УДК 512.77+517.912+517.958
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ СИСТЕМЫ. I.
Б. А. Дубровин, И. М. Кричевер, С. П. Новиков
СОДЕРЖАНИЕ
Введение 179>
Глава 1. Гамнльтоновы системы. Классические методы интегриро-
интегрирования 181
§ 1. Общее понятие скобки Пуассона. Важнейшие примеры . . 181'
§ 2. Интегралы и понижение порядка гамнльтоновых систем. Систе-
Системы с снмметрнямн 196
§ 3. Теорема Лнувнлля. Переменные действие — угол .... 207
§ 4. Уравнение Гамильтона — Якобн. Метод разделения перемен-
переменных — классический метод интегрирования и нахождения перемен-
переменных действие — угол ... 21Г
Глава 2. Современные представления об интегрируемости эволю-
эволюционных систем 214
§ 1. Коммутационные представления эволюционных систем . . . 214
§ 2. Алгебро-геометрнческая интегрируемость конечномерных Я-пучков 227
§ 3. Гамнльтонова теория гнперэллнптнческнх Я-пучков .... 244
§ 4. Важнейшие примеры систем, интегрируемых в двумерных тэта-
функциях 251
§ 5. Полюсные системы 262'
§ 6. Интегрируемые системы н алгебро-геометрнческая спектральная
теория линейных периодических операторов 266
Литература 277'
ВВЕДЕНИЕ
Интегрируемые системы, не имеющие «очевидной» группо-
групповой симметрии, начиная с результатов Пуанкаре—Брунса кон-
конца прошлого века, воспринимались как экзотика. Их весьма не-
незначительный список до шестидесятых годов XX века практи-
практически не менялся. Хотя ряд основных методов математической:
физики базировался, по-существу, на ' анализе теории возму-
возмущений простейших интегрируемых примеров, представления о
структуре нетривиальных интегрируемых систем реального
влияния на развитие физики не оказывали.
Положение коренным образом изменилось с открытием
метода обратной задачи. Все возрастающий интерес к этому
12* 179-

методу связан с тем, что он оказался применим к ряду нелиней-
нелинейных уравнений математической физики, которые, как стало
ясно к середине шестидесятых годов, обладают замечательным
свойством универсальности. Они возникают при описании
(в простейшем, после линейного, приближении) самых разнооб-
разнообразных явлений в физике плазмы, теории элементарных частиц,
теории сверхпроводимости, нелинейной оптике и в ряде других
задач, сводимых к пространственно одномерным. К числу таких
уравнений относятся уравнение Кортевега-де Фриза, нелиней-
нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение sine-gordon и многие
другие.
Метод обратной задачи позволил впервые обнаружить и
понять ряд принципиально новых эффектов, которые не прояв-
проявлялись ни в каком порядке теории возмущений. Наиболее яр-
яркие и важные из них связаны с понятием солитонов и их перио-
периодических аналогов (о которых в значительной степени будет
идти речь дальше). Концепция солитонов стала одной из основ-
основных в современной нелинейной физике.
Хотя впоследствии после работ [46], [113] стало ясно, что
уравнения, к которым применим метод обратной задачи, яв-
являются гамильтоновыми и, более того, полевыми аналогами
вполне интегрируемых гамильтоновых систем, интегрирование
этих уравнений в рамках метода обратной задачи не использу-
использует гамильтоновой теории. Гамильтоновость этих уравнений, по-
построение для них переменных типа действие-угол оказываются
существенными на следующих этапах — при построении теории
возмущений и различных вариантов методов усреднения,, при
лостроении квантового аналога метода обратной задачи. Эти
разделы остаются вне рамок настоящей статьи.
Целью настоящего обзора является изложение современной
теории интегрируемых систем как составной части метода об-
обратной задачи. Основной упор, как и в классической аналити-
аналитической механике, делается на конечномерные системы.
Конечномерные динамические системы, к которым применим
метод обратной задачи и которым, в основном, посвящена эта
статья (а среди них содержатся все известные классические
вполне интегрируемые системы), бывают конечномерными в
своей исходной физической постановке, или возникают при по-
построении специальных классов точных решений полевых урав-
уравнений как ограничения последних на конечномерные инвари-
инвариантные подмногообразия.
• Особо следует подчеркнуть значительно большую степень
эффективности метода обратной задачи в сравнении с класси-
классическими методами интегрирования гамильтоновых систем. Для
вполне интегрируемых систем, в отличие от неэффективной про-
процедуры интегрирования, даваемой теоремой Лиувилля, метод
обратной задачи позволяет явно предъявлять решения уравне-
180

ний движения, равно как и канонические переменные действие-
угол, в терминах специальных классов функций.
В первой главе обзора излагаются современные взгляды на
гамильтонов формализм как конечномерных, так и полевых
систем. Изложены также восходящие к классическим методы
интегрирования гамильтоновых систем, обладающих явной сим-
симметрией или допускающих разделение переменных.
Вторая глава является ядром настоящего обзора. В ней
вводится важнейшее понятие коммутационного представления
эволюционных систем, которое является отправной точкой всех
схем интегрирования, объединенных идеями метода обратной
задачи. Наиболее плодотворной в теории интегрируемых конеч-
конечномерных систем оказалась схема, основанная на применении
методов классической алгебраической геометрии. Эта схема, а
также ее многочисленные применения, излагаются во второй
главе.
Необходимо отметить, что к настоящему обзору естественно-
примыкает обзор «Интегрируемые системы. II» А. М. Перело-
мова, М. А. Ольшанецкого и М. А. Семенова-Тян-Шанского,
публикуемый в одном из следующих томов данной серии. Его,
первая глава посвящена теоретико-групповым методам интегри-
интегрирования некоторых специальных конечномерных систем. Вторая
глава посвящена геометрическому квантованию разомкнутой
цепочки Тода и ее обобщений.
Глава 1
ГАМИЛЬТОНОВЫ СИСТЕМЫ.
КЛАССИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
§ 1. Общее понятие скобки Пуассона.
Важнейшие примеры
С современной точки зрения в основе гамильтонова форма-
формализма лежит понятие скобки Пуассона (S. D. Poisson). Пусть
у1, i=l, ..., N — локальные координаты на многообразии У —
фазовом пространстве. Скобка Пуассона двух функций f{y) и
q(y) задается тензорным полем №(у), .
V. *-*"<»##¦ ол>
(здесь и далее суммирование по повторяющимся индексам под"
разумевается). При этом требуется выполнение таких свойств:
а) билинейность
{Я/4-Hg, А}=Ч/> A} + [x{g, Щ, X, ц = const, A.2)
и кососимметричность
181

б) тождество Лейбница (Q. W. Leibnitz)
{/g.A}=g{/,A}--/{g,A}; A.4)
в) тождество Якоби (С Q. J. Jacobi)
{/. {g. Л}}+{Л, {/, g}}+{g, {Л, /}}=0. A.5)
Заметим, что
А"(у)={у',уЪ A-6)
и определение A.1) записывается в виде
Гамильтоновы системы по определению имеют вид:
у'={у',Н), 1 = 1,...,N, A.8)
где Н=^Н(у)— любая функция, называемая гамильтонианом.
Векторное поле !//=(!#). отвечающее гамильтоновой системе A.8),
имеет вид:
^ i=i, ...,iv. A.9)
Такие векторные поля называются гамильтоновыми. Коммута-
Коммутатор гамильтоновых полей связан со скобкой Пуассона соотноше-
соотношением
[|я, 1Р\ = -1{н,Р). A.10)
Ясно, что производная любой функции / = /(*/) в силу гамильто-
новой системы A.8) имеет вид:
/={/.Я} = &^-. (Ml)
Поток A8) сохраняет скобки Пуассона:
{*/'('). У'(')}={«/'@), ^@)}- 0-12)
(Преобразования, сохраняющие скобки Пуассона, называются
каноническими. Любая однопараметрическая группа канониче-
канонических преобразований для невырожденных скобок det(AiJ) фО
имеет вид A.8), где гамильтониан, возможно, определен ло-
локально [42] (см. также 2-ую главу статьи В. И. Арнольда и
А. Б. Гивенталя).)
. Возможно имеются нетривиальные (быть может, заданные
локально на многообразии) функции fq(y) такие, что
{fq,g}=0 A.13)
для любой функции g{y). В этом случае скобка Пуассона на-
называется вырожденной: матрица h^(y) вырождена. (Для вы-
182

рожденной матрицы fiij(y) постоянного ранга функции fq(y)
A.13) локально всегда существуют.) Если найдены все такие
величины fi(у), то на их общей поверхности уровня
/,(jO=const (/=1,2,...)
A.14)
скобка Пуассона уже становится невырожденной.
Пусть zi — координаты на поверхности уровня A.14). Огра-
Ограничение тензора Ъят на эту поверхность уже невырождено, и
имеется обратная матрица
Обратная матрица определяет 2-форму
Q.=hqp{z)dz4/\dzP.
Из свойства A.5) вытекает, что форма Q замкнута,
<Ш=0, т. е.
A,15)
A.16)
A.17)
Если скобка Пуассона с самого начала была невырожденной,
то условие замкнутости A.17) оказывается равносильным тож-
тождеству Якоб и A.5) [42]. Таким образом, фазовые пространства
с невырожденной скобкой Пуассона являются симплектически-
ми многообразиями.
Рассмотрим основные типы фазовых пространств.
Тип Г. Постоянные скобки и лагранжевы вариационные
задачи. Пусть матрица W постоянна й кососимметрична. Тож-
Тождество Якоби в этом случае выполняется автоматически: на
плоскости, где матрица hiT делается невырожденной, соответст-
соответствующая ей 2-форма Q = hqTdy4\/dyT имеет постоянные коэффи-
коэффициенты и поэтому замкнута. Линейным преобразованием по-
постоянные скобки приводятся к виду
(*") =
01
-10
о\
о
0 1
-1 0
о
V
A.18)
0/
Локально к такому виду можно привести любые скобки Пуас-
Пуассона постоянного ранга (теорема Дарбу (G. Darboux)). В невы-
невырожденном случае вводятся координаты (у) = (х1, ..., хп,
Рь •• •> рп) такие, что
183

Г 0\
0
0 -1
Координаты (х, р) называются каноническими.
Уравнения A.8) принимают вид:
Это —канонические уравнения Гамильтона (W. R. Hamilton).
Они получаются из вариационного принципа 65=0, где
(x,x)dt, A.21)
(л:) —конфигурационное пространство, L (х, х) — лагранжиан,
если сделать преобразование Лежандра (А. М. Legehdre)
• dL . л
Н (х, p) = pixi—L(x, х)
I dL
(предполагается, что уравнения pi~—r- можно решить в виде
х1=х1(х,р)).
Обратно, если Н (х, р)—гамильтониан, то мы имеем лагран-
лагранжиан L (х, х), определяемый из уравнений
Предполагается, что уравнения xl = dHidpt можно решить
относительно переменных pt.
К виду A.20) приводятся такие вариационные задачи с выс-
высшими производными [42]
65=0, 5 = Jl(x, х, ...,*<*>)Л A.24)
при помощи преоб разования М. В. Остроградского
?J? А; A.25)
A.26)
если уравнения A.25) однозначно разрешаются в виде
x=x(q,p), x = x(q,p), ...,x^-»=x^-»(q,p). A.27)
184

Тип II. Скобки Ли—Пуассона. Рассмотрим теперь второй
по сложности случай, когда тензо р Л*-> не является константой,,
но линейно зависит от координат (у)и
h^ = c^yk, clj = const. A.28)
Рассмотрим совокупность L всех линейных функций на фазо-
фазовом пространстве, которое мы обозначим через L*. Для базис-
базисных линейных форм—координат у1 — скобка определяет опера-
операцию «коммутирования»
\У\ yi]=c»1Y={yl, У1)- A.29)
Из требований A.3), A.5) вытекает, что операция A.29)
превращает линейное пространство L в алгебру Ли (S. Lie),
сопряженное пространство L* которой является фазовым для
скобки Пуассона A.28). Скобка этого вида впервые рассматри-
рассматривалась Ли '[127]. Она была переоткрыта Ф. А. Березиным
[6] и. использовалась А. А. Кирилловым и Костантом (В. Kos-
tant) [118] (на менее удобном языке симплектических много-
многообразий) в теории бесконечномерных представлений групп Ли.
Скобка A.28), вообще говоря, вырождена.
Пример 1. Основным примером гамильтонова формализ-
формализма типа 1 является (фазовое пространство Т*М — пространство
ковекторов (с нижними индексами) на многообразии М (кон-
(конфигурационном пространстве). В Т*М имеются локальные ко-
координаты х1 (в М) и сопряженные импульсы р3 (в слое) со
скобками Пуассона
{л:', xJ)={pi, Pj}=0, {*',p,}=6/ A.30)
и формой
u = dpi/\dxl. A.31)
Пример 2. Полезно рассмотреть также скобку Пуассона
вида A.30), дополнительно искаженную «внешним полем» FJ; =
{хК xJ) = 0, {xl, py}-6/, {puP^Ftjix), A.32)
где 2-форма F =F 1}йх1 /\dx' замкнута, dF=0. Соответствую"
щая 2-форма Q имеет вид:
K A.33)
Уравнения движения с гамильтонианом Н(х, р) и скобкой Пу-
Пуассона A.32) представляют собой (для л=2, 3) уравнения дви-
движения заряженной частицы во внешнем магнитном поле (л = 2,
3) Fa (или электромагнитном для п = 4). В области, где F = dAr
скобка A.32) приводится к стандартному виду A.30). К виду
A.32), как правило, приводятся (глобально) невырожденные
скобки Пуассона на пространстве Т*М, удовлетворяющие та-
') Третий по сложности случай, когда тензор h''(y) квадратично зависит
от (/, также весьма интересен н недавно начал изучаться [86].
185

кому требованию: любые функции /, g на базе М (не завися-
зависящие от переменных на слое, состоящем из всех ковекторов)
имеют нулевую скобку Пуассона: {/, g}=0 (см. [78]).
Перейдем теперь к примерам, связанным со скобками
Ли—Пуассона.
Пример 3. Пусть L есть алгебра Ли группы вращений
SOC). Метрика Киллинга (W. Killing) на L является евклидо-
евклидовой и позволяет не различать L и L* (все индексы считаются
нижними). Скобка Пуассона базисных функций М{ на L* име-
имеет вид:
{Mt, М}} = г1йМк, A.34)
где
{=. знак перестановки (i, j, k), если все i, J, k
различны, A.35)
=0, если есть пара совпадающих индексов i, j, k.
Функция Л12=2 №? такова, что
{АР, At,}=0, i = U 2, 3. A.36)
На поверхностях уровня М2 = const (сферы) скобка A.34) де-
делается невырожденной. Гамильтоновы системы на L* имеют
вид:
М<={Ми Н{М)}. A.37)
Пусть а{ = дН/дМ; метрика Киллинга позволяет не различать
верхних и нижних индексов. Уравнения A.37) сведутся к виду
«.уравнений Эйлера» (L. Euler)
М=[М,<а], A.38)
где квадратные скобки обозначают коммутатор в L. (При Н=
= ^ (aiMi2+a2M22+a3M32) уравнения A.37) совпадают с урав-
уравнениями движения твердого тела, закрепленного в центре тя-
тяжести.) Вывод уравнений A.38) верен для всех компактных
(и полупростых) групп Ли, на которых имеется метрика Кил-
Киллинга — евклидова (псевдоевклидова) метрика на алгебре Ли,
.инвариантная относительно внутренних автоморфизмов
L-+gLg~\ A.39)
где g — элемент из группы Ли, a L — алгебра Ли. Такие систе--
мы на группах SO{N) называются, согласно В. И. Арнольду,
«многомерным аналогом твердого тела», если гамильтониан
имеет вид квадратичной формы на пространстве кососимметри-
ческих матриц М= (М{1), где
Н{М)=^йчМ\г d^qt+qj,- qt>0. A.40)
186

Пример 4. С алгеброй Ли L группы ?C) движений трех-
трехмерного евклидова пространства связаны важные системы, воз-
возникшие в гидродинамике. Эта алгебра уже не является полу-
полупростой. На фазовом пространстве L* имеется 6 координат
{М\, М2, М5, ри р2, рз} и скобки Пуассона
{Mt, Mj}=zl]kMk, {M^ р;}=г,ррк, {рп /?,} = (). A.41)
Скобка A-41) обладает двумя независимыми функциями
/i=2ft!, Л = 2й^| такими, что
{fq, Mi} = {fq, Pi}=0, q=U 2, i = U 2, 3. A.42)
На поверхностях уровня f1=p2, /2=ps скобка A.41) невырож-
с
дена. Замена аг=Мг pt устанавливает изоморфизм этих
поверхностей уровня с касательным расслоением T*S2 к сфере,
2jaiPi=Q- На этих поверхностях уровня ограничение скобки
Пуассона A.41) уже невырождено (при рфО). Оказывается,
возникающие на T*S2 скобки глобально приводятся к виду A.32).
Соответствующая замена (см. [78]) имеет вид:
Pi=pcos 0 cos op, p2=pcos 6 sinip. p3=psin0,
tfi=Pn>tg0cos ар — рв sin ар, а2=р^ tge sinop+pecos ар, A.43)
где — y<6<^, 0<гр<2л;, ai=Mi — sp-1pi. Легко вывести
из формул A.43), что
{6, ар} = {/79, ар} = {/7^, 6}=О, {6, ре} = {ар, р*}=1,
{рв, pt} = s cos Q. A.44)
Соответствующая 2-форма Q приобретает вид A.33),
u=dpeAdQ+dp^Ad^+scos QdQAd^=dliAdyi+F, A.45)
где r/1=6, r/2=ij), li=pe, S2=P4>. F = s cos QdQ/\dty. Интеграл
от формы F (и Q) по базисному циклу [52]6//2(^*52)=Z имеет
вид:
jj jJ 1 A.46)
S* [S'l
Таким образом, мы получаем стандартную скобку Пуассона
на Г*52, дополнительно искаженную эффективным магнитным
полем F. При вФО эффективное магнитное поле всегда отлично
от нуля и представляет собой «монополь Дирака» (некванто-
ванный).
Пусть Н(М, р)—гамильтониан. Введем обозначения и1 —
= дН/дрц, (а{ = дН/дМг. Гамильтоновы уравнения приобретут
вид «уравнений Кирхгофа» (P. Kirchhoff)
187

р=\р,ы], М = [М, со] + [р, и] A.47)
(квадратные скобки обозначают векторное произведение).
Уравнения A.47) совпадают (для квадратичных гамильтони-
гамильтонианов Н(М, р)) с уравнениями Кирхгофа для движения твер-
твердого тела.в жидкости — идеальной, несжимаемой и покоящей-
покоящейся на бесконечности i[133]. Движение самой жидкости считает-
считается потенциальным. В этом случае Я — энергия, Мир — пол-
полный момент и. импульс системы тело — жидкость в подвижной
системе координат, жестко связанной с телом. Энергия Я (М, р),
квадратичная по М, р и положительно определенная, может
быть задана в виде
2#= 2 М*|*+2 ЬЧ (Р1М]+М,р}+% ctjptpj. A.48)
Ч
К виду A.47) приводятся уравнения движения твёрдого тела
с закрепленной точкой в осесимметричном силовом поле с потен-
потенциалом W(z). Соответствующий гамильтониан имеет вид:
A.49)
где /' — постоянный вектор, задающий положение центра масс
относительно осей инерции и точки закрепления. Величины р<
здесь безразмерны и не имеют физического смысла импульсов.
Это — направляющие косинусы единичного вектора, т. ё. всег-
всегда /i = p2==l. К виду A.47) приводятся также уравнения дина-
динамики спина в Л-фазе сверхтекучего 3Не (см. [78]).
На поверхности /i=p2, /2 = /?s гамильтонианы Я вида A.48)
или A.49) в переменных (у, |) записываются так:
j , A.50)
Здесь для гамильтониана A.48) будем иметь
lPl, A.51)
^-ajpip-% A.52)
2V = я* 2 ciiPtp-2 +2p5 2 bijPiPjP-2 +P2 2 CijPiPjp-2- A -53)
Гамильтониан Н ввиду однородности зависит только от sp~l.
Для волчка A.49) гамильтониан на поверхности уровня /i=l»
/2=s также запишется в виде A.50), где метрика gab снова
имеет вид A.51), а
A.54)
2V=&^alP?+2WA%). ¦ A.55)
188

Вывод ([78]). Уравнения типа Кирхгофа сводятся к системе,
математически эквивалентной классической заряженной частице'
движущейся по сфере S2 с римановой метрикой gau^), g^g^ =
= 6са, в потенциальном поле U (у), с
U(y) = V(y)-jgabA"A<>, A.56)
атакже в эффективном магнитном поле F аь (у),
Fa=scosQ — d1A2-T-d2A1, Aa=gabA", 5 = /2/f1/2. A.57)
Форма Aadya глобально определена на сферу S2, потому
^F12dQ/\dy = ^F=4ns A.58)
в силу A.46).
Замечание. Недавно стало ясно, что на SOD) возника-
возникают системы, описывающие в некоторых случаях движение твер-
твердого тела с полостями, заполненными жидкостью. Интегриру-
Интегрируемые случаи здесь были найдены В. А. Стекловым [139] и пе-
переоткрыты в ряде современных работ (см., например, [10],
{18]).
Ряд других применений уравнений Эйлера на алгебрах Ли
в задачах математической физики был найден в самое послед-
последнее время О. И. Богоявленским вместе с интегрируемыми слу-
случаями в этих задачах (см. [И]).
Рассмотрим теперь бесконечномерные примеры фазовых
пространств — пространств полей и= (и1 (х),..., и"(х)) како-
какого-то типа, где х=(х1,..., хт) является одним из индексов в
формулах. Скобка Пуассона задается матрицей
{и<(х), u'(y)} = hi!(x, у) A.59)
из функций И,г'(х, у) (обобщенных), зависящих, вообще говоря,
от полей. Для двух «функций» (функционалов) F[u], G[u]
скобка Пуассона вычисляется по формуле
A.60)
(P. G}=Jj
Здесь bFlbul(x)—вариационные производные, определяемые
равенствами
f^— bul{x)dmx. A.61)
Пример 1. Локальные полевые скобки лагранжевых ва-
вариационных задач. Имеется два набора полей u—(ql(x),...
..., qn(x), pi(x),..., Pn(x)) с попарными скобками Пуассона
вида
{я1 (•*). я1 (y)}={Pi (х), Pj (у)}=о,
{Я ' (•*). Pi (У)} = V6 (•* -У)' ^ J =! «•
189

Скобка Пуассона двух функционалов F и G имеет вид:
x. A.63)
(jc) bPi (jc) bPl{x) bql{x)
Уравнения Гамильтона записываются в виде
где Ж—Ж\р,д]— гамильтониан. Они возникают, в частности,
из полевого вариационного принципа
bql dql Xdqxl dqtl
mxA (q, qx, qt), A.66)
где Л (q, qx, qt) — плотность лагранжиана, при помощи полевого
варианта преобразования Лежандра
^ \d'"x(pi(x)q/(x)-A) A.67)
(предполагается, как и выше в конечномерном случае, что урав-
уравнения pi = dA.{q,qx,qt)Jdqii решаются относительно qj).
Можно также рассмотреть по аналогии с конечномерным
случаем искажение скобок A.62) «магнитным полем» — замк-
замкнутой 2-формой на пространстве полей q(x). Разберем пример,
связанный с включением «внешних полей» в теории киральных
полей. Как известно (см., например, [44]), определение нели-
нелинейного кирального поля таково: имеются произвольные рима-
новы многообразия Ni и Мп; пусть на отображениях / : Ni^-Mn
определен функционал So(f). Функционал S0(f) имеет вид функ-
функционала Дирихле, квадратичного по производным отображе-
отображения f, возможно, с какими-то добавками. Так, стандартный «ки-
ральный лагранжиан» для главного кирального поля, где
M" = G — группа Ли с двусторонне инвариантной метрикой,
имеет вид:
So (Л = х S Spte^M^v) Vgd% A.68)
n"
где gn.v—метрика Nq, A^=f~l {y)df{y)ldy».
Если многообразие N? представлено в виде произведения
Ni = P<i~1XR, где R — ось времени t, y= (x, t) (например, Ni
есть пространство Минковского iV« = /?«"b х), то уравнения Эй-
Эйлера—Лагранжа для действия A.68) приводятся к гамильтоно-
ву виду преобразованием Лежандра A.67), q{x) —f(x).
190

Определим теперь процедуру включения внешнего поля. От-
Отметим предварительно, что любая дифференциальная форма со
степени q-\-r на многообразии Мп определяет дифференциальную-
г-форму пг на пространстве отображений {Nq-+Mn} по формуле-
$ * Сь • • • %«>)> A.69)-
где
А = 1 г- A.70)
«касательные векторы» к пространству отображений (вектор-
(векторные поля на М" в точках /{у)), цю — свертка формы со =
= (<->i,...i?+r) с вектором 1 = Ц%
(^)<-2...i?+r = ^coU3...w A.71)
Если форма со замкнута, с?со=О, то и форма пг на бесконечно-
бесконечномерном пространстве отображений замкнута [78].
Пусть на М" фиксирована замкнутая (<7+1)-форма «> («внеш-
(«внешнее поле»). Тогда она определяет замкнутую 1-форму Qx
§
на пространстве отображений Nq-+Mn по схеме, приведенной
выше. Замкнутая 1-форма
6S = 6S0+fii, A.72-
где функционал So- типа A.68), определяет так называемый
«многозначный функционал-» S кирального поля / во внешнем
поле хх> [78]. Экстремали этого функционала определяются, как
обычно, из уравнений Эейлера—Лагранжа (L. Euler—J. L. Lag-
range)
SS = O. A.73)
Оказывается, что при Nyq — PV~X XRt включение внешнего поля
эквивалентно искажению скобок Пуассона «магнитным полем»
F—замкнутой 2-формой на пространстве полей {Рч~х-+Мп}
без изменения гамильтониана. Эта 2-форма F=Q2 определяется
по схеме A.69) с заменой N9 на Pq~l.
Пример 2. Более общо, полевые скобки A.59) называют-
называются локальными, если обобщенные функции /г{>{х<у) представ-
представляются в виде конечных сумм дельта-функции 6 (я—у) и ее
производных с коэффициентами, зависящими от значений по-
полевых переменных и их производных в точках х, у. Для этих
скобок и локальных гамильтонианов вида
Ж = [ h (и, чх и<*>) dmx A.74)
гамильтоновы уравнения и={и,Ж} записываются в виде урав-
уравнений в частных производных.
191

Важный пример. Случай т=\, п = \. Здесь имеется
скобка (Гарднера (С. Gardner) — В. Е. Захарова — Л. Д. Фад-
деева), возникшая в теории уравнения Кортевега—де Фриза
(D. J. Korteweg—G. de Vries) (КдФ)
{и(х), и (у)}=8'(х-у). A-75)
Скобка Пуассона двух функционалов имеет вид:
± x^ dx. A.76)
дх Ы(х) ч '
Кососимметричность скобки A.75), A.76) очевидна; справед-
справедливость тождества Якоби вытекает из того, что «тензор» №
здесь постоянный (не зависит от полевых переменных). Скоб-
Скобка A.75) вырождена; функционал I-\ =j udx имеет нулевую
скобку с любым другим функционалом F:
{F, /_,}=0. (-1.77)
На подпространстве ^-i = J udx=c (например, с=0) скобка
A.75), A.76) уже невырождена. Само уравнение КдФ задается
гамильтонианом
A.78)
OX Oil yX) ¦ ч
Величина
/0 = [ "- dx, {и (х), /0} = ux (x), A.80)
играет роль импульса (генератора трансляций по х). Любопыт-
Любопытно, что одним из проявлений интегрируемости уравнения КдФ
(методом обратной задачи, см. ниже гл. 2) является наличие
еще одной локальной скобки [128] вида
bF / 8G
х' A.81)
Имеется даже семейство скобок: оператор А можно заменить
на A~\-kj^ (А, —произвольная константа). Само КдФ в новой
гамильтоновой структуре имеет вид:
и АугЦ\. A.82)
Пример 3. Рассмотрим теперь континуальные примеры
скобок Ли—Пуассона, связанных с бесконечномерными алгеб-
алгебрами Ли L. Отправной точкой для дальнейших построений бу-
192

дет'служить алгебра Ли L векторных полей в m-мерном про-
пространстве. Коммутатор полей vi(x), w{(x) имеет вид:
Роль индекса играют здесь пары (х, г) —точка х и индекс i.
Операцию A.83) следует записать через «структурные констан-
константы» в виде
[v, w]1 (*) = j йтуйтгс1.к{х, у, z)vi(y\wk(z). A.84)
Сопоставляя A.83) и A.84), получаем
c)k(x, у, г) = Ь,1Цг-х)дЫЬ{у-г)-
¦-bkl6(y-x)df6(z-yI A.85)
(z)df8(z-x)d'"z=-d-j^. A.86)
Сопряженные к компонентам скорости переменные pt (x) на про-
пространстве L*, дуальном к векторным полям v'(x), должны быть
таковы, что величина
I Pl{x)vl{x)dmx A.87)
является скалярной по отношению к заменам переменных. Это
значит, что переменные pdx)—это плотности ковекторов, ко-
которые при заменах переменных дополнительно умножаются на
якобиан (мы будем их называть плотностями импульсов). Со-
Согласно A.85), скобка Пуассона имеет вид:
{Р, (У)> Pk (г)} = j c)k {х, у, z) pi (x) dmx =
=pk (y) <K*>8 (y-z) -Pj(z)dpb (z-y). A.88)
В важном частном случае т=\ получаем
{Р (У), Р (z)}=P (У) б' (у - г) -р (z) б' (z-y). A.89)
Замена р = и2 приводит эту скобку к скобке A.75).
В алгебре L векторных полей в евклидовом пространстве
(где отмечена евклидова метрика и элемент объема — плот-
плотность массы, которая считается постоянной) задается подал-
подалгебра Lo бездивергентных полей
д^ = 0. A.90)
Сопряженное пространство Lo* получается факторизацией по
градиентам
L* L*/(d) A.91)
Другими словами, плотности импульсов ра(х) дают тривиаль-
тривиальные линейные формы на Lo, если pi(x) =^()
13—2538 193

