубы, очевидно, будет наклоненена к
горизонту под некоторым углом /. Влияние этого наклона на отсчет по
рейке, в зависимости от расстояния между нею и нивелиром,
выразится так: dh = D tg/, где D — расстояние.
Нивелирование примерно из средины даст влияние данной
погрешности на разность уровней двух точек в виде следующего
выражения:
dhx -йНъ = Я3ад: tg/ — А,еР. tg / = А = ( Лаад. - Duep) tg / = 6 tg /,
где Озгл — расстояние до задней рейки и Dntp — расстояние до
передней рейки.
При £>зад, равном Z)nep, ошибка эта обращается в нуль, но так
как добиться такого равенства очень затруднительно, то по крайней
мере следует стремиться к тому, чтобы /)зад — Da9p не превосходило
•*—3 м.
Для определения tg / делаются отсчеты на обе рейки при двух
установках инструмента ближе средины и дальше ее метра на 2—3,

808 Т. I. Отд. 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
так чтобы при отсчетах по рейкам не пришлось передвигать
окуляра; при этом получаются два уравнения:
для первой установки: h = (at — pt) -f- ox tg /,
„ второй „ Л = (aa — p2) + 8a tg/,
где h — действительная разность уровней, о — взгляды назад, р —
взгляды вперед, 5 — разность расстояния от инструмента до реек.
Отсюда tg / = Cgi,—Pi) — faa — Р2) #
Перед всеми проверками следует убедиться, что при
горизонтальности инструмента одна нить вертикальна, а остальные —
горизонтальны.
Определение tg I делается ежедневно во время работ.
Расстояние от инструмента до реек определяется по дальномерным нитям,
для чего они предварительно проверяются; эти расстояния не должны
превышать 50 м\ вместо дальномерного определения можно
пользоваться стальными тросами (канатиками) в 50 м длиной. В этих
точках прочно вбиваются башмаки и устанавливаются на них рейки
по уровню.
После того наблюдение идет в таком порядке:
I. 1) Приводится инструмент в горизонтальное положение;
2) наводится труба на заднюю рейку, на красную сторону, а
пузырек уровня подводится к средине; 3) отсчеты по уровню (сначала
окулярный, потом объективный конец); 4) отсчеты на рейке по трем
нитям (сантиметры и миллиметры или полусотки и полутысячные);
5) снова отсчеты по уровню; 6) отсчеты по рейке (дециметры или
полудесятые) по трем нитям.
II. Такие же наблюдения по передней рейке.
III. Рейки поворачиваются обратными сторонами — черными.
Наблюдения те же, что и по красным сторонам, только
наблюдения начинаются с передней рейки, а потом по задней.
IV. После этого производится контроль наблюдения и записей
в следующем порядке: а) разности расстояний по задней и
передней рейкам не должны превышать 1,5 м; Ь) разности между
отсчетами по верхней и средней, средней и нижней нитям и по одной
стороне реек должны быть одинаковыми с точностью до 1 мм;
с) наклонность уровня до отсчитывания по рейке и после должна
быть одна и та же с точностью до 0,3 деления; d) разности отсчетов
по соответствующим крайним нитям должны быть равны разности
по средней нити; е) исправленные отсчеты по средней нити за
наклонность оси и уровня по красной стороне, сложенные с
поправочным дополнением, должны дать исправленные отсчеты по черной
стороне в пределах до 1 мм.
Рабскгы по точному нивелированию начинаются ежедневно от
прочно заложенных точек (марок) или реперов и кончаются на
прочной точке.
Репера устанавливаются через 5—6 км.

Техническое (геометрическое) нивелирование 809
Окончательные вычисления ведутся так: а) проверить
правильность разностей одноименных нитей на заднюю и переднюю рейки,
выведенных в поле; Ь) вычислить среднюю разность по данным
трех нитей; с) вычислить среднее из отсчетов трех нитей на заднюю,
а также на переднюю рейки, чем проверить предыдущие
вычисления; d) вычислить среднюю наклонность уровня на заднюю и
переднюю рейки и ввести в результат поправку за разность
наклонностей уровня; независимо от этого ввести поправки за наклонность
уровня в оба результата, чем проверить предыдущие вычисления;
Журнал точного нивелирования
Штатив 9.
1923 г. 15 мая
Задн. р. № 3.
•я Уров.
а,
о.
о -1,0
и 16,273+5
х Уров.
а>
Т
Контроль
а,
о
юная ст
ill
о.
4,23
+14,0-12,6
14,16
16,27
18,39
+13,6-13,0
16,278
192,006
208,284
3,07
+13,4-13,3
13,28
15,26
17,25
+13,0+13,9
15,261
180,000
—1
+0,07
-0,21
+4,50
+4,53
+4,57
48
+ 4,541
+65,602
+70,143
+ 0,07
-0,20
+4,22
+4,25
+4,29
+5
+ 4,258
+61,500
Передн. р
4,16
+13,4-13,3
9,66
11,74
13,82
+12,8-13,9
11,737
126,404
138,141
3,00
+12,4—14,4
9,06
11,01
12,96
+12,8-13,9
идюз
118,500
0
. №4.
Уров.
-0,5
-3 11,740
Уров.
11,010
-1,5+ 0,734
-7 11,744
е) суммировать исправленные разности от марки до марки; f)
обработать результаты сравнения реек и ввести в предыдущую сумму
поправку за длину реек; g) ввести среднее значение угла между
осью уровня и осью трубы (tg /) и найти поправку за этот угол на
весь ход; h) ввести поправку за перемену нуля рейки; i)
перевести результат красной стороны реек в метрическую меру; j) найти
среднее из красной и черной стороны.
Отметки вычисляются обычным путем, суммированием
начальной отметки с превышениями.
Невязка между данными-реперами или в замкнутом ходе це
должна превышать 1—2 мм1кли

810 Т. I. Отд. 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
d) Рельеф, горизонтали и их проведение
Рассматривая внимательно чертеж нивелирования по квадратам,
можно по отметкам составить себе представление о рельефе
изучаемой местности.
Значительно нагляднее получается представление о рельефе,
если на плане мы найдем точки с одинаковыми высотами и
соединим их линиями — горизонталями. Горизонтали соединяют
точки с одинаковыми высотами, не произвольными, а заранее
выбранных размеров. Именно для проведения горизонталей всегда
берут высоты, выражающиеся круглыми числами, идущими
последовательно через 2, 5, 10, 25, 50 м или через 1, ОД 0,25, 0,1 .иит.д.
Для проведения всех этих горизонталей нужно на плане найти
соответствующие точки между теми точками, высоты которых уже
нанесены на план. Например, очевидно, что между вершинами
с высотами 10,00 и 9,80 точка с высотою 9.90 будет ровно на
середине; точно так же между точками 9,96 и 9,83
горизонталь 9,90 будет делить расстояние в отношении 6 к 7, так как
9,96 — 9,90 = 0,06, а 9,90 — 9,83 = 0,07, и таким образом, в данном
случае линию между вершинами квадратов нужно разделить на 13
частей (9,96 — 9,83 = 0,13) и, взяв шесть частей от верхней точки,
на.йдем место горизонтали.
Такой способ нахождения точек для горизонталей можно
назвать аналитическим, так как все дело сводится к
вычислению отношений отрезков пропорционально разности высот. Если
таким путем просмотреть все стороны квадратов и вычислить для
каждой из них положение нужных точек, то последующее
соединение точек с одинаковыми высотами и даст нам горизонтали в виде
плавных кривых линий. Для большей наглядности в некоторых
местах к горизонталям делаются коротенькие чертежи —
перпендикуляры для указания направления ската от более высокой
горизонтали к более низкой.
Другой способ проведения горизонталей называется
графическим и состоит в том, что сначала по нивелирным отметкам
графически строится профиль данного направления, на нем находят
точки с требуемой высотой и затем эти точки намечаются по
профилю на плане. Таким образом видно, что для графического
получения точек горизонталей между данными на плане двумя точками а
с высотой 145,3 и К с высотой 150,8 нужно для этих точек
построить профиль. Если проводить горизонтали через метр
по высоте, то наша наклонная линия пересечет высотные линии
146, 147, 148, 149, 150 в соответствующих точках, проектируя
которые вниз на горизонтальную линию плана, получим искомые точки
для горизонтали 146, для горизонтали 147 и т. д.
Выявление рельефа горизонталями. На ровной местности для
получения ее рельефа разбиваются квадраты, вершины которых
нивелируются, или проводятся ряды параллельных нивелирных
ходов; на все эти ходы составляется план и на нем наносятся

Техническое (геометрическое) нивелирование 811
93 9 У 91 95» 96 9 Я
9,80\
отметки точек —результат нивелирования, п,о которым далее
рассчитываются горизонтали (фиг. 20). Нивелирные точки должны оуваты-
вать все характерные складки рельефа настолько густо, чтобы при
расчете между ними горизонталей нельзя было пропустить
существенных изменений рельефа. Так как все точки горизонтали лежат
на одной высоте, то мож!ю считать, что вся горизонталь лежит
в одной горизонтальной плоскости и как бы представляет собой след
сечения этой горизонтальной плоскости с данной местностью. Рас-
стояние по отвесу между такими горизонтальными плоскостями
называется вертикальным сечением между горизонталями
В зависимости от рельефа местности и от цели работ выбирается
различное вертикальное
сечение между
горизонталями. В ровной
местности и для крупных
масштабов вертикальное се
чение берется небольшое
(0,1, 0,25, 0,50, 1,00 м\Ф\
в холмистой местности $?}
и для мелких
масштабов сечение колеблется
между 1 и 5 м% а для
гористой местности
берется большое сечение
в 10, 25 и 50 м и т. д.
Для выражения рельефа в первую очередь производится
нивелирование реперов, для чего от репера к реперу разбивается пикетаж.
После нивелирования реперов и определения их отметок можно
приступить к нивелированию всей местности, охватывая работой
все главнейшие элементы рельефа. Именно, важно провести
нивелирование по всем хребтам, по главным и второстепенным
лощинам и оврагам и т. д. Каждая отдельная часть нивелирования должна
начинаться от репера или от уже определенной по высоте точки
и заканчиваться у такой же нивелирной точки. В оврагах
нивелируется дно и скаты с таким расчетом, чтобы можно было получить
достаточное количество точек для расчета горизонталей. Само собой
разумеется, что все нивелирные хода нужно предварительно
разбить на месте, снять и нанести на птан. Нивелирные хода
прокладываются настолько часто, чтобы между ними не оставалось
больших изменений рельефа.
Значение планов с горизонталями. Расстояние между двумя
соседними ториан алями называется заложением. Если брать
заложения перпенАикулярно к горизонталям, то при сравнении
двух или более таких заложений можно сказать, что большее
заложение указывает на более пологую местность, а меньшее — на
более крутую местность. Действительно, если d — заложение, h —
вертикальное сечение между горизонталями, то ~=tga или угол

312 т- !• 0ТД- 5. Геодезия. III. Вертикальная съемка (нивелирование)
наклона а будет тем меньше, чем больше заложение d; при одном
и том же сечении h. Обратно, придавая углу а разные значения,
приравняв величину h 1 м> можно заранее вычислить величину
заложения и разместить в следующую таблицу:
1° 1 2°
1
57,3
28,7
3°
10.1
4°
14,3
51
11,5
10е
5,7
15е
3,8
20°
2,8
25°
2,2
30е
1,8
35°
1,5
40°
1,2
45°
1
Это же самое соотношение между заложением и углом наклона
можно изобразить в виде масштаба заложений, который
строится так: проводится вертикальная линия АВ и на ней через
некоторые промежутки отмечаются точки, около которых
надписываются градусы углов наклона. Через полученные точки проводятся
перпендикулярно к АВ линии и на них откладываются размеры
заложений из приведенной таблицы и их концы соединяются
плавной кривой.
В. Тригонометрическое нивелирование
В простейшем случае (фиг. 21), когда уроненную поверхность между двумя
нивелируемыми точками можно принять за плоскость, превышение одной точки над
другой определяется формулой
h = d tg a (1)
Но для определения превышения при тригонометрическом нивелировании на
большие расстояниях следует применять тоже эту формулу, но к ней придается
поправочный на кривизну земли член d2\2 R, прямо пропорциональный квадрату
расстояния между определяемыми точками и обратно пропорциональный радиусу кривизны
земли, т. е. ._>
h = dtg* + d*iR (2)
Полученная формула для превышения еще не полна, так как в ней не учтено
влияние на превышение рефракции в воздушной атмосфере, т. е.
'^•+«т-А^'*в+-ЧтгЛ
(3)
Это будет окончательная формула для превышения, с учетом кривизны земли
я рефракции.
Если при наблюдениях измерялись не углы наклона, а зенитные расстояния,
причем Z = 90e—о, то
A = rfcteZ+-!f^» <4)
Коэфициент К определяется из этой формулы, для чего берут две точки,
геометрическим нивелированием определяют величину Л, измеряют в натуре величины
d и at и, зная радиус земли /?, вычисляют К. Для наших условий получено, что
*f=0,13, и формула (4) в таком случае принимает вид
(У
h = d.ctgZ + ^d\
Дал суждений о величине поправок на кривизну земли и на рефракцию ПРИ"
•едем следующую таблицу.

Тригонометрическое и барометрическое нивелвгрой&нйб 813
Расстояния
100 м
200 „
400 „
6Ж- -
800 „
1 км
2 .
3 „
4 „
5 „
Ю я
Поправки
на кривизну
на рефракцию
Общая
поправка
в м
0,001
0,003
0,013
0,030
0,051
0,078
0,320
0,71
1,29
2,00
9,82
—
0,002
0,005
0,007
0,010
0,047
0,1
0,2
0,3
1,0
0,001
0,003
0,011
0,025
0,044
0,068
0,273
0,61
0,09
0,70
6,82
Угол
рефракции
—
—
1"
2
2
4
6
8
11
21
Формула называется 5-й формулой одностороннего наблюдения, и в нее в .одит
поправка на кривизну земли и рефракцию. Чтобы пользоваться этой формулой,
нужно знать коэфициент К.
При взаимнообратных наблюдениях эта
поправка уничтожается, и
dig a
Z. — Z
.(6)
Так как наблюдения зенитных расстояний
определяются не с земли, а с высоты
инструмента, то полученное превышение следует
увеличить на высоту инструмента -f- /. Если
наблюдения производятся не на землю, а на вершину
сигнала, то из А следует скинуть высоту сигнала,
и окончательно для односторонних наблюдений
получится формула
--d-ctgZ + -
0,87
2R
+ i-V.
•(7)
На коротких расстояниях и при угле
наклона а эта формула примет другой вид:
Фиг. 2Ь
При взаимных наблюдениях
h = d\g
h = dtg<t + i—V
, учитывая высоту инструмента и сигнала:
+ ■
(5)
(9)
С. Барометрическое нивелирование
В ртутном барометре высота ртутного столба зависит от давления атмосферного,
воздуха. С изменением давления воздуха изменяется и высота ртутного столба.
Давление воздуха зависит от высоты столба воздуха, т. е. от высоты точки
наблюдения над уровнем моря, от влажности воздуха, его температуры, а также
и от напряжения силы тяжести в данной точке, что связано с географическим
положением точки наблюдения. На показаниях барометра, кроме того, сказывается
его собственная температура.
При определении барометрических' давлений в разных по высоте точках следует

814 Т. t Отд 5 Геодезия, tit ЙгртикалЪйай cbev-ка (яйбелйройаяйе)
еще учитывать неравномерное распределение воздуеа по высоте. Выражаясь
в общей форме, можно сказать, что показание ртутного барометра есть функция
многих переменных, из которых некоторые не поддаются точному учету. Попыток
составить полную барометрическую формулу сделано очень много, но конечных
результатов все-таки не получено. Следует указать на формулу Лапласа,
выражающую разность высот двух точек по барометрическим наблюдениям, а именно:
Hn-K-\g.B/Bn(\+E<0
Здесь И — искомое превышение, / — средняя температура воздуха обеих
определяемых точек, Вк Вп — наблюденные барометрические давления и К —
некоторый определенный коэфициент. Или можно написать
И = 18 400 м [1 + 0,003665 ( (\g В - \g Вп)\.
Величина К определяется опытным путем из формулы, причем заранее определяется
превышение Н двух точек нивелированием и в них делаются наблюдения по
барометру. Последняя формула называется приближенной формулой барометрического
нивелирования, так как в ней учтены не все физические причины, влияющие на
барометрическое давление.
По формуле первой определяется высота Н над уровнем моря, и она называется
приближенной высотой; на практике приходится сначала определить превышения
одной точки над другой, а потом уже вычисляются их высоты над морем.
Далее эта формула преобразуется так, что вместо средней темлературы воздуха
берется (/ — 15ь) и вместо Е — вводится полравка а за среднюю влажность и
среднюю широту, что и приведет к окончательному виду:
h = (И, - HJ + 1 (Яа - И,) [i - 15").
Здесь а равно примерено 0,003475.
Превышение, получающееся по этой формуле, выражается в метра т.
Чтобы пользоваться этой формулой и др., изданы разными авторами различные
таблицы (Шарнгорст, Срезневский, Певцов, Бик и др.). Эта формула имеет в виду
местность при 45° северной широты и среднюю влажность воздуха и по
преимуществу применяется для» практически* целей.
Взамен ртутные барометров у потребляются очень широко анероиды, или
безвоздушные и безртутные барометры. Существеннейшая часть анероида состоит
из тонкой металлической коробки с волнистыми стенками, из которой насосом
выкачен воздуе до сильного разряжения. На эту безвоздушную коробку давит
атмосферный воздух и в зависимости от изменения этого давления изменяется
положение стенок коробки. По середине одной из стенок коробки прикреплен
штифт, соединенный системой передачи со стрелкой, которая ходит по шкале
делений; таким образом давление воздуха, действуя на коробку, передвигает
стрелку по шкале. Деления шкалы нанесены в миллиметрах. При анероиде, под
стеклом, помещается термометр, измеряющий его температуру; другой термгометр
должен определять температуру внешнего воздуса.
Анероиды —наиболее удобные (портативные) приборы для производства
технического барометрического нивелирования.
Барографы представляют видоизменение анероида тем, что шкала делений
анероида в барографе заменена клетчатой бумагой, которая прикрепляется к цилиндру,
вращаемому часовым механизмом, и по бумаге стрелка вычерчивает кривую
времени и давления.
Перед работами все приборы должны быть осмотрены и проверены. Ртутные
барометры сверяются с нормальными барометрами на физических и
метеорологические обсерваториях при различных температура < и давлениях. Наблюденные
поправки вводятся в вычисления. Так как деления на анероиде показаны в виде
одинаковых миллиметров, а между тем с изменением давления коробка анероида
изменяется неравномерно, а с ней и стрелка, то в анероиде необходимо определить
коэфициент поправки за деления шкалы; вся полравка выразится в виде числа С
(762 — А), где С — коэфициент, А — показания анероида и 762 — давление на уровне
моря. Такая поправка носит название полравка за шкалу. Далее замечено, что
показания анероида изменяются с изменением его темлературы, и в эти показания
нужно вводить температурную поправку bt, где Ь —■ коэфициент и / температура
анероида. Наконец начальный отсчет по анероиду, при прочих равные условиях,
может отличаться от показанний ртутного барометра. Разность таких отсчетов

^относи» технтт^еского ййвеяйрований, составление профиля 8lS
называется поправкой за стояние а Эту поправку можно свести к нулю,
установив стрелку анероида на отсчет, равный показанию барометра, что делается
винтом с обратной стороны анероида.
Окончательно, барометрическое давание при нуле градусов С получится
по формуле:
В0 = ЛтдтМтс (762 - А).
Эта формула показывает, что каждый отсчет по анероиду, прел<де чем перейти
на показания ртутного барометра при нуле градусов, нужно исправить тремя
поправками. Все эти поправки определяются в лабораториях физической или
метеорологической обсерваторий в надлежащей обстановке. Без этих поправок
анероидом нельзя пользоваться.
Для анероида формулу можно видоизменить так:
Л = {Нх - Яа) + « (Я, - Иг) (/ - 15е).
Здесь Я, — #8 — приблизительные высоты данных точек над уровнем моря —
берутся из таблицы, / — средняя температура точек и а — коэфициент, вычисляемый
для данной широты и средней влажности. Последний член формулы, обычно, тоже
получается по готовой таблице.
В дурную погоду, с резкими колебаниями атмосферного давления, работать
нельзя. Даже в хорошую погоду наблюдения надо организовать так, чтобы постоянно
можно было судить о суточном ходе барометрического давления на постоянной точке
вблизи работ. Для этой цели можно пользоваться показаниями ближайшей
метеорологической обсерватории или же следует организовать свои наблюдения на какой-либо
точке по барометру, анероиду или ба эографу и термометру. На этой станции в начале
работ сличаются показания остающихся приборов и тех, которые пойдут на местность.
Нужно записать время, давление, температуру воздуха и температуру приборов. Все
отсчеты следует производить не сразу, а дать прибору освоить свое положение,
держа анероид в горизонтальном положении на высоте груди и слегка постучав
по нему пальцем для преодоления трения чаете i механизма. Для определения
температуры воздуха термометр привязывается к шнуру и некоторое время
вращается (лращевол термометр). Затем рабочие приборы отправляются и по ним
наблюдения ведутся в характерных точка i, положение которых отмечается на карте,
плане или в абрисе. Кажды i раз нужно записывать: время, показание анероида
до 0,1 мм, температуру анероида и воздуха. Если атмосферное давление постоянно
в день наблюдения, то анероид будет давать различные показания только из-за
изменения высот. Далее 25 км не следует уходить и обязательно нужно возвратиться
в тот же день к начальное точке, где производятся снова наблюдения и выясняется
вопрос об изменении давления в течение дня. Полученные данные вводятся в
вычисление. Если контрольной станции почему-либо нельзя организовать, то можно от
начальной точки совершать с анероидом небольшие передвижения, снова вернуться
обратно и заметить разность показани i начальных и конечных. Эти ра?ности можно,
с большой оговоркой, признать за невязку, которая и распределяется
пропорционально времени. Сомнительность этого способа очевидна. При двух анероидах,
чтобы не возвращаться без надобности обратно, можно по уговору один анероид
оставить на месте до определенного часа, а другой пустить в работу. При
небольших разностях по высоте (200 ж), при небольшом удалении точек (5 км) можно
предполагать ошибку в превышении, определенном анероидом, около 2 м.
D. Точность технического нивелирования, составление
профиля
Для повышения точности нивелирных работ следует
внимательно наблюдать за установкой инструмента и реек.
Устанавливать нивелиры на станции нужно так, чтобы два
подъемных винта стояли по линии нивелирования, а третий винт —
перпендикулярно к ней. Перед самым отсчетом по рейке пузырек
уровня направляется на середину одного из двух винтов, стоящих
по направлению к рейке. Рейки устанавливаются строго верти*

S16 ^- 1- 0ТД- 5- Геодезия, til. Вертикальная съемка (йибелироЬаяае)
кально по уровню или на-глаз. Качание рейки не допускается при
отсчетах менее 2 м. Отсчеты по рейке делаются с точностью до 2 мм.
Расхождения между превышениями, полученными из двух
положений инструмента на одной станции, не должны превышать
А*мм. Общая средняя невязка технического нивелирования,
получаемая между марками или реперами, или невязка в замкнутом
ходе одного нивелира не должна превышать в среднем величины
Ь = 0,010 м У п -f 1,0 мм л, где п — число километров. При
неблагоприятных условиях для работы, происходящих от состояния
атмосферы или почвы, указанная средняя допустимая ошибка может
быть увеличена, но не более, чем в два раза. В предвидении таких
обстоятельств следует в нивелирном журнале в графе примечаний
отмечать ветер, дождь, снег, сильные колебания воздуха при
нагревании, мокрый грунт, песок и пр.
Допустимая невязка в нивелирном ходе между двумя реперами
или марками распределяется на все связующие точки пропорционально
числу станций от начальной точки. Невязка в замкнутом ходе
распределяется в обратном порядке пропорционально количеству
станций.
Составление профиля. Профиль дает графическое выражение
отметок, вычисленных по нивелирному журналу, расстояний между
пронивелированными точками и других величин, связанных с
произведенным продольным нивелированием. Для профиля берется
особая „профильная" бумага, на которой отпечатана желтым или
зеленым цветом сетка квадратов в дециметр, сантиметр и миллиметр;
доли миллиметра определяются по черточкам. На такой бумаге
внизу выбирается одна из горизонтальных линий и на ней
откладываются пикетные расстояния в некотором масштабе (1:10 000,
1:2000 и т. д.). Полученные точки нумеруются по журналу и около
них надписываются „отметки земли*. Далее, эти отметки земли
откладываются вверх по вертикальным линиям, в своем масштабе,
более крупном (1:1000, 1:200 и т. д.). Получаемые таким
построением точки соединяются прямыми линиями, и получается
графическое изображение вертикального разреза данной местности по линии
нивелирования.
Для вертикальных расстояний масштабы берутся более
крупные, чем для горизонтальных расстояний, для большей наглядности,
особенно в случае малой рельефности.
Проектная линия. По начерченному профилю удобно нанести
проектную линию будущего сооружения (дороги, канала и т. п.)
по определенным техническим заданиям. Например допустим, что на
профиле виден переход через овраг, над которым для пропуска
воды, если строится дорога, следует устроить мост. В зависимости
от количества ожидаемой воды и от других условий рассчитывается
отверстие моста и высота его, напр., взята отметка 23С00. На этой
высоте, на профиле, намечается горизонтальная линия с уклоном
нулевым и длиной в 300 м. Эти величины подписываются на
профиле красной тушью в графе „отметки проектной линии*. После

Точность технического вийелйро&айия, - составление профиля 81?
этого вправо и влево от моста можно провести линии с некоторыми
уклонами, которые должны соответствовать техническим
условиям проектируемого сооружения. Уклоном называется
отношение превышения между двумя точками к горизонтальному
расстоянию между ними или, иначе, уклон есть тангенс угла наклона линии
к горизонту. Например, уклон 0,002 означает, что на каждый метр
горизонтального расстояния подъем или падение линии равно
0,002 м; на 1000 ж, при таком уклоне, превышение равно 2 м, а на
100 м — 0,2 м и т. д.
Пспрпечный ппошиль
побегикость (2>«4*г/ $5 5 / * ^
земли (черным) / ППРООЛЪНЫй ППОСЧЯЪ
Уклоны проект г—■
л (красным) I
Отметкипро- пг
ектл.(кцаон) LL.
ПП
Отметки
земли (черным)
Расстояния
Ход. лин
=;
>
IOO О
3 !
100 0 *)Ь t
— v__^
TW
АО О
$
?
Юс
!
КО
|
w
нь
II !* 1
•u.f\ too о too о
1 „1
Ift'M
Mnuhemod 0 I
ICO, &
2 277,2 3
m.o
Фиг. 22.
Если взять уклон 0,002 влево от моста, а вправо — 0,003, то
влево от пикетной точки с отметкой 23,000 отметки проектной
линии будут через каждые 100 м изменяться на 0,2 м, а вправо —
на 0,3 м. Все полученные отметки записываются красным в графу
„отметки проектной линии". Разности между отметками земли
и отметками проектной линии укажут на глубины будущих
выемок или на высоты будущих насыпей, надписываются вверху
профиля и называются «красными отметками". Таким
образом .после нанесения на профиле проектной линии можно пойти
в натуру и на каждой пикетной точке наметить соответствующую
высоту и глубину земляных работ. Особое значение имеет точка
„нулевых работ", где насыпь переходит в выемку. Расстояние d
этой точки от ближайшей пикетной точки вычисляется по формуле
а + Ь*
где D — длина пикета или 100 м9 Ь — красная отметка

818 Т. I. Отд. 5. Геодезии. Ш. Вертикальная съемка (нивелирование)
в точке последующей, а величина а — отметка в точке предыдущей.
Для примера вычислим точку нулевых работ между пикетными
точками
rf=l0O'ro5n?fe95=1O0-O,228==22,8^
Е. Разбивка кривых
При устройстве дорог или при проведении канав и каналов прямые участки при
перегибах соединяют дугами кругов различных радиусов, вписываемых в
измеренный угол. Кривая будет
касаться сторон угла в двух
точках (начало и коней
кривой) (фиг. 23).
Размеры радиусов указываются
техническими условиями.
Если R есть радиус
некоторого закругления, то его
элементы определяются
следующим образом в
зависимости от величины
центрального угла у,
равного дололнению до 180° угла
между связывающимися
кривой прямыми
участка пути. Величина
касательной от начала кривой
до вершины угла будет:
Фиг.
'**7*
тв
Длина кривой /Г = те •/?-'— ,
Расстояние от вершины угла А до кривой (биссекстриса угла) равна:
B = Rtsjrte\r
Имеются специальные таблицы Кренке, Моржова и др. для разбивки кривых.
Табл. 1 Кренке дает величины К и В при радиусе, равном 1000 для всех
центральны* углов и 0 до 120" через каждые 10'. Кривая, начало, конец и середина
которой могут быть легко найдены по табл. 1 Кренке, подробно разбивается
следующим образом. Вообразим на разбиваемой кривой точки а, Ь, с..., отстоящие от
кривой на 5 -и одна от другой; эти точки могут быть найдены по абсциссам Aa't
Ab't Ас'... и ординатам a'a, b b, с'с и т. д. относительно касательной.
Табл. 2 Кренке дает величины абсциссы и ординаты или х и у для кривых
разных радиусов, начиная ог 21 до 10 000 м\ длины дуг при этом для малых
радиусов (до КО м) следуют через 5 м, для более крупных (до 1000 м), через 10 м,
погом через 50 и, наконец, через U0 м.
Дан угол А между прямыми участками пути: А =» 165е 14', радиус закругления
R = 300 м.
Разбить кривую с касательных.
Находим центоальный угол т = 180" — А =- 24"46' и по таблице Кренке
элементы закругления:

Значение тригонометрической сети 81$
г . . . .
к . . . .
в . . . .
24л40' 24*50'
218,64
430,51
23,62
220,17
4^3,42
23,95
Табличная
разность
(на 10')
1,53
2,91
0,33
Поправка
на 6' X 0,6
0,92
1,75
0.20
24Л46'
для 1000
219,56
432,26
23,82
для 300
65,87
129,68
7,15
Из табл. 2 Кренке извлекаем следующие
кривой, начиная от
точек соприкосно-
або^иссы и ординаты точек
вения ее с
прямыми участками
дороги, через каждые
10м, считая по
кривой, т. е. эти
таблицы служат для
детальной
разбивки кривых.
R = 300, -у = 64,84
Длина дуги .
Абсцисса • .
Ордината . ,
10
10,00
0,17
20
19,99
0,67
30
29,95
1,50
40
39,88
2,66
50
49,77
4,16
60
59,60
5,98
IV. Тригонометрическая сеть
А. Значение тригонометрической сети
В тригонометрических сетях стороны и углы определяются
с высокой точностью, поэтому и взаимное расположение точек
вычисляется с малыми ошибками.
Подобно прецизионному нивелированию тригонометрическая
сеть служит для определения опорных точек, которыми можно
пользоваться для дальнейших работ.
Помощью тригонометрической сети разрешаются вопросы
о форме и размерах земли, в то же время она служит основанием
для последующих подробных съемок на больших частях
поверхности земли.
Тригонометрическая сеть располагается на снимаемой местности
в виде цепи или сети треугольников, вершины которых называются
пунктами тригонометрической сети, а стороны —
сторонами тригонометрической сети.
Тригонометрические сети со сторонами в 25—30 км и более
называются сетями I класса, сетя со сторонами в 10—15/см— II
класса, со сторонами 5—8 км — III класса и менее — IV класса. Сети I
класса считаются основой для последующих. Чем ближе класс сети
подходит к первому, тем точнее производится измерение углов
и сторон.
В тригонометрических сетях определяются все углы между
сторонами, азимут какой-либо из сторон (одной или нескольких)
й затем измеряется точно в натуре одна линия, по которой
вычисляются все стороны треугольников. Такая линия называется
базисом. По углам, первоначальному азимуту и сторонам вычисляются
приращения, а по ним координаты.

820 Т. I Отд. 5 Геодезия- IV. Тригонометрическая сеть
Пункты тригонометрической сети на местности должны быть
прочно закреплены и видимы издалека, для чего они
устанавливаются на возвышенных открытых местах. Для закрепления
тригонометрического пункта в яме 2—3 м глубины складывается из
кирпича на цементе или из бетона подземный центр в виде столба,
примерно, 0,5 м высоты и 0,4 м в квадрате. В середину столба
заделывается чугунная трубка или болт диаметром в 2 см; этот
подземный центр засыпается землей и сверху из того же материала
или из большого камня - валуна сооружается большой
надземный центр, тоже с маркой посередине. Центры закладываются так,
чтобы их марки приходились друг над другом точно по отвесу, что
делается помощью теодолита и шнуров, натягиваемых через яму
в трех направлениях. В качестве тригонометрического пункта можно
пользоваться подходящими сооружениями. Чтобы
тригонометрический пункт был издалека виден, часто приходится над ним строить
вышки, сигналы, пирамиды из бревен. В таких случаях сначала
строится сигнал, а потом, точно по теодолиту, под его вершиной
закладываются центры. Пирамиды делаются простые из четырех
бревен в 12—15 м, вкопанных в землю и вверху соединенных
общей бабкой и крестовиной. При небольших сетях в бабку сверху
забивается гвоздь для визирования. Если с земли не видно
соседних пунктов, то вместо пирамиды строится высокий сигнал
(метров 30-50).
Признано, что наиболее выгодные пр точности и по площади
в тригонометрических сетях треугольники — равносторонние.
В Измерение базисов и углов
Основные линии тригонометрических сетей — базисы —
измеряются очень тщательно,, так как ошибка в них передается в другие
стороны сети прямо пропорционально квадратному корню из числа
треугольников. Так, если базис измерен
, у с относительной ошибкой 1/100000, то
/ С \ через 25 треугольников относительная
ошибка стороны Судет равна
1/100 000 X V2o = 1/20 000.
Для базиса выбирается ровная мест-
о ность с таким расчетом, чтобы базис
пересек какую-либо сторону сети и образо-
фиг- 24- вал с ней вытянутый ромб (фиг. 24).
Базис будет представлять малую диагональ,
•в сторона сети большую диагональ ромба. Отношение сазиса к
стороне сети не должно быть менее отношения 1 :5. Угол наклона базиса
определяется нивелировкой по отношению превышения к длине.
Для измерения базиса применяются различные базисные приборы
стальные ленты, деревянные жезлы, металлические жезлы и инвар-
ные проволоки. Перед измерением базиса и после него рабочая

Измерение базисов и углов
821
линейная мера должна быть выверена с особой тщательностью по
нормальной мере. Такое сличение называется компарирова-
н и е м, или эталонированием, базисного прибора. Сети
разных классов требуют базисов различной точности. Сети I класса
должны иметь базисы с ошибкой менее ^.AA пп/ч , II класса о^/ч,^ ,
500 000 300 000
для III. IV и V классов менее ^щ', ^\ ^.
Базисные приборы. Базисные приборы имеют своим
назначением производство измерения в полевой обстановке базисов
тригонометрических сетей; вследствие этого базисные приборы должны
удовлетворять двум непременным условием: они должны быть очень
точны и удобны для полевых работ. Каждый базисный прибор
(линейная мера) прежде всего должен быть сличен с „нормальной
мерой", длина которой служит основой всех измерений.
Базисный прибор Иедерина. Этот прибор состоит из
нескольких инварных проволок (2—6) длиной около 24 м,
диаметром 1,7 мм, весом 0,4 кг, двух гирь по 10 кг каждая, нескольких
термометров - пращей, 20—S0 штативов с целиками и двух
треног с блоками. Проволоки изготовлены из сплава: 64% стали
и 36% никеля; такой сплав ничтожно мало изменяет свою длину от
перемены температуры, отчего и получил свое название „неизмен-
нюй", или „инвар"; коэфициент расширения инвара доходит до
1:3 000 000 на 1°С. Однако при комбинировании проволок, при
измерении базиса, в промежутках времени между этими работами
следует измерять температуру проволок, чтобы следить за их длиной.
Ничтожность температурных изменений позволит ограничивать отсчеты по
термометрам до 1°С. Инварные проволоки имеют по концам хорошо
напаянные шкалы с сантиметровыми и миллиметровыми делениями;
шкалы кончаются ушками, на которые можно пристегивать
добавочную тонкую стальную проволоку, которая ходит по блоку
треножника и натягивает при помощи гири всю большую проволоку.
При эталонировании и при измерении базиса проволоки должны
иметь совершенно одинаковое натяжение, при котором определяется
на компараторе длина прямой линии — хорды, соединяющей нули
шкал проволоки при температуре 20° С. При хранении и перевозке
проволоки наматываются не туго на барабан диаметром около 0,5 м.
Нужно внимательно следить за тем, чтобы при перевозке и во время
работ проволоки не подвергались никаким ударам, отчего они легко
могут изменить свою длину. Для натяжения применяются две гири
по 10 кг; эти гири точно выверяются до 1 г, хорошо никелированы
и сохраняются в удобных прочных футлярах. Проволоки
натягиваются гирями через блоки, которые укреплены на двух
специальных треножниках; одна нога этого станка, направляемая вдоль
базиса, имеет вырез, в котором на шариках вращается блок, а две
другие ноги служат для поддержания ноги с блоком и с
грузом и располагаются в направлении, перпендикулярном к базису.
Для отсчитывания по шкалам вытянутой вдоль базиса проволоки

822 Т. I Отд S Геодезия. IV. Тригонометрическая сеть
применяются штативы с целиками. Металлические целики штатива
устроены так, что они могут передвигаться при помощи микромет-
ренного винта поперек базиса, и точка целика точно может быть
подведена к шкале проволоки. Вместо штативов иногда применяют
прочные деревянные колья, в верхнюю поверхность которых вместо
целиков забивают граммофонные иглы.
Измерение базиса.прибором Иедерина.
Предварительно на базисной линии через каждый километр
устанавливаются временные центры для ночных перерывов, затем по
промерам через каждые 24 м определяются места для штативов с
целиками; штативы устанавливаются точно по линии базиса, причем
целик штатива должен стоять строго вертикально по линии базиса,
а расстояния между двумя соседними целиками могут отличаться
от 24 м + 4—6 см. После того как штативы будут установлены,
приступают к нивелированию целикоз, для чего следует
пользоваться маленькой легкой рейкой, которая ставится на целики,
закрытые шляпками. Для измерения проволокой пролета между двумя
соседними целиками-штативами около них устанавливаются
треноги с блоками так, чтобы острие главной ноги было в
вертикальной плоскости целиков, чтобы верхний край блока был немного
выше целика и чтобы ручки у блока треноги были горизонтальны.
Далее, мерная проволока пристегивается к проволокам,
удерживающим гири и перекидывающимся через блоки, вешаются гири и
постепенно проволоке дается нормальное на1яжение в 10 кг; затем
по обеим шкалам мерной проволоки, по целикам, делаются отсчеты;
можно потом проволоку несколько передвинуть и сделать еще
один—два отсчета по шкалам; этим устанавливается контроль
отсчетов. После этого первая проволока отстегивается и подается вторая,
третья и т. д. Из всех измерений подсчитывается среднее
арифметическое длины базиса.
Относительные ошибки при измерениях базисов по способу
Иедерина чрезвычайно малы; можно считать среднюю
относительную ошибку такого измерения около 1:5000 000. Средняя скорость
такого измерения, примерно, равна 1 км в день, поэтому при
помощи прибора Иедерина теперь представляется возможность
измерять сравнительно быстро и очень точно большие базисы (10—
15 км).
Измерение углов. Для измерения углов на пунктах
тригонометрических сетей применяются самые точные угломерные
инструменты, конструкции которых очень разнообразны. В
зависимости от разряда сети применяются более точные или менее точные
инструменты. Чтобы получить понятие об этих инструментах, можно
ознакомиться с таблицей (см. стр. 823), характеризующей основные
свойства некоторых из таких инструментов.
В таких инструментах часто вместо луп и верньера
применяются микроскопы с микрометрическим барабаном для оценки
частей делений лимба. Для работ инструмент должен быть в полной
исправности и исследован. Проверки таких инструментов в общих
чертах совпадают с проверками обыкновенных теодолитов. Для полу-

Измерение базисов и углов 823
Диаметр
круга в см
40
34
16
Деления на
горизонт.
круге
lbs.
Деления на
вертик.
круге
1/15°
1/12°
1/3°
Точность
отсчетов
0.5"
1"
5"
Фокусное
расстояние
в см
75
60
32
Увелич,
75
60
32
Чувстви-
тел ность
уровня
1"
2"
чения высокой точности углы измеряются многократно. Из
нескольких способов измерений углов следует остановиться на способе
круговых приемов.
После точного центрирования и приведения в горизонтальное положение труба
направляется по очереди на все видимые сигналы. Делаются отсчеты по всем
верньерам или микроскопам. Это действие называется полу приемом. Затем труба
переводится через зенит, снова направляется на первый пункт в обратном порядке
на другие, снова первый пункт — второй полулрием, а всего целый прием. Для
второго приема лимб сдвигается, чтобы получить другие отсчеты, и все наблюдения
повторяются в том же порядке. На сетях I класса таких приемов и\ и одится делать
12, на сетях II класса—9, III класса — 6 и IV — 3. Чтобы убем * игься в устойчивости
инструмента при столь точных и продолжительных работах, к унивср:ал н^.м
инструментам добавляется дополнительная труба, которая в начале наблюдений
налравляется на какую-нибудь* точку, и по устойчивости этого визирования
наблюдатель может судить об общей устойчивости всего инструмента. Контролем ..ри
наблюдениях служат, кроме того, результаты по:ледней графы журнала разность
отсчетов ири Кр. П. и при Кр. Л., т. е. двойная коллимационная ошибка: колебания
здесь должны совершаться, примерно, в пределах двух точностей верньеров. Так
как средний начальный отсчет на первую точку не равняется нулю, то следует из
всех других направлений скинуть эту величину и тогда получатся приведенные
направления. После приведения всех направлений каждого приема к начал .ному,
для каждого на.фавления новых приемов получится несколько результатов (.ю чи<лу
приемов). При 12 приемах лимб сдвигается после каждого приема на 15°, при 6
приемах — на 30° и при 3 приемах — на 60э. Из начальных и конечных на.фавлений
берется среднее. Далее выписываются из всех приемов средние направления на
первую точку.
Способ Шрейбера для изменения углов имеет в виду
основное требование: веса всех углов данной сети должны быть
одинаковы. В связи с этим требованием каждый угол измеряется
самостоятельно между двумя chi налами и получается как разность двух
направлений. Так как вокруг каждой точки тригонометрической
сети, обычно, бывает несколько направлений, то углов между двумя
направлениями при п всего направлений может составиться:
(1—2), (1—3) (1—4)...(1—л), всего п раз
(2-3) (2-4)...(2-/*), . л-1 .
(3—4)...(3—л). . л-2 ,
(п-1-п)
откуда и получится как сумма членов арифметической прогрессии
n(iv— 1)
сумма возможных парных измерений углов —Цг—-, причем,
конечно, предусматривается, что каждое направление наблюдается

824 Т I. Отд 5. Геодезия. IV. Тр-игонометрвгчесяая сеть
только один раз при одном и том же положении лимба. Таким
образом видно, что число возможных измерений угла на точке с п
направлений зависит от этого числа п. Для получения одинакового
веса для углов, измеряемых на точках с разными /г, нужно
применять различное количество приемов, т. е. нужно соблюдать
постоянство произведения пт. Для сетей первого класса пт = 24 и при
4 направлениях число приемов т = 6. Для других классов
применяется пт = 18, пт = 12 и т. д.
Чтобы измерение угла не попадало на одни и те же деления
лимба, последний следует планомерно переставлять, в зависимости
от числа направлений и приемов, по специальной схеме,
установленной Шрейбером. Именно все приемы должны начинаться с
разных градусных делений лимба.
Способ повторений. Этот способ состоит в том, что измерение угла
начинается с наведения трубы на одну точку угла; лимб закреплен, дня наведения
алидада с трубой поворачивается и делается первый отсчет Sv Далее алидада
освобождается и труба наводится на вторую точку угла, алидада закрепляется, лимб
освобождается, весь инструмент поворачивается и труба с лимбом снова наводится
на первую точку; лимб закрепляется, а алидада наводится на вторую точку и
делается отсчет «S2. Измерение угла повторено и, если взять разность S%—S1 и
разделить на два, то получится величина угла. Таких повторений сразу можно
делать п и, если 5Л_^_ \ — последний отсчет, то величина угла будет равна а —
= ■ . Так следует производить измерение угла при Кр. Л, потом при Кр.
П из результатов брать среднее.
С Географические координаты
Географические координаты служат для определения на
поверхности земного эллипсоида определенных точек, напр.,
астрономических обсерваторий, пунктов тригонометрической сети, отдельных
выдающихся точек. Географические координаты определяются
и вычисляются с различными целями, разнообразными способами
и инструментами и служат основой для составления карт точных,
топографических и общих географических. Подобно всякой системе
координат система географических координат имеет свои начальные
основные плоскости и линии: плоскость экватора, перпендикулярная
к оси вращения земли, земная ось, полюсы на ней и плоскость
какого-нибудь, так называемого, „первого" меридиана. Плоскость
экватора отстоит на 90° от полюсов, считая по дуге меридиана,
и зависит, следовательно, от положения полюсов. От экватора
к полюсам до определяемой точки, по меридиану, идет дуга
сфероида, соответствующая углу широты данной точки.
Геодезической, или географ ической, широтой точки называется,
следовательно, угол между отвесной линией, проведенной через
данную точку и продолженной до плоскости экватора, с плоскостью
экватора, по проекции линии отвеса на ней.
Широта есть одна из географических координат, определяющих положение
точки на земной поверхности.
Расхождение между геодезической и географической (астрономической) широ-

Г^графичвские координаты
825
теми будет в тех точках, в которых сила тяжести откюняется от своего
теоретического направления, т. е. там, где наблюдается аномалия силы тяжести, вследствие
того, что земная поверхность имеет форму, отличную от формы эллипсоида
вращения (геоид).
Географическая широта получается из астроно\ и геских наблюдений, а
геодезическая широта получается из начальной географичьской широты, по длине линии,
соединяющей начальную точку и определяемую по азимуту.
Долгота есть вторая географическая координата; она получается как угол
между плоскостью начального, ^первого" меридиана и плоскостью меридиана
данной точки в пересечении с плоскостью экватора или долгота измеряется по дуге
экватора между меридианами. За начальный меридиан условно принимается
меридиан какой-либо обсерватории й от него, как от нуля, счет идет со знаком плюс
к востоку до 180е и со знаком минус к западу тоже до 180ь.
В последнее время, по международному соглашению, начальным
меридианом принят Гринвичский и на всех новейших картах счет
долгот ведется от этого меридиана.
Каждая точка земной поверхности вполне определяется своими
географическими координатами и высотой над уровнем моря. Знание географических
координат точки, или географического ее положения, прежде рсего нужно длл
картографии. Карты составляются на основе геодезически или астрономически
определенных положений ряда точек: тригонометрических пунктов или астрономических
точек. При помощи тригонометрической сети составляются подробные
топографические карты, географические координаты каждой точки которых могут быть
легко определены с достаточной точностью графически по сетке меридианов
и параллелей, имеющихся на всех картах. При помощи отдельных астрономических
точек возможно дать только схему карты, остальные же подробности наносятся
с топографических карт или по маршрутным съемкам. В таких случаях
определение географического положения какого-либо места хотя и можно делать по
сетке параллелей и меридианов, но значительно менее надежно.
Определение географического положения точки на местности
производится двояко: а) геодезическими приемами и наблюдениями
и Ь) астрономическими наблюдениями.
a) Геодезический способ определения
географического положения точки основан на
тригонометрической сети. Все точки тригонометрической сети
связываются последовательно рядами треугольников (триангуляция),
в которых измеряются все три угла, а затем по длине основной
линии базиса вычисляются все остальные стороны треугольников;
далее, по азимуту начальной линии вычисляются азимуты всех
остальных линий и, наконец, приступают к вычислению
географических координат (геодезическая задача). Координаты начальной
точки и первоначальный азимут определяются из астрономических
наблюдений. Точность геодезического определения географических
координат — широты и долготы — зависит, конечно, от точности
наблюдений и вычислений и при самых точных приемах доходит
до -J-0,001", что в линейных мерах для средних широт дает ошибку
в -f 3 см. Конечно, при более грубых приемах и при значительном
удалении от базиса точность значительно уменьшается.
b) Астрономические способы определения
географического положения точек чрезвычайно
разнообразны. Широта каждой точки определяется независимо от других
точек по небесным светилам, и точность полевых астрономических
наблюдений достигает it 01/', а точность наблюдений на обсервато-

826 Т. I. Отд. 5. Геодезия. V. Совместные съемки
риях достигает :± 0,001". Особенность определения долготы состоит
в том, что определяется не долгота от первого меридиана, а
разность долгот между данной точкой и какой-либо другой с
известной уж« долготой.
D. Вычисление тригонометрической сети
Общий порядок вычисления таков: 1) подсчитывается длина
базиса; 2) по базису и углам базисной сети вычисляется базисная
сторона; 3) обрабатываются журналы измерений направлений; 4) для
каждого* направления составляется таблица по всем приемам и
выводится среднее арифметическое и уклонения от средины; 5)
вычисляются ошибки одного направления и арифметической средины;
6) вычисляются поправки за центрировки; 7) составляется таблица
окончательных направлений; 8) по разностям направлений
вычисляются углы для каждого треугольника; 9) подсчитывается сумма
углов в каждом треугольнике; 10) в больших треугольниках
вычисляется сферический избыток (эксцесс); 11) углы в треугольниках
уравновешиваются. В простых тригонометрических цепях на каждый
угол назначается по трети невязки в углах и по трети
сферического эксцесса, в сложных сетях уравновешивание углов
производится по способу наименьших квадратов; 12) по базисной стороне
и углам последовательно вычисляются все стороны; 13) по
начальному азимуту и углам вычисляются азимуты всех сторон
тригонометрической сети; 14) вычисляются прямоугольные плоские или
Гаусса-Крюгера или географические координаты.
V. Совместные съемки
А. Мензульная топографическая съемка
Мензульная топографическая съемка имеет своим назначением
получение рельефной карты или рельефного плана.
Основой для горизонтальной мензульной съемки должны
служить пункты тригонометрической сети или пункты магистральных
ходов, прокладываемых в районе съемки. Магистральные ходы
прокладываются между пунктами тригонометрической сети или же
обеспечиваются определением азимутов в начале и в конце.
Основой для вертикальной высотной съемки должны служить
реперы точного и технического нивелирования.
Желательно объединение в одном знаке пунктов
тригонометрической сети или магистрального хода и нивелирного репера.
Рамкам планшета придается вид трапеций или квадратов, огра;
ничейных параллелями и меридианами, согласно международной
номенклатуре. Верхняя поверхность мензульной доски должна
представлять собой ровную, поверхность, без трещин и различных
выемок и бугорков. Наклеенная на мензульную доску бумага

Мензульная топографическая еъечка
827
должна плотно прилегать к поверхности доски, без случайных
неровностей и воздушных пузырьков. Рамка планшетов наносится
на верхнюю александрийскую бумагу. Размеры параллелей,
меридианов и диагоналей трапеций для каждого планшета находятся
по таблицам Топографо-геодезического отдела ГГУ (издание 1930 г.)
с перечислением от масштаба 1:25 000 к другим масштабам. После
с 8 no A
-,101,73-^
I
#.,
.92,4:
100,5 Н5 • ? f f
101
,100,18 l0£
*Ю0,4Ь
Л2
*Ь7,44
91,1
i 87,30
100,47
ЛЛ£8
<Р\о>
Фиг. 25.
того как будут нанесены рамки и пункты опорной сети, нужно с
полученного планшета снять три копии на полотняной кальке: 1) калька
высот, на которую в течение работ постепенно копируются только
высотные точки (в помощь для окончательного вычерчивания
рельефа); 2) калька контуров, на которую .постепенно переносятся
только контуры ситуации в помощь при окончательном
вычерчивании, и 3) калька-дневник, на которой ежедневно показывается
район производственных работ (границы обводятся контуром,
надписывается число и площадь в гектарах) (фиг. 25). Для подробной

828
Т I Отд 5 Геодезия. V. Совместные съемки
мензульной съемки на основе тригонометрической сети на планшет
графически наносится геометрическая сеть из вспомогательных
точек. Точки геометрической сети выбираются на возвышенных
местах и в узле контурных линий с таким расчетом, чтобы
определение их было наиболее точным, чтобы из них удобно было
производить съемку подробностей и чтобы они располагались
равномерно по снимаемой местности. Геометрическая сеть должна
составиться из треугольников, по возможности равносторонних, со
сторонами в 500—-&00 м; общее число точек геометрической сети
на планшет можно определить для средних условий в 15—20.
Определение рельефа и подробностей производится при помощи
вертикального круга кипрегеля и рейки. На каждой станции в начале
работы обязательно определение места нуля. Углы наклона для
получения провышений на пикетные точки измеряются только при
одном положении трубы (Кр. Пр. или Кр. Л.). После того как
около станции наберется достаточное количество пикетных точек,
нужно немедленно приступить к расчету и проведению'
горизонталей. Совершенно недопустимо проведение горизонталей не на
местности, без проверки в натуре правильности их нанесения. Высоты
горизонталей надписываются у краев планшета и по середине для
полной ясности.
В. Тахиметрическая съемка
Тахиметрия, как и мензульная топографическая съемка, имеет
своей целью одновременное определение планового и высотного
расположения точек местности, с тем, однако, различием, что при
мензульной топографической съемке план получается в поле, а при
тахиметрической съемке, как и при угломерной, в поле ведется
абрис и журнал, а план составляется дома. Для тахиметрической
съемки применяется тахиметр, который представляет собою
инструмент повторительный и осложненный вертикальным кругом, как
у кипрегеля, и магнитной стрелкой в буссоли. Тахиметром и
кипрегелем на мензуле расстояния определяются одинаково — по дально-
мерным нитям; угол наклона тахиметром и кипрегелем определяется
одинаково по вертикальному кругу. Что же касается направлений
с точки на точку, то кипрегелем они прочерчиваются на планшете,
а при тахиметрической съемке нужно делать отсчеты по
горизонтальному кругу или буссоли. Все отсчеты по тахиметру заносятся
в журнал во время работы в поле.
Инструмент устанавливается на станции, с которой сначала
определяются соседние станции, а затем лежащие кругом точки —
пикеты. Кроме журнала, во время тахиметрической съемки следует
вести абрис-кроки, т. е. чертеж от-руки, на котором
показывается расположение станций, пикетов, рельеф и т. д. План
тахиметрической съемки составляется, как всякий угломерный план, или
по румбам или по координатам. Обыкновенно тахиметрическая
съемка применяется на небольших участках для составления планов
в крупных -масштабах. Чтобы упростить получение азимутов, необ-

Тахиметрическая съемка Наземная фотосъемка 829
ходимых для составления планов, следует на каждой станции
инструмент ориентировать, для чего нуль подвижного лимба совмещается
с нулем алидады, затем поворачивается до тех пор, пока
направление трубы не совпадет с направлением магнитной стрелки; в таком
положении лимб закрепляется, и отсчеты по алидаде в дальнейшем
будут давать азимуты.
С. Наземная фотосъемка
Для съемки гористых мест, для съемки сложных и обнаженных
геологических образований, для съемки мест под гидротехнические
сооружения и во многих других случаях удобно применять
наземную стереофотосъемку.
Фиг. 26.
Существо этих работ заключается в том, что данная местность
снимается с двух концов какого-либо базиса по двум параллельным
направлениям, в результате чего получаются два снимка,
позволяющие видеть эту местность стереоскопически, рельефно. Каждая
пара таких снимков подвергается измерению на специальном
приборе — стереокомпараторе, при помощи которого
определяются координаты любой точки местности для составления
рельефного плана.
Имеются также другие приборы — стереоавтографы,
которыми по негативам непосредственно вычерчиваются рельефные планы.
Для фотосъемки применяются специальные фотокамеры, напр.,

830
Т I. Отд. 5. Геодезия. V. Совместные съемки
Цейсса или Вильда, которые можно устанавливать с большой
точностью горизонтально и в определенном направлении (фиг. 26).
На каждом проявленном негативе автоматически появляются номера
пластинок, размер фокусного расстояния и направление
горизонтальной и вертикальной осей пластинок.
Так как съемка ведется с двух различных точек, то положение
всякой точки местности по отношению к вертикальным осям
пластинок будет различно и будет отличаться на величину,
называемую линейным параллаксом.
На стереокомпараторе определяется этот параллакс, —
горизонтальная абсцисса и вертикальная ордината каждой нужной точки.
По этим величинам и по длине базиса вычисляются или
определяются графически .пространственные координаты точек. Стерео-
автограф эту задачу решает механически и непосредственно строит
чертеж по мере изучения местности наблюдателем по негативам.
Преимущества наземной фотосъемки перед всеми видами
других съемок следующие: 1) кроме плана, эта съемка дает фотографию
местности, что позволяет всегда вернуться к рассмотрению
местности по мере надобности; 2) полевые работы продвигаются быстрее
мензульной или теодолитной съемки; 3) эта съемка может дать
любую точность и пригодна для любых масштабов; 4) стоимость ее
ниже стоимости других съемок; 5) особенно удобно фотосъемка
применяется в горных районах, трудно доступных для других
видов работ.
D. Аэрофотосъемка
Под аэрофотосъемкой подразумевается съемка
фотографическим аппаратом сверху, с летящего аэроплана. Съемка земли с
аэроплана имеет целью получить ряд снимков вдоль какой-нибудь линии
(маршрутная съемка) или целой серии снимков, покрывающих
определенную площадь земли (сплошная съемка). При маршрутной
съемке необходимо, чтобы каждый последующий снимок перекрыл
в некоторой части предыдущий по ходу маршрута, а при
сплошной съемке требуется еще перекрытие и боковое, с таким расчетом,
чтобы всегда смежные снимки имели общие точки.
Для аэрофотосъемки применяются аэропланы таких
конструкций, чтобы они имели скорость около 125 км в час, имели кабину
для фотоаппарата, наблюдателя - съемщика и могли бы забирать
определенную высоту. Фотографические аппараты строятся
преимущественно с большими фокусными расстояниями объективов —
18, 30, 50 см, с пленками или с пластинками; в последнее время
пленки почти совершенно вытеснили пластинки. Фотоаппарат Цейсса
имеет катушку на 400 снимков, размером 13 X 18 см или 18 X 18 см*
фокусное расстояние 18 см; перемотка пленки, действие затвора —
все производится автоматически, особым генератором, в
зависимости от скорости и высоты полета, процента перекрытия
снимков и пр. Фотоаппарат устанавливается на полу кабины
самолета так, чтобы объектив его был обращен к земле в отвер-

Аэрофотосъемка
831
стие в полу кабины, и весь аппарат мог поворачиваться в
горизонтальной и вертикальной плоскостях. Если представить себе, что
снимаемая местность (с высоты Н) совершенно горизонтальна, а ось
аппарата вертикальна, то на пленке или пластинке аппарата
(фокус =/) получится уменьшенное изображение местности, в
масштабе, равном -~. Объектив фотоаппарата подбирается таких
качеств, чтобы изображения на пленках имели наименьшие
искажения. Для устранения влияния непрозрачности воздуха — „дымки"
применяются светофильтры желтые и оранжевые.
Переходя к анализу снимка с аэроплана, следует заметить,
что местность не всегда горизонтальна; от полета аэроплана ось
фотоаппарата все время испытывает перемещения; высота полета
тоже всегда меняется, вследствие чего фотографический снимок не
представляет точного уменьшения земной поверхности, а дает
изображение с некоторыми искажениями. При желании получить из
фотоснимка настоящий план нужно его переделать, или
трансформировать, так, чтобы на фотоснимке получилось подобное, в
известном масштабе, и горизонтальное проложение местности.
Трансформирование негативов производится на особых
приборах—трансформаторах, причем получается трансформированный снимок, по
которому можно уже составить план известной точности. Для
трансформирования снимка необходимо иметь на нем четыре и
более точек, изображающих точки местности, связанные между
собою обыкновенной геодезической съемкой и нивелировкой; система
этих точек называется геодезической основой. Сущность
трансформирования заключается в том, что негатив съемки
проектируется на экран, на котором прикреплен чертеж с геодезической
основой; дальше следует экран перемещать по отношению к
объективу и его оси так, чтобы опорные точки негатива совместились
с точками геодезической основы; после этого экран закрепляется,
к нему прикрепляется светочувствительная бумага, на которой
производится печатание с негатива, в результате чего и получается
.трансформированный* снимок, в котором фотоснимок вмещен
в геодезическую основу.
По трасформированным снимкам далее составляется фотоплан
или фотопланшет, для чего снимки подбираются по геодезической
основе так, чюбы все подробности на двух смежных снимках
совпадали. Для этого обычно пользуются не всем снимком, а некоторой
центральной частью, обрезая его по краям. Подобранные
фотоснимки приклеиваются к планшету, и с него производятся
репродукции. Для получения на таких фотопланах рельефа можно далее
фотопланшеты пустить в поле с мензулой, на которой кипрегелем
добирается рельеф. Для этого даже можно пользоваться отдельными
снимками. Существуют приборы под названием стереоплани-
графы, при помощи которых по двум перекрывающим друг друга,
не менее как на 60%, аэрофотоснимкам вычерчиваются автоматически
рельефные планы.

832 Т. I. Отд. 5. Геодезия. VI. Стоимость геодезических ра<5о?
900 м
5000 1
50 м
1800 м
: 10 000 1 :
100 м
2 700
: 15 000 1 ;
150
зо-о м
:20 000
200 м
Съемка должна производиться в совершенно ясную погоду,
безветренную, чтобы самолет не сносило сильно в сторону, и на
такой высоте, чтобы выдерживался определенный масштаб. Так,
например, для аппарата Цейсса с фокусным расстоянием /= 18 см
будем идеть следующую таблицу
Высота съемки
Масштаб численный .... 1 :
Масштаб ъ см
Площадь покрытия снимком
13 X 18 в км1 0,59 2,34 5,26 9,36
В хорошую погоду, при всех благоприятных условиях, можно
сделать до 400 снимков в течение летного дня (4—5 часов). Съемка
производится преимущественно в утренние часы, часов с 6—7 утра.
Аэрофотосъемка широко применяется для съемки больших
пространств, захватывая одним снимком значительную площадь.
Для еще' большего захвата вместо камер с одним объективом стали
строиться камеры с четырьмя и даже девятью объективами.
Аэросъемка быстро развивается и в значительной степени
содействует делу изучения поверхности земли.
Достоинства аэросъемки: 1) быстрота полевых работ, 2)
чрезвычайная наглядность, 3) проникновение в малодоступные места.
Стоимость этих работ зависит от их объема, общих условий
организации дела и в среднем приближается к стоимости
мензульных топографических работ.
VI. Стоимость геодезических работ
а) Инструкции
Для выполнения геодезических работ издаются специальные
'инструкции для каждого вида работ, предусматривающие особые
условия и точность проводимых работ.
Расхождения в инструкциях, издаваемых различными
учреждениями, побудило Госплан СССР обратить на это внимание и в
настоящее время, по соглашению Главного геодезического управления
и Управления военных топографов, издаются инструкции по всем
видам геодезических и топографических работ, обязательные для
всех учреждений и ведомств. Пока изданы: по техническому
нивелированию, по астроработам и по мензульным топографическим
работам масштаба 1: 10 000, 1:25000 и 1:50 000.
Ь) Сметы и нормы на геодезические работы
Перед началом всяких изысканий необходимо составить предварительную сме*У
стоимости геодезических и других работ. Нужно сначала подсчитать общее
количество работы каждого вида, олределить время, необ ^одимое для выполнения этих Р_"
бот, потом количество технических и других работников, материалов и пр., Устан0Лтся
расценки и, наконец, подсчитать общую стоимость. Количество работы определяет
целью изысканы i и наличием того или иного планового или нивелирного ^м«*
риала: время принимается по „Урочным нормам" на изыскательские раооты, у

Сметы и нормы па геод^япчогкио работы
833
ненки берутся 1акие, какие имеются в соответствующих коллективных договорах
и общая стоимость составится из полученной суммы и из прибавлений к ней
начислений на социальное страхование, на административно-хозяйственные расходы
на амортизацию инструментов и пр. '
Урочные нормы. Нормы изыскательские работ даются для полевых работ
и для камеральных работ. Под полевыми работами разумеются работы
в поле и работы по приведению в порядок и обработке полевых материалов,
которые связаны с работой в поле и должны производиться одновременно с последней
К камеральным работам относятся работы по обработке полевых материалов,
которые могут производиться по окончании полевого периода как лицами, ведущими
полевые работы, так и не принимающими в них участия. Урочные нормы
рассчитаны на производство работ среднего масштаба как в отношении о ватываемых
площадей, так и в отношении объема работ на каждой единице площади.
Для выполнения полевой работы образуются отряды, состав коих указывается
для отдельной работы. Полный состав такого отряда называется „рабочей силой"
причем под термином „подвода" разумеется как сама подвода, так и
сопровождающий ее проводник. В случае, когда по условиям местности пользование подводой
затруднительно, она заменяется тремя вьючными лошадьми с проводником.
Урочными нормами предусматривается технический персонал трех категорий-
1) инженер, 2) старший техник и 3) техник.
Нормы полевых работ, указанные в урочных нормах, установлены для
восьмичасового рабочего дня всего отряда (включая сюда и время, необходимое на
проход отряда от лагеря или сборного пункта на место работ и обратно, при
условии, что на это затрачивается в общей сложности не свыше 1 часа) и 24 дней
работы в месяц и в предложении, что технический персонал в каждый рабочий
день сверх восьмичасовой работы с отрядом работает над приведением в порядок
полевых записей.
В случае производства изыскательских работ в местности с неблагоприятными
климатическими условиями или в неблагоприятное время года, или при иных
условиях, сокращающих продолжительность рабочего дня ниже 8 часов в день или
число рабочих дней ниже 24 дней в месяц, или уменьшающих дневную выработку
против нормального размера, к нижеприведенным временным урочным нормам
следует вводить обоснованные соответствующими расчетами поправки на изменение
нормы выработки. Необходимость отступления от норм во время производства
работ удостоверяется особыми актами. Нормы камеральных работ, указанные
в урочных норма.»', устанавливаются в предположении шестичасового рабочего дня.
Так как успешность геодезических работ в очень значительной степени зависит
от характера местности, то урочные нормы предусматривают уменьшение выработки
на плохой местности против выработки на хорошей ровной, открытой, сухой местности.
Нормы полевых работ устанавливаются для пяти категорий местности,
отличающихся друг от друга по признакам: 1) рельефа, 2) закрытости лесом или
строениями или прорезанности арыками и 3) заболоченности.
I категория — местность ровная, открытая, незаболоченная.
II ка«егория —а) местность пересеченная, открытая, Ь) местность ровная,
заросшая ши застроенная, или прорезанная арыками в общей сложности до 33°/0;
с) местность открытая и покрытая вязким болотом до 33°/0; d) чистое, некочковатое'
легко проходимое болото,
III категория — а) местность, пересеченная и заросшая или застроенная в общей
сложности до БО^/о; Ь) местность ровная, заросшая или застроенная, или
прорезанная арыками в общей сложности до бб^'о; с) местность, заросшая до 33°'о и в то же
время покрытая вязким болотом до ЗЗ1'©; d) болото кочковатое, сплошное, средне-
проходимое.
IV категория—а) горная местность открытая; Ь) местность, пересеченная, сплошь
заросшая или застроенная; с) местность ровная, сплошь заросшая или застроенная, или
прорезанная арыками; d) местность, заросшая до бб0,^ и в то же время покрытая
вязким болотом до 6б°/о; е) открытое сплошное вязкое болото, трудно;фоходимое.
V категория — а) горная местность, сплошь заросшая; Ь) сплошное заросшее
вязкое болото, весьма труднопроходимое.
Нормы даны для местностей I категории. Для местностей II категории нормы
рабочей силы следует увеличивать на 50о/с, III категории —на 100°/0, IV категории -
на 200°/0 и V категории — на 300°'0 против указанных в Урочном положении.
Од. iiiitte, Справочник для инженеров, т. I.

VI ОТДЕЛ
Техника измерений ')
Составил проф. д-р инж. Л. Грамберг, Франкфурт-на-Майне
Перевод и добавления под редакцией инж. С. Я« Г е р ш
Стр.
Введение
Измерительные приборы . ♦ . . . 835
Ошибки при измерениях 835
1. Число оборотов машин;
колеоания
Счегчики 835
Тахометры • . , 8^6
. Тахографы 836
Измерение колебаний 836
Сейсмограф, виброграф 836
Колебания при удлинении и
напряжения: экстензограф,
измеритель удлинения 837
Измерение силы звука от шума:
микрофон, телефон 837
Анализ формы вала посредством
осиилографа, гальванометра,
резонатора 837
И. Измерение давления
Измерение давления 838
Барометр, манометр 838
Микроманометр, диференциаль-
ный манометр 839
III. Измерение количеств
Весы 840
Коромысловые весы, весы с
указателем 840
Весы десятичные, сотенные, с
передвижным грузом ..*.... 840
Весы с подвесными гирями .... 840
Автоматические весы 841
Путевые весы, передвижные
бункерное весы 841
Измерение расхода
жидкостей 842
Измерение и взвешивание
постоянно текущих количеств . . . 842
Водомеры для установки в
трубопроводах, скоростные
водомеры, объемные водомеры, от- !
крытые водомеры, водомер
Вентури 843
Отверстие истечения 844
Отверстие протока 844
Измерения с запрудами 844
Измерение помощью щита .... 845
Определение количеств из
распределения скоростей 846
Стр.
Вольтмановская гидрометрическая
вертушка, трубка Прандтля . . 846
Измерение расхода газа 847
Газомер, измершели boia,
объемные приборы 847
Измерение количества газа .... 848
Труба Якоби, Измерители
для сжатого воздуха,
сопла и диафрагмы 848
Труба Вентури • . 852
Измерение количества из
распределения скоростей ........ 852
Измерение расхода пара: 852
измерение воды, подаваемой
в котел; измерение пара,
конденсирующегося за машиной,
паромеры 853
IV. Измерение мощности
Тормозные динамометры 856
Динамометры 858
Способ обратного давления . . . 858
Электрическое измерение
мощно л и 858
Индикаторы 859
V. Измерение теплоты
Измерение температуры 862
Термометры 862
Измерения с помощью
электричества 862
Проверка и установка термометра 863
Пирометр, конус Зегера 865
Измерение количества тепла . . . 865
Измерение влажности ьоздуха . . 865
Психрометр 866
VI. Измерения в технике
сгорания
Определение теплопроизводитель-
ности 870
Калориметрическая бомба,
калориметр Юнкерса 870
Анализ газа: аппарат Орса,
автоматические газоанализаторы . . 871
Приборы для анализа газа
физическим путем °73
Газоанализаторы Ранарекс и Си-
А м*нса •• * " ' R7S
Анализ газа доменных печей . . . °to
1) О производстве электрических измерений -
.Электротехника",
■ см. Хютте, том III, отдел

Измерение числа оборотов
835
Введение *)
"Все измерительные приборы требуют ючной проверки и
постоянного надзора за исправностью состояния. Это правило должно
соблюдаться даже при. самых простых измерительных
приспособлениях: следует следить, не износился ли тот или другой конец
метра, точно ли устанавливается коромысло весов, не отбиты ли
углы гирь и не загрязнены ли последние; часы, всегда находящиеся
в употреблении, по большей части идут верно, но секундомеры
без часового механизма часто являются неточным прибором! Поэтому
рекомендуется пользоваться секундомером, действующим от
часового механизма.
Неточно градуированные приборы дают постоянные
ошибки, которые не исключаются повторным наблюдением;
случайные ошибки устраняются достаточно большим числом
наблюдений, а ошибки, происходящие от неточного пуска и
остановки секундомера, исключаются достаточной продолжительностью
наблюдения; достаточная продолжительность наблюдения имеет
также существенное значение в случаях установившегося
длительного отклонения от нормы. При помощи самопишущих
(регистрирующих) приборов (возможны неточности вследствие трения в
механизме регистратора) или фотографической съемки ряда приборов,
установленных рядом друг с другом, или посредством
кинематографической съемки протекания данного процесса возможно избежать
ошибки при отсчете, достичь экономии в числе наблюдающих лиц,
строго одновременного наблюдения многих аппаратов и наблюдения
быстрых колебаний.
О единицах см. стр. 248 и следующие, 603, 643. Сравнение градусов
термометров: табл. 1, стр. 604. Меры и веса различных стран и таблицы для
перевода их см. Приложение.
Пределы погрешностей главнейших измерительных приборов см.
Приложение.
I. Число оборотов машин; колебания
а) Измерение числа оборотов
Счетчики требуют одновременного пользования часами. При
отдельных опытах — наблюдение числа оборотов от 1 до 5 минут.
При малом числе оборотов и коротком времени наблюдения—точное
наблюдение времени 10 или 100 оборотов при помощи
секундомера. При продолжительных опытах при каждом отсчете через
определенные промежутки времени записывают показания
счетчика, по разнице показаний определяют равномерность хода и число
оборотов (в минуту). Счетные механизмы с выскакивающими чис-
х) Выдержки из Грамберг, Технические измерения при испытании машин
и в эксплоатации, 5 изд., Берлин, 1923, и его же, Испытание машин и их служба
в эксплоатации, 3 изд., Берлин, 1924. Имеется русский перевод, изд. Макиз, 1927.
53*

$36 Т I Огд G. Техника измерений. • I Число оборотов манит- кочебатит
лами удобны для отсчета, но непригодны при большом числе
оборотов. Применяются приборы со стрелкой, регистрирующей
наибольшее число оборотов. Привод — от проволочной спирали или
простой проволоки, как гибкого вала.
Тахометры сразу дают число оборотов (и минуту), но требуют
проверки. Центробежный тахометр — неподвижный или в виде
ручного инструмента; последний по большей части устраивается
переключаемым посредством механизма зубчатых колес для различных
пределов измерений (например, от 30 до 120, от 100 до 400, от 300
до 1200, от 1000 до 4000 оборотов) одним и тем же инструментом.
Вихревой тахометр. Тахометры с жидкостью для стационарной
установки, неизменные в их показаниях. Электрические тахометры для
отсчетов на расстоянии; отправитель — электромагнитная машина;
приемник — вольтметр. ПриЮры Фрама (S & Н, Hartmann & Braun):
набор пружин, настроенных на определенное число оборотов,
возбуждается посредством резонанса; пружина, соответствующая
наблюдаемому числу оборотов, приходит в колебание; возбуждение
электрическим или механическим путем, первое и при измерениях
на расстоянии. Тахометры с механическим приводом особого
действия, независимые от сотрясений.
Тахографы, регистрирующие центробежные тахометры, с
широким пределом измерений для наблюдения за подъемными
машинами и т. п., с узкими пределами измерений (обыкновенное число
оборотов в минуту — 500, предел измерений zt 12°/0) —
транспортабельные для исследования регуляторов машин (Horn, Morell).
b) Измерение механических колебаний Щ
Сначала следует установить число колебаний, затем величину
(размах) и форму колебаний.
Измерение числа колебаний до 300 в минуту (5 герц; 1 герц =
колебанию или пер/сек) помощью секундомера.
Отсюда следующие случаи:
1. Колебания (сотрясения) машин, домов, экипажей и
судов регистрируются сейсмографами (Spindler & Ноуег, Gottingen),
(слабые медленные движения) или вибрографом (Lehmawi &
Michels, Altona) (отклонения zt 0,15 до 10 мм, частота колебаний
от 40 до 20 000 в минуту). Виброметр (Schenck, Darmstadt)
показывает отклонение без регистрации.
2. Колебания при вращении валов, угловые
отклонения, неравномерность хода регистрируются помощью торзио-
графа (Lehmann & Michels); при сильной пружине можно измерять
число колебаний от 300 до 700 в минуту; со слабой пружиной
от 90 до 3000 в минуту, с увеличенной маховой массой пригодно
от 25 в минуту. При весьма значительном числе колебаний
х) На основании материала, предоставленного д-р инж. Гейгер.
*) Литература. Стендинг, Измерение механических колебаний, Берлин,
1928, VDI —Доклад Гейгера, Механические колебания и ич измерения, Берлин,
1927, изд. Springer.

Намерение давления
837
(7000 до 20 000 в минуту) непосредственное соединение ременного
шкива с исследуемым валом.
Примечание к пп. 1 и 2. В случае (1) масса покоится в продольном
направлении; в случае (2) приспособление для увеличения отклонения соединяется с
исследуемой деталью помощью пружины и промежуточного включения. Масса
покоится или движется равномерно, причем движение (колебания) исследуемой
части записывается в увеличенном масштабе.
3. Колебания при удлинении и связанные с ними
напряжения регистрируются помощью экстензографа (Lehmann
& Michels или Fereday-Palmer): зеркальце при относительных
колебаниях (отклонениях) отражает световой луч на фильму; или
измеритель удлинения (Kohledehnungsmesser) центральной
лаборатории железной дороги в Берлине (с собственной частотой
колебаний до 60 000 в минуту) основан на измерении электрических
сопротивлений угля под давлением, которые переносятся на осцило-
граф (для мостовых полос и др.).
4. Сила звука от шума, производимого машиной,
определяется микрофоном, передатчиком и телефоном. Направление
звука, напр. при летной службе, определяется помощью двух
воронок, энергия которых по двум отдельным рукавам передается
в оба уха; большая конусная воронка, длиной равная 2 диаметрам
отверстия, дает лучшие результаты.
5. Анализ формы вала (электрические переменные токи,
звук и т. д.) помощью прибора Сименс и Гальске, передающего
запись осцилографом, гальванометром Эдельмана или другими
регистрирующими приборами, имеющими достаточно высокую
собственную частоту колебаний и разложение кривых гармоническими
анализаторами Мадер в основных и высших колебаниях (см. стр. 232); или
исследование непосредственно помощью резонаторов, из которых
каждый приходит в колебание, когда его собственная частота
колебаний совпадает с частотой исследуемых колебаний (аналогично
вибраторам Фрама и т. д.).
II. Измерение давления
Надо различать метрическую (техническую) атмосферу, 1 ат=Л кг\с if=735,5 м и
Pi. ст., от старой атмосферы (физической) — 1 фаз. am = 760 мм рт. ст. = l,OJ3 am
(метрической) (стр. 643)
1 мм вод. ст. (при V С) = 1 кг\м*
13,6 м ч вод. ст. = 1 м и рт. ст. (при 0°).
Манометр показывает разность давлений между измеряемым
и окружающим, большей частью атмосферным давлением. Манометр
для измерения давления сверх атмосферного и вакуумметр для
давления ниже атмосферного по своей конструкции одинаковы.
Абсолютное атмосферное давление показывают барометры.
Пример. Манометр парового котла показывает 4,25 а/я, а барометр 705 м ч рт. ст.,
барометрическая высота равна тогда 705/735,5 = 0,96 am, и, следовательно,
абсолютное давление равно 4,25-f 0,% — 5,21 am. Вода будет кипеть при темпера-

83В т I- Отд 6- Техника измерений. IT Измерение ^явления
туре 152,5° (см. стр. 668). Вакуумметр у конденсатора показывает 64,5 см =645 мм
рт. ст. при том же барометрическом давлении. Абсолютное давление в этом месте
конденсатора равно 705 — 645 = 60 мм рт. ст. = 60/735,5 = 0,082 am; температура
конденсации <42\ вследствие парциального давления воздуха (см. стр. 677).
W2
Измерение давления: а) в с т р у е: -^- y кг/м* называется ди-
намическим напором pd, который, слагаясь со статическим
давлением р кг/м2 абс, дает полное давление— pg\ последнее
будет измерено, если приемную трубку манометра направить
отверстием против струи. Для измерения р нужно принимать меры
к устранению влияния pd путем: 1) закругления кромок приемного
отверстия и 2) помещения приемного отверстия в таком мертвом
угле, где нет сильных вихревых токов. Влияние динамического
давления особенно заметно при небольших давлениях и больших
скоростях; Ь) в неподвижной среде, при удельном весе
вещества y #Ф*3, абсолютное давление в среде увеличивается
по направлению сверху вниз на каждый 1 м глубины на y кг/м2,
при изменениях удельного веса с температурой, приращение
давления соответственно изменяется..
Пример. Полный напор, преодолеваемый насосом, равен показанию манометра
на всасывающей линии -f- показание манометра на нагнетающей линии ± разница
высот установки обоих манометров.
Барометр* Ртутный барометр: поправка на капиллярность (кроме
тех случаев, когда обе трубки одинакового диаметра) и температуру
выше 0°. Последняя при комнатной температуре до V3%- Анероид-
ный барометр проверяется хорошим ртутным прибором.
Каждое барометрическое показание требует поправки на
высоту местности, если давление воздуха хотят получить отнесенным к
уровню моря (для метеорологических целей). Если для опытов интерес представляет
действительное показание барометра, то поправка на высоту отпадает. Если положение
барометра берут из публикуемых метеорологических сообщений, то поправка должна
быть введена соответственно с высотой места и температурой (около 1 мм рт. ст.
для каждых 10 м высоты).
Манометр. Измерение больших и средних
давлений при помощи пружинного манометра, с трубчатой или
пластинчатой пружиной. Последний мало чувствителен к ударам, но и менее
точен. Длина шкалы должна быть равна двойной величине обычно
измеряемого давления. Инструменты по возможности не должны
подвергаться действию высоких температур и толчков вследствие
внезапных изменений давления; используются водяные петли,
глушители ударов, трехходовой кран для проверки нулевой точки. При
вертикально идущих подводящих трубах малого диаметра (у пара)
требуется поправка на вес водяного столба; при
возрастающем давлении нельзя быть всегда уверенным, что трубки
наполнены водой.
Измерение небольших давлений и вакуума
производится ртутным манометром: U - образная трубка или "манометр
с чашечкой, последний лучше с переставляющейся нулевой точкой.

Измерение давления
839
При паре следует следить за водяным столбом, устанавливающимся
над ртутью: вода должна доходить точно до вертикальной
подводящей трубки. Имеем тогда измеряющую столб единицу (мм рт.ст. —
мм вод. ст.), причем 1 мм (рт. ст. — вод. ст.) = 12,6 мм вод. ст. =
12,6 кг/м*.
Измерение очень малых давлений (тяга в топке).
Водяные манометры того же вида; более точны при употреблении
наклонной трубки; керосин имеет меньшее сцепление со стеклом, чем
вода; тот же результат от прибавления небольшого количества
едкого калия или мыла.
Микроманометр Креля (фиг. 1) представляет собой тягомер
с наклонной трубкой, приспособленный как для измерения весьма
малых разностей давления, так и для больших разностей. Наклонная
Фиг. 1. Микроманометр Креля.
измерительная трубка изогнута по кривой, подчиненной закону
изменения величины У Н. Измерительной жидкостью служит
алкоголь y = 0,8. Трубка снабжена двумя шкалами в мм вод ст. и
в величинах w м/сек, причем шкала скоростей правильна только
для определенного газа. ,
Наклон рекнагелевского микроманометра 1: 1000.
Хороший состав для наполнения: толуол С7Н8, удельный вес £^0,864
кг/дм* при 20°, изменение 0,0011 на каждый градус, умеренное
испарение, химически постоянный, поэтому неизменный состав. Шкала
вследствие неправильности трубки наносится эмпирически.
Градуирование дополнением V смъ толуола в резервуар диаметром 10 см = 78,5
см1. Если при этом столб в измерительной трубке уйдет на п'
делений, то при дальнейших измерениях отклонению на п деаений будет
соответствовать давление столба толуола h = n-'0 1//(78,5- п') мм.
Таким образом значение одного деления шкалы равно 10 1//,78,5 • п') мм
толуола или при удельном весе толуола f оно будет равно
10 Vtl(78,5-n') мм вод. ст.
У манометра, содержимое которого могло бы иметь с обеих сторон различный
.удельный вес (в:ледствие температуры, влажности, паров толуола), не следует
наклонять подводящей грубки. Следить за тем, чтобы трубки были плотны, иначе
получаются ошибки в измерении. Если жидкость, давление которой измеряется,
находится в движении, то следует устранить влияние скорости: определение давления

840 Т. I. Отд. 6. Техника измерений. III Измерение количеств
не тотчас за закруглением, чистое отверстие во избежание образования вихрей,
удаление заусенцев с металла. При тонких трубках: просверливание, использование
отводных отверстий.
Диференциальные манометры измеряют разницы давлений,
которые малы по сравнению с абсолютным давлением. Особенно
неблагоприятно может влиять уже упомянутое определение
давления с двух сторон, равным образом при паре вышеуказанные
водяные столбы неопределенной высоты, которые по сравнению
с малыми разницами давлений приобретают большое значение; чтобы
сделать последние определенными, нужны или уравнительные
резервуары с поверхностями настолько большими, чтобы изменения
объема в манометре не влияли заметным образом на уровень
жидкости в них, или присоединение к измерительным трубопроводам,
идущим вначале горизонтально.
III. Измерение количеств О
А. Весы
Назначение:
a) Однократное определение веса данного количества.
Особый случай: определение, сколько значительных количеств, почти
равных по весу, удовлетворяют требуемому значению в
предписанных границах, или насколько каждое из них отклоняется от этого
веса.
b) Установление определенного весового количества при
складском взвешивании; особый случай: получение многих
одинаковых количеств в известных границах, удовлетворяющих
требуемому значению.
Весы с подвижными гирями: простые коромыеловые
весы для аналитических целей; для розничной мелкой продажи
в настоящее время применяются весы с указателем (Neigungs-
waage); сложные коромы еловые весы; десятичные, сотенные
с передвижным грузом, по каждому коромыслу передвигается одна
большая и одна маленькая гиря для грубой и точной установки, или
в большой передвижной гире передвигаются вспомогательные шкалы;
как передвижные гири. Первые более удобны для обслуживания
и опытных целей, последние позволяют применять приспособления
для отпечатывания результата на карточке для производственных
целей; с нажимным приспособлением, также с затвором,
действующим до тех пор, пока груз не уравновешен; бывают как с
подвижными гирями, так и с указателем; последние давно в
употреблении в САСШ; в Германии допущены к употреблению только
после изменения правил о взвешивании в 1922 году. Комбинирова-
*) Литература. Ц и н г л е р, Постройка и теория сложных весок, Берлин, 1928,
Springer.