J piVldmx = j vldtW"x = — J 4diVldmx =0. A.92)
Уравнение Эйлера гидродинамики идеальной несжимаемой
жидкости как гамильтонова система записываются [1], [78] на
пространстве Lo* с гамильтонианом
p=const, d,vl=0, pi = pvl ([-^>
и скобками Пуассона A.88). Эти уравнения всегда пишут на
полном пространстве L*, эквивалентном пространству скоро-
скоростей в данном случае
l = fo. Н}+д,р,
0. A.94)
Слагаемые dfp возникли из-за перехода от Lo* к пространству
L*, где величины вида д^р эквивалентны нулю. Давление р
определено здесь только с точностью до константы. Скобка
Пуассона на пространстве Lo* может быть записана в виде
{vt (*), •О) (у)} = -? (diVj — djVi) б (х — у),
pt = pVi, p = const. A.95)
Гамильтонов формализм для идеальной сжимаемой жидко-
жидкости невозможно реализовать на алгебре L, он представляет
собой частный случай гамильтонова формализма для жидкос-
жидкостей с внутренними степенями свободы. Уже обычная сжимае-
сжимаемая жидкость обладает такими внутренними степенями свобо-
свободы — плотностью массы р и плотностью энтропии s, для вклю-
включения которых требуется расширение алгебры Ли L векторных
полей. Кроме векторных полей и\ мы добавим еще пару полей
ир и Vs с коммутаторами вида
\(v, vp, vs), (w, wp, ws)] =
= ([v, w], v^iWP — w'diVP, v^i^ — w^iv5). A.96)
Алгебру A.96) мы обозначим через LPiS. Соответствующие пере-
переменные в сопряженном пространстве L*s мы обозначим через ^
(плотность массы) и s (плотность энтропии). Скобки Пуассона
в U имеют вид:
{P (x), p (y)}={s (x), s (y)}={p (*)> 5 (r/)}=0, A.97)
{vi (x), Vj (y)} = l(djvj-dlvi) б (x-y)
194

(скорости —это здесь ковекторы vi = pipr1). Гамильтониан
# = \ [f-+e (P> s)\ dmx — это энергия. Величины M = [pdmx и
S = \sdmx имеют нулевые скобки Пуассона (тривиальные законы
сохранения). По существу скобки Пуассона A.97) были
подобраны так, чтобы масса и энтропия переносились вместе с
частицами, в отличие от энергии, которая сохраняется только
интегрально. Другие примеры скобок Ли—Пуассона, возникаю-
возникающих в гидродинамике, можно найти в [78].
Пример 4. Общие скобки гидродинамического типа. Рас-
Рассмотренные в предыдущем примере скобки Пуассона и гамиль-
гамильтонианы обладают следующими свойствами:
1) Гамильтонианы имеют вид:
H = \h(u)dmx, A.98)
где плотности h(a) зависят только от полей и = (и1,..., и"), а
не от их производных.
2) Гамильтоновы уравнения
a/(x)={ui(x),H} A.99>
являются квазилинейными уравнениями первого порядка
и/^ъ>{и)ихи i = l,..., п. AЛ00)
Наиболее общий вид скобок Пуассона, приводящих к уравнениям:
Л.100) для гамильтонианов A.98), таков:
{«' (х), и> (у)}=8»а («(*)) *Н*~У) +
х-у). A.101»
Вид уравнений A.100), гамильтонианов A.98) и скобок A.101)
инвариантен относительно локальных замен полевых переменных
u = U(w). A.102).
Рассмотрим здесь одномерный случай тп = \:
{и' (х), а' (у)} =g« (и (х)) бу(Х-у) +
+ bj,i(u(x))ux*(lxN(;x-y). A.103)»
В этом случае симметрическая матрица giJ!(u) =gfi (а) при заме-
заменах A.102) ведет себя как метрика (с верхними индексами) на
пространстве полей и. Если она невырождена, то величины Г)й>.
определяемые равенствами
преобразуются при заменах A.102) как символы Кристоффеля
(см. [39]). Оказывается'[39], выражение A.103) задает скобку
13* 195

Пуассона, если и только если связность IV симметрична, согла-
согласована с метрикой qii и имеет нулевую кривизну. Это означает,
что локальными заменами A.102) метрика gij приводится к
евклидовой (или псевдоевклидовой), связность к нулевой, а
скобка A.103), тем самым, к постоянной:
{w'(x), to*Qj)}= ±6'W (x—y). A.105)
Следует отметить, что естественные «физические» переменные
и\ в которых возникают уравнения A.100) и скобки A.103),
существенно «криволинейны», т. е. метрика gu{u) в координа-
координатах ы* нетривиальна.
В многомерном случае т > 1 фактически возникает семейство
метрик giIa, a = l, ...,т. Если они невырождены, то связ-
связности Г}?, где blkJa = — gisarib, согласованы с этими метриками,
симметричны и имеют нулевую кривизну. Однако все метрики
gi/a не приводятся, как правило, к постоянному виду единым
преобразованием. Препятствием для такого приведения служат
тензоры Ti}ka^ = byag'^ — bVbgna. Например, для скобок A.88)
при /те>1 такое приведение невозможно. Отметим также, что
при /те>2 метрики glia=ps(bis&a -\-bis&ia), отвечающие скобкам
A.88), всегда вырождены. Условия, при которых выражение
A.101) задает скобку Пуассона, для невырожденных метрик
Ua записываются в виде набора соотношений на тензоры
a^, которые мы здесь обсуждать не будем (см. [40]).
§ 2. Интегралы и понижение порядка
гамильтоновых систем. Системы с симметриями
Функция F(y) называется интегралом гамильтоновой систе-
системы A.8), если ее скобка с гамильтонианом Н(у) равна нулю:
{F, Я}=0. A.106)
Учитывая A.П), получаем: величина F сохраняется вдоль тра-
траекторий гамильтоновой системы A.8). В частности, сам га-
гамильтониан Я (если он не зависит от времени) всегда является
сохраняющейся величиной. Траектории системы A.8) целиком
лежат на поверхности уровня .F = const. Если скобка Пуассона
вырождена, то всегда имеются «тривиальные» интегралы A.13),
коммутирующие с любым гамильтонианом. Пример редукции
гамильтонова формализма при помощи тривиальных интегра-
интегралов мы рассматривали в § 1 в связи с уравнениями типа Кирх-
Кирхгофа. Гамильтоновы системы с одной степенью свободы (N=2)
с не зависящим от времени гамильтонианом всегда интегрирует-
интегрируется в квадратурах. Наличие нетривиальных интегралов
при iV>2, не зависящих от «энергии» Н1\ позволяет по-
]) При помощи интеграла энергии Н порядок системы также понижается
на 2 единицы, но гамильтониан редуцированной системы будет явно зави-
зависеть от времени [1].
196

низить порядок гамильтоновой системы A.8) сразу на две еди-
единицы. Приведем соответствующую конструкцию (см. также т. 3
настоящего издания и гл. 3, § 3 статьи В. И. Арнольда и
А. Б. Гив'енталя). Пусть F(у) — интеграл гамильтоновой систе-
системы с гамильтонианом Н, причем вектор (sLG/))=| А'7 (у)—Щ*\
\ ду1
\ у
не зависим с |#. Рассмотрим поверхность уровня Мс:
F{y) = c, A.107)
и на ней гамильтонов поток, определяемый гамильтонианом
Р(У),
У^ = {У1,Р{у)},1=\ N. A.108)
Поток A.8) с гамильтонианом Я переставляет траектории по-
потока A.108) в силу коммутации A.106), поэтому задает дина-
динамическую систему на совокупности траекторий потока A.108).
Траектории потока A.108), лежащие на уровне Мс «нумеруют-
«нумеруются» точками трансверсальной этим траекториям поверхности
Мс° (определенной, вообще говоря, локально). Определим «опе-
«операцию редукции» исходной скобки Пуассона hu(y) на Мс°. Рас-
Рассмотрим подалгебру всех функций z(y), коммутирующих с
{F(y),z(y)}=0. A.109)
Пусть независимые функции zl(y),..., zN-2(y) удовлетворяют
A.109) и функционально не зависят от F(y). Они постоянны
вдоль траекторий потока A.108) и вместе с F(y), т определя-
определяют локальные координаты в окрестности трансверсальной по-
поверхности Ме°. Величины г1,..., 2№-2тем самым задают локаль-
локальные координаты на трансверсальной поверхности Мс°. Очевид-
Очевидно имеем
{т, F} = \, {т, z9} = f(z, F), {zp, z<}=hP9{z,F). A.110))
Поэтому на выбор координат zl, ..., z1*-2 можно наложить
полезные дополнительные условия
{т, z"}=0, <7 = 1, ....7V-2. A.111)
Редуцированная скобка Пуассона на Мс° имеет, по определе-
определению, вид:
{zp, z%ei={zP(y), z"(у)}=Ър«(г,с), р, q = \, .... N-2. A.112
Очевидно, правая часть зависит только от координат на Мс°
(и от с), и не зависит от выбора поверхности Мс°. Гамильтони-
Гамильтониан в силу A.105) имеет вид:
H{y)=H{z\ ...,z"~2,F), A.113)
поэтому исходная гамильтонова система корректно ограничивает-
ограничивается на Мс°:
с°
N(z, c)}red) q = \, ...,N-2. A.114)
197

Таким образом, интегрирование исходной системы A.8) сведе-
сведено к интегрированию гамильтоновой системы A.114), порядок
которой понижен на 2 единицы. После этого определяется зави-
зависимость координаты т от времени из уравнения (учитывая
(l.iio), A.Ш)) :
(одной квадратурой).
Возможность провести глобально процедуру редукции тре-
требует дополнительного исследования. Достаточно, например,
предположить, что с — регулярное значение функции F(y), a
однопараметрическая группа Gr сдвигов вдоль траекторий си-
системы A.108) компактна и не имеет стационарных точек. При
практической реализации описанной выше процедуры главная
трудность заключается в построении «трансверсальных» коор-
координат 21, . . . , 2я-2.
Пример 1. Пусть Н = Н(х, р)—гамильтониан в фазовом
пространстве R2n с каноническими координатами (х1,..., хп,
/?!,..., рп) вида A.19). Предположим, что Н(х, р) инвариан-
инвариантен относительно «пространственных трансляций»
х1~х1+а, pi^pt, A.116)
т. е.
Для этого достаточно, чтобы гамильтониан имел вид
Н{х1 хп, pv ...,pn) =
= Н{хх—хп хп~1-хп, рх рп). A.118).
Тогда, очевидно, величина («полный импульс»)
п
F=2^ A.119)
коммутирует с Н, {Н, F}=0. Координаты z = (zl, ..., z2n~2) =
= (xQ, ря) на редуцированном фазовом пространстве имеют вид:
Р<г = Ря> ^ = Ь •••> л —1.
Редуцированный гамильтониан Н (х, р; с) на поверхности
А+--- +Л = с A.121)
имеет вид
198

,р; с) = й\х\..., х"-1,^ /?„_!, С —
A.122)
Редуцированные скобки—канонические:
{х«, xr}tei = {pq, pr}tei =0, {хч, рг} = б Д
Ч,г = \ п— 1, A.123)
и исходная гимильтонова система сводится к системе в /?2"-2
х«=~, Pq^—?J-, q = \ я_1. A.124)
Opq дх4
Зависимость величины % = хп от времени t находится из урав-
уравнения
т = Яс. A.125)
Предположим теперь, что гамильтонова система A.8) с га-
гамильтонианом Я обладает несколькими интегралами. Отметим,
прежде всего, простое, но важное утверждение: интегралы сис-
системы A.8) образуют подалгебру относительно скобки Пуассо-
Пуассона. Доказательство очевидно из тождества Якоби A.5).
Наличие нетривиальных попарно коммутирующих интегра-
интегралов Fiiy), ..., Fh(y),
{Fh Я}=0, {Fu F,}=0, 1,1 = 1,..., k, A.126)
позволяет, согласно описанной выше схеме, понизить порядок
гамильтоновой системы на 2k. В частности, если исходная скоб-
скобка Пуассона была невырожденной, N = 2п, то наличие п по-
попарно коммутирующих интегралов у гамильтоновой системы
позволяет, в принципе, проинтегрировать эту систему в квад-
квадратурах. Мы обсудим свойства и примеры таких систем в § 3.
Набор некоммутирующих интегралов также позволяет по-
понизить порядок исходной гамильтоновой системы, однако здесь
алгоритм редукции более сложен. Разберем сначала простой
пример.
Пример 2. Пусть Н (х, Р) = -^-+ U(\ х\) — сферически
симметричный гамильтониан в Rs, x — (xx, х2, х3), р = (рир2, р5).
Здесь имеются три «интеграла момента»
Mi = x2p3—xzp2, M2 = xzpl — xlpz, M3=Xip2 — x2pi A.127)
с попарными скобками
{Mt, М}} = е,]ЛМк.. A.128)
(Фактически, сохраняющимся является весь вектор момента
М=[х,р].) A.129)
Интегралов здесь 3, но из-за их некоммутативности редуциро-
редуцированное фазовое пространство будет иметь размерность 2.
Фиксируем значение момента
199

A.130)
Без ограничения общности можно считать, что т= (ц, 0, 0), и
условия A.130) запишутся в виде
х2ръ —
Из последних двух уравнений при цфО следует X\=p\=Q, т.е.
движение происходит в плоскости (х2, Хз). Поток с гамильто-
гамильтонианом Ми представляющий собой вращения в плоскостях
(х2, Хз) и (Р2, Рз) на один и тот же угол, действует, таким об-
образом, на трехмерной поверхности xi=pi>=0, х2р3—Хзр2 = у,.
Факторизуя по этому потоку, получаем искомое редуцирован-
редуцированное фазовое пространство. Для факторизации удобнее всего ис-
использовать полярные координаты г, <р в плоскости (*2. *з), по-
полагая
A.132)
и вводя сопряженные импульсы
p2=pr cos <? — ^sin<P,
#,=/>, sin ф 4™? cos ф. A.133)
Каноническими координатами на редуцированном фазовом про-
пространстве служат г, рг; редуцированный гамильтониан имеет вид:
H(r'Pr) = &+?i + U{r). A.134)
Зависимость Ф от времени получается отдельно из уравнения
/?<p=fi, откуда
<P=JL=*?.. A.135)
тгг дрф v '
Конструкция примера 2 допускает очевидные обобщения,,
восходящие к Якоби и Пуанкаре (Н. Poincare) и сформулиро-
сформулированные на языке симплектических многообразий в ряде работ
последних десятилетий (см. также т. 3 настоящего издания и
гл. 3, § 3 статьи В. И. Арнольда и А. Б. Гивенталя).
Пусть гамильтонова система A.8), обладает интегралами
Fu ..., Fr, попарные скобки которых выражаются в виде ли-
линейных комбинаций этих же функций,
{Ft, /?;}=c*/ft, A.136)
коэффициенты сцк постоянные (следующий по сложности случай
после коммутирующих интегралов; ср. формулы A.128) приме-
примера 2). Таким образом, пространство линейных комбинаций
L={aiFi(y)}, а1, ...,<Г — константы, A.137)
200

замкнуто относительно скобки Пуассона и образует, тем са-
самым, конечномерную алгебру Ли. Функции Fi(y),'..., Fr(y)
образуют базис в L, а с,-,А— структурные константы. Пусть
G — соответствующая группа Ли. Тогда G действует локально-
на фазовом пространстве каноническими преобразованиями
(сохраняющими скобки Пуассона): однопараметрические под-
подгруппы из G, отвечающие базисным векторам Fa из алгебры Лв
L, есть гамильтоновы потоки
yJ={y}, F,}, /=1,..., N. A.138)
При фиксированном у набор чисел (Fi(y),..., Fr(y))=F{y)
можно считать координатами линейной формы на алгебре
Ли L: если (а\ ..., аг) — вектор из L, то
F(y)(a)=a<Fl[(y). A.139)
Тем самым определено отображение моментов
y^F (y)QL*. A.140)
Фиксируем некоторый элемент с = (сх,..., cr)QL* и рассмотрим
поверхность уровня момента (совместную поверхность уровня
интегралов Fv..., Fr)
F{y) = c~(Fl(y)=cl,..., Fr{y) = cr). A.141)
Предположим, что эта поверхность Мс является многообразием.
Гамильтонов поток, отвечающий гамильтониану fa(y)=alFt(y)r
сохраняет поверхность уровня А1С, если вектор а = (а1,..., аг}
удовлетворяет линейным соотношениям
ff Р\\,. nlrk r^ О / 1 г Л 14.9V
\J a' jllMf.— it *— ' J—*»•••» г* \i.-ltz,j
Такие векторы а образуют подалгебру Ли LcczL. Пусть I — раз~
мерность этой подалгебры; ее базис составляют функции
fs{y)=aslFi{y), 5=1,...,/, A.143)
где (fls*) — фундаментальная система решений уравнений
A.142). (Подгруппа GcczG с алгеброй Ли LcczL — это под-
подгруппа изотропии элемента c6L* в коприсоединенном представ-
представлении Ad*. В примере 2 (выше) подгруппа Gc совпадала с вра-
вращениями вокруг оси с=(ц,, 0, 0).)
Факторизуя Мс по действию потоков с гамильтонианами fa
из подалгебры Lo, получаем приведенное фазовое пространство
Мс° (коразмерности г-\-1). (Все Мс расслаивается (локально)
над Мс° со слоем Gc.) Координатами на Мс° служат функции
zi=zi(y) такие, что
{z", Fj}\Me-0, 7=1,-.., г, A.144)
не зависящие от функций /х,..-,/; A.143) (градиенты функций
zq и /, должны порождать все касательное пространство к Мр)-
201

Как и выше, определяем редуцированные скобки на Мс° равен-
равенством
{г9, zP}teu = {z" (у), 2Р(у)}. A.145)
Гамильтониан также корректно ограничивается на Мс°. Получаем
редуцированную гамильтонову систему
z"={z", Н{г; c)}red, q = \,..., N—l — r. A.146)
Ясно, что в коммутативном случае cf; = O подалгебра Lc совпа-
совпадает со всей алгеброй Ли L, т. е. 1=г и порядок системы пони-
понижается на 2г.
Мы не обсуждали пока механизмов возникновения интегра-
интегралов у гамильтоновых систем. Наиболее известным среди та-
таких механизмов является симметрия гамильтоновой системы,
т. е. наличие непрерывной группы G канонических преобразова-
преобразований фазового пространства, сохраняющих гамильтониан:
H(gy) = H(y), g€G. A.147)
Пусть L — алгебра Ли группы G, ех ..., ет — базис в L, комму-
коммутаторы в L имеют вид:
\et, е}\ = с*}ек. A.148)
Каждая однопараметрическая подгруппа exp (tet) преобразований
фазового пространства обладает гамильтонианом Ft (у) (опреде-
(определенным, быть может, локально), т. е. преобразования
у-*ехр \xet) у есть сдвиги вдоль траекторий системы
У3Х = № Л О/Ж У = 1,.... N. A.149)
Функции F{ (у) являются интeгpaлa^ш гамильтоновой системы
A.147). Действительно,
{Н (у), Ft (у)}=jx H (exp (xet) y)x^ = 0.
Функции Ft(y) называют генераторами канонического дейст-
действия G.
Каноническое действие группы Ли называется пуассоновским,
если функции Ft(y) определены глобально и их скобки Пуас-
Пуассона имеют вид A.136), где с ?/— структурные константы
A.148) алгебры Ли L.
Пример. Пусть фазовое пространство имеет вид кокаса-
тельного расслоения Т*М гладкого n-мерного многообразия М
со стандартными скобками A.30) и G действует на М как груп-
группа диффеоморфизмов. Соответствующее действие G на Т*М
каноническое. Построим функции Fi(y), где у=(х, р)—кано-
р)—канонические координаты на Т*М (локально). Пусть
Xlk(x) = ~(exp(xei)x)kx=4, k = \,...,n. (-1.150)
202

Положим
Fl{x,p)=pkXlk{x), i = \,...,r. A.151)
Функции Ft(x, p) определены глобально на Т*М и являются
генераторами действия G. Их скобки Пуассона, как легко ви-
видеть, имеют вид A.136). Таким образом, действие G на Т*М
является пуассоновским.
Для произвольного фазового пространства каноническое
действие G может и не быть пуассоновским. Во-первых, даже
если скобка Пуассона невырождена, интегралы Ft(y) могут не
быть глобально определенными (однозначными); корректно оп-
определены лишь их дифференциалы dFi. Предположим, далее,
что функции Fi определены глобально (с точностью до констан-
константы). Нетрудно показать, что тогда их скобки Пуассона имеют
вид:
{Fi,Fi} = cti,Fh + btj, A.152)
где cktj — структурные константы алгебры Ли L, а Ьц=—Ьц —
некоторые постоянные. Кососимметрическая матрица Ьи опре-
определяет билинейную форму на алгебре Ли L, В(%, ,т|) =Ь»?*'т|',
которая является (двумерным) коциклом:
, л], ?):+?([?, ?], тО+Я([т|, ?],$)=<) A.153)
(следствие из тождества Якоби A.5)). Для того, чтобы дейст-
действие группы G было пуассоновским, нужно чтобы матрица biS
имела вид (pfe — некоторые константы):
Ь« = Р*с„* A.153')
(коцикл Ьц когомологичен нулю). В этом случае, заменяя
Fj-^Fj + Vj, получаем пуассоновское действие.
Если действие группы G на фазовом пространстве пуассо-
яовское, то описанная выше процедура редукции гамильтонова
формализма может быть проведена глобально при некоторых
дополнительных ограничениях. Достаточно, например, предпо-
предположить, что с — регулярное значение для отображения момента
A.140) (т. е. Мс — многообразие), подгруппа изотропии Gc эле-
элемента c6L* относительно коприсоединенного представления Ad*
компактна, и ее элементы действуют на Ме без неподвижных
точек. Так, для случая Т*М, где на М действует группа G, ре-
редуцированное фазовое пространство имеет вид T*(M/G), если,
разумеется, фактормногообразие M/G определено.
Пример 3 ([78]). Уравнения Леггетта (A. J. Leggett) ди-
динамики «параметров порядка» в Б-фазе сверхтекучего 3Не. В
состоянии гидродинамического покоя и с ненулевым спином со-
состояние в 5-фазе определяется парой — матрицей вращения
#= (#{iNSOC) и 5= E,), i=l, 2, 3, — «магнитным моментом».
Переменные ${, представляют собой координаты на сопря-
сопряженном пространстве к алгебре Ли группы SOC), аналогично
203

моментам Мг. Стандартная скобка Пуассона на Г*5ОC) в
переменных (s{, Rjk) записывается так:
{s^ s;} = e,;ftsft, {Rip Rb,}=0, {st, R.)=zljPRkl. A.154)
Гамильтониан системы Леггетта в iJ-фазе и внешнем магнитном
поле имее твид:
Н = ]¦ as* + b^slFi-{-V (cos e), A.155)
где а, Ъ—константы, F = (Ft)— внешнее поле,
l/(cose)=const(i+2coseJ; A.156)
здесь Rtj — это вращение на угол 8 вокруг оси nt, n? = \:
nit, A.157)
A.158)
После замены
ast=^, QJk = eJltl<ol = (^1)Jlt A.159)
мы получим лагранжеву систему в переменных (/?i;-, Rtj) на
r*SO C), где кинетическая энергия определяется двусторонне
инвариантной метрикой Киллинга, и потенциал V (cos 8) инвари-
инвариантен относительно внутренних автоморфизмов
R^gRg'K s»gs, g€SOC). A.160)
Если поле F= (Fi) постоянно, то весь гамильтониан инвариан-
инвариантен относительно однопараметрической группы преобразований
A.160), где g принадлежит группе вращений вокруг оси поля1
F. Пусть, далее, F= (F, 0, 0). ¦ .
При нулевом потоке F = 0 система допускает группу SOC)
преобразований A.160) и полностью проинтегрирована в [129].
Преобразования A.160) порождают сохраняющийся при F = 0:
вектор
A=(AJ) = (\-cosQ)[n, ctgls+[n, 5]], A.161)
где скобки Пуассона такие же, как и для обычного момента:
=0. A.162)
Переменные s2 и 8, входящие в гамильтониан при F=0, порож-
порождают замкнутую алгебру скобок Пуассона {s2, s а, 8} [78], где
{5»,e}-2s,, {s,,e} = l. {*». si}-^^1^-*2,). (Ы64)
204

Величина А2=^ А2 = (\ —cos 6) (s2 — s\) имеет нулевую скобку
Пуассона со всеми в этой подалгебре
{А\ 5^}={M Si}={A2, 6}=О. A.165)
В ненулевом магнитном поле (F, О, 0) остается только один
интеграл (кроме энергии)
{Ль Я}=0. A.166)
В данном случае оказывается возможным провести процедуру
редукции гамильтонова формализма до конца (глобально) и
свести систему к 2-м степеням свободы.
Интеграл А\ порождает группу A.160), где g — вращение
вокруг первой оси д=A, 0, 0). Переменные, инвариантные от-
относительно этой подгруппы, таковы:
S2, Sj, 6, Пх, Si, X = S2n3 — Л253 A.167)
со связью чисто геометрического происхождения
52Т2 = E2_ Sl2) E2_52)_ E2Й1_ SlS , J. A.168)
Нетрудно вычислить, что переменные A.167) образуют замкну-
замкнутую алгебру скобок Пуассона, содержащую гамильтониан Н
A.155) и имеющую функциональную размерность 5. Величина
Аи лежащая в этой алгебре, имеет нулевую скобку со всеми
переменными
0={Аи s2}={Av Si}={Alt Q} = (Alt л1}={Л1, щ). A.169)
Поэтому, накладывая условие Лi = const, можно, по-прежнему,
пользоваться формулами для скобок Пуассона величин A.167),
вытекающими из A.164). При условии Лх = сопз1 мы выберем
за базисные следующие переменные:
А*, 5ц, 6, пх=п. A.170)
Их скобки имеют вид:
{5„,е}=1, {е,л}=о,
{A2, s*}={A2, Q}={A2, sa}=0, A.171)
{A2, n}=
Таким образом, канонические переменные могут быть выбраны
в виде
л!=6, pi=/?9 = 5a,
^/Аг А?— AЛ72)
Гамильтониан приобретает вид:
205

е)) +К (cos 9).
Введем теперь сферические координаты
и перейдем к лагранжеву формализму. Мы получим
L = 2a(tf + s№x&)-A^-A2y*-U{y), A.175)
где у1 = %, у2=Ф,
Л, = 26 sin Ф| ^2 =
— 2~ й2/72 (sin2 Ф +4 cos2Ф sin3 х cos х)-
Таким образом, мы получили систему на области сферы S2 с
обычной метрикой, где имеются эффективное магнитное поле и
скалярный потенциал. При А\фО эта система не продолжаема
на всю сферу, так как она имеет сингулярность при <р=0; я.
Рассмотрим теперь примеры континуальных систем с лиш-
лишними интегралами. Рассмотрим сначала случай лагранжевых
полевых систем A.65), записываемых в гамильтоновом виде
при помощи преобразования A.67). В случае, когда плотность
лагранжиана A(q, qx, qt) не зависит явно от пространственно-
временных координат ха, t, a=l,...,m, справедливы законы
сохранения полной энергии
?=0, E = S« = ^dmx(plqtt-A) A.176)
и вектора полного импульса
^2t A.177)
Функционалы Ра являются генераторами сдвигов по простран"
ственным переменным, т. е.
{PtW'P.}—*^1. {^l(x),Pa}=^p-, A-178)
{Ра, />з}=0, а, р=1, ...,/». A-179)
Подчеркнем, что генераторы пространственных сдвигов явля-
являются локальными полевыми интегралами. Законы сохранения
A.176), A.177) часто записывают в инфинитезимальной фор-
форме, вводя тензор энергии-импульса
,,а = а ; ОлЛ, (l.loU)
206

где a, b = 0, I, .. .,т, x°=t. Имеем [43]
E=$T°odmx, Pa=*$TUmx, A.181)
-||J-=0, ft=O, 1, ...,«• ' A-182)
Более обще, можно рассматривать вариационные задачи вида
65 = 0, 5 = J Л (л, q, qx) dm+1x A.183>
(здесь, как и выше, мы полагаем х = (ха), а=0, 1,...,т,
x°=t), инвариантные относительно более общих однопараметри»
ческих групп преобразований Gx(x, q) вида
*?-*•(*), «=0,1 Я) u
qtx = Q4x,q), /=»1 Л.
Каждой такой группе отвечает «сохраняющийся ток»
^ AЛ85)'
дха
=0 A.186)
(теорема Нетер (Ё. Noether) {9]). Сохраняющейся является:
величина
\. A.187)-
jr°=const
Если преобразования A.184) не затрагивают время, т. е. Х°=
= const, то они определяют семейство канонических преобразо-
преобразований в пространстве полей (р(х), q(x)), генератор которых,
является локальным полевым интегралом с плотностью
jo = Pt{Qi-q^xa). A.188)
Вторая теорема Нётер относится к случаю вариационных за-
задач, допускающих симметрии с функциональными параметра-
параметрами (как, например, в теории калибровочных полей [87]).
Уравнения экстремалей A.65) в этом случае не являются не-
независимыми, а удовлетворяют некоторой системе дифференци-
дифференциальных соотношений. Эту теорему мы здесь обсуждать не
будем.
§ 3. Теорема Лиувилля. Переменные действие — угол
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением фазовых
пространств с невырожденной скобкой Пуассона. Важная тео-
теорема Лиувилля (J. Liouville) изучает тот случай гамильтоновых
систем с п степеням и. свободы (т. е. в 2п-мерном фазовом про-
207'

странстве), когда имеется ровно п функционально независи-
независимых интегралов F\ = H, F2, ¦. ¦, Fn, попарные скобки Пуассона
которых равны нулю, {Ft. Fj}=0, /=1,..., п. Такие системы
называют часто вполне интегрируемыми. В этом случае .по-
.поверхности уровня интегралов
Fi = cu..., Fn = cn A.189)
представляют собой факторгруппы Rn по решеткам конечного
ранга ^п; в частности, компактные неособые поверхности уров-
уровня являются n-мерными торами. Если поверхность уровня
A.189) компактна, то в ее окрестности можно ввести такие ко-
координаты Si,..., sn, ф1,..., фп @^ф,<2л) (переменные «.дей-
«.действие — угол»), что:
¦а)
{^,5;.}={ф;, Ф;)=0, {Фг>5;} = 8<;; A.190)
б) st=sl(Fl, .. .,Fn), фу —координаты на поверхностях
уровня A.189); в) в переменных (sf, ф^) исходная гамильтонова
система имеет вид:
/ = 1, ...,л. A.191)
Приведем идею доказательства этой теоремы (см., например,
[42]). Поверхность уровня Мс вида A.189) представляет собой
гладкое многообразие в силу независимости интегралов Fv...,Fn
[т. е. независимости их «градиентов» (g,y =/u*-r-i-].' На этом
многообразии действует группа Rn потоков с гамильтонианами
Fi,..., Fn. Выберем начальную точку хо = хо{с)Ш<: и выделим
в Rn решетку: вектор d?Rn принадлежит решетке, если d, дей-
действуя на лг0, снова дает х0. Возникает подгруппа {d}czRn. Эта
подгруппа дискретна и поэтому изоморфна решетке, натянутой
на k векторов Rn, где k^Ln. Очевидно, лишь при k = n мы полу-
получим компактное многообразие (тор Г71).
Построим теперь переменные действие—угол. На данной по-
поверхности уровня Мс можно составить такие линейные комби-
комбинации полей '!.,•:
i\t = bt%, i=l я, A.192)
что вводимые с их помощью координаты в группе Rn, действу-
действующей на торе Тп = Мс, совпадут с углами 0^ф^<2я (фг = 0 —
это точка xq). Коэффициенты bt' будут зависеть от набора
С\,..., сп в окрестности избранной поверхности уровня. Таким
образом, мы имеем
A.193)
208

Это вводит координаты Фх,..., Ф„ в целую область около дан-
данного Мс. В этой области мы имеем координаты (Fi,...,Fn,
Фц • • •» Фп) и невырожденную матрицу скобок Пуассона
/ip р \ л ip m \\
где detj/7,, ф^^О. Введем теперь переменные действия. Для
фазового пространства R2n с каноническими координатами
(а:1,...,х", Pi,..., рп) переменные действия имеют вид:
$/>?** * = 1«....я. A.195)
Здесь yt — i-й базисный цикл тора Тп,
Y,-: 0<ф,<2я, <P;=const при j=f=i. A.196)
Получим:
{Ф;, SjJ=6iy, i, у = 1,...,л. A.197)
В произвольном фазовом пространстве с формой Q=htjdylf\dyi
вида A.17) нужно действовать так: форма й о'бращается в нуль
на торах ТП=МС. Поэтому на некоторой окрестности данного
тора Т"=МС эта форма точная:
Переменные действия имеют вид, аналогичный A.195):
si = JL?a), i = \,...,n. A.198)
Положим теперь
Ф(=Фг+&< EХ,.. .,5„), г = 1,...,«. A.199)
Подберем 6( из условия {ф(, Ф7}=0. Это всегда можно сделать
в силу A.197). Координаты Фх,—, Ф„ на каждой поверхности
уровня Мс совпадут с выбранными ранее углами фх,..., ф„ с точ-
точностью до сдвига. Матрица скобок Пуассона примет вид A.190),
гамильтониан H = FX запишется в виде
Я = ЯE,,...,5„). A.200)
Уравнения движения будут иметь вид A.191). Это — условно-пе-
условно-периодическое движение по «-мерному тору с частотами
(О, EХ,. . ., Sn) = ^ 21. A.201)
Пример 1. Пусть поверхность уровня И (х, р) =Е системы
с одной степенью свободы компактна. Тогда мы имеем канони-
канонические координаты действие—угол
14—2538 209

, {s, Ф}=1. A.202)
Рассмотрим теперь некоторые примеры вполне интегриру-
интегрируемых систем с двумя степенями свободы. Здесь, согласно, тео-
теореме Лиувилля, для «полной интегрируемости» достаточно знать
один не зависимый от энергии Я интеграл.
Пример 2. Уравнения вращения тяжелого твердого тела
с закрепленной точкой представляются, согласно § 1, в виде
гамильтоновой системы на ?C) с гамильтонианом
Н(М, р)=*^-+Ц?- + Щ. +Yi/?i+Yj/?2 + Y3/>3. A-203)
Здесь оси системы координат совпадают с главными осями
инерции тела, начало — в точке закрепления, /ь h, h — глав-
главные моменты инерции тела, Yb Y2i Y3 — координаты центра
масс. Скобки Пуассона имеют вид A.41). Фазовое простран-
пространство здесь шестимерно, но ранг матрицы скобок Пуассона ра-
равен 4. Поэтому для интегрируемости по Лиувиллю достаточно
знать один интеграл (кроме интеграла энергии). Известны сле-
следующие случаи интегрируемости.
а) Случай Эйлера: Yi=Y2=Y3=0- Лишний интеграл — квад-
квадрат полного момента М2=М12-\-М22-\-Мз1-.
б) Случай Лагранжа: h—h, Yi=Y2=0. Здесь имеется осе-
осевая симметрия (относительно третьей оси). Это дает лишний
интеграл Мг = const.
в) Случай С. В. Ковалевской I\ = I2=h/% Y3 = 0.
Здесь появление лишнего интеграла
F = \ Л (M1 + iM2J-2(Yi -f щ2) (A + *>2)P A-204)
не связано с симметрией системы (см. гл. 2 ниже).
Пример 3. Задача о движении твердого тела в идеальной
жидкости (см. выше § 1) намного богаче интегрируемыми слу-
случаями. Простейшим из них является случай Кирхгофа, где га-
гамильтониан имеет вид A.48), причем ах = а2, bi\ = b22, Ьщ=Ь при
i^j, Сц = с22, Cj,-j = O при 1ф\. Здесь, как и в случае Лагранжа,.
имеется осевая симметрия, и лишний интеграл есть Мг. Более:
сложные интегрируемые случаи (со «скрытой симметрией»)
имеют следующий вид.
а) Случай Клебша (R. Clebsch). Здесь коэффициенты га-
гамильтониана A.48) таковы:
btj=0, a — dbij, A.205>
где коэффициенты at и с;- удовлетворяют соотношению
0. A.206).
210

Дополнительный интеграл имеет вид:
б) Случай Ляпунова—С теклова—Колосова: bl]=
clj=cfiip причем
bj=p(ala2aja-l + y, c^=\>?al(a2~a^-\-V,... (l.208>
(jj,, v, v/ = const). Дополнительный интеграл
... A.209>
i
(параметры v, v', v"—несущественные).
§ 4. Уравнение Гамильтона —Якоби.
Метод разделения переменных — классический метод
интегрирования и нахождения переменных
действие — угол
Теория вполне интегрируемых гамильтоновых систем, изло-
изложенная в предыдущем параграфе, возникла как обобщение
метода Гамильтона—Якоби интегрирования канонических урав-
уравнений.
Будем здесь рассматривать фазовое пространство R2n с ка-
каноническими координатами (х\ ..., хп, р\,..., рп) (см. A.19)).
Гамильтонова система с гамильтонианом Н=Н(х,р) имеет вид;.
xl =
Рассмотрим каноническое преобразование (т. е. сохраняющее*
скобки Пуассона A.19)) от координат (х, р) к координатам (X, Р}
вида
А~. Х' = -щ> S=S(x,P), A-211)
A.212),
В новых координатах система A.210) запишется в виде
у, дк
дРг
I-
дХ1
где гамильтониан К=К(Х, Р) имеет вид:
К (X, Р) = Н(х (X, Р), р (X, Р)).
Идея метода Гамильтона—Якоби заключается в том, чтобы
14* 2П

подобрать преобразование A.211), A.214) так, чтобы в новых
координатах гамильтониан К не зависел бы от X: К=К(Р).
В этом случае переменные Ри ..., Рп будут являться, очевид-
очевидно, переменными типа действия, а сопряженные переменные
Х1,...,Хп — соответствующие углы, т. е. система A.213) запи-
запишется в виде A.191)
-1, ...,л. A.215)
Таким образом, задача интегрирования канонических уравне"
ний A.210) сводится к отысканию функции S (х, Р), удовлетво-
удовлетворяющей уравнению Гамильтона—Якоби
н(х,д^) = К, A.216)
зависящего от п параметров Ри ..., Рп (нужно, чтобы функ-
функция 5=S(х\ ..., хп, Р\,..., Рп) была общим интегралом урав-
уравнения A.216), т. е. det(d2S/dxidPj)^b0 [I]).
Единственный метод интегрирования уравнения Гамильто-
Гамильтона—Якоби, Применявшийся с успехом в классической аналити-
аналитической механике, — это метод разделения переменных. Именно,
пусть уравнение A.216) Гамильтона—Якоби записывается
в виде
0' (Ь217)
где /({х1, Pt) — некоторые функции. В этом случае его общий
интеграл можно искать в виде
5 = S, (х1; сг) +S2 (х2; с2) +... + Sn (jc"; cn), A.218)
где уравнения для функций Sv ..., 5„ запишутся в виде
i=h ...,я, A.219)
и очевидным образом интегрируются в квадратурах. Зависи-
Зависимость гамильтониана от новых переменных Н(х, р)=К(с\,...
..., с„) определяется уравнением
Цси..., сп, /0=0. A.220)
Переменные
ct = (ft(x{, р;), t=l, ...,n, A.221)
если они определены глобально, будут переменными типа дей-
действия. Соответствующие переменные типа углов вычисляются
по формулам A.211).
Пример 1. Геодезические на эллипсоиде (Якоби, 1839).
Пусть эллипсоид имеет вид:
A.222)
212

Эллиптические координаты Ки К2, К3 в пространстве определяют*
ся как корни уравнения
X 2 X 2 X 2
57=Х+^=х+^=1 = 1' A.223)
причем k3<a3<k2<a2<ki<ai. Эллипсоид A.222) получается
при к3 = 0. Гамильтониан свободного движения материальной
точки единичной массы по поверхности эллипсоида совпадает
с кинетической энергией (метрикой) и имеет вид:
г, 2 [- (Д1 — Хг)(Х1 — flj)(Xi — Д„)
где
Переменные разделились. Нетрудно показать '[81], что интег-
интегрирование уравнений движения сводится к гиперэллиптическим
квадратурам (рода 2)
-т^Г, A-226)
где
nm__ (X—к) (X—at) (X—а2) (X—а3) ^ ,^ 227)
— произвольная постоянная. Эти уравнения проинтег-
проинтегрированы в 1861 г. Вейерштрассом (К. Weierstrass) в тэта-
функциях двух переменных. Решение уравнения Гамильтона—
Якоби имеет вид:
5 (А,!, А,2; а, Е) =^4 [ hlZl с1К+Щ[ \*— сО* A.228)
v ' Y2 lYRfa) l^V2 J /Л(Х2) v
где Е = Н— энергия. Отсюда находятся переменные типа углов
по формулам A.211)
ф§ ^ (
Замена A.229) (ки K2)'~*{(f^ У л) есть преобразование Абеля,
отвечающее гиперэллиптической римановой поверхности корня
У%. (к — а) (к— аг) (к —aji(%— a3) (рода 2; см. гл. 2 ниже). По-
Поэтому инвариантные торы здесь продолжаются в комплексную
область и являются абелевыми.
Вопрос о разделении переменных для гамильтоновых сис-
систем интенсивно изучался во второй половине прошлого века
(см. библиографию в '[126]). Был установлен следующий кри-
213

терий (Леви—Чивита (Т. Levi-Civita), [125]): система с
гамильтонианом Н(х, р) интегрируема методом разделения пе-
переменных в данной системе координат, если и только если
функция Я удовлетворяет следующей системе уравнений
дН дН дгН дН дН д*Н dlfdH
dPk дх'дх" ~ dPi dxk dx!dpk dxJ dPk д
дЛ*И?Цо, A.230)
j (суммирования по повторяющимся индексам нет).
Применение этого критерия к исследованию интегрируемости
(по Гамильтону—Якоби) гамильтоновых систем является нетри-
нетривиальной задачей; продвижения в некоторых специальных клас-
классах гамильтонианов были получены в [105], [107].
В заключение этого параграфа отметим, что указанная вы-
выше система С. В. Ковалевской методом разделения перемен-
переменных не интегрируется, и переменные действие-угол для нее не
были найдены до самого последнего времени (см. ниже гл. 2).
Глава 2
СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ЭВОЛЮЦИОННЫХ СИСТЕМ
§ 1. Коммутационные представления
эволюционных систем
Алгебраический механизм, лежащий в основе процедуры ин-
интегрирования уравнения КдФ с быстроубывающими по х на-
начальными условиями, предложенной в знаменитой работе Гард-
Гарднера, Грина (J. Green), Крускала и Миуры (R. M. Miura) '[114]
¦был прояснен в работе Лакса [124]. Было замечено, что это
уравнение
4ut = 6uux+uxxx B.1)
эквивалентно условию коммутации
[С ?-А]=0~? = [А, Ц B.2)
вспомогательных линейных дифференциальных операторов
Начиная с этой работы, все схемы продуцирования новых
уравнений, к которым применим метод обратной задачи, были
основаны на различных обобщениях коммутационного уравне-
уравнения B.2).
214

Первым и наиболее естественным шагом является обобще-
обобщение уравнения B.2) на случай, когда L и А — произвольные
дифференциальные операторы
я т
?=2 ««<*• О ?; а=g щ (x,t) ? B.4)
с матричными (/X/) или скалярными коэффициентами.
Новые физически важные уравнения, к которым применим
метод обратной задачи, были обнаружены именно на этом пу-
пути в работах В. Е. Захарова—А. Б. Шабата [47], [48], Лэма
(G. L. Lamb) [122].
Пусть ип и vm — постоянные невырожденные диагональные
матрицы с различными элементами на диагоналях. С помощью
сопряжения подходящей матричной функцией g(x, t);L-*-gLg-x
и A-+gAg~l можно всегда добиться того, чтобы #^=0,
<v<^_x=0, a = \,...,l. Уравнения B.2) представляют собой
систему п-\-пь матричных уравнений на коэффициенты операто-
операторов L и А. Оказывается, что из первых т уравнений, получен-
полученных приравниванием нулю коэффициентов при ,k = n,...
—1, последовательно находятся Vj(x, t), матричные
элементы которых являются дифференциальными полиномами от
матричных элементов и^(х, t) и некоторых констант hj; a, §=
= 1, ..., /. Подставляя полученные выражения в оставшиеся я
уравнений, получим систему эволюционных уравнений лишь на
коэффициенты оператора L, которые и называются уравнения-
уравнениями типа Лакса. Существует множество схем (см., например,
[24], [44], [45], [48],. [49], [57], [920), которые тем или иным
способом реализуют редукцию общего уравнения B.2) к урав-
уравнениям на коэффициенты оператора L.
Система B.2) представляет собой пучок уравнений Лакса,
параметризованных константами ЛД Например, если (/=1)
?=<Э2+и, A=d3+vld-±-v2, д=д/дх, B.5)
то
Vl = ^u+hlt v2^=~ux^-h2. B.6)
¦и уравнение B.2) эквивалентно пучку уравнений
\ut = uxxx-\-buux-\-Ahxtix. B.7)
Приведем несколько простейших примеров уравнений типа
Лакса.
Пример 1 ([43]). Если (/ = 1)
-\и(х, t)d+w(x, t), А=д*+и(х, t), B.8)
215

терий (Леви—Чивита (Т. Levi-Civita), [125]): система с
гамильтонианом Н(х, р) интегрируема методом разделения пе-
переменных в данной системе координат, если и только если
функция Я удовлетворяет следующей системе уравнений
дНдН д*Н _дН дН дгН дНдН дгН ,
i dPk dx'dxk ~ dPj dxk дх>дрк дх> dpk dpjdx" •"
(суммирования по повторяющимся индексам нет).
Применение- этого критерия к исследованию интегрируемости
(по Гамильтону—Якоби) гамильтоновых систем является нетри-
нетривиальной задачей; продвижения в некоторых специальных клас-
классах гамильтонианов были получены в [105], [107].
В заключение этого параграфа отметим, что указанная вы-
выше система С. В. Ковалевской методом разделения перемен-
переменных не интегрируется, и переменные действие-угол для нее не
были найдены до самого последнего времени (см. ниже гл. 2).
Глава 2
СОВРЕМЕННЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ОБ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ЭВОЛЮЦИОННЫХ СИСТЕМ
§ 1. Коммутационные представления
эволюционных систем
Алгебраический механизм, лежащий в основе процедуры ин-
интегрирования уравнения КдФ с быстроубывающими по х на-
начальными условиями, предложенной в знаменитой работе Гард-
Гарднера, Грина (J. Green), Крускала и Миуры (R. M. Miura) '[114]
¦был прояснен в работе Лакса [124]. Было замечено, что это
уравнение
Ащ = §иих+иххх B.1)
эквивалентно условию коммутации
"*. »-л1=0~ЗГ = И. Ц B-2)
вспомогательных линейных дифференциальных операторов
Начиная с этой работы, все схемы продуцирования новых
уравнений, к которым применим метод обратной задачи, были
основаны на различных обобщениях коммутационного уравне-
уравнения B.2).
214

Первым и наиболее естественным шагом является обобще-
обобщение уравнения B.2) на случай, когда L и А — произвольные
дифференциальные операторы
(•*• o?r B.4)
1=0 Ох ,=о Ох .
с матричными (/X/) или скалярными коэффициентами.
Новые физически важные уравнения, к которым применим
метод обратной задачи, были обнаружены именно на этом пу-
пути в работах В. Е. Захарова—А. Б. Шабата [47], [48], Лэма
(G. L. Lamb) [122].
Пусть и„ и ©„—-постоянные невырожденные диагональные
матрицы с различными элементами на диагоналях. С помощью
сопряжения подходящей матричной функцией g(x, fy-.L-t-gLg-1
и A-^-gAg'1 можно всегда добиться того, чтобы #"=0,
^«^=0, a = i, ..., I, Уравнения B.2) представляют собой
систему п-\т матричных уравнений на коэффициенты операто-
операторов L и А. Оказывается, что из первых т уравнений, получен-
ных приравниванием нулю коэффициентов при , k = п., ...
..., п-\-т—-1, последовательно находятся Vj{x,t), матричные
элементы которых являются дифференциальными полиномами от
матричных элементов uf®(x, t) и некоторых констант kf; a, §=
= 1, ..., /. Подставляя полученные выражения в оставшиеся п
уравнений, получим систему эволюционных уравнений лишь на
коэффициенты оператора L, которые и называются уравнения-
уравнениями типа Лакса. Существует множество схем (см., например,
[24], [44], [45], [48],. [49], [57], [92]'), которые тем или иным
способом реализуют редукцию общего уравнения B.2) к урав-
уравнениям на коэффициенты оператора L.
Система B.2) представляет собой пучок уравнений Лакса,
параметризованных константами hf. Например, если (/=1)
д = д/дх, B.5)
то
Vl = ^u+hx, v2^ux+h2. B.6)
и уравнение B.2) эквивалентно пучку уравнений
4#, = иххх + Quux + 4*!»,. B.7)
Приведем несколько простейших примеров уравнений типа
Лакса.
Пример 1 ([43]). Если (/ = 1)
.L = d*+jtt(x,t)d+w(x,t), A=d*+a(x,f), B.8)
215

то уравнение B.2) приводит к системе
ju( = wx — juxx, B.9)
wt = wxx — uxxx — ^aux. B.10)
Исключая из этих уравнений w, придем для и(х, t) к уравнению
Буссинеска (J. V. Boussinesq)
Zutt-\-(uxxx-\-§uux)x = 0. BЛ1)
Двумерные системы, допускающие представление типа Лак-
Лакса (P. D. Lax) B.2), впервые были обнаружены в [31], [48].
Важным примером таких систем является «двумеризованное»
уравнение КдФ — уравнение Кадомцева — Петвиашвили (КП)
B.12)
В этом случае
1= —ду+дх2+и(х, у, t), A = dx3 + ju(x, у, t)dx +
+w(x,y,t). B.13)
Замечание. Ряд авторов показал, что обычное представ-
представление Лакса для двумерных систем возможно только для опе-
операторов, содержащих дифференцирования не выше первого по-
порядка по одной из- переменных. Например, для двумерного опе-
оператора Шрёдингера Ь=дх2+ду2 + и(х, у) нет ни одного нетри-
нетривиального уравнения типа Лакса. Правильный (нетривиальный)
аналог уравнений типа Лакса для 2+1-систем был позднее
найден в работах [69], [36], [20].
Пример 2 ([47]). Нелинейное уравнение Шрёдингера
(НШ±)
ir,=.re±|r|*r. B.14)
Операторы L и А в этом случае являются матричными и равны
°\д* ¦ 1 \(°Г) д Л д ()]J4 \
)[[ )+@)\+[0 -rqj
Пример 3. Уравнения трехволнового взаимодействия
unt +v12ul2x = i&ul3u23,
* = *e«i3«i2> uij=tiil(x,t), v4=coasi. B.17)
Операторы L и А являются матричными Cx3) и равны
216

B.18)
Пример 4. Цепочка Тоды ((M. Toda) [70], [111], [112]) и
разностный аналог уравнения КдФ 170]. Метод обратной зада-
задачи примени м и к некоторым дифференциально-разностным
системам. Если L и А — разностные операторы вида
1*1-1. B-20)
^т-!. B.21)
то уравнение B.2) приводит к уравнениям
2cn = cn(v^-vn), B.22)
B.23)
с
8
»8
A \
которые, если положить сп =ехр | -^ (.«n+i — ^п))> t)n = A:n, совпа-
совпадают с уравнениями движения, так называемой цепочки Тоды —
гамильтоновой системы частиц на прямой с гамильтонианом
Я=1 2 Рп +2 ехР (**и - ^«)- B.24)
п п
Если в B.20) положить г>„ = 0 и в качестве А выбрать
А% = 2" l^n^n+1%+1 — сп_1Сп_2г[)„_2], B.25)
то B.20) приводит к разностному аналогу уравнения КдФ
jfCn = cn (ся+i — ciii), сл = сп2. B.26)
С каждым оператором L связана целая иерархия уравнений
типа Лакса, которые представляют собой редукцию к уравне-
уравнениям на коэффициенты L уравнений B.2) с операторами А раз-
разных порядков. Одним из важнейших фактов в теории интегри-
интегрируемых уравнений является коммутативность всех уравнений,,
входящих в общую иерархию.
Для уравнения КдФ соответствующие уравнения называют-
называются «высшими уравнениями КдФ». Они имеют вид
21Z

и являются условием коммутативности оператора Штурма—
Лиувилля с операторами d/dt—А, где А имеет порядок 2п+1.
В работе [76] для высших уравнений КдФ было впервые
лспользовано представление отличного от B.2) типа — пред-
представление типа Лакса на матричных функциях, зависящих от
дополнительного спектрального параметра.
Для общего уравнения B.2) такое ^.-представление строится
следующим образом.
Уравнение
Ly=Xy B.27)
эквивалентно матричному уравнению первого порядка
[fc-Ui.(х, t,k)]r(x, t, А.) =0, B.28)
где ?/?-—матрица размерности nl (« — порядок L, / — размер-
размерность матричных коэффициентов L). Вектор У представляет
собой столбец, составленный из векторов d'ldx1 у (х, t, А,);
i=0, ..., п—\.
Матрица Ul имеет следующую блочную структуру
о,
0,
1,
о,
0 ...
1 ...
о,
0,
0
0
, B-29)
0, 0, 0, 1
Действуя оператором А на координаты вектора У и ис-
используя B.27) для выражения дп/дхпу через младшие производ-
производные и параметр А, получим, что на пространстве решений B.27)
уравнение
(±-A)y(x,t, A)=0 B.30)
[dt
эквивалентно уравнению
; V А (Х> I) Л/ I I \Л> Г) AJ — U. (Z.OI)
Матричные элементы VA полиномиально зависят от А, матрич-
матричных элементов и((х, t) и их производных.
Из совместности уравнений B.27) и B.30) следует совмест-
совместность B.28) и B.31). Отсюда
=0. B.32)
Для уравнения КдФ матрицы Uu Vа имеют вид:
218

Впоследствии уравнение B.32), где U и V — уже произволь-
произвольные рациональные функции параметра А,, было предложено в
[49] как общая схема продуцирования одномерных интегриру-
интегрируемых уравнений. Начало этой программы восходит к работе
[93], в которой для интегрирования уравнения sine-Gordon
впервые был введен пример рационального пучка.
Пусть U(x, t, А,) и V(x, t, А,) — произвольные матричные
функции, зависящие рационально от параметра Я:
п hk
U(x, U А.)=аоС*, 0
V(x, t, A,) = t>,
Условие совместимости линейных задач
[А
dd--U(x, U А.)) ЧГ (х, *, А.)-0,
B.36)
(х, ЛЯ.)-0 . V
представляет собой уравнение нулевой кривизны
V\ = 0, B.37)
которое должно выполняться при всех К. Это уравнение эквива-
эквивалентно системе \ + ^^hk-\-2jdr матричных уравнений на не-
известные функции uh3(x, t), vT3(x, t), uo(x, t), vo(x, t). Эти
уравнения возникают при приравнивании нулю всех сингуляр-
сингулярных членов левой части B.37) в точках Я,=Я*, Я, = |ЛГ, а также
свободного члена, равного uot—vOx+'[uo, vo].
Число уравнений меньше на одно матричное уравнение чис-
числа неизвестных матричных функций. Эта недоопределенность
связана с «калибровочной симметрией» уравнений B.37). Если
g(x, t)—произвольная невырожденная матричная функция, то
преобразование
U-t-g^+gUg-1,
B.38)
V-*gig~i + gVg-\
лазываемое «калибровочным», переводит решения B.37) в ре-
решения того же уравнения.
219

Выбор условий на матрицы U(x, t, A,), V(x, t, А,), совместных
с уравнениями B.37) и разрушающих калибровочную симмет-
симметрию, называется фиксацией калибровки. Простейшей калибров-
калибровкой являются условия ио(х, t) =vo(x, t)=0.
Как и в рассмотренном выше случае уравнений коммутации
дифференциальных операторов, уравнения B.37) являются, по
существу, производящими для целого семейства интегрируемых
систем. Если полюса U и V совпадают, то эти уравнения могут
быть редуцированы к пучку уравнений, параметризованных про-
произвольными константами, на коэффициенты лишь U(x, t, X).
При этом, меняя кратности полюсов V, будем получать иерар-
иерархии коммутирующих потоков, связанных с U(x, t, A,).
Важным при выделении из B.37) некоторых специальных
уравнений является вопрос о выделении инвариантных подмно-
подмногообразий уравнения B.37). Эта проблема сводится к описа-
описанию орбит коприсоединенного представления алгебры токов
{94], в рамках которой естественно вводится гамильтонова тео-
теория уравнений нулевой кривизны (см. [25], [30], [85], [ПО]).
Оставляя в стороне дальнейший анализ вопросов редукции
и калибровочной эквивалентности систем, который можно най-
найти в работах [30], [45], [48], [94], '[ПО], приведем два про-
простейших примера.
Если U и V имеют по одному несовпадающему полюсу
и —J-, v = я+1 ,
то уравнения B.37) (после замены x-+l = x' —1'\ t-+r\=x'-\-t')
приводят к уравнениям главного трального поля ([45], [136]I >
щ,+\\и, г>]=0, vz=±[u, v). B.40)
Здесь и (|, r\), v (|, г\) являются токами кирального поля
u = G%G-u, v=G^G~K B.41)
Уравнение B.40) дает
гО^О^О-'Оп+ОпО-^. B.42)
Последние уравнения являются лагранжевыми с лагранжи-
лагранжианом A.68) (токам Л-ц в обозначениях A.68) соответствуют,
как видно из B.41), и и v).
Как было замечено в [23], представление B.37), где U и V
даются формулами B.39), одновременно дает решения урав-
уравнений движения главного кирального поля с «многозначным
добавком». Если в определение соответствующего лагранжиана
A.72) ввести константу связи и, т. е.
¦' Интересно, что впервые этот пример вместе с представлением нулевой
кривизны был открыт в замечательной (но забытой) классической работ©
Гарнье (J.R.EJLM. Gamier) [115].
220