Весы
841
нием стараются устранить слабые места отдельных весов. В
десятичных весах помощью вспомогательного передвижного груза
устраняют необходимость иметь небольшие грузы. Весы с указателем,
помощью грубой установки груза (гири или подвижного груза),
при взвешивании многих одинаковых количеств, устраняют
необходимость передвижения указателя по всей шкале. Нормальный тип
весов в конце имеет нулевую точку; весы для взвешивания
одинаковых количеств (пакетов) имеют приспособления для указателя веса,
коего шкала по обе стороны от нулевого значения показывает
значения «больше* или „меньше" требуемого веса.
Весы, предназначенные для общественного пользования, должны
быть чувствительными; также должны быть чувствительны весы
в производстве, для определения веса пакетов, для продажи.
Обязательна проверка новых весов, проверка работающих должна
производиться каждые два года.
Мостовые весы при определенной наибольшей нагрузке дают наиболее,
точные показания. Неточность и нечувствительность не должны превышать 0,06°/0
(0,6 г на 1 лгг) при максимальной нагрузке. При 2/,0 максимальной нагрузки ошибка
может равняться 0,12°/0 (1,2 г на 1 кг), т. е. ошибка вдвое больше.
Десятичные и сотенные весы требуют уравновешивающих гирь
на чашках, что представляет неудобство, желательны по крайней мере
вспомогательные передвижные гири для взвешиваний до 5 кг.
Автоматические весы (Reuther & Reisert, Schenck) для
постоянного контроля производства, Передвижная гиря, приводимая в
движение взвешиваемым грузом по большей части при посредстве
сервомотора, автоматически останавливается, как только весы
приходят в равновесие. Вес регистрируется большей частью при помощи
счетчика, может также и отпечатываться на контрольной карточке,
или же измерительный сосуд наполняется каждый раз одинаковым
количеством, причем приток после наполнения останавливается
автоматически и число наполнений записывается (Librawerke,
Braunschweig). Первое, например, при перевешивании угля в вагонетках,
последнее при взвешивании свободного угля.
Полуавтоматические весы Шенка, например для бункеров; если потянуть
за рычаг, то высыпается определенное количество (200 кг или
400 кг), и весы снова наполняются. Подсчет засыпок производится
счетным аппаратом.
Путевые весы устанавливаются на пути, ведущем, например,
в котельное здание. У весов с затвором въезд вагонеток, притом
только груженых, может происходить лишь с одной стороны.
Вагонетки могут проходить дальше через весы лишь после
взвешивания (порядок всех операций принудительный). Обратное
передвижение по весам невозможно. Обратные пути с разрывом, чтобы
наполненные вагонетки не могли проходить.
Передвижные бункерные весы служат одновременно и для
перемещения угля. Весы наполняются из расположенного выше"
угольного ящика до тех пор, пока будет достигнут определенный
вес угля. Пополнение углем автоматически прекращается, когда

8^2 Т. I Отд. 6 Техника измерений. III Измерение количеств
весы приходят в равновесие. Другие конструкции—для канатных и
подвесных дорог, а также для установок для перемещения угля.
Затем как силосные весы для зерна и других сыпучих тел на
мельницах, пивоваренных заводах и т. д.
В. Измерение расхода жидкостей
Предварительное примечание к разделам от В до D
Инструменты со шкалой и цифровым отсчетом. Если в
промежуток времени dt надо измерить вес dG, то -г- называется потоком, т. е.
протекающим в единицу времени количеством, которое измеряется в кг\сек (или
кг j на с, по желанию межет быть также отнесено и к объему). В промежуток
времени от tx до tt проходит общее количество G—J ■—-. dt, измеряемое в кг (или мг).
Приборы со шкалой показывают на. шкале поток, они удобны для
наблюдения за ходом эксплоатации в данный момент, а также указывают
изменения в условиях таковой. Приборы со счетным механизмом
позволяют отсчитывать прошедшее общее количество и дают возможность
последующего контроля общей производительности, общего расхода и т. д.
Аппараты выбирают соответственно назначению. Если производить отсчеты потока -г- на
инструментах со шкалой в промежутки времени Д/, то общее количество нахо-
dG
дится арифметическим путем по следующей формуле: G = JJ ~- . Д^, или же
графическим путем — планиметрированием. При часто меняющемся потоке еще
лучше графическая запись пишущими приборами. Если отсчитать на счетчике в
промежуток времени А* показание О, и и* то средний поток за этот интервал
[ —- ] = 2~~. 1 . При достаточно коротком времени (если счетчик это допускает,
\dt )m tt
на что в интересах быстрой работы надо обращать внимание в лабораторных
dG (dG\
установках.) или же при постоянном потоке -тг = [ -— ]
at \ dt )m
Измерения в разделах В и С, а частью D производятся более или менее тем
же путем, разграничение не имеет строгих границ.
а) Измерение и взвешивание постоянно текущих или
расходуемых количеств
Два сосуда поочередно наполняются и опоражниваются. Сосуды
или стоят на весах, и количество, так же как и время для их
наполнения, определяется каждый раз, или же слив излишка
ограничивает наполнение, и излишек течет в освободившийся за это
время второй сосуд. Переключение —ручным способом (при опытных
установках) или механически: принцип открытых
измерителей жидкости (Eckardt, Schilde, Steinmtiller, для небольших ко-
л личеств, например центрального отопления Gebr. Siemens).
Последние действуют частью по убъему, частью по весу. Проще:
наполнение сосуда, время по секундомеру, взвешивание. При опытах
определяется время одного наполнения. В производстве отсчиты-

Измерение расхода жидкостей
843
вается положение при сменах, разница может составлять целое
наполнение.
При приближении к температуре в 100° предохранять от
испарения прикрытием; выше 100° перед выходом охлаждать и
выпускать под холодной водой.
Ь) Водомеры для установки в трубопроводах
1. Скоростные водомеры (вода толкает колесо).
a) Струйные водомеры, особенно для мелких труб. Струя,
выходящая из сопла, приводит в движение колесо с крыльями.
ffy Вольтмановские водомеры для больших труб (главные
измерители). Большое крыльчатое колесо не заполняет всего диаметра
трубы ввиду загрязненности воды. Они строятся диаметром до
500 мм, соответственно 12 000 м?/час. Крылья сменяемы, в особом
барабане (S & Н, Meinecke), также под давлением (Ворр & Reuther).
2. Объемные водомеры с принудительным протоком воды, не
сработанные измеряют небольшие протекающие количества лучше.
Y) Дисковые водомеры (качающийся диск) употребляются там
же, где а.
b) Поршневые водомеры с движущимся вперед и назад
поршнем (Eckardt, Schmid).
3. Открытые водомеры см. (а).
4. Водомер Вентури (фиг. 2). Сужение сечения трубы
приблизительно на 1/2 нормального и затем постепенное коническое
расширение до нормального диаметра трубы (желательно не для
Фиг. 2. Нормальная конструкция трубы Вентури.
измерения, но для целей эксплоатации) для обратного получения
потери давления. Потеря давления вследствие повышения скорости
в сужении измеряется при помощи диференциального манометра.
Измерение давления через кольцевые отверстия на окружности
трубы.
Описанные в пп. 1, 2 и 3 приборы измеряют интегральные количества
проходящей воды, причем требуется одновременное наблюдение времени, чтобы
получить м31сек. Эти измерения пригодны только до известные пределов, до 5Vo
нормальной мощности (при новых дисковых водомерах около 2"/0), ниже не
применимы; п. 4 измеряет поток воды, если не устанавливается маленький водомер
между трубой и сужением как механическое интегрирующее приспособление
(парциальный прибор).
5. Для измерения всякого рода жидкостей пригодны также все
типы паромеров, так, например, паромер Байера (фиг. 9, стр. 8^3),
если количество достаточно велико. Отклонение (также при перэходе
от пара к жидкости) пропорционально корню из удельного веса, если

844 Т. Т. Отд. 6. Техника измерений. III. Измерение количеств
принять во внимание обратный подпор внутренних движущихся
частей в жидкости, а также внутреннее давление, которое
действует на сечение сальника. То, что прибор записывает, представляет
большое удобство.
Для питания к от л о в пригодны специальные конструкции
пп. a, Y» о и 3 (последний, если температура воды ниже 100е),
а также пп. 4 и 5.
c) Отверстие истечения
Измеряемая вода проходит через резервуар, из которого она
выходит через хорошо обработанное отверстие с сечением / „м-.
Наблюдается высота столба h м над серединой отверстия (при
вертикальном выходе) или же над тем местом, где водяная струя
отделяется от отверстия (при горизонтальном выходе). Вытекающее
количество V= kf\/2gh мъ\сек, причем коэфициент истечения
k — 0,605 для отверстия с острыми краями, если h > 0,4 м и
диаметр ;> 20 мм, в противном случае k больше; k = 0,99 для сильно
закругленных и отполированных отверстий. Отверстие — на
достаточном расстоянии от стенок сосуда и дна. Если отверстий
несколько, то они должны быть достаточно удалены друг от друга,
чтобы быть уверенным в полном сужении. Высота должна быть
достаточной во избежание образования воронок. Водяной поток
должен быть равномерен, иначе отсчитывание высоты уровня
невозможно. При неравномерном водяном потоке по способу Брауера
часть воды пропускается через маленькое отверстие и взвешивается,
при одинаковой высоте количества из других отверстий
пропорциональны. Струи должны отделяться от стенки сосуда на
одинаковой высоте1).
d) Отверстие протока
Труба Вентури, подробно описанная для газов (см. стр. 852),
применима также и для жидкостей в трубопроводах.
•е) Измерения с запрудами
Правила для сооружения измерительных
запруд: ребро порога острое, тонкое, вертикальное,
перпендикулярное к направлению потока. Запруда должна со стороны верхней
воды представлять собой вертикальную стенку. Ширина канала со
стороны верхней воды должна равняться ширине плотины во
избежание боковых сжатий (в необходимых случаях при помощи досок).
Хорошая вентиляция струи воды снизу, или же со стороны
(причем нижний канал шире, чем плотина), или искусственным
подводом воздуха. Тогда
Q = j-.kb Y2gh* л*3,сек,
1) Коэфициешы для горячей воды, Forschungsarbeit VDI, II. 21&

Измерение расхода жидкостей
845
причем но Rehbock i) Q = (1,782 + 0,24hjp)h*>*\ высота he =
r= /r -f- 0,0011 л/, должна начинаться непосредственно над ребром
плотины.
ft—ширина плотины в м,
Л—высота подпора над ребром плотины в л*, на таком расстоянии [Ah или
V(p+h)] от водослива, чтобы уровень воды еще не был понижен,
р—высота ребра плотины, считая от подошвы, в м.
Необходимо, чтобы b^h, /г;>0,1 до 0,2 м, отсюда V= 40 л/сек,
как минимальное количество; однако h <; 0,6 р; высота ребра
плотины р ;> 0,3 м. В опытах Rehbock высота
подпора доходила Л = 0,8 м и высота ребра плотины"
до р = 1,2 м.
Значения Rehbock в среднем дают на 2,4°Д
меньшие количества воды, чем получаемые при |ш/ум
пользовании формулой Frese. Исходя из новых
данных, к. п. д. турбины несколько увеличится, а Фиг. з. Водо-
насоса уменьшится *). слив*
При измерениях пользоваться только хорошо испытанными,
вышеупомянутыми соотношениями для запруд. Остерегаться определять k
самостоятельно без достаточных вспомогательных средств. Если нельзя избежать других
форм плотин, то коэфициент истечения берут по стр. 497 и след.
Хорошо известна также треугольная плотина: вода
проходит через угловой прорез плотины; специальный случай:
прорез прямоугольный, вершина внизу, стороны наклонены под 45°;
тогда
<? = (8/i5)!J V^g® мЩсек\
причем: 7? - 0,05 ОД 0,15 0,2 0,25 м
по Барру н- = °>597 °^590 °^586 °'584 °^582
следовательно,
Q =^ 2,36 \>h* У Л =0,000786 0,00440 0.01206 0,0247 0,0430 м*\сек.
При более продолжительных исследованиях течения воды в рекак
употребляются автоматически регистрирующие плотины.
т) Измерение помощью щита
Условие: достаточной длины, хорошо и однообразно
обработанный канал, постоянного сечения. Легкий щит, висящий на
тележках, опускается в воду и плывет с ней, его скорость записывается
при помощи электрических контактов. В лабораториях при
проектировании турбинной установки должен быть предусмотрен
подобный канал.
3!
i Zd VDI, 1929, стр. 817.
.1 Последние опытные данные Kirschner und E s t е г е г, Zd VDI, 19J0,
стр. 1499", дают количества, средние между данными Frese и Rehbock.

846 Т I. Отл б. Техника измерений. III Измерение количеств
g) Определение количеств из распределения скоростей
Устанавливается распределение скоростей w м/сек по сечению
/ мК Тогда V'= fw • dfмЦсек. Неопределенность: невозможно
измерение у краев, где скорость понижается до нуля, к тому же
неточность измерения скорости при сильном вихревом движении.
Измерения на прямом участке по возможности дальше от изгибов.
При круглых каналах (трубах) измерение на расстоянии одного
до трех диаметров, изображение результатов графическое, а
именно: «/=/(г2) (г — расстояние от места измерения до оси трубы);
планиметрированием получается средняя высота: wm — (1//) I w df,
отсюда
К= «>„■/.
Для измерения скорости служат:
1. Вольтмановская гидрометрическая вертушка1)
употребляется, принимая во внимание уравнение вертушки, полученное опы-
Пщгез получ
Хстат.даВлениеп Нг/м2
Направление тона |
всздуха сНоростъю ||
w м/сек
том. Крыльчатое колесо измеряет
скорость воды, действуя на счетный
механизм или на электрические
контакты.
2. Трубка Прандтля (фиг. 4)
могла бы употребляться как для
воды, так и для воздуха. Отверстие,
противолежащее струе, измеряет
общее давление /?-=/? + Y • w2/2g/сг/м2,
щель сбоку трубы — статическое
давление р. Разница есть динамическое
давление f'W2/2g, равная рф
отсюда
w= Vtg-Pdh-
Поправка у хороших инструментов
равна единице в том случае, если статическое
давление измеряется в таком месте, где нет
ни всасывающего, ни .напорного действия
вследствие водоворота или изменения напра-
л Разность давлений динам давленье ' вления течения. В виду независимости от на-
Ц- уНг/м* изм8глем.(ми1фо)/г,иномвтгю41 клона трубки по отношению к направлению
потока отверстие для выпуска равно 0,3 на-
л„- а т™*.,. гтла„»^.- ружного диаметра трубки (Kumbruch, Mitt.
Фиг. 4. Трубка Прандтля £brschungsarb. VDI, Н. 240), т. е. диаметра
переднего полу шара.
В трубопроводах: ввод трубки через сальники или
длинные направляющие. Измерение динамического давления при
помощи перевернутой вверх U-образной трубки (следовательно п)» с в03~
духом, керосином (для малых скоростей) или чем-нибудь подобным
*) Подробное описание HdlW, IV. Aufl, III. Teil, 1. Bd. О вертушке особой
конструкции для мелких вод, Schweiz. Bauztg., 6 Oktober 1906, oder Broschuren von Ott
in Kempten, Ertel in Munchen.

Измерение расхода £аза
847
над водой, а также вниз повернутой трубкой с наполнением
хлороформом. У напорных труб воздух над водой должен
накачиваться насосами (велосипедный насос!), у высасывающих труб вода
поднимается всасыванием (аспиратор из стеклянной трубки с
резиновой трубкой, вдувания воздуха в трубы следует избегать).
С. Измерение расхода газа1)
1. Газомер для непрерывных измерений объема при низких
давлениях. Мокрые газомеры с барабане \ Кросле:
резервуар наполняется водой несколько выше горизонтальной оси
вращения барабана. При постоянном уровне воды каждый оборот
барабана подает одинаковое количество газа. Незначительная
разница в уровне воды не имеет значения, так как камера при запоре
поворачивает узкую верхушку сектора вниз. В больших так
называемых станционных газомерах постоянный уровень воды
поддерживается непрерывным ее притоком и удалением (система Кинга).
Допускаемое число оборотов в час равняется приблизительно 100.
Неизбежное падение давления большей частью меньше 2.ш*вод. ст.
Точность измерения хорошим газомером почти полная. Учету
поддается даже минимальный приток газа. Колебания давления и
скорости дают чувствительные ошибки лишь в тех случаях, когда
происшедшие колебания воды временно открывают запорные края
(хлебающий шум). Если газ притекает не непрерывкой струей, а
толчками, как, например, во всасывающей трубе газовых
двигателей, компрессоров и т. п., то устанавливается регулятор давления
(каучуковый мешок для сжатого газа, подвешенный на пружинах
колокол или мембраны и т. п. при газовсасывающих установках).
Сухие газомеры: два воздушных меха, которые регулируют
друг друга (менее точны), устраняют наполнение и опасность от
замерзания (для домовых установок).
2. Измерители завода Рота в Аахене. Во внутри
отшлифованной, постепенно расширяющейся кверху измерительной трубке с
делениями поплавок поднимается притоком газа тем выше, чем
больше количество газа; поршень показывает в м*/сек газовый
поток, а не полное прошедшее количество, как газовые часы.
Поршень имеет винтообразные вырезы, поэтому колеблется, вращаясь
и не касаясь стенок. По большей части поршень приподнимается
при изменении на Vio максимального количества. Большие размеры.
Калибрирование после того, как газ довольно продолжительное время
пропускался, так как эбонитовые поплавки поглощают газ (петом
снова выделяют).
3. Объемные приборы для лабораторных измерений и для
проверки газомеров на газовых'за водах. Колокола известного сечения
при опускании в резервуар с жидкостью вытесняют через трубу,
выходящую над жидкостью, объемы, которые могут быть точно
') Ср. примечание к В, а также подробное описание в Правилах для испы*
1ания мощности вентиляторов и компрессоров (т. III).

848 T- I Oiл 0 Техника измерений. ITT. Измерение количеетв
определены. Давление и температура в колоколе наблюдаются;
приведение к нормальному состоянию (только, если действительно
необходимо!). Давление при опускании неизменно, вследствие
автоматического увеличения нагрузки колокола, соответственно
обратному напору при более глубоком погружении колокола.
4. Измерение количества газа нагнетанием его в резервуар
(важно для исследования компрессоров).
Пусть V— объемное содержание резервуара в м*,
Pi и Рг~абсолютное давление в резервуаре в начале и конце опыта в
кг/и*2,
р—таковое же для любого момента,
Г—абсолютная температура наполняющего газа для того же времени,
G—количество нагнетаемого газа в кг,
R—газовая постоянная,
х—отношение удельных теплот содержимого в резервуаре, которое ком-
примируется вследствие наполнения газом—приблизительно адиабаш-
чески.
Тогда
Р2
V Г dp
#•* J Т
Pi
Зависимость между Тир известна из наблюдений. Интеграл
находится графически или как средняя величина. Для постоянной
температуры входящего газа Т будет
а для воздуха
0 = (1//*.#Г)(/>2-/>!),
G = (l//41,3) (p2 — Pi)/T.
5. Труба Якоби. Гладкая труба. Из потери рабочего давления
получается количество жидкости. Пригодна для калибрирования
других!).
6. Измерители для сжатого воздуха завода Бамберг
с отверстием протока, регулируемого мембранами; предназначены
для приборов, работающих сжатым
^Jh диаметр тру бы D воздухом, и пр.
\viyy\i\ г ' *~Ъ7777Л 7* С°пла и Диафрагмы. Для из-
I р£&#5;§« кШШ мерения количестз протекающего
' I Ete«li и/УУ/А газа комиссией VDI были
разработаны правила, которые в значительной
мере базируются на данных Оппау 2).
Правила эти сводятся к
следующему.
В трубопроводе диаметром D мм
для перепада давления вставляется
сопло (фиг. 5) или диафрагма (фиг. 6)
Флг. 5. Нормальное сопло 1930 г.
l) Mitt. Forschungsarb. VDI, H. 267.
") Witte, Iechni4che Mechanik und Therm«»dyiiamik, H. 1. bis 3, 1930.

Измерение расхода газа
8«
диаметром d, в результате чего происходит изменение площади
проходного сечения в отношении
m = d'*/D<i=f/F.
Увеличение скорости газа соответстзует падению давления,
причем разница давлений может быть измерена с помощью дифе-
ренциального манометра. Перепад давлений^ — р2)кг/м2,
выраженный в метрах столба жидкости уд. в. ? кг'м*
h = (p1 — po)h ж.
Для ртути и воды разница в удельном весе составит:
°С 0° 5° 1-° 15° 2)° 25°
Щ) Ьрт- '(в) = 12,59 12,58 12,57 12,55 12,5* 12,53 кг/л.
Зная перепад давления {рх — р^кг1м2, можно определить
количество протекающего газа G по формуле:
G = a.fc.fip.0.01252yr(p1— P2) Yi кг\ч%с (1)
Коэфициеш истечения а при чи:ле Рейнолъдса R£) = wDxi!gri выше
определенных значений завили точько от величины т и определяется опытом.
Коэфициенг s зависит or стелени сужения струи в случае протекания газа или
пара и выбирается в зависимости ог величины x = Cp/cv, с одной стороны, и
относительно перелада давления (Pi — pJlPi, с другой стороны. Для несжимаемых
жидкостей е = 1.
Здесь приняты следующие значения:
Rp — чигло Рейнольдса, отнесенное к диаметру трубопровода;
т) — аб:олютная вязкость в кг сек м\
D — диаметр трубопровода в м\
Yi — удельный вес кг/мг, отнесенный к давлению рц
g = 9,81 м/сек-;
w — скорость течения в трубопроводе в .njceK.
Для нормального сопла (фиг. 5) в табл. 1 приводятся значения
а и £ в зависимости от RD Значения для а могут иметь отклонения
— 0,5% (для несжимаемых жидкостей). В случае газов и паров,
значения е не имеют отклонений от приводимых величин.
Таблица 1. Коэфициенты истечения для нормального
сопла 1930 г.
т = 0,С5 ОД 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4 0,45 0,5
а = 0,987 0,989 0,993 0,999 1,006 1,016 1,029 1,045 1,066 1,096
дляЯд^. 63000 85000 130000 180000 280000
Значения 1-е для перепада давления 0,01 рх\
т = 0,05 0,2 0,3 0,4 0,5
Для х = 1,31 1 — е= 0,0060 0,0062 0.0066 0,0073 0,0082
. х = 1,41 1—е= 0,0056 0,0058 0,0062 0,0069 0,0077
„ х = 1,66 1 — е = 0,0048 0,0051 0,0054 0,0059 0,0067
54. Hutte, Справочник для инженеров, т. I.

850 Т. I. Отл. б. Техника измерений. Ш. Измерение количеств
Таблица 2. Значения 1—е для нормальных диафрагм 1930 г.
т= 0,05 0,3 0,6 0,7
Для х = 1.31 1 — t=s 0,00335 0,0036 0,0038 0,0044
„ х = 1,41 1 — в = 0,0021 0,00225 0,00285 0,0031
для перепада давления 0,01 рх.
Если /?£> будет иметь меньшие значения, чем это указано в табл. 1, то
коэфициент а будет меньше и притом примерно на 4% для значения т каждого
следующего десятичного разряда; отклонения будут ± 1,5%.
Для нормальных диафрагм (фиг. 6) оказывает влияние
шероховатость труб (на сопло не оказывает) и острота граней
(последние должны быть абсолютно чистыми, острыми, без всякого
отрази диаметр, трубы D
Фиг.
диафрагма
жения острия, чего достичь
обычными средствами в
мастерской невозможно). Значения
коэфициента истечения а для
этих идеальных условий — без
всяких изменений.
Для хорошо выполненных
в мастерской диафрагм (с
небольшим отражением острия)
при обычной шероховатости
труб (не заржавленных) ко-
эфициенты истечения а
приведены на диаграмме (фиг. 7).
Число Рейнольдса должно быть
RD^>2,5• 105• т. Значения ко-
wsoto м юоооао too
Диаметр трубы D
Фиг. 7. Коэфициент истечения « для
нормальных диафрагм 1930 г.
эфициентов, показанных на диаграмме, имеют отклонения в
зависимости от величины т и диаметра труб, согласно табл. 3.
Для сжимаемых жидкостей необходимо в формулу (1)
вводить коэфициент е, зависящий от {рх— р2)/р\ и у.. Значения для
коэфициента е приведены в табл. 2. При этом получается
увеличение общей степени отклоненгя.
Увеличение степени
отклонения на
При относительном падении
(Pi — Рш)1Р = 0 до 1«\> 0°f0
свыше 1°'0 до 2о(0 ± 0,5%
свыше 2о/0 ± 1,5°1о
Если число Рейнольдса Rq меньше, чем 2,5-МР*т, то коэфициент а будет
больше и примерно на 0,02 при 01 = 0,25 и на 0,04 при т =0,5.

Намерение расхода газа
851
Таблица 3. Величина отклонения коэфиаиента
истечения а для нормальных диафрагм 1930 г.
Выполнение обычное. Труба шероховатая.
0,05
0,1
0,2
0,3
0,5
тп
-0,1
-0,2
-0,3
~ 0,5
- 0,7
G0 - 100
± 1,5
± 1,5
± 1,5
± 1,5
± 2
Диаметр в мм
100-200
± 1
± 1
* 1
± 1,5
±2
200-300
± 1
± 1
± 1
± 1
± 1,5
-
I 300 и более
± 1
±0,5
±0,5
±0,5
± 0,5
Отдельные характеристики сопла и диафрагмы:
сопло должно быть совершенно гладкое, форма должна быть
проверена помощью калибра. Измерение диаметра производится с
точностью :±0,001 d. Грани диафрагмы должны быть острые.
Лобовая поверхность перед отверстием должна быть гладкая. Измерение
отверстия диафрагмы производят с точностью :±:0,001 d.
Перед и после диафрагмы должны быть определенные участки
прямой трубы, чтобы избежать влияния поворотов трубопровода
на показания диференпиального манометра.
Размеры прямого участка трубы приведены в табл. 4.
Таблица 4. Необходимый прямой участок труб для правильных
показаний давлений
m ^~
Простое колено .
Двойной поворот
в плоскости . .
Тройной изгиб в
пространстве .
Нормальное сопло
Перед соплом 1 После сопла
0,2 | 0,4 1 0,2 | 0,4
9 D
6 D
20 D
28 D
15 D
20 D
30 D
60 D
5 D
6 D
10 D
5 D
•10 D
27 D
27 D
5 D
Нормальная диафрагма
Перед диафр. | После диафр.
0,2
8 D
5 D
28 D
28 D
0,4 | 0,2
18 D
10 D
2Я D
55 D
5 D
5 D
5 D
5 D
0,4
5 D
10 D
5 D
5 D
Эти значения даны в случае, если отверстия для манометров просверлены
в трубе. Если отверстия сделаны в шайбе сопла или диафрагмы, то длина трубы
до диафрагмы может быть короче на 20J/0* длина же трубы после диафрагмы должна
быть всегда 5 D. Если длина трубы будет в два раза меньше, то ошибка при
измерении количества протекающего газа будет ± 0,5&/0.
Вещество должно находиться в чистом аггрегатном состоянии: ни капли влаги
в паре, а в жидкости не должно быть газа. Пульсация от поршневых машин
недопустима.
Для старого нормального сопла 1912 г. (фиг. 8) применяется формула;
О ~k/y2g(pl—p%) п кг/сек.
Значения для коэфициеита h приведены в табл. 5.
54*

852 Т. I. Отд. 6. Техника измерений. III. Измерение количеств
Таблица 5. Значения коэфициента к для нормального сопла
1912 г. (Muller und Peters, ZdVDI, 1929, стр. 966).
R = wrf/v == 25 000 50 000 100 000 200 000 300000 600 000 1000 000
Л = 0,947 0,956 0,963 0,968 0,972 0,977 0,979
8. Труба Вентури с точки зрения техники измерения
равносильна соплу с одинаковым соотношением диаметров при
определении давления у подпорного фланца; включенное за ним
коническое расширение уменьшает дополнительно потерю давления
в видах экономии в стоимости экснлоатации; или же при данной
допускаемой потере давления в трубе Вентури получается во много
раз увеличенная разница давлений, следовательно, большая энергия
для измерения. Определение перед трубкой Вентури и в сужении;
из соотношения диаметров У т и разницы давлений вычисляется
количество, так же как у сопла
при расходе у края подпора, а
коэфициент k из градуировки. Ср.
фиг. 10, стр. 855.
9. Измерение количества из
распределения скоростей, как в В, g).
Для измерения скоростей служат:
а) Анемометр с турбинным
колесом: ось вращения располагается
по направлению ветра, отсчет по счет-
Фиг. 8. Нормальное сопло 1912 г. ЧИКу ИЛИ Электрическим КОНТЭКТаМ.
Измеряет скорости от 0,5 до 10 м/сек.
Приборы с крыльями из слюды от 0,12 до 5 м/сек. Анемометры
с чашками: ось может быть в любом положении в плоскости
нормальной к направлению ветра, отсчет производится тем же путем, измеряет
скорости от 1 до 30 м/сек. Одновременное наблюдение за часами
устраняется анемотахометром (соединение анемометра с чашками
с центробежным тахометром; Morell, Horn).
b) Приборы для измерения напора, в особенности трубка
Прандтля (фиг. 4) см. В, g), 2; статическое давление измеряется
помощью кольцевого прореза, общее давление помощью отверстия
на шарообразном конце. Присоединенный диференциальный
манометр показывает динамическое давление (р-\- w2/2g • т) — p=w2/e2g • к=
= pd кг/м2, этому соответствует w = Vlg • pd\-\ в м/сек. Вследствие
того, что зависимость выражена во второй степени, измерение
небольших скоростей (ниже 4 м/сек труднее). В необходимом
случае — микроманометр. Вверх измерение неограничено.
D. Измерение расхода пара
См. предварительно примечание к разделу В.
1. Измерение воды, подаваемой в котел. Уровень воды
в котле, а также в запасных резервуарах, если таковые имеются,
должен оставаться постоянным, так же как давление в котле в начале

Измерение расхода пара
853
Отметки -\
для контроля
конечной точки
и конце измерения. Это достигается при помощи приспособлений,
описанных в В, а) (во всасывающей трубе и водомере питательной
воды) или В, Ь) (в напорном трубопроводе). При получении
насыщенного пара измерение неточно на количество захваченной воды;
уровень воды следует держать
постоянно низким;
непрерывное питание.
2. Измерение пара,
конденсирующегося за машиной.
Расход конденсационных
горшков и т. п. измеряется отдельно.
При насыщенном паре ошибка,
как и в 1.
3. Паромеры. Через
сечение F м2 при разнице
давлений (pt — р2) = V #Ф*2 перед
и за местом сужения и при
удельном весе Yi кг/л*3 перед
этим местом проходит:
Gr=- с-FY^P • Vyi кг/сек,
с = k V2g = постоянная
аппарата, обусловленная сужением
и трением. Она вводится также
как поправка,потому что
применяемая формула, основанная на
опыте, приблизительна. При
паромерах с поплавком, кр
обыкновенно постоянна и F
является мерой для G. При
паромерах для измерения
количества протекающего пара F
постоянно и У &р служит
мерой для количества пара.
а) Поплавковые
паромеры. Поток пара
захватывает с собой подвижную
часть, поплавок. Устройство
статически таково,. что
отклонение тем больше, чем больше
ительн..
давления
сальнике
Фиг. 9. Поплавковый паромер завода
Bayer-Siemens, я —сопло, Ь — поплавок,
с—груз, d— лкелевая штанга,
е—пишущий штифт, /—барабан.
количество пара. По отклонению, следовательно, определяется
количество пара. Поршень обыкновенно находится внутри резервуара,
который устанавливается на паропроводе, как вентиль (фиг. 9).
Ь) Диафрагмовые паромеры. В паропровод вставляется
измерительная диафрагма (как для воздуха см. С, 7) или сопло.
Потеря давления в известном свободном сечении диафрагмы служит
мерой количества пара, оно отсчитывается по диференциальному
манометру или регистрируется таковым. Если вместо диафрагмы

85i Т. I. Отд. 6. Техника измерений. III. Измерение количеств
употребляют трубку Вентури (фиг. 10), то имеется только
небольшая остающаяся потеря давления.
Оба типа устраиваются: о) для непосредственного отсчитыва-
н и я моментального потока пара (так называемые паровые часы, неудачное
название, так как именно часы в свои* показаниях улодят вперед; лучше—указатель пара).
Цель, например: в зависимости от расхода истопник регулирует огонь раньше,
чем давление в котле значительно изменится; р) для графического
изображения потока пара в виде диаграммы; абсциссы: время. Цель: позволяет
наблюдать за ходом эксллоатации и устанавливать впоследствии неэкономичность
работы. Планиметрированием получается прошедшее за все время количество (за 12
или 24 часа), если ординаты пропорциональны количеству пара; для этого требуются
особые приспособления, так как иначе отклонения пропорциональны потере давления,
а следовательно, квадрату количества; т) для автоматического
интегрирования при помощи счетного механизма; в любое время может быть отсчитано
по счетчику прошедшее до этого количество. Суммирование производится
механически (автоматический планиметр) или электрически (включение сопротивлений
и амперметра или и ваттметра).
При паромерах с поплавком, так же как и при диафрагменныт
паромерах, постоянная аппарата с определяется или
предварительными измерениями при определенном состоянии газа tit или
вычисляется, принимая коэфициент истечения k, так же как и при воздухе.
При этом коэфициент истечения k при одинаковых замерах можно
переносить от одной среды к другой, поскольку Рейнольдсово
число RD = wDiJgti одинаковое, ср. также С, 7 (формула 1,
фиг. 5, 6, 7. Табл. 1, 2 и 3). Вязкость v = tj^/y пара (Speyerer,
Mitt. Forschungsarbeiten VDI, H. 273 или — Правила для измерения
расхода „DurchfluBmessung mit genormten Dusen und Mefirandern
VDI\ 1930j.
Если давление и температура не соответствуют принятым, то
вводится поправка пропорционально Yl\.'> c этои целью
наблюдается рх перед местом измерения и при перегретом паре также 7\.
Для насыщенного пара рх приблизительно пропорционально YiJ
тогда
некоторые паромеры учитывают рх автоматически, получая при
помощи передачи произведение У &р • Урх» которое они показывают,
записывают или интегрируют.
Выравнивающая сила, действующая на установку паромеров с
поплавком, увеличивается с приближением к нулю, у паромеров для
измерения протекающего количества вследствие квадратной
зависимости в уравнении потока она становится очень малой с
приближением к нулю. Поэтому последние плохо показывают около
нуля, следовательно, неверное показание при небольшом расходе
(ниже 15 — 20% максимального показания, т. е. от 25 до 30%
от нормального), плохой контроль нулевой точки. С другой стороны,
паромеры с поплавком для диаметров подводящих труб больше
200 мм тяжелы и потому не строятся. Отсюда разделение областей
применения: измерители количества протекающего пара — для
больших котельных, где нельзя ожидать малого расхода; паромеры с по-

Намерение расхода пара
855
плавком —для одиночных потребителей, а также для подводящих
труб в 200 мм и меньше. Вне котельных диафрагменные паромеры
представляют во время морозов опасность для наполненных водой
напорных труб, присоединения которых, как при всех диферен-
циальных манометрах для обеспечения постоянной высоты уровня
воды, должны иметь горизонтальные трубки или уравнительные
сосуды; держать их равномерно наполненными трудно, пузырьки
Фиг. 10. Регистрирующий измеригель Фиг. 11. Паромер Аскания. а—диа-
жидкости Siemens и Halske. Послед- фрагма в трубопроводе, /—диафрагма
ний употребляется как паромер, если в ответвлении, d—эластичная мем-
предусмотрен уравнительный резер- брана, £—эжектор, Л —холодильник,
вуар. А н В — сосуды со ртутью, п—вакуумметр.
В параболической формы.
воздуха значительно влияют на неправильность показания
разницы давления; пар, содержащий воздух, вводит новые
пузырьки воздуха. Потеря давления: при диафрагменных
паромерах возрастает от нуля большей частью до 0,15 кг/см2; при
паромерах с поплавком, начиная от нагрузки поплавка в 0,05 кг/см2,
возрастает до 0,15 кг/см2 вследствие сопротивлений потоку.
Применение трубы Вентури дает большую разницу давлений для
приведения в движение показывающего аппарата (большая выравнивающая
сила) при небольшой потере давления, не устраняет, однако,
исчезновения этой силы вблизи нулевой точки; не может этого сделать
и какая-либо передача.
с) Паромер Аскания (фиг. 11) построен по принципу
парциального водомера. От трубопровода отводится в боковую ветвь
малого диаметра пар, который конденсируется, и конденсат изм*-

856 т- I- Отд. 6. Техника измерений. IV. Измерение мощности
ряется точным водомером. В трубопровод и в ответвления вставляют
диафрагмы йи/и создают для них одинаковые условия истечения,
т. е. перепад давления поддерживается одинаковым как для
диафрагмы основного трубопровода, так и для диафрагмы ответвления.
Количество пара, протекающего по трубопроводу:
Q = q.F/f=qa.
где
q — количество пара, протекающего через ответвление (измеряется, как
конденсат);
F — площадь живого сечения диафрагмы трубопровода;
/— площадь живого сечения диафрагмы ответвления.
Отношение F/f=a — постоянная паромера.
Для учета моментальных расходов пара имеется вакуумметр п,
показывающий разрежение, которое зависит от количества пара,
протекающего в единицу времени.
Согласно испытаниям в лаборатории проф. И о с с е в Шарлотген-
бургском политехникуме, точность паромера Аскания равна ±2%«
Там, где пар проходит толчками — при поршневых двигателях,
еще на значительном расстоянии от машины, — непригоден ни один
паромер: паромер с поплавком колеблется, так что отсчитывание
невозможно, диафрагменный паромер дает, правда, хорошее
отсчитывание, но при этом получается неправильный результат.
IV. Измерение мощности
Работа: 1 квгП'Ч~&6°> кг-кал — 367 г00 кгм; 1 л. с. ч. = 632 кг-кал = 270 000 кгм.
Мощность: 1 кет — 1,36 л. с. = 102 кгм\сек = 0,239 кг-кал\сек\
1 л. с. =0,^736 кет = 75 кгм\сек.
Мощность: N = Md»nj716 л. с. — Мд»п\§7Ъ кет; Md — измеренный момент
вращения в кгм, п — чи ло оборотов в минуту.
1. Тормозные динамометры создают вращательный момент
нагрузки и в то же время его измеряют. Оба действия независимы
друг от друга. Нажим П р о н и состоит из укрепленного на валу
тормозного диска, на который действуют тормозные колодки
(твердое дерево или металл) (фиг. 12). Вес, соответствующий желаемому
моменту вращения (собственный вес тормозного рычага получается,
если освобожденный тормоз в положении покоя подпереть в точке b
трехгранной призмой), устанавливается на весах; при помощи
натяжных гаек достигается равновесие весов. Лучше, если имеются
пружины под гайками, чтобы можно было точнее устанавливать.
Тогда
Md=G-l; N=G-l-n/7\6=C'G'n (л. с).
С—постоянная тормоза. Если весы заменены подвешенными гирями
(хорошее предохранение от сбрасывания), то при том же
направлении вращения вала рычаг должен быть повернут на 180°. Иначе
Остановка нестабильна. Хорошая смазка, хорошее охлаждение!

Измерение мощности
857
Размеры тормозного диска, согласно С. В а с h, по ЛГ< V75 -w-b- d.
Причем:
d — диаметр тормозного диска в см,
b — ширина тормозных колодок в см,
w — до 0,5 при охлаждении воздухом,
— до 2,5 при охлаждении водой,
— до 5,0 при охлаждении водой, больших скоростях и малом давлении на
единицу поверхности.
Вместо тормозных колодок, особенно при больших мощностях, употребляются
тормозные ленты (ленточный тормоз).
Фиг. 12. Нажим Прони.
Фиг. 13. Канатный
тормоз.
При канатных тормозах (фиг. 13) заторможенная полезная
мощность получается по формуле: N = пг (Q —Р)/716 л. с. (Р —
натяжение, отсчитываемое на пружинных весах в кг, г— радиус диска в м9
увеличенный на половину толщины
каната, Q — подвешенный груз в кг).
Чтобы избежать регулирования от-
руки при изменении трения,
применяются самонатягивающиеся и
самоослабляющиеся динамометры (ленточный
динамометр Брауера, фиг. 14).
Водяные тормоза для большого
числа оборотов. Круглые диски,
помещенные на валу машины, вращаются
в резервуаре, который, смотря по
нагрузке, более или менее наполнен
водой. Движение воды стремится
захватить с собой резервуар; сила на
окружности, так же как при нажиме Пронм,
измеряется у рычага при помощи гирь
или же весами. Для не очень большого
числа оборотов: водяные тормоза Frou-
de. Вследствие карманообразной формы
лопаток сопротивление (получаемый
момент вращения) больше, чем у гладких
шайб (Krupp Germaniawerft). Ветрянка применима для большого
числа оборотов, следовательно для аэропланных и автомобильных
моторов; при помощи пропеллеров также охлаждается мотор;
тормозные крылья с прямыми по большей части переставными поверх-
Nt-Q.aMUinjrQT,(PLjy л с
Фиг. 14. Саморегулирующийся
тормоз Брауера.

g58 Т. I. Отд. б. Техника измерений. IV. Измерение мощности
ностями сопротивления не охлаждают. Выверка крыльев.
Зависимость калибрования от плотности воздуха.
2. Динамометры измеряют передаваемый момент, не уничтожая
его. Крутильный индикатор Fdttinger измеряет
скручивание двух сечений вала на известном расстоянии друг от друга —
длина измерения. Дуга сдвига зарисовывается. Вращающий момент
вычисляется по формуле
&. О-«(*/* —А«)
32-/ KZCw;
М^
Ь — угол кручения на измеряемой длине / см,
dndx—диаметр вала и отверстия в см,
G — модуль скольжения стали- (для судовых валов G = 829 000 кг\слр).
Другие динамометры (Fischinger, Rateau) для измерения потребления энергии
станков очень редко употребляются, так как могут быть заменены 3 и 4.
3. Способ обратного давления. Вращающему моменту,
развиваемому двигателем, соответствует обратный момент давления той же
величины, производимый станиной машины на фундамент.
Следовательно, можно вместо того, чтобы определять полезный момент
затормаживанием, определять обратный момент давления,
устанавливая корпус на двух весах или подвешивая его таким образом,
чтобы он мог вращаться. По этому моменту вычисляется мощность
так же, как при торможении. Но так как в противоположность
торможению мощность не уничтожается, то этот метод заменяет
динамометр.
Пример. Измеряется расход энергии центробежного насоса, причем последний
приводится в движение колеблющимся электромотором (колеблющееся динамо
Dr. Max Levy). Испытательная установка аэропланных моторов немецких
испытательных лабораторий для воздухоплавания: нагрузка пропеллерами, но измерение
обратным давлением. При точных
измерениях не должно пренебрегать
тем, что обратный момент давления и
вращающий момент у вала различны
вследствие некоторых потерь;
принимают в расчет трение в
подшипниках и сопротивление воздуха (смотря
по установке в отдельных случаях).
4. Электрическое
измерение мощности. Во многих
случаях возможно определение
S" мощности машины-двигателя по
^«мощности приводимой ею в
движение динамомашины, к. п. д.
которой известен. Наоборот,
работа, расходуемая на
приведение в действие станка,
определяется по мощности
электродвигателя, приводящего
Фиг. 15. водяной реостат. этот станок в действие, ибо

Измерение мощности
859
мощность этого электродвигателя легко поддается точному
измерению.
В первом случае, если необходимо, поглощение
получаемого электричества в водяных реостатах: расстояние пла-
рабочие поверхности пластин
по надобности) соответственно
Трос
Провод
От (разы f, г - -г-
-♦..i-j-j—., [
Изол кнопка i I , I
-U
Нул точки
стин соответственно напряжению,
(односторонне, двусторонне, смотря
силе тока. Регулирование
мощности глубиной
погружения и прибавлением
соды, поваренной соли или
соляной кислоты.
Представленный на фиг. 15
и 16 водяной реостат из 1 мм
листового железа в трех бочках из-
под керосина пригоден для
длительной нагрузки 240 кет и 220 в
между фазами (около 800 а в
каждой фазе); при 2X1,6 м*
действующей поверхности было,
следовательно, 40 см2/а. Замена
воды только для того, чтобы она
не слишком кипела, — 1 м9/час на
каждую бочку. При 500 в
постоянного тока часто достаточно чистой
воды без прибавления соли или
соды, при более высоких
напряжениях, около 2000 — сЮОО в
переменного тока, можно всегда
употреблять чистую воду;
вытекающая вода, однако, заряжена
(осторожность). Расстояние между
электродами около 8 см для каждые
1000 в при воде удельного
сопротивления 20( 0 omIcm*. Оставаться
ниже образования пузырьков
воды, так как таковые уменьшают
поверхность электродов; при
сильном выделении газа нагрузка
непостоянна, и электроды могут
нагреться до плавления. При
установках с водяными
турбинами в отводном канале можно
в продолжение ряда часов
пользоваться железными листами
(толщиной 0,5—1 мм), скрепленными между собой кусками дерева, если они
постоянно остаются иод водой (вследствие обратного подпора нагрузить
тяжестями); плотность тока около 5 до 10 см* для 1 д, следовательно, достаточно
трех пластин по 30 X <*0 см с расстоянием 10—15 см для 500 кет при ЗОСО в
трехфазного тока. Для поглощения применимы также проволочные спирали или
ламповые сопротивления.
Коэфициент полезного действия или потери в электрических
машинах берутся из данных фирмы или определяются особым
опытом. Коэфициенты полезного действия включают потери в
необходимом добавочном сопротивлении или сопротивлении обмоток
поля.
5. Индикатор служит для определения индикаторной мощности
(подачи или расхода) всякого рода поршневых машин. Состоит
Фиг.
16. Водяной
реостат.

860 Т. Т. Отд. 6. Техника измерений. IV. Измерение мощности
из цилиндра с поршнем, нагруженного сменяемой измерительной
пружиной, действующей на пишущий прибор, и барабана для бумаги,
приводимого в движение крейцкопфом при посредстве уменьшителя
хода с обратно действующей пружиной. Диаграмма: ординаты —
давление в цилиндре (сила поршня), а абсциссы — объемы хода
пути, проходимые поршнем); площадь, измеряемая
планиметрированием, дает работу одного хода. Мощность N., тогда
N. = F sn я./(60 • 75) = Сп р. л. с.
г w w Га' ч ' w г г
Fw —действующая поверхность поршня^ (сечение цилиндра за вычетом
штока и т. д.) в см*,
s — ход поршня в м,
nw — действующее число ходов в минуту,
— двойное число оборотов при машинак двойного действия (где
Fw—-средняя из передней и обратной стороны поршня),
— число оборотов при простом действии или использование только
одной стороны машины двойного действия,
— половина числа оборотов при четырехтактных машинак,
Pi — среднее индикаторное давление в кг\с и2,
— площадь диаграммы: длина диаграммы X масштаб пружины. При
четырехтактных машинах площадь потерь определяется особо при
помощи диаграмм слабых пружин, и найденная таким образом
Pl отнимается. При изменяющейся форме диаграмм берут группу
в 5 диаграмм и определяют среднее />. так, например, при
четырехтактных газовых двигателях.
С — постоянная цилиндра (может быть также отнесена к п вместо nw).
Индикаторная пружина лежит либо снаружи (холодна), либо
внутри (при тепловых двигателях, следовательно, тепла).
Максимальное давление, а также отклонение пишущего прибора .индикатора
в мм для 1 кг/см2 давления обозначается на каждой пружине
(масштаб пружины); например, при \0-кг пружине: 1 кг = Ь мм, при
%кг пружине: 1 к г = 25 мм. Так как пружины могут изменять
эластичность, то масштаб их надо проверять. Союзом германских
инженеров установлены нижеследующие условия испытания
индикаторных пружин:
1. Каждый индикатор, пружины которого подлежат проверке, должен быть
предварительно исследован, главным образом по отношению к трению поршня,
плотности, а равно и мертвому ходу частей пишущего механизма.
2. Индикаторные пружины испытываются нагрузкой гирями.
3. Пружины испытываются в соединении с пишущим механизмом. ^
4. Каждая пружина, которая при пользовании индикатором подвергается
действию высокой температуры, ислытывается в холодном и горячем состоянии, т. е.
при 20е С (комнатная температура) и при 100° С.
5. Испытание производится несколькими нагрузками, а именно: не менее
чем пятью нагрузками выше атмосферной линии и не менее чем тремя нагрузками
ниже ее. В протоколе исследования должны быть указаны все результаты
наблюдений.
6. Диаметр поршня индикатора измеряется при комнатной температуре.
Для определения /?. из индикаторной диаграммы служит
планиметр. При неоднородной пружине диаграмма делится на
горизонтальные полосы, площади которых планиметрируются отдельно. Таким

Температура
861
образом из нескольких диаграмм определяется средний их масштаб,
для того чтобы можно было планиметрировать большое число
диаграмм, не разделяя их. Лучше избегать плохих пружин.
Специальные формы индикаторов: постоянно вращающийся
барабан или постоянно сбегающая бумага вместо попеременно
поворачивающегося барабана в одном и противоположном
направлениях. Они дают диаграммы времени или диаграммы пути
кривошипа (вместо диаграмм пути поршня); цель: исследование
процесса вблизи мертвой точки. С той же целью снятие сдвинутых
диаграмм (движение барабана от шатуна, сдвинутого на 90°).
Непрерывное снятие диаграмм пути поршня при помощи особого
барабана, который передвигает немного полосу бумаги в конце каждого
двойного хода, для того чтобы диаграммы были отделены друг
от друга. Индикаторы с переменными цилиндрами и поршнями,
последние с 1/2 или Vs или 4-кратной нормальной (3,14 см2 при
диаметре 2 см) площадью: масштаб пружин соответственно изменен;
важно при ипдицировании высоких давлений (мотор Дизеля) или
особенно малых давлений (воздуходувки, вакуумные насосы). При
большом числе оборотов уменьшение диаграммы в вышину
и длину, применение индикаторов с небольшой массой. Оптический
индикатор Шульца, аппарат Osa G. m. b. H., Frankfurt a. M.
Индикатор Iuhasz (Lehmann & Michels) дает ряд отдельных
точек диаграммы.
Индицирование определенных родов машин: при машинах с несколькими
паровыми цилиндрами (двойного, тройного расширения, компаунд-машины)
вычисляются мощности отдельных цилиндров и затем суммируются. При
двигателях внутреннего сгорания главная диаграмма — с сильной пружиной
или с маленьким поршнем, а для площадей, которые должны быть отняты, —
со слабой пружиной. Разность этих двух индицированных давлений дает
действующее индикаторное давление. При и а с ее а х сильные колебания вследствие
большой массы воды, особенно в отверстии для индикатора, поэтому последнее делается
широким и коротким. При ступенчатых поршневых насосах индицируется также
со стороны давления, так как диаграмма стороны давления в форме восьмерки
дает часто неодинаковую положительную и отрицательную площадь, откуда
получается действующее давление на диференциальную площадь; отсюда далее может
быть вычислена рабочая мощность диференциальной площади, которая прибавляется
к мощности 1лавного поршня. Подумать, прибавить или отнять!
Счетчик работы: индикатор с автоматическим
непрерывным планиметрированием описываемой диаграммы. Общая
индикаторная работа отсчитывается счетным механизмом Maihak-Buttcher,
Lehmann & Michels). Пригоден для не очень большого числа
оборотов вследствие влияния масс.
V. Измерение теплоты
А. Температура
Узаконенная шкала температуры, термодинамическая, получена
от — 193 до 630,5° (точка плавления сурьмы) электрическим
платиновым термометром, оттуда до 1063° (температура плавления

862 Т. I. Отд. б. Техника измерений. V. Измерение теплоты
золота) пирометром Ле-Шателье (Le Chatelier), выше — законом
излучения (Reichs-Min.-Bl. 17. 10. 24). Для некоторых пределов шкалы
имеются постоянные точки (см. ниже). Шкала Цельсия определяется,
принимая за постоянные точки 0° — таяния льда и 100°—кипения
воды.
Показание температуры в °С, как выше указано, или °К
(°абс), причем Т° К = t° -f- 273. Градусы в обоих случаях те же,
нулевые точки различны.
За нормальную температуру обыкновенно принимают +20°,
однако для определения метра, ома, нормального барометрического
давления 760 мм рт. ст., физической атм., она берется равной нулю,
для определения литра и сравнения плотности -f-4°.
Обыкновенные безвоздушные ртутные термометры применимы
до 300°, для более высоких температур трубка термометра над
ртутью наполняется азотом или углекислотой под давлением. В этом
случае ртутные термометры могут применяться до 550°, а беря
кварцевое стекло, до 800°. Низшая температура, для которой можно
ими пользоваться, —39°.
Если не вся ртуть в термометре имеет температуру измеряемой
среды, то к отсчитываемому показанию термометра / необходимо
прибавить некоторую величину At, определяемую в зависимости
от длины ртутного столба / (в градусах), находящегося вне
измеряемой среды, и от температуры этого же сюлба t : At =
= /(* —О/6300. Для определения / служит вспомогательный
термометр, шарик которого находится на половине высоты ртутного столба
другого, и который укрепляется рядом с первым. Большие поправки
на длкну ртутного столба никогда не дают полной уверенности
в правильности измерения. Длинные ярусные термометры, например
для наблюдения за отработанными газами в топках, калибрируются
иногда при поднявшемся ртутном столбе.
Для температур ниже— 39° служат термометры, наполненные
алкоголем, толуолом, пентаном и нефтяным эфиром.
Электрический термометр сопротивления (платиновый
термометр) основан на закономерности увеличения электрического
сопротивления платиновой проволоки с возрастанием температуры.
Составные части: любое число термометров, переключатель,
милливольтметр, аккумулятор или сухая батарея; часто еще мостик
Уитстона с тремя неизменными ветвями, и четвертой термометром;
в мостике чувствительный вольтметр; для измерения разности
температур устанавливают по термометру в соседние стороны
четырехугольника. Применяется вверх до 1000°, вниз — для любой
температуры. Калибрируется по нормальному. Поправки на высоту ртутного
столба не требуются. Схема Бругера (Bruger), аппарат с вращающейся
катушкой, сравнивает сопротивления обеих катушек креста,
вследствие чего независимость показаний от напряжения источника тока
(Hartmann & Braun).
Термоэлемент измеряет температуру при помощи напряжения
термоэлектрического тока. Две проволоки различных металлов спаи-

Температура
863
ваются между собой, и место спайки подвергается действию
измеряемой температуры, температура других концов держится постоянной.
Напряжение измеряется гальванометром или методом конденсации.
Калибровка по нормальному термометру или по известным
постоянным точкам (см. ниже). Для температур ниже 500° термоэлементы
изготовляются из красной меди — константана или железа — кон-
стантана (40% Ni, 60% Си); от 500 до 1600° применяется
термометр Ле-Шателье из платины и платины с 10% родия.
Преимущество по сравнению с термометром сопротивления: батарея отпадает;
недостатки: необходим весьма чувствительный гальванометр.
Термометры сопротивления интегрируют изменения температур на всей
длине проволоки, термоэлементы измеряют в одной точке. Само
место спайки должно иметь измеряемую температуру: избегать
отвода, и для этого — проводка длинных проводов в измеряемой
температуре или же проводка сквозь непроводящую тепло оболочку.
С другой стороны, прочие места перехода между различными
металлами не должны давать значительные электродвижущих сил.
Для различных термоэлектрических пар при разнице температур 100*
получаются нижеследующие электродвижущие силы в милливольтах:
Железо — константан 4,9 до 5,4; I Красная медь — никель 2,3;
Красная медь — константан 4,1; Железо — платина 1,4 до 1,9;
Железо — никель 3,0 до 3,5; | Платина — платина "с И»°/о родия 1,0.
Для проверки термометра сравнивают его с другим,
градуированным Государственным физико-техническим институтом, таким
образом, чтобы шарик находился рядом с шариком в ванне с водой
или маслом; мешают и следят за тем, чтобы ртутные столбы были
полностью погружены. Для высоких температур проверка
производится по точно известным точкам плавления олова, свинца, цинка,
сурьмы, серебра, золота, никеля, платины и точкам кипения
нафталина, серы, цинка. Точное сравнение произвести трудно. Точно
известны следующие температуры, если только вещества совершенно
чисты: точка плавления глауберовой соли (лучше пользоваться как
точкой затвердевания) -{-32,38°; точка кипения Н90 + 100 + 0,0367 •
• (р — 760) — 0,000 023 (р — 760)2; Т0Чка кипения нафталина -f- 218,0+
+ 0,058 (jj — 760); точка плавления олова -f 231,8°; точка кипения
серы +444,6 + 0,0909 (р — 760) — 0,000 048 (р — 760)2. Простое
приспособление для проверки представляет трубка с двойными стенками,
вставленная в трубопровод насыщенного пара вертикально для
выпуска конденсата; опущенный термометр сверяется по давлению
пара.
Установка. Пожалуй, гораздо важнее проверки—это
расположение самой части прибора, измеряющего температуру
(ртутный шарик, месю спайки, проволока сопротивления), таким
образом, чтобы она приняла измеряемую температуру. Вредными
являются проводимость и излучение, как приток, так и
отвод тепла. Проводимость сокращается тем, что соседние с
нагреваемым местом части проводятся на достаточное протяжение в
измеряемую температуру: глубокое опускание термометра или патрубка

864 Т. I Отд. 6. Техника измерений. V. Измерение теплоты
Установка
термометра
в паропроводе. Стенка
изолирована, патрубок
достаточно глубок и
вставлен в
направление против потока
пара.
для его ввода, наружная поверхность патрубка (или другой
покрышки) мала или защищена от потери тепла. Излучение
уменьшается, если поверхности, противолежащие нагреваемому месту,
имеют по возможности температуру измере-
ы ния: стенки трубы защищены от потерь
тепла изоляцией или же термометр окружен
покрышкой, противодействующей излучению,
например в большинстве случаев
цилиндрическим листом жести, соприкасающимся со
всех сторон с измеряемой температурой.
Примерные установки — фиг. 17 и 18.
Неправильное показание получается, если например
термометр проходит в боров топки через
кирпичную кладку без уплотнения (прокладки
с воздушной прослойкой нужно уплотнять
изнутри); всасываемый снаружи воздух может
в этом случае достичь термометра. В
неподвижном воздухе, вследствие его малой
теплоемкости и плохой теплопроводности,
термометр должен пробыть довольно
продолжительное время, пока он не примет правильную
температуру; по тем же причинам излучение
и проводимость приобретают большее
значение; движущийся воздух выгоднее (аспира-
ционный термометр).
Приборы в эксплоатации. Все
вышеупомянутые, а кроме того, и металлические
термометры (различных расширений)
в виде стержня с корпусом со шкалой, как
манометр. Тальпотазиметр (кипящая
жидкость, измерение
давления) той же формы,
также для показаний на
расстоянии при помощг
капиллярной трубк!
(Gebr. Schmidt, Reutlin-
gen). Ртутный
термометр давления
(расширение жидкой
ртути, измерение
давления), той же формы,
также показывает на
расстоянии. Все эти
приборы сконструированы
прочными, однако, все-таки они чувствительны при пользовании,
а потому все более и более вытесняются электрическими методами
измерения, особенно для показаний на расстоянии.
Измерение высоких температур. Пирометр Ле-Шателье
(термоэлемент из платины и платины с 10% родия) до 1600°. О и т и ч е-
Провод из константака
Изоляция Вместе измерения
Шел стерунень
к гальванометру
Стекл.буНсы
Жел трубка с
тонкими стенкам.
Фиг. 18. Установка термоэлемента в
трубопроводе. Изолировка; ввод термоэлемента в
измеряемую температуру достаточно длинен, чтобы
устранить утечку тепла.

Количество тепла
865
ский пирометр (Siemens & Halske, Hase-Hannover) с
наблюдением глазом. Сравнение яркости рассматриваемого предмета
с нормальной яркостью (нить лампы накаливания или поверхность,
освещенная ею); по большей части желательно видеть визируемый
предмет. Точность от 500 до 1500° приблизительно равняется zh 10°,
выше 1500° равняется ± 15°. Преимущества: отсутствие ломающихся
частей при высокой температуре во внутренности печи; недостаток:
субъективность наблюдения. Последний отсутствует при
ардометре (S & Н), объективный оптический пирометр, излучение
измеряется термоэлементом, последний применим даже ниже
температур накаливания, хотя и нечувствителен, то же „Пиро" фирмы
Hase-Hannover. Если пользоваться общим излучением вместо одной
определенной длины волны, получаемой затемнением других, то
прибор делается зависимым от черноты тела; та же температура
на блестящем платиновом листе получается ниже, чем у угля; для
сравнения часто не существенно. ф
Конус Зегера (пирамиды высотою в б см изготовляются 59
различных номеров для различных температур) изготовляется из смеси
силикатов и весьма удобен для определения степени обжига
различных глиняных изделий и для других технических целей при
измерении температур от 600 до 2000° *). Конусы Зегера дают только
конечную температуру. Считается, что последняя достигнута, когда
конус дотрагивается своим острием подкладки. На достижение до
подкладки оказывает также значительное влияние время действия.
Хороший обжиг зависит не только от температуры, но и от времени.
Таблица 1. Точки плавления некоторых конусов Зегера
м
л,022 «)
016
01а

Температура
600
750
1080
№
1а
10
16

Температура
1100
ld00
1435
№
20
26»)
30

Температура
1530
15(0
1670
№
35
89
42

Температура
1770
1880
около 2000
В. Количество тепла
Количество тепла измеряется в калориях, 1 кг-кал
нагревает 1 кг воды от 14,5 до 15,5°, 860 кг-кал= I квт-ч. Измеряется
в частности количество теплоты, которое поглощается или выделяется
1) при переходе с одного тела (проводник тепла) на другое, а)
вследствие изменения температуры от tx до t2 и р) изменения аггрегат-
ного состояния; 2) при химических и химико физических процессах,
особенно при сгорании; 3) при электрических процессах. При
!) Поставщик Chemisches Laboratorium fur Tonindustrie, Berlin NW 5 u. Ponel*
Un-Manufaktur, Berlin.
*) Произноси: нуль, двадцать два,-
•) Керамиковые продукты, которые плавятся выше К. 3. 26, нааываются
огнеупорными.
55. Hutte, Справочник для инженеров, т 1.

866 Т- I 01Д 6 Техника измерений. V Намерение теплоты
теплоте особенно большое значение имеет накопление, поэтому
при всех опытах, в которых влияние теплоты играет значительную
роль, принимать во внимание явление накопления. Различают:
1) опыты при установившемся состоянии; от рассматриваемой
аппаратуры берется столько же энергии, сколько подводится, так что
первая служит мерой второй; разницу между количеством энергии
в конце опыта и в начале учитывают, делая соответствующую
поправку; 2) опыты при пуске или после выключения до остановки;
при этом следят за возрастанием или исчезновением энергии в
наблюдаемой аппаратуре, когда только воспринимают или отдают ее,
т. е. накопляют или отпускают; непредусмотренная отдача или
потребление должны быть учтены в виде поправки.
Примерк 1: исследование мощности холодильной установки с поправкой
вследствие накопления; к 2: опыт охлаждения у холодильной установки с поправкой
на поглощение тепла. Практически, следовательно, 1 и 2 всегда параллельны,
но одно из них доминирует над другим.
W=G-c-(t2 — t1) или W= V-c'.^-fj), ,
где W— количество тепла в кг-кал; G — вес нагреваемого
вещества; с — удельная теплота единицы веса; V— нагретый объем тела;
с' — удельная теплота единицы объема тела; t2 — tx — повышение-
понижение температуры. Измерение количестве см. отд. 6 — IH,
удельная теплота см. отд. 4 — 1, табл. 8—13; для газов см. отд. 4—IV,
табл. 1. Для смеси газов (например дымовых газов) расчет с
объемами удобнее, так как удельная теплота всех двухатомных газов
приблизительно одинакова. Надо обратить внимание на то, относятся
ли данные для с' к 0° и 760 мм рт. ст. или к 15° и 1 кг/си2 или
еще к чему-нибудь, и затем высчитать V прчвильно.
При воздухе изменения (абсолютной) влажности (вследствие
испарения или конденсации) связаны с большим обменом теплоты,
что должно быть всегда учитываемо. См. пример ниже.
Измерение влажности воздуха. Свойства влажного воздуха
см. стр. 680. Если парциальное давление пара pd при
температуре воздуха t, чему соответствует давление насыщенного пара р , то
ср = pjp называется относительной влажностью, или степенью
влажности; она дается также в процентах <р%= 100 р /р . Так
как ниже 0° давление насыщенного пара рЕ над льдом отличается
от Pw над В°Д°И (последний действителен при переохлаждении;
Ре <Рту}> то имеются Две степени влажности уЕ —р /рЕ и yw =
z=p /pw. Метеорология считается с yw (всегда точнее ниже 0°,
если точка таяния лежит ниже 0°); нам кажется, что правильнее,
по крайней мере для холодильников, пользоваться <р^, так как
ниже 0° лед стабилен. Для многих целей достаточен хорошо
выверенный волосный гигрометр.
Психрометр. Термометр, шарик которого покрыт мокрой кисеей,
одновременно с другим термометром, имеющим сухой шарик,
подвергается влиянию испытуемого воздуха температуры t; влажный

Количество тепла
867
термометр теоретически устанавливается на той температуре, при
которой отходящий от мокрой кисеи насыщенный воздух имеет
то же количество теплоты, что и ненасыщенный подходящий воздух
плюс теплота испарения влажности, необходимой для насыщения;
из этого должна была получаться теоретически вычисленная разница
Д обоих термометров. Действительная разница между сухой (t) и
влажной температурой (/) будет / —/<Д; тогда a = (t — /)/Д<1 —
коэфициент психрометрической установки. Последний в особенности
зависит от обратного тока, который изменяется силой испарения
и должен ослаблять действующие на уменьшение разницы
излучение и теплопроводность.
Теоретическая психрометрическая разница дает теоретически
парциальное давление пара:
Ра = г л_п Т~\ ' (1)
1 1 Г/ + Уч—У
rfP/Kb-~pf)--cpA(RdjRl)
где
Ъ — барометрическое давление;
г ■— теплота испарения;
\ —теплосодержания; •
ср — удельная теплота 1 кг сухого воздуха;
р — давление пара, соответственно состоянию насыщения при температур*
t или /;
R — газовая постоянная воздуха или пара.
Определив Д = —- из наблюдаемой разницы температур t-~ /, возможно
Pd
также вычислить <зр = .
Pt
Формула согласно опытам (Ebert und Pfeiffer, Z. f. Phys. 46,1928,
стр. 420) применима и для температур *>Ю0° С; важна для
исследования сушильных установок. При хорошей аспирации
t= 20
я= 0,995
40
0,985
60
0,955
90
0,95
120°
0,95
Для температур до 40°С вместо формулы (1) применяется
формула Шпрунга:
Pd^Pf — Wffio V—Л мм Рт- ст-> С2)
для которой при замерзании кисеи рекомендуется браты
Pd=PfE — b№b ^ (/— }) мм рт. ст (2а)
Старые предписания с более высокими значениями чем 0,5
(меньшие значения а) отпали: психрометр должен хорошо аспирировать.
Если в воздухе образуются вихри, то искусственная аспирация
ненужна. Безразлично, производился ли расчет по (2) или (2а) (что
55*

868 Т. I. Отд. б. Техника измерений. V. Измерение теплоты
зависит от состояния кисеи при измерении), можно вычислить
?£ или yWf смотря по желанию или цели.
Формула (1) действительна для влажного воздуха, а также и для
любой смеси газа и пара (или двух паров), если составные части
не действуют друг на друга термически или химически, например
Температура сух
Фиг. 19. Теплосодержание влажного воздуха и теоретическая
психрометрическая разность А для барометрической'высоты 760 мм
рт. ст. Пример: сушильня: сухой термометр показывает 90° С,
влажный 61 \ следовательно,/ — /=29^; поел г установки
психрометра коэфициент а == 0,97, следовательно, А = (г — f)\a = 29;
0,97=30\ По таблице; 100 <р == 24°/0; количество тепла /=103 кг-кал
в 1 кг воздуха -{- 0,13 кг пара = 1,23 к{ смеси.
NH8 и Н20; кисейная покрышка психрометра должна быть
пропитана чистой жидкостью, давление пара pd которой отыскивается.
Для высоких температур из формулы (1) получаются
графическим путем кривые фиг. 19, применимые, например, к сушильным
установкам.

Количество геплл
869
Таблица 2, pw — давление пара над водой и рЕ— над льдом,
а также количество насыщения Yw (выше 0° С) и ^(ниже 0°С)
(Ср. также табл. 9, стр. 676 и табл. 2, стр. 869).
/ _ 20 — 18 — 16 — 14 —12 — 10 — 8 — 6 — 4 —2 С вС
р w _ - 1,315 1,551 1,826 2,143 2,509 2,928 3,404 3,952 4,579 мм рт. ст.
рЕ 0,772 0,935 1,128 1,357 1,627 1,946 2,321 2,761 3,276 3,879 4,579 мм рт. ст.
Y£ 0,90 1,08 1,29 1,53 1,83 2,17 2,56 3,01 354 4,15 4,84 г\м*
1 0 4^2 + 4 +6 + 8 +10 +12 4-14 +16 +18 +20 °С
р и?4,58 5,29 6,1) 7,01 8,^6 9,21 10,52 12.С0 13.63 15,48 17,54 мм рт. ст.
1 ^4,84 5,57 6,37 7,26 8,28 9,41 10,7 12,1 13,7 15,4 17,3 г1м*
Пример. Вычисление скрытого (связанного) тепла при установке для охла-
яиенин воздуха. Перед охладителем значок 1, за охладителем 2.
Измеряются: объем воздуха V, = 24500 мг\час,
бароме'рическая высота 6 = 752 мм рт. ст.,
давление сверх атмосферного р1 = 25 мм вод. ст. = 2 мм рт. ст ,
р, = 21 мм во т. ст. — 2 мм рт. ст ,
абсолютное давление [Ь -\- рх\ * + /8] = 754мм рт. ст.,
сухой термометр /х =+ 4,35е, L = —1,75\
влажный термометр fx = + 2,65е, f% = — 1,75*;
отсюда вычисляется для воздушной части
объем при нормальном давлении (15°, 1 am);
1/==24500' ~Шж • ш&=261С0 **(при l em> 15в)*
удельная теплота, отнесенная к I am к 15е;
Гр = 0,286 кг-К2л1м* (при 1 am, 15е).
связанное тепло для воздуха:
26 100 • 0,286 . (4,35 + 1.75) = 45 500 кг-кал/час.
Для паровой части с помощью таблиц пара. (См. табл. 9, стр, 676 и табл. 2,
стр. £69):
давление при .насыщении для tx pSi =6,25 мм рт. ст.
для V P'sl — 5,55 мм рт. ст.,
давление пара р^ = 5,55 — 0,5 • (4,35 — 2,65) = 4,70 мм рт. ст.,
относительная влажность фх = 4,70 : 6,25 = 0,752,
плотность насыщения для tt т^ = 6,52 г\м*ч
УД. вес паровой части 0,752 • 6,52 = 4,91 г\м*>
количество пара D, = 24 5С0 • 0,004 91 = 120,2 кг\час,
относительная влажность <ра = 1,
п <отность насыщения для tt т$ = 4,23 г\м* = т^.
объгм
Г, = 26 100 . Ш- • ^- = 24 000 м*,час,
количество пара Ds = 24 000 • 0,004 23 = 101,5 кг/час,
осевшее количество пара А — & = lg,7 кг/час,
теплота испарения около С° r = 5Q5 кг-кал!кг%
связанная теплота для пара 18.7 • 5°5 = 11 100 кг-кал\час,
полная связанная теплота 45 500 + 11100 = 56 600 кгкал\час.
В этом расчете сделаны допущения: > меньшей ие объема вследствие
исчезновения объема пара, а также влияние паровой части на удельную теплоту возможны
только при небольшом весе пара по сравнению с весом воздуха; следовательно, не

870 Т. I. Отд 6 Техника измерений. VI Измерения в технике сгорания
всегда при высоких температурах (сушке) или низких давлениях (конденсационные
установки, вакуумные сушильные установки); здесь в случае необходимости сле~
дует переходить к парциальному делению воздуха.
Потери через изоляцию определяются специальным методом Генки-Шмидт
(Forschungsheim fur Warmeschutz, Munchen). Hencky, Gesund. Ing. 1919, стр. 496,
Schmidt, Arch, Warme, 1924, стр. 9).
VI. Измерения в технике сгорания
А. Определение теплопроизводительности
(или теплотворной способности)
Высшая и низшая теплопроизводительность см. „Теплота">
разд. VII, и „Материаловедение" (том II, разд. XI). Низшая, главным
образом, при
производстве работы,
высшая при переносе
теплоты; однако .одно
число не может
определить всех свойств
горючего материала.
QH=Qe — 600 w, где
w количество
влажности, выделенной из
1. кг топлива (так
же, как влажность,
уже содержавшаяся
в нем).
1.
Калориметрическая бомба для
твердого горючего.
Отвешенное
количество в присутствии
сгущенного
кислорода сжигается в бомбе
Б ер те л о-М а л ера.
По повышению
температуры
калориметра вычисляется
высшая
теплопроизводительность. Чтобы
найти низшую,
употребляется или кро-
керовская бомба,
которая позволяет
измерять воду при сгора-
Фиг. 20. Калориметр Юнкерса. 7—камера сжигавия, НИИ, ИЛИ же необхоДИ-
2—горелка, 3—металлический кольце вей чехол для ппличпргтн яна-
ииркулации воды, 4, 5, я-термометры, 7—кран для мо произвести лпа
регулирования притока воды. ЛИЗ ТОПЛИВЭ,

Анализ гаяа
871
Точное калорнметрирование является бесцельным, если взятие пробы не будет
произведено тщательным образом для получения среднего значения исследуемого
топлива. Так как измерение веса взятой пробы, напр. 1 г для каждой загрузки,
является неточным, то только последующим делением на две или четыре части
бальшей пробы при смешении образцов можно, при учете < бразовывающейся пыли,
получить пригодные результаты. Имеет влияние размалывание или дробление.
Железные сосуды стираются, что при сгорании увеличивает зольность. Различают:
теплопроизводительность доставленного (часто влажного) воздушного сухого угля,
горючей массы. При одинаковом сорте угля состав горючей массы остается- почти
постоянным, так что при нормальных условиях доставки для пересчета достаточно
определение влажности и содержание золы.
2. Калориметр Юнкерса (фиг. 20) для жидких и газообразных
горючих материалов. Сжигается определенное взвешенное
количество жидкого горючего или же количество газа, измеренное
газомером. Теплопроизводительность горючего определяется по
повышению температуры воды, протекшей в это время через калориметр.
В то же время или в более продолжительное собирается
образующаяся при сгорании вода. В последнее время очень распространен
калориметр-Унион для простых целей; сравнение высшего тепло-
производства с тем же количеством гремучего газа,
теплопроизводительность которого (для На + О) 2020 кг-кал\мъ (при 0°
и 760 мм рт. ст.)
3. Определение теплопроизводительности химическим
путем. Топливо анализируется и теплопроизводительность вычисляется
по формуле из результатов анализа.
В. Анализ газа
Из 02 воздуха при проходе через кокс образуется сначала С02,
при более длинном пути (толстый слой) также СО; результат:
дымовые газы из С02, 02, СО, N2
обозначаются процентно че- У°Ы*%
рез k, о, с, л%. При
сгорании угля во время выделения
газов освобождаются
углеводороды, которые в воздухе
должны сгорать, образуя С02 и
Н20; процентное количество
последней щ^/0.
Анализ дымовых тазов
дает k, о, с в сотых долях
газа, который принимается
сухим; тогда k -f- о -f с +
-4- п = 100%; общий объем
горячих дымовых газов, в
которых Н26 находится еще в
парообразном состоянии,
составляют 100 -\-w. Так как при
сгорании Н занимаемый Н20 объем при охлаждении исчезает, то п
поднимается свыше 79%, количество N2 как-будто возрастает; при
полном сгорании без избытка воздуха, когда объем дымовых газов
получается наименьший и дымовые газы содержат только С02 и N2,
Бур уголь
Бензол, аиетилен
Содерж кислорода о
Фиг. 21.
Проверка
газов.
анализа дымовых

872 т- !• ^ТА- б. Техника измерений. VI. Измерения в технике сгорания
то как п, так и к имеют наибольшее значение, зависящее от
количества свободного Н2, т. е. не выравненного кислородом, точнее от
отношения С: Н2 (другими составными частями, как, например, S,
пренебрегают). Эти наибольшие величины следующие (фиг. 21):
углерода с С: На =
кок:а
каменного угля
бурого угля
ацетилена, бензола
светильного газа
= оо
94
21
16
12
п
: шах п:
= 79 max ft = 21
79,5 . 20,5
81,9 18,8
82,2 17,8
83,1 16,9
9,9«>/e 101o/
max k получается, если подводится необходимое количество
воздуха jLq, лучше сказать, если засасываемый воздух соприкасается
с углеродом (толщина слоя!) столько времени, пока как-раз весь 03
не обратится в С02. При других условиях, например при тонком
слое, Оа остается вместе с С02 в газе, т. е. засасывалось больше
воздуха, чем требовалось для сгорания угля, а именно.L вместо Z,0;
отношение L : L0 = а называется избытком воздуха; его вычисляют
из результатов анализа по формуле:
: 70~7 г~\ (точна, если топливо не содержит N„; для
„ 1_ (п —I воздушного газа неприменима),
21 V 2 /
max k 21 (точна для чистого С, для кокса и камен-
: —г — pi 0 ного угля еще применима).
1» Аппарат Орса для исследования дымовых газов в котельных
установках: 100 объемных частей дымовых газов приводятся
поочередно в соприкосновение с жидкостями, поглощающими > С02, Оа
и СО. Уменьшение объема после поглощения соответствующего
газа дает непосредственное объемное содержание этого газа в
процентном отношении. Остаток принимается за N2. Заборной трубой
для газов служит обыкновенная газовая труба, при более высоких
температурах (>500°)—фарфоровая труба, при высоких — холодно-
горячая трубка (капиллярная трубка с водяным охлаждением).
Поглощающие вещества для:
СО : калиевая щелочь, уд. в. 1,24 до 1,32 (1 весовая часть КОН на 2 до 3
весовых частей воды),
О : пирогалловая кислота, 5 i распущены в 15 см* теплой воды, сюда
примешивают 120 г едкого калия, распущенного в 80 см* воды. Допускаемое
поглощение равняется только 2»/4 см* О*. Поэтому лучше вводить в сосуды аппарата Орса
вместо стеклянных трубок палочки фосфора под дестиллированной водой.
Поглощение очень сильное.
СО : раствор аммониохлористой меди: 750 г NH4CI, распущенных в 750 см*
воды и 20и г CuCl (запасный раствор с .хорошей резиновой пробкой сохраняется
долго, если внутри находится медная спираль). При употреблении прибавляется J/«
(по объему) раствора аммония, уд. в. 0,91. Допускаемое поглощение 4 см* СО.
Проверка анализа: для всех анализов зарисовывается
k =» / (о) (фиг. 21). Для каждого горючего все точки должны лежать
на одной прямой, которая отрезает на оси ординат max k% а с другой
стороны идет ко» 2 г/q. Точки рассеяны, еели в течение периода

Анализ газа
873
загрузки содержание На изменяется. При неполном сгорании точки
лежат ниже.
2. Автоматические газоанализаторы (Ados, Maihak, Eckardt)
для постоянного контроля эксплоатации. Непрерывная струя газов
из дымохода пропускается через газоанализатор. Определенные
отмеренные объемы газа пропускаются через регулярные промежутки
времени сквозь калиевую щелочь и затем проталкиваются под
небольшой газомер. Ход газомера записывается. Последний тем
больше, чем меньше углекислоты содержится в газе, т. е. чем
больше кубических сантиметров газовой пробы попадает в газомер
после поглощения СОа. Большей частью определяется только С02.
Дуплекс-моно фирмы Maihak измеряет также СО. Следи за тем,
чтобы были короткие трубопроводы и время, в продолжение
которого производится анализ, было мало, дабы,сократить запаздывание
в показаниях; чтобы они были плотны (сварены или, если они из
меди, спаяны); чтобы имелись сильные засасывающие
приспособления (ртутный насос Maihak); чтобы установка была такова, чтобы
кочегар мог видеть результаты, так как иначе нельзя влиять на
процесс горения; чтобы результаты переносились к месту работы
кочегара ^S & Н, в последнее время также Ados). Более простое
устройство: газ постепенно засасывается в течение всей рабочей
смены вентилятором через водоспуск, или колокол наполняется им
сквозь часовой механизм (Dittmar u. Vierth, Hamburg), средний
состав газов определяется прибором Орса.
Автоматические газоанализаторы применяются также для анализа
и других газов, для определения S02. Необходимо подобрать
определенный химический реагент для поглощения. Суммирование
поглощенных количеств помощью специальных газовых весов.
3. Приборы для анализа газа физическими способами
используют свойства газа, которые зависят от содержания С02:
удельный вес (С02 = 1,52 по сравнению с воздухом, равным 1),
теплопроводность (60 против 100), вязкость (141 против 170),
отношение удельного веса к вязкости (72 против 133), коэфициент
преломления (450 против 295). Преимущества перед анализаторами:
отсутствие калиевой щелочи, немедленное показание, удобное часто
показание на расстоянии (место работы кочегара). Недостатки:
влияние других присутствующих газов, особенно На и СН4, а также
температуры и влажности.
Газоанализатор Ранарекс (фиг. 22) основан на разнице
удельных весов воздуха и дымового газа в зависимости от
содержания в нем С02. Помощью вентиляторов, вращающихся со
скоростью 3000 об/мин, создаются воздушный и газовый потоки,
действующие на крыльчатые дкс и, связанные между собой
шарнирной системой со стрелкой, отклонения которой градуированы
по содержанию С02 в дымовьЧх газах. Достоинства прибора:
наглядность показаний, "простота и легкость монтажа, высокая
чувствительность и возможность работать при самых тяжелых
условиях.

874 rl- 1- ^тд. 6- Техника измерении. VI. Измерения б технике сгорания
К недостаткам прибора следует отнести недостаточно полную
очистку газа помощью газового фильтра.
Газоанализатор Сименса (фиг. 23) основан на
изменении теплопроводности дымового газа в зависимости от его
химического состава. Если через проводник, расположенный в разной
среде, пропускать ток, то проводник окажется более нагретым
Фиг. 22. Схема установки газоанализатора Ранарекс.
Л—всасывающая труба диам. 25 мм\ В—стояк к фильтру; С—газовый фильтр;
D—труба от фильтра к газоанализатору наьлоном 1/«и Диам. 9,5 мм;
F— гидравлический за вор и одновременно служит для отвода
конденсационной воды из охладившихся газов; G—трехходовой кран;
/i—газовая камера; У—воздушная; К— увлажнитель для воздуха.
в том случае, если среда, через которую он проходит, является менее
теплопроводной, и электрическое сопротивление его изменится.
Изменение электрического сопротивления проводника,
проходящего через дымовые газы, по отношению к проводнику,
проходящему через воздух, определяется помощью мостика Уитстона,
и показания гальванометра служат мерой теплопроводности
дымового газа, зависящей от его состава. Помощью газоанализатора
Сименса можно производить определение содержания в
дымовых газах С02 и СО-f-Н2.
Схема расположения такого комбинированного прибора для
определения С02 и СО + Н2 показана на фиг. 24.
Унограф Union Apparatenbau-Gesellschaft Karlsruhe построен
на принципе использования скоростей протекания газов через
капилляры и диафрагмы в зависимости от разной плотности этих

Анализ га;",а
875
газов. Влияние влажности должно
насыщением.
4. Для анализа газа
доменных печей служат подобные же
устройства, а именно: развитые
аппараты Орса (поглощение
дымящейся серной
кислотой),определяющие присутствие тяжелых
водородов, а также СН4 и Н2.
Порядок: С02, SKW, 02, СО, все
поглощается, примешан воздух,
сгорание в платиновом капилляре
Дрешмитта; происходящее
при этом уменьшение объема Д
обозначает Н2 = 2/я А или СН4 ==
= 1/2 А; если Н2 и СН4
присутствовали, то вновь"образованный С02
поглощается, было СН4 = СО.^
остается Н3 = 2/3(А—,2 С02).
быть устранено подсушкой или
-РГП
И I в
Фиг. 23. Схема газоанализатора
Сименса для определения С02 в
дымовых газах. А, В-ветви мостика Уит-
сгона в олной камере; С, D — ветви
мостика Уитстона во второй камере;
О—источник энергии; У—реостат; Я—
амперметр, Z7—самопишущий прибор»
Фиг. 24. Схема расположения газоанализатора Сименса для СОа и
СО 4- На, Л—присос дымовых газов, а—холодильник, С-
керамический фильтр; D— дроссельная трубка; Е—контрольный фил:>тр;
F— манометр; G—водоструйный насос; Я—амперметр; У—реостат;
R—самопишущий прибор; 5—источник электр. тока; Г,—уломитель
СО,; Г3—уловитель СО+Н2; Zx—указатель СОа; Z,—указатель CO-f-H2.