65
то уравнения движения в терминах токов запишутся в виде
.1±? [Ю, а], ^м=-Ь^ [v, и]. B.43)
В методе обратной задачи, как будет подчеркиваться неод-
неоднократно в. дальнейшем, путь построения решений уравнений
B.37) идет через построение с помощью различных схем («оде-
(«одевания», алгебро-геометрических и т. д.) функций т|}(|, г\, А,),
которые по своему построению удовлетворяют уравнениям
B.36) с некоторыми U, V (которые автоматически будут удов-
удовлетворять B.37)). В рассматриваемом случае после того, как
построена тем или иным способом функция г|з(|, г\, X), иско-
искомые решения уравнений движения определяются формулой
В качестве второго примера приведем уравнение sine-Gordon
189], [93]
иг,-4 sin и, B.44)
которое возникло в теории поверхностей постоянной отрица-
отрицательной кривизны. По числу приложений (в теории сверхпрово-
сверхпроводимости, в теориях квазиодномерных проводников, процессов об-
образования пленок на кристаллических подложках, в теории по-
поля), которые приводят к уравнению B.44), это уравнение
относится к числу важнейших в современной математической
физике.
Матрицы U и V имеют, как и в общем случае главного ки-
рального поля, по одному полюсу
B-45)
B.46)
Надо отметить, что автоматическому обобщению уравнений
{2.37) на случай матриц U и V, спектральный параметр кото-
которых определен на алгебраической кривой Г рода большего ну-
нуля (случаю рациональных пучков отвечает g = 0), препятствует
теорема Римана—Роха (G. F. В. Riemann—G. Roch).
Действительно, пусть U(x, t,X) и V(x,t,X)—мероморфные
функции на Г, имеющие полюса суммарной кратности N vt M.
По теореме Римана—Роха [138] число независимых переменных
(т. е. размерность пространства матричных функций с такими
же, как у U и V, полюсами) равна 12(N—g+l) для U и
12(М—g+l) для V. Коммутатор [U, V] имеет полюса суммар-
суммарной кратности Nt-\-M. Отсюда уравнения B.37) эквивалентны
221

F(N-\-M—g+l) уравнениям. С учетом калибровочной эквива-
эквивалентности число уравнений всегда больше числа переменных.
Имеется два пути обойти указанное препятствие. Один из
них был предложен в работах [67], [68], где у матриц U и V
допускались, кроме полюсов, неподвижных относительно х и. tT
gl полюсов, определенным образом зависящих от х, t. Было по-
показано, что при этом число уравнений с учетом калибровочной
эквивалентности равно числу независимых леременных, которы-
которыми (как и в рациональном случае) являются сингулярные час-
части U и V в неподвижных полюсах.
Примером такого уравнения является
\ A ^)__l.Q(c) CxK B.47)
A (i_^)__.Q(c)
Здесь величина Q = ^-Jr(^ определяется через
и не зависит, как легко проверить, от у (?—^-функция Вей-
ерштрасса [100]).
Это уравнение вместе со следующей парой с эллиптическим
спектральным параметром (эллиптическим пучком) было по-
получено в [67]
Матрица U равна
2 о)'
где
л 1 / О О\ в _ 1 (О О
Для 1/ имеем формулы
, .. v . / 0 1
о;?(^А
где
а2
а,—а2 а,—а2 1 ,д I а2—а, а2—а,
—а2)' 2(а,—а2) / \2(а2—ai)' 2(а2
Уравнения B.37) эквивалентны системе уравнений на функции yt,
at, wt, а. Последовательно исключая из этой системы перемен-
переменные wt, которые равны
222

w2 = w u - Щ- + <P (Yi) + <P Ы,
а затем ai (формулы для которых мы здесь опустим) и и (см..
B.48)), придем в конце к уравнению B.47), где
ух = с(х, t)+y, у2=у—с(х, t)+c0.
Каждое решение уравнения B.47) определяет по формуле
8а(х, у, t) = (cxx-l)cj* + M>cxx +
+4с/ (дФ/ дс-Ф)- 2cxxxcjl B.48)
решение уравнения Кадомцева—Петвиашвили (КП).
Уравнение B.47) описывает и деформацию коммутирующих
линейных дифференциальных операторов порядков 4 и 6. Такой
оператор порядка 4 имеет вид:
аJ + Сх (<р (Ya) _ <p (Yl)) ±+±(cx (<P (Y2) - <Р
B.49)=
Уравнение B.47), как показано в [84], единственное из урав-
уравнений вида
ct = const • cxxx+f (с, сх, схх),
обладающих «скрытой симметрией», не сводящееся к обычному
КдФ преобразованиями «типа Миуры» w = w(c, сх,...).
Подстановкой v~t,(c) уравнение B.47) сводится к алгеб-
алгебраической форме
^ х-Л(г»)), B.50)
Рз(и)=4и3—g2v—g3.
Второй путь введения нерационального спектрального па-
параметра основан на выборе специального вида матриц U и V
и успешно реализован лишь в некоторых примерах на эллип-
эллиптических кривых T(g=l). Физически наиболее интересным
примером таких уравнений является уравнение Ландау—Лиф-
шица
St = SxSxx+SxJS, B.51)
где 5 — трехмерный вектор единичной длины, |5| = 1, a /aS =
= /<Ахв — диагональная матрица. Как показано в работах [13],
[137], уравнение B.51) является условием совместности линей-
линейных уравнений B.35), B.36), где BX2) матрицы U и V есть
a (Я.) Sa (х, t) а,*, B.52)
а-1
223

V = - i 2 *>« (x) <J«SpS^s«Pv — 2i 2 о„ (Я,) S«a
a, g, v a
где aa —матрицы Паули (W. Pauli), a
) en (I, k)
(где sn(A,, А), сп(Я,, A), dn(X, A) — эллиптические функции
Якоби [100]).
Параметры /а даются соотношениями
. B.53)
Другим интересным примером являются уравнения анизотроп-
анизотропного ОC)-поля [92]
щ = \и, Jv], Vn = [v, Ja], B.54)
где a, v — токи: a =gng, v=gig~1-
Лагранжиан этой модели равен
)dx. B.55)
Уравнения B.54) эквивалентны B.37), где U и V тесно свя-
связаны с парой для уравнения Ландау—Лифшица и так же, как
и последняя, содержат эллиптическую зависимость от спект-
спектрального параметра.
В течение длительного времени особым случаем выглядело
коммутационное представление
L = \M,L\ B.56)
типа Лакса для уравнений движения системы Мозера — Кало-
джеро (J. Moser—F. Calogero).
Это система частиц на прямой хп с гамильтонианом
N
Н = \ 2 Р* +22 ф(xi-xj), B.57)
л-1 1<]
где <Р — функция Вейерштрасса. Для этой системы L и М ма-
матрицы, вообще не зависящие от спектрального параметра, имеют
вид:
Xj), B.58)
1/)У to-*/). B-59)
224

Представления B.56) достаточны для построения интегралов
системы B.57), равных Л = ^ tr/Л но недостаточны для явного
построения переменных типа углов и интегрирования уравнений
движения в терминах тэта-функций.
Как будет показано в § 5, матрицы L и М допускают введе-
введение спектрального параметра на эллиптической кривой, но при
этом матричные элементы оказываются не мероморфнымй
функциями, а имеющими экспоненциальную существенную осо-
особенность.
Приведенные примеры далеко не исчерпывают все системы,
к которым применим метод обратной задачи. Ряд важных при-
примеров будет приведен и детально разобран в последующих па-
параграфах. Пока же в заключение параграфа подчеркнем еще
раз те основные черты, которые характерны для систем, к ко-
которым применим метод обратной задачи.
Во-первых, все такие A + 1) системы эквивалентны условию
совместности B.37) пары линейных задач B.36), где U(x, t,X)
и V(x, t, X)—мероморфные функции «спектрального парамет-
параметра Я,» (определенного в основных примерах на рациональной
или эллиптической кривых). Во-вторых, каждое такое уравне-
уравнение включается в целую иерархию коммутирующих с ним по-
потоков. Коммутативность потоков позволяет ограничить исход-
исходную систему на множество стационарных точек любого другого
потока, входящего в ту же иерархию.
Ограничение уравнения КдФ на стационарные точки «п-го
высшего аналога» уравнения КдФ послужило отправной точкой
в построении теории конечнозонных операторов Штурма—
Лиувилля и в дальнейшем развитии алгебро-геометрических
методов интегрирования, которые применимы ко всем системам,
допускающим коммутационные представления.
Обзоры различных этапов развития теории конечнозонно-
го или «алгебро-геометрического» интегрирования можно най-
ти в i[34], .[35], [44], [581, [64], [68], '[77].
Стационарные точки «n-ого высшего аналога уравнения
КдФ» описываются обыкновенным дифференциальным уравне-
уравнением
п
~ ,!(**,..., и <2*+1>)=0, B.60)
эквивалентным условию коммутации оператора Штурма—Лиу-
Штурма—Лиувилля L и оператора L\ порядка 2п + 1
[L, I,Q!=0. B.61)
Эти уравнения, как было показано в [76], являются вполне ин-
интегрируемой гамильтоновой системой. В следующем параграфе
будет изложена процедура интегрирования в тэта-функциях
Римана как уравнения B.61), так и ограничения на простран-
15—2538 225

ство его решений уравнения КдФ, а также интегрирования
всех обобщений этих уравнений.
Для общих уравнений Лакса B.2) условие, выделяющее ал-
гебро-геометрические решения этих уравнений, имеет также вид
B.61), где L — оператор B.4), входящий в исходную лаксову
пару, a L\ — вспомогательный оператор. Уравнение B.61) опи-
описывает инвариантное подмногообразие исходного уравнения
B.2). Увеличивая порядок L\, мы будем получать все возраста-
возрастающее семейство таких подмногообразий, которые в ряде случаев1,
(например, для уравнения КдФ) всюду плотны в пространстве
периодических решений.
Задача классификации коммутирующих линейных диффе-
дифференциальных операторов со скалярными коэффициентами с чис-
чисто алгебраической точки зрения рассматривалась в работах
Бурхнала и Чаунди (J. Burchnall, T. Chaundy) [104]. Ими было
доказано, что для таких операторов найдется полином Q(%, (i)
от двух переменных такой, что
Q(L, L0=0. B.62)
В случае операторов взаимно простых порядков каждой точке
кривой Г, заданной уравнением Q (А,, (л.) = 0, соответствует един-
единственная с точностью до пропорциональности совместная собст-
собственная функция ty(x,P), P=(k,[i), операторов L и L\, т. е.
Ii|>(x, Р)=Щ{х, Р), I,i|>(x, Р)=^(х, Р). B.63)
Логарифмическая производная ^х^~1 является мероморфной
функцией на Г, имеющей в общем положении g полюсов yi(*)>
...,yg(x), где g— род кривой Г (остальные полюса не зависят
от х).
В работе [104i]' было доказано, что коммутирующие операто-
операторы взаимна простых порядков однозначно определяются поли-
полиномом Q и заданием точек yi(*o), • • •, yg(xo) общего положения,,
хотя конечных формул получено не было. Программа эффек-
тивизации этих результатов была предложена Бейкером (Н. Ba-
Baker) [98], который указал на совпадение аналитических
свойств ty(x, P) на Г с теми, которые были положены в конце
XIX века Клебшем и Горданом (R. Clebsch, P. A. Gordan) в
основу определения аналога «экспоненты» на алгебраических
кривых (см. в [99J:). К сожалению, программа Бейкера реали-
реализована не была и эти работы были в течение долгого времени
незаслуженно забыты.
Как уже говорилось, уравнения B.61) описывают инвари-
инвариантные подмногообразия уравнений типа Лакса. С этой точки
зрения, эти уравнения были рассмотрены в работах [56], [57],,
в которых результаты 20-х годов были значительно эффективи-
зированы и обобщены на случай операторов с матричными ко-
коэффициентами. Для коэффициентов коммутирующих скалярных
операторов взаимно простых порядков в этих работах были
найдены явные выражения через тэта-функции Римана, кото-
226

рые показали, что общие решения уравнений B.61) в этом
случае являются квазипериодическими функциями. Это позво-
позволило связать локальную теорию коммутирующих операторов
со спектральной теорией Флоке (G. Floquet) операторов с пе-
периодическими коэффициентами, где собственная функция опре-
определяется нелокально — через оператор сдвига на период:
Первые продвижения в задаче классификации коммутирую-
коммутирующих операторов произвольных порядков были получены в [29]
на основе алгебраизации схемы работ [56], [57QI Полностью эта
задача была решена в {65].
В общем случае решения B.63) образуют r-мерное линейное
пространство, где г — делитель порядков операторов L и L\.
Было доказано, что кольцо коммутирующих операторов s& оп-
определяется кривой Г и матричным дивизором ранга г. Восста-
Восстановление коэффициентов операторов по этим данным сводится
к линейной задаче Римана.
В отдельных случаях, как было показано в [660', можно'
исключить необходимость решения задачи Римана и получить,
явные формулы для операторов L и L\ (формула для операто-
оператора L порядка 4, коммутирующего с оператором 6 порядка, бы-
была приведена выше B.49)).
Приведем общее определение конечнозонных решений для
уравнений нулевой кривизны B.37), естественно обобщающее
условие B.61).
«Конечнозонными» или алгебро-геометрическими решениями
уравнений, допускающих коммутационное представление, бу-
будут называться такие решения, для которых найдется матрич-
матричная функция W(x, t, X), мероморфно зависящая от параметра
X (который определен на той же кривой, что и параметр в U
и V) такая, что
'?; — U(x, t, X), W(x, t, Я.)] =0, B.64>
±-V(x, t, X), W(x, t, A.)] =0. B.65)'
Уравнения B.64), B.65), которые в таком определении играют
лишь вспомогательную роль в процессе интегрирования исхода
ного уравнения B.37), как будет видно в дальнейшем, имеют
и самостоятельный интерес. К ним сводятся практически все
интересные примеры конечномерных гамильтоновых систем, ин-
интегрируемых методом обратной задачи.
§ 2. Алгебро-геометрическая интегрируемость
конечномерных Я,-пучков
Основной целью этого параграфа является изложение про-
процедуры интегрирования уравнений B.64) и B.65).
Обозначим через Ч?(х, t, X) фундаментальную матрицу ре-
решений уравнения !
15* 22Г

/4—?/(*,*, A.) W (*,*,*.) =0,
) B-66)
(tX)O
нормированную условием
Y@, 0, X) = l. B.67)
Из B.64) следует, что
W(x, t, X)V(x, t, X) B.68)
также является решением уравнения B.66). Любое решение
B.66) однозначно определяется своими начальными условиями
и имеет вид Ч?(х, t, X)G(X), где G не зависит от (я, t). Учиты-
Учитывая условия нормировки B.67), получим, что
W(x, t, X)V(x, t, X)=V(x, t, X)W@, 0, X). B.69)
Следовательно, коэффициенты характеристического уравнения
Q(X n)=det(W(x, t X)— ц-1)=0 B.70)
являются интегралами уравнения B.64), B.65). Они являются
лолиномами от матричных элементов W или, как было объяс-
объяснено в предшествующем параграфе, дифференциальными по-
полиномами от основных фазовых переменных — матричных эле-
элементов U(x, t, X).
В общем положении уравнение B.70) определяет неособую
алгебраическую кривую F (т. е. компактную риманову поверх-
поверхность) , каждой точке которой (т. е. паре (X, ц)) отвечает един-
единственный до пропорциональности собственный вектор h матри-
матрицы W
W(x, t, X)h(x, t, y)=iih(x, t, у); у=(Х, ц)бГ. B.71)
Замечание. Понятие общего положения в данном во-
вопросе не является вполне тривиальным. Хотя уровни интегра-
интегралов уравнения B.64), для которых собственные значения W
тождественно по X являются г кратно вырожденными (г обязан
быть делителем /-размерности W), безусловно, имеют ненуле-
ненулевую коразмерность, но, как показывают результаты работ [30],
1[65], в процедуре восстановления по этим данным матриц U и
,V появляются дополнительные функциональные параметры.
Развитие этого направления, приведшего к конструкции конеч-
нозонных решений ранга г>1 для двумерных уравнений типа
Кадомцева—Петвиашвили, зависящих от функциональных па-
параметров (см. [66], [670', [68J), останется вне рамок этой статьи.
Нормируем вектор h, потребовав, например, чтобы
hi(x, t, y) = 1 или 2ht(x, t, т) = 1. В том и в другом случае все
координаты hi(x, t, у) являются рациональными функциями X
и (х, т. е. мероморфными функциями на кривой Г.
228

Если ЦГ1(х, t, Я,) —столбцы матрицы У(х, t, X), то из B.69)!
и B.71) следует, что вектор-функция
t, у) = 2 А/ @. °> i)W (х, t, X); Y=(b> (*). B.72)
одновременно удовлетворяет уравнениям
U(x t
(x, U Y) = 0, B.73>
W (x, t, X) ф (x, Л Y) =И> (x, *, Y). B.74)
Кривая Г /-листно накрывает ту кривую Г, на которой опре-
определен параметр X. Вне полюсов Я,,- матриц U, V матрица
^?(х, t, X) является голоморфной функцией параметра X.
Следовательно, вектор-функция -ф(л:, t, у) мероморфна на Г вне
точек Ра—-прообразов полюсов Х{ матриц U, V. (Заметим,
что над точками X кривая Г может ветвиться.) Полюса -ф (х, t,y)
совпадают с полюсами й@, 0, у) и поэтому не зависят от
х, t.
Ограничимся далее случаем рационального пучка (т. е. X
определено на обычной комплексной плоскости). Рассмотрим
матрицу Н(ху t, X), столбцами которой являются векторы
h(x, t, yt), где 7i= (^. ^0 — прообразы точки А, на Г при естест-
естественной проекции Г-*С, (X, (х)-*-Я,.
Функция
r(x, t, X) - (dettf(x, t, X))* B.75)',
не зависит от нумерации уг и поэтому является корректно опре-
определенной функцией X. Так как hi(x, t, у) мероморфны на Г,
то r(x, t, X) —рациональная функция X. Она имеет двукратные
полюса в образах полюсов h(x, t, у) и нули в точках, над ко-
которыми Г ветвится. Число полюсов у г равно числу нулей. От-
Отсюда
2tf=v, B.76)
где v — число точек ветвления с учетом кратности. Известна
формула, связывающая род g гладкой кривой Г, /-листно на-
накрывающей С, с числом точек ветвления [138]
2g—2-v—21. B.77).
Следовательно, число полюсов у h(x, t, у), а значит, и у ф
равно
N=g+l-L B.78)
Найдем теперь поведение ty(x, t, у) в окрестности точек
Ра — прообразах полюсов U(x, t, X), V(x, t, X).
229

Из B.71) и B.74) вытекает, что векторы h и г|з пропорци-
пропорциональны
ф(х, U у) = /(х, t, y)h(x, t, у). B.79)
Обозначим через У (х, t, X) матрицу, столбцами которой
являются векторы ^ (х, t, yt), у{ = (Х, (хг), а ч,ерез F (х, t,'X)
диагональную матрицу, Ftj(x, t, Х) = /(х, t, Уг) Si;~ Тогда B.79)
можно записать в виде
1Г(х, t, Х) = Н(х, t, X)F(x, t, I). B.80)
Имеем
U(x, t, X) =%Ъ'~1 =НХН~Х + HFxF'lH-\
V(x, t, X)=^if-1=fftH-1+HFiF-1H~l. B-81)
He ограничивая общности, можно считать, что И регулярна
и невырождена в точках Xt. Отсюда получаем, что FxF~l по
модулю 0A) совпадает с собственными числами сингулярной
части U(x, t, X) в Х(. Аналогично для FtF~l.
Таким образом, в окрестности Ра
/(х, t, у) = ехр (?«(*, t, ka))fa(x, t, У). B.82)
Здесь k~l (P) — локальный параметр в окрестности Ра,
k~1(Pa)=0, qa(x, t, k) полином по k, а /а —регулярная
функция в окрестности Ра.
Суммируя, приходим к следующему утверждению.
Теорема 2.1. Вектор функция ty(x, t, у)
1°. Мероморфна на Г вне точке Ра. Ее дивизор полюсов
не зависит от х, t. Если W — невырождена, то в общем поло-
положении кривая Г неособа. Число полюсов i|j (с учетом кратности)
равно g+l—1, где g — род кривой Г.
2°. В окрестности точек Ра ty(x, t, у) имеет вид:
$(х, t, у) = \У,Ы(х, t)k-4exp(qa(x, t, k*)), B.83)
V-o /
где первый сомножитель — есть разложение по локальному пара -
метру ^i==A-1(y) голоморфного вектора, a qa (x, t, А)—поли-
А)—полином по k.
Основная идея алгебро-геометрического варианта обратной
задачи состоит в восстановлении по перечисленным аналитиче-
аналитическим свойствам вектора 1|з(х, t, у). Специфика этих свойств га-
гарантирует существование U(x, t, X) и V(x, t, X), W(x, t, X) та-
таких, что имеют место B.66), B.69). Следствием совместности
Этих систем являются уравнения B.37), B.64), B.65).
230

Развитие основных этапов теории конечнозонного интегри-
интегрирования, как уже говорилось, отражено подробно в '[44] и об-
зорах '[34], [ЗЩ, [37], [58], [64], [68], [77], [109].
Прежде чем перейти к процедуре восстановления if, приве-
приведем необходимые сведения из классической алгебраической
теометрии римановых поверхностей и теории тэта-функций.
Любая компактная риманова поверхность может быть зада-
задана уравнением
Я (А., ц)=2а„А.у, B.84)
где i, / пробегают некоторый конечный набор целых чисел.
В общем положении эта кривая будет неособой. Род этой кри-
кривой удобно находить с помощью так называемого многоуголь-
многоугольника Ньютона, которым называется выпуклая оболочка целых
точек с координатами i, j, для которых пцфО в B.84). Род
кривой равен числу целых точек, лежащих внутри многоуголь-
многоугольника Ньютона.
Базис голоморфных дифференциалов (первого рода) на не-
неособой кривой имеет вид:
$о^ B-85)
i,.j принадлежат внутренности многоугольника Ньютона.
На кривой Г можно выбрать базис циклов аь ..., ag, bu ...
,.., bg со следующими индексами пересечений
а( о арб. о &j = 0, a<° 6} = 8^. B.86)
Беря подходящие линейные комбинации, .мы получим кано-
канонический базис голоморфных дифференциалов
©I,..., Wg, B.87)
нормированных условиями
|г=бг., U A = l,..., g. B.88)
ak
Матрица
Bik=§ (Dj B.89)
называется матрицей периодов римановой поверхности Г. Она
симметрична и имеет положительно определенную мнимую
часть. Единичные базисные векторы в Cs и векторы Bt с коор-
координатами В« порождают решетку в Cs, фактор по которой
является 2^-мерным тором Г2«=/(Г), называемым многообра-
многообразием Якоби (или якобианом) кривой Г.
Тэта-функция Римана поверхности Г строится по матрице В
6 B) = 2 ехР № < BN> N
231

z = (г„ -.., zg), N=(NV..., Ng), B.90)
(N, z) =N1z1 + ... +Ngzg,
(BN, N) = ^BtjNtN}.
Эта функция является целой. При сдвиге аргумента на вектор-
решетки она преобразуется по закону
Q(z+N + BAt) = exp(—ni((BM, M) +2<z, ЛГ>))в(г),
N, MeZs. B.91)
Часто используются также тэта-функции с характеристиками
в [a, flB) = exp(jti(<Sa, a> +2<z+p\ a)))B(z+p+Ba),
а, ре/?*. B.92)
Характеристики [[а, р], для которых все координаты a, p рав-
равны 0 или 1/2, называются полупериодами. Полупериод [а, р]
четный, если 4<а, Р> = 0 (mod2), и нечетный в противном слу-
случае.
Отображение Абеля римановой поверхности Г в ее много-
многообразие Якоби А (Р) = (Ai(P),..., Ag(P)) задается следую-
следующим образом
р
Аь(Р) = $щ, B.93),
Q
где Q — фиксированная точка на Г.
Дивизор на Г — это формальная целочисленная комбинация-
точек на Г,
Z?=2n4Pi, nteZ. B.94)
Для любой мероморфной на Г функции / определен дивизор-
,(/) ее нулей Ри • • ¦, Рп и полюсов Qi,..., Qm (с кратностями
Рь • ¦ •, Рп, <7ь ..., qm соответственно)
Ш=/яЛ + -+Р.Л.—9iQi q™Qm B.95)
(такие дивизоры называются главными).
Дивизоры образуют абелеву группу. Степенью дивизора
называется число
deg/)=2n4. B.96)
Отображение Абеля (N. H. Abel) B.93) линейно продолжается
на группу всех дивизоров.
Положительным D^O (эффективным) называется дивизор,.
для которого все п(^0.
Для любого дивизора D ассоциированным с ним линейным
пространством l(D) называется пространство мероморфных
функций / на Г таких, что
232

Размерность этого пространства дается теоремой Римана—
Роха ;[138]. Для дивизора степени, больше либо равной g,
d\ml(D)^degD—g+l. B.97У
Для дивизоров общего положения B.97) является равен-
равенством. Соответствующие дивизоры называются неспециаль-
неспециальными.
Рассмотрим отображение Абеля неупорядоченных наборов-
Pi,.:.,Pe точек Г, т. е. g-ой симметрической степени Г
A(Plt ...,/у = 2Л(Р')- B-98>
i
Задача обращения этого отображения известна как задача
обращения Якоби. Ее решение (Риман) дается на языке тэта-
функций. Именно, если для вектора ¦?= (?ь • • • »?g) функция.
Q(A(P)—?) не равна тождественно нулю на Г, то Она имеет на
Г ровно g нулей Ри ..., Ps, дающих решение задачи обращения
Л(Л),+ ...+Л(Рй)=?-Х B.99)
где Ж=(Жи ¦••, Xt)—вектор римановых констант [34], за-
зависящих только от римановой поверхности, выбора на ней ба-
базиса циклов и начальной точки отображения Абеля.
Теперь мы готовы перейти к решению обратной задачи вос-
восстановления «собственного» вектора ^ (х, t, у) операторов
B.64), B.65) по его аналитическим свойствам.
Основным алгебро-геометрическим инструментом в теории
конечнозонных линейных операторов и в алгебро-геометричес-
ком варианте метода обратной задачи являются функции
Клебша—Гордана—Бейкера—Ахиезера. Общее определение та-
таких функций, включая многоточечные, было дано в [57] на
основе обобщения аналитических свойств блоховских собствен-
собственных функций операторов с периодическими и почти периоди-
периодическими коэффициентами [33], [37]; [50]. Многоточечными
функциями называются функции, имеющие существенные осо-
особенности типа экспоненты в нескольких точках. Такие одно-
одноточечные функции («типа экспоненты» ехр(Ъ;), где X—на ал-
алгебраической кривой) были введены в XIX веке Горданом и
Клебшем (см. [99]). Их связь с совместной собственной функ-
функцией пары скалярных коммутирующих операторов взаимно
простых порядков отмечена впервые Бейкером в работе [98];
Н. И. Ахиезером [2] были указаны примеры интерпретации
таких функций в спектральной теории операторов на полупря-
полупрямой. Связь с периодическими задачами до начала 70-х годов
известна не была (см. § 6).
Оределение. Пусть Pv ... Рп — точки на римановой
поверхности Г рода g; fe (P), локальные параметры в окрест-
233

ностях этих точек, k~l (Р„)=0, а = 1, ...,п, q^k), ...,qn(k) —
набор полиномов, D — дивизор на Г. п-точечной фунцкией
Бейкера—Ахиезера, задаваемой этими данными, называется
функция: а) мероморфная на Г вне точек Ра, причем дивизор ее
лолюсов и нулей (if) удовлетворяет условию (ijj)+Z)^O;
б) при Р-*Ра произведение ijj(P)exp(—qa(ka.(P)) аналитично.
Теорема 2.2. Для неспециального дивизора D степени N
размерность линейного пространства функций с перечисленны-
перечисленными свойствами равна N—g+1. В частности, если D набор g
точек общего положения, то -ф определена однозначно с точ-
точностью до множителя. Она имеет вид:
B.100)
Здесь Qqcc—нормированный абелев дифференциал второго рода
с главной частью в точке Ра вида dqa (ka (P)) (нормирован-
ность означает
B.101)
при этом условии Q4a существует и единственен); вектор
2ш и(Ча) — вектор й-периодов дифференциала й?а; ?, = A(D)-\-2C.
Доказательство формулы B.100) сводится к проверке того,
что она корректно определяет функцию на Г. Изменение пути
интегрирования от Q до Р приводит к сдвигу аргументов
тэта-функций на вектор решетки периодов, N -\-ВМ. Показа-
Показатель экспоненты сдвигается на 2да ( У] UDa\ M > .
Из B.92) следует, что значение i|)(P) не зависит от выбора
пути интегрирования. Из B.100) следует, что функция облада-
обладает всеми нужными аналитическими свойствами.
В силу теоремы 2.1, каждому конечнозонному решению ран-
ранга 1 уравнений B.37), т. е. решению системы B.64), B.65) со-
сопоставляется риманова поверхность Г, которую в общем поло-
положении можно считать неособой, набор полиномов qa(x,t,k) и
неспециальный дивизор степени g-\-l—1, где g — род кривой Г.
Воспользуемся теоремой 2.2 для построения обратного отобра-
отображения.
Итак, пусть задан перечисленный выше набор данных. Вы-
Выберем в линейном пространстве функций Бейкера—Ахиезера,
отвечающих этим данным, произвольный базис tyi(x, t, P) (по-
(полиномы qa(x,t,k) зависят от х и t, как от параметров; от этих
же параметров будет, очевидно, зависеть и %).
234

По теореме 2.2 в качестве % можно выбрать функции, за-
заданные формулой B.35), в которой ? положено равным
e-i
S; =2 А (Ps) + A (Pg-1+i) +CW. B.102)
Теорема 2.3. Пусть ф (х, t, Р) — вектор-функция, коорди-
координатами которой являются построенные выше %(*, t,P). Су-
Существуют единственные рациональные по X матричные функ-
функции U(x, t, X), V(x, t, X), W(x, t, X) такие, что
py, Р = (Х,ц). B.103)
Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть мат-
матрицу *Р (х, t, X), столбцами которой являются векторы
ty(x, t, Pj), Pj(X,\ij). Эта матрица зависит от нумерации
столбцов (т. е. точек Pj), однако матрицы
(дхЪ)Ч-1, (д^)У-1, %У'г B.104)
определены уже корректно (т. е. не зависят от этой нумерации)
и в силу аналитических свойств ^ являются рациональными
¦функциями X. Эти матрицы обозначаются через U, V, W соот-
соответственно. Здесь (х-диагональная матрица, .равная my=fijSi;-.
Используя ход доказательства равенства B.78) в обратную
сторону, получим, что det?^=O, если X не есть точка ветвле-
ветвления. Отсюда следует, что U, V имеют полюса лишь в проек-
проекциях отмеченных точек Ра, a W—в проекциях точек на Г, где
\i имеет полюса.
Следствие. Матрицы U,V,W, построенные по формулам
B.104), удовлетворяют уравнениям B.37), B.64), B.65).
Замечание. Формулы B.104) дают наиболее экономный
путь доказательства теоремы вообще, относящейся к произволь-
произвольным рациональным пучкам. Однако в большинстве случаев,
особенно отвечающих редукциям уравнений, явное вычисление
матриц [/, V, W проводится из требования, чтобы в окрестно-
окрестностях Ра имели место сравнения:
<ЭД>(лг, U P)-U(x, t, X)$(x, t, P) (modO(l)exp qa(x, t, ka)
(и аналогичные сравнения для V и W). При этом матричные
элементы U, V, W оказываются дифференциальными полинома-
полиномами от lsa(x, t) разложения B.83) регулярной части г|> в точке
Ра. Этот путь будет прослежен подробно далее на примерах
построения конечнозонных решений уравнений типа Лакса
(см. [34], [56], [57], [583).
В построении вектора тр(х, t, P) по набору данных, приве-
приведенных перед теоремой 2.3, имеется произвол, связанный с воз-
возможностью выбора различных базисов % в линейном простран-
пространстве функций Бейкера—Ахиезера, отвечающих дивизору полю-
полюсов D.
235

Этому произволу, при котором 1|з (х, t, P), переходит в
g(x, t)ty(x, t P), где g—невырожденная матрица, соответству-
соответствует калибровочная симметрия B.38) уравнений B.37), B.64),
B.65), (матрица W переходит при таком преобразовании в
W^gWg-1). _ B.105)
Рассмотрим две вектор-функции ty(x, t, P), ty(x, t, P), отве-
отвечающие двум эквивалентным дивизорам D и D. Эквивалент-
Эквивалентность этих дивизоров означает, что существует мероморфная
функция f(P) такая, что ее полюса совпадают с D, а нули с
Ъ: Из определения следует, что компоненты ^ обладают теми
же аналитическими свойствами, что и компоненты вектор-
функции 1|э(.к, t, P). Значит,
*(x,J,P)=g(xtt)nP)*(x,t,P), B.106)
и функции -ф и г|> определяют калибровочно-эквивалентные ре-
решения.
Будем рассматривать как уравнения B.37), B.64), B.65),
так и их решения с точностью до калибровочных преобразова-
преобразований B.38.), B.105). Из B.105) и определения Г B.70) следует,
что калибровочные преобразования оставляют инвариантными
кривые Г.
.Теорема 2.4. Множество конечнозонных решений (рас-
(рассматриваемых с точностью до калибровочной эквивалентности),
отвечающих неособой кривой Г, изоморфно тору — /(Г)-много-
/(Г)-многообразию Якоби этой кривой.
Утверждение теоремы следует из того, что в силу известной
теоремы Абеля два дивизора эквивалентны тогда и только тог-
тогда, когда
deg?)-=deg?>, A (D)==A {D).
Знак сравнения подразумевает сравнение по модулю периодов
якобиана кривой Г.
Коэффициенты полинома Q(k, (j,) являются интегралами
уравнений B.37), B.64). Сформулированная теорема означает,
что множество уровней этих интегралов является в общем по-
положении тором.
Для специальных значений интегралов, при которых поверх-,
ность Г имеет особенности, многообразие уровней этих инте-
интегралов изоморфно обобщенному якобиану кривой, который
представляет собой произведение тора на линейное простран-
пространство.
Многосолитонным и рациональным решениям уравнений
B.37) отвечают рациональные кривые с особенностями. Раз-
Разным типам особенностей отвечают и разные типы решений. На-
Например, в случае особенностей типа самопересечений получа-
получаются многосолитонные решения (см., например, для уравнения
КдФ § 10, [450), а в случае особенностей типа «клюва», полу-
получаются рациональные решения.
236

Рассмотрим подробнее ряд примеров, связанных с гиперэл-
гиперэллиптическими кривыми. Как уже говорилось, конечнозонные
решения уравнения КдФ являются ограничением этого уравне-
уравнения на стационарные точки одного из высших аналогов уравне-
уравнения КдФ. Они удовлетворяют обыкновенному дифференциаль-
дифференциальному уравнению, эквивалентному операторному уравнению
[L, Лп1=0, B.107)
где Л„ — дифференциальный оператор порядка 2п+1. Это урав-
уравнение допускает, как было показано выше, ^-представление
B.32), где UL имеет вид B.33), а
1). B.108)
Отсюда характеристическое уравнение B.70),
задает гиперэллиптическую кривую Г. Коэффициенты полинома
-I
являются полиномами от и, и',..., и{2п+1) и, по-доказанному, —
интегралами уравнения B.107).
Кривую Г можно представлять склеенной из двух экземпля-
экземпляров Х-плоскости вдоль разрезов, соединяющих Е{ — нули поли-
полинома /?2n+i и бесконечно удаленную точку Е=оо
Рис. 1
Для вещественных и(х) Et являются простыми точками
спектра периодической и антипериодической задач для опера-
оператора Штурма—Лиувилля (J. С. F. Sturm—J. Liouville)
^ ), B.110)
отрезки [E2i-u E2H—разрешенные зоны спектра L на всей оси,
iE2i, E2i+i\, t = l,.... п, — запрещенные зоны. (Подробнее о
спектральной теории конечнозонных операторов см. § 6.)
237

В качестве а-циклов удобно выбрать циклы, расположенные
над запрещенными зонами, а в качестве й-циклов — циклы,,
охватывающие отрезок [Ei, -EWJi вещественной оси.
Пусть ¦$(x,.t,P)—функция Бейкера—Ахиезера, имеющая п
полюсов (п — род Г) vi,..., 7„ и вид в окрестности Р0=°о
( \
яр (х, t, Р) = exp (kx+ kH) 1 + 2 is(x,t) к" , B.111>
V
По теореме 2.2 она существует и единственна. Пусть
а(х, *) = 2gi', тогда прямая подстановка B.111) дает
(-д/+а(х, t)+*-)y(x, U Р) = е**+*"О(уИ). B.112)
Функция $(х, t, P), равная левой части B.112), удовлетворяет
всем требованиям, определяющим яр, кроме одного. Ее разложе-
разложение B.111) в окрестности Ро начинается с |iA-1+ ••• • Из един-
единственности яр следует, что яр = О.
Аналогично, существуют единственные функции vx (x, t) и
V2(x, t) такие, что
Ay-d$ = O{k-x)ekx+k4, B.113)
где
A = dx3-\-v1dx-{-v2. B.114)
Из B.113) имеем
Совместность B.113) и B.112) эквивалентна уравнению КдФ-
Нормированные абелевы дифференциалы второго родр., име-
имеющие полюса в Ро второго и четвертого порядков, представимы
в виде:
-s^ + ^FiX"-1
i=1 dX, B.116)
(X)
2л+1 2л+1
где /?(Х)
Коэффициенты гг, гг определяются J условиями нормировки
238

По теореме 2.2
c = c(jc, t), B.
где
= fQ<2), B.119).
ir,
QD). B.120)
Если в качестве начальной точки отображения Абеля выбрать.
Ег, то после явного вычисления вектора римановых констант
получим
2J. B.121)
В окрестности Ро имеем
) B.122)
и, разлагая B.118), придем окончательно к формуле Матвее-
Матвеева—Итса [50] для конечнозонных решений уравения
и(х, 0='—2dx4nQ(Ux+Vt—C)+const. . B.123)
Замечание 1. Построение конечнозонных решений урав-
уравнения КдФ выше было проведено с помощью исходного комму-
коммутационного представления без явного перехода к Х-представле-
нию B.32) в матрицах BX2). Для сопоставления с теоремами
2.1, 2.2 укажем лишь, что компонентами вектора -ф(лг, t, X), фи-
фигурирующего в их формулировке, являются -ф (лг, t, X) и
¦фж(л:, t, X). Дивизор полюсов -ф совпадает с дивизором полюсов
¦ф(л:, t, X) и с точкой Ро.
Укажем еще, что теорема 2.3 сопоставляет алгебро-геометри-
ческим спектральным данным: Г, yi. •••iY^ кроме операторов L
и А, матрицу W, являющуюся Wa = ^-представлением опера
тора Ап из B.42). Сам оператор Ап по этим данным восстанав-
восстанавливается аналогично построению оператора L.
Его коэффициенты однозначно определяются из сравнениях
Л„1ра|Х1р (mod ekx+mO (k-1)), (j,=^+1 -f a^2"'1 +
239

Из сравнения следует точное равенство
АпМ?(х, t, P) = li(P)Mf(x, t,P); (\i,X)=P.
Замечание 2. В ряде приложений полезными оказывают-
оказываются уравнения движения у,-(я, 0 нУлей блоховской функции
и|з (х, t, P), которые впервые были получены в [ЗЗЗ.
Для этого рассмотрим функции ifxifr1 и ф^ф. Функция
дрхф-1 имеет полюса в точках ViC-^i О И вид k + O(k~l) в окрест-
окрестности Ро. Значит, она однозначно представима в виде
(x, t, X)
где Р(х, t, X) — полином степени (л—1). Он однозначно опреде-
определяется из того, что ty^ijr1 имеет полюс над Я = у* лишь при
одном знаке ]/7? (например, при знаке плюс). Значит,
Р(х, U yi(x, t))=VR(yt(x, t)).'
В окрестности полюса ^яр имеем
Ъ yt'lx, t) , оа) ,_±_
у — х-У1(х, t) ^u(l>' Yi —dx4i-
Сравнивая предшествующие равенства, найдем окончательно
у/ (x, t) =
ПGг(лг, i)—yj(x, i))
Аналогично
л, повторяя вывод уравнений для у/, получим
П (Vi—Т/)
Изоморфизм Абеля B.38) линеаризует эти уравнения на яко-
якобиане /(Г).
В качестве второго примера рассмотрим построение конеч-
нозонных решений уравнения sine-Gordon B.44), которые
впервые были получены в [52].
Из B.64), B.65) следует, что TF(|, r\, 0) коммутирует с син-
сингулярной частью U в Х = 0; W(%, x\, схз) коммутирует с сингуляр-
сингулярной частью V в точке Х=оо. Отсюда гиперэллиптическая кри-
кривая Г, отвечающая конечнозонному решению уравнения sine-
Gordon, имеет в точках Х=0, А,=.оо ветвления.
240

Не прослеживая буквально ход доказательства теоремы 2.1,
приведем вид вектор-функций Бейкера—Ахиезера для этого
уравнения. Компоненты Ф<(|, r\, Р) имеют п полюсов у< вне
точек ветвления Р+ и Р_, расположенных над Х=0, Я=оо. В
окрестности этих точек
/со \
2 BЛ24)
BЛ25)
Функции ярг однозначно определяются нормировкой
(Дивизор D степени п+1 — 1 =m-J- 1 равен Yi + • • • +1
Из определения i|n и ty2 следует, что д„т|I и Хфг обладают
одинаковыми аналитическими свойствами. Значит, они пропор-
пропорциональны. Для вычисления константы пропорциональности
нужно сравнить коэффициенты при члене %}12 в разложении
этих функций в Р+. Имеем
д^х=е-1а%%, еЧи=^. B.126)
Аналогично
B.127)
Таким же образом доказывается, что
B.128)
Следствие. Функция и(|, t), определенная из B.126), Q
является решением уравнения sine-Gordon-
Найдем ее явный вид. Аналогично теореме 2.2 показывается,
что
/ р р р \
%(Ь Л. Р) = гп(%, л)-ехр(|
X
Здесь Q^—нормированные абелевы дифференциалы с полюсами
второго порядка в точках Р±, Q+_ — дифференциал третьего рода
с вычетами ±1 в Р±, 2яШ±, 2niV — векторы й-периодов этих
дифференциалов.
16—2538 241

Множитель гп(|, х\) выбирается из условия равенства пред-
экспоненциального множителя единице в точке Р+. Тогда %оп~
равно значению этого множителя в Р~.
Окончательно придем после простых вычислений к следую-
следующему выражению для конечнозонных решений
Отметим, что вектор V равен полупериоду, так как в силу со-
соотношений Римана и теоремы Абеля
2V=2(A(P+) —Л(Р_))=0
(последнее сравнение имеет место, поскольку дивизоры 2Р+ и
2Р- — эквиваленты, являясь нулями и полюсами X на Г).
До сих пор речь шла о построении комплексных решений
нелинейных уравнений, допускающих коммутационное пред-
представление одного из перечисленных видов. Выделение среди
них вещественных неособых решений оказывается сравнительно
простым в тех случаях, когда вспомогательная линейная за-
задача
Li|)=b|> B.132)
для.представления Лакса, или
)>=0, B.133>
в случае общего представления B.37), является самосопряжен-
самосопряженной. Однако почти для всех нелинейных уравнений (нелинейное
уравнение Шрёдингера, уравнение sine-Gordon, уравнения не-
нелинейного взаимодействия волновых пакетов и т. д.) соответ-
соответствующие линейные задачи не являются самосопряженными.
Типичные условия, выделяющие физически интересные ве-
вещественные решения, имеют один из следующих типов
U(x, t, X)=JU+(x, t, а(Л))/-1, B.134)
U(x, t, X)=JO(x, t, a(X))J~l, B.135)
где крест означает эрмитово сопряжение, а(Х) — антиголоморф-
антиголоморфная инволюция Х-плоскости (например Х-+Х, Х-^-Х'1) и / — диа-
диагональная матрица с элементами ек=±1.
Так как этим же условиям вещественности можно подчи-
подчинить и матрицу W(x, t, X), то возникающие при построении
вещественных конечнозонных решений кривые Г, заданные
уравнением B.70), являются вещественными, т. е. на них опре-
определена антиголоморфная инволюция
т : Г^Г,
оставляющая выделенные точки Ра неподвижными, либо- пере-
переставляющая их определенным образом.
242

Описание типов вещественных кривых и, что самое трудное
и интересное, расположение на них полюсов у< функций Бей-
кера—Ахиезера, приводящих к вещественным решениям, ставит
задачи вещественной алгебраической геометрии, которые до-
сравнительно недавнего времени были совершенно не разрабо-
разработанными. (Первые серьезные продвижения в решений этих
задач применительно к нелинейному уравнению Шрёдингера,.
уравнению sine—gordon были сделаны в [91], хотя полученные
в этих работах результаты и далеки от эффективности.)
Подробное изложение недавних достижений в вещественном
конечнозонном интегрировании приводится в ![5], '[35], [38],.
[108]. Здесь же на двух разобранных выше примерах* опишем
два основных типа инволюций на множестве дивизоров, различ-
различные сочетания которых дают все известные пока условия ве-
вещественности.
Пусть Г — вещественная гиперэллиптическая кривая, т. е.
кривая, заданная уравнением B.109) с вещественным полино-
полиномом /?2п+ь Если набор точек Yi»---»Yn инвариантен относитель-
относительно антиголоморфной инволюции
и ty (х, t, Р) — отвечающая им функция Бейкера — Ахиезера» то*
у(х, U т (/>)) = ip (х, U Р), B.136)
так как и правая, и левая части обладают одинаковыми анали-
аналитическими свойствами и равны между собой в силу единствен-
единственности if). Отсюда сразу следует, что соответствующее конечно^
зонное решение и(х, t) уравнения КдФ вещественно.
Предположим теперь, что т имеет на Г га+1 неподвижный
овал аи ..., ag+u на одном из которых лежит точка Р0=сог
(В вещественной алгебраической геометрии кривые рода g с
g4-l вещественным овалом называются М-кривыми.) В рас-
рассматриваемом случае это означает, что все точки ветвления
Et являются вещественными.
Если точки у; расположены по одной на каждом овале,.
y^ai то и(х, t) не имеет особенностей. Действительно, как вид-
видно из.построения -ф, полюс у и(х, t) возникает лишь тогда, ког-
когда один из п нулей -ф попадает в Ро (при этом Q(Ux+Vt—?) =
= 0). Но -ф на вещественных овалах в силу B.136) вещественна.
Так как т|з имеет на каждом а4 полюс, то она имеет, по край-
крайней мере, и один нуль. Так как всего нулей п, то они отделены:
от Ра.
Для вещественности конечнозонных решений уравнения si-
sine-Gordon необходима вещественность гиперэл"липтической
кривой Г [52]. Рассмотрим на ней антиинволюцию
16* 24а

Действие этой антиинволюции на локальных параметрах k±
таково, что
Пусть дивизор полюсов я|)„ (|, т], Р) удовлетворяет условию -
?>+т(?>)=Я+Р+ + Р_, B.137)
где К — канонический класс, т. е. дивизор нулей голоморфного
дифференциала на Г.
Условие B.137) означает, что D, t(D) являются нулями диф-
дифференциала третьего рода
а_<& А.**1 + а,А,д + ... + ссп+1 B 138)
с полюсами в точках Р±.
Рассмотрим дифференциал
*i(g.4.-P)iiE.4.t(P))«B. B.139)
Из B.124) и B.137) следует, что это мероморфный дифферен-
дифференциал с единственными полюсами в точках Р±. Вычет этого диф-
дифференциала в Р+ равен 1. Так как сумма вычетов любого ме-
роморфного дифференциала равна нулю, то
X5i'X5I = l- B-140)
Аналогично, рассматривая дифференциал
М>2 E, Л' Р) ^2 (S, Л, Т (Р)) СО,
получим
Значит, согласно B.126),
I р-Ш I I v— I /1 v— I 1
Iе I — I *01 I' I A02 I — l
и и (|, ti) вещественно.
§ 3. Гамильтонова теория гиперэллиптических
Х-пучков
В этом параграфе, следуя '[21], [22], изложим гамильтоно-
ву теорию систем, связанных с гиперэллиптическими кривыми
(см. примеры предшествующего и следующего параграфов).
Эти системы обычно происходят из систем вида B.64), B.65),
где размерность матриц, BX2).
Уравнения B.64) представляют собой обыкновенные диффе-
дифференциальные уравнения.
Исходными «физическими» координатами в конечномерном
пространстве их решений являются значения матричных элемен-
244

тов U и W в какой-либо начальной точке х=х0 (вернее зна-
значения матричных элементов сингулярных частей U и W в их
полюсах).
Например, для «высших уравнений КдФ» пространство ре-
решений уравнений коммутативности оператора Штурма—Лиувил-
ля L и оператора А„ порядка 2га+1 имеет размерность З/г+1.
Координатами в нем являются
и{х0), ...,uB"+V(xQ), /г2, ...,hn,
где константы h} возникают при выражении коэффициентов
оператора Ап через и и ее производные.
В предшествующем параграфе был установлен изоморфизм
этого пространства с пространством
(T,PV ...,Pft)=iV«+*,
где Г — гиперэллиптическая кривая, заданная в виде
1—1
(как для уравнения КдФ; sine-Gordon, где ^=0). либо в виде
!— 1
(нелинейный Шрёдингер, цепочка Тода и т. д.). Координа-
Координатами в окрестности Р} являются Х{Р)—проекции точек на
Х-плоскость. В дальнейшем (в тех случаях, когда это не вызо-
вызовет недоразумений) точки Pt будут обозначаться как Yj^M^j)
без указания 6j=± —номера листа поверхности Г.
Пространство Nn+k расслаивается над Мп — многообрази-,
ем гиперэллиптических кривых. Координатами в Мп являются
Xi. Слоем этого расслоения
является SkT — й-ая симметрическая степень кривой Г.
В основных примерах k — g (КдФ, sine-Gordon) или k = g
(НШ). В первом случае слой, в силу теоремы Абеля, бираци-
онально изоморфен комплексному тору — якобиану кривой
/(Г).
Определим на фазовом пространстве Nn+h наших систем
аналитические скобки Пуассона.
а) Пусть А — некоторый набор функций на iVn+*, завися-
зависящих только от точки базы Мп, т. е. от гиперэллиптической кри-
кривой. (В дальнейшем А будет играть роль аннулятора скобки
Пуассона, которая становится невырожденной на многообра-
многообразиях NA, заданных уравнениями f=const для всех /€Л; NA-+MA,
МАШп.)
б) Задана мероморфная 1-форма Q(T) на римановой поверх-
поверхности Г или на ее накрывающей Г-»-Г. В локальной записи
245

B.141)
Требуется, чтобы производные Q(T) вдоль всех направлений
базы, касательных к многообразиям МА, были глобально опреде-
определенными мероморфными дифференциальными формами на самой
римановой поверхности Г (а не на накрывающей).
в) Во всех важнейших примерах оказывалось, что форма Q
либо мероморфна на Г с самого начала, либо мероморфна на ре-
регулярной накрывающей Г с абелевой группой монодромии, при-
причем образ Я1(Г)-мц(Г) порождается набором циклов с нуле-
нулевыми попарными индексами пересечений.
Определение. Если замкнутая 2-форма
B.142)
невырожденна в «общей» точке области NA, где пара (Л, Q)
обладает свойствами а), б), в), то будет говориться, что задана
аналитическая скобка Пуассона с аннулятором на открытой об-
области Nn+". Размерность NA в этом случае должна быть рав-
равна 2k.
По определению, скобка Пуассона B.142) задается свойст-
свойствами:
{Yo Y,}=0, {QM,Q(Y,)}=0,
BЛ43)
Если Xt—какие-либо координаты на многообразии МА, то из
B.142) следует, что Qq содержит в своем разложении только
члены вида dXiAdyj- Отсюда сразу вытекает предложение:
Любые две функции g, h, зависящие лишь от ГбЛР1, нахо-
находятся в инволюции
{?(Г), А(Г)}=0. B.144)
Пусть Тц.. .,tft — касательные направления к Ма в «точке
общего положения». По определению аналитической скобки
Пуассона, V^QecTb мероморфный дифференциал. Как и лю-
любой другой дифференциал, его однозначно (если базис а-циклов
фиксирован B.86)) можно разложить в сумму голоморфного диф-
дифференциала сог, нормированных (см. B.101)) дифференциалов сог
и аи 2-го и 3-го родов соответственно:
Vr,Q = «>!+«>,+ 2 5«« B.145)
где аи имеет пару полюсов первого порядка в точках (Р/, Р")-
Не ограничивая общности, при k>g можно считать, что ло-
локально координаты xt выбраны так, что сог образуют при ?
нормированный
246

•базис голоморфных дифференциалов, а при j>g со^=О.
Рассмотрим потоки на Nn+k, порожденные гамильтонианами
вида #(Г), которые, согласно B.144), коммутируют между со-
собой.
Теорема 2.5. Пусть координаты т* таковы, как указано
выше, тогда комплексные переменные
в точке
(Го, Yl ..., Yft)
общего положения не зависимы и имеют линейную по времени
динамику.
Доказательство может быть получено полностью аналогич-
аналогично стандартной процедуре Лиувилля.
Определение ifj B,146) зависит от выбора путей между Ро
и •у*. Поэтому эти величины определены с точностью до решет-
решетки в Ch, порожденной 2g-\-l периодами eq, eq', r\s градиен-
градиента VQ:
e,' = $VtlQ = S,1, e?'=§Vr.Q, V-reSp-V^Q. B-147)
ая "я
Преобразование B.146) позволяет по аналитической скобке
Пуассона (A, Q), удовлетворяющей перечисленным выше требо-
требованиям, построить расслоение
слоем которого является фактор Ск по решетке, порожденной
векторами B.147).
Пусть у. число функционально независимых (по модулю А)
вычетов формы Q, х^/.
Вообще говоря,
2g+x<^2&. B.148)
Переменные яру образуют компактный тор T2k лишь в том
случае, когда 2g-j-x=2?. Отнюдь не всегда будет получаться
абелев тор. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ?=g
и все формы Vt.Q были голоморфны.
Сопоставляя B.146) с определением отображения Абеля
B.93), получим следующую теорему.
Теорема 2.6. Преобразование Абеля 5«Г->-/(Г) линеари-
линеаризует динамику всех гамильтонианов вида Я (Г) для скобок
Пуассона, заданных парами (Л, Q) общего положения, если
247

и только если производные Vt/Q по всем направлениям, каса-
касательным к МА, дают базис голоморфных дифференциалов
на Г.
Специальный выбор векторов хи отвечающих дифференциро-
дифференцированию Q по так называемым «переменным действия», канони-
канонически сопряженным к «углам» на торах, меняющимся от 0 до
2я, имеет смысл обсуждать лишь для вещественной теории.
Рассмотрим вещественные гиперэллиптические кривые Г.
Это кривые с антиголоморфной инволюцией 0г:Г-»Т, которая
порождается антиголоморфной инволюцией ст на пространстве
Мп всех гиперэллиптических кривых.
Форма Q и аннулятор А также должны быть естественным
образом согласованы с а, аг'
a) olQ = Q,
B.149)
б) ст*Л = Л. v
Простейший пример вещественных структур, который можно
назвать «элементарными» для интересующих нас гамильтоно-
вых систем, уже фактически возникал ранее при описании ве-
вещественных неособых конечнозонных решений уравнения КдФ.
Пусть стгимеет на Г g-\-l либо g неподвижных овалов. (Та-
(Такие кривые называются М или М—1-кривыми). В первом слу-
случае k=g либо k=g-\-l. Во втором случае k=g.
Лемма. Если скобка Пуассона (A, Q) обладает свойства-
свойствами B.149), то наборы точек -у* 0'= !>•••> g+1 или i=i\, ... ig),
лежащих на попарно различных неподвижных овалах од анти-
антиинволюции стг, инвариантны относительно динамики, порожден-
порожденной вещественными гамильтонианами #(Г), #(ст(Г)) =#(Г).
Для М-кривых и k = g допустимые наборы у*еа>~ образуют
g+1 компоненту связности, изоморфную вещественному тору
7Х Для М-кривых и k=g~\-l или (М—1)-кривых и k=g имеет-
имеется всего одна компонента связности—вещественный тор T&+i
или 7Х
Пример неэлементарной вещественной структуры возникал
при описании вещественных решений уравнения sine-Gordon
(§2).
Эффективное задание такой структуры возможно лишь в
терминах координат на N, связанных с у преобразованием
B.146).
Неэлементарной вещественной структурой будет называть-
называться антиинволюция
совместимая с расслоением
248

На слоях Jq(T) должно быть суперпозицией сдвига и автомор-
автоморфизма Л? (Г) как вещественной коммутативной группы.
Вещественные подмногообразия в фазовом пространстве
выделяются условиями _
т(т])=^1 B.150)
или _
т('п)=—Л+Ло"- B.151)
Случай B.151) реализуется для sine-gordon и НШ B.14). Век-
Вектор т]оа может для данной кривой принимать конечное число
значений. Вычисление их для уравнения sine-Gordon впервые
было проделано в [38].
Теорема 2.7. Для аналитических скобок Пуассона, удов-
удовлетворяющих элементарным и неэлементарным условиям ве-
вещественности, переменные действия /j, канонически сопряжен-
сопряженные координатам на торах Тк, меняющимся от 0 до 2я, зада-
задаются формулой
K)dX. , B.152)
Доказательство теоремы следует, по существу, из хода
доказательства1 теоремы Лиувилля и того, что B.152) пред-
представляет собой величину
J; = ±§pdq, B.153)
"J
где а, — базисные 1-циклы на торах Тк.
Для изучаемого класса скобок Пуассона переменные дей-
действия J] B.153) приобретают важную интерпретацию как ин-
интегралы по элементам а, группы Нх(Т\Р, Z), где Р — набор
полюсов формы Q. Это приводит к значительно большей эф-
эффективности при построении переменных действия, чем в тео-
теореме Лиувилля. В частности, например, до [21] явного по-
построения переменных действия для случая Ковалевской (см.
ниже) не было известно, так как единственный способ их по-
построения, известный классикам, — это метод разделения пере-
переменных в уравнении Гамильтона—Якоби.
Теорема 2.6 дает необходимые и достаточные условия на
скобку (Q,A), которые гарантируют линеаризацию преобразо-
преобразованием Абеля гамильтоновых потоков, порожденных гамильто-
гамильтонианами Я(Г).
Как известно, преобразование Абеля линеаризует все выс-
высшие КдФ. Выразим в терминах формы Q соответствующие
этим потокам гамильтонианы.
Теорема 2.8. Коэффициенты разложения
(т)?*(Г), г = Х-Ч>, B.154)
249

таковы, что hl(T)=q2i+3(T) являются гамильтонианами выс-
высших КдФ с номером 1^0. Остальные коэффициенты gh принад-
принадлежат аннулятору А.
В заключение перечислим ряд важнейших примеров.
Пример 1. Скобка Гарднера—Захарова—Фаддеева. Из
¦ [112] извлекается
Q = 2г> (X) dX, А = Г„ ..., Tg, a = lim -i- j ad'x , B.155)
/?(X) — квазиимпульс, где dp(X)—дифференциал 2-го рода
с единственным полюсом при Х=0,
7 = 1, ...,g. B.156)
Периоды Т] квазипериодического потенциала и (х) определяют-
определяются как
>=7> B.157)
Пример 2. Скобка Магри (F. Magri) [128]. В этой скобке
высшие уравнения КдФ имеют вид:
?)? ТЗ&^+^«. BЛ58)
Здесь имеем
Q = 2ip(X)(aXi-b)'1dX. B.159)
При 6=0 аннулятор есть
А ={7 1> •. •, Tg, J)i
где
v*-i BЛ6°)
ft-О
— линейная комбинация интегралов Крускала, экстремалями
которой являются конечнозонные решения, построенные по Г.
Пример 3. Гамильтонов формализм стационарной задачи
для высших КдФ.
Уравнения коммутативности B.61) могут быть представле-
представлены в виде
5/=0, B.161)
где / — то же, что и в B.160). Это представление естественно
порождает гамильтонов формализм системы B.61) (см. [11],
¦X12]). Из '[97] извлекается
250