Приложение
Составил инж. Ф. Л ю д л о в, Берлин
Перевод и дополнения под ред. инж. С. Я. Г е р ш
Стр.
I. Таблица монет
Данные о валюте и монетах
наиболее важных государств 877
II. Меры и веса различных
стран 888
Великобритания 890
Германия 894
Сев.-Амер. Соединенные Штаты 902
Союз Советских
Социалистических Республик (СССР) .... 904
Франция 906
Допускаемые погрешности для
измерительных приборов . . . 910
Перевод времени 912
III. Сравнительные таблицы
и таблицы перевода• мер
и весов
Меры длины (табл. 1—17).... 914
Старые меры (футы, руты, мили,
меры земельных площадей, меры
емкости для жидкостей и для
сыпучих тел) 914
Старые прусские меры 917
Английские футы 917
Английские статутные и морские
мили. Ярды, 64-е и 16-е доли
дюйма, футы и дюймы 918
Русские версты, сажени, аршины,
вершки . 4 923
Китайские йины 925
Японские шаку кан 926
Меры площадей (табл. 18—25). . 926
Английские акры, кв. ярды, футы,
дюймы 926
Русские десятины, кв. сажени,
аршины, вершки 928
Меры объемов н емкостей
(табл. 26-38) 930
Английские куб. ярды, футы,
дюймы 930
Русские куб. сажени, аршины,
вершки 932
Английские имперские квартеры,
галлоны 933
Североамериканские галлоны . . 934
Нефтяные баррили 935
Русские бочки, четверти, ведра.. 935
Веса (табл. 39-47) 937
Англ. тонны, судовые тонны,
центнеры, квартеры, фунты,
тройские граны 937
Русские пуды, лоты, доли .... 940
Веса на единицу длины (табл.
48-51) 941
Английские фунты/ярды 941
Фунты/футы разных стран .... 942
Англ. фунты/футы, — /дюймы . . 942
Стр.
Прежние русские единицы
измерения 943
Веса на единицу площади
(давления) (табл. 52—62) 944
Английские тонны/кв. дюйм . . . 943
Прежние русские единицы
измерения 943
Фунты/кв. футы,—/кв. дюймы
разных стран 944
Англ. фунты/кв. футы,/кв.
дюймы, тройские граны/кв. дюймы 945
Атмосферы — в мм рт. ст.; кг\см*
в мм рт. ст; англ. фунты/кв.
дюйм в мм рт. ст.; англ. дюймы
рт. ст. в мм вод. ст.; англ. дюйм
рт. ст. в физ. атм 946
Веса на единицу объема (уд.
вес) (табл. 63-67) 948
Фунты/куб. футы разных стран . 948
Английские фунты/куб. футы . . 948
Английский фунт/куб. дюйм,
тройские граны/куб. дюйм 949
Сравнение шкал ареометров. . . 950
Скорости (табл 68—74) .... 952
мм\ ек — м\ч ir, см9(сек — л\час,
г\сек — к'1час, узлы — м\сек,
узлы — ярды/час, английские
мили/час — м\ ек, часовая
скорость в узлах — пробный
участок в минутах, м\сек. — англ.
фут/мин., м*\час — англ. куб.
фут/мин 952
Энергия (табл. 75-85) 954
Сравнение единиц работы .... 954
Сравнение единиц мощности . . . 956
Фунтофут — кгм, л. с. разных
стран, л. с. - kW, англ л. с
(HP) — kW, кькал.\сек - kW . . 956
kWh — кг-кал; kWh — BTU (Брит.
те*рмич. единица) • . • 958
Котловые лошадиные силы, ЬНР 958
кг-клл — BTU °59
Объем газа (табл. 86-88) .... 960
Значения 14-«* °60
Значения 1/(1+ а*) 961
Значения 7*а/7*, *62
Значения pjpt . . » 964
Азбука Морзе . . . . 966
IV. Законы для защиты
промышленной собственности
Международный союз для защиты
промышленной собственности . 966
Наиболее важные постановления
законов о патентах 966
Положение и инструкции об
изобретениях и технических
усовершенствованиях в СССР ... 972

Таблица монет
877
1. Таблица монет1)
Приводимая в таблицах ценность монет большей частью есть
паритетная ценность монеты, исчисленная на основе содержания
чистого золота в данной монете; ценность эта выражена в рублях,
считая 1 рубль содержащим 0, 774234 г чистого золота. Во многих
государствах (напр Англия, САСШ, Швеция и др.)
существовавший прежде размен казначейских и банковых билетов на золото
приостановлен, в связи с чем ценность казначейских и банковых
билетов подвержена значительным колебаниям, и в отношении
таких валют нельзя поэтому составить таблицы, имеющей значение
на более или менее продолжительное время. Курсовую
ценность таких валют приходится узнавать из газет.
Серебряные монеты в сношениях с заграницей имеют часто
лишь ценность, равную стоимости своего металла, и в нужных
случаях последняя приводится; разумеется, она может подвергаться
значительным колебаниям. В некоторых странах серебряные монеты
имеют значение только как разменные монеты.
Прочие монеты — это, как правило, разменные монеты и в этом
случае стоимость их материала гораздо ниже, чем'ценность их в
чеканной монете.
Сокращения:' ЗВ—золотая валюта, СВ —серебряная валюта, ДВ — двойная
валюта, БВ —бумажная валюта.
зм —золотая монета, см-серебряная монета, нм —никелевая монета, мм—
медная монета, бм — бронзовая монета, ам—алюминиевая монета, рм—разменная
монета.
Вес монет обозначает общий ее вес (действительный); число, поставленное
после обозначения веса, указывает содержание чистого металла.
1] Ценность
Наименование монет в совет.
пп гтряням валюте |
||руб.| коп.
Абиссиния
1 талер Марии-Терезы (бер),
общ. вес£j 28,06/ г, содерж.
чистого серебра 0,8333 . £2 —
1 талер Менелика (талари),
общ. вес ^ 28,075 г,
содерж. чистого серебра
0,835 = 16 гуэрх ....«—
Монеты в 1, '/et XU% *'ie и
»/»о талера.
Кроме того мелкие, медные мо- {
58,34
58,34
0,05
Наименование монет
по странам
Австрия (ЗВ)
1 шиллинг=100 грошей=10 000
старых крон
зм: 100 шиллингов, общ. вес
23,5245 /, содерж. чистого
и 25 шиллингов
см: 2, 1 и 0,5 шиллинга
нм: 0,10 шиллинга
мм: 2 и 1 грош.
Раньше: 1 крона = 5 J крейце-
| ров ==100 геллеров ....
Ценность
в совет,
валюте
1руб.
27
коп.
34,99
39,36
V См. также Swoboda, „Die Arbitrage*, 17-ое изд., Берлин 1928 г., Haude und
Spenersche Buchhandlung. — Geld-, Mass- und Gewichiszeigerfur den Weltverkehr", изд.
Industrie - und Handelskamer, Дюссельдорф — Wekubersicht d er Masseinheiten, изд.,
Himburgiechen Weltwinschaftsarchiv.

878
Приложение
Наименование монет
по странам
Ценность
в совет,
валюте
руб.[ коп.
Наименование монет
по странам
Ценность
в совет,
валюте
|руо.| кои.
1 австр. гульден=100
крейцеров
1 золотой гульден=2 кроны
38 геллеров
1 дукат (3,442 г золота). .
1 талер Марии - Терезы,
общ. вес 28,067 г, со-
держан. чистого серебра
0,ЬЗЗ<* (чеканка
производится еще и в настоящее
время для Востока>.. ^J
Албания (ЗВ)
1 золотой франк=5 лек = 100
сантимов
зм: 100 франков, общ. вес
32,3 г, содерж. чисток»
золота 0,9
и 20 и 10 франков.
см: 5 лек, общ. вес 5 г, содерж.
чистого серебра 0,9 ....
5,2 и XW франка
нм: 1, '/г и Ч4 лек
бм: 0,10 и 0,05 лек.
Аравия
1 реал=11 пиастров =0,1 фун'
та стерлингов ....
см. 1, 72 и х/4 реала
1 круш в 40 дивани . . .
1 махмуди в 20 race . . .
1 меккаталер в 80 кубир
(ценность внутри страны)
1 талер Марии-Терезы . . .
Аргентина (ЗВ)
(Фактически Б В)
1 пезо (оро)=100 центаво
1 онца = 4 аргентино =20 пезо.
зм: 1 аргентино (=5 пезо), общ.
вес 8,065 г, содерж.
чистого золота 0,9
и V» аргентино
ем: (не имеется в обращении)
1 пезо (25 г, содерж.
чистого серебра 0,9)
Ъ ''*• l'w» Via пезо
нм: 20, 10 и 5 центаво
мм: 2 и 1 центаио
1 бумажн. пезо офиц.=0,44
золотого пезо.
37
78,71
93,76]
44,48
58,34
46,13/
11,11
94,45]
7,87
9,72
64,371
58,34
37,58'
Афганистан
1 амани = 30 афгани = 3000
пуль
зм: 1 амани, общ. вес 7,988 г,
содерж. чистого золота
0,91667
и Vs амани
см: 1 афгани, общ. вес 9,9 г,
содерж. чистого серебра
0,5
и 1/1 афгани
мм: 10г 5 и 2 пуль
11 старых кабульских ру-
пий=10 афгани.
Бельгия (ДВ)
1 франк = 100 сантимов
Основная монетная единица:
1 бвльга (не имеется в
обращении), вес чистого
золота 0,209211 г—Ъ
стабилизованных бумажных фран
ков (175 франков=1 фунт"
стерлингов (по паритету).
зм: 100, 20 и 10 франков
прежней валюты, старый франк:
общ. вес 0,3226 г, содерж.
чистого золота 0,9=6,825
нового франка ... • . .
см: 5, 2, 1 и 0,5 франков
прежней валюты, 1 старый
франк: вес 5 г, содерж.
чистого серебра 0,9=2,05
нового франка; стоимость
серебра
нм: (чист.): 2 и 1 франк, 50
сантимов
нм: 25, 10 и 5 сантимов
мм: 2 и 1 сантим.
82,41
Болгария (ДВ)
1 лев = 100 стотинки
До войны 1 лев.общ. вес 0,32258?,
содерж. чистого золота 0,9
Теперь ценность бумажного
лева по паритету
Золотых и серебряных монег
в обращении нет
нм: 21/?» 5, 10 и 20 стотинки
бм: 1 и 2 стотинки
ам. 1 и 2 бумажных лева.
45,91
8,8
27,02
37,5
11,11
37,5
14,04

Таблица монет 379
Наименование монет
по странам
Боливия (ЗВ)
1 боливиано = 100 центаво
зм: 1 боливар, общ. вес
6,10189 г, содерж. чистого
золота 0,9 ==10 боливиано
и двойной боливар ....
см* 1 боливиано (15 г, содерж.
чистого серебра 0, 8),
Члболивиано
нм и мм: 20, 10 и 5 центаво.
Бразилия (3Bj
Новые монеты:
1 круцейро = 100 центезимо
2, 5 и 10 круцейро
см: 5, 10, 20, 50 центезимо
нм: '/«» 1, 2 и 4 центезимо 1
Раньше:1 мил ьрейс=1(ХЮ рейсов
зм: 10 мильрейсов, общ. вес |
8,965 г, содерж. чистого |
см: 2, 1 и 0,5 мильрейса
рм: 2, 1, ]/8 мильрейса
400, 200 и 100 рейсов
1 бумажный мильрейс = 0,18 г
чистого золота
X конто де рейс (расчетная
монета) = 50 короа = 10С0
Великобритания (ЗВ)
1 фунт стерлингов или 1
соверен (£), общ. вес 7,988057 г
(=123,27447 грана), содерж.
чист, золота 0,91667= 2J j
1 гинея (как монета не суще-
1 шиллинг = 12 пенсов (d) =
зм: 5, 2, 1 и 0,5 фунт, стерл.
см: 5 шилл. (крона), 4
шиллинга (двойной флорин), 2,5
шилл. (полкроны), 2
шиллинга (флорин) и 1 (общий
вес 5,655181 г, содерж.
чистого серебра до 1920 г.
0,925, после 0,5)
шиллинг
6, 4, 3, 2 пенса и 1 пенни
мм: 1, »/, и г\к пенни (фартинг)
1 тройский фунт (торговый)
сталдартного (монетного)
золота, содерж. 11 унций
1 Ценность
1 в совет.
1 валюте
!РУб-
7
14
2
10
—
1061
9
9
-
1 коп.
09,32
18,63
32,43
61,66;
24,54
54,33
45,91
93,14
47,23
j |
i
I Наименование монет
по странам
чистого золота =46 фунтов
стерл. 14,5 шилл.,
следовательно, 1 тройский фунт
(12 унций) чистого золота
= 50 фунт, стерл. 19
шиллингов. Стандартное
золото содержит,
следовательно, чистого золота "/11 =
91,667о/с.
Ирландское
свободное- государство
Английские деньги особой че-i
канки
Кипр
9 медных пиастров = 1 шилл.
Индия и Бирма
Официальная расчетная
монета 1 фунт стерлингов=
13Vs рупий.
1 золотая рупия с 0,732 г чи-
1 рупия (10,692 г чистого
серебра) =16 анна =64 пайс
= 192 пай = 3840 кёш (оф.)
см. 1, */, и '/« рупии
нм: 1, 4 и 8 анна
мм: 1 пай, 3 пая = 1 пайс
1 крор = 4 ареб = 10Э лак =
10 млн. рупий
зм: 1 мохур (10,98 г чистого
золота)—15 рупий
(номинально)
*/з и 1/з мохура.
Австралия и Новая
Зеландия
Английские деньги особой
чеканки.
Канада,
Ньюфаундленд, Гондурас
1 соверен=4,867 доллара . . .
Английские деньги не имеют
почти обращения.
Кроме канадских, в обра-
. щении и деньги Сев.-Аме-
рик. Соед. Штатов.
Ценность
в совет.
J валюте
lpy6.j коп.
—
~
14
|
1
9
94,45
70,84
16,7
94,37
45,91

880
Приложение
———<Ы———■—■————т
Наименование монет
по странам
Вест-Индия
Английская валюта, золотые
доллары, золотые дублоны
(в 64 шиллинга).
Африка
Англ. деньги; на о. Маврикия
1 индусская рупия ....
В Занзибаре: 1 сев.-амер.
доллар =2 нузу=4руба. . .
8, 4 и 2 анна
1 талер Марии-Терезы (джа-
нуарио)
Прочие протектораты
Англ. деньги или монеты,
соответствующие английской
валюте.
Венгрия (ЗВ)
1 пенге = 100 филлеров
зм: нет в обращении, золотой
паритет для 1 пенге . . .
см: 1 пенге (5 г)
нм: 50 филлеров
ник. и бронз, монеты:
10 и 20 филлеров,
медн. и бронз, монеты: 1 и 2
филлера.
Венецуэла (ЗВ)
1 боливар = 100 центов
зм: 100 боливар (пахано), общ.
вес 32,258 г, содерж. чист.
25 и 20 боливар
см: 5, 2% 2, 1 (5 г, 0,9 чист,
серебра), V* и 74» боливара
нм: 4% и '/30 боливара
мм: 5, 2 и 1 центаво
1 венецолано или пезо = 5 бо-
1 пезо сенцилло или макукино
= 4 боливара.
Гаити (ЗВ)
1 гурд=1С0центимов = 2/^
доллара (0,334 г, чистого
золота 0,9) . .-
Золотые и серебр. монеты
САСШ
нм: 60, 20, 10 и 5 центимов
мм: 3, 2 и 1 центим.
Ценность
в совет.
валюте
ipy6.l коп.
_
1
—
v
37
1
70,84
94,37
70,84
58,34
33,98
50,3
87,52
38,89
Наименование монет
по странам
Гватемала (ЗВ)
1 кветзал = 100 центаво
зм: 10 кветзал, общ. вес 16,72 г,
содерж. чист, золота 0,9 .
20 и 5 кветзал
см: 1 кветзал, общ. вес 33,33 ?,
содерж. чистого серебра
0,72 л
мм: 5, 1 и х/г пезо
1 бумажный пезо = 1/во
золотого кветзала.
Германия (ЗВ)
1 рейхсмарка=100 пфеннигов
зм: (не имеется в обращении)
1 крона, общ. вес 3,98248 г,
содержит чистого золота j
0,9=3,58425 г чистого
золота
2511 крон весят в золоте
1 кг (общ. вес); из 1 кг
чистого золота
чеканятся,
следовательно, 2790 рейхсмарок
см: 5, 3, 2 и 1 (общ. вес 5 г,
содерж. чистого серебра
0,5) марка
нм: 50 пфеннигов
медн. и алюмин. монеты: 10
и 5 пфенигов.
медн., олов. и цинк, монеты:
2 и 1 пфенниг
мм: старые и рентные 2- и
1-пфенниговые монеты
Раньше: 1 талер = 30 грошей
7 гульденов
южно-германской валюты=4 талера.
Гондурас
1 лемпира = 1/« доллара = 100
зм: 20 и 10 лемпир (общ. вес
8.359С6 г, содерж. чистого
золота 0,9)
Сереор. разм. монета: 50 и 25
центаво
Никел. и медная разм.
монета: 5 центаво
Медн., оловянн., цинк. разм.
монета: 1 центаво
i
Ценность
в совет.
1 валюте
|руб.| коп.
19
—
4
1
—
1
43,67
69,73
(53
38,9
97,23

Таблица мопет
881
Наименование монет
по странам
Ценность
в совет,
валюте
руб. 1 коп.
Наименование монет
по странам
Греция (ЗВ)
1 драхма (0,019526г чист,
золота) =100 лепт
Золот. и серебр. монет в
обращении нет
рм: 1 и 2 драхмы 5, 10, 20 и
50 лепт.
Дания (ЗВ)
1 крона = 100 бре
зм: 10 крон, общ. вес 4,4803 г,
содержит чистого золота
0,9
и 20 крон
см ')-2и 1 крона, 25 и 10 бре
бм: 5, 2 и 1 бре
Кроме того,
медн., никел. и алюмин.
монеты: 2, 1 и !/j кроны
нм: z6 бре
мм: 10 бре.
Исландия (ЗВ)
1 крона = 100 аурар
см: 25 аурар
медн. и никел. монеты: 10 и
25 аурар.
Данциг (ЗВ)
1 гульден = '/?5 фунт. стерл.=
100 гульден-пфеннигов .
зм. 25 гульденов, общий вес
7,988 г, содерж. чистого
золота 0,91667
см: 5, 2, 1 и */* гульдена
нм: 10 и 5 пфеннигов
мм • 2 и 1 пфенниг.
Доминиканская республика
(ЗВ)
1 пезо =100 центаво = 0,2 амер.
доллара
1 золот. доллар = 1 долл. Сев.-
Ам. Соед. Штатов . . . .
нм. 20; 10; С,4; 0,2, J/2 и 1/4
центаво
мм 0,1 и >/, центаво.
25,23
20,88
52,09
37,84j
45,9l'
38,89
94,37
Египет (ЗВ)
1 секин (егип. фунт) = 100 пи-
астрам=1000 ошр-эль-герш
1 пиастр = 40 пара (медина)=
40» 12 гедид (серебр.) или
40.3 аспер или = 10миллем
зм: 1 фунт, общ. вес 8,500 г,
содержит чистого золота
0,875
и */г Фунта.
Большей частью считают
1 англ. фунт =97,5 пиастра,
отсюда 1 египетск. фунт .
см: 10 пиастров, общий вес
14,0 г, содерж. чист,
серебра 0,833 ......... ^
20, 5, 2 пиастра
нм: 10, 5 и 2 миллемы
бм: 1 и i/a миллемы.
Испания (ЗВ)
1 пезета = 100 центезимо
зм: 100 пезет, общ. вес 32,258 г,
содерж. чист, золота 0,9 .
25, 20 и 10 пезет
см: 5 пезет = 1 дуро 2, 1 (5 г,
содержит чистого серебра
0,835) и 1\ъ пезеты
мм: 10 и 5 центезимо
1 бумажная пезета (с очень
колеблющимся курсом)
в апр. 1930 г та
Италия (ЗВ)
1 лира = 100 чентезими
1 стабилизированная лира, общ.
вес 0,0879895 г, содерж.
чистого золота 0,9
зм: (старой чеканки) 100 лир,
общий вес 32,25816 г,
содерж. чистого золота 0,9 .
50, 20, 10 и б лир
см: 20, 10 и 5 лир
нм: 2, 1, 0,5 и 0,2 лиры
бм: 10 и 5 чентезими.
Ливия
Итальянские моне1ы, раньше:
1 махбуб = 20 пиастров . . . .
1 герш (пиастр)=40 пара=
120 акдье
*) См. также Норвегия.
оЬ. Hiitte, Справочник для инженеров, т. I.

883
Приложение
Я—BHBI1" .'-.JL -.H.IJL.
Наименование монет
по странам
Эритрея
1 эритрейский талер (общ. вес
25 г, содерж. чистого
металла 0,9)— 5 франков
(ценность внутри страны) . .
см: */ю. 2/«о и '/ю талера
1 талер Марии-Терезы . . . ж
Новая денежная единица:
1 талер Италии (общ. вес i
25,0668 г, вес чист, сере-
Китай
Подготовляется введение но-1
вой денежной системы
Счет ведется в серебре и
золоте по весу (таель); см.
также стр. 896
1 хайгуанский
(правительственный, портовый) таель =
1,114 шанхайского, или
1,1015 свагоуского, или 1,(5
тяндзинского или 1,017 ку-
пииского, или 1,002
кантонского таеля и т. д
Прежняя ценность при
отношении золота к серебру
15 5: 1
1 хайгуанский таель=37,783 г
(Средний курс колебался в
десятилетие 1911—1920
между 0,62 и 1,39 америк.
доллара)
Отдельные монеты: кёш (ли,
тангтисан, сапэк, питие) из
меди и олова; 1600—1703
кёш=1 таель серебра.
Другие расчетные монеты:
серебряные доллары
различного рода.
Колумбия (ЗВ)
1 пезо (фуэрте оро)=100 цен-
таво
зм: 10 пезо, общ. вес 15,976 г,
содержание чистого золота
0,91667
5 пезо (колумб. фунт) и
2,5 пезо
см: 50 (медио пезо), 20 (пезета)
и 10 (реаль) центаво
ни: 5, 2 н 1 центаво.
Ценность
в совет.
валюте
руб.| коп.|
1
2
18
87,52
58,34
51,86
t
96,78
93,99
91,82
i
Наименование монет
по странам
Корея
Японские монеты, изредка
также латунные кэш.
Костарика (ЗВ)
1 колон = 100 центов='/4 дол-
зм: 2, 5,10 (7,78 г, содерж. чист.
золота 0,9) и 20 колон
(вышла из употребления)
см: 1 колон, 25 и 10 ценюв
мм: 5 и 10 центов.
Куб»
1 золотой пезо = 1 доллар
Сев -Амер. Соед, Штатов .
зм: 20, 10, 5 и 1 пезо
см: 1 пезо, 40, 20 и 10 центов
нм: 5. 2 и 1 цент
Монеты Сев -Амер. Соед.
Штатов.
Латвия (ЗВ)
1 лат = 100 сантимов
зм (не имеется в обращении):
1 лат, общ. вес 0,32258 г,
содерж. чистого золота 0,9
см, 2 и 1 лат (5 г содерж.
чистого серебра 0,835)
нм: 50, 20 и К) сантимов
бм: 5,2 и 1 сантим.
Либерия
1 либерийский доллар—100
центов == г1* ,в англ. фунт, стерл.
зм: не имеется
см: 50, 25 и 10 центов
мм: 2 и 1 цент
Также англ. монеты.
Литва (ЗВ)
зм (нет в обращении):
50 литов, общ. вес 8.35 2 г,
содерж. чигт. золота 0,9 .
Ценность
в совет.
валюте
руб. | коп.
-
1
1
—
9
48,62
94,46
37,5
97,24
19,45
| 71,84

Таблица монет
883
Наименование монет
по странам
см: 1 (2,7 г, содерж. чист,
серебра 0,5), 2 и 5 литов
медн. и алюм. монеты: 1, 5,1
10, 20 и 50 центов.
Люксембург
1 франк =10) сантимов, бель-
175 франков = 1 ф. стерл.
Монеты из никеля, цинка и
железа в 21/*, 5, 10, 25
сантимов. 1 и 2 франка.
Все бельгийские монеты.
Марокко
1 митскал (метекал, пиастр),
26,2 г чист, серебра =10
укий (окиаг, унции) = 40
мусмен = 240 флюс или
делила=960 кираг или =
Французские и испанские
монеты.
Мексика (ЗВ)
1 пезо = 100 центаво
зм: К) пезо (хида lbro), общ.
вес 8 &Ш ?, содерж. чи-
50 пезо (центенарио), 20
пезо (ацтека), 5 пезо (ме-
диохидальго), 2»/я и 2 пезо
см: 2 пезо (виктория), 1 пезо
(16,667 г), (\5 пезо (тостон)
сер. разм. монета: 200 и 10
центаво
никел. разм. монета: 5 центаво
бронз, разм. монета: 20,10,5,
2 и 1 центаво.
Непал
1 мохар = 6 анна — 40 пайс.
Ценность
в совет.
валюте
руб. | коп. 1
-
5,56
—
1 9
i
II
65,28
68,6
Наименование монет
по странам
Нидерланды (ЗВ)
1 гульден (флорин) = 100 цен-
зм: 10 гульденов (вильгельмс-
дор), общ. вес 6.72U ?,
содерж. чист, золота 0,9
и 5 гульденов
Двойной дукат, общ. вес
6,с8 г, содерж. чистого
золота 0,983
1 дукат.
см: 2i/2 гульдена (25 г, содерж.
чист, серебра 0,72) (рикс-
далер), 1 и 1/а гульдена
сер. разм. монета 25 и 10
центов
бронз, разм. монета: 2i/f, 1 и
Ч» цента
никел. разм. монета: 5 цент.
В колониях, кроме того, старо-
испанские пиастры и
мексиканские пезо, офиц. —2,55
голландского флорина,
рупий.
Суматра
1 таель=4 пардова = 16 ме-
Никарагуа
| 1 кордоба — 100 центаво
зм: не чеканится; 1 кордоба,
общ вес 1,6718 г, содерж.
чистого золота 0,9 ....
см: 1 кордоба, 50, 25 и 10
центаво
нм: 5 центаво
мм: 1 и Mi центаво.
Норвегия (ЗВ)1)
1 крона = 100 бре
зм: 10 крон, общ. вес 4,4803 г,
1 содерж. чист, золота 0,9 .
I 20 и 5 крон
1 см (очень мало в обращении):
1 2 (15 г) и 1 (7,5 г) крона
Ценность
в совет
валюте
руб. |коп.
—
7
8
1 8
•
1 1
5
78,11
81,27
86,18
79,7
94,37
,20,8*
1) Скандинавский монетный договор между Данией, Швецией и Норвегией.
56*

884 ТТргтчожепттр
Наименование монет
по странам
(содерж. чистого серебра
0,8), 50 (5 г) и 25 (2,42 г)
бре (содерж. чистого
серебра 0,6), 10 (1,45 г) бре
(содерж. чист, серебра 0,4)
нм: 1 крона, 50, 25 и 10 бре
бм: 5, 2 и 1 бре.
Панама (ЗВ)
1 балбоа = 10 центаао = 1
доллар С.-А. С. Штатов . . .
зм: (не имеется): монеты С.-А*
С. Штатов
см: 50, 25 и 10 центаво, а
также монеты С.-А. С. Шт.
нм: 5 и 2,5 центаво
рм: монеты С.-А. С. Штатов.
Парагвай (ЗВ)
(в действительности БВ)
1 пезо=100 центаво
зм (не имеется): 1 золотой
пезо =1 аргентинский золо-
см: не имеется
вм: 2, 1 и 0,5 пезо
1 бумажный пезо^/^тв
аргентинского бумажного пезо=
= 1/48»в1 золотого пево . .
Персия (ДВ) 1
1 туман = 10 кран=20 шахи
1 кран = 1000 динаров (только
расчетная монета)
зм: 10 кран, общ. вес 2,85 г,
содерж. чистого золота 0,9,
20 и 10 кран новой
чеканки, 2, 5, 10 и 20 кран
старой чеканки
см: 1 кран, общ. вес 4,603 г,
содерж. чист, серебра 0,9 «
i/i, 2 и 5 кран
нм: 1 и 2 шахи
Разрабатывается новый
монетный закон, по которому:
1 пахлави=20 реалов=1 ф. 1
стерл. |
| Ценность
!' в совет.
валюте
|руб. |коп.
1
1
3
—
94,37
87,52
4,4
29,66
10,19
Наименование монет
по7странам
Ценность
в совет.
валюте
]руб.| коп.
Перу (ЗВ) |!
1 1 либра (перуанский фунт)=10
соль по 100 центаво=7,988
г, содерж. чистого золота
0,91667
1 соль, общ. вес 25 г, содерж.
чистого серебра 0,9=10
динаров или реалов = 100
центаво (ценность серебра
1,19 герм, марок) офиц.=
зм: по новой валюте: 10 соль
оро, общ. вес 6,'01853 г,
содерж. чист, золота 0,9 =
и 50 соль оро
серебр. разм. монета: 1 и i/2
соль
нм: 20, 10 и 5 центаво
мм: 2 и 1 центаво.
Польша (ЗВ)
1 злотый = 100 грошей
зм: 10 > злот., общ. вес 18,7546 г,
содерж. чист, золота 0,9 .
50 злотых и 25 злотых
(дукат.)
см: 5 злотых и 2 злотых
нм: 1 зл., 50, 20 и 10 грошей i
бм: 5, 2 и 1 грош
Кроме того, старая серебр. i
разменн. монета в 2 и 1
злотый.
Португалия (ЗВ)
1 эскудо = 100 центаво = 10 ( |
зм (не имеется в обращении):
1 крона, общ. вес 17,735 г,
содерж. чистого золота
0,91667 = 10 эскудо или
мильрейсов=10000 рейсов
см (не имеется в обращении):
1 тостао = 100 рейсов. . .
нм. 10 и 1 эскудо
мм: 1 эскудо
никел. и медн. разм. монета:
50, 20, 10 и 5 центаво
1 конто (расчетная монета) =
=1000 эскудо
1 крусадо большей частью =
= 480 рейсов.
1 9
—
7
1 21
2
21
—
45,91
94,45
77,38
80,27
10,2
0,17
20,84

Таблица монет
885
Наименование монет
по странам
Ценность
в совет,
валюте
руб.| коп.
Наименование монет
по странам
Ценность
в совет.
валюте
руб. | коп.
Гвинея
1 макута = 50 рейсов (1;5 м
полотна)
Г о а
1 серебряная рупия
Макао
1 мексиканский пиастр . . . .
Мозамбик
Португальская валюта.
Тимор
1 патака =9—9,5 эскудо.
Румыния (ЗВ)
1 лей = 100 бани
1 стабилизированный лей, общ.
вес 0,010 г, содерж. чист.
золота 0,9
рм. 1 и 2 лея, 25 и 50 бани
Сальвадор (ЗВ)
1 колон = 100 центаво
зм: 1 колон, общ. вес 0,836 г,
содерж. чист, золота 0,9
(в обращении не имеется)
Доллар САСШ = 2 колона
см: 1, 0,5, 0,25, 0,20, 0,10 и 0,05
колона
нм: 10, 5, 3 и 1 центаво.
Северо-Американские
Соединенные Штаты (ЗВ)
1 доллар % = 100 центов (с)
зм: 10 долларрв (игл), общ. вес
16,7185 г, содерж. чистого
золота 0,9 = 232,2 грана .
20 долларов (двойной игл)
и 5 долларов
см (содерж. чист, серебра 0,9):
1 (вес 26,729 г) доллар
50, 25 (квартэр) и Ю(дайм)
(2,5 г) центов
нм. 5 центов
бм: 1 (пекко) цент
10,19
70,84
96,77,
1,16
97,23
43,67
Филиппины
1 филиппинский пезо = 100
центаво =1/я доллара
см: 1 пезо, 50, 20 и 10
центаво *
нм: 5 центаво
мм: 1 центаво.
Сиам
1 ДОС (ЗОЛОТОЙ) =10 ЗОЛОТЫХ
тикалов, общ. вес 6,2 г,
содерж. чистого золота 0,9
1 тикал серебра (общий вес
15 г) -100 сатанг, 11,8
тикала =1 ф. стерлинг, или
1 тикал
см: 5Э и 25 сатанг
нм: 10 и 5 сатанг
мм: 1 сатанг.
СССР (ЗВ)
1 червонец (банковый билет)
= 10руб., 1 рубль содержит
0,774234 г чистого золота .
1 рубль=100 копеек
В обращении серебряные и
никелевые монеты в 20,
15 и 10 коп.
бронзовые и медные монеты.
5, 3, 2 и 1 копейка.
Турция (ЗВ)
1 турецкая лира (турецкий
фунт) = 1Q0 куруш (пиастр)
= 4000 пара
зм: 1 турецкая лира, общ. вес
7,216 г, содерж. чистого
золота 0,9
5, 2i/2, i/a и !/4 турецкой
лиры,
см: 0,20, 0,10 (12,028 г,
содерж. серебра 0,83), 0,05,
0,02, 0,01 меджидие или
турецкой лиры
бронз, и никелев. монета: 25,
10, 5, 2V2 и 1 пиастр, 20, 10
и 5 пара
1 бумажн. турецкий фунт
(сент. 1930 г.) «
97,23
| ,20,89
80,1
10
54,51
92,66

$86 Приложение
Наименование монет
по странам
Ценность
в совет,
валюте
|jpy6. | коп.
Уругвай (ЗВ)
1 пезо = 100 центезимо
1 дублон = 10 пезо
зм: не имеется в обращении:
1 пезо, вес 1,697 г, содерж.
чистого золота 0,91667 . .
см: 1 и V* пезо, 20 центезимо
нм: 5, 2 и 1 центезимо.
Финляндия (ЗВ)
1 марка (23 750 штук на 1 кг,
содерж. чист, золота 0,9)
= 100 пенниа
зм: 100 марок, общий вес
4,210 53 г, сод. чист. зол. 0,9
и 2» 0 марок
10 марок прежней валюты,
общ. вес 3,2258 г, содерж.
чист, золота 0,9=76,61
новых марок
и 20 марок прежней
валюты
см: 2 и 1 марка, 50 и 25 пенниа
алюм.'и бронз, монеты: 5, 10
и 20 марок
нм: 1 марка, 50 и 25 пенниа
мм: 5 и 10 марок и, кроме
того, старые: 1, 5 и 10 пенниа
Франция (ЗВ)
франк=20 су=100
сантимов, стабилизованная
ценность: 100 франков ....
м: НО новых франков (общ.
вес 6,55 г, содерж. чист,
золота 0,9), нет в
обращении. Золотые монеты
прежней валюты не имеют
значения монет, а только
товарное значение.
100 прежних франков, общ.
вес 32,2580 г,(содерж. чист,
золота 0,9), 50, 40, 20, 10
и 5 франков
м: новые: 10 франков (общ.
вес 10 г, содерж. чистого
серебра 0,68) и 20 франков;
старые: 5, 2, 1 (общ. вес
5 г, содержание чистого
серебра 0,835) и 0,5
франка, имеют тоже только
товарное значение '
01,41
5,09
89,39
75,03
61,5
Наименование монет
по странам
ник. и меди, монеты: 2, 1 и
0,5 франка
нм: 25, К) и 5 сантимов
бм: 10 и 5 сантимов
Франк, как денежная единица,
являлся основной
денежной единицей для
несуществующего уже теперь
Латинского монетного союза
Из 1 кг чистого золота
чеканилось прежде 3444,44
франка, из 1 кг чистого серебра
222,22 франка. 310С франков
золотом или 40 франков
серебром в 5 франковых
монетах весили 1 кг.
Соотношение ценности
серебра и золота = 1 : 15,5.
Тунис
Монеты французской валюты
Раньше:
1 пиастр (сбиглен)=16 кару-
бов=52 асперов серебра .
1 буми = 100 пиастров . . . .
Передняя Индия,
Кохинхина
1 золотая пагода =3,5 рупии =
= 28 фанамов=672 кёш .
1 серебряная рупия
Индо-Китай
1 пиастр серебра с 24,49 г
чистого серебра =100 цеи-
тов=600 сапэк . . . . «
см: 1, */*» 11ч и Vio пиастра
нм: 5 центов
мм: 1 цент
1 кван = 10 мэхс или мо-
тий = 60 сапэк (донг, пети)
1 шукк = 10 кван (чучу)
Вес т-И н д и я
Раньше: 100 франк, франц.
Вест-Индии=о4,054 фралц.
франка
Реюньон
1 пиастр = 100 центов

Таблица мон*т §87
Наименование монет
по странам
Ценность
в совет,
валюте
руо. * кои.
Наименование монет
по странам
Мадагаскар
Французская валюта
1 фарасана=5 франков, а
также талер Марии-Терезы «
Новая Каледония и
Таити
1 иятифранковая монета . . .
1 пиастр
Чехо-Словакия (БВ)
1 крона=100 геллеров . . . .
см: 10 крон (редко;
нм: 5, I, 0,5 и 0,2 кроны
бм: 10 и 5 геллеров.
Чили (ЗВ)
1 пезо=100 центаво
1 кондор = 10 пезо
зм: 100 пезо, общ. вес 20,339662,
содерж. чист, золота 0,9 .
50 и 20 пезо
см: 5 пезо, общий вес 25 г,
содерж. чистого серебра
0,72 и
2, I и 0,5 пезо
нм: 20, 10 и 5 центаво.
Швейцария (ЗВ)
1 франк —100 сантимов (рап-
пен)
зм: 10 франков, общий вес
3,225» г, содерж. чистого
золота 0,9
и 20 франков
см: 5, 2 и 1 (5 г, содерж.
чистого серебра 0,835) и 0,5
франка
бм: 20, 10 и 5 сантимов
мм: 2 и 1 сантим.
Швеция (ЗВ)
1 крона = 100 бре
зм: 10 крон, общ. вес 4,4803 г,
содерж. чист, золота 0,9 .
58,34
87,52
74,01
- 5,76
23
ll
95,01
44,91
75
20,88
20 и 5 крон
см: 2, 1, % 74, >/ю кроны
медн. и ник. монета: 50, 25 и
10 бре.
Эквадор (ЗВ)
1 сюкре=100 центаво ....
зм: 1 кондор, общ. вес 8,359 25 г,
содержание чистого
золота 0,9=25 сюкре
и 2 кондора
см: 1 и 2 сюкре, 50 центаво
нм: 10, 5 и 21/, центаво
мм: 1 центаво.
Эстония (ЗВ)
1 крона, общ. вес 0,403 226 г,
содерж. чистого золота 0,9=
-=10и центов
зм: нет в обращении
см. 2 и 1 крона (еще не
выпущены)
мм: 50 и 25 центов, но
имеются монеты и в 10 крон
10, 5, 3 и 1 марки прежней
валюты (1 марка = '/100
кроны).
Югославия (БВ)
1 динар = 100 пара
зм (нет в обращении): 20
динаров, общ. вес 6,4516 г,
содерж. чист, золота 0,9 .
см: нет в обращении
нм: 2, 1 и 1/« динара
рм: 5, 10 и 25 пара.
Япония (ЗВ)
1 иена=100 сен = 1000 рин
зм (нет в обращении): 10 иен,
общ. вес 8,с$33 г,
содержание чистого золота 0,9 . .
20 и 5 иен
см: 50 и 20 сен
нм: 10 и 5 сен
мм- 1 сен и 5 рин

888
Приложение
II. Меры и веса
Метрическая конвенция 20 мая 1875 г. К ней принадлежат: Германия, бывш. Австро-
Швеция, Норвегия, Швейцария, Турция, Аргентина, Соединенные Штаты Америки, Перу,
Колумбия, Коста-Рика, Эквадор, Гватемала, Гондурас, Люксембург, Никарагуа, Парагвай,
Метрическая конвенция преследует цели: 1. Изготовление образцовых метра и кило-
народных мер, заменяющих собою существовавшие эталоны метра и
Меры длины
Абиссиния
1 мадда — Ьм
1 кинт = 0,45 до 0,5 м
1 канд = 2 зиншер = 0,4572 м
1 пик халеби = 1,5, кенд =
= 0,686 м
1 зиншер = 0,229 м
Австрия, Венгрия, Чехо-Сло-
вакия
метрические
1 м = 0,999 997 64 нормального
метра = 443,294 889 8
парижской линии
1 морская миля = 1,852 км
раньше:
1 венск. фут =12 дюймов (по
12 линий) = 0,316 081 м
\ венск. локоть=0,777 558 м
I венск. клафтер=6 фут =
= 1,896 484 м
1 почтов. миля=7,585 936 км
Венгерская миля = 8,353б км
Аравия
1 драа=0,488 м
1 кобидо =0,482 м
Аргентина
метрич , раньше:
1 браза=2 вара = 2«3 пьес =
=6*12 пюл'ьгадас —1,732 м
1 линеа=0,002 200 л
1 легуа=6000 вара=5,1°6 км
1 метрическая аргентинская ле-
гуа = 5,00 км
\\п
0,2
2,22 до 2
2,181
1,458
4,367
0,5400
3,1637
1,2861
0,5273
0,1318
0,1197
2,049
2,075
0,5774
454,55
0,1925
0,2000
Меры поверхности
1 калад = 24 до 38 га
метрические, раньше:
1 кв. фут =0,099 907 м*
1 кв. клафтер = 3,596 652 м*
1 сев. австр. иох=1600 кв.
клафт. = 1,575 462 2 га
1 кв. миля в 10 000 иох (в 1600
кв. клафт. каждый иох) =
= 57,546 42 км}
1 венгерский иох = 1200 кв.
клафтер= 0,431 598 га
метрич., раньше:
1 кв. вара= 0,749956 м}
1 манцана = V вара=7,499 56 м2
1 квадра =1,6874 га
1 кв. легуа = 26,998 42 км}
\\п
0,004 17
ДО
0,002 63
10,0079
0,278 00
1,737 73
0,017 38
2,316 97
1,3334
0,1333
0,5926
3,7039
10»
Примечание. Все единицы мер посредством числа п могут быть отнесены к мегри-
означает то число метрических единиц, которое содержится в данной единице ме-ры,
для Великобритании 1 фатом = « метрам = 1,828 798 м; 1 м=\\п фатом =0,5468 фатома и,
л) Смотри также таблицы в разделе Ш

Меры и веса различных стран
889
различных стран
9
Венгрия, Бельгия, Нидерланды, Дания, Испания, Италия, Франция, Португалия, СССР,
Венецуэла, Сербия, Румыния, Великобритания, Япония, Мексика, Боливия, Бразилия, Чили,
Сальвадор, Уругвай; также ввели техническую систему новообразовавшиеся государства,
грамма и сравнение их с существующими мерами страны. 2. Выбор и хранение
междукилограмма. 3. Периодическое сравнение местных и образцовых мер.
Меры объема и емкости
\\п
Меры веса
Абиссиния
1 ардеб=10 мадега (гондар) =
= 4,4 л
1 ардеб=24 мадега (массуах)=
= 10,56 л
Австрия, Венгрия,
Чехословакия
метрические, раньше:
1 кб. фут--=0,031578 67 м*
1 кб. клафтер = 6,820 099 2 м*
1 шахтрута = 3,157 867 м*
1 венск. метце = 4 четверти =
=0,614 868 3 гл
1 ведро в 40 масс =0,565 890 гл
1 масс = 4 зейдель = 1,414 724 л
1 венгерское ведро=64 зей-
дель=0,5430 гл
Аравия
1 тиман = 56,8 л
1 кудди (жидкости) = 7,6 л
Аргентина
метрич., раньше:
1 квартилла =34,299 448 л
1 фанега = 4 квартилла=
= 137,197 712 л
1 фраско=4 кварты =
= 2,375138 л
1 баррил=20 галлонов или
32 фраско= 0,7600441 гл
1 пипа=4 карга =4-16 кор-
таньес=64-3 фраско =
=4,560 264 гл
0,2273
0,0947
31,667
0,1466
0,3167
1,6264
1,7671
0,7069
1,8416
0,0176
0,132
2,9154
102
7,2885
10»
0,4210
1,3158
0,21929
1 роттель = 12 ваких=0,31 кг
1 фразула = 16,66 кг
1 окет=-^?г7г фразулы=27,7 г
oUJ
метрич.
1 л:г=0,999 997 8 норм, килогр.
раньше:
1 венск. (и баварск.) фунт- в
32 лота = 0,560 С60 кг
1 венск. лот = 17,501 87 г
1 венск. центнер=56,0060 кг
1 аптек. фунт=0,420к,г
1 штейн в 20 фун. = 11,212 кг
1 бахар = 300 роттель=83,05 кг
метрич., раньше:
1 либра=16 онца=16'16адарм=
= 256» 36 грано = 0,4594 кг
1 тонелада = 20 квинталов =
= 20*4 арроба = 80-25
либра =0,9188 т
1 марко = 8 онц=8'144 кви-
лат = 1152 • 4 грано =229,70 г
ческой системе мер. В графе \\п даны обратные числа для л. Таким образом число п
Г 'п~~Лисло единиц данной меры, соответствующее метрической единице меры. Например,
напр., 683,5 м = 683,5.0,5468 = 373,7 фатома. икр»

890 Приложение
Меры длины
Афганистан
1 аршин = 1,025 м
1 аршин для шерсти = 1,12 м
Бельгия
метрич., раньше:
1 брабантский локоть
(Брюссель) =0,695 м
Болгария
метрич., раньше:
1 портняжный аршин=0,680 м
1 каменшицкий аршин =0,758 л*
Боливия
метрич., ^раньше:
1 вара=0,835 м
1 легуа = 40 луадр =5,196 км
Бразилия
метрич., раньше
старопортугальские:
1 ковадо по 2 песа в 1,5
пальмой 0,686 м
1 брасса по 2 вара=2,2 м
1 легуа=2530 брасса =5,5 км
1 ярд=0,91 м
* пе = 0,343 м
Великобритания
допущены метрич. меры
и веса
1 дюйм (Inch, in), раздел, на
16 или 12 частей 1) =
= 2,539 997 8 см
\\п
0,976
0,893
1,439
1,471
1,319
1,198
0,192
1,4577
0,4545
0,1818
1,0989
2,9155
0,3937
Меры поверхности
метрич.
метрич.
1 дюлюм или уврат=9,19 а
метрич
метрич., раньше
старопортугальские:
1 кв. ковадо=0,4706 м*
1 кв. пе = 0,1176 м*
1 кв. брасса = 4,84 м*
1 кв. легуа =30,25 км-
1 кв. дюйм (sq.in.)=6,4516 см*
1 кв. фут (sq. ft.) = 0,C92 90**
1 кв. ярд=0,8361 м*
\\п
0,109
1Я |
I!
1) При температуре 0°. Для пересчета на техническую температуру в 20°: 1 дюйм —
•«25,40095 лл. До 1897 г. 1 дюйм = 2о,399541 мм. На основании последних сравнений дюйма
с метром, произведенных Национальной физической лабораторией, 1 дюйм = 25,399 962 мм

Меры и веса различных стран 891
Меры объема и емкости
Афганистан
как в Персии
Бельгия
метрич
Болгария
метрич., раньше:
1 кили = 12 шиник=240 л
1 ведро (для жидкостей) =/
= 10 оки = 12,8 л
1 дунайское кило=10 крини=
= 100 оки=128 л
1 царьградское кило=37 л
Боливия
метрич., раньше:
1 исп. фанега = 137,2 «,
1 обыкнов. фанега=21/, исп.
фанеги
1 кантара=16,13 л
Бразилия
метрич., раньше
старопортугальские:
1 можо = 15 фанга = 4 аль-
квеира
1 альквеира по 4 маквии, в
разных городах .различно:
40, 50, 70, 160 л, в Пара-
хиба=3,2 гл
1 пипа по 25 альмудов =
=4,792 гл
Великобритания ')
допущены метрич. меры
и веса
1 куб. дюйм (cu. in.) =
= 16,3870 см*
1 куб. фут (cu. ft.) =
=г0,028 317 м*
1/л
0,004 17 |
0,0781
0,007 81
0,0270
0,007 29
0,062
0,3125
0,2087
0,061 02
35,3148
Меры веса
1 маан=4 ока=4,18 кг \
метрич. 1
метрич., раньше;
1 ока = 1,282 кг
метрич., раньше:
1 квинтал=4 арроба=100
ливров =46,0 кг
1 карга =6 арроба=69,0 кг
метрич., раньше
старопортугальские:
1 квинтал=4 арроба—32 ара-
теля =58,752 кг
\ 1 аратель=2 марки =16 он-
са=128 ойтаво=0,459 кг
1 тонелада = 13,5 квинтала=
=793,152 кг
1 торговый фунт (avoirdupois
lb.) (торговый вес)=16унций=
16.16 драхм =7000 тройских
гран = 0,453 592 44 кг
1/л
0,239
0,780
0,0217
0,0145
1,70205
100
2,1786
0,12608
1С0
2,2046 223
') См. также таблицы в разделе Ш.

892
При ложе ниь
Меры длины
1 фут (foot, ft.) = 12 дюйм.=
=0,304 799 73 м
1 ярд=3 фута =0,914 399 2 м
1 фатом =2 ярда = 6 фут.=
= 72 дюйма = 1,828 798 м
1 пол (од) = 16,5 фут.=
= 5,0292 м
1 чейн=100 линкс = 792
дюйма = 20,12 м
1 государств, англ. миля
(statute mile) = 8 фурлонов =
= 8-220 ярдов = 1760,3 фут =
=1,609 342 6 км
1 обыкнов. англ. миля
(лондонская миля) = 5000 фут. =
= 1,523999 к м
1 морск. миля (узел) =
= 6080 фут. = 1,853 18 км 1)
в торговле: 12 ярдов = 11 м
3 мили назыв. 1 лиг
Мил, хэнд, спэн см. С.-Ам.
Соед. Шт. (стр.902)
Ост Индия (британская)
1 гёз (бенгальский) по 2 хат
(по 24 англи в 1 хат) = 1 англ.
ярду=0,9144 м
1 миля (1000 англ. фатом по
4 кубит или 2 бенгальск.
гёза) = 1,8288 км
1 кубит (Мадрасский)=Г,4572 м
1 гёз (Бомбейский) = 0,6858 м
В оптовой торговле —англ. ярд
Венгрия
(см. Австрия)
11 п
3,2808
1,0933
0,5468
0,1988
0,0497
0,6214
(,6562
0,5396
1 11
Меры поверхности
1 кв. пол =25,293 м*
1 акр = 160 кв. пол = 4840 кв.
ярдов = 40,4685 а
1 кв. миля = 640 акров =
= 2,59 км*
1 кругл, дюйм (circular inch) =
= тс/4 кв. дюйма =0,7854 кв.
дюйма = 5,067107 см?
1 кругл, миля ^circular mil) =
= Viооо ооо круглого дюйма =
= 0,00050671 мм*-
1 кв. ярд=0,8361 м*
1 акр = 40,4671 а
1 кв. фут=0,0929 жа
1 кв. кубит=0,209 м*
1 кв. гёз (Бомбейский) =
= 0,4703 л2
1 кв. миля = 3,3444 км9
l
1
1/я
0,0395
0,0247
0,3861
0,197 35
1973,5
Up И
0 6080 англ. футов представляет округленную полусумму Ve> градуса экватора
и Ч^ градуса меридиана, причем длина меридиана принимается равной 40 000 км, и длина
экватора=5400 геогр. милям. В английском адмиралтействе принимают 1 Admirality mile —
=6086,5 фут. = 1,8551 км — 11^ градуса экватора^/* географической мили.
2) С 1898 года.- Имперский галлон 1824 гоДа содержал 10 торговых фунтов воды.
По объему он считался равным 4,543 46 л Английская система мер и весов пережила
с тех пор ряд изменений. На основании официально установленных изменений имперский
галлон 1873 года содержал 277,510 куб. дюймов = 4,541740 л, имп. галлон 1878 года
277,274 куб. дюйма = 4,543 457 л, имп. галлон 1889 года —277,462 куб. дюйма = 4,546 525 л,
имп. галлон 1898 года—277,260 куб. дюйма=4,545 963 л. Согласно международной конвенции
1 торговый фут=0,453 592 4 кг. Таким образом галлон 1878 года содержит фактически
4,543 457:0.453 592 4 = 10,0166 фунта, галлон 1898 года — 4,545 963^0,453 592 4 = 10,0221 фунта.

Моры п га»га различных стран1
893
Меры объема и емкости
\\п
1 куб. ярд = 7646 м*
1 регистров, тонна = 1С0 куб.
v v фут. = 2.832 .«»
1 океанск.тонна=40куб.фут.=
= l,ld27 м*
1 имперск. галлон = 4 кварты =
= 8 пинт = 32 джилл =
= 277,260 куб. дм. = 4,54596л '}
1 старый (Винчестерск.)
галлон =231 куб дюйм. = 6/6имп.
галл. з) = 3,785 442 л
1 бушель =8 галлонов (по
4,54346 л)=36,347 68 л
1 ласт=10 квартер. = 10«8 бу-
шелей = 80.4 пек. = 320^2
галлонов =29,078144 гл
1 барриль = 2 кильдеркина =
= 2*2 фиркина= 4«9 галл.=
= 1,6365 гл
1 анкер *) = 10 имп. галл.
1824 года =0,45435 гл
1 тан *) = 2 пайп (Butts) =
= 2.2 хогсхэд = 4«63 галл.=
= 11,45 гл
1 панчен 4)=а/8 пайп=2 тайрс.=
= 1,333 хогсхед = 84 галл.=
« 3,8 гл
Ост-Индия (британская)
Жидкости измеряются англ.
импер. галлонами или, как
зерно, на вес
1 кахун (Бенгалия) по 16 со-
алли = 1354,73 кг
1 кандри рису (в Бомбее) весит
. 97,95 кг
* rape (в Мадрасе) по 80 пара
(по 5 маркал пара) = 4,916 мъ
Венгрия (см. Австрия)
1,3080
0,3532
0,8829
0,2200
О,' 344
0,6110
2,2009
0,0873
0,2632
0,738 15
1000
С.0102
0,2034
Меры веса
1/1*
1 тройский фунт (монетный,
золот., серебр. и аптекарск.
вес) = 12 унц. = 12»20 весовых
пенни (dw.) = 5760 тройск.
гран. = 0,373 241 95 кг
1 судовая малая тонна (short
ton) = 2000 фун. (lbs.) =
= 907,1853 кг
1 большая тонна (long ton) =
= 20 центнеров = 20*4 квар-
теров=80.28 фунт. (2240 lbs.)=
= 1016,0471 кг
1 центнер (cwt.) = 112 фун. =
= 50,80235 кг
1 унция = Vie фунта = 28,3495 г
1 тройск. г ран = 0,064 799 г
1 унция=1/1Я тройск. фунта =
=31,103496 г
1 базарн. моунд=40 сир (Seers)
по 16 читтак (по 5 тол в
каждом читтаке)=37,324 кг
1 фактория-моунд= 33,868 кг
1 бомбейский моунд по 40 сире
(по 30 пара в каждом сире) =
= 12,70 кг
1 мадрасский моунд = 11,34 кг
20 моунд = 1 канди.
2,679 23
1,102 31
1000
0,984206
1000
0,019 68
0,035 27
15,432 4 ,
0,032 151'
0,026 79
0,029 53 ,
0,078 74
0,088 18
Старое постановление, что имперский галлон должен содержать 10 фунтов воды, потеряло
таким образом силу, тем не менее общепринято считаться с этим неверным
предположением, и для жидкостей при переводе веса на емкость и, наоборот, это легко ведет к
значительным ошибкам, особенно когда дело идет о больших количествах, например при
отправке водой нефти в цистернах. По предложению В. Моллер-Фернау в „Werft
Keederei Hafen" 1929 г., тетр. 16, нужно в таком случае принимать за галлон „нефтя«ой
а Й10н"*» объемом в 276,800 куб. дюймов. Такой галлон содержит 10 фунтов воды или
<*,od5 924 л.
1 нефт. барриль = 35 англ. нефт. галлонам = 5,6065 куб. фута = 158,758 дм* (см.
СТР 935); 1 англ. тонна =6,4000 нефт. барриля; 1 метр. тонна = 6,2989 нефт. барриля. '
•) С 1878 года. V
*) Эти меры пива и спиртных напитков различны в различных местностях.

894
Приложение
Меры длины
Германия
(Германская система мер и
весов с 30 мая 1908 г.)
1 метр (1,ОГО 003 01 нормального
метра = 443,2^727 парижской
линии) содержит 10
дециметров по 10 сантиметров
1 сантиметр содержит 10 мм
1 километр = 1000 м
1 герм, линейн. миля = 7,5 км
1 географич. миля (15 миль =
=1л экватора )=7,420 438 54 км
1 германск. (и франц.) морская
миля (60миль=1 градус
меридиана) = 1,852 км
1 фаден = 1,829 м
1 кабель по 120 фаден=0,22 км
1 градус экватора = 111,3066 км
1 градус мерид. =111.1206 км
Гватемала
метрич., раньше:
1 вара=0,836 м
1 легуа=4 км
Греция
метрич.
1 греческ. миля = 10 км
1 стадия = 1 км
1 пик = 10 пальм = 1 м
1 пик=8 рупи =0,648 м
Дания
метрич., раньше:
1 рута = 5 ален (по 2 фута) =
= 3,1.з8 535 м
1 миля = 2С00 прусск. рут =
= 7,532484 км
Египет
метрич., кроме того:
1 дира мамари = 6 кабда =
=24 усбаа = 144 хабба шер =
к 144*6 кират барсум =0,75 м
1 баа = 4 дира мамари=3 м
1 дира балади=0,58 м
\ касаба=3,55 м
1 хиндаса=г 0,656 м
\\п )
0.1333
0.1348
0,5400
0,5467
4,545
0,008 Г84
0.009
1.196
0,250
0,1
1,0
1,0
1,543
0,3186
0.1328
1,3333
0,3333
1,7241
0,2817
1,5244
Меры поверхности | 1/я
1 кв. метр (и*) содержит |
100 кв. дециметров по 10"» кв.
сантиметров
1 кв. сантиметр содержит
100 кв. миллиметров
1 гектар по 100 ар (каждый ар
в 100 м*)
1 кв. километр = 100 га
1 географ, кв. миля»
= 55,06291 км*
метрич., раньше:
1 кв. вара =0,6987 м
1 кабальериа = 64 манцанов —
= 44,7^ га
метрич.
1 стремма=10 а
метрич., раньше:
1 кв. рута = 1С0 кв. фут. =
=9,85 ,и2
1 тонна земли = 560 кв. рут =
= 0,55163 га
1 ме*рич?ские, кроме того:
1 1 кира! = 3 хабба = 6 данек =
1 =24 сахам =175,185 ж2
1 1 сахам = 24 сахтут = 7,293 ж2
1 1 феддан = 24 кират =
1 = 0,420 083 3 га
1 1 кв. пик (дира мамари) =
= 0,5625 м*
1 1 кв. касаба = 12,6025 мг
0,018 16
1,431
2,237
10s
0,1
0,101 52
!
1,8128
5,7143
10»
0,1371
2,3805
1,7778
1 0,0794

Меры и веса ра.зличных стран1 $95
Меры объема и ем кости
Германия
(Германская система мер и
весов с 30 мая 1908 г.)
1 куб. метр (в некоторых
областях называется штер) по
1000 куб. дециметров или
литров в 1000 куб. сантим,
каждый литр по 1000 куб.
миллим, в куб. сантим. ,
1 гектолитр = 100 литров
1 литр = 1000 миллилитров
1 шеффель=0 5 гл (теперь не
существует официально)
1 оксгофт = 2,20 гл
1 штюкфас по 71/* ом = 12,0 гл
1 тонна (мера судового
объема) = 2,12 м3
Гватемала
метрич., раньше:
1 фанега=0,55 гл
1 арроба= 16,13 л
Греция
метрич.
1 кило = 1 гл
1 зерновое кило = 22 ока —
= 0,357 г л
1 барела=48 л
Дания
метрич., раньше:
1 тенде = 8 скеппер = 1,391 гл
1 ом = 4 анкера = 1,51 гл
1 канна = 2 потта = 1,93 л
Египет
метрич., кроме того:
1 кадах=2 нусф-кадах=4 руба=
= 8 тумна = 16 харуба =
. = 62 кират= 2,062 л
* ардеб=6 веба = 96 кадах =
. ^ =0,1^8 гл
i веба = 2 кела =4 руб =
= 8 мелва = 0,33 гл
1/я
2,0 |
0,4545
0,0833
-0,4717
1,818
6,200
10»
1
2,801
0,0^08
0,7189
0,6623
0,5181
0,4848
5,051
3,0303
Меры веса
1 килограмм
(=0,999999842нормального килограмма) по
110;) граммов в 1000
миллиграммов каждый грамм
100 граммов= 1 гектограмм
1 кг = 2 (старых) таможенных
фунта
1 тонна (раньше в 20
центнеров) = 10 0 кг
1 двойной центнер = 100 кг
1 (метрич ) карат=0,2 г
1 междунар. карат=0,2051 г \
1 судовой ласт в 2 тонны =
= 2000 кг
метрич., раньше:
1 квин1ал=100 либров = 50 кг
1 арроба = 11,502 кг
метрич.
1 стагер (кантаро) = 44 ока =
= 56,32 кг
1 мина = 1500 драхм = 1,5 кг
1 ока = 1,28 кг
метрич., раньше:
1 ком. ласт = 52С0 ф. = 2600 кг
1 центнер = 100 фунт. =
= 1000 орт=50 кг
1 корабельн. фунт = 20 лис-
фунт. = 160 кг
метрич., кроме того:
1 кангар=36 ока и 100ротль =
1 =10U«144 дирхем = 44,928 кг
1 окла = 12 дирхем =37,44 г
1 дирхем=16 кират=64 камха=
= 3,12 г
1 магар = 18 кират = 3,51 г
1 миткал=24 кират = 4,68 г
1/л
0,5
0,001
0.01
5,0
4,8757
0,0005
0,02
8,694
1,775 56
100
0,667
0,781
0,038 46
100
0,02
0,625
10J
2,226
10»
2,671
10»
0,321
0,285
0,214

896
Приложение
Меры длины
Италия
метрич., раньше:
1 кана = 2,645 м
Триполи и Барка
1 драа эндасе = 0,670 м
1 драа араби =0,483 м
Испания
метрич., раньше:
1 вара=3 пиес = 0,835ж
1 вара (в Мадриде) = 0,843 м
1 пальмо = 0,209 м
1 легуа = 6,6872 км
Китай
1 йин (чанг) = 10 чи (коЪид,
фут) = 100 цун (пант) =
« 1000 фын = 3,73 м
1 Йин по договору с Англией=
=3,581 м
1 ли (миля) = 180 фаден =
= 1800 землемерных ковид =
= 0,6444 км
Монголия
1 алдан = 5 тохой или чи =
= 50 имагоо=500 поон =
= 1,60 м
2 алдана=1 кхосалдан = 1 хосан
1 кхуби = 36 алдан =57,6 м
| 1/"
1
0,378
1,493
2,070
1,198
1,186
4,785
0,1495
0,2681
0,2793
1,5518
0,667
0,01736 J
Меры поверхности 1/л
метрические
MCipm., раньше:
1 фанегада = 64,4 а
1 мау = 631 мг
1 кинг=0,2453 га
Шелковые изделия по весу
1 кв. алдан=2,56 л2
1 урей = 360кв.алда"Н.=921,6ж2
1 кхубари = 100урей=92160л2
1
0,015 53
1,5848
1000
4,0766
0,391
0,001 085
1,085
106

Меры й веса различных стран
897
Меры объема и емкости
1/я
Меры веса
1/л
Италия
метрич., раньше
i сбма в Милане=100 гл
1 сома в Риме = 1,642 гл (масло)
= 1,167 гл (вино)
=2 барилла
1 томоло=55,54 л
1 церла=49,74 л
1 барилл от 30 до 140 л
Триполи и Барка
1 уеба = 4 темен = 1,073 гл
1 барилла = 24 боцце = 63,39 л
Испания
метрич., раньше:
1 кахиз = 12 фанег «6,66 гл
1 кантара^ 16,13 л
1 пипа^ 4,356 гл
1 бога £24,84 гл
1 моио £22,58 гл
Китай
1 чи зерна = 10 шинг= 1,031 гл
1 cafr зерна = 2 ху = 20шинг =
= 1,2243 г л
(зерно и жидкости, впрочем,
большей частью по весу)
Монголия
1 ДУ или того = 503,5 куб. има-
гоо = ю схин = 100 алага =
, =16,5 л
1 дан = 10 ду=165 л
0,685
0,609
0,895
0,018
0,020
0,932
0,0158
1,1501
0,0620
0,2296
0,2066
0,3876
0,9708
0,8168
0,0606
0,00606
метрик., раньше!
1 кантаро (Неаполь) = 89,1 иг
1 кантаро (Сардиния)=42,26 кг
1 кантар = 40 ок=48,83 кг
1 роттель=16 укиен=0',488 i
метрич., раньше:
1 квинтал = 4 арроба =
= 100 либров = 46,01 кг
1 тонелада = 20 квинталов =
= 920,2 кг
1 пикулъ = 100 кеттис =
= 1600 таелей(лианг)=60,453 кг
1 таель = 10 ме или цин =
= 100кондорин или фын =
= 1000 кёш (сабек)
в разных провинциях разное
значение
для серебра (в Кантоне) =
=37,573 г
хайгуанский таель (для
таможенных расчетов и т. п.) =
= 37,783 г
1 чин = 16 лианг = 160 цин =
= 1600 поон = 0,6 кг
коу =
= 0,375 г
= 1600 поон — v,~ .
1 поон = 10 ли = 100 хоу = ^

fi§& (4 йрило*ейЙ&
j———|||1ИНГИПТ^'1Т*И1>ЧИ111Я11 "' 1 ■'
Меры длины J Vn
' ш 1 II- ■■ "1 ' " .т rnrr. <°-*T~,
Корея
1 тья=0,52 м
1 лй=403 Л
Литва
мелрич.* также прежние
русские мери:
верста = верста
сьекснис — сажень
уолакгис = аршин
верскас=веролок
педа - фут
ОДШСавДЮ&М
Марокко
метрич., наряду с ними:
1 дхра=8 домин=0,571 м
Мексика
метрич., раньше:
1 легуа=25 0 троза —бОО'4 ва-
р • —4,13 км
1 вара*г=3 пьес = 0,ь35 м
Нидерланды
метрич.. раньше:
1 локоть (Амстердам) = 0,687 м
1 локогь (Ьр^банг)—и,686 м
1 фу г ifоо i>= 0,281 м
Норвегия
метрич., раньше:
1миля«=6 ОС фаден = 11,205 км
1 ален=2 фута—48 д. в 0,627 м
1.ЙЗ
2И81
10U0
1
1,761
ш
1,456
1,-58
3,5^9
0,0885
1,595
' Меры поверхности
метрич., также прежние
русские меры:
кетвиртинис варстас =
= кв. верста
десимтине=десятина
кетвиргинис сьекснис=
= кв. сажень
• уолактис =
= кв. аршин
« верскас =
= кв. вершок
• педа = кв. фут
• колис — кв. дюйм
метрич.
метрич., раньше:
1 кабаллерия = 12 фанегад =
= 42,8 га
метрич.
1 бундер = 100квадр.рут.=1 га
метрич.
f*"4 г. мГ.
0,0234
1,00

Меры й ЬЬсь рЫя&чйы! &Ъ&В 199
Меры объема я емкости
Корея
как Япония, кроме того:
1 мал«10тол = 100хоп=0,5 2л
1 гуи (зерно)=1,3182 гл
Литва
метрич., также прежние
русские меры:
кубу сьекснис =куб. сажень ,
„ уолактис = куб. аршин
, верскас =куб. вершок
„ педа =куб. фут
колис —куб. дюйм
кетвиргис = четверть У
астунтойи =и,5 кетвиртиса
сикелис = четверик
пусастунтоии=2 сикелиса
горциус = гарнец = 2 пусгор-
циуса
кибирас = ведро
бонка (стуопа) = кружка (штоф)
стикелис=о,1 кружки
Марокко
метрич. и наряду с ними:
сахха=4 мухд=57,6 л
куба = 15 л
Мексика
метрич., раньше:
1 карга =2 фанеги = 1,816 гл
1 арробат=1б,2 л
1 баррил =0,7/5 гл
Нидерланды
метрич., раньше:
1 ласт=27 муд=30,04 гл
1 аам = 1,552^ гл
Норвегия |
метрич., раньше:
J аерн. тонна=144 потт=1,39 гл
1 Ом = 155 потт= 1,496 гл
\ 1/я
! 2
0,759
0,0174
0,0667
й!
0.0333
0,644
0,719
0,668
Меры веса
как Япония, кроме того:
1 канн = 16 нианг=э0,608 кг
метрич., также прежние
русские мера!
пудас=пуд
сва рас = фунт
лотас*=лот
золотникас =s аолотник
дал ис=доля
метрич. и наряду с ними:
1 кантар=100 ротал.=з2500
либров=60,8 кг
метрич., раньше:
1 квинтал=4 арробы=46,08/сг ;
1 тонна=20 квинталов=920 кг
1 карга=184,025 кг
метрич., раньше:
1 центнер=100 фу нт.=49,41 кг
метрич., раньше:
1 центнер =* 100 фунтов »
тс 49,84 кг
! 1/Я
1,645
0.0W
0,0217
0,00109
0ДХО43
0^)202
0,0201

900
Приложение
iiiianiTi щи пг г'" и i , ,ц
Меры длины
Палестина
1 драа=0,75 м
1 пик=0,67 м
Парагвай
метрич*, раньше:
1 вара=3 пьес = 0,838 м
1 легуа=5000 ва ра= 41,928 км
Персия
мегрич., раньше:
1 гёс (сер, аршин) =4 чебареков=
= 16 джир=1,04 м и 1,05 м
1 фарсанг = 6000 гёс шахских =
=6,24 км
Перу
метрич., кроме того:
1 вара=3 фута=36 дюймов =
=0,835 905 м
1 легуа=20000футов=5,5727 км
Польша
метрич.
Португалия
метрич., раньше:
1 вара = 5 пальм = 1у10 м
1 ковало=0,66 м
1 брацца=2 вара = 2,2 м
1 легуа=6,197 км
Пруссия 0
(старые меры):
1 фут в 12 дюймов по 12 линий
в дюйме=0,313 853 5 ж
1 локоть =0,66694 м
1 лактер=2,09246 м
1 рута в 12 футов = 3,76624 м
Цп
ьззз
1,493
1,193
2,385
100
0,962
0,160
1,1963
0;1794
»
0,909
1,515
0,455
0,1611
III
Меры поверхности | \\п
"""1 —
1 дунам = 9,19 й 0,109
метрич., раньше;
1 кв. легуа=1758 га
1 кв. линьо = 48,83 а
метрич.
метрич., кроме того:
1 кв вара=9кв. ф. =0,698 737 м*
1 кв. легуа =31,054 99 кмл
1 фанегада=8 топо = 40000 кб.
вара = 2,7949 га
5,688
10*
2,048
1С0
1,4312
3,2209
10»
0,3578
!
1
метрич. ч 1
метрич., раньше:
1 грира —58,96 а
1 кв. фут = 0,098 50 м*
1 кв. рута = 14,185 м-
1 морген в 180 кв. рут=
=0,2553224 ?а
1 кв. дюйм =6,8403 см*
0,016 96
10,151 90
0,0706
3,916 62
0,146 19
1) См* также таблицы в разделе III.

Меры и веса различных страк 901
iWepu объема и емкости | 1/я
Палестина
1 кола = 62,4 л
1 ява = 20,2 л
Парагвай
метрич., раньше:
1 фанега=12 алмуд=2,88гл
1 липа=6 баррилов =5,916 гл
Персия
метрич., раньше:
1артаба=8 коллотхун=25 ка-
пиха=50 хеника=200
секста рио= 65,789 А
Перу
метрич., кроме того:
1 куб. фут=0,021 632 5 м*
1 объемная тонна=1,518 375 2 лх8
1 фанега = прибл. 0,555 гл
1 галлон америк. =3,7854 л
Польша
метрич.
Португалия
метрич., раньше:
1 фанега=4алкеира=55,36 л
1 майо=8,30 ?л
\ пипа (в Опорто)=30алмуд=
=5,34 гл
Пруссия
(старые меры)
} куб. фут=0,03092 м*
\ куб. дюйм = 17,891 ел?
* клафтер в 108 куб. фут.=
. = 3,3^9 м*
А шахтруга в 144 куб. фут.=
1 оксхофт = 1,5 ома=3 ведра=
6 анкер = 180 кварт = 11520
. куб. дюйм. = 2,06105 гл
1 Щеффель = 16 метце =
~48 кварт=0,54961 гл
3
0,0160
0,0495
0,3472
0,1690
•
0,0152
о^-ро>
Л оо5э o>
0,018 06
0,1205
0,1873
ЯП II
Меры веса
1/л
1
1 окка = 400 дирхем =1,248 кг i 0,801
метрич., раньше:
1 квинтал = 4 арроба =
= 100 либров=45,94 кг
метрич., раньше:
1 хол вар—294,41 кг
1 ширас=588 кг
метрич., кроме того;
1 фу нт = 16 унций=0,460 093*2
1 квинтал = 4 арробы =
= 100 фунт.
метриг.
метрич., раньше:
1 квинтал=4 арроба=128 арра-
теля = 58,75 кг
1 арратель = 2 марки=
= 16 унций=128 ойтаво
1 тоне чада = 13,5 квинт =793 кг
1 (цолл) фунт = 30 дот =
=300квентхен =30000 корн =
= 0,500 кг
1 старый прусский (и вюртем-
бергск.) фунт =0,4677 кг
1 судовой ласт = 40
центнеров =4000 фунтовг=2000 кг
1 гамбургский коммерч. ласт=
=6000 фунтов
0,0218
3.397
10»
1,70
10»
2,1735
0,017 ОЙ
0,007 81
0,00126
2,000
2,1381
0,05
100
0,033 33
100

9Q2 Приложен»*
Меры длины
Румыния
Молдавия
метрич., раньше:
1 стан ье ну л —8 палм=64 пал-
мак. =2,23 м
1 рупул = 2греул=0,079 63 л
1 котул =0,637 м
1 линия=0,002 90 м
Вал az vч
метрич., раньше:
1 станьенул=8 палм =80 деге-
тул= 1,9665 м
1 рупул=8 греул=0,664 м
1 котул=0.0415 м
1 линия=0,М2 46л*
Северо-Американские Соеди-
иенные Штаты
Официально английские меры
и вес с некоторыми
видоизменениями; см. также
Великобритания, стр. 89(i. Допускаются и
метрические -меры и веса.
По закону Менденгола 1893 г.
основной мерой установлено:
1 ярд (при 16V)=3600/3937 * =
=0,914 401 8 м (при 0е)
1 фут=*/« ярда = 0,304 8ои 6 м
1 дюйм = 1/18 фута =
= 25,400 050 8 мм
1 мила^/юоо дюйма =
= 0,025 400 05 мм
1 хэнд=4 дюйма = 10.16и2 см
1 спэн=9дюймов=22,860 04 см
1 фатом = 2 ярда == 1,828 803 6 л
1 поль =х5,5 ярда=5,029 2о9 9й*
1 чэйн=22 ярда = 20,1168 м
1 статутная миля = 8 фарлон-
гов « 1760 ярдов = 5280
футов = 1.6о9 347 км
1 морская миля=1.854 96 км
1 военный шаг (military расе) =»
«=■ 0,7620 м
1/я
0,448
12.*5
1,570
344,8
0,509
1,506
24,04
9,760
1,0936
3,2808
0,03937
39,3701
0,0984
0,0437
0,5468
0ДО88
0,0497
0,6217
0,5391
1.3123
Меры поверхности \\п
метрич., раньше:
1 фалцеа=1,432195 zi
1 кв. станьен=0,049 729 а
метрич., раньше:
| 1 погонул =0,501 179 га
1 кв. станьен= 0,038 670 а
1 кв. ярд=0,836130 78 м*
1 кв-. фут=9,29о 342 дм*
1 кв. дюйм =6,451 625 8 см*
1 кв. поль=25.292 93 м*
1 акр=40,4687 а
1 секшн (section, кв. миля) =
= 2,5899 км9
1 тауншип=36 секшн =
=93,236 км*
Круглый дюйм, круглая миля,
см. Великобритания, стр. 892
0,698
20,11
1,995
25,86
1,1960
0,1076
0.1550
0,039 54
0,0247
0,3861
0,010 73

Меры я веса равлячйы* с*фАЬ
903
Меры объема и емкостн| \п | Меры веса | XIп
Румыния
Молдавия
метрич., раньше:
1 куб. станьен = 11,08° 57 м*
1 вадра = 10 ока =0.152 гл
1 литра = 10 драмул =0,J* л
1 кило =2'л банила=4,А) гл
Валахия
метрич., раньше:
1 куб. станьен=7,604 6П6 л**
1 вадра = Ю ока—о,128Я гл
1 литра = 10 драм>л=0.а22 л
1 чило=2о бани аа=6,792 68 гл
Северо-Американские
Соединенные Штаты
1 куб. ярд=0.764 572 °17 м*
1 куб фут = 28,о17о1с*8 дм*
1 куб дюйм = 16.о87 162 3 см*
1 унция для жидкости «fluid
ounce)=29.57 см*
1 драм для жидкости (fluid
dram) =6 697 см*
1 галлон=231 куб. дюйм. =
=3,786442 л »)
1 кварта=V« галлона =
=0,946 36 л
1 бушель =0,352 42 гл
1 баррил=41,5 галлона =
= 1,1°2 414гл
} нефтяной галлон =3.779 94 л*)
1 нефтяной баррил = 42
нефтяных галлона = 1,587 58 гл *)
Далее, как в Англии
1 регистровая тонна = loo куб.
футов=2,&>17 м*
1 морская тонна =40 куб.
футов = 1,1,527 м*
0,090
6.579
*,6о2
0,230
0,131
7,764
3,012
0,147
USIIIIIII !!
метрич., раньше:
1 ока=4 литрула=4оО драмул
— 1.2Л кг
метрич., раньше:
1 ока=4лигрул =40 драмул =
= 1,2/2 кг
1 центнер (hundred weight)
часто=4 квар ■ ера = 1оО
фунтов =45.359 24 кг
1 квинтал = 22о,4б фунта =
= 100 кг
1 милльер = 2201,6 фунта =
= 1оХ) кг
1 мучной баррил=196фунтов=
=88, • кг
1 мясной баррил=200 фунтов=
=Ч> 7 кг
1 соляной баррил = 280
фунтов = 127,о кг
1 хамфн (Humpheon) маисовой
муки=8оо фупт. = 362.9 кг
Далее, как в Англии (см.
стр. 894).
0,775
0,786
0,022 05
0,01
0,001
0,011 25
0,011 02
0,007 87
0,002 76
) Это число показывает принятую теперь величину. Она выведена из английского
имперского галлона, когда объем последнего принимался в 277.2;4 куб. дюйма, и равняется
'•его'т« е. 277,274 «Б/6=231 куб. дюйм. Подробнее см. примечание к стр. 81 2. Амери-
i. некий неФтяной галлон, согласно Моллер-^ерпау, должен считаться равным
U английского нефтяного галлона, т. е.=5/в« 276,800 куб. дюима=2ло,667 куб. дюйма =
=Чв-4,63о924 л = 4,77^94 л.
*1 адоо(!1р1 нягие 1 нефтяного баррила нефти = 42 галлонам объемом в 231 куб. дюйм^
и»9 89 гл(стр 935) приводит к неверным расчетам.

904 Приложение
Меры длины | \\п
1
Сиам
1 кеп=0,25 м 4,0
1 сок=0,5 м 2,0
1 ва = 2,0 м 0,5 ,
1 сен = 40 м ; 0,025
1
Союз Советских
Социалистических Республик (СССР)
(В СССР введены и повсеместно
приняты метрические меры и
веса)
1 метр-(м) (= международному
метру; платино-иридиевая
копия, знак № 28, передана
в 1889 году первой
Международной конференцией мер и
весов; хранится в Главной
палате мер н весов)
1 метр (м) = 443,295 936
парижской линии, содержит 10
дециметров (дм) по 10
сантиметров (см) по 10
миллиметров (мм)
1 километр (км) = 1000 м
раньше применялись:
1 сажень (по 7 фут. или по
3 аршина в 16 вершк.) =
=2,133 60 м
1 русск. фут = 1 английск. футу
по 12 дюймов = 0,304 800 м
1 верста = 5°0 саженей=
=1,066 800 км
1 миля по 7 верст = 7,467 600 км
Турция
метрич., кроме того:
1 сирамимари = 24 пармак =
=24-12 хат=268-12 нокта =
= 0,757 74 м
1 кулак = 2,5 сирамимари =
= 1,895 м
1 наргиле =2 брит = 2*4 фер-
сах = 8-Змилль = 24-250(7 си-
рамимари = 45480 м
1 карей арсуну (аршин) =
s=8 уруп=16керрах=0,6858л
1 эндасе =s 8 уруп = 16 керрах =
=0,6525 -м
1111
1,321
0,528
2,199
10*
1,458
1,533
«"1
Меры поверхности J 1/л
1
i
1 кв. метр (лгс) = 100 кв.
дециметров (дм2) по 100 кв.
сантиметров (см2) по 100 кв.
миллиметров (мм2)
1 гектар (га) по 100 ар (а) по
100 м*
1 кв. километр (км2) = 100 га
раньше применялись:
1 десятина = 1,092 54 га=
=2400 кв. саженей
1 кв. верста = 1,138 06 км*
метрич., кроме того:
1 кв. сирамимари=576кв. пар-
мак=576«144 кв.хат=0,5741 м*
1 эвлек=400 кв. сирамимари=
=229,75 м*
1 дэнум=4 эвлек = 919,3 л*-
1 джериб = 1 га
0,915 298 5
0,878 686 6
1,7418
4,3526
10»
1,0877
| J08
J

Меры и веса различных стран ' 905
■ П—
Меры объема и емкости j \\п
Сиам |
1 танг = 20 канаыг = 10 л . ОД
1 танан=1 л 1
1 сат=20 л 0,05
1 бан = 1000л | 0,001
1 квиен=20Г0 л \ 0,0005
i
Союз Советских
Социалистических Республик (СССР)
(Положение о мерах и весах
от 6 нюня 1924 г.)
1 куб. метр (.w3) = 1000 куб.
дециметров (дм3) по 1000 куб.
сантиметров (см3) по 1000 куб.
миллиметров (мм8)
1 литр (л)=(объем одного
килограмма воды при макс. уд.
весе и 760 мм рт. ст.) =
= 1,000 028 куб. дециметра
1 килолитр (кл) = 10 гектолитр.
(гл) по 1С0 литров (л)
1 литр —1000 миллилитров (мл)
раньше применялись:
1 куб. сажень=9,712 68 м*
1 бочка = 40 ведер по 100
чарок =4,919 763 5 гл
1 кружка (штоф) = 1,229 940 л
1 четверик = 4 четверти по
2 гарнца=26,238 738 л
1 четверть по 2 осьмины по
2 панка по 2 четверика =
= 2,099 099 1 гл
1 ведро по 10круж.=12,299 409 л
^УрЦИЯ
метрич., кроме того:
1 киле стамбульская =4 шиник
= 4-2 кугу = 8«2 сарф = 37 л
0,102 96
0,2033
0,8120
0,03811
0,4764
0,0813
•2,703
102
Меры веса - ! 1/я#
1 бхара = 6000 кг
1 пикуль (хап) = 50 чуиг =
= 100 таелей=60 кг
1 катти=80 тикал =0,60 кг
i 1 карат=0,2 г
1 килограмм (кг)=нормальному
образцовому килограмму;
платино-иридиевая копия
хранится в Главной палате
мер и весов
1 килограмм (кг)=1000грамм. (г)
по 1000 миллиграмов (мг)
1 тонна = 1000 кг
1 центнер = 100 кг
раньше применялись:
1 фунт=0,409 512 410 кг
1 пуд = 40 фунтов по 32 лота
по 3 золотника по 96 долей =
= 16,380 496 кг
1 тонна =г= 6,2 берковца по
10 пудов = 1015,5 кг
метрич., кроме того:
1 кантар=44окка=56,449 58 кг
1 окка = 400 дирхем =
= 400*4 денк=1,282 945 кг
1 денк = 4 кират =4*4 буг-
дэй = 0,801 906 25 г
1 мискал = 1,5 дирхема =
=-=4,81143 г
1 секи=4 кантар = 225,798 кг
1 иени кантар=50 кг
!
| 0,167
1 1000
! 0,0167
1 1,67
, 5
i
!
2,441 93
0,06105
0,000 984 7
1,7714
102
0,7795
1,2470
0,2078
4,4287
10»
2,000
100

906
Прило;
дан——ииаиац- ',и сяаамяисяаеаад
# Меры длины
Уругвай
метрйч.: раньше, теперь
неразрешаемые:
1 квадра = 100 вар=300 пие =
=85,9 м
1 легуа=5,154 «л
Финляндия и Балтийские
окраинные государства
Литва см. стр. 898
метрйч.
Франция
метрйч., раньше:
1 парижский фут = О.о24 839 м
(1 м = 443,295 936 парижской
линии)
1 лье =4,4519 км
1 локоть (aune)= 1,183 м
Алжир
1 пик араби =0,476 м
1 - ту ре цк.=0,636 м
1 „ халеби=0,686 м
Тунис
1 драа эндасе =0,672 м
1 драа араби=0,488 м
1 драа Стамбул и —0,637 м
Передняя Индия
1 кондэ (=2 шпанна)=0,519 м
Мартиника и Гваделупа
1 локоть (aune) = 1,191 м
Чехо-Словакия
см. Австрия (стр 888)
Швейцария
метрйч., раньше:
1 рута (= 1?/8 клафтера)=10
футов =100 дюймов = 3 м
1/л
0,01164
0,1940
3,0784
0,0022558
0,2^46
0,846
2,101
1,5/2
1.458
1,488
2,049
1,572
1,927
0,840
0,3333
Меры поверхности
метрйч.: раньше, теперь
неразрешаемые:
1 кв. легуа=26,6 км9
метрйч.
метрйч.
метрйч., раньше:
1 кв. клафтер=3,24 м*
1 юхарт=0,об га
яшшеашаавя»
1/я
0,0376
1 0,309
2,777

Меры и веса различных стран 907
Меры объема и емкости
Уругвай
метрич.; раньше, теперь
неразрешаемые:
1 фанега=1,4 гл
1 пипа=4.55 гл
1 баррил=32 фраско =
= 128 кварт = 1,0528 гл
1 галлон=3,8и5 л
Финляндия и Балтийские
окраинные государства
метрич.
Франция
метрич., раньше:
1 стер = 1000 л
1 6уассо = 16 литрон = 13,01л
1 мюид=3 тьерсон=2,6822 гл
1 бордосская бочка=9,12 гл
Алжир
1 саах=58 л
1 кулла = 162/8 л
Тунис
1 кафис = 16 уэба=4,96 гл
1 меттар = 10 л
1 саа=1,26 л
Передняя Индия
1 галлон=24 пакка=0,359 гл
1 саах=0,Ь8 гл
Мартиника и Гваделупа
1 баррил = 4 фрекин = 1,0244 гл
1 баррик = 10и пот = 1,8626 гл
Чехо-Словакия
см. Австрия (стр. 889)
Швейцар ия
метрич., раньше:
1Аля жидкостей) 1 заум=4 эй-
мер = 1и0 масс = 1,5 гл
(Для сыпучих тел) 1 мальтер =
= 2,5 сестера = 100 имми =
-1,5 гл
\\п |
1! II
0.001
0.0768
0.373
0,1096
0,0172
0,06
0,202
0.1
0,794 •
2,786
1,724
0.976
0,537
0,6667
0,6667
Мера веса
метрич.; раньше, теперь
неразрешаемые:
1 квинтал=4 арроба=
= 1о0 либров=45,94 кг
1 тонелада=918,8 кг
метрич.
метрич., раньше:
1 квинтал = 1<0 ливров =
=200 марок =48,95 кг
1 денье (вес для шелка) =
= 0,0531 г
1 кантар аттари = 100 ротте-
лей=54,6 кг
1 кантар геддари = 100 ротте-
лей=61,43 кг
1 роттель кебир=0,92 кг
1 кантар=100 роттелей
1 роттель аттари =0,507 кг
1 роттель сукки=0,5Ъ8 кг
1 роттель кхадари=0,639 кг
1 барре или кенди=20моунд=
=234,96 кг
1 баррик=100 фунт.=489,5 кг
1 кантар=44 окен=56,32 кг
метрич., раньше:
1 центнер = 100 фунтов = 50 кг
1 килоцентнер = 100 кг
1/я
2,177
100
0,108 83
100
0,0204
18,83
0,0183
0,0163
1,087
1,972
1,761
1,565
0,004 26
0.002 04
0,0178
0,03
0,01

908
Приложение-
Меры длины I \\rt
i
Швеция ■
метрич., раньше: i
1 фамн = 3 ален = 6 футов = i
=60 дюймов = 1,7814 м 1 0,5614
1 миля = 10,6886 км OJ0936
i
1
1
Югославия
метрич., раньше:
1 аршин или риф=0,6858 м
1 агач = 5,001 км
Южная и Центральная
Америка х)
метрич., также старокастильск.:
1 вара = 3 пике = 4 палмос =
=0,8359 м
1 вара (в Колумбии) =
= 4 куартас=0,80 м
1 вара (в Чили) =0,8475 м
1 вара (в Эквадоре) =0,848 м
1 ярда (в Колумбии)=0,91 м
1 легуа в 3 мильи=5,572 км
1 легуа (в Колумбии) =
=62,5 куадра=5 км
Ялония
метрич. и английская,
кроме того:
1 шаку кане = Ю сун = 100 бу =
=0,303 м
1 ри = 36 чо=2160 кен по
6 шаку =3,927 км
1 шаку для материи =0,379 м
1,458
0,200
1,1963
1,25
1,18
1,18
1,0989
0,1795
0,2
СО <£>Ю
1 Щ
г --г г ii- iiiii 1МГ---|-- ii in i и
Меры поверхности | \\п
метрич., раньше:
1 тунланд=2 шпанланда=
= 32 каппланда = 56000 кв.
фут. =0,493 641 га
метрич., раньше.
1 ланац=57,55 а
метрич., также старокастильск.:
1 ареа (в Колумбии) = 10 м*
1 фанегада (в Венецуэле) =
= 0,6987 га
1 фанегада (в Колумбии) =
=0,64 га
1 кабальериа (в Костарика) =
= 40,07 га
метрич. и английская^
кроме того:
1 кв. чо = 10 тан по 300 цубо
или бу=0,99 га
1 цубо=36 кв. шаку=3,3 м*
2,025 76
0,0174
1,4456
0,156
0,0249
1,0101
0,303-3
х) Данные применимы для Чили, Колумбии, Костарика, Эквадора. Гватемалы,
Гондураса, Никарагуа, Сальвадора и Вгнецуэлы, но в отдельных государствах более или
м.е"е€ отличаются от старых мер

Меры я йесй . различны* страя
909
Меры объема и емкости
1/л
Меры веса
Мп
Швеция
метрич.* раньше!
1ам=6 куб. фут.=60 канн =
= 1,570 313 гЛ
1 тонна = 1*6489 гл
Югославия
метрич., раньше:
1 акоз=40 ока =56,59 л
Южная и Центральная
Америка
метрич., также старокастй"льск.:
1 кахиз=12'фанег1) по 12 се-
лемин=6,66 гл
1 кантара=8 акумбр по 4 к>-
артилья = 16,328 л
1 мой о = 2,5826 гл
1 пипа = 4,3570 гл
1 бота = 4,8411 г а
1 галлон (в Колумбии) для
масла =3,78 А
1 ботслла (в Колумбии)=0,7 л
Алмуд. колумбийская мера
хлеба
Япония
метрич. и английская,
кроме того:
} шо по 10 го = 1,803907 л
1 коку ==ю ту по 10 шо =
. =1,803907 гл
1 тате цубо =6,0105 ма
0,6368
0,6065
0,0177
0,1501
0,0612
0,3872
0,2295
0,2066
0,2646
1,4286
0,5544
0,5544
0,1664
Метрич., раньше!
1 центнер = 100 скольфунтов по
100 орт=42,507 58 кг
1 судовой фунт = 170,028 кг
1 судовой ласт = 5760 фунт. =
= 2450 кг
метрич., раньше:
1 товар = 100 ока = 127,8 кг
метрич.. также старокастильск.:
1 квинтал = 4 арроба =
= 100 либр = 200 маркам =
= 1600 унций г.о 16 адарм =
= 46,0093 кг
1 кастельяно (в Колумбии для
золота) = '/,oo чибры = 4,6 г
1 тонелада = 20 квинталов =
= 920 кг (в Колумбии 1000 кг)
1 карга (в Колумбии) =0,125 т
1 квинтал (в Колумбии) = 50 кг
1 квилат (в Колумбии для
золота и драгоценных камней)=
= l/i5oo либры=0,2 г
метрич. и английская,
кроме того:
1кин=160 момме = 1600 фун
по 10 рин =0,600 кг
1 кван по 1000 момме =
=3,7565 кг
1 пикуль*)=1С0 кеттис = 6Э,0 кг
1) Фанега часто отличается от приведенной величины.
2) Необщеупотребительный китайский вес.