Аннулятор скобки порождается первыми (§+1) симметриче-
симметрическими полиномами от А,,-.
Пример 4. Гамильтонова структура, порожденная «скры-
«скрытым изоморфизмом Мозера—Трубовица» l[17], [135J (о кото-
котором подробнее см. в примерах следующего параграфа) между
динамикой КдФ на пространстве конечнозонных потенциалов и
системами Неймана B.183), B.184):
B.162)
= {Ко, А.2,. ..,
Пример 5. Интегрируемый случай Горячева—Чаплыгина
з динамике твердого тела с неподвижной точкой [54].
Здесь
Q(T, Я-) =
где Н — энергия волчка, G — интеграл Горячева—Чаплыгина,
\i—параметр. Кривая Г задается уравнением
у2 = 4ц2Х2— (X3—HX—4GJ.
Пример 6. В известном случае Ковалевской переменные
действия ранее не вычислялись. Имеем в обозначениях [54]
(и следующего параграфа, см. B.174), B.181)):
где R5 дается B.181).
Кривая Г задается уравнением z/2 = /?s(A.). Интегрируя Q
по «вещественным» циклам а,-, на которых лежат Yj — si — пере-
переменные Ковалевской, получаем переменные действия /,.
§ 4. Важнейшие примеры систем,
интегрируемых в двумерных тэта-функциях
Согласно разобранному в § 2 примеру, гиперэллиптическая
кривая Г рода 2,
5
г/2 = /?5(Х)=П(Я-Хг), B.163)
порождает пару коммутирующих операторов
?), B.164)
251

Уравнение коммутативности B.42) операторов L и Л5 на функ-
функцию и может быть записано в лагранжевом виде
§ B.166)
с лагранжианом
! | (^2 ) . B.167)
Согласно [44], уравнение B.166) эквивалентно гамильтоновой
системе с двумя степенями свободы и с гамильтонианом
H = piP2+V(qv q2), B.168)
<7i = a, ?2 = й" —5й2, pi=q2', P2 = Uf>
У=-Ч-\<М?-\^ + ^ Яг2 + Ь*1- BЛ69)
(заменой й-э-й+const в уравнениях B.168), B.169) константа
hi занулена).
Интегралы системы B.168) в инволюции имеют вид /1=://»
D =<7
Интегралы Jt определяют кривую B.163). Соответствующий
полином R5 равен
|^(Й ^)^=^. B.170)
Результаты § 2 указывают, что координатами на многообразии,
уровней /i=const, /2=const являются уь Ya—положения по-
полюсов соответствующей функции Бейкера—Ахиезера. Их связь
с исходными переменными дается с помощью так называемых
формул следов
Yi + Y2 = |. YiY2 = {Ca2+a")+^2xA;, B.171)
где Xt — нули полинома B.170).
Уравнения на уг, эквивалентные исходной системе, имеют
в данном случае вид (см. § 2)
B.172)
V
Эти уравнения, как уже отмечалось в § 2, линеаризуются пре-
преобразованием Абеля. Двузонный потенциал и (х) равен B.123)>
252

»(х)=2^,1п9(?/х —C)+const. B.173)
Далее приводится ряд примеров систем, сводящихся к дву-
зонным потенциалам и интегрируемых, как следствие, в дву-
двумерных тэта-функциях.
Задача С. В. Ковалевской. Уравнения движения
тяжелого твердого тела с закрепленной точкой в случае Кова-
Ковалевской имеют вид:
",=/гуз —гуи BЛ74)
з=<7?1 — РУъ [x=const.
{Представление типа Лакса для этой системы было найдено в
182].)
Уравнения B.170) имеют следующие интегралы
Н = 2 (jo2+<72) + г2 — 2i*Yi (энергия),
? = 2(joYi+<7Y2)+n'3 (момент импульса), B.175)
K=(p2 — q2-\-\iyiJ-\-Bpq-{-iiy2J (интеграл Ковалевской).
Кроме того, выполнено условие связи
Yi2 + y224-Y32 = 1- B.176)
Рассмотрим совместную поверхность уровня этих интегралов
Н=Ш\ 1 = 21, К=&. B.177)
При выполнении связи B.176) эти уравнения задают двумер-
двумерное инвариантное подмногообразие исходной системы B.174).
Переменные Ковалевской — координаты на этой поверхно-
поверхности— определяются следующим образом
где
x,,2 = p±tq, R(z)
?2, B
Легкое вычисление показывает, что в переменных st уравне-
уравнения B.174) имеют вид:
-3AJ-A2). B.181)
Эти уравнения с точностью до множителя совпадают с уравне-
уравнениями B.172). Следовательно, они линеаризуются заменой
Абеля.
253

Выражение исходных переменных р, q, r, yi, 721 7з через пе-
переменные Ковалевской приведены в '[26]. Переменные же sit
согласно результатам § 2, определяются как решения уравнений
Q(A(st) + Ut—?)=0. B.182)
Здесь А : Г-»-/(Г) и Г задано уравнением B.163) с Rs, равным
B.181).
Задачи Неймана и Якоби. Общая система Гарнье. Уравне-
Уравнения движения частицы на (га—1)-мерной сфере
**2 = l B.183>
г—1
под действием квадратичного потенциала
^i а, = const, B.184>
имеют вид:
xi=~aixi-{-u(t)xi, B.185)'
где u(t)—множитель Лагранжа, возникающий из-за наложе-
наложения связей B.183). Эта система при га = 3 носит название сис-
системы Неймана..
Система Неймана может быть получена из гамильтонова
потока на R6 с гамильтонианом
=-L
B.186)
ограничением на поверхность л:2 = 1 (здесь xy = ^lxiyi\ Функ-
ции
^|р.„ ? = l, 2, 3, B.187)
являются системой интегралов в инволюции для B.186). Сам
гамильтониан Н имеет вид:
з
H=\^ialFl. B.188)
Преобразование
з
х=у, у = -х, ^ = 2^ BЛ89>
переводит построенный гамильтонов поток в геодезический поток
на трехосном эллипсоиде (при аг>0)
254

Задача о геодезических на трехосном эллипсоиде называется:
задачей Якоби.
В работе [135] был установлен траекторный изоморфизм
уравнений по х для периодических га-зонных потенциалов опера-
оператора Штурма—Лиувилля и уравнений по t-^-x для периодиче-
периодических траекторий системы B.183), B.184). Полный фазовый изо-
изоморфизм систем для я-зонных потенциалов и системы B.183),
B.184) был доказан в '[17]. Тем самым общие решения послед-
последней системы выражаются в га-мерных тэта-функциях, а система
Неймана (и решения задачи Якоби) в двумерных тэта-функ-
тэта-функциях.
Заметим, что хотя эти системы траекторно изоморфны, им"
(как было показано в предшествующем параграфе) отвечают
различные гамильтоновы структуры.
Рассмотрим функцию Бейкера—Ахиезера г|)(х, Р), отвеча-
отвечающую гиперэллиптической кривой Г с вещественными точками.
ветвления, А,1<А,2<"-<^2п+ь В § 2 было показано, что она
удовлетворяет уравнению
у" (х, P)=-Xq (х, Р)+ а (х) ф (ж, Р), B.190)
где Р = (Х, Y R)— точка Г. Обозначим через ^ (х, Р) =
=тр(х, а(Р)), где о — инволюция, переставляющая листы Г.
Ее действие на локальный параметр есть a*(k)=—k. Отсюда
функция • if) (x, P)ifi+(x, P) регулярна в бесконечно удаленной точ-
точке Ра- Кроме того, она не зависит от выбора листа Г, значит,,
является рациональной функцией к
$(*. P)t(x, P) = —n • B.191)
П A-vi)
Для любого полинома Р (X) степени п (коэффициенты которо-
которого могут зависеть от параметров) и любых точек [хг, г = 1, ...
...,п-\-1, имеет место простое тождество
/""' B.192)
Так как в точках ветвления ty(x, Xi)=ij)+(j:, Xt), то из B.191)'
и B.192) вытекает, что функции
Ь (х)^ (х, h,+i) П ( X2^'~V/ Г <2Л93>
255-

удовлетворяют тождеству
2 Ч>!2 (*) = !• С
Равенства B.190) и B.194) совпадают (после переобозна-
переобозначения х на t) с уравнениями B.185) и B.183). Выражения че-
через тэта-функции для tj)(x, P), которые были получены в § 2,
дают тем самым решения системы B.183), B.184).
Для системы Неймана получим, в частности,
где
«|=П(Ц+1-у-1/2 B-196)
и характеристики fy] тэта-функций равны
v1 = [@, 1/2), @, 0)], v2 = [(l/2, 0),@, 1/2)], B.197)
v3 = [@,0), A/2, 1/2I.
Система B.183), B.184) может быть получена из более
общей системы, открытой .Гарнье [115]
a')'
BЛ98)
На инвариантной плоскости х4 = а4г/4 как раз получаем систему
Неймана на сфере. Другой интересный, случай—это система
ангармонических осцилляторов, получающаяся из B.198) огра-
ограничением на плоскость х( = уи '[116].
Система Гарнье эквивалентна (при подходящем выборе па-
параметра т) условиям коммутации
= [А(а), А(Щ/Х-а, B.199)
где матрица A = (Atj) имеет вид:
B.200)
Движение тела в идеальной жидкости. Интегрирование слу
чая Клебша. Как уже говорилось в главе 1, уравнения движе
ния твердого тела в идеальной жидкости имеют вид:
256

где Н = Н(М, р) — гамильтониан A.48),
М={М„ М2, М3}; p={pi, р2,
дМ —\dMil' др—\дР1У
Ниже мы приведем коммутационные представления урав-
уравнений B.201) в интегрируемых случаях Клебша и Ляпунова—¦
Стеклова—Колосова (см. A.205) —A.209)).
Коммутационное представление для системы Клебша было
найдено в [80]. Матрица L имеет вид:
^Л B.203)
/ 0, М3, -М2\
?0= -М3, 0, MA Pij^PiPj; Л,;.=а,6г/. B.204)
V М2, -Mlt 0 )
Матрица М равна
зз 22
h3 0, ахМх I. B.205)
а2М2, —щМх, 0 /
Случай Клебша является пределом при контракции группы
soD) к ?"C) интегрируемых волчков, найденных в {71] и рас-
рассматриваемых в следующем пункте. Если зафиксировать в
алгебре so D) базис с коммутационными соотношениями
{Mi, Mj}=siikMb {М{> p,}=eilkpk; {p{ р,) = гцкМм B.206)
то этой контракции отвечает предельный переход, при котором
/, N-+OO.
Пара Лакса B.212) для волчков на so D) при контракции рас-
расходится, хотя ее интегралы выдерживают этот переход и совпа-
совпадают после него с интегралами случая Клебша. С другой сто-
стороны, пара B.203) — B.205) не выдерживает деформации
soD) в еC). Интересно отметить, что между этими системами
имеется не только указанная выше связь. Как было найдено в
[3], [7], уравнения Кирхгофа для случая Клебша переходят в
уравнения Манакова для алгебры so D) (см. ниже) после под-
подходящей линейной замены переменных. Аналогичная линейная
замена переводит интегрируемый случай Ляпунова—Стекло-
Ляпунова—Стеклова—Колосова (см. ниже) в интегрируемый случай Стеклова
i[ 139] для вращения твердого тела с эллипсоидальной полостью,
заполненной жидкостью [7],
Случай Клебша был проинтегрирован в [88], [119], [140].
Случай Ляпунова—Стеклова— Колосова. В этом случае га-
гамильтониан, с учетом A.208), имеет вид:
17—2538 257

<x=l
3 3
+ A 2 P\ +B 2 P*M*- B'207>
<x=l a=l
Положим
2za=Ma-o(bl+b2+b3-ba)pa. B-208)
Четвертый интеграл имеет вид:
Л B-209>
Случай Ляпунова—Стеклова—Колосова проинтегрирован в
работе '[120]. Любопытно, что в этой работе для этой системы
фактически использовалось между строк коммутационное пред-
представление с эллиптическим спектральным параметром.
Представление Кёттера (F. Kotter) для уравнений движения
имело вид:
± (Zl + osPl) = 2 (s - Ь2) (z2 +sap2) if- - 2 (s - ^
(остальные уравнения имеют тот же вид с точностью до цик-
циклической перестановки индексов).
Здесь s — «спектральный параметр». Эти уравнения, как
несложно проверить, эквивалентны лаксову уравнению L —
= [L, М], где
0
L=i —УсзЩ 0
j B.210>
\ У схсгЬ2*г ¦—'\rctf3b\Z\ 0 /
Здесь Vi^
Положим ei = 6i--^F1+62J-63). s = (P(^)-f-*l±|±is, где
(P—функция Вейерштрасса, отвечающая эллиптической кривой
Г с точками ветвления ег. Тогда L, М— эллиптические функции
от X, определенные на Г.
Случаи Клебша и Ляпунова—Стеклова—Колосова исчерпы-
исчерпывают все возможности, когда у системы B.207) с гамильтонианом
B.203) существует четвертый квадратичный по (/, р) интеграл
[80]. Отметим, что для общих диагональных метрик, как пока»
зано в [55]!, для уравнений движения (за исключением случая
Клебша) имеет место расщепление сепаратрис, т. е. они неин-
тегрйруемы.
258

Многомерное свободное твердое тело. Уравнения многомер-
многомерного твердого тела имеют вид [1]:
M = [Q, M], Af=/Q+Q/ B.211)
и /^ = Угбгу — оператор инерции твердого тела. Полная интегри-
интегрируемость этой системы при всех п доказана в [71]1). Как
было замечено в этой работе, система B.211) эквивалентна
системе
V\, [В, V]], B.212>
[В, V]=Q, А=Л, B = J. B.213).
Коммутационное представление для B.211) имеет вид:
[ж~\B,V]+XB, kA-[A,V]]=0.
Согласно результатам § 2, общие решения выражаются че-
через тэта-функции римановых поверхностей Г вида
det^-W, V)-\i-l)=0. B.214)
Строгое и абстрактное изложение теории Манакова и пря-
прямая проверка независимости построенных интегралов Манако-
Манакова (коэффициентов характеристического многочлена B.214)),
не опирающаяся на спектральную теорию операторов, были осу-
осуществлены в работе [75QL Переносу этой техники на некоторые
другие алгебры Ли был посвящен ряд последующих работ, об-
обзор которых дан в [9OQL Исследование динамики этих систем не
только в алгебре Ли, но и во всей группе Ли было дано в рабо1-
те [73].
Уравнения B.212) были проинтегрированы (для любых А
и Б) в работе [32fli. Как было замечено в Ь71], для общих диа-
диагональных матриц А и В уравнения B.212) совпадают с урав-
уравнениями движения на SO (АО с диагональной метрикой
которые при N=4 переходят при контракции SO D) в ЯC) в
интегрируемый случай Клебша.
Решения общих уравнений B.212):
7, - Л<
При п=4—в G41
17* 2S&

но. Используя эту связь в [59J, было доказано, что конструк-
конструкция i[59] дает все рациональные решения уравнения КП.
Рациональные многосолитонные решения для уравнения КП
в рамках метода обратной задачи рассеяния были построены в
[Ю2]
]
В работе '[106] указанный в [59] изоморфизм двух задач
был перенесен и на эллиптический случай. Однако вплоть до
,[61] обе задачи—построение переменных типа углов для систе-
системы B.57) и интегрирование ее уравнений движения в терминах
тэта-функций, а также задача построения эллиптических ре-
решений уравнения КП — оставались полностью нерешенными
(кроме простейшего двухчастичного случая).
В основе работы [61], где эти задачи были решены, лежало
найденное коммутационное представление для уравнений дви-
движения
•*i =4 2 ^ (*<-*;) B-227)
системы B.57). Это коммутационное представление (в отличие
от B.58), B.59)) содержит спектральный параметр, определен-
определенный на эллиптической кривой Г. Причем по этому параметру
матричные элементы U и V являются функциями Бейкера—
Ахиезера.
Определим матрицы
п, X), B.228)
A.), B.229)
k+i
где
Ф'(г, A) = g|<D(z, A.) B.231)
Предложение. Уравнения B.227) эквивалентны коммута-
коммутационному уравнению
Ut = [V,U\. B.232)
Из B.232) следует, что функция
R (k, Я)=det Bk + U (Я, t)) B.233)
не зависит от t. Матрица U, имеющая существенные особен-
особенности при Я=0, может быть представлена в виде
U (Я, t) =g (Я, t) U (Я, t) g (Я, *), B.234)
264

где U не имеет существенной особенности при Я=0, a g*y =
= 8ij exp E (X) Xi). Следовательно, rt (X) — коэффициенты вырат
жения
^il{X)ki, B-235>
г=*о
являются эллиптическими функциями с полюсами в точке Х=
= 0. Функции гц(Х) представимы в виде линейной комбинации
^-функции и ее производных. Коэффициенты такого разложе-
разложения являются интегралами системы B,57). Каждый набор фик-
фиксированных значений этих интегралов задает уравнением
R(k, Х)=0 алгебраическую кривую Гп, которая n-листно на-
накрывает исходную эллиптическую кривую Г.
В общем положении род возникающей кривой равен п. Яко-
Якобиан кривой Гп изоморфен многообразию уровней интегралов
гп, а переменные на нем суть переменные типа углов.
Дальнейшая эффективизация решения уравнений B.227)
использует связь уравнения B.232) с наличием у нестационарт
ного уравнения Шрёдингера с эллиптическим потенциалом рет
шений специального вида.
Теорема 2.9. Уравнение
[Ж-& +2 2 V^-Xi (*))) ^=° B-236)
имеет решение гр ввда
П.
= 2
di V> k> Ь)Ф(х-Хц *.) ekx+klt B.237)
2-1
тогда и только тогда, когда xt(t) удовлетворяют уравнениям
B.227).
Здесь Ф(г, X) дается формулой B.230).
Функция -ф вида B.237), как функция переменной л:, имеет
простые полюса в точках xt (i). Подставляя ее в B.236) и при-
приравнивая нулю коэффициенты при (х—Лч)~2 и (х—xt)~l, полу-
получим, что -ф тогда и только тогда удовлетворяет B.236), когда
вектор а= (аи ..., aN) удовлетворяет уравнениям
U(X,t)a= — 2ka, B.238)
, t))a = 0, B.239)
где U и V — те же, что и в B.228), B.229).
Аналогично § 2, выясняются аналитические свойства а на
римановой поверхности Гп. Сформулируем окончательное утвер-
утверждение.
Теорема 2.10. Собственная функция ty{x, t, у) нестаци-
нестационарного уравнения Шрёдингера B.236) определена на я-листг
18—2538 265

ной накрывающей Гп исходной эллиптической кривой. Функция
¦ф является функцией Бейкера—Ахиезера с единственной су-
существенной особенностью вида
ехр (пХ-1(х-х1@))+п2К-Н)
в выделенном прообразе Ро на Г„ точки Х = 0.
Явные выражения для "ф(х, t, у), которые были получены в
§ 2, дают, что полюса гр по х совпадают с нулями функции
Ъ{и{2)х+ивЧ+1). Сравнивая с теоремой 2.9, окончательно по-
получим.
Теорема 2.11. Пусть Гп задается уравнением R(k, Х)=0,
где R определено в B.233). Тогда уравнение по х
e([/B)x+?/C)*+t)=0 B.240)
имеет в элементарной ячейке с периодами 2©, 2©' п корней —
xt(t), которые удовлетворяют уравнению B.227).
Здесь 6 — тэта-|функция Римана, отвечающая поверхности
Гп, Ul2), U&) — периоды дифференциалов второго рода с полю-
полюсами второго и третьего порядков в отмеченной точке Ро- Эти
величины выражаются через интегралы г4 уравнений B.297).
Вектор ? в B.240) произволен и отвечает переменным типа
углов.
Все параметры в B.240) выражаются в квадратурах через
)
§ 6. Интегрируемые системы
и адгебро-геометрическая спектральная теория
линейных периодических операторов
Первоначальный подход к построению конечнозонных реше-
решений уравнений КдФ, нелинейного Шрёдингера и ряда других
основывался на спектральной теории линейных операторов с
периодическими коэффициентами (см. [33], '[37], [44], [50], [72],
[76], [123], [131]). Именно с этим подходом связан термин
«конечнозонные решения». Кратко укажем на взаимосвязь та-
такого подхода с алгебро-геометрическим, который был изложен
в §2.
Пусть U(x, t, X) и V(x, t, X) —решения уравнений нулевой
кривизны, периодически зависящие от х. Рассмотрим матрицу
W(x, t, Х)=У(х+Т, t, X)^-1^, t, X), B.241)
где Г —период, а Т — решение уравнений B.36). Эта матри-
матрица называется матрицей монодромии (описывающей сдвиг на
период решений линейных уравнений B.36))..
Из того, что W(x+T, t, X) является также решением урав-
уравнений B.36), следует, что
[д-U, W] = [dt-V, Щ=0,
и мы приходим к уравнениям B.64), B.65)..
266

Матрица W(x, t, X) является аналитической вне полюсов U
и V, где она в общем положении имеет существенные особенно-
особенности.
Векторная функция ty(x, t, у), определенная равенствами
B.1)—B.7), является собственной функцией оператора сдвига
на период и называется блоховской. Риманова поверхность Г,
на которой становится однозначной блоховская функция, име-
имеет в общем случае бесконечный род (ее точки ветвления накап-
накапливаются к полюсам U и V).
Конечнозонные периодические решения выделяются услови-
условием конечности рода поверхности Г, что эквивалентно рацио-
рациональности по К матрицы монодромии W(x, t, X).
Таким образом, периодические решения уравнений B.37),
B.64), B.65) обладают тем свойством, что соответствующая им
блоховская функция определена на римановой поверхности ко-
конечного рода и совпадает с функцией Клебша—Гордана—Бей-
кера—Ахиезера.
Ясно, что понятие конечнозонности дословно переносится на
любой линейный оператор дх—U(x, X) безотносительно к нели-
нелинейным уравнениям. Соответствующие матрицы U называются
конечнозонными потенциалами.
Кратко спектральные свойства оператора Штурма—Лиувил-
ля с конечнозонными потенциалами (полученные в работах,
изложенных в [37], [44]), были приведены в § 2.
Ниже, мы подробнее опишем эти свойства и дадим наброски
доказательств основных утверждений на примере спектральной
теории разностного оператора Шрёдингера B.20)
?ii>» = M>n+i + anij>n+cn-n|3n-i B.242)
(сп = сп+пф0, vn=vn+N), который входит в представление Лак-
са для уравнений цепочки Тоды и для разностного уравнения
КдФ (при у„=0).
Замечание. В последние годы были обнаружены новые
замечательные приложения алгебро-геометрической спектраль-
спектральной теории к задачам Пайерлса—Фрелиха, относящимся к
числу наиболее фундаментальных в теории квазиодномерных
проводников. В континуальном пределе эта модель исследова-
исследовалась в работах [4], [14], где впервые и была обнаружена
связь модели Пайерлса с теорией конечнозонных операторов
Штурма—Лиувилля. В полном объеме эта теория (формулы
для вариационных производных интегралов Крускала, вариа-
вариации по группе периодов) была впервые применена в [4]. По-
Последние работы послужили отправной точкой дальнейших ис-
исследований [15], '[27], [28], [60], в которых эти результаты
были перенесены на дискретную модель Пайерлса и значи-
значительно развиты.
Модель Пайерлса—Фрелиха (R. Peierls—Frolich) описывает
самосогласованное поведение решетки атомов с координатами
267

Xn<xn+i и электронов. Есть две модели. В первой атом в каж-
каждом узле обладает еще внутренней степенью свободы: vn. Во
второй модели— vn=0.
Электронные уровни определяются как точки Ei<.E2^ ...
... s?LEN спектра периодической задачи оператора L, имею-.
щего вид B.242), где cn = exp (хп—xn+i), cn-cn+Ir> vn=vn+v.
Энергия системы состоит из энергии электронов, которые при
нулевой температуре занимают т нижних уровней и упругой
энергии решетки:
(т ЛГ-1
Здесь т. —число электронов, Ф(с„, vn) — потещиал упругой
энергии.
В [15] был рассмотрен случай
п
и более общий
где h — интегралы цепочки Тоды или цепочки Лэнгмюра
(J. Langmuir) (yn=0).
В первом случае было доказано, что Н(сп, vn) имеет един-
единственную экстремаль, которой соответствует однозонный опе-
оператор L.
В континуальном пределе эта экстремаль переходит в
экстремали, найденные в [5], '[14], что доказывает, что в этих
работах было найдено основное состояние.
Для более общих моделей были исследованы устойчивости
экстремалей и найдено основное состояние. Кроме того, были
найдены скорости звука и волны зарядовой плотности.
Впервые последовательное построение алгебро-геометриче-
ской спектральной теории Блоха—Флоке в 3>2(Z) разностного-
оператора Шрёдингера B.242) было начато С. П. Новиковым
[37, гл. 3, § 1] и Танакой—Дейтом (S. Tanaka—E. Date) [108].
При помощи формул следов для функции х«—"фп+1/Чп были
получены формулы для vn. В [37] изучен также симметричный
случай, у„ = 0.( Эта теория в.1'[37] доведена до конца,1, однако
лишь в эллиптическом случае. В работе [108] выражения для
vn написаны в виде
? Z
(В [37] допущена незначительная неточность, исправленная &
книге [44].)
В случае цепочки Тоды, в силу условия xn*=vn, формула
B.243) определяет xn(t) с точностью до набора чисел *„@),
268

—оо<л,<оо. Вопрос о разностном КдФ в [108] не рассмат-
рассматривался.
Эти исследования получили завершение в [63], в которой
получены явные выражения для хп и решений разностного КдФ.
Идея [63] состоит в использовании явных выражений для 0рп
через тэта-функции и аналогов «тождеств следов» для ф„, в от-
отличие от [37], '[108], где, как уже говорилось, использовались
формулы следов для %п, аналогично непрерывному. В более
поздней работе [62] были найдены явно «локальные тождества
следов» сп = сп(уи ..., 7п), существование которых было неэф-
неэффективно доказано в [37].
Основой современного подхода к спектральным задачам для
периодических операторов является исследование аналитиче-
аналитических свойств решений уравнения
Lqn=E^n B.244)
(здесь L — оператор B.242) с периодическими коэффициента-
коэффициентами) при всех, в том числе и комплексных значениях парамет-
параметра Е.
Для любого Е пространство решений уравнения B.244) дву-
двумерно. Задав произвольные значения фо и i|>i, все остальные-
значения ф„ можно найти рекуррентным образом. Стандартный
базис jqpn(?) и' 0„(?) Задается условиями: '<ро=1, <pi=0, Qoi=O,
0i=1. Из рекуррентной процедуры вычисления ф„(?") и 0П(?У
следует, что они (п>0) являются полиномами по Е
B.245)-
Матрица W (E) оператора монодромии T:yn-^-yn+N в базисе Ф„
и б„ имеет вид:
12 246)
B.24b)
Из B.247) легко следует, что для дюбых двух решений этого
уравнения, в частности для ф и Q, выражение (аналог Врон-
Вронскиана)
M^e^i-qwe*) B.247)
не зависит от п. Так как co = cN, то
det W^VNQif+t-Vtt+iQH = Фоб! -воЯ>1 = 1 • B.248)
269

Собственные значения w оператора монодромии определяются
гиз характеристического уравнения
w2-2Q(E)w + l=0, 2Q(E)=<?N(E)+QN+i(E). B.249)
Полином Q имеет степень N и его старшие члены имеют вид
¦Спектры ?* периодической и антипериодической задач для L
определяются из уравнений Q(Ef)= ±1, так как при этом
¦w— ± 1.
Обозначим через Еи i=l,..., 2g+2, G^^—1, простые
точки спектра периодической и антипериодической задач для
L, т. е. простые корни уравнения
Q2(?) = l. . B.251)
Для точки Е общего положения уравнение B.249) имеет
два корня w и or1. Каждому корню отвечает единственный
собственный вектор, нормированный условием фо=1
B.252)
Это решение называется блоховским.
Теорема 2.12. Двузначная функция ajj* (E) является одно-
однозначной мероморфной функцией ^„ (Р) на гиперэллиптической
кривой Г, РбГ, отвечающей римановой поверхности функции
VWW)
R(E)^Y[(E-El). B.253)
Вне бесконечно удаленных точек она имеет q полюсов Yi> • • •> Y?
В окрестности бесконечно удаленных точек
tf (Е) = е±х*Е±я A + S 2* (я) ^-*)• B-254)
V j-i /
Здесь знаки ± отвечают верхнему и нижнему листам поверх-
поверхности Г (верхним будет называться лист, на котором в беско-
бесконечности У7?~?«+1).
Блоховское решение, как и любое другое решение уравнения
B.244), имеет вид i}'n=i)o<Pn+^i0n- Вектор (%,, %) является
собственным для матрицы W. Значит i]30
270

Пусть ?y-, / = 1,...,JV — q — 1, —двукратные корни уравнения
= l, т. е.
¦N-q-1
г(Е) = П (Е-еу), B.256)
В точках ?; в блоховском базисе матрица оператора Г равна
±1. Значит, она равна ±1 в любом другом базисе. Отсюда
8/v (?) = v
Ф/v (^) =влл+1 (<?у) =w (ej) = ± 1. B.257)
Из B.257) следует, что Q (Е) —Q
(
Здесь §/v, Ф/v+i. Q —полиномы по Е. Подставляя в B.225)
и используя предшествующие равенства, получим
Это равенство и означает, что двузначная функция -ф± яв-
является однозначной, мероморфной функцией точки Г. Полюса -ф
лежат в точках уь..., yq, расположенных по одной над корнями
полинома Qn(E). Действительно, если QN(E)=0, то два корня
•Ш1.2 равны Фла(Е) и QN+i(E). При этом Ф/v (E)=?Qn+i (E). Сле-
Следовательно, для одного из корней w (т. е. на одном из листов Г
над корнем ~Qn (E) =0) числитель дроби в B.258) обращается
в нуль. Полюс 1]}„ лежит на втором листе.
Для завершения доказательства теоремы осталось рассмот-
рассмотреть поведение ajj* (Е) при Е-> оо . Из B.258) следует, что в Р+
i|>i имеет простой полюс. Непосредственно из B.244) получим,
что ф„ имеет полюс в Р+ n-ого порядка, п>0. Аналогично, ty-n
имеет полюс n-ого порядка в Р~. Из этого и того, что w имеет
в Р+ полюс Л^-ого порядка, а в Р~ нуль кратности N, вытекает
равенство B.254), где хп таковы, что хо = 0, сп.=ехр(хп—хп+\).
Параметры уи вернее их проекции на Е-плоскость (кото-
(которые, как и ранее, мы будем для краткости обозначать также),
имеют естественный спектральный смысл.
Лемма 2.2. Набор точек е, (двукратно вырожденных то-
точек спектра периодической и антипериодической задач для L)
и {«Yi} является спектром задачи B.244) с нулевыми граничны-
граничными условиями.
271

Доказательство. Поверхность Г над точками е, имеет
два листа, на каждом из которых до принимает одинаковое зна-
значение 1 или —L
В качестве л|з„ можно взять
^Y*^ „ (е}). B.259)
Точки Yi являются нулями Qn(E). Как уже говорилось вы-
выше, при Е=уг для одного из знаков- перед У# в B.258) числи-
числитель второго слагаемого обращается в нуль. Значит, для вто-
второго он отличен от нуля. Пусть это, например, знак плюс. Тогда
i. (Yy) = (Q (Yy) + С VWffi) в* (Yy) B-260)
есть нетривиальное решение уравнения B.244), Е=у,, с нуле-
нулевыми граничными условиями.
Рассмотрим обратную задачу. Пусть заданы произвольные
различные точки Ей t = l,..., 2<у+2, и точки у\,...,уд на ри-
мановой поверхности Г функции у/?(?), проекции которых на
^-плоскость различны. В разностных задачах аналог теоремы
2.2 есть теорема Римана—Роха [138]. В данном случае она
утверждает, что существует единственная с точностью до про-
пропорциональности мероморфная на Г функция i|)n(P), имеющая
полюса в точках уи ... , yq, полюс n-ого порядка в Р+ и нуль
n-ого порядка в точке Р~. Функцию "фп(Р) можно с точностью
до знака нормировать, потребовав, чтобы коэффициенты при
Е±п на верхнем и нижнем листах в бесконечности были взаим-
взаимно обратными. Зафиксировав произвольным образом знаки,
обозначим соответствующие коэффициенты через е±хп. При
этом 1|э„ будет иметь в окрестности бесконечности вид B.254).
Лемма 2.3. Построенные функции tyn(P) удовлетворяют
уравнению B.244), где коэффициенты оператора L равны:
сп = еХя~х^\ vn = &+ (п) — 1 + (п + 1), B.261)
Доказательство. Рассмотрим функцию 1ф„=?'ф„ (Р) —
—Е\1рп(Р)- Она имеет полюса в точках yv...,yq. Из B.254),
2.261) следует, что ojjn имеет полюс (п—1) порядка в Р+ и нуль
порядка п в точке Р~. По теореме Римана —Роха ^„=0.
Метод получения явных формул для -фп и коэффициентов L
полностью аналогичен непрерывному случаю. Как и ранее, за-
зафиксируем на Г канонический набор циклов. Обозначим через
idp нормированный абелев дифференциал третьего рода с един-
единственными особенностями в бесконечности
i=2
==
VR(E)
272
B.262)

Коэффициенты at определяются из условий нормировки
§dp = 0, i = \,...,q. B.263)
ai
2.4. Функция "§п{Р) имеет вид
*, (Р) - г. ехр [ш \ dp] e(ffi+ff + », B.264)
где Uk = ;^r &dp, г„ — константа.
В окрестности бесконечно удаленной точки на верхнем листе
имеем
ехр [ / J dp ) =?*-'» A - IxE-i + ...), Р = (Я,
Из B.254) следует, что е2Хп+21°п равно отношению значений
множителей при экспоненте в B.264), взятых в образах А (Р±) =
= ± zq. Из B.264) и того, что согласно билинейным соотноше-
соотношениям Римана 2zo= — U, получим
с„2 = e-v. Q((n-\)U+X)Q{Ln+\)U+~Q
где ?=?—г0.
В окрестности Р* имеем
где координаты Vk вектора V определяются равенством
coft = (Vk + О (Е-1)) dE-1.
Разлагая B.264) в ряд по Е~1, получим из B.261)
B.266)
Теорема 2.13. Формулы B.265), B.266) восстанавлива-
восстанавливают коэффициенты L по параметрам Ei и у,.
Важно отметить, что формулы B.265), B.266) определяют
в общем случае квазипериодические функции сп и vn. Для того
чтобы сп и у„ были периодическими, необходимо и достаточно,
чтобы для соответствующего дифференциала dp были выпол-
выполнены условия:
Uk=2S" Ф dp = ^ > га* ~ целые. B.267)
Как следует из определения л|з„, параметры ?i, Yj определя-
определяют их с точностью до знака.
273

Изменения знаков при л|з„ приводят к изменению знаков
при сп. Операторы, отличающиеся лишь знаками при сп, можна
не различать, поскольку их собственные функции тривиально
переводятся друг в друга.
До сих пор речь шла об операторах L с произвольными
комплексными коэффициентами. Пусть теперь сп и vn вещест-
вещественны, тогда вещественными являются все введенные выше по-
полиномы 6„(?), фп(?), Q(E). Кроме того, периодическая и ан-
антипериодические задачи для L являются самосопряженными.
Значит, имеется N вещественных точек спектра той и другой
задачи, т. е. полином Q2—1 имеет 2N вещественных корней.
Отсюда в экстремумах полинома Q(E), -—^ =0, имеет место
\Q(E) |-*-l. График полинома Q имеет вид:
Рис. 2
Отрезки [?2i-i, E2i], в которых |Q(?)|^1, называются
разрешенными зонами. В этих отрезках >|ш| = 1 и многознач-
многозначная функция р(Е), определяемая из равенства w — eivN, ве-
вещественна. Она называется квазиимпульсом. Ее дифференциал
совпадает с B.262), где в B.263) at — циклы, расположенные
над запрещенными зонами [?и, E^i+i].
Лемма 2.5. Полюса -уг блоховской функции л|з„ (Р) ве-
вещественного оператора L расположены по одной в каждой из
конечных запрещенных зон, Е2г^.у^Е^+1.
Доказательство. Полюса у» являются нулями полино-
полинома Qn(E). В этих точках
Так как qpjy и Qn+i вещественны, то
I Q(Yi)| =4-1 ^(Yi)+6^+1 (Yi)|>l
и 7i лежит либо в запрещенной зоне, либо в одной из схлоп-
нувшихся зон — точках е,. В последних ojjn (P), как было пока-
показано выше, не имеет особенностей.
Теорема 2.14. Если точки Еи ..., ?2<н-2 вещественны и
точки Yi.---.Yg соответствующей римановои поверхности лежат
по одной над каждой из запрещенных зон [?2», ?a*+i], то опре-
274

деляемые ими, в силу теоремы 2.13, коэффициенты vn и сп опе-
оператора L вещественны.
Доказательство. Необходимость условий теоремы в
классе периодических операторов дается леммой 2.5.
Пусть Ei вещественны. Комплексное сопряжение индуцирует
антиинволюцию т кривой Г, т:Р = (?, К/?)-*-т (Р) = A, УЩЕ))Г
Неподвижными овалами этой антиинволюции являются циклы,,
расположенные над отрезками [?2г, Е2М] и над бесконечной
зоной, соединяющей через бесконечность точки Я2?+2, Ег.
Рассмотрим %(t(P))- Эта функция обладает всеми аналити-
аналитическими свойствами 1]}„. Поскольку tyn этими свойствами определе-
определена с точностью до знака, то
Ыт(Р))=±<Ьп(Р)- . B-268(
Из B.262) следует, что vn вещественны, а сп либо веществен-
вещественно, либо чисто мнимое (т. е. сп2 вещественно).
Докажем, что в предположениях теоремы сп^0, спфоо.
Отрицание этого утверждения эквивалентно тому, что один или
несколько нулей ул{п) функции -фп(Р) попадает в бесконеч-
бесконечность на верхнем или нижнем листе Г. Из B.268) следует, что
на циклах, расположенных над [E2i, ?m+i]. Ч>п либо веществен-
вещественна, либо чисто мнимая. На каждом цикле имеется один полюс
ул, поэтому имеется, по крайней мере, и один нуль. Так как все-
всего нулей д, то уПп) расположены, как у{, по одному над
[?ai, E2i+i] и, значит, отделены от бесконечности.
В силу доказанного, знак сп2 не меняется при непрерывных
деформациях ?„• и у*, Для которых выполнены условия теоре-
теоремы. Продеформируем их так, чтобы все запрещенные зоны
закрылись. При этом легко проверить, что оператор L проде-
формируется в оператор Lo, у которого vn=0, a cn2=const>0.
Теорема доказана.
В заключение параграфа рассмотрим условия, выделяющие
операторы L, для которых у„=0, т. е.
1л|>»=сп1()п+1 + сп_1^п_1. B.269)
Теорема 2.15 ([37], гл. 3, § 1). Необходимыми и доста-
достаточными условиями того, что оператор L, восстанавливаемый
в силу теоремы 2.13 по данным Е{ и у<, имеет вид B.269), т. е.
уп=0, являются симметрия точек Е{ относительно нуля и инва-
инвариантность набора {yj} относительно инволюции на Г
4+1
вП (Я2-?,2).
Необходимость условий следует из того, что если
блоховское решение для оператора B.269), то для tyn (E)
= ( —1)п1]з„(Я) имеем
275

Достаточность условий доказывается аналогично доказа-
доказательству теоремы 2.14.
Определим функцию oj>n (t, P), которая мероморфна на Г вне
P±i имеет полюса Yi> •••» Y?» а в окрестности Р± имеет вид':
^ (t, Е) = е±х"Е±п\ 1 +22* (я, *)^Н е 2. B.270)
Стандартным образом доказывается, что такая функция удов-
удовлетворяет линейным уравнениям
± B.271)
где L и А имеют вид B.20), B.21). Следовательно, Xn=xn{t)
удовлетворяют уравнениям периодической цепочки Тода.
Аналогично лемме 2.4, можно выписать явную формулу для
л|з„(?, Р) и найти явные выражения для xn(t).
Теорема 2.16. Функции
г l?\ In
хп (<) - ш
удовлетворяют уравнениям цепочки Тоды.
(Здесь /i — средний импульс, —/о — среднее расстояние
между частицами.)
Параметры тэта-функции, векторы U, V, % выражаются в
квадратурах через начальные данные хп@), хп@).
В заключение главы приведем на этом примере еще один
аспект теории конечнозонного интегрирования — связи их с ва-
вариационными принципами для функционалов типа Крускала
(М. Kruskal).
Определим функционалы 1ъ.=1ъ.{сп, vn} формулой
lp (E) - In E - 2 №•*. B-273)
где р(Е) — квазиимпульс. Эти функционалы имеют вид
N
1
л—1
где локальные плотности гй — полиномы.
Из B.250) имеем
N N N
^ ^ ^
л—1 л—1 л—1
И Т. Д.
276

Теорема 2.17. Оператор L является ^-зонным тогда и
только тогда, когда его коэффициенты являются экстремаль-
экстремальными функционала Н,
Это утверждение вытекает из формулы
2D>) <2-275)
Действительно, разлагая B.275) в окрестности Р+ и сравнивая
с коэффициентами B.273), получим
ft-1
2Р'*6Л- B-276)
i=*0
Из первых <7~Н равенств коэффициенты /& выразятся через
6/fc, й^<7+1. Приравнивая коэффициент разложения B.273) и
B.275) при ?-«~2, получим, что
6Я=О, B.277)
где aft — симметрические полиномы от Е^.
Доказательство формулы B.274) может быть получено пол-
полностью аналогично доказательству его непрерывного варианта
¦[33].
ЛИТЕРАТУРА
1. Основные понятия гамильтонова формализма восходят к работам
классиков аналитической механики — Пуассона, Гамильтона, Якоби, Ли.
Различные варианты изложения этих классических понятий имеются в целом
ряде учебников (см., например, [1], [42]) и обзоров (см. [78]). Бесконечномер-
Бесконечномерные аналоги гамильтонова формализма до недавнего времени рассматрива-
рассматривались лишь для лагранжевых полевых систем в связи с нуждами квантовой
теории поля (см., например, [9]). Более сложные примеры возникали в гид-
гидродинамике идеальной несжимаемой жидкости (см. [1], добавление 2),
а также в теории уравнения Крртевега — де Фриза [46], [113]. Современный
формализм скобок Пуассона в применении к бесконечномерным (теоретико-
полевым) системам был систематически разработан в [78]. Общее понятие
скобки Пуассона гидродинамического типа было введено и изучено в [39].
2. Использование симметрии гамильтоновых систем для построения их
интегралов и понижения порядка также восходит к классическим работам
19—2538 277

Достаточность условий доказывается аналогично доказа-
доказательству теоремы 2.14.
Определим функцию oj>n (t, P), которая мероморфна на Г вне
/>*, имеет полюса Yi> • • •> Y?> a B окрестности Р± имеет вид':
(
\+^Llf{n,t)E-Ae*T. B.270)
Стандартным образом доказывается, что такая функция удов-
удовлетворяет линейным уравнениям
^A% B.271)
где L.T/i А имеют вид B.20), B.21). Следовательно, xn—xn(t)
удовлетворяют уравнениям периодической цепочки Тода.
Аналогично лемме 2.4, можно выписать явную формулу для
¦ф„(?, Р) и найти явные выражения для xn(t).
Теорема 2.16. Функции
удовлетворяют уравнениям цепочки Тоды.
(Здесь 1\ — средний импульс, —/0 — среднее расстояние
между частицами.)
Параметры тэта-функции, векторы U, V, % выражаются в
квадратурах через начальные данные хп@), хп@).
В заключение главы приведем на этом примере еще один
аспект теории конечнозонного интегрирования — связи их с ва-
вариационными принципами для функционалов типа Крускала
(М. Kruskal).
Определим функционалы /ft=/ft{cn, vn} формулой
ip (Е) = In E - 2 7*?~*' B-273)
ft=0
где р (Е) — квазиимпульс. Эти функционалы имеют вид
N
1
где локальные плотности гк—полиномы.
Из B.250) имеем
N N N
п—1 я—1 л=1
И Т. Д.
276

Теорема 2.17. Оператор L является ^-зонным тогда и
только тогда, когда его коэффициенты являются экстремаль-
экстремальными функционала Н,
,+ B-274)
Это утверждение вытекает из формулы
Действительно, разлагая B.275) в окрестности Р+ и сравнивая
с коэффициентами B.273), получим
2
2 B-276)
i=*0
Из первых <7+1 равенств коэффициенты h выразятся через
б/ft, kt~^q-\-\. Приравнивая коэффициент разложения B.273) и
B.275) при Е~ч~2, получим, что
6Я=О, B.277)
где aft — симметрические полиномы от Ен.
Доказательство формулы B.274) может быть получено пол-
полностью аналогично доказательству его непрерывного варианта
[33].
ЛИТЕРАТУРА
1. Основные понятия гамильтонова формализма восходят к работам
классиков аналитической механики — Пуассона, Гамильтона, Якоби, Ли.
Различные варианты изложения этих классических понятий имеются в целом
ряде учебников (см., например, [1], [42]) и обзоров (см. [78]). Бесконечномер-
Бесконечномерные аналоги гамильтонова формализма до недавнего времени рассматрива-
рассматривались лишь для лагранжевых полевых систем в связи с нуждами квантовой
теории поля (см., например, [9]). Более сложные примеры возникали в гид-
гидродинамике идеальной несжимаемой жидкости (см. [1], добавление 2),
а также в теории уравнения Кортевега — де Фриза [46], [113]. Современный
формализм скобок Пуассона в применении к бесконечномерным (теоретико-
полевым) системам был систематически разработан в [78]. Общее понятие
скобки Пуассона гидродинамического типа было введено и изучено в [39].
2. Использование симметрии гамильтоновых систем для построения их
интегралов и понижения порядка также восходит к классическим работам
19—2538 277

Якоби, Пуанкаре и др.; современное изложение см. в [130] (см. также [1],
добавление 5). Конструкция интегралов для теоретико-полевых лагранжевых
систем с симметрией дана Э. Нётер.
3. Понятие вполне интегрируемой гамильтоновой системы возникло в
работах Бура и Лиувилля (см. учебники [1], [42]). Мы не обсуждаем • здесь
вырожденных вполне интегрируемых систем с числом интегралов большим,
чем число степеней свободы (см., например, [75] и обзор В. В. Козлова [53]).
4. Основной материал параграфа 4 содержится в классических работах.
Гамильтона и Якоби (см., например, учебник [1]).
5. Начиная с работы [124], в которой был проясней механизм интегриро-
интегрирования уравнения- КдФ, предложенный в пионерской работе [114], все схемы:
продуцирования эволюционных интегрируемых уравнений основывались на
представлении их в виде условия совместности вспомогательных лииейиыг
задач.
Схема, базирующаяся на уравнениях «нулевой кривизны рациональных
пучков операторов», предложенная в [49], естественно включила в себя все
известные до того примеры, в частности, такие этапные для развития метода,,
как {46], [122], [70], [112], [113], [93]. (Эти примеры и ряд других вместе
с историей развития первых этапов метода обратной задачи представлены
в книгах [44], [103].) Впервые представление уравнения КдФ в виде уравне-
уравнения нулевой кривизны полиномиальных пучков операторов был предложен;
в [76], а пример рационального пучка встречался в работе [93].
В работах [13], [137] для анизотропного уравнения Ландау — Лифшица-
было впервые использовано представление нулевой кривизны пучков опера-
операторов со спектральным параметром на эллиптической кривой. Дальнейшее
развитие это направление получило в работах [25], [92]. В работах [67], [68]
был предложен другой путь обобщения уравнений нулевой кривизны рацио-
рациональных пучков на случай, когда спектральный параметр определен на алге-
алгебраической кривой не нулевого рода. В работе [61] (см. подробнее [64]) дла
системы Мозера — Калоджеро было предложено представление, в которой
зависимость матричных элементов от параметра, определенного на эллипти-
эллиптической кривой, содержала существенные особенности специального вида.
6. Начало программе интегрирования периодической задачи для уравне*
ния КдФ было положено работой [76] (несколько позже и в менее эффек-
эффективной форме она рассматривалась в [123]). Использование методов алге-
алгебраической геометрии для построения периодических и квазипериодических
решений уравнений КдФ, нелинейного Шрёдингера было начато в работах
[32], {33], [37], [41], {50]. (Позже появились работы [131], [132].) Для уравнений
sine-gordon конечнозонные решения были построены в [52]. Вопрос аппрокси-
аппроксимации конечнозонными потенциалами оператора Штурма — Лиувилля произ-
произвольного периодического потенциала с сохранением периода был положи-
положительно решен в [72].
Первый этап теории конечнозонного интегрирования представлен в
[37], [44].
Общая схема интегрирования с помощью методов алгебраической гео-
геометрии двумерных уравнений типа уравнения Кадомцева—Петвиашвили
была предложена в [56], [57]. Она естественно включила в себя и конструкции
решений одномерных эволюционных уравнений, предложенные в процитиро-
процитированных выше работах. Центральным понятием этой схемы стало понятие
функции Клебша — Гордана — Бейкера — Ахиезера. Определение таких функ-
функций, включая многоточечные, было дано в [57] на основе обобщения анали-
аналитических свойств блоховских функций конечиозонных периодических и квази-
квазипериодических операторов. Такие «одноточечные» функции, как формальное
обобщение понятия экспонент, были введены в XIX веке Гордаиом и Клеб-
шем (см. в [99]). Их связь с совместной собственной функцией пары комму-
коммутирующих операторов взаимно простых порядков отмечена впервые в [98]
Бейкером. Н. И. Ахиезером были указаны примеры интерпретации таких
функций в спектральной теории операторов иа полупрямой.
278

Выделение вещественных неособых решений в рамках общей схемы для
тех уравнений, для которых вспомогательная линейная задача не самосопря-
самосопряженная, было начато в [91] и серьезно продвинуто в [5], [35], [38], [109].
7. Общая гамнльтонова теория систем, интегрирование которых связано
с гнперэллнптнческнмн кривыми, предложена в [21], [22]. Эта теория позво-
позволила с единой точки зрения рассмотреть и объединить не только саму га-
мнльтонову структуру разнообразных систем, но н дать единую конструкцию'
переменных типа действия — угол. Для системы Ковалевской построение пере-
переменных типа действия получено впервые именно в этих работах. Впервые
построение переменных действие — угол для гамнльтоновых систем, связанных
с конечнозоннымн операторами Штурма — Лнувнлля, было получено в [97],
[112]. Связь стационарного н нестационарного гамнльтоновых формализмов
для этих систем была получена в [11], [12], [24].
8. Ссылки на работы, посвященные алгебро-геометрнческому интегриро-
интегрированию ряда классических систем механики и гидродинамики, приводятся'
в параграфах 3,4 в ходе разбора ряда важнейших примеров.
9. Программа исследований дннамнкн полюсов решений уравнений,,
к которым применим метод обратной задачи, восходит к работе [121].
Впервые связь дннамнкн полюсов рациональных н эллиптических решений;
уравнения КдФ н рациональной н эллиптической систем Мозера — Калодже-
ро была обнаружена в [96]. Без всякой связи с конечномерными системами
эллиптические решения уравнения КдФ с тремя полюсами было построено'
в [41]. Изоморфизм рациональной системы Мозера — Калоджеро и полюсной
системы рациональных решений уравнения КП был установлен в [59]. В [ 106J,
этот результат был перенесен на эллиптический случай. Построение пере-
переменных типа углов для эллиптической системы Мозера — Калоджеро н по-
построение всех эллиптических решений уравнения КП было получено в [61].
10. Алгебро-геометрнческая спектральная теория Флоке линейных опера-
операторов с периодическими коэффициентами развивалась в работах [33], [37],
[44], [50], [76], [72], [123], [124]. Отправной точкой этих работ явились задача
построения периодических решений уравнений типа КдФ.
Возможности приложения алгебро-геометрнческой спектральной теории
к континуальной модели Пайерлса — Фрелнха были обнаружены в [4], [14].
Построение алгебро-геометрнческой спектральной теории разностного опе-
оператора Шрёдннгера было начато в работах [37], [108] и получило завершение
в [63]. Эти результаты были использованы в работах [15], [27], [28], [60],.
в которых была проинтегрирована дискретная модель Пайерлса и исследова-
исследованы ее возмущения.
1. Арнольд В. И., Математические методы классической механики. М.г
Наука, 1974, 431 с.
2. Ахиеэер Н. И., Континуальный ¦ аналог ортогональных многочленов на
системе интервалов. Докл. АН СССР, 1961, 141, № 2, 263—266
3. Барьяхтар В. Г., Белоколос Е. Д., Голод П. И., Одномерные магнитные-
структуры н высшие уравнения Ландау — Лнфшнца. — Препринт
ИТФ—84—128 Р: Киев, 1984, 28 с.
4. Белоколос Е. Д., Задачи Пайерлса — Фрелнха и конечнозонные потен-
потенциалы. I, И. Теор. и матем. физика, 1980, 45, N° 2, 268—280. Теорх
я матем. физика, 1981, 48, № 1, 60—69
5. —, Энольский В. 3., Обобщенный анзатц Лэмба. Теор. и матем. физика,.
1982, 53, № 2, 271—282
6. Березин Ф. А., Несколько замечаний об ассоциативной оболочке алгебры
Лн. Функц. анализ н его прнл., 1967, 1, № 2, 1—14
7. Бобенко А. И., Об интегрировании уравнений Эйлера на еC) и soD)v
Функц. анализ н его прнл., 1985, 19, № 1, 27 с.
8. —, Бикбаев Р. Ф., О конечнозонном ннтегрнрованнн уравнения Ландау—
Лнфшнца. XYZ-случай. Препринт ЛОМИ, Е-8-83, Ленинград, 1983,
27 с.
19* 279

'9. Боголюбов Н. Н., Щирков Д. В., Введение в теорию квантованных по-
полей. М.: Наука, 1976, 479 с.
10. Богоявленский О. И., Интегрируемые уравнения Эйлера на алгебрах Ли,
возникающие в задачах математической фнзнкн. Изв. АН СССР. Сер'
мат., 1984, 48, № 5, 883—938
11. —, Об интегралах высших стационарных уравнений КдФ и собственных
числах оператора Хнлла. Функц. анализ и его прнл., 1976, 10, № 2, 9—12
12. —, Новиков С. П., О связи гамнльтоновых формализмов стационарных
н нестационарных задач. Функц. анализ и его прнл., 1976, 10, № 1, 9—13
13. Боровик А. Е., N-солнтонные решения уравнения Ландау — Лнфшнца.
Письма в Ж. экспер. и теор. фнз., 1978, 28, № 10, 629—632
14. Бразовский С. А., Гордюнин С. А., Кирова Н. Н., Точное решение мо-
модели Пайерлса с произвольным числом электронов на элементарную
ячейку. Письма в Ж. экспер. и теор. фнз., 1980, 31, № 8, 486—490
15. —, Дзяяошинский И. Е., Кричевер И. М., Точно решаемые дискретные
модели Пайерлса. Ж. экспер. и теор. фнз., 1982, 83, № 1, 389—415
16. Веселое А. П., Кнондальные решения уравнения Ландау — Лнфшнца для
двухподрешеточного магнетика. Докл. АН СССР, 1984, 275, № 3, 590—
593
17. —, Конечнозонные потенциалы и интегрируемые системы на сфере с ква-
квадратичным потенциалом. Функц, анализ и его прил., 1980, 14, № 1,
48—50
18. —, Об условиях интегрируемости уравнений Эйлера на soD). Докл.
АН СССР, 1983, 270, № 6, 1298—1300
19. —, Уравнение Ландау — Лнфшнца н интегрируемые системы классиче-
классической механики. Докл. АН СССР, 1983, 270, № 5, 1094—1097
20. —, Новиков С. П., Конечнозонные двумерные периодические операторы
Шрёдннгера: явные формулы н эволюционные уравнения. Докл.
АН СССР, 1984, 279, № 1, 20—24
21. —, —, О скобках Пуассона, совместимых с алгебраической геометрией
и динамикой Кортевега — де Фриза на множестве конечнозонных потен-
потенциалов. Докл. АН СССР, 1982, 266, № 3, 533—537
22. —, —, Скобки Пуассона и компактные торы. Труды МИАН, 1984, 165,
49—61
23. —, Тахтаджян Л. А., Интегрируемость уравнений Новикова для главных
кнральных полей с многозначным функционалом действия. Докл.
АН СССР, 1984, 279, № 5, 1097—1100
24. Гелъфанд И. М., Дикий Л. А., Асимптотика резольвенты Штурм—Лну-
внллевскнх уравнений н алгебра уравнений Кортевега — де Фрнза. Успе-
Успехи мат. наук, 1975, 30, № 5, 67—100
25. —, Чередник И. В., Абстрактный гамнльтонов формализм для класси-
классических пучков Янга — Бакстера. Успехи мат. наук, 1983, 38, № 3, 3—21
26. Голубев В. В., Лекции по интегрированию уравнений движения тяже-
тяжелого твердого тела около неподвижной точки. М.: Гостехиздат, 1953,
287 с.
27. Дзялошинский И. Е., Кричевер И. М., Звук и волна зарядовой плотно-
плотности в дискретной модели Пайерлса. Ж. экспер. н теор. фнз., 1983, 85,
№ 5,1771—1789
28. —, —, Эффекты соизмеримости в дискретной модели Пайерлса. Ж-
экспер. и теор. фнз., 1982, 83, № 5, 1576—1581
29. Дринфельд В. Г., О коммутативных подкольцах некоторых некоммута-
некоммутативных колец. Функц. анализ и его прнл., 1977, 11, № 1, 11—15
-30. —, Гамнльтоновы структуры на группах Ли, бналгебры Ли н геомет-
геометрический смысл классических уравнений Янга — Бакстера. Докл.
АН СССР, 1982, 268. № 2, 1011—1016
31. Дрюма В. С, Об аналитическом решении двумерного уравнения Корте-
Кортевега— деФрнза. Письма в Ж. экспер. н теор. фнз., 1974, 19, № 12,
219—225
32. Дубровин Б. А., Вполне интегрируемые системы, связанные С матрнч-
280