910 Й»мЛо*е«иа
Допускаемые погрешности для основных
измерительных приборов
во Положению о мерах и весах для Германской империи ot 8 ноября 1911 года
В редакции от 3 мая ШО г. (извлечение)
I. Измерение длины и поверхности
Таблица 1. Допускаемые погрешности для линеек и рулеток
Измерительный
прибор
Металлические 1
линейки |
Линейки
из другого ма- \
териала 1
Рулетки <
Общая длина
в м
От 10 до 7 включ.
я 6 . 4 „
3 и 2
1
0,5 0,2 0,1
От 10 до 7 включ.
.6.4 „
„ 3 . 2 „
1
0,5
0,2 и 0,1
50 и 40
От 30 до 20 включ.
15
От 10 до 7 включ.
„ 6 „ 4 ,
3 и 2
1
0,5
Допуск.
по-
[грешн.
в мм
6
4
2
1
0,5
12
8
4
2
1
0,5
16
12
8
6
4
2
и»
1
~ттт^т*ЯЯВЯВв&ЯШВВЯВЯЯЯ*ш—^Ч^ВЯЯЯХ2ЯВЯЯВЯЯВВ»
Допускаемая
погрешность для делений:
1. В мерах длиною свыше 3 м
для расстояния какого-либо
деления от ближайшего к нему конца
линейки (рулетки)—половина
погрешности, допускаемой для всей
длины.
2. В мерах длиною в 3 м и ниже
для расстояния какого-либо
деления как от одного, так и от
другого конца линейки (рулетки)—
такая же погрешность, как и для
всей длины.
3. В мерах любой величины
допускается разница в длине
соседних сантиметров и
полусантиметров—1 .ил, разница в длине
соседних миллиметров и
полумиллиметров— 0,2 мм.
Таблица 2. Допускаемые погрешности для измерителей толщины (Kluppmasse)
Измерительный
прибор
Измеритель |
толщины из \
металла \
Общая длина
в м
От 2 до 1,6 вкл.
. 1,5 . 0,6 „
0,5 и ниже
Допуск.

погреши.
в мм
2
1
0,5
1 i =—яваввааваии—es^ggg»
Допускаемые
погрешности для расстояний
между свободными
концами измерительных
приборов, при отсчете этого
расстояния по масштабу:
1. При измерителях толщины
из дерева — погрешность в
тройном размере.
2. Для измерителей из других
материалов допускается двойная
против предельных погрешностей,
установленных для всей длины.

BotifemtfoeHl Дл* «W»|tMem.iUi aiwftot»»
911
(Продолжение)
Измерительный
прибор
Допуск*

погреши,
в мм
Измеритель
толщины из
другого
материала
От 2 ДО 1,6 вкл.
„ Ь5 . 0,9 „
. 0,8 . 0,6 „
0,5 0.4 0,3
0,2 и ОД
4
2
1,5
1
0*5
Допускаемые
погрешности для делений:
1. Для расстояний какого-либб
деления от начала (нулевой точки)
измерительного прибора
погрешности остаются такими же, как и
для всей длины.
2. разница в длине соседних
сантиметров или полусангиметров
в 1 мм.
3. Разница в длине соседних
миллиметров и
полумиллиметровое мм.
Допускаемые погрешности для приборов для измерения
поверхности
Допускаемые погрешности для каждой поверхности в пределах данной меры
составляют l/s0 ее номинальной величины
II. Меры жидких тел
Таблица 3
Допускаемые погрешности при мерах
в 1 л или более 1/в00 объема
5 см»
0,5 л ...
0,2 и 0,1 л
0,С5 л .
0,02
0,01 . . . .
2 ,
1
0,8
0,4,
2,5
III.
Меры сыпучих тел
Таблица 4
Допускаемые погрешности в
цилиндрических мерах в
100 л . . .
59 . . . .
20 „ ...
10 ... .
5,.,.
2„ . . .
1 и 0.5 л .
0,2 и ОД л
Офл. .
801 см*
400 ,
2(0 .
1») „
50 .
20 „
10 .
4 .
2 .
5 „
IV. Гири
Таблица 5
а) Допускаемые погрешности для торговых гирь, Ь) допускаемые погрешности
для точных гирь )
Вес гири
5 кг
2 „
ь .
5 .
2 .
1 .
5 .
2 .
1 щ
а
Г г
8.
5 .
.2 мг
24 .
2 .
2,5 г
1.2.
'.8„
Ъ
5 г
4 .
2,5 .
12 мг
6 „
4 .
1 2> г
с.ь „
0.4 .
Вес гири
500г
2Г>. .
2UO „
125 и
1ии »
50 .
20 „
ю.
000 мг
а
500 мг
23) .
*00 „
140 .
120 „
НЮ .
60 .
40 .
Ь j
250 мг
100 .
70 .
60 „
50 .
зп „
2) ,
2 .
Вес гири
200 мг
100 .
50 „
20 .
10 „
5 „
2 .
1 п
а
}-
\
}-
—
—
Ъ
2 мг
\ 1 .
0.5.
0,4.
Ъ2.
*) В отношении золотых монет существуют особые постшоалеина-

812
Приложение
V. Весы
Таблица 6. Допускаемые погрешности торговых введи
Тип весов
Наибольшая
допустимая нагрузка
ДгЗпуСкаеМая погрешность
Равноплечные весы
ICO i или меньше
от 1QQ г до 200 г
„ 200 „ « 5 кг
# 5 кг * 10 „
10 кг или 1*ыше
4 мг на каждый г при
максимальной нагрузке
400 Мг
2 мг на каждый г при
максимальной нагрузке
10 г
1 г на каждый кг при
максимальной нагрузке
Десятичные и сотенные
весы
1,2 г на каждый кг при
максимальной нагрузке
Весы с включаемыми -
гирями
Сложные весы с
передвижными гирями
Платформенные весы с
передвижными гирями
12 кг или меньше
от 12 кг до 20 кг
20 кг или выше
2 г па каждый кг при
максимальной нагрузке
24 г
1,2 г на каждый кг при
максимальной нагрузке
Простые безмены с
передвижной гирей
2 г на каждый кг при
максимальной нагрузке
1 кг или меньше
Весы со стрелочным
указателем
от 1 кг до 2 кг
„ 2 „ „ 12 „
„ 12 . „ 20 „
„ 20 ,. или выше
4 мг на каждый г при
максимальной нагрузке
4 г
2 г на каждый «г при
максимальной нагрузке
24 г
1,2 г на каждый «-г при
максимальной нагрузке
При нагрузке ниже максимальной допускаемая погрешность равна величине,
которая получается для данной нагрузки по табл. 6, однако, не меньше одной пяюй
погрешности, допускаемой при максимальной нагрузке; но для весов со стрелочным
указателем при шкале меньше, чем на 2000 лгг, допускаемая погрешность не меньше
величины, которая получается как допускаемая погрешность при максимальной
нагрузке данных весов; при шкале на 2000 кг и больше величина погрешности
принимается в 2400 г. есш эти величины больше, чем одна пятая погрешности, долу-
скаемои при максимальной нагрузке. Для точных весов, для автоматических весов
и весов для железнодорожные грузов и почтовых отлравкнип существуют особые
нормы.
Перевод времени
За общее мировое время (одновременно западноевропейское время) принято
время по гринвичскому меридиану, за среднеевропейское время — время- по. 15"
восточной долготы, следовательно, среднеевропейское время равняется всемирному
времени-t-1 час, восточноевропейское время (по 30° вост. долготы) равняется
всемирному времени+2 часа. В Сев.-Амер. Соед. Штатах имеются 5 поясов, в которых
время отстает от всемирного времени на 4, 5, 6, 7 и 8 часов.

Перевод лрлмсни
913
Раз и и на между местным временем и среднеевропейским
временем
(знак 4- обозначает, что местное время впереди;
Название
места
Аахен ... —
Тильзиг .
Аделаида.
Амстердам
Антверпен
Афины . .
Байа . • .
Бангкок .
Барселона
Батавия .
Бейрут. .
Берн . . .
Бомбей. .
Брюссель .
Будапешт .
Буэнос-Айр(
Бухарест.
Чикаго . . .
4
+
—
+
+
t
+ ■
+ |
2С —
+
Дерпт (Юрьев)-^
Генуя . .
|ч.
о
о
8
И>
о
о
з
5
0
6
1
о
з
о
о
4
0
6
0
0
м.
35
27
4
40
42
34
33
42
51
7
21
30
51
42
16
53
44
50
46
24
сек.
42
39
20
11
23
53
58
4
25
33
55
14
16
31
15
29
27
27
53 !
19
Название
места j
Гринвич . . —
Гаванна . .—
Гельсингфорс •+-
Гонконг . . -
Каир . . . . -
Калькутта . -
Капштадт . -

Константинополь ...-}-
Лиссабон . . —
Лондон . . . —
Мадрид . . —
Милан . . . —
Манилья . . +
Мельбурн . 4* J
Мексико . : —
Нью-Йорк . —
Осло . . . . —
Панама. . . —
Париж . . . -
ч.
1
6
0
6
1
4
0
о
1
! 1
1
о
7
8
7
5
0
6
0
знак —
м.
0
29
39
36
5
53
13
55
36
0
14
23
3
39
36
55
17
18
50
сек
0
55
49
42
9
19
55
56
45
37
45
14
50
54
27
54
6
9
39
что местное время отстает)
Название
места j
Пекин . . . -f-
Филадельфия —
Рига . . . . -f-
Рио-де-Жаней-
ро . . . .—
Рим . . . .—

Сан-Франциско . . . . —
Занзибар . .4-
Шанхай . . -f
Сингапур . 4-
Стокгольм . 4*
Сидней . . . 4- i
Вальпараисо —
Варшава . . 4-
Вашингтон . —
Вена . . . . 4-1
Иокагама . 4 i
ч.
6
6
0
3
0
9
1
7
5
0
9
5
0
6
0
8
м.
45
0
36
52
10
9
36
5
55
12
4
46
24
8
5
18
сек.
53
38
28
41
35
43
46
57
25
14
50
34
7
16
21
53
В СССР принято общемировое деление на пояса, причем в пределах СССР
имеем от второго до двенадцатого пояса с разностью между поясами в 1 час.
Официальное время во всем СССН на 1 час впереди поясного времени.
Разница между местным и общемировым временем для главнейших городов
СССР представлена на следующей таблице.
Для сравнения со среднеевропейским временем нужно цифры таблицы
уменьшить на 1 час.
Название города
Алма-Ата
Ростов . •.
Томск
№ пояса
2
2
! 2
2
3
5
9
2
6
2
2
5
6
9
Впереди с
час.
2
2
2
1
2
5
8
2
5
2
2
4
5
4
9
общемирового времени на
мин.
30
1
24
52
59
7
37
2
31
3
38
37
39
58
0
сек.
17
1
54
14
11
46
31
1
40
2
51
11
51
27
12
При пересечении кораблями 180° долготы меняются показания календаря.
При направлении на запад—на одно число вперед, причем теряется один день
недели, при направлении на восток—повторяется тоже число и тот же день неделя.
58. HiWe, Справочник для инженеров, т. I.

914
Приложение
III. Сравнительные таблицы и таблицы
перевода мер и весов
А. Меры длины
Предварительное замечание. Приведенные в нижеследующих таблицах меры
исчислены для нормальной температуры в 0°. Чтобы получить эти меры для
нормальной температуры в ^0°, нужно указанные числа при переводе метрических
мер в неметрические меры помножить:
для линейных мер на 0,999 962
„ квадратных мер 0,999 924
» кубических * „ 0,999 886
а при переводе из неметрических мер в метрические:
для линейных мер на 1,000 038
» квадратных мер „ 1,000 076
в кубических „ 1,0- 0114
(например, 1 англ. дюйм при 0° = 25.3S9 978 мм, при 20° = 25,40095 мм).
Таблица 1. Сравнение мер некоторых стран с метрическими мерами1)
В графе а перевод в метрические меры, в графе b перевод из метрических мер
(величины, обратные величинам графы а)
Футы
Квадратные
футы
Кубические
футы
Пруссия . .
Дания . . .
Бавария . .
Саксония . .
Австрия • .
Англия . . .
САСШ . . .
СССР . . . .
Норвегия . .
Франция . .
Вюртемберг
Баден . . . .
Швейцария .
Швеция . .
1 фут ==
=12 дюймам
6 фут =
=10 дюймам
0,3139
0,2919
0,2832
0,3161
,0,3048
0,3138
0,3^48
0,2865
0.3С00
0,2969
3,1862
3,4263
3,5312
3,1637
3,2808
3,1872
3,0784
3,4905
3,3333
3,3681
0,0985
0,Г852
0,С802
0,0999
0,0929
0,Г985
0,1055
0,С821
0,0900
0,0882
10,152
11,740
12,469
10,108
10,764
10,158
9,4768]
12,184
11,111
11,344
м*
0,0309
0/249
0,^227
0,0316
0,0283
0,03°9
0,0343
0,02d5
0,0270
0,0262
32,346
40,224
44,032
31,660
35,315
32,378
29,174
42,528
37,037
38,208
Линия ("') обозначает при двенадцатидюймовом футе одну двенадцатую часть
дюйма ("), при десятидюймовом футе — одну десятую часть дюйма.
') Хотя во всех германских государствах официально введена метрическая
система мер и весов, но часто в области сельского хозяйства употребляются и старые
единицы измерения.

Таблицы для сравнений и перевода мер и весов 915
Руты (клаф-
теры, сажени,
туазены,
фамны)
Квадратные
руты
Кубические
руты
Пруссия 1 рут = 12 ф. . . .
Бавария 1 рут = 10 ф. . . .
Саксония 1 рут = 1546 Ф- •
Вюртемберг 1 рут = 10 ф. .
Швейцария } » РУТ=10 *
Австрия 1 клафтер=6 ф. .
£££ }ip»T-iw#.
СССг» 1 сажень=7 ф. . . .
Дания 1 рут = 10 ф
Швеция 1 фатн=6 ф. . . .
Франция 1 туазен=6 ф. . .
м
3,7662
2,°186
4,2^50
2,8649
3.C0C0
1,8965
5,0292
2,1336
3,1335
1,7814
1,9490
0,26552
0,34263
0,2«*283
0,34905
0,33333
0,52726
0,19884
0,46870
0,31862
0,56136
0,51d07
м*
14,185
8,5181
18,447
8,2077
9.С000
3,5971
25,293
4,5521
9,8502
3,1734
3,7887
0,070499]
0,1174') '
0,0542( 8|
0,12184
0,11111
0,27800
0/~39538]
0,21968
0,10152
0,dl512-|
0,26324
ж»
53,423
24,861
79,233
23,515
27,С00
6,8224
127,20
9,7123
30,915
5,6531
7,4039
0/48719
10.04Г223
0,' 12621
0,042527
0,037037
0,146580
0,0078618
0.Ю2Р6
0,n.j2J47
0,176895
0,13506
Мили
1 градус экватора — 111,337 км% четверть меридиана по Бесселю = 10 000 856 м.
1 средний градус меридиана=60 морских миль=1/во четверти меридиана =111,121 км
■
Германская географическ.
миля ='/« град, экват. .
Северо-германск. м. 1Р68 г.
Морская м. = Vgo градуса .
ДаРтУсСкСаКяаЯ„И- И«» *' '
Баденская м. = 29 629,6 ф. .
Вюртембергская м
Австрийская м. = 24 Г00 ф.
Шведская м. = 3604) ф. . .
Норвежская м.=36000 ф. .
Английская сухопутная
миля (статут • милю =-
= 5280 ф.
а
км
7,4104
17,50'И
1.852
7,5325
8,88°0
7,^204
7,4487
7,5859
10,6884
11.Л55
J 1,6093
Ъ
0,1348
0,1ЗлЗ
( ,540j
0,1328
0ДГ5
0,134^
(,1343
0.U18
0,(Яз6
0,0885
0,6214
Английская морская миля
(sea n,ile)=6G80 ф.
щ (старое)
морское лье
Французская новая морск.
миля
Испанская новая легуа . .
Португальская миля . . .
Португальская новая легуа
Швейцарская вегштунде =
= 16 0 0 ф.
Русская верста=50j саж..
а
км
1,85%
4,4519
5,5556
1,Р52
6,6872
b
0,53%
0,2246
ГД800
0,5400
0,14^5
2,0656i с ,4841
5Д00 0,2000
1 4,8001
1,С668
0,2083
0,9374

916
Приложение
Прусский морген = 180 кв
рут
Баварский тагеверк =
=4С0 кв. рут
Саксонский акр=сЮ0 кв.
рут
Вюртембергский морген =
=4С0 кв. рут
Баденский морген и
швейцарский юхер = 400 кв. р.
Австрийский (венс*кий)
йох = 1б 0 кв. клафтер .
Меры
а
?а
0,2553
0,3407
0,5534
0,3152
0,3600
0,5755
земельных площадей
b
3,9166
2,9349
1,806?
3,1729
2,7778
1,7377
1 1! •
Югославский ланатц . . .
Английский и сев.-америк.
акр=16Э кв. рут
Русская десятина=2400 кв.
саженей
Датская тонна—560 кв. р..
Шведская тонна=56 С00 кв.
футов
Испанская фанегада . . .
Португальская грира . . .
га
1 0,5755
0,4047
1,0925
| 0,5516
0,3937
0,4936
0,644
0,5896
b
1,7377
2,4711
0,9153
1,8128
2,54С0
2,0258
1,5528
1,6961
А
Прусская кварта = 64 куб.
дюйма
Баварский штоф=0,043куб.
фута
Саксонский (дрезденский)
штоф=71,186куб. дюйма
Вюртембергская мера
жидкости (Helleichmass) =
«в 78,125 куб. дюйма
Баденская и швейцарская
масса (Mass)=0,05556 куб.
фута
Австрийская масса =
■=0,0448 куб. фута
Аеры е
1 а
л
1,1450
1,С690
0,9356
1,8371
1,5000
1,4147
мкости
0,8733
0,9354
1,0688
0,5444
0,6667
0,7069
для жидкостей
Датский потт
Русская кружка (штоф) =
= 75,<'57 куб. дюйма
Английский имперский
галлон (1878 г.)=277,274 куб.
дюйма !)
Сев. •америк. галлон =
= 5/в имперск. галлона =
= 231 куб. дюйм.
Шведский штоф (каппе)=
= 100 куб. дюйм.
Норвежский потт=54 куб.
дюйма
~тл
а
л
0,966
1,2299
4,5435
3,7854
2,6172
0,9653
1,0352
0,8130
0,2201
0,2642
0,3821
1,0359
М
Прусский шеффель =
=3072 куб. дюймов.
Баварский шеффель=
= 2С8 штофов
Саксонский (дрезденский)
шеффель=7900 куб.
дюймов
Вюртембергск. шеффель =
=7537 куб. дюймов
Баденский мальтер =
= 100 масс (Mass)
еры ем
а
0,5496
[ 2,2236
1,0383
1,7723
1,5000
1КОСТИ
b
1,8195
0,4497
0,9631
0,5642
0,6667
для сыпучих тел
————■—ш^—^^~
Австрийская (венская)
метце = 1,9471 куб. фут .
Англ. бушель=8 галлонов .
Русский четверик=
= 1601,2 куб. дюйм.
Шведский шпанн = 28
штофов
Норвежская тонна=
=7776 куб. дюймов
а
гл
1,391
0,6149
0,36с£
0,2624
0,7328
1,39
b
0,7189
1,6264
2,7512
3,8111
1,3646
0,7194
1) Ср. стр. 1077.

Таблицы для сравнения и перевода мер и весов 917
Таблица 2а. Перевод старых прусских мер в метрические
Фут I
Кв. фут
Куб. фут 1
1 1
2 !
8 I
4 !
6 !
6
7
8
9
и*
0,313 85
0,627 7
0,9415
1,255 4
1,569 3
1,8831
2,197 0
2,510 8
2,824 7
Л»
0,098 50
0,197 01
0,295 51
Р.394 Г 2
0,492 52
0,591 02
0,689 53
0,788 03
0,886 54
" "
JK»
0,030 92
0.С61 83
0,092 75
0,123 66
0,154 58
0.185 49
0,216 41
0,247 33
0,278 24
| Дюйм
Кв. дюйм
1Куб. дюйм
, 1
2
3
4
5
6
7
8
9 |
1
1 см
1
2,615 4
j 6,230 9
! 7,846 3
1 10,462
13,077
! 15,693
18,3(8
20,924
23,539
см*
6,840 6
13,681
2* ,522
27,362
34,203
41,043
47,884
54,724
61,565
1,1 ',"
см*
17,891
35.782
53,673
71,564
89,456
107,35
125,24
143,13
161,02
Таблица 2Ь. Перевод метрических мер в старые прусские меры
иг, л».
1
2
3
4
5
6
7
8
9
м* У Фут
! 3,186 2
6,372 4
i 9.558 6
; 12,744 8
!! 15,9310
\, 19,117 2
li 22,3J3 4
! 25,489 6
| 28,675 8
Дюйм
38,234
76,469
114,703
152,038
191,172
229,406
267,640
305,875
344,109
Кв; фут
10,152
20,304
% 30,456
40,607
60,759
60,911
71.Г63
81,215
91,367
Кв. дюйм
1 461,9
2 923,7
4 385,6
5 847,5
7 309,3
8 871,2
10 233,1
11 695,0
13 156,8
Куб. фуг
32.346
64,692 ,
97, 38 '
129,384
161,729
III
Куб. дюйм
55 894
111 787
167 681
223 575
279 468
335 362
391 256
447150
503 043
Таблица За. Перевод английских футов в метрические меры *)
Фут
Кв фут
Куб. фут
1
2 j
3
4
5
6
7 1
8 j
9
j м
0,304 8^0
0,6j9 599
0,914 399
1,219199
1,523 999
1,828 798
I 2,133 598
2,438 398
2,743 198
м-
0,r92 903
0,185 8-6
0,278 709
0,371 612
0,464 514
0,557 417
0,650 320
0,743 223
0,836 126
м*
0,018 317
0.056 634
0,f 84 950
0,113 267
0.141 584
0.169 901
0,198^17
0,226 534
0,254 851
I Дюйм
Кв. дюйм
Куб. дюйм
1 1
з
4 1
5
?
1
см ' см*
2,540 0
5/80 0
7,6200
10,1600
12,7и0 0
1 15.24J0
17,780 0
20,320 0
22,860 0
6,4516
12,9j3 2
19,354 8
25,8' 6 3
32,257 9
38,709 5
45,161 1
51,612 7
58,ШЗ
см%
16,387
32,774
49,161
65,648
81,935
98,322
114,709
131,096
147,483
Таблица ЗЬ. Перевод метрических мер в английские футы *)
w, л**, мъ || Фут | Дюйм
1
2
3
4
8
6
7
8
9
1 3,280 8
; 6,5617
9,842 5
! 13,123 4
! 16,404 2
; 19,6851
22,965 9
26,246 7
, 29,527 6
30,370 1
78,740 2
118,110 3
157,480 5
196,850 6
236,2207
275,590 8
314,960 9
354,331 0
Кв. фут
10,763 9
21,537 8
32,291 8
43.Г55 7
53,819 6
64,583 5
75,247 4
86,111 4
| 96,876 3
-■■■-■-— —
Кв. дюйм | Куб. фут | Куб. дюйм
1550,01
31(0,01
4 650.Г2
6 200.02
7 75С,ГЗ
9 300,04
10 850,04
12 400/5
13 950.С6
35,314 7
70,629 5
105,944 2
141,259 0
176,573 7
211.888 5
247,203 2
282,518 0
| 317,832 7
61 023,9
122 047,8
183071,7
244 095,6
305 119,6
366143,5
427 167,4
488 )9М
549 216,2
Русские меры в футах почти полностью соответствуют английским мерам
в футах. Таблица перевода английских мер в большинстве случаев пригодна и для
русских мер.
') Таблицы значений от 0 до 109 приведены ниже.

918
Приложение
Таблица 4. а) Перевод английских статутных миль в километры
Ь) Перевод километров и английские статутные мили
а) хтатут. миля=*8 фурлонг,=1760 ярд.=5280 фут. =1,609 342 6 км
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 <>
16,093
32,187
48,480
64,374
80,467
96,561
112,654
128,747
144,841
160,934
1
1,609
17,703
33,796
49.8Р0
65,983
82,076
98,170
114,263
130,357
146,450
162,544
2
3,219
19,312
35,406
51,499
67,592
83,686
99,779
115,873
131,966
148,С60
164,153
з
4,828
20,921
37,015
53,108
69,202
«5,295
101,389
117,482
133,575
Ь9,669
165,762
4
6,437
22,531
38,624
54,718
70,811
86,904
102,998
119,091
135,185
151,278
167,372
5
8,047
24,140
40,234
56,327
- 72,420
88,514
104,607
120,701
136,794
152,888
168,981
6
9,656
25,740
41,843
57,936
74.03J
90.123
106,217
122,310
138,403
154,497
170,590
7
11,265
27,359
43,452
59,546
75,639
91,733
107,826
123,919
140,013
156,1(6
172,200
! 8
12,875
28,968
45,062
61,155
77,248
93,342
109,435
125,529
141,622
157,716
173,809
9
14,484
30,577
46,671
62,764
78,858
94,951
111,045
127,138
143,231
159,325
175,418
Ь) 1 км~ 0,621 372 стат. мили
6,213 72
12,427 4
18,641 2
24,854 9|
31,068 6
37,282 3
43,496 0
49,709 8
55,923 5
62,137 2|
0,621 37[
6,835 (9
13,048 8
19,262 5
25,476 3
31,690 0
о7,903 7
44,117 4|
50,331 1
56,544 9|
62,758 б|
1,242 74
7,456 46
13,670 2|
19,883 9
26,097 6
32,3113!
38,525 1
44,7d8 8|
5^.952 5
57,166 2
63,o79 9
1,864 12
8,077 84
14,291 6
20,505 3
26,719 О
32,932 7;
39,146 4
45,360 2
51,573 9
57,787 б|
64,001 3|
2,485 491
8,6С9 21
14,912 9
21,126 6
27,340 4
d3,554 1
39,767 8
45,981 5
52,195 2
58,4J9(
64,622 7|
ЗДС6 86
9 320 58
15,534 5
21,748 0
27,961 7
34,175 5
40,389 2
46-,0О2 9
52,816 6
59,030 3
62,244 1
3,728 231
9,941 95
16,155 7
22,369 4|
28,583 1
34,796 81
41,< 10 6
47,224 3
53,438 0
59,651 7
65,865 4!
14,349 60
10,563 3
16,777 0
22,990 8
29,204 5
|35,418 2
41.631 9
47,845 6
[54,059 4
(60,273 I
6С.486 8|
4,970 98|
11,184 7
17,398 4
23.612 1
29.825 9
36,039 6
42,253 3
48,467 0
54,680 7
60,894 5
[67,108 2j
Таблица 5. а) Перевод английских морских миль в километры
Ь) Перевод километров в английские морские мили
а) 1 морская миля = 6080 фут. = 1,853182 4 км
5 1 6 I 7 I 8 1
[5,592 35
11,8061
18,019 8
124,233 5
30.447 2
[36,660 9
42.t74 7
49.С88 4
55,302 1
61,515 8
67,729 5
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
104
18,532
37; 64
55.595
74,1 J
9^,659
111,191
129.7:3
148.255
166,786
185,318
1,853
2<\о85
38,9 7
57,449
75,Г8"
94,512
113,'44
131,576
15', V 8
168,64
187,171
3,7» 6
22,238
40,770
59,3 2
77,834
96,.5б5
114,8.7
133,429
151,961
17 \4РЗ
189,125
5,56Э
24,0 1
42,623
61.155
79,687
98,219
116,75"
135,282
153,814
172,346
190,878
7,413
25,945
44,476
63,0 8
81,540
1(Х,С72
118,6'4
137.135
155,667
174,199
192,731
9,266
27,798
46,33')
64,861
83,393
101,925
12 ,457
138,989
157,5-il
176,052
194,584
| 11,119
2Р.651
48,183
66,715
85,246
«03,778
122,310
140,842
159,374
177,9Гб
196,437
| 12,972
1 31,5'4
50,036
68,568
87.10Г
К 5,631
124.16J
142,695
161,227
17^,759
198^91
14,825
33,357
51,889
70,421
88,053
К 7,485
126,016
144,548
163,080
181,612
200,144
16.679
35.-10
53,742
72.Л4
90,806
1(19,338
127,870
146,401
164,933
183,465
201,997
Ь) 1 км=0,539 612 морской мили
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
5,396 12
1< ,792 2
16,188 4
Л.584 5
г6^8 * 6
32,376 7
37.772 8
43.169 (
48,565 1
| 53,961 2
0,539 61
5,935 73
П.3319
16,7*8 (
^2,124 1
27,520 2
3->,916 3
38,312 5
43.708 6
49.1» »4 7
64,500 8
1,079 22
6,475 М
11,871 5
17,267 6
22,663 7
28, 5^8
33,455 9
о8,852 1
44,248 2
49,644 3
55,040 4
1,618 84
7,' 14 96
12.411 1
17.807 2
23.203 3
28,599 4
33,995 6
39,391 7
44.787 8
5>,183 9
55,580 0
2,158 45
7,554 57
12.05 7
18.346 8
23,742 9
29,139 0
34,535 2
39,931 3
45,327 4
50,723 5
56,119 6
2,698 06
8,L94 It
13,490 3
18,886 4
24,282 5
29,678 7
35,' 74 8
40,47.) 9
45,867 0
51,263 1
56,659 3
3,237 67
8...33 79
14,029 9
19,426 (
24,8 >2 2
3 .218 3
35.614 4
41,010 5
46,406 6
51.802 8
57,198 9
3,777 28
9.173 40
14,560 5
19,965 6
25,361 8
3 ,757 9
36,154 0
41.55)1
46.946 2
51,342 4
57,738 5
4.316 90
9,713 02
15,109 1
Л.505 3
25,9014
31,2-7 5
36,693 6
42,089 7
47,485 9
52,882 (
58,278 1
4.856 51
Ю.252 6
15.648 7
21.(44 9
26,441 0
31,837 1
17,233 2
42,Ь29 3
48,025 5
53,421 6
58,817 7

Таблицы для сравнения и перевода м«р и весов Q19
Таблица 6. а) Перевод английских ярдов в метрические меры
Ь) Перевод метрических мер в английские ярды
а) 1 ярд=3 фута =0,914 399 2 м
1
8
9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
9,143 99
18,288 0
27,432 0
36,576 0
45,720 0
54.864
64,(08С|
73,152 0
82,296 С
91,440 01
0,914 4Г[
10/58 4
19,202 4
28,346 4
37,490 4
46,6 Н4[
55,778 4
64,922 4
74,066 4
83,210 4
92,354 4
1,828 80
10,972 8|
20,116 8
29,260 8|
38,4' 4 8
47,548 8
56,692 8
65,836 8
74,980 8
84,124 8
93,268 8
2,743 2Г
11,887 2
21,031 *|
ЗМ75 2
39,319 2
48,463 2
57,6 7 21
66,751 2
75,895 2
85,039 2
94,183 2
3,657 60
12.801 6
21,945 6
31,089 6
40,233 6
49,377 6
58,521 6
67,665 6
76,809 6
85,953 6
95,097 6
4,572 ГО
13,716 О
22,860 О
32.(04 0
14,630 4
23,774 4
132,918 4
41,148 0J42,C62 4
50,292 О
59,436 О
68,580 О
77,724 О
86,868 О
96,012 О
5,486 4Cj
51,2'6 4
6 ),350 4
169.494 4
78,638 4
87,782 4
96,926 4
[6,400 т
15,544 8
24.688 8
133,832 8
42,976 8
52,120 8
61,264 8
7.315 19
16,453 21
25,6 3 -|
[34.747 2,
43,891 2
53,^35 2
62,179 2,
70,408 8 71,323 2
79,552 8 80,467 2
88.696 8 89,6112
97,840 8,93,755 2
8,229 59
|17,о73 6
26.517 6
о5,6616
44,805 6
53,949 6
63,093 6
72,237 6
813816
90,525 6
99,669 6
Ь) 1 м= 1,093 614 3 ярда
..
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10,93 61
21,872 2
132.8 8 3
43,744 4
54,680 5
65.616 6
76,552 7
87,488 8
98,424 9
К9,о61
1 1
1093 61
12,' 21 7
22,935 8
33,901 9
44,838 0
55,774 1
66.710 2
77,646 3
88,582 4
99,518 5
110,455
8
2,187 22
13,123 3
24,059 4
34.995 5
45,931 б'
56,867 7
67,803 8
78,7.59 9
89,676 0|
100,61 2,
111,548
3,28^ 83
14,216 9
25,15J0|
36.(89 1
47,025 2|
57,961 3
68.8^7 4
79.83J 5
90,763 6
101.706
112,642 I
4,374 44
15 310 5
26,246 6
37.182 7 (
48,118 8
59.054 9
63,991 О
80.927 1
91 8<П 2
Ю2.7Э9 ,
113.7J5 !
5,468 05 6,561 66
16.4^4 2 17.497 8]
27,340 3.28,433 J
38.276 4J39.37U 0]
49.212 5 50.3'Ъ 1
6 U48 6 61.242 2|
71,084 7 72.178 о
82.020 8 83.114 4
92.95S9;Q4,050 5|
1» 3.89 3 104,987
114,8291115,923
7,655 27
18.5 4 4
29,527 5
40,463«
51,399 71
8,748 88
19,685 О
130,621 1
41,557 2
152,4^3 3
62,335 8163.423 4
73.271 9
84,2.8 J
95.144 1
106,080
117,016
74.365 5
85,3 1 6
196,327 7
107,174
118,110
Q.842 49
20.778 6
31.714 7
4-.650 8
53,586 9
6*.523 О
75.459 1
.86.395 2
97,331 3
108..67
119,203
Таблица 7. Перевод 64-х долей дюйма в миллиметры *)
1 дюйм = 25,399 978 мм, '/«и дюйма— 0,396 874 7 мм
64-е доли гг
5
6=»/з,
7
8=*/8
9
10=*,,
12=»/ie
13
16 = i/4
мм
0,397
0,794
1,191
1,587
1,984
2, .81
2,778
3,175
3,572
3,969
4,зеб
4,762
5,159
5,556
5,°53
6,350
64-е долиtr
17
18 = ,,,
20=»/1в
21
23
24 = 8/g
25
26 = »/,,
28 = '/1в
29
30=15/и
31
32='/»
мм
6,747
7.144
7,541
7,9о7
8,334
8,731
9,128
9,525
9.922
10,319
10.716
11,112
11,5.9
11,9» 6
12,3*3
12,700
j 64-е доли "
33
Г"'"
36=>/1в
37
38=»/8,
39
40 = »/,
41
42=«/и
43
44 = %, !
45 1
46=,,,,
48«»/4 !
мм
13,097
ld.494
13,891
14.-87
III
16,272
16,669
17, 66
17,462
17,859
18,256
18,653
19,050 ;
64-е долиг'
49
50=«/м
52=»/1в
53
56='/,
57
38=*>/з,
59
6Э=»/,«
61
62=в»/м
и
64 = 1
мм
19,447
19.844
20,241
20,6ч*8
21.034
21431
21.828
22,225
22,622
23.(19
23.416
23,812
24,209
24,606
25, 03
25,400
') Пересчет 64-х долей дюйма при температуре в
„Bcriebshuae", 3 изд. 1Р29 г., ст. 2. Ц*к дюйма при 20° з
г25?4'0 95 мм-
20* см. DIN 890 и 89.?
? 0,396.890 мм; 1 дюйм =

920
Приложение
о-«ео* uxar^ae* os88:E «225:222 35SS3 3SK3S 8SS8
oq^c5 S c*^ ^.Н^Я^. *l<4
55 55 3 с ч*«
§§§§8
StOHNN
""Ж
SS88S 8S88S 888?S 888
§§^з§ %%§§§ iS^gl gs§
8Д83Д
8S?S$3 S3
S8S8S
ечюо
c3^£o>£»
8ДЗД8
4f t^O. C^lf
*ч iHriHNCS
SPO PO PQ CO
О VCOCN
RStfSS
cspq о opo
32388
S85S8S
83S8S 88*
рос
эстет со
'5cO(N«5
PO GO PQ Cft Tf
SSSSS SSSSS
Г>- CNh- CO CO
с53Д
§§£§3 $8888 ^SS8S $38855
PQ Tt"^Tf LQ
»-« f-Hi-i — CSCS
г-иоеч^со
&Д8Д
<Q <Q fi. t>. t^
388
iftTf^PO
юркое*
escopoa>Tf>
rf 25 o> »-« Tt*
©. cs ■*« f» en
PQ ^f ^* tf ^*
co&£8$
SfSfffeS
8Д8ДД
Ь-ОСМ1Л
3&8*!S 38
CQ ^* ^* ^ ^*
5&<£.©e<ho
0050 О О
g28£g
58388 885»?^ 88388 883
g>cotot>.t>» t>.Xco
е?238&
PO ^" ~У ^T ^
WP«Ht-«
v* W* t-4 »-• r-t ,—I ,-<,-(,-« ,«* ННИИИ «—< О О О О
•■V^o^'Ot-^ *^.uv°."4t^ *"1и3.01''Я1*" *~il4c^ ^^"1
:Ч
H^<OMt-i
—It-h^ <NCN СЧСЧРОГ>^5
SS38I
sssT
a in ->
2Д8ДД
WO)"nh LOC^POr^^H iSdJ^O'Nii-J U5 Oi *
•ss'tfs «SS5S4 s§fs«"s ss'ssa
b-CsJCO^O»
58gS^ SSfgf
(OtOIONN t*-h«CO
c?^223 2Й223 8?«?2SS S?^S
ЮЮЮЮЮ tOVtOSN t«^0O
-2
<r a- a- <d
JSRSSc? 55rtSSc^ ^rtSSS ^^S
co^^f^r^5 ююююю (oe«r»N t^c^oo
PO «OCO "5 Hi
SSioioS
•*8tfSS 8"»8*g
i-ioaMN
f.^^^ 5
^-i 50 ih г»» см
si^^s
»-■—■ ,-■ см eS
8Д^Д22в
Й88ЙЙ
81335
8ДДЙД %£Д£:Ц ^Дй-
5^£8Д
5sh
t^t^ 1^Г»00
^Й8^3 а2£
8S888
88S2S
CM <N CO сб "О
O) O^ CT> CTi Cft
O4 POt^t-^iC
CT5 СГ1 CT> СГ СЛ OJ С
I
^3coS^
tOOO 1-*
в«-СЧ<0* MXOC^ODOk O«<N00«* iO«et-.Q0c*
853S? Sc^RS^ olS^

SS Й8Й8% S5S3S 33S3g SSSSS B8B83 SSS8S 38S
II ill ilII ill lit! ill tilt f II
II III ffiMJt! ill ill lit li
ii §it em ми in mil m iff
S ill Mil ill IIII Hi Hi II
i ill! Hill IMi Hi lil lit jj
i Hi Hi iii Hi ill iii il
i ill IIII til ill ЖЖ ffi
I lit ill ill ill ill Hi III
i щи щи iii iiii in щи т
i §11 iii Iii iii iii Iii il
II Hi Iii ill Hi lllll iii il
3? юте-88й ill Hi SI §1111 III
ii iii iiii nil nil iii iii:::
I Hi ill ill eilll ill III II
§ tllg iii Iii lilt Eli Iii if
8 Sti flit iii Hi ill ifif tft
83 38S8S S5S3S 33533 SSSSS 8$53$8 SsSSSS $?!v
921

922
Приложение
Таблица 9. Перевод английских футов и дюймов в миллиметры
1 фут=304,79973 мм
Фут
0
1
2
3
4
5
в
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
23
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
62
63
64
Дюйм
0
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
132
144
156
168
180
192
204
216
228
240
252
264
276
288
300
312
324
336
348
360
372
384
396
408
420
432
444
456
468
480
492
504
516
528
540
552
564
576
58S
600
612
624
636
648
0"
о
305
61С
914
1219
1524
1829
2134
2438
2744
3048
335.*
3668
3962
4267
4572
4877
5182
5486
5791
60Г6
6401
6706
701U
7315
7620
7925
82оС
8544
883?
9144
9449
97о4
10658
10363
10668
10973
11278
11582
11887
12192
12497
128^2
13106
13411
13716
14021
14326
14 6Л
14935
15-40
15545
15850J
16154
16459
1"
25,4
330
635
94С
1245
1549
1854
2159
2464
2769
3073
3378
3683
3988
4293
4597
4*902
52Г7
5512
5817
6121
6426
6731
7036
7341
7645
7950
8255
8559
8864
9169
9474
9 779
10Г83
10388
106^3
10998
113г3
116'7
11912
12217
Ь522
12827
13132
13437
13741
14С46
14j51
14656
14961
15265
15574»
15875
16180
16485
2"
51
356
660
965
1270
1575
1880
2184
2489
2794
3099
3404
37С8
4013
4318
4623
4928
5232
5547
5842
6147
6452
6756
7С61
7366
7671
7975
828(
8585
8890
9195
9500
9804
10 If 9
10414
0719
11024
11328
И 63 J
119о8
12743
12548
12852
13157
13462
13767
14072)
14376
14681
14986
15291
15596
1590)
16205
16510
3" | 4"
76
381
686
991
1295
16Г0
1905
22К
2515
2819
3124
3429
3734
4039
4343
4648
4953
5258
5563
5867
6172
6477
6782
7087
7391
76°6
8001
83^6
8610
8915
922^
9525
9830
10134
1043е
10744
11049
1135
11658
11963
12268
12573
12878
13183
13487
13792
14097
1442
14707
15011
15316
15621
15926
16231
16535
102
406
711
1016
1321
1626
194'
2235
2540
2845
3150
3454
3759
4064
4369
4674
4978
528^
5588
589о
61с8
65Г2
68С7
7112
7417
77 2
8026
833Н
8636
8941
9246
9551
9855
1016и
10465
1077
11075
11379
11684
11989
12294
125е*
129 3
13208
13514
13818
1412
14427
14732
15037
15342
15646
15951
16256
16561
1 5"
127
432
737
1041
1346
1651
1956
2261
2565
2870
3175
3^80
3785
4Г-8Ч
4394
4699
5004
53'9
5613
5918
6223
6528
6833
7137
7442
7747
8^52
8357
8661
8966
9.71
9576
9881
10185
10490
10795
HIT
114^5
И7Г9
12014
12319
12624
1292е
13233
13538
13843
14148
14 454
14757
15062
15367
15672
15977'
16-81
1658,6
i
6"
152
457
762
1067
1372
1676
1981
2286
2591
2896
3200
3505
3810
4115
4420
4724
5029
5334
563°
5944
6248
6553
6858
716о
7467
777^
8'77
8382
8686
8991
9296
9601
9906
10210
10515
Ю820
11125
11430
11734
12039
12344
12649
12^54
13259
13564
13868
14 173
14478
1478о
15088
15302
15697
16002
16о07
16612
7"
178
483
787
1092
1397
1702
2007
2311
2616
2921
3226
3531
3845
4140
4445
4750
5'55
5359
5664
5969
6274
6579
6883
7188
74РЗ
77Р8
8102
84'8
8712
9017
9322
9627
9931
10236
10541
10846
11151
11455
11 760
12065
12370
12675
12079:
13284
13589
13804
141°9
14503
14808
15113
15418
15723
16027
16432
16637
8"
203
508
813
1118
1422
1727
2032
2337
2642
2946
3251
4556
3861
4166
447
4775
5'80
5385
5690
5994
620Р
66 М
69^9
7214
7518
7823
8128
8433
8737
9042
9347
9652
9957
10261
10566
10871
11176
11481
11785
12090
173^5
12700
13005
13310
13614
13019
14224
14529
14834
15138
15443
15748
1605j
16458
16662
9"
220
533
838
1143
1448
1753
2057
2362
2667
2972
3277
3581
3886
4191
4496
4801
5105
54Ю
5715
6020
6325
6629
6^34
7239
7545
784Q
8153
8458
8764
9068
°373
9677
9982
10287
10592
108^7
11202
115^6
11*811
12116
12421
12725
13030
13435
13640
13945
14240
14554
14859
15164
15469
15773
16078
16383
16688
10"
254
559
864
1168
1473
1778
2Г83
2388
2602
2997
3302
3607
3012
4216
45Л
4826
5131
5436
5740
6045
6j50
6655
6060
7264
7569
7874
8179
8481
8788
9J93
9398
97 >3
Ю(У8
10312
10617
10922
11227
11532
11836
12141
12446
12751
13^56
13360
13665
13970
14275
14580
14884
15189
15494
15799
16104
16408
16713
! цгг
279
584
889
1194
1499
1803
21(8
2413
2718
3024
3327
3632
4937
4242
4547
4851
5156
5461J
5766
6071
6375
668
6985
729»
7594
7899
82J4
85J0
8814
9118
9423
9728
10f33
10337
106*2
10947
И 252
11557
11861
12166
12471
1-776
13 81
13386
13691
130°5
143^0
14605
14°10
15215
15519
15824
16120
16434
16739
12"
305
610
914
1219
1524
1829
2134
24j8
2743
3048
3353
4658
3962
4267
4572
4877
5182
5486
5791
6096
6401
6706
7010
7315
7620
7925
8230
8334
8839
9144
9449
9753
Г 058
Ю363
Ю668
1 973
11278
11582
11887
12192
12497
128 >2
13106
13411
13716
14021
14326
14630
14935
15240
15545
15850
16154
16459
16764

Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
923
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Табл
0 |. 1
32.808
65,617
98.425
131,234
! 164,042
196,850
229,659
262.467
295,276
328,084
3,281
36,089
68,898
101,706
134,514
167,3^3
2 0,131
232,940
265.748
298,556
331,365
■ца 10.
2
6,562
39,370
72,178
104,987
111
269,029
301,837
334,646
Перевод метров в английские футы
1 ж=3,280 843 фута
3
9,843
42.651
75,459
108.268
141,076
173,885
206.693
239,501
272,310
305,118
337,927
4 | 5
13.123
45,932
78,740
111,549
11
275,591
308,39е)
341,207
16,404
49,213
82,021
114,829
147.638
180,446
213,255
246,063
278,871
311,680
344,488
6 ! 7 | 8 1 9
19,685
52,493
85,302
118,110
150,919
183,727
216,535
249,344
282.152
314,961
347,769
22,966
55,774
88,583
121,391
154,199
187,008
219,816
252,625
285,433
318,241
351,050
26,247
59,055
91,864
124,672
157,480
190,289
223,097
255.906
288,714
321,522
354,331
29,528
62,336
95,144
127,953
160.761
193,570
226,378
259,186
291,995
324,803
357,612
Таблица П. Перевод сантиметров в английские дюйм л
1 см=^0,393 701 13 дюйма
0|1|2|3|4|5|6|7
!
I
3,9 i7 0
7.874 0
11.8110
15.748 0|
19,685 1
23.622 1|
27,559 1|
31,496 1
35,433 1
39,370 1
0,393 7|
4.330 7
8,267 7
12,204 7
16,141 7
20,078 8
24,015 8|
27,952 8
31,889 81
34,8 6 8
39,763 8
0,787 4|
4.724 4
8.661 4
12,598 4
16.535 4
20,472 5
24,409 5
28,346 5
32.283 5
36.22') 5
40,157 5|
1,181 1
5.118 1
9,0 >5 1
12,992 1
16.929 1
20,866 2
24,803 21
24,740 2|
32,677 2
36 614 2|
40,551 2j
1,574 81
5,511 8
9,448 8
13,385 8
17,322 81
21,259 9
25,196 9
29,133 9
33 070 9
37,007 9
4J.944 9|
1,968
5,905
9,842
13,779
17,716
21,653
25 59)
29,527
33,464
47,401
41,338
2,461
6,299
10.236
14,173
18.110
22,047
25,£81
29.921
33,858
37,7<>5
41,732
2,755
6.692
10,629
14,566
18,504
22,441
26,378
30,315
34,252
48,189
42.U6
3,149 t
7,086 Cj
11,023 f I
14,960 6
18,897 7
22,834 7
26.771 7!
30,708 l\
34,645 7
38,582 71
42,519 7!
Таблица 12. а) Перевод русских верст в километры
b) Перевод километров в русские версты
а) 1 верста=5С0 саженей = 1,066 80 км
1|2|3|4|5|6|7
3,543 3
7.480 3
11,417 3
15.354 3
19,291 4
#,228 4
27,165 4
31,102 4
35,039 4
38,976 4
42,913 4
9
10.668 0
21,336 0
32,004 0
42.672 <
53,340 0
64.(Х 8 0
74.676 0
85.344 0
Q6.012 0
106,680
9,373 83
18,747 7
28.121 5
37.4Г5 3
46.869 1
56,243 0|
65,616 8
74.9<* 6
84,364 5
93,7«8 3|
1,066 80
11,734 8
22,402 8
33,070 8
43,738 8
54.406 8
65,074 8
75.742 8
86,410 8
97,078 8
Ю7,747
0.937 38
10.^11 21
19.С85 О
2Л658 9
38.432 7
47.806 5
57,180 41
66.554 2|
75.928 г
85.3 1 8
94,675 71
2,133 601
128 16
23,469 6
34,137 6
44,805 6
55.473 6
66.141 6
3,200 40
13,868 4
24,536 4
35,204 4
45.872 4
56,540 4
67,208 4
76,809 6, 77,876 4
87,477 6 88,544 4
98.145 6 99,212 4
108,8141 109,880
Ь) 1 км~
4,267 20
14,935 2
25,603 2
36,271 2
46,939 2!
57,607 2
68,275 21
78.943 2
89.611 2
100,279
110,947
5,334 00
16,002 О
26,670 О
37,438 О
48.0Г6 О1
58,674 О
69,342 О
80,010 О
90,678 0]
101,346
112,014
[6.400 80
17.068 8]
127.736 8
38,404 8
49,072 8!
59,740 8
70,4'8 8
181,076 8
191.744 8
102,413
113,081
7,467 60
18,135 6
28,803 6
39,471 6
50,139 6
60,807 6
71,475 6
82,143 6
92,811 6
103,480
114,148
8,534 40 9,601 20
19,202 4 20.269 2
29.870 4 30,937 2
40,538 4 41,605 2
51,206 4 52.273 2
61,874 4 62.9412
72,542 4 73,609 2
83,210 4,84,277 2
93.8784 94.945 2
104.546 105,613
115,214 1116,281
1,874 77!
11,248 6,
20 622 4
29.996 3,
39,370
48,743 9]
58,117 7
67,491 6
76,865 4
86,239 2
95,61301
2.812 15
12,186 0!
21,559 8
30,933 6
40.307 5
49.681 3
о9,055
68,428 9
77,802 8
87.176 6
96,550 4
0,937 382 8 версты
5,624 30|б.561 68|
14.9С8 1 15.935 5
24,372 0 25,оОЭ 4
3,749 53
13,123 4
22.497 2
31,871 О
41.244 8
5 4618 7
15^992 5
69.366 3
78.740 2
F8.114 0
97,^87 8|
4.686 91
14,060 7|
23,434 6
32.808 4
42,182 2
51.556 1
60,°2") 91
70,303 7|
79.677 5]
89,051 4
98,425 2|
33,745 8 34,683 2
43,119 6 44.057 0
52.493 4 53,4308
61.^67 3 62,804 6
71,241 1172,178 5
80,614 9 81.552 3
89,988 7 90,926 1
99,-362 б| 100,300
|7,49906
16,872 91
26,246 7
35,620 5)
44,994 4f
54.368 2
63.742 О
73.115 9
82.489 7
•1,863 5
101,237
8,436 45
17.8103
27,184 1
36.557 9
45.931 8
55.305 6
64.679 4
74.053 2
183.427 1
92,800 9
102Д75

924
Приложение
Таблиц! 13. а) Перевод русских саженей в метры
Ь) Перевод метров в русские сажени
а) 1 сажень =7 футов=3 арш.=2,133 60 м
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
21.336 0
42,672 0
64,008 0
85 3440
106,680
128,016
149,352
170,688
192,024
213,360
1
2,133 60
23,469 6
44.805 6
66,141 6
87,477 6
108,814
130,150
151,486
172,822
194,158
215,494
2 1
4,167 20
25.603 2
46,939 2
68,275 2
89,611 2
110,947
1324283
15j,619
174,955
196,291
217,627
3 |
6,400 80
27,736 8
49,072 8
70,408 8
91,744 8
113,081
134.417
155,753
177,089
198,425
219,761
. 4
8,534 40
2Q.870 4
51,206 4
72,542 4
93,878 4
115,214
136,550
157,886
179,222
200,558
221,8^4
5 !
10,668 Г
32,0С4 0
53,340 0
74,676 0
96,012 0
117,318
138,684
160,020
181,356
202,692
224,028
6 1
12.801 6
34,137 6
55.473 6
76,809 6
98,145 6
119,482
140,818
162,154
183,490
204,826
2^6,162
_J_I
14,935 2
36,271 2
57,607 2
78,943 2
100,279
121,615
142,951
164,287
185,623
206,959
228,295
8
17,068 8
38,404 8
59,740 8
81,076 8
102,413
123,749
145,085
166,421
187,757
209,093
230,429
9
1Q.202 4
40,538 4
61,874 4
83.210 4
104,546
125,882
Н7.218
168,554
189,890
211,226
232,562
4,686 91
9,373 83
14,060 7
18,747 71
23,434 б1
28,121 5
32,8С8 4(
34,495 3'
42,182 2,
46,8691!
!
0,468 69
5,15561
9,842 52
14,52^ 4
19,216 3
23,903 3
28,590 2
33,277 1
37,964 0
42,650 9
47.337 8
0,937 38
5,624 30
10,311 2
14,998 1
000)00
11$
38,432 7
43,119 6
47,806 5
Ь) 1 м —
1,406 07
6,092 99
10,779 9
15,466 8
20.153 7
24,840 6
29,527 6
34,214 5
38,9014
43,588 3
48,275 2
0,468 691
1,874 77
6,561 68
11,248 6
15,935 5
20,622 4
25,309 3
29,996 2
34,683 2
39,370 1
44.057 0
48,743 9
4 сажени
2,343 46
7,030 37
11,717 3
16,404 2
21,0911
25,778 0
30,464 9
35,151 9
39,838 8
44,525 7
49,212 6
2,812 15
7,499 06
12,186 0
16,872 9
21,559 8
26,246 7
30,933 6
35,62 > 5
40,307 5
44,994 4
49,681 3
3,280 84
7,967 75
12,6547
17,341 6
22,028 5
26,715 4
«51.402 3
36,089 2
40,776 2
45,463 1
50,150 0
3,749 53
8,436 45
13,1/3 4
17,810 3
22.497 2
27,184 1
31.871 0
36,557 9
41,244 8
45,931 8
50ЦП8 7
Таблица 14. а) Перевод русских аршин в метры
Ь) Перевод метров в русские аршины
а) 1 аршин = х/з сажени = 16 верш. =0,711 2Э0 м
1|2|3|4|5|6]7|8
4,218 22
8,с051 4
13,5°2 1
18,279 0
22.965 9
7.652 8
32.339 7
37,026 6
41,713 5
46 410 4
51,087 4
9
7,112 00
14,1240
21,336 0
28,448 0
35,560 0
42,672 0
49,784 0
56,8°6 О1
64,008 0,
71,120 0|
1V60 7
28,121 4|
42,182 1
6.242 8|
70,3 3 5
84.3642
98,4249
112,486
126,546
140,607
0,711 20.
7,823 20
14,9о5 2,
22,047 2,
29,159 2
36,271 21
43,383 2
50,495 2
57,607 2|
64,719 2
71,831 2
1,422 40
8,534 40
15,646 4
22,758 4]
29,870 4|
36,982 4
44,094 4
51,206 4
58,318 4
65,430 4
72,542 4
1,406 07
15,466 8
2WJ 5
43,588 2
57.648 91
71 70Э 61
85 77-3
99,831 0|
113.892
127.9Г.2
142,013
2,812 14
16,872 8
|30,°3J 5
44.994 2
59.054
7i,115 6
87.176 3
101,237
115,208
Ш,о58
143,419
2,133 60
9,245 60
16,357 6
23,469 6
30,581 6
37,693 6|
44,8)5 6
51,917 6
59,029 6
66,141 6
73,253 б|
Ь) 1.«
4.218 21
18,278 9
32,330 6
46,4003
60,4610
74 521 7
88 582 4
102 6 !3
116,704
130,765
144,825
2,844 80|
9,956 80
17,068 8
24,180 8
31,292 8
38,404 8
45,516 8
52,628 8
59,740 8
66,852 8
73,964 8
3,65600
10.668 0
17,780 0
24,892 0
32,0040
39,116 0
46,2/8 О
53,340 0
60,452 О
67,564 О
74,676 О!
4,267 2
11,379 2
18,491 2
25,603 2
132,715 2
39,827 1
46,939 2]
[54,051 2
61,163 2
68,275 2
75,387 2
= 1.406 074 аршина
5.624 28
19,685 О
33 745 7
47.8С6 4!
61,8671
75 927 8
89,988 51
1С4,049
118.110
132,171
146,231
7.030 35]
21.091 1
35,151 8]
49,212 5
63,273 2
77,333 9
91,346
1Q5.455
119,516
133 577
147637
18.436 42
22,497 1
36,557 81
50,618 5
164.679 2|
78,739 9
[92,800 6
106.861
120.922
134,983
149,043
4,978 40
12,090 4
19,202 4
26.314 4
[33,426 4
40,538 4
47,650 4
|54,762 4'
61,874 4
68,^86 4|
76,098 4
9,842 49
23.903 2
37,963 9]
52,024 6
65 085 3
80,146 0
94,206 7
108,267
122.328
136,389
150,449
5.689 60
12,801 6
19,913 6
27,025 6
35,137 б|
41,249 6
48.361 6
j$5,473 6
62.585 6
69,697 6!
76,809 6
[6.4СК 80
13.512 8
[2',624 8
27,736 8
[ЗД848 8
'41,960 8
49,072 8
[56,184 8
63,296 8
70,408 8
[77,520 8
11,248 6
25,309 3
39,370 0
[53.4307]
67,4914
81,5521
95,6128
109,673
123,734
137,795
151,856
12,654 6
26,715 3
40,776 О
[54,836 7
68.897 4
,82,958 1
Ю7.018 8
111,080
125,140
139.201
153,262

Таблицы для сравнения и перевода мер it весов 925
Таблица 15. а) Перевод русских вершков в сантиметры
Ь) Перевод сантиметров в русские вершки
а) 1 вершок=4,4450 см
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 |
44.450 0
88,9и0 0
133,350
177,800
222,250
266,700
311,150
355 600
400,050
1444,500
1
4,445 00
48,895 0
93.345 X)
137,795
182,245
226,695
271,145
315,595
360,045
404,495
448,945
2
8,893 00
53,340 0
97,790 0
142,240
186,6<Ю
2 Л ,140
275,590
32Э.040
364,490
408,941
453,390
з
13,335 0
57,785 0
102..35
146,685
191,135
2о5,585
280,' с5
324,485
368.935
413,385
457,835
4
17,780 <
62.230 0
106,680
151,130
195,580
240,(Ь0
284,480
328,930
373,380
417,830
462,280
5
22,225 0
66,675 0
111,125
155,575
200,025
244,475
288,925
333,375
377,825
422,275
466,725
6
26,670 0
71,120 0
115,570
160,020
204,470
248,920
293,370
337,820
382,270
426,720
471,170
1 7
31,115 0
75,565 0
120,015
164,465
208,915
253.365
297,815
342 265
386,715
431,165
475,615
8
35,560 0
80,0100
124,460
168,910
213,360
257,810
302,260
346,310
391,160
435 610
480,060
9
40,005 0
84.455 0
128.905.
173,355
217,805
262,255
306,705
351,155
395 605
4*0,055
484,505
2,249 72
4,449 44
6,7*9 16
8,998 88
11,248 6
13,498 3
15,748 0
17,997 8
20,247 5
22,497 2
0,224 97
2,474 69
4,7z4 41
6,974 13
9,223 85
11,473 6
13,723 3
15,973 0
18,222 7
20,472 4
22,722 2
b) 1 см=
0,449 94
2,699 66
4.949 38
7,199 10
9,448 82
11.698 5
13,948 3
16,198 0
18,447 7
20,697 4
22,947 1
0,674 92
2,924 6J
5,174 35
7,424 07
9,673 79
11,923 5
14,173 2
16.4 2 9
18,672 7
2 ,922 4
23,172 1
0,224 971 9 вершка
0,899 89
3,149 61
5,399 33
7,649 С4
9,898 76
12,148 5
14.398 2
16,647 9
18.897 6
21,147 4
23,397 1
1,124 86
3.374 58
5.6.4 30
7,874 02
10,123 7
12,373 5
14,623 2
16,872 9
19,122 6
21,372 3
23,622 0
1,349 83
3,599 55
S.8i9 27
8.038 99
Ю,348 7
12,598 4
14,8481
17,097 9
19,347 6
21,597 3
23,847 0
1,574 80
J.824 52
6,074 24
8,323 96
10,573 7
12,823 4
15,073 1
17,322 8
19,572 6
21,822 6
24,072 0
1,799 78
4,049 49
6,299 21
8,548 93
10,798 7
Ь,048 4
15,298 1
17,547 8
19,797 5
22,047 2
24,297 0
2,024 75
14,274 47
6,524 19
|8.773 90
11,023 6
13Д73 3
15 523 1
17,772 8
20, 22 5
22,272 2
|24,521 9
Таблица 16. а) Перевод китайских йин в метры
Ь) Перевод метров в китайские йины
а) 1 йин=10 чи = 100 фэн=3,581 м
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
! 35,810
71.6Л)
107,4о0
143,240
1179,050
1 214.860
250,670
286,480
322,290
<*58,1С0
1
3.581
39,^91
75,201
111,011
146,821
182.631
218.441
254.251
290,061
325,871
361,681
2
7,162
42,972
78.782
114,592
150,402
186,212
222,022
257,832
293,642
329,452
365,262
з
10.743
46.55J
82,363
118,173
1S3.983
189,793
2^5,6 »3
261,413
297,223
368,843
4
14,324
50,134
85,944
121,754
157,564
19j,374
229,184
^64,994
300,804
3*6.614
372,424
5
17,905
53,715
89,525
125,335
161,145
1^6,955
232,765
268,575
304,385
340,195
376,005
6
21,486
57,296
93,106
128,916
164,726
200,536
236,346
272,156
307,966
343,776
379,586
7
25.067
60,877
96,687
132,497
168,307
204,117
2о9,927
275,7о7
311,547
347,357
383,167
8
28,648
64,458
100,268
136,' 78
171,888
207.698
243,508
279.018
315,128
350,9о8
386,748
9
3.\229
68.069
103.849
139,659
175,469
211,279
247,089
282,899
318,709
354,519
390,329
Ь) 1 м = 0,2792 йина
2,792 0
5,584 0
8,3760
11,168 0
13,9600
16,762 0
19,5440
22,336 0
L5.1280
27,9200
0,279 2
3,0712
5,863 2
8,655 21
11,447 2
14,239 2
17,031 2
19,823 2
22,615 2
25,407 2
28,199 2
0,558 41
3,350 4
6,142 4
8,9о4 4
11,726 4
14,518 4
17,310 4
20,1024
22,894 4|
25,686 41
28,478 4
0,837 6
3,629 б!
6,421 61
9,213 6
12,005 6,
14.797 6
17,589 6
20,3816
23,1736
25.965 6,
28,757 61
1,116 8
3,908 8
6,700 8
9,492 81
12,284 8
15,076 8
17,868 8
20,660 8
33,452 8
26,244 8
29,036 8
1,396 0
4,188 0
б;980 0
9,772 0
12,664 0
15,^0
18,148 0
20,940 0
1,675 2
4,467 2
7,259 2
10,051 2
12,843 2
15,635 2
18,427 2
21,219 2
23.7^2 0|24,011 2|
26,524 0|26(803 2|
29,316 С 29,595 2|
1,954 41
4,746 4
7,538 4
10,330 4
13,122 4:
15,914 4!
18,706 4 1
21,498 4|:
24,290 4 L
27,082 Ц'<
29,874 4 <
2,233 6
5,025 61
7,817 6
10,609 6
13,401 6
16,1936
18,985 6
21,777 6
24,569 6
27,о61 6
[30,153 6
2,512 8
I 5.304 а
8,096 8
10,888 8
13,680 8
16,472 8
19,264 8
22.С568
124,848 8
27,642 0
30,432 8

926
Приложение
Таблица 17. а) Перевод японских шаку кане в метры
Ь) Перевод метров в японские шаку кане
а) 1 шаку кане=10 сун=100 бу = 0,303 м
0
10
20
30
40
60
60
70
80
90
100
0
3~oV>
6,060
9,090
12Д20
15,150
18,180
21,210
24,240
27,270
30,300
1
0,33
3,333
6,363
9.3°3
12,423
15,453
18,483
21,513
24,543
27,573
30,603
2
0,6^6
3,636
6,666
9,696
12,726
15,756
18,786
21,816
24,846
27,876
30,906
3
0,904
3,939
6,Р69
9,999
13,029
16,^59
19,089
22,119
25,149
28,179
31,209
4
1,212
4,242
7,272
10,342
13,332
16,362
19,392
22,422
25,452
28,482
31,512
5
1,515
4,545
7,575
10,605
ill
25.755
28,785
31,815
6
1.818
4,848
7,878
10,908
13,938
16,968
19,998
23,028
26,058
29,088
32,118
7
2,121
5,151
8,181
11,211
14,241
17,271
20,301
23.331
II
6
2,424
5,454
8,484
11,514
14 544
17,574
20,604
23,634
?6,664
29,694
32,724
9
2,727
5,757
8,787
11,817
14,847
17,877
2<\907
23,937
26,967
29,997
33,027
33,003 3
66,0С6 6
99,009 9
ill
264,026
297,030
330,033
3,300 33
36,303 6
69,306 9
102,310
135,314
168,317
201,320
234,323
267,327
300,330
333,333
b) 1 л* =
6,600 66
39,604 0
72,607 3
105,611
138,614
171,617
204,620
237,624
270.627
303,630
336,634
9,900 99
42,904 3
75,907 6
118,911
141,914
174,917
207,921
240,924
273,927
306,931
339,934
3,300 33
13,201 3
46,204 6
79,207 9
112,111
145,215
178,218
211,221
244,224
277,228
310.2Л
343,234
шаку кане
16,5^1 7
49.505 0
82.5' 8 3
115,512
148,515
181,518
214,521
247,525
280,528
313,531
346,535
19,802 0
52,805 3
85,808 6
118,812
151,815
184,818
217,822
250,825
283,828
316,832
349,835
23,102 3
56,105 6
89,108 9
122,112
155,116
188,119
2Л.122
254.125
287.129
320,132
353,135
26,402 6
50,405 9
92,409 2
125,413
158,416
191,419
224,422
257,426
290,429
323,432
356,4д6
29,703 0
162,706 3
95,709 6
128,713
161,716
194,719
227,723
260,726
293.729
326,733
359,736
В. Меры площадей
Таблица 18. а) Перевод английских акров в ары
Ь) Перевод гектаров в английские акры
а) 1 акр = 160 кв. пол=4840 кв. ярдов=40,4685 а
• l|2l3|4l5|6|7
404,685
809,370
1214,06
1618,74
2023,43
2428.11
2832,80
3237,48
3642,17
4046,85
40,468 5
445,154
I 849,839
1 1254,52
1659,21
2063,89
2468,58
2873,26
3277,05
3682,63
1 4087,32
80,937 01
485,622
,890,307
1294,99
1699,68
2104,36
25^9,05
2913,73
3318,42
3723,10
4127,79
121,406
526,^91
930,776
1335,46
174М5
2144,83
2549,52
2954,20
3358,89
3763,57
4168,26
Ъ) 1 га
161,874
566,559
971,244
1375,93
1780,61
2185,30
2589,г8
2994,67
3399,35
о8»4,04
42,8,72
202,343
607,028
1011,71
1416,40
1821,^8
2225,77
2630,45
30^5,14
3439,82
3844,51
4249,19
242,811
647,4961
1052,18
1456,89
1861,55
2266,24
267 >,92
3075,61
3480.291
3884,98
4289,66
= 2,471058 акра
283,28^
687,965
1092,65
1497,33
1902,02
2306,70
2711.39
3116,07
3520.76
3925,44
4330,13|
323,748
728,433
1133,121
1537,80
1942,49
2347,17
2751,86
3156,54
3561,23!
^965,91
4370,60)
24,710 6
49.421 2
74.131 7
08,842 3
123.55J
148,263
172,974
107,685
222.395
| 247,106
2,471 06
27,181 6
51,892 2
76,602 8
101,313
126,024
15 »,735
175,445
200,156
224,866
249,577
4,942 12
29,652 7
54,363 3
79,073 9
1Л3,784
128,495
153,206
177,916
202,627
227,ЗЛ
252,048
7,413 17
32,123 8
56.834 3
81,544 9
106,255
130,°66
155,677
180,387
205,098
229,808
254,519
9,884 23
34,594 8
59.О05 4
84,016 0
108,727
133,437
158,148
182,858
207,569
232,279
256,990
12,355 3
37,065 9
61,776 5
86.487 0
111,198
1<*5,908
160,619
185,329
210,040
2о4,751
259,461
14,826 3
39,5*з6 9
64,247 5
88.958 1
113,669
138,379
Ш,090
187,800
212,511
237,222
261,932
17,297 4
42,008 0
66.718 6
91,429 1
116,140
140.85J
165,561
190,271
214.982
239,693
264,403
19,768 5
44,479 • !
60.189 6
93,900 2
118,611
143,о21
168.1 32
192,743
217,453
2ч2.164
266,874-

Таблицы для сравнения- и перевода мер и bcvob 927
Табляца 19. а) Перевод английских квадратных ярдов в квадратные метры
Ь) Перевод квадратных метров в английские квадратные ярды
а) 1 кв. ярд=9 кв. фут.=0,836125897 м*
о-112|з|4[5|б|7|8|9
8,361 26
16,722 5
25,(83 6
33.445 0
41,806 3
50,167 6
58.528 8|
66.890
75,251 б\
8-3,612 6|
0,836 1о
9,197 38
17,558 6
25,919 9
34,281 2
42,642 4
51,003 7
59,364 9
67,726 2
76,087 5
84,448 7
1,672 25
10,033 5
18,394 8
26,756 0
35,117 3
43,478 5
51,8^9 8
60,201 1
68,562 3
76,923 6
85,284 8|
2,5 8 38
10,869 6
19,230 9
27,592 2\
35,953 41
44.314,7
52,675 9
61,037 2
69,398 4'
77,759 7
86,121 0|
3.344 50
11.705 8
20,067 (
28,428 3
36,789 5
45,150 8
53,512 1,
61,873 3
70.234 6
78,595 8
86,957 1
4,180 6о
12,541 <■
20,903 1
29,264 4
37,625 71
45,986 9
54,348 2
62.709 4
71.070 7
79,432 0|
87,793 2!
5,016 76
13,378 0!
Л.739 3
30,100 5
38,461 8
46.823
155,184 3|
63,545 6
71,906 8
80,268 1
88,629 31
5.852 88|
14,214 1
22.575 4|
А936 7
139,297 9
47,659 2
56,020 4
164.381 7
72,743 0
181,104 2
189,465 5
6 689 01
15,05031
23,4115
[31,772 8
40,134 0
48.4953
[56,856 6
65,217 8|
73.579 1
81,940 3
90,301 б|
Ь) 1 м* =1,195992237 кв. ярдов
— 1,195 991 2,391 98| 3.587 981 4,783 97 5,979 9617.175 95j
11.959 9 13,155 9 14.351 9 15,547 9 16,743 9 17,939 9 19,135 9
23.919 8 25,115 8 26,311 8 27,517 81 28,703 8 29,899 8 31,095 8
35.879 8 37,075 8 38,271 7 39,467 7 40,663 7 41,859 7 43.055 7
47.839 7 49,035 7 50,231 7 51,427 7 52,623 6 53,819 6 55.015 6
59,799 6 60,9°5 6 62,191 6 63,387 6 64,583 6 65,779 6 66,975 6
71.759 5 72,955 5 74.151 5 75,347 5 76,543 5 77,739 5 78,935 5
83,719 4 84,915 4 86,111 4 87.307 4 88,503 4 89,699 4 90,895 4
95.679 4 96,875 4 98,071 3 99,267 3 100,463 101,659 102.855
107.639 108,835 110,031 111,227 112,423 113,619 114,815
119,599 J 120.795 | 121,991 [ 123,187 | 124,383 | 125,579 1126,775
Таблица 20. а) Перевод английских квадратных футов в
Ь) Перевод квадратных метров в английские
а ) 1 кв. фут =0,092 902 877 м*
(8,371 94
20,331 9
32,,91 8
44,251 7|
56,2116
68,1715
80,131 5
[92,(914
104,051
116,011
127,971
в квадратные
квадратные
[9,567 94|
21,527 9
33,487 8
[45.447 7
57,4"7 б'
69,367 5
81,327 5
[93,287 4,
105,247
117,207
129,167
7,525 13
15,886 4
24,247 7
о2,608 9
40,970 2
49,331 4
57,692 7
66.053 9
74.415 2
82,776 5
91,137 7
10,763 9
22,723 8
34,683 8
46,643 7
158.603 6
70,563 5
82,523 4
,94,483 4
Г6.443
118.403
130,363
метры
футы
1
1 3 1
8
9
0,929 03
1,858 06
2,787 09
3,716 12
4,645 14
5,574 17
6,503 20
7,4J2 23
8,361 26
9,290 29
0,092 90!
1,021 93
1,950 96f
2,879 £9|
3,809 Г2
4,738 051
5,667 Г 8
6,596 10
7,525 13
8,454 16
9,383 19
0,185 81
1,114 8д\
2.С43 86'
2,972 89
3,<Ю1 92]
4,8о0 с5\
5.759 98
6,68901
7,618 041
8,547 Об'
9,476 09.
0,278 71
1,107 74
2.136 77
3.06579]
3,994 82
4.923 85
5.852 88
6,781 911
7,710 941
8,639 97!
9.569 00
0,371 61
1,300 641
2,229 67
3,158 70|
4,087 73
5,016 76
5,945 78]
6.874 81
7,803 84[
8,732 87
9,661 90
0,464
1,393
2,322
3,^51
4,180
5,1(9
6/М8
6,967
7,896
8 825
9,754
[0,557
1.486
[2,415
3,344
4.273
5,202
6,131
[7.060
7,989
8.918
19,847
10.650 321
1,579 35
z,508 38
3.437 41
[4,366 44[
5,295 46
6,224 49
7.153 5J
8,082 55
9.(1158
70,9,940 6l|
[0,743 22
1,672 25
2,601 *8
3,530 31
[4.459 34]
5„*88 б7\
6,^17 40
7,24642
8,175 45'
9.104 48
10,033 5,
107,639
215,279
322.918
430.557
5 Я, 197
645,836
753,475
861,114
°68,754
1076,39
10,763 9
118,403
226,043
333,682
441,321
548,960
656,600
764,239
871,878
979,518
1087,16
Ь)
11
452,085
559,724
667.,564
775,003
882,642
990.282
1097,92
i м* = 10,763 930134 кв. фута
32,291 8
Ь9,931
247.570
355,210
462.849
570,488
678,128
785.767
893,406
1001,05
1108 68
43,055 7
150,605
258,334
365.974
473,613
581,252
688.892
796.531
9^4,170
1011,81
1119 45
53,819 7
161,459
269,098
376,738
484.377
592,016
699,655
807,^95
914,934
Ю.:2,57
1130,21
64,583 6
172,223
279,862
387,501
495.141
602,780
710,419
818,059
925,698
1033,34
1140,98
75,347 5 86,1114
182,987 (193,751
290,626 301,39)
398,265 (409,029
595,905
6U.544
7.1.183
828.823
936.462
1044,10
1151,74
11!
947,226
1054,87
1162,50
0.836 13
1,76515
2.694 18
3,6^3 21
4.552 24
15.481 Л
6,41030
|7,3^933
8.268 36
9,197 о8
10,1264
96,8754
204 515
[312.154
419,733
[527,433
W72
742,711
850,350
957.990
1065,63
1173,27

928
Приложение
Таблица 21. а) Перевод английских квадр. дюймов в квадратные савтиметрм
Ь) Перевод квадратных сантиметров в англ. квадратные дюймы
а) 1 кв. дюйм t=6,45158824 см*
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
64/516
1.9*032
193,548
258,064
3/2,579
387,0«5
451,611
516,1Л
580,643
645,159
1
6.452
70,967
135,483
199,999
264,515
329.0Л
393,547
458,063
522,579
587,095
651,610
2
12,903
77.419
141,935
206,451
270.967
Зо5,483
о99,999
464,514
529,030
593,546
658,062
3
19,355
83,871
148.387
212.902
277,418
341,934
406,450
470,966
535,482
59^,998
664,514
4
25,806
90,322
154,838
219,354
283.870
о48,386
412,902
477,418
541,Р34
606,449
670,965
5
32,258
96,774
161,290
225.806
290,322
354,8j7
419,353
483,869
548,385
612.S01
677,417
6
38,710
10о,225
167,741
232,257
296,773
361,289
425,8 S
490,321
554.837
619.о52
680,868
7
45,161
109,677
174,193
233,709
303,225
067,741
432.257
496,77/
561,288
625,804
690,320
8
51,613
-116,129
180,645
245,160
ЗГ9,676
374,192
4о8,708
503,224
567,740
6о2,256
696,772
9
58,>)64
122,580
187,096
251,612
316,128
38^,644
445,160
509,676
574,192
638,706
703,223
1,550 01
3100 01
4,65002
6.2С0 02
7,75003
9,3(004
10.850 0
I»
0,155 СО
1,705 01
3,255 01
4,80502
6,355 02
7,905 03
9,455 С4
11,005 0
12,555 0
14.Ю5 1
15,6551
Ь)1
0.31000
1,86001
3,410 01
4,96002
6,510 0j
8,060 03
9,610 04
11,160 0
12,710 0
14,160 1
15,810 1
с«»=0,1550005939 кв. дюйма
0,465 00
2,015 01
3,565 01
5,115 02
6,665 03
8.215 03
9,765 04
11,315 0
12,865 0
14,4151
15,9651
0,620 00
2,170 01
3,720 01
5,270 02
6,820 03
8,370 03
9,920 04
11,470 0
13,020 1
14,570 1
16.120 1
0.77500
2,3^501
3,875 02
5,425 0„
82°°
Hi
13,175 1
14,725 1
16,275 1
0,930 00
2,480 01
4.03002
5,580 02
7,130 Оо
8.680 0j
10,230 0
11,780 0
13,3301
14,880 1
16,4о01
1,085 00
2,6о5 01
4,185 02
5,7о5 02
7,285 03
8,835 03
10,385 0
11,935 0
13,4851
15,035 1
16,585 1
1,240 OCj
2,790 01
4,34002
5,890 О-
7,44003!
8,99000
10,5400
12,090 0
13,640 1
15,190 1
16,740 II
1,395 01
2,945 01
4.495 02
6.04502
7,595 03
9,145 04
10,695 0
12,245 0
13,795 1
15,345 1
-,1
Таблица 22. а) Перевод русских десятин в гектары
Ь) Перевод гектаров в русские десятины
а) 1 десятина=2400 кв. саженей = 1,092 54 га
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 I
10,9254
21.8508
32,776 2
43,701 6
54.6Л0
| 65,552 4
76,477 8
87,403 2
98,328 6
109,254
1 1
1.092 54
12.017 9
22,943 3
33,868 7
44,794 1
55,719 5
66,644 9
77,570 3
88.495 7
99.421 1
110,347
2 I 3 |
2,185 08 3,277 62
13,1105 14,203 0
24,Ос5 9 25,128 4
34,961 3 36,053 8
45,886 7\ 46,979 2
56,812 V 57,904 6
67,7о7 5 68,830 0
78,662 9 79.755 4
89,588 З1 90,680 8
100,514 | 101,606
111,4о9 1 112,532
4 I
4.370 16
15,295 6
26,221 0
37,146 4
48,071 8
58,997 2
69,922 6
80,848 0
91,773 4
102,699
113,624
5
5,46270
16,3881
27,3135
38,2о89
49,1643
60,0897
71,0151
81,9405
92,8659
103,791
114.717
1 6
6,555 24
17,480 6
28,406 0
39,3314
50,256 8
61,182 2
72,107 6
83.033 0
93.958 4
104,884
115,809
7
7,647 78
18,573 2
29,4^8 6
40,424 0
51,349 4
62,274 8
73,200 2
84,125 6
95,0510
105.976
116,902
8
8,740 3.
19,665 7
30,691 1
41,516 5
52,441 9
63,367 3
74,292 7
85,218 1
96,143 5
107,069
117,994
9
9,832 86
20,758 3
31,683 7
42,609 1
53,534 5
64,459 9
75,385 3
86,310 7
97,236 1
108,161
119,087
9,152 98
18,о06 0
27.458 9
36.611 9
45.7649
54.917 9
64.0709
ill
0.915 30
10,068 3
19.221 3
28,о74 2
37,5Л 2
46.680 2
55,833 2
.64.986 2
74,139 1
83,^92 1
92,4451
Ъ) 1 га=(
1,830 60
10,983 6
20.1о6 6
29,289 5
38,442-5
47,595 5
W48 5
65,911 5
75,054 4
84,207 4
93,360 4
2,74589
11,898 9
21,051 9
30,204 8
39,357 8
48.510 8
57.663 8
66.816 8
75.969 7
85.122 7
94,275 7
3,9152985 десятины
3.661 19
12.814 2
21,967 2
32,120 1
40,273 1
49,426 1
58,579 1
67,732 1
76.885 0
86.008 0
95,1910
4.576 49
13.729 5
22,882 5
32.(35 4
41,188 4
50,341 4
59.494 4
68,647 4
77,8003
86.953 3
96.106 3
5.491 79
14.644 8
23.797 7
32,950 7
42,103 7
51,256 7
60.409 7
69,562 6
78,715 6
87,868 6
97,0216
6,407 09
15,5601
24,713 0
33,866 0
43,019 0
52,172 0
61,325 0
70,477 9
79,6^09
88,7839
97,9369
7,322 38!
16,4754
25,628 3
34,781 3
43,934 3
53,087 3
62,240 3
71,393 2
80,546 k
89,699 2
98,852 2
18,237 68
17,3^0 7
126,543 6
35,696 6
Ы 44,849 6
54.002 6
63.1556
72,3085
81,461 5
90,614 5
199,767 5

Таблицы Для сравнений и перевода мер л пееоё 959
Таблица 23. а) Перевод русски* квадратных саженей в квадратные метры
Ь) Перевод квадратных метров в русские квадратные сажени
а) 1 кв. сажень = 4,552 25 м*
0
10
20
30
40
50
60
70
80
£0
100
0
45,5225
91,0450
136,568
182,090
227,613
273,135
318,658
364,180
409,703
455,225
1
4,55225
50,0748
95,5973
141,120
186,642
232,165
277,687
223,210
368,732
414,255
459,777
2
9,10450
54,6270
100,150
145,672
191,195
236,717
282,240
327,762
373,285
418,807
464,330
3
13,6568
59,1793
104,702
150,224
195,747
241,269
286,792
332,314
377,837
423,359
468,882
4
18,2090
63,7315
1С 9,254
154,777
200,299
245,822
291,344
336,867
382,389
427,912
473,434
5
22,7613
68,2838
113.806
159,329
204,851
250,^74
295.896
341,419
386,941
432,464
477,986
6
27,3135
72,8360
118,3 9
163,881
2С9,404
254,926
3'0,449
345,971
391,494
437,016
482,539
7
31,8658
77,3883
122,911
168,433
213,956
259,478
305,001
350,523
396,046
441,568
487,091
8
36,4180
81,9405
127,463
172,986
218,508
264,031
309,553
355,076
400,598
446,121
491,643
9
40,9703
86,4928
132,015
177,538
223,06(f
268,583
314,105
359,628
405,150
450,673
496,195
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
GO
2,1°6 72
4,393 44
6,590 16
8,786 88
10/83 6
13,180 3
15,377 0
17,573 8
19,770 5
21,967 2
0,219 67
2,416 39
4,613 И
6,809 83
9,С06 55
11,2(33
13,400 0
15,596 7
17,793 4
19,990 2
22,186 9
Ъ) 1 Л» =
0,439 34
2,636 С 6
4,832 78
7,029 50
9,226 22
11,422 9
13J619 7
15,816 4
18,013 1
20,209 8
22.4С6 5
0,659 02
2,855 74
5.052 46
7,249 18
9,445 90
11,642 6
13,839 3
16,036 1
18,232 8
20,429 5
22,626 2
0,2196 71
0,878 69
3,075 41
5,272 13
7,468 85
9,665 57
11,862 3
14.Г59 0
16,255 7
18,452 4
20,649 2
22,845 9
6 кв. хая
1 ,<Т8 36
3,295 08
5,491 80
7,688 52
9,885 24
12,082 0
14,278 7
16,475 4
18,672 1
20,868 8
23,065 6
1,318'3
13,514 75
5,71147
7,9(8 19,
10,104 9
12,301 6
14,498 4
16,695 1
18,891 8
21,088 5
23,285 2
1,537 70
3,734 42
,5,931 14
'8,127 86
10,324 6
12,521 3
14,718 0
16,914 7
19,1115
21 ,ЗГ8 2
23,504 9
757 38 1,977 05
3,954 10 4,173 77
6,150 82 6,370 49
8,347 54:8,567 21
10,544 3
12,741 0
14,937 7
17,134 4|
19,331 1
21 527 9121,747 5
23,724 6 23,944 2
10,763 9
12,960 6
15,157 4
17,354 1
19,550 8
Таблица 24. а) Перевод русских квадратных аршин в квадратные метры
Ь) Перевод квадратных метров в русские квадратные аршины
а) 1 кв. аршин = 0,505 805 м*
o|ll2|3|4|5|6|7|8|9
0
10
20]
30
40
50
60
70
80
90
100
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
5/58 05
10,116 1
15,174 21
20,232 2
25,290 3
39.348 3
35,4(6 4
40,464 4
45,522 5
50,580 5
19,7705
39,5409
59,3114
79.С818
98,8523
118,623
138,393 |
158,164 ,
177,934
197,7(51
0,505 81
5,563 86
10,621 9
15,680 0i
20,738 0
25,796 1
30,854 1
35,912 2|
40,970 2
46,028 3
51/86 3]
1,01161
6,069 66
11,127 7
16,185 8
21,243 8
26,301 9
31,359 9
36,418 0|
41,476 0
46,534 1
51,592 1
1,517 42
6,575 47
11,633 5]
16,691 6
21,749 6'
26,807 7
31,865 7
36,923 8
41,981 8
47,039 9
52.С97 9|
2,023 22
7,081 27
12.139 3|
17,197 4|
22,255 4
27,313 51
32,371 5
37,429 6
42,487 6
47,545 7|
52,603 7
2,529 03
7,587 08|
12,645 1
17,703 2|
22,761 2
27,819 3
32,877 3
37,935 4
42,993 4
48,051 5
53,109 5
3,034 83
8,092 88
13,150 9
18,209 0]
23,267 0
28,325 1
33,<>83 1
38,441 2
43,499 2
48,557 3|
53,615 3
3,540 64
8,598 69
13,656 7
18,714 8
23,772 8
28,830 9
33,888 9
|38,947 О
44.0Г5 о|
49,063 1
54,121 I
4,046 44
9,1С4 49
14,162 5
19,220 6
24,278 6|
29,336 7
34,394 7
39,452 8
44,510 8
49,568 9
54,626 9!
1,97705
21,7475
41,5179
61,2884
81,(588
100,829
120,600
140,370
16М41
179,911
199,682
Ь) 1 .«* =
3,95409
23,7245
43,4950
63,2654
83,0359
102,8' 6
1^2,577
142,347
162.118
181,888
201,659
5,93114
25,7016
45,4720
65,2425
85,0129
104,783
124,554
144,324
164,095
183,865
203,636
1 /77 045
7,9(818
27.6786
47,4491
67,2195
86,С900
1С6.760
126,531
146,301
166,072
185,842
205,613
кн. аршина
9,88523
29,6557
49,4261
69,1966
88,9670
1(8,737
128.5С8
148,278
168,049
187,819
207,590
11,8623
31,6327
51,4032
71,1736
90,9441
110,715
130,485
150,255
170,026
189,796
209,567
13,8393 15,8164
33,6098 35,5868
53,о802. 55,3573
73,1507
92,9211
112,692
132,462
152,232
172,003
191,773
211,544
75,1277
94,8982
114,669
134,439
154,210
173,980
193,750
213,521
4,552 25
9,610 30
14,668 3
19,726 4
24,784 4
29,842 5
34,900 5
"958 6
45,016 6
50,074 7
55,1327
17,7934
37,5639
57,3343
77,1048
96,8752
116,646
136,416
156,187
Д75.957
19S.7P7
215,498
59. Hutte, Справочник для инженеров, т. I.

Cnco* I
iliiil
11811
gggj
lliilllg
|gg=!§S£gSS<
SOO СЛ*СОСО Ю»—S
CO 00(0 «gtOftfi О»—CO
Ч0)0> Cn*CoCO МиООО
to "ел to "to Ъ> to "со *s о >— ел
»-Sto ooCoco* OtnO*.
VO*00 COStOO н-СП-j^
oocooe costos ►—ooocn
SSO) СЛ*СОСО W»—«О»—
mom ens«э^о *,p^,a,
"о"*СоЪ> oVs"»- *00 -«J N3
O0CO<© ^ОСлн Ог-^*СО
►4*0000 StOO»- ChOffiM
*<осо со со oo to stow»-*»
2S£2?5;K3g§o-S8
OOCOS ЮО«—СЛ O*^^
CO ,<*■ CO 4* 00 CO 00 tOSCQQ
S^O) СП 4* 4* CO tOj-»-CO
<о+~йь. o> oo-* со слоор 0
cn"opXo "en to To "o> "coco'sел
ь-OW SCO0O* (fiSOOO
OvOO^/ О"—СлО *COCONJ
СлО* IDifetOWOOCoSj-
CO JO ►- CO »- CO СП S CO — CO TSv
S^SC^ Oi-^jss oooocos ?*
СЛОО СЛОСЛСО •tkOOCwS
►—«►— Hoosft *CotOC©
О-«n^ ♦— OS*»- OOCntv--
^■v^ ^\ ?> P1 *t со со to ел
cp oo s s со Сл s со ►— со сл
СЛ S CO i-MWCu * * СП О
►—«OtO M<OAOD COOOtOOO
wop*
►—СлО*
Cn CO*tO
SS££
"►-VbOM*
oo ►—о
«©СЛСО
U3<
SUw
OOtOS
мело
язя
o*cos
rfkCOCn
О»—Сл ОСЛО*
00VJO)
t—*0
"oV— о»
S»— СП
МО»-
СЛ СЛ*СО
"bo "to "ел to
StOSCO
ОСл со*
ООСЛ©
tOt—t—CO
Я^Гоо
СПэ-OtO
СО СО 00 ^j
*ОоСоО
СЛООЮОО
toSCoS
СОООЮ^
СО * 00 to
KSNJMCn
-°°^0-,с;Со
Ю СП СО СП
со*ср —
оо^^оо
сл to*s
enso Й5&~ i
COCO О О СО СО00 <
КЗ* J
Ъ» cot
siot
_.»*•_» иЮМО) СлСОЮ»—
*КЭ*— OOS* ►—S*»-
n> дао ®1о-н-Ь oto oo s
СП** СО*ОСО »—COCnS
О00 ~ Ю00СОСО ОСии
SSOO OOOOCOS tO^J»-0
> Слеп* Со
| lOf^Oi
I otoCOO
I СО 00* СО
I СП «О * 00
I >-0>-Сл
»0t0»-0
^СОи-^О^
слоспо
costo^
ослою
CoSi
ООСл
costo
осл* со I
toVj-H-"* 1
со* oo Co ■
SN30»— (
§gg;
— 8
- К» »
8g©
■ ■ S1
- * CD
'o
* ©£ CD
о 5 (
£ в
Sfc ,
s
о ев Q
s ее Г>
л Н
SO №
•в н
Ja-O
§§g;
СП * _*.CO.CO^O ^-^qj j
►-СЛ 00
КЗ»— CO
*ь-<0
эсл *э* ooto»-
0SO5* COtOtO
г>*юсо sen*
,->i_ti_rf MMtOS СП CO i-"
coscn со^-oo«o «ococo
r^^2 9000SO toensi
ел 00p сЗсл^-^ v,"Uел I
§й2 8^8ёё§§
3^- ^8
-—СЛСО COS>-Cn OOlOSi-'
00SOJ *COtOi-» СОООСОКЭ
OitOO ООСЛСОЬ- 00OO*
V-4-.1-. и-»—<-> 00 СЛ*Ю1-1
COSO ^ЫОм ^-^-^co
jpcoo 0000 ro*s-*,
.enso Jocnsb V'cocoo?
СЛСО* 00N3O>S CO1—C0OO
0)000 tO*C7)00 OOOOOOO
СЛ** СОСОЮКЭ МмСЛМ
Oyi Or ЯьОЭОй JO J-*^-t<J'%-
1оЪ> о '*'s'l-'cn "co'coco to
-.сою ou ~ " ~ '"
- - - _ -'-00 tooiO»-*
cos»-» сло*со enscocn
to* О OOJtvO) 00)00
Whh 1—.H-1—00 0*ЮСП
О 00 О * N3 О * СЛ Ol СЛ СО
СО СО Со ***СО (О* ОТ.
to * s- -_
СЛ** CoCOtOtO »—h-OJ»-'
Ю S tO О» t— О "-1 О >-* СП СЛ
i-»0 0 «О 00 00 S ^OJVjV»
sencS о Sen со ^oo2S5 11 sco- coens* *К*5
СЛ** COCOtOtO »—«-*^3fc5
to--aN3 stosto stooo
_оел_сл „*5*зо.|о .^^-ооТо
>Со"сЛ 0*tnJ
COS —
ОСЛ* ^.. _ _ — ^:»-"
COO* MXiMrf., toOCOCO
Mwhi *-»►— i-*00 0*tOS
0000 *r>ooo sssco
СлСпСЛ OOOCO •— *0%.
*SJO i-*Oico S-O
со сослs '
to to to с
СЛ** COCOtOtO ►-•►—StO
coooeo swsto stoenen
^00 jooopo^s J^PVco
'lu'oo'to "ел'co'co's V ел ►— q
COH-O COOOOCn *CoOOO
oscn cooooo co>—елкэ
СЛ** COCOtOtO fr-M*?»0^
COOOCO OOCOOOCO ООСООО
G>ZnCn ^а.^*СОжЮ J°^""^V»
IVbo'to сйЬлм to "ел so
COSO СЛ*-Юь- OCOCO-^1
►-"СОО *tO<OS *tOO0*
СЛ** COCOtOtO t-и-ООСО
*co* oocoooco cecooen
про <DlDQQ^i ^.Oi'o'j».
*cn"co со "s'%:»,*'oo Xo'o * 50
сл*.ю м*рсо"^ осл'—op
t^ О s ел соooo осоОо
Сл** COCOtOtO н-н-со*
*СО* «0*<О* СО*»— о
0>OiV\ j+-*poJO |Ов»— *^~jb,
"о о со sT-''сл'со "bo's о со
►—осе socnco to»-»to<o
Со»—СО 0*1ч,<0 SOitJCQ
СЛСЛ* COCOtOtO и-M»Ci
СлОСл сО*со* со*С
У*У* . sssooooooco »— acnt,
^ ело* ооюо— coenso
СО»—СО CHSCOO ОООО
Юн-»- h-*-n-*tO SCnCO»—
0000 Сл Orf »—О »—•►— ►— *—
соерсо орооо »-соооо
*Oitp ~Ъо>-да Тоs-сл
1.0 S >-» О0*О 00ON3*
CnSCO »-СоСЛ00 00000000
Мм« н-»-»»-»(0 SCnCO»-»
н-COS СЛСО»—to СООСОСО
»—►—►— to to to ос ►—сослбо
*О00 »—СОО^"' - - -
м — »— ►— »-«.-ico senco»—
►—«os слео»—* слелслот
сососо ***оо о со слое
со»« Г.^5" w ооХоЪЪ
tos ►—елсо00 ptc*o
000 to*o* ****
Oitvw ООСЛСО
w s o-u-^
8 8382
»- CCOCn»-
о
Юн-»»— i—N-i-no SCn CO»—
►-(OS СЛСО —о» SS«v»S
СлСЛСЛ OOO00 OtOCnS
Zi O» 00 ,Об)№и "слЬ * 00
OO* OOCOS* О00ОКЭ
u>*0> ooototo tctototo

Тпблицы Для efiantTomtrt и перевода мер и весов
931
Таблица 27. а) Перевод английских куб. футов в кубические дециметры
Ь) Перевод кубических метров в английские кубические футы
1 0_| 1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
283,168
566,336
849,504
1132,67
1415,84
1699,01
1982,18
2265,34
2548,51
2831,68
28,3168
311*485
594,653
877,821
1160,99
1444,16
1727,32
2010,49
2293,66
2576,83
2860,00
а)
куб. фу!
-. = 28,316 772 27 длО
. 2 | .3.1.4 1.5 |.в 1 7.1.8 | 9
56,6336
339,802
622,970
906,138
1189,31
1472,47
1755,64
2038,81
2321,98
2605,15
, 2888,31
84,9504
368,118
651,286
934,454
1217,62
1500,79
1783,96
2067,13
2350,29
2633,46
1916.63
113,267
396,435
679,603
962,771
1245,94
1529,11
1812,28
2095,44
2378,61
2661,78
2944,95
141,584
424,-752
707,924
991,088
1274,26
1557,42
1840,59
2123,76
2406,93
2690,10
2973,26
169,901
453,069
736,237
1019,40
1302,57
1585,74
1868,91
2152,08
243S.24
2718,41
3001,58
198,218
481,386
764,554
1047,72
1330,89
1614,06
1897,23
2180,39
2463,56
2746,73
3029,90
111
111
2491,88
2775,05
3058,21
254,851
538,019
821,187
1104,36
<МО СООО
10^10.000,.
cotoors
2520,20
2803,36
3086,53
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
£53,148
706,296
1059,44
11
2825,18
3178,33
I 3531,48
35.3148
388,463
741,611
1094,76
1447,91
1801,05
2154,20
2507,35
2860,50
3213,65
3566,79
b)l
7Г.6296
423,778
776,926
1130,07
1483,22
1836,37
2189,52
2542,67
2895,81
3248,96
3602,11
м* = 35,314 763 758 куб.
105,944
459,092
812,240
1165,39
1518,54
1871,68
2224,83
2577,98
2931,13
3284,28
3637,42
111
1553,85
1907,00
2260,15
2613,30
2966,44
3319,59
3672,74
176,574
529,722
882,870
1236,02
11
.3001,76
3354,91
3708,05
фута
211,889
565.037
918,185
1271,33
1624,48
1977,63
2330,78
2683,92
3037,07
3390,22
3743,37
247,204
600,352
953,500
1306,65
1659,80
2012,94
2366,09
2719,24
3072,39
3425,54
3778,68
282,518
635,66б|
988,8141
1341,96
1695,11'
2048,26
2401,41
2754,55
3107,70
3460,85
3814,00
317,833
670.981
1024,13
1377,28
1730,43
2083,57
2436,72
2789,87
3143,02
3496,17
3849,31
Таблица 28. а) Перевод английских кубических дюймов в куб. сантиметры
Ь) Перевод кубических дециметров в английские куб. дюймы
а) 1 куб. дюйм = 10,387 019 9 см3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
163,870
327,740
491,610
655,480
819,350
983,220
1147,09
1310,96
11474,83
I 1638,70
1 ]
16,387
180,257
344,127
507,997
671,867
835,737
999,607
1163,48
1327,35
1491.22
1655,09
2 I
32,774
196,644
360,514
524,384
688,254
852,124
1015,99
1179,86
1343,73
1507,60
1671,48
3
49,161
213,031
376.901
540,771
704,641
868,511
1032,38
1196,25
1360,12
1523,99
1687,86
4
65,548
229,418
393,288
557,158
721,028
884,898
1048,77
1212,64
1376,51
1540,38
1704,25
5
81,935
245,805
409,675
573,545
737,415
901.285
1065,15
1229,02
1392,90
1556,76
1720,64
6 1
98,322
262,192
426,062
589,932
753,802
917,672
1081,54
1245,41
1409,28
1573,15
1737,02
7
114,709
278,579
442,449
606,319
770,189
934,059
1097,93
1261,80
1425,67
1589,54
1753,41
8
131,096
294,966
458,836
622,706
786,576
950,446
1114,32
1278,19
1442,06
1605,93
1769,30
9
147.483
311 353
475,223
Ь39,093
802,963
966,833
1130,70
1294,57
J458.44
1622,31
1786,19
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
610,239
1220,48
1830,72
2440,96
3051,20
3661,43
4271,67
4881,91
5492,15
| 6102,39
61,0239
671,263
1281,50
1891,74
2501,98
3112,22
3722,46
4332,70
4942,94
5553,18
6163,41
Ъ) 1 дм* = 61,023 909
122,048
732,287
1342,53
1952,77
2563,00
3173,24
3783,48
4393,72
5003,96
5614,20
6224,44
183,072
793,311
1403,55
2013,79
2624,03
3234,27
3844,51
4454,75
5064,98
5675,22
6285,46
244,096
854,335
1464,57
2074,81
2685,05
3295,29
3905,53
4515,77
5126,01
5736,25
6346,49
куб. дюйма
305,120
915,359
1525,60
2135,84
2746,08
3356,32
3966,55
4576,79
5187,03
5797,27
6407,51
366,143
976,383
1586,62
2196,86
2807,10
3417,34
4027,58
4637,82
5248,06
5858,30
6468,53
427,167 488,191
1037,41 1098,43|
1647,65] 1708,67
2257,88
2868,12
3478,36
4088,60
4698,84
5309,08
5919,32
6529,56
2318,У1
2929,151
3539,39
4149,63
4759,86
5370,10
5980,34
6590,58
549,215
1159,45
1769,69
2379,93
2993,17
3600,41
4210,65
4820,89
5431,13
6041,37
6651,61

932
ГГрило&сенпб
Таблица 29. а) Перевод русских кубических саженей в кубические метры
Ь) Перевод кубических метров в русские кубические сажени
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
97,1268
194,254
291,380
388,507
485,634
582,761
679,888
777,014
874,141
971,268
а)
1 1 2
9,71268
106,839
203,966
301,093
398,220
495,347
592,473
689,600
786,72?
883,854
980,981
19,4254
116.552
213,679
310,806
407,933
505,059
602,186
699,313
796,440
893,567
990,693
1 куб. <
:ажень =
= 9,712 68
3 | 4 | 5
29,1380
126,265
223,392
320,518
417,645
514,772
611,899
709,026
806,152
903,279
1000,41
38,8507
135,978
233,104
330,231
11
815,865
912,992
1010,12
48,5634
145,690
242,817
339,944
437,071
534,197
631,324
728,451
825,578
922,705
1019,83
м*
6
58,2761
155,403
252,530
349,656
446,783
543,910
641,037
738,164
835,290
932,417
1029,54
7 | 8 [ 9
67,9888
165,116
262,242
359,369
456,496
553,623
650,750
747,876
845,003
942,130
1039,26
77,7014
174,828
271,955
369,082
466,209
563,335
660,462
757,589
854,716
951,843
1048,97
87,4141
184,541
281,668
378,795
475,921
573,048
670,175
767,302
864,429
961,555
1058,68
Ь) 1 м3 = 0,102 958 2 куб. сажени
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1,029 58
2,059 16
3,088 75
4,118 33
5,147 91
6,177 49
7,207 07
8,236 661
9,266 24
10,295 8^
0,102 96
1,132 54
2,162 12
3,191 701
4,221 29[
5.250 87
6,280 45
7,310 03|
8,339 61
9,369 20
10,398 8
0,205 92
1,235 50
2,26508
3,294 66
4,324 24
5,353 83
6,383 41
7,412 991
8,442 57
9,472 15
10,501 7
0,3"8 87
1,338 46
2,368 04
3,397 62
4,427 20
5,456 78
6,486 37
7,515 95
8,545 53|
9,575 11
10,604 71
0,411 83|
1,441 41
2,471 00!
3,500 58
4,530 16
5,559 74
6,589 32|
7,618 91
8,648 491
9,678 07
10,707 7|
0,514 79
1,544 37
2,573 96
3,603 54
4,633 12
5,662 70
6,692 28
7,721 87
8,751 45
9,781 03
10,810 6
0,617 75
1,647 33
2,676 91
|3,706 50
4,736 08|
15,765 66
6,795 24
7,824 82
8,854 41
9,883 991
10,913 6
0,720 71
1,750 291
2,779 87
3,809 45
4,839 04
5,868 62
6,898 20
7,927 78
8,957 36
9,986 95
11,016 5!
0,823 67
1,853 25
2,882 83[
|3,912 41
4,941 991
5,971 58
7,001 16
8,030 74
9,060 32
10,089 9
11,019 5|
|0,926 62
1,956 21
2,985 79
4,015 37
15,044 95
6,074 53
7,104 12
8,133 70
9,163 28
10,192 9
11,222 4
Таблица 30. а) Перевод русских кубических аршин в кубические метры
Ь) Перевод кубических метров в кубические аршины
а) 1 куб. аршин = 0,359 729 м3
0 | 1 | 2 | 3 | 4[ 5 1 6 1 7 ] 8 [ 9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
3,597 29
7,194 58
10,791 9
14,389 2
17,986 5
21,583 7
25,181 0
28,778 3
32,375 6
35,972 9'
0,359 73
3,957 02
7,554 31
| 11,1516
14,748 9
18,346 2
21,943 5
25,540 8
29,138 0
32,725 3
! 36,332 6
0,719 461
4,316 75
7,914 04
11,5113
15,108 6
18,705 9
22,303 2
25,900 5
29,497 8
33,0951
36,692 4|
1,079 19
4,676 48
8,273 77
11,871 1
15,468 31
19,065 6
22,662 9
26,260 2
29,857,5
33,454 8|
37,052 1
1,438 92|
5,036 21
8,633 50|
12,230 8|
15,828 1
19,425 4|
23,022 7
26,619 91
30.217 2
33,814 5
37,411 81
1,798 65
5,395 94
8,993 231
12,590 5
16,187 8
19,785 1
23,382 41
26,979 7|
30,577 0
34,174 3
37,771 5|
2,158 37
5,755 66
|9,352 95
12,950 2
16,547 5
20,144 8
23,742 1'
127,339 41
30,936 7
34,534 0
38,131 3
2,518 10
6,115 39
9,712 68
13,310 0
16,907 3
20,504 6
24.101 8|
27,699 11
31,296 4
34,893 7
38,491 0
2,877 83
6,475 12
10,072 4
13,669 7
17,267 0
20,864 3
24,461 6
28,058 9
131,656 2
35,253 4|
38,8507
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
27,7987
55,5974
88,3962
111,195
138,994
! 166,792
! 194,591
222,390
250,188
277,987
2,77087
3J,5786
58,3773
86,1760
113,975
141,773
169,572
197,371
225,170
252,968
280,767
Ь)
5,55074
33,3585
61,1572
88,9559
116,755
144,553
172,352
200,151
227,950
255,748
283,547
1 м* = 2,779 872
8,33962
36,1383
63,9371
91,7358
119,534
147,333
175,132
202,931
230.729
258,528
286,327
11,1195
38,9182
66,7169
94,5156
122,314
150,113
177,912
205,711
233,509
261,308
289,107
куб. аршина
13,8994
41,6981
69,4968
97,2955
125,094
152,893
180,692
208,490
236,289
264,088
291,887
16,6792
44,4779
72,2767
100,075
127,874
155,673
183,472
211,270
239;069
266,868
294,666
19.4591
47,2578
75,0565
102,855
130,654
158,453
186,251
214,050
241,849
269,648
297,446
22,2390
50,0377
77,8364
105,635
133,434
161,233
189.03U
216,830]
244,6291
272,427
300,2261
3,237 56
6,834 85
10,432 1
14,029 4
17,626 7
21,224 О
24,821 3
J28.418 6
32,015 9
35,613 2
39,210 5
25,0188
52,8175
80,6163
108,415
136,214
164,012
191,811
219,610
247,409
275,207
3(3,006

Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
933
Таблица 31. а) Перевод русских кубических вершков в кубические сантиметры
Ь) Перевод кубических дециметров в русские кубические вершки
а) 1 куб. вершок = 87,8244 см3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1G0
0
878,244
1756,49
2634,73
3512,98
4391,22
5269,46
6147,71
7025,95
7904,20
8782,44
1
87,8244
966,С68
1844,31
2722,56
3600,80
4479,04
5357,29
6235,53
7113,78
7992,02
8870,26
2
175,649
1053,89
1932,14
2810,38
3688,62
4566,87
5445,11
6323,36
7201,60
8079,84
8958,09
3
263,473
1141,72
2019,96
2898,21
3776,45
4654,69
5532,94
6411,18
7289,43
8167,67
9045,91
4
351,298
1229,54
2107,79
2986,03
3864,27
4742,52
5620,76
6499,01
7377,25
8255,49
9133,74
5
439,122
1317,37
2195,61
3073,85
3952,10
4830,34
5708,59
6586,83
7465,07
8343,32
9221,56
6
526,946
1405,19
2283,43
3161,68
4039,92
4918,17
5796.41
6674,65
7552,90
8431,14
9309,39
7
614,771
1493,01
2371,26
3249,50
4127,75
5005,99
5884,23
6762,48
7640,72
8518,97
9397,21
8
702,595
1580,84
2459X8
3337,33
4215,57
5093,82
5972,06
6850,30
7728,55
86 6,79
9485,04
' 9
790,420
1668,66
2546,91
3425,15
4303,40
5181,64
6059,88
6938,13
7816,37
8694,62
9572,86
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1С0
113,864
227,727
341,591
455,454
569,318
683,181
797,045
910,908
1024,77
1138,64
11,3864
125,250
239,113
352,977
466.840
580,704
694,567
808,431
922,294
1036,16
1150,02
Ь)
22.7727
136,636
250,500
364,363
CNCniO*-«
OOtNt/ЭСЛ
SOIOH
933,681
1047,54
1161,41
1 дм* =
34,1591
148,023
261,886
375,750
489,613
603,477
717,340
831,204
945.067
1058,93
1172,79
11,386 35 куб. вершка
45,5454
159,409
273,272
387,136
500,999
614,863
728,726
842,590
956,453
1070,32
1184,18
56,9318
170,795
284,659
398,522
512,386
626,249
740,113
'853,976
967,840
1081,70
1195,57
68,3181
182,182
296,045
409,909
523,772
637,636
751,499
865,363
979,226
1093,09
1206,95
79,7045
193,568
307,431
421,295
535,158
649,022
762,885
876,749
990,612
1104,48
1218,34
91,0908!
204,9541
318,818
432,6.'1
546.54Ы
660,408
774,27 J
888,135
1002,00
1115,86
1229,73
102,477
216,341
330,204
444,068
557,931
671,795
785,658
899,522
1013,39
1127,25
1241,11
Таблица 32. а) Перевод английских имперских квартеров в гектолитры
Ь) Перевод гектолитров в английские имперские квартеры
а) 1 кваргер = 8 бушелей = 32 пека = 64 галлона = 2,907 814 гл
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
29,0781
58,1563
87,2344
116,313
145,391
174,469
203,547
232,625
261,703
290,781
1
2,90781
31,9860
61.С641
90,1422
119,220
148,299
177,377
206,455
235,533
264,611
293,689
2
5,81563
34,8938
63,9719
93,0500
122,128
151,206
180,284
209,363
238,441
267,519
296,597
з
8,72344
37,8016
66,8797
95,9579
125,036
154,114
183,192
212,270
241,349
270,427
299,505
4
11,6313
40,7094
69,7875
98,8657
127,944
157,022
186,100
215,178
244,256
273,335
302,413
5
14,5391
43,6172
72,6954
101,773
130,852
159,930
189,008
218,086
247,164
276,242
305,320
1 6
17,4469
46,5250
75,6032
104,681
133,759
162.838
191,916
220,994
250,072
279,150
308,228
7
20,3547
49,4328
78,5110
107,589
136,667
165,745
194,824
223,902
252,980
282,058
311,136
8
23,2625
52,3407
81,4188
110,497
139,575
168,653
197,731
226,809
255,888
284,966
314,044
9
26,1703
55,2485
84,3266
113,405
142,483
171,561
200,639
229,717
258,795
287,874
316,952
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1Э0
I _
3,439 01
6,87802
10,317 0
13,756 0
17,195 1
20,6341
24,073 1
27,512 1
30,951 1
34,390 1
0,343 90
3,782 91
7,221 92
10,660 9
14,099 9
17,539 0
20,978 0
24,417 0
27,856 0
31,295 0
34,734 0
0,687 80
4,126 81
7,565 82
11,004 8
14,443 8
17,882 9
21,321 9
24,760 9
28,199 9
31,638 9
35,077 9
1,031 70
4,470 71
7,909 72
11,348 7
14,787 7
18,226 8
21,6698
25,104 8
28,543 8
31,982 8
35,421 8
1,375 60
4,814 61
8,253 62
11,692 6
15,131 6
18,570 7
22,009 7
25,448 7
28,887 7
32,326 7
35,765 7
Ь) 1 гл = 0,343 9С1 квартера
1,719 51|2,063 41
5,158 52|5,502 42
8,597 53 8,941 43
12,036 512,380 4
15,475 5 15,819 4
18,914 6 19,258 5
22,353 6 22,697 5
25,792 6 26,136 5|
29,231 6 29,575 5
32,670 6 33,014 б|
36,109 6 36,453 5
2.407 31
5,846 321
19,285 33
12,724 3
16,163 3
19,602 4
|23,041 4
26,480 4
29,919 4
133,358 4
36,797 4
2,751 21
6,190 22!
9,629 23
13,068 2
16,507 2
19,946 3
23,385 3
26,824 3
130,263 3
33,702 3
i37,14J 3|
3,095 11
6,534 12
9,973 13
13,412 1
16,851 1
20,290 2
23,729 2
[27,168 2
30,607 2
34,046 2
137*485 2

934
Приложение
Таблица 33. а) Перевод английских имперских галлонов в литры
Ь) Перевод литров в английские имперские галлоны
а) 1 имперский галлон 1898 г.=277,260 куб. дюйма =4,545 963 л
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
45,4596
90,9193
136,379
181,839
227,298
272,758
318,217
363,677
409,137
454,596
1
4,54596
50,0056
95,4052
140,925
186,384
231,844
277,304
322,763
368,223
413,683
459,142
2
9,09193
54,5516
100,011
145,471
190,930
236,390
281,850
327,309
11
3
13,6379
59,0975
104,557
150,017
195,476
240,936
286,396
331,855
377,315
422,775
468,234
*
18,1839
63,6435
109,103
154,563
11
381,861
427,321
472,780
1 5
22,7298
68,1894
113,649
159,109
204,568
250,028
295,488
340,947
386,407
431,866
, 477,326
! 6
27,2758
72,7354
118,195
163,655
209,114
^54,574
о00,034
345,493
390,953
436,412
481,872
7
11
213,660
259,120
304,580
350,039
395,499
440,958
486,418
8
36,3677
81,8273
127,28/
172,747
218,206
263,666
309,125
354,585
400,045
445,504
490,964
9
40,9137
86,3733
131,833
177,293
222,752
268,212
313,671
359,131
404,591
450,050
495,510
о
10
20
30
40
50
60
70
100
Ь) 1 л =
2,199 76
4,399 51
6,599 27
8,799 02
10,998 8
13,198 51
15,398 3
17,598 0
19,797 8
21,997 6
0,219 975 47 имперского галлона=
0,439 951
2,639 71
0,219 981
2,419 73
4,619 49
6,819 24
9,019 00
11,218 8
13,418 5|
15,618 3
17,818 0
20,017 8
22,217 5
4,839 46
7,039 221
9,238 97
11,438 7
13,638 5
15,838 2
18,038 0
20,237 7
22,437 5|
0,659 93
2,859 68
5,059 44
7,259 19
9,458 95
11,658 7
13,858 5
16,058 2
18,258 0
20,457 7
22,657 51
0,879 90
3,079 66
5,279 41
7,479 17'
0,678 92
11,878 7
14,078 4
16,278 2
18,477 9
20,677 7
22,877 5|
61,023 909 куб. дюйма (табл. 28Ь)
1,539 83] 1,759 80'
1,099 88!
3,299 63
5,499 39
7,699 14
9,898 90
12,098 7
14,298 4
16,498 2
18,697 9
20,897 7
23,097 4
1,319 85
3,519 61
5,719 36|
7,919 12
10,118 9
12,318 6
14,518 4
16,718 1
18,917 9|
21,117 6
3,739 58
5,939 34
|8,139 09
10,338 8
12,538 6
14,738 4
16,938 1
19,137 9
21,337 6
23,317 4123,537 4
3,959 56
6,159 31
8,35907
10,558 8|
12,758 6
14,958 31
17,158 1
19,357 8|
21,557 6
23,757 4
1,979 78
14,179 53
6,379 29
[8,579 04
10,778 3
12,978 6
15,178 3
17,378 1
19,577 8
21,777 6
:23,977 ?
Таблица 34. а) Перевод американских винчестерских галлонов в литры
Ь) Перевод литров в американские винчестерские галлоны
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
а) 1 галлон = 231 куб. дюйм=3,785 442 л
0 I 1 | 2 | 3 | 4 |
37,8544
75,7088
113,563
151,418
, 189,272
227,127
264,981
302,835
340,690
1 378,544
III
155,203
193,058
230,912
268,766
306,621
344,475
382,330
7,57088
45,4253
83,2797
121,134
158,989
196,843
234,697
272,552
310,406
348,261
386,115
11,3563
49,2107
87,0652
124,920
162,774
200,628
238,483
276,337
314,192
352,046
389,901
15,1418
52,9962
90,8506
128,705
166,559
204,414
242,268
280,123
317,977
355,832
393,686
5 I 6 | 7 | 8 | 9
18,9272
56,7816
94,6361
132,490
170,345
208,199
246,054
283,908
321,763
359,617
397,471
11
174,130
211,985
249,839
287,694
325,548
363,402
401,257
26,4981130,2835
64,3525 68,1380
102,207 105,992
140,061 143,847
177,916 181,701
215,770 219,556
253,625 257,410
291,479 295,264
329,333 333,119
367,188 370,973
4 5,042| 408,828
34,0690
71,9234
109,778
147,632
185,487
223,341
261,195
299,050
336,904
374,759
412,613
о
10
20
30
40
50
60'
70,
80
90
too
2,641 70
5,283 40
7,925 Ю
10,566 8
13,208 5
15,850 2
18,491 9
21,133 6
23,775 3
26,417 0
0,264 17
2,905 87
5,547 57
8,189 27
10,831 0
13,4727
16,114 4
18,756 1
21,397 8
24,039 5
26.G81 2
0,528 34
3,170 04
5,811 74
8,453 44
11,0951
13,736 8
16,378 5
19,020 2
21,661 9
24,303 6
26,945 3
b) 1 л =
0,792 51
3,434 21
6,075 91
8,717 61
11,359 3
14,001 0
16,642 7
.19,284 4
21,9261
24,567 8
27,209 5
0,264 169 9 галлона
1,056 68
3,698 38
6,340 08
8,981 78
11,623 5
14,265 2
16,906 9
19,548 6
22,190 3
24,832 0
27,473 7
1,320 85
3,962 55
6,604 25
9,245 95
11,887 6
14.529 3
17.1710
19,812 7
22,454 4
25,096 1
27,737 8
1,585 02
4,226 72
6,868 42
9,510 12
12,151 8
14,793 5
17,435 2
20,(76 9
22,718 6
25,360 3
28,002 0
1,849 19
4,490 89
7,132 59
9,774 29
12,416 0
15,057 7
17,699 4
20,341 1
22,982 8
25,624 5
28,266 2
2,113 Зб1
4,755 06
7,396 76
10,038 5
12,680 2
15,321 9
17,963 6
20,605 3
23.247 0
25,888 7
28,530 3
2,377 53
5,019 23
7,660 93
10,302 6
12,944 3
15,586 О
18,227 7
20,869 4
23,511 1
26,152 8
28,794 §

Таблицы для сравнения и перевода мер и весов 935
Таблица 35. а) Перевод нефтяных баррилей в гектолитры ')
Ь) Перевод гектолитров в нефтяные баррили
а) 1 нефтяной барриль = 42 нефтяных галлона по Б/6»10 фунтов воды (=230,667 куб.
дюйма или 3,779 94 дж»)—1,587 574 8 гл *)
0|1|2|3|4|5|617|8|9
15,8757
31,7515
47,6272
63,5030
79,3787
95,2545
111,130
127,006
142,882
158,757
1,58757
17,4633
33,3391
49,2148
65,0906
80,£663
96,8421
112,718
1/8.594
144,469
160,345
6,298 92
12,597 8
18,896 7
25,195 7
31,494 6
37,793 5|
44,092 4
50,391 3|
56,690 2
62,989 2
0,629 89
6,928 81
13,227 7|
19,526 6
25,825 6
32,124 5
38,423 4
44,722 3|
51,0212
57,320 1
63,619 1
3,17515
19,0509
34.9266
50,8024
66,6781
82,5539
98,4296
114,305
130,181
146,057
161,933
Ь) 1 гл*
1,259 78
7,558 701
13,857 6
20,156 5
26,455 4
32,754 4
39,f 53 31
45,352 2
51,651 1
57,950 0j
64,248 9
4,76272
20,6385
36,5142
52,3900
68,2657
84,1415
100,017
115,893
131,769
147,644
163,520
6,35030
22,2260
38,1018
53,9775
69,8533
85,7290
101,605
117,481
133,356
149,232
165,108
7,93787
23,8136
39,6894
55,5651
71,4409
87,3166
103,192
119,068
134,944
150,820
166,695
9,52545
25,4012
41,2769
57,1527
73,0284
88,9042!
104,780
120,656'
136,531
152,407
168,283
11,11301
26,9888
42,8645
58,7403
74,61601
90,4918
106,368
122,243
138,119
153,995
169,871
:0,629 8916 нефтяного барриля *)
2,519 57
8,818 48
15,117 4
21,416 3
27,715 2
34,014 1
40,313 1
46,612 0|
52,910 9
59,209 8
65,508 71
3,149 461
9,448 37!
15,747 3|
22,046 2
28,345 1
34,644 0|
40,943 0
47,241 9
53,540 8
59,839 7
66,138 б|
3,779 35|4,409 241
1,889 67
8,188 59
14,487 5|
20,786 4
27,085 3|
33,384 3
39,683 2]
45,982 1
52,281 0
58,579 9
64,878 8
Таблица 36. а) Перевод русских бочек в гектолитры
Ь) Перевод гектолитров в русские бочки
а) 1 бочка = 40 ведер (табл. 38) = 4,919 763 5 гл
0|1|2|3|4|5|6|7
10,078 3
16,377 21
22,676 1
28,975 0
35,273 9!
41,572 8
47,871 8
54,170 7
60,469 6'
66,768 5!
10,7С8 2
17,007 1
[23,ЗС6 01
29,604 9,
35,903 8
42,202 7
48,501 7
54,800 6
|б1,099 5
67,398 4
12,7С06|
28,5763|
44,4521
60,32781
76,2036
92,0793
107,955
123,831
139,7071
155,582
171,4581
5,039 13]
11,338 0
17,637 0
23,935 9
30,234 8
36,533 7
42,832 6
49,131 5
55,430 5
61,729 4
,68,028 3|
8
14,2882
30,1639
46,0397
61,9154
77,7912
93,6669
109,543
125,418
141,294
157,170
173,046
15,669 02
11,967 9
18,266 9
24,565 8
130,864 7
37,163 6
43,462 5
49,761 4
56,060 4
62,359 3
168,658 2
49,1976
98.3953
147,593
196,791
245,988
295,186
344,383
393,581
442,779
491,976
4.91976
54,1174
103,315
152,513
201,710
250,908
300.106
349,303
398,501
447,698
496,896
9,83953
59,0372
108,235
157,432
206,630
255,828
305,025
354,223
403.421
452,618
501,816
14.7593
63,9569
113,155
162,352
211,550
260,747
309,945
359,143
408,340
457,538
506,736
19,6791
68,8767
118,074
167,272
216,470
265,667
314,865
364,062
413,260
462,458
511,655
24,5988
73,7964
122,994
172,192
221,389
270,587
319,785
368,982
418,180
467,377
516,575
29,5186
78,7162
127,914
177,111
226,309
275,507
324,704
373,902
423,100
472,297
521,4951
34,43831
83,6360
132,834
182,031
231,229
280,426
329,624
378,822
428,0191
477,217
526,4151
39,3581
88,5557
137,753
186,951
236,149
285,346
334,544
383,742
432.9391
482,137
531,334!
44,2771*
93,4755
142,673
191,871
241,068
290,266
339,464
388,661
437,859
487,057
536,254
1
2,032 62
4,065 24
6,097 85
8,130 47
10,163 1
12,195 7
14,228 3
16.260 9
18,293 6
1 20,326 2
0,203 26
2,235 88
4,268 50
6,301 12
8,333 73
10.366 4
12,399 0
14,431 6
16,464 2
18,496 8
20,529 4
0,406 52
2,439 14
4,471 76
6,504 38
8,537 00
10,569 6
12,602 2
14.634 8
16,667 5
18,700 1
20,732 7
Ь) 1 гл
0,609 79
2,642 40
4,675 02
6,707 64
8,740 26
10,772 9
12,805 5
14,838 1
16,870 7
18,903 3
20.936 0
^0,203 2618 бочки
0,813 05
2,845 67
4,878 28
6,910 90
8,943 52
10,976 1
13,008 8
15,041 4
17,074 0
19,106 6
21,139 2
1,016 31
3,048 93
5,081 55
7,114 16
9,146 78
11,179 4
13,212 0
15,244 6
17,277 3
19,309 9
21,342 5
1,219 57
3,252 19
5,284 81
7,317 42
9,350 04
11,382 7
13,415 3
15,447 9
17,480 5
19,513 1
21,545 8
1,422 83
3,455 45
5,488 07
7,520 69
9,553 30
11,585 9
13,618 5
15,651 2
17,683 8
19,716 4
21,749 0
1,626 09
3,658 71
5,691 33
7,723 95i
9,756 57
11,789 2
13,821 8
15,854 4
17,887 0
19,919 7
21,952 31
1,829 36
[3,861 97
5,894 59
7,927 21
9,959 83
11,9924
14,025 1
16,057 7
18,090 3
|20,122 9
22,155 5
*) См примечание к сгр. с03.1) Для других жидкостей в САСШ барриль считаегся
в 1,589 880 £t = 42 галлонам по 231 куб. дюйма (=3,785 442 дм*, табл. 34),
соответственно 1 ?i -0,628 9763 барриля. Для ^гого барриля цифры табл. 35а должны быть
помножены на 1,001 46, а цифры габл. 35Ь должны быть помножены на 0,998 57.

936
Приложение
Таблица 37. а) Перевод русских четвертей в гектолитры
Ь) Перевод гектолитров в русские четверти
а) четверть=8 четверикам (по 26,238738 л)=32 четверкам (по 6,5596845 л)=64 гарнцам
(по 3,2798423 л) = 2,099099 %л
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
о 1
20,9910
41,9820
62,9730
83,9640
104,955
125,946
146,937
167,928
188,919
1 2о9,9Ю
1 I
2,09910
23,0901
44,0811
65,0721
86,0631
107,054
128,045
149,036
170,027
191,018
212,009
2
4,19820
25,1892
46,1802
67,1712
88,1622
109,153
130,144
151,135
172,126
193,117
214,108
3 I
6,29730
27,2883
48,2793
69,2703
90,2613
111,252
132,243
153,234
174,225
1°5,216
216,207
4 I
8,39640
29,3874
50,3784
7М694
92,3604
113,351
134,342
155,333
176,324
197,315
218,306
б I
10,4955
31,4865
52,4775
73,4685
94.4595
115,450
136,441
157,432
178,423
199,414
220,405
6 I
12,5946
33,5956
54,5766
75,5676
96,5586
117,550
138,541
159,53?
180,523
201,514
222,5'Л
7
11
98,6577
119,649
140,640
161,631
182,622
203,613
224,604
8
16,7928
37,7838
58,7748
79,7658
1Г0,757
121,748
142,739
163,730
184,721
205,712
226,70«i
9
18,8919
39,8829
60,8739
81,8649
102,856
123,847
144,838
165,829
186,820
207,811
228,802
b) 1 **=0,476ЗМ85 четверги:
= 3,8111588 четверика = 15,244 635 че!верки=
=30,489271 гарнца
4,763 95!
9,527 90
К,291 8
19,055 8
23,819 7|
28,583 7
33,347 6
38,11161
42,875 5
47,6^9 5|
0,476 39
5,240 34
10,004 3|
14,768 2
19,532 21
24,2 6 1
29,060 1
33,824 0|
38,588 0
43,351 ?
48,115 S
0,952 79!
5,716 741
10,480 7
15,2*4 б1
20,008 61
24,772 5
29,536 5
34,300 4]
39,Г64 4
43,828 3|
48,592 а\
1,429 181
6,193 13
10,957 1
15,721 0|
20,485 С
25,248 91
о0,(12 9
34,776 8
39,540 8
44,304 7
49,Г68 7
1,905 58!
6,669 53|
11,433 5
16,197 4
20,961 4
25,725 3|
3<\489 3
35,253 2
4^,017 2
44,781 1
49,545 1
2,381 97
7,145 92
11,Г09 9
16,673 8
21,437 8
26,201 7
30,965 7
35,729 61
40,493 6
45,257 5
50,021 5|
2,858 371
|7,622 32
12,386,01
17,150,2]
21,914 2
6,678 1
i«il,442 1
36,206 0|
40,970 0
45,733 9
;50,497 8
3,334.76
8,098 71
12,862 7
17,6^6 б!
|22,390 6
27,154 5
31,918 5
[36,682 4
41,446 3
46,210 3
50,974 2\
3,811 16
[8,575 11
13,339 1
18,103 0
22,867 0
27,6Л) 9
132,394 8
37,158 8
41,922 7
6,686 7
151,450 6
4,287 55
9,051 50
13,815 4
18,579 4
23,343 3
28,107 3
«#,871 2
37,635 2
142,399 1
47,163 1
51,927 0
Таблица 38. а) Перевод русских ведер в литры
Ь) Перевод литров в русские кружки
а) 1 ведро=10 кружек= 12,2994С9 л
0
10
20
30
40
50
60
70
8Э
90
100
0 1
122,994
245,988
368,982
491,976
614,971
7^7,965
860,959
983,953
1106,95
1229,94
1 !
12,2994
135,294
258,288
381,232
504,276
627,270
750,264
873,258
996,252
1119,25
1242,24
2 I
24,5988
147,593
270,587
3Л3,581
516,575
639,569
762,563
885,558
1008,55
1131,55
;1254,54
3 I
36,8982
159,892
282,886
405,881
528,875
651.8С9
774,863
897,857
1020,85
1143,85
1266,84
4 I
49,1976
172,192
295,186
418,180
541,174
664,168
787,162
910,156
1033,15
1156,14
1279,14
5 I
61,4971
184,491
3^7,485
430,479
553,473
676,468
799,462
922,456
1045,45
1168,44
1291,44
6 I
73,79 5
196,791
319,785
442,779
565,773
688,767
811,761
934,755
1057,75
1180,74
1303,24
7 I
86,0959
209,0Г0
332,084
455,078
578,072
701,066
824,^60
947,055
1070,05
1193,04
1316,04
8
98,3953
221,389
344,383
467,378
590,372
713,366
836,360
959,354
1082,35
1205,3^
1328.34
9
110,695
233,689
356,683
479,677
602,671
725,665
848,659
971,653
1094,65
1217,64
1340,64
Ъ) 1 л =0,813 04721 кружки
8,130 47
16,260 9
24,<*91,4
32,521 9|
40,652 4
48,782 8
56,913 3
65,043 8
73,174 2
81,30171
0,813 С5
8,943 52
17,074 0
25,204 5|
33,334 9
41,465 41
49,595 9
57,726 4
65,856 8
73,987 3|
82,117 8
1,626 09]
9,756 57
17,887 0]
26,017 5
34,148 0
42,278 5
50,408 9
58,539 4]
66,669 9
74,800 Ь\
82,930 8
2,439 14
10,569 6
18,700
26,830 б|
34,961 0
43,091 51
51,222 0
59,352 4
67,482 9;
75,613 4
е3,743 9|
3,252 19
11,382 7;
19,513 l!
27,643 б|
35,774 1
43,904 5|
52,035 0
60,165 5
68,296 0
76,426 4
84,556 9
4,065 24|
12,195 7
20,326 2
28,456,7)
36,587 1
44,717 61
52,848 1
60,978 5|
69,109 О
77,239 5
85,370 О
4,878 28
13,0С8 8
21,139 2
2\269 7
37,400 2
145,530 61
53,661 1
|61,7916|
69,922 1
78,052 51
к 6,183 О
5,691 33]
13,821 8
121,952 3
|о0,и82 7
38,213 2|
46,343 7
154,474 21
62,604 6|
70,735 1
78,865 6
86,«96 1
[6,504 381
14,634 8|
22,765 3
36,895 8
39,026 3
47,156 7
55,287 2
63,417 7
71,548 2
79,678 6
<7,809 1
|7,317 41
|15,447 9
23,578 4
31,708 8
39,839 3
47,969 8
[56,100 3
64,230 7
72,361 2
30,491 7
58,622 I

Таблицы для сравнения и перевода мер и весов 937
D. Веса
Таблица 39. а) Перевод английских тонн в тонны метр.
Ь) Перевод метр, тонн в английские тонны
а) 1 тонна (long Ion)—20 центнеров=20X4 кваргера = 80X28 фунтоз^= 1,12 судовой
(shoi\) тонны —1,016 04706 гонн.л
1
0
10
20
30
40
50
СО
70
80
90
1С0
о •
10,1605
20,3209
30,4814
40,6419
50,8С24
60,^628
71,1233
81,2838
91,4442
101,605
1
1,016(5
11,1765
21,3370
31,4975
41,6579
51,8184
61,9789
72,1393
82,2998
92,4603
102,621
2
2,03209
12,1926
22,353 •
32,5135
42,6740
52,8344
62,9949
73,1554
83,3159
93,4763
103,637
з 1
3,04814
13,2086
23.3691
33,5296
43,6900
53,8505
64,0110
74,1714
84,3319
94,4924
104,653
4 I
4,Г6419
14,2247
24,3851
34,5456
44,7061
54,8665
65,0270
75,1875
85,3480
95,5084
1' 5,669
5
5,08024
15,2407
25,4П2
35,5616
45,7221
55,8826
66,0431
76,2035
86,3640
96,5245
1С6,685
6
6,09628
16,2568
26,4172
36,5777
46,7382
56,8986
67,0591
77,2196
87,3801
97,54(5
107,701
7 1
7,11233
17,2728
27,4333
37,5937
47,7542
57,9147
68,0752
78,2356
88,3961
98,5566
1Г8.717
8
8,128\i8
18,2888
28,4493
38,6С9£
48,7703
58,9307
69,0912
79,2517
89,4121
99,5726
1С9,733
9
9,14442
19,3°49
29,4654
39,6258
49,7863
59,9468
70,1072
80,2677
90,4282
100,589
110,749
Ь) 1 т (мегр.) = 0,9842С6 long tons = 19,68417 центн. =78,73648 Kaapiepa
— 0,98421 1,96841 I 2,95262 3,93682
9,84206 10,8263 11,8105 12,7947 13,7789
19,6841 20,6683 21,6525 22,6367 23,6209
29,5262 30,51С4 31,4946 32,4788 33,4630
39,3682 40,3524 41,3367 42,3209 43,ЗГ51
49,2103 50,1945 51,1787 52,1629 53,1471
59,0524 6^,0366 61,02С8 62,0050 62,9892
68,8944 69,8786 70,8628 71,8470 72,8312
78,7365 79,7207 80,7049 81,6891 82,6733
88,5785 89,5627 90,5469 91,5312 92,5154
98.42С6 I 9J.4048 | 10J,389 I 101,373 | 102,357 .
Таблица 40. а) Перевод английских
Ь) Перевод метр, тонн
а) судовая (short) тонна = 200 фунтов-
0 I 1 « 2 I 3 | 4 I
4,92103
14,7631
24,6' 52
34,4472
44,2893
54,1313
63,9734
73,8155
83,6575
93,4996
103,342
5.ГС524
15,7473|
^5,5894
35,43141
45,2735
55,1155
64,9576
74,7997
84,64171
94.-4838
104,326]
6,88944
16,7315
26,5736
36,4156
46,2577
56,0997
65,9418
75,7839
85,62591
95,4681
105,310|
7,87365
17,7157
27,5578
37,3998
47,2419
57,083°|
66,92601
76,7681
86,6101
96,4522!
106,294|
8,85785
18,6999
28,5420
38,3840
48,2261
58,0682
67,9102
77,7523
87,5944
97,4363
107,278
судовых тонн в килограммы
в английские судовые тонны
: 0,892857 long lons---C07,184 *8 кг
5 \ 6 t 7 | 8 | 9
9 071,85
18 143,7
27 215,5
36 287,4
45 359,2|
§4 431,1
63 502,9]
72 574,8
81 646,6
90 718,5
907,185
9 979/3
19 050,9
28 122,7
37 194,61
46 266,4
55 338,3
64 410,1
73 482.С
82 553,8
91 625,7
1 814,37
10 886,2
19 958,1
29 029,9]
38 К 1,8
47 173,6!
56 245,5
65 317,3
74 389,2|
83 461,0
92 532,?
2 721,55
11793,4
20,865,3
29 937,1
3^009,0]
48 080,8
57 152,6
66 224,5
75 296,3
84 368,2
93 440,01
3 628,74
12 700,61
21 772,4
30 844,3|
39 916,1
48 988,01
58 059,8
67 131,7
76 203,5
85 275,4
94 347,2|
4 535,92
13 607,8
22 679,б|
31 751,5
40 823,3]
49 895,2
58 967,0
68 038,9
77 110,7
86 182,6
95 254,4
5 443,11
14,515,0]
23 586,8
32 658,7
41 730,5
50 802,4
59 874,2
|б8 946,1
78 017,9!
|87 089,8
ч6 161,6|
6 35А,29|
15 422,1
24 494,01
33 565,8
42 637,7
51 709,5
6J 781,4
69 853,2
78 925,1
87 996,91
97 068,8]
7 257,48
16 329,3
25 401,2
34 473,0
43 544,9
52 616,7
61 688,6
70 760,4
79 832,3
88 904,1
97 976,0|
1 __
11,0231
22,0462
33,0693
44,0924
55,1155
66,1^87
77,1618
88,1849
99,2080
110,231
1Л0231
12,1254
23,1485
34,1716
45,1948
56,2179
67,2410
78,2641
89,287-
100,310
111,3J3
b)
2,2-462
13,2277
24,^508
35,2740
46,2971
37,3202
68,3433
79,3664
90,3895
101,413
112,436
L w = l,102311 судовой тении
3,30693
14,3300
25,35 J2
36,3763
47,3994
58,4^25
69,4456
80,4687
91,4918
102,515
113,538
4,40924
15,4324
26,4555
37,4786
48 5017
5°,5.48
70,5479
81,5710
92,5941
103,617
114,640
5,51155
16,5347
27,5578
38,5809
49,6040
60,6-71
71,6502
82,6733
93,6964
104,720
115,743
6,61387
17,6370
28,6601
39,6832
50,7063
61,7294
72,7525
83,7756
94,7987
105 822
116,F45
7,71618
18,7393
29,7624
40,7855
51,8086
62,8317
73,8548
84,8779
95,9011
106,924
117.P4;
8,818491
19,8416
30,8647
41,8878
52,91C9
63,9340
74,9571
85,9803
97.0034
106,026
11Q,050|
8 164,66
17 2J6.5
26 308,4
35 380,2
44 452,1
53 523,9
|62 595,8
71 667,6
80 739,5
89 811,3
98 883,2
9,92030
20,94d9
31,9670
42,9901
54,0132
65,0363
76,0595
87,0826
98,1057
109,129
120,152

938
Приложение
Таблица 41. а) Перевод английских центнеров в килограммы
Ь) Перевод килограммов в английские центнеры
а) 1 центнер = 4 квартера — 112 фунтов (табл. 43) = 50,802 353 кг
0 | 1 ( 2 |з14|5|б|7|в|
508,024
1016,05
1524,07
2032,09
2540,12
3048,14
3556,16
4064,19
4572,21
5080,24
50,8024
558,826
1066,85
1574,87
2082,90
2590,92
3098,94
3606,97
4114,99
4623,01
5131,04
101,605
609,628
1117,65
1625,68
2133,70
2641,72
3149,75
3657,77
4165,79
4673,82
5181,84
152,407
660,431
1168,45
1676,48
2184,50
2692,52
3200,55
3708,57
4216,60
4724,62
5232,64
203,209
711,233
1219,26
1727,28
2235,30
2743,33
3251,35
3759,37
4267,40
4775,42
5283,44
254,012
762,035
1270,06
1778,08
2286,11
2794,13
3302,15
3810,18
4318,20
4826,22
5334,25
304,814
812,838
1320,86]
1828,88
2336,91
2844,93
3352,96
3860,98
4369,00|
4877,03
5385,05
355,616
863,640
1371,66
1879,69
2387,71
2895,73
3403,761
3911,78
4419,801
4927,83
5435,85
406,419
914,442
1422,47
1930,49
2438,51
2946,53
3454,56
3962,58
4470,61
4978,63
5486,65
457,221
965,245
1473,27
1981,29
2489,32
'.,997,34
3505,36
4013,39
4521,41
5029,43
5537,46
0
100
200
800
400
500
600
700
800
900
1000
0
1,968 41
3,936 82
5,905 23
7,873 64
9,842 05
11,810 5
13,778 9
15,747 3
17,715 7
19,684 1
V
1 кг —
0,019 684 1 центнера
10 | 20 | SO | 40 | 50 | 60
0,196 84
2,165 25
4,133 66
6,102 07
8,070 49
10,038 9
12,007 3
13,975 7
15,944 1
17,912 5
19,881 0
0,393 68
2,362 09
4,330 50
6,298 92
8,267 33
10,235 7
12,204 1
14,172 6
16,141 0
18,109 4
20,077 8
0,590 52
2,558 93
4,527 35
6,495 76
8,464 17
10,432 6
12,401 0
14,369 4
16,337 8
18,306 2
20,274 6
0,787 36
2,755 78
4,724 19
6,692 60
8,661 01
10,629 4
12,597 8
14,566 2
16,534 7
18,503 1
20,471 5
0,984 21
2,952 62
4,921 08
6,889 44
8,857 85
10,826 3
12,794 7
14.763 1
16,731 5
18,699 9
20,668 3
1,181 05
3,149 46
5,117 87
7,086 28
9,054 69
11,0231
12,991 5
14,959 9
16,928 3
18,896 7
20,865 2
70 | 80 | 90
1,377 89
3,346 30
5,314 71
7,283 12
9,251 53
11,219 9
13,188 4
15,156 8
17,125 2
19,093 6
21,062 0
1,574 73
3,543 14
5,511 55
7,479 96
9,448 37
11,416 8
13,385 2
15,353 6
17,322 0
19,290 4
21,258 8
1,771 57
3,739 98
5,708 39
7,676 80
9,645 21
11,613 6
13,582 0
15,550 4
17,518 9
19,487 3
21,455 7
Таблица 42. а) Перевод английских квартеров в килограммы
Ь) Перевод килограммов в английские квартеры
а) 1 кваргер = 28 фунтов = 12,700 59 кг
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
127,006
254,012
381,018
508.024
635,030
762.035
889,041
1016,05
1143,05
1270,06
1
12,7006
139,706
266,712
393,718
520,724
647,730
774,736
901,742
1028,75
1155,75
1282,76
2 I
25,4012
152,407
279,413
406,419
533,425
660,431
787,437
914,442
1041,45
1168,45
1295,46
з 1
1 38,1018
165,108
292,114
419,119
546,125
673,131
800,137
927,143
1054,15
1181,15
1308,16
4 I
| 50,8024
177,808
304,814
431,820
558,826
685,832
812,838
939,844
1066,85
1193,86
1320,86
5 1
63,5030
190,509
317,515
444,521
571,527
698,532
825,538
952,544
1079,55
1206,56
1333,56
6 I
76,2035
203,209
330,215
457,221
584,227
711,233
838,239
965,245
1092,25
1219,26
1346,26
7 I
88,9041
215,910
342,916
469,922
596,928
723,934
850,940
977,945
1104,95
1231,96
1358,96
8 I
101.605
228,611
355,617
482,622
609,628
736,634
863,640
990,646
1117,65
1244,66
1371,66
9
114,305
241,311
368,317
495,323
622,329
749,335
876,341
100Ь,35
1130,35
1257,36
1384 36
0,787 36
1,574 73
2,362 09
3,149 4б|
3,936 82
4,724 19|
5,511 55|
6,298 92
7,086 28
7,87? 651
0,078 74
0,866 10
1,653 47
2,440 83
3,228 20
4,015 56
4,802 92
5,590 29
6,377 65
7,165 02
7,952 381
Ъ)
0,157 47
0,944 84
1,732 20
2,519 57j
3,306 93
4,094 30,
4,881 661
5,669 03
6,456 39!
7,243 761
8,031 12,
1 кг — 0,078 736
0,236
1,023
1,810
2,598
3,385
4,173
4,960
5,747
6,535
7,322
8Д09
! 0,314 95
1,102 31
1,889 68
| 2,677 04
3,464 40
4,251 77
5,039 13
5,826 50
6,613 86
7,401 23
8,188 591
51 квартера
0,393 68 0,472
1,18105 1,259
1,968 41 2,047
2,755 73 2,834
3,543 14!3,621
4,330 51 4,409
5,117 87 5,196
5,905 24J5.983
6,692 60 6,771
7,479 96|7,558
8,267 33| 8,346
42
0,551
1,338
2,125
12,913
[3,700
4,487
5,275
6,062
6,860
70'7,637
07|8,424
16 0,629 89
5211,417 26
8812,204 62
25 2,991 99[
61'3,779 35
98'4,566 72
34'5,354 08
71!6,14Г44
07 6,928 81!
447,716 171
80 8,503 54
'0,708 63
1,495 99
[2,283 36
3,070 72
3,858 09
[4,645 45
5,432 82
6,220 18
7,007 55
7,794 91
8,582 2fc

Таблицы для сравнения и перевода мер и весов 939
Таблица 43. а) Перевод английских фунтов в килограммы
Ь) Перевод килограммов в английские фунты
английский торговый фунт = 1,215 28 тройских фунта = 16 унций (по 23,3495 г) =*
= 256 драхм (по 1,771 845 г) = 7000 тройских грана = 0,453 592 44 кг
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
4,5359
9,0719
13,6078
18.1437
22,6796
27,2156
31,7515
36,2874
40,8233
45,3592
1
0,4536
4,9895
9,5254
14,0614
18,5973
23,1332
27,6692
32,2051
36,7410
41,2769
45,8128
2
0,9072
5,4431
9,9790
14,5150
19,0509
23,5868
28,1227
32,6587
37,1946
41,7305
46,2664
з
1,3608
5,8967
10,4326
14,9686
19,5045
24,0404
28,5763
33,1123
37,6482
42,1841
46,7200
4 1
1,8144
6,3503
10,8862
15,4222
19,9581
24,4940
29,0299
33,5659
38,1018
42,6377
47,1736
5
2,2680
6,8039
11,3398
15,8757
20,4117
24,9476
29,4835
34,0195
38,5554
43,0913
47,6272
6
2,7216
7,2575
11,7934
16,3293
20,8653
25,4012
29,9371
34,4730
39,0090
43,5449
48,Г808
7
3,1751
7,7111
12,2470
16,7829
21,3189
25,8548
30,3907
34,9266
39,4626
43,9985
48,5344
8
3,6287
8,1647
12,7006
17,2365
21,7724
26,3084
30,8443
35,3802
39,9162
44,4521
48,9880
9
4,0823
8,6183
13,1542
17,6901
22,2260
26,7620
31,2979
35,8338
40,3697
44,9057
49,4416
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ъ)
22,046
44,092
66,139
88,185
110,231
132,228
154,323
176,370
198,416
220,462
1 кг = 2,201 622 3
2,205
24,251
46,297
68,343
90,389
112,436
134,482
156,528
178,574
200,620
222,667
4,409
26,455
48,502
70,548
92,594
114,640
136,686
158,733
11
фунга =
6,614
28,660
50,706
72,752
1!
182,983
205,030
227,076
= 35,273 956 8 унции = 564,383 3 драхмы
8,818
30,865
52,911
74,957
97,003
119,050
141,096
163,142
185,188
207,234
229,281
11,023
33,069
55,116
77,162
99,208
121,254
143,300
165,341
187,393
209,439
231,485
13,228
35,274
57,320
79,366
101,413
123,456
145,505
167,551
189,597
211,644
233,690
СМОЭ10-*
ГОЬ^СМГ^
•-«роиэоо
ill
191,802
213,848
235,894
00О5СОН-
Со «-НОМ
^J WOO CO
съсосо-vj
105,822
127,868
149,914
171,960
194,007
2164353
238,099
19,842
41,888
63,934
85,980
108,026
130,073
152,169
174,165
196,211
218,257
240,304
Таблица 44. а) Перевод английских тройских гран в граммы
Ь) Перевод граммов в английские тройские граны
а) 1 тройский гран = 1/7000 торгового фунга = 1/5760 тройского фунта = 0,064 798 92 г
0|1|2|з|4|5|б|7|8|9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,647 99
1,295 98
1,943 97
2,591 96
3,239 95|
3,887 94
4,535 92|
5,183 91
5,831 901
6,479 89]
0,064 80
0,712 79
1,360 78
2,008 77
2,656 761
3,304 74
3,952 731
4,600 72|
5,248 71
5,896 70|
5,544 69|
0,129 60j
0,777 59
1,425 58
2,073 57
2,721 55
3,369 54
4,017 53
4,665 52|
5,313 51
5,961 50
6,609 49|
0,194 40
0,842 39
1,490 38
2,138 36
2,786 35
3,434 34
4,082 33
4,730 32|
5,378 31
6,026 30|
6,674 291
0,259 20|
0,907 18
1,55517
2,203 161
2,851 15|
3,499 14
4,147 13
4,795 12
5,443 11
6,091 10|
6,739 091
0,323 99
0,971 98
1,619 97
2,267 96
2,915 95
3,563 94!
4,21193
4,859 92|
5,507 91
6,155 90
6,803 89
[0,388
1,036
1,684
[2,332
2,980
3,628
4,276
4,924
5,572
6,220
6,868
0,453
1,101
1,749
2,397
[3,С45
3.693
4,341
4,989
|5,637
6,285
6,933
10,518 39:
1,166 38
1,814 37)
2,462 361
3,110 35
3,758 34
4,406 33
5,054 32
5,702 30
6,350 29
6,998 28|
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
)00
154.32
308,65
462,97
617,29
771,62
925,94
1080,26
1234,59
1388,91-
1543,24
15,43
169,76
324,08
478,40
632,73
787,05
941,37
1095,70
1250,02
1404,34
1558,67
Ь) Ь
30,86
185,19
339,51
493,83
648.16
802,48
956,81
1111,13
1265,45
1419,78
1574,10
» = 15,432 356 1 тройского грана
46,30
200,62
354,94
509,27
663,59
817,91
972,24
1126,56
128",88
1435,21
1589,53
61,73
216,05
370,38
524,70
679,0-2
833,35
987,67
1141,99
1296,32
1450,64
1604,97
77,16
231,49
385,81
540,13
694 46
848,78
1003,10
1157,43
1311,75
1466 07
1620,40
92.59
246,92
401,24
555,56
709,89
864,21
1018,53
1172,86
1327,18
1481,50
1635,83
108,03
262,35
416,67
571,00
725,32
879,64
1033,97
1188,29
1342,61
1496,941
1651,26
123,46
277,781
432,11
586,43
740,75
895,08
1049,40
1203,72
1358,05
1512,371
1666,69
[0,583 19
1,231 18
1,879 17
2,527 16
,3,175 15
3,823 14
4,471 13
15,119 11
5,767 10
6,415 09
7,063 08
138,89
293 21
477,54
601,86
756,18
910,51
1064,83
1219,15
1373,48
1527,80
1682ДЗ

940
Прилолсение
Таблица 45. а) Перевод русских пудов в килограммы
Ь) Перевод килограммов в русские пуды
пуд = 40 фунтов (по 0,409 512 410 кг) — 4С32 лота (табл. 46)=1280-3 золотника
(по 4,265 754 г) = 3840-96 долей (габл. 47) == 16,380 496 кг
0
10
20
30
40
50
60
70
90
80
100
0
163,805
327,610
491,415
655,220
819,025
982,830
1146,63
1310,44
1474,24
1638,05
1
16,3805
180,185
343,990
507,795
671,600
8^5,405
999,210
1163,02
1326,82
1490,63
1654,43
2
32,7610
196,566
360,371-
524,176
687,981
851,786
1015,59
1179,40
1343,20
1507,01
1670,81
3
49,1415
212,946
376,751
540,556
704,361
868,166
1031,97
1195,78
1359,58
1523,39
1687,19
4
65,5220
229,327
393,132
556,937
720,742
884,547
1048,35
1212,16
1375,96
1539,77
1703,57
5
81,9025
245,707
409,512
573,317
737,122
900,927
1064,73
1228,54
1392,34
i 1556,15
! 1719,95
6
98,2830
262,088
425,893
589,698
753,503
917,308
1081,11
1244,92
1408,72
1572,53
1736,33
7 !
114,663
278,468
442,273
606,078
769,883
933,688
1097,49
1261,30
1425,10
1588,91
1752,71
8
131,044
294,849
458,654
622,459
786,264
950,069
1113,87
1277,68
1441,48
1605,29
1769.С9
9
147,424
311,229
475,034
638,839
802,644
966,449
1130,25
1294,06
1457,86
1621,62
1785,47
b) 1 кг = 0,С61 048 211 пуда = 2,441 928 44 фунта = 78,141 71 лота=234,425 13 золотника
0,610 48
1,220 96
1,831 45!
2,441 93
3,052 41
3,662 89|
4,273 37
4,883 861
5,494 34
6,104 82|
0,061 05
0,671 53
1,282 01
1,892 491
2,502 98
3,113 46
3,723 94
4,334 42
4,944 91
5,555 39
6,165 87
0,122 10
0,7d2 58
1,343 06
1,95354
2,564 02
3,174 51
3,784 99
4,395 47
5,005 95
5,616 44
6,226 92]
0,183 14
0,793 63
1,404 11
2,014 591
2,625 07
3,235 56
3,846 04
4,456 52
5,С67 00
5,677 48
6,287 97|
0,244 191
0,854 67
1,465 16
2,075 64[
2,686 12]
3,296 60
3,907 09
4,517 57
5,128 05
5,738 53
6,349 01'
0,305 24
0,915 72
1,526 21
2,136 69|
2,747 17
3,357 65|
3,968 13!
4,578 62
5,189 10
5,799 58
6,410 Об!
0,366
0,976
1,587
2,197
2,808
|3,418
4,029
4,639
15,250
5,860
'6,471
0,427 34
1,03782
1,648 30
|2,258 78
2,869 27
13,479 75
4,090 23
|4,Г0О 71
5,311 191
|5,921 68
6,532 16
488 39
09887
709 35
319 83
,930 31
,540 801
,151 28
,761 76
,372 24
,982 72|
,593 21
|0,549 43
1,159 92
1,770 40
|2,380 88
2,991 36
13,601 84
4,212 33
14,822 81
5,433 29
6,043 77
6,654 25
Таблица 46. а) Перевод русских лотов в граммы
Ь) Перевод граммов в русские лоты
а) 1 лот = '/е.' Фупга = 3 золотника = 288 долей = 12,797 263 г
|1|2|з|4|б|б|7
127,973
255,945
383,918
511,890
639,863
767,836
895,808
1023,78
1151,75
1279,73
12,7973
140,770
268,742
396,715
524,688
652,660
780,603
908,605
1036,58
1164,55
1292,52
25,5945
153,567
281,540
409,512
537,485
665,458
793,430
921,403
1049,38
1177,35
1305,32
38,3918
166,364
294,337
422,310
550,282
678,255
806,227
934,200
1062,17
1190,15
1318,12
51,1890
179,162
307,134
435,Ю7
563,079
691,052
819,025
946,997
1074,97
1202,94
1330,92
63,9863
191,959
319,932
447,904
575,877
703,849
831,822
959,795
1087,77
1215,74
1343,71
76,78361
204,756
332,729
460,701
588,674
716,647
844,619
972,592
1100,56
1228,54
1356,511
89,5808
217,553
345,526
473,499|
601,471
729,4441
857,416
985,389
1113,36
1241,33
1369,31
102,378]
230,351
358,3231
486,296
614,268f
742,241
870,214
998,186
1126,16]
1254,13|
1382,1С
| 0,781 42
1,562 83
2,344 25
3,125 67
3,907 ОЬ
4,688 50
5,469 92
1 6,251 34
1 7,032 75
1 7,814 17
Ъ)1
0,078 14|
0,869 5б|
1,640 98
2,422 39
3,2РЗ 81
3,98523
4,766 64
5,548 06
6,329 48
7,110 90
| 7,892 31
L г = 0,078 141 71
0,156 28]
0,937 70!
1,719 12
2,500 53
3,281 95
4,063 37
4,844 79
5,626 20
6,407 62
7,189 04
[ 7,970 45
0,234 43
1,015 84
1,797 26
2,578 68
3,360 09
4,141 51
4,922 93
5,704 34
6,485 76
7,267 18
i 8,0*8 60
лота = 0,234 425 13 золотника
0,312 57
1,093 98
1,875 40
2,656 82
3,438 24
4,219 65
5,001 07
5,782 49
6,563 9Г
7,345 32
8Д26 74
0,390 71
1,172 13
1,953 54
2,73496
3,516 38
4,297 79
5,079 21
5,860 63
6,642 05
7,423 46
, 8,204 88
0,463 85
1,250 27
2,03168
2,813 10
3,594 52
4,375 94
5,157 35
5,938 77
6,720 19
7,501 60
;8.283 02
0,546 99
1,328 41
2,109 83
2,891 24
3,672 66
4,454 08
5,235 49
6,016 91
6,798 33
7,57975
8,361 16
0,625 13
1,406 65!
2,187 97
2,969 38
3,750 80
4,532 22
5,313 64
6,09505
6,876 47
7,65789
8,439 30
115,175
243,148
371,121
499,093
627,066
755,038
883,011
1010,98
1138,96
1266,93
1394,90
0,703 28
1,484 69
2,266 11
3,047 53
3,828 94
4,610 36
15,391 78
6,173 20
16,954 61
7,73603
8,51745

Таблицы для сравнения й перевода мер й. весов 941
Таблица 47. а) Перевэд русских долей в миллиграммы
Ь) Перевод граммов в русские доли
а) 1 доля = 44,434 940 мг
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
444,349
888,699
1333,05
1777,40
2221,75
2666,10
3110,45
3554,80
3999,14
4443,49
1
44,4349
488,784
933,134
1377,48
1821,83
2266,18
2710,53
3154,88
3599,23
4043,58
4487,93
_/J
88,8699
533,219
977,569
1421,92
1866,27
2310,62
2754,97
3199,32
3643,67
4088,01
4532,36
3
133,305
577,654
1022,00
1466,35
1910,70
2355,05
2799,40
3243,75
3688,10
4132,45
4576,80
4
177,740
622,089
1066,44
1510,79
1955,14
2399,49
2843,84
3288,19
3732,53
4176,88
4621,23
5
222,175
666,524
1110,87
1555,22
1999,57
244<*,92
2888,27
3332,62
3776,97
4221,32
4665,67
6
266,610
710,959
1155,31
1599,66
2044,01
2488,36
2932,71
3377,06
3821,40
4265,75
4710,10
7
311,045
755,394
1199,74
1644,09
2088 44
2532,79
2977,14
3421,49
3865,84
4310,19
4754,54
8
355,480
799,829
1244,18
1688,53
2132,88
2577,23
3021,58
3465,93
3910,27
4354,62
s4798,97
9
399,914
844,264
1288,61
1732,96
2177,31
2621,66
3066,01
3510,36
3954,71
4399,С6
4843,41
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
225,048
450,096
675,144
900,192
1125,24
1350,29
1575,34
1800,38
2025,43
| 2250,48
2 2,5048
247,553
472,601
697,649
922,697
1147,75
1372,79
1597,84
1822,89
2047,94
2272,99
45,0096
270,058
495,106
720,154
945,202
1170,25
1395,30
1620,35
1845,39
2070,44
2295,49
Ъ) 1 г=
67,5144
292,563
517,611
742,659
967,707
1192,75
1417,80
1642,85
1867,90
2092,95
2318,00
22,5048125 доли
90,0192
315,067
540,115
765,164
990,212
1215,26
1440,31
1665,36
1890,40
2115,45
2340,50
112,524
337,572
562,620
787,668
1012,72
1237,76
1462,81
1687,86
1912,91
2137,96
2363,01
135,029!
360,077
585,125
810,173
1035,22
1260,27
1485,32
1710,37
1935,41
2160,46
2385,51
157,534
382,582
607,630
832,678
1057,73
1282,77
1507,82
1732,87
1957,92
2182,97
1 2408,01
180,038
405,087
630,135
855,183
1080,23
1305,28
1530,33
1755,38
1980,42
2205,47
24о0,52
202,543
427,591
652,639
877,688
1102,74
1327,78
1552,83
1777,88
2002,93
2227,98
2453,02
Е. Веса на единицу длины
Таблица 48. а) Перевод английских фунтов на ярд в кило!раммы на метр
б) Перевод килограммов на метр в английские фунты на ярд
а) 1 фунт на ярд—0,4960551 кг/м (или 1 м\Кг=0,4960881 ярда на фунт)
1 I
I 3 I
I
I 8 I
о
10
20 |
30
40
50
60
70
80
90
100
4,960 55
9,921 11
14,881 7
19,842 2
24,802 8
29,763 3
34,723 9
39,684 4
44,645 0
1 49,605 5
0,496 06!
5,456 61
10,417 2
15,377 7
20,338 3
25,298 8
30,259 4
35,219 9
40,180 5
45,141 0
50,101 6
0,992 11
5,952 66
10,913 2
15,873 8
20,834 3
25,794 9
30,755 4
35,716 0
40,676 5
45,637 1
50,597 6
1,488 17
6,448 72
11,409 3
16,369 8
21,330 4
26,290 9
31,251 5
36,212 0
41,172 6
46,133 2
51,093 7
1,984 22|
6,944 7Ь\
11,905 3
16,865 9
21,826 4
26,787 0
31,747 5
36,708 1
41,668 7
46,629 2
51 589 7
2,480 281
7,440 83
12,401 4
17,361 9
22,322 5
27,283 0
32,243 6
37,204 2
42,164 7
47,125 3
52,085 8
2 976 33
7,936 89
12,897 4
17,858 0
22,818 5
27,779 1
32,739 7
37,700 2
42,660 8
47,621 3
52,581 8
3,472 3е
8,432 94
13,393 5
18,354 0
23,314 6
28,275 2
33,235 7
38,196 3
43,156 8
48,117 4
53,077 9
3,968 44
8,929 00
13,889 6
18,850 1
23,810 7
28,771 2
33,731 8
38,692 3
43,652 9
48,613 4
53,574 0
4,464 5»)
9,425 05
14,385 6
19,346 2
24,306 7
29,267 3
34,227 8
39,188 4
44,148 9
49,109 5
54,070 0
Ъ) 1 кг\м = 2,015905 фунта на ярд (или 1 ярд на фунт = 2,015905 м\кг)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
20,1590
40,3181
60,4771
80,6362
100,795
120,954
141,113
161,272
181,431
201,590
2,01590
22,1749
42,3340
62,4930
82,6521
102,811
122,970
143,129
163,288
183,447
1 203,606
4,03181
24,1908
44,3499
64,5089
84,6680
1 104,827
| 124,986
145,145
165,304
185,463
| 205,622
6,04771
26,2068
46,3658
66,5248
I 86,6839
106,843
127,002
147,161
167,320
187,479
1 207,638
8,06362
28,2227
48,3817
68,5407
88,6998
108,859
129,018
149,177
169,336
189,495
1 209,654
10,0795
30,2386
50,3976
70,5566
90,7157
110,875
1131,034
151,193
171,852
191,511
1 211,670
12,0954
32,2545
52,4135
i 72,5725
1 92,7316
112,891
133,050
153,209
173,3^8
193,527
1 213,686
14,1113
34,2704
54,4294
74,5884
94,7475
114,907
1 135,066
155,225
175,384
195,543
215,702
16,1272
36,2863
56,4453
76,6044
96,7634
116,922
137,081
157,241
177,400
197,559
, 217,718
18,1431
38,3022
58,4612
78,6203
98,7793
118,938
139,097
159,256
179,415
199,574
1 219,734