нымн операторами н абелевы многообразия. Функц. анализ н его
прнл., 1977, //, № 4, 28—41
33. —, Периодическая задача для уравнения Кортевега — де Фриза. Функц.
анализ и его прнл., 1975, 9, № 3, 41—51
34. —, Тэта-функцнн н нелинейные уравнения. Успехи мат. наук, 1981, 36,
№ 2, 11—80
35. —, Матричные конечнозонные операторы. В сб.: «Современные пробл.
математики (Итоги наукн и техн. ВИНИТИ АН СССР)». М., 1983, 23,
33—78
36. —, Кричевер И. М., Новиков С. П., Уравнение Шрёдннгера в пернодн*
ческом поле н рнмановы поверхности. Докл. АН СССР, 1976, 229, № 1,
15-18
37. —, Матвеев В. Б., Новиков С. П., Нелинейные уравнения типа Корте-
Кортевега— де Фрнза, конечнозонные линейные операторы н абелевы много»
образня. Успехи мат. наук, 1976, 31, № 1, 55—136
38. —, Натанзон С. М., Вещественные двухзонные решения уравнения
sine—gordon. Функц. анализ н его прнл., 1982, 16, № 1, 27—43
39. —, Новиков С. П., Гамнльтонов формализм одномерных систем гидро-
гидродинамического типа н метод усреднения Боголюбова — Унзема. Докл.
АН СССР, 1983, 270, № 3, 781—785
40. —, —, О скобках Пуассона гидродинамического типа. Докл. АН СССР,
1984, 279, № 2, 294—297
41. —, —, Периодический и условно периодический аналоги многосолитон-i
ных решений уравнения Кортевега — де Фрнза. Ж. экспер. и теор. фнз.,
1974, 67, № 12, 2131—2143
42. —, —, Фоменко А. Т., Современная геометрия. М.: Наука, 1979,
759 с.
43. Захаров В. Е., К проблеме стохастнзацни одномерных цепочек нелиней-
нелинейных осцилляторов. Ж. экспер. и теор. фнз., 1973, 65, № 1, 219—225
44. —, Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П., Теория солнтонов:
метод обратной задачи. М.: Наука, 1980, 319 с.
45. —, Михайлов А. В., Релятивистски инвариантные двумерные модели
теории поля, интегрируемые методом обратной задачи. Ж. экспер. н теор.
фнз., 1978, 74, № 6, 1953—1974
46. —, Фаддеев Л. Д., Уравнение Кортевега — де Фрнза — вполне интегри-
интегрируемая гамнльтонова система. Функц. анализ и его прнл., 1971, 5, № 4,
18—27
47. —, Шабат А. Б., Точная теория двумерной самофокусировки и одномер-
одномерной автомодуляцнн волн в нелинейных средах. Ж. экспер. н теор. физ.,
1971, 61, № 1, 118—134
48. —, —, Интегрирование нелинейных уравнений математической физики
методом обратной задачи теории рассеяния. I. Функц. анализ н его
прнл., 1974, 8, № 3, 43—53
49. —, —, Интегрирование нелинейных уравнений математической физики
методом обратной задачи рассеяния. И. Функц. анализ н его прнл., 1979,
13, № 3, 13—22
50. Итс А. Р., Матвеев В. Б., Об одном классе решений уравнения КдФ.
В сб. «Проблемы математической физики», ЛГУ, 1976, № 8
51. Кириллов А. А., Элементы теории представлений. М.: Наука, 1972, 282 с.
52. Козел В. А., Котляров В. П., Почти периодические решения уравнения
utt — uxx+smu=0. Докл. АН УССР, 1976, А, № 10, 878—881
53. Козлов В. В., Интегрируемость и неннтегрируемость в гамнльтоновой
механике. Успехи матем. наук, 1983, 38, № 1, 3—67
54. —, Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.:
МГУ, 1980, 230 с.
55. —, Онищенко Д. А., Неннтегрнруемость уравнений Кирхгофа. Докл.
АН СССР, 1982, 266, № 6, 1298—1300
56. Кричевер И. М., Алгебро-геометрнческое построение уравнений Захаро-
281

ва —Шабата н их периодических решений. Докл. АН СССР, 1976, 227
№ 2; 291—294
57. —, Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической
геометрии. Функц. анализ и его прнл., 1977, И, № 1, 15—31
58. —, Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений.
Успехи мат. наук, 1977, 32, № 6, 180—208
59. —, О рациональных решениях уравнения Кадомцева — Петвцашвнлн
и об интегрируемых системах частиц на прямой. Функц. анализ и его
прнл., 1978, 12, № 1, 76—78
60. —, Модель Пайерлса. Функц. анализ н его прнл., 1982, 16, № 4,10—26
-61. —, Эллиптические решения уравнения Кадомцева — Петвнашвнлн и нн-
тегрнруемые системы частиц. Функц. анализ и его прнл., 1980, 14, № 4,
45—54
62. —, Алгебро-геометрнческая спектральная теория разностного оператора
Шрёдннгера н модель Пайерлса. Докл. АН СССР, 1982, 265, № 5,
1054—1058
63. —, Алгебраические кривые н нелинейные разностные уравнения. Успехи
мат. наук, 1978, 33, № 4, 215—216
64. —, Нелинейные уравнения и эллиптические кривые. В сб. «Современные
проблг математики (Итоги науки н техн. ВИНИТИ АН СССР)». М.;
1983, 23, 79—136
65. —, Коммутативные кольца обыкновенных линейных дифференциальных
операторов. Функц. анализ и его прнл., 1978, 12, № 3, 20—31
66. —, Новиков С. Л-, Голоморфные расслоения и нелинейные уравнения.
Конечнозонные решения ранга 2. Докл. АН СССР, 1979, 247, № 1,
33—37
67. —, —, Голоморфные расслоения над римановымн поверхностями
и уравнение Кадомцева — Петвнашвнли (КП) I., Функц. анализ н его
прил., 1978, 12, № 4, 41—52
68. —, —, Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нели-
нелинейные уравнения. Успехи мат. наук, 1980, 35, № 6, 47—68
'69. Манаков С. В., Метод обратной задачи рассеяния н двумерные эволю-
эволюционные уравнения. Успехи мат. наук, 1976, 31, № 5, 245—246
70. —, Полная интегрируемость и стохастнзацня дискретных динамических
систем. Ж. экспер. и теор. фнз., 1974, 40, 249—274
71. —, Замечание об интегрировании уравнений Эйлера дннамнкн я-мерного
твердого тела. Функц. анализ и его прнл., 1976, 10, № 4, 93—94
72. Марченко В. А., Операторы Штурма — Лнувнлля и нх приложения. Киев:
Наукова думка, 1977, 240 с.
73. Мещеряков М. В., Интегрирование уравнений геодезических левоннва-
рнантных метрик на простых группах Ли с помощью специальных
функций. Мат. сб., 1982, 117, № 4, 481—493
74. Мищенко А. С, Интегралы геодезических потоков на группах Ли.
Функц. анализ и его прнл., 1970, 4, № 3, 73—77
75. —, Фоменко А. Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах Лн.
Изв. АН СССР. Сер. мат., 1978, 42, № 3, 396—415
76. Новиков С. П., Периодическая задача для уравнения Кортевега —
де Фриза. Функц. анализ и его прнл., 1974, 8, № 3, 54—66
77. —, Двумерные операторы Шрёдннгера в периодических полях. В сб.
«Современные пробл. математики (Итоги науки н техн. ВИНИТИ
АН СССР)». М., 1983, 23, 3—32
78. —, Гамнльтонов формализм н многозначный аналог теории Морса. Успе-
Успехи мат. наук, 1982, 37, № 5, 3—49
79. —, Гршевич П. Г., О спектральной теории коммутирующих операторов
ранга 2 с периодическими коэффициентами. Функц. анализ н его прил.,
1982, 16, № 1, 25—26
80. Переломов А. М., Несколько замечаний об интегрировании уравнений
движения твердого тела в идеальной жидкости. Функц. анализ н его
прнл., 1981, 15, № 2, 83—85
81. —, Системы со связями. Препринт ИТЭФ. М., 1983, № 116, М., 27 с.
282

'82. —, Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. Препринт
ИТЭФ. М., 1983, № 147, 33 с.
83. Рейман А. Г., Интегрируемые гамнльтоновы системы, связанные с гра-
градуированными алгебрами Ли. Зап. науч. семнн. ЛОМИ, 1980, 95, 3—54
84. Свиналупав С. И., Соколов В. В., Об эволюционных уравнениях с не-
нетривиальными законами сохранения. Функц. анализ и его прнл. 1982 16,
№ 4, 86—87
85. Семенов-Тян-Шанский М. А., Что такое классическая r-матрнца. Функц.
анализ и его прнл., 1983, 17, № 4, 30—46
-86. Склянин Е. К-, О некоторых алгебраических структурах, связанных
с уравнениями Янга — Бакстера. Функц. анализ н его прил. 1982 16
№ 4, 27—34
.87. Славное А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибро-
калибровочных полей. — М.: Наука, 1978, 326 с.
^8. Стеклов В. А., О движении твердого тела в жидкости. — Харьков, 1893,
98 с.
•89. Тахтаджян Л. А., Точная теория распространения ультракоротких опти-
оптических импульсов в нелинейных средах. Ж. экспер. н теор. фнз., 1974,
66, № 2, 476—489
90. Трофимов В. В., Фоменко А. Т., Интегрируемость по Лнувнллю гамнль-
тоновых систем на алгебрах Лн. Успехи мат. наук, 1984, 39, № 2, 3—56
91. Чередник И. В., Об условиях вещественности в «конечнозонном инте-
интегрировании». Докл. АН СССР, 1980, 252, № 5, 1104—1108
'92. —, Об интегрируемости двумерного асимметричного кнрального 0C)-
поля н его квантового аналога. Ядерная фнз., 1981, 33, № 1, 278—281
93. Ablowitz М. А., Каир D. J., Newell А. С, Segur H., Method for solving
the sine-Gordon equation, Phys. Rev. Lett., 1&73, 30, 1262—1264
¦94. Adler M., On a trace functional for formal pseudo-differential operators
and the symplectic structure for Korteweg — de Vries type equations.
Invent, math., 1979, 50, 219—248
95. —, van Moerbeke P., Completely integrable systems, Euklidean Lie algeb-
algebras and curves. Adv. Math., 1980, 38, 267—317
96. Airault H., McKean H. P., Moser J., Rational and elliptic solutions of the
Korteweg—de Vries equation and a related many-body problem. Com-
mun. Pure and Appl. Math., 1977, 30, 94—148
97. Alber S., On stationary problems for equations of Korteweg — de Vries ty-
type. Commun. Pure and Appl. Math., 1981, 34, 259—272
98. Baker H. F., Note on the foregoing paper «Commutative ordinary diffe-
differential operators». Proc. Royal Soc. London, 1928, 118, 584—593
99. —, Abelian functions. Cambridge, 1897, 584—593
100. Bateman H., Erdelyi A.r Higher transcendental functions, New York, Me.
Graw—Hill Book Company, 1955, 295 p. (Пер. на рус. яз.: Бейтмен Г.,
Эрдейн А., Высшие трансцендентные функции. М.: паука, 1967, 297 с.)
101. Bogoyavlensky О. I., On perturbations of the periodic Toda lattice. Com-
Commun. Math. Phys., 1976, 5/, 201—209
102. Bordag L. A., Its A. R., Matveev V. В., Manakov S. V., Zakharov V. E.,
Two-dimensional solitons of Kadomtzev—P«tviashvily equation. Phys.
Lett., 1977, 205—207
103. Bullough R. K-, Caudrey P. J. (editors), Solitons. Springer, Ber-
Berlin—Heidelberg—New—York, 1980, 380 p. (Пер. на рус. яз.: Булаф Р.,
Кодрн Ф. (редакторы). Солнтоны. М.: Мир, 1983, 408 с.)
104. Burchnall J. L., Chaundy T. W., Commutative ordinary differential opera-
operators. I. II., Proc. London Math. Soc, 1922, 21, 420—440; Proc. Royal Soc.
London, 1928, 118, 557—'583
105. Burgatti P., Demonstrazione dell equationi di Hamilton—Jacobi integra-
bili -mediante la saparazione delle variabili. Ren. Lincei, 1911, 20, 108 p.
106. Choodnovsky D. V., Choodnovsky G. V., Pole expansions of nonlinear
partial differential equations. Nuovo Cimento, 1977, 40B, 339—350
107. Dall'Acqua F. A., Sulla integrazione delle equazioni di Hamiton—Jacoby
per separazioire di variabili, Maith. Ann., 19О81, 66, 398 p.
283

108. Date E., Tanaka S., Exact solutions of the periodic Toda lattice. Prog.
Theor. Phys., 1976, 5, № 2, 467—465
109. Dubrovin B. A., Krichever I. M., Novikov S. P., Topological and algebraic
geometry methods in contemporary mathematical physics. II. Soviet Sclent.
Reviews, Math. Phys. Rev., 1982, 3, 1—150
110. Faddeev L. D,, Integrable models in 1 + 1 dimensional quantum ¦theory.
Preprint S. Ph. T. 82/76. CEN Saclay, 1982, 97 p.
111. Flaschka H., The Toda lattice. I. II., Phys. Rev., 1974, B9, 1924—1925;
Prog. Theor. Phys., 1074, 51, 703—716
112. —, McLaughlin D. W-, Canonically conjugate variables for the Korte-
weg — de Vries equation and the Toda lattice with periodic boundary con-
conditions. Prog. Theor. Phys., 1976, 55, № 2, 438—456
113. Gardner С S., Korteweg— de Vries equation and generalizations IV. J.
Math. Phys., 1971, 12, № 8, 1548—1551
114. — Green Л, Kruskal M., Miura R., A method for solving the Korteweg —
de Vries equation. Phys. Rev. Lett., 1967, 19, 1095—1098
115. Gamier R., Sur une classe de systemas differentiel abelien deduits theo-
rie des equations lineaires. Rend. Circ. Matem. Palermo, 1919, 43, № 4,
155—191
116. Glaser V., Grosser H., Martin A., Bounds on the number of eigenvalues,
of the Schrodinger operator. Commun. Math. Phys., 1978, 59, 197—212
17. Kirchhoff С, Vorlesungen fiber mathematische Physik. Mechanik, Leipzig,.
Teubner, 1876, 466 p. (Пер. на рус. яз.: Кнрхгоф Г., Механика.—М.:
Изд-во АН СССР, 1962, 456 с.)
Ив. Kostant В., Quantization and unitary representation. I. Prequantization.
Lect. Notes Math., 1970, 170, 87—208. (;Пер. на рус. яз.: Костант Ь.,
Успехи мат. наук, 1973, 28, № 1, 16Э—225)
119. Hotter F., Ueber die Bewegung eines fasten Korpers in einer Flussigkeit.
I. II. J. reine und angew. Math., 1892, 109, 51—81; 89—111
120. —, Die von Steklow und Liapunov entdeckten integral en Falle der Be-
Bewegung eines starren Korpers in einer FISssigkeit. Sitzungsber. Koniglich
preuslischen Acad. Wiss. Berlin, 1900, 6, 79—87
121. Kruskal M. D., The Korteweg—de Vries equation and related evolution
equations. Lect. Appl. Math., 1974, 15, 61—83
122. Lamb G L, Analytical .descriptions of ultrashort optical pulse propaga-
propagation in a resonant medium. Rev. Modern Phys., 1971, 43, 99—124
123. Lax P. D-, Periodic solutions of Korteweg — de Vries equation. Commun.
Pure and Appl. Math., 1975, 28, 141—188
124. —, Integrals of nonlinear equation and solitary waves. Commun. Pure
and Appl Math., 1968, 21, № 5, 467—490
126. Levi—Civita Т., Sulla integrazione della equazione di Hamilton—Jacobf
per separazione di variabili. Math. Ann., 1904, 59, 383 p.
126. —, Amaldi ?/., Lezioni di meccanica razionale. Nuova ed. riveduta e corr.
V. 1—3, Bologna: Zanichelli, 1950—1952, 1, 526p-.; 2, 684 p.
127. Lie S. (unter Mitwurkung von F. Engel) Theorie der Transforniation&grup-
pen. Bd. 1—3, Lpz., Teubner, 1888, v. 1. 632 p.; 1890, v. 2, 154 p.; 1893,.
v. 3, 830 p.
128. Magri F., A simple model of the integrable Hamiltonian systems. J. Math.
Phys., 1978, 19, 1156—1163
129. Maki K., Ebisava H., Exact magnetic rinning solutions in superfluid
3He—B. Phys. Rev., 1976, B13, 2924—2931
130. Marsden I., Weinstein A., Reduction of symplectic manifolds with sym-
symmetry. Rep. Math. Phys., 1974, 15, 121—130
131. McKean H. P., van Moerbeke P., The spectrum of Hill's equation. Invent,
math., 1975, 30, 217—274
132. —, Trubowitz E., Hill's operator and hyperelliptic function theory in the
presence of infinetly many branch points. Commun. Pure and Appl. Math.,
1977, 29, 143—226
133. Milne-Tomson L. M., Theoretical' hydrodynamics. London: Miacmillan and
284

Co. Ltd.-New York; St. Martin Press, I960, 6Э0 p. (Пер. ял рус. яз.г
Милн-Томшн Л., Теоретическая гидродинамика. М,: Мир, 1964, 656 с.)
134. Moser J., Three integrable Hamiltonian systems connected with isospect-
ral deformations. Adv. Math., 1975, 16, 1—23
135. —, Various aspects of integrable Hamiltonian systems. «Dynamical sy-
systems». Prog, in Math., 8, Birkha user—Boston, 1980, 233—289
136. Pohlmeyer K-, Integrable Hamiltonian systems with interaction through-
quadratic constrains. Gommun. Math. Phys., 1976, 46, 207—223
137: Sklyanin E. K-, On complete integrability of the Landau—Lifshitz equa-
equation. Preprint LOMI E^3—1979, Leningrad, 1979, 32 p.
138. Springer D., Introduction to Riemann surfaces. Reading, Mass., Addison—
Wesley, 1957, 307 p. (Пер. на рус. яз.: Спрингер Дж., Введение в тео-
теорию римановых поверхностей. — М.: ИЛ, 1960, 344 с.)
139. Steklov V. A., Sur la mouvement dun corps solide ayant une cavite de-
forme elltpsoidale remplie par >un liquide incompressible et sur les varia-
variations des latitudes. Ann. Facultes de sciences de Toulouse, 1909, ser. 3,
143 p.
140. Weber H., Anwendung der Thetafunctionen zweir Verandeflicher auf die-
Theorie der Bewegung eines festen Korpers in einer Flussigkeit. Math-
Ann., 1878, 14, 17»-206
141. Whittaker E. Т., Analytische Dynamik der Punkte und starren Korper^
Springer, Berlin, 1924, 456 p. (Пер. на рус. яз.: Уиттекер Е., Аналитиче-
Аналитическая динамика. — М.: ОНТИ, 1937, 496 с.)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра Гейзенберга 167
— Ли инфинитезимальных контакто-
морфизмов 83
- квадратичных гамильтонианов
11
первых интегралов 67
Аномалия квантовая 150
Аппроксимация пуассоновой структу-
структуры линейная 37
Вектор вакуумный 170
Векторы косоортогональные 8
Величина наблюдаемая 143
— физическая 143
Вложение лагранжево точное 85
Гамильтониан 11, 34, 48, 182
— квадратичный 11
— контактный 84
Геодезические на эллипсоиде 212
группы 202
Геодезические и эллипсоиде 212
Гиперповерхность двойственная 92
— производящая 93
Грассманиан лагранжев 9, 121
ориентированный 121
Группа Гейзенберга 161
— метаплектическая 168
— симплектнческая 20
— — компактная 22
Действие связной группы Ли пуассо-
новское 65, 161, 202.
Дивизор 232
Дифференциалы абелевы второго ро-
рода 238
Дополнение косоортогональное 8
Иерархия уравнений типа Лаке а 217
Изоморфизм Бергманна 171
Индекс Маслова 118, 172
Интеграл первый 145
— гамильтоновой системы 196
Интегрирование конечнозонное 225,
231
Картина Гамильтона 144
— Гейзенберга 148
— Лиувилля 145
— Шрёдингера 148
Каустика 96
Квантование 150
Класс Маслова 120, 122
—¦ — универсальный 12-2
— характеристический 130
Кобордантность 123
Кобордизм лагранжев 126
.286
— лежандров 126 "•
— фронтов 123
Контактизация 85
Контактоморфизм 75
Координаты Дарбу 8 ¦ !
контактные 76
— нечетные 157
— четные 157
Край лагранжев 125
— лежандров 125
Кривая алгебраическая 228
— гиперэллиптическая 237, 244
вещественная 243, 248
Лагранжиан 47
Метод Гамильтона—Якоби 211
— обратной задачи 179
— разделения, переменных 212
— сдвига аргумента 62
Многообразие контактное 75
— изотропное 143
— контактных элементов 76
— конфигураций 47
— лагранжево 144
— пуассоново 35
— симплектическое 26, 143, 183
— характеристик 52
— Якоби 231
Модель Пайерлса—Фрелиха 267
Набор физических величин полный
145
квантовый 149
Оператор гамильтонов 11
— конечнозонный 225, 267
— Штурма—Лиувилля 237
— энергии 148
Отображение Абеля 233
— Гаусса 121 '.
— градиентное 95
— лагранжево 95
— лежандрово 91
— моментов 65, 161, 201
— нормальное 91, 95
— тангенциальное 92
Пара пуассонова 61
Переменные «действие — угол» 56,
208
Перестройки волновых' фронтов ПО
— каустик 110
Поверхность риманова 231
Подалгебра подчиненная 162
Подмногообразие Бора—Зоммерфель-
да 163

39,
-*- изотропное 144
— коизотропное 39
— лагранжево 39
— лежандрово 75
Поле векторное гамильтоново 34, 182
контактное 83
приведенное 67
—• характеристических направлений
гиперповерхности 49
Полуплотность 164
Полуформа со значениями в расслое-
расслоении 169
Поля киральные 190, 220
Поляризация 41, 158
— вещественная 144, 159
— кэлерова 159
— псевдокэлерова 159
— трансверсальная 159
Постоянная Планка 147
приведенная 149
Предке антование 151
— сферы 155
— тора 156
Представление Вейля 170, 172
— группы Ли коприсоединенное 33
— коммутационное 181
— Лакса 63 ¦
Преобразование Абеля 252
— каноническое 149, 182
— Лежандра 48, 92, 184
— Остроградского 184
— симплектическое линейное 10
Принцип наименьшего действия 49
Произведение кососкалярное 8
Пространство квантования 169
— состояний 148
— стандартное симплектическое 8
— 1-струи функций 77
— фазовое 48, 148, 181, 249
приведенное 66
— Фока 171
Пучок рациональный, 219, 229
— эллиптический 222
Равновесие относительное 70
Ранг пуассоновой структуры 36
Расслоение кокасательное 30
проективизовэнное 76
скрученное 41
сферизованное 83
— лагранжево 40
— лежандрово 75
Реализация пуассоновой структуры
67
дуальная 67
Решение конечнозонное 227
Семейство производящее гиперповер-
гиперповерхностей 94
функций 97
Симметрия гамильтоновой системы
202
Симплектизация 82
Симплектоморфизм 26, 149
— гомологичный тождественному 43
Система гамильтонова 11, 48, 182
— — вполне интегрируемая 55, 208
— Гарнье 256
— лагранжева механическая 47
— Мозера—Калоджеро 224, 263
— натуральная механическая 47
— Неймана 254
— уравнений Эйлера—Лагранжа 47
Эйлера—Пуассона 51
Скобка Лагранжа 84
— Ли—Пуассона 185
— Магри 250
— Пуассона 11, 35, 143, 181
аналитическая 245
гидродинамического типа 195
каноническая 182
— Схоутена 36, 143
Скобки локальные полевые 189
Слой симллектический 37
Случай Кирхгофа 210
— Клебша 210
— Ковалевской 210, 251
— Лагранжа 210
— Ляпунова—Стеклова—Колосова
211, 258
— Эйлера 210
Состояние системы 144
чистое 144, 148
Спаривание 167
Среднее значение физической величи-
величины 148
Структура контактная 75
— Ли 84
— метаплектическая в R2n 168, 173
на многообразии 173
— пуассонова 35
линейная 37
— симплектическая 8, 26
каноническая 30
— стандартная 76
Супер алгебры Ли 158
Супермногообразия 157
Тензор энергии-импульса 206
Теорема Вильямсона 12
— Дарбу для лагранжевых расслое-
расслоений 41
лёжандровых расслоений 76
— контактных многообразий
76
линейная 8
относительная 28
— Лиувилля 35, 207
об интегрируемых системах 56
— Э. Нётер 35, 207
— Остроградского 52
287

— Пуассона 35
— Якоби 89
Тождество Лейбница 182
— Якоби 35, 182
Тэта-функция риманова 225
Уравнение Гамильтона 145
— Гамильтона—Якоби 89, 212
— Гейзенберга 148
— коммутационное 214
— Кортевега—де Фриза 192
— Лакса 63, 215
— нулевой кривизны 219
— Эйлера 64, 69, 186
— Шрёдингера 149
Уравнения Кирхгофа 187
— Легетта 203
— Эйлера—Лагранжа 47
Условие Бора—Зоммерфельда 165
модифицированное 165
Форма действия 30
— контактная 79
Формула интегрирования 74
Фронт 91
— вооруженный 123
Функционал многозначный 191
Функция Бейкера—Ахиезера «-точеч-
«-точечная 234
— блоховская 240, 267
— в инволюции 144
— Гамильтона 34, 144
приведенная 67
— действия 166
— Казимира/36
— Клебша—Гордана—Бейкера—Ахи-
Клебша—Гордана—Бейкера—Ахиезера 267
— Лагранжа 47
— производящая 9, 39, 151
—¦ энергии '144
Характеристики гиперповерхности в>
контактном многообразии 87
Число характеристическое 131
Эквивалентность лагранжева 96
— лежандрова 93
Элемент контактный 76
Энергия 144
— кинетическая 47
— понтенциальная 47
Ядро Блаттнера—Костанта—Стерн-
берга 169
288

ОГЛАВЛЕНИЕ
(соответствует рубрикам 27.21—27.39 Рубрикатора ГАСНТИ)
Симплектическая геометрия (В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь) . . 7
Предисловие 7
Глава 1. Линейная симплектическая геометрия 8
§ 1. Симплектическое пространство 8
§ 2. Линейные гамильтоновы системы 10
§ 3. Семейства квадратичных гамильтонианов 15
§ 4. Симплектическая группа 20
Глава 2. Симплектические многообразия 26
§ 1. Локальная снмплектическая геометрия 26
§ 2. Примеры снмплектических многообразий 30
§ 3. Скобка Пуассона 34
§ 4. Лагранжевы подмногообразия и расслоения 39
Глава 3. Симплектическая геометрия и механика .... 46
§ 1. Вариационные принципы 46
§ 2. Вполне интегрируемые системы 55
§ 3. Гамнльтоновы системы с симметриями 65
Глава 4. Контактная геометрия 75
§ 1. Контактные многообразия 75
§ 2. Симплектизация и контактные гамильтонианы .... 82
§ 3. Метод характеристик 87
Глава 5. Лагранжевы и лежандровы особенности .... 91
§ 1. Лагранжевы и лежандровы отображения 91
§ 2. Классификация критических точек функций 98
§ 3. Особенности волновых фронтов и каустик 103
Глава 6. Лагранжевы и лежандровы кобордизмы . . . . 117
§ 1. Индекс Маслова 117
§ 2. Кобордизмы 125
§ 3. Характеристические числа 130
Литература 136
Геометрическое квантование (А. А. Кириллов) . 141
Введение 141
§ 1. Постановка задачи 142
§ 2. Предке антование 150
§ 3. Поляризации 158.
§ 4. Квантование 163
Литература 176
Интегрируемые системы. I. (Б. А. Дубровин, И. М. Кричевер, С. П. Но-
Новиков) 179
Введение . . . 179
Глава 1. Гамильтоновы системы. Классические методы интегриро-
интегрирования 181
§ 1. Общее понятие скобки Пуассона. Важнейшие примеры . . 181
§ 2. Интегралы и понижение порядка гамильтоновых систем.
Системы с симметриями 196
289

§ 3. Теорема Лиувилля. Переменные действие — угол . . . 207
§ 4. Уравнение Гамильтона—Якоби. Метод разделения перемен-
переменных — классический метод интегрирования и нахождения пе-
менных действие — угол . . 211
Глава 2. Современные представления об интегрируемости эволю-
эволюционных систем '. 214
§ 1. Коммутационные представления эволюционных систем . . 214
§ 2. Алгебро-геометрическая интегрируемость конечномерных А,-пуч-
ков 227
§ 3. Гамильтонова теория гиперэллиптических А,-пучков , . . 244
§ 4. Важнейшие примеры систем, интегрируемых в двумерных
тэта-функциях 251
§ 5. Полюсные системы 262
§ 6. Интегрируемые системы и алгебро-геометрическая спектраль-
спектральная теория линейных периодических операторов .... 266
Литература 277
Предметный указатель . 286

УДК 514.515.16
В И. Арнольд, А. Б. Гивенталь. Симплектическая геометрия. «Совре-
«Современные пробл. математики. Фундаментальные направления. Т. 4 (Итога
науки и техн. ВИНИТИ АН СССР)>. М.. 1985, 7—139
Этот раздел дифференциальной геометрии служит геометрическим фун-
фундаментом вариационного исчисления, классической и квантовой механики,,
геометрической оптики и термодинамики. В статье отражены связи симплек-
типеской геометрии с такими разделами математики, как теория групп Ли,
дифференциальные уравнения, теория особенностей, топология. Основные по-
2я?ия смравождаются примерами и рисунками, важнейшие теоремы _ на-
набросками доказательств. Библ. 7.8, ил. ьи
УДК 514.8+517.986
А А Кириллов, Геометрическое квантование. «Современные пробл.
матерки. Тушевальные направления. Т. 4 (Итоги науки н техн..
вается связь с индексом Маслова. Библ.
УДК 612.77+5.7.912+517.958^
!, Интегрируемые снсте-
-ими.
ОПЕЧАТКИ
ИНТ, Современные проблемы математики. ФН № 4, 1985 г.
Страница
26
38
66
88
94
191
284
286
289
Строка
8 сверху
8 сверху
13 сверху
5 сверху
9 снизу
'16 снизу
22 сверху
18, 19
сверху
3 сверху
Напечатано
Диффеморфизм
симплектичесие
вклидова
fxql
Эейлера
17.
Геодезические «а эллип-
эллипсоиде 212 группы 202
стр. 7
Следует читать
Диффеоморфизм
симплектические
Евклидова
...,p\TxD=dx(p}
Эйлера
117.
Генераторы каноническо-
канонического действия группы 202
стр. 5
Зак. 2538