942
Приложмт*
Таблица 49. Перевод фунтов
на фут различных
метр и обратно
государств й килограммы на
Фунт/фут
1
2
3
4
5
6
7
8
9
прусск.
меры
1,5931
3,1862
j 4,7793
6,3724
7,9655
9,5586
11,1517
12,7448
| 14,3379
кг\М
английск.
меры
1,4882
2,9763
4,4645
5,9527
7,44( 8
8,9290
10 4172
11,9053
13,3935
австр.
меры
1,7719
3,5438
5,3157
7,0875
8,8594
10,6313
12,4032
14.1751
15,9470
кг\м
1
2
3
1 4
5
6
7
1 9
1 ' дваяа
прусск.
0,6277
1,2554
1,8831
2,5108
3,1385
3,7662
4,3939
5,0217
5,6494
Фунт/фут
англ.
0,6720
1,3439
2,0159
2,6879
3,3598
4,0318
4,7038
5,3758
6,0477
<ч\ . мидj дач
австр.
0,5644
1,1287
1,6931
2,2575
2,8218
3,3862
3,9506
4,5150
5,0793
Таблица 50. а) Перевод английских фунтов на фут в килограммы на метр
Ь) Перевод килограммов на метр в английские фунты на фут
а) 1 англ. фунт на фут=1,4881655 кг\м (или 1 м\кг —1,4881655 фута на фунт)
0|1|2|3|415|6|7|8|9
0
10
20
30
40 !
50
60
70
80
90
100
14,8817
29,7633
44,6450
59,5266
74,4083
89,2900
104,172
119,053
133,935
148,817
11
61,0148
75,8965
90,7781
105,660
120,541
135,423
150,305
2,97633
17,8580
32,7397
47,6213
62,5030
77,3846
92,2663
107,148
122,030
136,911
151,793
4,46450
19,3462
34,2278
49,1095
63,9911
78,8728
93,7545
1С 8,636
123,518
1 138,399
[ 153,281
5,95266
20,8343
35,7160
50,5976
65,4793
80,3610
95,2426
110,124
125,006
139,888
; 154,769
11
66,9675
81,8491
96,7308
111,612
126,494
141,376
156,257
оосчсою
68,4556
83,3373
98,2190
113,101
127,982
142,864
157,746
11
69,9438
84,8255
99,7071
114,589
129,470
! 144,352
1 159,234
11
71,4320
86,3136
101,195
116,077
130,959
145,840
160,722
ISIS
72,9201
87,8018
102,683
117,565
132,447
147,328
162,210
Ъ) 1 кг\м~ 0,671968 24 фунта на фут (или 1 фут на фунт = 0,671968 24 м\кг)
0
10
20
30
40
53
6J
70
83
90
100
6,719 68
13,439 4
20,159 0
26,878 7
33,598 4
40,318 1
47,037 8
53,757 5
60,477 1
[67,196 8
0,671 97
7,391 65
14,111 3
20,831 0
27,550 7
34,270 4
40,990 1
47,709 7
54,429 4
61,149 1
67,868 8
1,343 94
8,063 62
14,783 3
21,503 0
28,222 7
34,942 3
41,662 0
48,381 7
55,101 4
61,821 1
68,540 8
2,015 90
8,735 59
15,455 3
22,175 0
28,894 6
35,614 3
42,334 0
49,053 7
55,773 4
62,493 0
69,212 7
2,687 87
9,407 56
16,127 2
22,846 9
29,566 6
36,286 3
43,0Гб 0
49,725 6
56,445 3
63,165 0
69,884 7
3,359 84
10,079 5
16,799 2
23,518 9
ЗГ.238 6
36,958 3
43,677 9
50,397 6
57,117 3
63,837 0
70,556 7
4,031 81
10,751 5
17,471 2
24,190 9
30,910 5
37,630 2
44,349 9
51,069 6
57,789 3
64,509 0
71,228 6
4,703 78j
11,423 5
18,143 1
24,862 8
31,582 5
38,302 2
45,021 8
51,741 6
58,461 2
65,180 9
71,900 6
5,375 75
12,095 4
18,815 1
25,534 8
32,254 5
38,974 8
45,693 2
52,413 5
59,133 2
65,852 9
72,572 6
6,047 71
12,767 4
19,487 1
26,206 8
32,926 4
39,646 1
46,365 8
53,085 5
59,805 2
66,524 9
73,244 5
Таблица 51. а) Перевод английск. фунтов на дюйм в килограммы на сантиметр
Ь) Перевод килограммов на сантиметр в английск. фунты на дюйм
а) 1 фунт на дюйм =0,17857986 кг\см (или 1 см\кг—0,178 579 86 дюйма на фунт)
0
10
20
30
40
90
60
70
80
90
0 I
1,785 80
3,571 60
5,357 40
7,143 20
8,929 00
10,714 8
12,500 6
14,286 4
16,072 2
17,858 0
1 1
0,178 58
1,964 38
3,750 18
5,535 98
7,321 78
9,107 58
10,893 4
12,679 2
14,465 0
16,250 8
18,036 6
2 I
0,357 16
2,142 96
3,928 76
5,714 56
7,500 36
9,286 16
11,072 0
12,857 8
14,643 6
16,429 4
18,215 2
3 I
0,535 74
2,321 54
4,107 34
5»893 14
7,678 94
9,464 74
11,250 5
13,036 3
14,822 1
16,607 9
18,393 7
4 I
0,714 32
2,500 12
4,285 92
6,071 72
7,857 52
9,643 32
11,429 1
13,214 9
15,000 7
16,786 5
18,572 3
5
0,892 90
2,678 7(
4,464 50
6,250 30
8,036 10
9,821 90
11,607 7
13,393 5
15,179 3
16,965 1
18,750 9
6
1,07148
2,857 28
4,643 08
6,428 88
8,214 68
10,000 5
11,786 3
13,572 1
15,357 9
17,143 7
18,929 5
7
1,250 06
3,035 86
4,821 66
6,607 46
8,393 26
10,179 1
11,964 9
13,750 7
15,536 5
17,322 3
19,108 1
8
1,428 64
3,214 44
5,003 24
6,786 04
8,571 84
10,357 6
12,143 4
13,929 2
15,715 0
17,500 8
19,286 6
9
1,607 22
3,393 02
5,178 8Ь
6,964 62
8,750 42
10,536 2
12,322 0
14,107 8
15,893 6
17,679 4
19,465 2

ТаблипЫ Для брапттения ft ПёрсяоДа Мер it ticonrt
943
b) 1 кг/ск = 5,599 7358 фунта на дюйм (или 1 дюйм па фунт=5,599 735 8 см\кг)
|0|l|2|3|4l5|6|7|8|9
О
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
55,9974
111,905
167,992
223,990
279,987
335,984
391,982
447,979
503,977
559,974
5,59974
61.5971
117,595
173,592
229,589
285,587
341,584
397,582
453,579
509,576
565,574
Таблица 52. а)
Ь)
а) 1 тонна на кв. дн)1
I О | 1
11,1995 16,7992 22,3993 27,9987 I 33,59841 39,1082] 44,7979 50,397?
67,1969 72,7966 78,3964 83,9961 89,5958 95,1956 100,795 106,395
123,194 128,794 134,394 139,994 145,593 151,193 156,793 162,392
179,192 184,791 190,391 195,991 201,591 207,190 212,790 218,390
235,189 240,789 246,389 251,^88 257,588 263,188 268,788 274,387
291,186 296,786 302,386 307,986 313,585 319,185 324,785 330,385
347,184 352,784 358,383 363,983 369,583 375,183 380,782 386,382
403,181 408,781 414,381 419,981 425,580 431,180 436,780 442,379
459,179 464,778 470,378 475,978 481,578 487,177 492,777 498,377
515,176 520,776 526.376 I 531,975 | 537,575 543,175 548,775 554,374
571,173 576,773 | 582,373 • 587,973 , 593,5721 599,172[ 604,7721 610,372
Перевод английских тонн на кв. дюйм в килограммы
на квадратный сантмметр
Перевод килограммов на квадратный сантиметр в
английские тонны на квадратный дюйм
нм = 157,4879 kzjcm7 (или 1 см*1кг=* 157,4879 кв. дюйма на тонну)
2|.3|4|5|6|7|8|9
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 574,88
3 149,76
4 724,64
6 299,52
7 874,40
9 449,28
11 024,2
12 599,0
14 173,9
15 748,8
157,488
1 732,37
3 307,25
4 882,13
6 457,01
8 031,89
9 606,77
11 181,6
12 756,5
14 331,4
15 906,3
314,976
1 889,86
3 464,74
5 039,6.
6 614,50
8 189,38
9 674, L6
11 339,1
12 914,0
14 488.9
16 063,8
472,464
2 047,34
3 622,22
5 197,10
6 771,98
8 346,86
9 921,74
11 496,6
13 071,5
14 646,4
16 221,3
629,952
2 204,83
3 779,71
5 354,59
6 929,47
8 504,35
10 079,2
11 654,1
13 229.0
14 803,9
16 378,7
787,44
2 362,32
3 937,20
5 512,08
7 086,96
8 661,84
10 236,7
11 811,6
13 386,5
14 961,4
16 536,2
944,928
2 519,80
4 094,69
5 669,57
7 244,45
8 819,33
10 394,2
11 969,1
13 544,0
15 118,8
16 693,7
1 102,42
2 677,30
4 252,18
5 827,06
7 401,94
8 976,82
10 551,7
12 126,6
13 701,4
15 276,3
16 851,2
1 259,90
2 834,78
4 409,66
5 984,54
7 559,42
9 134,30
10 709,2
12 284,1
13 858,9
15 433,8
17 008,7
1 417,39
2 992,27
4 567,15
6 142,03
7 716,91
9 291,79
10 866,7
12 441,5
14 016,4
15 591,3
17 166,2
Ь) 1 кг\см- = 0,006 349 694 тонны на кв. дюйм (или 1 кв. дюйм на тонну=
=0,006 349 694 см* (кг)
j 0
0
100
200
3J0
400
500
630
700
800
900
13Э0
0,634 97
1,269 94
1,904 91
2,539 88
3,174 85
3,809 82
4t444 79
5,079 76
5,714 72
6,349 69
1) | 20 1 30 1 40
0,063 50
0,698 47
1,333 44
1,968 41
2,603 37
3,238 34
3,873 31
4,508 28
5,143 25
5,778 22
, 6,413 19
0,126 99
0,761 96
1,396 93
2,031 90
2,666 87
3,301 84
3,936 81
4,571 78
5,206 75
5,841 72
6,476 64
0,190 49
0,825 46
1,460 43
2,095 40
2,730 37
3,365 34
4,000 30
4,635 28
5,270 25
5,905 22
6,540 18
0,253 99
0,888 96
1,523 93
2,158 90
2,793 87
3,428 83
4,063 80
4,698 77
5,333 74
5,968 71
6,603 68
русск. фунг/сажень =0,169193 кг(м
1 п „ /аршин =0,507580 кг\м
L . , /фут =1,34354 кг\м
1 „ „ /вершок =9.21288 кг\м
L „ „ 'дюйм =0,161072 кг\см
1 русский пуд кв. саж. =3,59833 кг\м*
1 „ фунт/ п п =0,089958 кг\м*
1 „ „ /кв. арш. =0,809625 кг\м*
1 „ „ /кв. фут =4,40796 кг\м*
1 „ „ /кв. верш.=207,26 кг/л*2
1 я „ /кв. дюйм =0,0634746кг\см*
1 русск. фунт/куб. саж.=0,0421627 кг\мг
1 „ „ /куб. арш.=1,1а839 кг\м*
1 „ „ /куб. фут = 14,4618 лгг/л»3
1 „ „ /куб. верш.=4,66286 кг\дм*
1 ,
- /ку
5. дюйм-
=0,024989
9 кг1см3
50 | 60 | 70 1 80
0,317 48
0,952 45
1,587 4z
2,222 39
2,857 36
3,492 33
4,127 30
4,762 27
5,397 24
6,032 21
6,667 18
0,380 98
1,015 95
1,650 92
2,285 89
2,920 86
3,555 83
4,190 80
4,825 77
5,460 74
6,095 71
6,730 68
0,444 48
1,079 45
1,714 42
2,349 39
2,984 36
3,619 33
4,254 29
4,889 26
5,524 23
6,159 20
>,507 98
1,142 94
1,777 91
2,412 88
3,047 86
3,682 82
4,317 79
4,952 76
5,587 73
6,222 70
6,794 1716,857 67
90
0,571 47
1,206 44
1,841 41
2,476 38
3,11135
3,746 32
4,38129
5,016 26
5,651 23
6,286 20
6,921 17
1 кг\м = 5,91039^ фунг/сажень
1 кг\м =1,97013 „ /аршин
1 кг\м =0,74430 „ ' /фут
1 кг м =0,108 544 „ /вершок
1 кг\см =6,208 38 „ /дюйм
1 кг\м2 =0.277907 пуд/кв. саж.
1 кг\м* =11,1163 фунт/кв. саж.
1 кг\м- =1,23514 „ /кв. аршин
1 кг\мл =0,226862 „ /кв. фут
1 кг\м- =0,0048248 „ /кв. вершок
1 кг\см* = 15,7544 , /кв. дюйм
1 К2\м* —IZJVn фунт/куб. сажень
1 кг\м* =0,878432 „ /куб. арш.
1 кг\м* =0,0691476 „ /куб. фут
1 кг)дм*=0,2144il „ /куб. верш.
1 кг\с
«* = 40,С
161 „
/куб. д
юйм

94*
Приложение
F. Веса на единицу площади (давления)
См. также табл. 52 и значения для русских мер на стр. 943.
Таблица 53. Перевод фунтов на кв. фут для различных стран в килограммы
на кв. метр и обратно
Фунт/кв.
Фут
кг[м*
прусск. I англ. | австр.
меры I меры ( меры
A'2/.U8
Фунт/кв. фут
прусск. англ. австр.
5,0761
10,1523
15,2284
20,3046
25,3807
30,4568
4,8824
9,7649
14,6473
19,5298
24,4122
29,2946
5,6Г58
11.2116
16,8174
22,4232
28,0291
33,6349
0,1970
0,3940
0,5910
0,7880
0,9850
1,1820
1,37Р0
1,5760
1,7730
0,2(48
0,4096
0,6144
0,8192
1,(240
1,2289
1,4337
1,6385
1,8433
35,5330 34,1771 39,2407
40,6Г91 39,0595 44,8465
45,6853 I 43,9420 | 50,4523
Таблица 54. а) Перевод англ.фунтов на кв. фут в килограммы на к
Ь) Перевод килограммов на кв. метр в англ. фунты на
а) 1 фунт на кв. фут = 4,882 437 кг\м? (или 1 ж2/кг~ 4,882 437 кв. фута на
| 0 | 1 | 2 [ 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8
0,1784
0,3568
0,5351
0,7135
0,8919
1,0703
1,2487
14,270
16,054
в. метр
кв. фут
фунт)
I 9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ь)1
о
10
20
30
40
50
60
70
80
S0
1С0
48,824
97,649
146,473
195,298
244,122
292,946
341,771
390,595
4з9,419
488,244
4,882
53,707
102,531
151,356
200,180
249,004
297,829
346,653
395,477
444,302
493,126
204 816
9,765
58,589
107,414
156,238
205,062
253,887
302,711
351,535
400,360
449,184
498,009
23 фунта
14,647
63,472
112,296
161,120
209,945
258,769
307,594
356,418
405,242
454,067
502,891
19,530
68,354
117,179
166,003
214,827
263,652
312,476
361,300
410,125
458,949
507.773
фут (или
24,412
73,237
122,061
170,885
219,710
268,534
317,358
366,183
415,007
463,832
512,656
29,2ft
78,11!
126,9*
175,7© ;
224,59:
273,411
322,241
371,0651
419,890
468,714
517,5381
177
,Г01!
,826
,6501
475
299
1231
,948
,772
,596
!,421
39,060
87,884
136,7(8
185,533|
234,357
283,181
322,0061
380,8о0
429,654'
478,4791
527,303]
1 кв. фут на фунт=0,204 816 23
2,0482
4,0963
6,1445
11
16,3853
18,4335
20,4816
111
8,3975
10,4456
12,4938
14,5420
16,5901
18,6о83
20,6864
fill
8,6023
10,6504
12.6Г86
14,7468
16,7949
18,8431
20,8912
0,6144
2,6626
4,7108
6,7589
8,8071
10,8553
12,9034
14,9516
16,9997
19,0479
21,(960
Ii
9,0119
11.Г601
13,1(82
15,1564
17,2046
19,2527
21,3009
1,0241
3,0722
5,1204
7,1686
9,2167
11,2649
13,3131
15,3612
17,4094
19,4575
21,5057
1,2289
3,2771
5,3252
7,3734
9,4215
11,4697
13,5179
15,5660
17,6142
19,6624
21,7105
1,4337
3,4819
5,5300
7,5782
9,6264
11,6745
13,7227
15,7708
17,8190
19,8672
21,9153
1,63851
3,6867
5,7349
7,7830
9,8312
11,8793
13,9275
15,9757
18,0238
20,0720
22,1201
43,942
92,766
141,591
190,415
239,239
288,064
336,888
385,713
434,537
483,361
532,186
м*\кг)
1,8433
3,8915
5,9397
7,9878
10,0360
12,0842
14,1321
16,1805
18,2286
20,2768
22,3249
Таблица 55. Перевод фунтов на ><в. дюйм для различных стран
в килограммы на кв. сантиметр и обратно
Фунт/кв.
дюйм
2
3
4
7
8
9
кг\см2 1
прусск. 1 англ. 1 австр.
меры 1 меры | меры |
II'
0,2924
0,3655
0,4386
т
0,0703
0,1406
0,2109
1!
0,4921
0,5625
0,6328
III
0,3229
0,4036
0,4843
0,5652
0,6458
0,7265
кг\см*
2
3
4
6
7
•
Фунт/кв. дюйм
прусск. | англ. австр.
13,681
27,361
41,042
54,722
1 68,403
82,083
95,764
109,444
123,125
14,223
28,447
42,670
56,893
71,117
85,340
99,563
113,787
128,010
12,388
24,776
37,164
Si
86,716
99,103
111,491

Таблицы Для сравнения и перевода мер и весов- 945
Таблица 56. а) Перевод английских фунтов на кв. дюйм в кг/см7
б) Перевод kzjcm2 в англ. фунты на кв. дюйм
а) 1 англ. фунт на кв. дюйм== 0,070 307 097 кг\см* (или смщ}кг= 0,070 307097 кв.
дюйма на англ. фунт)
|0[1|2|3|4-~
6
I
I 8 |
0 I - \ 0,070 311 0,14° 61 0,210 92 0,281 23 0,351 54 0,421 84 0,492 15 0,562 4б|0,632 76
10 0,703 07 0,773 38 0,843 69 0,913 99 0,984 30 1,054 61 1,124 91 1,195 22 1,265 53)1,335 84
20 1,406 14 1,476 45 1,546 76 1,617 06 1,687 37 1,757 68 1.827 99 1,898 29 1,968 60 2,038 91
30 2,109 21 2,179 52 2,249 83 2,320 14 2,390 44 2,460 75 2,531 06 2,601 36 2,671 67 2,741 98
40 2,812 28 2,882 59 2,952 90 3,023 21 3,093 51 3,163 82 3,234 13 3,304 43 3,374 74 3,445 05
50 3,515 35 3,585 66 3,655 97 3,726 28 3,796 58 3,866 89 3,937 20 4,007 50 4,077 81 4,148 12
60 4,218 43 4,288 73 4,359 04 4,429 35 4,499 65 4,569 994,640 27 4,710 58 4,780 88 4,851 19
70 4,921 50 4,991 80 5,062 11 5,132 42 5,202 73 5,273 035,343 34 5,413 65 5,483 95 5,554 26
80 I 5,624 57 5,694 88 5,765 18 5,835 49 5,905 80 5,976 1(Н6,046 41 6,116 72 6,187 02 6,257 33
90 6,327 64 6,397 95 6,468 25 6,538 56 6,608 87 6,679 1Ж.749 48 6,819 79 6,890 10 6,960 40
1С0 J 7,030 711 7,101 02| 7,171 321 7,241 63| 7,311 94| 7,382 2б|7,452 55|7,522 86|7,593 1Л7,663 47
b) kzIcm*—14,223 315 англ. фунта на кв. дюйм1) (или 1 кв. дюйм на англ. фунт=
= 14,223 315 см*\кг)
0 I — | 14,2281 28,447 I 42,670 | 56,893 1 71,117 I 85,340| 99,563] 113,7871 128,010
10 142,233 156,456 170,680 184,903 199,126 213,350 227,573 241,796 256,020 270,243
20 284,466 298,690 312,913 327,136 341,360 355,583 369,806 384,030 398,253 412,476
30 426,699 440,923 455,146 469,369 483,593 497,816 512,039 526,263 540,486 554,709
40 568,933 583,156 597,379 611,603 625,826 640,049 654,272 668,496 682,719 696,942
50 711,166 725,389 739,612 753,836 768,059 782,282 796,506 810,729 824,952 839,176
60 853.399 867,622 881,846 896,069 910,292 924,515 938,739 952,962 967,185 981,409
70 995,632 1009,86 1024,08 1038,30 1052,53 1066,75 1С80,97 1095,20 1ЮЭ,42 1123,64
80 1137,87 1152,09 1166,31 1180,54 1194,76 1208,98 1223,21 1237,43 1251,65 1265,88
90 1280,10 1294,32 1308,54 1322,77 1336,99 1351,21 1365,44 1379,66 1393,88 1408,11
КО I 1422,33 I 1436,55 | 1450,78 | 1465,00 | 1479,22 | 1493,45 | 1507,67| 1521,891 1536,121 1550,34
Таблица 57. а) Перевод тройских гран на кв. дюйм в граммы на кв. дециметр
Ь) Перевод граммов на кв. дециметр в тройские граны на кв. дюйм
а) 1 тройский гран на кв. дюйм —1,004 387 5 г\дм* (или 1 0Л12/г=1,ОО4 3875 кв.
дюйм на тросик, гран)
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |61718f
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
1С0
Ь)1
— 1 1,004 39| 2,008 77 3,013 161 4,017 551 5,021 94 6,026 32 7,030 71 8,035 10 9,0394 8
10,043 9 11,048 3 12,062 6 13,057 0 14,061 4 15,065 8 16,070 2 17,074 6 18,079 0 19,083 4
20,087 7 21,092 1 22,096 5 23,100 9 24,105 3 25,109 7 26,114 1 27,118 4 28,122 8 29,127 2
30,131 6 31,136 0 32,140 4 33,144 8 34,149 2 35,153 5 36,157 9 37,162 3 38,166 7Ь9,171 1
40,175 5 41,179 9 42,184 3 43,188 6 44,193 0 45,197 4 46,201 8 47,206 2 48,210 6 49,215 0
50,219 4 51,223 7 52,228 1 53,232 5 54,236 9 55,241 3 56,245 7 57,250 1 58,254 4 59,268 8
60,263 2 61,267 6 62,272 0 63,276 4 64,280 81 65,285 2 66,289 5 67,293 9 68,298 3 69,302 7
70,307 1 71,311 5- 72,315 9 73,320 3 74,324 6 75,329 0 76,333 4 77,337 8 78,342 2 79,346 6
80,351 0 81,355 3 82,359 7 83,364 1 84,368 5 85,372 9 86,377 3 87,381 7 88,386 1 89,390 4
90,394 8 91,399 2 92,403^ 93,408 0 94,412 4 95,416 8 96,421 2 97,425 5 98,423 9 99,434 3
100,439 I 101,443 [102,447 | 103,452 | 104,456 [ 1' 5,461 | 1С6,465| 107,4691108,474 { 109,478
г1дм9=:0,995 631 8 тройск. грана на кв. дюйм (или 1 кв. дюйм на тройск. гран =
=«0,995 6318 дм*\г)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,9563 2
19,912 6
29,869 0
39,825 3
49,781 6
59,737 9
69,694 2
79,650 5
89,606 9
99,563 2
0,995 63
10,951.9
20,9083
30,864 6
40,820 9
50,777 2
60,733 5
70,689 9
80,646 2
90,602 5
100,559
1,991 26
11,947 6
21,903 9
31,860 2
41,816 5
51,772 9
61,729 2
71,6855
81,641 8
91,598 1
101,554
2,986 90
12,943 2
22,899 5
32,855 8
42,812 2
52,768 6
62,724 8
72,681 1
82,637 4
92,593 8
102,550
3,982 53
13,938 8
23,895 2
33,8515
43,807 8
53,764 1
63,720 4
73,676 8
83,6331
93,589 4
103,546
4,978 16
14,934 5
24,890 8
34,847 1
44,803 4
54,7597
64,716 1
74,672 4
84,628 7
94,585 0
104,541
5,973 79
15,930 \
25,886 4
35,842 7
45,799 11
55,755 4
65,711 7
75,668 0
85,624 3
95,580 7
105,537
16,969 42 7,965 05
16,925 7 17,9214
26,882127,877 7
36,838 4 37,834 0
46,794 7 47,790 3
56,751 (И 57,746 6
66,707 367,703 0
76,663 <й 77,659 3
86,620 «87,615 6
96,576 397,5719
1А533 107,528
8,960 69
18,917 0
28,873 3
38,829 4
.8,786 0
58,742 3
68,698 6
78,654 9
88,611 2
98,567 6
108,524
1) Пост. Междун. конференции паросиловых установок в Лондоне, июль 1929 г.,
I т\см%—14,223 Ш фунта на кв дюйм (средний между анг. и амер. дюймом).

946
Приложение
Таблица 58. Сравнение атмосфер с высотой ртутного столба
(в скобках приведены обратные величины)
0,967 78 физ. ат. при 760 мм рт. ст (1,033 296)
0,970 39 п 28 париж. дюйма рт. ст. (1,030 5)
7^5,53 мм рт. ст. (0.001 359 6) (табл. 59)
*~ 28,122 прусск. дюйма рт. ст. (Р,Ро56)
28,958 англ. „ „ „ (0,0345) (табл. 61)
27,170 парижск. п , * (0,0368)
Таблица 59. а) Перевод килограммов на кв. сантиметр в мм ртутного столба при 0'
Ь) Перевод миллиметров ртутного столба при 0° в мм водяного
столба при 4° С
1 метр, атмосфера (am)
(1 кг\см*)
или
10 м вод. ст. при 4° С.
1 о |
0
1
2
8
4
5
6
7
8
9
10
735,5
1471,1
2206,6
2942,1
3677,7
4413.2
5148,7
5884,3
j 6619,8
| 7355,3
а) 1 кг\см* = 10 000 мм
0.1 |
73,6
809,1
1544,6
2280,1
ел л. со со
too» —ел
5^57,8
6693,3
7428,9
0,2
147,1
882,6
1618,2
2353,7
3089,2
3824.8
4560,3
5295,8
6031,4
6766.9
7502,4
0,3 |
220,7
956,2
1691,7
2ч27,3
3162,8
3898,3
4633,9
5369,4
6104,9
6840,4
1 7576,0
вод. столба = 735,532 мм рг. ст.
0,4 |
204,2
102^,7
1765,3
25jo,8
3236.3
3971.9
4707,4
5442,9
111
0,5 |
367,8
1103,3
1838,8
2574,4
I!!!
т
0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9
441,3
1176,9
1912,4
26i7,9
3383,4
4119,0
4854,5
5590,0
6325,6
7061,1
; 7796,6
514,9
1250,4
1«85,9
2721,5
3457,0
4193,5
4928,1
5663,6
6399.1
7134.7
7870,2
ill
3530,6
4266.1
5001,6
5737,1
6472,7
7208,2
7943,7
662,0
1397,5
2133,0
2868,6
3604,1
4339,6
5075,2
5810,7
6546,2
7281,8
8017,3
0
10
20
30
40
50
60
70
60
90
100
0
135,96
271,91
1 407,87
543,82
679,78
815,74
951,69
1087,65
1223,60
1359,56
b) 1 мм
рт. ст. •
=з 13,5956 мм вод. ст. = (
1 1 2 | 3 | 4
13,60
Ь9,55
285,51
421,46
557,42
693,38
829,33
965,29
1101,24
1237,20
1373,16
27,19
163,15
299,10
435,06
571,Г2
706,97
842,93
978,88
1114,84
1250,80
1386,75
40,79
176,74
312,70
448,65
584,61
720,57
856,52
992,48
1128,43
1264,39
1400,35
54,38
190,34
326,29
462,25
598,21
734,16
870,12
1006,07
1142,03
1277,99
1413,94
5
67,98
203,93
339,89
475,85
611,80
747,76
883,71
1019,67
1155,63
1291,58
1427,54
),С01 359 56 кг\см*
6
81,57
217,53
353,49
489,44
625,40
761,35
897,31
1033,27
1169,22
1305,18
1441,13
7 | 8 | 9
95,17
231,13
367,08
503,04
638,99
774,95
910,91
1046,86
1182,82
1318,77
1454,73
108,76
244,72
380,68
516,63
652,59
788.54
924,50
1060,46
1196,41
1332,37
1468,32
122,36
258.32
394,27
530,23
666,18
802,14
938,10
1074,05
1210,01
1345,96
1481.92
Таблица 60. а) Перевод английских фунтов на квадратный дюйм в мм рт. ст.
Ь) Перевод мм рт. столба в английские фунты на кв. дюйм
а) 1 фунт на кв. дюйм = 51,713 12 мм рт. ст.
о
ю 1
20
30
40
50
60
70
80
90
|00
0
5U.1
1034,3
1551.4
2068.5
2585,6
3102,8
3619,9
4137,0
4654,2
| 5171,3
1
51,7
568,8
1086,0
1603,1
2120,2
2637,4
3154,5
3671.6
4188,8
4705,9
5223,0
2
103,4
620,6
1137,7
1654,8
2171,9
2689,1
з:оз,2
3723,3
4240,5
4757,6
5274,7
3
155,1
672,3
1189,4
1706,5
2223,7
2740,8
3257,9
3775,0
42°2,2
4809,3
5326,5
4
206,9
724,0
1241,1
1758,2
2275,4
2792,5
33^9,6
3826,8
4343,9
4861,0
5478,2
5
258,6
775,7
1292,8
1810,0
2327,1
2844,2
3361,3
3878,5
43Q5.6
4912,7
5429,9
6
310,3
827,4
1344,5
1861,7
2378,8
2895,9
3413,1
39d0,2
4447,3
4964,4
5481,6
7
362,0
879,1
1396,3
1913,4
2430,5
2947,6
<й64,8
3981,9
4499,0
5016,2
5533,3
8
413,7
930,8
1448,0
1965,1
2482,2
2999,4
3516,5
4033,6
4550,7
5067,9
5585,0
9
465,4
982,5
1499,7
2016,8
2533,9
ЗС51,1
3568,2
4085,3
4602,5
5119,6
5636,7

Таблицы дли сравнения й перевода мер и весов 947
Ь) 1 мм рт. с г. = 0,019 337 45 фунта на кв. дюйм
10
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
10001
1,934.
3,868
6,801
7,735
9,669
11,603
13,537
15,470
17.404
19,337
0,193
2,127
4,061
5,995
7,929
9,862
11,796
13,730
15,664
17,598
19,531
20
0,387
2,321
4,254
6,188
8,122
10,056
11,990
13,923
15,857
17,791
19,724
30
0,580
2,514
4,448
6,382
8,315
10,249
12,183
14,117
16,051
17,984
19,918
40
50
0,774
2,707
4,641
6,575
8,509
10,443
12,376
14,310
16,244
18,178
20,111
0,967
2,901
4,834
6,768
8,702
10,636
12,570
14,504
16,437
18,371
20,304
СО
1,160
3,094
5,028
6,962
8,895
10,829
12,763
14,697
16,631
18,564
2J,498
70
1,354
3,287
5,221
7,155
III
III
80
1,547
3.481
5,415
7,348
9,282
11,216
13,150
15,С84
17,017
18,951
23,884
90
1,740
3,674
5,608
7,542
9,476
11,<09
13,343
15,277
17,211
19,145
21.С78
Таблица 61. а) Перевод англ. дюймов рт. ст. при 0° в мм вод. ст. при 4°
Ь) Перевод м вод, столба при 4° в англ. дюймы рт. ст. при 0° С
а) 1 дюйм рт. ст. (inch of mercury) = 3<5,328 мм вод. ст.
0 1
10
20
30
40
50
60
70
80
90
00
о 1
3 453,3
6 906,6
10 359,8
13 813,1
17 266,4
| 20 719,7
24 173,0
27 626,2
31 079,5
1 34 532,8
1
345,3
3 798,6
7251,9
10 705,2
14 158,4
17 611,7
21 065,0
24 518,3
27 971,6
31 424,8
34 878,1
2 I 3 |
690,71 1С36,0
4143,9 4 489,3
7 597,2 7 942,5
11 050,5 И 395,8
14 503,8 14 849,1
17 957,1 18 302,4
21 410,3 21 755,7
24 863,6 25 208,9
28 316,9 28 662,2
31 770,2 32 115,5
35 223,51 35 568,8
4
1381,3
4 834,6
8 287,9
11 741,2
15 194,4
18 647,7
22 101,0
25 554,3
29 007,6
32 460,8
35 914,1
5
1 726,6
5 179,9
8 633,2
12 С86,5
15 539,8
18 993,0
22 446,3
25 899,6
29 352,9
32 806,2
36 259,4
6
2 072 0
5 525 2
8 978,5
12 431,8
15 885,1
19 338,4
22 791,6
26 244,9
29 698,2
33 151,5
36 604,8
7
2 417,3
5 870,6
9 323,9
12 777,1
16 230,4
19 683,7
23 137,0
26 590,3
30 043,5
33 496,8
36 950,1
8
2 762,6
6 215,9
9 669,2
13 122,5
16 575,7
20 029,0
23 482,3
26 Р35.6
30 388.9
33 842,1
37 295,4
9
3 108,0
6 561,2
10 014 5
13 467,8
16 921Д
20 374,4
23 827,6
27 280,9
30 734,2
34 187,5
37 640,8
вод. ст. = 2,8958 дюйма рг. ст.
0
10
20
30
40
50
6С
70
80
90
100
28,958 0
57,916 0
86,874 0
115,832
144,790
173,748
202,706
231,664
260,622
I 289,580
2,895 8
31,853 8
60,811 8
89,769 8
118,728
147,686
176,644
205,602
234,560
263,518
292,4 v
5,791 6
34,749 6
63,707 6
92,665 6
121,624
150,582
179,540
208,498
237,456
266,414
295,372
8,6874
37,6454
66,6034
95,5614
124,519
153,477
182,435
211,393
240,351
269,309
298,267
[11,583 2
40,541 2
69,499 2
98,457 2
127,415
156,373
185,331
214,289
243,247
272,205
301,163
14,479 0
43,437 0
72,395 0
101,35 3
130,311
159,269
188,227
217,185
246,143
275,101
304,059
17,374 8
46,332 8
72,290 8
104,249
133,207
162,165
191,123
220,081
249,039
277,997
306,955
20,270 6
49,228 6
75,186 6
107,145
136,103
165,061
194,019
222,977
251,935
280,893
309,851
23,166 4
52,124 4
81,082 4
110,040
138,998
167,956
196,914
225,872
254,830
283,788
312,746
26,062 2
55,020 2
83,978 2
112,936
141,894
170,852
199,810
228,768
257,726
286,684
315,642
Таблица 62. а) Перевод англ. дюймов рт. ст. в физические атмосферы
Ь) Перевод физических атмосфер в англ. дюймы рт. ст.
а) 1 дюйм рт. ст. = 0,033 421 02 физ. am
4 1 5 I 6 I I I 8 I 9
0
10
20
30
40
60
60
70
80
90
100
о
0,334 21!
г,668 42
1,002 63|
1,336 84i
1,671 05
2,005 26
2,339 47
2,673 68t
3,007 89
3,342 10
I
0,033 42
0,367 63
0,701 84
1,036 05
1,370 26
1,704 47
2,038 68
2,372 89
2.707 19
3,041 31
3,375 52|
0,066 84
0,40105
0,735 26
1,069 47|
1,403 68
1,737 89
2,072 10
2,406 31
2,74052
3,074 73
3,408 941
0,100 261
0,434 47
0,768 68|
1,102 89
1,437 10
1,771 31
2,105 52
2,439 73)
2,773 94
3,108 15
3,442 371
0,133 68
0.467 89
0,802 10
1,136 31
1,470 52|
1,804 74
2,138 95
2,473 16
2,807 37
3,141 58
3,475 79]
0,167 11 0,
0,501 32:0,
0,835 53 0,
1,169 74 1,
1,503 95 1,
1,838 16 1,
2,172 3712,
2,5066812,
2,840 79
3,175 00
3,509 21
,200 531
,534 74
,868 95
,203 161
537 37,
871 58
205 79
,540 00
,874 21
к08 42
542 63'
,0,233 95
0,568 16
0,902 37
1,236 58
1,570 79
1,90500
2,239 21
2,573 42!
2,907 63
3,241 84
3,576 05
0,267 37
0,601 58
10,935 79
1,270 00,
1,604 21'
1,938 42
[2,272 63
[2,606 84
2,941 05
3,275 26
3,609 47,
0,300 79
0,635 00
0,969 21
1,303 42
1,637 63
1,971 84
2,306 05
2,640 26
2,974 47
3,306 68
3,642 89

948
Приложение
b) 1 физ. am == 29,921 29 дюйма рт. ст.
6 I
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
299,213
598,426
897,639
1196,85
1496,06
1795,28
2094,49
2393,70
2692,92
1 2992,13
1
29,921
329,134
628,347
927,560
11
2423,63
2722,84
3022,05
2
59,843
359,056
658,269
957,482
1256,69
1555,91
1865,12
2154,33
1 2453,55
2752,76
1 3051,97
3
89,764
388,977
688,190
987,403
1286,62
1585,83
1885.04
2184,25
2483,47
2782,68
3081,89
4
119,685
418,898
718,111
1017,32
1316,54
1615,75
1914,96
2214,18
2513,39
2812,60
3111,82
5 I
149,6о6 1
448,819
748,032
1047,25
1346,46
1645,67
1944,88
2244,10
2543,31
2842,52
| 3141,74 1
7 1 8 |
179,528
478,741
777,954
1077,17
1376,38
1675,59
1974,81
2274,02
2573,23
2872,44
3171,661
209.449
508,6621
807,875
1107,09
1406,30!
1705,51
2004,731
2303,94
2603,15
2902,37
3201,58|
239.370
538,583
837,796
1137,01|
1436,22
1735,44]
2034,65
2333,86
2633,07
29о2,29
3231,50]
269,292
568,505
867,718
1166,93
1466,14
1765,36
2064,57
2363,78
2663,00
2962,21
3261,42
О. Веса на единицу объема (удельный вес)
(русские меры стр. 943)
Таблица 63. Перевод фунтов на куб. фут различных стран в кг\м* и обратно
Фунт/куб.
фуг
1
2
3
4
5
6
7
8
9
кг/м*
прусск. | англ.
меры | меры
16,172 9
32,3459
48,518 8
64,691 8
80,864 7
97,037 6
113,210 6
129,383 5
145,556 5
16,019 6
32,039 2
48,058 8
64,078 4
80,098 0
96,117 5
112,137 1
128,156 7
144,176 3
австр.
меры
17,735 4
35,470 8
63,206 2
70,941 6
88,677 0
106.412 3
124,147 7
141,883 1
159,618 5
кг\мг
1
2
3
4
5
6
7
8
1 9
«*0
прусск»
меры
0,061 83
0,123 66
0,185 50
0,247 33
0.309 16
0,370 99
0,432 82
0,494 65
1 0,556 49
гнг/куб. фут
англ. | австр.
меры | меры
0,062 42
0,124 85
0,187 27
0,249 69
0,312 12
0,374 54
0,436 97
0.499 39
0,561 81
0,056 38
0.112 77
0,169 15
0,225 54
0.281 92
0,338 31
0,394 69
0,451 08
0,507 46
Таблица 64. а) Перевод англ. фунтов на куб. фут
Ь) Перевод килограммов на куб. метр
а) 1 фунт на куб. фут = 16,018 508 кг\мг (или 1 м*\кг =
2
в килограммы на куб. метр
в англ. фунты на куб. фут
16,018 508 куб. фуга на фунт)
8
9
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
160,185
320,370
480,556
640,741
800,926
961,111
1121,30
1281,48
1441,67
1601,85
Ъ) Г/га/л*» =
16,0185
176,204
336,389
496,574
656,759
816,944
977,129
1137,31
1297,50
1457,68
1617,87
'0,062 427
с2,0370
192,222
352,407
512,592
672,778
832,963
993,148
1153,33
1313,52
1473,70
1633,89
'78 фунта
48,0556
2С8.241
368,426
528,611
688,796
848,981
1009,17
1169,35
1329,54
1489,72
1649,91
на куб.
64,0740 I 80,0926 96,1111] 112,130 128,148 144,167
224,259 240,278 256,296 272,315 288,333 304,352
384,444 400,463 416,481 432,500 448,518 464,537
544,630 560,648 576,667 592,685 608,704 624,722
704,815 720,833 736,852 752,870 768,889 784,907
865,000 881,018 897,037 913,055 929,074 945,092
1025,18 1041,20 1057,22 1073,24 1089,26 1106,28
1185,37 1201,39 1217,41 1233,43 1249,44 1265,46
1345,56 1361,57 1377,59 1393,61 1409,63 1425,65
1505.74 1521,76 1537,78 1553,80 1669,81 1585,83
1665,92 I 1681,94 I 1697.961 1713,981 1730,001 1746,02
фут (или 1 куб. фут на фунт=0,062 427 78 м*\кг)
1 о |
о| _
100 6,242 78
200 12,485 6
800 18,728 3
400 24,971 1
600 31,213 9
600 37,456 7
700 43,699 4
800 49,942 2
900 56,185 0
1000 62,427 8
10
0,624 28
6,867 05
13,109 8
19,352 6
25.595 4
31,838 2
38,080 9
44,322 7
50,566 5
56,809 3
63,052 1
20
1,248 56
7,491 33
13,734 1
19,976 9
26,219 7
32,462 4
38,705 2
44,948 0
61,190 8
57,433 6
63,676 3
3)
1,872 83
8,115 61
14,358 4
20,601 2
26.843 9
33,086 7
39,329 5
45,572 3
51,815 1
58,057 8
64,300 6
40
2,497 11
8,7398 9
14,982 7
21,225 4
27,468 2
с#,711 0
39,953 8
46,196 6
52,439 3
5^,682 1
64,924 9
50
3,121 39
9,364 16
15,606 9
21,849 7
28,092 5
34,335 3
40,578 1
46.820 8
53,063 6
59,306 4
65,549 2
60 -
3,745 67
9,988 44
16,231 2
22,474 0
28,716 8
34,959 6
41,202 3
47,4451
53,687 9
59,930 7
66,173 4
70
4,369 94
10,612 7
16,855 5
23,098 3
29,341 1
35.583 8
41,826 6
48.069 4
54,312 2
60,554 9
66,797 7
80
4,994 22
11,237 0
17,479 8
23,722 6
29,965 3
66,208 1
42,450 9
48,693 7
54,936 4
61,179 2
67,422 0
90
5,618 50
11,861 3
18,104 1
24346 8
30,589 6
36,832 4
43,075 2
49,317 9
55,560 7
61,803 5
68,046 3

Табтицьт для сравнения и перевода мер и весов
949
Таблица 65. а) Перевод англ. фунтов/куб. дюйм в килограммы/куб. сантиметр
Ь) Перевод килограмм./куб. сантиметр в англ. фунты/куб. дюйм
а) 1 фунт на куб. дюйм = 0,027 679 983 5 кг\см* (или 1 см*\кг = 0,027 679 983 5 куб.
дюйм, на фунт)
0|1|2|з|4|б|б|7| 8 | 9
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,276 80
0,553 60
0,830 40
1,107 20'
1,384 00;
1,660 80
1,937 60
2,214 40
2,491 20
2,768 00|
0,027 68
0,304 48
0,581 28
0,858 08
1,134 881
1,411 68[
1,688 48
1,965 28
2,242 08
2,518 88
2,795 68|
Ъ) 1 кг\см* = ^
0,055 36
0,332 16
0,608 96
0,885 76
1,162 56
1,439 36
1,716 16
1,992 96
2.269 76
2,546 56
2,823361
127 1Ь0 6
0,083 04 0,110 72 0,138 4о|0,166 08|0,193 76 0,221 440,249 12
0,359 84 0,387 52 0,415 20 0,442 88 0,470 56 0,498 24 0,525 92
0,636 64 0,664 32 0,692 00 0,719 68 0,747 36 0,775 04 0,802 72
0,913 44 0,941 12 0,968 800,996 48 1,024 16 1,051 84 1,07952
1,190 24 1,217 92 1,245 60 1,273 28 1,300 96 1,328 64 1,356 32
1,467 04 1,494 72 1,522 40 1,550 08 1,577 76 1,6J5 44 1,633 12
1,743 84 1,771 52 1,799 20 1,826 88 1,854 56 1,882 24 1,909 92
2,020 64 2,048 32 2,076 00 2,103 68 2,131 36 2,159 04 2,186 72
2,297 44 2,325 12 2,352 80 2,380 48 2,408 16 2,435 84 2,463 52
2,574 24 2,601 92 2,629 60|2,657 28 2,684 96,2,712 64 2,740 32
2,851 04| 2,878 72| 2,906 40{2,934 08|2,961 7б|2,989 4413,017 12
фунта на куб. дюйм (или 1 куб. дюйм на фунт =
= 36,127 180 С6 см*1кг)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
361,27
722,54
1083,82
1445,09
1806,36
2167,63
2528,90
2890,17
3251,45
3612,72
36,13
397,40
758,67
1119,94
1481,21
1842,49
2203,76
2565,03
2926,30
3287,57
3648,85
72,25
433,53
794,80
1156,07
1517.34
1878,61
2239,88
2631,16
2962,43
3323,70
d684,97
108,38
469,65
830,92
1192,20
1553,47
1914,74
2276,01
2637,28
2998,56
3359,83
3721,10
144,51
505,78
867,05
1228,32
1589,60
1950,87
2312,14
2673,41
3034,68
3395,95
3757,23
180,64
541,91
903,18
1264,45
1625,72
1986,99
2348,27
2709,54
3070,81
3432^)8
3793,35
216,76
578,03
939,31
1300,58
1661,85
2023,12
2384,39
2745,66
3106,94
3468,21
3829,48
252,89
614,16
975,43
1336,71
1697,98
2059,25
2420,52
2781,79
3143,06
3504,34
3865,61
ill
1734,10
2095,88
2456,65
2817,92
3179,19
3540,46
3901,74
325,14
686,42
1047,69
1408,96
1770,23
2131,50
2492,77
2854,05
3215,32
3576,59
3937,86
Таблица 66. а) Перевод англ. тройских гран/куб. дюйм в граммы/куб. дециметр
Ь) Перевод грамм*/куб. дециметр в англ. тройские граны/куб. дюйм
а) 1 тройский гран на куб. дюйм = 3,954 284 6 г\дм* (или 1 дм*\г = 3,954 284 6 куб.
дюйма на тройский гран)
6 | 7 | 8 | 9
1 I
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Ь) 1
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
39,542 8
79,085 7
118,629
158,171
197,714
237,257
276,800
316,343
355,886
395,428
г!дм* =
2,528 90
5,057 80
7,586 71
10,115 6
12,644 5
15,173 4
17,702 3
20,231 2'
22,760 1|
25,289 0
3,954 28| 7,908 57 11,862 9| 15,817 1| 19,771 4 23,725 7 27,680 0
43,497 1 47,451 4 51,405 7 55,360 0 59,314 3 63,268 6 67,222 8
83,040 0 86,994 3 90,948 6 94,902 8 98,857 1 102,811 106,766
122,583 126,537 130,491 134,446 138,400 142,354 146,<Ю9
162,126 166,080 170,034 173,989 177,943 181,897 185,851
201.Р69 205,623 209,577 213,531 217,486 221,440 225,394
241,211 245,166 249,120 253,074 257,029 260,983 264,937
280,754 284,709 288,663 292,617 296,571 300,526 304,480
320,297 324,251 328,057 332,160 336,114 340,069 344,023
359,840 363,794 367,749 371,703 375,657 379,611 383,566
399,383 I 403,337 | 407,291 I 411,246 | 415,200 |419,154 423,108
0,252 890 26 тройского грана на куб. дюйм (или 1 куб.
ский гран = 0,252 890 23 дм*1г)
31,634 3
71,177 1
110,720
150,263
189,806
229,349
268,891
308,434
347,977
387,520
427,063
35,588 6
|75,131 4
114,674
154,217
193,760
233,303
272,846
312,389
351,931
391,474
431,017
дюйм на трой-
0,252 89
2,781 79
5,310 69
7,839 60
10,368 5
12,897 4
15,426 3|
17,955 2|
20,484 1
23,013 01
25,541 9'
0,505 78
3,034 681
5,563 58
8,092 49
10,621 4
13,150 3
15,679 2
18,208 1
20,737 01
23,265 9
25,7945|
0,758 67
3,287 57
5,816 471
8,345 38[
10,874 3
13,403 2
15,932 1
18,461 0]
20,989 9
23,518 8
26,047 7
1,011 56
3,540 46
6,069 36
8,598 27
11,127 2
13,656 1
16,185 0|
18,713 9
21,242 8
23,771 7
26,300$
1,264 45
3,793 35
6,322 26
8,851 16|
11,380 1
13,909 0|
16,437 9
18,966 8
21,495 7
24,024 6
26,553 5|
1,517 34
4,046 24
6,575 15
9,104 05
11,632 9
14,161 9
16,690 8
19,219 7[
21,748 61
24,277 5
26,806 41
1,770 23
4,299 13|
6,828 04
9,356 94
11,885 8
14,414 7
16,943 61
19,472 5|
22,001 4
24,530 3|
27,059 31
2,023 12
4,552 02
17,080 93
9,609 83
12,138 7
14,667 6
17,196 5
19,725 4
22,254 3
24,783 2
27,312 1
2,27601
4,804 91
7,333 82
|9,862 72
12,391 6
14,920 5
17,449 4
19,978 3
22,507 2
25,0361
27,5650

950
Приложение
Таблица 67а. Сравнение шкал ареометров разных
t — удельный вес,
Боме

рациональный
_ 144,30
Т"~ 144,30-л
„=H4,3-!ii-3
т
Норм,
температура 15е С
0
10
20
30
40
50
60
64
66
68
Боме
Герлаха или
новый
146,78
Т~ 146,78 -л
„.„6,78 _»"?
Y
17,5° С
+ 0,06
10,22
20,39
30,56
40.73
50,89
61,06
65,13
67,16
69,20
Боме
голландский
или старый
144
Т— 144-л
л =144
Т
12,5е С
- 0,Г4
+ 9,94
19,92
29,91
39,89
49,87
59,85
63,84
65,84
67,84
1
Боме
американский
145
Т 146-я
, .г 145
л = 145
т
60е F = 15,56° С
0,00
+10,05
20,10
30,15
40,19
50,24
60,29
64,31
66,32
68,33
Баллинга
200
т~200-л
«^ 200
л==200
t
17,5е С
4- 0,07
13,92
27,78 '
41,64
55,49
69,35
83,20
88,74
91,51
94,29
Таблица 67Ь. Сравнение показаний ареометров разных
Т — удельный вес,
Боме
рациональный
144,3
Y~ 144,3 -п
144,3 -Лй9
л =— 144,3
Т
Норм,
температура 15"1 С
0
10
20
30
40
50
60
70
78
80
90
Боме
Герлаха или
новый
146,78
Т 146,78 +л
146,78 , ,„ „„
п=— 146,78
Y
17,5° С
- 0,05
+10,12
20,28
30,45
40,62
50,79
60,96
71,13
79,27
—
—
Еоме
146
т~~136+л
146 чое
л= 136
ТГ
12,5° С
+10,04
20,16
3J.28
40,40
50,52
6J.64
70,76
80,88
88,98
—
—
Боме
голландский
или старый
144
*~~144+л
144 ,,,
л= 144
Т
12,5е С
+ 0,04
10,02
20,00
29,99
39,97
49,95
59,93
69,91
77,90
—
—
Боме

американский
140
т~1ЭСГ+л
140 1Qn
л= 130
Т
60О р_
= 15,56° С
+10,00
19,70
29,40
39,11
48,81
58,51
68,21
77,91
85,68
—
—
Баллинга
200
Т ~200+л
200 о™
л = 200
К
17,5° С
- 0,07
+13,78
27,64
41,50
55,35
69,21
83,06
96,92
108,00
—
—
Примечание к таблице 67. Цифры таблицы в горизонтальных рядах
Показание ареометра (число отсчитанных градусов) является правильным лишь в
нормальной температуре данной системы ареометра.

Таблицы для сравнения и перевода мер л весов 951
систем для жидкостей тяжелее воды
л — показания ареометра (градусы)
Бека
170
Т~170-я
170
я = 170- —
Т
12,5° С
— 0,05
+11,74
23,52
35,31
47,09
58,87
70,66
75,37
77,73
80,08
Бриге-Фишера
400
1Г~400~л
«=400-i™
Т
12,5° R =
= 15,625° С
+ 0,03
27,75
55,47
83.19
110,90
138 62
166,34
177,43
182,97
188,51
Стоппани
166
Т~~166-л
Т
12,5° R =
= 15,625° С
+ 0,01
11,52
23.02
34,52
46,02
57,53
69,03
73,63
75,93
78,23

Относительный удельный
вес 15°/15°
(при 15°
отнесенный к воде
при 15* С)
1,0000
1,0745
1,1656
1,2625
1.3835
1,5302
1,7117
1,7970
1,8*29

Относительный удельный
вес 15°/4°
(при 15°
отнесенный к воде
при 4° С)
0,9991
1,0735
1,1646
1,2614
1,3823
1,5289
1,7102
1,7954
1,8*13
""*
систем для жидкостей легче воды
л — показания ареометра (градусы)
Бека
170
Т~170+л
„=™-170
Y
12,5° С
+ 0,05
11,83
23,62
35,40
47,19
58,97
70,75
82.54
91,97
Бригс-
Фишера
400
Т-400+л
л = 4А°-40Э
Tf
12,5е R =
=15,625° С
— 0,03
+27,69
55,40
83.12
110,84
168,56
166,27
193,99
216,17
Стоппани
166
т~166-л
т
12,5° R=
= 15,625° С
— 0,01
+11,49
22,99
34,50
46,00
57,50
69,00
80,51
89,71
|»——— ■'■" ■ ■■—-
Картье
136,8
Т~~ 126,1+ л
Tf
12,5° С
+10,74
20,22
29,71
39,19
48,67
58,15
67,64
77,12
84,71
А.Р.У.
американский
нефтяного
ин-та
141,5
Т~ 131,5+ я
141,5 iQ1 .
л=— 131,5
Т
60° F=15,56° С
10
19,84
29,66
39,49
49,21
58,04
68,53
78,63
86,49
88,46
98,25
Относительный удель-Й
ный вес (при 15 ^ С, у
I отнесенный к воде 0
| при 15° С) 5
1,000
0,<Ъ5
0,878
0,828
0,783
0,743
0,7и63
0,6734
0,6*91
0.6433
0,6159
1 Относительный удель-||
ный* вес (при 15л С,
1 отнесенный к воде
1 при 4° С) 1
0,999
0,934
и,8775
0,827
0,782
0,742
0.7U57
0,6728
0,fr»86
0,6428
0,6153
соответствуют друг другу для одной и той же жидкости и той fe ^e""!,P^P"i
том случае, если измерения производятся при температуре, соответствующе»

952
Приложение
Н. Скорости
Таблица 68. а) Перевод миллиметров (или метров) в секунду в метры (или
километры) в час. — Перевод куб. сантиметров (или литров)
в секунду в литры (или куб. метры) в час. — Перевод граммов
(или килограммов) в секунду в килограммы (или тонны) в час.
Ь) Перевод метров (или километров) в час в миллиметры (или
метры) в секунду. — Перевод литров (или куб. метров) в час
в кубические сантиметры (или литры) в секунду. — Перевод
килограммов (или тонн) в час в граммы (или килограммы)
в секунду
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
36,0
72,0
108,0
144,0
180,0
216,0
252,0
288,0
324,0
360,0
1
3,6
39,6
75,6
111,6
147,6
183,6
219,6
255,6
291,6
327,6
363,6
2
7,2
43,2
79,2
115,2
151,2
187,2
223,2
259,2
295,2
331,2
367,2
а) 1 мм J сек = 3,600 м\час
3
10,8
46,8
82,8
118,8
154,8
190,8
226,8
262,8
298,8
334,8
370,8
4
14,4
50,4
86,4
122,4
158,4
194,4
230,4
266,4
302,4
338,4
374,4
5
18,0
54,0
90,0
126,0
на
306,0
342,0
378,0
6
21,6
57,6
93,6
129,6
165,6
201,6
237,6
273,6
309,6
345,6
381,6
7
25,2
61,2
97,2
133,2
169,2
205,2
241,2
277,2
313,2
349,2
385,2
8
28,8
64,8
100,8
136,8
172,8
208,8
244,8
280,8
316,8
352,8
388,8
9
32,4
68,4
104,4
140,4
176,4
212,4
248,4
284,4
320,4
356,4
392,4
b) 1 Mj час = 0,277 78 мм/сек
I _10 | 20 | 30 | 40
2,778
30,556
| 58,333
86,111
^"S2S
225,000
252,778
1280,556
5,556
33,333
61,111
88,889
111
227,778
255,556
283,333
8,333
36,111
63,889
91,667
119,444
147,222
175,000
202,778
230,556
258,333
286,111
11,111
38,889
66,667
94,444
122,222
150,000
177,778
205,556
233,333
261,111
288,889
50
13,889
41,667
69,444
97,222
125,000
152,778
180,556
208,333
236,111
263,889
291,667
60
16,667
44,444
72,222
100,000
127,778
155,556
183,^33
211,111
238,889
266,667
294,444
70
III
130,556
158,332
186,111
213,889
241,667
269,444
297,222
80
22,222
50,000
77,778
105,556
133,333
161,111
188,889
216,667
244,444
272,222
300,000
90
25,000
52,778
80,556
108,333
136,111
163,889
191,667
219,444
247,222
275,000
302,778
Таблица 69. Перевод узлов (в час) в метры в секунду
1 узел = 1852 м\час — 0,514 44 м]сек
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
5,144
10,289
15,433
20,578
25,722
30,866
36,011
41,155
46,300
! 51,444
1
0,514
5,659
10,803
15,948
21,0°2
26,236
31,о81
36,525
41,670
46,814
51,959
2
1,029
-6,173
11,318
16,462
21,606
26,751
31,895
37,040
.42,184
47,328
52,473
3
1,543
6,688
11,832
16,977
22,121
27,265
32,410
37,554
42,699
47,843
52,988
4
2,058
7,202
12,347
17,491
22,635
27,780
32,924
38,069
43,213
48,357
53,502
5
2,572
7,717
12,861
18,005
23,150
28,294
33,439
38,583
43,727
48,872
54,017
6
3,087
8,231
13,375
18,520
23,664
28,809
33,953
39,097
44,242
49,386
54,531
7
3,601
8,745
13,890
19,034
24,179
29,323
34,467
39,612
44,756
49,901
55,046
8
4,116
9,260
14,404
19,549
24,693
29,838
34,982
40,126
45,271
50,415
55,560
9
4,630
9,774
14,919
20,063
25,208
30,352
35,496
40,641
45,785
50,930
56,074
Примечание. Для перевода английских морских миль цифры таблиц должны
быть помножены на 1,00064, для английских адмиралтейски; миль — на 1,0017.

Таблицы для сравнения и перевода мер и весов . 953
и
10
20
30
40
50
0
20 253
40 507
60 760
81014
101268
Таблица 70. Перевод узлов в ярды в час
1 узел = 2025,35 ярдов в час
1|2|з|4|5!б|7
2 025
22 279
42 532"
62 786
83 039
103 293
4 051
24сЮ4
44 558
64 811
85 065
105 318
6 076
26 330
46 583
66 836
87 090
107 344
8 101
28 355
48 608
68 862
89115
109 369
10 V27
30 380
50 634
70 887
91 141
111 394
12 152
32 406
52 659
72 912
93 166
113 420
14 177
34 431
54 684
74 938
95 191
115 445
8
16 203
36 456
56 710
76 963
97 217
117 470
i
9
18 228
38 482
58 735
78 989
99 242
119 496
Таблица 71. а) Перевод английских статутных миль в час в метры в секунду
Ь) Перевод метров в секунду в английские статутные мили в час
а) 1 статутная миля в час = 0,447 039 6 м\сек
0
10
20
30
40
50
во
70
80
90
100
0
—
4,470 40
8,940 80
13,411 2
17,881 6
22,352 0
26,822 4
31,292 8
35,763 2
40,233 6
44,704 0
1
0,447 04
4,917 44
9,387 84
13,858 2
18,328 6
22,799 0
27,269 4
31,739 8
36,210 2
40,680 6
45,151 0
2
3
0,894 08 1,341 12
5,364 48 5,81152
9,834 88 10,2819
14,305 3 14,752 3
18,775 7, 19,222 7
23,246 1' 23,693 1
27,716-5 28,163 5
32,186 9, 32,633 9
36,657 3
41,127 7
45,5981
37,104 3
41,574 7
46,0451
4
1,788 16
6,258 56
10,729 0
15,199 4
19,669 8
24,140 2
28,610 6
33,0810
37,551 4
^2,021 8
46,492 2
5
2,235 20
6,705 60
11,176 0
15,646 4
20,116 8
24,587 2
29,057 6
33,528 0
37,998 4
42,468 8
46,939 2
6
2,682 24
7,152 64
11,623 0
16,093 4
20,563 8
25,034 2
29,504 6
33,975 0
38,445 4
42,915 8
47,386 2
7
3,129 28
7,599 68
12,070 1
16,540 5
21,010 9
25,481 3
29,951 7
34,422 1
38,802 5
43,362 д
47,833 3
' 8
3,576 32
8,046 72
12,617 1
16,987 5
21,457 9
25,928 3
30,398 7
34,869 1
39,339 5
43,809 9
48,280 3
9
4,023 36
8,493 76
12,964 2
17,434 6
21,905 0
26,375 4
30,845 8
35,316 2
39,786 6
44,257 0
48,727 4
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
22,317 9
44,635 8
66,953 7,
89,271 б|
111,590
133,907
156,225
178,543
200,861
223,179
2,231 79
24,549 7
46,867 6
69,185 5
91,503 4
113,821
136,139
158,457
180,775
203,093
225,411,
Ь) 1 м\сек = 2,231793 статутной мили в час
4,463 58
26,781 5
49,099 4,
71,417 3
93,735 2
116,053
138,371
160,689
183,007
205,325
227,643
6,695 37
29,013 3
51,331 2
73,649 1
95,967 0
118,285
140.603
162.921
185,239
207,556
229,874
8,927 16
31,245 II
53,563 0
75,880 9
98,198 8
120,517
142,835
165,152
187,470
209,788
232,106
11,159 0
33,476 9
55,794 8
78,112 7
100,431
122,748
145.066
167,384
189,702
212,020
234,338
,13,390 7
135,708 6
58,026 5,
80,344 4
102,662
15,622 5
[37,940 4
60,258 3
82,576 2
104,894
147,298
169,616
191,934
214,252
236,570
124,980+127,212
17,854 3 20,086 1
40,172 2 42,404 0
62,490 164,7219
84,808 0 87,039 8
107,126 109,л58
149,530
171,848
194,166
216,484
238,802
129,444
151,762
174,080
196,398
218,715
241,033
131,676
153,994
176,311
198,629
220.947
243,265
Примечание. Для перевода анг. морских миль цифры табл. а) должны
быть умножены на 1,5152, для английских адмир. миль—на 1,51269, а цифрл табл.
Ь) должны быть разделены на те же числа.
Таб
ЛИ1
*а 72.
Часовая скорость в
узлах при прохождении
пробногс
> участка
в 1000 м по времени прохождения в минутах и секундах
сек
~\
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28 |
01 1 1 2
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
-
32,397
31,352
30,372
29,452
28,585
27,769
26,997
26.268
25,576
24,921
24,298
23,705
23,141
22,602
22,089
16,198
15,933
15,676
15,427
15,186
14,052
14,726
14,508
14,293
14,085
13,884
13,688
13,498
13,316
13,134
мин.
3
10,799
10,680
10,564
10,450
10,339
10,230
10,124
10,019
9,917
9,816
9,719
9,623
9,528
9,4.6
9,345
4 15 16
8,09916,479
8,032'6,436
7,966,6,394
7,901
7,838
7,775
7,713
7,653
7,593
6,352
6,311
6,270
6,230
6,190
6,151
7,53416,112
7,4766,074
5,399
5,369
5,340
5,311
5,282
5,253
5,224
5,197
5,169
5,142
5Д15
7,419 6,036 5,088
7,363 5,999'5,062
7,306 5,962,5,035
7,253
5,926
5,009
сек
"зо]
32
34
36
38
40 1
42
44
46
48
50
52
54
56
581
мин.
0 1112 13
64,794
60,745
57,171
53,995
51,153
48,596
46,281
44,178
42,257
40,496
68,876
о7,381
35,996
34,711
33,514
21,598
21,128
20,675
20,248
19,835
19,438
19,057
18,690
18,338
17,998
17,671
17,355
17,051
16,757
16,473
12,95919,256
12,7789,169
12,6229,083
Г2,460|8,999
12,30218,916
12,1498,835
11,999 8,755
11,852 8,677
11,7098,601
11,5708,525
11,434 8,451
11,301
11,171
11,044
10,920
8,378
8,307
8,232
8,159
4 15 16
7,199
7,146
7,094
7,043
6,992
6,942
6,893
6,844
6,796
6,749
6,702
6,657
6,612
6,567
6,523
5,890
6,854
5,819
5,785
5,751
5,717
5,683
5,650
5,618
5,585
5,553
5,522
5,491
5,460
5,429
4.Р84
4,958
4,933
4,Р08
4,884
4,859
4,835
4,811
4,787
4,764
4,741
4,718
4,695
4,672
4,650
Узел = морская миля в час = 3600» 1000/(1852«время в сек.) = 1943,84/ время в сек.

954
Приложение
Таблица 73. Перевод метров в секунду в английские футы в минуту.
1 м\сек = 196,581 фута в минуту
0
10
20
3d
4Э
50
60
70
80
90
100
1 о
1969
3 937
5Р06
7 874
9 843
11811
13 780
16 748
17 717
19 685
1
196,9
2 165
4 134
6 102
8 070
10 039
12 008
13 976
15Р45
17 913
19 882
2
393,7
2 362
4 331
6 299
8 268
10 2<*6
12 205
14 173
16 142
18 110
20 079
3
590,6
2 559
4 528
6 496
8 465
10 433
12 402
14 370
16 339
18 307
20 276
4
787,4
2 756
4 724
6 693
8 661
10 630
12 5<>8
14 567
16 535
18 504
20 472
1 5 |
984
2 953
4 921
6 890
8 858
10 827
12 795
14 764
16 732
18 701
20 669
6
1 181
3150
5 118
7 087
9 055
11024
12 992
14 961
16 929
18 898
20 866
7
1378
3 346
6 315
7 283
9 252
11221
13 189
15 158
17 126
19 0%
21063
8
1575
3 543
5 512
7 480
9 449
11417
13 386
15 354
17 323
19 291
21260
9
1772
3 740
5 709
7 677
9 646
11614
13 583
15 551
17 520
19 488
21457
Таблица 74. Перевод куб. метров в час в английские куб. футы в минуту
1 м*\час = 0,588 579 4 куб. фута в минуту
0
10
20
30
40
50
69
70
80
90
100
0
5,89
11,77
17.66
23,54
29,43
35,31
41,20
! 47,09
52,07
| 58,86
1
0.59
6,47
12,36
18.25
24,13
30,02
35,<Ч)
41,79
47,67
53,56
50,45
1 2
1,18
7,о6
12,05
18.83
24,72
30,61
36,49
42,38
48,26
54,15
60,04
1 з
1,77
7,65
13,54
19.42
25,31
31,19
37,08
42,97
48.85
54,74
60,63
1 4
2,35
8,24
14,13
20,01
25,90
31.78
37,67
43.55
49,44
55,33
61,21
Б
2,94
8,83
14,71
20.60
26,47
32.37
38,26
44,14
50,03
55,92
61,80
1 6
3,53
9,42
15,30
21,19
27,07
32,96
38,85
44.73
50.62
56,50
62,39
7
4,12
10,01
15,89
21,78
27,66
33,55
39,43
45„*2
51,21
57,09
62,98
1 8
4,71
10,59
16,48
22,37
28,25
34,14
40,02
45,91
51,79
57,68
63,57
9
5,31
11,18
17,07
22,95
28,84
34,73
40,61
46,50
52,38
58,27
64,16
I. Энергия
Таблица 75. Сравнение различных единиц работы
1 эрг . .'
1 джоуль
1 кгм . .
1 фунто-
фут. .
1 л. с. .
1 англ.
л. с. .
1 kWh .
1 кг-кал
1 BTU
(брит.
терм.
един.).
1 л-ат .
R. . .
Эрг
1
1,000 5Ь10'
9,806 2.10'
1,&55 8-10'
2,647 7.10«
2,684 4.10»
1 3,601 8-10 »
4,186 3-1010
1,054 «МО1»
1.013 3.10»
1 8,313-10'
Джоуль
ватт/сек.
0,999 5.10—'
1
9,801 3
1,355 1
2,646 4-10»
2,683 О-НГ
3,600 0-106
4,184 2.10»)
1,054 4.10»
1,012 8.10»
8,309


граммометры
1.019 8.10—8
1.020 З-Ю—1
1
0,138 3
2.700 0.10s
2,737 5-10-'
3,673 ЫО6
4,269 0-10»
1,075 8-10»
1,033 3.10
8,481-10—*
Англ.
фунтофуты
7,376 0.10—»
7.379 8-10—1
7,233 0
1
1,952 9.10»
1,980 0.10»
2,656 7.10»
3,087 8.10»
7,7812.10я
7,473 9.10
6,134 3
Лош. сила
в час
3,776 9-10—"
3,778 8-10-'
3,703 7.10-»
5,120 6-10-'
1
1,013 9
1,360 4
1,581 ЫО-3
3,984 4-10-*
3,827 0-10—5
3,141.10—»
Англ. лош.
сила в час
3,725 2.10—'«
3.727 2.10—'
3.652 9.10—6
5.05Э5-10-'
0,986 3
1
1,341 8
1,559 5-Ю-3
3,929 9-10-»
3,774 5.10-*
3,098 МО-»
•) В Германии официально установлено 4184.

Таблицы для сравнения и перевода мер и весов 955
Киловатт-
час
Килограмм-
калория
Британск.
термин.
един.
Литр-
атмосфера
Газовая
постоянная
R
1 эрг . . .
1 джоуль .
1 кгм . . .
1
фунтофут. . .
1 л. с. . .
1 англ. л. с.
1 kWh. . .
1 кг-кал .
1 BTU . .
1 л-ат . .
R . . . .
2.776 3-10-»*
2.777 8-10-'
2,722 5-10—«
3,764 7-10—'
0,7351
0.745 3
1
1,162 3-10-»
2,928 9-10-*
2,813 2.10-*
2,309 0.10-»
2.388 7-10-"
2.389 9-10-*
2,312 5-10-»
3,238 6-10-*
6,324 7-10"
6,412 4» 102
8,603 8-10"*)
1
0,252
2,420 5-10-*
1,986-10-»
9,479 0-10-1»
9,483 7-10—*
9,295 6.10—»
1.285 2-10—»
2,509 8-10»
2,544 6-10»
3,414 2-10»
3,968 3
1
9,605 2-10—2
7,880 9-10-»
9,869-10—10
9,874-10-»
9,678-10-2
1,337 8-10—"
2,613 0-10*
2,649 3-10*
3,554 7-10*
4,13Ы0
1,041 Ы0
1
8,204-10-»
1.202 9-Ю-8
1.203 5-10-»
1,179 1
1,630 2-10-»
3,183 7.10б
3,227 8-10*
4,330 8-10Б
5,0^5 2-10-
1,268 9-10'
1,218 9.10
1
*) В Германии официально установлено 860.
1 /и-л = 3,229 англ. тонны-фут. 1 англ. тонна-фут =0,3097 т-м
1 т-км = 0,6116 англ. тонны-мили 1 англ. тонна-миля~1,635 т-км
Таблица 76. Сравнение единиц работы разных стран
Единица работы
1 кгм = п фунтофут .
1 фунтофут = \\п кгм
Пруссия
6,3724
0,1569
Англия
7,2329
0,1383
Австрия | СССР
5,6489 1 8/414
| 0,1770 1 0,1248
Швеция
1 7,9236
1 0,1262
Таблица 77. а) Перевод английских фунтофутов в килограммометры
Ь) Перевод кил.ограммометров в английские фунтофуты
0
10
20
80
40
50
60
70
80
90
100
а
) 1 фунтофут = (
0 | 1 | 2 | 3
1,382 50
2,765 00
4,147 50
5,530 00
6,912 50
8,295 00
9,677 50
11,060 0
12,442 5
!13,825 0
0,138 25
1,520 75
2,903 25
4,285 75
5,668 25
7,050 75
8,433 25
9,815 75
11,198 3
12,580 8
13,963 3
0,276 50
1,659 00
3,041 50
4,424 00
5,806 50
7,189 0Э
8,571 50
9,954 00
11,336 5
12,719 0
14,101 5
0,414 75
1,797 25
3,179 75
4,562 25
5,944 75
7,327 25
8,709 75
10,092 3
11,474 8
12,857 3
14,239 8
4
0,553 00
1,935 50
3,318 00
4,700 50
6,083 00
7,465 50
8,848 00
10,230 5
11,613 0
12,995 5
14,378 0
),138 25 кгм
5 | 6 | 7 | 8
0,691 25
2,073 75
3,456 25
4,833 75
6,221 25
7,603 75
8,986 25
10,368 8
11,751 3
13,133 8
14,516 3
0,829 50
2,212 00
3,594 50
4,977 00
6,359 50
7,742 00
9,124 50
10,507 0
11,889 5
13,272 0
14,654 5
0,967 75'1,106 00
2,350 25 2,488 5j
3,732 75|3,871 00
5,115 25 5.253 50
6.497 75 6,636 00
7,880 25 8,018 50
9,262 75 9,401 00
10,645 3 10.783 5
12,027 8
13,410 3
14,792 8
12,166 0
13.5^8 5
14,931 0
9
1.244 25
2,626 75
4,009 25
5,391 75
6,774 25
8,156 75
9,539 25
10,921 8
12.304 3
13,686 8
15,069 3
0
10 j
20 j
30
40
50
60
70
80
100
72,330
144,660
216,990
289,320
361,650
433,980
506,310
578,640
650,970
1 723,300
7,233
79,563
151,893
224,223
296,553
368,883
441,213
513,543
585.873
658,203
1730,533
Ъ) 1 кгм
14,466
86,796
159,126
231,456
303,786
376.116
448,446
520.776
593,106
665,436
737,766
21,699
94,029
166,359
238.689
311.019
383,349
455,679
528.009
600.339
672,669
744,999
= 7,233 фунтофута
28,932
101,262
173,592
245,922
318,252
390,582
462,912
535.242
607,572
679,902
75?,232
36,165
108,495
180,825
253,155
325,485
397,815
470,145
542,475
614,805
687,135
759,465
43,398
115,728
188,058
260,388
332,718
405,048
477,378
549,708
622,038
694,368
766,698
50,631
122,961
195,291
267,621
339,951
412,281
484,611
556,941
629,271
701,601
773,°31
57,8641
130,194'
202,524
274,854
347,184
419,514
491,844
564,174
636,504
708,831
k 781,164
65,097
137,427
209,757
282,087
354,417
426,747
499,077
|571,407
643,737
716,067
788,397

956
Приложетгоб
Таблица 78. Перевод единиц мощности
1 эрг/сек. .
1 кгм\сек .
1 фунто-
фут/сек.
1 л. с.
1 англ. л. с.
(HP). . .
1 kW . . .
эрг/сек.
1
9,806 2-10'
1,355 8.10'
7,354 6.109
7,456 6.10'
1,00051.10'°
кгм\сек
1,0198-10-8
1
0,138 255
75
76,040
1,020 3.10»
англ.
фунтофут/
сек.
7,3762.10—8
7,233 0
1
542,47
550
7,379 7.10я
л. с.
1,359 7.10-1»
1,3333.10-*
1,8434.10-»
1
1,013 9
1,360 4
англ. л. с.
1,341 ЫО-'с
1,3151-Ю -s
1,8182.10-»
0,986 3
1
1,341 8
kW
J,9991.10-'°
9,8013-10 »
1,3551-10-»
0,7351
0,7453
1
1 кг-кал\сек = 5,692 л. с. = 5,6148 англ. л. с. (HP) = 4,184 kW.
1 л. с. = 0,1757 кг-кал\сек\ 1 англ. л. с. (HP) = 0,1781 кг-кал\сек,
1 kW = 0,2390 кг-кал\сек.
Таблица 79. Сравнение лошадиных сил разных стран
\ м л. с. (75 кгм\
1 л. с. разных
ее ТГ^
54? "н
я . о
| <Чн
0,986 3
1,013 87
76,040
_ X
встрия:
=430 фу
ут/сек.
< С-8-
0,9853
1,0149
76,119
Чо
гч X
руссия:
=48<*фу
ут/сек.
с *•&
0,9957
1,0043
75,325
^
аксония:
=530 фу
ут/сек.
и с-э-
0,9994
1,0006
75,045
~1Г
<j о
. н
аден: 1 л
^530 фун
ут/сек.
из II -О-
1,000
1,000
[ 75,000
*• Р
°* X
PQr-. II -Or
0,9973 л. с.
разл. стран
1,0027 мл. с.
75,204 кгм\сек
Таблица 80. а) Перевод лошадиных сил в киловатты
Ь) Перевод киловаттов в лошадиные силы
а) 1 л. г. =0,735 10 kW
0 1
10
40
50
60
70
80
90
100
о
7,3510
14,702
22,053
29,404
о6,755
44,106
51,457
58,808
66,169
1 73,610
0,7351
8,0861
15,437
22,788
30,139
37,490
44,841
52,192
59,54j
66,894
74,245
2
1,4702
8,8212
16,172
23,523
30,874
38,225
45,576
52,927
60,278
67,629
74,980
з
2,2053
9,5563
16,907
24,258
31,609
38,960
46,311
53,662
61,013
68,364
7$,715
1 4
2,9404
10,291
17,642
24,993
32,344
39,695
47,046
54,397
61,748
69,099
76,450
5
3,6755
11,027
18,378
25,729
33,080
40,431
47,782
55,133
62,484
69,835
77,186
6
4,4103
11,762
19,113
26,464
33,815
41,166
48,517
55,868
63,219
70,570
77,921
7
5,1457
12,497
19,848
27,199
34,550
41,901
49,252
56,603
63,954
71,305
78,656
8
5,8808
13,232
20,583
27,9^4
35,285
42,636
49,987
57,338
64,689
72,040
79,391
9
6,6159
1,3,967
21,318
28,669
36,020
43,371
50,722
58,073
65,424
72,775
80,1*6

Таблицы для сравнения и перевода мер и весов
957
Ь) 1 kW = 1,3604 л. с.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
13.604
27.208
40,812
54,416
68.02Q
81,624
95,228
108,83
122,44
136,04
1
1,3604
14,964
28,568
42,172
55,776
69,380
82,984
96,588
110.19
123,80
137,40
2 I
2,7208
16,325
29,929
43,533
57,137
70,741
84,345
97,949
111.55
125,16
138,76
3
4,0812
17,685
31,289
44,893
58,497
72,101
85,705
99,309
112,91
126,52
140,12
4
5,4416
19,046
32,650
46,254
59,858
73,462
87,066
| 100,67
114,27
127,88
| 141,48
5
6,8020
20,406
34,010
47,614
61,218
74,822
88,426
102,03
115,63
129,24
; 142,84
6
8,1624
21,766
35,370
48,974
62,578
76,182
89,786
103,39
116,99
130,60
144,20
7
9,5228
23,127
36,731
50,335
63,939
77,513
91.147
104,75
118,35
г 131,96
145,56
8
10,883
24,487
38,091
51,695
65,299
78,903
92,507
106,11
119,72
133,32
146,92
9
12,244
25,848
39,452
53,056
66,660
80,264
96,868
107,47
121,08
134,68
148,28
Таблица 81. а) Перевод англ. лошадиных сил в киловатты
Ь) Перевод киловаттов в английские лошадиные силы
а) 1 англ. л. с. (HP) = 0,745 292 6 kW
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
7,4529
14,906
22,359
29,812
37,265
44,718
52,171
59,623
67,076
I 74,529
1
0,7453
8,1982
15,651
23,104
30,557
38,010
45,463
52,916
60,369
67,822
75,275
2
1,4906
8,9435
16,396
23,849
31,302
38,755
46,208
53,661
61,114
68,567
76,020
3
2,2359
9,6888
17,142
24,595
32,048
39,501
46,954
54,406
61,859
69,312
76,765
4
2,9812
10,434
17,887
25,340
32,793
40,246
47,699
55,152
62,605
70,058
77.510
5 I
3,7265
11,179
18,632
26,085
33,538
40,991
48,444
55,897
63,350
70,803
78,256
6
4,4718
11,925
19,378
26,831
34,284
41,736
49,189
56,642
64,095
71,548
79,001
7
5,2171
12,670
20,123
27,576
35,029
42,482
49,935
57,388
64,840
| 72,293
79,746
8 i
6,9623
13,415
20,868
28,321
35,774
43,227
50,680
58,133
65,586
73,039
| 80,492
9
6,7076
14,161
21,613
29,066
36,519
43,972
51,425
58,878
i 65,331
73,784
1 81,237
13,418
26,835
40,253
53,670
67,088
80,605
93.923
!i
1,3418
14,759
28,177
41,594
55,012
68,430
81,847
95.265
108,68
122,10
135,52
b) 1 kW = 1,341 755 англ. л. t
2,6835
16,101
29,519
42,936
56,354
69,771
83,189
96,606
110,02
123,44
136,86
4,0253
17.443
30,860
44,278
57,695
71,113
•84,531
97,948
111,37
124,78
138,20
5,3670
18,785
32,202
45,620
59,037
72,455
85,872
99,290
112,71
126,12
139,54
6,7088
20,126
33,544
46,961
60,379
73,797
87,214
100,63
114,05
127,47
140,88
'■ (HP)
8,0505
21,468
34,886
48,303
61,721
75,138
88,556
101,97
115,39
128,81
142,28
9,3923
22,810
36,227
49,645
63,062
76,480
89,898
103,32
116,73
130,15
143,57
10,734
24,152
37,569
50,987
64,404
77,822
91,239
104,66
118,07
131,49
144,91
12,076
25,493
38,911
52,328
65,746
79,164
92,581
106,00
119,42
132,83
146,25
Таблица 82. а) Перевод килограмм-калорий в секунду в киловатты
Ь) Перевод киловаттов в килограмм-калории в секунду
а) 1 кг-кал\сек = 4,184 kW
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
—
41,840
83,680
125,520
I
4,184
46,024
87,864
129,704
167,360 171,544
209,200 213,384
251,040 255,224
292,880 297,064
334,720 338,904
376,560 380,744
i 418,400
422,584
2
8,368
50,208
92,048
133,888
175,728
217,568
259,408
301,248
343,088
384,928
426,768
3
12,552
54,392
96,2^2
138,072
179,912
221,752
263,592
305,432
347,272
389,112
430,952
4
16,736
58,576
100,416
142,256
184,096
225,936
267,776
309,616
351,456
393,296
435,136
5
20,920
62,760
104,600
146,440
188,280
230,120
271,960
313,800
355,640
397,480
439,320
6
25,104
65,944
108,784
150,624
192,464
7
29,288
71,128
112,968
154,806
196,648
234,304 238,488
276,144 280,328
317,984
359,824
401,664
443,504
322,168
364,008
405,848
447,688
8
33.472
75,312
117,152
158,992
200,832
242,672
284,512
326,352
368,192
410,032
451,872
9
37,656
79,496
121,336
163,176
205,016
246,856
288,696
330,536
372,376
414,216
456,056

т
Приложение
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0
2,390
4,780
7,170
9,560
11,950
14,3^0
16,730
19,120
21,511
23,901
1
0,239
2,629
5,019
7,409
9,799
12,189
14,579
16,969
19,359
21,750
24,140
b) lkW = 0,239 005 7
2
0,478
2,868
5,258
7,648
10,038
12,428
14,818
17,208
19,598
21,939
24,379
3
0,717
3,107
5,497
7,887
10.277
12.667
15,057
17,447
19,837
22,228
24,618
кжал\сек
4 I 5
0,956
3,346
5,736
8,126
10,516
12,906
15,2Гб
17,686
20,076
22,467
24,857
1,195
3,585
5,975
8,365
10,755
13,145
15,535
17,925
20,315
22,706
25,096
6
1,434
3,824
6,214
8,604
10,994
13,384
15,774
18,164
20,554
22,945
25,Зо5
7
1,673
4.С63
6.45J
8,843
11,233
13,623
16,013
18,403
20,793
23,184
25,574
8
1,912
4,302
6,692
9,082
11,472
13,862
16,252
18,642
21,033
23,423
25,813
9
2,151
4,541
6,931
9,321
11,711
14,101
16,491
18,881
21,272
23,662
26,052
Таблица 83. а) Перевод киловаттчасов в килограмм-калории
(1 kWh=860 кг-кал)
Ь) Перевод килограмм-калорий в киловаттчасы
(1 кг-кал = 0,001 1§2 79 kWh)
1 I
6
а)
1000 Ь)
860 1720
1,162 79| 2,325 58|
2580
3,488 371
3440 4300 5160 |
4,651 16| 5,813 95| 6,976 74
6020 I 6880 I 7740
8,139 531 9,302 32[10,46511
Таблица 84. а) Перевод киловаттчасов в британские термические единицы
(1 kWh = 8414,2 BTU)
b) Перевод британских термических единиц в киловаттчасы
(1 BTU = 0,000 292 89 kWh)
I 1
6
8
а)| 3414,2
10 000 Ь)| 2,9289
6828,4 10 242,6 13 656,8
5,8578 I 8,7867 111,7156
17 071,0 20 485,2 23 899,4 27 313,6 30 727,8
14,6445 117,5734 | 20,5023 I 23,4312 | 26,3601
Котловые лошадиные силы (Kesselpferdesttrke)
В САСШ принято продавать котлы по котловым лошадиным силам. Одной
котловой лошадиной силе соответствует поверхность нагрева в 10 англ. кв. футов (по
постановлению стандартной комиссии Союза американских инженеров в 1876 г.;
тогда котел поверхностью в 10 кв. футов давал достаточное количество насыщенного
пара для одной лошадиной силы, а именно 34,5 англ. фунтов (15,65 кг(нас).
Принимают, что английский нормальный пар в 212° F = 100° С имеет теплоту
испарения 539 кг-кал\кг, немецкий — 640 кг-кал\кг. Это соответствует 34,5 англ. фунтам
насыщенного пара с 10 кв, футов в час, т. е. 34,5 (0,454/10).0,305* 539/640 = 14,22 кг\м*
в час немецкого нормального пара.
Испарительная способность современных котлов считается в процентах от этих
величин. Вышеуказанное нормальное испарение принимается за 100°/о. Новые котлы
работают нормально с производительностью 200<>/о (т. е. 2.14,22 = 28,4 кг(м* в час)
и часто могут работать с большей нагрузкой в 400в|0 (56,8 кг\м* в час).
Англ. л. с, (ВНР) = Brake horspower (английская и американская тормозная
лошадиная сила): 1 ВНР = 2« л/60.г*Р/550 л, с. (где г—в английских футах_и Р—в
английских фунтах) =а я/5252, [л. с].
' Примечание к табл. 85. При пересчете BTU в кг-кал и обратно следует
различать, идет ли вопрос о количестве теплоты или о теплотворной способности
(отнесенной к весовой единице). В первом случае годны второй и третий столбцы, в
последнем случае четвертый и пятый и т. д. (Срав. Отд. „Теплота", стр. 605).

I) * CO *-.©.►-
OjOJOJO^ Ю ОвророОО 00 J*J^j^Jjsj ^ СЪ СЛ Oi ОЪ СЛ рл Cnyi СП СП 4». 4*. 4*. 4*. 4* Co CO CO CO CO ММЮМЮ w-»-N-»-b.
ЪоЪ^То ooo)Vm "oo'oi'tulo ооЪ'л.'ьэ ооЪьеЛо ЪоЪ'л.То oo'oi'k'to oo'oiV'to ЪоЪ>"**>1о
Як** с; °С Js5^*^J*jojo ^о^о^о^окэ ?*?*+•*?*?* XT'?*?*?* ?*?*■?*?*?* .Г'.ГТ*.!-*^- РР00.° PPPPP PPPPP
Si **'zr'Ti~£a Ъиъ'льЪ.'Ъс'ъо ТоТ-'н-'оо 'co'co'ooooVi VToi'oi'cn'cn 'Uk'A'ou'oo'to 'кэь-^'р'Ъ "со "to "00 00 Vi "^Ъ>Ъ>сл"сл ^Voo'co'to
00 о «9" S М^мО)»-в> н05иЖм ЙмсймО) HfflMOJh- №p*05-OJ h»№QW^ СлОСЛОСЛ ОСЛОСЛО ОЮСЛ001
js oCDvs eoo occocooooooo«g-gcio> 5icncn4k.4»» 4* Co со to to to»-*- о о о со собесе oo^i-goo слеп ел 4». 4* 4* со Со to to
II
ufoSp
cowcocoacocococococococotoroio to to to to to to to to to»- ►-•— имининн- •— •-» >-*
СО 00 00->) О) СП .U-KuOtO — OO<O00S Oi СПСЛ*. СО С010н-0«© «©00~qOiCn СЛ 4*-СОЮ»— «--О CD 00^3 "»4OiCn4»*C0
»-»"<« COCOCitOOOCn *-^J4»>OOi WCOCntOOO ^MvJCOO Oi N3 CO СП N3 00 4*. и-^j С*. ОСП(ОФСЛ h-004».O"^J Co CO Oi tO 00
СЛСлслСлСпСп i
»»CO ОЭСОСО-СоСО COCOCOtOJO (OtOtOlOtO tOtO»-
b-0000
СЛ 4*. CO to f- Q ОО^ОСЛЛк CotO — QOO -О Oi СП л. СО tO »—О 00 ^4 Oi СП 4> СО to >—О ОС *»J Oi CnJikCOtO»— QO0-*JCnC
Ol 4* 00 to i-» Q OO^JOiCfrS <£tOi-'QC© »40iCn3k<X tOb-Q00**J OiCn4>COtO HOOOSO) СП J* G. ton- 000-<«OiC
Oi 4*. Co to •-* o cooo->jcn4k ccto*-o«o 00-g o> .*». со to*-ocooo so)Sco(0 1—о со со-а Oi4».Coto>- o<ooo^ic
^OjvJj>J O) Oi Oi СПp\CJ\ 4*. j*w _rfk Cw CO tO tO ^tO •—»_►—^j-* О О O^JO COO OOpOj'O, -g *4 0> О OiOiCn СЛ 4b 1^.50 CO Co jo to to^-
'ooilgcocn'to ooV"h-W^ Ъ>Ъ?'со'со,Ь> 'to'bo'cn'i-'oo "л'о^'соЪ 'bi'to'cocn'to 'oo'k.'i-Vj'^ ЪЪс*."соЪ> fo"oecn"Uoo
©•Ь»0»ЬЗО© 1^в»(0 0)0 4*OOtOOiO tfbOOtOOiO 4*OOtOOiO 4»»00tOOiO 4k 00 tO Oi О 4^00tOOiO tUOOtOOiO
000000000000 «g^^l^^j OiOiOiOiOi СПСпСпСлСп СЛ4Ь4Ь4Ь4> 4ь>4*>СоСОСо CoCOCOtOtO ЫКЗМн- ►- ►-.*-*!-*»-»
poj-acSjjOH-o аор>*ььэ** рэ-дсл^кэ оробел со ^^opo^oijS Jo осовел ыъэроор ^у-^-*«5^4 .Р_4ь_кэоро
со»о'5»к"сп'оо'о Ъ.cnVjlot- 'k'bi'ooo'to 'cnVj'co'J-'co 'bioo'bfco'rfk Vj"coT-сесл oocloVcn "со*—"
con-СоСл-^СО t->C0Cn^lcp >-• Cu Cn *«) CO h-COCn-^co ^-CcCn^co f-O-Cn^lcO ь-сССл^'О иь
N3 ЮКЭ (О CO CO СО СО СО СО S 4Ь4ь4Ь4ь4ь СЛ СП СЛ Сл СЛ OiOiOiOiOi OiOiOi*^*«4 ">J **J -J -J 00 00 00
«.OiS © tO 4> Oi 00
н-н-^-^-н-н* О О О О О О О О О О ppppp ppppp ppppp ppppp ppppp ©©OO©
hhoooo 'jo'co'co'cooo oooooo'aoVj VjVjVi'bi'bi 'bi'oi'oi'cn'cn "bioi"*^".** Wwocoo 'coTo'to'to'to "^"j-'h-j-1—
Nso^cncoi-' oodiJbtoc© swocooo Oi4^«--co-^ cntoooooi whco^a fcoooooico и-£^дм рсослсо»—
4^. и* CO Oi *.»- COOirfvi—CO OlhUtOCO^J «.N3COVJA N3 CO-<l Jk tO CO-g 4ь tO (С *^ СЛ tO О *«J СЛ tO О "^ СЛ Ю О-v) СЛ СО
ммюммм югргоюю tototo>—•— ^-^-1— *-1— H-^->-^-*- ►-►-►-и-«, *-
^О^етСл^^ p^Co^tOJO^- ^ О О CO00 OO^lj^lOiOi СЛ СЛ 4^ 4». Cv, Co to»—i—O O^JOCOOOOO j<|^Oi Cn Cn ^^rfvpOpO^O
"н-сл о"4*"jot* 'bo'coVi'to'^a '►-'слЪ'сп'со ^'co'coooVo ^"—Ъ^-сл 'oVso'cooo ooVjlss'oiH- сл'о'слЪ'*». oo'coVj'toVj
tO00*CDCnt-' *-4ю004»-О Cni—^ccOO <£>• О ф *-* *^ О. CO 4^ О Oi КЭ~дС«»сОСп C-CitOQpCO fOCni-*OiN3 Oo^co Cn'»-«
cntoo^JcnNs o*4Cntoo ^елкэо-д слюо^сп boo^icntc o-acntoo -«icntoo-4 cntooscn «оо*дсльо
со со со со со со со со со со to tototoroto to to to to to toto»
H-OOOC OOOOO
OiOiCn^CoCO МнООФ OOOO-^OiCn CnJ^CvtOtO I--QCOCO00 «gcT. OiCn4^ *ЬМии C'0 0000^1 0>СлСл4кСо
О^^Чь^У3^ HF^tOtO*. SOKSCnSo ООйСпООм Ь $ oe^ ^.COtsSjt-^l CtOCnOOQ СГслООн-Ow OiCOi—^Oi
-»aco«ocntooo ;u*-«go~co Oitooo4».^- ■vjcocooito oocn>-*-^ico ooitooocn H"sjaocT юсосл^-^ rf^ooitoco
О CO CO CO Go CO C>C0OuCOC0 Co tO tO tO to tOtOtOfcOtO to to to to»— н-н-ь-и-»— ^-_ h-^-i— ^-н-
ЭЙ'^^СЛС'1 fb""^1^^ OtCOOOOS CJiCn4s.4b.CO ls3t-**-CC0 OO-^^OiCn 4>4kC<.tO«— COtOOO^j -^JOiCn4
5to^*gx>i— cocnoooto 4i»oico^co cn^qcotoai. oiooccocn vicd-^o; 3oct04i.-<» cot-'CoCnoo owXc
Ji-^СОи-СоСЛ -gcO^tOrf* СйбоСЮ* OiOOCO^CO СЛ->|СО^-Са. 4a.O)0CCtO 4s. Г. ОС ^ f-- bOiN'OH CoCHCiO
ifOlOKJ tO to tO tO 1-^ (Г* •"-•-. и-«^ ►-►T-r.^-.i— ^-н-
^jo^ ёосл ^Jb^joS p&p*<>*Z. pico^
o'to^oo'aicn*. 'coloo'cooo Vj'bi'rfk.o.'to 'i-o^oVi'oi слТи'ю'^-о Tooooicn"^ "o-loolooo VioiVcoIo T-»oocVjoi
000000 ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo 0000
8SRS SSSSS R0,°"c2 ocooo oocоЪ bb'coc 'CQQfi'fi cbb;b ebbb'
to to to ю to to to ю 50 bo^^t!»-t ""t^^int^ •т->г* t*f П ft •"* •"* ir* ^ cTccoo o^^oo coco
N3N3»0—
COCO Nato*-1»— O OCOOOOO»-J «viOiOiCnCn 4± 4». О- О. N3 Ю»—»-*С-0 «OcoOOOO-^a -OJOiOiCnCn 4k.*.
»-*OiO СЛОСЛОСЛ OCTCCrfbCO 4t.C04b.C04». OOCOOOCOOO COOOCcOOtO *gtO«»JtO*J fcO*«lt-»Oit-' Oi^-Oit-'C^
Число
BTU в
кг-кал
кг-кал
в BTU
BTU/фунт
кг-кал\кг
кг-кал\кг
BTU/фунт
BTU куб.
фут в
кг-кал]м*
кг-кал\м*
в BTU куб,
фут
BTU/kb.
фут в
кг-кал\м*
кг-кал!м*
в BTU/kb.
фут
BTU/kb.
дюйм в
кг-кал\мъ
кг-кал/м*
в BTU/kb.
дюйм
ч
о
S
со
с
~о
II
О
**^
01 я -о
а л Ш
3 » =
* _1 л
•п О
со 3*5
£?3g
я
с»
J3
I
я
£а
я
ас
о
я;
о
5с
я
СО
ЧУ
СО

I I
Приложение
888
S33
MO)(D
<э<эо
3S323 SS3833 3S323 38333 3S$23 "
!!!-!-§ 8ВЙ !■!■!-! BBSBSB i
88S32 88888 88SS2 88888 88ES2 £
BB3BMMBBBB5BS j
88822 288S8 88823 28888 88823 *
bbssbibbsbbsbbs j
8S32S3 SSS?S8 8S32S SS3SS8 SS32S3 IU
ШШBBS BBS I!!!! 111-! jf
nut щи щи щи щи % j
■«»»«.« .«мм., .там If
BSH-BBBSSBBIBB! J-
s^sss sssss з^ззз sssss sssss --«
SS3SB3BSSBS5BSS й
: jj
BBSBBSBBSBB5BBS ij
S>*oo*£S £$5fc£i& fcfcfcfcS £$oS5k& fcfcSfcS ?£
I!!!!!-!!B!!-I-!-31ll!!S!!I Й
О <л
. ас
8£°.2gSSS88 8SS28 88838 823283 5«
llllllllllSllg 1111155111111
cres
sas
ЮСЧО
hiOO
O5O>0
r-iOOlO
—<"* 00
00*0
8&£
S3* 00
hose»
ooo
СП О) О
S2£
ooo
cNO)«
oo>ds

Объем газа
961
82°
I I
*OQ
<|T-tO
So«
881
<=>oo
sis
m
SSSSS SSS£8 £2883 82338 SSSSSS
<о*оЗ^< tNo>t>.uo^5 *-• o> t-~ со S* co!ho8n «oS'crcotN
05 O^O\o0 00 00^ t>. t*. t«* b» CO CO CO CO <D CO^CO Ю Ю Ю 10.10^0 Ю^
о'оооо* odddo* o"ooo"'o' о"о*>о*о"'сГ ddocT©
5oococn
HOOet^Q "^Ob-iOiO «Ot^OeOOO «N003r«-*O> t- ЦЭ "4« CO «O
b-S5ot^iO CNONUJCO «Г^^Яе^О^ COfHOOJtN «Ou5«*"«5cN
О^О^С^СХИэб OO^OO^b-^t^ ^^^^^ «©.«Я^ЮЮ юй)10ЮЮ
ooo"*o*o dddco* ооооо оооо'о оооо"о
££338 83&8S 3883S SSSSS 8^383
^SSi§ &8£S5fc 538SS? 3°,g88 8833S
o\o\6\55 a£ 0°.°°^^^ t>ito?*i^<4> *°'-с1^1Я"1 ю^йюю
o"o"ooo ©"об"©"© оо*о"'о'о"> о'ооо'сГ оооо'о"
•*юсо«ю юоон^ S^?ooor-i oj^iocSS -«tfooSoouS
о>юноо) o>»-«go t^ »-* jg^t^^jr-i o>t^c©iOiQ
OOOOI^t^t- ЬМ>Л§СОСО «O^COCDioS ЮЮЮЮЮ
o'ddo'o" dodo'd oddo'd с'оооо* odddo
OO^JCN
8SSS8 8388$ S88S8 SSSISSo £$£33
.-« t*. Ю CO CO «Nb-^CN-H «xOOUJQOCN t^OagObOC* OOOI^tOC©
co^t-»GOio <2Qoo<P'<* <no55cOiq Я5о*ослоо t^iO^«c5csi
oioio^oTSoo^ oooot^t^t*. t^t^co^co^SS <o(o®ioi3 ююююю
o'do'od o'dodd ddddd odddo do'dd'd
s
VO
ев
H
SCOiOceh» OQW2h СОМЮЮ^Г »-«t>» 00 *-« C* (OHMO)S
r-«000> «ООО^РОЮ IXOCMc'Sc'» 05CNCNOH ОО^ОООЯО
83288 §8833 SSfeSS $32g§ £83fe£
o>o5ojoooo обоо1>ь.ь«. Kt^tococS соco^coio5 iou5«5io3
ddddd ddddd ooooo o"dddo" ooooo
38S
lOCNCN
OCOC3
«-•oo
Д'З'т-Ю*^ i-<<Nt*.iOiO c200O>O)00 VNCOCNCO OCNftOUJ
8£§3>3 §2S8£$ 8S8SSS 33388 8S388
о^о^о^оооо^ ooooi^^t^ t^F^cq^co ^co^io^SS iq.tqub ii5 ю
ddddd ddddd ddddd dd'odd ooooo
B38
£8£8$ SSSfcS 8SS8S §?2SSS SiSS^S
«Nt^iQ^CO Oi^POOOf» SCOQCOS *-< t- CO Ф «O JCCNhOO)
3$s3$. sjseSff йД1д% sssss бдззд
ooooo ddddd ddddd ddddd ddddd
3S2
3838S 38383 £3388 $83558 SSSSg
88888 isig§ §§iii its!! mm
ddddd ddddd ddddd ddodo ddddd
I
o>-t"<
Д©*8
8888385 8SS3S 33888 8S88S £88Б8з
ilsis?; ts^SS SsJA§ Slsil §Д§Д§§
ndddo ddddd ddooo ooooo oooodd
°2g8S 38S88 82§8° 88S88 §2§8?8
,-, _« ,_l ^ »-, r+^^rlr* C4CNCNC4C4C*
61. Hfltte, Справочник для инженеров, т I.

962
Приложение
Таблица 88а. Изменение объема газа при постоянном давление
tt
-20°
-10
0
-f 10
20
30
40 *
50
50
70
80
90
100
но
120
130
140
150
160
170
180
190
200°
-20
253
1
0,С620
0,9267
0,8940
0,8635
0,8350
0,8083
0,7833
0,7598
0,7376
0,7167
0,6970
0,6783
0,6606
0,6438
0,6278
0,6126
0,5981
0,5843
0,5711
0,5585
0,5464
0,5349
— 10
263
1,0395
1
0,9634
0,9293
0,8976
0,8680
0,8403
0,8143
0,7898
0,7668
0,7451
0,7245
0,7051
0,6867
0,6692
0,6526
0,6368
0,6218
0,6074
0,5937
0,5806
0,5680
0,5560
0
273
1,0790
1,0380
1
0,9647
0,9317
0,9010
0,8722
0,8452
0,8198
0,7959
0,7734
0,7521
0,7319
0,7128
0,6947
0,6774
0,6610
0,6454
0,6305
0,6163
0,6026
0,5896
0,5772
+ 10
283
1,1186
1,0760
1,0366
1
0,9659
0,9340
0,9042
0,8762
0,8499
0,8251
0,8017
0,7796
0,7587
0,7389
0,7201
0,7022
0,6852
0,6690
0,6536
0,6388
0,6247
0,6112
0,5983
■ м- '1 ig
20
293
1,1581
1,1141
1,0733
1,0353
1
0,9670
0,9361
0,9071
0,8799
0,8542
0,8300
0,8072
0,7£55
0,7650
0,7456
0,7271
0,7095
0,6927
0,6767
0,6614
0,6468
0,6328
0,6143
30
303
1,1976
1,1521
1,1099
1,0707
1,0341
1
0,9681
0,9381
0,9099
0,8834
0,8584
0,8347
0,8123
0,7911
0,7710
0,7518
0,7337
0,7163
0,6998
0,6840
0,6689
0,6544
0,6406
40
313
1,2371
1,1901
1,1465
1,1060
1,0682
1,0330
1
0,9690
0,9399
0,9125
0,8866
0,8622
0,8391
0,8172
0,7964
0,7767
0,7579
0,7400
0,7229
0,7065
0,6909
0,6760
0,6617
5Э
323
1,2767
1,2281
1,1832
1,1413
1,1024
1,0660
1,0320
1
0,9700
0,9417
0,9150
0,8898
0,8659
0,8433
0,8219
0,8015
0,7821
0,7636
0,7460
0,7291
0,7130
0,6976
0,6829
60
333
1,3162
1,2661
1,2198
1,1767
1,1365
1,0990
1,0639
1,0310
1
0,9709
0,9433
0,9173
0,8928
0,8694
0,8473
0,8263
0,8063
0,7872
0,7690
0,7517
0,7351
0,7192
0,7040
70
343
1,3557
1,3042
1,2564
1,2120
1,1706
1,1320
1,0958
1,0619
1,0300
1
0,9717
0,9449
0,9196
0,8956
0,8728
0,8511
0,8305
0,8109
0,7921
0,7743
0,7572
0,7408
0,7252
80°
353е
1,3953
1,3422
1,2930
1,2473
1,2048
1,1650
1,1278
1,0929
1,0601
1,0292
1
0,9724
0,9464
0,9217
0,8982
0,8759
0,8547
0,8345
0,8152
0,7968
0,7792
0,7624
0,7463
Конечный, объем vt для конечной температуры /а находится на линии пересечения
конечный объем для 1 м* при изменении температуры от ^=100° до /2=20°, горизон
конечная 100°, горизонтальный ряд 20, вертикальный столбец 100, то объем 1 м* увеличи
значение конечного объема в горизонтальном ряду для конечной температуры и в верти

Объем газа
963
при различных температурах /'значения ^2)
Тх '
90
363
1,4348
1,3802
1,3297
1,2827
1,2389
1,1980
1,1598
1,1239
1,0901
1,0583
1,0283
1
0,9732
0,9478
0,9237
0,9007
0,8789
0,8582
0,8383
0,8194
0,8013
0,7840
0,7674
100
373
1,4743
1,4182
1,3663
1,3180
0,2730
0,2310
1,1917
1,1548
1,1201
1,0875
1,0567
1,0275
1
0,9739
0,9491
0,9256
0,9032
0,8818
0,8614
0,8420
0,8234
0,8056
0,7886
110
383
1,5138
1,4563
1,4029
1,3533
1,3072
1,2640
1,2237
1,1858
1,1502
1,1166
1,0850
1,0551
1,0268
1
0,9746
0,9504
0,9274
0,9054
0,8845
0,8646
0,8455
0,8272
0,8097
120
393
1,5534
1,4943
1,4396
1,3887
1,3413
1,2970
1,2556
1,2167
1,1802
1,1458
1,1133
1,0826
1,0536
1,0261
1
0,9752
0,9516
0,9291
0,9076
0,8871
0,8675
0,8488
0,8309
130
403
1,5929
1,5323
1,4762
1,4240
1,3754
1,3300
1,2876
1,2477
1,2102
1,1750
1,1417
1,1102
1,0804
1,0522
1,5255
1
0,9758
0,9527
0,9307
0,9097
0,8896
0,8704
0,8520
140
413
1,6324
1,5703
1,5128
1,4594
1,4095
1,3630
1,3195
1,2786
1,2403
1,2041
1,1700
1,1377
1,1072
1,0783
1,0509
1,0248
1
0,9764
0,9538
0,9323
0,9117
0,8920
0,8732
150
423
1,6719
1,6083
1,5495
1,4947
1,4437
1,3960
1,3515
1,3096
1,2703
1,2332
1,1983
1,1653
1,1340
1,1044
1,0763
1,0496
1,0242
1
0,9769
0,9549
0,9338
0,9136
0,8943
160
433
1,7115
1,6464
1,5861
1,5300
1,4778
1,4290
1,3834
1,3406
1,3003
1,2624
1,2266
1,1928
1,1609
1,1306
1,1018
1,0744
1,0484
1,0236
1
0,9774
0,9559
0,9352
0,9155
170
443
1,7510
1,6844
1,6227
1,5653
1,5119
1,4620
1,4153
1,3715
1,3303
1,2915
1,2550
1,2204
1,1876
1,1566
1,1272
1,0992
1,0726
1,0473
1,0231
1
0,9779
0,9568
0,9366
180
453
1,7905
1,7224
1,6594
1,6007
1,5461
1,4950
1,4473
1,4025
1,3604
1,3207
1,2833
1,2479
1,2145
1,1828
1,1527
1,1241
1,0969
1,0709
1,0462
1,0226
1
0,9784
| 0,9577
190
463
1,8300
1,7604
1,6960
1,6360
1,5802
1,5281
1,4793
1,4334
1,3904
1,3499
1,3116
1,2755
1,2413
1,2089
1,1781
1,1489
1,1211
1 1,0946
1,0693
1,0452
1,0221
1
0,9789
200°
473^
1,8696
1,7985
1,7326
1,6714
1,6143
1,5611
1,5112
1,4644
1,4204
1,3790
1,3400
1,3030
1,2681
1,2350
1,2036
1,1737
1,1453
1,1182
1,0924
1,0677
1,0442
1,0216
1
горизонтального ряда начальной температуры tx с вертикальным столоцом *• "*"Р ро'
тальный ряд 100, вертикальный столбец 20, v2=0,7855 м*. Если начальная «мпеРа^* ^
вается до 1,2730 м*. При определении удельного веса поступают наоборот: находят
кальном столбце для начальной температуры (см. примечание стр. 964)

964
Приложение
Таблица 88b. Изменение объема при постоянной
?а=т>, —, Pi и /?3
Л ' - -,"•- ?■
Pi ^\^
650 лиг рт. ст.
660
670
680
690
700
710
720
730
74)
750
760
770
780
790
800
810
820
830
840
850
860
650
1
1,015
1,031
1,046
1,062
1,077
1,092
1,108
1Д23
1,138
1,154
1,169
1,185
1,200
1,215
1,231
1,246
1,262
1,277
1,292
1,308
1,323
660
0,985
1
1,015
1,030
1,045
1,061
1,076
1,091
1,106
1,121
1,136
1,152
1,167
1,182
1Д97
1,212
1,227
1,242
1,258
1,273
1,288
1,303
670
0,971
0,985
1
1,015
1,030
1,045
1,060
1,075
1,090
1,105
1,119
1,134
1,149
1,164
1,179
1,194
1,209
1,224
1,239
1,254
1ДО
1,284
680
0,956
0,971
0,985
1
1,015
1,029
1,044
1,059
1,074
1,088
1,103
1Д18
1,132
1Д47
1,162
1Д76
1,191
1,206
1,221
1,235
1,250
1,265
690
0,942
0,957
0,971
0,986
1
1,014
1,029
1,043
1,058
1,072
1,087
1Д01
1,116
1,130
1,145
1,159
1,174
1,188
1,203
1,217
1,232
1,246
700
0,929
0,943
0,957
0,971
0,986
1
1,014
1,029
1,043
1,057
1,072
1,086
1,100
1,114 !
1,129
1,143
1Д57
1Д71 I
1Д86
1,200
1,214
1,229
710
0,915
0,930
0,944
0,958
0,972
0,986
1
1,014
1,028
1,042
1,056
1,070
1,084
1,099
1,113
1Д27
V141
1,155
1,169
1Д83
1Д97
1,211
720
0,903
0,917
0,931
0,944
0,958
0,972
0,986
1
1,014
1,028
1,042
1,056
1,069
1,083
1,097
1ДИ
1Д25
1,139
1,153
1,167
1Д81
1Д94
730
0,890
0,904
0,918
0,932
0,945
0,959
0,973
0,986
1
1,014
1,027
1,041
1,055
1,068
1,082
1,096
1,110
1,123
1,137
1,151
1,164
1,178
740
0,878
0,892
0,905
0,919
0,932
0,946
0,959
0,973
0,986
1
1,014
1,027
1,041
1,054
1,068
1,081
1,095
1,108
1,122
1,135
1,149
1,162
750
0,867
0,880
0,893
0,907
0,920
0,933
0,947
0,960
0,973
0,987
1
1,013
1,027
1,040
1,053
1,067
1,080
1,093
1,107
1,120
1,133
1,147
Конечный объем v% для давления рл находится на линии пересечения горизонталь
объем vt для 1 м* при изменении давления рх = 800 мм рт. ст. до р2 = 720 мм рт. ст.
= 1,111 м* при начальном давлении 720 мм рт. ст. и конечном 800 мм рт. ст., пересечение
дня 1 м* т?2=0,900 м*» При определении удельного веса поступают наоборот: находят
с вертикальным столбцом для начального давления.
Примечания к таблицам 88а и 88Ь. Если изменение объема происходит при изме
при изменении одного только давления и отдельно при изменении одной только темпера
объема. Например, требуется определить изменение объема 1 м9 газа при наличных
ври изменении только температуры по табл. 88 а будет 0,8898, при изменении давления

Объем газа 965
температуре, но для разных давлений (значения^
в мм рт. ст.; vl=z\
760
0,855
0,868
0,882
0,895
0,908
0,921
0,934
0,947
0,961
0,974
0,987
1
1,013
1,026
1,039
1,053
1,066
1,079
1,092
1,105
1,118
1,132
Я"
770
0,844
0,857
0,870
0,883
0,896
0,909
0,922
0,935
0,948
0,861
0,974
0,987
1
1,013
1,026
1,039
1,052
1,065
1,078
1,091
1,104
1,117
780
0,833
0,846
0,859
0,872
0,885
0,897
0,910
0,923'
0,936
0,949
0,962
0,974
0,987
1
1,013
1,026
1,038
1,051
1,064
1,077
1,090
1,103
790
0,823
0,835
0,848
0,861
0,873
0,886
0,899
0,911
0,924
0,937
0,949
0,962
0,975
0,987
1
1,013
1,025
1,038
1,051
1,063
1,076
1,089
800
0,813
0,825
0,838
0,850
0,863
0,875
0,888
0,900
0,913
0,925
0,938
0,950
0,063
0,975
0,988
1
1,013
1,025
1,038
1,050
1,063
1,075
810
0,803
0,815
0,827
0,840
0,852
0,864
0,877
0,889
0,901
0,914
0,926
0,938
0,951
0,963
0,975
0,988
1
1,012
1,025
1,037
1,049
1,062
820
0,793
0,805
0,817
0,829
0,841
0,854
0,866
0,878
0,890
0,902
0,915
0,927
0,939
0,951
0,963
0,976
0,988
1
1,012
1,024
1,037
1,049
830
0,783
0,795
0,807
0,819
0,831
0,843
0,855
0,867
0,880
0,892
0,904
0,916
0,928
0,940
0,952
0,964
0,976
0,988
1
1,012
1,024
1,036
840
0,774
0,786
0,798
0,810
0,821
0,833
0,845
0,857
0,869
0,881
0,893
0,905
0,917
0,929
0,940
0,952
0,964
0,976
0,988
1
1,012
1,024
850
0,765
0,777
0,788
0,800
0,812
0,824
0,835
0,847
0,859
0,871
0,882
0,894
0,906
0,918
0,929
0,941
0,953
0,965
0,976
0,988
1
1,012
860 мм рт. ст.
0,756
0,767
0,779
0,791
0,802
Л.814
0,826
0,837
0,849
0,860
0,872
0,884
0,895
0,907
0,919
0,930
0,942
0,953
0,965
0,977
0,988
1
ного ряда для начального давления pi с вертикальным столбцом /?_. Например, конечный
получается пересечением горизонтального ряда 800 с вертикальным столбцом, т. е. гг,=
горизонтального ряда 720 мм рт. ст. с вертикальным столбцом 800 мм рт. ст. дает объем
значение конечного состояния на пересечении горизонтального ряда для конечного давления
нении давления и температуры, то тогда по табл. 88а и 88Ь находят отдельно значения
туры, и полученные значения помножают. Тогда получают значения полного изменения
параметрах 90е и 750 мм рт. ст. для со-тояния 50° и 700 мм рт. ст. Изменение объема
из табл. 88Ь будет 1,072. Общее изменение объема 0,8898-1,072 = 0,9539 мК

966
Приложение
Азбука Морзе
Буквы и цифры составляются из точек и черточек, длина
черточки равна трем точкам; промежуток между значками одной буквы
равен длине одной точки, между двумя буквами — длине трех точек,
а между словами —длине пяти точек.
А . —
Б — • . •
В .
Г .
Д- • •
Е-
ж. . • -
з. .
и* .
К- . -
л . - . .
м
н - .
о
п. •
р. - .
с. . .
т —
у. . _
ф. . _ .
х. . . .
ц - • - .
ч .
ш
Щ . -
ы - .
ю. • —
я. - . -
ь— . - —
й
IV. Законы для защиты промышленной
собственности
а) Международный союз
для защиты промышленной собственности
(Извлечение из Правил)
Подданные государств,заключивших настоящий договор, а также лица,постоянно
в них живущие, сделавшие заявку в пределах одного из этих государств в
надлежащей форме на предмет получения патента или образца, пользуются в других
странах правом приоритета в течение 12 месяцев со дня первой заявки.
Большинство государств разрешает поддерживать право приоритета на
патентную заявку и заявку на образец в государстве своей оседлости, и наоборот.
Некоторые страны не предоставляют права приоритета, если подданный какого-либо
государства или лицо, имеющее в этом государстве постоянную оседлость, сделало
первую заявку в другой стране.
По германскому законодательству заявление на приоритет может быть
представлено на всякую любую прежнюю заграничную заявку, поскольку до нее не
возникли еще нарушающие новизну обстоятельства. Наоборот, большинство других
стран разрешает право приоритета лишь на основании первой из ряда нескольких
заграничных заявок.
Для осуществления изобретения установлен минимальный срок в 3 года, который
в большинстве стран считается со дня тамошней заявки. Неосуществление может
быть разрешено в зависимости от обстоятельств Относительно осуществления
(однако, не сроков приоритета) остаются в силе прежние соглашения, по кэторым
изобретение, запатентованное в Швейцарии, считается осуществленным, если оно
действительно осуществлено было в Германии, поскольку оно там ограждено
патентом, и наоборот.
В отношении к Северо-Американским Соединенным Штатам обоюдной
принудительности осуществления не существует до тех пор, пока эта принудительность
не введена у себя Соединенными штатами.
Ь) Наиболее важные постановления законов о патентах i)
Австрия (Союз). Основной и добавочный патенты.
Продолжительность патента: 18 лет со дня публикации заявленного изобретения.
Отсутствие предварительной проверки новизны и патентоспособности. По публикации
заявки вывешивание в продолжение 2 месяцев на предмет оспаривания. Сборы:
заявочный—30 шиллингов (действителен за первый год) и за добавочный патент —
70 шиллингов. Ежегодные сборы после публикации заявки:
х) Настоящие данные соответствуют положению в декабре 1930 г. См. также
М i 11 е n e t, Patenttabellen.

Важнейшие постановления законов о патентах 967
за 2 год
. 3 „
. 4 ,
, б „
» 6 „
п 7 „
30
35
45
55
70
90
шиллингов
и
п
»
за 8 год
„ 9 „
- Ю „
„ п „
• 12 „
■ 13 „
120
150
180
230
300
380
шиллинге в
„
„
п
„
„
за 14 год 480 шиллингов
„ 15 „ 600
„ 16 „ 800
» 17 „ 1100
„ 18 „ 1500 „
Осуществление в течение 3 лет.
Бельгия (Союз). Основные, вводные патенты и патенты по
усовершенствованию. Продолжительность патента: считая пятнадцать лет со дня
заявки. Вводные патенты сохраняют свою действительность наравне с наиболее
длительными заграничными патентами, патенты по усовершенствованиям теряют свою
силу одновременно с основным патентом. Отсутствие предварительной проверки.
Представление без гарантии с сохранением прав третьих лиц на страх заявителя.
Сборы: за первый год —50 фр., за второй—100 фр., за третий —150 фр., за
четвертый—200 фр., за пятый—250 фр. и т. д. с повышением в 50 фр. за каждый
последующий год, пока в двадцатом году не будет достигнута ставка в 1000 фр. Патент
действителен до тех пор, пока не происходит осуществления заграницей, или если
осуществление производства произойдет в течение одного года по осуществлению
заграницей. Объяснительные материалы в течение трех месяцев после подачи
заявления, патентные материалы не публикуются; публикация коротких
извлечений.
Болгария (Союз). Основной и добавочный патенты. Без предварительной
проверки. Продолжительность патента: 15 лет со дня заявки. Сборы:
за первый год—60 зол. лев; годичный сбор возрастает за каждый год на 60 зол. лев
и достигает в 15 году 900 лев. За добавочные патенты единовременный сбор в 60 зол.
лев. Осуществление в течение трех лет.
Бразилия (Союз). Основные и добавочные патенты.
Продолжительность патента: 15 лет со дня заявки. Отсутствие предварительной проверки.
Предоставление патентных прав без гарантии с сохранением прав третьих лиц.
Сборы: заявочный сбор—25 мильрейс, сбор при предоставлении патента—50 миль-
рейс за основной и добавочный патенты. Ежегодные сборы: первый год—50
мильрейс, второй — 80 мильрейс, третий —110 мильрейс и за каждый следующий год на
30 мильрейс более, чем в предыдущем. При добавочных патентах—сбор в размере
суммы, причитающейся с основного патента за следующий год. Публикация основных
элементов содержания патента. Осуществление в течение трех лет.
Великобритания (Союз). В доминионах и колониях особые законы, в
большей или меньшей степени присоединяющиеся к законам метрополии.
Основной и добавочный патенты. Продолжительность патента:
предварительно в течение 9 месяцев со дня заявки и по предоставлении патента
в течение 16 лет, считая с того же момента. Какие-либо истекающие до этого срока
иностранные патенты влияния на продолжительность великобританского патента не
оказывают. Проверка лишь формальной правильности материалов, а также того,
не было ли данное изобретение запатентовано в Великобритании за 50 лет раньше,
после чего предварительная охрана на 9 месяцев (до предоставления патента).
Вывешивание в течение 2 месяцев, заявка претензий допустима. После этого
окончательное предоставление патента. Добавочные патенты действительны на срок годности
основного патента. Сборы: при заявке на предварительную охрану—1 ф. ст., при
подаче окончательного описания — 3 ф. ст. (или одновременно вместе —4 ф. ст.).
Ежегодные сборы: за 5-й год —5 ф. ст., за 6-й год —6 ф. ст., за 7-й год —7 ф. ст.
и т. д., за 16-й год —16 ф. ст. Патенты с оговоркой „Licence of right" оплачиваются
половиной указанных сборов. Продление срока до 1 месяца—2 ф. ст., до 2
месяцев—4 ф. ст., до 3 месяцев—6 ф. ст. Осуществление в течение 3 лет. Ввод
разрешен. Внутренней потребности надлежит удовлетворять посредством фабрикации
в стране.
Венгрия (Союз). Основной и добавочный патенты.
Продолжительность патента: 15 лет со дня публикации. Добавочные патенты истекают
одновременно с основным, выдаются только владельцам основного патента.
Прекращение прежних иностранных патентов влияния не оказывает. Проверка новизны.
Предоставление патента после вывешивания в течение 2 месяцев. Заявочный сбор—
20 пенго, штемпельный сбор за прошение —8 пенго, за доверенность —1,6 пенго и
за каждый лист описания — 0,30 пенго. Сбор за 1 год 25 пенго за основной патент
и 20 пенго за добавочный патент в течение 60 дней после извещения. Годовые
сборы —в дату публикации.

968
Приложение
1 год
2 .
3 .
4 „
5 .
25 пенго
30 .
35 .
50 „
70
6 год
7 .
8 .
9
10
90 пенго
120 .
130 .
150 „
180
Осуществление в течение 3 лет. Ввод разрешен.
11 год
12 .
13 „
14 .
15 „
220 пенго
270 .
320 „
370 „
450 ,
Германия (Союз). Основные и добавочные патенты.
Продолжительность патента: в течение 18 лет со дня, следующего за днем заявки. На
продолжительность германского патента не влияют аналогичные более старые
заграничные патенты. Добавочные патенты теряют силу одновременно с основным патентом.
Предварительная проверка контролирующим учреждением (решение
вопроса о патентоспособности) по истечении двухмесячного вывешивания и проверки
возможных возражений, предоставление патента. Сборы: заявочный сбор—25 мк.,
сбор при заявлении претензии—20 мк., заявление о предоставлении лицензии в
принудительном порядке—50 мк., сбор при подаче заявления на предмет обжалования
по предыдущему пункту-—150 мк. Ежегодные сборы:
1
30
10
2
30
11
3
30
12
4
30
13
5
50
14
6
75
15
7
100
16
8
150
17
9
200
18
300 400 500 600
700
год_
"800 900 1000 1200 мк.
за 2 год
- 3 .
- 4 „
. 5 „
. 6 .
240 драхм
360 .
480 .
600 „
720 .
за 7 год 840 драхм
п 8 п 960 ,
. 9 . 1080 л
, 10 „ 1200 „
. 11 . 1320 .
Взнос производится в течение 2 месяцев по истечении полного года со дня
следующего за заявкой патента; добавочный сбор взимается в течение следующих
6 недель. Осуществление в течение 3 лет со дня заявки. Ввод разрешен.
Материалы доступны всякому для обозрения в патентном управлении в течение
2 месяцев. Патентные материалы публикуются; кроме того в „Патентном Вестнике"
печатаются выдержки.
ГреЦНЯ. Основные и добавочные патенты. Продолжительность
патента: 15 лет со дня после заявки. Без проверки новизны и
патентоспособности. Сборы: заявочный —120 драхм (включая сбор за первый год). Ежегодные
сборы:
за 12 год 1440 драхм
„ 13 . 1560 „
„ 14 „ 1680 „
„ 15 „ 1800 ,
п 1320 . I
Осуществление в течение 3 лет.
Дания (Союз). Основные и добавочные патенты. Продолжительность
патента: 15 лет. Добавочные патенты теряют силу одновременно с основным
патентом. Отсутствие предварительной проверки. Сборы: заявочный сбор—50 крон,
сбор при предоставлении патента—35 крон. Ежегодные сборы: за первые 3 года
по 25 крон, за вторые 3 года —по 50 крон, за третье трехлетие—по 100 крон, за
четвертое трехлетие —по 200 крон и за последнее трехлетие по 300 крон.
Осуществление в течение трех лет.
ДаНЦИГ (Союз). Без проверки на предмет ограждения.
Продолжительность патента: 17 лет со дня, следующего за днем заявки. Охрана патента
теряет силу по истечении 4-го, 8-го, 11-го или 14-го года, если в течение 3 месяцев
по истечении этих сроков не был внесен сбор в размере каждый раз 35 данцигских
гульденов. Заявочный сбор—40 данцигских гульденов.
Испания (Союз). Основные, добавочные и вводные патенты.
Продолжительность патента: 20 лет со дня заявки. Добавочные патенты истекают
одновременно с основным; для вводных патентов срок не свыше 10 лет. Проверка
патентоспособности. Сборы: 1-й год—10 пезет с уплатой в течение 15 дней.
Гербовый сбор в 90 пезет в течение месяца после опубликования за основные и вводные
патенты, за добавочные патенты единовременно 50 пезет и штемпельный сбор
30 пезет. Ежегодные сборы:

Важнейшие постановления законов о патентах 969
2 год 20
3 „ 30
4 „ 40
5 . 75
6 „ 90
7 „ 106
8 . 120
пезет
„
„
9 год
Ю .
11 *
12 .
13 .
14 .
135
150
220
240
260
280
пезет
„
я
15 год
16 „
17 .
18 „
19 .
20 .
300 пезет
320 .
340 ,
360 „
380 п
400 .
Осуществление в течение 3 лет.
ИТАЛИЯ (Союз). Изобретательские, вводные и добавочные патенты.
Продолжительность патента: 15 лет со дня заявки. Вводные патенты истекают
одновременно с наиболее продолжительным иностранным патентом. Добавочные
патенты действительны на весь срок основного патента и выдаются в течение
6 месяцев по предоставлении основного патента и только обладателю патента. Без
проверки новизны. Сборы: заявочный сбор —100 лир, также и за добавочные
патенты —100 лир. Годичные сборы начинаются с 50 лир и повышаются ежегодно
на 50 лир. За добавочные патенты единовременный сбор —100 лир. Осуществление
в пределах Италии 2 года, в союзных странах — 3 года.
Мексика (Союз). Продолжительность патента: 20 лет по заявке.
Пролонгация на 5 лет возможна при добавочном сборе. Проверка новизны —по
желанию (специальный сбор). Сборы: заявка —за основной патент—15 пезо, за
добавочный патент—10 пезо. За предоставление патента основного —15 пезо,
добавочного—5 пезо в течение 30 дней со дня извещения. Ежегодные сборы: за основной
патент по 10 пьез, за добавочный по 5 пьез. Осуществление необязательно, однако,
возможны принудительные лицензии.
Нидерланды (Союз). Основные и добавочные патенты.
Продолжительность патента: 15 лет со дня заявки. Проверка новизны производится. По
публикации заявки вывешивание в продолжение 4 месяцев на предмет
оспаривания. Сборы: заявочный—75 гульд. До последнего дня месяца, следующего за тем
месяцем, во время которого патент был признан, обладатель патента должен
уплатить 60 гульд. Дальнейшие ежегодные сборы:
за 2 и 3 год по 60 гульденов
„ 4 — 6 „ „ 80
„ 7 — 9 „ „100
за 10 — 12 год по 120 гульденов
. 13-15 . . 140
Осуществление в течение 5 лет.
Норвегия (Союз). Основной и добавочный патенты.
Продолжительность патента: 17 лет; добавочный патент теряет силу одновременно с
основным; проверка новизны. Сборы: заявочный — 30 крон, включая сбор за 1 год.
В течение 2 месяцев по публикации заявки — 50 крон плюс добавочный сбор в 15 крон
при наличии чертежей, или 15 крон за каждую страницу патентной заявки, если
чертежа не имеется. За патенты, исключая добавочные, уплачивается 15 крон за
2-й год силы патента и после этого ежегодно с добавлением 5 крон до 5-го года
включительно; с добавлением 10 крон ежегодно в течение следующих б лет, с
добавлением 30 крон ежегодно в течение 10—15 года и с добавлением 50 крон ежегодно
в течение последних 2 лет. Осуществление в течение 3 лет.
Польша (Союз). Основной и добавочный патенты.
Продолжительность: 15 лет со дня заявки. Проверка формальностей. Сборы: заявочный—
35 злотых и штемпельный—2 злотых. По истечении месяца со дня публикации
заявки уплачивается годичный сбор 40 злотых за основной патент и 40 злотых за
добавочный. Ежегодные сборы:
2 год 60 злот.
3 . 80 „
4 , 120 „
5 . 150 „
6 „ 200 „
7 год
8 „
9 „
10 „
11 „
250 злот.
300 .
400 „
500 „
600 „
12 год 700 злот.
13 „ 850 „
14 „ 1000 „
15 „ 1150 .
Португалия (Союз). Изобретательские
товерения. Продолжительность i
удостоверения
и вводные патенты, добавочные
патента: 15 лет со дня заявки.

970
Приложение
Вводные патенты максимум на 10 лет. Проверка формальностей: предоставление
патента 3 месяца после публикации заявки. Сборы: 45 эскудос за каждый год.
РуМЫНИЯ (Союз). Основные, вводные патенты и патенты по улучшению.
Продолжительность патента: 15 лет со дня заявки изобретения, 10 лет
для патентов по улучшению. Без проверки новизны. Сборы: заявочный для
основного патента 500 лей, для вводного —1000 лей, для патента по улучшению —
1000 лей (действителен как сбор для всего времени действия патента). Расходы по
публикации 50 лей. Изготовление—200 лей, штемпельный сбор—100 лей.
Ежегодные сборы:
за 1 до 3 года 600 лей
„ 4 „ 5 ,1400 „
за 6 до 10 года 2500 лей
„ И „ 15 я 6000 „
За вводный патент сборы в двойном размере.
Осуществление в течение 4 лет.
Северо-Американские Соединенные Штаты (Союз). Добавочных
патентов нет. Продолжительность патента: 17 лет со дня
предоставления. Иностранные патенты влияния не имеют. Проверка новизны. Сборы: при
заявке — 25 долл., при предоставлении — 25 долл. Осуществление необязательно,
однако, длительное бездействие может действовать уничтожающе, если в дальнейшем
будет заявлено и осуществлено аналогичное изобретение. Ввод разрешен.
Помимо перечисленных государств, патентные законы существуют еще в
следующих странах:
Аргентина
Боливия
Чили
Костарика
Куба
Доминиканская
респ.
Эквадор
Эстляндия
Гватемала
Гаити
Гондурас
Исландия
Колумбия
Конго
Латвия
Люксембург
Марокко
Никарагуа
Панама
Парагвай '
Перу
Филиппины
Сан-Сальвадор
Тунис
Турция
Уругвай
Венецуэла.
СССР. Основной и добавочные патенты. Продол ж и тельность патента:
15 лет со дня публикации заявки, допускается пролонгация на 5 лет. Единовременная
заявочная пошлина 60 руб. Пошлина уплачивается вперед в течение 2 месяцев
каждого года.
Ежегодные сборы:
1 год 50 руб.
2 , 50 .
3 „ 50 „
4 „ 75 „
5 „ 100 „
6 , 125 „
7 „ 175 п
8 год
9 „
10 „
11 п
12 „
13 .
14 .
225 руб.
275 .
325 „
375 „
425 „
475 .
525 .
15 год
16 „
17 „
18 „
19 „
20 „
575 руб
625 .
675 „
725 „ «
775 „
825 „
С предприятий и организаций обобществленног# сектора пошлины не взимаются.
В отдельных случаях изобретатели-трудящиеся и их наследники могут освобождаться
от взносов заявочной и патентной пошлины.
Осуществление в течение 3 лет.
Патентные материалы публикуются в „Вестнике Комитета по делам
изобретений".
ФИНЛЯНДИЯ (Союз). Основные добавочные патенты.
Продолжительно сть п ат е нта—20 лет. Предварительная проверка, вывешивание в течение
2 месяцев. Сборы: заявочный сбор —150 финск. мк. Ежегодные сборы:
1 год 50
2 . 100
3 » 200
4 . 300
5 „ 400
6 „ 500
7 . 600
финск.
п
п
„
мк.
п
п
п
п
п
„
8 год 700 финск.
9 „ 800
10 „ 900
11 - 1000 , „
12 „ 1100
13 я 1200
14 „ 1300
мк.
„
15 год
16 „
17 я
18 „
19 ,
20 „
140о (]
1500
16J0
1700
1800
1900
шнек.
„
„
я
мк.
п
п
п
п

Важнейшие постановления законов о патентах 971
ФраНЦИЯ (Союз). Основной, вводный и добавочный патенты.
Продолжительность патента: 15 лет со дня заявки. Сила вводного патента истекает
одновременно с иностранным патентом, добавочный патент теряет силу одновременно
с основным. Без проверки новизны или патентоспособности. Изготовление патента —
3 до 4 месяцев после заявки. Сборы: заявочный сбор для основных патентов —
300 фр. (действителен также в качестве сбора за первый год), за добавочные патенты—
120 фр- Сбор при предоставлении патента —10 фр.
Ежегодные сборы: за 1, 2, . .. 5 годы по 300 фр.
„ 6, 7, ... 10 „ „ 400 „
за всякий следующий год по 500 фр.
Осуществление в течение 3 лет для французских граждан, для прочих—2 года.
ЧехОСЛОВаКИЯ (Союз). Основные и добавочные патенты.
Продолжительность патента; 15 лет со дня публикации. Добавочные патенты
истекают одновременно с основным патентом. Без проверки новизны уплачивается
в течение 2 месяцев со дня разрешения. В течение 3 месяцев со дня уведомления
о разрешении вносится 100 крон —сбор за 1 год, дальнейшие сборы: заявочный
в 100 крон и 36 крон штемпельный. Сбор по опубликованию: расходы печати
80 крон за сграшщу текста и 100 крон за страницу чертежей. Ежегодные
сборы:
2 год 125 крон
3 „ 150 „
4 „ 200 „
5 „ 250 „
6 „ 300 ,
7 год 400 крон
8 , 600 ,
9 „ 600 .,
Ю „ 700 „
11 „ 900 „
12 год
13 „
14 „
15 „
1100 крон
1300 „
1500 „
1700 „
Добавочные патенты оплачиваются сбором в 2(0 крон. Осуществление в течение
3 лет. Ввод разрешен.
Швейцария (Союз). Основные и добавочные патенты, которые должны быть
постоянно превращаемы в основные. Продолжительность патента:
15 лет со дня заявки. Строгая проверка формальностей без проверки новизны.
Добавочные патенты истекают одновременно с основным. Сборы: заявочный —
20 фр., 1-й год —20 фр., 2-й год —30 фр., 3-й год—40 фр. и т. д. с повышением
на 10 франков в год до 163 фр. за 15 год. Осуществление в течение 3 лет. Ввод
разрешен.
Швеция. Основной и добавочный патенты. Продолжительность
патента: 17 лет со дня заявки. Добавочный патент теряет силу одновременно
с основным. Без проверки новизны. Сборы: заявочный 50 крон (действителен
как уплата за 1 год). Сбор при предоставлении патента 60 крон в течение 2 месяцев
со дня публикации заявки.
Ежегодные сборы:
за 1—3 год по 40 крон
, 4-5 „ , 60 ,
„ 6-7 „ „ 100 „
„ 8-9 „ „ 150 „
за 10—11 год по 200 крон
„ 12-13 . „ 250 .
„ 14-15 „ . 300 „
„ 16-17 „ „ 400 „
Осуществление в течение 3 лет.
Югославия (Союз). Основной и добавочный патенты.
Продолжительность патента: максимум 15 лет по публикации патентной заявки.
Предварительная проверка; однако, не проверяется новизна. Сборы: заявочный сбор —
100 динаров. Ежегодные сборы:
11 год 880 дин
12 п 1040 я
13 „ 1200 „
14 „ 1360 „
15 „ 1520 „
За Добавочные патенты взимается единовременный сбор в размере 200 дин.
Осуществление в течение 3 лет.
1 год 100 дин
2 , 120 „
3 „ 140 „
4 „ 180 „
5 „ 240 „
6 год 320 дин
7 . 400 „
8 „ 480 „
9 „ 560 „
10 „ 720 „

972
Приложение
ЯПОНИЯ (Союз). Основной и добавочный патенты. Продолжительность
патента: 15 лет со дня публикации заявки. Возможно удлинение срока патента
в исключительных случаях 10 лет. Проверка новизны. Сборы: заявочный на
основные патенты—10 иен, на добавочные—5 иен (одновременно за 3 года при
предоставлении патента).
Ежегодные сборы за 1— 3 года 10 иен
» - 4-5 15 .
„ „ 6-9 25 „
„ „ 10-12 35 „
„ „ 13-15 „ 50 „
Сверх этого я 1—3 п по 100 „
„ 4-6 , „ 150 „
„ 7-10 . я ...... 200 .
За добавочные патенты уплачивается при заявке единовременный сбор в 80 иен*
при продолжении основного патента — 60 иен.
с) Извлечение из Положения об изобретениях и технических
усовершенствованиях в СССР
1 Общие положения
1. Настоящее Положение распространяется: а) на новые изобретения; б) на
прочие технические усовершенствования.
2. Автор нового изобретения может требовать или а) чтобы было признано
только его авторство, или б) чтобы ему было также предоставлено исключительное
право на изобретение.
В первом случае на изобретение выдается авторское свидетельство, во втором
случае—патент.
В самой заявке должно быть указано, желает ли изобретатель получить
авторское свидетельство или патент.
3. Авторские свидетельства и патенты выдаются только на новые изобретения,
которые могут быть выполнены промышленным путем.
Авторские свидетельства и патенты выдаются только на новые способы
изготовления веществ лечебных, пищевых, вкусовых и других веществ, полученных
химическим путем, но не на самые вещества.
4. В тех случаях, когда на изобретение выдается авторское свидетельство,
применяются следующие положения:
а) право использовать изобретение в пределах Союза ССР принадлежит
государству;
б) кооперация и другие организации обобществленного сектора могут на равных
основаниях с государственными органами использовать те изобретения, которые
относятся к кругу их деятельности;
в) сам изобретатель (или его наследник), если он кустарь или частный
предприниматель, может использовать изобретение в своем предприятии;
г) прочие частные лица, а также кооперативы* не входящие в кооперативную
систему, могут использовать изобретение с разрешения отраслевого государственного
органа, к ведению которого относится данное изобретение, и на условиях,
определяемых этим органом;
д) если изобретение признано полезным для народного хозяйства Союза ССР,
изобретатель имеет право на вознаграждение от государства или от соответствующей
организации, по принадлежности;
е) если изобретение, не признанное полезным для народного хозяйства,
применяется в каком-либо предприятии, изобретатель или его наследник имеют право
получить вознаграждение от этого предприятия. Размер вознаграждения в этом
случае устанавливается по соглашению, а при недостижении соглашения —
определяется судом;
ж) изобретатель-трудящийся имеет право на льготы, указанные в настоящем
положении (ст. 93—104).
б. В тех случаях, когда на изобретение испрашивается исключительное право
(патент), применяются следующие положения:
а) без согласия лица, которому принадлежит патент, никто не может
использовать изобретение; сам обладатель патента может осуществлять изобретение с соблю

Положение об изобретениях в СССР
973
дением законов о частной предпринимательской деятельности; иностранцы же и
иностранные юридические лица могут осуществлять изобретение с соблюдением
законов о порядке допущения иностранного капитала к хозяйственной деятельности
в пределах Союза ССР;
б) патент выдается сроком на 15 лет; срок исчисляется со дня окончательного
постановления о выдаче патента, но права обладателя патента охраняются с того
дня, с которого считается первенство заявки (ст. 43);
в) лицо, которому принадлежит патент (патентообладатель), может выдать
другому лицу (лицензиату) разрешение (лицензию) на использование изобретения
полностью или частично;
г) учреждения, предприятия и лица, которые до заявки изобретения, независимо
от изобретателя, применяли в пределах Союза ССР данное изобретение или сделали
все необходимые к тому приготовления, сохраняют право на дальнейшее
использование изобретения (право преждепользования);
д) обладатель патента обязан в течение трех лет со дня выдачи патента лично
или через лицензиата осуществить свое изобретение в пределах Союза ССР в
промышленном масштабе. Не считается осуществлением изобретения ввоз предмета его
из-за границы, как в готовом виде, так и в виде отдельных частей для сборки
в пределах Союза ССР; если изобретение в указанный срок не осуществлено, то
Комитет по изобретательству при СТО по заявлению заинтересованного органа,
организации или лица выдает принудительную лицензию на осуществление
изобретения и определяет размер вознаграждения, которое должно быть выплачено
обладателю патента;
е) если изобретение имеет существенное значение для государства, но с
обладателем патента не будет достигнуто соглашение, Комитет по изобретательству при
СТО имеет право вынести постановление о принудительном отчуждении патента
или о выдаче лицензии (разрешение использовать изобретение) в пользу
заинтересованного государственного органа. Размер вознаграждения, которое в этом случае
должно быть выплачено* обладателю патента, определяется Комитетом по
изобретательству;
ж) по делам о патентах на изобретения взимаются предусмотренные настоящим
Положением пошлины (ст. 67);
з) изобретатель, которому выдан патент, не пользуется льготами, которые
настоящим Положением предоставлены изобретателю, получающему авторское
свидетельство;
и) изобретатель, которому принадлежит патент, может до истечения срока
действия патента обменять его на авторское свидетельство; условия и порядок такого
обмена устанавливаются Комитетом по изобретательству при СТО;
к) изобретатель, который имеет на одни изобретения авторское свидетельство,
а на другие — патенты, может пользоваться льготами по авторским свидетельствам,
если он откажется в пользу государства от патентов или обменяет их на авторские
свидетельства.
6. Патент не выдается, но выдается авторское свидетельство:
а) если изобретение сделано в связи с работой изобретателя в
научно-исследовательских институтах, конструкторских бюро, опытных цехах, лабораториях и тому
подобных органах обобществленного сектора по изысканию, разработке и испытанию
изобретений;
б) если изобретение сделано по специальному заданию государственного органа
или организации обобществленного сектора;
в) если изобретатель получил материальную помощь от государства или
организации обобществленного сектора для разработки изобретения.
7. Право получить авторское свидетельство или патент, а также ^выданные
авторское свидетельство и патент переходят по наследству.
Праьо получить патент, а также выданный патент могут быть переуступлены
изобретателем или его наследниками любому лицу и в дальнейшем могут
переходить от одного лица к другому как по договору, так и по наследству.
В авторском свидетельстве или патенте, хотя бы выдаваемом не самому
изобретателю, обязательно указывается имя изобретателя.
Примечание. Договоры о передаче патента и о выдаче лицензии
(ст. б п. „в") должны быть зарегистрированы в бюро новизны Комитета по
изобретательству при СТО; иначе эти договоры признаются недействительными.
8. Договор изобретателя с частным лицом об уступке прав на будущие
изобретения признается недействительным.
9. Тот, кто в заявке заведомо неправильно укажет автора изобретения,
привлекается к уголовной ответственности.

974
Приложение
Равным образом привлекается к уголовной ответственности тот, кто
неправомерно использует изобретение, право осуществления которого принадлежит
государству.
Тот, кто нарушит исключительное право лица, имеющего патент на изобретение,
обязан возместить ему причиненные убытки.
10. Лица, предложившие государственному органу или организации
обобществленного сектора технические усовершенствования, которые не являются новыми
изобретениями, премируются, в случае принятия этих предложений, по особой шкале
ставок (ст. 90). Они также пользуются льготами согласно ст. 105.
О принятых по их предложению технических усовершенствованиях они могут
получить соответствующие удостоверения. Эти удостоверения выдаются теми
органами и организациями, которые используют предложения.
11. Иностранцы пользуются правами, вытекающими из настоящего Положения,
наравне с гражданами Союза ССР.
Комитет по изобретательству при СТО имеет право по соглашению с
Народным Комиссариатом по иностранным делам устанавливать специальные ограничения
для граждан и юридических лиц тех государств, которые не представляют
взаимности гражданам и юридическим лицам Союза ССР.
d) Извлечение из инструкции Комитета по изобретательству при
Совете труда и обороны о вознаграждении за изобретения,
технические и организационные усовершенствования
1. Вознаграждение за изобретения выдается изобретателям, получившим
авторское свидетельство, если их изобретения признаны полезными для народного
хозяйства Союза ССР (в том числе для социально-культурных целей, для обороны и т. п.).
Как за технические усовершенствования, вознаграждение выдается за принятые
предложения, имеющие техническо-конструктивный характер или изменяющие
технологический процесс производства, если на них не получено авторское свидетельство.
Как за организационные усовершенствования, вознаграждение выдается за
прочие полезные предложения, принятые к осуществлению.
Примечание 1. В тех случаях, когда изобретение признается
полезным, до разрешения вопроса о выдаче авторского свидетельства вознаграждение
за него выплачивается как за техническое усовершенствование с последующим
перерасчетом после выдачи авторского свидетельства.
Примечание 2. В случае, если выданное авторское свидетельство
будет аннулировано по причине отсутствия новизны, производится перерасчет
вознаграждения, которое исчисляется как за техническое усовершенствование,
Однако, уже выданные в счет вознаграждения суммы возврату не подлежат.
2. За предложения (изобретения, технические и организационные
усовершенствования), основной эффект которых выражается в экономии, вознаграждение
выдается, исходя из годовой экономии по шкалам (ст. ст. 6, 7 и 8).
При этом в отношении технических и организационных усовершенствований
годовой экономией признается экономия за первый год осуществления предложения.
В отношении же изобретений годовой экономией признается экономия за тот год
из числа первых трех лет осуществления изобретения, в который оно получит
наибольшее применение.
3. Годовой экономией первого года признается экономия за первые 12 месяцев
применения данного изобретения, технического или организационного
усовершенствования. %
При этом, когда применение предложения началось среди года, предполагаемая
экономия (ст. 14) исчисляется за остающуюся часть года по производственной
программе данного года, а за недостающую до 12 месяцев часть следующего года —
по программе следующего года, если она известна, если же неизвестна, — то исходя
из программы текущего года.
4. При исчислении экономии от вносимого предложения сопоставляются
калькуляции стоимости продукции (если основной эффект предложение дает в области
производства) или эксплоатационных расходов (если основной эффект предложение
дает при эксплоатаиии изобретенных или усовершенствованных изделий) до
применения предложения и при его применении. При этом в обоих случаях учитываются
амортизационные, накладные и другие расходы. Расходы же, связанные с
разработкой предложения (изготовление чертежей, моделей, образцов и т. п.) и его
испытанием, в расчет не принимаются.

Инструкция о йозвагражДенни за изобретения S СССР 975
5. За предложения, основная польза от которых выражается не в экономии,
размер вознаграждения устанавливается отраслевым органом по изобретательству
(при объединении, центральном управлении и т. п.) или администрацией
предприятия, по принадлежности (ст. ст. 18 и 20). Для этого предложение, в зависимости от
его важности, приравнивается к предложению, дающему ту или иную сумму
годовой экономии, после чего размер вознаграждения исчисляется по соответствующей
шкале с установленными в настоящей инструкции надбавками или вычетами.
6. Размер вознаграждения за изобретения определяется по следующей шкале:
При годовой экономии
(в рублях)
До 500 руб.
500-
1СО0 —
5000 —
10 ОСО-
50 000—
100 ОГО-
250 000 —
1 000 руб.
5000 „
10 000 „
50 000 „
100 000 „
250000 „
500000 „
600 000 — 1 ОТО 0С0
свыше 1000 000
7. Размер вознаграждения за
по следующей шкале:
Размер вознаграждения
30о/о экономии, но не
менее 100 руб.
20 о/о-
Ь 50 руб.
15о/0 + 100 „
1201о+ 250 .
Юо/о Н
6°(0-
5»/<Н
4о/0-
3°'о-
Ь 450 „
- 2450 .
- 3450 „
- 5 950 п
-10 950 п
2о/0
20 950
При год
(в
до
500-
1000-
5000-
10 ОСО-
50 000-
100 000-
250 000-
500 000-
свыше
эвой экономии
рублях)
ао руб.
1 000 руб.
5000 „
10 000 „
50 000 „
100 000 „
200 000 „
590 000 „
10000СО „
1000СОО п
но не свыше 100 000 руб.
технические усовершенствования определяется
Размер вознаграждения
ЗО'/о экономии, но не
менее 50 руб.
20о/о И
12->/о-
8»/о-
5ofon
Зо/о-
2,5о/о -
2о/0-
1,5 о/0-
но не свы
- 50 руб.
- 130 „
- 330 „
- 630 „
-1630 „ '
-2 130 „
-3380 „
-5880 т
ше 500000 руб
9. К установленному по соответствующей шкале размеру вознаграждения
делается надбавка:
а) в размере от 50 до 100 »/0, если предложение освобождает от импорта или
расширяет экспорт;
б) в размере до 25о,'0, если предложение дает экономию дефицитных
материалов без ухудшения качества продукции.
Соответствующим образом повышается и максимум допускаемой выплаты.
10. В исключительных случаях вознаграждение может быть установлено выше
максимума по особому постановлению соответствующего наркомата.
13. Вознаграждение выплачивается в следующем порядке. Вознаграждение
до 500 руб. выплачивается немедленно после окончательного признания
соответствующим органом полезности предложения (т. е. в тех случаях, когда для
выяснения полезности предложения требуется испытание — после испытания).
Если вознаграждение не превышает 10 000 руб., 25о0 выдается немедленно
после окончательного признания полезности предложения, 25°/0 — при введении его
в эксплоатацию, а остальная часть через 6 месяцев после введения его в эксплоа-
тацию.
Если вознаграждение превышает Ю00О руб., то немедленно после
окончательного признания полезности предложения выдается 25 °/о» немедленно после ввода его
в эксплоатацию — еще 25°/0; остальная часть вознаграждения выплачивается не
позже 3 месяцев по истечении первого года эксплоатации.
По желанию лица, получающего вознаграждение, выплата его может
производиться частями (погодно, поквартально, помесячно), о чем заключается письменное
соглашение.
14. Суммы, выплачиваемые до ввода предложения в эксплоатацию (ст. 13),

976
Приложение
исчисляются, исходя из экономии, предполагаемой согласно плану использования
предложения, согласно ст. 3. Суммы же, выплачиваемые после приступа к эксплоа-
тации, исчисляются, исходя из экономии, фактически выявившейся за время эксплоа-
тации.
В тех случаях, когда экономия от применения изобретения за второй год
эксплоатации больше, чем за первый, и за третий больше, чем за второй — доплата
производится не позднее, чем через 3 месяца по истечении каждого года.
15. Если предложение сделано несколькими лицами сообща, то вознаграждение
делится между ними по их соглашению. При отсутствии соглашения вопрос по их
просьбе разрешается судом или общественной организацией.
16. Вознаграждение за дополнительное изобретение исчисляется из расчета той
суммы, на которую увеличилась годовая экономия от основного изобретения.
17. Если основное изобретение, само по себе, не было признано полезным,
но потом признано полезным в связи с дополнительным изобретением, то
вознаграждение исчисляется из расчета годовой экономии от совместного применения
основного и дополнительного изобретений.
При этом, если дополнительное изобретение сделано не автором основного
изобретения, то распределение вознаграждения между обоими изобретателями
устанавливается тем органом, который определяет размер вознаграждения.
18. Вознаграждение за изобретения устанавливается и выплачивается
отраслевыми органами по изобретательству (при объединениях, центральных управлениях
и т. п.) производящей или потребляющей отрасли, согласно ст. 22.
19. В тех случаях, когда предприятие или трест, входящий в объединение,
приступают^ использованию изобретения раньше, чем отраслевой' орган по
изобретательству (при объединении, центральном управлении и т. п.) определит его
полезность, они выплачивают изобретателю вознаграждение по правилам премирования
технических усовершенствований. Когда же отраслевой орган утверждает план
использования изобретения, он одновременно определяет размер вознаграждения,
исходя из значения изобретения для всей отрасли (или для всего народного
хозяйства, если изобретение имеет значение для различных отраслей). В счет этого
вознаграждения засчитываются суммы, полученные изобретателем от предприятия
или треста.
20. Постановление администрации предприятия об отказе в выдаче
вознаграждения или о размере и порядке выплаты вознаграждения может быть обжаловано
в отраслевой орган по изобретательству, а если предприятие находится в другой
местности — в комиссию, которая образуется в составе представителей
администрации и профсоюза и представителя местного совета в качестве председателя.
В тех случаях, когда размер вознаграждения устанавливается отраслевым
органом по изобретательству (ст. ст. 18 и 20), его решение может быть обжаловано
в комиссию, образуемую согласно ст. 91 Положения об изобретениях и технических
усовершенствованиях.
21. В тех случаях, когда предложение принято к разработке органом,
изготовляющим соответствующие изделия, но основной эффект получится при
эксплоатации изобретенного или усовершенствованного изделия (например новая
конструкция паровоза или трактора, дающая большую экономию топлива), или если
предложение имеет межотраслевое значение — вознаграждение выплачивается
изготовляющим органом. При этом часть годовой экономии, отчисляемая в фонд содействия
изобретательству, включается в калькуляцию себестоимости изделий.
Это правило не применяется в тех случаях, когда предложение самостоятельно
разрабатывается централизованными потребителями соответствующих изделий
(НКВоенмор, НКПС, НКВод, ВОГВФ, НКСнаб, НКПит, НКЗем, отраслевые
объединения ВСНХ и т. п.). В этих случаях изготовляющие органы реализуют
предложения в порядке выполнения заказа централизованного потребителя, последний же
сам вознаграждает автора предложения и производит установленные отчисления
от экономии в свой фонд содействия изобретательству.
22. Вознаграждение за предложения по охране труда и технике безопасности
устанавливается: отраслевыми органами по изобретательству — по соглашению
с соответствующим центральным или местным органом труда, предприятиями —
по соглашению с инспектором труда.
(Опубликов. 31 октября 1931 г. в „Вестнике Комитета по изобретательству при СТО"
№ 10 - 1931 г.)

Инструкция об обмене патентов на изобретения в СССР 977
е) Инструкция Комитета по изобретательству при СТО об обмене
патентов на изобретения на авторские свидетельства
На основании ст. 5 постановления Центрального исполнительного комитета
и Совета народных комиссаров от 9 апреля 1931 г. о введении в действие Поло*
жения об изобретениях и технических усовершенствованиях и ст. 5 п. „и"
упомянутого Положения (Собр. зак. СССР 1931 г. jms 21, ст. ст. 18Э и 181) устанавливается
следующий порядок обмена патентов, полученных изобретателями, на авторские
свидетельства.
1. Обмен патентов, выданных на основании закона от 12 сентября 1924 г.
о патентах на изобретения
1. Изобретатели, получившие патенты до введения в действие Положения
об изобретениях и технических усовершенствованиях от 9 апреля 1931 г. и
желающие обменять эти патенты на авторские свидетельства, подают в Бюро новизны
Комитета по изобретательству при СТО, в годичный срок со дня опубликования
настоящей инструкции в „Вестнике Комитета по изобретательству при СТО",
заиления с просьбой об обмене полученных патентов на авторские свидетельства.
Примечание. Днем выдачи патента считается день опубликования
окончательного постановления о выдаче патента по. ст. 40 пост. ЦИК и
СНК СССР от 12 сентября 1924 г. „О патентах на изобретения" (Собр. зак.
СССР 1924 г., № Q, стр. °7).
2. Заявления об обмене могут подавать лишь авторы изобретения или их
наследники.
3. Изобретатель, переуступивший патент частному лицу (гражданину или
юридическому лицу), не может обменять его на авторское свидетельство.
Изобретатель, выдавший частному лицу лицензию, может обменять пателт
на авторское свидетельство, если действие выданной лицензии прекратилось и еелк
о допущении обмена просит отраслевой орган, заинтересованный в использовании
изобретения (объединение, центральное управление, трест, не входящий в
объединение и т. п.), или общество изобретателей.
4. Обмену не подлежат те патенты, по которым к моменту подачи заявления
об обмене не внесены все причитающиеся платежи по пошлинам. Однако следующие
категории патентообладателей могут обменивать в пределах указанного годового
срока свои патенты на авторские свидетельства независимо от того, уплачена ли
ими патентная пошлина согласно § 5 —7 и 13 постановления С ГО от 12 мая 1931 г.
о пошлинах по делам о патентах на изобретения (Собр. зак. Союза ССР 1931 г.
№ 30, ст. 234):
а) рабочие и служащие, работающие в государственных органах,
кооперативных и общественных организациях Союза ССР и союзных республик, а также
работающие в пределах Союза ССР в частных предприятиях и у частных лиц;
б) землепользователи, обладающие правом избирать в советы; в) учащиеся; г) лица,
состоящие в рядах Красиной армии; д) инвалиды труда и войны, состоящие на
социальном обеспечении; е) члены уставных промысловых и трудовых артелей и
кустари, работающие без применения наемного труда; ж) прочие граждане по
особому постановлению Комитета по изобретательству при СТО.
5. В заявлении об обмене должны быть указаны № патента, имя, отчество,
фамилия, социальное положение и адрес заявителя, сведения о том, переуступлен ли
патент и выдана ли лицензия, когда, кому и на каких условиях, а также о том,
осуществлено ли изобретение, когда и где. Наряду с этими сведениями заявитель
должен указать, остаются ли в его распоряжении другие патенты на изобретения
(указатьих №№), об обмене которых на авторские свидетельства заявитель не просит.
Примечание. Заявления об обмене подаются по каждому патенту
отдельно.
6. К заявлению об обмене должна быть приложена патентная грамота, если
она получена. В случае же, когда на основании патента были заключены какие-
либо договоры, должны быть представлены копии договоров.
II. Обмен патентов, выданных на основании закона от 9 апреля 1931 г.
об изобретениях и технических усовершенствованиях
7. Изобретатель, получивший патент в порядке Положения об изобретениях
и технических усовершенствованиях, и его наследники могут обменять па ом г

97?
Приложи hti б
на авторское свидетельство в течение 6 месяцев со дня выдачи патента, если они
никому не переуступили патента и не выдали лицензии.
В остальных случаях обмен патента на авторское свидетельство допускается
лишь с разрешения Комитета по изобретательству при СТО, если заявление об
обмене поддерживается заинтересованным отраслевым органом и обществом
изобретателей.
Примечание. Днем выдачи патента считается день опубликования
вступившего в силу постановления о выдаче патента (ст. 74 Положения об
изобретениях и технических усовершенствованиях).
III. Права лиц, обменявших патенты на авторские свидетельства
8. Изобретатели, обменявшие все принадлежащие им патенты на авторскоь
свидетельство, пользуются, если изобретения их признаны полезными для народного
хозяйства Союза ССР, всеми правами и льготами, предоставленными Положением
об изобретениях и технических усовершенствованиях изобретателей, имеющим
авторское свидетельство.
9. Если изобретатель до обмена патента на авторское свидетельство уступил
патент или выдал лицензию учреждению, предприятию или организации
обобществленного сектора, то после обмена патента на авторское свидетельство договор
о переуступке прав аннулируется и отраслевой орган по изобретательству
назначает вознаграждение за использование изобретения в размерах, предусмотренных
инструкцией Комитета по изобретательству при СТО, с зачетом полученных по
договору сумм. Суммы, полученные изобретателем до обмена, возврату не подлежат.
IV. Порядок выдачи авторских свидетельств взамен патентов
10. В месячный срок по получении заявления об обмене с необходимыми
материалами Бюро новизны Комитета по изобретательству при СТО выдает
изобретателю авторское свидетельство. Копия выданного авторского свидетельства
посылается в отраслевой орган по изобретательству вместе с материалами,
необходимыми для установления полезности изобретения.
11. О выдаче авторских свидетельств в обмен на патенты Бюро новизны
производит публикацию.
12. Заявления и переписка об обмене патентов на авторские свидетельства
свободны от каких бы то ни было сборов (ст. 57 Положения об изобретениях
и технических усовершенствованиях).
13. Заявление об обмене патента на секретные изобретения подаются с
соблюдением порядка, установленного для секретных заявок.
f) Правила получения разрешения на заявку советских
изобретений за границей и на переуступку прав по ним за пределами
1. Согласно ст. 6 постановления Совнаркома СССР от 14 июля 1928 г.
„Об использовании изобретений" и приказа ВСНХ СССР от 17 февраля 1930 г.,
№ 843, разрешения на заявку советских изобретений за границей и на передачу
прав на них за пределами СССР выдаются Комитетом по делам изобретений ВСНХ
СССР (Комподиз).
2. Все государственные учреждения и предприятия, кооперативные организации
и частные лица, физические и юридические, желающие запатентовать в каком-либо
иностранном государстве изобретение, сделанное гражданином Союза ССР, или же
передать в какой бы то ни 'было форме иностранном юридическим и физическим
лицам права на эксплоатацию изобретения за границей, должны подать Комподизу,
по каждому изобретению отдельно, письменное заявление.
3. В заявлении должны быть указаны точно имя, отчество и фамилия или
наименование заявителя, адрес его, название изобретения, время заявки его в
Комитете по делам изобретения и J* заявочного свидетельства.
Кроме того, в заявлениях о разрешении заявки должно быть указано, в каких
странах, за чей счет будет производиться запатентование, а в заявлениях о
разрешении передачи прав на эксплоатацию — номера и даты иностранных заявок
и патентов.
4. К заявлениям обязательно прилагаются в копиях:
а) договоры на использование изобретений в пределах СССР с отзывами про»

ТТряпттлп о nnnmcnx оопотлтчих тобретрти'т та границей 979
мышленного предприятия, осуществляющего изобретения, если таковые договоры
заявителем заключены;
б) имеющиеся по данному изобретению отзывы о произведенных испытаниях,
опытах и т. п.
5. По заявлениям, к которым не приложены сведения, перечисленные в § 3 и 4,
Комподиз не позднее 5 дней со времени получения заявления посылает
соответствующее требование заявителю с указанием срока представления нехватающих
материалов.
6. Заявление с вышеуказанными приложениями может быть подаваемо в
Комподиз авторами или владельцами изобретения и промышленных образцов от себя
лично — по почте или через посредство органов по реализации изобретений.
7. По получении заявления Комподиз обязан в течение двух месяцев определить
патентоспособность предложения и к тому же сроку затребовать от
соответствующих промышленных объединений заключения о степени полезности изобретения
и пригодности его для реализации на внешнем рынке, после чего выносит
постановление:
а) о разрешении производства заявки изобретения или передачи прав на него
за границей с указанием государств, в которых может быть произведено
патентование;
б) о предоставлении дополнительных технических и экономических данных
или о производстве технических и экономически к экспертиз;
в) о приобретении ВСНХ СССР или подлежащими народными комиссариатами
Союза ССР или союзной республики (по соглашению с ними) прав на эксплоатацию
изобретений за границей;
г) об отказе в разрешении производства заграничной заявки или передачи
прав на заявленное изобретение.
Примечание. При выдаче разрешений (п. „а") Комподиз вправе
определить государство, в котором должно быть произведено запатентование или
реализация изобретения, независимо от указаний заявителя.
8. Комитету по делам изобретений предоставляется право предложить
изобретателям и их правопреемникам, сделавшим заявки в Комитет, но не подавшим
заявления о запатентовании принадлежащих им изобретений за границей, сделать
соответствующее заявление и представить для этого все необходимые данные.
9. Постановления Комподиза об отказе в разрешении произвести заграничные
заявки или передачи права на реализацию за границей могут быть обжалуемы
заинтересованными лицами и учреждениями в Президиум ВСНХ СССР в течение
двух недель со дня вручения просителю постановления об отказе в его ходатайстве.
Постановления Президиума ВСНХ СССР по этому предмету признаются
окончательными.
10. Всем изобретениям, по которым выдано разрешение на патентование или
реализацию за границей, Комподиз ведет реестр, в котором отмечаются все
передачи прав на пользование изобретением, о времени, месте и форме осуществления.
11. Все учреждения, предприятия и лица, получившие в вышеуказанном
порядке разрешения на заявку изобретений за границей или на передачу прав
на изобретение иностранным юридическим или физическим лицам, обязаны в
месячный срок по осуществлении заявки или передачи прав сообщить о том Ком-
иодизу.

Алфавитный указатель
к I тому Хютте
Составил инж. М. Д. Сандомирский
При пользовании настоящим указате гем следует иметь в виду, что каждое
название в нем в большинстве случаев упоминается лишь один раз и
не повторяется в перестановке слов, например: „Аккумулятор Рутса" не имеет
повторения „Рутса аккумулятор"; „Акустика помещений" не повторяется в
перестановке „Помещений акустика" и т. д.
При составлении указателя не всегда можно было строго придерживаться
принципа указывать сперва основное слово, а потом его определение, например,
„Аккумулятор паровой", а потому при ненахождении нужного основного понятия следует
искать его по относящемуся к нему определению.
Цифры со звездочками означают, что материал помещен в таблице.
А
Аберрация
сферическая 591
— хроматическая . . 591
Абсолютное
пространство 252
— система мер . 247, 248*
— температура . . . 643
Абсолютный нуль . 603
Адиабата 647, 654, 658, 664
Адиабатический
тепловой напор . . 701
Адиабатическое
падение тепла ... 687
Адиабатическое
изменение состояния . 519
Адиабатическое рас-
" ширение . . . 656'% 657
— сжатие 657
углекислоты в
холодильной
машине 694
Азбука Морзе .... 966
Азимут 775
Аккумулирование
водяного пара ... 688
Аккумулятор паровой 688
с постоянным
давлением ... 690
Аккумулятор Рутса . 688
Аккумулятора
парового диаграмма . 689
Аккумулятора
парового аккумулирующ.
способность . . 690
разряд 688
Аксиатор 191
Акустика 563
Акустика помещений 573
Акустические
аппараты 565
— качества
(требуемые) больших
помещений' .... 573
— колебательные
комплексы 565
Акустическое поле . 563
Алгебра .-• 61
Алгебраическая
сумма угловых
скоростей 322
Алидада 761, 763
Алкоголь 444
Амплитуда
-колебаний 333, 539
— центра мембраны . 567
Анализ газа 871
доменных печей 875
— дымовых газов . . 871
— и синтез
механизма 368
— формы вала ... 83т
Анализатор Мадера . Ьо7
Анагатическое
представление
табличных функций . . 215
Анастигматы 594
Анемометр 852
Анероид 814
Антифрикционная
кривая 152, 153
[.Антициклоны .... 488
Аппарат Орса . . 872, 875
Апертура численная . 593
Апланаты 594
Аргумент в градусах 38*
дуговых
единицах 38*
— комтлексного числа 65
Ардометр 865
Арифметика 61
Архимедова спираль . 153
Астигматизм 591
Астроида 151
Асимптотические
направления кривой 133
Асимптоты 133
Астролябия 770
Атмосфера
техническая (метрическая)
i 251, 643, 837
— стандартная . . 520, 521*
— физическая 251, 643, 837
Афинор кососимме-
трический .... 190
— симметрический . 190
— сопряженный ... 190
Афиноры 189
Аэродинамический
расчет самолета . . 520

Алфавитный указатель
981
Аэростата вес .... 521
— объем 521
— подъемная сила 521, 522
— равновесие . . 521, 522
Аэромеханика .... 518
Аэростатика . . . . • 519
Аэрофотосъемка . . . 830^
Б
Базисные приборы 757, 821
Базисный прибор Ие-
дерина 821
Базисов измерение . 820
Базис съемки .... 757
Барограф 814
Барометр анероид . . 814
— ртутный .... 813, 838
Бесселевых функций
нолевые значения 560*
Биений колебания . . 5<з9
Биения 539
— период 539
— частота 539
Бинома коэфициенты 51
Бинормаль 165
Биплан 509
Болометр 586
Бомба
калориметрическая 870
— Нэгеля 739
Бочка 242
Бунзена горелка . . . 7о8
Буссоли проверка . . 769
Буссоль 766
— с диоптрами • . . 769
Быстрота
распространения вспышки 714, 716
В
Вакуумметр 837
Ватерлиния 448
Вводные насадки . . 476
Вейерштрасса
нормальная форма . 111
Вектор . 174
— единица 175
— касательной .... 164
— линейный 315
— момента 253
— нулевой 175
— относительной ско- I
рости 325
— положения .... 248 |
— поля 182 I
— свободный .... 175
— скорости 311
— тангенциальный . 182
— угловой скорости . 315
— углового ускоре-
— ния 319
— ускорения .... 311
Вектора юлшусы
направлений . . . • 181
189
174
189
182
178
183
186
176
1°5
176
178
180
176
192
210*
64
52*
536
264
261
Вектора вращение . . 178
— линейное
преобразование . . .
Векторный анализ
Векторная линейная
функция . .
Векторное поле .
—- произведение ,
Векторный диферен-
циатор ....
— поток
Векторов сумма
разность . . .
Векторы в
применении к периодичс
ским явлениям .
— компланарные .
— некомпланарные
— обратные ....
— параллельные . .
— плоскости ....
Величины для опре
деления ошибок
по Гауссу .
— комплексные
Величины обратные 2*
Вентиля
продолжительность
закрытия
Веревочная кривая
Веревочный много
угольник .
как площадь
моментов и площадь
срезывающих сил
для балок на двух
опорах 263
Вероятность
появления ошибок ... 210
Верчение тел .... 407
Веса наблюдений . . 211
Весовая плотность
жидкости .... 443
Весов наблюдений
среднее 211
Весы 840
— автоматические . . 841
— коромысловые . . 840
— передвижные
бункерные 841
— путевые 841
— с подвижными
гирями 840
указателем . . 840
—
полуавтоматические Шенка . . • 841
Ветряного двигателя
лопатки 515
мощность . . . 515
осевая тяга . . 515
Ветряные двигатели . 514
Ветряных двигателей
крылья 516
профили
крыльев 516
Вешки 756
Взрыв 719
Взрывающаяся
граната 345
Вибратор Фрама . . • 837
Виброграф 836
Виброметр 836
Виды равновесия . . 283
Винтовая линия
цилиндрическая . . 166
Винтовая поверхность 173
Винтовой линии
виток 167
длина дуги . . 166
касательный
вектор 167
кривизна ... 167
радиус
кривизны 167
элемент дуги . . 166
— поверхности
вектор нормали ... 173
площадь .... 174
Винтов практический
расчет 514
Винтовые поверхности 173
Винты-пропеллеры . 510
Вихревая нить,
трубка, шнур .... 451
Вихревые линии . . . 451
Вихрей отрывание . . 489
Вихрь 450
Вихря напряжение . . 451
— поле 451
Влажного воздуха
объем 682
скольжение . • 685
удельный объем 682
Влажность
относительная 866
Влажный воздух . . , 680
Внешние силы .... 342
Внешняя теплота
испарения 663
Внутренние силы . . 342
Внутренняя теплота
испарения .... 663
Вода и лед,
подвешенные в смеси
воздуха и пара . . . 683
Водомер Вентури . . 843
Водомеры 843
— вольтмановские . . 843
— дисковые 843
— объемные 843
— открытые 843
— поршневые .... 843
— скоростные .... 843
— струйные 843
Водородная трубка . 597
Водослив 497
Водостоки открытые 467
Водяного газа
равновесие смеси . . , 747
— — состав 747

982
Алфавитный указатель
Водяного пара
разложение 746
Водяной газ 743
— пар 7«#
Воздействие
катализаторов при
горении 714, 715
Воздух, насыщенный
водяным паром . 676*
Воздуходувка ... 658
Воздушные винты4 505, 518
Воздушный газ ... 743
Воздушных винюв
характеристика . . 518
Волновое
сопротивление судна .... 495
Волны на
поверхности жидкости . . 460
— сгоячие 542
— тяжелые и
капиллярные 460
Волчок, свободный от
сил 350
—» симметричный . . 352
— тяжелый 353
— шаровой 352
Вольтмановская
гидрометрическая
вертушка .... 846
Воспламенение
искровое, пламенное и
через нагревание 740
Воспламенения
пределы 737
— скорость . . . 737, 738
— темлература ... 737
— точка 740
Восприятие звука . . 570
— света 586
— цветное 586
Вращательное
растяжение 194
Вращающаяся
скамейка ПраНдтля . . . 348
Вращающиеся диски . 486
Вращение 314
— винтовое . . . . 157
— вокруг полюса . . 327
— воздушного шара . 348
— равномерно
ускоренное и
замедленное 315
— струи 512
— твердого тела
вокруг
неподвижной точки . . 316, 350
Вспышка при
сгорании 714
Вспышки быстрота
распространения . П4
ВториЧКый поток . . 475
Выделение сажи ... 737
Выравнивание
Наблюдений 212
Высота и дальность
полета свободной
струи .... 502, 503*
Высота падения
твердых тел . . . 308*, 333
— сопротивления . . 441
Вытекание из-под
щита 451
Вычисление
площадей при
составлении геодезических
планов . . . 790, 791 '•
Вычисления для
составления
геодезического плана
по координатам 783, 784
Вязкость 443, 622
— воды 444"-
— воздуха 445*
— кинематическая . . 443
воды . . . . * . 444*
воздуха .... 445*
газов 445'
жидкостей . . . 445^"
— относительная . . 443
— по шкале Энглера 444
Г
Газа постоянная . . . 647
Газификации к. п. д. 740
— ощущаемое тепло 742
— процесс 741
Газификация углерода 740
Газоанализатор Рана-
реке 873
— Сименса 874
Газоанализаторы
автоматические . . 873
Газование 740
Газов атомность . . . 649
Газовая постоянная . 518
Газов и паров
истечение 700
— молекулярный вес 649*
Газовой смеси
равновесие 745
уравнение
равновесия .... 745
Газов смеси 653
— постоянная .... 653
— совершенных
истечение 700
— теплоемкость и
удельный вес . . 649*
Газов теплопередача 624
Газовые измерители
Рота 847
Газогенератор .... 740
Газогенератора
внутренние процессы. 740
Газогенераторного
процесса тепловой
баланс 740
Газогенераторный
процесс . . . . 740
Газомеры* мокрые и
сухие 847
Газообразование . . . 740
Газы совершенные 647, 700
Гальванометр Эдель-
мана • 837
Гармонический анализ 228
— анализатор .... 232
Гармоническое
движение
эллиптическое 335
— колебание
прямолинейное ....
Гаусса интеграл
ошибок
Генераторного газа
теплотворность .
Генераторный газ.
740, 742
Гениометр 770
Географические
координаты . . . 752, 824
Географического
положения
астрономический способ
определения . . . 825
— — геодезический
способ
определения 825
Географическое
положение
Геодезическая невяз-
333
210
742
739,
825
782
831
— основа . .
Геодезические
вычислительные и чер
тежные работы
— работы в СССР .
Геодезический жур
нал
— абрис, крок, чер
теж .....
— план, составлен
ный по координа
там
Геодезический план,
составленный по
румбам . . .
Геодезических работ
инструкция .
сметы и нормы
стоимость .
Геодезия ....
Геометрические изо-
бражения триго-
нометринеских
функций . . .
Геометрическое по
строение ком
плексных чисел
Геометрия аналитиче
ческая
— диференциальиая
Гессе нормальная
Фоома 129
781
750
779
779
789
781
832
832
832
749
81
194
128
128

Алфавитный указатель
983
Гигрометр волосный • 866 |
Гидравлический
радиус . . . 462, 465
— удар 535
Гидродинамика . . . 449
Гидродинамики общие
понятия 449
Гидродинамический
напор 490
Гидродинамическое
давление 453
Гидрометрическая
вертушка Вольт-
мана 846
Гидромеханика ... 443
Гидростатика .... 446
Гидростатики
основные законы . . . 446
Гидростатическое
давление 446
Гипербола . . . 136, 138
— равнобокая . 141, 657
Гиперболоид 171
Гиперболическая
спираль 154
Гиперболической
спирали построение. 155
Гиперболы
конфокальные 199
— равнобокой
построение 141
Гиперболы площадь . 142
— построение . . . 140
Гипоциклоида и
эпициклоида .... 149
удлиненная и
укороченная . . 151
Гласные звуки . 571*
Годограф . . • . 311, 460
Горелка Бунзена , . 738
Горение .... 714, 737
— интенсивное . . . 7о7
—• на колосниках . . 7«з8
— над колосниками . 738
— неполное 737
— простых газов . . 733"
— технических газов 733*
Горения процесс . . . 715
— температура ... 714
Горизонталей
проведение
аналитическое • 810
графическое . . 810
Горизонтали 810
Горизонтальная
съемка 755
Горизонт инструмента 7?4
Горючая смесь .... 738
Горючей смеси вспышка 738
Горючие газы .... 738
Горючих материалов
молекулы .... 715
Градиент 182
Градусы Цельсия и
Фаренгейта . . . 604*"
Граммкалория . • . . 603
Граничная линия . • 457
— поверхность . . 457
Графический метод
определения
интенсивности при
отражении .... 538
— расчет
колебательных явлений . . . 580
Громкоговоритель . . 568
Давление ветра на
строения 488
— и скорость в
формуле Гребера. . 625*
— насыщенного пара €65*
— насыщения пара . 661
— пара над водой и
льдом 869;?
— на стенки в
произвольном
направлении 447
нормальное . 446
— подшипников . . . 277
— струи ...*... 503
на пластинку . 504
Двигатели
внутреннего сгорания . . 658
Движение волчка . . 350
— без трения .... 42о
— брошенного тела . 312
— винтовое 321
— в канале 460
— воды в почве . . . 482
— газов по трубам . 523
и без
трения 523
и паров .... 698
по

бопроводам. ... 708
— криволинейное . 310, 334
— ламинарное . . 462, 484
— обращенное .... 328
— относительное . . 324
Движение.относитель-
ное при
поступательном
переносном движении . . 324
произвольном
переносном
движении 324
— переносное .... 324
— плоское 326
— по наклонно i
плоскости 334
— прямолинейное . 305,322
— Poinsot 351
— равномерно
ускоренное и
замедленное 306
— свободного волчка 351
Движение
сжимаемой жидкости со
сверхзвуковой
скоростью .... 52:)
— сферическое . . . 320
— твердого тела 313, 356
и брошенного
под углом .... 336
— точки 305
по винтовой
линии 312
по кругу ... 311
— - прямолинейное
с переменным
ускорением • . 307
— тепла
принужденное 622
— турбулентное . 462, 484
— центра тяжести . . 345
— эллиптически
гармоническое . . . 312
Движения газов и
паров условие
непрерывности . . 69Э
— твердых тел
общий случай . . . 320
Двойственность (в
номограммах) . . 208
Двоякое
лучепреломление 599
Действительный
процесс удара .... 361
Детерминанты .... 6$
Детонация при
взрыве 719
Джоуль , 254
Диаграмма
время-скорость 306
— для ламинарного
потока 463
— индикаторная . . 647
— IS для водяного
пара 678, 679
— коэфициентов
сопротивления . . . 442
— Молье для смеси
воздуха и пара . 682
— путь-время .... 376
— работы PV .... 647
— распада вэдяною
пара 748
углекислоты . . 748
— сил 261
—- скорость-время . . 377
— теллоная, TS . . . 647
— ускорение-время . о78
— характеристик
сопла Лаваля . . . 526
— холодильной
машины 6?0
— цикла Карно ... 658
— цикловая 397
— энтропийно те.по-
I вая (IS) 647

984
Алфавитный указатель
Диаграммы
генераторного газа. 743, 744
— кинематические . . 376
— Молье для смеси
воздуха и пара ло-
граничная кривая 683
— цикла Карно
среднее давление . . 659
Диада 364, 371
Диаметр инерции . . 294
— трубы в формуле
Гребера 624*
Диаметры
сопряженные 140
Диатермические тела 6о8
Диафрагма
измерительная 853
Диафрагмы . . . 498, 848
— нормальные .... 850
Дилатометр Аббе-Фи-
зо . . 600
Дина 247
Динамика 332
— га «а 523
— материальной точки 323
— механизмов .... 407
— системы
материальных точек . . 341
— твердого тела . . . 349
Динамически
подобнее явления . . . 441
Динамическое
подобие 442
Динамометр
ленточный Brauer'a... 857
Динамометры
тормозные 856, 858
Диоптрия 591
Диоптры 761
Диоскоп 5°6
Дилоль . . . 457, 458
— и параллельный
поток 458
Диполя момент ... 457
— поле 457
Директрисса . . . . 137
Дирижаблей
(моделей) коэфициенш
сопротивления . . 49С*
— (формы)
сопротивления 490
— формы 490
Дирижаблей
Цеппелина коэфициен'1^1
сопротивлений . 491*
Дирижабля выгодные
формы 458
— динамическая
подъемная сила . . . 491
— результирующая
сила
сопротивления 491
— устойчивость
движения 491
Дисперсия 691
Дисперсия
относительная 592
Диференциальное
уравнение
веревочной кривой . . 279
Диференциальные
уравнения 1-го
порядка,
совокупные, графический
способ
интегрирования . . • . . 227
— уравнения 1-го
порядка, численные
и графические
способы
интегрирования 225
2-го порядка,
способы
интегрирования 228
Диференциалы.... 92
— высшего лорядка . 93
Диференциальная
кривая 224
Дифер-нциальный
параметр .... 183, 184
Диферендиатор ... 184
Диференцирование
графическое . 223, 377
— табличное .... 218
Диференцирования
правила и формулы 92
Диференцируемость . 91
Дифракционная
pern от к а 586
Диффузоры 475
Длина световой волны 586
— трубы в формуле
Гребера ...... 624*
Длины волн
нормальные 601*
Добавочная скорость 401
Дополнительные
цвета 586
Дождевание
искусственное . ... 503
Допускаемые
погрешности для весов . 914
Допускаемые
погрешности для гирь • 911*
мер жидких
и сыпучих
тел 911
основных
измерительных
приборов . . 910
при
измерении длин и
поверхностей 910
Дробей квадратнее
корни 51*
— кубические корни 51*
Дуги длины . 43*. 45*. 135
Дутье горячее.... 743
— холодное 743
Дым 7о8
ех* *~*.. 33*
Единица оптической
силы 591
— силы 247
Единицы дуговые . . 80
— мер 247
и обозначения
при горении . 722
тепла 603
Емкость 333
Естественный ветер 484,486
Ж
Жезл при съемках . . 757
Живая сила 255
Жидкая фаза .... 662
Жидкие струи .... 496
Жидкое горючее . . 732*
Жидкость
идеальная 443, 451
Жироскоп Шлика . • 354
3
Зависимость между

тригонометрическими функциями
двух углов .... 81
одного угла 80
трех
углов ... 84
Задача Кардана . . 328
Закон Био-Савара . . 455
— Бойля и Мариотта 647
— Ван-Гофа 714
— взаимодействия . 249
— Гей-Люссака ... 519
— Gouy 717
— Гука 361
— Дальтона 653
и Левиса ... 586
— движения Ньютона 252
— действия и
противодействия . . . 249
— Джоуля 647
— живых сил .... 338
— инерции Галилея. 252
— Кеплера (2-й) ... 341
— Кирхгофа 638
— количества
движения 346
— Ламберта 640
— Мариотта . . . 519
— моделей Рейнольд-
са 441
— моментов сил . 266,273
— независимости
движений .... 312, 335
— Паскаля 446
—• преломления и
отражения света. . 587

Алфавитный укавателъ
985
Закон
переместительности
внутреннего произведения 177
— перенесения сил 256,280
— перестановки и
сложения 176
— площадей
материальной точки . 339
системы
материальных точек . 346
— подобия 442
Коши 4о9
Ньютона .... 435
Рейнольдса . 440, 441
Фруда 4«i7
— проекции ..... 311
— работы 280
— распределения . 176, 177
— смещения Вина . • 586
— соединения .... 176
— соотношения
количеств при
химических превращениях 740
— Стефана и Больц-
мана 586, 638
— трения Кулона . . 410
— центра тяжесги . . 344
Законов подобия
вывод 435
Законы
термодинамики 643
— химического
равновесия 740
Замена звеньев
механизма 365
Замещение звеньев
механизма .... 365
Замыкание
веревочного
многоугольника 262
— многоугольника
сил 262
Застойная жидкость . 475
Затвердевания тел
температура . . 511*
Затухание излучения 568
Защита от сотрясений 576
Звено трехподводко-
вое 371
Звука излучатели . . 568
— передача 576
— поглощение . . . 575*
— скорость 564
Звуковая мощность . 583
излучаемая
стеной 583
поглощаемая
стеной 583
превратившаяся
в тепло .... 583
— область звуков речи 571
Звуковое
пространство 665, 567
Звуковой гриб . . . 565
566, 567
Зеркала плоские . . 590
— сферические • . . 589
Зеркальное
отражение 458
Значение е№ ... 423*
— min x для
бипланов 510*
— рп при процентной
таксе k%
— PvjRT для
водорода ..*... 651*
— Pv,RT для воздуха 651*
Значения весовой
плотности газа,
наполняющего
аэростат 522*
— 1 + at . .... 960*
-нЬ* т*
— х (отношение
теплом костей) и
некоторых функций
его 519*
— коэфициентов для
определения
круговой часто!Ы . . 554
--£*_ 964*
— падения давления
(rf : djs 470*
— сжатия струи
--f*- ^62*
Зрительная труоа
Порро 768
Зрительной трубы
увеличение .... 767
Зрительные трубы 593, 767
Зуммер 672
И
Излучатели звука 568*
Излучение 863
— тепла 6<з7
газов 641
твердых тел . . 637
Изменение состояния
пара, особые
случаи 663
тел от теплоты 611
— температуры при
дросселировании
газов 712
— теплоемкости с
темперагурой . . 651
— формы звеньев
механизма 366
Измерение . • . . 347
Измерение амплитуды
давления .... 572
скорости .... 572
— базиса прибором
Иедерина .... 822
— базисов и углов . 820
— больших давлений 838
— влажности .... 866
— воды, подаваемой
в котел *..... 862
— высоких
температур 864
— газа нагнетанием в
резервуар .... 848
объемными
приборами .... 847
по
распределению скоростей . 852
— давление 8о8
в неподвижной
среде 838
Измерение давления
в струе ... .838
— звука,
субъективный метод.... 572
— и взвешивание
постоянно
расходуемых количеств. 842
— интенсивности
звука 572
—- и построение на
вычерченные
кривых • . 220
■— колебаний . . 836, 8^7
— количества тепла . 865
— количеств 840
— мощности .... 856
способом
обратного давления . 858
электрическим
способом . . . 858
— очень малых
давлений 839
— пара
автоматическим инте
жированием 854

конденсирующегося за
машиной .... 853

непосредственным отсчитыва-
нием 854
по графику . . 854
—. площадей .... 220
— при помощи
определенных
интегралов 221
— расхода газа ... 847
жидкостей . . . 842
запрудами . 844

инструментами со
шкалой 842
помощью
щита .... 845

986
А лфа в итны й укяз а тел ь
Измерение давления
по отверстию
истечения. . 844

протока ... 844

распределению
скоростей . . 846
приборами со
счетным
механизмом . . 842
пара 852
Измерение силы ... 249
звука машины . 837
— температуры ... 861
гальванометром 863
методом
конденсации 863
— теплоты 861
— углов по способу
Шрейбера .... 823
при съемке . . 771
Измерения в технике
сгорания 870
— угла ошибки и
точность 771
Измерительные
инструменты
(оптические) 597
Измеритель шумов
Баркгаузена . 572, 573
Измерители для
сжатого воздуха ... 848
— жидкости открытые 842
Изобара 654
Изогоны 778
Изоклины 778
Изоплера .... 654, 664
Изотерма .... 654, 663
Изотермическое
расширение 657
— сжатие 657
Изохора 654
Изыскательные
работы в СССР ... 750
Импульс сил . . . 339, 454
Инвар 821
Инварные
проволоки 821
Индикатор 859
— Inharz'a . . . . 861
— крутильный Fottin-
ger'a 858
Индикаторная
диаграмма 860
— работа 861
Индикаторное
сопротивление 509
Индикаторных
пружин условия
испытания 830
Индикаторов
специальные формы . . 861
Индикатор
оптический Шульца . . 861
Индицирование
машин 861
Инерция в
машинах ... 427
Интеграл векторный
площади 187
— Гаусса ПО
— двойной 114
— криволинейный . . 186
— Мунка 508
— скалярный
площади вектора ... 186
— тройной 114
Интегралы кратные . 113
— криволинейные . ИЗ
— — определенные . 114
— некоторых
иррациональных
функций 102
— неопределенные . 98
— не сводящиеся к
элементарным
функциям .... 109
— определенные ... 108
— — приближенное
вычисление . . 112
— основные 99
— трансцендентных
функций .... 104
— эллиптические . 50*, 111
Интегрирование
графическое 222, 307, 379
двукратное . . 224
— по Рунге-Кута . . 225
— разложением в ряды 109
— рациональных
функций 99
Интегрирование
табличное 218
Интегрирующий
множитель 115
Интенсивность звука 572
— лучеиспускания . 640
— солнечного спектра 586
Интерполирование . 56
Интерполяции правила 54
Интерполяционное
исчисление ... 215
Интерполяция .... 52
Интерференционн ые
цвета 599
Интерференционный
индикатор Кир-
нера 600
— компаратор Гепе-
ля 6С0
Кестера .... 601
Интерференция . . . 600
— равного наклона . 601
Интерферометр Май-
кельсона 601
Искривление
изображения 591
Исследование кривой
расширения . . 657
Истечение водяного
пара 701
— газов и паров . . 700
■ при
незначительной
разности
давлений 704
— из косо
вставленной насадки . . . 500
круглого
отверстия 498
отверстий . . . 496
в толстой
стенке . . . 498
тонкой
стенке . . 500
частично
ниже уровня
свободной
поверхности 497
— — прямоугольного
отверстия .... 498
Истечение из сопла
Лаваля 534
— на воздух . . . . 496
— под свободной
поверхностью
жидкости 496
— при круглой
насадке 499
Истечения из сопел,
основные
параметры 702*
трубопровода 499
Источники звука
подводные 570
Источник и сток
равных оасходов . . 457
Исчисление
вариационное 127
— диференциальное . 91
— интегральное ... 91
К
Калориметр . . . • 598
— Унион 871
— Юнкерса ... 731, 871
Калориметрическая
бомба Бертело-
Малера . . . . 870
Калория 603
Калька высот .... 827
— дневник 827
— контуров 827
Камеральные работы 833
Каналы с постоянным
сечением .... 462
Капилляр Дрешмита . 875
Капиллярность ... 444
Кардиоида .... 151, 328
Картина
относительных скоростей. . 386
ускорений ... 391

Алфавитный указатель
987
Картографические pa- i
боты в СССР . . 751
Карты градусы ... 754
— линейные меры . . 754
— угловые меры . . . 754
Касательная полярная 132
Касательное
ускорение 389
Касательной длина . • 132
— уравнение .... 132
Катализаторы в
процессе горения 714, 715
Каталитическое
влияние топлива ... 741
Катание резиновых
шин .... 424^, 425-
— тел 4и8, 423
чистое ... .408
Квадранта деле ний
перевод . . . • 49*
Квадратическое
уклонение 214
Квадраты чисел ... 2*
Квартили 214
Керл скорости .... 450
Киловатт 255
Килограмм . . . 247, 249
Килограммкалория . 603
Кинематика 305
— механизмов . . , 375
Кинематические
диаграммы 376
Кинематический коэ-
фициент вязкости 443
Кинематическое
исследование
движения штанги
эксцентрика ... 396
Кинетическая
энергия 255, 339
взрыва 720
Кипения температура 662*
— точка 612
Клина объем и
поверхность .... 240
Кокс 738
Колебание
гармоническое 539
— несущее 540
— простое 539
Колебаний мембраны
узловые точки и
линии 539
— механических
область частот . . . 548
— модуляция .... 540
— род 550
— свободных частота . 540
— связанных и 542
Колебаний
электромагнитных область
частот 549
Колебания 835
— вертикальные
фундаментов 558
Колебания
вращающихся
однородных пластин ... 561
— вынужденные . . 540,
544, 548
— вынужденного ди-
ференциальное
уравнение «... 545
— горизонтальные
фундаментов . . 558
— затухающие . . . 539
— звуковые ... 5:8, 582
— зданий 579
— инфразвуковые . . 548
•— квадратных пластин 560
— круговых пластин. 561
•— машин 836
— мебран 559
— механические . 539, 541*
— нарастающие . • • 539
— период 539
— пластин ...... 560
— постоянной
частоты 581
— при вращении
валов t 836
скручивании . . 555
скручивании с 1,
2, 3 и 4-й массами
на конце 556
с любым
числом масс .... 557
удлинении . . . 837
— свободные
(собственные) .... 540,
543, 547
— синусоидальные . . 543
— составляющие
гласные звуки .... 571
— угловая
(круговая) частота ... 539
— ультразвуковые . . 548
— фундаментов . . . 557
— электрические 539, 541*
Колебательного
комплекса затухание. 544
полезное
сопротивление 542
Колебательной
системы жесткая связь 547
Колебательные ком- .
плексы
акустические открытые. . 565
замкнутые . 565
излучающие . . 540
механические . 540
открытые . . . 540
связанные . 540, 546
электрические . 540
— системы .... 540, 546
Колебательный
комплекс простой • . 542
— процесс 539
Колебательных
комплексов упругость 546
Колебательных
систем коэфициент
связи 546
Количество вращения
материальной
системы 347
твердого тела . 347
— вытекающего пара 703
—• движения . . 251, 331
— энергии
совершенных газов .... 648
Колодец 484
Компаратор • . . . . 761
Компарирование при
съемках . . . 7о8, 761
Компас с волчком . . 355
Компенсатор Бобине „ 600
Комплексные
величины 64
— числа 192
Комплексных
величин аргумент . . 65
модуль .... 65
норма 65
Компоненты 249
— системы сил .... 266
Компрессионная волна 739
Компрессора
воздушного диаграмма . 659
отведенная
теплота 660
работа сжатия 659,660
— вредное
пространство 661
— идеального работа
сжатия 694
среднее
давление 660
— компаунд работа . 660
— коэфициент подачи 661
— к. п. д 661
— полезный объем
цилиндра 660
Компрессор
воздушный 659
— двойного действия 658
Компрессоры . . . 848
Конвекция . . . 614, 622
Конденсор кардиоид-
ный 593
Конденсоры 592
Конические сечзния . 136
Конических сечений
сравнение .... 137*"
Конструкция зданий и
распространение
сотрясений ... 581
Конус 171, 291
Конуса Зегера . . . . 865
Конусов Зегера точки
плавления .... 865*
Конформное
изображение .... 192, 196
— — обратимо одно-
•начных . . . . 198

988
Алфавитный указатель
Конформных
изображений частные
виды 196
Конхоида 156
Концевые потери . . 5о9
Концентрация
деформации 361
Координатная система
правая 157
Координат
прямоугольная система 128
— преобразование . • 131
— прямоугольных
преобразование 162, 163
Координаты
криволинейные 185
— цилиндрические . 185
— шаровые полярные 186
Корни 61, 63
— квадратные .... 2*
— кубичные . ... 2*
— чисел 2*
Косой скачок .... 533
Коромысло 364
Косинус 34*, 38*
Косинуса степени . . 82
Котангенс 36*
Коэфициента
сопротивления оценка 470
Коэфиииент Ъ' для
водяного пара . . 626*
— волнистости . . . 466
— вязкости 443
Коэфициент вязкости
жидкости в
зависимости от темле-
ратуры 445*
— испарения .... 686
— истечения для
нормальных диафрагм,
8о0*, £51*
нормального
солла .... 849*
— Коши 439
— линейного
расширения 605
— лобового
сопротивления 5Г5
крыльев . . 5-9
— момента 505
— объемного
расширения 605
— преломления света 687
— поглощения . . . 580*
— подъемной силы 505, 529
К. п. д 281, 859
— акустически
электрический .... 569
—■ идеального
пропеллера 511
— паровой машины
индикаторный . . 687
термический 687
Коэфиииент просачи-
ваемости .... 482
Коэфициент просачи-
ваемости по Гуген-
тоблеру 482*
Терцаги . . . '83
— Пуассона 362
— разложения
углекислоты 746
— расширения
площади 605
— расхода .... 496, 498
для
вертикальных плотин ... 501
водосливов . 500
— круглого
отверстия . . 498*
— Рейно 1ьдса .... 441 j
Коэфиииент скорости
при истечении га- !
зов и паров ... 701
— солротивления 441, 463
в трубах .... 464 J
для гладких труб
4о2, 464
— теплопередачи . . 686
в трубах,
перпендикулярны*
направлению
течения 628*
для газов . .*. 624
жидкостей . 625
и Значение
входя щи <
в него
величин 6-6*, 627*
— — перегретых
паров 625
плоской стенки
по 1С ргесу . . . 629*
трубы (средний) 623
— теплопроводности 614,
Ыо*. 617*, 622, fc35
воздушных слоев 620*
газов 621*
жидкостей . . . 621*
эквивалентный
для
вертикальные, плоски*
воздушных слоев 620*
— точности
наблюдений 210
— трения . . . . 410, 411*
для бандажей . 412*
гибкой связи . . 422
для фубопрово-
% дов 708
экипажей . 413*
— полозьев . . 4lo*
по Пуассону . . 416
Коэфи шент скорости
при трогании с
места 414*
— смазки (внешнего) 414
(внутреннего) 414
Коэфициент 1 рения
точильных камней 414*
Коэфициенты,
определяющие
собственные частоты
стержней . . . 553*
— сопротивления для
трубопроводов . . 709*
различных тел . 4°2*
— шероховатости . . 466*
Кран для склада ... 268
Краны двухколесные 277
Кратные л . . . , 52*
52*
Кратчайшее
расстояние между двумя
прямыми 158
Кремальерный винт . 767
Крестовый свод . . . 243
Кривая времени ... 305
— — -пути ... .306
-скорости . . • 306
— Паскаля 328
— пути 305
— распределения . . 213
~ резонанса . . . 569, 570
Кривая сложения . . 206
Кривизна вторая . . 166
— кривой 134
— первая 165
— средняя 170
Кривизны главные . . 169
— круг 133, 166
— круга центр ... 134
— мера 170
— параллельные
главные 169
— плоскость» .... 164
Кривизны радиус . . 165
— центр 165
Кривой
изолированная точка .... 135
— кручение 166
— особая точка . . . 135
— поверхности
кривизна
нормального сечения . . • . 169
Кривошип 364
Криво'нипный
механизм 428
Кривые двойной
кривизны ..... 163
— огибающие .... 136
— Петрова ... 415
— плоские. . , . . 131
— поверхности . . . 167
Кривы* поверхностей
нормальчое
сечение 169
Кривые постоянного
п?р*=»содержания . 664
— предельного паро-
содеожания . . . 6^4
— расширения .... 654

Кривые свободной no>
верхности .... 461
Критическая скорость 463
— температура пара 662*
— точка 449
Критический объем
паров 662*
Критическое давление
паров 662*
— отношение
давлений 524
— соотношение
давлений при
истечении из сопла . 701
Кронглас .... 589, 595
Круга окружность . 2*
— площадь 2*
Круг 2з7
Круг инерции Мор-
Ланда 298
Круговая частота
вращения 561
Круговой процесс
Карно 657
с двумя
изобарами и двумя
адиабатами . . 658
изохорами
и двумя

адиабатами ... . 658
Крут перегиба .... 330
— трения 421
Крыла относительный
размах 509
— площадь 505
— размах 505
— свойства 507
—- скорость 505
— форма 507
Крыло монопланное . 509
Крыльев ветряього
двигателя
относительный размах . 517
— — —
симметричные профили 517
— обобщенные
формы 508
Крылья 5'5
Кубы чисел 2*
Кулаки и эксцентрики 3°3
Кулисса 366
Кулиссный камень. . 366
Л
Лежандр-Якоби
нормальные формы . til
Лемниската Б.гнулли 156
Лента при съемках . 757
Лимб 761, 763
Линейка счетная ... 201
Лилейная усадка
металлов 606*
Алфавитный указатель
Линейная функция . 212
— — одной
переменной 213
— расширение
твердых тел 605*
Линзы 590
Линии
асимптотические 170
— кривизны 170
— Маха 530, 5\*3
— тока (в жидкостях) 449
Линия действия сил . 249
Лист Декарта .... 156
Логарифмическая
спираль ■• • 155
Логарифмов
обыкновенных мантиссы 32*
— таблицы 59
Логарифмы . . . • 61, 63
— натуральные . . 2*, 60
— обыкновенные . . 59
Лошадиная сила ... 255
Лошадиные силы
котловые 958
Лупа . 593, 765
Лучи веревочного
многоугольника . 261
Лучеиспускание . . . 614
Лучеиспускательная
способность . 637, 638
Лучистая энергия . . 637
М
Магнитная стрелка . 778
Магнитной стрелки
вековое изменение 778
Магнитный азимут . . 778
М аксимальное
сплющивание 362
Манометр .... 837, 838
Манометры диферен-
циальные .... 840
Мантиссы
обыкновенных-логарифмов . 32*
Масса 247, 2<9
— машины 577
— приведенная . . . 360
Масс приведение в
кривошипном
механизме 428
— разбивка и
приведение 427
— уравнение на валу 429
Масштаб времени . . 434
— длины 434
•— карты 753
— переноса . ... 434
— сил 434
— ускорений .... 378
Массы приведенные . 427
— сосредоточенные . 427
Математика 1
i — практическая « ♦ . ?~0
989
Материальная система 341
с произвольным
движением . . . 342
— точка 251
Материальной
системы количество
вращения .... 347
Материалы для тепловой
изоляции Ы8*. 619-, 620*
— отражающие и
резонирующие . . . 575
Маятника время
качания .... 324, 337
— секундного длина . 3«э8
— физического дифе-
ренциальное
уравнение 344
— центр качания . . 344
Маятник ....... 551
— математический и
физический . . . 551
Маятник простой
(математический) . . 336
— физический .... 343
— Фуко 252
— шаровой » . . . 338
Мгновенное
направление скорости. 545
Мебель (значение в
акустике) .... 573
Медленное сгорание . 738
Международная карта 751
Международной
карты масштаб . . . 751
Мембрана,
закрепленная на краях . . 568
Мембраны 559
Мера точности
статического ряда
наблюдений .... 215
Метацентр 448
Метод „вариации
постоянных" .... 119
— Грюнейзена .... 601
— Dixon и Coward . 719
— Sacerek 375
— касательных . . . 377
— кинематического
исследования
механизмов .... 375
— Корнуша . . . • . 601
— конформных
преобразований . . . 459
— круговых линеек . 380
— ложных положений ЗР8
— измерения ординат 377
— изоклин • 225
— планиметрирования 379
— подсчета площади
на миллиметровой
бумаге 379
Методы врактическо-
го анализа,
численные, графические
и механические ♦ 218

990
Алфавитный указатель
Методы
практического анализа при
решении уравнений . 218
Методы прак1Ическо-
го анализа при
вычислении и
построении целой
рациональной
функции 219
— приближенных
решений уравнений 71
— Рунге 232
— средних ординат 379
— хорд 377
Механизм 363
Механизма
построения основной
метод 364
Механизма
структурный анализ . . 371
Механизм в связан-
ном построении . 364
— двукривошиин».йЗбЗ,373
Механизмов преобра-
зова ие 365
Механизм однокриво-
шипный 363
— плоский 372*
Механизм
пространственный .... 372*
— свободной
структуры 364
— трехкривошилный 363,
о73
— четырехзвенный 386, 391
— шепинга ... 392
Механизмы двухзвен-
ные 371
— кривошипные . . . 363
— многозвенные . . 371
— одно-, двух-, . .
«кривошипные 374
— трехзвенные . . . 371
Механизм
эксцентриковый 393
Механика 247
— капельных
жидкостей 443
— подобия 433
Механика прикладная 363
— твердых тел . . . 247
Механики важнейшие
величины .... 248*
— основные понятия 247
Механические
колебания 539
Механический
эквивалент тепла . . 643
Механических
комплексов
расчетсобственных частей 550
Микроманометр Креля 839
— Рекиагеля . . .839
Микрометр окуляр-
рий 601
Микроскоп 765
Микроскопы 593
— для мастерских . . 594
—
металлографические 594
— препаровочные . . 594
Мнимые величины . 194
Многогранная
коническая проекция . 751
Множитель в
формуле Гребера для
воздуха и
дымовых газов .... 625*
Многоугольник ... 237
— сил ; 257
Мода 214
Модуль упругости
жидкостей.... 535
материала
трубы 535
Модуляции колебаний
частота 540
— синусоидальной
векторная
диаграмма 540
— колебаний .... 540
Молекулярный вес
возду ^а 68 )
кажущийся . . 653
пара 680
Моль 648, 736
Моля теплоемкость . 650
Момент вращения для
преодоления
трения 486
— инерции машины . 577
осевой 2 3
плоскостный . . 293
полярный . . . 293
— масс 2-го порядка . 285
— маховой 294
— пары сил 254
— силы 252
статический . . 340
— тела
центробежный 294
Моменты инерции . . 293
геометрических
плоски* фигур . 296
важнейших
линий
поверхностей и тел ... 299
главные .... 295
плоских
фигур • . . . . 297
и моменты
центробежные тела 293
осевые .... 296
Моменты инерции
относительно
параллельных осей... 294
полярные ... 296
— центробежные . . 293
плоских фигур . 296
Мощность ..♦.,. 254
Мягие насыщенных
паров 713
— (дросселирование)
пара 712
— совершенных
газов 712
Н
Нагрузка 275
Наибольшие и
наименьшие значения 97
Нажим Прони .... 856
Напор,
затрачиваемый при
протекании 483
Направление
вращения 315
— потока 531
Напряжение давления 250
— поля 333
Насадки вводные • . 476
Насыщенного
аммиачного пара
температура, давление,
объем, удельный
вес, содержание
тепла, энергия,
теплота
испарения, энтропия . . 696*
Насыщенного пара
сернистой
кислоты S09
температура, давление,
объем, удельный
вес, содержание
тепла, теплота
испарения,
энтропия 695*
— пара углекислоты
температура,
давление, объем,
удельный вес,
внутренняя энергия,
содержание тепла,
теплота
испарения, энтропия . . 69?*
Насыщенный пар
хлористого метила . 698-''
Начало возможных
перемещений . . 281
Начальное состояние
смеси перед
взрывом 721
Нелинейная функция 213
Неопределенные
интегралы 98
HenepoBoi аналогии . 88
Неподвижное
закрепление 276
Неподвижный
опорный шарнир . . . 276
Непрерывность ... 91
Нивелира визирная
ось 79

Алфавитный указатель
991
Нивелира лагеры . . 796
— проверка . . . . • 797
Нивелир глухой . . . 795
— карманный • . . 796
— Цейсса 800
Нивелирный отсчет . 794
Нивелирование . . . 793
— барометрическое . 813
— геометрическое . . 793
-- из середины . . 794
— поперечное . . . 804
— продольное .... 801
— техническое .... 793
— точное 806
— тригонометрическое 812
Нивелирования журнал 803*
Нивелирования
полюсы £02
— технического
точность 815
— точного журнал . 809*
Нивелиры .... 793. 795
Номограмма для
определения
гидродинамического напора 453
коэфициентов
сопротивления 466
расчета
трубопроводов 469
— теплосодержания
влажного возду а 868
Номография 203
Нормаль 133
— главная 165
Нормальная мера . . 821
Нормальное ускорение 389
Нормальные сечения
главные 169
Нормальный
кубический метр.... 648
Нормаль поляр г я . . 133
Нутация 354
О
Обертон 550
Обертонов круговая
частота 550
— собственная — . . 550
Объектив 593
Объектива глубина . 596
Объем бочки .... 242
— влажного воздуха . 682
— воды при разных
температурах и
давлениях . . . 607*
— клина 240
Объем крестового
свода 243
— обелиска 240
— тел вращения . . 243
— цилиндрического
свода 243
— чана или кадки .' . 242
Объемное расширение 606*
— содержание 1 кг
углекислоты при
разных
температурах и давлениях . 692
Объемы важнейших
геометрических
тел 239 — 242
— тел 2d6, 239
Область влажного
пара 662
— вспышки 718
— тумана' 683
Обозначение рельефа
на карте 753
— точек и линий на
местности .... 755
Оборотов критическое
число 550
Обращение движения
эксцентрикового
механизма .... 396
Обтекание 458
— вогнутой поверч-
ности 533
— внутреннего угла . 5J3
—- газовым потоком . 531
— — — кривой
поверхности ... * 532
— плоское 505
— плоской пластинки. 533
Обтекание простран-
/ ственное . . . 492*, 509
— слабо
искривленных поверлностей. 486
Окружности круга 2*, 138
Окуляр 593
Опорные давления . . 275
— реакции .."... 275
балки на двух
опорах 263
Опоры в
машиностроении ....*.. 276
— мостовых и
железных конструкций. 275
Определение истинного
меридиана .... 776
по звездам . 777
— масштаба скорости 377
— реакций опор ... 275
— центра тяжести
(аналитическое и
практическое) .... 287
— экспериментальное 288
Определители .... 66
Оптика 585
Оптическая
поверхность 588
Оптические
инструменты 592
Опыты Андреса ... 475
— надсопротивлением
тел • 490
Осветительные
приспособления , , . 592
Оси главные плоских
фигур 297
тел 295
— сопряженные
плоских фигур ... 297
Основное уравнение
динамики . . . . 251
Основной план . . . 550
Особые рабочие
процессы 657
Особые случаи изме-'
нения состояния . 65*
Осцилограф 837
Ось вращения . . 256, 314
— главная 448
Отверстие в толстое
стенке 498
— истечения .... 844
— протока 844
Отверстия с
направляющими
стенками 498
Отводы Т-образные . 477
Отдача пушки при
выстреле 346
Отклонение восточное 326
— снаряда 355
— южное 326
Огложения в
чугунных трубах . . . 471*
Относительная
шероховатость .... 465
Относительное
движение ...... . 324
— перемещение . . . 324
Относительные
ошибки при съемках . 758
Относительные
скорости 324
— ускорения .... 324
Отражаемая
интенсивность 588
Отражение звука . . 573
— света 587
— тепла 638
Отсечение звеньев . 365
Ошибка
арифметическая средняя . . . 210
— вероятная .... 210
— при измерении
углов каллима-
ционная 774
— при съемке в
отметке начала и
конца ленты ... 760
Ошибка арифметиче-,
екая средняя от
влияния почвы и
погоды 760
Ошибка при съемке от
изменения
температуры 760
неточно-
стей
отсчета . ,', 760

992
Алфавитный указатель
Ошибка при съемке от
нерав юмерного
натяжения . . • . . 760
< — провисания 7W)
— сгедняя ...... 210
Ошибки визирования
при измерении
углов 773
— в определении угла
наклона . . . • • 759
— постоянные . • . . 835
— при съемке
предельные 761
измерении углов
от наклона
горизонтальной оси
вращения трубы . 773
— — измерении углов
от
негоризонта л ьносги лимба 773
съемках . . . • 757

систематические .... 760
— — — средние . . 761*
— случайные .... 835
— укладки ленты при
съемках 759
Ошибок при съемках
формулы .... 760
Ощущаемое тепло при
газификации . . 742
П
Падение давления . . 463
— кошки 348
— свободное в
безвоздушном
пространстве о07, 332
при
сопротивлении воздуха . . 332
— тепла
адиабатическое . 687
Пантометр 770
Парабола .... 136, 144
— веревочная .... 279
Параболоид вращения 242
— гиперболический . 171
— эллиптический . . 171
Параболы длина дуги . 145
— диаметра
сопряженнее 145
— директрисса ... 144
— конфокальные . . 194
— Нейля 145
— параметр 144
— площадь 146
— полукубической в
кубической
построение . . . . • 145
— построение .... 146
— радиус кривизны . 145
— уравнение в по
тарной системе
координат 145
Пароболы уравнение
относительно
вершины 144
Пара водяного
насыщенного
абсолютная температура. 668
давление . 665*,
668*, 669*
вес .... 668*
объем . . . 668*
теплота
испарения . . .669*
содержание
телла .... 669*
темлерату-
ра . . 66j*, 669*
энергия . . 669*
энтропия . 668*
пар иальное
давление . . 680
перегретого
объем,
теплосодержание и
энтропия 666
давление,
температура,
содержание
тепла .... 673*
— вращения . . 319, 363
— вантовая 363
— входящего
температура 666
Пара давление перед
входом в машину 686
— катящихся
рычагов 367
— кинематическая . . 370
Параллакс 767
Параметры 140
Параллельная
перспектива 234
Пара перегретого
внутренняя энергия. 666
— постулательная 363, 368
Пара работы в
идеальной машине . 686
— сил 252
— теплосодержание . 686
— удельное
содержание 686
— энтропия 686
Пар водяной .... 66J
пе, егретый . . 687,
667*, 674»
— насыщенный . . • 663
Паромер .... 843, 853
— А.кания 855
Паромер Байера. . . 84J
Паромеры 7о8
— диафрагмовые . . 853
— поплавковые • . . 863
Паросборник .... 688
Паросодержание... 6L6
Пар, отдаваемый
аккумулятором Рутса 688
Пар, перегретый . • 664
Парциальное давление
при горении . • . 714
Пары 661
— высшие 368
Пары кинематические 371
— перегретые .... 624
Первый меридиан . . 824
Перевод американских
винчестерских
галлонов в л и
обратно 934*
— английских акров
в ары и обратно 926*
дюймов
ртутного столба в мм
водяного столба 947*
ртутного
столба в
физические
атмосферы и
обратно . . . 947*
морских миль в
км и обратно • 918*
имперских
галлонов в л и
обратно.... 934*
квартеров в
гл и обратно 933*
квадратных
футов в м* и
обратно 927*
куб. ярдов в м*
и обратно . . . 930*
л. с. в kWt и
обратно .... 957*
— — статутных миль
вой обратно 918*
миль/час в
м\гек и
обратно . . . 953*
судовых тонн
в кг и обратно 937*
: тонн в тонны
метрические и
обратно.... 937*
тонн/кв. дюйм
в кг\см? и
обратно .... 943*
тройских гран
в г и обратно . 943
гран/куб.дюйм
в г дм3 и
обратно .... 949*
фунтов в кг и
обратно.... 939*
— — фунтов/дюйм в
в кг\см и
обратно 942*
— — футов и дюймов
в мм 922*
— — футов в
метрические меры и
Обратно.... 917*

Алфавитный указатель
993
Перевод английских
фунтов/кв. дюйм в
кг/см9 и обра i но 945*
фунтов/кв. дюйм
в мм ртутного
столба и
обратно . . . 946*
фунтов/куб. дюйм
в кг см3 и
обратно 949*
фунтов/куб. фут
в кг/м9 и обратно 948*
фунто-футвягл*
и обратно . . . 955*
фунтов/фуг в
кг\м и обратно 942*
фунтов/ярд в
кг/м и
обратно 941*
центнеров в кг
и обратно . . 938*
кв. ярдов в мй
и обратно . . . 927*
ярдов в
метрические меры и
обратно.... 919*
— верст в км л
обратно 923*
— вершков в см и
обратно 925*
— времени 912
— г/сек в кг\час илц
кг\сек в т/час и
обратно .... 952*
— десятин в гаи
обратно Р2^*
— единиц мощности 956*
— кв. аршин в ж3 и
обратно 929*
вершков в см9
и обратно . . . 930*
дюймов в см9
и обратно . . . 928*
— кв. саженей в м9 и
обратно 929*
— кварт» ров в кг и
обратно 938*
— киловаттчасов в
британские
термические едини bi и
обратно Р58*
в кг-кал .... 958*
— кг-кал в
английские единицы
тепла и обратно . 959*
— кг-кал\сек в ItW и
обратно 957*
— кг\см* в мм рт. ст.
и обратно .... 946*
— китайских йин в м
и o6paiHO .... 925*
— куб. аршин в л* и
обратно 932*
-7 — вершков в см9
и обратно . . . 933*
Перевод дюймов в см9
и обратно . . 931*
-— м9/час в англ. куб.
футы/мин. . . . 954*
— куб. саженей в мг
и обратно .... 932*
футов в дм9 и
обратно 931*
■— л. с. в kW и обратно 956*
— м вод. ст. в англ.
дюймы рт. ст. . . 947*
в англ. футы . 9^3*
— м/сек в англ.
футы/мин 954*
— мм рт. ст. в мм
вод. ст 946*
— мм\сек в м\час или
м/сек в км/час и
обратно 952*
— нефтяных барилей
в гл и обратно . 935*
— пудов в кг и обратно 940*
— русских бочек в л
и обратно .... 935*
ведер в л и
обратно .... 936*
долей в мг а
обратно 941*
лот вгиобратно 940*
четвертей в гл
и обратно .... 936*
— саженей в м и
обратно 924*
— см в англ. дюймы 92о*
— см9 (или м%)\сек в
л (или мг)\час и
обратно .... 952*
— старых прусских
мер в
метрические и обратно . 917*
— тройских гран/кв.
дюйм в г\дм9 . . 945*
— узлов в м\сек. . . 952*
в ярды/час . . . 953*
— фунт./кв. дюйм
различных стран в
кг 1см2 и обратно . 944*
— фунт./кв. фУт в
кг/м* и обратно . $44*
— фунг./кв. фут
различных стран в
кг\м" и обратно . 944*
— фунг/куб. фуг
различных стран в
кг/м9 и обратно . 948*
— фунт./фут разных
стран в кг\м и
обратно 942*
— 16-х долей дюйма
в мм 920*
— 64-4 долей дюйма
в мм 919*
— ялонских шаку-
кане ъ м и
обратно 926*
Передаточное число
отрицательное . . 402
Передача диференци-
альная или
эпициклическая ... 401
— звука • 576
через с гены . . 582
— теплоты . . . 614, 622
Передачи 393
— зубчатые 393
— рядовые
(последовательные)
цилиндрические и
червячные 401
Преломление света . 587
Пересчет объема
газа ПрИ ПО'ЯОЯН-
ном давлении для
других
температур 962*
Переход звука . . . . 582
Периметр смачивае-
• мый 462
Пикет, пикетаж ... 801
„Пиро" HaSe .... 865
Пирометр ле-Шателье 862,
863, 864
— оптический . . 5У8, 865
Планиметр . ... 221, 791
— автоматический . 854
План сил 2б1
— скоростей .... 385
— ускорений и
скоростей 330
Планшет 826
Плоская пластинка.
параллельная на.
правлению потока 484
— система сил .... 260
Плоские пролетные
конструкции... 276
-— зеркала 589
— стенки 446
Плоский газовый
поток 530
— эксцентрик .... 394
и штанга • . . 393
Плоское маховое
колесо 354
Плоской системы сил
аналитический
метод исследования 265
Плоскость в
пространстве 157
— поляризации . . . 599
•— симметрии . . • • 458
Плотина треугольная 845
Плотность 261
— весовая 518
воды 444*
воздуха . 445*, 521
жидкости . . . 443
— жидкости или газа
массовая .... 443
— массовая ....'. Б18

994
Алфавитный указатель
Плотность воды . . . 444*
воздуха .... 445*
Площадей
определение 135
Площади главнейших
геометрических
фигур .... 236—239
— плоских фигур . . 236
— тел 239
Площадь моментов 263, 264
— нагрузки . . . 264, 279
— положительная и
отрицательная. . 236
Поверхности второго
порядка 170
— главнейших
геометрических тел 239—242
— тел. ...... 236, 239
Поверхностное
натяжение 444
— трение • 484
Поверхность,
идеально отражающая . 688
рассеивающая
(диффузная) . . 588
— тела вращения . . 243
— уровня скалярною
поля 182
Поводок 364
Повышение
концентрации при
горении 715
Погашения
ежегодные 73*
Поглощательная
способность 638
относительная . 639*
Поглощающие
вещества • 872
Поглощение звука 574,575*
Пограничный слой 476, 489.
527
Погрешностей
вычисление 2Э1
Подвижной опорный
шарнир 275
Подводные источники
звука 570
Подъемная сила . 443, 505
Подъем рельса на
закруглении .... 335
Подкасательная
полярная ...... 132
Подкасательной длина 132
Подкладки,
заглушающие колебания. 579
Поднормаль ... .133
Подобие
динамическое 434
— статическое .... 433
Подобия статического
метод 433
Подпочвенные воды . 484
Подпятники
роликовые 277
I Подпятники
шариковые 277
Подставки
зрительной трубы .... 766
Подшипник для шеек
валов 276
Подшипники
трансмиссионные . . . 276
Показатель истечения
газов и паров . . 701
— преломления . 585, 590
Полевые линии ... 182
— работы 833
Полезна* работа . 281, 645
Поле зрения
объективное 594
субъективное . 594
— свободное от
источников 188
— скоростей 5Г,7
— потенциальное . . 188
— слоистое . . . • 188
Полипланы 506
Политропа 655
Политропическое
расширение газов. . 656*
Политропы
построение 655
Положение точки на
криволинейном
пути....... 310
Полоида (полодия)
неподвижная н
подвижная 327
Полуприем (при
измерении углов) в
геодезии 823
Получение
изображения светящейся
точки 589
Пользование
таблицами 52
Полюса касательная . 331
— кривая 327
Полюс диаграммы сил 261
— мгновенный . . 327, 331
Полюсное расстояние 263
Полюсные лучи ... 261
Полюсный путь 327, 331
Полюс перегиба .
— сил
— скорости . . .
Поляризационные
аппараты . .
— фигуры ....
Поляризационный
микроскоп . .
Поляризация . .
Полярная ось
веревочного
многоугольника
Поправки наблюдений
Поршневидная мем
брана . .
332
261
331
599
599
599
598
265
211
5681
Послезвучания
продолжительность .
Постоянная
капиллярности
— лучеиспускания . .
Постоянные точки
площади ....
Построение
изображения
— преломленного
луча
— планов скоростей .
Поступательное
перемещение твердого
тела . . • ....
Потенциал
— многозвучный . .
— скороаи
Потенциальное поле •
Потенциальный
поток 451
Потери
дросселирования
— от отходящих
газов -
— при расширении
. струи
— тепла от неполного
горения . . . 735,
Потеря давления в
трубопроводах
— кинетической энер
гии ....
— работы . . .
при мятии .
для пере
гретого
пара . .
для совер
шенных
газов и па
ров ,
— тепла от продуктов
сгорания . .
Потока срыв . . . 476,
Поток, двигающийся
со, сверхзвуковой
скоростью ....
— двух- и трехраз-
мерный ....
Потоки сложные . .
— элементарные . . .
Поток параллельный
и источник . .
— радиальный....
— сзади пропеллера
— циркуляционный .
Почвенные колебания
Появление росы . . .
Правила диференци-
рования ....
Правило Гюльдена
(Паппуша) ....
— масштаба
574
460
639
590
588
383
313
450
456
451
188
, 488
523
736*
474*
, 737
480
361
645
713
714
713
735
529
529
529
456
455
455,
457
,456
456
512
456
576
685
243
435

Алфавитный указатель
995
Правило Прандтля . 528
— Рихмана 610
— Симпсона 220
Правильный

угольник—соотношение размеров . 238*
Предел 91
Пределы взрываемо-
сти различных
газов и пароь . • . 739*
— вспышек для
горючих смесей . . . 719*
Преобразование
вращательного
движения в
поступательное 393
— скоростной
энергии в энергию
давления 506
Прецессионного
движения ось .... 353
Прецессия земли . . 354
— псевдорегулярная . 354
— регулярная .... 353
Прибавление звеньев 365
Приближенное
умножение и деление 200
Приближенные
квадратные корни . 200
— формулы 200
п
Приближенный У а . 200
Приборы для анализа
газа 873
измерения
линий при съемке . 757
Прибор Энглера . . . 444
Приведение плоской
системы сил к
одной
равнодействующей или к
одной паре ... 260
Призма Глана - Том-
сона 599
Призмоид 243
Призмы 591
Применение теории
волчка 354
Принцип
виртуальных скоростей . . 281
перемещений 280,281
— Гамильтона .... 348
— Даламбера .... 342
— относительности . 252
Принцип сохранения
энергии 256
Приращение угла
касательной .... 313
Причина колебаний и
сотрясений . . 576
Проводимость .... 863
П родо лжительность
качания маятника 337
— послезвучания . . 675
Продолжительность
удара .... 361, 362
Продукты распада го
рючих материалов
Проективные искаже
ния ....
Проектирование
эксцентриков . .
Проектная линия
Проекции
аксонометрические-
косые
— прямоугольные 234,235*
Проекция Бонна , . . 752
— Гаусса 752
— диметрическая . . 235*
— изометрическая . 235*
— коническая
многогранная 751
— поликоническая . . 752
— триметрическая . 235*
Прожекторы . . » . 592*
Произведения
бесконечные 79
Производительность
охлаждения . . 657
холодильной
машины 698
Производные .... 92
— элементарных
функций ... 92
— высшего порядка . 93
Пропеллера
идеального мощность . . 512
теория 511
— коэфициент
нагрузки 511
— к. п. д 511
— лопасть 513
— поступь 510
— число лопастей 510, 513
Пропеллеров
практический расчет . . 514
Пропеллеры 510
Просачиваемость
грунта 483
Пространственные
пролетные
конструкции .... 275
Пространственный
направляющий паз 395
Противовесы
ведущих колес
паровоза 345
Противодавление . . 686
Противоток 637
Процесс испарения . 685
— колебательный . . 539
— необратимый ... 645
— обратимый .... 644
Профиль Жуковского 459
Прохождение через
регулирующий
клапан
холодильной машины . ♦. . 695
716
208
397
816
234
234
Прыжок воды . . 461, 474
Прямая в плоскости . 128
— в пространстве 157, 158
— Кульмана . ... 269
Прямоток 637
Прямоугольные
координаты при
составлении
геодезического плана . 785
Прямые,
параллельные и
перпендикулярные .... 130
Психрометр 866
Психрометра
аспирация 867
Пульсирующий шар . 568
Путь
распространения звука
пучности 542
Пучности скорости . 542
Р
Работа 254
— движущих сил . . 281
— перегретого пара
в машине .... 687
—- сухого
насыщенного пара в машине 687
— полезная . . , . . 645
— трения , 419
Работы графическое
изображение . . 254
Равновесие
безразличное 283
— неустойчивое ... 283
— плоской системы
сил 267
— сил 257,262
действующих
на нить 274
— системы сил в
пространстве . . 273
— устойчивое .... 283
Равнодействующая
сила 257, 271
Радианы 80
Радиус-вектор ... 175
— гидравлический . . 462
— инерции . . . . .. 551
— кривизны 134
Радиусы-векторы
эллипса и
гиперболы 139
Разбивка кривых . . . 818
Развертка круга ... 151
Разделение
переменных 115
Разложение сил . . . 257,
259, 262
— силы в
пространстве 274
— топлива 737
Размещений число . . 66
Разностное
исчисление . . . • 215

996
Алфавитный указатель
Раскрытие
неопределенностей .... Г6
Распределение ветров 487*
— давлений 489
— источников истоков 489
— ошибок 212
— цветов по
Оствальду 589
Распространение
звука 573
Рассеяние света ... 591
Расстояние точки от
прямой 129
— фокусов в эллипсе
и гиперболе . . 139
Раствор аммиака в
воде 613*
Растворы газов вводе 613*
Расширение
газообразных тел . . 607
— тел от теплоты . . 605
— цапф 366
Расчет кислорода и
воздуха и состава
отходящих газов
для твердого и
жидкого топлива
и для газов . 7*3 и 725
Расчет собственных
частот ме аниче-
ских комплексов . 550
— трубопроводов . . 480
— пара 687
— рент 72
— тепла на л. с/час . 687
Расчеты численные . 200
Расчленение процесса
удара 361
Реакции опор .... 275
Редукторы
гидравлические 405
— скорости 401
— эпициклические . . 401
Редукция при
измерении углов ... 772
Резонанс 545
Резонансная кривая . 545
Резонатор
Гельмгольца 568, 569
Результирующая пара
сил 270
Результирующий
момент • 271
Рельеф ..••... 810
Репер 8J4, 8^8
Рефрактометр .... 597
Ржавление труб ... 471
Римана двойная
плоскость 199
— л-кратная
плоскость ...... 199
Ритера способ расчете
ферм 267
Род колебаний .... 550
Ротор скорости » • 450
Рулетка 757
Румбы 77о
— магнитные .... 778
Рядов степенных
произведение и
частное 77
степени .... 77
Ряд Тэйлора для двух
переменных ... 96
Ряды арифметические 73
— бесконечные . . 75, 79
— биномиальные . . 75
— геометрические . . 74
— к< нечные 73
— логарифмические и
показательные . . 76
— особенные .... 74
—
тригонометрические 228
— Тэйлора и Макло-
рена ....*.. 95
— Фурье 228
С
Сажа 738
Самотормозящая
передача 41"»
Сварка рельсов . . . 577
Сверляцее движение
тел 407
Светильный газ . . . 739
Свет
линейно-поляризованный .... 599
Световые волны ... 585
Свет эллиптический и
круговой ... 599
Свечи Гефнера . . . 593
Свободная атмосфера 520
Свободные оси волчка 351
Свойства жидкостей
и газов 443
— поверхности тела . 489
Сглаживание ряда
наблюдений .... 217
Сгорание 714
— азота 747
— углерода и
водорода 731
Сгорания скорость
распространения. 740
— темлература ... 714
Сдвижение твердого
тела 313
Сегмента площадь . . 43*
Сейсмограф 836
Секундомер 8о6
Съемка вертикальная 7РЗ
— маршрутная . . . 830
— сплошная 830
— тахиметрическая . 828
— топографическая . 826
Съемки
ориентировочные 774
— совместные .... 826
Съемочных работ
ведение записей . . 779
Сети координатной
искажение .... 205
Сетка искаженная
общая 205
— логарифмическая
двойная 205
ординарная . . 205
Сетки правильные . . 204
— функциональные . 205
Сжатие в насадках . 473
— струи 473
— цапф 366
Сжимаемость .... 444
Сила 247, 249
— вспомогательная
Даламбера . . 335, 342
— давления иа
стенки в щ оизюль-
ном направлении 447
— и
продолжительность удара ... 361
— касательная .... 337
— нормальная .... 337
— нормального
давления на стенки 446
— равнодействующая 256
— света 592
— трения 408
— центральная ... 341
— центробежная . . 334
—
центростремительная 334
Силовой
многоугольник 257
Силы движения ... 281
— единица 247
— образующие
колебания и толчки . 577
— с общей точкой
приложения ... 257
Синтез
кинематической схемы
механизма 374
Синус 34*, 38*
Синуса степени ... 82
Система линий . . . 595
— сил в пространстве
270, 271
действующих на
твердое тело . 321
Системы мер .... 247
Скаляр 174, 175
Скалярная функция . 182
Скалярное поле ... 182
— произведение . . • 177
Скольжение —
вращение 407
— точки 407
Скользящий вектор . 249
Скорости . . . . ЗС8, 309*
— в водопроводах и
каналах 472

Скорость фабричных
и каналах .... 472
— воды в каналах . . 472*
— в судоходных
каналах 472
— и уклоны 472
— распространения
акустических
колебаний 563
— распространения
вспышки, нижний
и верхний предел 718
— угловой
параллельное перемещение 319
Скоростная высота . 453
Скоростной напор . . 5^5
Скорость .... 248, 249
— ветра ....... 486
— взрывной волны . 720
— детонации при
взрыве. . . . . . 722
— звука . . . 518, 523, 703
в воздухе,
жидкостях и
твердых телах . . . 564*
в струне .... 551
— истечения газов и
паров 701
— колебания .... 553
— критическая . . . 524
— перемены полюса . 331
— потока .... 441, 518
— предельная .... 525
— при плоском
движении 328
— распространения
волн в вакууме . 585
взрывной волны 72^*
волны 460
вспышки при
горении .... 716
— регулярной
прецессии тяжелого
волчка 353
— сдвижения .... 320
— точки 305
— угловая . . . 314, 317*
мгновенная . . 320

равнодействующая 321
— фильтрации • . . 482
— ядра 346
Скручивание
пространственной
кривой 313
Слив через изгиб дна 461
Сложение векторов
моментов .... 270
—.вращательной и
поступательной
скорости 323
— двух
вращательных скоростей. . 322
— — параллельных
скоростей вращения 321
Алфавитный укав&тепъ
Сложение моментов
сил 270
— параллельных сил 260
— пар сил 270
— сдвижения и
вращения твердого
тела 320
— сил 257, 261
графическое . . 258
Сложных процентов
расчет 72
Смазочные масла . . 417*
Смеси воздуха и
водяного пара вес . 681
телло-
вой
запас • . 681

относительная

влажность . 682
•
изменение
состояния 684
Смесь влажного
воздуха различного
состава и
температур 684
— воздуха и
водяного пара 680
Смешивание водяного
пара или воды с
воздухом .... 685
Смоляные пары ... 7Л
Согласные 571
Содержание пара в
1азе 682
— углекислоты в
дымовых газах . . 736*
— СО, Ц- О, в
отходящих газах . . 727*
Соединений теория . 65
Сокращение цапфы . 366
Сопровождающий
трехгранник
кривой 165
Сопла . 848
Сопло Лаватя . . . 524
— нормальное.... 84^
Сопротивление ... 281
— воздуха 3^3
— волновое 495
— запорных
приспособлений .... 479*
— катания
резиновых шин . • . . 425*
Сопротивлен. лобовое 443
— мостовых устоев . 480
— пластинок,
обтянутых полотном . . 485
— при катании тел . 423
— при
относительном движении тел 4р7
— решоток .... 479*
-*■ снарядов 530
997
Сопротивление тел . 434
— шариковых и
роликовых
подшипников • 425
Сопротивления в ко*
ленах и
закруглениях . . . 476*, 477*
— в отводах .... 478*
— местные (в трубах) 473
— олор 275
— полезные 2Я
— трения 281
Составление
геодезического плана по
румбам 781
по
координатам 784
— профиля при
нивелировании . 815. 816
Состав механизма . . 369
— топлива, дымовых
газов и избыток
воздуха . • • 726, 727
Сотрясения 576
— с обширной
областью частот . . 581
Спектр ....... 686
Спектральный анализ 598
Спектр непрерывный 586
Спектрометр 597
Спектроскоп 597
Способ засечек . • • 757
— координат .... 756
— Кульмана
разложения сил.... 259
— наименьших
квадратов .... 211, 826
Способность к
передаче темлературы 622
Способ обхода ... 756
— повторений .... 824
— триангуляции . . . 757
Способы вычисления
приращений при
составлении
планов 786
—. геодезических
съемок 756
Спрямляющая
плоскость 165
Сравнение атмосфер с
высотой ртутного
столба 948*
Сравнение мер
некоторых стран с
метрическими мерами . 916*
— различных единиц
работы 956*
— шкал ареометров . 952*
Среднее
арифметическое наблюдений. 214
Средние значения
наблюдений .... 214
Статика 256
— атмосферы .... 520

998
Алфавитный указатель
Статики основные за-
коны 256
Статистика 213
Статическая
устойчивость плавающих
тел 448
Статический момент
силы . 340
Статически
неопределенная решетча!ая
система . . . . . 282
— неопределимая
система 369
— неопределимые
задачи 282
— определимое гело . 369
— определимые опоры 269
Стекло Фарадея . . • 599
Стенки кривые . . . 447
— плоские 447
Стены как резонаторы
звука 584
Степени 52*. 61
— свободы . 310, 314, 316,
320, 369, 550
— чисел 2*
Степень" насыщения
воздуха и водяного
пара 681
— устойчивости . . . 284
Стереоавтограф . . . 8-^9
Стержни..... 552
— радиального
закрепления 554
- с неизменным
поперечным
сечением . . . . • . . 553
■ собственной
массой 552
■ суживающимся
поперечным
сечением 554
точкообразными
массами .... 552*
Стержня, радиально
закрепленного,
скорость (круговая
частота) * 555
.— с суживающимся
сечением
круговая частота .... 554
Стехиометрические
отношения .... 741
Стойка механизма . . 364
Сток подпочвенных
вод 4ЯЗ
Стрелка дуги .... 43*
Стропильная ферма . 268
Строфоида .... 156, 157
Структура
механизмов 369
Структурный анализ
механизмов ..-. . 371
Струны 551
Сухая перегонка ... 737
Сушилка 682
Сферический
двуугольник
— избыток . .
— треугольник
Сфероид Бесселя
Схема Бругера . .
— упругой связи
Счетчики оборотов
Счетчик работы .
242
826
242
7о2
862
567
862
561
Таблица мер и веса
разных стран . . 888
и след.
— монет разных стран 877
и след.
—• поправок,
вспомогательная .... 53?
Таблицы линейные . 206
— линейных шкал . . 2Э4
— сетчатые 204
— с криволинейными
шкалами . . . . . 206
— сравнительные и
переводы . мер и
весов ...... 916*
— счетные 203
— функций с тремя и
более
переменными 204
Тальпотазиметр . . . 864
Тангенс 36*, 38*
— угла фаз звуковой
волны 565
Тахиметрия . . . . • 828
Тахографы 836
Тахометры....:. 836
Твердое тело .... 256
Твердые тела .... 638
Тела изотропные,
неотражающие . . . 588
Тела наименьшего
сопротивления . . . 484
Телеобъективы.... 595
Телефония 571
Температура . . 603, 861
— абсолютная .... 603
— дестиллата при
горении ...... 715
— кипения паров . . 662*
— нормальная .... 862
— плавления золота . 862
Температура сгорания
734, 736*
Температурное
излучение 586
Температуры
плавления или
затвердевания 611*
Температура
плавления солей . . . .611*
— показания 862
Температуры
постоянные точки .... 863
— Реомюра, Цельсия
и Фаренгейта . . 603
— смесей 610*
Тензоры 189
Теодолит 762
Теодолита верньер . 763
— проверка 768
— становой и
подъемный винты . . 762
— штатив . . . Г . . 762
Теорема
воспроизведения 208
— Гаусса для кривых
поверхностей . ; 170
— Жуковского . . : 458
— интегральная
Гаусса 187
Стокса 187
— количества
движения 454
— косинусов .... 85
— Кутта-Жуковского 505
— Менье ...:.. 169
— о перенесении сил 256
— о среднем
значении /(*) 95
Теорема параллело-
грама сил . . . • 256
— синусов ...... 85
— Эйлера 170
Теоремы Гельм ил ца 454
— Грина 187
— о потенциальных
потоках и вихрях 454
— сложения
обратных круговых
функций 84

тригонометрических функций . . 81
Теоретическая
температура сгорания. 734
Теория вероятностей 209
— гармонических
колебаний 333
— движения 305
— моделей 433
— ошибок 209
— паровой машина . 686
Тепла механический.
эквивалент . . . 643
Тепловой поток . 615, 617
Тепловые свойства тел 603
Теплоемкости газов . 648,
649*
Теплоемкость .... 607
— воды .... 607*, 608*
— при постоянном
давлении 622, 643,646,652 *
объеме . 643, 646
— растворов
поваренной соли. . . 609*
— —- хлористого каль-
j ция ...'...• 609*

Алфавитный указатель
999
Теплоемкость магния 608*
— смесей 654
— средняя воздуха . 653-
одного Моля . . 652:-
Теплообмен 6о5
Теплопередача в
кривых
трубопроводах 627
плоской стенке 629
прямых трубах
кольцевого
сечения 627
. круглого
сечения 623, 627
—
прямоугольного
сечения • 627
трубах,
расположенных
перпендикулярно к
направлению
течения 62/
трубах,
расположенных
перпендикулярно к
горизонтальному
цилиндру . 630*,631 '*
—
конденсирующегося пара 633*
— от кипящей воды. 634
некипящейводы 632
— плоским стенкам 631, 632
— при
конденсирующемся паре . . . 632
свободном
движении 630
— путем конвекции,
теплопроводности
и излучения . 641, 642*
— через плоские
параллельные стенки 615
составную
трубу 617
стены из л слоев 616
трубы 616
Теплопередачи особые
случаи .... 615, 632
Теплоперепад .... 634
— для плоской стенки 634
цилиндрической
трубы 631
— при переменных
температурах
жидкостей 635
Теплоперепад через
стенки с
поперечными ребрами . . 637
Теплопроводность. . 614
1 еплопроизводитель-
" ность 870
Теплотворная
способность 629
смеси газов . . 748
— — химических
соединений . . . 7.41
Теплосодержание . . 6531
— углекислоты . . . 695*
Теплота 602
— горения 724
— испарения .... 612
при
температуре кипения . . 612-
— отдаваемая
конденсатору 694
— плавления .... 613
— плавления
различных тел 613*
Термодинамики
второй закон .... 644
— графические
изображения .... 646
— основные законы и
формулы . . 643, 645
— первый закон . . . 643
— применение к
холодильным
машинам 690
Термодинамическая
шкала 6031
Термометра проверка 683 I
— электрическая I
установка .... 863
Термометр
вспомогательный 862
— ле-Шателье .... 863 .
— ртутный . . . 862, 864
— спиртовый .... 862 |
— электрический
платиновый 861
сопротивления . 862
Термометры
металлические 864
— ярусные 862
Термоэлемент . . 586, 862
Техника измерений . 833
Техническая физика . 538 I
Течение ламинарное I
(Poiseuill) .... 463
— одно-, двух-и трех-
размерное .... 450
— плоское 528
—
плоскопараллельное 449*
— с образованием
вихрей 488
потенциалом
скорости 455
потерей энергии 462
— турбулентное . . . 464
— установившееся и
неустановившееся 449
— через пологое
возвышение дна . . 461
Ток вязких
жидкостей 441
Толуол 444
Тоны музыкальных
инструментов 571
Топографическая
съемка .... 752 >
Топографические
карты 751
Тормоза водяные . . 857
Тормоз-ветрянка . . 857
Тормоз водяной
Froude 857
— канатный 857
Точка в плоскости . . 128
пространстве • 157
— кипения нафталина 863
серы 863
-г плавлении
глауберовой соли . . . 863
олова 863
сурьмы .... 861
— приложения силы . 249
Точки замерзания
глицерина и спирта . 611*
— кипения воды . . . 612*
разных тел . . 612*
Точность верньера
теодолита .... 763
Траектории
обертывающие 326
I — точек 326
I Траектория 136
— с изолированной
точкой 328
петлей 328
I Трактрисса 152
— Гюйгенса 153
I Транспортир .... 781
Трансформированный
снимок 831
Трение в болте с гай-
кон 420, 421
винтовой
передаче 420
клинчатом
ползуне 418
I концевом под-
I шипнике ... 421
машинах- . . . 407
— внутреннее в
деталях машин .... 417
Трение в подпятниках 421
подшипника с и
шарнирах ... 421
частях передач 419
— гибких тел .... 422
— клкна . .... 42J
— при
горизонтальной плоскости . . 417
наклонной
плоскости 418
— слабо смазанных тел 412
— сухих и слабо
смазанных тел .... 408
— хорошо смазанных
тел 414
— цапф в
шарнирных механизмах . 421
Трения в деталях
машин вычисление ., 417
I — закон Кулона ... 41 j
603
683

1000
Алфавитный. указатель
Трения законы Рени . 412;
— коэфициенты для
бандажей . ... 412*
экипажей . . 413*
полозьев .... 413s1
при трогании с
места . . . . . 414*
точильных
камней ...... 414
— относительная
потеря работы... 419
— работа 419
— таблица Вестин-
гауза и Галтона . 412
— теория
гидродинамическая .... 414
Трения теория
механическая . . . . • 409
молекулярная . 409
Треугольник..... 236
Треугольники плоские 84
— сферические ... 87
Трехповодковое звено 364
Трехшарнирная арка 268
Триада 364
Тригонометрическая
сеть 819
Тригонометрические
пункты 820
— суммы 228
Тригонометрической
сети вычисления . 826
значение . . . • 819
— — классы 819
Труба Вентури 475, 844,
852, 854
— Прандтля . . 846, 852
— Якоби 848
Трубы закрытые , . 551
— открытые .... 551
Трубопровода
диаметр 711
определение . . 711
Трубопроводы.... 467
— напорные 482
— прямые 462
•— с небольшим
падением давления. • 709
сильным
падением давления . 710
Тушение пожара . . 503
У
Увеличение объектива 593
Углекислота 738
Угли Герц—Бека . . 593
Угловая скорость
твердого тела .... 281
Угломерные
инструменты 761
Углы поворота
рычага 395
эксцентрика . . 395
Угол атаки . . , . » 5"б
^ гол в радианах в
градусах 80*
— Маха 530
— между векторами . 177
заданными
направлениями . . 157
плоскостями . . 160
— обхвата 422
— расширения . . . 475
— сдвига фазл ... 577
— фазы звуковой
волны 564
Уголь древесный . . 738
— жирный 715
Угольная пыль ... 715
Удара второй период 358
— коэфициент .... 359
— нормаль 357
— первый период . . 357
— сила 358
Удар внецентровой 357, 359
— воды о твердое
тело 537
—- вполне неупругий 359
упругий .... 359
— вращающий . . . 360
— колебательный . . 361
— косой 357
— прямой .... 357, 358
— по телу с
неподвижной осью
вращения 360
— твердых тел . . . 357
— упругий 361
— центральный . 357, 358
Удельная
кинетическая энергия . . 720
— масса 250
— теплоемкость . . . 6"8
железа 610*
твердых и ка-
пельно - жидких
тел 610*
— теплота продуктов
сгорания .... 720
Удельное давление . . 250
— тепловое
сопротивление 616
Удельный вес 250, 956* и
след
воздуха .... 333
и удельный
объем воды .... 6С6*
газов . 607*
— объем 250
воды 682
Узлы (в колебаниях). 542
— скорости 542
— тока 542
Уклонение квадратиче-
сксе 214
— линейное 215
Унограф 875
Уплотнения прямой
скачок 525
Уплотнения скачок . 525
Уравнение
архимедовой спирали . . . 154
— гиперболической
спирали 154
— гиперболы,
отнесенное к
асимптотам 140
— движения стены,
совершающей
упругие колебания 584
— динамики для
вращения твердого тела 347
основное .... 336
— диференциальное
Бесселя 125
Клеро 116
колеблющейся
струны 125
Луивилля . . . 127
— — однородное . . 118
полное 118
Рикката .... ИЗ
— — распространения
теплоты в
стержне . . ... 125
термодинамики. 645
— касательной • . . 132
— Клапейрона ...» 663
— колебания
мембраны . • 125
— конических сечений 137
— кривой 132
— неразрывности 452, 523
— нормали 132
— нормальной
плоскости :...... 164
— окружности в
полярных
координатах 138
относительно
центра 138
— параболического
цилиндра 172
— параболоида ... \ч
— параболы в
полярной системе
координат 14э
общий вид ... 13/
относительно вер-
шины 144
— плоскости .... 159
— поверхностей
второго порядка . . 170
— потенциала . . • . 124
— прямой в
пространстве 158
относительно
отрезков 1^9
— развертки круга . 152
— телеграфное • . . 125
— Цейнера 700
— цепной линии ... 152
— циклоиды 148
— эволюты 145

Алфавитный указатель
1001
Уравнение эллипса и
гиперболы 137,138,139
— полярное. 141
— эллиптического и
гиперболического
цилиндров .... 172
— эпициклоиды и
гипоциклоиды .... 150
Уравнений диференци-
альных системы . 120
— решение
приближенным методом . . 71
с помощью
круговых и
гиперболических
функций 70
Уравнения 68
— Бернулли . . 452, 523
— в полных диферен-
циалах 115
— второй степени . . 69
~ движения Навье-
Стока 451
— диференциальные
второго порядка . 117
линейные. 116,117,122
обыкновенные . 115
однородные . . 116
первого порядка 115
с частными
производными ... 121
Эйлера 119
— Лагранжа 348
— окружности общий
вид 138
— первой степени . . 68
— прямой 128
— равновесия смеси
газов 747
— сгорания 740
для углерода и
водорода.... 734
— третьей степени . 70
— четвертой — . . . 71
— Эйлера . 352, 446, 452
Уравновешивание
движущихся масс
судовых машин . . 348
Уровень 761, 765
— круглый 766
— цилиндрический . 766
— свободной
поверхности 461
Урочные нормы ... 833
Ускорение . . . 248, 249
— вращения . . 323, 329
— Кориолиса .... 392
—- касательное . 311, 329,
331, 337
— нормальное . 311, 329,
331, 337
— относительное . . 325
— падающего тела . 333
■— переносное .... 325
Ускорение поворотное
или добавочное
(Кориолиса) . . . 325
— поступательное . . 323
— потока 489
— при плоском
движении 329
— силы тяжести, 247, 250
— точки 305
— угловое 314
—
центростремительное 319
Ускорения
касательная составляющая 311
— Кориолиса
составляющая 325
— нормальная
составляющая ..... 311
Условна
параллельности плоскостей. . 161
—
перпендикулярности плоскостей. . 161
— равновесия сил . . 258
— связи 369
Условные знаки на
карте 753
Установка обратного
охлаждения . . . 682
Ф
Фазовый угол .... 577
Факториалы .... 52*
Фактор связи .... 567
Фильтрующего
вещества средний
диаметр зерен ... 482
— слоя толщина . . . 482
Фильтры • . , 482
Флинтглас ... 589, 595
Фокус 136
Фокусное расстояние. 590
Форма сопел 701
Формула Bazin . . . 468
— барометрическая . 520
— Beyerhas 468
— Бесселя . . . 217, 232
— Борда—Карно ... 474
— Виллиса 401
— Ganguillet и Kutter . 468
— Гребера 624
— Гуилье 87
— Dirichlet 114
— Кардана 70
— Моавра 65
— Прандтля 485
— Стирлинга ... 217
— Тейлора 95
— Forchheimer .... 468
— Чебышева .... 220
~ Шпрунга 867
— Эйлера
комплексных величин . . 90, 194
Формулы Вейсбаха,
Дарси, Biel, Ланга
и Мизеса .... * 467
Формулы Гаусса . . 88
— — для квадратуры
численные
значения 113*
— двух законов
термодинамики ... 645
— диференцирования 92
— для истечения
воздуха . . 705, 705*, 706*
и
насыщенного
пара ... 705
сухого
насыщенного пара 706,
706", 707*
— интерполяционные
Ньютона и
Лагранжа 215
— Мольвейде .... 85
Фотографическая
оптика 594
Фотокамера Цейсса . 829
Фотосъемка наземная 829
Фотоэластический
метод 600
Фотоэлектрический
элемент * . . . . 586
Фрауенгоферовы
линии 587
Фундаментов свойства 578
Фундаменты 557
Функции
аналитические КОМПЛлСНОЙ
переменной ... 196
— Бесселя 560
— гиперболические
(основные
формулы) ...... 88
38*, 88, 90
— комплексной пере*
менной 192
Функции круговые и
гиперболические
(Соотношения
между ними).... 90
— круговые обратные 83
— нескольких
переменных . ... 94
— неявные 95
— одной и двух
переменных ... 97, 98
— периодические . . 228
— показательные 38* и след
— тока (в жидкости) . 449
— 1ригонометриче-
ские ..... 34*", 80*
трех углов ... 84
— эллиптические . . 111-
Функций
гиперболических разложение
в ряды 76
— иррациональных
интегрирование . 102
— рациональных
интегрирование , 99

-10С2
Л ттфлгиттнт>тгг укяпптоть
Функций трансцен- !
дентных индегрглы 1Г4
—
тригонометрических зависимость 80
обратных
разложение в ряды . 76
разложение в
ряды '76
формулы
кратных углов и
частей угла ... 81
Функция Гамма ... ПО
— II Гаусса НО
X
Характеристика опыта 485
Характеристическое
уравнение
продуктов сгорания . 721
Характеристичное
число 441
Химический состав
горючих материалов 715
Холодильная машина 657,
690
Холодильной машины
адиабатическое
сжатие 694*
испаритель . . 690
— — компрессор . . 690
конденсатор . . 690
коэфициент
производительности 658,
691
потеря
производительности . , 691

производительность 691
охлаждения 691,698
рабочая
жидкость 691
регулирующий
клапан 691
Хорды длина .... 4з*
Ц
Цена деления ....
Центральное
значение (медиана) . .
Центра тяжести
координаты ....
определение . .

аналитическое . .
практическое
—
экспериментальное . . .
— — плоскость . . .
положение для
технически
важнейших линий,
поверхностей и
тел , . , , 288-
766
214
286
287
287
287
288
287
-29*
Центр вращения мгно- I
венный 327
Центрирование при I
измерении углов 7721
Центр кривизны . . . 366
кривой
траектории 331 )
— массы 285, 286
Центроида(центроид)
неподвижная и
подвижная 327
Центр параллельных
сил 286
— тяжести .... 285, 286
клина и
обелиска 292
поверхности
вращения 288
тела вращения . 288
цилиндрической
' подковы .... 291
Цепная линия . . 152, 279
Цикла Карно диаграмма657
к. п. д 657
— — работа 657
— Опо диаграмма . 659
к. п. д 659
работа 659
Ци^л Карно 657
— Отто 658
Циклоиды 148
— укороченная и
удлиненная .... 149
Цшлоны 488
Цилиндр . . 171, 172, 240
— коаксиальный ... 174
Цилиндрическая
подкова 240
Цилиндрический свод 243
Цилиндрическое кольцо 242
Циркуляция 450
— вокруг крыла . . . 505
Циссоида • 156
Ч
Чан 242
Часовая скоро:гь в
узлах при
прохождении пробного
участка 955и
Частичное сжатие
струи 500
Частность 215
Частота колебаний . 333
— основания .... 550
— собственных
колебаний мембран . 559
круглой
мембраны ... 560

прямоугольной мембраны 559
Частоты 550
— в речи, музыке и
«пении ...... 570
Частоты собственных
колебаний .... 550
Черное тело 586
Черчение плана по
координатам .... 789
Четверолистник . . . 156
Четырехугольник . . 236
Числовые значения
часто встречающиеся 51-'
Число оборотов машин 835
— Рейнольдса . 445, 462,
485, 6А 625, 849, 854
критическое . . 463,
465
— собственных зруко-
вых колебаний . . 567
— условий связи . . 370
— Фруда 495
— Шези 467
Чистое катание . . . 370
Чистота тона .... 576
Ш
Шайба Релея .... 572
Шар 241
Шара объем . . 4-", 241
Шепинг 387
Шероховатость . 465
Шарнирная опора . . 276
Шарнир
цилиндрический 370
Шарнир шаровой . . 370
Широта
географическая 824
— геодезическая . . 824
Шкяла Beaufort'a . 487
— температуры
термодинамическая . . 862
— функциональная . 203
— Энглера 444
Шкалы криволинейные 204
— лларифмические . 204
— основные 2'8
— проективные . . t 204
— соединенные . . . 207
— степенные .... 204
— часто
употребляемые 204
Штанга и плоский
эксцентрик 393
Э
Эволюта 134
Эквивалентность тепла
/и работы . . , , 643
Экер 770
Эклиметр .... 758, 770
— Брандиса . . , . 771
— зеркальный Тес-
дорфа 771
— с отвесом 771
Экотентограф .... 837

Алфавитный указатель
1003
Эксцентрика
идеального и реального
контуры 397
— полный цикл
движения 397
— рабочий и холостой
ход 397
Эксцентрик для
поднятия и опускания
рабочего сгола
машины 399
Эксцентрик идеальный 397
Эксцентрики и кулаки 393
Эксцентриков
проектирование 397
Эксцентрик плоский
и штанга .... 393
— реальный 397
Эксцентрицитет. 136, 139
Эксцесс 826
Электрическое
возбуждение
механических
колебательных комплексов . 569
Электромагнитные
волны 585
Элемент вращения . 314
— Кар ол уса 599
— нити бесконечно-
малый 277
Эллипс 136, 138
Эллипса и гиперболы
сопряженные
диаметры 140
Эллипс и гинербола . 138
— инерции второй
(Кульмана) ... 298
пе-рвый .... 297
центральный . . 298
Эллипсоид .... 171, 242
— вращения . . . 242, 292
— инерции Пуансо . 295
— количества
движения 295
— центральный . . . 295
Эллипсы
конфокальные 199
Эмиссия 637
Энергия 956*
Энергия истечения
газов и паров . . . 700
— кинетическая . 255, 339
вращательного
движения .... 350
— потенциальная 256, 283
Энтропийные таблицы 520
Энтропия .... 643, 644
Эпидиаскоп 596
Эпископ 596
Эпициклоида .... 149
Эрг 254
Эффект Магнуса . . 517
Я
Явления отражения . 534
Сдана в набор 1/XII 1932 г. Подписана к печати 15/Х1 1933 г
Формат 72X105%- Машметиздат № 184/м. Тип. зн. в 1 п. л. 55 0) .
Уполн. Главлита St В—50638. Тираж 25 000-63» 4 л. Заказ JM* оЧ70.